THEOR1E DES FONCTIONS E L L, I PTI Q UK S . l33

et, par suite, se reproduit, car les fractions partielles ii'ont fait
que changer de place en s'avancanl chacune d'un rang. C'est ici
qu'on voit s'oflrir par une generalisation facile la maniere suivante
de repre"senter une fonction ayantpour pdriode une quantite" quel-
conque, a savoir :

9(3?) cp(;r — a) tp(x — a a) cp(# — 3a). . .

La condition de convergence du produit ou de la serie infmie
est seule a remplir, et, si 1'on pent y satisfaire en choisissant pour
cp(#) une fonction qui soil elle-me'me p^riodique, on se trouve
mene ^ 1'expression d'une fonction a double periode. Tel serait,
par exemple, le de"veloppeinent

in(a?— a) sin(.r —
i i

sin(37-4-a) sin(a?-i-aa) sin(fl?-t-3a)

qui s'oflre prdcisdment clans la th^orie des fone lions elliptiques, et
qu'on.prouvera facilement <§tre convergent lorsque la quantit^ a
sera imaginaire. Si 1'on supposaila r<5el, les termes successifs de la
seVie ne tendant pas vers ze"ro, la divergence serail manifeste, ce
qui s'accorde bien avec ce qui. a (He" dil prc'ce'demmenl de 1'impos-
sibilitd d'une fonction a deux pdriodes rdqlles.

Mais on pent ne pas employer I'intenne'diaire d'une fonction
dej'a pdriodique, et parvenir t\ 1'expression d'une se"rie doublement
periodique par ce de"veloppeinent doublement infini

cp (x •+- ma -t- n6),

a et b ddsignant les pdriodes, in et n des nombres entiers variables
auxquels on attribuera toutes les valeurs de —oo a -\-<x>. Et de
in^me, au point de vue des produits infinis, une analogic i
diate conduil a envisager des expressions de la forme

n

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___ ,

ma-^-nbj . est