58 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

puis on conclura des formules (21) et (22), en faisant converger A,r vers la limite zéro,

^'"'' dx ' ôx ôy ~~. '

quel que soit 6; par conséquent,

-r -----( ), — —- O .

ÔX ôf

Or, il est aisé de voir que ces dernières équations entraînent les deux formules

(iX ) l"o? H- / V — « — °» f' # — ;>• y— i = o.

C'est à peu près ainsi que j'avais établi, à Turin la formule (i/j), de laquelle j'avais déduit le théorème 11, et les autres théorèmes énoncés dans la Gazette de Piémont du 22 septembre i832.

Si, dans l'équation (19), on attribue à oc, y les valeurs qui correspondent au point de réunion ou de séparation de deux courbes, puis d'autres valeurs très voisines correspondantes à un second point situé sur l'une des courbes cl, très rapproché du premier; en nommant s l'arc compta à partir du point de réunion ou de séparation, et prenant (•et arc s pour variable indépendante, on trouvera que, dans le passage dit premier point au second, le logarithme du second membre de l'équation (nj) reçoit un accroissement qui, eu égard aux formules (a5), est sensiblement proportionnel a

l *' ~1-.)' v' — ' ) f'"(x — .Tv/ — ' ) \(dx- dy-

(Lr dy ,-----f'(x-\~r\/—i) ("(.r—J'\j —

"(/s ((s**' ' L f(fl:+js/_l) f(x — rv/~

Kn égalant cet accroissement à zéro, on obtiendra une équation qui fournira pour ~r-t deux valeurs dont le produit sera —i; d'où il suit

que deux branches de courbe, en se rencontrant, se couperont à angles droits. On prouvera pareillement que, si 71 branches de courbe se réu-