66 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

on réduira les équations (17), (18), (19) à

(ag) /f:=: -f(*V=T,

On peut donc énoncer la proposition suivante.

THÉORÈME I. — Lorsque réquation (i) a toutes ses racines réelles cl iné-n-ales, on peut obtenir chacune de ces racines développée en série conver-f>-ente; et, pour y parvenir, il suffit déposer i = k, clans les développements des racines de l'équation (27) ou (3i), en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de i, ces séries ayant pour premiers termes les racines de l'équation (a5) ou (29), développées suivant les puissances descendantes et fractionnaires de k, ou, ce qui revient au même, suivant- les puissances ascendantes et entières des valeurs de 1, propices à vérifier l'équation binôme (2G) ou (3o).

Concevons maintenant que, la fonction î(x] étant toujours de forme réelle, l'équation (i) ait encore ses racines toutes distinctes les unes clés autres, par conséquent inégales, mais non toutes réelles. Soient, dans ce cas, m le nombre des racines réelles de l'équation (i), et

(3s) ti, b, c, d, . . ., #, li

ces mêmes racines, rangées d'après leur ordre de grandeur; deux de ces racines réelles prises consécutivement, par exemple a et />, comprendront toujours entre elles au moins une racine réelle de la dérivée (i3). Car si, en supposante réelle, on fait croître cette variable .r entre les limites x = a, x = b, la fonction f(a?), nulle à ces deux limites, acquerra dans l'intervalle au moins une valeur numérique maximum, pour une valeur réelle de x, qui fera évanouir la dérivée f'(#). Donc, le nombre des racines réelles de l'équation (t) étant m, le nombre des racines réelles de la dérivée (i3) ne pourra être inférieur