P / ey Uu i " M l » d y » et "n ! ] D 2 ^ "m " 6 M. m MOON " Je ul LO n à , " T I o n MES " E l d n à E. i D DUM! T ES y i 1 Du M nM m " Dn "M " E C HTRLEETE 2E ü u ME POL ' mE ERU ! E . J | BST AE "n PNE | iub ET ] PM T "M M E [ n um ; p ; a | : Lo — e. Mt jo ED OW Mia Ub D | IESENMN! ANT ( N y ur j PIENE. PE Bn aW m" mI n2 ^ 2 " Mp Nn LOEERES, uU LP EMT edo H NUIT ; » VN EC M L^ ] ' bim I H E" 1 1 E ! m u n^ NT f (d M EUM EDU s — ! , / e- " P , ! b B. nf CUM d ut 1 "T EE y l P. V MS Hn na NW " EN. M ! pw ] ] n 4. n MEM i - ng wc $ i T ] l mum" j id ii i " » "D H pur y D pm D ,WM PC (X DECI [^ Pd z r TIBLE rYE.I 1 ] M wp * , 5 —. wr C Fs - Mods m UTRUM "TN ! PAVXS mm IN 5 " ^ LE n E E - Li E i Do »' 4 r "- » ) 4C » E ü E. ' l2 m J m mw us wo U ATE )j d ] i / A F ] 28 : " [€ ] p. n TED mo ua L ITEM | L T "- 4 : d Ó 8 ER | E l M EL | ] nb | ETT d AS. uM " 4l di LI Joa E - 4 "n E. " E 4 Y P 'g ; D "n 29 n | n Ww | 5b. "a 4U E DA iu - TS í Muss * À "T p in , En Agam" Bs A 1 e T FB uus *odu WE A^. AT -^es IC J "b 3 M! Kul I "n h *. Vi &: Fas MU 1 wl L bs Lu P - NM » mE " pu D FN zh d ————' a a ] endi "2 | i 4 E. m Le | ) — vip deep pu 0 n isque, s qmi edt - "M da ee" ,» Mii ! i ub Fo " | D T M uu i "uem | nd in T "^1 Vi H" ei , $4 " "" bars T : — m "4 ! | i ! "4 mura M 9 Ww L et — ] p "r. , Í T. ] 1 2 BEL is ILen vu e" LE e my ! LS ! 9 L P — eu I p i y [ AL TAX KI : COT AU] Ra 49A f p " j E Dm J " LA " , "oM a» ,9?i ento ELE ! ] ribi LL n T" Ü ] I ! ! " n "t Nn UNE LITT "N i ' ! ! TUM E ! J u m PNG u lii ] TD .a5 E (2v lm S 2. 2 57 - we I" " m— T ] Mt J ! e n «s E MI Be , NU ] ] " n ! i I [1 " - 1 qm D n i | V | TE wo E 6o vM |. e r2 pw i T. Y " , ! Ó A & Uu di e" z D OR E l t , , "TEE ] y - "m E 4 ! OT E ru -— TL uU dd IE /— ER U P 1i! NA CAT. d? "" ' ui MN oue |J - Q d E D P- Bm ] '." [ JU 4 D ] ri L u- " ! -A BT PU MF n nd —^ m ; " re s a Met v E di UB 20 Dow ; Lom i d Lug Tub NI , E [ e s b y "A SAEI "A k h. td J M » n b " ! EN «d. Un. À *" S on uP 7. "d 1 E p mI» p - dao ^ - XD diis -— P w- - B EL - RN L^ im E". wc ES uu j | "- MET im LONE "^N v". j 16 "LÀ WW *Mge»b- E gun * | "n " u ] B i 2 P^ 4 Li | | m ] ib. ES T i IRI , Á ] ] á " m: m | -— - —Óm— - EE | -— 1 De ] TONS — aa OE - LX UU i , L] | m am m b "— , tu ) »- y] m F ' a - um m a i 2 k. n ^. & JJ NA À. IER | j " , le " E [ B ( 4 129. a * » PTT rn L. . nr T IT dn | » " 1 " 5 A13 r A A qDATM- BM: ED DOmOWTHAREMATOR IUMCIT MUNINENEMMMM [ "Y 3 ^ D E " E Y "v DNE T D " um & AJ ES CE NE V. h n hit ya uu m l -— P i i WT mm. La "wo Ae dA ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE pro Anno MDCCLXXXT. PARS PRIOR. PSEERT.ROPOLI TYPIS ACADEMIAE SCIENTIARVM MDCCLXXXIV. g* "ME a tad d P af IE futs udi 'Arr(t TE "3 PU ! m WA "n TR TNT "Ü OUI CAM Uu , "NN id JP T IALA qm "ai. d e i SAWATLIOSONTET E p. Pu AUNT. e ones nihii ni: CO) ADOS chiA e | PANE 34 [2 WC P ES z AFER WA 7e 'EERBAXSREZ: NO EN ditus edes gs cans cues cs ies etos Qs gl q'ACOB LE ————— HISTOIRE DE L'ACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES. MDCCLXXXI. Janvier Juin. avec trois planches de figures, VOYAGES académiques - - — - - Pag. 3. MOL E o cio iu Chad s. Précis-de. la vie e» des ouvrages de M. Jean Antoine Güldenftidt - - - - 9. ME'TEOROLOGIE. | Leitre de. l'Acadéimie | Eleclorale des | Sciences. de Manbeim " - - - T5. »ts Hyver 2 IV. aT Hyver de x 380 à x781 - - u Exiraits des obfeioations météorologiques jaues en divers eudroits de la Rufie - - K MACHINES. Rapport d» éclaircifemens fur un Cabeflan de nouvelle conflvuclion: de linvention de M. Eckhard , 2 lufage de la marine — - - - - OUVRAGES, Machines c» Inventons. prefcntées ou communiquées à. l'Académie, pendant le cours du premier Sémeflre de Année 1781 38. 49. ACTA ACADEMIAE SCIENTIARVM IMPERIALIS PETROPOLITANAE ad Annum MDCCLXXXI. Pars prior. Cum tabulis XL. aeri incifis. MATHEMATICA LEONH. EVLER. Nova meibodus integrandi for- mulas differentiales rationales, fine futfid.o quaniitalum. imaginariarum - - - -—— -—- De dupli genefi tam. epicycloidum. quam bypocyeloidum - E - à —— —— De «uris eI MI in fAperficig «Qui veClj ducendis - fe V. qf LEONH. EVLER. De miribilibus propricta'ibus enciarum , quae im euolut;one. binomii ad pote- flatem. quam.unque euectà occurrunt | -.— - ANDR. IOH. LEXELL. Soe/uio problematis geo- metric ex doctrina fpbaericorum — - - NICOLAVS FVSS. Disquifilio Analytico - geome- - trica de variis ' fpeciebus linearum | curuarum fingulari proprietate praediiarum - - —- STEPH. RVMOVSKI. Metibodus invefligandi in- tegrale. aequationis dp(x-p)(nu—ss)-3-ds(nn-- p! -.-ps--pps)—o - PHYSICO-MATHEMATICA LEONH. EVLER. De ofillationibus minimis funis libere fuf;enfi | - - TER - — —— De periurbaiione motus chordarum ab caium [oudere oriunda — - : - - STEPH. RVMOVSKT. | Meibodus exattior. declina ijonem acus magneiicae obfeiuandi — - - ANDR. JOH. LEXELL. Seluio problemais me- cbanidi - : s - PHYSICA CASP, PRIFDR. WOLFTF. De ordine fibrarum musculayium cordir, — Differtetio fecunda: De jéx'u. carillagineo. cordis; fiue de fils carii- lagineo - e(Jeis. eorwnque in bafi cordis diftri- buii0ne " - E - (38 Pag. 7e 112, i27, fe]. 157. 178. 19r. 196. *x, VI — y9 J.G. GEORGI. Examen cbemivum adipis porcinae. Pars aitera. : - - - JE. KOELREVTER. Verbasca noue bybrida BASIL. ZOUIEW. | Anarricbas pantberinus. | Ruffis Kycau&a, cy&Ka - - - P. S. PALLAS. Felis manul, noua fpecies afiatica JOAN. LEPECHIN. Iris Güldeuflaediiana e ASTRONOMICA LEONH. EVLER. De perturbatione motus. plane- tarum et cometarim : - - JACQ. ANDRÉ MALLET. Obfervations &» car- culs de la Comóte de 1719 - - - A. J. LEXELL. — So/ution d'une quefton aftroromique PETR. INOCHODZONW. Breuiarium obferuationum aftronomicarum pro dceterininando fliiu geogra- pbhico celebris - vrbis atque. porius. Cbevfoni anno 1782 inflitutarum - - —— —— Obferuationes. aftrronomicae pro flabilienda pofiione vrbis Cbarkosv. anno x83 inflitutae Pag. 25$. 249. 27I. 278. 292. 297. 341. 35I. 267. 375. COR- CORRIGENDA. Loco pag. 289. 230. 235. 292. 293. 253. 296. lege 273. 274. 275. 276. 2'77. 2'78. 280. pon [2202 E [: -— — —— -———— HISTOIRE D E L'ACADÉMIE IMPÉRIALE DES S EINER SCLE.S, Hifoire de 13981 P. £.— a E d dup tho. Ay | n » | | ; ; AL MS Weg n ! | ER M , oc*34 (aiam Mos ; i | d e D | : $ Á H n: : : LT EE v j dias " P » ce ETÀ d "PON y it Ping es *«-. | à i-r ; " a i die SI la | AL. *4 B "n T o i I ^ M ' n 5 ' , [* na ? 1 ^ 329 Lr HL DI l - E. " ^e | | * t evo 3 & ES , " EI uid " 1 k | ' ? LES ) * Brux LE L Li B M LH A u " . H ut AMT M A ? : i4 4 5 - p" E J I ] - v E * | D A | " - , í À - E | 1 [3 í à * . it i k | | d x (m [] ur ' ; Pie 4. e VIMUS fx MM rd d OXOXOX XO XOXOOX OX X XX X ; 1 XX X EON x XX Xn, NS i P" Oder delli. AUR ORC 5 Soo NCC: HISTOIRE DE Ll'ACADÉMIE. MDCCLXXXI Janvier —— Juin. le Chambellan 4e Domafcbnef, Dire&eur de l'Aca- . démie avoit, pendant le cours de ce femefítre, formé divers proJets de voyages académiques: deux en ont été exécutés et ont eu quelque fuccés: nous allons les rap- porter en omettant tous les détails qui ne fauroient inte- refíer nos lecteurs. M. de Domafcbnef préfenta d'abord à. SA M A. JESTÉ LIMPÉRATRICE le Projet de trois nouvel- les expéditions aftronomiques, deftinées à déterminer la pofition géographique de plufieurs lieux importans de l'Empire, Ce projet avoit déja été dreffé en 1778 par un comité compoíé d'Académiciens, que le Directeur a- voit nommé & confulté fur les moyens de perfe&ionner les cartes géographiques de la Ruíle. a 2 L'Au- n HisTOiRE Si. tót que l'Augufte Prote&rice des Sciences &. des Arts eut. pzis connoiffance de. ce projet utile &. important; Elle le figna: Sa munificeuce afigna. en. méme temps une fomme d'argent confidérable pour fubvenir aux frais de cette entreprife. L'Académie en fut informée vers le milieu du mois de Mars, & clle rcgut avec-la. plus. refpectueufe. re- connoiffance cette nouvelle marque de la bienfaifance dis- tinguée dont SA MAJESTÉ l'bonote, Mais il fe préfenta d'abord un grand inconvénient dans l'exécution de ce projet: quelque bon quil auroit ét5 en 1778, oü. il a été congu, il' fe trouva,, qu'il feroit presqu' inutile de le faüivre. en. 1781 & i782, vü que la trop petite élévation de la Planete Jupiter, furtout dans les provinces boréales de la Rufüe, le défaut des e- clipies du Soleil & de la Lune & le trop petit nombre d'occaltations des étoiles fixes par la Lune, rendroient le voyage des Afironomes abfolument infructucux: il falloit ou abandonner cotiérement l'entreprife pour le préfent. & la remettre à deux ou trois ans, ou ne íbivre ce projet ap- prouvé qu'en partie, en n'envoyant d'abord qu'un feul Aftro- nome dans les provinces les plus méridionales de l'Empire, oü Jupiter malgré fa grande déclinaifon auftrale conferve en- core affés d'élévation pour permettre à l'Obfervateur de faifir avec précifion les momens des immerfions & émer- fions de fes fatcllites. ^" L'Académie crut ne devoir pas différer de fe con- former à la volonté de fa grande Protectrice & elle eut recours au dernier expédient: elle arréta en conféquence que M. le Prof. Inobod;of avec le Géodéfifle Tfcberno?. parti- roient HISTOIRE. 5 roient inceffamment vers le Sud: qu'ils fe rendroient d'abord à Orel, enfuite à Négin & de là à Loubny, pour déter- miner la longitude des ces trois villes par un nombre (uf- fifant d'obfervations: que de cette maniere ils m'arrive roient à Cherfon, qui étoit l'endroit le plus méridional de leur expédition, qu'en 1782; oü ils s'arréteroient pour en déterminer la longitude, jusqu'à ce que la diminution de la Déclinaifon. auftrale de Jupiter les mettroit en' état de fe rapprocher du Nord, en retournant par Charkov, Kour-k, Tanbow et Kalouga, dont ils détermineroient la pofition. Ce nouveau Plan füt approuvé: l'Académie donna à M. Inobodfof une inftruction formelle & lui fournit tous les inítrumens dont il eut. béfoin: enfin l'Académi- cien partit avec fon aide encore avant la fin du mois de Mai, muni des ordres Impériaux pour tous les Gouverne- mens par lesquels il fut obligó de paffer. 1l envoya déja en. Septembre les obfervations qu'il avoit faites à Orel, & s'appercevant quii pouvoit trés-bien fe paffer d'un aide, PAcadémie rappella fur fa repréfentation le Géodé- fite Tíchernoi, qui reprit fes fonctions au Département géographique. Presqu'en méme temps partit aufi M, l'Adjoint Zouytf que M. de Domafcbnef avoit engagé à vifiter les provinces méridionales de l'Empire & à aller jusqu'à Cher- fon. Ce voyage fe fit aux fraix de l'Académie, & M. Zouyef regut une Inítru&ion détaillée relative aux obfer- vations d'hiftloire naturelle & de phyfique, dont il fut principalement charge: Quoique cette inflru&ion füt re- a 3 ftreinte 6 HISTOIRE. flreinte aux états de la Ruffie: il fe préfentérent dans [a fuite quelques occafions favorables, dont M. Zouyef pro- fita, pour faire une excurfion en Crimée & un tour de Cherfon à Conflantinople. Le Chan Souverain de la Crimée ayant demandé un Minéralogue expert qui fe rendroit auprés de lui & lui appreudroit à déterrer & à exploiter les tréfors ca: chés dans fes états; le choix tomba (ur M. l'Agjoint 7oi- feenkof & SA MAJESTÉ L'IMPÉRATRICE voulut bien y donner Son confentement. M. Moifeenkof fut en confe- quence expédié aux dóápens du Chan, & l'Académie crut devoir en profiter: elle le chargea de fes commiffions & lui donna une inftruction, dans laquelle lui furent indiqués les principaux objets de fon attention & de fes recherches. M. Moifeenkof partit, mais il ne parvint que jusqu'à Moscou: là il fut attaqué d'une maladie violente & mourut. M. le Prof. Pallas avoit obtenu la permi(fion d'ac- compagner. S. E. Mr. le Comte .4A/exaudre de Siroganof dans un voyage que celui-ci íe propofoit de faire à fes terres en Sibérie: Il pouvoit dans cette courfe rendre des fervices importans à l'Académie & ramaffer pour fon Ca- binet d'hiftoire naturelle, tout ce qu'il trouveroit le mé- riter. Le Dire&eur écrivit dans cette vüe au Collége Im- périal des miues & le pria de vouloir bien ordonner aux prépofes des minieres & fonderies que M. Pa//as aura .oc- cafion de vifiter dans fon voyage, qu'ils lui accordaffent tous les fecours qu'il leur demauderoit, M. Pa//a$ partit avec le Comte Svroganof pendant les vacances de la mois. fon : HYISTOIRE ri fon: mais étant arrivé à Moscou il fentit fa fanté ébran- lée par le mauvais. temps & les fatigues du voyage: il füt donc obligé de fe féparer du Comte, de rétablir fa fanté & de retourner à St. Pétersbourg, oü il revint au com- mencement du Septembre. M, de Domafcbnef fit lui-méme deux abfences: la premiére au commencement de l'année n'étoit que de fix femaines, & l'Académie eut ordre de s'adreffer pendant cet intervalle à fon Honoraire M. le Comte ./exandre de Siroganof, Sénateur, Confeiller - privé & Chevalier de plufieurs ordres,..que SA MAJESTÉ avoit nommé pour recevoir de l'Académie les ouvrages & rapports qui doi- vent Lui étre préfentés. L'autre abfence étoit de plus longue durée: M. 4e Domafcbnef demanda & obtint de SA MAJESTÉ L'IMPE- RATRICE la permiffion de faire un voyage à Cherfon: il partit à la fin du mois de Mai, & aprés avoir fait un tour en Crimée, il revint à St. Pétersbourg vers ja fin du mois de Novembre, L'Académie s'adreffa encore pen- dant cette abfence à fes Honoraires, Mr. le Comte 4e Siroganof, & aprés le départ de celui-ci, à M. le Grand- Cbambellan, Confeiller privé acuel & Chevalier de Scbouvalof. £ HISTOIRE. M. Eric Laxmaun, Profeffeut en Economie & Chy- mie, ayant quitté l'Académie pour fe rendre à Nerfcbins & y occuper une place de Confeiller. de la Chancellerie des Mines, avec le rang de Confeiller de Cour, fon nom a été transporté dans la Lifle dcs Aífociés externes. Mais une perte réelle qué Académie a faite au commencement de cette aunée, c'eft la mort de M. Gzl/den- fiádt, un de fes plus dignes membres. Quoiqu'enlevé à la fleur de fon áge, il avoit fi bien mis à profit les an nées de fa carriére, que fa mémoire mérite d'étre trans- mife à la poftérité. Précis r——— Bá —Güà (id € premium RRRRRRRUEEEERLE Lond rer € M— HISTOLRE 9 nuUa REQmaneelE M mU Re uetstui S précis de la vie & des ouvrages de Mon- fieur Sfeau Antoine Cüldenfládt. ean Antoine. Güldenfládt, Do&eur en Médecine, Profes- feur d'Hiftoire naturelle & Membre de diverfes So- ciétés favantes, ràquit à Riga le 26 d'Avril 1745. Son pere 4nioine Güldenflàádi étoit Secrétaire du grand Cons fifoire Impérial & enfuite Affefleur de la Cour de Juftice à Riga. Sa mere Doroibée étoit fille unique de SJaques de Virgin, Bourguemaitre à Pernau. Le jeune GaiZenfládt regat les premiéres inftru&tions de fon pere, qui étoit également capable de lui former Pefprit & le coeur. 1l fit de fi grands progrés, qu'au bout de peu d'années il fut en état d'entrer en. premiere au Lycée de Riga. Le Receur & Pafteur. défunt Loder lui enfeigna les langues & d'autres connoiffances utiles avec beaucoup de fuccés. En 1i758, n'ayant pas encore treize ans accomplis, il perdit fon pere & fut abandonné à lui méme. La mére fuivit fon époux en 1761 & le jeune Gz/denfládt fut dans la méme année déclaré majeur à feize ans. Il vint en Juiliet 1765 à Berlin & y fut Hiftroire de x 78x P. LI. b bien- 10 HISTOIREÉE. bientót aprés recu au nombre des étudians du Collége de Medecine. D] eut le bonheur. dy trouver les guides les plus habiles en. Mrs. Muizel, Gleditfcb. & Gerbard. | Ayant puifé dans ces fonrces, il fe rendit à Franctort fur l'Oder pour y étendre fes connoiffances & fut jugé digne de re- cevoir le degré en Docteur en Médecine dans fa 22* an- née, le 31 Décembre 13567. La Société des Curieux de la nature de la méme ville l'avoit aggregé au nombre de íes membres le 5 du méme mois. Presque auffitót aprés il fe préfenta pour lui une conjoncture des plus favorables. SA MAJESTÉ L'IMPÉ- RATRICE »npE RUssiE ordonna qu'on fit choix de Savans propres à parcourir les Provinces de Son vafte Empire pour y faire des obíervations & des découvertes qui eus- fent principalement pour obj:t PHiftoire naturelle. L'A- cadémie lmpériale des Sciences, inftruite des talens du jeune. Médecin, l'invita à étre vn de ces doctes Miffio- naires. M. Ga/denfládt fe rendit à cette invitation & ar- riva à St, Pétersbourg en. Avril 1768. D'abord il füt de- füiné à vifiter le Gouvernement d'Aftrachan; mais diverfes circonftances apportcrent du changement à ce plan. Vers le milieu de Juin :de la méme année il fe. mit en route avec le caractére d'Adjoint de l'Académie; il s'arréta à Moscow jusqu'en Mars 1769, & de là, continuant fa route par Wo- ronefích, Zaritzin & Aftrachan, il parvint à la forteraffe de Kislar, frontiere de la Ruffie fur le fleuve Térek, aprés avoir fouffert en voyage des froids extraordinaires pour la faifon & le climat, De là en fuivant les bords du fleuve fusdit & de ceux qui portent les noms de 'Kunbe- lij; de Sounícha, d'Ak(ai & de Koiía, il examina divers bains HISTOIRE. ir bains chauds & des fources de naphte, qui offroient des objets remarquables, & il vifita le cóté Nord- Eft des monts Caucafes. En Février 1771, il viot dans l'Offetie, ditríi& des Alpes Caucafiennes, oü il s'occupa entr'autres chofes de Phiftoire ancienne des peuples de ces contrées & compofa des vocabulaires mizdfchegéfique & offetique: ce qui lui fit. découvrir des traces anciennes de Chrittia- nisme, Pendant ce temps-là il fut déclaré le 8 Avril membre ordinaire de l'Académie lImpériale & Profeffeur d'Hidoire naturelle. En Mai il retourna aux bains chauds fitués fur le 'Térek, & trouva moyen de joindre aux ob- fervauons chymiques qu'il avoit déja faites fur ces bains, des effais pratiques dont le fuccés répondit parfaitement à fon attente. En Juillet & en Aoüt il eut des occafions trés-favorables de s'initier aux connoiffances politiques & phyfiques du petit Kabarda & du diftrié&t Nord- Ouett du Caucafe, habité par les Dugones, Le 'Taufültan Arslan- beg, lun des Princes les plus confidérables du Kabarda, & (íon coufin Dewletuqua Kelemet le conduifirent. eux- mémes de lieu en lieu. ll arriva enfin, au mois de Sep- tembre en Géorgie & il y eut le x5 Octobre une audi- ence folemnclle du Tsar Héraclius, qui lui fit l'accueil le plus gracieux; & dans la fuite, aprés quelques fervices qu'il avoit rendus comme Médecin à la famille de ce Prince, i] en recut les fecours les plus propres à le faire parvenir au but principal de fon voyage. li fuivit méme Héraclius dans l'expédition militaire qu'il fit au-delà du fleuve Kur, ce qui le conduifit le 14 Novembre à Teflis, capitale de la Géorgie, ville mal bátie & encore plus ba mal x2 HISTOIRE mal faine, Il y féjourna livré principalement à des re- cherches pbyfiques, jusqu'au r3 Février 1772; aprés quoi il alla avce Héraclius en Kachetie, oi il s'arreta pen- dant tout le mois de Mars. En Mai il parcourut le Pro- vivces. Turcomanniques. ou 'Terckmentziques, fituées au midi de Teflis, accompagné de PEriftaw | David, un des principaux & des plus puiffans feigneurs de la Géorgie , qu'il avoit. guéri d'une maladie. — En Juin il vit encore une partie des Alpes Caucafiennes & "entra le *7 Juillet dans le territoire de Salomon, "Fsar d'Imerétte, qui fur lannonce de fon arrivée, avoit envoyé au-devaut de lui fon fils unique, le Tsarevitfch Alexandre, agé de dix ans; enfuite il lui donna audience à Sechartali au. fomrnet des Alpes Caucafiennes mitoyennes, oü il tenoit fa cour em été. — Enfuüite M. Gizldezfládt traverfa le diftrict de Rad- fcha, la baffe Imerétte, lcs confins de la Mingrélie & de la Gourie, la partie orientale de PImerétte, & la moyennc Géorgie. Enfin aprés avoir effuyé plufieurs danzers, dans des chemins oü les voyageurs font Journellement expofés, & evité en particulier celui de tomber entre les mains d'un Corps de 300 Offetins qui le guettoient fur les bords du Térek, il en rapporta des decouvertes inté- reffantes relatives à l'hiftoire naturelle & à celle de plu- fieurs peuples für lesquels on n'avoit encore eu que les connoiffances les plus vagues & les plus incertaines, Ea Novembre il fe rendit à Mosdoc & deli à Kislar. — IE paffa Phyver à completter les notices qui pouvoient en- core étre imparfaites fur les Nations du Caucafe, & par- ticuliéremcut fur les Légiens. Wn. le HISTOIRXE. 13 Le défordre de fa fanté Pobligea d'aller en Avril 1993 auX bains nommés Petersbad. En Juin il accom- pagna un Usden ou Noble Kabardin, à la fuite du Prince de la méme nation. Kuryok Tararcbanow , fur la route en delà de la Má'ke, & vifita le grand Kabarda; d'oü il tourna vers. le Kuma oriental & les montagnes Befchtau , qui forment la partie. antérieure la plus élevée du Cau- cafe; il fouilla dans les ruines de Madfchar, le long du flenve Kuma, ót l'on trouve des monumens qui viennent plutót des Mahométans. que. des. Madíchares ou. Hongrois; en Juillet il étoic à Tícherkask fur le. Don, . H. fit de là un efpece de digrefion jusqu'à Afow pour voir les di- verfes embouchures du Don & les cÓ:es voifines de la mer d'Afows ce: qui le conduifit en Novembre à Kre- mentfchuk, capitale da Governement de la nouvele Rus- fie, oà il paffa l'hyver, & employa une parüe de l'été fuüivant de 1774 à divers voyages dans ce Gouvernement, 1l venoit de fe mettre en chemin pour la Crimée, lors- que le 20 Juillet il fut rappellé par un ordre lmpérial, auquel il obéit en repaffant par Krementfchuk, & en füi- vant les frontieres de PUkraine, .d'oà il fit uu. tour à Bachmut, puis par Kiew & Serpuchov il vint le 20 Dé- cembre à Moscon; & le 2 Mars 1775 il arriva heureu- ícrnent avec.ía fuite. & fes effets à St. Pétersbourg, Pendant.fes voyages en 1770 la Société libre éco- nomique de St, Pétersbourg l'avoit requ au nombre de fes affociés: celle, des amis fcrutateurs de. la nature de Berlin eun avoit faüt autant en 1774, «X depuis en 1779 il fut encore ageregé à la Société Electorale de Mayence. | De- puis (ou rétour fes principales occupations furent de mct- b 3 tre í4 HISTOIRE tre en ordre fes propres mémoires & d'en faire autant par rapport au Journal du feu Prof. Gmelin, qui avoit fait un voyage femblable au fien. À l'xception de quel- ques défcriptions & pieces détachées inférées dans les Col- le&ions de l'Académie Impériale des Sciences, dans fes Al- manachs & dans le Journal de St. Pétersbourg, M. Gülden- Jfiádt n'avoit encore rien publié de fon voyage; mais fes manüfcripts exiftent; ils ont été confiés à fon favant con- frére le célébre Prof. Pallas & le monde tant favant que politique ne tardera pas de jouir du fruit de fes travaux. Mr. Gáldenfládt avoit envoyé fucceffivement à l'Académie les plus intéreffantes de fes remarques, accompagnées de Cartes & de Deffins, le tout en bon ordre & pour la plus grande partie en état d'étre publié: il ne s'agit que de rédiger les Obfervations fcientifiques; & à cct égard on fe conformera réligieufemeut à fes vües, fur lesquelles il s'étoit fouvent & fuffifamment expliqüé. Les écrits qui lui avoient déja acquis beaucoup de réputation, font les fuivans: Differtatio de theoria virium corporis humani primiti- varum. 'Théfe inaugurale íoutenue à Francfort fur l'Ordre en 1767. Mémoire fur les produits de Ruffie propres pour fou- tenir la balance du. commerce extérieur toujours favorable, À St. Pétersbourg 1777. Discours lu dans l'afemblée publique pour le Jubilé de l'Aca- démie; on y trouve des preuves convainquantes de létendue des connoiffances flatiftiques de l'Au- teur par rapport à l'Empire de Rufüe. Ce Dis- €ours a été traduit en allemand & en ruffe. Ab- HISTOIRE 15 aMbbandlung von den Hàfen am. Afovfcben, fcbwarzen und weiffen Meere. Anférée dans le Journal! de St. Pé- tersbourg & traduite en ruffe dans P'Almanach his- torique & géo2raphique de 1776. AMbbandlung von den Háfen am Kafpifcben Meere avec une Carte: aufífi dans le Journal füsdit & en ruffe dans PAlmanach de 1777. (Geograpbifcbe , cbymifcbe und. medieintifcbe Befcbreibung der àm Aflracbanifchen Gouvernement am Terek Fluffe ge- legenen "warmen Báder: traduite en rue & iníerée dans PAlmanach de 1758. Geograpbifcbe, biftorifcbe und. flatiflifche Nacbricbten von der neuen Grenzlinie. des Ruffifoben Reicbs. zwifcben dem Terek. Fluffe und | dem | Afoswifcben Meere; avec une Carte. Dans l'Almanach. de 1779. - Gedarkem. über. eine. zwifcben Rufsland und Deutfibland auf der Donaw und dem. fcbwarzen Meere zu eróf- mende Handlung: à YVOccafion de la. pré(ence de l'Empereur JOSEPH II. lorsque S. M. daigna ho- norer l'Académie de fa vifite: inféré de méme que les mémoires précédens dans le Journal de St, Pétersbourg.. Befcbreibung des Desman oder der Bifamratze. Dens les mémoires de la focieté des amis fcrutatcurs de la Nature à Berlin. Cutre plufieurs Défcriptions inférées dans les Commen- taires & les Actes de l'Academie lImpériale des Sciences, En 16 HISTOLITR-ÉE. En 1r7805, la Societé écónomique libre fui. con- féra la Préfidence qu'il garda jusqu'à fa mort. M, Gldenfládt practiquoit la Médecine avec autant de plaifir que de fuccés, & il poflédoit à un haut degré toutes les qualités d'un bon médecin: il avoit autant de douceur que de fermeté, une expérience fíufhfante & un coeur fenfible: mais ce font aufli ces excellentes qualités qui nous l'ont arraché. 11 régnoit une ficvre maligne dans quelques maifons de fa connoiffance, dont il venoit de guérir fept malades, lorsqu'il en fut attaqué lui-méme. ll fuccomba enfin à la violence du mal, le 2535 Mars 1781, dans fa 56^ année, univerfellement regretté. | On a vu combien il le méritoit par fon favoir; i| en étoit encore plus digne par fes vertus, MÉ- HISTOIREFE. 13 eS SEE Sum eranc eos nes Cnm TS DIS Ut MÉTEOROLOGIE. Lettre de l'Académie Electorale des Sciences de Manheim .à l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg. Academiae Imp. Scientiarum Petropolitanae Academia Elect. Theodoro- Palatina. felicitatem. A Sereniffimo Principe Ele&ore noftro inflitutam nuper effe Academiae huius fuae claí(ífem novam, meteoro- logicam nempe, quae inftrumenta harmonica ad collig.n- das obferuationes, inter fe facile comparabiles, per omnes terrae partes mittit, ex adiun&o hisce litteris monito, Viri amplifimi, perfpicictis.. Ad ftudii & laboris nottri focietatem cum jam iam Vos effemms inuitaturi, acceptas a Cl. Eulero veftro litteras Aítronomus Eleet. Chriflianus Mayerus nobiscum commurvicauit, ex quibus Vos de in- flituto boc, ad publicam vtilitatem :am luculenter fpec- tante edoctos, amicas nobis manus offerre, eumque in fi- nem ampliorem rei expofitiohem petere, laeti intellexi- mus. Vnde enim plus opis quam a Collegio Scientia- rum laude primario expecemus? Obferuationum | nottra- rum gcnus et modus, quae penitius noffe cupitis, in eo, quod fupra diximus, monito, prolixe exponuntur. Cum Hifleire de x 78x P. I. c autem, 18 HT 5 '1r-0 1 R E. autem, quae in(tituti noftri ratio eft, de inflrumentorum harmonia potiffimum agatur, ea, quae Sereniffimi funda- toris noftri iuffu fumtibusque diftribuimus, vna cum breui eius modi, quo confe&a funt, defcriptione quamprimum vobis mittemus, abfolutiorem defcriptionem ad ephemeri- dum noftrarum meteorologicarum volumen primum iuxta moniti paragraphum XVIII refervantes. Poterit illuftriffüna Academia imperialis, fi ita ei vifum füerit, inftrumenta ad hoc exemplum paranda, aec dele&is Imperii Ruffici locis collocanda curare. An col- lecas inde obferuationes fingulari opere ipía quotannis edere, aut nobiscum communicare velit, vt vna cum no- ftris in lucem prodeant, hoc fapientiae eius et ftudio, re- linquimus. Vt vero, quae in(lrumentis noftris Petropoli inftitutae fuerint, obferuationes annuatim nobis mittantur, id enixe rogamus. His fi aliae quaedam, de quibus in monito (6$. 5. 9. ro. r3) fermo eít, adiungerentur, res ficret nobis multo gratiffima. Si quid porro erit, Viri praeftantiffimi, quod a nobis defideretis, ad id omne promtos nos femper para- tosque habebitis. Valete. Dedimus Manhemii III. idus lanuarii 178r. L. B. de Hobenbaufen, Stengel. Hemmer. Hyver HESTOLR-—E. 19 (mig uA UU IRE SEE P Hyver de 1780 à i781, fuivant le nouveau ftile. | neigea pour la premiere fois le 26 Septembre 1780, & pour la derniere fois le 25 Mai 1781. L'intervalle entre ces deux termes eít de 24r jours. ». Y géla pour la premiere fois le 27 Septembre 1750: Therm, 152^, Barom. 28. 12, ciel ferein, Vent N-E: & pour la derniere fois le rx Mai 1781: Therm. r52^, Barom. 28. 40, ciel ferein, Vent N-Ou. Cet. intervalle. entre la premiere & la derniere gélée eft de 226 jours. 3. La Néva füt prife pendant r55 jours; depuis le 21 Novembre oü elle fe couvrit des glaces du Ladoga par un froid de 166^, jusquau 25 Avril de grand marin, ou elle' débacla par une temperature de 150^. Les Gla- cons du. Lac Ladoga parurent le 2 Mai, & la riviere les chari2)10/ 50:258 7 9. 10, 12, I4 & I$ Mat 4. Depuis le 27 Septembre jusqu'au rr Mai fui- vant, le plus grand froid n'a été obíervé que de 186^, c 23 le 20 IF I'S' TO I^R X; le if" Janvier à'ro heures du foir: Barom. 28.02, cicl ferein, vent de Nord. Le moindre froid à midi a été de 129^ le 1^" Mai'aprés midi: Barom. 28. 53. ciel fe- rein & calme; ce qui donne une variation totale de 57 degrés de Delisle. 5. Le froid moyen au matin & au foir a été trouvé « depuis le 27 Septembre Jusqu'au 11 Mai - - - r6o* depuis le 1 Odctobre jusqu'au z,Juin - - - r58. depuis lez Novembre, jusqu'au 1 Mai - - - 162. Le froid moyen à midi depuis le 27 Septembre jusqu'au r1 Mai - - r52* depuis le r Od&obre jusqu'au. 1 Juin -. - - rso. depuis le x Novembre jusqu'au 1 Mai- .- - 155. 6. Le froid au matin & au fíoir a été I2 jours entre 160 & 190^ en Décembre, Janvier & Février (*) 34 Jours entre 170 & 180^ en Décem., Janv. & Avril (**) 52 jours entre 160 & 170 en Novembre — — Avril 48 jours entre 150 & 160. en Septembre — — Mai 41 jours entre140 & 150 en Odobre. — — Mai 9 jours entre 130 & 140 en Octobre. 7. (*) le i: 12 Déc, le 1 14.16.18. 19.22.25. 25 Janv. & le 21. 22 Février. (**)le 9. 12 — 15. 23. 26 Déc. le 2. 5. 9 10. 13. 15. 17. 20 24 Janv. le 3. 5. 6. 8 — n. 20. 23. 24. 26 Févr. le 10. 10) 12, 2H; 25. 28 Mars & le 5 Avril. HLSTOTIR E. 2I 7. Le froid à midi a été obfervé 1 jour entre 150 & 120 le 1 Mai 53 Jours entre 140 & 150 en Octobre, Avril & Mai(*) Jo jours entre 150 & 140 en Septembre — — Mai 65 Jours entre 160 & 150 en Novembre —- .— Mai 538 Jours entre 170 & 160 en Novembre — . — Mars I8 Jours entre 180 & 170. en Décembre; Janvier, Février I Jour entre rgo & 180 le 16 Janvier. $. L'état du Barométre depuis le 1* OdGobre jusqu'au. 1*' Juin fuivant. La plus grande élévation 28. $7 le 21i Février vers midi. Therm. 174, ciel ferein, vent du N- E, La plus petite élévation 27.12 le 2 Octobre à 5 heures aprés midi. CTherm. r36, ciel couvert, pluie & vent du Sud triés fort. Ia variation totale - - 1.75 ou rj pouces E& milhei -"-— "- -^28.00 La hauteur moyenne - 28.04 c. à. d. 284; pouces de Paris, La hauteur du Barométre pendant ces 8 mois ou 245 jours d'hyver s'eft trouvé i57 jours au deflus de 275; 155 jours au deffus de 28, & md jours au deffus dc- 28 ; pouces de Paris. 9. Les vehts forts pendant ce méme intervalle de temps ont fouftle: 6$ 6 jours (*) ler I2. 13. 16. — 27 29 Ottobre, le 9. 12. 13. 21 — 24. 27. 3o Avri] & le 2. 3. 4. 6. 9 Mai. 22 HISTOIRE. 6 jours du Nord le 8 Nov. le 12 Déc. le 20. 21 Mars le x Avril & le xo Mai 5 Jours du N-E le 11 Déc. le 9. 18 Févr. 2 jours de 7E/ le 6. 7 Oa. 8 jours du S-E le ro. rx O&. le 5 Nov. le 1*5 Janv. le rz rp. I9.,24' Pévr. $ jours du /$u4 le 5o Oct le 6 Nov. le. 2 Janv. le 1o. L5. 15.-16. 19 Févr. 16 jours du S-Ou. le 3. 4. 15, 18. 3r Oct. le 26 Nov. le i. 6. 18.5209- Déci, le .8. 505.31 Jany. 18b» 25 Mars & le 1o Avril. r8 fours de TOW le 19. 24 QQ le x2 Nev.,, fe. »c1 y. r9.'27 Déc.,.le 2o. 25. 27 Janv., le 6 Féwr.; le 4. 15. 29. 30 Mars & le 5. 9. 30 Mai. i6 jóurs du N-Ou. le 3. 9. »1 Déc., le-zr Janv., le 14. 204'17& 18; I0. 5* Mars, CC je xu. 22.5 82. 23. 27. 28 Mai. ro. Les vents trés forts font venus 1 jour du Nord le 1 Févr. 3 jours de /Efl le 19 Janv. & le 27. 28 Mars 2 jours du S- E le 26. 2$ Janv. s jours du Sud le 2. 20 Od&obre, le 14 Février, le 15 Avril & le 31 Mai 4 jours du S-Ou. le 28 Déc., le 29 Janv. & le 15. 14. Avril. 4. jours de /Ouefl le 7. 2x Janvier & le 9. 17 Avril. 2 jours du N-Ou le 20 Déc. & le 16 Avril. i1. Les HM BESJE. QC L Bi 25 1r. Les autres variations de lAtmofphére depuis le 1* O&ob:e jusqu'au i^ Juin fuivant, font annotées dans la table ci-jointe: Atmofphére. ||Oct. | Nov. | Déc | Janv. | Fév. | Mars | Avr. | Mai [[ Somme E [|| —-—L—-— TL t jours entierement fereins 5 6 8 8 2 6 | x4 60 jours jours entierement couverts|| r5| 2r! ir| r7]| re 9 " gq eS Brouillards d 4 2 | 2 5 4 I 4 431 —-— : médiocre I3 5| I o o 5 2 Pluie Hare pe 8l 20» 16 . o o E E ii me "rn médiocre 3 | 12 II 9 IO Io 6 6 Neige ius 3. e 2 Bi uotel' n3 o m rias Quantité de l'eau de pluie & de neige cn pouces depuis le 12 jusqu'au 12]|2,57 (9 94, 0,86 0,97 | 0,46 | 0,44. | 0,71 ,0584]|7,79 pouces Aurores boreales 2 2 3 H 6 7 0||24 jours Vents forts 12 52 15 Qi Xo "X4 2] 10|77 —— Vents trés forts 2c rol Urs 6 2 2 6 i21 —— Extrait 24 HISTOIR E. Extrait des Obfervations météorologiques Année 1980. "Octobre - St. Pétersbourg Latitude - - |5$9?. 56'. 25" Différence des méridiens - | o?. c*. A. — — — — I. Barometre. La plus grande élévation28. 65. le 18 La plus petite élévation |27. 34. le .9 La variation totale - -* | r. st Le milieu - "ex A28. OO la hauteur moyenne - -/28, 05 S o o og 44 EM PRIM II. Thermométre. Délisle | Reaumur. Le plus grand froid - -| 155 —:2,9 le|23 & 50 matin Le moindre froid - -.| 132 T 9.6 ; le| 8. foir Froid moyen de la nuit | 146 Mo2.i Froid moyen à midi - -| 158 -- 6. 4. ]II. Vent. Vent fort « £ »-» le| 9..S Vent trés fort - - le Diredion des Vents N| 4 jours NE| 2 Es SH| 3 SI3 SOu| 4. Ou| 5 NOu| 5 —— IV. Atmofpherce. Ciel entierement ferein -| 5 jours Cic] entierement. couverür7 Brouillad - - - 3 Plüve- 2-2 ce ies Nege - Iw a faites HISTOIRE ss faites en divers endroits fuivant le vieux Stile. Aftrachan. Irkoutzk, 40. az*. x9 52. I5'. L5! "oot si9.. Eft] 49. 96. 44 "Eit —— —ÓMM —Ó—ÓMM —— —— — — ———| ——M —Ó—M —— ——À. 28. 97 le-z8*& T9285. 4o" lo'z (& 98/|27. 60 le 4 Moscou. CIE, 22. 57. le 3x |28. co le 3 26.40 le 4 15 00 O. 42 I, 20 20. M1 28. 2I 27. OO T ET DRAMA 25.05 Delisle Reaumur.|Délisle Reaumur.Délisle Reaumur. 156 — Q9. 2|I49 — Q. 187 — I9. 7 2r matin 19 matin 28 matin I5I -- IO. I |I20O JF 16 I3I - IO. I 9 à midi 2 & 3 midi r midi I45 4 2. 8 [14r T£ 166 — 8.4 I4I -4- 4. 7|129 -- 1o I52 — I. O0 9 SW -— 13 NW 28 SW — 26 NW O jours 2 jours 4. Jours gri Stem 5. ww 2 -— 2 Sig 6. — IO — ó — I — CES We II — I — o — 5. n 5 Ir ay — 2a *- II — 6 jours 21 jours 15 jours 22 | — o0 — 9 — 7 — 5 — o — ga I — o — I — o0 — ó — Hifire de 1781. P. I. d Extrait 26 HIST COO» RE Extrait des obfervations météorologiques Annee r780. Novembre. | St. Pétersboure. I. Barometre. La plus grande élésation28. 535 le r8 " m La plus petite 6lévatiom 27. 35:le 28 La variation totale - - | X. 318 Ie milieu - - -.27. 94 La hauteer mapoyenge - - 27. 98 IJ. Thermomistre. Délisle Reaumeur, Le plus grand froid - - | 182 — 1j. X le| 30 avant midi Le moindre froid - - | 146 -- 2.1 le| r7 à midi Froid moyen de la nuit | 160 — 5.8. Eroid moyen aprés midi| 156 -—- 39.5 UI. Vent. Vent fott - - -- -[| 9 jours Veut trés fort - - fep] — — Dire&ions des Vents N| 6 jours NE|p: — [o7 e Too 0 0 | NOu — IV. Atmofphére. Ciel entierement ferein | 6 Jours Ciel entierement couvcert|17 — Brouilard — - - hr — Pluie - - - EB. "Lene Neige - - 2 -[|16 — La Néva füt priíe le x3. faites RH EDS TO. LRIE. 24 faites en divers endroits fuivànt le vieux Stilc. Moscou Aft'rachan. ^ likoutzk. oi5- n3 Je 1S 28. 96 le 17 27.60 le 19 & 20 26, 72 le 29 asas 15... 7 26.80le 4. 16 & 58 I. 59 I;.15 O. $0 27. St .28. 40 2*7. 20 2". 68 28.-93 Ly PR Re Délisle Reaumur.|Délisle Reaumur.Délisle Reaumur. I84. — E$.. £ [167 — 9. Ol209 — 31. $ 5309 matin 29 foir 19 matin X46 4-2. 35reo' d zr. o|rso [o 3 avant midi I,4,JI & I5 aprés 6 aprés midi midi 159 — 4.5148 -oox. BIDS. — 16. 5 156 — $8.2 141 -- 4. $4168 — 9:6 $ jours 12 Jours SE |$16 E, 17 SE, 4. 24jNB. Le rapport n'en d ; ISUU.. »9 On. füt pas mention ) 4. jours | 1 jour 4. jours ) — no 8 — - ] 3 jours 4 — MT 8 — 5 — Oros I Jour I jour M 9 jours o — 90 6 — ifs 010 — cem to jours 4. jours $ jours rI jours 25 — S Mc SE CS ou 5 — Le rapp. n'en dit rien ce T1 75 — O jour 16 — $3 -— $ Jours La Mosquva fut La Wolga fut prife prife le 7 le 29 d 2 Extrait 48 CUIBDSOTTOSERUE. Extrait des obfervations météorologiques Aumée 1750. Décembre | St. Pétersbourg. — M —M 1, Baromeétre. ———— —— IL Thermometre. — ——M— ————— MR tope EMEND HI. Vent. IV. Atmofphere. Ciel entierement fercin -| 5 jours — — —M —— — — — — — — a — — 28. 85 le 350 25. 46 le 19 La plus grande élévation La plus petite élévation La variation totale - - 1.57 Le milieu - - - -]|28. 14 La hauteur moyenne -]| 28$. 2 Delisie Réaumur. Le plus grand froid - - [186 — 19. 2 le| 21 au foir Le moindre froid - — - [148 "EUIA S le, 18 matin Froid moyen de la nuit |165? Jj ee BL Froid moyen aprés midi|159 — 4 8 Vent fort - - - - xx jours Vent trés fort - - lelo NOu, 17 SOu, 25Ou NE: — EÍ, — SE|1r jour Jours SOuls — Qu — NOu|5, — Brouilard - - - — Pluie - - - - e Neige - - - - —- faites HISTOIRE 29 faites en divers endroits foivant le vieux Stiic- Moscou Attrachan. Irkoutzk. 28. 44. le 30 1o le 28 27. 90 de Z6 27. 06 le 20 i 17-le'20'& 21 26. so le 9 1. 38 MI Tctonos | E. 4o 27. 75 | 62. 3 5. 20 "a9 Hd SO NMON T res oM IDE Dálisle pim Délisle ZüasmiUr. Délisle dinde. 198 — 25. 6 187 — 20 |204 — 28, 8 5 au foir 16 matin 27 matin 152 — I. I|150 — 0 I55 — I. 6 io à midi 13,14&20.aprésmd.| 5 aprés midi 168 — 9. 4169 — 1O. I |184 — I8. O Ml MM EE . aseediic 9 jours | 13 jours roNOu.18O0u.25SOu4NE, 15NOu, 26. sjE] 1 jour | x jour z jours I — 9 jours I1 — 3 jours 5 — 6 — 1 jour 4 — 6 — $ jours 1 jour I jour 5 — 4 jours o — 11 — — o — es 4$ — 5 jours 4 jours 1I jours 15 jours 260 — 7 — WE s O0 — Ls pm PI ee o s | ^ joür | ^ jour ges | dares 5 jours d 3 Extrait 3o HISTOLRE Extrait des obfervations météorologiques Anno 178r. Janvier. St. Pétersbourg. — | ——— ———— I. Barométre. La plus grande élévation| 28. 77 le 3 La pius petite élévation | 27. 24 le 20 La variation totale 2 - X. 59 Le mileu. —- - - [:28. 00 La hauteur moyenne - -| 27. 97 p —— à ne———— Aló —— — a ——P —— | ááÁÓÁMÀ —— MÀ A — — RR apt il. Thermometre. Délisle Reaumur. Le plus grand froid - -|r85 — 18. 7 le| 12 matin Le moindre froid - - |r46 Lb. 552 le| 19 aprés midi A Froid moyen de la nuit |r7r — II..2 : Froid moyen aprés midi|r64. — 7. 5 Hj. Vent. Vent fot - s» - 9 jours Vent trés fort - - le| $E, 15.17.18 SE, 10 Ou., 21 NOu. Diredion des Vents- N| 5 jours NEP 3 — E 5 — SE| 4 — -cP DM IN SOu| & — Ou| 6 — NOu| 4 — IV. Atmofphére — Ciel entierement ferein -| 6 jours Ciel entierement couvert| r2. — Brouillanudd - - - 8 — Plue - - RET. 3 — Neige: ep cum EN XI .— faites HISTOIRE. faites en divers endroits fuivant le vieux Stile. Moscou. — ——— ra — T — MÀ — —À £81 ri le^/3'& 4 293. r4 le 2*3 9. 94 27. 64 273..65 196 —24. 5 50 matin 246 -- 2. I1 2r midi 168 — 9. 6 167 — 9. I1 — ——— 5 jours x5 SE, 114522 SOw;, 9. r0Ou, 24. NOu. 3 jours o jour CAMP 4: Jours zZ — 5 -— 8 — 8 — 12 jours I8 — 2 — o jour 2 — 28. 287 Aftrachan. GO" Terre s I7 T6 I4 9. 49 28. 42 (28. 44. — t — M — ee e | MÀ MÀ —À— —— Délisle Reaumur.|[Délisle 187 &4 matim o jour 2 Jours I Jour 4 jours 4 jours 8 — I jour 9. jours — — MÀ —— r3 jours Irkoutzk, ———— — —— 28. 695 le 29g 26. 95 le a5 T. IO 27. SO 27. 87 "E Délisle Reaumur.; 210 ^ — $2. 0 12 matin (152 — I, I 9 & 3r midi 1$8 —20. 8 5$. 5 160 1.59.9 r8 N. $ jours 6 — 8 v 8 y o jout e x9 2 jours 4 — 25 jours. pem 3 -— Extralt 5t HISTOIRE Extrait des Obfervations météorologiques Année x98:. Février St. Pétersbourg I. Baroméstre. La plus grande élévation| 28. 87 le ro La plus petite. élévation | 27. 50 le 3 La variation totale - - n 5g Le milieu - e e| 8. o8 La hauteur moyenne - -| 27. 97 II. Thermomstre. Delisle Réaumur. Le plus grand froid - -|i82 —312, x le| 10 matin Le moindre froid - - [147 «o oi.6 le| 4 & 22 midi Froid moyen de la nuit 164. -— 2 Froid. moyen à midi - -|156 — 5$ 5 Il.Vent. Ventíort - - « le| 9 jours Vent trés fort - - le 58S Direcdion des Vents N| 4 jours NE 4 — E| o jour SE| 8 jours S5 — SO| 2» — Ou| 3 - NOu 2» — IV. Atmofphore. Ciel entierement ferein -| 5 Jours z — WM Ciel entierement. couvert| 15. — Brouillard - .- - 4$ o— Bluiejl/ iu dett deve o jour Neige - e. * 9 -— faites INS T O bR:i!R. 342 faites en divers endroits fuivant le vieux Stile. Moscou. A(trachan. | Irkoutzk., 28. 41. le! xo. & r1|28.66 le 2 &:3 i127. 40 le 6 26..91. le 25. 26 27. 83 le 25 l:6. 65 le 26 1. 50 o. 83 o. 75 27. 66 28..2 27. 03 o UT E 28. 52 27. O9 Delisle Reaumur.|Délisle Rcaumur. Délisle Reaurmur. I92 — 22. 4 |186 — I9. 2 ,203 —28. 53 13 matin $8 &9 matin 6 & * matin 147 -- r. 6 [146 P 2. I j[I135 -c- 8.0 19. 24. & 25 midi 25. 26 & 25 midi 26 & 273 midi 1635 — 6.91162 — 6. 4 |(180 — 16. 2 162 — 158 — 4.9 [159 — 48 3 jours $ jours — — 3.4. 7. X3. SE 6. 7. 8. SE 4 NE 5 jours 2 Jours o jour GN 2 - 9 Jours I jour 4 — 5 — 12 jours I3 — I0 — o jour o Jour 2 — 4. jours o — O jour 2 — 5 jours o — o — 2 — 4 — 9j jours IO jours 19 jours :8 ou $ — I jour o jour o — QM cs o0 — fo T IO — o — 4 — Extrait Hifloire de 1481, P. I. € 34- HIS T1067 R E. Extrait des Obfervations météorologiques Année r781. Mars. St. Pétersbourg I. Baromeétre. La plus grande élévation| 28. 64. le 23 | La plus petite élévation | 27. 32 le 8 La variation totale - - I. $9 Ee milieu - EXE EU| 25 m Ia hauteur moyenne - -| 27. 97 II. Thermometre. Delisle Réaumur. Le plus grand froid - -|176 SS le| 23 matin La plus grande chaleur [157 3 c2 le| 29 aprés midi .Froid moyen de la nuit |162 —.6,5 Froid moyen à midi - -|15r $50; III. Vent. - Vent fort. - - - - | 12 jours Vent trés fort .- .- le | r6. 17-E..29.S Dire&ion des Vents. N| 4 jours N 2 — E. x x $E| o jour S| Xy — | SO 2 jours Oui NO!|:15 — IV. Atmofphére. ; Ciel entierement. ferein -| 11 jours Ciel entierement couver| 3 — Brouilard - .-' - I jour o Pluie - - - I E Ncc: — e oMLLTO -— faites HIST TTOIUREÉE. 35 faites en divers endroits fuivant le vieux Stile. Moscou. | A ftrachan, Irkoutzk, 28.. 22. le. 23 & 24| 2,8.. 5o lex x 2:5. 95 Iou2,/9. G 12. 26. 53 le 9 28.08 leg 21 & 2226.801e 8.9.20 & 30, I. 69 : O.. 42 KO,* 2.5 27: 97 28. 29 27..093 25:9 65 28. 29 2". OS "Délisle —— Reaumur.|Délisle Reaumur. |Délisle. Reaumur. 156 — I9. 2 161 ps Q9. 1179 — 15. 5 x24 mattis e 26 matin 13 matin 134 4.8. 5142 d 4.5. 117 - iy. 6 29 i midi | 22&51.aprés midi 20 aprés midi I61I E 019-H5:3 sos aiu $[B37 — 93. 7 152. XN ED T cor. 6:34 -- 8.5 7 jours pnrpaeqouts 9 N. 6. 10, NOu. 9S.7SOu.8Oui10NOu. 5 jours 1 jours 8 jours 2 jour ACUMEN 9 — (OM Qu 3 € o jours 9 jour m 'O jour 4. Jours o jour $ jours - qe S rl Y. di 53 53 OE M 4 — 8 jouts IO jours -2:7jours a. 22 Jours zoo gui 4-— 4 — o — o — 1 — 3 Jour I jour 9 — gy — 5 jours Débacle de la Mosqua|Gréle le IDébacle de lAngara IC T0: Débacle de la Wolga| le s. le. 50 QU Extrait 56 HISTOIRE. Extrait des obfervations météorologiques Année 1781. Décembre ; ehol | St. Pétersbourg. ]. Barometre- La plus grande élévation | 25. 68 le s La plus petite élévation | 27. 34. le 3 La variation totale - - I. 548 —econüieu-. € *zo* Eua BOT Lá hauteur moyenne" * | 28. 15 II. Thermom&tre. Délisle Réaumur. Le plus grand froid * - (158 — 4. 3 le| 8 matin La plus grande chaleur |r29 -- r1.2 le| 20 midi Froid moyen de la nuit |150 o. Chaleur moyenne du jour |t40 dTo55 lir Vent. Vent fort - - - -| 6 jours Vent trés fort - - le 4S2.580u6O0u. 5NOu Dire&ion des Vents - N 1o jours NE — EI — SE jour S |» jours SOu| — Ou | — NOu|s — IV. Acumofphére. Ciel entierement. ferein -12 Jours Ciel entierement. couvert| 4. — Broullard - .- - ó — Pie - - - -|9o — Neige - 92 4 -]|5 — Jébac.dela Névale 14. faites. HIS'TOIRE. 37 faites en divers endroits fuivant le vieux Stile. Moscou | Aflrachan. Irkontzk. 28. 18 le 9 28. 25 le ri 27. O08;le 5 27.00 le x; Is 19 I. 2 2". 65 $7.62 23.1570 27. 83 Delisle Reaumur. Delisle Reaumur. 158 e dr 9 162 — 6. 4 9 matin 15 matin 117 4-17. 8 IIS cx 7E 24. aprés midi 6 aprés midi I44 CF 3.2 I49 J-o.5 152 cT 9.4 128 4- i11. 6 I2 jours aufi CR SOC Ti ca y jours | /5 jours S D o — , Q. — 3 — IO — 2 — (2 jour gae Que gie Eq 6 — 3 jours 10 jours. 13 jours 33 — EG 2» & — X jour 10 — 6 jours. e Lo. Gréle le 29. e 3 RAP- 35 HISTOIRE. RAPPORT ET ECLAIRCISSEMENS Sur un Cabeftan de nouvelle Conftru&tion de la facon de Mr. Eckhard, à l'ufage de la marine (*). par WS M.. JF. L. KR. A.F.E T, e Cabeftan eft de tant d'ufage & d'une necefüité fi in- difpenfable pour le fervice de la marine, que tout ce, qui contribue à fa perfection, eft en droit de nous interéffer. . Simple, folide, peu fpacieux, comme il eft. dans fa con(iru&ion, & fufceptible d'un emploi avan- tageux & commode des forces motrices, il l'emporte en lui méme, à l'aveu des mathématiciens ainfi, que des officiers de la marine les plus éclairés, für toutes les ma- chines d'une autre efpece, qu'on pourroit employer pour les mémes operations. Mais de l'autre coté il ne laiffe cepen- (^) Voyés l'Hifloire de l'Académie année 1779: l'artie 1I, pog. 22. HISTOIR-F. 39 cependant pas d'étre encore affujetti dans la manoeuvre méme à des inconveniens, dont les mariniers n'ont que trop fouvant à fe plaindre, & dont il feroit. fort à dé- firer pour le bien de la navigation, qu'on trouvat moyen ile délivrer; auffi l'Académie des fciences de Paris avoit-elle propofé, il y a long temps, & deux fois de fuite, des prix publics, à qui pourroit enrichir la marine d'un Ca- beftan nouveau, qui eut les avantages de l'ancien fans en avoir les defauts. (*) | Le concours pour ces prix n'a pas manqué de produire des recherches. profondes de quelques Géometres du premier ordre, & des réflexions judicieufes de pratique de quelques favans attachés à la marine; deforte que, quoique l'Académie n'étoit pas fatis- faite d'aucune de leurs nouvelles inventions, le recueil des mémoires, qu'elle en à publié, contient cependant ce qu'on a de mieux, & a quoi il conviendroit de rapporter & d'ajouter ce que la fagacité & l'indu(trie des favans pourra de temps en temps imaginer de nouveau fur cet objet interéffant de mechanique. ^ C'eft fous ce point de vüe auífi bien, que. par quelques avantages réels mémes qu'il préfente, que le Cabeftan de nouvelle Conftru&ion, inventé & executé par Mr. Eckbard, m'a parü bien digne d'é:xre connü & confervé au recueil des machines. Comme aucune défcription n'en a été publiée, & qu'on u'en fau- roit plus efperer une de la part de l'auteur, je me pro- pofe d'en donner ici les éclairciffemens & les deffeins, en partant des notices, qui m'en font parvenües, dont la premiere a été communiquée à l'Académie par Mr. Ey eir sporTq i35 TRES lc (*) Voyés le récueil des pieces, qui ont remporté le prix de PAcad, de Paris en 174r 40 HIT SST-O81 RjE: le Pro£. Henneri d?PUtrecht & dont les. autres ont été en-^ voyées par S. E, Mr. le Prince Dimitri de Golizim, à qui Pauteur les avoit préfentées pour les offrir à l'Ami- rauté lmpériale, en fe refervant cependant le fecret du mechanisme principal, caché dans l'intérieur de la machine & qui en eft la partie eílentielle, au quel il me foit per- mis, en attendant. mieux, de fuppléer par mes propres idécs. Pour apprécier ce que ce Cabeftan pourra offrir de nouveau & d'avanbgeux, je commence par un court. expofé de celui, qu'on emploie ordinairement fur les vais- feaux de haut bord; jy Joindrai la deícription du nou- veau & je ferai le parallele des deux. Le Cabeftan ordinaire eft compofé de deux fufées affemblées par un axe de bois, traverfant l'une & l'autre felon leur longueur, & compofées de jambages & des traverfes, qui font fixées dans les entailles de l'axe. La fufée fupérieure hexagonale, eft couronnée par un plateau cylindrique de bois, qui recoit les fix Jambages & la partie füperieure quarrée de l'axe; ainfi qu'un pareil plateau de la fufée inférieure, qui eít pentagonale, en regoit les cinq jamb:ges & la moitié iuferieure de l'a- xe, qui dans cet endroit-là eft d'un contour décagonale. L'un & l'autre de ces deux plateaux fert à donner de la confiftance à l'enfemble des fufées, dont les parties font outre cela fixées à l'axe & aux plateaux par des chevilles. Les trous quarrés des deux fuíées regoivent des léviers environ de r2 pieds de long; aux extremités desqücls la force motrice eft appliquée, qui par le rapport ordinaire entre la longueur des barres & le rayon de la fufée, au tour de la quelle le cable ou bien la tournevire fe roule, ne HISTOIRE. *1 ne fe trouve augmentée, qu'environ dans le rapport «de 6 à 1; và que le rayon de celle-ci eft confidérablement augmenté par les jambages, qui en méme temps qu'elles diminuent, la courbure du cordage fervent auffi par leurs angles aigüs à retenir la corde, afin qu'elle ne gliffe point ou qu'aumoins une force a(fés petite fuffife à lá fixer. Une partie importante du Cabeflan íont les pals d'ar- ret, déftinés à empecher la retrogradation ou le revire- ment du Cabeítan, qu'occafioneroit le poids enlevé, fi aux momens du repos des ouvriers il étoit abandouné à lui méme; ces pals d'arret, mobiles horizontalement autour des chevilles , & fixés au plancher du pont, diametrale- ment à coté de la fu(ée fuüpérieure, s'enfoncent à un fignal douné dans les angles formés par l'axe & les faillants des Jambages. Pour mettre les ouvriers d'autant plus à l'abri du danger du revirement, que pourroit caufer un effort auffi violent, que celui de la réaction du poids enlévé, on forme ans les Cabeftans le mieux conftruits encore d'autres arréts , en pergant la téte de la fufee inférieure des entailles en glacis, dans lesquels tombent des pals fixés au plancher, & dont on fe fert ordinairement po"r permettre auX ouvriers de prendre du repos, faus cepen- dant ceffor entierement leurs efforts. La forme du nouveau Cabeftan, qui avec tout fon ap- pareil eft repréfenté dans la planche cy jointe eft à pecu prés la méme, que celle de l'ordinaire. 11 confifle eu deux fufées A et B (Fig. 1.), dont la fupérieure eft cxacte- ment fembiable à la pareille de l'ordinaire; il eft à re- marquer, qu'elle. n'eft. pour ainfi dire que la clef pour faire agir le mécanisme caché dans la téte de l'inferieure ; Hiftoire de 1381 P. I. f celle 42 HISTOIREÉE. celle-ci B eft pleine pour lui donner d'autant plus de fo lidité, và que c'eft clle, qui fouffre le plus grand effort; on voit aifément , que ce, qui la conftitue , n'eft propré- ment que la partie XX. . La téte cylindrique .F de cette fufce eft bien plus haute, que celle E de la fupérieure; elle renferme le mécanisme, dont lauteur s'eft réfervé le Íécret, & qui fert aux divers ufagcs, que je détaillerai ci- deffous; elle eft couverte d'une plaque cylindrique de fer L, qui eft dentée (Fig. ».); ces dentures a, a fervent à y engrainer les pals d'arrét. verticaux O O, mobiles fur deux tourillons C C & Z4, attachés aux poutres du plancher du pont. L'appareil pour prévenir le revirement confitte en ce que la fufée inférieure s'affemble en (a bafe dans un plateau cylindrique G G de bois (Fig. 1.), garni de 4 pals de fer NN, mobiles fur des chevilles & diamétralement op» pofés deux.a deux. Au deffous de ce.plateau il y a un anneau. de fer H H ,. percé en dedans de r2 trous cubi- ques, propottionnés à la groffeur des tétes des pals de fer N. La fufée fupérieure eft traveríée dans fa longueur par un axe de fer AB de 7 a 8. pouccs d'epaiffeur, & quarrée dans lintérieur de la fuüfée (Fig. 5.) à la quelle il. tient encore par trois croix de fer K , percés, comme en L de la méme forme & dimenfion, comme l'axe. ]e fuppofe, que cet axe, qui en fortant de la fufee fupé- rieure. eft d'une forme cylindrique M , & entre par une ouverture de méme dimenfion de la plaque de fer L dans la téte de la fufte inférieure , ne faffe point corps avec Paxe de celle- ci, mais que Pun foit emboité dans l'autre de facon à ne pas fe géner dans leurs mouvemens; mais que cependant en traverfant une barre de fer par leur emboiture, comme on voit en Q, on puiffe les fixer l'un dans HISTOIRE 43 dans l'autre, au point de nc füire qu'une feule piece. Au defíüs de l'emboiture ce inéme axe portera un pignon, dont le nombre des ailes foit — 2, dans lequel engraine une roue horizontale dentée d'un nombre de dents —N, & portant un pignon, dont le nombre des ailes — zz, fixée au plateau cylindrique L de fer, aui recouvre la téte de-la fuífée inférieure; ce pignon agit fur une roue den- tée d'un nombre de dents — M, dont e(t garni l'axe de la fufée inférieure au deffous de l'emboiture; moyennant quoi la vitefíe de la fufée inférieure fera à celle dc la fu- périeure dans le rapport de 42 a M N; d'oà auffi avec les dimenfions des parties de la machine on conclura le rapport du poids & de la force foliicitante pour l'etat d'e- quilibre, abítraction faite du frottement & des forces d' inertie de. la. machine méme. On voit au refte, qu'un Cabe(tan double ou à lanterne tellement arrangóé, que je viens de dire, a beaucoup d'analogie avec celui, que Mr. Euler a propoíé daus le memoire fecond de ceux, qui ont remporté le prix de lAcademie de Paris, ainfi qu' avec celui: de Mr. de /a Madelaire , qui fe trouve au. nombre des machines approuvées par la méme Académie, quoique i difére de l'un & de l'autre dans une circonftance es- fentielle, comme nous vzrrons tantÓt. Tel eft, fi je ne me trompe, l'arrangement effen- tiel du nouveau Cabeftan en queítion, ou tel pourroit étre au moins celui d'un pareil, qui auroit les mémes avan- tages & rendroit les mémes fervices. * Quoiqu'on ne fauroit, ce femble, lui accorder tant de füpériorité fur lordinaire , & le mettre à un' prix fi fs haut, 44 HISTOQIRE 1 haut, qu'il a. plà à liaventeur y donner, và qu'il eft tou- jours encore affujetti à ce, qu'à tout temps on a regardé avec raifon comme le defaut principal de l'ordinaire, fi- voir à la fuspenfion de la manoeuvre caufée par (a néce[fité de cboquer le cable ou la tournevire; cependant on ne peut pas y méconnoitre des corrections utiles dec quelques autres defauts de l'ancien & des nouveaux ufages, dont celui - ci n'eft pas fufceptible. Ces avantages font les fuivants: 1.) 2.) Pius de folidié dans Paxe d» moins de frottement. L'axe de ce Cabeftan eít de fer, de 7 à 8 pouces de diamétre, mobile fur un pivot de 4 pouces; au lieu, que l'axe de bois de l'ancien a 24. pou- ces & Ííon. pivot r2 pouces de diamétre ; mal- gré ces fortes dimenfions, qui étant néceffai- res pour la folidité ajoutent à la difficulté du virage en augmentant le frottement. dans les etam- brais, il eft fujJet à fe tordre & à s'ufer inégale- ment, ce qui le rend difficile à étre reparé, fai- fant intimement corps avec les deux fufées. Tl eft donc inconteftable, que l'axe du nouveau eft préférable à. celui de l'ancien par rapport à la fo- lidité, la durée, ]la facilité de le réparer & la diminution du frottement, Diminuiion du danger dans la mamoeuvre méme. M eft aif à voir, que la maniere ordinaire de pré- venir le revirement du Cabcftan eft auffi peu füre, que fuffifante; d'abord le nombre des arrets & conféquemment celui des repos poffibles des ou- vriers eft trop peut, étant limité par la figure po- lygone HISTOIRE. 5 lygone des fufées; enforte qu'il n'y en a, que 6 ou s dans une revolution entiere, & que l'inter- valle à parcourir enuüe deux eít environ de r4 pieds & méme plus felon la longueur des barres; en fecond lieu, fi les arréts ne font pas fermés au jufte moment, qu'il faut, & tant foit peu ou trop- tót ou troptard, ce qui dépend de l'attention & de celui, qui commande la manoeuvre & de ceux, dont la fonction eít de fermer les arréts; les ou- vriers ne courrent, que trop fouvant, le risque du revirement, preuve la fréquence des malheurs, qui en arrivent — On ne fauroit difconvenir, que le moyen de prévenir ce danger emploié dans le nouveau. Cabeftan, l'emporte- de beaucoup fur celui de l'ancien rz.) par un plus grand. nombre des re- pos poffibles qui va ici Jusqu'à. 12- & qu'on peut augmenter à volonté en augmentant. celui des trous cubiques de l'nneau de fer Hj enforte. que l'in- tervalle à parcourir entre. deux: pourroit aifément étre réduit à moins de 4 pieds. 2.) Par ce que ccs arréts fe ferment d'eux mémes par leur pro- pre poids & au. moment précis & 3) d'uue ma- -miere plus folide & de fagomn, qu'il ny a rien à craindre d'un peu de plus ou de moins de virage. Augmentation | facile de force en cas de béfoim. J'ai dit plus haut, qu'une barre de fer étant tra- verífée par l'emboiture des deux axes moyennant les chevilles Q Q, ils n'en feront, qu'un feul; le rouage intérieur fera mis hors d'a&iviré, & ex- cepté les avantages, que je viens d'indiquer, le f 3 Ca- HISTOIRE Cabeftan différera alors. en rien des ordinaires. Pour abreger j'ai repréfenté cette operation dans la Fig. 4. 1| conviendra fans doute de s'en íer- vir en cet état toutes les fois, que la force or- dinaire de la machíne fuffra pour le fervicc. Mais comme on ne peut en augmenter la puis- fance que par un plus grand nombre des ouvriers, ce qui a méme fon terme limité; & qu'il eft des cas, oü cette force ne fuffüt point, comme fi le Vaiffeau eft améné au deffüs de fon ancre, ou que celle - ci foit enrochée ou qu'un equipage fe trou- ve foible par une caufe quelconque: on eft fouvant obligé ou à couper le cable ou à recourir aux poulies moufflées, dont l'ufage exige autant de temps, que d'espace, l'un & l'autre fouvant bien précieux íclon les cas du vaiffeau , ou enfin de risquer les vaiffeaux fur des ancres légeres, au lieu des grofles, que le cas cxigeroit. lí me paroit, que le méca- nisme décrit ci- deffus, & qui pcut étre eft encore beaucoup inférieur à celui, dont Mr. Eckbar4 s'ett refervé le fecrét, pourra en bien de cas prevenir la nécefüté de couper le cable ou dispenfer de l'em- barras des poulies, và qu'il produit avec autant de promptitude, que de facilité & fans exiger le moins d'espace de plus, une augmentation de force pro- pertionelle aux dimenfions de la machine & du rouage. Pour cet effet on n'a, qu'à détacher mo. yennant les chevilles Q Q 1es deux axes l'un de Pautre. & à faire baiffzr les pals verticaux. O O, qui en engrainant dans les dentures a a de la pla- que de fer L, (Fig. 3.) la fixeront, ainfi que la roue ho- rizon- 4.) HISTOIR E. 47 rizontdle dentée qui y tient, au point de ne lui permettre, qu'un mouvement de rotation autour de fon axe. Or la fufce inférieure B ne faifant pas corps avec la plaque de fer L, le mouvement de la fufée füpérieure fera moyennant le:rouage trans- mis à l'inférieure. & là force motrice s'y trouvera augmentée fclon les loix des roues dentées, quoi- qu'avec un rallentiffement proportionel de viteffe. Cette operation eft repréfentée dans la fig. s. - Dans le mémoire cité ci- deffüs Mr. Euler a trouvé pour un mécanisme a(fés femblable , que Parrangement le plus avantageux feroit de faire eníorte, que la viteffe d'une des fufées foit le double de celle de l'autre. Augmentation facile de viteffe en cas de befoin. 1 my a pas moyen d'augmenter la viteíffe :du Cabeftan ordinaire, fi ce n'e(t en augmentant celle de la marche des ouvriers; fnoyen fouvant impoflible à caufe du roulis, & toujours a(fés limité; auffi Mr. Euler dans le mémoire cité en a-t-il remarqué ce défaut. ll eft cependant des cas, oü la promptitu- de du desangrage ou de la manoeuvre à faire mar- cher le vaiffeau fur l'ancre, méme aux dépens des forces motrices , eft d'ine grande importance. 1l eft hors de doute , que le nouveau Cabe(lan pro- cure cet avantage avec facilité; car par ce qui précéde, on voit aifément , que laiffant la machine dans l'état, comme cy deffüs, on n'a pour cet effet, qu'à appliquer la force motrice à la fufée inférieure & le cable ou la tournevire à la fupérieure; ainfi que Je l'ai repréfenté à la fig, 6, 5.) £5 HISTOIR E. 5.) .Commodité de cbanger facilement le Cabeftan double en deux. fimples ,| indépendans lun de lautre. Le 'Cabeftan ordinaire ne peut faire mouvoir fes deux fufées , féparement l'une de l'autre; cet avantage ne peut avoir lieu, que dans celui à Lanterne, & pour cet effet Mr. Eu/er dans l'endroit allégué juge à propos, qu'on püt óter, lorsqu'il en feroit be- foin , une des roues dentées, ce qui permettroit à la fufée fupérieure de virer feule. Quoique ce mo- yen n'eft pas praticable dans celui- ci; tependant, comme les deux axes font déja indépendaus l'un de lautre, la barre de fer, qui traverfe leur em- boitnre, étant rétirée moyennant des chevilles Q Q, il ne fera pas difficile d'imaginer quelque méca- nisme pour fuspendre l'engrenage des roues & leur action réciproque , moyennant quoi pendant que Pune des fufées améne le cable daus le cas, qui démandent moins de force, l'autre pourroit étre employée à toute autre manoeuvre quelconque; oà toutefois il faut remarquer, que pour cet effet la fufée fupérieure doit ainfi, que l'inférieure, étre garnie des ariéts décrits ci- deflàüs pour prévenir le risque du reviremcnt. — Cette. operation eft re- préfentée à la fig. 7. OU- HISTOLRE. "T "US EC -- uzcIE- ALB Ys A G Es, MACHINES E T INVENTIONS préfentées ou communiquées à l'Académie pendent le cours du premier fémeftre de l'année 1781. ans l'Affemblée du Lundi 8 Janvier, le Secrétaire de Conférences a lu une lettre de M. le D. Móbring à Jévern, qui envoioit une collection de femences Pons le Jardin botanique. Le xx Janvier. Le Secrétaire a lu une lettre dc M. le Confeiller Loefcb, Surintendant du Gymnafe d'An- fpach, lequel prie l'Académie de vouloir bien, à l'exemple de diverfes autres focietés favantes, contribuer à l'aggran- difffment. d'une Bibliothéque publique que le dit Gym- nafe. vient de fonder,: en lui faifant un don de fes ou- vrages. Cette démande.a été accordée, «& le Secrétaire chargé d'envoyer au Gymnafe d'Anfpach un exemplaire complet des Actes académiques publiés depuis 1777. Hifleire de x78x P. I. g Le *6 HISTOIRE. Le r5 Janvier. Le Secrétaire a préfenté de. la part de M, Chréiien Mayer , A(tronome à Manheim, une brochure intitulée Chriftian Mayer Churpfaáltzi/tber | Hof- Aftronomus | über die Aenderung des Ganges der. Arnoldifcben Scbwing- ubr. Le r8 Janvier. . M..le Prof. Pa/la$ a remis de la part de M. Patria, Correfpondant de l'Académie, à Kolivan, une collection. de (émences de ces environs pour le jardin botanique. Le 29 Janvier. Le Secrétaire a lu une lettre de M. le Prof . van Swinden à Franecker, qui envoie la marche des aiguilles aimantées, obfervée pendant l'Aurore boréale du 28 Juillet 1780. — Voyez WVHiftoire de l'Aca- démie pour cette année Part. ll*. Lez Février. Le Secrétaire a préfenté de la part de l'Auteur un manufcript intitulé Tractatus Philofophicus de Relligionis inaxime in do- &rina de mentis immortalitate, nece(ífitate fumma in focietate civili. Autore Bermardo Martinio, Pa- ftore Batavorum Archangelopoli. Comme ni la TThéologie ni la Philofophie fpéculative en- trent dans le Plan de l'Académie, ce manufcript a été renvoyé à PAuteur. ' —— -—— M.TAdjoint Fu/s a rapporté que le moulin à fcier, inventé par le Sr. Ricbmer & approuvé par l'Aca- démie H-I' STO I R-E $1 démie (voyez la partie hiftorique 'des A&es, Année 1777, premier íémeítre pag. 65) a été exécuté à Ochta par M. de Haaks, Capitaine. d'Artillerie & Chevalier de POrdre mi- litaire de St. George; que le füccés, moyennant quelques legers changemens, a parfaitement répondu aux avantages qu'on s'en étoit promis, & que cette machine müe par les bras de huit hommes fait agir cinq fcies. Le 2 Février. Le Secrétaire a zemis 1a mé- daille frappée à la mémoire du feu Coateiller. Privé Scblat- ter, Préfdent du Collége des Mines & Monnoyes, que la famille du défunt ]ui avoit fait remettre pour tre pré- fentée à l'Académie & coníervée dans fon médailler. —— —— ila préfenié. de la part de M. le Docteur Wolff, Médecin à Dantzig, l'ouvrage ingénieux qu'il a pue blié en 1776 fous le titre Genera plantarum vocabulis characteriflicis definita Le 26 Février. M. le Confeiller de Cour Lepechbin a lu une lettre adreffée au Directeur de l'Académie par S. E. Mr. de Paffec, Lieutenant- Général & Gouverneur de Mohilew, qui envoie pour étre examiné à l'Académie un manufcript d'un Géodefile de la province, contenant des méditations fur l'inclinaifon de l'aiguille magnétique & le mouvement de la terre. 