OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

vieme. Mais j'arrive, sans m'arreiter plus long-temps sur ce sujet, a
la methode ele'mentaire, et qui donne pour les conditions de realite
les criteria du quatrieme, du huitieme et du douzieme orclre, et au
nombre de trois seulement. Elle se fonde sur ce que les quantites
«„, u0, ... satisfont a 1'equation suivante

(Bit6

A3=0,

que 1'on forme tres facilement, et dont les coefficients seront tous
r£els si nous supposons le discriminant A positif, ce qui est} dans
la question pre'sente, le seul cas a examiner. Or, en revenant a
1'expression d'tme des racines, par exemple

on reconnait imme'diatement que, x0 etant reel, #2 et a;3 imagi-
naires conjugues, ainsi que x\ et x4, on obtient pour WM une
quantite de la forme m y/ — ~i", dont le carre" est essentiellement n^-
gatif. En ^tablissant done que liquation en u n'a que des racines
positives, c'est-a-dire que son premier membre n'offre que des
variations, on aura les conditions a la fois necessaires et suffisantes
pour que les racines de 1'equation du cinquieme degre soient toutes
reelles. Si 1'on convient de prendre positivement \/A, on parvient
ainsi a ces resultats fort simples

A>o, JU -h 3 v/A < o, CD < o,

et il est visible que le cas des quatre racines imaginaires sera
caracte'rise par un changemenl de si'gne des deux derniers criteria,
en conservant la condition A^> o (').

(J) Nous n'avons pas signale toutes les eri'eurs de calcul qui se Irouvaient dans
ce M^moi^e, et qui onl etc corrige'es par M. Bourget. Celui-ci a refait tous les
calculs, sauf en deux points. II y admis que la i^duite du cinquieme degre de
FdquaLion du sixieme ordre ^laiL exacte dans le travail du P. Joubert sur les
Equations du sixieme degrd ( Comptes rendus, t. LXIV). II a admis coflime exacLe

6galement la formation de' liquation en \jr\ (p. 423) et le calcul des premieres

;, , V5 /

tbnctions de Sturm. E. P. n(n — i ) ; par con-