THEORIE DKS POLYNOMES HOMOGENES. 443

En prenant successivement les derivees des deux membres de
cette Equation par rapport a x ety, et divisant par 2, il viendra

A.X -+- By = aX -+- a' Y,
B^-f-Cy = 6X-|-&'Y.

Or, X et Y ayant les valeurs definies par les Equations (i), on
pourra egaler les determinants relatifs airx fonctions lin^aires

A x -+• BK,

et

a'Y,

mais, d'apres un th^oreme ^tabli au paragraphe I, le second de
ces determinants sera e"gal au produit

a a
b b'

x

a b

ou meme a

; car, d'apres une proposition enoncde au pa-
ragraphe I, un determinant ne change pas de valeur quand on met
les lignes horizontales a la place des colonnes verticales. Nous en
coiiclurons la relation a laquelle nous voulions parvenir, savoir :

A B
B G

a' b'

Or, la fonction des coefficients du polynome
a laquelle nous sommes ainsi conduits,

A B

B G

= AC-B2,

est ce qu'on appelle V invariant de ce polynome. Cette denomina-
tion, proposee par M. Sylvester, celebre geometre anglais, se trouve
justifi.ee par le theoreme suivant :

Soit

la transformde du polynome propos& par la substitutionner les quatre quan-