|
|
||
|
THEORIE DES FORMES QUADRATIC.!) ES . l6f
auxquelles nous sommes ainsi amends, donneront done la somme
des nombres de representations pour tons les entiers positifs, im- pairs et premiers a D de un a n. Or on pent obtenir cetle meime somme en se plagant a un point de vue bien diflerent, comme on va voir. En supposant d'abord le determinant ne'galif, laisons cor- respondre, a chacune des formes («, b, c) qui composent 1'orclre proprement primitif de ce determinant, une ellipse ayant pour Equation en coordonndes rectangulaires
aa?2 -+- 2 bxy -+- cy* = n.
On reconnait sans peine que le nombre des points doiit les coor-
donnees sont exprimees par 1'ensemble des formules (A),
x = 2 D v -+- a , y = 2 D w -+• (3 ,
et qui sont situes dans 1'inte'rieur et sur le contour de cette ellipse,
donne precise"ment cette somme des nombres de representations par la forme (a, 6, c) des entiers considdres ci-dessus. En second lieu, supposons D positif, nous aurons un rdsultat entierement analogue, en faisant correspondre a chaque forme (a, 6, c) de Tordre proprement primitif une hyperbole
ax* -+- 2 bxy -+- cy* = n.
EfFectivement, d'apres les conditions propres aux determinants
positifs, le nombre de points dont les coordonne'es sont 1'ensemble des formules (A), et qui sont compris dans 1'interieur ou sur le con- totir clu secteur hyperbolique, t ermine' d'une part par les droites |
||
|
|
||
|
__
|
||
|
|
||
|
et de 1'autre par la branche de courbe s'dtendant du c6te des
abscisses positives, coi'ncidera avec la somme des nombres de re- presentations appar tenant a la forme (a, 6, c).
On va voir queile consequence importante resulte de cette se-
conde maniere d'exprimer F(/z). |
||
|
|
||