LA DEFINITION DE L'lNTEGRALE DONNEE PAR RIEMANN. *2t

Mais il se peut aussi, et Ton en verra bient&t des exemples, que
la fonction A (X) ne soil plus une foiiction bien determine'e, mais
soit une fonction a plusieurs determinations.

On dit que Ton a une telle fonction si, a chaque valeur de X,
prise dans un certain ensemble ou la fonction est definie, on fait
correspondre tin ensemble de nombres; chacun de ces nombres
est represent^ par la notation ']j(X). Ce qui a e"te dit relativemeiit
aux limites superieure et infe"rieure pour les fonctions a une
seule determination, s'applique sans aucun changement aux
fonctions a determinations multiples. <jj(X) a done une limite
inferieure I et une limite super ieure L pour X = X₀, qui sont,
respectivernent, la plus petite et la plus gran de des limites que
I'oii peut atteindre en choisissant une suite de nombres X/ tendant
vers X₀ et en choisissant convenablement les nombres fy (X/) cor-
respondants. Ces deux nombres sont les limites d¹ inde termina-
tion de la limite de <i(X) quan^f \ tend vers X₀ (ⁱ).

Revenons maintenaiit a 1'^tude des fonctions.

[[ y a une relation tres simple entre les oscillations relatives aux
intervall.es contenus clans (a, b) et les oscillations aux divers points
de (a, b). On peut 1'exprimer ainsi :

Sl_: en to as les points de (a, 6), I⁷ oscillation est au plus
egale a to, dans tout intervalle interiear a (a, b) et de lon-
gueur X, I* oscillation est inferieure a to -f- e des que X est asses
it) E etant un. norubre positif queiconque.

S'il en dtait autrement, ou pourrail trouver des couples de
points a_p^ b_p: tels que b_p — a_p tende vers z6ro et que 1'on ait

L'ensemble des a_p a, au moins, un point limite a. Si 1'on prend
une suite de valeurs a_p tendant vers a, les b_p tendent aussi vers a,
done en a Foscillation est au moins to + e. II y a la une contra-
diction avec 1'hypotbese.

(^]) I)u Bois-Reymond dit simplernent « les limites d'ind^termination de
pour "K = >₀ ». Cela tient & Tidee que se faisait du Bois-Reymond de la valeur
d'une fonction en un point de discontinuity (note i, p. 9).

Je crois qu'il vaut mieux adopter le Jangagedu texte, plus conforme aux ide"es
modex'nes sur la determination des fonctions.