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ACTA 


SOCIETATIS SCIENTIARUM 


FENNICA. 


TOMUS L. 


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HELSINGFORSIA. 
Ex offieina typographica Societatis litterariæ fennicæ. 
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DES 


ARTICLES CONTENUS DANS CE TOME. 


Die ausserordentliche Haloerscheinung am 10. März 1920 in Süd-Finnland, von 
Osc. V. JOHANSSON. 

Lósningars optiska egenskaper. En hypotes rórande byggnaden av elektrolyternas 
molekyler, av JARL A. WASASTIERNA. 

Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler veránderlichen, von P. 
J. MYRBERG. 

Zur Kenntnis der Blütenentwicklung einiger Juncaceen, von Wıpar BRENNER. 
Mit 1 Tafel und 41 Figuren im Text. 

Über die Eigenschaften analytischer Funktionen in der Umgebung einer singu- 
lären Stelle oder Linie, von F. und R. NEVANLINNA. 

Untersuchungen über den Picard’schen Satz, von RoLr NEVANLINNA. 
Recherches sur les Mouvements propres des étoiles dans la Zone photographique 
de Helsingfors, par RAGNAR Furunserm II. Clichés de 6^ à 9^, 


. Über Stabverbindungen mit veränderlichem Kraftangriff, von HARALD LuxELUND. 
. Untersuchungen zur Theorie der Beleuchtung des Mondes auf Grund photomet- 


rischer Messungen, von E. SCHOENBERG. 

Über das Leitvermógen der Mischungen von starken Elektrolyten. Untersuchungen 
bei sehr kleinen Konzentrationen, von J. E. RENHOLM. 

Über Fachwerkträger mit veränderlichem Kraftangriff, von HARALD LUNELUND. 
Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum, von Ron 
NEVANLINNA. 

Über die numerische Integration von Differentialgleichungen, von E. J. NYSTRÖM. 


. Uber die Drehung eines starren Kórpers um einen festen Punkt, von Hi. 


TALLQvIST. 


. Untersuchungen über rollende Bewegung. Anwendungen der elliptischen Funktio- 


nen, von Hi. TALLQVIST. 


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ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 1. 


DIE AUSSERORDENTLICHE 
HALOERSCHEINUNG 


AM 10. MÄRZ 1920 


IN 


SUD-FINNLAND 


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VON /* = 
OSC. V. JOHANSSON [2- s 
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HELSINGFORS 1920 
DRUCKEREI DER FINNISCHEN LITERATUR-GESELLSCHAFT 


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Einleitung. 


Am 10. März 1920 wurde vornehmlich im S-Finnland eine ausserordentlich gut entwickelte 
Haloerscheinung beobachtet und von einigen auch genauer Beobahtern aufgezeichnet. Vor allem hat 
Herr Ingenieur E. A. BresE die Erscheinung in seltener Vollständigkeit und Schönheit beobachtet, 
auf einem Halbkugelmodell aufgezeichnet und dieses mir zur Verfügung gestellt. Hierdurch wurde 
ich veranlasst, nach seinen und anderen Angaben diese Beschreibung der Erscheinung hier zu 
veröffentlichen, wobei auch einige andere Zeichnungen ähnlicher Art von finnländischen Beobach- 
tern, insbesondere einige aus älterer Zeit reproduziert und kurz beschrieben werden. 

Herr Brese hat mir schon am 10. März zwei Zeichnungen der Erscheinung zugesandt, so 
dass ich eine Mitteilung hierüber in einer biesigen Morgenzeitung für den 12. März einführen 
konnte. Da man die Erscheinung nieht an der Meteorologischen Zentralanstalt beobachtet hatte 
und da sofort aus diesen Zeichnungen zu ersehen war, dass die Verhältnisse für die Entwicke- 
lung der verschiedenen Einzelerscheinungen diesmal ausserordentlich günstig waren, habe ieh in 
der erwähnten Mitteilung eine Aufforderung zum Einsenden von Zeichnungen oder Beschreibungen 
der Erscheinung ergehen lassen. Teils hierdurch, teils sonst haben mehrere Beobachter der 
Zentralanstalt oder mir ihre Aufzeichnungen oder Beschreibungen mitgeteilt, etwa ein Dutzend 
von diesen mit Zeichnungen. Weil, so viel ich weiss, ein so vollständiges gleichzeitiges Material 
für die Darstellung der meisten hierher gehörigen Lichtbilder in der Litteratur nicht vor- 
kommt, will ich die Beschreibungen hier in allen wesentlichen Punkten, wö möglich und 
wenn nötig in originalen Mitteilungen, wiedergeben. Leider fehlen Messungen der Dimensionen 
beinahe durchweg. Die Zeichnungen sind auch in verschiedener Weise und mit wechselnder 
Genauigkeit ausgeführt. Die wichtigsten Zeichnungen sind auf der beigefügten Tafel in Fig. 
I—X reproduziert, wo möglich in gleicher Skala, aber auch möglichst genau nach den 
Originalen. Sämtliche Gebilde auf dem Himmelsgewölbe werden dabei entweder auf der Ebene 
senkrecht zu den Sonnenstrahlen projiziert oder auf der Ebene des Horizontalkreises so zu 
sagen umgebogen (nicht projiziert), so dass alle Kreise als Kreise erscheinen. Nur einige un- 
wesentliche Ungenauigkeiten in Betreff der Symmetrie und Grössenordnung sind entiernt und 
im übrigen bei den Beschreibungen auf alle abweichenden und wesentlichen Punkte aufmerksam 
gemacht. Die Beobachtungsorte, die Beobachter, die Länge und Breite des Ortes, die Zeit und 
die Sonnenhöhe werden in einer Tabelle am Schluss der Abhandlung angeführt. Da die meisten 


4 Osc. V. JOHANSSON 


Beobachtungen zwischen 60 und 61° Breite und zwischen 7 und 11 Uhr a ausgeführt wurden, 
sei hier eine Tabelle mit der entsprechenden Sonnenhóhe ohne Rücksicht auf die Refraktion 
berechnet. 


Zeit rie Br it 9i On 7 (GÄR ol ya alike SIS nte) 
60° Breite 7 10 13 16 . 18 21m 98 200020 26 
Gl; P CURTIS 9714927. 7 15918 20 22 24 24 25 


Die Wetterlage am 10. März morgens wies ein flaches 770—774 mm hohes Maximum im S, 
schwächeren Barometerfall in der Nacht im N, auf. Bei Winddrehung von NW gegen W und SW 
hatte der Himmel sich im N schon in der Nacht mit Wolken überzogen und in S-Finnland fuhr 
die Wolkenbildung im Laufe des Vormittags fort, so dass der Himmel hier um 2 p allgemein 
trüb war, im N wiederum heiterer nach Zurückdrehen des Windes nach NW. Abends war es 
auch im S ‚heiter. Offenbar war ein sehr schwaches Randminimum vorübergegangen. In Hel- 
singfors blieb der Barometerstand nach 8 Uhr ziemlich konstant, aber hatte vorher verhältnismässig 
rasch zugenommen. Die Bewölkung wurde in Helsingfors um 7—9 a mit 0, um 10 mit 1°, um 
°, um 12 Uhr mit 10° notiert. Um 7 a wurde Ci— Cu, um 10 und 12 Uhr Ci—S 
beobachtet. Der Beobachter in Kuusankoski meldet äusserst dünne Wolkenschichten über dem 
Himmel, der in Kaipiainen sagt, dass der Himmel nur etwas neblig war, der in Kotka fand nur 


PAIN 


einige daunenartige Wolken (,untuvia*) im S. u. s. w. 

Ich gebe jetzt die Berichte der Beobachter, wo möglich in originalem Wortlaut, wieder. 
Wesentliche Besonderheiten der Zeichnungen, die nicht aus den Reproduktionen hervorgehen, 
werden auch angeführt. 


I. Die Beobachtungen über die Haloerscheinung am 10. März 1920. 


Die Erscheinung wurde hauptsächlich in S-Finnland beobachtet und vorwiegend E von . 
Helsingfors. Von den etwa 10 Hauptberichten stammen 6 aus der Gegend des Kymmene Flusses, 
2 Làngengrade E von Helsingfors. Hier war die Erscheinung offenbar am schönsten entwickelt 
und die vollständigsten Beriehte liegen von zwei Beobachtern auf der grossen Papierfabrik 
Kymmene, Kuusankoski, 5 km nórdlich der Mitte der Hauptbahn zwischen Riihimáki und Wiborg, 
vor Man könnte mit grossem Recht die Erscheinung „das Kymmene- oder Kuusankoski- 
Phänomen“ nennen. Wir behandeln die Berichte von Kymmene in einem ersten Abschnitt. 


A. Die Berichte aus Kymmene Fabrik von E. A. Brese und T. L. SuursAzur. 


Wie schon erwähnt war Herr Ingenieur E. A. Brese der erste, welcher über die Erscheinung 
berichtet hat, und von ihm stammen die vollständigsten Zeichnungen und Beschreibungen. 

Der erste Brief Bırses war der folgende: 

„Lager mig härmed friheten översända till Eder en i all hast uppgjord skiss över ett i dag här à 
Kymmene bruk iakttaget ljusfenomen. Fenomenet var synligt över en timmes tid och ytterst tydligt. Him- 
meln var betäckt med ytterst tunna molnlager. Strimmorna vid bisolarna, ringen e (= 11) samt den breda 
bågen upptill framträdde i regnbägsfärger. De övriga strimmorna och ringarna i skarp vit färg. . . . 

Die hiermit eingesandten 2 Zeichnungen I a und Ib sind Vertikalprojektionen gegen die Sonne 
und Gegensonne, wobei der Horizontalkreis geradlinig gezeichnet ist. 


Tom. L. 


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Die ausserordentliche Haloerscheinung am 10. März 1920 in Süd-Finnland. 5 


In einem Briefe vom 16. März habe ich nähere Auskünfte verlangt und am folgenden Tage 
antwortete Herr Brese u. a. folgendes: 

„Jag låter här förfärdiga av plåt en halv-svär med en diam. av 500 mm, denna målas ljusblágrà och 
skall jag inrita alla kurvor samt allt, vad syntes av nämnda fenomen, om möjligt med naturliga färger. Fär 
samtidigt meddela, att magister V. KrouN även utfört en ritning av fenomenet ifråga, tillsammans med sin 
fru och torde han insänt ritningen till professor MELANDER. Sä fort jag fär mig tillsänd en kopia av min rit 
ning, skall jag med biträde av mag. Kroun åskådliggöra fenomenet à ovannämnda sväryta.“ 

Ich sandte sofort die Original-Zeichnungen zurück nebst einer Angabe, dass die Sonnenhóhe 
um 8.: etwa 121/,° betrug. Am 4. April teilte Herr Bırse mit, dass das Halbkugelmodell fertig 
sei und in der nächsten Zeit mir zugesandt würde. Folgende Beschreibung desselben wird gegeben 
und Fig. I e gibt schematisch die von Herrn Bixse gesehenen und auf dem Modell eingezeich- 
neten und numerierten Gegenstände an: 


„Samtliga kurvor hava blivit fixerade av mig och magister Krohn gemensamt samt deras lägen fast- 
ställts efter gemensam prövning och s. a. s. gemensamt godkännande och torde deras lägen vara nägorlunda 
exakta, emedan vi använt oss av bägen (sträckan) frân solen till zenit som mättenhet vid bestämmandet av 
de övriga bägarnas inbördes storlek samt lägen. 

Fär även meddela, att min första skiss, den jag insände till Er, icke innehöll allt, det jag säg. Jag 
visste ej dä, att min lilla i hast uppgjorda teckning skulle hava vetenskapligt värde. Frän denna hade 
uteblivit bl. a. sidosolarna 5 och 6, samt bägarna 28 och 29, vilka alla jag tydligt sett. Däremot har jag ej 
iakttagit bâgarna 18, 20 och 21. Bägen 20 dock delvis i nord-ost. Dessa bågar har magister Kroun dock 
tydligt sett och uppritat. Får även meddela, att min observation hänför sig till tiden !/,9—9 f. m. samt 
magister KROHNS till tiden 9—1/,10 f. m. Bägarna kring solen syntes tydligast kl. '/,9 samt bågarna i nord- 
väst kl 9. Himmeln var klarast i zenit samt mulnare mot horisonten. Fältet inom cirkeln 10 var mörkast, 
mellan cirkeln 10 samt bågarna 12 och 18 litet ljusare, samt mellan bågarna 11 och 12 ännu ljusare, dock 
var detta sistnämnda fält mörkare än himmeln ytterom cirkeln 11. Det såg ut som om dessa tre fält legat 
ovanpå varandra (således i tre olika skikt), det sistnämnda underst samt mittelcirkelfältet överst. Dessa 
fält skiftade i olika nyancer av violett. I samtliga regnbågsfärgade bågar var den ultravioletta färgen bort- 
vänd från solen och av dessa bågar lyste bågen 15 starkast och enastående vackert samt de övriga i följande 
ordning 12, 10, 11, 28 och 29. Bågen 15 var mycket bred, samt de delar av bågen 12, vilka tangerade cirkeln 
10 skarpt lysande. Bisolarna vid cirklarna 10 och 22 samt sidosolarna (90 grader från den egentliga solen) 
syntes elliptiska med vertikala långaxlar, varemot bisolen ovanom den egentliga solen, samt motsolen i nord- 
väst syntes runda. À de ställen, varest bågarna kommo i beröring med bisolarna, voro samtliga bågar såväl 
de vita som de regnbågsfärgade betydligt bredare, så som från avbildningen framgår. Undantag i detta av- 
seende utgör dock bågen 12, där den tangerar cirkeln 11 samt bågarna 23, 24, 25, 26, där de genomgå mot- 
solen 7. Bågen 13 syntes svagare än de övriga vita bågarna, varemot sidostrimmorna 14 framträdde ganska 
skarpt. Den vita horisontala bågen 16 syntes mycket tydligt, likaså bägarna 23, 24, 25 och 26. Cirkeln 22 
samt bågen 27 mindre tydligt men ändå fullt skönjbara. Troligt är, att bågarna 19, 25 och 26 skulle hava 
fortsatt mot eller över zenit, men till följd av att himmeln här var nästan molnfri, framträdde ej här fort- 
sättningarna å dem. 

Något vidare att meddela betr. fenomenet minnes jag ej. Får även meddela, att jag några gånger 
tidigare (bl. a. i slutet av januari i år i Kotka) sett detta fenomen, dock i liten skala, nämligen endast bi- 
solarna 2 och 4 samt cirkeln 10, allt betydligt svagare än denna gång. Jag har ej heller sett avbildningar 
av detta fenomen tidigare. I går blev jag dock uppmärksamgjord på en avbildning som ingått i en gammal 
tidskrift, vilken avbildning jag här bifogar. Ej har jag heller påträffat andra beskrivningar av detta fenomen 
i litteraturen." 

Am 13. April bekam ich das erwähnte Modell mit den in Fig. I c kopierten 29 Einzelerschei- 


nungen auf der blaugrauen eisernen Halbkugel (Halbmesser 25 cm) schön gemalt. Da hier 
N:o 1. | 


6 Osc. V. JoHANSSON à 


einige Gróssenverháltnisse anders waren als in der ursprünglichen Zeiehnung, habe ich wieder- 
um Auskünfte hierüber verlangt und hat Herr Brese meine Fragen bereitwillig beantwortet, 
worüber später noch berichtet sei. ‘Hier zitiere ich aus diesem Briefe vom 15. April nur 
folgendes: 

„Fär även meddela, att de ursprungliga teckningarna av mig och magister Kmonw') gjordes fullstän- 
digt oberoende av varandra och utan att vi hade vetskap om varandras fórehavande. Beklagligt àr ju, att 


mátningarna icke utfórdes med instrument, varigenom dessas vetenskapliga vürde máste reduceras.* 

IL Eine zweite ebenso in Kymmene Fabrik ausgeführte Zeichnung Fig. II stammt vom 
Herrn T. L. Svvnsarwr Die Hauptkreise 10 und 11 und die oberen berührenden Bogen 12 
und 15 sind äbnlich wie in Fig. I gezeichnet, wobei 12 jedoch mehr zweigeteilt, d. h. mit einem 
etwa geraden Winkel zwischen den beiden Ästen gezeichnet ist. Auch enden diese Äste etwas 
innerhalb der Schnittpunkte des grossen Kreises 11 mit dem Horizontalkreis 16. Etwas nach 
E von dem östlichen dieser Schnittpunkte endet an dem Horizontalkreis ein zweiter Bogen, 
18, welcher sich nach unten streckt und gegen die Sonne seine konvexe Seite wendet. Dieser 
Bogen 18 und die Fortsetzung des grossen Hauptkreises 11 würden sich etwa tangieren. Über 
alle diese Bogen (ausser 16) wurde angegeben, dass sie mit den Farben des Regenbogens auf- 
traten. Auch die 3 Nebensonnen 2, 3 und 4 an dem kleinen Kreise wurden als farbig bezeichnet. 
Die Nebensonnen 5 und 6 in etwa 90° Entfernung von der Sonne wurden beobachtet, aber diese 
als weisse Kugeln bezeichnet, diejenige in E (5) mit weissen Strahlen (,valkea säteily“) gesehen. 

Auch die Gegensonne in NW (7) wurde wahrgenommen. In ihrer Nähe sind in Fig. IT drei 
Bogenpaare gezeichnet, so dass je zwei gegen einander konkav sind und lanzettenähnliche Blatt- 
bildungen ausmachen. An diesen Bildungen sind die Worte „weisse Belichtung“ (valkea valotus) 
ähnlich wie an dem Horizontalkreis eingeschrieben. Die Blätter strecken sich von der Gegen- 
sonne in der Richtung gegen die nächsten Nebensonnen 5 und 6 und gegen den Zenith. Die 
äussersten von diesen 6 Bogen (30 u 31) dürften mit keinem in Fig. I identisch sein. Schliesslich 
kommt noch ein Paar sich kreuzender weisser Bogenstücke, eigentlich gerade Linien im SW, vor, 
etwas nach S von der südwestlichen Nebensonne. Zu der Deutung und Identifizierung aller dieser 
Bogen kommen wir später zurück. 

Die Erscheinung fing nach diesem Beobachter um 8 Uhr an und endete um 11.5» a. Die 
Zeit, für welche die Zeichnung gilt, ist nicht angegeben, so dass man am besten die Mitte der 
Zeit 9.4; annimmt. 


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B. Übrige Berichte über die Erscheinungen. 
III—X u. a. 


IIL Die vollständigste Zeichnung aus ausserhalb Kymmene liegenden Orten stammt aus Sip- 
pola, 25 km nach SE, her und ist von Herr P. Hyrrıwen ausgeführt. Die Zeichnung wurde in zwei 


! Wie hier und früher angegeben ist, hat Mag. phil. V. KROHN einen wesentlichen Anteil an den 
Zeichnungen auf dem erwühnten Modelle, aber auf besonderen Wunsch des Herrn Krohn will ich die nur 
von ihm gemachten Beobachtungen unerwühnt lassen. Seine Absicht ist, hierüber an anderer Stelle selbst 
zu berichten. (Anmerk. b. d. Korr: Inzwischen in Annales Academiae Scientiarum Fennicae A. XIII 10 er. 
schienen. Die Angabe daselbst, dass Herr BrESE nicht die Gebilde k, (=28 u. 29), k, (= 23 u. 24) und C 
(= 5 u. 6) gesehen hätte, stimmt nicht mit seinen eigenen Mitteilungen.) 


Tom L. 


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E 


EN 


Die ausserordentliche Haloerscheimung am 10. März 1920 in Süd-Finnland. 7 


Teilen gegeben, die Sonnen- und Gegensonnenseite und beide so zu sagen von innen gesehen. In 
Fig. III ist der Gegensonnenteil unverändert reproduziert, die Vorderseite jedoch wie gewöhnlich 
naeh innen umgebogen. Auf der Sonnenseite sind die Nebensonnen 32 und 33 an den Schnitt- 
punkten des grossen Hauptkreises mit dem Horizontalkreis für die früher erwähnten Zeichnungen 
fremd, auf der anderen Seite wiederum die gegen die Gegensonne konvexen Bogen 34 und 35, welche 
als Teile von Kreisen mit den Mittelpunkten 90° von der Sonne angesehen werden können. Die 
beiden Hauptringe und deren berührende Bogen werden als Regenbogen bezeichnet, der Bogen 
15 als sehr klar. Der Berührungspunkt zwischen 10 und 12 wurde als eine klarere Stelle 
gesehen. Übrige Kreise und Bogen wurden als blasse (,vaalea*) bezeichnet, sämtliche Neben- 
sonnen und die Gegensonne als regenbogenfarbig. Von den ausserhalb des Horizontalkreises 
gezeichneten Bogen 36—38 wird gesagt, dass diese oberhalb des Horizontalkreises 16 zu finden 
waren. Der Himmel war übrigens wolkenfrei, nur grauliche Federwolken („harmahtavaa harsoa“) 
oben zu sehen. Die Erscheinung dauerte von 81/, bis 91/, a. Sie wurde als wunderbar bezeich- 
net und gab einen mächtigen Eindruck. 

IV. Eine vierte Zeichnung der Erscheinung ist von Herr Ingenieur E. Harr in Kaipiainen 
geliefert. Der Ort liegt 25 km gerade E- wärts von Kuusankoski an der Hauptbahn. Die Beob- 
achtung wurde um 10.30 a ausgeführt bei der Sonnenhöhe von c. 22°. Fig. IV ist eine Re- 
produktion dieser Zeichnung. Ausser dem Horizontalkreis waren sämtliche Teile farbig mit Rot 
gegen die Sonne. Die 3 Nebensonnen des kleinen Ringes wurden als leuchtende Schnitt- und 
Berührungspunkte der Bogen bezeichnet. Die Halbmesser der beiden heliozentrischen Ringe 
wurden roh mit einem Winkellineal gemessen und zu etwa 251/, bzw. 51° gefunden. Auch der 
Abstand zwischen den oberen und seitlichen Nebensonnen wurde gemessen und zu 32? gefunden. 

Wie in der Fig. IV zu ersehen ist, kamen obere Berührungsbogen sowohl zu dem kleinen 
wie zu dem grossen Kreise vor. Beide wurden als zireumzenitale Kreisbogen gesehen. Ein 
erüsseres Interesse bietet der innere (a), welcher etwas ausserhalb des grossen Haupthalos fort- 
setzt und wiederum an sich zwei berührende, um die horizontalen Nebensonnen gekrümmte 
Bogen (39 u. 40), aufweist. Nach Herrn HALL schienen die Verlängerungen dieser Bogen sich nicht in 
der Sonne, sondern etwas oberhalb derselben zu schneiden. Hiernach wären die Mittelpunkte dieser 
Kreisbogen nicht genau in den Nebensonnen, sondern etwas näher der Sonne zu finden. Herr 
Harr hat auch erwähnt, dass die Bogen 12, 39 und 40 etwas früher zusammen als eine doppel- 
gekrümmte Wellenlinie, ähnlich wie z. B. in Kymmene gesehen wurden. Schliesslich findet man in 
der Zeichnung IV wie in II ein von 16 nach unten gehendes Bogenstück 18, aber hier an dem 
üstliehen Schnittpunkte zwischen dem grossen Haupthalo und dem Horizontalkreis. Dieser Bogen 
eing nur eine kleine Strecke nach unten und hatte seine konvexe Seite nach der Sonne gewendet. 

V. Eine fünfte Zeichnung Fig. V ist von dem meteorologischen Beobachter in der Stadt Kotka, 
Herrn J. Kvkxora geliefert. Dieselbe zeigt den Horizontalkreis (16), die zwei heliozentrischen 
Ringe (10 u. 11), 5 Nebensonnen (2, 3, 4, 32 u. 33) an diesen und obere Berührungsbogen (12 
u. 15) an beiden. Derjenige an dem inneren Ringe verläuft ziemlich ähnlich wie in dem Kym- 
mene-Phänomen, obwohl derselbe als von zwei Kreisbogen zusammengesetzt dargestellt ist. Die 
Mittelpunkte dieser Kreise sind in die Nebensonnen verlegt. Für die obersten Bogen, welche 
als die breitesten erscheinen, sind die Farben angegeben, Rot gegen die Sonne und weiter Grün 
und Blau. Schliesslich sind an dem Horizontalkreis noch die Gegensonne (7) und zwei Neben- 


N:o 1. 


8 Osc. V. JOHANSSON 


sonnen (8, 9) etwa 60? von der Gegensonne entfernt zu finden. Der Beobachter hebt noch 
hervor, dass hier nicht am Mittel- und N- Himmel ersichtliche schwache weise Bogen eingezeichnet 
sind. Nach spüteren aus dem Gedächtnis gemachten Zusätzen waren diese weissen Bogen Teile 
von grósseren Kreisen als die farbigen, endeten am Horizontalkreis und bildeten dort leuchtende 
Stellen. Auch wird gesagt, dass die gezeichneten farbigen Bogen verhältnismässig zu gross sind. 
In einer Zeitungsnotiz erwähnt Herr K., dass die Erscheinung zwischen 9 u. 10 a eintrat und 
um 1/,10 a am schönsten war, weiter, dass sowohl farbige als weisse Nebensonnen vorkamen. 

VI. Die Beobachtung Fig. VI des Herrn Gärtners K. SAMMALLAHTI in Valkeala (9 km nach 
NE von Kuusankoski) umfasst folgende Erscheinungen: Zwei Nebensonnen in der Nàhe der Sonne 
(2 u. 4), eine in NNE (8), der Horizontalkreis durch diese (16), der grosse Halo und sein oberer 
Berührungsbogen (15), ein sehr eigentümlich gezeichneter Berührungsbogen des inneren Ringes 
(12) und zwei gegen einander konvexe Bogenpaare in N und W (vielleicht 22 u. 34, 35). Diese 
wurden zuletzt aufgedeckt und verschwanden zuerst, die Nebensonnen zuletzt. Alle 3 Neben- 
sonnen sind als viereckige Sterne gezeichnet. Die beiden in der Nähe der Sonne waren die 
ganze Zeit kräftig beleuchtet, die innere Hälfte Coccinéa-rot, die äussere hellgelb.!) Die dritte 
Nebensonne, der Nebensonnenkreis und die beiden Bogenkeile auf der Nebensonnenseite sind als 
hellblau, die 3 übrigen Bogen als regenbogenfarbig angegeben. Der innere Berührungsbogen 
und der grosse Ring waren in der breiter gezeichneten Mitte kräftig beleuchtet, die zugespitzten 
äusseren Enden als hell angegeben. Die Erscheinung fing um 8.30 an, endete um 10.» und war 
am stärksten um 9.40 entwickelt. 

VII. Der Beobachter Herr Kaufmann J. R. GössLiıne in Lovisa hat die Haloerscheinung 
für die Zeit 8.50 gezeichnet (Fig. VII) und folgende Beschreibung hierüber geliefert: 

„Frän solen, som stod i SE — avständet kan jag icke bestämma — var säsom teckningen visar en 
mindre mot NW öppen bäge i de skäraste regnbägens färger, under den, säsom à teckningen synes, en större 
mot solen öppen bäge, vars färger ocksä voro regnbägens, men mycket mörka och dystra. Under dessa 
bägar närmare solen var en liten vädersol i mycket ljusa matta färger och säg ut som den vore avskuren 
på sidan vänd mot de större bägarna. På W- och E-sidan om solen (en på var sida) voro stora i vackra 
färger skiftande vädersolar. Frän vädersolen i W utgick ett smalt ljust molnband mycket längsamt böjande 
sig ät N och slutande i en större äggformig kula alldeles skinande vit säsom i den vore en vit elektrisk 
belysning, Ett likadant molnband utgick frän vädersolen i E, böjande sig ät N, slutande i en äggformig vit 
kula, men molnbandet var kortare. Dessa molnband och vita kulor fórsvunno snart, men bägarna och väder- 


solarna avtogo mycket längsamt och upphörde kl. 9.4 f. m. Fenomenet hade väl börjat nägot tidigare, men 
dà jag hade arbete inomhus, observerade jag det icke tidigare.* 


VIII. Der sonst sehr interessierte und gewissenhafte Beobachter Herr P. SormA in Somero 
hat die Zeichnung in Fig. VIII geliefert. Aus der ursprünglich farbigen Zeichnung gehen noch 
folgende Umstände hervor. Die gegen die Sonne gewendete Seite ist in allen 4 Bogen rot gezeich- 
net, die Mitte gelb, die äussere Seite blau. Jedoch fehlt die blaue Farbe an dem Berührungs- 
bogen des inneren Ringes und ist der gelbe Teil hier in der Mitte sehr breit gemalt. Nach 
unten geht hiervon auch bis an die Sonne ein oben breiterer gelber Lichtkegel (17). Ebenso ist die 
linke (südliche) Nebensonne mit einem gelben näch aussen zugespitzten Lichtkegel ausgerüstet, 
die rechte und als dunklere („hämärämpi“) angegebene Nebensonne nur mit einer schwachen 


! Rigentlich ist eine umgekehrte Farbenfolge für die südlichere Nebensonne angegeben, aber wahrschein- 
lich liegt hier ein Irrtum vor. 


Tom. L. 


Die ausserordentliche Haloerscheinung in Süd-Finnland am 10. März 1920. 9 


Andeutung zu einem Lichtstreifen. Die rote Farbe ist am schärfsten an dem kleinen Ringe in 
der Nàhe der Nebensonnen und am unteren Rand des Berührungsbogens derselben gezeichnet. 
Die Mittelpunkte der Nebensonnen fallen ein wenig ausserhalb der Mitte des Kreises, so dass 
die blaue Farbe etwa durch die Mitte der Nebensonnen geht. Die beiden Ringe teilten die 
Strecke Sonne—Zenit in 3 etwa eleiche Teile von ca. 309. Neu ist der gegen die Sonne kon- 
vexe Bogen (41) oben zwischen den Halos. Die Erscheinung wurde am 7.20 —7.40 gesehen, also 
kurz naeh Sonnenaufgang. Eine ähnliche Erscheinung wurde von Herrn Sorma im Mai 1892 um 
4 p (in Helsingfors am 3 u. 26 Mai um 5 p.) beobachtet und eine Zeichnung der Zentralanstalt 
eingesandt.) > Herr Sorma hat damals wegen dieser Erscheinung einen regnerischen Sommer 
vorausgesagt, was auch eintraf. Durch die Verspätung der Vegetation und frühe. Nachtfrüste 
entstand Missernte. „Wäre wohl die Erscheinung auch jetzt für dasselbe ein Vorbote und War- 
nungszeichen?, fragt sich der Beobachter. Hierzu sei nur bemerkt, dass der April 1920 sehr 
regenreich in grossen Teilen Finnlands ausfiel und dass ExHorm einen sehr kühlen Sommer vor- 
ausberechnet hat. 

Noch sei zugefügt, dass in einer erneuten Zeichnung (nach dem Gedächtnis, weil die sofort 
eingesandte irrtümlich als verloren angesehen wurde) vom 16. April auch ein Berührungsbogen 
des erossen Halo zugefügt ist. 

IX. Der Herr Volkschullehrer S. KantorA im Kirchspiel Orimattila (Heinämaa) hat nur eine 
sehr ungefähre Zeichnung IX geliefert, aber eine ziemlich vollständige und in mehreren Beziehungen 
abweichende Beschreibung gegeben. Diese sei hier in Übersetzung aus der finnischen Sprache 
wiedergegeben: 

„Um 8.» beobachtete ich am E-Himmel eine kreuzfórmige Lichterscheinung. Im Zentrum derselben 
war ein Sonnenbild (32) und von diesem ging in der Richtung N ein kräftiger Lichtstreifen (16), ähnlich nach 
oben und unten. Der in der Richtung S (gegen die Sonne) gehende Streifen (16) war lichtschwächer als die 
übrigen. Die Sonne befand sich in SSE, der Himmel mit leichten Wolken bedeckt. In der Mitte des 
Himmels befand sich ein halbkreisförmiger Regenbogen (15), die Farben klar, der Rücken gegen die Sonne. 
Vom Horizont nach der Himmelsmitte ging als gerade Linie (Richtung NE) ein zweiter klarer Regenbogen. 
In der Richtung der Sonne, aber an der oberen Seite der Sonne fand sich ein unklarerer Doppelregenbogen 
(10 u. 12), die Rücken gegen einander, die Bogen kurz. 

Um 8.3 bildete sich an der Südseite der Sonne ein neues Sonnenbild (2), von welchem 4 Lichtstreifen 
ausgingen (10 u. 16) ähnlich wie von dem auf der anderen Seite befindlichen Sonnenbilde. Am schwächsten 
war der nach der Sonne gehende Streifen. Jetzt bogen sich die von den beiden Sonnenbildern nach oben 
sich erhebenden Lichtstreifen zusammen (10) oberhalb der Sonne. Auch die unteren Lichtstreifen bogen 
sich gegen einander, aber verschwanden vor der Vereinigung. In den Reflexions-Sonnen waren die nach der 
Sonne gewendeten Seiten kräftig gelb, die andere Hälfte war weiss, die Lichtstreifen waren ebenso weiss. 
Um 845 a waren die Regenbogen verschwunden, 3 Sonnen strahlten noch, die mittlere etwas stärker. Um 
9,5 a. war die Erscheinung nur schwach zu sehen.“ 

X. Eine kleine Zeichnung (Fig. X) vom Herrn Volkschullehrer J. Ara in Hausjärvi (Kara) 
weist folgendes auf: die zwei Hauptkreise (10 u. 11) und die oberen berührenden Bogen beider (12 u. 
15), auf beiden Kreisen je 3 Nebensonnen, also auch eine von den übrigen Beobachtern nicht ange- 
führte oben an dem Berührungspunkte des grossen Halo (42). Schliesslich war ein Teil des Hori- 


zontalkreises (16) durch die 5 Sonnen zu sehen. Die inneren Gebilde waren deutlicher als die 
äusseren. Die Erscheinung fine um 8 Uhr an und entwickelte sich am deutlichsten zwischen 


1) Jetzt nicht wiedergefunden. 


N:o 1. 


10 Qsc..V. JoRANSSON. 


10 und 11 a. Am 20. März vormittags sah derselbe Beobachter wiederum die 4 Nebensonnen 
auf dem Horizontalkreis und den kleinen Ring. 1 

Der Herr Gutsbesitzer GRAHN hat in Kulla in der Nähe der Stadt Borgå nach mündlicher 
Mitteilung u. a. zwei grosse gefärbte Bogen ausserhalb des kleinen Ringes oberhalb der Sonne und 
konvex gegen diese gesehen. Auch wurde erwühnt, dass der Hauptkreis und sein Berührungs- 
bogen Veränderungen unterlag. 

Schliesslich seien noch einige eigentümliche Beobachtungen (um 9 a) über die südliche 
Nebensonne von Frau Huzpa EHRNSTEN in Dickursby kurz erwähnt. Sie und ihre Tochter sahen 
nümlich u. a. diese Nebensonne in Bewegung gegen die Sonne. Die Bewegung konnte im 
Schutze der Fenstereinfassung konstatiert werden. Die Nebensonne hatte nach sich einen Schweif, 
so dass sie mit einem Komet verglichen wurde. Einige Zeilen der Beschreibung lauten: 

,Dà iakttogo vi båda, huru ljushuvudet närmade sig solen, men huru det på ett helt nära avstånd 
stannade med en som det tycktes roterande rörelse" (später zugefügt: „och liksom skiftande av små granna 
partiklar"). „Dä det stått så några minuter, kastade det ljussken, ehuru en kortare strimma, både uppåt och 
nedåt och en kort stund även emot solen" ... ,sedan sågo vi mellan de båda solarna alldeles obetydliga 


små strömoln och över dessa en kort gredelin regnbåge ej mycket längre än solen och med den mörkare 
sidan vänd mot solen." 


Hier folgte eine kleine Skizze, wonach ein kurzes gegen die Sonne konvexes Bogenstick 
etwa halbwegs zu der Nebensonne zu sehen war. 


Die oben erwähnten sind die vollständigeren Berichte, welche mir zugänglich sind. Ausser- 
dem ist die Haloerscheinung an vielen anderen Orten wahrgenommen, u. a. von mehreren Perso- 
nen in Helsingfors, nach W und N bis Eräjärvi, Lestijärvi und Viitasaari, nach E vielleicht bis 
Suistamo. Für diesen Ort ist freilich als Datum einer Beobachtung eines grossen Ringes der 9. 
März angegeben, aber vielleicht liegt eine Verwechselung des Tages vor. 


C. Einige Beobachtungen aus anderen Zeiten. 


Einige andere Beobaehtungen von Haloerscheinungen aus der letzten und alten Zeit seien 
noch hinzugefügt. In der folgenden Nacht, am 11. März um 43/, — 5 a wurden z. B. in Seinä- 
joki zwei Nebenmonde auf beiden Seiten des Mondes gesehen. Die Farben der Nebenmonde 
waren einerseits „ähnlich wie durch einen Kristall gesehen“, andererseits war gesagt, dass die 
inneren Hälften lila, die äusseren weiss waren. Aul den äusseren Seiten wurden horizontale, 
nach aussen zugespitzte Lichtkegel oder Schweife gesehen. Es wird auch gesagt, dass die 
Schweife wohl darauf deuteten, dass die Nebensonnen sich nach innen oder nach dem Beob- 
achter zu bewegten. Diese Bemerkung ist wohl die einzig mögliche Erklärung zu der ähn- 
lichen Täuschung bei der beweglichen Nebensonne nach der Beobachtung in Dickursby, wobei 
übrigens von der Ähnlichkeit mit einem Kometen gesprochen wur.e. 

Am 2. März d- J. um 1.45— 2.65 p hat der Vorsteher der Volkshochschule in Uusikirkko 
Kanneljärvi (q— 60° 21’ 4—29? 26’) JJ. HURMALAINEN die zwei Hauptringe, den oberen berührenden 

| Tom. L. 


P. "LEER NI 


Y^P 


Die ausserordentliche Haloerscheinung in Süd-Finnland am 10. März 1920. 11 


Bogen des äusseren Ringes und die zwei Nebensonnen auf dem kleinen Ringe gesehen. Aus- 
serdem wurden nach seiner Zeichnung deutlicher als in anderen Fällen ie 3 Lichtsäulen oder 
Sehweife an den beiden Nebensonnen gesehen, nämlich nach aussen oben und unten gerichtet. 
Sie sind über den äusseren Ring hinaus gezeichnet. Die Lichtsüulen waren weiss, die Bogen 
in Regenbogenfarben. 

Auch am 20. (Eräjärvi) und 23. März (Tammerfors) und am 1. April (Suistamo) dieses Jahres 
wurden Haloerscheinungen wahrgenommen. Die Beobachtung in Tammerfors am 23. März (von 
Stadtgürtner O. Karsten) weist, ausser den 2 Hauptringen, 3 inneren Nebensonnen und dem oberen 
Berührungsbogen des grösseren Ringes, auch zwei kleine berührende Bogenstücke zu dem in- 
neren Ringe auf. 

XI. Aus älterer Zeit seien hier 5 Zeichnungen von Haloerscheinungen, welche in Finnland 
beobachtet sind, erwähnt und teils wiedergegeben. Fig. XI gibt erstens eine sehr eigentümliche 
Zeichnung von Herrn J. L. Enrkssow wieder, beobachtet in Tuusniemi (q—62? 49' 4— 28° 27’) am 
26. Juli 1894 8—9 a. Die exzentrische Lage der Sonne, die Anordnung der Nebensonnen u. s. w. 
wirken sehr befremdend. 

An anderer Stelle! habe ich eine Haloerscheinung erwähnt, beobachtet und gezeichnet am 
30. Mai 7 p 1842 in Uleäborg vom Herrn K. Nyman. Die Zeichnung enthält 2, 3, 4, 10, 11, 
12 u. 15 und kann als die erste aus Finnland bekannte deutliche Darstellung der gewöhnlichsten 
Bestandteile des Halophänomens bezeichnet werden. 

Aus Uleäborg stammen auch die zwei Halodarstellungen in den Fig. XIII u. XIV. Die Zeich- 
nungen sind von dem in der alten Meteorologie Finnlands bekannten Beobachter Herrn Apotheker 
Jon. JULIN ausgeführt und sind nach seinem in Stockholm in der Meteorologischen Zentralanstalt 
aufbewahrten Originale von mir 1911 dort kopiert. Ich gebe hier auch die Bemerkungen 
JULINS zu den Erscheinungen an: 

Zu Fig. XIII. „Observerad den 18 februari kl. 4-5 e. m. 1789 öfver SW- horisonten. Luften disig, men 
sä att solen kunde bryta igenom. Vind NW, temperatur 19°. Solringen beskref en halfcirkel med solen 
midtuti. Hvardera cirkelfoten slutade sig nära horisonten med en, ellips. Ofverst mot zenit uppstego 2:ne 
ljusa armar, formerande pä cirkeln en vinkel, som tangerades af solsträlarna. Pä bäda sidor om solen ut- 
gingo ljusa strälar mot ellipsérna. Dessa utkastade ock ifrän sig ett längt sken, som svansar ät E och W 
Cirkelbägen, ellipserna och vinkeln emot zenit hade regnbägens, men något eldrödare färg.” 

Zu Fig. XIV. „Är. 1783 den 27 mars kl. 9-10'/, f.m hade jag på en resa tillfälle att observera 
och aftaga den stórre solringen med sina 4 vüdersolar. Himmeln var klar med nägra smá strómoln, men 
själfva nedre luften knappt märkligt disig. Solen sken klart, temperaturen —13°, vind St. Alla bägarna egde 
regnbågens färger, dock tycktes den yttre stora cirkeln vara något ljusare." 

XII. Als letztes Beispiel gebe ich in Fig. XII die älteste för Finnland bekannte Zeich- 
nung einer Haloerscheinung wieder. Dieselbe ist von mir schon früher? erwähnt und rührt von 
dem ersten finnländischen Klimabeschreiber, dem Feldmesser C. F. Srrerwazp her. Die Erschei- 
nung wurde am 4. Aug. 1744 um 12 Uhr mittags beobachtet. Ziemlich deutlich ist, dass hier 
der kleine Ring und der Horizontalkreis mit ? Nebensonnen in den Schnittpunkten vorliegt. Wie 
die Dreiecke um die Nebensonnen herum und der entfernt im SW gezeichnete Bogen zu deuten 
sind, bleibt fraglich. Für SrıerwAarn war offenbar auch die landläufige prognostische Bedeutung 


! Bidrag till kännedom af Finlands natur och folk H. 72, N:o 4, S. 32. 
5 pisi = : B $ EM PAIN OS 25; 


N:o 1. 


12 Osc. V. JOHANSSON 


der Haloerscheinungen bekannt und er kritisiert diese Auffassung. Er sagt (vgl. l. c.), dass 
freilich der erwähnte Fall von Gewitter und 3 Regentagen begleitet wurde, aber am 21. April 
1749 wurde eine beinahe ähnliche Erscheinung und einige Tage spáter wiederum eine andere 
beobachtet, welche nur von Sonnenschein und beständigem Wetter begleitet waren. 


Il. Darstellung und Erklärung der einzelnen Gegenstände der Beobachtung. 


Ich will nun diese Beobachtuugen zusammenfassen und die Einzelerscheinungen so weit 
möglich auf früher beschriebene und erklärte Beobachtungen dieser Art zurückführen. Der Kürze 
halber tue ich es durch Hinweise auf die beiden bekannten Hauptarbeiten von Bnavars! (B.) 
und PrnwTER? (P.) und zwar durch Anführen der Seiten oder Figuren bei diesen Verfassern. Die 
römischen Ziffern beziehen sich auf die obigen Figuren und Beobachtungen, die arabischen auf die 
früher hauptsächlich nach E. A. Bise durchgeführte Numerierung. Wir folgen der Klassifikation 
bei P; 228 u. f. 

a) Halo von 22 Halbmesser N:o 10 (P. 228). Dieser ist von allen Beobachtern e 
ausser VI gesehen. Eine ungefähre Messung des Halbmessers liegt nur bei IV vor und gab 25? 1/,. 
Ich habe aber versucht, nach einigen Zeichnungen diesen Halbmesser roh zu berechnen durch 
Abmessen entweder der Halbmesser oder Sehnen im Verhältnis zu dem Halbmesser des Horizontal- 


kreises, wobei auch die Reduktion auf wahre Entfernung durchgeführt wurde (vgl. P.305 Formel 7, oder 
à 

sin 2 = en > eos für Sonnenhóhe) Für die ursprüngliche Zeichnung Breses I nahm 
ich an, dass die unteren Enden des Kreises ein Paar Grade über dem Horizonte enden und 
bekam 4 = 21, durch Sehnenmessungen nach III u. V 4 = 23, nach IV 20 und nach VI 
(Nebensonnen) 4 = 24°. Im Mittel dieser 6 Werte bekommen wir somit etwa 22?!/,?, PERNTER 
fand nach mehreren alten Messungen 21° 52’ in guter Übereinstimmung mit der Theorie und mit 
der Annahme des Brechungsexponenten des Eises zu 1. 31, aber 117 bzw. 72 Messungen von J. F. 
J. SCHMIDT +) ergaben 23° 44' und auch ‚spätere Messungen haben grössere Werte als früher ge- 
geben. Die Schätzungen in Kymmene gaben viel zu kleine Werte 13—15° (vgl. c.) 

Dieser Ring ist durchgehends als regenbogenfarbig angegeben, nur VIII hat dabei die 
Farben rot, gelb und blau eingezeichnet, wobei die rote Farbe in der Nähe der Nebensonnen 
2 und 4 am deutlichsten hervortritt. Bei VII ist nur der obere Teil des Kreises gesehen und ist 
mit einem kleineren Radius als die Entfernung von der Sonne gezeichnet. Vielleicht ist dieses 
ein Ausdruck der scheinbar eiförmigen Form aller Kreise in der Nähe des Horizontes (vgl. 
PERNTER S. 33). 

b) Umschriebener Halo. Dieser konnte in diesem Falle nicht gefunden werden, da 


1 Bravaıs N. A. Mémoire sur les halos et les phénomènes optiques qui les accompagnent. Journal de 
del Ecole royale polytechnique. T. XVIII Paris 1847. 

? PERNTER J. M. Meteorologische Optik. Wien und Leipzig 1902. 

3 Zwei ganz rohe Messungen am 13. u 21. April d. J. gaben mir die Werte 24°. 

! Nach KnocH K. Abh. des k. Pr. Meteor. Inst. N:o 243 Berlin 1911. 


Tom. L. 


4 "EU NW NT 


Die ausserordentliche Haloerscheimung in Süd- Finnland am 10. März 1920. 13 


derselbe nach Pernrer nur eine Unterart des oberen Berührungsbogens (vgl. f.) ist und erst, bei 


einer Sonnenhöhe von etwa 30° einer Ellipse zu ähneln anfängt. ! 


c) Halo von 46? Halbmesser. N:o 11 (P. 237). Dieser wurde von 8 unter den 
10 Beobachtern gesehen, nur von VII und IX nicht. Die rohe Messung von IV betrug 51° für 
den Halbmesser dieses Kreises. Durch ähnliche Schätzungen wie oben (für N:o 10) fand ich nach 
I 38°, nach III 45°, IV 499, V 51? und VI 56°. Das Mittel von 6 Werten beträgt 48°. Das 
Verhültnis zwischen dem Halbmesser des grossen und kleinen Kreises ist somit im Mittel 2. 1, also 
etwa richtig. Dasselbe Verhältnis wird nach der Zeichnung Breses 1.8 nach dem veränderten 
Verhältnisse auf dem Modell aber 2.6. Durch die scheinbare Abplattung des Himmelsgewölbes 
ist der verkleinerte Wert dieses Verhältnisses leicht zu verstehen, denn nach Pernrers Berech- 
nungen (S. 21) findet man den Wert 1.6 bei der wahren Sonnenhóhe 12?!/, (auch der Abstand 
Horizont — obere Seite des kleinen Ringes = 2 mal die Sonnenhóhe wird hierdurch erklärlich). 

Die Breite dieses grossen Ringes ist z. B. in II grósser als diejenige des kleinen Ringes 
(oder der Nebensonnen) gezeichnet, wie es nach der Theorie auch sein soll. In VI ist die Breite 
in der Mitte auch grósser als sonst angegeben. Fig. VIII gibt wie sonst die Farben rot, 
gelb und blau, Fig V rot, grün und blau an, die rote Farbe wie gewöhnlich nach innen. 

d) Halo von 90? Halbmesser wurde nieht beobachtet. 

e) Der Horizontalkreis (N:o 167 P. 241) ist von allen Beobachtern ausser VIII 
gesehen. In VII wurden nur Teile zwischen den Nebensonnen gesehen und als Wolkenbänder 
bezeichnet. Die Farbe wurde als weiss, blass oder hellblau angegeben. 

i) Oberer Berührungsbogen des Halo von 22 (N:o 12 P. 242). Dieser Bogen ist 
ganz allgemein gesehen. Derselbe ist in verschiedenen Formen gezeichnet. In III, VIL, IX, und 
X erscheint er als ein Kreisbogenstück konvex gegen die Sonne. mit der Krümmung etwa des 
kleinen Ringes 10, in VII jedoch viel kleiner. In VIII (bei der kleinsten Sonnenhöhe etwa 6°) 
sieht man schon die äusseren Enden etwas zurückgebogen und in I, II und V sind diese End- 
punkte übereinstimmend bis an die Schnittpunkte des grossen Halo und des Horizontalkreises 
gezogen. In I ist die Wellenform des Bogens am deutlichsten und die Abrundung des konvexen 
Mittelstücks noch flacher als die theoretische von PERNTER in Fig. 130 s. 341 für 15? Sonnen- 
höhe angegebene. In II sind die beiden Äste Hs der Mitte ziemlich rechtwinklig auf einander 

en 


und ebenso in V, wobei diese Äste als Kreisbogen mit dem Zentrum in den Nebensonnen gezeich- 


net sind. Eine eigenartige Kombination von 3 Kreisstücken wurde wie erwähnt im Falle IV 
beobachtet, der berührende Bogen als ein zircumzenitaler Kreis, welcher etwas ausserhalb des 
grossen Haupthalo 11 sich erstreckt und zu diesem ausser dem kleinen Kreise 2 andere berüh- 
rende Kreisbogen. Als solche sind sie neu (39 u. 40), aber die äusseren Teile derselben und die 
Mitte des Berührungsbogens 12 bilden eine ähnliche Wellenlinie wie z. B. in I und anfangs wurde 
nur eine solche auch hier gesehen. Offenbar ist schliesslich in VI die eigentümlich gefärbte 
Lichterscheinung ‚oberhalb der Sonne als ein solcher Berührungsbogen aufzufassen. Wenn man 


sich diesen Bogen verkehrt gezeichnet denken würde, wäre eine grosse Ähnlichkeit mit anderen 


1 Bei der Meldung dieser Abhandlung der Sozietät- der Wissenschaften hat der permanente Sekretär 
der Sozietät Prof. A. Donner gemeldet, dass er einmal einen elliptischen Halo mit grösserer Horizontalaxe 
gesehen hat. 


N:o 1. 


14 Oso. V. JOHANSSON 


(z. B. VIII) erreicht. Als ein spitzer Winkel tritt der behandelte Bogen bei der alten Zeich- 
nung Juuıns (Fig XIII) auf und war die Sonnenhóhe hierbei auch sehr klein. 

Es sei noch erwähnt, dass nach Pernrers Berechnungen (S. 349) der berührende Bogen 
(oder umgeschriebener Halo) bei einer Sonnenhóhe von 20° den Horizontalkreis in dem 
Abstande 44° von der Sonne treffen würde (bei h=15° extrapoliert im Abstande 49°), so dass 
die obigen Ergebnisse mit der Theorie gut zusammengehen. PERNTER hat jedoch bezweifelt, 
ob die herabhüngenden Aste noch bis zum Nebensonnenring bei einer Sonnenhóhe selbst von 
25° zu sehen wären. 

g) Unterer Berührungsbogen des Halo von 22° (P. 245) konnte wegen der 
niedrigen Sonnenhóhe nicht gesehen werden. 

h Oberer Berührungsbogen des Halo von 46° (N:o 15 P. 246). Dieser 
dürfte von allen Beobachtern auser VII gesehen worden sein. Die überhaupt sehr oberflächliche 
Zeichnung IX gibt eine sehr schiefe (östliche) Lage dieses Berührungsbogens an (auch der Bogen 
11: ist schief, aber weniger und nach rechts gezeichnet) Von einigen z. B. I, III und V ist der- 
selbe als breit und lichtstark angegeben, von VI schwächer als der Kreis gezeichnet und auch ein 
wenig ausserhalb desselben. Obwohl der Bogen in mehreren Fällen parallel mit dem Horizontal- 
kreis angegeben ist, kann man diese Befunde nicht als sichere Bestätigungen der "Theorie von 
Bravaıs gegen diejenige GALLES ansehen, da keine Messungen vorliegen. In der Zeichnung auf 
dem Modell wendet der Bogen seine Enden nach oben. In der ursprünglichen Zeichnung VIII 
bei dem niedrigsten Sonnenstande von etwa 6° fehlte dieser Bogen, welche Tatsache den Ergeb- 
nissen Bnavais entsprechen würden. 

i) Ungewóhnliche zircumzenitale Bogen (Pl 247 B. $ XVIII 130—137). 
Bogen dieser Art sind von einigen Beobachtern gesehen. Diese Bogen sind von Bmavars und 
PERNTER ganz kurz behandelt, weil nur vereinzelte Beobachtungen vorlagen. 

Hierher gehört der farbige Bogen 41, beobachtet in Somero (VIII) zwischen den beiden 
gewöhnlichen Berührungsbogen 12 und 15 und etwa parallel mit diesen gezeichnet. Da derselbe 
etwas innerhalb der Mitte zwischen den beiden Hauptkreisen seinen niedrigsten Punkt hat, kann 
man die Entfernung dieses Punktes von der Sonne zu etwa 32—33° schätzen. 

Ein zweiter Bogen (20) dieser Art ist teilweise von Bırse in NE gesehen und auf dem Halb- 
kugelmodell ziemlich parallel mit dem Horizont und bis zu dem grossen Halo von 46° gezeichnet. 
Vielleicht ist es ein Teil desselben, welcher das Kreuz im S in II bildet und möglicherweise 
sind die ausserhalb des Horizontalkreises in III gezeichneten Bogen (33, 34) hierher gehörig. 
Zireumzenital ist auch der Bogen 27 in I. Zum Teil gehören wohl diese zu einer anderen Klasse 
der Erscheinungen. 

k) Unterer Berührungsbogen des Halo von 46° (P. 247). Dieser kann hier 
nicht vorkommen. 

l) Seitlich unten berührende Bogen des Halo von 46° (P. 247). Viel- 
leicht kann der Bogen 18 in II als ein solcher aufgefasst werden. Aber offenbar ist der Bogen 
18 bei IV hiermit identisch und da derselbe nach dieser Beobachtung den Kreis 11 zweimal 
schneidet, kann derselbe nicht als ein berührender Bogen angesehen werden. Es sei hier auch 
erwähnt, dass ähnliche obere von Bravaıs vorausgesagte Bogen möglicherweise bei der Beob- 


Tom. L. 


Die ausserordentliche Haloerscheinung am 10. März 1920 in Süd-Finnland. 15 


achtung von Herrn GRAHN in Kulla wiedergefunden sind. Ein solcher ist auch von Besson 1910 
beschrieben 1). 

m) Nebensonnen des Halo von 22° (2, 3u. 4 P. 248). Die seitlichen von diesen 
(2 u. 4) sind von allen 10 Beobachtern gesehen und eingezeichnet. Überhaupt sind diese auf 
dem Halo und rund gezeichnet. BrEsk nennt dieselben elliptisch mit der langen Axe vertikal. 
Zum Teil müssen hier also schon andere Kristalle als diejenigen mit vertikal brechenden Kanten 
wirksam gewesen sein. Dasselbe gilt von der Beobachtung VI, wo die Nebensonnen als kleine 
Kreuze oder 4-eckige Sterne gesehen wurden. Auch in VII sind Strahlen nach oben und unten 
gezeichnet. Wenn etwas über die Farben gesagt wird, so werden diese farbig genannt. Nur in 
VIII befinden sich die Nebensonnen zum Teil ausserhalb des Halo, aber dieses ist weniger natür- 
lich, da diese Beobachtung gerade die früheste war, mit der Sonnenhöhe etwa 6°. Ob schliesslich 
die grossen Ellipsen in der alten Zeichnung Juriws (Fig. XIII) als Nebensonnen aufgefasst werden 
sollen, scheint fraglich. Die geringe Breite des Schweites und die Form der Nebensonnen in der 
zweiten Zeichnung desselben Beobachters spricht nicht dafür. 

Die Nebensonne 3, welche PERNTER nur als eine hellere Stelle des Ringes wissen will, ist 
von 5 Beobachtern I, II, IV, VI u. X (am 20. März 1920 und 1842 von H. Nvwaw) gesehen und 
durchgehends als rund angegeben oder gezeichnet. 

n) Nebensonnen des Halo von 46° (35 u. 36 P. 253). Diese seltenen Gebilde 
sind von 4 (III, VI, VII u. X) unter den 10 Haüptbeobachtern gesehen. PERNTER fand in der 
Litteratur und in Beobachtungsreihen, welche in den 55 Jahren seit dem Erscheinen von Bravaıs 
Arbeiten gemacht wurden, nur eine Beobachtung dieser Nebensonnen, nämlich eine von Dnvaarski 
vom 26. März 1893. Näheres über diese Gegensonnen teilt nur der Beobachter VII mit, in dem er die- 
selbenals eiförmig und weiss angibt. Von der westlichen heisst es, wie erwähnt, dass sie „leuchtend 
weiss war, als wäre in derselben eine weisse elektrische Beleuchtung“. Bravaıs und PERNTER 
kannten nur einen Fall, wo man die Farben dieser Nebensonnen gesehen hat und PERNTER be- 
merkt hierzu (S. 354) dass „die so erzeugten Nebensonnen schon bei einer mässigen Höhe der 
Sonne über dem Horizonte nur schwache Leuchtkraft besitzen können, so dass man die Farben 
schwer unterscheiden wird“. In der Nähe des Horizontes müssten nach Pernrer die Farben 
sehr deutlich und leuchtend auftreten, aber durch den Dunst sind hier meistens alle diese Erschei- 
nungen unsichtbar gemacht. Die Beobachtungen DRYGALSKIS und unsere obigen bezeugen jedoch, 
dass diese Nebensonnen in der Nähe des Horizontes sehr intensiv auftreten können, ohne dass 
Farben wahrgenommen werden. Der Beobachter VII fand weiter zwischen den beiden Neben- 
sonnenpaaren ein „Wolkenband“, welches offenbar Teile des Nebensonnenringes ausmachte. Bemer- 
kenswert ist, dass dieses Wolkenband in W sehr lang und sich nach N biegend, das zweite in 
E aber als kürzer angegeben wird. Die äussere westliche Nebensonne war also in einer grös- 
seren Entiernung von der Sonne als die entsprechende in E. Der Unterschied würde nach der 
Zeiehnung und mit der Annahme von 22° für die Entfernung der inneren Nebensonne etwa 8° 
betragen (41 gegen 33). Nach der Theorie PERNTERS (S. 355) soll die äussere Nebensonne bei 
der Sonnenhöhe 15°in einer wahren Entfernung von 48? von der Sonne auftreten. Bravaıs 
nahm dagegen an, dass diese Nebensonne nur sekundär sei und von der inneren Nebensonne 


! Comptes Rendus 1910 S. 693. 


N:o 1. 


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16 Osc. V. JOHANSSON 


hervorgerulen wäre. Die Entfernung wäre in diesem Falle 45°. Pernrer hält beide Erscheinungs- 
arten möglich „und kann es daher gewiss vorkommen, dass einmal die eine, das andere Mal die 
andere wirksam ist“ (S. 356). Man könnte also die Beobachtung VII so erklären, dass die östliche 
Nebensonne eine sekundäre war, dass aber die westliche von Eiskristallen mit vertikal brechenden 
Kanten von 90° hervorgerufen war. Die Zeichnung würde somit nur den Unterschied in der Entfer- 
nung übertreiben (und die Abweichung beider, vielleicht wegen der Knappheit des Papiers, im Ver- 
hältnis zu derjenigen der inneren Nebensonne, zu klein angeben) Es scheint aber sehr unwahr- 
scheinlich, dass die verschiedenen Eiskristalle so unsymmetrisch verteilt wären, dass beide Er- 
scheinungsarten gleichzeitig, aber auf verschiedenen Seiten der Sonne möglich wären. Vielleicht 
beruht die verschiedene Länge der , Wolkenbänder“ nur auf eine Augentäuschung (z. B. durch 
nahe Vergleichsobjekte in W, nicht in E). 

o) Die Nebensonnen des Halo von 90° (N:o 5 u. 6 P. 290). Dieser Art waren 
offenbar die Nebensonnen in den Fällen I, II und VI. Auch in der Zeichnung Juris von 27. März 
1783 kommt eine Nebensonne in der Mitte zwischen der Sonne und Gegensonne vor. Herr BIEsE 
hat die Nebensonnen, ebenso in dem Azimuthalabstand 90° von der Sonne gezeichnet und die- 
selben als elliptisch wie die meisten übrigen (2, 4, 8 u. 9) angegeben. Der andere Beobachter II 
in Kymmene zeichnet diese Sonnen etwas näher der Gegensonne als der Sonne, und misst 
man diesen Abstand auf der Zeichnung, so findet man denselben (d. h. den Azimuthalabstand, bei 
PERNTER = D) zu 99°. Der Beobachter VI sah eine solche etwa in NNE nach der Zeichnung 
108° von der Sonne. Der Wert II von 99 liegt also in der Mitte von den beiden übrigen 
(I = 90 und VI = 108) und kann somit als der wahrscheinlichste bezeichnet werden. BRAVAIS 
(S. 159) kennt 5 Beobachtungen dieser Nebensonnen, aber von diesen nur eine rohe Messung von 
ManrET, welche 100° ergab. PERNTER kann zwei Fälle von SieBerG und ÖDENBACH zufügen, 
von diesen keine mit Messungen. Der von Bravaıs und PERNTER angenomme hierfür erforder- 
liche Strahlengang gibt D = 98°. Unser oben abgeleiteter Wert stimmt also sehr gut sowohl 
mit der Messung MarrETs, wie mit der Theorie. Die Beobachter I und II geben diese Neben- 
sonnen als weiss an, VI als hellblau, aber z. B. für den Horizontalkreis 16 dieselbe Farbe. Auch 
frühere Beobachter haben nicht die Brechungsfarben gesehen. Wie erwähnt, zeichnet der Beob- 
achter I| die östliche Sonne mit weissen Strahlen und dieselbe ist ebenso von VI als sternen- 
fórmig wie die übrigen Nebensonnen gezeichnet. 

p Die Gegensonne und die Nebengegensonnen (N:o 7, 8, 9 P. 256). Die 
Gegensonne (N:o 7) wurde in den Fällen I, II, III und V gesehen. Nur VI bezeichnet diese als 
regenbogenfarbig (vel. Hevez nach P. S. 258). PEnwTER fand in 250 Jahren etwa 30 Beobacht- 
ungen dieser Sonne und 4 unter diesen mit Irisation. Brese gibt dieselbe rund an, übrige Zeich- 
nungen sind unbestimmt. 

Ausser den schon erwähnten Nebengegensonnen (vgl. 0. N:o 5 u. 6) hat Brese auch weisse, 
solche näher der Gegensonne (S u. 9) gezeichnet. In der ersten Zeichnung war der Abstand 
von 8 u. 9 zu 7 gleich gross wie die entsprechenden Abstände 1 zu 2u. 3. Nach der obigen Schätz- 
ung wäre dieser also etwa 21° in Azimuth. Auf dem Modell findet man diesen Abstand 25° 
zu sein. Weiter hat der Beobachter III solche in 48°, und V in 58° Gegensonnenabstand gezeichnet. 
7 Messungen eines solchen Nebensonnenabstandes gaben P. 55—61°, im Mittel 59°. In dem 
bekannten Petersburger-Phänomen kann man nach der Zeichnung Nebengegensonnen in etwa 


Tom. L. 


Die ausserordentliche Haloerscheinung in Süd-Finnland am 10. März 1920. 17 


49° Abstand von der Gegensonne messen. B. hat 3 verschiedene Erklärungen von Neben- 
sonnen in 60° Entfernung von der Gegensonne gegeben, aber P. verwirit diese und nimmt eine 
Erklärung von Mascarr an. Die Beobachtung V stimmt also am besten mit den Messungen und 
der Theorie überein. Dagegen stimmt die Beobachtung III (D — 48°) am besten mit einer 


anderen von P. erklürten (S. 390) Nebensonne im Abstande 46° von der Gegensonne, beson- 
ders, da sowohl die Theorie als die Beobachtung Irisation ergibt. Auch Nebensonnen in etwa 
36° Abstand von der Gegensonne haben Mascarr und PzenwTER (S. 391) zu erklären versucht, 
aber keine sicheren Beobachtungen hierüber waren vorhanden (vel. v). 

q) Die schiefen Bogen der Gegensonne (N:o 23, 24, 25, 26 P. 257). Die 


en 


Fig. I gibt 4 solche Bogen an, das eine Paar ist in III deutlich zu sehen und sicherlich ist die 
blattähnliche Figur oberhalb der Gegensonne in II als zwei solche Bogen anzusehen, obwohl sie 


Wr ET: 
PM» 


hier oberhalb der Gegensonne sich schneidend gezeichnet sind. Offenbar hat der Beobachter 
V aueh solehe und die Gegensonne gesehen (vgl. oben). Nach I findet man den Winkel zwischen 


A den äusseren gegen einander etwas konvex gekrümmten Bogen zu etwa 60°, wie es nach der 
5 Beugungstheorie BRavars sein soll. Diese Bogen stimmen etwa mit denjenigen in III überein. 


Das innere Paar gegen einander konkav in I bildet einen Winkel von nur etwa 20—30? und 
würde wohl dem mittleren lanzettartigen Blatt in II entsprechen. B. und P. erwähnen eine 
einzige Beobachtung (von Senurr bei D. Fig. 139, bei P. 58), wo gleichzeitig 4 schiefe Bogen 
gesehen wurden, die äusseren mit einem Winkel von 110, die inneren von etwa 30—40° zwischen 
einander. Vielleicht wären die äussersten Bogen in N und W in Fig. II solche von etwa 120° 
Offnungswinkel. Am nächsten liegt es wohl, die 3 Blätter in Fig. II alle als weniger genau 
gezeichnete schiefe Bogen durch die Gegensonne zu betrachten, so dass wir hier sämtliche 
. sonst beobachteten 3 Bogenpaare mit etwa 30, 60 bzw. 120° zwischen den beiden Ästen gleich- 
zeitig vor uns hätten. 
r) Lichtsäulen und Kreuze (P. 259). Säulen von dem gewöhnlichen Aussehen sind 
nicht am 10. März beobachtet. Fig. VIII eibt jedoch eine Säule oberhalb der Sonne an, 


- 


: aber diese verbreitert sich nach oben und geht bis zur Berührungsstelle der Bogen 10 und 12. 
Hier ist die Breite beinahe zweimal diejenige der Sonne; aber unten sogar kleiner als die Son- 
f nenbreite. Diese Säule ist gelb gezeichnet. Auch Brese hat dieselbe als einen oben von der Ne- 
bensonne 3 ausgehenden dort etwas breiteren Strahl gezeichnet, ganz ähnlich wie der entspre- 
E ‚chende Teil des Horizontalringes. Schon P. erwähnt (S. 259), dass nach aussen verbreiterte 
I: Lichtsäulen beobachtet sind und erklärt diese (S. 399) durch Zusammenwirken von sekundären 
E Halos der Nebensonnen 2 und 3. Diese Erklärung scheint hier nicht ganz befriedigend, da die 
E: Breite des Strahlenbündels erst oben in der Nähe des Halo 10 beträchtlicher wird. Vielmehr 
: ^ scheint es, als würen diese Säulen sekundär durch die obere Gegensonne 3 hervorgerufen. In 
P der Zeichnung Juuviws (Fig. XIII) kann man aber das lang nach oben zugespitzte Lichtbündel als 
j eine eigentliche Sonnensäule auffassen. 


Ein deutliches Kreuz am E-Himmel beschreibt der Beobachter IX und sagt, dass in der 
Mitte ein Sonnenbild zu sehen war. Eine viertel Stunde später erschien ein ähnliches Kreuz mit 
einem Sonnenbild auf der S-Seite der Sonne. Man kann aber nicht wie PERNRER die vertikalen 


' Da P. hier 40° angibt, liegt wahrscheinlich ein Druckfehler vor. 


N:o 1. 


18 Osc. V. JoHANSSON 


Äste als gekrümmte Teile des Halos auffassen, denn der Beobachter sagt, dass die oberen und 
unteren Enden dieser Säulen erst später sich gegen einander krümmten. Noch deutlichere und 
längere Lichtsüulen nach oben und unten von den Nebensonnen 2 und 4 hat, wie erwäbnt, Herr 
HuRMALAINEN am 2. März gesehen und als blass bezeichnet. Da die Sonnenhöhe verhältnismässig 
cross (etwa 25°) war, kann man diese nicht als berührende Bogen auffassen. Vielleicht kann 
man auch diese als sekundäre Lichtsäulen der Nebensonnen ansehen. Die vertikalen Bogen in 
der Fig. 96 und 117 bei Bravaıs sind die einzigen früher abgebildeten, welche hier am nächsten 
kommen, aber sie sind als seitliche Berührungsbogen erklürt. Durch ganz kurze Stücke von Halo- 
erscheinungen sind wohl dagegen die viereckigen Formen der Nebensonnen in VI und die ovalen 
z. B. in VII u. s. w. entstanden. Der Beobachter I hat auch alle Bogenteile in der Nähe der 
Nebensonnen 2, 4, 8 und 9 stürker gesehen, so dass kreuzáhnliehe Bildungen entstanden. 

s) Schiefer Nebensonnenring. (P. 261). Dieser ist die erste von den 6 Erschei- 
nungen, welche PERNTER zu einer letzten Gruppe: „Abnormale, vereinzeltstehende Erschei- 
nungen* zusammenfasste. Die eine vorhandene Beobachtung der betreffenden Art (s) ist naeh P. 
eine von W. HALL am 18. Febr. 1796, wo der Ring durch den Mond ging und den Mondvertikal 
180° vom Monde 40? niedriger traf. Bravaıs führt hierher noch zwei Bogenpaare, beobachtet 
von Lea unterhalb der Sonne (B. Fig.-137). Bogen mit ganz entsprechenden Lagen kann man 
kaum in den Zeichnungen für den 10. März wiederfinden. Am nächsten kommen wohl die Bogen 
19 in I und das schiefe Kreuz im W in Fig. II, aber weil die Art dieser Bogen noch ganz 
unbestimmt bleibt, führen wir dieselben besser zu einer Gruppe von neuen problematischen Gebilden. 

t) Die seitlichen Berührungsbogen des Halo von 22? oder die schiefen 
Bogen von Lowınz (P. 261) Am 10. März dürften keine Bogen dieser Art, gesehen 
worden sein, aber es scheint als wären sicher solche am 23. März 1920 in Tammerfors vom Stadt- 
gärtner O. KARSTEN gesehen. Sie entsprachen sehr gut denjenigen, welche Bravaıs in Fig. 128 
und 117 rechts abbildet. B. hat jedoch den ersten Fall anders erklärt (als Berührungsbogen 
des Halo von 46°), aber P. hat sie zu der behandelten Gruppe geführt! (vgl. P. S. 333). 

u) Ringe mit abnormalen Radien (P. 262). Mit der Sonne konzentrische Ringe 
dieser Art dürften am 10. März nicht vorgekommen sein. ‚Jedoch ist zu sagen, dass die in 
Beobachtung VII gesehene kleine Nebensonne 43, oberhalb der Sonne, als einen Teil eines solchen 
Ringes aufgefasst werden könnte. Nimmt man die Entfernung der gewöhnlichen Nebensonnen 
(2 u. 4) als etwa 22°an, so wäre der Abstand der kleinen Nebensonne nach der Zeichnung etwa 
9°, Unter den extraordinären Halos, welche Besson neulich zusammengestellt und erklärt hat, 
würde die von VAN Buıssen 8?40' am besten mit diesem Wert stimmen. Der Bogen 41 
in VIII (vgl. i) würde wiederum als ein berührender Bogen zu dem Halo von FeuILLEE (32—35°, 
vel. Besson) aufzufassen sein. Nur nebenbei sei in diesem Zusammenhang auch an den kleinen in 
Diekursby beobachteten Bogen rechts von der Sonne und an den inneren Teil der Ellipse 
Juris (vgl. Fig. XIII) erinnert. Auch sie könnten wohl möglicherweise tangierende Bogen zum 


1 Ähnliche Bogen hat Scnwrpr am 13. Febr. 1855 beobachtet, vgl KnocH K. in Abhandl. d. Preuss. 
Meteor. Inst. N:o 243. Mir scheinen diese Beobachtungen weniger gut mit der theoretischen Kurve (vgl. P. 
328) uübereinzustimmen. 

> Comptes Reudus, 1920, N:is 6 et 10 p. 334 et 607. 

Tom. L. 


+; 


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EP edd re fée T a te Sl ES Y, o 


Rte ne ane =". Al Ed. - 


Die ausserordentliche Haloerscheinung in Süd-Finnland am 10. März 1920. 19 


kleineren Halo sein. Da in Juuins zweiter Zeichnung XIV 3 Halos vorkommen, ist einer zu dieser 
Gruppe zu rechnen. 

v) Die Arctowskischen Bogen (Bouguers Halo) (P. 267). Der Hauptbogen oder 
der Bouguer’sche Halo ist wahrscheinlich mit dem Bogen 22 in I identisch. Der Halbmesser ist 
offenbar, wie für die übrigen Halos zu klein gezeichnet, auf dem Modell zu etwa 25°. Würde man 
diesen Wert in demselben Verhältnis wie den richtigen Halbmesser des grossen Haupthalo von 46 
zu dem Modellwert (31°) vergrössern, so würde man 37° erhalten. Dieser Wert ist ein am Ben 
Nivis gemessener und ein von Pernrer erklärter. (S. 394 u. 396). Nach P. hat man aber niemals 
Gegensonnen auf diesem Halo gesehen, aber hier hätten wir einen solchen Fall. Offenbar sind 
auch die Kreisteile, die in der Fig. III durch die Nebengegensonnen gehen und mit der Gegen- 
sonne konzentrisch gezeichnet sind, Teile desselben Bouguerschen Halos. Der Halbmesser ist hier 
aber (vgl. p) etwa 48°, etwa derselbe wie bei den Nebengegensonnen von Lovrrz. Die Neben- 
gegensonnen in 46? Abstand sind ja auch erklärt, aber Halos durch dieselben, so viel ich weiss; 
nicht früher gesehen. Schliesslich könnte man mit gutem Willen auch die inneren Teile der 
beiden zugespitzen Bildungen in N und W Fig. VI als Teile eines schlecht aufgenommenen Halos 
ansehen, aber hier wäre der Halbmesser desselben nur etwa = 25°. 

In der Beobachtung Arcrowskıs am 20. August 1898 (vgl. Fig. 78 bei P.), kamen aber ausser 
dem Haupthalo oder Bouguers Halo zwei seitliche gegen die ersten konvexe Bogen vor, die nach 
der Zeichnung etwa 60? von dem Vertikal der Gegensonne den Horizont trafen. P. betrachtet diese 
am náchsten als Berührungsbogen der Nebengegensonne von 60? Abstand, aber geht nicht nüher 
auf diese ein, weil nur diese einzige Beobachtung ohne Messung vorlag. In unserer Sammlung 
vom 20. März finden wir einige Andeutungen zu Bogen derselben Art. Erstens haben wir in IIT 
zwei Bogen, welche durch die Nebensonnen gehen und dort den ,Gegenhalo* schneiden. Nach 
der Zeichnung wären die Mittelpunkte dieser Bogen etwa 90° von den Hauptsonnen zu finden, 
die Bogen also als Halos um die hier nicht gesehenen Seitensonnen aufzufassen. Auch der Beob- 
achter VI hat etwa an derselben Stelle Bogen gesehen, die in etwa 50° von der Gegensonne 
den Horizontalkreis trafen. Auch diese waren gegen die Gegensonne (hier nicht gesehen) konvex 
und trafen die konkaven schon erwähnten Bögen erst höher am Himmel, etwa halbwegs zum 
Zenith. Noch in einer dritten Beobachtung II könnte man das Bogenstück, das den Horizontal- 
kreis in etwa 116° von der Gegensonne schneidet, als das andere Ende eines Halos, welcher die 
Seitensonnen in etwa 79 umeibt, auffassen. Das andere Ende würde also in etwa 42° von der 
Gegensonne zu suchen sein, also etwa dort, wo der Bouguersche Halo meistens endet. Würde 
man annehmen, dass auch in VI der betreiiende Bogen die Nebengegensonne als Mittelpunkt 
hätte, so würden dessen Halbmesser nur etwa 22° sein. Die Werte 22, 37 und 42° sind also sehr 
verschieden, aber der Mittelwert 33° würde gut mit der Zeichnung Arcrowskıs übereinstimmen. 

w) Ungewöhnliche Nebensonnen (P. 268). Nebensonnen dieser Art wurden 
nicht beobachtet, denn die ungewöhnlichen Nebensonnen des Halo von 46° (also 32, 33 und 42) 
rechnet PERNTER schon zur Gruppe u. 

z) Aussergewöhnliche Spiegelungen (P. 270). So viel man weiss, kamen solche 
nicht vor. 


N:o 1. 


20 Ost. V. JOHANSSON 


Wir finden also, dass von den 23 Gruppen PERNTERS in diesem Falle möglicherweise 15 
vertreten waren. Von den 8 Gruppen, die hier nicht vorkamen, sind übrigens 5 solche, die bei 
der Sonnenhóhe in dem behandelten Falle kaum auftreten kónnen, in dem der elliptische Halo 
(Gruppe b Pernrers) und LovrrZ' schiefer Bogen (t), die unteren berührenden Bogen g, k und | 
erst bei grósserer Hóhe erschejnen. Nur der Halo mit etwa 90? Halbmesser (d) und andere 
aussergewöhnliche Halos mit kleinem Halbmesser nebst den Gruppen w und x waren diesma Inicht 
vertreten. 

Aber es wurden auch mehrere Erscheinungen beobachtet, die, so viel ich weiss, nicht früher 
erwähnt sind. Dieses gilt von den weissen breiten Streifen 14 zwischen dem Bogen 13 und der 
Mitte des berührenden Bogens 12 in Fig. I. Andeutungen hierzu gibt auch die Beobachtung VIII 
an, in dem die gelbgefärbte Mitte von 12 hier sehr breit angegeben wurde. Früher unerwähnt 
dürften auch die von II und IV beobachteten Bogen 18,sein, wenigstens so wie der Beobachter 
IV diesen gezeichnet hat, indem derselbe nicht ein unterer seitlich berührender Bogen zu dem 
Halo 11 sein kónnte. Neu sind weiter in der Beobachtung I die farbigen Bogen 28 und 29, 
welche die Nebensonnen 2 und 4 mit der Stelle der Nebensonne 42 verbinden. Es wäre môglich, 
dass diese sekundäre, von den Nebensonnen 4 und 2 hervorgerufene, grosse Halos waren. Die 
schielen weissen Bogen 21 waren, wie erwähnt, auf der Halbkugel eingezeichnet, aber nicht 
von Herrn Brese beobahtet, wesshalb wir diese nicht weiter behandeln. Die Bogen 37 und 38 
in der Beobachtung III waren möglicherweise mit 21 oder 19 identisch, aber so eigentümlich 
gezeichnet, dass eine weitere Behandlung unmöglich wird. Der dritte Bogen 36 in derselben 
Beobachtung III kann, wie schon erwähnt, mit einem zireumzenithalen Kreis (20) identifiziert 
werden. Schliesslich sind die von Ingeniór Harz IV beobachteten eigentümlichen Verzweigungen 
des berührenden Bogens 12 nicht früher in der Litteratur erwähnt. Auch andere Beobachter 
haben in dieser Beziehung gleichartige Bildungen erwähnt, die weniger gut mit der geltenden 
Theorie des Bogens 12 übereinstimmen. 

Als eine Übersicht und Zusammenfassung sind die beiden folgenden Verzeichnisse angeführt. 
Das erste gibt in kurzer Form eine Benennung der betreffenden Einzelerscheinungen, das zweite 
gibt für die behandelten und in den Figuren I—X dargestellten Beobachtungen alle wichtigere 
Daten an. Wir finden, dass in allem etwa 43 Einzelerscheinungen beobachtet wurden und von 
diesen hat ein einziger Beobachter Ingeniór E. A. Brese 27 gesehen. Am allgemeinsten wurden 
die Nebensonnen 2 und 4 in etwa 23° Sonnenabstand, die beiden Haupthalos 10 und 11, deren 
obere Berührungsbogen 12 und 15 und der Horizontalkreis 16 gesehen. Soweit man feststellen 
kann, wurden 27 Gegenstünde von wenigstens 2 Beobachtern gesehen. 

Die Verzeiehnisse gelten auch als Inhalts-Verzeichnisse, denn in A ist rechts die Seiten- 
zahl angegeben, wo die Erscheinungen in den Gruppen PERNTERS eingereiht ‘werden und in B 


; i ; / 
ist unten angegeben, wo die 10 Beobachtungen näher referiert werden. 


Tom. L. 


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Die ausserordentliche Haloerscheinung in Süd-Finnland am 10. März 1920. 


Verzeichnis der am 10. März 1920 beobachteten Einzelerscheinungen. 


n 


” 


Die Sonne . 


Gegensonne „ 


A. Die Art der Ersheinungen. 


(Die Nummern 1—29 dieselben wie in Fig. I c.) 


Nebensonne in c:a 23° Sonnenabstand im W. 


ALES 2 oben . 
„on 5 im E . 
5 $0909 x MERO 
vs " BW. x 
„ 108? À 


Gegennebensonne im E von der Gegensonne 


» W » ” ” 


Halo von c:a 23? Halbmesser 
, 46° 
Berührender Bogen zu Halo 23° oben (10) 
Obere Grenze des Feldes 14. 

Dureh weisse Streifen beleuchtetes Feld in der Mitte der Einbuchtung von 12. 
Berührender Bogen zu Halo 46°, oben (11) . 


» 


16 Horizontalkreis durch die Sonne. ; 
17 Vertikale Lichtsäule oberhalb der Sonne . 


18e Gegen die Sonne konvexer Bogen von 16 nach unten im E 


18w 


19e Bogen schief naeh oben von dem Schnittpunkte 11—16 im E 


19w 


» 


» 


” 


” 


” 


” 


” ” ” ” ” 


” ” ” » 


20 Zweiter Horizontalkreis , 


21e Schiefer, weisser Bogen schneidend 16 in der Nähe von 5. 


21w 


” 


» 


» 1 » » ” 


22 Halo Bouguers um die Gegensonne 7 . 


23 Schiefer, àusserer Bogen durch die Gegensonne 


24 
25 


” 


” 


” 


” 


innerer 


” 


27 Dritter Horizontalkreis . 


» 


in W 


» 


28 Bogen vom Berührungspunkte 11—15 (—42) zu 2 


29 
N:o 1. 


” 


” 


: 11—15 (=42) , 


4 


Gruppe 
Pernters 


21 


- Osc. V. TA SON t 


Ausserster Gegensonnenbogen in Fig. II im E . 2 


F 

» s » » » » » W 1 Ju 
Nebensonne in c:a 46° Sonnenabstand im E : 
» » E ^ ” » W B 


Ring umgebend die Nebensonne 6 . . . 


4 


5 5 2 ” Re NO OT 


Der äussere Bogen in III oberhalb der Gegensonne 
» ” ” » =, im E. Au. an Y Rd 


» » por Ad» 337 3939401205 W 7). oM oot 


Teile von einem Ringe mit dem Zentrum bei 2 
» ” » » » » 0o» E 4 
Zireumzenithaler Bogen in VIII (vgl. = 20) 
Nebensonne in c:a 46? Sonnenabstand oben. . 
Leuchtender Fleck oberhalb der Sonne in VII . 


‘IT'S ISA AIX—IX SM nah 


oyag Sun 
6 6 8 8 8 L j 9 9 5 { pes 
sel IL 8 OI 8 OI El u 08 0c 22 a 
pe ^ = 2 = = 2 = = = = à 
= 1 = =- ar -— = = = E Ys = TF 
Or I = Fe = à = = Per n x 2 OF 
66 1 73 = = 3 15 Er BT Fr Pr = 66 
BEC CAT "x Ex ES = = E = Se 3 = 8€ 
Je I = = = = = = = a + - = LE 
zi — — = — & — = = = C 
fe T A ei = 7A dar = er iC) Ad TE 
SE LT zE uu re = ar BE 2 = Er €€ 
g^ T x = — AAA + = dE = ar = f ce 
VM = = = = E 3 = = ir = pr: 
Eoo L = Er pem ei E PLE = OM 
Ban CT = = = _ = = E = = far 8G 
"o1 23 = = = ex zt B5. = UN Ma RE LE 
NE = = = m > es = = A + AM + 98 
Cc z — — — — = ou — = M M + Cc 
$c € E s = = = "euo = M + M M + TG 
fot e — — — — — Hajo = M + M M I £c 
cc LE = =: = = Bar = = A + x A dd 
Ald 0 — = — = = — = = = HepoN wepí— M Ie 
Balz 0 E xS = >= — == d = == me inu|— 917 
02 1 — — — — — — = —  Fg=4prIe]jora COCENICHES 0c 
M 6D dc E — - = — - = — Hos me (+) ML gl 
BE = i ad CONTE sie 2 ML 
^g 0 = = $i = = Es = TÉ ugory A AMT A gI 
esr . a — — = — = = Fc = 3 + Ifepomwep me muj— ? gl 
ES 2 ZH = = = — c = = = — g 103un gr u 
asıompa? + (esyag inu. +) M + M + : M M + M + 1 Al M 9r 
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op opurysuodong IP pun ua 
RAT EU WI UR | I 


ap ‘ d 0S 


Beilage. 


Als Beilage werden hier 2 "Tabellen angeführt. Die erste enthält die Jahressumme der 
Sonnen-(@) und Mondhalos >, der Sonnen-((T)) und Mondkränze vp in Helsingfors 1882— 
1919 und in Fredriksberg Ilmala (Drachenstation) 1911—1919. Die zweite gibt den jährlichen 
Gang derselben Erscheinungen im Mittel für 20, bzw 9 Jahren an. 


Zahl der Tage mit CD, «>, (D und & in Helsingfors und Fredriksberg, llmala. 


Helsingfors 


Jahr e DT (D NP Jahr e KU O w 

1882 0 4 0 d 1897 29 3 1 12 
83 0 19 0 1 98 15 12 0 4 
84 Ü 15 0 1 99 21 11 il 20 
85 0 25 1 3 1900 24 6 2 17 
86 3 8 0 5 ol 19 8 1 13 
87 6 22 0 6 02 36 5 0 19 
88 4 14 0 7 03 6 5 12 15 
89 4 7 0 9 04 18 2 0 17 
90 1 12 0 27 05 17 4 1 14 
91 4 14 0 31 06 26 8 0 13 
92 16 8 1 17 07 11 1 0 14 
93 20 7 2 27 08 39 7 1 20 
94 25 13 0 49 09 65 9 19 28 
95 17 10 1 19 10 51 5 8 17 

1896 21 5 0 25 1911 36 4 4 29 

Helsingfors Fredriksberg 

1911 36 4 4 29 1911 59 10 12 19 
12 15 7 3 17 BZ 37 4 0 7 
13 12 2 6 4 13 14 2 0 9 
14 7 3 3 0 14 9 4 0 3 
15 28 1 1 8 15 39 3 0 4 
16 47 8 0 3 16 71 12 0 11 
17 37 7 0 6 17 76 12 3 21 
18 17 3 0 2 18 65 9 0 16 

1919 4 3 0 0 1919 30 Ji 1 15 

Mittel 1911—19 23.7 4.2 1.9 7.7 44.4 7.0 1.8 11.7 


Jährlicher Gang der Zahl der Tage mit Q. > © und vy: 


IE QE TÉRANTVE Ve CNT AN IL VER PIX NX SEC PR XP RTE 


| CD “04 10 22. 29 50 44 29 30 20 104.06 GAN 

Helsingfors | cp 06 13; 01.170,70: 101 "00* 0,0% 704.9 .04 0T X ae 
wn dh) 00, 00. 02: 0.5 /03 ^04: ^02. 04 0,5 2022000 00.7 728 
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Fredriksberg | cp) 11 12 -..09 07 - 0.400 00 - 01. 08621208. .08* NOM 
sog OE IA DU CA 01 02. 0110001 08. 0.4 0.210000 20000000 
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Die Haloerscheinung am 10. März 1920 nach den Beobachtern I—X und 4 ältere 
Zeichnungen XI—XIV. 


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ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N'o 2. 


= LÓSNINGARS 
OPTISKA EGENSKAPER 


EN HYPOTES RÖRANDE 
BYGGNADEN AV ELEKTROLYTERNAS MOLEKYLER 


AV 


JARL A. WASASTJERNA 


(TRYCKT PÀ FÓRORD AV HERRAR L. W. ÓHOLM OCH HJ. TALLQVIST) 


HELSINGFORS 1920 
FINSKA LITTERATURSALLSKAPETS TRYCKERI A.-B. 


Inledning. 


Den experimentella delen av föreliggande undersókning utgóres av bestämningar av 
brytningsexponenten och tätheten fór vattenlósningar av en rad organiska salter, kalium- 
och natriumklorid samt oxalsyra. Flertalet undersókningar üro utfórda vid tvà olika tem- 
peraturer samt vid varje temperatur för tre olika ljusväglängder. Pà försöksresultaten 
äro vidlyftiga beräkningar baserade, vilka avse att giva kunskap om de lósta salternas 
molekylarrefraktion för olika våglängder samt dess beroende av lósningarnas koncentration 
och temperatur. Synnerlig vikt är fäst vid framställandet av mójligast rena substanser 
samt vid bestämmandet av lósningarnas koncentration. 

Arbetet sin helhet har till ändamäl att sóka förklaringen till de ätminstone skenbart 
varandra motsägande resultat rörande dissociationens inverkan pä lösta elektrolyters optiska 
egenskaper, till vilka tidigare författare ansett sig hava kommit. Vid min undersökning 
har jag icke letts av nägra förutfattade äsikter angäende var förklaringsgrunden stode att 
söka, utan har det experimentella arbetet verkställts endast i den övertygelsen, att, såvida 
en åsyftad grad av noggrannhet kunde uppnås, fakta med all sannolikhet komme i dagen, 
som skulle belysa ovan antydda egendomliga sakförhållanden. 

Jag vill ytterligare framhålla, att jag ansett ett i denna riktning gående försök vara 
av betydelse, enär den av de ovannämnda motsättningarna åstadkomna osäkerheten på 
detta spektrokemiska gebit verkat synbart hämmande på dess vidare utveckling. 

Mina förhoppningar ha även i viss mån gått i uppfyllelse. Samtidigt har genom före- 
liggande undersökning vunnits resultat av allmänt intresse rörande byggnaden av elektro- 
lyternas molekyler. De avvikelser från massverkningslagen, som uppträda i samband med 
de starka elektrolyternas dissociation, kunna i princip väntas. En närmare matematisk och 


experimentell undersökning av härmed sammanhängande frågor vore av största intresse 


2 JARL A. WASASTIERNA. 


formel (1), som Lorenz härlett. Likheten har senare på enklare sätt härletts av Sagnac 
(152) med stöd av Clausius-Thomsons teori för dielektrika, Säväl Lorentz som Sagnac an- 
taga, i likhet med Lorenz, att molekylerna äro klotformiga. 

Likheten (1) innebär, att uttrycket (x?— 1): (»? +2) är proportionellt mot mängden 
substans per volymenhet. Bestär substansen av en blandning av m olika slag av moleky- 
ler, leder härledningen till den allmännare formeln 


m 


n? — 1 a - 
TEE 205 F,, (4) 
; h—1 
där g...g beteckna massan av de olika komponenterna per volymenhet, och där Æ,...2, 


üro konstanter, som karakterisera de olika ämnena. Vi observera att 


y gy ed. 


4 —1 


Innebórden av konstanterna inser man genom att sätta 


5» 9,4177 Hm — 0. 
Vi finna 
cone 
h J 
= À, 


NT 2d 


Av betydelse är, att enligt härledningen £, betecknar summan av elementarsferernas vo- 
lymer i ett gram av substansen i frága. Formeln kan utvidgas till kemiska fóreningar. An- 
tagande att en molekyl med molekylarvikten M består av «,...u, atomer med atom- 


vikterna A,...4A,, och att således 


m 


M == y (tj, Ay; 


41 
finner man med stöd av (4) 
n? —1 M Ms Jg, ES 
9 2 EOS = N (a. m 5 F, V 
N Un h 1 X Un 
HU h 1 
Men 
Mg, BR 
m LE El EE 
NL TE 
AT Un 
A 


och om vi ytterligare beteckna konstanten /'[fór den ifrågavarande substansen med F',, 


finna vi alltsa 


m 


MPF,—M a A,B. (5) 
MT n 


Ul h 
h= 1 


»Molekylarrefraktionen» M F, sammansättes således additivt av »atomrefraktionerna» A, 7. 
Vi kunna enligt föregående giva detta resultat en enkel tolkning. MF, betecknar den 


Tom. L. 


4 
| 
| 
| 


iut 


Lösningars opliska egenskaper. 3 
^ ^ 


faktiska volymen av en grammolekyl, A, 7, den faktiska volymen av en gramatom. Alltså: 
en molekyls volym utgör summan av de i densamma ingående atomernas volymer, 


$ 5. Definition av begreppet molekylarrefraktion. Av det sagda framgår, att enligt de 


z : . i iul NEL 3 £ t n 
nämnda teorierna en funktion av », nämligen — » besitter en rad anmärkningsvärda 


n? +2 
egenskaper. Innan vi gå vidare, vilja vi definiera några begrepp, som formellt förenkla 
Al r: ^ E 1 An* EN 1 
de följande resonemangen. Vi ersätta i likheterna (1), (4) och (5) expressionen — med en 


n? +2 
tills vidare okänd funktion av », som vi beteckna q (2). Denna funktion definiera vi icke 


genom något analytiskt uttryck, utan genom att den satisfierar de nämnda likheterna, 


nämligen 
pn) = Pd, (la) 
f (n) = qu: (4 a) 
h=1 
M X . : 
a (n) p LAU. IN ONE (5 a) 


Dessa likheter skola uppfyllas även för ljus av ändlig våglängd, och konstanterna /' bero 
endast av våglängden och ämnets kemiska natur, men ieke av temperatur eller aggrega- 
tionstillstånd, så länge de betraktade substanserna äro homogena och isotropa, samt sådana 
komplikationer som association, polymerisation, dissociation etc. icke förekomma. Beträf- 
fande likheten (5a) förutsättes ytterligare, att molekylen är enkelt byggd och icke inne- 


håller dubbelbindningar, tredubbelbindningar eller ringar. Vi införa benämningarna q (n) = 
t s TEMA q (n) m i URP MES ES 
den absoluta refraktionsförmägan, F(n, d) = Fuer; den specifika refraktionsformagan, 
C 


R (M,n, d) = M F = molekylarrefraktionen och R (A, n, d) = A F = atomrefraktionen. 

Förutsatt att funktionen q (») existerar, gälla alltså följande lagar: 

a) Den specifika refraktionsförmågan och molekylarrefraktionen äro oberoende av 
temperatur och aggregationstillstånd. 

b) Den absoluta refraktionsförmågan för en blandning sammansättes additivt av ter- 
mer, representerande produkten av de olika komponenternas specifika refraktionsförmåga 
och massa per volymenhet. 

c) Molekylarrefraktionen sammansättes additivt av atomrefraktionerna. 

Det är tydligt, att existensen av funktionen q (n) icke är bevisad eller kan axioma- 
tiskt antagas, men ur den långa rad av experimentella undersökningar, som på detta om- 
råde utförts, börjande med Biots och Aragos kända arbeten år 1806 (12), har det fram- 
gått, att flere med varandra nära besläktade funktioner av ljusbrytningsexponenten n 
approximativt uppfylla de likheter, som definiera g. De ovan nämnda teorierna, vilka 
äro av stor betydelse som hjälphypoteser, förklara detta sakförhållande, men de basera 
sig på antaganden, vilka icke stå i överensstämmelse med den moderna uppfattningen av 
atomens byggnad, med vilken uppfattning däremot den på elektronteorin grundade disper- 


No: 


4 JARL A. WASASTJERNA. 


sionsteorin, till vilken vi nu övergå, väl kan förenas, och som för övrigt långt fullständi- 
vare än de tidigare teorierna förmår förklara hithörande fakta. 

S 4. Dispersionsteorin. Dispersionsteorin, som stöder sig på de Maxwell’ska likheterna 
i den speciella form, som de antaga för en omagnetiserbar homogen isolator, hänför den 
elektriska polarisationen till en förskjutning av de bundna elektronerna. Dispersionen för- 
klaras genom antagandet av egensvängningar hos elektronerna. — Tanken, att dispersions- 
fenomenen kunna förklaras genom smådelars egensvängningar var för övrigt icke ny, den 
framfördes redan av Fresnel och Cauchy. Sellmeier (161-—165), Ketteler (102—105) och Helm- 
holtz (59) uppställde sedermera, utgående från antagandet av egensvängningar hos små 
partiklar i det ljusbrytande mediets molekyler sina dispersionsteorier. Genom Lorentz’ 
(122), Kolåteks (106—107), Goldhammers (52), Helmholtz’ (90—4/) och Eberts (54) arbeten 
ställdes teorin på elektromagnetisk grund. Teorin i dess moderna form är en skapelse av 
Lorentz (122—123), Planck (135—155) och Drude (51—52). 