1l s'eft trouvé que l'auteur n'a pas une idée jufle des chofes íur lesquelles roulent fes méditations. — ——— —— dl a communiqué le defin d'un Parhélie fort réluifant formé par plufieurs cercles lumineux, que ie "g 2 . Ca- T HISTOIRE. Capitaine Scbialev a obfervé dans la Fortéreffe Tiguilsky en Kamtíchatka le 23 Mars 1780 depuis 1o heures & demie jusqu'à midi, & que S. E. Mr. de Klüfcbka, Général- Major. & Gouverneur dlrkoutzk lui a envoyé pour étre préfenté à l'Académie. Ce Gouverneur mande auffi qu'on a vu à la fortereffe Hifchinski le 2 Novembre 1779 à midi vers l'Eft un météore igné qui reffembloit à un éclair, & qui a auífi été fuivi d'un grand coup de 'Tonnére: mais que ce phénoméne a duré prés d'une mi- nute de tems avant d'éclater. Le 1» Mars. Le Secrétaire a. préfenté de la part de M. Patrin, Correfpondant de lAcadémie à Barnaoul, un manufcript intitulé F/»ra Barnaulenfis avec un herbier des plantes les plus interéffantes alleguées & décrites dans la Flora. —— .—— M. PAdjoint Zoeuyef a remis un pacquet de branches du Rhododendron, qui lui a été adreffé pour l'A- cadémie par M. le Secrétaire Popof à Yenifeisk". Le 1:5 Mars. Le Secrétaire a Iu une lettre adres- fée au Directeur de l'Académie des Sciences par M. le Chevalier 4e Beauraim, qui envoioit le Profpe&us de PHiftoire des Campagnes du Maréchal de Turenne en 1672 — 75. Le 19 Mars. Le Secrétaire a lu un Rapport de M. übrig daté de Goufinoi Ofero le 14 Décembre, qui envoie une introduction à PAítronomie indienne, qu'il a traduite du mongal en allemand. Le HISTOIREÉE. 53 Le 22: Mars. . M. le-Prof Pallas a préfenté de la part de M. jo/epb Banks Esq. un paquet de diverfes fémences, recueilies pendant le dernier voyage du cé- lébre. Cap. Coo&. Le 26 Mors. Le Secrétaire a préfenté de la part de la Societé royale des fciences de Gottingue Commentationes Societatis regiae fcientiarum | Góttin- genfis per annum MDCCLXXIX. Vol. II. & de la part de M. 7e Magellan à Londres. Défcription d'une machine nouvelle de Dynamique íin- ventée par M. 4/uood, au moyen de laquelle on rend trés- aifément fenfibles les loix du mouve- ment des corps en ligne droite, en rotation etc. par 7. H. de Magellan. Le 16 Avril. M. le Confeiller. de Cour & Bi- bliothécaire Kotelnikof a expoíé un monftre humain mále confervé dans de l'efprit de vin, que le Dire&eur avoit envoyé pendaut les vacances de Páques, au cabinet d'Hi- ftoire. naturelle. Ce. monftre a un vifage fort applati, dont tout le cóté gauche avec l'oeil eft. couvert d'une peau garnie de petits poils, laquelle descend comme un fac le long de l'occiput, jusqu'à Pépaule. Les bras auffü bien que les jambes font des troncs informes, & la main gauche n'a.que quatre doigts. Le x9 Avril. Le Secrétaire a remis les papiers de feu M. Giüldenflaedt avec tout ce qu'il a trouvé dans «ette. fucceffion appartenir à l'Académie, & qui confiftoit £3 dans $4 HIS LR daus un herbier trés volumineux, dans quelques fquelettes d'animaux de la claffe des chévres, & dans les manufcripts du Prof. Gmelin, de la rédaction desquels le defunt Aca- démicien avoit été chargé. Les fíquelettes & Jlheibier ont été dépofés au cabinet d'Hiíloire naturelle, & les papiers examinés & enrégi(ltrés par quelques Académiciens: Sur le rapport desquels le Directeur a chargé M. le Prof Pallas de rédiger les manufcripts des deux Académiciens défunts & d'étre l'éditeur dc leurs voyages. Le 25 Avril. Le Secrétaire a lu une lettre datée de Hambourg le 31 Mars & adreffée au Dire&eur de PAcadémie des Sciences par M. Erafl Cbriflopb Scbultz, qui envoie un paquet cachété, dont l'enveloppe imprimée indique fous la date de la naiffance de S. M. l'impéra- trice (*), que ce paquet contient la découverte d'une nou- velle pierre précieufe orientale, dont les qualités fingu- lieres furprendront tous les minéralogues. M. Sebultz prie PAcadémie de dépofer le paquet & de ne Pouvrir qu'a- prés fa mort, ou lorsque par un nombre fuffifant de fou- fcripteurs, il fe fera vu en état de publier fa découverte, Le Secrétaire mit à ce paquet une feconde enveloppe & aprés l'avoir cacheté, il le dépofa aux Archives. —— —— il a préfenté un mémoire Sur linfcription des figures re&tilignes du méme lus petis contour à des figures rectilignes du méme nom, que TOT o EEUU m DU IC cA EMO mI cos x (*) D'Auteur fuppofoit que. l'Académie tiendroit dans ce jour folemnel, une Affemb)ée publique. HISTOIRE. 5$ que l'Auteur, M. Simom Lbuilier, Citoien de Génàve, a envoié & foumis au jugement de l'Académie. Ce mé- moire a été communiqué à Mrs. Euer le pere & Fu/s, qui en ont fait un rapport trés favorable. (*) Le 30 Avril. Le Secrétaire a préfenté de la part de M. Bode, Aítronome royal à Berlin, le Profpec&us de la continuation. des Ephémérides aftronomiques, que l'A- cadéemie Royale des Sciences & belles- lettres a ceflé de publier avec l'année 1783. —— .—— ila lu une lettre adreffée à l'Académie par Mrs. de la Societé Electorale de Météorologie établie à Mannheim, & une autre de M. /'4bbé Hemimer, Secrétaire de cette Societé, qui envoie un imprimé intitulé Monitum ad obfervatores focietatis meteorologicae Pa- latinae a Sereniffimo | Electore Carolo 'Fheodoro recens iníltitutae. & qui annonce que la Societé météorologique a déja ex- pédié à Lubec, à l'adreffe de PAcadémie Impériale des Sciences, les inftrumens correfpondans ou harmoniques, avec lesquels les Phyficiens de la Rufüie font invités de faire à l'avenir leurs obfervations météorologiques. Le 15; Mai. Le Secrétaire a préfenté: Lythologie Sicilienne, fuivie d'un Discours fur !a- Cal- cara de Palerme, par M. le Comte'de Borcb, de plufieuss Académies. que (*) L'Académie fe propofe de faire imprimer ce mémoire avec quelques autres que des favans étrangers lui ont envoiés, & qui ont mérité fee clogcs, 46 HISTOIRE que l'Auteur lui a fait remettre pour étre offerte: à l'A* cadémie. Le £ Juia. M. l'Adjoint Fuf; 4 lu une lettre de M. Ifaac lfelin de Bále, qui envoie le troifiéme cahier de fon Journal intitulé Epbemeriden der Menfcbbeit , année 1781, dans lequel il a inféré & dédié à PAcadémie des Sciences de St. Pétersbourg, une traduction de l'écrit de M. 1e Baron T/zbudi für la transplantation | des. végétaux, leur naturalifation & l'art de les perfectioner. —— M. le Prof Palas a préfenté le Profpectus d'une défcription des animaux les plus remarquables que M. le Prof. Braünmucb à Coppenhague fe propofe de publier avec des figures colorées. Le :4 Juin. Le Secrétaire a ouvert la Caiffe d'In- firumens météorologiques envoyée de Manheim. . Comme quelques Inftrumens ont été brifés en. route, le Secrétaire a été chargé. d'écrire à M. Hemmer, pour favoir fi la So- cieté Électorale veut réparer cette perte, Le 25 Juin. M. PAdjoint Géorgi a remis le Ca- talogue du Cabinet de feu M. Feldman, Do&eur & Phy- fidien à Ruppin en Brandenbourg, que les héritiers lui avoient envoyé pour étre préfenté à l'Académie, MATHE- MATHEMATICA. A4&a Acad. Imp. Sc. Tom, V. P. I. A E I J L * ] zu AUN Sushi... MON - x OWNER | J : iid P. y a n. E us. ! H 1 m. AL LI , M Z "W na b | : AP uL us * Vui " jr v NS, an A "b X AUN T S ar T ! CAES V ea y n N N HE E. EE ! 3 D m y nd 4 i a: &- T: Ttg tSt am ePies e gmttte enims ttem ? Ws o3 sx 78 3e DW AM d) Sas ics ER ss ies Gross ues ctus eer etos ca NOVA METHODVS INTEGRANDI FORMVLAS DIFFERENTIALES RATIONALES SINE SVBSIDIO QVANTITATVM IMAGINARIARVM, Audcore IU UE-POEOE RXO. Theorema I. Bo: I. Si fuerit xx—2xcofo--1—0, tum omnes poteflates ipfius X reduci poterunt ad formam fiupli- cem & x-rr-g. Demonftratio. Cum fit x —2xcof. o -- 1 — o, crit x^ sla Ac 5 eof mo x^, vnde íi poteflates X^ et 4^ *" ad formam praefcriptam DJ -— ex et )4( $5 c X 4-(j redigi queant, tum ctiam poteftas per ean- dem formam exprimi poterit, | Incipiamus igitur a pote- flatibus infimis, quas ita exhibeamus: —. € fin. o? xfin.« cof. a — fin. Lx fin. 2t —— fm. o c jin. e et x x— fin. a t CONNSNOnu: EST PM Li His igitur conftitutis, cum fit 2 cof. a fin. À o — fin. (A -1- 1) o 4- fin. (4 — 1) a, ex his duabus formulis facile eliciemus fequentes: zh Ld —— &fin.s& — fim 2t x*— ox x e6oflla xi E 3 ET —— «€ fin. «t — fin. t9 X*z— ox'cof,. ug — Xy pito ccHmu. Jin. o hocque modo quousque libuerit progredi licet; atque hinc in genere concludimus fore — i: -— I) x fin.no fin. (n. 1) t Juno quae ergo expreífio formam habet a x -i- (. X! — Corollarium 1. 6..5. Jj Cum. Tit fin. (n — 1) & — fin. 8 & cof. o — cof. " o (in. a, hoc valore fubftituto fiet derum fn. 2 à -- cof;mw; quamobrem fi füerit x x —2 x cof. o -- 1 Zo, pro omni- bus'poteftatibus ipfius x habebimus hanc reductionem: X T — yn cmi L MUR», sg. AE-7cof. mo; Jin qua forma deinceps potiffimum vtemur. Corollarium 2. 6. 5. Hinc igitur erit: es; )s( $5 git ce 0Es (in. (E -41- 8) e 4 cof. (& -1- m)u. et x—9 — £-5:2 fin. (& — s) u -- cof. ( —n)o, quare his fenis addendis, ob fin. (k 4- n) e -4- fin. (&—5) o — ?fin.ka cof.áa et. cof. (& 4- 1) à -t- cof. (£— 52) & — 2 cof: & à cof. z o fiet | eap Eos i force 9 fin.ko cofura 4- cof. kucof. io jtn. e fiue attr-p x*-* — scofin (mE ?) fin. ke -- cof. £u). | Corollarium | 5. $. 4. Sin autem poteftatem pofteriorem a priore fubtrahamus, ob fin. (E -- z) « — fin. (& — 5?) oz e co E o fin. zo et cof. (k 4- ) o — cof. (£ — 2?) o — — 2fin. & wfin. na, habebimus gto xh7a Li) cof. ko finira — 2fin.k o Gn. no. h.e. hano Q.k—m X — cof, to x x*- *i2- 5 fin.m.o ( (Um ) eof. &. o — (in. & 9). Corollarium 4. 6. s. Etiamfi noflra demonftratio tantum. ad po- teflates integras ipfius x perduxit, tamen ex indole ha- rum formarum facile intelligitur, eas etiam pro exponen- tibus fra&is, vel adeo irrationalibus, locum habere, quanu- doquidem in ipfis his formulis nihil inct, quod tantum ad valores integros exponentis s reítringatur; tvm. vero etiam nihil impedit, quominus exponenti 5 valores nega- v» A 3 tiui -e65 )6( $c tiui tribuantur. Si enim v. g. fumamus » — :, per for- mulam Coroll. I. effe debet yx — us fin. ; o -L- cof io vnde fumtis quadratis, ob (x — cof. ay — x x — 2x cof. a 4- cof, à — — fin. q*, habebimus F em 2 (2t — cof. e) fin. i o* 759 fin. za cof. ia 4- cof u^, quae ps ob 2fid.;Gcof.; o —fin. e et. cof.1 o* —(n.:G*— cof, a, abit in x Z2 x, h. e. aequationem identicam. Scholion, | 6. 6. Formulae quas hic fumus adepti egre- vie conueniunt cum iis, quas calculus imaginariorum fup- peditat.. — Cum enim aequatio x x — 2x cof. & -1- 1 —0 contineat has radices: x — cof. o -- fin. e. Y — rz, erit, vti in analyfi eft oflenfum, x"— cof ze -- fin. ga. Y —15 ; quare cum fit x^ — cof. n a — -- fin. n o. Y — x. et kc ax —cof. o — J- fin. o V — 1, illa forma per hanc diuifa dabit a"—cofmgo fn.mo "x-coígo ^ fn.o mm vnde fequitur fore n — & — cof. c i x" — cof. nut nma, prorfus vti in Coroll. L inuenimus. Ceterum moftrum "heorema generalius proponi ct ad aequationem DES en) )7( Se *x—eaxcof.o--aa extendi potuiffct; tum enim prodiiffet x" —«"—'x[ín. nto — a" fin. (n — x) o fin. q 8 dons deinde ctiam a* —' (x — a cof. o) oos ; — fin.29 -1- dà? cof. 1 9, in. Q quae formulae a prioribus non difcrepant, nifi quod hic littera a homogeneitatem dimenfionum expleat. Mae fci- licet formulae ex illis immediate fequentur, fi ibi loco x fcribatur 2; fed breuitati et concinnitati confulentes eius- modi tantum cafus euoluemus, in quibus pro a commode vnitatem fcribere liceat. "T heorema ]f. €. 7. Si furit xx—2xcot.o-- 1-0, omnes funcliones rationales. integrae , quaecunque poteflates. ipfius x in iis occurrant, femper reduci poffunt ad bane formam fin- picem a. x A- Q. Demonftratio. Si functio propofita iam penitus fuerit. euoluta, ita vt nullos factores complectatur, tum ea ope reductio- nis E mpPOR fin. 9 -]- cof. o fponte redigitur ad talem. formam: £€—9^9.1- G. Verum fi functio propo- Jin. fita duobus conftet facoribus, veluti P 5, ac per iftam rcductionem prodierit p EHE. et puto ce d, Jin. Q Jn. o tum e62 )s( $t52e tum fada multiplicatione, ob (x — cof. à)' — — fin. o? col- ligitur fore Ppc—Ff--Gg--f&-I9 Ue, quod ergo produ&um eiusdem eft formae; vnde fimul pa- tet, quotcunque eiusmodi dentur factores, eorum produ- &um fcmper ad eandem formam reduci poffe. Corollarium r. 6. $. Quodfi hoc modo prodierit | p— POS) -J-G , tum erit P (x — cof. à) — — F fin. o--t- G (x — cof. «), quae expreffio ideo eft notatu digna, quod in fequentibus integrationibus vbique occurret. Corollarium 2. 6. o. Si fun&io P fa&orem habuerit xx—2xcof,o-r-1, tum pofito, vti affumimus, Xx—2oxcof.o--1-—0; valor ipfius P etiam euanefcere debet, Hoc ergo cafu formula LE EM -- G fiet — o, id quod, ob x quanti- tatem indefinitam, aliter euenire nequit, nifi fuerit et F- o et G— 0. Atque hinc viciffim, fi fac rcductione pro- deat P — o, hoc certum erit fignum, ipfam fün&ionem inuolveré fa&orem x x —2x cof, o -- 1. 'Theo- ej2 )o( $e 'Theorema III. $. 16. Si fuerit xx —2xcof.a-- 1 —0, tum eiiam omnes funciones fratiae rationales femper ad formam Jimplicem & x -- G reduci poffunt. Demonftratio. Sit enim propofita funcio quaecunque fractio $ atque adhibita noftra redu&tione prodierit | P — Fx— cw G et pec RN jin. a Jin, Qà ia vt peruenerimus ad hanc fra&ionem;: P "ni P ICA fin.c fw CE cof.q — i p (x — cof. Nu, t jm. fam vt ipfam litteram x ex denominatore expellamus, multiplicemus tam numeratorem quam denominatorem per formulam 47279 — £; fic enim, ob (x — cof. o)! — — fin. o, pro denominatore reperiemus: — ff — gg; at YerO pro numeratore: (£6 -—TFg)(x-cw).. vnde mutatis cesi forma noftrae fractionis erit P (Fg -— ERO aro A PI-EGg 3 ff--sz fue concinnius : z — Pg —f6 Sc DI. Ff-EUE —BWG REED Hu ÍÍ--&E Atia Arad. Imp. Sc. Tom. V. P, I. B Pro- wo ) 1o ( e cox » Problema. $. rr. Propofia formuía differentiali rationali qua- cunque, eam in fuas. fracliones partiales. rofoluere, ac dcin- ceps eius iniegrale inutfligare, Solutio. ^ Repraefentetur formula differentialis fub hac fpecie: &- ELIT, ia tamen, vt P maneat fundo integra, ne x fit fa&or denominatoris, . Ante omnia quaerantur igitur ipfius Q omnes facores tam fimplices quam duplices rea- les; et quia fimplices nulla laborant difficultate, hic tan- tum duplices fum -contemplaturus , quorum forma fit xx—2xcof.o-]- z, ita vt, pofito: xx—2x cof. Qei- 1— 0, quantitas Q fimul in nihilum- abcat, ex qua conditione omnes valores anguli c elici poterunt, ita vt hoc modo emnes. facores denominatoris Q. obtineantur. Nunc igi- tur. factionem. oi in totidem fractiones partiales reíolui oportet, quot inventi fuerint fa&ores formae xx-—2xcof. o -1- x. Sitiigituf in gentre fractio partialis ex ifto. fadore. nata — ——£2--P —., quandoquidem nouimus, eius numera- — X X —2xC0fQ -r-1 torem talem formam: a x -- (8 habere. debere; pro reli- quis autem fractionibus partialibus omnibus fcribamus. lit- teram R, ita vt effe debeat P o— ax--6 ORT c EACTEUXUESOnO NY. et multiplicando per x x — 2 x cof. o -1- x habebimus: P(xx-—2xcof. —)— ipte prise Lasxq-rR(xx 2x cof. à 4- 1), Quodü ergo iam faciamus x x — 2 x cof. à -]- 1 — 0, erit .&& x. wandpup. Pon e tener quu tn) E zx -— 2xc.o-: Qx CN NC Qo i : vbi in priore facore 7 ifta fubflitutio nullam habet dif- ficultatérti; Verim in, altera fractione 9—— *7 99 **9^ agis a pofito x x —2x cof. o -- 1 — o, non folum nuimerator fed etiam denominator Q euanefcit, fecundum praecepta co- enita vtriusque loco cius differentiale fcribamus, fiquidem hoc caíu fieri debet xx —2:x6fu-t:.—*dx(x cw) do - , ficeque obtinebitur numerator quacfitus P ES axdu- Bx ilo e-, Ponamus igitut per hanc Qbitioa cm fieri —— P (X e «cof.a) xd Q —— fk -— cof.) pc | Get x pslicog jJi.o dac ^ fm. s ita vt fit Páx ph sar ii Jin.:t2 -UJ(v 4x — cof. u) quae forma per "TTheorema tertium reducitur ad hanc: Pdx..FPg-—fG6 &—cu zy Liens io xdQ^ ff-a-gg' jfm.w ji--&& quae ergo infuper per 2 (x — cof. o) eie ob (x — cof. o)? — — fin, «*, praebet numeratorem quaefitum : ax 4-2 g— — 2/Ff-- C£) (x — EN Dd € —Eg fin isl eo: . dx Multiplicetur igitur ifla forma per —— 7. uis atque obtinebitur pars integralis ex hac fractione partiali nniuadm 2(Ff d- Cg) d x (x — cof. to) JG—Fg Jt £8 fzgEUI. MNT fin. 9f cx Mic igitur pro priore parte mauifefto. eft B 2 f A gutes; TI. "ES e$ ) r2 [ 29 d s (3$ « eof. o) — m zz Weu LV (x x — 2x cof. o -1- x), quod integrale iam ita eft fumtum, vt euanefcat pofito X —0; pro altero autem membro facile reperitur: f dz finm —— — A tang, c fin. 1-23zxcfo--xx 1— x cof.u? quod itidem «euanefcit pofito x — o, quocirca pars in-. tegralis, ex denominatoris Q facore xx —2xcof. o -L- x Orta iic E E OE PY (x x — 2x cof. Q -i- 1) SG EE) c fin. a "o cree A tang. . E e Corollarium tr. 6. 12. Duo autem cafus hic fingularem euolutio- nem poftulant: alter; quo o—o, alter vero quo oc 1$05 priore enim cafu denominator x x — 2xcof.o-- 1 abit in (x— xy, pofteriore vero in (x -i- 1y. — Cum autem hinc plus concludere non liceat, quam vel r — x vel 1-3- x effe fa&orem denominatoris, his cafibus pars integralis in genere inuenta tantum ad femiffem redigi debet, quemad- modum in principiis Calculi integralis fufius e(t oftenfum. Ceterum his cafibus pofterior pars a circulo pendens íem- per euancícct. Corollarium 2. 6. 15. Praeter hos autem binos cafus portio in- tegralis ex formula x x —2xcof. o-j- x femper confta- bit duabus partibus, altera logarithmica altera circulari, nifi forte fuerit vel Ff -j- Gg —o, vel f G-gF— 0. Priore enim cafu haec portio tantum arcum circularem inuoluct, pofteriore vero tantum logarithmum. Scho- en )c:s( $2 Scholion. 6. 14. Quoniam affümimus denominatoris Q fac- torem effe x x —2xcof. o -- 1, alias denominatoris for- mas hic non contemplabimur, nifi quarum omnes facto- res tali formula exprimi queant. "Tales autem formulae fimpliciores occurrunt tres fcquentcs: Q—3-Ex* g-:—255'9-—;,rsixcoL;4 »x**, vbi quidem in prioribus poteítati ipfius x exponentem pa- rem tribuimus, quoniam cafus, quibus effet impar, facile ad hanc formam reduci poffunt. Si enim denominator effet x -I- x', denotante 7 numerum imparem, tantum lo- co x fcribamus 5^, prodibitque talis forma: r-i- *' at tali fubftitutione natura formulae differentialis neutiquam mus tatur. Hos ergo tres cafus in fequentibus tribus Proble- matibus particularibus omni cura percurramus, quo magis praeftantia iftius nouae methodi prae aliis, quae adhuc in. vífu fuerunt, eluccat. " Problema particulare f. 6.15. Si fuerit Q— 1 -- x'*, inuefligare | inte- grale buius formulae differentialis: NICE vbi quidem (1 4- x/^)x PO fit fundio integra, in qua mullae potefflates. altiores. occur- vant, quam exponentis 2k, ne jfcilieet ifla fraciio euaaat Jpuria. Solutio. Cum fit Q— 1 -- x^, fit eius fa&or trinomialis quicunque — x xy — 2x cof. oa-1- 1, ita vt numerus talium füüorum fit — &; quare cum, pofito B 3 N xx e$ ) 1&6 ( $950 xx—2xcof.o--1-0, etam ipía formula r -4- x^* euanefcere debeat, facta fub- flirutione debita fecundum "Theorema M. fiet Q-— DRE SP Gg'b-r-cof92E0, Jan. o qui valor cum debeat euanefcere, erit tam fin. 2 £ y — o, quam 1 -J- cof. 2k o — o. Conditio ergo pofterior praebet cof. Ko — — 1; vnde intelligitur, angulum 2 « effe dc- bere vel z, vel 37, vel 5, vel in genere (22 — 1) m, denotante 2; — r numerum imparem quemcunque. Valo- res igitur anguli o erunt fequentes: o — ES o x 3] o — 5700 T, Q — i ors —3ik3* 9 — E M23 er) ffe d et generatim ent UP quorum numerus cum €eiic dc- beat — k, vltimus valor erit «o — &*7—? m; fingulis au- tem iftis valoribus fimul prior conditio adimpletur, qua effe deb:t fin. 2&9 — o. Quodfi iam pro « vnusquisque horum valorum accipiatur, atque ponatur xx—2xcof-o-- 1-—0, quicunque fuerit numerator P, fumamus faca hac fubfi- tutione fieri LE (x -— cf. : n plEREeuws.G: jm. o tum vero erit £29 — o & x**, vnde, cum noftro cafü fieri debeat Q — o, erit vtique x^* — — 1, ficque fiet x d o — nd 2 k. dx . :o1 , ; (x: — cof. qj) Cum igitur haec formula in genere pofita fit e cg erit nunc fco et g-——-— 2k, quo inuento fecundum praeccpta ante tradita pars integralis ex hoc fa&ore de- nominatoris x xy —2x cof. o -1- 1, oriunda erit |o ^4 Di e; )ris( i5 —2]Y(xx—2xcofa-1- 1) 4- Z A tang. 2/9 1 — a cof. a? confequenter fi ex fingulis valoribus anguli « itae partes integralis formentur, et in vnam fummam colligantur. impetrabitur totum integrale formulae differentialis propo- fitae; et quia hoc cafu nunquam fieri pote(t vel ü -——, vel o — 7, cautione fupra indicata non erit Opus. Corollarium r. $. 16. - Quodfi numerator P füerit poteftas fim- plex ipfius x, puta x", exiftente zm £o, at m «22k, vt x ng —r., pofito ipe formula integranda fit f vx—2»xcof.o0-]- 1 — 0, erit formula pim m 9) fin. m o -- cof. s «,. ideoque F — fin. Óóo et G — cof. o, vnde quaelibet portio integralis induet hanc formam: — RE] Yy (xx—2xcof a-- 1) 9*9 A tang, Je r-—xcj. o? et aggregatum omnium harum partium, fiquidem loco q- fucceffiue finguli eius. valores fubítituantur, dabit tothm in- tegrale formulae huius propofitae, ita fumtum ,. vt euanes- cat pofito x — o. Corollarium 2. | 6. 17. Si numerator P ex pluribus huiusmodi ter- , minis conftet, vt fit P — aa* -- b xP-E c xY -L etc, inte- gratio maiore difficultate non laborat; erit enim F — afin. a9 4 P fin. 8 o -41- c fin. y e. etc, et G — a cof. a o -1- b cof. 8. -41- c cof. ey a etc, hincque totum integrale facile expedietur, - ] Scho- -—539 ):i6( i3 Scholion. $. 18. Hic autem occurrit cafus imprimis memo- rabilis, quo fumitur P— x*7" -- x**", quem in fequente Problemate fpeciali feorfim euoluamus. Problema fpeciale. k-n k4-n €. x9. Propofita formula differeniiali x "EXT dx N-- 1s-X* x eius 101m iniegrale euoluere. Solutio. Cum hic fit P — x* ^ "* -i- x* ^, fi ftatuamus xx—2xcof.o-- 1 — o, fiet pcrlTe (fin. (& — 5$) «) -1- fin. (& — v) -1- cof. (& — 1) « 24- cof. (& — 1) a, *nde fponte fe produnt litterac F et G; cum autem in genere fit fin, p -1- fin. 4 — 2 fin. 4. cof. £-* et cof. p -|- cof. q — 2 cof. 2*3 , cof. 2—4, fa&a hac reductione reperietur : F — 2 fin. ka cof. no et G — 2 cof Ea cof. na. Cum autem in genere fit q — 9-77, erit fin. Ea — fin, 77, cuius valor eft vel -j- r, vel — 1; vtrumuis autem. locum habeat, femper erit cof, k e — 90, ita vt fit — 2 fin, £4— 2.7 cof, g 9,77. et G—o cof; quibus e92 ) 17 (. 85e quibus valoribus inuentis pars integralis ex hoc facore generali oriunda etit 2i— x)T 2i— Y)nm [iix x 1n. Eu 1x cof. [iios im A tag. .xürb : k 2 2k (2i—1)m' : I — x cof. XE Hinc ergo, fi loco ; fucceffiue fcribamus valores r, 2,35 4 etc. vsque ad £, totum integrale quaefitum fequenti for- ma exprimetur: 2 no n cof. E A tang. T x fin. 7- — — I-— x cof. 7; 2 2k—1i)m 2k—1YMTm x fin, CE—»* Xe n Um EST Adg. —— c A k 2k 2k I eo[ eam 2 D vbi imprimis notatu dignum víü venit, vt omnes partes logarithmicae fe mutuo deftruxerint, Corollarium r. | $. 20. Quod fi ergo fümamus 2; — o, ita vt for- P SUA AMICO —;, eius integrale hoc modo mula integranda fit hs n exprimetur: 4G Acad. Imp. Sc. Tom. V. P.I. C 2? e$2 ) rs (Se 2 x fin. im A . tang. SE CET - z Atang. TERT K L—y cof. S I— x cof. 3? 2 2 I—yx cof; eT É sibi (2k—1)m x fin. Dt t. 2 ck fin. — — ^ A tang. icai & 2k 2... g5xcof ek nm DEOS SENE At pofito 3* — z, ob ^* —?*, formula integralis induet kz hanc formam: f/;222.., cuius integrale manifefto eft zz , Àtang.z , tang. xt vnde fequitur fore - fn. * x fins A tang, SERM tang. ko —À tang. EL: x — x cof. 7- 1 —«x cof? a hn 2k -l- A tang. x3 cof 57 2k x4án, &t-om* 2h : I—xcof, C^— )* 2R 3I. fin. GERIT A tang. "m x z quod fane eft Theorema maxima attentione dignum, Corollarium 2. 6. 21. Ad hoc Theorema illuffrandum fumamus k— rz, et ob fin. Z — x et cof. 7 — o prodit manifeíto A tang. x — A tang. x. At, fumto £—3,.0b fin. * 34 /:60f..7 — coL" EE fiet : A tang. x x — A tang... —. — À tang. 4L s"W olo fin. 7 vet *u "| RI Cum —WS ) 19 ( $e Cum autem in genere fit A tang. f — A tang, g — A tang. PI : hoc cafu erit: L— x dd E : p—y1-s €t4— yq; ideoque - — 2xxX e p 2 — a-kX e 1-pq— "77. vnde manifeflo prodit Atang.x x — Á tang. v x Sumamus porro & — 5, ct ob hino iA cobe — P. mnn. er cope S. fin. 7 —. cb.col. 7 — — 7, reperietur A tang. z' —A tang, ; — —- — tang. x -- A tang. 3 24- X y1:5 vbi per reductionem fuüperiorem Arcus primus et tertius iun&dim fümti, ob — —-x et ds *—p à quo fi fubtrahatur A tang. x, re» D praebent A tang, manebit A tang. x*. Scholion. $. 25. Ceterum veritas huius theorematis in ge- nere comodiffime fumendis differentialibus oflendi poteft. Cum enim fit k xt d : 1--x cifim id. a daft — d. À tano. 1— xc.) 1—2axX cw --xx? fi loco e valores debiti fücceffiue fubititnantur et per Zx diuidatur, refultabit fequens aequatio: t kx et d;. A tang. x* — e$ )so( $e k—1 T zT kx fin. X fin. "t — e ix I—2Xxcof— xx 1— 2xcof.77 Lxx! fin. * 5-955 zgNE4grun d PR ———ÓÁ— —* 2h — i1) 1— 2xcof "7 p xx quae funt eae ipfae fractiones partiales, in quas fun&io fracta kx à : —; refoluitur. — Ceterum. cum in hac integratione I-r-Dx omnes logarithmi excefferint, duplex quaeftio circa inte- grale inuentum inftitui poteft, altera, qua quaeritur eius valor cafü x — oo, altera vero cafu quo fumitur x — z. Quaeflio prior. k-—n kn 6. 25. Propofia formula differentiali EYES is 2x p ox Ux? ejus integralis valorem | inuefligere, qui oritur. fi pofl inte- grationem ponitur. x — co. Solutio. Cum quilibet arcus in expreffione integralis in- venti 6$. 19 in genere fit huiusmodi: A tang. ^, 9, fi — x cof. x? ftatuatur x—co, is hanc induet formam: A tang. (—tang.o). Quia autem — tang. o9 — -i- tang. (7 — 6), ifte arcus fiet —4—0; quare fi loco o fuccefüue valores debitos fub- ftituamus, integrale quacfitum fequenti ferie. exprimetur: 5 Tm n T 2 [ 37f anm «(7 2) cof. t —0—u) cof. VE 2 es 15:70 sno. 7 QE 7n 'Y -r à (1 — 51) cof 525. $ (0 — 11) co 7 2 (3k— 1)*1 (a4k— ))n'T IM «Ra (7 - 05 T)cof. 9777 — , cuius ens )er( eMe cuius vltimum membrum habebit fignum -i-, quoties fuc- rt 2k — 1 numerus formae 42 -1- 1, fiue Kk —2a-t- r1, ideoque & numerus impar; at vero fignum — valebit, fi 2k- fuerit formae 4a—zr, fiue £ — 2a, ideoque nume- rus par. Ad valorem huius fcriei inueniendum. ponamus: S-(— Meat - (1 geo ate cient 24 ps UT -—4)cofitL — e. pi eS EE H- (1-68 *E-1) cof, eae, ita vt valor nofter quaefitus fit —x Quo nunc valorem ipfius S inueftigemus, multiplicemus vtrinque per 2cof 77, et cum in genere fit zs decks end inr p cof. 6-2 2, t... 2 CO. adhibita ifla siue reperietur 4 (x — À) cof. 7 — (x — £) cof. 27 T zk [i t (r- à)—(1:— z;) cof. m oc.) dures * (73 cit 5 (1— Scot st AE etc wiped costs 3 (1 74) cof. *27 — etc. vbi patet, quemlibet terminum fuüperiorem cum fequente in- feriori in vnicum coalefcere, ita vt tantum primus inferior, qui eft (1 — 4), et vltimus fuperior, qui eft -I- 4, cof. n 7, folitarii relinquantur; facta ergo hac contracione repe- rictur: m. cof. 57 28cof.77—1— 5,-E Acofsm-r, zn CETETS (B. — rmn TEco ten —. - - 2-7 52-ricof.' E. C 3 vbi eti» ) oar ( Sue vbi fignum fuperius valet, fi k fuerit numerus impar, in- ferius autem fi & fuerit numerus par. Ponamus porro ad hanc feriem füummandam T — cof. ** — cof. 5 2p cof. 377 — cof. M ;; reu ql a d cof. &cdem, ita vt hoc valore T inuento füturum fit 2 S cof, AE 1 — 4 Acof.amA- T. fimili modo vtrinque per 2 cof. 77, et in fub- Multiplicemus eadem reductione reperietur: fidium vocata -- cof. zd — cof, 2d 2'T cof. a7 — 4- cof, 27 — cof. T's 4. cof, t7 4-cof, 7. ^Oixeo[ BE Un . 2 . . . . 3n . zh 7n COR AT LI . . LI * vbi omnes termini fe mutuo de(ltruunt, practer primum inferiorem et vltimum fuperiorem, ita vt obtineamus : nap nTUT (zh —31)m- 2 T cof. 77 — cof. 27 Jr cof. REA Quia autem (2 k —— 1) dimus AL n'T . eo nm-—mnm-—., erit cof. eet cof. ng cof. 77 -- fin.nm fin.?7, quoniam vero 7 fupponitur numerus integer, erit fin. n 7 — o, ideoque ocb cof. * A cof. vnde fit Jq'esicpEi nma —— 2 Scof. 27 — 1, confequenter se cof. n 7 cof 77, cof. n T, quo valore fubftituto fict et2 )cos( fe E: S — — —-7, ideoque valor nofter quaefitus erit: 2. cof. PE vnde naícitur fequens 'Theorema t. 6. 24. lfla formula integralis : a iermino x —o THE ad terminum x — eoo extenfa, pro- ducit bune valorem: |y je y, Cuius demonílratio ex prac- cedente paragrapho Deus Huic adiungi poteft fequens Tbeorema, quod prorfus fingulari demonftratione ex iíto de- rinare licet. 'T heorema 2. ph—n $. es. Si tam ifla formula integralis : foe bee 1a ag? AREE d Y ; quam baec: [—— T4. derminox-o vsque ad x 2 oo I-c-TX' ox exiendaitr, viraque producet eandem fummam, quae eft 7 2k of. L7 i Demonítratio. tn us ; : Ponatur S —/f.— ——..—", fiquidem integratio a Ti-p e wu termino x — O0 vsque ad terminum x — oo extendatur, ac pona- e. )?4( $e ponatur x — 1, ita vt iam integratio abfolui debeat a termino co vsque ad o, et ob 4£* — — ^* habebitur nunc &e-kanr Jue í GIRL quae, fi numerator ac denominator I z 5 multiplicetur per z abit in hanc: SEM MET dz BCNN "ET: I--2 z integratione a termino z — coo vsque ad z-—0O extenfa. Hinc permutatis terminis integrationis crit gh dz — T a termino z-—— o vsque ad z — oo, vnde fi loco z fcriba- tur, manifeftum eft, vtramque formulam, a termino x—o vsque ad x — co extenfam, eandem habere fummam S. Cum n ambae hae formulae iuncae praebeant fam- mam 2 S — 7 cof."T,erit vtique vtriusque formulae va- 5r lor feorim S — 2 E cof" — 2d Quaeflio altera. €. 26. Propofita formula. differential x^^ sp yia dx 1:-4-x* s eius integralis valorem. inuefligare, qui oritur ,— fi. pofl. inte- gralionem ponalur X — 1. Solutio. Cum in forma integralis generali quilibet termi- nus inuentus fit 2 cof. zo À tang. - S fiat uber — ac ej )es( $5 ac prodibit j cof. » o A tang. £52 quae forma ob fin.o — 2 fin.;ocof. io ct r—cof.u —2 (in. Ia* abit in hanc: cof. ; Q9 X cof nm A tang $ in. ; Q quae, cum fit cof. ; fin. io porro transformatur in hanc: &cof.ia(Z—ia)— &(m— e)cof. na. Quod fi igitur hic loco « fucceffiue fcribamus eius valores; qui funt 4, 12, i2, vsque ad C*-'7, valor jnteeralis quaefitus exprimetur per hanc progreffionem: aon epu &(1— E) cof. 57 Et (m — 15) cof. £27 —k(m—Z)ef T ------i(n—OhUm)cof ek vbi Bora ambiguorum fuperius valet fi & füerit nu- merus impar, inferius vero fi par. Comparemus hanc ex- pref&onem cum ea, ad quam in quae(tione. praecedente eft peruentum, ac reperiemus, hanc illius praecife effe femis- g TI iu fepE S —ia0), " E ui j : fem, vnde eius valor erit Sr co Ev ficque habebitur fe- quens "'Theorema. x*- "n kh--n -- x dx . 25. Dfla formula. integralis: ————á—-—.—. $ vi I? ft y x? x? 4 iermino x -—o vsque ad terminum x — i a a. pro- dicet bunc. valorem: ——— 2 k cof. E x Ada Acad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. D Corol* ec$ )s:6 ( Ss Corollarium. $. 28. Cum igitur huius formulae integrale, a ter- mino x — o vsque ad x — tr extenfum, fit. dimidium eius, quod a termino x —o vsque ad x — oo extenditur, fe- quitur, fi eadem formula iutegralis a termino x — x vs- que ad x-— oo extendatur, eius valorem quoque fore T ; z Ek cof» Praeterea vero vtriusque valor aequabitur huic : xa I-i-x vsque ad x — oo extendatur. formulae integrali: quem TIEGT. fiquidem ab x —o Problema particulare II. 6. 29, Si fumatur Q— x — x**,. inuefligare inte- EE dx grale/ buius formulae differentialis : (ray T. fü fundlio integra, in qua nullae. poteflates. altiores occur- vani quam exponentis & k, me f[olicet ifla fractio euadat Jpuria. vbi quidem Solutio. Cum fit Q— 1 —x^*, ftatim duo eius habentur factores fimplices reales, qui fünt 1 — x et x -4- x, quare partes integrales ex iis oriundas primum inueftigemus. Po- namns igitur pro factore 1— x fractionem P EXP OLRMES R, Xu—x rem PUN vbi R comple&itur omnes reliquas partes, vnde per 1—4& multiplicando habebimus P ez ):7( $e P(r—»«x) x(r—x5) —u-pR(ri:-—x) quare (i faciamus x — 1, nancifcemur P CIEN PoES PET D cuius pofterioris fractionis, pofito x — rz, tam numerator quam denominator euanefcit, hinc eorum loco fcribamus eorum differentialia, fietque P 1 [22 sem t—6—— P3M—————aIm zk xy 2kxk— Fiat igitur nunc x — 1, quo cafu abeat P in B, ac pro- * L fu. B » L . * [3 dibit « — 75 ex fractione autem partiali —— porro re- peritur pars integralis inde nata — AaabL(a—r)mLB(:-—x) Pro altero factore I--x faciamus fimili modo P B CET Mic PETRA RUE TPRNE R x (r-— xt) qeu Á vnde per r-i- x multiplicando fit P (rax) is R " x(1i— maf 8 A (x e x), quare fi faciamus X — — r, erit au Bod ex B—: r-34? vbi in pofteriore fracione differentialia tam fupra quam infra fcribantur, vt prodeat D e» pofito c2 ) 2$ ( e tox pofito. fcilicet x .— — 1. Ponamus ergo, fado x — — rz, fun&ionem P abire in fun&ionem C, fietque (9 — —&£, et ex fractione partiali obtinebitur pars inde nata in- 8 1 -- e3tu tegralis 87 (x 3- x) —— 5 /(x-- x), ficque ex ambobus factoribus (1 -i- x) et (1 — x) nafcuntur hae duae partes integrales: — 2:/(1 — x) — $ / (x 4- x). His expeditis fit formulae 1 — x^* factor trinominalis qui- cunque r — 2x cof. a -j- x x, quo facto — o, ifta formula i —x* induet hanc formam: y 6-559 6n.ok(«—cof. obo, fin. c quae formula, cum debeat euanefcere, has fuppeditat cone ditiones : z*. finD. 2£ 0 —: o "e£ 97; cof. 2b or; ex pofteriore ftatim intelligitur angulum q« fequentes va- lores accipere pofle: | — 9 — MÀ 2UIE- re E o Ecc. AUT ITE. Io -——0, Arc O0—tp—x 3: U0—n—ip et in genere o — Z7. Quia igitur numerus horum valo- rum debet effe — £, primus autem 9. — o tantum factori fimplici refpondet, numerus valorum debet fumi £-rr, ita vt iam vltimus futurus fit ** — 7, vnde alter fa&or fim- plex r-i-x nafcitur; hoc autem modo fimul primae con- ditioni fatisfit, qua effe debet fin. 2£ o — o. Nunc confi- deremus factorem generalem x x — 2xcof. à -- 1, quo po- fito — o fiat — F (X e cof.) : caQ. — 2h. pt as eritque 577 — — 2k x**; at vero iam vidimus, tum fieri A'"*— 1 ficque 542 — — 2 &, pro eds )s:o[ site pro qua forma in genere pofuimus IGILUR pg, quo circa pro noflro cafü erit f— o et g—— 2k. Cum igitur pro hoc factore in genere inuenta fit ifla pars intee gralis : 3 (Ff -3- C g) ADA 3 un Mk: 2x i I) 2 zx 5) x jin. T JdÍicgE A fang. : & cof, q? erit ita pars noftro cafu F — S IY(rx— 2xcof. o-4- 1) 4- 7 A tang. 5 52-, I Mes fi loco o fuccefiue fcribantur valores incar, filicet o — 0, & Z— 7, e — 5, vsque ad e —(k— i) 7, et omnes iftae partes in vnam fümmam colligantur, ob- tinebitur totum integrale formulae propofitae. Hic autem probe obíeruandum eft,ex parte prima et vltima eas ipfas partes oriri, quas iam pro valoribus (r — x) et (1 4- x) affignauimus, quare eas penitus omitti conueniet, Corollarium r. $. 50. Quodfi numerator P fuerit poteftas fim-- plex ipfius x, puta x", exiftente zi 1 ct m-2k, vt iei dx formula integranda fit /'* pnm nic facdoribus fimplici- bus x — x et 1 -1- x erit B—-1- 1 et C —(— rz)", vnde: partes integralis hinc natae erunt par UU z;; x) E 1 (1 -- x). Pro reliquis vero partibus erit F— fin. o et G—cof. za, vnde quaelibet portio integralis induet. hanc formam: D d 32 ) 30 ( ecu - ' fin. m a. a xfia — . quee 1 V(xx—2xcof.o4-1) 4- uL A Cati. 1 ru? vbi valores pro « fubftituendi funt LEE ET. (k— jm k? k? k . € [-] LJ b LI Corollarium 2. 6$. 31. Si numerator P pluribus huiusmodi termi- nis conftet, vt fit P — a 1* -- b a8 -p e xY 4-- etc. integratio maiore diffücultate non laborat; erit enim F —a (in.a o.-4- 5 fin.(8 a -4t- c fin. y o -1- etc. et G — acoí.a & 4-4 cof.(8 o -- e cof. y a -1- etc. hincque totnm integrale facile expedietur. Scholion. €. 52. Cafus prae ceteris memoratu dignus, qui hic occurrit eft, quo ftatuitur P — a*-^ — x**", quippo quo omnes partes logarithmicae fe mutuo tollere reperi- untur, vnde eum in fequente Problemate euoluamus. Problema fpeciale. xt —xyte dx $. 35. Praopofita formula differential I-d-X'U x eius totum integrale inucfligare. Solutio. Quia hic et P—- 4*7" — x***^ — x*—*(1—3*"), ob à numerum integrum pofito tam 4 — 1 quam x-—-— I ifte valor -euanefcet, vnde fiet tam B — o quam C — o, ficque partes integrales «x factoribus fimplicibus. natae fponte es )ar( ee fpoate euanefcunt, Pro fa&ore autem. duplici quocunque r—excof.o-r-xx, eo facto — o reperietur: m ACRES (ün.(k-n)e — ün. (E 4-n) v) -- cof. (E — n) « — cof. (£ —1)., hincque colligitur: F — fin, (k — 5) e — fin. (E-- n) e et G — cof. (£ — 1t) « — cot. (E 4- n) o. €um autem in genere fit fin. — fin. q — 2 fin. f—f cof. £-*1 et cof. p — cof. 4 — 2 fin. £—? fin, ?*-*, ob f — (k — n) a et a5 eas) « erit F ——2fin.20 cof. &o et G — 2 fin. a fin. E o. E(t vero vti vidimus in genere e — '*, vnde fit fin.k o — fin. m — o et cof, E o — -t- s, fcilicet valebit -- x, fi 7 eft numerus par, et — « fi i impar. Ad banc autem ambiguitatem euitandam retinea- mus cof. K o, atque habebimus F-—-2fn.70cof. Eo et G-—o. Ex his igitur pars integralis quaecunque in genere crit: iM RE À tang, — £^ z fin. ta 3 — xj. u? vbi tantum opus eft loco c valores indicatos fücceffiue fubítitui; et quia pro primo o — o et vltimo a — 7 par- tes iategrales fponte euanefcunt, perinde eít fiue valores primus et vltimus reiiciantur fiue rctineantur, quamobrem totum integrale quaefitum fequenti modo exprimetur: -4- 2 eji$ )se( $5 2 no ea -—L — fin, —— A tang. EET (4 k 1 — x cof. ^. : 2n x fin. 7 — E l1 , 277 tang k k 1 —x cof.* - 2 n x fin. £7 FRE M Ap c eu Re. & 1—xcoL. deu £4 Xx dbE—wit— 5 fih. (E—1)97 4 tang. ien 2b E k 1--qo9[ k vbi fignum füperius valet fi » fuerit numerus par, infes rius vero fi impar. Corollarium. 6. 34. Si hic fumere velimus y—20, formula in- tegranda fponte euanefcit, ita vt hic nihil memoratu di- gnum refultet, vnde in valores huius integralis pro cafi- bus x— co et x — 1 inquiramus. ; Quaeftio prior. 6. 3s. Propofita formula. differentiali x7? z-cghdet- qox iÉ—x^* E eius valbrem integralem inueflgare, qui oritur fi poff inte- graiionem pouwituy X — oo. Solutio. Cum arcuum qui hic occurrunt forma generalis fit A tang. ——/"* —, ea, pofito x—oo, vti ante vidimus, abit 1 — x cof. o? in T— 0, vnde litterae o valores fuos ordine tribuendo valor we32 ) $5 ( $83 valor quaefitus noftrae formulae integralis fequenti pro- greflione exprimetur: £ (m — 2) fin. E — i (m — 52) in.*5* -- 5 (g— 2) fia. $^ 2 T 4n*X (b — 1 c ; —2L(n—t)füntt-.... 4 (n (ess) fig, e Ad huius valorem inueftigandum. ponamus: S — (x — i) fin. 7 — (1 — 4) fin. 555 -F(x— ;.) fin. —(x— Min t.... -E (1 — ^79) fia. fem ita vt valor quem quaerimus fit ES Multiplicemus igi- tur vc hactenus vtrinque per 2 co f.27, et cum in gene- re fit 2 fin, 1^ cof, 17 — fin, £077. -p. fig, Gite fa&a hac redu&ione perueniemus ad fequentem expres. fionem: , ScofiT — t (1 —j)fin. 77 — (1— &) fin. £77 2 0 VEN 1 n 2 p E (x — à) fin.77 — (134) Gn. 4. (1— 2)8 in ki -r(1—3) fin.77. .. 4- (1— £72) fin. 5-2 PRAE E e cou 7n7T EX S (Rzzr) (2o s (1- i)ün-77...-rF (1 T )fin.G Enn vbi quilibet terminus fuperior cum fequente inferiori in vnum contrabi poteft, vnde primum inferiorem cum vlti- mo fuperiori feorfim exhibeamus hoc modo: 2 S cof, £7 — (1 — 3) fin. 7 -1- j fin. (zk— vnm R — ; 2R 2R Tiün. 77 —,n. 77 -Eifin. 27 4r ifin Gi-9em Hoc igitur modo vlümus fuperior cum. reliquis eandem legem fequitur, ita vt ponere liceat: 2 S cof. ec (x — i) fia. 77, fin. 3*7 — E SnT. y: 7n T 1 k— Hi —4fin. 2h dafin. 7 1 (cT ífin.t 2d LI L] Atia Acad, Ip. sa Tom. VP. EI. E Sta- es5$ ) 354 ( $839 Statuamus porro T — fin. 777 — iA A m e Ue fin EkzDnm. vt fit 2 S cof. *7 — (1 — i) in. 7 4- T. lam iterum multiplicemus per 2 cof. —7 dem redu&ione reperiemus: 2 Tcof.77 — fin, 7 —fin.—27--fin.*17. . . -- fin. nz -Híin.*7 —fin.—774- fin. $25 — fip nm -l- fin. adam, vbi, deftru&is terminis qui fe mutuo tollunt, obtinebitur: 25 cof. t fin.* -- fin.n 1 — fin. 5", ob zz -c. Quia igitur eít fin. "E — omn. « cof. E ert T —hn. E quo valore fubftituto fiet 2. S cof. ipn cp ideoque S — tang. 77, URS Due noftrae formulae in- —- g T , et adhibita ea- tegralis, cafu x — oo, valor erit 7 tang.77, vnde nafci- tur fequens Theorema. $. 56. Ifla formula integralis: f ———À——, a termino x — o vsque ad terminum x — oo extenía, pro- T ducit bunc valorem; 7. tang. 77. Scholion. 6. 37. Cum haec formula duabus conftet parti- bus, fi fimili modo, vt fupra factum e(t, in valorem vtri- vsque fcorüm inquirere velimus, vtriusque valor adeo ima- gina- eb2 p$x( t9 einarius eflc deprehendetur, id quod facile inde perci- pitur, quod pofito x — x ipía fractio iam in infinitum excrefcat. Tractemus autem vt fupra partem priorem, po- xo dus nendo S Z/———,.—-, a termino x.— o vsque ad x— oo, I—X3' x de. faciendo. x/— 5. fiet S A j eg ka dz m gt dz DOC EXIIT eM EIE a termino z — oo vsque ad z — O, ergo mutatis terminis integrationis erit E: gf gk dz dosis MEE Lom a termino z—o vsque ad z—oo ; vnde fi loco x. fcribamus x et has formulas iungamus, erit qR—. «kat (ae. c n cu LO. ., tang —-. I-X Sg k 2k vnde prodiret S — 7 tang.77. Haec autem conclufio ad- mitti nequit, quoniam noflra formula integralis eatenus tantum ad arcum circularem reduci poterit, quatenus nu- merator x*—-^— x*** "cum denominatore. 1 — x^* fac- torem communem habet 1 —v x, qui ergo femper diui- fionem tolli poffet. Verum fumta tantum alterutra parte, ifte fadtr r—xx ex denominatore non tollitur, ex eoque igitur neceffario na(ceretur pars integralis vel huius for- mae: , 7 —*, vel huius:a 7(r—xx), quae vtraque forma, Ye fumto x Zoo; fit imaginaria. E 2 Quac- et32 ) s6 ( EIL Quaeflio altera. 6. 38. Propofita formula differentiali atb—a pr atta dx — LJ put t eius integrale inuefligare , quod oritur, fi pofi integrationem ponitur x — r1. Solutio. Si in forma generali arcuum, quibus integrale ex- primitur, quae eft A tang. — "^ -, ponatur x — 1, pro- — x cof.w? dit vt ante vidimus 7 — ?, qui valor cum fit dimidius e- ius quem cafu praccedsuney Rip ftatim patet, valo- rem noftrum fore 7, tang, ^7, vnde nafcitur iftud 'T heorema. x^—"7 "4 xc 1 dx : 6.59. l/la formula integralis: yz [m wc E & lermino x — o vosque. ad terminum Xx — 1 og pn ducet bunc valorem: 7. tang. 77. Corollarium. 6. 40. Hinc fi eiusdem formulae integrale a ter- nuno y —.3 TEE. ad x — co extendatur, cius valor quo- que erit Ztang.^7, quandoquidem hi duo valores iunc- tim fumti valorem cafus praecedentis producere debent, Problema particulare ]II. 6. 41. Si fumaiur Q — x 4- 2 x* cof -4- x**, in- vtfli- ej 87 22e vefligare integrale buius formulae diffeventialis: P2x x (1 4- 22* cof. g -4- x**)' vbi quidem P fit funclio integra, in qua mullae potefiates x aliiores occurrant. quam exponentis 2 &. Solutio. Quia denominator Q alios factores fimplices, prae- ter imaginarios, non admittit, nifi cafü' quo 7; — 180^, fit eius fa&or trinomialis in genere 1 — 2 x cof, 9 -1- x x, quo pofito — o fiet Q — 559 (Gn. 2 kw -1- 2 cof. 5j fia. E s) -- cof 2kqmo-1-2cof.g cof. k a -- r, quae forma, quia debet efie nihilo aequalis, poftulat has duas conditiones: J. fin. 2£ 9 -41- 2 cof. € fin. E o9 — o et Il. cof. 2£o -1i- 2 cof. j cof. & o -- 1 — o. Cum igitur fit fin. 2bo- »fin.kacof.&o et cof. 2E o-- 12 2cof ko, prior conditio dat 2 fin. E a (cof. & & -- cof.) — o, et fecunda conditio 2 cof. k « (cof. & à -1- cof. ) — 6; Vtrique igitur conditioni fatisfit fimul, fi fuerit cof. k a -- cof. »j — o, quod quo facilius feri poffit fumamus ; — - — 6, vt ha- beatur cof. ka — cof. €. Omnes autem. anguli cum- 7j co-* E 3 munem et32 ) 38 ( S9 munem cofinum babentes funt: 0, oz -I- 0, 4x -- 6, 6x -- 9 . e EOM wy : et in genere 22m d- 0, quamobrem flatuamus pro o fe- quentes valores: EDS] — T4 — 0 -—5 o — k jn EXS eR y etc, et in genere ETE. quorum valorum numerus cum debeat effe — &, vltimus erit —i:&-)m-4d —-—am 2 g— :—À E EO His conftitutis TOICHM formulam PT quae erit — 5 k (a* cof, -- x^), quae per conditionem xx—2xcof a 4- 1 — 0, ob cof. z — — cof. 8, reducitur ad hanc formam: 2j &— 659 (fin. 2 k & — cof. 0 fin. & «) 2 jin. Q2) -r 2k (cof. 2k a — cof. 0 cof. & «), pro qua in ad nus ecd iw Pg ficque erit jin, Q f- 2 k (Gin. e kw — cof. 0 fin. Ew) et gc (col 2k « — cof. € cof. & 6). Loco fin. 2k o et cof. 2 ko fcribamus valores ante indi- catos, prodibitque f— 2k fin. & e (2 cof. ke — cof. 0) et g — sk (s cof. kw — 1 — cof. 9 cof. ku), cum autem effe debeat cof. k o — cof. 8, fiet f — 2kfin.k o cof. 6 —kfin. 2& o et g — 2» k(cof. — 1) — — 2 k fin. €". Quia O55 Js9( $5 Quia igitur in genere eft o — *17.**, erit 2ko-4im-4-20—20, ita vt iam habeamus f — & fin. 20 — 2k fin. 6 cof. 0, ita vc fit ff -1- gg — 4kk (in. 0, quocirca fi, pofito I—2xcof.0--X*xx-—0o, functio P transformetur in hanc formam: EC — 9 9 4. (G, fin.o ex denominatoris Q factore 1 — 2x cof. o -- x x orietur ifta pars integralis: FoL0-Gfi.9 |J y Cx x — ox cof. o -1- 1) R Jn. 8 ACSSEEELIA A ang, Lt Tantum igitur fupereft vt jouo o9 ordine fub(tituantur om- nes eius Yalores, qui funt: $3557, ST--2. - -*(— med, et fumma omnium E frdusrud praebebit totum integrale quaefitum, Corollarium. $. 42. Si fuerit numerator P fimplex poteffas ip- fius x, fcilicec P — x" ,tum fiet F—fin.mo et G—cofmo, vude pars integralis ex. denominatoris fa&core indefinito : r—2 xcof.o-1 x x, oriunda erit cof. 0 fin. mq — jfin.8 cof, mq ap hen ef nme ts IV(xx —2xcof, a-t- 1) Lj eene cm» ( -- fin. 0 fin, m o & jin. 0 vnde fimul patet, fi functio P ex pluribus huiusmodi po- teítatibus füerit compofita, quemadmodum integrationem abfolui oporteat. x fin. t )1— xc0j. o ? A tang. Problema fpeciale. x47 a xt dx Propofita formula differentiali ————— Sterne R ff 1-Fax'cofop-x^* x eius tolum integrale inuefligare; Solu- ed2 )4o( $t5je Solutio. Cum hic fit P—4*—"-E 3*7, erit F —2fin.&acof. áo et G— 2cof. Ea cof. 5a, vbi cof. £ o — cof. 6 , quibus valoribus fubítitntis pro parte integralis logarithmica erit: F cof. — OG fin.8 s 2 60f. 0 cof. n a (fin, k e — fin. €) — —MÓÁÉPrÓÓÓÀ— M à k fin. 0 X R 112. 9 Cum autem in genere fit o—7577—, erit fia. £u - fin, vnde patet, hanc formulum euanefcere, ita vt omnes partes lc- garithmicae ex integrali excedant. Pro partibus autem circularibus. enadet :coeflicleng Ste Pound verom, nos & Jin. 9 Emm que ex fictore denominatoris indefinito r—2xcof.o-4- xx oritur ifta pars integralis: 2 cof. n Q x fin.a k jm. 60 A tang. I -— Xc].u* In hac ergo formula pro c ordine fcribamus eius valores, : 0 27 3-0 «T -3- 2 (hk,— 0 v -- )m i-i. ED qui funt i ROB ep ete. vSque ad 4————,——- 75; vbi meminiffe oportet effe 6—m-7—34, et quo formulae nonu nimis fiant perplexae vtamur fequentibus valoribus: ata, Rc u -wy,etm—, vt valores ipfius w fiant Qi &-F f, 2a Qs amr Borromeo At vero omnes valores anguli 2 & erunt ordine —— 9, yc), 2y-kb9; 85y 9, -- --(k— x) y 8. His igitur valoribus adhibitis totum integrale quod quae- rimus erit 2 cof. Y A tang. . X fin fin B - 2 cof. (y 4- 6) A tang. z fin. (& 4 8) kh fin. 0. | — x cj. h jm. 0 1— x co. (a o- B). » cof. (2 y 4- 5) x fin.(2a 3- Q) , x fin. (sa 4- B) "t ERISQUE A PARE a |— x &J. (2a 4- B) "mier EI fin. 1—xcof.( (3a3-Q) M sim ak o PM a cof. tk — 1) b APA A ik —)0a 8 Ad : d; PCIBRImS A tang. 1e cof (k- 1) 3-9) Corot- et02 ) 41 (cto Corollarium | r. $. 44. Euoluamus cafiüm quo 5— O, ideoque et- jam *y — o et à — o, et quia hoc ca(u formula integralis xEe du euadet 2 f —————————————á» ys ea ftatuathus a*—z, 1 -- 2 x" cof. 5] -- a^ atque ob x*—'— 72, habebitur £f grale erit: cuius inte. dz 14-329)j.74- 5 x? LACE .& fin. 9 m ET ; tang. 2. — p; ^ tàng. EI wnde cum in pus inuenta omnes coefficientes arcuum fi- ant pue p per hunc coecfücientem diuidendo dhabebimus Kguenism. aequationem : x* fin. Ó x fin. 8 tap $47 Atang — e, enim * cof. 0 doo 4- A tg. : xfin.(a-kQ) —xcofg —? 1—xcof(s4) x fin. qiippp TAE xfin.((k—1) «--) i—xcof(ze. t8) " x-xcof.((E-1 «4 Q)' vbi recordandum eft effe a — 77, 9 — f : :. . Corollarium 2. $. 45. Ponamus effe 0 — 90^—7, et aequatio mo- do inuenta hanc induet formam: HB nes «fn, xfin.?7 AEES e 1—X cos p - Pi ien AREE 137 fi sym Adi eR a. --. --4Àtg. xfin (77; m 1—xXcof,7 I-Xcoí.-— Sit £— 1, eritque A tang. x — À tang. x. Sit £—2; eritque A tang. xx — A tang. —*—--- A tag. ;—5; — Atang, L— — À tag. zzi Acla Acad. Imp. Se. Tom. V. P, 1, F sit et )42( $e x LAÀtg.— A v; MMEBy dt £—-xVS Sit k— 5, eritque À tang. xz A tang. etc. etc. Haec igitur feries ab ca quam fupra $. 20 inuenimus, prorfus SIE TEDACo etiamfi vtriusque valor fit idem, (cil. A tapg. x*. Quaeflio prior. 6. 46. Propofita formuia. differentias xp xf x5 dx I4X 14x cof; Ex^* Pr eius. integralis valorem inuefligare, qui oritur. fi pofl intt- grationeu] ponatur. X — 1. Solutiosc Cum pofito x — co in genere fit A tang. ; valor integralis quem quaerimus hac ferie exprimetur: D 2 2962, (m d) 9-158 (na — p) "- Set (aa g) . sf. — Y — & c. uw t) —T7T-—909 k Jn. 0 k 9 paure ycet) (T—5324— 2| WC h Jin. $ TL Me. kjm.8 (m (£1) a-) Statnamus igitur S — (1—Q) cof. -- (z—a—) cof.(y-15) -- (1—24— (8) cof.(27y 4- 8) 00. S sS cb (—(k&—1)a— Q) cof. ((&— 1)»y -8), vt fit valor quacfitus .27,. Multiplicemus vtriaque per 2Í[in,,,-et cum fit 2 fin. ; 'y cof. 2 — fin. (Ly -i- 9) — fin. ( —iYh hac rgducione adhiBita íiet; e5 )45( $5 2S n iy (1— Q) fin. (5,— 1 *y) ^- (1 — Q) fin. (; y 4- 9) yu —-(1—47 6)» Y 9) -- (1—2a—£) fin. (zy 5) 4- (n—2a—) fin. Cy Tar 3 — (m—2a—g)in.(sy 9) t- (1—32—)n.(y49)9 ^^ quae feries contractis terminis fimilibus tranfit in hanc: 2 S in. 1 y — — (r — () fin. ( — i y) t- « fin. Cy —9) -F & fin. (^y --9) -- & fin, (y 4-9) V. ac T REESE quot d) (E — 1a — ) fin. (2 y 2-3) vbi cum fit. & —*£ et 8 — 4, erit —(k—-1)04—8—a—-—g. Ponatur T — fin. (1 y 4- 3) 4- fin. (2j -- 3) 4- fin. (^y 4-8), -Cün(ly-c9) T. . o. .ocrBfün((k—2y-49) vt nancifcamur: 2 S fin. ; y — — (r — Q) fin. (8 — 14) — (z -.i- ) in. (k — ;) y 4- 3) 4- a T, quae expreflio ob &»y 2277 reducitur ad —27 fin.(9—1 y) --« T. Nunc igitur ad quantitatem T inueniendam multiplicemus vtrinque per 2fin.;'yy, et cum in genere fit: 2fin. j'y fin. 4 — cof. (g — i'y) — cof. (q - iy), obtinebimus: 2 Tín;y- j 05 —cof, (^y--) — cof. (2*y- H9) — cof. (any) : cof. (»y4-3) 4- cof. VERAS OVE à) — cof, (Ay 8). . — cof. (oy -E3)e M cof (4*y 4-9). -0. $ F2 quae ec )4£( $je quae forma contrahitur in iftam: 2 T fin. ; y — cof. 3 — cof (y E -4- S). Cum autem fit y — UX—, erit £y — 2 n m , ideoque cof. (E » -1- 0) — cof. 8, vnde fit &'T fin.;y —0, ita vt nunc fit 2 S fin. iy — 2 m fin. (1 — 9), ideoque, S-— q fin. G LM din eB Y ES :'Y Ef vero ;y — 7 et à — **, ideoque iy- pmo» oboó—ms-s, "n g fin. ** hocque modo habebimus S — us -— confequonter valor 1n UR integralis quacfiti concluditur fore 2n ^ 2mfin CQ : kíün.0fin "7 . &fin.w in. 7 Vnde formetur fequens "Theorema. "Fheorema TI. 6. 47. Haec formula. integraüsz y^7^ Es xa d x a iermino x — o vsque ad x— oo exienfa, producit bune 2 fin. aet valorem: k . Qui adiungatur adhuc fequens. kfin.wfin. 7^. 'Theo- eco ) 45 ( $52 "Theorema 2. €. 48. l/ia vera formu/a. integralis: xttn5-tdy pariter a termino x—o vsque ad terminum x—oo ex- lenfa, valorem babet. dimidium praecedeniis, qui ergo. erit T fin. — —— 3$ k Gn. € fin. 777 euius demonflratio perinde fuccedet ac fupra. $. 25- Quaeflio altera. 6. 4o. Propofia formula differentiali :, xF—^ - xta dx jeep * cof. 3 - -x' x eius integralis valorem. inuefligare, qui oriur fi pofi inte gralionem ponitur x — s. Solutio. Pofito x — x formula generalis A tang. LEPEe vt füpra vidimus, reducitur ad 7—2; vnde patet, fiagulas partes integralis dnplo minores effe quam cafu prasce- dente, vnde YR quacfitus etiam erit dupio minor 7 fin. 2 — Kin. 7 ; in Em , npe" vnde nafcitur fequens 'T heorema. $. so. lfla formula integrals: Fs 4 et ) 46( $86 xt—tepetpt dx t-L2xtcoí--x'* x a termino x —o vsque ad x zz x. extenfa, produces. bunc fin. 79 alorem : I [ CE fin. 9l fin. 4 Scholion. 6. sr. n his valoribus integralibus ii cafus prae- «ipae funt notatu digni, quibus poft integrationem ftatui- tur x — 1, quandoquidem tum ifta integralia commode per feriem infinitam exprimere licet, lta pro cafü $. 26, quoniam eft I ecc 1— x Laxtt— x5* LL etc. I--X : fi hanc feriem multiplicemus per (x*—"-4- x**")2*, et integremus, tum vero ponamus x-— r1, prodibit ifta feries infinita: ; 1 Y — VORNE EE 1 ken sk —— d n -- etc. ;k — n 1 I I I "i Rea (Eck TILEPERR OPES -r etc. «uius ergo feriei in infinitum continuatae fumma eft ikcob iP At pro cafu $. 58. ob I DL -E- x** -1- x** or x** 21 cete, codem modo operando peruenitur ad hanc feriem: Li Li Hi I rey METISmC 7 0-7. 1 LIB . c ete ob om -—— I T Li &-W IECROROMERSROR 7k 20 culus e|; )47( $99 cuius ergo fumma erit Ztang.77. Denique pro cafu, quem extremo loco tracauimus, cum fit vt alibi often- imus: fin. q —À,—— —— 4 C fin.y—x* fin.25 EL "e - 1 -- 2 X* cof; q-- x^^ iL 1r A*^ fin. 33 — ete, haec feries ducta in (x* —"-- x*7*") 4* et integrata, fumendo x-1, producet hanc feriem: pex -derpop fers dme 2b. ete. k—2u sk—n 4h —1 fm.» |. fin. 2 Jin.3* | fin.«* : UM EA RE W LER 4RAM-n Thr etc, cuius ergo valor aequabitur illi quem inuenimus volori d " : is T fin, 2" du&o in fin. , ita vt fumma huius feriei fit — — — * , nt & (n. ^ quae feries eo magis funt memorabiles, quod alio modo earum fumma vix elici poteft. DE e$ )4s( i5 DE DVPLICI GENESI TAM EPICYCLOIBD VM QVAM HYPOCYCLOIDVM Auctore L EFÁLEG:O. 5s. N?" dubito quin a Geometris, qui iam olim gene- rationem Epicycloidum et Hypocycloidum — docu- erunt, obferuatum fit, quamlibet harum curuarum du- plici modo produci poffe, dum fcilicet duo circuli mobi- les proríus diuerfi circa peripheriam ciusdem circuli fixi circumuoluuntur: nequc tamen memini, hanc obferuatio- nem vsquam legiffe. Cum igitur nuper, dum curuas, quae fuis euolutis fiuc primis fiue fecundis fint fimiles, de- nuo fum perírutatus, in hanc proprietatem incidi(em, haud ingratum fore arbitror, fi hoc argumentum data o- pera pertradiaucro, atque huius infignis proprietatis gemi nam demonftrationem, alteram an2lyticam, alteram geome- tricam communicauero, 6. & e£ )49( $59 6. 2. Conueniet autem ante omnia cunctos diuerfos cafus confideraffe, quibus circuli mobiles fuper peripheria cir- culi fixi prouolui poffunt, Sit igitur A centrum circuli fixi, cuius radius A C — a, fuper quo incedat alius quicunque circulus C B D, cuius centrum fit B et radius BC— b; initio autem ,motus tangat circulus mobilis circulum fixam in C, vbi ftilum gerat, quo fua prouolatione defcribat Cycloidem C Z. Circulum fixum fimpliciter littera A, mobilem vero littera B breuitatis gratia defignabo. Ac primo quidem pa- tet, dum circulus mobilis B continuo augetur, hoc mo- do omnes curuas, quae Epicycloides vocantur, generari. Si enim circulus B euancefcat, perpetuo quidem in eodem pun&o C manebit, ita vt tota curua defcripta in vnicum pun&dum quafi coalefcat. Sin autem circulus B vsque in infinitum augeatur, eius peripheria in lineam rectam abi- bit, circulum A in C tangentem, ex cuius motu orictur curua ex euolutione circuli nata. Inter hos igitur duos cafus extremos omnes plane Epicycloides couftitui oportet, quae eo ampliores euadent, quo maior radius circuli mo- bilis 2 accipiatur. 6. 5. Hic circulum mobilem B extra circulum fitum prouolui affumfimus; nunc igitur eum intra hunc circulum collocemus, ita vt iam eius radius B C tan- quam negatiuus, refpectu prioris pofitionis, fpectari debeat. Si ergo primo hic circulus fuerit infinite paruus, perpe- tio in eodem punco C perfeuerabit. ^ Augendo autem fuccefue hunc circulum eius prouolutione generabuntur omnes Hypocycloides C Z, donec, cum diameter iftius circuli CD radio circuli fixi C A fa&us fuerit aequalis, Hypocyclois C Z in ipfam diametrum fit abitura. Quod Atia Acad. Imp. Sc. Tom, V. P. I. G fi Tab. I. Fig. 1. Fig. 3 «32 ) so ( $tX- fi vero circulus B vlterius augeatur, vt eius. diameter CD-—255 maior fiat radio circuli fixi C A — a, fiue bia, tum iterum praecedentes Hypocycloides refuita- bunt, atque talis circulus, cuius radius 5 — ; (a -i- c), ean- dem Hypocycloidem defcribet ac minor circulus, cuius ra- dius 5 —i;(a—«) Quin etiam, fi circulus B ipfi circulo fixo A fiat aequalis, nulla amplius prouolutio locum ha- bere poteft, fed flilus perpetuo in eodem puncto C períe- verabit prorfus vti cafu à — o. Ex quo iam intelligitur, omnes Hypocycloides duplici modo generari poffe, quando- quidem eadem curua deícribitur, fiue radius circuli mobilis fit ;(a—:c) fiue ;(a-d-«), quemadmodum deinceps fum demonftraturus. Tab. IL 6. 4. Augeamus nunc viterius circulum | mobilem Fig 3. B, vt circulum fixum A fuperet eumque totum in fc comple&atur, ita vt fit ba; tum autem fi puncum contactus initio fit in C, vbi fimul ftilus concipiatur, pro- volutione huius circuli B circa fixum A curua def(cribe- tur C Z, tota extra circulum fixum fira, quae ergo ite- rum ad claffem Epicycloidum erit referenda, atque adeo eadem erit, quae prodiret, fi circulus mobilis, cuius dia- meter foret ZDE, exceffui fcilicet diametrorum CD fuper C E aequalis, fiue cuius radius foret —5— a, extra circu- lum fixum, qualis in figura eft circulus C 2, reuolueretur. Cum igitur hic circulus C 2 refpe&u praecedentis pofi- tionis pro negatiuo haberi debeat, íi eius radius vocetur —d, erit —d-b—4, fiue d-a—b, ita vt fit b--d—a, et nunc demonfítrandum eft, a duobus circulis mobilibus, quo- rum radii fint P et d, eandem Epicycloidem generari, fi fucrit P» -- d —a, fiue quoties in figura fuerit C 4— M. E et j)sr( $t DEMONSTRATIO ANALYTICA. ' $. s. Confideremus circulum mobilem , cuius' radius Tab, X. — b, quique extus circa peripheriam circuli fixi, cuiuscetntrum — Fig in A et radius A C — a prouoluatur, horumque circulorum contactum initio ponamus fuifí? in pun&o C, dehinc vero circulum mobilem perueniffe in firum PZQ, vbi circulum A tangat in puncto P, centrum autem habeat in O, ita vt fit PO— 5b, ideoque AO —a-- 5. "Qhod fi igitur in hoc circulo capiatur arcus P Z aequalis arcui' C P, erit pundum Z in Epicycloide quaefita C Z. — Hinc porro ad axem ACD ducatur normalis Z X, vt rectae A X et X Z referant binas coordinatas pro pun&o Z, ad quas definiendas etiam ex centro circuli mobilis O ad axem agatur normalis O R, per Z vero recta SU, rectam A O fecans in U, re&am vero OR in S, ita vt fit AX—-AR — ZS et XZ— OR- OS $.6. His praeparatis vocemus angulum CA O- «s, et cum fit arcus CP-——ao, erit etiam arcus PZ—au, —ao qui per radium OP — diuifus dat angulum POZ--. lam ob AO —a--» ex triangulo AOR ftatim. nan- cifinur AR-—(s--4) cofo ec OR — (a-- 5) fin. o, Deinde quia angulus O U Z — o et angulus PO Z— 2 o, erit- angulus O ZS — (£7) g, pro quo breuitatis gratia fcribamus A 9, ita vt fit A— * ^, ideoque ^—,2-. Hinc iam in triangulo OZ S, ob OZ- 5 habebimus ZS-—bcof.Aa et OS—Db fin.À o, | ex quibus ambae coordinatae ita prodibunt expreffae: G 2 AX e$ )se( $e AXZ-X-AR-SZ-(a--b)cof.e—bcof.Ao et XZ-y-OR-OSc-(a--5)f(in. o —b fin.A«, vbi fi loco 5 fcribamus valorem -*—, fiet xy — 5 (cof. & — cof, à «) et J — x45 (^ fin. a — fin. A a). 6. 7. Videamus nunc, num alius circulus mobilis affignari queat, qui eosdem valores pro coordinatis x et y praebeat, quod íi enim contigerit, euidum erit, eandem Epicycloidem duplici modo produci poffe. Ponatur igitur huius alterius circuli radius — 5', vnde oriatur NL tum vero ifti circulo refpondeat angulus o!, et quia hib dinatae eaedem effe debent, erit: Xx — cof. o! — cof. A! uw) et 4 l J — ye M finca! — fiu. X w/) quae expreffüiones vt illis aequales reddantur, partes prio- res füperiorum aequales ftatuantur partibus pofterioribus iflaaum expreffionum , viciffimque partes pofteriores illa- rum partibus priorum, vnde nafcuntur quatuor fequentes aequalitates : E —— ] E ———uER. T pA gr x cof Mal, fina — x; fin. X of, PALA Er. M. l i- - cof. Au — cof.u!, — —— fin. Ao — — fin. a. Hic igitur primo angulos Viginque faciamus acquales, et ex prima et fecunda fiet o — A'«/: ob tertiam vero et quartam effe debet A — a, ex quibus coniundim fequi- tur I-A XX, ideoque A'zc— 34. Nunc igitur finibus et co- finibus omiífis cocffücientes in omnibus quatuor aequatio- nibus -5 )53( $8 nibus fponte fient aequales; ex prima enim erit iun 1S2 es ho^ 35 15 Hy: RGRUCIEMEROTOURI LT DAC XD fimilique modo idem euenit in reliquis formulis. Confe- quenter circulus mobilis, cuius radius — £/, candem gene- rabit curuam ac circulus cuius radius — . 6. $. Cum igitur pofuerimus — a--b 1a ALT etl ob I" 37s x: bo^l--ad-b ex qua aequatione colligitur b)—-—a-—b,ita vt fit b-- b —— a, eX quo patet, binos circulos mobiles , quorum radiorum fumma negatiue aequatur radio circuli fixi, eandem gene- rare Epicycloidem, fi modo notetur, valores pofitiuos a punc&o C fürfüm, negatiuos autem deorfum effe capiendos. $ 9. Qnod fi ergo ftatuamus b ——ia(r-4-n) erit f! —— ia(r—n). Ponamus igitur in prioribus formulis pro vx et y inuentis loco P iftum valorem: —;a(r-r5), vnde fit A —7—,et confequemur fequentes valores: x—ia((x—n)cof o -4- (1 4-2) cof. 5 a) —ia((x —nmn)fin. o -- (x 27 2) fin. 550). Ponamus hic, ad frac&iones tollendas, o — (n -1- 1) D et impetrabimus has formulas: xzia((r—m5)cot(z--1)-r (1 4-2)cof.(n— 1)05) -zia((r—m)fn.(m-- 1) (1 2)fn.(n— 1)0D) G 3 qua- ec32 ) S4 ( $$ quarum prior manifefto cadem manet, etiamfi loco n fcri- batur — 2, pofterior vero, facta hac mutatione, abit in fui negatiuum, quo autem natura curuae non mutatur, ita vt jam demonftratum fit, eandem curuam oriri, fiue pro cir« culo mobili capiatur b—-—ia(1--7), fiue b —-—ia(r—nm). Tub E DEMONSTRATIO GEOMETRICA. Fig. 5. €$. ro. Conftituto circulo fixo, cuius centrum in A et radius AC —a, confideremus duos circulos hunc in C. tangentes, vbi vterque gerat ftilum, quo deinceps, dum vterque circa circulum fixum conuoluitur, curua defcribatur C Z. Ac prior quidem circulus conuexitate fua circulum fixum in C tangens habeat fuum centrum in B, fitque eius radius B C — 5, ideoque diameter CD- 2 7; alter vero circulus fixum concauitate fua in C amplectens centrüm füum habeat in B/, fitque eius radius B'C— B/D' —a-L-b, qui ergo aequibitur fummae radiorum circuli fixi et fuperioris B, vnde erit interuallum * AB'—5-—CB, ideoque C B'— A B. Praeterea vero erit interuallum E D — C D — 2 7. i 6. 1r. Poftquam initio ambo circuli mobiles fitum Fig. 6. modo defcriptum tenuerunt, peruenerit fuperior circulus b, fa&a quadam prouolutione, in fitum c Z d, ita vt eius cen- trum iam fit in 2, atque in cius peripheria abfcindatur ar- cus c Z, aequalis arcui c C fuper circulo fixo, eritque pun&um Z locus, vbi iam ftilus huius circuli reperietur, ideoque punctum it curua C Z. Tum vero pundum c erit contactus huius' circuli cum fixo, ita vt fit A P —a-r ^. lam eco )5s5( St$e Yam ex Z per puncum c producatur chorda Ze, doncc circulum fecet in puncto c&/, ac manifeftum eft, fegmenta € Z et ec! fore fimilia, propterea quod arcus amborum cum fuis chordis aequales faciunt angulos: vterque enim arcus Ze et cc! ad rectam A eft normalis. Hanc ob rem erit arcus c Z ad arcum c c! vti chorda c Z ad chor- dam c(', atque etiam vti radii circulorum, ad quos perti- gent, hoc eft vt 5:2; vnde patet ctiam fore chordas inter fe vt 5:2. $. 12. Quod fi iam fuper reca c Z, tanquam chorda, fimile exftruatur fegmentum «'r z, ita vt angulus, quem ifte arcus cum fua chorda conftituit, aequalis fit angulo quem arcus c(! cum füa chorda facit, patet, arcum c/rz tangere circulum fixum in pundo v', et quia eius chorda c&Z eft fümma chordarum ce/e etc Z, etiam ipfe arcus c! 7 Z aequabitur fummae arcuum c'e et c Z ; at vero fecimus arcum cZ —arcui c C, vnde fequitur arcum € rZ aequalem effe arcui circuli fixi C «^. 6. 13. Quoniam porro arcus «c!r Z aequalis eft fummae arcuum fibi fimilium c'e et c Z, quorum radii funt Ac — a et cb —b, etiam radius circuli, cuius eít portio, erit fummae illorum radiorum a 4- 2 aequalis, ideo- que erit arcus circuli alterius mobilis B'. — Hinc quia ifte arcus circulum fixum in c! tangit, eius centrum erit in recta c A producta in /, ita vt fit A j^ CA B'—- b; vnde patet, poftquam ifte circulus, qui initio fixum tangebat in C, eo vsque füerit prouolutus, vt eum iam in puncto c! tangat, eius cuspidem interea perueniffe in ipfum punctum Z, propterea quod arcus c^ r Z aequalis eft arcui ez C fic- e$ )s6( $5 ficque eui&um eft, vtriusque circuli B et B/ motu eandem Epicycloidem C Z defcribi. 6. 