LKS I- 0 NOTIONS A VA III AT ION IHMNKK. 5 I

DCS raisomiements analogues perutellraienl cle demonlrer que
les operations eileelueesa la page 3o, sur des f one lions inlegrables,
doimenl des fonetions a variation bornee quand dies soul, efleo-
luees sur des ionelions a variation bornee.

Mais il n'est pas vrai qu'une serie uniformement eonvergenle
<le fonelions a variation bornee donne neeessairemenl une f cue lion
a variation bornee. La propriete qui remplaee eelle-la esl la sui-
vante ;

La limit?, tw.v kujue/l? tend (nnlforrn?m?nt on non) une
}iuit? da functions a -variations totalas au plus c^ales d M est
tine fonciion dont la variation totals vat au plus cgalc a M.

En ellel, prenons line divisioii de rintervalle, la variation OOITCJS-
pon<lruH«^k des lermes <lc la suite tend vers la variation relative a la
liiniK* «^kl a la <Iivision employee; done, e(^ktte variation esl an plus
egale a M <»(, il en est <le nnhne <le la \ariation totale de la Ilinite.

( ]e qui preeede nous pcvriuetlrail de eiler <.les i'one lions a varia-
tion tolale .bornee. Une fonetiou eroissante esl, en ellet, uue foue--
liou a varialiou totale liuie <^v( <»j»^-ale a /'(/>) — /"(//); <1<; iu(hu(*, une
lonetion deeroissante est a variation borii(*(». Par suite, la <liil<5renee
<!<• <leu\ fouelious eroissaates est uue foiH'tiou a variation boruee,
Nous allous deuioutrer luaiuteaaut la reei|)ro((ue : tout? fonvtion
a variation horn?? ?$t la di$?r?nc? d? d?ux functions j amain

i ) | ,

H<.*prenons la variation

*' • ..... "-' 1 f( <* i ) -• ..... ./'( «« ) | H ...... |/( «a ) - ..... - f(

<»t soil /> la somme <le <^v.elles <l<ts (juanlites f((ti) ~~ f(<'ii~(} ^(:l^u"i
sont positives el • • /y la soiunie de eelles qui sont negatives. On a
ev idem men t

/; <»st la variation positive pour la division ehoisie, // la variation
negatives. Les deux <lernieres egalitds nkont.renl que les limil(»s
superi<»ures V, \\ N, <l(* r, />,//, que Ton appelle variation totals,