Drudes teori är den enklaste. Drude identifierar fältstyrkan i etern med ljusvägens 
elektriska fältstyrka. Emellertid antar självfallet fältstyrkan i närheten av en elektron (i 
denna benämning innefatta vi här för korthetens skull även de positiva kärnorna) mycket 
höga värden, och om alltså de olika elektronerna besitta olika egensvängningsperioder, 
varigenom deras relativa läge oavbrutet förändras, måste hänsyn tagas till att en given 
elektron befinner sig i det av de övriga elektronerna alstrade elektriska fältet. 

Lorentz och Planek beakta detta. Plancks teori skiljer sig från Lorentz', likasom från 
alla andra dispersionsteorier, genom antagandet av strålningen som enda orsak till den 
på elektronerna verkande dämpningen. Formellt taget är det emellertid för dispersions- 
teorin likgiltigt, varav dämpningen antages bero. Den strängare teorin är ännu icke ut- 
veeklad för flere rörliga elektronsystem, — den bleve i sådant fall mycket komplicerad. 
Man kan emellertid komma till rätta med att betrakta blott ett elektronsystem som rör- 
ligt, under förutsättning att den använda ljusvåglängden icke kommer för nära någon 
egensvüngning, samt ligger väsentligt närmare de ultravioletta svängningsperioderna än 
de ultraröda. Därvid kunna de ultraviolett svängande elektronerna sammanfattas till ett 
enda system med ett visst medelsvängningstal, motsvarande våglängden 4, i tomrummet, 
medan elektronerna eller jonerna med ultraröd period kunna betraktas som orörliga. 

Den Drude'ska och den Lorentz-Planek'ska teorin sammanfattas i likheten (7, II, p. 250). 


1 ul ; EIE 1 \ 


ae RC — CDN IR) 6 
n? —1 3 us Net A, 7) Fe 


där n = brytningsexponenten, s = en konstant, som bestämmer summan av de en given 
molekyl och dess elektroner päverkande yttre krafter, som utgå fran de närliggande mole- 
kylernas elektroner, e = ljusets hastighet i tomrummet, N'— antalet molekyler i volym- 


enheten, 4 — den använda ljusvåglängden, medan betydelsen av 4, tidigare klargjorts, Vi- 


dare betecknar e elektronens laddning i elektrostatiska enheter, m dess massa och p elek- 
tronernas antal i en molekyl. 
Vi behandla här först den Lorentz-Planek'ska teorin, enär den enklare Drude'ska teo- 


rin står i närmare samband med de frågor, som skola beröras i nästa $. 


Tom. L. 


Lösningars opliska egenskaper. 5 


Teorin bör gälla för alla optiskt isotropa ämnen. Optiskt anisotropa ämnen komma 
icke i betraktande, enär teorin stöder sig på antagandet, att en monokromatisk ljusstråle 
i den ifrågavarande substansen i alla riktningar fortplantar sig med samma hastighet. Men 
även för optiskt isotropa kristaller måste man antaga, att konstanten s 0, varav följer, 
att någon funktion q (4), som samtidigt exakt uppfyller villkoren (1 a), (4a) och (5 a) icke 
existerar för kroppar med ordnad molekylarstruktur. 

För gaser och vätskor åter, i vilka molekylerna äro fritt rörliga, kan man med 


Planck antaga s=0. Ur likheten (6) erhålles då efter en enkel omformning 


M n2—1 N pe? : à 


där N = antalet molekyler i en grammolekyl. För en kemisk förening bestående av 
€,...«, atomer med atomvikterna 4,...4,, gäller, om elektronerna antagas bundna vid 
sina atomer, och. deras svängningstal icke vid den kemiska föreningen undergå föränd- 


ringar (jfr. 125, pag. 149), likheten 


M n2 —1 M Na p.e 4 < 
N ee NE h Net ANT (b 
dm t3" Same (Rees (TEES TATE 8) 
| - . de 1) re 
À 


Vi hava pápekat, att vid härledningen av likheten (7) alla ultraviolett svängande elektro- 
ner i molekylen sammanfattats till ett system med ett visst medelsvängningstal, motsva- 
rande vaglängden 4,  Enligt (8) ür detta ieke nödvändiet. Vi mäste endast sammanfatta 
de i varje atom ultraviolett svängande elektronerna till ett system med ett visst medel- 
frekvenstal. 

Fór en blandning av m molekyler gäller analogt likheten 


9 ın N’ m 2 22 m 
n° X 1 bis ms Dy €i j h gr y FE (9) 
12-22 Dem c E Ae Rd E 
hn —1 1—(7 h=1 


där dà N/ är antalet molekyler av slaget h i volymenheten. Enligt (8) kan varje term 
vidare utvecklas som en summa. Summationen (9) kan säledes utsträckas även till de 
olika atomerna i en blandning av molekyler. 

Den Planek-Lorentz'ska teorin leder alltså till slutsatsen, att funktionen q (4) existerar, 
samt 


Formlerna (7—9) äro naturligtvis icke exakt riktiga. Oss intresserar speciellt rik- 
tigheten av likheten (9). Vi kunna enligt teorin antaga, att likheten (9) gäller med minst 


samma grad av noggrannhet som likheten (8), så länge icke några komplikationer vid bland- 
OA 
N:o 2. A& Ul Be 


#- 
e 


2 


1 
\ 


\ 


6 JARL A. WASASTJERNA. 


ningen resp. lösningen uppkomma. Till sadana kunna vi omvánt sluta, om och endast om 
avsevärda avvikelser fran likheten (9) fórekomma. 

Vi övergå till Drudes teori. Drudes antagande leder till s — —/;. Därigenom för- 
svinner nämligen i den Lorentz'ska härledningen den term, som representerar det i varje 
oivet ögonblick av elektronerna alstrade elektriska fältet. Drudes teori leder till fullkom- 
ligt samma likheter (7—9) som ovan, med undantag av att den absoluta refraktionsför- 
magan q(4), som i Lorentz’ och Plancks formler är (n? — 1): (n? —-2), enligt Drude erhåller 
utseendet (»?— 1):3. Men enligt Drude kan summan (8) utsträckas över de skilda elek- 
tronerna i atomerna. 

S 5. De svängande partiklarnas massa. Enligt Drudes teori gäller, som av vad ovan 
sagts följer, för en molekyl likheten 


S N'p, e 2- 
> ne Fe (10) 


Nr ine 
TM, ( (^) 


saledes även 


Yr 242 7 „2 
Ne N Bä h ^. Si N Pb, €, A, 4, 


D d 
u2—14 RR I amr VERE Narr «HM 
TI, C TIN, C fe / 
h h h 
oeh vidare!) 
a (t tt 
x I 2 3 x 
= A = On EURE For, DT nt (33) 
A —4A 4 As A —4A. 
1 2 3 
där 
T PALM 
\ N Pied, ! 
HE NEA (13) 
-— 7 m, e 
{1 
och 
71 2 Th 12 44 
N P, 6, h N Dt hh 
Ad, == ms = — = ' (14) 
St ( T d 
h h 


där laddningen e' nu är üttryekt i elektromagnetiska enheter. Av (14) följer vidare 


Th N "ld 
un TA N Dye, Cr z 
Ld Aser ror : (15) 


Av stort intresse är, att konstanten c, som beräknas enligt (15) ur de experimentellt be- 
stämda konstanterna a, och 4, i likheten (12), för de ultraröda perioderna erhällar ett 


1) Ketteler-Helmholtz dispersionsformel 


Rey: 


är endast en annan form av (12), vilket omedelbart inses med stöd av likheten (10). 


Tom. L. 


pu 


Lösningars optiska egenskaper. 


värde av annan storleksordning än för de ultravioletta perioderna. Ur dispersionsformeln 
(7) kan omedelbart för enkla gaser som väte och helium (där p — 1 resp. p — 2) den spe- 
cifika laddningen för de ultraviolett svängande partiklarna beräknas. Därvid erhåller man 
det värde, som är karakteristiskt för de fria elektronerna, varav följer att de ultraviolett 
svängande partiklarna utgöras av elektroner. Enligt likheten (15) finner man då, att mas- 
san hos de ultrarött svängande partiklarna är av samma storleksordning som atomernas 
massa. Det är därmed klart, att de ultraróda svängningarna antingen utföras av positivt 
laddade atomkärnor eller av positivt eller negativt laddade atomer, atomdelar eller atom- 
komplexer (joner). 

8 6. De ponderabla partiklarnas svängningstal. Den tidigare anförda formeln (10) har 
utseendet 


12 
A 


2 
h h 


À V Nip,e 
Ni —= 1 2 X 2° 
e mn, c 1 1) 

N 
Vi uppdela de svängande partiklarna i tvä grupper, nämligen de p, ultraviolett svängande 
elektronerna med massan m,, laddningen e, och ett medelsväneningstal, motsvarande väg- 
längden 4,, samt de p, ultrarött svängande ponderabla partiklarna med laddningen e,, 


massan m, och ett medelsvängningstal, motsvarande våglängden 2.. Vi erhålla så likheten 


: 2.2 2 
2 NAN 1 N'p,e; -2 1 
na le: . 3 


TM, € LAN Myr Ca ; iy (16) 
el) ue) 


Enär vidare 4, är ett litet tal i förhällande till A och 4 ett litet tal i förhällande till 4 


T 


gälla likheterna 


n 
och 
i facram A (5. (2) | 
EU Hi DAY JRR UE RU EN (18) 
1) 


Enligt likheterna (16—18) finna vi säledes 


2.2 T 2.9 .2 
2 N’ DEAN N Po Oo ^» A, 
n -—1--————S5-4 CER UAR nl 
| 2 \ 2 22 
rm. C TM, € ^ 


N’ D, € PONT OS lbs 
ERR E een, (19) 
ST TS mme 4. 4 


eller, i det vi bortlämna termerna av högre ordning och införa förenklade beteckningar, 
vilkas betydelse omedelbart framgär av likheten (19) 


AS as (20) 


8 JARL A. WASASTIERNA. 


I den synliga delen av spektrum, där 2? är ett litet tal, kan dispersionen enligt (20) ap- 
proximativt ätergivas genom likheten 
Ai À» 


Doing rra (21) 


I det vi återgå till likheten (16), finna vi dielektricitetskonstanten 


- 2.2 2 ,2 
Nip e N' p.e À 
DI v v r Lä r 
= = * u 


e—]lim n° = 1 + -! : 22 
ei TMC ame (22) 
men enligt (19) och (20) är 
N'p,e& A. 
A=1+ = (23) 
TM, c? 
och 
N' p. e? 
d — 24 
mm, c? e. 
och således enligt (22-24) 
EE A 
À, = V + (25) 


Vatten utgör ett gott exempel pà substanser, för vilka en stor differens mellan s och A 
förefinnes. I själva verket har vatten ett absorptionsgebit i ultrarött, vilket på ett till- 
fredsställande sätt svarar mot vàglüngden 4, berüknad ur likheten (25) 

Enligt dispersionsteorin kunna vi säledes bevisa, att i molekyler ponderabla elektriskt 
Jaddade partiklar utföra bestämda egensvüngningar, vilkas svängningstal kunna beräknas 
och experimentellt bestämmas. Återstår frågan: utföras dessa svängningar av laddade 
atomer eller atomkomplexer (joner) eller atomdelar (t. ex. kärnor). 

S 7. De ponderabla partiklarnas natur. I en tvåatomig molekyl utföra de två kärnorna 
bestämda egensvängningar mot varandra. Till beviset härför återkomma vi senare. Man 
kunde tänka sig, att alla atomernas ursprungliga elektroner deltaga i dessa svängningar 
på sådant sätt, att kärnorna och elektronerna svänga som elektriskt neutrala system, eller 
att de båda atomerna för molekylens sammanhållning avstått samma antal elektroner, 
vilka allmänt uttryckt samtidigt tillhöra båda kärnorna. I en sådan molekyl utföras de 
ifrågavarande svängningarna av två laddade system med samma positiva laddning. Ett 
elektriskt växelfält påverkar icke svängningarna i molekyler, byggda på någotdera av 
ovan angivna sätt. För att de av ponderabla system i en tvåatomig molekyl utförda egen- 
svängningarna skola kunna optiskt konstateras, måste sålunda de båda svängande systemen 
äga algebraiskt olika stora laddningar. En på detta sätt byggd molekyl kan man för 
korthetens skull säga bestå av joner, men det bör genast påpekas, att begreppet jon, en- 
ligt denna definition, är rätt tänjbart, i det att av joner bestående molekyler kunna tänkas 
uppbyggda på väsentligen olikartade sätt. I själva verket innebär denna benämning endast 
förekomsten av assymmetri hos de elektriska laddningarna. TI fleratomiga t.ex. organiska 
molekyler är en sådan assymmetri a priori att betrakta såsom förhanden, och dessa mole- 
kyler uppvisa. sålunda genomgående absorptionsband i ultrarött. 


Tom. L. 


Lösningars optiska egenskaper. 9 


Vi vilja i det följande först egna några ord åt gaserna. Enligt kvantumteorin (56) 
kan man med kännedom om specifika värmet för en tvåatomig gas vid olika temperaturer 
lätt beräkna de ponderabla systemens egensvängningsperioder. Med stöd av en sådan 
beräkning finner Bjerrum (15) dessa egensvängningar för H, motsvara våglängden 4 — 3,0 u 
samt för JN, O, och CO motsvara våglängden 4 = c:a 3,5. I själva verket uppvisar CO 
absorptionsband vid 2,4: och 4,6 w samt O, vid 3,2 och 4,7w. På grund av molekylernas ro- 
tation” uppträder visserligen icke en bestämd absorptionslinje, utan fastmer absorptionsband 
eller en serie linjer med ekvidistanta svängningstal (14). Härpå kunna vi likväl icke för 
utrymmets skull närmare ingå. Däremot hava À, och X, icke några absorptionsband i 
ultrarött, oaktat kärnorna enligt ovanstående otvivelaktigt utföra bestämda egensväng- 
ningar. (0, och CO bestå således i motsats till 7, och N, av joner. För tre- och flerato- 
miga gaser uppträda, sannolikt på grund av koppling, endast mer eller mindre utpräglade 
absorptionsområden (21). Bjerrum (73) har visat, att specifika värmet även för fleratomiga 
gaser, såsom CÓ, Æ,0 och NA, rätt väl kan beräknas med stöd av de experimentellt 
bestämda absorptionsgebitens våglängder. 

Hos fasta kristalliserade substanser återfinna vi fullkomligt analoga förhållanden. 
Belysa vi en kristall med strålar av en våglängd, som motsvarar en jons svängningstal, 
råka jonerna i livliga svängningar; ett resonansfenomen uppträder. På grund av resona- 
torernas starka utstrålning, vilken, som tidigare framhållits, av Planck betraktas som enda 
orsak till dämpningen, medan Drude dessutom antager existensen av något slags friktion, 
uppträder för den ifrågavarande våglängden en metallisk reflexion. Om man därför låter 
en stråle med kontinuerligt ultrarött spektrum i tur och ordning falla på en rad ytor av 
det material man vill undersöka, sålunda bringande strålen till upprepad reflexion, så 
reflekteras slutligen endast-strälar av de våglängder, som svara mot jonernas egensväng- 
ningar. De sålunda erhållna strålarna benämnas som känt reststrålar. Undersökningen av 
reststrålarna utgör för kristalliserade substanser den ojämförligt bästa metoden att experi- 
mentellt bestämma de ponderabla systemens egensvängningar, för så vitt dessa över 
huvud kunna optiskt bestämmas. - (Beträffande utförandet av försöken se t. ex. Jellinek, 
(905-020 (0) 

För diamant föreligga synnerligen noggranna undersökningar av specifika värmet, 
av Nernst utförda vid låga och av H. F. Weber vid höga temperaturer (96, p. 392). Av 
dessa följer enligt kvantumteorin, att ponderabla system utföra bestämda svängningar med 
ultraröd period. Av Reinkobers (146) undersökningar framgår emellertid med säkerhet, 
att diamant icke uppvisar något reflexionsmaximum i ultrarött. Molekylerna äro här 
således icke uppbyggda av joner. Helt annorlunda förhålla sig t. ex. de binära salterna, 
såsom KCOl, NaCl, KBr och KJ. Innan vi gå vidare, ägna vi några ord åt dessa kristallers 
byggnad. De på Laues bekanta upptäckt baserade, med tillhjälp av röntgensträlar utförda 
undersökningarna av kristaller hava som känt givit vid handen, att åtminstone i kristaller 
av detta enkla slag molekylerna icke spela samma roll som i gaser och vätskor. Kalium- 
kloridmolekylen existerar över huvud icke mera i kristallen. Man har sålunda icke att 
tänka sig saken så, att A och (7 atomerna eller jonerna utföra svängningar mot varandra, 
och molekyl-tyngdpunkten ytterligare för sig utför svängningar, utan fastmer så, att K och 


N:o 2. 2 


10 JARL A. WASASTIERNA, 


Cl atomerna eller jonerna utföra bestämda och av varandra oberoende svängningar kring 
bestämda jämviktslägen i ett kubiskt rymdgitter (Jfr 79 och 20). 

Medan enligt föregående de svängande jonerna t. ex. i syremolekylen kunna vara av 
grundväsentligt annat slag än de fritt rörliga jonerna i en utspädd saltlösning, måste, om 
egensvängningar hos ponderabla resonatorer i en kristall av här nämnd byggnad optiskt 
kunna konstateras, och om vidare deras svängningstal överensstämma med de'svängningstal, 
som enligt andra grunder kunna beräknas för atomerna, resonatorerna bestå av elektriskt 
laddade atomer. Därvid måste man tänka sig, att halogenatomen i t. ex. KCl svänger 
inelusive en av alkalimetallatomen, här av kaliumatomen berövad elektron (valenselek- 
tronen). Alkalimetallatomens algebraiska laddningssumma vore således lika med ett posi- 
tivt elementarkvantum. De i en kaliumkloridkristall förefintliga jonerna vore då med 
hänsyn till byggnaden av fullkomligt samma slag som jonerna i en kaliumkloridlösning. 

Svängningstalen för atomerna i en kristall av ett binärt salt kunna enkelt beräknas 
enligt Lindemanns och Korefs formler (1/5, 108). Koref (105, p. 186) har sålunda beräknat 


' 


egenfrekvenserna »' svarande mot våglängderna 4' för de nämnda salterna. Insättas de 
sålunda erhållna värdena »' i den Einstein'ska formeln för specifika värmet, erhållas för 
sistnämnda kvantitet värden, som vid alla olika temperaturer överensstämma med resul- 
taten av utförda experimentella undersökningar. Därav följer, att de beräknade egenfre- 
kvenserna »v' med säkerhet mycket nära överensstämma med atomernas eller jonernas fak- 


tiska egenfrekvenser ». 


Rubens och Hollnagel (745-149) hava emellertid för de tidigare nämnda salterna 


erhållit reststrälar i ultrarótt. För alla dessa binära salter hava erhållits två reflexions- 


maxima, av vilka genomgående det ena svarar mot den av Koref beräknade egenfrekvensen. 


för alkalimetalljonen, medan det andra svarar mot egenfrekvensen för halogenjonen. På 
grund av sakens utomordentliga vikt för den föreliggande undersökningen avtrycka vi 
följande tabell (108, p. 186); Betydelsen av A’ har tidigare klargjorts, medan 4 betecknar 


våglängden av de observerade reststrålarna. 


À À | 
| 1 
| K 79,6 4 70,3 u 
| (2 | 
u LO 55,9 62,0 | 
PUS 14, BRESCIA | 
| KE | Br 87,2 | 86,5 
| 2 I 
| KJ | K 76,4 | 
x 96,7 
| LJ 104,0 | (medeltal) 
| : f Na 43,9 46,9 
Na CNG [FESTA 53,6 
l , , 


I saltkristallerna äro således jonerna färdigbildade. 


Tom. L. 


"-"v——"— 


WWW LL du, à: 


Losningars optiska egenskaper. u 
e e 


$ 9. Atomernas byggnad. Innan vi övergå till den på dispersionsteorin baserade 
beräkningen av elektronernas antal i en atom, vilja vi med nägra ord omnämna de vikti- 
gaste resultaten av de moderna undersökningarna av atomernas byggnad. 

Lenards viktiga undersökningar 1903 rörande absorptionen av katodsträlar ledde till 
den föreställningen, att en atom besitter en positivt laddad kärna av subatomära dimen- 
sioner, vars laddning approximativt är proportionell mot atomvikten. Rutherfords, Geigers 
och Marsdens undersókningar av «-partiklarnas spridning vid genomträngandet av tunna 
metallskikt ledde till överensstämmande men precisare resultat. Under antagande att kürnan 
är punktformig, är det lätt att beräkna fórdelningen av «-partiklarna pä de olika vinklarna, 
om kärnladdningen antages bekant. De nämnda forskarnas experimentella undersókningar 
ledde till slutsatsen, att kàrnladdningen uttryckt i elektriska elementarkvanta är lika med 
elementets ordningstal eller approximativt lika med 1/, atomvikten, Då atomerna äro elekt- 
riskt neutrala, är enligt föregäende resultat antalet elektroner i en atom lika med elemen- 
tets ordningstal. Detta kan emellertid även direkt påvisas. Då primära röntgensträlar 
träffa en radiator, uppstår som känt en sekundärstrålning, med ett kontinuerligt spektrum. 
Denna strålnings relativa energi (i förhållande till primärstrålningens energi) dividerad 
med substansens täthet är en kvantitet proportionell mot antalet elektroner i massenheten 
och således även proportionell mot kvoten Z/M, där Z — antalet elektroner per atom och 
M = atomvikten. Barklas undersökningar ledde till resultatet Z/M — !/,. För element med 
högre atomvikt är visserligen absorptionen av primärstrålningen (vilken tjänar som mått 
på sekundärstrålningens energi) större, men sekundärstrålningen består därvid delvis av 
en sekundär egenstrålning. De anförda undersökningarna hava således lett till den bestämda 
slutsatsen, att en atoms kärnladdning, vilken är lika med antalet av dess elektroner, anges 
av elementets ordningstal. Moseleys lag för högfrekvensspektra utgör den slutliga bekräf- 
telsen härav. 

De radioaktiva sönderfallsserierna och speciellt bildningen och förekomsten av isotoper 
bevisa emellertid för det första, att kärnan består av elementarkärnor och kärnelektroner, 
varför med kärnladdningen bör förstås den algebraiska summan av elementarkärnornas 
och kärnelektronernas laddningar, och för det andra, att ett elements kemiska egenskaper 
bero endast av denna summas storlek och de yttre elektronernas antal och banor. 

$ 9. De perifera elektronernas antal. Valenselektronerna. Om dessa yttre elektroners 
antal och banor ger oss emellertid dispersionsteorin värdefulla upplysningar. Enligt lik- 


heten (14) är 
i TM CA» oT 
pv = NZ à "EU : / (26) 
Enär vidare 
1 N z 
a a ^ (27) 


där M — molekylarvikten och H = väteatomens massa, gäller formeln 


Te M a, — 17M as 
Den: ri ‚sa 10 E = . (28) 


SHARE mA 


N:o 2. 


12 JARL A. WASASTIERNA. 


Slutligen äro vanligtvis i serien (12) 
2 € 
ME 200 ale 29 E siis D ES RL (12) 


termerna fràn och med den fjärde av mycket liten betydelse. Vi kunna säledes uppdela 
de svängande partiklarna i tre system, nämligen de ultraróda svängningarna, motsvarande 
våglängden 4,, de ultravioletta elektronsvüngningarna med stora svüngningsradier, motsva- 
rande den jämförelsevis långa ultravioletta våglängden 4,, samt slutligen de närmast kärnan 
kretsande elektronerna med egensvängningar, motsvarande den mycket korta våglängden 4,. 
Vidare gäller enligt (13) 
2 ,9 
RE: y N'p, ex d 
= mq, e 


(137) 


och ytterligare, enligt (12) och (14), samt med infórande av de nya beteckningarna Ÿ, 
vilkas betydelse omedelbart inses, 


a —1-- S = 725% 1 SI Ÿ, ar Ÿ, iv 9, (29) 
V. Kn ^, 
och saledes 
NT tL, , 
a-11+3+7\=-3- (30) 
44M A. 
A 3 : o x Ar o 
Det är klart, att dispersionen helt och hållet domineras av termen =. Sålunda kan 
A —4 
5 
do x : : hic ; hehe 
termen _,  ôver huvud icke mera direkt konstateras i likheten (12). Endast indirekt 
Wh i 


kunna vi, som vi nedan komma att se, med stód av den ovan anförda likheten (30) sluta 
oss till dess existens. 

Vi nämna några ord om den första substans, Ca 75, som Drude (5/) med stöd av dessa 
formler undersökte. Han fann enligt formeln (28) p,— 4. Vidare 9,— 0,55 och enl. (30) 
J,— 0,5. Enligt (14) och (29) gälla likheterna 


do X. : 
DEDI S EEUU, = po: po, (31) 
1.5 
21 2E ONT 42 
do _ X ^, e + 4 vi "i 9 Pr, (32) 
Gr aed 49 N 
do v oo! 
er (37) 
A, Po 
do 


Enär vidare a, är ett litet tal i förhållande till a,, vilket framgår därav, att = 2 
3 e 


försvinner i förhållande till de tidigare termerna i serien (12), följer av (32’) att p, är vä- 
sentligt stórre än pr. Kring molekylens kärnor kretsa säledes ett stort antal elektroner 


'Tom. L. 


Lösningars optiska egenskaper. 13 
med jämförelsevis mycket korta egenperioder, medan andra elektroner, vilkas antal mot- 
svarar molekylens valenssumma, svänga med väsentligt större radier. Det sammanlagda 
antalet elektroner i molekylen känna vi, enligt vad tidigare sagts, numera med säkerhet. 

Här uppträdde första gången ett visst enkelt sammanhang mellan antalet dispersions- 
elektroner och molekylens valenssumma. Vi vända oss nu till de fysikaliskt och kemiskt 
enklaste substanserna, nämligen gaserna. Vi framställa dispersionen genom den enkla em- 
piriska Cauchy'ska formeln 


n—1=el(1+ 5) (21 a) 


Jämföra vi denna formel med likheten (21), finna vi 


4 
2 — d Y = = ! . 
AI VI Te M] PERS 
Men enligt (19) och (20) är dà 

A Dico! nus € 


= er (33) 
[24 NYE 3 

N'».e. 
och, om antalet dispersionselektroner faktiskt överensstämmer med molekylens valens- 
summa v, saledes . 


7 


2 mc Acc - 
: LH (34) 


ee 710,10. 1,77. 10° 
m 


AS 


p. 


Enligt en sammanställning hos Loria 1 (125) är i själva verket för H, (v = 2), O, (v = 4), 
N, w=6), 00, w=8), SO (v—8) H,S (v — 6) och CO (v — 4) produkten v A konstant 
och lika med i medeltal 10,5- 10 *, om vi undantaga tvà starkt avvikande värden fór 
CO, (Gruschke och Stuckert). Enligt mätningar av Koch och Rentschler erhålles emeller- 
tid även för CO, samma vA värde, som för de andra gaserna. Om vi sålunda bortse från 
—8,3.10 7 och (vrA),. — 10,.10 ^ bekräftas 


alltså teorin fullständigt. En möjlig förklaring av den nämnda differensen är f. 6. funnen 


den obetydliga skillnaden mellan (v 4) 


teor. obs. 


av Sommerfeld; vi äterkomma senare till denna fräga. 

Vi hava ovan angivit tvà olika sätt, pà vilka antalet dispersionselektroner i en mole- 
kyl kan beräknas med stód av konstanterna i enkla empiriska dispersionsformler. Vi 
skola i det följande se, huru berükningen av p, direkt kan anknytas till resultaten av tva 


skilda mätningar av molekylarrefraktionen BR för monokromatiska ljusstrålar av vägläng- 


: À 1 | . E 
derna 4’ och 4”. I det vi beteckna g, (n) = 3 (n? — 1) och 9, (4) = T omfatta vi i det 


20 
n? + 2 
följande samtidigt Drudes (q,) och Lorentz’ och Plancks teorier (g,). Vi uppdela de svün- 
gande partiklarna i tre system, nämligen de ponderabla egensväneningarna, motsvarande 


våglängden 4,, dispersionselektronernas egensvüngningar, motsvarande våglängden /,, och 


! A har hos Loria betydelsen 


ID © 
A Iu 


N:o 


n2 


14 JARL A. WASASTJERNA. 


slutligen de närmast kärnan svängande elektronernas egensvüngningar, motsvarande väg- 
längden 4,. Vi ha dä 
2 42 
Np, € A, 
D v i 
RARE PS : , (25) 


9mm, , ji Im IC 
Tc 1-(2) m, C ac 


M Np, et À 
PA d q (n) = — 


v 

M | ra 

om vi antaga, att den optiska effekten av de närmast kürnan svüngande elektronerna kan 
försummas. I det vi vidare utveckla den första termen enligt (18), och i denna serie för- 


summa termerna av högre ordning än den första, samt införa beteckningen & för den re- 
ducerade molekylarrefraktionen, finna vi 


N p, e 1 


^" Jam e (1 aX S 
E | À ) 

där k är en för substansen karakteristisk konstant, vars betydelse framgår av likheten (35). 

Således 


LÖR Er (36) 


|! Serum, ec? | v. 1 | 
EUN p EM qd AS de] 


3 9 c m, c | 1 2 1 


j 
| 1 | 
| - Np, e | s ze 


där 4’ och 4” beteckna två olika, använda våglängder. Av dessa formler följer 
, o oO 


' € "m 2012 er ch 
e ST CAT ÅA SLS f 
pel Í——: = : : (37) 
m’ Ne P UCD TLF Rae VART Så : 
4 " Ss E 


Vi införa ytterligare konstanterna À och k i formeln (37). Av likheterna (36—37) följer 


Oo Ug re 


Dr) oae TE ENT) 
och sålunda, i det vi fórsumma termerna av högre ordning än den första med afseende à k, 


, EU RAN M ir 5! Jr n2 3:32 00 qp jum 
p; ZUM 3 Tc 4 Bu ; Ji D | i R ar = EM a: E | ; (38) 
ME METE NAME EN RTE] RR (R" —R) | 


För att kunna bestämma p, ur två mätningar, måste vi teoretiskt kunna beräkna Kk. En- 
ligt definitionen är 
FAR 
Np. 
9 s m,c 


Egentligen utgör självfallet ^ en summa 
: N y 5,6, 
m— cu © ——— 
3m c m; 


Tom, L. 


Lösningars optiska egenskaper. 15 


men Drude har visat, att man erhåller ett praktiskt taget riktigt värde för k, om man 
antar, att molekylens hela massa svänger med en laddning lika med molekylens valens- 
summa v. Detta antagande innebär 


| Pre 1, 
RAS EN ENT, 
| m, = M. 
Således 
Ne? ov? 
SE : 39 
. : 3-02 M (2 


Drude har ytterligare visat, att om de p dispersionselektronerna icke alla ha samma 
svängningstal, och om sålunda p — p, + pat: +P, där p, elektroner ha egenfrekvensen 
X, p. elektroner egenfrekvensen », o. s. v, varvid 7, < vv, <+:::<v,, gäller olikheten 
Pi Po <P- 

Vi hava, enligt den vid härledningen av likheterna (35—39) givna definitionen av 


; ; à : à M 
funktionen y (n), betecknat molekylarrefraktionen enligt Drudes teori med 34 (n? — 1) 
^ : 5 AXES M n—1 3. NUS 3 
oeh enligt Lorentz' oeh Planeks teori med S — ; detta fór att i samma formler 


d m+2 | 
kunna omfatta bäda teorierna. Medan den sistnämnda funktionen utgór den Lorentz'ska 
expressionen för molekylarrefraktionen och i denna avhandling längre fram betecknas Is, 


menas med molekylarrefraktionen enligt Drude alltid i litteraturen, så och längre fram i 


denna avhandling, funktionen (n? — 1), vilken vi beteckna R,. Vi erhålla sålunda lik- 


2 
d 
heterna : 
PRO Lt on qucd 


Do — = - 2 = =— 1 + kn Rs, Ro, uU AA |, (40) 
1 n R', AF. R' | d ( 1 


Mae AA | 
22 ; 
e Sac A" — 92 R'3 R"3 | 


Fo Sm org ee IE SR (ea N | 41 
m Ne AUGE R'4 — R'y | | DC, 3» #9 T , (41) 
där betydelsen av funktionen w omedelbart inses vid jämförelse med formeln (38). Vi 


, 


annotera i korthet de resultat, till vilka Drude kommit vid beräkningen av p, "E Han 
k n. 


p. 


finner, att detta uttryck fór en organisk molekyl, likasom molekylarrefraktionen, additivt 
kan beräknas ur motsvarande uttryck för de i molekylen ingäende atomerna, under för- 
utsüttning, att vissa konstitutiva inflytanden observeras. Genom dubbelbindning gär an- 


talet dispersionselektroner nedåt; han finner sålunda för benzolringen 


£s 4 : 
recs — AIS 2. 


Det ligger nära till hands att antaga, att vid en dubbelbindning mellan två kolatomer i var- 
dera atomen en elektron övergått från en yttre bana till en inre, och atomerna sålunda vore 
labilt trevürda, Denna slutsats kan emellertid icke utsträckas till en sådan dubbelbindning 
som 0 — 0, vilket framgår av vad tidigare sagts om antalet dispersionselektroner i O; mole- 


kylen. Ieke heller kan man a priori antaga, att den nämnda hypotesen äger sin riktighet 


N:o 2: - 


16 JARL A. WASASTIERNA. 


: Y: Y dine E um AU E 
för dubbelbindningen > C — O. Vi anföra följande värden för p, : — -10 , vilka enligt 
D 


Drude gälla för alifatiska föreningar: H — 15; C — 35; OH = 45; CO = 45; eter — O = 2; 


O i fettsyrorna och fettsyreestrarna = 44; Cl — 6,2 Värdet för kombinationen 00-0 är 


mycket säkert fastställt, enär detsamma beräknats ur ett stort antal observationer rórande 
fettsyror och estrar. Uppdelningen av CO-O i CO och O är däremot gjord med stöd av 
mätningsresultaten för ett fåtal ketoner och aldehyder, ur vilka bestämts CO. Vi vilja 
verkställa denna uppdelning på ett annat sätt. Enligt Drude är CO-O — 9,5. À andra 
sidan är O i hydroxylgruppen — 3,, varav följer CO — 6,1 Jämför man denna nya upp- 
delning med de experimentella resultaten, finner man, att den i själva verket på intet sätt 
står i strid med desamma. Den är nödvändig på grund av den rådande överensstämmel- 
sen mellan molekylarrefraktionen och molekylardispersionen för hydroxylen i fettsyrorna 
och hydroxylen i alkoholerna, vilken överensstämmelse är oförenlig med uppfattnings- 
sättet att karboxylens hydroxylsyre skulle äga 4 och alkoholernas hydroxylsyre 2 dis- 


, 
persionselektroner, vilket vore en fóljd av Drudes p = värden. Vi erhälla sà för alifatiska 
, 


fóreningar fóljande tabell fór p, 
m 


Hr; 
(CREST 
(GEES NE 
OL — 6,2 


För p, erhållas för de olika atomerna således värden, vilka äro lika med eller mindre än 
den av elementets ställning i det periodiska systemet enligt Abegg angivna normalvalen- 
sen. Undantag härifrån utgöra halogenerna. Då en metallsaltmolekyl sönderfallit i joner, 
är metallatomen berövad ett antal elektriska elementarkvanta lika med metallens valenstal 
(enligt Faradays lag). Det ligger då nära till hands att antaga, att de från metallatomerna 
lätt utträdande elektronerna, (valenselektronerna), vilka måste antagas speciellt svagt bundna 
vid kärnan, svänga med-de längsta radierna. Dessa elektroner komma då att vara iden- 
tiska med dispersionselektronerna. Då emellertid ett element i många fall kan i olika 
föreningar uppträda med olika valens, är det klart, att endera valenselektronernas radier 
kunna undergå förändringar, eller att dessa radier för de olika valenselektronerna i en 
atom a priori äro olika stora. I vartdera fallet följer för p, för flertalet atomer ett lägre 
värde än maximalvalensen. Så snart vi emellertid betrakta elektriciteten ur en unitarisk 
ståndpunkt, vilket innebär, att vi med en positiv laddning mena ett minus av elektroner, 
inses att samma resonemang icke kan tillämpas på de negativa elementen. I själva verket 
har ju även Cl ett ganska stort antal dispersionselektroner. Drude preciserar sina resultat 
som följer: Abeggs positiva valenstal för ett element, både som normalvalens och som 
kontravalens, betecknar antalet vid atomen löst bundna elektroner. Abeggs negativa va- 
lenstal v' betecknar atomens förmåga att beröva andra atomer v' elektroner. Drude er- 
håller sålunda en visserligen ännu svävande, men dock löftesrik tolkning av den fruktbara 
Abegg'ska valensteorin. 


'Tom.-L. 


Lösningars optiska egenskaper. 17 
c e^ 


Det förefaller vid ett ytligt betraktande, som om de resultat beträffande p, för lösta 
salter, till vilka Chéneveau i sin stora och förtjänstfulla avhandling (4/, jfr 40) kommit, 
skulle stä i strid med de relaterade Drude'ska slutsatserna. Chéneveau erhäller nämligen 
för salterna p, värden, vilka rätt väl üverensstämma med summan av atomernas normal- 
valenser och icke med summan av deras positiva valenser. Sålunda för KC] värdet 2, för 
BaCl, värdet 4, för A/Cl, ungefär värdet 6 o.s.v. Vi påpeka genast, att för dissocierade 
salter k — 0 i likheterna (40—41). Chéneveaus avvikande resultat bero därpå, att han 
berüknat p, enligt likheten (40) (Chéneveaus likhet skiljer sig endast formellt frán (40), 
men i denna formel insatt de Lorentz’ska konstanterna ZA. Under sådana förhållanden 
erhäller han självfallet för làga p,-vürden. Vid jämfôrelse av likheten (40) med likhe- 
ten (41) finner man omedelbart, att de riktiga p,-vürdena äro lika med 3 ganger Chéne- 
veaus värden. Man erhåller så för KC! ungefär värdet 6, für Ba Cl, ungefär 12 och för 
AICl ungefär 18 i full överensstämmelse med Drudes teori. 

Till den Drude'ska hypotesen beträffande de yttre elektronernas antal samt till en kla- 
rare bild av den negativa valensens betydelse kan man komma genom ett alldeles allmánt 
resonemang (109). Vi hava redan tidigare påpekat, att de kemiska egenskaperna (speciellt 
en så allmän egenskap som valensen) med säkerhet äro att betrakta som funktioner av de 
yttersta elektronernas antal och banor. Detta uppfattningssätt bekräftas till fullo av den 
monotona förändringen av X-frekvensen, betraktad som funktion av elementets ordnings- 
tal. Av den Moseley'ska lagen framgår nämligen, att den periodicitet i elektronanordnin- 
gen i atomerna, vilken allena kan förklara det Mendelejeff'ska systemet, icke utsträckes 
till anordningen av de inre elektronerna, rörande vilka man måste antaga, att deras ban- 
radier och svängningstal endast bero av kärnladdningens storlek. 

De kemiska egenskapernas periodicitet utvisar som sagt emellertid, att konfiguratio- 
nen av de yttre elektronerna icke kontinuerligt förändras, då vi betrakta elementen i den 
av deras ordningstal angivna följden. Tvärtom måste man antaga, att en analog konfigu- 
ration periodiskt återkommer. Fästa vi för enkelhetens skull endast avseende vid de små 
perioderna, bör, efter det 8 elektroner tillkommit, i huvudsak samma konfiguration åter- 
upprepas. Detta kunna vi enklast förklara genom att anordna de yttre elektronerna på kon- 
centriska ringar eller sferer, vilka på grund av tills vidare okända stabilitetsprinciper icke 
kunna innehålla flere än 8 elektroner. Då en ring (eller sfer) är fullsatt, påbörjas en ny, 
yttre ring. | 

Den lätthet, med vilken en alkalimetallatom förlorar en elektron, icke blott vid joni- 
sationen i lösning, utan även t.ex. vid belysning av metallen med polariserat ultraviolett 
ljus av bestämd frekvens (den s.k. selektiva fotoelektriska effekten, till vilken vi senare 
skola återkomma) låter oss antaga, att för alkalimetallerna den på elektronerna verkande 
attraktionen mot kärnan når sitt minsta värde. Vi måste med andra ord antaga, att al- 
kalimetallatomen besitter endast en yttre elektron, vilken då står under inflytande av den 
effektiva kärnladdningen +1, varvid vi ha att uppfatta saken så, att resten av den totala 
kürnladdningen -- () avskärmas av de (()— 1) inre elektronerna. Gå vi 8 steg vidare, ha 
vi att vänta oss en speciellt stabil anordning, och vi finna här i själva verket ädelgaserna. 
Halogenatomerna ha vi att anse såsom atomer, vilka på sätt och vis sakna en elektron i 
N:o 2. . Pal 


2 
o 


18 JARL A. WASASTJERNA. 


den yttersta ringen; vi känna dem i verkligheten sasom element, vilka med lätthet förmä 
upptaga en elektron. Konfigurationen hos ädelgaserna med 8 yttre elektroner är säledes 
att betrakta som ett slags stabilaste prototyp, vilken de närliggande elementen genom av- 
givande respektive upptagande av elektroner sträva att bilda. I det vi konsekvent ut- 
sträcka resonemanget till de övriga familjerna i det periodiska systemet, erhålla vi full- 
' komligt samma uppfattning som Drude rörande den reella innebörden av Abeggs positiva 
valens, men betydelsen av den negativa valensen har vunnit i klarhet. Jonernas egen- 
skaper i en lösning belysa för övrigt teorins användbarhet: Att jonerna sakna atomernas 
karakteristiska aktiva egenskaper beror därpå, att jonerna, i motsats till atomerna, besitta 
ädelgasernas stabila konfiguration. 

Ovan relaterade, av Kossel uppställda hypotes karakteriseras av antagandet, att alla 
de yttre elektronerna i en atom befinna sig på samma ring eller sfer. Detta antagande 
kan icke, och behöver icke heller för tankegångens giltighet i övrigt, upprätthållas. I själva 


verket måste vi endast antaga, att atomens perifera elektroner, vilka kunna nå maximi-, 


antalet 8, alla tillhöra samma, på något bestämt sätt definierade elektronsystem, vilket 
system närmare bestämmes av nummern för den horisontalrad i det periodiska systemet, 
i vilken elementet befinner sig. På denna fråga kunna vi dock först något längre fram 
närmare inga. I 
Överensstämmelsen mellan antalet perifera elektroner och Abeggs positiva valens 
leder till uppfattningen, att atomernas bindning i molekylen förmedlas av dispersions- 
elektronerna. Dä uppställer sig till besvarande frägan: gives det en sàdan gruppering 
av kärnorna och de närmast kärnorna svängande elektronerna, betraktade som positiva 
system, à ena sidan, samt dispersionselektronerna à andra sidan, genom vilken gruppering 
de ifrägavarande laddningarna skulle befinna sig i ett dynamiskt jämviktstillständ. Vi ha 
därvid att särskilja tvenne principiellt olika slag av molekyler, nämligen de homôopolära 
och de heteropolüra (709). Bohrs (15) molekylmodell utgör ett möjligt svar på frågan för 
de homöopolära och Kossels (709) modell för de heteropolära molekylernas vidkommande. 
Av de relaterade undersökningarna rörande gaserna framgår, att 7, molekylen har 2, O, 
molekylen 4 och N, molekylen 6 yttre valenselektroner. Enligt den tidigare framförda 
teorin har emellertid O0, molekylen 12 och N, molekylen 10 valenselektroner. Vi måste 
således antaga, att i O-atomen 4 valenselektroner svänga i en inre och 2 i en yttre ring, 
medan i N-atomen 2 svünga i en inre och 3 i en yttre ring. Redan härigenom se vi, att 
den Kossel’ska atombilden icke i detalj kan upprätthällas. Enligt Bohr (15) och Sommer- 
feld (265) är nu en homóopolür molekyl, såsom .H,, N, och Os, uppbyggd så, att de yttre 
valenselektronerna svänga i ett plan mellan kärnorna och beläget vinkelrätt mot dessas 
sammanbindningslinje, varigenom det efterstrüvade dynamiska jämviktstillständet uppkom- 
mer, Därav följer, att båda atomerna i en tväatomig homöopolär molekyl avstått samma 
antal elektroner till det gemensamma mellan kärnorna belägna elektronplanet. Debye (47) 
har visat, att vätets dispersion står i överensstämmelse med den Bohr’ska modellen. De 
heteropolära molekylerna såsom HCl och CaO anser Kossel uppbyggda så, att vardera 
atomen avstått sina valenselektroner till en gemensam, av 8 elektroner bestående ring, 
eller allmännare till ett gemensamt, mellan kärnorna beläget elektronplan, innehållande 8 


Tom. L. 


Lösningars opliska egenskaper. 19 


elektroner. Denna anordninp medfór en assymmetri i laddningarnas fördelning, vilken 
assymmetri möjliggör, såsom för HCl, ett optiskt konstaterande av kärnsvängningarna. 
Däremot äro absorptionsbanden för O, omöjliga att förklara enligt den Bohr’ska modellen, 
vilken därför åtminstone i detta fall ännu måste förändras. 

I varje fall inse vi, och detta följer redan av vår uppfattning om dispersionselek- 
tronernas betydelse. för molekylens sammanhållning, oberoende av huru vi i detalj tänka 
oss molekylen byggd, att elektronbindningen icke är lika stark i alla riktningar, att med 
«andra ord elektronbindningen är anisotrop. På grund av ringanordningens cyklicitet äro 
visserligen de olika elektronernas motsvarande egenfrekvenser lika, men fór en bestämd 
elektron äro de axiala, radiala och azimutala egenfrekvenserna olika. Elektronbindningens 
isotropi är emellertid ett i dispersionsteorin ingående antagande. Sommerfeld (166) har 
visat, att man genom att til grund fór härledningen av dispersionsformeln lägga den 
Bohr'ska modellen, pà: grund av elektronbindningens anisotropi, i stället für likheten (33) 


erhäller likheten (33 a) ; 
B. 2æm c DD 


D Nye , (33 a) 

där ® är en funktion av molekylens byggnad och i detta fall kan uttryckas som en funk- 
3 : À UU Ran, 

tion av antalet elektroner i den sammanhällande ringen. Enär ds = 0 ungefär för p = 2, 


kan ® inom det oss intresserande området betraktas som approximativt konstant. För ® 
finner Sommerfeld värdet 1,5. Likheten 34 övergår dà i likheten 


LI 
9 sm c 


ety de 


02408407. (34 a) 


vilket värde nästan precis motsvarar det experimentella värdet v A = 10,» . 7 Den tidigare 
funna differensen mellan teori och verklighet är därmed försvunnen. 

$ 10. Valenselektronernas antal i olika atomer beräknade med stöd av Eisenlohrs konstanter 
för atomrefraktionerna och atomdispersionerna. Det är lätt, att finna en ny och i flere av- 
seenden intressevückande metod att beräkna antalet dispersionselektroner i en atom. Detta 
antal kan nämligen beräknas med kännedom endast om de Eisenlohr'ska konstanterna för 
atomrefraktionen för två olika strålar (57, jfr. 58). Egendomligt nog har, så vitt mig är 
bekant, en sådan beräkning icke tidigare utförts. Vi jämföra först formlerna (33) och 
(33 a) med formeln (41). I likheterna (33) och (33a) ingår implicit antagandet k— 0. 
För att göra oss oberoende av det i den klassiska dispersionsteorin ingående antagandet, 
att elektronbindningen är isotrop, multiplicera vi högra membrum i likheten (41) med 
den tills vidare okända faktorn c. Enligt Cauchys formel hava vi 


iro etr auta 
n—1 (14) 


\ 


och säledes för en gas (n approximativt = 1) och om vi operera med de bäda strälarna 


Heroch H, 
Ji; RE, i dar) (; 1 
(0 RUE PRIS ARR EE rs ) 


N:o 2. k ‚2 ner C. CY 


| « d 
LIBRARY), 


"E : 


20 JARL) À. WASASTIERNA. 
: a i : 1 D 7, M 
och enligt (33 a) och i det vi observera att N — À ] 
[i 
> „2 -2 
RS ET mags À — A 
- — 5 :0- ^ A 
Torch, Npe dA 
4 
medan vi enligt (41) hava 
5 SOS 
Re o 3mm A cA 
VUE E Vos MESS 
NW „2 
Ro, Npe A. 
oeh alltsà 
gi D) 
Vi infóra beteckningarna 
€ 2 
D TAN e o C" 
CIR Ee 
Ne 
samt 
PA) p 22 
We — AN DEA 
1/2 5 BE Du 
25312) 9 5t T 
d ns FA 
id » 


(42) 


På grund av molekylarrefraktionens utpräglade additivitet, kunna vi antaga (jfr. formeln 36 
m e , = 


S=R.C", 
vo 


där C'"' är en konstant. Av likheterna (37—38) följer da 


N AL 


- 


Enär atomdispersionen direkt beräknats, och sälunda ür att betrakta som längt säkrare än 


differensen À, — R,, införa vi atomdispersionen i formeln, samt beteckna denna Ó,,, me- 


dan vi, ytterligare fórenklande, ersätta produkten A, i£, med Ir, där A, betecknar atom- 


refraktionen för Na-jus. Vi erhålla så för väte, vid användande av den Lorentz'ska for- 


meln och beaktande, att väteatomen endast besitter en elektron, likheten 


€ 
„2 


"n Wal 17 
1 = 6° 00, - -—— 09, 
da 
4 
där 6, likasom i följande formler betecknar faktorn 6 för väte. 
recur de 1 M C " 


n Op Op 


För en atom av ett annat element fóljer da 


p „2 

p G E, " 3 h D 
+ — d c . n = Dp {| + €. 

Oo (6% u 054 


(13) 


Av (43) följer 


(4) 


(45) 


Vi kunna vidare, stödande oss pa erfarenheten rörande gaserna, samt även beaktande re- 


sultatet av Sommerfelds deduktion, antaga c — 6, eller y = 


detta antagande är làngt allmännare än den klassiska 


o=0,—=1. Vi erhålla så likheten 
BR, 
Y D 
= x 
: die 


4 


Det är att observera, att 


dispersionsteorins antagande 


(46) 


Tom. L. 


Lüsningars optiska egenskaper. 21 
S S 


Vi vilja särskilt påpeka, att i denna formel icke ingår några som helst andra konstanter, 
än de experimentellt bestämbara atomrefraktionerna. I följande tabell anföras de enligt 
formeln (46) beräknade p värdena jämte de för beräkningen behövliga atomrefraktionerna 
och atomdispersionerna enligt Eisenlohr (57). v betecknar atomens positiva valens. Be- 
tydelsen av Z förklaras längre fram. 


; | Ul 
3 | 
A H 1,100 0,029 1,0 1,0 
E C 2418 0,056 2,5 3,0 4 
Hydroxyl O 1,525 Os | 37] 
are as 4,2 6 
Eter OÖ 1,643 0,019 Sup 
Cl 2,967 0,165 | 3,1 
| * Br 8,865 | 0,340 555,8 47 | 7 
| J 13,900 0,715 6,0 | | 


= Ås 


I det vi observera, att tidigare enligt Drude angivits Dyr 10 värdena, medan 
ovan tabellerats p, värdena, konstatera vi här en långt bättre överensstämmelse med Drudes 
 teori än vi tidigare funnit, speciellt för halogenerna, vilka i detta fall, såsom enligt teorin 
ägande det största antalet yttre elektroner, böra anses utslaggivande. Für O närma vi 
Oss här totalantalet välenselektroner. 
$ 11. Bohrs teori och därmed samananhüngande frågor. Sedan vi numera med stöd av 
dispersionsteorin erhållit en om ock vag uppfattning om atomens perifera elektroners 
antal och konfiguration, skola vi ägna några ord åt den Rutherford-Bohr'ska atommodellen, 
R À vilken huvudsakligen stóder sig pä erfarenheterna rörande de av glódande gaser utsända 
spektralserierna. 
E Vi vilja pápeka, att den av oss ovan accepterade Rutherford'ska modellen med en 
positiv kärna av ytterst ringa utsträckning redan som sådan star i strid med den klas- 
siska teorin, i det att elektronerna pà grund av sin mot kärnan riktade acceleration enligt 
. elektrodynamiken böra utsända en strålning, vilket emellertid innebure en kontinuerlig 
- fürändring av atom- och molekylbyggnaden och a priori är oförenligt med antagandet av 
karakteristiska och oföränderliga egenfrekvenser. För att undgå denna motsägelse antog 
J. J. Thomson den positiva kärnan vara av stor utsträckning — det låg nära till hands 
att antaga hela den sferiska atomvolymen positivt laddad — medan elektronerna, approxi- 
mativt punktformiga, skulle utföra sina egensvängningar inom denna positivt laddade sfer. 
De tidigare nämnda försöken rörande «-partiklarnas spridning lämna emellertid ett oemot- 


; 
E 
Es 
cA 
: 


sägligt bevis för, att «-partiklarna under sin gång genom ett metallskikt passera av posi- 
tiva kärnor alstrade kraftfült av sädan styrka, att de endast kunna tänkas alstrade av 
approximativt punktformiga kärnor. 


N:o 2. 


29 JARL A. WASASTJERNA. 


Utgäende frän den Rutherford'ska modellen, antar Bohr (15-17), att den klassiska 
dynamiken och den klassiska elektrodynamiken gäller för och endast för de stationära 
tillstånden, dock med undantag av att ingen energiutsträlning äger rum. Vidare antar 


Bohr, att endast vissa, av kvantumteorin sä bestämda elektronbanor äro mójliga, att elek- 


tronernas rotationsmoment / utgör en heltalsmultipel av , där här den Planck’ska kon- 


h 
2x 


stanten. Detta villkor har säledes formen 
Dmm 


där n är ett helt tal. Slutligen antar Bohr, att en elektron vid övergången från ett sta- 
tionärt tillstånd med energin E, till ett annat stationärt tillstånd med energin E, (E, > E;) 


emitterar en monokromatisk strälning, vars svängningstal » bestämmes av likheten 
E,— E, —hv. 


Den utomordentliga óverensstimmelsen mellan den pà dessa godtyekliga grundantaganden 
baserade Bohr'ska teorins konsekvenser och verkligheten ger vid handen, att dessa anta- 


ganden trots allt innehálla en, visserligen tills vidare obegriplig sanning, fór vilken sanning 


de dock knappast kunna betraktas som ett adekvat uttryck. 

Man frågar sig nu, huruvida över huvud den på de klassiska teorierna baserade dis- 
persionsteorin har någon reell betydelse, då uppfattningen om de inom atomerna och 
molekylerna härskande lagarna i och med ett accepterande av de Bohr'ska antagandena i 
grund förändras. Ett intressant inlägg i denna fråga har gjorts av Sommerfeld (166). 
Jag kan här endast hänvisa till Sommerfelds arbete, påpekande, att i detta fall de klas- 
siska teorierna kunna tillämpas, emedan ljussvängningen kan betraktas som en oändligt 


långsam företeelse i förhållande till elektronernas omloppshastighet. Den av ljusvågen för- 


orsakade förändringen av elektronernas svängningstal är att uppfatta som en långsam för- 
ändring av banelementen. Strålningen uppstår sålunda, i överensstämmelse med den 
Bohr'ska teorin, i samband med en förändring av elektronbanornas radier. De direkta 
motsättningarna mellan dispersionsteorin och den Bohr'ska teorin upplösa sig sålunda till 
en viss grad. Därmed är emellertid ingalunda en på den Bohr'ska teorin baserad lösning 
av dispersionsproblemet given. Samma resonemang kan för övrigt icke tillämpas på fall, 
där ljusets svängningstal närmar sig elektronernas omloppstal. Den klassiska behandlingen 
av resonansfenomenen i närheten av absorptionslinjerna har sålunda enligt Bohrs teori intet 
berättigande. 

Vi kunna tillfoga för det första, att de många påtagligt riktiga resultaten av disper- 
sionsteorin utan vidare giva vid handen, att det till grund för teorin liggande uppfattnings- 
sättet är användbart, och för det andra, att även den klassiska behandlingen av den ano- 
mala dispersionen (156, 155, 51, 52), likasom den på den klassiska elektrodynamiken vilande 


tolkningen av gasernas absorptionslinjer!), reststrälarna och den selektiva fotoelektriska 


!) Speciellt även de ekvidistanta absorptionslinjerna för HCl, beroende på molekylens av kvantum- 
teorin bestämda möjliga rotationshastigheter. 


Tom. L. 


Be ee See a en EU a a ES du m nk in un és de à à 


a a nn 


tz 


Lösningars optiska egenskaper. 
S S 


effekten leder till så oförtydbart riktiga och enligt andra teoretiska grunder numeriskt 
precis väntade resultat, att berättigandet av de klassiska teoriernas tillämpning på reso- 
nansfenomenen icke inom molekylen och knappast inom atomen kan ifrågasättas. Däremot 
må medgivas, att den klassiska teorin för atomernas vidkommande med all sannolikhet 
har karaktären av en hjälphypotes, vilken icke bör och icke kan få-utesluta den matema- 
tiska riktigheten av de Bohr'ska antagandena. 

De i den Bohr'ska teorin ingående antagandena äro emellertid av stor betydelse även 
för vår uppfattning om atomens periféra elektroner. Vi hava nämnt, att valenselektronerna 
icke alltid befinna sig på samma ring eller sfer, men samtidigt antagit, att valenselektro- 
nerna alla tillhöra samma på något bestämt sätt definierade elektronsystem. Enligt Bohrs 
teori är det nu lätt att fullt bestämt definiera ett elektronsystem, utan att därför behöva 
antaga, att alla de till systemet hörande elektronerna befinna sig på samma ring. Vi defi- 
niera valenselektronerna i en atom som alla hörande till samma kvantumtal. Därvid be- 
varas för de särskilda elektronerna inom vissa gränser möjligheten att, utan att därmed 
 Overgà till ett annat system, likväl övergå till en inre bana, beroende på att den effektiva 
kärnladdningen, på grund av minskad avskärmning, samtidigt ökas. Vid varie följande hori- 

sontalrad tillkomma de nya elektronerna ytterom de tidigare, vilka på grund av kärnladd- 
ningens successiva ökning allt mera närma sig kärnan, medan de nytillkomna elektronerna, 
som system betraktade, definieras av ett högre kvantumtal » än de inre elektronerna, 
vilket tal n åter måste antagas stå i något bestämt samband med den ifrågavarande hori- 
sontalradens nummer. 

Vi hava påpekat, att enligt de nämnda molekylarmodellerna elektronbindningen är 
anisotrop, medan dispersionsteorin förutsätter en isotrop bindning. Dispersionsteorin inne- 
håller emellertid även ett annat antagande, som, om vi acceptera dessa molekylarmodeller, 
icke kan upprätthållas. Likheten (8) vilar på antagandet, att elektronerna i en molekyl 
äro bundna endast vid sina ursprungliga atomer, och att deras svängningstal vid bildningen 
av molekylen icke undergå förändringar. Enligt de nämnda molekylmodellerna måste vi 
emellertid tillskriva varje speciell bindning mellan två atomer en viss bestämd refraktion 
och dispersion, varjämte en viss refraktion (och eventuellt även en viss dispersion) ytter- 
ligare måste tillskrivas atomens inre elektroner (jfr 145). För att en sådan uppdelning 
av refraktions och dispersionsförmågan, till vilken vi förr eller senare måste komma, skall 
kunna teoretiskt verkställas och utnyttjas, måste vi äga en bestämd uppfattning om mole- 
kylernas byggnad. 

Nu uppställer sig till besvarande frågan, huruvida de Bohr-Sommerfeld'ska och Kos- 
sel'ska modellerna kunna anses riktiga för en tvåatomig molekyl samt den därmed sam- 
manhängande frågan, huru en fleratomig molekyl är byggd. 

Enligt dispersionsteorin kan vinkelhastigheten w för dispersionselektronerna i en två- 
atomig molekyl beräknas. Resultaten bekräftas till fullo genom undersökningarna beträf- 
fande den magnetiska vridningen av ljusets polarisationsplan. Men vi kunna även beräkna 
w under antagande, att den Bohr-Nieholson'ska regeln 


ATP}, 


N:o 2. 


PEN Dr 


-— usc PP : 


24 JARL A. WASASTJERNA. 


vilken - gäller för de enskilda elektronerna i atomerna i den första horisontalraden, jämväl 
gäller för den enskilda elektronen i den för atomerna gemensamma ringen. De sålunda 
beräknade w-värdena överensstämma icke med de enligt dispersionsteorin funna värdena. 
För att en överensstämmelse skall ernås, måste det Bohr-Nicholson'ska villkoret ersättas 
med regeln 


ÄN 


2x PER 
person I 9’ 
'dür # är antalet elektroner i den sammanhållande ringen. — Den Bohr-Sommerfeld’ska 


molekylmodellen medför således nya, fullkomligt godtyckliga och obegripliga antaganden. 

Vi hava tidigare påpekat, att Bohr-modellen icke kan förklara förekomsten av ultra- 
röda absorptionsband för syre, då motsvarande band icke återfinnas hos väte och kväve. 
Vidare är syremolekylen i överensstämmelse med modellen paramagnetisk, men väte- och 
kvävemolekylerna, vilka även enligt teorin böra vara paramagnetiska, äro diamagnetiska. 
Mot molekylmodellen kunna ytterligare andra speciella invändningar göras, vid vilka vi dock 
icke här kunna uppehålla oss (jfr Sommerfeld 166 och 167, p. 533). Däremot vilja vi på- 
peka, att kristallstrukturen, om vi fasthålla vid ringanordningen, är obegriplig. Den tetraed- 
riska anordningen av atomerna i diamant och den kubiska anordningen av jonerna i alka- ' 
lihaloiderna kan icke förklaras, då valenselektronerna svänga i ett plan. ' Born (20)-har 
visat, att kompressibiliteten hos alkalihaloidkristallerna är mindre, än den Bohr'ska modellen 
gåve vid handen. Däremot erhålles ett riktigt värde för kompressibiliteten, om till grund 
för beräkningen lägges en kubisk atommodell. I varje fall måste en kubisk symmetri hos 
de olika elektronernas rotationsaxlar förutsättas. Därigenom förklaras samtidigt kristall- 
strukturen. 

I det vi försöka föreställa oss en fleratomig molekyl, såsom C H,, inse vi omedelbart, 
om vi i princip fasthålla vid den tidigare nämnda uppfattningen om molekylernas byggnad, 
att C-atomens elektroner numera svänga i fyra olika plan. Vidare bör dubbelbindningens 
inverkan på refraktionsförmågan enligt den Bohr’ska modellen vara beroende av vilka 
atomer, som äro bundna vid gruppen C — C. Ty av Drudes undersökningar följer, att vid 
en dubbelbindning mellan två kolatomer dispersionselektronernas antal, och därmed även 
kärnornas effektiva laddning förändras. Erfarenheten visar emellertid, att dubbelbindningen 
har ett alldeles konstant refraktionsvärde. 

Vi måste således konstatera, att vårt vetande om de tvåatomiga molekylernas och i 
ännu högre grad om de fleratomiga molekylernas byggnad är ytterst ofullständigt och 
osäkert. 

$ 12. Atomvolymens betydelse. En arbetshypotes. Enär föreliggande arbete har till mål 
att finna grunden till de egendomliga och hittills ofórklarade fakta, vilka framkommit vid 
undersökningarna rörande elektrolyters molekylarrefraktion i lösning, och vilka fakta måste 
antagas stå i nära samband med den i lösningen försiggående dissociationen, intresserar 
det oss speciellt att finna en metod att teoretiskt förutsäga vilken förändring en elektrolyts 
refraktionsförmåga undergår, då elektrolyten sönderfaller i joner. Av vad ovan fram- 


hållits rörande molekylmodellernas tillförlitlighet framgår, att den här behandlade disper- 


Tom, L. 


E m^ à cS STER UL b" um EL wi," + me ug 
NR. OO LE LR PR S Rr s ^ xc) ; 
^V 4 


Lüsningars optiska egenskaper. 25 


sionsteorin på vårt vetandes nuvarande utvecklingsstadium icke ger oss någon möjlighet 
att teoretiskt beräkna jonernas refraktionsfórmága. Dispersionsformeln kan emellertid 
under vissa förenklande antaganden givas en annan interpretation, varigenom vinnes en 
synnerligen intressant arbetshypotes, vilken som sådan tillfredsställer långt gående ford- 
_  ringar, och enligt vilken jonernas refraktionsförmåga i vissa enkla fall kan beräknas. Då 
P. ytterligare de med stód av denna hypotes vunna nya resultaten i stor utsträckning kunna 
b. underkastas en direkt kontroll och därvid visa sig överensstämma med fakta, hava vi rät- 
 tighet, att inom vissa gränser förlita oss på hypotesens användbarhet. 


Pad 


Vi hava tidigare (7/50) visat, att den Lorentz-Planck’ska dispersionsformeln för en 

; | atom kan skrivas 

- ECL rr DO I cM (47) 
EL d n +2 3 3 Lor 

E 

—.. dár e är dispersionselektronernas svängningsradie, under förutsättning, att de p elektro- 
E. nerna alla befinna sig pà samma avständ fràn den positiva kärnan, samt om kärnans effek- 

3 —  fiva laddning Z, med hänsyn till att icke någon fri elektrisk laddning uppträder, enkelt 
Ex antages — pe. Definiera vi atomvolymen V säsom den kring kärnan som centrum kon- 

P struerade sfer, pa vilken elektronerna befinna sig, samt införa vi beteckningen », für elek- 

E tronernas egenfrekvens och beteckningen r för frekvensen av den använda ljusstrálen, kan 


1 E likheten (47) givas formen 


E ag, (48) 
3 eq. 

E (5) 

E 


Denna formel är intresseväckande redan pa grund av sin enkelhet, men i än högre grad 


H o 


genom att densamma für ljus av oändlig våglängd övergår i likheten 


pa - - A n?—1 A s—1 


E: led gg 

Jm 

b som är identisk med den likhet, som ernäs med stód av den Clausius-Thomson'ska teorin 
E. för dielektrika. Atomvolymen har emellertid härigenom fått en bestämd och plausibel 
— tolkning. Innehåller atomen flere koncentriska elektronsystem, utvidga vi formeln (48) i 


analogi med dispersionsteorins resultat. Vi finna sälunda för en atom 


E En SEN 


— Om vi vidare antaga atomernas elektronsystem oföränderliga, följer giltigheten av de all- 
E- männa likheterna (4a—5a). 

$a Vi hava tidigare framhållit, att enligt Bohrs teori dispersionen måste förklaras bero 
E . .. pà inträdande förändringar av elektronbanornas radier, eller, annorlunda uttryckt, av atom- - 
volymen. Dessa förändringar àter bero av konstanterna V, och v, samt av variabeln ». 


-Nio 2. 4 


26 JARL A. WASASTIERNA. 


Likheten (49) kan sálunda, likasom den fórsonat den Clausius-Thomson'ska hjälphypotesen 
med dispersionsteorin, även tünkas utgóra bryggan mellan den klassiska teorin och kvan- 
tumteorin. 

Für formelns användbarhet fordras emellertid, att vi införa något bestämt antagande 
rörande elektronernas inbördes läge på den atomvolymen definierande sferens yta. En 
rymdgruppering enligt Born skulle ställa helt nya uppgifter för kvantumteorin. Vi före- 
draga därför Bohrs ringanordning. Låtom oss antaga, att formeln exakt gäller samt under- 
söka, i vilken grad den förmår sammanfatta och riktigt återgiva hithörande fakta. Vi 
observera omedelbart, att vid uträkning av atomvolymen V, den Lorentz'ska formeln åter- 
fås fullständigt oförändrad, med undantag av att p numera icke betecknar antalet disper- 
sionselektroner, utan kärnans effektiva laddning uttryckt i elementarkvanta, för vilken 
kvantitet vi infört beteckningen Z. Vi inse utan vidare, att Z<p, på grund av den 
repellerande verkan av (p—1) elektroner, varvid likhetstecknet gäller endast för p=1. 
Av ovanstående framgår sålunda, att alla dispersionsteorins tidigare framförda och kon- 
trollerade resultat förbli oförändrade, med undantag av att vid en beräkning, formellt 
överensstämmande med den klassiska dispersionsteorins beräkning av valenselektronernas 
antal, som resultat bör utkomma kärnans effektiva laddning. I det vi antaga riktigheten 
av Drudes valensteori, beräkna vi den effektiva laddningen för kärnorna i de 8 familjerna 
i det periodiska systemet. Vi antaga elektronerna symmetriskt fördelade på en storcirkel 
i sferen. Genom en enkel räkning finner man för en ring av p elektroner (15, 167) 


k=p—1 


P el 1 
SS en (50) 
k—j Sin 
p 
Enligt denna likhet erhälles följande tabell 

on = = oo ———— ———— : TRIS ——— 
p 1 2 3 1 5 6 d AI S RM 
7 1,00 1,75 2,42 3,04 3,62 Air |: 4,0 | 5,20 | 


| samband med de tidigare av oss angivna kvantiteterna p, och v (sid. 21), ha üven an- 
givits de mot v svarande teoretiska Z vürdena. Vi finna, att i denna punkt, där den klas- 
siska dispersionsteorin och vàr nya arbetshypotes leda till olika resultat, den nya formeln 
bättre än den klassiska teorin överensstämmer med Drudes hypotes. 

Formlerna (48—49) leda emellertid även till en hel serie andra slutsatser. Vi tänka 
oss en molekyl med molekylarvikten M bestä av m atomer med atomvikterna 4,... 4,. 
Molekylarvolymen beteckna vi W, atomvolymerna V, ...V,. Konstanten b i van der Waals' 


formel har som känt betydelsen (jfr härmed 55, 171) 
b —4NW. (51) 


Man finner därjämte lütt genom analytisk diskussion av van der Waals' formel likheten 


'Tom. L. 


| Således d (51—53) 


4j | försumma termen (s 
BT es Yn 


teorin är oberoende av 
x ' 


Gaser 
Syre 
_  Etylen 
.. Koldioxid 
Svaveldioxid 
Kvävoæid 


Á . dür v, är den kritiska volymen. 


y 2 


Lösningars optiska egenskaper. 


v.= 30, 


ve M. 
DER 
M 
19 NW = 7 
emellertid 
M mn —1 2 NV, 
dn+2 & ee 
vy, 


där n. betecknar brytningsexponenten vid den kritiska punkten. 


) som ár av liten storleksordning, finna 


= TM icd 
Qe A - d, m +2 


A=1 


5 "s varav, genom jämfôrelse med (54) och under antagande att W — » V,, fóljer 


n —1 | 
= OCDE == 
Ka ale 

. 


- 


Brytningsexponenten », vid den kritiska punkten kan enklast beräknas ur F,, som enligt 


temperaturen, 


y AER 


E 


Smith (164) och Prud'homme (142-143) hava för n, funnit följande värden 


ne Organiska vätskor — n, 
1,126 n. Pentan 1,125 
1,124 | — Etyleter . 1,122 
1,109 4 Smith. - Metylacetat . 1,119 Smith. 
1,128 Etylacetat 1,120 
1,110 | Etylalkohol . 1,124 
i- Amyl-alkohol . 1,24 


Beteckna vi den kritiska tätheten d,, 


27 
(52) : 
gäller likheten E 
(53) 
à 
el 
(54) 4 
T 
P 
: 
(55) 


Om vi i jämförelse med 


vi alltså 


Dp 


j;— 


(57) 


28 JARL A. \WASASTIERNA. 


Oorganiska vätskor. Organiska vätskor 


(kondenserade gaser). n, n, 
Ammoniak = 22 0. 17 10 | BENSON s c PERTE | 
JAIOT ER ee En HUONbENLO ca OP PTS) 
Jalan ee RTE a MID Klorbenzole. 2-2 Al 127 

: j t ti Prud- 
Bromväte . . "secet ul 1984 Were: Brombenzol, » west tr see, 

SET Smith. : homine. 
OU ln JOoGUOnzül- u CE . 
EH OSTONO ACT ELE EET EMT xaT Paraffiner (medeltal) . . 1,ı22 
IE E Br At Estrar (medeltal) . lan 
SUPE DU es 


Rórande detta resultat bór dock framhällas, att riktigheten av likheten (48) därmed 
endast formellt bekräftats. Däremot innebär den nàdda óverensstümmelsen icke en expe- 


rimentell bekräftelse av den teoretiskt vunna tolkningen av atomvolymens betydelse. Det 


experimentella beviset för formeln (48) är fullständigt först i och med det vi lyckas direkt 
kontrollera Överensstämmelsen mellan atomradien i Clausius-Thomsons atom och elek- 
tronbanans radie. Detta är i själva verket icke svårt. Enligt de till grund för den 
Clausius-Thomson’ska teorin för dielektrika liggande antagandena tangera i en metallisk 
ledare atomerna varandra. Är vår tolkning av atomvolymen riktig, är således i en metall 
avståndet mellan två varandra tangerande atomers kärnor” lika med 2 o, där o är elektron- 
banans radie. Detta antagande har redan tidigare försöksvis gjorts av Lindemann (119); 
dess teoretiska berättigande följer, som framhållits, av den Rutherford'ska modellen och 


dispersionsteorin. Vi antaga med Lindemann en tetraedrisk lagring av atomerna. Den 


T. à 
uppmätta atomvolymen V, = 4 har dà betydelsen 


men 


— 3x me? 9 


V Ze .9 


där 4, är den mot valenselektronernas egenfrekvens svarande våglängden, Lösas dessa 


ekvationer med avseende à 4, erhålles (jfr i detta sammanhang 120 och 54) 


1 /YT à 
C 2 / V, 
Iac c le No) — s AOL ua (58) 
( Es e € E yi) | DA ) j 
m 
eller uträknat 
7 v. 
À, = 63,9 y Z n. (58 a) 


Den selektiva fotoelektriska effekten (29-61, 159, 140, 141) gór det möjligt att direkt be- 
stämma 4, Av de experimentella undersökningarna framgår, att 49 kan beräknas enligt 
likheten 


Tom. L. 


RTT né à date dites sie à du EDET VET tanins al Goes en ot à S ÈS née ph a a IAS Alan nd SOS DD dd sé. md sn D be. 


Lösningars opliska egenskaper. 29 


| y, 
EAT 59,9 z u, (59) 


där p är antalet valenselektroner. Den selektiva fotoeffekten har observerats endast för 


alkalimetallerna samt för barium. Dä de andra metallerna alla endera ha högre valens 
—— eller mindre atomvolym, ligger för dessa den selektiva effekten så långt i ultraviolett, att 
den av tekniska grunder ieke kunnat konstateras. Enär säledes p — 1 eller p — 2, vilket 
motsvarar Z — 1 resp. = 1,5, är riktigheten av den antagna identiteten mellan atomdia- 
metern och elektronbanans diameter genom Överensstämmelsen mellan formlerna (58 a) 
och (59) experimentellt bevisad! Det är anmärkningsvärt, att Z i formeln (58 a) üverens- 
>  stämmer med metallens kemiska valens, varigenom fastsläs, att de svüngande elektronerna 
utgöras av metallens valenselektroner. 

kh $ 13. Atomvolymens och atomrefraktionens beroende av atomens elektriska laddningssumnaa. 
2 Vi skola nu góra ett försök att berükna vilken förändring av atomvolymen, en negativ 
laddning av s elementarkvanta medfór. Vi mâste antaga, att valenselektronringen därige- 
nom erhåller ett tillskott av s elektroner. I den oladdade atomen må valenselektronernas 
antal vara p. För övrigt utmärka vi alla kvantiteter, som hänföra sig till den oladdade 
atomen med index « och de, som hánfóra sig till den laddade atomen eller jonen med in- 
dex 2, Vinkelhastigheten — e och radien — e. I det vi sätta attraktionskraften mot kär- 
nan lika med elektronens massa multiplicerad med accelerationen mot centrum, erhálla vi 
den klassiska likheten 


NES (60) 
Vi hava tidigare antagit, att alla valenselektroner i en atom, oberoende av om de svänga 
En samma ring eller i olika koncentriska ringar, hóra till samma kvantumtal. Det ligger 
nära till hands, att utvidga antagandet därhän, att valenselektronerna även i jonen hóra 
till samma kvantumtal som i atomen. Matematiskt innebär detta, att elektronernas rota- 
tionsmoment förblir oförändrat. Alltså 


m 0” e) — ik 9; 0. (61) 
och enligt (60-61) (jfr t. ex. Debyes beräkning av A,-emissionen 45) 
N 0e; .Z 
= 52 
& 4 SA 
och därmed den önskade relationen mellan V, V., p och s 
Me e [/ Cp, s)P, (63) 


där, enligt likheten (50), 


' Det bör uttryckligt pápekas, att enligt ovanstäende atomvolymen otvivelaktigt är proportionell mot 
—.. 4 Jämför Sommerfeld. Atombau und Spektrallinien p. 111. 


N:o 2. 


30 JARL A. WASASTJERNA. 
wi 
1 
pi ST — 
m sin 2 
f[ 58) — NES (64) 
1 CA 1 
UAE = 
T sin 
N p +S 


Av den totala atomrefraktionen må brákdelen © vara en effekt av de inre elektronerna. 
Sàledes, enligt (49) och om vi fórsumma dispersionen, 


R=OR -—NV, 


RB; — OR. = Ny,, (65) 
varav följer, om vi införa beteckningen A,,— R;— R,, 
A; 4 = Ra (1 — O) (f3 — 1). (66) 


Fór element med làgt ordningstal och stort antal valenselektroner kan, som man lätt in- 
ser, den sammanlagda volymen © À, av de, av de inre elektronerna definierade, koncen- 


triska sfererna fórsummas. Likheten (66) övergär därmed i den enkla formeln 
A; , — Ra (fs — 1). (67) 


Slutligen kan den yttersta elektronsferens volym V, som för element med högre ordnings- 
tal självfallet icke är lika med À,:N, med lätthet beräknas, om vi känna A,,, enär denna 
differens är oberoende av de inre elektronerna. Vi finna 


Neun” (68) 


Det har visat sig, att man oberoende av syran erhäller ständigt samma värde för en 
metalls atomrefraktion, da man beräknar densamma sälunda, att man frän molekylarre- 
fraktionen för lösta organiska metallsalter subtraherar den med stöd av atomrefraktio- 


nerna för de organogena elementen beräknade refraktionen för syreresten. Det är klart, 


att den sälunda erhällna kvantiteten varken betecknar volymen av metallatomen eller 
metalljonen, enär syreresten, pà grund av att densamma uppträder som jon, genom den 
erhällna laddningen undergätt en volymförändring, som i berükningen fórsummats, Den 
nämnda erfarenheten innehäller dock ett viktigt faktum, nümligen att en karbonsyras vo- 
Iymförändring bestämmes av karboxylgruppen och är oberoende av syrans övriga atomer 
och dessas konfiguration. Vi ha sälunda rätt att anse laddningen och volymförändringen 
lokaliserad vid hydroxylsyret, vilket står i full harmoni med den på elektrokemiska grun- 
der vilande uppfattningen om laddningens läge i molekylen. 

Vi hava tidigare framhällit, att syreatomen otvivelaktigt innehäller 4 inre och 2 yttre 
valenselektroner. Den effektiva kärnladdningen utgór säledes fór de yttre elektronerna 
Z,- 1,5 och för de inre Z, = 5,044. Enär dessa elektroner alla höra till samma kvantumtal, 
gäller likheten (62) även för detta fall, om vi utbyta indices a och 7 mot 1 resp. 2. Syre- 


Tom. L. 


zz 


Hs LE gt PET EKO C. à 


* 
Lüsningars optiska egenskaper. 31 


atomen äger ytterligare tvä elektroner närmast kärnan (Heliumelektronerna), vilka vi 


emellertid kunna betrakta som optiskt inaktiva. Säledes gäller likheten 


ak: a 
re 
varav följer, att © i likheten (66) kan försummas och A,, beräknas enligt formeln (67), 


där den i funktionen / ingående variabeln p har värdet 2, och variabeln s har värdet 1. 


Likheten (64) ger oss 
f (p, s) — 12. 


Enär A, för syre i organiska föreningar har ett något varierande värde, och på grund av 
att de konstitutiva orsaker, som betinga syrets speciella värde i karboxylens hydroxyl- 
grupp, oaktat dissociationen kvarstå, bör tydligen vid beräkningen av À; för den organiska 
jonen förfaras så, att till den med stöd av de Eisenlohr'ska konstanterna beräknade re- 


fraktionen för resten adderas 
A (1,55? —1)- Ra, 


där À, utgör atomrefraktionen beräknad ur gasformigt syre. Brühl anger i sitt samman- 
ställande arbete rörande molekylarrefraktionen för gasformiga föreningar (29) HR, = 2,5, 
.med vilket värde nyare mätningar (44, 147) väl överensstämma. Vi finna således 


(a), — + 1m. (69) 


För klor åter måste, som tidigare framhållits, de 7 valenselektronerna antagas befinna sig 
på samma ring. De inre elektronerna kunna, såsom hörande till ett lägre kvantumtal, 
fórsummas. Enär således € — 0, p — 7 och s=1, finna vi - 


R,—[f(p, SP... 
ME 
BEST 
IH, har i det närmaste samma värde i organiska föreningar som för gasformigt Cl,. För 
organiska föreningar finner Eisenlohr J£, = 5, medan Brühl (25) för gasformigt Cl, 
anger /7,— 5,s. Enär det för resultatet är tämligen likgiltigt vilketdera värdet vi välja, 


lägga vi medeltalet 5,5 till grund för beräkningen. Vi finna sålunda 
(A, o), — + 2536. (70) 


Vi äro i tillfälle att pä ett utmärkt sätt próva riktigheten av likheterna (69—70) Om, 
såsom hittills gjorts, den negativa jonen av ett organiskt salt tillskrives samma refrak- 
tionsvärde, som ur atomrefraktionerna beräknas fór den oladdade syreresten, erhälles enligt 
formeln (69) för metalljonen ett värde, som är 1,76 enheter för stort. Subtraheras detta 
skenbara värde för metalljonens refraktion frän det experimentellt bestämda värdet för 
metallkloriden, erhålles för klorjonens refraktion ett värde, som är 1,56 enheter för litet 
och alltså enligt (70) ett värde, som är 0,6 enheter större än atomrefraktionen för klor. 

Enligt Le Blanc (1176) är den skenbara refraktionen för Na-jonen = 2,6, medan av 
Chéneveaus (47 p. 299) undersökningar framgår, att molekylarrefraktionen för dissocierat 


N:o 2. 


32 JARL A. WASASTIERNA. 


NaCl är = Ju. Vi finna således för klorjonen det skenbara värdet 6,5, eller med andra 
ord ett värde, som är precis 0,6 enheter större än atomrefraktionen för klor. Det bör 
påpekas, att med hänsyn till storleken av de möjliga experimentella felen, denna precisa 
överensstämmelse är att betrakta som en tillfällighet. Av vår beräkning följer dock, att 
någon nämnvärd skillnad mellan det teoretiska och det experimentella resultatet icke kan 
förefinnas. Därigenom är ett tidigare obegripligt faktum kvantitativt förklarat. 
Formlerna (69—70) leda emellertid till ytterligare och synnerligt viktiga slutsatser. 
Enär väteatomen, vars atomrefraktion är 1,00, består av en kärna, kring vilken kretsar 
endast en elektron, är således volymen och refraktionsvärdet för vätejonen lika med noll. 
Då en karbonsyra dissocieras, bör alltså enligt likheten (69) dess molekylarrefraktion 
växa med 0,66. Enär Le Blanc (716) för svaga, enkelt konstituerade karbonsyror för diffe- 


rensen J mellan Na-saltets och syrans molekylarrefraktioner finner följande värden: 


Myrsyra 1,58 | 

Attiksyra 1,60 

Glykolsyra 1,31 ( medeltal à = 1,50 
Propionsyra 1,56 


Etylidenmjölksyra 1,60 


bör således, enligt teorin, för starkare karbonsyror denna differens d med växande disso- 
ciationsgrad närma sig värdet 1,59 — 0,66 = 0,53 Le Blanc finner för den praktiskt taget 
ännu fullständigt odissocierade monoklorättiksyran d — 1,60, däremot för diklorättiksyran 
d— 1,4, för triklorüttiksyran à — 116 och för triklorsmórsyran d = 0,55. Detta Le Blanes 
resultat, vilket olika författare fåfängt sökt bortresonera, är sålunda jämväl teoretiskt 
förklarat. | 

Den molekylarrefraktion, som saltsyran uppvisar i lösning, utgör den slutliga kontrol- 


len av likheten (70). Vi beräkna teoretiskt för den dissocierade saltsyran följande värde: 


H; = 0,00 
Gr E 8,24 == (5,85 + 2,36) 


[A- + CI] = 8,3. 


Chéneveau (4/, p. 214) finner fór den mest koncentrerade av honom undersókta saltsyre- 
lösningen molekylarrefraktionen 8,23. Le Blanc (//6) har erhållit värdet 8,30 och Zeechini 
(155) värdet 8,26. Vår arbetshypotes har sålunda även i detta fall bekräftats. 

Vi vilja nu återgå till en fråga, som redan tidigare i korthet berörts. Vi hava 
nämnt, att valenselektronerna i en atom måste antagas höra till ett bestämt system, vilket 
definieras av kvantumtalet ». Vi hava även tidigare framhållit, att detta tal n på något 
bestämt sätt fastställes av nummern för den horisontalrad i det periodiska systemet, som 
elementet tillhör. Vi hava sålunda att vänta oss, att den yttersta elektronringens radie 
med växande atomvikt inom varje bestämd grupp växer enligt samma lag. 

Existensen av den ultravioletta Lyman-serien för väte bevisar, att för den första ho- 
risontalraden i det periodiska systemet n — 1. Vidare vilja vi tillskriva de båda horison- 


Tom. L. 


AEN AUREUS A MERE ON MS T Ca 


Lüsningars opliska egenskaper. 33 
S S 


talraderna i en stor period samma kvantumtal I de stora perioderna existera nämligen 
i den fórsta radens 8:de familj element, vilka kunna uppvisa valensen 8, medan den sta- 
bila slutformen med valensen 0 uppträder först i andra radens 8:de familj, varigenom 
riktigheten av det ovan gjorda antagandet bekräftas. Dé tvà smä perioderna, bórjande 
med Zi oeh Na, vilja vi jämväl fór symmetrins skull tillskriva samma kvantumtal, 2. 

I själva verket har Cuthbertson?! funnit, att atomrefraktionen för gaserna (vilken en- 
ligt teorin approximativt betecknar atomvolymen) i V, VI, VII och VIII familjerna inom 
en bestimd grupp med växande atomvikt växer enliet samma bestámda, genom hela tal 
angivbara lag. Vi utvälja VII och VIII familjerna som exempel. »N:o» betecknar radens 
nummer, ? kvautumtalet och a en för familjen och gruppen karakteristisk enhet, lika med 
volymen av den av kvantumtalet x» — 1 definierade sferen. 


(ENSO VIL VIII n' ENV:aj, 
1 — He — ag 1 1 
l= — ne E E Sana - = —— —— = 
EMS UU; ESI WEM IU MER rr MEMO 2! 
3| Ol=38 ar A=8a, | 2 2: 
Be 
| 3 | 3? 
A 


INN NE | | 


ks aset pena INS RE 
NEN | 


-1 
e 
| 
ND 
(=) 
a 
1 


i 


Däremot finna vi icke på detta sätt något enkelt sammanhang mellan atomvolymens 
storlek och kvantumtalet. Det är utan vidare klart, att för atomer med högre ordnings- 
tal À > NV, enär kvantiteten À utgör summan av alla de koncentriska sferer, som de- 
finieras av de olika elektronbanorna. Nu uppställer sig till besvarande frågan, om vi 
kunna beräkna volymen NV av den yttersta sferen ur experimentellt bestämbara data. 
Enligt formeln (68) är detta möjligt för halogenerna. Vi hava tidigare beräknat och ex- 
perimentellt lyckats kontrollera likheten 


(A e = + 2,6. (70) 
Emellertid finner Le Blanc (1/6) 
[X + Br] — [K + Cl] = 3,5 [K +J']—- [K+ CU] « 10,00 
[Rb + Br'] — [RD + CU] = 3,55 INA, + J] — [NH, + CN] = 10,0 
(Br — Cr) — 3,30 TEN — 10,015. 


Härav följer: 
(A, Are = (CI = Br) + 236 + 3,9; (A, a)» = (Cl = J) + 2,36 + 10,02. 


! Cuthbertsons resultat äro i korthet refererade hos Loria (128, p. 75). 


N:o 2. 5 


RE AE ^ 


34 JARL A. WASASTJERNA. 


Enligt (70) följer vidare, dà (0/ — Br) och (CI —) beräknas enligt Eisenlohr (57) 


7 A. TV AC 
E ar ne pal Lg oT 
Br J ; 


(A, 2m Haut 


d 


r 


: à ANB n 2 n n : : 
Med hänsyn till att I] hür berüknas säsom kvoten av tvà smä tal, av vilka speeiellt 
7 


täljaren utgör den algebraiska summan av relativt stora och osäkra tal med motsatta 
tecken, överensstämma de erhållna resultaten fullt tillfredsställande med antagandet 


| — 3° och | — 4? 
Ar |Br An ]J 


Härigenom erhälles, som av den tidigare anförda tabellen framgär, ett tydligt samman- 
hang mellan kvantumtalet n och den av valenselektronerna definierade sferens relativa 


velat underläta att omnämna detsamma, enär Cuthbertsons bekanta regel därigenom erhäller 
en ny belysning, och användbarheten av vär arbetshypotes samtidigt ädagalägges. 

Vi vilja slutligen uttryckligt pàpeka, att vàr arbetshypotes pà intet sätt har karak- 
türen av en teori, som skulle vilja góra anspràk pä att exakt motsvara verkligheten. Detta 
framgär redan därav, att den försummar att beakta den roll, valenselektronerna utan tvivel 
spela för molekylens sammanhällning. Pä grund dárav betraktas även enligt denna arbets- 
hypotes molekylarrefraktionen som en rent additiv egenskap, medan speciellt Brühl (28) 
och C. och M. Cuthbertson (43, 45) ha visat, att atombindningen i molekylen förändrar 
refraktionsfórmágan. Fördelarna av en sådan arbetshypotes, betraktad i rätt ljus och icke 
säsom exakt representerande verkliga sakförhällandet äro dock pätagliga. 

Innan vi avsluta detta kapitel, vilja vi ännu framhålla, att ©. Cuthbertson (42), med 
stód av experimentella undersókningar, för ädelgaserna lyckats pávisa vissa enkla rela- 


tioner mellan antalet dispersionselektroner p per atom och Sutherlands temperaturkoeffi- 


cient C för den inre friktionen samt mellan p och radien o av atomens verkningssfer. 


Tom. L. 


i 
4 


Tus 


Resultaten av tidigare experimentella undersókningar. 


$ 1. Den specifika vefraktionsfórmágans analytiska definition. Stódande sig pa Newtons 
emissionsteori visade Laplace (114), att expressionen (#? —1):4 bör vara oberoende av tem- 
peratur och tryck, och att säledes, enligt den av oss införda beteekningen, likheten (1a) 
satisfieras för q(»)-— n?—1.- Biot och Arago (12) påvisade den approximativa riktigheten 
av denna likhet fór gaser, samt funno samtidigt fór gasblandningar rent experimentellt 
_ den efter dem benämnda lagen om den specifika refraktionsförmägans additiva karaktär. 
Medan forskningen pà detta omräde! under tiden 1806—1850 i huvudsak icke ledde till 
nâgra som helst nya resultat, utfórdes mellan 1850 oeh 1870 ett stort antal undersókningar 
rórande vätskor och lósningar, delvis i avseende att verificera de bäda ovannämnda lagarna 
även för sistnämnda slag av substanser (72—76, 78-—79, 111—112, 151, 155—160, 152). Därvid 
konstaterades avvikelser, vilka icke helt kunde rubriceras som experimentfel, oaktat appa- 
raturen enligt moderna föreställningar var mycket primitiv. Schrauf fóreslog därför ersät- 


k 2 —1 : 
 tandet av » i Newton-Laplace's formel, —T — konstant, med kvantiteten À i Cauchys 


formel 


Icke heller därigenom vanns emellertid avsevärt bättre resultat. En annan väg inslogs 
av Gladstone och Dale (73). De definierade q(n)-—»- 1. Därigenom erhölls en märkbart 
bättre överensstämmelse med verkligheten än enligt Newton-Laplace’s formel, som under 
tiden även fórlorat sin teoretiska betydelse genom undulationsteorins seger, och av ovan 
antydda tvà orsaker rätt snart kom ur bruk. Den har fórst pà senaste tid genom Drudes 
dispersionsteori ätervunnit en viss betydelse. Gladstone själv ersatte senare fórsóksvis i 
formeln (n—1):d m med A i Cauchys formel, och såväl Wüllner (182) som Borner (22 
och Damien (46) ansägo därmed en bättre överensstämmelse ernäs, men redan Rühlmann 


! Den äldre litteraturen finnes till stor del omnämnd i två arbeten av Schrauf (155) och Gladstone (74) 


36 JaRL A. WASASTJERNA. 


(151) hade påpekat olämpligheten och onödieheten av ett sådant förfaringssätt, dà likväl 
endast en approximativ üverensstämmelse uppnâddes. 

Genom nämnda undersókningar, av vilka Gladstones och Landolts äro mest anmärk- 
ningsvärda, men i än högre grad genom Gladstones (77, 50, S1), Brühls (23-33) och Kanon- 
nikoffs (95-99) senare arbeten, för att blott nümna de viktigaste, framgick, att Biots och 
Aragos lag även kunde utsträckas till kemiska föreningar, eller att med andra ord mole- 
kylarrefraktionen additivt kunde beräknas ur atomrefraktionerna. Brühls intill vära dagar 
sig sträckande undersökningar rörande organiska substanser utgöra den klassiska grund- 
stommen i den utomordentligt rika forskningen inom den organiska kemin på detta spektro- 
kemiska gebit. Det må framhållas, att Brühls ensidigt starka betoning av ringbildningens 
inaktivitet med hänsyn till refraktions- och dispersionsförmågan ledde till en viss överskatt- 
ning av den spektrokemiska metodens användbarhet för konstitutionsbestämningar, varigenom 
den utomordentligt snabba utvecklingen på detta speciella organiska område får sin för- 
klaring. Senare undersökningar (3) hava givit vid handen, att omättade ringar och mättade 
ringar, i vilka spänning förekommer, utöva ett icke alldeles obetydligt inflytande på förenin- 
garnas optiska egenskaper. Observerande bestämda konstitutiva inflytanden, till en början 
endast av dubbelbindningar och tredubbelbindningar, senare även konjugation, anhopning 
av radikaler o. s. v, kunde man snart med rätt stor noggrannhet ur atomrefraktionerna och 
dispersionerna teoretiskt beräkna molekylarrefraktionen och molekylardispersionen för en 
given substans. Den åsikten befäste sig allt mera, att man, om man blott finge reda på 


det riktiga uttrycket för den specifika refraktionsförmågan, med observerande av bestämda 


konstitutiva inflytanden, utomordentligt exakt skulle kunna beräkna molekylarrefraktionen. 


för varje given förening. Sålunda säger redan Rühlmann: »Jag anser det överflödigt, att 


försöka införa någon ny relation mellan ljusets fortplantningshastighet och kroppens täthet, - 


enär de matematiska undersökningarna säkert snart skola giva den önskade upplysningen, 
varefter blott en jämförelse mellan teori och experiment återstår.» 

Såsom tidigare nämnts hade Lorentz och Lorenz 1880 teoretiskt för g(n) deducerat 
uttrycket . 


p? — 
p (n) — m 


Denna likhet adopterades smäningom av kemisterna och har, som av Lorentz’ och Plancks 
senare pä elektronteorin grundade deduktion framgär, utan tvivel fördelen av att äga den 
mest precisa fysikaliska betydelsen. Gladstone-Dales formel har, trots dess enkelhet, icke 
kunnat givas nagon teoretisk interpretation, 

Icke heller Lorenz-Lorentz' formel uppfyller generellt exakt de likheter, vilka vi làtit 
definiera begreppet y(n). Men mer eller mindre omedvetet hade tron på existensen av 
denna funktion rotfäst sig, säkerligen till stor del på grund av att man successivt funnit 
uttryck för q (n), vilka allt bättre satisfierade de definierande likheterna. Det saknas sålunda 
icke i litteraturen försök att empiriskt finna ett fullt tillfredsställande analytiskt uttryck 
för denna funktion, Av dessa vilja vi omnämna Hibberts (95) formel, enligt vilken 


(n? — 1) (1 — 84d) = konstant, 
Tom. L. 