14. Super his fequentia annotaffe iuuabit, quod fi ponatur angulus CA c—o, vt fit arcus Cc—aa, quia huic aequalis eft arcus c Z, erit angulus c b Z — 72, "Tum vero quia arcus c c! fimilis eft arcui c Z, erit etiam angulus c A c! — *?. Quin etiam, fi ducatur recta P Z, quia etiam arcus c/r Z binis memoratis arcubus fimilis eft, eius- que centrum in À! verfatur, erit ' ZZ eius radius --a-p b — bi et angulus c! 0! Z — *2; vnde patet, rec- tam /Z parallejam fore recae A v. Praeterea vero, quia etiam recta AP eft a-1- b, ideoque aequalis rectae »Z, manifeftum eít, quadrilaterum A 2! Z P effe parallelogram- mum, ex quo indoles huius figurae penitius perfpicitur. Praeterea hic obíeruaffe operae pretium erit, arcum CZ a minore circulo B defcribi, dum prouoluitur per angu- lim CAvczzo, evndem vero arcum ab altero circulo maiori defcribi, dum is prouoluitur per angulum C A clo 577 a. 6. 15. Quod fi iam angulum CA c—« tantum accipiamus , vt interea minor circulus B totam reuolutio- nem abfoluerit , eiusque ftilus nunc in c peruenerit, vbi curua denuo habebit cuspidem, quia i(lius circuli periphe- ria eft 2 T b, cui arcus C c aequalis flatui debet, fiet an- gulus & — 27^, Interea autem maior circulus B' prouo- lutus erit per angulum £4LP2 767; fuper circulo igitur fixo interea percurrit arcum — 2 c (a 4- 2), quae eft ipfa peripheria iftius circuli D^, ita vt, dum minor circulus B inte- et5 )s7( $e integram reuolutionem. abfoluit, ctiam maior circulus intc- gram reuolutionem abfoluerit. 6.16. Etfi in hac: demonítratione | affumfimus , circulum fixum ab altero circulo mobili extus tangi, al- terum vero maiorem intus tangere, ita vt fumma diame- trorum illorum: duorum aequalis fit diametro huius maxi- mi: tamen eadem demonftratio facile applicari poteít ad cafum, quo ambo circuli mobiles circulum fixum intus tan- gunt, quo cafü fumma diametrorum amborum circulorum mobilium diametro circuli fixi aequalis effe debet. Inte- rim tamen fequens theorema adiungamus, quo iílte cafus facilius expedietur. ^F heorema. $. 17. Si circulus DEF intus in duobus quibus- cunque punc&is E et F tangatur a duobus circulis E G H et F GH, quorum diametri fimul fümti aequentur- diame- tro circuli maximi D E F, ducaturque chorda E F per con- tacus pun&a E et F, ea per alteram interfe&ionem G amborum circulorum minorum tranfibit, et ambo arcus EG et F G fimul fumti. aequales erunt arcui E F. Demonítratio. Quia. ambo circuli minores maiorem. tangunt in pun&is E et PF, chorda EF ad omnes tres circulos aequa- liter inclinabitur , ideoque ab omnibus tribus fimilia. feg- menta abícindet, et chordae duorum minorum fimul fum- Ada Acad. Imp, Sc. Tom. V. P. I. H tac Tab I, Fig. 7. ec; )58( $93 tae aequales erunt chordae maximi circuli E F; vnde pa- tet interfecdtionem amborum circulorum minorum G in ipfam re&am EF incidere, ita vt fit E G:F G vt diameter circuli E GH ad diametrum circuli F G H, qui cum fimul fumti aequales fint diametro circuli maximi, euidens eft, etiam fummam chordarum E G ect FG toti chordae EF aequilem effe debere. Quoniam igitur arcus «his chordis fubtenfi ad eas eandem tenent rationem , neceffe eft vt arcus EF aequalis fit fummae arcuum E G et F G. Corollarium r. 6. 1$. Cum arcus EF aequalis fit füummae | ar- cuum EG et FG, is ita fecetur in I, vt fiat arcus EI — arcui E G et arcus FI — arcui FG; et iam manifeftum eft, fi ambo circuli minores initio maximum tetigerint in puncto I, vbi vtrique ftilus infixus concipiatur; tum flilum circuli E GH nunc fore in pun&o G, vbi etiam erit ftilus alterius circuli F G H; vnde patet, ambos ftilos ex 1l egreffos eandem curuam IG effe defcripturos, quae ergo crit Hypocyclois vtrique circulo mobili communis. Corollarium 2. 6. 19. Quod fi ergo ambo circuli mobiles initio circulum maximum in punco I contigerint, indeque am- bo in plagas contrarias ita prouoluantur per arcus I E et 1F, qui inter fe habeant rationem diametrorum, tum ifti circuli fe perpetuo in iisdem punctis interfecabunt, iis fci- licet, quae initio fuerant fimul in puncto I. Ceterum hic Phac- ej32 ) so ( $59 Phaenomenon maxime, notatu dignum fe offert, quod, dum ambo circBli mobiles fe in duobus punctis G et H interfecant, iftae demon(tratae proprietates ad alteruni tan- tum horum duorum punctorum pertineant. Corollarium 3. $. 20. Quod autem ad fitum punci H attinet, fi ex puncto G vtriusque circuli ducantur diametri G P et G Q, iungaturque recta P Q, facillime demonftrari poteft, pun&um H in ipfam hanc rectam P Q incidere, atque adeo chordam G H in eam efíle perpendicularem. Quia enim anguli GH P et GH Q, vtpote in femicirculo, funt recti, etiam chordae P H et QH in directum iacent. w$o3- ) 60 ( ec DE CVRVIS RECTIFICABILIBVS IN SVPERFICIE CONI RECTI DVCENDIS. Auctore L. EVLERO, S. X. um certo affürmare liceat, in fuperficie cylindrica -nul- las duci. pofle lineas, quae rectificationem admittant, praeter ipfas lineas rectas axi cylindri parallelas: idem mul- to magis de füuperficiebus conicis flatuendum videtur, pro- | pterea quod cylindrus tanquam fpecies coni fpectari poteft, dum altitudo in infinitum augetur. Interim tamen obfer- uaui, dari eiusmodi conos rectos, in quorum fuperficie, prae- ter lincas rectas a vertice coni ad circumferentiam bafis ducas, innumeras alias lineas curuas geometrice deícribi poffe, quae rectificationes admittant; quod autem neuti- quam in omnibus conis rectis, multo minus in obliquis effici poffe videtur. Talis enim conflru&io tantum in iis conis rectis fuccedit, quorum latera ad diametrum bafis rationalem tenent rationem; "quae inuefligatio cum neuti- quam mn 32 ) 61 ( e cDees quam fit obuia, operae pretium effe duxi eam hic data Opera explicare. E. 6. 2. Sit reda A B axis coni et punctum À cius vertex, at Z pundum quodcunque in füperficie coni, vnde ad planum tabulae demittatur perpendiculum Z Y; hinc- que ad axem ducatur normalis Y X , vt locus; pun&i Z determinetur per ternas coordinatas inter fe normales , quae vocentur AX — x; XY — y et. Y. Z c eam; du- catur recta X Z, quae ent radius fecionis coni ad axem normaliter in puncto X factae, ac manifeftum eft fore AX:XZ xt axis coni AB ad radium bafis. Quare fi axis comi vocetur A B — a et radius bafis B C — 2, ob XZ-—Y(xy»y-4-22) eri x:Y (yy -- zz) — a:b, ideo- Qquc'A x —a Y (y y -4- 2 z), quae eft aequatio naturam fü perficiei huius coni exprimens. |Quodíi porro latus coni A C dicatur 2e, vt fit c— Y (aa-- b b), tum vero ducta, concipiatur reca À Z, quae erit — Y (x x 4- y y -- z z), erit etiam x: Y (x X--77) —4:€, quibus pofitis often- dam, quoties ratio 5:c fuerit rationalis, tum femper infi- nitas curuas rectificabiles 'in fuperficie huius" coni dücf pofíe. j 6. 5. Sumamus igitur punctum, Z verfari im, tali curua re&ificabili, atque ex elementis conftat, elementum ifius curuac hac formula exprimi: V (4 x* 4- d y? -- d 2^), quam ergo quomodo integrabilem reddi oporteat, hic erit docendum. . Quo.autem hoc facilius praeftari poffit voce- mus ream X Zz v, vt fitv — Y (yy --z z) etx:vza:b, fue av bx; tum vero in calculum introducatur angu- dus.Y XZ- $, eritque PE H 3 | | CUN Y 'Tab. If. Fig. 1. SEM ) 62 ( El XY-y-—vcof( et YZ-—z-—»víin. d; ficque omnia per has binas nouas variabiles v et (D de» finire poterimus, cum fit x — **. Hinc enim erit dx —— ado. E 4y —dovcof.(p—od(qpfn.Q et dz-dwvfn.Q--v dq cof.d, vade colligitur dy --dz-—dw--vvodQ* cui formulae fi addatur d x* — **77*, obtinebitur quadra- tum elementi curuae 2 2 2 .— dv?*laa-M-Lb)--bbovdqd: dx*-r-dy rds coo quam ob rem ob aa -x- P5 —cc elementum curuae imn füperficie coni defcribendae erit »-— 1 —— bb 1 : —&V(ecdu-bbovdQY)—-—Y (dvo oodd). Tota igitur quaeftio nunc huc eít redu&a, cuiusmodi re- fatio algebraica inter v et quantitates angulum (p determi- nantes, veluti fin. (D vel tang. D, conftitui debeat, vt ifta formula differentialis integrationem | admittat. 6. 4. Quoniam hic angslus (D quafi datus et cogni. tus fpéctatur, etiam angulus d quafi cognitus fpectari po. terit, dummodo — fuerit numerus rationalis ; atque huic fündamento innititur conditio ante memorata , quod, nifi ratio 5:c füerit rationalis, quaeftio noftra refolui nequeat. Loco anguli (^ crgo introdaücatur alius angulus o, vt fic E et quia nunc elementum curuae quaefitae erit zt Y(do'-L-wv dw), quaeritur eiusmodi relatio inter v et o , qua i(ta formula reddatur integrabilis. $. 5. ej )ó6s( i 6$. s. Quanquam autem olim varias raethodos exe pofui, plurimas formulas differentiales integrabiles reddendi, tamen nullum artificium, quo tum temporis fum vfus, ad praefens inítitutum accommodari potett, ita vt fateri co- gar, me nullam viam dire&am pcrípicere pode, qua i(ta formula differentialils V(do*-4-vodw') ad iategrationem reuocari queat, Quare cum ea pars Analyíeos, quae iu hue iusmodi inueftigationibus verfatur, et cui nomen Analy(eos iofinitorum indeterminatae impofui , etiamnunc paruim fit exculta, ea maxima incrementa inde acceptura erit cena- fenda, fi Geometrae methodum dire&am fueciat perícruta- tij cuius beneficio ifta formula V (dv/-4-vv4dw'), aliaeque huius generis ad integrabilitatem perduci queaut. $. 6. Equidem hunc laborem penitus deferere fuis- fem coactus, nifi obferuaffem, iftam formulam ope certae fubftitutionis ad iftam fpeciem: V(dX'--aY') reduci poffe, cuius refolutio vtique eft in poteítate , quandoquidem to- tum negotium eo redit, vt curuae algebraicae rectificabiles inueftigentur, quippe quarum coordinatae orthogonales ido- neos valores pro quantitatibus X et Y füppeditabunt, Quam ob rem ante omnia in eiusmodi quantitates X et Y nobis erit inquirendum , vt fiat 4 X^ -2Y'-d«' -vodw; tum vero vt ambo differentialia 4X et 4Y integrationem admittant, f $. 7. Statim quidem in oculos incurrit, primae conditioni fatisfieri ftatuendo 2X —4v et dY:—vduo, vn- de quidem integrando fieret X — 7; verum altera formula Y-—/vdw integrabilitate deftitnitur; neceffe enim e(t, vt ambo iíli valores indefinite euadant integrabiles, quocirca prio- e$ ).64 ( $5 priorem conditionem generaliter adimpleamus ftatuendo dX-dvfin.0-—-vdocof 0 et dY —dvcof.0—vdofin.0, quandoquidem. hinc conficitur dXéc-dYX. —dav*--vovdw "quicunque. etiam angulus pro 0 fubfituatur. . Vnde nunc quaeftio eo eft perducta, num pro 0 eiusmodi angulus ac- cipi queat, vt inde ambae formulae cuadant integrabiles , id quod quidem in aprico eft pofitum. Si enim füumamus 0— o9, perfpicuum eft inde repertum iri X—ofin.a et Y--«vcof.o, quibus ergo valoribus pro X et Y conftitutis inde viciffim erit 9 —Y(XX-YY) et tang,o—6 ideoque » ——— el e fin, o9 — et eof 3 ig: uoi Xo s y X 4 y Y) yt 6. $. "Tota ergo quacflio circa curuas rectificabi- les in fuperficie conica inueniendas eo eft reducta, vt quae- rantur binae quantitates X ct Y, vnde oriatur formula Y (dX'-1- 4Y*) integrabilis, Quodfi enim fuerit [Va X 2 Y'y s ita vt S fit quantitas algebraica, ftatim inde nancifcimur, T / 2 x vt modo vidimus, c— Y ( X*- Y^); tum vero tang. à — zr» hinque porro Ec Y xr Di DES ern et cof; 8 — xr - Deinceps vero cx angulo o definiatur angulus Q, vt fit ——*, quo angulo inuento pro fingulis punctis Z curuae in eI )65( $t in fuperficie coni ducendae habebuntur ternae coordinatae :. JyoAXXq—X—C-—-—VCX-H ^X» 99, 4X Y — y — v'eui«p-— cof. Qv (X -- Y) ac 3. YZ —3-wim' -'enp P OX: a4- Y). Denique vero, in quo cardo rei verfatur, ipfa curuae du&ae longitudo erit z/V(4 X'--4Y')- 5 S, quae omnes qua- tuor quantitates manifefto funt algebraicae. $. 9. Inuefligemus igitur ia genere omnes rclatio- nes inter X ct Y, vnde quantitas S refultet algebraica, Hunc in finem ftatuamus fecundum praecepta olim tradita dX--pdX, fietque dS —4XY(x--pp), quae ambae formulae -differentiales reddi debent integrabiles. Hunc im finem vtamur reductione confueta, quae dat d Y—pX—fXdp et S— HE PD see Iam ftatuamus [X dp —P et pt 0. ita vt fiat XX. et SC XY (12-pp)-Q, ficque efficiendum erit, vt ambae quantitates P et Q eua- dant algebraicae. Ex binis autem poftremis formulis inte- eralibus deducimus X — 75, ex altera vero X- OY ir P) qui duo valores inter fe aequati pracbent p2P — dQY(i *8B. ex qua aequatione colligitur — — D — aka et Y(1 4-b2)-— ug Hinc ergo fi pro Q | accipiatur fun&io quaecunque alge- braica ipfius P, omnes iítae formulae euadent algebraicae, Atia 4cad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. I ficque ord ) 66 | See ficque noftrum problema generaliter refoluetur fequenti modo. Solutio quaeftionis propofitae. €. rc. Introducta noua variabili P, eius pro lubi- tu fumatur fünc&io quaecunque algebraica Q, indeque fla- tuatur ZQ—44P , ita vt etiam 4 fit functio algebraica ipfius P; tum hinc quaeratur quantitas p) E: em s — X(dP?* —dQ?) — «y(1—44)? d vnde fiet 2p ——— ——4, vbi quia 4 eftfundio ipfius P, (1—44)' rdP d f ftatuatur 4 — r 2 P, fict d — —— — —:, atque hinc por: (1—44) ro colligimus (CC quo valore inuento rept- rietur porro — q(1—9434) — 31-4349 Y-cliUceu) p e $—:-2—Q. 6 . 1x. Cum nunc omnes iftae formulae fint fün- &iones algebraicae ipfius P, ex his valoribus primo defi- niatur angulus o, vt fit tang, 9 — T, €x eoque porro ans gulus (p — *?, atque hinc ternae coordinatae pro quouis puncto curuae quaefitae Z erunt vti iam fupra indicaui- mus: 1, AX-—xr—£2Y(X*-r- Y); 2*5 X Y—75-écof (Qv (X* 4- Y'); $n. YZ-—zs-—líündQy(x--Y) at e$ )67) SH at vero longitudo curuae in fuperficie coni! hoc modo de: fcriptae erit —F$ 5—$XY(r-cb5)-iQ. Hae autem formulae eo laborant incommodo, vt curua -inde nata vehementer fiat complicata, etiamfi pro Q func- tones fatis fimplices ipfius P accipiantur, quam ob rem non incongruum erit folutioncs fimpliciores aliunde repetere. Solutio fpecialis fimplicifIma. 6. 1*5. Quoniam res co eft perduda, vt formula V (d X* -1- d Y) reddatur integrabilis, fine vllis ambagibus flatim perfpicitur, hoc fieri ftatuendo d Y — 24 X, vndc ft Y—nX-r-f;tum enim erit 8 ——4XY (1x--nz), ideoqite S— XY (124-527)--g, vbi pro » numerum quemcunque affumere licet. Ex his valoribus ergo quaera- tur primo angulus o vt fit tang. 9 — x, ex quo porro formetur alius angulus (Q — *2, quo inuento denique linea curua quaefita his formulis determinabitur: 1$ AXzx- LY(ndai)XX-a22fX-ff); 2*5, X Yzyzcof.: BY ((nn-1) XX - 22f X ff); 4^ YZzzzfin pY((nn--1)X X 25/X ff). $. 15. Quodíi fumamus f—o, vt fit Y — 2 X, tum habebitur tang. o — ;, ideoque ipfe angulus « conf(tans; conflans quoque erit alter angulus (p — 2, quem ergo po- nere licet —a, et iam perinde eft, fiue fractio —7 fit ra- tionalis nec ne5 vnde ifta folutio ad omnes plane conos | I 2 ac- ec ) 6g ( S2z2— accommodari poterit; tum autem elementa pro curuae conflructione erunt: 1' AX zx£c£XV (a8 -1- 1); s. XY-y-cXcofaY (1124-1); et $5 YZ-—sx-—Xfn.«Y(nn--21); ac denique longitudo curuae — XY (n5 -1- 1)-1-g. vnde ob angulum Y XZ--a euidens eft, his formulis indicari, omnes rectas ex vertice coni in eius füper&cie eductas, hoc ca- fu eas effe, quas vt per fe perfpicuas iam remouimus. Quan- do autem littera f non euanefcit, quoniam aequatio inter X et Y eft pro linea recta, euidens eft, his cafibus pro- dituras effe eas lineas in fuperficie coni ductas, quae (i fuperficies in planum explanaretur, futurae effent lineae rectae. Vbi autem probe notandum eft, iftas lineas cono obuolutas eatenus tantum pro algebraicis haberi poffe, quatenus ratio J:c eft rationalis. $. 14. Atque haec etiam eft ratio, cur helices Archimedis in fuperficie cylindri ductae pro algebraicis ha- beri nequeant, etiamfi, dum fuperficies in planum explica- tur, euadant rectae, quemadmodum etiam circulus bafin conftituens etiam in recam euoluitur, cum tamen in ipía fuperficie fit circulus, ideoque neutiquam rectificabilis ; pro cylindro autem fit fra&io — infinita, ideoque algebraica effe ceffat. Solutio particularis quaeftionis propofitae. 6. 15. Cum res eo fit perducta, vt pofito d Y — f d X bae duae formulae 2 4X et 4X V (1 -- Pp) red- dan- e5 )69( $3 dantur integrabiles, facile perfpicitur, his conditionibus fa- tisfieri, fi capiatur i — —— — 9. dummodo enim non fit 7 — -t- 1, formula 5 4 X integra- tionem. admittit. Quoniam autem hinc erit y AX" CUNT Tm) PIA manifefto quoque Hla formula integrationem admittit; tum igitur habebimus: meri A nt LEA —n-J-: ; Y- q* i6) A Af et i: A n4: un -inpg as X REIS Ex quibus ergo per formulas fupra expofitas curua in fu- quibus ergo per formulas füpra eíp | perficie coni facile defcribetur, fi modo fractio -& fuerit rationalis. Alia Solutio generalis quaeftionis. propofitae. $. 16. Poftquam 5 dios perducum eft ad has formulas : | Y-pX-—fXdp.et SzXY(1--55)—f AE | flatuamus vt ante /X 4p —P vt fiat X—15 , qui valor fub(titutus Pani ; Y z£P.et in 5c ac Y (12-22) — asp | I 3 , Nunc ens )vo( $99 Nunc autem per reductiones confuetas reperitur: DP s WP P4 !V(--PE VG H oap ita vt d» Ko TR XPdp . 7 " — (4-52) V(r 3-55) SE Pap ——— — IDE, exiftente II funcione (x 2 p p) quacunque algebraica ipfius 5; tum enim erit 4 II (x 4- 5 D dp ficeque ex ifta fünctione II innotefcet fun&io P, ct iam omnibus conditionibus plene eít fatisfactum. Yam fsciumus f E , & 17. Confituta igitur quantitate variabili $ ac- cipiatur pro lubitu cius functio quaccunque algebraica, 3 * . . II I 2 quae fit II, ex eaque deriuetur fun&io pco 9 DS p quae itidem erit slgebraica. Hac vero inuenta babcbimus —ÓÀ I dps — Y-—f£- T et c zr p S—$r üt) LES PM | ex quibus wt Yos colligatur 1? s -- Y?, dein- de vero angulus Q, vt fit tang. Rex ,€X €0O vero porro angulus (p — 5^, quo inuento ternae coordinatae pro cur- va quaefita in fuperficie coni defcribenda erunt: P - et32 ) 71 ( C coss x* AX-—xcz$VY(X a Y», aV NUY y —seot^o-y (X*--12 Y q3* YZ-.2-ün QDY (X^ 5 Y9, et denique longitudo curuae in fuperficio coni defcriptze erit Z/Y (4X - 2 Y)— 5 8S. Adhuc alia folutio generalis, ex doctrina angulorum petita. $. 18. Loco nouae variabilis introducatur angulus 6, ac denotet O eius fün&ionem algebraicam quamcunque, ita tamen vt formula f/O 49 obtineat valorem algebrai- cum; tum flatuatur 4$ — O 20 4- ^72, vbi elementum 49 conftans fit affumtum; hinc enim erit S— -fedé--i2, ideoque fund&io algebraica. Nunc porro ftatuatur: d'X.—e d'SMün. 8 et d Y — d. S cof. 0; fic enim fiet Y (4 X* 4- d Y —45. Hac ratione autem commode víu venit, vt tam X quam Y algebraice expri- mi queant; manifeftum enim e(t fore X — 29 fin. 6 — O cof. 9 et Y — 79 cof. 0 4- O fin. 9. $. 19. Inuentis hoc modo quantitatibus X et Y, ex lis quaeratur PO Q, vt fit tang. 9 — —. d fin. 0 — € à 8 cof. 8 — dO caf. 0 2- O d à jm. 9* Ad quam t euoluendam quaeratur angulus *, vt fit tang.z — 925, ideoque 0 46 — 4 O tang. », hocque valore fubítituto fiet — [in.0 — tang.* cof. à — tang.9 — fang. tang. 9 — 0g. 8 —- Tang. Jin.Ó ^ 1 -i- tang. x) tzng. 8? ideo- et ) 72 ( $89 ideoque crit tang.o — tang. (0 — 7), quamobrem habebi- mus ipfum angulum e ——*« Hinc igitur porro erit an- gulus (-- £(0—5) Dummodo igitur 7 fuerit- fractio ra- tionalis,, etiam angulus (QD ita innotefcet, vt cius. finum et cofinum exbibere liceat. At vero iftc angulus (D in figura defignat angulum Y X Z. 6. 20.. Deinde quoniam pofuimus rectam XZ-v, fupra vidimus effe v — Y(X'-- Y'), quamobrem fiet — y(d 0'4 9*d $5) — 04) dam nh Quia autem pofueramus tang. 7 — 25, erit dO — 225, quo valore furrogato colligitur fore — Q fe.» — [9) g Tang.» —— jin.-? atque hinc ob anpua | WEKUE z- p msdÉÓ T), flatim innotefcunt cadran — qi Q ef. — » — Ofin.O XX-—y v er XEÓÉe- eme ique ver —x.—2? —xy-— 40 Denique vero cum fit AX—x—-* ; enr AXIS —X Le Sicque determinatae funt algebraice omnes tres coordina- tae x, et z, quibus elementum curvae quaefitae Z, definitur, longitudo autem iflius curuae in fuperficie coni defcriptae erit | —:.8—£/044H:529, quae ergo ob d O — 92* , erit — 7 5 409 46-- d- tang.v? €$. 21. Dummodo igitur formula /O 40 integrale alecbraicum habeat, curua in fuperficie coni defcripta erit rectificabilis, cuius conftructio in compendium 2c ita fe habibit:. Sumta et32 ) 73 ( $e Sumta pro Q fun&ione quacunque algebraica ip- fius O, ita vt etiam formula /O 20 euadat quantitas algebraica, quaeratur angulus 5, vt fit tang. w— $20. quo ftabilito ternae coordinatae, quibus fingula curuae quaefi- tae pun&a Z determinantur, ita erunt expteffae: I AXIxI SER B'gma?- 2 9g" ne £9) icol cof. (7 0-0) Tin. 7 (X Yzclz-95w( 0-9) fin. 3 longitudo autem curuae hoc modo defcriptae erit 2 (/049--9-). Hic vero notaffe iuuabit effe X Z — v — Az , et angu. lum YXZ—- D—5(86-—3). 6. 22. Haec igitur folutio propter concinnitatem fine dubio longe eft anteferenda, cum non folum infinitas curuas rectificabiles exhibeat, íed etiam facile ita adornari queat, vt rectificatió curüae iu fuperficie coni defcriptae datam quadraturam, veluti circuli aliusue curuae cuiuscun- que inuoluat; tum enim nil aliud opus eft, nifi vt for- mvla integrals /O 480 hanc ipfam quadraturam exprimat, Ex quo perfpicuum eft, in fuperficie omnium «conorum. rectorum, in quibas ratio 5:c eft rationalis, perinde ae in plano, infinitas duci poffe lineas algebraicas; quarum rectificatio vel geometrice affignart poffit, vel a data quas cunque quadratura pendeat. | 83 9 Acla, Acad. Iu. Sc. Dom FK. P.I. K DE ege )74( $59 : DE MIRABILIBVS PROPRIETATIBVS VNCIARVM, QVAE IN EVOLVTIONE BINONII POTESTATEM QVAMCVNQVE. .EVECTI OCCVRR Y N T. Au&ore. EL. ETLERO. 'Theorema I. d $. f. S. pro poteftate Binomii ad exponentem s euecti vnci- as breuitatis. gratia litteris a, , "y, 9, etc. defigne- mus, vt fit a -—" A g-2:5—9; Yu: (t— 2). ; 0-16 0D a5 ctc, femper erit LI Tow y Ó* 4 etc. - XE X NOE RI ;, 4 S0 e$ 2) 975 ( $5 quae expreffio pro cafibus, quibus s .eít numerus (fractus, ita | per formulam integralem exhiberi poteft, vt fit x De x^" dx m LITETUCCNEREU REGENS x V (1 — x x) hoc integrali ab x — o vsque ad x — x extenfo, wbi « denotat peripheriam circuli, cuius diameter — z. — —— Hoc fheotema eo magis eft notatu dignum, quod vix vlla via directa patet eius veritatem demonftrandi. Explicatio pro cafibus quibus exponens s eft numerus integer pofitiuus. $. ?. Quo vis huius theorematis clarius perfpicia- tur, euoluamns cafus fimpliciores fequenti modo: E Si 8 — 1, erunt Ynclae I, 1, ideoque vi theorematis. efle debet £ ded recu IL Sig — 2, erunt vnciae r, 2, x, ideoque vi theore- matis effe debet i'd. 0p IARE 5 —— D. lll. Si 7» —5, erunt. vnciae. z, 3, 5, £, ideoque 'vi theo- rematis efle dcbet 1?--$'4p- 3! 1f'z2 2008.5 IV, Si 6 — 4; erunt vnciae 1, 44 6, 4, , ideoque vi theorematis effe .d.bet atu AARON Pp T vy6oi fl. -il K 2 V, ec; ) 76 ( $93 V. Si 4:5, erdnt vncide. z,.9, 49, 40 Ij] : à , ; 55, I, Ideoque vi theorematis effe debet 2 2 2 1 2 2 — — 9 5 ^10, 78 18 5 59 T 1otd- 160! 5 T1 IRAE 4-4 VL Si nz 6, erunt vnciae 1, 6, 15, 20, 15, 6, ideoque vi theorematis effe debet 1'4-6^4-15'4-20'4q15^r 6-i'2924-Ii. 1.3.1.1... Corollarium. $; 5.. Cum foklhlatn ry ROT ence gy hibeat maximam vnciam in poteftate Binomii ad expo- nentem 27 euecti, theorema noftrum etiam hoc modo enunciari potefl: Si quadrata vnciarum. pro. poteflate exponentis m. in vuas fummam coliiganiur, ea. femper aequabitur. maximae vnciae im poiweflate exponentis 2m occurremii. lta pro cafi- bus ante euolutis 2 eft maxima vncia pro exponente 2; deinde 6 eft maxima vncia pro exponente 4; porro 20 eft maxima vncia pro exponente 6; fimilique modo fe- quens fumma 70 eít maxima vncia pro exponente 8. et ita porro. Explicatio. theorematis quo exponens » eft numerus fractus. $. 4. Quando exponens z» eft numerus fractus, feries vnciarum in infinitum extenditur, vnde earum qua- drata etiam conflituent feriem infinitam, cuius fumma per : i 2 xu dux » formulam illam intcgralem: ^. 2^" f| — ———— , innotefcet , T Y(x—«&x) fi- et )77( $9 fiquidem hoc integrale ab xy — o vfque ad x — 1 ex- tendatur, id. quod vnico exemplo, quo 7 —;, oftendiffe fuffüiciet; tum autem erit . ' ; E sh Jr. zu b4qlem2N c DEN PI M CET Z7 € —35 Dos QysisSsóI a LE etc. quarum igitur valorum quadrata conftituent. hanc feriem: 2, 12, :2. 2 12 12,12 1?, 12; 32 17,12; 32; 52 1 52. 72 I 4 22 JJ 27. " us T 22. 47, 67, 8* EE 27.47. 62, 82, 192 dl etc. 23. 42,6* cuius ergo fumma ex formula integrali: ads —— il uum ra 2pIoRICDEN QU x cis Dag E rl eft petenda, | Eft. vero 3 dx es Vp zen Jic ue PAP vu quare faco iam x—r eius valor euadit — 1, — Quocirca fumma feriei inuentae erit — *-, cuius valor per fractio- nem decimalem eft 1, 273230; atque ad hunc valorem continuo magis appropinquabitur, quo plures termini fe- riei 1 -- a 4 (X -- y^ 2—-. etc. actu colligentur; qui cal- culus quo facilius infüituatur, ob ca — :, notetur effe gpgosee; YES P $6t:88; )dcnyy; JepE-q5990566-— Mié Wpld CS, ete quo obferuato calculus fequenti modo inftituatur: I — I, 000000 & 4 — 0,250000 G8 — 0,015625 Y 'Y 9,993906 00 —0,001526 ££ — 0,000748 £& — ó, 000420: QY — 0, ooo260o 6 6— o, 000172 Summa — r1, 272653. K 3 Haec et )78( $3 Haec fumma deficit a. vero valore hac fractione : 0,000573, quae ergo aequalis. cenfenda eft omnibus fequentibus ter- minis, quos hic praetermifimuüs, id. quod fuffcit ad veri- tatem noflri afferti comprobandam. 6. 5. Si exponent z alios valores fractos tribue- tfe vellemus, vt 27 non amplins foret numerus intcger, tunc fumma feriei non amplius a quadratura circuli, ..fed. a quadraturis altioribus peuderet. Caeterum | hic. notaífe iuuabit, fi füumeremug 27 — —;, vnde fieret M S zo Rt... AME DINE Fs x &Il—3:,p- D - 9 -— ziv po . etc. tum fummam huius (erlei: 12,52 1t] zi s? acd n sur wb etc. ««2, 62, 9? EL ubi ,in infinitum excrefcere, | bela a, s etiam mata for. mula integralis indicat, quippe guae fip Lj.— 99^, RRL xyü—czxzxy peritur vera ) 4 i dx —2:1110X0—xx3 ] E. xy(r— xax r-r- y —'xx) quae. conftans ita Sept debet, .vt- enameícat pofito * — o, ex quo fiet C — — 1/0, ideoque C — oo. -Statuamus. nunc X — 1, et ifte valor prodibit. — oo. 6. 6. Sin avtem ftatuamus zy — i, yt fiat —8 —3.1 3$, 7, 1, ES ege 3,1. 14 3. $5. a "LM. ortam 2; Wy Un e eroi ET CANO bna tum fumma (eriei 1 --a Ap PP i ete. erit 3 zÍ;5-—.; E autem [T T confi — V(x-—n x) ls Ue x x, v» gn dos C —;. Faüo nunc x— 1, erit fümma 0- (trae feriei — ** zd erf. hmmud — € 7. 5 )79 ( $3 6. 7. Si exponenti z maiores huiusmodi valores, Ss. . 9c LXI z 3 1 ; *5 etc. tribuere velimus, notetur in ge- pta X^ sV (Eo x). (eei) xidx € Ho ———— — * Wü-ex) QE à (i2) Y(i—-xx) Vnde íi integralia ab x — o ad x — xz exteudantur, erit qe dx px y diy vases] iac, Va oaa] Quare cum cafü ; — x. fit Caqrueo M y(—2x x) SE erit pro fequentibus formulis: xfds--——a Y(0—xx) 5 962 di. 0000 re Va-xx) s.s à f x?dx. —— 2.8 Y(— x x) 2,5.Y x9 dx .— se 6. E y(íi—xx)' s.5.7.9 His igitur praenotatis, fi ponamus breuitatis gratia - I --c' -r (?-y'-4- etm S. erit vt fequitur; E Pro cafg^n —., ent 5 -— 5s z. II. Pro.cafi 8$ —;, erit 5— L7. HI. Pro. cafu 4 —;, erit S— £7 .;.7 IV. Pra-cafü £ —7, erit 5 ——.5. 7. V. Pro cafü 6 — 32, erit SZ... 2.7 etc, etc. ej )so( St Qe: | 6. $., Ex fuperiori integralium reductione etiam ratio noflrae formulae integralis in theoremaate datae red- di poteft; cum eoim in genere fit XXL e ehe Piso aee MIC CAECUS PM L1 Y(réesx) i2 Y(r—xx) cafu autem. — o fiat f, — 7, erit vt fequitur: xidcxdh T : du t xut x*tdx HE M DUE. VI IRETERCY- ai ARE d foam PM 1 Kc usuE c. OETECUT x*dx — EL 4 M IDEM, STINET LL £'v*9T f xU d ml cW UEMEIS mpeg ML T Ea i ead etc. etc, Quodü iam exponenti 7 fucceffiue numeros inte- gros, I, 2, 8. 4» Etc. tribuamus, indeque concludamus valorem noftrae feriei " x"de 9 (v—3x x) pat y^ ete — $— —. 2" f 7 reperiemus pro S hos valores: |. Pro cafu g — x erit S.— ll. Pro cafü 4 — 2 erit S — i. 3. III. Pro cafu 2 — 3 erit S — [V. Pro cafu 9 — 4 erit 5 — i. V. Pro cafü n — 5 erit $ — i. etc, etc. eoo lati ( Sie Vnde patet pro quouis exponente integro 7 fore i3 0; 10 » x 4n —2 S arma Vea: oe - - CÓ Mg. 3 " LI prorfus vti in theoremate ftatuimus. Scholion. 6$. 9. Quemadmodum hic pro cafibus, quibus exponens z eft numerus fracüs, fummam noftrae feriei per formulam integralem repraefentauimus, quae iam in- voluit peripheriam circuli c, ita etiam pluribus modis valor eiusdem. fummae S per alias formulas integrales ex- primi poteft, quarum aliquas hic adiungamus. Prima fcis licet eft 1.8S— - nfx'-'wiieux yr I nfx'dx(iexb6 X (25-5 Sx dx(z-—3x? Vbi quidem, vt ante, has formulas integrales a termino X-—o vsque ad x tw" extendi oportet. iss pro cafu n — 1 prima harum formarum praebet S — —— — 5; fe- Il S— —— IL. S FA cunda vero formula dat S— [—— —1; tertia porro formu- A. H. ENDO uui. la dat S— 75:7, Bt vero fxdx(z—x)—ixx-—ix'ci, ex quo fit S— 7 4a dead. Imp. Sc. Tom. V. P, 1. L - Confi- es )s2( 25e Conüderemus hic etiam cafum 7 — i, ac prima iftarum formularum praebet S — * —,. Pofito autem bic x — 995 6t idm . LP HM D 36 vr. fox c Mb recs mm e Udbo ficque erit S — *-, prorfus vti fupra eft inuentum. Con- templemur adhuc cafum 57 — 3 ac prima harum formu- Ilàum dabit $5———————— -. Eft veto j*xdz(- st [xdcurp pow) hincque erga erit S — 20, vt füpra. 'Theorema Il. 6. 10. Manentibus litteris «, Q, y, à, etc. vn- ciis pro poteftate exponentis 7, fi fimili modo litterae al, Q', y, 9', etc. denotent vncias pro poteflate exponen- tis 2/; hincque formetur iíta feries: 1L aa! 4- Q Q -- y y! 47-9 9 4-. etc. eius fumma aequabitur ifti producto: 3-46 Uu cp etin EOM STU moe IN eus nior PCM ds ADAPEM " - e * o n quae eadem fumma ctiam per fequentes formulas integra- les exprimi poteft: 1 fiue per ————— : Jdem xin n -- fiue per EE. num : nafx cub [x er.) ui 1 fiue per (n 4- 9! A- 1)/ x" d x (1 — IM vbi ed2 ) $3 ( SH vbi integralia ab x-——0 vsque ad x-— 1: (unt exten- denda. Explicatio. pro cafibus, quibus exponentes * et »' funt numeri integri pofitiui. 6$. i1. Quo exempla huius theorematis clarius ob oculos ponamus, quoniam cafus, quo £!— 7, iam inu P E . . q . . primo theoremate funt euoluti, differentiam inter hos ex- ponentes z et zr! ftatuamus primo — r, vt fit z/—z--r, et percurramus fequentes cafus: BE SEnIEe x ue dT qz A egWeUME uis wis qaid UT — —ÓÀMMÀM— M ——á— erit feries 1,4- 24-0 — 3. Cum igitur fit 2 4-»'— 3, produ&dum datum euadit :, vti requiritur. IL Sitz —2- - - - - r--2-rr po5$ c B NENES 3435-19-13 i:iuc feres, I -1-6 -1-5 - O0 — 10 verum ob z-1- 5» — 5 produ&um illud fit 7.: UL Sitz —3- - - - x-3-5-2-5-4-zx nx diae. e i-o 4-1 | ergo feries 1-- 124-184 44-0 — 55 at ob z7-1- »/ — 7 noftrum produ&um euadit — ——— 1, 2c s" L2 IV. IV.Sit t» —4- - - -rdcF44 6-F 44 I n'z-Su o gebe TO -- r0 mp * —— — —— ————— — ——————-. ergo feries 1--20-4- 60-4- 40 4- 5 --o Z126 at ob z-1- »' — 9 noftrum produ&um crit — ?—— dECHEIWON V.Sit 2 5- - - -.r-- 5-4- 104 - 104- 5E nlÓÓ- - - -a1--ó6- 5-- 20-4rF15-F6-F I — — —ÀÀ— — M — a — ergo feries I --30-F150-4-200-4-754-6--074.62 hinc ob 574-27 — rr noftrum produ&um erit 7—7 a; etc. 6. 12. Statuamus nunc 5'-—757-1-2 et productum exhibitum fiet 2X --2 25» --1 2M n--5 € — MÀ ne LU LI pi. n * Li z x Hinc igitur percurramus fequentes cafus ; L Sit: mist, -nissb^ gububeh ! : n-—« 9 -—-——-—U»-Sgs39-1 ergo feries I -d- 3-30 — 4 ^ producum autem noftrum fit i. lDSitz-cs--*--.:42--1 vy EN BC; I-4-16--4--t — —MÓÓ—MMÁ a — ———— MM ergo feries 1 -3d- 8-1 6-0 — I5 at produ&um noftrum — 5; -— 15: 1H-5i£9 2.2. .— — 2 285.8 - 525-453 picigi-übia 9044€ dirise oie i. 01-175 477 s6 — — — —— ergo fcries 1-- 15 50-For--0o — &t produ&um noftrum fit — 56. 2x e$ ) 8s ( $e IV.StnZ4- - - - i £d 64 £I yz6e--5 214 641520-L15:B56 ergo feries 1-4-24.--90--80--15-FOc2IO at productum no(ítrum erit — 7—5——. Jo. 2o 3$, ^ ViSité-$ 7 € -jeg.E $Lorodpoi:o-l fr nz chu. q-boo1F 35055 P2I T 7 ergo feries 1--35--210-F350-175-4-214F07 792 at productum noítrum fiet — ————7 ^ —5 792. etc. etc. Explicatio pro cafibus, quibus alter exponens »' eft numerus fractus. $. 13. Suffciat hic fumfile »/ —:— 5, vnde feries vnciarum AE P 1 -- a! -t- (9! -4- y! -1- 0! 4-. etc. erit 1 Ye. iS T jid 5 In 5. sd —i-ui-kH L —— D Ae d etc. His igitur terminis fingulatim in feriem 1--4--(86--y -r-9-r ete ducis, orietur iíla feries : i-i —tteE yr - etc, 2» *. 6 cuius ergo fumma aequabitar huic producto: "—;n0-—i7)—i : " MewT iS n L 5 fiue fiue 2L quod quomodo eueniat fequentibus cafibus examinemus: L S mEcvdhipeWUB 2 x-,*H—-o,"y —"oyerc- vnde noftra feries erit 1 —; —;; at vero noftrum pro- du&um erit — ; — g^ | ipe Suy EHE UT X. ss— Oséfc. "vnde noftra feries prodit — 1 —7 -1- ;; — ;; at Vero pro- du&um nofítrum euadit — ; cu HI Sit» 3, ideoque q— 95 9-59; yc 1; 0-—68 etc. vnde feries prodit — 1 — i-r 2a 3. SOMMA 1 2,4 2.4.6 ii? at vero produ&um noftrum euadit - IV. 5 Sit. naf. ideoque em 4, 8 265; y z 559-1; £— 0; etc. vnde feries erit I—i.4--4- 6— i.4-- i. I— in 5 10 * £000 productum. autem noftrum erit m ^i s. rm iig Explicatio pro cafibus, quibus ambo exponentes funt numeri frati. 6. 14. Sufficiat hic folum cafum euoluiffe, quo nzcieta--i. Hic igitur pro z—; feries: vncia- rum erit: I Xo Y.14Z — ,l»$65 i "bs 385 uz csi We verum pro exponente z/— — ; feries vnclarum erjt: 1 1,3 ON ON 1.3.5. 7 T LL em RC L xm 2,4 2.4. 6 -i 2, 4, 6,8 md ctc. Ex L ng ré ? CS ) 997 € eden Ex his igitur binis feriebus combinatis orietur feries in theoremate commemorata : LE 12, 32, 5 12,22. 55, 7 2,37, 5*2, 2. g I—L————UI-— LP uou c4etc. PE 22,42 22.42,62 27 45002882 22 47, 902 87 Y 107 quae ergo feries in infinitum excurrit; et quoniam 5 non eft numerus integer, producto theorematis vti non licet ; quam ob rem ad formulas integrales in thcoremate exhi- bitas erit recurrendum , quarum prima pro fumma huius 2 feriei praebet (gu AE vy(x—zzxj 4o fceanda fonna dal ————3- — s lime -1 tertia autem forma dat —;z, pus (Ec Ye Vbi quidem haec integralia a termino x —o vsque ad terminum .x — x funt extendenda, quac quia evndem valorem producere debent, íecundam formulam hic praetermitti conueniet. o - $.15. Euoluamus igitur formulam pora, iz— y (x—2xx) pro qua ftatuamus x —- 7 y, vt prodeat gouiyr-. Notum 6) autem eít effe pro terminis affignatis [aL 255;73, quam 2 ob rem valor iino feriei erit 2. "Tertia autem formula, quae erat geuze pofito x — y y fiet AmY(1r-x)cofdyY (x 77) ev. ) 55 ( $9 at vero haec formula fdyV(x-—yy) exprimit aream quadrantis , cuius radius — 1 , quae cum fit — ; 7, erit fumma noftrae feriei 7, vt ante. $. 16. Hinc igitur patet, fummam feriei inuentae effe — 7. Quare fi feriem — breuitatis gratia ita reprae- fentemus: 1—A—B-C-D-F- etc, — 2, erit À 4- B -43- C 4- D etc. zT. Supra autem vidimus effe proxime 7 — 1,273230, vnde fieri debet A -1- B 4- C 4- D -47-. etc, — 0,563385; hic autem s QBIWVAQ;C-—EB;D-—ZzC; po 13 D; E Tus Es etc. «Euoluamus igitur fingulos hos fadtores in fractioniBus de« cimalibus, eritque A — 0,250000 B — 0,046875 C —0,019531 D — o. 010680 E — 0, 006729 — 0,004626 — — —áM Summa — 09, 33$441 quae adhv« deficit a. veritate quantitate 0,024944.) quod mirum non e(l cum fequentes termini praetermifi; quia enim continuo minus unes facie tantum difcrimen parere pofíluat. Scho- e$ )s9( i53 Scholion. bU ; $. 17. Quae hadenus funt allata et. per 'complu- ra exempla illuftrata , veritatem 'noftrorum theorematum fatis comprobare videntur, letíamfi-nulla demonltratio di- re&a proferri poffet. Quanquam áutem nulla -via. directa patere videtur, iftam veritatem perícrutandi, tamen duplici modo. ad completam. demon(trationem pertingere licet, quo- rum alter ipfa natura vncierum inuititur, àltér vero ex calculo probabilitatum peti pote(t. Priorem igitur demon- flrandi modum hic dilucide exponamus, qui fimul nobis innumerabilia" alia théoremiata affinia: patefaciet, ) — Definitio. $. 18. Huiusmodi charactere : [7-], défignabimus producum ex 4 fractionibus formatum , quarum numeras tores, a littera fuperiori f incipientes, continuo vnitate de- €refcant, denominatores vero ab vnitate incipientes contis nuo per vnitatem crefcant; vnde intelligitur; iftum cha- raderem [2] defiguare iftud produ&um more folito ex- preffum : | f emet "Wee t d Gorollariim I! 1 $. 19. Hac iam .ratione vncias fingülarum pote- flatum, quas fupra litteris à, (2, *y, etc. repraefentauimus, fequenti modo fatis faccincte- et clegaüter exhibere. licebit, quippe quae pro exponente 7 erunt: Atia Acad. Inp. $c. Tom. F. P. [. M *- c ej33 ) oo ( S3 :—[:] (a—&) MI [i] iC CE PEN) d 1, 2. Lj — 8 ! , R(n-r)(n—2 — 3) pepper] Bin diisss)tacs)(ure) — [5] Xv 3. 4. etc. etc. Atque hinc intelligitur, cum pro quauis poteftate vnciarum omnium prima femper fit vnitas , fore i(lo nouo reprac- fentandi modo ["] — 1. Similique modo, cum vldüma vn- ciarum quoque fit vnitas, erit etiam [—7-]— r, propterea quod erit [-]2z:5L20c2 $j e nr. v n E TES FTEWES 8 pim TL vbi numerator inanifefto denominatori eft aequalis. Corollarium 2. 6. so. Cum, quoties exponens s eft numerus in- (eger pofitinus ,. tam omries ' vnciae- primam. antecedentes, quam vltimam fequeates, fint. nihilo. aequales, iuxta nouum hunc exprimendi modum perpetuo erit [5]—o£[Z]—9; [1 95. ete. ita vt, denotante 7 numcrum integrum pofitiuum quemcun* que, femper fit [ 7] — 9- Simili modó pro vnciis vltimam fequentibus femper erit : — . n — LI E -—— ^ Els —— . G3 — O0; [— — O0 IP E [2] Iz05 etc. atque adeo in genere erit [;1— o. Lcm- eni )er( iHe Lemma 1. 6. 21, Recepto ifto fignandi modo femper erit [f£1-[2] Cum enim fit i [ p r —cP(pei)tpes)(B—s) . . .. . (P-q--1). q dte FLIE S & ? dc à . q 3 fimilique modo [2t-]z- Bo9o:)p-:). 5. s (qan. P—4 X "$;*-5, " ] (p—4)? hae duae exprefíliones manifefto inter - fe funt aequales; per crucem enim .multiplicando, prior numerator in de- nominatorem pofleriorem ductus praebet produ&um 1.2.8... (D-0(p—4-F 1)(—42) - - b vbi factores fine vlla interruptione continuo vnitate cre- féüht y ita vt iftud" productum: fit 1. 2.5 35- 4.7. DRV UT Simili modo denominator prior ductus in numeratorem pofteriorem dat iftud productum : 1, 9. g..4. 6L PIU (a5 Fr (o2) .. quod itidem eft. z. 2. 5. 4. . . . . est ficque aequalitas harum duarum formularum 12 et m -] eft demonftrata. Corollarium. 6. 22. Hoc iam Lemma manifefto continet ratio- nem, cur vncilae omnium ordinum, fiue directe fiue retro fcriptae, eadem lege progrediantur. Lemma 2. $. 23. ,Introducta eadem vncias défignandi ratione femper erit [—-] 4 E 1— [5]. M 2 Cum 52 )o2( $6 Cum a fit 2 go "ES » [9-2 . q-1 prior (oit aequatur pofteriori ductae in ?- m ideoque erit [224 [2] 9 Ed Goet58) — D (88), : 4-1 q—4 q EE qnocirca. habebimus E] petty, Pippo... 0p [2 pgs quiaug Cer pesi. cip Sd y quae foll Mi dfeito fodaénit cum hac: qu t)e(e- ra: eo eT 8l. 5" Lu S quae ergo, more vito recepto, 4 refertur: [5E], ita vt fit. [.2].-4- [251-— U71- | Corollarium 1. 6 24. Si. loco 4 fcribamus 4 -i- 1, formulis per- mutatis. erit —rp [2] 4- L1 — Iz: fimilique modo, numerum 4 continuo vnitate augendo, erit etiam vt fequitur: E EREU- [ ] £jIMESIIGEÁ qne Corol- e )os( $5 Corollarium | 2. $. 25. Quodfi harum aequalitatum binas. fe infe- quentes adlamus, prodibunt iftae nouae aequationes: [£] 2 LE] Ds] 5:520] 2 30571 — [3] 2-c1 Uu [5] 4* 2 Ez] -- E41 — 321 UR. — EI [2:4 2 3S1 LE — RE EI m E 2.]-:2 GR e E51 — [EE] a E28] — [t] [.2-] 2 55] - (E T— 32] 47 (EE — fT 3 [e pH- ; LEELeLog eL eae es] VR 2 Ds t densi gem ES D rs — Ed etc. etc. Corollarium 5. $. 26. Qnuodíi denuo binas harum aequalitatum fc infequentes addamus, reperiemus primo: [2] à [,5:] e 8 [555] - [8] 8 Ec] - [8] 83. q--3 42 471-3 q3-3 Simili modo prodibunt fequentes aequationes: q3-: q4-5 q-5 Eodemque modo porro: ? f i mes Cato [5 2n 8 LI 2-3 LE] -2- Df - [7]; parique modo vlterius progredi licebit, quousque libuerit; atque hine fequens problema refoluere poterimus. Problema. $. 27, Sumtis pro p et q numeris quibuscunque integris pofitiuis, fi praeterea littera 7 etiam huiusmodi numerum M 3 quem- e$33 ) o4 (0 ci$ quemcunque denotet, inueftigare fummam iftius feriei: n n p n n R [5]- [5] tl. [de] [dz em sb EL [.2:]4- etc; Solutio. Cam fit (?] — z, et iftae formulae: [E] [3 E235 E55. ete. exhibeant vncias pro poteftate exponentis 5, in Corollariis ipae. vidimus, fore pro cafu 2 — 1 [lc de oss tum véro pro d 5n — 2 Corollarium fecundum dedit: d prLipeg pp qa deinde pro cafü y — 3 in Corollario III. inuenimus: Hi. [7 a Ss MTS [421 4- Es iex E atque fi in edili Corolario binas priores acquationes addamus, prodibit bey cafu £ — 4. ifla aequatio: IV. [] 1: 42-602: & [5:] L2] 4], vnde iam fatis yietlenta perfpicitur fore pro cafu z— 5: V. [72-525] -10 1-12 p10D 2] 5T] EL £51 [228], atque adeo iam in genere pronunciare licet, feriei in pro- blemate propofitae: - [3.7127 E] - 553 9- D - [7251 9-7 [2] 25] 4. ete. -F fummam effe -p qua formula NIS d iftud pro- ducum : penpdg-a pR— Ce -—— C —S 1 E] * PEE i Corol- ec )95( $15 Corollarium 1. $. 28. Cum per Lemma L in genere fit [5] — — us gl erit iis (eriei propo fümma etiam — [t7], qua forma exprimitur iftud produ&um: peT.EvULQEEALt pti. EET tA: e Corollarium 2. 6. 29. Quodífi fumamus q —— o, iftae formulae: £124] 47 03 H2 [51 4- ete exhibebunt vncias pro poteítate exponentis f; quae ergo fi fingulatim ducantur in vncias pro poteítate exponentis 4, refultabit.ifta feries: [:1. [5] 4- E73 £1 27 C3 E] - E21 - [2] 4t ete. cuius. ergo fumma erit —[^37], vel etiam [57], quarum formularum illa dat iftud productum: pum- fr Tu—z e wr. i5 3 1 RE IGE — -- p $3—; altera vero Btmita erifüc aequatur hunc producto: fx» -g-NHx. fu mIL 3) BT. e (2. Bdes H HERI . z » ficque veritas fecundi theorematis fupra allati eft demons ftrata, quoniam litterae a , f, ^y, etc. ibi denotabant vn. cias pro deus 2; 3FeLde vero à!, (, y, etc. pro exponente z7', cuius loco hic habemus f. Corollarium. 3. 6. 30... Si praeterea. capiamus $ — 2, noflra feries abibit in eam ipfam, quam in theoremate 1 fumus con- templa- es )99( $9 templati, fcilicet: r--EYAAGI- e cuius loco ibi habuimus X -1- aà* 4- Q' -A- Y^ -H- etc., eius ergo fumma ex hic allatis erit. mi s miens 2n—1 2n—2 2n —z L— — ——— — ———— 5 - - LÀ Lg [Z me m 2 . z 3 : E * (ücque etiam theorema Ll. rigorofe eft demonftratum. Scholion. 6. 531. In ipfo quidem theoremate primo fum- mam feriei per aliud productum, fcilicet : 5 5 10 à 14 1$ E 4" —2 - - Lj -———— , q"egesg ag "s? n expreffimus; verum hanc formam cum hic exhibita penitus conuenire facile oftendi poteft. Cum enim vtrinque deno- minatores fint iidem , demonftrandum eft, hoc productum; 22(2n—1)(a1n—2)- - - - -mn-r1, femper aequale effe huic produéto: 2. 6. I0. I4, * - - - -(4n— 9) Hunc in finem ponamus prius productum — P, fequens vero, quod oritur, fi loco z fcribamus 5s -1- 1, defigne- mus littera Q, ita vt fit Q -(2n4-2) (254-1) 41 (24—1) (22—2) - - - (14-2) vnde patet fore Q. ——. (1n-4-2) (sn-i- 1) — : $IBSUELUESI (n0 2), ideoque Q — (49-1 2)P; vnde patet, quomodo ex quouis valore pro 7 définiatur fequens valor pro 7-1 1, Quare cum pro cafü 7 — x illud «t. )9o27( t9 illud produ&üum P fit — 2; fequens productum Q erit — 2.6, quod ergo valet pro 5 — 2., quod fi. iam, denuo vocetur — P, fequens produ&um Q erit — 2. 6. 10, pro cafu 9 —5; fi hoc denuo defignetur per P, erit fequens' produdum Q — 2. 6. 10, x4, pro cafü z — 4; vnde ve- ritas huius identtatis manifeíto elucet. — Caeterum — pro- blema, quod modo tractauimus, multo latius patet, quam theoremata initio allata, quare operae pretium erit theo- rema inde natum hic ob oculos exponere, "Theorema generale. €. 52. Si litterae f. z et q deuotent numeros integros quoscunque, huius feriei inde formatae: [:1-E2]1-- 3. C251 28- E23 E74 1-4. ete fumma femper aequalis eft huic formulae: Eon vel eti- am huic: [227] quarum illa praebet iftud: productum: poss PRODuIg ERIS MU UE delp-q-i 1 E 2 E1 " gq 4-n ? haec vero iftud: psu prupueuy POEM DL DM OU "modrict Rer i 2 : i pP—4 : Corollarium r. | 6.33. Quodfi ergo iftam: feriem littera S defigne- mus, ita vt. fit cE- cer ce gi E e erit S —[?*2]. lam loco p fcribamus f 4- 1, feriemque inde natam per S! referamus, ita vt fit $i— (2]. 2: 14- [1] [252] 4- [2] E222] 4t ete. Acla Acad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. N erit - ) 9$ ( te erit Sp» facaque euolutione erit Gr pr geom OMS FRUI M MEM 1 2 3 qu J vnde colligitur fore S5——p4mvEi: 4 , $ bl pr,dtà Vt fit ]'Eprim--1 pe s Corollarium 2. $. 34. Simili modo fi in noftra ferie S loco f fcribamus 9 -1- 2, ac. ftatuamus: | S! — [7]. [5] - []- [272] 4- 2 [532] - 3] [521 b ete. erit S! c proa quocirca habebimus nunc CLUB]: s 06 Me Je zi CM UqoPUar paa Simili modo fi denuo litteram f vnitate augeamus, ac ftatuamus: Sure pps DTRUEET HU T- 05421 ois jte erit dp. Bcx*s) QU dies $—à4ci TAL ideoque habebimus nunc S — *-n: pui pn: G, c poabir?Co pcqnpe gBogt* Sicque vlterius progredi licet , quousque lib per valorem S omnes fequentes: S^ SIL SUIS etc. Rue cile exhiberi queant, id quod in fequentibus infignem vfum praeftabit. uerit, ita vt Pro- -—95 )99( $59 Problema. i $.:35. Si. quaepiam litterarum f, q e€ n, vel duae, vel adeo omnes füerint fractiones, in verum valoreta fc- riei propofitae : $—[1: 01-2 CH. p:4:] per formulam integralem inquirere. qu Solutio. Supra iu "Theoremate IL. obferuauimue, valorem iftius produdi: ncn n-4n/—: mn--n'—s5 2 n! c IBI We CES DEEP (ME tene I 2 xd en ' mw LJ [7 » aequari vel huic formulae: I I ' nfx" dx —ay-n | ] | | II. EE —;» Vel huic: dns. Vd om L wins cL ——áà vel etiam huic: Cum igitur noftro cafü fit —— Stt. Las oed abEn-i 9 xeqox f--ÉM-L d —-$ 1 gn ? comparatione rite iufinata patet , js ibi fuerat 5 hic effe q -1- n, et quod ibi. füerat ;n -- n^-hic effe bn ideoque quod ibi fuerat s', hic nobis erit /—9; quibus notatis triplici modo valorem ipfius S per formulas inte-- grales exprimere mina quae : furit : TIU e -As-3Yy-.16 c. isa ducas MNT N 2 i C pq s MEME ' (p —4)(g & n)fat-1 d x (x — xy" HMpGcps Oe o ue (p--n« 1)fxt-1dx (1 — gj fi quidem fingula haec integralia a termino x.— Oo vs- que ad terminum x — r extendantur. Perpetuo autem perinde erit, quanam harum trium formularum vti veli- mus, quandoquidem inter fe perfe&e conueniunt, quent admodum ex reductione .integralium fatis nota inteiligi- tur. Manife(lum autem eft, quaecunque fractiones litte- ris f. q ct 1 defigaentur, valorem fuümmace S ad certam formulam integralem, fiuc quadraturam reuocati. I Corollarium 1. 6. 56. Hinc igitur patet, innumerabiles, iftiusmo- di feries communem fummain, habere. pofle. Veluti fi alia quaecunque huius formae feries habeatur: Esq 1 RELfIbUJIGI- et vt eius fumma praecedenti cuadat aequalis, requiritur pri- mo vt fit Q-j- N — 4-27 7, fecundo vt P^-Q—5-—3, idcoque Q — 4--n —N et P —5-r-z—N, vbi ergo N arbitrio. noftro relinquitur; ac dummodo litteris P et Q hi valores affgnentur, feries inde rcfultans femper aequas lis erit feriei hic fummatae. -Korollarium 9; :- 6. 37. Si, vt ante fecimus, loco f fücceffiue fcri- bamus P--15;p-F2; -F3; cw ac fummas fericrum in- de eu: )agor( fM de natarum per S', S", S", etc. defignemus, hae per for- mulas integrales fequenti modo exprimentur: T.585— taii, ehe" 97 MIU GIRO AR. Dos [Dio : —4q4-1)(qa-n)/x? ^ *dx I— yfüc-4—:3? B7 ) I. $u- usc up (—4471) (p—-4) CEN) [AT hg pom y joue HIE See neni ius nean eic). (p—43-1)/ 31d x (1 —njr Vnde fatis liquet, quomodo «ctiam fequentes valores S", S", etc, exprimi debeant. Scholion. 6. 58. Quodfi ergo litterae p, q et p deuotent numeros integros, cuidens eíl, fingulas has formulas acu euadere intcgrabiles, indeque eadem producta enaíci, quae fupra pro fumma S inuenimus; fin autem inter bas litte- ras fractiones occurrant, fummatio ad quadraturas co al- tiores reducetur, quo magis fractiones fuerint complicatae; inter quas ii cafus imprimis notatu digni occurrunt, quos ad arcus circulares reuocare licet, id quod víu venit in ifla formula: [mom : EA fiue /x* x(1— x)7*, (1 zs X ita vt, comparatione cum prima noflrarum formularum facta, fit p-wqA—xetq-1-95—1-—A, ideoque | pb—-—netg—i—z—» N 3 Pro 52 ) 102 ( $53 ^ A x | d Pro formula autem diio a xpo —-. Antegranda flatuamus — i — dx — dy i . — —, fitque hinc vica E rac ideoque for- d du uu mula noílra eua et f? —5" PB Moterür. caf xc Id 3 fore, y — 0, at cafu x — 1 fore y —oo, ita vt hoc inte- grale a termino y — o vsque ad terminum jy-—coo capi oporteat. Quia nunc exponentem A vt fractum fpectamus, i -" ponamus À — *, et formula integralis erit /^ — ' £J. -Hig Icy flatuamus porro y — ', vt fit R-Y AM pM dy yl ge, | su-'dse ;pTO" mula notum cít, eius integrale a termino z — o vsque pi 5 E . ad 2 zeo effe — fn, £3» Quocirca, quoties fuerit vnde formula integralis erit v /—- . De hac autem for» BNont LL w-ub p—c-netq—i-n—-, tum valor noflrrae formulae integralis :erit T p—4 " z- gener — IL pat t4x(i-) —^ fn, Es vnde fequens problema refoluere poterimus. Problema. g. id Propofita hac ferie: -[3[2] 2- E3525 2 [21 E471 t ete inue 5 )1o5 ( $:$e inuenire. relationenr inter numeros f, q et f, vt. eius fum- maS per quadraturam circuli exprimi poffit. Solutio. Inter ternas formulas integrales pro fumma hnius feriei S fupra datas prima erat: I 5— qenfx*idx(-xy*e) modo autem vidimus, quoties fueric f-—cnmeqr-nms—£é, toties fore 7T fatstdo( ig —xyt '— fn. Em y quo valore fubítituto erit fin. ^7 y fin. &7- E TES pss abr sol Quo igitur ifte valor locum habeat , duae conditiones re- quiruntur, quarum prima poftulat, vt fit p — — 7, fiue $-- 2-0, fecunda vero, vt fit Xs D —g-ÉHh q-:-nn—2Bp—7-—^4-u Corollarium. $. 40. Quodfíi ergo i(lae conditiones locum ha- beant, fi fucceffiue loco p fcribhAmus p-2- 1; p-r-2; p-3-5; etc., füummae autem nofílrae feriei hinc natae per $^, S^, S/" etc. defignentur, quoniam inuenimus y fin, E* "o7 58)3 , eiit dem et33 ) ro. ( $e ups PE y fin. —* y* 6 VOGTVXR KExs747 [L] 1n. r—— 0-445. (—k)m p í- eT y? [| — prizes Q— E in. ET : S ^" P—4-? S — k(KA-Y) —t fi n7 iJ — P-EEn i-r "ros 1:2.:34.5 MT. S ?-—4--3 : - kücEyi rmm flt y ? lil — pns lu— 1.12263. 292 pm : P-q3-«* Su- — q^ TEE TEINTEE SEE EIUOE SETTE: Bim . fin. 9 * etc. etc. Exemplum. $. 41. Accommodemus haec ad cafum theorema- tis noftri fecundi, pro quo ftatui debet q — o, vt nancis- camur hanc feriem: sz[:] DE ET- EE] 27 E EET E] 193 t ete Quia autem erat «21 —5— 5 , hic erit 5$ — *-*, ideoque pil. Hic autem cusmdds ipfüm numerum f$ in computo reti. nere poterimus, ita vt fit p — — 7, tum autem crit d ci-m fue g-v(r—m), ex quo noítra fumma erit S —/£0-7—77*, quae ergo eft fumma huius feriei: SzicDbI-iED.I-:-bll1-5:1-dse 6. 42. Quodfi nunc numcrum f vnitate augea- mus, ob »-- 1r — 1 — n feries noftra erit: CIESUICOGESBIEOESHIESE quamobrem propter y — Y (1 —2) cerit ifta fumma: S zc; ve quia fin, (1 — 2) 1 — fin. nz coms eve ) 105 ( cos commodius habebimus — jin. |— — fin.nm Ss TO et S — n(i-n)mT ^ e $. 43. Quodí iam porro ftatuamus S/-i--[:] ET -- ETE T 4E] ete. reperietur ifta fumma S" — .——*Pe*7-.. Simili modo & porro ftatuamus : S" — 1E [1] [5] e Er] 8] D] EST ete. [T] r, 2. 2 fin. n t " prodibit ifta fumma $"/ — — 7:7 t .,. Hocque mo do has feries, quovsque lubuerit, continuare licet. $. 44. Quodfi iam characteres hic breuitatis gra- tia introductos more folito euoluamus, prima feries hanc induet formam: E unu nn(nn-:). mn(mm-:)(*n-«) SIELE T" mE 1 n : - - 1. 4e 9 "n(nn-:)(nn-«)(nn-o) |. — finonom us EE 9. 15 etc. — nc ? cuius fümmationis ratio aliunde ita oftendi poteft. Diui- datur vtrinque per 77 — I, fietque IUSTe m AP nu esce 2) ra ne2) nu-1i d TES EA LE *. 9. 16 Lo onn(nn- n UNS I, 4s 9. 16. 25 m etc. Diuidamus porro vtrinque per —^-*, fietque «S -— us Umen &u(nn-o) (a4n-i)(nn-4) — » 9. Td 9. 16 L2 nn(nn-g)(nn-i5) tnr sni) | etc, Diuidamus porro per *"-*, prodibitque | 40S — nn nn(mn—a6) —— (Ó€ s RE uq Leica (nn-:](nn- DW-s) d 16. 25 nn(nn—-16)(nn-zs) -— T ONE CORE M: etc, Ada Acad, Imp. Se. Tom. V. P. l,.— O Di- et32 ) 1:06 ( $93 Diuidatur porro, per ——", ac. prodibit 4.9. 16. S — £x, IN (nn—:)(*n—«)(nn —9j(nm—i16) —I sp Ctt. Quare fi iftae operationes in infinitum continuentur, orie- tur tandem i(ta aequatio: 12459: 15.25. M. $ '»- 9 E : (nn —i)(&$n—i)(nn—9) ctc. zum I) quae ambiguitas figni vt tollatur, in fingulis fa&oribus de- nominatoris figna immutemus, habcbimusque Lh4.obi8.. $455 h $ — " (ds TQ xh)lgknu tg eR) dé 71-25 quocirca hinc fequitur fore S-imLR.ae—eB.9 27. 5A etc. in infinitum, [ LI cuius produé&i infiniti valorem. effe —^""*7 iam fais con- ftat. Si enim capiamus hic £ — i, hinc fiet 2 Y. 3 8..5 S597 7. S — r3 d coe d e qt TÉ 292 4$. 4 6,6 B. 4 quae eft cxpreffio notifima Whollifiana. Scholion. 6$. 45. Hadenus igitur veritatem noftrorum theo- yematum, quae primo afpecu maxime ardua merito funt vifa, ex planiffimis Analyfeos principiis folidifime demon- ftrauimus, Datur autem adhuc alia via ad evndem ícopum perducens ex doctrina combinationum deducta, quam quam- quam ab inftituto non parum aliena vidcatur, hic claiius exponamus, - Problema. Si habeatur manipulus fchedularum vel chartarum, quatum numerus fit — 5, inter quas rcperiantur 7 chartae ccrtis wo35 ) 107) $92 certis fignis notatae, atque ex hoc manipulo forte extra- bantur & chartae, inueftigare numeros cafüum, quibus vcl null illarum chartarum notatarum inter iftas & chartas extractas reperiatur, vel vnica, vel duae tantum, vel tres, vel quatuor etc. vel adeo omnes 7, fi quidem numerus $ non excedat numerum £. Solutio. €. 46. Cum numerus omnium chartarum fit — s, fi inde vnica charta extraheretur , multitudo | varietitum foret — 5; fin autem duae tantum extraherentur, numes- rus varictatum foret 'C-*), qui numerus per noftros cha- racteres. expreffus erit [;]; fin autem tres chartae extra- hantur, numerus varietatum colligitur effe 2 C790 — [:], atque hinc concludimus, fi numerus chartarum extracta- rum fuerit — £j numerum omnium varictatum poflibilium fore — |] $. 47. Cum mnunc numerus chartarum notarum fit — n, quaeramus primo, quot modis euenire queat , vt earum nulla inter & chartas extractas occurrat; ad hoc in- ueniendum exciudamus omnes chartas fignatas ex noftro manipulo integro, et numerus reliquarum chartarum erit —5—mHm, vnde fi & chartae extrahantur, numerus omnium varietatum erit — [——"], qui numerus omnes continet ca- fus, quibus nulla chartarum notatarum inter eXtractas reperietur. $. 48. Inuefligemus nunc, quot modis euenire poft, wt vnica charta notata inter extractas reperiatur; O 2 ne. ec ) 108 ( tte neceffe igitur eft, vt reliquae extractae, quarum numerus eft &—1,fíint non notatae, quarum numerus cum fit 5 — 7, fi inde tantum & — 1 chartae extrahantur , numerus omni- um varietatum erit — [.——2]. Quare fi his fingulis cafibus vnam chartam notatam adiungamus, id quod 7 variis modis fieri poteft, numerus omnium horum .cafuum: erit 6.49. Inueftigemus fimili modo omnes cafus, qui- bus duae chartae notatae iuter Kk extractas reperientur; reliquae ergo harum chartarum, quarum numerus eft — k— 2, debent effe non notatae, ideoque ex numero chartarum 5 — 2 defümtae, vnde numerus omnium varie- tatum erit — [:——7]; quibus ergo fingulis infuper duas k—s2az chartas notatas adiungi oportebit, id quod cafibus n (n — 1) 1, 2, — [1] fieri poteft; vnde numerus omnium cafüum, qui- bus duae tantum chartae notatae inter extractas reperien- tur, erit [2].[z— ]. Eodem modo facile patebit, vt tantum tres chartae notatae inter extractas occurrant, numerum omnium cafuum poflbilium fore [5]. [;—— ]. Porro igitur vt quatuor chartae notatae inter eXtractas rc- periantur, numerus omnium varietatum poflibilium erit $—n —I 1l. 6. so. Hinc igitur in genere concludimus, vt A chartae notatae inter extractas inueniantur , numerum Omi- nium varietatum pofübiium fore —[5]-[j—x)» qu nu. merus eS ) 109 ( coe merus duplici modo ad nihilum redigetur, primo fcilicet, vti initio obferuauimus, fi fuerit A? 2, tum vero etiam fi fuerit A7 &; binis nimirum his cafibus talis extractio, qualis defideratur,; locum plane habere nequit. Quare fi numerus chartarum notatarum 7 nonu fuerit maior quam numerus extra(ctárum £, numerus omnium cafuum poffi- bilium, quibus omnes 7 chartae inter extractas occurrent, Vbi A — nest [zl LeIIeli-4 [17b — 6. sr. Sin autem numerus chartarüm notatarum z malor fuerit quam extracarum £k, vltimus cafus erit is, quo omnes £& chartae. extractae fimul erunt. notatae, quamobrem hic fumi debet A— £, et numerus omnium horum cafüum pofhbilium erit EI ps2 db. 6. 52. Quo omnes hos diuerfos cafüs clarius an- te oculos exponamus, fubiungamus .fequentem tabellam , cuius columna prior indicet, quot chartae notatae inter extractas occurrere debeant. pofterior vero columna indi- cat numerum omnium, cafuum, quibus hoc eucnire poteft O 3 char- $95 ) rro ($530 Chartarum notatarum inter] Numerus omnium cafuum pof- extracas occurrentium nu- | fibilium , quibus hoc euenire o, ems I m poteft j o | exl Sape 1 [:1.1;—5] 2 | [:1- [£72] 3- | I: EE-I 4 | [:1. [2-5] 5 | [:1.[;z51 ur Àin genere A | ILDIL- quas formulas eo vsque continuari oportet, donec enanes- cant; atque hinc fponte fluit alia demonftratio theorema- tum füpra allatorum, ac praecipuae theorematis generalis €. 32 allati, quam hic euoluamus. Demonflratio. theorematis generalis S. 32. allati. 6. 55. Quodíi numeros cafuum in tabula füperio- ris paragraphi affgnatos eo vsque continuemus, donec e- vanefcant, eosque omnes in vnam fummam colligamus, prodibit numerus omnium plane cafuum , quibus vel nul- la chartarum notatarum inter extracas reperietur, vel v- nica tantum, vel duae, vel tres, vel quatuor, etc. vsque ad es )ainr( 8e ad finem; quae ergo fumma aequalis effe debcbit numero omnium varietatum, quae in & chartis extractis locum habere poffunt, quem numergm vidimus effe —[ 41; quo- circa fi ponamus: S—E])- EZ UI JP BIG I1 [£m ete. erit S —f;]. 8. 54. Haec quidem feries ab illa, quae in theo- remate tractatur adhuc di(fidet, verum facile ad hanc for- mam reduci pote(t ope noftri lemma:is L, quo erat [2] -— ze) Hac enim reductione fa&a feries fuperior fe- quentem induet formam : S—apE PE t 5x 4-6 ]. [ILL -- etc. quae ergo fumma erit S-[], vel etiam 8 —[,2;]. $. s5. Nunc vero feries in theoremate füperiozi füummata erat haec: s—)- p xD - C1 4-0] E22 9-3 E24] 4 ete. ad quam formam feriem hic inuentam reuocabimus, fi flatuamus $—7z — 5 et s—7z—£k —q, vnde litterae setk ita determinantur, vt fit $—5 -1- 2 et &k—5$—4; quo- circa per ea, quae hic expofuimus, fumma feriei propo- E ER] 4- . ET fitae erit Sco vel etiam S ced quam eandem fummam huic feriei in theoremate fuperiori affignauimus,. SCLV- meo ) TIS9 ( e e)sn S.D I Von gU PROBLEMATIS GEOMETRICI EX | DOCTRINA SPHAERICORVM Auctore 4. Ja LEAXSOE LL €. 1. E: eo tempore quo TPeodofíi Elementa Sphaericorum confignata habentur, vix alia quae ad doctrinam de figuris in fuperficie Sphaerae defcriptis vlterius perficiendam pertinent, a Geometris tractata reperiuntur, acea quae ia Elementis Trigonometriae Sphaericae tractari folent atque ad rcfolutionem triangulorum Sphaericorum fpe&ant. Nul- lum autem eft dubium, quin fi fymptomata linearum cur- varum in fuüperficie fphaerica defcriptarum, eodem modo euoluerentur, ac curuarum in plano defcriptarum — affectio- nes explicatae fucrunt ; noua Gcometriae pars prodiret, quae non folum infigni varietate, íed elegantia quoque inuentorum fe commendaret, Verum tamen quum huius- modi disquifitiones curiofae magis, quam vtiles videri que- w 835 ) II 3 ( e cfe queant, inde fine dubio fa&um eít, quod huic doctrinae perficiendae operam hucusque non dederint Geometrae. Quamuis autem completa "Theoria, curuarum in fuperficiac fphaerica, diffücilis non minus ac parum fructuofa effe poterit; co tamen non obílante fingularia ex hac doctrina Problemata, quae praecipua quadam elegantia fe commen- dant, non prorfus negligi debere videntur. Ex eo gene- re quum iftud Problema fit, cuius nunc folutionem expo- nere conftituj, eanlem Geometris non prorfus ingratam fore, mihi perfuafi. $. e. Ex Elementis Geometriae notum eft, quod Triaogula in plano defcripta, quae fuper eadem bafi et ad eandem partem huius bafis collocantur, [fi aequalia inter fe fuerint, hanc habeant proprietatem, vt eorum vertices collocentur in linea rece bafi parallela; occafione igitur huius propofiionis in animum induxi, vt inquirerem , de linea curua in qua collocentur vertices omnium triangu- lorum Sphaericorum , quae fuper eadem bafi collocantur ct qvorum areae inter fe funt aequales; quum enim levi adhibita attentione perfpexiffem, hanc curuam nequaquam effe circulum maximum, cuius fymptomata in fuperficie . fphaerae, alioquin cum illis, quae lineae rectae in plano compctunt, confentire folent, eo magis curiofa haec dis- quifitio mihi vifa eft. $. g. Priusquam vero folutionem huius Problema- tis acgredi licet, propofitiones quasdam praeliminares Lem- matum inftar, praemittere conucniet, quum illis folutio nofira fuperftruatur. Primum igitur noffe oportet, quod ad aequalitatem. binorum triangulorum Sphaericorum id requiratur, vt fumma angulorum in vno iftorum triangu- Aca Acad. Imp. Sc. Tom. V. P, I. P lorum, 'Tab. IV. Fig. 1. eve )ire( $e lorum, aequalis fit füummae angulorum in altero; demon- ftratum enim eft quadruplam aream trianguli Sphaerici effe in ea ratione ad totam Sphaerae fuperficiem, ac exceffus fümmae omnium angulorum trianguli Sphaerici fuper bi- nos rectos, eft ad binos angulos rectos. Alterum Lemma quod heic tanquam propofitionem praceliminarem adhibere conflitui, fequenti continetur Theoremate: Si fuerit triangulum. Spbaericum A B V, cuius tres angui ABV, BAV, AVB, /uteris B, A, V refpedi- ve exprimantur , lateribus illis oppofitis per, b, a, v. defi- gnatis, erit tang. ; (A -1- B) — cot. ; V cof. ; (b — a) | cof. i(b 4- a) Huius: propofitionis variae quidem demonftrationes ab Auc- toribus, qui de doctrina triangulorum Sphaericorum agunt, tradi folent; quum tamen minus commodae mihi vifae fint, hic aliam meo quidem iudicio, haud inconcinnam, expo- nam. Ex punc&o V in bafin A B, demittatur normalis arcus circuli maximi V R et dicatur angulus AV R — &, atque B V R — ».. Quum igitur fit per. proprietates tri- angulorum Sphaericorum rectangulorum: cof. A —fin..A V Ricof.*V R. et cof. B — fin. BV R cof. V R, fiet cof. A : cof. B — fin. & : fin. v, hincque cof. A — cof. B: cof, A -1- cof. B — fin. jJ. — fin. v: fin. &. -1- fin. v, feu tang. 1 (A— B)tang.; (A -- B)— tang. ; (y — v) cot. z (p.v) — cot. 1 V tang. i (v. — v). Porro e» o) ais ( o fe Porro ob tang. V Rz tang, V A cof. AVR tang. V Bcot.BVR, fit cof. |. : cof. » — tang. a : tang. £, vnde colligitur cof. y — cof.p.: cof. y. -F cof. y — tang, 5— tang.a: tang.b -- tang.a, feu tang. ; (V — ») tang. ; V — 252. Denique ob fin. A : fin. B — fin. a : fin. b, fit fin. B — fin, A: fin. B -- fin. A—- fin.» — fin.a: fin. 5 4- fin.a, hincque cot. : (B— A) tang: : (A 4- B)— cot. i (b — a) tang i (6 -- a). Si nunc haec aequatio ducatur in tang. ; (B—A) tang.; (B 4- A) 2 cot. ; V tang. V 1 (jy. —v), obtinebimus: tang.; (B3-A)"— cot.; V.tang.; (j.—v) cot. i (5 a) tang.: (b--a), in qua fi loco tang. ;(M —») fübttituatur 1 fin, (b — a) cot. z V. Jin. ( (b -- a)? fiet cot.i(b—a) fin.(b— a) cot. i(b--a) fin.(b 4-a) . cof. : :(b— 2s eof..* (A pay ob fin. (b — a) — 2fin. : (b — a) cof. 1 (5b — a) et fin. (b -- a) — 2 fin. : (6 -4- a) cof. 1 (P A- a). Extrada igitur radice quadratica fit: m : (Pra) tang. ; (B 4- A) — LIAE ang. ; (B 4- A) — cot. Ae LADER Y tang. ; (B 4- A)' — cot. ; V*. Lc60b3 $. 4. His praefuppofitis folutio problematis noftri fequenti ratione adornari poteft: Supponamus fuper data E: bafi T BEUGG bafi AB —2CB-— 2a defcriptum effe triangulum Sphae- ricum A V B datae magnitudinis, tum vero ex punáo V in A B demittatur arcus circuli maximi V R. normalis et dicantur CR — x; VR zz y; anguli autem V AB, VBA, AVR, BVR, vti füpra refpectiue per litteras A, B, jv exprimantur eritque per Lemma modo demonf(tratum : tang. ; (A 4- &) — coe d AUR) cof. ; (V R — B R) cof. : (V R--BR)' ob tang. 3 AR V — tang. 45 — I, tang. ; (B -- ») — hinc colligitur f.i (y —a-—x) (A y-—'EOsNA ret et tagged eas FEDES i cof. i(y —a-r x) tanps, (B-2Ly,)——- —————1 i E iOS) cof, i(y4-a— x) Hinc vero fequitur tang, ! (A -- B -- p. 4- v) — tang. : (A 4- B 4- V) .. cof. (y—a—x) cof. (3-a-x) 4-cof.; (y—a-x) cof. i( yrarx) ^ cof.! (y--a4-x) cof. : (y--a—x) —cof. 1 (y—a—x) cof. 1 (y—a-x) Ef vero cof. (y - x)-r cof.a—— 2 cof i (y-- x -- a) cof. 1 (y -- x— a); cof. (y — x) cof. a— 2 cof, ;(y— xr a)cof,2(y— x—a)5 tumque cof. (a 4- ») 4- cof. 2 2 2cof. : (y 4- a 4- x) cof. i (y Fa — 2); cof, (9 — a) 4- cof. x— 2cof, (y — a x)cof,i(y—a—x); quam- -—i )igry( i9 quamobrem confequemur: tang, ; (A 4- B-- V) — *A0-s EE E coa Atqui e(t cof, (y -t- x) -4- cof, (y — x) — 2 cof, y cof. x et cof, (y — a) — cof, (a -- 5) — s fin, a fin, y, vnde his valoribus fubfítitutis fiet tang. ; (ALB V)- cof. y cof.x -t- cof. a — jin, y jin. a Quum igitur. triangulum A V B fit datae magnitudinis, fumma angulorum A, B, V erit cognita, quae íi ftatua- tur 180?