322 OEUVRES DE CHARLES HERM'ITE.

et au cas le plus simple ou Ton suppose

cp(a, &) = <z2-4-&2,

ce qui conduit aux quantite's

i — lax — 2 by -t- a2-f- 62,

(i — ax — by)* — (a2-)- &2)O2-t-jK2— i)

iby -f- #2(i — JK2)-H tabxy -i- b-(\. —

Gela pose, les fonctions dont nous aliens etudier les de"veloppe-
ments sont les suivantes que nous rdunissons en deux'groupes,

savoir :

(i — tax — iby -f- «2-i- 62)-1,

_\_
[i — aaa? — iby -\- a"'(\ — JK2)- ~

et en second lieu

a2(i — ^2)-L-

Leur analogic avec les fonctions d'une variable, qu'elles com-
prennent comme cas particulier en supposant b = o el y = o, se
rapporte done a la fois aux polynomes de Legendre, et aux for-
mules pour la multiplication des arcs dans la the'orie des fonctions
circulaires.

II.

Soil en premier lieu

(i — a ax — 2 by -+- a* + 62)-i = V am bnVm,n-

On reconnaitra immddiatement que VTO)rt esl un polynome entier
en x ety, du de^re" m -+• w, mais ayant xmyn pour seul et unique
terme de ce degrd. On aura par exemple

V0,o=i",
Vi,0= a a?,
V0,i == 27,de point de depart