—.——-—.-——— mn m —— A MÀ M WAP UR 


MONTO NETZ tte Plane PE Léna etes 


Lüsningars optiska egenskaper. 37 


där Bg är den del av volymen, som molekylerna verkligen intaga, Johsts formel (97), enligt 
vilken 


q (n) — Yn—1, 


.Eykmans formel (62—65), enligt vilken 

n? —41 
[/ N)= — — 
[XU asp rer 
och slutligen Edwards’ formel (55), som definierar 


qg (n) = a = 


n 
Om vi emellertid på basen av elektronteorin skulle utveckla en dispersionsteori, därvid 
observerande flere rórliga elektronsystem, kunna vi a priori fórutsága, att en generell 
funktion g(n) icke kunde framkomma. ©. Wiener (151 jfr 155) har utvecklat en formel 
für dielektricitetskonstanten s, utan att i likhet med Lorentz góra nàgot antagande beträf- 
fande molekylernas form. Han finner på så sätt 


—— — = konstant, 


i vilken formel u betecknar en konstant, som beror av molekylens form. För sferiska 
molekyler antar u värdet 2, men med tilltagande avvikelse från klotformen avviker » allt- 
mera från detta värde. Enligt denna teori utgör Gladstone-Dales formel ett specialfall, lika- 
väl som Lorenz-Lorentz' formel, i det att den förstnämnda formeln för bestämda avvikelser 
från klotformen bör uppfylla villkoret (la). : 

' Både på teoretisk och experimentell väg har man numera således kommit till det 
resultatet, att en funktion q(»), som exakt skulle uppfylla de föreskrivna villkoren, icke 
existerar. Det är under sädana förhällanden självfallet fullkomligt onódigt att operera 
med alltfór mánga eller invecklade formler, och det mà päpekas, att enär egenskaperna 
av funktionen q, som man lätt inser, bestämmas genom derivatan 


ding (n). 


dn 


de olika formlernas användbarhet fullkomligt kan Overskádas, om, vid en undersökning 
som den föreliggande, alla kvantiteter uträknas enligt de tre olika formlerna 


q (n) —m?—1 (Newton-Laplace-Drude) 
pin) =n—1 (Gladstone-Dale) 
q (n) = (n? — 1) : (n? +2) (Lorenz-Lorentz-Planck) 


$ 2. Den specifika vefraktionsfürmágans konstans. I överensstämmelse med våra slut- 
pästäenden i föregäende paragraf inskränka vi oss här till att i korthet anfóra de resultat, 
till vilka den experimentella forskningen lett, beträffande de tre i nämnda paragraf sär- 


N:o 2. 


38 JARL A. WASASTJERNA. 


skilt framhällna analytiska uttryckens invariabilitet under olika förhällanden. Vi begynna 
därvid med att granska i vilken män den specifika refraktionsfórmágan hâller sig konstant 
vid varierande temperatur. 

Undersókningarna beträffande gaser hava lett till varandra delvis motsägande resultat, 
Förbigäende de äldre arbetena pà detta omráde, omnämna vi Walkers (/79) resultat beträf- 
fande luft, H,, CO, och 50,. Framställa vi brytningsexponenten som funktion av tempe- 
raturen genom likheten 

(n — 1) (1 + « f) = konstant, 


samt jämföra vi koefficienten « med utvidgningskoeffieienten a, finna vi enligt Walker för 
luft och H, «<a och för CO, och SO, @>a. Scheel (154) finner vid låga temperaturer 
(till — 190°) ävenledes avvikelser, vilka han dock anser kunna bero pä experimentfel. 
Ayres (4) har undersökt refraktionen av Æ,, Os, N, och CO, mellan temperaturerna 0? och 
— 189°, varvid han beräknat tätheterna för CO, och för N, vid — 189° enligt van der 
Waals’ formel, medan han för H, och O0, använt den enkla Boyle'ska formeln. Ayres finner, 
att Gladstones och Lorentz’ formler lika väl överensstämma med verkligheten. En mójlig- 
het att avgöra, vilken av de tre expressionerna för p(n) här är att föredraga framom de 
andra, fóreligger ieke tills vidare. 

Medan för flytande vatten formeln (n®—1):(n? + 2) avgjort bäst motsvarar de expe- 
rimentella resultaten, är förhållandet i allmänhet ett annat med flytande organiska sub- 
stanser. Sammanfattande de säkraste resultaten på detta område (Eykman (62—065), Falk 
c genomgäende har en negativ och formeln — 


i allmänhet en positiv temperaturkoefficient, medan temperaturkoefficienten fór expressionen 


(69)) kunna vi säga, att formeln 


RD : js : D : R dem E 
Er för olika substanser är varierande positiv och negativ. Det är måhända skäl att 
7 


papeka, att isotropa ümnen med myeket stor inre friktion, sàsom särskilda glassorter (71), 
förhälla sig pà tills vidare fullkomligt oförklarligt sätt och här helt mäste lämnas ur räk- 
ningen. Anisotropa ämnen vilja vi, av teoretiska orsaker, som i det föregäende framhäl- 
lits, icke ägna uppmärksamhet. | 

En märkbar variation av tätheten och därmed även av q(n) med varierande tryck 
förekommer självfallet endast hos gaserna. Medan Mascart (131), Chappuis och Rivière 
(26) samt Gale (70) och Statescu (168—169) icke lyckats observera avvikelser från Glad- 
stone-Dales formel, beroende på att de arbetat vid jämförelsevis låga tryck — Mascart 
under 8, Chappuis och Rivière samt Gale under 20 och Stateseu under 2 atmosfärer, 
utförde Magri (130) 1905 en utomordentligt omsorgsfull undersökning rörande luft intill 
ett tryck av 200 atmosfärer, varvid även tätheten direkt med stor noggrannhet bestämdes. 


Därvid framgick, att den specifika refraktionsförmågan enligt formeln stiger med 
n—1 1 
n?--2 d 
Varieras temperaturen eller trycket inom sådana gränser, att den betraktade sub- 


är fullkomligt konstant. 


stigande tryck, medan 


stansen förändrar aggregationstillstånd, varigenom såväl d(/) som q (2) uppvisar en diskon- 


Tom. L. 


NIEREN! M MN 


Lösningars opliska egenskaper. 39 


tinuitet, erhälles självfallet en ypperlig kontroll av de nämnda formlernas användbarhet. 
För sädana fall har det visat sie, att Lorenz-Lorentz’ formel äger avgjort företräde framom 
de övriga. Exemplen härpå äro så klassiska och välkända, att vi icke här ha skäl att 
närmare uppehålla oss vid desamma (144). Beroende på dess teoretiskt precisa betydelse 
och på den grund, som här till sist framhållits, äger Lorenz-Lorentz' formel den ojämför- 
- ligt största betydelsen. 

$ > Molekylarrefraktionens additivitet. Beträffande molekylarrefraktionens additivitet 
vilja vi framhålla, att de vidlyftiga arbetena på den organiska kemins område synas hava 
utvisat, att Gladstone-Dales formel är känsligare än Lorenz-Lorentz' formel för konstitu- 
tiva inflytanden, varför additiviteten för den senare formeln måste betraktas såsom mera 


M sd N 2 
utpräglad. Brühl finner (25), att konstanten À — d (n—1) är allmänt användbar endast 


för mättade alifatiska föreningar. För substanser med starkare dispersion måste denna 
M n—1 
d RE 
kes till någon bestämd klass av föreningar. Därmed jämfôrliet är, att enligt Hallwachs 


formel förkastas och ersättas med formeln R = vars användbarhet icke inskrän- 


(855—855), Borgesius (15), Dijken (49) och andra de vanligtvis inträffande stegringarna av 
molekylarrefraktionen för lösta salter med växande utspädning (dessa stegringar inträffa 
först för utomordentligt starkt utspädda lösningar) enligt Lorenz-Lorentz' formel äro minst 
framträdande. Vid sistnämnda faktum bör dock icke överdriven vikt fästas, enär for- 
melns natur för dylika fall icke utövar något större inflytande på molekylarrefraktio- 
nens gång. | 

Eykman (66—05) påpekar, att molekylarrefraktionen och speciellt molekylardisper- 
sionen för en bestämd atom eller atomgrupp kan betraktas som konstant, endast så länge 
atomen eller atomgruppen i de olika föreningarna har en fullt identisk funktion. Som vi 
i slutet av föregående kapitel framhållit, kan icke heller molekylarrefraktionen för en gas 
exakt beräknas ur atomrefraktionerna, bestämda ur andra föreningar. Dessa fakta äro icke 
överraskande, och vi hava redan tidigare, i kapitel I, förklarat dem vara en nödig konse- 
kvens av valenselektronernas funktion. Att emellertid valenselektronerna icke i allt för 
hög grad vid molekylbildningen förändra sina banor framgår, utom av rent energetiska 
betraktelser, även av det faktum, att molekylarrefraktionerna för gaserna, såsom Hz, Cl, HCl 
0. $& V, dock approximativt, och i själva verket med ett förvånansvärt litet fel, kunna beräk- 
nas ur atomrefraktionerna, bestämda ur organiska föreningar. Ett noggrant studium av 
konstitutiva inflytanden på molekylarrefraktionen och dispersionen har ett synnerligt stort 
praktiskt värde, men det må dock uttryckligt påpekas, att molekylarrefraktionen, så länge 
vi undersöka rena flytande eller gasformiga substanser, som icke äro associerade eller 
dissocierade, är att betrakta som en additiv egenskap. 

$ 4. Biots och Aragos lag. För blandningar av gaser: gäller Biots och Aragos lag 
med stor precision. För gasformiga ämnen, där x» approximativt är lika med 1, är det 
självklart, att formelns natur endast mycket obetydligt inverkar på resultaten. För gaser 
gäller vid icke alltför stora tryck praktiskt taget 


» 


N:o 2. 


aco" t 


40 JARL A. WASASTIERNA. 


nu n—1 Va nd . 
GN UT LT 


n? —1 S POE e: (fies e pel 


ILLI Aag cuu don; afa ou] 


För lösningar såväl av icke elektrolyter som av elektrolyter åter, förekomma däremot av- 
vikelser av sådan storlek, att desamma, jämförda med de differenser, som uppträda mellan 
den observerade och den beräknade molekylarrefraktionen för kemiska föreningar, med 
bestämdhet utvisa, att komplikationer uppkomma, vilka erfordra alldeles särskilda under- 
sökningar. Sådana lösningar ge oss alltså icke, åtminstone icke omedelbart, några upp- 
gifter om de olika formlernas användbarhet. 

'üller för en saltlösning vid en bestämd 


[2) 
> 


$ 5. Benders lag. Enligt Biots och Aragos lag 


temperatur formeln 


q(n) = 2 (d—cM10 ‘)+eR10 , 
0 


där m, är lósningsmedlets och n lösningens brytningsexponent, d, lósningsmedlets och d 
lósningens täthet, e lösningens koncentration i grammolekyler per liter, M saltets moleky- 
larvikt och À dess molekylarrefraktion. Vi beteckna d — dy = Ad och n —n, = An. Lätom 
oss vidare fór ett annat salt, till exempel kaliumklorid, infóra beteckningarna An, A d, M 
och A, varvid An och Ad må hänföra sig till samma koncentration c, som kvantiteterna 
An och Ad. Utveckla vi vidare q (n) i form av en Taylor serie, samt subtrahera vi från 
vartdera membrum kvantiteten q (2$), finna vi följande par ekvationer: 


q' (ng) - (A n) 4-1 g" (no) - (A ay c UA Ivo PE ue all 


do do 
q' (ny) - (An) + Lg" (n9) - (A n)? rr À 2) Ad — 7 T c M 10 + LeR10 : 
A (Lg (ko 


Genom Valsons (/72, 175) och Benders (5) arbeten är känt, att vi kunna uttrycka täthe- 


ten d genom tätheten d och två moduler a, och b, karakteristiska för saltets joner; således 


d =d + e(a, + by). 


Vidare uttrycka vi molekylarvikten M som en summa av jonernas vikter a, och b, samt 
molekylarrefraktionen R som en summa av jonrefraktionerna a, och 54. Genom subtraktion 
av den senare likheten frân den fórra finna vi sälunda, om vi fórsumma termerna av 
hógre ordning, 


N) 


g' (n) |A n — ^»] — a 


(no) 


“e(a + b)— 25 : 10 (a, — ttg + b, — ba) SIS 
0 à 


0 


de. 10 (ae Ag + b, — bs); 


Tom. L 


FT Teu 2.1. Sn Dh ot té NM NEMUONMTMEN AT INTUS 
vr 9 | \ AN n 


Lüsningars optiska egenskaper. 41 


Li en) AUN PES 10 M 
aas ef; qc: (l3 Dura) 10 '(a4— a5) + E (as — a3) | + 


à —3 
gr) ih). a8. 7010 
so |; S9. y 909. 3710, 1) à doo) 


och alltså 
An= An +ce(A + B), 


där A och B äro två moduler, som bero endast av de båda jonernas natur. Således genom 
införande av n 
n, = n. + e(A + D). 
Av härledningen fóljer, att ovanstäende formel endast är approximativt riktig, Den sak- 
. nàr, säsom varande en indirekt konsekvens av Biots och Aragos lag, varje stórre teoretiskt 
intresse, men den äger utan tvivel stor praktisk betydelse, till exempel für optiska koncen- 
trationsbestämningar. Den erhållna likheten är identisk med den av Valson (175, 176) och 
Bender (6 jfr 7-/0) experimentellt funna lagen rórande additiviteten av brytningsindex fór 
_ saltlósningar. 

$ 6. Heydweillers lag. Genom Heydweillers (92-95) tidigare arbeten rörande täthetens 
beroende av dissociationsgraden har framgått, att ^a kan uttryckas genom den lineära lik- 


heten | 
5d Asi p Ball — i), 


där 7 betecknar saltets dissociationsgrad, och A, och 2, äro två konstanter. Biots och 
Aragos lag kan säledes skrivas 


} V IN 
n) = g (n) + 0 fo) eai + Ba ee N 100 RON 
6 
— oeh, i det vi åter utveckla y(n) som en serie och fórsumma termerna av högre ordning, 
4 ; 19 (ny) Fin) q (no) 3| 
; V TEN A EAU RE Mo Po) ar 10 = Se Le 
E | q^ (ng) An—e, SR Ani A B;(1 — 1) d, Aca S ESAE Im | 
D: Enär À kan tänkas bero av dissoeiationsgraden, beteckna vi R — R,i + R,(1—3i) Vi hava 
E calltsá 
E. | / LE 
“3 An q (no) Jes ca q (no) s] : 
1 F Zuge a. M .10 4$ + 
€ ere qn) HUE (no) 7 y’ (ny) * 
| je pe pus (30 0 qu) M was 
dy p' (no) n) ' (ng) E Mo) 
och, genom införande av enklare beteckningar, 
- An 


- TE — A,-i— B,- (1 — 4). 
gt. > [a 


1 
E 
: 
à 


L 
4 
: 
4 


] 


"Fan "M, nd Bc m >, don nes PM A tii ctc f LR CAE LC. o) 
E ‘z ROUE Au 


42 JARL A. WASASTJERNA. 


Denna lag har experimentellt konstaterats av Heydweiller (92, 94, jfr 129). Enligt densamma 
beror An således av dissociationsgraden, förutsatt, att 44, 24 B,. Av deduktionen framgår 
emellertid, att A„>£ D, så snart A, By, oberoende av huruvida À, R, eller R, = R, = 
=E. Att An visar sig vara en funktion av dissociationsgraden bevisar således på intet 
sütt, att det lösta saltets optiska egenskaper genom dissociationen skulle förändras. 

$ 7. Molekylarrefraktionen för lösta icke-elektrolyter. För att rätt kunna bedöma de 
egendomligheter, som molekylarrefraktionen för lösta elektrolyter uppvisar, är det nôdigt 
att först i korthet undersöka, till vilka resultat forskningen kommit beträffande molekylar- 
refraktionen för lösta icke-elektrolyter. Vi hava redan vid ett tidigare tillfälle nämnt, att 
för lösningar avvikelser av betydande storlek från Biots och Aragos lag uppträda. Medan 
här antydda fakta med tydlighet framträtt redan i äldre författares undersökningsresultat 
(182, 97, 55), fästes dock till en början icke tillbörlig vikt vid desamma. Så trodde sig 
Ostwald (154) ännu 1891 kunna konstatera, att de nämnda anomalierna skulle uppträda 
endast i samband med dissociation. Men redan samma år visade Nasini och Costa (132), 
att molekylarrefraktionen för av dem undersökta icke-elektrolyter varierar såväl med kon- 
centrationen som med naturen av lösningsmedlet. Visande i samma riktning, men mindre 
säkra, voro Berghoffs (17) och van Aubels (2) resultat. Det visade sig snart (30, 150), att 
speciellt lösningsmedlets natur starkt inverkar på den lösta substansens molekylarrefrak- 
tion och i än högre grad på dess molekylardispersion. Däremot föreföll koncentrationens 
inverkan på molekylarrefraktionen vara mindre starkt framträdande (110, 117, 177). Det 
är för oss av särskilt intresse att göra oss förtrogna med storleksordningen av dessa avvi- 
kelser, varför vi i korthet vilja anföra några siffror, baserade på Zopellaris (1S4) under- 
sökning 1905. Siffrorna hänföra sig till Lorenz-Lorentz' formel. Först några ord om den 
noggrannhet, som vid dylika bestämningar uppnås. Experimentfelet vid bestämningen av n 
och d inverkar på molekylarrefraktionen med en kvantitet omvänt proportionell mot kon- 
centrationen. Ett konstant procentiskt koncentrationsfel förskjuter molekylarrefraktionen 
med en konstant kvantitet, varför ett sådant fel i detta sammanhang är av underordnad 
betydelse. För övrigt kunna koncentrationsfelens storlek självfallet icke överskådas, och 
deras inverkan på molekylarrefraktionen beror på skillnaden mellan den specifika refrak- 
tionsförmågan för den lösta substansen och lösningsmedlet. Det största tillfälliga felet bör 
dock, vid noggrant arbete, härflyta ur bestämningarna av brytningsexponenten och tät- 
heten. Zopellaris undersökningar av rörsockerlösningar utvisa, att vid en koncentration 
av ungefär 35 9/, den beräknade refraktionsförmågans fel knappast överstiger 0,3—0,; ?/p. 
Han finner vidare, att molekylarrefraktionen för naftalin i benzol med stigande koncen- 
tration (4 ?/,—22 9/,) sjunker från 44,6 till 44,44 eller med ungefär 1,5 °/,. Naftalin i aceton 
sjunker från 45,2 till 45,04 med stigande koncentration (6 ?/,—289/,). Molekylarrefraktionen 
för naftalin ökas sålunda med 2°/, om vi i stället för benzol använda aceton som lös- 
ningsmedel. Tymol visar vid en liknande övergång från benzol till aceton ävenledes en 
ökning av ungefär 2 "/, medan molekylarrefraktionen för nämnda substans är ungefär 
densamma i aceton som i metylalkohol. Kamfer förhåller sig på liknande sätt till de tre 
nämnda lösningsmedlen, och dess molekylarrefraktion sjunker i metylalkohollösning mono- 
tont med stigande koncentration (6 ?/,—43 °/;) med ungefär 1 9/,. 


Tom. L. 


Lösningars optiska egenskaper. 43 


j 


Av de ovan anfórda siffrorna kunna vi draga den synnerligt viktiga slutsatsen, att 
vi dà det är fräga om lösta elektrolyter, icke ha nàgon orsak att a priori betrakta sädana 
förändringar av molekylarrefraktionen, som icke överstiga 1—2 °/, såsom direkt beroende 
av själva jonspjälkningen. Det är sälunda tänkbart, att avvikelser av här nämnt slag kunna 
bero på de olika associationsfenomen, som i lösningar lätt kunna uppträda, om än i 
vissa fall förklaringsgrunden möjligen måste sökas på annat håll (750). På nämnda grun- 
der måste vi vänta oss, att för elektrolyter i vattenlösning dissociationen genom jonernas 
utpräglade förmåga att associera vattenmolekyler indirekt inverkar på molekylarrefraktio- 
nen. Ävenledes påverkas vattnets polymerisationsgrad med all sannolikhet, och därmed 
även dess specifika refraktionsförmåga, av de i lösningen befintliga jonerna. Speciellt för 
starkare utspädda lösningar kunna således betydande förändringar av molekylarrefraktio- 
nen för den lösta substansen väntas, enär förändringen av lösningsmedlets specifika refrak- 
tionsförmåga här matematiskt tillskrives ett jämförelsevis ringa antal lösta molekyler. 

$ &. Molekylarrefraktionen för elektrolyter upplösta i lösningsmedel av olika natur. Walden 
(178) har bestämt molekylarrefraktionen för tetraetylammoniumjodid, N(C,H;), :J löst i 
vatten, glykol, formamid, acetonitril, nitrometan, metylrodanid, furfurol, benzyleyanid, sali- 
cylaldehyd, benzylalkohol och metylalkohol samt molekylarrefraktionen för tetrapropylam- 
moniumjodid N (C,H;),-J i vatten, metylalkohol, isoamylalkohol, epiklorhydrin, benzyleya- 
nid, kinolin och kanelaldehyd, samt slutligen molekylarrefraktionen för fenyl-etyl-dimetyl- 
ammoniumjodid löst i vatten, nitrometan, metylrodanid, furfurol, benzyleyanid och kanel- 
aldehyd. Därvid har han funnit, att molekylarrefraktionen fór tetraetylammoniumjodid 
varierar mellan 58,18 i glykol och 61,4 i metylrodanid, medan molekylarrefraktionen för 
E. tetrapropylammoniumjodid varierar mellan 76,5 i isoamylalkohol och 78,7 i benzyleyanid 
och kinolin fór att i kanelaldehyd slutligen uppvisa värdet 85,5. Sistnümnda värde inne- 
sluter dock sannolikt ett mera betydande experimentfel. Fenyl-etyl-dimetyl-ammonium- 
jodid uppvisar en molekylarrefraktion varierande mellan 63,97 i vatten och 67,06 i metyl- 
rodanid. För . tetraetylammoniumjodid och fenyl-etyl-dimetyl-ammoniumjodid skilja sig de 
yttersta vürdena fór molekylarrefraktionen således från varandra med ungefär 5 °/,, medan 
den nämnda differensen för tetrapropylammoniumjodid är mindre säker, men i varje fall 
av samma storleksordning. Walden påpekar, att om dessa avvikelser bero på den lösta 
 substansens dissociation, för lösningar med ungefär samma dissociationsgrad under alla 
förhållanden ungefär samma molekylarrefraktion bör uppträda, medan åter lösningar med 
mycket olika dissociationsgrad böra för den lösta substansen uppvisa från varandra starkt 
avvikande molekylarrefraktioner. Med stigande utspädning avtager À, varför man måste 
vänta sig det minsta R-värdet för lösningar med den största dissociationsgraden. Ingen 
av dessa tre slutsatser står emellertid i överensstämmelse med Waldens resultat, varför 
han drager slutsatsen, att inflytandet av den elektrolytiska dissociationen icke kan tjäna 
som grund till en förklaring av de observerade avvikelserna för det lösta saltets molekylar- 
refraktion i olika lösningsmedel. 

Waldens slutsatser äro emellertid berättigade endast under vissa bestämda förutsätt- 
ningar. Då en molekyl dissocieras, försvinner en ultraröd frekvens. Därigenom förändras 
med säkerhet molekylarrefraktionen, men den ifrågavarande förändringen är av så liten 


N:o 2; 


A4 JARL A. WASASTIERNA. 


, 


storlek, att den i allmänhet icke kan tänkas göra sig märkbar. Därförutom måste vi tänka 
oss, att vissa elektronbanor vid jonbildningen undergå förändringar. Det viktigaste pro- 
blem, som uppställer sig till besvarande, är således följande: kunna de observerade av- 
vikelserna förklaras bero av dessa förändringar, vilka äro en direkt följd av jonspjälknin- 
gen eller, annorlunda uttryckt, äro de observerade avvikelserna en direkt följd av disso- 
ciationen? — Denna sistnämnda fråga kunna vi enligt de av Walden framhållna grunderna 
besvara nekande. I samband med dissociationen uppträda emellertid sekundära fenomen. 
Speciellt associera jonerna det omgivande mediets molekyler, och inverka samtidigt på lös- 
ningsmedlets polymerisationsgrad. Därigenom förskjutes i allmänhet .lósningens specifika 
refraktionsförmåga och därmed den beräknade molekylarrefraktionen för den lösta substan- 
sen, Sålunda inverkar dissociationen indirekt på molekylarrefraktionen, och denna inver- 
kan beror icke endast av dissociationsgraden, utan fastmer även, och i högsta grad, av 
lösningsmedlets natur. Vi kunna således av Waldens undersökningar draga den slutsatsen, 
att de av honom funna avvikelserna för de lösta substansernas molekylarrefraktion i olika 
lösningsmedel icke kunna betraktas som en direkt, men möjligen, och på grund av deras 
storlek sannolikt, som en indirekt följd av den lösta substansens dissociation. En direkt 
inverkan av dissociationen är därmed självfallet icke utesluten, men den överkompenseras, 
om den existerar, av en indirekt inverkan, varförutom molekylarrefraktionen ytterligare 
sannolikt påverkas av andra, ännu okända orsaker. 

Brühls och Sehróders (54) undersökningar rörande molekylarrefraktionen av kamfo- 
karbonsyreestrarnas Na-salter i metyl-, etyl- och amylalkohollösningar äro i detta sam- 
manhang av stort intresse. I experimentellt avseende äro de synbart utförda med stor 
omsorg och noggrannhet. Av detta arbete framgår, att vi erhålla ett allt riktigare värde 
för homologidifferensen mellan de olika estersaltens molekylarrefraktioner, ju mera kon- 


centrerade lösningar vi undersöka. Därav följer, att om vi omvänt ur de tre estersalten 


beräkna den skenbara atomrefraktionen för natrium, värden erhållas, som överensstämma | 
desto noggrannare ju högre koncentrationen ár. Avvikelserna vid lägre koncentrationer 
bero sannolikt endera direkt eller indirekt pà dissociationen. Brühls och Schröders teore- | 
tiska resonemang sakna däremot delvis reell grund. Speciellt är beviset fôr att natrium- 
atomens refraktionskonstant vid saltbildningen icke undergätt förändring ett cirkelslut, 
och resultatet en matematisk konsekvens av de gjorda antagandena. 

Till Brühls och Schröders ovan omnämnda viktiga experimentella resultat finner man 
en viss motsvarighet även hos andra författare. Redan Gladstone och Hibbert (50, p. 861), 
vilka anságo, att vid bestümningen av refraktionsekvivalenterna fór atomerna, de erhällna 
molekylarrefraktionerna för de kristalliserade salterna böra läggas till grund för räknin- 
varna, förutsatt att kristallerna icke äro dubbelbrytande, framhålla att man, om beräknin- 
garna göras med stöd av mätningar för vattenlösningar, först måste undersöka, huruvida 
molekylarrefraktionen är konstant, eller möjligen är en funktion av koncentrationen. I : 
sistnämnda fall bóra olika koncentrerade lósningar undersókas, och om mójligt molekylar- 
refraktionen för utspädningen noll genom extrapolation bestämmas. I üverensstämmelse 
härmed finner Dinkhauser (50), att molekylarrefraktionen, dà den visar sig vara en funk- 
tion av koncentrationen, fór alla lósta salter, beräknad enligt Lorenz-Lorentz' formel, med 


Tom. L. 


Lüsningars optiska egenskaper. 45 


stigande koncentration närmar sig det värde, som molekylarrefraktionen antar för saltet i 
fast form. 

Slutligen vilja vi nämna några ord om molekylarrefraktionen för en stark elektrolyt, 
som litiumklorid, i olika lösningsmedel. Man finner hos Chéneveau (57) en sammanställ- 
ning av den specifika refraktionsförmågan för Zi Cl i vattenlósning enligt mätningar av 
Gladstone och Hibbert, Walter, Chéneveau, Beer och Kremers, Conroy samt Dijken samt i 
metylalkohollösning enligt Chéneveau, i etylalkohollösning enligt Chéneveau samt Gladstone 
och Hibbert och slutligen i amylalkohollösning enligt Andrews och Ende. En inverkan av 
lösningsmedlets natur kan icke skönjas. 

Enligt vad ovan framhållits rörande molekylarrefraktionen av elektrolyter i lösnings- 
medel av olika natur, kan således sammanfattande sägas, att en direkt inverkan av disso- 
ciationen på de optiska egenskaperna icke gör sig märkbar. 

Annorlunda förhåller det sig emellertid med t. ex. saltsyra (57). I en koncentrerad 
vattenlósning utvisar saltsyran en molekylarrefraktion av RA, = 1414 I andra lósnings- 
medel sjunker À, i ordningsföljden metyl-, etyl-, amyl-, capryl-alkohol, etyleter och amyl- 
eter. I sistnämnda lösningsmedel antar À, värdet 10,36, som nära sammanfaller med det 
värde, som observerats för vattenfri flytande saltsyra. Här förefaller således, i motsats 
still vad ovan sagts, ett utomordentligt starkt inflytande av dissociationen göra sig gäl- 
lande, detta så mycket mera, som dissociationseraden i en koncentrerad vattenlösning redan 
är rätt liten. Man kunde tänka sig, att dessa avvikelser skulle betingas av lösningsmed- 
lens polymerisationsgrad (55), men ett sådant antagande stöter, som man lätt inser, på de 
allvarligaste betänkligheter. 

$ 9. Molekylarrefraktionen för elektrolyter à vattenlösning. Ni hava ovan framhållit, att 

 molekylarrefraktionen för litiumklorid i huvudsak är oberoende av det använda lósnings- 

medlets natur. I vattenlösning visar sig emellertid molekylarrefraktionen för nämnda salt 
rätt starkt variera med koncentrationen, möjligen beroende på dissociationen. Gladstone 
och Hibbert (50) angiva sålunda för À, följande värden. 


Procent i lösning. Molekylarrefraktionen. 
10,02 15,45 
14,53 15,09 
25,87 14,59 
39,52 14,51 


, 


De flesta salter visa dock i vattenlósning en tümligen konstant molekylarrefraktion. Vi 
hänvisa speciellt till Gladstones och Hibberts (50) samt Chéneveaus (1) stora arbeten. 
Vidare finna Gladstone och Hibbert (57) att värdena, bestämda för de kristalliserade sub- 
stanserna oeh beräknade ur de fór lósningar bestümda konstanterna, i allmänhet praktiskt 
taget sammanfalla. En differens mindre än 1 °/, anse de ligga inom gränserna för experi- 
mentfelen. Till oeh med stórre fel kunna fórklaras genom osäkerheten vid bestämningen 
av tütheten fór de undersókta kristallerna. Slutligen är den funna differensen i vissa fall 
negativ oeh i andra positiv. Chéneveau, som tydligt pointerar, att dissociationen icke pà- 
làng, att be- 
» 


verkar molekylarrefraktionen, finner likväl, att additiviteten icke är 


N:o 2. 


46 JarL A. WASASTJERNA. 


stämda, och för alla fall giltiga ekvivalentrefraktioner skulle kunna beräknas. Hallwachs 
(550—965) Borgesius (15) och Dijken (49) som undersökt utomordentligt utspädda lösningar, 
finna för dessa en med tilltagande utspädningsgrad växande molekylarrefraktion. Den här 
antydda tillväxten är emellertid sa pass obetydlig, speciellt enligt Lorenz-Lorentz’ for- 
mel, och den uppträder först för så stora utspädningar, att den icke kan anses direkt be- 
tingad av dissociationen. 

Det bór emellertid med eftertryck päpekas, att atomrefraktionerna för klor, brom och 
jod, dà dessa beräknas ur lösta salter, icke sammanfalla med atomrefraktionerna för nämnda 
element i organiska fóreningar, och Le Blane och Rohland (476) finna, att atomrefraktio- 
nerna fór atomerna i de utomordentligt svagt dissocierade kadmiumsalterna och likaledes i 
kvieksilvercyanid icke ha samma värden, som för starkt dissocierade salter. 

Vidare uppvisa några starka mineralsyror, speciellt saltsyra och salpetersyra, med 
stigande utspädning starkt stigande refraktionsvärden. Vi anföra några enligt Lorenz- 
Lorentz” formel beräknade data. 


Saltsyra. Salpetersyra. 
FA "EX 272-3 mergi pe ER SRE Fs NE RW HUE EI | USE | 
Le Blanc & + - | Le Blanc & Ber | 
Ce Zecchini Chéneveau o |  Zecchini 
| Rohland Rohland | | 
36 8,26 8,25 99 - 10,10 
28 9,30 70 10,14 
| 15 8,40 47 10,18 
8 8,8 - 88 10,20 
[2:6 8,54 [SES Is 
4 8,64 Sys 3 Is 11,07 


Vi hava med avsikt utvalt siffror fran olika arbeten, för att var uppfattning om den vik- 
tiga fräga, som här berörs, icke mä bli beroende av möjliga systematiska fel hos nägon 
“ experimentator. 

För andra syror, såsom svavelsyra (Gladstone, Le Blanc, Cheneveau, Zecchini), fosfor- 
syra och fluorvätesyra (!) (Zeeehini) är molekylarrefraktionen tämligen konstant. 

Beträffande de svaga organiska syrorna bör det framhällas, att dessa vanligen i vat- 
tenlósning visa utomordentligt konstanta (av koncentrationen oberoende) refraktionsvärden. 
Sålunda kunna enligt Zecchini (153) för ättiksyra och propionsyra icke de minsta avvikel- 
ser konstateras. De starkare organiska syrorna förhålla sig på annat sätt (116). Hit- 
hörande fakta hava redan i Kap. I, $ 13 i korthet omnämnts, varvid även en teoretisk för- 
klaring av dessa avvikelser givits. 

Sammanfattande kunna vi således säga, att vissa fakta med bestämdhet tyda på att 
dissociationen förändrar de lösta substansernas optiska egenskaper, medan i andra fall en 
sådan inverkan av dissociationen förefaller utesluten. Den vidare diskussionen uppskjuta 
vi till Kap. IV, för att sålunda förfoga även över de genom föreliggande experimentella 
arbete vunna resultaten. 


Tom. L. 


E | HL | 


r Experimentella undersókningar. 4 
4 4 

E $ 1. De undersökta lösningarna. 3 
E K CI. 3 
E- Saltet var levererat av firman €. A. F. Kahlbaum, Adlershof, Berlin, Sedan det- p 
E - samma hade renats genom omkristallisation, torkats och pulveriserats, glödgades det i pla- ; 
L tinaskäl. Lösningarna K—S (Tab. 1) framställdes sålunda, att den uppvägda saltmängden ! : 
—  Jóstes i mátflaska,? vilken, innan de sista dropparna vatten tillfogades, under !/,—1 tim- ; 
— « mes tid hölls i termostat vid + 18,0? C. Lösningarna B—J framställdes genom utspäd- E 
E ning. Koncentrationerna fór sistnämnda lösningar berüknades med stöd av erhällna data 
för den elektrolytiska ledningsfórmágan, som för annat ändamål bestämdes. ? : 3 

E 

EC Na CI. ; 
E- Saltet levererat av Kahlbaum och behandlades som Æ CL Alla lösningar framställdes b 
5 genom direkt vügning av saltet, vilket upplöstes i mätflaska i termostat vid + 18,00? Celsius. À 
2 H . COONa. | 3 


Professor Ossian Aschan hade vänligheten att ställa en stor kvantitet av detta salt 
till mitt fórfogande, varfór jag här till professor Aschan ber att fà uttala mitt fórbindliga 
. taek. Saltet tvättades med eter, varefter detsamma underkastades fraktionerad kristalli- 


À sation. Av det så erhållna saltet framställdes en standard-lósning, vars koncentration be- 
-  stämdes sålunda, att ett antal avvügda prov av lösningen indunstades, torkades och glód- 
4 gades, varigenom formiatet överfördes i oxalat och slutligen i karbonat. Sedan ur två 
HM prov överensstämmande värden erhållits, varvid karbonatet vägdes och ytterligare titre- 

1 ! Alla vägningar äro reducerade till lufttomt rum. 

s * Alla flaskor. som vid föreliggande undersókning kommit till anvündning, voro omsorgsfullt utkokade 
3 med saltsyra, destillerat vatten och överhettad vattenånga. Volymerna av mätflaskorna bestämdes nog- 
= grant vid två olika temperaturer. 


* I detta enda fall verkställdes utspädningen utan särskild omsorg med pipett. På denna grund kunde 
koncentrationerna icke direkt med tillräcklig noggrannhet beräknas. 


. N:o 2. 


48 JARL A. WASASTIERNA. 


"des. med ,!, norm. HCl, framställdes övriga lösningar genom viktutspädning av den 
nämnda standardlósningen (J. Tab. 17). 


CH, . COOK. | 

Levererat av Kahlbaum. Omkristalliserades vid + 100° C. Torkades på sandbad un- 

der 3—4 timmar, smältes och infördes som stelnande smälta i en torr mätflaska, som ome- 
delbart tillslóts. Sedan flaskan med innehäll antagit rumstemperatur, öppnades korken ett 


yv SKINS 


ögonblick för utjämnande av trycket, varefter vägningen utfördes. Lösningen Æ (Tab. 25) 
framställdes genom upplösning av det erhållna saltet i vatten, varefter lösningarna B—1) 
erhöllos genom utspädning av A. Lösningen G framställdes på samma sätt som E och | 


slutligen F genom blandning av uppvágda mängder E och G. : 


CH; . COO Na. 


Kahlbaum-preparat. Omkristalliserades. Lösningarna C, Æ, G, I och K (Tab. 33) 
framställdes genom vägning av det kristallvattenhaltiga saltet och upplósning i mätflaska 
vid + 18,0? C. Lösningarna B, D, F, H och J framställdes genom blandning av lika vo- 


lymer av de närligeande lósningarna. 
OK 
CO: 
OR. 

Tekniskt preparat. Omkristalliserades upprepade gänger och torkades genom glódg- 
ning i nickeldegel. Lösningen (9 (Tab. 41) framställdes direkt genom upplösning av 
avvägd mängd salt i mätflaska vid + 20,0? C. i termostat, lösningarna C, E, a, I, K,.M 
och O framställdes genom volymutspädning av @, varefter 5, D, F, H, J, L, N och P 
bereddes genom blandning av vägda kvantiteter av de närliggande lösningarna. 


E ONE 
COS L 
^0 Na. 
Behandlades fullkomligt som A, C0,. Sålunda motsvaras även beteckningarna i ta- 


bell 41 av samma beteckningar i tabell 49. 


CO .OK 
| 
CO .OK. 


Lösningen / (Tab. 57) framställdes genom neutralisation av en A, CO, lösning med 
den beräknade mängden kristalliserad oxalsyra. Totala vikt-minskningen av flaskan, ge- 
nom vilken en torr luftstróm genomprässades, bestämdes. Likasà bestämdes vikten av den 
av CO, gasen och luftstrómmen medfórda och av ett Ca Cl, rór absorberade vattenängan. 
Därigenom kunde den bildade CO, mängden beräknas. Resultatet var fullt tillfredsstäl- 
lande. Slutligen kontrollerades att lósningen var neutral, varvid fenolftaleïn användes som 
indikator (het lösning). Lösningarna BH framställdes genom viktutspädning. 


Tom. L. 


_ mingarna a och-b (Tab. 70 A). 


4 E N:o 2. 


Lösningars optiska egenskaper. 49 


CO . ONa 
| 
CO . ONa. 


Lösningen H (Tab. 65) framställdes som lösningen I (Tab. 57), men den avgående 
CO, müngden bestämdes ieke. Viktutspädning. 


C H,. COOK 
| 
CH,.COOK. 


Saltet framställdes genom neutralisation av en A, CO, lösning med den beräknad e 
mängden upprepade gänger omkristalliserad bernstenssyra (Kahlbaum). Ett prov av lös- 


 ningen titrerades pà vattenbad med fenolftalein som indikator. Det visade sig, att lösnin- 
— gen var alkalisk, beroende på att den använda bernstenssyran varit avsevärt fuktig. Den 


lösta substansen bestod av 98,55 °/, K, C, H, O, och 1,2 9/, K, CO,. Större delen av den er- 
hållna lösningen I (Tab. 70 B) användes likväl, och behandlades, likasom de av densamma 


genom viktutspädning erhållna lösningarna B—H (Tab. 70 B), matematiskt taget som en 


blandning av 0,5:8.p 9/9 Ko C,H, Os, 0,2. p 9/9 K, CO, och (100 —p)°/, vatten. En annan 
del neutraliserades med den beräknade mängden syra, indunstades, torkades försiktigt pä 
sandbad och slutligen i 10—20 mm vacuum vid + 1009 C, varvid en torr luftström hela 


b. tiden inleddes i flaskans botten. Av det sålunda erhållna saltet framställdes de båda lös- 


CH,.CO.OK 
| 
C(OH) . CO.OK 


€ H4. CO.OK. - 

Lösningen I (Tab. 78) framställdes genom neutralisation av en koncentrerad Æ, CO, 
lösning med den beräknade mängden kristallvattenhaltig citronsyra. Den använda tek- 
niska citronsyran underkastades därfôrinnan en systematisk fraktionerad kristallisation. 
F. ö. bestämdes CO, som för K, C, O0, med den skillnaden, att en speciell apparat för ända- 
mälet konstruerades. Lösningen var fullkomligt neutral (fenolftalein pä vattenbad). Lös- 
ningarna B—H erhóllos genom viktutspädning. 


CO.0H 


| 
CO.0H. 


Syran omkristalliserades och titrerades med A, CO, på sådant sätt, att först de be- 
räknade kvantiteterna H, C, 0, och K, CO, CHE varefter den erhàllna lósningen pró- 
vades med fenolftalein pà vattenbad. 


De mycket starkt utspädda Na, CO, lósningarna (Tab. 95) erhóllos genom volymut- 
spädning av den mest koncentrerade lósningen, vilken pà vanligt sätt genom vägning di- 
rekt framställts. 


AL, FA | N gt am DE KAR Lud (ar a forn x 
" - ; dis NA 


50 JARL A. WASASTJERNA. 


$ 2. Bestämningen av tätheterna. Tätheterna bestämdes med tillhjälp av tvà enkla 
flask-pyknometrar. Den ena pyknometerns volym befanns vid + 18,00 C. vara 27,196 cem 
och vid + 25,00? C. vara 27,122 cem. Glasets kubiska utvideningskoeffieient vore således 
0,000024. och dess lineära utvidgningskoefficient alltså 0,0»s. För vanliga glassorter är 
den lineära utvidgningskoefficienten 7 à 8.10 ^". På detta sätt uppnåddes en kontroll av 
de erhållna volymerna. Den andra pyknometern användes endast för de 9 mest utspädda 
Na, CO, lösningarna (Tab. 95). Dess volym befanns vid 4-15,»? och + 25,00? vara 52,9» 
eem respektive 53,00» cem. Den lineära utvidgningskoefficienten vore. således — 0,000007. 

Vid själva bestämningarna av tätheterna förfors så, att pyknometern fylldes med en 
avkyld lösning, placerades i termostat, och förvarades där under !/,—3/, timmes tid, var- 
vid, under de sista 15 minuterna, termostatens temperatur oavbrutet kontrollerades. På 
så sätt undvekos temperaturfluktuationer överstigande ungefär 0,527. Sedan vätskepelaren 
med ett filtrerpapper avskurits, överflyttades pyknometern försiktigt i ett kärl med vatten 
av lägre temperatur, varigenom lösningen kontraherades. Därigenom möjliggjordes en 
omsorgsfull torkning och vägning av pyknometerflaskan. 

Termostaterna uppvärmdes med gaslåga och voro samtidigt försedda med blykylled- 
ningar. Kylströmmens intensitet i sistnämnda ledningar kunde uppskattas med tillhjälp 
av en manometer, som angav det verksamma vattentrycket, vilket efter behag kunde reg- 
leras. Omröringsapparaterna drevos av en elektrisk motor. För täthetsbestämningarna 
voro oavbrutet två termostater i användning, av vilka den ena hölls vid’18° eller 20? och. 
den andra i regeln vid 25°, 

Termometrarna voro indelade i 0,1? och tilläto en rätt säker uppskattning av 0,0°. 
De voro kontrollerade endast vid +18° och +25°, men sinsemellan jämförda för alla 
temperaturer mellan + 15? och + 25°. Fel överstigande 0,02—0,04? äro att betrakta såsom med 
säkerhet uteslutna. Temperaturfel åter av mindre storlek, än ovan angivna tal, utöva icke in- 
flytande på resultaten, enär motsvarande fel uppträder vid bestämningen av pyknometerns 
volym, varigenom i de slutligt angivna tätheterna felet praktiskt taget fullständigt försvinner. 

$ 3. De använda optiska apparaterna och utförandet av mätningarna. För flertalet be- 
stämningar användes en Pulfrich refraktometer (N:r 4023) av nyaste Zeiss modell. Prisma 
N:r I”; brytningsexponenten vid + 20° C. ny = 162197, Ay = 1,61705 och hin 1,603436. 


Genom särskilda försök konstaterades att de à eirkelskivan inetsade strecken represente- 


rande E och = grader voro ekvidistanta, samt att jämväl noniens linjer icke erfordrade 


korrektion. Nollpunktskorrektionen var däremot högst betydande, i det den belöpte sig 
till — 5'12" som medeltal av ett stort antal försök. Sistnämnda korrektion beräknades 
likväl under antagandet, att brytningsexponenten för vatten mot vacuum för Na-ljus och 
+ 18° C. vore 1,3334, vilket värde t. ex. Dinkhauser (Sitzungsberichte der Wiener Akad. 
114, IT a, 1001, 1905) anger som medeltal av de tillförlitligaste äldre undersökningarna, 
medan jag likväl senare funnit, att det riktiga värdet synbarligen ár nàgot hógre, eller 
1,33355. För konsekvensens skull har likväl den gamla nollpunktskorrektionen genom hela 
arbetet bibehållits, på vilken grund de angivna brytningskoefficienterna sålunda genom- 
gående äro förskjutna med ungefär — 0,o00007. Däraf påverkas likväl icke de beräknade 


Tom. L. 


#7 


th et ne hé ne WT TUI OUS EGET de D à à 


Lösningars optiska egenskaper. 51 


molekylarrefraktionerna, enär ju samma förskjutning äterfinnes hos brytningsexponenten 
för vatten. Bestämningarna utfördes för Na-ljus (4 = 589,3 uu) samt för H,-ljus (A = 656,5 uu) 


LA 


och H;-ljus (4 = 486,1 uu). Tabeller uträknades angivande n för varje avläst 


Fór ernäende av konstant temperatur uppställdes tämligen hógt en stor termostat, 
fran vilken en vattenstróm leddes till refraktometern och vidare till en làng hävert, 
varigenom en jämförelsevis stor strómhastighet ästadkoms. Enär rumstemperaturen själv- 
fallet icke exakt sammanfóll med termostatens, temperatur, undergick vattenstrómmen vid 


sin passage genom det till refraktometern ledande c:a 2 m. långa röret en liten tempera- 


turfóràndring, vars storlek var beroende av strömmens hastighet. Genom anbringande av 
en kran kunde denna hastighet fóründras och därigenom en obetydlig men nódig tempe- 
raturkorrektion ästadkommas. Jag har uppehällit mig vid sistnämnda faktum, enär det 
av praktiska orsaker är av vital betydelse att bekvämt, samtidigt som man sitter vid re- 
fraktometern, kunna hälla refraktometertemperaturen fullkomligt konstant. 

Vid mätningarna förfors sålunda, att dà refraktometercylindern tömdes, tvättades och 
torkades, dessa operationer verkställdes utan att prismat och cylindern lösskruvades från 
refraktometerstativet. På så sätt behövde nollpunktskorrektionen icke oavbrutet ånyo be- 
stämmas. Sedan refraktometerns temperatur blivit konstant och lika med den temperatur, 
som önskades, infördes 1-2 cem av lösningen, varefter cylindern omedelbart tillslöts. Tem- 
peraturen undergick därigenom en obetydlig förändring (0,0 — 0,2?) Efter ungefär 10 mi- 
nuters förlopp avlästes vinklarna för de tre olika våglängderna, vilka avläsningar efter 
ett par minuters paus återupprepades. Fôr det fall, att vid de båda avläsningarna exakt 
samma värde (uttryckt i !/, minuter) erhölls, ansågs resultatet riktigt; då avvikelse upp- 
trädde, vilket jämförelsevis sällan var fallet, gjordes flere mätningar. 

Vid undersökningen av mycket utspädda lösningar (Na, C50, Tabb. 65—69 och 
Na, CO, Tab. 94.) användes det till samma Pulfrich-refraktometer konstruerade differen- 
tialprismat N:o IV’. Dess- brytningsexponent vid + 20° C. var ny, = 1,61705, mj — 1,2197, 


iJ Pa 1,04: Differentialprismat saknar vattenmantel, varför det var nödvändigt att mycket 


länge låta lösningarna ligga i refraktometerkärlet innan bestämningarna utfördes. För att 
förhindra en avdunstning av lösningen, eller en destillation av lösningsmedlet från det 
ena kärlet till det andra, gjordes en kopparplatta med hål för termometern, vilken platta 
på undre sidan överdrogs med ett tjockt paraffinskikt och därefter prässades som lock på 
cylindern. De därigenom uppkomna, i paraflinet inprássade skärorna beströkos med ren 
vaselin. Detta lock visade sig motsvara alla anspråk. Skillnaden i brytningsexponent be- 
stämdes för varje lösning och varje våglängd 3-5 gånger medelst den å refraktometern an- 
brakta mikrometerskruven, varvid dödgång självfallet med omsorg undveks. Skalan å 
mikrometerskruven var indelad i 0,1. 

. För de utomordentligt starkt utspädda Na, CO, lösningarna (Tab. 95) gav differential- 
prismat icke mera tillräckligt noggranna resultat. Dessa lösningar undersöktes med den 
av Löwe konstruerade interferentialrefraktometern (Zeitschrift für Instrumentenkunde 30, 
321 (1910). Då för densamma vitt ljus kom till användning, är det klart, att en större 


N:o 2. 


52 JARL A. WASASTIERNA. 


noggrannhet icke kunde ernäs. (Jfr. Hallwaehs: Ann. d. Physik. 47, 380 (1892)). Enär emel- 
lertid täthetsbestämningarna icke kunde tillmätas en större noggrannhet, än vad som mot- 
svarar de med interferentialrefraktometern med vitt ljus erhållna värdena, hade det likväl 
varit fullkomligt ändamålslöst att använda monokromatiskt ljus, Då interferentialrefrakto- 
metern, beroende på dess konstruktion, icke kunde bibringas önskad temperatur, förfors så, 
att först hela mätningsserien utfördes vid låg rumstemperatur (16°—17°) varefter rummet 
starkare uppvärmdes, och bestämningarna ånyo verkställdes vid 19°— 20°. Genom interpo- 
lation erhóllos An värdena för 18°. (An =n7 för lösningen —n för vatten). Samtidigt er- 
hölls även kännedom om temperaturkoefficienten för A». 

$ 4. De experimentella resultaten och den matematiska behandlingen av de erhållna siff- 
rorna. De första undersökningarna gällde KCl och NaCl. TI tabellerna 1 och 9 har jag 
angivit koncentrationerna och tätheterna. Koncentrationerna äro uttryckta i grammoleky- 
ler per liter vid den av index utmärkta temperaturen. Jag har vidare i nämnda tabeller 
betecknat varje given lösning med en bestämd bokstav. I tabellerna 2-7 och 10-15 beteck- 
nar », den observerade brytningsexponenten mot vacuum. 

Om jag med »,,. betecknar brytningsexponenten för vatten vid temperaturen t och 
för en viss given våglängd 4, samt med d,,. betecknar tätheten för vatten vid samma 
temperatur, gäller enligt Biots och Aragos lag 
p 


R, (1) 


d (n) = Ne, i) 


då — e,.M.10 D Hier 10. 


e.t 


där n, betecknar lósningens brytningsexponent mot vacuum, och där M betecknar saltets 
molekylarvikt. Genom införande av uttrycket för den specifika refraktionsförmägan för 
vatten erhäller jag säledes 


p (no) — Fo -(d]— e. M.107 )+c,.10 © R. (2) 


Jag har till en början antagit vattnets specifika refraktionsförmäga vara oberoende av tem- 
peraturen, och beräknat J£, för de tre använda våglängderna ur angivna data för n,, 18 
och d, 18. Därefter har jag beräknat molekylarrefraktionen À för varje lösning, À, enligt 
Gladstone-Dales formel, À, enligt Newton-Laplace’s formel och À, enligt Lorenz-Lorentz' 
formel. Dessa kvantiteter finnas angivna i de tidigare nämnda tabellerna 2-7 och 10-15. 
Slutligen har jag antagit riktigheten av vissa bestämda värden för molekylarrefraktionen 
för varje salt och varje väglängd, samt med stód av dessa konstanter enligt formeln (2) 
beräknat de så att säga teoretiska n-värdena n,, N, och my. De nämnda konstanterna A, 
vilka äro att betrakta som närmevärden, äro angivna i tabell 8 för KCl och i tabell 16 
för Na Cl, samt äro betecknade med runda klammer: (A). Vidare betecknar jag (ng — 4) * 
10° = A,, (ny— n3).10* = A, och (ny —ng). 10” = A, detta vid den lägre temperaturen (18°), 
medan motsvarande kvantiteter vid den högre temperaturen (25°) betecknats A,’, A,’ och 
A4. Avsättande A-vürdena som ordinata och c-vürdena som abseissa har jag erhållit dia- 
grammen 1-6. Av dessa diagram framgä intressanta fakta. För det första se vi omedel- 
bart, att kurvorna A, A, och A, kunna fäs att praktiskt taget sammanfalla genom vridning 
kring origo, samt att A,’, A,’ och A,’ kurvorna även de kunna fås att sammanfalla genom 


Tom. L. 


Lösningars optiska egenskaper. 58 


parallellförflyttning och därpå följande vridning kring origo. Betydelsen av dessa opera: 
tioner är rätt enkel. Genom förändring av #, ästadkommes en parallellfórflyttning och 
en samtidig vridning, vars storlek likväl icke intresserar oss, Beräknas #, för varje våg- 
längd och varje temperatur direkt ur mätningarna för vatten, sammanfalla självfallet alla 
kurvorna i origo. Derivera vi funktionen q (n) partiellt med avseende à Æ, finna vi 


op on — 3 
ES ARR E TU E 3 
OR OR v) 


eller med infórande av beteckningarna A, och om vi med o beteckna en viss förändring 
av (À), uttryckt i enheter av andra decimalen, säledes 


1 


EU AES aee e 
1 q' (Qn) 


Ge (4) 


0 LI 
q'(n) är enligt Gladstones och Dales formel lika med 1, enligt Newton-Laplace’s formel 
> 

(n? + 2)?" 


manhang kan i varje fall q'(n) betraktas som konstant. En bestämd vridning kring origo 


lika med 2» och slutligen enligt Lorenz-Lorentz' formel lika med I detta sam- 


motsvarar säledes en bestämd fóründring av den antagna molekylarrefraktionen. Härav 
framgàr omedelbart, att det för nämnda salter är omöjligt att ur en enstaka observations- 
serie (t. ex. Na-ljus, 18°) utröna vilken formel, som bäst motsvarar verkligheten. 

Vidare se vi av diagrammen, att kurvorna A, och A,’ i allmänhet ligga närmast var- 
andra och speciellt att A,—A, ofta växlar tecken. Däremot ligga A, och A,'lüngst ifrån 
varandra, varjämte genomgående A,— A, > 0. Kurvorna A, ligga mellan A, och A,. Härav 
följer omedelbart, att brytningsexponentens beroende av temperaturen bäst återgives genom 
Lorenz-Lorentz” formel, nästan lika väl, men vid större utspädningar dock avgjort sämre 
genom Gladstone-Dales formel och otvivelaktigt sämst genom Newton-Laplace's formel. 
Nu uppställer sig närmast till besvarande frågan, huruvida detta är en följd endast av 
vattnets eller möjligen jämväl av det lösta saltets optiska egenskaper. I det senare fallet 
vore en vidare beräkning av À, och À, utan nämnvärt intresse. För utrónandet härav har 
jag beräknat n, och n, serierna för 25? jämväl under antagande av 7, värden, beräknade ur 
de 5, »» värden, som enligt Lorenz-Lorentz' formel svara mot %,,18, Detta innebär, att A,’ 
och A,’ förskjutits så, att de för c — 0 sammanfalla med A,’ kurvorna. Vidare har jag för 


; — 2 .. . .. m 3 
varje kurva bestämt den korrektionsterm 0-10  , som bör adderas till närmevärdet (A) 
, 


för att de nya, mot det korrigerade À värdet svarande differenserna A mà uppfylla vill- 


koret X A'— minimum. Således enligt (4) 


2 — 0, (5) 


a EE m: 


De sålunda korrigerade À värdena äro betecknade [A] — (AR) + e. 10, och äterfinnas 
i tabellerna 8 och 16. Dessa [A] värden äro att betrakta som de sannolikaste À värdena, 
och jag vill speciellt betona, att det sannolikaste À värdet icke är identiskt med medeltalet 
av de observerade À värdena. > ; 

Vi finna nu, att alla de tre formlerna giva av temperaturen tämligen oberoende vär- 
den för [ZA] De förhållanden, som tidigare konstaterades, och enligt vilka den Lorenz- 
Lorentz'ska formeln vore att fóredraga framom de övriga, bóra säledes tillskrivas det fak- 
tum, att vattnets brytningsexponent som funktion av temperaturen ojämförligt bäst angives 
av denna formel. | 

Vidare vill jag framhålla, att en lineär förändring av A med koncentrationen skulle 
motsvara en parabel för A-värdena. En sädan krókning hos A-kurvan har icke kunnat 
konstateras för dessa tvà salter, för vilka tvürtom A-värdena synas vara fullkomligt god- 
tyckligt strödda kring axeln, eller rättare kring en genom origo gående, mot värdet [RÀ] 
svarande stråle. 

Om noggrannheten av de erhållna [R]-värdena får man en god föreställning, då man 
betraktar diagrammen 1-6, där de mot olika [R]-värden svarande strålarna äro inritade. 


För salterna CH,.COOK och CH;.COONa ha kvantiteterna 7, för AK, antagits vara 
oberoende av temperaturen och beräknats ur de experimentella värdena för n,,18 och 
dus. Konstanterna F, för À, och A, ha vid 18? självfallet beräknats direkt ur kvanti- 
teterna n,,18 och d,,18, men vid den högre temperaturen bestämts genom villkoret A, = 
— A, = A, för c—0. För alla övriga salter ha konstanterna F, . direkt beräknats ur de ex- 
perimentellt bestämda värdena för n,, och d,,, vid samma temperatur f. Praktiskt taget 
är det tämligen likgiltigt vilkendera beräkningsmetoden man använder, men har jag dock 
ansett ovanstående för fullständighetens skull böra meddelas. 

I övrigt äro beräkningarna även för H.COONa (Tabb. 17-24), OH,.COOK (Tabb. 
25-32), CH3.COONa (Tabb. 33-40), K, CO; (Tabb. 41-48), Na, CO, (Tabb. 49-56), K> C, O, (Tabb. 
57-64), Na C, 0, (Tabb. 65-69), K,C, H,O0, (Tabb. 70 A-76 A), K, C; H,O, (Tabb. 78-85) och 
H,C,0, (Tabb. 86-93) utförda på samma sätt som för KCl och Na Cl. För Na, 0,0, som 
jag undersökt med tillhjälp av differentialprismat, har jag i stället för kvantiteterna "o, 
nm, n, och m, angivit kvantiteterna A,, A,, A, och A, vilka beteckna skillnaden mellan nämnda 
brytningsindex n för lösningen i fräga och för vatten. Vidare har jag i tabell 70 A an- 
givit procenttalet p i stället för den molekylära koncentrationen c. Med dessa undantag 
üro beteckningarna i alla dessa tabeller fullkomligt ofóründrade. Sälunda äro även [R]- 
vürdena berüknade pà tidigare angivet sätt. 

Olika behandlade äro däremot A,C,7,0, lösningarna i tabellerna 70 B—76 B och 77. 
Jag har tidigare angivit, att den lösta substansen består av en blandning av 98,s ?/, 
K,C,H,0, och 1,2?/, K,CO,. Om jag med Z' betecknar molekylarrefraktionen, med M' 


Tom. L. 


Lösningars opliska egenskaper. 55 


molekylarvikten och med c' den molekylära koncentrationen för X,00,, samt bibehåller 
beteckningarna À, M och c för K,C,H,0,, gäller enligt Biots och Aragos lag 


:d 2 £ 
q (n1) = F, red CR 107: e 0". RL 10, (7) 


Under beaktande av ekvationerna 

je. M =10.p.d.0,9s5s 
Le". M'— 10.p.4.0,o142 
finner jag säledes 


0,9858 , 0,0142 =) (8) 


E p.d "HOY none 
vn) — F, (a jio )-- 5.4.10: 8. [n EE M BR 
För beräknandet av À enligt formeln (8) fordras sålunda en approximativ kännedom om 
storleken av kvotienten R’: R. Ur tabellerna 48 och 70 A—76 À har jag erhållit värdena 
för R' och À och sålunda för denna kvot funnit 
Rı Rs Ji 


1 
= — (545; — — 0,560; 
Ji Ut Tos rr Cos 


— 0,533. 

I tabellerna 70 B—76 B och 77 hänföra sig beteckningarna À, (A) och [R] till de enligt 
ovanstáende*formel (8) beräknade värdena för rent suceinat. 

Slutligen vill jag förklara tabellerna 94 och 95. I tabell (95) betecknar a skillnaden 
mellan lósningens och vattnets brytningsexponent, bestämd medelst interferentialrefrakto- 
metern och angiven i tills vidare okända enheter. Fór att kunna utnyttja A-värdena i 
tabell 95 var jag tvungen, att på något sätt bestämma An för den starkast koncentrerade 
Na, CO; lösningen, vars koncentration Cjg = 0,1071 motsvarar procenttalet 1,239. Jag beslöt, 
att för detta ändamål använda mig av Pulfrich-differentialprismat. Ett tillfälligt fel i 
bestämningen av An för denna lösning eller ett tillfälligt koncentrationsfel skulle emel- 
lertid förskjutit alla enligt tabell 95 beräknade R värden. På den grund undersökte jag 
icke endast en lösning av procenthalten y = 1,1239, utan därjämte en rad lösningar av något 
lägre procenthalt (Tab. 94a). Den vid temperaturen t avlästa vinkeln för ljus av vågläng- 
den 4 betecknar jag «. Enär emellertid denna vinkel « kan skrivas 


«& — (konst.) p, 


vilket framgär av den lineära stegringen av 4 med koncentrationen (Tab. 95) har jag ome- 

delbart uttryckt « som en produkt av tvà faktorer, nimligen som i - X. Sàlunda kom- 
‚1230 

mer X att oberoende av den angivna koncentrationen p hänföra sig till koncentrationen 

p = 1,125 "/j. Nederst à tab. 94a har jag angivit medeltalen av de beräknade vinklarna X, 

samt i tabell b de därur beräknade värdena An = (n för lösningen — n för vatten). Slut- 

ligen ha dessa värden korrigerats till 18° med stöd av en temperaturkoefficient, vilken 


erhällits pà sátt, som i $ 3 av detta kapitel fórklarats. 
N:o 2. 


56 : JARL A. WASASTJERNA. 


Med hänsyn till ändamålet för dessa mätningar var det egentligen endast nödvändigt 
att bestämma An för ljus av en våglängd, t. ex. 4 = 589,3 up. Genom att bestämma An 
även för À — 656,3 uu och À — 486,1 uw erhöll jag emellertid en utomordentlig kontroll av 
An värdet för A — 589,3 uu, enär även ett mindre fel i något av An-värdena gäve sig tyd- 
ligt till känna i dispersionen. I själva verket leda siffrorna i tabell 94b till samma dis- 
persion för Na, CO,, som enligt tabell 56 kunde väntas. 

Konstanterna R för 4— 589,5 ww i tabell 95 har jag således slutligen kunnat beräkna 
med stöd av likheten 


A 
An 10.002535: 


Vi tänka oss fi; (c) = A, — A, och fig (c) = A, — A, utvecklade i form av serier med 
stigande potenser av c. Vi inse omedelbart, att varje sådan serie f antar värdet 0 för 
€ —0, enär enligt definitionen av 7, A,— A, — A, för c — 0, samt vidare, att vi genom 
lämpligt val av konstanterna (A) kunna göra fn (c) = fıs (c) — för vilken given kon- 
centration som helst, och speciellt även för den hógsta koncentrationen C. Därav följer, 
att för att funktionerna f för koncentrationer c < C skola antaga fran 0 märkbart avvi- 
kande värden, koncentrationen C mäste vara sä stor, att termerna av hógre ordning i 
serierna f icke kunna fórsummas. ve: 

I annat fall leda de olika formlerna till fullstándigt identiska A värden, under fór- 
utsättning, att konstanterna (À) bestämts på sätt, som ovan antytts. Ett exempel på detta 
sakförhållande finna vi i CH,.COONa (Tab. 33—40). Grafiskt äro A kurvorna framställda 
i diagrammen 7 —9. i 

Helt andra förhållanden träda i dagen t.ex. för H.COONa (Tab. 17—24) och CH,.COOK 
(Tab. 25—32). Den bästa uppfattningen härom erhålla vi genom att betrakta diagrammen 
10—21. Värdena A,, À, och A, äro i dessa diagram utmärkta genom olika betecknade 
punkter. För att kort i siffror kunna sammanfatta de här uppträdande nya fakta, vilja 
vi antaga, att de observerade avvikelserna A lämpligen kunna representeras genom parabler. 
Ekvationen för en sådan parabel mà vara d — qc-4-pc. På grund av tillfälliga försöksfel 
uppträda likväl differenser A — A — à. Vi definiera nu den sannolikaste parabeln d genom 


villkoret 
XA — minimum. 
Saledes 
OA _& 028, 
oq : dp — 
och 


Tom. L. 


2 
Lj 
3 


Lösningars optiska egenskaper. 24 


Det är emellertid utan vidare klart, att det värde, som vi salunda erhalla för konstanten 
q, är beroende av huru vi valt närmevärdet (A). Vi bestämma därför, på samma sätt som 


tidigare, strålen [4] och taga denna stråle till c-axel. Därigenom erhåller parabeln ekva- 


och är numera entydigt definierad av försöksdata. Vidare måste denna parabel [d] anses 


tionen 


vara i stort sett oberoende, icke blott av små temperaturförändringar (18°, 25”), utan även 
av våglängden, enär i annat fall dispersionen skulle vara en ytterst snabbt varierande 
funktion av koncentrationen, vilket står i strid såväl med äldre undersökningar som med 
resultaten av föreliggande arbete. Vi låta t, och £, beteckna de båda temperaturer, för 
vilka undersökningarna utförts, samt införa indexbeteckningarna h 


T h= för & och 4 = 656, mu 


RM ER 4-:6503.uH 
h —3 > "i » À = 589,5 uu 
NT ZASE u. 


Enligt ovanstående kunna vi dä för ett visst givet salt sammanfatta resultaten i tva koef- 
5 > 
ficienter Q och P, vilka ha betydelsen 


à 6 
om 2: | i = | = V | q [BYE | 
Se | gua "s 


De nämnda parablerna d äro inritade i diagrammen 10 - 21 för H.COO Na och CH4.COOK. 

Analoga förhållanden återfinna vi för &,CO, (Tabb. 40—48) och Na,CO, (Tabb. 49—56), 
Värdena A och kurvorna d äro framställda i diagrammen 22— 30. För dessa salter är syn- 
barligen krökningen av d, mycket svag; kurvan d, visar sig än vara konkav uppåt, än 
konvex uppåt, tydligen beroende av fördelningen av experimentfelen. Däremot är kurvan 
d, för dessa salter, i motsats till för H.COONa och CH,.0OOK, genomgående konkav uppåt, 
medan d, här, likasom tidigare, är starkt konvex uppåt. Att kurvan d, överallt visar sig 
vara konvex uppåt sammanhänger tydligt med att den Newton-Laplace'ska formeln har en 
för hög derivata. Den varierande krókningen av kurvorna d, och da; päkallar emellertid 
en närmare undersökning. 

För detta ändamål ha konstanterna & och P för de flesta här undersökta salter ut- 
räknats. De äro sammanställda i tabell 96. 

Vi observera vidare, att värdet [A] vilket, så snart en krökning av d-kurvan före- 
kommer, icke mera har karaktären av det sannolikaste värdet i allmänhet, numera beteck- 


nar det sannolikaste värdet för den koncentration c, som bestämmes av likheten 


N:o 2; g 


ue MEN DD de DCR TV À à ds 


ar a ee nn 


58 JARL A. WASASTIERNA. 
e— SUN : 
— P 


Den högsta undersökta koncentrationen c, mà motsvara procenttalet p,. För denna 
koncentration är det sannolika Z-vürdet 


[E], = [R] +(Q + Pe) g,-10 ° 


och fór koncentrationen e — 0. 


=> 


[£];- [22] -E:Q p7 10: —. 
Säledes 


iR 
op 


104 Pa) wi — Qui | 10 


DA 3 OR * 
I tabell 97 har jag angivit kvantiteterna p,, À, och Här betecknar R, medel- 


op 
talet av de [A],-vürden, som pà ovan angivet sätt erhällits för de bàda olika temperatu- 
rerna. Endast för de mycket starkt utspädda Na,CO;-lösningarna (Tab. 95) ha À och 5 


beräknats direkt ur de experimentella värdena för c = 0,11 och € = 0,01429. 

Vidare har jag i tabell 98 angivit de ur de tidigare tabellerna enkelt beräknade vär- 
OR 10! 
Ben 
och H,C,0, enär i det förra fallet tydligen jämförelsevis stora experimentfel förekomma, 


dena för Därvid har jag likväl bortlämnat de siffror, som hänföra sig till Na CO, 


samt då i det senare fallet en så långt driven noggrannhet, som erfordras för bestämman- 
det av här ifrågavarande kvantiteter, under inga förhållanden kan förutsättas, beroende 
på oxalsyrans relativa svårlöslighet. ; 

R 104 
as Td 
Därvid har jag utelämnat de kvantiteter, som hänföra sig till de starkt utspädda Na,00, 


Slutligen har jag i tabell 99 angivit de ur tabell 97 beräknade värdena fór 


lösningarna, samt desslikes de som hänföra sig till Na, C,0, lösningarna, enär även här de 
egendomligheter, som uppträda für mycket starkt utspädda lösningar, göra sig märkbart 
gällande. 

Tabellerna 97—99 innehålla sålunda på sätt och vis det sammanträngda experimen- 
tella resultatet av hela den föreliggande undersökningen. 

Av tabell 98 synes, att temperaturkoefficienten för molekylarrefraktionen för lösta 
salter enligt Newtons och Laplace's formel genomgående är negativ, enligt Gladstones och 
Dales formel omväxlande positiv och negativ och slutligen enligt Lorenz” och Lorentz’ 
formel genomgående positiv. I detta avseende förhålla sig lösta salter således på fullkom- 


ligt samma sätt som flytande organiska ämnen. 


Tabell 99 åter utvisar, att i vattenlösningar uttrycket enligt Newton-Laplace's 


oR 
R- op 
formel med ett undantag är negativt, medan samma derivata enligt Gladstones och Dales 
formel och jämväl enligt Lorenz' och Lorentz” formel är omväxlande negativ och positiv, 


Tom. L. 


Lösningars opliska egenskaper. 59 


varvid dock enligt sistnämnda formel avvikelserna fran 0 nà betydligt högre värden än 
enligt Gladstones och Dales formel. 
Villkoren 


uppfyllas således enligt tabellerna 98 och 99 bäst av Gladstones och Dales formel. 

Tabell 100 innehäller de enligt tabell 97 beräknade, för det inom parenteser angivna 
procenttalet uppträdande differenserna mellan ekvivalentrefraktionerna för K och Na samt 
jämväl dispersionsdifferensen /. 

Tabell 101 anger de enligt Lorenz-Lorentz' formel beráknade refraktionerna och dis- 
persionerna fór den oladdade syreresten. 

Vid nämnda beräkning har jag likväl varit tvungen att stóda mig pà vissa i tabellen 
angivna värden för depressionen resp. exaltationen för molekylarrefraktionen för A,CO0, 
och K,C,0, I avsikt att kontrollera exaltationsvärdet + 0,43 för oxalsyreresten, har jag 
bestämt molekylarrefraktionen för oxalsyra (Tab. 97). Molekylarrefraktionen = 15,55. Syran 
kan betraktas som en enbasisk syra med dissociationsgraden 0,5 varför den ena väteato- 
men kan tillskrivas refraktionsvärdet 1,10 och den andra det skenbara refraktionsvärdet 
4 (io + 1,76) = 1,45. Oxalsyreresten har dä refraktionsfórmágan 15,55 — 1,10 — 1,43 = 12,25. 
Med hänsyn till osäkerheten såväl av talet 15,55 som av ovan anförda beräkning är óver- 
ensstämmelsen tillfredsställande. 

Tabell 102 slutligen innehåller den skenbara atomrefraktionen R för kalium, beräknad 


OR 
— det extra- 
Op 
polerade värdet À för p = 100 */, samt den skenbara atomdispersionen D. R-värdena och 
deras beroende av koncentrationen äro grafiskt framställda i figur 31. Man finner ome- 


delbart, att den skenbara atomrefraktionen för kalium för alla salter konvergerar mot 


enligt Lorenz-Lorentz' formel, för en lösning av procenthalten p, derivatan 


värdet R= 4,5 för koncentrationen p = 100 "/,. Detta resultat är fullkomligt oväntat. 
Den skenbara dispersionen har värdet 0,u. 


shine Me, 


IV, 


En hypotes rórande byggnaden av elektrolyternas molekyler. 


Enär, som jag i slutet av föregående kapitel framhållit, och vilket omedelbart följer 
av tabellerna 97, 99 och 102, molekylarrefraktionen för lösta salter i allmänhet är en 


E : 2 1 à oR 
funktion av koncentrationen, och således i allmänhet om 0, gäller det närmast att 
1) 


undersóka, huruvida nàmnda faktum är att betrakta som en direkt fóljd av dissociationen 
eller icke. Man ser omedelbart (tabellerna 97 och 102 samt figur 31), att de observerade 
avvikelserna ieke äro stórre än de avvikelser, som uppträda fór lósta icke-elektrolyter. 
Man har sålunda icke någon anledning att a priori betrakta dessa avvikelser som en 
fóljd av dissociationen. 

Om likväl orsaken till olikheten 5,70 stode att söka i en övergång av en elektron 
från en bana till en annan, skulle kurvorna för A, konvergera mot en punkt (p = 0, 
HRy— BR, + konst.). I själva verket är detta icke fallet. Kurvorna À, konvergera tvärtom, 
som man ser av figur 31, mot en punkt (p — 100, À, — 4,»). Härav följer, att en direkt 
inverkan av dissociationen är utesluten, vilket emellertid icke hindrar, att olikheten 
oR S MIU - : SM 5 
er 0, åtminstone delvis, indirekt kan betingas av dissociationen, t. ex. av jonernas hyd- 
ratation och associationen av odissocierade molekyler. 

Ovan relaterade förhållanden kunna förklaras på olika sätt. Endera äro jonerna 
färdigbildade i salternas molekyler, eller är den minskning av refraktionsvärdet för ka- 
lium, som uppträder i samband med atomens övergång i jonform, identisk med den ök- 
ning av molekylarrefraktionen, som karboxylgruppen erfar, då densamma erhåller ett till- 
skott av en elektron. Sistnämnda ökning kan emellertid under inga förhållanden antagas 
vara lika med differensen mellan klorjonens och kloratomens refraktion. Om således jo- 
nerna icke vore färdigbildade i de lösta salternas molekyler, så skulle enligt ovanstående 
molekylarrefraktionen för K Cl icke kunna vara oberoende av koncentrationen, vilket lik- 
väl är fallet. 

Den funna molekylarrefraktionen för K Ol i lösning är att betrakta som summan av 
jonrefraktionerna för X och C/, ty denna molekylarrefraktion överensstämmer fullstän- 


Tom. L 


Lösningurs optiska egenskaper. ol 


digt med det värde för ovannämnda kvantitet, som bestämts för det kristalliserade saltet, 
i vilket, som jag tidigare framhällit, jonerna äro färdigbildade och identiska med jonerna i 
en KÜl-lösning. Då för de lösta K- och Na-salterna av samma syra ständigt praktiskt taget 
samma differens uppträder, nämligen i medeltal 2,05; (enligt Lorenz-Lorentz’ formel), kan 
man säledes med säkerhet antaga, att denna differens utgör skillnaden mellan jonrefrak- 
tionerna för A och Na. 

Om vid bildningen av den odissocierade molekylen en utjämning av laddningarna 
skulle inträffa, så skulle emellertid differensen X--Na förändras. Detta följer av det fak- 
tum, att valenselektronernas banradier och frekvenstal icke äro identiska för K- och Nu- 
atomerna, vilket framgår av vad tidigare sagts rörande den fotoelektriska effekten. Av 
tabell 102 och figur 31 följer, i motsats härtill, att samma differens K -Na uppträder även 
för p = 100 ?/,, således för odissocierade molekyler. Man ledes alltså till slutsatsen, att i 
den odissocierade molekylen jonerna äro färdigbildade. 

Till samma resultat kommer man även genom ett annat resonemang. Om man antar, 
att den odissocierade molekylen vore byggd på samma sätt som t. ex. en organisk icke- 
elektrolyts molekyl, och att alltså molekylarrefraktionen additivt sammansättes av atom- 
refraktionerna, följer att det värde 4,70, som erhållits för atomrefraktionen för kalium, ut- 
gör den faktiska atomrefraktionen. Enär molekylarrefraktionen för K (7 oberoende av 
koncentrationen — 11,5, bör således differensen 11,54, = 6,5: utgöra atomrefraktionen 
för klor. Atomrefraktionen för klor ligger emellertid med säkerhet under 6. 

En helt annan överensstämmelse mellan teori och fakta ernår man, om man antar, 
att jonerna äro färdigbildade i den odissocierade molekylen. Av detta antagande följer 
för det första, att den skenbara atomrefraktionens avvikelser från 4,70 för kalium vid 
lägre koncentrationer icke äro en direkt följd av dissociationen, samt vidare, att då man 
vill bestämma summan av jonrefraktionerna icke starkt utspädda, utan möjligast starkt 
koncentrerade lösningar böra undersökas. Således kan man förutse, att molekylarrefrak- 
tionen för ett salt i lösning med tilltagande koncentration närmar sig molekylarrefraktio- 
nen för saltet i fast form, vilket, som jag i Kap. II framhållit, överensstämmer med verk- 
ligheten. 

För klorjonen erhålles sålunda ur de mest koncentrerade H Cl-lösningarna ungefär 
värdet 8,5. Den faktiska jonrefraktionen för kalium vore dà 11,27 — 8,25 = 3,02 och för 
natrium 3,02 — 2,05 = 0,5. Därav kan jag draga slutsatsen, att gruppen CO.O vid övergång 
i jonform ökar sin refraktion med 4,70 — 3,02 = 1,6s. 

Enär emellertid svaga elektrolyter existera, som samtidigt uppträda som syror och 
som baser, tvingas man till antagandet, att i de svaga elektrolyternas molekyler jonerna 
icke äro färdigbildade. Differensen mellan refraktionsförmågan för en stark syras Na- 
salt och molekylarrefraktionen för syran själv är naturligtvis lika med jonrefraktionen 
för Na, enär jonrefraktionen för väte måste antagas vara lika med noll. Denna differens 
är således — 0,97. För en svag syra bör refraktionen för gruppen CO.0O i och med fór- 
lusten av laddningen sjunka med 1,6, medan väteatomens refraktion 1,1 uppträder som 


en ny positiv kvantitet. Minskningen av syrans molekylarrefraktion är alltså — 0,58 och 


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62 JARL A. WASASTJERNA: 


differensen mellan Na-saltets och den svaga syrans molekylarrefraktioner bör således 
uppnå värdet 1,5. 

Jag framhåller, att dessa slutsatser rörande refraktionsförmågan för svaga och starka 
syror, vilka slutsatser tillfullo bekräftats av erfarenheten, äro en direkt följd av rent ex- 
perimentella resultat kombinerade med antagandet, att jonerna äro färdigbildade i de starka 
elektrolyternas molekyler. 

Slutligen påminner jag om, att jag i Kap. I givit en teoretisk tolkning av de enligt 


ovanstående antagande existerande differenserna 


Cl — Cl = 2,4 
CO -0' — CO "0 — 175. 


Genom ovannämnda antagande förklaras slutligen även det tidigare obegripliga fak- 
tum, att saltsyran i koncentrerad lósning icke uppvisar den beräknade molekylarrefrak- 
tionen H + Cl = 13 + 5,9 = 7,0, utan värdet 8,5. Lóses emellertid saltsyran i olika lósnings- 
medel med avtagande dielektricitetskonstant, sjunker molekylarrefraktionen monotont och 
närmar sig det värde, som HCl uppvisar i gasform, och som tillfredsställande üverens- 
stämmer med det för den opolariserade molekylen beräknade värdet. 

Man kunde anmärka, att saltsyran i gasform uppvisar absorptionslinjer i ultrarött. 
Jag har emellertid redan i Kap. I $ 7 framhållit, att därmed på intet sätt är bevisat, att 
jonerna vore färdigbildade, om vi därmed förstå det slag av joner, som uppträda i en salt- 
lösning, utan att fastmer endast en assymmetrisk fördelning av laddningarna genom nämnda 
absorption ger sig tillkänna. 

Enligt här framförda hypotes kan man vidare förutse 

att molekylarrefraktionen för lösta salter icke i nämnvärt högre grad beror av kon- 
centrationen än molekylarrefraktionen för lösta icke-elektrolyter. 

att differensen mellan molekylarrefraktionerna för bromider och klorider samt för 
jodider och bromider för svaga elektrolyter antar andra och mindre värden än för 
starka elektrolyter, 

att i allmänhet lösningsmedlets natur och dissocierande kraft icke i nämnvärt högre 
grad påverkar elektrolyternas molekylarrefraktion än molekylarrefraktionen för icke-elek- 
trolyter, men 

att i vissa fall en djupgående förändring i molekylbyggnaden kan inträffa, med- 
förande en stark förskjutning av molekylarrefraktionen. c 

Man inser slutligen, om riktigheten av den här framförda hypotesen förutsättes, att 
dispersionen för kalium, alltså dispersionen för K'-jonen, vilken saknar valenselektroner, 
är nära lika med noll. I det jag stöder mig på den tidigare använda arbetshypotesen, 
finner jag enligt formlerna 48, 61, 62 och 64 (Kap. I) genom en enkel räkning, att dis- 


persionen D; för en negativ, enatomig jon kan uttryckas genom formeln 
D, — D, - [f (p, 9] | 
där D, = dispersionen för den oladdade atomen. För klorjonen erhäller jag pà sà sätt 
D, = 0,107. 2,19 = 0,234, 
Tom. L. 


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medan dispersionen för KCl, bestämd direkt ur värdena för KC! och beräknad ur NaCl, 
i medeltal erhåller värdet 0,555. Man finner sålunda för K'-jonen dispersionen + 0,» och 
för Na-jonen dispersionen + 0,005. Den tidigare funna atomdispersionen för A är således 
enligt denna hypotes, som man kunde vänta, skenbar, i det den största delen av denna 
dispersion (0.11), nümligen 0,09, utgör en av den negativa laddningen förorsakad ökning av 
karboxylgruppens dispersion. 


Sammanfattnine. 


1:0 Valenselektronernas antal fór olika atomer har beräknats direkt ur Eisenlohrs 

konstanter för atomrefraktionerna. Resultaten överensstämma med Drudes valensteori. 

= 2:0 Den Lorentz-Planck’ska dispersionsformeln har givits en ny interpretation, var- 
igenom vunnits en arbetshypotes, enligt vilken bland annat den selektiva fotoelektriska 
effekten kan beräknas. 

3:0 Enligt denna hypotes kan vidare den förändring, som refraktionsfórmágan och 
dispersionsförmägan undergär, dà en atom övergår i jonform, i vissa enkla fall beräknas. 

4:0 Experimentellt har påvisats, att temperaturkoefficienten för molekylarrefraktio- 
nen för lösta salter enligt Newton-Laplaces formel stüdse är negativ, enligt Gladstones och 
Dales.formel omväxlande negativ och positiv, eller i medeltal lika med noll, samt enligt 
Lorenz-Lorentz' formel genomgäende positiv, 

5:0 att jämväl Biots och Aragos lag angående den specifika refraktionsförmägans 
additivitet för blandningar, tillämpad pä saltlósningar, i allmänhet exaktast uppfylles av 
Gladstones och Dales formel, samt 

6:0 att den skenbara atomrefraktionen för kalium med växande koncentration hos 
de undersókta lósningarna konvergerar mot värdet 4,70, medan den skenbara dispersionen 
(H; = H,) har värdet 0,11. 

7:0 Av resultaten framgär sälunda, att vid bestämningen av molekylarrefraktionen 
för lösta salter möjligast starkt koncentrerade lösningar böra undersökas och om möjligt 
molekylarrefraktionen för koncentrationen 100°/, genom extrapolation beräknas. 

8:0 Saltlösningarnas optiska egenskaper kunna enkelt förklaras endast genom anta- 
gandet, att jonerna äro färdigbildade i de starka elektrolyternas molekyler, medan de 


svaga elektrolyternas molekyler icke kunna anses vara på ovannämnt sätt polariserade. 


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2972 01263 | 2967 | OIOBI 
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E | 5000 | 02220 4991 02031 
G | 5970, | 02658 | 5959 02462 
H | 7443 | 03329 | 7428 03118 
I 7955 | 03563 | 7939 03356 
J | 8967 04024 8949 03816 
K | 1°0000 | 04493 | 9979 | ‚04274 
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M | 3143 | OSOII 3119 05721 
N | 6000 | 07172 | 5965 06936 
[9] 8000 08059 7959 07815 
B 20000 | 08909 | 9954 08656 
[9] 4000 10647 2:3944 10387 
R | 8000 12339 7033 12071 
S | 3/2000 14028 | 31924 13757 
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L 4310 | 00 60 18 4307 4302 4312 
M | 4420 | 00 58 18 4418 lx HATT 4421 
N 4677 | 02 63 19 4671 | 4664 4675 
O 4850 0 | 18:98 52 17 4849 | 4843 4854 
IB 5015 98 48 17 5016 | 5010 5021 
9 5366 1900 | kN, 18 5362 5355 5367 
R 5692 1898 | 47 17 5692 5686 | 5607 
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A | r33108 | Dx = — 1:33117 133123 1331000 
B | 3220 | 159 39'0 9:6 3218 3224 
c 3306 | 3 381 I 3313 3319 
D 3595 6 | 391 I 3602 3608 
E 3784 15:56 |^. 3926 9:10 3793 3799 
F 4065 | 63 51 I3 4071 | 4076 | 
G 4528 | 70 74 16 4527 | 4533. | 
H 4963 | 68 7! 15 4964 | 4971 | 
I 5393 | 68 72 15, 5395 5402 | 
J So 68 73 15 5812 5819 | 
K 6230 | 680m 74 14 | 6233 6241 | 
M 7042 69 78 1 n 7043 7049 | 
N 7428 69 79 14 7427 | 7434 | 
12. NaCl. à = 589'3 uu, 1 — + 18.° 
—— - - - — — 
Hy R, R; R; n, Hs 
| | | | 

A 133348 = = > 133348 1:33348 1:33 
B 3450 158 403 92 | 3450 | 3450 3 
€ 3552 9 6 3 | 3550 : | 3549 
D 3860 16°1 9 3 3850 3848 
E 4052 15'91 4054 9:24. | 4047 4044 
F 4337 88 45 22 4333 4329 
G 4801 83 31 20 | 4802 1707 il 
H 5259 87 39 ZEN 5254 5248. | 
I 5699 | 86 35 SON 5695 5689 | 
J 6123 | 85 33 | 22 6119 6113 
K 6560 | 86 36* | 22 6554 | 6545 : 
I 6961 85 | 32 21 | 6958 | 6950 
M 7374 85747" 27 20 7380 | 7369 
N 7768 83 27 20 7775 7763 


Sr ns e ape Sra at mE CICER > nd 
- er Br Nie MOT x id 
re E +" , 
IÍ - 
5 
Lösningars optiska egenskaper. VII 


là. NaCl. à = 5893 uu, 7 — + 25°. 


| no | R, | R, R; n, N, Hs 
| I | 
A | 133201 = = | = | 133296 133303 133291 
Bec 3390 + IFO 364 | go | 3398 3405 3393 
E 3493 7 39 3 3495 3502 3491 
D, 3788 8 9 spe 3787 3793 3782 
E 3980 | 1583 3999 9°25 3981 3986 3976 
E 4259 | 8r 40:02 23 4262 4267 | 4256 
G 4718 So 04 | 2I 4724 4729 | 4718 
H 5165 85 14 PELA 5167 T2 Hl 5160 
I 5599 | 82 13 22 5604 5609 | 5596 
4 25 | 84 18 25 | 6026 6032 | 6018 
K 6452| 84 195555] 22 6453 6458 | 6446 
| 7272: E 84 | 21 | 22 | 7274 | 7276 . 7268 
"N 268p. | 82 16 | 21 7662 7666 7657 


| Hs | R, s | | = | R; 


n, ns D 
| 
A 1:33764 = 
B 3870 16:3 417 
€ 3975 3 9 
D 4286 3 7 
ES :| 4485 16:23 41:50 
E | 4779 21 44 
CR 5257 17 33 
ZH 5732 2 23 ade 
I | 6174 17 30° 
Fr, 6617 19 34 
K | 7054 16 27 
e 7475- ^ 18 | 6 .30 
iy TM 7894 14 | 22 
N 8308 16 26 | 
i | 
À A 
P: 


"ESO PTIT D A. 
VIII JARL A. WASASTIERNA. 
15; NaCl ax = 4867 un, 7 —4 25% 
D R, R, | Ri, | n, | N, | Hs 
| | 
A 1'33701 — — -— 1'33712 1:33718 133706 
B 3817 16:2 39'8 97 3816 3822 3811 
C 3906 157 I 3 3916 « 3922 3910 
D 4211 16'1 4076 4 4215 4222 4210 
E 4404 16702 4061 935 4414 4419 4409 
Ba 4695 09 85 | 37 4702 4707 4697 
G 5172 14 | 41'03 | 39 5176 5181 5172 
H 5637 | 20 | 20 41 5630 5636 5626 
I 6077 I5 11 39 6079 6084 6074 
Ji 6508 I5 | 10 38 6511 6517 6508 
E 6949 | 1600 e 39 6950 6956 | 6948 
M 7784 | Roger n 37 7793 | 7797 7795 
N | 8184 . | 14 | I2 37 8193 8197 8199 
16. NaCl. 
(R;) | (R.) | (Rs) ‘| PAC P [A] [Rs] 
ESO BÖRS DOE 
2 = 6563 um + 182 | 15:69 3582090 gar | 15709 | 39'921 9:138 
À = 65633 up, + 25? 69 | 82 | 141 | 698 . 836 142 
4 = 5893 uu, + 18? 84 40724 213 | 844 40323 | 206 
À = 589:3 uu, + 25? | 84 24 213. | 845 266 217 
4-486 uu, + 189 | 16:16 | 41:19 | SS 16:170 41:288 371 
A = 4861 uu, +25° | 16 19 383 160- | 2030| 376 


17. H.COONa. 


18 


Cine | d A Giro d E: d 
| 

0'0000 0'99862 | 0:0000 099707 
0‘6562 102645 06549 102447 

| 1:6032 06476 15994 | 06222 

| 217264 | 10866 27189 | 10560 
33328. s 13141 | 33235 will 12824 

| 47202 18246 | 47054 17875 

| 5:2082 19984 | 5'1914 | 19596 
5'9112 22494 | 5'S918 | 22092 
68774 25786 |. "68538 | 25354 | 
72718 27117 | 72465 26674 


Tom. L. 


Lösningars opliska egenskaper. IX 


18. H.COONa. 2 = 6563 uu, 1 — + 18°. 


1: 
| 


n R Ra R, n Hs DA 
ù 1 "m 1 2 3 


Bo — -— — | 133168 133168 | 133168 
372000 | 16:91 42:28 9'97 | 3719 3715 3722 
4463 | 96 34 ae 4453 4448 1456 
S28T | 93 22 9:99 | 5272 5268 5274 
5697 94 22 10:00 5682 | 5681 5682 
6589 90 06 | 9'99 6588 | 6594 6584 
6893 | 91 07 99 6888 | 6897 6880 
7305 + 87 41:95 "97 7322 7335 7311 
7829 | BE 85 97 7865 7890 7845 
ac | 96 8083 | 8112 5060 
19. A.COONa. à = 6563 uu, 1 — + 25°. 
— o m —— —— — 
R, | R, | Re n, | Hs | Hn 
| | | 
| 
A 1:33108 | -— — -— "33108 | 133108 | 1:33108 
B 3641 | 16:83 4197 9'93 | 3647 || 3643 | 3650 
(e: 4378 | 17:00 | 42:35 10:04 | 4366 | 4361 | 4370 
De 5184 | 16:96 | 23 | 02 5173 5168 5178 
E 5598 | 97 | 2 03 5583 5579 5586 
F 6480 | 93 o8 | OI | 6478 6479 6478 
G 6774 | 2 E 7] OI 6774 6778 6773 
H VAS 87 41:89 9:98 7207 7213 7203 
I 7712 SE 87 99 7746 7761 7735 
J 7919. 4| 87 83 99 7962 7981 7948 
20. H.COONa. à = 5893 uu, 1 — + 18°. 
— = T 
ny R, | R. | Uns | n, Nn | Jis 
A | 133348 | = | E — 123348 1733349 1:33348 
B | 3911 | 1713 | 42:88 10708, + 3906 3902 3909 
C 4668 17 92 II 4649 4644 4653 
Es 5487 o8 64 07 5479 5474 5482 
E © 5901 07 57 07 5895 5893 5897 
F 6807 | 03 45 05 6814 : 6818 6811 
G 7108 03 42 | 05 7118 7126 7113 
H 7526 16:99 3r 04 7559 7569 7550 
I 8049 96 18 | 03 Sıır 8132 8094 
Ji 8271 ; 97 | T8 03 $332 8357 831I 
, 
2 
VTC a 
æ À! à À 7 
BER 


Nu A agp TJENA 


4 


"4 


JARL A. WASASTJERNA. 


21.,22.CQ0 Na: 5898 ul; Wear i 


ny | R, Re | Re | n, ns Hs 

| | A | 

| | | | | 
A 133291 "i "D T I TEA 133291 133291 
B 3826 16:91 42:21 997 | 3833 3830 3838 
C | 4572 17*12 70 IO'IO | 4556 | 4552 4564 
D 5386 09 59 | o8 5368 | 5364 537 
E 5796 07 | 52 | o8 5780 5778 | 5791 
F 6691 04 41 | 07 6680 | 6684 | 6691 
(e 6988 04 38 | GUN] 6978 6986 | 6988 
H 1394700) 16:99 23 04 7413 7423 7423 
I 7931 | 98 19 05 7955 7975 7960 
J 8136 97 14 04 8173 8197. | 8175 


22, H.COO Na ABO oua ra 


ny | R, R; Jis | n, | na Hs 
| I 
| | | | 
A 133764 | — -— -— 133764 | 13376 1°33764 
B 4339 . | 1742 | 4373 10:23 43330 | 4329 4336 
C 5109 | 70 | 25 | 5090 | 5086 5095 
D 5956 | 39 EM 23 5987 ‘| 5934 5042 
E 6378 37 | 45 22 6362 6362 6365 
F 7295 31 25 | 19 | 7301 7307 | 7300 
G 7503 28 I7 jo! 7611 7622... | 7608 
H 8014 AA 03 16 8061 8075 | 8055 
I 8573 24 OI 17 8626 | 8651 | Sérr 
3 8789 23 42797 I7 | 8852 S882. | 8834 


23. H.COO Ng: = 8650 un VESTE ER 


| D | R, À R, R; n, | ns | Hs 
| 

| | | 
A 1:33701 — | = = 1733701 1:33700— | ‚133701 
Bu 4255 17737 | 4/5754 10:18 | 4256 ; 4252 | 4260 
C | 5020 | 47 | 71 28 4996 499I 5003 
1 | 5850 4o | 50 25 | 5828 5822 | 5836 
E | 6283 42 | 52 26 6251 | 6246. 6259 | 
E | 7182 BR | 26 22 7175 7174 7181 
& 7480 | 32 | 20 21 | 7481 7483 - 7486 
H 7889 | Ad ON ISEN 7927 | 7032: | 2. TOT. 
I 8454 27 04 20 | 8485 8499 | - 8484 
J 566 I 25 12:97 19 | S708 8726 | 8705 


Tom, L. 


Lösningars optiska egenskaper. XI 


24. H.COONa. 


(A) | (R,) | (A3) [AR] | [At] [A] 


| 
1 = 656:3 uu, + 18° 16:90 42'09 9:98 | 167874 41'951 9'977 
*N À = 6563 uu, + 25? 16:925 07 10:01 | 804 | 952 998 
A = 5993 uu, + 182 | 17:05 51 | 06 | 998 | 42'313 10'040 
À = 5893 uu, +25° | 02 37 | 07 17:008, ..| 274 O54 
É 124861 ug, +18 | 32 43:32 | 20 | 267 43:106 178 
À = 4861 uu, + 25? | 32 | 22 | 22 | „zone 119 202 
| 
235. 2 CH..C0OR. 
18 25 
GCige | d 4 Capo ^ d 3 
A 0.0000 099862 O'0000 099707 
B 016346 102966 076334 | 1'02774 
C 18091 08268 1:S050 | 08021 
| à 
D 30494 13718 3422 | 13448 
E 34130 15244 34042 14947 
F 51609 - | 22424. ^ 5.1460 22070 | 
2 | | 2 
GR 83676 34403 8:3405 33967 | 
| 
20: CH..COOR: A =" 65034 aus. ?= 118. 
— — ——— — ———— —— 
| Hn € | jet IG R, JA n, na Hl 
| | | 
| | | 
! | 
| 1:33168 | — -— | — 1:33168 1°33168 | 1'33168 
| : | : 
3895 27:78 6869 | 16'51 3893 3887 | 3895 
| | 
5087 75 | 44 SI 5085 | 3080 | 5087 
6312 80 57 53 6295. | 6286 6299 
6637 78 49 | 52 6625 | 6617 6630 
| 8173 76 aaa] 51 8164 > I S155 | S171 
| 110556 70 | 17 50 [40592 1740604 | 1*40580 


——————————————————————————————— 


4, 


PN 


PR ON TE CRT LE i VIR TN C RT AE ET M 
n: fj KW "Y LER) | 


XI JARL A. \VASASTIERNA. 