-i- 20, fiet | tang. ; (A -4- B 4- V) z tang. (90 4- 3) 2 — cot. 9, vnde haec orietur aequatio: cot, à fin. a fin. y — cof. y cof. x -i- cof. 2 qua aequatione indoles curuae in qua puncum V col- locatur, erit expreffa, 6. s, Quum ex hac aequatione indoles huius cure vae nondum fatis liquido patefcat, videamus quomodo propius ad fcopum pertingere licebit. Per punc&um C ducatur circulus maximus Z C normalis ad A B et iun- gatur CV, tum vero dicatur CV —z et angulus ZCVzQ, eritque ob cof. € Rico V R — cof. V. €, et fin. V KR — fin V.C fin. V C R — fin. V Ccot.Z C V, cof;ux cot. y — cof, 2. et fin, y — fin. z cof. (D, his igitur valoribus in aequatione allata fubftitutis, fiet cot, à fina fin, z cof. (p — cof. z -|- cof. a, P3 quae e$32 ) mrs ( 89 quae iam facile ad huiusmodi formam reducitur : cof. y — cof, z cof. e -1- fin. x (in. e cof. o, ponendo cf. Y — — cof. a et — tang. c — cot. à fin. 2, . cc]. € Tab, IV. ex qua aequatione manifeto liquet curuam iftam quacfi- lig. « tam effe circulum minorem, cuius conítrucio hunc in modum adornatur: Concipiatur circulum maximum C Z producum iterum occurrere circulo maximo ABO in pun&o M, tumque refecetur MO--CB, ct ducatur P O, qui cum arcu MO facit angulum P O M — 9o—5; iam fi polo P intéruallo arcu PO defcribatur circulus mi- nor OV Q, erit hic circulus locus iftorum punctorum V, ita fitorum, vt fi ex datis pun&is A, B ad punctum quodpiam V ducantur arcus circulorum maximorum A V, B V, erit triangulum BV A datae magnitudinis, fumma angulorum exiftente — 180 -t- 2 0. Nam ob POM — 9o — 8, erit tang. POM — cot Ds Lo fang. t jin. a ? eft vcro tàng. P OM forem — "jn. MD eritque igitur tang. PM — — tang. c, et PM — 180^ —:, quare arcus C ZP — e, tum vero fit cof. P O — cof. O M cof. P M, ideoque cof. P.D.— —cof. acof. e, ob OM—CB-—a, hinc obtinemus P O — yy; fponte autem liquet effe pro trian- e$ )1::9 ( S$s0e triangulo fphaerico P C V; eot DW — cof; P'O — cor P C cof- VG. -|- fin. P.C fin. VC cof. PC V, hoc eft | cof. y — cof. e cof. z -1- fin. e fin. z cof (D, quae eft aequatio. fupra inuenta. Quia vti iam obferuae vimus, fit arcus CP —180 —P M — e, ideoque tang. C P. — tang. e — — cot. à fin. a, erit CQ—CP-PQ-—CP-PO.:--—'yet CS—CP-J-PO-:-4vy, qua ratione bina punc&a definiuntur, in quibus circulus minor Q V O circulo maximo C ZP occurrit. €. 6. Data bafi AB, cuiuscunque | fuerit magni- tudinis triangulum A V B, circulus minor, qui locum pun&orum V exhibet, femper. per puuctum O circuli CBM tran(übit, exitente MO -—CB, hinc igitur. patet circulum. minorem iftam, in maximum non abire, nifi fuerit M.V — CB-— 90^; pro eo autem cafu quicunque demum fuerit valor trianguli À V B, femper locus punc- torum V erit circulus maximus et tunc quidem triangu- lum A V B in fegmentum fphaerae abit, binis femicirculis maximis inclufum. Si vero fuerit C B 2 9go?, circulus minor in maximum abire non poteft nifi euanefcente triangulo A V B, quod per fe eft manifftum. $. 7. Si confideretur. punctum Qi, vbi circulus minor O V Q inter(ecat circulum. maximum C Z.M, eius fitus " BETTE fitus triplici, modo fe habere poterit; dum enim Z füppo- nitur efle polus circuli maximi CB M, pun&um Q aut cadet inter Z et C, aut in ipfum punc&um Z incidet, aut denique inter Z et M reperietur. — Primus cafus locum habebit, fi fuerit cot, 0 7 cot, a, fecundus fi fit cot. ó — cot. a, et tertius denique exiftente cot. Ó -jcot.a. | Nam fi fit cot. ó — cot. a ct tang. P M inlicetur per tang.6, fiet ob rond E-Icot 5, d 2 cot. 2, ideoque tang. 6 &- cof. a, vnde multiplicando vtrinque per cof. 6, fin. 0 £- cof. a cof. 0, id eft fin. 6 7 cof. y , hincque viciffim fin, ^» 2 cof. $, quum jgitur fit PM — 6, erit P Z — 9o" — $, ideoque PQ- PZ, hoc eft punctum Q cadet inter Z et €; fimili ratione liquet pofito cot. ó — cot. a, fore fin. y — cof, à— fin (9o — 6), id et PQ —P Z vnde puncta Q et Z coincident; tum- que denuo pofito cor. à —2 cot. a, fiet fin. ^y -— cof. 6, ideo- que; PZ — PO €. 8. Si pun&tum V incidat in O, abit arcus BV in B O, quamobrem ob A B 4- B O — 180^, erit quoque arcus À O aequalis femicirculo maximo, ideoque hoc cafu triangulum A V B abit íi fegmentum fphaerae, binis fe- micirculis maximis inclufum, angulo inter hos femicircus los XOB, vel X A B exi(tente —; eft enim i(XAB--ABO--XOB)—9o*-4- XOB, ob ABO- i5 eX B-— XOB, hincque fiet 90'-- XOB — 9o* 4- à. fiue XOB:--ózogo —POM, vnde perfpicuum euadit arcum circuli maximi OX A, tangere circulum minorem O V Q in puncto O. $. 9. cB )aer(( $e $. 9. Quoniam . locus -pun&orum V eft circulus minor polo P intervallo P O defcriptus, merito quaeritur vtrum integer hic circulus, problemati fatisfaciat, an vero €a tantum eius pars, quae füper circulum maximum ABM eleuata eft. Scilicet fi integer hic. femicirculus minor de- fcriptus concipiatur, qui occurrat circülo maximo CZ M in punctis Q et S, eius pars Q V O fupra circulum maxi- mum eleuatur, reliqua patte. O S. infra hunc circulum de- preffa; 'Tenendum vero eít partem Q O proprie tantum Problemati fatisfacere, alteram autem partem , O S eius effe indolis, vt vbicunque inu illa fümatur punctum V/, quod.cum punctis A, B iungatur arcubus circulorum maxi- morum A'V/, BV', triangulum A V! B quoque datae fit magnitudinis, aequale nimirum exceffüi, quo femiflis fuper- ficiei fphaerae exfupetat arcam trianguli A V B , ita vt ambo haec triangula A V B, A V/B inuicem addita aequentur. femi(fi fuperficiei fphaericae. Nam fi indicentur anguli V!AB, VBA, AV!B refpe&tiue per litteras AC B^ V tumque ponatur A! 4- Br -1- V! — 186? 417 2 3^, gave DE a SOPTESBE 2m us go*-1- 0^ deinde vero flatuatur Z C V!— Q! et arcus CV! 2, per- üenietur ad hanc aequationem: — cot. Ó' fin. a fin. ud NGA cuius reductio ad formam Y caf. »y — cof. 2 cof. c 4- fin. 2 fin. e cof. Qy, requirit, vt' ponatur il Cof, y -— — cof. a cof. e 'et tang. e— cot, 9! fih. a, 4da Acad. Imp. Sc. Tom, V. P. 1. Q fi ets ) ref ( vue fi igitur fumatur à — 18go* — à, pro e et yy iidem valores reperiestuür ac füpra 6. 5, quare arcus O' S erit locus punc- torum V^, exiftente arca trianguli A B V! cius quaatitatis, vt fit tang. : (A! -- B' -t- V!) — tang. (9o? -4- 9!). Si vero fuerit A4 -i- B! -- V! — 180? -1- 2 9, quum fupra affumferimus A--B--V-zrit$o?--23, addendo inuicem habebimus A -44- B 4- V -4- A! 4-7 B! 4- V! — 360? -1- 28 4- 2 0! — s. 560, ob à — r8o? — à. Hinc per $. s. fi fuperficies fphaerae indicetur per S et areae triangulorum A V B, A V'B per a, Q fiet 4a'S— A 4- B--V —180^: 180? tumque 4 g: S — A!-4- B'-- V'— 180^:180? vnde 464-4 :S: A--B-FV FA! 4 B'-- V!'— 560*:180, id eft 4 (a4-8):S2 2:1, hinc z-- 8—;S. In nofira figura triangulum .A V/B non quidem exprefíi- mius, verüm €o tameu non obftante, quae de hoc Trian- gulo monuimus, fatis perfpicua effe cxiftimamus. 6. xc. Quum folutio Problematis noftri in fupe- rioribus allata Analytica fit, nunc aliam eius folutionem Geometricam eo magis adferre licebit, quod vix quidem primo intuitu iudicari poffit, hoc Problema per Elementa Sphaericorum tam expedite demonílrari poffe. Prob/ema au- et ) ros ( ie autem ipfüm iam ita enunciatur: QOvaeritur im fuperficie fpbaerae linea curua Q V OO eius indolis, ot vbicunque in illa fumatur. puntium V, quod cum datis Limis puntiis A, B iungatur arcubus circulorum maximorum AV, BV , trian- gulum A V B femper daáiae fit magnitudinis , aequale imi- rum fegmento [pbaerae A X. O B A, binis femicirculis maxi- mis A XO, A BO, imlufo. Conftruc&tio. Arcu A B in C bifecto defcribatur per C circulus maximus C Z M .normalis ad A B qui circulo A B O 4e- nuo in M occurrat , tum vero per O ducatur arcus cir- culi maximi P O normalis ad A X O, qui circulo CZ M occurrat in P, iam Polo P interuallo P O defcribatur cir- culus minor QV O, dico hunc circulum minorem efíe curuam iftam quaefitam, Demonftratio. Sumatnr pun&um V vbicunque in hoc circulo mi- nore, modo in arcu O V Q fupra C OM eleuato reperia- tur, et ducantur femicirculi maximi A V O, B V N, tum- que arcus circulorum maximorum P V, P N. fam ob arcum BON-—CBMC-ACO, fit CB—MOC-MN, ideo- que PN—POC-PV, hinc in triangulo PVN aequi- cruro, erit ang. PVN-PN V et in A P V O aequicruro, ang.PVO—PO V. Nunc vero ob ang. PONZPNO —PNV--VNO,e VNO—VBO,; fiet ang.PON — 186^ —POB-—PVN--VbBO, Q 2 ideo- eti) ) ore (o f:3e ideoque 150? -VOB-POV— 189 -VOB-PVO —PVN-r-VBO, addatur vtrinque angulus B V O, eritque 1580-4-BV O-VOB-PVO- WP vnde ob PVNZPVO- VNO-PYO- A V B, fiet: 150--BVO-VOB-PVO-—BVO --VBO--PVO-AVSB, vnde 5600 —2POV—BVO--VBO-S-BOV, quum igitur fit angulus V OX-90"—-P OV, erit 380^ -2POVzZ2 VOX, hiücque 1509" VO X-— BVO--VBO-4-BOV, ex quo iam conítat triangulum fphaericum B V O aequari fegmento fphaeriae AVOXA, hincque demto vtrinque triangulo communi V O X, fiet triangulum AV X- BOX et addito denuo vtrinque triangulo A X B fiet fegmentum AXOBA-AAV B. 6. 11. Si in füperfidie fphaerae tria fumantur pun&a A, B, V patet femper bina quaecunque eorum, duobus arcubus circulorum maximorum iungi poffe, vno fcilicet arcu. femicirculo minori, altero tantundem malore exiftente; hincque fi per triangulum fphaericum, intelliga- tur figura, quae includitur tribus arcubus circulorum maxi- morum; patet iungendo tria puncta A, B, V omnino octo for- e$ )rss( so$e formari poffe 'triangula' fphaerica: ^ Scilicet fi bini arcus A B et 3560? — A B. indicentür^'per^ oj o!, fimiliterqüe bini arcus A V, 5600[( —A V per 5, b' et BV, | $60 —-BV per a, d o&0 haec triangula oricütur per ebriliinatidaes diuerfas trium a vel a/,^b. vel. J', 9 vel 9. Quamuis au- tem in Gcomctria Elementari, mon confiderari foleant, nifi triangula quae- componuntur ex arcubus circulorum maximorum, femicirculo minorum , nullum tamen eft du- bium, quin triangulorum fphaericorum affectiones rite ex- plicatae ad reliqua quoque adplicari queant. Pro cafu no- ftri Problematis vbi arcus A B fupponitur, cognitus , qua- tuor triangula formari poffunt, frimum fcilicet quod in Figura indicatur A V B. fecundum quod arcubus A B, BV et 560 — A V includitur, zeriium quod arcubus A B, A V et 560^ — BV. includitur et quartum denique cuius latera funt A B, 560 — AV, 360^ — BV. Quod fecundum et tertium attinet, facile liquet, eorum areas complementa conflituere trianguli A V B ad femiflim fuperficiei fphae- rae. Pro quarto vero obíeruare conuenit, arcus A V, BV antequam ad A, B peruenerint, fe in V/ interfecare , vbi igitur area trianguli cenferi debet aequalis differentiae in- ter fegmentum fphaericam V U V'' T V et triangulum AV'B-AAVB Fig. 2. Deinde vero fi loco bafis A B adhibeatur eius complementum ad quatuor rectos, alia quatuor orientur triangula, ad quae Problema noftrum quoque adplicari poteft. $. 12, Ponamus circulum maximum CZM de- fisnare Meridianum cuiusdam loci et C BM horizontem, in quo C fit pun&um Meridiei ct M Septentrionis, iam fi (5 Po- Tab. IV. Fig. 3- «$22 ) x26 ( $:9 "Polus aequatoris intelligatur cffe P et diftantia ftellae alicuius fixae a Polo aequatoris P O , ita vt haec (tella motu divrao circulum. minorem Q V O S defcribere vi- deatur, qui horizontem in pun&o OO interíecat, tumque a Meridie vtrinque capiantur A C, CB finguli aequales ipfi MO, vbicunque haec ftella verfatur, fi ex punctis hori- vontis À, B ad eius locum ducantur arcus circulorum meximorum, A V,B V, erit triangulum fphaericum A V B, «Quod inde formatur, datae magnitudinis. pesemdedpuratm Eben pe DIS- e$ ) x27 ( $$ DISQVISITIO ANALYTICO- GEOMETRICA DE VARIS SPEÉCIEBVS LINEARVM. CVRVARVM SINGVLARI PROPRIETATE PRAEDITARVM, Auctore NICOLAO FVFSS,. 6. x. In differtatione quam non ita pridem Academiae tradidi, "T,5. fy in naturam curuae inquifiücram circa punctum aliquod Fig. 2, fixum C defcriptae, re&amque A T, in A C normalem, tangentis in pundo A, quae fcilicet curua hac. gaudere dcbcbat proprietate: vt, ducta ex puncto C per eius puac- tum quodlibet Y re&a C Y T, arcus À Y tangenti AT acequetur. Hic quacftionem fequentem generaliorem trac- tare animus eft: Data pofitione retia EF, datoque punto fixo C; Fig. 3 imuenire curuam ab, cuius arcus mn, intra amngu- lum MC N contenti, aequales fint inieruallo MN, ab codem angulo im vt(ia EF. abfeiff 6. 2, «ee35 ))rx28. | :oe2e $. 2. ln Mac quaeftione Problema illud fpecialius, cujus , Solutio me. ad. eciem. Lemniscatae perduxerat, 4comprehenditur, id. quod.infra clarius oftendemus. . Facile autem intelligitur, non vnicam tantum, fed infinitas dari curias Problemati. generali hic propofito fatisfacientes, quo- niam 'per 'quóduis re&táe 'C M 'pun&um 77 curua traduci poteft ita comparata, vt.portio eius m7 aeguctur portioni recae E F intra evndem angulum M C N inclufae. Hae quidem curuae vtidüe diterfimode dd re&am C M incli- nabuntur; earum autem directio pro quolibet punc&o z, fiue angulus M zz b, fequenti modo facile inueftigari poteft. 6. 5. Re&ae C-M -ducatür proxima C, pona- turque normalis C A —. 1 et interuallum datum C; —z; tum vero fit anguls A CM — 4 ct dire&io curuae Mub-uw, pofittque arcu 7» —5 erit etiam interual- lum Mj.— s. Iam ex punctis M et » demittantur in re&am. C j«. perpendicula Mr.et 9r, et ob angulum .MgiR-cGAMGZ9o—2 etit MR— tcof.£.. Ex triangulis autem C.M R et. C zr. deducitur CM:MR-—ÜCzxm:mrf. Eft vero C gu — m, | CM-cfc ACM- et mrzmvfin.myr— sfin.o, €0j. Q quibus fübflitutis analogia fiet arg; 5cof.í— m: sfin. o, ; "a vnde prodit fin. o — « cof. d^. Quoties igitur fuerit m cof. d^ 4 1, hoe eft cof. 4 7, directio curuae per z; tranfeuntis reuera affignari poteft, -Tm Wdgue v ef33 ) ro ( $82 idque duplici modo, quia etiam directio 5 v! fatisfacit , fi modo füerit angulus C v —M zv. Sin autem fecus eueniat vt cof. 2 7, directio curuae ideoque et ipfa curua fiet imaginaria, $. 4. Quod fi autem ipfa dire&io « vt data fpec- tetur, affignari poterit pun&um 77, vbi curua Problemati fatisfaciens re&am C M interfecat: Erit enim eius diftan- tia a pundo C, hoc et Cm—m —/72. Hinc intelli- gitur, euenire poffe vt pun&um 77 in ipfam recam EF incidat in M, quod fit quando ;; — CM , hoc eft fi fuerit fu» fiue fin w— cof 4, ideoque « — 9o —2; vbi iterum duplex pofitio locum habet: altera qua curuae elementum 77» congruit cum interuallo M j.; altera qua reclinatur. fub eodem angulo 90? — &. Quin etiam fieri poteft vt curua vltra rectam E F porrigatur, quod euenit cafu m? CM, hoc eft £25 —, fiue fin. e cof. Z. Curua igitur eo longius vltra rectam EF discedere po- terit, quo maior fuerit angulus A C M — 4. $. s. Cum igitur innumerabiles dentur lineae cur- uae huic Problemati fatisfacientes, quarum in praecedente differtatione vnicam tantum fum perícrutatus, quae fcilicet rectam EF in A tangebat; operae vtique pretium videtur, etiam in folutionem generalem inquirere, Quo au- tem haec inueftigatio facilius fuscipi queat , omnes curuas fatisfacientes per pun&um fixum C tranfire affumam , id quod eo tutius ftatui poteíl, quod ipíe calculus, fi aliter eueniat, id oftenfurus erit, dum hunc tranfitum imaginarium Acta Acad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. R red- 'Tab, II. Fig. 4 w032 ) r30 ( $539 feddet. Hoc igitur modo omnes curüae quas quaerimus im hoc tantum a fe inuicem difcrepabunt, quod ia punc- to C diuerfimode ad axem C A inclineütur. . $. 6. Tpfam nunc quaeftionem propius aggredien- tes cónfideremus. curuam C M, axi A € occutrentem in pun&o C, wbi tangatur a recta C G ad axem inclinata fub angulo A C.G— ae. Sit Y pun&um in hac curua, per quod fi ducatur re&a C Y T, recae E F occurrens in T', débet effe arcus C Y interuallo G T aequalis, ita vt, pofito hoc arcu C Y — s, ob AG —tang. &, fit AT — tang. o -t- 5. lam ex punáo Y demittatur perpendiculum Y X, vocen- turque coordinatae EX-v*cbXY-w.enr CX:XY-—CA:AT, hoc eft x:y— r:(tang. & -1- 5) vnde prodit haec aequatio: d 34—xtang.& -- $X, qàac iam cónditionem Problematis complectitur. $. 5. JDucatur nunc recta Y V, curuam tangens ia puncto Y, voceturque angulus A V Y —(. "Tum ve- ro confideretur pun&um curuae proximum y, ex quo fi agatnr normalis in axem y x, ducta lineola Y » axi pa- ;allela, erit etiam angulus 4 Y y — (D, ideoque Yu-dx-dscof (et yu—dy-—dsfn.Q. His inuentis differentietur aequatio fupra inuenta Jj —sutang. à -- 5X, | pro- ed. ) 181 ( $93 prodibitque iíta: dy-datang.c-i-54 x -I- x ds, fiuc d s fin. (C — d s tang. a cof. Q-Es4s cot. (D4- xd s, vnde fit x — (in. (D — taug. & cof. Q — s cof. (D, hocque inuento: j —xtang &-1- 5 X. Vbi iam euideus eft, in ipío curuae initio, vbi Q —a et 5$ —0O, tam abíciffam quam applicatam euaucfícere, vti rc- quiritur. $. 8.. Quo nunc. relationem inter binas. variabiles $ et D, quibus binae coosdinatae decermiaautur, inuefti- gare queamus, repraeíentemus aequationem pro s inuen- tam hoc modo: ^ -—in.(D —.e)... r. LI $ cof. D, eamque differentiemus, fiet dx—-ds cof. pzs9370—9—drcof.4- «di fin. p, fiue 2d $ cof. Q—5s4dd fin. i909], co. Hanc aequationem, ductam in. D, func&ionem anguli $, integrabilem ftatuamus, et cum fit fa&a multiplicatione iJ € 4p d [o] cof. «p -— pa D Z5«cof. (— s D 4 (fin. si ez ftatuatur - " 2— 9 do f. (t ue ) | 2f cof. D z—/.* ee 9 cuius . differentiale eft 24 scof (p.254 cof. (p — 205 4( fin p 2429960 - 9 €0. 1 R 2 ita exi ) 82 ( See ita vt membris finiflris inter fe aequatis fit 25d cof. (D —d5s4d fin. D, hinc ào —d Q fin. Q 2 Y uem vnde fit 1 ——i1cof. D, confequenter Q — S5» vnde aequatio integrata fiet 4o co—o 25 Y cof. D— 35 f TRE u quod integrale ita eft capiendum , vt shell pofito D-a. 6. 9. Cum autem euoluendo conftet effe cof. (ID — a) — cof. a cof. (D -1- fin. « fin. (D, erit [oy — cof. a f d D Ycof. (-- fin. a f Ae, ergo 2$ Y cof. D — tang. a[ So 4- f d Y cof. d. Prioris autem membri integrale manifefto eft — 2 Y cof. p, quod, ita fumtum vt euanefcat pofito (D — a, dat ee — 2 (Y cof. a — Y cof. (D). Pro altero membro ftatuatur cof. (p — v v, ita vt fin. (B — Y (x —9') et dpfin.. p——2v4v, ideoque -—.——.27dv —— vvdv oc Ji. et [4o V cof. o — 2f y Eft vero per feriem infinitam integrando "vvdv .— 4 1, $, 5 y0 —7)-— - o (uv; moo birLET FUR vnde, reftituto valore v? v — cof. o, habebimus: f4QYcof. (p—— scof. ((; 4- "cof D*4- 23 cof. (*-- etc.) 2, 4. II Quod fi igitur integrale hoc, ita fümtum vt euanefcat pofito (D— a, indicemus per P :a — T : (D, erit 2f ec. ) 155 ( $$ 25 Ycof. D— 2 tang.a (V cof. —YVcof. (D) --T :a — T : (D, exiftentibus his fun&ionibus angulorum « et (p T: (o-—2 cof. q ( 24- s. Cof. (Q* -r 2 cof. QD* 4r etc.) T:4- acof.o* G 3n eotgs Tu cofat t etc). $. 10. Hic quidem facile patet, fi ponatur vel —o' velu«p-o, fore ':0.-—— 1, 1980., nam. in pfaece- dente differtatione inueimimus effe ide ds cbe hide iii -- etc. — 0, 5990. Neque etiam cafüs, quo «m a set (QC angulo recto aequa- lis, vila difficultate laborat, quoniam manifeíto fit ':7—0. Verum fi ftatuatur (Q— — 90^, exprefío fupra data prae- beret D: (— 2) — 0, quod autem veritati confentaneum non eft. Ad hanc difficultatem tollendam fuper axe a5 — 180^— conflruatur curua aq d b ita comparata, vt eius abíciffae c p — (Q refpondeat applicata » q — V cof. (D, eritque area epqd—fd(Ycot.tcp—r:d. At ex priori differtatione, vbi abíciffas areasque corre- fpondentes a puncto a fumfimus, conítat effe aream acd — 1,1980; hinc füumto (D — — 90^ — ce b, abíciffae a 5 manifefto re- fpondet area ac b da — 2, 5960, ideoque habebimus: T:(—1)— 2, 3960. 6. 1x1. Quod fi iam breuitatis gratia ponatur 25 Y cof. (D atang.a (YVcof.a— Ycof.) HT; 4 —T: pz V, R 3 ED "Tab I, fig. 5 Tab IL lig. 6. eti? )yise( Sue eit aréus C Y — 3 — I$ et coordinatae erunt C X — — fin. — cof. QD (tang, a 4- 5); X.Y —y — x (tang. a 4 5), ct nunc manifettum eft, quod iam fupra obferuauimus, pofito. z-« fore « — o, x —o et y — o, id quod eue- nit in ipfo puncto C. Qdo magis autem angulus (D vl- tra hunc terminum (Q —a increfcit, eo magis etiam bi. Dae coordinataé x ct y, cumi arcu s increfcüht. lta po- Dto ( — 96" erit " V-cetang.a Y cof. a -- T :a, ideoque 5 — oo; tüm vero ob 5&cof. Q zz V Vcot. d — o, erit x — 1x et y — oo. Cum igitur abfciffae C À — 1 re- Ípondeat applicata infinita, euideas eft, curuam no(tram ex diftantia infinita, vbi cum recta E F furfum praducta confunditur, «efcendendo «continuo magis ab hac reca, eius afymptota, recedere et in puncto C fub angulo ACG zt'a per axem tranfirc. 6. r2. Quod fi iam hunc curuae ramtiti afymptoci- eum M C dexrrorfum viterius continuare velimus, produ- camus. axem A C vsque. in 2, ità vt Cazc C A — rx, et per a recte datae E FP parallela agatur e f; tum, produc- ta tangente-G C. in g vsque, erit angulus 2 C g —a et interuallum a g —tang.a. Cum nunc, ftatim atque curua per C tranfierit, tam arcus * quam eius inclinatio (D re- fpe&u pofitionis tanquam negatiuae quantitates funt fpec- tandae , abfciflis x — — fin (p — cof. (o (tang. « -5$)h 'Yefpondent applicatae ec35 ) 135 ( $99 J —— x (tang. a — s) — — (in. (D (tang. « — 5) — cof. QD (tang. « — 5)*, quae negatiuae erunt quamdiu s —ltang,z; fin autem fu- erit $—tang.a, erit x — — fin. D et y — o. Vnde. pa« tet, curuam ex parte axis inf-riore afcendendo iterum per eum tranfire in puncto S, exiflente interuallo CS — fin. (p. Dehinc vero curua continuo afcendendo ad rce&am ef accedet, donec ad diflautiam infinitam cum hac recta fur- fum producta conueniat, Cum enim, ob D:(—2)— 2,3960, pofito (D —— 9o* fit V — ztang. & Y cof. a 4- T : & — 2, 3960, dummodo fuerit | 2 tang. & Y cof. & -«—- E :& 42 2, 5960, etit $mIppz:7 99; tum autem erit fco. .Dz22 W Y cott — 6, ideoque x — — x et y — x £— co, ita vt abfciffae Ca-z refpondeat applicata, infinita, Ramus igitur CS Y N vti- que etiam eft afymptoticus ad rectam ef furfum produc- tam couuergens, et figura itla M CS YN tractum noftrae curuae quaefitae exhibet. Praeterea etiam. curua zmC ss priori aequalis infra tangentem Gg defcripta pariter in noflra folutione continetur et Problematis conditioni 'fa- tisfacit. 6. 13. Inuenta iam figura noftrae curuae videa- mus, quantum ea infra axem A 4 deícendat, fiue quaes ramus punctum eius Q«, vbi applicata negatiua fit maxi- ma, id quod euenit vbi tangens curuae Q R axi e(t pa- rallela , «632 ) I36 ( eom rallefa, hoc eft, vbi inclinatio ad axem euauefcit, Pofito igitur angulo (D — o, ob T : o — rz, 1980 erit V —2 tang. a (Vcof. & — 1) 4à- T : « — 1, 1980, ideoque. arcus CQ— —tang. «(V cof.a — 1)-1- T :4—0, $990. Tum vero coordinatae pro hoc puncto infimo erunt € P — — (tang. « — 5) et P Q — — (tang. « — s). 6. 14. Summa autem hic attentione digna eft con- ditio fupra memorata, qua, quo curuae ramus CS N as- cendendo in infinitum porrigatur, requiritur vt fit 2 tang. & Y cof. a 4- D: 2, 35960. Vtique enim euenire poteít vt prodeat vcl 2 tang. « Y cof. &-5- FL :« — 2, 3960, vel 2 tang. « Y cof. «a -- Y :4 2 2, 5960. Priori cafu, ob V — 0 et 5— 5, arcus finitae longitudinis effe poterit; caíu altero foret V pofitiuum, ideoque Y quantitas ncgatiua. Sin autem applicata eft infinitum ne- gatiuum, ramus curuae afymptoticus cum recta ef deor- fum producta conueniet. Hinc diuerfae curuarum fpecies nafcentur, quas accuratius confideraffe operae pretium erit. $. 15. Ante autem quam hanc nouam inueftiga- tionem aggredimur, limitem noffe oportet, vbi fit V — o, quippe vltra quem citraque hae curuae noftrae varietates oriuntur. Kiunc in finem cum cffe debeat. — V — 2 tang. « Y cof. & -4- ':4 —2, 3960 — 0, |». quac- ec ) 197 ( $83 quaeratur angulus a, vt fiat fin. A l5 -LiD:eclÓcIi,198. Cum igitur fit Ld WE es o cof b^ GA ; cof. 2* -i- ete.) flatuatur cof. a (i-4- I, cof. a^ -i- etc) — A eritque ' tID:a— AY cof a. Pofito autem angulo « — 9o? — Q, erit A — fin. G (3 -4- I, fin. Q* --. etc.), cuius feriei fummam in.priori differtatione pro pluribus anguli (D valoribus exhibuimus. Depromantur igitur in- de valores litterae À pro apbgulis (2, a o vsque ad 9o? 2 M m (Mns pu progredientibus, iisque addantur valores ;LI:« et Vera vnde fequens tabula nafcitur: fin.a [c E ;p:a Eja irs 0,006010, 000, | co $91/650658 |0,024|2, 363 7910,117 * 06811,625 301091011270, I2,5 | T,224. ees 279 [e 22710, 84I 60|30]0, 569lo ; 543 |09, 537 99| 0o01Oo, UST 599,0,000 $. 16. Ex hac tabula ftatim apparet, valorem anguli «, quem quaerimus, cadere intra limites « — 6c? et 4 — 45, vnde rite interpolando reperitur à—:52?, 55/, Atia Acad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. S Hoc e$39 ) r88 ( S559 Hoc enim valore ftabilito fit M pU em fin. & .—. ideoque PVIAE-6i T:a— 1,1980 — vti requiritur. Hoc igitur valore inuento percurramus fücceffiue cafus fequentes : 17) ybi eft. — 05; 9?) vbi a: 52*/ $5 9) vbi.à — 52^, 55! :et 4^) vbi & 2» $25,554, vnde fequentes quatuor fpecies noftrae curuae penitus a fc inuicem diueríae orientur. Species I. vbi « — o. 6. 1s. Hic igitur erit V ZP:0 — T :(5, ideoque f— I, 1980 T:90 2 y cof. (D z ycg.p* Eft vero ds feriem: z m cof. (i. ) Lies nw (i 47; fin. p^ 4r L7 fin. qp* 4- ete.) pofito (p— 90? — vy. Quodfi igitur pro diuerfis anguli wj valoribus fümmam huius feriei ex priori differtatione - 14 1,' 980 excerpamus, ipfique adiungamus valorem fra&ionis PET fiue tum vero arcum : $-— 151080 Y: Q aycf. syc.q? abfciffam porro X — fin. Q — : cof. (p ct et3 ) 50 ( $52 et applicatam y — $ x, orietur fequens tabula curuae mo- menta exhibens: 1,1900 | T: Y Q 2 Vcoj. D | z v cof. O 5 WI TRIES o 9o| oo O, O00 |H- co -- 1,000, oo 5| $85,2,029|0,029 -- 2, 000|-- 0, 822|1, 644. IO| $80|I, 437|0, 058 |-- 1, 879 -- 0, 746 |1,029 15| 75/1, 177/0, 087 -- 1, 090, 4- 0, 684.|O, 746 20 70/1, 024|0, I17|-2- 0, 907|4- 0, 6350/0, 5 7I 39 60/0, 847,0, 177 - 0, 670. -- 0, 531/10, 856 45| 45/|0,712/0, 270 |-- o, 442, 2- 0, 3950, 175 60 30|0; 644.0, 369|4- o, 275,4 - 0, 262,0, 072 90 0|0, 599 0, 599 |-- 0, 000 -- O, COO |O, 0cO I20|— 5010, 644.0, 918|— O, 274- — O, xd igi qa I35|— 45|0, 712|1, 155|— O, 443, — 9, 395 O, 175 150,— 60/9, 847,1, 517|— 0, 670 —9, 5531/0, 556 160|-70|2; 624!|1, 931|— 0, 907.— 04/690/0; 47 165/— 75 |1, 177,2, 267 |— 1, 090,— 0, 68410, 746 170|— 80|[1, 457.2, 817.— 1, 3879 — 0, 7461 1, 029 175|— 85,2, 029 4, 029/|— 2, 000 — 0, 822|1, 644. 1$9|— 9o| oo eo [|— co -— I, O0QO0j co Huius tabulae ope facile erit curuam conftruere. In punc- Tab. HI. to enim C, vbi Q — 0, curua. axem A a tangit, dehinc P8 * vero, ex vtraque parte afcendendo, ad rectas E F et ef accedit, cum iisque furfüm in infinitum productis confündi- tur. Erit ergo MYC N, portio noftrae curuae hac pro- prietate gaudentis, vt, ducta ex C per eius punctum quod- vis Y reda Y P5 di arcus C Y — A T. | Infra axem vero A a curua priori aequalis z Cz, defcribi poterit pa- riter in noílra folutione contenta. S2 Spe- em; ) 40) $8 Speer» Th vbi. a 4 52? 55. 6. r8. Hic igitur momenta noftrae curuae erunt: V — » tang. a (V cof. & — Y cof. Q) 4à- P:4 — P :(p, hincque 1 C ge V zT 2 y cojf. D ? x — fin. p — cof. (tang. à -4- 5); y — x (tang. à -1- 4); tum autem, pofito (D — — 90^, prodibit valor V — 2 tang. 2 Y cof. & - T: à — 2, 3960, qui ob & 52^, 55! erit negatiuus, ita vt, pofito Q—— 90^, prodeat 5 — — oo, x -— — r et y — x 5 — oo. Hinc patet hunc:cafüum eum ipfum effe, quem. iam fupra, ante de- terminationem limitis à tracauimus, dum quanutitati- V ne- gatiuum valorem tribuimus. Curua igitur. hoc cafu oriun- da formam habebit M C SN, iam .füpra defcriptam cui infra tangentem G g curua fimilis et. aequalis ;z C 5 s^ eft addenda. Vtraque porro harum curuarum íociam habet e parte axis. A a: contraria defcriptam, et ob ambiguitatem fignorum pariter in noftra folutione contentam, quae bi- nae curuae jJ. C $v et. p/ C $»/,, quoniam eodem modo ac priores ad axem A a et redas EF et cf funt relatae, ct a re&a T y etiam in puncto C tanguntur, exiftente angu- io ACT —ACG —a, pariter Problemati noftro fatis- facient. Species Iil. Wb 55^, 556 6. 19. Hoc igitur cafu babebimus: V :d—O0,342.'et' Tang.a Y cof. a — 25054, ideo- we32 ) I4I ( C Gen ideoque V — 25,396 —2.1,3253 Y cof. 5- T : b, confequenter $— jute 538 7 qarg? tum vero coordinatae erunt x-—fin.Q-—cof.D(1,3253-1- 5) atque $-—uY (1,5235). Ex tabula igitur fupra $. 17. 'exhibita pro quouis angulo (Q arcus s ficillime determinari poteft. — Huic autem ne- gotio füperfedere eo potius poterimus, quod momenta in- ueftigaturi pro puncto curuae Q,, vbi applicata e(t maxi- ma, mox deprehendemus, curuam hinc natam eam ipfam effe Lemnifcatam , cuius naturam in priore de hoc argu- mento di(fertatione iam fatis exace determinauimus. Erit igitur ex $. 13. pro noftro cafu arcus CQ-tang.a(Y cof.&4—1) 4-;P:4—0,5997— 0,724. Tab. IIL abíciffa Fig. 3. CP —- (tang.a3—5) — —0, 599; ideoque applicata P.Q—-(tang.a —5)— — 0,359. €. 20. Ponatur nunc ( — 90^, eritque arcus $— uo 99 et ob $ cof. (p 9 V Y cof. (D— o erit x-haülpo-ri(euy-—sx»s-ooo. Erit igitur M C ramus curuae afymptoticus cum rectaE F in infinitum furfum producta conveniens, qui, poflquam in 83 C D C axem traiecit, vsque ad. Q infra eurn. defcendet, dehinc vero iterum afcendere incipiet, donec in puncto a cum reca £f confunditur. Pofito enim (p — — 90^, ob LP:(—0)— 2,396 erit — Ia XB TOBX ds : — u$ 5329— var L—-1,5293, tum vero x-—íün D-—zx ety-x(z,329— 1,325) — o. Erit igitur Ca —— 1 et arcus C Qa — 1, 523, vnde ob C Q— o, 724 erit Qa — 0, 599, tum vero CP — o, 599, Pa-—o,4o1: cet PQ—0,359. Haec omnia perfecte con- gruunt cum iis, quae in priori de hoc argumento differ- tatione 6$. 15. funt tradita. — Quodfi igitur huius curuae ramus fimilis z C A | infra tangentem defcriptus delinee- tur, vtriusque autem M C a ct z C A focia ad partem axis oppofitam defcribatur, quarum vtraque a reca [py in C tangatur, exitlente angulo T CAZ GC A — 5», 55, figura erit completa et ipfam eam Lemniscatam exhibet , . quam Solutio fpecialis initio commemorata fuppeditauerat. Species IV. Vbi & & 52?, 55*. 6. 21. Pro hoc igitur cafu prodibit V-ctang,a(Y cof.a—Y cof. (p) --T :«—T :0, ita vt pofito (D — — 9o? fit haec quantitas V — 2» tang. a, Y cof. à -A- T :« — 2, 396 ideoque pofitiua, confequenter peu X c c5 Qe — 1, 225 en — ay a.o d vnde e$ ) 148 ( $5 vnde concludimus, curuam habere ramum cum reca ef deorfum producta tanquam afymptota conuenientam. In- terim tamen, fi quaeramus, quantum curua M C a recta EF difcedens, poftquam per pun&um C tranüerit, iufra axem defcendat, formulae fupra $. 15. traditae dant ar- cum CQ-—;-—tang. a (Y cof. &4 — 1) 2- ;T :« — 0,599, abfciffam CP —— (tang. a — 5) Z — (tang. c (2—V cof. à) — Y :2 4- 0,599) et applicatam PQ—-(tang.a(2—Y cof.4) —iY :4 -4- 0,599), quae nullo modo infinita fieri poteft, nifi cafu & — 90^, quo cafü curua axem normaliter in C traiicit, inde vero dextrorfum defcendendo continuo longius ab eo remoue- tur. Quamdiu autem valor anguli a intca limites a — 52?. 554 et a — 90? accipitur, dabitur neceffario applicata maxima 13» Ek P Q finitae magnitudinis, vltra quam curua, poftquam TO punctum Q attigerit, iterum afcendere deber, — Hoc autem cum applicata illa infinita negatiua alio modo conciliari nequit, nifi ftatuatur, curuam M C Q a punc&o Q afcen- dentem non vltra certum quendam limitem NN poirigi , ibique cuspidem formare, ex qua ramus afymptoticus N K ad rectam ef deorfum productam defcendendo conuergit. $. 22. Inueftigemus igitur pun&um N, vltra quod curuà MCQN afcendere nequit. Hunc in finem quaera- minus primo maximam arcus C Q N longitudinem, quae in- uenitur ponendo 4p— o. Reuertendo igitür ad aequatio- nem differentialem inter s et (p $. 8. exhibitam , quac crat 2ds $$ ) n4( $999 edscof.(p— s d fin. (p 4- 299/(9—8, cof. & habebimus ds .— sfin. (cof. « -4- cof. ( D — a.) — o: dq — 2 c90j. a. coJ. QQ 75$ 9) vnde fit arcus CQN—;—-— e (9-2) — — cot. (p — tang. a. Jin. Q coj. Hinc porro erit tang. « -4- 5 — — cot. (D, ideoque xcfin-- 2T — ty ety——L$. Ipfe autem angulus (p, fiue inclinatio curuae ad axem in pundo N, ex hac acquatione definiri debet: 2 5$ Y cof. D — 2 tang. a (Y cof.« — Y cof. D) --P:« —T :(b, quae ob s; — — cot. (D — prone: a reducitur ad hanc: o cof. Q* 2Ífin.« P0 [indQ — Y cof.a --T:a. 6. 28. Quod fi iam valor huius anguli (D, quem non nifi per longas ambages approximando ex aequatione modo inuenta determinare licet, ponatur (D— — *y , (eui- dens enim eft eum eífe negatiuum) pro punco arcus ex- tremo IN habebitmus coordinatas — m : E. E DN CES I et ipfum arcum C Q N — cot. yy — tang. a. Ducatur nunc re&a C N, eritque CN JY(CXsvyGN )-— tum vero erit tang, X C N — EX — cot. y , ideoque XCN—9o0-y et CNX—wvy, "m acr vnde ex ) 145 ( S3 vnde fi 'ex N in CN normalis erigatur N Z, erit etiam angulus C Z N — y , ideoque N Z erit tangens curuae in pun&o N, ita vt curua, quae ob CX Ca (emper vltra re&am ef porrigitur, rectae C N in N normaliter infi(tat. Quoniam autem , vti iam fupra obferuauimus , abfciffae Ca-—- 1 refpondet applicata infinita -negatiua ,, omnino neceffe eft, vt curua in puncto NN habeat cuspidem, inde- que regrediatur et defcendendo cum recta e f deorfum pro- du&a tandem conueniat, vnde oritur ramus afymptoticus N K. 6. 24. Praeterea vero, quia reca Aa femper eft diameter, ad alteram eius partem dabitur curua fimilis m Cnk, ex cuius cuspide z pariter ramus afymptoticus nk furfum vergeus cum recta e f producta in infinito con- fundetur, altero. ramo C z ad atymptotam E F acceden- te, Tum fi ex parte tangentis oppofita curuae- fimiles delineentur j. C vx et p C»/x', figura omnibus numeris erit completa et folutioni generali accommodata. ^ 6. 25. En ergo quatuor curuarum fpecies naci fumus inter fe maxime diuerfas, quae omnes hac proprie- tate gaudent: vt portiones earum inter recas in pun&o C concurrentes contentas aequales fint interuallis ab. eodem angulo in rectis pofitione datis E F et ef abíci(fis, Quan- tumuis autem hae quatuor fpecies noftrae curuae ratione figurae a fe inuicem discrepant, maxime tamen iuter fe cohaerent et cum principio continuitatis pulcherrime con- Ciliari poffunt. Nam fi verbi gratia in hac quarta fpecie ftatuatur angulus (D re&us, ideoqne *y — 90^, erit Aíla Acad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. f N CN exo ) 146 (. eco CN-—ti-—Ch.et XN-—& Ambo igitur buncta N et z in a incidunt, fictque ex $. 223. ei -CPE:acY:(—y)-2,896 y Cóf. ideoque a — 52^, 55, vnde oritur curua tertiae fpeciei. Simili modo fpecies tertia ex fecunda oritur, (ítatuendo (Qj — 9o0*, vnde fit C S — x — Ca, ita vt punctum S in a cadat, in quo ergo applicata euanefcere debet, quod fieri nequit, nifi fit V — o, hoc cft nue equas sod y c2.Q vnde iterum fit a — 525,55, Ex ternis vero poftremis fpeciebus oritur prima, fi ftatuatur o — 03 tum enim in genere pro omnibus tribus fpecicbus patet, pro puncto in- ftmo Q ex 6. 15, fore CQ —5—o, CP-o. et PQ-o, ita vt pun&um Q in ipfum C incidat, €eterum ipfa origo harüm varietatum noftrae curuae , ex diuerfa pofitione tangentis G g prouenientium , intimum nexum inter has fpecies, figura maximc inter fe diuerfas, abunde declarat, Jnterim tamen egregium iítum confenfum ideo adcuratius indigitaffe operae pretium videbatur, quod inde principium continuitatis denuo confirmatur. METHO- e$; )1r47( $e METHODVS INVESTIGANDI INTEGRALE AEQVATIONIS db(x—p)(nu—ss)--da(nn-i-p' 4-ps-A-pps)co. Aud&ore $, RUMOVSKI. €t. I. perte pofteriori Actorum Academiae Sciestiaram pro Anno 17578 editornm llluftris Eu/erus in refolutione Pro- blematis, quo quaerebatur motus corporis frio alicubi alli- gati, füper plano horizontali, peruenit ad aequationem, de cuius Integratione agere coram Academia couílitui; Dodit equidem Vir fummus Integrale aequationis propofitae, aít vt ipfe fatetue, non ni& per longas ambages ad illud de- ductus eft; cogitaui Igitur num forte detaür alia. facilior via Integraie aequationis propofirae elicicndi; er; cum vo- to potitus cífe mihi videar, quae de Integratione hyius aequationis emcditatus fuma , conílitui JArademiae Scientia- rum exponete. | y WE 6. 2. eps ) 48 (ie 6. ». Aequatio propofita, pofito 5 — f q, induet formam fequentem , dp(x—5)(nn-pp a q)Cp dq ad p) (nc p ppqip'q)-o quae acu euoluta dabit andp(x—p)--pdp(nn--po-ppa-t- pq) --qdp(nn-- p! 3-254) — o. Cum in vltimo membro occurrat f! -- 2'4g, ftatuatur (r-c-99)pp-*7, wE Bit b—zu-c- dt [dq d$-— EU - Y(zq-4-1) (24-71) di Adq — D£dt ttd ipi -p- RT M A Yeti) Qqyap 340i (Qatip zn--p--ppa-p4— —— i ig c eb (24-1) (24421) 2n-4-p--2pgq-nnd- nne His valoribus fubftitutis habebitur nndi(1-q) nnidi nnigdq mnttdq qrds Yogki) ix ouk Gen ten dg. vgqdq dT7—- xc 0. (244-1ij (24-- 1 Ordinctur aequatio fecundum differentialia quantitatum va- ziabilium, et prodibit "nn ec35 ) t49 ( $s$e íEdi(r--q).. nntdt? i3dY ET eR Stt AP : nnigdg-rUgd znitdg-r 15d TuautuncaL UR AIL ESM MN, (ppiy Vamm- S) quae porro reduci fe patitur ad hanc nudt(r-G-q) nntdt ,. qidt y(? q43-1) 29-1 quM idq 3g rione (Lt d txgnri DE oO. 6. 5. lam hic obferuo vltimi membri, fi ; fpccc- tur vt conítans, integrale fore aut 1-d-q9 RUD Uso ad QE t(nnd-tij IL drcum aut UPC It Lcd pP(nn-t-e5 (ucc zi). Aífumamus illud effe Leg 2. Lo er. ; (n n 3i i £) absscn iimicr5 et fumto differentiali nullo habito di(crimine variabilium patebit differentiale illius parum diflentire ab aequatione propofita: prodit enim audt(r-E n AELCCA AO d-qu std y(24271) fq Y(293-1) 2Q4i £d 4r t (nn-r- tt) LER XR eS NC. (eg pepdipisuda Dabitur igitur aliquis factor, in. quem formula Qq e L i (nn ti) zio) ducta fit integrale aequationis propofitae. Sit ille 1, wt integrale quacfitum fit Ts $ «$42 ) rgo ( Sie 4 (nn-- t) Ju une) ine BHEUENEn saa Peurolce2 /$ 4. A differentiali huius aequationis fi fubtraha- tut aequatio propofita habebitur gttdt(*--q) — :fdt — qtdf —adL. V(zqud-:) 29 4-1 20--1 Eft vero vito) ai — (4 I5 — 1 E BU der E z(2q4-1:) ? vnde manciícimur edL—g3:1ds(,. — M LE)-irdt. Át cum fit ER La CER 2 H cue MR v (29-3171) 3(2g4-1) — i(n&--If) prodibit adL-—:9 eM T —iFdt, 2n-4-H quae, Qoid —f.i —£:l(snd-ii), nn--tt- Sx per notas Analyítos regulas ducta in (mz--:2) fict grabilis.. Prodit enim adL SxLidst.: TELE (nn-ity / Cunisy (nnd gs) Cuius integrale eft 2 i, dt MEC u— C Ln Vf ——————r (nn--:1y (nn-r-ziy LN. — C-—iV(an-r1:)— Dpryeetc inte- eL-— edel D) air Ue - à aLzC(sn--£i—(nma-irn(mna i). Vnde colligitur integrale E aur one m £(nm--fD)Gc— E zC(um4i y q 4-1) ix —(um--itD)(mrnmn--t:), fiue ILS. 4f — C Y(nma-tp)-nn, vt q --) zq ac tandem in locam ipfius ; fa&a debita fub(titutione rc- fultabit : €Y(nn--2ps--pp)—nmp--sd-ps fiue € - d4-pus-b: 7 Yy(nnaA-spsc- pp €. s. Cum membri z(un 4:5( eu? ray 23: (24 E TID integrale quoque fit tE(nn--rD(.--. jj, YGq--1) ' sq-i fpecato nimirum ; vt conftante, fimilem im modum ex hoc quoque fonte integrale aequationis quacfitum — kaurici poterit. A(fümto' enim integrali x (nc En e har et procedendo vt füpra deducimur primum: ad aequatio- nem: snngtát nntédt stidi(g-3: rotidf uen Mies v ore 30 ki c549h. losa quae ob 4 2n ngtdt-nufdt c uerrwmuoremurdtet zttdtí(q-E- rqt3dt fdeq T3 YogcGko Ua es —SHMCIOEY* TEMP muta- zr ) 15 z ( Gurt, mutabitur [ougom in idnentema Ltdt uuo adL--:ELt'tt—mnntdt. Cuius integrale eft in promtu; fcilicet eL nntdi d nn Q26-/ TV (n2 2- tif [nura retro Hinc aL- MMC je 5:4) — C(nn-4-tif —nn(nn--1i)s ac tandem 40-9 2p -0-—CY(nn-4- £2) n8. y (2 q 7 1) 2q -- $. 6. Et fi facile praeuidere erat, pofito multi- plicatore M, vt fit ; — M, pro vtroque cafu illum prodi- turum reciprocum íupra inuenti; attamen inftituto tenta- mine non nifi poft fubítitutiones demum in primo cafu gi3dt —— s ,3 wp tout znntdt — nntdt nntdt epu dti 2 (204-1) et 2j--1 ELSE x :q0 a)? in fecundo vero Limntdt —snn4tdt- —nngtdt p — InzEA 9 w-cac CREMAMUC-TE OE EE aequationem noftram ad formam differentialis E redu- cere, et. tandem ipfum multiplicatorem elicere licuerit. Poft modum re perpenía vidi iisdem fubftitutionibus ipfam no- fram, aequationem reduci ad integrabilem. ^ Pofito enim breuitatis gratia: TUES im o S Mu a) yGq-4-1) TE pc S Er T Lem -P erit . da | 4Q- eto ) x58 ( $89 ETC RU Lol, PRUC V ONBANR V. 0 et (ans or C WE E) TEUER Rd. qid esce dMg oo quite qoM Eq TEE 1 Quodü in aequatione nndt(x 3-9) — ngtdt | qv dt OY(34-k 3) 34-3 2443 -rt E A y)? Dus uin M in locum. ££. 31 fcpibatur. 7 Hr — 2g--1 is nntdt : : M t 3 41 et nauis difpefcatur in partes ES b, orietur POX tle ton u Let — UY bus MUT PSRE 2 (2 4 «- x) prn i) ( TECTA ud ee d 2 I (2 I (sqxiy - V1 Ud fiue t(nn--2054dQ--nnQd4dt--1rdt—o. At fi in eadem aequatione in iocum -UUIEi fübftituature 2 i 2nngtdt — Pon ddYtmpqu dots C Burden at dt, habebitur: eemeespuecmdime mt iit m ; Acía cad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. V andi , uet Lq nnat HEC ur og "d LY (s -- i) vut ( dt m (inr) ( L3 ER meu opos fiue t(nn--:0)dP--nnPdrt—nntdri—o, quarum vtraque manifeíto e(t integrabilis, Si igitur fub- ftitutiones bas principio in aequationem introducere ia mentem veniffet, totum negotium facillime confici po- tuifftt. 6. 7. Quo appareat formulam inuentam C — nu-pusHps vV(nn-«-:ps--pp effe Integrale aequationis propofitae , multiplicetur illa v- trinque per denominatorem, vt habeatur: CY(nn-2-2ps--pp)—mnn--p-r-s--p* et füumto differentiali habebitur: C(bds-i-(p 030) — 35 de--bds-Ai-sdfp y(nu--zpsc-pp — dpi i)4- s (1 2 f) e(t autem [e x nIDierEnp yinnz4d-i:ps-cebD — "Uun-F aps xl quo fubítituto et ordinata aequatione prodit tandem dp(x—p)(nm4-ss)-- d s(nn-p'--pstpps)— dqe77 IAGMA. MRR adiu Sa ai roS ie ici) RE RR NN PHY- PHYSICO- MATHEMATICA. L2 EX Angie P CHI. 75 A. [ ec )rs7( eee Muf ES AU XR uf. j ' üg ! | OSCILLATIONIBVS MINIMIS FVNIS LIBER£ SVSPENSI. Au&ore — E.: ES LOESR OQ. 6c, S tota longitudo funis O M F — a et fpecies eius talis, T;$, ry. vt.fi longitudo. ponatur — £, pondus fit — E; vnde Fig 4 noftri funis pondus erit D lam elapfo tempo —: teneat funis fitum OMF, qui a recta verticali O A quam minime diítet, ita vt recta O A longitudini funis aequalis cenferi queat; vnde fit O A — a. ]lam vocetur abfícitfa AP-—x, applicata P M — y et arcus FM — 5, qui ergo abíciffae x aequalis aeftimatur. Confideretur nunc elemen- tum Mgm-ds-cdx, eiusque pondus erit — £^*, quo pondere [2 hoc elementum deorfum in directione M Q vrgetur. Tum vero fit tenfio funis in M— T, in m vero — T--4 T: atque cuidens eft, incrementum : tenfionis dT pondufculo .eius - V sg ele- e212, ):58 (.. 2825 elementi M 5$, quod eft E2*, aequale effe debere, quia fingula funis elementa quam minime a directione verticali declinant; vnde cum fit 4'T — £7*, erit T —F*. Sicque in ipfo peancto fufpenfionis O. tenfio funis erit "T —"*, fci. licet toti ponderi funis aequalis, $. 2. Quia nunc pundum M a tenfione T. deor- fum trahituc, a tenfione vero 'T -4- 2 T furfum, ob de- cliaationem minimam ab illa tenfione 'T in directione MP follicitabitur ví D ergo a tenfione T -- 4T a directionem contrariam MR vrgebitur vi — $5*-4- d, 127. fioeque vis refidua in directione M R. vrgens —— 4.14. Quoniam igitur inuenimus tenfionem "T — 72, erit ifla vis hd Ef «diy -——ÉE 24 Ed y fumto TOM dx ha nich quae vis fi dinidatur per maffulam £4*, erit vis acceleratrix — 225? -- 42, In hac 5, dcterminatione vis acceleratricis ad variationem — temiporig non refpeximus; quare cum applicata 7 tanquam functio ambarum variabilium x et 7 fpectari debeat, i(tam vim E more fíolito. ita exhiberi oportet, vt fit d.xdy* dd Y ad x(52) ^ed 22), fiue ES ars 6$. 8, Quoniam igitar funis punctum M aliam motum habere nequit, nifi in directione P M, eius ccler's tas jn hac direciione erit — (27); hincque, eius. accelera? tio — (772), quae diuifa per 22, (denotante g altüiudi- nem lapfus gravium vno minuto fecundo) dat ipfam vim accc- j eB )is9( $54 acceleratricem — (4/7), ita vt nunc habeamus iftam aequationem differentio - di£erentialem: quu —2,(422-). - (lue [xt 38 A Tir (22)—2gx($2)-2- 2&(2). In qua aequatione omnes plane motus, quos funis fio(ter ex O fufpenfus recipere poteft, contincatur, Facile autem in:elüigitur, hos motus in infinitum variari polle, prouti initio funi alius atque alius ftatus, tam ratione figurae quam motus, fuerit inductus. $. 4. Totum ergo negotium huc eft. perductum, vt integrale completum iftius aequationis differentialis in- veftigetur, quod fi fucceíferit, omnes fünis motus aeque feliciter determinare poterimus, ac praeftare licuit in mo- tu chordarum, vbi pro ftatu initiali quocunque totum motum fequentem aflignare valuimus. Verum hic maxima occurrit difficultas, cum nullo artificio aequationis inuen- tae integrale completum adhuc exquirere licuerif, ita wt de folutione perfecta iítius problematis defperaré fimus co- acti. 6. 5, Quare praeclare nobiscum agi erit cenfen- dum, fi modo folutiones particulares nobis exhibere licu- erit; tales autem folutiones ea methodo, qua celeberrimus Daniel Bernoulli primus feliciter et víus, pluies atque a- deo infinitas reperire licebit, quae, quomodocunque inter íe coniunctae, problemati iridem fatisfaciunt; etiam infni- tos motus diuerfos, quos funis recipere poteft, affignare poterimus, ita vt hiuc folutio propemodum completa ob- tiueri e23$ ) 160 ( $53 tineri videatur, quae tamen fcmper eo laborabit defe&u, vt ad flatum | initialem quemcunque neutiquam apphoms poffit. €. 6. "Tales autem folutiones particulares | reperies mus, fi in eos cafus inquiramus, quibus nofter funis mo- tum ofcillatorium regularem, perinde ac pendulum fim- plex,. recipere poteft. Ponamus igitur motum funis ita effe comparatum, vt cum ínotu penduli fimplicis, cuius longitudo fit — f; conueniat; id. quod eueniet , fi fuerit i: (ddy ze d 2745) : ($1)— — 2, fiue (S4y) is ago, quae aequatio bis Ter praebet: jy — F fin. (Z-E vss P D E : ybi F et. £ funt binae Doe. arbitrariae per duplicem integrationem ingref/ae. Quia autem hic alteram variabi- lem x pro conftante habuimus, iftae litterae ctiam vt fun&iones ipfius x fpectari poterunt. d : :ofüdyYX.— y E | 6. 75. Cum nunc pofuerimus ax 2)— — 2, ne . xd e! ys . 4 . ceffe eft, vt etiam fit (4. 272) — — 7; in qua aequatione cum tempus 7 non amplius infit, id nunc vt conf(tans fpectari poterit, ita vt habeamus: . 434) — e diy ity oy ei Lega d 7] Verum hic iterum | fuperius incommodum víu venit, vt ifta aequatio nullo modo integrari quest; vnde coacti fu- inus eius integrationem .per approximationes faltem in- veftigare, quod igitur hic tanquam nobis conce(fum affu- mamus, Quo autem facilius apparcat, qualis functio ipfius x hinc pro y fit proditura, longitudinem. f». quae hic po- tiffimum wet32 ) x61 ( $ed tiffimum définiri debet, ex calculo elidamus, ponendo X —fu;tum enim habebimus hanc aequationem: iut qi cJ. Vnde concludimus, applicatam y certae cuipiam fünctioni ipfius y aequalem fore, quam functionem hoc charactere indicemus: II : 5, ita vt fit y 2 II: z; tum vero etiam ía- tisfaciet y — G. H : 4, vbi conflans G. etiam tempus 7, quippe quod in hoc calculo vt conftans eft fpectatum, vt- cunque innolucre poteft; at loco z valore 7 mrefítituto erit y — G.II:7, $. s. Hoc igitur modo geminos valores pro y fumus adepti, quos inter fe aequales effe oportet; primo Ícilicet cft y — F fin. (£ 4 1 Y *£), deinde ctiam y — G. II Z2 qui valores vt inter fe aequales reddantur, quoniam F complectitur functionem quamcunque ipfius x, at G füncs tioncm quamcunque ipfius 7, euidens eít, ftatui debere F-—I:2 et G— fin (4-2 1 Y 57) vbi pro 4 vera quantitas conftans accipi debet. Hoc ipi- tur modo deducti fumus ad fequentem folutionem noftri problematis particularem, quae eft — HH: (z.fin. (d -- 1 Y27)), fiue etiam y —39.H:2.fn. (d -- 2 Y ^£), vbi 9f denotat quantitatem conflantem quamcunque; atque ifte valor ipfius y aequationi noftrae differentio - differens tiali: s (og) x (522) a- (32), Acla Acad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. X feme eh o) i62 ( fe femper fatisfacit, quamcunque magnitudinem ipfi f tri- buamus. 6. o. Verum hactenus nondum praecipuae condi- tionis, quam noftrum problema inuoluit, rationem habui- mus, qua funis in puncto O fixus flatuitur, cui conditioni vt fatisfaciamus , neceffe eft vt pofito x—a fiat y —o, idque pro omni tempore; vnde patet, efle debere o — II: 7. Quare cum II fit certa quaedam functio determinata, ct- jamfíi nobis fit incognita, quantitatem. f ita affumi opor- tet, vt fia II: Z— o; hinc fcilicet. pertingimus ad cer- tam quandam acquationem, quae praeter quantitatem co- gnitam «4 etiam incognitam f complectetur, ex qua prop- terea valorem ipfius f fcrutari oportebit. $. 10. Quodfi haec aequatio II: 2— 0 effet alge- braica, ad certum dimenfionum numerum ipfius f affur- gens, ex ca totidem valores pro f erui: poffent, Verum cum ifta functio In:- fit maxime tranfcendens, ita wt aliter nifi per feriem infinitam exhiberi nequeat, in ea quantitas incognita f ad numerum infinitum afcendere e(t cenfenda; vnde etiam innumeri valores idonei huius quan- titatis f refultabunt. $. r1... Quanquam autem indoles iftius fun&ionis II nobis plane eít incognita, tamen tuto affumere licet, hanc aequationem: II: 4— o, innumcrabiles inuoluere ra- dices, quas, etfi adhuc incognitas, his litteris indicemus: f; f'5 f'5 f"; f"; etc. ex quarum qualibet peculiarem mo- tum regularem, quem funis nofter recipere valeat, clicie- mus; ec ) 163 ( $83 mus; omnes fcilicet ifti motus fequentes praebebunt ae- quationes: L y —9(I:2 fin. (2 4-2 V*£). AL y — $11: 7 fin. (5 41- t V *£). Ill. y — €I1 75 fin. (Z -- t V 7$ ): E IV. y— 9I: gs 5; fin. (Z-4- £ Y :£). dia vt Ep pur G IE: dh fin. (6 -d- l2 Y zin) etc, etc. 6. 12. Hinc igitur patet, infinitis modis fieri pof- fe, vt idem funis ex punáo O fufpenfus ofcillationes re- gulares et pendulo cuipiam fimplici conformes abfoluat; " fi modo initio ipfi talis ftatus fucrit impreffus, qualis ad fingulos hos motus producendos requiritur; pendulorum autem omnibus his motibus fynchronorum longitudines erunt ipíie radices fupra memoratae f; f'; f"; fi; f!!; etc, Vnde fimul patet, eas tantum radices motus reales fuppe- ditare, quae non folum fint reales, fed etiam pofitiuae. | 6. 15. His inuentis cum. in aequatione differen- tio - differentiali o 00 d Ca e t Qaa) ; variabilis y in omnibus terminis vnicam habeat dimenfio- nem, manifeftum eft, fi ifti aequationi fatisfaciant feorfim valores y —P;y-Q;y-R; tum eidem quoque. effe. fatisfa&urum hunc valorem ex illis vtcunque compofitum: Jy-aP--8Q-r-yR--95 -- etc. Vnde pro motu noftri funis ex fuperioribus folutionibus X2 parti- e$ )r:6&( 29$ particularibus colligimus hanc folutionem — maxim? gene- ralem: Jz3I: 7 . fin. (£4-t Y y 5H: £s fin. (/ 4-1 V 58 TCI: fin CRVIEHNEYS fü (Ze cv i T €II: 2, fin. (2// 1 V 5) e etc. Jon In fe enim comple&itur non folum innumerabiles coeffi- cientes conflantes, nempe 9(; 35; €; D; €; ctc. fed etiam totidem angulos arbitrarios L Ü; QUO Ls OS ees $. r4. Quodfi ergo aequationis I1: 7 — o omnes radices affignare liceret, ex iis vtique folutionem tam ge- neralem deducere poffemus, quae fine vllo dubio omnes plane motus, qui in fune locum habere queant, in fe complectatur. Neque vero idcirco problema principale. re- foluere liceret, quo pro ftatu funis initiali quocunque eius. motus fecuturus requiritur; ad hoc enim neceffe efiet, in- finitas illas conftantes arbitrarias pro ftatu initiali dato de- bite determinare, quod certe opus omnes vires analyíeos longe effet fuperaturum. 6. 15, Ex formulis autem inuentis non folum ad. quoduis tempus figura funis per applicatam y affignari po- teft, fed etiam celeritas, qua quodlibet funis punctum M eodem tempore fecundum directionem M R. mouetur. Cum enim. ifta celeritas fit (72); fufficiet, eius valorem ex pris ma formula natum cxhibuiffe, qui erit d - 2 .xX 1p. (2) — 9L YE 06:7 cof. (5 -- 1*8); qui valor fi prodirct pofitiuus, celeritas dextrorfum, fim. autem et23 ) 165 ( 259 autem füerit negatiuus, finiftrorfum erit directe, His igi- tur in genere definitis, accuratius inquiramms in indolem füncionis clrracere I defignatae, quo deinceps facilius valores. litterae f iuueítigare valeamus. De iun aequationis. .xdy ud y — LO. -— $. 16. Cum haec aequatio fit differentialis fecun- di gradus, eius integrale completum duas comprehendere debet conflantes arbitrarias. Quare cum fupra hoc integra- le ita exhibuerimus, vt effet y — G IT: 7; littera G alte- ram tantum harum conftantium fignificat: altera igitur in ipfa functione 1I: x inuoluatur, neceffe eft, quae ergo jam. ita determinari poffe videtur, vt pofito x — a fiat 4-0; ficque ipía quantitas f maneret iudeterminata. Vnde fíequeretur, eundem fünem ad omnes plane motus ofcillatorios fimplicés adaptari poffe; quod tamen non fo» lum. experientiae repugnat, fed ctiam cum ipfía natura quaeflionis. confiftere nequit: quamobrem omni cura nobis eo eft incumbendum, wt iftam alteram conítantem ex in- dole. cafus propofiti rite. determinemus, 6. 17. Latet ergo fine dubio in ipfa hypothefi, qua fumimus funem abfoluere ofcillationes regulares pendulo fim- plici, cuius longitudo — f, ifochronas, conditio quaepiam cum ifto ftatu. effentialiter connexa, cui nondum fatisfe- cimus, ct ex qua alteram illam conftantem determinari oportet. — Hanc autem conditionem reperiemus in ipfa particula funis extrema in F fita, quae a fune fecundum X 3 tane «5325 ) 166 ( St5«e Tab. IV, tangentem F G retrahitur vi ipfius ponderi aequali; ideo- Fig. 5. que perinde moueri incipiet circa punctum. G, ac fi ibi ope fili G F effet fufpenfa, Quoniam. igitur eius motus pendulo fimplici longitudinis f conformis. fupponitur, ne- ceffe e(t, vc tangens F G, feu etiam fübtangens A G lon- gitudini penduli f fit aequalis. At vero ifta fubtangens ex- primitur formula ——MES atque hinc iam manifeftum eft, conftantem illam ità determinari debere, vt pro puncto F, vbi x — o, valor formulae 277 euadat — — f. $. 15^ Quoniam fun&io, quam füpra per II: indicauimus, ita debet determinari, vt pofito x — o fiat ges fh hacc | conditio per indolem fünctionis fequenti modo repraefentari poterit. Cum fit. y — G. II: ., erit more iam plerumque recepto differentialia fun&ionum ex- primendi n: do rr L di e. [ies cote àdy-G ; 1x, hine 22 z— s Il go per conditionem autem praefcriptam debet effe y — — £3» d x2 pofito fcilicet x — o, vnde determinatio inuenta hanc con- "ditionem inuoluet, vt fit 11:0 — — Il':0, cui conditioni cum fücrit fatisfaduum, tam demum functio IT: £ rite erit determinata, vt pofito x — a ex aequatione II : 7 — o va- lores idonei quantitatis f clici queant. :6. 19. His praenotatis, quoniam integratio aequa- tionis propofitae vires Analyfeos fuüperare videtur, eius in- tegrale per feriem infinitam inueftigemus. Quae operatio quo facilior reddatur, ponamus iterum ;—'5 fiue x yv, vt habeamus hanc aequationem refoluendam: 9*2» 4 y-o; du* et w535 ) i167 ( $s3e et iam fingamus effc yad-Qu-r-yu-r-3u-reu -r-ete eritque 412—Q8-I-2 y (d-39uui- et -l- etc. hincque d» —Qgu-r-£yuu--38u -L-4cu*-t- ete, ergo dug aud 991 4 x66 4-25 £ u* H- etc, haec ergo feries ipfi — y aequalis fieri debet, vnde confe- quimur has determinationes: Au zs pu ,A. y. mf ze ergo y — 25 1H 90 —— y, ergoó — — 75 IV. 16,270, idéoque e — — "5. 4.9, 16 * V. TP , ergo à — — — à. Vnde feries noftra.fi&a nunc ita erit desemminetas vt fit — uw L* giletapiiseert. yca(s-—ibI EL. PEE znete. ). $. 20. Verum quia haec feries vnam tantum. con- ftantem zu M & inuoluit, etiam integrale tantum particulare noftrae aequationis rar ex quo per methodos cognitas haud diffüculter integrale completum erui poffet, Sed ante quam. hunc laborem füfcipiamus , videamus , an iftud integrale iam fatisfaciat conditioni fupra inuentae, quae erat II:o0c—-— Il:o, quod enim fi non contigerit, tum demum .integrali completo .erit opus. | Loco 4 igitur fcri- E bamus valorem o fiatque | qm -2 ) 16s ( $93 5/880 csseenic UR! EpL] Sec ee iE NP HN TO , r : Yd t y^^ EP d ue 1e4,9, 16,1 * e à infinitum, hincque jMLI—14I6L-IREES pU ete in infinitum. Iam pofito x — o habebimus 11:0 — x et Il/:0—— r. Sicque fponte fatisfit conditioni praefcriptae , qua fieri de- bet I[:0 — —1l:0; quocirca functio noftra 11:7. iam rite eft determinata, ita vt fit H:--—1—-— em — CU etc. ficque pofito x —« quantitatem f definire oportebit ex hac aequatione infinita: o—1-—.5-4- A6 — V C etc quae cum in infinitum porrigatür, facile intelligitur, eam infinitas comprehendere radices ,; prorfue vti fupra iam ffumfimus. €. or. Ne autem quis putet, cY* integrali com- pleto fortaffe adhuc alias feries pro noftra fun&ione IT: locum habere poffe; ipfum integrale completum aequatio- nis differentio - differentialie eir i 13 7 J 250» inueftigemus, vbi fcilicet loco 7- fcripfimus t. Quem ia finem integrale particulare, quod modo inuenimus, pona- mus — v, ita vt fit y—y— 1 — qe E PERENNE etc. pro integrali autem completo flatuamus effe y — o2; hinc ergo erit dy-zdvo-rvdz et ddy-zddv42dvdz-Avddz, qui- et33 ) 169 ( $$ quibus valoribus fubftitutis fiet uzddv ., 2udvdz , uvddz , .zdv BE 225 -EUEIO d u* du? : d u* vor du Quia vero v eft integrale PoRepbirey erit vtique I 4T- dv zer Q-— 8 ; quae 3équdiia dubs in s et ab illa fubiracta . relinquet hanc aequationem: SE e Li ' vdz — g ex qua éliciths didizi — du 2d di u v 6. 22. Commode ergo hic víü venit, vt perue- nerimus ad hanc aequationem per logarithmos fponte in- tegrabilem , quandoquidem eius integrale manifefto eft ex —uO-lt—219, du quae aequatio hs numeros reducta dat dic — PO [05 057 ji — ino ideoque Zz — £5, vnde porro integrando colligimus z — D -1- C f 3*.; ficque integrale completum noftrae SUSUORS erit yzonsc qm. quod vtique duas conflantes arbitrarias C et D inuoluit ; vnde fi conflans C fümatur cuanefcens, oritur integrale particulare y — D v, quod eft id ipfum, quod ante per fe- riem eXpr CR u v?? $. 23. Inuento igitur integrali completo videa- mus, quoinodo conítantes C et D definiri oporteat, vt fiat y — —/?*, pofito fcilicet xo. Hunc in finem loco 7- Ada Acad. Imp. Sc. Tem. V. P. I. X fcri- -oEs ) 170 ( e coc fcribamus s, vt fiat y — — 22; quare cum fit y 2 z, opor- tebit effe Qg---—49— ..zàw-, vdz du 7€ du du pofito fcilicet 4; — o. — Quia autem eft gie :--d — - ete. erit d —— chu zuuds Li etc, Hic pofito u — o erit. e — X et idv -—— — d u, quibus va- loribus fubflitutis conditio noílra praebet ^" — o, T du am vero inuenimus 2* — 55, quae formula nihilo aequalis effe nequit, nifi fit C 2o, ita vt integrale determinatum, quod pro noftro inftituto -requiritur, fit y — D o; quae eft ea ipfa functio, qua fupra fumus vfi; ita vt nunc certi fimus, fun&ionem noftram II: - alium. valorem habere non poffe, nifi quem fupra ipfi pn fcilicet : H:$ i "OPER IX — ELA C ete vnde pofito x — a depen penduli fimplicis f definiri oportet. De refolutione aequationis infinitae II- k- Na CN Q? do oO — I P BC 1.55 75, UR IUE 6, 25. DU AM flatim breuitatis gratia onda vt refoluenda proponatur haec aequatio : ET. n nn TUS n* QI iu c 2———. JUGE P 1.4. 9 1, 4. 9, 16 : » vnde *lici oportet omnes valores litterae 2, qui huic ae- quationi fatisfaciunt. Quia autem haec aequatio reuera ad gradum infinitefimum afcendit , vires algebrae communis jon- t2 ) "1 ( $ c?«s longiffime fuperat, quippe quae non vltra quartum gradum extenditur; quare fingularibus artificis opus erit, vt faltem vnam duasue cius radices perícrutemur. . 6$ 24. Repraefentemus rom aequationem | hac forma generali: o—i—Amn-rBzs-—-Cm in —Er:-1- etc. ita vt fit A3 4Ht a. pL I. 4. 9 ; etc, 1. 4« 9, ISGNONTG et fingamus hanc (ds aequari producto ex his infini- tis factoribus fimplicibus: (1 — am) (x — Qn) (x — y n) (x — n) etc. in infinitum; ex quibus valores litterae z incognitae erunt Ej. — I.e —ÀA Ix — . E Nd ju lc mco. ita vt tota quaeftio huc fit reducta: quemadmodum hos coefficientes a5 Q; *y; 9; etc. eliciamus? Hunc in finem confideremus hanc aequationem : I—AÀz2-- Bun—Cm --D st etc. —(1—am)(i—gmn)(x—-yn) etc. ex qua fumendis logarithmis. fit l(x—An--Bnn— Cm etc.) : —I(x—am--(x—(Qn) 4-1 (x —^y 1) 4- etc. vnde differentiando et per 7 diuidendo naucifcimur -—A-dciBn-sCnn--etce. 0| a d B POTA p) : 1—An--Bnn—Cn3 et. 7— ^ i-an |1—(n I—yn — s fiuc A—cBn--s:Cnn—ef. . P4 1—AÀn-r- BEün-—QCn3-reéfc. — vus m zi "a 1-—'yn Um A X2 6. 25. 234 ) I 72. ( CiSen 6. 253. lam fimplices fractiones more folito in fe- fies conuertamus, critque i —L-ca4dqaunu-dcdann--a nma nt -4-etc. —R-— -- 8 n -A- ^n 2 4- Q* n -4r- etc. ima — Y d-yt"ey^ sn cytf$ etc. etc Etc: etc. quae feries quo commodius in vnam fummam colligi queant, ftatuamus & -1- ( -t- "y -r- 8 4- etc. — 9, a* -- Q* -4- y? -- 9* -t- etc. — 35, a! 4- Q^ 47 y? 4-9! -4- ec — €, et fumma omnium iítarum ferierum erit 9[--93 n -t - € 2 n -4- Q9 sp pr € n»n -p- etc. ita vt fit E ERSTE DA —9(--95 p-- € n 58 9 vr € g-retc. Multiplicemus nunc hanc feriem per denominatorem i—An--B»n— Cr --etc. et produ&um ita repraefentemus: 9([-- 952-- €2n-- Qr Cnt4etc. —A9(n—A9nn—AGCmr AgOmr—AGn ete, 4B9I nn -B2 gp -p- B € zs BS»»- etc. — C9 n -C 3575 -C€m-— etc, 4 D3 gà! -D25 $65 -- etc. — E 3( 25 — etc. quorum membrorum fumma quia aequari debet illi nume- ratori: A—2Bz--3Cnn—4Dm--5En'— etc. fe- et35 ) 175 ( $83 iequentes praebet determinationes: 3:905 A ; IL 35 —A9(—2 B; Ill. € —A 35 — B9 5C; IV. 9—AC€—B$5-—C23/ —4D; V. €—A9—BC—C23-—D93.-5F; VL 85—AC€—-BO-CC-D35-—E—6F; etc. etc. $. 26. Subflituamus nunc loco litterarum A; B; €; D; etc. fuos valores numericos et pro litteris Germa- nicis 9(; 35; €; 3$; fequentes eruemus valores: HI. €— i-i 55 iV. que xu cms V. €— iaceo ess im) Vl. S—i ende eal eas — sri — ano eic etc. $. 27. Quo nunc vfüm harum fümmarum iü de- finiendis radicibus a; 8; y; 9; etc. earumque maxima po- tiffimum, quae fit a, clarius doceamus, ponamus in genere a! 4- Q 4 y! -41- etc. — 92. et a t'--gt"'etc.—239, atque euidens e£ , quo maior fuerit exponens 7, eo magis pri« mum terminum z reliquos effe fuperaturum, qui adeo tan- dem prae primo euanefcunt. Vnde fi exponens 7 fuerit ía- tis magnus, proxime erit a! — 2 hincque a — Y 3h. Reue- ra autem eta c Y 3; hinc cum fit 2 — £ erit 27 Y gv fcilicet Ys ifti ed )i:7-( $82 ifti valores Y a, continuo propius ad verum valorem lit- terae 7 deer quod ad cafus fupra RUnputes, accom- modemus in fequenti tabella: — ^ Differentia. 8)2Ys-— 1,000009 | 4142153 nty&- I, 4I421$ | 280537 Ht-yg-—1,442250 | 8064 nij Y b— 1,445814 410 ) Ly i 1,449724 | (b: no Y du 1,245785 | fd 9 Hi valores tam prompte ad veritatem conuergunt, vt ex differentiis concludere liceat, verum valorem fore n — 1, 445795. 6$. 28. Quemadmodum ifti valores afcendendo ad veritatem appropinquant, ita etiam alios valores exhibere licet, qui defcendendo ad veritatem continuo propius ac- cedant. Cum enim ex formulis generalibus fupra affumtis fit P à a 90 zz di! -- a! A7 o yl 4- etc. erit a9 — $ — (a— 8] B 7 (a — y) y etc. Vnde cum fit & 7 (, erit a0 — 9? — o, hincque a 2, vnde fequitur 7 dum Quare ex inuentis valoribus 91; 35; €; Q obtnebimus fequentes approximationes: "nz 1 e$ )s:v5 ( $83 n 2&4 2,000000 n-Z B — 1, 500000 n —3,454545 9-2 — 1,447368 "n Z$— I, 446089 500000 45455 3177 1279 213 35 6 x Hinc igitur verum valorem ipfius y non tam accurate concludere licet, quam fupra eft fa&um; vnde tuto ftatu- ere poterimus 7 — 1, 445795. 6. 28. Cum igitur certi fimus effe 2 — 1, 445795, erit 4/5 — o, 1601067, hinc 14 —9,8598933, ideoque a 0,691661. Hinc iam. quaeramus fingulas eius po- tefítates, quae erunt 1o? —9,6797866 ergo a^ — 0,478395 la? —— 9, $90moo: - la* 2-9,35997935 /- la —:95:3994005. - la'2:950393598 - d*-—'0j955088*" —L'ouooS862 z009 158295 a^ —0, 1094.86 6. 29. Has igitur poteítates ipfius « aufferamus-a fummis poteftatum omnium radicum a; Q; y; 2;.etc. vt relinquantur fummae poteítatum reliquarum hoc modo: B A- y 4- 8 4-. etc. — 93(— à — 0, 308359 — 9I' (^ AF y* 4-05 4 etc. — 95 — à — 0, 021604 — 93/ Q^ y! S44 etc; — €—22 0,002446 — GI! B e$ ) r76 ( 28) D' -- y* - 9*--- etc. — Q—«* — 6, 006305 — dy ' t y^ 4- 05 -. etc. 3: € — $— 0,000038 — & B -- y* 4-05. etc. — $8 — a5 0, 0000053 — S. $ 30. Ex his iam valoribus fimili modo, quo ante, appropinquando radicem (3 elicere licebit, cuius va- lores afcendendo ita fe habebunt: Differentiae. (i 4 Y 9! — o, 30833 | GaYs- O, 14698 | 1224 G4 Y € — o, 13473 gave- O, 13215 | B-ZYG —o, 15060 | Vltimo autem valore $^ vti plane non licet, quia hic va- lor per fe nimis eft incertus: ex differentiis autem con- cludimus, verum valorem effe circiter (9 — 0, 13045; ne- que enim accuratius cum definire licet, ac fortaffe hic iam non exiguus latet error; ex co autem fequitur forc p —:.-960658. $. 