THEORIE DES POLYNOMES HOMOGENES. (\{\l

est-il toujours possible de de"duire le second du premier en y fai-
sant une substitution de la forme

Le probleme admet-il un nombre fmi ou infini de solutions;
est-il resoluble en prenant pour les coefficients de la substitution
des quantity's re'elles, les coefficients des polynomes donne's e"tant
eux-rne'mes supposes re* els?

Notre .principal objet dans cette Note sera d'e"tablir quelques-
uns des principes qui servent a re"soudre ces questions et de mon-
trer comment ils s'appliquent a la Ge'ome'trie et a 1'Algebre;
faisons aussi observer en passant qu'une branche dtendue des
Mathe'matiques, rArithme"tique supe'rieure, trouve e"galement son
point de depart dans la comparaison des polynomes bomogenes du
second degre", lorsqu'on suppose que les coefficients des polynomes
et ceux des substitutions sont des nombres entiers.

Nous commencerons par e"tablir qu'un polynome du second
degre" a n inde'termine'es est toujours r^ductible a la somme
de n Carre's de fonctions line"aires de ces inde'termine'es. Observons
pour cela qu'en ordonnant ce polynome par rapport a 1'une des
ind^termin^es que nous nommerons x pour fixer les ide"es, il
prendra la forme suivante :

A.ic2-l- aBar-h G,

B ^tant une fonction line'aire, et C une fonction homogene du
second degr6 des n — i inde'termine'es restantes. Or, on peut
e"crire

A^_H?.B»H-G= ~(Aa7-t-B)2-H i(AG — B»),
A A.

et mettre ainsi en Evidence, d'une part le carre de la fonclion
lin^aire A. a? -+- B, et de 1'au tre un polynome homogene an — i inde'-

termine'es, AC — B2, multiplie' par la constante j-- Cela pos^, on

opdrera sur ce nouveau polynome, conime sur Le propose", et on le
de"composera encore en deux parties, a savoir : le carre" d'une
fonction lin^aire et un. polynome a n — 2 inde'termine'es, Conti-
nuant done de procbe en proche les m&mes operations, il est clair V5 /