21 CHE COORMENGSG au 7 2I oT. 


I 
Hg R, R, | Ra n Ns | ns 
A 13310800 = — | — L33111 |  r33lH Tu cct 
B 3817 27:64 68:20 16:44 3822 3817 | 3825 
Je 4997 73 29 51 4995 4992 | 4998 
D 6216 78 40 53 6198 | 6196 | 6203 
E 6535 77 4o 53 6520 | 6512, | 6524 
F 8060 76 | 38 | 52 8040 | S031 | : 8046 
G 1:40436 | 72 À 17 | 51 140440 EL 17404537 | 0040481 
28: 2 CHuGCOOR. à — 58913 u fi ALOE: 
Hy | PR R; | R, n, DA DA 
| | 
A 133348 = x 133348 133348 | 133348 
B 4084 28:02 69:33 16:63 4077 4072 4081 
eM) 5294 00 13 64 5279 5275 5281 
D 6520 27'99 12 63 6497 6489 | 6503 
E 6851 97 06 63 6831 | 6824 | 683 
8392 03 | . 6993 60 8383 | 8374 8389 
G | 1*40787 86 | 65 | 58 140820 | 140844 | 140820 
29 CIT COGO R. A 58919 un 25 
: ] IR ESO: du. n dy | 
ny R, R; | RR; | ny | y N; 
| | | 
| | | | 
A 133291 — — | -— | 133291 | 133291 1:33291 
B 4008 27:90 68:91 | 16:58 | 4008 | 4003 4011 
S 5208 99 | | 6904 PN SC UE] 5187 5192 
D 6426 98 03 | 64 | 6401 6393 | 6406 
E 6740 94 | 68:89 62 | 6726 | 6719 | 6731 
F 8275 93 86 61 8258 8251 8265 
G 140669 88 65 60 1740678 "Lr 40692. 1:067! 


Lósningars optiska egenskaper. XII 


30. CH,..COOK.'4- 486'r uu, b=-+ 18°: 


R, Ra R; n, N, N; 
x T3 | 37 133764 133764 133764. 
28:46 70:63 | 16:86 4505 4499 4509 
43 38: | 86 5727 5721 5728 
39 28 | 84 6966 6958 6971 
36 I8 | | 82 7306 7298 7311 
| 33 E 81 8883 8874 8890 
| | rdi 3 | | ti 
| 26 | 69:81 | 78 140374 141388 141366 


3. CH.COOR X — 4861 ut 41025". 


I | I | 
R, | IS R; | n, | n Hg 
| | | | 
| 
| | 
A 1'33701 Le | = | = 1:33706 |  1:33706 1°33706 
B 4425 2815 6970 | 16:69 4434 | 4429 4437 
€ 5652 37 7016 | SA | 5637 | 5633 5637 
D 6889 36 I3 | 83 | 6868 | 6860 6873 
E | 7216 34 07 | 82 | 7199 | 7191 7203 
F 8775 32 OI St 8757 8749 8763 
3 141204 27 69:77 | 79 141222 I'41235 l‘41212 
32.2 CHICOOK. 
(R)) (R) (R)) Ee es UTE PR 

| I i 

| | 
1 = 6563 uu, + 18° | 27744 | 68:335... | 16:51 | 27731 687303... | 16:504 
A = 656'3 uu, + 25? 725 | 226 | 51 | 740 261 | 518 
à = 5893 up, + 18° 915 839 60 904 804 594 
A-5893 uu, +25° | 896 | 727 60 910 760 607 
À = 486°T uu, + 18° 28*306. | 69:980 | so | 28:303 69:970 798 
1= 4861 uu, + 252 | 288 870 8o 295 888 805 


XIV JARL A. WASASTJERNA. 


33. CH,.COONa. 


A 7 UNE dm 
A 0‘0000 | 0.99862 O'O0000 0'99726 
p 2707 | 1'OIO16 2703 100866 
C 5413 | 02136 5404 01972 
D 7834 03126 7821 02951 
E 10254 04103 *1:0236 03917 
F 2939 05169 2914 04968 
G 562 06231 5593 | 06021 
H 7759 07057 7722 06833 
I 9893 07876 9851 07650 
J 23540 09269 2:3486 09019 
K 7184 10644 7122 10393 


34. CH,COONa. à = 6563 uu, 1 — + 18°. 


Hn, ei | À, R; n, TA N; | 


\ 1:33 168 = — 1:33168 i | 

B 3475 244 | 6077 144 3476 | | 

c 3766 3 5 4 3773 | | 

D 1032 4 7 5 4035 | 

E 4293 24747 60:82 14:47 4293 | 

F 1575 48 85 | 49 45721." ER Sat 1 E 

G 4850 46 79 | 47 4850 | 

H 5058 2 67 | 45 | 5066 | 

DT 5278 46 \ 7a 47 5279 | | 

J | 5640 46 78 | 47 | 5640 | | 
| E | 5991 44 E 46 5997 | | | 


35. CH,.COONa. 2: —10506:9) Mu dE S DAS E 


> 
o 
c 2 ur 
- 
ON 


Ht, | R, R; R, n, Ho Hs 
— u — [3019 | 1 | I 
| | 
B 3420 244 60'5 I44 3423 | 
| N 
(e 3709 | 4 | 4 4 3714 | | 
| 
D 3963 | 3 | 4 4 3971 | | 
| 
E 4221 | 2440 | 60'57 1445 4225 | | | 
Bun) 4492 35 51 44 4499 | m=n, | mem 
CN 4773 CAP 64 47 4774 || | 
H | 4980 | 42 | 59 | 46 4984 | 
I | 5197, | 44 | 67 | 45 5196 | | 
| J 5562 | 50 | 8o 50 | 5548 | | | 
Q | 1 
8 5907 45 | 69 | 48 | 5905 | | | | 
Tom. L. 
- 
\ 


" 


: 
L 


Lüsningars optiska egenskaper. XV 


2e COR LCOCUUNG A. = 889:3 up, I El 18 


ny | R, No fe. n, Mn N, 
| 

\ | 1'3334$ F | —— 1:33348 t | 
B 3656 24'5 | 61:0 14'5 3658 | 
a | 3954 6 I 5 3958 | 
Du 222 6 3 | 6 4221 | 
E | 4476 | 24:58 | 61:13 14:52 4480 | | 
F 4759 | 59 I7 | 54 4762 22 —1 LÄ 
G 5046 . | 64 | 30 56 5042 
H 5259 | 61 | 23 55 5259 
I 5479 | 64 | 30 57 5474 
J 5835 | 60 | 19 54 5837 | 
K 6201 | 63 | 28 56 6196 | | 


ST ACACOON a 89m = 24°25°. 


| f, | R, R, | R, n, | n, "n 
| | | 
A | T3389 | X = | = 1:33297 | l 
Bi | 3605 | 247 614 14:6 3603 | 
E 3892 | 5 609 5 3897 | | 
DU 4149 5 9 5 4157 | 
E 4415 24:64 61:23 14:56 | 4412 | 
E 4693 | 64 | 22 | 57 | 4689 n, = m | Jy — 11; 
G 4970 63 | 21 CIN 4966 
IET 5183 64 2T 57 5178 
m] 5397 GUN | 21 vies ii 5390 
jf 5761 66 28 | 58 | 5747 
K 6105 60 | I3 55 6105 | | 
do TR TE EEE ET A ea e oH E DI Y LL RO RE Me «fil 


XVI JARL A. WASASTJERNA. 


38. CH,.COONa. 1 = 4861 uu, i — + 18*. 4 


719 R, ING R; n | Na "a 


| | 
| | 
A | 133764 ER | pe "n 133764 | I 1 
P 4081 | 25'0 62:5 14:7 4080 | | 
SE 4385 | o | 4 | 7 4386 ..| | 
| | | 
D 4650 24'9 | 3 7 4655 | 
E 4916. c Carga o. 11 er: 1473 | 4919 | 
F 5210 25:03 | 45 9 5206 | Ul me 9, — 
G 5497 93491 46 77 5493 | | | . 
H à 5717 02 | 2 76 5714 | " 
I 5935 | on 4o 76 5932 | 
J 6306 | OI | 39 75 6304 | | | 
K 6668 | 00 35 7 667114 | | | 


39. ACHACOONa = A867 lum, cd A ab 


A 13377 | = | = | — 133713 | [i 1 
n 4018 24:7 | 617 14:6 4025. | | | 
Q 4323. | 9 Gare pi 7 4325 | | 
D 4583 9 A 7 4590 | | 
E 4847 24'95 62:19 14:73 4850 | 
F Sn | 93 or | 72 5132 Hy — n, n, — 
G 5414 98 25 75 5414 
EP 5629 | 97 22 74 5630 
5846 | 97 21 741» «| 5848 
J 6220 | 25:02 34 77 6211 
K 6575 24:98 23 74 6576 | | l 
4. CH,.COONa. 
(Ry) (RS) 10 2 0 0 1 Y LUND C nq | [R;] 
i- 6563 uu,-- 189 | 24465 60-790 14747 24447 60 740 147463 
A = 6563 uu, + 24725? 440 655 47 443 666 472 
1 = 5893 uu, + 18? GISI 61:225 55 622 61:248 553 
1 = 5893 uu, + 24:25? | 600 | I25 55 620 178 563 
À = 486'r uu, + 189 25:005 62:380 75 25'012 62:392 753 
1 = 4861 uu, + 24725? 24'980 250 75 | 24:980 240 | 749 


så 
ri 
x2 
D 
. 
* 


Lüsningars optiska egenskaper. XVII 
TA 
1b. C CO: 
DET "LOTION RD m 474 m 
| 2 25 
gl | Cayo d P Cogo d à 
A x ne 
E | 
> A | 0°0000 099823 60000 | 0'99707 
E n 2117 102390 2114 102247 
A LA 
; C 4300 04959 4293 04799 
i£ D 6054 06966 6044 | 06792 
b E 8590 09799 8575 09609 
ES E 9522 III47 9804 10949 
Er G 1:2862 14416 1:2838 14204 
E- H 5213 16889 5185 16670 
3 : I 7114 18856 7082 18631 
= J 8765 20538 8729 20307 J 
K 2.133 23120 2:1204 22878 À 
E. L 2526 24300 2482 24058 : ( 
4 
E M 5535 27247 . | 5486 27002 À 
Fi | 3 1 
i N 5009 20022 | 7954 29367 t 
[9] 9702 3122 | 9644 30969 T 
EC i 311768 33159 31706 32898 
Q 3939 35069 3774 34809 
p 
3 421 ORC 3. —1656:3- ud d — 200% 
Hy | Ji Jie; | R, | n, ns Hs à 
| | 
| | | 
"33151 — — | — 133151 133151 133151 
3635 28:49 PAST | 16:29 364r. | 3636 3644 
4115 65 44 | 30 4120 gril 4126 Ss 
4483 71 53 44 4486 447 4493 
4988 71 DHL 46 4992 4981 4999 
5227 74 469 48 522 5218 5236 
: 5792 75 38 50 5793 | 5784 5799 
210 75 3I SI 6212 6205 6215 
6535 74 22 51 6539 6535 5541 
6812 74 20 52 | 6815 | 6813 6814 
7228 74 13 | 53 | 7232 7235 7227 
7413 73 o6 | ME 7420 7426 7413 
7873 72 TOTEN 54 7883 | 7896 7870 
8235 72 89 | SA 8248 | 8268 8228 
8475 7i 84 sd 8490 8516 8465 
8761 71 77 55 | 8778 8812 8748 " 
9040 71 73 56 9058 | 9100 | 9020 
3 


XVII JARL À: WASASTIERNA. 


> 


43 RCD MON TE DEL 


No 13 R, R, Urn ler n, | N, Hg 

| | < 
As all stoßen = | — = 133108 | 1:33108 1:33108 
B 3586 28:60 74:27 16:38 3588 3584 3591 
e 4057 61 22 3 406r 4054 : 4067 
D 4417 62 18 41 4422 4414 4429 f 
E 4921 69 26 46 4923 4914 4930 
b 5152 66 14 45 5157 5148 5164 
G 5714 | 69 | 13 48 5717 5709 5722 
H 6132 71 I2 50 6133 6127 | 6136 
Da 6458 72 09 SI 6458 6454 6460 
J 6735 73 09 53 6732 6731 6731 
K 7154 76 IO 55 7145 7149 7141 
DL o5 7341 75 06 56 7333 7339 7326 
M 7805 76 00 57 7794 7808 7783 
N | 8164 75 | 7391 57 8156 8176 8138 
O 8406 74 Evi 87 58 8397 8423 8375 
PIA 8689 ae 79 58 8684 8717 8655 
Q 8966 72 71 58 8963 9004 8928 


| | | 
| Hn, | RTS R, Uo Hn | N, | ns 
A 1:33330 — = = 1:33330 133330 | 33330 
B 3824 28:99 7554 16:55 3823 3018 3826 
c 4307 98 aa opm 5677 4305 4297- | 4312 
D 4677 2000 38 EST 467. 4664 4681 
E 5187 AW E22 59 5183 5173 519r 
Eras) 5427 29:00. | 23 (M 5421 5411 5429 
C. 5993 Se ARE | 04 61 5990 5981 5996 
H 6416 97 | 7499 | 62 6411 6405 6416 
I 6741 Oise 85 61 6741 6737 2 GIN 
Te 7020 95 Bil 62 7o18 7017 ° 7019 
Kw 7444 "97 8n $4 64 7438 7442 7435 
L | 7623 92 65 62 | 7627 -. 7634 7622 
M | 8090 93 59 64 : 8094 8108 5082 
N 8446 So 42 63 8461 8483 8443 
OLA 8602 | Bo 41 | 64 8705 | 8733 8682 
P 8979. | 89 | ne d ua ed 8995 9031 8967 
Q 9261 89 39 | ÖSK 9277 9321 | 9241 


: Tom. L. 


40, ROGO. == 486 T- uu? E= = 207: 


Lösningars opliska egenskaper. XIX 
45. COLL 5893 uu, = + 25 
ny fe des | R, "n Hs Ha 
| | 

A 133290 -- — | = [33290 ['33290 1733290 
B 3772 28:83 7495 | 16748 3774 3770 3778 
c 4246 SI 83 | 49 4251 4243 4257 
D 4612 88 94 | 54 4615 4606 4622 
E 5124 97 7511 i 61 | 5120 5110 5128 
F 5354 91 7489. | SE 5356 5346 5363 
G 5918 91 80 — | 59 5920 5912 5927 
H 6339 92 77 | 61 6339 6333 6345 
I 6668 93 74 | 62 6667 6664 6672 
J 6946 94 ES 63 6943 6942 6946 

7372 98 VS 66 7360 7364 7359 
L 7552. | 94 62 64 7550 7556 7547 
M Sors | 92 52 65 Sois 2 8028 8007 
N 8379 92 46 65 8380 8400 8366 
[9] 8621 92 4o 66 8624 8650 8606 
p 8907 go | 33 66 S913 8946 8889 
Q | 90 ZX 29) 9236 9165 


E R, Re R; | n, N; Ha 
DAC 1'33747 = ie = 1:33747 133747 1:33747 
B 4248 29:39 76:81. 16:74 4247 | 4242 4251 

c 4737 36 64 EN 4736 4728 4742 
D SIII 36 55 rs AM) 5110 5100 5117 
P E 5629 gi 287. 45 77 | 5627 5617 5635 
E. 3 5871 | 37 41 A| 5869 5858 5876 
Ee. G 6450 38 33 80 | 6446 6437 6452 
p H 6877 37 24 81 | 6874 6867 6877 
; I 7213 37 20 82 | 7209 7204 7210 
= mE 7493 | 36 12 829 || 7490 7489 7490 
TH K 7921 37 07 83 7917 7920 7911 
7 me 8109- | 35 75:99 85 S109 8115 Sıor 
: M 8574 | 32 82 82 8582 8596 8568 
3 N | 8947 32 76 83 8956 8977 8935 
a‘ [9] 9193 | 31 | 71 84 9203 9230 9178 
P 9484 | de exl 63. | 84 9498 9533 9466 
d Q 9765 29 54 | 84 9784 9828 9745 


2 
© 
1 


» ) N : TN : 5 < Nas. Tm TT ^ une 1 => 
XX JARL A, WASASTJERNA. 
A. OK S00. 4 — OO um d EI 250 
| ny R, Jit Ra n, | N, 
| 
DEAL 111533700 = — -— 1:33700 1:33700 
B 4191 29:33 7648 16:73 4192 4187 
ie 4674 31 36 73 4676 4669 
D 5045 34 37 76 5046: | 5037 | 
ES. 5561 38 39 8o 5559 | 5549 | 
Hav 5801 38 34 81 5799 5789 
G | 6377 39 28 83 6372 6365 
El! 6802 38 18 83 6799 6793 
AOL 7134 37 10 83 7132 7129 
JR M 7415 37 06 84 7413 7412 
cu 7844 39 06 86 7837 7841 
L | 802 | 36 75:93 85 8030 8036 
M | 8507 | 37 91 86 8504 8517 
N | 8869 34 75 86 8875 8896 
Qin i 9118 34 72 86 9123 9149 
PEN 9407 33 3 86 9417 9451 
Q 9690 32 | 56 S7 9704 9746 
48. K,CO, 
— — — —V ÅLXL = | — — 
(R,) | (A) (A3) [A] | [Re] 
À = 6563 up, + 20° 28:76 | 74:22 | 16:53 28:719 73:958 
1— 6563 um + 25° 715.6 Bed NEM 734 | 928 
2 = 5893 up, +20° | 947 1 79 62" p 915- | = 74557 
À = 5893 up, + 25° 925. 3. 67 63 921 506 
À = 486°1 uu, 4209 | 29:35 76:06 SI 29:328 | 75'841 
à = 4861 uu, + 25? aU ve 02 835 350 | 834 


Lösningars optiska egenskaper. | XXI 


49, Na,CO.. 


C206 d 2 | Coro d e 
| 

A 00000 0'99823 | 070000 099707 
B 1076 1:01017 | 1075 £:00886 
@ 1982 01993 1979 | 01856 - 
D 2914 02971 2910 02819 
E 3962 04061 3956 03897 
F 4880 04997 4872 04828 
G 5940 06070 5930 05805 
H 6933 07057 6921 06871 

4 I 7914 08024 7900 07835 
Ji 8519 08610 8504 D, © 08414 
K 9883 09924 — | 9864 |  og718 
L 1'O95 1 10942 10930 | 10729 
M 1849 11792 1826 | 11578 
N 2544 12438 2519 | 12216 
iS) 3809 13602 . | 3781 13371 
P 4816 14518 | 4786 14284 k 
Q 5765 15376. j| 5733 , 15141 


CN CO, 4 —:0656'3 uu, bt 207. 


Hy R, | As | R, n, N, Hs 
EA . U33ISI = -— = 1:33151 1:33151 133151 
B 3405 21:96 59:08 12:22 3407 3404 3408 
c -3610 22:00 o8 26 3612 3608 3615 
D 3813 04 | o8 30 3815 3811 3818 
ps Aes ee] _ 00 UA. 4039 | 4035 4043 
FE Hood einen. To en 58:99 34 4230 4226 4233 
Gc 4445 06 94 35 4448 4443 4451 
H 4644 o8 95 37 4645 4642 4648 
Im 4840 13 5903 40 4838 1 483 4840 
cd 4954 I 58:95 39 4953. 4951 4955 
K 5214 I3 96 41 5211 5210. ..| 5212 
L 5412 IUE 91 42 5409 5410 5409 
(M 5570 07 72 34 239 5574 5576 5572 
n 5701 13 86 43 5697 5701 5695 
o 5913 07 63 40 5918 592 5913 
P 6095 | 13 zB | 44 6091 6099 | 6084 
[9] 6254 | I2 71 | 44 6251 6262 6242 


JARL A. WASASTJERNA. 


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4835 
5031 
5148 
5410 
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5906 
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5153 
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5611 
5777 
5901 
6122 
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6455 


Tom. L. 


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Lösningars optiska egenskaper. XXIII 
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Br | 3529 | 21:00 56:46 1170 3542 3540 3544 
€ 3732-'.| 47 57:62 97 3747 3743 3750 
EE | 3934 | 82 58:40 12:19 3946 | 3942 3949 
E | 4164 22:I2 59:15 37 4168 4164 4171 | 
x 4355 16 20 4o 4359 | 4354 4362 1 
Gc 4575 22 3 44 4576 | 4571 4579 
H 4769 20 22 44 | 4771 4767 4774 | 
I 4961 19 17 44 4964 4961 4966 Ee 
ah 5077 22 21 46 5078 5075 5080 n 
K 5336 25 23 48 5334 5333 5335 b 
L 5532 23 16 48 | 5532 5532 5531 ra 
EM 5699 zoe 17 Agua META 15607 5698 5696 
EN 5819 23 | 10 49 5819 | 5821 5816 E^ 
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EC 4220 69 20 | 59 4220 4216 4223 M 
D 4428 68 07 61 4428 442 | 4431 
E. 4656 ‘62 60:82 59 4659 4654 | 4662 $ 
F 4653 1: 66 85 62 4854 | 4849 4858 | 
(G6 5077 | 7 85 64 5077 5073 | 5081 2 
H 5280 67 80 64 5280 | 5276: | 5283 | 
ET 5478 68 76 65 5478 5475 5481 
m) 5598 69 78 67 5597 5594 5598 | 
K 5863 69 72 68 5862. - | 5861 5862 
n 6068 7 72 69 6065 6066 6064 
M | 6234 68 | 61 68 6235 6236 6233 : 
N 6366 guo. 69 70 6362 6365 6358 | 
[9 6580 62 37 66 6589 6595 6583 
P 6766 68 hr SI 70 6766 774 | 6758 
zo 6931 68 47 70 6931 6942) | 6922 
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B | 3955 22:45 60:59 | 12:49 3957 3955 3959 
C | 4162 | 47 49 | 49 4166 4163 4169 
DM 575v Goes) 70 | 59 4370 4366 4373 
E 4591 | 49. | 58 4596 4592 4600 
XA 1790 BCE (CUR. 65) 4791 | 4787 4794 
G | 5013 70 So | 67 5012 5008 5016 
H | 5213 70 75 68 5212 5209 5215 
I 5405 63 54 65 5409 5406 5412 
J 5529 73 76 71 5526 5523 5528 
K 5790 jas 66 gue 5788 5787 5789 
L 5993 7252.4 65 7206| 5989 | 5990 5989 
Ne 6151 63 37 67 6159 | 6160 6158 
N 6286 71 T: pts 72 6283 - | 6286 6282 
O 6503 65 37 70 6508 | 6514 6504 
P 6687 | 71 48 a 73 6684 | 6693 6679 
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| (Rı) (R.) (R3) [Ri] [Rd] [Ls] 
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À = 6563 uu, + 25? 22:05 61 | 39 | o68 | 596 407: 
1 = 5893 up, + 20° 32 59515 | 51 309 59427 508 
4 = 5893 uu, + 25? 55 AT | LOS a 12-475 224 097 479 
À = 4861 ug, + 20° 68 | 60:66 | 12:67 676 60:602 680 
À = 4861 uu, + 25° 69 58 70 686 | 518 702 
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Giro | d | mns d 2 
| 
A O'0000 099862 0.0000 0'99707 
B 0824 1:00887 | 0823 100721 - 
(e: | 2120 02457 2116 02273 
D | 3301 03869 | 3295 03667 
EE 4227 04944 | 4219 04740 
F 6279 07308 6266 07084 
G 6838 | 07941 6823 | 07711 
H 849 | 09762 8130 09519 
I 9642 11073 9620 10816 


Tom. L. 


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Lösningars optiska egenskaper. XXV 


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| — — | 133168 133168 1:33168 
[0] | 92'91 | 21:32 3305 3362 3364 
37:37 gr&r. | 77 3656 3654 3657 
4o 84 So 3916 3914 3918 
5 95'16 | 90 4110. | 4108 4111 
54 o3 | DE 4533 4533 4533 
GEI 06 292 4644. | 4645 4644 
5 00 | DE | 4965 - | 4967 4963 


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1'33108 — — — I'33108 | 1:33108 1*33108 
3293 3676 9378 | 21:44 3299 | 3298 3300 
3581 3/2839 a vor. 75 3586 | 3585 3588 
3833 aos 354-4. 76 38410 | 3839 3842 
4034 ERE AS 94 | gura 4034 | 4033 4035 
*4455 | 60. | 9505 | 96. | 445Y | 4451 4451 
5 4557 48 9470 | 90 1560. | 4561 4560 
4876 See 77 | 93 4877 . | 4879 4875 


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| 3837 68 9574 | 94 3838 3837 3840 
4IOI 78 95 | 22:00 4100 4098 | 4102 
| 4297 80 91 02 4295 4294 4296 
4718 72 59 21:99 X729: „1 721 720 | 
| 4827 68 45 98 4832 483 4831 | 
5157 78 | 70 22:04 5154 5158 5152 | 


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C 3766 45 96 84 3772 3771 3773 
D | 4028 73 95:63 22:00 4028 | 4027 4030 
E | 4222 73 57 OI 4222 4222 4223 
ES 4643 77 58 04 4641 4642 4641 
o 4751 73 Acl 03 ze e RATER 4751 
H 5072 76 | 50 05 5070 5073 5069 
I = E = — = I + 
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B 3955 | 3734 9515 21:68 3965 3963 3965 
C 4264 38:38 97'8I 22:29 4266 4264 4268 
D 4533. - | 45 94 34 | 4534 4532 4536 
E 4734701] 49 94 37 4734 4732 4735 
F 5I7I | 51 90 40 5170 5169 _ 5170 
GI Me | = — -— — = — 
E 5613 46 71 592 | 5615 5617 : | 5614 
I 5848 50 75 41 5847 5857 | 5843 
635. C, 5.21 — 486 1^ du, SE 25 
Hy | Vara R, | Re n, | n» Hs 
A 133701 | — - | - des L'rmadas | r'as7or 133701 
B 3898 38:48 98:03 22:35 3899 3897 | 3900 
je 4192 39 97:66 33 4195 4193 | 4197 
D 1463 | 68 98:36 49 4459 4457 EN | 4460 
E 4657 51 97:86 4r 4658 4657: | 4660 
F 5089 54 84 44 0| 5090 5089 | 5090 
G — -— - — | — -— = 
H 5533 57 86 47 5531 5533 5530 
I 5763 58 BANAN 48 5760 7 5763 5757 


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Lösningars optiska egenskaper. XXVII 
64. K,C.O,. 
(R,) (R.) (R4) (Ri [R.) [Ra] 

à- 6563 up, 37'55 95:06 21915, | 37'534 95011 21:907 
m] 26563 uu, + 25? 53 94'865 | 925 503 94787 913 
EC | 42-5893 um, + 18° 75 9572. | 2201 744 95:647 22:09 
E N A — 5893: un, 425° 74 55 03 743 513 032 
E] 124861 ug, + 18? 3849 97'825 39 38483 97'774 394 
x» 1 

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5 ^ A 0‘0199 | 099953 

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ET C | 0805 0603 

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E F | 1603 | 1464 

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E. G 1788 1664 
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E B 94 | 29:98 7787 Iyi6-—| 97 96 97 
y : [o 0'00187 | 3077 7945 69 0'00156 0:00186 000186 
E D S 83 52 74 273 273 273 
* Hr 5-1 67 IT 65 315 315 315 
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E CS | 408 | 97-7 84 3 403 404 402 
x H 451 79 | 39 73 449 449 448 


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À | | 
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i C 000188 93 | 79:98 77 000188 |  ooor88 | — o'oo188 
E D 277 3104 So:16 7 85 | 276° 1| 276 276 
4 EZ. 319 Go: +" | 09 82 318 310°: | 318 
P Roe) 366 | 3098 | 7995 82 366 366. | 365 
2 G 413 31:29 | 80:70 18:00 4o; * 408 | 406 
4 H 458 19. | 53 1793 | 453 454 453 


XXVII 


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A 0‘00056 | 26:55 71:56 14:75 | 0‘00066 |  0:00064 0:00068 
B | 98 | 31'II 8r'18 17:74. N | O'OOIO0 | 99 000101 
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D | 282 | 31:56 8173 10 | 1283 283 283 
E 323 | 39 31 00 dag» en 327 326 
FI 377 ZEN TUN 82'25 22 375. | 376 374 
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H 466 31-69 07 18 465 466 464 
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A | 0:000 0:99862 0'99707 
B 3'701 102157 1'01979 
E 8491 05187 05005 
D | 14:849 09378 09140 
E | 18:987 12213 11954 
F | 26:015 17265 16979 
G 31:269 21103 20798 
H 39'821 » 27767 27440 
I 41'871 29473 29132 


JARL A. WASASTIERNA. 


08; Va, GO 486 1", T 


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Lüsningars opliska egenskaper. XXIX 


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72 132'05 3101 1'35247 135248 135245 
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I 
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56 13164 30:92 3697 3697 3697 
9I 132°55 Qn 4386 4387 4385 
77 Ig. | 04 5327 5328 5326 
69 13199. | 30°09 5957 5957 5956 
68 132:02. “| 97 » 7068 7065 7071 
Q | 2Q 2Q A, 
6 13197 | 97 7889 7887 7892 
71 132:08 98 9300 9296 9308 
57 I31:72 90 9661 9654 9673 
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78 13213 31/05 7536 7537 7537 
R, | R, | R; n N, | Ha 
| 
| | | 
= = | — 133108 1'33108 | 1°33108 
| - | 
5235 13094 . | . 3083 | 3630 3630 | 3629 
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77 I2 04 6967 6965 | 6970 
744 o4, | 03 7782 7782. | 7785 
66 I31:'85 30:97 9188 9183 | © 9197 
64 8i 95 9545 9538 | 9558 


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b 7850 05 04 16 7847 7847 | 7846 


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p 3885 53:26 13362 3129 | 3881 3881 3880 
c 4578 12 | 20 22 4574 4575 4572 
D 5527 1027 16 20 5521 5522 5519 
E 6150 52'99 | 132:87 14 6155 6155 6153 
F 727? 5303 «| 1S9 M 14 7273 7270 7274 
G 8099 03 62€) 15 3099 8098 8100 
H 9515 OI 00 13 9520 9515 9526 
I | 9846 52:90 13270 06 9883 9876 9893 


145 K;CHLO. 105893. tu, — 255 


n, R, R Re n, Hs 13 
| | | 
1 135362 5300 132:78 3r17 1:35363 135364 1'35362 
b 7760 08 133703 20 7749 7749 | 7750 
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B 3808 . | 52:60 13169 | 30:95 3816 38168] 3816 
Cc 4503 | 9o I32'51 31'12 4508 4509 | 4507 
D 5444 5309 99 22 5438 5440, | 5436 
E | 09 13302 | 22 6065 6067 | 6064 - 
F 7181 | 05 13299 | 18 7176 7173 | 7178 
G | 8006 | 07 133 O1 19 7997 7996 | 8000 
H | 9400 5297 | 13279 I3 | 94127. | 9407 % | 9421 
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1 G | 8590 | TAN | 24 52 8599 8598 8602 
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E c 4939 79 WE REP 57 4941 4942 4940 
D 5898 95 Le 66 5888 5890 5886 
E Er | 6537 93 48 | 64 6527 6529 6525 
à F 7659 84 32 | 57 7658 7657 7661 
G 8498 84 | 58 8495 | 8495 8499 
9917 75 | 10 51 9938 9934 9949 
140276 73 06 50 140305 1740297 | | 140320 


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XXXII JARL A. WASASTIERNA. 
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À = 5893 uu, t = + 18° 133700 132906 
À- 5893 uu, { = + 25? | 132:86 836 
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I 1491 102898 1488 102711 
c 3466 06763 3459 06550 
D 4871 09453 4861 09218 
E 6868 13173 6853 12927 
F 8202 15630 8183 15359 
G 10404 19569 0379 19284 
ia 3554 25092 3522 24792 
I 4457 26633 4423 26337 
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| | 
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A 133168 — 13 133168 
B 3849 20148 3851 
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D 5294 201 98 79 5292 
E 6096 96 79 6094 
F 6613 70 72 6618 
G 7448 91 76 7447 
H 8588 78 71 8593 
I 8911 95 74 8908 


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Lösningars optiska egenskaper. XXXIII 
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R, R, R, UA Hs Ha 
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— - -- 133108 133108 1*33108 
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| 91 | 20147 78 4638 4629 1627 
| 97 62 80 5210 5211 3208 
| 80:00 74 82 6009 6010 6008 
79:94 55 78 6527 6528 6527 
| 80:07 96 34 7353 7354 7354 
OI | BA 79 8500 9497 8506 
oq 95 | 80 8817 8815 8824 
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| 58 20366 | 08 5489 | 5480 5487 
| 6T 72 | 09 6297 6298 6295 
44 30 16:99 6826 | 6827 6826 
pa 54 47704 7662 7662 7662 
8810 45 | 36 46797 8820 8818 8824 
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€ 4817 | 80:37 202:86 | 4701 4821 4822 4820 
D 5406 | 48 | 20315 | 06 5407 5400 5405 
E 6212 50 24 O7 6212 6213 6210 
F 6728 43 COR 02 6734 6735 6732 
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H | 9312 58 206:80 53 9320 9317 | 9324 
JA I | 9638 61 88 55 | 9642 9640 i 9647 
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A= 8893 uu, + 18° | Sos2 | 20352 4703 . | 504 | 203493 47013 
i- 5893 au, + 25° | 50 | 29 05 | Se aaa | 047 
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À — 486'1 uy, + 25° 67 | 815 635 672 836 | 622 


Lüsningurs optiska egenskaper. XXXV 
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A O'O000 099823 O'OOO0 | 0°99707 
B 1132 100336 1131 | 100210 » 
G 1697 0580 | 1695 | 0452 4 
D 2263 0821 2260 | 0690 , 
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F 4242 | 1645 4236 1501 | 
G 5090 | 1996 5083 | 1846 E 
H 5938 2343 5929 | 2195 : 
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E D 3387 | 68 63:36 1527 3387 3386 3388 E. 
3 E 3487 44 62:64 15 3495 3494 3495 
KeA FE 3578 70 | 63:30 30 GJ 3577 3576 3577 
EI^c 3660 Zeb | 33 SAM] 3657 3657 3658 
E H 3734, | 62 05 26 3737 3737 3737 
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| 
| 3335 3334 3335 
| 3440 3439 3440 
| 3517 3517 3517 
3594 3594 3594 4 
3672 3673 3672 
3750 3750 3749 


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XXXVI JARL A. WASASTIERNA. 
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B 3458 26:15 64:76 1551 3455 3454 3456 
[e 3513 25:89 00 37 3513 3512 3514 
D 3575 26:12 5 51 3570 3569 3571 
E 3678 25:85 637 38 3679 | 3678 3679 
F 3765 95 64700 43 3762 | 3762 3762 
G 3844 88 6381 40 3844 3844 3844 
H 392 88 76 4o 3924 3925 3921 
I 4004 84 67 38 4007 4007 4006 
f 90: 77,C,0,.- à —'5893-un;. Eee Hat 
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| | | | | 
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B 3406 25:38 62:60 1509 3409 3408 3410 
C 3458 2300) 27, 02 3465 3464 3466 
D 3521 71 63:40 30 3520 3519 3521 
E 3623 58 62:97 > 3626 "3625 3626 
F 3702 62 63:04 | 27 3704 3704 3704 
G 3788 7 46 | 36 3782 3782 3782 
H 3560 64 07 28 3861 3861 3861 
I 3940 68 15 30 3939 3940 3938 
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-— | — | 
| Hg R, dos R, | n, 215 DA 
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B | | 
Au | T3348 u — = 133748 133748 133748 
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DUM 3877 26551 6583 -| 15:69 3874 3873 3875 
c | 3933 | 20 07 56 3933 3932 3934 
I 
D 3997 53 75 72 3992 3991 3992 
E | 4105 | 34 | 16 63 4103 4103 4103 
| - 
F 4188 | 20 | 64:99 61 4188 4188 4188 
G 4271 | 28 | 94 61 4272 4272 4271 
H 4352 26 88 60 4354 4355 4353 
I 4436 26 87 60 4438 4439 4437 


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Lüsningars opliska egenskaper. XXXVII 
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[© 387707. 25:96 64:18 41 3882 3881 | 3883 K. 
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D 3944 26:48 . 65:53 71 3939 3938 | 3940 
E 4048 22 64:76 58, | 4049 4048 | 4049 
F 4130 24 78 60 | 4130 4130. | 4130 
G 4213 28 86 62 4211 4212 | 4211 
| 
H 4293 23 72 60 294 4294 | 4293 
| 
I 4373 | 21 67 EN 4375 4376 | 4374 
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co] 426563 uu, + 25? 48 62:62 | I95 | 452 62:549 181 
E42 5893 un + 20° 88 63:80 40 0 | 882 63811 402 
| 
| 2=5893 up, + 25? 66 I4 2 | 660 143 291 
Bl — 486 up, + 20° 26:29 64:99 61 26:284 64.959 | 612 
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94. Na,CO,. 
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| 
O'IOZI 0'00252 19:30° 0'00254 | - 19:249 000258 19:369 
O'IO7I 0700253 18:009? 0700255 18:009 0'00259 18:00? 


Lósningars optiska egenskaper. XXXIX 


95. Na,CO,. 


| 4 m (4— 88953 uu) | (1— 5893 uu) | (A = 5893 un) 
| | | | 
0'01429 I'O00313 | 1079 r8:08 49:62 990 
2143 1151 | 1673 96 | 5193 10:40 
2857 1929 2241 19:83 5399 93 
3572 | 2702 2858 20781 5645 11:50 
286 | 3510 3303 OI 54:29 OS 
SOOI 4295 3918 59 5576 30 
5715 | 5095 | 4497 | 75 5618 48 
642 | 5876 | 5048 86 | 40 DE 
7143 6654 | 5676 21:26 5747 78 
0*07858 | 100738 | 6231 | 21:53 58:09 11-95 
8571 | 816 6878 | 88 | 98 I2'15 
9286 | 894 | 7494 | 22:07 | 5947 26 
O' 1000 | 973 | 8040 | 21'99 26 22 
029 | I'OIOO4 8329 22:19 75 33 
043 017 8412 19 75 33 
957 | 031 8527 24 88 37 
071 043 8654 38 60:24 45 
* 
96. 
R, R, | R, 
Q "2 Q P. | Q la 
NaCHO, | 41677 | — 281 230 — 387 xr MEOS 
| KC,H,0, | +107 | 003 + 1670 243 SE LU Re SN TIG 
> K,CO, | + 58 | — 220 + 29:8 — 11:38 — 134 rta S. Mitt 
Na,CO, | dé à | Le + I2:9 — 10:57 — 18:0 += 14:76 
K,C,0, | — IO'O + 1431 + o9 PISTE — 192 ZT 371 
‘ N3,6,0, | — 30'8 | + 189'3 —230 + 1410 — 36:9 + 2280 
K,C,H,0, + 18:3 | — 8:08 + 143 — 630 + 25:4 — 1119 
K, C,H;O; + 34 — 286 — 2'0 + 175 + 125 |. — 106 
| 


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97. 
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656:3 uu | 18:985 | 47:460 | 11182 | 
KCl | 589'3 uu | 20:92 19'153 47'944 11:268 | oo oo | oo 215 
| 4861 ga | | 19493 | 48941 | 11443 | 
6563 uu | | 15:703 39'878 9*140 
| I | 
NaCl 5893 uu 24:64 15'844 | 40'294 | 9211 | 00 — 00 — 00 215 
| 
4861 au | | 16165 | 41245 | 9373 | | 
6563 uu 16847 | 4r810 | 9973 
NaCHO, 589'3 uu 38:91 | 16:9064 | 42'152 | 0'032 | —— 0/525. | — I:940 | — 0'206) 21:5 
| 4861 up 17'243 | 1 42971 | 10:176 | 
| 656'3 uu | | 27:706 | 68-160 | IÓ'5OI | / 
| | | 
KC,H,0, 580:3 uu 61:09 27878 | 68:660 | 16:590 | —0:223 | — 0'899 | — 0:083 | 21'5 
| | 
\ | 4861 up 28:270 | 69'807 | 16791 | | 
um h. i E I 
| | | 
6563 uu | | 24445 | 60703 | 14:467 
NaC,H,0, 589:3 uu 20*15 24621 6r213 | 14:558 — — — 2I'I 
4861 uu 24:996 | 62316 | 14750 
I 
| 656'3 uu | | 287710 73700 16:570 | | 
| | 
K,CO, S89'3 uu 34:62 28:902 74:289 | 16:662 | — 0215 | —2:997 | -- 0:277 | 22:5 
| 4861 up 29323 | 75'595 | 16'863 
6563 uu 22102 | 58'603 | 12439 | | 
" | 
Na, CO, 589'3 up | 14748 22:279 | 59:159 I2:523 | 40410 | — 3:087 | +9:898 | 22:5 
| 
4861 uu 22:694 | 60457 | 12720 
| 656:3 uno | | 
Na,CO, | 5893 uu 1:12 22:38 60:24 "| 12:45 + 440 + 1090 | +260 | 18:0 
486'T wu | 
—— ———————————-—— M era — —— - —— - | P 
6563 um | 37539 | 94902 | 21932 | | | 
IK; C20 | 580:3 au | 12:79 37704 95:583 22:042 | +0:945 | —0:166 | 4-roII | 21:5 
| 4861 au | | 38:546 | 97825 | 22452 | | 
6565 uu | 3083 | 79$! | 1776 | | 
N25 C0, | 5893 uu 2:62 3r18 8047 17:93 T4 +286 | +97 250 
| I | 
| 4861 up 3178 82:32 18:24 | 
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| | [ 
6565 um | 52631 | 131837 | 30938 | 
K,C,H,0, 589'3 uu | 41:87 52:048 | 1327786 | 31097 | —0:531 E — 0409 | 2r5 
4861 uu 53723 | 135101 | 31484 
| 1 
AN Pr | 
6563 uu | 79981 | 201873 | 46756 b | 
K,C,H,0, 5803 uu | 34:98 | 80500 | 203432 | 47015 | —o118 | +0'194 | 0244 | 215 
| 4861 uu | | 81:646 | 206-889 47:580 | 
— - = ] = 
6563 uu | 25'54 | 62:83. | 15:22 | | 
| | | 
H,C,0, | 5893 uu | sos | 2577 | 6348. | 153 => e eae 
| | 4861 uu 26:26 64:86 15:60 | 


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XLI JARL A. WASASTJERNA. 


99, 


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Newton—Laplace Gladstone—Dale Lorenz—Lorentz 
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KCl Oo — 21 
NaCl 0 — 25 
NaCHO, O — 39 
KC,H,;O, Oo — 61 
K,CO, D EDU 
Na,CO; O— 14 
K,CO; O— 13 
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K;C,H50; OI 5 
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: 100. 


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5993 un D, D, JEX 
TR Ve. (Hà — Ha) | (Hs — Ha) | (Hg — Ha) 
R, | R, R; 

| | 
KCI — NaCl 3:309 | 7.650 | 2:057 + 0:046 + 0'114 + 0'028 
KC,H,0, — NaC,H40, (20'15 °/,) 3:348 | 7'815 | 2:066 + 0‘O13 + 0‘034- + 0:007 
3 (K,CO, — Na,CO,) (14:48 9.) 3:324. 4| 3 7:862 T2 012 +0:010 + 0020 + 0:006 
(KR C0, = Na GIO S) = | — | = +0:028 +0:056 + 0:020 

t : | 
K — Na (medeltal) 3:33 778 | 2:055 + 0:03 +006 | +oo15 


Tom. L. 


TI 


Lósningars opliska egenskaper. XLII 


101. . 
piso D = (Hg - Ha) 
d n,42 
| 

CHO, 2 CHO"O' 7:254 | Or rri 
C,H,0, = C,H40"0' 11-872 | 0182 
CO, = CO"O,'— A 7:379 | 0'094 

CO GOTIOPPISB 12:738 | = 
&H,0,—:GH,0,703! 21:544 | 0'318 
SH;0O7= CHOO! 32'741 07460 


Refraktionerna hänföra sig till À — 589:3 ww. Beräkningarna äro baserade på Eisenlohrs 
konstanter, Zeitschr. f. phys. Chemie 75, 585 (1910). Kolsyredietylestern uppvisar depressio- 
nen 0:23 och kolsyredimetylestern depressionen 0:37 (Karvonen, Ann. Acad. Scient. Fen- 
nice A, X, 6, sida 6; 1918). Med stöd av dessa data har jag antagit, att kolsyreresten upp- 
visar en depression À — 0:30. På grund av den konjugerade dubbelbindningen i oxalsyreresten 
O=C-C=O uppträder en exaltation 5, som jag antagit vara lika med exaltationen för glyoxal 


ge] 
(OVE HOK 
O=C—C=0O, nämligen + 0:43. (Karvonen, Ann. Acad. Scient. Fennicæ A, X, 5, sida 4, 1918). 
Ts 
ENT. 


102. 


Den skenbara atomrefraktionen och atomdispersionen fór kalium beräknad 
enligt Lorenz—Lorentz' formel. 


N R BR Ux. | ARE 100 ere 
op Extrapolerat 

NaCHO, — CHO,°+ (K — Na) 38:9 4:833 {— 0206 4'707 0'107 
KC.H,0, — CH302 61°1 4718 — 10:083 47686 0'108 
NaC,H,0, — C;H4O, + (K — Na) 2072 4741 — _ o'116 
1 (K,CO, — CO,) 34:6 4:641 + 0138 4:731 O'100 
1 (Na,CO, — CO,) + (K — Na) 14'5 4:627 + 0449 — 0'108 
3 (Na,CO, — CO;) + (K — Na) TI 4'590 + 130° 
2 (K;,C,0,) — €,0,) 128 4'652 + 01505 — = 
3 (Na,C,0, — C0,) + (K — Na) 2:6 4'650 E. 48 
1 (K,C,H,0, — C,H,0,) 41'9 4'776 — 0'205 4:657 O'IIA 
AR, GSEO 1-5 G HT O;) 350 4758 — 0081 4'705 0'121 


K, medeltal 470 O'III 


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| Lösningars optiska egenskaper. XLV 
| ] 
3 


A7696,5 pp. 


XLVI 


T ATI AR 
DE 


JARL A. WASASTIERNA. 


3. 


KC. 


Lösningars optiska egenskaper. XLVII 


5. 


Na © .1-589,5 un. 


Na Cı.1-486,1 uu. 


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% 


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XLVIII JARL A. WASASTIERNA. 


1. 


.CH,. COONa . A-5895... E NE 


5 1.9.3 


L 
A123 


Tom. L. 


Lüsningars opliska egenskaper. XLIX 


9. 


CH . COONa . A 486,1 up: 


MIE Me 


L JARL A. WASASTJERNA. 


Il. 


CH,.COOK. 7-656, un. 
+35 1=+25° 


CH,.COOK. 1589 5 up. 
i=+18% 


Tom. L. 


10 £o 


Lösningars opliska egenskaper. 


13. 


CH, : COOK . 1989,51 pa . 
: jc toa 


A CE TES En 
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D E ame 
dE Eire pit DS cepe T RN D. 
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20 40 50 60 
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14. 


CH,.COOK. A=486,1 au . 
Î=-18° 


90 


90 


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LII JARL A. WASASTJERNA. hr 


15. 


CH,.COOK. 1-486,1 pp. 
d ; 1--25*. 
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D: 
-40 
45 
En 
-55 


16. 


H.COONa. 2-656; uu. 


Tom. L. 


Lösningars optiska egenskaper. LII 


17. 


| H.COONa. A=696,5 uu. 


i=+25° 


18. 


H.COONa. 1:589 34%. 


t=+18° 


LIV JARL A. WASASTJERNA. 


5i 4 19. 


a. A-909,5 pu. 
Î-25° 


H.COON 


» U^ 20. 


+40 é H.COONa. A486, 1n. : 
ST DN Doo 


D 
2% 
= 

D 


Lösningars opliska egenskaper. | LV 
21. 
+50 KOPIEREN jJ fis PX SN SEXUM 
+40 H.COONa. 14 06, 


x I= 25° 


K,C0, 2-656554. 
I-«20* 


N:o 2. 


LVI 


JARL A. WASASTJERNA. 


23. 


I 60 A-656,5 up. 


159957 D 


*55 


+10 


+5 P as 
S 


ims EE EA 
SS 


= 


24. 


K,C0, A-9893 up. 


1=+20°. 


* 


ae ATUM MEN AA ES ee 


LX x 


Lüsningars opliska egenskaper. LVII 
S S 


25. 


K,CO, A7989,5 pp. 
Tara! 


26. 


K,CO; 2-486354. 
Î=+20° 


VA 
© 
x 


LVIII JarL A. WASASTJERNA. 


27. 


À=466, up. 
i=+25°. 


Na,CO, . A-6963 up. 
l=+20: 


Lösningars optiska egenskaper. LIX 


29. 


Ne, CO, . À*969,5 up. 
l-«20* 


30. 


Na, C€0,. A7406,14 4. 
I-+20° 


PS RALENTIR A PT PR 
d FSI oo ua nr LE x 
d 4 Fa A 


IE? € JARL À. WASASTJERNA. 


3l. 


Den skenbara atomrefraktionen för Kalium. 


DAC) jo 20 30 “0 so 60 20 50 90 00 7^ 


Tom. L. 


At Es 
SR PEN Le 


-— 


ROO Wo 


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= x, 23, 101 (1872). 


Gladstone and Hibbert, 


t 
Goldhammer, 


Guye, Ann. de Chim. et 


Haber, 
Hallwachs, Wied. Ann. 


P 


Er I ,* 


Helmholtz, Pogg. Ann. 


Wied. Ann. 47, 93 


Verh. d. D. phys. 


Journ. Chem. Soc. London 67. 831 (1595). 
3; P 55 53 Q1 

(1892). 

de Phys. 27, 206 (1890). 


822 (1897): 


Ges. 13, 1117 (1911). 
47, 380 (1892). 

20, 517 (1893). 

53, 1 (1894). 

55, 282 (1895). 


154, 582 (1875). 


Berl. Sitzungsber. 1892, 1093. 


Wied. Ann. 


ITeydweiller, Ann. d. Phys. (4), 


t 


»* 


Hibbert, Phil. Mag. 40, 


Jellinek, Physikalisehe Chemie der Gasreaktionen, 
20. 47 


Johst. Wied. Ann. 


Kanonnikoff, 


" en + 
Karvonen. Ann. Acad. 
Ketteler, Pogg. Ann. 
Wied. Ann. 

30, 


Journ. f. 


140. 1 (1870). 
12, 363, 481 (1881). 


48. 389 (1893). 
30. 813 
PL) a LE) 
(ANS 
321 (1895). 


(1909). 
(1912). 
499 (1913). 


(1883). 


prakt. Chemie 31. 321 (1885). 


497 (1885). 


[Ss] 


32, 
Fennieæ A, 10, 5, 4 (1918). 
A. 10, 6, 6 (1918). 


Scient. 


299 (1887). 


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LXI 


EXIV JARL A. WASASTJIERNA. 


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137. » 4 ke 1904, 740. 
138. ^ : ; 1905, 382. 


Tom. L. 


139. 
140. 
141. 
142. 
145. 
144. 


145. 

| 146. 

147. 

148. 

149. 

à 150. 
151. 


152. 
153. 
154. 
155. 
156. 
157. 
158. 
159. 
160. 
161. 
162. 
163. 
164 
165. 


166. 
167. 
E 168. 
169. 


170. 
Tall: 


172. 
173. 
174. 


| 
k 
f 
4 
4 
L 
2 
" 
= 


Reinkober, 


N:o 2. 


Lösningars optiska egenskaper. 


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» NES $5 (4), 6, 27 
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- m » 127, 175, 344 (1866). 
7 $5 „ 183, 479 (1868). 
Sellmeier, i uus Ann. 143, 272 (1871). 
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+ FÅ » 147, 386, 525 (1872). 


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Rend. 77, 


” m 


Valson et Favre, Compt. 806 (1873). 


4, 525 (1914). 
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589 (1913). 
282 (1914). 


Braunschweig 1915, Friedr. 


1039 (1910). 


LXV 


Vieweg 


. Vieweg & Sohn. 


JARL A. WASASTIERNA. 


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DE. 
“21 
"M 
Rel 
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rem 
ID 
2 - 
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n 


ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 3. 


ZUR THEORIE 


DER 


AUTOMORPHEN FUNKTIONEN 
BELIEBIG VIELER VERÄNDERLICHEN 


P. J. MYRBERG 


HELSINGFORS 192 
DRUCKEREI DER FINNISCHEN LITTERATURGESELLSCHAFT 


wv. 


Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig 
vieler Veränderlichen. 


Die vorliegende Abhandlung enthält eine Verallgemeinerung der in unserer Arbeit „Über 
die automorphen Funktionen zweier Veründerlichen**) dargestellten Untersuchungen auf den Fall 
beliebig vieler Veränderlichen. 

Die beiden ersten Kapitel enthalten Untersuchungen über die wesentlichen Singularitäten 
der automorphen Funktionen bei gewissen Kollineationsgruppen. Im letzten Kapitel werden neue 
Verallgemeinerungen der Poincareschen Reihen gegeben. 


I. Die wesentlichen Singularitäten bei automorphen 
Funktionen mehrerer Veränderlichen. 


1. Gegenstand der folgenden Untersuchungen bilden die diskontinuierlichen Gruppen von 
reellen Kollineationen 


(1) X,-— 


Fe Css eam we RET pe ceras pei 


(k—1,...,m), 


oeque, LI, lon po mU ln tl 


deren zugeordnete homogene lineare Substitutionen 
(2) = ri Yıt ar, 2 U2---**-- €x, n Yn TAR, n+1Yn+1 


die quadratische Form 
(3) GY)=Yi+Vate ty, Ur 


invariant lassen. Es handelt sich m. a. W. um die diskontinuierlichen Gruppen von reellen hy- 
perbolischen Bewegungen oder Spiegelungen in dem durch die reellen und imagináren Bestand- 
teile der n komplexen Grössen x1,...,æ, definierten 2n-dimensionalen Raum J»,, wo q—0 
die homogene Gleichung des absoluten Gebildes ist. In diesem Raum ist der hyperbolische Raum, 
d.h. die Gesamtheit derjenigen reellen Punkte (z;,...,2,), die der Ungleichung 


1) Acta mathematica tom. 43. 


4 P. J. MYRBERG. 


(4) D'ÉTÉ ma < Il 
genügen und somit innerhalb des reellen absoluten Gebildes 
, 2 .2 2 
(4) 2, t% te +2,=1 


liegen, als n-dimensionaler Teilraum enthalten. 

Den niedersten Fall n=2, die Gruppen der hyperbolischen Bewegungen in der Ebene, 
haben wir in der oben zitierten Arbeit nach einer wesentlich verschiedenen Methode ausführlich 
behandelt. 

Die (n+1)” Koeffizienten «,,, sind den 5n 1)(n +2) Bedingungen 


le! 2 


Cop Fn+1,p Fl (potum 
m=1 
n 
= 2 2 
(9) en =—1, 
m-—1 
n 
Roe nn rl Lutte TE 0, Da ll op ne di Y 
m — ET 


unterworfen. Die allgemeinste Substitution (1) enthält daher an (n +1) unbestimmte Parameter. 
Die Relationen (5) sind mit den Relationen 


32 2 
Nam M =], (p.m 
m-—1 
n 
D 2 2 
(5) Me anta lina Gr 
m = 
n 
>) 
- = = 14-05 nl 
D np D nie ste 0 fö f a , 
m-—1 PE 


äquivalent, zu welchen man gelangt durch Betrachtung der inversen Substitution zu (1): 


> 
CHAPELLE 


ay on , (= 1, NE 


CE D en NX EE 
Aus den Gleichungen (5) folgt für die Determinante der (n+ 1)? Koeïfizienten «,,, der Wert 

JD) — ag. 
Die Substitutionen positiver Determinanten stellen hyperbolische Bewegungen, diejenigen negativer 


Determinanten Spiegelungen dar. 


2. Die hyperboliseh kongruenten Abbildungen gestatten neben der oben geschilderten kol- 
linearen Darstellung noch eine zweite nicht minder wichtige, zu welcher man durch Ausführung 
der quadratischen Transformation 


(6) en (£1, nl) 
2 TN 
£j ë,+1 
Tom. L. 


 -—-———————————————————————————————— —————————————— RR 


Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veränderlichen. 5 


gelangt. Geometrisch erhält man diese Transformation, indem man zuerst den hyperbolischen 
Raum (4) durch orthogonale Projektion auf die Hypersphäre 


2 m2 m? — 
Den LE Li 1, 


dann diese vom Punkte x1=---=2X, 1— $2,41—0, 25-1 aus durch stereographische Projektion 
anf die Ebene x, — O0 abbildet und = z1,...,8, 1— €, 1,8 2,41 Setzt. Die Transformation 
(6) führt den hyperbolischen Raum, nach Fixierung des Zeichens von &,, in einen von der Hy: 


perebene 
(6)' En — 0 


begrenzten Halbraum über, wo den reellen Hyperebenen zur Ebene (6)' orthogonale Halbhyper- 
kugeln entsprechen, welche vermittels quadratischer Cremonasubstitutionen, der Transformierten 
der Kollineationen (1), in einander übergeführt werden. - 

Zur Untersuchung der transformierten Gruppe ist es hinreichend, sich auf die invariante 
Hyperebene (6) zu beschränken, weil man von dieser aus ohne weiteres die Erscheinungen im 
ganzen Raume (3;,...,5,) verfolgen kann. 

In den niedersten Fällen n=2 und n=3 gelangt man in dieser Weise zur Darstellung der 
hyperbolischen Bewegungen und Spiegelungen vermittels linearer Substitutionen 


deren Koeffizienten im Falle n=2 reelle, im Falle n=3 komplexe Zahlen sind. 


3. Es sei jetzt I irgendeine Gruppe hyperbolischer Bewegungen (1) ohne infinitesimale 
Substitutionen. Bekanntlich?) ist jede derartige Gruppe im Raume s, „eigentlich diskontinuier- 
lich“, d. h. sie besitzt einen 2n-dimensionalen Fundamentalbereich. Für diese Behauptung wer- 
den wir übrigens aus späteren Überlegungen einen einfachen Beweis erhalten. Unser nächstes 
Ziel ist die Lüsung der folgenden, für die Untersuchung der Singularitäten automorpher Funk- 
tionen fundamentalen Aufgabe. 

PROBLEM. Die Gesamtheit der vermittels der Substitutionen einer diskontinuierlichen 
Gruppe T erhaltenen Transformierten eines beliebigen algebraischen Gebildes zu finden. 

Wir zeigen zunächst, dass die Ungleichung 


(7) Venen MM, 
wo M eine endliche Grösse ist, nur für endlich viele Substitutionen der diskontinuierlichen 


Gruppe I bestehen kann. 
Aus der mittleren Gleichung (5) folgen in der Tat die Ungleichungen 


loser usc T4 M3:—4 (m=1,...,n) 
und dann aus den Gleichungen (5) 


1) Vgl. A. Hurwırz: Zur Theorie der automorphen Funktionen von beliebig vielen Variabelen, Math. Ann. 
(1905), und die Arbeiten von G. FUBINI, die in der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. 
II» S. 468 angeführt sind. 4 


N:o 3. 


"d 
/ X. 


4 


» 


6 P. J. MYRBERG 


ANAL. USE Se TI eg (m,p=1,...,n). 
Wäre nun, gegen unsere Behauptung, in der Gruppe I eine unendliche Anzahl von Substitutionen 
vorhanden, welche der Bedingung (7) genügten, so könnten wir unter ihnen eine unendliche Folge 
(8) 81,82, 8,,. 


herausgreifen, deren Koeffizienten sämtlich bestimmte endliche Grenzwerte hätten. Die unend- 
liche Folge von Substitutionen der Gruppe: 


P m (v 1,970 


enthielte aber dann eine infinitesimale Substitution, was der vorausgesetzten Diskontinuität dieser 
Gruppe widerspricht. Es ist somit 


(7)' x lim na er 
v=00 


4. Es sei jetzt (8) eine beliebige unendliche Folge von Substitutionen der Gruppe I. Aus 
der Identität 


n 


2 
n 1» 2. 
"v2 Kl 
(9) ae 
Fl £ CORTE ar Soap AG ARC En) 
erhält man für æ,=---=x,=—0 die Gleichung 
n 
72 1 
(Edo) ee 
k—1 Oy IS PEN 


und also, wegen (7), 
"n 
. 72 
lim D X? (0) = dy 
erm 


d.h. die Transformierten des Nullpunktes mittels der Substitutionen (8) häufen sich nach dem 
reellen absoluten Gebilde (4). Die aus den betreffenden Häufungspunkten bestehende Menge 
werden wir mit (m) bezeichnen. 
Wir wählen jetzt eine beliebige unendliche Folge (8) von Substitutionen der Gruppe I, für 

welche sowohl 

lim 8,(0) = 05 (a1, aa, ..-,4u) 
als 7 

lim 8, !(0)— DES (ins Deo Un) 

v=0 


wo O den Nullpunkt bezeichnet, existieren. Wir nehmen ferner an, dass keine der Koordinaten 
der Grenzpunkte O,, O_„ gleich Null ist, was man stets vermittels einer Koordinatentrans- 
formation erreichen kann. 

Nach (1) und (1)' ist 


: ey : e l,k 2 
(10) ax = lim PR lm REN Ken), 
*5--1,n4-1 U5,-E1,24-1 


woraus hervorgeht, dass die Koeffizienten 
Tom. L. 


———— 


» dicet 9 cv wur 


ne ärta 05 e: 


Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler. Veründerlichen. 7 


Cp, n1; On Fl, (Ino ey m - p) 


gleichzeitig mit dem letzten unter ihnen, «,..;,, 4:1, bei Durchlaufung der Substitutionen (8) dem 
absoluten Betrage nach über alle Grenzen wachsen. 
Wir setzen jetzt allgemein 


Oy 
(11) — I. Bn )p 


En tl, p 
in den Gleichungen (5). Beim Grenzübergange gehen dieselben in die Relationen 
” 2 n 
. 7 . 
(12) lim S 87. ,—1, lim $ Bm,» 8,,,—1 (p,Qq—1,...,n-- 1) 
m-—1 m-—1 
über. Aus diesen Gleichungen erhält man 


lim ba (Bm, Duc Bm, DR 0 


m= 1 


und also 
Ina, Bel T man) 
oder, nach (10) und (11), 
e € yu Ce - Uy, n 
(12) lm d 
&y+1,% essi mem 


und bieraus, wegen der Voraussetzung a, 0, 
, B - 


13)" Hi eme 


[14 


m oclo 


m,n-rl CESR PES 


by (mus MO) 


Dieses Resultat ist gleichbedeutend damit, dass die den Substitutionen (8) zugeordneten Hyperebenen 
(13) Ly=am1tit+ + Am, nn + Em,n+1= 0 (HER EE ste) 
sämtlich die Tangentenhyperebene 
(14) L=bit1y +. +b,x,—1—=0 
des absoluten Gebildes (4) im Punkte (b1,...,b,) zum Grenzgebilde haben. 

In ühnlicher Weise haben die Hyperebenen 
(13) I, mimi de: ne mt, (mn esti), 


die den inversen Substitutionen von (8) zugeordnet sind (vgl. (1)’). zum Grenzgebilde die Tangenten- 
hyperebene 
(14) L'-2aiz, 4-4 a,2,—1-0 


des absoluten Gebildes im Punkte (a1,...,4,). 


5. Wir betrachten jetzt die Gesamtheit der vermittels der Substitutionen von I erhaltenen 
Transformierten eines beliebigen (2» — 2)-dimensionalen algebraischen Gebildes, welches keinen 
Punkt der Menge (m) enthält. 

Die Gleichung dieses Gebildes sei, in homogener Form geschrieben, 


(15) PY, yos... 9541) — 0. 
N:o 3. 


8 P. J. MYRBERG. 


Bei Ausführung der Transformation (1) wird dasselbe in das Gebilde 
(15) BOIRE Leo 


übergeführt, wo Li... Lis: durch (13)' definiert sind. 
Es sei ferner eine beliebige unendliche Folge (8) von Substitutionen in der in N:o 4 ange- 
gebenen Weise gewählt. Nach N:o 4 kann die Gleichung (15)' in der Form 


(16) P(o, x1, (D E), 0,4174 (E 4 E), — 533i, 41(D - E41); — 0 ; 


geschrieben werden, wo Eı,..., E,+1 lineare Funktionen sind, deren Koeffizienten beim Grenz- 
übergang alle gegen Null konvergieren. Weil der Punkt (b1,...,b;) nicht dem Gebilde (15) 
angehört, so ist von einer gewissen Substitution der Reihe (8) an (vgl. (12)") 


Pme m LE). 


Beim Grenzübergange geht somit (15)' in die (einfach oder mehrfach gezählte) Tangentenhyper- 
ebene Z’=0 des absoluten Gebildes im Punkte (a1,...,a,) über. 

Das Obige enthält den Beweis des folgenden Satzes: 

SATZ. Die Häufungsgebilde der Transformierten jedes (2n — 2)-dimensionalen algebraischen 
Gebildes, welches keinen zur Menge (m) gehörigen Punkt des reellen absoluten Gebildes (4)' ent- 
hält, bestehen aus den Tangentenhyperebenen des absoluten Gebildes in den Punkten der Menge (m). 

Diese Häufungsgebilde, die im obigen Sinne von der Wahl des Anfangsgebildes unabhängig 
und also von der Gruppe allein abhängig sind, haben für die Theorie der automorphen Funktio- 
nen eine fundamentale Bedeutung. Es ist daher zweckmässig, für diese Gebilde die Benennung 
Hauptgrenzgebilde der Gruppe einzuführen. 

Die obigen Ergebnisse bleiben nicht mehr allgemeingültig, wenn das Anfangsgebilde Punkte 
der Menge (m) enthält. Neben den Hauptgrenzgebilden können nämlich dann gewisse „spezielle 
Grenzgebilde“ als Häufungsgebilde von räumlich ausgedehnten Mannigfaltigkeiten auftreten, wie 
wir im Kap. II sehen werden. 

Man kann die obigen Untersuchungen in viel allgemeinerer Form ausführen, wie wir es 
tatsächlich in unserer S. 2 zitierten Arbeit getan haben, indem man statt der algebraischen Man- 
nigfaltigkeiten mit allgemeinen Punktmannigfaltigkeiten operiert. Für das Folgende sind jedoch 
die obigen Resultate hinreichend, weshalb wir auf die genannte Verallgemeinerung hier nicht 


eingehen wollen. 


6. Man gewinnt aus dem obigen Satze unmittelbar das folgende Resultat betreffs der Häu- 
fung der Transformierten eines einzelnen Punktes. 

SATZ. Die Häufungspunkte der vermittels der Substitutionen von I erhaltenen Bilder eines 
beliebigen Punktes, der keinem Hauptgrenzgebilde angehört, bestehen aus sämtlichen Punkten der 
Menge (m), oder also aus der Gesamtheit der Berührungspunkte der Hauptgrenzgebilde mit dem 
absoluten Gebilde (4)'. 

In der Tat folgt aus der gemachten Voraussetzung, dass die Polarenhyperebene des gege- 
benen Punktes inbezug auf das absolute Gebilde keinen Punkt der Menge (m) enthält. Die 
Transformierten dieser Ebene vermittels der Gruppe I haben also nach N:o 5 als Grenzgebilde 

Tom. L. 


— 


eR 


Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veründerlichen. 9 


die zu den Punkten von (m) gehórenden Tangentenhyperebenen, und da die Polarbeziehung sich 
in der Transformation bewährt, ist unser Satz hiermit bewiesen. 

Die Punkte der Menge (m) wollen wir ,Zauptgrenzpunkte* der Gruppe nennen, da sie ge- 
meinsame Grenzpunkte und zwar die einzigen Grenzpunkte sämtlicher ausserhalb der Haupt- 
grenzgebilde gelegenen Punkte sind. Wenn der gegebene Punkt einem Hauptgrenzgebilde an- 
gehört, können dagegen neben den Haupterenzpunkten auch „spezielle Grenzpunkte“ auftreten. 


7. Bevor wir zur nüheren Untersuchung der Hauptgrenzgebilde übergehen, wollen wir erst 
ihre funktionentheoretische Bedeutung darlegen. 

An den Poinearéschen Gedankengang anknüpfend sucht Prcarp automorphe Funktionen 
mehrerer Veründerlichen durch Quotienten von Reihen der Form 


DS e Best oh a 
(17) Y HO Xs.) | Are >| 


(a Lar: rr LA) 
darzustellen, wo H eine rationale Funktion bedeutet und die Summierung sich über die Gesamt- 
heit der Substitutionen der gegebenen Gruppe erstreckt. 

Man kann zur Bildung automorpher Funktionen auch Reihen anwenden, die durch Verall- 
gemeinerung der in unserer S. 3 genannten Arbeit gegebenen Reihen auf beliebig viele Verän- 
derliche erhalten werden, wie wir im dritten Teile dieser Abhandlung zeigen werden. 

Alle diese Reihen definieren, wenn sie gleichmässig konvergieren, analytische Funktionen, 
die im allgemeinen, d. h. wenn keine zufällige Kompensation auftritt, für die Unstetigkeitsgebilde 
der einzelnen Glieder algebraisch unstetig werden. Die Gesamtheit der algebraischen Unstetig- 
keitsgebilde dieser Funktionen besteht demnach teils aus den Transformierten der Unstetigkeits- 
gebilde der rationalen Funktion H,teils aus den vermittels der verschiedenen Substitutionen der 
Gruppe erhaltenen Transformierten der unendlich fernen Hyperebene, d.h. aus den Flucht- 
hyperebenen L,:1—0 oder Z„+1=0, welche Unstetigkeitsgebilde der in (17) auftretenden 
Funktionaldeterminanten sind. 

Wenn wir besonders annehmen, dass die in den Reihen (17) auftretenden rationalen Funk- 
tionen 7 in den Hauptgrenzpunkten (m) endliche Werte besitzen, so haben die mittels dieser 
Reihen gebildeten automorphen und verwandten Transzendenten die ausgezeichnete Eigenschaft, 
nur solche wesentliche Singularitäten zu besitzen, deren Lage von der Gruppe allein abhängt. 
Für diese „eigentlichen automorphen Transzendenten“, wie wir sie nennen wollen, haben wir nach 
dem Vorhergehenden den 

SATZ. Die wesentlichen Singularitäten der eigentlichen automorphen Transzendenten bestehen 
aus der Gesamtheit der Hauptgrenzgebilde der Gruppe, deren Lage von der Gruppe allein ab- 
hängt. Für alle diesen Gebilden nicht angehörigen Stellen des Raumes Ro, besitzen jene Funk- 
tionen rationalen Charakter. 


8. Die obigen Ergebnisse führen mit- Notwendigkeit zu einer neuen Auffassung der 
Gruppendiskontinuität bei den automorphen Funktionen zweier und mehrerer Veränderlichen. 

Im Falle einer Veränderlichen spielen die Grenzpunkte der Gruppe eine wichtige Rolle 
als die einzigen wesentlich singulären Stellen der zur Gruppe gehörigen, mittels Reihen der 
Poincaréschen Typus gebildeten automorphen Funktionen. 


N:o 3. 2 


10 P. J. MYRBERG. 


In der Theorie der automorphen Funktionen zweier und mehrerer Veränderlichen kommt, 
nach den obigen Resultaten, die entsprechende Bedeutung den Punkten der Hauptgrenzgebilde 
zu. Die Gesamtheit dieser Punkte wird aber hier nicht dureh Häufung einzelner Punkte erhal- 
ten, wie bei den Gruppen einer Veränderlichen, sondern durch Häufung räumlich ausgedehnter 
Mannigfaltigkeiten, weshalb die Hauptgrenzgebilde als ,spatiale Diskontinuitüten* der betreffen- 
den Gruppen bezeichnet werden kónnen. Nach unseren Resultaten besitzt die spatiale Diskon- 
tinuität im Falle zweier und mehrerer Veränderlichen dieselbe funktionentheoretische Bedeutung 
wie die punktuelle Diskontinuität im Falle einer Veränderlichen. 

Durch die Einführung des neuen Diskontinuitätsbegriffs wird eine volle Analogie in der 
Theorie der wesentlichen Singularitäten der automorphen Funktionen einer und mehrerer Verän- 
derlichen erreicht. 

Die obigen Resultate behalten ihre Gültigkeit für viel allgemeinere Klassen automorpher 
Gruppen, wie wir bei anderer Gelegenheit zeigen werden. 


II. Bestimmung der wesentlichen Singularitäten bei verschie- 
denen Klassen diskontinuierlicher Gruppen. 


9. Wir wollen mit der Untersuchung derjenigen diskontinuierlichen Gruppen beginnen, deren 
Hauptgrenzpunkte aus der Gesamtheit der Punkte des reellen absoluten Gebildes (4)' bestehen. 

Das einfachste Beispiel solcher Gruppen besitzt man in der Gruppe G, aller Kollineationen 
(1) mit ganzzahligen reellen Koeffizienten. Dies sieht man unmittelbar in den beiden niedersten 
Fällen durch Betrachtung der zugeordneten Gruppen linearer Substitutionen (vgl. N:o 2). Im 
Falle n—2 erhält man nämlich G5 durch Transformation einer Untergruppe der Modulgruppe, 
welche nur ausserhalb der reellen Achse diskontinuierlich ist. In ähnlicher Weise ergibt sich im 
Falle n=3 die Gruppe @, durch Transformation einer Untergruppe der Picardschen Gruppe, 
d.h. der Gruppe aller linearen Substitutionen mit ganzzahligen reellen oder komplexen Koeffizien- 
ten; die Pieardsche Gruppe ist nämlich nieht in der komplexen Ebene, sondern erst in dem drei- 
dimensionalen Halbraume diskontinuierlich. " 

Bei beliebigem Werte von » kann man das entsprechende Resultat leicht vermittels einer 
von Prcarp angewandten Methode!) erzielen, wo es sich um die von HrmwrrE herrührende 
kontinuierliche Reduktion indefiniter Formen und ihre Anwendung auf die Bestimmung des Fun- 
damentalbereiehs einer Gruppe arithmetischen Ursprungs handelt. In der Tat führen die Picard- 
schen Betrachtungen, für den vorliegenden Fall geeignet modifiziert, zu dem Resultat, dass die 
Gruppe G, auf dem reellen absoluten Gebilde aufhört diskontinuierlich zu sein, was mit unserer 
Behauptung üquivalent ist. 


1) E. Prcanp: Sur les formes quadratiques ternaires indéfinies à indélerminées conjuguées et sur les fonctions 


hyperfuchsiennes correspondantes. Acta mathematica, Bd. 5, 1884. 


Tom. L. 


Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veründerlichen. 11 


10. Nach den Ergebnissen des ersten Teiles bestehen die Hauptgrenzgebilde bei jeder Gruppe 
des oben betrachteten Typus aus der Gesamtheit der Tangentenhyperebenen der reellen absolu- 
ten Hypersphäre. Die Gesamtheit (M) der Punkte dieser Mannigfaltigkeiten bilden ein Konti- 
nuum, dessen Untersuchung unser nächstes Ziel ist. 

Wir gehen zu diesem Zwecke von der Gleichung 


(18) 4121 + A2to ++ An LR — 1=0 


aus, welche die Tangentenhyperebene des absoluten Gebildes (4)' im reellen Punkte (a1,a2,...,4,) 
darstellt. Es ist somit 
(19) a1 -4-a24- Fai — 1. 


n 


Durch Zerlegung in den reellen und den imaginären Bestandteil ergibt sieh hieraus, wenn wir 


(20) gets let (CERTES) 
schreiben, 

(21) ax, T 0555 dose +4,2, io 

(22) AC, 40,92 Fa x, — 0. 


Die gesuchte Menge (A) besteht aus sämtlichen Punkten des Raumes Z»,, deren Koordinaten 
non: 
(21) und (22) genügen. 

Wir deuten z4,...,2", und æ},...,x" als rechtwinklige Koordinaten zweier Punkte P’ 
und JP" eines n-dimensionalen Raumes À, und haben dann eine umkehrbar eindeutige Beziehung 
zwischen den Punkten von Ra„ und den Punktpaaren (P’, P") von A,. Der Kürze halber 


bedienen wir uns der gewóhnlichen Terminologie des dreidimensionalen euklidischen Raumes. 


æ;,...,æ", zusammen mit reellen Werten von a,,@,,...,a,, den Bedingungen (19), 


Die Längen der Radiivektors OP’ und OP” bezeichnen wir bzw. mit r’ und r": 
roO 19 PAP NME) m RUP: 
er Ber rs 4X. Feat, 7, 


und definieren den Winkel (r'r") zwischen ihren Richtungen durch die Gleichung 


Li "| , " 
f | s x, kx c, 
(23) cos (r'r'^) — 7 SR. 


TT 


Aus (19) und (21) folgt zunächst r'>1. Es muss somit der Punkt P' ausserhalb oder auf der 
Einheitskugel liegen. Wir wählen zunächst P' ausserhalb dieser Kugel und nehmen ferner an, 
dass r" 0 ist, d.h. dass P" nicht mit dem Nullpunkt zusammenfällt, oder m. a. W., dass 
(21,...,2,) ein komplexer Punkt ist. 

Die Gleichung (21) stellt, wenn a,,a2,..,a, als Variable angesehen werden, die Polarebene 
des Punktes P' inbezug auf die Einheitskugel dar. Die Gleichungen (19) und (21) repräsen- 
tieren also zusammen den Schnittkreis © dieser Ebene mit der Einheitskugel. Die Tangenten - 
ebenen (21) dieser Kugel in den verschiedenen Punkten (v;,a5,...,a,) von C umhüllen einen 
Kegel X’ mit der Spitze P', dessen Scheitelwinkel g durch die Gleichung 
(24) sing = : 


N:o 3. 


12 P. J. MYRBERG. 


bestimmt wird. Die Gleichung (22) stellt eine durch den Nullpunkt gehende, mit (21) parallele 
Ebene dar und umhüllt also, wenn der Punkt (d,,45,..,«,) den Kreis C durchläuft, einen mit 
K' kongruenten Kegel K”', der die Origo als Spitze und OP’ als Achse hat. Somit muss der Punkt 
P" in einer Tangentenebene des Kegels K” und also entweder ausserhalb dieses Doppelkegels 
oder in der Mantelfläche desselben liegen. i 


11. Nehmen wir zuerst an, dass P’” ausserhalb X” fällt. Durch P" können dann zwei 
verschiedene Tangentenebenen zu .K" gelegt werden. Die diesen parallelen Tangentenebenen 
des Kegels K’ berühren die Einheitskugel in zwei Punkten des Kreises C, die wir mit 4, und 
A, bezeichnen wollen. Die Koordinaten (a,,45,...,a,) jedes dieser Punkte befriedigen, zusam- 
men mit den Koordinaten der Punkte P' und P", die Gleichungen (19), (21) und (22). Der 
Punkt (P', P") des Raumes Rz, gehört also zu (M) und ist offenbar ein innerer Punkt dieser 
Menge; durch ihn gehen zwei verschiedene Hauptgrenzgebilde, nàmlieh die Tangentenebenen der 
Einheitskugel in den Punkten A, und A,. 

Wenn P" auf der Mantelfläche von AK" liegt und r" > 0 ist, geht durch P" nur eine 
Tangentenebene dieses Kegels. Dann fallen also A, und A, in einem Punkte A des Kreises C 
zusammen, und die zu À gehórige Tangentenebene der Einheitskugel ist das einzige Hauptgrenz- 
gebilde, das den Punkt (P', P") enthält. Dieser Punkt gehórt auch jetzt zu (M), ist aber ein 
Grenzpunkt dieser Menge, weil jede Umgebung desselben offenbar Punkte (P', P") enthält, für 
welche P" innerhalb des entsprechenden Kegels X” fällt und die, nach dem oben Gesagten, 
also nicht zu (M) gehören. Diese Grenzpunkte bilden ein Kontinuum der (22 — 1)*" Dimension. 

In dem Falle, wo P" in die Origo fällt, also 7" — 0 ist, reduziert sich (22) auf eine Identität, 
und die Gleiehungen (19) und (21) werden durch die Koordinaten (a,,45,...,a,) jedes Punktes 
des Kreises C befriedigt. Sämtliche Punkte der durch die Bedingungen r’>1,r"=0 definier- 
ten »-dimensionalen Mannigfaltigkeit gehören also zu (M), und durch jeden derselben gehen 
unendlich viele Hauptgrenzgebilde. Alle diese Punkte liegen an der Grenze von (M). 

Die zuletzt betrachtete Mannigfaltigkeit hat zu Grenzpunkten die Punkte der (» — 1)-dimen- 
sionalen Mannigfaltigkeit r’=1,r"=0, d.h. des reellen absoluten Gebildes. Auch diese Punkte 
gehören der Menge (M) als Grenzpunkte an, und durch jeden derselben geht ein einziges 
Hauptgrenzgebilde. 


12. Dass der Punkt P" ausserhalb des Doppelkegels X’ fällt, wird analytisch durch die 
Bedingungen q — (r'r")-z —q, oder nach (24) 
(25) rs rn) BE 10) 
ausgedrückt, welche Bedingung die zuerst aufgestellte Bedingung r’>0 einschliesst. Nach (23) 
kann (25) in der Form 
(elof tele) 


r'2—17r'?cos?(r'r") PUE: 


oder 
(r2 7" 2— 1) > (re 72 1) x. Amt" e x xy 


geschrieben werden, welche letztere Ungleichung vermóge (20) die elegante Form 


Tom. L. 


Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veränderlichen. 13 


(25) : $X,XX34$xx,—1d|D|zl4 0324-3 x5—1| 


annimmt. Wenn P" auf die Mantelfläche von K” fällt, verwandelt sich in (25) und (25) das 
Zeichen > in =. 

Wir haben also folgendes Resultat gewonnen: 

Die Gesamtheit (M) der zu den Hauptgrenzgebilden der oben betrachteten Gruppen gehöri- 
gen Punkte enthält 

a) als innere Punkte sämtliche Punkte des 2n-dimensionalen Kontinuums (25) oder (25)'; 

b) als Grenzpunkte die Punkte des (2n — 1)-dimensionalen Kontinuums 


(26) AS = ESO, 

diejenigen des n-dimensionalen Kontinuums 

(27) r'>1,r"=0, 

sowie die reellen Punkte des absoluten Gebildes, d. h. des (n —1)-dimensionalen Kontinuums 
(28) Li] m 0, 

das die gemeinsame Grenze für (26) und (27) ist. 

Dieses Resultat gilt aber nur für n>3. Im Falle » — 2 reduziert sich nämlich die oben 
betrachtete räumliche Konstruktion auf eine ebene Figur; statt des Kegels A' erhalten wir die 
vom Punkte P' gezogenen Tangenten des Einheitskreises, statt AK" die durch die Origo gehenden 
Parallelen derselben. Nach (22) muss P" auf einer dieser Parallelen liegen, und es ist folglich 
(r'r")— qs, sodass wir als Bedingung, damit der Punkt (P', P") zu (M) gehört, jetzt die 
Gleichung 


(29) ASIN (RAA) Il: 
oder 

>= = I 2 2 
(29) Titi tels 1= lt; +2,31] 


bekommen. Im Falle n=2 ist somit (M) eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit. In unserer 
oben zitierten Arbeit haben wir gezeigt, dass dieselbe den vierdimensionalen Raum in drei 
Teile zerlegt. 


13. Nach dem Vorhergehenden charakterisiert die Ungleichung 


(30) fn (qp yea 
oder 
(30) BE Hat ter x 1x tt. +2 —1| 


die Gesamtheit derjenigen Punkte von A&s,, welche keinem Hauptgrenzgebilde angehören. Diese 
Punkte bilden einen einfach zusammenhängenden Bereich, wie aus (30) unmittelbar hervorgeht. 
Mit Rücksicht auf die in N:o 7 dargelegte funktionentheoretische Bedeutung der Hauptgrenz- 
gebilde können wir die vorhergehenden Resultate im folgenden Satze zusammenfassen: 

SATZ. Bei denjenigen Gruppen, deren Hauptgrenzpunkte aus der Gesamtheit der reellen 
Punkte des absoluten Gebildes bestehen, definiert jeder vermittels der Picardschen oder analoger 
Reihen konstruierte Ausdruck eine einzige analytische Funktion, wenn die Anzahl der Variablen 
wenigstens drei ist. Der Existenzbereich aller dieser Funktionen besteht aus dem Raum 


N:o 3. WAR 


14 P. J. MYRBERG. 


Y 12 Y .. - 2 2 1 2 
LL + Too t +æ,2,—-1<|xi ++: ee, 


indem der komplementäre Raum ein lakunärer Raum für die Gesamtheit der fraglichen Funk- 
tion ist. à 

Im Falle zweier Variablen definiert dagegen jeder Ausdruck obiger Art drei verschiedene 
analytische Funktionen, welche je in einem der durch die dreidimensionale Mannigfaltigkeit 


NS MD Cen) 
%,%, +2,%,-1=|07 +2, —1]| 


begrenzten Teile des vierdimensionalen Raumes Ra existieren und diese Mannigfaltigkeit als na- 
türliche Grenze haben, über welehe hinaus sie analytisch nicht fortgesetzt werden können. 


14. Wir gehen’ jetzt zu dem zweiten extremen Fall über, wo die Hauptgrenzpunkte auf 
dem reellen absoluten Gebilde diskret liegen. 

Den einfachsten hierher gehörigen Fall bilden die von einer einzigen Substitution erzeugten 
oder zyklischen Gruppen. Zur Untersuchung derselben gehen wir von der quadratischen Form 


(31) v=22,,1+3+3+ "+2, 

aus, welche aus der Form (3) durch die Transformation 

(32) £1— yit V»1; Zn+1=Yı n1; 22= Y2,..., En = Jo 
hervorgeht. Es sei 


(33) gre dupgh (p=2,...,n) 


eine beliebige reelle orthogonale Substitution und 7 irgendeine von Eins verschiedene reelle 
Zahl. Wir haben dann in 
(34) 21 = 5721, TEL 2p= A Cosa (pizza EEE) 
q—2 

eine reelle lineare Substitution, welche die Form w invariant lässt; diese Substitution ist im 
allgemeinen eine loxodromische Substitution und besonders eine hyperbolische Substitution in 
dem Spezialfalle, wo (33) mit der identischen Substitution zusammenfällt, nach der bei den linea- 
ren Substitutionen einer Variablen angewandten Terminologie. 

Es sei nun P(2i,29,...,2,4,1) ein beliebiger Punkt des reellen hyperbolischen Raumes 
v — 0 und somit 2,1250. Wenn dann etwa 9 « 1 ist, so wird bei unbegrenzter Wiederholung 
von (34) 21 — 0 und Zi co, während die Werte von 25,2;,...,2, wegen der Identität 


22 He tete — 224 23-1 EL 
unterhalb endlieher Grenzen bleiben. Hieraus geht hervor, dass die Bildpunkte von P den 
Berührungspunkt Q der Tangentenhyperebene z,=0 des absoluten Gebildes y/— 0 zum Grenz- 
punkt haben. In ähnlicher Weise wird bewiesen, dass bei unbegrenzter Wiederholung der inversen 
Substitution der Berührungspunkt Q' der Tangentenhyperebene 2, +1 = 0 zum Grenzpunkt erhalten 
wird. Die Punkte Q,Q' sind die Hauptgrenzpunkte, die zugeordneten Taken HE E 
21—0,2,41— 0 die Hauptgrenzgebilde unserer zyklischen Gruppe. 


Tom. L. 


Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veränderlichen. 15 


Durch Übergang zu den transformierten Gruppen werden die Hauptgrenzgebilde aus zwei 
Tangentenhyperebenen der reellen absoluten Hypersphäre bestehen, deren Berührungspunkte, nach 
Ausführung einer geeieneten Transformation, beliebig vorgeschriebene Lagen erhalten können. 


15. Wir wollen hier nebenbei die speziellen Grenzgebilde der obigen Gruppen betrachten 
(vgl. S. 9), obwohl dieselben im Folgenden keine funktionentheoretische Anwendung finden 
werden. Wir beschränken uns dabei auf lineare Mannigfaltigkeiten. 

Wir wählen den Punkt P irgendwo auf der invarianten Mannigfaltigkeit 2,:1—0. Die 
Bildpunkte von P gehóren dann ebenfalls dieser Mannigfaltigkeit an und kónnen daher bei unbe- 
erenzter Wiederholung der Substitution (34) nicht den Punkt @ zum Grenzpunkt haben. Es 
liege zuerst eine hyperbolische Substitution vor: 


1 
= ot = SE =92 
8 = Yen Ent nn 2,129 (ipio de ,ñ) 


Der betreffende Grenzpunkt ist dann ein Punkt der Mannigfaltigkeit 21 —2,,;- 0, nämlich 
(0.22,23,...,2,.0); seine Lage ist vom Anfangspunkte P(21,22.....2,,0) abhängig und kann 
bei geeigneter Wahl von P2 mit einem beliebig gegebenen Punkt jener Mannigfaltigkeit zusam- 
menfallen. Wegen der Polarität kann man daraus schliessen, dass die Transformierten jeder 
durch den Punkt Q' gehenden Hyperebene durch die Punkte Q, Q' gehende Hyperebenen als 
Grenzgebilde haben. Entsprechendes gilt für die Wiederholung der inversen Substitution, nur 
wird die Rolle der Punkte Q,Q' sowie der Hypertangentenebenen 2,=0 und 2,+1=0 ver- 
tauscht. Somit bestehen die speziellen linearen Grenzgebilde bei den betrachteten Gruppen aus 
den durch die Hauptfixpunkte Q, Q' gehenden Hyperebenen. Diese Grenzgebilde durchsetzen 
im Falle a>2 den ganzen Raum Bon. 

Das obige Resultat gilt auch bei den loxodromischen Substitutionen, mit dem Unterschied, 
dass hier jede Hyperebene mehrere Grenzgebilde hat. Wie leicht einzusehen, ist die Anzahl 
derselben endlich oder unendlich, jenachdem die orthogonale Substitution (33) periodisch ist 
oder nicht. 


16. Allgemeinere Gruppen mit diskreten Hauptgrenzgebilden erhält man in folgender Weise: 

Wir wählen auf der reellen absoluten Hypersphäre eine gerade Anzahl Punkte Q;, Q;, und 
bilden mit diesen Punkten als Hauptfixpunkten hyperbolische oder loxodromische Substitutionen. 
Wir behaupten, dass die aus diesen Substitutionen S; erzeugte Gruppe sicher dann diskontinuier- 
lich ist, wenn die Multiplikatoren 7; der erzeugenden Substitutionen hinreichend klein gewählt 
werden. 

Zum Beweise wählen wir für jede Substitution S; eine reelle Hyperebene E’, welche aus 
der Hypersphäre ein kleines, den Punkt Q; enthaltendes Segment v; schneidet. Bei hinreichend 
kleinen Werten von y; wird die vermittels S; aus E; erhaltene Hyperebene E; aus der Hyper- 
sphäre ein beliebig kleines, den Punkt Q; enthaltendes Segment +; schneiden. Man kann dadurch 
offenbar erreichen, dass die verschiedenen Hyperebenen Z,, E; einander nur ausserhalb der abso- 
luten Hyperspháre treffen. Unter dieser Bedingung ist aber die von den Substitutionen S; er- 
zeugte Gruppe diskontinuierlich, weil offenbar der von den Hyperebenen Z;, E; und den zwischen- 


N:o 3. 


16 P. J. MYRBERG. 


liegenden Teilen der absoluten Hypersphäre begrenzte Bereich B keine zwei bezüglich der Gruppe 
äquivalenten Punkte enthält und somit ein Teil des Fundamentalbereichs ist. 

Diese Gruppen gestatten eine sehr einfache Darstellung vermittels der in N:o 2 besprochenen 
quadratischen Substitutionen. Bei Ausführung der Transformation (6) wird nämlich der Bereich 
B in einen von ausserhalb einander liegenden Halbhyperkugeln und Teilen der Hyperebene &, — 0 
begrenzten Bereich übergeführt. Die transformierten erzeugenden Substitutionen ordnen dabei 
die Halbhyperkugeln paarweise einander in der Weise zu, dass die inneren und äusseren Teile 
dieser Halbkugeln einander wechselweise entsprechen. Beschränkt man sich auf die invariante 
Hyperebene $,— 0, wo die Gruppe bereits diskontinuierlich ist, so gelangt man zu einer Gruppe, 
deren Fundamentalbereich im reellen Gebiete von einer geraden Anzahl (» — 1)-dimensionaler 
Hyperkugeln, in den Fällen n — 4 und n—3, also von gewöhnlichen Kugeln bzw. Kreisen be- 
grenzt ist. Dureh Übergang zu einer komplexen Veränderlichen gehen diese Gruppen im Falle 
n=3 in Gruppen des Schottkyschen Typus über. 


17. Zwischen den oben behandelten extremen Fällen, wo die Mannigfaltigkeit der Haupt- 
grenzgebilde ihre maximale bzw. minimale Mächtigkeit hatte, gliedern sieh eine Anzahl interme- 
diärer Fälle, wo die Hauptgrenzpunkte Kontinua von kleinerer als (n — 1)'** Dimension bilden. 
Man findet unmittelbar, dass in diesen Fällen die Punkte der Hauptgrenzgebilde 2 »-dimensionale 
Kontinua bilden, ausser im niedersten Falle, wo die Hauptgrenzpunkte ein lineares Kontinuum 
bilden, in welchem Falle die Dimension des fraglichen Kontinuums gleich 2 — 1 ist. 

Wir wollen hier nur diesen letzten Fall näher untersuchen und wählen der Einfachheit 
wegen den Fall n=3, d.h. den gewöhnlichen hyperbolischen Raum zum Gegenstand unserer 
Untersuchung. 

Die in dem in N:o 2 angegebenen Sinne zugeordneten Gruppen linearer Substitutionen einer 
Veründerlichen mit komplexen Koeffizienten haben im vorliegenden Falle entweder eine oder 
unendlich viele Grenzkurven, welehe Kreise oder nichtanalytische Kurven sind. Wir betrachten 
zunächst den Fall einer Grenzkurve, deren Projektion auf der absoluten Kugel wir mit @ be- 
zeichnen. Die Punkte von G sind die Hauptgrenzpunkte, die durch diese Punkte gehenden Tan- 
gentenebenen die Hauptgrenzgebilde unserer Gruppe I. Wir behaupten, dass die aus den Punk- 
ten sämtlicher Hauptgrenzgebilde bestehende fünfdimensionale Mannigfaltigkeit M den ganzen 
sechsdimensionalen Raum Re in drei Teile zerlegt. Betreffs der Kurve @ setzen wir nur voraus, 
dass sie eine einfache geschlossene Kurve ist. 

Es sei P ein beliebiger Punkt von Ra„, der dem Bereiche (25) angehört, (P^, P") das 
entsprechende Punktpaar des Raumes Z, und A, und Aa die zugehörigen Punkte der Einheits- 
kugel (vgl. S. 12). Die Tangentenebenen dieser Kugel in 4, und A» schneiden einander längs 
einer Geraden Z’, die durch P’ geht; der Punkt P" liegt auf der durch die Origo gehenden 
Parallele Z" zu L'. Wie wir oben gesehen haben, sind die zu 4; und 4: gehörigen Tangenten- 
mannigfaltigkeiten (18) im Raume Rs die einzigen, welche den komplexen Punkt P enthalten. 
Wenn also weder 4, noch As auf der Grenzkurve G liegt, so liegt P ausserhalb der Mannig- 
faltigkeit M. 

Wenn der Punkt P" auf der Mantelfläche des Kegels K" (jedoch verschieden von der Origo) 
gewählt wird, so fallen 4; und 4» in einem Punkt A der Kugelfläche zusammen, und die zu 
| Tom. L. 


Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veründerlichen. 17 


diesem gehörige Mannigfaltigkeit (18) ist die einzige, die durch den Punkt P geht. Ist A aus- 
serhalb @ gelegen, so gehört folglich P nicht zu M. Ein ähnliches Resultat wird. erhalten, 
wenn P' in der Oberfläche der Einheitskugel fällt. 

Lassen wir dagegen P” mit der Origo zusammenfallen, so gehen durch den entsprechenden 
Punkt P unendlich viele Mannigfaltigkeiten (18), nämlich alle diejenigen, die den Punkten des 
zu P' gehörigen Kreises C entsprechen. Der Punkt P gehört dann zu M oder nicht, jenach- 
dem der Kreis die Kurve G trifft oder nicht. 

Die Grenzkurve G zerlegt die Oberfläche der Einheitskugel in zwei Teile « und 8. Wir 
bezeichnen mit (P;) bzw. (Ps) die Gesamtheit derjenigen Punkte des Bereichs (25), für welche 
die entsprechenden Punkte A, und As beide innerhalb e bzw. beide innerhalb & fallen. Nach 
dem oben Gesagten haben die Mengen (P,) und (P3) keinen Punkt mit der Menge (M) ge- 
meinsam. Wir behaupten, dass jede derselben ein einziges Kontinuum bildet. 