51. Quia ifle valor Q non parum eft incertus, ex eo multo minus quicquam pro fequentibus radicibus ty; 9; e; concludere licebit. — Hactenus ergo pro longitu- dine penduli fimplicis ifochroni geminum valorem fumus adepti; maximum fcilitet f vna cum proximo fequenti f/. Cum enim fit f—* —«a et f'—Q2a, duo ifti va- lores erunt f—0,691661.a «et f'—0,13044a Pro reli- Uu» x13 iue reliquis. autem valoribus plus nobis non conftat, quam eos continuo fore minores; neque etiam alia via ad eos valores numeri z cognofcendos, nifi vt tentando, vti li- cet, quibus fumma iftius feriei infinitae : i —1-- I5 2 p ete, ad nihilum redigatur, quod quidem binis cafibus inuentis euenire .jam nouimus, fcilicet f) —— 1,445795 et n — 1,6658. Praeterea vero fac&o calculo conclufus eft tertius valor 5 —x69. vüdeifinq— 01093 66 f^ — 0,053. a.' Pto reliquis autem. numero z adhuc multo maiores valores tribui oportebit; vnde continuo plures terminos huius fe- riei computare neceífé erit, antequam eius fummam pro- pemodum faltem cognofcere licet. 6. 52. Hoc ipfum argumentum de ofcillationi- bus minimis funis libere fufpenfi iam olim cum il- luftr. Berncullio fufius pertractaui. Cum autem eo tempore Analyfis, quae circa functiones duarum pluriumue variabi- lium verfatur, adhuc prorfus effet incognita, ad quam tamen iftud problema potiffimum eft referendum ; metho- dus, qua tum fum víus, non fatis ad naturam huius qnacftionis accommodata videtur, quamobrem non dubita- vi, iftam quaeftionem hic de nouo retractare, eiusque fo- lutionem cx veris principiis huius quafi nouae Analyíeos deriuare, quo clarius appareat, quantum ctiamnunc in hoc negotio ob defectum Analyfeos decfidéretur; quando- quidem vix vlla fpes adbuc affulger, folntionem huius problematis ad eum perfectionis gradum euehendi, quo motum ofcillatorium chordarum deíinire licuit. Aóla Acad. Imp. Sc. Tom, V. P. 1, - Z DE eg )178 ( $5 DE PERTVRBATIONE MOTVS CHORDARVM AB EARVM PONDERE ORIVNDA. Auctore L. EVLERO, 6. r. b omnibus Geometris, qui chordarum motus adhuc funt perfcrutati, carum proprium pondus eft neglec- tum, quoniam plerumque prae vi tenfionis eft valde cxi- guum, vt motum plane non afficere poffe vidcatur. ]In- terim tamen in craílioribus chordis, ac potiffimum fi ea- rum loco funes extcudantur, facile intelligitur, earum motum a proprio pondere haud mediocriter perturbatum iri; quamobrem i(las perturbationes aliquanto accuratius inue(tigaffe operae pretium videtur. Atque hic imprimis fitum chordae fpec&ari conuenit, prouti ad horizontem fu- [29 eno ses ) 179 ( $5$ erit inclinatus, vnde binos praecipuos cafus hic examini fubiiciam: alterum quo chordae fitus eft horizontalis, al- terum vero quo eft verticalis, Cafus prior. pro chordis fecundum directionem horizontalem extenfis. $. ». Sit igitur recta A B horizontalis, et chor- da in terminis A et B fixa, cuius longitudo vocetur AB —a; tum vero fpecies chordae fit eiusmodi, vt lon- gitudinis — 5 "pondus futurum fit — B. Vnde fi vocemus abfcilam A P — x, cui ipfe arcus A M aequalis cenferi poteft, et applicatam P M — y, quafi infinite paruam fpec- tandam, erit elementi M m — d x pondus — ?52*, qua vi in dire&ione verticali MP deorfum follicitatur. — Tum vero fit tenfio chordae in M. verfus A — T, qua ergo punctum M etiam veríüs P vrgetur vi — $59, Ex alte- ra autem parte in directionem contrariam vrgebitur, ab eadem vi fuo differentiali aucta, ficque in directione PM furfum pelletur vi — 4. 54?, ita vt, fuübtra&to pondere, pro hac directione maneat vis — 4. 792 — P7*, quae per maffam elementi M m — ?2*. diuifa praebet vim accele- ratriccm fecundum directionem P M — 52- d. 12» — zr. Tam quia tenfio T a dire&ione horizontali nihil difcrepat, ob pondus elementi M z nullum accipiet augmentum; vnde ipfa tenfio 'T erit con(tans, ipfique vi, qua chorda tendi- tur, aequalis; ex quo vis acccleratrix fit 5527? — 1r, fumto fcilicet elemento d x conftante. Z2 S. 5. T àb. V, F ig. I» ecis ) 180 ( $83 $. 5. Confideretur nunc applicata y tanquam func- tio binarum variabilium, fcilicet abfciffae x et temporis —1;hincque pro motu puncti M, qui, vti conftat, fit in ipfa dire&ione P M, fumta x pro conftante, celeritas eius d fecundum directionem P M erit (£29), hincque acceleratio át /? — 443, quae per 2g diuifa (denotante g altitudinem làp- fus grauium vno minuto fecundo), praebet vim accelera- tricem EAM quae ergo vi acccleratrici ante inuen- tae aequalis eft ftatuenda, vnde refultat ifta aequatio: & (32) — 3 (159)- x. fiue pofito breuitatis gratia *$; — ce, erit 44 —ce(22)— 2g. $. 4. Haec aequatio ab illa, quae vulgo pro mo- tu chordarum inuenitur, in eo tantum difcrepat, quod hic infuper reperitur terminus — 2g. Facile autem haec ae- quatio ad formam priorem reduci poterit, ponendo yz X--2, denotante X certam functionem ipfius x, vn- de erit ddy — [ddz* ddy —— ddX ddz ? c (£2) €t 42 — 4 or (uz vnde habebimus dda t hs dX ddz ES A x : ed .ddx : Nunc igitur fiat cc 777 — 2g — O0, quae aequatio. praebet: X—&22--2*-r8 f» € c ? ita vt iam fit — £ XX--Aa4*-- E i prrdocicEBLE E, et quantitas z nunc determinari debet ex hac aequatione: ddz —. CC (ü82) - 208 Vax? 4? cuius ej3$ ) 18r ( 38e cuius integrale completum nouimus effe: z—rLr:(ert-d-x)— A(ct — x), quocirca pro noftro cafu habebimus hanc aequationem: Meus cose TOP :(et--x)—A:(ct—2x), vbi characteres P et A repracfentant functiones quascun- que arbitrarias, $. s. Nunc ante omnia efficiendum eít, vt pro vtroque chordae termino, hoc eít tam pro x — o quam pro x— a, applicata y euaneícat; quae conditio primo adimpleatur in formula £353—**-*2, vnde effe debet p-—o et «a—-— ga, hincque ipfa haec .formula erit —£z(0—9. Pro fun&dionibus autem, pofito x — o, fieri debet l':c£— A:c£ — 0, ficque functio A cum functione LI congruere debet, ita vt hactenus habeamus hunc va- lorem : y ——886—39.LT:(cz-4- x) -T:(e2— x). At yero hic infuper requiritur, vt fico x —a fiat p:(et-- a) 2T :(ct — a), fiuc in genere P:(p-1- 24) — Y :p; vnde patet, fcalam huius fünctionis ita effe debere comparatam, vt omnibus abfciffis | $.p-3-24,5-i- 44, f 3-62, etc. quin etiam negatiuis: p—2a,p—44,p— 64a, applicatae aequales refpondeant, Z6. $5, "Tab V, Fig 2. ec ) 182 ( $t 6. 6. Pro ftatu igitur initiali, vbi £ — 0, erat yc-—828-—2.L-Dp:x—rnr:(-x) Ponamus elapfum effe tempus £ —**, vt fit c£— 2a, at tum erit applicata. yc —£6598—29 .L.T:(2a--x)-T :(2a— x), quae expreíffo cum praecedente prorfus conuenit, ita vt, elapfo tempore z — 7^, chorda in eundem plane fitum re- vertatur; vnde apparet, tempus vnius vibrationis fore — 5, prorfus vti negle&a grauitate inuenimus, ita vt proprium chordae pondus hoc cafü motum vibratorium non perturbet. $6. 7. Difcrimen autem deprehendemus in ftatu aequilibrii, qui oritvr reiectis fanctionibus; tum enim erit J——£29-—9, cum neglecta grauitate foret y— 0o, — Pa- tet igitur, hoc cafu flatum aequilibrii non in ipfam rec- tam horizontalem A B incidere , fed ab ea deorfum decli- nare. Chorda fcilicet capiet figuram curuae catenariae A N B, quam nonimus in ftatu fümmae tenfionis conuenire cum parabola hac aequatione: yL—:260—25, exprefa. Hinc igitur haud difficulter intelligimus, hoc cafu chordam cir- ca iftum ftatum aequilibrii A N B, vtrinque excurfiones abfohuere, perinde ac chordae vulgares circa ipfam rectam AB. Quo obferuato omnia reliqua Phaenomena non dis- crepabunt, quae circa chordas, neglecta grauitate, deícrip- fimus, i Cafus ep ):ss ( cj Cafus poflerior pro chordis fecundum directionem verticalem extenfis. 6. 8. Sit igitur reca verticalis A B — a, quae Tab. V. fimul ftatum chordae naturalem referat , cuius pondus fo- Fig. *. ret B, fi longitudo effet jJ. Quod fi iam vt ante abíciffae AP-— x refpondeat applicatà PM —y, elementi Mzr-dx, pondufculum erit LER Hinc fi tenfio in M ponatur —T, et ia zm — T -- 4T, pina M in directione PM vt ante follicitabitur vi — d. 72, quae per maffülam gas ds vifa dat vim ida diia T 4.17? lam quia ele- mentum M z ob grauitatem deorfum UE fecundum MQ, vi —?2*, ab ea tenfio T tantum accipere debet incrementum, vt fit 7T —7*; quo valore fubftituto erit d, TX» — 44» jQ.Bdm dy m ? d x dx b *'àdx ita vt nunc vis acceleratrix fit At quia PT-US pm T —*-C, vnde in ipfo punc- to À prodit tenfio — C; quare, fi chordam a pondere appenfo C tendi ponamus, erit vis acceleratrix Cb ddy dy € -r LES da* zi- üx? €. o. Spectemus nunc applicatam y vt füun&ionem duarum variabilium x et temporis 7, et quia puncti M ccleritas in dire&ione P M eft (27), erit vis acceleratrix ), quae vi acceleratrici modo inuentae aequalis pofita y — x ev» )184( $e pofita praebet aequationem pro motu huius chordae & (522) — CE 2-5) ($22) 4- (22), Cb ad quam commodius referendam faciamus Cz — e, ita vt c exhibeat longitudinem chordae, cuius pondus aequale foret ponderi appenfo C; hocque modo habebitur: $9) — (c2: (2 - Haec autem aequatio longe aliter eft comparata quam ca- fu praecedente, qvoniam eius integrale nullo adhuc mo- do erui potuit, quam ob caufam etiam non licet folutio- nem generalem exhibere, quemadinodum cafu praecedente fuccefit. Sicque ad foluüones particilares confugere íu- mus coacti, quandoquidem iam conflat, ex pluribus aequa- tionibus particularibus folutionem quafi generalem concin» nari poffe, €$. 10. Hunc in finem quaeramus cafüs, quibus os- cillationes noftrae chordae motui penduli fimplicis fiant conformes. Denotet igitur f longitudinem talis penduli EEUE . I ore acci o5 el . . , fimplicis, fierique debebit (272) — — 7, cuius integrale completum nouimus effc - :g y — F fin. (a 3- 1 Y ^£], vbi, quia hic variabilis x pro conflante eft habita, litera F fun&ionem quamcunque ipfius x dcfignare dcbet. $. 11. Cum igitur pofuerimus xaT 2, erit etiam (c 2-3) (22) 2- (2) — — 7 quae aequatio, quo facilius tra&ari poffit, faciamus x — f i» vt ec )z:185 ( fe beamus c ddy L5 (7 31-9) (522) 4- (22)--y— o; vbi porro faciamus Xo", vt fiat dd (mu) 2) (12) 45 gro et fi porro ftlatuamus 4 -|- z — 5, aequatio noftra contra- hetur in hanc formam: em d-i-4-y co, fiue ua ru vnde f aequabitur certae cuipiam fünctioni ipfius 5, exis- tente 4 — ——— 5, $. 12. Verum etiam i(ta aequatio ita eft compa- rata, vt nullo modo adhuc integrari potuerit, vnde ciis integrale per feriem inueftigare fumus coaci; quem in finem ponamus effe: JZAÀA--Bs--Css-r-Ds$-r E; -1- etc. eritque 1 u»—Bs--2C:s5-- 3Ds-- 4Es*-41- 5F 5-1- etc. hincque 4.32? — B-F4C s 9D ss 16E £6 -- 25 F s* -4- etc, quae feries ipfi — y aequalis reddita praebet has determi- nationes: — . —«—« EA i. — A. IM A . B——A; CT D---— E — kcu ete, ita vt lam habeamus: , — 3 Ris: 3 [2j 6 jy : T "WPRCHES TE RN ——-- ete E 3.4.9 Im Acta Acad. Imp. Sc. Tom. F. P. I. Áa 6. 13. ez3? ) i186 ( $52 6. x4. Verum ifte valor literae y, quia tantum vnicam conítantem arbitrariam A inuoluit, tantum pro integrali particulari haberi poteft; interim tamen facile eft ex hoc ipfo valore particulari integrale completum: e- licere, id quod fequenti modo praeftabitur. Ponamus effe ra Lond ES s tj s* A s5 U —1I pepe rrs C Veg d I B3 eli. ita vt fit 22 — d d.'1? --u — 0, fiue 3242 -- 1? Lg — o, et pro trcs completo inueniendo ftatuamus y — v zr. eritque dy-zvodz--zdv et ddy-vddz-pdodz—zddo, qui valores in noftra aequatione euoluta LP EE My fubítituti producent hanc aequationem * wudid n ck: as dou cpoese did m "dz pir NU Pic Suv Nam a qua fi prior aequatio: £44 x t? !p--o6 per z multiplicata fuübtrahatur, relinquetur ita: svddz--asdvdz 22m s duct -Cds 0-95 ex qua ftatim elicimus ddzs — 3m. dre duris v s 2 cuius integrale eft ]i*— —21v —1s-- 1D, fiue 34s b-, ita vt fit 9 D; -- E. $vv? $vv $ r4 e632 ) :r$5 ( $9 *6. 14. Quare cum pofuerimus y — «£z, confe- cuti fumus integrale completum y-—Dvofi-L-Eov, quod duas inuoluit conftantes arbitrarias D et E, quarum: c altera ita debet determinari, vt pofito x — o, fiue $c fiat y —0; quo facto infüper efficiendum e(t, vt pofito Xa fiat itidem y — 0; at vero pofito » — fit EE pU 6 cip c c* LAC NE usc .c aee cp cy Ania or tirs 3 ett. Verum quemnam valorem formula integralis fS. hoc ca- fu f — 7 fit adeptura, nullo modo patet; quocirca denuo ad feries infinitas erit confugiendum, vbi totum negotium huc redit, vt integrale completum noftrae aequationis per feries infinitas euoluamus, ita vt nulla amplius formula integralis occurrat, Verum ian hoc ipfo noua difficultas deprehenditur, quoniam praeter íeriem iam inuentam nul- lae aliae aequationi fatisfacere poffe videtur. €. 15. Quod fi hanc circumftantiam attentius per- pendamus, reperiemus noftram acquationem ad illud ge- nus pertinere, de quo in Ca/cwo Integrali oftendi, inte- grale completum aliter per feries exprimi non poffe , nifi ponatur y — 5 -1- 2 / s, ita vt binae feries pro 5» et q fint inueftigandae, quarum poílerior per 4/5 fit affecta, ioc pofito erit dy —dp-4-123 -- dgls et ddy-ddp--53233 527 -- ddgls. Hic fcilicet duplicis generis termini occurrunt, quorum al- teri a logarithmo funt liberi, alteri vero per 7/5 affcái, Aa 2 quos et ) i88 ( $e quos feorfim in Aio noftra d d 2 :242-1-22--yc 0 fubftituamus, mid duae refültabunt aequationes fequentes: sdd ze T -—1 RE d qtio pco, sddq , df AS XX - ás -I- tof —— o. €. 16. Quia pofterior aequatio ab ea non difcre- pat, cuius integrale particulare iam fupra per feriem cuol- vimus, erit etiam hic g—A(1—-i-n lg. 9 .) I.4 quare pro f ítatuamus hanc feriem: pP-—a--(s4-ys5--05 4-65 4- G5 41 etc. eritque — 2p -—242y*:2-5 504^ -- 4€5* -41- 56 5* -- etc. et s nin. 3054-3.4£55-F 4-5 66^ $ 6qsrete. praeterea vero erit duc "wk ^y 62A S SP TTIATSIS) ! 4AsS ds — 3 .5 14 4 9 Iw € 446 etc. Hos igitur valores ordine fubítituamus, vt fequitur : Side By f4-2.30 55-- 3.4657 - 4.56 5*4-5.62] 5? etc. LiB yi 390554 46s-4 505'4- 62) 5 ctc. M«MpIaec- Q6 cyssdc Q5 4-.. Letto NER. zdqg— 2A] s . 6ASS 9A $5 10A 5* 124 $5 LT Tu da gius 1,34. 9 PTS I RU STA Ue: $. 17. Quia igitur omnes hae feries iundtim fum- tae nihilo debent cfle. aequales, inde fequentes adipifcimur determinationes: p—t-e« b me 4 A BE Er ac 2.4.4 * cc $3 ] 189 ) $299 1.4.9, 9 M m ANH EY. RE I, 4, 9. x6. 16 H3 — 10A LTÉ C ga 25. 25 as etc. eic. fiue fubftituendo praecedentes valores habebimus: ce -—— uv pe -—u i f*.24 d.4 a. 4 À 4A LOS EST Y decer 1,4. 4.9 1. 4. 9 1, 440 Nh 8A 2j 6X 2 4A TE 24 e 1,4. 9, 16416 1. *. 9. 9. 16 1,4. 4. 9e 16 1.4. 9: 18 & 1, 4,9, 10 * $ 18. .Hinc igitür patet, fingularum literarum (, Vy, 9, ej etc. valores. duabus. confiftere partibus, altera per A affeAaj. altera: pen &: vnde breuitatis gratia. pona- mus: 8-— A85 — pd ymA€4-; 4$—A65- Aa) LAE E II etc. ita vt fit | 4 2? , — ol etc. etc. atque nunc habebimus $ - CTI ANNE LN CARNET penses moy HER etc.) 1, 4. 9. 16, 16 1, 4, 9, 9, 16 1. 4. 4.9. 16 r, € 9. 16 ? -r- A (85-31- €55 -I- O5 -4- € s* -1- etc.) exiftente uum s SIS He fucstA ates q—AÀ(1—i- i 27,9 X etc.) Aa 3 vnde ef35 ) roo ( $52 vnde colíigimüs noftrum integrale completur: gy-(e£AI)(r7 14 rear -- A (5 -4- €55-- OS C5 -- S6 4 etc) vbi A et « funt binae confílantes arbitrariae. $. 19. Primum igitur iftae conítantes ita debent definiri, vt pofito x — o, fiue s — 7, fiat y —o, ficque ha- bebitur: yx 7 n e* zz (ac A77 ?)(1—2 ATE — dat Lv — etc.) TA (e us ec T SP-.ST--«ET- etc vnde litera « per A definiri gitert. Deinde vero poni debet x — a, fiue 5 — ——*, ac valor pro y refultans de- nuo debet euancícere; tum vero omnes termini per A diuifi praebebunt aequationem, ex qua longitudinem pen- duli fimplicis f inueftigari oportet, cuius nullum eft du- bium quin infiniti dentur valores reales, quorum quilibet ofcillatorium motum regularem exhibebit. "Fum vero iam fatis. fuperque eft oftenfüum, quemadmodum ex pluribus motibus fimplicibus infiniti alii motus compofiti affignari queant; quamobrem, quia hinc nihil amplius definire li- cet, huic argumento fufius non immoramut. METHO- ei2 ) 19r ( $s3e METHODVS EXACTIOR DECLINATIONEM ACVS MAGNETICAE OBSERVANDT.b. Auctore STEPHANO RUMOVSKA €. r. IE obferuaida Declinatione Acus magneticae plerumque contenti fuerunt Pbyfici exactitudiue dimidii gradus, vel raro ad vnam quartam partem illius pertingere fatis fibi hucusque habuerunt. Primo quidem intuitu credere licet facile hic quantumuis gradum praecifionis obtineri poffe, dummodo fufficiens longitudo Acui magneticae tribuatur ;. verum dlongitudini illius terminum ponere videtur ipfa magnetismi natura. Obferuatum enim eft, adhibita etiam- num methodo duplicis contactus, fi longior lamina chaly- bea vi magnetica imbuatur, eam vt plurimum non duo- bus punctis magneticis, fed pluribus, vt vocant, confequen- tibus praeditam euadere, quae nifi in vna eademque linea fita fint, Acus declinatoria pigra fit. neceffe eft; hinc fit vt eds )r:o2( Sed vt laminae;ad, Acus. magneticas conficiendas non longiores 6 aut 8 rarius vero i2 polli cumelgantur. - €. ». JOCogitauti. mihi de modo maiori cnm prae- cifione Declinationem Acus magneticae obferuandi non ob- ftante breuitate illius, venit in mentem methodus, etíi o- periofior ordinaria, fcopo tamen huic obtinendo non pror- fus inidoaca; et cum exadctior coguitio Declinationis Acus magneticac aliquam vtilitatem adferre poffe videatur, me- thodum, cuius ope ad eam. peruenire licet, llluftri(limae academiae fcientiarum iudicio fubmittere non dubitaui. $ 3. In camera obícura fufpendatur Acus decli- natoria ex filo ferico tenui non intorto, ac in plano ho- rizontali, cui acus magnetica imminet, ope filorum pon- dufculis onuftorum, polosque illius tangentium defignetur capillo pofitio acus; in latere camerae obícurae meridiem fpectante et apertura inftru&o applicetur lamina ferrea rotundo foramine pertufa, vt illud exacte immineat directioni acus magneticae. Operatio i(la prorfus conuenit cum .ca, quam adhibent Aftronomi, dum in obíeruatorio ducunt lineam meridianam. Intromifüs per foramen laminae ferreae radiis folaribus obferuetur ad horologium, cwius motus perfpectus fit nece(fe eft, appulfus vtriusque marginis ima- ginis Solis ad capillum pofirionem Acus magneticae dcfi- guantem, [fiue ad altetum filorum cufpides illius tangen- tium, vt habeatur momentum appulfus centri Solis ad. pla- num verticale per Acum declinatoriam tranfiens. Differen- tia inter hoc moméntum, momentumque horologii in quod meridies incidit, dabit angulum ad polum, quo pla- num per polum ^munái .centrumque Solis tranfiens, | dif- ferta plano meridiani. 6... 4 w535 ) ros ( $53e 6. 4; Repraefentet nunc HZ N meridianum loci, H MN horizontem, S locum. Solis, Z'S M. verticalem, in quo Sol verfabatur momento appulfüus centri illius ad. li- neam pofitionem acus declinatoriae defignantem, OSR parallelum, quem Sol eo temporis defcribit, Per centrum Solis S et polum P concipiatur ductus circulus PS, an- gulus ZPS erit angulus horarius per obferuationem in- uentus, et angulus M ZNN exprimer declinationem. Acus magneticace. n triangulo igitur fphaerico Z PS, vbi PZ eft diftantia poli a Zenith, et P S complementum declina- tionis Solis, datis ang, ZPS — A, PZ-—5b cet PS—c habebitur tang, P Z $ — tang. o — up ni I Pat $. s, Ex hac formula liquet, fi Sol tempore ob- feruationis verfetur in aequatore, fore tang. P Z S 2 — prz Quodfi locus obferuatoris fit fub aequatore, tangens ipfius declinationis Acus magneticae prodit — fin. A tang. c, Pro aliis obferuatoris et Solis pofitionibus, vt computus faci- lius inftitui queat, quaerstur angulos 4 talis, vt fit tang. 4 — tang. e cof. A. et habebitur —— fin. Atang.c cof.u —— tang. Afin.w. L tang. à — fie.(b—u) |^. jim(b—u) * Sit Latitudo loci 60^; declinatio Solis 25*. 28! vtraque borealis, angulus horarius ex obferuatione deductus A-— 3? habebitur 5 —:30* "et $ — 66^. 52', ac ] cof. A — 9, 9994944. ] tang. € — 10, 5625894. —— ltang. u — 10, 5618938 Acla Acad. Imp. Sc. Tom, V. P. I. B b Hinc Tab V, Fig. 4, eG. ) 194 ( Se hinc isibiim VIS 251m22 L2 t 7— 66^, 50! 16! et b — y — —:8$6*. 30!; 16, Porro ] tang. A — 8, 7195958 l fin, 4. — 9, 9624124. jf 8, 6818082 ]fin.(b — &) — 9, 7744551 —À i tang. «9 — 8,90753751 Vnde declinatio Acus magneticae reperitur 4?. 57^. 8". $. 6. Cognita igitur Latitudine loci et declinatio- ne Solis determinatio declinationis Acus magneticae pende- bit a praecifione, quacum appulfus. marginum jmaginis So- lis ad capilüm pofitionem. Acus defignantem. obferuabun- tur, qui tefte experientia, fi Acus quiefcat, ad duo fecunda exacte .obfernari poffunt. | Hinc concludere licet, quanta exactitudo. ab hac: methodo in exquirenda declinatione A cus magnetieae fit exrectanda. | Vt in genere appareat, quan- tus. error in declinationem Acus magneticae redundet ab errore minimo in obfernatione commiflo differentietur aequatio —. 0 fim. fang.c 2 ; ; fin. n -: tang. o — fin.b — làng. c cof. b co/. A ? ípe&atis à et A variabilibus; cr prodibit error in decli- nationem acus rednndans ab errore .4 À in obferuatione commiffo. In exemplo füperius allato; fi. ezror in obfer- uatjione commiffüs fit 4", vt 2 A fit — 6o" quo vix ma- jor committi poteft, calculo peracto reperitur do —— 1^ 56". $. 7 GS aes ( 28e $. 5. Ad obferüationemy , huiusmodi commodius perficiendam varia excogitari poffunt adminicula, vcrum iis immorari füperuacaneum duco, et futaé pocibsdidratiehe tium artificum illa relinquenda exiftimo, | Non praeter eundum tamen videtur illud commodum ex hac methodo refultans, quod acus declinatoria hic adhibenda nou egeat capitulo pondus illius augente, et per, medium perforatio- ne mutationem fortaífe aliquam in acione vis magneticae afferente, Id tantum in methodo hac defiderari videtur, quod non nifi coelo fereno et circa meridiem in víum vocari queat; a(t vnam obferuationem maioris praecifionis capacem praeferendam efle exiflimo pluribus requifitam ,exactitudinem refpuentibus. Bb 2 CUT SOT US "Tab. V. Fig. PLA wB2 ) 196 ( $99 SOLVTIO PROBLEMATIS MECHANICI. Auctore A4. 9. LEXELL. 6.. r. L. Actis Academiae Scientiarum ad annum 1738, iliu- ftris Eulerus. binis differtationibus quaeftionem agitauit de mo- tu corporis plano- horizontali: politiffimo: incumbentis et ad punctum: fixam: ope fili alligati; vbi quidem in pofleriori iftarum Differtationum ad fimplicem valde ac concinnam hu- ius Problematis folutionem peruenit. Mihi de eodem Pro- blemate meditanti , quum nonnullae folutiones vt fpero aeque concinnae fe obtulerint ,, earum adumbrationem: Geo- metris hic offerrc non dubito. 6. 2. Sit corpus B E de puncto B, ad punctum A "fixum, ope fili A B alligatum, fi per A ducatur linca recta AM, ad quam motus et fitus corporis B E. quouis. tem- poris momento referatur ,. quod fiet ex centro inertiae C corporis B E demittendo in A M perpendicularem C M, tum producatur linea C B. vsque dum ipfi A.M in N oc- cur- ef22 ) 197 ( $89 currat et iungatur A C; facile liquet hac fa&a conftructio- ne, Problematis folutionem co redire vt pro quouis tem- poris momento affignari queat recta A C et angulus MAC. Hunc in finem defignemus rectas AM, MC, AC re- fpe&iue per litteras x, y, v; angulos vero MAB, M AC, MNSB per Q, 6; xp, rectae vero inuariabiles AB, BC fint a, & 6. 3. Si vis qua filum A B tenditur, exprimatur per T, conftat fi haec vis ad ipfum centrum inertiae C adplicata concipiatur, eam fecundum directiones coordina- tarum AM, MC ita refolui, vt illa fecundum directionem: M A agens habeatur — T ' cof. (D, ifta vero fecundum di- recionem C.M — T fin. (D, hinc fi corporis maffa expri- matur per M , has binas confequemur aequationes diffe- rentio - differentiales : ddx amm o Be. ddy —axx 10 niu muu2- 3 1 ME ddi* —- EMO defiphnante d; elementum temporis quod inuariabife affü- mitur, Tum vero quia praeter motum progrefiuum cen- tri iüertiae C , etiam heic in cenfüm venire debet motus rotatorius iftius centri circa punctum B, de quo corpus al« ligatum haBetur; fi momentum inertíae corporis flatuatur Mec, ex principiis Mechanicis colligetiür momentum quod tenfio fili "T exferit pro rotatione centri ' inertiae C circa. p, MC), Hinc igitur tertiam iftam obtinemus ae- Mcce quationem differentio - differentialem : ddy |. — bTfin(y—Q) adi? — Mcc 3 $. 4. Quia igitur eft x — acof. p -- P cof, p, et y-aín.Q-r-bín. p, multiplicato 2d x per y et dd y Bb5 per et23 ) ros ( $893 per x, fümtaque producdtorum differentia, habebimus: xddy—yddx ... bTfin.(y. —) M , adt? vnde colligimus xddy—yddx-r-ccddy —————— ———— —— 0 adi? 5 ex quo integrando ftatim prodit: 1 xdy-ydx-r-ccdy — «di —L Deinde quum fit dx—-—addQfn.O —b4 (n.p, et dy-ad(Qcof. 4-54 cof. yp, prodibit dxddx-cCdyddy — «dt? Dad R.. vnde colligitur dxddx--dyddy-rccdyddY — o: a d1* PET ? quae formula integrata praebet dx?--dy?-7 c dp? — N. QC d1* $. 5. Sic igitur facillima omnino ratione ad binas perducti fumus aequationes differentiales primi gradus, ex quibus nunc reftat vt valores reae A C — v et anguli. MAC-^6$, inuefigemus. | Et quum fuerit E ry dó. |. .xdy—ydx dingsiluiz8 3i fiet om LL SEXE, ex quo ob 9*cof. (^ — x*, prodit o9^dé —xdy—ydx, tum vero ob dy-dwfin.6-- vd cof. 0; d x —d*vcof. 0 —vo d fin. 0; erit dx--dy-dw-r-vav, hinc- eti2 )aoss( Sue hincque fa&is fübftitutionibus iffas habebimus aequationes: v*dó-ccixy . dv'--w*d$'--ccd b? . Aer aur d fem Dis f PET ttam. SETBK Da» priori harum aequationum obfíeruarc conuenit, quod deriuetur ex proprietate, quac in motibus corporum faee pius locum habet et qua praefcribitur, vt fpatia a corpori- bus defripta fit temporibus proportionalia; ícilicet pro cafu praefenti elementum fpatii a centro inertiae C circa A defcripti eft v* 0, cui elemento fi addatur iftud cc dy eX motu rotatorio deriuatum, horum elementorum fümina erit elemento temporis proportionalis. Altera vero aequa- tio ex principio conferuationis virium viuarum deducitür, exillente celeritate qua centrum inertiae C — procedit cU) et celeritate motus rotatorii — 4*. $. 6. Antequam vlterius procedamus, haud prae- ter rem erit, vt inquiramus quomodo ad has aequationes pertingere liceat per aequationes diffcrentio - differentiales , quae differentialia fecundi ordinis ipforum v et 6 inuol- uunt. Quum igitur fit: ddx-ddocof0-2odvd0ftn.0—od dófin.6É —o dt^ cof. ? d4y —ddvíin.0--2dvd0cof.0--vdd0cof.0—va0' fin. 0; habebimus dixere dama c oe e — — 1 (cof. D cof. 0-- fin. D (in. 0) «di^ vt L0. yeu É—goc(—0),; j tum vero d d y cof. 0 |^. & d 1 —"vd E] E 'F - - ) Jdxfin.à —vddéztodvd$— y. 7 (fin.Ocof. Q—cof, 0 fin.) —gün(é-—). di At- et ) 160 ( $55 Atqui quum in triangulo A B C, fit AC;:BC--fnABN:fin.BAC, id eft vfin.(09 — (p) — bfin.(v —Q, poflerior aequatio- num inuentarum in hanc transformatur: v?dd6--2vdvàd0 — Tbfin.(V — 0) CTI ? adt? M ideoque fiet: «?dd$-3-2svdvd6 -rLccddv — O &di? Aq mM vnde integrando colligimus v2d$-i-ccdy ada —IL. Dein multiplicata aequatione ddv-vdtf! d — — i. cof. (6 — D) per dv, «di? /— fi ad hoc productum addatur aequatio vddó-2dvd$ —. Tfin.(6 —Q) M adt? xxm per c 29 multiplicata, confequemur: dvddv--vdvdt) --vtdédd$ — | | Tdvcof.(6-) ada vTdljin.(4-q) adt? EI M Hiro * Nunc quum fit ex triangulo ABC, ACco CAB—CAB--BCcof ABN, hoc eft e cof. (6 o) —a-r- bceof. (p — 0), fumtis differentialibus habebimus: dvcof.(0—dO) —vd6fin.(6—0)-- vod fin. (6 — D) — — bd fin. (Vy — 0) - bd b fin. (v — 0); e fin.(0— )— P fin (y — 0), ifta aequatio in hanc abit: dvcof.(0 —b)—v46fin.(€ —0) — — 5d v fin.(Sy — $). j 1deo- et ob e$3$ ) sor ( S$t9e Ideoque noftra aequatio erit: 4oddv-Fvdvd$t-rvid$ddé — ., bTdV[m.(0- 0): & 4t* ET M » hincque obtinetur dvddv-J-vdvdé$*--v* dfdd8-L-ccd ddp —0 adt? TSRQMAT. et integrando do?--o?d9?-rccd d? —. M N; prorfus vti fupra inuenimus. 6. 7. Subfidio autem iftius aequationis: dv cof.(0—0)— v40fin.(0—) — — 6 d p in. (Xp — D) —-—«vdwfin.(06—0), nunc quoque valorem differentialis Z «p pec do et d ex- primere licet, quippe qui erit: dX 40$ — 1? cot. (0— D), et fubítituto hoc valore, noftrae aequationes differentiales primi gradus erunt: E dudiv A s ($7 o c6)4d9—6c. 72 cot.(6(—p) — L1; (vr e)4 —26c d 0*? cot. (9 — D) tec S cot.(0—y-- 42v —NAdt'; quum enim coefficiens o fit inuariabilis, eum cum conftan- tibus L, N, coniuncim fumere licebit. Sumto nunc qua- drato prioris aequationis et pofíteriore per v*-1- c^ mul- tiplicata, tumque capta productorum differentia, habebimus: c c(v* 4- 0)*7 cot.(0—y — c. 2 cot (0— y Md (v^ g)—N(ve-rC)eS-L dU, quae in hanc contrahitur: SO rv do —N(v--c)4r Lv. jin. (0— 97? Acta Acad. In. Sc. Tom. V. P. I. Cc Tum eH )ior( fu Tum vero quia triangulum A B C praébet, b-—a-4-9—2vcof.(0 —Q), fiet cof. (o. (oet ILLE et 280 vU fin. (0— Qj- — VG(*-- by vt t (gt- by) — ytraebs- (at bo vt yy :0'U SC OLENUSCNN Hinc colligitur: mogitgd-9c ove padpcuru o unb di-— d'v V (cc H- v? fin. (I. — D?) iz. vd vy (42? (b? 4-c2) —- (a2:4- b* —?y! C7 jm. (9- Q)V Nvv 42j- L7) — VUN (o?4-c2] — L6) (9703 (a - ELT SUE ]E)* $. 8. Pofito P e i" —4; aeqnationes noftrae differentiales fequenti modo exprimentur : (9-0) p—c6c4. cot. (6 — d) — ex. L; (v-re)p- secpgcot.(9- Qu q' cec cot (9- Dy 19) ENT et fi infuper flatuatur 2 — p r; habemus ex puo aequa- tione: $—1QG-rEec- cer ét. (— 0); et ex pofteriori p mx (v -e- 2e er cot; (0— D)-Er* (eecot. (0à— -4y 4 v?)). Et ope harum aequationum , aequatio elicitur algebraica, folas variabiles r, v et cot. (06. — Q) inuoluens , vbi quidem ob "cof. (0 — Q) — T --» — P. ifa aequatio quoque ad aliam 2ü0 "70 Quàe folas y et v inuoluit, reduci poterit. Caeterum e- iusmódi reductione nequidem opus eít, nam fi quadratum füumendo prioris aequationis , uon vero per 9* J-c* multiplicando , . prodüctorum accipiatur differentia, haec colligetur aequatio: 9*:9* Cx uA sx qz N (e -rc)-—L. Hincque iam patct data diftantia- A C — v, vnde fimul angulus B A C — 6 — (D innotefcit, dari incognitas p, 4, feu em joa ( eje feu 35; £7, easque adeo algebraice per variabilem v ex- primi. f $. 9. Proprie tamen loquendo nefcio an dici pof- fit Problematis folütionem' haberi algebraicam , nifi fi ex ifta aequatione: | (o* 4- c) 48— cci? cot. (6 - p) EL dt, fuffeto pro Zt eius valore fupra inuento, differentiale 4? exprimatur per formulam, quae, integrationem admittit in terminis algebraicis. De ifta quidem expreffione: .. di v( Tm SESS - B fias nce TBILVP H omnino patet cam per integrationem) nequaquam ad ex- prefhonem algebraicam reduci poffe, Caeterum vt fim- pliciorem hacc expreffio | adipifcatur formam, ;ftatuamus z-a -4-b-—w.aleb-f,;csIg;hiné—2ovdo—dk et v&!-- c -—g--e--f—z; quare infuper ponamus ' P-N(g-r-e--f)—1L ;'his igitur pofitis noftra aequatio TS — dz V(e (f 4H- g) — z^) 5 erit —2d:— 4 a yGEJycsj: De hac autem expres fione iam certiffime conflat, eius integrationem nequidem per re&ificationem fc&dionum conicarum perfici poffe. $. 1o. Quam fit cof. ( — p) z 97 —"., fi dif- 200 4 ferentietur i(a aequatio prodibit: — (4$ —4q)fin.(9 — p) — 2*5. (v* -- i — a), TET ' vnde quum Ec per variabilem v .algebraice exprimi queat, mox liquet E quoque per 7 algebraice exprimi poffe; quin adeo ipfüm NIB —4P-cot.(0 — ) per e expres mne c fione ev ) zo£( $e fione algebraica exhiberi poteft. Denique pro tenfione fii iftam habemus expreffionem : dd v—7vdi*— — 1 cof. (6.— Q), adi — €x qua I per folam variabilem v expreffione algebraica exhibere licebit. Nam ponamus d?£^— V 4«', exiftente V funcione ex fola variabili v et conítantibus compofita, colligitur inde EM ruere dd — 2V — et «àdi* — — zavV o? ficque erit cof (1 0) — E, 2 "Af yas wey (E uy C010 O)-- 7 cot (1-5), ob 2?— A, et d$ — uie (coo cot.(6 — D) -- L 21). Nunc fi in ifla aequationc pro V eius valor v^ (4a? (p? -.- c?) — (a* 3 5* — vy) (N (9? -4- c2) — L2) (^a? 6? — (a? 4-6 — v! y) fübflituatur, obtinebimus expreffhonem algebraicam pro ten- fione fili T ex fola varijbili v et conítantibus compofi- tam, verum ob terminos valde complicatos , non efl vt huic formulae vlterius euoluendae immoremur, 6. 11. Quia eft x-aco(Q-r-écofp et y — a fin. -1- & fin. x; habemus ddx Z—addQ in. — ad cof. — b4d Np fin.Np— bdvp*cof.Np; dd y —addQycof4D— adQdy (in.D- bdd Ny cof. — bd Vp fim. Np. Multiplicetur 24, pér acof.Q et dd x per a fin. Q, et pro- et32 ) o5 ( $5 productorum fümatur differentia prodibit: a*ddQ -- ab4dy sai Q) — abd? fin. (p — Q) — 0. (1). Deinde fi multiplicetur 2Zy per bcof^p, dx per b fin. Np et produ&orum fümatur differentia haec prodit aequatio: $&?ddy -I- abdd Q cof. (5 —0)H-a 54 0? fin. (p — 2) — ES bT i. (y —40). "o cxmeeMm T PI E «di? qua propter fi ad hanc aequationem addatur ifta: ccddd — T fin.(p — 9 Gd I2 ux M , confequimur illam EE cr)ddy--abádd cf. Sj — 0) aba 07 fis. p — 0) (E-ESURQUEEGRIHOKUE Ge colpa qf pst e (II.). Nunc fi haec aequatio (1l.) addatur ad illam (1.) füpra inuentam, fumma erit integrabilis, exiítente quippe ipfo integrali: a a dO - ab (db dy) cop —0) - (/^4- 6) 4p Z La. Tum vero íi aequatio (I) multiplicetur per 4(D, aequa- tio (IL) per Zxp, producorum fumma denuo erit inte- grabilis, exiftlente integrali: a di^ 2abdid v cotQp—0) - (^4 0) 4 qr Nar, quas aequatione$ cum illis Artic. 6, inuentis, omnino coin- cidere feui adhibita attentione patet. $. 12. Nunc quidem ex iffis aequationibus, alte- rutrum differentiale fiue 4 (D, feu 4p eliminando, ad ae- quationem pertingere licet, quae praeter bina differentia- lia 4; et alterutrum. iftorum 70D, xp. non nifi cof (yd) continet. Hoc autem facillime exequetur, ftatuendo v —-0—23; v a $—24, €x quo V —3--é; D-Z—w Hinc autem noftrae. ae- quationes. prodibunt: Cc 3 ad L2 ) 206 ( El aa (dZ—dw)4 2abdZ cof.25j -(b^4- £) (d dv) zLdt; a (44 — day A- 2ab (diy — di) cof. 2 -r- (P M) (ddp dayy — Ndr s fiue d£ (a^ A W -pe 3- 2ab cof. 23) - dq (^ 4 — a") z Ldt; dé? (a^ 4 I^ "o oc 2abcof. 2») 4 244dgj (/* -- e* — a) 4- dif (à -- P à —2abcof. 2x) NA. Sumto nunc quadrato prioris aequationis et multiplicata pofleriori per a*-4- b -4- c 4- 2a bcoí,€*«; fi productorum capiatur differentia, aequatio ita habebitur .expreffa : d'w ((a* --I? c y —4 4 b cof. 23* — (P -- c — a?y) —Ndr(a-rDb-re6p2abcoh2:3-—Ld4r; quae in hanc contrahitur: Aa dw (b fin.2w)z Ndi'(a*4 D^ c^ 2a5 cot 23) - L'ar. Ex qua aequatione iam differentiale Zt par 75 habetur expreffum , huius autem aequationis coníenfus cum illa ar- tic. 7. inuenta fatis obuius eft. Scilicet quum fit 2^—a* -rT 5 --2abcof. 2», prodit N47? (a! A- jo 2abcot.2:3) —LI'4an —NA4P(z^--06)—1*4:,; -tumque 4a b^ dw fin, gw —^8^d«, et 4a dw — ua 5 ; eft enim "v'fin. (0 — Q) — 5 fin. 2 5j. €. 15. Iftud vero negotium ita quoque confici po- tet, vt mox in aequationes diíferentiales fecundi gradus loco d, dp introducantur differentialia 4 7, d à, erunt- que tum aequationes itae: a* egi ) 207 (^ $8 a (dd —ddy)-Fab(ddá--ddw)cof. a —ab(Zó64 dy n. 25 —0; G^ a e)(d4di--ddu)-ab(ddZ--ddw)cof as 4 b (d & — d wy fin. 2«4— o. Vt ex his aequationibus eliminetur 4242, multiplicetur prior harum aequationum per J'--c*' -- a2 cof. 2, po- fterior vero per.a'-1- a 0 cof. 2X €t produorum fumatur differentia, quo facto prodibit: | 4 d € ((a* -- a P cof. 2 9) (D 4- c —2ab cof. 2 y) 4 d d'(a' —ab cof.2 v) (b* 4-c* --a b cof. 2 w)) cFab(d£- dy (a --ab cof. 2) fin. 2* rab (dé 3- duy (P - e --abcof.2 7) 0.250)» quae in hanc contrahitur: 2oddw(r (EF4c)— 2^ b cof. 2 w) |oebdZín.2w(a --b --c--2abcof. 2») --26bd4dwfn 25 (b --c —a) abd fin. 2€ (a -- &* -- c H- 2a b cof. 2 5j) — 0. Quum vero fit, vt fupra inuenimus : «d£ (a^ € - b^ Ee 22bcof. 23) --2 dz d'u(P e — a) dw (à) eg-—2abcof.24) — N44; fi haec aequatio. ducatur in 2b fin. 2« et productum ab aequatione fupra inuenta fuübtrahatur, obtinetur ifta ae. quatio: 2ddq(d & -r- a! b fin. 2 w) -- 4a b) dw fin. 24cof. 2 4 2—ab Ndr' fin. 29, quae per Zw multiplicata fit integrabilis, exiftente in- tegrali 2g w$S$ ) 208 ( Gti 2 a* dw (C -A- b fin. 257) — Nabdt* cof. 24 1 Q de, quae aequatio cum illa articulo praecedenti inuenta omni- no confentit, 6. r4. In triangulo AB C quum dentur. latera AB-—a, BC-b, facile patet quomodo ex dato vel re- liquo latere A C — v vel alterutro angulorum, ABN-ip—-$—s«4; BACZ0é-0; ACNzV-0- Problematis folutio adornari queat. Verum tamen fi loco diflantiae v, vel anguli «p — (D, introducatur angulus 6 — 60 vel qj — 0, formulae quarum ope fiue 27-29 per functiones anguli 0 — (D fiue 29 —5* per funciones anguli i, — 6 exprimuntur, valde erunt complicatae, Tum vero quia area trianguli ABC —IAB.BCfin.ABC-t:abÍíin.2.9 fi ifla area flatuatur ce 9, ita vt fit 2cco — ab fin. 2$, nunc quidem quoque 2? per functionem algebraicam ip- dt fius o exprimi poteft, PHY- PHYSICA. Ada Acad. Imp, Sc. Tom. V. P. I. Dd zdeéa ead Imp. de. Jebropol . Zom, W. P. T. pas. 22. nd JS ord Zubr (orate QE. ALÍ. eS )rir( Se eum maneas Rm min uf [ouem mmt inl DE ORDINE FIBRARVM MVSCVLARIVM CORDIS. Eufferttatio. II. DE ' TEXTV CARTILAGINEO CORDIS; SIVE DE FILIS CARTILAGINEO - OSSEIS EORVM* QVE IN BASI CORDIS DISTRIBVTIONE, - Audcore C. F. WOLF rF. Bafis finuum communis. Crema inter. eam ei bafin. cordis. Filorum. cartilagineorum fedes. Tab, II. T. 1T. 1. 2. 3. 4. 5. 177, 71, QUE CUM NEP TEN. RUM E n IE bafi cordis, in qua fede communi fua bafi finus infe- runtur (4), diftributio inuenitur elegantium filorum car- tilagineorum (2), principio aliquo communi partim (;), par- d 2 " tim Vu ——————————M—— (a) Tab. I. Y. 6. Y. Tab. IIT. z. 4. 1. Haec Tabula in Tomo fequenti ad Differtationes de fibris ventriculorum externis tradetur. (P) Tab. IL, z. 1 5. 4, Tab. IlL. 4. y. 4. 2, (c). Tab, II; 4 R22 )e:s( S ego tim anaftomotico ramo (ag), inter fe cohaerentium. Hanc ban finuum nimirum transuerfim oblongam effe in fupe- rioribus dicum eft. Eadem íi ventriculi cordis et orifi- cia venofa, fiue. flatu intromiffo, fiuc irrumpente fanguine, dilatantur, latitudinem, (eu dimenfionem ab anteriori ad pofleriorem finnmum parietem, pollicis quafi, vel pollicis cum dimidio, longitudinem transuerfalem quatuor faltim policum, habet. Si collapfa contra orificia venofa funt, quae maximam fcilicet. partem bafis finuum occupant, velut in ftatu cordis fpontaneo , vix lineas quatuor latitu- do, cum cadem, aut paulo maiori, longitudine transuer- fa, fuperabit. Sic transuerfim oblonga haec bafis finuum omnino, fed adeo anguíia quidem eít in ftatu fpontaneo cordis, vt tanquam linearis fere confiderari poíht. Hac bafi parictes finuum, pariter communes, anterior alter et fuperior, alter poflerior et inferior, vterque planus, pofi- tione, fere verticali in bafin cordis, erecti funt; modo vt paries finuum anterior antrorfum magis, pofterior retror- fum, fuperficies contra cordis fuperior furfum, inferior magis deorfum pauluium, et bafis ergo cordis retrorfum, refpiciant. Sic angulus, fiue crena, inter parietes finuum, fürfüum maxime et deorfum fuperficiebus fuis externis fpe&antes, et prominentem circumquaque bafin cordis, quae maxime retroríum refpicit , formatur. n hac crena igitur, bafin finuum circumfícribente, fila, quae dixi, aut rami, cartilaginei quatuor, duo anteriores, ad bafin parietis finuum anterioris ducti, alter dex- ter (5), alterque finifter (c), duo pariter pofteriores, ad pofte- [ -—GH c.r cd (c) Tab. m. s. (5) Tab. TI. z. 1. (c) Tab. IL. 3. 4. wo ) 2exs ( S c? pofterioris parietis finuum bafin cxterius repentes, dex- ter fimiliter alter (a), alterque finifter (P), ea diftributi funt ratione, vt orti principiis craffioribus in parte bafis finuum fere media (c), bini dextri (2) dextrorfum, fini- ftri (e) finiftrorfum, paulatim extenuati progrediantur, ex- tremitatibusque acutis fenfim euanefcendo finiantur. Qua ratione fila reperta. Regionem praeparando bafilarem ventriculi dextri primum horum ramorum, anteriorem dextrum, reperie- bam, radici finus dextri et parti bafilari interiectum, fpe- ciofo nodulo cartilagineo ortum e latere dextro aortae; inde verfus angulum cordis tranfeuntem, atque in medio circiter itinere definentem. — Quaerendo facile et finiftrum ramum antcriorem in fede analoga inter marginem bafi- larem ventriculi finiri et finus finiflri radicem reperi; haud tamen pofterius ad füperficiem cordis inferiorem fi- miles tunc fuüfpicando ramos. Denique tamen etiam hos pofteriores detexi, quae quidem nullis propriis nodulis o- riri, fed potius principiis fuis craflioribus ad mediam fi- nuum bafin in fe mutue continuare, indeque vtrinque ex- tenuati excurrere, et acutis extremitatibus tandem pariter ac anteriores finiri videbantur; adeo, vt potius vnum fi- lum hoc effe videretur, craffffümum in parte media, v- trinque fenfim extenuatum, quo facies cordis inferior a Dd 5 pofte- — no n €— n Á—— (4) Tab. HI. 4. 2. (5) Tab. HI 4. y. (c) Tab. II. z, et 3. Tab, III. 4. (d) Tab. II. r. Tab. III. 2. (e) Tab. II. 4. Tab. III, y. SEA ) 214. ( C «a pofteriori feu inferiori finuum fuperficie communi di(linc- ta effet. Longe aliter autem fe rem habere vlteriores do- cuerunt inueftigationes, quemadmodum iu fequentibus di- cam. Non videntur iem vifa effe. Vii non facile eft, partes inuenire in corpore hu- mano, quae peculiari fe commendent pulchritudine, impri- mis in vifcere primario, velut cor eft, in quod toties iam inquifitum; non fatis mirari poteram me nunquam de filis eiusmodi zeretibus, rigidis, albis, quibus bafis (i- nuum éazeriu$ a bafi cordis diftingueretur , quidquam vel audiuiffe, vel legi(fe. Veniebant in mentem tendines cor- dis circulares, admiífi ab anatomicis quibusdam, ab aliis, iisque praecipuis, Ha/lero, SSenaco, Caffebobmio, xeie&i; at ifti quidem in orificiis venofis et arteriofis ventriculo- rum reperiri, et circulares effe, vel annulares, et aequali in toto ambitu latitudine gaudere, nec quidquam ad ba- fin cordis exterius a finuum bafi diftinguendam. conferre dicuntur; imprimis in parte finuum media, vbi feptum cordis intus refpondet, quo nec arteriofa nec venofa ori- ficia fe extendunt, et qua tamen in fede ipfa maxime fe fila infignia fuis craffioribus principiis demonftrant. Quid denique fimile etiam inter fe habent fila, in re&am line- am extenía, crafforibus principiis in media parte ad ba- fin finuum in externis faciebus anterius et poíterius füb- orta, hinc vtrinque extrorfum excurrentia, continuo ex- tenuata, fenfimque finita, et tendines illi circulares, feu annuli, qui orifici venofa intus obducant? De arteriofis enim Auctorum tendinibus nullum dubium eft, quin huc referri non poffint. Neque de toto textu cartilagineo lo- quor, wy ) ^I b( eei quor, quem aeque certum eft a3 nemine Ánd&orum per- fpe&um fuiffe. De folis quatuor ramis huius textus fer- mo eft, quos primis meis laboribus repereram, ct quo- rum aut aliquas partes vidiffe nonnullos anatomicos, aut coniectura fuiffe affecutos, dubium omnino effe poteft. Quicquid fit, hoc certum eft, Ha//ler;.m, qui verbis non modo, quibus dubius faepe fenfus traditur, fed iconibus quoque citatis fuas, quas de tendinibus circularibus veno- fis et arteriofis conceperit, ideas declarat, et plurimos cae- terorum, quos citat, haec fila cartilaginea ipfa non vi- diffe, lll. Senacus in quatuor diuerfis tabulis ( Tab. 12, c. (ues K3b. x3. d. dod. Tab. r4. h. hb, hb. et "Fab. 15. c.c. €) füam de venofis tendinibus circularibus ideam, et fedem, vbi exifterent, demonf(trat. Hallerus, in Elementis Pbyfiolo- giae (Tom.1. pag. 329.) easdem has quatuor tabulas Sezaci, easque folas quidem, citando, ideam fibi prorfus eandem cum Hluftri Viro fuiffe de tendinibus circularibus , decla- rat. lam in fingulis illis iconibus ftria illa notiffima alba indicatur, quae in diffe&is extenfisque orificiis venofis in- tus ad bafin valuularum apparet, quam rece Ha/erus me- ram firmam cellulofam effe monet, tendines propterea ve- nofas aeque ac arteriofas negando, et quae, quamuis fila cartilaginea exterius per has fedes ducantur, valdopere tamen a filis his ipfis diuerfa eft, Neque apparent fila cartilaginea in ftria illa, vti in orificiis,; fimpliciter cum ventriculis et finibus incifis, in confpecum venit; fed: ne- nece(fe eft, vt exterius inter bafia finuum communem et extremum marginem bafis cordis quaerantur, vbi a nemi- ac Aucdbrum, quantum fcio, oftenduntur. Varias e253*5 ) e16 ( $90 Variae textus: cartilaginei. partes. "Tab. II. 2. 1. 2. 3. 4. 8. 6. Tab, JL 4. 3.0; ' Variis ex partibus textus cartilagineus cordis con- flatus eft. — Conflat nodulis primum (a), quorum iam mentionem feci, et qui radices quafi partium reliquarum effe videntur, non modo quod originem fingulae inde fuam petant, fed maxime, quod omnium primo, fiue in foetu, fiue in homine nato hoc fiat, vel in adulto, for- mari videntur; deinde ramo anaftomotico (2), quo bini noduli inter fe coniunguntur; poít haec trunco communi ramorum pofteriorum (c); denique ramis his quatuor ip- fis, binis fcilicet pofterioribus (2), ex trunco communi ortis, dextro altero, alteroque finiflro, binisque anterio- ribus (e), dextro pariter et finiftro. Bafis et cornua texius Tab. II. z. 3. 5. Noduli cum ramo anaflomotico, quo illi inter fe iunguntur, (f) bafin efficiunt textus cartilaginei; rami (g) cum pofteriorum trunco communi (5), tauquam cornua, vel, fi mauis, extremitates confiderari poffunt. Hac bafi fua ita innatus eft textus cartilagineus bafi aortae, vt nodi fere lateribus eius, vel accuratius dicendo extremitatibus vtrin- (2) 'Tab, 1. z. 3. (5) Tab. IL 5. (c) Tab. II. 6. Tab. IJI. 4. 5. (d) Tab. III. y. 2. (^) Tab. IT. 1. 4. (f) Tab. 1I. z. 5. 5. (g) Tab. II. e. 4. Tab. III, y. 2. CA)-Tab, II. 6. Tab. III. 5. 4. eB; )arr( See vtrinque circumferentiae bafis aortae inhaereant, ramus a- naftomoticus vero lateri pofteriori huius circumferentiae , fere rectilineo, paulisper inflexo, vel concauo, fit appli- catus; et cornua deniade bafi aortae pof(lerius, furcarum inflar, dexirorfum duo, et duo finillrorfum, éxtendantut. ^ Defiriptio bafis aortae Tab. II. Q. R. Nimirum bafis aortae (2), quamuis eatenus fimi- lis fit fectionibus:arcus aortae, aortaeque dorfalis 2 NE idis traeque ouales fint, luminaque habeant paulisper compref- fa, (5) figura tamen non minus quam magnitudine a fe- cionibus arcus differt. Conftridior manifefto bafis. eft, lumen formando anguflius, quam arcus in quauis füi par- te; vt aorta, bi oriücium cegreffa eft, continuo inflata bulbu:m) aliquatenus ceíüciat. Figura circumfercntiae bafis fatis irregularis (c), neque in omnibus corporibu$ eadem eft. In hoc, cuius iconem dedi, corde, quafi filo aorta ad. bafin conftrida effet, inflexa et plicata; imprimis in latere fuo pofteriori, obferuatur. n aliis minus crifpum hoc latus, attamen incuruatum, reperi. Hoc conftans ef- fe videtur, vt poflerius latere incuruato; ad cauitatem conucxOo, ad fuperficiem externam pofteriorem concauo, anterius arcu, conuexitate antrorfum, concauitate introre fum fpe&ante, virinque extremitatibus, feu angulis, obtu- fs terminetur. Appii- (a) Tab. IT. Q. Rg (5) Tab. Il. Q. (c) Tab, II. R. Aéla Acad. lup. Sc. Tom, V. P. I. Ee eS ) 213 ( $8 4pplicatio texius ad bafin aorta. Tab. H. x. 3. 2. 5. Lateri igitur pofteriori, extus concauo ita ramus anaftomoticus applicatus eft, vt ducum lateris vbique fe- quatur (a), et aorta in bafi füa huic ramo latere fuo pa- fleriori incumbat. —Nodi extremitatibus circumferentiae bafis infident (2), ita tamen vt dexter nodus, paulo po- fterius collocatus, lateri potius pofteriori, eiusue extremi- tati ipfi, adhaereat (6), et extremitas circumferentiae ergo bafis aortae dexterius prae nodo promineat, vt tota aorta ergo fyílemate toto cartilagineo anterior vel fupe- xiorfit, co, quo partes cordis gaudere folent, fitu obliquo, No4uli textus cariilaginei. Tab. IL. z. 3. Noduli figuram habere folent feminis auermacei; eiusdemque et magnitudinis, imo potius craffiorem in al- tero. corde, finiflrum: reperi nodulum, Saepius tamen mi- nores quoque et paulo longiores obferuantur, «et videtur plerumque finifter dextro craffior inueniri. Nec infrequens effe videtar, velut fere in horum iconum corde dexter f& habet nodulus (4) , vt ramus feu. flam. cartilagineum vna «cum nodulo íuo clauae figuram refcrat , vt, tanquam ex bulbo feta, filum. ex. nodo oriatur. Con(lans tamen eít, vt nmodulum aliquo modo a filo diftinguas. Kauii, (2) Tab IL 5,5 (5) "Tab. II. z. 4. (c) Tab. II. z. (d) Tab M. z et )s:ro( $95 Rami, feu fila anteriora ,| dextrum et. finiftrumt. Tab, Il. 1:4. Ex his nodulis ergo, aortam ad bafin vtrinque et in latere pofteriori, ope fili, quo nodi coniunguntur, ana- flomotici, quafi coaré&antibus, rami cartilaginei anteriores egrediuntur; dexter ex dextro nodulo, dextroríum tendens (4), finifer ex finiftro finitrorfum produ&us-(5). In re&am fere lineam extenfi funt. Quantum tamen cur- uati, / romanum, folitum dexter, finiíter inuerfum, duc&u füo defcribunt; vt primo arcum, ex nodulo ortus, vter- que, leuiorem vtrinque, conuexitate furfum aut retrorfum fpectantem, deinde alium porro, leuiffimum arcum, antror- fum , fiue ad apicem cordis, conuexitate fpe&antem pro- ducat. Vti teretes rami craffioribus principiis oriuntur , indeque fenfim gracilescunt, duas quafi tertias partes bafis finus dextri in fuperficie anteriori dexter ramus emetitur, tenuifima extremitate fmitus; vt reliqua dexterior pars crenae , inter finum dextrum et partem bafilarem ventri- culi dextri (c) vacua fit filo cartilagineo, fola repleta cel- lulofa firmiori, membranisque externa et interna finuum- tecta. Sinifter contra, propius margini finiftro cordis ob-: tufío ortus, breuiorem crenam inter finum et ventriculum finiftrum in facie anteriori totam percurrit (4), in latere finus finiftri tandem fimili tenuiffima extremitate finitus. Non confluit tamen cum extremitate rami finiflri pofte- Ee 2 rioris, (a) 'Fab. IE AE (b) Tab, II. 3. 4. (c) Tab. II. Y. (d) Tab! IL. 4- eB ) sso (Sut rioris, fed diftin&us eft ab eo parte crenae notabili (a), quae velut ad dextrum finum firmiori cellulofa, membra- nis tecta, conflat. Rami pofleriores ex communi trunco orti. Tab. Ill. y. 2. T Monui iam in füperioribus, detra&a membrana ex- terna cum adipe, quae hanc fedem tegit, videri continuo, pofteriores cartilagineos ramos principiis fuis craffioribus confluere, vnumque iu media parte craffius, vtrinque ex- tenuatum, efficere filum. (5) Confluuntque omnino, et nifi accuratiffime cartilagineam fubítantiam profequaris, cellulo- fam quamcunque fübtiliffimam deftruendo, nunquam inue- nies truncum, quam bini rami coniuncti in hac fede effi- ciunt, et ex quo ergo illi tanquam duo diflin&i rami oriuntur. / Truncus, qua fede vamos edituvus prodeat. Spelunca poflerior. "Tab. ill. 4. 5. Eít nempe in media parte inter binas finuum ba- fes et extremitatem pofteriorem marginis inferioris fepti cordis, (c) in qua ipfa fede rami confluunt, fouca, adipe primum teca, deinde tenerrima celluiofa repleta. ^ Haec primo afpectu fimplex fouea effe videtur. Vbi vero mi- nutius inquifiueris , fibras tenuiífimas fasciae bafilaris (4), quae (a) . Tab. HI. z. (5) "Tab. HII. y. 4. a. GS Tab! TEL, D (d) Ad bafin finuum | communem fascia fibrillarum. tenuium , fatis lata, ducla ingenitur, quae totam hanc bafin circumdat » Lye au «63^ ) 22r ( e c9«a quae arcu in hac fede anguflo formato foueolam circum- dant (2), a fe mutuo feparando, foueamque fic magis maeisque dilatando, fpeluncam efle inuenies hanc foueam, profundam, in quam fe fubílantia coniunctorum ramorum (5) immergat. Sic truncum primo effe apparet, ex quo bini rami oriantur, et qui ex ea fpelunca prodeat (c). Qua eo adueniaty [pelunca anterior. Vortex. fi&rarum bafila- rium. Tab. ML. 40.35. 36.37. 38. 39.740. 41. lam in pariete finnum anteriori, pariter in media eius parte, ad bafin, vbi nodus cartilagineus dextcr prin- cipium emittit rami anaftomotici (2) retro aortam (e), Ípelunca pariter datur (f), multo quam illa in pariete pofteriori obferuatu difficilior, et fibris cincta fasciac bafi- laris, mirum ductu vorticem (g), in hoc imprimis, cuius iconem dedi, corde formantibus. Hae fibrae, fiue vorticem producant in pariete finuum anteriori, ficut in corde, quod pinxi, fiue fimplicem lineam aliqua, quam patiuntur, in- flexione exprimant, perpendicularem ad finuum bafin, ve- Ee3S lut haud inepte coronafir, vel bafiaris finuum fascia vocari poffe vi- detur. Diflinctae eius partes quatuor funt; anterior dextra, pofle- rior dextra, finiflra anterior, finiflra poflerior, quae tamen, cum in fe mutuo continuent, vnam fasciam efliciunt, Accuratior eius defcriptio in feqq. Diff. dabitur. (a) Tab.II. 82. 82. (5) Tab. III. 5. (c) Tab.IIE 4 y& a. (d) Tab, I. a. (^) Tab IE QR. (£f) Tab. II 4o. (g) Tab. !I. a5. 36, 37. 38. 39 em ) a2 ( Ge jut in aliis cordibus vidi; femper tamen in folo hoc finu- um pariete anteriori atque in plano eodem continuari , vnumque continuum in hac fede parietem efficere. viden- tur; vt ne foucola quidem aut crena in flatu fpontaneo cordis appareat. Fibrae nimirum fasciae bafilaris, angulis acutifimis ad baín finuum ex cartilagineis filis ortae, ita oblique inde a dextris verfus finiftra in pariete anteriori adfcendunt (2), vt maximam partem. parallelae filis car- tilagineis progredi videantur. Quae ergo propinquae nunc fibrae huic fedi, vbi fpelunca eft, dexterius ex filo cartila- gineo oriuntur (5), ita a folito progreffu declinant , vt recta fere in fuo pariete, dexterioribus fibris repre(fis, (c) adfcendant primo (4), dein arcu circa fedem fpeluncae fado (e), defcendant, et ad fe ipfas fe applicent (f). Quo vorticem efficiunt, vix vllo in alio, fiue fibrarum muscularium, fiue vafornum, ductu ludentium, exemplo vi- fum ; quo ex cadem, linea verticali (g) fibrae vtrinque profilire (5), atque adícendendo oblique, arcuatim in fe mutuo continuare , circulumque fic fere defcribere (;) fuo du&u videntur. ln aliis cordibus, ante exploratis, hunc vorticem non repereram. Videbantur folita fua directione fibrae, ex cartilagineis filis ortae, a dextris ad finiftra fuper / fedem (a) "Tab. II. 51. 31. 47. 48. (Py "Tab. II. 55. (c) Tab. II. 35. 34. (d) Tab. Il. 55. (e) "Tab. II. 56. 58. (f) Tab. II. 39. (g) Tab. II. 57. 40, (4) Tab, 1I. 57. $9. (i) Tab. ll 56. 58. wei jyaag[ Sia fedem fpeluncae tranfire, modo vt inflexae paululum in hac fede lineam formarent verticalem ad ba(in finuum et ad cartilaginea fila. Siue vero fimplici linea verticali for- mata fuper fedem fpeluncae tranfire fibrae vídeantur, fiue formato vortice prodire ex eiusmodi linea fere fimili ver- ticali; plana tamen et continua primo intuitu parietis ane terioris finuum füperficies in hac fede, vt alibi, in ftatu fpontaneo cordis effe videtur, Modo dum finus inflantur, depre(fior haec fedes, fiue linea, foffülam aliquam leuiorem exhibendo,.apparet. In hanc lineam munc fi miuutius in- quifiueris, fibras aut vorticis, ad fe mutuo applicatas, aut quae fimpliciter, velut in aliis cordibus eft, inflexae effe et tranfire videntur, explicando et a fe mutuo dilatando; foueam primo, deinde et profundam fpeluncam deteges in hoc finuum pariete anteriori, fimilem fere illi, quac in pofteriori reperiebatur, Meatus inter binos finuum parietes. interiores diflincios. Tn eam fi porro vxgeas ftylum obtufam, facile mea- tum tandem inuenies effe continuum ex anteriori in po- fleriorem fpeluncam , fatis, fi fenfim fenfümqne dilatetur, lrgum. Simulque patebit, nihil aliud hunc canalem effe , quam interítitium in hac prope bafíin fede inter binos finuum parietes interiores, dextrum finiftri finus, finiftrum- que dextri, a fe mutuo diftin&dos, et omnino feparatos , modo vt cellulofa, facile folubili, leuiter inter fe connec- tantur. Trun- ema ):u( Se Truncus vamorum pofleriorum, ex. ramo. anaftomotico ortus, per seatum inter finus tranfit. "Tab. Il. 6. dO III5.. 2 lam ex ramo anaftomotico proxime ad nodum car- tilagiaeum dextrum (a), quin faepius ex nodo hoc ipío, velut in cordibus nonnullis vidi, ramus. oritur cartilagineus (P), fatis craffus et anaílomotico ramo faltim aequalis, Hic continuo fe in fpelancam immittit anteriorem. . Si Ípelunca nondum detecta fuerit, nec quidquam de hoc ra- mo apparet, nifi quod prope nodum dextrum, vbi anafto- moticus ramus exoritur, fubftantia cartilaginea infra&a et aliquo modo interrupta effe videatur. Dcteca vero fpe- ]unca principium huius rami in confpe&um venit, qui.con- tinuo fe in fpeluncam abícondit. Denique ramus per mea* tum inter binos finuum parietes interiores tranfit, in eumque ipfüm truncum continuat (c), quem ex fpelunca pofleriori prodire et binos cartilagineos ramos polteriores producere dixi. Sic truncus ergo ramorum cartilagiueo- rum pofteriorum ex ramo anaftomotico, prope nodum dex- trum in facie finuum anteriori oritur, tranfit continuo per mcatum inter binos finus, eorumque bafes, prodit in finu- um facie pofleriori, et diuiditur in eos ramos pofteriores, dextrum atque finiflrum. Sinuum conditio, parietibus fuis intermis 1runco innatorum. Mire breuis eft hic truncus ramorum pofteriorum communis, nec multo duas aut tres lineas longitudine fupe- rare (a) "Tab. Y 2. (5) Tab. IT. 6. (c) Tab. li, 5. 4. et )os5( Ss59e rare videtur. Eiusdem ergo, neque maioris, latitudinis parietes quoque funt finuum interiores, quibus prope bafin fimus contingunt, eamque efficiunt partem, quae feptum finnum vulgo dicitur. — Hinc fi finus inflantur, diftindi in hac parte inferiori ad bafin anterius et pofíterius apparent ea crena, cuius in fuperioribus mentionem iam feci (a), et finus vterque propria fuperficie puluinata anteriori et poftleriori gaudet. Sinus nimirum inflati extenduntur pa- riesque in quouis eorum anterior a pofteriori magis rece- dit. In media parte autem , vbi parietibus fuis interiori- bus contingentibus trunco cartilagineo innati funt, exten- fioni cedere non poffünt; vnde crena in hac fede reítat et polwinati vtrinque finuum parietes proprii anterius et po- fterius efficiuntur. Strutclura. vorticis. Tab. Il. 35. 356. 37. 38. 39. Ex eadem finuum compofitione, quam minutius in fequentibus differtationibus explicabo, ftru&ura fibrarum: quoque intelligitur , quae vorticem in aliis cordibus circa foueam clauiformem, in aliis lineam fimplicem verticalem inflexae cfficiunt. Vt fibrae nimirum bafilares ex filis ad vniuerfam finuum bafin cartilagineis oriuntur (5) ; truncus filorum pofteriorum communis, dum inter finus penetrat, fimiles non minus in hoc tranfitu fuo fibras emittere per- git. Hae ergo, vt illae in pariete finuum anteriori obli- que finiftrorfum adícendunt, in interioribus eorum parieti- bus (a) Tob. II. 57. 4o. (^5) "Tab, IL, 51. 31. 32. 55. 45. 46. 47. 48- Tab, III. 8o. go. $6. Acla Acad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. Ff DOE ) 226 ( e ease bus contiguis, quos efficiunt, pariter oblique antrorfum nunc progrediuntur, anteriusque prodeunt (a). Qoae dextrum efühciunt parietem finus finiftri, finiftrorfüum oblique (2), quae finitrum dextri finus, dextrorfum (c), prodeuntes in pariete finuum anteriori adícendunt, lineamque fic ver- ticalem (4) ex interioribus contiguis in anteriores finuum parietes prodeundo efficiunt. Tum vtraeque fibrae vtrin- que oblique adícendentes arcus formando in fe mutuo continuant (2), circulosque ea ratione producunt vorticis interiores. Quae proximé iuxta vorticis fedem ex nodo et filo cartilagineo dextro dexterius (f), finifterius ex ra- mo anaítomotico (g), oriuntur, hae, ficut iam monui, reca fere vtrinque adícendunt primo, deinde veríus fe mu- tuo curuatae arcubusque fimilibus factis maioribus, in fe mutuo pariter tranfeunt, et circulos fic efficiunt vorticis exteriores, Stru&ura lineae fimplicis verticalis , quae fibris bafilaribus in aliis cordibus loco vortivis formatur. Paulo aliter res fe habet in iis cordibus, vbi fim- plicem lineam fibrae inflexae loco vorticis formant. Quae fibrae prope fedem huius lineae ex nodo vel principio fili cartilaginei dextri oriuntur, directo du&u oblique finiftror- . fum (a) "Tab, IL. 41. 57. 39. (b) "Tab. ll. 39. C5) "Lab. Li.-4X. 37. (d) "Tab, II. 40. 3T. (6) Tab. [I. 36, 58- (f) Tab. IL. 35. 32. 34 (g) Tab. 1I. 42. 34. . ep ) ce ( iHe fum in lineam ipfam adfcendunt; tum vero fuper eam non tranfeunt, fimpliciter inflexae, vti videntur, fed omni- no penetrant inter binos finus, continuantque in pariete finitro finus dextri oblique retrorfum defcendendo, et in- feruntur in truncum, quem defcripfi, ramorum pofteriorum cartilagineorum communem. — Sic pariter ex eodem trunco aliae fibrae, quae dextrum parietem finus fini(tri efficiunt, oriuntur, oblique antrorfum in eo pariete adícendunt, an- teriusque prodeunt, et finiftrorfum flexae in fasciae bafi- laris finifleriorem partem continuant (a). Hae ergo vbi anterius prodeunt, nifi accuratius in lineam , quam for- mant, inquifitnm fuerit, continuatae effe videntur ex fibris illis prioribus, a filo dextro ortis. Rami cartilaginei pofleriores. Tab. Ill. y. 2. Caeterum rami, in quos truncus diuiditur, pofterio- res ipfi, vti iu media parte bafis finuum pofterius princi- piis fuis craffioribus confluentibus oriuntur (5), extrorfum inde vtrinque, alter dexter dextrorfum ad bafin finus dex- tri (c), alter finifter finiftrorfüm ad finus finittri bafin (d), vterque fenfim magis magisque gracilescendo excur- rubt; fimilemque dud&u anterioribus ramis figuram. fere exprimunt, Dimidiam circiter fui quisque finus latitudi- nem emetitür, vbi euanescit, crenamque inter finuüm et cordis bafes reliquam vacuam cartilagine relinquit (2). RE Vagi- (a) "Tad, HJ. 44. (bj "ab. III. 4. O0) Tab; BE - (d, Tab. Il. y. (() T4,HE x14 etl )o:$( $e Vagira textus cartilaginei- cellulofa. Omnis hic textus cartilagineu: in fingulis partibus fuis, quocunque hae diftribuuntur, circumdatus eft cellulc- fa tenera fed firma, quae ramulos teretes. laxe inue(lit, ea ratione, vt quodammodo mobiles in ea haereant, vtque cellalofa fuper ramos differri paululum poflir, Videtur er- go aliquam quafi vaginae fpeciem cífhicere, quae tamen fibris omnino flexilibus inclufae cartilagini fit annexa. Eiusdem suembrana , qua tegitur, externa. Cellulofa ipfa membrana cordis externa extus, vel finuum membrana, tecta eft, Dum fcilicet e finuum bafi in bafin cordis füper crenam , quae finus a corde diítin- guit, membrana externa tranfit, haec ipfa pars, quae tranfit, cartilagineos ramos, eorumque vaginulas tegit. Sic in vni- uerfis ramis quatuor, in anterioribus binis et in pofterio- ribus, fic et in nodulis ipfis fe res habct. In ramo ana- flomotico eadem finuum membrana ex bafi finuum non in. bafin cordis, fed in faciem aortae pofteriorem tranfit , fimilemque crenam, quae aortae in hac fede bafin a finu- um bafi diflinguit, et in qua anafítomoticus ramus fitus eft, tegit; vt eadem ergo membrana fimilique modo ct ana- ftomoticus ramus fit tedus, Omnino truncus differt ra- morum pofteriorum integumenti ratione externi a reliquis textus cartilaginei partibus, 1s enim, vti totus in meatu inter finus ad bafin eorum fitus cít, vtque membrana finu- um externa anteriorem aeque ac pofteriorem fuperficiem totam continua obducit, fpeluncam vtramque, anteriorem ct pofleriorem tegit, meatumque claudit; nulla membrana externa tegitur, fed fola hac cellulofa circumdatus eft, qua parie- ec? ) 229 ( $t3e parietes: finuum interiores connectuntur, et fibris muscula- ribus horum parietum, quae a trunco ipfo oriuntur, quas prodeuntes in fuperficiem anteriorem — vorticem efficere dixi. Membrana | interna. Interius membrana finuumn interna textus cartila- gineus et vagina, qua hic includitur, tectus eft. Qua par- te ea ad finuum bafin intus in orificia defcendit ventricu- lorum venoía, vt annulum valuularum primo, deinde la- minam interiorem valuularum fui continuatione producat; ca fila inueftit; vt fi ab exteriore parte hanc fedem, quam fila occupant, acu perfores , in eam intus incidas fedem, qua laminae valuularum a fe mutuo difcedunt, interior in finuum membranam internam adfcendendo, exterior defcen- dendo iu internam ventriculorum membranam reflexa, continuat. lIuerflüüia inter extremitates ramorum , ^ cellulofa ligamentofa occupaía: WEGis. IE T. T... Tab. HE z..3. Non eo vsque ramos cartilagineos vtrinque fe ex- tendere monitum eít in fuperioribus, vt dextri, anterior et pofterior, in latere finuum dextro , finiftri in finiftro , contingant; íed extenuatos euanefcere in itineribus fuis, adeo vt tertia quafi pars ambitus finus cuiusque fuperfit , qua tanquam interílitio extremitates ramorum anteriorum et pofíteriorum vtrinque a fe inuicem feparantur (a). Haec interftitia ergo cadem cellulofa, qua vaginae circa ramos, quo vsque hi fc extendunt, formantur, tenui at Ff fir- (a) Tab, II. Y. Y, Tab, Ill. z, 4 et^ ) e5o0 ( Ss firma , fere ligamentofa, repleta fünt. n priucipiis fuis prope nodos anterius, pofterius prope fpeluncam , ex qua truncus cominunis egreditur, craffitie fua totam latitudinem crenae occupant rami, et cellulofa arctius eos circumdare videtur; vbi vero fenfim gracilescunt, imprimis extremi- tatibus fuis tenuiffimis in media crenae parte fuspenfi fünt quafi, vt tam verfus finuum quam cordis bafin inter fibras musculares et cartilagineam hanc fuübftantiam cellulofa illa ligamentofa fit interpofita. Denique haec fola reliquas crenae partes, vbi cartilago deficit, replet. Fibrae musculares ab. bis textus. cartilaginei partibus: ortae. Tab. Il. $1. 