THE LIBRARY

OF IHE UNIVERSITY

OF CALIFORNIA

IN MEMORY OF

Edward Bright

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Abhandlungen

zur u EL GER

Methode der kleinsten Quadrate

von

Carl Friedrich Gauss.

In deutscher Sprache herausgegeben

Dr. A. Börsch und Dr. P. Simon,

Assistenten im Königl. Preussischen Geodätischen Institut.

ne

Berlin, 1887.

Druck und Verlag von P, Stankiewiez’ Buchdruckerei, Beuthstr. 5,

DARF ea

MATH- S7TAT: MOERARY

Vorwort.

Die Herausgeber dieses Sammelwerkchens haben mich als denjenigen, auf dessen Anregung hin sie den Entschluss zu dem Unternehmen fassten, um einige einleitende Worte ersucht. Ich entspreche diesem Wunsche gern, da ich mit dem Erscheinen der vorliegenden Zusammenstellung von Gauss’ Schriften über die Methode der kleinsten Quadrate einen seit Jahren gehegten Wunsch erfüllt sehe, den Wunsch: es möge in deutscher Sprache etwas Aehnliches geschaffen werden, wie es schon vor 31 Jahren J. BERTRAND seinen Landsleuten durch eine französische Ausgabe der zum grössten Theil lateinisch geschriebenen grundlegenden Arbeiten von Gauss geboten hatte. Der gleiche Wunsch hat sich ohne Zweifel bei vielen und besonders bei den- jenigen unserer Landsleute geregt, die sich der BERTRAND- schen Sammlung bedienten, weil ihnen der Zugang zu den betreffenden Gauss’schen Originalarbeiten — selbst nach der Herausgabe von Gauss’ gesammelten Werken durch die Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen — wenig bequem war.

Seitdem Gauss im ersten Viertel dieses Jahrhunderts seine Darstellungen der Methode der kleinsten Quadrate veröffentlichte, ist allerdings eine umfangreiche Literatur über dieselbe entstanden, unter der sich keine geringe Menge von Lehrbüchern befindet. Es ist aber dennoch jedem, der zu klaren Begriffen gelangen will — auch wenn er nicht die Absicht hat, den ganzen Reichthum der Theorie kennen

81458

Iv Vorwort,

zu lernen, sondern nur die Anwendung ins Auge fasst — zu rathen, Gauss’ Schriften nicht unstudiert zu lassen. Selbst bei nicht vollem Verständniss der schwierigeren Stellen wird dies von grossem Nutzen sein.

Um aber das Verständniss der Theorie an der Hand von Beispielen zu erleichtern, ist in die Sammlung, welche sich übrigens in Auswahl und Reihenfolge der Schriften der von Bertrrann veranstalteten anschliesst, noch die Bestimmung des Breitenwnterschiedes zwischen Göttingen und Altona aufgenommen worden, eine Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate, die in jeder Zeile den Meister erblicken lässt. | Ausserdem sind noch mehrere Selbstanzeigen, insbe- sondere diejenigen der beiden Theile der „Theoria Combi- nationis“ und des „Supplementum“ angeschlossen, indem sie mit dazu dienen, über den Gauss’schen Ideengang aufzu- klären. |

Wie bei BErTRAnD ist auch hier die Uebersetzung der „T'heoria Combinationis“ an die Spitze gestellt, weil Gauss die daselbst gegebene Begründung der Methode der klein- sten Quadrate der älteren in der „Theoria motus corp. coelest.“ gegebenen vorzog. Wir besitzen hierüber drei Zeugnisse, erstens in einem Briefe an Exckz vom 23. August 1831*), zweitens in einem solchen an Bzssen vom 28. Fe- bruar 1839**) unddrittens in einem Briefe an ScHuMAcHER vom 25. November 1844***), Das von Gauss an den ge- nannten Orten Gesagte ist jedoch für den Gegenstand, wie er selbst hervorhebt, keineswegs erschöpfend, weshalb ich mich

*) Johann Franz Encke, Königl. Astronom u. Direktor der Sternwarte

zu Berlin. Sein Leben und Wirken. Bearbeitet von seinem dankbaren Schüler

Dr. ©. Bruhns. Leipzig, 1869, S. 237 und 238.

**) Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel. Herausgegeben auf Veran- lassung der Königl. Preuss, Akademie der Wissenschaften. Leipzig, 1880, 8. 523.

***) Briefwechsel zwischen C, F. Gauss und H.C. Schumacher. Heraus- |

gegeben von C, A. F. Peters. IV. Band. Altona, 1862, 8. 371.

| |

Vorwort. | V

mit dem Hinweis auf die Quellen begnüge. Ohne Frage em- pfiehlt sich die „Theoria Combinationis“ durch die grosse Ein- fachheit der Entwickelung aus dem leicht verständlichen Prin- cip, das mittlere zu befürchtende Fehlerquadrat der gesuchten Grössen (welches konsequent als der Durchschnittsbetrag des wahren Fehlerquadrats für unendlich viele gleichartige Fälle gebildet wird) zu einem Minimum zu machen. Gleich- wohl dürfte niemand, dem die Umstände es gestatten, unter- lassen, sich weiter umzuschauen und namentlich die ältere Gauss’sche Darstellungsweise auch kennen zu lernen, um so mehr als Gauss selbst, indem er nach dem oben er- wähnten Briefe an ScHumAacHER bei seinen Vorträgen auf einleitende praktische Beispiele immer zunächst die ältere Entwickelung und dann erst die Theoria Combinationis fol- gen liess, die erstere für sehr geeignet gehalten zu haben scheint, die Bedeutung der letzteren ins rechte Licht zu

stellen. Zum Schlusse darf nicht unerwähnt bleiben, dass sich

die Herausgeber dieses Buches vergewissert haben, keinerlei ältere Autor- und Verlagsrechte zu verletzen. Namentlich hatte der um die Herausgabe von Gauss’ Werken so ver- diente Herr Prof. Schere die Güte, dieses in Bezug auf die Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen festzustellen. Das Interesse, welches er sowohl wie mehrere andere hervorragende Sachkenner dem Unternehmen ent- gegenbrachten, hat sehr dazu beigetragen, die Herausgeber mit Hingebung an ihre zweifellos verantwortliche Arbeit zu erfüllen.

Berlin, Königl. Geodätisches Institut, Januar 1887.

Helmert.

Inhalts -Verzeiehniss.

Seite.

a ER III. I. Theorie der den kleinsten Fehlern untarkeästenen Combination der

DIERRBRSBSOR 5 0. nn. EN 1

IHRE TRBLE SS . 2°... a LE 1

RE gl; se Kr ne a 28

Ergänzung zur Theorie der den kleinsten Fehlern unter-

worfenen Combination der Beobachtungen . . .... 54 II. Aus der Theorie der Bewegung der Himmelskörper, welche in Kegel- schnitten die Sonne umlaufen. Zweites Buch. Dritter Abschnitt. Bestimmung der Bahn, die beliebig viele Beobachtungen möglichst

ee ur Be RER 92 Ill. Aus der Untersuchung über die elliptischen Eimsents der Pallas aus den Oppositionen der Jahre 1803, 1804, 1805, 1807, 1808 und 1809.

Artikel 10. bis 15... .. ... ee ee 118

IV. Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen . . . . "120 V, Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf eine Aufgabe der

et. RE U 139

VI. Chronometrische Längenbestimmungen . . . 2.2.22 2 22 2 2. 145 VII. Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen den Sternwarten von Göttingen und Altona durch Beobachtungen am Ramsden’schen

t ee en ee 152

RR ee . 152

u 6 Benbachteten BB . : . ... .........5 154

en a a N 156

En a Fe ee 161

IV. Breitenbestimmung der Sternwarte Seeberg . . . . . 183

1 Ra 127) Bee ee PP a 187

ee a 190

1) Theoria Combinationis observationum, pars prior . . . 190

“D) .% N Re pars posterior. . 195

3) Supplementum Theoriae Combinationis observationum . 200

4) Theoria motus corporum coelestium (Auszug)... . . 204

5) Disquisitio de elementis elliptieis Palladis (Auszug) . . 205

eu se 207

|

Berichtigungen.

S. 5, Zeile2 v.u. Statt Wahrscheinlickeiten ist zu setzen: Wahrscheinlichkeit S. 144, Zeile 8 v. u. Statt ”’ ist zu setzen: log’.

I. Theorie

der den kleinsten Fehlern unterworfenen

Gombination der Beobachtungen.

Erster Theil.

(Der Königlichen Societät der Wissenschaften zu Göttingen überreicht 1821, Februar 15.)

ig

Beobachtungen, welche sich auf Grössenbestimmungen aus der ‘Sinnenwelt beziehen, werden immer, so sorgfältig man auch ver- fahren mag, grösseren oder kleineren Fehlern unterworfen bleiben. Die Fehler der Beobachtungen sind im allgemeinen nicht einfache, sondern entspringen gleichzeitig mehreren Quellen, bei denen zwei ‚Arten genau unterschieden werden müssen. _Gewisse Fehlerursachen »sind nämlich so beschaffen, dass ihr Einfluss auf jede Beobachtung von ‘veränderlichen Umständen abhängt, die unter sich und mit der Be- ‘obachtung selbst in keinem wesentlichen Zusammenhang stehen; die so entstehenden Fehler werden unregelmässige oder zufällige genannt; ‚und insoweit jene Umstände der Rechnung nicht unterworfen werden "können, gilt dieses auch von den Fehlern selbst. Dahin gehören die ‘von der Unvollkommenheit unserer Sinne herrührenden Fehler und ‚solche, die von unregelmässigen äusseren Ursachen abhängen, z. B. von ‘der durch das Wallen der Luft bewirkten Unsicherheit beim Sehen ; ‚auch rechnen wir hierher manche, selbst den besten Instrumenten an- haftende Unvollkommenheiten, z. B. Ungleichförmigkeiten der inneren "Wandungen der Libellen, Mangel an absoluter Festigkeit u. s. w. "Dagegen haben andere Fehlerursachen bei sämmtlichen Beobach- “tungen derselben Art ihrer Natur nach entweder einen vollkommen ‚ constanten Einfluss, oder doch einen solchen, dessen Grösse in gesetz- Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 1

Bei SER Combination der Beobachtungen.

mässig bestimmter Weise allein von Umständen abhängt, welche _

mit der Beobachtung wesentlich verknüpft sind. Fehler dieser Art werden constante oder regelmässige genannt.

Uebrigens ist es klar, dass diese Unterscheidung gewisser- maassen nur relativ ist und von dem weiteren oder engeren Sinne abhängt, in welchem man den Begriff von Beobachtungen derselben Art fassen will. So bringen z. B. unregelmässige Fehler der Theilung der Instrumente bei Winkelmessungen einen constanten Fehler hervor, wenn es sich nur um eine beliebig oft zu wiederho- lende Beobachtung desselben Winkels handelt, und wenn dabei immer dieselben fehlerhaften Theilstriche benutzt werden; während der aus derselben Quelle stammende Fehler als ein zufälliger an- gesehen werden kann, wenn man irgendwie Winkel von beliebiger Grösse zu messen hat, und eine Tafel, die für jeden Theilstrich den zugehörigen Fehler angiebt, nicht zu Gebote steht.

2.

Die Betrachtung der regelmässigen Fehler soll von unseren Untersuchungen ausdrücklich ausgeschlossen bleiben. Es ist näm- lich Sache des Beobachters, alle Ursachen, welche constante Fehler hervorzubringen vermögen, sorgfältig aufzusuchen und dieselben

entweder abzustellen, oder wenigstens ihrer Wirkung und Grösse‘,

nach auf das genaueste zu erforschen, um ihren Einfluss auf jede einzelne Beobachtung bestimmen und diese von jenem befreien zu können, so dass ein Ergebniss erzielt wird, als ob der Fehler über- haupt nicht vorhanden gewesen wäre. Ganz verschieden hiervon ist aber das Wesen der unregelmässigen Fehler, welche ihrer Natur nach der Rechnung nicht unterworfen werden können. Diese wird man daher in den Beobachtungen zwar dulden, ihren Einfluss aber auf die aus den Beobachtungen abzuleitenden Grössen durch eine geschickte Combination der ersteren möglichst abschwächen müssen.

Dieser wichtigen Aufgabe ist die folgende Untersuchung gewidmet.

3.

Die Fehler in den Beobachtungen gleicher Art, welche einer bestimmten einfachen Ursache entspringen, sind der Natur der Sache

ie" zul duale 2 442 3 la lt Di an GE = nu >

nach in bestimmte Grenzen eingeschlossen, welche man zweifelsohne genan angeben könnte, wenn die Natur dieser Ursache selbst voll-

ständig erkannt wäre. Die meisten Ursachen zufälliger Fehler

Erster Theil. z

sind so beschaffen, dass nach dem Gesetz der Stetigkeit alle zwischen jenen Grenzen enthaltenen Fehler für möglich gehalten werden müssen, und dass die vollständige Erkenntniss einer solchen Ursache zugleich lehren würde, ob alle diese Fehler mit gleicher oder un- gleicher Leichtigkeit begangen werden können, und, in letzterem Falle, eine wie grosse relative Wahrscheinlichkeit jedem Fehler beizulegen sei. Dasselbe gilt auch in Bezug auf den totalen Fehler, der sich aus mehreren einfachen Fehlern zusammensetzt, dass er nämlich zwischen bestimmten Grenzen eingeschlossen sein wird (von denen die eine der Summe aller oberen, die andere der Summe aller unteren Theilgrenzen gleich ist); alle Fehler zwischen diesen Grenzen werden zwar möglich sein, da sich indess jeder auf un- endlich viele verschiedene Weisen durch Zusammensetzung der Theil- fehler, welche selbst wieder mehr oder weniger wahrscheinlich sind, ergeben kann, so werden wir für den einen eine grössere, für den andern eine geringere Häufigkeit annehmen müssen, und es könnte unter der Voraussetzung, dass man die Gesetze der einfachen Fehler kennt, ein Gesetz der relativen Wahrscheinlichkeit aufgestellt werden, abgesehen von den analytischen Schwierigkeiten beim Zusammen- fassen aller Combinationen.

Freilich giebt es auch gewisse Fehlerursachen, welche nicht nach dem Gesetz der Stetigkeit fortschreitende, sondern nur unstetige Fehler hervorbringen können, wie z. B. die Theilungsfehler der Instrumente (wenn man diese überhaupt zu den zufälligen Fehlern rechnen will); denn die Anzahl der Theilstriche an jedem bestimmten Instrument ist endlich. Dessen ungeachtet wird aber offenbar, wenn nur nicht alle Fehlerursachen unstetige Fehler erzeugen, die Gesammtheit aller möglichen Totalfehler eine nach dem Gesetz der Stetigkeit fortschreitende Reihe bilden, oder auch mehrere derartige getrennte Reihen, wenn es sich nämlich bei Anordnung aller möglichen unstetigen Fehler nach ihrer Grösse ergeben sollte, dass zufällig eine oder die andere Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern dieser Reihe grösser ist, als die Differenz zwischen den Grenzen derjenigen T'otalfehler, welche den stetigen Fehlern allein entstammen. In der Praxis wird aber der letztere Fall kaum jemals eintreten, wenn nicht etwa die Theilung an groben Fehlern leidet.

4. Bezeichnet man mit (x) die relative Häufigkeit des Total- fehlers » bei einer bestimmten Gattung von Beobachtungen, so 1*

4 Combination der Beobachtungen.

wird wegen der Stetigkeit der Fehler die Wahrscheinlichkeit eines zwischen den unendlich nahen Grenzen x und = + dx liegenden Fehlers = (2) dx zu setzen sein. Es wird in der Praxis wohl immer so gut wie unmöglich sein, diese Funktion a priori anzu- geben; nichtsdestoweniger lassen sich mehrere allgemeine Eigen- schaften derselben feststellen, welche hier folgen sollen. Offenbar ist die Funktion p(z) insofern zu den unstetigen Funktionen zu rech- nen, als sie für alle Werthe des x, welche ausserhalb der Grenzen der möglichen Fehler liegen, — 0 sein muss; innerhalb dieser Grenzen wird sie aber überall einen positiven Werth annehmen (abgesehen von dem Fall, über den wir am Ende des vorigen Art. gesprochen haben). In den meisten Fällen wird man positive und negative Fehler von derselben Grösse als gleich häufig voraus- setzen dürfen, so dass 9(—x) — g(x) sein wird. Da ferner klei- nere Fehler leichter als grössere begangen werden, so wird im all- gemeinen p(x) für z — (0 seinen grössten Werth erhalten und be- ständig abnehmen, wenn x wächst.

Allgemein giebt aber der Werth des vnz=absz2e=b genommenen Integrals /p(z) de die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass irgend ein noch unbekannter Fehler zwischen den Grenzen a und 5 liegt. Der Werth dieses Integrals von der unteren Grenze aller möglichen Fehler bis zu ihrer oberen Grenze wird daher immer — 1 sein. Und da g(x) für alle ausserhalb dieser Grenzen liegenden Werthe des z immer — (0 ist, so ist offenbar auch

der Werth des vn &= = — » bis = + © genommenen Integrals [p(z)dz immer —= 1.

5.

Wir betrachten ferner das Integral fx p(x) dx zwischen den- selben Grenzen, und setzen seinen Werth — %. Sind alle einfachen Fehlerursachen nun so beschaffen, dass kein Anlass vorhanden ist, zwei gleichen, aber mit entgegengesetzten Vorzeichen versehenen Fehlern verschiedene Häufigkeit beizulegen, so wird dasselbe auch für den totalen Fehler gelten, es ist also p(—x) — y(z), und deshalb nothwendig % = 0. Wir schliessen hieraus, dass, jedesmal wenn % nicht verschwindet, sondern etwa eine positive Grösse ist, nothwendig eine oder die andere Fehlerursache vorhanden sein müsse, | welche entweder nur positive Fehler, oder wenigstens häufiger po- | sitive als negative zu erzeugen vermöge. Diese Grösse 7; ‚ welche

Erster Theil. 5

in der That das Mittel aller möglichen Fehler oder der mittlere Werth der Grösse x ist, kann passend der constante Theil des Fehlers genannt werden. Uebrigens ist leicht zu beweisen, dass der constante Theil des totalen Fehlers gleich der Summe der constanten Theile derjenigen Fehler ist, welche aus den einzelnen einfachen Ursachen hervorgehen. Setzt man jetzt die Grösse % als bekannt voraus, subtrahirt dieselbe von jeder Beobachtung und bezeichnet den Fehler der so verbesserten Beobachtung mit x, die entsprechende Wahrscheinlichkeit aber mit p’(z’), so wird x = a —k, p(&) = p(®) und folglich

Se pla)de’ = fepla) de —[kpla)daae—=k—k—=0,

d. h. die Fehler der verbesserten Beobachtungen werden keinen constanten Theil haben, was auch an sich klar ist.

6.

Wie das Integral /xzY(x)dz, oder der mittlere Werth von x, das Fehlen oder Vorhandensein und die Grösse eines constanten Fehlers anzeigt, ebenso erscheint das vn = —obsxce= -+w ausgedehnte Integral

Se pa) dx

(oder der mittlere Werth des Quadrates x?) am geeignetsten, die Un- sicherheit von Beobachtungen allgemein zu definiren und zu messen, so dass bei zwei Beobachtungsgruppen, die sich hinsichtlich der Häu- figkeit der Fehler unterscheiden, diejenigen Beobachtungen für die genaueren zu halten sind, für welche das Integral /a’y(z)dx den ‚kleineren Werth erhält. Wenn nun jemand einwenden würde, diese Festsetzung sei ohne zwingende Nothwendigkeit willkürlich ge- troffen, so stimmen wir gern zu. Enthält doch diese Frage der Natur der Sache nach etwas Unbestimmtes, welches nur durch ein in gewisser Hinsicht willkürliches Prineip bestimmt begrenzt werden kann. [Die Bestimmung einer Grösse durch eine einem grösseren oder kleineren Fehler unterworfene Beobachtung wird nicht un- passend mit einem Glücksspiel verglichen, in welchem man nur ver- lieren, aber nicht gewinnen kann, wobei also jeder zu befürchtende Fehler einem Verluste entspricht. Das Risiko eines solchen Spieles wird nach dem wahrscheinlichen Verlust geschätzt, d. h. nach der Summe der Produkte der einzelnen möglichen Verluste in die zu- gehörigen Wahrscheinlickeiten. Welchem Verluste man aber jeden einzelnen Beobachtungsfehle gleichsetzen soll, ist keineswegs an

_ | IC nKe en

6 Combination der Beobachtungen.

sich klar: hängt doch vielmehr diese Bestimmung zum Theil von unserem Ermessen ab. Den Verlust dem Fehler selbst gleichzu- setzen, ist offenbar nicht erlaubt; würden nämlich positive Fehler wie Verluste behandelt, so müssten negative als Gewinne gelten. Die Grösse des Verlustes muss vielmehr durch eine solche Funktion des Fehlers ausgedrückt werden, die ihrer Natur nach immer positiv ist. Bei der unendlichen Mannigfaltigkeit derartiger Funktionen scheint die einfachste, welche diese Eigenschaft besitzt, vor den übrigen den Vorzug zu verdienen, und diese ist unstreitig das Qua- drat. Somit ergiebt sich das oben aufgestellte Princip.

Laplace hat die Sache zwar auf eine ähnliche Weise be- trachtet, er hat aber den immer positiv genommenen Fehler selbst als Maass des Verlustes gewählt. Wenn wir jedoch nicht irren, so ist diese Festsetzung sicherlich nicht weniger willkürlich, als die __unsrige: \ob nämlich der doppelte Fehler für ebenso erträglich zu Bälten“ ist, wie der einfache, zweimal wiederholte, oder für schlim- mer, und ob es daher angemessener ist, dem doppelten Fehler nur das doppelte Moment, oder ein grösseres beizulegen, ist eine Frage, die weder an sich klar, noch durch mathematische Beweise zu entscheiden, sondern allein dem freien Ermessen zu überlassen ist. Ausserdem kann man nicht leugnen, dass die in Rede stehende Festsetzung gegen die Stetigkeit verstösst: und gerade deshalb widerstrebt dieses Verfahren in höherem Grade der analytischen Behandlung, während die Resultate, zu welchen unser Princip führt, sich sowohl durch Einfachheit als auch durch Allgemeinheit ganz besonders auszeichnen.

I:

Wir setzen den Werth des von x = —o bs #—= + mw ge- nommenen Integrals fx" p(2) de = m’, und nennen die Grösse m den mittleren zu befürchtenden Fehler, oder einfach den mittleren Fehler der Beobachtungen, deren unbestimmte Fehler x die relative Wahr- scheinlichkeit (x) haben. Jene Bezeichnung werden wir nicht auf unmittelbare Beobachtungen beschränken, sondern auch auf alle aus Beobachtungen abgeleiteten Bestimmungen ausdehnen. Man muss sich indess sehr wohl davor hüten, den mittleren Fehler mit dem arithmetischen Mittel aller Fehler, von welchem im Art. 5 die Rede war, zu verwechseln.

Wo mehrere Gattungen von Beobachtungen oder mehrere aus Beobachtungen erhaltene Bestimmungen, denen nicht dieselbe Ge-

Erster Theil, 7

nauigkeit zukommt, zu vergleichen sind, verstehen wir unter dem relativen Gewicht derselben eine Grösse, die dem m’ umgekehrt proportional ist, während. die Genauigkeit einfach dem m umge- kehrt proportional genommen wird. Um demnach das Gewicht durch eine Zahl ausdrücken zu können, muss man das Gewicht einer gewissen Gattung von Beobachtungen als Einheit annelımen.

8.

Enthalten die Beobachtungsfehler einen constanten Theil, so wird durch seine Elimination der mittlere Fehler verringert, das Gewicht und die Genauigkeit vermehrt. Unter Beibehaltung der Bezeichnungen des Art. 5. erhält man, wenn m’ den mittleren Fehler der verbesserten Beobachtungen bedeutet,

m” — fx" p(a') da’ = fla —h)’ Pla) de = Se’ pa) de

— 2kfx p(a) de +h’fpla) de = m’ 2" + = m—h. Wenn man aber an Stelle des wahren constanten Theiles % eine andere Grösse Z von den Beobachtungen abgezogen hätte, so würde das Quadrat des neuen mittleren Fehlers = m’ —2kl +U = m” + (l —k)’ werden.

B. Bezeichnet man mit A einen bestimmten Coefficienten und mit u den Werth des Integrals /p(x) de von x = — Am bis x = + Am,

so wird u die Wahrscheinlichkeit dafür sein, dass der Fehler irgend einer Beobachtung (dem absoluten Werthe nach) kleiner als Am sei, dagegen 1 — u die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Fehler

grösser als Am sei. Wenn also der Werth u = e- dem Werth

Am — e entspricht, so wird der Fehler ebenso leicht unterhalb o als oberhalb e liegen können, so dass g passend der wahrscheinliche - Fehler genannt werden kann. Die Beziehung zwischen den Grössen A und « hängt offenbar von der Natur der Funktion (x) ab, welche im allgemeinen unbekannt ist. Es wird deshalb die Mühe -. lohnen, jene Beziehung für einige besondere Fälle näher zu betrachten.

I. Sind die Grenzen aller möglichen Fehler —a und +.a, und sind alle Fehler in diesen Grenzen gleich wahrscheinlich, so wird _ gp(x) in den Grenzen #» = — a und z= + a constant und folglich

I, 1 — ,„, sein. Hieraus ergiebt sich m = a V! undu=4 Vs lange

A nicht grösser als VB ist; endlich wird e = m V: — 0,8660254 m,

8 Combination der Beobachtungen.

und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fehler nicht grösser als der mittlere Fehler werde, — vi — 0,5773508.

II. Sind die Grenzen der möglichen Fehler, wie vorher, — «a und + a, und nimmt man an, dass die Wahrscheinlichkeit dieser Fehler vom Fehler 0 ab nach beiden Seiten in arithmetischer Pro- gression abnehme, so wird

p(2) = "”, für die Werthe von © zwischen 0 und + a,

p(2)=* Be: für die Werthe von z zwischen O0 und —a,

sein. Es folgt hieraus m = a var N — ıV? 8, so lange 3. zwischen 0 und Y6 liegt, und endlich A —= VY6 —V6— 6u, so lange « zwischen O0 und 1 liegt, und hieraus

e = m(VY6—YV3) = 0,7174389 ı.

Die Wahrscheinlichkeit eines den mittleren nicht übersteigenden Fehlers wird in diesem Falle

ER | =) -1 = 0,6498299.

x?

III. Nehmen wir die Funktion (x) proportional zue M

(was zwar in der Wirklichkeit nur sehr nahe richtig sein kann), so wird

en 9)=*t_" hYr

sein müssen, wobei z den halben Kreisumfang für den Radius 1 bezeichnet, woraus wir ferner ableiten

mie v4

(Siehe: Disquisitiones generales eirca seriem infinitam ete., art. 28.). Bezeichnet man ferner den Werth des von z = (0) an genommenen

Integrals 2 (tig

fi).

mit ©(z), so wird

Erster Theil. 9

Die folgende Tafel giebt einige Werthe dieser Grösse: A u 0,6744897 0,5 0,8416213 0,6 1,0000000 0,6826895 1,0364334 0,7 1,2815517 0,8 1,6448537 0,9 2,5758293 0,99 3,2918301 0,999 3,8905940 0,9999

0) 1

10.

Obgleich die Beziehung zwischen A und « von der Natur der Funktion (x) abhängt, so kann man doch einige allgemeine Eigen- schaften derselben feststellen. Wie nämlich diese Funktion auch beschaffen sei, so wird sicher, wenn sie nur die Eigenschaft hat, dass ihr Werth bei wachsendem absoluten Werthe von x immer ab- nimmt oder wenigstens nicht wächst,

4 kleiner oder is oereeen nicht grösser als «V3 sein, wenn

u kleiner als =, 2 . g:, 4 nicht grösser als — ——— sein, wenn z. grösser als — ist. 3Yy1—u 3 Für u — E fallen beide Grenzen zusammen, und A kann alsdann nicht grösser als V: sein.

Um diesen merkwürdigen Lehrsatz zu beweisen, bezeichnen wir mit y den Werth des von z = — xzbisz = + z genommenen Integrals /gp(z)dz; y wird alsdann die Wahrscheinlichkeit dafür sein, dass irgend ein Fehler in den Grenzen — x und +» ent- halten ist. Ferner setzen wir

= yy), dv) = vW)dy, dyly) = Wy) dy. Es wird demnach (0) = 0 sein, 2

= woraus mit Rücksicht auf die Voraussetzung folgt, dass (y) von = 0 bis y = 1 beständig wächst oder wenigstens nirgends ab-

10 | Combination der Beobachtungen.

nimmt; oder, was dasselbe ist, dass der Werth von %”(y) immer positiv oder wenigstens nicht negativ ist. Ferner haben wir

Alyyy) = Wly) dy + yW’(y) dy, und folglich yvW)—W() = SyWW)dy, wenn man die Integration mit y = 0 beginnen lässt. Der Werth

des Ausdrucks yW(y) — W(y) wird deshalb immer eine positive oder wenigstens keine negative Grösse, und folglich

LA) yY) | eine positive Grösse kleiner als 1 sein. Es sei f ihr Werth für y= u, also es sei, da man Y(u) = Am hat, Am Am

= 1-——-—. oder Wu) = ——— : E ua) ME (1— fu

Nach diesen Vorbereitungen betrachten wir folgende Funktion des y

Am AdA-Fa (y—-uf),

welche wir = F(y) setzen, wobei dF(y) = Fy)dy. Offenbar wird dann

Fu) = G-NuR vu).

Da nun wy) mit wachsendem „ immer wächst (oder wenigstens nicht abnimmt, was stets hinzuzudenken ist), und da F’(y) andererseits dky(y) —Fw)) dy für Werthe von y, welche grösser als « sind, positiv, für kleinere negativ sein. Hieraus ist leicht zu ersehen, dass w(y) — F (y) immer eine positive Grösse, und dass ferner Y(y) immer absolut grösser oder wenigstens nicht kleiner als F(y) ist, wenigstens so lange als der Werth von F(y) positiv ist, d.h. vony = ufbisy = |. Deshalb wird der Werth des Integrals /[F(y)] dy von y = uf bis y = 1 kleiner sein als der Werth des Integrals /]v (y)]’ dy in denselben Grenzen, und um so mehr auch kleiner als der Werth dieses Integrals von y = 0 bis y = 1, welches = m* ist. Der Werth des ersteren Integrals ergiebt sich aber

constant ist, so wird die Differenz w(y) —F’(y) =

Erster Theil, 11 _mAl—uf) el) ’ woraus man entnimmt, dass 4°” kleiner sei als - re 52 ur ‚ wo die Grösse / zwischen 0 und 1 liegt. Der Werth des Bruches a a a dessen Differential, wenn / als Variable betrachtet wird, Ne

ag = Bu + uf)df

ist, nimmt ferner beständig ab, wenn / vom Werthe 0 bis zum Werthe 1 steigt, sobald « kleiner ist als 5; der grösstmögliche Werth wird

deshalb dem Werthe / — 0 entsprechen und folglich = 3u” werden, so dass in diesem Fall A sicher kleiner oder doch nicht grösser

als «Y3 wird. W.z. b. w. Wenn hingegen u grösser als - ist

so wird der grösste Werth jenes Bruches für 2 — 3u +uj = 0 4 Teeny und A kann also in diesem Falle nicht grösser als a sein.

R 1— u u WW; z. b. w.

eintreten, d.h. für f = 3 — n und zwar wird derselbe —

So kann z.B. für u = . sicher A nicht grösser als v.

werden, d. h. der wahrscheinliche Fehler kann die Grenze 0,8660254 m nicht übersteigen, welcher Werth für ihn im ersten Beispiel des Art. 9. gefunden wurde. Ferner schliesst man aus unserem Satze

leicht, dass « nicht kleiner als ıV! sei, so lange A kleiner als

V: ist, dass hingegen « nicht kleiner als 1 — . sein könne, wenn

der Werth von A grösser als V: ist.

. IE

Da mehrere der später zu behandelnden Aufgaben auch mit dem Werth des Integrals /x' p(z) de im Zusammenhang stehen, so wird es die Mühe lohnen, denselben für einige specielle Fälle zu ermitteln. Wir bezeichnen den Werth dieses vn = = abs = +» genommenen Integrals mit »‘.

12 Combination der Beobachtungen.

Ir 1 ”. . . I. - Für (2) = - wird, wenn z zwischen — a und + a ein-

2 ED geschlossen ist, n' — ge=zgm. II. Für den zweiten Fall des Art. 9., wenn (x) — —- für Werthe von z zwischen 0 und # a ist, hat man »* — rn Be r ne. Ill. Im dritten Fall, wenn e L) mem: p( ) hVr ’

findet man, nach den in der oben angeführten Abhandlung erhaltenen Resultaten, »* — Eh — 3m.

4 Ausserdem lässt sich zeigen, dass der Werth von — nicht

. 9 ” . . kleiner als „ sein kann, wenn nur die Voraussetzung des vorigen Art. erfüllt ist.

12.

Bezeichnen », x’, =” etc. allgemein Fehler von Beobachtun- gen derselben Art, die unabhängig von einander seien, und drückt ein vorgesetztes Zeichen p ihre relativen Wahrscheinlichkeiten aus, ist ferner y eine gegebene rationale Funktion der Variabeln z, x’, x” etc., dann wird das vielfache Integral

Spa) pa’) pa”)....daedede”...., (I) erstreckt über alle Werthe der Variabeln x, x’, »” etc., für welche der Werth des y zwischen die gegebenen Grenzen 0 und n fällt, die Wahrscheinlichkeit dafür ausdrücken, dass der Werth des y irgend- wo zwischen O0 und n liegt. Offenbar wird dieses Integral eine Funktion von n sein, deren Difterential wir = W%(n)dn setzen, so dass das Integral selbst dem Integral /w(n) dny, von n = 0 ange- fangen, gleich ist. Alsdann wird das Zeichen ı(n) die relative Wahrscheinlichkeit eines jeden Werthes von y ausdrücken müssen. Da man » nun als eine Funktion der Variabeln y, ©’, x” etc. an- sehen kann, die mit /(y, ©, @”...) bezeichnet werden möge, so verwandelt sich das Integral (I) in

/ pls, &, &” ..)] af, = ER, pa’) pa”)... dy da’ de” ...,

Erster Theil. - 13

wo y von y = OÖ bis y = n genommen werden muss, die übrigen Variablen aber über alle Werthe zu erstrecken sind, denen ein reeller Werth von /(y,’,®”...) entspricht. Hieraus schlienst man, dass

vw) = [oLi@ a, a". NOT Ga) Kar)... dei er. wo die Integration, bei welcher y als constant betrachtet werden muss, über alle Werthe der Variabeln #’, »” etc. zu erstrecken ist, die für F(y, @,x®”...) einen reellen Werth ergeben,

13. Um obige Integration wirklich auszuführen, müsste man die Funktion g kennen, welche im allgemeinen unbekannt ist. Selbst wenn aber auch die Funktion bekannt wäre, würde die Integration

meistens die Kräfte der Analysis übersteigen. Deshalb werden wir

zwar die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Werthe des y nicht an- geben können; anders aber wird es sich verhalten, wenn man nur den mittleren Werth des „, verlangt; derselbe ergiebt sich nämlich durch Integration von Sy v(y) dy über alle möglichen Werthe des y. Und da man offenbar für alle Werthe, welche y nicht annehmen kann — sei es der Natur der mit y bezeichneten Funktion wegen (z. B. bei y = x’ + 2° + x” + etc. für die negativen Werthe), sei es um der den Fehlern », #', x” ete. gesetzten bestimmten Grenzen willen —, ıu(y) = 0 setzen muss, so darf man mit demselben Rechte offenbar jene Integration über alle reellen Werthe von y erstrecken, also von y = —o»bisy= +. Nun ist aber das in den be- stimmten Grenzen von y = n bis y = n’ genommene Integral Sy v(y) dy gleich dem Integral

fer in a 2°. 19 gle)gker). Ay da‘ dar... welches gleichfalls von y = n bis y = »’ und über alle Werthe der Variabeln =’, x” etc., denen ein reeller Werth yon Fo, &48) 2.) entspricht, zu Beärkan ist; oder, was dasselbe ist, auch gleich dem Werthe des Integrals

Sy plz) pe’) pe”)... . de da’ de” ..., wenn bei dieser Integration für y sein Werth als Funktion von », =‘, 2” etc. eingesetzt, und dieselbe über alle Werthe dieser Variabeln, welchen ein zwischen n und »’ liegender Werth des y entspricht, ausgedehnt wird. Hieraus folgen wir, dass das über alle Werthe

14 Combination der Beobachtungen.

des y, vn y=— co bisy= + ® ausgedehnte Integral /y u(y) dy aus der Integration von

Sy px) pe’) pe”)... da da’ da”... erhalten wird, wenn man dieselbe über alle reellen Werthe von

x, x, x” etc. erstreckt, demnach von za = —obse = +mw, von x = —obise = +oc etc. 14.

Besteht daher die Funktion y nur aus einer Summe von Gliedern von der Form Aust a” ...,

so wird der Werth des über alle Werthe von y erstreckten Inte- grals /y W(y) dy, oder der mittlere Werth von y, einer Summe von Gliedern A x Se" pla) de x Se? pla’) da’ x fa”r pla’) de”...

gleich sein, bei welchen die Integrationen vn z = —«& bis 2 = +, von x = —o bis 2 = +mw etc. zu nehmen sind; oder, was dasselbe ist, gleich einer Summe von Gliedern, welche entstehen, wenn man für die einzelnen Potenzen =“, =’, «’r etc. ihre mittleren Werthe einsetzt. Die Richtigkeit dieses so wichtigen Lehrsatzes hätte auch leicht aus anderen Ueberlegungen gefolgert werden können.

15.

Wir wollen den im vorigen Art. aufgestellten Lehrsatz auf den speciellen Fall anwenden, dass

=’ +2” +2” + etc.

ae ee

wo o die Anzahl der Glieder im Zähler bezeichnet. Den mittleren Werth des y finden wir hier ohne Weiteres — m’, indem wir dem Buchstaben m dieselbe Bedeutung wie oben geben. Der wahre Werth des y kann sich zwar in einem bestimmten Fall grösser oder kleiner als dieser mittlere ergeben, ebenso wie der wahre Werth eines einzelnen Gliedes z*; die Wahrscheinlichkeit aber, dass ein gelegentlicher Werth des y von dem mittleren m’ nicht wesentlich abweiche, wird sich stetig um so mehr der Gewissheit nähern, je mehr die Zahl o wächst. Um dieses noch klarer zu zeigen, werden wir, da wir die Wahrscheinlichkeit selbst nicht genau zu bestimmen

u a

Erster Theil. 15

im Stande sind, den mittleren bei der Annahme y — m? zu be- fürchtenden Fehler suchen. Nach den im Art. 6. aufgestellten Principien wird dieser Fehler offenbar gleich der Quadratwurzel aus dem mittleren Werthe der Funktion

(“ +2*+2” +ete. m)

0

sein; zur Auffindung desselben genügt die Bemerkung, dass der mitt- 4 4 lere Werth eines Gliedes von der Form Z gleich 5 ist (wo der Buch-

stabe n dieselbe Bedeutung wie im Art. 11. hat), dass dagegen der

c PR

mittlere Werth eines Gliedes von der Form —- gleich Br ist;

woraus unmittelbar der mittlere Werth jener Funktion

n* — m*

0

folgt.

Hieraus ersehen wir, dass, wenn nur eine hinlänglich grosse Anzahl von einander unabhängiger, zufälliger Fehler x, #', »” ete. vorhanden ist, aus ihnen ein angenäherter Werth des m mit grosser Sicherheit mittelst der Formel

m V Ha tar ie,

0

> gefunden werden könne, und dass der mittlere bei dieser Bestim- _ mung zu befürchtende Fehler des Quadrates m’

n: — m“ > 6

sei. Da indess diese letzte Formel die Grösse » enthält, so wird es genügen, falls es sich nur um die Erlangung einer ungefähren Vorstellung von dem Genauigkeitsgrade jener Bestimmung handelt, irgend eine specielle Form der Funktion 9 anzunehmen. Z. B. wird bei der dritten Annahme der Art. 9. und 11. dieser Fehler

— my 2 . Wenn dies weniger befriedigt, so kann ein angenäherter Werth von »*‘ aus den Fehlern selbst mit Hülfe der Formel

. #2" +2." + etc. ©

- abgeleitet werden. Im allgemeinen können wir aber versichern, dass

16 Combination der Beobachtungen.

für eine zweimal grössere Genauigkeit jener Bestimmung eine vierfache Anzahl von Fehlern erforderlich ist, oder dass das Ge- wicht der Bestimmung der Anzahl o selbst proportional ist.

Auf ähnliche Weise wird man ferner, wenn die Beobachtungs- fehler einen constanten Theil besitzen, einen angenäherten Werth dieses Theils um so sicherer aus dem arithmetischen Mittel vieler Fehler ableiten können, je grösser deren Anzahl war. Und zwar wird der mittlere zu befürchtende Fehler dieser Bestimmung durch

m: — 0

ausgedrückt, wenn % den constanten Theil selbst und m den mittleren Fehler der von dem constanten Theil noch nicht befreiten Beobach-

m . — , wenn m den mittleren

0 Fehler der von dem constanten Theil freien Beobachtungen be-

zeichnet. (Siehe Art. 8.)

tungen ausdrückt; oder einfach durch

16.

In den Art. 12. bis 15. haben wir vorausgesetzt, dass die Fehler », x’, &” etc. sich auf dieselbe Gattung von Beobachtungen beziehen, so dass die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen durch dieselbe Funktion ausgedrückt werde. Augenscheinlich kann aber die allgemeine Untersuchung der Art. 12. bis 14. ebenso leicht auf den allgemeineren Fall ausgedehnt werden, wo die Wahrschein- lichkeiten der Fehler x, #’, «” etc. durch verschiedene Funktionen pa), Pla’), P’(x”) ete. ausgedrückt werden, d. h. wo sich jene Fehler auf Beobachtungen verschiedener Schärfe oder Unsicherheit beziehen. Nehmen wir an, «© sei der Fehler einer Beobachtung, deren mittlerer zu befürchtender Fehler = m ist; ebenso seien x, x” etc. die Fehler anderer Beobachtungen, deren mittlere zu befürchtende Fehler bezw. m’, m” etc. sind. Dann wird der mittlere Werth der Summe »° + 2” +2” + etc. gleich m’ + m” + m” + etc. sein. Ist nun anderweit schon bekannt, dass die (Grössen m, m’, m” etc. in gegebenem Verhältniss zueinander stehen,

also den Zahlen 1, «‘, «” etc. bezw. proportional sind, so wird

der mittlere Werth des Ausdrucks a" +a® ra" tete. 1+ u” + wW” + etc.

— m’ sein. Setzen wir aber einen bestimmten Werth dieses Aus-

2 20 Bibi u an A nd Ele ae

Erster Theil. | 17

drucks, jenachdem der Zufall Fehler x, #°, &” etc. liefert, dem m’ gleich, so wird der mittlere Fehler, welcher dieser Bestimmung noch anhaftet, auf ähnliche Weise wie im vorhergehenden Art.

_ In +» ae — m! — m — m” '— etc.

1-+ u? +” + etc.

gefunden, wo n’, n” etc. in Bezug auf die Beobachtungen, zu welchen die Fehler »’, x” etc. gehören, dieselbe Bedeutung haben sollen, wie »n in Bezug auf die erste Beobachtung. Wenn man nun die Zahlen n, n’, n” etc. den m, m’, m” etc. proportional annehmen darf, so wird jener mittlere zu befürchtende Fehler

VY" — m‘ V1+u*+ u” + ete. 1+u”+ uw” + ete.

Diese Methode, einen angenäherten Werth von m zu bestim- men, ist aber nicht die zweckmässigste. Um dies desto deutlicher zu machen, betrachten wir den allgemeineren Ausdruck

+ ar” + or” + etc. Een: + au + 066.

dessen mittlerer Werth ebenfalls = m’ wird, wie man auch die

Coefficienten @, «” etc. wählen möge. Der mittlere zu befürchtende

Fehler aber wird, wenn man einen bestimmten Werth von y, je-

nachdem der Zufall Fehler », =’, &” etc. liefert, gleich »’ annimmt, mit Hülfe der oben vorgetragenen Principien |

_ m RR m*) 4 a” (n* — m“) & a”? (n”* EIER m”*) Hr ete. 1+ «u? + a” + etc.

‚gefunden. Damit dieser mittlere Fehler so klein als möglich wird,

Re n“ —m' 2 a BR, ‚4 ‚4 DEN 4 4 Ei 8 ae a = Z 77: s N Mm

überdies die Beziehung der Grössen n, »', n’ ar zu m, m’, m” etc. anderweit bekannt ist; fehlt aber diese genaue Kenntniss, so erscheint ® Gauss, Methode der kleinsten Quadrate, 2

=

18 Combination der Beobachtungen.

es wenigstens am sichersten*), sie zu einander proportional an- zunehmen (siehe Art. 11.), woraus man die Werthe erhält ee ar ME — m etc. ,

d. h. die Coeffiecienten «’, «” etc. müssen den relativen Gewichten der Beobachtungen, zu welchen die Fehler x’, =” etc. gehören, gleich gesetzt werden, nachdem man das Gewicht der Beobachtung, zu welcher der Fehler x gehört, als Einheit angenommen hat. Wenn hiernach, wie oben, o die Anzahl der vorhandenen Fehler bezeichnet, so wird der mittlere Werth des Ausdrucks

+ ce? +02” + etc.

107

— m’, und der mittlere zu befürchtende Fehler, wenn wir einen zufällig bestimmten Werth dieses Ausdrucks als wahren Werth von m’ annehmen, ergiebt sich

Fi Vn: + «®n* + «” n”* + etc. — om! was 0

’

und folglich, wenn wir nur die », ”’, n” etc. den m, m’, m” etc. proportional annehmen dürfen,

n* — m* = z vera

welche Formel mit der. oben für den Fall von Beobachtungen der- selben Art gefundenen übereinstimmt.

17:

Wenn der Werth einer Grösse, die von einer anderen unbe- kannten Grösse abhängt, durch eine nicht völlig genaue Beobach- tung bestimmt ist, so wird der hieraus berechnete Werth der Un- bekannten auch einem Fehler unterworfen sein; es bleibt aber bei dieser Bestimmungsweise nichts der Willkür überlassen. Wenn aber mehrere von derselben Unbekannten abhängige Grössen durch nicht, völlig genaue Beobachtungen bestimmt sind, so kann man den

*) Wir können uns nämlich die Kenntniss der Grössen w, u” ete. nur in dem einen Falle erlangt denken, wo der Natur der Sache nach Fehler x, «', x” ete., welche zu 1, w, u” etc. proportional sind, als gleich wahrscheinlich an- zunehmen sind, oder vielmehr, wo

ga) = wy’ (Wr) = w’y” (ur) ete,

E: Erster Theil. 19

Werth der Unbekannten entweder aus irgend einer dieser Beobach- tungen ableiten, oder auch aus irgend einer Combination mehrerer Beobachtungen, was auf unendlich verschiedene -Weisen geschehen kann. Wenn nun auch der auf eine solche Weise erhaltene Werth der Unbekannten immer einem Fehler unterworfen bleibt, so wird doch bei der einen Combination ein grösserer, bei einer anderen ein kleinerer Fehler zu befürchten sein. Aehnlich wird es sich ver- halten, wenn mehrere Grössen, die von mehreren Unbekannten zu- gleich abhängen, beobachtet sind: jenachdem die Anzahl der Beobachtungen entweder der Anzahl der Unbekannten gleich, oder kleiner oder grösser als diese ist, wird die Aufgabe entweder be- stimmt oder unbestimmt oder überbestimmt sein (wenigstens im allgemeinen), und im dritten Fall wird man zur Bestimmung der Unbekannten die Beobachtungen auf unendlich verschiedene Weisen combiniren können. Aus dieser Mannigfaltigkeit der Combinationen diejenigen auszuwählen, welche der Sache am besten dienen, d. h. welche die mit den kleinsten Fehlern behafteten Werthe der Unbe- kannten liefern, ist unstreitig bei der Anwendung der Mathematik auf die Naturwissenschaften eine der wichtigsten Aufgaben.

In der. „Theorie der Bewegung der Himmelskörper“ haben

wir gezeigt, wie die wahrscheinlichsten Werthe der Unbekannten . abzuleiten sind, wenn das Gesetz für die Wahrscheinlichkeit der Beobachtungsfehler bekannt ist; und da dieses Gesetz seiner Natur nach in beinahe allen Fällen hypothetisch bleibt, so haben wir jene Theorie auf das plausibelste Gesetz angewendet, wobei die Wahr- scheinlichkeit eines Fehlers » der Exponentialgrösse e proportional genommen wird; und hieraus ist das Verfahren ent- standen, welches von uns schon lange und zwar besonders bei - astronomischen Rechnungen gebraucht wurde, und jetzt unter dem Namen der Methode der kleinsten Quadrate von den meisten Rech- _ nern angewandt wird. & Später zeigte Laplace, indem er die Sache anders angriff, dass gerade dieses Prineip, wie auch das Gesetz der Wahrscheinlichkeit - der Fehler beschaffen sei, allen anderen immer noch vorzuziehen sei, - wenn nur die Anzahl der Beobachtungen eine sehr grosse ist. Ist - jedoch die Anzahl der Beobachtungen eine mässige, so bleibt die Frage unentschieden, so dass bei Verwerfung unseres hypothetischen _ Gesetzes die Methode der kleinsten Quadrate nur deshalb vor an- _ deren empfohlen zu werden verdiente, weil sie zur Vereinfachung der Rechnungen am besten geeignet ist.

o%

0 Combination der Beobachtungen.

Wir hoffen deshalb, den Mathematikern einen Dienst zu erweisen, indem wir bei dieser neuen Behandlung des Gegen- standes zeigten, dass die Methode der kleinsten Quadrate die beste von allen Combinationen liefere, und zwar nicht angenähert, sondern unbedingt, welches auch das Wahrscheinlichkeitsgesetz für die Fehler, und welches auch die Anzahl der Beobachtungen sei, wenn man nur die Definition des mittleren Fehlers nicht im Sinne von Laplace, sondern so, wie es von uns in den Art. 5. und 6. geschehen ist, feststellt.

Uebrigens muss hier ausdrücklich hervorgehoben werden, dass es sich in allen folgenden Untersuchungen nur um die unregel- mässigen und vom constanten Theil freien Fehler handelt, da es im Grunde zu einer vollkommenen Beobachtungskunst gehört, alle Ursachen constanter Fehler möglichst fernzuhalten. Was für Vor- theile aber ein Rechner, welcher solche Beobachtungen zu discu- tiren unternimmt, von denen man mit Recht argwöhnt, dass sie von constanten Fehlern nicht frei seien, aus der Wahrscheinlich- keitsrechnung selbst erlangen kann, darüber behalten wir uns vor, eine besondere Untersuchung bei einer anderen Gelegenheit zu veröffentlichen.

18.

Aufgabe. Es bezeichne U eine gegebene Funktion der unbekannten Grössen V, V’, V” etec.; man sucht den mittleren bei der Bestimmung des Werthes von U zu be- _ fürchtenden Fehler M, wenn für V, V’, V”ete. nicht ihre wahren Werthe, sondern diejenigen genommen werden, welche aus von einander unabhängigen und bezw. mit den mittleren Fehlern m, m’, m” etc. behafteten Beobach- tungen hervorgehen.

Lösung. Es seien e, e’, e” etc. die Fehler der ERROR Werthe von V, V’, V” ete.; alsdann kann der aus ihnen folgende Fehler des Werthes von U durch die lineare Funktion

de +Ne+Ne”+etc.=E ausgedrückt werden, wo A, 4, A’ etc. die Werthe der Differential-

= 2 a ae etc. für die wahren Werthe der V, V’, V” ete. sind, wenn nur die Beobachtungen hinlänglich genau sind, um die Quadrate und Produkte der Fehler vernachlässigen zu dürfen. Hieraus folgt erstens, da ja die Beobachtungsfehler als von con-

stanten 'Theilen frei angenommen werden, dass der mittlere Werth

quotienten

Erster Theil. 21

von E gleich 0 sein müsse. Ferner wird der mittlere zu befürchtende Fehler des Werthes von U gleich der Quadratwurzel aus dem mittleren Werthe von E’ sein, oder M’ wird der mittlere Werth der Summe

Ve + Me? + N?e” + etc. + 2AN ee! + 2N”ce” + 2UN”ee” + etc.

sein. Der mittlere Werth von A’e ist aber A’m’, der mittlere Werth von A*e” ist — A”m” etc., endlich sind die mittleren Werthe der Produkte 2A4’ee’ etc. sämmtlich = 0. Hieraus schliessen wir also:

EVEN EAN PEN REN

M = YAm? E= Am”? + X”m”” + etc. Dieser Lösung wollen wir einige Anmerkungen beifügen.

I. Insoweit man die Beobachtungsfehler als Grössen erster Ordnung ansieht und Grössen höherer Ordnung vernachlässigt, darf man in unserer Formel für 4, 4, 4” etc. auch diejenigen

al

IE RITTER TE SE EB a ni R Y er ne RE ie Pu Be RT 2: ES 3

iz

a a un a

Werthe der Quotienten 2 etc. nehmen, welche aus den beobach-

teten Werthen der Grössen V, V’, V” etc. hervorgehen. Wenn U eine lineare Funktion ist, so ist hierbei offenbar kein Unterschied vorhanden.

. II. Will man an Stelle der mittleren Fehler der Beobach- - tungen lieber deren Gewichte einführen, so seien diese, auf eine willkürliche Einheit bezogen, bezw. p, p’, p” etc., und P sei das Gewicht der Bestimmung des sich aus den beobachteten Werthen der Grössen V, V’, V” etc. ergebenden Werthes von U. Wir er- halten dann

3 II. Ist T eine andere gegebene Funktion der Grössen V, - V‘, V” etc, und ist für deren wahre Werthe

: m, El E- RT A RENNEN A 6 E so wird der Fehler in der aus den beobachteten Werthen von E v 1 a etc. erhaltenen Bestimmung des Werthes von T

— ne +xe+xe+ete. = E, und der mittlere bei jener Bestimmung zu befürchtende Fehler | —= Y x’m’ + #"m? + x”"m”” + etc,

= x” etc. ,

22 Combination der Beobachtungen.

sein. Die Fehler E, E’ werden aber offenbar nicht mehr von einander unabhängig sein, und der mittlere Werth des Produktes EE’ wird, im Gegensatz zum mittleren Werthe des Produktes ee’, nicht — 0, sondern = xAm? + x’Xm” + #”A’m”” + etc. sein.

IV. Man kann unsere Aufgabe auch auf den Fall ausdehnen, wo die Werthe der Grössen V, V’, V” etc. nicht unmittelbar aus den Beobachtungen gefunden, sondern irgendwie aus Combinationen der. Beobachtungen abgeleitet werden, wenn nur die Bestimmungen der einzelnen von einander unabhängig sind, d.h. auf verschiedenen Beobachtungen beruhen: sobald aber diese Bedingung nicht erfüllt ist, würde die Formel für M falsch werden. Wäre z. B. eine oder die andere zur Bestimmung des Werthes von V verwendete Beobach- tung auch zur Bestimmung des Werthes von V’ benutzt worden, so würden die Fehler e und e’ nicht mehr von einander unabhängig, und der mittlere Werth des Produkts ee’ deshalb auch nicht mehr —= 0 sein. Wenn aber in einem solchen Fall der Zusammenhang der Grössen V und V’ mit den einfachen Beobachtungen, aus denen sie abgeleitet sind, genau bekannt ist, so wird man den mittleren Werth des Produktes ee’ nach der Anmerkung III. bestimmen, und so die Formel für M vervollständigen können.

19.

