EXTRAIT N° 10. 43

s'agit, lorsque la valeur donnée de ce paramètre offrira un module inférieur aux modules de toutes les valeurs principales. Si, au contraire, le module donné du paramètre surpasse les modules de toutes les valeurs principales, toutes les racines seront développables suivant la puissance descendante du paramètre. Cela posé, soit

une équation de degré n, dans laquelle le coefficient de x11 se réduit à l'unité, la fonction F(a?) étant de forme réelle. Si les racines sont inconnues, on pourra du moins, d'après ce qui précède, déterminer toutes celles de l'équation auxiliaire

pourvu que la constante /c offre un module supérieur aux modules de toutes ses valeurs principales. C'est ce qui arrivera, par exemple, si le module de /c surpasse le module de /•", r étant la valeur de x qui rend, dans la proposée, le module du premier terme également supérieur à la somme des modules de tous les autres.

Pour revenir de l'équation (2) à l'équation (i), il suffira de faire varier un nouveau paramètre i entre les limites

dans une nouvelle équation de la forme

(3) F(*) = *-i.

Nous pourrons môme admettre que, dans ce trajet, le rapport ^ reste toujours réel et positif, quoique chacune des constantes /(•, i, puisse être imaginaire. Or cette idée très simple a des conséquences fort utiles, et dignes, ce me semble, de l'attention des géomètres, car elle fournit seule la résolution complète des équations de tous les degrés, ainsi qu'il résulte des théorèmes suivants, dont les deux premiers sont du nombre de ceux que j'avais trouvés en 1832. Dans ces divers théorèmes, je supposerai que le rapport £ reste réel et positif et j'ap-