18. Es seien P=(P’, P") und P — (P', P") irgend zwei Punkte z. B. der Menge (P), 
A1, Aa und A1, A» die entsprechenden Punktpaare der Einheitskugel, L', L" und L', L" die 
zugehórigen Paare von Geraden. Diejenigen von der Origo ausgehenden Halbstrahlen der Geraden 
L" und L", die P" bzw. P" enthalten, bezeichnen wir mit L7 und L,. Wir lassen nun 
die Punkte A, und As innerhalb « kontinuierlich variieren, bis sie schliesslich mit 4; und Asa zu- 
sammenfallen, wobei die Geraden L' und L" in L' und L" stetig übergehen. Der Halbstrahl 
L', geht hierbei entweder in L^ oder in den entgegengesetzten Halbstrahl L über. Im letzten 
Falle lassen wir noch die Punkte A, und Aa durch kontinuierliche Variation innerhalb « ihre 
Plätze vertauschen, wobei L' und L" in der Weise in sich übergehen, dass die Halbstrahlen Z1 und 
LT" untereinander vertauscht werden. Diese Überlegung zeigt, dass es immer möglich ist, den 
Punkt P innerhalb (P,) in P stetig zu überführen, womit unsere Behauptung bewiesen ist. 

Die beiden Kontinua (?,) und (Ps) hängen mit dem Bereiche 
(35) SIT (a 
entlang gewisser fünfdimensionaler Teile der Mannigfaltigkeit r’ sin (r’r”)=1 stetig zusammen. 
Somit bilden (P;), (Ps) und (35) ein einziges Kontinuum, das wir mit (7) bezeichnen. 

Wir betrachten hiernach die Gesamtheit (P,,#) derjenigen Punkte (P’, P") des Bereichs 
(25), von dessen entsprechenden Punkten A,, 42 der eine, sagen wir Aı, innerhalb «e, der 
andere, A», innerhalb 8 liegt. Kein Punkt von (P,,#) gehört zur Mannigfaltigkeit M. Dagegen 
enthält jeder stetige Weg S, der einen Punkt P von (P,;) mit einem inneren Punkte des 
Kontinuums (I) verbindet, wenigstens einen Punkt von M. Denn wenn P den Grenzpunkt der 
Menge (P,,4) bezeichnet, wo S aus derselben heraustritt, so muss, wenn man sich entlang S 
dem Punkte P nähert, entweder einer der Punkte A1, 4» sich einem gewissen Punkte der Kurve 
G nähern, und dann geht das zu diesem Punkte gehörige Hauptgrenzgebilde dureh den 
Punkt P. Oder es bleiben Aı und Aa bzw. innerhalb « und g, und P" nähert sich Null, so dass 
folglich der durch Aı, 42 gehende Kreis C in den zu P gehörigen Kreis C stetig übergeht. 
Weil nun C fortwührend die Kurve G schneidet, so hat auch der Kreis C mit G einen Punkt 
gemeinsam, und also gehört auch jetzt P zu der Mannigfaltigkeit M. Somit ist bewiesen, dass 
diese Mannigfaltigkeit jeden Punkt in (P, 5) von dem Kontinuum (47) trennt. 
N:o 3. 3 


18 P: J. MYRBERG. 


19. Wir zeigen jetzt, dass (P,:) selbst aus zwei Kontinua besteht, die durch die Man- 
nigfaltigkeit M voneinander getrennt werden. 

Es seien Aı und Aa beliebige Punkte innerhalb « und 8, L' und L" die zugehörigen Ge- 
raden, L'; und L^. die beidenvon der Origo ausgehenden Halbstrahlen der Geraden L". Wir wählen 
auf L' einen beliebigen Punkt P’, auf L^ einen Punkt P' und auf L' einen Punkt P". Die 
Punkte P, —(P', P7) und P_=(P’, P^) gehören beide zu (P,,#). Wir behaupten, dass jeder 
stetige Weg S, der P, und P_ verbindet, die Mannigfaltigkeit M durchsetzt. Nach dem oben 
Gesagten genügt es den Fall zu untersuchen, wo S ausserhalb des Kontinuums (Z7) verläuft. Trifft 
man auf S einen Punkt ( P", P"), für welchen P" mit der Origo zusammenfällt, so ist (P’, P"), wie 
oben bewiesen wurde, ein Punkt von M. Im entgegengesetzten Falle zeigt eine einfache geo- 
metrische Überlegung, dass beim Durchlaufen der Kurve S von P, bis P. , die Punkte A, und 
A» ineinander kontinuierlich übergeführt werden. In einem gewissen Augenblick muss dann 
einer dieser Punkte auf G fallen, und der entsprechende Punkt von S gehört dann der Mannig- 
faltigkeit M an. 

Hieraus schliesst man, dass, wenn À, und As innerhalb « und f irgendwelche geschlossenen 
Umlaufe machen, die Halbstrahlen Z’/ und L- immer in sich selbst übergehen. Wir können also 
die Punkte von (P, s) in zwei Klassen, (77) und (777), zerlegen, indem wir einen Punkt (.P', P") 
von (P,,5) zu der ersten oder zweiten Klasse führen, jenachdem derjenige Halbstrahl der ent- 
sprechenden Linie L", der P" enthält, durch kontinuierliche Verschiebung von Aı und Aa in- 
nerhalb « und £ in den anfangs fixierten Halbstrahl Z’ oder in L' übergeführt werden kann. 
Die Betrachtungen S. 17 zeigen, dass jede der Punktmengen (IT) und (III) für sich ein einziges 
Kontinuum bildet. Nach dem oben Bewiesenen werden diese Kontinua durch M voneinander 
getrennt. 

Somit wird dureh die Mannigfaltigkeit M der Raum Jg in drei verschiedene Kontinua, 
(I), (ZI) und (III), geteilt. 

Das Begrenzungsgebilde dieser Kontinua ist entweder ein algebraisches oder ein nichtana- 
lytisches fünfdimensionales Kontinuum. Im ersten Falle ist dasselbe eine mit 


zc+yy-1=-|e®+y° 1] 


hyperbolisch kongruente algebraische Mannigfaltigkeit vierten Grades, wie man bemerkt, wenn 
die Ebene des Kreises vermittels einer Kollineation (1) in die æy-Ebene übergefübrt wird. In 
diesem Falle ist das obige Resultat eine unmittelbare Folgerung des in N:o 13 aufgestellten Satzes. 


20. Betreffs der automorphen Funktionen der im Vorigen betrachteten Gruppen können 
wir folgenden Satz aussprechen. 

SATZ. Jeder vermittels der verallgemeinerten Poincaréschen Reihen gebildete Ausdruck defi- 
niert gleichzeitig drei analytische Funktionen, welche je in einem der drei Räume I, II, III 
existieren und die Mannigfaltigkeit M als natürliche Grenze haben. 

Wenn die Gruppe g unendlich viele Grenzkurven besitzt, so erhält man eine Zerlegung 
des Raumes R, in unendlich viele entweder von algebraischen oder von nichtanalytischen 
Gebilden begrenzten Teile, deren jeder den Existenzbereich einer automorphen Funktionen- 
klasse bildet. 

Tom. L. 


Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veränderlichen. 19 


21. Die obigen Resultate gelten ungeündert im Falle beliebig vieler Veränderlichen. Wir 
wollen dies nur für den Fall, wo @ ein Kreis ist, kurz andeuten. 
Vermittels einer geeigneten hyperbolischen Bewegung können wir offenbar @ mit dem Kreis 


(36) q-F x21, Q4 q,— m$, —0 


n 


zusammenfallen lassen. Die Tangentenhyperebenen, welche die absolute Hyperspháre in den 
Punkten von (36) berühren, bilden ein (2n—1)-dimensionales Kontinuum, dessen Gleichung 


2,2%, 4332, 1=|2, +0,31 


auf Grund des Satzes in N:o 13 unmittelbar aufgestellt werden kann. Diese Mannigfaltigkeit 
und somit auch die mit ihr kollineare Mannigfaltigkeit M zerlegt den Raum Rs, in drei Teile. 


22. Wir wollen zum Abschluss ein Beispiel über die anderen intermediären Fälle behandeln. 

Wir betrachten zu diesem Zweck diskontinuierliche Gruppen von Kollineationen, welche 
nicht nur die Form (3), sondern auch eine gewisse, die absolute reelle Hypersphäre schnei- 
dende reelle lineare Mannigfaltigkeit von beliebiger Dimensionenzahl m» invariant lassen. 
Diese Mannigfaltigkeit können wir, durch Ausführung einer geeigneten Transformation, mit 
q4-32494—-:::—2x,-0 zusammenfallen lassen. Die Hauptgrenzpunkte der so erhaltenen Gruppe 
liegen dann offenbar auf der Hypersphäre 


^ 2 2 
En senos m ak RR 


peRxPL—1-0. 


Wir nehmen jetzt an, dass jeder Punkt dieser Hyperspháre ein Hauptgrenzpunkt ist. Die 
Hauptgrenzgebilde bilden dann, für m—1,2,...,n—3, 2n-dimensionale Kontinua: 


: 5 - m2 2 E sc 
p gcc d ied. a UT, m lo we etd, ar qm, 2, 


deren jedes ein Teil des vorangehenden ist. Der komplementäre Raum ist zusammenhängend, 
und jeder vermittels der verallgemeinerten Poincaréschen Reihen gebildete Ausdruck definiert 
also eine einzige analytische Funktion. 


III. Über verallgemeinerte Poincaresche Reihen. 


A. Picardsche Reihen. 


23. Wir beginnen unsere Konvergenzbetrachtungen mit der Untersuchung der durch die 
Spezialisierung 7=1 aus (17) erhaltenen Picardschen Reihe 


(37) been] 
9 (21, Los... 2) 
Es ist 
H RR...) 1 
(38) 9(2,,x EN LE DEL ERU 
( ar (ss EEE a nt as, as) 


20 P. J. MYRBERG. 


wo das obere oder untere Zeichen gilt, jenachdem ob die Determinante der Koeffizienten von (1) 
gleich +1 oder — 1 ist, und die obige Reihe kann somit, vom Zeichen abgesehen, auch in der 
Form 


1 
(39) » (o . (^ c-1)p 


n+1, 19,1 on Crau SE SL) 


geschrieben werden. 

Die einzelnen Glieder der Reihe (39) werden algebraisch unstetig für die Punkte der Flucht- 
hyperebenen 
(40) Os 41-1, 1261 Fo Ont, En Ent, 41-05 


welche als Transformierte der unendlichfernen Hyperebene sämtlich ausserhalb der reellen abso- 
luten Hypersphäre liegen und daher die Hauptgrenzgebilde der Gruppe als einzige Häufungs- 
gebilde besitzen. 

Es sei A ein beliebiger zusammenhängender oder zerfallender Bereich des Raumes Ra,„, 
welcher von den Hauptgrenzgebilden einen endlichen, von Null verschiedenen Abstand hat und 
daher nur von endlich vielen Fluchthyperebenen getroffen wird. Wir bezeichnen mit dy und 
d, die obere bzw. untere Grenze der kürzesten Abstände der Punkte von A von den übrigen 
Fluchthyperebenen (40), wobei allgemein der Ausdruck 
(41) Ja, Tj +QaXa+'''+a, JEN 

Vara nzawniu. 


den Abstand eines beliebigen reellen oder komplexen Punktes (x:1,...,æ,) von der reellen Hy- 
perebene 
(42) 4121 + 02224-*** 04,254 + 05417 0 


angibt. Man hat dann für jedes Punktpaar (x),(x') des Bereichs A und jede der genannten 
Fluchthyperebenen die doppelte Ungleichung 


d RER coeur EC En maed. ntm 


(43) à: 


, , d 
| ee nope aoc ep et exse Goya ess m 


Hieraus geht aber hervor, dass die Reihe (39), nach Fortlassung endlich vieler Glieder, im Be- 
reich À absolut und gleichmässig konvergiert, sobald sie in irgendeinem Punkte dieses Bereichs 
absolut konvergent ist. 


24. Wir wählen jetzt irgendwo im Innern des hyperbolischen Raumes (4) eine kleine 
n-dimensionale Hypersphäre x, deren Transformierte nirgends mit einander kollidieren, was 
wegen der Diskontinuität der Gruppe I im genannten Raume möglich ist. Es sei V der Inhalt von 
x und V, der Inhalt des vermittels der Substitution S der Gruppe I erhaltenen Bildes von x. 
Man hat 
(44) if i 


0 0 
(asser tee, param te, Ten) 


n +1? 


wo (x°,...,x°) ein gewisser Punkt von x ist. Weil nun im hyperbolischen Raume keine Flucht- 


Tom. L. 


Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veründerlichen. 21 


gebilde vorhanden sind, so erhalten wir, wenn wir die Ungleichungen (43) auf x anwenden, für 
jeden Punkt (æ1,...,æ,) dieses Bereichs eine Ungleichung der Form 


1 
(45) i; weed 
Raster ee Een] 


wo q eine endliche Grösse bezeichnet. 

Wegen der geometrisch evidenten Endlichkeit der Summe XV, folgt hieraus, dass die Reihe 
(39) für p—1 und dann a fortiori für p> 1 innerhalb x absolut und gleichmässig konvergiert. 
Durch erneute Anwendung der Ungleichungen (43) findet man, dass diese Folgerung für jeden 
von den Hauptgrenzgebilden in endlicher Entfernung liegenden Raum A gültig bleibt, nach Fort- 
lassung der endlich vielen Glieder der Reihe, welche in jenem Bereich algebraisch unstetig werden. 


25. Durch das Obige ist für den Konvergenzexponenten p keineswegs eine untere Grenze 
gefunden. Wir wollen zeigen, dass es diskontinuierliche Gruppen gibt, bei welchen der Konver- 
genzexponent p einen beliebig kleinen positiven Wert hat. 

Wir untersuchen zu diesem Zwecke eine Gruppe des in N:o 16 besprochenen Typus. Es 
seien 81,Sa,...,Say die paarweise einander inversen erzeugenden Substitutionen der Gruppe. 
Weil zwischen diesen Substitutionen offenbar keine anderen Relationen stattfinden als diejenigen, 
die sich auf die Identitäten $$-1=1 zurückführen lassen, so ist jede Substitution in der Form 
(46) 8; Se UM 


in eindeutiger Weise darstellbar. Die Summe 


(47) v= Ir 


der Exponenten in der Substitution (46) werden wir vorläufig den Index derselben nennen und 
dementsprechend die Substitution selbst mit S(,, bezeichnen. Man erhält hiernach die Gesamt- 
heit der Substitutionen des Index »+1, wenn man in dem Ausdruck 


(48) S(y+1 = S( 8x 


Sy) die Gesamtheit der Substitutionen des Index » und S, sämtliche erzeugende Substitutionen, 
von der inversen Substitution des letzten Faktors von S,,, jeweils abgesehen, durchlaufen lässt. 


26. Wir betrachten jetzt die unendliche Reihe 


(49) Y y, 


deren allgemeines Glied c, aus der Summe derjenigen Glieder der Reihe 


(50) XM) E (5250) 


0(21,25,...,2,) 


besteht, welche sich auf Substitutionen des Index v beziehen. Man erhält eine obere Grenze für 
den Quotient 6,+1:0, und alsdann ein Kriterium für die Konvergenz der Reihe (50) in folgender 
Weise. 


N:o 3. 


22 P. J. MYRBERG. 


208) 
d (x) 
Funktionaldeterminante (38). Weil nach (48) S(,41,= Sx(x’), wo x’=8(,,(x), so gibt uns ein 
bekannter Satz binsichtlich der Funktionaldeterminanten für den Quotienten zweier vermöge (48) 
einander zugeordneten Glieder von e,,; und c, den Ausdruck 


9(8,43))  9(S(5) 
d(x) ‘ d(x) 


Der Kürze wegen bezeichnen wir mit die zu irgendeiner Substitution S gehörige 


E 


(51) , &' — S (x). 


2 EEE) 
d(æ') 


Wir knüpfen jetzt an die Darstellung (34) der erzeugenden Substitution S;, wobei 21,22, 
..., Zn+1 gewisse lineare homogene Funktionen 


n +1 
(52) "Ep = > Bros (ps ee 
qm 
der Variabeln 75i,92,,..,9]».41 bezeichnen. Durch Übergang in nichthomogene Variable erhält 
man für S; den Ausdruck 
(53) v|—q*Vv, EN, herr ver) 
g=1 
wo 
E b» Bp,n+1 
Ci! 
(54) Uc = ^ (p=1,2,...,n) 
n+1 
MOL Mm 
q —1 
und 
, D Ba Xa 0s ei 
, 7, g=1 
v'= ——— 
4 Zn +1 5 
Yen. Xa 
sm 


gesetzt ist. Es seien 7 und U die Symbole der Substitutionen (54) und (53). Dann ist S$,— 
TUT”! und daher 


(55) 


2(Sx(x)) dard ee 
à(z) dla)  3(e | 9X) 
Aus (53) ergibt sich 
(TC) 
EIOS 
mit Rücksicht darauf, dass die Determinante des Koeffizienten c,, der orthogonalen Substitution 
(33) gleich |-1 ist. Hieraus und mit Hilfe der Formel (38) erhält man aus (51) und (55) 


ipa x es ies 
(56) Corn), EHEN ee : 
(s) ‘ ot) ; 
| Der pese Jn 
a—1 


wo z'—S(,(x)und X'—S,(x')—S,,1(x) gesetzt ist. 
'Tom. L. 


Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veründerlichen. 28 


Es sei jetzt P(x1,xe,...,æ,) ein beliebiger im Bereiche B liegender Punkt des hyperbo- 
lischen Raumes (vgl. N:o 16). Der Punkt $(,,(P) liegt, dann in denjenigen Segmente r,, das 
dem letzten Primfaktor 5S, von S,, zugeordnet ist. Weil nun SS," ist, so liegt der Bereich 
Ty in endlicher Entfernung von der Hyperebene 


(57) D bntiiatat Beni 0, 


a=1 


welche die absolute Hypersphüre in einem Punkte @’ des der Substitution B 


Segmentes berührt. Daraus kann man aber die Existenz einer endlichen Konstante C schliessen, 
unterhalb weleher der Wert des letzten Faktors der rechten Seite von (56) bleibt, wenn (x) ein 
beliebiger Punkt von B und wenn Sw, Sw+1) beliebige Substitutionen vom Index v bzw. » +1 


zugeordneten 


bezeichnen. Wenn mit 7, der grösste unter den Multiplikatoren der erzeugenden Substitutionen 
bezeichnet wird, ergibt sich aus (56) die Ungleichung 


|: Go cnet» | n +1 \£ 
(58) [- 9093 er) SCHON 


für jede Substitution S,,, des Index » und jede der 2 N —1 in Betracht kommenden erzeugenden 
Substitutionen S;. Indem wir sämtliche Ungleichungen (58), die einem gegebenen Index ent- 
sprechen, aufstellen und addieren, gelangen wir in dieser Weise zur Ungleichung 


(59) la N (One) 


Wählen wir die absoluten Werte der Multiplikatoren so klein, dass die rechte Seite von (59) 
kleiner als Eins wird, so haben wir also ein Beispiel einer Gruppe, für welche die Reihe (50) 
konvergiert. 


27. Wir kehren jetzt zur allgemeinen Picardschen Reihe (17) zurück. 

Wir setzen voraus, dass die rationale Funktion Æ für alle auf der reellen absoluten Hy- 
persphäre liegenden Hauptgrenzpunkte der Gruppe endlich bleibt. Weil diese Punkte die Häu- 
fungsstellen der Transformierten jedes ausserhalb der Hauptgrenzgebilde liegenden sowohl ein- 
zelnen Punktes als endlichen Bereichs ausmachen, so können innerhalb jedes endlichen, von 
Hauptgrenzgebilden freien Bereichs des Raumes Ra, nur endlich viele der in (17) auftretenden 
Faktoren Z(S) Unstetigkeiten besitzen, während alle übrigen daselbst dem absoluten Betrage 
nach unterhalb einer endlichen Grenze liegen. Hieraus und aus dem in N:o 24 hinsichtlich der 
absoluten und gleichmässigen Konvergenz der speziellen Reihe (39) bewiesenen Resultate folgt 
aber die absolute und gleichmässige Konvergenz der allgemeinen Reihe (17) in jedem von den 
Hauptgrenzgebilden freien Bereich, nach Fortlassung der endlich vielen Glieder, die in jenem 
Bereiche unstetig werden. | 

Nach dem Vorhergehenden ist somit jede vermittels der Picardschen Reïhen gebildete ana- 
lytische Funktion innerhalb ihres ganzen Existenzbereichs von rationalem Charakter. 

Wir wollen zum Schluss die Existenz von Picardschen Funktionen (17) nachweisen, die 
in ihrem Existenzbereiche überall regulär sind. Das einfachste Beispiel hat man in der speziellen 
für 7=1 erhaltenen Funktion (17) bei denjenigen Gruppen, deren Hauptgrenzpunkte aus sämt- 


N:o 3. 


24 P. J. MYRBERG. 


lichen reellen Punkten des absoluten Gebildes bestehen. In der Tat liegen sämtliche Fluchthy- 
perebenen, welche hier die einzigen Unstetigkeitsgebilde sind, als Transformierte der unendlich 
fernen Hyperebene ausserhalb des Existenzbereichs (30) der Funktionen, welcher nur im End- 
lichen liegende Punkte enthält. Die betreffende Reihe verschwindet wenigstens dann nicht iden- 
tisch, wenn (n 4- 1)p eine gerade Zahl ist, weil alle ihre Glieder dann für z;— x2—-::-:—2,—0 


positiv sind. 


B. Eine neue Verallgemeinerung der Poincaréschen Reihen. 


28. In unserer S. 3 genannten Arbeit haben wir eine neue Verallgemeinerung der Poin- 
caréschen Reihen gegeben, welche u. a. unmittelbar zur Darstellung automorpher Differentiale 
führt. Diese Resultate kónnen auf Funktionen beliebig vieler Veründerlichen übergeführt und 
zugleich verallgemeinert werden. 

Wir fangen mit der Betrachtung der speziellen Reihen 


2X, i 
(60) dor (m, VU: Sn) 
y 
an. Nach (1) ist 
LOT QNA PA 
n 
(61) bey [tni ngaal 
oz, ja) (Cad SIT SA LR ir Enl, ck 1) 
Wir brauchen also nur die Reihen 
Core ma 
(62) > CASE y 0-151214 
(*5-p1,1914- *** d- €, 1,5 £n + En 1,541)? 
zu untersuchen. 
Nun ist nach den Relationen (5) 
n "n 2 2 n 
2 2 a5 m 
Dee le, au» Dre 1 TU tp bac ne a an 
jy Sl pest 


woraus folet 
(63) 


o [ed 

Kn, À n. v | 1 1 à 
a @ Es 2 2 2 
n4-1,4 n4d-1,v Ce nn Te 


Das allgemeine Glied der Reihe (62) ist somit dem absoluten Betrage nach kleiner als 


AED 2 
c GR COME ENS 


(64 LL sa 
) (€,.1,1912- *** +1, n £n + Enti,n+1)? 
Wir beschränken uns im Folgenden auf diejenigen Gruppen, für welche die Reihe 
L X | 
(0511,31 23 + EUM ent Inn N en) 


absolut konvergiert. Die Reihe 
Tom. L. 


Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veränderlichen. 


25 
1 
66 ———, 
( ) nr. 
welche sich aus (65) für »4— 29—---:— 2,- 0 ergibt, ist dann auch absolut konvergent. Weil 


Cnt 1040 Uaply, 


nun die Quotienten . welehe bis auf das Vorzeichen gleich den Koordina- 


Call  Cn-E1,54-1 
ten der Transformierten des Nullpunktes sind, dem absoluten Betrage nach kleiner als Eins sind, 
so ist die Reihe mit dem allgemeinen Glied (64) und dann also auch die Reihe (62) für æ1 = 22= 
—-.—x,—0 absolut konvergent. Wie in N:o 23 schliesst man hieraus, dass die Reihe (62) 
dann auch in jedem endlichen, von den Hauptgrenzgebilden in endlicher Entfernung gelegenen 
Bereich absolut und gleichmässig konvergiert. 


29. Es seien jetzt 
(67) Hi S. oH 


rationale Funktionen, welche in den Hauptgrenzpunkten endliche Werte besitzen. Wir bilden 


die x Reihen 

n E | k à x 
(68) Pr (01, 22, e) m À À Hi Xs Ku) ge, (— 2 mr 
welche ausserhalb der Unstetigkeiten der rationalen Funktionen (67) und ihrer Transformierten 
gleichzeitig mit der Reihe (60) absolut konvergieren. Der Ausdruck 


(69) M DCS SD s X De CES Go AAN 

k-—TI SE $-—T 
stellt dann ein einfaches automorphes Differential dar, wie aus seiner Form unmittelbar hervor- 
geht. (69) ist ein totales automorphes Differential, wenn die Bedingungen 


OH, 29H, 
[2 q (050 1,25.) 


dx H 
v 0%, 


(70) 


erfüllt sind. 
Wir betrachten hiernach allgemeine Ausdrücke der Form 


(71) Pan, py (215 925. 45) NI N H, 2, a (Ac +. X8) 
In 


S qid, 


a(X "ue Au 


A 


2 (672 Ey) 


wo sich die äussere Summe auf sämtliche Substitutionen (1) der gegebenen Gruppe bezieht, die 
innere auf sämtliche (7) verschiedene Kombinationen von £ unter den Funktionen Xi, Xs,..., X,» 
und wo die Ausdrücke H rationale Funktionen sind, welche in den Hauptgrenzpunkten endliche 
Werte besitzen. Aus der oben bewiesenen absoluten und gleichmässigen Konvergenz der Reihen 
(60) folgt offenbar, dass die Reihen (71) in jedem endlichen, ausserhalb der Hauptgrenzgebilde 
gelegenen Bereiche nach Fortlassung endlich vieler Glieder absolut und gleichmässig konver- 


gent sind. 
Wir bilden jetzt den Ausdruck 

(72) X Qa, py (tt BR) da de, — VP >: Ho... (EE X,)d X, :-- d X,,, 
DNS DE Ss GEORGE 


N:o 3. 4 


26 P. J. MYRBERG. 


die innere Summierung erstreckt über die (7) verschiedenen Kombinationen der » Indizes. Der- 
selbe ist ein automorphes Differential A“ Ordnung und insbesondere ein totales automorphes 
Differential. wenn die rationalen Funktionen H einem gewissen System von partiellen Differen- 
tialgleichungen genügen, welche den Bedingungen (70) entsprechen. 

Im niedersten Falle Æ—1 reduzieren sich die Reihen (71) auf die einfachen Reihen (69), 
im Falle k— » erhält man die Reihen 


(73) P1,2,:.-n (21, T2» s 2,) o Y HG. Xo. X, 
ST 


welche mit dx,dzx2:--dzx, multipliziert 2-fache automorphe Differentiale darstellen und welche 
zugleich Picardsche Reihen sind. 


30. Es ist auf eine andere wesentlich verschiedene Weise möglich, die oben eingeführ- 
ten Reihen mit automorphen Funktionen in Verbindung zu setzen. 
Wir betrachten der Deutlichkeit halber zuerst die Reihen (68). Wir ersetzen die Argumente 
x; durch S;(zi.....2,). wo S; eine beliebige Substitution der Gruppe ist. Weil die Substi- 
tution (X)' — (S X). oder ausführlicher geschrieben 


(74) X (abus Dar nn La) = RS, Bose (i=1,2,...,n) 


bei festgehaltenem S zugleich mit (X) die Gruppe durchläuft, so erhält man, mit Rücksicht auf 
die aus (74) sich ergebenden Gleichungen 


OX COS PRESSEN 7 SEP -ACHE PRESENT 


(75) R 08, E KE 08, 
als Resultat die Relationen 
(76) Pr(S1, S2,..., ON nr 
Es seien jetzt 
(17) Fr CEE qU („=1,2,...,n) 


n verschiedene Systeme von Funktionen (68). Wegen der Gleichungen (76) kann man schliessen, 


dass die Determinante 
er) (1) (1) | 


[Keno TAE DNA 
| | 
(2 2 2 
(78) Ai(21, 25, «. En) = 91 | s «e| 
(ey (n) So 
22 Po ii | 


eine analytische Funktion ist, deren Verhalten den Substitutionen der Gruppe gegenüber durch 
die Funktionalgleichung 


4 AUS ANS ANNEE 
(79) ee ) 


0 (245855 Ty) 


ausgedrückt wird. Der Quotient zweier derartigen Determinanten ist daher eine automorphe 
Funktion der gegebenen Gruppe. 
Tom. L. 


Do 
-— 


Zur Theorie der automorphen Funktionen beliebig vieler Veränderlichen. 


Wenn man von den allgemeineren Ausdrücken (71) ausgeht, erhält man folgende Resultate. 
Nach (74) und (75) bekommt man 
2(X, X, ;. SX) (Er Lo en.) 


? 


P END E y 


(£0) BE Aa IG 
und hieraus für die Ausdrücke (71) die Funktionalgleichung 
) " 
EXES 2 05:55... 52) en . 
LC AREE: prre Pk 
Es seien (7?) verschiedene Funktionensysteme (71) gegeben. Die Determinante A, (21. %2.....%,) 


‚sämtlicher (m)? Funktionen q ist eine analytische Funktion, welche bei Ausführung einer Sub- 
stitution (S) der Gruppe mit der (—1)!®" Potenz der Determinante der (y? Funktionaldetermi- 


DIISEACS, 3-509, ) 

q 45 X Le sq E c : = 

nanten JE I — multipliziert wird, oder es ist, nach einem bekannten Satz der Lehre 
. Der M D 


der Determinanten, 


Jr ] 


9 (24.025... Ly) 


(82) BES Sue 8.) 8x (2,201.09) | 


Die verschiedenen Funktionen A sind also den Poincaréschen ©-Funktionen analoge Transzen- 
denten. Man gelangt von ihnen aus in bekannter Weise durch rationale Operationen zu automor- 


phen Funktionen. 


N:o 3. 


Tu n^ m ba. qun ub y ON AN AE ER cvi prosivaltum Wit wo s UA 


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ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o EN 


ZUR KENNTNIS 


DER 


BLÜTENENTWICKLUNG EINIGER 
JUNCACEEN 


VON 
WIDAR BRENNER 


MIT 1 TAFEL UND 41 FIGUREN IM TEXT 


(Am 25. September 1922 von V. F. Brotherus und H. Lindberg mitgeteilt) 


HELSINGFORS 1922 


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HELSINGFORS 1922 
DRUCKEREI DER FINNISCHEN LITTERATURGESELLSCHAFT 


Inhaltsverzeichnis. 

Seite 
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Die Entwicklung der Samenanlagen bis zur Befruchtungsreife. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 
Die Befruchtung und damit zusammenhängende Erscheinungen. . . . . . . . . . . . . . . . . 21 
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Einleitung. 


Hauptsächlich in zwei Richtungen hat die Forschung der letzten Jahrzehnte auf dem 
Gebiete der pflanzlichen Ontogenie sieh fruchtbar erwiesen. Erstens ist durch die vielen mono- 
graphischen Studien über verschiedene Pflanzengruppen allmählich klar geworden, dass die schon 
als sehr einfórmig angesehene angiosperme Entwicklungsgeschichte mehrere interessante Ab- 
weichungen aufzuweisen hat. Zweitens hat die Feststellung der entwicklungsgeschichtlichen Tat- 
sachen manche gute, oft sogar entscheidende Gesichtspunkte für die phylogenetisehe Einreihung 
der Familien und Gattungen geliefert. 

So lange diese Aussichten bestehen, erscheint es als ein lohnendes Bestreben, die verschie- 
denen Familien u. s. w. so eingehend wie möglich entwicklungsgeschichtlich kennen zu lernen. 
Ein solcher Gedanke hat auch der vorliegenden Untersuchung über die Entwicklungsgeschichte 
der Juncaceen zu Grunde gelegen. 

In der früheren Literatur sind die Juncaceen nicht ganz vernachlässigt geblieben, obwohl 
eine zusammenfassende Darstellung ihrer Entwicklungsgeschichte noch fehlt. So hat BucHENAU 
in einer anatomischen Abhandlung den Bau des Pistills der Juncus-Arten an Querschnitten 
studiert und Bmawpza teilt im Zusammenhang mit seiner Beschreibung über die Entwicklung 
der Integumente bei den Gräsern einige Tatsachen über dieselben Verhältnisse bei den Juucaceen 
mit. In seiner Abhandlung: "Zur Kenntnis der Embryosackentwicklung einiger Angiospermen" 
gibt A. FiscHER ein in allem Wesentlichen richtiges Bild von der Embryosackentwicklung bei 
Luzula pilosa. So stellte er z. B. fest, dass diese Juncacee zu dem Typus gehört, der später 
von Parm als der Normaltypus bezeichnet worden ist, bei dem der Embryosack aus der basalen 
Tetradzelle unter Verdrängung der drei oberen entsteht. Die mit der Befruchtung zusammen- 
hängenden Verhältnisse, sowie die spátere Entwicklung des Endosperms und des Embryos nimmt 
M. LAURENT zum Gegenstand einiger Veröffentlichungen, die aber teils ziemlich unvollständig 
sind, teils offenbar fehlerhafte Deutungen der Tatsacheu bringen. So behauptet der Verfasser 
z.B., dass der eine der drei Antipoden sich nach der Befruchtung weiter entwickle ein basales 
Endospermgewebe bildend. Wie wir sehen werden, nimmt das basale oder ” Helobiae”-Endos- 
perm im Gegenteil seinen Ursprung aus einem Kern, der durch die Teilung des Zentralkerns 
entsteht. Die spätere Embryoentwicklung und der Bau des reiten Samens sind schon von 
FLEISCHER geschildert worden. 


6 WipAr BRENNER. 


Mit meinen Untersuchungen beabsichtigte ich zuerst eine Darstellung der Entwicklungs- 
geschichte nur des Gynäceums der Juncaceen zu geben. Der Zufall wollte jedoch, dass mehrere 
von meinen Schnittserien sehr gute Bilder der Pollenentwicklung enthielten, weshalb ich auch 
diese, wenn auch in knapper Behandlung, mit einbezogen habe. 

Die Arbeit wurde schon im Jahre 1916 während meines Aufenthalts in Uppsala begonnen, 
ist aber dann mit mehreren Unterbrechungen in Helsingfors ausgeführt worden. Ich erlaube mir 
hier den Uppsalaer Embryologen meinen herzlichsten Dank auszusprechen, die mich in ihr Ge- 
biet einführten, mich in gastfreundlichster Weise aufnahmen und mit Rat und Tat unterstützten. 
Vor allem gebührt meine Dankbarkeit dem Prefekten des botanischen Instituts Professor Dr. 
O. Juer; dann aber auch besonders den Herren Dozenten G. SAwvELssoN und K. V. Ossıan 
DAHLGREN. Herr Dozent E. Asprunn hatte die Freundlichkeit bei seinem Aufenthalt in Bolivia 
die merkwürdigen alpinen Juncaceen Distichia muscoides und Oxychloë andina zu fixieren und 
mir das Material zu überlassen. Hierfür danke ich ihm aufs herzliehste. Herrn Bergsingenieur 
O. TR6ósrEDT danke ich auch bestens für seine Liebenswürdigkeit, die sprachliche Korrektur 
übernehmen zu wollen. 


Helsingfors, Botanisches Institut der Universität 
in August 1922. 


c £ 


Material und Methodik. 


Da es im voraus unmöglich war zu wissen, welche Arten sich am besten für entwicklungs- 
geschichtliche Studien eignen würden, war ich von Anfang an darum bemüht, so viele Arten wie 
möglich heranzuziehen. Juncus-Arten sind also fixiert und mehr oder weniger eingehend 
untersucht worden. Von J. bufonius, J. squarrosus, J. compressus, J. lamprocarpus und J. fili- 
formis habe ich Material in verschiedenen Stadien, so dass der Verlauf ihrer Entwicklung von 
der Anlage des Samens bis zur Reife wenigstens in den wichtiesten Abschnitten studiert werden 
konnte. Nur einzelne Fixierungen besitze ich von J. glaueus, ganz junge Knospen, J. Leersü, 
befruchtungsreife Fruchtknoten und J. frifidus, reife Samen. Von den Zuzula-Arten habe 
ich 7 mitgenommen. Z. pilosa, campestris und L. multiflora sind eingehender untersucht worden. 
Von L. nemorosa, und nivea besitze ich einzelne jüngere Stadien, von Z. arcuata und L. parvi- 
flora reife Samen. Die von Dozent E. AsPzLunp aus Bolivia mitgebrachten Fixierungen ent- 
halten Fruchtknoten von Distichia muscoides Nees A. Meyen sowohl vor, als nach der Befruch- 
tung. Von Oxrychloë andina Phil. waren leider nur reife Staubfäden und sterile Fruchtknoten 
vorhanden. 

Sämtliches Material, natürlich ausser den beiden letztgenannten Arten, stammt aus Schweden. 
J. bufonius, lamprocarpus, filiformis und trifidus sowie L. arcuata und ältere Stadien von L. 
multiflora wurden 1916 während meines Aufenthalts im nördlichen Schweden in den Gebirgs- 
gegenden von Jämtland und zwar in den Monaten Juli und August fixiert. .J. squarrosus, com- 
pressus, glaucus, sowie L. nemorosa, nivea und parviflora stammen aus dem botanischen Garten 
in Uppsala, wo sie in den Jahren 1916 und 1917 im Juni und Juli gesammelt wurden. Z. pilosa 
und Z. multiflora wurden meist in den Umgegenden von Uppsala fixiert, jene in der Zeit April 


Juni, diese im Juni—Juli. Das Material von £L. campestris und teilweise von LL. multiflora 
wurde während eines Ausfluges nach Utö in den Stockholmer Schären Mitte Juni 1916 gesammelt. 

Laut freundlichen Mitteilungen von Dozent E. AspLunn wurde Distichra muscoides in Bolivia 
Depart. La Paz, Prov. Murillo, und zwar teils Mitte November 1920 in Lago Choquecota 4,400 
m. ü. M., teils Mitte Dezember in Incacha 4,200 m. ü. M. gesammelt. Die merkwürdige voll- 
kommen moosähnliche Pflanze kommt dort in alpinen Sümpfen vor, wo sie unseren Sphagnum- 
Arten in der Lebensweise sehr gleicht. Oxychloë andina stammt aus denselben Gegenden ebenso 
aus Sümpfen und wurde Mitte Januar 1921 fixiert. 

Als Fixierungsflüssigkeiten wurden verschiedene versucht. Die besten Ergebnisse habe ich 
mit Juers Zinkchlorid-Alkohol-Essigsäure-Gemisch und mit Carnoys Alkohol-Eisessig erzielt. 


8 WIDAR BRENNER. 


Juezs Platin-Chromsäure und Zenkers Flüssigkeit gaben bei weitem nicht so gute Präparate. 
Handelte es sich um ganz junge Stadien, so wurden die ganzen Knospen fixiert. Von befruch- 
tungsreifen Blumen wurden die Fruchtknoten herauspräpariert. Ältere Kapseln wurden geöffnet 
und die Samen mit oder ohne dieselben in die Fixierfiüssigkeit hineingelegt. Die reifen Samen, 
besonders von den Zuzula-Arten, zeigten eine sehr grosse Resistenz gegen die Fixiermittel. 
Um das rasche Eindringen zu fördern, erwies es sich als notwendig, einen kleinen Streifen aus 
der Samenschale wegzuschneiden. 

Die Objekte wurden dann in üblicher Weise in Paraffin geschnitten, (8—10 u dicke Schnitte 
kamen meist zur Verwendung), die Schnitte mit HErpENHArNs Eisen-Hämatoxylin gefärbt, unter 
Kontrolle differentiert, mit Lichtgrün nachgefärbt und in Canadabalsam eingebettet. Bei der 
Wiedergabe der Bilder habe ich viel Gewicht auf die Mikrophotographien gelegt, welche die 
Tafel am Schluss zusammensetzen. Was entweder wegen zu heller Färbung oder deshalb weil 
verschiedene Teile des Gegenstandes verschiedene Ebenen einnahmen, nieht photographiert werden 
konnte, habe ich mit Verwendung des Abbé'schen Zeichenapparates gezeichnet und dann als ein-: 
lache Tuschfiguren im Text wiedergegeben. 


Tom L. 


Orientierung der Blüten. 


In den Blüten der Juncaceen dominiert bekanntlich die Dreizahl (Fig. 1). Das unschein- 
bare Perianthium, aus 6 Blättern bestehend, wird von 2 dreizähligen Kreisen gebildet und die 
gewöhnlich 6 Staubblätter gehören zu ebenso 2 weiteren Blatt- 
kreisen. Der innerste dreizählige Blattkreis setzt den Frucht- 
knoten zusammen. Gewöhnlich sind die Blüten zwittrig. Ein- 
geschlechtige Blüten sind nur bei den südamerikanischen Gattun- 
gen Oxychloë und Distichia bekannt, die ausserdem zweihàáusig 
sind. In den weiblichen Blüten von Distichia dürften die 
Staubblätter sehr weit unterdrückt sein, wie eben auch der 
Fruchtknoten in den männlichen. In den männlichen Blüten 
von Oxychloë sind dagegen wenigstens in dem zu meiner 
Verfügung stehenden Material ziemlich gut entwickelte Frucht- 


knoten mit Griffeln und papillósen Narben vorhanden, nur 
kommen in ihren Hóhlungen normal keine Samenanlagen zur Fig 1. J compressus. Querschnitt 
Ausbildung. durch einejunge Knospe. Vergr. 60. 


Die Staubfäden und die Pollenentwicklung. 


Bei sämtlichen von mir untersuchten Juncaceen werden die Antheren schon sehr früh, und 
zwar etwas früher als die Samenanlagen angelegt. Während diese z. B. in Knospen von Luzula 
pilosa, die dem noch gefrorenen Boden entnommen wurden, nur als sehr unbedeutende Hócker 
an den Fruchtblättern angelegt sind (Vgl. auch DAHLGREN 1915), sind die Staubfáden schon so 
weit entwickelt, dass man deutlich das ziemlich kurze Filamentum und die Anthere unterscheiden 
kann. In den letzteren sieht man sogar eine beginnende Differenzierung in iunere plasmareiche, 
mit grüsseren Kernen versehene Zellen, die später das Archesporium bilden sollen, und äussere 
kleinere, mehr langgestreckte Zellen, die zur Antherenwand werden. Etwas später ist die Son- 
derung voll durchgeführt und wir haben, wie die Textfigur 2 zeigt, drei deutliche. ziemlich gleich 
ausgebildete Zellschichten, welche die Wand um das Archesporium bilden. Das Schicksal 
dieser drei Wandschichten ist dann wie gewöhnlich verschieden. Die äussere hält sich als eine 


N:o 4. 2 


10 WIDAR BRENNER. 


dünnwandige Epidermis, die mittlere wird zum Endothesium, bekommt charakteristische Wand- 
verdickungen und mechanische Funktionen, die innere wird dagegen früher oder später völlig 
resorbiert. Bei Z. pilosa ist sie gerade noch als degenerierende, schmale und langgestreckte 
Zellen zu finden zu einer Zeit, wo das Tapetum eben ausgebildet ist (Fig. 3), verschwindet aber 
bald darauf vollständig. Bei Juncus lamproearpus und anderen Juncus-Arten scheint sich die 
innere Wandschicht lànger zu halten und besteht wie die Fig. 4 zeigt nur wenig veründert 
neben dem Tapetum. Sie kann sogar nach der Auflösung der Tapetumzellen seht deutlich sein. 

Inzwischen haben die Archesporzellen sich beträchtlich vermehrt und eine Zellschicht nach 
aussen abgeschieden, das Tapetum. Dieses ist besonders auf etwas älteren Entwicklungsstufen 
von dem wahren Archesporium sehr gut zu unterscheiden. Die Zellen sind kleiner, wie auch 


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Fig. 2. L. pilosa. Längsschnitt durch einen Teil einer jungen Anthere. Fig. 3. Ebenso 

etwas ülteres Stadium. Fig. 4. J. lamprocarpus. Querschnitt durch eine junge Anthere. 

Fig. 5. Oxychloë andina. Querschnitt durch die Antherenwand mit einer reifen Pollentetrade. 
Vergr. Fig. 2 — 4 400, Fig. 5 800. 


ihre Kerne, aber die Fürbbarkeit ist ebenso stark wie die der Pollenmutterzellen. Normal besteht 
das Tapetum aus einer einfachen Zellschicht (Fig. 4); oft treten aber in einzelnen Zellen ausser 
den durch den Zuwachs der Anthere nótigen antiklinen Wánde noch hier und da perikline 
Wände auf (Fig. 3). Bisweilen kann auch die Wandbildung ausbleiben und die Zelle folglich 
als zweikernig erscheinen. 

Die Auflósung der Tapetumzellen habe ich nicht an meinem Material verfolgen kónnen. 
Sie scheint wenigstens bei den Luzula-Arten etwa mit der Tetradenteilung zeitlich zusammen- 
zufallen. In diesem Zeitpunkt sind sie nähmlich noch als stark tingierbare, degenerierende 
Bildungen zu erkennen. Ein Periplasmodium wird mit Sicherheit nicht gebildet. Die reife 
Anthere, die von einem meist unscheinbaren Filament getragen, sehr langgestreckt (bei Oxychloë 
bis 6 mm. lang) ist, enthält die Pollenkörner fest zu Tetraden verbunden (Textfig. 5, Tafelfie. 1.) 
Das Endothesium ist zu einer mechanischen Schicht mit Wandverdickungen ausgebildet, von der 
Tapetumschicht ist natürlich keine Spur zu sehen, dagegen findet man bei Oxychloë oft innerhalb 


Tom. L. 


Zur Kenntnis der Blütenentwicklung einiger Juncaceen. 11 


des Endothesiums grüssere oder kleinere Fragmente einer Zellschicht (Fig. 5) deren Wände 
gleichartig verdiekt sind und die kaum anders wie als Reste der ursprünglichen dritten Antheren- 
wandschicht zu deuten sind. 

Wenn also die Entwicklung der Staubfüden selbst nichts Interessantes darbietet, verdient 
die Pollenentwicklung wegen ihres vom Normaltypus abweichenden Verlaufs eine eingehendere 
Aufmerksamkeit. Leider ist es mir nicht möglich, in diesem Zusammenhange ein vollständiges 
Bild dieser Entwicklung zu geben, da in meinem Material einige wichtige Stadien noch fehlen. 
In der Hoffnung bald Gelegenheit zu finden, auf diesen interessanten Gegenstand ausführlich 
zurückkommen zu können, teile ich hier nur einige Tatsachen vorläufig mit. 

Über die Pollenentwicklung der Juneus-Arten geben meine Präparate sehr wenig Auf- 
schluss. Es sei hier nur erwähnt, dass die wenigen Bilder, die ich gesehen habe, nichts Unge- 
wöhnliches darbieten; es kommen bei der heterotypischen Teilung ganz typische, sowohl Do- 
lichonema-, als Spirem-ühnliche Stadien, ausserdem auch Synapsisbilder vor. Etwas näher habe 
ich dagegen die Pollenentwicklung bei einigen Zuzula-Arten untersuchen können, und zwar 
stammen die gelungenen Präparate von Z. nivea. campestris und mulhflora. 

Die Pollenmutterzellen in Ruhe besitzen ein stark tingierbares Plasma und einen glasklaren, 
grossen Kern mit einem gleich bedeutenden Nukleolus. (Siehe z. B. fig. 3.). Als erstes Zeichen 
beginnender Teilung treten in den Kernen von Z. nivea neben 
den Nukleolen Prochromosomen in einer Zahl von 18 auf. 
Solche Kerne sind in meinem Material sehr reichlich vertreten. 
Dagegen ist es mir bis jetzt nicht gelungen ein typisches Sy- B 
napsisstadium zu finden.! In einigen Figuren hat sich die Chro- A 


matinsubstanz des Kerns zu Fäden und unregelmässigen Klumpen 
angehäuft, was wohl am nächsten ein Dolichonemastadium dar- 
stellt (Siehe z. B. Murgeck, Tafel I, fig. S). Darauf sollte norma- 
lerweise die Diakinese folgen. Eine solche mit den Chromosomen 


o 
(e) & 
e 


zu Gemini verbunden habe ich aber vergebens gesucht. Statt 
dessen treten in den Kernen neben den Nukleolen 9 lange, bo- pis. 6. A. L. multiflora. Pollen- 
. genförmige Chromosomen auf (Fig 6 B), die auch bei der stürk- ^ mutterkern, synapsisähnliches Sta- 
sten Vergrösserung in keiner Weise eine Doppelnatur verraten. dium. B. L. nivea. Pollenmutter- 


An der Seite dieser Kerne findet man aber in grosser Anzahl Kern mit haploider Chromosomen- 


; uf Ä SS zahl. C. L. eamperlis. Ungeteil- 
auch solche, die sehr variierende Chromosomzahlen aufweisen z. B. ; 2 = : 
ter, generativer Pollenkern in 


10, 12, 16 und deren Chromosomen oit deutlich verschieden lang Prophase. D. L. campestris. Ve- 
sind, einige sogar etwas eingeschnürt. In meinem Material von getativer Pollenkern und zwei 
L. campestris und multiflora dominieren solche Kerne sogar Spermakerne. Vergr. 1500. 
vollkommen. 

Die náchstfoleenden Stadien sind an LL. multiflora beobachtet worden. Die Kernmembran 
hat sich aufgelöst und der Nukleolus ist verschwunden. Statt dessen sieht man häufig eine 


Menge von extranukleären Nukleolen verschiedener Grósse in der Zelle verstreut. Die Chromo- 


"Bilder, die an die Synapsis-Stadien erinnern, habe ich in den Pollenmutterzellen von ZL. multiflora 
gesehen. Ein solches ist in Fig. 6 A. abgebildet. 


N:o 4. 


12 WIDAR BRENNER. - 


somen findet man in der Metaphase, wie die Figur 7 und die Mikrophotographien (Tafelfig. 2 u. 3) 
zeigen, in einer Ebene zu einer Äquatorialplatte gesammelt, und zwar immer in der diploiden 
Zahl von 18 und ohne irgendwelche paarige Anordnung. Ein Hoi von hellerem Plasma und 
darauf eine stärker tingierbare Plasmaschicht umgeben die Platte. In meinen Präparaten sind 
diese Stadien sehr reichlich vertreten; und die Äquatorialplatten habe ich in bester Fixierung 
und Färbung in allen Lagen, von der Seite, schief und von oben beobachten können. Die 
Anordnung und Zahl der Chromosomen war immer die gleiche. 

Die Anaphase zeigt gute Spindelfiguren (Fig. 8 und Tafelfig. 4 u. 5). Die Spindelfasern 
laufen nicht in den Enden zusammen, sondern scheinen sich mehr oder weniger vollständig im 
Plasma zu verlieren. Die 18 freien Chromosomen ordnen sich in zwei Ebenen 9 und 9 und 
rücken allmählich auseinander. Die Reduktion der Chromosomenzahl ist vollbracht, ohne dass in 
der Anaphase irgend eine Spaltung stattgefunden hat. Auch diese Stadien finden sich in meinem 
Material sehr reichlich und lassen an Klarheit nichts zu wünschen übrie. 


Fig. 7-10. L. multiflora. Reduktionsteilung bei der Spermatogenese. Fig. 7. Me- 

taphase der heterotypischen Teilung. Fig. 8. Anaphase der heterotypischen Teilung. 

Fig. 9. Telophase der heterotypischen Teilung. Fig. 10. Meta- und Anaphasen der 
homöotypischen Teilung. Vergr. 1000. 


Nach Beendigung der ersten Teilung findet man zwei Kerne (Fig. 9) mit Nukleolen und 
der Chromatinsubstanz in unregelmässigen Fäden und Klumpen verteilt. Zwischen den beiden 
Tochterkernen sind noch die Überreste der Spindelfasern zu spüren. Ebenso haben sich einige 
extranukleäre Nukleolen erhalten. Eine Zellwand wird nicht gebildet. Die Vorgänge, die sich 
in der Prophase der nächstfolgenden Teilung abspielen, habe ich bis jetzt nicht verfolgen Können; 
das überraschende Ergebnis aber ist, dass in der Metaphase wieder die diploide Chromosomen- 
zahl auftritt. Die Äquatorialplatten, deren zwei in Fig. 10 abgebildet sind, zeigen nämlich aus- 
nahmslos 18 Chromosomen in freier Gruppierung. Bei der Anaphase gehen dann wieder 9 und 9 
Chromosomen auseinander (Fig. 10). Die Spindeln sind meist deutlich zugespitzt. 

Auf diese Weise entstehen vier Tetradkerne mit ursprünglich je 9 Chromosomen. Es 
bilden sich Zellwände aus, aber die Tetraden bleiben, wie immer bei den Juncaceen, zusammen- 
hängend. 

Tom. L. 


V 


Zur Kenntnis der Blütenentwieklung einiger Juncaceen. 1: 


Die Tetradkerne sind anfangs klar, mit einem grossen Nukleolus, aber bald treten fadenähn- 
liche Bildungen auf. Diese werden dicker, ungregelmässig, stellenweise perlschnurartig und zer- 
fallen sehliesslich in ziemlich lange Chromosomen, deren man 9 zühlen kann. Diese sind anfangs 
verhältnismässig dünn, scheinen aber allmählich an Dieke zuzunehmen ohne jedoch ihre unregel- 
mässigen Konturen zu verlieren. In Fig. 11 A sind einige solche lange Chromosomen abgebildet. 
Sie zeigen häufig Einschnürungen hier und da und sind dabei nicht selten hufeisenförmig gebogen. 
Eigentümlich ist, dass man neben den Kernen mit 9 langen, unregelmässigen Chromosomen auch 
solche mit einer Chromosomenzahl höher als 9 findet. 12—14 sind gewöhnliche Zahlen und die 
Fig. 11 B bildet sogar einen mit 16 Chromosomen ab. Bei genauerer Betrachtung findet man 
bald, dass solche Kerne Chromoso- 
men zweierlei Art enthalten: kurze, 
gerade oder nur wenig gebogene und 
lange, gewöhnlich umgebogene oder 
eingeschnürte. In Fig. 11 B gehören 
zwei (1 u. 2) zu den langen Chromo- 
somen, wogegen die übrigen etwa 
halb so lang sind. Diese kurzen 
Chromosomen sind mit Sicherheit 
von einander frei, weisen aber eine 


mehr oder weniger deutliche paar- 


Fig. ll. L. multiflora. A. Lange Chromosomen aus einem Pol- 


weise Gruppierung auf. So scheinen 
ZA under 11 B,.3 usd 520.16, 
7-.u. 8 u. s. w. Paare zu bilden. 


lentetradkern in Prophase. B. Ein solcher Kern in Prophase 
mit zwei (1 u. 2) langen und 14 kurzen Chromosomen. Die 

Kontur des Nukleolus nur angedeutet. Vergr. 4800. 
Wenn man diese Tetradkerne stu- 


diert, die überaus reichlich in meinem Material vorhanden sind, kann man zu keiner anderen 
Auffassung gelangen, als dass hier schon in der Prophase ein Zerfall der Chromosomen stattfindet, 
der ihre Zahl und zwar durch Querteilung von der haploiden zur diploiden vermehrt. Die 
späteren Stadien, die Meta- und Anaphasen, habe ich nicht zu beobachten Gelegenheit gehabt. 

Die weitere Entwicklung bei der Spermatogenese kenne ich noch sehr mangelhaft. Präparate 
von Z. campestris stammend zeigen die Tetradzellen mit zwei Kernen, einem vegetativen mit 
glasklarem Inhalt und einem grossen Nukleolus und einem generativen, in dem bald wieder 
Chromosomen sichtbar werden. Die generativen Kerne besitzen meist 9! ziemlich langgestreckte 
oft gebogene Chromosomen, (Fig. 6 €), aber solche mit zahlreicheren (12 — 14) sind keineswegs 
selten. Der eigentümliche, frühzeitige Zerfall der Chromosomen scheint sich hier zu wiederholen. 

In der weiteren Entwicklung bleibt der vegetative Kern unverändert, während der generative 
sich wie gewöhnlich in zwei Spermakerne teilt. (Fig. 6 D.) Diese sind klein, meist von der einen 
Seite linsenfórmig abgeplattet und zeigen oft einen lichteren Hof um den nicht sehr hervorragenden 
Nukleus. In ganz reifem Pollen werden sowohl der vegetative, als auch die generativen Kerne 
sehr undeutlich. Diese werden stark chromatisch, verlieren aber ihre distinkten Konturen. Deut- 
liche Chromosomen in den Spermakernen habe ich bei den Luzula-Arten nicht gesehen. Dagegen 


1 Also dieselbe Zahl wie bei L. mulliflora. 
N:o 4. 


14 WIDAR BRENNER. 


kann man solche in den reifen Tetradkernen von Oxychloë andina beobachten. Sie sind sehr 
klein, aber ihre Chromatinsubstanz ist meist in deutliche Chromosomen zerfallen, deren ich 
venigstens 8 habe feststellen können. Dies ist offenbar die haploide Zahl. Die Kleinheit der 
Objekte macht aber eine ganz zuverlässige Zählung unmöglich. 

Obwohl die obige Beschreibung manche bedeutende Lücken aufzuweisen hat, deren Aus- 
füllung mangelnde Zeit mir jetzt verbietet, glaube ich doch folgende Tatsachen feststellen zu können: 

In der Prophase der heterotypischen Teilung treten wenigstens bei Luzula nivea Kerne 
auf, die die haploide Anzahl (9) langer, bogenförmiger Chromosomen aufweist, die keine Ähnlich- 
keit mit den Gemini der gewöhnlichen Diakinese haben. 

Die Metaphase der heterotypischen Teilung bei L. multiflora zeigt eine Äquatorialplatte 
mit der diploiden Zahl (18) Chromosomen ohne paarige Anordnung. 

Bei der Anaphase der heterotypischen Teilung bei derselben Art geht die haploide Zahl (9) 
der freien Chromosomen nach jedem Ende der Kernspindel. 

In der Metaphase der homöotypischen Teilung tritt bei Z. multiflora wieder die dipoide 
Chromosomenzahl (18) auf, und bei der Anaphase gehen 9 und 9 der freien Chromosomen aus- 
einander. 

Bei den Tetradkernen von Z. multiflora scheinen die ursprünglich 9 langen Chromosomen 
sich durch Querteilung zu vermehren, so dass ihre Zahl schon in der Prophase die diploide wird. 

Dasselbe scheint für den noch ungeteilten generativen Pollenkern bei L. campestris zu gelten. 


Das Gynáceum. 


Unter den Juncaceen findet man zwei verschiedene Typen. Die Juncus-Arten, Oxychloë 
und Distichia haben einen länglichen, mit zahlreichen Samenanlagen versehenen Fruchtknoten, 
die Luzula-Arten dagegen einen kurzen, nur 3-samigen Fruchtknoten. 

Das Gynäceum vom Juncus-Typus besteht aus drei nahtlos verschmolzenen Fruchtbláttern, 
die in der Mitte ein zartes Gelüssbündel aufweisen. Bei den Juncus-Arten bleibt die Frucht- 
knotenwand immer verhältnismässig dünn, aus 4—6 Zellschichten bestehend. Bei Distichia scheint 
diese schon von Anfang an etwas dickere Wand nach der Befruchtung allmählich noch dicker 
zu werden, ein grosszelliges Gewebe bildend. 

Der innere Bau des Pistills und die Plazentation bei den Jwneus-Arten ist schon früher 
von BucHenau beschrieben worden. Die Ränder der Fruchtblätter sind zu gut entwickelten 
Plazenten verwachsen, die mehr oder weniger tief in den Fruchtknotenraum hineinragen, so dass 
der ganze Fruchtknoten entweder einfächerig oder durch das Zuzammenwachsen der Plazenten 
unter sich in der Mitte des Knotens dreifächerig wird. Von den untersuchten Juncus-Arten 
hat z. B. J. lamprocarpus einen einfächerigen Knoten mit schwach entwickelten Plazenten, 
bufonius und Leersii grosse, dicke Plazenten, die an der Basis verwachsen, oben aber frei bleiben, 
einen einfächerigen Knotenraum bildend. Bei J. squarrosus und filiformis sind die Plazenten 
etwas schwächer, teils verwachsen, teils frei und bei J. compressus (Fig. 1) und glaucus sind 
sie fast ganz oder vollständig in der Mitte verwachsen, so dass der Fruchtknoten typisch drei- 


Tom. L. 


PAUL dnd 


Zur Kenntnis der Blütenentwicklung einiger Juncaceen. 15 


fächerig wird. Distichia muscoides hat einen einfächerigen Knoten, wo die Planzenten etwa bis 
zur Mitte hineinragen und dasselbe scheint für Oxychloë andina zu gelten, wenn man nach dem 
Bau der sterilen Pistillen, wovon Fig. 12 ein Bild gibt, urteilen darf. 

Den aus den Fruchtblatträndern zusammengesetzten Plazenten entlang sitzen in grosser 
Anzahl die anatropen Samenanlagen (Fig. 13), und zwar bei den /uncus-Arten in vier Reihen, 
so dass bei den dreitächerigen Formen vier Reihen von Samenanlagen in jedem Fach zu liegen 
kommen (Fig. 1). Distichia hat nur zwei Reihen und die Anzahl der Samenanlagen ist-folglich 
nur etwa die Hälfte. Die sterilen Pistille der männlichen Blüten bei Oxychloë besitzen meist 
vollkommen nackte Plazenten, wie die Figur 12 zeigt. Ausnahmsweise findet man aber auch 
hier einzelne Samenanlagen, die in ihrem Wachstum stehen geblieben, aber sonst nach dem 
gewöhnlichen, anatropen Typus gebaut sind. 


Fig. 12. Oxychloë andina. Querschnitt durch den sterilen Fruchtknoten einer männ- 
lichen Blüte. Fig. 13. J. squarrosus. Längsschnitt durch einen jungen Fruchtknoten. 
Fig. 14. J. compressus. Längsschnitt durch ein "Doppelpistill”. Fig. 15. IL. pilosa. 
Längsschnitt durch eine junge Knospe.  Vergr. Fig. 12, 13 u. 15, 60; Fig. 14, 56. 


Der Griffel ist bei den Jwnews-Arten kurz, hat kaum die halbe Länge des Knotens, besitzt 
einen weiten Griffelkanal (Fig. 13) und trägt drei verhältnismässig lange, mit grossen Papillen 
dicht besetzte Narben. Bei Disfichia ist der Griffel von etwa derselben Länge wie der befruch- 
tungsreife Fruchtknoten, was auch für Oxychloö zu gelten scheint. Eigentümlich ist dass die 
Pistille der männlichen Blüten, obwohl funktionsunfähig, doch alle Teile sehr vollständig entwickeln. 
So besteht ein weiter Griffelkanal (Tafelfig. 1) und die langen Narben sind dicht mit schönen 
Papillen versehen. 

Eine merkwürdige Missbildung des Fruchtknotens habe ich ein paar Mal bei J. compressus 
beobachtet. In der Hóhlung, die in der Mitte des Knotens zwischen den zusammengewachsenen 
Plazenten (Fig. 1 und 13) entsteht, findet man nämlich aus Raummangel verdrehte Blattbildungen, 


N:o 4. 


16 WIDAR BRENNER. 


die ganz junge Samenanlagen tragen und offenbar ein inneres, aus einem überzähligen Blattkreis 
gebildetes Pistill darstellen. Es ragt durch den ordinären, abnorm erweiterten Griffelkanal heraus 
und bildet hier sogar mit Papillen besetzte Narben. Fig. 14 gibt ein Bild von einem solchen 
Doppelpistill. 

Das Pistill der Zuzula-Arten weicht wie bekannt von dem Juncus-Typus ab. Es ist 
immer einfächerig und die grossen, ebenso anatropen Samenanlagen sitzen in einer Zahl von drei 
an der Basis je eines Fruchtblattes. Fig. 15 gibt ein Übersichtsbild, wo nur zwei noch ganz 
junge, undifferenzierte Samenanlagen zu sehen sind. Die äussere Form des Pistills zeigt einen 
rundlichen Fruchtknoten, der ziemlich schroff in den sehr schmalen Griffel übergeht. Dieser ist 
bei den verschiedenen Zuzula-Arten von verschiedener Länge, bei L. pilosa kaum länger als 


der Knoten, bei L. nivea etwa 4—5 mal so lang. Die papillösen Narben sind sehr lang und zart. 


Die Entwicklung der Samenanlagen bis zur Befruchtungsreife. 


In gewöhnlicher Weise entstehen die Samenanlagen der Juncus-Arten als kleine Höcker 
an den Plazenten und wachsen anfänglich in der Transversalrichtung des Fruchtknotens in den 
Fruchtknotenraum gerade hinein (Fig. 1). Noch in einem Stadium, wo die Anlage aus relativ: 
wenigen Zellen besteht (Fig. 16) beginnen gewöhnlich 2 subepidermale Zellen sich etwas zu 
vergrössern und ihre Kerne gewinnen auch an Umfang und Klarheit Dies sind die Initialzellen, 
von denen eine zur Archesporzelle wird. Diese überholt die Nachbarzellen mehr und mehr und 
tritt bald in Teilung, wobei eine der Epidermis zugewandte kleine Zelle (Schichtzelle, Tape- 
tumzelle) abgeschieden wird (Fig. 17). In der Gattung Juncus kommt keine weitere Zellschicht 
zwischen der Epidermis und der Embryosackmutterzelle resp. dem Embryosack zustande, und 
dasselbe gilt auch für Distichia, wogegen Luzula, wie wir sehen werden, sich anders verhält. 
Sämtliche sind nach van Tırsnems durch AspLunp modifizierter Terminologie als erassinu- 
zellat zu bezeichnen. 

Die Samenanlage wächst weiter durch Zellteilungen im basalen Teil des Nuzellus und ganz 
besonders im Funiculus, der sich allmählich zu biegen beginnt, so dass die anatrope Lage des 
Samens erreicht wird. Die Biegungen scheinen recht unregelmässig zu verlaufen; sie sind wohl, 
wie auch häufige Drehungen, ausschliesslich vom Bestreben diktiert, den bei den zahlreichen 
Samenanlagen knappen Raum im Fruchtknoten so vollständig wie möglich auszunützen. Auf einer 
frühen Entwicklungstufe werden auch die Integumente, erst das innere, dann das äussere, als 
Ausbuchtungen an der Basis des Nuzellus sichtbar. (Fig. 17 u. Tafelfig. 6). 

Die Tafelfigur 6 zeigt eine Samenanlage kurz vor der ersten Teilune der Embryosackmut- 
terzelle. Diese ist gross und oft nach dem Funiculus zu keillórmig zugespitzt und enthält bis- 
weilen eine deutliche Vakuole. Die Teilung selbst habe ich nicht im Einzelnen verfolgen kónnen. 
Gute Synapsisstadien waren in meinem Material relativ häufig. Dolichonaema und Spirem 
seltener. Auch typische Diakinese-Bilder waren vorhanden. 

Der ganz verschiedene Bau des Fruchtknotens bei den Zuzula-Arten bewirkt auch eine 
"etwas abweichende Gestaltung der Samenanlagen. Diese entstehen als kleine knospenähnliche 


Tom. L. 


Zur Kenntnis der Blütenentwicklung einiger Juncaceen. 17 


Höcker an der Basis eines jeden Fruchtblattes und wachsen anfänglich in der Längsrichtung 
des Knotens fort (Fig. 15). Da ihre Zahl nur drei beträgt, gestattet der Raum ein ausgiebi- 
geres Wachstum. Die Samenanlagen von Zuzula unterscheiden sich auch sofort von denen der 
Juneus-Arten durch ihre Grösse, die hauptsächlich durch die Mächtigkeit der Nuzellusgewebe 
und der Integumente bedingt ist. 

Ein frühes Stadium zeigt die Figur 18. Es treten meist einige subepidermale Initialzellen, 
in der Figur vier, hauptsächlich durch ihre grósseren Kerne hervor. Eine weitere Differenzierung 
besteht insofern, als einige zentrale, offenbar nahrungsreiche Zellen sich durch stärkere Tingier- 
barkeit und ausserdem dadurch von den übrigen Zellen unterscheiden, dass sie sich bei der 
Fixierung von einander getrennt haben. Einige Zellen beiderseits des Höckers deuten durch 
perikline Wände die Stellen an, wo das innere Integument herauswachsen soll. Eine der Initial- 
zellen wird dann zum Archesporium. Sie wächst und ihr Kern wird gross und hell. 

Auf einer relativ frühen Stufe wird auch eine Schichtzelle nach oben abgeschieden und 
diese teilt sich bald darauf durch eine perikline Wand, so dass zwei niedrige Zellen zwischen 


ER 
x re) = 


Fig. 16 u. 17. J. lamprocarpus. Fig. 16. Ganz junge Samenanlage mit zwei Initialzellen. 
Fig. 17. Etwas älteres Stadium. Die Archesporzelle hat eine Schichtzelle abgeschieden. 
Fig. 18 u. 19. L. pilosa. Fig. 18. Ganz junge Samenanlage mit vier Initialzellen Fig. 19. 


Etwas älteres Stadium, die Archesporzelle mit zwei Schichtzellen. Vergr. 400. 


die Embryosackmutterzelle und die Epidermis zu liegen kommen (Fig. 19). Die Schichtzellen 
teilen sich später durch antikline Wände so dass wenigstens 12 Zellen in zwei Etagen zu stande 
kommen und strecken sich in der Längsrichtung der Samenanlage erheblich; mehr als drei Zell- 
schichten, die Epidermis mitgezählt, über dem Embryosack kommen im Nuzellus auch später nicht 
zur Entwicklung. In der Figur 19 ist auch das nahrungsreiche zentrale Gewebe deutlich sicht- 
bar, das innere Integument ist im Hervorwachsen begriffen und auch vom äusseren Integument 
sieht man schon eine unbedeutende Ausbuchtung. Der Funiculus hat sieh beträchtlich verlàngert, 
und die ganze Samenanlage weist schon eine beginnende Biegung nach aussen auf. 

In der Tafelfieur 30, die ein Stadium kurz vor der ersten Teilung der Embryosackmutter- 
zelle bei Z. pilosa darstellt, ist die Biegung so weit vorgeschritten, dass die Samenanlage 
eine horizontale Lage im Fruchtknotenraum einnimmt. Sie setzt dann in derselben Ebene fort, 
bis eine vollkommen anatrope Orientierung, wie sie in der Tafelfigur 33 a sichtbar ist, erreicht 
wird. v 
N:o 4. 


18 WIDAR BRENNER. 


Die Embryosackmutterzelle ist vor der Teilung von länglicher, nach dem chalazalen Ende 
oft keilförmie zugespitzter Form und besitzt meist eine deutliche Vakuole. Als erstes Zeichen 
der beginnenden Teilung tritt in dem zuvor wasserklaren Kern ein Gerüst von zarten Fäden 
auf. Fig. 20 bildet ein solches Stadium ab. Im grossen Nukleolus sieht man bisweilen einige 
hellere Punkte hervortreten. Dann folgt ein Synapsis vom typischen Aussehen (Fig. 21). Der 
Knäuel ist oft sehr dicht mit gut abgegrenzten Konturen und neben ihm kann man in beinahe 
sämtlichen Kernen zwei kleine dunkle Körperchen beobachten, die meist in der Nähe des 
Knäuels, aber doch unabhängig von ihm erscheinen. Diese Körperchen, deren Natur noch dahin- 
gestellt bleiben muss, habe ich auch in den meisten im Synapsisstadium befindlichen Kernen des 
Pollenarchesporiums und der Embryosackmutterzellen der Juncus-Arten wiedergefunden. 

Von späteren Teilungsstadien kenne ich 

nur einen Fall von deutlicher Diakinese 

(Fig. 22) bei L. multiflora und eine Meta- 

22 phase bei derselben Art. (Fig. 23). Es ist 
+ also kein Zweifel, dass hier bei der hetero- 

typischen Teilung des Embryosackkerns 
Gemini in einer Anzahl von 9 auftreten. ! 
Die meisten scheinen nicht mit den 


Längsseiten, sondern mit den Enden zu- 


20 
Fig. 20 u. 21. L. pilosa. Fig. 20. Embryosackmutterzelle eine Trennungserscheinung ist. Denn 
mit dem Kern in einer frühen Prophase. Fig. 21. E M, der später in der Aquatorialplatte sind die 
Kern in Synapsis Fig. 22 u. 23. L. multiflora. Fig. 22. Chromosomen, wie die Figur 23 zeigt, 


21 


sammenzuhüngen, was vielleicht schon 


n) : 1 "kern i iaki ig. 2 - . GS : : E 
Embryosackmutterkern in Diakinese. Fig. 23. Embryosack vollständie frei in einer diploïden Zahl 


von 18 vorhanden. Der Schnitt war et- 
was schief durch die Platte gegangen, so dass die einzelnen Chromosomen in verschiedener 
Tiefe lagen; zwei, die weissen, wurden sogar erst im Nachbarschnitt gefunden. 

Die Reduktionsteilung bei den Embryosackmutterzellen von Zuzula verläuft also im Gegen- 
satz zu der bei den Pollenmutterzellen relativ normal. Mit dieser hat sie eigentlich nur die 


mutterzelle mit Äquatorialplatte. Vergr. 1000. 


frühe, schon vor der Metaphase eintretende vollständige Trennung der Chromosomen gemeinsam. 


Nach der Teilung des Kerns der Embryosackmutterzelle wird zwischen den beiden Tochter- 
kernen eine deutliche Zellwand ausgebildet. Die beiden Zellen, von denen die obere oft etwas 
kleiner ist, treten bald wieder, und zwar gleichzeitig, in Teilung (Tafelfig. 8). Die Chromosomen- 
zahl habe ich bei den Juncus-Arten nicht sicher feststellen können. Sie ist aber gering 
(8—10) und mit Sicherheit haploid; die Tetradteilung verläuft also bei Juneus in allen Hin- 
sichten normal. Zwischen den beiden oberen Tetraden, deren Kerne bald zu degenerieren beginnen, 


! Von diesen sind natürlich nicht alle wie in der Figur auf einmal sichtbar, sondern kommen bei ver- 


schieden tiefer Einstellung des Mikroskops hervor. o 


Tom. L. 


H 
H 


2 tvär KOD MR M ——— m — 


Pr. 


Zur Kenntnis der blütenentwieklung einiger Juncaceen. 19 


entsteht bei einigen Juncus-Arten z. B. J. squarrosus keine Wand (Fig. 24, 25 u. 26) bei 
anderen, wie J. compressus und lamprocarpus, habe ich meist eine deutliche Wand beobachtet. 
Die beiden unteren Tetraden werden immer durch eine gute Wand von einander abgegrenzt. 

Von Anfang an sind also die mikropylaren Tetraden zu Degeneration prädestiniert. Diese 
verläuft bei verschiedenen Arten verschieden schnell und in etwas variierender Ordnung. Bei 
J. bufonius geht die Degeneration sehr schnell und trifft alle drei überzähligen Tetraden gleich 
stark. Noch bevor die untere Tetradzelle sich weiter geteilt hat, sind sie als stark tingierte, 
beinahe zusammenfliessende Körper zu sehen (Tafelfig. 7) und im Zweikernstadium des Embryo- 
sackes verschwinden sie schon. Bei J. compressus scheinen von den Tetraden die erste und vor 
allem die dritte von oben etwas schneller zu degenerieren und bei J. squarrosus degeneriert 
eben dieser dritte meist entschieden 
später als die übrigen (Fig. 25). Bei 
diesen beiden Arten können Spuren 
der Tetraden noch im 4-Kernstadium 
beobachtet werden, ja bei der letzten 
Art besteht bisweilen die Schwester- 
zelle des Embryosackes als eine 
grosse rundliche Bildung im Mikro- 
pylarende lange Zeit. (Tafelfig. 10). 

Die weitere Entwicklung des 
Embryosackes bietet nichts Bemer- 


kenswertes. 


Der Kern des einker- 
nigen Embryosackes teilt sich, wo- 
bei bisweilen, wenigstens bei J. squar- 


2T 


a ve fi : Fig. 24—27. J. squarrosus. Fig. 24. Einkerniger Embryosack 

rosus eine dünne, später werschwin- h : 3 
; mit grosser Schwestertetrade und degenerierenden mikropylaren 
dende Wand zur Entwicklung kommt Tetraden. Fig 25. Zweikerniger Embryosack mit Wandbildung 


(Fig. 25). Fig. 26 zeigt einen 2-ker- 
nigen Embryosack von J. squarrosus. 


zwischen den Kernen. Fig. 26. Zweikerniger Embryosack. Fig. 27. 


Vierkerniger Embryosack. Vergr. 800. 


Zwischen den beiden Kernen liegt 

gewöhnlich eine grosse Vakuole. In der Figur sind weiter die degenerierenden Tetraden sowie 
die eine, ziemlich gut entwickelte, langgestreckte Schichtzelle zu sehen. 
dasselbe Stadium bei J. lamprocarpus. Man sieht den zweikernigen Embryosack mit einer sehr 
deutlichen Vakuole. Die drei Tetraden sind stark degeneriert und zwei durch eine antikline 
Wand getrennte Schichtzellen sind deutlich zu sehen. Die beiden Embryosackkerne treten gleich- 
zeitig in Teilung. Es entsteht der in Fig. 27 und Tafelfigur 10 abgebildete 4-kernige Embryo- 
sack, wo die Kerne noch ziemlich regellos liegen. Die vier Kerne teilen sich dann weiter und 
zwar so, dass die Teilungsspindeln sich kreuzen, und das S-Kernstadium des Embryosacks wird 
erreicht. Hier geschieht sehr früh eine Gruppierung der Kerne, so dass, wie die Tafelfigur 11 
zeigt, drei Kerne an der Basis sich mit Wänden umgeben und die Antipoden bilden, drei weitere 
an dem mikropylaren Ende den Eiapparat zusammensetzen, während die zwei Polkerne, aus 
beiden Enden des Embryosacks stammend, sich etwa in der Mitte nühern und sich an einander 
legen. LAURENT schreibt, er habe die Zusammenschmelzung der Polkerne nicht beobachten können. 


Die Tafelfigur 9 zeigt 


N:o 4. 


20 WIDAR BRENNER. 


Tatsächlich bleiben die Polkerne ziemlich lange an einander geschmiegt liegen, was man schon 
daraus ersieht, dass solche Stadien überaus zahlreich vor die Augen treten. Eine Verschmelzung 
findet jedoch in der Regel statt und verläuft wie die Figuren 28 A. B. u. C. zeigen. Das Re- 
sultat ist ein grosser Zentralkern, dessen Nukleolus oft den grössten Raum des Kernes ausfüllt. 

Wir haben also einen typischen 7-kernigen Embryosack von dem Aussehen wie die Tafel- 
photographie 12 wiedergibt. Er ist bei sämtlichen Arten ziemlich gleich. Die beiden Synergiden 
sind gewöhnlich gross und von deutlichen Membranen umgeben. 
Bei J. bufonius sind sie besonders kräftig und ragen bis etwa in die 
Mitte des Embryosacks hinein. An die eine Wand des Embryo- 
sackes geschmiegt und etwas tiefer als die Synergiden findet 


man den ziemlich grossen Eikern, den ein scharf begrenztes Plasma 
umgibt. Bald unter dem Eikern findet man den grossen Zentralkern. 
Die drei Antipoden nehmen den basalen, etwas verschmälerten Teil 
des Embyosacks ein. Sie sind bedeutend kleiner als die Zellen des 
B Eiapparates und gewöhnlich stärker tingierbar. Eine der Antipoden 


BEN. Vannes nimmt eine etwas höhere Lage als die beiden übrigen pur und zwar 

Verschmelzende  Polkerne. 20 der entgegengesetzten Wand des Embrosackes, dem Eikern schräg 

Vergr. 1500. gegenüber. (Siehe auch die Fig. 31). Sonst ist der Embryosack vom 
wabigen Plasma erfüllt. 

In derselben regelrechten Weise wie bei den Jwneus-Arten entwickelt sich der Embryo- 
sack bei Distiehia und Luzula. Auch bei diesen werden in der Regel die drei oberen Tetraden 
durch die unterste verdrängt.! Die Tafelfigur 28 zeigt eine Samenanlage von Dishichia mus- 
coïdes. Man sieht den 2-kernigen Embryosack und die drei nicht besonders stark gefärbten 
Tetraden zwischen denen gute Wände ausgebildet sind. Die Tafelfigur 31 zeigt die 
vier Tetraden, von Luzula pilosa mit guten Wänden, die oberen in Degeneration 
begriffen. Die drei degenerierenden Tetraden, von denen die zwei oberen ausnahms- 
weise seitwürts von einander liegen, sind besonders deutlich zu sehen. Die Tafel- 
figur 32 bildet einen 4-kernigen Embryosack von L. pilosa und Fig. 29 einen 7-ker- 
nigen von Z. campestris ab. 

Es besteht auch hier kein Zweifel, dass die Polkerne sich wirklich zu einem 
Zentralkern vereinigt haben, obwohl dies relativ spät einzutreffen scheint. Wenigstens 
sind Stadien mit den zwei Polkernen dicht aneinander weit häufiger und noch 
Fig. 29. L. in dem Moment zu finden, wo der Pollenschlaueh schon die Mikropyle erreicht hat. 


campestris, Hand in Hand mit dem Emryosack haben die übrigen Teile der Samenanlage 
7-kerniger 


sich entwickelt. Das Nuzellargewebe ist mächtiger geworden. Bei den Juncus- 
Embryosack. 


Verer 500, Arten und Distichia haben die Zellteilungen vorzugsweise an dem an den Funiculus 


grenzenden Ende stattgefunden. Basalwärts vom Embryosack findet man also ein 
aus mehreren Zellschichten bestehendes Gewebe, während seitlich nur drei Zellschichten, die 
Epidermis mitgezählt, zu finden sind. Bei Zuzula wird der Embryosack auch seitlich von 


"Bei Luzula multiflora habe ich einmal gesehen, dass die zweitunterste Tetradzelle zum Embryosack 
wurde. 


Tom. L. 


Zur Kenntnis der Blütenentwicklung einiger Juncaceen. 21 


mehreren, etwa 5 Zellschichten umgeben. Die Umbiegung der Samenanlage ist vollbracht, so 
dass die typisch anatrope Lage erreicht ist. (Siehe Talelfig. 28 u. 33 a). 

Inzwischen haben auch die Integumente sich aus unbedeutenden Anlagen an der Basis des 
Nuzellus entwickelt. Sämtliche untersuchte Juncaceen, Juncus, Distichia und Luzula haben ein 
inneres und äusseres Integument. Das innere besteht durchgehends aus nur zwei Zellschichten. 
Das äussere Integument dagegen ist bei den Juncus-Arten zweischichtig, besteht aber bei Distichia 
und Zuzula aus mehreren, meist 4 Zellschichten. Charakteristisch für Distichia ist eine gewisse 
Succulenz der äusseren Teile der Samenanlage, namentlich des äusseren Integuments, dessen Zellen 
also gross und angeschwollen erscheinen. (Tafelfig. 28). Auf diese Weise kommen die Samenan- 
lagen, obwohl weniger zahlreich als die der Juncus-Arten, sehr dicht an einander zu liegen, den 
Fruchtknotenraum ganz ausfüllend. 


Die Befruchtung und damit zusammenhängende Erscheinungen. 


Der siebenkernige Embryosack vom gewöhnlichen Typus, der im vorigen Kapitel beschrieben 
wurde und in der Tafelfigur 12 bei Juncus abgebildet ist, unterliegt noch kurz vor der Befruch- 
tung Veränderungen, die vielleicht schon durch einen Reiz des Pollens verursacht werden. Sowohl 
bei Juncus als auch bei Luzula vergrössert sich der Rauminhalt des Embryosackes durch Streckung 
der Zellen im Nuzellus ansehnlich. Er wird zu einer Höhlung, die offenbar mit einer Flüssigkeit 
gefüllt ist und die das Plasma nur in zarten Strängen durchzieht oder als eine dünne Schicht 
bekleidet. Gleichzeitig beginnt die innere Zellschicht des inneren Integuments, das später zur 
eigentlichen Samenschale wird, mächtiger zu werden und seine Wände bekommen Verdickungen. 
Auch die Auflösung des einen Synergids scheint vor der Befruchtung wenigstens eingeleitet zu 
werden. Dass beide Synergiden schon vor der Befruchtung zugrunde gehen sollten, wie es 
LAURENT behauptet, ist allerdings nicht richtig. 

Bei der Ankunft des Pollenschlauches ist also der Embryosack bei den Gattungen Juncus 
und Zuzula eine ziemlich weite Höhlung, in derem der Mykropyle zugewandtem Ende die Eizelle 
und die eine Synergide, vielleicht auch Spuren der zweiten zu finden sind. Die Eizelle ragt 
tiefer in die Höhlung hinein und besteht aus dem Eikern und gewöhnlich vakuolreichem Plasma, 
das nach aussen durch eine dünne, oft unscheinbare Plasmahaut abgegrenzt ist. Der Kern der 
Synergide ist gewöhnlich etwas kleiner als der der Eizelle und sein Plasma dichter. Am meisten 
fällt aber der Zentralkern in die Augen. Seine Lage ist meist nicht mehr zentral, sondern aus- 
gesprochen basal, so dass er in das chalazale Ende des Embryosackes zu liegen kommt. Er hat 
bedeutende Dimensionen erreicht, etwa 3—5 mal so gross wie der Eikern. In den Präparaten 
macht er den Eindruck einer klaren, mit Flüssigkeit gefüllten Blase, in welcher der enorme 
Nukleolus schwimmt. An der Innenwand der Blase findet man spärlich Chromatinsubstanz in 
Kórnehen oder Fäden. (Siehe Fig. 30 und Tafelfig. 33 b). 

Das meiste Interesse erregen jedoch die Nukleolen der Zentralkerne wegen ihrer merk- 
würdigen Gestaltung. In der Fig. 30 sind einige Zentralkerne von Zuzula eampestris abgebildet. 
Die gewöhnlichste Form des Nukleolus ist die der Fig. A. Solche Nukleolen findet man ausserdem 
oft in anderen Kernen, in den Kernen des zentralen Endosperms, in den Eikernen, in den vege- 


N:o 4. 


22 WIDAR BRENNER. 


tativen Pollenkernen u.s. w. Der Nukleolus besteht aus einer dicken, dunkel gefärbten äusseren 
Schicht, die ein zentrales, helleres Körperchen umgibt. Einmal fand ich statt des hellen Kör- 
perchens zwei ganz dunkle (Fig. 30 B). Einen ganz sonderbaren Eindruck machen Nukleole' wie 
die in Fig. 30 C und D abgebildeten. In €, die auch in der Tafelfigur 33 b photographiert ist, 
besteht die innere Kugel aus zwei scharf von einander begrenzten Hälften, einer hellen und einer 
dunklen. Dass sie aber zusammen eine ganze Kugel bilden, sieht man leicht aus der Weise, in 
der das Licht von ihrer Flüche reflektiert wird. (Der weisse Punkt in der Photographie 33 b 
ist ebenfalls ein Reflex.) 

In Fig. 30 D ist die innere helle Kugel ungewóhnlich gross und bildet den gróssten Teil 
des Nukleolus. In ihr findet sich aber auch ein dunkler Körper, der hier nicht die Hälite, sondern 
nur ein Viertel der Kugel einnimmt. Er hat das Aussehen eines 
Kristalls mit scharfen Kanten und starker Lichtbrechung. In der 
äusseren dunklen Schicht finden sich ein paar Punkte, wahrscheinlich 
Öltröpfchen. 

Ob nun diese originellen Nukleolusbildungen ursprünglich in den 
lebenden Kernen vorhanden gewesen oder erst durch die Fixierung 
entstanden sind, vermag ich freilich nicht zu sagen. Aus der bota- 
nischen Literatur kenne ich ähnliche Fälle nicht. Dagegen sind we- 
nigstens Nukleole vom Typus A in Fig. 30 bei Tieren beobachtet 
worden. O. HerrwiG schreibt in der letzten Auflage seiner Allge- 


Fig. 30.  L. campestriss meinen Biologie Seite 44 nach FLEmmInG: "Solche Differenzierung 
Zentralkerne mit verschie- 


der Hauptnukleolen in zwei Teile kommt bei Eizellen vieler Tiere 
denartigen Nukleolen. 


vor. Bei Dreissena polymorpha ist der stark lichtbrechende und 
Vergr. 1000. 


chromatische Teil als Hohlkappe um den blasseren herumgelagert." 

Wenn also der Zentralkern in allen Hinsichten der am meisten hervortretende Teil des 
reifen Embryosackes ist, spielen die Antipoden, wie gewöhnlich, eine sehr bescheidene Rolle. 
Sie sind sehr klein, bei den Zuzula-Arten sogar nicht immer deutlich von einander getrennt, 
besitzen relativ stark tingierbares Plasma und kleine dunkle Kerne. Sie stecken gewöhnlich in 
einer engen Vertiefung im Chalaza-Ende des Embryosackes. 

Die befruchtungsreifen oder eben befruchteten Embryosäcke von Juncus, Tafelfig. 13 u. 14 
und Luzula Tafelfig. 33 a sind in allem Wesentlichen einander gleich. Distichia unterscheidet 
sich nur insofern, dass der Emryosack durch die Succulenz des äusseren Integuments und des 
Nuzellus häufig zusammengrepresst und in seiner Ausdehnung verhindert wird. Man sieht ihn 
deshalb oft nur als eine Spalte im Nuzellus, in welche der Eikern, die Synergiden, der Zentral- 
kern und die Antipoden allerdings deutlich zu erkennen sind. | 


Wie der an den Narben ausgekeimte Pollenschlauch durch den Fruchtknoten den Samenan- 
lagen zuwächst habe ich nicht im Einzelnen verfolgen kónnen. Er dringt durch das aus langen 
Zellen bestehende, lockere Gewebe, das den Griffelkanal innen auskleidet und wahrscheinlich ein 
leitendes Gewebe darstellt. Im Fruchtknotenraum angelangt, suchen die Schläuche die Plazenten 
auf und wachsen, einem langzelligen Gewebe folgend, durch den Funiculus. Die Pollenschläuche 


'Tom. L. 


Zur Kenntnis der Blütenentwicklung einiger Juncaceen. 28 


sind sehr dünn und in ihrem vorderen Ende trotz kräftiger Differenzierung der Schnitte sehr 
stark gefärbt. Es ist mir nicht gelungen, die Spermakerne in ihnen zu entdecken. Man sieht 
wenigstens bei Juncus compressus nur eine Masse, die aus zahlreichen Chromatinkórnehen zusammen- 
gesetzt ist. Bisweilen kann man jedoch zwei Chromatinanhäufungen unterscheiden, in denen wohl 
die Spermakerne stecken, falls sie als solehe überhaupt im Pollenschlauch vorhanden sind. 

In die Samenanlagen gelangt, begegnet dem Pollenschlauch bei den Juncus-Arten kein 
Hindernis, dureh die Mikropyle hineinzuwachsen. Das äussere Integument bildet, wie die Tafel- 
figuren 13 und 14 zeigen, eine räumliche Pollenkammer und auch das innere Integument lüsst 
einen Kanal frei. Besondere leitende Zellen sind also nicht nótig. 

Bei den ZLuzula-Arten dagegen hat sich das äussere Integument um die Mikropyle ge- 
waltig verdiekt und hier bildet sich zur Zeit der Befruchtung ein schóner Obturator aus (Fig. 33 a). 
Von der Basis der Samenanlage, von der Stelle, wo das Gefüssbündel des mit dem äusseren 
Integument verwachsenen Funiculus die Fruchtblattbasis verlässt, wachsen langgestreckte, stark 
tingierbare Zellen hinaus, und schieben sich zwischen den Rändern des äusseren Integuments ein, 
den Weg nach der Mikropyle des inneren Integuments zeigend. 

Wie die eigentliche Befruchtung vor sich geht, ist mir auch nicht ganz klar. In meinem 
Material von sowohl Juncus als Luzula finden sich mehrere Bilder, wie die Tafelfigur 14. Man 
unterscheidet deutlich den Eikern, 
dazu meist auch den Kern der über- 
lebenden Synergide, aber sonst nur 
unregelmässige Chromatinanhäufungen 
und dunkel gefärbtes Plasma, die 
offenbar von dem eingedrungenen Pol- 
lenschlauch herrühren. Das ganze 
macht ein sehr verwirrtes Bild. Durch 
erneute stärkere Differenzierung klärte 
sich der Schnitt (Tafelfigur 14) so, 
dass man neben einer Menge kleiner 


Ohromatinkórner zwei grössere halb- a 

mondförmige stark tineierte Kórper Fig. 31 u. 32. J. compressus. Embryosäcke mit Befruchtungs- 
sg giert 

zu sehen bekam (Fie. 31). In ande stadien. Fig. 33. L. campestris. Embryosack mit Befruchtungs- 

D nm * . p 

ren Fällen (z. B. Fig. 32) war es 


nicht móglich, in dem eingedrungenen Pollenschlauch mehr als einige verschieden grosse Chro- 


stadium. Vergr. 500. 


matinkórnchen zu entdecken. 

Bei den Zuzula-Arten bekommt man oft ganz Ähnliche Bilder. Bisweilen kann man aber, 
wie in Fig. 33, zwei grüssere Chromatinkórner sehen, In der Fig. 33 sind ausserdem sonder- 
barerweise zwei Zentralkerne vorhanden. Ob sie die primären, unverschmolzen gebliebenen Pol- 
kerne oder zwei durch frühzeitige Teilung des Zentralkerns entstandene Tochterkerne sind, ver- 
mag ich nicht zu entscheiden. Die Verschmelzung der männlichen Kerne mit dem Eikern habe 
ich ebensowenig wie die Befruchtung des Zentralkernes gesehen. 

Nachdem diese maskierte Befruchtung vorüber ist und die chromatischen Körper des Pol- 
lenschlauches wieder verschwunden sind, sieht man gewöhnlich noch die zweite Synergide, die 


N:o 4. 


24 WIDAR BRENNER 


dann allmählich verschwindet. Die Eizelle hat sich abgerundet und ist jetzt mit einer deutlichen 
Membran versehen, bleibt aber noch eine Zeit lang ungeteilt. Der Zentralkern teilt sich aber 
sofort und aus den Tochterkernen geht dann in etwas verschiedener Weise bei Juncus und Lu- 
zula teils ein basales, teils ein zentrales Endosperm hervor. Die Antipoden bleiben lange Zeit 
unverändert in ihrer Tasche liegen. 

Bei Distichia sind die Embryosäcke, wenigstens in meinem Material, sehr oft unbefruchtet 
geblieben, ja man kann sogar sagen, dass normal befruchtete Sücke zu den Ausnahmen gehóren. 
Wahrscheinlich hángt dies mit der intensiven vegetativen Vermehrung zusammen, die diese 
moosähnliche Pflanze kennzeichnet. In den unbefruchteten Embryosäcken degeneriert der Eiapparat 
zuerst, während der grosse Zentralkern noch lange allein bestehen bleibt. Das Nuzellargewebe 
beginnt relativ schnell zu verschleimen, was übrigens auch in den befruchteten Samenanlagen eintriftt. 

Die Aufklärung des Befruchtungsvorganges bei den Juncaceen hat also viel Schwierigkeiten 
gemacht; und die Erscheinung ist vorläufig noch trotz zahlreicher Schnitte und viel verwendeter 
Mühe in Dunkel eingehüllt. Mit dem Verlauf, wie er bei anderen Pflanzen z. B. von Juez und 
seinen Schülern beschrieben worden ist, bestehen zweifelsohne Berührungspunkte, wenn auch 
Verschiedenheiten zu konstatieren sein dürften. So ist es unsicher, ob die eine Synergide irgend- 
welche Rolle bei der Befruchtung spielen kann. Ihre Rückbildung ist nämlich schon bei Ankunft 
des Pollenschlauches sehr weit vorgeschritten. Die Chromatinmasse, die ihren Platz einnimmt 
wollte ich also als beinahe ausschliesslich vom Pollenschlauch stammend betrachten. Die Masse 
hat anfangs distinkte Konturen und stellt wohl das angeschwollene Ende des unverletzten Pol- 
lenschlauchs dar. Später scheint er sich bis an die Eizelle zu verlängern, indem er einen Bogen 
um die zweite Synergide herum macht. Bei dieser Gelegenheit habe ich auch bisweilen die Chro- 
matinsubstanz des Schlauches in zwei Portionen geteilt gesehen; und neben diesen sind kleine 
Chromatinkórperchen zu sehen, die sehr wohl Spermakerne sein könnten. Einmal sah ich sogar 
einen solchen Körper fest am Kern der Eizelle liegen. Man bekommt den Eindruck, als ob die 
Spermakerne oder ihre Elemente in dichtes Plasma, wohl in das Plasma der Spermazellen einge- 
schlossen, nach dem Embryosack gelangt wären, um hier bei Gelegenheit auszuschlüpfen und 
ihren Dienst zu erfüllen. Für diese Annahme spricht noch, dass selbst im reifen, noeh nieht 
ausgekeimten Pollen nicht immer die Spermakerne deutlich zu sehen sind, sondern nur Chroma- 
tinanhäufungen. Auch die vegetativen Pollenkerne kónnen in den älteren Tetraden sehr schwer 
zu entdecken sein. In den Pollenschlàuchen sind sie gar nicht gefunden worden. 

Nachdem die Befruchtung wahrscheinlich vorüber ist und der Pollenschlauch seine Konturen 
verloren hat, bleibt noch Chromatinsubstanz in der Nàhe der Eizelle eine Weile liegen. Öfterst 
hat diese die Form von zwei mehr oder weniger gut markierten Körnern. Solche sind früber 
bei entsprechenden Befruchtungsstadien von mehreren Autoren bei anderen Pflanzen beobachtet 
worden. Juez spricht die Vermutung aus, dass sie die Überreste des bei der Befruchtung zer- 
stórten Synergidkerns und des vegetativen Pollenschlauchkerns darstellen. 

Nach der Auffassung des Befruchtungsvorganges bei den Juncaceen, zu weleher ich durch 
die obige zwar sehr mangelhafte Untersuchung gekommen bin, würde man eher in diesem Falle 
die beiden Chromatinkórperchen als Reste der Protoplasten der beiden Spermazellen betrachten, 
die die Spermakerne eingehüllt haben. Eine sichere Ansicht wage ich selbstverständlich nicht zu 
üussern. 