Es seien V, V’, V” ete. Funktionen der Unbekannten , y, z ete.; die Anzahl jener sei = r, die Anzahl der Unbekannten —= ge; wir nehmen an, durch Beobachtungen seien unmittelbar oder mittel- ‚bar die Werthe der Funktionen V=L, V’=L, V”=TL” etc. gefunden, jedoch so, dass diese Bestimmungen unabhängig von ein- ander sind. Ist o grösser als r, so ist die Aufsuchung der Unbe- kannten offenbar eine unbestimmte Aufgabe; ist e gleich x, so können die einzelnen z, y, z etc. als Funktionen von V, V’, V”ete. - entweder dargestellt oder in dieser Form gedacht werden, so dass aus den beobachteten Werthen von diesen die Werthe von jenen gefunden werden können, worauf man mit Hülfe des vorigen Art. die diesen einzelnen Bestimmungen zukommende relative Genauig- keit berechnen kann; ist endlich-e kleiner als , so lassen sich die einzelnen z, y, z etc. auf unendlich verschiedene Weisen als Funk- tionen von V, V’, V” etc. darstellen, und man kann deshalb für jene auf unendlich verschiedene Weisen Werthe ableiten. Diese Be- stimmungen müssten nun völlig identisch sein, wenn den Beobachtun- gen absolute Genauigkeit zukäme; da dies indess nicht der Fall ist,

e*

Erster Theil. 23

# so werden andere Weisen andere Werthe ergeben, und ebenso _ werden die aus verschiedenen Combinationen erhaltenen Bestim- 4 mungen mit verschiedener Genauigkeit begabt sein.

z Wenn übrigens im zweiten oder dritten Fall die Funktionen — W,V, V” ete. so beschaffen wären, dass w — eg -+ 1 oder mehrere

ER

En

unter ihnen als Funktionen der übrigen betrachtet werden könnten, so würde die Aufgabe in Bezug auf die letzteren Funktionen immer

RE

noch überbestimmt sein, in Bezug auf die Unbekannten x, y, z etc. 3 aber unbestimmt; und man könnte die Werthe der letzteren selbst - dann nicht einmal bestimmen, wenn die Werthe der Funktionen VW, V, V” ete. völlig genau gegeben wären; diesen Fall werden 4 wir aber von unseren Untersuchungen ausschliessen.

©: Sobald V, V’, V” ete. nicht von vorn herein lineare Funktionen

ihrer Variabeln sind, so kann man ihnen diese Form geben, indem man an Stelle der ursprünglichen Unbekannten deren Unterschiede gegen angenäherte Werthe, welche man als anderweit bekannt vor- aussetzen darf, einsetzt. Die mittleren in den Bestimmungen V = L, V=L, V”= NL’ etc. zu befürchtenden Fehler bezeichnen wir bezw. mit m, m’, m” etc., und die Gewichte der Bestimmun- gen mit », 9’, p” etc., so dass pm? — p’m” = p’m” = etc. ist. Wir setzen das Verhältniss der mittleren Fehler zu einander als bekannt voraus, so dass die Gewichte, von denen man eines be-

liebig annehmen kann, ebenfalls bekannt sind. Endlich setzen wir V=-L)Yp =v, (V-IW)VP = v, (V’—LN)VYp” = v” ete.

2. Dann wird sich die Sache offenbar ebenso verhalten, als wenn un- mittelbare Beobachtungen von gleicher Genauigkeit, deren mittlerer - Fehler also = mVYp = m Yp’ = m” Vp” ete. ist, oder denen das Gewicht — 1 beigelegt wird, auf

ar

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er ze 2 a DER Non >

4

eh, vet id Be

geführt hätten.

20.

Aufgabe Wir bezeichnen mit v, v’, v” etc. die folgen- den linearen Funktionen der Variabeln z, y, z etc.:

ae+by+tez+t etc. + |

de+by-+cdz+ete. +7 (1) Wa +b"y+ cz + etc, +!” etc.

®

(4

„

24 Combination der Beobachtungen.

Es soll aus allen Systemen von Coefficienten x, x, x” etc., welche allgemein

w+xv+rv” +ete = ce —k i geben, wo k eine bestimmte, d.h. von »,y,zete. unabhängige Grösse ist, das System ermittelt werden, für welches

x» -+x° + x” -+etc. den kleinsten Werth erhält. Lösung. Wir setzen

w-+ av’ + av” +ete. = $ bv + b’v’ + b”’v” + etc. co + cv + cv” + etc.

ete. Dann sind auch &, n, { etc. lineare Funktionen von x, y, z etc., nämlich

(2)

II

vBab + yEb? + zZbe + etc. + Zbl —= race + yzZbe + ze + ete. + Zel etc.

|

E = aLa? +yZab + zac + etc. + Zal

n | (3) ü

(wo Za’ die Summe a’ + a” + a” + etc. bezeichnet, und analog bei den übrigen); die Anzahl der &, n, { etc. ist hierbei der Anzahl der

Variabeln x, y, z etc. gleich, nämlich = o. Man kann deshalb durch Elimination eine Gleichung folgender Art ableiten *):

2 — A+[ea]& + [aß]n + [ay]C + ete.,

aus welcher durch Substitution der Werthe von &, n, & ete. nach

(3) eine identische Gleichung hervorgehen muss. Wenn man folglich a.[oa] + b [aß] + e [ay] + ete. = a

a’ [aa] +’ [&ß] + € [ey] + etc. = @ (4)

a” [aa] +’ [aß] + ce" [ey] + ete. = a” etc.

setzt, so wird nothwendig allgemein

av + av" + av” +ete. = 2x —A. (5) Diese Gleichung zeigt, dass unter die Werthsysteme der Coeffici- enten x, x’, x” etc. sicher auch dieses: x = a, # = «’, «’ = a” etc.

zu rechnen ist, ebenso dass für ein beliebiges System allgemein («— a)v+ (X —a)v” + (x —a”)v”’ Het = A—k werden muss; eine Gleichung, welche die folgenden einschliesst:

*) Der Grund, weshalb wir für die aus einer solchen Elimination hervor-

gehenden Coefficienten gerade diese Bezeichnung ausgewählt haben, wird später einleuchten.

{n dia due

Erster Theil. 95

(x —e)a-+ (x — @') a’ + (#” — a”) a” + etc.

=o ke —a)b + (X — a)b’ + (x — a”)b” + etc. = 0 («—a)ce + (a — a)e + (x&” —a”)e” Fette. = ( etc.

= Multipliciren wir diese Gleichungen bezw. mit [a««]|, [@#], [ay] ete. - und addiren, so erhalten wir wegen (4):

(x —a) «+ (# — a) a’ + (x#” — a”) a” + etc. = 0 oder, was dasselbe ist,

+2” +x” + etc. = e+o®ro”reie. + (ke — eo) + (# — a)? + (x — a)’ + etc.,

: woraus folgt, dass die Summe x? + x” + x” -H- etc. den kleinsten n Werth erhält, wenn man x = «a, # =«, x” —= a” etc. setzt. Was & zu finden war.

4 Dieser kleinste Werth selbst wird übrigens auf folgende Weise 4 ermittelt. Die Gleichung (5) zeigt, dass

: ca+ «a + aa” tete. = 1

1 ab + ab + ad’ + ete. = 0

ac + «ec + ac” + etc. = Vetc.

ist. Multiplieirt man diese Gleichungen bezw. mit [ea], [aß], [ay] ete. und addirt, so erhält man unter Berücksichtigung der Gleichungen (4) sofort

a +0? +0” + etc. —= [ee].

21. Wenn die Beobachtungen die (der Wahrheit sehr nahe kom- menden) Gleichungen v= 0, ”=0, v”=0 ete. geliefert haben, so muss man, um aus ihnen den Werth der Unbekannten » zu finden, eine solche Combination

x + xv + x’v”’ + etc. = 0

dieser Gleichungen aufsuchen, dass der Coefficient von x gleich 1 - wird, und die übrigen Unbekannten y, z etc. eliminirt werden; - dieser Bestimmung wird nach Art. 18. das Gewicht

n s © E;: + x? +%”° + etc. zu geben sein. Aus dem vorigen Art. folgt daher, die zweck- - mässigste Bestimmung werde die sein, wenn man x= «a, x = d', x” — a” etc, setzt. Alsdann erhält x den Werth A; offenbar

26 Combination der Beobachtungen.

kann man denselben Werth (ohne Kenntniss der Multiplicatoren a, @, @” etc.) auch direkt durch Elimination aus den Gleichungen E=-0,17=(,{=0ete. ableiten. Das dieser Bestimmung zu

ertheilende Gewicht wird = oder der mittlere bei ihr zu be-

fürchtende Fehler wird

— mVp [ea] — m’ Yp [ea] = m’ Yp’ [ea] ete.

Be [ee] '

sein.

Auf analoge Weise wird ferner die zweckmässigste Bestim- mung der übrigen Unbekannten y, z ete. für sie dieselben Werthe ergeben, welche durch Elimination aus den nämlichen Gleichun- sen ä&=0, rn =0, { = etc. hervorgehen.

Bezeichnen wir die allgemeine Summe v0” +v” +v” + ete.

oder, was dasselbe ist, »p(V— L)’ + pP (V’ — LY + pP’ (V”— L”) + etc.

mit 2, so sind offenbar 28, 2n, 2{ etc. die partiellen Difterential- quotienten der Funktion 2, nämlich d2 d2 d2 de’ 2 NT a: re ( Y 2 Demnach werden die Werthe der Unbekannten, welche aus der zweckmässigsten Combination der Beobachtungen hervorgehen, und welche man passend die plausibelsten Werthe nennen kann, mit denen identisch sein, die 2 zu einem Minimum machen. Nun drückt V —.L allgemein die Differenz des berechneten und des beobachteten Werthes aus. Die plausibelsten Werthe der Unbekannten werden des- halb dieselben sein, welche die Summe der mit den Gewichten der Beobachtungen multiplicirten Quadrate der Differenzen zwischen den beobachteten und berechneten Werthen der Grössen V, V’, V”ete. zu einem Minimum machen, ein Princip, welches wir in der „T'heoria Motus Oorporum Üoelestinm“ von einem ganz anderen Gesichtspunkte aus festgestellt hatten. Und wenn ausserdem die relative Genauig- keit der einzelnen Bestimmungen angegeben werden soll, so muss man die w, y, z etc. durch unbestimmte Elimination aus den Glei- chungen (3) in folgender Form ableiten:

z2 = A+[eoo]& + [aß] + [ey] & + etc.

PAS

y=B+[ße]& + [ßß]n + [By] 5 + ete. (7) 2=C+[y]5+lyPßln + [yr]S+ ete. ete.,

wonach die plausibelsten Werthe der Unbekannten », y, z etc.

Erster Theil. 27

bezw. A, B,.C etc., und die diesen Bestimmungen zukommenden

u. -. 1 1 1 a, i (Gewichte (&a]’ [BB] ’ [mr] ete., oder die mittleren be denselben

zu befürchtenden Fehler

für#...... mVp [aa] = mVp’ [aa] = m’Vp” [ae] ete. weu....., mVp [BB] = m’VYp’ [B$] = mV p” [PB] ete. z Der. ;. mVp [yy] = m’Vp’ |yr] = m’Vp” [yy] ete. etc.

sein werden, ein Resultat, welches mit dem in der „Theoria Motus Corporum Coelestinm“ abgeleiteten übereinstimmt.

22. Wir wollen den allereinfachsten, zugleich aber auch häufigsten

- Fall, dass nur eine einzige Unbekannte vorhanden ist, und V — z,

V=2,V’=e etc. wird, in Kürze besonders behandeln. Es wird nämlich a = Yp, a = Vp’, a = Yp” etc, 1 = -—LYp, = — LVp, il” = —L’Vp” ete., und folglich E=(p+p+p”+ ete)®e— (pL+pL’+p’L’ + ete.). Hieraus weiter 1 p+p'-+p” + etc. pL+pU+pl’+ete. p+.pP+p" + ete.

[ao] =

A=

E Wenn man demnach aus mehreren Beobachtungen von un- gleicher Genauigkeit, deren Gewichte bezw. p, p’, p” etc. sind,

- den Werth einer und derselben Grösse ermittelt hat, und zwar aus

-— der ersten — L, aus der zweiten = L/’, aus der dritten = L” etec., 80 wird der plausibelste Werth derselben | pL +pi’+p’L’ + etc. P+P+p" Het und das Gewicht dieser Bestimmung = p +p’+ p” + ete. sein.

L. Sind alle Beobachtungen von gleicher Genauigkeit, so wird der

plausibelste Werth | L+U+1’+ete. sein, d. h. gleich dem arithmetischen Mittel der beobachteten Werthe, und das Gewicht dieser Bestimmung = ., wenn man das Gewicht _ der Beobachtungen als Einheit annimmt.

Zweiter Theil. (Der Königlichen Soeietät der Wissenschaften überreicht 1823, Februar 2.)

23.

Es erübrigen noch mehrere Untersuchungen, welche die vor- hergehende Theorie sowohl erläutern als auch besonders erweitern sollen.

Vor allen muss man nachforschen, ob das Geschäft der Elimi- nation, mittelst deren die Unbekannten », y, z etc. durch die &, n, £ etc. auszudrücken sind, immer ausführbar ist. Da die Anzahl jener der Anzahl dieser gleich ist, so wird, wie man aus der Theorie der Elimination bei linearen Gleichungen weiss, jene Elimination sicher möglich sein, wenn 5, n, { ete. von einander unabhängig sind, im anderen Falle unmöglich. Nehmen wir für den Augen- blick an, &, n, & etc. seien nicht von einander unabhängig, sondern es bestehe zwischen ihnen die identische Gleichung

0 = F£E+Gn+Hö+ete. +K. Wir hätten dann

Fra’ + Gab + HZac + etc. = 0 Fzab + GZb? + Hzbe + etc. = 0 FzZac + GZbe + He? + etc. = 0

etc., und ferner | | Fzal + Gzbl + Hzel + etc. = —K. Setzt man alsdann

aF+bG-+cH-+etc. «FE +bG+ecH-+ etc. a’F +b’G +c’H +etc.

(1)

IN A 80

etc., so folgt

24 . a ne EL at aa m nen

Zweiter Theil. 29

a9 + «d9 +a’9’ +etc. = v0 + + 1’@" tete. = 0 c9 + c9 +c"0’ + etc. — etc., und ausserdem

I9 + 10 + 1’O0’ +etce. = —K.

Multiplieirt man demnach die Gleichungen (1) bezw. mit ©, 9, Q" etc. und addirt, so erhält man

0 = + 09? 9” + etc,

eine Gleichung, welche offenbar nicht bestehen kann, wenn nicht gleichzeitig © = 0, @ = 0, ©’ = etc. wäre. Hieraus schliessen wir erstens, dass nothwendig K = 0 sein muss. Sodann zeigen die Gleichungen (1), dass die Funktionen v, v’, vo” etc. so beschaffen sind, dass ihre Werthe sich nicht ändern, wenn die Werthe der Grössen , y, z etc. um Grössen zu- oder abnehmen, welche bezw. den F, 6, H etc. proportional sind. Dasselbe wird offenbar von den Funktionen V, V’, V” etc. gelten. Die Voraussetzung kann also nicht statt haben, ausser in dem Falle, wenn es sogar schon unmöglich gewesen wäre, aus den genauen Werthen der Grössen V, V’, V” ete. die Werthe der Unbekannten x, y, z etc. zu bestimmen, d. h. wenn die Aufgabe ihrer Natur nach unbestimmt gewesen wäre, einen Fall, den wir von unserer Untersuchung ausgeschlossen haben.

24. Wir bezeichnen mit 8, $', $’ etc. Multiplicatoren, welche der Unbekannten y gegenüber dieselbe Rolle spielen, wie die «, «' «” etc. gegenüber dem »; es sei also a [Ba] + d [88] + e |$y] + ete. = P [Be] + [BR] + e[ßy] + etc. = P [Ba] + D’[BB] + e’[B7] + et. — B' etc, so dass allgemein wird E B+RßV+BvV”+eie. = y—B. a“ Ebenso seien 7, y, y” etc. analoge Multiplicatoren in Bezug auf die Unbekannte z, demnach

al[ye] +5 [yßl+ elyyl + ete. = y a[ya] + b[yß] + eIyy] + ete. = a’{ya] + d’[yß] + e'Iyy] + ete. = r’ etc, so dass allgemein wird

Ds

30 Combination der Beobachtungen.

yp+yVv+yvV”" tete = z2—C und so weiter. Ebenso wie wir im Art. 20. bereits fanden, dass Zoa = 1, Zab=0, Zac—=( etc, und ausserdem Zal = — A, so erhalten wir hiernach auch =Ba =0, 2b —=1, 2Zße=Oete. und Bl = —B ja =d, MI, ml md MY=—C

u. Ss. w. Und gerade so, wie man im Art. 20. erhielt Za® — [««], wird auch

ze — [Bßl, Zr — Iyyl ete. Wenn man ferner die Werthe der «, a‘, «” etc. (Art. 20. (4)) bezw. mit 8, 8°, %” etc. multiplieirt und addirt, so erhält man aß + aß’ + aß” + etc. = [aß] oder Zaß —= [af]. Multiplieirt man aber die Werthe von £, 8, ß” ete. bezw. mit a, a, «@’ etc. und addirt, so folgt ebenso aß + aß + a”ß” + etc. — [Ba], also [«#] = |Pße].

Es wird weiter auf analoge Weise gefunden [ey] = Iye] = Zey, [By] = Ir] = zPy ete.

25.

Ferner bezeichnen wir mit A, 4, A” etc. diejenigen Werthe der Funktionen », v’, v” etc., welche erhalten werden, wenn wir für », y, z ete. ihre plausibelsten Werthe A, B, © etc. einsetzen, also

aAtbB+eC+tete+I —=4A

«aA+bB+eC-+ete +7

«A+bB+eC+ete.+”7= X etc.; wir setzen ausserdem

”+HM+N”+etc.=M,

so dass M der Werth der Funktion 2 ist, welcher den plausibelsten Werthen der Variabeln entspricht, mithin auch der kleinste Werth dieser Funktion, wie wir im Art.20. gezeigt haben. Hiernach wird ah + aW + al’ + etc. der Werth von &, welcher den Werthen ze =A,y=B, z=C ete. entspricht, und zugleich = 0 sein, d. h. wir erhalten

| D

Zu = 0, und es wird ebenso

oder

Zweiter Theil. 31

zb — 0, ZceA—Vete.; ausserdem Zei — 0, ZBA = 0, zyl — 0 etc. Multiplieirt man endlich die Ausdrücke von A, X, 2” ete.

4 bezw. mit A, A, A” etc. und addirt, so erhält man

MHIV HUN +etc. = PH? +N”? + etc. oder 23 =.M.

26.

Ersetzen wir in der Gleichung v» = ax + by +cz + ete. +1 die ©, y, z etc. durch die Ausdrücke (7) des Art. 21., so folgt mit Hülfe von aus dem Vorhergehenden geläufigen Reduktionen

v =af +Pn +yl +etc. +4 und ebenso wird allgemein "vd =edE+Phn+Yyirete +4 "at ntrStrete + ete. Multipliciren wir diese oder die Gleichungen (1) des Art. 20. bezw. mit A, 4, A” etc. und addiren, so sehen wir, dass allgemein ist

w+AvV +Nv”+ete. =M.

aT. Die Funktion 2 kann im allgemeinen in mehreren Formen dargestellt werden, welche zu entwickeln die Mühe lohnen wird.

Und zwar erhält man zunächst aus den Gleichungen (1) des Art. 20. durch Quadriren und Addiren unmittelbar

2 — Ba? + yYEb° + Fe + etc. + 2uyZab + 2rztac + AyzZbe + etc. + 2r2al + 2yzbl + 22Zcl + etc. + ZP

als erste Form.

Multiplieirt man dieselben Gleichungen bezw. mit vo, v, v”

‘etc. und addirt, so erhält man

2 = Er+ny+%+ etc. + lo + lv + 1’v” + etc.

und hieraus, indem man für v, v', v” etc. die im vorhergehenden _ Art. gegebenen Ausdrücke einsetzt,

2= ct my+Lz +etc. — AE—Bn— 0£— etc. +M

2 = E@—A)+ny—B)+Lle@—C)+tete. +M

E als zweite Form.

32 Combination der Beobachtungen.

Setzen wir in der zweiten Form für &—A,y—B, z—C etc. die Ausdrücke (7) des Art. 21., so erhalten wir die dritte Form

2 = [ea] &® + [AB] a’ + [yy] + ete. + 2[ep] 57 + 2[ey] 5° + 2[ßy]n& + etc. + M. Diesen kann als werte Form die folgende hinzugefügt werden,

welche sich aus der dritten und aus den Formeln des vorherge- henden Art. von selbst ergiebt,

2—= w— + (wW"—A) + (w”— AN) + ete. + M, oder 2—= M+Xr—A), welche Form die Bedingung des Minimums unmittelbar vor Augen führt. 28.

Es seien r, e’‘, e” etc. die Fehler, welche bei den Beobachtun- gen, de V=L, V’’ = L, V” = TL’ete. ergeben haben, began- gen sind; d. h. die wahren Werthe der Funktionen V, V’, V” ete. seien bezw. L—e, L’—e, L’— e’ etc, und folglich die wahren _ Werthe von v, v',v” etc. bezw. — eVp, — e’Vp’, — e”Vp” ete. Hier- mit wird der wahre Werth des x _

— A— oeYp — dep’ — a’e”Vp” etc., oder der bei der zweckmässigsten Bestimmung des Werthes von x begangene Fehler, den wir mit E(») bezeichnen wollen, ist

— aeVp + «eVp’ + a’e’Yp” + ete. Analog wird der bei der zweckmässigsten Bestimmung des Werthes von x begangene Fehler, den wir mit E(y) bezeichnen werden,

—= ßeVp + BeVp’ + B’e”Vp” + ete. Den mittleren Werth des Quadrates |E(z)]’ findet man

| — mp( +a”+a”+etc) = m’p|ee], den mittleren Werth des Quadrates [E(y) ebenso = m’p [8] etec.,

wie wir schon oben zeigten. Nun kann man auch den mittleren Werth des Produktes E(x) E(y) angeben; derselbe wird nämlich

—= m’p (aß + «aß + aß” + etc.) = m’p [ef] gefunden. Man kann dieses kurz auch so ausdrücken: Die mittleren Werthe der Quadrate |E(»), [E(y)] ete. sind bezw. den Pro-

dukten aus 1 m’p in die partiellen Differentialquotienten zweiter Ordnung

Zweiter Theil. 33

2 a2

F d dE* ’ dn?

4 eich, und der mittlere Werth eiaen solchen Produktes, wie E(z) E(y),

ist gleich dem Produkte aus — m? p in den Differentialquotienten ’Q

= En in? wenn man nämlich 2 als Funktion der Variabeln &, n, Z etc.

betrachtet.

etc.

29.

Es bezeichne / eine gegebene lineare Funktion der Grössen 2, Y, z etc., es sei also

t= je +gy+hz+ete.+k. Der aus den plausibelsten Werthen von x, y, z etc. hervorgehende Werth von £ wird demnach = JA + gB+hC + etc. + k sein, - den wir mit K bezeichnen wollen. Nimmt man diesen als wahren - Werth von t an, so wird ein Fehler begangen

— fE(&) + gE(y) + hE(z) + ete., - der mit E(t) bezeichnet werden möge. Der mittlere Werth dieses Fehlers wird offenbar — 0, d. h. der Fehler wird von einem con-

4 stanten Theil frei sein. Der mittlere Werth des Quadrates [E(i)]', d. h. der mittlere Werth der Summe

FlE@)F + 279 E(@) E(y) + 21h E(z) Ele) + etc. + SIE] + 27h E(y) E@) + ete. + h’ [E(@z)]’ + ete. etec.,

4 wird aber nach den Ergebnissen des vorigen Art. gleich dem Pro- i _ dukte aus m’p in die Summe Fee] + 2/9 [eß] + 2/h [ey] + ete. + g’[BB] + 2gh [$y] + ete. + #Af[yy] + ete. etc.

; _ oder gleich dem Produkte aus m’p in den Werth der Funktion - 2-—M sein, welcher durch die Substitutionen

E=f,1272=9, | =heete.

entsteht. Bezeichnen wir also diesen bestimmten Werth der Funk- tion @—M mit @, so wird der mittlere zu befürchtende Fehler, wenn wir an der Birhriung t—=K festhalten, — mVpw, oder das

Gewicht dieser Bestimmung — = sein.

Gauss, Methode der kleinsten Quadrate, 3

RN 0

34 Combination der Beobachtungen.

Da allgemein 2—M = («—A)5E+(Yy—B)n+(2—C)T + etc. ist, so muss w auch dem bestimmten Werthe des Ausdrucks

@—AM/+YW—-BDg+E—Oh+ete,,

d. h. dem bestimmten Werth von {—K gleich sein, welcher sich

ergiebt, wenn man den Variabeln », y, z etc. diejenigen Werthe bei-

legt, welche den Werthen /, g, h etc. der &, n, & etc. entsprechen. Endlich merken wir noch an, dass, wenn ? in der Form einer

Funktion der &, n, { etc. allgemein dargestellt wird, der constante

Theil derselben nothwendig —= K wird. Wenn also allgemein

— FE+@n+Hö+ete. +K ist, so wird © = fF+9gG +AH + etc.

30.

Die Funktion 2 erlangt, wie wir oben gesehen haben, ihren absolut kleinsten Werth M, wenn man z=A,y=B, z= Cete, oder&=0,n=0, 5=Lete. setzt. Ist aber irgend einer dieser Grössen schon ein anderer Werth beigelegt, .BBz=A-+A, so kann 2 durch Aenderungen der Uebrigen einen relativ kleinsten

Werth erlangen, welcher offenbar mit Hülfe der Gleichungen d2 d2 = A775, TR gg I! ee

erhalten wird. Es muss deshalb „ = 0, Ü = 0 etc. werden, und ferner, da ja

= A+[eo]5+[eß]n +[ey]S + ete. ist, 5 =

Zugleich wird man haben:

a [eo]

[eß] | [ey] \ Pertae ‚= 047 etc.

Der relativ kleinste Werth des 2 wird aber

= [ao] +M = MH 2

Umgekehrt schliessen wir hieraus, dass, wenn der Werth des 2 eine vorgeschriebene Grenze M + w° nicht überschreiten soll, als- dann auch der Werth des z nothwendig in den Grenzen A — u VIae] und A + uY[e«] liegen muss. Es verdient angemerkt zu werden,

-

Zweiter Theil. 35

dass uV[e@] dem mittleren zu befürchtenden Fehler des plausibelsten 'Werthes von z gleich wird, wenn man &« = mYp setzt, d. h. wenn MH gleich dem mittleren Fehler solcher Beobachtungen ist, welche das Gewicht 1 besitzen. Allgemeiner wollen wir den kleinsten Werth von 2 aufsuchen, welcher für einen gegebenen Werth von ? eintreten kann, wenn t£ _ wie im vorigen Art. die lineare Funktion fx + 9y-+hz + ete, + k bezeichnet, und ihr plausibelster Werth = K ist; jener vorge- _ schriebene Werth des 2 sei K-+ x. Aus der Theorie der Maxima ‘ und Minima ist bekannt, dass die Lösung der Aufgabe aus den Gleichungen

a2 _ gi de dx

° a2 dt a a2 dt Be 97 te

erhalten wird, d..h.as& = ©%, n= 9y, E = Ohetc., wenn man mit © einen zunächst unbestimmten Faktor bezeichnet. Wenn wir also, wie in dem vorhergehenden Art., allgemein

t = F&+6Gn+Hö+ete.+K

setzen, so haben wir K+x = o/F+9G+hH-+ etc) -+K, oder

% e—-_-, 177)

wo @ in derselben Bedeutung wie im vorigen Art. zu nehmen ist. - Und da Q@— M im allgemeinen eine homogene Funktion zweiter Ord- - mung der Variabeln 5, 7, & etc. ist, so wird augenscheinlich ihr - Werth für &= 9%, n = 99, & = ©h ete. — ©, und folglich s der kleinste Werth, den 2 für = K-+x erhalten kann, gleich

2 M+0o =M+ — werden. Umgekehrt, wenn 42 irgend einen

vorgeschriebenen Werth M + u’ nicht überschreiten soll, so muss der _ Werth von i nothwendig in den Grenzen K— uVYw und K-+ uVo enthalten sein, wo uY» dem mittleren bei der plausibelsten Bestim- mung von i zu befürchtenden Fehler gleich ist, wenn man « als den - mittleren Fehler der Beobachtungen annimmt, deren Gewicht — 1 ist. 3*+

36 Combination der Beobachtungen.

31.

Wenn die Anzahl der Grössen #, y, z etc. etwas grösser ist, wird die numerische Bestimmung der Werthe A, B, C etc. aus den Gleichungen &= 0, n = (0, © = 0 etc. vermittelst der gewöhn- lichen Elimination ziemlich lästig sein. Deshalb haben wir in der Theorie der Bewegung der Himmelskörper, Art. 182., auf einen eigen- thümlichen Algorithmus hingewiesen, und denselben in der Unter- suchung über die elliptischen Elemente der Pallas (Comment. recent. Soc. Gotting. Vol. I) des weiteren entwickelt, durch welchen jene Arbeit, soweit es der Gegenstand erlaubt, thunlichst vereinfacht wird.

Die Funktion 2 ist nämlich auf folgende Form

[222

Wr u

u? u” DU Ta + GC tra97 + etc. +M

zu bringen, wo die Divisoren W’, ®, €”, D” etc. bestimmte Grössen, w, wW, uw, w” etc. aber lineare Funktionen von x, y, z etc. sind, von denen indess die zweite « kein », die dritte «” kein » und kein y, die vierte «” kein x, y und z, und so weiter, enthält, wo- nach die letzte «”—-» nur noch von der letzten der Unbekannten x, y, z etc. abhängt; endlich sind die Coefficienten, mit denen x, y, z ete. bezw. in «, «, «” etc. multiplieirt sind, bezw. den MW, B, © etc. gleich. Alsdann hat man = 0, vv=(I, W"=(, w«” = 0 etc. zu setzen, um die Werthe der Unbekannten z, y, 2 etc. in umgekehrter Reihenfolge so bequem wie möglich abzu- leiten. Es erscheint unnöthig, den Algorithmus selbst, durch welchen diese Transformation der Funktion 42 bewirkt wird, hier noch ein- mal zu wiederholen.

Aber eine noch viel weitläufigere Rechnung erfordert die unbe- stimmte Elimination, mit deren Hülfe man die Gewichte jener Bestim- mungen aufzusuchen hat. Zwar das Gewicht der Bestimmung der letz- ten Unbekannten (welche allein in dem letzten «‘* —» vorkommt) wird nach dem, was in der „Theorie der Bewegung der Himmelskörper“ gelehrt ist, leicht gleich dem letzten Gliede in der Reihe der Divisoren AM, ®, © etc. gefunden; deshalb haben sich einige Rechner, um jene lästige Elimination zu umgehen, in Ermangelung anderer Hülfsmittel, dazu entschlossen, den öfter erwähnten Algorithmus mit veränderter Reihenfolge der Grössen x, y, z etc. zu wiederholen, indem sie nach und nach den einzelnen Unbekannten den letzten Platz anwiesen. Wir hoffen deshalb auf den Dank der Mathematiker, wenn wir zur Berech-

Zweiter Theil. 37°

nung der Gewichte der Bestimmungen eine neue, aus einer tieferen _ Analya der Beweisführung geschöpfte Methode, welche nichts mehr zu wünschen übrig zu lassen scheint, hier auseinander setzen.

3. F Nehmen wir also an, es sei # : w = Wr +By+ Oz +etce. +!

a By +Czr tete + (1) u = &’z2+ etc. + etc.

3 Hieraus folgt im allgemeinen | 5dQ = &da + ndy + Ldz + ete.

w dw = uw dw + no

u + # + etc.

A elargurt Bat ete.)

ir

+ (av + wit ete.) + u” (dz + etc.) Ayler

woraus zu erschliessen

& Si gr ru (2) s : etc. | _ Nehmen wir an, es ergäben sich hieraus die folgenden Formeln Mertıs “= Aö+Bn+: etc.

Von Cm nen Differential der Gleichung 7 = E@—A)+ny—B+L@—O)+etc+M SR wir nunmehr die Gleichung = 40 — Ede + ndy + Sdz + etc, und ne

a,

38 Combination der Beobachtungen.

5d2 = («—A)dE+y—B)dn +@—O)dd + etc,

welcher Ausdruck mit dem übereinstimmen muss, der sich aus (3) ergiebt, nämlich mit

MAE+ (RUE + dm) + gr (AdE + B’ag + dt) + ee.

Hieraus folgern wir

2 = — Has rer + etc. +A

ee nn tee +B (4) z = Er + et. + 0

etc.

Wenn man in diese Ausdrücke für w, w, «” etc. ihre aus (3) ent- nommenen Werthe einsetzt, so wird die unbestimmte Elimination erledigt sein. Und zwar erhält man zur Bestimmung der Ge- wichte

= FT [ao] = 5 u 132 + 9” + etc. B” RB’? [8 ß ] aan) = + — &” + D’” + etc. (5) 1 Dh lyr) = © + —, 37 + etc,

etc.,

Formeln, deren Einfachheit nichts zu wünschen übrig lässt. Uebrigens ergeben sich auch für. die anderen Coefficienten [«#], [«y], [#y] etc. gleich einfache Formeln, welche wir indessen, da sie seltener ge- braucht werden, hier beizufügen unterlassen.

33.

Wegen der Bedeutung des Gegenstandes, und um Alles für die Rechnung bereit zu stellen, wollen wir auch die expliciten Formeln zur Bestimmung der Coefficienten A’, A”, A” etc., B”, B” etc. etc. hierherschreiben. Diese Rechnung kann auf eine doppelte Weise geführt werden, da dieselben Gleichungen sich ergeben müssen, ob man nun die aus (3) entnommenen Werthe der «°, w, «” ete. in (2) einsetzt, oder die Werthe der &, n, £ etc. aus (2) in (3). Die erste Rechnungsart liefert folgendes Formelsystem;

Zweiter Theil, 39

B F

Br

& » 2

DR it wyA +A 0

Q Ey : DH” 3 ni ge + Di A ar 71 & A + A EIER 0

_ ete., woraus A’, A”, A” etc, gefunden werden,

ytr=0

D’ D” ” m ar

Pi + 2% 174 B + B ge 0 etc, woraus B”, B” etc. gefunden werden,

D” MIR m

wre 0

ete., woraus ©” etc. gefunden werden. U. s. w. Die andere Rechnungsart ergiebt folgende Formeln:

VI —=N(, woraus A’ erhalten wird,

VA+VB+O = Da B’” -H &

' woraus B” und A” erhalten werden,

Jr A” + Da B” + & cr + D° Pan BB” +€CC0”+P% &” er + D’ ee

woraus 0”, B”, A” erhalten werden. U. s. w.

Beide Rechnungsarten sind ungefähr gleich bequem, wenn die Gewichte sämmtlicher Bestimmungen z, y, z etc. verlangt werden; wird aber nur eine oder die andere der Grössen |a«], - [88], [yy] ete. gesucht, so ist offenbar das erstere System weit vorzuziehen.

E Uebrigens führt eine Combination der Gleichungen (1) mit (4) zu denselben Formeln und verhilft uns ausserdem zu einer doppelten = Berechnung der plausibelsten Werthe von A, B, C etc. selbst,

>

l ooo

40 Combination der Beobachtungen.

; u 5 vr 4 mr A 50 —A % —A G —A Sr — etc. w S ug = a” =“ B= , —B o —B a” etc. | U e gr” ” = ”" —C I” etc.

etc.

Die andere Rechnung ist mit der gewöhnlichen identisch, bei der —=0, W=(0, wW” = 0 etc. gesetzt ‚wird.

34. Die Entwickelungen des Art. 32. sind indessen nur specielle Fälle eines allgemeineren Lehrsatzes, der folgendermaassen lautet: Lehrsatz. Es bezeichne ? folgende lineare Funktion der Variabeln «, y, z etc.

t= je +gy+hz +ete.+%, welche sich als Funktion der Variabeln «, «, «’ etc. in der Form t=kKwW+kwW+ kW + etc. +K darstellt. Alsdann wird K der plausibelste Werth des t sein, und das Gewicht dieser Bestimmung

1 AR? + BE + E’%E”? + etc.

Beweis. Der erste Theil des Lehrsatzes folgt aus dem Um- stande, dass der plausibelste Werth von t den Werthen « = 0, w = 0, w —= 0 etc. entsprechen muss. Zum Beweis des zweiten Theils bemerken wir, da

5 d2 —= $dx + ndy + Idz +ete. und dt = fdx + gdy + hdz + ete.

ist, dass für& = f, n= 9, 5 = h ete., unabhängig von den Werthen der Differentiale üi dz etc.,

= 2d

sein muss. Daraus folgt aber, dass für dieselben Werthe 2 Br U

= Mn 2 IR er du” + etc, = Kdw + kdu + k’du” + ete.

k

Zweiter Theil. 41

wird. Auch erkennt man leicht, wenn d«, dy, dz ete. von einander

- unabhängig sind, dass auch dw, dw, du” etc. von einander unab- - hängig sein müssen; woraus wir entnehmen, dass für&—=/f,n = g,

ve — WR W= Bh, W = CR etc.

ist. Folglich wird der Werth von 2, welcher zu denselben Werthen

gehört, = WE’ + BR +C%”+ete.+M,

woraus nach Art. 29. sofort die Richtigkeit unseres Lehrsatzes folgt.

Wenn wir übrigens die Transformation der Funktion ? un- mittelbar, d. h. ohne Kenntniss der Substitutionen (4) des Art. 32., ausführen wollen, so stehen die Formeln zur Verfügung:

I=3& g= BE +BE | h= ER +TCk +C%K” etc.,

woraus nach und nach die Coefficienten %°, %’, %” etc. bestimmt

werden, und sich endlich ergiebt: K=k—YUR — UW — !%R” — etc.

35.

Einer besonderen Behandlung werth ist das folgende Problem, sowohl seiner praktischen Nützlichkeit, als seiner eleganten Lösung wegen:

Die Aenderungen in den plausibelsten Werthen der Unbekannten, welche durch Hinzufügung einer neuen Gleichung bewirkt werden, ebenso wie die Gewichte der neuen Bestimmungen zu finden.

Wir behalten die oben benutzten Bezeichnungen bei, so dass die auf das Gewicht —= 1 zurückgeführten, ursprünglichen Glei- chungen die folgenden sind: vo = 0, Yv = 0, v” = 0 etc., und die

allgemeine Summe »’ + 0" + »” + etc. = 2 ist; ferner seien &, n, & etc. die partiellen Differentialquotienten 32: AS. dd

Ir’ day’ 2,

und endlich möge aus der unbestimmten Elimination folgen:

2 = A-+[oa]5+ [ef] +[ay]& + ete. v— B+ [aß] + [88]7 + [89] + ete. | iu 2=C +L[er]& + [Bra + rl + ete. ( etc.

42 Combination der Beobachtungen.

Wir nehmen nun an, eine (sehr nahe richtige, auf die Gewichts- einheit bezogene) neue Gleichung ©* = 0 trete hinzu, und wir wollen nachforschen, wie gross die hieraus hervorgehenden Aende- rungen sowohl in den plausibelsten Werthen der Unbekannten A, B, C etc., als auch in den Coefficienten [aa], [«#] etc. seien.

Wir setzen

* * * om © ar. . 99

’ Die 3 — [{* etc.

’ Zdy et Pa und nehmen an, durch Elimination folge hieraus x = A* + [ao*] 5* + [@ß*] n7* + [ey*] &* + etc.

Endlich sei

vr = fet+gy+hz +ete.+k, und durch Einsetzung der Werthe für x, y, z etc. nach (1) folge hieraus

= F&+Gn+Hö-+ete + K;

sodann setze man

F/+Gg9+Hh+ete. =.

Offenbar wird K der plausibelste Werth der Funktion v* sein, wie er sich aus den ursprünglichen Gleichungen ergiebt, ohne Rück- sicht auf den Werth 0, welchen die hinzutretende Beobachtung

geliefert hat, und En wird das Gewicht dieser Bestimmung sein. Wir haben nun *eirft, Hen+gr, = LC+m* ete. und deshalb F&* + G7* + Hi* tet. +K = v* + Ff+Gg + HR + etc.) oder

. F&* + G7* + Hö* + etc. +K 07. ‚ ARRPR ; Ebenso wird 2 = A + [oa] &* + [8] 7* + [ey] &* + etc. — 2* (j[aa] + 9[aß] + Hey] + etc.) A + [ea] 5* + [aß] n* + [ey] &* + etc. — Fv* A + [aa] &* + [oß] 7* + [ey] &* + etc.

EL Er (F&* + Gy* + H{* + etc. + K).

Zweiter Theil. 43

Hieraus schliessen wir demnach, dass

FK

N RER ne ae 1+w

= der plausibelste Werth des » aus allen Beobachtungen sein wird; _ und da ferner

m: [«a*] — [aa] — 1275 so ist das Gewicht dieser Bestimmung 1 F? 10) Toy

- Auf dieselbe Weise wird ferner der auf allen Beobachtungen be-

; ruhende plausibelste Werth des y gefunden

GK

WR. ano npkiii : unsenennitnibr ee

: und das Gewicht dieser Bestimmung

Ad 1 -= Er [BP] — 110

_ und so weiter. W. z. f. w.

a

Sr "

23

n

r %

j 1 | 2

Dieser Lösung mögen einige Bemerkungen beigefügt werden.

I. Durch Einsetzung dieser neuen Werthe A*, B*, 0* etc. erhält die Funktion v* den plausibelsten Werth

ee

1 Und da nn

K sk art trete

ist, so ergiebt sich nach den Principien des Art. 29. das Gewicht

dieser Bestimmung = 1+o -— Ff/+Gg+ Hh + etc.

Dasselbe folgt unmittelbar aus der Anwendung der am Ende

1 =—+l

4 des Art. 22. gegebenen Regel; die Gruppe der ursprünglichen

44 Combination der Beobachtungen.

Gleichungen würde nämlich die Bestimmung v* = K mit dem Ge- wicht z geliefert haben, sodann hätte die neue Beobachtung eine

andere, von jener unabhängige Bestimmung v* = 0 mit dem Ge- wichte = 1 gegeben, und durch Combinirung beider würde die Be-

stimmung »* = ———— mit dem Gewichte = = + 1 folgen. 1 7% ()

.„ H. Hieraus folgt weiter, da für x = A*, y = B*, z = (* etc. auch &* —= 0, 7* = 0, {* = 0 etc. sein muss, dass für dieselben

Werthe fK 2 gK hK

ae ET „= SI = Fir, etc.

wird, und ferner, da allgemein 2—= $(&@-—-A)+ny—B+Lß@—CO)+ete.+M ist, |

5. K? wK?°

und endlich, weil ja allgemein 2* = 2 + v* ist, wK” K’ K’ re (+oy"Aroy aeg III. Vergleichen wir diese Ergebnisse mit den im Art. 30.

vorgetragenen, so bemerken wir, dass hier der kleinste Werth der Funktion 2 derjenige ist, welchen sie für den bestimmten Werth

der Funktion v»* = rar annehmen kann.

36. Für das folgende, dem vorhergehenden ähnliche Problem: Die Aenderungen in den plausibelsten Werthen der Unbekannten, welche durch die Aenderung des Gewichts irgend einer der ursprünglichen Beobachtungen bewirkt werden, und ebenso die Gewichte der neuen Bestimmungen aufzusuchen.

soll hier nur die Lösung Platz finden, während wir den Beweis, welcher nach Analogie des vorigen Art. leicht geführt wird, der Kürze halber unterdrücken.

Nehmen wir an, es werde erst nach Vollendung der Rechnung bemerkt, dass man einer gewissen Beobachtung ein zu kleines oder zu grosses Gewicht beigelegt habe; z. B. habe man etwa der ersten,

Zweiter Theil. Be.

welche V = L gegeben hat, an Stelle des in der Rechnung ange- wandten Gewichtes p richtiger das Gewicht p* beizulegen. Alsdann wird es nicht nöthig sein, die ganze Rechnung zu wiederholen, - sondern es lassen sich bequemer aus nachfolgenden Formeln Correc- tionen berechnen.

| Die verbesserten plausibelsten Werthe der Unbekannten werden folgende sein

Re u es

p + (p* —p) (aa + bß + ey + ete.) Fe ("—p) A

p + (p*—p)(ae + bB + cy + etc.) gd (p* —p) y4

(in | p-+ (p*—p) (aa + bBß + cy + etc.)

etc., und die Gewichte dieser Bestimmungen werden gefunden, wenn man die Einheit bezw. durch

7 = (»"—p) e ; PATE ENGEL ME Wole) ’ p + (p* —p) (aa + bB + ey + etc.) $ we Se 4 | bZ2 p + (p*—p) (aa +bß + cy + ete.) da

dividirt. Diese Lösung begreift auch den Fall in sich, wo man nach vollendeter Rechnung bemerkt, dass eine der Beobachtungen gänzlich zu verwerfen sei, da dies dasselbe ist, als wenn man p* = 0 setzt; und ebenso entspricht der Werth »* = » dem Fall, wo die Gleichung V = L, welche in der Rechnung als angenähert be- handelt worden war, in der That absolut genau ist.

; Wenn übrigens zu den Gleichungen, welche der Rechnung zu 4 Grunde gelegt sind, mehrere neue hinzukommen, oder wenn man - bemerkt, dass mehreren von ihnen irrige Gewichte beigelegt sind, - so würde die Berechnung der Correctionen zu verwickelt werden; - deshalb wird man in diesem Fall es vorziehen, die Rechnung von _ neuem zu beginnen.

F 37.

3 In den Art. 15., 16. haben wir eine Methode zu einer mög- - lichst angenäherten Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen gegeben*). Diese Methode setzt aber voraus, es seien die wirklich

*) Eine Untersuchung über denselben Gegenstand, welchen wir in einer

46 Combination der Beobachtungen.

begangenen Fehler hinlänglich zahlreich und genau bekannt, eine Voraussetzung, welche streng genommen sehr selten, oder sagen wir lieber nie, zutreffen wird. Wenn aber wenigstens die Grössen, deren angenäherte Werthe durch Beobachtungen ermittelt wurden, nach einem bekannten Gesetz von einer oder mehreren unbekannten Grössen abhängen, so lassen sich die plausibelsten Werthe der letz- teren durch die Methode der kleinsten Quadrate bestimmen; und von den hieraus berechneten Werthen der Grössen, welche den Beobach- tungen unterworfen waren, wird vorausgesetzt, da sie nunmehr sehr wenig von den wahren Werthen abweichen, so dass ihre Unterschiede gegen die beobachteten Werthe mit um so grösserem Rechte als wahre Beobachtungsfehler behandelt werden dürften, je grösser ihre Anzahl gewesen ist. Dieses Verfahren haben alle Rechner befolgt, welche a posteriori die Genauigkeit von Beobachtungen in bestimmt vorliegenden Fällen zu schätzen unternahmen: offenbar ist dasselbe aber theoretisch fehlerhaft, und obwohl es in vielen Fällen für den praktischen Gebrauch genügen mag, kann es gleichwohl in anderen stark irre führen. Deshalb ist dieser Gegenstand im höchsten Grade einer schärferen Analyse werth.

Wir werden bei dieser Untersuchung die vom Art. 19. ab angewandten Bezeichnungen beibehalten. Das eben erwähnte Ver- fahren behandelt die Grössen A, B, C etc. als wahre Werthe der x, y, z etc., und demnach die A, 4, A’ etc. als wahre Werthe der Funktionen vo, v‘, vo” etc. Wenn alle Beobachtungen gleiche Ge- nauigkeit besitzen, und ihr Gewicht > = p’ = p” etc. als Ein- heit angenommen wird, so bedeuten die Grössen A, 4’, A” etc. mit entgegengesetzten Vorzeichen bei jener Voraussetzung die Beobach- tungsfehler selbst, welche nach den Vorschriften des Art. 15. den mittleren Fehler m der Beobachtungen

a V* +? HN" +ete. _ vr 20 7U VergE

ergeben. Ist die Genauigkeit der Beobachtungen verschieden, so würden die Grössen — A, — 4, —4” etc. die Beobachtungsfehler multiplieirt mit den Quadratwurzeln aus den Gewichten darstellen,

früheren Abhandlung (Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen. Zeit- schrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften. Bd. I, S. 185) veröffent- licht haben, war auf dieselbe Hypothese in Betreff des Charakters der Funktion, welche die Fehlerwahrscheinlichkeit ausdrückt, begründet, auf welcher wir auch in der „Theorie der Bewegung der Himmelskörper“ die Methode der kleinsten Quadrate aufgebaut hatten (s. Art. 9., III).

Zweiter Theil. 47

ER EN {

und die Vorschriften des Art. 16. würden zu der nämlichen Formel # y“ führen, welche schon den mittleren Fehler solcher Beobach-

- tungen ausdrückt, denen das Gewicht = 1 beigelegt wird. Offenbar - würde aber eine strenge Rechnung erfordern, dass an Stelle der Grössen A, X, A” etc. die aus den wahren Werthen von x, y, z ete. sich ergebenden Werthe der Funktionen », v, »” etc. gebraucht _ werden, d. h. an Stelle von M der den wahren Werthen von x, y, 2 etc. entsprechende Werth der Funktion 2. Obgleich dieser nun nicht angegeben werden kann, sind wir dennoch sicher, dass er grösser als M sei (da M der kleinste mögliche Werth ist), den höchst unwahrscheinlichen Fall ausgenommen, dass die plausibelsten - Werthe der Unbekannten mit den wahren genau übereinstimmen. Im allgemeinen können wir also versichern, dass das gewöhnliche Ver- fahren einen gewiss zu kleinen mittleren Fehler ergiebt, oder dass _ den Beobachtungen eine allzugrosse Genauigkeit beigelegt wird. Wir wollen jetzt zusehen, was die strenge Theorie lehrt.

2

| 38,

Vor allem muss man untersuchen, wie M von den wahren Beobachtungsfehlern abhängt. Diese bezeichnen wir, wie im Art. 28., mit e, e’, e” etc., und setzen der grösseren Einfachheit wegen

’

eVp = &, eVYp = ®, e’VYp” = * etc. und ebenso

mYp = mVp' = m’VYp” = ete. = u.

Es seien ferner die wahren Werthe der x, y, z etc. bezw.

A— a, B—y’, C— 2’ etc, und diesen mögen als Werthe der 5, 2, E etc. bezw. entsprechen — 3%, —n’, — [" etc. Offenbar ent- - sprechen denselben als Werthe der v, v, v” etc. bezw. — 8, — €), — eg” etc., so dass man hat

& — ace+ ae + ua”: + etc. 7 = be + be + b’e’ + etc. = ce +cE!+c’e” + etc.

etc., sowie a —= ae+ ae + a” + etc. yv = ße + Pe + Pe’ + etc. = ye +ryEe + y’e +ete.

48 Combination der Beobachtungen,

Endlich setzen wir = HEHE + etc,

u Dr tut

so dass 2° der Werth der Funktion 2 ist, welcher den wahren Ä

Werthen der x, y, z etc. entspricht. Da man allgemein hat 2 = M+@—A)E+YW— BR +l@— OT + ete.,

so wird hiernach .M = 9 — 28 — y’n’ — I — ete.

sein. Hieraus folgt offenbar, dass M sich als homogene Funktion zweiten Grades der Fehler e, e‘, e” etc. entwickeln lässt, welche für verschiedene Werthe der Fehler grösser oder kleiner werden kann. So lange uns aber die Grösse der Fehler unbekannt bleibt, wird man diese Funktion bei der Untersuchung unbestimmt lassen, und vor allem ihren mittleren Werth nach den Principien der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu bestimmen suchen. Diesen werden wir finden, wenn wir an Stelle der Quadrate e’, e”, e”” etc. bezw. m’, m”, m” etc. setzen, die Produkte ee’, ee”, ee” etc. aber über- haupt weglassen, oder, was dasselbe ist, wenn wir an Stelle eines jeden Quadrates &’, &”, &”” etc. «® schreiben und die Produkte ee‘, ee”, Ee” etc. vernachlässigen. Auf diese Weise entsteht aus dem Gliede 2° offenbar zu’; das Glied — x’&° geht in

— (aa + da + a’a” + etc)" = — uw

über, und analog geben die übrigen einzelnen Theile — u’, so dass der mittlere totale Werth = (r —.e) u” wird, wenn 7 die Anzahl der Beobachtungen und o die Anzahl der Unbekannten bezeichnet. Der wahre Werth des M kann zwar, je nach den zufälligen Fehlern, grösser oder kleiner als der mittlere werden, der Unterschied aber wird von um so geringerer Bedeutung sein, je grösser die Anzahl

der Beobachtungen gewesen ist, so dass man als angenäherten Werth des u

72

— ER

nehmen darf. Der Werth für «, welcher sich aus der im vorigen

Art. besprochenen irrthümlichen Praxis ergiebt, muss deshalb im Ver-

hältniss der Grösse Yrr — o zu Vrr vergrössert werden.

Zweiter Theil. 49

39.

Um noch deutlicher zu zeigen, mit wie grossem Rechte man _ einen zufälligen Werth des M dem mittleren gleich setzen darf, _ muss man den mittleren zu befürchtenden Fehler suchen, wenn

E =. — wu gesetzt wird. Jener mittlere Fehler ist gleich der

4 Quadratwurzel aus dem mittleren Werthe der Grösse ’ rn Er Nee u 4: ’

BR

der wir die Gestalt geben wollen

e —ı( — Y’rd— =)

TR

E

Fass

— 8 — yn’— 20 — ete. — (m — eo) uw] — u‘;

da der mittlere Werth des zweiten Gliedes = 0) wird, so 4 _ verwandelt sich unsere Frage in die nach dem mittleren Werthe [ der Funktion ; = (2! — Ei — yYn— zT — etc). - Ist dieser gefunden, und bezeichnet man ihn mit N, so wird der gesuchte mittlere Fehler

FEB. N + ag) ©

Der Ausdruck 7 lässt sich offenbar als homogene Funktion $ entweder der Fehler e, e‘, e” etc. oder auch der Grössen e, €’, &” etc. | 4 entwickeln, und sein mittlerer Werth wird gefunden, wenn 1. für die Biquadrate e‘, e*, e”* etc. ihre mittleren Werthe gesetzt werden, } 2. für die einzelnen Produkte aus je zwei Quadraten, wie ee, ee”, e*e” etc. die Produkte aus ihren mittleren Werthen, - nämlich m’m’”, m’m”’, m”m’” etc. gesetzt werden, E 3. die Bhrisen Glieder aber, welche entweder einen Faktor - von der Form e’e‘, oder von der Form e’e’e” enthalten, ganz fort- - gelassen werden. Die mittleren Werthe der Biquadrate e‘, e*, e”* etc. _ nehmen wir proportional den Biquadraten m‘, m“, m”* etc. an - (siehe Art. 16.), so dass sich jene zu diesen wie »* zu w* ver- _ halten, wo »* also den mittleren Werth der Biquadrate solcher - Beobachtungen bezeichnet, deren Gewicht — 1 ist. Demnach können _ die obigen Vorschriften auch so ausgedrückt werden: An Stelle der Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 4

50 Combination der Beobachtungen.

3 N 1 ' EN N er ul I

einzelnen Biquadrate &, e“, e”* etc. ist »* zu schreiben, an Stelle

der einzelnen Produkte aus je zwei Quadraten wie &’e”, ee”, es” etc. ist «* zu schreiben, alle übrigen Glieder aber, die Fak- toren wie &’e’ oder e’ee” oder ee’e’e” enthalten, sind wegzulassen.

Hat man dieses genau begriffen, so findet man leicht:

I. Der mittlere Werth des Quadrates Q°° ist zı»® + (r’ —r) u‘.

II. Der mittlere Werth des Produktes &’2’&’ wird — aav' + (a + a’a” + etc.) u? oder, da aa + da +a”’a” + etc. = 1 ist, = aa — w) + u‘. Und da der mittlere Werth des Produktes &?z’&° ebenso = da (WR) + w

wird, der mittlere Werth des Produktes e”’x’&’ aber

APR

= de "—u)+u ist u. Ss. w., so wird offenbar der mittlere Werth des Produktes (+ €* + 8” + etc.) =’&° oder von A°x’E°

— y* ur u* + eu‘ sein. Denselben mittleren Werth haben die. Produkte 2°’, 2°C etc. Folglich wird der mittlere Werth des Produktes (el (28° + y’n? + 2°C “n etc.)

