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l64 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

On se rendra compte, jusqu'ci un certain point, de cette diffi-
culte, en observant que k et k¹ n'existent comme fonctions de u>
qu'autant qu'en supposant cette variable imaginaire et de la forme

0) = « -|- z'|3, , i

(3 est essentiellement different de zero et positif. Ce sont done

veritablement des parties de fonctions qui, des lors, e'chappent a \

beaucoup des m^thodes les plus habituellement employees. Ainsi, \

il n'existe pas pour k et k¹ de de'veloppement suivant les puissances I

de o), et si 1'on fait |

to = (D₀H- h F'

pour pouvoir employer la s^rie de Taylor, voici encore les circon- |
stances particulieres qui viennent s'offrir. Les quantit^s k et k'

sont de'terminables par la resolution d'une equation nume'rique, ;

pour une infinite de valeurs de to, telles que ^r

t0₀ =

A, B, G etant entiers, et B essentiellement positif; mais, si 1'em-
ploi de ces valeurs initiales, en faisant to = o)₀ + A, donne pour
premier terme des series une simple irrationnelle nume'rique, les
termes suivants sont n^cessairement des transcendantes. Ainsi, par
exemple, pour w₀ = j, on aura

et, en prenant to = i -f- A, ce sera I'inte'grale

/ CbOC

J₀ /i -^ a?⁴

qui entrera dans tous les coefficients des developpements de k
et A-', suivant les puissances croissantes de A. On voit par la com-
bien on est eloigne des series qui definissent les transcendantes
simples, oii les coefficients sont toujours commensurables. Mais,
sans nous etendre plus long'uement la-dessus, et pour revenir a ce



	l64 OEUVRES DE CHARLES HERMITE. On se rendra compte, jusqu'ci un certain point, de cette diffi- culte, en observant que k et k¹ n'existent comme fonctions de u> qu'autant qu'en supposant cette variable imaginaire et de la forme 0) = « -\|- z'\|3, , i i f (3 est essentiellement different de zero et positif. Ce sont done veritablement des parties de fonctions qui, des lors, e'chappent a \ beaucoup des m^thodes les plus habituellement employees. Ainsi, \ il n'existe pas pour k et k¹ de de'veloppement suivant les puissances I de o), et si 1'on fait \| to = (D₀H- h F' S; pour pouvoir employer la s^rie de Taylor, voici encore les circon- \| stances particulieres qui viennent s'offrir. Les quantit^s k et k' sont de'terminables par la resolution d'une equation nume'rique, ; pour une infinite de valeurs de to, telles que ^r

	M t0₀ =

	A, B, G etant entiers, et B essentiellement positif; mais, si 1'em- ploi de ces valeurs initiales, en faisant to = o)₀ + A, donne pour premier terme des series une simple irrationnelle nume'rique, les termes suivants sont n^cessairement des transcendantes. Ainsi, par exemple, pour w₀ = j, on aura

	et, en prenant to = i -f- A, ce sera I'inte'grale / *CbOC* J₀ /i -^ a?⁴ qui entrera dans tous les coefficients des developpements de k et A-', suivant les puissances croissantes de A. On voit par la com- bien on est eloigne des series qui definissent les transcendantes simples, oii les coefficients sont toujours commensurables. Mais, sans nous etendre plus long'uement la-dessus, et pour revenir a ce