Tom. L. 


m. Meno sé en 


—— A 


NI em 


Zur Kenntnis der Blütenentwicklung einiger Juncaceen. 


Lo 
Qv 


Das Endosperm. 


Wir wollen zuerst die Endospermbildung in der Gattung Juncus etwas näher betrachten. 
Die Teilung des im basalen Ende des Embryosackes liegenden Zentralkerns erfolgt durch eine 
regelrechte Karyokinese. Die Chromosomen sind zahlreich und sehr klein. Eine Feststellung 
ihrer Zahl war in meinen Präparaten nicht möglich. Der eine der entstandenen Tochterkerne 
bleibt an die Antipoden gedrückt liegen, der zweite aber bewegt sich nach dem Zentrum des 
Embryosackes zu (Tafelfie. 15). Von diesen beiden Kernen stammen zweierlei Endosperm- 
bildungen, von dem oberen Kern das eigentliche oder zentrale Endosperm, von dem unteren das 
basale Endosperm. 

Die Entwicklung des zentralen Endosperms bietet nichts ungewöhnliches. Die Kerne ver- 
mehren sich durch regelrechte Karyokinese schnell, und bilden mit ihrem Plasma einen Schlauch, 
der die Wände des Embryosacks bekleidet und die Eizelle resp. den jungen Embryo umfasst 
(Tafelfig. 23). Unten schliesst sich der Schlauch mit seinen Kernen dieht an das basale Endo- 
sperm. Die zentralen Endospermkerne sind im Gegensatz zu denen des basalen Endosperms deut- 
lich und hell, mit einem oder bisweilen sogar zwei grossen, dunklen Nukleolen. Zwischen den 
Kernen werden dann verhältnismässig spät zarte Wände angelegt, so dass ein mehrzelliges En- 
dosperm (Taielfie. 26.) entsteht. Durch wiederholte Zellteilungen von aussen nach innen kommt 
allmählich ein gewóhnliches, den ganzen erweiterten Embryosack resp. Samen ausfüllendes Endo- 
spermgewebe zu stande, dessen Zellen an Stärke reich sind. Das dünne Nuzellargewebe degene- 
riert bald. (Tafelfig. 26). 

Während also der zentrale Endospermkern freie Endospermkerne erzeugt, wird der basale 
Kern durch eine Membran von dem oberer Teil des Embryosackes abgetrennt und bildet eine 
scharf abgecrenzte basale Endospermzelle (siehe die Tafelfiguren 16 und 20). Es ist vollkommen 
ausgeschlossen, dass diese Zelle und das basale Endosperm überhaupt aus den Antipoden hätte 
hervorgehen können, denn diese sieht man häufig in unveründerter Gestalt und Zahl dicht 
unter der Endospermzelle liegen (Fig. 34 und Tafelfig. 24). Wenn die basale Endospermzelle 
noch jung ist, sieht sie oft der Eizelle am entgegengesetzten Ende des Embryosackes sehr 
ähnlich, so dass sogar Verwechslungen möglich wären, hätte man nicht die übrigen Teile 
der Samenanlage zur Orientierung. Allmählich wird aber ihr Plasma immer stärker tingier- 
bar, so dass besonders kräftige Differenzierung bajd nötig wird, um den Kern sichtbar zu 
machen. Noch während die Eizelle ungeteilt bleibt, treten Kernteilungen auf, aber diese sind 
mit aller Wahrscheinlichkeit amitotisch. Wenigstens ist es mir nie gelungen, trots eifrigem Suchen 
und zahlreichen guten Präparaten normale Kernteilungsfiguren im basalen Endosperm zu finden. 
Bisweilen sieht es aus, als ob der Kern sich ganz auflöse und eine eventuell vorhandene Vakuole 
teilt sich in zwei (Tafelfig. 19), teils treten im Kerne zwei Nukleolen auf. Das Ergebnis ist 
jedenfalls ein etwas vergróssertes Endosperm mit zwei deutlichen Kernen (Tafelfig. 17 und 24). 
Zellwände kommen nie zur Ausbildung. Die Kerne teilen sich dann in rätselhafter Weise weiter. 
Bisweilen sieht es aus, als ob ihre Nukleolen in mehrere, oft ungleich grosse runde Körperchen 
zerfielen. Fig. 35 zeigt ein Bild von J. filöformis, wo in jedem der zwei angeschwollenen und 
abnorm aussehenden Kerne fünf Nukleolen zu zählen sind. Schon ehe das basale Endosperm bei 


N:o 4. 4 


26 WIDAR BRENNER. 


den Juneus-Arten nennenswerte Dimensionen erreicht hat, nimmt die Degeneration, die sich von 
Anfang an in den Kernteilungen bemerkbar gemacht hat, überhand, und die ganze Bildung wird 
spurlos resorbiert. Die Tafelfigur 25 zeigt ein altes basales Endosperm in der maximalen Grösse. 
Wie viele Kerne da enthalten sind, ist schwer zu entscheiden. Noch in diesen späten Stadium 
sind aber die Antipoden unter dem Endosperm deutlich zu sehen. 

Das basale Endosperm bleibt also in der Gattung Juncus immer sehr bescheiden. Etwas 
kräftigere Gestaltung erreicht es bei den Zuzula-Arten. Hier scheint es auch in etwas ab- 
weichender Weise zu entstehen. Während bei den Juneus-Arten der eine der beiden Tochter- 
kerne des Zentralkerns unmittelbar das basale Endosperm bildet, scheinen diese bei Zuzula 
einstweilen frei zu bleiben und der basale Kern teilt sich unmittelbar weiter. Die zwei Tochter- 
kerne legen sich ins Basalende des Embryosackes, konzentrieren um sich diehtes Plasma und 
bilden das basale Endosperm. Dieses ist also wenigstens bei Zuzula pilosa von Anfang an zwei- 


Fig. 34. J. compressus. Einzelliges basales Endosperm mit den Antipoden erhalten. Fig. 35. J. fili- 
formis. Basales Endosperm mit 5 Nukleolen in einem jeden Kern. Fig. 36. L. pilosa. Junges basales 
Endosperm. Fig. 37. L. pilosa. Etwas älteres basales Endosperm und ein Kern des zentralen Endos- 
perms. Fig. 38. Distichia muscoides. Basales Endosperm, rechts die Membran deutlich. Vergr. 800. 


kernig und sein Plasma ist auch meist in zwei Teile gespalten (Fig. 36). Deutliche Membranen 
kommen nicht vor. 

Der zweite, obere Tochterkern des primären Zentralkerns teilt sich auch bald. Diese Tei- 
lung ist typisch karyokinetisch. Wenn eine Befruchtung des Zentralkerns stattgefunden hat, 
sollte ja die Chromosomenzahl bei Z. campestris in diesen Teilungen 3 x 9 — 27 betragen. Obwohl 
ich die Zahl der Chromosomen nicht sicher habe faststellen kónnen, glaube ich doch sagen zu 
künnen, dass eine so grosse Zahl nicht vorkommt. Ich würde sie eher auf 18 schützen. Man 
muss also annehmen, dass entweder keine Befruchtung des Zentralkerns vorgekommen ist, oder 
dass eine Reduktion der Chromosomenzahl bei der vorigen oder dieser Kernteilung eintritt. 
Übrigens entwickelt sich das zentrale Endosperm in gewöhnlicher Weise wie bei Juncus. 

Von den beiden basalen Endospermkernen scheint bei L. pilosa der obere der entwicklungs- 
fähige zu sein, während der untere mit seinem Plasma, wenn auch bisweilen auf einem vorge- 


Tom. L. 


Zur Kenntnis der Blütenentwieklung einiger Juncaceen. 27 


schrittenen Stadium gut wahrnehmbar (Fig. 37), doch relativ früh zugrunde geht oder mit dem 
oberen basalen Endosperm zusammenfliesst. Die Kerne dieses oberen basalen Eudosperms ver- 
mehren sich intensiv. Auch hier müssen offenbar die Teilungen amitotisch verlaufen. Sehr oft 
sieht man etwas längliche, mit zwei Nukleolen versehene Kerne, die sich wahrscheinlich bald 
teilen werden. Da keine Zellwände angelegt werden, sammeln sich die oft sehr ungleich gros- 
sen, stark fàrbbaren Kerne um eine gemeinsame Vakuole. Diese ist anfangs klein (Tafelfig. 34), 
wächst aber allmählich so, dass die basalen Endospermkerne mit ihrem Plasma schliesslich einen 
hohlen Schlauch um die Vakuole bilden (Fig. 37 und Tafelfig. 35), eine Anordnung, die ganz 
ühnlieh bei dem zentralen Endosperm zustande kommt. Bei der Fixierung ist der Schlauch aber 
meist vollständig von oben zusammengeknickt, so dass das ganze basale Endosperm eine V-fórmige 
Figur am Boden des Embryosackes bildet. Ganz wie bei dem zentralen Endosperm findet spáter 
auch hier durch wiederholte Kernteilungen und Vermehrung des Plasmas eine Ausfüllung des 
Endospermschlauches statt, so dass auch das basale Endosperm schliesslich einen soliden Körper 
vom Aussehen wie in der Tafelfie. 36 darstellt. Die Kerne sind zahlreich, blasenähnlich mit 
einem oder einigen grossen Nukleolen. Zellwände kommen aber nie zur Ausbildung. Allmählich 
wird das basale Endosperm auch bei den Zuzula-Arten resorbiert, und in älteren Samen ist 
davon nichts zu spüren. f 

Das Verhalten der Antipoden nach der Befruchtung ist bei Luzula noch etwas unklar. Schon im 
unbefruchteten Embryosack waren sie ja nicht immer von einander gut getrennt. Später findet man 
sie zwar oft in typischer Dreizahl unter dem basalen Endosperm. Nicht selten fliessen sie aber zusam- 
men zu einer Bildung mit drei Kernen. Ausnahmsweise 
habe ich sogar 4 Kerne gezählt, was darauf hindeutet, 
dass Kernteilungen in den Antipoden vorkommen kónnen. 
Andererseits begegnet man auch Fällen, wo mit bestem 
Willen nicht mehr als zwei Antipoden zu entdecken 
sind. Wenn noch dazu eine von diesen mit einem 
etwa doppelt so grossen Kern als die anderen auftritt, 
kommt man leicht dazu, an Verschmelzungen zu den- 
ken. Die Sache wird noch dadurch kompliziert, dass 
etwas nach der Befruchtung ein Komplex von plasma- 
reichen Zellen unmittelbar im Zusammenhang mit den 
Antipoden zu entdecken ist. (Fig. 39). Meist macht jure DD kk NM kr 
derselbe den Eindruck eines wahren Antipodengewebes, Samenanlage kurz nach der Befruchtung. Ba- 
da die Zellen in keiner Hinsicht von den Antipoden saler Endospermkern mit Plasma; die drei Anti- 
zu unterscheiden sind. Ich bin jedoch sicher, dass poden von plasmareichen Zellen umgeben; un- 


ten die Hypostase. Vergr. 800. 


sie nicht durch Teilungen der Antipoden entstanden, 
sondern aus Nuzelluselementen hervorgegangen sind. In einem Falle (Fig. 39) habe ich nämlich 
die unveränderten Antipoden, von dem plasmareichen Zellkomplex umgeben, wiedergefunden. Die- 
ser verschwindet dann bald wieder und gleichzeitig scheinen auch die Antipoden definitiv zu 
degenerieren. Das gesamte Nuzellargewebe wird plasmaarm, degeneriert oder verschleimt. Nur 
unmittelbar am Funiculus und offenbar in Verbindung mit dem Gefässbündel bleibt ein parenehy- 
matisches, aus plasmareichen, relativ diekwandigen Zellen bestehendes Gewebe (Fig. 39), das in 


N:o 4. 


28 WIDAR BRENNER. 


degenerierter Gestalt noch am Funiculus-Ende des reifen Samens zu sehen ist (Tafelfig. 37), eine 
schöne Hypostase bildend. 

Da bei Distichia wie gesagt der grösste Teil der Samenanlagen unbefruchtet bleibt und der 
Zentralkern folglich früher oder später zugrunde geht, habe ich die Endospermbildung nur in 
wenigen Schnitten verfolgen können. Auch hier findet sich ganz wie bei Juncus und Luzula ein 
zentrales und ein basales Endosperm. Das letztere dürfte aber kaum grössere Dimensionen 
erreichen, kann aber trotzdem deutlich hohl sein (Fig, 38). Es wird durch eine deutliche Mem- 
bran von dem oberen Teil des Embryosackes abgetrennt. Die Zahl der basalen Endospermkerne 
habe ich bis auf 8 verfolgen können. Für die jungen Samen von Distichia ist sonst charakte- 
ristisch, dass ihr relativ mächtiger Nuzellus sehr bald vollständig verschleimt, so dass man ihn 
als eine dicke, strukturlose Masse, gewiss eine Art von Perisperm, zwischen der Embryosack- 
höhle und der Samenschale wiederfindet. 


Die Vorgänge, die sich nach der Befruchtung im Basalende der Samenanlage abspielen, 
bieten also bei den Juncaceen nicht so ganz wenig Interessantes. Es kann deshalb nützlich 
sein, einen kurzen Blick auf ähnliche Erscheinungen bei anderen Pflanzen zu werfen und die 
Verhältnisse bei den Juncaceen mit diesen zu vergleichen. 

In der Literatur begegnet man nicht selten Angaben über grössere oder kleinere, mehr 
oder weniger dauerhafte Gebilde, die nach der Befruchtung im Basalende des Embryosacks ent- 
stehen. Ihre Natur war nicht immer ganz leicht festzustellen. Sie können dreierlei Ursprungs 
sein: 1) Die Antipoden entwickeln sich weiter. 2) Ein oder mehrere Tochterkerne des Zentral- 
kerns werden von den übrigen getrennt und bilden ein basales Endosperm. 3) Eine Gruppe von 
Nuzelluszellen bilden ein besonderes Basalgewebe. 

Was nun den ersten Fall betrifft, so gehören hierher die schon vor der Befruchtung gros- 
sen und vielkernigen Antipoden einiger Compositen, deren Kernzahl oft noch nach der Befruch- 
tung steigt. Sie stellen Haustorien-ähnliche Gebilde dar. (Siehe hierüber z. B. Parm und TÄck- 
HOLM). Ihnen schliessen sich die mehrkernigen Antipoden einiger Ranuneulaceen an. Ein beson- 
deres Antipodengewebe ist weiter für die Gräser charakteristisch. CAMPBELL hat eine Ver- 
mehrung der Antipoden noch bei einigen Pandanus-Arten, bei einigen Araceen und bei Sparga- 
nium gefunden, eine Angabe die wenigstens was die beiden letztgenannten betrifft angezweifelt 
worden ist. (Parw, AsPLuND) In jüngster Zeit hat jedoch ScHürHorr bei Sparganium Tatsa- 
chen zu Tage gebracht, die die Befunde CAMPBELLS zu bestätigen scheinen, und er will sogar 
das Antipodengewebe als ein Merkmal für die ganze Reihe Pandanales betrachten. Nach Lau- 
RENT sollten die Juncaceen auch zu den Pflanzen mit Antipodenvermehrung gehören, was, wie 
wir gesehen haben, entschieden unrichtig ist. Die Vermutung Parws (Seite 26) hat sich also 
voll bestätigt. 

Dass ein Basalgewebe aus einem Tochterkern des Zentralkerns hervorgeht, ist auch nicht 
sehr gewöhnlich. Zwar scheint eine Endospermbildung, die auf die erste Kernteilung eine Zell- 
bildung folgen lässt und dann sukzessiv fortschreitet, mit steigender Zahl der diesbezüglichen 
Untersuchungen immer häufiger zu werden. (Vergl. z.B. SAMUELSSON und DAHLGREN). Das ba- 
sale Endosperm ist aber insofern etwas besonderes, als die Zellbildung, wenn man von einer 


Tom. L. 


“il 


Zur Kenntnis der Blütenentwieklung einiger Juncaceen. 29 


solchen wirklich sprechen kann, sich auf die erste Teilung des Endospermkerns beschränkt und 
die weiteren Kernteilungen einstweilen oder für immer nur freie Kerne liefern. Das basale En- 
dosperm stellt gewöhnlich einen vom übrigen Endosperm sehr gut abgegrenzten Komplex dar. 

Vor allem ist das basale Endosperm der Reihe Helobiae eigen, und es wird deshalb auch 
oft Helobiae-Endosperm genannt. Bei Sagittaria variabilis (ScHarrner), Limnocharis emarginata 
(HALL), Potamogeton natans (Hourerry), Ruppia rostellata (MurBrcK), Ottelia lancifolia (PALM) 
und anderen (siehe die ausfürlichen diesbezüglichen Darlegungen bei SAMUELSSON und Parw) 
wird bald nach der ersten Teilung des Zentralkerns um den einen Tochterkern und zwar ganz 
basal in unmittelbarer Nähe der Antipoden eine kleine Zelle gebildet. In einigen Fällen stellt 
diese Zelle endgültig das gesamte basale Endosperm dar, in anderen folgen Kernteilungen ein 
paar Mal. Das Gebilde bleibt aber immer einzellig und sehr bescheiden. Es geht auch ge- 
wöhnlich bald spurlos zu grunde. Basales Endosperm von demselben Typus ist weiter bei ein 
paar Nympheaceen nachgewiesen worden (zitiert nach Samveusson). Einen etwas abweichenden 
Typus bilden weiter T'landsia und einige Burmanniaceen (zitiert nach SAMUELSSON) und mehrere 
Saxifraga-Arten (JUEL, SAMUELSSON), bei denen im basalen Endosperm, das auch hier keine grös- 
seren Dimensionen erreicht, später Zellwände auftreten. Bei den Saxifraga-Arten ist die Bil- 
dung ausserdem sehr beständig, und noch im reifen Samen neben dem zentralen Endosperm, 
dem es sehr gleicht, sichtbar. (Siehe über basales Endosperm bei noch einigen Familien: Parx). 

Es besteht kein Zweilel, dass das basale Endosperm der Juncus-Arten dem bei den eigent- 
lichen Helobiaen, dem Sagittaria-Typus, am meisten ähnlich ist. Die Bildungsweise, die Dimen- 
sionen und die kurze Lebensdauer sind gemeinsam. Vielleicht kommen Kernteilungen bei dem 
Juncus-Endosperm etwas häufiger vor. Es ist aber nicht ganz klar, ob alle die später entstan- 
denen, stark chromatischen, runden Körperchen wirklich als Kerne aufzufassen sind. Gute Kerne 
sind eigentlich nur die zwei ersten, die Tochterkerne des basalen Endospermkerns. 

Das basale Endosperm der Zuzula-Arten repräsentiert dagegen einen Typus, der nicht frü- 
her bekannt sein dürite. Während bei den Juncus-Arten nach der ersten Teilung des Zentral- 
kerns der basale Kern durch eine sehr deutliche Zellwand von dem oberen und grössten Teil 
des Embryosacks abgetrennt wurde (siehe z. B. Tafelfig. 19 u. 20), können bei Luzula irgend- 
welche Zellwände nicht entdeckt werden. Der basale Endospermkern scheint ebenso wie der 
zentrale frei zu bleiben, erweist sich aber später doch als der Mutterkern des basalen Endo- 
sperms. Seine beiden Tochterkerne sammeln um sich dichtes Plasma (bei L. p?losa sogar in zwei 
Portionen, (siehe Fig. 36 u. 37), das zwar gegen die übrigen Teilen des Embryosacks gut abge- 
grenzt, jedoch nicht von Zellwänden oder wahrnehmbaren Membranen umschlossen wird.  Viel- 
leicht existieren unscheinbare Plasmahäute, was die Erscheinung analogen Verhältnissen z. B. bei 
einigen Potamogeton-Arten, Ottelia u. s. w., wo keine Membranen, aber nur Plasmahäute die 
Zellbildung begleiten, nähert. 

War also schon die Genesis des basalen Endosperms bei Luzula vom Normaltypus ab- 
"weichend, so ist es die weitere Entwicklung noch mehr. Wenigstens der eine der beiden basa- 
len Endospermkerne tritt nämlich bald in fleissige Teilung, so dass eine grosse Menge von ziem- 
lich guten Kernen entsteht. Die Kernteilung ist aber höchst wahrscheinlich amitotisch und wird 
nie von einer Wandbildung begleitet. Die Kerne mit ihrem Plasma, das stets an Masse wächst, 
schmiegen sich an die Wand des unteren Teils des Embryosacks und bilden hier einen hohlen 


N:o 4. 


30 WIDAR BRENNER. 


Schlauch, der immer grösser wird und schliesslich auch mit Kernen und Plasma gefüllt wird. 
Das basale Endosperm hat somit eine bedeutende Grösse erreicht (siehe Taïfelfig. 36).1 Dann 
scheint es ziemlich schnell resorbiert zu werden, denn im reifen Samen sieht man davon keine Spur. 

Es ist kaum zu leugnen, dass ein basales Endosperm von oben beschriebener Gestaltung 
weniger Berührungspunkte mit dem gewöhnlichen Ze/obiae-Endosperm aufzuweisen hat als mit 
dem zentralen Endosperm, so wie dies normal auch bei den Juncaceen gebildet wird. Der ba- 
sale Endospermkern vermehrt sich ebenso gut wie der zentrale durch freie Kernbildung; nur 
kommen im basalen Endosperm auch später nicht Zellwände zustande. Das basale Endosperm 
formt sich ganz wie das zentrale zu einem Endospermschlauch, der dann allmählich gefüllt und 
solide wird. Man fragt sich unfreiwillig: was hat diese doppelte Endospermbildung nach dem- 
selben Muster zu bedeuten? Sollte das basale Endosperm doch für eine zweite Eizelle (etwa 


D 


die eine Antipode nach der Hypothese von Porscx) geplant sein? 


Ich bin nieht in der Lage gewesen, durch eingehende Literaturstudien klarzulegen, wie 
häufig spezielle Basalgewebe nuzellaren Ursprungs im Pflanzenreich sind. Die Arbeiten von 
ASPLUND und STOLT zeigen aber schon, dass solche von sehr verschiedenem Bau und wahrschein- 
lich auch verschiedener Funktion vorkommen künnen. 

Bei den Luzula-Arten fällt zur Zeit bald nach der Befruchtung ein dünnwandiges, nahrungs- 
reiches Gewebe im unmittelbaren Anschluss an die Antipoden sehr in die Augen, (Siehe Fig. 39). 
Mit der von van TIEGHEM genannten Hypostase hat es offenbar nichts zu tun (eine solche wird 
später von tiefer liegenden Zellkomplexen gebildet) und zweifelhaft ist, ob es wenigstens seiner 
Funktion nach mit dem Postament der Ranunculaceen oder dem sonst gleich gelegenen Gewebe 
bei ASPLUNDS Centranthus macrosiphon (Fig. 54, Seite 55) verglichen werden kann. Am meisten 
scheint es mir mit der von Srorr beschriebenen Bildung bei Halenia elliptica übereinzustimmen. 
Ihm sind offenbar nahrungsphysiologische Funktionen zuzuschreiben. Wenn die Endosperm- 
bildung in Gang gekommen ist, werden die Zellen rasch entleert und schrumpfen wie schon frü- 
her die ihnen am nächsten basalwärts liegenden Nuzelluszellen zusammen. 


Der Embryo. 


Die befruchtete Eizelle umgibt sich wie gewöhnlich mit einer Membran und bekommt bei 
den Juncus-Arten ein Aussehen, wie die Tatelfig. 18 wiedergibt. Im Basalteil der Zelle, der 
übrigens etwas abgeschnürt ist, findet sich eine räumliche Vakuole. Der grosse Kern wird bei- 
nahe ganz vom Nukleolus ausgefüllt. Die Tafelfigur 29 bildet eine befruchtete Eizelle von 
Distichia ab. Das Bild könnte ebenso gut für Luzula gelten. 


! Ein so mächtiges basales Endosperm ist wohl kaum früher beobachtet worden. Meines Wissens 
kommen unter den sicheren Fällen die grössten bei Butomus (PALM Seite 21) mit mehr als 10 Kernen und 
Saxifraga mit zellulärem basalem Endosperm vor. Wenn der Basalapparat der Araceen sich als Endosperm- 


gewebe erweisen sollte, wetteifert er in vielen Fällen an Grösse mit Luzula. 


Tom. L. 


Zur Kenntnis der Blütenentwieklung einiger Jnnceaceen. 31 


Nach der Befruchtung bleibt die Eizelle eine kürzere oder längere Zeit in Ruhe. Die En- 
dospermbildung eilt voran, und erst wenn diese eine gewisse Stufe erreicht hat, teilt sich die 
Eizelle. 

Bei den Juncus-Arten scheint dies relativ früh einzutreffen. So habe ich z. B. bei J. bu- 
fonius eine Samenanlage gefunden, wo das zentrale Endosperm 16 Kerne zählte und die Teilung 
der Eizelle sich in Telophase befand, Bei den Zuzula-Arten ist die Entwicklung der Eizelle 
und des ganzen Embryos sehr verspätet. Das zentrale Endosperm kann 60 oder mehr Kerne 
zählen, das basale 18 und die ganze Samenanlage eine bedeutende Grösse erreicht haben, ehe 
die Eizelle sich zum ersten Male teilt. Auch später ist der Embryo noch in Samenaniagen von 
beinahe definitiver Grösse wegen seiner Kleinheit und Zurückgebliebenheit nicht immer ganz 
leicht zu entdecken. 

Die Zellteilung erfolgt wie gewöhnlich so, dass die Kernspindel in der Längsrichtung des 
Embryosacks zu liegen kommt, und die neue Wand folglich transversal wird. Die Tafelfigur 21 
bildet eine Telophase ab. Bei der Teilung treten häufig extranukleäre Nukleolen in variierender 
Zahl auf. 

Die weitere Entwicklung des Embryos habe ich nicht im Einzelnen verfolet. Es scheint, 
als ob die von Laurent gegebene Darstellung richtig wäre. Durch die erste Zellteilung ent- 
stehen teils eine relativ kleine Suspensorzelle, teils 
eine Scheitelzelle (Tafelfig. 22). Die Suspensor- 
zelle teilt sich dann weiter und bildet bei den 
Juneus-Arten drei Zellen, bei Zuzula nach Lau- 
RENT vier, von welchen die oberste die Wurzelan- 
lage bilden soll. Über die Embryobildung bei 
Juncus und Zuzula sei auf die Arbeiten von LAU- 
RENT und FLEISCHER verwiesen: Die Taielfiguren 
23, 26 und 27 bilden einige Stadien bei Juncus ab. 

Im reifen Samen ist der Embryo relativ we- 
nig differenziert. Er besteht aus einer Wurzelan- 
lage und einem grossen Keimblatt. Das Gewebe 


ist auch weniger ausdifferenziert. Das Leitungs- 
gewebe ist nur angedeutet. Eine Rinne an der Fig. 40. J. trifidus.  Reifer Same. Vergr. 60. 
Basis des Keimblattes ist vorhanden, aber die Fig. 41. L. pilosa. Reifer Same. Vergr. 30. 
Plumula ist noch nicht ausgebildet. Die Figuren 

40 u. 41 bilden zwei reife Samen ab: von Juncus trifidus, wo der Embryo relativ gross ist, und 
von Luzula pilosa mit im Verhältnis zum Samen kleinem Embryo. 


N:o 4. 


Zusammenfassung und Schluss. 


Die obige Untersuchung hatte zum Zweck bei den Juncaceen die Vorgänge klarzulegen, 
die mit der Entwicklung des Pollens und des Embryosacks zusammenhängen. Als Material dien- 
ten vor allem von Juncus-Arten Juncus bufonius, squarrosus, compressus, lamprocarpus und fili- 
formis, von Luzula-Arten L. pilosa, campestris und multiflora. Ausserdem wurden noch einige 
weitere Juneus- und Luzula-Arten, sowie die alpinen, südamerikanischen Juncaceen Distichia 
muscoides und Oxychloë andina herbeigezogen. Die Untersuchungsmethodik war die gewöhnliche: 
Fixierung in meist Juezs Zinkflüssigkeit oder Canwovs Flüssigkeit, Einbettung in Paraffin, 
Schneiden mit Mikrotom, Färbung mit HAIDENHAINS Hämatoxylin und Lichtgrün, Einschliessung 
in Canadabalsam. 

Die Entwicklung der Staubfäden bietet nichts Bemerkenswertes. Das Tapetum 
ist dünn und wird aufgelöst, ohne dass ein Periplasmodium zustande kommt. Die Pollenkörner 
bleiben dauernd zu Tetraden vereinigt. 

Die Spermatogenese hat einige interessante Einzelheiten aufzuweisen. Namentlich bei 
einigen Luzula-Arten, campestris und multiflora, deren diploide Chromosomenzahl 18, die haploïde 
9 beträgt, sind die Chromosomen schon in der Äquatorialplatte der heterotypischen Teilung voll- 
kommen frei, in diploider Zahl vorhanden. In der Anaphase erfolet eine Reduktion, aber in den 
Äquatorialplatten der homöotypischen Teilung treten wieder 18 freie Chromosomen auf. Diese 
Zahl wird noch einmal in der homöotypischen Anaphase reduziert. Wenn die Tetradkerne sich 
zur Teilung vorbereiten, sieht man wenigstens bei LL. multiflora in der Prophase sowohl Kerne 
mit 9 langen, oft eingeschnürten Chromosomen als auch solche, die sowohl lange als kurze Chro- 
mosomen in variierenden Zahlen enthalten. Man hat den Eindruck, als ob die Chromosomen 
sich in der Prophase durch Querteilung ins Doppelte vermehrten. Dasselbe wiederholt sich 
spüter, wenn der generative Kern sich teilt. — Die Pollenkórner enthalten drei Kerne, einen 
grossen vegetativen und zwei kleinere Spermakerne. 

Der Embryosack wird nach dem Normal-Typus (Parw) gebildet d. h. die basale 
Tetradzelle verdrüngt die oberen und wird zum Embryosack. Bei der Tetradteilung ist wieder 
eine frühzeitige Verdopplung der Chromosomen beobachtet worden, so dass die heterotypische 
Äquatorialplatte 18 freie Chromosomen enthält. Der Embryosack entwickelt sich wie gewöhnlich 
zu einem 7-kernigen. Die Polkerne verschmelzen in der Regel vor der Befruchtung. 

Die Befruchtung war schwer zu beobachten. Der Pollenschlauch dringt, bei Luzula 
von einem schönen Obturator geleitet, in den Embryosack. An der Stelle der einen Synergide 

Tom. L. 


-— 


Zur Kenntnis der Blütenentwicklung einiger Juncaceen. 33 


bildet er eine stark chromatische Masse, in der mehrere, oft zwei Chromatinkórperchen wahrge- 
nommen werden können. Weder die Befruchtung des Eikerns, noch die des Zentralkerns ist 
sicher beobachtet worden. 

Nach der Befruchtung verschwindet auch die zweite Synergide bald und die Eizelle 
bekommt eine Membran. Die kleinen Antipoden sind sehr beständig, teilen sich aber nicht. Der 
chalazal gelegene Zentralkern teilt sich sofort. Aus dem oberen Tochterkern wird das zentrale, 
aus dem unteren das basale Endosperm gebildet. 

Das zentrale Endosperm entsteht durch freie Kernteilungen. Krst relativ spät 
kommen in ihm Zellwände zur Ausbildung. 

Das basale Endosperm entsteht bei den Juncus-Arten so, dass der basale Endo- 
spermkern sich mit einer Membran umgibt, eine kleine Endospermzelle bildend. In ihr finden 
später einige freie Kernteilungen statt. Das basale Endosperm bleibt sehr bescheiden und ver- 
schwindet bald. — Bei Zuzula wird der basale Endospermkern durch keine Membran abge- 
trennt; er teilt sich weiter und erzeugt durch freie Kernbildung ein basales Endosperm von be- 
trächtlicher Grösse. Dieses ist anfangs hohl, schlauchförmig wie das zentrale Endosperm, wird 
dann gefüllt und solide, um später gänzlich resorbiert zu werden. 

Der Embryo wird wenigstens bei Zuzula sehr spät ausgebildet. Er wird von einer 
unbedeutenden Suspensorzelle getragen. Noch im reifen Samen bleibt der Embryo relativ schwach 
differenziert. 


Wollte man nun die in der obigen Arbeit dargelegten Tatsachen zu verwandtschaftlichen Spe- 
kulationen verwerten, so muss zuerst festgestellt werden, dass die Familie Juncaceae ziemlich ein- 
heitlich und von offenbar nahe verwandten Gliedern gebildet ist. Zwar sind zwischen den Gat- 
tungen Juneus und Luzula einige nicht unbedeutende Verschiedenheiten vorhanden, die mit dem 
Bau des Fruchtknotens anfangen und mit der Ausbildung des basalen Endosperms abschliessen. 
Die habituell vom Juncacee-Typus so abweichende südamerikanische Gattung Distichia hat sich 
als eine gute Juncacee erwiesen, die den Juncus-Arten sehr nahe steht, und dasselbe ist wohl, 
soweit die Untersuchungen ausreichen, auch von Oxychloë andina zu behaupten. 

Was die Beziehungen der ganzen Familie zu den übrigen Familien und Pflanzenordnungen 
betrifft, so scheint besonders die Entdeckung eines basalen Endosperms von wenigstens bei den 
Juneus-Arten treuem Helobiae-Typus die Juncaceen dieser Reihe zu nähern. Bedeutende Ver- 
schiedenheiten bestehen jedoch. Die Helobiales haben ein Periplasmodium, die Juncaceen nicht, 
jene besitzen eine riesenhafte Suspensorzelle, diese eine sehr bescheidene u. s. w. Mit den ty- 
pischen Liliaceen bestehen aber, soweit ich sehen kann, entwicklungsgeschichtlich noch weniger 
Berührungspunkte. Wie es um die von Werrsrein und PALM vermutete Verwandtschaft mit der 
Reihe Ænantioblastae steht, ist einstweilen noch schwer zu entscheiden, da künftige sehr er- 
wünsehte Untersuehungen erst ein klareres Licht auf die Entwicklungsgeschichte dieser sehr 
mangelhaft bekannten Reihe werfen müssen. 


N:o 4. 5 


ASPLUND, E. 


BRANDzZA, M. 
BucHEnAt, F. 


CAMPBELL, D. H. 


E] 


DAHLGREN, K. V. 


FISCHER, A. 


FLEISCHER, H. EK. 


Hanse Cr 
Herrwi&, O. 


Y 


Horrerny, G. M. 


Juan, lat, (0) 


LAURENT, M. 


MURBECK, S. 


PALM, B. 


0. 


Zitierte Literatur. 


(1920) Studien über die Eutwicklungsgeschichte der Blüten einiger Va- 
lerianaceen. K. Sv. Vet.-Ak. Handl. Bd. 61 N:o 3. 

(1891) Développement des téguments de la graine. Rev. gen. bot. tome 3. 

(1877) Ueber den Querschnitt der Kapsel der deutschen Jwneus-Arten. 
Flora Bd. 60. 

(1899) Notes on the structure of the embryo-sac in Sparganium and Ly- 
sichiton. Bot. Gaz. vol. 27. 

(1911) The Embryo sac of Pandanus. Ann. Bot. vol. 

(1915) Über die Überwinterung der Pollensäcke und der Samenanlagen bei 

Svensk bot. tidskr. Band 9. 

(1916) Zytologische und embryologische Studien über die Reihen Primu- 

K. Sv. Vet.-Ak. Handl. Bd 56 N:o 4. 

(1880) Zur Kenntnis der Embryosackentwicklung einiger Angiospermen. 
Zeitschr. f. Naturwissenschaft herausgegeb. v. d. 
Ges. Jena. Bd. 7 (14). 

(1874) Beitrige zur Embryologie der Monokotylen und Dikotylen. Diss. 
Leipzig. 


25. 
einigen Angiospermen. 
lales und Plumbaginales. 


Med-Naturwiss. 


(1902) An embryological Study of Limnocharis emarginata. Bot. Gaz. vol. 33. 

(1902) Allgemeine Biologie, Aufl. V. Jena. 

(1901) Ovule and Embryo of Potamogeton natans. Bot. Gaz. vol. 31. 

(1907) Studien über die Entwicklungsgeschichte von Saxifraga granulata. 
Nov. Acta Soc. Sci. Upsaliensis (4), 1. 

(1903) Sur la formation de l'oeuf et la multiplication d'une antipode dans 

C. R. tome 137, 1. 

(1903) Sur le développement de l'embryon des Joncées. Daselbst. 

(1904) Recherches sur le développement des Joncées. 
sér. VIII, tome 19. 

(1902) Ueber die Embryologie von Ruppia rostellata Koch. K. Sv. Vet. 
Ak. Handl. Bd- 36. 

(1915) Studien über Konstruktionstypen und Entwicklungswege des Em- 

Diss. Stockholm. 


les Joncées. 


Ann. sci. nat. bot. 


bryosackes der Angiospermen. 


Tom. L. 


Zur Kenntnis der Blütenentwicklung einiger Juncaceen. 39 


(1907) Versuch einer phylogenetischen Erklärung des Embryosackes und 
der doppelten Befruchtung der Angiospermen. ‚Jena. 

(1913) Studien über die Entwicklungsgeschichte der Blüten einiger Bicor- 
nes-Typen. Sv. bot. tidskr. Bd 7. 

(1897) Contribution to the life history of Sagittaria variabilis. Bot. Gaz. 


Ponscn, 0. 
SAMUELSSON, (x. 


SCHAFFNER, J. H. 


vol. 23. 
SCHÜRHOFF, P. N. (1920) Die Antipodenvermehrung der Sparganiaceae. Ber. bot. Ges. Bd 38. 
Stort, K. A. H. (1921) Zur Embryologie der Gentianaceen und Menyanthaceen. K. Sv. 


Vet.-Ak. Handl. Bd. 61. N:o 14. 

(1916) Zur Antipodenentwicklung der Compositengattungen Cosmidium und 
Cosmos. Sv. bot. tidskr. Bd. 10. 

v. WevrsTEIN, R. R. (1911) Handbuch der Systematischen Botanik. Aufl. II, Leipzig u. Wien. 


TÄCKHOLM, G. 


N:o 4. 


15: 


16. 


n2 © © 
5 À © 


JOIE 


Erklärung der Tafelfiguren. 


Oxychloë andina. Querschnitt durch drei Antheren und den Griffel eines sterilen Pistills. 
Vergr. 60. 

Luzula multiflora. Aquatorialplatten der heterotypischen Teilung bei der Spermatogenese. Die 
diploide Zahl (18) freier Chromosomen ist vorhanden. Vergr. 1000. 

L. multiflora. Anaphasen der heterotypischen Teilung bei der Spermatogenese. Vergr. 1000. 

Juncus lamprocarpus. Junge Samenanlage mit ungeteilter Embryosackmutterzelle. Vergr. 300. 

J. bufonius. Junge Samenanlage mit l-kernigem Embryosack und 3 zusammenfliessenden Me- 
gasporen. Vergr. 350. 

J. squarrosus. Junge Samenanlage. Kernspindel der homóotypischen Teilung. Vergr. 350. 

J. lamprocarpus. Junge Samenanlage mit 2-kernigem Embryosack. Die verdrängten Megaspo- 
ren noch sichtbar. Vergr. 350. 

J. squarrosus. Samenanlage mit 4-kernigem Embryosack. Eine Megaspore ist als eine grosse, 
unten abgerundete Bildung im Mikropylarende erhalten. Vergr. 350. 

J lamprocarpus. Samenanlage mit 8-kernigem Embryosack und zusammenschmelzenden Pol- 
kernen. Vergr. 300. 

J. bufonius. Samenanlage mit 7-kernigem Embryosack: 2 Synergiden, Eizelle, Zentralkern 
und 3 Antipoden. Vergr. 300. 

J. compressus. Samenanlage mit befruchtungsreifem oder eben befruchtetem Embryosack. Man 
sieht 1 Synergide, die Eizelle und den grossen basal gelegenen Zentralkern. Vergr. 250. 

J. compressus. Samenanlage mit Befruchtungsstadium. Die Eizelle und die übergebliebene 
Synergide von aus dem Pollenschlauch stammenden Chromatinanháufungen umgeben. 
Vergr. 400. 5 

J. compressus. Samenanlage kurz nach der Befruchtung. Die Eizelle ungeteilt, der Zentralkern 
hat sich in einem unteren, basalen und einem oberen zentralen Endospermkern geteilt, 
die Antipoden sind erhalten, Vergr. 250 

J. compressus. Samenanlage mit Eizelle und basaler Endospermzelle, beide von deutlichen Mem- 

branen umgeben. Ausserdem ein paar Kerne des zentralen Endosperms. Die Antipoden 

erhalten. Vergr. 250. 

J. filiformis. Junger Samen. Die Samenschale in Bildung, die Eizelle ungeteilt, 2-kerniges 
basales Endosperm. Vergr. 150. 

J. bufonius. Befruchtete Eizelle in Ruhe. Vergr. 700. 

J. bufonius. Basale Endospermzelle mit verschwindendem Kern. Deutliche Membrane. Zwei 
Antipoden sichtbar. Vergr. 700. 

J. bufonius. Basale Endospermzelle. Vergr. 700. 

J. bufonius. Die erste Teilung der Eizelle; Telophase. Vergr. 700. 

J. bufonius. 2-zelliger Proembryo. Vergr. 700. 


Tom. L. 


EC 


T—————— ———————— — 2. AL  n 


ap. 


N:o 4. 


Zur Kenntnis der Blütenentwicklung einiger Juncaceen. 37 


J. lamprocarpus. Junger Embryo mit zentralem Endosperm. Vergr. 700. 

J. compressus. ?-kerniges basales Endosperm; die 3 Antipoden erhalten. Vergr 700. 

J. filiformis. Älteres basales Endosperm mit degenerierenden Antipoden. Vergr. 300. 

J. bufonius. Querschnitt durch einen jungen Samen. Embryo mit zentralem Endosperm, in wel- 

chem Zellwände angelegt werden. Vergr. 300. 
J. bufonius. Querschnitt durch den im Fruchtkapsel liegenden, beinahe reifen Samen. Vergr. 150. 
Distichia muscoides. Succulente Samenanlage mit 2-kernigem Embryosack und 3 verdrängten Me- 
gasporen. Vergr. 350. 

Distichia muscoides. Befruchtete Eizelle. Vergr. 700. 

L. pilosa. Junge Samenanlage mit ungeteilter Embryosackmutterzelle. Vergr. 300. 

L. pilosa. Junge Samenanlage mit l-kernigem Embryosack und 3 verdrängten Megasporen. 

Vergr. 300. 

L. pilosa. 4-kerniger Embryosack. Vergr. 300. 

L. campestris. a. Befruchtungsreife oder eben befruchtete Samenanlage mit Obturator, Eizelle und 
ungeteiltem Zentralkern. Vergr. 120. b. Derselbe Zentralkern mit eigentümlichem Nukleolus. 
Vergr. 1000. 

. pilosa. Relativ junges basales Endosperm. Vergr. 250. 

campestris. Schlauchfürmiges basales Endosperm. Vergr. 250. 

campestris. Altes, basales Endosperm mit zahlreichen, blasenähnlichen Kernen und grossen 

Nukleolen. Vergr. 250. 
multiflora. Der untere Teil eines reifen Samens, die unter dem zentralen Endosperm liegende 


bHE 


SN 


Hypostase zeigend. Vergr. 60. 


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Acta Soc Sc: Fenn. Tom. L NA 


Werner u. Winter, G. m. b. H., Frankfurt a. M. 


ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 5. 


ÜBER DIE EIGENSCHAFTEN ANALYTISCHER 
FUNKTIONEN IN DER UMGEBUNG EINER 
SINGULAREN STELLE ODER LINIE 


VON 


F. UND R. NEVANLINNA 


(Am 22. November 1922 von E. Lindelöf und J. W. Lindeberg mitgeteilt) 


HELSINGFORS 1922 


RE AN | SEIT FE GEO NT ee ML 7 
, 


HELSINGFORS 1922 
DRUCKEREI DER FINNISCHEN LITTERATURGESELLSCHAFT 


Einleitung. 


Die vorliegende Arbeit ist der Darstellung und den wichtigsten Anwendungen einer all- 
gemeinen funktionentheoretischen Methode gewidmet. Diese Methode besteht im Wesentlichen 
in einer möglichst vollständigen Verwertung der einfachen Tatsache, dass der Logarithmus 
des absoluten Betrages einer innerhalb eines gewissen Gebietes meromorphen Funktion f(x) 
eine eindeutige harmonische Funktion ist, die in den Nullstellen und Polen der Funktion 
f(x) negativ bzw. positiv logarithmisch unendlich wird’). Behandelt man diese harmonische 
Funktion, log f(x)!, nach bekannten, in geeigneter Weise verallgemeinerten potentialtheore- 
tischen Methoden, so ergeben sich einige fundamentale Gleichungen und Ungleichungen allge- 
meiner Art, aus denen sich eine Reihe funktionentheoretischer Prinzipien und Sätze fast un- 
mittelbar herleiten lassen. 

Schon aus der Natur der angewandten Methode geht hervor, dass die Resultate dieser 
Arbeit etwas über die allgemeinen Beziehungen aussagen, welche zwischen dem Verhalten des 
absoluten Betrages einer analytischen Funktion auf dem Rande eines Gebietes einerseits, uud 
der Grósse desselben innerhalb des Gebietes anderseits bestehen, wobei in einigen Sätzen auch 
die Verteilung der Nullstellen und Pole der Funktion Beachtung findet. "Teils sind unsere 
Ergebnisse schon früher bekannt, jedoch meistens in einer unvollstindigen und mit unnótigen 
Einschränkungen behafteten Form, was seinen Grund darin hat, dass sie bisher mittels spe- 
zieller und manchmal künstlicher Methoden hergeleitet wurden, die oft dem Wesen der Sache 
fremde Einschrünkungen nach sich zogen. Dagegen erscheinen diese Resultate in der in dieser 
Arbeit gegebenen Behandlung — als natürliche, sich selber darbietende Ergebnisse einer ein- 
zigen und allgemeinen Methode — in einer dem Wesen der Sache entsprechenden Allgemein- 
heit und Präzision, die meistens endgültig sein dürfte. 


1) Die Hauptresultate dieser Arbeit haben wir in zwei Vorträgen auf dem 5. skandinavischen Mathe- 
matikerkongress in Helsingfors 1922 kurz dargestellt (vgl. die Verhandlungen des Kongresses). Während 
der Redaktion unserer Arbeit wurden wir darauf aufmerksam gemacht, dass Herr CARLEMAN schon früher 
die von uns entwickelte Methode zum Beweis einiger funktionentheoretischen Sätze benutzt hat (vgl. Sur les 
fonctions inverses des fonctions entières d'ordre fini, Arkiv för mat., astr. o. fys. Bd. 15. N:o 10, 1920, und Sur 
un théorème de M. Denjoy, Comptes rendus, t. 174, 1922, p. 373). Es scheint uns jedoch, dass die von Herrn 
CARLEMAN behandelten Probleme von so spezieller Art sind, dass die grosse Tragweite der angewandten 


Methode nicht genügend hervorgeht. 


4 F. und R. NEVANLINNA. 


Im ersten Abschnitt wird mit Hilfe der GrEEnSchen Integraltransformationsformel eine 
allgemeine Beziehung hergeleitet, die das Fundament der ganzen Abhandlung bildet. Als 
wichtiesten Spezialfall ergibt diese Beziehung eine Formel, die als natürlichste und allgemeinste 
Form des bekannten Jensenschen Satzes aufzufassen ist. Aus diesem verallgemeinerten 
JENSENschen Satz wird alsdann eine allgemeine funktionentheoretische Ungleichung hergeleitet, 
die den natürlichen Ausgangspunkt für sämtliche Untersuchungen des zweiten Abschnittes bildet. 

Im zweiten Abschnitt wird mit Hilfe der obenerwähnten allgemeinen Ungleichung zuerst 
ein funktionentheoretisches Prinzip bewiesen, das in möglichst allgemeiner und präziser Weise 
eine früher von mehreren Autoren behandelte Fragestellung beantwortet; dieses Prinzip, wel- 
ches als speziellen Fall auch eine Verallgemeinerung des bekannten HApAMARDschen Dreikreis- 
Satzes enthält, dürfte von Bedeutung sein bei Behandlung von Fragen, wo es sich um das 
Verhalten einer analytischen Funktion in der Nähe einer singulären Stelle oder Linie handelt. 
Zur Erläuterung des Prinzips wird ein neuer einfacher Beweis eines wichtigen Satzes von 
MowTEL und LINDELÖF über die Konvergenzwerte beschränkter Funktionen gegeben. Als 
zweite Anwendung der erwähnten allgemeinen funktionentheoretischen Ungleichung wird ein 
allgemeines Kriterium für die Beschränktheit einer innerhalb eines beliebigen Gebietes regulä- 
ren Funktion gegeben. Dieses Kriterium ergibt als spezielle Fälle und in verallgemeinerter 
und verschärfter Form diejenigen Erweiterungen des Prinzips des Maximalmoduls einer ana- 
lytischen Funktion, welche von PHRAGMEN und LINDELÖF in einer bekannten Arbeit gegeben 
wurden. Schliesslich werden in diesem Abschnitt einige Untersuchungen allgemeiner Art an- 
gestellt, welche u. A. eine Erweiterung des bekannten Farouschen Satzes über die Existenz 
von Randwerten einer innerhalb eines Kreises beschränkten Funktion liefern. 

Im dritten und letzten Abschnitt wird die im ersten Abschnitt hergeleitete Grund- 
formel zum Beweis einer Reihe von allgemeinen Sätzen angewendet, welche die Beziehungen 
zwischen dem Verhalten des absoluten Betrages einer analytischen Funktion im Innern und 
auf dem Rande eines Gebietes und der Verteilung der Nullstellen und Pole der Funktion 
behandeln. Insbesondere heben wir die Sätze hervor, welche hinreichende Bedingungen für 
das identische Verschwinden einer analytischen Funktion geben; durch diese Sätze haben, 
unseren Erachtens, einige früher nur unvollständig erkannte Sachbestände ihre endgültige und 
sachgemässe Formulierung und natürlichste Begründung gefunden. 


Tom. L. 


Uber die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung evner singul. Stelle oder Lime. 5 


I. Die grundlegenden Formeln und Ungleichungen. 


1. Im Folgenden bezeichnet G ein ein- oder mehrfach zusammenhängendes Gebiet, dessen 
Rand I aus einer endlichen Anzahl regulärer analytischer Kurvenstücke zusammengesetzt ist. 
Sei f(x) eine innerhalb und auf dem Rande / des Gebietes G eindeutige!) meromorphe Funk- 
tion der komplexen Variable x — c +it=rei”. Die Nullstellen und Pole der Funktion innerhalb 
des Gebietes seien a4,,05,..., ån bzw. bi,ba,..., bu; der Einfachheit wegen nehmen wir an, 
dass die Funktion auf dem Rande I regulär und von Null verschieden ist. Wir umgeben die 
Nullpunkte a, und die Pole b, mit kleinen Kreisen y(a,) bzw. y(b;)) vom Radius e und denken 
uns diese Kreisscheiben aus dem Gebiet G entfernt; innerhalb und auf dem Rande des so 
entstandenen Bereiches G, ist dann log f(x)| eine eindeutige reguläre harmonische Funktion 
und somit Alog|f(z)|- 0, wo A den Laplaceschen Ausdruck 


gb eR f à ING 
dat ETT 2 de) Tg gt 


bezeichnet. 

Sei ferner 4(z) eine beliebige reelle Funktion, bezüglich deren vorläufig nur angenommen 
werden soll, dass sie nebst ihren partiellen Ableitungen der zwei ersten Ordnungen innerhalb 
und auf der Berandung des Gebietes G stetig ist. 

Nach diesen Festsetzungen werden wir von der Greenschen Integraltransformationsformel 


| (uAv— vAu)do = | (wo, 15) ps 


Gebraueh machen, welche das Flüchenintegral links in das dem Rande entlang genommene Li- 
nienintegral rechts überführt. Hierbei bezeichnet do das Flächenelement, ds das Bogenelement 


ee : : : 
des Randes und 5- die nach der inneren Randnormale genommene Ableitung. Bringt man 


diese Transformationsformel im oben definierten Gebiet G, zur Anwendung indem man u= log |f 
und v=4 setzt, so ergibt sich zunächst, da Alog|f|=0 innerhalb G,. 


[wn i Aids — | doc A Ag: ) ds 
Go 7 


(1) p-—m s vn 
qa ; Ó d Ó Ó 
— Y -f ogiri33 —2 S logi tds D [wsin 2-22 18 1rDas. 
AZ y(a,) "=" 10) 


Schreibt man «= a, + oc/?, so ist, wenn die Ordnung der Nullstelle a, mit h, bezeichnet 
wird, 
log |f()| — h,108 o + e, (v), 
wo w,(x) eine in der Umgebung des Punktes a, regulire harmonische Funktion bezeichnet. 
Auf dem Kreis y(a,) ist demnach 


1) In der Tat genügt für das Folgende, dass der absolute Betrag der Funktion eindeutig ist. 


N:o 5. 


6 F. und R. NEVANLINNA. 


h 0o, ox 204 


on = og |f] = eg Ifi P 0p" on do 
und somit 
J os 17 2-2 2 108 fods- 
y(a,) 
2 Ir 
Welse | Mao, | Ma, ortos 0 I Mn 4 al 
0 0 


Hieraus ist zu ersehen, dass das Integral links für o — O0 sich dem Grenzwert — 2h,4(a,) 
nähert, denn das erste und dritte Glied rechts verschwinden hierbei, während das mittlere 
Glied den obengenannten Grenzwert liefert. 

Eine ähnliche Überlegung zeigt, dass für o — 0 


| (log [FE —2; ° log| Í )ds — 2xk,4(b,), 
y(b,) 


falls k, die Multiplizitit des Poles b, bedeutet. Folglich erhalten wir aus (1) für o — 0 


Dia) D 16) = 


^ Ju [(z) AA) do + , = ea 2(8) log f (8) ) ds, 


on 
o € den Rand I durchläuft und die Summen links über sämtliche Nullstellen und Pole der 
Funktion f(x) innerhalb G, mit Beachtung der respektiven Multiplizitäten, zu erstrecken sind. 
Diese Formel wird der Ausgangspunkt sämtlicher Untersuchungen dieser Arbeit sein. 


9. Bei den Anwendungen der oben hergeleiteten fundamentalen Formel kommt es vor 
allem darauf an die, bis auf gewisse allgemeine Stetigkeitseigenschaften, willkürliche Hilfsfunk- 
tion A(x) in zweckmässiger Weise festzulegen. Diese Wahl wird je nach den Umständen und 
verfoleten Zwecken verschieden ausfallen; indessen wollen wir in diesem Artikel, vorläufig ohne 
Rücksicht auf bestimmte Anwendungen, zwei Spezialfille der Formel (2) behandeln, welche 
an sich von grossem Intresse sind. 

Nimmt man 4(z)—1, so geht die Formel (2) über in 


[2 1e\r® as, 


DT 


1 


27 


h—k-— 


wo h und k die Anzahl der Nullstellen bzw.:Pole der Funktion f(x) bezeichnen. Nun ist ge- 
mäss der Cauchy-Riemannschen Gleichungen 5 log |f — — 2 (arg f) und wir erhalten somit 


h—k- » LIC 
& 


a 
eine Relation, welche das Argumentprinzip der Funktionentheorie zum Ausdruck bringt. 

Von erósserem Intresse ist diejenige allgemeine Formel, zu der man gelangt, wenn in (2) 
Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. fj 


für A(&) die Greensche Funktion g(x,xs) des Gebietes G, mit dem Pol in einem beliebigen 
inneren Punkt z,, eingesetzt wird. Diese Funktion ist bekanntlich durch folgende Eigen- 
schaften eindeutig bestimmt: wird æ= 2, +oe'* gesetzt, so ist im Inneren des Gebietes G 


1 
9(&, To) — log ^ + ©, 


wo e eine in dem ganzen Gebiet eindeutige und reguläre harmonische Funktion ist; auf dem 
Rande I ist g(&,&)= 0. Falls man also eine kleine Kreisumgebung vom Radius o des Punktes 
zy aus dem Gebiet G entfernt, so kann die Formel (2) in dem so entstandenen Bereich für 
A(v)- g(x,x,) angewendet werden; lässt man hierauf o unbeschränkt gegen Null abnehmen. so 
ergibt sich hieraus nach einer der oben S. 6 durchgeführten ähnlichen Überlegung 


, | ; il MO e. 
log |f(z))| = — D ga, vo) + I, 9 (dy, 20) + g^ frog fll Erde. 
jf: 


Wird die zur g(£,x,) konjugierte Funktion mit —h(E,x,) bezeichnet, so ist 


og _ oh, 


on ds 
Ferner ist nach der bekannten Symmetrieeigenschaft der Greenschen Funktion g(p, q) = g(q. p). 


Wenn man schliesslich statt x, einfach x schreibt, so erhält man in dieser Weise die folgende 
Gleichung: 


(3) log | f(x) | = — > g(x,a,) + > 9(&,b,)+ = frog If (S) | dh (S, am), 
Hi 


wobei in dem Integral der Rand I in positiver Richtung zu durchlaufen ist. 

Im Obigen wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass der Punkt x für die Funktion f 
weder ein Pol noch eine Nullstelle ist. Anderenfalls muss die Formel abgeändert werden. Sei 
2— v Z.B. eine r-fache Nullstelle der Funktion f(z); man bilde dann die analytische Funktion 


(6, DSG LEE 


für welche 2—x eine einfache und innerhalb des Gebietes G die einzige Nullstelle ist, und 
deren absoluter Betrag auf dem Rande I gleich Eins ist. Der Quotient 


deest fe 
(e) Ip(z, «)|” 


ist eine im Gebiet G reguläre Funktion deren absoluter Betrag eindeutis ist und welche die- 
selben Nullstellen und Pole wie f(z) hat, der Punkt 2= x ausgenommen, wo sie den endlichen 
von Null verschiedenen Wert 


D (x) — 1L B MAC) 
T! [g' (x, x)’ 


annimmt; ferner ist auf der Berandung 7 |®(&)|= f(S3). Wir können demnach die Formel 
(3) auf die Funktion ® im Punkte x anwenden und erhalten so 


, AIRE 4 Neb iod o HEY t 
(3) log. ORE =) g(æ, ay) + Loin + es [onte maso. 


N:o 5. 


8 F. und R. NEVANLINNA. 


wobei der Strich in der ersten Summe rechts andeuten soll, dass die r von dem Nullpunkt x 
herrührenden Glieder fehlen. 
Falls wiederum x ein Pol rt Ordnung für die Funktion f ist, so kann man die Formel 


3) auf die Funktion ; anwenden. 

Die Formeln (3) und (3) sind als eine direkte Verallgemeinerung des bekannten JEN- 
sEN'schen Satzes anzusehen, welcher aus den obigen Formeln hervorgeht, wenn das Gebiet G 
ein Kreis ist und x in dessen Mittelpunkt verlegt wird. Diese Verallgemeinerung des Jen- 
senschen Satzes lässt eine grosse Menge von Anwendungen zu, die mit Hilfe des speziellen 


Satzes nur schwer zu behandeln sind. 


3. Wir wollen schliesslich eine allgemeine Ungleichung hervorheben, die in der Folge von 
Wicbtiekeit ist und die sich aus der Gleichung (3) unmittelbar ergibt. 
Es sei auf dem Rande / des Gebietes G 


FOSC), 


wo C(&) eine positive Funktion des Randpunktes & ist; bei den Untersuchungen dieser Arbeit 
wird C(3) im allgemeinen eine, von einer endlichen Anzahl Sprungstellen abgesehen, stetige 
Funktion sein. Führen wir dann die innerhalb des Gebietes G reguläre harmonische Funktion 


(4) U(z)— 4 [ log C(5) dh (E, 2) 
y 


ein, welche in jedem Stetigkeitspunkt der Funktion C(£) sich dem Randwert log C(£) an- 
schliesst, so ergibt die Formel (3) für jedèn inneren Punkt x 


(5) log |f(x)| X — À gtx. ay) + I, ge, b) + Ur). 


Falls nun f(x) in dem Gebiet G regulür d. h. polfrei ist, so fehlt die zweite von den Polen 
herrührende Summe; da ferner die Greensche Funktion innerhalb G positive Werte annimmt, 
so wird die rechte Seite der obigen Ungleichung jedenfalls nicht kleiner, wenn wir auch die 
erste, von den eventuellen Nullstellen herrührende Summe weglassen. Es gilt somit, sobald 
f(x) innerhalb G regulär ist, die Ungleichung 


(6) log |f(æ)|< U). 


Betreffs des Gleichheitszeichens ist hierbei zu bemerken, dass es überall gilt sobald es nur in 
einem einzigen inneren Punkt besteht. In der Tat: besteht das Gleichheitszeichen in einem 
inneren Punkt, so folgt aus (5) erstens, dass keine Nullstellen vorhanden sein können, und 
hieraus ferner, wegen der Voraussetzung |f(£) < C(£), dass C(£) in jedem Stetigkeitspunkte 
des Randes I gleich |f(£)| sein muss. Folglich wird log f(x). innerhalb G eine reguläre har- 
monische Funktion sein, welche dieselben Randwerte wie die harmonische Funktion U(x) 
annimmt; diese zwei Funktionen sind somit identisch. 

Die gewonnene Ungleichung (6) ist für das Folgende von fundamentaler Bedeutung in- 
dem alle Resultate des zweiten nachfolgenden Abschnittes mehr oder weniger unmittelbar aus 
dieser Beziehung herfliessen. 

'Tom. L. 


LI tes 


pe S anl RE e erm o ———————————— 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 9 


II. Über die Beziehungen zwischen dem Verhalten des absoluten 
Betrages einer analytischen Funktion auf dem Rande eines 
Gebietes und der Grösse desselben innerhalb des Gebietes. 


4. Der vorliegende Abschnitt ist einigen funktionentheoretischen Anwendungen der all- 
gemeinen Ungleichung (6) gewidmet. Hierbei wollen wir in diesem Artikel zunächst einige 
Bemerkungen allgemeiner Art über das Verfahren vorausschicken, das diesen Anwendungen zu 
Grunde liest und über den Charakter der Sätze, die mittels dieser Methode überhaupt gewon- 
nen werden können. 

Sei G ein Gebiet obengenannter Art in der Ebene der komplexen Variable 2=re'r, und 
f(x) eine analytische Funktion, bezüglich deren wir voraussetzen, dass sie in @ eindeutig und 
in jedem inneren Punkt des Gebietes regulär ist; betreffs des Verhaltens der Funktion auf 
dem Rande I setzen wir also bis auf weiteres nichts voraus. Indem wir mit C(x) eine im 
Inneren des Gebietes G definierte reelle, positive Funktion bezeichnen, nehmen wir noch an, 
dass in jedem inneren Punkt des Gebietes die Ungleichung 


(7) |f) | E C (v) 


besteht, und wollen dann untersuchen, wie diese Voraussetzung auf das Verhalten der Funk- 
tion f(x) einwirkt. 

Zu diesem Zweck nehmen wir innerhalb G ein beliebiges Teilgebiet G', dessen Rand 7’ 
sänzlich im Inneren von @ verläuft; die Greensche Funktion des Gebietes G', mit dem Pol 
in dem Punkt x, sei g'(£,x), ihre konjugierte Funktion —h’(£,x). Gemäss der allgemeinen 
Ungleichung (6) ist dann bei Beachtung der Voraussetzung (7) 


ay log f) s. flo e a (En). 
j 


eine Ungleichung, die in jedem inneren Punkt des Gebietes G^ besteht; die durch das rechts 
stehende Integral definierte harmonische Funktion bezeichnen wir im Folgenden kurz mit U"(z). 
Man lasse jetzt die Kurve I” sich dem Rande / des Gebietes G in der Weise nähern, 
dass sie schliesslich jedes innere Gebiet von G umfasst. Wir betrachten insbesondere die zwei 
folgenden Fälle, die dann bei geeigneter Definition der Funktion C(x) eintreten können: 
19. Es ist in jedem. inneren Punkt x des Gebieles G 


lim. inf. U’ (x) = — co. 


Aus der Ungleichung (7) ist unmittelbar zu ersehen, dass unsere Funktion f(x) in diesem 
Fall vdentisch verschwinden muss. 
29. Es ist 
lim. inf. U'(z) = U(x) 
endlich in jedem inneren Punkt des Gebieles G. 


N:o 5. 2 


10 F. und R. NEVANLINNA. 


Nach (7) ist dann innerhalb G 
log | f(x) | X U (x), 


eine Ungleichung, die häufig schärfer ist und über das Verhalten der Funktion f(x) mehr aussagl 
als die Vorausselzung (7). 

In diesem Abschnitt werden wir uns nur mit diesem letztgenannten Fall beschäftigen; die Sätze 
über das identische Verschwinden einer analytischen Funktion, zu denen die nähere Erörterung 
des erstgenannten Falles führt, lassen sich nämlich mittels der Grundbeziehung (2) einfacher 
beweisen und sollen nebst anderen Sätzen, welche gänzlich ausserhalb der Möglichkeiten der 
oben skizzierten Methode fallen, im letzten Abschnitt dieser Arbeit behandelt werden. 


5. Wir gehen jetzt zu den Anwendungen der obenbesprochenen allgemeinen Methode 
über. Um hierbei mit einem in gewissen Hinsichten möglichst einfachen Fall zu beginnen, 
setzen wir in diesem Artikel voraus, dass der Rand I des Gebietes G aus n analytischen Kur- 
venstücken oder geschlossenen analytischen Kurven ZW, 7®,..., l^ zusammengesetzt ist, und 
dass die innerhalb G eindeutige und reguläre Funktion f(x) für jedes positive s in einer hin- 
reichend kleinen Umgebung jedes inneren Punktes der Kurve TY) einer Ungleichung 


(8) fée Ces (k=142....n) 


genügt, wo C, eine positive Konstante bezeichnet. Wir fügen noch die Bedingung hinzu, dass 
f(x) in der Umgebung jedes Punktes, wo zwei Kurvenstücke T zusammenslossen, beschränkt blei- 
ben soll: 


(9) |f) | « M. 


Dies vorausgesetzt, sei x ein beliebiger Punkt innerhalb G. Man kann dann zuerst um 
jeden Endpunkt der obengenannten Kurven /'? eine kleine Umgebung y derart abgrenzen, 
dass in den Gebieten y die Ungleichung (9) besteht und die Summe der Schwankungen der 
Funktion h(£,x) innerhalb dieser Umgebungen kleiner als eine vorgegebene beliebig kleine 
positive Zahl 7 ausfällt. Wir betrachten jetzt die Greensche Niveaulinie 7%, deren Gleichung 
g(£,æ)= à — 0 ist; diese setzt sich für hinreichend kleine Werte ó, ausser von einer Anzahl 
den Gebieten y angehöriger kleiner Kurvenstücke, aus n Kurvenbogen oder geschlossenen 
Kurven I” (k=1,2,...,n) zusammen, die sich für à— 0 den bezüglichen Randkurven 7” 
unbeschrünkt nähern. Auf den erstgenannten kleinen Kurvenstücken besteht die Ungleichung 
(9), während in jedem Punkt der Kurve 7j" die Beziehung (8) gilt, sobald 9 kleiner als 
eine hinreichend kleine positive Zahl d(+) ist. Wenn wir also C(x) innerhalb der Gebiete y 
gleich M und auf den Kurven /j" gleich C,++ setzen, so besteht gemäss (6) für d <d(s) 
die Ungleichung 

lou |f(2)|< 2 [108 0) dh G,2). 
Ta 
Diese Beziehung behält auch für d>0 ihre Gültigkeit, woraus, da der von den Gebieten y 
herrührende Teil des Integrals gemäss den obigen Festsetzungen kleiner als My ist, für y — 0, 
s— 0 sich schliesslich 


'Tom. L. 


n——————————— uu 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Lime. all 


(10) log | fx) |< D_ log Cr Ar (v) 
1 
ergibt. Hierbei ist 
(10) A, (x)= E fan (6x), 
C 


und somit 


LS s 
(11) Y so) - 4. [ an. = 1. 

1 = 
Das Gleichheitszeichen in (10) tritt für einen inneren Punkt x nur bei der Funktion 


ia. = di Gc) 
fa) - e" Ie 
l 


ein, wo « eine beliebige reelle Konstante ist und d.(x) diejenige (bis auf eine rein imaginäre 
Konstante eindeutig bestimmte) analytische Funktion bezeichnet. deren reeller Teil mit A;(x) 
übereinstimmt. 

Dem durch die Ungleichung (10) ausgedrückten Satz kann man im Falle n=2 eine be- 
sonders anschauliche Fassung geben. Falls dann z. B. C, — C, ist, so eliminieren wir mit Hilfe 
der Relation (11) die Grösse A,(x) und erhalten zunächst 
(12) log | f(x) | — A, (2) 108 + log Cs. 

2 
Wie aus (10) zu ersehen ist, ist A,(z) eine innerhalb G reguläre harmonische Funktion, welche 
auf dem Bogen 7“ den Wert Eins annimmt, während sie in jedem Punkt des Bogens re 
verschwindet. Sei nun 4 eine positive Zahl < 1; die durch 
A,(@)=4 

definierte Niveaulinie zerlegt dann das Gebiet G in zwei an /'? bzw. fe grenzende Teilgebiete 
G und GÜ und es ist innerhalb GP 17 4,(:) 2 4, während innerhalb GŸ 47» A, (s) 50 
ist. Da nun der Koeffizient von A,(x) rechts in (12) negativ ist (C, < Cs), so folgt aus Obi- 
cem, dass diese Ungleichung innerhalb des Gebietes GV a fortiori gelten wird, wenn wir A,(z) 
durch 4 ersetzen; es ist somit innerhalb G? 


(13) log |f (x) | < 4log C, + (1 — À) log C2. 


Das Obige fassen wir im folgenden Satz zusammen: 

Sei f(x) eine innerhalb eines von zwei analytischen Kurven oder Kurvenstücken 1, re 
begrenzten Gebietes G eindeutige reguläre Funktion, die für jedes positive & in einer hinreichend 
kleinen Umgebung der Punkte des Bogens TW der Ungleichung 

f(x) S C, "m €, 
in der Nähe der T'? zugehörigen Randpunkte wiederum der Ungleichung 
If(z)| « Cs + € 
genügt, während sie in den Umgebungen der eventuellen Endpunkte dieser Kurven beschränkt dsl. 


N:o 5. 


12 F. und R. NEVANLINNA. 


Sei ferner À eine beliebige Zahl des Intervalls O<A<1 und Gy’ bzw. G7 die von den 


Kurven IV bzw. 1'9 und der Naveaulimie F5: 


AC) — fan (8,2) — 4 


X1) 
I 
begrenzten Teilgebiete von G. 


Falls dann z. B. C, < Cs, so besteht in jedem inneren Punkt des Gebieles GO die Ungleichung 
S paite 
(14) IE) ec, 6; 


Auf der N4veaulinie I; kann die durch diese Ungleichung angegebene obere Grenze móglicherweise 
erreicht werden; trifft dies aber nur in einem einzigen Punkt ein, so gilt das Gleichheilszeichen in 
jedem Punkt der Kurve I; und für jedes 0-2 4« 1. Die Funktion f(x) ist damn bis auf einen 
Faktor e^ eindeutig bestimant und gleich 

o. 
wo d,(r) diejenige analytische Funktion bezeichnet, deren reeller Teil gleich N (x) ist. 

Dieser Satz, welcher unseres Wissens in der obigen allgemeinen und genauen Fassung 
nicht früher bekannt ist,!) ist von grosser Anwendbarkeit bei verschiedenen Fragen betreffs 
des Verhaltens einer analytischen Funktion in der Nähe einer singulären Stelle oder Linie. 
Wir wollen in dem folgenden Artikel den Inhalt des Satzes etwas eingehender analysieren und 
einige einfache Anwendungen desselben besprechen. 


6. Vorerst nehmen wir an, dass das oben mit G bezeichnete Gebiet einfach zusammen- 
hängend ist. Die Begrenzungskurven fö, /'? haben dann zwei gemeinschaftliche Endpunkte 
£,,&, in denen sie nach Voraussetzung mit einander bestimmte Winkel €, bzw. 6), bilden. 
Die oben mit 7, bezeichnete Niveaulinie verbindet die Punkte &,,&, und aus bekannten 
Eigenschaften harmonischer Funktionen folgt, dass sie im Punkt 5, mit den Kurven 74, 7» 
bzw. die Winkel (1— 4) O,, 49,, im Punkt & die Winkel (1— 4) O;, 10, bildet. 

Um dies durch ein möglichst einfaches Beispiel zu erläutern, betrachten wir den Fall, 
wo das Gebiet G die oberhalb der reellen Achse liegende Halbebene ist. Sei & ein Punkt 
der reellen Achse und 75,72 die bzw. links und rechts von 5, liegenden Teile dieser Achse; 
der Punkt E, ist somit unendlich fern. Dann ist, wie man unmittelbar findet, die Niveaulinie 
I; ein von &, ausgehender Halbstrahl, der mit den Halbstrahlen ZW und /'"? Winkel der 
Grösse (1— 4)z und 4x bildet und das oben mit G bezeichnete Teilgebiet ist somit in die- 
sem Fall das von I' und 7% eingeschlossene Winkelgebiet der Grösse (1—/4)zx. Falls nun 
f(x) eine in der oberen Halbebene $(x)-»0 reguläre Funktion ist, welche für jedes s 0 in 
einer hinreichend kleinen Umgebung jedes Punktes der Halbgeraden fö und 7% kleiner als 


1) Die Frage, wie die in unserem obigen Satze vorausgesetzten Randbedingungen das Verhalten des 
absoluten Betrages der Funktion im Innern des Bereiches beeinflussen, ist von mehreren Autoren behandelt 
worden. Vgl z.B. LINDELÖF Sur un principe général de l'Analyse et ses applications à la théorie de la représen- 
tation conforme (Acta soc. scient. Fennicae, XLVI, N:o 5, 1915). 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 13 


Ci +: bzw. C,--s ist, während sie in der Umgebung des Punktes & und des unendlich fernen 
Punktes beschrünkt ist, so besagt unser obiger allgemeiner Satz, dass die Funktion in dem 
genannten Winkelgebiet der Ungleichung (14) genügt, falls C, « Cs. 

Dieser sehr spezielle Fall unseres Satzes liefert fast unmittelbar einen bekannten von 
MoNTEL!) bewiesenen und später von LiNDELÓF?) erweiterten Satz, wonach eine innerhalb 
eines Winkels eindeutige und beschrünkte Funktion f(x) in jedem inneren Winkelgebiet für 
| oo gleichmässig einem endlichen Grenzwert zustrebt, falls sie längs einem einzigen Halb- 
strahl sich diesem Grenzwert nähert. Der Beweis dieses Satzes lässt sich mittels einer ele- 
mentaren Variabeltransformation unmittelbar auf den Nachweis folgender Behauptung zurück- 
führen: Sei f(x) eine in der Halbebene (x) >0 reguläre Funktion, deren absoluter Betrag 
daselbst kleiner als Eins ist; falls dann die Funktion auf der negativen reellen Achse stetig 
ist und längs dieser Achse für |xz|— oo dem Grenzwert Null zustrebt, so nähert sich die 
Funktion innerhalb jedes Winkels 


0c ócg-cm 


für |z|— co gleichmässig dem Grenzwert Null. 

Sei 4 eine positive Zahl «t und « eine positive Zahl < 1; nach Voraussetzung können 
wir eine negative Zahl & so annehmen, dass auf dem links von &,\liegenden Teil rö der 
reellen Achse |f(æ) + ist. In den Umgebungen der Punkte des rechts von &, liegenden 
Teils 7®, ebenso in der Umgebung des Punktes 5, und des unendlich fernen Punktes ist 
wiederum |f(x)|<1. Nach dem obenbehandelten Spezialfall des allgemeinen S. 12 formulier- 
ten Satzes ist dann innerhalb des Winkelgebietes Ar < arg (x— &)<r 


MOIS 


woraus, da d>Ar und £ von vornherein beliebige klein angenommen werden kann, die Be- 
hauptung folgt. 

Indem wir zu unserem allgemeinen Satz zurückgehen, wollen wir jetzt annehmen, dass 
das Gebiet G zweifach zusammenhängend ist. ZU und fr? sind dann die geschlossenen Rand- 
kurven dieses Gebietes und die mit I, bezeichnete Niveaukurve wird eine zwischen diesen 
Kurven verlaufende geschlossene Linie sein, welche das Gebiet G in zwei ebenfalls zweifach 
zusammenhängende, ringfórmige Teilgebiete Qu und Ge zerlegt. 

Um auch diesen Fall durch ein Beispiel zu beleuchten, wollen wir annehmen, dass pu 
und Z7? zwei durch die Gleichungen 


y(S)=Ju bzw. y(3) — he 


definierte Niveaukurven einer harmonischen Funktion y(z) sind. Sei g(£,x) die Greensche 
Funktion dieses Gebietes, — A(5,x) die konjugierte Funktion; wir wollen die harmonischen 
Funktionen 


1) P. MowTEL: Sur les familles des fonclions analytiques, qui acinettent des valeurs exceptionelles dans un 
domain (Ann. Ec. Norm. T. 29, 1912, S. 487—535). 
?) Vgl. die in der Fussnote S. 12 angegebene Arbeit, insb. S. 7. 


N:o 5. 


14 F. und R. NEVANLINNA. 


A, = [ a 6.2) und Aa (2) — 5, fan (x) 


TO no 


berechnen. Zunächst ist nach (11) A,--A,— 1; ferner ergibt die Greensche Formel, falls man 
sie in G auf die Funktion y(r) anwendet, 


7 (2) = 31 | yan ve fran o a 0) 1s), 


TO TO 
und man erhält somit 
3 ADEME Ze 
en = DT hh—h, : EDI h,—h, 


Sei nun f(x) eine innerhalb des hier betrachteten Gebietes G eindeutige und reguläre 
Funktion, welche für jedes «70 in einer hinreichend kleinen Umgebung jedes Punktes der 
handkurven ZU) und /'? absolut genommen kleiner ist als C,-- «€ bzw. C +e. Aus unserem 
Satz, oder noch direkter aus der fundamentalen Ungleichung (10), folgt dann bei Beachtung 
von (15), dass die Funktion f(x) innerhalb des Gebietes G der Ungleichung 


D qu 


Tele 
2 1 2 y 2 1 
f(x)! «C, G 
genügt. 
Falls insbesondere die Niveaukurven ZW und Z® die zwei konzentrischen Kreise |x|=r, 
und |z|—r, sind, so hat man y(x)=logr, h, —logr,, h,— logr,, und die obige Ungleichung 


geht über in 


wir erhalten somit den Hapamarpschen Dreikreissatz. 


7. Setzt man in dem in Artikel 5 bewiesenen Satz C, = C,, so spricht er dass Prinzip 
über den Maximalmodul aus: 

Sei f(x) eine innerhalb eines ein- oder mehrfach zusammenhängenden Gebietes eindeutige 
reguläre Funktion, welche für jedes positive & in einer hinreichend kleinen Umgebung jedes Rand- 


punktes der Ungleichung 
fa) <C+e 


genügt. Dann ist in jedem inneren Punkt des Gebieles 
f@)|<C, 


wobei das Gleichheilszeichen in einem inneren Punkte nur dann eintrifft, wenn f(x) eine Kon- 
stante vom absoluten Betrag C ist. 

Das Modulprinzip, dem gewöhnlich die obige Fassung gegeben wird, lässt sich bekannt- 
lich in verschiedenen Richtungen erweitern: man kann nämlich schon unter weniger einschrän- 
kenden Randbedingungen, als die oben gemachten. auf die Beschränktheit der Funktion 


Tom. L. 


— 


"———————————————————— MÀ ]À nMRÜMÀMÁÜRÜÀ án ÀM CHRÜ'—HeÓQÀ meam RB Rm 


Uber die Ei genschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 15 


schliessen. Erweiterungen dieser Art sind insbesondere von PHRAGMEN und LiNDELÓF!) gegeben: 
einige von ihnen bewiesene diesbezügliche Sátze sind bekanntlich von grósster Bedeutung bei 
verschiedenen Untersuchungen betreffs des Verhaltens einer analytischen Funktion in der Um- 
sebung einer singulären Stelle gewesen. Unsere Methode erlaubt uns nun ein allgemeines Kri- 
terium für die Beschrünktheit einer analytischen Funktion anzugeben, welches die PHRAGMÉN- 
LINDELÖFsSche Sätze enthält und wesentlich verschärft. 

Es wird im Nachstehenden nützlich sein folgende Bezeichnung einzuführen: Sei A(t) eine 


3i 
reelle Fuuktion der reellen Variable t; wir bezeichnen dann mit A(t) diejenige Funktion, 
welche gleich A(t) oder Null ist, je nachdem  A(t) positiv oder nicht positiv ist. Die nicht 


positive Differenz A(t) — AU) bezeichnen wir mit A(0, so dass folglich All) = AC) + At). 
Das oben in Aussicht gestellte allgemeine Kriterium lässt sich dann folgendermassen aus- 
sprechen: 

Sei f(x) eine innerhalb des ein- oder mehrfach zusammenhängenden Gebietes G eindeutige 
und reguläre Funktion. Ferner existiere für jedes vorgegebene positive € eine positive. Funktion 
C:(x) mit folgenden Eigenschaften: 

19. Innerhalb des Gebietes G ist 

|f (x) | & C:(x). 


99, Es eristiert innerhalb G wenigstens ein Punkt x, derart, dass 


lim. inf. | log C. (E) dh’ (8,24) — &, 


Dp n 


wo I’ ein variabler innerhalb G verlaufender Integrationsweg ist, welcher schliesslich jedes innere 
Gebiet in G umfasst. 
Unter diesen Bedingungen ist für jedes x innerhalb G 


riy] eat 


Wir fixieren innerhalb G einen beliebigen Punkt x und eine Kurve 7,, welche die Punkte 
x und +, umfasst. Ferner sei s eine beliebige positive Zahl und C:(x) eine Funktion, welche 
den Bedingungen des Satzes genügt. Schliesslich nehmen wir innerhalb G die Kurve 7’ derart 
an, dass sie die Kurve /, gänzlich im Inneren enthält und dass 


NEL 
(16) >, [vn CE(S) AR (ENT s, 
T 


was voraussetzungsgemäss möglich ist. 
Nach diesen Festsetzungen ergibt die Grundungleichung (6) S. 8, bei Beachtung der ersten 
Voraussetzung, 


log] f (9) «s. fog c. c) dh Go) 
/ 


1j E. PHRAGMÉN und E. LINDELÖF: Sur une extension d'un principe classique de l'analyse et sur quelques 
propriétés des fonctions monogènes dans le voisinage d'un point singulier (Acta math. Bd, 31, 1908, S. 381— 406). 


N:o 5. 


16 F. und R. NEVANLINNA. 


und somit a fortiori 


(17) log |f (z)| < U:(x), 
wenn 
S fe Mn å ; 
(18) . Del), | log C (S) dh’ (8, x) 
T 


gesetzt wird. U-(x) ist gemäss dieser Definition innerhalb 7’ und somit innerhalb und 
auf dem Rande des von /, umgrenzten Gebietes G, harmonisch und nicht negativ. Wenn wir 
mit go die Greensche Funktion des Gebietes G, bezeichnen, so können wir also die Greensehe 


Formel anwenden, wonach 


on 


U:(x) — =) U. (2) 2 6: mas 
T 


0 
Sei nun M(x) das Maximum des Verhältnisses 


0g, (8,2) „ 0gy (E. Lo) 


on $ on 


für allé $ auf 7/5. Da U:(&) nicht negativ ist, so folgt aus der obigen Darstellung 


Ul) « 49 | 7, gy? 699 (7) n), 


und somit infolge (18) und (16) U:(x) < M(x)e. Demnach ist gemäss (17) log|f(x)| — M (x) s, 
und somit. da « von vornherein beliebig klein angenommen werden kann, während M(x) gemäss 
seiner Definition von e unabhängig ist, log|f(x)| <0, oder |f(z)|- 1. Da x ein ganz belie- 
biger Punkt innerhalb G war, ist unser Kriterium hiermit bewiesen). 


8. Sei f(x) eine Funktion, die in den Umgebungen der Randpunkte beschränkt ist, eine 
endliche oder unendliche Punktmenge môglicherweise ausgenommen. Falls man ausserdem 
weiss, dass die Funktion in der Nähe der Ausnahmepunkte nicht allzu stark ins Unendliche 
wächst, so lässt sich in vielen Fällen mit Hilfe des oben bewiesenen allgemeinen Prinzips zei- 
sen, dass die Funktion f(x) in der Tat überall beschränkt ist. Im Folgenden wollen wir den 


1) In ihrer obenzitierten Arbeit leiten PHRAGMEN und LINDELÖF die von ihnen gegebenen speziellen 
Sätze aus folgendem allgemeinen Prinzip ab: 

Die Funktion f(x) genüge der Ungleichung |f(x)|<1+: für jedes & > 0 in einer hinreichend klei- 
nen Umgebung jedes Randpunktes, mit Ausnahme einer Punktmenge E. In der Nähe der Ausnahmepunkte 
sei für jedes a > 0 

c" (2c) f (20) | C 1 s, 
wo o(x) eine innerhalb G reguläre und von Null verschiedene analytische Funktion ist, deren absoluter 


Betrag nicht grösser als Eins ist. Unter diesen Bedingungen ist in jedem Punkt von G 
= o 5 o 


| f(z) | S 1. 
Wie leicht gezeigt werden kaun, ist dieses Kriterium in unserem obigen allgemeinen Prinzip enthalten. 


'Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 17 


einfachsten hierher gehörigen Fall behandeln, wo die erwähnte Ausnahmemenge einen einzi- 
gen Randpunkt enthält. Wir werden folgenden Satz beweisen: 

Sei f(x) eine in jedem endlichen Punkt der Halbebene R(x) > 0 reguläre Funktion, welche 
für jedes positive & in einer hinreichend kleinen Umgebung jedes endlichen Randpunktes der Un- 
gleichung |f (x) <1+ 8 genügt. 

Dann trifft einer der folgenden Fälle ein: 

19. Entweder ist in jedem inneren Punkt der Halbebene 


IF@)I<T; 


99. Oder es wächst die Funktion in der Umgebung des unendlich fernen Randpunktes ins 
Unendliche und zwar so, dass eine positive Konstante y vorhanden ist derart, dass die Ungleichung 


nr 
1 log|f(re”)| cos e d q 7» 2r 


T 
212 


von einem gewissen Wert v ab besteht. 

Man kónnte diesen Satz in formellem Anschluss an das obenerwühnte allgemeine Prinzip 
beweisen. Indessen gestaltet sich die Herleitung dieses Prinzips unter den vorliegenden Um- 
ständen so einfach, dass wir es vorziehen den Beweis des obigen Satzes direkt zu führen, und 
zwar um so lieber als wir einige im Laufe des Beweises-auftretende Ungleichungen später 
noch benutzen werden. 

Sei o eine positive Zahl und d 0 so klein, dass in einer Umgebung vom Radius à eines 
jeden Punktes auf dem Segment |r|- o der imaginären Achse die Ungleichung |f(æ)| 1 + 
besteht, wo s eine vorgegebene beliebig kleine Zahl bezeichnet. Wendet man dann die 
Grundungleichung (6) S. 8 in dem Kreissegment |z|-0, N(x) 0 an, wobei auf dem gerad- 
linigen Teil der Begrenzung log|f(3)| durch log(1--s) majoriert werden kann, und lässt 
man hierauf zuerst à, dann « gegen Null streben, so erhält man für jedes x innerhalb des 
Halbkreises |z|«C0o, R(x) 20 die Ungleichung 

J=+5 


(19) log] Fo) |< Us()— 3, | Tof (oe) 1dhs (oe). 


T 
in 
2 


Hierbei bezeichnet —h,(£,x) die zu der Greenschen Funktion des obigen Halbkreises konjugierte 
Funktion. Zur Berechnung der harmonischen Funktion U, bemerke man, dass sie in den 
Punkten des Halbkreises z—96/?,|9|- 5 die Werte log |f (oe'?)| annimmt, während sie 
auf der imaginären Achse verschwindet. Gemäss dem Spiegelungsprinzip existiert sie hiernach 
in dem ganzen Kreis |z|- o und nimmt in den Punkten des komplementáren Halbkreises 
z—949,7 97 die Werte —log|f(oe!  — 9))| an. Demnach sind die Werte der Funk- 
tion U,(x) auf der ganzen Kreisperipherie |z|— bekannt und wir können sie innerhalb dieses 
Kreises mittels ihrer Randwerte durch das Porssoxsche Integral darstellen. Eine einfache 
Rechnung ergibt: 


N:o 5. 3 


18 F. und R. NEVANLINNA. 


HA 
2 
, ff ; 20r(p* — r*) cos p cos I 
To Tora m em id QUE P Eau 
eu) Uere") m | log |f (ee) Lo? +7? = 2 or cos (9 — q)] [o -- 7* +2 er eos (> + p)] e 
Hieraus folgt ferner 
"s | 
I re zm * 
U, (re?) =E? (1.1 (o)! [ log |f (oc?) | eos 9 d 9 + 


2 
cT 
F9 


OT COS j 
uas "are, f log | f (oe?) | cos 9 d3, 


2 
wo wir mit s(o) allgemein jede, nicht immer dieselbe Grösse bezeichnen, die für o — oo ver- 
schwindet. 
Falls nun 


us 


Fo 
+ 
lim inf, ui log |f (oe'*)| cos 9d 9 — 0, 


0 — o 


9 


so folet aus Obigem dass a fortiori liminf. U,(æx)<0 ist, und es muss somit gemäss der Un- 


gleichung (19) log|f(x)| <0, d.h. i 
If(v)| € 1 
sein. Hiermit ist unser Satz bewiesen. 
Das obenbewiesene Resultat enthált eine Verschärfung des bekannten Satzes von PHRAGMÉN 
und LINDELÖF, nach welchem eine innerhalb der Halbebene MN(x) >0 nicht beschränkte 
Funktion von den im obigen Satze vorausgesetzten Eigenschaften für eine ins Unendliche 


wachsende Wertfolee r —r, (n==1,2,...) einer Ungleichung 


max log |f (z)| 9r 


Wer 
genügen muss.!) Ersetzen wir in unserer Bedingung 29 cosg mit Eins und log|f(re”)| mit 
seinem Maximum auf dem Halbkreis |2|=r,R%(2) >0, so folgt aus unserem Satze, dass die 
obige Ungleichung nicht nur für eine unendliche Wertfolge, sondern sogar für jedes hinreichend 
srosse r bestehen muss: ein Ergebnis, das von PHRAGMEN und LINDELÖF vermutet wurde. ?) 

Dass die in unserem Satze gefundene untere Grenze nicht erhöht werden kann, zeigt die 
Exponentialfunktion e*, wo diese Grenze (const.») erreicht wird. 


9. Aus den Überlegungen des vorigen Artikels kann man einige weitergehende Schlüsse 
über das Verhalten einer analytischen Funktion in der Umgebung eines singulären Punktes ziehen. 
Sei f(x), wie oben, eine in jedem endlichen Punkt der Halbebene R(x) >0 reguläre 


1) loc. cit. p. 389. 
?) loc. cit. p. 390. 


Tom. L. 


-————r?. Sum = 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 19 


analytische Funktion, die für jedes s 0 in der Umgebung jedes endlichen Punktes der ima- 
sinären Achse der Ungleichung |/(x)|« 1--« genügt. Nimmt man nun an, dass 


4 


r—2 


2r 
(21) lim inf. 2 [log Iren | 008 p dg — £o 


—5 


wo x eine nichtnegative Konstante ist, so folgt aus der Ungleichung (19) bei Beachtung von 
(20) unmittelbar, dass f(x) in jedem inneren Punkt der Halbebene der Ungleichung 


2x r cos m 


a an 


genügt. Also: 
Falls f(x) für 9t(x) >0 regulär ist und für jedes positive s in den Umgebungen der Punkte 
der imaginären Achse | 
If(z)| «1-cs; 
wenn ferner 


EG 
Do 


so genügt f(x) für jedes x — re" der Halbebene (v) >0 der Ungleichung 


2»rcosq 


I Hele t 


Für <=0 geht dieser Satz in den Satz der vorigen Nummer über. Die Ungleichung 
23r 


(22) ist genau, denn die angegebene obere Grenze wird bei der Funktion e erreicht. 
Nimmt man statt (21) an, dass die Funktion f(x) in der ganzen Halbebene (x) > 0 
beschränkt ist: |f(x)|<1, so fehlt das erste Glied in dem Ausdruck (20) der Funktion U, 
und wir gelangen auf Grund der Ungleichung (19) zu folgendem Resultat: 
Wenn f(x) innerhalb der Halbebene N(x) 7 0. regulär und beschränkt ist: 
|f (7)| € 1, 
und ferner : 


lim inf. ai log | f(re”)|cospydy<—x<0. 


so isl für jedes v — re innerhalb der Halbebene 


2% r cos p 


false * 
TEC 
Die obere Grenze wird hier wieder von der Exponentialfunktion e ” erreicht. Für 
z=+00 lehrt der Satz, dass die Funktion f(x) unter den obigen Bedingungen identisch 
verschwinden muss, ein Ergebnis, dem wir im letzten Abschnitt dieser Arbeit in verallge- 
meinerter Form begegnen werden. 


N:o 5. 


20 F. und R. NEVANLINNA. 


Als Korollar des letztbewiesenen Satzes ergibt sich eine von JULIA!) gegebene Erweiterung 
des ScHwaRzschen Lemmas. Der Jurrasche Satz kann in folgender Weise ausgesprochen 
werden: ?) | 

Sei g(x) eme Funktion, die für R(x) > 0 regulär ist und der Bedingung 


(23) 3t (q (x)) > 0 
genügt. Ferner sei in der Umgebung des unendlich fernen Punktes 
(24) p(x)= cx(1 + e(x)) 


derart, dass s(v) in jedem inneren Winkelgebiet für |x|-*oo gleichmässig gegen Null strebt. 
Unter diesen Bedingungen besteht für jedes positive A die Ungleichung 
Nyle))>cA 
in jedem Punkt der Halbebene 35 (2) > 4. 
Setzt man e=?®)=f(x), so ist nach (23) 
(25) If) 1 


in der Halbebene KR(x)>0. Ferner ist, da also log|f|<0, für jedes d — 0 auf Grund der 
asymptotischen Gleichung (24) 


x TNI = 
"weisen d &- NE q dq — M 
-5 E 5 +6 


wo y(r)=max|e(re”)| für |q|-— 5 — 9. Voraussetzungsgemäss ist z(r)— 0 für rc und 
demnach 


= : E 
2 
lim inf. [re f(re”)| cos o d qp — | cos? g dq, 
r— D = ei 


oder, da d von vornherein beliebig klein angenommen werden kann, 


2 LI 


2 


(26) lim inf. - log|f(re'?) | cos ydy <— c 


rr — D 


TC 
eost pd — 7%. 
m 


2 


| 
tja 1013 


Aus (25) und (26) folgt nun auf Grund des letztbewiesenen Satzes, dass für jedes «= re der 
Halbebene (x) > 0 die Ungleichung 


1) G. JULIA: Extension nouvelle d'un lemme de Schwarz (Acta math. Bd. 42, 1920, S, 349—355). 

?) Der Satz wurde von JULIA unter unnötig einschrünkenden Voraussetzungen bewiesen; in der hier 
angegebenen erweiterten Form hat ihn später der eine von uns mit Hilfe des PHRAGMEN-LINDELÖFSchen 
Satzes nachgewiesen: Vgl. R. NEVANLINNA: Asymptotische Entwicklungen beschränkter Funktionen und das Stielt- 
essche Momentenproblem (Annales Acad. Scient. Fennicae, Serie A. T. XVIII, N:o 5, 1922, insb. S: 14). 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funk. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 21 


-log|f (z)| = R(p(x)) > er cos p 


besteht, woraus die Behauptung des Juzraschen Satzes:sich unmittelbar ergibt. 


10. Wir knüpfen an den in Artikel 8 bewiesenen Satz an, und werden im Folgenden eine 
wichtige Verallgemeinerung desselben geben. 

Nehmen wir an, dass die in der Halbebene 3i(z) > 0 reguläre Funktion f(x), statt in der 
Nähe der imaginären Achse beschränkt zu sein, in einer hinreichend kleinen Umgebung jedes 
endlichen Punktes © =:t dieser Achse für jedes vorgegebene s - 0 der Ungleichung 


log |f(æ)| < All) + € 


genügt, wo A(t) eine für alle reelle Werte t definierte stetige Funktion ist. Die Grundunglei- 
chung (6) liefert dann, nach einem dem auf S. 17 durchgeführten ähnlichen Grenzübergang, die 
für |æ|<o, R(x) > 0 gültige Beziehung 


20 log |f(z)| < We(z) = Ue (z) + Vo(z), 
wo jetzt 
$--5 
1=—0 
(28) Ua - 3 [ette mans (ec, h Ys. | A0dhGto. 
pes t— +0 


Für die Funktion U,(x) haben wir schon den Ausdruck (20). Um V,(x) zu berechnen, 
bemerke man, dass sie auf dem Segment |x|-— |?t|« 2o die Werte A(t) annimmt, während 
sie auf dem Halbkreis |z|— o,3i(x)  O verschwindet. Folglich existiert sie in der ganzen 
Halbebene K(x) > 0 und nimmt in den Randpunkten x=it,|t| 2» o die Werte -A() an. 
Mittels der Greenschen Formel für die Halbebene Ji(a)-0 


+ 
: 1 : rcosq 
rv Oi Py — = , : = 
Vo(re ) = | Vel); NU ’trsing 
EE 


erhält man demnach, wenn man die oben ermittelten Randwerte V,(;t) einführt, für V, den 


Ausdruck 
0 


(29) V, (rei) — [ao en = Jos Heg. — — di 
mo 


Pur COE Ju me 
o —2tr ing 


Man lasse jetzt in (27) o über alle Grenzen wachsen. Falls das Integral 


cn 


(30) N 4t M C DL, 


konvergiert, so strebt hierbei das erste Glied in (29) gegen das Integral 


jJ A(0 g- recos p dy, 


+r:— 2trsin p 


während das zweite Glied verschwindet. Um letzteres einzusehen, bemerke man, dass für |t|< o 
N:o 5. 