= e+tea@r— du.

II. Damit die noch übrigen Entwickelungen nicht zu ver- wickelt werden, soll eine zweckmässige Bezeichnung eingeführt werden. Wir gebrauchen zu dem Zweck das Zeichen 2 in einem etwas weiteren Sinne, als dies oben vorübergehend geschehen ist, so dass es eine Summe bezeichnet, bestehend aus dem Gliede, dem es vorgesetzt, und allen ähnlichen aber nicht identischen Gliedern, welche aus ihm durch alle Permutationen der Beobachtungen ent- springen. Hiernach ist z. B. @&° = Zas, a’ = Za’e +2 Zau’ee.. Setzt man dann den mittleren Werth des Produktes «’’&” gliedweise zusammen, so erhält man erstens den mittleren Werth des Pro- duktes a’s’&'’

—= aa + a’ (a? + a” + etc.) u* — ad (# — ) + aa. Der mittlere Werth des Produktes «”e”&’* wird ebenso

Zweiter Theil. 51 — aa” (v — u‘) + a’u'za® u. s. w., und deshalb der mittlere - Werth des Produktes TER j = (v!— u) Zara? + u'Za?la?. 4 Der mittlere Werth des Produktes a«’se’£’* wird weiter — 2 ac uauf, £ und der mittlere Werth des Produktes a«@”ee”£’? ebenso | — R-aa”aa”u‘ etc., 4 _ woraus leicht zu schliessen ist, dass der mittlere Werth des Pro- duktes &*Lao’se’ sich —= Aw Zone a — ut[(Zac)? — Zara?) = ut (1 — Za?e?) ergiebt. Wenn wir dies zusammenfassen, so erhalten wir den - mittleren Werth des Produktes x”? &°° pe (v — 3 u‘) Zara? +2 u + u! Za’Za?.

IV. Ganz ähnlich findet man den mittleren Werth des Pro- duktes ’y’&n’ 2 = "Yabaß + u*Zaab PB’ + wZabaß’ + Zap. Es ist aber Zaab’ß’ Zaa Zbß — Zaabp

Tabea’ Zab Zaß — Zabaß Zaßb’a' — Zap ba — Zapbe,

E woraus sich jener mittlere Werth, weil Zaa = 1, Zi =|1, E. ‚Zap _— 0, be —= 0 ist,

— (vY — 3 u‘) Zabaß + u! (1 + Zab Zapf)

NA

; ergiebt. E. V. Da ferner der mittlere Werth des Produktes =’ 2’ I’ auf ' dieselbe Weise 2 | —= (#" — 3 u‘) Zacay + u (1 + Zac ay) E. wird, u. s. w., so ergiebt sich durch Summirung der mittlere Wertlı - des Produktes ="&° (2’5° + y'7’ + 2’ + ete.) 4 — 30) Z[aa (aa + bB + cy + ete)] +@+ Du

+ u (Za’ Za’ + Zab Zuß + Zac Zay + etc.) — (" — 30) E[aa (aa + bB + ey + ete)) + (+ Yu.

FE)

52 Combination der Beobachtungen.

VI. _ Ferner wird auf dieselbe Weise der mittlere Werth des Produktes y’n? (z’&° + y’n’ + 2°C’ + etc.) gefunden

— ! — 3u‘) Z[b (aa +b5P +cy+etc)) + +N) u, sodann der mittlere Werth des Produktes 2° (28° + y’n’ + 2° + etc.)

—= (" — 3) E[ey(aa +++ etc) +E@+Nu u.s. w. Hieraus folgt durch Addition der mittlere Werth des Quadrates (2°8° + y’n’ + 2’ + etc.)” — (#Y — Zu‘) E[(aa + BB + cy + etc.)’] + (oe + 2o) u. . VI. Durch sorgfältige Addition aller Glieder ergiebt sich endlich N = (n — Re)” + (m — nm — no +4o + o°) u‘ + (9 — Zu‘) Z[lae + dB + cy + etc.)’] = a) — u) +@R—o)w — (u! — Zu) jo — E[(aa + 5B + cy + ete.)’]}. Daher wird der mittlere zu befürchtende Fehler von u’, wenn die Formel

angewendet wird,

= —u du En ö Sy pe 2lae +08 +07 + ea)

40.

Die Grösse Z[(a« + b8 + ey + ete.)’], welche in den soeben gefundenen Ausdruck eingeht, kann zwar im allgemeinen nicht auf eine einfachere Form gebracht werden; nichtsdestoweniger lassen sich zwei Grenzen angeben, zwischen denen ihr Werth noth- wendig liegen muss. Erstens nämlich lässt sich aus den oben entwickelten Relationen leicht zeigen, dass

(aa + 58 + cy + etc)’ + (aa’ + 5B’ + ey’ + etc.)’ + (aa” +58” +07” + ete)' + ot. — aa + bB +07 + etc,

woraus wir schliessen, dass a« +bß +cy + etc. eine positive -

Grösse und kleiner (wenigstens nicht; grösser) als die Einheit ist. Dasselbe gilt von der Grösse a’ + b’®’ + c’y + ete., welche ja der Summe (da + 5B +c'y + etc.) + (aa + 5’ + c'y + etc.) + (aa + b/B” + c’y’ + etc.)’ + etc. gleich gefunden wird; ebenso

"N

wird a’@” + b’8” + .c”y” + etc. kleiner als Eins sein, u.s. w. Hiernach

2 de are ud ande Day

Zweiter Theil. - 53

ist Z[(a«@ + bP + cy + ete.)’| nothwendig kleiner als sr. Zweitens hat man Z(a@ +bß + cy-+ etc.) = eo, da ja Zaa = 1, ZIP —=1, 2cy — 1 etc., woraus leicht geschlossen wird, dass die Summe der

2

Quadrate Zf(a« + bP + cy + ete.)’] grösser als 5 oder wenigstens nicht kleiner sei. Daher liegt das Glied

Bu | pe x [(a« + DB + ey + ete.)?]} 4.839 +2 4 nothwendig zwischen den Grenzen — ee, ie BE, ‚oder, #2 ee 4 Dibgeeuuell "SEE 5 — Zu ° wenn wir weitere Grenzen vorziehen, zwischen — TEBAT: und m 0%. = + ae a und hiernach das Quadrat des mittleren zu befürchtenden ; “= i EEE ? — 4u! Fehlers für den Werth von «° — eG in den Grenzen un A i — —

und Hoss so dass man jedwede Genauigkeit erreichen kann, wenn

nur die Anzahl der Beobachtungen hinreichend gross gewesen ist.

Es ist sehr bemerkenswerth, dass bei derjenigen Hypothese

(Art. 9., III), auf welche die Theorie der kleinsten Quadrate früher

begründet worden war, jenes Glied ganz wegfällt, und dass, ebenso

‘ wie man zur Ermittelung eines angenäherten Werthes « des mitt- leren Fehlers der Beobachtungen in allen Fällen die Summe

2-4 +4” tete. =M | so behandeln muss, als wenn sie die Summe von zz — o zufälligen - Fehlern wäre, gerade so bei jener Hypothese auch die Genauigkeit selbst dieser Bestimmung derjenigen gleich wird, welche nach den - Ergebnissen des Art. 15. der Bestimmung aus = — R wahren Feh- lern zukommt.

u a id A se ut li anal a a . x .

a ee ar u ae Zur in Bel nn: ua

Ergänzung zur Theorie

der den kleinsten Fehlern unterworfenen

Gombination der Beobachtungen.

(Der Königlichen Societät der Wissenschaften überreicht 1826, Sept. 16.)

%

In der Abhandlung über die Theorie der Combination der Beobachtungen, welche im 5. Bande der „Commentationes recentiores* abgedruckt ist, haben wir angenommen, die Grössen, deren Werthe durch nicht völlig genaue Beobachtungen gegeben sind, seien von gewissen unbekannten Elementen so abhängig, dass sie in Form von gegebenen Funktionen dieser Elemente dargestellt seien, und es komme hauptsächlich darauf an, diese Elemente so genau als möglich aus den Beobachtungen abzuleiten.

In den meisten Fällen ist jene Annahme freilich unmittelbar zu- treffend. In anderen Fällen .aber tritt uns die Aufgabe in ein wenig anderer Gestalt entgegen, so dass es auf den ersten Anblick zwei- felhaft erscheint, wie man sie auf die verlangte Form zurückführen könne. Es kommt nämlich nicht selten vor, dass die Grössen, auf welche sich die Beobachtungen beziehen, noch nicht in der Form von Funktionen bestimmter Elemente ausgedrückt sind und auch nicht auf eine solche Form zurückführbar erscheinen, wenigstens nicht be- quem oder nicht ohne Umschweife; während andererseits die Natur des Gegenstandes gewisse Bedingungen liefert, denen die wahren Werthe der beobachteten Grössen in aller Strenge genügen müssen.

Wenn man aber genauer zusieht, so bemerkt man leicht, dass dieser Fall sich von dem früheren in der That nicht wesentlich unter- scheidet, sondern auf ihn zurückgeführt werden kann. Bezeichnet man nämlich mit r die Anzahl der beobachteten Grössen, mit o aber die Anzahl der Bedingungsgleichungen, und wählt man von den ersteren nach Belieben = — o aus, so steht nichts im Wege,

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Bu di a a Tr ia a Be en en nlagın a Er ta ee a ek

Wr Ba

Ergänzung. 55

gerade diese als Elemente anzunehmen und die übrigen, deren Anzahl

o sein wird, mit Hülfe der Bedingungsgleichungen als Funktionen von jenen zu betrachten, wodurch die Aufgabe auf unsere Voraus- setzung zurückgeführt ist.

Wenn nun aber auch dieser Weg in sehr vielen Fällen that- sächlich bequem genug zum Ziele führt, so lässt sich doch nicht leugnen, dass er nicht ganz natürlich ist, und dass es demnach die Mühe lohnt, die Aufgabe in dieser anderen Form gesondert zu be- handeln, und zwar um so mehr, als sie eine sehr elegante Lösung erlaubt. Ja man darf sogar sagen: Da diese neue Lösung zu kürzeren Rechnungen, als die Lösung der Aufgabe im früheren Zustande führt,

wenn o kleiner als on ist, oder, was dasselbe ist, wenn die in der früheren Abhandlung mit o bezeichnete Anzahl der Elemente grösser als sn ist, so wird man die in der vorliegenden Abhandlung aus-

einandergesetzte neue Lösung in diesem Fall auch dann noch der früheren vorzuziehen haben, wenn man die Bedingungsgleichungen aus der Natur des Problems ohne Umschweife wegschaffen kann.

2.

Wir bezeichnen mit v, v’, vo” etc. die Grössen, in der Anzahl ze, deren Werthe durch Beobachtung zu unserer Kenntniss kommen; es hänge nun eine unbekannte Grösse von jenen so ab, dass sie durch eine gegebene Funktion « derselben ausgedrückt sei; es seien ferner /, !', !” etc. die Werthe der Differentialquotienten

du du du

dv’ dv’ dv” welche den wahren Werthen der Grössen v, v’, v” etc. entsprechen. Ebenso wie nun durch Einsetzen dieser wahren Werthe in die Funktion « ihr wahrer Werth hervorgeht, so erhält man, wenn man für v, v’, v” ete. Werthe einsetzt, welche von den wahren bezw. um die Fehler e, e’‘, e” etc., unterschieden sind, einen fehler- haften Werth der Unbekannten, dessen Fehler

= le+ le -+l’e” + etc.

gesetzt werden kann, wenn nur, was wir stets annehmen, die Fehler e, e', e” etc. so klein sind, dass (für eine nicht lineare Funktion «) ihre Quadrate und Produkte vernachlässigt werden

etc.,

dürfen. Obwohl nun die Grösse der Fehler e, e', e” etc. unbe- stimmt bleibt, kann man doch die einer solchen Bestimmung der

56 Combination der Beobachtungen.

Unbekannten anhaftende Unsicherheit allgemein schätzen, und zwar durch den mittleren bei einer solchen Bestimmung zu befürchtenden Fehler, der nach den Prineipien der früheren Abhandlung

— Y I?m? + 1?m”? + 1m? + etc. wird, wenn m, m’, m” etc. die mittleren Fehler der Beobachtungen

bezeichnen, oder wenn die einzelnen Beobachtungen mit derselben Unsicherheit behaftet sind,

= mYi +1? +7” +ete. *

Oftenbar darf man bei dieser Rechnung für /, 7‘, I” ete. mit gleichem Recht auch die Werthe der Differentialquotienten nehmen, welche den beobachteten Werthen der Grössen v, v, v” etc. entsprechen.

3.

Sind die Grössen », v’, v” etc. vollständig unabhängig von ein- ander, so kann die Unbekannte nur auf eine einzige Weise durch

2 er reie

sie bestimmt werden; es kann deshalb jene Unsicherheit alsdann auf |

keine Weise weder vermieden noch verringert werden, und bei der Ableitung des Werthes der Unbekannten aus den Beobachtungen ist jede Willkür ausgeschlossen.

Ganz anders verhält es sich aber, wenn zwischen den Grössen v, v', v” etc. eine gegenseitige Abhängigkeit besteht, welche wir durch o Bedingungsgleichungen _

E00. rd Zee

ausgedrückt annehmen wollen, wo X, Y, Z etc. gegebene Funk- tionen der Variabeln v, v’, v” etc. bezeichnen. In diesem Falle kann man unsere Unbekannte auf unendlich viele verschiedene Weisen durch Combinationen der Grössen v, v’, v” etc. bestimmen, da man an Stelle der Funktion « offenbar irgend eine andere U an- nehmen kann, welche so beschaffen ist, dass U— u identisch ver- schwindet, wenon man X = 0, Y=(0, Z = ete. setzt.

Bei der Anwendung auf einen bestimmten Fall würde sich so zwar kein Unterschied in Bezug auf den Werth der Unbekannten ergeben, wenn die Beobachtungen völlig genau wären; insofern diese aber Fehlern unterworfen sind, würde offenbar im allgemeinen jede einzelne Combination einen anderen Werth der Unbekannten hervorbringen. So erhalten wir an Stelle des Fehlers

le + le +l'e’ + ete.,

Ergänzung. 57

4 welcher der Funktion u zugehört hatte, für die Funktion U den Fehler 3 Le+L’e®+L’e + etc.,

| _ wo die Werthe der Differentialquotienten en. : LE ete. 4 dv dv’ ’ dv” bezw. mit L, L/, L” etc. bezeichnet sind. Obwohl wir nun die

4 Fehler selbst nicht angeben können, so werden sich doch die

- mittleren bei den verschiedenen Combinationen der Beobachtungen 4 zu befürchtenden Fehler mit einander vergleichen lassen; und die - beste Combination wird die sein, bei der dieser mittlere Fehler so _ klein als möglich wird. Da dieser

— YL?’m? + L?m”? + L”?m”? + etc. ist, so wird man darauf hinwirken müssen, dass die Summe 3 L?’m?’ + L’?m’* + L’”m”” + etc. den kleinsten Werth erhält.

4.

; Da die unendliche Mannigfaltigkeit von Funktionen U, welche _ unter der im vorigen Art. angegebenen Bedingung an die Stelle von a treten können, hier nur insofern zu betrachten ist, als sich hier- _ aus verschiedene Werthsysteme der Coefficienten L, L/, L” etc. - ergeben, so muss man vor allem den Zusammenhang aufsuchen,

- welcher zwischen sämmtlichen zulässigen Systemen statthaben muss.

2 Bezeichnen wir die bestimmten Werthe der partiellen Differential- quotienten

[2x dB AR ete dv’ dv’ dv” a dr er ei dv’ dv’ dv” ; dä dZ dZ

etc. etc.

E. do’ WW’ de" 3 für den Fall, dass den v, v’, v” etc. ihre wahren Werthe beigelegt - werden, bezw. mit

4 a, a’, a” etc.

b, db’, b” etc.

B | c,.c, c” etc. ett.,

2 so folgt, wenn man die », v‘, v” etc. solche Zuwachse dv, dv’, dv” etc. - annehmen lässt, durch welche X, Y, Z etc. nicht geändert werden und deshalb einzeln = 0 bleiben, d. h. welche den Gleichungen

58 Combination der Beobachtungen.

0 = adv + a’dv’ + a’dv” + etc. 0 = bdv + b’dv’ + b’dv” + etc. 0 = cdv + edv’ + c”dv” + etc. etc.

genügen, dass sich auch «— U nicht ändern darf, und daher auch 0 —= (!—L)dv + (! —L) dv + (” — L”) dv” + etc.

werden wird. Hieraus schliesst man leicht, dass die Coefficienten L, L’, L” etc. in folgenden Formeln

L =! + ae+ by+ cz + etc.

U =!7!+de+by+ cz + etc. .

I’ =N"+aa=+b’y+ cz + etc. etc. enthalten sein müssen, wo x, y, z etc. bestimmte Multiplicatoren bezeichnen. Umgekehrt leuchtet ein, wenn ein System von be- stimmten Multiplicatoren z, y, z etc. beliebig angenommen wird, dass man stets eine solche Funktion U angeben kann, welcher den

obigen Gleichungen genügende Werthe von L, L’, L” ete. ent-

sprechen, und welche der Bedingung des vorigen Art. gemäss die Funktion « ersetzen kann; ja dass man dies auf unendlich ver- schiedene Weisen erreichen kann. Der einfachste Fall wird der sein, dass man U = u+xzX + yY-+ zZ + etc. setzt; allgemeiner darf man setzen U= u+xzX-+yY +22 + etc. + uw, wow eine solche Funktion der Variabeln v, v’, v” etc. bezeichnet, welche für x=0, Y=0, Z = 0 etc. immer verschwindet, und deren Werth in dem betreffenden bestimmten Fall ein Maximum oder Minimum wird. Aber für unseren Zweck erwächst daraus Kein Unterschied.

5.

Es wird nunmehr leicht sein, den Multiplicatoren », y, z etc. solche Werthe zu geben, dass die Summe

L?’m? + L’*m”” + L”’m’? + etc.

den kleinsten Werth erhält. Offenbar ist hierzu eine vollkommene Kenntniss der mittleren Fehler m, m’, m” etc. nicht nothwendig, sondern es genügt ihr gegenseitiges Verhältniss. Wir führen des- halb an Stelle derselben die Gewichte der Beobachtungen p, p’, p” etc. ein, d. h. Zahlen, welche den Quadraten m?, m”, m”* etc. umge- kehrt proportional sind, wobei das Gewicht irgend einer Beobach- tung willkürlich gleich der Einheit angenommen wird. Die Grössen

ee en >

Ergänzung. 59

2, y, z etc. müssen daher so bestimmt werden, dass das allgemeine

3 Polynom (ax + by + cz + etc. + 1)? L (+ by+ecz+et. +: p p’ ” „ a „, ‚N2 were nd it

' den kleinsten Werth erhält, was für die bestimmten Werthe =", _y’, x’ etc. der Fall sein möge.

Führen wir die Bezeichnungen ein:

2 2 „2 a a a [aa]

7 ar ete:: == Hr tete =

a SA [ab]

p p p

ac ’e "N

ur za — [ae]

b? ’2 h”2

Et 7 ae + etc. = [bb]

b b’e’ 1

ee Tre ai == [be] 2 v2 ec"?

et zit te. = [ec]

etc., und ferner

al al al’

ut ae 5 Eau TR etc. = al p $; pP & pP . lat) bl bV b’l’

— + +, ete. = |bl a Va a [b2] el el et:

_— ; ; etc. = lcd BoTet, * [2] etc.,

so erfordert die Bedingung eines Minimum offenbar, dass wird 0 = [aa] x’ + [ab] y’ + [ac] 2° + ete. + [al] 0 = [ab] =° + [bb] y" + [de] =’ + ete. + [d2] | 0 = [ac] #° + [be] y’ + [ee] 2’ + ete. + [el] { (1) etc.

Sind die Grössen 2°, y’, z° etc. durch Elimination hieraus abgeleitet, so setze man

60 Combination der Beobachtungen.

aa +by’+cz’+ete.+l =L.

a +by +c2’ +etc.+/’=L (2) dx’ + b”y° + c”z° + etc. +1” = Fr | etc, |

Alsdann wird die zur Bestimmung unserer Unbekannten zweck- mässigste und der geringsten Unsicherheit unterworfene Funktion der Grössen », ©, v” etc. die sein, deren partielle Differentialquo- tienten in dem betreffenden bestimmten Fall bezw. die Werthe L, L’, L” etc. haben, und das Gewicht dieser Bestimmung, welches wir mit P bezeichnen wollen, wird

1 — 3) BESTE Pad Fop, ( — - + — + etc. p 7 p T p ® sein, oder 23 wird der Werth des oben angeführten Polynoms für

P dasjenige Werthsystem der Grössen x, y, 2 etc. sein, welches den

Gleichungen (1) Genüge leistet.

6.

Im vorhergehenden Art. lehrten wir diejenige Funktion U kennen, welche zur zweckmässigsten Bestimmung unserer Unbekannten ver- hilft; nun wollen wir sehen, welchen Werth die Unbekannte auf diese Weise erlangt. Es werde dieser Werth mit K bezeichnet, welcher demnach entsteht, wenn man in U die beobachteten Werthe der Grössen v, v, »” etc. einsetzt; für dieselbe Substitution erhalte die Funktion « den Werth %; endlich sei x der wahre Werth der Unbe- kannten, wie er also durch die Substitution der wahren Werthe der (srössen v, v’, v” etc. erhalten werden würde, wenn man eine solche in U oder « ausführen könnte. Hiernach wird mithin

k=x+ le+ T!ed+ le’ +ete. K=x+Le+L’e +L’”e’ + etc. und ferner K=%k+(L-—-De+(U’—Ne+(l’”— Me’ + etc.

Setzt man in dieser Gleichung für L—!, LU’ —/, L”— !” ete. ihre Werthe aus (2), und bezeichnet

ae+ ade + ade +etc = WA be-+be + b’e’ etc. = B (4) ce B ce rn c’e” -r etc. — & ’

etc., so hat man

ee ET ER TIEREN are dir: * we

Are a ee

Ergänzung. 61

— k+X2° 4 By’ + 2° + etc. (5)

- Die Werthe der Grössen X, ®, € ete. kann man nun freilich nach

den Formeln (4) nicht berechnen, da die Fehler e, e', e” etc. un-

bekannt bleiben; aber es ist von selber klar, dass jene nichts

anderes sind, als die Werthe der Funktionen X, Y, Z.etc., welche sich ergeben, wenn man für v, v’, v’ etc. die beobachteten Werthe

_ einsetzt. Sonach bildet das System der Gleichungen (1), (3), (5) E die vollständige Lösung unserer Aufgabe, da unsere am Ende des Art. 2. gegebenen Vorschriften über die Berechnung der Grössen 1,T7,1” etc. aus den beobachteten Werthen der Grössen », v, v” etc. offenbar mit gleichem Rechte auf die Berechnung der Grössen a,a,.a” ete., b, d, b’ etc. ausgedehnt werden dürfen.

| 1, An Stelle der Formel (3), welche das Gewicht der plausibel-

sten Bestimmung ausdrückt, lassen sich noch einige andere finden, - welche zu entwickeln die Mühe lohnen wird.

Zunächst bemerken wir, dass durch Multiplication der Gleichun-

’ „

gen (2) bezw. mit ns jr Fe etc. und durch Addition erhalten wird

Bir

[aa] z° + [ab] y° + [ac] 2° + etc. + [al] = r u +, + —- + etc.

Die linke Seite wird —= 0, die rechte bezeichnen wir der

| Analogie gemäss mit [aL], und erhalten so

[aL] = 0, und weiter ebenso [DL] = 0, [cL] = 0 ete.

Ferner finden wir, wenn wir die Gleichungen (2) der Reihe

„

nach mit ir = nz etc. multiplieiren und addiren

+ ee ee und erhalten so einen zweiten Ausdruck für das Gewicht ; 4b +, + l ie ti.

E® Multiplieiren wir endlich die Er (2) der Reihe nach

62 Combination der Beobachtungen.

SR OR 5

mit By’ pe etc. und addiren, so gelangen wir zum dritten Aus

druck für das Gewicht | er 1 [al] &® + [bl] y’ + [el] 2° + ete. + [1]

wenn wir nach Analogie der übrigen Bezeichnungen

l’? l’2

tn Fr 7 + ei. = [2]

setzen. Hiernach gehen wir mit Hülfe der Gleichungen (1) leicht zum vierten Ausdruck über, den wir folgendermaassen schreiben:

z = [Ü) — [ea] 2°: — [bb]y — [cc]2’* — etc.

— 2[ab] z°y° — 2[ac] x°2° — 2[be] y’2’ — etc.

8.

Die allgemeine Lösung, die wir bis jetzt gaben, ist besonders auf den Fall eingerichtet, dass nur eine von den beobachteten Grössen abhängige Unbekannte zu bestimmen ist. Wenn aber die plausibelsten Werthe mehrerer von denselben Beobachtungen abhän- giger Unbekannten in Frage stehen, oder wenn es noch ungewiss ist, welche Unbekannten man vor allem aus den Beobachtungen ableiten soll, dann verfährt man mit ihnen besser auf eine andere Weise, welche wir nun entwickeln wollen. |

Wir betrachten die Grössen z, y, z etc. als Variable und.

setzen laala + [ab]y-+ [aelz + ete. = lab] + |bb]y + [bez +ete. = 7 (6) [ac|z + [bely + [ce]lz +ete. = &

etc., und nehmen an, durch Elimination folge hieraus

[ea]& + [eß]n + [ey] S + ete. = [de] 5 + [$#]n + [8715 + etc. = y (7) [re] & + [yßln + [yyl& + ete. = |

etc.

Vor allem ist hier zu bemerken, dass die symmetrisch stehen- den Coefficienten nothwendig einander gleich sind, also

b“ B

j

Ergänzung. 63

[da] = [«#] [ve] = [ey] [vß] = [Pr] etc.,

was sich zwar schon aus der allgemeinen Theorie der Elimination Hi aus linearen Gleichungen von selber ergiebt, ausserdem aber später auch noch einmal direkt von uns bewiesen werden soll. Wir erhalten also

2° = — [ee] [al] — [&$] [1] — [ey] [el] — ete.

y’ = — [ef] [al] — [8P] [d2] — [$y] [et] — ete. (8) 2° = — [ey] [al] — [By] [8] — [yy] Te) — ete. etc.

und hieraus, wenn wir

[ea] A + [aß] 8 + [ey] & + etc. = A | [eß] A + [BP] ® + [By] © + etc. = B (9) [ey] A + [Pr] B + lyyY]& +etec. = C etc. setzen, K = k—A[al]l — B [bl] — € [el] — ete.

oder, wenn wir ausserdem

ee «A+bB+eC+ete = pe (10) aA + VB + CC + ete. = p’e’ | ete. setzen, | K=k—le — te! — le — etc. (11)

9.

Eine Vergleichung der Gleichungen (7) und (9) lehrt, dass die Hülfsgrössen A, B, C etc. diejenigen Werthe der Variabeln x, y, z etc. sind, welche den Werthen &= 4, n=8B T= € ete. der Variabeln &, n, & etc. entsprechen; woraus folgt, dass man

[aa] A + [ab] B + [ac]C HF etc. = A [ab] A + [ad] B+ [be] C + etc. B (12) [ac] A + [ab] B + [ce] © + etc. & etc. erhält. Multiplicirt man also die Gleichungen (10) bezw. mit g re za 2 etc. und addirt, so erhält man

|

64 Combination der Beobachtungen. AU—= ae +aed+ ae + etc. % und analog weiter | (13) E BB —= be+be +b”’e’ + etc. [

GG = ce +ce +ce + etc. |

ete. Da nun X der Werth der Funktion X ist, falls man für v, v', v” ete. die beobachteten Werthe einsetzt, so sieht man leicht, dass, wenn man an diese bezw. die Verbesserungen — e, — €’, — €” etc. anbringt, die Funktion X alsdann den Werth O erhalte, und dass die Funktionen Y, Z etc. alsdann ebenfalls zum Verschwinden ge- bracht werden. Auf dieselbe Weise schliesst man aus der Glei- chung (11), dass K der Werth der Funktion « ist, welcher sich durch die nämliche Substitution ergiebt.

Das Anbringen der Verbesserungen — &, — €, —e” etc. an die Beobachtungen werden wir die Ausgleichung der Beobachtungen nennen, und offenbar werden wir zu dem folgenden sehr wichtigen Schluss geführt, dass die auf die vorgetragene Weise ausgegliche- nen Beobachtungen alle Bedingungsgleichungen genau erfüllen, und dass jede von den Beobachtungen irgendwie abhängige Grösse gerade den Werth erhält, welcher aus der zweckmässigsten Com- bination der ungeänderten Beobachtungen hervorgehen würde. Wenn es also auch unmöglich ist, die Fehler e,.e’‘, e” etc. selbst aus den Bedingungsgleichungen zu bestimmen, da ja deren Anzahl nicht ausreicht, so haben wir wenigstens plausibelste Fehler erlangt, welchen Namen wir den Grössen e, €, e’ etc. geben dürfen.

10. 5

Da wir die Anzahl der Beobachtungen grösser, als die An-

zahl der Bedingungsgleichungen annehmen, so lassen sich ausser dem System der plausibelsten Verbesserungen — &, — e, — €” etc. unendlich viele andere finden, welche die Bedingungsgleichungen be- friedigen, und es ist der Mühe werth, zu untersuchen, wie diese sich zu jenen verhalten. Es sei also —E, — E‘, —E” etc. ein solches, von dem plausibelsten verschiedenes System, so haben wir

aE +aE’+aE’+etc = A DE+DE+DVE’ +etce.. = B cE+cE+cE’+ete. = 6 ete. Multiplieirt man diese Gleichungen bezw. mit A, B, C etc, und addirt, so erhält man mit Hülfe der Gleichungen (10)

peE + peE + p’e’E’ +ete. = AN+BB + CC + etc.

Ergänzung. 65

Auf ganz ähnliche Weise liefern aber die Gleichungen (13) | pe? + pe? +p’e”" +etc. — AN+BB+CC-+ete. (14) Durch Combination dieser beiden Gleichungen leitet man leicht ab

pE?’+ pE” + p’E”” + etc. = pr +p+pi”+ete +p(E— 9)’ +p(E— e) + 2” (E’ — €”)? + etc. Die Summe pE? + »vE* + p’E’”? + etc. wird also nothwendig grösser sein als die Summe pe? + p’e? + p”e”” + etc., was man ausdrücken kann als Lehrsatz. Die Summe der mit den beziehentlichen Gewichten der Beobachtungen multiplicirten Quadrate von Verbesserungen, durch welche man die Beobach- tungen mit den Bedingungsgleichungen in Ueberein- stimmung zu bringen vermag, wird ein Minimum, wenn man die plausibelsten Verbesserungen anwendet. Dies ist eben das Princip der kleinsten Quadrate, aus welchem - auch die Gleichungen (12) und (10) leicht unmittelbar hätten abge- leitet werden können. Uebrigens liefert uns die Gleichung (14) für diese kleinste Summe, welche wir im Folgenden mit S bezeichnen werden, den Ausdruck WA + BB + CC + ete.

2.

Die Bestimmung der plausibelsten Fehler giebt, da sie von den Coefficienten /, !’, I” etc. unabhängig ist, offenbar die bequemste Vorbereitung zu jedwedem Gebrauch, für den man die Beobachtungen - verwenden will. Ausserdem ist es klar, dass man zu diesem Geschäft der unbestimmten Elimination oder der Kenntniss der Coefficienten [ea], [@ß] etc. nicht bedarf, und dass man nur die Hülfsgrössen A, B, C etc., welche wir im Folgenden die Oorrelaten der Bedin- gungsgleichungen X = 0, Y = 0, Z = O etc. nennen werden, aus den Gleichungen (12) durch bestimmte Elimination abzuleiten und in die Formeln (10) einzusetzen hat.

Obwohl nun diese Methode thatsächlich nichts zu wünschen übrig lässt, wenn allein die plausibelsten Werthe der von den Beo- bachtungen abhängigen Grössen verlangt werden, so scheint es sich doch anders zu verhalten, wenn ausserdem das Gewicht irgend einer Bestimmung gewünscht wird, da hierzu, mag man nun diesen oder

jenen der oben gegebenen vier Ausdrücke benutzen, die Kenntniss Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 1)

66 Combination der Beobachtungen.

der Grössen L, L/, L” ete., oder doch wenigstens die Kenntniss von @°, y°, 2° etc. nothwendig erscheint. Aus diesem Grunde wird es nützlich sein, das Eliminationsverfahren genauer zu untersuchen, wodurch sich uns auch ein leichterer Weg zur Auffindung der Ge- wichte erschliessen wird.

12.

Der Zusammenhang der in dieser Untersuchung vorkommen- den Grössen wird wesentlich durch die Einführung der allgemeinen Funktion zweiten Grades

[aa]a’ + 2 [ab] ©y + 2 [ac] x2 + etc.

+ [db] y° + 2 [be] yz + ete. + [ce] 2° + ete., welche wir mit T bezeichnen wollen, aufgehellt. Zunächst ist diese Funktion offenbar sofort gleich

(ax +by-+ cz + etc.)’ . (aa + by + cz + etc.) p pv N (a + b"y +6 z + etc.) ee

(15)

Ferner ist offenbar T=a+m+rzö+tete. (16)

und, wenn hier wiederum x, y, z etc. mit Hülfe der Gleichungen (7) durch &, n, & ete. ausgedrückt werden,

T = [ea] & +2 [aß] &n + 2 [ey] 8% + etc. + [BP] n? + 2 [Py] nd + ete. + [yy] © + ete.

Die oben entwickelte Theorie enthält je zwei Systeme von bestimmten Werthen der Grössen x, y, z etc. und &, n, & etc.: dem

ersten, in welchem z=x°, y = y’,z = z’ete.und$ = — [al], n—=— [bl], = — [el] ete. ist, entspricht der folgende Werth des T T=-mM-7,

was entweder durch Vergleichung des dritten Ausdrucks für das Gewicht P mit der Gleichung (16) oder unmittelbar aus dem vierten Ausdrucke erhellt; dem zweiten, in welchem =A,y=B, z=lee.undä=N, n=8, S=6 etc. ist, entspricht der Werth T = S, wie sowohl aus den Formeln (10) und (15), als aus (14) und (16) klar ist.

Ergänzung. Be;

13.

Unsere Hauptarbeit besteht nunmehr in einer ähnlichen Trans- formation der Funktion T, wie die, welche wir in der „Theorie der Bewegung der Himmelskörper“, Art. 182., und weitläufiger in der „Untersuchung über die elliptischen Elemente der Pallas“ vorgetra- gen haben. Wir setzen nämlich

[8,1] —= [8] 121 | | “ [ab] [ae]

[do, 1] = [be] — T®

[64,1] = [ba] nn

etc.

(ac? _[be, 1}; (17)

ee ac] [ad] [de, 1] [da, 1] deal ;. [06,1]

[ed,2]) = led]

etc.

[ad] _[Da, 1° __[ed, 2] [aa] bb, 1] Ice, 2]

etc. etc. Setzt man alsdann*) [dd,1]y + [de,1]2 + [dd, 1]w + etc. = 7’ [ec, 2] 2 + [ed, 2]w + etc. [dd, 3]w + etc. etc., dann wird

SE &? n” E p"” ; | ter Taasa] re

[dd,3] = [da] —

|

| 808

und die Abhängigkeit der Grössen n’, &’, @” etc. von 8, n, &, p etc. - wird durch folgende Gleichungen ausgedrückt:

-*) Im Vorhergehenden konnten je drei, auf die drei ersten Bedingungs-

- gleichungen bezügliche Buchstaben für die verschiedenen Grössensysteme genügen;

- hier schien es aber gut, um das Gesetz des Algorithmus deutlicher zu zeigen, einen

vierten hinzuzufügen; während nun in der natürlichen Ordnung auf die Buch-

- staben a, 2, c; A,B, C; U, 8, © von selbst d, D, D folgt, fügten wir der Reihe

x, y, 2, da das Alphabet versagte, das w und den &, n, $ das p an. ‘ ‘ 5*

68 Combination der Beobachtungen.

Lab] % aa] S x [ae] (bc, 1] , L L aa Er (5,1)

[ad], _ [6,1], _ ed, 2)

ee Pe ee etc.

&

Hieraus werden nun alle für unseren Zweck nothwendigen For- meln leicht entnommen. Zur Bestimmung der Correlaten A, B, Ö etc. setzen wir nämlich

Be [ab] MER

., mM, Bi, ” =6-,%- m? 1 SE in Bi,

[aa] 8,1 2 | etc., und hiernach werden A, B, C, D etc. durch folgende For- meln, und zwar in umgekehrter Reihenfolge, indem man mit der letzten beginnt, erhalten:

[aal]A+ J[ab]B+ J[a]JC+ [ad]D + etc. [d5,1]B + [dbe,1]C + [dd,1]D + etc. [ec,2]C + [ed,2]D + etc. [dd, 3]D + etc.

etc.

Für die Summe S aber erhalten wir die neue Formel 2 ‚2 „2 m?

“ > x ® + etc. (20)

>= Taa] "(10 t Te,2 ' Tae,

Wenn schliesslich das Gewicht P verlangt wird, welches der plausibelsten Bestimmung der durch die Funktion « ausgedrückten Grösse zu geben ist, so machen wir

ee

> “

(19)

9

m

2 [ab] [al]

[bl, 1] ag [d2] [aa] ur [ae] [al] [dc, 1] [82,1]

[el, 2] = [ed] — fan] in (5b, 1] (21) 2 = [ad] [al] iR [7d,1][21, 1] Er [ed, 2] [el, 2]

Be a Lu [aa] [db, 1] [ce, 2]

etc., und erhalten alsdann

Ergänzung. 69

tz fair Mr fbl, Az Rei Pater, SP De a I a,

Die Formeln (17) bis (22), deren Einfachheit nichts zu wünschen übrig zu lassen scheint, enthalten die in jeder Beziehung voll- ständige Lösung unserer Aufgabe.

14.

Nachdem wir die Hauptaufgaben gelöst haben, wollen wir noch einige Nebenfragen behandeln, welche auf diesen Gegenstand ein helleres Licht werfen werden.

Zunächst muss man untersuchen, ob die Elimination, ver- mittelst deren &, y, z ete. aus Z, n, Z etc. abzuleiten sind, jemals unmöglich werden kann. Dies würde offenbar eintreten, wenn die Funktionen &. n, & etc. nicht von einander unabhängig wären. Nehmen wir daher für den Augenblick an, eine von ihnen werde durch die übrigen bereits bestimmt, so dass die identische Glei- chung stattfinde

+ An ty retce = 0, wo «a, ß, y etc. bestimmte Zahlen bezeichnen. Es wird demnach al[aa] + B[ab] + yl[ac] + ete. = 0 a@lab| + A [bb] + y[be] + etc. 0 alac) + $ [be] + y [ce] + etc. 0 etc.; setzen wir nun ca +ßb +yce +ete.=p®9 ca’ + ßb’ +yc +ete. = p'®' aa” + Pb” En yc” 4 ete. — 20" etc., so folgt hieraus von selbst a9 + «9 + «’O’ + etc. = 0 bO + b’O + b’0’ + etc. — 0 c9 +. + .c’9’ +etc. = 0

|

etc., und ferner | p® + p’0? + p"9” + ete. = 0, eine Gleichung, welche, da alle p, p‘, p” etc. ihrer Natur nach positive Grössen sind, offenbar nicht bestehen kann, wenn nicht 0 = 0, @ = 0, ©" = O etc. gewesen Ist. Nun betrachten wir die Werthe der vollständigen Differentiale

70 Combination der Beobachtungen.

dX, dY, dZ etc., welche denjenigen Werthen der Grössen v, v’, v” etc. entsprechen, auf welche sich die Beobachtungen beziehen. Diese Differentiale, nämlich adv + a dv’ + a dv” + etc. b dv + b’ dv’ + b” dv” + etc. edv + cd dv’ + c” dv” + etc. etc., werden dem Schlusse zufolge, zu dem wir eben geführt worden sind, so von einander abhängen, dass ihre Summe nach der beziehent- lichen Multiplication mit «@, f, y etc. identisch verschwinden muss, oder, was dasselbe ist, dass jedes einzelne von ihnen (wenigstens wenn der ihm entsprechende Faktor «, $, y etc. nicht verschwindet) von selbst verschwinden muss, sobald wie alle übrigen als verschwin- dend vorausgesetzt werden. Deshalb muss (mindestens) eine von den Bedingungsgleichungen X =0,Y = 0, Z = etc. überflüssig sein, da sie von selbst erfüllt wird, sobald den übrigen genügt ist. Wird übrigens die Sache genauer untersucht, so ist klar, dass dieser Schluss an und für sich nur für: einen unendlich kleinen Spiel- raum der Veränderlichkeit der Variabeln gilt. Es sind nämlich eigentlich zwei Fälle zu unterscheiden: erstens, wo eine der Bedin- gungsgleichungen X = 0, Y = 0, Z = O etc. unbedingt und all- gemein bereits in den übrigen enthalten ist, was man in jedem ein- zelnen Fall leicht wird vermeiden können; zweitens, wo so zu sagen zufällig für die bestimmten Werthe der Grössen v, v’, v” etc., auf welche sich die Beobachtungen beziehen, eine der Funktionen X, Y, Z etc., z. B. die erste X, einen grössten oder kleinsten (oder allge- meiner einen stationären) Werth erlangt in Hinblick auf alle Aen- derungen, welche wir den Grössen v, v’, vo” etc. geben können, ohne die Gleichungen Y=0, Z=0 etc. zu stören. Da aber in unserer Untersuchung die Veränderlichkeit der Grössen nur in so engen Grenzen betrachtet werden soll, dass sie als unendlich klein behandelt werden kann, so hat dieser zweite Fall (der in der Praxis kaum je vorkommt) dieselbe Wirkung wie der erste, nämlich dass eine der Bedingungsgleichungen als überflüssig zu verwerfen sein wird; wir können also sicher sein, wenn alle aufgenommenen Bedingungs- gleichungen in dem hier vorausgesetzten Sinne von einander unab- hängig sind, dass die Elimination nothwendigerweise möglich sein muss. Eine ausführlichere Untersuchung dieses Gegenstandes, deren er mehr seiner theoretischen Feinheit als seiner praktischen

Nützlichkeit wegen würdig ist, müssen wir uns indessen für eine andere Gelegenheit vorbehalten.

a Au

Ergänzung. 71

15. |

In den Art. 37. u. ff. der früheren Abhandlung haben wir eine Methode gelehrt, wie man die Genauigkeit der Beobachtungen a posteriori so scharf wie möglich bestimmen kann. Wenn nämlich die angenäherten Werthe von 7. Grössen durch Beobachtungen von gleicher Genauigkeit gefunden worden sind und mit denjenigen Werthen verglichen werden, welche durch Rechnung aus den plausi- belsten Werthen der g Elemente hervorgehen, von denen jene abhängen, so muss man die Quadrate der Differenzen addiren, und diese Summe durch 7. — e dividiren, wonach der Quotient als angenäherter Werth ° des Quadrates des einer derartigen Beobachtungsgruppe anhaftenden mittleren Fehlers betrachtet werden kann. Sind die Beobachtungen von ungleicher Genauigkeit, so sind diese Vorschriften nur insofern abzuändern, als vor der Addition die Quadrate mit den Gewichten der Beobachtungen zu multiplieiren sind, worauf der sich so ergebende mittlere Fehler für Beobachtungen gilt, deren Gewicht als Einheit angenommen worden ist.

In der vorliegenden Untersuchung stimmt nun jene Summe offenbar mit der Summe S, und die Differenz z# —o mit der An- zahl o der Bedingungsgleichungen überein, weshalb wir für den mittleren Fehler der Beobachtungen vom Gewichte = 1 den Aus-

druck V: erhalten, eine Bestimmung, welche um so grösseres Ver-

trauen verdient, je grösser die Anzahl o gewesen ist. Es wird aber die Mühe lohnen, dies auch unabhängig von

’ der früheren Untersuchung festzustellen. Hierzu empfiehlt es sich,

einige neue Bezeichnungen einzuführen. Es mögen nämlich den

nachstehenden Werthen der Variabeln &, 7, £ etc.

sea, 7=b 5= ce. folgende Werthe der », y, z etc. entsprechen .-—_nv—ß .:. = y%k,, so dass man erhält a[ec] + b[eß] + ce [ey] + ete.

8 — alaß] + D [BA] + [Br] + ee. y = alay] + b[ßy] + e[yy] + etc.

_ ete. Ebenso mögen den Werthen

Eee, = b', C — ec etc.

ll ae a ri ee DE u a

72 Combination der Beobachtungen.

die folgenden ee yeah er WM. entsprechen, und den Fed, ya X be. ebenso . =, y— Pf, 9_= y elc. und so weiter. Unter dieser Voraussetzung erhält man durch Combination der Gleichungen (4) und (9) A = oe + de + ae” + etc. B Be + Be + Pe” + etc. = ye+re+ re + etc. etc. Da nun S = AA + BB + CC + etc. ist, so wird offenbar

S—= d(ae+ade+a’e”—+ etc.)(ae + «de + ae” + etc.) + (be+ b’e +b”e” + etc.) (Be + Be + B”e” + etc.) + (ce + de +0’e" + ete.)(ye + Ye + y’e’ + etc.) + etc.

16.

Das Anstellen von Beobachtungen, durch welche wir die mit den zufälligen Fehlern e, e’, e” etc. behafteten Werthe“der Grössen v, v, v” etc. erhalten, können wir als einen Versuch betrachten, welcher zwar nicht die Grösse der einzelnen begangenen Fehler zu zeigen vermag, wohl aber durch Anwendung der früher ausein- andergesetzten Vorschriften zu einem Werthe der Grösse S führt, welcher nach der eben gefundenen Formel eine gegebene Funktion jener Fehler ist. Bei einem solchen Versuch können gewiss bald grössere, bald kleinere zufällige Fehler begangen werden; je mehr Fehler aber vorhanden sind, um so grösser wird die Hoffnung sein, dass der Werth der Grösse S bei einem bestimmten Versuch von seinem mittleren Werth wenig abweichen werde. Es wird also haupt- sächlich darauf ankommen, den mittleren Werth der Grösse S fest- zustellen. Nach den in unserer früheren Abhandlung vorgetragenen Prineipien, welche hier nicht wiederholt zu werden brauchen, finden wir diesen mittleren Werth

—= (aa +bP + cy + ete.) m? + (a’a’ + b’B’ + c’y + etc.) m” + (a’a” + b"’B” + ey” + etc.) m” + etc. Bezeichnet man den mittleren Fehler der Beobachtungen vom Ge- wichte — 1 mit u, so dass also u” = pm’ = p’m” = p’m’” ete. ist, so kann der eben gefundene Ausdruck auf die Form

Ergänzung. 13

„

Fa u N Zu ++ ste)

p pP p cY -. ete.) ” + etc. + +7 + ee.) + gebracht werden. Die Summe “ + = -H er + etc. wird aber — [aa] [a«] + [ab] [aß] + [ac] [ey] + ete. und deshalb = 1 gefunden, wie man aus der Verbindung der Gleichungen (6) und (7) leicht entnehmen kann. Ebenso wird ar + ya e. 2, et. :==:1 p pP er |, 1

ST + ee. = en. ® p U. S. W.

Hiernach wird der mittlere Werth des S schliesslich —= ou’, und insofern man nun den zufälligen Werth des S als mittle-

ren annehmen darf, wird u = v: sein.

11.

Ein wie grosses Vertrauen diese Bestimmung verdiene, muss man nach dem mittleren, bei ihr oder ihrem Quadrat zu befürchtenden Fehler entscheiden; der letztere wird die Quadratwurzel aus dem mittleren Werthe des Ausdrucks

=") sein, dessen Entwicklung durch ähnliche Berechnungen wie die in _ den Art. 39. u. ff. der früheren Abhandlung vorgetragenen erlangt wird. Wir unterdrücken dieselben hier der Kürze halber und setzen nur die Formel selbst hierher. Der mittlere bei der Be-

stimmung des Quadrates «’ zu befürchtende Fehler wird nämlich ausgedrückt durch

wo »* den mittleren Werth der Biquadrate der Fehler vom Gewichte = 1, und N die Summe

74 Combination der Beobachtungen.

(a@ +bP + cy + etc.) + (da +’ + c’y + etc.) + (a’«” + b”’8” + c”y” + ete.)’ + etc. bezeichnet. Diese Summe lässt sich im allgemeinen auf Keine einfachere Form bringen; auf ähnliche Weise aber wie im Art. 40. der früheren Abhandlung kann man zeigen, dass ihr Werth immer

2

zwischen den Grenzen r und - liegen muss. Bei derjenigen Hypothese,

auf welche die Methode der kleinsten Quadrate ursprünglich be- gründet ‘worden war, fällt das Glied, welches diese Summe enthält, ganz fort, weil alsdann »’ = 3“ wird, worauf die Genauigkeit,

welche dem nach der Formel re bestimmten mittleren Fehler ZU-

kommt, dieselbe sein wird, als wenn derselbe aus o genau bekannten Fehlern nach den Art. 15. und 16. der früheren Abhandlung er- mittelt worden wäre.

er

Zur Ausgleichung der Beobachtungen ist, wie wir oben ge- sehen haben, zweierlei erforderlich: erstens die Ermittelung der Correlaten der Bedingungsgleichungen, d.h. der Zahlen A, B, C etec., welche den Gleichungen (12) Genüge leisten, zweitens das Ein- setzen dieser Zahlen in die Gleichungen (10). Die so erhaltene Ausgleichung kann man eine vollkommene oder vollständige nennen, um sie von einer wunvollkommenen oder unvollständigen zu unter- scheiden; mit diesem Namen werden wir nämlich die Resultate be- zeichnen, welche sich zwar aus denselben Gleichungen (10) ergeben, aber unter Zugrundelegung von-Werthen der Grössen A, B, © etc., welche den Gleichungen (12) nicht, d. h. nur einigen oder keiner, genügen. Solche Aenderungen der Beobachtungen aber, welche unter den Formeln (10) nicht enthalten sein können, sollen von der gegenwärtigen Untersuchung ausgeschlossen sein und auch den Namen Ausgleichung nicht erhalten. Da, sobald die Gleichungen (10) statt haben, die Gleichungen (13) mit den Gleichungen (12) völlig gleichbedeutend sind, kann man diesen Unterschied auch so fassen: Die vollständig ausgeglichenen Beobachtungen genügen allen Be- dingungsgleichungen X = 0, Y=0, Z=0 etc. die unvoll- ständig ausgeglichenen aber entweder keiner oder doch wenigstens nicht allen; die Ausgleichung, durch welche allen Bedingungsglei-

chungen genügt wird, ist daher nothwendigerweise von selbst voll- ständig.

Ergänzung, 75

19.

| Da nun aus dem Begriff einer Ausgleichung schon von selbst | folgt, dass die Summe zweier Ausgleichungen wieder eine Aus- - gleichung ergebe, so sieht man leicht, dass es einerlei ist, ob man - die Vorschriften zur Erlangung einer vollkommenen Ausgleichung - unmittelbar auf die ursprünglichen Beobachtungen, oder auf bereits - unvollständig ausgeglichene Beobachtungen anwendet.

| Es mögen in der That — ©, — ©, — ©” etc. ein System - einer unvollständigen Ausgleichung bilden, welches aus den Formeln

Op = A’fa +Bb +0 +ete.

Op = Ada +BWV +0 + etc. MD O’p” = Aa” + B’b” + 0°e” + etc.

etc.

- hervorgehe. Da vorausgesetzt wird, dass die durch diese Aus- _ gleichungen geänderten Beobachtungen nicht allen Bedingungs- gleichungen genügen, so seien A*, B*, C* etc. die Werthe, welche X, Y, Z ete. durch Einsetzung jener erlangen. Man suche die - Zahlen A*, B*, C* etc., welche den Gleichungen

A* = A*f[aa] + B* [ab] + C*[ac] + etc. B* — A* [ab] + B* [bb] + C* [be] + ete. 6* — A* [ac] + B* [be] + C* [ce] + ete.

etc. genügen; alsdann wird die vollständige Ausgleichung der auf jene Weise geänderten Beobachtungen durch neue Aenderungen ——%,— x, — x” etc. bewirkt, wo x, x, x” etc. aus den Formeln

x» = A*a +B*b +C*e + etc. xp’ A*a’ + B*b’ + C*e + etc. xp” = A*a” + B*b” + O*e” + ete. etc. zu berechnen sind. Wir wollen nun untersuchen, wie diese Ver- - besserungen mit der vollständigen Ausgleichung der ursprünglichen - Beobachtungen zusammenhängen. Zunächst ist klar, dass man hat A = A— a9 — «9 — d’9" — etc.

B* — B— 9 — O9’ — 179" — etc.

6* GE — c9 — ed — ce’ — etc.

etc. Setzen wir in diesen Gleichungen für ©, ©, ©” etc. die

Werthe aus (I) und für A*, ®*, C* etc. die Werthe aus (II), so finden wir

(I)

(III)

I

76 | Combination der Beobachtungen.

A — (A° + A*) [aa] + (B’ + B*) [ab] + (C° + C*) [ae] + etc.

B = (A® + A*) [ab] + (B° + B*) [dd] + (C’? + CH) [be] + ete.

& = (A° + A*) [ac] + (B? + B*) [be] + (C° + C*) [ee] + ete. etc., woraus folgt, dass die Correlaten, welche die Bedingungs- gleichungen (12) erfüllen,

Le 2 +1, BB FI 8 = +0 sind. Hiernach zeigen die Gleichungen (10), (I) und (III), dass 92 Serie ne: ist, d. h. die Ausgleichung der Beobachtungen ergiebt sich gleich vollständig sowohl bei unmittelbarer, als auch bei mittelbarer, von einer unvollständigen Ausgleichung ausgehenden Rechnung.

20.

Wenn die Anzahl der Bedingungsgleichungen allzugross ist, kann die Bestimmung der Correlaten A, B, C etc. durch die direkte Elimination so weitschichtig werden, dass ihr die Geduld des Rechners nicht gewachsen ist; alsdann wird es häufig bequem sein können, die vollständige Ausgleichung durch successive An- näherungen 'mit Hülfe des im vorigen Art. enthaltenen Theorems zu ermitteln. Man theile die Bedingungsgleichungen in_zwei oder mehrere Gruppen, und suche zuerst die Ausgleichung, durch welche der ersten Gruppe von Gleichungen, unter Vernachlässigung der übrigen, genügt wird. Darauf behandele man die durch diese Aus- gleichung geänderten Beobachtungen so, dass allein den Gleichungen der zweiten Gruppe Rechnung getragen wird. Im allgemeinen wird durch das Anbringen des zweiten Systems von Ausgleichungen das Zusammenstimmen mit den Gleichungen der ersten Gruppe ge- stört werden; deshalb kehren wir, wenn nur zwei Gruppen ge- bildet sind, zu den Gleichungen der ersten Gruppe zurück, und be- stimmen ein drittes System, welches dieser Genüge leistet; darauf unterwerfen wir die dreimal verbesserten Beobachtungen einer vierten Ausgleichung, wo nur die Gleichungen der zweiten Gruppe berücksichtigt werden. So ‚werden wir, indem wir abwechselnd bald die erste, bald die zweite Gruppe berücksichtigen, fortwährend abnehmende Ausgleichungen erhalten, und war die Gruppentheilung geschickt getroffen, so werden wir nach wenigen Wiederholungen. zu festen Zahlen gelangen. Wurden mehr als zwei Gruppen gebildet, so verhält sich die Sache ähnlich; die einzelnen Gruppen kommen nach einander zur Berechnung, nach der letzten wieder die erste

De See

Ergänzung. 17

u. s. w. Hier möge indess der Hinweis auf diese Methode genügen, deren Erfolg sicher sehr von einer geschickten Anwendung ab- hängen wird.

21.

Es erübrigt noch, dass wir den Beweis des im Art. 8. vor- ausgesetzen Hülfssatzes nachholen, wobei wir indess der Durchsiclı- tigkeit wegen andere hierzu mehr geeignete Bezeichnungen anwen- den wollen.