15. 7. 45. 47. 21. 22. 24. 25. 7 477/909 | [ MIC - YT TG HEIC ROI n A filis nunc et nodis his cartilazineis , eorumque, quibus circumdantur, vaginis, et a cellulofa, quae interfti- tia inter fila replet, magna pars fibrarum externarum ven- triculi vtriusque, tum et fibrae illae, quae fasciam bafila- rem finuum efficiunt, origioem fnam ducunt, Dextri nem- pe rami, anterior pofteriorque, ad dextrum fuum fymbo- lum conferunt ventriculum (a), finittri ad finiftrum (5) ; fimulque dextri eam fasciae bafilaris partem fibris, quas emittunt, efficiunt, quae finus dextri bafin cingit (c) ; fini- firi eam fimul producunt , qua bafis finiflri finus circum- data eft (d). Ramus anaflomoticus foli huic, quae ci re- T fpon- Bali Aadisss uc fal ae eui Lm La EN (a) "Tab, Hl. r5 17. rz. Tab. II'. 53. 55. 57. (b) "Tab. ll. 21. 22. a9. 24. 25. 26, 27. 28, 29. "Tab, HIA 6. 7. 8. ro. (c) Tab. I. 31. 3& 33. Tab. III. $6. (d) 'Tab, l|, 47. 48, Tab. Hl. $0. 8o. eds )ssar( $e fpondet, fasciae bafilaris parti pro finu fini(tro fibras lar- gitur (2); cor ipfum nullas ab eo quidem recipit. "Trun- cus communis ramorum pof(teriorum et finubus fibras red- dit, parietibus nempe eorum interioribus, quibus contin- gunt, et cordi, nimirum eius fepto, cuius aliqua portio vtramque, in dextrum finiftrumque ventriculum fpectan- tem , fuperficiem his fibris tectam habet; quemadmodum haec in fequentibus diflertationibus fufius- explicabuntur. Qua ralione oriantur. Quae fibrae ventricnlorum a nodis et a partibus filorum craífioribus oriuntur, imprimis quae dextri ventri- culi fibrae anterius a nodo dextro et a principio rami an- terioris dextri, et quae a nodo finiftro principioque rami anterioris finiftri originem ducunt fibrae ventriculi fini(tri, hae ipfis carneis fuis initiis fübftantiae cartilagineae ipfi in- natae effe videntur; vt vel nulla in his fedibus cartilagi- nem circumdet cellulofa vagina, vel vna cum carne fibra- rum firmiter tamen innata fit ea cellulofa cartilagini. Quo magis. Yero a nodis. principiisque filorum verfus extremi- tates recedas, eo latior. portio quoque ligamentofíae cellu- lofae principiis fibrarum carneis et graciliori filo. cartila- gineo vtrinque, verfus finus et verfüs bafin cordis, inter-. cedit, eoque manifeftius nonnifi huius ligamentoíae fubftan- tiae ope carneae fibrae filis cartilagineis inferuntur; ficuti fere in reliquis exemplis analogis, non in ipíam cartilagi- nem penetrare, fed fimilis talis tenuis expaníae lataeque et firmae cellulofae, quafi ligamentofae, ope, fibrae muscu- lares cartilaginibus anne&i folent. Denique quae in in- í ter- « [ J .Xa) "Tab, ll 45. 46, Ecos ) 232 ( eee terflitiis orientur inter extremitates filorum cartilagineo- rum, foli huic, quae fola has fedes occupat, cellulofae fir- mae infertae funt fibrae, tum illae, quae ad finuum bafin inde acfcencunt, tum quae defcendunt ad bafin cordis, Qua diretlione ortae progrediantur. Eam vero hae fibrae finuum et ventriculorum cor- dis, a filis cartilagineis ortae, quoad maximam partem, faltim hae, quae inter caeteras validiffimae funt, directio- nem habent, vt a parte nodorum, aut priücipiis filorum, oblique verfus extremitatem eorum progrediantur, filaque ergo trahendo extendant, Minor pars, eaque debilior, re- trogrado du&u fila agendo retrahit. —Validifümae nimirum omnium fibrarum cordis externarum illae funt, quae par- tem pofteriorem, bafi propiorem , ventriculi finiftri in fu-. perficie cordis conuexa tegunt. Sequuntur craífitie illae, quae dextrum ventriculum prope bafin, tum in conuexa fuperiori, tum in inferiori plana cordis fuperficie, obdu- cunt. His cedunt.cra(ílitie et firmitate, quae pofteriorem in inferiori cordis fuperficie partem ventriculi finiftri effi- ciunt. Atque hae folae retrogrado ductu ex filo cartila- gineo pofteriori finiftro ortae hoc filum retrorfum agendo trahunt (a). Priores omnes fua fila, dum agunt, exten- dunt. (P) Confiderandum eft autem, tum in fuperiori tum in inferiori cordis fuperficie vtriusque ventriculi fi- bras eandem fere directionem habere: procedere nempe a bafi oblique ad apicem finiflrorfum in -füperficie cordis con- (a) Tab. III. 6. g. (5) Tab. III, 7. 55, 55. 57. 59. Tab. II. 15. 17. 17. 2x. a2. 25. 24, 25. 26, 27. 28. 29. et32 )j ess83 ( S$e$e conuexa (a), dextrorfum in plana.(P) Sic neceffe effe videtur, vt in qualibet cordis fuperficie alter ventriculus confentaneas ductu fibras habeat filo, ex quo oriuntur, alter contrarias; vt confentaneas habeat in fuperficie conuexa finiíter, coatrarias dexter; ficut in plana confentaneas dexter, contrarias fiai(ler, quilibet.a fuo recipit filo. — Sed fibrae ventriculi. dextri, quamuis finittrorfum per conuexam cordis fuperficiem ob- lique decurrant, in parte tamen bafilari dextrorfum omni- no, ortae ex filo cartilagineo anteriori dextro, progredi- untur (c); indeque fuper marginem demum dum fle&ua- tur bafilarem, (7) facto arcu finitrorfum oblique in fupe- riori cordis fuperficie -defcendunt. (e) Sic vtriusque in fuperiori cordis fuperficie ventriculi, in inferiori dextri con- fentaneo filis fuis du&u fibrae procedunt; fíolae finiftri in. cordis facie plana oppofita directione ex pofteriori fuo fi- niftro filo oriuntur. Fibrillae bafilares finnum tenerrimae, quae finiftrorfum oblique in anteriori finuum facie, dex- trorfum in pofleriori, eodem continuato progreffuü, adfcen- dunt, cornfentaneo ductu ad finum finillrum in anteriori, ad dextrum in pofteriori, füperficie, contrario ad finum dextrum in anteriori, ad finifrum in pofleriori, quaeuis a fuis cartilagineis filis oriuntur. Natura (a) Tab. Y, (b) Tab. III. (c) Tab. II. 15. 17. 17. (d) Tab. II. 14. 15. 17. iz. 17. K. (€) Tab. L 4. 5 6. 8. . 14 19. Ala Acad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. Gg et2 ) 34 ( $9 Natura textus. carillaginea. Siue nunc viderint quidam Auctorum haec fila, in cellulofis fois vaginis latentia, catilaginea ipfa, quae pro tendinibus habucriat, aut aliquas partes eorum; fiue fola his eadem, quae Haero, Caffebobuio, et aliis, qui tendi- nes negant, f(tipata celluloía, fola vagina filorum, quam tendineam putaverint, in oriáüciis apparucrit ventriculorum veuofis; certum e(t, noa tendinoía, fed cartilaginea potius ct offefcentia, haec fila efíe , et totum, quem fua bafi, priacipiis fuis et diftributione, effüciunt, textum; feu tali fubítantia fa&a, quae fücceffu temporis in verum os fua natura et ordine naturae mutetur. Color cartilagineus eft, ex albo grifeus, cacrulefcens, fubpellucidus, non candor ille tendinum niueus, et fplendeus, et folide opacus. Si cultro hanc fubftantiam rafcris, imprimis prope nodos, v^ bi craffora fila funt, firepitum cdit, quem fere offeícentes cartilagines, aut offa ipfa, quemque nec a craffioribus ten- dinibus, nedum ab his fubtiliffimis, exfpectes. | Nec im- probabile eft, omnino offea fieri in corporibus robuflis et aetate prouectioribus, vti quoque longiora in hisce et cras- fiora quam in iunioribus eíle videntur. —Digitis compre- henfa et tacta dura funt et rigida ct elaftica. — Si prope nodulum filum vna cum fua vagina transuerfim diffecatur, extremitas diffe&i fili vltra lineam profilit, vagina retra- &a, quemadmodum in Tabula ad ventriculi et finus dex- tti fibras internas pinxi, Denique plus quam haec argu- menta infertio fibraram mufcularium cartilagineam textus naturam demonflrat. Ipfis finibus extremis carnofis fibrae iuxta nodos filis, transuerfim ductis, inferuntur. Tendi- nem quando fibrae producunt, ipfae fenfim tendinefcunt extenuatae, et in tendinem mutantur, eadem fibrarum di- rectione ems )asg-( i630 rectione contihuatum, Si decuffíatae fibrae lineam efhci- unt tendineam; et tum fenfim carncae fibrae tendinefcunt, et lata linea ett, .et.plana, ;pou. teres filum, .nec. eadem vbique latitndine gaudet, íed latior ev alibi, vbi citius fbrae tendinefcunt, alibi anguflior, vbi tardius; et fibrae, quibus linea texta ceít, tendineae íacilii negotio in linea Giflingnuntur, vt carneae in mufculo diftinguebantur. In £lis nullo microfcopio | decuffatae .fibrae. detegi poffunt. Quae vero fibrae iu exiremitates filorum. inferuntur iu te- ' puem firmam celluiofam, quafi membranae aut ligamenti fpeciem , abeunt, eaque in cartilagioem inferuntur, quod edam magis a tendinum natura alienum eft, qui nunquam nifi ex carneis fibris ipfis oriuntur. Neque in rerum na- tura tendo exiflit, aliqua cellulofa aut ligamentoía parte a mufculis feparatus, aut tendo, nifi 1n quem fibrae trans- mutatae fint carneae. ipfac. Vagina ramorum pericbondrium. » Vagina ergo, quae laxe alibi ramos cartilqvidsdst inuoluit, alibi firmius iis adhaeret, perichondrium effe vi- detur, in quod fibraé mufculares folito modo inferuntur. Quae tenuis et firma autem cellulofa tela interftitia inter- extreniitatés ramorum replet, ea illam videtur ligamenti fpeciem referre, qua cartilagineae aut ofleac fub(tantiae defectus in aliis analogis exemplis fuüppleri folet, quae ip- fa tandem magis magisque in cartilaginem primo, denique in os mutatur. Ví/us. cariilaginei textus. | Cum offé hyoidis maxime cartilaginem | compara-. verim cordis refpe&u maturae et víus. Eft fufpenía inter. Gg carnes E 32 ) 2s6 ( Sees carnes cordis et finuum, et mobilis in directionem quam- cunque. — Sic fe clauicula habet in leoue et tigride, im- mería carnibus mufculoram humeralium, neque aut (tec- num aut fcapuülam attingens, aut vlla alia cum porte fta- bili coniuncta. Puu&um fixum haec offa aut. carülagiaes mufculis dare non poffunt in eas infertis. — Nec partes mouendae (íunt, quarum caufa mufículi effent confítructi, Solam iegitur fedem iufertionis efficiunt, mufculique alte- rius fibras a fibris alterius diflinguunt. — Hunc imprimis ergo et filorum cartilagineorum vfum effe exiftimo, vt li- mites defcribant ventriculorum in hac parte, quo vsque fe extendunt, eorumque figuram confirment; deiude vt fi- bras eorum a finuum fibris diftinguant. Cur ires vami ex dextro nodo folus quartus ex finiflro oriatur? Mirum eft nodum finiftrum, qui maior eft, vnum folum fimplex, anterius finiflrum, filum producere, dex- trum minorem tria reliqua, anterius dextrum, dextrum pofterius, et pofterius finiftrum, — Nefcio fi veram huius rei caufam tetigero; at mihi fic haec, vt dicam fe habere videtur, — Sciunt, qui oua íncubata rimantur, et notum e(t caeterum ex ícriptis Ha//eri, folum prima vitae peri- odo ventriculum finitrum exiflere, qui vna cum vafis fu- is, arteria et vena, fimplicem figura canalem referat, contra fe ipfum curuatum; vt vena fit, quae defcendit, ventriculus, quae pars canalis curuata, eademque amplis- fima eft, arteria, quae adfcendit. Huic ergo et duo fua fila funt, aut rudimenta eorum, quae in adulto corpore reperiuntur, anterius alterum , alterum pofterius, quorum quoduis propria origine ex nodo füo proprio; — ni- ets3 ) 287 ( SGs&€ finilro, finifterius bafi aortae adfidente, poíterius ex dextro, dexterius ei bafi adnato, oritur; vt quot fila, tot quoque nodi exiillant, ]Ipía res iam docet, origines no- vas poflhaec, dum nouus ventriculus dexter formatur, nouosque nodos, quacunque de caufa hoc fiat, non pro- creari pro nouis, quibus opus eft ventriculo, filis; fed deriuari haec a quibus originibus veteris iam ftabiliti fy- ftematis cartilaginei id commodi(fime fieri polit. Vt dex- terius ergo nouus veteri ventriculo applicatur, ex pro- ximo dextro nodo, qui proprium hactenus fili pof(terioris ventriculi finiftri principium fuerat, anterius nouum filum, pofterius potius ex radice fili pofterioris veteris, vel con- iunctum cum hoc ex eodem dextro nodo deriuatur, Sic truncus communis formatur duorum filorum pofteriorum, et tria fila, anterius dextrum, pofterius dextrum, et po- ferius finifttum ex vno nodo, primaeuo dextro, oriuntur, ! Gg3 EXAMEN eg )58( $t$- EXAMEN CHEMICVM: ADIPIS.PORCINAE Dol ReS - LL DER d. A————— ÍÀÀ —— — D —ÀÀ Auctore 1l, G. GEORGI. Experimenta cirea Adipem. Porcinam rancidam, 6. 55. li dis res eft Pinguedines animales omnes fub tepidiore atmofphaerae ftatu. breuiori vel diuturniore mora plus, minus corrumpi. 4nderfomius (in Defcript. Groenlandiae) prodidit adipem PBalaenarum in nauibus faepe fermenta- tione quadam bulliente et odorem volatilem pungentem exhalante feruefcere. — Sebum, butyrum, adipes omnes fenfim flauo cum colore rancefcunt et ad guftum acria e- vadunt, cum acuto foctore, Etiam pinguia e vegetabili regno -$ ) 259*:(^ cese regno deprompta olea in hunc corruptionis ftitum magis minusue cito tendunt. $. 26. Recte Cel. Moquer (Dictionar. Chem, Art, de Patredine) pronunciauit, difficilem in vniuerfum effe putredinis analyfia, eiusque eflentiam vifum noftrum fü- gere. Idem cum maxime de pinguium ranciditate valer, lunterus (Confp. Chem. 'Fab. LIL) aliique a/calefcentiam vocant, vnde per deftillationem fal vrinofus facile pro- dat. Verum euolutio alcali volatilis ia aliis animalium fubftantiis. in fummo demum gradu praeuiae putrefcentiae accidit, cum totali deftructione indolis prioris, a quo ta- men ftatu rancor pinguedinum longe adhuc diítat. Che- mici recentiores adipis ranciditatem explicant per corrupe telam, qua acidum in iis contentum extricatur. MNolleia inter oppofitas illas fententias pronunciare, fed experimeu- ta cum adipe maxime rancida inftituta exponam, relia- quens medicis et chemicis, quid inde quisque ad fcopum fuum conuertere velit et vbi vlteriorem indaginem neces- fariam putent periti, 6. 27. Adeps porcina in examine hocce chemico adhibita iam vltra triennium membranis fuis inclufa fer- vabatur; cellulofa quafi corroía, adipis color flauus, vire- fcente maculatus, odor acris, volatilis, naufeofus, qui ha- litu oculorum aciem quafi obtundere videbatur. Experimentum 2r. 6. 28. Volui fiatim volatilis huius halitus. natu- ram difcere, ideoque viginti fex vncias pinguedinis in a- lembico ev ):4o0( Be lembico galeato balnei arenae modico calori commifi. Ob a€ris abundantiam quafi bullire vifus ett. Vapores char- tam fucco heliotropii tinctam e caeruleo in rubrum colo- rem euidenter mutarunt. Intenfiore continuato calore tres vnciàe phlegmatis limpidi, fubturbidi flillarunt, cuius odor ct aciditas minus exaltata videbatur, quam ipfius adipis. Experimentum 22. 6. 2:9. Vncias decem extraci per calorem adipis . cum viginti vnciis aquae tepidae fubigi curaui, X Aqua hinc turbata, He/otropii tin&uram , imo chartulas caerule- as, rubicundo inficiebat colore; chartae tamen iftae ficca- tione ad caeruleum redibant colorem. Ablautio adipis repetita (uit, donec adhibita aqua lim- pidisfima tandem prodiret; tunc vero adeps, prius rufo fus- . ca, cinereum acquifiuit colorem et odore imo fere guítu expers facta eft. ^ Lotura adipis euaporata lente, magis magisque mucofa euafit et reliquit tandem drachmas no- vem pituitae ficcae, fufci coloris, quae infipida pariter et odoris expers, facile in aqua tepida refoluebatur. Sal- fedinis omnino nullum in illa vefligium per reagentia ap« paruit. —Siccum refiduum fub tubo ferruminatorio vreba- tur fpumefícens, fümo uequidquam vrinofo; cineresque refidui alcalinae erant indolis, Experimentum 2;. $. 50. Adipis non elotae, fed leni calore folutae decem vncias ex retorta in balneo arenae deftillaui, vti cum adipe recenti (Exper 4.) acum eft. lnitio admo- dum et ) 241r ( $829 dum fpumefcebat , poftea auco igne nihil mouebatur. Spumefcentis adhuc prodiit Pb/egma albidum ad femunci- am, fimillimum digeftione ( Exper. 17.) producto; dein o- leum primo rufeícens, demum nigricans fequebatur, col- le&um ad fex vncias, cum quo fimul phlegmatis flaui fex drachmae ftilarunt. Haec produ&a non magis volatilem fpargebant odorem, qvam a digeíta recenti adipe (Exper. 17). Oleum cum tribus vnciíis aquae agitari curaui, vt acidum extraherem, et aquam dcin filtro feparaui. Experimentum 24 ad 27. 6. 31. Oleum tribus vicibus fupra caput mortu- um cohobatione deítillatum, quarto tandem e retorta pu- ra deflillaui, et poft fingulas deftillationes ab omni phleg- mate feparatum et aqua ablutur fuit. — Quinta inftituta deftillatio praebuit: 1. Oli flauefcentis, pellucidi, bene olentis 27ijfi. 2. Rubicundi, ceteroquin fimilis olei Zij. 3j. 5. Omnium autem defüillationum pb/egma aequauit pon- dus vnciarum duo; at 4. Refiduus caráo quartae deftillationis drachmas no- vem, et quintae vnciam dimidiam. Experimentum o8. $. 52. Pblegma flauum, guftu fubacidum, odore volatili, chartam caeruüleam rubro, et rubram purpureo intingebat colore. Adfu(a folutio falis tartari extricauit dla Acad. Imp. Se. Tom. V. P. 1. Hh alcali ed ) 42 ( $e alcali volatile, quod ammoniacalem indolem cum pracua- lente aciditate prodebat. Experimentum 29. 6.559. Acidum €t alcali ilud vrinofum curiofius indaeaui. Phlegma omne, fimul cum lotura oleorum, in alembico faturaui Sale tartari puriffimo, cuius ad fatu ritatem exactam drachma cum viginti graois requirebatur. Deftilatus deiu liquor falinus dedit primo vrinofum, de- inde infipidum phlegma, Prius acido falis faturaui exac- tiflume, et faturatum cum efferuefcentia liquorem euapo- raui, vt refiduum granorum triginta quinque veri falis am* moniaci remaneret, Reliquus in alembico liquor in vi- tro ad ficcitatem euaporatus , mafífam falinam nigricantem- praebuit, quae auciore calore fluxilis. eft. fa&a, Eadem iterum in aqua foluta et cuaporata, fal fuit non plane neutralifatus ; deliquefceus, fübfuscus, ad pondus drachmae cum quinquaginta quinque granis. Experimentum 50. 6. 54. Carbo ex deflillationibus refes (Exper. 26. 27.) cum acidis non feruefcebat. —Bihorio calcinatus in cineres verfus eft caerulefcentes, vnciam. et femidrachimam aequantes, quorum conflictus cum acidis alcalinam | indo- lem prodebat. Cinere$ eloti aqua e lixiuio, per euaporationem iu- flam falium drachmas duas et oco grana dederunt; in quo pondere falis culinaris gr. XXXIL, reliquum, vt fa- turatione per acidum vitriolicum | patuit, alcali minerale fuit. : Expe- eD35 ]) 248 ) $e" Experimentum 5r. Terra ab elotione cinerum relicta cum acidis et- iamnum confligere vifa eft, vnde illam cum duabus vnciis acidi nitrofi digeffi et infequenti. die mixturam ia Gelati- sam compacam coiiffe inueni. Diluta eadem ope femun- ciae fpiritus nitri et fesquiunciae aquae, iterumque dige- fta, fluiditatem recuperauit; deinde filtrata et folutione falis alcali puri faturata, praecipitauit puluifzulum —fordide album, qui poft edulcorationem ficcatus drachmam | pon- dere et indolem terrae caleareae purae exhibuit. Species gelatinae originem hic debuit fimul folu- tae argillofae et filiceae terrae, cineribus iftis iuhaerenti- bus; obferuante etiam Ssvabio (Act, Halm. An. 1758). Ob eandem rationem Zeolithus, calce, filicea et argillofa terra compofitus, acidis in gelatinam refoluitur; imo Cel. Bergmann (Nou. Ac. Upfal. Vol. II. p. 98.) docet etiam * Quarzum pulueratum et calcee mixtum in igne calcina- »torio, fqui fufione minime fufficiat, ita copulari, vt ,affufo dein acido in gelatinam concrefcant." In noftro forte experimento aqua diluendae gelatinae adhibita fegre- gauerit terram filiceam et argillofam, vnde filtrati liquoris refiduum mera fuit calx. ! Experimentum 52. 6. 35. Terrae (Exper. 31.) refiduae fuperfudi olei vitrioli vnciam femis, vnde intumuit. In vafe porcellaneo ficcata maífa et dein aqua defítillata perluta, exhibuit eryflallos aluminares, exiguas; atque ex his vna cum refiduo non cryflallifato aqua folutis, folutio falis tar- Hh 2a tari e35 ) 244 ( $99 tari praecipitem. dedit ferram argillaream ad pondus vndc- cim granorum. Experimentum 33. €. 56. Quod ex vltimo proceffu fuperfüit nigrum .erat colore, Siccum cum fale tartari et nitro depurato aa Sij contritum in crucibulo ignito paululum detopauit, dein fluxit in. maffam. vitream | fufcefcentem , humoris at- mofphaerici bibulam et aqua íolubilem; € qua folutione acidum vitrioli deiecit puluifcnlum fordide album, qui edulcoratus et exficcatus pondere quinquaginta duo grano- rum fuit. ' ' - t.e. al e $. 57. Producta igitur e decem vaciis adipis por- cinae in acre libero mora rancidae factae fequentia e re- cenfitis experimentis prodierunt: 1. Vapores wolatiles, acido pungentes feu aér extricatus (Exp. 21.) 2. Mucilego ficcata ad pondus Zi Si (Exp. 22.) s. Oleum. empyreumaticum poft. quintam rectificationem limpidum, flauefcens vel rubicundum, tenue, boni odoris, pondere fex vnciarum, drachmarum totidem Exp. 297.) 4. Pblegma flanum, acido- volatile a. deflillationibus iftis vnciarum fcsquitrium pondere, fimul vero cum il- lo, quod digeflione prima adipis (Exp. 21. 24) prodierat, quinque cum dimidia vnciarum. Eoque in P/egmate, praeter aquam et oleofam partem aderant; a. Acide ec33 ) 24» ( $939 /a. Acidi pinguedinis grana LXV. b. A/celi volatilis tantum, vt acido falis faturatum gra- na quadraginta falis ammmoniaci redderet (Exp. 29.), quae fimul fingulàrem fpeciem falis ammoniaci non bene coadunati conítituiffe videntur. s. Refiduum terreo -carbonaceam, pondere vnciae vnius et drachmarum quinque (Exp. 26. 27), e quo deinde prodiit: 4 a. Alcali minerale cum exigua portione acidi falis, pondere fimul 3ij gr. vij (Exp. 30.) b. Acido nitri folutum in Ge/atinam, terrae calcareae drachniam. continentem ( Exp. 31. ). c. Terrae argillofae gr. XI. (Exp. 32.). d. Terrae filiceae gr. XII. ( Exp. 35.). e. Calcinatione autem diffipati phlogifti vltra vnciam integram, Mucilago e peculiari portione adipis extracta fuit; hinc drachmae circiter nouem variis proceíhbus amiffae, ponderibus variorum produ&orum difpertiendae et adden- dae funt. $. 58. . Collatis productis , quae prioribus experi- mentis ex adipe recenti obtinui (6$, 16.), differt praefer- tim rancida: 1i. Odore volatili naufeofo; 2. Mucciditate feu vappiditate ; 3. Sale vrinofo feu ammoniacali imperfecto in phleg- mate acido contento. Hh 3 4. Ma- exi ) £46 ( C cose 4. Maiori portione alcali mineralis , explicitoque acido falis communis. 5. Maiore folabilitate in alcohole vini (per Exper. 54.). Nullae praeterea apparebant particulae martiales. $. 59. Refliiutia adipis raneidae per ablutionem in aqua tepida Exper, 22. conftat, Etiam. frigida aqua adhibita foetorem eluit et colorem in cineream mutat, fed non in integrum, emendat adipem ; eadem aliquantum equi- dem mucofi, fed falini nihi] fufcipit, Experimentum 54. $. 40. "Vncia rancidae adipis in quatuor vnciis alcoholis digefta, tincturam producit male olentem , et fa- pore tetram, quae per reagentia aciditatem podit. Quum tincuram iftam aquae fiigidae inflillaui, enatauit drachma vna olei; adeps vcro digetlione parum emendata fuit. Experimentum 55. $. 41. Duodecim vncias adipis antiquae rancidae, leni calore folutae in arenae balneo, calore per lampadem inter 98 ct 106 gradus Thermometri Fahrenheitiani fu- flentato per viginti nyctemera continua digeífi. Adeps poft. quintam diem füperius fusca, imo nigricans; poft de- cem dies omnis rSgrefcebat; viginti dierum digeftione fu-, fca, odore minus volatili, fed magis nanfcofo et paene foe» tido, guflu minus acris, quafi vappida euafit, Experimentum 56. 57. €. 42. Vncia diuturnam digeftionem paffae adipis aqua elota, vix magis muculentam indolem prodidit, quam : non we )47 (0 $5 non digefta adeps (Exp. 22.). Neque extra&um fpiri- tuofüm ad normam Experimenti 34. inítitutum euidentius differebat. Experimentum 58. 59. 4o. $. 45. Decem vncias adipis ex digeílione illa diuturna, per retortam ex arena, eodém plane modo vt Exper. 23. expofitum eft, deflillaui. . Oleum primo buty- raceum, deinde grumofum nigricans.ad o&o cum dimidià vncias, fimulque phlegmatis minus, quam in citato expe- rimento , Yalaslis femuncia prodiere. | Oleum aquae. de(tillatae quatuor vnciis ablutum, vt acidum praeberet, deinde füpra caput mortuum denuo ter- tioque rectificatum, ftillauit rubro colore fluiditüimum, odore laudabili et pondus vnciarum íex cum totidem drachmis effecit, Pblegmaiis tribus deftillationibus prodierunt feptem drachmae. — Refídui vero carbonacei pondus aequabat vn- ciam et quatuor cum dimidia drachmas; adeoque feptem cum dimidia drachmae his proceffibus amiffae funt. Experimentum A41. $. 44. Pblegma flanuum empyreuma, volatile olebat, Reagentia indicum. alcali volatile in illo praeualere, licet cum acidis non feruesceret; acida pariter et alcali fixi folutio flocculentum effecerunt; argentum in acido nitri folutum cinereo, mercurium vero ex eodem acido flaues- centi colore deiecit hoc phlegma. Idem fimul cum lotu- ra et ) 248 ( $3 ra olei fuper duabus drachmis falis tartari leniter deftil- latum exhibuit: r, Spiritum vrinofum purum , qui ad plenam fatu- rationem guttis XXXIV. perductus, Sal ammoniacum praeficit, e, Refiduum in retorta grana XXXII. Salis tar- tari faturauerat, prout addito ad plenam faturitatem- aceto concentrato apparuit. Adeoque phlegma «etiam hic am- moniacalis füit indolis, Carbo ita nihil ab illo, quem adeps non digefta dederat, differre vifus eft, vt peritiore fcrutinio haud indi- geret. Amiffum vero pondus (Exp. 40.) 3jvijfi. etiam bic reliquorum produ&orum ponderi iu(to modulo adden- dum erit. $. 45. Pinguedo igitur rancida digeftione diutur- 5a, a cruda degenerauit ita, vt r. minus volatilis, 2. mi- nus acido (per digeftionem forte deflructo ) imbuta, con- tra 3. explicito fale volatili alcalino ditata eflet. VER- e$32 ) s49 ( $t$ VERBASCA NOVA HYBRIDA. Auctore y. T. KOELREFTER. T os Verbafca ifta hybrida XXII, quae in libellis: Siepte unb prifte Wortje&urtg Der ootláuffigen 9tadpric)t von eini- get ba8 Gefibfecbt ber 9PÉanm;en Detreffenben SBerfucben unb 95e05; edtungen, f£eípy. r764. unb 1766, ín 8. vernacula lingua olim publicaui, quatuordecim aliae nouae huius generis fpecies mihi reftant defcribendae, fuccedentibus annis ex foecundo mairimonio generatae. Subnecam his, lege iam femel atque iterum in Commentariis Petropolitanis ftabilita, bre- uem eorum experimentorum rcecenfionem , quae felici caruere fucceffu. Exp. T. Verbafc. pbíomoides, 9. Sugm. bicolli; Fl. fluuo. Verbafc.. Blattaria, d. Fl. albo, An. 1564. d. 25. lun. ct feq. Flores 7. Acla Acad. linp. Sc. Tom, V. P, I. Tu De- e$ )cso( $9 Defcriptio. Floruit haec planta hybrida die 25. Aug. 1765. Folia eius infima lanceolata, in crenas fat profundas ac ob- tufas, quae iterum in minores diuidebantur, incifa erant. Nerui primarii in eorum nonnullis pallide purpurafcentes. In vniuerfüum autem haec folia radicalia obfcure viridia , rugofa, rigidiuscula , margine vario modo plicata, ac in vtraque fuperficie tomento valde raro obducta. Folia cau- lina valde amplexicaulia non modo, fed etiam mediocri- ter decurrentia, fat numerofa, nec multum a fe inuicem diflita. Caulis primarius pallide viridis ,. leuiter flriatus , tomento rariori, vti folia, veítitus, ac infra mediam ipfius longitudinem in quinque, fat longos ac flexiles ramos di- uifus. Flores breuibus quidem interuallis , attamen cuncti tantum a fe inuicem remoti crant, vt nudus caulis inter eosdem vndique apparuerit. Eorum vtplurimum duo vel tres ex vno centro communi orti. Lacinia ifla corollae, euolutioni proxima, exterius, patris inftar, fpadiceo colore tincta erat; is autem poft plenariam floris explicationem fere totus euanefcebit. — Pedunculi florum 2" longi, fae- pius etiam paulo longiores, (Calyx vna cum pedunculis breui rariorique tomento obfitus, inque lacinias latiusculas lanceolatas diuifus. ^ Corolla flaueícens, laciniis fubrotundis ac vtrinque modice reflexis. — Circulus in floris medio pur- purafcens, inferiores lacinias verfus interruptus , ftriaeque ipfius longiores, pilis concoloribus inílructae. Filamenta pallide flaucfcentia, facie interiore purpurea , quorum duo inferiora pilis leuiter purpurafcentibus, tria fuperiora vero ex albido flaueícentibus obfita, Facies exterior filamento- rum duorum inferiorum penitus calua, Antherae viridu- lac, eG )csr( $9 lae, puluisque ipfarum aurantii coloris. Germen ex oua- to-fubrotundum, tomentoque tenuiffimo obuefítitum. Sty- lus pallide viridis. Stigma viridiuseulum ac leuiter bicolle. Plantae hae omnes in fummo gradu fteriles, Comparatio hanc inter hybridam, eiusque parentes facta. Caulis ac rami graciliores minusque tomentofi, quam in 9; aft crafhores, nec plane glabri, vt c. Folia minora, anguftiora, rugofiora, multo glabriora, viri- diora, minus amplexicaulia, crenis obtufioribus, pro- fundioribus ac notabilioribus, quam in 9; fed ma- iora, latiora (minus linguaeformia , fed lanceolata magis), non adeo rugofa, tomento veftita (nec plane glabra ac nitida) pallidius virentia, magisque amplexicaulia: crenis acutioribus ac obfoletioribus, quam in gc. Pedunculi longiores, graciliores, minusque tomentofi, quam 9; fed breuiores, crafhiores, minusque glabri, quam d* Flores ex vno centro communi pauciores, magis remoti a fe inuicem, ac minores, quam in 9; aít ex eo- dem centro plures, (nec folitarii ) approximati ma- gis ac grandiores, quam in c. Calyx minus tomentofus ac minor: laciniis non adeo acu- minatis, quam in 9; fed tomentofus magis ac ma- ior, laciniis paulo acutioribus, quam in g^. li » Co- «E32 ) 252 ( S cO Corolla paulo minor, coloris pallidioris , ficiliorisque de- tracionis, quam 9; aft paulo maior ac detrahi non ita facilis, quam o/. Circulus interruptus , flriatus, purpurafcens, quo 9 penitus caret, o! au- tem notabilior idem ac obícurior. Facies corol- lae exterior hinc et inde ex fpadiceo purpurafcens leuiter; cuius coloris ne vcftigium quidem in 9, idem vero in d^ obfcurior, quam in S. Stamina gracilicra, quam in 9, aft craffora, quam in g^. Color piurimorum ipíorum pilorum purpurafcens , pallidior licet, quam o7, in eunc&tis 9 vero vndique ex albido flaueícens. Filamenta duo inferiora re» liquorum inflar pilis: obfita; in 9 autem eadem fere penitus glabra. X Puluis autherarum intenfioris aurantii coloris, quam in 9, Piflillum: ouarium minus tomentofum, ac cylindraceum magis, vel fuperne non adeo obtufüm, quam in 9j at magis tomentofüm idem ac paulo acutius, -quam in d". Sigma magis clauatum, quam 9, fed vtrin- que deorfüm porrectius, quam g*. Exp. II. Verbafc. pbiomoides, 9. Stigm. billi. Fl. flauo. Verbafc. Blattaria; c. Fl. flauo. An. 1564. d. 2. Aug. Flor. 5. Vid, Exp. inuerf, lll. De- 0632 ) 2555 ( eco Defcriptio. Plantae hae, praeter colorem corollae penitus fla- vum, ab iis Exp. praecedentis non erant diuerfae, licet incrementum earum non ita vegetum, ac florefcentia. dif- ficilior fuerit. ! Exp. IIT. Verbafc. B/attaria: Q. Fl. flauo, Verbafc. pblomoides; c. Stigm, bicolli; Fl. flauo. An. 1764. d. 29: Aug. ct feq. Flor. 's. Vid. Exp. inuerí. II. LDek Criptio. Omnes hae plantae ab e exp. inuerfi Ml. huad diueríae. ! i 32229 Exp TV; / Verbáfc.- Tbapfus. Veibáfc. Bolimodes d. Srigm, bicolli ; . ..Fl. flauo. An. 1569. d. 9. Iul. Flor. 6, Vid. Exp. inuerf. V. L'efcriptio. Flores quinque harum plantarum , refpectu ipfo- rum ftiucturae, magnitudinis ac coloris, inter iftos 9 ct li 5 em )sse( ete c" in vniuerfüm medium tenebant. —Ca/yx v. g. maior, paulo minus tomentofus, latioribusque ac longioribus la- ciniis incifüs, quam 9; fed minor, magis tomentofus, an- £uítioribus ac breuioribus laciniis in(trucus, quam Gg. Corolla maior, facie exteriore fubtili quidem, att minus notabili tomento veítita, in lacinias non adeo oblongas, fed fubrotundiores diuifa, colorisque faturatioris ac viuidi- us flauefcentis, quam 9; aft minor eadem, magisque to- mentofa, laciniis haud ita rotundis, fed ad oblongiorem formam conftructis, coloreque paulo pallidiore, quam Gg". Tubus corollae minor, quam 92; aft maior, magisque di- fün&us, quam o/. Pili filamentorum longiores, quam in 9, fed breuiores, quam in c^, Ita quoque filamenta duo maiora facie fua interiore, 9 inftar, pilis obfita, cum eadem c^ tota glabra fint. JPu/uis antberarum coloris au- rantii faturatioris, quam in vtroque parente, ex mceris folliculis paruulis, inanibus ac ellipticis, conftabat, thecas ipfatmum minime explentibus; hinc etiam fac&um eft, vt ab his fub contractione integumentorum, florefcentiae tems pore eueniente, vix aliquid eius excerni potuerit. —Parti- culae pulueris antherarum Y aquae immeríae, immutatae permanebant, cum iftae 9 et c' e contrario formam ip- farum ellipticam fub eodem ftatu cum fubglobofa commu- tare conftanter foleant. Vix vna earum vel altera fub multarum copia reperiunda, quae ab haufta aqua modice intumefcebat, femine virili forte repleta. S/igmas non fub- rotundum, vt 9, fed, c^ ad modum, vtrinque leuiter bi- colle. Fo/a harum plantarum notabilius crenata, non a- deo tomentofa ac obtufa, nec ita profunde amplexicaulia, quam in 9; aft tomentofa magis, obtufiora, crenis minus notabilibus inftructa, magisque amplexicaulia, quam o^. Caules e632 ) se55 ( $93 Caules fecundarii ipforumque rami multo numerofiores ac longiores, quam in 9; fed pro ratione pauciores ac bre- viores, quam in c/. Foliola floralia non tam paruula ac inconfpicua, vt in 2, nec tamen adeo magna, vt in c. Caules fecundarii in prima planta 9, in fecunda, quae proxime ad radicem citra craffum primarium, tres alios paulo graciliores emittebat, 48, exilioribus non computa- tis, in tertia I4, ip quarta 17, ac in quinta 18; cum e contrario 9 vna non vltra fex, ac altera tres tantum ex- porrexerit. Altitudo primae harum Y 6; aequabat, fe- cundae $', ró!, tertiae. 7/, 3", quartae .9', 6", ac quin- tae 10! Peripheria caulis primarii, proxime fupra radi- cis tumorem, in prima 5^, in fecunda 6", in tertia 5', 3! in quarta 5", 3, ac in quinta 6", 5". Nor. Om- nium harum plantarum radices proxime infra caulis pri- marii principium in ingentem fubinde tumorem fe extol- lebant, cuius peripheria in fecunda 1i', 2", in quarta i/, s!, ac in quinta 10/, 6", Cuncae in fummo gradu fte- riles erant, licet ab iaitio Iulii vsque ad Septembris me- dium innumeris floribus condecoratae füiffent plantae; hinc etiam earum fpicae, ex defectu capfularum, tantam crafitiem non adfequebantur, quam iítae 9 et c". Ma- gnam florum copiam puluere antherarum 9 et o" ipfe quidem confperf, fed fruftra. Clare hiuc elucet, 9 et g diftinctas effe fpecies, nec vnam alterius varietatem. Lou- gitudo fpicae florum primariae in earum altioribus 5'/, in Q9 e contrario 17, vel 2', 2", tantum. Nulla harum 2 autumnum verfus denuo progerminabat, fed, contra mul- tarum aliarum, in fpecie huius generis hybridarum mo- rem, peracta florefcentia emoriebantur omnes. NB. CEN ) 256 ( eS NB. Caftratio 9 omnimoda difficillima, nec nifi in claufo adhuc flore ac fecurius ante eius explicationis di- em beue peragenda, Exp. V. Verbafc. pblomoi 'es,. 9. Stigm. bicolli, Fl. flavo. Vetbafc. Tbapfus. o An. 1772. d. 8. Aug. Flor. plur. Vid, Exp, inueif. 1V. Defcriptio. Plantae iis Exp. inuerfi 1V. admodum fimiles. Exp. VI. V.rbafc.. pboeniceum, 9. Verbafc.. Blattaria. o. Fl. albo. An. 1565. d. 3. lul. et feq. Flor. 6. Deferiptio. Flores pallidiores, quam 9, cum vmbra aráfi fu- lignea; ceterum ab iis, quas olim (vid. gmepte Sortf. ber TBeiávf, 90r. etc. €, 31. IV. S8af.) defcripfi, haud di- Ícrcpantes plantae. Exp, VII. Verbafc. Tbhapfus. 9. Veibafc, pboeniceum. o. Bn. x769, d. 18. lul. et feq. Flor... Defcri- ee32 )jes7( $t$e Defcriptio. Plantae iis Exp. inuerfi (vid. britfe fyott(, ber aBop (áuf. 9tadr, etc. €, 2. I. 33erf.) plane fimiles. Exp. VIII. Verbafc. b/omoides, 9. Stigm. bicolli. Verbafc. pboeniceum. G. An. 1765. d. 7. Aug. Flor. 5; (je Defcriptio. Plantae ab iis Exp. inuerfi (vid. jt0epfe Gortf, ber SBorláuf. Star. etc. €. 18. IL $8ef) haud diuerfac. Exp. IX. Veibafc. Lyebnitis. Q. Fl. flauo. Verbafc. pboeniceum. d. An. 1765, d. 5. Iun, Flor, plures, Defcriptio. Plantae, fi colorem corollae e flauo et phoeniceo mixtum exceperis, ab iis olim defcriptis (vid. britte Syortf, ber SBorláuf, 9tadjr, etc; C. 5. ir. 93af.) non abludentes, | Exp. X. Verbafíc. Lycbnitis. . Fl. albo, Ada Acad. Imp. Sc. Tom, V. P. I. K k Ver- e. )2538( Gig Veibafc. pblomoides. c. Stigm. bicolli. An, 17722. d. xs. Lul. Flor, rox Defcriptio. Plantae iis Exp. inuerfi (vid. bitte Sortf. ber. 9895 fáu, 9tadyr, etc. €, 29. XIII. 33ef.) fimillimae. Exp.. XL Verbafc. Blattaría, Q. Kl. flauo. Verbafc. Tbap/us. d. FI. alb. Anu. 1772, d: 9« Aug. Flor. 3. Defcriptio. Plantae inter 9 et o* mediae conformationis, ac, vt ceterae omnes huius generis hybridae, plane fteriles. Exp. XII. Verbaíc. pblomoides, 9 : Sugm. bicolli. Verbafc, Boerbaauii. d". (a). An. 1764. et 1765. d. 25. Tun. et feq. Flor. x5. Vid, Exp. inuerf. LV. LJ De- uu ecco or co DER MEE. .. ua 1-0 NE (a) Sub hoc nomine olim ad me miífa eff, quoad Auctorum fyno- nyma, non facile definienda planta. Cum Verbafco B/atiaria mul- ta quidem communia habet, v. g. glabritiem foliorum, florum ac . capfularum formam et magnitudinem; flores autem non folitariis fed aggregati, foliaque fordidius virentia ac rugofiora funt, et32 ) ss9 (o 83e Deícriptio. Altero poft fata femina auno, fc. 1767. fub initi- um menfis lunii florebat, mcdiumque inter vtrumque pa- rentem tenebat planta; de rcliquo plane flerilis, Exp. XIII. Verbafc. Boerbaauiü. 9. Verbafc. pboenicum. o^.: An. 1765.'0. 8, Au. et ifeq. Plor. 5, Vid, Exp. inuerf. XXXII. Defcriptio. Planta aequalem vtriusque parentis fimilitudinem prae fe ferobar, fterilisque plane erat, vt ceterae. | Color florum illi, qui ex vnione Verbafcorum B/attar. 9 et pboe- "nic. 9^ oriri folet, hon multum abíimilis. Exp. XIV. Veibafc. Boerbaauii. 9. Veibafc. Lycbnitis. cf. Fl. albo. An.'*79 69. ^d. 28. Aue. Flor... Vid. Exp. inuerf. XXI. . Defcriptio. Plantae 1766 inde prognatae plures, fub finem Maii 1767 florcbant, mediae inter vtrumque parentem fi- — militudinis, ac fteriles omnes. Nha. Copu- ent ) 260 ( e coke Copulationes Verbafcorum. aliae, fruftra, bucusque tentatae, Exp. XV. Verbafc. Tbapfus. 9. Verbafc. Boerbaauii. d. An. 1772. .d2 xi; Eul. Flior.'$; Conceptio inanis, vel adhuc dubia. Vid. Exp. inuerf. XVI. Exp. XVI. Verbafc. Boerbaauii. 9. Verbafc. Tbapfus. c^. An. 1:92. do r5. InL Blor; 9) Conceptio inanis, vcl adhuc dubia. Vid, Exp. inuerf. XV, Exp. XVII Verbafc. Tbap/fus. 9. Verbafc. Aré&urus. c. An. 1752. d, 9. Iul. Flor. 3. Conceptio inanis, vel adhuc dubía. Vid. Exp. inuerf. XVIII. Exp. XVIII. Verbafc. Ar&urur. 9. Verbafc. Tbapfus. c^. Au. 1772, d.x2, XEul. Flor. 5. Conceptio inanis, vel adhuc dubia; Vid. Exp. inuerf. XVII. Exp. w$35 )j s6: ( Tex Exp. XIX. Verbafc. Lycbnitis. 9. Verbafc. 4r&urus. d. An. 1772. d. 29. Iun. et feq. Flor. x8; Conceptio inanis, vel adhuc dubia. Vid, Exp. inuerf. XX. Exp. XX. Verbafc. dráurus. 9. Verbafc. Lycbuitis. d. An. 1775. d. "29. Iun. Flor. ** Conceptio inanis, vel adhuc dubia. Vid. Exp. inuerf. XIX. Exp. XXI. Verbafc. Lycbnitis. 9. Verbafc. Boerbaauii. d". An. 1572. d. 12. Iul. Flor. 28. Conceptio nulla, Vid. Exp. inuerf, X1V. Exp. XXII, Verbafc. Lycbniüis. 9. Verbafc, finuatum, (. c. An. x372.'d. r5. Iul. Flor. 33. Conceptio nulla. Vid. Exp. inuerf. XXIII. Kk 3 Exp, ezi5 ) 262 ( ct$ Exp. XXIII. Verbafc. Sinuatum.. (3. 9. Verbafc. Lycbnitis. o. An, 1772. d. r8. lul Flor, 6. Conceptio nulla, Vid. Exp. inuerf. XXII. Exp. XXIV. Verbafc. Lycbuitis. 9. Verbafc. Celfia. o. An. 1365. d. r4 et x4. lul. Flor; .x2. Conceptio nulla. Exp. XXV. Verbafc. pblomoides. 9. Stigm. bicolli. Verbaíc. 4réfurus. o. An. 1772.:d. 26. lul. Flor. 2. Conceptio inanis, vel adhuc dubia. Vid. Exp. inuerf. XXVI. Exp. XXVI. Verbafc.. Arcturus. 9. Verbafc. pblomoides. a. Sugm. bicoili. An. 1772. d. 17. hl. Flor. 1o. Conceptio inanis, vel adhuc dubia. Vid, Exp. inuerf. XXV. Exp. eps ) 63 ( ce Exp. XXVII. Veibafc.. pblomoides. Q. Stigm. bicolli. Verbafc. fintatunt. (G. o7. An x22. d. £x lub aRBlor.. 2; Couceptio nulla. Vid. Exp. inuerf. XXVIII. Exp. XXVIII. Verbafc.- finuatum. (9. . Verbafc. pbiomoides. d. Stigm. bicolii. Án. 1752 d. it Iul. Elor. .$ Conceptio inanis, vel adhuc dubia. Vid Exp. inuerf.. XXVII. Exp. XXIX. Verbaíc. wmigrum. 3. Verbafc. pblomoides, d. Stigm. bicolli. An. 1764. d. 14. et 15. Sept. Flor, 58. Conceptio. nulla. Vid. Exp. inuerf. QGxítte ov, oer SSoráuf. Sud, etc. €, 2 23a. Exp. XXX. Vetbaíc. migrum. 9. Verbafc, Cejfia. c. An. 1763. d. 21. Aug. Flor. 10. Conceptio nulla, ev; )s:64( i$ Exp. XXXI. Verbafc. pboeniceum. 9. Verbafc. Celfia, c. An. 1762. d,.Vis$ Fük Flor. -$. Conceptio nulla. Exp. XXXII. Verbafc. pLoeniceum. 9. Verbafc. Boerbaavii. c. An. 1765. d.. 3. AugElor. 7. Conceptio inanis, vel adhuc dubia. Vid. Exp. inuerf. XIIT, Exp. XXXIII. Verbafc. pboeniceum. 9. Verbafc. 4r&ur. d. An. 1772. d. 27. lun. Flor. 8. Gonceptio inanis, vel adhuc dubia. Vid. Exp. inuerf. XXXIV. Exp. XXXIV. Verbafc. Ar&furus. 9. Verbafc. pboeniceum. q'. An, 1772. d. 29. Iun. Flor, 4. Conceptio nulla. Vid. Exp. inuerf. XXXIII. Exp. ets ) s65 ( $$3e Exp. XXXV. Verbafc. pboeniceum. 9. Verbafc. foliis viridibus, amnuum, of. Floribus luteis. (b) j An. 1569. d. 12. Tun. Flor. x». Conceptio nulla. Vid. Exp. inuerf, XXXVI. Exp. XXXVI. Verbafc. folis viridibus, annuum, 9. Fioribus luteis. Verbafc. pboeniceum. c. An. 1770. d. 3. lun. Flor. 20. Conceptio nulla, Vid. Exp. inuerf. XXXV. Exp. XXXVII. Verbafc. B/attaria. Q. Verbafc. Celfia. c. An. 1763. d. 21. Aug. Flor. ». Conceptio nulla. Vid. Exp. inuerf, XXXVIII. Exp. (5) Boerh. Ind, H. L, C. 6:8. Zinn. H, Goett. p. 216. Risler, Diff. inaug, de Verbafco. Argent. 1754. in 4. p. 3o. Cum plan- ta haec plenaria foecunditate praedita fit, ac, vt varietas V, nigri putatiua, vnionem cum fp/oemic/o mutuam foecundam absque du- bio haud refpuiffet: certiffime nec hybrida ex Verbafco mioro et Lychni'e, vt Ill, Linnaeo (Fl, Suec, p. 66. n. 187.) olim vide. batur, neque mera migri varietas, quam Rislerus l. c. pronuncia- uit, fed vera potius ac diflincla fpecies eft, Ada Acad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. L 1 et$ ) 266 ( $23 Exp. XXXVII. Verbafc. Celfia. Q. Verbafc. Blattaria. c. An. 1762. d. 2. Aug. Flor, 2. " Conceptio nulla. Vid. Exp, inuerf. XXXVII. Exp. XXXIX. Verbafc. Blattario. 9. Flor. luteo. Verbafc. Zdréurus. d. An. 17725. d. 5. Aug. Flor. 5. Conceptio inanis, vel adhuc dubia, Vid. Exp. inuerf. XL. Exp. XL. Verbafc. Arc&urus. 9. Verbáfc. Blattaria. c. Fl.. lutea. An. 1772. d. 2. Iul. Flor. 8. Conceptio inanis, vel adhuc dubia. Vid. Exp. inuerf. XXXIX. Exp. XLI. Vetbafc. Blatiaria. Q. Fl. flauo. Verbafc. Boerbaavii. d^. Ah, 1775. d. x2. Aug. Flor. 5. Conceptio nulla. Vid. Exp. inucrf. XLII. 2 Ex- eto; ) 267 ( c£ Exp. XLII. Verbafc. Boerbaavii. 9. Verbaíc. B/attaria, o. Fl. flauo. An. 1764. d. 20. Iun. Flor, 6. It. an. 17605. d; 16; Aug. Flor. r, lt. an. a972.,d. 32. Aug, Flor. 4. Conceptio inanis, vel adhuc dubia, Vid, Exp. inuerf. XLI. Exp. XLIIT. Verbafc. B/attaria. 9. Fl. flauo. Verbafc. Sinuatum. (. c. An. 1772. d. 2$, Aug. Flor. 5. Conceptio inanis, vel adhuc dubia, Vid. Exp. inuerf. XLIV. Exp. XLIV. Verbaíc, finuatum. Q. 9. Veibaíc. Blatigria. qf. Fl. flauo. An. 1772; A] xau Elog. a4. Concepüo inanis, vel adhuc dubia. Vid. Exp. inueif. XLIII. Exp. XIV. Verbafc. Arturus. 9. Verbafc. Bocerbaavii. c. An. 1792:1d: x x. ulii; X Hlor.. 8. Conceptio nulla. Vid. Exp. inuerf. XLVI. nhI*. Fxp. ePi ) 168 ( Se Exp. XLVI, Verbafc. Boerbaavii. 9. Verbafc. Aréfurus. o. An. 17725. d. zr. lul. Flor. -3. .Conceptio inanis, vel adhuc dubia. Vid, Exp. inuerf. XLV. Exp. XLVII. Verbafc. Arciurus. Q. Verbafc. finuatum. (g. c. As, 1992. d. r4. Iul..Flor- 9- Conceptio nulla. Vid. Exp. inuerf. XLVIII. Exp. XLVIIT. Verbafc. finuatum, Q. 9. Verbaíc. 4riiurus. c. An. 1772. d. 15. Iul. Flor. 4. Conceptio inanis, vel adhuc dubia, Vid. Exp. inuerf. XLV]I. Exp. XLIX, Verbafc. Ar&urus. S. Verbafc. nigrum. co. An. 1972. d. 24. et 25. Iul, Flor. 5. Conceptio inanis, vel adhuc dubia. Exp. L. Verbafc, finuatum. Q. 9. Verbafc. Boerbaavii, c^. An. es )s69( S: An, 17572. d. 15. Iul. Flor. 4. Conceptio inanis, vel adhuc dubia. Vid. Exp. inuerf. LI. Exp. LI. Verbafc. Boerbaavii, 9. Verbafc. finuatum. . d. An. 1772. d. 14. Iul. Flor. 7. Conceptio nulla. Vid. Exp. inuerf. L. Exp. LII. Verbafc. finuatum. (. Q. Verbafc. migrum. c. An. 17792. d. 24. | Tul... Flor. i24. Conceptio nulla. Exp. LHI. Verbafc, finuatum. Q. 9. Verbafc. Tbap/us. gf. Fl albo. An. 1772. d. 16, Iul. Flor. 4. Conceptio inanis, vel adhuc dubia. Vid. Exp. inuerf. LIV. Exp. LIV. Verbafc. Tbapfus. 9. Fl. alb. Verbafc, finuatum. gf. L3 eg ) 7o ( $e An. 19325. d.. x4. Inl. Flor, 4... , Conceptio inanis, vel adhuc dubia, Vid. Exp. inuerf. LIII. Exp. LV. Verbafc. Boerbaavii. 9. Verbafc. blomoides, Gf, Stigm. bicolli. An, 1765. d. 6. Aug. Flor. 4. Conceptio inanis, vel adhuc dubia. Vid. Exp. inuerf. XII. Exp. LVI. Verbafc. Boerbaavii. 9. Verbafc. Celfia. c. An. 1765. d. ^3; Aug; Flor 2. Conceptio nulla. Exp. LVII. Verbafc. Celfia. 9. Verbafc. Tbapfus. c. An. 1365. d. rr. lul. Flor. 4. Conceptio nulla, ANAR- eti) )s7r( 2e ANARRICHAS PANTHERINVS. RVSSIS KYCAMKA, CYKA. Auctore BASIL, ZOUIEW. J Ux L« fpolia a Dn. Laxmanr e mari albo olim allata mi- hique communicata obtinui piícem aliquem ficcatum, quem ipfi ruftici apportarunt fub nomine Kufatfchka. —Pifcis quanquam vere mihi vifus eft fingularis, tamen, ob mul- tas partes laefas totumque fubiecum ficcatione valde defi- guratum ego nec agnofcere eo minus defcriptioni fubiicere potui. Curaui itaque nonne poffem eundem ex Archan- gelopoli integrum obtinere, fed incaflum; ideoque fe- pofui eius defcriptionem vsque dum occafio mihi magis fauorabilis praeberetur. ^ "Tandem incidi in fpecimen mu- faeo noftro afferuatum , quo dotauit Celeberrimus Collega nofter Lepecbin, apportatum ab eo ex itinere fuo per Ros- fiam. Specimen certe pulchrum , fed defcriptioni parum idoneum , quoniam effardor, qui illud ítupa impleuerar, cutem admodum diftenfit,. vt pifcis figuram fere cilyndri- cam acquifiuerit; ideoque non nifi in priftinum ftatum re- po ep )sy(e ponendo partes exteríores vera quodammodo eius figura potuit diuinari. ^ Vt defecuofum pro accuratiori , quam meretur, deícriptione fpecimen, tamen nouitatis erga, ex- pecando interim donec perfe&ius obtinuero, nequaquam ilud a curiofis Ichthyologis vlterius ignorari mihi fuafi. Di&us pifcis eft ex genere Anarrhicharum, quorum vnicam tantum nouimus fpeciem in fyftemate Ichthyolo- £ico, nempe Lupum, ex qua Lizzaeus et genus fuum fta- biliuit; ille notiffimus fuit etiam antiquis temporibus, ho- die frequentiffüime occurrens in omni haemifphaerio boreali praefertim circa Scotiam, Groenlandiam, totumque tractum Oceani Septentrionalis a Kamtfchatka vsque ad mare Me- diterraneum et nigrum. At infigniter idem variat fecun- dum diuerfas mundi plagas et non nifi in vaftiffimo Ocea- no IO aut r5 pedum longitudine obferuatus eft. Ob in- feftam eius faciem, mordacitatem impetuofumque in aquis natatam omnibus gentibus mcrito appellatus eft Lupus, See- wolf, Wolf-fifch, Rufüis vero ob horrendos eius den- tes 3y6anika, Kycauka etc. Clariff, Sze/ler, dum Kamt- Íchatcae moraretur propius obferuauit eius ferocitatem in vino, eumque defcribit dignum fuo nomine , quod gerit. Saeuit enim in quaeuis obuia ei oblata; rete irretitus et vulneratus cum vidit cultrum ei praepofitum arripuit illi- co ac vcluti flipulam' fregit; ligna, baculos, quibus mole- íftabatur, pari ratione confeílim apprehendebat morfuque violento diffringere tentabat. Noflris temporibus dete&ae prodeunt adhuc binae fpecies, quae primo intuitu mox agnofci poffunt , cuius fint generis: figura et facies reprefentant equidem Lupum, mo- ec ) 273 ( e: moresque, quotquot cognitum eft, funt.iidem. ac lupo, fed habitus corporis externus differens. : Vna harum duarum Ípecierum defcribitur in Zoologia , Britapuica fub communi nomine Wolf-Fifh no. 65, quo; etiam, Lupus nofler vul- garis defignitur, fed ila differt ab hoc, corpore ftrigis ir- regularibus, fere transuerfis, fufcis; altera .eft noftra fpecies, quam. defcribendam hic prapofuimus infignis maculis per totum corpus rotundis, fufcis, quam. quoque .ob. rationem & nomen ei indidimus Anarrhichae pantherini? Defcriptio. Facies Gadi Lotae, nifi caput excipias. Longitudo corporis ab extremo apice roftri ad extremum marginem pinnae caudae 3 ped. 9 lin, —— ad initium pin. dorfi - xum. pell... ——. filo reca per oculos tenfo ad nucham 3 — 6 — —— ad medium oculi . - - jj lose ie ——- ad nares - - - T 4 B—gieoc —— sb apice maxillae metes ad angulos oris - - - Quee em Intercapedo orbitarum -. - ipic sca ace direc rd — — dentium caninor. maxil. fuper. - — I0 — - 2 m maxil. infer, - LOIS YI - —— ad,angulum valuae branchialis fumme diftantem - - 6 — 2— —— ab apice labii inferioris ad anum x ped. — — 6 — Altitudo capitis per oculos per- i pendicul, - - - mos d. c Ada Acad. Imp. Se. Tom, V. P.I.— M m Lon. Lj SA e$ ) 2850 ( G:2e Longitudo pinnae dorfalis — - $2 —3——— aLub ntur Büshg - -:—5-— —— - - - caudae - E — 5$ — 5— 2 1 -« — pectoralís - - ££ ——— Áccuratiorem partium dimenfionem fponte omifi, quoniam in ficcato fpecimine PAPtCS contractae vix quid fidclis prodere poffunt. Corpus teretiufculum, ventricofum, lanceolatum, a medio ventre, vbi craffities eius: maxima eít, ad caus dam fenfim decrefcens, nudum, lubricum. fquamarum lo- co punctis minoribus concoloribus adfperfum; cute firma, denfa, coloris luteo- flaucfcentis, maculis per totum cor-. pus et pinnam dorfalem, excepta parte prona, rotundis, füfcis, maioribus notatum. Caput fübglobofüm, fübproportionale, antrorfüm porreciusculum , vertice anguftiore quam mentum, roftro antrorffum a maribus valde decliui et fere truncato; malae tumidiusculae , verfus roflrum extremum depreffiores, ia ficcato fpecimine collapfae, cute tectae, vt vertex, macu- lata. Labia duplicata, carnofa, antice tenuiora, verfus angulos oris crafliora, ficcatione facta rugofa; mandibula inferior latior fuperiori; mentum planiusculum, — Apertu- ra oris transuerfa, ampla, ad angulos deorfum inclinans; dentes, qui magis pifcem . huius generis a ceteris diftin- guunt, funt perquam notabiles; illi enim horrent in toto fere oris hiatu, excepta lingua, quae videtur fuiffe car- nofa, et quidem in maxillis et palato duplici ordine et diuerfi: in maxilla fuperiori anteriores primi ordinis coni- "" x et35 ) $85 ( e$ ci, retroflexi, diuergentes, caninos referentes, trium line- arum longitudine, in femicirculum difpofiti; pone illos habetur alter ordo dentium minorum, rectiorum et ace- quabiliorum ad molares vsque fe extendens; inter vtrum- que autem femicircularem ordinem longitudinaliter fecun- dum fymphyfin offium maxillarium fpatium implent ad- huc quatuor dentes mediae inter primarios et fecundarios magnitudinis, caeterum fimiles; molares funt pariter du- plicis ordinis, diftantes inter fe, robufii, minus acuti, pa- ralleli; palatum munitur feprem dentibus validiffimis, me- diam longitudinem inter molares occupantibus, anteriori pari acuminato, poflerioribus non per paria fitis, craffis , rotundis, conniuentibus, obtufis. In maxilla vero infe- riori primi ordinis dentes aatreriori margini implantati funt. fimiles, ac ifti maxillae. fuperioris, fed numerus ho- rum augetur vlterius per gingiuam ad vtrumque latus tri« bus aliis minoribus et rectioribus; alter ordo conftat an- tice e dentibus robuftiss acuminatis, fitu parallelo cum praecedentibus, poftea in molares tranfeuntibus, qui ne- quaqgam ab anterioribus differunt, mi fola mole paulifper maiore. Nares mediae, folitariae , tubulo cutaneo extror- fum prominulae, ad vtrumque latus roftri fitae, Oculi ia fupremis lateribus capitis, maiusculi, di(fti. ^4Opercu- la branchialia diphylla, flexilia, glabra, ad cardinem fu- periorem radiata, corporique fupra infraque cure alligata. Membrana branchialis patentiffima, feptemradiata; apertus ra branchialis lateralis, oblonga. fegmentum circuli vel lunam crefcentem referens , coarctata. Gula plana; thorace paululum intumefcente, la- &usculo. M m 2 Dor(um eno )276( $93 Dorfüm a nucha ad exortum vsque pinnae dorfa- lis fenfim fe eleuat et latefcit, poftea. vero decrefcit fitque decliuius et anguftius vsque ad extremam caudam. | Ab- domen planiufculum , verfus latera tuinidiufculum, ad a- num decrefcens. Linea lateralis nulla. Anus poft medi- um Corporis ad: exordium pinnae ani. Cauda lanceolata, ad peux fubcaadalem torofior; quam ad. doríalem. Pinna dorfi longitudinalis, continua, quatuor fere pollicum diftantia a nucha incipiens, poft medium fenfim: accrefcens, ad apicem caudae terminatur lobo: fubangula- to, cumque pinna. caudae fere coaleícit ope' radiorum fpu- riorum, breuiorum; altitudo: eius media :; pollicis; radii pinnae dorfalis, cartilaginei, validi, in dorfo procumben- tes, ad caudam erectiores, cute communi, vt corpus, maculofa tecti, numero, fpuriis non computatis, 67. Pinnae pe&orales ad' inferiora latera thoracis fitae,. ampliffimae, rotundatae, latitudine ad baíin fiue brachium duorum pollicum , radiis. 20 cartilagineis conflatae. Pinna ani f. fübcandalis ab ano ad caudae bafin excurrens. radiis omnibus fere aequalbus, cartilagineis , numero 44. Pinna caudae .duos pollices cum dimidio longa, extimo apice rotundata, pinnae dorfíali ad bafin ope radi- orum ípuriorum coalita, pinnae vero fübcaudali membra- na ev; )is( $89 na radios eius obuelante annexa; radiis 20, interítitio me- dio di(tincto, membranaceo, Habitat hic pifcis in Oceano feptentrionali et Ma- ri albo, A Ruffis in efum non trahitur etiamíi caro eius laudetur. M m 3 /— FELIS eg )e:s( 29e FELIS MANVL, INOVA SPECIES ASIATICA; DESCRiPTA a DS. PZLLAS, TAB. VII. NUS ferarum faecla et elegans praefertim felinum genus maiori induftria pertra&auit, pluribusque nouis fpecicbus auxit, quam 1ll. Comes Buffonius. Sed in Naturae thea- tro omnia complecti et nouiffe non eft vnius aetatis, ne- dum vnius hominis. Haud itaque mirum, complures poft llluftriff. Viri labores adinuentas fuiffe fpecies, quarum no* tio Illi defuit. ^ Aliquas praefertim addidit amiciíf, Pez- sani (*) et fpeciem non ignobilem a Cel. quondam Col- lega noftro GZ/denflaediijo circa Caucafum, vt et in Perfia a CNN X Uo oo ENNRCECOAEEUI NOME (*) Hiflory of Quadrupedr. Lenden 1791. 4, et prius in. Editione eiusdem libri quae antea fub titulo; Syunopfi of Quadrupcds. kondin. 1771 $8. prodiexat. et323 ) s79 (^ $99 a Gmelino obíeruatam, mediam inter Caracallam et Felem domeíticam, Noui Academiae noftrae Commentarii (*) ha- bent. Quemadmodum vero haec mihi in orientalioribus Ro(fiae afiaticae nusquam obuiam facta eft, ita contra Col- legis ignota manfiffe videtur alia, cuius hic defcriptionem et iconem proponere animus eft, prioribus Zoologis pari- ter ignotae. FELIS Manul, quam fum defcripturus, ab omnibus hucusque cognitis fpeciebus diuerfa, praeterque Catum et Chaum Gi/denflaedtii, minutiffima fcre eft fui generis quam Afia nutrit, 1n apricis defertis, praefertim. montanis, Ta- tariae magnae , a Cafpio lacu vsque ad orientalem Ocea- num, fecundum auftrales Sibiriae limites paílim, nec infre- quens occurrit, —Docent hoc pelles, quas Bochari atque Kirgifo- Tatari Orenburgum et ad alia Roffica emporia copiofe venum adportant. Praecipua vero eius patria dici poteft Mongolorum defertum inter Sibiriam et Sinicum imperium extenfum, totumque iugis montium ct rupibus afperum. — Intra Roffici Imperii fines praefertim Dauuria Feles noftras habet; at circa iugum Altaicum et Vralenfe vix veftigium earum hodie obferuatur. In Dauuria etiam Mefferfcbmmidio iumotuerat , breuibus verbis in Hodegetico MSto. ab eodem. commemorata; fed íolas is pelles viderat, neque data afílidua opera animal integrum obtinere potuit. Neque minus ego, quum in transbaicalenfi regione (1772.) vcrfarer; incaffum laboraui vt ipfum animal procurarem , cuius pelles, lynceis colore fimiles, femirublonis pretio pas- (*) Noui Commentar, Pitropolit, Vol. XX, p. 183. tab. 14. e$.) 230 ( 293 paffim: offerebantur. Etenim. in maxime -defertis. rupeftri- um folitudinum receíhbus vivens, interdiu nido in cauernis vel fifluris rnpium comparato latet, tantumque noctu prae- datorum exit; itaque a Mongolis Tungufisue per deferta montana diípalantibus vix vnquam aefítate capitur, prima- que tantum decidente niue, quum et vellus fit melioris notae, vefligiis praefertim prodentibus , in fpelaeis oppri- mitur, decipulisue ftatutis captiuatur. lamque Dauuriae vale dixeram, quam Amicus qui nunc in vivis effe defiit, curandis finibus lmperii verfus Sinas praefectus , Simeon Viafnf, vt eperam in procurandis naturae curiofis flrenu- am femper praefliterat, etiam Felis huius noftrae duo viua exempla, per Mongolos qui ad Díhidam fluuium (Sclen- gae collateralem) in regione maxime rupe(ítri et defolata viuunt, obtinnit, et quum viua non poflet, integerrima tamen animalia congelata transmifit Krasnoiarium, vbi Ia- nuario 1773. fequentem eorum deícriptionem adornaui. Natura huius Felis a Lynce, cui praeter magnitu- dinem, aures et caudam elongatam fimillima eft, co prae- fertim differt, quod non colat fyluas, neque in boreales regiones fpeciem propaget, fed in apricis atque temperatis, gradu 52. latitudinis aufítralioribus potiflimum verfetur. Praedatur maxime Lepufculos alpinum et dauuricum (*), aliaque minuta animalia quae in montanis regionibus abun- dant. Deficientibus aliis latibulis dereli&os vel expugna- PrTHEEDE (*) Nonae Species quadrupedum « Güirium ordine. Erlang. 778. 4.. f. 45. &l 59. lab. 2. &l 3. or ) 281 ( e coco tos vulpium cuniculos fibi adaptat; vel Arctomyos (*) do- micilia inuadit. Syluas nunquam colit, vnde Rofiis Step- naja Kofcbka (Felis campeftris f. defertorum) appellata eft; Tatariae Nomadibus Mongolisque communi nomine Ma- 10] vel Manul audit. Bafchkiros autem eandem, ni fallor, fpeciem nomine Ja/àm commemorantes audiui, quam etiam appellationem in Chiuenfi et Bocharenfi regione vfitatam effe accipio. Videtur autem alia ab hac diuerfa ad Oxum fla- uium (.Syr-daria) habitare Felis fpecies, magnitudine et moribus fimillima Feli Manul, fed pelle tota minutis ma- culis varía, quam Chivenfes et Kirgifo- Tatari Mem f. Malar wocitant, et cuius tantum imperfectas pelles vidi. Conueniebant hae cum pellibus quas olim e Promontorio auftrali Afiicae in Belgio adlatas vidi (**) nec tamen eius- dem fpeciei temere dixerim. —Vlteriores obferuationes du- bium diluant. . Li FELIS (*) Mus Ardomys Now. fpec. gaudr. e glirium ordine p. 91. — Le Bobak Buffou. hift. nat. Vol. X IIl. p. 136, 4") FELIS Pardel/a mihi et eadem, ni fallor, quam nomine: Fclis .. capenfis, defcripit Cel. Pennant Hiflory of Quadrupeds p. 271. m. 162, Syuopf. of Quadr. p. gx, — Pelles mihi oblatas capenfes fic defcripfi: Animal Cato fylueflri paulo maius fuiffe videtur, -Auri uae paruae nigrae, apice albae. ^ Lineo/ae, vbi myllax, al- bae; mtyflaces promifcue albi nigrique, — Pun&la feu potius macu- fae per totum corpus nigrae, fimplices, inordinatae, crebrae; ^or- fes paffim. centro. obfoletiores; veutraler maiores, rariusque fpar- fae. Color fupra flauicans, fubtus albefcens. Cauda variegata , dimidiam animalis longitudinem. excedit. Acla Acad. Imp, Se. Tom. V. P. L, Nn 255 ) s&28 ( S93 FELIS J/anul a Cato fero, cui proxima ftare vi- detur, praefertim numero molarium fuperiorum , caudae proportione, artubus robuftioribus et colore atque natu- ra vclleris difcrepat. "Vellere ita refcrt Lyncem, vt nihil fimilius, tantum in pédibus non aeque maculofa. | .Cau- da variegata et villofifüma, ^ Habitu robufto , :maculisque capitis ad nobiliores Felini gencris fpecies: 'tendit, 'imo' o- mnes facile villofitate caudae vincit. n medio. relinquo; annon apnd Afiae gentes haec quoque fpecies aliquando cicurata et. domefticae flirpi immixta fuerit, eoque origi- nem dederit. Felibus angorenfibus dictis ; quas "alit etiam China, quarumque habitus. atque mores nimis a vulgari Cito europaeo abludunt, quani vt pró varietate fimplici haberi poffnt? Certe fi adulteratiohi domefticae: ftirpis,, per feram quandam' fpéciem , varictas-ifta'^débetur, vide- tur nulla aprior ad generandam illam fuiffe, quam F. Ma- nul, cuius laxum €t tenerum vellus et villofa cauda pracualent. — 7 |. Habui pro defcriptione: Fe/is Menu], (quae: cauda , fubelongata ennulata apice aia, certice punclato,. corpore albido — definiri poteft) praeter plurimas pelles; dauuri- cas aeque ac bocharicas,: mafcula :cadauera duo e Sclen- gienfi regione, vt dixi, transmiffa. | Pogdur. in 1llo, M propter integritatem praefertim ad defcriptionem | adhibui ; inedia aliquamdiu emaciato, libras fex cum dimidia rus- ficas aequauit; in altero, quamuis fere minore, feptem cum (a) Minus abfona videbitur haec conieclura, fi contuleris quae amiciff. Pennant. ( Hift. of quadr, p. 272) de hybridis e Fev benga/ nfi hydrophila et Cato domeflico hydrophobo ge eratis habet; quae indolem patris fecutae aquis audacler immergebantur. epi o): ( fee cum dimidia Lbras et quod excedit... Hvius .pofterioris longitudo |. fuit tota a- fummo -nafo ad anum rz pedis parif, 6 poll. 7 lin. Cauda fine excefiu pilorum 8 pol', 9 lia. Magnitudo: ergo. fupra Catam fylucftrem. | Coput fubglebofum, rottro breuiffiimo, craffo, cbtufv, Nafus nu-: dus fuícefcir, /ubiaque. margine nudo nmiera: /uperius (ulco profundo, late nudo, nigro, vsque ad nafi feptum, cii ifum; inferius crifta pone caninos integra,. arguta, — Geugiuae fus ceícenti maculatae. | Liggua medio difco vncinülls rigidis. hiípidata. ... Myflaces quatuor ordinum, albi, bafi vudulati; in fummo ordine fctae | duae maiorcs Diptads anterior bafi- njgr a. "Oculi torui, maxime 'obliquati, fuperciliis gibbulis: Palpebrarum margines" nudi , nigricantes, fuperior fola, tátitumque in medio ciliata pilis a margine remotis. Pe- riopbtbaimium crafum rugofum, iuftita nigra marginatum, totum fere ocolum obtegens, et in profundum finum, an- te bufbum oculi retra&tile: IriZes dilute fuluae; pupillae oblongae, obiiquae. Verruca. fuptaciliaris infignis, flanefcens, radiata, fe- tulis: circiter octonis albidis atque flauentibus, nona anti-- 'cà fligra. Aures latae, fed breues, rotundatae, exterioris marginis prope medii -./obng/o intus rotundato, interiore margine verfus: bafin' Jamella: obfolera déplicato:. Exttus 2u-^ res. ve(liuntur vellere :denfos molliffimo,. vniformiter flaue- Nn2 Ícente- e293 ) 284 ( SG fcente- pallido; intus, praeter marginem albido- pilofum , nudae, fufco fordidae et anfractuofae funt, fed claufae mar- ginibus conniuentibus, pilisque longis, albis, fubreflexis , circa margiuem interiorem bafeos ortis atque, inílar fla- belli auriculam fere excedentis, fupra cauum auris recli- natis. Artus robuftiores, proceriores quam Cati, propor- tione fere vt in Lynce. Pajmae latere vtroque fulueícen- tes, fubtus digitis interiectisque plicis, vsque ad callum metacarpi, nigro villofae; litura infuper nigra pone callum extrorfum et circa verrucam conicam carpi. Plantae fub- tus villofifimae, villo denfo tophofo, intenfe fuluae, ex- terius verfus calcaneum ftriga nigra marginatae: litura ni- gricans vtrinque pone callum metatarfi, exterior obfole- tior; digiti cum interiectis. plicis nigro pariter villofi. Falculae omnium pedum albidae; in palmis vaginae ea- rum cutaceae fupra latius denudatae, pollicisque falcula robuflior, maxime adunca, Cauda villo plusquam pollicari valde craffata, ae- qualiter teres, obtufa, corpori fubconcolor, annulis cir- citer nouem, propioribus corpori fufcis, extremis nigris, fubtusque dilatatis, quorum intermedii magis remoti. 4- fex caudae aterrimus, pilo laeuigato, breuiore, elegantiore (vt in cauda Lyncis); continua fubtus fafcia vltimos tres annulos connectente itidem atra. Caput flauefcenti - exalbidum , area oculorum et ad aures albida: vertex unc creberrimis nigris guttatus 5 Jinea fub oculo longitudinalis, atque hinc flrigae duo per genas ec )sss( $t53e genas obliquae, parallelae. Roftrum circa nafüm flauefcit, gula alba; fed pectus inter armos, cum ima parte colli veftitum vellere cinerafcente-fufco, laxiore, extus albido inumbrato. — Reliquum corpus fubtus, femoraque intus albo-pallida, laxius villofa, abdomen lituris hinc inde ob- foletiffimis fubnebulofum. In reliquo corpore fupra et ex- tus per artus, vellus colore et confiftentia, vt Lyncis: in- terius fuluefcens, extus albidum, pilorum in dorfo apici- bus nigricantibus tenuiter inumbratum ; fed maculae di(tin- €ae trunci nullae. Apparent quibusdam in extremo dor- fo verfus caudam ]liturae virgatae obfoleti(limae, plerum- que vix confípicuae. Pedes antici paulo pallidiores. — Al- titudo velleris in dorfo 1^. &". fed pili rari fupereminent $!. longitudine. Serolum inter femora infigne, cumque adfidente praeputio albis pilis veftitum, auo proximum. Praeputium antrorfüm villo largo barbatum, Menfurae, e fpecimine VI cum dimidia librarum , fequenti modo habuerunt: Latitudo fepti narium inferius — - Mo T 2d e ED t —— ——- inter nares . - OL OL X Circumferentia oris B - - - OU 2. 