CHAPITHE III.

tendent, quandle maximum des 3 tend vers zero, vers des limites
determinees qui sont les etendues interieure et exterieure du
domaine. Or S— S tend vers zero, carles fonctions continues sont
a oscillation moyenne nulle, le domaine abEA. est done quarrable.

Si nous employons la methode du debut, si nous appelons
integrate definie de f dans (a, b] I'aire de abEA, nous retrou-
vons 1'integrale de Cauchy. II n'y a, eiitre cette definition et celle
de Cauchy, que des differences de forme.

Dans le cas ou /(#) n'est pas toujours positive, la courbe AB
rencontre 1'axe des x un nombre fini ou infini de fois et Ton a
deux especes de domaines, les uns au-dessus de ox, les autres
au-dessous. Chacun de ces domaines est quarrable d'apres ce qui
precede.

La somme des aires de ceux qui sont au-dessus de ox, dimi-
de la somme des aires de ceux qui sont au-dessous, est, par
definition, Fintegrale de/(a?) (<).

Consid^rons maintenant une fonction f(x) quelconque, definie
dans 1'intervalle positif (a, 6). Soil E(/) Tensemble des points
dont les deux coordonn^es sont liees par la seule condition que
y ne soit pas exte"rieur a Fintervalle positif ou ndgatif [o, f(x)].
En d'autres termes, on a

L'axe des x partage cet ensemble en deux autres : les points
situ^s au-dessus de ox forment E^/(^)], ceux qui sont au-
dessous ferment E2 [/(#)]. Quant aux points situ^s sur ox, on
les mettra indiflferemmenl dans E{ ou E2, cela importe peu dans la
suite, car ils forment un groupe int^grabJe du plan.

Par analogic avec la definition precedente, il est naturel d'ap-
peler integrate de /la diflference

lorsque E, et E2 sont mesurables' J.

Lorsqu'un ensemble n'est pas mesurable J, son etendue peut

^ (x) Les deux sommes qui figurent dans cette definition existent bien, puisque
I'eosemble de tous les domaines peut etre enferm^ dans une circonf^rence de
rayon fini1110 ct tlos rourbcH aimlogucs.