Es seien also =°, &’, ©”, x” etc. Variable; und wir nehmen an, aus den Gleichungen

Meter’ + na” + etc. na’ +nN ao +n”a’ 4 n”a” + ete = X’ aetn"e tn” +n®E” + etc. et tn ae" tn®r” + etc = X” etc.

\ Pr

| r

folge durch Elimination

N" X’ + N" X + N®X” + N®X” + etc. = 7° N"X°’ ı- N"X’ + N”X” +.N®’X”7 rete = N? X’ + N" X” + N?X’ + N?X” + etc = N” X° + N" X’ +N”X” + N®X” + etc. — etc.

| SS 8 8

Setzt man daher in die erste und zweite Gleichung des zweiten Systems die Werthe der Grössen X’, X’, X”, X” etc. aus dem ersten System ein, so erhalten wir

= MM” +Hn®e’+n"a” + etc.) +N'!’ mM" +n'a+n”a’+n”a” + etc.) + N" + a +n®2"+n®a” + etc.) +N Ma He +n®a’ + Rn” a” + etc.) + etc. und x — N” (n” x + m’ x + N x” -h n® x” E= etc.) + N'! (n' x° + n"! x + n"” x” + n" x” 4- etc.) -+ N" (n” x + N x + N” x” + nm ee + etc.) + N" +n x +n”x’ +n®a” + etc.) + etc.

Da jede dieser beiden Gleichungen offenbar eine identische Gleichung sein muss, so darf man sowohl in die erste, als in die zweite beliebige bestimmte Werthe für =", &', ©”, x” etc. einsetzen, Wir setzen in die erste ein

78 Combination der Beobachtungen.

Ne N", a ENT N ih, in die zweite aber "Em = N, PN, 27 =.Nt, Alsdann folgt durch Subtraktion N Br N’! — (N” N! Nee N" N’) (n’' Sa n') + (N” N IRRE N” N”) (n” TER n”) + (N” N® BRE N N”) (mn Sarr n”) + etc. —- (N! N" EEE N" N”) (n'” SER n”) + (N N” BG N!! N”) (n'” GER n°') + etc. ar (N” N’_N” N®) (n? ER n®) + etc. etc.,

welche Gleichung auch so geschrieben werden kann N” — N" = Z[N“ N’? — N N] (ne? — nPe),

wo durch «ß alle Combinationen von ungleichen Indices bezeichnet werden. Hieraus folgt, dass, wenn

m — n., n” — n”, N — n, n"” — w, n"”° — n”, > — n”® ete.

oder allgemein nf — nPe war, auch N" — En sein wird. Da nun die Reihenfolge der Variabeln in den gegebenen Gleichungen willkürlich ist, so wird offenbar unter jener Voraus-

setzung allgemein NP == NPe,

22.

Da die in dieser Abhandlung dargelegte Methode vorzüglich eine häufige und bequeme Anwendung in den Rechnungen der höheren Geodäsie findet, so hoffen wir, unseren Lesern werde die Erläuterung der Vorschriften an einigen aus dieser entnommenen Beispielen nicht unlieb sein.

Die Bedingungsgleichungen zwischen den Winkeln eines Sy- stems von Dreiecken sind hauptsächlich einer dreifachen Quelle zu entnehmen,

Ergänzung. 79

I. Die Summe der Horizontalwinkel, welche bei einem voll- ständigen Umlauf um denselben Scheitel den Horizont ausfüllen, muss vier Rechten gleich sein.

II. Die Summe der drei Winkel in jedem Dreieck ist einer gegebenen Grösse gleich, da man, wenn das Dreieck auf einer krummen Oberfläche liegt, den Ueberschuss jener Summe über zwei Rechte so scharf berechnen kann, dass er für vollkommen genau gelten darf.

III. Die dritte Quelle entspringt dem Verhältniss der Seiten in Dreiecken, welche eine geschlossene Kette bilden. Ist nämlich

. eine Reihe von Dreiecken so mit einander verbunden, dass das

zweite Dreieck eine Seite a mit dem ersten Dreieck, eine andere b mit dem dritten gemeinsam hat; ebenso habe das vierte Dreieck mit dem dritten die Seite c, mit dem fünften die Seite d gemeinsam; und so weiter bis zum letzten Dreieck, welches mit dem vorhergehen- den die Seite % und mit dem ersten wiederum die Seite ! gemeinsam habe, dann werden die Werthe der Quotienten N U Er N ee 3 nach bekannten Methoden bezw. aus je zwei, den gemeinschaft- lichen Seiten gegenüberliegenden Winkeln auf einander folgen- der Dreiecke zu erhalten sein, und da das Produkt jener Brüche = 1 sein muss, so ergiebt sich hieraus eine Bedingungsgleichung zwischen den Sinus jener Winkel (welche bezw. um den dritten Theil des sphärischen oder sphäroidischen Excesses vermindert sind, wenn die Dreiecke auf einer krummen Oberfläche liegen). Uebrigens kommt es in complicirteren Dreiecksnetzen sehr

häufig vor, dass Bedingungsgleichungen der zweiten oder dritten

a Du te u ee nn a a Lin Du Ah ze a 29 22 Kürieee

Art sich in grösserer Anzahl darbieten, als man beibehalten darf, weil nämlich ein Theil derselben in den übrigen schon enthalten ist. Dagegen wird der Fall seltener eintreten, wo man den Bedingungs- gleichungen der Zweiten Art ähnliche Gleichungen, die sich auf mehrseitige Figuren beziehen, beifügen muss, nämlich nur dann, wenn Polygone gebildet werden, welche nicht durch Messungen in Dreiecke getheilt sind. Ueber diese Dinge werden wir aber, weil es unserem gegenwärtigen Zweck zu fern liegt, bei einer anderen Ge- legenheit des weiteren reden. Indessen können wir die Bemerkung nicht mit Stillschweigen übergehen, dass unsere Theorie, wenn eine reinliche und strenge Anwendung gewünscht wird, - voraussetzt, es

80 Combination der Beobachtungen.

seien die mit v, v’, v” etc. bezeichneten Grössen wirklich und unmittel- bar beobachtet, oder so aus Beobachtungen abgeleitet, dass sie von einander unabhängig bleiben oder wenigstens als von einander un- abhängig betrachtet werden können. In der gewöhnlichen Praxis werden die Dreieckswinkel selbst beobachtet und können demnach für v, v’, v” ete. angenommen werden; wir dürfen aber nicht vergessen, falls das System zufällig ausserdem solche Dreiecke enthält, deren Winkel nicht unmittelbar beobachtet sind, sondern sich aus Summen oder Differenzen wirklich beobachteter Winkel ergeben, dass diese nicht unter die Zahl der beobachteten gerechnet, sondern in der Form ihrer Zusammensetzung bei den Rechnungen beibehalten werden müssen. Anders aber wird sich die Sache bei einer Beobachtungsweise verhalten, welche der von Struve (Astronomische Nachrichten, II, S. 431) befolgten ähnlich ist, bei der die Richtungen der einzelnen von demselben Scheitel ausgehenden Seiten durch Vergleichung mit einer und derselben willkürlichen Richtung erhalten werden. Dann sind nämlich gerade diese Winkel für v, v’, vo” etc. anzunehmen, wodurch sich alle Dreieckswinkel in Form von Differenzen darstellen, während die Bedingungsgleichungen der ersten Art, denen der Natur der Sache nach von selbst genügt wird, als überflüssig fortfallen. Die Beobachtungsweise, welche ich selbst bei der in den letzten Jahren ausgeführten Triangulation angewandt habe, unterscheidet sich zwar sowohl von der ersten, als von der zweiten Methode, kann jedoch in Bezug auf das Resultat der letzteren gleichgeachtet werden, so dass man bei den einzelnen Stationen die von einem gleichsam beliebigen Anfang aus gezählten Richtungen der von ihnen aus- gehenden Seiten für die Grössen », v’, v»” etc. annehmen darf. Wir werden nun zwei Beispiele ausarbeiten, von denen das eine der ersten, das andere der zweiten Weise entspricht.

23.

Das erste Beispiel entnehmen wir dem Werk® von de Krayenhofj, „Preeis historique des op6rations trigonom6triques faites en Hollande*, und zwar unterwerfen wir den Theil des Dreiecksnetzes einer Aus- gleichung, welcher zwischen den neun Punkten Harlingen, Sneek, Oldeholtpade, Ballum, Leeuwarden, Dockum, Drachten, Oosterwolde und Gröningen enthalten ist. Es werden zwischen diesen Punkten neun Dreiecke gebildet, welche in jenem Werke mit den Nummern 121, 122, 123, 124, 125, 127, 128, 131, 132 bezeichnet sind, und

ri Er er un RE vo er BL Sc ; RE EEE

Ergänzung.

8

_ deren Winkel (welche wir durch vorgesetzte Indices unterscheiden)

nach der Tabelle, S. 77 bis 81, folgendermaassen beobachtet worden

sind:

Dreieck 121.

mden.. .. 2,5, 50° 2 Taewwarden -’- „82 RHBNmir.. z44 0... 4b Dreieck 122.

m HarIngon 0 4 51 2 BR0OE EP, OR 70 5. Leeuwarden . . . . 58 Dreieck 123.

6. Bneok:iri -nolleia 5 49 7. Draschten „3 #433 42 8. Leeuwarden . . .... 8 Dreieck 124.

DEREN 45 10. Oldeholtpade . . . . 67 EWR... 21,7. Er 66 Dreieck 125.

12: Drachteh )°; 4 88, 53 13. Oldeholtpade . . . . 47 14. Oosterwolde . . .. 78 Dreieck 127.

15. Leeuwarden . . . . 59 16: Dockum .. 2m... 76 11: Beam 22, 44 Dreieck 128.

18. Leeuwarden . . . . 72 19. Drachtens . . ... 46 RI: DoeRumi: 2.1, 61 Dreieck 131.

RE N RE 57 ee 83 23. Gröningen . . . . . 39

Gauss, Methode der kleinsten Quadrate.

58°

47 14

15,238”

15,351 27,202

39,717 33,445 48,707

40,051 59,382 21,057

7,492 0,048 56,513

24,745 52,580 42,347

0,645 9,021 51,040

32,043 27,163 4,494

55,292 14,515 52,397

82 Combination der Beobachtungen.

Dreieck 132.

24. Oosterwolde . . . . 81° 54° 17,447” 25. Gröningen . . . : 3l 52 46,094 26. Drachten. :..1..:..:% 66 12 57,246.

Die Betrachtung des Zusammenhangs zwischen diesen Drei- ecken zeigt, dass zwischen den 27 Winkeln, deren angenäherte Werthe durch Beobachtung bekannt geworden sind, 13 Bedingungsgleichungen bestehen, und zwar zwei der ersten, neun der zweiten und zwei der dritten Art. Es ist aber unnöthig, diese Gleichungen alle in ihrer geschlossenen Form hinzuschreiben, da für die Rechnungen nur die in der allgemeinen Theorie mit X, a, a’, a” etc.; B, b, b’, b” etc.; etc. bezeichneten Grössen verlangt werden; deshalb schreiben wiran ‘deren Stelle sofort die oben mit (13) bezeichneten Gleichungen, welche jene Grössen vor Augen stellen; anstatt der Zeichen e, €‘, e” etc. setzen wir hier einfach (0), (1), (2) ete.

Demnach entsprechen den beiden Bedingungsgleichungen erster Art die folgenden:

V)+6& +8 +5) + (8) — — 2,1977 (7) + 11) + (12) + (19) + (22) +26) = — 0,486.

Die sphäroidischen Excesse der neun Dreiecke finden wir der Reihe nach: 1,749’; 1,147”; 1,243”; 1,698”; 0,873”; 1,167”; 1,104”; 2,161”; 1,403”. Es entsteht daher als erste Bedingungsgleichung der zweiten Art die folgende*): v” + 0” + u” — 180° 0’ 1,749” — 0, und analog die übrigen. Hieraus erhalten wir die neun folgenden Gleichungen:

()+A) +@ = — 3,98’ +) +6) = +0,72 HM +8 = — 0,783

M)+AY)+(M) = +2,35 (12) + (13) + (14) = — 1,201 (15) + (16) + (17) = — 0,461 (18) + (19) + (20) = + 2,596 (@1) + (22) + (23) = + 0,043 (24) + (25) +(26) = — 0,616 .

*) Wir ziehen es vor, die Indices in diesem Beispiel durch arabische Ziffern auszudrücken,

en

Ergänzung. 83

Die Bedingungsgleichungen der dritten Art werden bequemer in logarithmischer Form aufgestellt; so heisst die erste

log sin (v” —0,583”) —log sin (v0 —0,583”) —log sin (v” —0,382”) +log sin (v” — 0,382”) —log sin (v.” —0,414”) +log sin (v” —0,414”) —log sin (0"%— 0,389) + log sin (u? —0,389”) —log sin (v” — 0,368”) -+1log sin (vu — 0,368) = 0.

Es erscheint überflüssig, die andere in geschlossener Form hinzu- schreiben. Diesen beiden Gleichungen entsprechen die folgenden, wo die einzelnen Coefficienten sich auf Mr siebente Stelle der Brigg’schen Logarithmen beziehen, 17,068 (0) — 20,174 (2) — 16,993 (3) + 7,328 (4) — 17,976 (6) + 22,672 (7) — 5,028 (16) + 21,780 (17) — 19,710 (19) + 11,671 (20) = — 371 17,976 (6) — 0,880 (8) — 20,617 (9) + 8,564 (10) — 19,082 (13) + 4,375 (14) + 6,798 (18) — 11,671 (20) + 13,657 (21) — 25,620 (23) — 2,995 (24) + 33,854 (25) = + 370. Da kein Grund angegeben ist, weshalb wir den Beobachtungen ungleiche Gewichte beilegen sollten, so setzen wir p” = p"” = p” etc. = 1. Bezeichnen wir daher die Correlaten der Bedingungs- gleichungen in der Reihenfolge, in der wir die ihnen entsprechenden Gleichungen aufgestellt haben, mit A, B,C,D,E,F,G,H, I, K,L, M, N, so ergeben sich zur Bestimmung derselben folgende Gleichungen:

— 219” =-5A+EC+D+E+H+I +5,917N

—04356 =6B+E+F+G+I +K+TL + 2,962M

— 3,958 = A+3C — 3,106 M

+ 0,722 = A+3D-— 9,665 M

0,7753 = A+B-+3E + 4,696 M + 17,096 N

+2,355 = B+3F-— 12,053 N

— 1201 = B+8G — 14,707N

— 0,461 = A+3H-+ 16,752 M

+2596 = A+B+31-— 8,089 M — 4,874 N

+ 0,043 = B+3K— 11,963 N

— 0,616 = B-+3L + 30,859 N

— 871 = + 2,962 B — 3,106 € — 9,665 D + 4,696 E + 16,752 H — 8,0391 + 2902,27 M — 459,33 N

+ 370 = + 5,917 A + 17,096 E— 12,053 F — 14,707 G

— 4,8741 — 11,963 K + 30,859 L — 459,33 M + 3385,96 N. 6*

84 Combination der Beobachtungen. . Hieraus erhalten wir durch Elimination A—= —0598 | H= + 0,659 B= —0255 | I = + 1,050 C= —1234 K= + 0,577 D = + 0,086 L = —1,51 E= —047 | M= —0,1097% F= +1351 |N= + 0,1%83. G= +01, |

Endlich erhalten wir die plausibelsten Fehler aus den Formeln

(0) = C + 17,068 M 1) =A+C (2) = C — R0,174M (3) = D— 16,993 M etc., woraus wir die folgenden numerischen Werthe finden; zur Verglei-

chung setzen wir (mit entgegengesetzten Vorzeichen) die von de Krayen- hoff an die Beobachtungen angebrachten Verbesserungen hinzu:

; | de Kr. de Kr.

(0) = — 3,108”) — 2,090” | (14) = + 0,795” | + 2,400” (1) = —1832 | + 0,116 | (15) = + 0,061 | + 1,273 (2) = +0,981 | — 1,98 | (16) = + 1,211 | + 5,945 8 = +192 | +17122 | IN) = — 17132 | — 7,674 (4) = — 0,719 | +2,848 | (18) = + 1,265 | + 1,876 (5) = — 0,512 | — 3,848 | (19) = + 2,959 | + 6,251 (6) = + 3,648 | — 0,137 | (20) = — 1,628 | — 5,530 () = — 3,221 | + 1,000 || 21) = +2,211 | + 3,486 8 = — 1,180 | — 1,614 | (2) = + 0,322 | — 3,454 (9) = — 1,116 0 (23) = — 2,489 0

(10) = + 2,376 Wie 5,928 | (24) = — 1,709 |, + 0,400 (11) = + 1,096 | — 3,570 | (25) = + 2,701 | + 2,054 (12) = + 0,016 + 2,414 (26) = — 1,606 | — 3,077. (13) = — 2,013 | — 6,014

Die Summe der Quadrate unserer Ausgleichungen findet man — 97,8845. Hieraus findet man den mittleren Fehler, insoweit, er aus den 27 beobachteten Winkeln abgeleitet werden kann,

97,8845 L = = 210".

Ergänzung. 85

Die Summe der Quadrate der Aenderungen, welche de Krayen- hoff selbst an die beobachteten Winkel angebracht hat, wird — 341,4201 gefunden.

24. Das zweite Beispiel liefern uns die Dreiecke zwischen- den fünf Punkten Falkenberg, Breithorn, Hauselberg, Wulfsode und Wilsede der Triangulation von Hannover. Beobachtet sind die

Richtungen *): Auf der Station Falkenberg 0. Wilsede . ‚187° 47’ 30,311” 1. Wulfsode. . 7826: 9:.39,676 2. Hauselberg . . .266 13 56,239 3. Breithorn .274 14 43,634 Auf der Station Breithorn 4. Falkenberg. . . . . 9 33 40,755 5. Hauselberg . . . . .122 51 23,054 B.:Wusede . 3 .:.:.. ...150: 18:@35,100 Auf der Station Hauselberg 7. Falkenberg . . . . . 86 29 6,872 SE Wilsele .:u:... .. .....154. 3920:9,624 9. Wulfsode. . . .. . .189 2 56,376 10. Breithorn . . . . .302 47 37,132 Auf der Station Wulfsode 11. Hauselberg . 9. .5.::36,593 12. Falkenberg. . 45 27 33,556 ia. Wilsele: .&, %: ...:- . 118 44 13,159 Auf der Station Wilsede 14. Falkenberg. ... . . 1: BEINOENGT 15. Wulfsode. . . ... ..298 29 49,519 16. Breithorn 330 3: 7,39 17. Hauselberg. . . . . 334 25 26,746.

*) Die Nullrichtungen, auf welche sich die einzelnen Richtungen be- ziehen, werden hier als willkürlich angesehen, obwohl sie thatsächlich mit den Meridianlinien der Stationen zusammenfallen. Die Beobachtungen werden seiner Zeit vollständig veröffentlicht werden; einstweilen findet man eine Figur in den „Astronomischen Nachrichten“, Bd. I, S. 441,

86 | Combination der Beobachtungen.

Aus diesen Beobachtungen lassen sich sieben Dreiecke bilden.

Dreieck I. Ealkombärg =°..%, 0% 8° 0’: 47,395” Breithörn . 2... 28, 28 17 42,299 Hanselberg: si; =» „3% 143 41 29,140 Dreieck II. Paketen... . . 86 27 13,323 Breiten... 20202; 55 44 54,345 Wander en, 37 47 53,635 Dreieck II. Falkenberg... .. . 41 4 16,563 Beinsäbeig . 22... - 102 33 49,504 Wumeis. ..... 05 36 21 56,963 Dreieck IV. Falkenberg... . . . . 78 26 25,928 Hanselberg ; U. . ».; 68 8 275 Wilssde:. 3.2. .2; 33 25 34,281 Dreieck V. | Falkenberg . ::!: ; . .:.837 2222::9,965 Wulßibde:; Dre 5 73 16 39,603 wilssde :: 2. 55 69 21 11,508 Dreieck VI. Braitborn. .i. 00 27 27 12,046 Hausslbeig. . .: . ... . 148 10 28,108 Wusde i..256.2 5 4 22 19,354 Dreieck VII. Fnmselberk -..\. . =, - 34 25 46,752 Nusnde: .308.. 109 38 36,566 Nude ı, .:, 2, 3b bb. 37,227;

Es sind also sieben Bedingungsgleichungen zweiter Art vorhanden (die Bedingungsgleichungen erster Art fallen offenbar fort), zu deren Aufstellung vor allem die sphäroidischen Excesse der sieben Dreiecke zu ermitteln sind. Hierzu ist die Kenntniss der absoluten Grösse wenigstens einer Seite erforderlich; die Seite zwischen den

Sr di "Tai Bi Bien cr ee Fe Er Er ykacie a sie a a

Ergänzung. 87

Punkten Wilsede und Wulfsode ist 22877,94 Meter lang. Hieraus ergeben sich die sphäroidischen Excesse der Dreiecke I...0,202”; 2222,42 71 21,280 1771919, V..1,957- VI, 2.0,821°; vII...1,29”. |

Wenn wir jetzt die Richtungen in der Reihenfolge, wie sie oben angeführt und durch Indices unterschieden sind, mit vo”, o”, v”, vo” etc. bezeichnen, so werden die Winkel des ersten Dreiecks

vu) RR gt v®) wi vu”, 360° + y = v9, und deshalb die erste Bedingungsgleichung — v9 +09 — v9 +09 + v9 — v"® + 179° 59° 59,798” — 0.

Ebenso liefern die übrigen Dreiecke die sechs anderen; eine geringe Achtsamkeit wird aber zeigen, dass diese sieben Gleichungen nicht von einander unabhängig sind, sondern dass die zweite identisch mit der Summe der ersten, vierten und sechsten, die Summe der dritten und fünften aber identisch mit der Summe der vierten und siebenten ist; deshalb lassen wir die zweite und fünfte unberück- sichtigt. An Stelle der übrigbleibenden Bedingungsgleichungen in ge- schlossener Form schreiben wir die entsprechenden Gleichungen des Systems (13), indem wir für die Zeichen e, e etc. hier (0), (1), (2) ete. benutzen,

— 136 — -_)+9)—-) +6 +M — (0) +173 = -—D+ X —() +9) — dl) + (I2) +1,02 = -)+W—-M) +8 +19) — (7) — 0,813 = — 6) +) —(&) + (10) — (16) + (17) 0,750 = + AD +9) — (15) + AN).

Von Bedingungsgleichungen der dritten Art würden sich acht aus dem System der Dreiecke finden lassen, da man je drei der vier Dreiecke I, II, IV, VI und je drei von III, IV, V, VII zu diesem Zweck combiniren kann; eine geringe Aufmerksamkeit lehrt indess, dass zwei ausreichen, eine von jenen und eine von diesen, da die übrigen in ihnen und den früheren Bedingungsgleichungen schon enthalten sein müssen. Unsere sechste Bedingungsgleichung wird daher sein

log sin (u — v»® — 0,067”) — log sin (0” — 0” — 0,067”) + log sin (v"® — u” — 0,640”) — log sin (v” — vu” — 0,640”) + log sin (#® — »% — 0,107”) — log sin (u? — v"® — 0,107) = 0

und die siebente

-

88 Combination der Beobachtungen.

log sin (v® — 0 — 0,419”) — log sin (0? — 0” — 0,419") + log sin (0? — 0” — 0,640”) — log sin (u? — vu” — 0,640”) + log sin (u? — 2? — 0,432”) — log sin (u? — v? — 0,432) = 0,

und es entsprechen ihnen als Gleichungen des Systems (13)

+25 — + 4,81(0) —153,88 (2) +149,57 (8) + 39,11 (4) — 79,64 (5) + 40,53 (6) + 31,90 (14) +275,39 (16) — 307,29 (17)

- 83- . 4310) — 416) 050) + 36.114 — 28,59 (12) — 7,52 (13) + 31,90 (14) + 29,06 (15)

— 60,96 (17). Wenn wir nun den einzelnen Richtungen dieselbe Genauig- keit beilegen, indem wir 2” = p” = p” ete. = 1 setzen, und

die Correlaten der sieben Bedingungsgleichungen in der obigen Reihenfolge mit A, B, C, D, E, F, @ bezeichnen, so werden die- selben aus den folgenden Gleichungen zu bestimmen sein:

— 1,368 — +6A—2B— 20 —2D + 184,72F — 19,856 +1773=—2A +6B +20 + 2E— 153,88F — 20,696 +1042 = —2A +2B+ 60 —2D—2E + 181,00F + 108,406 — 0,813 = — 2A —20+6D +2E-— 462,51F-— 60,966 — 0,750 — + 2B —2C + 2D + 6E — 307,29F — 133,656 + 2% + 184,72A — 153,88B + 181,000 — 462,51D — 307,29E + 224868F + 16694,1G —3 = —-19,85A — 20,69B + 108,400 — 60,96D — 133,65 E + 16694,1F + 8752,39.

Hieraus leiten wir durch Elimination ab

— 0,225 + 0,344 — 0,088 — 0,171 — 0,323 + 0,000215915 — 0,00547462.

Die plausibelsten Fehler erhält man nunmehr aus den Formeln

I |

ou. oBuKoi..E:- Be ee

() = —C+431F+ 4316 (1) = -B-24,16G @) = —A+B+0-—153,88F + 19,85

etc., woraus sich die numerischen Werthe ergeben

ERTEILEN

Ergänzung. 89 (0) = + 0,065” (9) = + 0,021” Ad) = — 0212 (10) = + 0,054 (2) = + 0,339 11) = — 0,219 8) = — 0,193 (12) = + 0,501 (4) = + 0,233 (13) = — 0,282 (5) = — 0,071 (14) = — 0,256 (6) = — 0,162 (15) = + 0,164 (7) = — 0,481 (16) = + 0,230 (8) = + 0,406 (17) = — 0,139.

Die Summe der Quadrate dieser Fehler wird — 1,2288 gefunden; hieraus folgt der mittlere Fehler einer einzelnen Richtung, insoweit er aus den beobachteten 18 Richtungen abgeleitet werden kann,

= ee — 0,4190”.

25.

Um auch den zweiten Theil unserer Theorie durch ein Beispiel zu erläutern, suchen wir die Genauigkeit auf, mit welcher die Seite Falkenberg—Breithorn aus der Seite Wilsede—Wulfsode mit Hülfe der ausgeglichenen Beobachtungen bestimmt wird. Die Funktion u, durch welche dieselbe in diesem Fall ausgedrückt wird, ist

sin (v9 — v9 — 0,652”) sin (v9 — v9 — 0,814”) sin (u — v9) — 0,652”) sin (v9 — v9 — 0,814”) Der Werth derselben wird mit den verbesserten Werthen der Richtungen »(%, „© etc. gefunden — 26766,68".

Die Differentiation jenes Ausdrucks liefert aber, wenn man sich die Differentiale do”, dv!) etc. in Secunden ausgedrückt denkt, du = 0,16991” (dv) — dv") + 0,08836” (dv) — do)

— 0,038997 (dv? — dot?) + 0,16731” (dot) — dv).

Hieraus findet man weiter

u — 22877,94° x

[al] = — 0,08836 [öf] = + 0,13092 [el] = — 0,00260

[dl] = + 0,07895

90 Combination der Beobachtungen.

fell = + 0,03899 (fl) = — 40,1815 [gl] = + 10,9957 [1] = + 0,18238.

Man findet hiernach endlich mit Hülfe der oben entwickelten Methoden, wenn wir das Meter als lineare Längeneinheit annehmen, S — 0,08329, oder P = 12,006, woraus der mittlere im Werthe der Seite Falkenberg—Breithorn zu befürchtende Fehler —= 0,2886 m Meter ist (wo m der mittlere zu befürchtende Fehler der beobachteten Richtungen, und zwar

in Sekunden ausgedrückt, ist), und folglich, wenn wir den oben er-

mittelten Werth des m nehmen, = 0,.12209°,

Uebrigens lehrt der Anblick des Systems der Dreiecke un- mittelbar, dass der Punkt Hauselberg darin ganz weggelassen werden kann, ohne dass der Zusammenhang zwischen den Seiten

Wilsede— Wulfsode und Falkenberg—Breithorn gestört würde.

Aber es wäre aus methodischen Grundsätzen nicht zu billigen, wollte man deshalb die auf den Punkt Hauselberg bezüglichen Be- bachtungen unterdrücken”), da sie doch sicher zur Erhöhung der Genauigkeit beitragen. Um deutlicher zu zeigen, wie gross die Zunahme der Genauigkeit hierdurch wird, wiederholen wir die Berechnung, indem wir Alles, was sich auf den Punkt Hauselberg bezieht, weglassen, wodurch von den oben gegebenen 18 Richtungen 8 fortfallen, und die plausibelsten Fehler der übrigen folgender- maassen gefunden werden:

(0) = + 0,827” | (12) = + 0,206”

1) = —0206 | (183) = —.0,206 8) = —0,121 | (di) = + 0,8297 (4) = +0,121 | (15) = + 0,206 6)= —0121 | (1) = +0121.

Der Werth der Seite Falkenberg—Breithorn ergiebt sich dann

*) Der grössere Theil dieser Beobachtungen war schon angestellt, ehe der Punkt Breithorn aufgefunden und in das System aufgenommen ward.

a

BETEN

Ergänzung. 91:

— 26766,63”, zwar wenig von dem oben gefundenen abweichend, die Berechnung des Gewichts liefert aber

2 — 0,1082, oder P — 7,644

und deshalb den mittleren zu befürchtenden Fehler = 0,36169 m Meter — 0,1515”. Es erhellt daher, dass durch Hinzunahme der auf Hauselberg bezüglichen Beobachtungen das Gewicht der Bestimmung der Seite Falkenberg—Breithorn im Verhältniss der Zahl 7,644 zu 12,006, oder der Einheit zu 1,571 vermehrt ist.

II.

Aus der

Theorie der Bewegung der Himmelskörper,

welche in Kegelsehnitten die Sonne umlaufen. (1809).

Zweites Buch. Dritter Abschnitt.

Bestimmung der Bahn, die beliebig viele Beobachtungen möglichst genau erfüllt.

172.

Wenn die astronomischen Beobachtungen und die übrigen Zahlenwerthe, auf denen die Berechnung der Bahnen beruht, sich einer absoluten Genauigkeit erfreuten, so würden sich auch die Ele- mente, mag man sie nun aus drei oder aus vier Beobachtungen abgeleitet haben, sofort völlig genau ergeben (wenigstens in- soweit man voraussetzt, dass die Bewegungen genau nach den Kepler’schen Gesetzen erfolgen), so dass man durch Hinzunahme immer neuer Beobachtungen nur eine Bestätigung und keine Ver- besserung erhalten könnte. Da nun aber in der That alle unsere Messungen und Beobachtungen nur Annäherungen an die Wahrheit sind, und dasselbe von allen auf ihnen beruhenden Rechnungen gelten muss, so wird das höchste Ziel aller, auf bestimmte Er- scheinungen sich beziehenden Rechnungen darin bestehen müssen, der Wahrheit möglichst nahe zu kommen. Dies kann aber nur durch eine zweckmässige Combination von mehr Beobachtungen geschehen, als deren zur Bestimmung der unbekannten Grössen un- bedingt erforderlich sind. Dies Geschäft wird man jedoch dann erst unternehmen können, wenn man bereits eine angenäherte Kenntniss der Bahn besitzt, welche alsdann so verbessert werden muss, dass sie alle Beobachtungen möglichst genau erfüllt. Wenn nun auch dieser Ausdruck etwas Unbestimmtes zu enthalten scheint,

a e

Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 93

so werden doch im Folgenden Prineipien vorgetragen werden, ver-

mittelst deren die Aufgabe einer gesetzmässigen und methodischen

Lösung unterworfen wird.

Die höchste Genauigkeit zu erstreben, kann nur dann die Mühe lohnen, wenn an die zu bestimmende Bahn gleichsam die letzte Hand anzulegen ist. So lange man dagegen die Hoffnung hegt, dass bald neue Beobachtungen Anlass zu neuen Verbesserungen bieten werden, so empfiehlt es sich, je nach der Sachlage mehr oder weniger auf die äusserste Genauigkeit zu verzichten, wenn

man hierdurch die Weitschichtigkeit der Rechnungen wesentlich

verringern kann. Wir werden uns bemühen, für jeden der beiden

| Fälle Rath zu schaften.

173.

Vor allem ist es von grösster Bedeutung, die einzelnen geo- centrischen Positionen des Himmelskörpers, welche man der be- betreffenden Bahn zu Grunde legen will, nicht aus vereinzelten Beobachtungen abzuleiten, sondern, wenn möglich, aus mehreren so combinirten, dass die zufällig begangenen Fehler sich gegen- seitig, so weit es geht, vernichtet haben. Solche Beobachtungen nämlich, welche nur um den Zwischenraum weniger Tage ausein- ander liegen — oder, nach Lage der Sache, sogar um einen Zwischenraum von 15 oder 20 Tagen — werden bei der Rechnung

‚nicht als eben so viele, verschiedene Positionen zu verwenden sein,

sondern es wird vielmehr aus ihnen eine einzige Position abge- leitet werden, welche unter allen gleichsam die mittlere ist und deshalb eine bei weitem grössere Genauigkeit gewährt, als die einzelnen, gesondert betrachteten Beobachtungen. Dies Verfahren stützt sich auf folgende Principien.

Die aus den angenäherten Elementen berechneten geocentrischen Oerter des Himmelskörpers dürfen von den wahren Oertern nur wenig abweichen, und die Differenzen zwischen beiden dürfen nur sehr langsamen Aenderungen unterliegen, so dass sie im Verlaufe von wenigen Tagen nahezu wie Constanten behandelt, oder.dass wenigstens ihre Aenderungen als den Zeiten proportional angesehen werden können. Wären demnach die Beobachtungen völlig fehlerfrei, so würden die den Zeiten £, t, t”, t” etc. entsprechenden Differenzen zwischen den beobachteten und den aus den Elementen be- rechneten Oertern, d. h. die Differenzen der beobachteten und be- rechneten Längen und Breiten, oder Rectascensionen und Declina-

94 Bewegung der Himmelskörper.

tionen, entweder hinlänglich gleiche oder wenigstens gleichmässig

und sehr langsam wachsende oder abnehmende Grössen sein. Es

mögen z. B. jenen Zeiten die beobachteten Rectascensionen «a, @‘, a”, «” etc. entsprechen, berechnet aber seien «+0, «+0, a” + d”, @” + Öd”etc.; alsdann werden die Unterschiede 6, 6‘, d”, 0” etc. von den wahren Abweichungen der Elemente nur in so weit ver- schieden sein, als die Beobachtungen selbst fehlerhaft sind; darf man also jene Abweichungen für alle diese Beobachtungen als con- stant ansehen, so werden die Werthe d, 6’, Ö”, ö” etc. eben so viele verschiedene Bestimmungen derselben Grösse darstellen, als deren verbesserten Werth man deshalb das arithmetische Mittel aus jenen Bestimmungen annehmen darf, so lange wenigstens kein Grund vorliegt, eine oder die andere zu bevorzugen. Glaubt man aber, den einzelnen Beobachtungen nicht denselben Genauigkeitsgrad bei- legen zu dürfen, so nehme man an, dass der Genauigkeitsgrad bei den einzelnen bezw. den Zahlen e, e’, e”, e” etc. proportional zu schätzen sei, d. h. dass Fehler, welche diesen Zahlen umgekehrt proportional sind, bei den Beobachtungen gleich leicht hätten be- gangen werden können; dann wird nach den unten anzugebenden Prineipien der mittlere wahrscheinlichste Werth nicht mehr das einfache arithmetische Mittel, sondern

1 ed + e?ö’ + ed” + ed” + etc. It ER ER I be

sein. Setzt man nun diesen mittleren Werth = &, so wird man für die wahren Reetascensionen bezw. «@+0— A, «+d—A, a@"+60"— A, a” + 6” — A etc. annehmen dürfen, und dann wird es gleichgültig sein, welche man in der Rechnung benutzt. Wenn aber entweder die Beobachtungen durch einen allzugrossen Zeit- raum von einander getrennt sind, oder wenn hinlänglich angenäherte Elemente der Bahn noch nicht vorliegen, so dass man ihre Ab- weichungen nicht für alle Beobachtungen als constant ansehen darf, so ist leicht ersichtlich, dass hierdurch kein anderer Unterschied ent- steht, als dass die so gefundene mittlere Abweichung nicht sowohl für alle Beobachtungen gemeinsam zu gelten hat, sondern dass sie vielmehr auf eine gewisse mittlere Zeit zu beziehen ist, welche man aus den einzelnen Zeitmomenten ebenso ableiten muss, wie A aus den einzelnen Abweichungen, im allgemeinen also auf die Zeit

et+e tt!’ +et" + et” + etc. e+e+e”+e” + etc,

ei hi he aa ne ut

a ERBE RR u We .d ‚

Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 95

Will man daher die grösste Genauigkeit erlangen, so wird der

geocentrische Ort für dieselbe Zeit aus den Elementen zu berechnen und alsdann von dem mittleren Fehler A zu befreien sein, so dass

eine möglichst genaue Position hervorgeht; zumeist wird es jedoch

weitaus genügen, wenn man den mittleren Fehler auf die der

mittleren Zeit nächste Beobachtung bezieht. Was wir hier von den Rectascensionen gesagt haben, gilt ebenso von den Declinatio-

. nen, oder, wenn man lieber will, von den Längen und Breiten; es

wird aber immer vortheilhafter sein, unmittelbar die aus den Ele- menten berechneten Rectascensionen und Declinationen mit den beobachteten zu vergleichen; so gewinnen wir nämlich nicht nur eine raschere Rechnung‘, besonders wenn wir die in den Art. 53. bis 60. auseinandergesetzten Methoden benutzen, sondern jene Methode empfiehlt sich ausserdem aus dem Grunde, weil wir auch unvoll- ständige Beobachtungen gebrauchen können, und weil ausserdem, wenn wir Alles auf Längen und Breiten beziehen würden, zu be- fürchten wäre, dass eine Beobachtung, welche in Bezug auf Recta- scension richtig, in Bezug auf Declination schlecht angestellt ist (oder umgekehrt), in beiden Beziehungen verschlechtert und somit ganz unbrauchbar würde. — Uebrigens wird nach den bald zu entwickelnden Prineipien der dem so gefundenen Mittel beizulegende Grad der Genauigkeit = Ve + e” + e””-+ e””-+ etc. sein, so dass vier oder neun gleich genaue Beobachtungen erforderlich sind, wenn sich das Mittel der doppelten oder dreifachen Genauigkeit erfreuen soll, und so weiter.

174.

Wenn man die Bahn eines Himmelskörpers nach den in den vorhergehenden Abschnitten entwickelten Methoden aus drei oder

‚vier derartigen geocentrischen Positionen bestimmt hat, welche selbst

einzeln nach der Regel des vorhergehenden Art. aus mehreren Beobachtungen gebildet waren, so wird diese Bahn zwischen allen diesen Beobachtungen gleichsam die Mitte halten, und in den Diffe- renzen zwischen den beobachteten und berechneten Oertern wird keine Spur einer Regelmässigkeit übrig bleiben, welche sich durch Ver- besserung der Elemente beseitigen oder merklich abschwächen liesse. So lange nun der ganze Vorrath der Beobachtungen keinen allzugrossen Zeitraum umfasst, wird man auf diese Weise das er- wünschteste Zusammenstimmen der Elemente mit allen Beobach- tungen erreichen können, wenn man nur drei oder vier gleichsam

96 Bewegung der Himmelskörper.

normale Positionen geschickt auswählt. Bei der Bestimmung der Bahnen neuer Kometen oder Planeten, deren Beobachtungen ein Jahr noch nicht überschreiten, werden wir durch diese Methode meist so viel erreichen, als die Natur der Sache selbst erlaubt. Ist daher die zu bestimmende Bahn um einen beträchtlichen Winkel gegen die Ekliptik geneigt, so leite man sie im allgemeinen aus drei Beobachtungen ab, welche wir möglichst weit entfernt von einander wählen; wenn wir dabei aber zufällig auf einen der oben ausgeschlossenen Fälle (Art. 160. bis 162.) gerathen, oder wenn die Neigung der Bahn allzu- klein erscheint, so werden wir die Bestimmung aus vier Positionen vorziehen, welche wir ebenfalls so weit wie möglich von einander entfernt annehmen.

Ist aber bereits eine längere, mehrere Jahre umfassende

Beobachtungsreihe vorhanden, so wird man aus ihr mehrere Nor- malörter ableiten können, und man würde daher der grössten Ge- nauigkeit wenig Rechnung tragen, wollte man zur Bestimmung der Bahn nur drei oder vier Positionen aussuchen, und alle übrigen gänzlich vernachlässigen. Man wird sich vielmehr in einem solchen Falle, wenn man die höchste Genauigkeit erlangen will, Mühe geben, so viele ausgesuchte Positionen wie möglich zusammenzustellen und zu benutzen. Dann werden also mehr Daten vorhanden sein, als

zur Bestimmung der Unbekannten erforderlich sind; alle diese '

Daten werden aber Fehlern, wenn auch nur kleinen, unterworfen sein, so dass es im allgemeinen unmöglich ist, allen völlig zu ge- nügen. Da nun kein Grund vorhanden ist, weshalb man aus diesen Daten diese oder jene sechs als absolut genau annehmen soll, son- dern da man vielmehr nach den Principien der Wahrscheinlichkeit

bei allen ohne Unterschied grössere oder kleinere Fehler als gleich

möglich voraussetzen muss, und da ferner im allgemeinen gerin- gere Fehler häufiger begangen werden als gröbere, so ist es offenbar, dass eine solche Bahn, welche zwar sechs Daten vollkommen be- friedigt, von den übrigen aber mehr oder weniger abweicht, für eine mit den Principien der Wahrscheinlichkeitsrechnung weniger übereinstimmende zu halten ist, als eine andere, welche zwar auch von jenen sechs Daten um ein Geringes unterschieden ist, desto besser aber mit den übrigen zusammenstimmt. Die Aufsuchung der Bahn, welche im strengen Sinn die grösste Wahrscheinlichkeit für sich hat, wird von der Kenntniss des Gesetzes abhängen, nach welchem die Wahrscheinlichkeit wachsender Fehler abnimmt; dieses Gesetz hängt aber von so vielen unbestimmten oder zweifelhaften — auch

fg) 2 ya

RER

TEEN

Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 97

physiologischen — Erwägungen ab, welche der Rechnung nicht unterworfen werden können, dass man ein solches wohl kaum jemals in irgend einem Falle der praktischen Astronomie richtig anzugeben vermag. Nichtsdestoweniger wird die Aufsuchung des Zusammenhangs zwischen diesem Gesetz und der wahrschein- lichsten Bahn, welche wir nunmehr in grösster Allgemeinheit unter- nehmen wollen, keineswegs für eine unfruchtbare Speculation zu halten sein.

175.

Zu diesem Zweck steigen wir von unserer besonderen Auf- gabe zu einer ganz allgemeinen Untersuchung auf, welche sich bei jeder Anwendung der Mathematik auf naturwissenschaftliche Fragen sehr fruchtbar erweist. Es seien V, V’, V” ete. Funktionen der Unbekannten p, 9, r, s etc., « die Anzahl dieser Funktionen, » die Anzahl der Unbekannten; wir setzen voraus, als Werthe der Funktionen seien durch unmittelbare Beobachtungen V=M, V=M, V’” = M’” etc. gefunden worden. Im allgemeinen wird daher die Entwickelung der Werthe der Unbekannten sich als unbestimmte, bestimmte oder überbestimmte Aufgabe darstellen, jenachdem u <>», au = »v oder u> v ist”). Hier wird nur von dem letzten Fall die, Rede sein, in welchem offenbar eine genaue Darstellung sämmt- licher Beobachtungen nur dann möglich wäre, wenn letztere alle absolut fehlerfrei wären. Da dies aber in Wirklichkeit nicht statt- findet, so wird jedes Werthsystem der Unbekannten p, g, r, s etc. für möglich zu halten sein, aus welchem sich Werthe der Funktionen M—V, M — V’, M’— V’”ete. ergeben, welche nicht grösser sind als die Grenzen der Fehler, die bei jenen Beobachtungen begangen werden konnten, was jedoch keineswegs so zu verstehen ist, als ob diese einzelnen möglichen Systeme einen gleichen Grad von Wahrscheinlichkeit besässen.

Wir nehmen zuerst an, es sei bei allen Beobachtungen die Sachlage derartig gewesen, dass kein Grund vorhanden ist, die eine

*) Wenn im dritten Falle die Funktionen V, V’, V” ete. so beschaffen wären, dass man «-+1-— » von ihnen oder mehrere als Funktionen der übrigen ansehen könnte, so würde die Aufgabe in Bezug auf diese Funktionen immer noch überbestimmt, in Bezug auf die Grössen ?, q, r, s etc. aber unbe- stimmt sein; man würde nämlich ihre Werthe nicht einmal dann bestimmen können, wenn die Werthe der Funktionen V, V’, V” ete, absolut genau gegeben wären. Diesen Fall schliessen wir aber von unserer Untersuchung aus,

Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 7

98 Bewegung der Himmelskörper.

für weniger genau als die andere zu erachten, oder dass man gleich grosse Fehler bei den einzelnen für gleich wahrscheinlich halten muss. Die Wahrscheinlichkeit, welche irgend einem Fehler A bei- zulegen ist, wird daher durch eine Funktion von A ausgedrückt, welche wir mit (A) bezeichnen wollen. Wenn man nun auch diese Funktion nicht genau angeben kann, so kann man doch wenig- stens versichern, dass ihr Werth ein Maximum für A = 0 werden müsse, dass er im allgemeinen für gleiche und entgegengesetzte Werthe von A der gleiche sei, und endlich, dass er verschwinde, wenn man für A den grössten Fehler oder einen noch grösseren Werth annimmt. Eigentlich ist deshalb y(A) zu der Gattung der unstetigen Funktionen zu rechnen, und wenn wir uns erlauben, zum praktischen Gebrauch an ihrer Stelle eine analytische Funktion einzuführen, so muss diese so beschaffen sein, dass sie von A = 0 ab nach beiden Seiten gleichsam asymptotisch gegen 0 convergirt, so dass sie ausserhalb der betreffenden Grenze als wirklich verschwindend angesehen werden kann. Ferner wird die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler zwischen den Grenzen A und A -+dA liege, welche um die unendlich kleine Differenz dA von einander abstehen, durch p(A)dA auszudrücken sein; hiernach wird allgemein die Wahr- scheinlichkeit, dass der Fehler zwischen D und D’ liege, durch das von A = D bis A = D’ genommene Integral /p(A) dA darge- stellt. Nimmt man dieses Integral von dem grössten negativen Werthe bis zum grössten positiven Werthe von A, oder allge- meiner vn A= —o bis A= +m, so muss es nothwendig — 1 werden.

Nehmen wir also an, irgend ein bestimmtes Werthsystem der Grössen p, q, r, s etc. sei gegeben, so wird die Wahrscheinlichkeit, dass für V aus der Beobachtung der Werth M hervorgehen werde, durch g(M — V) ausgedrückt, indem man in V für p, , r, s etc. ihre Werthe einsetzt; ebenso drücken g(M’ — V’), p(M”— V”) etc. die Wahrscheinlichkeiten aus, dass sich aus den Beobachtungen für die Funktionen V’, V” ete. die Werthe M’, M” etc. ergeben werden. Deshalb wird, wenn man nur alle Beobachtungen als von einander unabhängige Ergebnisse ansehen darf, das Produkt

pM — V) p(M’ — V)y(M”— Mete. = 2

die Erwartung oder die Wahrscheinlichkeit ausdrücken, dass alle diese Werthe gleichzeitig aus den Beobachtungen hervorgehen werden.

ET FE“ 5 EREER

Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 099

176.

So wie nun bei Annahme irgend welcher bestimmten Werthe der Unbekannten jedem System von Werthen der Funktionen V, V’, V” etc. vor Anstellung der Beobachtung eine bestimmte Wahr- scheinlichkeit zukommt, ebenso wird umgekehrt, nachdem aus den Beobachtungen bestimmte Werthe der Funktionen erhalten sind, für die einzelnen Werthsysteme der Unbekannten, aus welchen jene hervorgehen konnten, sich eine bestimmte Wahrscheinlichkeit er- geben; offenbar sind nämlich diejenigen Systeme für wahrschein- licher zu halten, bei welchen die Erwartung des erhaltenen Ergeb- nisses die grössere gewesen war. Die Schätzung dieser Wahr- scheinlichkeit stützt sich auf folgenden Lehrsatz:

Wenn bei irgend einer zu Grunde gelegten Hypothese H die Wahrscheinlichkeit irgend eines bestimmten Ergebnisses E gleich h ist, bei Annahme einer anderen, die erstere ausschliessenden und an sich gleich wahrscheinlichen Hypothese H’ aber die Wahrscheinlichkeit des- selben Ergebnisses gleich h’ ist: dann behaupte ich, wenn das Ergebniss E wirklich eingetreten ist, dass die Wahrscheinlichkeit . dafür, dass H die richtige Hypothese gewesen, sich zur Wahrscheinlichkeit, dass H’ die richtige Hypothese gewesen, verhalte wie h zu h.

Um dies zu beweisen, nehmen wir an, durch Unterscheidung aller Umstände, von denen es abhängt, ob H oder H’ oder eine andere Hypothese Platz greift, um das Ergebniss E oder ein anderes hervorzubringen, sei ein gewisses System der verschiedenen Fälle aufgestellt, welche einzeln für sich (d. h. so lange es ungewiss ist, ob das Ergebniss E oder ein anderes eintreten werde) als gleich wahrscheinlich betrachtet werden müssen, und diese Fälle seien so eingetheilt,

: ; hen Modifica- dass unter ihnen ge- bei denen die Hypothese e- 3 en ri tionen, dass das Ergeb- funden werden statthaben muss ; } = niss eintreten muss m H E n H von E verschieden m H’ E n H’ von E verschieden m” von H und H’ verschieden E n” von H und H’ verschieden | von E verschieden.

7*

100 Bewegung der Himmelskörper. m een MW nt’ mL Bekanntwerden des Ergebnisses die Wahrscheinlichkeit der Hypo-

m+n these H = ET des Ergebnisses aber, wo die Fälle », », n” aus der Anzahl der möglichen ausscheiden, wird die Wahrscheinlichkeit derselben Hy-

Dann wird h = sein; ferner war vor

„, nach dem Bekanntwerden

pothese —= = - sein; ebenso wird die Wahrscheinlichkeit m + m’ + m

der Hypothese H’ vor und nach dem Ergebniss bezw. durch m + n m

drückt: me Rp Aa Rp Zuge und a ausgedrückt; da nun

den Hypothesen H und H’ vor dem Bekanntwerden des Ergebnisses dieselbe Wahrscheinlichkeit beigelegt ist, so wird also mtn=mM+n sein, woraus sich die Richtigkeit des Lehrsatzes von selbst ergiebt. So lange wir nun annehmen, dass ausser den Beobachtungen V=M, V’=M, V” = M” etc. keine anderen Daten zur Be- stimmung der Unbekannten vorhanden seien, und dass deshalb alle Werthsysteme dieser Unbekannten vor jenen Beobachtungen gleich wahrscheinlich gewesen seien, so wird offenbar die Wahrscheinlich- keit eines jeden bestimmten Systems nach jenen Beobachtungen dem 2 proportional sein. Dies ist so zu verstehen, dass die Wahr- scheinlichkeit dafür, dass die Werthe der Unbekannten bezw. zwischen den unendlich nahen Grenzen p undp + dp, qgundg +dg, r undr+dr, s und s-+.ds etc. liegen, durch A 2 dp dq dr ds... ausgedrückt werde, wo A eine von p, q, r, s etc. unabhängige,

constante Grösse sein wird. Und zwar wird offenbar % der Werth

des Integrals »** Ordnung [") Qdpdgdrds... sein, wenn man die einzelnen Variabeln p, g, r, s ete. von dem Werthe — oo bis zum Werthe + oo ausdehnt.

| 177. Hieraus folgt schon von selbst, dass das wahrscheinlichste Werthsystem der Grössen p, g, r, s etc. dasjenige sein wird, bei

welchem 2 den grössten Werth erlangt, und dass es deshalb aus den » Gleichungen

a Be U le wi. =

ur EL | n

Zweites Buch. Dritter Abschnitt. FEN 101 2

zu ermitteln ist. Diese Gleichungen nehmen, wenn man M— V=»,

N; ’ [4 „ „ ” dp (A N) M—V’=v, M—V” = vX etc. und SE = (A) setzt, folgende Form an:

ro+T, IOEE = 90”) + ete. = 0

George p(v’) (v”) + etc. =) 2 y)+ (v") + etc. = 0 dv dv’

590 t pw) + ir pw”) + etc. = 0 etc.

Hieraus wird man also durch Elimination die völlig bestimmte Lösung der Aufgabe ableiten können, sobald nur die Natur der Funktion 9’ bekannt ist. Da diese aber a priori nicht definirt werden kann, so wollen wir die Sache von einer anderen Seite an- greifen, und nachforschen, auf welcher stillschweigend gleichsam als Grundlage angenommenen Funktion ein landläufiges Princip eigent- lich beruht, dessen Vortrefflichkeit allgemein anerkannt ist. Wie ein Axiom pflegt man nämlich die Hypothese zu behandeln, wenn irgend eine Grösse durch mehrere unmittelbare, unter gleichen Umständen und mit gleicher Sorgfalt angestellte Beobachtungen bestimmt worden ist, dass alsdann das arithmetische Mittel zwischen allen beobachteten Werthen, wenn auch nicht mit absoluter Strenge, so doch wenigstens sehr nahe den wahrscheinlichsten Werth gebe, so dass es immer das sicherste ist, an diesem festzuhalten. Setzen wir daher V = V’ = V” etc. = p, so wird allgemein

P(M—p) + PM —p) + YPM’—p) + etc. — 0 sein müssen, wenn für p der Werth „u + M’+ M” -+ etc.) ein-

gesetzt wird, was für eine ganze positive Zahl « auch sein möge. Nimmt man also M’ = M” etc. = M—uN, so wird allgemein, d. h. für jeden ganzen positiven Werth von w,

la —YN) = A—wWgp(—N)

’ . . * * A * sein, woraus man leicht entnimmt, dass allgemein An eine COn-

stante Grösse sein müsse, welche wir mit % bezeichnen wollen. Hieraus folgt logp(A) = 4%A° + Const., oder wenn wir die Basis der

x 192 ER i ek Bewegung der Himmelskörper.

hyperbolischen Logarithmen mit e bezeichnen, und Const. = log x setzen, 1 kA? y(A) = xe : Ferner ist leicht einzusehen, dass % nothwendig negativ sein muss, damit 2 wirklich ein Maximum werden könne, weshalb wir

ie

5 k = h setzen; und da nach einem zuerst von Laplace gefundenen, eleganten Lehrsatz das vn A = —o» bis A = +» genommene Integral

ferrras == hie h

wird (wo sz den halben Kreisumfang für den Radius 1 bezeichnet), so wird unsere Funktion

p(A) = za Be Vr

178.

Die soeben ermittelte Funktion kann zwar in aller Strenge die Wahrscheinlichkeiten der Fehler sicher nicht darstellen; denn da die möglichen Fehler immer in bestimmten Grenzen einge- schlossen sind, so müsste die Wahrscheinlichkeit grösserer Fehler sich immer — 0 ergeben, während unsere Formel immer einen endlichen Werth liefert. Jedoch ist dieser Mangel, mit dem jede analytische Funktion ihrer Natur nach behaftet sein muss, für alle praktischen Zwecke ohne alle Bedeutung, da, sobald nur erst hA einen beträchtlichen Werth erlangt hat, der Werth unserer Funktion so schnell abnimmt, dass man ihn sicher der Null gleich- kommend annehmen darf. Die Fehlergrenzen selbst mit völliger Strenge anzugeben, wird überdies die Natur der Sache niemals gestatten.