5. Myflaces longiffimi — - - e - E Os 3. 45 A nafi margine ad canthum oculi - - O. I. C, Apertura oculi ad - - - a ON OL Os Fiffura palpebrarum - - m - O. O. 9; A cantho poftico ad auris marginem - so» E O0 Circumftrentia auris bafi a margine ad margi- nem exterius - - - - O. 2, 8. Nn3 Altitu- EA ) 286 ) e$ Alttudo aurium a capite - - - '- Circumferentia roftri extremi ante myftaces Fadem pone myftaces - - . - Capitis circumfer. inter oculos et aures — - Eadem prope oculos. - - ME Diftantia aurium per verticem E ^ Eadem per gulam - - 2 - Oculorum canihi antici diftant - - "qna TERN — poflici B WT - Mareines aurium bafi ioter fe diftant - ^-^ Longitudo totius animalis a fummo ^Qafo ad anum - - - 2 Longitudo capitis Bid nude. NE Longitudo caudae fine villo qui pollicaris fu- perminet | - — - EN rs Altitudo a fcapulis ad calcem - - Eadem a lumborum fpina ad callos plantarum Longitudo. antibrachii - - E Antubrachii circumferentia bafi^ Do Eadem verfus carpum — - 5 2-76. Longitudo palmae extenfíis falculis :- — - ^ - Cimfergntazccappt . - UT o o 0^ (V3 Circumferentia infra pollicem. - .- .- Mediorum. digitorum metacarpus - - Eorundem. phalanx prima - ^ E Phalanx fecunda - - - Pollicis. phalanx. - - - - Loneit.. falcularum antic. fccündum. curuaturam Latitudo earundem. bafi - - Mex Pollicis. faleula longa, - 2 - Eadem lata - - - - o o 0 o O &H o$D.000700 B OG. 0 Q c x O6 [P] & 0 707b ed )s:87( $5 Longitudo verrucae carpi fere - | - - — c! ol», "(Tibiarum longitudo 4 - - m! OW l9s Circumferentia earundem bafi ^ - — - ov. dig Sed ad caleaneum - . - - ^O. 207 Plantae longitudo - - - ec0, ugs Circumfcrentia metacarpi — - - 75146. 2. 0. Plantarum falculae per àarcum. - — . o. O. 6L Eaedem bafi latae - - - - 9. "095 Longitudo colli '- - - - «0, 4. 6. Circumferentia colli - - E AL P P 'Ihoracis circumferentia ad armos - $79.99 in. medio corperó ^ * - o» - O.10. 9. Abdominis ad femora - - - O. 9.10. Caudae circumferentia bafi — - - E ORUDOUETTS. x "is dius Diffeftione inueni $guedinem praefertim. dorfum fatis latgiter incruftantem (in ponderofiore fpecimine ad 6" et vltra cratlitiem). — Ormeztum | pingue, feneftratum, inteflina obtegens et complectens ad peluim vsque: /amina alia piüguifiima a parte pofleriore circumferentiae ventri- culi vsque ad hepar adfcendebat femicircularis, quae cum omentulo oblongo ex hypochondrio finitiro fub liene orto ventriculum totum obtcgit atque fouet, — Hepar maiore fui mole in dextro hypochondrio pofitum et lobo finitlerri- mo ?fupra ventriculum, v«que ad coftarum finiftri lateris apices offeos pertingir, Ventriculus fundo fuo diaphrag- mati obuerfus, facco verfus regionem — vmbilica'em produ- €&os. Lien in finitro hypochondrio, totus extia pingue- dinem omenti accubat, longitudinali, R«n dexter vertice altior , ve ) 588 ( C eu altior, Íumbique a renibus ad peluim copiofi pinguedine puluinati, Inteflinorum denique. complexus vix vsque ad peluim extenfus, — Et haec quoad fitum vifcerum | fuífi- ciant, Palatii rugae o&onae, — Lingua extrema difco fpinu- lis fetaceis, media parte fupra tota vncinulis minus rigidis, confertis, verfus raphen. conuergentibus, bafis villis molli- bus reclinatis rarioribus et aliquot vtrinque fungis. Ventriculus (praeter infundibulum pyloricum verfus minorem arcum ct cardiam recuruatum) cuiformis, paulo oblongatus, oefophago ad ipfum fundum inferto, A car- dia ad finum inflexionis antri pylorici 3", 2:77, inde ad pylorum i^" $", 3 pyloro per circumferentiam magnam ad cardam vsque ro", 4", ^ Amplitudinis circumferentia in medio 8^, fed antri pylorici ad inflexionem 3". 10"/, et yerfus pylorum vix 2", 2, Iueflinum ienue a pyloro ad coeci faccum tripedale cum 5 poll. Per tres vltimos pollices longitudinis appa- ret £racius glandulofus, fecundum — mefenterium hinc lon- gitudinalis, a 3 ad 5 lin. latus et verfus citeriorem ex- tremitatem femel interruptus. 4reo/a item glandulofa bi- pedali a pyloro diftantia, ad alterum lIlei latus oualis, dia- metro maiore 67/7. Amplitudo int, tenuis fuübaequalis fere digiti feu 1", ro'", In vtriusque ventriculo inter carnes, Ogotonae pi- los ct flramenta deuorata, Afcarides aliquot fesquipollica- res; eH )s$9 ( $99 res, rubentes aderant; at in duodeno tenuiores ét miuo- res albidae. Cra[fum inteftinum ad llei infertionem | examplia- tum , fnbito coarc&atur in zoeet/ conico-incuruum, apice obtufo glandulofo llei tractui applicatum, cuius tota [on- gitudo feu profunditas, ab lleo ad apicem, vix aequat 9, Circumferentia partis coli dilatatae 3". 5;. Longitudo cras- fi feu excrementitii intefítini a coeci facco ad anum r2". 6". circumferentia media 2". 7;". itaque tractus alimentarii longitudo a cardia ad anum vix tripla eft totius animalis. Ad anum vtrinque prope marginem g/zmdu/a aci- nofa, oualis, faba maior, extus lutea, cauernulis ichore flauo fcatens, quem orificio ad ipfum ani marginem hinc et inde conniuente eructat. Hepar pendebat unc. ij. drachm. vfi. feptilobatum: Lobus finiflerior amplior reliquis, ouali-oblongus , bafi fubtus fiffura, margine crenis aliquot. —Medierum 2. lo- borum jfiniflerior paruus, cordato acutus, interiore mar- gine longitudinaliter inflexo, fiffuraque ad bafim; dexrerior maior, ouali-fubquadrangulus, bafi adnatüm habens /- bum paruum, irregulariter compreffum angulatumque, in- ter quem et ipfum lobum adnectitur. Cy//is vacaa, craffa tunica conftans, quam intus bilis fulua, mucofa incruf(ta» bat. Lobus porro dexter femicordatus, fubtus carinatus, eique adfidet lobus regiis irregularis. mucronatus... Sep- timus denique Spigelianus linguiformis, altero la'ere ob- tufe carinatus. Mila Aead. Imp. Sc. Tom. V. P. 1. Oc Lies et ) to» ( $3 Lien linearis, tripollicari longior, altero extremo dilatatus, formaque pedis inflexus et ipfo angulo crenis lobatus; pondere fesquidrachmae cum granis fex. - Remum: dexter fere fesquidrachmalis, finifter xiij granis. ponderofior; vterque hylo obfoleto, intus crifta continua arguta loco. papillarum. — efíca. oualis; magna, - 5 pollicum vltraque extenditur dread s Penis corpus tantum i^", 4'., fimul cum glande cy- lindrica 2i, longa, obtufa, apice glabra, circa bafin pa- pilis fparfis mollibus fubmuricata. Offici/um intra apicem xe f " In SCELETO: Cramimm à margine alueolari ad occiput 5". 3;/. aequat; latitudo inter orhitas 9", | Maz- dibulae longitudo ab alucolis ad condylos 2". 35'/, LJ . Dentes canini profunde fíulcati; primores, wt fo- lent, minuti, obtufi, infra alterni. Mo/ares a caninis in- figni fpatio remoti, nullis interiedis paruulis denticulis: fupra wtrinque bini, quorum pofterior maximus, /ubius. terni, e quibus prior omnibus reliquis minor. Vertebrae dorfales numero XIII. lumbares VII. fa- cri HI. caudae XX. praeter apicem cartilagineum, — Colli feptima vertebra proce(Iu fpinofo infignis, a: dorfalibus minore, Dorfi fecundae fpina longiffima 9". — "Tora col- larium vertebrarum feries 2". ro", dorfalium 5", 5$", lum- barium 5", 2/, (acrum 6^, longitudine aequant. Sicrni n ) : 291 [ ( ec Siermi portiones intermediae, praeter manubrium et enfem, fex; hinc tredecim coffarum, noucm vera arti- culatione fterno infertae: primum par manubrio medio, hinc fex paria fymphyfibus manuubrii atque fex vertebra- rum fterni; denique duo paria cartilaginibus fuis ipfi com- miffüurae fextae vertebrae cum eníe fterni inferta. E J/puriis tres priores carüilaginibus pet Iigamenta conneXxace, vltima mufculis inhaeret. y Clauiculae exiles fub margine mufculorum pectora- lium maiorum fuperiore, in regione maftoidei flu&uan- tes, leuiter arcuatae, depreflae, extremitate humcrali car« tilagine fubcapitatae, losgipudines cum sup cartila- gine, 6!l, Scapulae longitudo 2". r1, fumma latitudo 1", Jul, Humeri longit. 4. iil, Cubiti ab olecrano fummo 4", 1'/, olecrani 6;'!, 2 a Offis innominati longitüdo 2", ri", je) 1", 9", fg. raminis oualis 87". eiusdem latitudo 67". et fymphyfeos 82! . Femoralis oífis longitudo 4l, 11H, tibiae 4! nili, eal. canti 10;". Hyodei offis bafis recta 45, — Cornua maior atriarti- culata, primo articulo antroríum | directo. 22". fecundo wansuerfo 4,7". tertio /retrorfum obliquo 4J/. apice fubca- pitato trunculo. Cornua zimora conica, vix 1". longa funt, Oo 2 IRIS ec ) " ( $99 IRIS GÜLDENST AEDTIANA. DESCRIPTA. Ab IOANNE LEPECHIN. | US. varias plantarum fpecies nouas, quibus nunc Flora Rofüica fuperbit, quasque induftria Academicorum remo- tifimas Roffiae regiones peragrantium detexit, et pulcrum [reos genus tànta incrementa acquifüit, vt fere ad dimi- dium numero fit auctum. His nunc addo fpeciem Ireos nouam , quae ex feminibus a collega noftro celeberrimo nunc pie defuncto Güldenflaediio, fub nomine feminum lreos defertorum mihi comrgunicatis in horto Academico proue- nit, floruit et nunc etiam laete viget, illiusque denomi- nationem fpecificam, ab inuentore ipfius, vt debitas ipfi perfoluam grates , mutuari, et lridem Güldenflaedtianam vocare placet. Eft que illa lris corillis imberbibus, peta- lis interioribus ftigmate maioribus, arctis, caule tereti, fo- lis enfiformibus, non foctidis, germinibus fexangularibus. Defcriptio. Radix horizontalis, parum inclinata, tuberofo arti- culata, tuberibus oblongis, circulis eminentibus notatis, quo- rum margo, caulem refpiciens, ciliatus «ft; fubdiuifa multo- " ties «£32 ) so85 ( $93 ties fub angulo acuto, areasque fat amplas circulares effi- ciens. Extus velata epidermide tenui brunnei coloris et cortice fat craffo albido, Caro fpongiofa, pallide flaue(cens, fapore aeridulo, amaricante, dein in füucibus fenfum ardo- ris diu caufante, | Vnaquaeque radicis fubdiuifura demittit fibrillas plurimas, fimplices, extus velamine albo fat molh atque turgidiufculo tectas, intus rigidas, fetaceas, acetate pro- ueciores brunneas, iuniores albidas. Singulae radicis diuifürae emittunt caulem erectum, teretem, glaberrimum, foliis longiorem, nodis vt plurimum fex, inferioribus foliiferis, fuperioribus floriferis. Folia ad radicem per paria oppofita , interne vagi- nantia,.arcte appreffa, medium caulem aequantia, tempore marcefcentia. Ad caulem [fita enfiformia, forma foliorum Pfeudacori, multo tamen anguftiora, alterna, erecta, ftriata, firiis laenibus, bafi articulum caulis includentia, caulem que ad dimidium inter articulos vaginantia, apicibus faftigiatis vix exortum florum attingentia; nullo odore praedita. SSpaibae turgidulae oblongae, includentes duas, vt plurimum, minores. flores diftinguentes, biualues, exieriore valua maiore ad petalorum vngues adícendeute, interiore minori arefcente. Flores inodori, pedunculati, pedunculo erecto, tereti, longitudine germinis; corolla petalis pallide flauis, alternis, exterioribus patentioribus, vltra medium coarc&atis, defi- nentibus in laminam ex oblongo ouatam, non raro irre- gulariter emarginatam et inflexam ; petala interiora bre- uiora et anguftiora, erecta, lanceolata, rarius emarginata. Siamina petalorum exteriorum vngui inferta; fila- menta linearia, antherae oblongae, longitudine filamento- Oo 5 rum, 53$) co4( S rum, polline flauo, fultus in parte piítillo aduerfa fulcis quatuor notatae, Gerinen oblongum hexagonum, fu!cis profundis. Sua lus colummaris, capitatus, fügma tripartitum, petaloideum, patens, longitudine. ad laminam . pztaloruni exteriorum, qui- bus fepae incumbit, excurrens, apice vcl emarginatum, non raro dentatum, — Capfula ventricofa, oblonga, hexagon», au- gulis per paria approximatis, trilocularis, ordinibus feminun in quolibet loculamento binis, Semina depreffa, margine hinc (RS illac , femilu- nari, arillo bruaneo, niteute. | Defcripta nunc ireos fpecies prope accedit ad quer Spuriam Linn. quam celeber jaqun in flora Auflriaca. T. 4. viuis coloribus depicam fiflir, Differt tamen ab illa fpathis magis turgiis et longioribus, floribus minus nutantibus, fcd erectiufculis, colore. petalo- rum pallide flauo, laminis anguftioribus et magis elonga- fis, quam rotundatis, radice non ram lacera, vt icon Ja- quniana fiflit, fed magis tuberofa et folidiore, foliis inodoris non foctentibus. Sponte, tefte pie defancto GiüldenfP; edt, pro- uenit in defertis circa Tercc ad fabulofas fluuiorum ripas, Tab. Vill Figur. 1. Sittit caulem floriferum. Florem feparatam expanfum. —— 3. Petalum cum ftamine. 4. Partem ftigmatis. —— s. Partem caulis cüm capfula integra, 6. Capfülam. dilectam, vt loculi cum feminibus appareant. -—— *4. Semen —— $. Radicem cum fibrillis. ASTRO- ASTRONOMICA. e2 ) 297 ( $5 TEE E 9-14 0 E TN REA US MC A C CE trib à PERTVRBATIONE MOTVS PLANETARVM ET COMETARVM. Audcore L...E.V .L E RO. PRAENOTANDA. 6. x. bo» acceleratrix, qua corpus coeleíte, cuius maffa — M; aliud corpus, ad diftantiam — v remotum, ad fe attrahit , tali. formula: 77, exprimi folet; quandoquidem omnia corpora cocleftia in. ratione compofita ex directa maffarum et reciproca duplicata diftantiarum. agere obfíeruantur. Vt nunc hanc formulam ad menfüras determinatas atque adeo valores mumericos reuocemus, in fequentibus perpetuo mas- fam Solis: vnitate defignabimus, Deinde vero diftantia me- dia Terrae a Sole pariter vnitate- definiatur. Hoc enim modo formula. omnibus. cafibus certo numero reprae- fcntábitur. Aia Acad, Imp. Sc. Tem. r. P. I. Pp $. 2, ec3$ ) 2:98 ( Gee $. 2, Quod deinde ad menfuram temporis attinet, eam quoque ex motu Terrae medio ita perpetuo exhibe- bimus, vt omnia tempora per angulos, quos Terra inte- rea fecundum motum medium circa Solem defcribit, cx- primamus. , lta menfura | vnius, diei . nobis erit angulus — 59/,$";5 integri autem anni tropici menfura erit 560^. 6. s. His menfuris ftabilitis , fi corpus quodpiam coelefte quiefcens aliud corpus fecundum lineam rectam ad fe attrahat, eiusque diftantia quodam: tempore indefinito , quod fit — 0, ponatur — v, eius motus hac aequatione differentio- differentiali determinabitur: $^? — — J—; vbi elementum temporis 20 conftans eft affümtum. $. 4. Quoniam hic de perturbationibus motus tam planetarum quam comcetarum potiflimum erit fermo, vis principalis, qua haec corpora íollicitantur, erit ea , qua a Sole attrahuntur; vnde fi talis corporis a Sole diftantia fuerit — v, ifta vis erit — ;-. Reliquas autem vires omnes, quibus haec corpora forte vrgentur, nomine vifi periurbairivium denotabimus, quas plerumque tanquam val- de paruas refpe&u vis ad Solem tendentis fpectare licebit, quandoquidem, fi. maiores effent, nulla; adhuc methodus eft ' inuenta, tales motus ad calculum reuocandi. - 6. s. Quia porro loca talium corporum ad quod- uis tempus refpe&u Solis definiri debent, ipfum Solem in perpetua. quiete confiderari conuenit; quamobrem fecun- dum principia mechanica omnes vires acceleratrices, quae in Solem agunt, fecundum directiones contrarias in ipfum . corpus, cuius motus quaeritur , transferri oportet , quibus hoc ec ) 299 | 2&3 hoc corpus perinde follicitari erit cenfendum, atque ab il- lis viribus, quarum actioni immediate fübiicitur. $6. 6, Cum igitur centrum Solis tanquam punctum fitum in coelo fimus contemplaturi, quod fit in O, per id ternos axes fixos-.O A, O B, O € dudios concipiamus, qui inter fe fint normales. lis. igitur tria plana princi- .palia determinabuntur, fcilicet A.O Bj; AO C, BO'C, pe- riter inter fe normalia; quorum primum A O B planum nobis eclipticae reprefentet, quandoquidem omnia loca tam planetarum quam cometarum ad eclipticam referre folemus. 6. 7. Tam d odqusm a certa epocha. elapfum fue- rit tempus — 6, modo fupra afüignato exprimendum, repe- riatur planeta fiue cometa, cuius motus quaeritur, in loco "quocunque Z; hincque primo ad planum A O B demitta- tur perpendiculum Z Y; tum vero ex Y ad axem O A agatur normalis Y X, ita vt locus Z determinetur per ter- nas coordinatas tribus axibus modo ftabilitis parallelas, quas vocemus O X2 x4 aX Y —y., YZ—z. -Praetezea vero quoque ducamus ad centrum Solís rectam Z O, quae vo- cetur — v, ita vt fii 9v —xx--yy--zz. Quod fi porro fpatiolum tempusculo 0 percuríum breuitatis gratia vocetur — d 5$, erit d^ —dx -- dy -r-dsz. $. $. A quibuscunque nunc viribus acceleratrici- bus corpus in loco Z follicitetur, cum iis Primo coniun- gantur fecundüm directiones contrarias omnes vires ipfum Solem follicitantes; tum vero omnes iftie vires refoluan- tur fecundum ternas illas directiones ZP, ZQ et ZR ipfis iis. OA, OB, OC parallelas, easque hoc modo Pp2 deno- l'ab. IX. Fig. r. -Ri o) aoo [ f denominemus: vim ZP—f, vim ZQ-—4, et vim ZR-v, quae ergo litterae, f, q, ^ omnes exhibent vires pertur- batrices noftrum corpus follicitantes, dum vis principalis ad folem directa fecundum Z O e(t — 4. $. 9. lam quicunque fuerit corporis motus, is pariter more folito fecundum ternas directiones ZP, ZQ et ZR refoluatur. Deinde vero etiam ipfa vis Solis fe- cundum easdem directiones refoluta dabit: vim fecundum PZ — 5, vim fecundum QZ— X, z vim fecundum R Z — &. Hinc fi triplex corporis motus fecundum praecepta mee chanica tractetur, inde tres fequentes aequationes differen- tiales fecundi gradus nafcentur: ciet ea e x y. PEE T a& CA s à dios z Tri. eR —-audf. ex quibus acquationibus totus corporis motus debet de- terminari, Evolutio. trium aequationum inuentarum. 6. 10. Cum iftae aequationes fint differentiales fecundi gradus, ante omnia in id eft incumbendum , vt ex iis per integrationem aequationes differentiales primi gradus deriuemus, in quo quidem negotio ad quantitates f, 4» f» refpici $35 ) ser(( Ste refpici nequit, quibus igitur fignum integrationis praefige- mus, easdemque operationes inflituemus, quafi hae quan- tiiates plane abeffent. Statim autem ob elementum 44 conftans iftae tres combinationes : II;x —ITy; HI;y —Um?x. Lis—TN.-y; Dobis praebebunt fequentes aequationes integrabiles : ddy—yddx I. LM -—qx*—Jy, ddz-—zdd — c Et pgadiaeet y qas 3. LMAUt—pz-rx. 6. 11. Quanquam autem hoc modo tres nouas naci fumus aequationes: tamen eae inter fe ita cohaerent, vt binae quaeuis tertiam in fe inuoluant. Si enim earum prima ducatur in z, fecunda vero in x, producta in v- nam fummam colle&a dabunt hanc aequationem: zydizl 0245 — y(rx-—psz), quae per — y diuifa ipfam tertiam aequationem manifefto producit; ita vt, vti jam annotauimus, quaelibet in binis reliquis iam contineatur; vnde etiam hae tres aequationes duas tantum determinationes fuppeditabunt. $. 12. Ante autem quam has aequationes integre- mus, plurimum intererit obferuare, formulas 4 x — y, ry—42, pz—rx, cera momenta virium f, 4, r exprimere. In prima enim eorum productum 4x ex- primit momentum vis q refpe&u axis X in fenfum AB; alterum vero productum py momentum vis f re- Ípe&du eiusdem axis X, at in fenfum contrarium B A, Quare cum tertia vis r-huic axi X fit parallela, ab ea Pps nullum et32 ) goa ( Ss» nullum. momentum refpectu iftius axis oritur; vnde mo- mentum ab omnibus iftis viribus, axis X refpectu, in fen- fum AB tendens erit q x —5 y. Simili modo ab iisdem viribus nafcetur momentum refpectu axis O A, in fen(um BC-ry-—gz. Ac denique momentum ab iisdem vi- ribus ortum refpe&u axis O B ia fenfum C A erit c—pse-—trx. €. 13. Quoniam haec momenta maxime funt no- tatu digna, ea merentur iu calculum introduci. Defigne- mus igitur ea litteris maiusculis C, A, B, quae ab axi- bus ipfis, ad. quos referuntur funt defumta; ideoque pona- mus-.q44X«-P3X—C.ty—q48e€—À. pz—rfx—B,.,vbi caucndum crit, ne iítae litterae pro conftantibus habean- tur. Hinc igitur ternae aequationcs jntegrandae erunt: xddy-—:yddzx .— 1. dez" — , 2. 445. d diy —INS zddx-——xddz..- 5. É m d$ Zrczi do quàe ductae in 20 et integratac dabunt i, 552 42058 — [C 9, e ydz-—mdy - 24 LUBIE. EX A —[AÀ d 0, peo SEC PEPHW. ybi vero ctiam M tenendum cít, binas harum aequa- tionum iam tertiam inuoluere, At vero fequens: combi- natio: l x-r--IL g- IIL,z praebet o-—z/Cd0--xf/Ad0--y/Bd49, quae aequatio quidem pro identica eft habenda; interim. tamen egregiam proprietatem nobis cognofcendam praebet, prae- eco ) so8 ( GS&2 praecipue fi cum ea combinetur, qua modo ante vidimus efífe Cz-X-Ax--By-o, quae reuera eft. identica. $. 14. Antequam vlterius progrediamur, confide- remus cafum, quo vires perturbatrices euanefícunt, ct for- mulae integrales in quantitates conftantes abcunt, quae fint fecundum ordinem €, 25, 9f, ex quibus valoribus vl- tima aequatio nobis praebebit € z 4- 3x 4- 3 y — o, quae aequatio nobis ftatim indicat, totam orbitam a corpore z defícriptam ita per drnas coordinatas x, y, z, definiri, vt perpetuo fit € z 4-9( x -- 28 y — 0, quae aequatio eft pro fuperficie plana; ita vt iam certi fimus, hoc cafa corpus totum fuum motum in eodem plano fore abíoiu- turum. Vnde iam intelligere licet, quomodo motus cor- poris ob vires perturbatrices a plano diícrepare queat. 6. 15. Porro vero etiam formulae differentialcs per integrationem inuentae, (cilicet: xdy—-ydx,ydz—zdy,zdx—xda, peculiari attentione funt digna, cum referantur ad proiec- tiones orbitae defcriptae in terna plana principalia factas. Si enim orbita in planum A O B proiiciatur, pro qua x et y erunt binae coordinatae, tum elemeütum atcae circa punctum O defcriptae erit ;(x dy — y 4x), in fenfum A B. Simili modo ;i(ydz-—z4dy) ert elementum proicctionis in planum. B O C facae, idque in fenfum B C. Denique i(zdx-—xdz) erit elementum arcae proiectiouis in pla- num CO A fa&a, idque in fenfum C A, Vade patet, quam egregie defcriptio harum arearum a momentis viri- um refpe&u axium refpondentium pendeat. .Si enim vi- ICS eg2 ) so&( 25 res p, q, ^ euanefcerent, haec arearum elementa tem- puículo Z6 forent proportionalia, vti ex primis elementis iam conftat. Quatenus igitur vires pérturbatrices ad(unt, eatenus defcriptió arearum noh amplius érit tempori pro- portionalis. $. 16. Quo ifte pulcherrimus nexus inter defcrip- tiones arearum et momenta virium clarius perfpiciatur, fit A Y B proie&io orbitae a corpore Z defcriptae in pla- num A O B facta, in qua punctum, Y refpondet loco cor- poris Z, pro quo .erunt coordinatàae OX —x, X Y — y. lam ducta recta O Y fe&or AO Y exhibebit aream in hac proiectione defcripiam, quam ergo vocemus — S, quae quia conflat ex triangulo O X Y et area A X Y, vocemus À X — £, vt obtineatur ifta area AX Y — fydt; eritque S—ixpy-r-/ydti; vnde differentiando, ob X--:— OA, ideoque conílans, erit 4? — — x; hinc- que colligitur elementum areae dS —;x4y—iydx; vn- de patet fore x dy—ydx—24$. 6. 17. Pro hac igitur proiectione habebimus ui szf Cad; C denotat momentum virium follicitantium refpe&u axis O C plano A O B perpendiculariter infiftentis, ideo- que formula integralis / € 20 fummam omnium horum momentorum per tempus 6 collecorum denotabit; at for- d S mula $5 repracfentabit celeritatem, qua area S defcribi- tur; vnde eius differentiale per 76 diuifum dabit accele- que. : 3 - rationem, quae ergo erit 752 — i C. Sicque intelligitur, accclerationem motus, quo area S defcribitur, ipfi mo- mento et22 )j sos ( G8d mento virium C effe proportionalem. ^ Quamdiu ergo hoc momentum C pofitiuum tenet valorem, celeritas de- fcriptionis continuo crefcit: contra autem, quando momen- tum fit. negatiuum, iterum decrefícit. — Haec etiam funt intelligenda de binis reliquis proiectionibus., Vilterior euolutio formularum integralium modo inuentarum. $. 18. Cum igitur deducti fimus ad iftas aequa- tiones : dme de C d pu m e A. 3. TEMPS 2B 40 exiftente UC Av 2 5p D Ee, ideoque C z -- Ax -- By — o, vidimus praeterea femper fore i sfCd0--xfAd0 -A-yf[Bd$—o, qua acquatione vtique certa relatio inter coordinatas x, J,z, et elementum temporis Z0 inuoluitur; eius vero diferentiale, ob Cz-J- A x 4- By —0, nobis hanc no- vam relationem fuppeditat: dzfCd0--dxfAd0--dyB/f/d0-co, quae pariter omni attentione eft digna. $. 19. Quoniam tres aequationes inuentae ad ter- nos noftros axes principales, fiue potius ad terna plana principalia referuntur, fequenti modo ex iis formari po- terit noua aequatio, in qua ad diítin&ionem horum pla- Acla Acad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. Doc. norum Tab. 'X. Fig. B. et3$ ) 3596) $5 norum plane non refpicitur; ita fcilicet vt ternae coordi: natae X, y, Z penitus ex calculo elidantur, earumque lo- co fola diftantia O Z — v cum elemento curvae defcriptae, quod vocauimus —— d s — Y (d x* -4- d y! A- d e'!), in calculo relinquatur. Obtinebitur hoc, fi quadrata tri- um aequationum inuicem -addantur, quod quo facilius fieri poterit, ponamus breuitatis gratia [AX&db) —P./BG0-—Q,yICaSzsR, et aequatio refultans erit (xdy —ydxy A-(ydz —dyYy -- (sdx —xdzy d (P:--Q'a-R). 6. 20. Quodíi nunc ifla aequatio euoluatur, ob Xx--J3J--zz-vv fit xx-4-Jy-—7v-—2z2; xx--2zz-vv0—9) et 4y--zz-—vU0—uEux; et hinc peruenietur ad iftam aequationem : v v(da 4A-dy --dz)— (vdx--ydy--zdzy) —d(P'--Q' -rR), vbi cum fit dx!-- dy! --ds* —eg et xdx--ydy--zdz—vdw, aequatio inuenta hanc induet formam: vvds—vodwv zzd (P* -- Q* -- R*). $. 2r. Qno indolem huius aequationis penitius perfpiciamus, confideremus elementum a corpore tempus- culo 40 defcriptum, quod fit Zz — d 5; vnde ductis ad folem re&is ZO et zO erit OZz » et Oz—v-4-4v. Hinc ec ).3o07 ( $s3 Hinc centro O du&o arculo Zo, vt fit oz —4v, erit vtique Z v^ — 2^ — d v^, hincque aequatio inuenta erit vv. Zv' — d ( (P* -- Q* -1- R?). Vocemus nunc angulum elementarem ZOz-— 440, ita vt d (D denotet angulum a corpore Z tempufculo 4 6 .cir- ca folem defcriptum, quod eft elementum in. Aftronomia maximi momenti, eritque Z «c — vd (D, vnde noftra ae- quatio erit o*ddvr dV (P* -- Q' -- R?), at extracta radice vvdiQ-—dv(P'-- Q'-r- R). 6. 22. Euidens autem eft, hanc formulam v «4d exprimere duplam aream fectoris elementaris Z O z, quae ergo fi ponatur — 4$, habebitur elementum areae, quod corpus motu vero circa folem tempufculo 49 defcribit, ita vt fit 22S — d$ Y(P* -- Q* - R?); quae aequatio fi comparetur cum defcriptione arearum in proiectionibus fupra explicata, facile intelligitur, fi momentum virium follicitantium refpe&u axis ad planum ZO perpendicu- laris ponatur — M, effe debere 24 S —/M 40; vnde tu- to concludimus fore [/M40-—Y(P* 4- Q' -- R?), cujus rei veritas infra clarius oftendetur. Aequatio ergo hinc eruta crit : vodQ-4 Md. $.:.23. Ad hoc autem vtile erit, relationem in- ter momenta virium A, B, C, ipfasque vires, accuratius Qq2 exa- ec32 ) so8 ( $e2— examinare; et quoniam, fi momenta vt cognita fpectare velimus, ex tribus aequationibus A-cry-—queBIPSS-r6xréUOC.4—57, ipfas vires f, 4, f definire non licet, in faubfidium voce- mus nouam quandam aequationem, quae fit Pxt4yMt-rz-—ko, 1 — $*--q9y--rz . , . d.t ita vt & — £—42?--7* exprimat vim ex viribus 5, q, r, fe- cundum directionem O z refultantem ; vnde cum ex priori fuperiorum aequationum fit r — ?—7, ex tertia vero —P5-t*, hi valores in noua aequatione fübftituti praebent kvx--Bz—Cy PE. xx-4yyjy4zz? piss Becrcm. v v fiue Hincque porro colligetur: am Cx -—-A- — kvrz-LAy—Bx qe ods epp citet $. 24. His valoribus inuentis contemplemur etiam vim refultantem pro ipfa directione motus, quae vocari folet vis tangentialis. Sit igitur ea —/7, eritque DL páx--gdy--rdz EEY Lie 2 vbi valores modo inuenti, fi fubftituantur, praebent vvids-—ko(xdx--ydy--zdz) -F A (ydz— zdy) - B (zdx —xdz) Y C (xdy—ydx). Cum nunc fit xdx-r-ydy-A-zdz—vdo, : tum vero ydz—zdy-d0[|Ad0, zdx aimi et xdy—-ydxzdefCae, Á his edi. ) s5o9( $t his fubftitutis crit vvids—ckvovdo--Ad0fAd0--BdófB40--CaofC 48, ideoque Pds-kdo-.5i0kd-CsaUp2e C-cdtrcato & 25. Cum igitur füpra pofuerimus /A d 0 — P, fB409 —Q, f/C49$ —R, his valoribus introductis habe- bimus tds —kdv -- PPEOIQ- ER ita vt hinc fit ; P4P4-Q4Q--RaR—«vvids—kvvdo vnde integrando colligitur PP--QQ4-RR-—2/fov(tds—kdw«). Quae ergo fupra de hac formula PP-33- QQ-I- RR. anno- tauimus , vbi littera M defignauit momentum virium re- fpe&u axis ad orbitam normalis, nunc eo redeunt, vt fit ((M4e?y-—safvov(tds—kdvo), vnde differentiando difcimus effe Má40fMd0—vv(rds—kdov), vnde patet, quomodo iftdd momentum M tam a vi tan- gentializ, quam a vi centrali, fiue ad O directa, quae erat —k, pendeat. Inuefligatio aliarum aequationum integralium. 6. 26. Cum motus corporis quaefitus determine- tur tribus aequationibus , integralia autem, quae hactenus Qq4.:3 inue- e$ )sro( $3 inuenimus , duas tantum determinationes complectantut , omnino necefle eft, vt infuper vna: aequatio integralis ex ternis aequationibus initialibus eruatur. "Talem aptem no- bis fuppeditabit ifta combinatio: L2dx-r-1L242y--IlL.24z, fic enim prodibit i 2dxddx--2:dyddy-r-2dzddz —— 2xdx—ai2ydy—»s5zdz ——— P ——-— —— —M——MÁ——Á --2pdx--2494dy-4-2rdz, vbi cum fit dx'--dy--dz-—dsyet xdx-Eydy--zdg—mvdo, per integrationem impetrabimus hanc aequationem: 4S —-ic-riof(pdx-d-qdy--rdz) vbi fignum fummationis iam conftantem per integrationem ingreffam inuoluit. 6. 27. Modo ante autem vidimus, fi vis tangen- tialis, fecundum directionem motus Z z follicitans, vocetur — t, fore id2s—pdx--qdy--rdz. Ex hac igitur vi tangentiali habebimus: Duc—uedrftds, vbi 45 exprimit quadratum celeritatis, qua corpus Z hoe tempore mouetur, Hinc autem loco ipfius elementi 25 introducamus potius angulum elementarem d Q, per quem corpus interea circa Solem progreditur, et, quemadmodum iam fupra vidimus, erit d 5'* — dv^--v vd, quo valore fubítituto noftra E fiet: - ^ IU gigt a apa fid s. ? Haec e$2 )ó3r:r( $t3e Haec itaque eft tertia aequatio integralis, quae cum prae- cedentibus coniuncta vniuerfam problematis folutionem con- tineri eft cenfenda, 6. 28. Quod fi hanc aequationem cum ea, quam in articulo praecedente vltimo loco inuenimus, qua erat qQvdQ-d0fMa4?, exittente f/Md$é-—Yafvv(tds—kdo), coniungamus, duas habebimus aequationes later ternas va- riabiles v, 0 et (, vnde per quamlibet binas reliquas de- finire licebit. Si enim breuitatis gratia ponamus vvdo-—Sd? et dv--voddy—*-LTA4b, ita vt fit S—JIMdVyet Te 2i; ex priore habebimus Tp eU quí valor in altera íub- flitutus dat Ssdó* .— sd? d! --HEBLISE-LTU, vnde deducitur dÜ-—.- m MUincono — y(zv--Tvv—Ss)? 4o -— Sdv vy (2s743-Tvv—Ss)* $. 29, Poffumus autem infüper aliam aequatio- nem integralem elicere, ope combinationis I. x -- 1I. y -- HlL z, quippe quae dat zxddx-d-yddy--zdádz uU Cc cuf Xe qy-rs L—54kv , Huic -- ez )s:n( c9 Huic addamus aequationem modo inuentam, (vide $. 26.) quae erat Cum repo o Pet pe SE) à — L-coftds ac manifeftum eft prodituram effe hanc aequationem: d.(xdx-Pydy-P-zdz)-—. d.viv AM aite I6 —i$--kv-rF»ftds, quae aequatio tantum continet variabiles 7 et 6, et denuo integrabilis redditur multiplicando per 2«94«: integrale enim erit: »vdU-c2v--2fkvvdv-r-4fvdvftds, d$ hincque elicitur di -— vàv z- MAUS V-paijfkvodv--«[vdvjfds). , quae ergo formula cum fuperiore $. 28. inuenta congruere debet. ^ Comparatione aufem facta erit Tov—SS—esfkvvdo-F 4fvdoftds; vbi fi differentietur et loco (T et 4 T. valor ante affumtus fcribatur , prodibit 2kvvodv-ovvotds—d.SS. Vidimus autem effe SS—(/Ma40y— efvv(tds—kdw) ideoque d,SScsovtds—2kvovodo, quo fübílituto aequatio manifetlo prodit identica. Ínue- -$95 (),9813. ( :$tSe- Inueítigatio - lineae nodorum et inclihationis orbitae ad eclipticam. $. 50. lum initio obíeruauimus , íi vires 5,4. euanefcerent , tum totam corporis orbitam fitam fore in eodem plano. Ob actionem autem harüm. wirium fieri poterit, vt orbita non amplius reperiatur in éodem -plano, cuius variatio commodi(fime. repraeíentari folet. tam .per li- neae nodorum quam inclinationis orbitse ad eclipticam po- fiiiohem. | Si enim haec duo elementa. ad quoduis tempus aflignari queant, perfectam notitiam habemus fupec con- tinua orbitae varjatione. $. 3r. Cum igitur Planeta vel Cometa nunc in Z reperiatur, et temporis elemento 49 percuriat. elemen- tum fuae orbitae Z z, concipiatur planum, «quod per puncta Z, z et O tranfeat, quandoquidem corpus interea in hoc plano mouebitur, Sit igitur recta O N. interfedtio iflius plani cum plano eclipticae .A O B, quae recta vocari folet linea nodorum, pro cuius praefenti pofitione vocemus an- gulum A ON — Z; praeterea vero vocetur inclinatio hu- ius plani ad eclipticam — sj, ct ftatuatur angulus N OZz- vp, qui vulgo vocari folet argumentum latitudinis; angulus vero elementaris Z O z maneat wt fiactenus pofuimus — 4 (D, ita vt, fi linea nodorum ON quiesceret, vtique foret 40-4. "Quatenes autem haec linea ipfà mouetur, haec aequalitas non "amplius: locum habet. $, 5*. Ducatur nunc ex puncto Y ad lineam no- dorum O N perpendiculum Y P, iun&aque rc&a P Z an- Adia Acad. Imp. Sc. Tom. V. D. I. IC n gulus Tab. IX, Fig 4. x2 )514( $9 gulus ZP Y ipfi inclinationi orbitae eft aequalis, ideoque — 4. Cum iam in triangulo P O Z habeatur latus OZ—-v cum angulo N OZ — V, erunt rectae PZ-«efíün. et O.P — vc cof. v. Dein vero ex triangulo Z P Y nanciscimur Z Y —» fin, 3 fin. p et P Y — v cof. v fin. vp, Porro ex P tam ad OA quam XY agantur normales P Q ct P R, atque ex triangulo OP Q, vbi OPz cof. Vp et angulus PO Q —Z erit P Q— v cof. p fin. Z et O Q — v cof, Vj cof. 2. Denique in triangulo P YR datur latus P Y- vfin. vp cof, cum angulo P Y R — 2, vnde concluditur PR-— fn. cof. 5 fin. Z et Y R — o fin. Vp cof. 7j cof. &. Ex his igitur elementis deriuamus binas reliquas coordi- natas X et Y: erit enim OX-—x—OQ-PR-vcof v cof. — q fin, Xp cof. 7j fin. Z, XY—y—PQ-r-YR-—vcof v fin. á -L- 9 fin. Xp cof. « cof. 2; modo autem vidimus effe YZ-z-fih.w fn. 5. $. 33. Cum pun&um orbitae proximum z tari in praefenti plano N OZ quam in fequente reperiatur , vbi anguli 4 ct w incrementa ceperunt dé etd», duplici modo a Z ad z perüeniri poterit. Priore fcilicet. modo eo peruenitur , dom linea üodorum cum inclinatione tan- quam e$ )sis( Z3 quam inuariabilis accipitur, angulus autem N O Z — yy in- crementum capere ftatuitur angulum ZO z — Zw. AI- tero vero modo ad idem punc&um 2 peruenietur, dum tam lineae nodorum quam inclinationi fuae variatio tri- buitur, ac praeterea angulus wp differentiali fuo naturali augetur. Quod fi igitur formulas pro x,y,z inuentas hoc duplici modo differentiemus, ex vtroque eosdem valores pro dx, dy et dz refültare neceffe eft. $6. 54. Non folum autem iíta conuenientia ipfas coordinatas fpectat, íed etiam quascunque formulas ex iis compofitas; quo notato, vt rem ad nofítras formulas inte- grales primo inuentas accommodemus , confideremus has duas formulas: 5 et 2, quarum formularum valores erunt x — ct. V cS. cot, 7] fin. e Jin. Y cot. DG. $ -|- cot. * cof, e. 7 Jin. Has iam formulas primo priori modo differentiemus, fta- tuendo angulos Z et 7j conftantes, ac ponendo d p — 4 (D, reperieturque Cn ctae d ( cof. € y nr dücppum. d. — 7 jin.w fm? et d. erc Senn. a[ : — 6. 55. Eaedem autem formulae more folito diffe- rentiatae, fnmendis omnibus quantitatibus variabilibus, prae- bent has aequationes: zr M o e d$ (mn.c col d. TES SIS Sp. ( jin. —4 ó cof. E cot. 77 —.. d * cJ. Y, cot. Ape. e dYfinse - TO ELM gt ——2 » wide t dé cofGcot. V 4 d. * —- —jim.wjinp zm ^ fm.» do fin. 6 cot. a L. dmco.wcot.wfin.g ^ dmcoj.g CETHOPA. cos y Rr2 His (5$ 316 e His igtur ^binis valoribus inter fe aequatis nancitcemup has duas aequationes differentiales::: p NT EE ZU Edi C col. 2 cot-. ". (d y-— d $) fi $— d € cof. € cot. Xp " "- IT. 0. jin. 7) fin. iet vr Vicus — d fin. ó cot. 3 .. d q cof. v) col. V fin.Q | d cof. $ jn.wÜT777T jin. »* $. 56. Nunc vt elementa 4(Q et d xp elimine- mus, vtamur hac combinatione: I. fin, Z — 1M. cof. 2, quae perducet ad hanc aequationem: o -— Ld oot. D c d» Jin. m Jmm? quae reducta dat d 4 — d Z cot. vp fin. 7j. Sicque. iam innotefcit infignis relatio inter variationem. lineae nodorum, et inclinationis ad eclipticam ; ita vt, co- gnita alterutra altera inde femper tuto: concludi poffit. Hinc intelligitur, quando fuerit argumentum latitudinis v -—o, tum lineam nodorum nullum incrementum capere poffe, quia alioquin fieret Z» infinitum. — Deinde vero, ties fuerit Np — 9o^, inclinatio nullam mutationem acci- pere poterit. 6. 57. Praeterea vero hinc etiam veram relatio- nem inter elementa. d (D et 2 «p afügnare poffumus, ad- quohibentes hanc combinationem: 1, cof. Z -1- II. fin. d. Hinc enim obtinebimus : d. Pr j d € cof. w cot: VJ Jin à fm. Ny? d ó cot. 7i Lp hinc- ec. )asiz7( i85 hincque dxp — dip — — d6 cof. « fin. p* — trem eie finop vbi, fi loco Z5; valor ante inuentus fabftituatur, prodit dx —d—-—4cof. v», ideoque d Q — dv -- d cof. 3. $. 3$. Cum igitur per priorem operationem in- venerimus ccu M di Dico C : zdx—zxdz . dOco LI UNES Un WUE At ex formulis initio integratis eft zdx—xdzzdé/Bd-GQ6$, quo valore fubftituto erit Qd — d Q cof. d zz — fin.w»fin.Q* ? quare cum fit z — v fin. «fin. Np, habebimus Q46 ——vvdQcof.Z fin. v. Deinde vero pofüimus vv 2p —40/M d 6, exi(tente /Md40—Y(P' 4- Q* 4- R7), vel etiam /Md0—VYsfvv(tds—kdw), quo valore fubftituto erit Q — — cof. £ fin. 9 / M 4 0, ideoque mLUSDOU L—1 5 WO cof. à fin. » — jáde — ^ Y(P-Q REY Kr' 6. 39; 3S ) 518 ( ecce $. 39. Simili modo cum fuerit — dO fm : jin. Y) fm, y? ? ent -—9diz.—3 .1dJjn.c zz row fin.v ons à Per formulas autem integrales priores erat zdy—ydz-—-—d0fAd06 —Pdft, Pd$— d Q fin.Q . . vnde fit ——' —— mos jnpai hincque ob - — 9 fin? fin. Np. enit P406 —ocvdQfin.Zfn.,. ex qua aequatione, ob vv d (p —49 fM 46, concluditur, L] Hg RM P fin. à fin. 4 — r4 — gar grex i) Haec igitur M lt per priorem diuifa dabit tang.Z — — g, hincque porro eal: o fin. Àj — yg au; €t C0 6 — yos cay ex quo deducitur - S00, fin. — — Y gg qq RR" $. 40. Quoniam omnes perturbationes tanquam infinite paruae fpecantur, defcriptionem areae in ipfa orbita tempori proporrionalem affumere licebit, ita vt fit [M49 quantitas conftans, quae fi igitar ponatur — € aequationes modo ingentae ita referri poflunt: cof. 4 fin. — — $ — —^— din.Zfin gj — Fg — LU, eX quibus aequationibus differentiando colligitur: Bd (pz—-rx)dé — d£ fin &fin.g d- dz cof. cof. — ^,^ 5 — BEL, -- 42 cof, 6 fin. «-- d «cof, » fin. £— quia oc oue —ec5 )s19 ( Gee vnde eliminando 47^ fiet —— (D d à fin.6 -- —qz)décof. did fin. ay zs (edd b.e ac (roc qeldde.£, At vero eliminando 44 erit di cof, — — izrsdesf o — ad difn.g 6. 4:1. Ante autem inuenimus inter dó et 4 hanc rationem: dw«-—déZcot. p fin. «, quae relatio hic introdu&a praebet hanc aequationem: —(pz—rx)cof,£ -4- (ry —4 2) fia. — (pz —rx)fin.£ cof. «cot. «p -E- (ry—42) 0f. £ cof.5] cot. Np y quae euoluta hanc induit formam: (— p (s cof. £ fin. xp 4- z fin. £ cof. » cof. di 1— g (z fin Z fin. yp — z cof. Z cof. « cof. xp) | x cof. Z fin. Vy 4- x fin. d cof. w cof. pj | [a^ 2; fin. Z fin. p — y cof. Z cof. v cof. ui fue concinnius 4 (r.y— q 2) (fin.Z fin. Np — cof. £ cof. «cof. Ue m MAN DÉC DR AE noc Haec autem relatio eatenus tantum valet, quateuus de- ícriptio arearum , feu formula vo 4 tempori e(t pro- portionalis. $ 42, Madenus planum: priücipale & O B. in. pla- no eclipticae affumfimus; pro inftituto autem noftro ma- gis conueniet, hoc planum ita con(ítituere, vt orbita pla- netae feu cometae ab eo perpetuo quam minime tautum difcrepet. "Teneat igitur hoc planum fitum quéndam me- dium intef omnes variationes, quas orbita quacfita fubire poteft, et32 ) seo ( $99 poteft. Hoc igitur notato, quoniam variationes affumi poffunt quam minimae, inclinatio orbitae ad hoc planum quafi infinite parua fpectari poterít, ita vt angulus 7. pro cuanefcente haberi pofüt, vnde erit fin. 9j — » ericob aiia 15 vnde valor ipfius s prodibit — c «fin. Np, qui perpetuo erit quam minimus; tum vero erif x — v cof. (Vj -1- Z) et y — v fin. (Sp 4- £). $. 45. Hic primo obferuamus, fi vis perturbans r abeffet, tum corpus perpetuo in eodem plano A O B promoueri debere, ita vt aberratio ab iíto plano a fola vi r proficifci fit cenfenda. Quoniam igitur quantitatem z vt euanefcentem fpectare licet, crit Az-zry vet B-—tx vüde aequationes fupra inuentae erunt cof, Z fin. 3; 2 3) cof, & — 4 Li et fin. Z fin. jj — 7 fin. Z 7275, vnde fit tang. 2 — (7745, fiquidem ponimus /M 20 — €. -—P"U sd? $. 44 Quia autem orbita quaefita in ipfum pla- num A OB incidit, formula vv (p exhibet elementum areae in ipfo plano A O B deftriptae, feu aequabitur ipfi xdy—ydxzcdeyfCa?, ficque iam erit vodp-—dtjCat—dafd$(gx —by), vnde integrale /2 0 (q x —?J) pro quantitate € conftante haberi poterit, fi fuerit 4 x — f y quantitas quam minima; id ets )asnr( f id quod femper füpponere licet, idque eo magis, quan. do proxime fuerit qx —5 y — o. $. 45. Nunc igitur differentiando pernenimus ad has formulas: d 4j cof. £ — « d & fin, — —** et d * fin. Z 4- « d à cof. £ — *2**, vnde fit gu C et —— r d 8 (y cof. £ — x fin.Q) qd rom uen, Cum igitur fit — , x — 9v cof. (£ -- Ny) et y — v fin. (4 -i- Nj); prodibit s Py sien quorum valorum ille per hunc diuifus dat P$ c tang, vp, ideoque d — ndé quae eft eadem relatio, quam fupra C7 agang.yp? inter dZ et 4; inuenimus. Ex his igitur formulis inno- teícit, quantas variationes quouis temporis momento tam pofiiio lineae nodorum quam inclinatio patiatur, quae a íola vi r oriuntur, quae vis cum femper facile affignari queat, determinatio horum clementorum uilla prorfus la- borar diffücultate, ficque totum negotium reducitur ad re- folutionem binarum aequationum inter quantitates 6, (D et € iam füpra inuentarum, . Motus ergo quacfitus a folis viribus f et 4 pendebit et perinde erit comparatus, ac fi fieret in ipfo plano A O B. ] dq — S et dá — Y, Aca Acad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. S5 Alia Tab IX. Fig. s. ec33 ) sem ( SEE . Alia methodus mobilitatem orbitae determinandi. $. 46. Supra iam innuimus, aequationem xfAd0é--yfB40--zfC46 —o, ad quam primae aequationes nos perduxerunt, fpectari poffe tanquam aequationem localem pro fuperficie, in qua motus peragitur. Pofuimus autem breuitatis gratia JASE-—PD,I/BZ$—Q;,/0429 —R; ita vt fit Px-I-Qy -- Rz—0, quae aequatio, fi quan- titates P, Q et R, effent conítantes, certum quoddam planum définiret. | Quare cum iftae litterae per aliquod temporis fpatium nullam fenfibilem mutationem patiantur, fi cae vt conftantes fpectentur, ex hac aequatione definiri poterit planum, in quo planeta fiue cometa hoc faltem tempore mouebitur. , $. 47. Referat igitur, vt initio, planum AOB eclipticam, fitque ré&a ON interfectio plani quaefiti cum eciptica, pro qua ponamus angulum A ON — Z. Cum igitur per totam hanc rectam O N fit z — o, pofitio hu. ius lineae hac aequatione: P x --Q y — o exprimetur, vn- de fit 2— — 2. — Exprimit autem fracio 2 tangentem anguli Z, vnde (latim colligimus eífe tang. OE ra pror- fus vt ante per multas ambages inuenimus. 6. 48. Nunc pro inclinatione huius plani ad e- cdipticam inuenienda, quam ante vocauimus —*, ftatuamus in noftra aequaüone x — 0, vt fit Qy -- Rz —0, ex qua; St ).328/( $$ qua, fi in axe O B capiatur O P — y, definietur longitudo perpendicularis P Q. ad. planum NS pertingens; e- rit fcilicet PO EE m E lam ex P ad lineam nodo- R.rc rum O N. ducatur normalis P.R , .iungaturque recta QR, vt angulus PR Q exhibeat inclinationem planorum — x. Quia igitur angulus P O N 2 90* — $, in triangulo POR erit P R — y cof. d; vnde ob PQ — — S7, eruitur ? tang. PQ R — tang. 4j — — Kajgt Á $. 49. Cum igitur inuenerimus tang, d — — P: e- m Q. 3 BEDS EMI S S mit fin.£.— —2mgr4zgg t Eof e GERE GEP üsqpe erit LO YPP--0OOQ | (ang. qzz be. Hincque porro deducitur 2 OY(PP 2-00) : " fin. dc e VIRE TC OQ X RR)? " qui valor Fade cum fuperiori conuenit; vbi notaffe iu- vabit fore Lit R - cof. 4— Y(PP-d-QQ.G- RR)' Nunc autem, vt ante fecimus, in locum plani eclipticae AOB conftituamus ipfum . planum, in quo corpus certo quodam tempore, quod nobis certam epocham defignet, mouebatur. Valores autem noftrarum formularum inte- gralium ponamus füiffe P—/[Ad(-290Q—/Baé —,9,R-y/c7$—e«, vnde quia pro hac epocha erat 9(x--235y-4- € z — o, vbique autem effe debet z — o: euidens cft, valores 9f et 25 euanefcere debere, vt fiat € z — o, $. 5o. Tam poftquam ab hac epocha elapfuüt fuerit tempus 6, valores quantitatum P, Q, R. fequenti Ss2 modo ems )s3fe ( i99 modo fe habebunt: P-—293(-3-f/Ad6—o-r-fd06(ry—4q2), Q—35-4-/B40$—0-4-fd0(px—rx), R—C--/C40$—€-r-fd06(qx—py) At vero quia declinatio orbitae praefentis a plano A O B eft quam miuima, ita vt fumi poflit z — o, pro hoc tempore erit P-—jfrysde Qzx—/rxd et R — €--/48 (d x — pj), quae inteeralia ita capi oportet, vt in ipfa epocha, wbi 6 — o, euanefcant. — Vnde patet, quia ipfae vires pertur- bantes f, g, r funt quafi infinite paruac, fingulas has for- mulas integrales quantitates quam minimas exprimere. 6. 51. Referat nunc recta ON pro tempore 6 ab epocha clapífo lincam nodorum, qua planum, in quo cor- pus nunc mouetur, planum fixum A O B interfecat; at- que pofito angulo A O N — 42 ct mutua. ínclinatione. — 3, quam vt infinite parüam fped&are licebit, formulae ante inuentae pro hoc cafu dabunt tang. Z — [7255 et tang. Y 2— Vr xt Es c 2207, m vbi, quia quaeítio. ett de valore quam mintmo — tang. 7j, in denominatore pars integralis prae conftante C reiii poteft, ita vt fit tang, 7 — inde autem fit LY ry db 3 rzap, MEME M: d $ fin Qa SL AMCEP ———, 33 "AE SNC db) --ürxdt) laic vnde et )sís( Bue vnde erit fin. 2 — — Ears ita vt fit fin. 4 tang. « — w fin. d — — I77* , ex quibus ergo formulis ad quoduis tempus tam pofitio lineae nodorum, feu angulus , quam inclinatio infinite par» ua * determinari poterit. €. 52. Cum igitur mobilitzs orbitae his duobus elementis contineatur, hinc manifeítum eít, totam orbitae mobilitatem a fola vi perturbante r, cuius directio in pla- num A O B eft perpendicularis, . pendere, id quod etiam ex ipía rei natura intelligitur. Si enrm íolae duae vires p ct g adeffent, quarum directio in ipfum planuum AO B incidit, corpus perpetuo in eodem plano moueti pergeret. Eatenus igitur tantum ab hoc plano declinabitur, quatenus adeft vis r in hoc planum normaliter agens, cuius ergo acio tota in hoc effedu confumetur; quemadmodum bi- nae reliquae vires p et4 perinde. motum corporis afficient, ac fi totus motus in plano A O B abfoluerctur. 6. 53. Quo autem pateat, quamnam legem muta. tiones momentaneae angulorum Pet " feruent, cum for- mula poftremo Thren 3. in. d — — /4* | iip igie eandem per tang. 2 sets quàe erit (cof. Z —— ur : hincque differentiando nanciscemur . d fin. £ -4- « d Z cof. ber TIC et dcofZ-w«dZfin.£—— 5 $5 3- Yvüde et33 ) a6 ( S2 vnde combinando colligitur —— | e dw -— — ES mici) et T goeEse Asta tne), s " T5. IX. Ad has aequationes bi eene fit Z locus corporis infinite pa- F6. rum fuper plano A O B eleuatus, ita vt cum puncto Y con- fundi: poffit; duc&aque re&a Y P ad O N normali, facile patet fore O P — y fin. 2 -- x cof et YP2-ycof.Z — x fin. Z. Quare fi argumentum latitudinis vt fupra vocetur N OZ— " Nt ób OY — e'"fiat "OP -—^cófsp' iet. Y P zoviid? V, variationes moméntaneae modo inuentae ad has eod Tes concinniores reuocantur: TX ; dw- — "fy CDU d D LC TUM UIN vnde: fequitur relatio fupra inuenta | | c cot. Vp. fiue d « — «d & cot. Nj, Mn 1s Inueftigatio inaequalitatum motus in ipfa orbita. $. 54. Hic igitur totum corporis motum ita con- fiderare licebit, quafi in ipfo plano A O B perageretur , dum praeter vim ad Solem tendentem- tantum a. binis vi- ribus p et q follicitatur, quae fi abeffent, corpus motu re- gulari circa Solem. in -fe&ione conica circumferretur. Vnde intelligitur, quoniam iflae vires vt minimae fpectantur, motum parumper tantum a regulari. effe idiscrepaturum , r cius- -H2 )aer( ee eiusque aberrationem. commodiílime repraefentari. poffe, «fi ad quoduis tempus ea fectio conica inueftigetur, per quam eo faltem tempore moucatur, vnde fequens problema prae- mittamus. "T .. Problema. Cognito loco et.molu corporis , .quod a fola vi Solis aitrabitur, inuenire. elemenia. orbitae ellipticae, in qua moium - fuum 'àb/oluet. | Vill qoo Solutio. 6. 55. Quoniam primo locus corporis, qui fit in Tab. X. Y, datur, centro Solis exiftente in O, "vocetur eius diftan- Fig. 1. tas] Y angulus vero AO Y — $, quo fcilicet a di- re&ione fixa O A iam eft remotus. Deinde" quicunque motus huic corpori fuerit impreffus, quo iu directione Y y procedit, refoluatur is fecandum directionem Y v, quae cum diftautia O Y in directum iaceat, et fecundum Te Y uw, illi normalem, eritque illius celeritas 25, huius vero celeritas t5s quare, quia motus vt cognitus fpedatur, ponatur £v — uy et 19 — £, eruntque cognitae hae quatuor quan- ütates v, (, «4 et £,, ex quibus fpeciem fe&ionis coni- cae, in qua motus fiet, definiri oportet, $. 56, Primo igitur quaeri. debet locus perihelii ius orbitae," qui fit in II, pro quo ponatur angulus OI —, ita vt fit angulus IIO Y —(0D-— 7, qui vo- catur anomalia vera, quam ponamus II O Y — o, ita vt ft Q—ou-- m. Praeterea vero denotet f femiparametrum eirbitae quaefitae, et excentricitas ftatuatur — g, ex quibus ele- *Tab. X. Fig. 2 e$3$ ) 9328 ( $52 elementis di(tanti O Y 2v ita determinatur, vt fit v — — f —. 1 4- E Cof. 3 Denique vero ex indole motus regularis conftat, vti dein- ceps claríus patebit, rationem temporis ita in calculum ingredi, vt fit d0 — —, | $. 57. Cum igitur fit ines d vltima conditio ftatim dat Vf — v«o£, vnde ergo flatim parameter orbi- ; ^i p* ET "Tom tae innotefcit, dum eft /7o*£'*. Hinc igitur ento rl ideoque x --gcof,o — v £*. Porro vcro quia quantita- tes f et g font conítantes, differentiatio formulae v — TM . — fgduwf[imn.co — vvdd . vviu : dabit d o — (gaius? vnde es fit d à — 9779 — 9779 ob z conftans, erit 7 — 4 — *75?, vbi loco V f pofito va- lore v v£, fiet u — £7. Ante autem iam vidimus effe Y--gcofae-— v £', ex quibus duabus aequationibus binae guantiates incognitae g ct qg quaeri debent, 6$ $8. Cum ig'tur fit gfin.o -uvv£ et gcof. — He ie IL uwowg Y n T9. £'— 1, colligitur fore tang. — wpc.. Sicque de terminabitur anomalia vera 9, qua inuenta pro loco pe- rihelii habebitur -—(Dp-— ce. Tum vero hinc ctiam ia- . 5 —uvv£ . . notcefdit excenitricitas g — 7777. Sicque omnia quatuor elementa: fcil. f, g, & et m funt reperta, quibus orbita, quae quaeritur, perfe&e determinatur. €. so. Hoc problemate praemiffo, contemplemur cafum , quo corpus in Y praeter vim folarem — Z5 in directione Y O agcptem, follicitatur à duabus viribus Yp—f €t Y 4— 4, quandoquidem 'cffe&us tertiae vis r iam eft determinatus. Ponamus igitur vt fupra binas coordimnatas OX-—Xd«uXYTJEVCft €v—ox*)y;tum vere [or hic es2 )se9( $5 hic ftatim vocetur angulus A O Y — $, eritque x —-o cof. (b et y — víin. G. Loco virium autem perturbantium etg in calculum iutroducamus duas alias fecundum directiones Y m et Y s agentes, quarum haec ad illam fit normalis , ac vocemus vim Y m — m et Y n— 2, atque ex iftis vi- ribus praecedentes f et q ita definientur, vt fit p-—mcofQ — nfin.( ec q — m fin. p -1- n cof. d. 6. 6o. Pro motu igitar ex his viribus oriundo prin- cipia mecharica fuppeditant has duas aequationes: p $4* — — 5-12 cof, (D — n fin. (; Il. £2-— — 2- 47 m fin. D 4 2 cof. D; et cum fit x — vcof. (p et y — v fin. D, hae aequationes erunt: e —89 m cof, (D —n fin. D; — P i m fin. (D -- 9 cof, Q. $. 6r. Introducamus autem porro loco ddx et ddy valores per v et (Q^ expreffos, ac primo quidem ha- b.bimus: d.x —dvcof.( p —«odQfin. D et dy —dvfin.(Q-t-vd(pcof. D, hincque denuo differentiando: Ll. ddx—ddocot.D—2 dvdQ fin.c , —vddrvcof.D—vd d n. b; IL ddy —ddwfin,D-- 2d v dip cof. (p —vddq*fin.D--vddQcot. i; qui valores iu fuperioribus aequationibus fubftituti intelli- gantur. Acla Acad. Imp. Sc. Tom. V. P. I. X d 6. 62. "pab. X. Fig 1. eH2 ) 330 ( $9 6..62. Nunc primo faciam"s hanc comb/nationem: I. cof. 4- 1L. fin. D, quae deducet ad iitam acquauionem: ddv—vdQ* . * a dó* E vy 17 n". D.inde vero fiat haec combinatio: II, cof. (p — L fin. (p, quae dabit : 2dvd(Q--vddd e ou LH. Sicque tam finus quam cofinus anguli (D ex calculo ex- cefferunt, quod non contigiffet, fi vires f ct g in calculo retinuiffemus. 6. 65. Quanquam hae aequationes funt differen- tiales fecundi gradus, tamen integratione penitus fuperfe. dere poterimus, quandoquidem ope proble natis praemi!fi ad fcopum optatum pertingere licebit. Quoniam igitur in illo problemate pofuimus 4*5 — u et 2$ —£, ob ele- mentura d conftans a(fumtum erit ddv .— didi. —. 4j» -cduet cd, | quibus valoribus introdudtis binae aequationes inuentae has induent formas: ' duis. $2— o I1 [ vd£ —. A -vE I —gd-m et 2u£--t m. Sicque hinc innotefcunt noui valores differentiales zi et 2E uippe qui erunt: quipp dE dium x d£ . n—su£ e vf —od-f ct dé — 3 i 6. 64. Quodíi iam affümamus, tempore quo cor- pus erat in Y, eius motum ad talem fe&ionem conicam pertinuiffe, pro qua fuerit perihelium in puncto ll, exi- ftente angilo A OH — z ; tum vero. femiparameter fue- rit — f, excentricitas —q €t anomalia vera ILO!IY,—u — ita vt D— m -- uw, tum corpus hanc curuam defcribere effet et ) ssr( S93 effet perecturum, fi vires perturbantes 5; et 2 fübito annihi- larentur. | Euidens autem eft, ob iítas vires perturbantes eles menta iftius fectionis conicae continuo mutatum iri, ita vt elapfo tempusculo Z9 fuis differentialibus increícant. 6. 65. Ex motu autem, quem corpus in pundo Y habuit, elementa orbitae in praecedente problemate ita determinauimus, vt effet r)yfzevz; zgíübo-uos 5*) gcoto— v! P— x et 4) — 0—u; vnde differentiando incrementa horum clementorum: fcil. df,dg,duet d m determinari poterunt , quibus inuentis ad quoduis tempus eam fec&ionem conicam afbgnare poteri- mus, ad quam motum corporis eo faltem tempore referri oportet. Ipfum autem tempus 6 hac formula continebitur: —vvddcd eec $ 66. Vt igitur has orbitae variationes eruamus, differentiemus primo aequationem primam, cuius differen- tide per 70 diuifum dabit: df | — :»£iv vod. , d£ , rever rale * roten rt — 2uví-Lov. t. Modo autem vidimus effe : xs IRE , quo valore fubfti- tuto erit LS -—n9v, vnde incrementum femiparametri orbitae, quod tempusculo 49 nafcitur, fatis commode in- notefcit, cum fit 2f —2nvd0Yf—esno £460. Vnde patet, fi vis perturbans 7 cuanefíceret, tum etiam parame- trum orbitae nullam mutationem eí(fe paffurum. Tt2 6. 63. eg )ss2( S5 $. 67. Pro excentricitate '& et anomalia vera uw coniuncim confideremus has formulas: gin.o-—«uvo£et gcof.o —v' E — x, quarumi differentialia per 4 0 diuifa dabunt: d g fin. -- ducof. .— uvvd&£ zuv£dv vo&dis I, 4£/^5 * gaosto — auod p suskdu L pokds, "— svv£t $d'v Tt. d 8 "3 EESUIP UO Hic igitur loco 22, 45 et i vtto. fupra affignati fub. ftituantur, ac peruenietur ad has duas aequationcs: f. I. Es TE pe nuo--mov£-4v£ -É£. ]l $4£x»—540/-» env o£—uwov£$t, quae acquationes ob vf'—-£-gácfuaetuvezZl-gifüno abeunt in has: ], GE photo — nuo noo gfcofou. Hu. ipea piobno pop z— g E fin. 9. €. 68. . Tam prior haram aequationum duca in fin. & pofterior vero in cof. à inuiemque additae dabunt hanc aequationem : ir moviüne--me(ufima- sv£cof o), vnde iterum patet, fi vires perturbatrices effent nullae, tum excentricitatem g manere conílantem , prorfus vti rei natura poftulat. Dein vero íi faciamus 1, cof. o — 1. fin. a, prodibit gio — n ov& cof ü--2v(ucof. a — 20$ in. u) - g 4 Vnde ec )353( 928i Vnde patet, cafü quo m — o ct s—0 fore &£/* — pg, ideoque ob g£ —52? erit du —4(. Quoniam enim hoc cafu linea abfidum quiefceret, ob angulum m conftan- tem vtique foret dp — 4e. Denique ínuento elemento — : dim d . do ob d m—d(-—du, ideoque 27 —Z — 42, reperietur pro motu lineae abfidum dm — m'vvÉcuo. m(nco.m — v É finu) dà 3 g & ^ Vnde itidem patet, cafu » — o et 5 — o lineam abfidum in eodem fitu conferuari, $. 69. Colligamus nunc quae llia&enus funt eru- ta; ac fi pro tempore quocunque 6 füerit locus perihelii in I1, exiftente anguio A O II — z, tum vero orbitae el- lipticae femiparamcter fuerit — f; excentricitas £ et ano- malia vera — 95 tum pro loco corporis habebitur angu- lus AO Y— z--a0— Q, eiusque diftantia a fole OY-zvoL.—. 1-2- g cj. "Vnde cum corpus per tempusculum Z6 in hac ipfa orbi- ta fit. progreffurum, erit Zp-—— doe et vu du — d y f, hincque porro du —— Vf — (i -- geo u 4ó ^7 ww» f4f qui ergo erit valor ipfius Z — 27, — Praeterea vero erit. du-ít49/5.9, hincque —— (1 4E g cojus ? do. ,,——£/m.o 4$ S [WE vnde variationes momentaneas fupra inuentas per ipfa or- bitae elementa determinare licebit. T6 | $. 729. e£32 ) sg4 ( $3 $. 7o. Elapfo fcilieet tempore dÓ, ob vires per- turbatrices s& €t 2» primo femiparamcter orbitae, qui erat z3 augmentum accipiet 7f, ita vt fit qf US —— D ad inuhos nvo-—: puram vnde, pofiquam hinc us fuerit tempus 8, babcbitur integrando df dy. f[35u5—-4—Ívs vbi notetur effe dó—.f fdwo4f (xg op? quo valore fübttituto prodit 2f — "4*9 ., hincque integrando 2f5 G A g c9J. w)* x ui duisdl g ffioctht. na A (1 2 8 €0j. w)* Porro autem pro incremento excentricitatis orbitae quod tempufculo d 6 accipiet, erit 24 — m Y f. fin. o -- t ( ———2— -4- 2 cof. &) Y f, dy iE. vnde integrando ad quoduis aliud tempus excentricitas eli" ci dcbebit. $. 71. Quaeramus nunc etiam. incrementum ano- maliae verae, fcu anguli o, quod tempusculo 46 acci- pit, et quod inuenimus effe: dua — | f. v (ucof. o — :v£ fin. j-lmetimte (u aer PvE T quae expreffio fubflitutis valoribus abit in hanc: dm — mco. wf ,— n fin. Vf (a gcof to (7t ecu CE : Eu YT Y atque ec352 j s35 ( Ste atque hinc cum fit AT ord idiises 16. de d dg d$ dé? pro motu lineae abfidum erit um mc Vf s. onfn.o Vf (sb gef o) d8.-—^ & & 1-d-gc60.«9 * $. 72. Hoc igitur modo omnia incrementa, quae «uncta elementa fe&ionis conicae tempusculo 4$ a viribus perturbantibus /z; et 5 accipiunt, determinauimus. In praecedente vero articulo iam definivimus, quantum haec orbita a plano A OB dimoueatur a vi * in hoc planum perpendiculariter agente. Has igitur omnes opcrationes concinnitatis gratia in fequenti articulo colligamus. Praecepta pro determinandis perturbationibus, quas orbitae planetarum vel cometarum ab actione aliorum corporum coeleftium perpetiuntur. 6..73. Quoniam perturbationes quam -minimae fupponuntur, ita vt corpus per aliquod tempus motu re- gulari per orbitam ellipticam circumferri cenferi poffit, ponamus certo quodam tempore, quod tanquam epocham fixam fpectemus, orbitam planetae fiue cometae fitam füu- iffe in ipfo plano A O B, eiusque perihelium "fuiffe in II (fig. x.) exiftente angulo A O II— 7, quo quafi longitu- do perihelii a directione fixa O A defignatur; tum vero fuerit eodem tempore femiparameter orbitae — f ect ex- centricitas — g.. Hanc igitur orbitam, (quatenus motus regalis Kepleriamis perfecte. eft. conformis) ;in qua planeta fiue cometa reuera circumferretur, fi multae vires pere turba- Yab. X Fig. 3. ej; ) 336 ( $9» turbatrices adeffent, orbitam ficam appellemus, ita wt nobis incumbat, pro quouis tempore ab epocha elapío va- riationes affignare, quibus vera orbita ab hac oibita ficta fit aberratura. 6. 74. Primo igitur vires perturbatrices perpeu- damus, quae ab actione cuiusque corporis cocleftis oriun- tur. Elapfo igitur ab epocha tempore -quocunque — 6, reperiatur planeta fiue comcta iu orbita fi&a in Y, fitque eius anomalia vera, fiue angulus II O Y— o, ideoque lon- gitudo feu angulus A O Y — m-i- o, vnde eius diftantia id) a fole erit O Y — — 77. Eodem autem tempore ver- fetur corpus coclefle, a quo perturbatio producatur, fu- pra hoc planum in puncto P, a quo ad planum AOB demittatur perpendiculum P Q iunganturque recae ad fo- lem du&ae PO et QO, item recta ad Y ducta PY. Jam fi maffa corporis in P ponatur — M, dum mas- fa folis, vti fupra affumfimus, vnitate defignatur, vis, qua hoc corpus in folem aget, erit 55, vnde haec vis in directione contraria P O ipfi planetae in Y applicata eft concipienda. Praeterea vero planeta in Y immediate trahetur verfus P in directione Y P, vi — V. 6. 75. Primo igitur vis fecundum directionem P O, quae eft pov, refoluatur fecundum directiones P Q et QOO, critque vis fecundum P Q — 72 et vis fecun- -25&, 00 RO ed , dum QO-—*2-. Simili, ono» duca recta Q Y, vis trahens fecundum Y P, quae eft ,"., refoluatur ie directiones QP ct X Q, eritque vis fecundum QP-z3X NE. ct e$ ) 387 ( $50 et vis fecundum Y Q — 7752, — Quoniam igitur ab hac Mp3 vi pofteriore pun&um Y perpendiculariter furfum follici- (uM EP satur a Vi — "y'jr, 2 priore vero, quae erat !t79, deore* fum, vis ad plaoum A O B normalis, quam fupra defig- nauimus littera r, erit Nr To — M.PQ (zs — 3). Vnde patet, hanc vim furfum effe directam, quando fue- rt PO YP, contra vero deorfum, quando fucrit POZGYP; fiquidem punctum P füpra planum AOB ver- fetur. Quod fi igitur eueniat, vt corporis P diftantiae a fole O et a puncto Y fint inter fe aequales, tum vis r euanefcet, et puncum Y neque furfum .neque deorfum vrgebitur, 6. 76. Vt nunc etiam ambas vires, quas vocaui- mus sj et 2, quae in ipfo plano A OB funt pofitae, hinc definiamus, a pun&co Q ad rectam O Y normalem duca- mus QR; ac primo quidem vis QO — 522, dabit pro : - 1 M.QR M.RO diretione QR vim os» €t fecundum OR vim Eo. M.YQ. Simili modo vis fecundum Y Q, quae eft — 7? refolu- ta dat pro directione Y R. vim — 2, et pro directione RQ vim — S22. Quare cum pofüerimüs vim a fole recedentem fecundum Y z — 9, vim vero ad hanc direc« üonem normalem fecundum Y » — z, habebimus: M.YR.OM.RO et d m Y$5 ^ por — "Rb Ror-— M.-QR (3g — 5); ita Vt haec vis z fe habeat ad vim fuperiorem r vt QR ad P Q. Aca Acad. Imp, Sc. Tom. V. P. I. Vv $. 77. eM ) sss ( He 6. 77. Quod fi punctum Y fimul a pluribus aliis corporibus coeleftibus follicite:ur, quae fint f', p. pl! etc,, ex fingulis per formulas modo inuentas ternas vires lit- teris 5, 2 et v defignatas colligi oportet, quibus inuen- tis et debito modo coniunc&is, fi ponamus hoc tempore anomaliam veram in orbita fida fuiffe — «9, tum femipa- rameter orbitae, qui erat — f tempusculo 46 incremen-. tum accipiet df — **4*^- 40, in cuius formulae. inte- 14-&£ cof. a Q gratione quantitates f et £g vt conílantes fpectare licebit. Tum vero meminiffe iuusbit effe 20 — 4*9"... Ple- (1 4r 8c0J. Q2)? * rumque autem integrationem nullo modo fperare licebit; ita vt ad computationem tam virium 77, Z7 et r quam anguli o pro pluribus temporibus a fe inuicem non ni- mis remotis confugiendum erit; vbi pro elemento tempo- ris d0 fatis tuto ipfa temporum interualla accipi poterunt, Quo obferuato omnes iftae formulae in vnam fummam colle&ae dabunt verum incrementum ; quod femiparameter f inteiea. acceperit. 6. 78. Deinde vero incrementum Zg quod ex- centricitas orbitae ab a&ione virium :;z et z tempusculo . d 0 accipiet, erit dg — mdÜfi.a Vf -- nd0 Vf (£P -- 2 cof. a), 1 -- g Cof. Q vbi circa integrationem eadem funt tenenda, quae modo ante commemorauimus. — Praeterca vero progreffüo mo- mentanea perihelii erit prs. m d 6 cof. o Vf ten vf 2 4- g cof. c dg — eto joe ge vf (eg e qu quo inüento incrementum Bbsstiae Vcrae erit (Y. iesus UE cof. )*- (9)? E quz — I d(Ü—dm, vnde -233 ) 539 ( $283 / vnde locus planetae in fua orbita corrigi poterit pro quo- libet tempore propofito. $. 79. Tantum igitur fupereft, vt indicemus, quantum vera Orbita a plano fixo A O B, quouis tempo- re fit declinaturay, quem totum effectum ex vi normali f definiri oportebit; pro quo negotio fupra has aequationes nacti fumus: cof. 4 fin. L5 et fin, Z fin. «4 — DON Vbi, quia € in motu regulari erat valor formulae D nunc conftat fore € — Y f: j $. so. Repraefentet igitur curua A Y B. orbitam fidam, in qua pro quopiam tempore 0 ab epocha clapfo planeta fuerit in Y, vbi perpendiculariter furfum vrgea- tur vi Yr—r. lam capiantur iftius vis; momenta re- fpe&u amborum axium O A et OB; eritque momentum prius — ry; at refpectu axis O B. momentum erit — rx; pofitis fcilicet coordinatis O X — x et X Y — y. BHuius- modi autem bina momenta pro pluribus temporibus ab epocha elapfis inueftigari concipimus, vt interualla eorum fatis tuto per ipfum elementum 70 exprimi queant; tum autem per totum tempus 0 ab epocha elapfum haec bina momenta in fummam colligantur, atque valores hinc re- fultantes ponantur: frx aS zaEEWEydb-—Q;, ad quod remedium femper erit confügiendum, quando nulla fpes adeft has formulas acu integirandi, Vv2 66152, «35 ) 540 ( $83 6. $1. Quod fi iam pro tempore 0 ab epocha elapfo linea nodorum fuerit re&a O N, quam quidem ad nodum afcendentem dirigi concipiamus, vt planeta in puncto N fupra planum A OB afcendat, fi ponamus angu- lum AON —Z, inclinationem vero orbitae — €, fine vlteriori integratione ftatim habemus has aequationes: M Sm oM cof. à fin, z; — 7; et fin, 6 fin. « — 75, vnde ftatim pro pofitione lineae nodorum colligitur — 2 Qs tang. — tang AON — $5 vnde cum fit -—— P cof. à — xr qg erit pro inclinatione — y«(PPHa-QQ) vbi inclinatio z; tam eft exigua, vt ea a fuo finu non di- Ícrepet. €. $2. Hoc igitur modo ad quoduis tempus ab epocha elapfum non folum vera fpecies elliptica, in qua planeta fiue cometa tum moucbitur, verum etiam pofitio huius orbitae refpe&u plani fixi A O B atfignari poterit; quibus rebus cognitis haud difficile erit, pro quouis tem- pore verum locum planetae fiue cometae definire. Sic- que quaeftioni circa perturbationem motus tam plancta- rum quam cometarum ab acione quacunque aliorum corporum ortam fatis expedite eft fatisfactum, OBSER- | Pag. 346. x quelles la Cométe a été au 20 May 1779. à déterminer la pofition des étoiles incon- | Cométe leur a été comparée, le la vierge, Cométe comparée le 14. Avizil. le la vierge. Com. comparée le 13. Avril, »m. comparée le r2. Avril. »m. comparée le rr. Avril. m. comparée les 5. & 6. Avril. ies de la Caille & de Bradley. | dHercule.. Cométe compar. le 25. Mars. ' €. voifines, déterm. par 4 du Bouvier & arée les 22. 