22 F. und R. NEVANLINNA. 


tr\° : t LE 
SE zl ARE ^ ) -— E — vM. 
em Ho Irsing (2 idea ) (o —7r}: 


der absolute Betrag des letzten Integrals in (29) ist demuach kleiner als 


Te 
rese fitum: 
0 


1 
a (1 AE ) E 
[4 

Zerlegt man hier das Integrationsintervall in drei Segmente: (—0,— 00), (— 09, + 00) und 
(09,0), So kann man, wegen der vorausgesetzten Konvergenz des Integrals (30), oy so gross 
annehmen, dass die den beiden äusseren Segmenten entsprechenden Teile des obigen Integrals 
für sämtliche o — o, beliebig klein ‚ausfallen, woraus, da der mittlere Teil des Integrals für 
0— oo verschwindet, die Richtigkeit der Behauptung hervorgeht. 


Nehmen wir nun noch hinsichtlich des Verhaltens der Funktion f(x) im Inneren der 
Halbebene 3i(r) > O an, dass die Bedingung 


dt. 


E 


T 


Dr 


2 * 
lim inf. 3 log |f (re'^)| cos y dq; = 0 


—5 


erfüllt ist, so ist, wie S. 18 gezeigt wurde, auch 


lim inf. U,< 0 


e— c 


und somit schliesslich, gemáss (27) und (28). 


1 1 7 (x pin < 1 i = MOS pr = 
Wirer)<® J 40; IW Dr ; dt. 
In Verbindung mit der Beziehung (27) ergibt diese Ungleichung folgendes Resultat: 

Sei f(x) eine in jedem endlichen Punkt der Halbebene N(x) >0 reguläre Funktion und 
Alt) eine für alle reelle Werte t definierte stelige Funktion von der Art, dass das Integral 


| A(D|--| AC 2) 


m dt 


konvergent ist. 
Falls dann f(x) für jedes «> 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung jedes Punktes x = 1t 
der imaginären Achse der Bedingung 


log |f (x)|  A() + € 


genügt, so ist entweder für jedes x = re'* innerhalb der Halbebene 


oc 
l r COS q 
7I 


log |f ()] = A (1) 1235 


T-91rsng ^" 

— tc 
oder aber es existiert eine positive Zahl y derart, dass von einem gewissen Wert r an die Un- 
gleichung 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 23 


log | [(rei?)| eos q dq > nr 


. 
12 AD 


besteht. * 

Der S. 17 formulierte PHRAGMÉN-LINDELÖFPSChe Satz ist im Obigen als spezieller Fall 
(A(t) — 0) enthalten. Der obenbewiesene allgemeinere Satz eignet sich insbesondere zur Unter- 
suchung des asymptotischen Verhaltens einer analytischen Funktion von endlicher Wachstums- 
ordnung; wie der eine von uns an anderer Stelle!) gezeigt hat, foleen aus ihm u. A. einige 
diesbezügliche Ergebnisse von PrinaaMÉN und LINDELÓF. 


11. Wir kehren wieder zu den allgemeinen Voraussetzungen von Artikel 7 zurück: f(x) 
sei also eine innerhalb eines ein- oder mehrfach zusammenhängenden Gebietes G eindeutige 
reguläre Funktion. Nimmt man C(r)-]|/(x)|, so schliessen wir aus dem allgemeinen S. 15 
formulierten Kriterium, dass, falls nicht |f(x)| - 1 innerhalb G, der Ausdruck 
(31) lim mf. fos FAL 

rarus 


TIS 
P! 


in jedem inneren Punkt x des Gebietes G positiv (endlich oder unendlich) sein muss. Im Fol- 
senden werden wir das Integral in (31) einer näheren Untersuchung unterwerfen und einige 
genauere Ergebnisse betreffs seines Verhaltens für /’— 7" ableiten. 

Wir betrachten eine Folge ganz innerhalb G gelegener Gebiete G,,@s,...,@,,... von der 
Art, dass G, für jedes n ein Teilgebiet von G,:1 ist und für n— oo schliesslich jedes innere 
Gebiet G' von @ enthält. Sei 7, der Rand von G, und —h,(£,x) die zu seiner Greenschen 
Funktion konjugierte harmonische Funktion. Dies vorausgesetzt behaupten wir, dass 


m 
(32) U,G) — 5, | tos |f GL dn, G2) 
I 


in jedem inneren Punkt x des Gebietes G mit wachsendem n monoton wächst. 
Zum Beweise bemerken wir zunächst, dass U,(x) eine innerhalb @, harmonische, nicht 
* - . . B Cv 2 Le . 
negative Funktion ist, die in jedem Punkt 5 der Berandung /, den Wert log|f(£)| annimmt. 
Nach der Grundungleichung (6) ist in jedem Punkte des Gebietes G, 


(33) log | f(x)| < U, (x), 


+ 
und also, da U,(x) nichtnegativ ist, auch log|f(x)|- U,(x). Ist nun n <p, so besteht diese 
letzte Ungleichung insbesondere auf dem Rande 7, des Gebietes G,, während in jedem Punkt 


+ 
dieser Kurve log |f(x)| = U,(x) ist. Es ist somit für p n 


35 Um) Ua 0 


1) Vgl. R. NEVANLINNA: Über die Anwendung des Poissonschen Integrals zur Untersuchung der Singularitäten 
analytischer Funktionen. (Verhandlungen des 5. Skandinavischen Mathematikerkongresses in Helsingfors 1922). 


N:o 5. 


24 F. und R. NEVANLINNA. 


in jedem Punkt von /,. Weil nun der Ausdruck links innerhalb G, harmonisch ist, so folgt, 
dass die Beziehung (34) auch im Innern von G, bestehen muss, womit unsere Behauptung 
bewiesen ist. 

Wir nehmen jetzt an, dass die Werte U,(x) in einem gewissen Punkt x =, des Gebietes 
G für sämtliche n unter einer festen endlichen Schranke liegen; die Werte U,„(x,) konvergieren 
dann für n—co gegen einen endlichen Grenzwert. Hieraus schliesst man auf Grund des 


Harnackschen Prinzips weiter, dass 

lim U,(x) = U(x) 
in jedem inneren Punkt von G existiert, und zwar gleichmässig in jedem inneren Gebiete von G. 
U(x) ist also eine innerhalb G harmonische und nichtnegative Funktion, die nach (33) in jedem 
inneren Punkt der Ungleichung 
(35) log |f (x)| < U (2) 
genügt. 


Sei nun V(x) die konjugierte Funktion von U(x). Dann ist 
(36) DE) TE sn 


eine innerhalb G reguläre analytische Funktion, die daselbst von Null verschieden ist und, da 
U nichtnegativ ist, der Bedingung |w(x)| <1 genügt. Setzt man weiter 


(37) q (x) = f(x) v (x), 


so ist gemäss (35) log | gl = log|f| — U — 0 und also auch |p(x)| —1. Unsere Funktion f(x) 
kann also als Quotient von zwei innerhalb G regulären und beschränkten Funktionen y und wv 
dargestellt werden. 

Die oben erhaltenen Ergebnisse fassen wir in folgendem Satze zusammen: 

Sei f(x) eine analytische Funktion, die innerhalb eines einfach oder mehrfach zusammen- 
hängenden Gebietes G eindeutig und regulär ist. Sei ferner G4, Go, ..., Ga, ... eine Folge von 
(Gebieten. die sämtlich ganz innerhalb G liegen und von denen G,, für jedes n, als Teilgebiet in 
G, 3 enthalten ist. Die Randkurve I, von G, nähere sich für n — oo unbeschränkt der Berandung 
[ von G in der Weise, dass sie schliesslich jedes innere Gebiet von G umfasst. Sei noch —h,(£,x) 
die zu der Greenschen Funktion des Gebieles G, konjugierte harmonische Funktion. 

Unter diesen Bedingungen ist das Integral 


(38) = fog |/ (8) | dh, (É,z) 


n 


für jeden festen inneren Punkt x eme niemals abnehmende Funktion von n. Bleibt es in einem 
einzigen inneren Punkt für n— 00 beschränkt, so konvergiert es in jedem. inneren. Punkt gegen 
einen endlichen Grenzwert U(x), und zwar gleichmässig in jedem inneren Gebiet von G. Die 
Funktion f(x) lässt sich dann als Quotient von zwei, durch die Formeln (36) und (37) bestimmten, 
beschränkten Funktionen g (x) und w(x) darstellen. 

Sind umgekehrt (x) und w(x) zwei beliebige, innerhalb G eindeutige und reguläre ana- 


Tom. L, 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 25 


lytische Funktionen, deren absolute Beträge daselbst nicht grösser als Eins sind, so ist die in 
dem obigen Satze angegebene Bedingung (Beschränktheit des Integrals (38)) für die Funktion 


gu) 
LOS 
in jedem inneren Punkt von G erfüllt. In der Tat ist, da |q(x)| — 1, 
" 1 
log |f(z)| € log c" 
und, da der Ausdruck rechts nichtnegativ ist, auch 
m : 1 
(39) log |f (x)| € 108 ra 


Anderseits ist nach der Grundungleichung (6), sobald die Kurve 7), den Punkt x umfasst, 


dh,(£,x) > log | v (a)|, 


n 2 
57 1 log | w (5) 


In 


woraus in Verbindung mit (39) foigt 


5; fog If an, G2) ton ty 
Th 
Der Ausdruck (38) liest hiernach unter einer von n unabhängigen Schranke, w. z.b.w. Wir 
sehen also: 

Notwendig und hinreichend, damit eine innerhalb G reguläre Funktion als Quotient von zwei 
beschränkten Funktionen dargestellt werden kann, ist, dass der Ausdruck (38) in einem inneren 
Punkt x für jedes m unter einer von m unabhängigen Schranke legt. 

Ist die oben ausgesprochene Bedingung erfüllt, so existieren offenbar unendlich viele 
Funktionen (x) und (x), die innerhalb G regulär und den absoluten Beträgen nach nicht 
grösser als Eins sind, und deren Quotient gleich f(x) ist. Unter diesen unendlich vielen Dar- 
stellungen der letztgenannten Funktion nimmt die Darstellung (37), wo w(x) durch die For- 
mel (36) definiert ist, eine Sonderstellung ein: unter allen möglichen Funktionen & und ı sind 
diese diejenigen, deren absolute Beträge möglichst gross sind. Seien in der Tat g,(x) und w,(x) 
zwei beliebige beschränkte Funktionen von der betrachteten Art. Dann ist nach (39) zunächst 
in jedem inneren Punkt von G 


N 1 
log |f(z)| «log m" 
En 
Auf der Kurve Z,, wo log|f|= U,, ist hiernach 
d U, (x) + log | v4 (x)| 0. 


Hier ist der Ausdruck links eine innerhalb G,, mit Ausnahme einer Anzahl negativer logarith- 
mischer Pole (in den eventuellen Nullstellen von w,(x)), reguläre harmonische Funktion, und 
wir schliessen demnach, dass die Beziehung (40) auch innerhalb G, bestehen muss. Nun ist 
U,(x)— U(x) für n—co, und nach (40) also auch 


N:o 9. 4 


26 F. und R. NEVANLINN A. 
(41) U (2) + log | v, (z) | 0 


innerhalb des ganzen Gebietes G. Gemäss (36) ist aber U ——log |, und es folgt also aus 
(41), dass | v(x) — wv4(r) in jedem Punkt von G sein muss. Aus der Identität 


v. Pi 


TS 


ergibt sich hieraus weiter dass auch  q(x)|7|q,(x)| ist, w.z. b. w. 


12. In dem besonderen Fall, wo G ein Kreis ist, führt der allgemeine Satz auf S. 25 zu 
folgendem Kriterium: 

Notwendig und hinreichend, damit eine innerhalb des Einheilskreises | x |<1 eindeutige und 
reguläre analytische Funktion f(x) sich als Quotient von zwei beschränkten Funktionen darstellen 
lässt, ist, dass das Integral 


2 
4 
(43) D.= 5, [108 deem dg 
0 


für r<1 beschränkt ist. 

Mittels dieses Satzes können einige bekannte Sätze über beschränkte Funktionen zu der 
allgemeineren Funktionenklasse erweitert werden, für welche das Integral (42) beschränkt ist. 
Wir wollen dies an einigen Beispielen erläutern. 

Fırou!) hat bekanntlich gezeigt, dass eine innerhalb des Einheitskreises beschränkte 
Funktion bei radialer Annäherung an den Rand fast überall, d.h. in jedem Randpunkt mit 
Ausnahme einer Punktmenge vom Masse Null, gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert. 
Dieser Satz wurde von F. und M. Rızsz?) dahin verallgemeinert, dass die Randwerte fast 
überall existieren, wenn das Integral 


(43) ireen ag 


für r<1 beschränkt bleibt. Sie beweisen ferner die von Fatou ausgesprochene Vermutung, 
dass die Menge derjenigen Randpunkte, in denen die Randwerte gleich einer gegebenen Zahl a 
sind, eine Nullmenge ist. 

Unser obiger Satz führt nun zu einer nochmaligen Erweiterung des Farouschen Satzes. 
Ist nämlich die Funktion U, für r « 1 beschränkt, so kann die betrachtete Funktion f(x) als 
Quotient von zwei beschränkten Funktionen g(x) und w(x) dargestellt werden. Die Funktion 
f(x) hat also sicher wohlbestimmte Randwerte in jedem Randpunkt, wo beide Funktionen œ 
und wv bestimmte Grenzwerte besitzen, die nicht beide gleich Null sind. Das Mass der Kom- 
plementärmenge der letztgenannten Randpunkte ist aber gemäss der eben genannten Sätze 
von Farou und F. u. M. Riesz gleich Null, und wir sehen also, dass jede Funktion, für welche 


1) P. FATOU: Séries trigonometriques et séries de Taylor (Acta mathematica, T. 30, 1906, S. 335—400). 
?) F. und M. Riesz: Über die Randwerte einer analytischen Funktion (Quatrième congrès des Math. Scan- 
dinaves à Stockholm 1916, S. 27—44). 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 27 


das Integral U, für v 1 beschränkt ist, bei radialer Annäherung an den Rand fast überall 
bestimmte Randwerte besitzt. 

Das so erhaltene Kriterium enthält das von Rırsz gegebene als speziellen Fall. In der 
Tat ist U, offenbar beschränkt, sobald das Integral (43) oder allgemeiner sogar 


| (rer) dy, 
0 
wo d eine beliebig kleine positive Zahl bezeichnet, für r— 1 beschränkt bleibt. 

Der Rızszsche Satz behält auch für die von uns betrachtete Funktionenklasse seine Gül- 
tigkeit: in der Tat kann f(x) nur dann in einem Randpunkte den Grenzwert a haben, wenn 
die Funktion q(x)— aw(x) in diesem Punkte verschwindet; die Menge dieser Punkte ist aber 
eine Nullmenge, weil die letztgenannte Funktion beschrünkt ist. 

Wir gehen zu einer weiteren Anwendung unseres Satzes (S. 26) über. Sei f(x) eine 
innerhalb des Einheitskreises reguläre analytische Funktion, für welche das Integral U, be- 
schränkt ist und die in den Punkten | 
(44) £,— r6 ^ (n— 159... 2) 


verschwindet. Nach unserem Satze ist f(x) gleich dem Quotient von zwei beschränkten 
Funktionen q(x) und (x), von denen die letztgenannte von Null verschieden ist. Der Zähler 
q(r) verschwindet also in den Punkten (44). Nun hat BLascuke!) gezeigt, dass eine be- 
schränkte Funktion, die in den Punkten (44) verschwindet, identisch gleich Null ist, wenn 
die Reihe 


oo 


(45) Lam) 
divergent ist, und wir schliessen also, dass dieser Brascakesche Satz auch für die von uns 
betrachtete Funktionenklasse gültig bleibt, ein Resultat, für welches im letzten Abschnitte 
dieser Arbeit ein direkter Beweis gegeben wird. Stimmen also zwei Funktionen der von uns 
betrachteten Klasse in einer Punktmenge (44) überein, für welche die Reihe (45) divergent 
ist, so folgt hieraus. da ihre Differenz ebenfalls derselben Klasse angehört, dass die Funktionen 
identisch sind; von dieser Bemerkung werden wir gleich Gebrauch machen. 

Sei f(x), fax), ...,fn(æ),... eine unendliche Folge von Funktionen, die sämtlich inner- 
halb des Einheitskreises eindeutig und regulär sind und für r<1 und für jedes n der Un- 


gleichung 
27 


n "c / 
(46) jj ME | log| f, (rei?)|dp « M 
ù 
genügen, wo M eine Konstante bezeichnet. Mittels des S. 23 —24 angegebenen Verfahrens 
kann man dann für jedes n zwei beschränkte Funktionen q,(v) und w,(x) bestimmen, so dass 


1) W. BrascHkE: Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen (Leipz. Ber. 
Bd. 67, 1915, S. 194—200). 


N:o 5. 


28 F. und R. NEVANLINNA. 


(n) 


wo gemäss (36) |v,(o) —e- D und also nach (46) 


(47) Vs (0)| 2» e- MV 
für jedes n ist. 

Aus der Folge der beschränkten Funktionen g,(x) (n—1,2,...) können wir nach dem 
Vrraumchen Satze eine Teilfolge g, (v— 1,2,...) auswählen, die in jedem inneren Bereiche 
des Einheitskreises gleichmässig konvergiert. Die Grenzfunktion (x) ist also für |z|-1 
regulär und beschränkt. Ebenso lässt sich aus der Folge w, (v— 1,2,...) eine Teilfolge 


v (k=1,2,...) herausnehmen, die gegen eine beschränkte Funktion w(x) konvergiert; 
d 


diese Grenzfunktion ist wegen (47) nicht identisch gleich Null. Die Folge In, (SI) 
konvergiert also für k—co gegen die endliche Funktion 
A. (x) 
f(x) m v (xr)? 
und wir erhalten demnach folgendes Resultat: 

Wenn f,(x) (n=1,2,...) eine unendliche Folge von analytischen Funktionen ist, die ?nner- 
halb des Einheitskreises regulär und von der Art sind, dass die zugehörigen Integrale m für 
r 1 unter einer von n unabhängigen Schranke liegen, so kann man aus ıhr eine Teilfolge aus- 
wählen, die in jedem inneren Gebiet gleichmässig konvergiert. Die Grenzfunktion f(x) gehört 
wieder der betrachteten Klasse an. 

Wir wollen jetzt annehmen, dass die oben betrachtete Folge f,(x) (n=1,2,...) in einer 
Punktmenge (44), für welche die Reihe (45) divergent ist, konvergiert: 

(48) im) 2% 


n — 0 


Unter dieser Bedingung muss die Folge in jedem inneren Gebiet des Einheitskreises gleich- 
mässig konvergieren. In der Tat könnte man im entgegengesetzten Fall aus der betrachteten 
Folge zwei Teilfolgen f, (r) und f, (n=1,2,...) herausgreifen, die gegen zwei verschiedene 
Grenzfunktionen f(x) bzw. f? (x) konvergieren. Dies würde aber im Widerspruch mit der 
Bemerkung S. 27 stehen, nach welcher diese Funktionen, die ja nach (48) in den Punkten 
(44) gemeinsame Werte haben, identisch sein müssen. Wir sehen also: 

Sei f,(v) (n=1,2,...) eine Folge von Funktionen, die innerhalb des Einheïtskreises regu- 
lär sind und die für jedes n und r < 1 der Bedingung 

27 
i er vn 
st | 108 fre) dy <M 
0 

genügen. Konvergiert diese Folge dann in einer Punktfolge (44) für welche die Reihe (45) di- 


vergent ist, so konvergiert sie gleichmässig in jedem inneren Bereich des Erinhertskrerses. 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 29 


III. Über die Beziehungen zwischen der Verteilung der Null- 
stellen und Pole einer analytischen Funktion und dem 
Verhalten des absoluten Betrages derselben. 


13. In diesem Abschnitt werden wir uns hauptsächlich mit der Untersuchung der Beziehun- 
een beschäftigen, welche zwischen der Verteilung der Nullstellen und Pole und dem Anwachsen 
des absoluten Betrages einer analytischen Funktion in der Umgebung einer singulären Stelle 
oder Linie bestehen. Hierbei könnte man sich in einigen Fällen des verallgemeinerten JENSEN- 
schen Satzes (3) bedienen; indessen wird es vorteilhafter sein zu der allgemeineren Grundformel 
(2) zurückzugehen und hier die willkürliche Funktion 4 in jedem besonderen Falle den gege- 
benen Umständen gemäss zu wählen. Wie man die Wahl der Funktion 4 zu treffen hat, 
wird aus den in der Folge behandelten Problemen hervorgehen; allgemein gesagt soll diese 
Funktion so angenommen werden, dass die Werte der Summen links in (2) in möglichst 
durchsichtiger und prägnanter Weise die Verteilung der Nullstellen und Pole charakterisieren. 
Ferner wird es immer vorteilhaft sein, dass die Funktion 4 auf dem Rande oder wenigstens 
auf grossen Teilen desselben verschwindet. 


14. Wir machen den Anfang mit einer in der Umgebung des unendlich fernen Punktes, 
z. B. ausserhalb und auf dem Rande des Kreises |r|— oy, eindeutigen und meromorphen 
Funktion f(x). Die nach wachsenden absoluten Beträgen geordneten Nullstellen und Pole 
der Funktion seien 


(Dae exo eo rg eee WANT nn [29.0000 Ioco os 


wo eine Stelle nt Ordnung n mal vorkommt. Diese Punktfolgen häufen sich gegen den 
unendlich fernen Punkt der Ebene, welcher im allgemeinen eine wesentlich singuläre Stelle 
unserer Funktion ist. Nun wird offenbar, falls f(x) eine nicht identisch unendliche oder ver- 
schwindende Funktion ist, zwischen der Dichte der Nullstellen bzw. dem Nullwerden der Funk- 
tion für z— oo einerseits und der Polendichte bzw. dem Unendlichwerden der Funktion für 
y-—oo anderseits eine Beziehung bestehen müssen derart, dass jene, in entgegengesetzten 
Richtungen wirkend, einander kompensieren. 

Um diesen Zusammenhang zu untersuchen, gehen wir von der Grundformel (2) aus, die 
wir in einem Kreisring og <læ|<o anwenden. Unter k eine beliebige positive Konstante 
verstanden, benutzen wir hierbei als Hilfsfunktion 4(x) die Funktion 


0 
; you dt T 
9-1 -4)- | une ask 


r 


welche auf dem äusseren Randkreis r— o des Ringes verschwindet. Führt man die Sprung- 
funktionen h(r, oo), k(r,o,) ein, welche die Anzahl der Nullstellen bzw. Pole innerhalb des 
Kreisringes 9, <|x|<r bezeichnen, so wird 


N:o 5, 


30 F. und R. NEVANLINN A. 


0 
3 1 31-328 h (9, 00) | 1| “dh(r,o) ho, ou) 
BEIDEN à — k\ Er; = k 3, 


la, 1% 0 J T e N 
CA 
woraus mittels partieller Integration folgt 
[4 
a *h (v, 00 
MICE | ar dy. 
% 
In derselben Weise ergibt sich 
Zara, ART 
. r 
[^ 


und die linke Seite der Formel (2) erhält somit die Form 


p 
E (r, 00) — k (r, 00) 


TT FEI * dr. 


0 


Zur Berechnung der rechten Seite hat man 


r dr\ dr Tk? 
CR 1 
do ar à 


wo das obere Vorzeichen auf dem äusseren, das untere auf dem inneren Randkreis gilt. Führt 
man noch die Grössen 


2x 
B 2 [ log |f(re?)| dp, 
0 


25 27 
2 7] ; 1 [] - 
A (r) = ue log | f(re'?) | dp = E arg f (re?) dg 
0 0 
ein, wo A(r) also gleich dem durch 2: dividierten Zuwachs des Argumentes von f(x) längs 
dem Kreis |r|=r ist, so ergibt sich auf der rechten Seite der Formel (2) der Ausdruck 


0 
u (« (0) (r) n y 1 
Dr JD ar e pt y Co) 
0 0 L] 4 0 0 
0 [73 LL 
Alles in allem erhalten wir schliesslich 


e e 
: h (r, o9) —k(r. ou) (00 ) 1/1 1 
(49) |a: e ke eg, LOIR à dr + Mies xj A (99), 
ES € 0 j 0 e 
0 0, 


) n 
9, 


0 / 


eine Formel, welche also für jedes k >0 und o>o, gilt. Durch den Grenzübergang k— 0 
folgt aus dieser Beziehung die speziellere Formel 


8 
(50) ee ge = à (o) — i (os) — A (es) og ^» 


r 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 31 


eine Gleichung, welche, wie man sofort erkennt, den JENsENschen Satz in leichter Verallge- 
meinerung wiedergibt. 

Lässt man in der obengewonnenen Formel (49) o ins Unendliche wachsen, so nähert sich 
das letzte Glied rechts einem endlichen Grenzwert und die Gleichung gibt uns somit den 
exakten Ausdruck für die Art, in welcher die Dichte der Nullstellen und Pole und das An- 
wachsen der Funktion f(x) sich gegenseitig kompensieren. 

Als Anwendung der Formel (49) wollen wir folgenden Satz beweisen: 

Sei f(x) eine in der Umgebung |x\=>o des unendlich fernen Punktes eindeutige, im 
Endlichen reguläre Funktion mit den Nullstellen 


Oför Q3 3 gy eis 


Dann konvergieren bzw. divergieren die Reihe 


(51) y T E 


und das Integral 
ur) 5. 
(52) } CES dà 
[2 


für jedes positive k gleichzeitig. 
Da keine Pole vorhanden sind, so ist jetzt k(r,oy)— 0, und aus (49) wird 


, h (7, 00) ee C EU n um 
(49) jc Fret dr E o^ + jJ Ze AR tale = C 
e, N 


o 


während die speziellere Formel (50) 
[4 


(50) oe = | "CE är + a (os) log * 
© 
ergibt. 

Die letzte Formel zeigt uns, dass w(e) unter den vorliegenden Voraussetzungen von einem 
gewissen Wert o an positiv und mit e wachsend ist; in der Tat ist ja gemäss dem Argument- 
prinzip A(o,) für ein genügend grosses o, nichtnegativ während h(r,o,) nach seiner Definition 
nichtnegativ ist. Wir denken uns o so gross angenommen, dass w(r) für r>o die beiden obigen 
Eigenschaften besitzt. Dann ist es offenbar möglich eine Zahl o' > o so zu wählen, dass 


) (r) j 
(53) ift reps [en ej, A) Ar. 
Dies ist klar, falls das Integral | u(r)r-*—!dr divergent ist, und falls es wiederum konver- 
% 


giert, so folgt die spätere Ungleichung aus 


u(o) _ k u (o) 
o* rus rk +l 
e 


Nora: 


32 F. und R. NEVANLINNA. 


Auf Grund der Ungleichung (53) ergibt sich aus (49) zunächst unmittelbar, dass die Integrale 


(52) und i 
h(r, 00) 
(54) N ei dr 
0, 


gleichzeitig entweder konvergieren oder divergieren. Da nun ferner 


h (Tr, 00) ob m 1 h (0, Do 
p dr TN A(ax) = >» Tec un 


und es somit, da h(r,o,) nichtnegativ und mit r wachsend ist, für jedes o möglich ist o" > o 


so zu wühlen, dass 
[4 


"hr, Üo i» fpe 09) 
k | EN PE E sd , 
D " 


so konvergiert bzw. divergiert die Reihe (51) gleichzeitig mit dem Integral (54) und somit 
nach Obigem auch mit dem Integral (52). womit der Satz bewiesen ist, 

Falls wir mit M(r) den Maximalbetrag von |f(z)| auf dem Kreis |z|— r bezeichnen, 
so ergibt sich aus der Definition der Grösse w(r) (S. 30) unmittelbar w(r) <log M (r), und wir 
schliessen folglich, dass für die Konvergenz des Integrals (52) jedenfalls hinreichend ist, dass 


das Integral 
log M(r) 4. 
| art di 


0 
"0 


konvergiert. Wir erhalten somit aus dem obenbewiesenen Satz folgendes Korollar: 


log M a: - LES s . 
Falls das Integral f + AE dr für ein positives k konvergent ist, so konvergiert auch 
À s 
; a SENI 
die Reihe 2 —s 
T la 


Dieses Resultat ist früher von VALIRON!) für ganze Funktionen endlicher Ordnung bewiesen 
worden. Zugleich hat er gezeigt, dass der Satz in diesem speziellen Fall umgekehrt werden 
kann, was unter den obigen allgemeineren Voraussetzungen offenbar nicht móglich ist. 


15. In dem vorgehenden Artikel wurde eine analytische Funktion in der Umgebung 
eines isolierten wesentlich singulären Punktes untersucht. Wir wollen jetzt analoge Frage- 
stellungen betreffs des Verhaltens einer Funktion in der Nähe einer singulären Linie behan- 
deln. Hierbei werden wir, da die folgenden Betrachtungen den oben durchgeführten ganz 
analog sind, uns etwas kürzer fassen können. 

Sei also f(x) eine z.B. in der inneren Umgebung o,< x|<1 des Einheitskreises ein- 
deutige meromorphe Funktion mit den nach wachsenden absoluten Beträgen geordneten Null- 


1) G. VALIRON: Sur les fonctions d'ordre fini (Bulletin des sciences math., 2° serie, t. XLV, septembre 1921). 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 33 


stellen @,@,...,a,,... und Polen b,,b»,...,b,,.... Diese Punktfolgen häufen sich gegen 
die Peripherie des Einheitskreises. welche ganz oder teilweise eine singuláre Linie der Funktion 
f(x) sein kann. Wir wollen eine der Formel (49) analoge Gleichung herleiten, welche uns zeigen 
wird, wie die Dichte der Nullstellen und Pole und das Anwachsen der Funktion einander 
beeinflussen. 

Sei o, 0 «1 und k > 0; wir wenden die Grundformel (2) in dem Kreisring og — r — e 
an mit 


e 
4-ja-w T rem. 


Werden die Grössen h(r,0,), k(r,oo), w(r) und A(r) wie oben definiert, so ergibt sich analog 
mit der Formel (49): 


r 


0 
| (h(r, e) —k(r,e))) Ar) 2* — 
20 


(55) : 


0 
(1— 0)" u (0) — (1 — 00)" n Coo) + k fu Man =" dr — a (0) | TS LUN 
0 


7 
0, 0 

Diese Formel gilt für alle o9 <o<{1 zunächst für jedes positive k; man kann jedoch auch 
hier k gegen Null abnehmen lassen und erhält so an der Grenze wieder die erweiterte JEN- 
sensche Formel (50). Für e—1 nähert sich das letzte Glied der obigen Gleichung einem 
bestimmten Grenzwert, und die Formel (55) liefert uns somit ein Gesetz, nach welchem die 
Dichte der Nullstellen und Pole und das Wachstum der Funktion in der Umgebung des Ein- 
heitskreises sich gegenseitig im Gleichgewicht halten. 

Falls insbesondere die Funktion f(x) in dem Gebiet o,<r<{1 regulär d.h. polfrei ist 
und somit k(r,og)— O0, so folgt mittels einer der auf S. 31—32 durchgeführten analogen 
Überlegung, dass die Integrale 

[4 e 
[ x dr B 
free) (tn 7 und I (1—r)" dr 
% 


9o 


für jedes positive k mit o-— 1 zugleich entweder konvergieren oder divergieren; dies gilt auch 
noch für k— 0, wenn das zweite Integral mit w(o) ersetzt wird. Nun ist offenbar das erste 
Integral in Bezug auf Konvergenz und Divergenz für o — 1 mit dem Integral 


[4 


[ne eo) à nf ar 


% 
gleichwertig, und dieses Integral wiederum konvergiert oder divergiert zugleich mit der Reihe 
(56) Y a-lep**. 


eo; <lanl<e 


In der Tat ist ja 


N:o 5. 


34 B. und R. NEVANLINNA. 


e 
d 1) [Geo a r)dr- Y Gal) ** —h(e,0) (1—9) tt, 


00 ey <l ay <e 


und es existiert demnach für jedes o, — o < 1 eine Zahl o' zwischen o und 1 von der Art, dass 


enfe, 00) 1. —'dr < Y'a TEL Gt o fies cnr dr. 


e, «| a, | < 0 
Hiermit haben wir folgendes Ergebnis: 
Sei f(x) eine in dem Gebiet oy <r < 1 eindeutige reguläre Funktion mit den nach wachsenden 
absoluten Beträgen geordneten Nullstellen a,,a,...,a,,.... Dann sind für jedes k >0 die 
Grenzwerte der Summe (56) und des Integrals 


[4 
IDE, 
% 
für o—1 gleichzeitig endlich oder unendlich; dies gilt auch noch für k=0, falls das Integral 
mit u(o) ersetzt ward. 
Bezeichnet M(r), wie oben, den Maximalmodul der Funktion auf dem Kreis |z|—r, so 
folgt hieraus, da w(r) <logM (v), der nn Satz: 


Falls für ein positives k das Integral | log M (r) (1—r)*^!dr endlich ist, so konvergiert 
die Reihe > {G—|a,|)*!. Wenn k=0, so Pie für die Konvergenz dieser Reihe hinreichend, dass 


log M(r) und somit die Funktion f(x) selbst in der Umgebung des Einhertskreises beschränkt 4st. 
Der den Fall k=0 betreffende Teil dieses Satzes ist für den Fall einer in dem ganzen 
Einheitskreise regulären Funktion von BrASCHKE!) bewiesen worden. 


16. Wir werden jetzt zur Betrachtung einer innerhalb und auf dem Rande eines sich 
ins Unendliche streckenden Sektors 


(57) r>00 [PIS Gore 


meromorphen Funktion f(x) übergehen. Die Nullstellen bzw. Pole der Funktion bezeichnen 
wir, wie oben, mit @,,@,...,4,,... bzw. b:, b2,...,b,,... und schreiben 


la le D. ble. 


Unter diesen Voraussetzungen bringen wir die Grundformel (2) S. 6 zur Anwendung in 
dem Gebiet 
00 ro, |p (25 
mit 
1) loc. cit. 
Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung ewer singul. Stelle oder Linie. 35 


[4 
® coskpf 1 l dt 
(58) OR o) cos leg f s 


Um der hierbei sich ergebenden Gleichung eine übersichtliche Form zu geben, führen wir fol- 
gende Hilfsgróssen ein: 


a(r)=3 fog] IF(te” [f(te. 9] [e 
L^ 


T 


(59) et 
m(r)=5 log |f (re?) | coskydy, 
-8k 
| a) =Ncoska,, b(r)- Y cos k&,. 
ey «lau | v e, «loy |«r 


Dann wird (vgl. S. 30) 
e 


sa À (a4) = un dr, 


9, 


Auf der linken Seite der Formel (2) erhalten wir demnach den Ausdruck 


u) 9, 
rn, / 


00 


Zur Berechnung der rechten Seite der Formel hat man zunächst 


CN UNO. Öh 1 971 k coskg 
AX (ra) + De me ces 
und somit 
[4 
a | 18 Fe ee ELO que 
T o^ 73 
(A 


Ferner wird 


0 
1 où AL fm(o) _ m (00) | «(r) 
st |teiri22as kal of k | e+idr 
a (4 0 


% 
und 


1 1 1 Ó , = 
= [A tonitias = (52) | 3108 fios | 005 ky dy. 
p UE 

E 


Auf der rechten Seite der Formel (2) ergibt sich somit 


(2 


1 eS m (0) 10 
a UT tiw + ['Oar)-P}, 


[73 [7] 


N:o 5. 


36 F. und R. NEVANLINNA. 


wo P ein Ausdruck ist, welcher sich für o — co einem bestimmten endlichen Grenzwert P, nähert. 
Fasst man das Obige zusammen, so gelangt man zu der folgenden allgemeinen Formel: 


e e e 
" »jm(o) , [mj 'a(r) —b 
(60) Jf ERO dr "m ii 2 u #0 ar «| — dr — P 
& 0, ®, 


Bevor wir in den nachfolgenden Artikeln zu spezielleren Anwendungen dieser -Formel 
übergehen, sei nachstehende allgemeine Bemerkung zu ihrer Erläuterung vorausgeschickt. Die 
linke Seite der Formel enthält drei wesentlich verschiedenartige Glieder. In der Tat: das erste 
Glied ist durch die Werte bestimmt, welche der Modul |f(x)| auf den Berandungsstrahlen 
des Sektors (57) annimmt, das zweite Glied hängt allein von den Werten des Moduls |f(x)! 
innerhalb dieses Sektors ab, das dritte Glied ist durch die Verteilung der Nullstellen und Pole 
der Funktion vollständig bestimmt. Die Formel lehrt uns, dass diese drei Glieder für o— oo 
einander im Gleichgewicht halten derart, dass die Summe sich hierbei einem bestimmten end- 
lichen Grenzwert Py nähert. Diese Tatsache erhält vielleicht ihren prágnantesten Ausdruck, 
wenn wir sie in der Form des folgenden allgemeinen Prinzips betreffs des identischen Ver- 
schwindens einer in dem Gebiet (57) meromorphen Funktion aussprechen: 

Sei f(x) eine innerhalb und auf dem Rande des Gebietes (57) meromorphe Funktion 
mit den mach wachsenden absoluten Beträgen geordneten Nullstellen a = |a, | e" wnd Polen 


b,— |b, e^. Falls dann die untere Grenze des Ausdruckes (60) für o — oo negativ unendlich 
ist, d. h. falls eine Folge ins Unendliche wachsender Zahlen 0,,.05,... existiert derart, dass der 
besagte Ausdruck gegen — co konvergiert, wenn o diese Zahlenfolge durchläuft, so muss die Funk- 
tion f(x) identisch verschwinden. 

Auf Grund dieses Prinzips werden wir in der Folge eine Reihe von Sätzen betreffs des 
identischen Verschwindens einer analytischen Funktion beweisen. 


' 


17. Nehmen wir vorerst an, es sei die obenbehandelte Funktion f(x) im Gebiet (57) 
regulär, so ist b(r)— O0. Da ferner a(r) seiner Definition nach eine nichtnegative Grösse ist, 
so wird im vorliegenden Fall der Ausdruck (60) jedenfalls nicht kleiner, wenn man das letzte 
Glied weglässt. Hieraus folet aber auf Grund des am Ende des vorhergehenden Artikels 
formulierten Prinzips folgender allgemeine Satz: 

Sei f(x) eine innerhalb und auf dem Rande des Gebietes (57) reguläre Funktion. Falls dann 


e 
DRE e (r) (He m (r) | 
(A) lim inf. Ü dr e Al i +] „ dr)j=—00, 


e— o 
9, 


wo c(r)wnd m(r) durch (59) definiert sind, so muss die Funktion f(x) identisch: verschwinden. 
Da dieser Satz noch sehr allgemein ist, wird es angemessen sein, einige der wichtigsten 
Fälle zu erwähnen, wo die Bedingungen desselben realisiert sind; die so erhaltenen Resultate 
werden wir als besondere Sätze formulieren. Wir machen den Anfang mit folgendem Satz: 
Sei f(x) eine innerhalb und auf dem Rande des Gebietes (57) reguläre Funktion der Variable 
z=re'?, welche folgenden Bedingungen genügt: 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 37 


19. Auf den Berandungsstrahlen besteht die Ungleichung: 


a log f(re 21). + log f(re 25) |\ « — A (r), 


wo A(r) eine reelle Funktion bezeichnet derart, dass 
e 
A (r) 
. 1s na dr +0 für e co. 
% 


99. Es existiert eine Konstante M derart, dass für alle r > 09 


m (r) = t frog f(re®) | cos kq d « Mr", 
"3k 


wozu 2. B. hinreichend ist, dass für jedes x — re'” innerhalb des Gebietes (57) log |f (re'?)| = Mr". 
Unter diesen Bedingungen muss die Funktion f(x) identisch. verschwinden. 
Aus der Voraussetzung 2? folet zunächst 


[4 0 
["Par<u [vare 


2 
und somit 
[4 
l(m(o), | mr) 2M 
(a) ot ( JE T f r dr) < = k 
% 


für alle o >o,. Ferner ist nach (59) bei RE der Voraussetzung 1° 


"TO cana. 


und demnach 


0 e d 
e (T) 1 "A (t) 1 [A(t) (1) 
[sacs fat) [48 A di fena 


66 0, 0, 
Wir setzen 
A(t) 
di E q1di— T (v) 
% 
und erhalten 
[4 [4 
2 [Aa > | & a T(t) = T (9) — =) TDM. 
[D 0 u O0 u 
% % 05 
Es wird also 
(4 € 
(b) [3a se | T (t) d (t^), 
% LA 


woraus, da voraussetzungsgemäss T(l)>co für t—co, unmittelbar folgt, dass der Ausdruck 
N:o 5. 


38 F. und R. NEVANLINNA. 


rechts und somit a fortiori das Integral links für o — oo negativ unendlich wird. Dies zeigt 
aber in Verbindung mit der Ungleichung (a), dass die Bedingung (A) S. 36 erfüllt ist. 

Aus dem obenbewiesenen Satz folgt z. B., dass eine im Gebiet (57) reguläre Funktion, 
welche auf den Berandungsgeraden einer Ungleichung 


Fi 
log|f(re '2*)|« — ar“ 
mit x0, «-k genügt, während in den inneren Punkten 
log |f(re?) | < Mr, 


identisch verschwindet. Dieser spezielle Satz wurde zuerst von WATSON!) für den Fall «>k 
bewiesen, später hat der eine von uns?) die Gültigkeit des Satzes auf den Fall « — k erweitert. 
Wie unser allgemeinere Satz zeigt, kann man noch weiter gehen und auf dem Rande z. B. 
nur noch 


art 


log r log, r- -- logu r 


log|f(re |< 


voraussetzen, wo log, den n-mal iterierten Logarithmus bezeichnet. 

Neuerdings hat CARLEMAN?) einen Satz angegeben, welcher in Bezug auf Allgemeinheit 
und Präzision dem oben formulierten sehr nahe kommt. Indessen ist bei ihm die der Be- 
dingung 1° entsprechende Voraussetzung etwas restriktiver, indem angenommen wird, dass 
für o — oo 


dr 
SSD 
TET 


2 T us 
[us tee) lotir 2) 
% 


in der besonderen Weise, dass 


^ is 3m Sr 
Jos item) ton | fre" 25) 25, 
% 


für o>o, nach oben beschränkt bleibt. Diese Voraussetzung hat offenbar das Bestehen 
unserer Bedingung 1° zur Folge, während das Umgekehrte nicht gilt. 

In dem obigen Satze wurde vorausgesetzt, dass die Funktion f(x) im Inneren des Sektors 
(57) nicht zu schnell wächst, so dass das rapide Abnehmen der Funktion längs dem Rande 
das identische Verschwinden bewirken konnte. Wir werden jetzt einen Satz von entgegen- 
gesetzter Natur beweisen, wo das identische Verschwinden der Funktion durch eine rasche 
Abnahme im Inneren, kombiniert mit einem in geeigneter Weise eingeschränkten Zuwachs 
längs dem Rande zu Stande kommt. 


1) A theory of asymptotic series (Trans. of the Royal Society of London, Series A, Vol. 211, pp. 279— 
313). Vgl. auch eine kürzlich erschienene Arbeit von MBELLIN: Die Theorie der. asymtotischen Reihen vom Stand- 
punkte der Theorie der reziproken Funktionen und Integrale (Ann. Acad. Scient. Fennicae, Ser. A, Tom. XVIII, 
N:o 4, 1922, S. 27). 

?) F. NEVANLINNA: Zur Theorie der asymptotischen Potenzreihen (Ann. Acad. Scient. Fennicae, Ser. A, T. 
XII, 1918, S. 11—12). 

5) Sur un théorème de M. Denjoy (loc. cit.). 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 39 


Sei f(x) eine innerhalb und auf dem Rande des Sektors (57) reguläre Funktion, welche 
folgenden Bedingungen genügt: 
1". Auf den Berandungsgeraden ist 


Vlog |f (re?^)| + log | fire 99) < A9) 


wo A(r) eine reelle Funktion bezeichnet derart, dass für alle o 7» oy das Integral 


unter einer endlichen Zahl T liegt. 
20, Im Inneren des Sektors ist die Funktion so beschaffen, dass der Ausdruck 


m 
ok 
1 1 k 
MD LE [log|frer)|cosky dq 
FAR ru) 
, 


r 


für alle r > o, unter einer endlichen Zahl M liegt, während 


lim inf. lu) ss, 
7 


D 


Unter diesen Voraussetzungen verschwindet die Funktion f(x) identisch. 
Zunächst ergibt sich analog wie beim Beweis des vorhergehenden Satzes 


e e 
o (r TS x 
[are [roat, 
9o 


20 


woraus, da gemäss der ersten Voraussetzung T'(r)- T, folgt, dass 


(4 [4 
(a) [532r E faw)<r 
9, "go 
für jedes o > os. 
Ferner wird auf Grund des ersten Teils der zweiten Bedingung für o > o, 


(b) er E fr ar 


während auf Grund des zweiten Teils dieser Voraussetzung 


(c) lim inf. uu LE 


0—. c 0 
Die Bedingung (A) S. 36 ist also in Folge der Beziehungen (a), (b) und (c) wiederum erfüllt. 
Dieser Satz ist als eine Verallgemeinerung folgenden Satzes von PERSSON!) aufzufassen. 
dem schon im zweiten Abschnitt eine erste Erweiterung gegeben wurde. 


SO 


1) Recherches sur une classe de fonctions entières (Thèse, Upsala 1908, p. 8). 


N:o 5. 


40 F. und R. NEVANLINN A. 


Sei f(x) eine innerhalb und auf dem Rande des Winkelgebietes els reguläre Funktion, 
welche auf der Berandung beschränkt ist, während im Inneren 


— r* v (r) 


If (x)| « e 


wo v(r)—co für r—oo. Dann ist f(æ)=0. 

Man sieht sofort, dass dieser Satz eine spezielle Konsequenz des obigen Satzes ist. Ins- 
besondere bemerke man, dass es nach unserem Satze keineswegs wesentlich ist, dass die 
Funktion auf dem Rande beschränkt ist; log|f(z)| kann hier ins Unendliche wachsen bei- 
spielsweise wie xr^(x »0,««k) oder auch noch wie 


ur" 


logrlogr--- (loga r) 1 ** i 


falls e>0. Auch betreffs des Verhaltens der Funktion im Inneren fordert unsere Bedingung 
2 offenbar viel weniger als die entsprechende Bedingung des PErssonschen Satzes. 


18. Bei den im vorhergehenden Artikel bewiesenen Sätzen betreffs des identischen Ver- 
schwindens einer analytischen Funktion wurden die eventuellen Nullstellen garnicht berück- 
sichtigt. Wir wollen jetzt, immer auf Grund des am Ende des Artikels 16 formulierten 
allgemeinen Prinzips, einige Sätze über das identische Verschwinden einer analytischen 
Funktion beweisen, wo diese Erscheinung wesentlich von dem Vorhandensein von Nullstellen 
bedingt wird. 

Sei f(x) eine innerhalb und auf dem Rande des Sektors 


(57) r2 05|9|€z; 
meromorphe Funktion der Variable x — re mit den nach wachsenden absoluten Beträgen geordneten 


Nullstellen 


ia, 
Methodos ee 
und Polen 


bi Ina oubasn) by M hate 


Sei ferner A(r) eine nichtnegative Funktion derart, dass für o — oo 


e 
A(r) 
T(e)= | 4C dr co, 


20 


und es genüge f(x) folgenden Bedingungen, wobei p, q und m Konstanten sind, während e(r) 
allgemein jede Grösse bezeichnen kann, die für v — oo verschwindet: 
10. Auf den Berandungsgeraden des Sektors (57) ist 
> llog | fre 25) | + log |f (re 25] | < [p + en] A). 


20, Im Inneren des Sektors ist die Funktion so beschaffen, dass 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 


T 


2 
m (r) =? Jo og f(re'?) | cos kg dq < [q + e(r)] r* T(r). 


39. Die Verteilung der Nullstellen und Pole genügt der Bedingung 


a(r)—b(r) > [n + £()] Alr), 


wo 
a(r) = > Cost OL) — 3 coskß,. 
e, «lay| «v e, «|b, | <> 
Unter diesen Voraussetzungen müssen die Konstanten p, q und m der Bedingung 
2q 
(61) an<p+7, 


genügen, falls nicht die Funktion f(x) identisch verschwindet. 
Setzt man 


[p + «(0| Al) = Alt) und [2a vo 


% 


so wird, da A(t) nichtnegativ ist und T(r)— -- co, 
(a) T (r)— [p + «(7)] Tr). 
Gemäss der ersten Bedingung erhalten wir 
«()- 1| !Jog | f (1e'2 2) | + log fie 529) UE - ( dt, 
% 


woraus nach einer schon S. 37 einmal ausgeführten Rechnung 


0 


Jt faa tc t [reas 
? 0 


9, 0 0 


folet, und sich gemäss (a), da T(r) nirgends abnehmend ist, 


H 
(b) 0 [8r con TOO 
% 
ergibt. 
Ferner ist gemäss der zweiten Bedingung des Satzes 


E SESFESTOIP * T (o) 


und 
fac [Eee] rae [1 co] eT. 


*0 70 


folglich 
N:o 5. 


41 


49 E. und R. NEVANLINN A. 


e 
(0) Ln, ji MO an) [2 «(o (o. 


9, 


Schliesslich folgt aus der dritten Bedingung des Satzes 


(d) [ponen äre dne N dr > In + «(9)] To). 


% % 


Fasst man jetzt die erhaltenen Ungleichungen (b), (c) und (d) zusammen, so findet man, - 
dass der Ausdruck (60) S. 36 kleiner als 


[p + E —na + «(9)] Te) 


ist und also, da T(o)—--co und s(g)— 0 für o— co, bei unbegrenzt wachsendem o ne- 
9 
gativ unendlich wird. falls nz pr ist; hiermit ist der Satz bewiesen. 


Wir wollen einige einfache Spezialfälle dieses allgemeinen Satzes hervorheben und durch 
Beispiele beleuchten. ' 
Nimmt man A4(r)—r^, was zulässig ist, da 


für r— co positiv unendlich wird, so erhalten die Bedingungen des obigen Satzes folgende 
spezielle Form: 
1°. Auf den Berandungsgeraden des Sektors (57) ist 


I flog |f(re?*)| +10g| Are 25 || < Ip + em). 


20, Im Inneren genügt die Funktion der Bedingung 


m 


amr) = zi log | f(re'?) | coskq dq « [q^ «(r)) r* log r. 


Lv] 
m 


39. Die Verteilung der Nullstellen und Pole genügt der Bedingung 
a(r)—b(r)— = coska,— » cos kf, > [n + «(r)] r*. 


e, € lay| v e, €IbI«r 


Unter diesen Bedingungen müssen also gemäss des allgemeinen Satzes die Konstanten p, q 
und n der Ungleichung (61) genügen. Dieses speziellere Resultat enthält als Teilergebnis für 
q=0 einen bekannten Satz von CArıson!), jedoch in wesentlich schärferer Fassung. 


1) Sur une classe de series de Taylor (Thöse, Upsala 1914, p. 58). In seiner obenzitierten Arbeit (p. 27) 
hat auch MELLIN ein mit dem Carlsonschen Satz verwandtes Resultat angegeben. 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 43 


Zur Erliuterung des oben behandelten Spezialfalles mógen folgende Beispiele dienen: 
Für f(z)—sinzz^ wird 


> log | f(re i ^) + log | (fre EDIT 
ferner 


L3 
2k 


15 d 
m(r) — je fl sin eg | coskq dy9==-, 


2% 


+ 


1 
während, da unsere Funktion in dem Gebiet die einfachen reellen Nullstellen a, — u^ hat und 


polfrei ist, a(r) or” und b(r)=0 ist. 

Die Funktion sin xx" genügt somit den obigen spezielleren Bedingungen mit den Kon- 
stantenwerten p— 7, q—0, n=1 und diese Werte genügen in der Tat der Bedingung (61), 
indem p + u —= x ist. 


Ein interessanteres Beispiel bietet uns die Funktion 
1 
F6 LG 
Auf Grund der Stirlingschen Formel wird hier 


log f (x) m a* [log a’ +] + x^, 


wo das obere Zeichen für jedes = e das untere für 0c q«i eilt. Mit Hilfe 
dieser asymptotischen Formel findet man unmittelbar 


= 


1 log |f(re 25) | + log fire 25) b zr 


und 
= 


2 
m(r) — v*logr s | ew kqdq = I rlogr. 


Schliesslich ist, wie im vorhergehenden Beispiel a(r) — r*, b(r) - 0. Die betrachtete Funktion 


genügt somit den oben aufgezählten Bedingungen mit 9-5, q = a n=1; in der Tat ist 


nä (==) gleich p + M st). 
Nimmt man in unserem Satz S. 40—41 statt A(r) = r“ ällgemeiner 
"A (ry r*(logr) 2, 


wo «-1, so wird 


r 


] a 
RER ue ee, Qon! TEE 
0, : | log log r — log logo, , wenn «— 1. 
Die Bedingungen des Satzes erhalten somit die Form: 
1°. Auf den Berandungsgeraden des Sektors (57) ist 
N:o 5. 


44 F. und R. NEVANLINNA. 


> (log [fere 25) + log|f(re 2 « IP + «(1 r* dog») ^ 
99. Im Inneren des Sektors genügt die Funktion der Bedingung 


2k + og n)! 7 


l—-« 


k ‚wenn «« 1, 


111 fire) | cos kg dq < 


2; k 


fla+ «Du 


mr) = 
| Ig + &()] r*log log r ‚wenn @=1. 


39. Die Verteilung der Nullstellen und Pole genügt der Bedingung 


a(r) —b(r)= V. coska,— V. cos kg, [n+ «(r)] v (logr) ". 


ey «lay! &r e, «| by| <r 


Zur Illustration dieses Spezialfalles betrachten wir die ganze Funktion vom Geschlecht 
k (es ist also jetzt k eine ganze positive Zahl) 


(o-Tla-zje tm 
Ro pi 


mit den Nullstellen 
1 


an = [en (log I, — (x0, «« 1). : 


Betreffs dieser Funktion gilt, wie LINDELÖF gezeigt hat, folgende asymptotische Formel 


log f(x) — 


== An az*(logz-d-x1) ^ bzw. L 2*log (log x + 4) 
xk^(1-—a«) x k 

je nachdem ««1 oder «— 1; hierbei besteht das obere Zeichen für — 2: « q «0, das 
untere für O< q« — 27. Auf Grund dieser asymptotischen Eigenschaft erhält man unschwer 
im Falle ««— 1 


i 


6e PAT loc: S SEM cs Y 
ale re Srt Tos d (acus DIN ae 


r*(logr) ^ 


und 


2k 
k 1 — ? 1— 
r (log r) k à nr. (1007) 4 
LOC eem qmm A COS kqdq — "c 3 
T 


für «— 1 sind die Ausdrücke rechts mit 


E1 4 
Too re x 
PE SUE ee o 

I or und ixi log log r 
zu ersetzen. Ferner findet man 


a(r) e —; r ogr) ^, 


während b(r)— O0. Alles zusammengenommen sehen wir, dass die betrachtete Funktion den 
S. 48—44 formulierten Bedingungen genügt mit 
'Tom. L. 


Über die Eigenschaften analyt. Funkt. in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 45 


E m 
- 2k q— Nu VERRE ias 
Pier MN A xk^ xk^' 


TC 


und in der Tat, diese Konstantenwerte genügen der Beziehung (61) indem die Gleichheit 
NT = P + E besteht. 

Schliesslich sei noch bemerkt, dass, da bei allen oben behandelten Funktionen in der 
Relation (61) das Gleichheitszeichen besteht, hierdurch dargelegt ist, dass diese Beziehung 


unter den Voraussetzungen unseres Satzes möglichst genau ist. 


19. Als letzte Anwendung des allgemeinen in Artikel 16 hergeleiteten Prinzips beweisen 
wir folgenden Satz: 

Sei f(x) eine innerhalb und auf dem Rande des Sektors (57) reguläre Funktion mit den 
Nullstellen a, = a; | e! ^s, welche folgenden Bedingungen genügt: 

1°. Auf der geradlinigen Berandung des Sektors (57) ist 


> log | fire 25) + log | fre 29) y AQ), 
wo A(r) eine Funktion bezeichnet derart, dass das Integral 
F A) 
z 
T (o) = | aep dr 


für alle o > og unter einer endlichen Schranke T legt. 
99. Es existiert eine Konstante M derart. dass für r > 00 


T de, 


Zunächst wird nach einer schon ófters durchgeführten Abschätzung 
0 


|| a) dr ET. 


yk adl 


2 


Ferner erhält man auf Grund der zweiter Bedingung 


e 

1 fm(r) mr) ;.l-2M. 

ie 
& 


Da b(r)=0, so folgt aus diesen Ungleichungen gemäss des erwähnten allgemeinen Prinzips, 
dass zunächst das Integral 


N:o 5. 


46 F. und R. NEVANLINNA. 


(62) [Bar 
0, 


nach oben beschränkt und demnach für o-— co konvergent ist. 
Nun ist 


[^ 0, leu] «e 
woraus, dà a(r) eine positive nirgends abnehmende Funktion ist, folgt, dass 0 >o so 
bestimmt werden kann, dass 


& 0% 
à a (r) cos ko , a(r) 
à 2, 


lait 
0, eyclau|«e À 


Hieraus folgt weiter unmittelbar, dass das Integral (62) und die Reihe 


= cos ke, 


x 
l'a, | 
ey «ay «e 


für e— oo zugleich entweder konvergieren oder divergieren; da nun das Integral unter den 
Voraussetzungen des obigen Satzes sich als konvergent erwies, so konvergiert auch die Reihe 
und der Satz ist bewiesen. 


BEN TIARU MM FENNIOA 


Ad 


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"T Jue À 
pu m | rt e. y . d b 
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5 in. | mM 
: UNTERSUCHUNGEN, | 
EDEN PICARD'SCHEN SATZ 


x. 
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L » 2 
B | EE | , 
TS , U M 


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i Marre ^ "n 


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ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 
: TOM. L. N:o 6 


UNTERSUCHUNGEN 
ÜBER DEN PICARD'SCHEN SATZ 


VON 


ROLF NEVANLINNA 


(Am 19. November 1923 von E. Lindelóf und J. Lindeberg mitgeteilt) 


HELSINGFORS 1924 


veg . 


3.014433. MURATTWSITOS al ATZIDOS/ ATOA 
Pam MOT k 2 5 ij 
WQJOMUHQUOASTMU. 27 


= STAR HAHD2 AAAIM Nad 338000 


HOV 


AUNIIMAVaN JOAR 


Magen sad À ris Vati A ma ESPT- edra I mb €" 


AE 5 N 


Are HELSINGFORS 1924 
DRUCKEREI DER FINNISCHEN LITTERATURGESELLSCHAFT 


Einleitung. 


In der vorliegenden Arbeit werden diejenigen Beziehungen untersucht, welche zwischen 
dem Anwachsen einer analytischen Funktion f(x) und der Verteilung der Wurzeln der 
Gleichung 


(A) f(œ)= 2 


. für verschiedene Werte z in der Umgebung einer singulären Stelle oder Linie bestehen. 

Nachdem Prcanp seinen berühmten Satz entdeckt hatte, nach welchem die obige Gleichung 
in der Umgebung eines isolierten, wesentlich singulären Punktes höchstens für zwe Werte z 
wurzelfrei ist, entstand in natürlicher Weise die Frage, mit weleher Dichte die Wurzeln für 
verschiedene Werte z auftreten. In der Theorie der ganzen Funktionen wurde diese Frage 
von BoREL in einer bekannten Abhandlung (Acta Mathematica, T. 20, 1897) aufgeworfen 
und untersucht. Seinen bahnbrechenden Untersuchungen folgte eine ganze Reihe von Arbeiten 
verschiedener Autoren, welehe dieselbe und verwandte Probleme behandeln. In der letzten 
Zeit hat VALIRON !) die dem Prcarpschen Ideenkreis zugehörigen Fragen in mehreren Unter- 
suchungen aufgenommen und die früheren Ergebnisse wesentlich verschärft und erweitert; 
er hat u.a. bei gewissen Klassen analytischer Funktionen, die nur innerhalb eines endlichen 
Kreises regulär sind und deren Anwachsen bei Annäherung an die Randpunkte hinreichend 
stark ist, Sätze gefunden, welche den Borerschen Ergebnissen in der Theorie der ganzen 
Funktionen analog sind. 

Im Folgenden wird eine allgemeine Methode zur Untersuchung der Verteilung der Wur- 
zeln der Gleichung (A) entwickelt. Als funktionentheoretische Grundlage dient uns hierbei 
eine alleemeine Formel, in welcher eine innerhalb eines gegebenen Gebietes meromorphe 
Funktion durch die Randwerte ihres absoluten Betrages und durch ihre Nullstellen und Pole 
dargestellt wird 2); als speziellen Fall enthält sie den JENsENschen Satz. Wegen der Form 


1) G. VALIRON: a) Les théorèmes généraux de M. Borel dans la theorie des fonctions entières (Ann. Éc. Nor- 
male, 3e série, t. XXXVII, 1920, p. 219—253), b) Le théorème de M. Picard el les généralisations de M. Borel 
(©. R., t. 170, 1920, p. 167—169), c) Remarques sur le théorème de M. Picard (Bull. sc. math, 2e série, t XLIV, 
1920, p. 91—104), d) Recherches sur le théorème de M. Picard (Ann. Éc. Normale, 3esérie, t. XXXVIII, 1921, 
p. 389—429), e) Sur les zéros des fonctions entières d'ordre infini (C. R., 1921, p. 741—744), f) Recherches sur le 
théorème de M. Picard dans la théorie des fonctions entières (Ann. Éc. Normale, 3e série, t. XX XIX, 1922, p. 
317—341). 


2) Vgl. Fi und R. NEVANLINNA: Über die Eigenschaften analytischer Funktionen in der Umgebung einer sin- 


gulüren Stelle oder Linie (Acta Soc. Sc. Fennicae, t. L, N:o 5, 1922). In dieser Arbeit wird die genannte Formel. 


zur Untersuchung verschiedener funktionentheoretischer Fragen benutzt. 


N 


ND & 
S e 
d av 
cc XN EN nif J 

C 

CL 


4 ROLF NEVANLINNA. 


des letztgenannten Satzes, dessen grundlegende Bedeutung bei Fragen der hier betrachteten 
Art wohlbekannt ist, liegt es nahe die Nullstellendichte einer Funktion f(x) innerhalb eines 
Kreises durch das Anwachsen des Integrals 


’ 


N(r,f)= | "GD ar, 


0 


zu charakterisieren, wobei n(r,f) die Anzahl der Nullstellen von f(x) innerhalb des Kreises 
æ <r bezeichnet. Aus demselben Grunde ist es zweckmässig als zweite, das Anwachsen 
der Funktion f(x) charakterisierende Fundamentalgrósse den Mittelwert 


2x 
LMI EE 
m(r,f) =>, | 108 fre) dg 
D 
zu wählen, wo log f| die Zahl log f| oder Null bezeichnet, je nachdem fi>1 oder f|«1 
ist!) Aus dem Folgenden dürfte hervorgehen, dass die Einführung dieses Mittelwertes, womit . 
wir also die gewöhnlich angewandte Fundamentalgrósse M (r) —max f(x)! ersetzen, in meh- 


|Iz|-r 


reren Hinsichten vorteilhaft ist: nicht nur die Beweise gewinnen so an Kürze und Übersicht- 
liehkeit, sondern auch die Ergebnisse an Genauigkeit. 

Unsere Arbeit ist in vier Abschnitte eingeteilt. In dem ersten Abschnitt werden die in 
der folgenden Untersuchung gebrauchten Hilfsformeln zusammengestellt, Um das Wesent- 
liche unserer Methode an einem einfachen Fall deutlich hervortreten zu lassen, geben wir : 
im zweiten Abschnitt einen Beweis des speziellen Prcarpschen Satzes. In dem folgenden 
Abschnitt wird das anfangs gestellte Problem ganz allgemein behandelt. Unter der Voraus- 
setzung, dass die betrachtete analytische Funktion innerhalb eines Kreises regulàr ist, wird 
zunächst eine Ungleichung zwischen den Grössen m(r,f), N(r,f—a) und N (r,f—b) (ab) 
hergeleitet. Aus dieser Hauptungleichung folgt dann eine Reihe von Sätzen über die Ver- 
teilung der Nullstellen der Funktion f(x) —z, wobei wir zwei Fälle unterscheiden, je nach- 
dem f(x) eine ganze Funktion, oder nur innerhalb eines endlichen Kreises regulär ist. Weiter 
werden einige Betrachtungen über die Genauigkeit der erzielten Resultate angestellt?). Ir 
dem letzten Abschnitt zeigen wir schliesslich, dass die Hauptungleichung fast unverándert 
ihre Gültigkeit beibehált, falls die betrachtete analytische Funktion nur innerhalb eines 
Kreisringes regulàr angenommen wird. Es geht hieraus insbesondere hervor, dass die vorher 
bewiesenen Sätze über den Wertvorrat einer ganzen Funktion allgemeiner für jede in der 
Umgebung eines wesentlich singulären Punktes eindeutige und reguläre Funktion bestehen. 


!) Der Mittelwert m (r,f) ist, wie in der oben zitierten Arbeit gezeigt ist, eine wachsende Funktion 
von r, und genügt in cinem Kreisringe dem Dreikreissatz: Vgl. die Fussnote S. 10 in der vorliegenden 
Arbeit; siehe auch: F. Riesz: Sur les valeurs moyennes du module des fonctions harmoniques et des fonctions 
analytiques (Acta litt. ac. scient. regiae univ. Hung. Fransisco-Josephinae, sectio scient. math., t. 1, f. 1, 1922). 

?) Einen Teil dieser Ergebnisse haben wir in einer Note: Sur le théorème de M. Picard (C. R., 6 août 
1923) mitgeteilt. i 


Tom. L. 


Untersuchungen über den Picard schen. Satz. 5 


. Einige funktionentheoretische Formeln. 


1. In diesem Abschnitt wollen wir einige für das Folgende notwendige funktionentheo- 
retische Hilfsformeln zusammenstellen. Es sei f(x) eine analytische Funktion der komplexen 
Variable c — re, welche innerhalb und auf dem Rande / eines von einer endlichen Anzahl 
analytischer Kurvenstücke begrenzten, zusammenhängenden Gebietes G eindeutig und mero- 
morph ist. Die innerhalb G gelegenen Nullstellen und Pole der Funktion seien a, (u— 1, 
9,--:,m) bzw. b, (v=1,2,---,n). Es bezeichne ferner g(x,ax0) die Green'sche Funktion des 
Gebietes G mit ihrem Pol im Punkte z- zo, und —h(z,x0) die zu g(x,«o) konjugierte har- 
monische Funktion. Dann gilt die Darstellung 


log f(x) = y „| 18 f (5) dh (5,2) — Luc. a+ Doc, b) 


in jedem inneren Punkt von G!); bei der Integration soll hier der Randpunkt & den Rand Ir 
in positiver Richtung durchlaufen. 

Im Folgenden brauchen wir diese Formel in dem besonderen Fall, wo G ein Kreis 2|<o 
ist. Dann wird 


E De ir sh 
| h (5,2) = —arg PS = KR (7108 [m 8) (0 — Fa), 


olx—- 


wo x und.3 die zu x bzw. 3 konjugierten Zahlen bezeichnen, und also für r- o 


27 
x N E ;9 g-n ON |e*—a,æ | St 
(1) log | frein) — 3, [108 fee‘ ere ds DE | + +Y og & -— 
: 0 


Fügt man in (1) auf beiden Seiten die konjugierten harmonischen Funktionen mit 4 
multipliziert hinzu, so ergibt sich für logf(x) die Darstellung 


Q)  logf(a)- A dw CDI 049 VY 08 e y log e iC, 


wo C eine geeignet gewählte reelle Konstante ist. Ausser von dieser Darstellung, die von 
fundamentaler Bedeutung für die folgende Untersuchung sein wird, werden wir von der 
JENsENSChen Formel 


2x » 
1 À € 8 
(3) log #0) = 51, | Weite”) Nies e Yon p 
; | 


Gebrauch machen; sie ist in der »PorssoN-JENsENschen» Formel (1) als spezieller Fall (x = 0) 
enthalten. Um die Beziehung (3) auf eine für die Anwendungen zweckmässige Form zu 


1) Vgl. die S, 3 zitierte Arbeit von F. und R. NEVANLINNA, insb. S. 7. 
N:o 6, 


6 Rozr NEVANLINNA. 


bringen, führen wir folgende Bezeichnungen ein: Es sei n(r,f) die Anzahl der Nullstellen von 
f(x) innerhalb des Kreises z|- r, und + 


12 
1 


| L| fog |f (re 
| m (rf) 5 4 log |f(re”)|dg, 


0 
wo log |f | gleich log|f oder Null ist, je nachdem fl >1 oder f <1 ist. Beachtet man 


+ + 
dass demnach log|f = log|f| log a ist, so kann man die JENsENsche Formel durch eine 


7 
leichte Umformung der rechtsstehenden Summen in folgender Form schreiben: 


(4) am (r, f) + Nr, 5) = m (r, 7) TN (rf) + Co, 


wo C,=log f(0) von r unabhängig ist. Diese Formel setzt voraus, dass f(0) endlich und 
von Null verschieden ist. Ist dies nicht der Fall, sondern ist der Punkt 2=0 z.B. eine 


f (a) 


no (f)-fache Nullstelle von f(x), so kann die Formel (4) auf die Funktion f(x) = got) ange- 


wandt werden. Man findet so ohne Mühe 


(a) m, f) HN (rn) mr) + N GP) + Co + n log 


wobei C,— log|f(0),, und N (r,f) jetzt das Integral 


fröna 
f t 


) 


N (r, f)= 


bezeichnet. In analoger Weise wird die Jensensche Formel modifiziert falls der Nullpunkt 
ein Pol ist. 

Wir heben ausdrücklich hervor, dass sämtliche von r abhängigen Glieder der JENsENschen 
Formel (4), ausser möglicherweise dem letzten, nicht negativ sind. Lässt man also einzelne 
dieser vier Glieder weg, so geht die Gleichheit (4) in eine Ungleichung über, deren Richtung 
auf Grund des eben erwähnten Umstandes unmittelbar zu ersehen ist. In dieser Weise werden 
wir die Formel (4)’ mehrmals anwenden. 


Zuletzt wollen wir auf zwei einfache Ungleichungen hinweisen, von denen im Folgenden 
wiederholt Gebrauch gemacht wird, und die unmittelbare Folgerungen der Definition der 


Zahl log t sind: Wenn @,,@,::-,«, reelle, nichtnegative Zahlen bezeichnen, so gilt 


+ + + . x 
(5) log (a, «s > - > ap) log e, + log e; + - - - + loge, 
und 
3 3e + + 
(6) log (e, + «4 +: +: + e) € log e; + log ag + + - : + loge, + log p. 


Tom. L. 


Umtersuchungen über den Picard schen Salz. 7 


II. Beweis des speziellen Picard'schen Satzes. 


2, Der spezielle PrcAmpsche Satz besagt, dass eine ganze Funktion jeden endlichen Wert, 
ausser möglicherweise einem einzigen, annehmen muss, es sie denn dass sie sich auf eine 
Konstante reduziert, Der Gang des von BorREL gegebenen »elementáren» Beweises dieses Satzes 
ist in aller Kürze folgender: Unter der Annahme, dass die ganze Funktion f(x) von zwei 
‚endlichen Werten verschieden ist, wird eine Ungleichung zwischen zwei verschiedenen Werten 
M(r,) und M(r;) des Maximalmoduls M (r) = max|f(v)| aufgestellt; dann wird gezeigt, 
dass. diese Ungleichung zu einem Widerspruch führt, wenn f(x) nicht in der ganzen Ebene 
konstant ist. Ein ähnlicher Gedanke liegt auch dem nachstehenden Beweise zu Grunde, mit 
dem Unterschied, dass wir die Grösse log M (r) durch den Mittelwert m (r,f) ersetzen. 

Sei also f(x) eine ganze Funktion, die in jedem endlichen Punkt der Ebene von zwei 
endlichen Werten a und b (a=<b) verschieden ist; es soll gezeigt werden, dass f(x) sich auf 
eine Konstante reduzieren muss. Wir führen den Beweis indirekt und nehmen also an, dass 
f(x) nicht in der ganzen Ebene einen konstanten Wert beibehält; es existiert dann mindestens 
ein endlicher Punkt z- x,, wo die Ableitung f’(x) von Null verschieden ist. Einen solchen 
Punkt x, wáhlen wir im Folgenden als Nullpunkt der Zahlenebene. 


3. Nach diesen Festsetzungen zeigen wir zunächst, dass eine Konstante C von der Art 
existiert, dass die Ungleichung 
UE E d 
(7) m (r,f) « € -- m (r, — 
für jedes r — o besteht!) In der Tat ist |f = (f-a)+a/< f-a+|a und also nach der 


+ + + 
Ungleichung (6): log f <log f—a --log a +log2; es ist somit zunächst 
(7) m (r, f) « € + m (r, f — 0). 


Wendet man nun die Jensexsche Formel (4) auf die Funktion f — «a an, so ergibt sich ferner, 


da f(x) regulär und a, und demnach N (r,f— a) = N(r, = 0 ist, 


(DA m (r,f— a) = C + mr, =), : 


wo C die endliche Konstante log |f(0)— « bezeichnet. Schliesslich folgt aus der Identität 


ne) 


al z a-b|\f-a 
oder unter Benutzung der Ungleichungen (5) und (6) 


log. a 
s D BÉ 
08 Fa D 


f-b 


+ log "ER 


-- log 2, 
wonach 


1) [m Folgenden wird jede von r unabhängige Grösse kurz mit © bezeichnet. 


N:o 6. 


8 ROLF NEVANLINNA. 


m : 1 f-b 
ist. Durch Verbindung der Beziehungen (7), (7)" und (7)” ergibt sich die zu beweisende 
Ungleichung (7). 


Wir schreiben jetzt 
ENE se fient A) > 
f(z)—-a| -|f(zy-a|| f' (x) | 


und erhalten mittels der Ungleichung (5) 


fx oz Ti it 
(8) mr, = Jem (ra) + mår, FT )- 
Das letzte Glied wird hier wieder mittels der Jensenschen Formel (4) abgeschátzt, Bemerkt 
man, dass f(r)z£b, und dass der Ausdruck N (r. en demnach identisch verschwindet, so 
ergibt diese Formel, wenn sie auf die Funktion P angewandt wird, 
A Best S j2 j" i 
(9) m(r, xn) =C+m(r, en = N(r, JE: C + m (r, ue 
wo C — log | u. endlich ist. Nach (7) findet man also mit Berücksichtigung von (8) und 
(9), dass 
ni it" 
(10) m (rf) C -m (r. zL) A mr, ES) 


für jedes r > 0 ist. 


4. Von den funktionentheoretischen Formeln des ersten Abschnittes haben wir bis jetzt 
nur den Jensenschen Satz benutzt. Zur. weiteren Abschätzung der zwei letzten Glieder in 
(10) brauchen wir jetzt die Darstellung (2). Wird diese Beziehung auf die Funktion f(x) — a 
in einem Kreis x! <o angewandt, so ergibt sich durch Differentiation, da die von den 
Nullstellen und Polen herrührenden Glieder im vorliegenden Falle fehlen, 


2x 
fm v i9 NO DIR Te 
fa te] udi Mint e rd 
und also für |z|— r(« 0): 
27 
(x) | 2 if 
(11) [E eee as | loglf (os?) alas. 
0 


+ + - 
Nun ist, da | logt = logé + log; für 1220, 


sf ton f (o?) a | d9 = mg, f —a) + m[e, =) 
D 


Eliminiert man hier das letzte Glied dureh die Gleichung (7)" (wo o statt r zu schreiben 


+ + 
ist), und bemerkt man, dass log|f—a|-«log(|f + al «log f| + log a 4-log2, und also 
m (0,1 —a) — C + m(o,f), so findet man, dass _ 


Mon. 


Untersuchungen über den Picard'schen Satz. 9 


2x 


2 fog] f (ed?) — a |d9 — C + 2m(o, f). 


0 


und also nach (11), dass 
(uy LÉ ec 6 (C + 2m (o. )) 


Ifa) -a | = D; 


ist. Unter Anwendung der Ungleichungen (5) und (6) folgt hieraus schliesslich die für 
0<r<o gültige Br 


(12) m (r, FL —)< C+loge+ 2108 2, + logm (o, TUS 
Dieselbe Beziehung besteht offenbar auch, wenn a mit b ersetzt wird. 


5. Ersetzt man nun die zwei letzten Glieder der Formel (10) mit den soeben gefundenen 
Schranken, so ergibt sich die am Anfang dieses Abschnitts in Aussicht gestellte fundamentale 
Ungleichung 

är SF 1 s zi 
(13) m (r,f) C + 210ge + 4log ,+ 21log m (o, f), 


die für O<r<{o besteht, und wo C eine von r und o unabhängige Grösse ist. 
Um die Einwirkung der Bedingung (13) auf das Anwachsen des Mittelwertes m (r, f) 
näher zu untersuchen, wählen wir eine beliebige Zahl 0°>0 und setzen 


(14) ere 


: Dann multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung (13) mit wo k >0, und integ- 


dr 

prp 
rieren von r=0o,(<o’) bis r— o'. Man sieht unmittelbar ein dass die Integrale, welche 
von den drei ersten Gliedern der rechten Seite herrühren, für jedes o'- o9 unter endlichen, 


von o' unabhängigen Schranken liegen!). Zur Abschätzung des vierten Integrals 


1) Es ist, da o nach (14) nicht grösser als » +1 ist, 


e oo 
Cdr "T CORR s Gr, frere Flo ena, 
RUE HI kok 
0 
00 [7 Oo 
Ferner ist 
A ge NU fe o I: p: TT a eda 
ILE Jr € al a )-; Lo log 2" = à JAN 
. QT „srl. o'—r ot yk ko" nm = d Dr pink 
00 00 GS % > 


Hier hat das erste Glied rechts für po, <0o'<0& ein endliches Maximum; ferner ist 


k 
? 
ke v zt 1 a ) TET 
— (er n ANKER Holen 
PH rt 
e 
wo h die grössere der Zahlen 1 und k bezeichnet, und das zweite Glied rechts also kleiner als 


e e = 
h dr _h dr h dr h 
a] Mer [ne | rl ka g* 
[uU 


00 LA 0o 


womit die Behauptung nachgewiesen ist. 


[ev] 


N:o 6, 


10 Rozr NEVANLINNA. 


bemerke man, dass ^1 i und de — (1 me) dr, wonach 


dar PNIS 
yes log m (of) (e iios = pee o jn en (e, Da. 
mon = 1 kl 
n E ES 0 ? 
o 00 
Als Resultat der Integration ergibt sich also im Ganzen die Ungleichung 


e 


9 
(15) : deem du < (Ch 068 10g m (r, Ji) dr, 


k+1 TET 
00 00 


die für o'- o, gültig ist, und wo C, und C, von o' unabhängig sind. 
Aus der letzten Ungleichung folgt unmittelbar, dass das Integral 


. m (r, f) 
(16) fee zn Ar 
0 


für k — 0 konvergent ist. Wäre es nämlich für ein gewisses k — 0 divergent, so müsste 
m(r,f), die eine wachsende Funktion von r ist!), für r— oo unbeschränkt wachsen; demnach 


an : 
wäre logm(r,f) = &(r)m(r,f), wo s(r) eine für r—oo verschwindende Grösse bezeichnet 2). 
Es wäre aber dann auch 


1) Dass m(r, f) eine wachsende Funktion von r ist, ergibt sich leicht mittels der Formel (1) (S. 5), 


nach welcher die Ungleichung 
Tu 


op? — 7? U í 
T log If (oe? ee CCE Lis o (9) 
0 


log |f (re?) |<; 


+ 
für r «c besteht. Die harmonische Funktion U, (r,q) ist nichtnegativ, und es ist somit auch log | f(r ei) |< 


U,(r, go), oder 
27 


m (r, f.) c fe (r.g) dp —U,(0) 2m(o,f), w. z. b. w. 
In [2 e 
0 
In einem Kreisring r,<r<r, genügt m(r,f) dem Dreikreissatz. Bezeichnet U(x) diejenige in diesem 
Kreisringe X harmonische Funktion, welche auf den Randkreisen |r|—7, und |æ|=—7, die Randwerte 
ES F = 
log|f(x)| annimmt, so ist auf dem Rande von K: log|f|<U, und daher im ganzen Gebiete K: log|f|<U, 
27 

Folglich ist auch mun<z, [ocean Der letzte Ausdruck ist aber, wie man z.B. mittels der in dem 

27 


0 
letzten Abschnitt dieser Arbeit angegebenen verallgemeinerten JENSENschen Formel (77) unmittelbar einsieht, 


in dem Intervalle »,<r<r,, eine lineüre Funktion von logr, die in den Endpunkten r=r, und r—», die 
Werte m(r,,f) bzw. m(r,,f) annimmt. Hieraus folgt die Behauptung unmittelbar. 


?) Diese Bezeichnung wird im Folgenden für jede mit I verschwindende Zahl beibehalten. 
x 


Tom. L. 


Untersuchungen über den Picard'schen Salz. 11 


Tn f) m (r. Dg 
Í RES dr — «J^ PE fä 
00 


was wegen (15) unmöglich ist. 
Das Integral (16) ist also für jedes k > 0 konvergent. Bezeichnet « eine beliebig kleine 
positive Zahl, so existiert daher eine Zahl r- von der Art, dass 


oo 


"mit,f dt (r, f) 
E > | E men] an = ed 
für r > r. ist; es ist folglich für jedes k 0 
J ( ^, 
an ar 


Diese Beziehung führt nun unmittelbar zu einem Widerspruch. In der Tat ist nach (11) 


ed lee) 


für jedes o > |; lässt man o hier ins Unendliche wachsen, so strebt der Ausdruck rechts 
wegen (17) für jedes endliche x gegen Null. Man schliesst also dass f'(x) identisch ver- 
schwinden muss, und dass folglich f(x), im Widerspruch mit der anfangs gemachten Vor- 
aussetzung, sich auf eine Konstante reduziert. Der Beweis des speziellen Pıcarpschen Satzes 


ist hiermit erbracht. 


II. Über die Verteilung der Nullstellen der Funktion f(x)=z 


für verschiedene Werte z. 


6. In diesem Abschnitt lassen wir die oben gemachte Voraussetzung fallen, dass die 
betrachtete analytische Funktion von zwei endlichen Werten a und b verschieden ist. Die in 
dem ersten Abschnitt angegebenen Formeln führen dann durch die oben entwickelte Methode 
zu einer wichtigen Ungleichung zwischen dem Mittelwert m (r, f) und den Anzahlen m (r, f — a) 
und n(r,f—b) der a- bzw. b-Stellen der Funktion; diese grundlegende Ungleichung, welche 
die im vorhergehenden Abschnitt hergeleitete Formel (13) als speziellen Fall enthält, führt 
zu einer Reihe von Sätzen über den Wertvorrat einer analytischen Funktion in der Umgebung 
einer singulären Stelle oder Linie. 

Um die erwähnte Grundbeziehung sogleich unter möglichst allgemeinen Voraussetzungen 
herzuleiten, nehmen wir im Folgenden an, f(x) sei eine analytische Funktion, die innerhalb 
eines Kreises |c | <R eindeutig, regulär und nicht konstant ist. Die Taytorsche Entwicklung 
von f(x) in der Umgebung des Nullpunktes sei 


f(x)- ey + et? +oprıartit.--, 


wo der Koeffizient c, (p>1) von Null verschieden angenommen wird. 
N:o 6. 


12 ROLF NEVANLINNA. 


7. Es seien a und b zwei beliebig gegebene, von einander verschiedene, endliche Zahlen. 
Dem im vorigen Abschnitt eingeschlagenen Weg folgend zeigen wir zunächst, dass eine positive 
Konstante C von der Art existiert, dass die Ungleichung 


: 25 n 
(18) m (r,f) CC + plog r + N (r,f —a) + m (r. f— =) 


für jedes r<R besteht. Die Richtigkeit dieser Beziehung ergibt sich unmittelbar durch 
Verbindung der einfachen Ungleichungen (7) und (7)'" (vgl. S. 7, 8) und der Ungleichung 


+ 
m (r,f —a) <C+plogr+N(r,f —a) + m (r 7 jJ 


+ + 
die aus der Jensenschen Formel (4) folgt, und wo C=log|c,„— «| oder loge, ist, je 
nachdem c, <a oder „=. ist. 


Zur Abschätzung des Ausdrucks m (r. =) machen wir wieder von der Ungleichung (8) 


(S. 8) Gebrauch. Für das letzte Glied dieser Ungleichung findet man mittels der JEnsenschen 
Formel jetzt den Wert 


m(r I) = av + 8 loge — N (ru) ev (n I) em (rz). 


WO = log |, Bo— 1—p, falls ob, und «y = 1085, Bo = 1, falls c,=b. Es ist also 
À 
jedenfalls 


gf bil ar 1 an 2 T Ju 
09 — m(n/7 «1057 e plog +logr + NG f). NP) m(n sly): 
Nach (18), (8) und (19) schliesst man, dass die Ungleichung 
3 SEI 22 ; ; 
mr, f) « € t plog . -- (p - 1)logr - N (r, f —a) - N (rf —5) —N (rf) 
f DER 
mn tn) 


für jedes r — H besteht; C bezeichnet hierbei eine nur von a, b, c, und c, abhängige Grösse. 


(20) 


8. Die zwei letzten Glieder der Beziehung (20) werden, wie vorher, mittels der Formel 
(2) (S. 5) abgeschátzt. Durch Differentiation findet man für die logarithmische Ableitung der 
Funktion f(r)— « die für |x|<o gültige Darstellung 


NEC), Le el iy 2 2 y dsl es UD 
c 4 fonte: a cud UN 5 
L 


Te (£ = a) (0 - Ze 


wobei a, (w — 1,2,---) die Nullstellen von f(x)—a bezeichnen. Es ist demnach für |z|= 
r<e<R 


De 9? — |a, |? 
(21) Le ct f f (o69) —a||d9 + M Jam m 


@- ry 2 en a, le ae 


"Tom. L. 


— (€ RARE 


Untersuchungen über den Picard'schen Salz. 13 


Hier schreiben wir wie vorher 
27 


=) log Fee?) — al d9—m(e,f— a) + me, =) 


0 


und eliminieren das letzte Glied mittels der JENsENSchen Formel (4): 
m (e ey —)= C-m(f-a)loegr — N (o, f — a) + m(o,f — a) 
C 4 plog | m (o, f — 0), 
wo C= log —— i oder log i ist, jenachdem ec, <a oder c,— «. Beachtet man noch 
. | Co | | Cp 
dass m(e,f—a)<m(o,f)+loglal+log2 ist, so folgt dass 


(22) fl log feed) — a| d$ <C+plog! + 9m (o, fy, 


wo c nur von &, c, und c, abhängt. 
Zur Abschätzung der rechtsstehenden Summe in (21) bemerke man dass |0?— d„2|> 
9'—|a,|r > 0 (0 —r), und also 


(-—!la,l* 0 (o* —|q, 2)| g?—a, x 
S ro > cog ve ) | 
(83) z—a,|e'—a,c| - Tee EE ry | Pe nu (0) Ia 
wo Wir 
0 a, æ 
gu) = Tr 
eG - ay) 


gesetzt haben. Durch (22) und (23) folgt nun aus (21), dass 


At = lc + 2p log! + 4m (o, f) + NX Pu (2) | | 


au |«o 
z|\=r<e<R ist. Bemerkt man dass die Anzahl der Glieder der rechtsstehenden 
Summe n(o,f— a) beträgt, so schliesst man weiter unter Anwendung der Ungleichungen (5) 
und (6), dass 


log L^ € 2410 108 + 108 (plog +) + 108 
Baal + logo + 2108 — + og(p 08.) + og m (o, f) 


+ logn(o,f = a) + > log | qu (2), 


ay |<e 


+ xb 
und demmach, da log (v log „)<plog 


3 + 
mr, ; Fi) ce nhe; log e- 21g. + log m(e,f) 
(24) . 
+ logn(e,f—a) + Y, m gu). 
lay | «o 
Die Grösse C hängt hierbei wieder nur von c,, c, und a ab. 


N:o 6. 


14 ROLF NEVANLINN A. 


Die Mittelwerte m(r,q,) lassen sich einfach mittels der Jensenschen Formel berechnen. 
Beachtet man dass |q, (x)| >1 für «|<e und dass folglich m (r. „.)=0 ist, so findet 
man dass 1 

m (r, qj) = log | ga (0)|= 108 à js falls r<|a,|<e, 
? 

m (r, ga) = log | ga (0) | — log —— — log*, falls |a, | Cr. 
LL 


Es ist somit 
e 


Me fp.) = n (r, f — a) log {+ > log 7 c meu 
pl 4 


[7 «co r<a,<e 


= N (e, f —a) — N (rf — a) + n (f — a)log?. . 


Setzt man diesen Wert in die Beziehung (24) ein und beachtet man, dass n,(f — a) log* 


+ + 
< p (log e + log >)» so wird also schliesslich 


fi +1 + + I + 
m (r, +) <C+2plg,+(@p+1loge + 2log er + log m (o. f) 
4- 
+ logn(o,f — a) + N (o,f —a) — N (r f — a), 
wo C nur von a, & und e, abhängt. Es ist klar, dass dasselbe Resultat gültig ist, wenn a 


mit b vertauscht wird. 


9. Führt man die eben gefundenen oberen Schranken der Mittelwerte qm (r. s) (2 — a,b) 
in die Ungleichung (20) ein, so ergibt sich die in Aussicht gestellte fundamentale Beziehung 
+1 + + 4 N 
m (r, f) « € + 6p (og, + log o) + 4Iog- EN (o,f —a) + N (o,f —b) — N (r, f^) 
(25) + + dus 
+92]logm(o,f)+logn(e,f —a)+logn(e,f—b), 
die also für 0<r<e<R besteht, und wo die Grösse C nur von a, b, c, und c, abhängt. 


Um diese Formel auf eine einfachere Form zu bringen, eliminieren wir noch die zwei 
letzten Glieder. Nach der JExsENschen Formel ist einerseits für o' « R 


N (e f —a) = C — no (f — a) loge --m ^ f — a) —m(e^ i.) 
« C — n, (f — a)log o' ++ m (g^, f — a), 


während andererseits für o < o' 


C4 : 
Nq^ fa) | tmm E Pap [n (o, f — a) — no (f— log‘. 


Es ist also 
n (0, f —a)log? X C —ny(f —a)loge + me, f — a). 


+ 
Hier ist — n4 (f — a) log o < plog zi wählt man ferner insbesondere 


Tom. L. 


Ot 


Untersuchungen über den Picard' schen. Salz. 1! 


fan 
(26) 0-5, 


r 


80 wird : =1+ FET Al = , und wegen der für 0<t<1 gültigen Ungleichung log (1 + t) 


> tlog2, log $ > $57 log2. Man findet also 
n( clay da AUREIS DP TOR a) 
0, (o! —r log 2 1 0 0 , ? 


oder unter Anwendung der Ungleichungen (5) und (6) 


är IT är Ar 1 ES ; 
log n (o, f —a) « C - plog- + log o' + le 7; + log m (o^, f); 


hierbei hängt C wieder nur von a,c, und c, ab. Die b-Stellenanzahl m(o,f — b) genügt einer 
analogen Ungleichung. 

Wir eliminieren nun die zwei letzten Glieder der Beziehung (25) durch die zuletzt ge- 
fundenen Ungleiehungen. Führt man noch den Wert (26) für o ein und bemerkt man, dass 
m(e,f)<m(e’,f) und N(o,f-2)<N (e’,f— 2), so gelangt man schliesslich zu folgendem 
Endergebnis (indem wir wieder o statt o’ schreiben): 

Es se 

f (z) = Go + Op 2 ey ciat b ee (e, £ 0) 


eine für x <R eindeutige und reguläre analytische Funktion. Dann existiert für jedes a und b 
(a Eb) eine nur von co, cp, a und b abhängige, endliche Konstante C derart, dass die Ungleichung 


+] + ML | 
(27) m (r, f) LC + 8p (log > t log o) + 6log TEN 


FEN CCP E V EN CO EID ENG Per) 


für 0« r« o« R git. 
Die Ungleichung (27) gilt a fortiori, wenn das Glied — N (r,f auf der rechten Seite 
weggelassen wird. | 


10. Wir gehen im Folgenden zu den Anwendungen der Grundbeziehung (27) äber und 
unterscheiden hierbei zwei Hauptfälle, je nachdem À unendlich oder endlich ist. Es sei 
zunächst f(x) eine ganze Funktion: die Ungleichung (27) besteht dann für beliebig grosse 
Werte r und o(>r). Wie behandeln sie dann weiter genau so wie die speziellere Ungleichung 
(13) im vorigen Abschnitt. Es sei also o' eine beliebige positive Zahl; man setze dann 

o=Tr + 2 => 2 
0 


dr 


multipliziere beide Seiten von (27) mit „;,(k>0) und integriere von r— 9, 7» 0 bis r— e' 
j 


(o, < 0’). Die Summe der aus den drei ersten Gliedern der rechten Seite stammenden Integ- 
rale liegt für &,<o’<oo unter einer festen, endlichen Schranke C (vgl. die Fussnote S. 9), 
und es wird also 


N:o 6. 


16 ROLF NEVANLINNA. 


o 


kd 1 


[4 x DUI: 
(28) jen Mar <C + FRS x A tee 
00 0o 


00 


Bemerkt man, dass DE 1 + : und do = dr (1 — s 80 folgt ferner 


"N(e,f-z 
(29) an 


, und in derselben Weise 


+ 
(29) fena, «Qr D log me 
o" 


00 


(e — a,b), 


Es bezeichne t, >1 eine Zahl von der Art, dass log t so für t>i, ist; für COS «t, ist 


+ + 
wieder logt<logt,, und es ist also jedenfalls logt < log t, + a Demnach wird 


(80) f ogm (À dr «io [tta feuer 


wo das erste Integral rechts für jedes o’>o, kleiner als log fe 


Schranken (29) und (30) in die Ungleichung (28) ein, so folgt unmittelbar, dass 


" 
(31) je Ar =C, «a fre for fon ar 


00 


ist. Führt man nun die 


für jedes 0 >o, und k 0 ist. Die Grössen C, und C, sind hierbei von eo unabhängig: 


C, = 2C' hängt nur von o, und k, C, nur von a, b, Co, %, p, og und k ab. 
Wenn das Integral 


"m (r, f) 
(32) | ET dr 


00 


divergent ist, so kann die Ungleichung (31) durch 


[o 


e 
(33) | un - a «e | N (rf er (7, f- DA 


2o 


ersetzt werden. Aus der Voraussetzung folgt nämlich mittels der Ungleichung (31) zunächst, 
dass auch das rechtsstehende Integral für o'— oo divergent ist. Unter Beachtung der 


Beziéhung (29) schliesst man hieraus, dass 


Tom. L. 


Untersuchungen über den Pacard'schen Satz. 17 


^ 2 
NG f- en E E | ae E Ned: + 6(0)) de = 


0 
2o 0o 


a+e(0 | Nga Hir ig, 


Ferner ist nach (29)' 


+1 RES kH I 
00 00 00 


ET N qr - [Semen f) asc [nmn P e(y) dr = «( oje: EA 


Die behauptete Ungleichung (33) folgt nun aus den zwei letztgeschriebenen Beziehungen in 
Verbindung mit (28). 

Zusammenfassend haben wir also folgendes Ergebnis: 

Wenn f(x) eine ganze Funktion ist, und a und b zwei endliche, von einander verschiedene 
Zahlen bezeichnen, so besteht für o' >. >0 und k >0 die Ungleichung 


FEI 


Gel MA n 
JP ar < o c. | N(r,of-a)-Nt(r.f- Da 
r a 


00 00 


wobei C, nur von ov und k, C, nur von a, b, cy, Cp> p, o und k abhängt. 
Diese Ungleichung kann, falls das Integral (32) divergent ist, durch die Beziehung (33) 
ersetzt werden. 


11. Als erste Anwendung des eben ausgesprochenen Satzes wollen wir folgendes Korol- 
lar!) beweisen. 

Es sei f(x) eine ganze Funktion, und r,(z) (« — 1,2,---) die absoluten Beträge der Null- 
stellen von f(x) —2z. Wenn dann, für ein gewisses k > 0, die Reihe 


v NE 
(84) Hé) 
u=1 
für zwei verschiedene Werte 2 konvergent ist, so konvergiert auch das Integral 
log M (r) 
(35) Î RT dr, 
wo M (r) = a f (x)|, und es «st 
(35) M (r) = et de 


Aus der Ungleichung (31) folgt zunächst, dass das Integral (32) sicher konvergent ist, 
sobald das Integral 


1) VALIRON hat den nachstehenden Satz unter der Annahme bewiesen, dass f(x) eine ganze Funktion 
endlicher Ordnung ist (C. R., 18 avril 1922). 