Uebrigens wird man die Constante ) als das Maass für die Genauigkeit der Beobachtungen ansehen können. Wenn man näm- lich annimmt, die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers A werde in irgend einer Gruppe von Beobachtungen durch

Amar, Vre

in einer. anderen Gruppe von genaueren oder ungenaueren Beobach-

Zweites Buch. Dritter Absehnitt. 103

tungen aber durch

Kummer

Vr ausgedrückt, so wird die Erwartung, es sei bei irgend einer Beo- bachtung der ersteren Gruppe der Fehler in den Grenzen — d und + d enthalten, durch das vn A= —dbis A= +6 genom-

mene Integral RB —mar aA Vrr

ausgedrückt, und ebenso wird die Erwartung, dass der Fehler irgend einer Beobachtung der letzteren Gruppe die Grenzen —d’ und + 0’ nicht überschreite, durch dsvnA=—(O' bs A= +46

genommene Integral ? ’ MR ERARTA Vr

ausgedrückt; beide Integrale werden aber offenbar einander gleich, sobald man Ad = h’ö’ hat. Wenn also z.B. W = 2% ist, so kann in der ersten Gruppe ebenso leicht ein doppelter Fehler begangen werden, wie in der zweiten ein einfacher, in welchem Falle man den letzteren Beobachtungen nach dem allgemeinen Sprachgebrauch die doppelte Genauigkeit zuschreibt.

179.

Nun werden wir Folgerungen aus diesem Gesetze ziehen. Da- mit das Produkt 2 — hun ite -Pw+v”+v”+ete.)

ein Maximum werde, muss offenbar die Summe »® +v”+»” + etc. ein Minimum werden. Das wahrscheinlichste Werthsystem der Un- bekannten p, 4, r, S etc. wird daher dasjenige sein, bei welchem die Quadrate der Differenzen zwischen den beobachteten und berechneten Werthen der Funktionen V, V’, V” etc. die kleinste Summe ergeben, wenn nur bei allen Beobachtungen der gleiche Grad von Genauigkeit vorausgesetzt werden darf.

Dies Prineip, welches bei allen Anwendungen der Mathematik auf die Naturwissenschaften sehr häufig von Nutzen ist, muss überall mit demselben Recht als Axiom gelten, mit welchem das arith- metische Mittel zwischen mehreren beobachteten Werthen derselben Grösse als wahrscheinlichster Werth angenommen wird,

104 | Bewegung der Himmelskörper.

Auf Beobachtungen von ungleicher Genauigkeit kann unser Prineip jetzt ohne jede Mühe ausgedehnt werden. Wenn nämlich das Maass der Genauigkeit der Beobachtungen, vermittelst deren V=-M,V’=M, V” = M’etc. gefunden ist, bezw. durch h, A, h” ete. ausgedrückt wird, d.h. wenn man voraussetzt, dass Fehler, welche diesen Grössen umgekehrt proportional sind, bei jenen Beobachtungen gleich leicht begangen werden können, so wird dies offenbar auf dasselbe hinauskommen, als wenn durch Beobachtungen von gleicher Genauigkeit (deren Maass = 1 ist) die Werthe der Funktionen AV, WV’, h’V” etc. unmittelbar = AM, AM’, h’M” etc. gefunden worden wären; deshalb wird das wahrscheinlichste Werth- system für die Grössen p, g, r, s etc. dasjenige sein, bei welchem die Summe Ah?’o’ + h?v” + KV” + etc. d. h. bei welchem die Summe der Quadrate der Differenzen zwischen den wirklich beobachteten und den berechneten Werthen multiplieirt mit den ihren Genauigkeitsgrad messenden Zahlen ein Minimum wird. Hiernach ist es nicht ein- mal nothwendig, dass die Funktionen V, V’, V” ete. sich auf ho- mogene Grössen beziehen, sondern sie können auch heterogene (zZ. B. Bogen- und Zeitsecunden) darstellen, wenn man nur das Verhältniss der Fehler zu schätzen vermag, welche bei den einzelnen gleich leicht begangen werden konnten.

180.

Das in dem vorhergehenden Art. dargestellte Princip empfiehlt sich auch aus dem Grunde, weil die numerische Bestimmung der Unbekannten zu einem sehr bequemen Algorithmus führt, wenn die Funktionen V, V’, V” ete. lineare sind. Wir nehmen an, es sei

M —V=»o = —m+ap +bga +er +ds +etc. M”—-V=-vV’=—m+ap +bg +cr +4+ds + etc. M”—V’=v."= —mM+ap+b’g+ e”r+d’s+ etc.

etc., und setzen

av + av’ + av” + etc. bv + b’v’ + b’v” + etc. cv + cv + cv’ + etc. dv + dv’ + d’v” + etc. etc. Dann werden die » Gleichungen des Art. 177., aus welchen

die Werthe der Unbekannten zu bestimmen sind, offenbar folgende sein:

nRborm

Il ı

P=0, Q0=10, R=%0,)8=0 ek,

a 2 mut hl Pl u And Pak nn a u bikini

Zweites Buch. Dritter Abschnitt, 105

wenigstens wenn wir die Beobachtungen als gleich gut voraussetzen, auf welchen Fall nach den Anweisungen des vorigen Art. die übrigen zurückgeführt werden können. Es sind also eben so viele lineare Gleichungen vorhanden, als Unbekannte zu bestimmen sind, woraus deren Werthe durch die gewöhnliche Elimination abgeleitet werden.

Wir wollen jetzt nachsehen, ob diese Elimination immer möglich ist, oder ob jemals die Lösung unbestimmt oder sogar un- möglich werden kann. Aus der Theorie der Elimination weiss man, dass der zweite oder dritte Fall dann eintreten werde, wenn aus den Gleichungen P=0, Q=0, R=0,S = etec,, bei Auslassung von einer derselben, eine Gleichung gebildet werden kann, die entweder mit der ausgelassenen identisch ist, oder ihr widerstreitet, oder was auf dasselbe hinaus kommt, wenn man eine lineare Funktion «P + $Q + yR + dS + etc. angeben kann, welche entweder identisch —= 0 ist, oder wenigstens keine einzige der Unbe- kannten 9, g, r, s etc. enthält. Wir nehmen also an, es werde

aP+PQ-+yYR+öS-+ete. = x. Man erhält ohne weiteres die identische Gleichung

Bm) +W+m)VY +” +m)v””+ete.=pP+4Q-+rR + sS + etc.

Wenn wir demnach annehmen, dass die Funktionen v, », »” etc. durch die Substitutionenp = aw, qg = ßa,r = ya, s = dr etc. bezw. in m + 4a, — m + 4a, — m’ + 4x etc. übergehen, so wird offenbar die identische Gleichung entstehen:

(A? + 4° +2” + etc.) ©® — (Am + Am’ + Km” + etc.)z = xw, d. h. es wird

ZEHN HN? +etc = 0, x +4Am+ Hm + X m’ + etc. = (0; hiernach wird aber nothwendigerweise A = 0, 4 = 0, X = 0 etc. und x = 0 sein müssen. Hieraus erhellt, dass alle Funktionen V, V’, V” etc. so beschaffen sind, dass sich ihre Werthe nicht ändern, wenn die Grössen »2, g, r, s etc. um beliebige Grössen zunehmen oder abnehmen, welche den Zahlen «, £, y, d etc. proportional sind; dass aber solche Fälle, in welchen die Bestimmung der Un- bekannten offenbar auch dann nicht einmal möglich wäre, wenn selbst die wahren Werthe der Funktionen V, V’, V” etc. gegeben

‚sein würden, nicht hierher gehören, daran haben wir schon oben

erinnert. Uebrigens lassen sich auf den hier betrachteten Fall alle

106 Bewegung der Himmelskörper.

übrigen, wo die Funktionen V, V’, V”ete. nicht linear sind, leicht zurückführen. Bezeichnen wir nämlich mit =, x, 0, o etc. ange- näherte Werthe der Unbekannten p, 9, r, s etc. (welche wir leicht ableiten können, indem wir von den «Gleichungen V=M, V’=M, V”= M’etc. zunächst nur v benutzen), und führen wir an Stelle der Unbekannten andere p»’, q, r’, s’ etc. ein, indem wir p=ntr, q=ı td, r=oH+rr, s= 0-+35 etc. setzen, so werden offenbar die Werthe dieser neuen Unbekannten so klein sein, dass man ihre Quadrate und Produkte vernachlässigen darf, wodurch die Gleichungen von selbst linear werden. Wenn aber alsdann nach beendigter Rechnung die Werthe der Unbekannten p, g, r, s etc. wider Erwarten sich so gross ergeben, dass die Vernachlässigung der Quadrate und Produkte nicht gefahrlos er- schiene, so wird eine Wiederholung derselben Operation (indem man an Stelle der zz, x, e, o etc. die verbesserten Werthe der p, g, r, s etc, nimmt) schnell Abhülfe schaffen.

181.

So oft demnach nur eine einzige Unbekannte » vorhanden ist, zu deren Bestimmung die Werthe der Funktionen ap-+n, ap-+n, a’p-+ n” etc. bezw. = M, M’, M” ete., und zwar durch gleich genaue Beobachtungen gefunden sind, so wird der wahr- scheinlichste Werth des p

am + a’'m’ + a”’m” + etc. a +a”+a”-+ etc. sein, wenn man m, am’, m” etc. bezw. fürM —n, M’— », M”’— n” etc. schreibt.

Um nun den Grad der Genauigkeit zu schätzen, die wir bei diesem Werthe anzunehmen haben, setzen wir voraus, die Wahr- scheinlichkeit eines Fehlers A bei den Beobachtungen werde durch

iA

h — MA? Te e ausgedrückt. Hiernach wird die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Werth des p gleich A + p’ sei, der Funktion

e — * [(ap — m)? + (ap — m’)? + (a’p — m”)? + ete.] proportional sein, wenn man A + p’ für »p einsetzt. Der Exponent dieser Funktion kann auf die Form

— 1 (a + a® + a? + ete)(p’—2pA + B)

Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 107

4 gebracht werden, wo B von » unabhängig ist; deshalb ws die - Funktion selbst zu e e-(a+a”+a” + etc) p”

proportional sein. Offenbar ist also dem Werthe A derselbe Grad der Genauigkeit zuzuschreiben, als wenn er durch eine unmittelbare Beobachtung gefunden wäre, deren Genauigkeit sich zur Genauig- keit der ursprünglichen Beobachtungen verhält wie

hVa’+a”+a”+ etc. zu h, oder wie Va + a” + a” + etc. zul.

182.

| Der Untersuchung über den Grad der Genauigkeit, welchen man den Werthen der Unbekannten, wenn ihrer mehrere vorhanden sind, beilegen muss, ist eine genauere Betrachtung der Funktion o@+v?+v”+ete., die wir mit W bezeichnen wollen, vorauszu- - schicken.

I. Setzen wir

1 dW m =p—=A+rop+ Pg + yr+6ös- etec.,

und

- so wird offenbar pP’ —=P, und da

dAW dW Rp dy

an ar

i ist, so muss die Funktion W’ von » unabhängig sein. Der Coefficient a=a+ta?+a”-+ etc. wird offenbar immer eine positive - Grösse sein.

Il. Setzen wir ebenso

dW’ ; ; ; SR — g — ”+HPßg+yr+0öds--etc.,

Won — W”, so wird En ıdW p’ a ß dW” m. Sir =

sein, wonach offenbar die Funktion W” von p und g unabhängig

108 Bewegung der Himmelskörper.

ee er

sein wird. Dies würde nicht stattfinden, wenn # = 0 werden

könnte. Offenbar ergiebt sich aber W’ aus ” +o”+v”-+F etc.,

indem man die Grösse p aus », v’, v” etc. mit Hülfe der Gleichung p = 0 eliminirt; sonach wird 8’ die Summe der Coefficienten von g’ in v, v0”, v” etc. nach jener Elimination sein; diese einzelnen

Coeffieienten selbst sind aber Quadrate und können nicht alle zu- gleich verschwinden, abgesehen von dem oben ausgeschlossenen Fall, in welchem die Unbekannten unbestimmt bleiben. Es muss ß deshalb offenbar eine positive Grösse sein.

III. Setzen wir ferner

1 daW” ’ en ”„ „ „ Fe N" +y’r+0ö"s+ etc., und r? W” —- — w”, Y so wird war Vlsıt) Er R & P BR?

und W” sowohl von p, als von g und r unabhängig sein. Dass

übrigens der Coeffiecient y” nothwendig positiv ist, wird analog wie in II. bewiesen. Man sieht nämlich leicht ein, dass y” die Summe | der Coefficienten von r’ in v°, v”, v”” etc. ist, nachdem man die Grössen p und g mit Hülfe der Gleichungen p’ = 0, gy’ = 0 aus

v, v, v” etc. eliminirt hat. IV. Auf dieselbe Weise wird, wenn wir

1 aWw” ‚ m m Lidd m ” er =!" HE FR. BE WW. EW EZ

setzen,

0 ee

Fa

W”” von p, g, r, s unabhängig und 6’ eine positive Grösse sein. V. Man kann, wenn es ausser », q, r, s noch andere Unbe-

kannte giebt, ebenso weiter “. so dass man endlich

wo ps +4 {+5 u Fr + etc. + Const.

erhält, wo alle Coefficienten «, = ‚yY', d” etc. positive Grössen sein werden. -

B; mehr

VI. Die Wahrscheinlichkeit irgend eines Systems von be- stimmten Werthen der Grössen p, q, r, s etc. ist nun der Funktion

De ende RE FEN

Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 109

e"W proportional, so dass, wenn der Werth der Grösse p un-

bestimmt bleibt, die Wahrscheinlichkeit eines Systems bestimmter _ Werthe der übrigen dem von p = —o bisp = + w ausge-

dehnten Integral »

7 —AW gy

proportional sein wird, welches nach dem Theorem von Laplace

1 1

„1 ee er, ‚+ gm? + ete.|

wird; es wird also die obige being der Funktion

e-#W proportional sein. Wenn überdies q ebenso als Variable

| angesehen wird, dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Systems be-

stimmter Werthe für », s ete. dm vng = —obisgq = +»

genommenen Integral

fer W ag

- proportional, welches

gr 5 u ee ‚82 + ete.|

2 cz? e Y

wird, oder proportional der Funktion e ” »’W, Wenn man auch r

- als Variable behandelt, so wird ganz analog die Wahrscheinlichkeit - bestimmter Werthe der übrigen s etc. der Funktion e=*""W” pro- - portional sein, und so weiter. Wir wollen annehmen, die Anzahl - der Unbekannten steige bis auf vier; dann wird derselbe Schluss auch gelten, wenn sie grösser oder kleiner ist. Der wahrschein-

m

| lichste Werth von s wird hier = — —, sein, und die Wahrschein-

5

a ne Z aud, > an

d” lichkeit, dass derselbe sich von dem wahren um die Differenz o unterscheide, wird der Funktion e =” proportional sein, woraus wir schliessen, dass das Maass der jener Bestimmung beizulegenden relativen Genauigkeit durch YO” ausgedrückt wird, wenn das Maass

der den ursprünglichen Beobachtungen beizulegenden Genauigkeit -—= 1 gesetzt wird.

183. Durch .die Methode des vorhergehenden Art. wird das Ge-

nauigkeitsmaass nur für diejenige Unbekannte bequem ausgedrückt, der beim Geschäft der Elimination der letzte Platz angewiesen ist; _ um nun diese Unbequemlichkeit zu vermeiden, empfiehlt es sich,

110 Bewegung der Himmelskörper.

den Coeffieienten 6” auf andere Weise auszudrücken. Aus den ;

Gleichungen

Pise%

= + R=r+bf+lp

= 1457 Herten

folgt, dass die p/, g\, r/, 5’ a P, @, R, S folgendermaassen aus- gedrückt werden können:

?=P

’=Qd+W

r =R+BQ +WP !=S+ER+VYQA+HWP,

so dass A, A, ®, W, B”, €” bestimmte Grössen sind. Es wird daher (wenn wir die Anzahl der Unbekannten auf vier einschränken)

2% I” RE IPB

Hieraus leiten wir folgenden Schluss ab. Die wahrscheinlichsten Werthe der Unbekannten p, 9, r, s ete., welche durch Elimination aus den Gleichungen P=0,Q=0,R=0,S =V etc. ab- zuleiten sind, werden affenbar, wenn man für den Augenblick P, Q, R, S ete. als Variable betrachtet, demselben Eliminationsver- fahren gemäss in linearer Form durch P, @, R, Sete. ausgedrückt, so dass man erhält

p=1L +AP +BQ +CR +DS +ete.

L’ +AP +B@ +CR +DS +ete.

L”’ +A’P +B’@Q +CO’R +D’S + etc.

L”’+A”P +B’”Q +C”R + D’S + ete. etc.

l

7 r S

l

Hiernach werden die wahrscheinlichsten Werthe der p, q, r, s etc. offenbar bezw. L, L/, L”, L” etc. sein, und das diesen Bestim- mungen zuzuschreibende u, wird bezw. durch

le PB’ ’ Vi ’ a

ausgedrückt, wenn g Genauigkeit der ursprünglichen Beobach-

:

FERNER TH en ei $ $ 2 ER

Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 111

| tungen = 1 gesetzt ist. Was wir nämlich in Betreff der Bestim-

ae ed war Lan ZiBau He EaEE DER Zn

mung der Unbekannten s vorher gezeigt haben (bei welcher d’’ dem

e entspricht), lässt sich durch blosse Permutation der Unbekann-

ten auf alle übrigen übertragen.

184.

Um die vorhergehenden Untersuchungen an einem Beispiel zu erläutern, wollen wir annehmen, es sei durch Beobachtungen, bei denen man eine gleiche Genauigkeit voraussetzen darf, gefunden

PH ,g Ar 3 3p + 2qg — Dr 5 P»+ q+tr=21, durch eine vierte aber, der nur die halbe Genauigkeit zuzuschreiben

ist, habe sich ergeben —2p +69 +6r = 28.

An Stelle der letzten Gleichung führen wir daher die folgende ein:

— p+39g+43r = 14, und nehmen an, diese sei aus einer den früheren an Genauigkeit

‚gleichen Beobachtung hervorgegangen.

Hiernach wird

P=27p+ 6g — 88 n. q + dr —107,

und hieraus durch Elimination

19899 p — 49154 + 8S09P— 324Q+ 6R 19899 4 — 70659 — 324 P + 14580 — 27R 19899 r — 381211 + 6P— 27Q+369R.

Die wahrscheinlichsten Werthe der Unbekannten werden daher

p = 2,470 q = 3,551 11916

sein, und die diesen Bestimmungen zuzuschreibende relative Ge-

nauigkeit, wenn die Genauigkeit der ursprünglichen Beobachtungen

— 1 gesetzt ist, wird

112 Bewegung der Himmelskörper.

für P...V on = 4% 3,69

fr... VER — 7.

=: ”; MR

N

185.

Der bisher behandelte Gegenstand könnte zu mehreren ele- ganten, analytischen Untersuchungen Veranlassung geben, bei denen wir uns jedoch hier nicht aufhalten wollen, um uns nicht zu weit von unserem Vorhaben zu entfernen. Aus demselben Grunde müssen wir uns die Auseinandersetzung der Kunstgriffe, durch welche die . numerische Rechnung auf einen schneller zum Ziele führenden Al- gorithmus gebracht werden kann, für eine andere Gelegenheit vor- behalten. Eine einzige Bemerkung wollen wir uns hier anzufügen gestatten. Falls die Anzahl der Funktionen oder der vorgelegten Gleichungen beträchtlich ist, wird die Rechnung deshalb haupt- sächlich ein wenig lästiger, weil die Coefficienten, mit welchen die ursprünglichen Gleichungen zu multipliciren sind, um P,Q, R, Setc. abzuleiten, meistens wenig bequeme Decimalbrüche enthalten. Wenn es in einem solchen Falle nicht die Mühe zu lohnen scheint, diese Multiplicationen mit Hülfe der Logarithmentafeln so genau wie mög- lich auszuführen, so wird es in den meisten Fällen ausreichen, an Stelle dieser Multiplicatoren andere für die Rechnung bequemere an- zuwenden, welche von jenen wenig verschieden sind. Diese Ver- nachlässigung kann keine merklichen Fehler erzeugen, abgesehen von dem einen Falle, wo sich das Genauigkeitsmaass für die Be- stimmung der Unbekannten viel geringer ergiebt, als die Genauig- keit der ursprünglichen Beobachtungen war.

186.

Uebrigens wird das Princip, dass die Quadrate der Differenzen zwischen den beobachteten und berechneten Grössen die allerkleinste Summe ergeben müssen, auch unabhängig von der Wahrscheinlich- keitsrechnung auf folgende Weise erwogen werden. können.

Wenn die Anzahl der Unbekannten der Anzahl der beobach- teten und von ihnen abhängigen Grössen gleich ist, so kann man jene so bestimmen, dass diesen genau Genüge geschieht. Wenn

Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 113

aber jene Anzahl kleiner als diese ist, so kann man ein absolut genaues Zusammenstimmen nicht erlangen, insoweit sich die Beo- bachtungen nicht absoluter Genauigkeit erfreuen. In diesem Falle muss man sich daher Mühe geben, die möglichst beste Ueberein- stimmung herzustellen, oder die Differenzen so viel wie möglich zu verkleinern. Diese Forderung enthält aber ihrer Natur nach etwas Un- bestimmtes. Wenn nämlich auch ein Werthsystem der Unbekannten, welches alle Differenzen bezw. kleiner als ein anderes ergiebt, diesem letzteren zweifelsohne vorzuziehen ist, so bleibt nichtsdesto- weniger die Wahl zwischen zwei Systemen, von denen das eine für einige Beobachtungen eine bessere Uebereinstimmung erzeugt, das andere aber für andere, in gewisser Hinsicht unserem Ermessen überlassen, und es können offenbar unzählige Principien vorge- schlagen werden, durch welche die obige Bedingung erfüllt wird. Bezeichnet man die Differenzen zwischen den Beobachtungen und der Rechnung mit A, A’, A” etc., so wird der obigen Bedingung nicht nur genügt, wenn A? + A” + A” + etc. ein Minimum wird (was un- serem Prineip entspricht), sondern auch wenn A! + A” + A” + etc. oder A’ + A” + A” + etc. oder allgemein die Summe der Potenzen mit irgend einem beliebigen geraden Exponenten zu einem Mini- mum wird. Von allen diesen Prineipien ist aber das unsrige das einfachste, während wir bei den übrigen zu den verwickeltsten Rechnungen geführt werden. Uebrigens ist unser Princip, ‘dessen wir uns schon seit dem Jahre 1795 bedient haben, kürzlich auch von Legendre in dem Werke „Nouvelles möthodes pour. la deter- mination des orbites des comötes, Paris 1806“ aufgestellt worden, woselbst auch mehrere andere Eigenthümlichkeiten dieses Princips auseinandergesetzt sind, welche wir hier der Kürze wegen unter- drücken.

Wenn wir eine Potenz mit einem unendlich grossen, geraden

. Exponenten annehmen würden, so würden wir auf dasjenige System

geführt werden, bei welchem die grössten Differenzen so klein wie möglich werden.

Laplace bedient sich zur Auflösung linearer Gleichungen, deren Anzahl grösser ist als die Anzahl der unbekannten Grössen, eines anderen Prineips, welches seiner Zeit schon von Boscovich Vor- geschlagen war, dass nämlich die Differenzen selbst, aber alle positiv genommen, eine möglichst kleine Summe erzeugen sollen. Es lässt sich leicht zeigen, dass das System der Werthe der Unbekannten,

Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 8

114 Bewegung der Himmelskörper.

welches aus diesem Princip allein ermittelt ist, nothwendig*) so vielen Gleichungen aus der Anzahl der vorgelegten genau genügen muss, als Unbekannte vorhanden sind, so dass die übrigen Gleichun- gen nur in so weit in Betracht kommen, als sie zur entscheidenden Wahl beitragen; wenn daher z. B. die Gleichung V = M zu der Anzahl derer gehört, welchen nicht genügt wird, so würde an dem System der nach jenem Princip gefundenen Werthe nichts geändert, wenn man auch an Stelle von M irgend einen anderen beliebigen Werth N beobachtet hätte, wenn nur die Differenzen M—n» und N—n, wo mit n der berechnete Werth bezeichnet ist, mit dem- selben Vorzeichen behaftet sind. Uebrigens regulirt Laplace jenes Prineip in gewisser Hinsicht durch Hinzufügung einer neuen Be- dingung: er fordert nämlich, dass die Summe der Differenzen selbst, ohne Aenderung der Vorzeichen, = 0 wird. Hierdurch wird be- wirkt, dass die Anzahl der genau dargestellten Gleichungen um eine Einheit kleiner wird als die Anzahl der unbekannten Grössen ; gleichwohl wird aber unsere obige Bemerkung immer noch statt- haben, wenn nur wenigstens zwei Unbekannte vorhanden waren.

187.

Nach diesen allgemeinen Untersuchungen wenden wir uns wieder zu unserem eigentlichen Vorhaben, um dessentwillen jene an- gestellt worden sind. Bevor wir zur möglichst genauen Bestim- mung der Bahn aus mehr Beobachtungen als den nothwendiger- weise erforderlichen schreiten können, muss schon eine angenäherte Bestimmung vorhanden sein, welche von allen gegebenen Beobach- tungen nicht allzuviel abweicht. Die Verbesserungen, welche an diese angenäherten Elemente noch anzubringen sind, um einen mög- lichst genauen Anschluss zu erreichen, sollen als die gesuchten Grössen der Aufgabe angesehen werden. Da man annehmen kann, dass diese sich so klein ergeben werden, dass die Quadrate und Produkte vernachlässigt werden dürfen, so werden die Aenderungen, welche die berechneten geocentrischen Oerter des Himmelskörpers hierdurch erlangen, nach den im zweiten Abschnitt des ersten Buches gegebenen Differentialformeln berechnet werden können. Die gemäss den gesuchten, verbesserten Elementen berechneten

*) Abgesehen von besonderen Fällen, wo die Lösung in gewisser Beziehung unbestimmt bleibt.

FTD SER

Zweites Buch. Dritter Abschnitt. 115

Oerter werden daher durch lineare Funktionen der Verbesserungen der Elemente dargestellt, und die Vergleichung jener mit den beo- bachteten Oertern führt nach den oben auseinandergesetzten Principien zur Bestimmung der wahrscheinlichsten Werthe. Diese Operationen erfreuen sich einer so grossen Einfachheit, dass sie einer weiteren Erläuterung nicht bedürfen, und es ist von selbst einleuchtend, dass beliebig viele und beliebig weit von einander entfernte Beobach- tungen zur Benutzung herangezogen werden können. — Derselben Methode kann man sich auch zur Verbesserung der parabolischen Bahnen der Cometen bedienen, wenn zufällig eine längere Beobach- tungsreihe vorhanden ist, und die möglichst beste Uebereinstimmung verlangt wird.

188.

Die vorstehende Methode ist vorzüglich den Fällen angepasst, wo die höchste Genauigkeit gewünscht wird, sehr häufig aber treten Fälle ein, wo man ohne Bedenken ein wenig von jener aufgeben darf, wenn man auf diese Weise die Weitschichtigkeit der Rechnung wesentlich einschränken kann, hauptsächlich wenn die Beobachtungen noch keinen grossen Zeitraum einschliessen, und deshalb an eine sozu- sagen definitive Bestimmung der Bahn noch nicht gedacht wird. In solchen Fällen kann die nachfolgende Metliode mit bemerkens- werthem Vortheil in Benutzung genommen werden.

Es mögen aus der ganzen Menge der Beobachtungen zwei vollständige Oerter L und L’ ausgewählt, und für die entsprechenden Zeiten aus den angenäherten ‚Elementen die Entfernungen des Himmelskörpers von der Erde berechnet werden. Darauf bilde man in Hinblick auf diese Entfernungen drei Hypothesen, indem man bei der ersten die berechneten Werthe beibehält, bei der zweiten Hypothese die erste Entfernung ändert und die zweite bei der dritten Hypothese; beide Aenderungen können nach Maassgabe der Un- sicherheit, welche man bei jenen Entfernungen als übrigbleibend voraussetzt, nach Belieben angenommen werden. (Gemäss diesen drei Hypothesen, welche wir in folgendem Schema darstellen,

Hyp. I. |Hyp. I. /Hyp.IIl,

\

| Dem ersten Orte entsprechende Entfernung“); D D+ 6 D Dem zweiten Orte entsprechende Entfernung| D’ |. D ,D’+6

*) Noch bequemer wird es sein, an Stelle der Entfernungen selbst die

| Logarithmen der eurtirten Distanzen zu benutzen, 8*

116 Bewegung der Himmelskörper.

werden nach den im ersten Buch auseinandergesetzten Methoden aus den beiden Oertern L und L’ drei Elementensysteme berechnet und darauf aus allen diesen die geocentrischen Oerter des Himmels- körpers, welche den Zeiten aller übrigen Beobachtungen entsprechen. Diese seien (indem man die einzelnen Längen und Breiten oder Rectascensionen und Declinationen besonders aufschreibt)

im ersten System ....M, M,, M” etc. im zweiten System ... M+a, M’ +0’, M”-+ 0” etc. im dritten System ... M+P, M +, M” + ” etc. Ferner seien die beobach-

teten Oerter bezw... N, N’, N” etc.

Insoweit nun kleinen Aenderungen der Entfernungen D, D’ proportionale Aenderungen der einzelnen Elemente und der aus ihnen berechneten geocentrischen Oerter entsprechen, wird man vor- aussetzen dürfen, dass die aus einem vierten Elementensystem be- rechneten geocentrischen Oerter, welches auf die Entfernungen von der Erde D+xd, D’+y0’ begründet ist, bezw. M+ ax + $y, M’ + «x + P'y, M’+ «@’® + P”y etc. sein werden. Hieraus werden darauf nach den vorhergehenden Untersuchungen die Grössen x und x so bestimmt, dass jene Grössen bezw. mit N, N’, N” etc. möglichst gut übereinstimmen (indem man der relativen Genauigkeit der Beobachtungen Rechnung trägt). Das verbesserte Elementen- system selbst, wird entweder ebenso aus L, L’ und den Entfer- nungen D-+.2d, D’-+-yö’, oder nach bekannten Regeln aus den drei ersten Elementensystemen durch einfache Interpolation abge- leitet werden können.

189.

Diese Methode weicht von der vorhergehenden nur insofern ab, dass sie zwei geocentrische Oerter genau und darauf die übrigen so genau wie möglich darstellt, während nach der anderen Methode keine Beobachtung den übrigen vorgezogen wird, sondern die Fehler möglichst auf alle vertheilt werden. Die Methode des vorhergehenden Art. ist daher der früheren nur insofern hintan- zusetzen, als man dadurch, dass die Oerter L, L’ einen gewissen Theil der Fehler aufnehmen, die Fehler in den übrigen Oertern er- heblich verkleinern kann; meistens kann man sich jedoch durch eine zweckmässige Auswahl der Beobachtungen L, L’ leicht davor bewahren, dass dieser Unterschied von grosser Bedeutung werden

a in 1° a re nn

$ ; 3 j % De F en

Zweites Buch. Dritter Abschnitt, 117

kann. Man muss sich nämlich Mühe geben, für L, L’ solche Be- obachtungen auszuwählen, welche sich nicht nur einer ausgesuchten Genauigkeit erfreuen, sondern auch so beschaffen sind, dass die aus ihnen und den Entfernungen abgeleiteten Elemente durch kleine Variationen der geocentrischen Positionen selbst nicht allzusehr beeinflusst werden. Man würde daher thöricht handeln, wenn man um einen geringen Zeitraum von einander entfernte Beobachtungen auswählen würde, oder solche, denen sehr nahe gegenüberliegende oder zusammenfallende heliocentrische Oerter entsprechen.

III.

Aus der Untersuchung über die elliptischen Elemente der Pallas

aus den Oppositionen der Jahre 1803, 1804, 1809, 1807, 1808 und 1809.

(Der Königlichen Societät der Wissenschaften überreicht 1810, November 25.)

Ich beabsichtige, die elliptischen Elemente zu ermitteln, welche nicht diesen oder jenen Oppositionen genau, sondern allen, welche bis jetzt beobachtet sind, möglichst nahe genügen. Die Methode, vermittelst deren man ein solches Geschäft erledigen kann, habe ich zwar schon in der „Theorie der Bewegung der Himmelskörper“, Art. 187., kurz beschrieben, da aber nicht nur der Gegenstand, welchen ich dort allgemein behandelt habe, in dem speciellen Falle, wo die beobachteten Oerter Oppositionen sind, ge- wisse Abkürzungen gestattet, sondern auch gewisse praktische Kunstgriffe, durch welche ich die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate schon lange zu einer bequemeren zu machen ge- wohnt bin, in jenem Werke nicht gegeben werden, so hoffe ich, dass es den Astronomen nicht unlieb sein wird, wenn ich diese Rech- nungen hier etwas weitläufiger wiedergebe. Da sich das ganze Ge- schäft um die Bestimmung von Verbesserungen dreht, die an ange- näherte Elemente anzubringen sind, von welchen angenommen wird,

Elemente der Pallas, 119

dass sie von allen beobachteten Oertern nicht sehr abweichen, so

wird die ganze Arbeit in zwei Abschnitte zerfallen: erstens nämlich müssen die linearen Gleichungen gebildet werden, welche die ein- zelnen beobachteten Oerter liefern, sodann sind aus diesen Glei- chungen die zweckmässigsten Werthe der Unbekannten zu ermitteln.

11.

Nach den angenäherten Elementen sei

L die mittlere Länge des Planeten für eine beliebige Epoche,

t die Anzahl der verstrichenen Tage von der Epoche an bis zum Augenblick der Beobachtung,

7 die mittlere tägliche siderische Bewegung in Secunden,

IT die Länge des Perihels,

e = sing die Excentrieität,

a die grosse Halbaxe,

r der Radius vector,

v die wahre Anomalie,

E die excentrische Anomalie,

N die Länge des aufsteigenden Knotens,

i die Neigung der Bahn,

«a das Argument der Breite,

4 die heliocentrische Länge,

y die heliocentrische Breite,

ß die geocentrische Breite,

R die Entfernung der Erde von der Sonne.

Beobachtet soll aber sein

« die heliocentrische Länge, © die geocentrische Breite.

Endlich bezeichne ich mit dL, d7, dII etc. Verbesserungen der Grössen L, 7, II etc. Es wird daher

dL + td7 die Verbesserung der mittleren Länge, dL +td7 — dlI die Verbesserung der mittleren Anomalie,

und deshalb nach den Art. 15. und 16. der „Theorie der Bewe- gung der Himmelskörper“

wet IA; +:d7 —dII) + = (@— ecosE— €) sinE dp

Y

dr = — da + atang psinv(dLh + td7 — dII)— acospcosvdp.

120

ea u LE

Elemente der Pallas.

Ferner wird die Verbesserung des Argumentes der Breite du = dd+dN—dN,

und nach Art. 52. der „Theorie der Bewegung der Himmelskörper“ die Verbesserung der heliocentrischen Länge

dA

AN— tang Hieraus entnimmt man

di =

cos?

yo (A— N) di > em.

a’ COS P COS i

r? cos? y ta? COS COS i

r” cos’ y

08%

a? COS @ COS;

) am

+(

Gos?’y

r” cos’ y

a COS% un Fr EEE RR Cosi +1 Jan

— tang ycos (A— N)di.

Da man ferner hat

«37 = Const. rsin(®—y) = Rsinß tangy = tangisin (@«— N), so wird durch Differentiation LER T 1 RR 5 | = + cotang (# — Y) - (dB — dy) = cotang f dß, oder dB — sin $ cos (d? — Day sin sin (#—7) „, sin y rsiny __ sin 2y 1: | dy = nd; di —z sin 2y cotang (e—N)AN,

woraus man mit Hinzuziehung des oben entwickelten Werthes von

dr entnimmt

en Be nr A ß 27

Elemente der Pallas. 121 .... 48in $sin ($? — y) tang psin v ndnee r sin y u E° “ sin # sin PP: atsin ß sin (?— y) tang p sin o\ı 3 7siny r sin y nid asin $ sin (# — y) tang p sin v + rsiny “u asin $ sin (? — yY) 608 p C08 v + rsiny > 2 sin $ cos (ß — y) cos y 7 sin 23 =

— sin ß cos (ß — y) cos y cotang (a — N)AN. Hiernach werden die Werthe der heliocentrischen Länge und der

geocentrischen Breite aus den verbesserten Werthen der Elemente A+di, ß+df, und deshalb liefert jede Opposition zwei Gleichungen

ii Naar

12.

Bei Anwendung dieser Vorschriften auf die im Art. 2. gege- benen sechs Oppositionen der Pallas erhalten wir, wenn wir die Rechnung auf das zweite der im Art. 3. skizzirten Elementensysteme begründen, die folgenden zwölf Gleichungen *):

*) Um die Nachrechnung der Zahlenangaben zu ermöglichen, setzen wir die oben angeführten, beobachteten sechs Oppositionen aus Art. 2. und die Elemente II, aus Art. 3, hierher.

Zeit der Opposition für den Tage von, Her Heliocentrische | Geocentrische ginn d, Jahres

Meridian von Göttingen 1803 an Länge Breite

1803 Juni 30. 0% 27” 32° | 181,019120 | 277° 39’ 24,0” | +46° 26’ 36,0” 1804 Aug. 30. 4 58 27 608,207257 | 37 0 86,1 | +15 1 49,8 1805 Nov. 29. 11 15 4 | 1064,468796 | 67 20 42,9 |—54 30 54,9 1807 Mai 4. 14 37 41 | 1585,609502 | 223 37 27,7 |+442 11 25,6 1808 Juli 26. 21 17 32 | 2034,887176 | 304 2 59,7 +37 43 583,7 1809 Sept. 22. 16 10 20 | 2457,673843 | 359 40 44 |—7 2 101

II. Elliptische Elemente der Pallas aus den Oppositionen der Jahre 1804, 1805, 1807 und 1808.

EER der mittleren Länge 1803 für den Meridian von Göttingen 221° 34’ 56,7" Mittlere tägliche tropische Bewegung . . . » 2 vv vr nme. 770,4467"

122 Elemente der Pallas.

Aus der ersten Opposition, wo gefunden ist die berechnete Länge = 277° 36’ 20,07” und die geocentrische Breite = + 46° 26’ 29,19”: 0 — — 183,93” + 0,79363 dL + 143,66 d7 + 0,39493 daII + 0,95920 dp — 0,18856 dN + 0,17387 di 0 = — 6,81” — 0,02658 dL + 46,71d7 + 0,02658 all — 0,20858 dp + 0,15946 AN + 1,25782 di.

Aus der zweiten Opposition, wo die berechnete Länge = 337° 0’ 36,04” und die geocentrische Breite = + 15° 1’ 46,71”:

0 = — 0,06” + 0,58880 dL + 358,1247 + 0,26208 dIT — 0,85234 dp + 0,4912 AN + O,17775 di 0 = — 3,09” + 0,01318 dL+ 28,39 47 — 0,01318 all

— 0,07861 dp + 0,9174 AN + 0,54365 di.

Aus der dritten Opposition, wo die berechnete Länge = 67° 20’ 42,88” und die geocentrische Breite = — 54° 31’ 3,88”:

0 = — 0,02” + 1,73436 dL + 1846,17 d7 — 0,54603 all — 2,05662 dp — 0,18833 AN — 0,17445 di

0 = — 8,98” — 0,12606 dL— 227,42 47 + 0,12606 all — 0,38939 dp + 0,17176 AN — 1,35441 di.

Aus der werten Opposition, wo die berechnete Länge = 223° 37 25,39” und die geocentrische Breite = + 42° 11’ 28,07”:

0 = — 2,31” + 0,99584 dL + 1579,03 d7 + 0,06456 dIT + 1,99545 dp — 0,06040 dN — 0,33750 di

0 = + 2,47” —.0,08089 dL— 67,22 d7 + 0,08089 an — 0,09970 dp — 0,46359 AN + 1,22803 di.

Aus der fünften Opposition, wo die berechnete Länge = 304° 2 59,71” und die geocentrische Breite = + 37° 44’ 31,82”:

Jänge- es. Parihels:-1808 ---.: +... en eeieeee 121° 5’. 22,1"

Länge des aufsteigenden Knotens 1803 . . . . 2.22... 172 28 46,8 Deigung Bor DARM... ... 0,0000 ee 34 87 315 Excentrieität (= sin [14° 10° 4,08")... . .» 2.222020. 0,2447624 Logarithmus der grossen Halbaxe. . . 2.22 2 een na 0,4422276 ,

D. H,

BA A nn EURER, a

Elemente der Pallas. 123

0 = + 0,01” + 0,65311 dL + 1329,09 47 + 0,38994 all — 0,08439 dp — 0,04305 AN -+ 0,34268 di

0 — + 38,12” 0,00218dL+ 38,47 d7 -+ 0,00218 all — 0,18710 dp + 0,47301 4N — 1,14371 di.

Aus der sechsten Opposition, wo die berechnete Länge = 359° 34’ 46,67” und die geocentrische Breite = — 7° 20’ 12,13”:

0 = — 317,73” + 0,69957 dL + 1719,32 47 + 0,12913 alt — 1,38787 dp + 0,17130 40 — 0,08360 di

0 = + 117,97” —0,01315 dL— 43,84 d7 + 0,01315 all + 0,02929 dp + 1,02138 AN — 0,27187 di.

Von diesen zwölf Gleichungen verwerfen wir aber die zehnte voll- ständig, da die beobachtete geocentrische Breite allzu unsicher ist.

13.

Da man die sechs Unbekannten dL, d7 etc. nicht so zu be- stimmen vermag, dass allen elf Gleichungen genau Genüge geschieht, d.h. dass die einzelnen Funktionen der Unbekannten, welche rechts stehen, gleichzeitig —= 0 werden, so wollen wir diejenigen Werthe ermitteln, durch welche die Quadrate dieser Funktionen die aller- kleinste Summe ergeben. Man sieht nämlich leicht ein, wenn allge- mein die folgenden linearen Funktionen der Unbekannten p, g, r, s, etc. vorgelegt sind:

n tap +bq ter +ds + etc.

n" +ap +bq +cr +ds +etc.

"+ap+b’g +ec’r +d”s +etec. w”

WW 1 a”p + b"q -H er = d”s + ete. ‚n etc., dass die Bedingungsgleichungen dafür, dass

w+w’+w” +w”+etc. = 2

Il SE-

I

ein Minimum wird, die folgenden sind:

| 2:2:

aw + aw nu aw” 4 aw” + etc.

bw + bw’ + b’w” -+ b”’w” - ete.

cw + ew E= ce’ w” + ec” w” 1 etc. “

dw + d’w + d’w’ + d”w” + etc. etc. oder, wenn wir der Kürze wegen

124 Elemente der Pallas.

an + a’n’ + an” + a”n” + ete. mit [an] a@ +a?” +a” +a”” + etc. mit [aa] ab + ab’ + a’b” + a”b”’ + etc. mit [ab] etc.

ö® +5? +0” +5” —+etc. mit [bb] be + b’c’ + b”c” + be” + etc. mit [be] etc. etc.

bezeichnen, dass p, g, r, s etc. durch Elimination aus nachstehenden Gleichungen bestimmt werden müssen:

[an] + [aa] p + [ab] qg + [ac]r + [ad] s + ete. [dn] + [ab] p + [bb] a + [de] r + [dd] s + etc. [en] + [ac] p + [be] a + [ce] r + [ed] s + ete. [dn] + [ad]p + [bd]a + [ed] r + [dd] s + ete.

etc.

Id oooo

Wenn jedoch die Anzahl der Unbekannten p, 9, r, s etc. etwas grösser ist, so verursacht die Elimination eine sehr ausgedehnte und unangenehme Arbeit, welche wir auf nachfolgende Weise wesentlich abkürzen können. Ausser den Coefficienten [an], [aa], [ab] etc. (deren Anzahl — %(u’ + 3u) wird, wenn die Anzahl der Unbekannten —= u ist) nehme ich auch

"+n®+n”?+n”+ etc. = [m] als berechnet an, worauf leicht zu ersehen ist, dass

2 —= [nn] + 2[an] p + 2[bn] a + len] r + 2[dn] s + etc. + [aa] 2° + 2[ab] p2g + 2[ae] pr + 2[ad] ps + etc. + [bb] g’+ 2[be] gr + 2[bd] gs + ete. + [ec] r’+ 2[ed] rs + ete. + [dd] s+ ete. etc. wird. Bezeichnen wir daher

lan] + [aa] p + [ab] ga + [ac]r + [ad] s + ete. mit A,

8:0 so sind offenbar diejenigen Glieder von m ‚ bei welchen der 2 Faktor » auftritt, einzeln in 2 enthalten, und deshalb muss 2 — -

eine von p unabhängige Funktion sein, Setzen wir also

Elemente der Pallas. 125

m] = mi]

[dm] er Li an

Ion rel = fm. 1]

fan = else} — [dn,1] ete.

[62] u — [8,1]

De el = [00,1]

Ba — [bd,1] ete. ete., so ist

ST a Hide

+ [cs,1] "+ 2l[ed, 1] rs + etc. + [dd,1] s’+ ete. etc., welche Funktion wir mit 2’ bezeichnen wollen.

Wenn wir analog [dn, 1] + [dd, 1] + [de,1]r + [dBd,1]s + ete. = B

2 setzen, so wird 2’ — si eine von g unabhängige Funktion sein, ? welche wir — 2” annehmen. Auf dieselbe Weise machen wir bn, 1]? mn = mM ’ bn, 11[be,1 et ei 1 in Zone. ’ be, 1]° [ee, 11 — a = [ee, 2] ete. etc. und

[en,2] + [ec,2]r + [ed,2]s + ete. = C,

wonach 2” — eine auch von r unabhängige Funktion sein

C Lee, 2] wird. In derselben Weise fahren wir fort, bis wir in der Reihe

x

126 Elemente der Pallas. 2, 2, 2” etc. zu einem von allen Unbekannten unabhängigen Glied gelangen, welches [»», «] sein wird, wenn wir die Anzahl der Unbekannten », g, r, s etc. mit « bezeichnen. Wir erhalten also A® B°? ; Ry D?’ 2 — ei + (56, i] + (c6,2] + (da, 3] + ete. + [nn, u].

Da nuın 2 = w’ + w” + w”” + ete. seiner Natur nach einen ne- gativen Werth nicht annehmen Kann, so lässt sich leicht zeigen, dass die Divisoren [aa], [bd, 1], [cc, 2], [dd, 3] ete. nothwendig positiv herauskommen müssen (der Kürze wegen will ich jedoch diese Auseinandersetzung hier nicht weitläufiger verfolgen). Hieraus folgt aber von selbst, dass sich der kleinste Werth von 42 ergiebt, wenn A=0,B=0,C=0(0,D = etc. wird. Aus diesen u Gleichungen müssen wir daher die Unbekannten p, g, r, s etc. bestimmen, was wir in umgekehrter Reihenfolge ‚sehr leicht aus- führen können, da offenbar die letzte Gleichung nur eine einzige Unbekannte enthält, die vorletzte zwei und so weiter. Diese Me- thode empfiehlt sich zugleich aus dem Grunde, weil dabei der kleinste Werth der Summe 2 von selbst bekannt wird, da er ja offenbar — [nn, u] ist.

14.

Diese Vorschriften wollen wir jetzt auf unser Beispiel an- wenden, wo », q, r, s etc. bezw. dL, d7, dII, dp, dN, di sind. Nach sorgfältig durchgeführter Rechnung fand ich die folgenden numerischen Werthe:

Inn] = + 148848 [be] = — 49,06 Hieraus leitete ich [an] = — 371,09 [Bd] = — 3229,77 ferner ab

Ibn] = — 580104 [be] = — 198,64 [nn, 1] = +125569 [en] = — 113,45 Id] = — 143,05 [dn, 1] = — 138534

[dn] = + 268,53 lee] = + 0,71917 [en, 1] = —119,31 len] = + 94,26 led] = + 1,1332 [dn,1] = —125,18

In] — 31,81 [ce] + 0,0640 [en, 1]= +72,52 [aa] = + 5,91569 [ef] = + 026341 [n,1]= —43,22 [ad] = + 7203,91 [dd]—= + 12,00340. [db, 1] = +2458225 [ac] = — 0,09344 [de] = — 0,37137 [be, 1] +62,13 [ad] = — 228516 [df] = — 0,11762 [bd,1] = —510,58 [ae] = — 0,34664 [ee] = +2,28215 [be, 1]— +213,84 [af] = — 0,1819 [ef] = — 0,86136 [bf, 1]= +73,45 [6b] = + 10834225 [ff] = + 5,62456 [cc, 1]—= +0,71769

(ed, 1] = +1,09773 [ce, 1] = —0,05852 [ef, 1] = +0,26054

[dd,1] = +11,12064

[de, 1] = —0,50528 [df, 1] = —0,18790 [ee, 1]= +2,26185 [ef, 1] = —0,37202 [/f, 1]= +5,61905

Und hieraus auf ähn-

liche Weise [nn, 2] = +117763 [en, 2] = —115,81 [dn, 2] = — 153,95 [en, 2] = +84,57 [‚n, 2] = —39,08 [ee, 2] = +0,71612

Elemente der Pallas,

fed, 2] = +1,11063 [ce, 2] = —0,06392 [cf, 2] = +0,25868

[da, 2) = +11,01463

[de, 2] = —0,46088 [df, 2] = —0,17265 [ee, 2] = +2,24325 lef, 2] = —0,37841 L/f, 2]= +5,61686

Hieraus ferner [nn, 3] = +99034 [dn, 3] = + 25,66 [en, 3] = +74,23 [da, 3] = + 9,29213 [de, 3] = —0,36175 [df, 3] = —0,57384

127

lee, 3] = +2,23754 [ef, 3) = — 0,35532 [/f, 3) = + 5,52342

Hieraus ebenso [nn, 4] = +98963 len, 4) = + 75,23

"[n, 4]= +4,33

[ee, 4] = +2,22346 ef, 4] = —0,37766 [/f, 4] = +5,48798 Hieraus

Inn, 5] = +96418 In,5]= +17,11 ‚ff, 5] = +5,42383 *Und hieraus endlich Inn, 6] = +96364 .

Wir haben daher zur Bestimmung der Unbekannten die sechs

folgenden Gleichungen:

+ 17,11” + 5,42383 di + 75,23” + 2,22346 AN — 0,37766 di

+ 25,66” + 9,29213 dp — 0,36175 AN — 0,57384 di -— 115,81” + 0,71612 dIT + 1,11063 do — 0,0632 N

0 0 0 0

|

+ 0,25868 di

0

0

Al

— 138534” 2458225 d7 + + 23 HAN + — 371,09” + 5,91569 dL + 7203,91 d7 — 0,09344 All

62,13 AIT — 510,58 dp 73,45 di

— 2,28516 dp — 0,34664 AN — 0,18194 di,

woraus wir ableiten

di= — 3,15” AN = — 3437 de = — 429 dr — +166,44” d7T —= + 0,054335” BE u

Die verbesserten elliptischen Elemente, welche allen sechs Oppositionen möglichst nahe genügen, sind also folgende:

128 Elemente der Pallas.

Epoche der mittleren Länge 1803 für den Meridian

von Göttingen . . .. . ran 22.221” 34° 53,64” Mittlere tägliche tropische Bewegung . . . . . 770,5010” Länge des Perihels 1803. . .. 2 2. ...2..% 121°; 88,59 Länge des aufsteigenden Knotens 1803... . . . 172 28 12,43 Neigung der Bahh : „u ur =... INS BR--97- 8,36 Excentrieität (= sin [14° 9 59,79) . ... . - 0,2447424 Logarithmus der grossen Halbaxe . . . .. . . 0,4422071.

15.

Setzen wir die soeben gefundenen Werthe der Verbesserungen dL, d7 etc. in die zwölf Gleichungen des Art. 12. ein, so erhalten wir die nachfolgenden Differenzen zwischen den beobachteten und be- rechneten Werthen der heliocentrischen Längen und der geo- centrischen Breiten:

Bei d. Opposition Differenz des Jahres in Länge in Breite 1803 —111,00” | — 8,31”

1804 + 59,18 | — 86,67 1805 + 19,92 | + 0,07 1807 + 85,77 | + 25,01 1808 +135,88 | + 28,72 1809 — 216,54 | + 83,01

IV. Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen.

(Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften, herausgegeben von B. von Lindenau und J. @. F. Bohnenberger. Band I, S. 185. Heft für März und April 1816.)

L.

Bei der Begründung der sogenannten Methode der kleinsten Quadrate wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Beobachtungsfehlers A durch die Formel

E« Eee Vz ausgedrückt wird, wo zz den halben Kreisumfang, e die Basis der hyperbolischen Logarithmen, auch % eine Constante bedeutet, die - man nach Art. 178. der T’heoria Motus Corporum Coelestium als das Maass der Genauigkeit der Beobachtungen ansehen kann. Bei An- - wendung der Methode der kleinsten Quadrate auf die Ausmittelung i der wahrscheinlichsten-Werthe derjenigen Grössen, von welchen die - Beobachtungen abhängen, braucht man den Werth der Grösse h - gar nicht zu kennen; auch das Verhältniss der Genauigkeit der Resultate zu der Genauigkeit der Beobachtungen ist von A unab- hängig. Inzwischen ist immer eine Kenntniss dieser Grösse selbst ‘interessant und lehrreich, und ich will daher zeigen, wie man durch - die Beobachtungen selbst zu einer solchen Kenntniss gelangen mag.

2. Ich lasse zuerst einige den Gegenstand erläuternde Bemerkun- - gen vorausgehen. Der Kürze wegen bezeichne ich den Werth des - Integrals

Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 9

130 Genauigkeit der Beobachtungen.

De dt Vn '

von {= () an gerechnet, durch ©(t). Einige einzelne Werthe werden von dem Gange dieser Funktion eine Vorstellung geben. Man hat

0,5000000 = @ (0,4769363) = ©® (e) 0,6000000 = © (0,5951161) = © (1,247790o) 0,7000000 = © (0,7328691) = © (1,536618) 0,8000000 = © (0,9061939) — ® (1,9000320) 0,8427008 = O(1) — © (2,096716e) 0,9000000 — ®(1,1630872) — @ (2,438664 0) 0,9900000 — ® (1,8213864) — © (3,818930 0) 0,9990000 = © (2,3276754) — © (4,8804750)

0,9999000 = © (2,7510654) —= © (5,768204 0) 1 = O(o) | Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler einer Beobachtung

zwischen den Grenzen — A und + A liege, oder, ohne Rücksicht auf das Zeichen, nicht grösser als A sei, ist

x pe — ha 4x ER — e Im

wenn man das Integral vnz = —A bisz = +&A ausdehnt, oder doppelt so gross, wie dasselbe Integral von e=0bis@e = A genommen, mithin

—= Oh).

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler nicht unter 8, sei,

h 1

ist also — 9,. oder der Wahrscheinlichkeit des Gegentheils gleich:

wir wollen diese Grösse „, den wahrscheinlichen Fehler nennen und mit » bezeichnen. Hingegen ist die Wahrscheinlichkeit, dass der

Fehler über 2,438664 » hinausgehe, nur ne die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler über 3,818930 r steige, nur . u. S. W.

3. Wir wollen nun annehmen, dass bei m wirklich angestellten Beobachtungen die Fehler «, #, y, d etc. begangen sind, und unter- suchen, was sich daraus in Beziehung auf den Werth von % und r

Genauigkeit der Beobachtungen. 131

schliessen lasse. Macht man zwei Voraussetzungen, indem man den wahren Werth von % entweder = H oder = H’ setzt, so ver- halten sich die Wahrscheinlichkeiten, mit welchen sich in denselben die Fehler «, ß, y, d etc. erwarten liessen, bezw. wie He He xpe TEPSXHe Er Xote.

zuHe Fexme-HRxWe Hr xete.,

d. i. wie Hre — H? (a? +? +y?+ etc.) zu H” H’” (@® +? + y? + etc.) :

In demselben Verhältnisse stehen folglich die Wahrscheinlichkeiten,

; dass H oder H’ der wahre Werth von A war, nach dem Erfolge jener Fehler (7. 37. ©. ©. Art. 176.): oder die Wahrscheinlichkeit

jedes Werthes von Ah ist der Grösse | he We + + y’ tete.) proportional. Der wahrscheinlichste Werth von A ist folglich der-

jenige, für welchen diese Grösse ein Maximum wird, welchen man nach bekannten Regeln

Mm IR Vs + ß?+y’ + ete.) findet. Der wahrscheinlichste Werth von r wird folglich

Ve + B?-+y’ + etc.) ° m

TE ea

m

Dies Resultat ist allgemein, m mag gross oder klein sein.

