3l4 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Soit, pour abreger,

r« = a2 -f- £2,
/•'*= a'2-f-£'2;

j'introduirai comme auxiliaire un angle 0 ddfini par les egalites

aa'+bb' . ba'— ab' . .
----—7— =cos6, ----—,----=sin6,

et je ferai un premier changement de variable, savoir

par lequel I'inte'grale A prendra cette forme plus simpl

A= r r _ «*£*!

J J (i— ar^ -t-ra)[i — ar'(^ cosO-HTj sin6)~f-

Les limites d'ailleurs seront determinees comme pr^cedemment
par la condition

Ss-t-i^»,

de sorte que 1'int^gration par rapport a rj devra s'effectuer depuis
T, = — y/i — ^2 jusqu'a r,= + y/i — £-. On trouve ainsi pour
re"sultat

I __ i . i — 2r;(g cosQ— /i — £2 sinO)-+- r'*
i_arf-|-r« ar'sinG °g , _ 27,'(? Cos0 + ^77!^ Sin6) -j- r'^

et c'est cette expression qu'il reste a inte'grer de i= — i a ^=+1,
En posant

\ = COScp,

on obtiendra pour A la valeur suivante

A= /" _ 1. '-^coaQP

2 6 -'

ou plut6t, en multipliant et divisant par /•,

ysin<6 . [ — 2 r' cos ( y -I- 8 ) •+• rfa

— arcos^-t-r2 °® i — 2 r' cos ( 9 — 6 ) -+- r'2

Cette inte'grale definie se trouve aise'ment, comme

on va voir,nerai plus tard dans les Comptes rendus