354 OEUVRES DE CHARLES HER MITE.

tion de g, h, k, on voit que

K= —
et, par consequent,

K*=

Or il vient, en remplagant g, h, k par les valeurs ci-desst

iaB)BC-i-(A*— 726) AC

de sorte que K2 est une fonction entiere des invariants
Une derniere et importante proposition nous reste a e"ta]
terminer ce sujet, c'est que tout invariant, quel qu'ilsoit,
exprime en fonction entiere de A, B, C et K.

IV.

En designantun invariant quelconque, fonction entiere d
cients de la forme du cinquieme cleg-re" :/=(oc, (3,y}Y/5 P'?a'
par

i = e(a,p,Y, yM3'^'),

je reniarque d'abord que, la tran.sforme'e canonique

ayant et^ de"duite de/ par une substitution an de'terminaii
a 6galement

i = e(X,^/^, A n', X'),

et 1'on en conclut, d'apres les expressions des coefficients
donne'es pr^cddemment,

en d^signant par P et Q des fonctions enti^res en £-, A,
distinguons entre les invariants directs et les invariants
et pour cela considerohs la transforme'e de"duite de la forj
nique par la substitution impropre

Y = Xt,re,