4.

Man begreift leicht, dass man von dieser Bestimmung von A und » desto weniger berechtigt ist, viele Genauigkeit zu erwarten, je kleiner m ist. Entwickeln wir daher den Grad von Genauigkeit, welchen man dieser Bestimmung beizulegeu hat, für den Fall, wo m eine grosse Zahl ist. Wir bezeichnen den gefundenen wahr- scheinlichen Werth von A

m Var re + y’ + etc.)

132 Genauigkeit der Beobachtungen.

Kürze halber mit H, und bemerken, dass die Wahrscheinlichkeit, H sei der wahre Werth von A, zu der Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Werth = H +4 sei, sich verhält,' wie Eu Fr Hr: 22

oder wie 1m 1 ERS BEER Kerr I guellbr 8.

3 mt aut Der

Das zweite Glied wird gegen das erste nur dann noch merk-

Bi, i lich sein, wenn — ein kleiner Bruch ist, daher wir uns erlauben

H dürfen, anstatt des angegebenen Verhältnisses dieses zu gebrauchen | Am se. 0%

Dies heisst nun eigentlich so viel: die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Werth von A zwischen H-+4 und H-+4A-+.di liege, ist sehr nahe

wo K.eine Constante ist, die so bestimmt werden muss, dass das Integral

IM f Ke Pa zwischen den zulässigen Grenzen von A genommen, — 1 werde.

Statt solcher Grenzen ist es hier, wo wegen der Grösse von m offenbar

unmerklich wird, sobald 2 aufhört ein kleiner Bruch zu sein, er-

laubt, die Grenzen — © und -+ © zu nehmen, wodurch

_ iym

er wird. Mithin ist die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Werth von A zwischen H—4 und H +4 liege,

— o(A m),

VELEEREN

EN en,

Genauigkeit der Beobachtungen. 133 also jene Wahrscheinlichkeit = 2, wenn A - i yYm = o0 1st.

Es ist also eins gegen eins zu wetten, dass der wahre Werth von h

zwischen H (1 —_ = und H (! + vn)

Mm m

- liegt, oder dass der wahre Werth von r

zwischen — und kn gg 1 et

F m

falle, wenn wir durch R den im vorhergehenden Art. gefundenen

wahrscheinlichsten Werth von r bezeichnen. Man kann diese Grenzen

_ die wahrscheinlichen Grenzen der wahren Werthe von h und r nennen;

offenbar dürfen wir für die wahrscheinlichen Grenzen des wahren

Werthes von r hier auch setzen

R(1-—) und R(1 eh:

m Vm

5.

Wir sind bei der vorhergehenden Untersuchung von dem Ge-

- sichtspunkte ausgegangen, dass wir «, ß, y, Ö etc. als bestimmte - und gegebene Grössen betrachteten, und die Grösse der Wahr- - scheinlichkeit suchten, dass der wahre Werth von % oder » zwischen gewissen Grenzen liege. Man kann die Sache auch von einer an- - dern Seite betrachten, und unter der Voraussetzung, dass die Be-

obachtungsfehler irgend einem bestimmten Wahrscheinlichkeitsge-

- setze unterworfen sind, die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit ‘ welcher erwartet werden kann, dass die Summe der Quadrate von - m Beobachtungsfehlern zwischen gewisse Grenzen falle. Diese Auf- gabe, unter der Bedingung, dass m eine grosse Zahl sei, ist bereits - von Laplace aufgelöset, ebenso wie diejenige, wo die Wahrschein- - lichkeit gesucht wird, dass die Summe von m Beobachtungsfehlern - selbst zwischen gewisse Grenzen falle. Man kann leicht diese Un- - tersuchung noch mehr generalisiren; ich begnüge mich, hier das - Resultat anzuzeigen.

134 Genauigkeit der Beobachtungen.

Es bezeichne g(x) die Wahrscheinlichkeit des Beobachtungs- fehlers x, so dass /p(z) de —= 1 wird, wenn man das Integral von

© — — o bis ze = + mw ausdehnt. Zwischen denselben Grenzen wollen wir allgemein den Werth des Integrals Sy(®) x" dx

durch K® bezeichnen. Es sei ferner S® die Summe "+ Br + + dr +ete.,

wo a, ß, y, Ö etc. unbestimmt m Beobachtungsfehler bedeuten; die Theile jener Summe sollen, auch für ein ungerades », alle positiv genommen werden.

Sodann ist mK@) der wahrscheinlichste Werth von S® und die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Werth von S" zwischen die Grenzen mK" — A und mK® +4 falle,

= o( 4 ) V2m (KK — K@°) Folglich sind die wahrscheinlichen Grenzen von S®)

mK®" — og Y2m (K#") — K@’)

"und

mK® + 0 Y2m (KK) — KW"),

Dieses Resultat gilt allgemein für jedes Gesetz der Beobachtungs- -

fehler. Wenden wir es auf den Fall an, wo

h — h?x? ea) = — y(2) Vm gesetzt wird, so finden wir Ko) — A! h"Vze

die Charakteristik II in der Bedeutung der Disqwisitiones generales circa seriem infinitam (Comm. nov. soc. Gotting. T. IL.) genommen (M. 5. Art. 28. der angef. Abh.). Also

1 1 1 K — z ’ K = —— K” = K” = [m hYr'’ 20’ h’Vze 1.3 12 1.3.5 123 KIT as A Ga mn Vu — ;

Genauigkeit der Beobachtungen. 135

Es ist folglich der wahrscheinlichste Werth von S” i mIl$(n— 1) i h" Vor

und die wahrscheinlichen Grenzen des wahren Werthes von S®

mUzn—2Df, _ 2 (‚An —H-Vr h" Vre s Ve ))

mIly(n — 1) | 2 (In — 3)-VYr | = 1 = ! -—1):. I" Voe 3 V | dIzm—1))' ) Setzt man also, wie oben, e

-. =r,

h

; so dass r den wahrscheinlichen Beobachtungsfehler vorstellt, so ist - der wahrscheinlichste Werth von

| /T goyz ; 3 mIla3 (n— 1)

- offenbar = r; und die wahrscheinlichen Grenzen des Werthes jener

Grösse ee)

ey)

Es ist also auch eins gegen eins zu wetten, dass » zwischen den Grenzen

V amiee ji -V (me) Ve ü) Ux3 V: (re Dr -1))

liege. Für n = 2 sind diese Grenzen

’

und

und

und

136 Genauigkeit der Beobachtungen,

ganz mit den oben (Art. 4.) gefundenen übereinstimmend. Allge- mein hat man für ein gerades n die Grenzen

“= gw eva) „a7 ET RE N 5 1. e(C + en}

m 135...n—)) und | ee Sa) ev), 1337 0 e1/2 RP +DR+ 3). .2@n— 1); xjt+t se ee !) und für ein ungerades n folgende So yrr sr /E1IBT De al V m.123. nl? „(@26 any —2)| und S@)Yrr | e1/1 7135.7...(2n —1)r m. .4(n—1) 13 n (eu. ee 6.

Ich füge noch die numerischen Werthe für die einfachsten Fälle bei:

Wahrscheinliche Grenzen von r 1. 0,84534738 (1 +)

II. 0,6744897 v- e- ( 1

II. 0,5771897 Va (1+ ee

IV. 0,5125017 V- -

Von

v. 0,4655532 Ve; a nn

VI. 04294972 Ar „rar, Mm

) 2. „ar )

Genauigkeit der Beobachtungen. 137

Man sieht also auch hieraus, dass die Bestimmungsart II von allen die vortheilhafteste ist. Hundert Beobachtungsfehler, nach dieser Formel behandelt, geben nämlich ein eben so zuverlässiges Resultat, wie

114nachI, 109nach III, 133 nachIV, 178 nach V, 251 nach VI.

Inzwischen hat die Formel I den Vorzug der allerbequemsten Rechnung, und man mag sich daher derselben, da sie doch nicht viel weniger genau ist als II, immerhin bedienen, wenn man nicht die Summe der Quadrate der Fehler sonst schon kennt, oder zu kennen wünscht.

T.

Noch bequemer, obwohl beträchtlich weniger genau, ist fol- gendes Verfahren: Man ordne die sämmtlichen m Beobachtungs- fehler (absolut genommen) nach ihrer Grösse, und nenne den mit- telsten, wenn ihre Zahl ungerade ist, oder das arithmetische Mittel der zwei mittelsten bei gerader Anzahl, M. Es lässt sich zeigen, was aber an diesem Orte nicht weiter ausgeführt werden kann, dass bei einer grossen Anzahl von Beobachtungen r der wahrschein- lichste Werth von M ist, und dass die wahrscheinlichen Grenzen

von M es a (1 V Z) und ‚(1 + EV)

sind, oder die wahrscheinlichen Grenzen des Werthes von r

M(1— EV) und M(1+ EV)

oder in Zahlen

M (1 je 0,7520974 )

Ym

Dies Verfahren ist also nur wenig genauer, als die Anwen- dung der Formel VI, und man müsste 249 Beobachtungsfehler zu Rathe ziehen, um eben so weit zu reichen, wie mit 100 Beobach- tungsfehlern nach Formel II.

8.

Die Anwendung einiger von diesen Methoden auf die in Bode’s astronomischem Jahrbuche für 1818, S. 234, vorkommenden Fehler bei

138

Genauigkeit der Beobachtungen.

48 Beobachtungen der geraden Aufsteigungen des Polarsterns von

Bessel. gab

S — 60,46”;

= >, . III nach Art. 7

eine Uebereinstimmung, wie sie kaum zu erwarten war.

= 7094 .... 1,001 .. 1,045

8”"=:110,000°;: Hieraus folgten die wahrscheinlichsten Werthe von r nach Formel I... 1,065”, wahrscheinl. Unsicherheit

”

8” — 250,341118”.

+0,078” +0,070 +0,072 +0,113,

Bessel

giebt selbst 1,067”, und scheint daher der Formel I gemäss ge- rechnet zu haben.

4

a a a ce u

Br

V.

Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf eine Aufgabe der praktischen Geometrie.

(Auszug aus einem Schreiben an H. ©. Schumacher. Astronomische Nachrichten, Ba. I, S. 81. 1822.)

Ihrem Wunsche zufolge schicke ich Ihnen die Vorschriften zur Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate auf die Auf- gabe der praktischen Geometrie: die Lage eines Punktes aus den an demselben gemessenen horizontalen Winkeln zwischen andern Punkten von genau bekannter Lage zu finden. Der Gegenstand ist zwar ganz elementarisch, und jeder, der den Geist der Methode der kleinsten Quadrate kennt, kann sich die Vorschriften leicht selbst entwickeln: inzwischen wird jene Aufgabe als eine der nütz- lichsten in der praktischen Geometrie auch wohl oft von solchen Personen benutzt werden können, die nicht ganz in jenem Falle sind, und denen daher die Mittheilung der Formeln nicht unlieb ist.

Die Coordinaten eines der bekannten Punkte seien a, b, jene von Norden nach Süden, diese von Osten nach Westen positiv ge- zählt — ob die Abseissenlinie wahrer Meridian ist oder nicht, ist hier gleichgültig; ebenso x, y genäherte Coordinaten des zu be- stimmenden Punktes, und dx, dy deren noch unbekannte Ver- besserungen. Man bestimme @ und r nach den Formeln

b—y aa 5b—y

ng. P pe de cs sinp’

indem man in demjenigen Quadranten wählt, der r positiv macht, und setze noch

206265” (b — y) — 206265” (a — x) Eugai 2 ’ ER EREN 2 r

r r

140 Eine Aufgabe der praktischen Geometrie,

Dann ist das Azimuth des ersten Punktes vom zweiten aus ge- sehen (die Richtung der Abscissenlinie als 0 betrachtet)

= p+tade+Pdy, wo die beiden letzten Theile in Secunden ausgedrückt sind.

In Beziehung auf einen zweiten Punkt von bekannter Lage sollen 9, «', 8’, in Beziehung auf einen dritten @”, «”, 8” u. s. w. dasselbe bedeuten, was g, «, $ in Beziehung auf den ersten sind.

Sind die Winkelmessungen an dem zu bestimmenden Orte auf einmal mit einem Theodolithen ohne Repetition gemacht, indem bei unverrücktem Instrument das Fernrohr nach der Reihe auf die ver- schiedenen bekannten Punkte geführt ist, so sollten, wenn A, 4, h” etc. die dabei abgelesenen Winkel bedeuten, die Ausdrücke

op —h +ade+Pdy

po —h +W@de + P'dy

9” — h" + a’dae + P’dy etc. durch die Substitution der wahren Werthe von d= und dy alle einerlei Werth bekommen, wenn die Beobachtungen absolut genau wären, und wenn man also drei derselben unter sich gleich setzte, würde man durch Elimination die Werthe von dz und dy erhalten. Sind überhaupt nur drei bekannte Punkte beobachtet, so lässt sich auch nichts weiter thun; ist aber ihre Anzahl grösser, so werden die Fehler der Winkelmessungen am vollkommensten ausgeglichen, indem man alle obigen Ausdrücke addirt, die Summe mit der Anzahl dividirt, die Differenz zwischen diesem Quotienten und jedem ein- . zelnen Ausdruck —= 0 setzt, und diese Gleichungen nach der be- kannten Vorschrift der Methode der kleinsten Quadrate behandelt.

Sind hingegen die Winkelmessungen unabhängig von einander

gemacht, so giebt jede derselben sofort eine Gleichung zwischen den unbekannten Grössen dx und dy, und alle diese Gleichungen sind dann nach der Methode der kleinsten Quadrate zu combiniren, wobei man, wenn man will, auch noch auf die etwa ungleiche Zu- verlässigkeit der Winkel Rücksicht nehmen kann. Wäre also z. B. der Winkel zwischen dem ersten und zweiten Punkte = ;, zwischen dem zweiten und dritten = ;’ etc. gefunden, immer von der Linken zur Rechten gerechnet, so hätte man die Gleichungen

pP —P-it+rla —a)de+(f —P)dy = 0 P— P—i+le— a)de + (P’— B)dy = 0 etc. Haben diese Winkelmessungen gleiche Zuverlässigkeit, so

h 2

Eine Aufgabe der praktischen Geometrie. 141

bildet man aus diesen Gleichungen zwei Normalgleichungen, die erste, indem man jene der Ordnung nach mit den respectiven Co- efficienten von de, d. i. die erste mit «— «a, die zweite mit a” — « etc. multiplicirt und alles addirt; die andere, indem man dasselbe durch Multiplication mit den Coefficienten von dy aus- führt und gleichfalls addirt. Ist hingegen die Winkelmessung von ungleicher Genauigkeit, und z. B. die erste auf «, die andere auf wu etc. Repetitionen gegründet, so müssen die Gleichungen beide- male vor der Addition auch erst noch mit diesen Zahlen u, w etc. bezw. multipliirt werden. Aus den so gefundenen beiden Normalgleichungen werden dann d= und dy durch Elimination ge- funden. (Diese Vorschriften sind nur um derer willen beigefügt, denen die Methode der kleinsten Quadrate noch unbekannt ist, und für die vielleicht auch die Erinnerung noch nöthig sein könnte, dass bei jenen Multiplicationen die algebraischen Zeichen von @ — « etc. sorgfältig beachtet werden müssen.) Endlich bemerke ich noch, dass hierbei »ur die Fehler der Winkelmessungen ausgeglichen werden sollen, indem die Coordinaten der bekannten Punkte als genau angesehen werden.

Ich erläutere diese Vorschriften für den zweiten Fall noch an den mir von Ihnen mitgetheilten Winkelmessungen auf der Holkensbastion bei Copenhagen, obwohl, wie es scheint, die zuletzt angezeigte Voraussetzung dabei nicht genau genug statt findet; bei so kleinen Entfernungen haben kleine Unrichtigkeiten von einigen Zehntheilen eines Fusses in den gegebenen Coordinaten einen sehr viel grösseren Einfluss, als die Fehler in den Winkel- messungen, und man darf sich daher nicht wundern, dass nach möglichster Ausgleichung der Winkel Differenzen zurückbleiben, die viel grösser sind, als bei den Beobachtungen der Winkel als möglich angenommen werden kann. Für den gegenwärtigen Zweck, wo nur ein Rechnungsbeispiel gegeben werden soll, kann dies jedoch gleichgültig sein.

Winkel auf Holkensbastion.

Friedrichsberg— Petri. . . . » 13° 35’ 22,8” Petri—Erlösersthurm . . . . » 104 57 33,0 Erlösersthurm—Friedrichsberg . 181 27 5,0 Friedrichsberg—Frauenthurm . 80 37 10,8 Frauenthurm—Friedrichsthurm . 101 11 50,8 Friedrichsthurm—Friedrichsberg 178 11 15.

142 Eine Aufgabe der praktischen Geometrie.

. > « Ooordinaten, von der Copenhagener Sternwarte gerechnet, in Pariser Fuss.

PatH. : 3,8, URL, 8 + 487,7. + 1007,7 Frauenthurm . . . . + 710,0 + 6842 Friedrichsberg . . . + 2430,6 + 8335,0 Erlösersthurm . . . + 2940,0 — 3536,0 Friedrichsthurm . . + 3059,83 — 22312.

Als genäherte Coordinaten des Beobachtungsplatzes wurden an- genommen: x —= + 2836,44 9 = + 444,33. Und damit fanden sich die Azimuthe: 1, 2.3 BR EA 166° 30° 42,56” + 19,92 dx + 83,04 dy Frauenthurm. . .173 33 50,54 + 10,80 d= + 95,78 dy Friedrichsberg . . 92 56 39,46 +26,07 de + 1,34 dy Erlösersthurm . .271 29 25,38 — 51,79 de — 1,35 dy Friedrichsthurm . 274 45 41,48 — 76,56 de — 6,38 dy.

Der berechnete Winkel Friedrichsberg—Petri ist daher 73° 34° 3,10” — 6,15 de + 81,70 dy, welches mit dem beobachteten verglichen die Gleichung — 79,70” — 6,15 de + 81,70 dy = 0 giebt. Ebenso erhält man die fünf anderen Gleichungen + 69,82” — 71,71de — 84,39 dy = 0

+ 908 + 77,86de + 2,69dy = 0 + 0285 — 15,27 de + 94,44dy = 0 + 0,04 — 87,36 de — 102,16. dy = 0 — 342 +10,63de+ T72dy=dO.

Aus der Verbindung dieser sechs Gleichungen erhält man, indem man den Beobachtungen gleiche Zuverlässigkeit beilegt, die beiden Normalgleichungen

+ 29640 de +14033 dy = + 4168” + 14033 dx + 33219 dy = + 12383” ,

und hieraus die Werthe de = —0,05, dy = +0,40, oder die verbesserten Coordinaten der Holkensbastion + 2836,39 und + 444,73.

Eine Aufgabe der praktischen Geometrie, 143

Die nach Substitution dieser Werthe von dz und dy zwischen den berechneten und beobachteten Winkeln zurückbleibenden Unter- schiede sind noch viel zu gross, um den Messungen zugeschrieben werden zu können, und beweisen, was oben bemerkt ist, dass die Coordinaten der bekannten Punkte nicht auf Zehntheile des Fusses zuverlässig waren, weshalb denn freilich auch die gefundene Ver- besserung selbst diesmal etwas zweifelhaft bleibt.

Die bei dieser Rechnung zu Grunde gelegten genäherten Coordinaten der Holkensbastion waren durch die direkte Methode aus dem vierten und fünften der obigen Winkel berechnet. Ob- gleich diese direkte Methode als ein ziemlich erschöpfter Gegen- stand zu betrachten ist, so setze ich sie doch der Vollständigkeit wegen hier auch noch her, in derjenigen Gestalt, in welcher ich sie anzuwenden pflege.

Es seien a, b die Coordinaten des ersten bekannten Punktes (man wählt denselben aus den drei bekannten nach Gefallen); die des zweiten seien in die Form

a+RcosE, 5b+RsinE gebracht, und die des dritten in dieselbe a+RcosE, b+RsinE. Die gesuchten Coordinaten des Beobachtungspunktes bezeichne man durch a+tocose, b-+osine. Ferner sei der hier beobachtete Winkel zwischen dem ersten und zweiten Punkte = M, der zwischen dem ersten und dritten — M’; ich setze voraus, dass diese Winkel von der Linken zur Rechten genommen, und dass sie, falls sie so über 180° betragen haben, erst um 180° vermindert sind, oder was dasselbe ist, dass wenn ein Winkel in der verkehrten Ordnung unter 180° betrug, statt seiner das Complement zu 180° genommen ist*). Ich mache ferner B= nr Ware m mM "”"nw E-M=-NEF—-M=-N (wo nöthigenfalls vorher 360° addirt wird).

*) Die Absicht davon ist, die folgenden Grössen n, n’.immer positiv zu - machen, und dadurch weniger Aufmerksamkeit auf die algebraischen Zeichen nöthig zu haben,

144 Eine Aufgabe der praktischen Geometrie.

Dies vorausgesetzt, hat man die beiden Gleichungen e=nsin(—N), e = nvsin(—N),

welche, wenn sie so geschrieben werden: W-- in (N), „= „in (@—N),

unter die Aufgabe Theor. Mot. C. C. p. 82. gehören. Die eine der dort gegebenen Auflösungen führt zu folgender Regel:

Ich nehme an, dass »’ grösser, wenigstens nicht kleiner als n ist, welches erlaubt ist, da es willkürlich ist, welchen Punkt man als den zweiten oder dritten betrachten will. Es sei

n ee tang { tang 4 (N — N)

tan AH — Ev. Sodann wird e=4N+N) +yY, und nachdem & gefunden ist, wird e durch eine der obigen Formeln, oder besser durch beide berechnet. In unserem Beispiele haben wir, den Frauenthurm als den

ersten, Friedrichsberg vorläufig als den zweiten und den Friedrichs- thurm als den dritten Punkt betrachtet,

a= +7100 5 = + 6842

E ==: 11:.:39.33,827 BE == 300% DI 40.10 log R = 3,8944205 log R’ = 3,5733549

M = 99° 22° 50,20” M +: 107° 13° °90,80°

(zufolge obiger Anm.)

N’ 337. 56. 22.727 N = 207° 3% 54,97”

logn = 3,9002650 \o9y —= 3,5817019. Da hier n>n‘, so vertauschen wir die Ordnung und setzen

N = 207° 3% 54,97” N’ =337° 56° 42,72°

log n = 3,5817019 log n’ = 3,9002650.

Hiernächst findet sich ferner GC = 19 39% 3,87”, w = 80° 45’ 81,69%, e = 353° 33° 50,53”

und loge = 3,3303990, und die Coordinaten der Holkensbastion + 2836,441 und + 444,330,

—t

v1

Chronometrische Längenbestimmungen.

(Auszug aus einem Schreiben an H. ©. Schumacher. Astronomische Nachrichten, Bd. V, S. 227. 1826.)

Es seien ©, ©, ©” etc. die Zeiten (zusammen an der Zahl.n), wo der Chronometer vor den Zeiten der Oerter, deren Längen z, x, ©” etc. sind, um die Unterschiede a, a’, a’ etc. voraus war. Die Angaben ©, ©, ©” etc. setze ich schon auf einen Ort reducirt voraus. Ist also der tägliche Gang des Chronometers = u, so würde man, wenn der Öhronometer vollkommen wäre, dien —1 Gleichungen haben:

a— AuU—ı = da — Ou—« =" — 'u— .”

‚m ‚m

= ("— "u—ı” = et.

Damit diese Gleichungen zureichen, um die unbekannten Grössen u, 2, &, ©” etc. zu bestimmen, wird theils eine der Grössen x,

©, ©” etc. als gegeben angesehen, theils vorausgesetzt, dass

wenigstens an einem Orte zweimal beobachtet ist, also zwei der Grössen x, x’, x” etc. identisch sind. Falls nun nicht mehr als zwei identisch sind, wird die Aufgabe ganz bestimmt sein. Im entgegengesetzten Fall ist sie überbestimmt; und man: wird dann die unbekannten Grössen so bestimmen müssen, dass den »n —1 Gleichungen

0=a-a +(9 —O)u—x +2 0 — a’ de . (9" Sie O)u N, + x” 0 — ange a” + (9" — MN u— x” + x” etc.

so genau wie möglich Genüge geleistet werde, da die immer statt-

findenden Unvollkommenheiten aller Chronometer nicht verstatten

werden, allen genau Genüge zu leisten. Offenbar aber darf diesen Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 10

146 Chronometrische Längenbestimmungen.

Gleichungen nicht gleiches Gewicht DEIBEIDON werden; denn in der That drücken die Grössen

a— a +9 — O)u—ae + a — a” + (9 — 9) u— x’ + x” etc.

bloss die Aggregate aller Abweichungen vom mittleren Gange aus, die der«Chronometer in den Zwischenzeiten © — ©, ©" — © etc. gehabt hat, und wenn von einem guten Chronometer die Rede ist, ‘ dem man wirklich einen mittleren, keinen allmählich in einerlei Sinn zunehmenden Aenderungen unterworfenen Gang beilegen kann, so wird der mittlere zu befürchtende Werth eines solchen Aggre- gats der Quadratwurzel der Zwischenzeit proportional gesetzt werden müssen:

Demzufolge wird man also den obigen Gleichungen, indem man sie den Vorschriften der Methode der kleinsten Quadrate ge- mäss behandelt, ungleiche Gewichte, die den Zwischenzeiten © — ©, 9" — 9, ©” — ©’ etc. umgekehrt proportional sind, beilegen müssen. |

Die Auflösung hat dann. keine Schwierigkeit, und man erhält sowohl die plausibelsten Werthe von u, 2, x’, &” etc. als ihre re- lative Zuverlässigkeit. Hierbei mache ich noch ein paar Bemer- kungen.

1) Wenn die erste und letzte Beobachtung an einerlei Orte gemacht sind, so ist der plausibelste Werth von « genau derselbe, der bloss aus der Vergleichung der beiden äussersten Beobachtun- gen folgt. Die Rechnung wird dann ausserordentlich einfach, da es nach einem. leicht zu beweisenden Lehrsatz erlaubt ist, diesen plausibelsten Werth von « sogleich in den Gleichungen zu substi- tuiren, oder, was dasselbe ist, die sämmtlichen beobachteten Chro- nometerzeiten auf die eines Ineirten zu reduciren, dessen TRATEN —= (0) wäre.

2) Hat man den Gleichungen schlechtweg die Gewichte

1 1 0 —-0’ 09 — © beigelegt, so liegt den Gewichten, welche man für die Endresul- tate der Längenbestimmungen findet, als Einheit die Genauigkeit zu Grunde, die man mit diesem Chronometer zu erwarten hätte, wenn man, bei bekanntem Gange, einen Längenunterschied nach einem Zeitintervall von einem Tage bestimmte (insofern die Zeiten

etc.

‘- Grössen, und m = V

Chronometrische Längenbestimmungen. 147

0, ©, ©" etc. in Tagen ausgedrückt sind). Allein damit man die Resultate verschiedemer Chronometer von ungleicher Güte ver- gleichen kann, muss noch ein Faktor hinzukommen, der von der Güte jedes einzelnen Chronometers abhängig ist. Diesen zu finden, setze man die Werthe der Grössen

a —ıa +(9 —O)u—ae +.

a’ Lach a” + 9" Zr ©') Eee x’ + x”

a’ — a” + (0 — ON) u — x” + x” ete., indem man für u, @, ', x” etc. die gefundenen plausibelsten Werthe substituirt,

2 A” be

— A, N, A etc. und @—0© -r ER: [0% + RER

Es sei ferner » die 5 der sämmtlichen unbekannt gewesenen

FOR +ete =S.

dann ist jener specifische Faktor

n—v—1’ n—v—l1l S proportional. Man kann m als die mittlere zu befürchtende Ab- weichung vom mittleren Gange nach einem Tage Zwischenzeit an-

sehen.

3) Die obigen Vorschriften gelten für einen are der keine erhebliche progressive Abänderung seines Ganges zeigt. Wo das Gegentheil eintritt, kann man, insofern die Reihe der Beobaclı-

EEE R z 1 für jeden einzelnen Chronometer der Grösse oder

tungen nicht übermässig lang ist, sich damit begnügen, eine der

Zeit proportionirte Abänderung des täglichen Ganges anzunehmen, so dass noch eine unbekannte Grösse mehr einzuführen ist, und die Gleichungen diese Gestalt haben:

=a—ı + (9 — O)u+ (0° - O')v— a +7 0 = «a —.a’ +(9 —O)u+ (0 — O0*)v— a +2 0 = a’ — a0” + (09”— 9)u + (0 — 0Y)v— a" +2” etc.

3) Dieses noch weiter zu treiben, und also noch eine unbe- kannte Grösse mehr und Glieder der Form (© — ©°)w einzu- führen, möchte kaum rathsam sein. Chronometer, die starke ent- schiedene Abänderungen des mittleren Ganges zeigen, die aber selbst wieder unregelmässig sind, würde ich, neben anderen, lieber ganz ausschliessen, da ihre Resultate theils viel weniger genau werden, 'theils die Genauigkeit sich viel schwerer in Zahlen zur

10*

148 Chronomötrische Längenbestimmungen.

Vergleichung angeben lässt. Ich halte mich daher hier bei der viel verwickelteren Theorie solcher Fälle’nicht auf, da in dem vorliegenden Fall das obige zureichend sein wird.

4) Was die Auflösung der Gleichungen nach der Methode .der kleinsten Quadrate betrifft, so ist vielleicht nicht überflüssig in Erinnerung zu bringen, dass man in den meisten Fällen wohl thut, die unbekannten Grössen aus einem bekannten (möglichst genäherten) und einem unbekannten (also sehr kleinen) Theile zusammenzusetzen. Dieser Rath ist zwar theils sonst schon wiederholt "gegeben, theils ist der Vortheil dieser Manier von selbst einleuchtend, allein es schien gut, ihn wieder in Erinnerung zu bringen, da ich sehe, dass er so häufig vergessen wird, wodurch die numerischen Rechnungen

unnöthigerweise erschwert, und Fehler leichter möglich werden. Von den 36 Chronometern habe ich folgende 5 berechnet.

Breguet Kessels Barraud Nr. 1. Nr. 4 3056. 1252. 904 Greenwich, Juni 30. 3% 227 i— 8” 17,14°|+ 17 2,37° / 3 Juli 25. 2 15 | 10 44,39 | 1 32,15 |+30” 59,75°| +50” 29,31°| +48” 29,20% 98, 8.18.41. 11 069 1 36,96 | 30 50,07 | 50 39,69.) 48 40,2& Aug. 2. 1 15 | 11 3848) 1 4444 | 30 31,78 | 50 52,14 | 48+ 58,87 „ 17.10 28 | 12 5940 | 2 624 | 29 35,69 | 51 38,66 | 49 57,83) „2. 7 27 | 138 47,98 | 2 15,84 | 29 1048 | 52 .245 | 50. 27,108 Sept.10. 7 40 | 15 24,47 . 2 40,36 Helgoland, Juli 3. 3 40 |—40 8,00 —30 26,84 3 „ 2. 12 40 | 42 2,02 | 30 3,89 I— 0 20,34 |-18 48,39 |+16 -47,39 Aug. 5. 148 | 43 18,11 | 29 4885| 1 10 | 19 26,77 | 17 37,50 „11.13 9 | 48 85,77 | 9 3343| 1 3275| 19 4722| 18 130 „ 30. 19 30 | 45 53,08 | 29 7,96 | 2 40,67 | 20 47,68 | 19 17,08 Sept. 6. 3 6 | 46 31,56 | 28 58,94 | 3 455 | 21 6,56 | 19 43,80 „7:84 | 46 38,72 | 28 56,71 | Altona, Aug. 6. 5 55 I—51 38,95 |—37 55,76 |— 9 28,50 +11 16,25 |+ 9 28,48 „29.12 35 | 51 57,85 | 37 50,08 | 9.8881 | 11 27,76 |. 9 40,80 „ 31. 9 57 | 54 10,33 | 37 21,30 | 10 56,68 | 123596 | 11 58 Sept. 4.22 12 | 54 39,16 | 37 15,21 | 11 15,86 | 12 48,10 | 11 24,48 Bremen, Aug.13. 0 2 |—47 50,65 |—833 16,49 — 5 23,37 +16 5,83 +14 21,86 Ich setze die Rechnung für Breguet 3056 zur Probe her. Die Länge von Helgoland sei = 0, die von Greenwich —= — x, .die

von Altona = + y; Bremen schliesse ich hier aus, da es ohnehin, weil nur einmal daselbst beobachtet ist, keine Controlle darbietet.

Die Zeiten rechne ich von der ersten Vergleichung der eng- lischen Chronometer an (Greenwich, Jun. 30. 3" 22”).

Chronometrische Längenbestimmungen. 149

Ich finde so, indem ich einen fingirten BEROnOSnAleg vom Gange = 0 substituire, dessen Bun:

9 22,4 + 60,20° 25,0 +1949,60 — x 28,0 +190,837 — x 32,9 +1950,29 — x 35,9 + 59,08 37,1 — 434,98 + 40,4 — 433,49 + y 42,4 + 59,88 48,3 +199,60 — 56,2 +1952,74 — a 61,6 + 61,32 62,2 °— 482,53 + 66,8 — 434,98 + 68,0 + 60,19. Die obigen Gleichungen fallen nun hier so aus, dass z und y

gar nicht gemischt sind, wodurch die weitere Rechnung noch be- quemer wird. Wir haben nämlich für x vier Bestimmungen:

+ 1889,40°; Gewicht _; — 0,98

6

200 >. en — 0,33

+188972 , & — 0,17

issue > en — 0,19

. Also x = + 1890,36°; Gewicht == 1,07.

Ebenso findet man y= +494,12°; Gewicht = 3,83.

Substituirt man diese Werthe, so ist der Stand des fingirten Chro- nometers gegen Helgolander Zeit:

4 2 2,4) + 60,20° 2 50| 594 s er 2830| 6051 + Buy 3229| 59,93

150 Chronometrische Längenbestimmungen.

DL FERRER 32,9 | + 59,93° i 3591 :: 5908 i ; + 0,06 37,1 59,14 1149 40,4 60,63 075 42,4 59,858 06 4 48,3 59,24 E 941 4 56,2 62,358 1.06 61,6 61,32 22 027 62,2 6159 9, 45 66,8 59,14 r 1.05 68,0 60,19 ; 6,02 ä E Also S= 6,02, m = 1323: Hieraus der mittlere -zu befürch-

tende Fehler bei &...0,75°, bei y...0,40°. Die sämmtlichen von mir berechneten 5 Chronometer geben:

E. med. Gewicht. Breguet x —= 1890,36° 0,75° 1,78 Kessels 1893,23 0,67 2,23 Barraud 189,32 0,49 4,16 Engl. 1 1892,39 0,43 5,41

se 1892,52 0,35 816 Mittel = = 189,35 21,74 Breguet y = 494,12 0,40 6,25 Kessels 493,89 0,36 7,12 Barraud 493,67 0,26 14,79 Engl. 1 493,98 0,29 11,89 sk 494,16 0,24 17,36 Mittel *y = 493,96 58,01

Uebrigens ist zwar hier in die letzte Columne unter der Ueber-

schrift Gewicht

eeraen m.) gesetzt, also als Einheit die Genauig-

keit verstanden, wo der mittlere zu befürchtende Fehler —= 1° ist, so dass also z. B. für Altona der mittlere zu befürchtende Fehler —— an — 0,13° wird; inzwischen wird es rathsamer sein, die Zahlen der letzten Columne bloss als Verhältnisszahlen zu betrach- ten, und die absolute Genauigkeit aus den Unterschieden der aus

Chronometrische Längenbestimmungen. 151

den einzelnen Chronometern für x und y% gefundenen Werthe von den Endresultaten abzuleiten. Inzwischen wird so die Genauigkeit des Endresultats noch immer etwas grösser scheinen, als sie wirklich ist, da die Zeitbestimmungen in Greenwich, Helgoland und Altona keine absolute Genauigkeit haben, und also offenbar, wenn die Anzahl der Chronometer auch noch so gross wäre, doch immer die aus jener Quelle entsprungenen Fehler in den Endresultaten nach- wirken müssen.

Die Längenbestimmung von Bremen kann auf folgende Art gemacht werden. Setzt man die Länge —= z östlich von Helgoland, so. giebt die Vergleichung des Breguet’schen Chronometers den Stand des fingirten Uhronometers

— 165,52° + z. Also aus der vorherg. Vergl. z = 225,40°; Gewicht = == DR en act.) Be er le e n 2 225,24 0,9.

Das Gewicht 0,9 ist noch mit en zu multipliciren, _ ’

So geben die 5 Chronometer

Gewicht. Breguet: | 225,24°| 1,5 Kessels 225,84 1,9 Barraud | 225,39 | 3,6 Engl. 1 | 226,04 | 2,9 siride 46294,86:| 4,8 225,42 : 14,2.

Allein die Länge von Bremen, die hiernach gegen Altona 268,54° westlich ausfällt, bleibt natürlich immer von der Zeitbestimmung in Bremen abhängig, und dieser Unterschied scheint mehrere Secun- den zu klein zu sein. Nach meinen Dreiecken ist der Ansgarius- thurm 273,51° in Zeit westlich von Göttingen, also Olbers’ Obser- vatorium 271,9°.

VII

Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen den Sternwarten von Göttingen und Altona

durch Beobachtungen am Ramsden’schen Zenithsector. (1828).

Einleitung.

Durch die von mir in den Jahren 1821 bis 1824 durch das Königreich Hannover längs des Meridians von Göttingen geführte Dreieckskette sind die Sternwarten von Göttingen und Altona auf das genaueste trigonometrisch mit einander verbunden. Diese Messungen werden in Zukunft ausführlich bekannt gemacht werden: hier wird nur bemerkt, dass die absoluten Grössen auf der von ‘ Herrn Prof. Schumacher in Holstein mit äusserster Schärfe ge- messenen Basis beruhen, mit welcher das Dreieckssystem durch die Seite Hamburg—Hohenhorn zusammenhängt; die Orientirung gründet sich auf die Beobachtungen am Göttinger Mittagsfernrohr, da die Sternwarte und das nördliche Meridianzeichen selbst Drei- eckspunkte sind. Die Sternwarten von Göttingen und Altona liegen durch ein merkwürdiges Spiel des Zufalls auf weniger als eine Hausbreite in einerlei Meridian. Obgleich die absoluten Polhöhen durch die Beobachtungen mit festen Meridianinstrumenten bestimmt sind, so war es doch wichtig, den Unterschied der Breiten noch auf eine andere Art mit einerlei Instrument zu bestimmen, und ich war so glücklich, dazu den trefflichen Ramsden’schen Zenithsector anwenden zu können, der bekanntlich zu ähnlichem Zweck bei der englischen Gradmessung gedient hat. Die damit im Frühjahr 1827 von mir angestellten Beobachtungen und ihre Resultate sind der Hauptgegenstand dieser Schrift.

Da die Beobachtungen mit- diesem Instrument, wenn viele Sterne in einer Reihe zu beobachten sind, nicht wohl ohne den

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 153

Beistand eines geübten Gehülfen gemacht werden können, so hatte Herr Prof. Schumacher die Güte, den Herrn Ingenieur-Lieutenant v. Nehus, unter Genehmigung Sr. Majestät des Königs von Däne- mark, für die Beobachtungen an beiden Plätzen damit zu beauf- tragen. Dieser sehr geschickte Beobachter hat fortwährend die Ablesung der Mikrometerschraube und die Einstellung des Loth- fadens besörgt, während ich selbst die Antritte an die Meridian- fäden beobachtete, und den auf den Meridian senkrechten Faden auf die Sterne einstellte: nur in den beiden ersten Beobachtungs- nächten in Altona war jenes Geschäft von einem andern Gehülfen besorgt; allein diese Beobachtungen sind deshalb nicht mit aufge- nommen, zumal da die Erfahrung bestätigte, dass verschiedene Personen die Bisection der Punkte durch den Lothfaden ungleich schätzten. Das Instrument ist durch die ausführliche von Mudge gege- bene Beschreibung hinlänglich bekannt. In Göttingen konnte es in der Sternwarte selbst, unter dem östlichen Meridianspalt, auf- gestellt werden. In Altona war dies nicht thunlich; es wurde daher in dem Garten des Herrn Prof. Schumacher, in welchem die dortige Sternwarte selbst liegt, unter demselben Beobachtungszelte, welches Mudge in England gebraucht hat, aufgestellt. Die Soli- dität der Aufstellung, auf eingerammten Pfählen, liess nichts zu wünschen übrig: das Nivellement der Verticalaxe wurde täglich nachgesehen, und gewöhnlich fast nichts zu ändern gefunden; das- selbe gilt von der Horizontalaxe.

Um die Ebene des Limbus in den Meridian zu bringen, wurde in Göttingen das südliche Meridianzeichen benutzt, welches zwar in dem Meridian des westlichen Spaltes steht, dessen Azimuth am Platze des Sectors sich aber mit grösster Schärfe berechnen liess. In Altona konnte ein ähnliches Mittel nicht angewandt werden; der Limbus wurde zuerst, mit Hülfe der Kenntniss der absoluten Zeit, vermittelst eines culminirenden Sterns sehr nahe in den Me- ridian gebracht; die Beobachtung mehrerer Sterne in der ganzen Ausdehnung des Limbus gab dann leicht die noch nöthige kleine Correction der Aufstellung. Da, wie schon erwähnt ist, von den am Sector eulminirenden Sternen in jeder Nacht auch die Antritte an die Meridianfäden beobachtet wurden, und die Rectascensionen der Sterne bekannt waren, so erhielt die richtige Aufstellung im Meridian dadurch eine fortwährende sichere Controlle, und nur einmal war eine unbedeutende Nachhülfe erforderlich. In der

154 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

Regel wurde von einer Nacht zur andern mit der Stellung des Limbus, östlich oder westlich, abgewechselt, und nur gegen den Schluss der Beobachtungen wurde, um die Anzahl der Beobacht- ungen auf beide Lagen ziemlich gleich zu vertheilen, von dieser

Regel zuweilen abgewichen, und der Sector in einer Nacht ein-

oder mehreremale umgewandt.

Der Stand des Barometers und des inneren und äusseren Thermometers wurde in jeder Nacht wenigstens dreimal, zu Anfang, in der Mitte und am Schluss der Beobachtungen aufgezeichnet. Ebenso, nach dem Vorgang von Mudge, der Unterschied der Temperatur oben und unten am Sector, da deshalb der Limbus und der Radius in ungleichem Verhältnisse verändert werden. Dass übrigens jede andere durch die Einrichtung des Instruments vor- geschriebene Vorsicht sorgfältig beachtet ist, z. B. das Wasser-

gefäss, in welches das Loth hängt, gehörig angefüllt zu erhalten,

von der Mikrometerschraube, so viel thunlich, dieselben Gewinde spielen zu lassen u. dgl., ist wohl überflüssig, besonders zu bemerken. Die Einstellung des Lothfadens auf den oberen Punkt (das Centrum des Gradbogens) wurde bei der Beobachtung jedes Sternes von neuem unabhängig von der vorhergegangenen gemacht, und die Einstellung auf den nächsten Theilungspunkt (oder die beiden nächsten) wurde in der Regel mehreremale wiederholt, und aus den verschiedenen Ablesungen der Mikrometerschraube, die meistens auf wenige Decimaltheile der Secunde 'übereinstimmten, das Mittel genommen.

l. Die beobachteten Sterne.

Ich hatte zu Anfang 38 Sterne in schicklichen Lagen zur Beobachtung ausgewählt, denen ich gegen den Schluss der Beob- achtungen in Göttingen noch fünf andere beifügte, weil ich be- sorgte, dass durch ungünstiges Wetter der Schluss der Beobacht- ungen in Altona so weit verzögert werden könnte, dass ein be- trächtlicher Theil der ersten Sterne wegen der bei Tage eintre- tenden Culmination nicht oft genug würde beobachtet werden können. Diese Besorgniss bestätigte sich jedoch nur in geringem Grade, und nur ein einziger Stern ist in Altona bloss einseitig be- obachtet. Ich gebe hier die mittlere Stellung dieser Sterne auf den Anfang des Jahres 1827 reducirt: die Declinationen sind die Resultate, welche die Beobachtungen am Zenithsector selbst er- geben haben; die Rectascensionen, bei welchen für den gegen-

%

;

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 155

wärtigen Zweck die allerschärfste Bestimmung unwesentlich ist, gründen sich meistens nur auf eine einmalige Beobachtung am Meridiankreise, deren Reduktion Herr von: Heiligenstein gefälligst berechnet hat. Der Bequemlichkeit wegen bezeichne ich die Sterne mit fortlaufenden Zahlen. No. 8, 13, 15 und 31 sind Doppelsterne; bei dem ersten ist immer der nachfolgende Stern, bei den beiden folgenden die Mitte eingestellt; bei No. 31 ist der Nebenstern so klein, dass er im Fernrohr des Sectors, selbst bei versuchsweise verdunkeltem Felde immer unsichtbar blieb, obgleich er von Herrn Prof. Schumacher im lichtstärkeren Fernrohr des Reichenbach’schen Meridiankreises sofort bemerkt wurde, ‘ohne dass uns damals be- kannt war, dass schon andere Astronomen diesen Doppelstern als solchen erkannt hatten. |

Bezeichnung. G. Aufst. 1827. Declin. 1827. 1| 24 Canum 13° 27° 22,39°| 49°. 54° 11,62” 2| 83 Ursae 34 9,77 |. bb 83. 34,98 3| n Ursae 40 42,86 | 50 10 46,20 4| 86 Ursae 47 28,48 | 54 34 55,55 5 — 50 45,55 | 55 2b 59,22 6| P. 13. 289 55 19,44 | 46 35 39,14 7\ 13 Bootis 14 1 49,03 | 50 16 43,44 8 x DBootis seq. 7 16,93 | 52 36 7,47 9| P. 14. 56 12. 5,9,\56 13 36,51 10) © Bootis 19 18,40.) 52 39 12,05 111 P. 14. 131 27 50,42 | 53 39. 33,02 12| P. 14. 164 35 24,18 | 52 58 55,66 13 | 39 Bootis med. 43 48,37 | 49 26 9,46 14| P. 14. 235 50 38,71 | 50 20 22,49 15 | 44 Bootis med. 58 5,30 | 48 19 52,47 16 — 15 7.812149 13° 46,68 i17P.. 10. 80 10 33,95 | 51 34 53,72 18 —..., 15 0,5 | 52 35. 5,87 19 _ 21 50,88 | 54 37 34,87 20 _— 30 42,13 | 54 29 54,30 21 — 38 9,07 | 52 54 37,09 22 — 42 14,32 | 46 16 4,70 23 —' 48 16,24 ' 56 20 27,00

156 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

Bezeichnung. -G. Aufst. 1827. Deelin. 1827. 24 — 15° 54” 10,23°| 50° 22° 39,41” 25. © Draconis 58 3970159 1 47,14 26 _ 16 4 24,06 | 50.38 13,12 27| P. 16. 33 7 24,92 | 46 20 17,04 = :7,40.50,. ° 11 34,31 | 53 40 13,41 29 2 16. 219 | 52 27 11,06 30 - 20 38,75 | 55 36 4,73 3l e— I 26 34,90 | 45 58 5,85 32| 16 Draconis . 32 042158 15 23,564 33 = 31: 63,85 | 50 16 13,07 34 == 42 151107 D 931,09 35 — 45 2,26 | 46 56 48,53 36 | P. 16. 253 49 21,51 | 46 49 22,01 37| P. 16. 291 56 11,73 | 56 56 42,35 38| P. 16. 310 17.0 1510 149 2 47,09 391 :P. 17: 20 4 23,12 | 58 29 49,33 40 P. 17. 38 8 1,46 | 56 52 21,74 41 74 Herculis 15 28,30 | 46 24 52,90 42| P. 17. 120 20 53,56] 57 10. 13,11 43| # Draconis 26 31,90 | 52 25 57,91

‚14 Die Beobachtungen.

Ein vollständiger Abdruck des Tagebuches in seiner ursprüng-

lichen Gestalt, welcher die Stärke dieser Schrift mehr als verdoppelt haben würde, hat mir überflüssig geschienen: ich gebe daher die Beobachtungen sogleich nach den Sternen geordnet.

Die erste Columne enthält die Zenithdistanzen, wie das In- strument sie gegeben hat, d. i. die blosse Reduktion der Ablesung. Nördliche Zenithdistanzen sind als positiv, südliche als negativ be- trachtet.

Die zweite Columne giebt die Vereinigung der Refraction mit.

der Wirkung der ungleichen Ausdehnung des Instruments wegen Ungleichheit der oberen und unteren Temperatur: die äussersten vorgekommenen Unterschiede waren + 1,2° Reaum. (das obere

Thermometer höher), und —0,6°. Um ein reines Resultat zur .

Beurtheilung der Uebereinstimmung der Beobachtungen unter sich

|

uch ii ee

=

4

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 157

zu erhalten, habe ich die Mühe nicht gescheut, den Betrag für jede einzelne Beobachtung zu berechnen, wobei jedoch einige kleine sich leicht darbietende Rechnungsvortheile benutzt sind.

Die dritte Columne enthält die Reduktion auf den mittleren Ort für den Anfang des Jahres wegen Aberration, Nutation und Praecession, wozu bei einigen Sternen noch die eigene Bewegung gesetzt ist; es ist nämlich die jährliche eigene Bewegung in De-

. elination angenommen

für 10... — 0,42” 20. 2.08 BE Se

Bei den beiden ersten Sternen ist die eigene Bewegung längst ent- schieden; bei 37 zeigt sie sich durch Vergleichung mit Piazzi’s Be-

‚stimmung so, dass, die Richtigkeit der letzteren vorausgesetzt, sie

nicht bezweifelt werden kann*). Der Berechnung der Aberration, Nutation und Präcession liegen Baily’s schätzbare Tafeln zu Grunde, nach denen für jeden Stern eine Ephemeride von 10 zu 10 Tagen, unter Beihülfe der Hrn. v. Nehus und Petersen, berechnet, und in diese mit Berücksichtigung der zweiten Differenzen interpolirt wurde.

Die vierte Columne enthält endlich die Summe der drei ersten, also die wahre nur noch mit dem Collimationsfehler behaftete Ze- nithdistanz für die mittlere Stellung zu Anfang des Jahres 1827, wie sie sich aus jeder einzelnen Beobachtung ergiebt.

*) Die Richtigkeit von Piazzi’s Bestimmung dieses Sternes, auf 8 Beobacht- ungen gegründet, erhält durch die nahe Uebereinstimmung mit der Angabe der älteren Ausgabe seines Verzeichnisses von 1803, welche auf 6 Beobachtungen beruhte, eine Bestätigung; die genaue Grösse der eigenen Bewegung bleibt aber deswegen noch etwas ungewiss, weil das Jahr unbekannt ist, welches dem Mittel der Beobachtungen entspricht. Es ist merkwürdig, diese nicht unbeträchtliche eigene Bewegung bei einem Stern der 7. Grösse zu finden. Auch Nr. 11 scheint in dieser Beziehung die Aufmerksamkeit der Astronomen zu verdienen.

158

April 5. 17.

18. 29.

April 11. 20.

27.

30.

Mai 14.

Juni 4,

12..

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

#:

—_ 1° 37 52,62”

—1 3

—3 35

—3 38

(24 Canum Venaticorum)*).

Göttingen. -Limbus Ost.

— 1,66”| + 13,34” | — 137’ 40,94” 47,75 | — 1,2 | + 10,12 39,25 46,01 | — 161 | + 715 40,47 44,57 | —1,61 | + 6,88 39,30 Mittel aus 4 Beobachtungen —1 37 39,99 Göttingen. Limbus West. 43,60 | — 159 +11,75 | —1 37 33,44 40,36 | — 162 | + 9,31 32,67 3729 , —167 | + 7,41 31,55 86,54 | —1,55 | + 6,62 31,77 34,23 | — 1,60 | + 3,02 32,81 Mittel aus 5 Beobachtungen — 1 37 32,45 Altona. Limbus Ost. 2977, —3,68 | — 153 |—3 38 34,98 26,44 | — 3,58 | — 2,57 32,59 28,52 | — 3,56 | — 2,73 34,81 29,855 ı — 3,53 | — 3,03 36,41 26,74 | — 3,44 | — 3,33 33,51 Mittel aus 5 Beobachtungen —3 38 34,46 Altona. Limbus West. | 25,37 | — 3,69 | — 1,35 |—3 38 30,41 25,44 | — 3,59 | — 1,89 30,92 25,32 | — 3,60 | — 2,41 31,33 26,07 | — 3,54 | — 2,89 32,50

Mittel aus 4 Beobachtungen — 3 38 31,29

*) Die Resultate der Beobachtungen für die übrigen 42 Sterne-sind von

Gauss selbst in derselben Form wie für 24 canum venaticorum gegeben,

Da

aber die Einzelresultate, speciell für den vorliegenden Zweck, ein besonderes In- teresse nicht mehr beanspruchen können, ihre Benutzung bei der Ableitung und

Discussion der Endresultate auch fast gar nicht in Frage kommt, so haben wir:

uns der Raumersparniss halber erlaubt, allein die Mittelwerthe der Zenithdistanzen

-für die einzelnen Lagen des Limbus in Göttingen und Altona unter Angabe der Anzahl der einzelnen Beobachtungen in nachstehender Tabelle zusammenzustellen. D. H.

aa a Ze a A

a nun Du © 2 0. I Fun 3 F

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 159 Lage Zenithdistanz Anzahl Zenithdistanz |Anzahl Nr. Stern. des in der in der Limb.| Göttingen. | Beob. Altona, Beob, 2. | 83 Ursae majoris O0 144° 1’43,86”! 6 142° 0’ 49,04”| 6 W |+4 1 50,74 7 +2 0 51,41 4 3. | n Ursae majoris O0 \—1 21 5,00 6 ı—3 22 0,32 6 W I|i-1 20 57,62 7 i—3 21 57,02 6 4. | 86 Ursae majoris 0 I+3 83 3,52 6 |+1 2 10,52 6 W |+3 3 11,04 6 +1 2 12,34 3 d. — 0 I+3 54 7,57 6 — BERN W |+3 54 15,03 6 I+1 53 16,15 2 6. | Piazzi 13. 289 0 I—4 56 11,92 6 I—6 57 8,63 2 W 4 56 4,99 6 1-6 57 3,92 4 ‚7. | 13 Bootis 0 I—1 15 876| 6 |-3 16 246 | 6 ‚ W Ii-1 15 0,56 6 I—3 15 59,08 5 8. | x Bootis sequ. O |+1 4 15,23 7 |—0 56 37,59 6 W I+1 4 23,43 7 1-0 56 35,80 6 9. | Piazzi 14. 56 0 |+4 41 4477| 7 |+2 40 5046 | 4 i W I+4 41 52,26 6. +2 40 54,44 2 10. | © Bootis O0 +1 7 19,66 7 1-0 53 33,07 6 W .i+1 7 27,64 7 \—0 53 30,55 6 11. | Piazzi 14. 131 0 |+2 7 41,46 6 I+0 6 47,92 ) W |4+2 7 47,83 7 +0 6 50,69 4 12. | Piazzi 14. 164 ) +1 27 4,50 6 ı—0 33 49,36 ) W +1 27 10,63 7 :I—0 33 47,62 4. 13. | 39 Bootis med. 0 I—2 5 41,35 6 4 6 37,71 5 Ww 0 34,40 6 I—4 6 33,62 5 14. | Piazzi 14. 235 0 1 11 23879| 7 |—3 12 3362| 6 Ww I-1 11 21,46 6 |—3 12 21,03 5 15. | 44 Bootis med, O0 |—3 11 59,25 6 |I—5 12 53,39 6 w I-3 11 51,50 | 6 |—5 12 50,68 | 5 16. —_ 0 |—2 18 5,07 5 |—4 18 5919| 5 w I-2 17 5808| 5 |-4 18 55,64 | 5 17. | Piazzi 15. 39 O0 |i+0 3 1,98 7 |—1 57 51,14 6 W i+0 3 9,04 7? I—1 57 49,67 5 18. = 0O I+1 3 1396 | 6 1-0 57 38,86 | 6 w [+1 3 21,22 7 |—0 57 37,51 5 19. = 0 +3 5 43,51 5 i+1 4 4915| 6 w |I+3 5 5085| 7 |+1 4 5191| 5

160 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. Lage | Zenithdistanz |Anzalil| Zenithdistanz Anzahl Nr. Stern. des in der in der Limb.| Göttingen. | Beob, Altona. Beob. ». du 0 I+2°58'° 2,56“) 5 I+0°57’ 9,14) 6 w +2 58 9881| 6 |+0 57 1082| 5 21. = oO |+41 2 5,19] A I—-0 38 810| 6 .W |+1 2 ©08| 6 |-o 38 558 | 6 m. Ss 0 |I-5 15 4621| 4 |-7 16 2,67 | 6 Ww |-5 15 0,01 | 6 |-7 16 36,74 | 6 23, rs, oO |+4 a8 sa52| 5 |+2 a7 a1.B5| 6 Ww +4 48 4351 | 6 |+2 47 43,9 | 6 24. S 0 I-1:9 9234| 5 3 10 685| 6 wer EEE 25. | ® Draconis oO |+7 29 5543| 6 |+5 9 178| 6. w |+7 303201 6 |+5%9 3431| 6 26. Ei 0 |-0 53 37,66| 6 |I-2 54 3276| 6 w |-0 53 3058 | 6 |-2 54 31,4 | 6 27. | Piazzi 16. 33 oO |I-5 1 3a78| 2 7 2 99| 5 wW|-5 1390| 2 | 292 55| 3 28. | Piazzi 16. 56 oO |+2 8 9219| 5 |+0 7811| 6 w|i+2 8872| 6 |+0 7 3001| 6 29. > 0: +0 55 1858| 3 I-1 5 3418| 6 w |+0 55 2637| 3 1 5 31,8 | 6 30. & 0 |+4 4 1232| 6 |+2 3 1870| 6 w |+4 4 2131| 5 |+2 3 211] 6 31. fe 0 5 3 46,4 | 6 |-7 34 4056 | 6 Ww |-5 3 37,201 5 |-7 3 3710| 6 32, | 16 Draconis 0O i+1 43 3210| 6 |-0 17 4155| 6 w |i+1 43 1861| 6 |-0 17 39,9| 6 33. 20 0:11 :15:987.92)-5 8 16.81.74. | 5 Ww Ii-1 15 308 | 6 |-3 169,53 | 6 3A. > 0 |+5 33 4568| 6 |43 32 51,385 | 6 W |+5 33 54,80 | 6 |+3 32 54,68| 6 35. > Oo I 35 8383| 5 I-6 35 57,04 | 5 w i—-4 34 5600| 5 |-6 35 54,30 | 5 36. | Piazzi 16. 253 oO | 2 9831| 6 |-6 3 a1 5 W |-4 42 2113| 6 |-6 43 2161| 5 37. | Piazzi 16. 291 0 |+5 24 5078| 6 |+3 383 5560| 5 Ww- |+5 24 5873| 6 |+3 23.5942] 6

R ;

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 161 \ Lage | Zenithdistanz |Anzahl| Zenithdistanz Anzahl Nr. Stern. des in der in der Limb. | Göttingen. | Beob. Altona. Beob. 38. | Piazzi 16. 310 0 1—2°29' 4,29") 6 |—4° 29’ 58,97”| 5 W I-—2 28 57,26 6 I—4 29 55,84 5 39. | Piazzi 17. 20 OÖ +6 57 58,55 1 +4 57 2,69 4 W |+6 58 6,88 3 +4 57 5,60 4 40. | Piazzi 17. 38 OO |+4+5 0 28,25 2 143 19 36,52 3 w I+5 20 3833| 3 I+3 19 38,56 | 3 | 41. | 74 Herculis 0 I—-5 6 58,39 2 7 7 53,30 5 Bes | wi 6517| 3 |7 7 99|-5 42. | Piazzi 17. 120 OO |+5 38 21,52 2 +3 37 26,27 5 W I+5 38 29,20 2 +3 37 31,18 4 43. | £ Draconis 0 I+0 54 5,81 2 I—1 6 47,62 5 W I+0 54 14,61 2 - 6 45,60 5

IlI. Resultate.

