EXTRAIT N° 11. 47

deux fonctions de x, y qui restent continues entre les limites # = *•„, .r = X, y=yoty = -Y.

» Nommons 9 (a?, y), (I)(<f,iy) les dérivées de ces fonctions relatives à œ, et z(,x, y), X(«T, y) leurs dérivées relatives à y.

» Enfin soit N le nombre des différents systèmes de valeurs de x, v propres à vérifier les équations simultanées

et comprises entre les limites ci-dessus énoncées, on aura

^

^.vo e/)-o /

en supposant

» Turin, le i5 juin i833. »

Pnrini les démonstrations élémentaires que l'on peut donner de ce théorème, il on est une fort simple que je vais indiquer en peu de mots.

Considérons x, y comme des coordonnées rectangulaires. Chacune des équations

(0 /(*,r) = »>

(71) F(*,j) = o

représentera une ligne droite ou courbe tracée dans le plan des ,-r, 7, et N sera le nombre de points suivant lesquels se coupent ces deux lignes dans l'intérieur du rectangle ABCD compris entre les quatre droites qui ont pour équations

(3) x — x(), x = \, 7 = 70, r = Y-

Cela posé, il sera facile de vérifier le huitième théorème si chacune des fonctions f(oc,y], Y(x,y) est linéaire par rapport à x, y, c'est-à-dire si les équations (i) et (2) représentent elles-mêmes deux droites: et l'on s'assurera aisément qu'alors le premier et le second membre de