00000208.htm

THEORIE DES FONCTIONS ELLI I>T I QXJ ES . 203

B. — Des fonctions completes.

Supposons successivement dans 1'dquatiori pre'ce'dente

Hi a?, a) — - ri(#, a?) = a^rL(x ) — a?Z( a),
x = K el x = K-h iK';

en observant qu'on aura

H(a, K) = o,

U(a, K-hi'K') = o,
on en conclut

IJ(K, a; = aZ(K) — KZ(a) = aJ — KZ(a)
et

iK') — D(K) = iaJ'— iK'Z(a).

Telles sont les valeurs des fonctions completes ou bien des inte¹-
grales de"finies

= f

sin am a ens am a A am a sin² am .r a?,r

i — /r⁴ sin* a ma sin^sfim.T

'* si n a rn a cos a m a A a m a sin² arn ,7? dx
r — /c² sin²am a sin^

R(K-t- sK') - II(K) -- f

. /I7

Si pour un instant on les d^signe respectivement par n et /II', on
aura les relations

I'I(a?-t- ctK, a) = ri(o?, a) + all,

II (a? -4- a t K', a) = II (a:, a) 4- a »n'
et

Kir-riK'=— -

Mais nous observerons, a J'e'gard de la fonction de troisierne es-
pece, que 1'int^gration introduit, en modifiant le chemin de'crit
par la variable, un multiple entier positif ou n^gatif de K\/ — i,
de sorte que ces relations n'ont lieu que pour certains modes
d'inle'gration, tandis que les relations analogues relativement £ la
fonction cle seconde espece n'exigeaient aucune restriction de
cette nature.



THEORIE DES FONCTIONS ELLI I>T I QXJ ES . 203

B. — Des fonctions completes. Supposons successivement dans 1'dquatiori pre'ce'dente Hi a?, a) — - ri(#, a?) = a^rL(x ) — a?Z( a), x = K el x = K-h iK'; en observant qu'on aura H(a, K) = o, U(a, K-hi'K') = o, on en conclut IJ(K, a; = aZ(K) — KZ(a) = aJ — KZ(a) et iK') — D(K) = iaJ'— iK'Z(a).

Telles sont les valeurs des fonctions completes ou bien des inte¹- grales de"finies

= f "	sin am a ens am a A am a sin² am .r a?,r
= f "		i — /r⁴ sin* a ma sin^sfim.T '* si n a rn a cos a m a A a m a sin² arn ,7? dx r — /c² sin²am a sin^
R(K-t- sK') - II(K) -- f . /I7

Si pour un instant on les d^signe respectivement par n et /II', on aura les relations

I'I(a?-t- ctK, a) = ri(o?, a) + all, II (a? -4- a t K', a) = II (a:, a) 4- a »n' et Kir-riK'=— - 2 Mais nous observerons, a J'e'gard de la fonction de troisierne es- pece, que 1'int^gration introduit, en modifiant le chemin de'crit par la variable, un multiple entier positif ou n^gatif de K\/ — i, de sorte que ces relations n'ont lieu que pour certains modes d'inle'gration, tandis que les relations analogues relativement £ la fonction cle seconde espece n'exigeaient aucune restriction de cette nature.