1.

Die kunstloseste Combination der Beobachtungen zu einem Resultate für den Breitenunterschied der Beobachtungsplätze besteht darin, jeden Stern für sich zu betrachten. Ist, bei resp. östlicher und westlicher Lage des Limbus, die beobachtete Zenithdistanz in Göttingen a und a’, in Altona b und db’, so wird der Breitenunter- schied = (a +a)—4(b +5). Man bekommt daher so viele Resultate, als Sterne vollständig beobachtet sind; für unsere Beobacht- ungen 42, da nur Nr. 5, als in Altona einseitig beobachtet, ausfällt.

Wären die Beobachtungen, auf welchen die Bestimmungen a, a, b, b’ beruhen für alle Sterne gleich zahlreich, so würden alle einzelnen Resultate für den Breitenunterschied für gleich zuver- lässig zu halten, und daher das einfache arithmetische Mittel das wahrscheinlichste Endresultat sein.° Bei unseren Beobachtungen findet jene Voraussetzung nicht statt, und es muss daher den Re- sultaten nach Maassgabe der Anzahl der Beobachtungen ein un- gleiches Gewicht beigelegt werden.

Wenn man sich erlaubt, die Fehler aller einzelnen Beobacht- ungen als unabhängig von einander zu betrachten, das Gewicht einer einzelnen Beobachtung als Einheit annimmt, und die Anzahl

Gauss, Methode der kleinsten Quadrate, 11

162 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

der Beobachtungen, welche zu den Bestimmungen a, a’, b, b’ con- currirt haben, durch «, «’, $, 8’, bezeichnet, so wird, nach bekannten Gründen, das Gewicht des Resultats 4a + 3a — 4b — }b’ durch

4 SR | 1 1 ae er

ausgedrückt werden. Unsere 42 Resultate mit ihren Gewichten sind hiernach folgende:

Stern. | Breitenunterschied. | Gewicht. | Stern. | Breitenunterschied. | Gewicht. 1: 1::2%. 056,65” 1 644:5:28.1:72%.0° 56,45 185,71 2 57,07 5,51 | 24 56,58 | 571 3 57,36 622 | 3 56,71 " 6,00 4 55,85 4,80 | 26 57,88 | 6,00 6 | 57,81 3,69 | 27 5717 1 261 7 56,11 5,71 | 28 5639 | 5,71 8 56,03 6,46 | 29 55,51 | 4,00 g 56,07 3,78 | 30 56,37 | 571 10 55,46 646 | 31 5741 1571 11 55,35 5,27 | 32 55,78 | 6,00 12 56,05 | 597 | 33 56,31 | 5,45 13 57,78 545 | 34 5719 | 6,00 14 57,19 5,92 | 35 | 56,06 | 5,00 15 56,65 5,71 36 57,48 5,45 16 55,85 5,00 | 37 6724 :| 571. 17 55,92 6,13 | 38 56,62 | 5,45 18 55,78 5,92 39 58,51 2,18 19 5640 | 5,64 | 40 55,75 | 2,67 ea a 1 545 | 41 56,61 . | 3,24 21 55,48 5,33 | 42 56,64 | 2,76 22 56,59 | 5,33 | 48 56,82 | 2,86

Das Mittel aus diesen 42 Bestimmungen, mit Rücksicht auf die Ungleichheit der Gewichte, findet sich

2° 0’ 56,52” und das Gewicht dieses Resultats = 213,41.

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 163

2.

Wenn n verschiedene Bestimmungen einer Grösse die Werthe A, A’, A” etc. mit den Gewichten », »’, »” ete. gegeben haben, A* den mit Rücksicht auf die Gewichte genommenen Mittelwerth, und M die Summe

p(A— A*)? + p’(A’— A*)? +9” (A’— A*) + etc.

bedeuten, so wird in Folge des allgemeineren Lehrsatzes in der Theoria Combinationis Observationum, Art. 38.,

RR n—1 einen genäherten Wertli des mittleren Fehlers einer Beobachtung derselben Art, deren Gewicht = 1 ist, geben. Die Anwendung dieser Vorschrift auf unseren Fall giebt M = 103,4126, und damit den mittleren Fehler einer Beobachtung 103,41 41 Den mittleren in unserem Resultat für den Breitenunterschied zu befürchtenden Fehler erhält man, wenn man den mittleren Fehler

einer Beobachtung mit der Quadratwurzel aus dem Gewicht jenes Resultats dividirt; aus obigem Werthe folgt er demnach = 0,1087”.

3. Der Collimationsfehler des Instruments ergiebt sich aus den Beobachtungen eines jeden Sternes in Göttingen = 3 (a — a) mit dem Gewicht a und in Altona = }(b’ —b) mit dem Gewicht

isßR... Folgende Tafel enthält diese Werthe.

P+P Step, Öttingen. Altona. | Göttingen. | Altona. Coll. F.| Gew. Coll. F.| Gew. ‚Coll. F.| Gew. | Coll. F.| Gew. IN anead | | 1| 3,77”| 8,89 1,58”) 8,89| 6 | 3,46” 12,00, 2,35”) 5,33 2| 344 12,92| 1,19 | 9,60| 7 4,10 | 12,00 1,69 | 10,91 3 | 3,69 12,92 1,65 '12,00| 8 4,10 | 14,00 0,90 | 12,00 4 | 3,76 |12,00| 0,91 | 8,00] 9 3,75 12,92) 1,99 | 4,00 5| 8,73 112,001 — | — | 10 8,99 | 14,00] 1,26 | 12,00

11*

164 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

Göttingen. Altona. Göttingen. Altona.

Stern. 'Coll. F. | Gew. | Coll. F.| Gew. Coll.F.| Gew. |Coll.F.| Gew.

|

Stern.

12 | 3,06 12,92) 0,87 | 8,89 | 29 | 3,89 | 6,00) 1,15 | 12,00

14 | 8,67 |12,92\ 1,30 10,91] 31 | 4,52 |10,91| 1,73 | 12,00 15 | 3,87 12,00 1,36 '10,91| 32 | 3,26 | 12,00) 1,13 | 12,00 16 | 3,50 | 10,00 1,77 10,001 33 | 3,49 |10,91| 1,11 10,91 17 | 3,53 |14,00| 0,74 |10,91| 34 | 4,58 | 12,00 | 1,66 | 12,00 18 | 3,63 12,92 0,68 10,91| 35 | 3,61 | 10,00 1,37 | 10,00 19 | 3,42 | 11,67 1,38 |10,91| 36 | 4,33 | 12,00 1,84 | 10,00 20 \ 8,66 | 10,91 0,84 |10,91| 37 | 3,97 | 12,00 1,91 | 10,91 21, 3,45 ı 9,60 1,26 |12,00| 38 | 3,52 | 12,00 | 1,56 | 10,00 22, 3,10 , 9,60 2,96 |12,00| 39 | 4,16 | 3,00. 1,45 , 8,00 23 | 4,49 110,91 1,42 |12,00| 40 | 5,04 | 4,80 1,02 | 6,00 24 3,93 |10,91\ 1,21 |12,00| 41 | 3,46 | 4,80 1,75 | 10,00 25 | 3,88 | 12,00 0,83 |12,00| 42 | 3,84 | 4,001 2,45 | 8,89 26 ı 3,54 | 12,00 0,76 |12,00| 483 | 4,40 | 4,00 1,01 | 10,00 27 | 4,44 | 4,00 1,97 | 7,50

Die Mittelwerthe sind folgende:

Collimationsfehler in Göttingen . 3,75” mit dem Gewicht 455,17 Collimationsfehler in Altona . . 1,40 mit dem Gewicht 432,18.

Die Realität der Veränderung des Collimationsfehlers ist offenbar, und es leidet keinen Zweifel, dass dieselbe auf dem ob- wohl mit aller möglichen Vorsicht geleiteten Transport eingetreten ist.

4.

Obgleich man sich bei dem für den Breitenunterschied ge- fundenen Resultate vollkommen beruhigen kann, so ist es doch wenigstens in theoretischer Rücksicht nicht überflüssig zu bemerken, dass die im 1. Art. angewandte Combination der Beobachtungen noch nicht die möglich vortheilhafteste ist, insofern nicht an jedem Ort jeder Stern in der einen Lage des Sectors eben so oft beob- achtet ist, wie in der andern. In der That hat die Bestimmung der wahren Zenithdistanz in Göttingen durch die Formel $ (a + «)

11 , 3,19”| 12,92 1,39”) 8,89] 28 | 3,97”| 10,91 | 0,95”| 12,00 |

13 | 3,48 | 12,00) 2,04 |10,00| 30 | 4,54 | 10,91 | 1,70 |13,00|

En nnd u a nn Din

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 165

’

das Gewicht en wäre nun der Collimationsfehler in Göttingen

genau bekannt und — /, so würde die Bestimmung der wahren Zenithdistanz daselbst durch die Formel

e(a+f)te(@—f)

a+ a ET hen dt einerd Te ie Be ET

als nach der anderen Methode, so oft « und «@’ ungleich sind. Eben- so verhält es sich mit der wahren Zenithdistanz in Altona, und auf diese Art würden selbst einseitige Beobachtungen (wie die von Nr. 5) einen, wenn auch nur geringen, Beitrag zur Vergrösserung der Genauigkeit geben. Nun sind zwar die Collimationsfehler an beiden Plätzen nicht mit absoluter Schärfe bekannt: allein man überzeugt sich leicht, dass die Anwendung der für dieselben ge- fundenen Mittelwerthe das Gewicht nur ganz unbedeutend ver- mindert.

5.

Will man jedoch ein reines, den Forderungen der strengen Theorie ganz Genüge leistendes Resultat erhalten, so muss man die Bestimmung des Breitenunterschiedes, der Collimationsfehler, und der wahren Zenithdistanzen der einzelnen Sterne an dem einen

Ort als ein Problem behandeln, wo diese unbekannten Grössen (in

unserem Fall 46 an der Zahl) aus den sämmtlichen durch sie be- stimmten beobachteten Grössen (171) durch eben so viele Gleichungen abgeleitet werden müssen, indem diese nach den Vorschriften der Wahrscheinlichkeitsrechnung combinirt werden. Setzt man die Collimationsfehler in Göttingen und Altona —= / und g, den Breiten- unterschied — A, die wahre Zenithdistanz eines Sterns in Göttingen — %k, so hat man aus den Beobachtungen dieses Sternes die vier Gleichungen, mit den Gewichten «, «', ß, $':

a=k—f da=k+f b=k—g—h ”’=k+g—h

Es ist kaum nöthig zu erinnern, dass es zur Erleichterung

der Rechnung vortheilhafter ist, anstatt jener unbekannten Grössen,

die noch erforderlichen Correctionen einzuführen, welche an die

166 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

schon sehr nahe bestimmten Werthe anzubringen sind; lassen wir die Zeichen f’, 9°, h’, k’ diese genäherten Werthe bedeuten, so

mag man annehmen Ra +L I) He) HEFTE FEI HP VE SFR) 5 e+a@+pß+P ®

Bei Befolgung jener Vorschrift (welche man bei Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate auf nur etwas zusammenge- setzte Fälle niemals aus den Augen setzen sollte) und dem Ge- brauch einer schicklichen indirekten Auflösungsmethode ver- wandelt sich eine Arbeit, die ohne jene und bei direkter Elimination unerträglich weitläufig ausfällt, in ein leichtes Spiel.

6. Der Erfolg dieser Rechnung, welche ausführlich herzusetzen unnöthig wäre, ist, dass die früheren Bestimmungen gar keine merkliche Correction erhalten. Es findet sich die Verbesserung

Ik’

des Breitenunterschiedes —= — 0,014”, die Verbesserung des Colli- mationsfehlers in Göttingen = + 0,012”, die Verbesserung des Collimationsfehlers in Altona = — 0,014”; folglich die neuen Be- stimmungen

Breitenunterschied . . . . ... 2° 0’ 56,51”, Gewicht = 217,67 Collimationsfehler in Göttingen. . . . 3,76 s 457,03 Collimationsfehler in Altona . . . „ . 1,39 ö 437,64 .

Die Veränderungen der nach der Vorschrift des vorhergehenden Artikels zu Grunde gelegten wahren Zenithdistanzen der einzelnen Sterne in Göttingen sind gleichfalls fast alle unter 0,01”. Die sich ergebenden Werthe hier anzuführen, wäre überflüssig, da es die- selben sind, aus welchen die oben mitgetheilten Declinationen der Sterne unter Voraussetzung der Polhöhe des Beobachtungsplatzes 51° 31° 47,92” abgeleitet sind. Dagegen setzen wir die Unter- schiede hier her, welche nach Substitution der gefundenen Werthe in den 171 Gleichungen übrig bleiben.

Unter- schied.

Unter- schied.

Unter- schied.

Unter-

Stern. schied.

Stern. Stern. Stern.

ı !+o0”| 2 | +056| 3 | zo] 4 | os + 0,09 0,08 +0,34 0,85 0,26 012 _. 0,70 +0,79 1.013 0,53 0,18 0,17

Breitenunterschied zwischen Göttingen und- Altona. 167 2 fee | soniea, [Stern | schien. |Sterm| achieg, [Stern | Ahlen 5 | +0,09”| 14 | +0,40”| 23 | —0,80”| 32 | +0,14” |: ; — 0,03 + 0,21 + 0,67 — 0,87 1 Be — 0,29 — 0,03 + 0,63 5 — 0,03 — 0,48 + 0,083 +0,11 6 +0862| 15 | —004 | 24 | —0,17| 33 | + 0,19 : + 0,03 + 0,19 + 0,18 — 0,35 ; 198 — 0,04 + 0,16 +0,41 — 0,02 tt — 0,20 — 0,16 71-052 1:16 1--0,07 | 25 | — 0,08 | 34 | — 0,48 i + 0,16 — 0,60 + 0,22 +17 — 0,08 — 0,05 + 0,46 0,62 + 0,52 + 0,72 — 0,67 — 0,07 i 8 —056 | 17 | —0,06 | 26 | +0,90 | 35 | — 0,08 + 0,12 — 0,52 + 0,46 — 0,37 } + 0,76 + 0,96 — 0,06 + 0,25 — 0,23 — 0,35 #41;82 + 0,21 | Ge 09 01 36 — 0,09 — 0,49 a 1. | +1,02 — 0,23 + 1,09 0m | — 0,47 + 0,97 — 0,34 + 0,46 | — 0,58 10 !—071! 19 | +032 | 38 | +0,46 | 37 | +0,11 023 — 0,36 — 0,53 | + 0,54 + 0,70 + 0,10 + 0,52 | — 0,93 + 0,44 + 0,08 — 0,36 +0,11 11 1 +012 1 20 | = 0061 29 | --.0,80 | 38 | +0,80 — 1,03 — 0,26 — 0,58 — 0,19 + 0,72 + 0,66 + 0,58 — 0,24 +0,71 — 0,44 + 0,10 +0,11 12105921:21 |-- 022 7.30 | —0,88.5:39 | +0,% 087 — 0,85 + 0,74 LT + 0,80 + 0,63 09 — 0,82 — 0,24 + 0,37 + 0,42 — 0,69 131 +087 | 22 | +0,77 | 31 | — 041 | 40 | — 181 + 0,30 — 0,55 + 0,75 + 1.86: — 1,55 — 0,59 + 0,60 — 0,04 + 1,60 + 0,09 — 0,14

168 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

”

Unter- Unter-

Unter- Stern. Schiad Stern. ee Stern.

schied.

41 | +0,9”| 42 | +0,09”| 43 | 0,42”

—0,21 +0,85 + 0,86

— 0,38 — 1,02 + 0,29

+ 0,35 +11 047 T,

Die Summe der Produkte aus den Quadraten dieser 171 Unter- schiede in die entsprechende Anzahl der Beobachtungen findet sich — 292,8249. Nach dem bereits angeführten Lehrsatz (Theoria Comb. Observ. Art. 38.) hat man als genäherten Werth des mittleren Fehlers einer einfachen Beobachtung die Quadratwurzel aus dem Bruch zu betrachten, dessen Zähler jene Summe, und der Nenner der Ueberschuss der Anzahl der verglichenen Beobachtungsdata über die Anzahl der nach der Methode der kleinsten Quadrate da- raus abgeleiteten unbekannten Grössen ist, in unserem Falle 171— 46 = 125. Es findet sich hieraus jener mittlere Fehler — 1,5308”, wenig von dem im 2. Art. gefundenen verschieden. Der mittlere in dem Endresultate für den Breitenunterschied zu be- fürchtende Fehler würde demnach sein

1,5308” = y217,67

— 0,1038”.

8.

Bei den bisherigen Rechnungen ist vorausgesetzt, dass alle den verschiedenen Beobachtungen anhängenden Fehler als völlig unabhängig von einander oder als rein zufällig betrachtet werden können. Diese Voraussetzung aber ist offenbar nicht ganz richtig, indem alle « Beobachtungen, welche zu der Bestimmung eines «a coneurrirt haben, nach der Natur des Instrumentes sich auf einen und denselben Theilungspunkt beziehen, und also ausser den eigent- lichen rein zufälligen Beobachtungsfehlern noch den Fehler der Theilung bei diesem Punkte involviren. Dasselbe gilt von a’, b und 5’. Die Theilungsfehler sind ihrerseits unbekannte Grössen, die in Beziehung auf die einzelnen 171 Beobachtungsresultate auch als rein zufällig und von einander unabhängig betrachtet werden

tändüee ya.

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 169

mögen, da man die Fälle, wo verschiedene derselben sich auf einerlei Theilungspunkt bezogen haben, ihrer geringen Anzahl wegen igno- riren kann. Die Berücksichtigung dieses Umstandes macht. nun eine Modification obiger Rechnungen nothwendig, obwohl am Ende in praktischer Rücksicht die Resultate gar nicht geändert werden.

Bezeichnet man den eigentlichen mittleren Beobachtungsfehler, der nur von zufälligen Ursachen mit Ausschluss der Theilungs- fehler herrührt, mit », und den mittleren Theilungsfehler mit «, so wird der vollständige mittlere Beobachtungsfehler — Ym?’-+ u‘ zu setzen sein, und der mittlere Fehler eines Mittels aus « Beob- achtungen, die sich auf einerlei Theilungspunkt beziehen,

m“ ER a FD — 2 . ru,

oder wenn wir u” —= m’® setzen,

ge a. v- +09. Insofern wir also das Gewicht einer Beobachtung, ohne

Theilungsfehler, zur Einheit annehmen, wird das Gewicht von a nunmehr

BER &

.T+00 - sein, und ebenso die Gewichte von a’, b, b’ bezw. _. a ß P 1+«0’ 1+ß90’ 1+P0'

Bei der ersteren Combinationsmethode wird man daher das - Gewicht des Resultates für den Breitenunterschied aus den Beob- achtungen eines Sternes, wenn man den vorigen Ausdruck

= u 1 1 1 SB Steh setzt, jetzt ER 2aide 1+p»®

zu setzen, und nach Maassgabe dieser Gewichte aus den 42 Be- stimmungen das Mittel zu nehmen haben.- Bei der zweiten Com- binationsmethode hingegen hat man nur jeder der 171 Gleichungen

170 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

ein Gewicht beizulegen, welches durch eine der Formeln ee ö etc. bestimmt wird.

Offenbar kann eine Veränderung des Endresultates selbst so- wohl, als des mittleren in demselben zu befürchtenden Fehlers nur dadurch eintreten, dass die neuen Gewichte den früheren nicht proportional sind. Bei der vorigen Methode waren nur die Re- sultate der zahlreicheren Beobachtungsreihen etwas zu viel bevor- zugt; die Berücksichtigung der Theilungsfehler bringt ihre Gewichte der Gleichheit näher, desto mehr, je grösser die Theilungsfehler vorausgesetzt werden, so dass bei Beobachtungen mit einem In- strumente, wo die Theilungsfehler die eigentlichen Beobachtungs- fehler sehr weit überwögen, man sich nur begnügen könnte, alle Bestimmungen als gleich zuverlässig zu betrachten.

I.

Die angezeigten Methoden haben also gar keine Schwierigkeit, sobald nur der Coefficient © bekannt ist. ‘Man kann zu einer ge- näherten Kenntniss desselben, auf welche es hier begreiflich nur ankommt, auf einem indirekten Wege gelangen.

Wir bemerken zuvörderst, dass die Beobachtungen selbst ein Mittel darbieten, den eigentlichen mittleren Beobachtungsfehler m mit sehr grosser Zuverlässigkeit zu bestimmen. In der That macht sich derselbe unabhängig von dem Theilungsfehler in den Unter- schieden der einzelnen Werthe, aus denen jedes a (oder a’, b, Ö’) das Mittel ist, von einander oder von diesem Mittel, bemerkbar, und wenn « sehr gross wäre, so würde die Summe der Quadrate dieser Unterschiede der einzelnen Werthe von a vom Mittel als eine genäherte Bestimmung von (« — 1) m” anzusehen sein. Eine solche einzelne Bestimmung kann nun zwar in unserem Fall, wo «

«nie grösser als 7 ist, von dem richtigen Werthe sehr abweichen;

allein die Summe aller 171 partiellen Summen (für alle a, a,b, _

und für alle Sterne) muss nach den Grundsätzen der Wahrschein- lichkeitsrechnung von

Fa@—-D+F@—- H+r@—-D+F@— 1m,

in unserem Fall von 728m’, wenig verschieden sein. Wir haben jene Summe der 171 partiellen Summen

—= 844,50

AR a BEL a EEE 4 „>

u N 2 Ba21E > 2 aaa EN a Sn Bu En

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 171

gefunden, woraus sich für m der sehr zuverlässige Werth = 1,0770”

ergiebt, bedeutend kleiner als der im 2. und 7. Artikel gefundene. Es bestätigt sich also die Einwirkung der Theilungsfehler voll- kommen, um derentwillen die früher herausgebrachten Zahlen kein reines Resultat geben konnten,

10.

In Ermangelung einer direkten Kenntniss des mittleren Thei- lungsfehlers kann man nun © auf eine indirekte Art so bestimmen, dass beim Gebrauch der ersten Methode nach dem Verfahren des Art. 2., oder beim Gebrauch der zweiten Methode nach dem Ver- fahren des Art. 7., der mittlere Fehler einer Beobachtung, deren Gewicht als Einheit angenommen war, wiederum dem gefundenen Werthe von m gleich wird.

Es hat indessen nicht belohnend genug geschienen, solche Versuche so lange zu wiederholen, bis eine vollkommene Ueberein- stimmung erreicht wäre. Vielmehr schien es hinreichend, nachdem durch anderweitige Betrachtungen erkannt war, dass der letzte Werth von © nur wenig von 0,2 verschieden ausfallen könnte, diesen Werth bloss der ersten Combinationsmethode unterzulegen, woraus sich dann ergeben hat

Breitenunterschied . . . . . . = 2° 0 56,50” Gewicht dieser Bestimmung. . = 104,29

Mittlerer Fehler einer Beobachtung, deren Gewicht die Einheit. .. .— 1,131”,

und daher der mittlere in obigem Endresultate zu befürchtende Fehler

= 0,1108”.

Die Anwendung der zweiten Combinationsmethode, mit dem- selben Werthe von ©, würde vermuthlich eine noch nähere Ueber-

- einstimmung mit obigem Werthe von m hervorgebracht, das End-

resultat für den Breitenunterschied vielleicht um 0,01” vermindert, das Gewicht dieser Bestimmung gewiss etwas weniges vergrössert haben; es wurde aber der Mühe nicht werth gehalten, deshalb diese Rechnung von neuem durchzuführen. Man kann sich also an

172 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona,

den gefundenen Breitenunterschied 2° 0’ 56,50” halten, und dessen Fehler als wahrscheinlich zwischen den Grenzen + 0,07” enthalten ansehen.

11:

Wenn wir den obigen Werth von © beibehalten, so ergiebt

sich der mittlere Theilungsfehler = m Y® = 0,48”, daher der so- genannte wahrscheinliche Theilungsfehler der einzelnen Punkte — 0,32” gesetzt werden mag. Offenbar bezieht sich dies aber nur auf die unregelmässigen Theilungsfehler, oder auf die Abweichungen der einzelnen Punkte von einer fingirten sich diesen so genau wie möglich anschliessenden gleichförmigen Theilung, deren absolute Richtigkeit hierbei eigentlich gar nicht in Frage kommen Konnte. Oder mit anderen Worten, das gefundene Resultat für den Breiten- unterschied mit der ihm beigelegten Genauigkeit bezieht sich, streng genommen, nur auf mittlere Sectorgrade, und bleibt von der abso- luten Richtigkeit derselben abhängig. Dem Astronomen bietet das Instrument gar kein selbständiges Mittel dar, diese zu prüfen. Wenn man indessen erwägt, dass die Endpunkte des Bogens von dem Künstler mit äusserster Sorgfalt niedergelegt sind, und dass hier nur von einem kleinen Theile des ganzen Bogens die Rede ist, so wird man zugeben müssen, dass die Unsicherheit des ge- fundenen Breitenunterschiedes aus dieser Quelle nur um ein sehr Geringes vergrössert werden kann. Eine Controlle für die absolute Richtigkeit der Theilung geben übrigens auch die von mir am Reichenbach’schen Meridiankreise beobachteten Zenithdistanzen der- selben 43 Sterne, deren Unterschiede von den am Sector beobachteten, bei einer Anordnung nach den Declinationen, keine Spur von Regel- mässigkeit zeigen. 12.

Der Platz des Mittelpunkts des Sectors in Göttingen war 1,060 Toisen nördlich und 7,595 Toisen östlich vom Centrum der Axe des Reichenbach’schen Meridiankreises; in Altona hingegen war der Mittelpunkt des Sectors 13,511 Toisen südlich und 2,578 westlich vom Mittelpunkt des dortigen Meridiankreises. Die Re- duktion des Breitenunterschiedes der Sectorplätze auf den der Meridiankreise ist daher für Göttingen 0,07” und für Altona 0,85”, und folglich der Breitenunterschied der Sternwarten von Göttingen und Altona in Beziehung auf die Plätze der Reichenbach’schen

Meridiankreise = DI.

a re

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 173

13.

Die absolute Polhöhe, welche den oben gegebenen aus den Zenithdistanzen abgeleiteten Declinationen der Sterne zu Grunde gelegt ist, beruht auf 89 Beobachtungen des Nordsterns, am Reichenbach’schen Meridiankreise, in beiden Culminationen, direkt und von einer Wasserfläche reflectirt. Da die Beobachtungen von 1824, welche den grössten Theil ausmachen, bisher noch nicht be- kannt gemacht sind, so stelle ich hier sämmtliche Beobachtungen zusammen, und bemerke nur, dass meistens die direkte Einstellung beim Antritt an den zweiten, vierten (mittelsten), und sechsten Faden, die Einstellung des refiectirten Bildes hingegen beim Antritt an den ersten, dritten, fünften und siebenten Faden gemacht ist. Von diesen auf die Culminationszeit reducirten Zenithdistanzen, ist hier das Mittel angegeben, welches bloss von der Refraction nach .Bessel’s Tafeln befreit ist, also Collimationsfehler und Wirkung der Biegung des Fernrohrs noch einschliesst.

Zenithdistanzen des Nordsterns.

1820. Kreis im Osten. Direct 319° 50’20,73” | 3 Beob. Reflectirt 20 5 3,94 |4 „ Direct 323 841,51 |1 ,„- Reflectirt 216 46 44,31 | 1 „ 1824. Kreis im Osten. Bel 323 7 52,62 Reflectirt 216 48 54,93 ne 319 52 30,27 Reflectirt 220 4 19,32 ve 323 7 54,16 Reflectirt 216 48 54,21 res 319 52 30,03

Mai 13. Untere Culm. |

„ 13. Obere Culm. |

Apr. 20. Obere Culm. n 21. Untere Culm. „ 21. Obere Culm.

„ 25. Untere Culm Reflectirt 220 4 21,10

Direct 8323 7 55,70 Reflectirt 216 48 52,93 Direct 323 7 55,40 Reflectirt 216 48 52,22

Direct 319 52 29,17 Reflectirt 220 4 21,34

„ 27. Obere Culm.

„ 28. Obere Culm.

He CO He CO > CO He CO He eV

„ 29. Untere Culm.

174 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

Direet 319° 52’28,59” Reflectirt 220 4 22,62

3

4 Direct 8323 75722 |3 Reflectirt 216 48 51,66 | 4 1824. Kreis in Westen. [ Direct 40 4 20,00 | Refleetirt 139 52 27,15 f Direct 36 48 49,32 \ Reflectirt 143 7 57,68 Direct 40 4 22,93 Reflectirt 139 52 25,68

Die Aenderungen der Declination des Nordsterns ergeben sich aus Bessel’s Tafeln wie folgt:

Mai 1. Untere Culm. |

„1. Obere Culm. |

Mai 2. Untere Culm.

„8. Obere Culm.

He 00 Me CD He u

»„ 9. Untere Culm. |

1820 von der unteren Culmination des 13. Mai an gerechnet: Mai 13. Obere Culm. — 0,10”.

1824 von der oberen Culmination des 20. April an gerechnet:

April 21. U.C. | — 0,13” „. 21 0.C. | — 0,26 ö ».2. D.C. |. —1,29 »„ 27. 0.C. | — 2,04 „28 0.0. | —2,32 „29. U.C. | —2,45 Mai 1. U.C. | — 2,93 „1. 0.C. | —3,03 „2. U.C. | — 3,14 „8 0.0. | — 4,64

4. IE ET,

14.

Bezeichnet man die Biegung des Fernrohrs, oder die Verän- derung der Lage der auf die Ebene des getheilten Kreises proji- eirten optischen Axe gegen die Eintheilung, vermöge der Einwir- kung der Schwere auf sämmtliche verbundenen Bestandtheile des Instruments, bei horizontaler Lage der optischen Axe durch /, bei verticaler durch g, und setzt voraus, dass diese Biegung der Schwer- kraft proportional ist (was bei der äusserst geringen Grösse der ganzen Wirkung unbedenklich scheint), so wird bei der Neigung

RE U Re BER ED SR RS TEEN

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 175

der optischen Axe z die Biegung durch f sinz + 9 608z ausgedrückt werden, so verstanden, dass wenn der Collimationsfehler — e und die abgelesene Zenithdistanz —= z ist, die wahre Zenithdistanz

= z—e+/sin(@—e)+9008(2— e)

sein wird. ‘Wäre das Fernrohr vollkommen symmetrisch, so würde g ganz wegfallen; allein da keine menschliche materielle Arbeit absolut vollkommen ist, und überdies die vollkommene Symmetrie schon durch die Balancirgewichte gewissermaassen gestört wird, so scheint es durchaus nicht ungereimt, die Möglichkeit eines ein oder ein paar Zehntheile einer Secunde betragenden Werthes von g zuzugeben, und wenn einmal die Rechnung auf einzelne Zehn- theile oder gar Hunderttheile der Secunde genau geführt wird, so würde es inconsequent sein, die Berücksichtigung des zweiten Theiles der Biegung, insofern sie möglich ist, zu unterlassen.

15.

Das Complement des halben Unterschiedes der direkt und durch Reflexion gemessenen Zenithdistanz zu 90° giebt die Zenith- distanz vom Collimationsfehler und von dem ersten Theile der Biegung befreit, also bloss noch den zweiten Theil der Biegung enthaltend, und zwar mit entgegengesetztem Zeichen, nachdem der Kreis im Osten oder Westen ist. Offenbar bezieht sich diese Zenith- distanz auf die Verticale an der Stelle, wo die optische Axe das Wassergefäss trifft, welche, für beide Culminationen des Nordsterns unmerklich verschieden, um 0,05” nördlicher ist als die Axe des Kreises. Diese Combination ist unserem Zwecke auch insofern an- gemessener, als man der Voraussetzung der Unveränderlichkeit des Collimationsfehlers während der ganzen Dauer der Beobachtungen von 1824 ausweicht. Das Gewicht jener Bestimmung wird, wenn man die Anzahl der direkten Beobachtungen = «, die der Re-

flexionsbeobachtungen = £ setzt, = we

obachtungsfehler als rein zufällig und von einander unabhängig betrachtet.

‚ insofern man die Be-

16. Bezeichnen wir nun mit

p die Polhöhe an dem Platz des Wassergefässes ö die Declination des Nordsterns in der unteren Culmination des 13. Mai 1820

176 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

ö’ die Declination in der oberen Culmination des 20. April 1824,

so geben uns die Beobachtungen folgende Bestimmungen: für d + 9 — 0,765 g

1820 Mai 13. . . 139° 52° 38,40”, Gewicht 6,86 für d— p + 0,800 9 1820 Mai 13... 36 49 1,50 , Gewicht 2,00 für + 9 — 0,765 9 Der 1824 Apr. 21. . .189 54 5,61 , Gewicht 6,86 255,189 :56 - 876 en 29....189: 54 : 6,86 26,88 Mei 1...19 54 591 75688 für ’— 9 +0,800g 1824 Apr. 20... 36 50 31,15 ,„ Gewicht 2,67 „21. 2-96 50:90 208 „2... 36 50 30,65 ee. „38...36 50 8073 > N Mäi: 1x. 2: 3650 8025 < 6,86 für +9 + 0,765 9 18%4 Mai 2. ..139 54 6,71 , Gewicht 6,86 009.0: % 6,86 für ’— p — 0,800 g 1824 Mai 8... 36 50 30,48 , Gewicht 6,86.

Wir erhalten demnach zur Bestimmung der vier unbekannten Grössen d, 0’, g, g die sechs Gleichungen:

ö +9 — 0,765 9 = 139’ 52° 38,40”, Gewicht 6,86 öde —9+08004 = 36 49 1,50 j 2,00 ‘+9 — 0,7659 = 139 54 5,91 PER E ö’ —9+0,804 = 36 50 30,54 80,10 ‘+9 +07659 = 1389 54 6,43 a il ö’—9—0,8009 = 36 50 30,48 A 6,86,

woraus sich durch die Methode der kleinsten ER *) folgende Werthe ergeben:

*), Hier etwas bequemer nach dem Verfahren im Supplem, Theor, Comb, Observ.

PATER

TER

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona, 177

d = 88° 20’ 50,33” ‘= 88 2.1838 9 = 51:31 :47,90 = +0,17.

Das Gewicht der Bestimmung von p wird hierbei = 60,8.

Um für die Genauigkeit der Beobachtungen einigermaassen einen Maassstab zu haben, substituiren wir diese Werthe in die vierzehn Gleichungen, aus welchen die vorigen sechs zusammenge- zogen waren; es bleiben dann folgende Fehler übrig:

| Gewicht der

Fehler | Gleichung EB 1 Lac 6,86 EB 2,00 044 6,86 +:0,29.: 6,86 — 0,31 & 6,86 +04: 6,86 058 | 2,67 70683: 6,86 — 0,13 6,86 RR Re 6,86 0.20: 15, 6,86 —040 | 6,86 0,16: x: 6,86 093: 6,86.

Die Summe der Produkte der Quadrate .dieser Fehler in die Gewichte wird = 9,6184; also ein genäherter Werth für den mittleren Fehler einer Beobachtung

_ 96184 Fi 10

Der mittlere in dem Endresultat für die Polhöhe zu befürch- tende Fehler, so weit er von unregelmässig wirkenden Ursachen herrührt, ist demnach

— 0,981”.

0,981”

= yo08

Etwas muss aber die Unsicherheit des Resultates allerdings grösser sein, da die Voraussetzung, dass sämmtliche Beobachtungs-

Gauss, Metlıode der kleinsten Quadrate. 12

= 0.120”.

178 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

fehler ohne Ordnung von einander unabhängig sind, nicht ganz richtig ist. Bei gleichnamigen Beobachtungen zu einer Culmination, und bei den gleichnamigen Culminationen an mehreren Tagen liegt nämlich nahe dasselbe Ablesungsresultat zu Grunde, und obgleich, bei der Ablesung durch Verniers, fast immer andere Theilstriche sprechend werden, deren unregelmässige Theilungsfehler also bei unserem Verfahren in dem mittleren Fehler einer Beobachtung 0,981” mit eingeschlossen sind, so ist doch natürlich, dass in den verschiedenen Gegenden des Limbus gewisse ungleiche Durch- schnittsfehler vorherrschen müssen. Jedenfalls sind aber dieselben sehr klein. Im Jahre 1826 habe ich mit vier vortrefflichen Mi- kroskopen von Repsold 30 Theilstriche von 12 zu 12 Grad mit äusserster Sorgfalt geprüft, wobei jeder Theilstrich fast 200 mal, in abgeänderten Combinationen, eingestellt wurde. Das Resultat ist, dass das Mittel der Fehler von zwei diametral entgegengesetzten Theilstrichen, A und A + 180°, soweit noch einige Regelmässigkeit zu erkennen ist, durch die Formel

— 1,23” cos (2 A -— 28° 28) — 0,22” cos (LA — 47° 56))

möglichst nahe dargestellt wird, dass die dann übrig bleibenden Fehler als regellos erscheinen, und die Quadratwurzel aus dem Mittel ihrer Quadrate —= 0,32” wird. Ich hatte mir vorgesetzt, diese Prüfung auf die doppelte Anzahl der Theilstriche auszudehnen;; allein bei der Geringfügigkeit der sich ergebenden Resultate scheint diese Untersuchung den grossen dazu erforderlichen Zeitaufwand nicht zu verdienen. Es bedarf keiner Erinnerung, dass der erste Theil des regelmässigen Fehlers — 1,23” cos (2A — 28° 28’) von selbst wegfällt, wenn, wie bei obigen Beobachtungen immer ge- schehen ist, alle vier Verniers abgelesen werden. Er enthält hin- gegen eine reelle Verbesserung, falls man die Theilung nur an zwei gegenüberliegenden Stellen abliest, wie ich gegenwärtig immer thue, seitdem ich mich mit bedeutendem Gewinn für die Feinheit der Ablesung, statt der Verniers zweier Repsold’scher Mikroskope bediene. | YA

Zieht man vor, g = (0 vorauszusetzen, so fällt die Polhöhe um 0,07” kleiner aus, und das Gewicht dieser Bestimmung wird — 84,1. Anderweitige, an einem anderen Orte anzuführende Be-

obachtungen scheinen übrigens den obigen Werth von g, dem

Zeichen und auch sehr nahe der Grösse nach, zu bestätigen, reichen

“

Nez

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona, 179

aber noch nicht hin, über einen so delicaten Gegenstand zu ent- scheiden.

Den Coefficienten / kann man aus vorliegenden Beobachtungen nicht bestimmen, ohne die Unveränderlichkeit des Collimationsfehlers während der Beobachtungen von 1824 vorauszusetzen. Erlaubt man sich diese Voraussetzung, so hat man 28 Gleichungen, deren gehörige Behandlung

po — 51° 31’ 47,8% mit dem Gewicht 60,9

f + 0,76

9 + 0,23 giebt. Da man gegenwärtig, durch Einstellen des Fernrohrs auf den Nadirpunkt, den Collimationsfehler jede Stunde mit bewunderns- würdiger Genauigkeit ohne Umlegen bestimmen kann*), so behalte ich mir weitere Prüfung dieses Gegenstandes vor.

18. Mit Vorbehalt der durch künftige weitere Untersuchungen noch auszumittelnden Correction, die wohl schwerlich eine halbe Secunde erreichen kann, setze ich daher die Polhöhe

in Göttingen für den Platz des Wassergefässes bei den Nordsternbeobachtungen . . . . . . 51° 31’ 47,90” für den Platz des Reichenbach’schen Meri- GEBETE, 20 0. ed 47,85 für den Platz des Zenithsectors . . . . 47,92

(welche letztere zur Reduktion der Declinationen der Zenithalsterne zu Grunde gelegt ist)

in Altona

für den Platz des Zenithsectors . . ... 53° 32° 44,42” für den Platz des Meridiankreises . . . 45,27.

19. Nach der trigonometrischen Verbindung der Sternwarten von Göttingen und Altona liegt letztere 115163,725 Toisen nördlich 7,211 Toisen westlich

*) Ich bediene mich dieses unschätzbaren Mittels, dessen Ausführbarkeit Bohnenberger zuerst gezeigt hat, seit zwei Jahren beständig.

12*

180 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

von jener. Diese Zahlen beziehen sich auf die Plätze der Meridian- ‚kreise; sie gründen sich auf den Werth der Dreiecksseite Hamburg — Hohenhorn 13841,815 Toisen, und diese auf die von Herrn Prof. Schumacher in Holstein im Jahre 1820 gemessene Basis. Da jedoch die Vergleichung der dabei gebrauchten Messstangen mit der Normal- toise noch nicht definitiv vollendet ist, so wird obige Entfernung in Zukunft noch in demselben Verhältniss abzuändern sein, wie die Basis selbst, welche Veränderung aber jedenfalls nur sehr gering sein kann. Der mittlere Breitengrad zwischen beiden Sternwarten

ergiebt sich danach — 57127,2 Toisen,

merklich grösser, als man nach den mittleren Werthen der in Frankreich und England gemessenen Grade hätte erwarten sollen.

2O.

Die hannoversche Gradmessung liefert also einen neuen Beitrag: zur Bestätigung der nicht mehr zu bezweifelnden Wahrheit, dass die Oberfläche der Erde keine ganz regelmässige Gestalt hat. Von dieser Unregelmässigkeit haben bereits die Anomalien bei den Theilen der französischen und der englischen Gradmessung Be- weise gegeben, noch stärkere die Anomalien bei den Polhöhen mehrerer Oerter in Italien. Bei der hannoverschen Gradmessung findet sich ausser der Anomalie zwischen Göttingen und Altona eine noch beträchtlich stärkere bei einem zwischenliegenden Dreieckspunkte, dem Brocken. Wenn man meine Dreiecke als auf der Oberfläche eines elliptischen Sphäroids liegend, dessen Dimen- sionen die von Walbeck aus der Gesammtheit der bisherigen Grad- messungen abgeleiteten sind, und welches nach unserer besten gegenwärtigen Kenntniss sich am vollkommensten an die wirkliche

Gestalt im Ganzen anschliesst (Abplattung en der dreihun- ’

dertsechzigste Theil des Erdmeridians —= 57009,758 Toisen), be- rechnet, und dabei von der Polhöhe von Göttingen = 51° 31’ 47,85” ausgeht, so findet sich die Breite

des Brockens = 51° 48° 1,85” von Altona = 53 3 50,79.

Während nun die astronomischen Beobachtungen die Polhöhe von Altona 5,52” kleiner gegeben haben, geben die von Herrn von Zach auf dem Brocken angestellten Beobachtungen die Polhöhe

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 181

dieses Punktes 10” bis 11” grösser*), ein Unterschied, von dem doch jedenfalls nur ein kleiner Theil dem Instrumente und den in der Rechnung gebrauchten Declinationen zur Last fallen kann. Die Vergleichung des Breitenunterschiedes zwischen Altona und dem Brocken mit der Krümmung, welche dem sich der Erde im Ganzen am besten anschliessenden Sphäroid entspricht, würde daher eine Abweichung von 16” geben.

Nach unserem Dafürhalten betrachtet man diesen Gegenstand aus einem falschen Gesichtspunkte, wenn man bei solchen Erschei- nungen immer nur von Localablenkungen der Lothlinie spricht, und sie also gleichsam nur als einzelne Ausnahmen ansieht. Was wir im geometrischen Sinn Oberfläche der Erde nennen, ist nichts anderes als diejenige Fläche, welche überall die Richtung der Schwere senkrecht schneidet, und von der die Oberfläche des Welt- meeres einen Theil ausmacht. Die Richtung der Schwere an jedem Punkte wird aber durch die Gestalt des festen Theils der Erde und seine ungleiche Dichtiekeit bestimmt, und an der äusseren Rinde der Erde, von der allein wir etwas wissen, zeigt sich diese Gestalt und Dichtigkeit als höchst unregelmässig; die Unregel- mässigkeit der Dichtigkeit mag sich leicht noch ziemlich tief unter die äussere Rinde erstrecken, und entzieht sich ganz unseren Be- rechnungen, zu welchen fast alle Data fehlen. Die geometrische Oberfläche ist das Produkt der Gesammtwirkung dieser ungleich vertheilten Elemente, und anstatt vorkommende unzweideutige Be- weise der Unregelmässigkeit befremdend zu finden, scheint es eher zu bewundern, dass sie nicht noch grösser ist. Wären die astro- nomischen Beobachtungen einer zehn- oder hundertmal grösseren Genauigkeit fähig, als sie gegenwärtig haben, so würden sie diese Unregelmässigkeit ohne Zweifel überall nachweisen.

Bei dieser Lage der Sache hindert aber noch nichts, die Erde im Ganzen als ein Revolutionssphäroid zu betrachten, von dem die wirkliche (geometrische) Oberfläche überall bald in stärkeren, bald in schwächeren, bald in kürzeren, bald in längeren Undulationen abweicht. Wäre es möglich, die ganze Erde mit einem trigono- metrischen Netze gleichsam zu umspinnen, und die gegenseitige Lage aller Punkte dadurch zu berechnen, so würde das idealische

*) Monatl. Corresp. B. X, S. 203. An einem Platze, der etwa 0,5” süd- licher liegt, als der Dreieckspunkt, fand dieser geschickte Beobachter aus 188 Beobachtungen von « Aquilae 51° 48° 12,12”. Aus Sonnenbeobachtungen fand er 51° 48° 11,17”.

182 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

Revolutionssphäroid dasjenige sein, auf welchem berechnet die Rich- tungen der Verticalen die möglich beste Uebereinstimmung mit den astronomischen Beobachtungen gäben. Wenn man gleich von diesem unerreichbaren Ideale immer weit entfernt bleiben wird, so leidet es doch keinen Zweifel, dass die künftigen Jahrhunderte die ma- thematische Kenntniss der Erdfigur sehr viel werden weiter bringen können. Die Vervielfältigung der Gradmessungen ist aber eigent- lich nur der Anfang dazu, woraus nur einzelne Resultate für eine kleine Anzahl in isolirten Linien liegender Punkte hervorgehen ; wie viel ergiebiger wird aber die Ausbeute sein, wenn diejenigen trigonometrischen Operationen, welche mit ausgesuchten Hülfs- mitteln in verschiedenen Ländern ausgeführt sind, in Verknüpfung kommen und sich zu einem grossen System abrunden. Vielleicht ist die Aussicht nicht chimärisch, dass einst alle Sternwarten von Europa trigonometrisch unter einander verbunden sein werden, da schon jetzt solche Verbindungen von Schottland bis zum adriatischen Meere und von Formentera bis Fühnen vorhanden, wenngleich bis- her nur theilweise öffentlich bekannt gemacht sind. Möchte nur dieser letzte Umstand mehr als bisher geschehen, beachtet, und kostbare Materialien, die der wissenschaftlichen Welt angehören sollten, dieser nicht entzogen, oder gar der Gefahr des Unterganges preisgegeben werden!

21.

Ein nicht uninteressantes Resultat giebt noch die Vergleichung der aus den Sectorbeobachtungen hervorgegangenen Sterndeclina- tionen mit älteren Bestimmungen, wo solche vorhanden sind. Von unseren 43 Sternen finden sich 27 in Piazzi’s und 13 in Bessel’s Bradley’schem Catalog. Hier folgt die Vergleichung unserer Be- stimmungen (1827), mit den Bradley’schen (1755) und Piazzi’schen (1800), nach Bessel’s neuer Bestimmung der Präcession reducirt; positive Zeichen bedeuten eine nördlichere Stellung aus unserer Bestimmung.

FREENET

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

183 Bezeichnung. Bradley.| Piazzi. Bezeichnung. Bradley.| Piazzi. 1 24 Canum + 0,2”’;+ 1,17]17| P. 15.39 — | 0,7 2, 83 Ursae — 1,5 — 2,0 [25 © Draconis +23,5”’+ 8,6 3 n Ursae — 2,4 — 2,3 |27| P. 16. 33 — 1 2,6 4 86 Ursae — 5,4 — 0,8 128| P. 16.56 — 1 2,6 6 P.13.289 — |— 1,3 [32|16 Draconis |+ 1,2 |— 3,7 7| 13 Bootis + 1,4/+ 2,4 [36| P. 16. 253 — 21 8 x Bootissg. | — 2,9 1— 2,2 |37| P. 16.291 — |+10,3 9 P.14.56 — |— 0,4 [38 P. 16.310 — |— 4) 10| © Bootis —30,6 —10,8 [39 P. 17.20 — |— 3,0 11| P. 14. 131 — + 7,4 140| P. 17. 38 — |— 29 12| P. 14. 164 — + 0,1 [41 74 Hereulis + 1,7/+ 0,7 13) 39 Bootismed.. + 4,8/+ 2,7 142 P. 17. 120 — |— 21 14 P. 14. 235 — |— 5,0 [43 $ Draconis |— 0,5 — 1,5 15) 44 Bootismed. + 1,9 + 1,1 | | IV. Breitenbestimmung der Sternwarte Seeberg.

Gleichzeitig mit meinen Beobachtungen in Göttingen und Altona wurden dieselben Sterne auf meine Aufforderung auch von Herrn Hansen, Director der Sternwarte Seeberg bei Gotha, an dem dortigen Ertel’schen zweifüssigen Meridiankreise beobachtet. Der sich daraus ergebende Breitenunterschied zwischen dieser und der Göttinger Sternwarte erhält ein noch erhöhtes Interesse durch den Umstand, dass erstere vermittelst einiger unter Leitung des Herrn Generallieutenants von Müffling gemessener Dreiecke mit dem han- noverschen Dreieckssystem verbunden ist.

Der Kreis wurde während der Beobachtungen einigemal um- gelegt, allein die Bestimmung des Collimationsfehlers wurde unab- hängig davon jeden Tag, und meistens jeden Tag zweimal, durch Einstellung auf den Nadirpunkt gemacht, welches schon oben er- wähnte Verfahren Herr /ansen im Herbst 1826 auf hiesiger Stern- warte praktisch kennen gelernt hatte. Die Ablesung geschah nicht mit Verniers, sondern mit Mikroskopen. Folgende Uebersicht ent- hält die Hauptresultate dieser Beobachtungen, indem die erste Columne die Bezeichnung des Sterns, die zweite die Lage des Kreises, die dritte die Anzahl der Beobachtungen, die vierte die von mir auf den Anfang des Jahres 1827 reducirte Zenithdistanz

184 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

(nördliche mit positiven Zeichen), die fünfte die Breite, welche aus den oben, S. 155/156, mitgetheilten Declinationen sich ergiebt, darstellt:

1| Ost 5 —1° 1’ 53,14”|50° 56’4,76"| 16 | Ost |5 | —1°42’ 19,87"|50° 56’ 6,55” West 4 52,80 4,42 West 5 17,05 3,73 2| Ost 5144 37 29,41 5,57 117 | Ost 5/+0 38 48,22 5,50 West 6 30,86 4,12 West! 5 48,79 | _ 4,93 3| Ost |51—0 45 19,00 5,20 118 | Ost |5 +1 38 59,63 6,24 West 7 17,70 3.90 West! 6 61,51 4,36 4| Ost 6!+3 38 50,38 5,17 119 |West 2/+3 41 30,38 4,49 West 6 51,05 4,50 |20| Ost |1,+3 33 50,19 4,11 ö| Ost 16 |+4 29 54,35 4,87 West 1 47,87 6,43 West! 6 54,30 4,92 |21| Ost |1/+1 58 31,74 5,35 6| Ost 16 |—4 20 26,87 6,01 West! 1 32,90 4,19 West) 4 25,92 5,06 122| Ost |1—4 39 61,37 6,07 7| Ost |6|—0 39 22,12 5,56 West 1 58,90 3,60 West 4 20,70 | 4,14 123 | Ost |1!+5 24 21,09 5,91 8| Ost 15/+1 40 1,41 | 6,06 West 1 22,88 4,12 West 4 3,24 | 4,23 |24 ‚West! 1/—0 33 26,54 5,95 9| Ost 5'+5 17 29,69 6,82 125 West] 1 +8 5 40,64 6,50 West 4 33,72 2,79 126 'West! 1—0 17 51,91 5,03 10| Ost 5/+1 43 6,51 5,54 127 |West! 11—4 35 46,53 3,57 West! 5 8,63 3,42 128 |West! 1/+2 44 9,48 3,93 11| Ost |5/+2 43 27,76 5,26 129 |West! 11+1 31 5,78 5,28 West! 4 28,89 4,13 | 30 |West! 2|+4 40 0,22 4,51 12| Ost |5|+2 2 48,89 6,77 131 |West! 11—4 57 58,28 4,13 West! 3 50,29 5,37 132 !West| 1i+2 18 59,76 3,88 13 | Ost |5 |—1 29 56,73 6,19 133 |West| 11—0 39 51,61 5,28 West! 5 56,64 6,10 134 |West! 1+6 9 34,85 2,94 14| Ost |5 —0 35 42,51. 5,00 135 ‚West! 11—3 59 15,56 4,09 West 3 42,84 5,33 136 |West| 2 1—4 6 42,83 4,84 15 | Ost |5 —2 36 14,46 6,93 137 |West! 11+6 0 36,97 5,38 West 4 12,88 5,35 138 |West! 1 1—1 53 16,75 3,84

Diese sechzig Resultate für die Breite haben nun freilich ungleiche Zuverlässigkeit; allein um die ihnen beizulegenden Ge- wichte ohne Willkür angeben zu können, müsste das Verhältniss des mittleren eigentlichen Beobachtungsfehlers zum mittleren Theilungs- fehler bekannt sein; ist dies Verhältniss wie 1 zu YO, so wird, wenn man die geringe den Declinationen noch anhängende Un- sicherheit nicht beachtet,

N

1+n® das Gewicht einer auf» Beobachtungen, die sich auf einerlei Theil- strich beziehen, beruhenden Bestimmung sein.