05. & 24. Mars, » de la Caille, Jouvier. ^. 144. Com. comparée le 14. Mars. . comparée les 12. & :3, Mars. m, comparée le m. Mars. ouvier. Com. comp. le 1o. Mars, | Com. comparée les 7. 8. & 9. Mars. Jouvier, 17. Com, comparée le 6. Mars. d'Hercule. du bouvier & € d'Hercule, Com, compa- Com. compar. les 16. & 17. Fevr. nparée le 17. Fevrier. néte comp. les 3t. Janv. & 8. Fevrier, de Bradley. 'oN. "opumutTj2p 222 * uonrod e[ auop sopnoyg sap | po ^" O0 o -1 BH Pae, 6. TABLEI LE Des ascenfions droites & des Déclinaifons des étoiles aux quelles la Cométe a été comparée; ces pofitions font moyennes & réduites au 20 May 1779. Ascenfion droite des Etoiles. Déclinaifon Boreale des Rtoiles. D. M. T^ Ld mM va ÉD t2 i Co bs í Ow»bn»D&-&nDCO €) o 9 90000 OOo H O -J An x Mon UNS wo oo Box to ^ . ? i 27. 28. 2 [o [I] SMEBUSOS wu Q0 Ho HQ OQ D wu MPOOQOoM€9o- [E] - E x» o 29. I2. II 29. 52. 28 2Y. 50. X 2. O. 40 52. I5. 40 2« 51. 44. 32. 34. 39 33. 52. 32 33. 24. 42 33. 15 2 33- 15. 46 33* 19. 3I 33. 24. 42 3291570:37 E noputeir) | SEMIE OUR EX OW oT OS TE |! oes Ls] Dd Q9) 'O Occo -1OG-10' 0000 *sonuuoa SoTroyq sop SuToN | I SIE Exe] Exe qu sm» wp esee Noms de: étoiles qui ont fervi à déterminer la pofition des étoile; incon- nues & jours oü [a Cométe leur a été Coipparece, ——————————— ——— déterm. par 5 du bouvier, & /2 d'Hercule. Cométe compar. le 25. Mars. du Bouvier, la plus Auflrale de 2. voifines, déterm. par 5 du Bouvier & 9 d'Hercule. Com. comparée les 22. 03. & 24. Mars, du Bouvier, prife du Catalogue de la Caille, du Bouvier, déterm, par e du Pouvier. déterm. par e du Bouvier & N'. 14. Com. comparée le 14. Mars. détezm. par e du Bouvier. Com. comparée les 12. & 13, Mars. du Bouvier prife de la Caille, déterm. par e du Bouvier, Can, comparée le rr. Mars. du Bouvier, déterm. par « du Jouvier. Com. comp. le 1o. Mars, du Bouvier, prife de la Caille.. Com. comparée les 7. 8. & 9. Mars. du Bouvier, déterm. par e du Fouvier. déterm. par 4, du Bouvier N^. 17. Com, comparée le 6. Mars. déterm. par & du Bouvier & € d'Hercule de la couronne, déterm. par « du bouvier & € d'Hercule, Com, compa rée les r. 2. & 3. Mars. d'Hercule, prife de la. Caille. d'Hercule, prife de la Caille Com. compar. les 16. & 17. Fevr. déterminée par € d'Hercule. déterm. par N^. 23. Com. comparée le 17. Fevrier. déterminée par N^*. or. déterminée par N^. 25. : déterm. par 2 de la lyre. Cométe comp. les 3t. Janv. & 8. Fevrier, déterminée par N?. 25. déterminée par N^. 25. déterminée par N^. 25. déterminée par N? . 25. de la lyre pife de la Caille & de Bradley. NJ | "—I-*WI Ww rorem 9 M ———,——4— T 9 qr Pag. 347. Noms des étoiles aux quelles la. Cométe a été comparée. ———— n — — —M Á——Ü par 3 obf. du N^. 25 au micrométre m 5 obf. du méme au quart de cercl. epar 7 obf. du N?. rs au microm. (par 5 obferv. du. móme au quart de cerc. par par par par par par par par par par par par par par par par par par par par par par par par Own d opD.g-d0 obíerv. d'une étoile non déterminée, obf. d'une étoile non déterminée. obf. d'une étoile non déterminée, obf. de € d'Hercule au quart de cerc. obf. du N?. 22. au micrométre. obf, de & d'Hercule au quart de cerc. obf. de /2 de la couronne, N^. 29. 12 obf. de (2 de la couronne, N?. 20. 1o obf, de /2 de la couronne, N?. 20. 7 3 6 3 5 6 9 5 6 5 5 2 9 obf. d'une étoile non déterminée. obf. d'une étoile non déterminée. obferv. du N^, rg. obf. de & du bouvier. obferv. de & du bouvier. obferv. de € du bouvier, obf. de la 347 du bouvier ou. N^. 16. obferv. du N^. is. obferv. du. N^. r4. obferv. du N^. r4. obf. du N?. is. obf. de la 1? du bouvier ou N?. ir. obferv. du N?. rr, 13 obf. du N^. ir. par 8 obf. du N?. ro. par 7 obf. d'une étoile non. déterminée, Cométe comparée au Soleil au. méridien, 6 obferv. du N^. 6. obf-rv. du N?. 6. obferv. du N^. 5. obferv. du N*. 4. obferv. du N^. s. obf. de la 27^ de la vierge, ou N?. x. obf, d'une étoile non déterminée, 1779. Janvr.5r Fevr, 1i - 13 16 17 Mars. 1 w 0 D Q2 D OdO dO B (oH FB RM O9 eoo BbobgHSOO Oo-I0 Avril. 'Tems vrai à Géneve. H. M. S. I6. 58. 4 14. 55. 55 X6.- 45757 TA T5 T3303: 18 13. 45. 46 I2. 22. 46 I3. 25. I4 I2. 31. 44 II. 53. 8 II. 7. 46 T1256 9T II. I9: I9 Lo IT T$ 71:297. 2. II T5329 IO. 55. 54. I2. 20€ 5 II. 59. 7 II. 39. 9 II. I9. 42 IO. 57. 56 IO. I5. 48 9. 49. 59 Io. I8. 5r 9. 3. 49 125 78907477 8. 36. 235 8. 34. I4 9. 2I. 56 8. 40. o 8. 50. 49 8. 4I. 47 II. I9. 47 Des lieux apparens de la Cométe de 1776. T Différence en E afc. droite obf. SUUS. entre la Com. | & les Etoiles. H. M.S D. M & 16. 37. 60. 36. 45 -- [Li I4. $5. 4 | o. 39. 28 — I6. 4. 84| O0. IS. 1 — MOST feob eio | o. 29. $4 -l- I3. 22. 45 | O. II. $4 — I3. 45. I2 | I. 30. iO EE O« - 3 Ae b 14 IO. 15 -]- I3. 22. 48 | I. 26. 34 -- I2. 29. sio 4. 16 -- LI4 50. L7. |:I. 39. 17 — II. 4. 27 | O0. I7. [4 — II. 52. 42 | O. 52. 15 -l- LI. 152.56 |lo2- 8*0 [ones L2,-I3. 07 3. 5s»! |6 E II. 35. 20 |2. 3I. 9 -- IO. 57. I3 | I. II. 24. -]- IO. 50. $9 | O. 15. 9 4 12. I5. IO | o. 44. 49 — II. 53. $9 |2. 4I. 7 -- EIU2de M 26. 10 -- II. I4. OO | O. 49. $9 d- IO. 49. 50 | I. 43. 22 -- IO. 7.28 0. 43. 49 — 9. 41. I8 | o. 14. 57 — "ipie i05. ys rer "Ps Tied 7. 52. 40. 20. 43 -) II. 48. so] - -- € 8. 24. r[|o. r6. 41 -- 8. 21. 35 | o. 20. 2r — 9. 7. 52 | O. II. 30 -- 8. 25. 40 | O0. 8. 40 — 8. 36. 13] o. 2. 6 4- 8. 26. 56 | 0. 13 1 -- I], I. 6[|0.13. o "T A BUE TT Différence en Décin. obferv. entre la Com. & les Etoiles. D. M. $. —— — 9. 4. 00 — iced pet E Tu ETT HER EodERRERER SR E E E Afcenfion droite appa- rente de la Cométe. D. M. S, 27I. 3I. 35 270. I5. 29 Déclinaifon Boreale ap- parente de la Cométe. D. M. $. 33. 20. 29 33. 26. IO e ( e M [3 o 1:392 505 bI 32. 58. 48 30. 20. II 39- 2v I9 29. 45. 26 28. 40. 2 2 I6. 38 27. 54 4 27. 30. 37 LOS EGTIS Co] 26. 39. 49 26. I3. 42 25. 47. 33 25. OT. I2 2D, 5651 2I. IO, 17 20. 45. 51 20. I4. I8 I5. 22. 55 I4. 57. 56 I2. 59. 48 I2. 38. I2. I4. 3I II. 54. 39 Pag. 545. Noms des étoiles aux quelles la. Comte a été comparée. —— —— —— —M — —À jr 3 obf. du N?. 25^au micrométre par 5 obf. du méme au quart de cercl. par 7 obf. du N?. rs au microm. (par 5 obferv. du méme au quart de cerc. par 6 obferv. d'une étoile non déterminée, par 4 obf. d'une étoile non déterminée. par 4 obf. d'une étoile non déterminée. par 2 obf. de £ d'Hercule au quart de cerc. par 4 obf. du N?. 22. au micrométre. par 5 obf, de & d'Hercule au quart de cerc. par 6 obf. de [2 de la couronne, N?. 20. par n obf. de 2 de la couronne, N?. 20. par ro obf de /2 de la couronne, N^. 20. par 7 obf. d'une étoile non déterminée. par 3 obf. d'une étoile non détermince. par 6 obferv. du N?, rg. par 3 obf. de e du bouvier. par 5 obferv. de & du bouvier, par 6 obferv. de & du bouvier. par 9 obf. de la 347 du bouvier ou N^. 16. par $ obferv. du N?, I5. par 6 obferv. du N^, r4. par 5 obferv. du N^. r4. par s obf. du N?. is. par 7 obf. de la i? du bouvier ou. N?. 1r. par 9 obferv. du N^. rr, par 13 obf. du N^. rr. par 8 obf. du N?. ro. par 7 obf. d'une étoile non. détermince, Cométe comparée au Soleil au. méridien. par 6 obferv. du N^. 6. par 6 obf-rv. du N*. 6. par 2 obferv. du N?. 5. par 3 obferv. du N^. 4. par 4 obferv. du N?. 5. par 6 obf. de la 27? de la vierge, ou N?. . par 1 obf. d'une étoile non déterminée, 4425 ) 4r fe OBSERVATIONS E.T CALCVLS DE LA COMETE DE 1779. par AND. MALLET. Dy que nous fumes informés à Genéve, à [a fin du mois de Janvier 1779, de l'apparition de la Cométe découverte à Berlin. le 6, & à Paris le 19 du méme mois, nous nous difpofames à lobferver, Mr. Trembley, Mr. Pice? & moi; nous la cherchames le 3". Fevrier, vers les trois heures du matin, par un tems affez ferein & trés froid, dans les environs de la Conftellation de la Lyre, oü nous jugeames qu'elle devoit étre, d'aprés fa. pofiion & fon mouvement déterminés à Paris, 8 à 1o jours auparavant; nous la trouvames bientot entre la Lyre. & Hercule, elle paroiffoit fous la forme d'une nébulofité blanchatre, le clair de lune trés brillant empéchoit qu'on ne diflinguat de queue, on la voyoit trés bien avec des lunettes achromatiques ordinaires de 3 pieds, mais elle Mv difparois- et ) 342 ( ide difparoiffoit pour peu qu'on ajoutat à 1a lumiere de [a Lune pour éclairer les fils de la lunette: Nous la com- parames à une petite étoile inconnue de 6 ou 7* gran- decur, qui en étoit trés prés; nous fimes deux fortes d'ob- fervations, les premiéres en employant une excellente lu- nette achromatique à triple objecif, de Do/lond, grofüs- fant 56 fois, & garnie d'un micrométre filaire fait auili. par Doilind, mous obfervames plufieurs fois les différences d'afcenfion droite & de déclinaifon cntre la Cométe & P'étoile, Notre pendule faite à Londres par Sbelion, étoit réglée fur le mouvement des étoiles, & vérifiée chaque jour par des obfervations du Soleil & des ctoiles à une lunette méridienne trés exactement & folidement établie. Tandis que l'un de nous fe fervoit ainfi du micro* métre, uu autre cbíervoit les paflages de la Cométe & de Pétoile au fil horizontal & au fil vertical de la lunette de notre quart de cercle, la proximité des deux aflres permettoit de faire ces quatre obfervations, fans étre ob- ligé de changer la hauteur ni lazimuth de la lunette. Le 2, nous comparames plufieurs fois la Cométe à la méme étoile que le jour précédent, & de la méme mapiére. Elle avoit la méme apparence, nous eflayames differens oculaires, celui qui ne g'offit que 70 fois la fai- foit voir plus diftin&ement que le plus fort qui augmente de 135 fois le diamétre des objets, on avoit cependant de la peine à diftinguer le noyau, de la nébulofiié ! (x Les e£32 j.345 ( $83 Les jours fuüivans, le tems fut couvert, nous n& pümes continuer nos obfíervations que le 8 au matin; la Conéte nous parut plus brillante que les Jours précédens, elle avoit une legére apparence de queue; nous ne pümes la comparer. qu'à une trés petite étoile inconnue de 8 ou 9* graudeur, La nuit du 15 au x4, le tems s'éclaircit pour fa premiére fois depuis le 8; nous retrouvames la Cométe peu éloignée de JPétoile e d'Hercule, mais encore trop pour pouvoir lui étre comparée, il fallut fe fervir d'une p:tite étoile inconnue de 4 à 5* grandeur; la Cométe pa- roiffoit avoir plutot diminué. qu'augmenté en. lumiére depuis les derniéres obfervations. Le 17, au matin, La Cométe étoit plus apparente que le 14, on la compara au quart de cercle avec Z d'Hercule, mais le champ de la lunette garnie du micro- mérre, n'étant que d'environ d'un demidegré on ne put obíerver avec celle-cy qu'une petite éioile de 6 à 7* grandeur. Le 18, on compara encore la Cométe à Z d'Her- cule au quart de cercle, mais avec le micrométre, il fallut employer une novelle étoile inconnue dont on eut beau- coup de peine à déterminer la pofition par rapport à Z, à caufe de la petiteffe des étoiles intermédiaires qu'on voyoit à peine dans la lunette: Le 27, quoique le tems parut affez ferein, mous cherchames inutilement la Cométe, avec une tiés bonne lunette -e5 wer(( Ge dunette: de nuit achromatique: de.5 pieds,. & furement dans l'eneroit .oà .elle étoit réellement, ce qui nous fit préfumer qu'elle avoit difparu pour nous, Le ' Mars, par une nuit trés claire, & la Lune à peu prés pleine, nous fimes encore quelques tentatives, en employant la lunette acromatique à triple objectif, & nous ;*etrouvames la Cométe 'affez:; prés de (3 de la Couronne, iàà la quelle elle füt comparée, mais foit à caufe du clair de Lune, ou de la diminution réelle dans la Cométe, on ne pouvoit plus la voir à la lunette du quart de cercle. Les deux nnits fuivantes, la Cométe fut encore comparée à 8 de la Couronne. Le'5, on la compara à deux étoiles inconnues, & le 6, à une trés petite étoile ihconnüe qu'on avoit beducoup de peine à voir avec la Jlugette, & dont on détermida la pofition relativement à iy du Bouvier. Les 7. 8 & 9. la Cométe füt comparée à c du Bouvier. Le 10, elle füt comparée à une petite étoile de 6* granüeur, qui s'eft trouvée la 54^ du Bouvier, fuivant Flamfiead, fa pofition fut determinee par celle de c. Les 11, r2, 15 & 14, ou compara la:.Cométe :à de nouvelles petites étoiles, dont on détermina la pofition .par celle de & du Bouvier, Nous e$ ) 345 ( $e Nous nc pumes lai revoir que 1e 22, qu'elle fut comparée à une étoile de 6* grandeur qui eft Ja 1* du Bouvier fuivant Flamfiead. Les 23 et 24, la Cométe fut encore comparée à la méme étoile, les obfervations commencoient à devenir difficiles à caufe du peu de lumiére de la Cométe, & elles l'étoient encore davantage, lorsque la Comére pré- cedoit létoile, parce qu'étant obligés de lui faire fuivre le fil fixe du micrométre, ainfi cachée en partie derriere ce fil, on diftinguoit plus difficilement fon patfage au fil horaire. * Le 25, la Cométe fut. comparée à une nouvelle étoile inconnue. , Nous ne la revimes que 1e 5 Avril, peu eloignée de c de la vierge, fa lumiére étoit encore plus foible que les jours précédens, & difparoiffoit des qu'on vouloit é- clairer les fis. Nous l'obfervames cependant encore, le 5, 6, rr, 12,153 €t I4. Avril, avec beaucoup de peine, en la com- parant chaque jour à une nouvelle étoile, celle du 14 cft la feule connue, c'eft la 27* de la vierge, triés prés de e de la vierge. Le 25, on entrevit la Cométe quelques iuflans; trés prés du paralléle de e de la vierge, mais le tems fe couvrit, on ne put faire aucune obíervation. Aia Acad, Imp. Sc. Tom, V. P. I. Xx Enfin et32. ) 346 ( $82 Enfin nous la revimes encore, mais pour la der- niéére fois le 6 May, elle fut comparée deux fois à une étoile inconnue, avec une peine infinie, On ne la décou- vroit, ou pour mieux dire, on ne la foupconncit que dans une parfaite obfcurité du champ de la lunette, & aprés avoir eu longtems les yeux repofés à l'abri de toute lu- miere. Ce fut là notre 31*.jour d'obfervation, pendant un efpace de 95 jours. Parmi les étoiles aux quelles la Co-. méte a été comparée pendant le cours de nos obferva- tions, il ny ea a que deux, favoir Z d'Hercule & c du Bouvier qui fe trouvent dans les Catalogues de /a Caille ou de Bradley, & íur la pofition des quelles on puiffe compter, il a donc fallu déterminer la pofitigg des 22 au* tres, quelques unes l'ont été tout de fuite dans les inter- valles des obfervations de la Cométe, en. les. comparant par le micrométre, avec des étoiles connues, mais on fut obligé pour les autres de renvoyer ce travail à un. autre tems, afin de pouvoir les obferver à la lunette méridien- ne & au quart de cercle, ce renvoi a été caufe que fix d'entr'elles n'ont. pu étre reconnues avec affez de certitu- de, ce font celles aux quelles la Cométe fut comparée: les 7 & 13 Fevrier, 5 Mars, 3 Avril & 6 May. La Table I. contient les réfultats de toutes les. ob- fervations faites pour déterminer ces pofitions d'étoiles , plufieurs ont été obíervées au méridien, & au moins deux fois chacune, on y trouve les ascenfions droites & décli- naifons moyennes de 356 étoiles, toutes réduites à la mé- me époque, favoir au 30 May 1779, il y en a 7 dont les ec32 ) s47 ( 8&9 les pofitions fondamentales ont été prifes dans les Catalo- gues de /a Caille & de Bradley, ce font celles aux. quelles les 29 autres ont été comparées , celles-cy font défignées par les 29. Numeros de la premiére colonne, la 4* co- lonne qui contient la grandeur des étoiles a quelques la- cunes, mais on peut étre fur que celles qu'on a omifes font au deffous de la 5, ou 6. grandeur, La Table If. contient les lieux apparens de la Co- méte, c'eft à dire les ascenfions droites & déclinaifons dé- duites des obfervations, Jai reduit pour chaque jour à une feule époque toutes les comparaifons faites dans la méme nuit de la Cométe à une méme étoile , en employant le mouvement de la Cométe tant en ascenfion droite qu'en déclinaifon, tiré des obfervations mémes , & j'ai pris unc moyenne entre les différens réfultats , r«jettant les obfer- vations marquées comme douteufes , & donnant plus de poids à celles qu'on avoit cu foin de défigner comme les meilleures. Cette époque eft réduite en Tems vrai de Genéve, & en tems moyen de Paris, en prenant 15 minutes de tems pour la différence des méridiens, Les Colonnes 4*. & 5*. contiennent les differences d'ascenfion droite & de Déclinaifon obfervées entre la Co- méte & les étoiles aux quelles elle a été comparée, le figne 4- indique que cette différence doit étre ajoutée à la pofition de l'étoile: pour avoir celle de la Cométe, & le figne — qu'elle :doit en étre retranchée, mais il faut obíerver, qu'il s'agit ici de la pofition apparente de ces étoi- ) 4o dE. les, eti ) 848 ( 8e Jes, calculéc pour le jour oü s'eft faite l'obfervation , & non pas de la pofition moyenne contenue dans la Table T, ; i a fallu appliquer à cette pofition moyenne du 2o May, la quantité de préceflion, d'aberration & de nutation con- venable à chaque étoile pour avoir fà pofition apparente le jour de Pobíervation, Aprés avoir ainfi conclu des ob- fervarions, les ascenfions droites && déclinaifons de la Co- méte, j'en ai deduit pour chaque époque, fa Longitude & fa Latitude. Géocentrique, je me fuis fervi pour cela des Tables Solaires de Mayer imprimées à Berlin en. 1776. Mon intention étoit de calculer d'aprés ces réful- tats les Elémens de l'orbite de la Cométe, j'avois deja commencé ce travail, lorsque le volume des Mémoires de PAcadémie Royale des Sciences de Paris pour l'année 1779, m'étant parvenu, J'y ai trouvé l'excelient Mémoire de Mr. Meffer far le mouvement de cette Cométe , à la án da quel il rapporte les Elémens de fon oibite détermines par differens Aftronomes, Mr. le Cbevalier d'Angos les a cal- culés d'aprés 65 obíervations de Mr. Meffer, & donne une Table des diférences entre ]es pofitions obfervécs & les pofitions calculées; J'ai cru d'aprés cela qu'il feroit in- utile de rechercher de nouveau ces Elémens d'aprés nos feules obfcrvations, & qu'il fuffifoit de calculer, d'apres les Elémens trouvés par Mr, 2'4zgos, le Leu de la Cométe pour chacune de nos époques, & que la comparaifon du leu obfervé au lieu calculé, ferviroit de véxification à ces Elémens, ou nous indiqueroit les changemens à y faire d'apés nos obfervations ,, c'eft ce nouveau travail que je préf nte dans la Table IIE | On verra par les différences trouvées, que nos obfervations s'accordent on ne peut pas mieux ec35 ) s49 ( $99 mieux avec l'orbite ainfi calculée, il y a méme lieu de sétonner de ce degré de précifion, và la difficulté avec la quelle on obfervait la Cométe à la fin de fon apparition: De 26 obíervations , il n'y em a que neuf qui différent du calcul de plus d'une minute, pour la Longitude & trois feulement, pour la Latitude & le plus grand écart ne va pas à une minute & deuxtiers. Ces Elémens déterminés par Mr. [e Chevalier &'Angos font: Lieu du Noeud ascendant - - 0.233*. $5/.57, Inclinaifon de lorbite — - - daTo s tec. Lieu du Périhélie dans Porbite rr. 27. 15. 4o. Diftance Perihélie - pos eros rgo tario y gin, Paffage au périhélie, fanvier 1779. 4". 25, 24^. 30. Le mouvement vrai de la Cométe autour du So- leil, s'eft fait felon l'ordre des fignes, íon oppofition avec le Soleil a eu lieu le 29 Mars. Depuis le moment de fon apparition, elle s'ett toujours approchée de la Terre jusqu'au r2 Fevrier, fa plus courte diffance étoit alors — 0,506 égale à environ la moitié de la diftancee mo- yenne de la Terre au Soleil; depuis ce moment-là elle s'en eft eloignée, & au 17 May, date de la derniere ob- fervation de Mr. Meffier , que Pon peut regarder comme Pépoque de la disparition de la Cométe pour les meilleu- res lunettes , fa diflance de la Terre étoit 1,606 & fa diftance du Soleil 2, 370; CEGRGECHEUERGE EREDR Wa I ons E RN D REY LAS T Dax LEES GE REI 8 XX5 TABLE emi )ese( 5e TABLE III des pofitions de la Cométe deduites des obfervations de Géneve, & comparées aux pofitions calculées d'aprés les Elémens d'une orbíite parabolique, que Mr.le Chevalier d'Angos.a conclu du 65 Obfervations fiites à Paris par Mr. Meffier. 'Tems Longitudes | Longitudes | Latitudes | Latitudes Différences, moyen |de la Cométe|de la Cométe|de.la Com.|de la Com.| —— ——À-———2 à Paris, obfervées. calculées. obfervées. | calculées, |en longit.|en latitud. DM.S|D.MS|MS|M.S H. M. $S| D. M.S& D M. S. Janvr.31[:6. 437. 6|272. 19. 45|272- 2r. 22|s6. 475:57]56. 47. 3el-ti-:1. 3 Oo: 27 Fevr. i|r4. 55. 4|270. 23. 40|270. 25. 15|56. 54. S1|56. $4. 20|-|- x. 35|— O- 3t Il6|I3. 45. X2|240. 2. .5I1|240. 29. 24|54.'50./32|54. 29.'54]|— !O..27|— o. 38 I7|I2. 22. 8]|238. IS. 41|258. X4. 45]54« .5- 55]54- -6. 28]|——:0. 556|-l- o. 3 Mars 1i|r3. 22. 48|217- 28. 2|217. 29. 25|46- 57. 42]46. $8. 19|d- 1x- 25 '4- o. 37 212. 29. $|216. 1.^35|216.: 2. 8|46. r4. 42|46. I5.- gl|-i- Oo. 33|H- Oo. 2I 5lIi. 50. 17|214« 55. I2|214. 35. 55|45. 30. Io|45. 30. 12|dH- o. 45'-- o. 2 6lii. 15. 56|210..23. 53|210. 25.- 9|43. 6. 56|43. 7. xo|-l-. I. I16|-- o. I4 Jlr2. 13. 27|209- .0.,56|2o09. 2- I0|42..14. 57|42. I5. 26]|-- I. I4 -l- o. 29 $11. 35. 20|207. 46. 2|207. 46..40|41. 26. 14|41. 26. 1r|H- oO. 38|— 9. 3 9o. 57. 13|206. 52. 45|206..33- 41|40. 36. 20|40. 36. 32|4- o. 38.-3- o. 3 Io|lro. 5o. 59|205. I9. 47|205. 20. I1|39.-45. 15|39. 45. 17|d- o. .24;d- o. 2 II|[I2. 15. I0|204. 4. I9|204. 5. 27|38-. 50. 19|38. 50. :9|-l- r.. '8|— o. 1o I2|II. $5. $9|202. 57. 50|202. 58. I2|37.: 58. 29|37. 58. 51|-1-:D. 42| 1-2 O- 22 I3lI. 44. 44|201. $3. 31|201.'52. 49187: 7. 5|37. y. "6|-— o; w6JE]-38m 3 I4II. I4. 00|200. 47. 28|200. 48. $6|36. I4. 15|36. I4. 51i|d- 1. 28|d- o. 38 22|to. 49. 5o|193. 50. 39|193- 30. 29|29. 20. 27|29. 21. az|— o. 1o|-d- I. 5 e3lo. 7. 25]192. 45. 41|192. 43. 48129. 33. 12|28./33- iMd Ll 6. ZI 24| 9. 4I. I8|X92. 1. 35|I92. 2. 23|27- 46. I19|27. 45. 6|-- o. 48|— X. I3 25|lIo. .9. 3I|IO9I. IS. 35|191. 19. *'3|26. 56. 18|26. 55. 30|-- 9..30|— O0. 48 Avril s|8. 24. zr|r8s. 19. 4|185. 20.-24|X9.. 5. 35|I9. 4- 51|-d- X. 20|— 0. 44 6| 8. 2I. 35|184. $5. 21|I84- 55. 38,18. 28. 24|18. 27. 43|-d- O. 17|— 9. 41 II1| 9. 7. 52|183. II. 49|183. Io. 58,15. 34e 31|15- 393. :5|— 0. :SZ|— !X&. 26 12| 8. 25 40 |182 53. 52] 183:.:1522150]:051:132. 46| I5. ..25 g]5t:46. $4. —56:.:5 I3| 8. 36. 13|182. 37. 44|182. 37. IO 14. 30« 21|I4« 30. 45|— O. 34|-l- O. 24 14: 8. 26. 56,182. 22. 9|182. 22. 22|I4« I. 45|I4. O. 53 -- o. 15|— $1552 ec32 ) ssr ( $82 SOLUTION D'UNE QUESTION ASTRONOMIQUE. Par dimi Las XE dE 6. 1. L queftion Aftronomique dont je me propofe de don- ner ici la folution eft celle: de déterminer lequel des deux bords de la Lune, le fuperieur ou l'inferieur, il faut ob- ferver dans le paffage de la Lune par le Méridien, ou mé- me par un autre cercle horaire quelconque, — L'Hemis- phére de la Lune tourné vers le Soleil, faifant la partie éclaÀiée de la Lune, il eft évident que fi par le centre de cet aftre on füppofe tiré un plan perpendiculaire à la droite, qui joint les deux centres du Soleil & de la Lune, ce plan cou- pera dans la furface de la Lune un cercle, qui fera à peu prés la feparation de l'Hemifphére éclairé de la Lune de l'Hemifphere obícur. De méme il eft clair, que fi par le centre de la Lune on tire un plan perpendiculairé à la droite qui Joint - les centres de la Lune & de la Terre, "Hemifphé&e de la Lune Tab. X. Fig. 5. e. )sst( Sew Lune coupé par ce pliau fera le feul vifible aux habitans dc la terre. Par là on conclut que la ligne droite qui fépare la partie éclairée de la face de la Lune de l'obfcu- rc, en la füppofant tirée par les deux cornes de la Lune, fera linterfection des deux plans mentionés & que par confequent clle fera perpendiculaire fur les lignes droites, qui joignent le centre de la Lune avec ceux du Soleil & de la terre, c'eft à dire que cette. droite fera perpendicu- laire fur le plan, qui paffe par les centres des trois Aftres, 6. *. Soit P le Pole Boreale de l'équateur , PL le Méridien ou un autre cercle horaire quelconque, dans lequel le centre de la Lune fe trouve en L, toit S le lieu du centre du Soieil & ayant tiré les arcs de grands cercles PS,LS, on voit que la reponfe à la queftion propofée fc reduit à chercher la valeur de l'angle PLS. Car fi lon füppofe tiré l'arc de grand cercle L M perpendicu- laire à L S, il ett clair que la ligne droite qu'on fuppofe tirée fur la face de la Lune par les deux cornes, fera la tangente de cet arc; donc l'angle P L M ou J'angle que la droite qui paffe par les cornes fait avec le cercle horaire, fera déterminé par le moyen de l'angle PLS. Or nom- mant le complément de la déclinaifon du Soleil, ou l'arc PS—4, le complément de la Déclinaifon de la Lune PLC—2, larc LS ou la différence entre la Longitude de la Lune & celle du Soleil, comptée fur le grand cercle, qui Joint les centres de ces Aflres — 5, enfin l'angle PLS-—:;, on aura par la Trigonometrie Sphérique: — cof. d — cef. 6 cof. b cof. y T Rf t €. 3. e$ )s58 (.289 $. 5. M sagit donc ici de déterminer fi le cof. 5 eft pofitif ou negatif, pour des valeurs connues de P, 9, d. Suppofons d'abord que 2 foit — 9c^, dans le quel cas fon cofi- nus & fon finus feront tous deux pofitifs; donc (i 1*. 4 90; 8 4 90; on aura cof. 7 pofitif, lorsque cof. 2 cof. à cof. 5, c'eft à dire lorsque cof. o zm 2*, Soit d Z 90; à 7 905 & alors cette expreffion cof. 4 — cof. à cof. 5. aura tovjours une valeur pofitive, par confequent cof. « eft pofitif, ou Pangle PL Saigu. 5*. Soit 7» 90^; à 4 90*; on aura cof. d — cof. à cof. b negatif ,. donc cof. y dans tous les cas negatif et par conféquent l'angle PLS obtus. 4?. Soit d? 90^; 0 7 90^; i| fera cof. 2 — cof: à cof, b po- fitif ou negatif, felon que cof. à cof. 2 2 ou « que cof. 4; c'eft à dire felon que cof. LZ 77. Le fecond cas genéral e(t celui oüà l'arc b eft plus grand que 9o? & plus petit que 180^, par confequent fin. 2 pofitif & cof. & negatif, Suppo- fons 1^.ó0 290^; d 4 90^, il fera toujours cof. d — cof. à cof. P pofitif , donc langle PL S eft aigu. — 2*. Pour à » 9o; 4 4 90; cof. d —cof.à cof. b. fera pofitif ou negatif fclon que cof. $25. 3^. Pour d 90; 0 —90?; cof. « pofi- tif ou negauf, felon que cof.b Z 4$. Enfin 4^. pour d 90; Ó — 9o?; cof. d — cof. Ó cof. b eít negatif, donc l'angle P L S refte toujours obtus. Le rroifiéme cas genéral pour lequel à 2 180? et 270^, fe réduit au cas fecond, en changeant les fignes; ainfi par exemple lorsaue 9 4 90; d 9o? on aura toujours cof. ;j negatif De méme le quatiiéme cas genéral, lorsque b 2 2570*; b — 560" fc r€- duit par le changement des fignes au premier. €. 4. Voyons à préfent quelle application on fera de ces régles établies pour le paffage de la Lune par un Ada Acad. Emp. Sc. Tom. V. P. 1. Yy cercle et2 )354( ce cercle noraire. ll faut d'abord remarquer que fi le bord éclairé de la Lune précéde, ce qui arrive toujours dans les deux premicrs quartiers, ou avant la pleine Lune pafífée, il faut prendre le bord fuperieur lorsque [l'angle PLS eft aigu, parcequ' alors l'arc. de cercle P L, tombe entre L M et L S & qu'il faut obferver le bord inferieur lorsque cet angle P LS eft obtus. Aprés la pleine Lune, ou dans les deux derniers quartiers, c'eft la partie obfcure de la Lune qui pafie la premiére par un cercle horaire , donc en comptant l'arc L5 felon les ordres des fignes, on voit quil faut encore prendre le bord inferieur lorsque l'angle PLS eft aigu, & lc fuperieur lorsqu'il eft obtus. Dans le premier quartier les Déclinaifons du Soleil & de la Lune étant fuppofées Boréales, il faut donc obferver le bord fuperieur, lorsque cof. b ZI, & linferieur lorsque cof. b 952, Si la déclinaifon de la Lune eft auftrale, celle du Soleil étant Boréale, il faut tonJours obferver le bord fuperieur; mais au contraire la Decliniifon de la Lune étant Auftrale, celle du Soleil Boréale, il faut ob- ferver le bord inferieur. Enfin les deux déclinaifons é- tant Auftrales il faut. obferver le bord fupericur ou l'in- ferieur, felon que cof. 2 2rd. Dans le /econd. quartier , les deux déclinaifons étant Boréales , il faut prendre le bord fuüperieur; ]la déclinaifon de la Lune étant Auflrale, celle du Soleil Boréale, il faut ob(erver le bord fuperieur cof. d co.9 déclinaifon du Soleil eft Auftrale & celle de la Lune Bo- réale, il faut obferver le bord inferieur ou fuperieur felon Au contraire fi la ou inferieur felon que cof. 5 2 * que et32 ) 355 ( $926 ue cof. b 3 9^4. Enfin les deux déclinaifons étant Au- q e o. ftrales on obfervera le bord inferieur. Pour le troifiéme quariier on n'a qu'à fuivre les régles préfcrites pour le fecond, & pour le quatriéme les régles données pour le premier, en prenant toujours le bord inferieur lorsqu'il eft prefcrit de le prendre pour les deux premiers quartiers & le füperieur lorsqu'il eft préfcrit de le prendre par les régles déjà données. $. s. Lorsqu'il s'agit de faire ufage de ces Régles dans la Pratique, il fufht presque toujours de fubftituer au lieu de l'arc L S, ou la diftance des centres du Soleil & de la Lune, la difference des Longitudes de ces deux Aftres, & à l'ordinaire il n'y a point d'ambiguité, que lors- que coí.Z— cof.à étant alors arbitraire pour les cas, oü il faut fe regler felon que cof.2 S EP de prendre le bord füperieur ou inferieur. Afin de rendre plus com- mode Pufage des Régles établies ci- deffus, nous en pré- fenterons les réfultats dans une Table, qui à la premiére vüe mettra chacun en état de Juger lequel des deux bords de la Lune il faut obferver: Oy Pour e$ )8556( c Pour la déclinaifon. du Soleil Boreale. Dans le fecond & trofiéme Quarter, larc b édaut compris entre 9o* Ia oo Déclin. 2 Boréal. — Dars Ie premier & dernier quartier, l'arc P étant compris entre o & 9o, ou entre 270? & 560". '"Declin. 2 Boréal. | Déclin. 2 Auftr. — — —— Deéclin. 5 Auttr. —— Bord fuperieur fi cof. b 2 gt Bord inferieur cof. d ü cof. b 2 ms. Bord fuüpericur fi co. b 4 27. | Bord fupericur | Bord fuperieur | | Bord infericur | fi cof. b & 254 Pour la déclinaifon du Soleil Auftrale. cof.8 " D^ns le premier & dernicr quartier, 5 par le fecond & troifiéme quartier, Vart b étant compris entre o & 9o^, l'arc 5. étant compris entre 9o* alls s entre 270? & eir. G^ 290£ Declin. clin. "5 Boreal. .| Diclin. lin. 5) ) Auftr. | Déclin. 2 Borea'!. — — — ———— Déclin. 3 Auftr. Bord fuperieur | Bord fuperieur ; : - f L*. coj.d cof. d Bord inferieur | 6& cof.6 2 7g. | fi co 86 —c Bord inferieur Bord inferieur | fi cof. à 4 24. | & cof bz 94 Bord inferieurg cof. à cof. à * 6. 6. ]ai fait choix de la formule . — cof d — cof. à. cof. b cof.4 — umb 7 pour déterminer l'angle 5 parce qu'elle paroit étre la plus propre à découvrir fi. cof. « eft pofitif, ou negaüf, c'eft à dire & angle 4 eft compris entre o et 90^, ou entre 9o" eS )ssr( $9 90? et 180*. S'il étoit quefítion de chercher effe&ive- ment l'angle 7, on pourroit faire ufage des formules en- core plus commodes, comme par exemple de celle-ci: fin. 2 (d -i- 5 — 8) fin. 1 (4 — b -i- à) fin. :(4-- & --3) in. i(b-31-8 — 4) D'ailleurs on peut trouver encore une autre folution de la queftion propofée, fi au lieu de fuppofer Parc L S conru, on fuppofe donnée la différence des afcenfions droites du Soleil & de la Lune ou l'angle PL S que je nommerai c. Alors il fera cot P L S .— cof. P S. fin. PL — fin.P S cof: P L cof. LPS fn.P S fin.LPS tang.; 77 — ce(t à dire cot. yj — 9fà.fin.$ — oS fin def e -— cot. d fin-S. | | cotes cof. à. Ji. d. fin. a wo UUBasd Dans cette folution l'angle P L S — 7; fera aigu ou obtus, felon que cot. 3 eft pofitif, ou negatif. Suppofant donc & 2 90^; cot. fera pofitif lorsque cot. Z6n.9. 2 cof. a cof. 9, Ou bien cot, tang, 0 2- cof. 4, & negatif lorsque cot. d tang. à — cof. a. Par confequent pour à et d 4 90^; cot.« eft pofitif lorsque cot. 2 tang, o 7» cof.&. et negatif lorsque cot. Z tang,Ó Z2 cof,a, Pour à 7 90; d 4 905 cot. * eft pofitif, puisque Pexpres- fion. cof. d fin. 9 — fin. d cof. à cof. a fera toujours pofitive. Si d7 90; 0-90; cot, fera negatif, puisque l'expres- fion cof d fin. ó — fin. cof. 9 cof. & eft. negative, — Enfin pour 42-90"; 9:7 9o?; l'angle 5 fera poítif fi cot, d tang. Ó 7» eof.a, & negatif fi cot. d tang. Ó « cof. a, Lorsque l'angle & 2 90? et -2180?, íon Cofinus eft ne- gati£, donc pour d et ó 3 99^, cot. íera pofitif; pour 4 90; 07 90; cot. aj fera pofitif ou. negatif felon. que A y'g Cot, Tab. X, Fig. 6. etc2 )sss( ce cot. d tang. Ó 5 cof. a. Pour d 90?; 0 2 90^; cot. fera pofitif ou negatif fclon que cot. d tang. à 2 cof, a. Enfin lorsque 27 90^; 97 90^; cot. fera negatif, 1l eft encore aiíé de prouver que les conditions préfícrites dans cette folution, reviennent en effet à celles de la pre- miére, car cof, a étant — S57 95:93 lorsque cot. 4 tang. à 2 cof. 2, il eft auffi cut. tuus à f.25? e PS coy jJ .ü ftn. $ pue --. cof. à cof. d. & cof. b, 0J. donc à caufe de fin.0 4- cof. à* — x ; 42 &. cof. b, qui coj. à eft la condition préfcrite dans la premiére folution, 6. 7. Comme dans le paffage de la Lune par un cercle horaire le point L ne marque pas précifement le vrai lieu du centre de la Lune, mais fon lieu apparent en tant qu'il eft affe&é par la Parallaxe & la refraction de la Lune; il faudroit donc dans des cas ambigus faire un peu attention à cette circonítance, en faifant le calcul des ef- fets de la Parallaxe & de la refraction de la Lune, & par ce moyen on trouveroit auffi la corre&ion dont l'arc L S eft affecté, Sur tout il faudroit. examiner en quelle ma- niére l'angle PL M eft changé par la Parallaxe & la re- fraction. Soit Z le point du cicl, qui eft fur la ligne droite tirée par le centre de la terre & le lieu de l'ob- fervateur, L le lieu vrai dü centre de la Lune, LM la ligne et523 ) aso ( S282 ligne qui paffe par les cornes de la Lune; ayant joint PZ, ZL, ZM, & continué les deux dirniers arcs en L', M! ea forte que L L', M M' repré(entent les Parallaxes pour L et M, qu'on joigne enfin PL, PL/, L'M', par des arcs de grands cercles, la queftion eft de trouver l'angle P I: M', ce qui fe fera en cherchant de combien l'angle PL Z (ur- pafe PL'Z & l'angle ZLM celui de ZL' M. Or puis- que l'arc L L' ou l'effet de la Parallaxe eft fort petit, on trouvera l'exprefhon de la différence entre PL Z, P L'/Z, en prenant la differentielle de cette équation: ——— cof. P Z fin.Z L — fin. P Z cof.ZL cof[.PZL cot. Z L P ^am Jiu.F Z jin. P Z L — CB nz be -- : —r! aDNnlB 2 E coL Z2 T- cot. P Zr j en füppofant feulement l'aac ZL et l'angle ZL P varia- bles. De là on trouvera: | C TU yu ET d Z IL. ün.Zbcot. P zb Jin. Zi Pi fa.PZi — d.ZI (cof. P Z cof. Z L 3- fi. P Z fin.Z' cof. PZ L). Tu -4 fin. P Z fin.PZL ? d'oà à caufe de cof, PL —-cof, PZ cof, ZL-4- (in. PZ fin. ZL cof, PZL et hu. P Z P g-— ftu. PLfimZLP; AZL-—Llsoü ama AwqZLP-LEL'cotPZünZLP, par confequent ZI!PziZLPBC-P BLoeot PIL|Íin. ZL P. Enfuite puisqu'il eft: cot. ZL M zz 962 M fi. Z L — fin Z-M cf Z L eo. LZ jin.Z M fiL Z M 2 en prenant la différentielle & fuppofant les arcs ZL, ZM variables, l'angle L Z M étant conftant, on a: — d, wot ) 560 ( e eS d. ZLM eu E M, ino b. jnZLM:7— — fu ZW.un.LZM -[- gu. ul rad. 2 4: In T EptE PN [ ji.L ZM —— —d.ZM.[in.ZL d,ZLcf.LM . — fi ZMugaLZM -l- m. zMja.lZM » à caufe de cof. LL: M - cof. ZL.cof.ZM --fin.ZL fin. ZM co LZ M. Or par les propriétés connues de la Parallaxe, il eft à peu prés: DUI "MM'——ZL:024M-mH2b.f:.ZN. donc on aura s d. ZLM — LI'(r-— coL M) ou Jm, Z: LM. jm.Z Mjgm.LZ M ? A4ZLMzLL'finZLMU—-7719-rLrttane. UM finZELM; jin. L M parceque fn.L Mfi.ZLM-— fi. ZM fin. LZ M et Yi-—c0l LM — 1 z JOLIE MOX tang. a LM: Or tang. ; L M étant une quantité trés petite on voit bien que la correction de l'angle ZLM eft fi petite, qu'on peut la négliger entierement. Si lon vouloit méme pouffer l'exactitude plus loin on trouveroit: . E fin.Z M ; fm.ZL 3 d ZMiubELITIT. Sez 7* étant une quantite proportionelle à la Parallaxe, & , ; i: -— X c/.7 L : fubftituant au lieu de ——7 774, cette expreíffion: ri-— Tcof.ZL-- -cof. ZM; il en refulte ce terme affecté de z: Ea LOIN erem din Z LM jJm.LM Z5 e piss EM MPIZ L-J-ZM)fin.ZL M, fin. d'oà e$ )s36:( fe d'oh à caufe de LM & ZL-—ZM trés petits, cette cor- recion fera: E —mq.LL'fin.ZL.fin.ZL M (£12 |z—m.LLífnZL(íün.ZLMcof5ZLM, parceque 5—,7 — cof. ZL M à peu prés. Par ce cal- cul nous fommes donc parfaitement affurés, qu'il ne peut réfulter de la Parallaxe aucune correction fenfible pour Pangle ZL M. Si au lieu de calculer l'effet de la Paral- laxe on cherche celui de la refracion, on aura pour l'équation : — d. ZLM-— c— d. Z M.finZL | dAZ ECOLE MI. jmn.ZL M? — jin.Z M*.Ji.L Z M | jm.Z MJin.LZ M) . ZM:d.ZL-—tang, ZM: tang. ZL à peu prés, d'oü il fuit: —ARIMEI— d e—dlZu cz U di Z:ibacof DM s TID HROZOM Z jin.Z L M* — if. Z M jin. Z M Jin. L Z M. M. fia.L Z M? donc —4ZLM-4.ZLITE*(otLM-ÓI —-—d4 ZL.tang.Z M.fi.ZLM.cof,Z ML; parceque cof. LM cof. ZM —cof. ZL- (in.LM fin.ZM cof ZML ; & à caufe de cof, ZMIE/z:— cof ZLM à peu prés, il fera: —4.ZLM — d. ZL.tang. ZM fin.ZLM cof. ZL M, dans la quelle formule on peut aufi employer tang. ZL au lieu de tang. Z M. Acla Acad, Imp. Sc. Tom. V. P. I. Z $. 8. e$3$ ) 562 ( $859 $. 8. Lorsque on a obfervée la Lune hors du Méri- dien, il (aut encore faire attention à une circumftance dont plufieurs Aftronomes ont traité, c'et que cet. Aftre à caufe des petits changements de la Parallaxe, de la re- fraciion & de la déclinailon ae paroit pas décrire par fon mouvement apparent un pctit cercle parallele, mais que la route apparente du centre de la Lune en a une petite déviation; par cette raifon en obferuant la Lune bors du Méridien, il faut placer l'un des filets de Micrométre telle- ment, quil íoit coincident avec la route apparente du centre de la Lune, & ce fil n'étant pas alors perpendicu- laire à Parc P L, il faut déterminer l'angle qu'il fait avec cet arc, moyensant quoi on trouvera auff l'anele que larc L M fait avec ce filet. J'ai donné dans le Tome XIX, des nouveaux Commeniaires de Pétersbourg , des formules pour déterminer l'angle, que le fil en que(tion fait avec l'arc PL; or comme il ne s'agit ici que d'avoir la valeur de langle ML P déterminée à peu prés, on voit bien que ni cette derniére correction, ni celle dont j'ai traité dans FArücle précedent, ne pourront faire des variations fen- fibles dans l'angle P L S. 6. 9. Si lon vouloit pouffer la rigueur encore plus loin, il ne feroit pas méme permis de fuppofer quc la partie vifible de la Lune faffe un Hemifphére entier, cat la diffance du fpe&ateur n'étant pas infinie à l'égard du Diamétre de la Lune; on voit bien que la partie vi- fible de la Lune fera un peu variable felon diftérenteg pofitions des fpe&ateurs fur la furface de notre Globe. Ayant égard à toutes ccs circonftances, il eft clair que le Probléme par lequel on cherche la valeur précife de l'angle et32 ) 563 ( $93 langle PL S, 'eft extrémément. compliqué; mais comme les correcions qui réfultent de toutes ces confideérations ajoutées enfemble, font affez petites, il fuffit pour la Pra- tique de connoitre eu gros; (i angle PES eft obtüs ou aigu. D'ailleurs on peut remarquer ici, que fi l'on fuppofe tiré par le centre de la Lune un plan perpendiculire à la droite qui Joint le lien du Spectateur avec lé centre de la Lune; ce plan fera avec le plan qui eft perpendiculaire à la droite qui paffe pàr les centres de la Lune & de la terre, un angle précifement é9oal à celui foüs lequel le licu dn Spectateur paroitroir au centre de la Lune éloigné d& centre dé la terre. Donc fi l'on nomme la diftance entré les centres de la terre & de la Lune e, le demi- diamétre de la terre pour le lieu du fpectateur r, l'angie que forme ce demi-diamétre de la terre avec la ligne droite qui joint les centres 0, & Joignant le lieu du Spectiateur avec le centre de la Lune par uue droite nommée e, que l'angle entre à. & e foit nommé Z, on aura tang dum eormd—safcoL0 ^r f$ 0 — r «oj. 0 En fuite on trouvera la zone de la furface de la Lune vifible au Specateur, par le moyen de la droite c & du demi- diamétre de la Lune D, car cette zone fera à l'Hemifphere de la Lune comme Y (1 — m 1, Ou à caufe de D trés * petite par rapport à c, comme 1 —-P 2$ d $. ro. Pour montrer l'application des Réeles don- nées ci- deffus, nous propoferons quelques Exemples tirés de la Colle&ion des obfervations faites par Mr. Dorquier à Touloufe. Le :rg Avril 1774. Mr. Darquiér a. obtervé la hauteur du bord inferieur de la Lune, laídéclinaifon de Z5 la et; ) s64 ( $e la Lune étant alors 14^. 4/, B. celle du Soleil 9*. xo', B & larc LS à peu prés — 3o. Or à caufe de Log. cof. 4 — 9, 2022 ; L. cof. — 9, 38575 il eft Log. 2 — 9, 8165 & comme Log.cof. b — 9, 9315, EC Y Tem on a cof. A — T d'oà par notre Régle il a falu obferver le bord inferieur. Le 3 de Juin 1775 la déclinaifon de la Lune étant r5*. 54'. B, celle du Soleil 22*. x9'. B & larc SL — 59^, Mr. Darquier a obfervé le bord fupe- rieur, ce qui s'accorde auífi avec la Régle préfcrite, puis- qu'il eft évidemment cof. 5 7:5, la fra&ion étant plus grande que l'unité. Le r de Septembre 1775 la décli- naifon de la Lune étant 13*. 22^ A, celle du Soleil $*. 17. B & Parc LS — 75^, le bord füperieur fut obfervé, ce qui s'accorde avec la Régle. Le 22 d'Avril 1774, par une déclinaifon de la Lune de 4*. 55'. B, celle du Soleil étant 12*. 18/. B, & l'art LS — 154^, le bord fu- perieur fut obfervé, comme il faloit d'aprés notre Régle. Le 9 d'Aout 1775 la Déclinaifon de la Lune étant z$*. 16'. A, celle du Soleil 15*. 22'. B, l'arc LS étant z6r*, le bord inferieur füt obíervé, ce qui s'enfuit auffi de no- tre Régle, puisque Log. 5^? — 9, 9409 & L. cof. 5 — 9, 9757, coj. à d'oó cof. 5. — rl Cependant comme la différence n'eft pas fort feníbble, il étoit peut-étre indifférent lequel des deux bords on obfervát, Le rz d'Aout par la déclinaifon de la Lune 12*. 5. A, celle dn Soleil étant 15*. 17. B & l'arc LS-—:91?, le bord fuperieur a été obfervé, comme il faloit parceque cot à 7p. De méme le 6 de Mai 1774 la et32.) $865 ( S223 la déciinaifon de la Lune étant 2?*. 28. B, celle du So- leil 16? 39. B y l'arc L.S — 525*, il a falu obferver .le bord fuperieur parceque cof. & 22777. Le i9 de Septemb, 1775, la déclinaifon du Soleil étant 1r?. 58'. B, celle de la Lune 16*. 55'. B, l'art LS— 151*.; il a falu obferver le bord inferieur, puisque cof,b p S3. | 6. 1:1, Ces exemples font .tous choifis pour des «as, dans lesquels la Déclinaifon du Soleil étoit Boréale, citons en auffi quelques uns pour la Déclinaifon du Soleil Auftrale,' Le 25 de Fevrier 1776, la déclinaifon de la Lune étant 15*. 20/ B, celle du Soleil 9?*. 7', A. & larc L5-—84^, Mr, Darquier a obfervé le bord inferieur comme il faloit fclon notre Régle, Le 29 de Novembre 17275, la Declinaifon de la Lune étant r1?. 1i' A, celle du Soleil 21*, 5:1/, A, l'arc LS— 87? le bord inferieur füt obfervé puisque cof. b 2» DER. Le 29 d'O&obre 1775 la Déclinaifon de la Lune étant ri9?, 44', A, celle du Soleil 15*. 35 A, l'arc LS — 64^, Ie bord fuperieur füt obfervé puisque cof. b 2i, car log. 255 — 9, 8413 & log. cof. 5 — 9, 6418. De méme pour le 11 d'O&obre 1771, la déclinaifon de la Lune étant 18* 25', A, celle du Soleil ro?*. 55. A & larc LS— 45?, on. trouve log. 2:5 22/0; 775, log cof.b — 9,8641, donc cof 22 Z3, par confequent il a falu obferver le bord fuperieur. Le s de Novemb. 1775, la déclinaifon de la Luné étant 4*. 51^ B, celle du Soleil 15". 44. A, l'arc LS — 160*, il eft cof. b 75 9^5, donc il a falu obferver le bord inferieur. Le 50 de Novembre 2.85 1779 e35 ) 56 6 ( See 1779, la déclidaifon de la Lune étant 6*. 44'. A, celle du Soleil 21*. 41", A, l'arc LS — xor*, le bord fupe- rieur a été obfervé, comme il faloit par notre Régle. 6. x2. Quoique tous ces Exemples allegués s'accordent bien avec les Réegles préfcrites, il faut pourtant avouer, que parmi les obíervations. de Mr. Darquier il y en a quel- ques unes, qui en different. — Ain(i le 16 d'Avril 1774, la "s de la Lune étant rs?*. 2o/ B, celle du So- fel fo*. 14. B & l'a L$— 64^, on a se " 2:5 — 9, 7521 & log. cof. & — 9,6418, donc cof. b SES , l auroit donc falu obferver le bord fu- perieur & non Pinferieur comme Mr. Darquier Va. fait. Pour le 28 d'O&obre 1775, la déclinaifon de la Lune étant 195 44. ÁÀÁ, celle du Soleil 15*. 10. A; l'aic LS z5$2* il eft log. ? Mid — —9,8398 & log.cof.& — 9,7893, donc cof, P 2m mais malgré cela le bord füperieur a été ob- fervé, Or dans ce dernier cas, comme cof. P ne differoit que fort peu de rs a il étoit peut-étre indifferent lequel des deux bords on obíervát, mais pour le cas precédent la différence étant plus fenfible, je ne vois aucun mo- yen d'expliquer ce Paradoxe fingulicr. BRP- LI eth )séy( fH BREVIARIVM OBSERVATIONVM ASTRONOMICARVM, PRO ( | DETERMINANDO SITV GEOGRAPHICO CELEBRIS VRBIS ATQVE PORTVS CHERSONI, ANNO 1782 INSTITVTARVM. Auctore PETRO INOCHODZOT. E aduentu meo in hanc nouam vrbem, prima mihi cura fuit inquirere in ftatum Quadrantis mei, a quo exacta latitudinis determinatio dependet: facile enim e longo itinere per afperum et hiulcum terrae folum muta- tionem filorum micrometricorum fieri poffe fuspicabar, Ex verificatione ad horizontem ter inítituta reperi erro- rem fuübtractiuum 5'. 17; 5'. 24; et 5'. 22", Quum vero diflantia baculi cum factis in ipfo metis, centro tubi immobilis in vtroque Quadrantis fitu recto et inuer- fo refpondentibus, erat admodum modica, et vix 7o or- Byas eBS )s68( cH pyas fuperabat; hinc conftitui examinare quadrantem per altitudines ftellarum fixarum meridianas, in. hemifphaerio Auftrali ct boreali fedulo obferuatas, e quarum combina- tione tam corre&ionem infítrumenti, quam latitudinem obferuatorii mei hunc in modum determinau), Sit alti- tudo flellae obferuata et a refra&tione repurgata ad auftrum — a, ct ad boream fupra polum — a; declinatio prioris, adhibitis praeceffione, aberratione et nutatione, in appa- rentem conuería, et quidem borealis -—— 4; poflerioris - à; erit error Quadrantis —i(ad-8)-r i(a— 4) — 9o* et latitudo quacfita zu mcr0)—3: [a Quodfi ftella ad boream iufra polum culminaret, habere- tur correctio inftrumenti —i(a-d)-i(9—4) et latitudo — go —i(a-4)--i(8—a) E magno numero harum repetitarum obferuatio- num triginta felectiores retinco, easque in fequenti later- culo ob oculos pono. Dies et35 ) s6o-( $93e Dies obf.| Nomina St. Nou | fixarum. alt. obferu. X4. Sept.|Ó Dracon. 69?.2 7!. 10! y Lyrae (75.52. 8 QG Cygni | 70. 58.30 17 à Drac. 69. 27.25 p Cygni |70. 58.2 a, fagittae|60. 59. 56 15 Cá. « Cephei|75. 3.56 B. v 90169." 395950 Q Cygni .|70. 58. 4o a fagittae| 6o. 59. 42 y Aquilae|53. 34. 4 d uxm. Ee sÉ40.20 - 2) | B -* $549-2X.10 (34 e Cygni |76. 37. 40 | & Cephei|75. 3.55 c, Aquilae| 51. 46, 24. : [5 .. ES 49. 21. 14 | 9 Antinoli42, 1.29 e Delplitals d. 3. :8 & | 'RENSS. 37.25 - . le Cygnks| 76. 37.3 19 Nou. Cephei 75. 3.58 g.4 Hem 7 2 21 € Pegafi ||52. 21.58 & Aquarii|42. 6.11 Yy- role. 59.51 3 Pegafi- 29. 25. 18 n/ c ew NS 26. 30 óAndrom.|73. 7.55| Acla Acad. Imp, Sc. Tom. V. P. I. o, 2,5! 67*. 1l. 1741 999424. 20 9 I. 25/67. -I T. 2352547 5r. 37| 17. 82 I8 | 6f. 4O. 28]| 69. S56. 23 |.27. S1. JU crge82. 491.20. i 6. 2 8. 18. 58 5. 53 $6.7 *393. 10. 28 |.6z,.40, :52 Se ps o. 58 5. 58 1. I4 1.*20! Oq4:5" EO 354 TlgcB3e. 9s E6]543. $0. FS | 61. 46. 28 | 69. 57. oO. 52 8s 55. I. Í4. Y. EOS P.:86 2. 28. Q. 2 26. 544 43 13. 58 0,20] 29. 4O Aaa refract. | Declin. appar. d.I.Caill,'ad diem obferu. et32 ) so ( B$83e Atque ex his, pera&o iux'a formulam calculo, fequentes pro correctione Quadrantis et. Latitudine loci obtinui. valores. Stellae fixae Dies ad Boream, et ad Auftr. 14 Sept. |Ex Dracon.ey Lyrae , Cygni — — X Us Sacittae r5 Oà. Q Cygni & Sagittae & Cephei uos (P Cygni a Íagittae G Cephci 4 Y Aquilae [2A - - 3 ud x 1 : Cygni 24. Oct. e Aquilae B - - : l2 Antin. & Cephei 2» Delph. [»4 - - € Cygni Err. Quadr. fubtractiu. 5^. g4^ 5. 31 Latitudo; 467.5 8!. 2. 5! 51 46?.5 8.2.6"! Dies e$ ) 571 $$ Dies Stellae fixae Err. Quadr. ad Poream. et àd Auflr. | fubtractiu. Pantedo. I9ct 2I ts Pegafi $/,1360, 9 146*.58'.25/,3 Nouem. & Aquar. 24,2 56,2 à Ue 277 83.5 & Cephei 4^ Pegafi 56,7 25.7 g DADA 36,4 2 munt 31,7 28,7 L5 Andr. 34- 26,5 (« Pegafi 56.2 23.2 «& Aquar. 23.9 d5 iidem 26,4 33 Q Cephei 2 Pegafi 56,2 23,2 pow 36 a 23,5 [f -- -- 51,2 28,2 [9 Androm. 5. 334 146. 38. 26 Quum omnes hae obferuationes pari cura et foler- tia inlitutae fint, nullam reliquis praeferre aut poftpo- nere poffum ; medium igitur ex 56 combinationibus prae* bet correctionem Quadrantis — 5', 5o*, 5 et Latitudinem loci 46^. 58'. 29", 4. Progredior nunc ad altitüdines Solis meridianas; quibus, vt fpatio parcerem, correctio Quadrantis inuenta — 5! 80'. jam applicata eft; porro in comiputanda decli- natione Solis differentia Meridianorum inter Parifios et Cherfonum duarum horarum füppofita. Aaa? Dies «$35 ) $72 ( $52 Dies Altitudo obíerv. limb. St, Nov.|O fuperior. Refr.. | — pa- rallal. ; Diam. | Declin. oO | (o) Boreal, 15Sept 467.34. 8^9. 57^ iN 2 16 446, XE. . Vo 58 S 2. 32.49 17 45.5: qo. - -M te. 2. 9.84 Auftral. 28 4l. 4D 9894 I; 8,5] T0. x,5 | $3.. 3.48 $9 4O- 44« 15 | I. 10,5 16.52 2. 54. 35 X Q, |40. 232 W|r. zx 4 [16:235 149. 17.56 5 38. 49. 4 |x. 16 || z6;» 4 4. 50. 54- v 5:5: 109 "OTT. 18 - - 5537.5. S 257..9p: "^24 v. 19 -5- 6. 19.,"5 9 382.31. *-|r.20 ||16«^5 6. 22.57 10 $6, 5s exi 2ri|o- 77 6. 45.45 x7 54-:116::56.| 1. 51 , |16..-3 9.:22. 32 18 33.54. 30| - - "Es 9. 44.27 23 2. 279015997507 * 9^. r173*.42 28 309.44. 40 |1. 44. |16. 10. |13. 14.37 29 BO. 4.55] 14590» sme m "08 dao O $9 29.45. 12]1.47 | " - [13.54.22 gt 29.25.50 |1. 48 |16. 10.5 |14. 13.54 4. Nov.|28. 10. 71.54. |16. 11,5 |15. 29. 48 2I 25.59. 1/2.:23 -D16.15. |20. 1. 4 4 Dec. 21.21.57|2.56 |16.17 22.18.52 9 20.47.58 |2- 41 |16.17,5 |22. 52.55 2 20. I4. 20|2. 45. |I16. 18,5 |25. 26.9.5 25 20.16. O|- - |16.19 |23.24.37 $0 (20. 20. 58|2. 43 22 mw i55. OJRD Medium Latitudo, ^56... 1! 46.38.48 ex 23 obícruation, 46. 38. 29. Hinc EA ) S 3 ( Ge deo Hinc abunde patet, Latitudinem Cherfoni tuto fla- tui poffe 46^. 38. De longitudine eiusdem vrbis. Per totum meae Cherfoni commorationis tempus, praeter tres Emerfiones 1"' Satellitis Iouis, ct harum qui- dem prima et vlüma dubiae funt, nullam occultationem 'flellae fixae a Luna obíeruare licuit. Scptembr, Emerfionem 1"'fatellitis obferuare mihi vi- fus fum 85. 57', 4". TT. v. obferuatio dubia; nam lupiter denfis inhaerebat vaporibus ita vt fatellites ante indicatum momentum difficulter viderentur. 7 Emerfio eiusdem fatellitis 75. 21'. 40", coelo fereno et pacato, loue bene terminato et fafciis fatis cone ) Ípicuis. De hac obferuatione non eít quod dubitem. Ean- dem obíeruauit focius 7^ 2z!. o". 5 Od&obr. Emerfionem eiusdem obfernare mihi videbar j^. 42!, 493!, obfernatio etiam dubia, facta enim prope horizontem, lupiter male terminatus et fubruüber confpiciebatur. Obferaatio media comparata cum momento ex e- phemeridibus defümto 5^. 20/, 21" praebet differentiam meridianorum Parifini et Cherfonenfis 25 i!, 19", Praefüiti quod potui, non tamen quantum voluiffem, Aaa 39 Decli- et35 ) s74 ( $90 Declinationem acus magneticae reperi LI Septembr roi" occidentem verfus | ox - ^ Sept. a o uri IO e " 2 $üebr.. x9 - - - Dec, o l *? owe 1783410565 Inclinationem acus inueni 65*. "Verum hanc obfer- vationem pro exacta ct abfoluta non vendito. OBSER- eni )spí( ce OBSERVATIONES AUSCESROOD N-O-M 1l C A.E; PRO STABILIENDA POSITIONE VRBIS CHARCOW ANNO 1785 INSTITVTAE. Auctore PETRO INOCHODZOTE, [annos obferuaturus fedulo inquifiui in ftatum Qua- drantis me: per altitudines ftellarum fixarum meridia- nas, verfus Auflrum et Boream diuerfis diebus captas, ex quarum combinationc, iuxta formulam obferuationibus Cherfonenfibus appofitam tam errorem inftrumenti quam eleuationem Poli determinaui, vt fequitur: Etron;batit Die ? £7. Ex « Drac. ad Bor. et Q Leon, — 5!.1.3"; 49?,59!. 15! s Mui e^ gene - fVirgin.— 5. 7; 2I —" wm MEI ERI 2 —55 45 23; - 2 - - t£ - - s enki 18 — —M —— a — áÁá—À med, — 5, 8:5 49. 59.19 I; eg2 ) a76 ( $95 D.: Mai ad Boream. Nom fix|... Polaris, a Draconis. ||g Vrfse min. |» Vrfie min. ad Au(r |Q. Latitud. Q. | Latitud. | 9. Latitud, Q.| Latitud. —— é Virgin. " 49' «$9; r8 (8^ e. 5.20 ra 49. 59. 35 s 149. 59. 135 Arctur. ||7 17 9 19 jYs AB b: I2; £ Bootis||2 22! 4 24. [3 39 |[57: 7s e -- - |l 19| 7 21 [13 24 | o; 14i De |? s UM -oes 253 | 4. IO; 4 49. 59. .26 | xi 1;|49. 59. 135 In hac Tabula, columma littera Q infignita praebet. numerum fecundorum , qui cum — 5s! errorem Quadrantis conftituunt, illo ex- cepto cafu vbi legitur 57";, quippe quum ibi intelligendum fit — 4/. 57^. D. : Mai. Ex Arcturo et Polari. Error. Q. — 5'.5;" et Lat. 49.594, 101! Ex eodem et a Dracon. - - 5. 8i I5 Medium ls 149. 59.18 || 8 | 49. C 2o [r4 ! Die !? Maii Nom. fixar. I & Dracon. Ad Auftr, Err. Q. Latitud, — || cem ZVirg, tmd sinon oro Ar&ur, i—5.12 | 16! "A Boot. I—5. 9j 19i e€ Boot. —5. 8 21 med. [-75. .8 149. 59. 21 med. Ad Borcam. c Vrfae min, | Err. Q. | Latitud, —5.11;|49. 59.84i 2I; 25 IS 28 16; 29; |i—5. 17 (49. 59. 29 I5. 49. 59. y Vrfíae min. |Err.Q. | Latitud. —4-58 |49. 59. 2 13 [ac e 8 Lx I-—5. 5 a5 —5 4 8s 16; [zo nre 59. 16 EE NE ER) Mcd. ex omnibus dat pro errore —5/. $^. ct pro latitud. 49". 59/. 20". Difpi- $325.) 577 ) S52 Difpiciamus nnnc ipfas obferuationes flellarum fixarum, et quaenam ex illis Latitudo loci flatuenda fit. . | refra&. Decl. appar. TC Ab wi m obferu. E'OT- Dy dc 13 ad diem Obferuat.| fixarum, Latitudo; od Caille| obferu, 26 Mart.| « Caftor, 72?.2 7. 5/5! gio! ar 82*.20. 50/49», 59! x 5 Procyon 45. 53. 20 Y: «4531755406. 34. 26 Q Polluc. 68. 38. 35 O. 26 28. 32. 14. 13 £0 Apr.|Regulus |53. 7.55 50 E95 2, 9 Si & Leonis 64- 55. 52 32 |24. 29.28 16 à - e pror 2 85'"loTU 49.57 15 6 Maii | 8 Leonis i5 5. 58. 44 O23. 159.49. tO; E Q Virgin. 43. 6." 8 I. II | 2.59.1:; 25i ry. Corui |25. 47. 37 2,28 16.20.281 301 à Virgin. 44. 41. 58 E. 9 p44'54. 56 27 £ 7 - |[52.84. 22 OL. ST 5, 96. IS: & - |30. 5.583 I4 10. i52 32 & Drac. 74.39. 5o o. 18 65. 24.56 20 52 Maii|£ Virgin.|40. 58. o I. 17. OO. 55 50 Ar&ur. |660.25.19 Q. 57190: L8.51j 18 £ Bootis |54. 46. 24 47 14. 39.57 28 € - - |[68. 5,56 27 27. 59. 43: 22t à - - 74.14. 8 19/34. 7.544 KE Polaris |48. 14. 9 59288. 8.46 I5: a Dracon.|74. 59. 45 t84605.25..'52 I9 QVrfminj6s. 2.30 $1 75 2. 401 31: Y co - 4631.28.25 27/72.36.17,49. 59. 7 Acla Acad. Imp. Sc, Tom. V. P. I. Bbb Dies e$$$ ) s78 ( $e9$€ refract.Decl. appar. P M Scu A |t. obfer E D.dela| ad diem | Latitudo. 'Caille.| obferu. 24 Maii|Polaris |48. r4. Oo 0.59788. 8.46; 6; a Drac. |74. 39. 40 IS |65. 25. IS Ar&ur. |60.25.22 37;|20. 18. 517 15 5o Maii £ Virgin. |40. 37. 50 I.I7149,50 56 KP: Ar&ur. |60.25.25 O. 37, |20. 18.52 12; & Bootis 54. 46. 35 47 |14. 39. 58 18 & |75,*54168.. 5:58 27 |21. 59. 44 2I a Drac. [74. 39. 45 IR 65.25. 2 2I 3Virf.minjó5. 2.535 S1.175. Qi 4t 3 Y *:4^7..162. 28, 39.—5. 8. |. 27,182. 360.17 d- Medium ex omnibus ^ 49. 59. 19. Altitudines Solis meridianae pro eadem Latitudine fequentes fuppeditant determinationes; vbi notandam ve- nit limbum Solis fuperiorem feu borealem obferuatum, et in computo declinationis Solis differentiam meridianorum Parifini et Charkowienfis affumtam effe 2; horarum. Dies et32 ) a79 ( $83 Dies | ! Corr, | refra&. | Semid. | DGclin. Olis : b ! LI E FE Alt. obferu, Quadr. rusa. Olis. Boreal. EJep. Poli. * | —————— -— — |—— | —Á — 2 4. Mart, |41".50^.. 2^|—5*, ee 8L E0.s 47.1 xt os ral. 4959.92 25 42. 13. 40 I. 7 ^n I. 50. 48,5 27; 26 42. 37.10 E 6 ej 2. I4. 20 28 29 49. 4:74 30 Ir. 4. L6,..5 5. 24. 58 25 2 Apr. |45. 20. 10 u I ki 2 4. 51. 24. 25 I7 $0. 52.20 l0.4.8,95 |15. 57,5|10. 29. 52 26 2I 52. 15. 16 47 56,511. 52.4.5 20$ 6 Maii |56. 55. 15 4.0 53 |16. 3 «i5 Ks J 57. 12. 15 $99 | - ^ r6. 49.46 II 9 57. 44- 85 37,5 52,5|17. 22. 18,5 zl 15 59. 14.52 56 51 |18.52 52 35 16 59.28 SO! e & ne ali9.-.05..32,5 56; 2I 60. 34. T3 pil | 'so [|20.11:59 24. 22 60,46. 2 33 s [20.924, 0,5 29; 25 60. 57. 41 dae 2h42 124394495. 4.0 50 2.4. 61. 93:3 Tibi, o5 49,5 20. 46. 58,5 26 26 61. 50. 4.5 52 zs iP Ere T 15: 30 2, 9g.23,—5.8 (0.81 [15.49 |21. 47.12 I9 Medium — -—-— 40. 99.25. Hinc igitur liquet latitudinem vrbis Charkow tuto ftatui poffe 49^. 59' 22", vel rotunde 49^. 59^. Bbb2 | Obfer- et3$ ) 880 ( $e» Obferuaticnes pro Longitudine eiusdem Vibis. Die 7 X. Inter nubium hiatus vidi prope Lunam duas íftellas fixas, quarum proxima, 156 in contlella- tione Tauri, occultari mihi vifa ro^. 22, 2", TT. v. obferuatio haec ob nubeculas praeterfugientes du- bia, et motus horologii non fatis exploratus crat. Die 5. Immerfio ri" fatellitis 145, 18^. 19". 'T. v. Coe- lo fereno et pacato; fed loue parum eleuato fa- fiae non diftin&e apparebant: figura tamen. Iouis bene terminata, et fatellites clare micabant: obfer- vatio haec fatis bona mihi videbatur. Die ; Maii, Immerfio 1i" fatellitis Lumen fatellitis valde imminutum — 145. es^ 6" lnmergi videtur — — 2o Immerfio certa I4. 2". 32 Aere fereno et quieto, faíciae louis bene di- fcernebantur; altitudo planetae erat 16^. 25. Ob- feruatio bona, Die ;. Emcerfio s" fatellitis — - — - I5" 48! 95! Coelo fereno; fed füb diluculo admodum in- tenfo Satellites cum difficultate videbantur, et E- merfio confecuta prope ri""" Satellitem, obferuatio dubia. Die 5. Emerfio 4" inter nubeculas in regione Touis va- gantes obferuata r3". 57'. 52"; obíeruatio etiam dubia. Quod ec; ) asr ( Ge$e Quod attinet ad tempora obferuationum fatelli- tum louis vera, €a eruta funt ex altitudinibus folis corrcfpondentibus. * - Immerfiones primi Satellitis contuli cum momen- tis Ephemeridum Parifiuarum, prior ibi notata 12*. 5. 56", dat differentiam | meridianorum 2^. r4/ 45"; altera vero v2À may qm praebet 42^. eA, 4:5. Conclufiones prae- ter expectationem mirum in modum inter fe coníentiunt. His adiungi poteft: Obfervatio Eclipfis Lunae totalis cum mora, die 7 Martii 1783 in vrbe Charkow tubo Dollondiano 3" pedum inftituta. "Temp. vero, Penumbra in difco Lunae apparet :. - .- . 9". sz. lnitium Eclypfeos certum : - - 9. 57. 108 Grimaldus immergitur - - - - 595: 2:02 Vimbra ad Galilaeum - - . * ouwndiOwo sis 04 Galilaeus totus tegitur - - - 2. 45. Ariftarchus immergi incipit - - - 93.,1-509€ ——- —— totus obumbratur - - - 10.454 Bullialdus - - - - - I5. 59. Copernicus incipit occultari - - i" 1935 —— -—— totus in vmbra - - - 19. 35- "üycho vmbram ingreditur - E - 23. 34. —— -—-—— totus immergitur - - - 25. 539. Plato ad vmbrafn - - - - 28. .53« —— ——- totus abfconditur — - EE 530. 12, Manilius ^ - - - - 57...18. Menelaus - - 1 40. 85. Bbbs5 Pro- e£32 ) s82 ( $532 Temp. vero. Proclus (dub.) - - : 10g 9. o2^. Mare Crifium incipit - " - sr. 7. —— ——- totum - - - 54. 22. Immerfio Lunae totelis in vmbram - b7. €T. Vmbra i& Eclypfi totali erat. valde diluta, ita wt corpus Lunae nudo oculo videreiur; per tubum Vero ple- raeque "maculae ac in nouilunio confpiciebantur. Color vmbrae cinereus et fübruber. Durante eclypfi obferuaui emerfionem ítellae 12^. 2o* 43^. Emerfiones macularum. "Temp. vero. [Luna egreditur ex vmbra : - - 12^. 39!. 26! Grimaldus - à - - 42. 8$ Galilaeus totus - - . 46. 58. Ariftarchus - - E - 50. 57. -—— v tótus E E - $2. 29. Copernicus : E E 2c. uED, "56.0 $9. Tycho (dub.) - - - ^ E39. 04..548 Plato - : - : 13. 8. 25. -—— -—— totus 2 dieu. - 9. $2. Manilius - - - H I8. I2. Menelaus - - - - 21.- 2. Plinins - - - & HW o 5. m" Mare Cafpium - - - 46. 21. ——— -—— totum - - - 55s. r4; Finis Eclypfeos . ] " I3. 39. 51. Penumbra difparet - " ub i s enis «32 ) 3883 ( etie Summa huius obferuationis. Temp. vero, Tnitium E E - . 9". 53... oi, Finis - E . - I5. $9.' Sr. immerfio - - E - 10555. 7 Emerfio - - - E 12. 39. 26; Duratio Eclypfis totalis — - PNEU 5552.9. lb; —— —- More — - * - X, 49. 9. Medium Eclypfeos ex initio et fine — - II. 48. 251 Idem ex immerfione et emerfione - If. 48. 21EÉ Declinatio acus magneticae obferuata a feptentrione ad occafum. Die i Martii ?^, 4. 5 mm go 35 Mait 75 2, 5 Mai 7, 5, 24 Man. *. 6, ;; Mai 7, 3. azuMaii 49, 5. m 45 vel 9. 25. Com- ej )ssel ce Comparatio obferuationis pro Eclpfi Lunae die 7, Martii 1783, in vrbe Charkow a Cl. Irocbodfof infti- tuta, cum illa Petropoli a D. Lexe// facta, Initium Eclipfis in Charkow — 9". 57'. o, Petmopoli — 9. 33. 29. ——- Differ. Meridianor. 24/5 T. TImmerfio Grimaldi in Charkow — 9. 59. 20. Pettopoli :9:536:2:85. 257. 25. Vmbra ad Galili Charkow ro. 1r. 33. Pétropoli 9; 37. 53. 23. 40. Galileus immergit Charkow ro, 2. 45. Petropoli 9. 39. 15. 293. 30. Copernicus immergit Charkow ro. r9. 35. Petropoli- 9.755. s. 24. 30. Vmbra ad Tychonem Charkow ro. 25. 34. Petropoli* 9. 59. 57. ————— 25.737. ibko « totus immergit Charkow ro. 25. 59. Petropoli 10. ef, 799 2^ 24. T. V mbra et) ) sss ( Se Vmbra ad Platon. Charkow ro. 28. $55. Petropoli ro. 6. r8. ——————9 22. 95. Plato totus immergit Charkow zo*. 30^. 12. Petropoli ro. 7, rio. ———. 23:5. Plinius immergit Charkow r0. 40. 53. Petropoli ro. r8. $3. 22. $0. Eclpfis totalis Charkow 10. 57. 17. Petropoli 1o. 33. 36. INE d: Initium emerf. Charkow 12. 59. 26. Petropoli x2. I5. 4. ———áÀ 24:09; Grimaldus emergit Charkow 12. 42. 8. Petropoli I2. 1$. 29. 290:.39: Galileus emergit Charkow 2r. 46. 38. Petropoli x2. 21. 33. 25. 5. Ariftarchus emergere incipit Charkow 12. 50. 57. Petropoli 12. 27. 20. 2501.97 A&a Acad. Imp. Sc. Tom. V. P, I. Ccc Medi- 3 )586 ( TUR Medium ex his conclufionibus fumehndo erit diffe- rentia. Meridianorum inter. Charkow et Petropolim 23. 36", tum vero fi tantum ratio habeatur principalium momen- torum, nimirum Initii Eclipfis, totalis Immerfionis et initii Emerfionis erit Differentia Meridianorum 25!, 51". Quodá igitur haec differentia ftatuatur 25'. 40", erit Longitudo pro Charkow a meridiano Parifino computata 2b. 15!. 31. Vus E Y y Ir ; o M Ds Du) 3 de. read. op edes dfetencer Tom VPI. IU p V——M— de.U rad. mp -dew Kezenear Zim PE. ua. und os. Ke Petrop . Tor : 23205 P dra —oha. ond op fr Petrop. E 7T. POI. ZI em. dea. Zn. etrap TonLnL.Y. IF m4 mm. ZEE T etas. Load. Dp. Je Pelrop Toms VP Zaá I. —— ——— eta, en. Dong . be. Petrap.Jbm .V.P.1.TR6.Z-. veta, Leod. Dp e. Petrap, Jom V. P.I. Tab. Z. Jt e de . D. Acad mp . der. JKc£encer. Tom V arr bom Jt, fé- de.D. Acad dp dear. Jtíences Tom V Parr. T TTE rA LU li UDIN LAU Arad . In . io^. JPetropol . on V CD TSZZPEMU -deta. Mead. Imp.de. Fetropal . Vomn . V. P. T TuÁIV, | mp.swe. Zeftropot . "omis E SEE du sad. Imp.we. Zetropal . Imt WE xTM. ET utut m. A deta . dead . mp dc. ehron. Ubm..V.P.T. TRA. WI. 3 9, ty Er LOS AzL 2 ^ à etn $665. LL COPA iis PSU me jos e o deo LS d ——— A Ó e Ü — E —€— 423556782910 ; : CCITTTETUITLEETSETOM—————————[—————7— 2 ] x Jae £rotrierne par£ . die poufon W/4 2 ff de. .Jdead Amp.der ciencer Tom V Pars 1. -- Arta. ead . 4nip . c -Petropol. Tom. V, P.I. Tab | Vgr. QUL I d Aw qodogapi20 dup pope vp. A uu. Z2 . Jo. E JDorIsop danni... ub VAL, / | cad. Inip.sfe . Petrop .Jim.v Pr Jelx. Meta. Acad. Imp. se . Petrop .Jom.v Pr JeAIX. m o TES Lecta. Mead . Tmp . Kc: Petrop. Tom V.P.I1 ab X. s 7 [44 Judei aea ren MIS aA s 5T Pov 77 ferro, UAE LA Vac Tf. 2e A A Gaedelgeno 91; [4 p 7v ca £2 Pa Cer T 1a MN) a jn i eem RU, d sca 1d / d Y 7 | Jceri QA^ Mr A LP CURT TEE DN Ae fe LI) Jefe mov Jobi VOLTA. AES 7n 242 ^ TP TA A [^ 99/200 34 AL fae A Ah vida TP »275-- ? 2 Hd T" dz Pet Da ca e Pee a 2 /- 02g Je 4 Dona có na Def ^ e rp v7 d d TUTTO UT TULHT