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 185

Nimmt man statt dieses Gewichts schlechthin » an, so wird

das Mittel aus den 206 Beobachtungen #30. Do: DI,

Inzwischen lassen die Beobachtungen erkennen, dass die Thei- lungsfehler vergleichungsweise beträchtlich grösser sein müssen, als an dem Aamsden’schen Zenithsector, während die eigentlichen Beobachtungsfehler eher noch etwas kleiner sein mögen. Bei jenem Verfahren werden also die auf einer grösseren Anzahl von Beob- achtungen beruhenden Bestimmungen vor denen, welchen nur eine oder zwei zu Grunde liegen, viel zu sehr bevorzugt.

Sobald man aber den Einfluss der Theilungsfehler berück- sichtigen will, darf auch nicht unbeachtet bleiben, dass die jedes- malige Bestimmung des Collimationsfehlers einen constanten von den Fehlern der dabei sprechenden Theilstriche abhängenden Theil involvirt. Es ist aber klar, dass derselbe auf die Polhöhe in ent- gegengesetztem Sinn wirkt, jenachdem der Kreis östlich oder west- lich sich befindet. Man wird daher die auf die verschiedenen Lagen ‚des Kreises sich beziehenden Beobachtungen von einander trennen, aus jeder Reihe, mit Anwendung des Gewichts ara ö für jede Be- stimmung, das Mittel berechnen, und zuletzt aus diesen beiden Mitteln das einfache arithmetische Mittel nehmen müssen.

In Ermangelung einer bestimmten Kenntniss von ©, ist diese Rechnung in den drei Hypothesen 9 = 0, 9 = 1, 9 =» ge- führt, woraus sich für die Polhöhe ergeben hat:

9 —= 0 = 1 Q) = ©

Kreis Ost 50°.50° 0,70.* | 00° 56° 5,69” | 50°%°56. 5,71” Kreis West 4,62 4,65 4,65

Polhöhe 50° 56° 5,18” | 50° 56° 5,17” | 50° 56° 5,18”

Man sieht also, dass die Berücksichtigung der strengeren Grundsätze das erste Resultat gar nicht merklich ändert, und dass man sich an die Zahl 50° 56’ 5,17” halten kann.

Bei diesen Rechnungen ist auf die Biegung des Fernrohrs noch keine Rücksicht genommen. Nach Herrn Hansen’s Angabe ist dieselbe im Horizont — 1,00”, und zwar von der beobachteten Zenithdistanz abzuziehen, oder nach unserer Bezeichnung f = — 1,00",

186 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

Man sieht, dass bei Berücksichtigung dieser Biegung die Polhöhe aus den nördlich vom Zenith culminirenden Sternen etwas grösser, aus den südlichen kleiner ausfallen, und, weil jene etwas über- wiegen, das Mittelresultat um 0,02” vergrössert werden wird. Der zweite Theil der Biegung, oder die Biegung bei verticaler Stellung, kann, da alle hier vorkommenden Zenithdistanzen nur klein sind, als eine constante Veränderung des Collimationsfehlers betrachtet werden, und wird also bei unserem Verfahren gerade ebenso, wie die Theilungsfehler der bei der Bestimmung von jenem sprechenden Theilstriche, von selbst eliminirt.

Wir haben demnach als Definitivwerth für die Polhöhe aus diesen Beobachtungen

DU 50 0,19. |

Die erwähnte trigonometrische Verbindung der beiden Stern- warten, nach den oben angeführten Dimensionen des Erdsphäroids berechnet, giebt den Breitenunterschied

35° 41,86”,

also mit der oben bestimmten Polhöhe von Göttingen, die der

Seeberger Sternwarte == DU. 00: 0.8095

Diese bezieht sich auf den Dreieckspunkt, nämlich das Centrum der Axe des Mittagsfernrohrs; das Centrum der Axe des Meridian- kreises liegt 1,168 Toisen, oder im Bogen 0,07” südlicher; die Polhöhe des letzteren Punktes ist also, aus Göttingen durch die trigonometrische Verbindung abgeleitet,

— 50° 56° 5,92”

oder 0,73” grösser, als aus den astronomischen Beobachtungen. Für den Längenunterschied folgt übrigens aus der trigono- metrischen Verbindung 47’ 9,20” im Bogen, oder 3” 8,61° in Zeit, sehr gut mit unserer Kenntniss aus astronomischen Beobachtungen übereinstimmend. Endlich folgt aus jenen Messungen das Azimuth der Dreiecksseite Seeberg—südliches Meridianzeichen bei Schwab- hausen 4,6” westlich, welches gleichfalls bei der nicht unbeträcht- lichen Anzahl der Zwischenpunkte, den Verschiedenheiten, die in den Angaben einiger Winkel der preussischen Messung vorkommen, und der Ungewissheit, ob der Dreieckspunkt sich genau im Meridian befand, wie eine gute Uebereinstimmung betrachtet werden kann.

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 187

Zusatz zu Artikel 20., S. 180.

Walbeck’s Bestimmung der Dimensionen des Erdsphäroids befindet sich in einer kleinen Abhandlung: De forma et magnitu- dine telluris, ex dimensis arcubus meridiani, definiendis, wovon aber nur die zwei ersten Bogen im Druck erschienen sind (Abo, 1819). Walbeck hat die peruanische, die beiden ostindischen, die franzö- sische, englische und die neuere lappländische Gradmessung dem Caleül unterworfen, und ist meines Wissens bisher der einzige, der dieses Geschäft nach richtigen willkürfreien Grundsätzen ausge- führt hat. Inzwischen hat er bei jeder einzelnen Gradmessung nur den ganzen Bogen, oder die an den Endpunkten beobachteten Pol- höhen, in Betracht gezogen, ohne die bei mehreren vorhandenen Zwischenpunkte zu berücksichtigen, und in der Rechnung ist er bei der ersten Potenz der Abplattung stehen geblieben.

Ich habe deshalb den durch mehrere Arbeiten bereits vortheil- haft bekannten Herrn Dr. Schmidt unlängst zu einer neuen Be- rechnung dieser sämmtlichen Gradmessungen veranlasst, welche er während des Abdrucks der letzten Bogen gegenwärtiger Schrift vollendet hat. Er hat dabei sowohl die höheren Potenzen der Abplattung, als die an allen Zwischenpunkten beobachteten Pol- höhen mit berücksichtigt, auch die hannoversche Gradmessung hinzugezogen, und, nach dem oben, S. 181, angedeuteten Prineip, dasjenige Ellipsoid bestimmt, auf, welchem die astronomisch beob- achteten Polhöhen, um mit den geodätischen Messungen in voll- kommene Uebereinstimmung zu kommen, der möglich geringsten Abänderung bedürfen, d. i. wo die Summe der Quadrate der hierzu erforderlichen Abänderungen ein Minimum wird. Das Resultat dieser Rechnung ist:

1

Abplattung. . . - 998,30 Dreihundertsechzigster Theil des Erdmeridians .57010,35 Toisen.

Die beobachteten Polhöhen an den 25 Punkten der sieben Gradmessungen, und ihre kleinsten zur vollkommenen Ueberein- stimmung mit den gefundenen Erddimensionen erforderlichen Ab- änderungen stellt folgende Uebersicht dar:

Peruanische Messung.

Ta „.... .I—J3 #& 30,83” | + 2,05” Cotehesqui. . .,+0 2 31,82 — 2,05

188 Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona.

Erste ostindische Messung. Trivandeporum . + 11° 44° 52,59” — 0,48”.

Paudree. . . , 13 19 49,02 | + 0,47 Zweite ostindische Messung. ; Pianss'..,:, s Ss 9 3839 | — 143° Putchapolliam . 10 59 48,93 | — 1,18 Dodagoontah. . . 12 59 59,91 | + 3,37 Namthabad ..| 3 6 064 1 —0,77 Französische Messung. Formentera . . 33 39 56,11 | + 3,9 Montjouy . . . 41 21 45,45 +2,81 Barcellona. . . 41 22 47,16 | + 1,07 Perpignan . . . 42 41 58,01 | — 3,67 Carcassonne . . 43 12 54,31 | — 0,9% Bvauz:: .\', Sy 46 10 42,19 | — 6,14 Pantheon . . . 48 50 48,94 — 0,17 Dünkirchen .. 51 2 874 +3,12

Englische Messung.

Dunnose. . . 560 37 781.|—1,73 Greenwich. . . 51 28 39,60 | + 1,00 Blenheim . . 51 50 27,50 | + 3,02

3 H

Arburyhill. . 2 62 13 27,79 |-+ 1,80 0

Clifton -. . . 53 27 31,59 | — 4,07 Hannoversche Messung.

Göttingen . . . | 51 31 47,85 | — 2,65

Altona ....| 53 32 45,27 | + 2,66 Schwedische Messung.

Mallöra ...5..4::, 65 31 31,06 | +1,40

Pahtavara.. ..| .67 8 5141 /—1,40.

Die Zahlen der letzten Columne sind nun keineswegs wie Fehler der astronomischen Beobachtungen zu betrachten, sondern sie sind die algebraische Summe dieser Fehler und der Unregel- mässigkeiten der Richtung der Verticale. Wenn man diese Ge-

Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona. 189

sammtabweichungen nach denselben Regeln, wie die zufälligen Fehler, behandelt, so findet sich die mittlere Abweichung 3,18”, und damit der mittlere zu befürchtende Fehler

in dem Nenner der Abplattung . . . . . . .12,5 Einheiten in dem Werthe des dreihundertsechzigsten Theiles des Erdmeridians. . . . . . . ... 5,0 Toisen.

Den sogenannten wahrscheinlichen Fehler mag man also auf 8 Einheiten bei dem Nenner der Abplattung, und auf 3 Toisen bei dem mittleren Breitengrade schätzen, und diese Fixirung unserer Begriffe über den Grad der Genauigkeit, welchen man der Be- stimmung der Dimensionen des Erdsphäroids durch alle bisherigen Breitengradmessungen zuzuschreiben berechtigt ist, hat man als ein wichtiges Resultat dieser verdienstlichen an einem anderen Orte ausführlich bekannt zu machenden Arbeit des Herrn Dr. Schmidt anzusehen.

VIII. Anzeigen.

Es (Göttingische gelehrte Anzeigen. 1821, Februar 26.)

Am 15. Februar wurde der Königl. Societät vom Herrn Hof- rath Gauss eine Vorlesung übergeben, überschrieben

Theoria Combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae, pars prior,

die eine der wichtigsten Anwendungen der Wahrscheinlichkeits- rechnung zum Gegenstande hat.. Alle Beobachtungen, die sich auf Grössenbestimmungen aus der Sinnenwelt beziehen, können, mit welcher Genauigkeit und mit wie vortrefflichen Werkzeugen sie auch angestellt werden, nie absolute Genauigkeit haben; sie bleiben immer nur Näherungen, grösseren oder kleineren Fehlern ausge- setzt. Nicht von solchen Fehlern ist hier die Rede, deren Quellen genau bekannt sind, und deren Grösse bei bestimmten Beobachtun- gen jedesmal berechnet werden kann‘; denn da dergleichen Fehler bei den beobachteten Grössen in Abzug gebracht werden können und sollen, so ist es dasselbe, als ob sie gar nicht da wären. Ganz anders verhält es sich dagegen mit den als zufällig zu betrachten- den Fehlern, die aus der beschränkten Schärfe der Sinne, aus man- cherlei unvermeidlichen und keiner Regel folgenden Unvollkommen- heiten der Instrumente, und aus mancherlei regellos (wenigstens für uns) wirkenden Störungen durch äussere Umstände (z. B. das Wallen der Atmosphäre beim Selen, Mangel absoluter Festigkeit beim Aufstellen der Instrumente) herrühren. Diese zufälligen Fehler, die dem Caleül nicht unterworfen werden können, lassen sich nicht wegschaffen, und der Beobachter kann sie durch sorgfältige Auf- merksamkeit und durch Vervielfältigung der Beobachtungen nur

EBEN RER ET NENNEN

Anzeigen. 191

vermindern: allein nachdem der Beobachter das seinige gethan hat, ist es an dem Geometer, die Unsicherheit der Beobachtungen und der durch Rechnung daraus abgeleiteten Grössen nach streng mathematischen Principien zu würdigen, und was das wichtigste ist, da, wo die mit den Beobachtungen zusammenhängenden Grössen aus denselben durch verschiedene Combinationen abgeleitet werden können, diejenige Art vorzuschreiben, wobei so wenig Unsicherheit als möglich zu befürchten bleibt.

Obgleich die zufälligen Fehler als solche keinem Gesetze folgen, sondern ohne Ordnung in einer Beobachtung grösser, in einer anderen kleiner ausfallen, so ist doch gewiss, dass bei einer bestimmten Beobachtungsart, auch die Individualität des Beobachters und seiner Werkzeuge als bestimmt betrachtet, die aus jeder ein- fachen Fehlerquelle fliessenden Fehler nicht bloss in gewissen Grenzen eingeschlossen sind, sondern dass auch alle möglichen Fehler zwischen diesen Grenzen ihre bestimmte relative Wahr- scheinlichkeit haben, der zu Folge sie nach Maassgabe ihrer Grösse häufiger oder seltener za erwarten sind, und derjenige, der eine genaue und vollständige Einsicht in die Beschaffenheit einer solchen Fehlerquelle hätte, würde diese Grenzen und den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit der einzelnen Fehler und ihrer Grösse zu bestimmen im Stande sein, auf eine ähnliche Weise, wie sich bei Glücksspielen, so bald man ihre Regeln kennt, die Grenzen der möglichen Gewinne und Verluste, und deren relative Wahr- scheinlichkeiten berechnen lassen. Dasselbe gilt auch von dem aus dem Zusammenwirken der einfachen Fehlerquellen entspringenden Totalfehler. Auch sind diese Begriffe nicht auf unmittelbare Be- obachtungen beschränkt, sondern auch auf mittelbare aus Beob- achtungen abgeleitete Grössenbestimmungen anwendbar. In der Wirklichkeit werden uns freilich fast allemal die Mittel fehlen, das Gesetz der Wahrscheinlichkeiten der Fehler a priori anzugeben.

Wie wir die Unzulässigkeit einer bestimmten Art von Be- obachtungen im allgemeinen abschätzen wollen, hängt zum Theil von unserer Willkür ab. Man kann dabei entweder bloss die Grösse der äussersten möglichen Fehler zum Maassstabe wählen, oder zu- gleich auf die grössere oder geringere Wahrscheinlichkeit der ein- zelnen möglichen Fehler mit Rücksicht nehmen. Das letztere scheint angemessener zu sein. Allein diese Berücksichtigung kann auf vielfache Weise geschehen. Man kann, wie es die Berechner bis- her gemacht haben, den sogenannten wahrscheinlichen (nicht wahr-

192 Anzeigen.

scheinlichsten) Fehler zum Maassstabe wählen, welches derjenige ist, über welchen hinaus alle möglichen Fehler zusammen noch eben so viele Wahrscheinlichkeit haben, wie alle diesseits liegenden zusammen; allein es wird weit vortheilhafter sein, zu diesem Zweck statt des wahrscheinlichen Fehlers den mittleren zu gebrauchen, vorausgesetzt, dass man diesen an sich noch schwankenden Begriff auf die rechte Art bestimmt. Man lege jedem Fehler ein von seiner Grösse abhängendes \Moment bei, multiplicire das Moment jedes möglichen Fehlers in dessen Wahrscheinlichkeit und addire die Produkte: der Fehler, dessen Moment diesem Aggregat gleich ist, wird als mittlerer betrachtet werden müssen. Allein welche Funktion der Grösse des Fehlers wir für dessen Moment wählen wollen, bleibt wieder unserer Willkür überlassen, wenn nur der Werth derselben immer positiv ist, und für grössere Fehler grösser als für kleinere. Der Verf. hat die einfachste Funktion dieser Art gewählt, nämlich das Quadrat; diese Wahl ist aber-noch mit man- chen anderen höchst wesentlichen Vortheilen verknüpft, die bei keiner anderen stattfinden. Denn sonst könnte auch jede andere Potenz mit geraden Exponenten gebraucht werden, und je grösser dieser Exponent gewählt würde, desto näher würde man dem Princip kommen, wo bloss die äussersten Fehler zum Maassstabe der Genauigkeit dienen. Gegen die Art, wie ein grosser Geometer den Begriff des mittleren Fehlers genommen hat, indem er die Mo- mente der Fehler diesen gleich setzt, wenn sie positiv sind, und die ihnen entgegengesetzten Grössen dafür gebraucht, wenn sie negativ sind, lässt sich bemerken, dass dabei gegen die mathema- tische Continuität angestossen wird, dass sie so gut wie jede andere auch willkürlich gewählt ist, dass die Resultate viel weniger ein- fach und genugthuend ausfallen, und dass es auch an sich schon natürlicher scheint, das Moment der Fehler in einem stärkeren Verhältniss, wie diese selbst, wachsen zu lassen, indem man sich gewiss lieber den einfachen Fehler zweimal, als den doppelten ein- mal gefallen lässt. |

Diese Erläuterungen mussten vorangeschickt werden, wenn auch nur etwas von dem Inhalt der Untersuchung hier angeführt werden sollte, wovon die gegenwärtige Abhandlung die erste Ab- theilung ausmacht.

Wenn die Grössen, deren Werthe durch Beobachtungen ge- funden sind, mit einer gleichen Anzahl unbekannter Grössen auf eine bekannte Art zusammenhängen, so lassen sich, allgemein zu

Anzeigen. 193

reden, die Werthe der unbekannten Grössen aus den Beobachtungen durch Rechnung ableiten. Freilich werden jene Werthe auch nur näherungsweise richtig sein, insofern die Beobachtungen es waren: allein die Wahrscheinlichkeitsrechnung hat nichts dabei zu thun, als die Unsicherheit jener Bestimmungen zu würdigen, indem sie die der Beobachtungen voraussetzt. Ist die Anzahl der unbekannten Grössen grösser als die der Beobachtungen, so lassen sich jene aus diesen noch gar nicht bestimmen. Allein wenn die Anzahl der unbekannten Grössen kleiner ist, als die der Beobachtungen, so ist die Aufgabe mehr als bestimmt: es sind dann unendlich viele Combinationen möglich, um aus den Beobachtungen die un- bekannten Grössen abzuleiten, die freilich alle zu einerlei Resultaten führen müssten, wenn die Beobachtungen absolute Genauigkeit hätten, aber unter den obwaltenden Umständen mehr oder weniger von einander abweichende Resultate hervorbringen. Aus dieser ins Unendliche gehenden Mannigfaltigkeit von Combinationen die zweck- mässigste auszuwählen, d. i. diejenige, wobei die Unsicherheit der Resultate die möglich kleinste wird, ist unstreitig eine der wich- tigsten Aufgaben bei der Anwendung der Mathematik auf die Naturwissenschaften.

Der Verfasser gegenwärtiger Abhandlung, welcher im Jahre 1797 diese Aufgabe nach den Grundsätzen der Wahrscheinlichkeits- rechnung zuerst untersuchte, fand bald, dass die Ausmittelung der wahrscheinlichsten Werthe der unbekannten Grössen unmöglich sei, wenn nicht die Funktion, die die Wahrscheinlichkeit der Fehler darstellt, bekannt ist. Insofern sie dies aber nicht ist, bleibt nichts übrig, als hypothetisch eine solche Funktion anzunehmen. Es schien ihm das natürlichste, zuerst den umgekehrten Weg ein- zuschlagen und die Funktion zu suchen, die zu Grunde gelegt werden muss, wenn eine allgemein als gut anerkannte Regel für den einfachsten aller Fälle daraus hervorgehen soll, die nämlich, dass das arithmetische Mittel aus mehreren für eine und dieselbe unbekannte Grösse durch Beobachtungen von gleicher Zuverlässig- keit gefundenen Werthen als der wahrscheinlichste betrachtet werden müsse. Es ergab sich daraus, dass die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers x einer Exponentialgrösse von der Form en“ proportional angenommen werden müsse, und dass dann gerade die- jenige Methode, auf die er schon einige Jahre zuvor durch andere Betrachtungen gekommen war, allgemein nothwendig werde. Diese

Gauss, Methode der kleinsten Quadrate. 13

194 Anzeigen.

Methode, welche er nachher besonders seit 1801 bei allerlei astro- nomischen Rechnungen fast täglich anzuwenden Gelegenheit hatte, und auf welche auch Legendre inzwischen gekommen war, ist jetzt unter dem Namen Methode der kleinsten Quadrate im allgemeinen Gebrauch, und ihre Begründung durch die Wahrscheinlichkeits- rechnung, sowie die Bestimmung der Genauigkeit der- Resultate selbst, nebst andern damit zusammenhängenden Untersuchungen sind in der T’heoria Motus Corporum Coelestium ausführlich ent- wickelt.

Der Marquis de Laplace, welcher nachher diesen Gegenstand aus einem neuen Gesichtspunkte betrachtete, indem er nicht die wahrscheinlichsten Werthe der unbekannten Grössen suchte, sondern die zweckmässigste Combination der Beobachtungen, fand das merkwürdige Resultat, dass, wenn die Anzahl der Beobachtungen als unendlich gross betrachtet wird, die Methode der kleinsten Quadrate allemal und unabhängig von der Funktion, die die Wahr- scheinlichkeit der Fehler ausdrückt, die zweckmässigste Combi- nation sei. |

Man sieht hieraus, dass beide Begründungsarten noch etwas zu wünschen übrig lassen. Die erstere ist ganz von der hypothe- tischen Form für die Wahrscheinlichkeit der Fehler abhängig, und sobald man diese verwirft, sind wirklich die durch die Methode der kleinsten Quadrate gefundenen Werthe der unbekannten Grössen nicht mehr die wahrscheinlichsten, eben so wenig wie die arithme- tischen Mittel in dem vorhin angeführten einfachsten aller Fälle. Die zweite Begründungsart lässt uns ganz im Dunkeln, was bei einer mässigen Anzahl von Beobachtungen zu thun sei. Die Me- thode der kleinsten Quadrate hat dann nicht mehr den Rang eines von der Wahrscheinlichkeitsrechnung gebotenen Gesetzes, sondern empfiehlt sich nur durch die Einfachheit der damit verknüpften Operationen.

Der Verfasser, welcher in gegenwärtiger Abhandlung diese Untersuchung aufs neue vorgenommen hat, indem er von einem ähn- lichen Gesichtspunkte ausgeht, wie de Laplace, aber den Begriff des mittleren zu befürchtenden Fehlers auf eine andere, und wie ihm scheint, schon an und für sich natürlichere Art, feststellt, hofft, dass die Freunde der Mathematik mit Vergnügen sehen werden, wie die Methode der kleinsten Quadrate in ihrer neuen hier gege- benen Begründung allgemein als die zweckmässigste Combination

Anzeigen. 195

der Beobachtungen erscheint, nicht näherungsweise, sondern nach mathematischer Schärfe, die Funktion für die Wahrscheinlichkeit der Fehler sei, welche sie wolle, und die Anzahl der Beobachtungen möge gross oder klein sein.

Mit dem Hauptgegenstande ist eine Menge anderer merkwür- diger Untersuchungen enge verbunden, deren Umfang aber den Ver- fasser nöthigte, die Entwickelung des grössten Theils derselben einer künftigen zweiten Vorlesung vorzubehalten. Von denjenigen, die schon in der gegenwärtigen ersten Abtheilung vorkommen, sei es uns erlaubt, hier nur ein Resultat anzuführen. Wenn die Funktion, welche die relative Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Fehlers ausdrückt, unbekannt ist, so bleibt natürlich auch die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler zwischen ge- gebene Grenzen falle, unmöglich: dessenungeachtet muss, wenn nur allemal grössere Fehler geringere (wenigstens nicht grössere) Wahrscheinlichkeit haben als kleinere, die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler zwischen die Grenzen — = und + x falle, nothwendig

.. u . . : ” YA 1 . grösser (wenigstens nicht kleiner) sein, als u wenn z kleiner

2

ist als mV 3, Er EEG

Ip’ wenn z grösser ist

als mV, wobei m den bei den Beobachtungen zu befürchtenden

mittleren Fehler bedeutet. Für z- = mV: fallen, wie man sieht,

beide Ausdrücke zusammen.

2. (Göttingische gelehrte Anzeigen. 1823, Februar 24.)

Eine am 2. Febr. der Königl. Societät von Hrn. Hofr. Gauss überreichte Vorlesung, überschrieben:

Theoria Combinationis observationum erroribus minimis obnozwiae, pars posterior,

steht im unmittelbaren Zusammenhange mit einer früheren, wovon

in diesen Blättern (1821, Februar 26.) eine Anzeige gegeben ist.

Wir bringen darüber nur kurz in Erinnerung, dass ihr Zweck war,

die sogenannte Methode der kleinsten Quadrate auf eine neue Art

zu begründen, wobei diese Methode nicht näherungsweise, sondern 13*

196 Änzeigen.

in mathematischer Schärfe, nicht mit der Beschränkung auf den Fall einer sehr grossen Anzahl von Beobachtungen, und nicht ab- hängig von einem hypothetischen Gesetze für die Wahrscheinlich- keit der Beobachtungsfehler, sondern in vollkommener Allgemein- heit, als die zweckmässigste Combinationsart der Beobachtungen erscheint. Der gegenwärtige zweite Theil der Untersuchung ent- hält nun eine weitere Ausführung dieser Lehre in einer Reihe von Lehrsätzen und Problemen, die damit in genauester Verbindung stehen. Es würde der Einrichtung dieser Blätter nicht angemessen sein, diesen Untersuchungen hier Schritt für Schritt zu folgen, auch unnöthig, da die Abhandlung selbst bereits unter der Presse ist. Wir begnügen uns daher, nur die Gegenstände von einigen dieser Untersuchungen, die sich leichter isolirt herausheben lassen, hier anzuführen.

Die Werthe der unbekannten Grössen, welche der Methode der kleinsten Quadrate gemäss sind, und die man die sichersten Werthe nennen kann, werden vermittelst einer bestimmten Elimi- nation gefunden, und die diesen- Bestimmungen beizulegenden Ge- wichte vermittelst einer unbestimmten Elimination, wie dies schon aus der Theoria Motus Corporum Coelestium bekannt ist: auf eine neue Art wird hier a priori bewiesen, dass unter den obwaltenden Voraussetzungen diese Elimination allemal möglich ist. Zugleich wird eine merkwürdige Symmetrie unter den bei der unbestimmten Elimination hervorgehenden Coefficienten nachgewiesen.

So leicht und klar sich diese Eliminationsgeschäfte im allge- meinen übersehen lassen, so ist doch nicht zu leugnen, dass die wirkliche numerische Ausführung, bei einer beträchtlichen Anzahl von unbekannten Grössen, beschwerlich wird. Was die bestimmte Elimination, die zur Ausmittelung der sichersten Werthe für die unbekannten Grössen zureicht, betrifft, so hat der Verfasser ein Verfahren, wodurch die wirkliche Rechnung, so viel es nur die Natur der Sache verträgt, abgekürzt wird, bereits in der T’heoria Motus Corporum Coelestium angedeutet, und in einer im ersten Bande der Commentt. Rec. Soc. R. Gott. befindlichen Abhandlung, Disquwisitio de elementis elliptieis Palladis, ausführlich entwickelt. Dieses Verfahren gewährt zugleich den Vortheil, dass das Gewicht der Bestimmung der einen unbekannten Grösse, welche man bei dem Geschäft als die letzte betrachtet hat, sich von selbst mit er- giebt. Da nun die Ordnung unter den unbekannten Grössen gänz-

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lich willkürlich ist, und man also welche man will, als die letzte be- handeln kann, so ist dies Verfahren in allen Fällen zureichend, wo nur für eine der unbekannten Grössen das Gewicht mit ver- langt wird, und die beschwerliche unbestimmte Elimination wird dann umgangen. |

Die seitdem bei den rechnenden Astronomen so allgemein ge- wordene Gewohnheit, die Methode der kleinsten Quadrate auf schwierige astronomische Rechnungen anzuwenden, wie auf die vollständige Bestimmung von Cometenbahnen, wobei die Anzahl der unbekannten Grössen bis auf sechs steigt, hat indess das Be- dürfniss, das Gewicht der sichersten Werthe aller unbekannten Grössen auf eine bequemere Art als durch die unbestimmte Elimi- nation zu finden, fühlbar gemacht, und da die Bemühungen einiger Geometer*) keinen Erfolg gehabt hatten, so hat man sich nur so geholfen, dass man den oben erwähnten Algorithmus so viele male mit veränderter Ordnung der unbekannten Grössen durchführte, als unbekannte Grössen waren, indem man jeder einmal den letzten Platz anwies. Es scheint uns jedoch, dass durch dieses kunstlose Verfahren in Vergleichung mit der unbestimmten Elimination in Rücksicht auf Kürze der Rechnung nichts gewonnen wird. Der Verfasser hat daher diesen wichtigen Gegenstand einer besonderen Untersuchung unterworfen, und einen neuen Algorithmus zur Be- stimmung der Gewichte der Werthe sämmtlicher unbekannten Grössen mitgetheilt, der alle Geschmeidigkeit und Kürze zu haben scheint, welcher die Sache ihrer Natur nach fähig ist.

Der sicherste Werth einer Grösse, welche eine gegebene Funktion der unbekannten Grössen der Aufgabe ist, wird gefunden, indem man für letztere ihre durch die Methode der kleinsten Quadrate erhaltenen sichersten Werthe substituirt. Allein eine bisher noch nicht behandelte Aufgabe ist es, wie das jener Be- stimmung beizulegende Gewicht zu finden sei. Die hier gegebene Auflösung dieser Aufgabe verdient um so mehr von den rechnenden Astronomen beherzigt zu werden, da sich findet, dass mehrere der- selben dabei früher auf eine nicht richtige Art zu Werke ge- gangen sind.

Die Summe der Quadrate der Unterschiede zwischen den un-

*) z, B. Plana’s. Siehe Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissen- schaften, Band VI, S. 258.

198 Anzeigen,

mittelbar beobachteten Grössen, und denjenigen Werthen, welchen _ ihre Ausdrücke, als Funktionen der unbekannten Grössen, durch Substitution der sichersten Werthe für letztere erhalten (welche Quadrate, im Fall die Beobachtungen ungleiche Zuverlässigkeit haben, vor der Addition erst noch durch die respectiven Gewichte multiplicirt werden müssen) bildet bekanntlich ein absolutes Minimum. Sobald man daher einer der unbekannten Grössen einen Werth beilegt, der von dem sichersten verschieden ist, wird ein ähnliches Aggregat, wie man auch die übrigen unbekannten Grössen be- stimmen mag, allezeit grösser ausfallen, als das erwähnte Minimum. Allein die übrigen unbekannten Grössen werden sich nur auf eine Art so bestimmen lassen, dass die Vergrösserung des Aggregates so klein wie möglich, oder dass das Aggregat selbst ein relatives Minimum werde. Diese von dem Verfasser hier ausgeführte Unter- suchung führt zu einigen interessanten Wahrheiten, die über die ganze Lehre noch ein vielseitigeres Licht verbreiten.

Es fügt sich zuweilen, dass man erst, nachdem man schon eine ausgedehnte Rechnung über eine Reihe von Beobachtungen in allen Theilen durchgeführt hat, Kenntniss von einer neuen Beob- achtung erhält, die man gern noch mit zugezogen hätte. Es kann in vielen Fällen erwünscht sein, wenn man nicht nöthig hat, des- halb die ganze Eliminationsarbeit von vorne wieder anzufangen, sondern im Stande. ist, die durch das Hinzukommen der neuen Beobachtung entstehende Modification in den sichersten Werthen und deren Gewichten zu finden. Der Verfasser hat daher diese Aufgabe hier besonders abgehandelt, ebenso wie die verwandte, wo man einer schon angewandten Beobachtung hintennach ein anderes Gewicht, als ihr beigelegt war, zu ertheilen sich veran- lasst sieht, und, ohne die Rechnung von vorne zu wiederholen, die Veränderungen der Endresultate zu erhalten wünscht.

Wie der wahrscheinliche Fehler einer Beobachtungsgattung (als bisher üblicher Maassstab ihrer Unsicherheit) aus einer hin- länglichen Anzahl wirklicher Beobachtungsfehler näherungsweise zu finden sei, hatte der Verfasser in einer besonderen Abhandlung in der Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissenschaften (1816, März u. April) gezeigt: dieses Verfahren, sowie der Gebrauch des wahrscheinlichen Fehlers überhaupt, ist aber von der hypothe- tischen Form der Grösse der Wahrscheinlichkeit der einzelnen Fehler abhängig, und musste es sein. Im ersten Theile der gegen-

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- wärtigen Abhandlung ist nun zwar gezeigt, wie aus denselben Datis

der mittlere Fehler der Beobachtungen (als zweckmässiger Maassstab ihrer Ungenauigkeit) näherungsweise gefunden wird. Allein immer bleibt hierbei die Bedenklichkeit übrig, dass man nach aller Schärfe selten oder fast nie im Besitz der Kenntniss der wahren Grösse von einer Anzahl wirklicher Beobachtungsfehler sein kann. Bei der Ausübung hat man dafür bisher immer die Unterschiede zwischen dem, was die Beobachtungen ergeben haben, und den Resultaten der Rechnung nach den durch die Methode der kleinsten Quadrate gefundenen sichersten Werthen der unbekannten Grössen, wovon die Beobachtungen abhängen, zu Grunde gelegt. Allein da man nicht berechtigt ist, die sichersten Werthe für die wahren Werthe selbst zu halten, so überzeugt man sich leicht, dass man durch dieses Verfahren allemal den wahrscheinlichen und mittleren Fehler zu klein finden muss, und daher den Beobachtungen und den daraus gezogenen Resultaten eine grössere Genauigkeit beilegt, als sie wirklich besitzen. Freilich hat in dem Falle, wo die Anzalıl der Beobachtungen vielemale grösser ist als die der unbekannten Grössen, diese Unrichtigkeit wenig zu bedeuten; allein theils erfordert die Würde der Wissenschaft, dass man vollständig und bestimmt über- sehe, wieviel man hierdurch zu fehlen Gefahr läuft, theils sind auch wirklich öfters nach jenem fehlerhaften Verfahren Rechnungs- resultate in wichtigen Fällen aufgestellt, wo jene Voraussetzung nicht stattfand. Der Verfasser hat daher .diesen Gegenstand einer besonderen Untersuchung unterworfen, die zu einem sehr merkwürdigen höchst einfachen Resultate geführt hat. Man braucht nämlich den nach dem angezeigten fehlerhaften Verfahren gefun- denen mittleren Fehler, um ihn in den richtigen zu verwandeln, nur mit

V nn -- 0 I. zu multipliciren, wo sc die Anzahl der Beobachtungen und oe die Anzahl der unbekannten Grössen bedeutet.

Die letzte Untersuchung betrifft noch die Ausmittelung des Grades von Genauigkeit, welcher dieser Bestimmung des mittleren

Fehlers selbst beigelegt werden muss: die Resultate derselben müssen aber in der Abhandlung selbst nachgelesen werden.

200 Anzeigen,

3.

(Göttingische gelehrte Anzeigen. 1826, September 25.)

Am 16. September überreichte der Herr Hofr. Gauss der König]. Societät eine Vorlesung:

Supplementum Theoriae combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae.

Bei allen früheren Arbeiten über die Anwendung der Wahrschein- lichkeitsrechnung auf die zweckmässigste Benutzung der Beob- achtungen, und namentlich auch in der Behandlung dieses Gegen- standes im fünften Bande der Commentationes recentiores, liegt in Beziehung auf die Form der Hauptaufgabe eine bestimmte Vor- aussetzung zu Grunde, die allerdings den meisten in der Aus- übung vorkommenden Fällen angemessen ist. Diese Voraussetzung besteht darin, dass die beobachteten Grössen auf eine bekannte Art von gewissen unbekannten Grössen (Elementen) abhängen, d. i. bekannte Funktionen dieser Elemente sind. Die Anzahl dieser Elemente muss, damit die Aufgabe überhaupt hierher gehöre, kleiner sein, als die Anzahl der beobachteten Grössen, also diese selbst abhängig von einander.

Inzwischen sind doch auch die Fälle nicht selten, wo die ge- dachte Voraussetzung nicht unmittelbar stattfindet, d. i. wo die beobachteten Grössen noch nicht in der Form von bekannten Funk- tionen gewisser unbekannter Elemente gegeben sind, und wo man auch nicht sogleich sieht, wie jene sich in eine solche Form bringen lassen; wo hingegen zum Ersatz die gegenseitige Abhängigkeit der beobachteten Grössen (die natürlich auf irgend eine Weise gegeben sein muss) durch gewisse Bedingungsgleichungen gegeben ist, wel- chen die wahren Werthe von jenen, der Natur der Sache nach, nothwendig genau Genüge leisten müssen. Zwar sieht man bei näherer Betrachtung bald ein, dass dieser Fall von dem anderen nicht wesentlich, sondern bloss in der Form verschieden ist, und sich wirklich der Theorie nach leicht auf denselben zurückführen lässt: allein häufig bleibt dies doch ein unnatürlicher Umweg, der in der Anwendung viel beschwerlichere Rechnungen herbeiführt, als eine eigene der ursprünglichen Gestalt der Aufgabe besonders angemessene Auflösung. Diese ist daher der Gegenstand der gegen- wärtigen Abhandlung, und die Auflösung der Aufgabe, welche sie als ein selbständiges von der früheren Abhandlung unabhängiges

\

Anzeigen. _ 201

Ganze giebt, hat ihrerseits eine solche Geschmeidigkeit, dass es sogar in manchen Fällen vortheilhaft sein kann, sie selbst da an- zuwenden, wo die bei der älteren Methode zu Grunde liegende Vor- aussetzung schon von selbst erfüllt war.

Die Hauptaufgabe stellt sich hier nun unter folgender Ge- stalt dar. Wenn von den Grössen v, v’‘, v” etc., zwischen welchen ein durch eine oder mehrere Bedingungsgleichungen gegebener Zusammenhang stattfindet, eine andere auf irgend eine Art ab- hängig ist, z. B. durch die Funktion « ausgedrückt werden kann, so wird eben dieselbe auch auf unendlich viele andere Arten aus jener bestimmt, oder durch unendlich viele andere Funktionen, statt u, ausgedrückt werden können, die aber natürlich alle einerlei Resultate geben, insofern die wahren Werthe von », v‘, v” etc., welche allen Bedingungsgleichungen Genüge leisten, substituirt werden. Hat man aber nur genäherte Werthe von », v’, ©” etc., wie sie Beobachtungen von beschränkter Genauigkeit immer nur liefern können, so können auch die daraus abgeleiteten Grössen auf keine absolute Richtigkeit Anspruch machen: die verschiedenen für « angewandten Funktionen werden, allgemein zu reden, ungleiche, aber was die Hauptsache ist, ungleich zuverlässige Resultate geben. Die Aufgabe ist nun, aus der unendlichen Mannigfaltigkeit von Funktionen, durch welche die unbekannte Grösse ausgedrückt werden kann, diejenige auszuwählen, bei deren Resultat die möglich kleinste Unzuverlässigkeit zu befürchten bleibt.

Die Abhandlung giebt eigentlich zwei Auflösungen dieser Auf- gabe. Die erste Auflösung erreicht das Ziel auf dem kürzesten Wege, wenn wirklich nur eine unbekannte von den Beobachtungen auf eine vorgeschriebene Art abhängige Grösse abzuleiten ist. Allein die nähere Betrachtung dieser Auflösung führt zugleich auf das merkwürdige Theorem, dass man für die unbekannte Grösse genau denselben Werth, welcher aus der zweckmässigsten Combi- nation der Beobachtungen folgt, erhält, wenn man an die Beob- achtungen gewisse nach bestimmten Regeln berechnete Verän- derungen anbringt, und sie dann in irgend eine beliebige Funktion, welche die unbekannte Grösse ausdrückt, substituirt. Diese Ver- änderungen haben neben der Eigenschaft, dass sie allen Bedingungs- gleichungen Genüge leisten, noch die, dass unter allen denkbaren Systemen, welche dasselbe thun, die Summe ihrer Quadrate (inso- fern die Beobachtungen als gleich zuverlässig vorausgesetzt wurden)

202 | | Anzeigen,

die möglich kleinste ist. Man sieht also, dass hierdurch zugleich eine neue Begründung der Methode der kleinsten Quadrate gewonnen wird, und dass diese von der Funktion « ganz unabhängige Aus- gleichung der Beobachtungen eine zweite Auflösungsart abgiebt, die vor der ersten einen grossen Vorzug hat, wenn mehr als eine unbekannte Grösse aus den Beobachtungen auf die zweckmässigste Art abzuleiten ist: in der That werden die Beobachtungen dadurch zu jeder von ihnen zu machenden Anwendung fertig vorbereitet. Nur musste bei dieser zweiten Auflösung noch eine besondere An- leitung hinzukommen, den Grad der Genauigkeit, der bei jeder einzelnen Anwendung erreicht wird, zu bestimmen. Für dies alles enthält die Abhandlung vollständige und nach Möglichkeit: einfache Vorschriften, die natürlich hier keines Auszuges fähig sind. Eben- so wenig können wir hier in Beziehung auf die, nach der Ent- wickelung der Hauptaufgaben, noch ausgeführten anderweitigen Untersuchungen, welche mit dem Gegenstande in innigem Zusam- menhange stehen, uns in das Einzelne einlassen. Nur das eine merkwürdige Theorem führen wir hier an, dass die Vorschriften zur vollständigen Ausgleichung der Beobachtungen immer einerlei Resultat geben, sie mögen auf die ursprünglichen Beobachtungen selbst, oder auf die bereits einstweilen amvollständig ausgeglichenen Beobachtungen angewandt werden, insofern dieser Begriff in der in der Abhandlung näher bestimmten Bedeutung genommen wird, unter welcher, als specieller Fall, derjenige begriffen ist, wo mit den Beobachtungen schon eine zwar vorschriftsmässig ausgeführte, aber nur einen Theil der Bedingungsgleichungen berücksichtigende Ausgleichung vorgenommen war.

Den letzten Theil der Abhandlung machen ein paar mit Sorg- falt ausgearbeitete Beispiele der Anwendung der Methode aus, die theils von den geodätischen Messungen des Generals von Krayenhoff, theils von der vom Verfasser selbst im Königreich Hannover aus- geführten Triangulirung entlehnt sind, und die dazu dienen können, sowohl die Anwendung dieser Theorie mehr zu erläutern, als auch manche dergleichen Messungen betreffende Umstände überhaupt in ein helleres Licht zu stellen.

Die trigonometrischen Messungen gehören ganz besonders in das Feld, wo die Wahrscheinlichkeitsrechnung Anwendung findet, und namentlich in derjenigen Form Anwendung findet, die in der gegenwärtigen Abhandlung entwickelt ist. Gerade hier ist es

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Regel, dass mehr beobachtet wird, als unumgänglich nöthig ist, und dass so die Messungen einander vielfältig controlliren. Nur durch die Benutzung der strengen Grundsätze der Wahrscheinlich- keitsrechnung kann man von diesem Umstande den Vortheil ganz ziehen, der sich davon ziehen lässt, und den Resultaten die grösste Genauigkeit geben, deren sie fähig sind. Ausserdem aber geben jene Grundsätze zugleich das Mittel, die Genauigkeit der Messun- gen selbst, und die Zulässigkeit der darauf gegründeten Resultate zu bestimmen. Endlich dienen sie dazu, bei der Anordnung des Dreieckssystems, aus mehreren, unter denen man vielleicht die Wahl hat, das zweckmässigste auszuwählen. Und alles dieses nach festen sicheren Regeln, mit Ausschliessung aller Willkürlichkeiten. Allein sowohl die sichere Würdigung, als die vollkommenste Benutzung der Messungen ist nur dann möglich, wenn sie in reiner Autenthi- cität und Vollständigkeit vorliegen, und es wäre daher sehr zu ‚wünschen, dass alle grösseren auf besondere Genauigkeit Anspruch machenden Messungen dieser Art immer mit aller nöthigen Aus- führlichkeit bekannt gemacht werden möchten. Nur zu gewöhnlich ist das Gegentheil, wo nur Endresultate für die einzelnen gemesse- - nen Winkel mitgetheilt werden. Wenn solche Endresultate nach richtigen Grundsätzen gebildet werden, indem man .durchaus alle einzelnen Beobachtungsreihen, die nicht einen durchaus unstatt- haften Fehler gewiss enthalten, dazu concurriren lässt, so ist der Nachtheil freilich lange nicht so gross, als wenn man etwa nur diejenigen Reihen beibehält, die am besten zu den nahe liegenden Prüfungsmitteln passen, welche die Summen der Winkel jedes Drei- ecks und die Summen der Horizontalwinkel um jeden Punkt herum darbieten. Wo dies durchaus verwerfliche Verfahren angewandt ist, sei es aus Unbekanntschaft mit den wahren Grundsätzen einer richtigen Theorie, oder aus dem geheimen Wunsche, den Messungen das Ansehen grösserer Genauigkeit zu geben, geht der Maassstab zu einer gerechten Würdigung der Beobachtungen und der aus ihnen abzuleitenden Resultate verloren; die gewöhnliche Prüfung nach den Winkelsummen in den einzelnen Dreiecken und bei den Punkten, wo die gemessenen Winkel den ganzen Horizont um- fassen, scheint dann eine Genauigkeit der Messungen zu beweisen, von der sie vielleicht sehr weit entfernt sind, und wenn andere Prüfungsmittel, durch die Seitenverhältnisse in geschlossenen Poly- gonen oder durch Diagonalrichtungen, vorhanden sind, werden diese

204 Anzeigen,

die Gewissheit des Daseins von viel grösseren Fehlern verrathen. Umgekehrt aber, wenn die zuletzt erwähnte Voraussetzung statt- findet, und das Ausgleichen der Beobachtungen in Beziehung auf die Prüfungsmittel ohne die sicheren Vorschriften der Wahrschein- lichkeitsrechnung versucht ist, wo es immer ein Herumtappen im Dunkeln bleiben muss, und grössere, oft viel grössere, Correctionen herbeiführt, als nöthig sind, kann leicht dadurch ein zu ungünstiges Urtheil über die Messungen veranlasst werden. Diese Bemerkungen zeigen die Wichtigkeit sowohl einer hinlänglich ausführlichen Be- kanntmachung, als einer auf strenge Prineipien gegründeten mathe- matischen Combination der geodätischen Messungen: sie gelten aber offenbar mehr oder weniger bei Beobachtungen jeder Art, astrono- mischen, physikalischen u. s. w., die sich auf das Quantitative be- ziehen, insofern die Mannigfaltigkeit der dabei stattfindenden Um- stände zu wechselseitigen Controllen Mittel darbietet.

4.

(@öttingische gelehrte Anzeigen. 1809, Junius 17.)

T'heoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium. Auctore Carolo Frid. @auss. Hamburgi, 1809. Sumtibus Frid. Perthes et J. H. Besser. XII S. Vorrede, 228 S. Text und 20 S. Tabellen nebst einer Kupfertafel. gr. Quart.

Zu der schärferen Ausfeilung der Elemente eines Himmels- körpers hat man nicht die möglich kleinste Zahl von Beobachtun- gen, sondern so viele, als nur zu Gebote stehen, anzuwenden. Wie man sich dabei zu verhalten habe, lehrt der dritte Abschnitt. Hier war der Ort, die Haupt-Momente von einer für jede Anwendung der Mathematik auf die Körperwelt höchst wichtigen Frage zu entwickeln, wie Beobachtungen und Messungen, die bei der Un- vollkommenheit unserer Sinne und Werkzeuge unvermeidlich immer mit Fehlern, wenn auch noch so geringen, behaftet sind, am zweck- mässigsten zur Festsetzung von Resultaten zu combiniren sind. Die Grundsätze, welche hier ausgeführt werden, und welche von dem Verfasser schon seit 14 Jahren angewandt, und von dem- selben schon vor geraumer Zeit mehreren seiner astronomischen Freunde mitgetheilt waren, führen zu derjenigen Methode, welche auch Legendre in seinem Werke: Nouwvelles methodes pour la deter-

-

nn

Anzeigen. 205

mination des orbites des cometes, vor einigen Jahren unter dem Namen Methode des moindres carres aufgestellt hat: die Begrün- dung der Methode, welche von dem Verfasser gegeben wird, ist diesem ganz eigenthümlich. Eine weitere Ausführung hat man von demselben in der Folge zu erwarten.

5.

(Göttingische gelehrte Anzeigen. 1810, December 13.)

Am 25. November übergab Herr Prof. Gauss der Königl. Societät der Wissenschaften eine Vorlesung:

Disquisitio de elementis elliptieis Palladis ex oppositionibus annorum 1803, 1804, 1805, 1807, 1808, 1809.

Die Berechnung des vierten Systems von Elementen ist nach den Grundsätzen geführt, die in dem 3. Abschnitt des 2. Buches der Theoria motus corporum coelestium entwickelt sind, und die vorliegende Abhandlung giebt auch hierzu mehrere Zusätze, die hoffentlich den Astronomen nicht unwillkommen sein werden. Zuerst eine bequeme Berechnung der Differential-Aenderungen der heliocentrischen Länge und der geocentrischen Breite aus den Diffe- rential-Aenderungen der einzelnen Elemente. Sodann ein eigenes Ver- fahren, die unbekannten Grössen dem oben erwähnten Grundsatze gemäss zu bestimmen. Sind nämlich w, w’, ww” etc. die vorgege- benen linearen Funktionen der unbekannten Grössen p, q, r etc., und soll das Aggregat w* + w” + w’”” + etc. ein Kleinstes werden, so erhält man leicht so viele lineare Gleichungen, als unbekannte Grössey sind, aus denen diese durch Elimination bestimmt werden müssen. Diese Elimination ist aber, wenn die Anzahl der unbekannten Grössen etwas beträchtlich ist, eine äusserst beschwerliche Arbeit, und zwar deswegen, weil jede der Gleichungen alle unbekannten Grössen enthält. Herr Prof. Gauss hat diese Arbeit sehr bedeutend ab- gekürzt; denn obgleich er die Auflösung auch auf so viele lineare Gleichungen, als unbekannte Grössen sind, zurückführt, so sind diese Gleichungen so beschaffen, dass nur die erste alle unbekannten Grössen enthält, aber die zweite von p, die dritte von p und g, die vierte von p, q und r frei ist u. s. w., daher die Bestimmung der

206 Anzeigen.

unbekannten Grössen in der umgekehrten Ordnung nur noch wenige Mühe macht. Ausserdem hat diese Methode noch den Vortheil, dass man den kleinsten Werth von 20” + w” + w”” + etc. im voraus angeben, und so die Vergleichung desselben mit dem nachher be- rechneten, wenn in ze, zo’, ww” etc. die für die unbekannten Grössen gefundenen Werthe substituirt werden, zu einer Controlle der Rechnung benutzt werden kann.

Bemerkungen.

Zu S. 24 bis 27. Die nicht vorhandene Gleichungsnummer (6) fehlt auch in der Originalausgabe ebenso wie in dem Abdruck der T’heoria Combinationis in Gauss’ Werken, Band IV.

Zu 8, 92. Obwohl eine deutsche Uebersetzung der T’heoria motus corporum coe- lestium von C. Haase bereits seit 20 Jahren vorliegt, haben wir der Con- formität wegen den aufgenommenen dritten Abschnitt des zweiten Buches nochmals übersetzt und darauf erst eine Vergleichung mit Haase’s Ueber- tragung vorgenommen,

Zu S. 99. Nach Gauss’ Werken, Band VII, S. 288/289, findet sich bei Art. 176. die handschriftliche Aufzeichnung von Gauss:

Hätten die Hypothesen H, H’ an sich (d. i. vor dem Eintreten von E oder. vor erlangter Kenntniss von diesem Eintreten) ungleiche Wahrscheinlichkeiten u, w' gehabt, so wird man ihnen, nach der Erscheinung von E, Wahrschein- lichkeiten beilegen müssen, die den Produkten uh, wh’ pro- portional sind.

Zu S. 102. In Bezug auf das Integral

+ © y % — h?2 12 em ar =- —

macht Gauss in v, Zach’s Monatlicher Correspondenz, Band XXI, S. 280,

folgende Bemerkung:

Dass Euler schon das Theorem gefunden hat, woraus der schöne, von mir Laplace beigelegte Lehrsatz, sehr leicht abgeleitet werden kann, fiel mir selbst schon früher ein, als aber die Stelle, Art. 177., schon abgedruckt war; ich wollte es aber nicht unter die Errata setzen, weil Zaplace wenigstens das obige Theorem doch erst in der dort ge-

brauchten Form aufgestellt hat. Vergl. auch Gauss’ Werke, Band VII, S. 280 und S. 289/290,

208

Bemerkungen.

Zu 8. 134, Zeile 3v.o. Nach Gauss’ Werken, Band IV, S. 144, findet sich neben

Zu 8. 148. Die Chronometerbeobachtungen sind 1824 bei Gelegenheit der von der

Zu 8,

dem Satz:

‚Zwischen denselben Grenzen wollen wir allgemein den Werth des Integrals

Sy(z)a” de durch K® bezeichnen, die handschriftliche Berichtigung: Oder vielmehr, das Integral /y(x)a”dz zwischen den Grenzen 2 = O bis x = © soll durch = Ko bezeichnet

werden.

englischen Admiralität veranstalteten Expedition zur chronometrischen Bestimmung der Längenunterschiede zwischen Altona, Bremen, Helgoland und Greenwich ausgeführt worden. Näheres, auch in Betreff der Re- duktion der von Gauss nicht berechneten Chronometer, siehe in den Astro- nomischen Nachrichten, Band V, 8. 225.

166, Zeile 16 v.o. In der Originalausgabe des Breitenunterschiedes u. s. w, steht — 0,012” an Stelle von + 0,012”. Die Nachrechnung hat aber die Richtigkeit des + Zeichens ergeben, in Uebereinstimmung mit den Zahlen- werthen 3,75” (8. 164, Zeile 14 v. u.) und 3,76” (8. 166, Zeile 20 v. o.).

Ausserdem sind von uns, zumeist in Folge der fast überall durchgeführten

Controll- oder Nachrechnungen, noch einige andere Druckfehler aufgedeckt worden, welche unmittelbar im Text verbessert sind.

Einige Abweichungen gegen die Originale haben wir uns nur insofern

erlaubt, als veraltete Schreibweisen im Texte sowohl wie in den Formeln dem gegenwärtigen Gebrauche gemäss verändert sind, indem z. B. y(x) statt px, x” statt zx u. 8. w. gesetzt wurde.

Die Herausgeber.

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