N:o 6. 3 


18 RoLF NEVANLINNA. 


für zwei verschiedene Werte z konvergent ist. Zum Beweise genügt es also, wenn wir zeigen, 
dass einerseits das Integral (36) und die Reihe (34), andererseits die Integrale (32) und (35) 
gleichzeitig konvergent oder divergent sind. In der Tat findet man durch partielle Integration 


e e 

Nr, f-2) N (Qo, f — 2) N (e, f — 2) 1 n (r, f —2) — ny(f — 2) 

(37) r ne Ur ko ko FE pe +1 ie 
5 0 D: 


wonach das Integral (36) konvergent ist, falls das Integral 
(88) ea 
£o 


konvergiert. Wird jenes Integral umgekehrt konvergent angenommen, so ist 


"N(r,f— z) id dr N(o,f-z 
PSE ar 200,1 |, = TE 
e e 
Dieser letzte Ausdruck verschwindet also für o — oc, und mam schliesst somit, dass das letzte 
Glied der Ungleichung (37) für o — co endlich bleibt, woraus die Konvergenz von (38) folgt. 
Die Integrale (36) und (38) sind also gleichzeitig konvergent oder divergent. Mittels der Formel 


[] 
irr yer 2 ET 1 
Se one 
D à ey ry (2) e 
beweist man ferner in genau derselben Weise, dass auch das Integral (88) und die Reihe (34) 
in Bezug auf Konvergenz und Divergenz gleichwertig sind, womit der erste Teil der Be- 
hauptung nachgewiesen ist. 
Um zu zeigen, dass auch die Integrale (32) und (35) gleichzeitig konvergent oder divergent 
Sind, bemerken wir zunächst dass 


m (r, f ZI log |f (re?) | dq < log M (r). 


Eine Ungleichung von umgekehrter Richtung ergibt sich mittels der Formel (1) (S. 5). Be- 
zeichnen a,(w —1,2,---) die Nullstellen von f(x), so ist für r «o 


27 
i9 pr? » Tan 2 
El 2x | og If (ge^ )]- e!+r:— 2 yr cos (8 — ed ez - a,) 
0 laul<e 
27 
19 e®—r € 
xg. | 108100) Lo 
0 
und also 


Tom. L. 


Untersuchungen. über den Picard'schen Satz. 19 


e+rr 
(39) log M()<—,m (0, f). 
Für e=gqr (q >1) ist folglich 
(39) m (r, f) «log m) € 1*1 im (gr, f), 
oder 
2? 
[tas foit DR «i fra a ra u 
* 
0o 00 


woraus die Behauptung unmittelbar folgt. Die Beziehung (35) ergibt sich schliesslich als 
Folge der Konvergenz des Integrals (35). 


19. Als zweite Anwendung des Satzes auf S. 17 werden wir durch Kombination der 
Ungleichung (81) mit der Grundungleichung (27) eine Abschätzung des Mittelwertes m (r, f) 
selbst, sowie des Maximalmoduls M (r) geben. Setzen wir z.B. k — 1, so folgt aus (31) zu- 
nächst, dass 


d Der e 
JEEP ar < o, +0, [RON 6£-9 ar c o, + EN, — a) + ND), 


[4] 


während andererseits für og « o < o' 


e 4 g 
(r, th d p ze 
| = e dr> | zt ar > m(e,1) | mop ONE Temp. 
00 e e 

Es wird also 


m(,f) & + UN SEL) e N (hf) 


oder durch Anwendung der Ungleichungen (5) und (6): 


+ + + 1 + 
logm (o, f) <C + 2108 o' + 108 + log (N (e f — a) + N(e',f—b)). 


Hier hängt C nur von C,, C, und @, d.h. (vgl. den Satz S. 17) nur von a, b, Co, Cp» p, 
ov und k(— 1) ab. Eliminiert man nun das letzte Glied der Beziehung (27) durch die obige 
Ungleichung, so findet man, wenn man o = een setzt und wieder einfach o statt o' schreibt, 
folgendes Ergebnis: À 

Es sei f(x) = © + ca? +: (e, 250) eine für |z|« HR reguläre analytische Funktion. 
Bezeichnen a und b zwei endliche, von einander verschiedene Zahlen, und os eine beliebige posi- 
tive Zahl <R, so existieren zwei mur von a, b, cy, c,, p und oy abhängige Grössen C, und C, 
derart, dass die Ungleichung 


+ + 
coge nettes + C,logo + 10108 — + N (e. f a) + N (gf 9) - N f) 


+ 
+ 410g (N (o, f — a) + N (e, f — b) 


für oy « r « o LR besteht. 
N:o 6. 


0 =: ROLF NEVANLINNA. 


Aus (40) ergibt sich insbesondere der Folgesatz: 
Wenn f(x) eine ganze transzendente Funktion ist, so gilt für jedes endliche a,b (ab) 
und e>r: 


(41) m (r,1)+ Nr, f) « 1010g — 


CET 


+(+:(0))(N(e,f— a) + N (e, f —b)). 


Da der Unendlichkeitspunkt nach Voraussetzung eine wesentlich singuläre Stelle ist, so 
ist nämlich [n(r,f — a) + n(r,f —b)] — co für r — oo, und demnach log o — (o) [N (o, f — a) + 
N(e,f—b)], woraus die Behauptung unmittelbar folgt. 

Wir machen noch auf folgendes Korollar der Ungleichung (41) aufmerksam: 

Es sei f(x) eme ganze transzendente Funktion. Bezeichnet q eine Zahl > 1, und & eine 
beliebig kleime positive Zahl, so besteht die Ungleichung 


(42) log M(2)< (51 +) IN (e f —) - N (e, f — 91 


von einem gewissen Wert o ab. 


Aus (41) folgt nämlich zunächst, wenn r- o — 1 gesetzt wird, 


m (o —1,f) << (1+e(e)) [N (o, f — a) - N (o, f — )], 


und aus (39) für r«o—1 
CNET 
log M(< mo — 1, f). 
Setzt man o = qr so ergibt sich die behauptete Beziehung (42) unmittelbar durch Verbindung 
der zwei letzten Ungleichungen. 


VALIRON hat früher die Ungleichung 


(49) log M (5) < CIN (e, f — a) - Ne, f—b)] 


mit einem weniger scharfen Wert der Konstante C als der obige (+ +e) für eine ganze 
Funktion endlicher Ordnung bewiesen. Für ganze Funktionen unendlicher Ordnung hat er 


eine weniger genaue Ungleichung gegeben, die aus (42)' hervorgeht, wenn die linke Seite durch 


1—e& 
[log M (2) ersetzt wird, wo s eine beliebig kleine positive Zahl bezeichnet. 1) 


13. Aus der obigen Untersuchung ist hervorgegangen, dass eine ganze Funktion f(x), 
bei gegebener Verteilung der Wurzeln der Gleichung f(x)-— 2 für zwei verschiedene Werte z, 
nicht beliebig stark für |x|— co ins Unendliche wachsen kann. Nun kennt man aber auch 
Ungleichungen, die etwas in umgekehrter Richtung aussagen, indem sie zeigen, dass das An- 
wachsen von f(x), bei gegebener Dichte der Nullstellen von f(x) — 2 für irgendeinen Wert z, 
in der Umgebung des Unendlichkeitspunktes auch nicht beliebig schwach sein kann, es sei 
denn dass f(x) konstant gleich z ist. Von derartigen Sätzen sind vor allem diejenigen zu 


!) Vgl. die in der Fussnote 1) S. 3 unter f) zitierte Arbeit. 


'l'om. 1. 


——"—— — 


Untersuchungen über den Picard'schen Satz. 21 


nennen, welche Folgerungen der Jensenschen Formel sind.) Wendet man diese Formel auf 
die Funktion f(x) —z an, so ergibt sich 


m (r, f 2) - C + m (r, u)*NG 2) + no (f —2)logr. 


f 
+ 
oder, da m(r,f—2)<m(r,f) +log|2|+log2 und n(f—2)<yp ist, 
+ 
(43) mr f)> C  N (rf — 2) — plog?, 


wo C höchstens von z, c, und c, abhängt. Durch Integration folgt hieraus, dass 


; 8 
(44) Jar > c frossar (k > 0); 
00 00 

diese Ungleichung, wo C von o unabhängig ist, besteht für jedes o > o,. 

Durch Verbindung der letzten Ungleichung mit den oben abgeleiteten (31) und (33) ge- 
langt man zu folgendem Satz: 

Wenn f(x) eine ganze Funktion ist, und a, b und 2 (az b) beliebige, gegebene Zahlen be- 
zeichnen, so gibt es für jedes k 7» 0, 04 > 0 zwei Konstanten C, und C, von der Art, dass die 
Ungleichung 


e 
(45) [PRET —0,4 06, fier a)+N(nf-b) dr 


ré +1 


für jedes o > oy besteht. C, hängt nur von oy und k ab. 
Wenn das lmksstehende Integral für o — oo divergent ist, so gilt 


e 
N (rf N(r,f—-a)-N(r,f— GET 


(46) wi är caro] En 


00 


Aus (45) folgt insbesondere, dass das Integral 


CN (r, f-2) 
r* EIS dr 
für jeden endlichen Wert z konvergent sein muss, sobald dies für zwei Werte zutrifft. Beachtet 
man, was oben über den Zusammenhang dieses Integrals und der Reihe (34) bewiesen wurde, 
so ergibt sich nachstehender Folgesatz: ?) 
Wenn, für ein gegebenes k > 0, die Reihe 


Eo 


für einen gewissen Wert z divergent ist, so divergiert sie für alle Werte z, ausser möglicherweise 
einem einzigen. 


1) In der S. 3 zitierten Arbeit von F. und R. NEVANLINNA wird eine Reihe von derartigen Sätzen bewiesen. 
°) Für eine ganze Funktion endlicher Ordnung wurde dieser Satz früher von VALIRON bewiesen. Vgl. 
die in der Fussnote S. 17 zitierte Note. 


N:o 6. 


29 ROLF NEVANLINNA. 


14. Wir geben im Folgenden noch einige Sätze über das asymptotische Verhalten der 
N(r.f— 2) 


m (r, f) und 


Quotienten 


h(r, g- [36152 fetta, 


00 00 


welche ebenfalls unmittelbare Konsequenzen der oben hergeleiteten Ungleichungen sind: 
Es ser k eine positive Zahl, und f(x) eine ganze Funktion derart, dass das Integral 


m (r, f) 
T "ERN dr 


divergent ist. Dann tst 


: N(r,f-2) ese 
(47) us ETC < 15 VEUT h (r, 2) < 1 
für jedes endliche 2, und 
) N (7, f — 2) 1 
(48) lim BUD mun => , lim sup h(r, z) 75 


für jedes 2, ausser möglicherweise einem einzigen Wert. 

Der erste Teil der Behauptung ist eine unmittelbare Folgerung der Ungleichung (43) 
bzw. (44. Wäre wieder, für zwei verschiedene Werte z=a und z-— b, der eine der obigen 
Quotienten von einem gewissen Wert r ab kleiner als le > 0), so würde ein Widerspruch 
mit der Ungleichung (33) entstehen. 

Ebenso leicht beweist man: 

Wenn, unter den Bedingungen des vorhergehenden Satzes, 

lim sup h(r, 2) < O — 1 
7—- 090 


für einen gewissen Werl 2 — a ist, so nst 


(49) lim inf h (r, 2) >1—- 0 
für Jedes 2 a. 
Wenn also insbesondere für einen gewissen Wert a 
lim h (r, a) = 0 
so isl für jedes 2 à 
lim h(r, 2) = 1. 
ro 
Aus diesem Satz folgt insbesondere: 
Es sei f(x) eine ganze Funktion von positiver Wachstumsordnung, die für einen gewissen 
Wert z — a der Bedingung 


(50) . lim sup TALIS OK 

genügt. Dann ist für jedes za 

(51) 1>limsup UH xeu 
»— (CN 


Tom. Lx 


Untersuchungen über den Pacard'schen Satz. 23 


Aus der Voraussetzung folet zunächst, dass ein k -— 0 existiert, wofür das Integral 


ao 


[ log M(r) 4. 


m (r, f) 
perl dr 


und also auch | ERA 


divergent ist. Wegen (50) ist dann auch lim sup h(r,a) X €. Die Voraussetzungen des vor- 


hergehenden Satzes sind also erfüllt, und die Behauptung folgt nunmehr aus (49) und (47).!) 
Ferner gilt der Satz: 


Wenn f(x) eine ganze Funktion positiver Wachstumsordnung ist, die der Bedingung 


NU 


lim sup — — — Es 9 «1 
ra! He b) 
genügt, so ist 
N (r, f — 2) 
Jim Sup» ^E ER 21—0 


für jedes z= a. , 

Dieser Satz kann unmittelbar auf den vorhergehenden zurückgeführt werden; am Ein- 
fachsten folgt er aus der Ungleichung (46). 

Ein jeder der obigen Sätze gibt auch Aufschluss über das Verhalten der Quotienten 


Ms fa für verschiedene Werte z, und z,. So folgt z. B. aus dem letzten Satz, dass wenn 


bei einer ganzen Funktion positiver Wachstumsordnung 


n (r, f—a) 


zer für r— oo, 


so existiert für jedes noch so kleine s7» 0 und jedes 2 eine Zahlenfolge v, (v —1,2,:--:; 
r,— oo für v— oo) derart, dass die Ungleichung 


nr, f —2) 2 (1— €) n(r,, f — b) 


für sämtliche » = 1,2,--- besteht. Ergebnisse von solcher Schärfe sind unseres Wissens auch 
innerhalb der Theorie der ganzen Funktionen endlicher Ordnung nicht früher bekannt. 

Wir wollen noch die Genauigkeit der obigen Resultate an einem einfachen Beispiele 
prüfen. Für die Funktion e", wo k eine positive ganze Zahl ist, ist wie man leicht findet 


1) Man bemerke, dass jeder Satz über das asymptotische Verhalten des Quotienten N (n f— 2) wegen der 


m (r, f) 


JEnsenschen Formel 


m (r f- 2) - € 4m (r, B + Nf — 2) + no (f — Zz) log r 


| ) 

m (r. ET 
— für r — o» gibt. Es ist nämlich lim : 
mr, f) visse aT.) 


1 
und also, wenn en — 0 für r =, d.h. wenn f(x) nicht ein Polynom ist, 


mr, f —2) _ 


Aufschluss über das Verhalten des Quotienten 


1 
m(r i2 
* E een 
‚nen ^ man 


E 


24 ROLF NEVANLINN A. 


k 
m (r, e*) = = 
Ferner ist e*£0 und also N (r,e”)=0. Nach der Ungleichung (51) muss daher 


23 
lim sup UE ug) —1 
r—o T. 


für jedes endliche 2250 sein. Aus dieser Bedingung schliesst man weiter, dass die Un- 
gleichung 
(a) n(r,e*— 2) > (ere, 


wo £0, für eine unendliche Folge von unbeschränkt wachsenden Werten r bestehen muss. 
Nun ist tatsächlich, wie man unmittelbar einsieht, 


n (r, e — 2) — Ep 


für jedes 20; der Faktor = auf der rechten Seite der Ungleichung (a) kann also nicht 
vergrössert werden. Mittels früher bekannter Sätze über ganze Funktionen ganzzahliger Ord- 


nung hätte man im vorliegenden Falle nur schliessen können, dass n (r, e*— g) für jedes 20 
dem Normaltypus der Ordnung r* angehören: muss.) 


Für die Funktion TG findet man: 


1 rlogr 1 
; m (r, 5) == = , N (r, +) Ts 
: N (r, +) 
und also lim - Tony: Nach unserem Satze ist also 
Ado mr, +) 
1 
, N (r. Re 2) 
lim sup — mm 
172 m (r Pn 
Tp 


für jedes 22-0. Man schliesst also dass die Ungleichung 


1 rlogr 
n (r, P 2) > (1— e.) 82 
für 2720 auf unendlich vielen, beliebig grossen Kreisen |z|— r bestehen muss; der Faktor = 


kann auch hier nicht vergrössert werden. 


15. Die Grundungleichung (27) führt, auch wenn f(x) nicht eine ganze Funktion, sondern 
nur innerhalb eines endlichen Kreises regulär ist, zu einigen Sätzen über den Wertvorrat 
dieser Funktion in der Nähe der Kreisperipherie, welche den oben bewiesenen analog sind. 
Das Verfahren, dessen wir uns hierbei bedienen werden, ist ebenfalls dem oben benutzten 
ähnlich, weshalb wir uns im Folgenden kürzer fassen können. 

Wir nehmen an, f(x) sei z. B. innerhalb des Einheitskreises eindeutig und regulär; die 
Hauptungleichung (27) ist also jetzt für 0 ro < 1 gültig. Wir multiplizieren beide Seiten 
mit (1— r)*-!dr, wo k >0, und integrieren von r= 0, S bis r — eo’ (gy & o' C 1) indem wir 

') Vgl. E. LINDELÖF: Sur les fonclions entières d'ordre entier (Ann. Éc. Norm. (3), XXII, 1905, insb. S. 386). 

Tom. L. 


ect aed apetece Po 


Untersuchungen über den Picard'schen Salz. 25 


(52) e—r4- (1— 7) (o' — 7) 

wählen. Man sieht wiederum leicht ein, dass die Summe der von den drei ersten Gliedern 
rechts in (27) herrührenden Integrale für jedes o, < o'- 1 unter einer von e' unabhängigen, 
endlichen Schranke C liegt.!) Es wird also 


e p 
[meba-n-iarcos (ING f— 0) - N(.f-9)a ny dr 
@o d 
(53) 6 
+ 4 | logm(e,f)(1—r}*=!dr. 
mn 
Nun ist nach (52) do=/(2r— og") dr >(2r—1)dr, 1—o—(1—r)(1-r— o) und also 1—r 
>1-eo>(1-r)r, wonach (2=a,b) 


| T ín Mis À 7 en AU 
Ne) (er): tär = | IN (0. ecce CL ON le) 
00 r — Qo i 


9’ 


2 
feet Ca 3 |Net-ga-eor-1de, 
r =) « el)» 


2ypy—p' 
Ü 


(54) 


und in derselben Weise 


0 


e 


e ; 
E 2 E 
(54) logm (o, f) (1 — dr Za logm (o, f) (1 — o)! d o. 
. nml (2.9, — 1) 
0o 20 H ^ & 


o 


Mittels der Ungleichungen (53), (54) und (54) gelangt man, genau wie auf S. 16, 17, zu 
folgendem Ergebnis: 


1) Die Summe der zwei ersten Glieder rechts in (27) ist für gj <r<p'<1 kleiner als eine endliche 
Konstante C', und die Summe der entsprechenden Integrale also kleiner als 


1 
i : Q' (1 — od) 
e [ a- 5a | (i-nt-lar = um 


00 


Ferner ist, da go — r — (1 — r) (o! —=r)>(0' —ry, 
, e , 


ge B SEEN ele 4 . 
1= [108 ï d-grtarsa | log at ipe R1) ) 282 (1036002) ne 
p —r í or k ) k p!'— 


00 00 


2 Fa - ry -(1-— y)* 
aum n Y CS CI NT 
k p —r 
[7] 


Hier hat das erste Glied rechts ein endliches Maximum M im Intervalle o, € o' € 1. Der Integrand des letzten 
Integrals ist wiederum für jedes O<r<o’ kleiner als h (1 —)* —!, wo h die grössere der Zahlen 1 und k be- 
zeichnet (vgl. die Fussnote S. 10). Es ist also 
e 
2 
ruht | (Ur) lar<M+ 
& 


N:o 6. : 4 


9 f 
ELT E 


E] 


26 Rozr NEVANLINNA. 


Wenn f(x) eine im Einheitskreise reguläre analytische Funktion ist, und a und b (az b) 
zwei gegebene endliche Zahlen bezeichnen, so gibt es für og << 1 und k 0 zwei Konstanten C, 
und C, derart, dass 


? e 
(55) [meam arco 0 [ING f— 0) + NIE par 
9o 00 4 
für jedes oy «o « 1 ist. 
Wenn das linksstehende Integral für o — 1 divergent ist, so gilt 
? e 
(56) | mean = t'dr (1 + € (5) \/ [N (rf —a) +N (r,f—b) dr. 
00 i 00 
16. Als Korollar können wir folgenden Satz aussprechen: 
Wenn, für ein gewisses k > 0, die Reihe 
(57) (1 nt" 
1 
für zwei verschiedene Werte z konvergiert, so sind auch die Integrale 
1 1 
(58) fm (r,f) Ar) dr und [ ox M (r) (1 — r)*dr 
@o à, 
konvergent, und es ist 
(59) lim (1 — r)^m(r,f) = 0, lim (1 — vr) *! log M (r) = 0. 
F— r—1 
Durch partielle Integration ergibt sich nämlich 
2 k p 2 kowr e 
| NOA - 91a = =) EZ ULT) Nui) 
[2 
e 
+ et-23-0-2)a-» 7. 
Öv 
und weiter 
D 
i E as = (so) ent. Mona, M k +1 
] »ef-2a-»ar- — 51 icm deu À (1—r, (2)) ; 
Qo Qo & ry — 0 


woraus man, wie auf S. 18, schliesst, dass die Integrale 


1 1 
(60) [x (r, f — 2) (1 — r)*-! dr, [^ (r,f —2)(1— r)* dr 
0; 0 
und die Reihe (57) gleichzeitig konvergent oder divergent sind. Aus der Voraussetzung folgt 
also, dass das erste der Integrale (60) für zwei verschiedene Werte z konvergent ist. Wegen 
der Ungleichung (55) muss dann aber auch das erste der Integrale (58) konvergieren. Bezeichnet 
nun « eine beliebig kleine positive Zahl, so ist folglich 


Tom. L. 


Untersuchungen über den Picard'schen Satz. 27 


1 1 


E m 
> E (t, Dà —0*-! dt» mf) | ee Cr, 


woraus die erste der Beziehungen (59) folgt. Der den Maximalmodul M (r) betreffende Teil 
der Behauptung ergibt sich dann unmittelbar durch Anwendung der Ungleichung (39) (S. 19), 
wenn man dort o—l 2^ setzt. 

17. Wir bringen wieder die oben hergeleiteten Ungleichungen in Verbindung mit der 
JENsENSChen Ungleichung (vgl. S. 21): 


+ 
m (r,f) 2 C +N(r,f— 2) — plog 
und 
0 


e 
[me pa-ne-tar>c'+ [xet-2a-97 tar; 
0o 00 
die letzte Beziehung ergibt sich aus der JENsENschen durch Multiplikation mit (1— rn) !dr 
(k > 0) und Integration. Man gelangt so zu folgendem Satz: 

Wenn f(x) eine innerhalb des Einheitskreises eindeutige, reguläre analytische Funktion 1st, 
und a, b (ab) und 2 beliebige komplexe Zahlen bezeichnen, so existieren für jedes k > 0 und 
Qo < 1 zwei Konstanten C, und C, von der Art, dass die Ungleichung 


8 0 
ind frer- 2) 0—7*-!drc 6 C, [iN (rf — 2) x N (f —5)]ü —0*-! dr 
B Ly 


für egy «o «1 besteht. 
Wenn das linksstehende Integral für o — 1 unbeschränkt wächst, so gilt insbesondere 


S 


e e 
1 


(61) ] N (r,f —2)(1 —ryf*-!dr < (1 Le Fer) | N (r, f — a) N (r, f — b) 1 — 7r) -! dr. 
0o 00 
Aus der Beziehung (61) schliessen wir, dass die Integrale (60) für jedes endliche 2 kon- 
vergieren müssen, sobald dies für zwei Werte 2 gilt. Bemerkt man dass die besagten Integrale 
und die Reihe (57) gleichzeitig konvergent oder divergent sind, so kann man dieses Ergebnis 
in folgender Weise aussprechen: 
Wenn, für ein gewisses k > 0, die Reihe 


a 


(62) YG-so9)y** 
1 


für einen Wert 2 divergent ist, so ist sie für alle Werle 2, ausser möglicherweise einem. einzigen, 
divergent. 

Mittels der Beziehungen (61) und (61) beweist man auch die folgenden Sátze über das 
Verhalten des Quotienten 


h2- [ NW 9a ya: me Da» 1 dt. 


ro 


N:o 6. 


28 ROLF NEVANLINN A. 


Wenn das Integral 


| »e.ba vy "ar 


divergent ist, so gelten die Ungleichungen 
en > 
9 = lim sup ki (r; e) «1 


für jedes endliche 2, ausser möglicherweise einem einzigen Wert, für welchen lim sup h (r, 2) EE 
sein kann. 

Ferner gilt: 

Unter der Bedingung des vorigen Salzes sei für einen gewissen Wert z — a 


lim sup h (r, z) < O < 1. 
ro 1 


Dann gilt die Bedingung 
lim inf h(r, 2) —1— © n 
1 


für jedes 2 a. 
Wenn insbesondere lim h(r, a) — 0 ist, so besteht die Beziehung 
ma 


lim h (r, 2) — 1 
für jedes 2 a. de] 
Man sieht ebenfalls unmittelbar ein dass sämtliche durch die Sätze auf S. 22-23 ausge- 
drückten asymptotischen Eigenschaften der Funktionen N (r.f —2) und n(r,f—2) auch im vor- 
liegenden Falle bestehen, unter der Annahme, dass die Beziehung 


lim m (r,f) (4 —7r)- 0 


nicht für alle k > 0 besteht, oder, was damit gleichbedeutend ist, dass ein k => 0 existiert, wofür 
die Integrale (58) divergent sind. 


18. Durch konforme Abbildung kann man die zuletzt bewiesenen Sätze auf den allge- 
meinen Fall übertragen, wo f(x) innerhalb eines beliebigen, einfach zusammenhängenden Gebietes 
G regulär ist. Wir wollen dies nur in dem besonderen Fall durchführen, wo G ein Winkel- 
gebiet ist. Man gelangt so zu folgender Verallgemeinerung des Satzes der Nummer 11: 

Ser f(x) eine innerhalb des durch die Ungleichung |q LS definierten Winkelgebietes G 
eindeutige und reguläre analytische Funktion der komplexen Variable x —re”. Seren ferner 
rh (2) (n— 1,2,---) die absoluten Beträge der Nullstellen von f(x) — 2 innerhalb G und M (r, 9) 
gleich dem Maximum von |fx! auf dem Kreisboyen [BERETT 


Wenn dann, für ein gewisses k >«, die Reihe 


Seo 
y—1 


für zwei verschiedene Werle 2 —a und 2=b konvergent ist, so konvergiert das Integral 
Tom. L. 


nc EE C ÉJcc--  ——— -— ——— —YÓÉ—— — 


Untersuchungen über den Picard'schen Satz. 29 


œ + 
(63) " 8 MP Gr 
für jedes 9 > «. 

Durch die Variabelsubstitution x’ = z^ lässt sich dieser Satz sogleich auf den Fall «= 1 
zurückführen, wo also G die Halbebene der positiven reellen Teile ist. Zum Beweise bilden 
wir diese Halbebene durch die "Transformation 


x—|1 1+& 
= + v S cz (3), A dd P 
Kd ih nova P AN 
> 7 Mt. 
auf den Einheitskreis |E | <1 konform ab. Wegen der Ungleichung | m an | 
cet. * vi ! 
æ—1 2 e 
Testes ree Sr | N 


schliessen wir dass die Reihe 


Val, 


mul 


wo &,(z) die Bildpunkte der Nullstellen von f(x)—2, d.h. die Nullstellen der Funktion 
f(x(3))—2z bezeichnen, für z— « und z- b konvergent ist. Wir können also den Satz der 
Nummer 16 auf die Funktion f(z(5))- f(£) anwenden und schliessen, dass das Integral 


I 


(64) [eara — oy de, 


00 


wo M(e)= max |f (5) |, konvergent ist. 
|&|—e 


Die Bildkurve des Kreises | $,--o in der z-Ebene ist ein Kreis C,, dessen Gleichung 
I S 

- 5 . d 2 : à : ; 

El o ist. Es sei r die gróssere der Abszissen der Schnittpunkte dieses Kreises und der 

4 fi 1 D 1 2 dr 1 

reellen Achse; dann ist o= zc und also 1—0-—; TE zb do = CEST. >; 


Konvergenz des Integrals (64) folgt somit dass auch das Integral 


dr 


=- Aus der 


a 


SERES dr, 


pF t1 


wo Mir) gleich dem Maximum von |f(x) auf dem oben betrachteten Kreis C, ist, konver- 
gieren muss. 

Nunmehr ergibt sich leicht, dass auch das Integral (63) für jedes 9 1 konvergent ist. 
Sei in der Tat 9 eine beliebige Zahl — 1, und 0 < € — 1 eine Zahl, wofür are cos © Dy. 
Wir bestimmen dann die Schnittpunkte zwischen den Kreisen C, und |z|= Or; den Arcus 
des von diesen Punkten begrenzten Bogens des letztgenannten Kreises bezeichnen wir mit o (r). 
Eine leichte Rechnung zeigt, dass lim (r)- 2arccos ©. Hieraus folgt dass der Bogen 
fa [Om al < = von einem gewissen r ab innerhalb des Kreises C, liegt, und dass folglich 
die Ungleichung M (9r, 9) - M (r) von demselben Wert r ab besteht. Es ist also auch 
N:o 6. 


30 ROLF NEVANLINNA. 


R 


6 
T 
(ids M. log M(r.9) 7, Fos ( t (eM, 
\ DEED ES E i PAT uu uo 


6 
woraus die behauptete Konvergenz des Integrals (63) folgt. !) 


19. Die oben erzielten Resultate kónnen kurz dahin zusammengefasst werden, dass, bei 
ausgedehnten Funktionenklassen, die Kenntnis der Verteilung der Wurzeln der Gleichung 
f(x) = 2 für zwei verschiedene Werte z sowohl die Dichte der Wurzeln für ein beliebiges z 
wie das Anwachsen der Funktion mit erheblicher Genauigkeit bestimmt; ist die Wurzeldichte 
insbesondere für einen Wert z — a exzeptionell klein, so treten die z-Stellen für sämtliche 2 a 
mit einer dem Anwachsen der Funktion entsprechenden Dichte auf. Im Falle einer ganzen 
Funktion wurden derartige Erscheinungen zuerst von BorEL entdeckt, der folgenden Satz 
bewiesen hat: Bei einer ganzen Funktion sind die Ordnungen der Funktionen log M (r) und 
n(r,f—2) einander gleich für jedes endliche z, ausser möglicherweise für einen einzigen Wert. 
Der spezielle Prcarpsche Satz, nach welchem eine ganze Funktion höchstens einen Ausnahme- 
wert besitzt, gilt also unverändert, wenn unter einem Ausnahmewert ein Wert z verstanden 
wird, wofür n(r,f— 2) von niedrigerer Ordnung als log M (r) i 

Ist die ganze Funktion von endlicher Ordnung, so kann e hinzugefügt werden, dass 
der Picarp-Borersche Ausnahmefall nur für ganzzahlige Ordnungen eintreffen kann: die 
Funktionen von endlicher, nicht ganzzahliger Ordnung haben überhaupt keine Ausnahmewerte 
im Sinne BonELs. Ein entsprechendes Ergebnis gilt, wenn der verallgemeinerte Ordnungs- 
begriff von LinpeLür eingeführt wird. Durch Heranziehung der PrıngsHeımschen Begriffe 
der Minimal-, Normal-, und Maximaltypen einer gegebenen endlichen Ordnung hat LINDELÖF ?) 
auch eine Verschärfung des Borezschen Satzes über Funktionen ganzzahliger Ordnung gegeben: 
er hat gezeigt, dass der Prcarpsche Satz in der oben gegebenen Fassung auch dann besteht, 
wenn folgende Erklärung gegeben wird: 2 heisst ein Ausnahmewert, falls n(r,f—2) von nied- 
rigerem Typus als log M(r) ist. Neuerdings hat VALIRON folgendes bemerkenswerte Ergebnis 
gefunden: Wenn, für ein gewisses k >0, das Integral 


1) Aus dem obigen Beweise geht hervor, dass die Beziehung 


(a) lim r—*log|f(re)| =0 


für jedes k — «, und IE gilt. Früher hat VALIRON die Relation (a) für k>3a bewiesen (vgl. die 

S. 3 unter 1)a) zitierte Arbeit, p. 252), und zwar unter der spezielleren Annahme, dass f(x) in dem Winkel 

IpI<z, zwei Werte z nur in einer endlichen Anzahl von Punkten annimmt. Die von uns gefundene 
PAG 


Schranke (kc) ist genau; die Beziehung a) besteht nicht mehr für k=«. Die Exponentialfunktion e" 


x 3 DESI Us 
genügt nämlich in der Halbebene |p|<5 der Voraussetzung unseres Satzes (sie ist ja nach unten be- 


schränkt); die Formel (a) besteht aber für diese Funktion nicht mehr für k=a=1. 

2) E. LinDELÖF: Sur les fonctions entières d'ordre entier (Ann. Ee. Norm. (3), XXII, 1905, p. 369—395). Vel. 
auch A. WIMAN: Sur le cas d'exception dans la theorie des fonctions entières (Arkiv f. mat., astr. och fysik, I. 
1903, p. 327—345). 


Tom. L. 


Untersuchungen über den Picard’schen Satz. 31 


oo 


jl log M (r) 5r 


r* +1 


divergent ist, so divergiert auch das Integral 
Bu 
I 
für jedes z ausser möglicherweise für einen einzigen Wert.!) Hier gilt wieder der Zusatz, 
dass der Ausnahmefall (Konvergenz des letzten Integrals) nur bei ganzzahligen Ordnungen 
vorkommen kann. ?) 

In der Theorie der ganzen Funktionen unendlicher Ordnung sind die Borerschen Ideen 
insbesondere von BLUMENTHAL®) und VALIRON weiter entwickelt worden. Es ist ein Verdienst 
VALIRONS sich von dem Begriff der Ordnungstypen befreit und direkte Beziehungen zwischen 
den zu untersuchenden Grössen log M (r) und N (r,f — 2) bzw. n(r,f — 2) aufgestellt zu haben. 
So hat er neuerdings einige Sátze über das asymptotische Verhalten der Quotienten 


log Nin f- 2 
log, M (r) 


log n (r, f — 2) 
log, M (r) 


) bzw. 


gefunden, die wesentlich schärfer sind als die früheren Ergebnisse. ^) 

In der vorstehenden Untersuchung haben wir die Fundamentalgrósse log M (r) durch 
den Mittelwert m(r,f) ersetzt und sind so zu einigen Sátzen gelangt, die schon ziemlich feine 
Verschiedenheiten in den Dichten der z-Stellen einer ganzen Funktion hervortreten lassen. 
U.a. ist hervorgegangen, dass die Ungleichung 
(65) lim sup IML) = 2 


re m(r,f) 2 


hóchstens für einen endlichen Wert z bestehen kann, ein Ergebnis, das für belzebige ganze 
Funktionen gilt. Diesen Satz haben wir oben zwar nur für Funktionen von positiver Wachs- 
tumsordnung bewiesen; für Funktionen nullter Ordnung gilt er aber sogar in verschärfter Form. 
Aus einem Satze von LrirrLEWOOD?) folgt nämlich, dass die Beziehung 


, : Nn f 2) 
e Ims A = 


bei den Funktionen nullter Ordnung für 7edes endliche z besteht; bei den Polynomen ist ja sogar 


li N (v, = 2) 
a) 


=1 


Mittels eines bekannten Satzes®) von WIMAN lässt sich schliessen, dass die Gleichung (65) 


1) C. R., 18 avril 1922. Dieses Ergebnis ist in dem in der Nummer 11 bewiesenen Satze enthalten. 

?) G. VALIRON: Sur les fonctions entières d'ordre fini (Bull des sc. math., 2e série, t. XLV, 1921, p. 1-13). 

5) O. BLUMENTHAL: Principes de la théorie des fonctions entières d'ordre infini (Paris, Gauthier Villars, 1910). 

*) Vgl. die in der Fussnote 1, f) (S. 3) zitierte Arbeit. 

5) J. E. LITTLEWOOD: On the asymptotic approximation of integral functions of zero order (Proc. London 
Math. Soc., 2e serie, t. V, 1907, p. 361-410). 

*) A. Wimax: Sur une extension d'un théorème de M. Hadamard (Arkiv f. mat., astr. och fys., II, 1905, p. 14) 
N:o 6. 


32 ROLF NEVANLINNA. 


allgemeiner bei allen Funktionen einer Ordnung 0< k<; für jedes endliche z richtig ist. 
Für eine solehe Funktion besteht nämlich nach Wimax die Ungleichung 


If) 2 et * 


auf unendlich vielen, beliebig grossen Kreisen |x|-—r. Demnach ist für jedes z 


lim inf n (r, 7-9 woraus die Behauptung durch Anwendung des JeNsenschen Satzes 


unmittelbar folgt (vgl. die Fussnote S. 23). Für beliebige ganze Funktionen gilt die Gleichung 
(65) nicht mehr allgemein; oben (S. 23) wurde aber gezeigt, dass falls ein Ausnahmewert z 


existiert, wofür 
lim 37-2 
eda m (vr, f) 


= 0,5 


die genannte Gleichung für alle übrigen Werte z bestehen muss. 

Bei welchen ganzen Funktionen kann nun der durch die Ungleichung (65) eharakterisierte 
Ausnahmefall tatsächlich vorkommen? Dass solche Ausnahmewerte bei unendlichen und end- 
lichen, ganzzahligen Ordnungen existieren können, ist klar; bei Ordnungen < l sind sie da- 
gegen, wie wir soeben gesehen haben, nicht möglich. Es ist aber eine bemerkenswerte Tatsache, 
dass der Picard’sche Ausnahmefall auch bei Funktionen von endlicher nicht ganzzahlager Ordnung 
eintreffen kann, wenn nur hinreichend feine Verschiedenheiten in den Dichten der z-Stellen 
berücksichtigt werden, und der Begriff des Ausnahmewertes hinreichend scharf definiert wird. 
Ein Beispiel von dieser Art hat Wıman angegeben (vgl. die in der Fussnote S. 30 zitierte 
Arbeit, S. 341). Die ganze Funktion , 


ere ev NUES IE 
io] ML sas estes) 


1, 


1 
wo a, = »* und p« k« p--1, genügt nach WIMAN für jedes 2 z^ 0 der Bedingung 


n (rf) sin a (k — p) 


- LA 1 
> on f-2) p+sina(k-p) für p <k <p oi 


: n(r,f) | sinz(k— p) d ] ; 

lim ; (r,f 2) ee für DÉS RE me, 

wonach die Wurzeln der Gleichung f — z= 0 für 2 — 0 mit exzeptionell kleiner Dichte auftreten. 

Wir werden zeigen, dass, bei derselben Funktion, der Wert z — 0 auch im Sinne unserer 

allgemeinen Definition (65) für hinreichend grosse Werte k ein Ausnahmewert ist. Nach Lin- 
DELÖF!) gilt die asymptotische Darstellung 


log f (2) - (=D ap A + «(2)) 


für — cs + d « arg x « x — (0 > 0); es ist demnach 


1) E. LinpeLür: Mémoire sur la théorie des fonctions entières de genre fini (Acta Soc. sc. Fenn., T. 31, 1902, 
vgl. p. 53). 
Tom. L. 


(00 = är 


Untersuchungen über den Picard'schen Satz. 33 


nr} coskq 


log |f (re) |  ( — 1)" 


sin x (k — p») 
und also 
E ag 
m.(r, f) — DETTE) [eso au, 


= 


wobei das Integral über diejenigen Intervalle zu erstrecken ist, wo coskq >0 oder < 0, 
je nachdem p gerade oder ungerade ist. Man findet so: 


p-sinz(k—p) y tin, 1 
| k sin z (k — p) T für p«kzEp-cts: 
DE f ape 
k sin x (4 — p) 


mr, f) > A i 
EL ON ER A 1 


Ferner ist n(r, f) > r^, und also N (r,f) = z . Demnach wird 


N (r, f) sin z (k — p) nr 1 
| lim D p + sin x (k — p) für p<k<p+ 2 
(66) Me (k — p) 1 
N (r, sin z (k — p 3 
E lim LÉ COS fürhp pops prae 


Aus dem asymptotischen Ausdruck der betrachteten Funktion folgt ferner unmittelbar, dass 


m (r. iex] E 


memet d 


für jedes 2 25 0 ist, und also nach der JENSENSchen Formel (vgl. die Fussnote S. 23) 


in Übereinstimmung mit den von WIMAN angegebenen Beziehungen. 
Man sieht, dass der Grenzwert (66), dem oben gefundenen Ergebnis entsprechend, konstant 
5 NS ' Jis HUNE NELU. T. : " 5 
gleich Eins ist, wenn die Ordnung k < 5 ist; für k p wird er — 1 und sinkt für k >; unter 


: d dr 3101 € 1 : : T : N 
die Grenze 35 (für k=, wird der Wert 5 noch einmal erreicht). Für ganzzahlige k nimmt 
er den Wert Null an und erreicht zwischen zwei aufeinander folgenden ganzen Zahlen p und 


p +1 für k-p4i ein Maximum "E , das also für k — oo gegen Null strebt. Der Wert 


+1 
2= 0 ist demnach für jedes k > 2 (ausser = >) ein Ausnahmewert im Sinne der Definition (65). 
Nachdem hierdurch gezeigt worden ist, dass der Ausnahmefall (65) auch bei nicht ganz- 
zahligen Ordnungen eintreffen kann, scheint eine wichtige Frage zu sein, wie »starke» Aus- 
nahmewerte hier vorkommen können. Ist es z. B. möglich, dass bei einer nicht ganzzahligen 
Ordnung die Beziehung 
N(r,f—2) EO 


EE ONG) 


für irgendeinen Wert z besteht. Die bisher bekannten Abschätzungen der kanonischen Pro- 
dukte scheinen zur Entscheidung dieser Frage nicht hinreichend genau zu sein. Einiges 
spricht für die Annahme, dass die genaue Grenze in den Gleichungen (66) enthalten sei, d. h. dass 


N:o 6. : 5 


34 ROLF NEVANLINNA. 


(66) lim sup I i 7 2) 
bei einer gegebenen Ordnung k überhaupt nicht kleiner als der dort angegebene Wert sein könnte. 

Wir möchten noch auf ein anderes interessantes Problem aufmerksam machen. Es ist 
uns nicht gelungen, einen einzigen Fall anzugeben, wo die obere Grenze (66) für zwei ver- 
schiedene Werte z kleiner als Eins wäre. So gilt die Beziehung (65) z. B. bei der soeben 
untersuchten ganzen Funktion für jedes 20. Sollte sich hierin eine allgemeingültige Eigen- 
schaft der ganzen Funktionen zeigen? Wenn dem so wäre, würde der Prcarpsche Satz eine 
besonders elegante Fassung erhalten. 

Die Hauptungleichung (27) kann zur Lósung dieses Problems vielleicht einige Beitrüge 
liefern. Man bemerke dass wir bei Herleitung unserer Sätze auf S. 22-24, von denen soeben 
die Rede gewesen ist, die eventuelle Bedeutung dos von den Nullstellen der Ableitung f(x) her- 
rührenden Gliedes N(r,f) nicht berüksichtigt haben; unter Umständen ist dieses Glied aber 
von derselben Gróssenordnung wie die Hauptglieder m(r,f), N (r,f —a) und N (r,f — b) (dies 
ist z. B. bei der oben betrachteten ganzen Funktion der Fall) und darf also nicht vernach- 
lässigt werden, wenn man die schárfsten Konsequenzen aus der Hauptungleichung ziehen will. 


20. Wie verhált sich nun eine Funktion, die nur innerhalb eines endlichen Kreises regulär 
ist, in den oben betrachteten Hinsichten? Dass eine im Einheitskreise reguläre analytische 
Funktion sämtliche endliche Werte, ausser móglicherweise einem einzigen, annehmen muss, wenn 
ihr Anwachsen bei Annäherung an den Rand hinreichend stark ist, ergab sich schon im 
Zusammenhang mit den Beweisen des speziellen Prcarpschen Satzes. So hat ScHoTTKY!) 
mittels »elementárer» Methoden bewiesen, dass eine von zwei Werten a und b (ab) ver- 
schiedene Funktion der Ungleichung log|f(r)| « C(1—7r)-? für x|<r < 1 genügt; LANDAU?) 
hat mit Hilfe der Modulfunktion die genaue Schranke 


log |f (| « , 5. 


gegeben, wo C von r unabhängig ist. Definiert man die Ordnung einer im Einheitskreise regu- 
lären Funktion, in Analogie mit der Definition des entsprechenden Begriffes bei ganzen Funk- 
tionen, als die untere Grenze derjenigen Zahlen k, für welche das Integral 


frog M GG mt dr 


konvergent ist, so folgt aus dem Lanpauschen Ergebnis, dass jede Funktion, deren Ordnung 
im Einheitskreise — 1 ist, jeden Wert, ausser höchstens einem einzigen, annehmen muss. 
Durch unsere Resultate ist nun hervorgegangen, dass die Ordnungen der Funktionen m (r,f) 


1) F. ScHoTTKY: Über dem Picard'schen Satz und die Borel’schen Ungleichungen (Sitz. ber. der Akad. d. Wiss. 
Berlin, 1904, S. 1244-63). 
?) H. Bong und E. Lanpau: Über das Verhalten von &(s) in der Nähe der Geraden a = 1 (Gött. Nachr., 1910, 
p. 303-330). 
Tom. , L. 


-- 


Untersuchungen über den Picard’schen Salz. 35 


und N(rf-—2), bei derselben Funktionenklasse, einander gleich sind für alle endliche z, 
ausser möglicherweise einem einzigen Wert, und dass auch die oben besprochenen genaueren 
Beziehungen zwischen den Gróssen N (r,f —2) und m(r,f) innerhalb dieser Funktionenklasse 
ihre Gültigkeit beibehalten. Derartige Eigenschaften waren bisher nur für Funktionen unend- 
licher Ordnung durch die Untersuchungen VALIRONS!) bekannt. 
Charakterisiert man das Anwachsen einer Funktion in ihrem Konvergenzkreise nicht 
genauer als durch den oben eingeführten Ordnungsbegriff, so kann man sagen, dass wir 
auch die wahre Gültigkeitsgrenze unserer Sätze gefunden haben: diese bestehen nicht mehr 
ausnahmslos für die Funktionen der Ordnung Eins. So hat man in der Modulfunktion ein 
Beispiel einer Funktion erster Ordnung, die zwei Werte (0 und 1) überhaupt nicht an- 


nimmt. Es gibt sogar Funktionen erster Ordnung, welche mach unten beschränkt sind, wie 
ld4z 

z.B. e!-*, die für |z| « 1 keinen Wert des Kreises |2| <1 annimmt. Andererseits schliesst 

man aus der obigen Lanpauschen Ungleichung, dass diejenigen Funktionen erster Ordnung, 


für welche 
(67) lim sup (1 — r) log M (r) = © 
r=1 


ist, jeden Wert, ausser höchstens einem einzigen, annehmen müssen. Es wäre nun interessant 
zu wissen, ob dieselben Funktionen auch die oben besprochenen ‘spezielleren Eigenschaften 
aufweisen, ob also, kurz gesagt, die Dichte ihrer z-Stellen für jedes z, ausser móglicherweise 
einem einzigen Wert, eine dem Anwachsen der Funktion entsprechende ist. Die Genauigkeit 
unserer obengebenen Ungleichungen scheint nicht zur vollständigen Entscheidung dieser Frage 
auszureichen. Einiges lässt sich indessen mittels unserer Ergebnisse auch über die Funk- 
tionen erster Ordnung sagen. Aus der Ungleichung (40) (S. 19) folgt, dass jede Funktion, 


für welche 
m (r, f) 


(68) limsups s t © 
ist, der Bedingung 
limsup- (57-2 _ 


für jedes z, ausser hóchstens einem Wert, genügen muss. Nimmt man nämlich an, es existieren 
zwei Werte a,b (ab) und eine endliche Konstante C derart, dass 


N (ef — a) - N (ef — b) Clg, ^. 


für o — 1 ist, so schliesst man mittels der Beziehung (40), wenn man o = l7 setzt, dass auch 


(69) m (rf) « Clog 


wo C von r unabhängig ist; hiermit ist die Behauptung bewiesen. Nun kann man mittels : 
der zwischen den Grössen M(r) und m(r,f) bestehenden Beziehung (39) schliessen, dass die 
Bedingung (68) sicher erfüllt ist, falls 


!) Vgl. die S. 3 unter 1) e) zitierte Note. 
N:o 6. 


36 ROLF NEVANLINNA. 


(1 -r)loegM(r) _ 
(70) lim sup — een 


ist; diese letzte Bedingung kommt schon der Lanpauschen Grenze (67) nahe. 

Die Vergleichung der Bedingungen (67) und (70) kónnte die Vermutung nahelegen, dass 
die rechte Seite von (69) mit einer Konstante ersetzt werden könnte, d.h. dass m (r,f) für 
r« 1 beschränkt wäre, falls f(x) zwei Ausnahmewerte (im PrcARDschen Sinne) besásse. Dies 
ist aber nicht der Fall, denn m(r,f) wächst z.B. bei der Modulfunktion für r > 1 unbe- 
schränkt. Zum Beweise dieser nn TA genügt es wegen der JENsENschen Ungleichung 


+ 
N(r,f —2) « € t-m (rf) + plog (vgl. S. 27) zu zeigen, dass es Werte z gibt, für welche 
N (r,f— 2) nicht beschränkt oder, was auf dasselbe herauskommt, für welche das Integral 


1 


[»e1-24 


divergent ist. Nun sind aber dieses Integral und die Reihe 


a 


D (17, ()) 


1 


gleichzeitig konvergent oder divergent, und es ist also hinreichend, wenn man beweist, dass 
diese letzte Reihe für mindestens einen Wert z divergent ist. In der Tat ist dies für jedes 
endliche, von Null und Eins verschiedene z der Fall. Sei nämlich z eine beliebige Zahl dieser 
Art und x, ein Punkt des Finheitskreises, wo die Modulfunktion diesen Wert z annimmt; 
denselben Wert nimmt sie dann in allen denjenigen Punkten an, in welche der Punkt x = x, 
durch die Substitutionen S (x) der Modulgruppe übergeführt wird. Es soll demnach die Diver- 
genz der Reihe 


(71) 30-8G9l) 

nachgewiesen werden. Nun sieht man leicht ein, dass diese Reihe mit der Pomcarzschen Reihe 
SEA 

(72) > dej. À 


gleichzeitig divergent oder konvergent ist. In der Tat ist der absolute Betrag des Quotienten 


S(z)—S(am) . 2x, 
= A te +7. 1 
1— S(x) S(x) 1-2 


da |S(z) —1 für |z|—1 ist, auf der Peripherie des Einheitskreises konstant gleich Eins, 
Weil dieser Quotient für |z|< 1 regulär und von Null verschieden ist, so folgt aus dem 
Prinzip des Maximalmoduls, dass sein absoluter Betrag auch im Innern des Einheitskreises 
konstant gleich 1 ist. Für x — x, ergibt sich insbesondere 


IS" (2) | (1 — | 91*) 


IS] S (ax) |? -1, 
woraus, da |8(x) < 1, folgt: 
= 1S9) ds - y 
ES zoll: = | da Me E ;Q — 18) |. 


Tom. L. 


I: 1L X 


Untersuchungen über den Picard'schen Satz. 37 


Die Reihen (71) und (72) sind demnach in bezug auf Divergenz und Konvergenz gleichwertig. 
Nun weiss man aber nach dem Rrrrerschen Satze!), dass die letztgenannte Reihe divergent 
ist, womit unsere Behauptung nachgewiesen ist. 

Genauere Kenntnis der Art der Divergenz der Porncaréschen Reihe (72) würde uns auch 
genauere Auskunft über die Genauigkeit der durch die Bedingung (69) ausgedrückten Gültig- 
keitsgrenze unserer Sätze geben. 

Aus der obigen Betrachtung geht auch hervor, dass der auf S. 27 gegebene Satz über 
die Reihe (62) scharf ist: er gilt nicht mehr für k — 0. In diesem Falle gibt es nämlich, wie 
wir soeben gesehen haben, Funktionen, für welche die Reihe (62) für zwei Werte z konvergent 
ist, während sie für alle übrigen Werte divergiert. Hat wiederum k einen negativen Wert 
(2 —1) so existieren sogar beschränkte Funktionen, für welche die Reihe (62) mindestens 
für einen Wert z divergent ist. Um dies einzusehen wähle man eine Punktfolge werd? 


(= 1,2,---) von der Art, dass die Reihe X(1— r,)!+* divergent, die Reihe E (1— r,) dagegen 
1 


: INTER SU : : 
konvergent ist (man kann z.B n=1- (5) wählen). Das unendliche Produkt 
e . 
Np 2-3 
[t 
ve 1l=æx,x 
ist dann für jedes æ|<r< 1 gleichmässig konvergent und stellt eine im Einheitskreise 
beschrünkte Funktion der erwünschten Art dar. 
Die oben betrachteten Beispiele weisen auch darauf hin, dass die Dichte der z-Stellen 


einer analytischen Funktion sich genauer in dem Verhalten des Mittelwertes m (r, f) als des 


Maximalmoduls log M(r) wiederspiegelt, was ja auch wegen der JENsENschen Identität zu 
1+x 


erwarten ist. Dureh blossen Vergleich der Maximalmoduln der Funktion e "*” und der Mo- 
dulfunktion, die beide dem »Normaltypus» der Ordnung Eins angehóren, kónnte man bezüglich 
der z-Stellendichten dieser Funktionen keine grosse Verschiedenheiten erwarten. Tatsächlich 
treten aber ihre z-Stellen mit wesentlich verschiedenen Dichten auf; bei der Modulfunktion 


ist die Reihe (62), wo k-— 0, für alle endliche Werte z, ausser 2 — 0 und z=1, divergent, 
l+zx 

während sie bei der Funktion e! *, wie man leicht einsieht, für alle Werte 2 konvergent ist. 

Dementsprechend weisen nun die betreffenden Mittelwerte m (r,f) ein verschiedenes Verhalten 

auf: bei jener Funktion wächst er für r > 1 unbeschränkt, während er bei dieser für r «1 


beschränkt ist. Diese letzte Funktion genügt nämlich in dem Einheitskreise der Ungleichung 


+ 
f(x) 21, wonach log|f|—]log|f|, und also 


m,f)- = | log f (re?) dö. 
0 


Nach dem Gaussschen Mittelwertsatze ist aber das letzte Integral konstant gleich log f(0)|— 1. 
1) RITTER: Die eindeutigen automorphen Funktionen vom Geschlechte Null, eine Revision und Erweiterung 

der Poincareschen Sätze (Math. Ann., B. 41, 1892). Ein allgemeingültiger Beweis des Ritterschen Satzes 

wurde von P. J. MYRBERG gegeben, vgl: Zur Theorie der Konvergenz der Poincareschen Reihen (zweite Ab- 

handlung) (Ann. Acad. Scient. Fennicae, Serie A, T. XI, N:o 4, 1917). 

N:o 6. 


38 ROLF NEVANLINNA. 


IV. Erweiterung der Hauptungleichung (27). 


21. Unter der Annahme, f(x) sei eine innerhalb eines Kreises |x|« HK oo eindeutige, 
reguläre analytische Funktion, haben wir in dem vorhergehenden Abschnitt die grundlegende 
Beziehung (27) hergeleitet und von hier aus eine Reihe von Sátzen über den Wertvorrat von 
f(x) in der Umgebung der Punkte | = R bewiesen. In diesem Abschnitt werden wir zeigen, 
dass die genannte Beziehung fast unverändert gilt, falls’ f(x) die angegebenen Eigenschaften 
nur innerhalb eines Kreisringes R,<|z|< RE oo besitzt. Aus dieser erweiterten Ungleichung 
folgt u.a. die wichtige Tatsache, dass sämtliche Sätze, die oben für ganze Funktion nach- 
gewiesen wurden, allgemeiner für analytische Funktionen gelten, welche in der Umgebung eines 
isolierten wesentlich singulären Punktes eindeutig und regulär sind. Insbesondere ergibt sich 
in dieser Weise ein Beweis des s.g. allgemeinen PrcARDschen Salzes. 

Die in Aussicht gestellte erweiterte Ungleichung wird durch dieselbe Methode hergeleitet, 
wie die speziellere (27); hierzu müssen nur die zwei funktionentheoretischen Hilfsformeln (2) 
und (4) so modifiziert werden, dass sie in dem vorliegenden Kreisringfall anwendbar sind. 
Dies gelingt am Einfachsten unter Anwendung einer allgemeiner Formel, die von F. NEvAN- 
LINNA!) aufgestellt und von ihm und dem Verfasser?) zur Untersuchung verschiedener funk- 
tionentheoretischer Fragen angewandt wurde. 


22. Sei f(x) eine analytische Funktion der komplexen Variable x — re”, welche innerhalb 
und auf dem Rande eines von gewissen analytischen Kurven I begrenzten zusammenhängenden 
Gebietes G eindeutig und meromorph ist. Die innerhalb G gelegenen Nullstellen und Pole 
von f(x) seien a, (u — 1, 2,---, n) und b, (r— 1,2. --,n). Sei ferner 2 (x) eine reelle Funktion 
von z, die nebst ihren partiellen Ableitungen der zwei ersten Ordnungen innerhalb und auf 
dem Rande von G stetig ist. 

Unter diesen Voraussetzungen ist 
(73) Nil) DL AON il (log £127 — 2 log |f |) ds + id log |f| 44 do, 

1 I! r G 


wo s die in der Richtung der inneren Randnormale genommene Ableitung, 4 den Lapla- 


ce’schen Operator, ds das Linienelement des Randes I, und do das Flächenelement des Ge- 


bietes G bezeichnet. 

Sei nun G insbesondere der Kreisring o,<|z|<e. Man setze in (73) 4(x) gleich der 
Green'schen Funktion g(r.zg) des äusseren Kreises |zx|<o mit ihrem Pol in einem Punkt a, 
der énnerhalb des Kreisrings G liegt. Wir schliessen den Pol x, durch einen kleinen Kreis 


1) E, NEVANLINNA: Über die Beziehungen zwischen dem Anwachsen einer analytischen Funktion und der Ver- 
teilung ihrer Nullstellen und Pole (Verhandlungen des 5. skandinavischen Mathematikerkongresses in Helsing- 
fors 1922). 

2) Vgl. die auf S. 3 zitierte Arbeit. 


Tom. L. 


Untersuchungen über den Preard’schen Satz. 39 


vom Radius s aus, und wenden die Formel (73) in dem so entstandenen Gebiete G. an. Durch 
den Grenzübergang <= 0 ergibt sich so leicht, wenn man x statt x, schreibt, 


log fe-g, | log f (5) dh(E,2) — 9, (c, a,) + À gx, b.) + RG), 
wo XR. 
R(z)— > J (108 FE — (8,2) sn log IQ) As 


$|— 0 


Setzt man hier die auf S. 5 angegebenen Werte der Funktionen 9 und h ein und fügt man 
noch auf beiden Seiten die in bezug auf x konjugierten harmonischen Funktionen hinzu, so 
ergibt sich durch eine einfache Rechnung: 


DUT ; -b, 
(14) log f (2) = 5, | log fai?) 957 ur 108 oc EE nt n E He 
a 0 9 au | <e 
mit 


27 2r 
Da: ; x ins JS RUM. 
(74) RG)- 7; | log |f o6?) (5; LE 2. | log 5 — ; d arg f(5) - iC. 
0 "UII 


wo &= @e” und C eine reelle Konstante bezeichnet. Durch Differentiation folgt also, dass 


a o—-l|a [À a = lö 
9 + —— À 
2 (x — a,) (o? — à, x) De — b, c) 


qo FE - kJ log Fee), 


f(x) IR (an) 


X mo 


Diese Formel unterscheidet sich von der analogen, in dem vorhergehenden Abschnitte 
angewandten (vgl. S. 12) nur durch das Restglied 


27 2 

[ 1 É 0? LT D 0S 
RG) - | el Ol rt c en lE — LL E 
0 LL 


Wir werden zeigen, dass |R'(x) für |x| > 00 > og unter einer von © und o unabhängigen 
Schranke liegt. In der Tat ist in dem betrachteten Kreisringe |o? —-£x|> 0? —0,|x | > 0 (0 — 00) 
> e(|z| — oy), und demnach 


5 RE << 00 20 200 
we Bea 0? — Em? (\z|=0,)> und 
7308 j ERIS moa 
BER 0? Tee Je|-eJe(e- e) Tele 
Für o>|z|> ov > 0, ist also 
2 27 
2% AIT 2 
Ro |< nn, | Elfe) + sr f dnm (os 
(00 = 0,)” 0o— 00 ” nu 
0 9=0 


wo der Ausdruck rechts von x und o unabhängig ist, w.z. b. w. 


N:o 6. 


40 Rozr NEVANLINNA. 


Um die Jensensche Formel für den vorliegenden Kreisringfall zu modifizieren, setze man 
in (73) 4(x) gleich der Green'schen Funktion des äusseren Kreises |æ|<o mit ihrem Pol in 
dem Nullpunkte x — 0. Mam findet so 


2z 
o7 s. [og fee?) à — Yos 2 + Y og rg 
em ju | : fa 
(76) ; 


27 27 
1 1 . ) 1 H 
| 08 (000) ao — og? ox | danef (oo). 
0 9=0 
Es bezeichne jetzt » (r,f) die Anzahl der Nullstellen von f(x) in dem Kreisringe oo <|x|<Cr, 
und N (r,f) das Integral 


N(r,1)= [^ 5D a; 


0o 
die erweiterte JENsENsche Formel (76) lässt sich dann in der Form 


(77) m (D + N(r, +) = m(1,3)+N (f) Co + Ci 1087, 


schreiben, wo die Konstanten 
27 2x 
C, = g; | dargf(e")d9, Co, [log le) |A — C; loge, 
9=0 dd 
nur von den Werten der Funktion auf dem Kreise z|= oy abhängen. 


23. Man nehme jetzt an, f(x) sei eine innerhalb eines Kreisringes R,<|z|<R eindeu- 
tige, reguläre analytische Funktion. Dann existieren für jedes System von Werten a, b (az b) 
und ov > Ro zwei Konstanten C und C' derart, dass die Ungleichung 


+ + 4 
(T8) mr, f) E N (f) C + C'logg + 6108 I, + N (o f —a) + N (o, f — V) + 4108 m (esf) 


für oy « r — o « HR besteht. 

Der Beweis dieser allgemeinen Beziehung ergibt sich durch dieselbe Methode, die im 
vorhergehenden Abschnitt zu der analogen Ungleichung (27) führte; hierbei hat man nur die 
Formeln (2) und (4) durch die soeben gefundenen (74) bzw. (77) zu ersetzen. Die Modifikatio- 
nen, die man in dem Beweise vornehmen muss, sind so leichter Art, dass es überflüssig sein 
dürfte den Nachweis von (78) hier durchzuführen. 

Es ist klar, dass die erweiterte Ungleichung (78) sich in genau derselben Weise behandeln 
lässt, wie die speziellere (27) in dem vorhergehenden Abschnitt. Sämtliche Folgerungen, die 
oben aus der letzteren gezogen wurden, sind also auch in dem vorliegenden allgemeineren 
Fall gültig, wo die betrachtete Funktion innerhalb eines endlichen oder unendlichen Kreis- 
ringes eindeutig und regulär ist. Insbesondere folet so, was von besonderem Interesse sein 
dürfte, dass sämtliche Eigenschaften, welche oben für ganze Funktionen nachgewiesen wurden, 
allgemeiner für jede in der Umgebung eines isolierten, wesentlich singulären Punktes eindeutige 
und reguläre Funktion gültig sind. 

Tom. L. 


Untersuchungen über den Picard schen. Salz. 41 


94. Wir wollen zum Schluss näher ausführen, wie der s.g. allgemeine Picard sche Satz 
aus der erweiterten Beziehung (78) folgt. Dieser Satz sagt bekanntlich aus, dass eine in der 
Umgebung .eines isolierten wesentlich singulären Punktes eindeutige, reguläre analytische 
Funktion jeden endlichen Wert, ausser möglicherweise einem einzigen, unendlich oft anneh- 
men muss. 

Der Nachweis wird indirekt geführt. Sei also f(x) eine analytische Funktion, die in der 
Umgebung des Unendlichkeitspunktes eindeutig und regulär ist und die zwei Werte a und b 
(ab) nur in einer endlichen Anzahl von Punkten annimmt. Es soll gezeigt werden, dass 
f(x) im Punkte z-— oo entweder regulär ist oder dort einen Pol hat. Nach Voraussetzung 
existiert eine solche Zahl À, dass f(x) für |z, >R, die Werte « und b überhaupt nicht an- 
nimmt. In der Ungleichung (78) verschwinden also für o —r 0&7» Rh, sowohl N (r,f— a) 
wie N (r,f — b) identisch, und es wird somit 


+ + 
m (r, f) — C + C'log o + 6log j = + 4log m (o, f). 


Hieraus schliesst man durch Multiplikation mit E. (k > 0) und Integration, wie in dem 
7 


Beweise des speziellen Pıcarpschen Satzes (vgl. S. 10), dass das Integral 
oc 


"m (r, ) 
xim Um 
J rf tl 


für jedes k > 0 konvergent ist, und dass folglich die Beziehung 


(79) lime eg 
T— 0 T 


für jedes k — 0 gültig ist.1) 
Die Behauptung folet nun leicht mittels der Formel (75), welche für die logarithmische 
Ableitung der Funktion f(x) — « die für oy < x < o gültige Darstellung 


TD) Sd fa IN Don. QI 
[0 f(z)—a 27 j log | f(oe)— 5 UIS LM s d 
0 
gibt, wo R'(x) (vgl. S. 39) gleich 


re 


eee € = — darg(f(5)—a), 
2n ( ) 


D 
m. 
(x) = — 5— | log € = 5 = : 
(a) T OT seats X UMS 
0 
und E— oe? ist. Mittels (79) folgt nämlich, wie auf S. 11, dass das erste Glied rechts in 
(80) für jedes endliche x für o > oc verschwindet, während R' (x) hierbei offenbar dem Grenzwert 


S 


SR 27 
(81) = fog f(Œ)— al Tear. N [EE 
Dr 8 It | 


9 x E 
0 9-—0 


(r—t? 27 


1) Man bemerke, dass m (r,f) als konvexe Funktion von log r entweder für jedes r > o, beschränkt oder 


von einem gewissen Wert r ab eine mit r wachsende Funktion ist. 


N:o 6. 6 


49 ROLF NEVANLINN A. 


zustrebt. Durch diesen letzten Ausdruck wird also DE für |z| e, dargestellt. Die 
Funktion (81) ist aber für z— oo regulär und besitzt dort eine Nullstelle, woraus weiter 
durch Integration folgt, dass f(x) selbst in z — oo entweder regulär ist oder einen Pol 


besitzt, w. 2. b. w. 


ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 
TOM. L. N:o 7. 


RECHERCHES 


SUR LES 


MOUVEMENTS PROPRES DES ETOILES 


DANS LATE 


ZONE PHOTOGRAPHIQUE DE HELSINGFORS 


PAR 


RAGNAR FURUHJELM 


Il 


Clichés de 6" à 9" ORNE 
té 


HELSINGFORS 1 9 2 6, 
IE DE LA SOCIÉTÉ DEFLITTERATU 


MA Gare uw» x LAM. 


Uu. 
IL ROBE LAN zen DM WA x TET oe za «aiti oe ATQ d dud 
lii or dt à IN er: fé de vel. Desifus hio ral Midi ty. MANGA La 


Ue (t5 DZ} t fo i^i T "rw tr I LA TNT al % CUm. y ls 


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AAA AE AUDI A LOO TOTIS 


\ | MISLHUMUTHAMDAS 


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} ce D. e — P tiia 


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"ma WT "T , 
Yates sen pn vt "CM htm af e debiti mo 


Préface. 


Le premier volume du présent travail fut publié en 1916. Le second n'a pu être 
achevé que dix ans plus tard, l'auteur ayant dû consacrer une grande partie de son temps 
aux affaires publiques. 

Les clichés primaires du Catalogue de l'Observatoire de Helsingfors ont été photo- 
graphiés durant la période 1892—1896. La nouvelle série, destinée à la détermination des 
mouvements propres, provient des années 1909—1913. L'intervalle de temps entre les deux 
séries est donc de 17 années en moyenne. Afin d'obtenir, pour la suite du travail, un inter- 
valle plus considérable, permettant une plus grande précision de la détermination des mouve- 
ments propres, nous avons projeté et déjà entrepris de photographier encore à nouveau les 
régions restantes de la zone de Helsingfors. 

Je saisis l’occasion d'exprimer ma gratitude envers la Société des Sciences de Fin- 
lande, qui a mis à ma disposition les sommes nécessaires pour salarier les assistants à l'exé- 
cution d'un certain nombre de calculs numériques. Je dois remercier également M. J. Ruxe- 


BERG, docteur és lettres, pour sa traduction francaise de mon manuscrit. 


L'auteur. 


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, VEN 


Première partie. 


I. 


Introduction. Les mesures et leur réduction. Résultats des mesures. 


Dans le premier volume de ce travail J'ai exposé en détail l'origine et le: plan de 
.mes recherches sur les mouvements propres des étoiles appartenant à la zone photographique 
de l'Observatoire de Helsingfors. J'y ai annoncé, dans l'Introduction, l'intention de poursuivre 
le travail dans l'ordre suivi pour la publication des positions des étoiles du Catalogue photo- 
graphique de l'Observatoire; * je commencai done par la partie de la zone qui se trouve com- 
prise entre 9^ et 12^ d'ascension droite. Conformément à ce plan, le présent volume contient 
les résultats relatifs aux régions dont les centres sont situés entre 6" et 9^ d'ascension droite. 

Les méthodes suivies pour reconnaitre les étoiles à mouvement propre sensible, ainsi 
que pour la mesure des clichés et pour la réduction des mesures, sont identiques à celles 
que j'ai employées dans mes recherches antérieures. Je renvoie donc sous tous ces rapports à ce 
qui en est dit dans les deux premiers chapitres du vol. Ler. Ici, je rappellerai simplement que 
les mesures furent exécutées à l’aide du ,blink“-microscope du stéréocomparateur de l'Observa- 
toire, et, pour chaque coordonnée, dans deux positions des clichés différant entre elles de 
180°; les accroissements, 4x et 4y, des coordonnées rectilignes furent calculés à part pour 
chacune des deux positions, aprés quoi on forma la moyenne des deux valeurs. Au cours du 
printemps et de l'été 1918, j'exécutai la reconnaissance des étoiles dont les mouvements propres 
devaient être déterminés. J'exécutai aussi personnellement toutes les mesures; elles furent com- 
mencées en 1918 et terminées en 1921. 

Le tableau suivant, construit essentiellement de la méme manière que le tableau 
analogue du volume I:er, contient les résultats des mesures pour chacune des régions appar- 
tenant à la partie de la zone dont nous traitons ici. Les numéros des régions sont les mêmes 
que dans le Catalogue photographique du ciel. Les époques des deux eliches sont désignées par 
E et E'; T est l'intervalle du temps, c'est-à-dire E'—E. Les quantités k,, pz, Yr, ky . . sont les 


* Catalogue photographique du ciel. Zone de Helsingfors entre + 39° et + 47°. Jusqu' ici quatre tomes de ce 
catalogue ont paru, dans l'ordre suivant: ''omes IV, III, II, V, I, en 1903, 1908, 1914, 1924 et 1925 respectivement. 


6 RAGNAR FURUHJELM 


constantes des nouveaux clichés relativement aux anciens dans la première position; les quan- 
tités X'z 
deux parties par une ligne horizontale épaisse; au-dessus de celle-ci se trouvent les données des 


ont trait à la seconde position. Le tableau est, pour chaque région, partagé en 


étoiles à mouvement propre, au-dessous celles des étoiles de comparaison. Les colonnes du 
tableau contiennent les données suivantes: 

1:0) les numéros des étoiles dans le Catalogue photographique du ciel, Zone de Helsmg- 
fors, T. III; un certain nombre d'étoiles faibles, n'étant pas mesurées pour le Catalogue, sont 
sans numéros; 

2:0 et 3:0) les valeurs approximatives des coordonnées x et y en mm selon le cliché plus 
ancien (A); 

4:0 et 5:0) les différences mesurées, b,—a, et d,—0, en x, a désignant le pointage du 
cliché ancien, b celui du cliché nouveau, et les indices les positions des clichés; 

6:0 et 7:0) les mémes quantités en y; 

8:0 et 9:0) les moyennes de 4x et 4), résultant des mesures dans les deux positions» 
pour les étoiles à mouvement propre; unité 0.01 mm. 

Je n'ai pas cru nécessaire de donner, comme dans le volume précédent, les grandeurs 
des étoiles de comparaison. 

Pour deux régions, c. à. d. les numéros 316 et 344, je n'ai pas employé comme clichés 
anciens ceux du Catalogue proprement dit, parce que les traits du réseau y sont un peu sinueux. 


En revanche j'ai mesuré les clichés correspondants de la Carte. 


Tableau I. 


Résultats des mesures. 


= = | y Diff. en x Diff. en y | | E | Diff. cn x Diff. en y | 
5 5 Unité 0.01 mm|[Unité 0.01 mm| Ir | 4 y y Unité ME nere Unité 0.01 mm| Jj | dy 
jen mm len mm Ale ree EE | [enmm|en MM ia | aa—ba | Har | de ba 
I 
77|—29.: EC +0. 051 —1. 13| +1.09 — 0.50| — 1.06! --0.72 
Région 253. 122) 4.0] 53.7| — 0.42, —4.25| — 3.30, — 6.22] —1.25| — 4.68 
130| + 3.3|—14.5| +0.57) — 0.03] +0.86| —0.99| — 0.01] — 0.23 
E = 1895.18; E' = 1911.17; T = 15.98. 158) 4-13.0| — 46.8|—0.25| —1.71|—1. 40 — 3.60|— 1.32 —2.66 
> 4178| -+20.2| 21-34.0] 4-4. 1510. 18] —1. 40 — 3,63] -- 0.39, — 3.09 
ee Dope AAA B2 235| +45.8| +22.1| --0.68| — 0.66] +1.49|— 0.16] — 0.02| —0.20 
Ka cc a ÖS Die 00009; Ta 0 NUE. 251| 4-52.5|—15.5| +1.09| +0.28| — 0.66, — 2.32| 4-0.56|— 2.29 
ipee a NE una RENE —|— 2.4 — 26.0| —0.70| —1.94|—2.52| — 4.66| —1.65|— 3.64 
ky = + 0.86; p'y = + 0.0017; ry = + 0.0160. j| i - - 
7|— 57.4] 4-43.7] +2.85| +0.19| 4- 4.14) —1.91| +1.20|— 0.041] 45| — 37. A +28.4| --4.13| —0.75| +1.78|—0.95| — — 
28 —47.8|— 17.9] 41.29 +0.11| +0.35 —1.95| 40.23] — 0.31|| 59 —34.1 —25.4| 41.42 -F0.0]--0.25.—2.23| — | — 
35| — 43.6| +34.9| 41.42] — 0.96 146, 3.79| — 0.07, — 2.26 60 — 39.9|— 36.0] --1.13| — 0.06! + 0.64 — 0.99 = 
39 —41.7)— 6.3] --2.30| + 0.65] — 0.49| — 3:02 -4:06| —1.39]| 63|—28:8| 4-48.0] 2-4.43|—4.17| -E4.24| 1.21] — -|— 
50 — 37.6 — 14.7] +1.66| +0.34| —1.48 —3.97| 4-0.58| — 2.37|192, 4-27.4| —39.3| + 0.33 —0.81| 4-1.09,—0.31| —.| — 
59 — 37.8| — 20.7] +0.92| — 0.66| 4-0.59| —1.56|— 0.30) — 0.11||204. 4-31 8|—32.9| --0.91|—0.05| --1.61--0.34]. — | — 
54| —39.1|— 25.1| 40.45) —0.72| — 0.53) — 2.67| —0.75| —1.19]211| +36.9 4-33.2| 2- 1.24| — 0.45 4158—04| — | — 
| 5 — 96.7| --61.5| + 2.68 +1.06| + 0.73) — 2.45 41.741 — 0.971213) +39.1) 4-25.6| --0.76|— 0.68| 4-1.90|—0.74| — | — 
Tom. L 


— 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 7 
| Z | c y Date 0.01 Es Unité 0:01 LT A x dy A e y Unité 0.01 mm Unité 0.01 mm m AY 
SRE en 5. las ran. laa ds dt = enmmlenmm nent 
| | 
Région 254. Région 255. | 
I 
E — 1894.96; E'— 1913.01; T = 18.05 E = 1894.96; E'— 1914.03; T = 19.06. | 
| 
Kx = — 0.64; px — + 0.0096: rx = + 0.0003; ky = + 1.44; px — + 0.0492; rx = — 0.0653; 
Rx = + 4.84; px = + 0.0158; rx = — 0.0382. k'y = + 0.87; p'x = + 0.0340; rx = — 0.0314. 
Ky = + 0.29; py = + 0.0088; ry = — 0.0166; ky = + 0.99; py = + 0.0390; ry — — 0.0173; 
| ky = + 0.69; p^; = + 0.0092; ry = + 0.0018. Ky = — 2.75; Py = + 0.0281; ry = + 0.0085. 
6| — 64.5| --20.7| + 0.60] — 1.15| --0.70| — 1.39] — 0.87, — 0.451] 38| — 45.1| +48.4| +3.86| -I-3.54| — 4.18| — 1.68. -E4.311— 2.38] 
9| — 61.5| — 48.2] 41.60 — 3.80] 4-2.39| —0.89| — 0.36 +0.35|| 47, —47.8| — 37.0| 1.95 — 0.15| — 0.01| +2.46| +0.62| — 1.10! 
| 18 — 59.0, 0.5] — 0.12, — 2:71| — 0.21| — 1.92] — 1.55| — 1.01|| 58) — 40.5| — 12.3 1.16, 0.001 4-0.25| -i- 2.76] + 0.09! -1- 0.03| 
29, — 52.6 —18.1 +1.51| 2.17] — 0.79) — 2.39] — 0.05| — 1.651] 68| — 38.1| +15.5| 4- 2.79| -4- 2.64| — 3.81, — 1.59] +2.10| — 3.23 
33| —49.8| +53.2] +1.53| -I- 1.04| — 0.21, — 2.40] -I- 0.24, — 0.70|| 85| — 30.6! +16.3 +317 -F^.26| — 5.91, — 2.06 --3.27| — 4.45 
42| —47.9| —37.8| — 1.30, — 6.00] +1.04| — 0.99| — 2.94 — 0.18|| 86, — 33.6| --17.3 +2.90 + 3.80] — 5.60) — 2.02] + 2.77, — 4.25 
43) —42.9 +55.2| +5.11 +4.38| —5.38| — 7.06] +3.75 — 5.54 ||L09| — 28.6 —37.2| — 3.24 — 0.96} +0.51| --3.65| 4- 0.09, — 0.17) 
63| — 36.7 4-18.2] 41.34 +0.02| — 1.37, — 2.57| + 0.47) — 1.58||117| — 24.8| +13.6| + 0.11| — 0.08| — 2.83| — 0.02] — 0.25) —1.96| 
91|—33.1 —48.5| +1,48) —3.74| 41.35) — 1.33|—0.03 —0.18|427 — 23.9 —60.6|— 5.63, —1.51| — 3.52 — 1.75| — 0.12) — 5.65) 
103, — 26.7 9.21 4-2.03| —4:22| — 1.13| — 2.17| + 0.84] — 1.43]|134| —19.9| + 9.3| — 1.83, — 41.25] + 0.30| 2I- 3.65| — 1.34| -1- 1.32 
107| —25.4| — 30.2] -I-0.96| — 2.72| +1.88| -I- 1.18 — 0.03| +1.5611159) 6.4| — 56.7 2.71| 0.06| — 2.30| +0.58| +2.34| — 3.67 
4114| — 23.3, 4-59.5| — 0.72 — 0.42] — 5.40 — 6.41 1.39) — 5.051171 1.8, — 20.0] - 1.91 0.551 — 1.89) 4- 1.74| + 0.95 —1.63 
147| — 12.1 — 58.21 +. 0.92) — 3.931 42.29) 4 0.93] -I-0.04| +1.48|1221| +16.4| + 20.4|— 0.55 — 0.44] — 2.54] -+ 1.56] + 0.11|— 0.64] 
148 — 5.8| + 63.4 +2.55| --2.61|— 3.50, — 4.13 +1.90| — 2.80]]260 --26.8| 61.3 -6.19| 3.94 1.62) + 2.42] — 0.24 — 9,49] 
176| — 0.5|— 13.7| 4-1.24| — 1.29| — 3.40| — 3.39] + 0.83) — 3.03||297 247.7 --60.3| -- 1.21, — 1.94| — 4.61| + 0.141 — 0.85, — 0.88 
177| — 0.7| —13.8| 4-0.75| — 1.95|— 2.97) — 2.75| — 0.25, — 2.50][304 --46.0|—40.5 4.38| 4.54|— 2.14| + 2.57] 41.42] — 0.81 
1801 — 0.7|— 20.1| 2-1.67| — 0.88| — 2.94| — 2.73] +1.36| — 2.53 306, --46.6| — 48.7| — 6.44| — 3.63| + 0.70) + 5.72] — 0.291 40.90 
190| + 4.1 —15.0 +0.43 1.911— 2,52] — 1.941 40.19) — 1.83 s18| +90.4) 35.9| — 3.33) — 2.11] — 2.56) + 2.11| 41.50) — 2.09 
4199| + 7.6| +40.6| 40.74) — 0.311 — 0.82, — 1.23] + 0.14, — 0.11 320, 7-92.1| — 44.1| — 7.13| — 4.95| — 1.39| -- 2.32] — 1.37) — 1.66, 
206| + 7.9) — 23.8| + 2.21| — 1.26 1.99) — 1.78| 2I-1.62| — 1.55|[335| + 57.71 — 41.1| — 3.31| — 2.54] 4- 0.27! +4,27] 41.75) + 0.27 
221| +15.0) +33.7| 4-4.04| — 0:58| — 0.47| —1.17]| +0.38| :1- 0.08 |: 16.1|— 25.9 4.55 3.061 2-0.29| 2-3.88| — 1.83| + 0.26, 
246| +16.6| —12.7| --2.40| — 0.27|— 1.92| — 1.93| +2.12] — 1.42. | 
1249| -I-15.1| — 56.0] +1.70| — 3.36 —41.47 —1.08| -I-1.02, — 1.03 63 36.4 39.11 +1.56| 41.92] — 2.17, +1.80| — — 
263| +27.4| +58.7| — 0.47 — 1.33|— 2.15, —2.50| — 1.06 — 1.10|| 64| — 36.2) + 32.7] 24- 1.34| +1.41|— 1.64) 2- 1.22 
269| +28.2| +13.8| -- 2.43| + 0.02] — 2.29| — 2.06| 2- 1.92, —1.35|| 74 — 37.9| — 40.0]|- 3.25|— 0.901 +1.62| 4-3.81| — = 
275| +28.6| — 30.5] 4- 0.86, —3.22| — 3.03, — 2.58| -- 0.36, — 2.38]! 92 — 30.4 —41.3|—3.34 — 1.43] 41.03 43.23) — | — 
307| --37.2| —41.6| —0.26| — 4.10| —1.78| — 0.74 -0.88, — 0.58|[262. --32.1| +36.6| 4-0.54, — 1.55] — 2.26 4-2.48| — = 
349| + 52.0) — 26.0] —1.04 — 4.83] — 1.45| — 1.09 1.18) 0.631275 + 36.4 +41.9| 40.77) — 0.41|— 3.69) 41.24] — = 
356| 59.3) -I-18.5| --1.46|—0:60| — 1.84| — 1.13] 4-1.43|—0.39]|281| -+-36.4| —33.9| —3.81| — 2.28] — 0.33) +4.30| — | — 
367| --61.5| —13.2|— 0.63 —3.60| —0.93| —0.43]— 0.48. +0.14||294| +41.6| — 35.6| —5.40| —3.94| —0.57| +3.96]| — | — 
— | —29.7| 4-57.3| +2.98| +1.66|— 2.44| — 2.39] +1.45| 1.63 
—1|-4-237.9| 8.9|— 0.01, —3.20| — 3.08, — 3.21|— 0.48, — 2.53 Région 256. 
— | +39.7 3.8] — 1.54) — 6.14|—10.07,—10.43| — 2.66| — 9.49 
| | 1B —04894203:0912— 409141890: NT EM6 97e 
94|-47.0 + 46.61 4- 0.88, +1.02 0.30, 1.78 Ky = + 4.46: px = + 0.0409; ry = — 0.0305; 
36| — 45.4| + 31.4] 2-0.77, — 0.34| +0.20/— 0.86] — = Rx = + 0.09; p'x = + 0.0075; r'x = — 0.0331. 
72, —37.0|— 24.3] 41.20) — 2.31| --0.90| — 0.43 | ky = — 0.53; py = + 0.0105; ry = — 0.0142; 
73| — 36.9 — 34.3| 4-1.29| — 2.37| 40.81) — 0.16 | ky = + 0.96; p'y = + 0.0096: r’y = — 0.0028. 
274 +28.8 — 24.4 +0.01 3.13] — 0.73, — 0.69 
282 -1-30.2| +35.6| -I- 1.06, — 0.77| — 0.77| — 0.95 6| — 64.6, 4-27.8| — 1.72) — 0.37] — 3.36| — 5.68 1.74 4.57 
300, 435.3) -33.1| 2- 0.05, — 1.24] — 0.95 — 0.57 19, — 55.0| — 18.2] — 1.37| — 0.29| — 0.56| — 2.62] -1- 0.02, — 2.02 
319 + 41.6) — 27.4] + 0.12! — 3.72. 1.12) — 0.47 - 26 — 51.6! +39.1| 4- 1.49! 24-2.73| -I- 1.20, — 0.97| +1.17\ 4- 0.29 
N:o 7. 


RAGNAR FURUHJELM. 


8 
| Ze Diff. en x Diff. en y 

|Z| * | 9" [Unité 0.01 mmfUnité{0.01 mm| 42 | dy 
? len mmjen mm] 5 a | ao—be | p4—a | aa—ba 
| | 
| 29|— 54.2. + 9.6] +4.39| + 5.62 _1.65)— 3.55] 44.98 — 2.75 
| 36/— 45.1, +45.9| +0.85| +1.46| — 1.88) — 3.84] +0.06| — 2.57] 
| 39/—47.9| +16.5| +0.58| 4-4.77] 2-0.98| — 0.171 4-0.98| +0.38 
69|—37.3|— 8:51 —0.85| -- 0:84] 1.20 —3.47| +0.69| — 2.52 
| 72 —32.3 +54.5[ -I-0.10| --1.01| —1.06| — 3.38] — 0.69| — 1.74 
93 — 25.2) +26.8| --1.30| 4-2.39| +0.79 —1.19| +1.53| +0.07 
96 — 29.41 —14.6|— 2.65 — 1.61| — 3.76, — 5.62 1.16| — 4.86 
| 99| —29.8| — 24.4| —1.57, — 0.38|— 0.74|— 2.52] + 0.30) — 1.91 
100|— 26.7| — 26.6| — 1.57, — 0.49| — 0.86| — 2.41| 2-0.34 — 1.91 
112) — 21.6 — 3,5| —4.19| — 0.15| —1.59|— 3.40] 4-0.08| — 2.52 
120 — 16.3) +56.5] 4-0.39| 4- 1.78| — 0.11| — 4.88| — 0.08] — 0.35 
179,— 3.8 | +24.8[— 0.18| 4-0.52| — 1.53 — 3.67] --0.14| — 2.15 
|189 — 3.7) — | 6.9|— 2:31 — 0:74| — 2.07| — 3.17) — 0.56, — 2.50 
195| + 1.81 — 24.4| —1.69|— 0.20| — 0.63) — 2.16] 2-0.62| — 1.40 
204| + 5.4| +40.7| 41.17) 4-1.82] — 2.47| — 4.19] +1.02)— 2.65 
[242] + 8.2 —22.5|— 3.15| —1.62] + 0.64) —0.46| —0.82| -- 0.15 
213 + 9.81 — 26.0| — 2.19 — 1.82| -1- 0.04 — 1.02 —0.32| — 0.45 
1236) -I-14.0| — 20.6| — 2.22) — 0.55| — 1.62, — 2.79 +0.17] — 2.08 
265| --27.9| 4-46.8| +0.83| --1.74| — 2.04 — 2.92] +0.82| —1.55 
[270| -1-26.1| — 25.4] — 2.87, — 1.08| — 0.86| — 2.05| — 0.15 —1.27 
290 435.3) + 25.1| — 1.70, — 0-10] — 2.05| — 2.82] — 0.60) — 1.67 
[297| + 38.3) — 25.6| — 2.99| — 0.88] + 0.47 — 0.95| 4- 0.01, +0.04 
1323] -49.2| — 40.9] — 4.72 — 0.16] +3.37| +3.08| 4-1.59| +3.45 
[327| +48.1| — 60.0| — 5.08 — 5.561 4-0.73| 4-4.93| — 2.19) +1.3% 
344| -I-58.8| -1-16.0| — 1.09| 40.69) — 0.75, — 1.16] 40.60) — 0.08 
358| +61.5| --12.2] — 2.52: — 0.68| — 2.41| — 2.59| — 0.64| — 1.64 
45| —47.4|—34.7|—2.28| —145| +155 08) — | — 
52) —40.4| -31.4] — 0:42, --1.34| -1.26|—0.89| — | — 

| 54| —41,4| +25.3] —0.31| --:95|-2-8-46|—4.12] — | — 

| 581 —40.4| — 32.51 —1.31|—0.57| 41.39 0.39 — | — 
1266| -+ 26.1] 430.7] — 0.54| --0.70| — 0.37 — 1.35 

1277| +-34.6| --26.1| — 0.88| 40.58] — 0.10 — 1.49] — — 
1284] --31.7| — 37.9] — 3.04] —1.21| +0.84| — 0.20 = 
[298| 439.3] — 0 3.16|— 4.78] +0.02| — 1.03 = 


kx = 

le = 

ky = 

ky 

| 9] —56.6 
10 — 56.8 
16| —51.9 
23] — 48:3 

| 35| — 41.5 
44| — 36.5 
54 — 27.6 


Region 257. 


PINS ASE ALIAS ENT 


— 17.97. 


— 4.35; px = + 0.0480; 7x = — 0.0232; 
+ 0.67; px = + 0.0105; rx = — 0.0114. 
— 2.52; py = + 0.0226; ny == + 0.0085; 
+ 2.66; p^, = + 0.0244; ry = — 0.0262. 
+46.9] 43.32] +1.25| —4.34| — 4.38] 4-0.33| — 2.19 
| +40.5 +3,36) 0.94] — 1.22] — 4.44] + 0.30) 2.31 
-- 45.6] 4-4.74| — 0.44|—0.24| — 3.74| — 4.24 1.28 
36.71 4-2.91| 4-0.86| — 0.48 — 4.31] 2- 0:22] — 4.89 
+ 4.4| --2.01| — 0.68 0.16) 3.91| — 0.34 — 2.23 
-98.8| + 0.35) — 1.70] —4.44| —5.58| —1.03| — 4.42 
H29.7| 4-2.31| 4-0.67| — 0.95) — 5.48] + 0.24, — 2.69 


E Diff. en x Diff. en y 
zu 7 J^ [Unité 0.01 mm[Unité 0.01 mm| 42 | 1y 
© jenmm/en mm alerte 
73|—18.8| +48.5| + 2.17) —0.68| 4-1.34|— 3.92] — 0.70) — 0.24 
102| — 11.1 — 38.1| +1.13|— 0.50] 4-2.27|— 2.03| +-0.47| — 0.80 
115, — 4.2) --33.9| +1.32)-— 0.14] 4-1.14| — 3.34| — 0.39, — 0.27 
135 + 5.5) +46.6| +2.06) — 0.02| -- 1.65) — 4.41] —0.04| — 0.17 
154 --12.2| --19.9| — 1.82) — 3:44] +2,82) —3.91| — 3.14 | +0.40 
198| +-28.0| — 42.9] — 1.13, — 32.66] --1.77| — 4.55| — 1.09, — 9.08 
202) 4-30.1| --22.4| + 0.07| — 0.96| 4-1.06| — 5.99| — 0.74 —4.60 
216| 4-43.9| + 5.3] -- 1.01] — 1.09| 2-3.40|— 3.98) 4-0.15| +0.29 
222 +41.2| —44.9| 40.70 —2.00| +212) —4.70| 4-0.87 —1.90 
223 --41.0|— 62.1| — 0.29 — 1.99| +0.84| — 6.31| 4-0.18| — 3.76 
228| +48.4 — 2.3| + 0.47 — 1.37| + 2.26) — 5.35| — 0.06| — 1.10 
248|4- 62.8| +31.3| 4-0.52| —1.77| 4-3.38| — 4.55] — 0.64| 4-0.78 
| 
3| — 43.0| +34.6| +2,28 +026] +0,47 815 — | — 
48|— 32.3| -1-43.9| + 2.53] 10.30] +1.23|2,58| — |) — 
50 — 32.9 —47.2| 41.10 —1.18| --3.82,—0.22] — | — 
85] — 19.4] — 44.0| 0.98] — 0.85] --3.76|—14.06| — — 
200! + 34.1| --44.7| 4-1.95|—0.57| +218 — 4.74] — | — 
201| +32.5| + 33.2] 41.90) — 0.80] 4-2.61|— 3.84 -— 
206) --31.8| — 29.7| —0.23,— 0.95] +2,67 —3.30| — | — 
220, +44.6 —98.2| —0.36 —4.64| 43.40 —3.07]] — | — 
Région 258. 
E = 1895,18; E'— 1911.17; T = 15.98. 
Kx = — 1.14; px = + 0.0162; rx == + 0.0100; 
Ky - + 1.68 px — + 0,0137; 7% — -5: 010247. 
Ky = — 0.00; py = + 0.0232; ry = 0.0004; 
Ky -—-—— 0.93; p'y — + 0.0176; ry — + 0.0038. 
4| — 60.7] + 3.9| --2.28| — 2.04] — 2.93| —3.65| — 0.45| —3.20 
14|— 585.5| +40.4| -I-0.75| — 2.55] — 1.48) —2.06| — 0.82| — 0.95 
36| —47.7| —19.2| +4.05| —1.60| — 0.35 — 0.96| — 1.02] — 1.09 
53, — 40,4 — 26.1| 42.45 — 1.38| -- 0.38 —0.16| — 0.21 — 0.46 
93 —27.6, — 4.3|— 0.71 — 3.53|— 1.09 — 0.92| — 2.28| — 1.09 
101|— 27.4 — 46.3] +3.09| --0.34| — 0.15, +0.29| +0.84| 0.93 
445| — 7.6| 4-49.3| 4-0.68| — 2.59| — 2.71| — 2.91| — 0.04, —1.90 
448 — 7.6) 4-11.0] — 0.25 — 2.43| — 0.20. +-0.30]—1.00! +047] 
164 — 3.9| +23.8| 4- 1.34, —1.17] — 2.68 — 2.53| 4-0.68|—2:23| 
465|— 2.1| --15.5| — 1.13 — 4.28] — 1.43 —1.35|— 2.24) —4.18 
178| + 3.6| +18.5] 41.76, — 1.14| — 0.14| — 0.12| +0.93| +0.43 
486| + 3.7| — 42.0| --3.40| 2-0.74| — 0.74) — 0.68| 2-1.73| —1.67 
197 +11.2) --50.8| — 0.18 — 3.20] — 2.83 — 3.22) — 0.45 —2.12 
220| +17.3|— 23.8| 41.06 —1.64| —1.02| —0.99| — 0.14 — 1.64 
225 --22.4 --22.9|— 3.21 — 6.35| --0.39| --0.30| — 3.81| +0.65 
236| --28.5| --25.1| 4-0.98, — 2.54| — 1.03, — 1.12| +0.31|— 0.73 
242, --27.6| — 24.6] +2.14| — 0.19| —1.01| —0.28| 4-4.27, — 1.31 
244| +31.3| 4-17.1| —0.33| —3.59| +0.27) --0.34| —0.95| 4-0.48 
252 --31.1| —50.8| +1.06| —1.97| — 2.28| — 1.68| — 0.52, — 3.19| 
259 --35.3| — 49.6| 41.06 — 1.33| —1.21, — 2.63| — 0.43 — 3.11 
269| --40.2 — 30.6| +1.56 — 1.33| — 1.63, — 1.67] 4- 0.50, — 2.46, 
270, +40.3 — 33.4] 40.09 —1.90| +015, +0.48|— 0.56 — 0.55 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 9 


LT d Unité 0.01 i Unité 0.01 m Am | 4y 2 | z | g Unité 0.01 Dm Unité 0.01 m AT | AY 
© jen mm en mm ai DER Bean peu 9 len men mm] 5: —ar l'as da" | 51-23. ] as | 
279| 4-49.2| — 40.2] +0.43| — 2.28 od 0.00] — 0.55, — 1.41 
291| +56.6| +12 2| — 0.73| — 3.19 --0.31| 4-0.89| — 0.65, +0.61 Région 260. 
290, +57.2) — 36.9] --0.23| — 2.43| — 1.36, — 0.81|— 0.56 — 2.07 
303| + 60.8) — 31.9] — 0.86| — 3.72| — 0.93) --0.09|— 1.62, — 1.30 E — 1895.18; E'— 1911.17; T — 45.98. 
| ka — 1.28; px = + 0.0479; rx = -- 0.0279; 
61| — 37.8| +27.01 4-1.47, — 2.01|— 1.28, — 0.84 | 7 kg = + 1.50; p’x = + 0.0180; rx = + 0.0192. 
621 — 39.0) 4-24.8| 41.02] — 2.10 0.46) 0.26 ky — 1.66; py — + 0.0019; ry = — 0.0108; 
71| —36.1| — 34.1| +2.08| + 0.04 +1.34 --1.06| — — ky = — 0.62; p'y = + 0.0074; r', = + 0.0201. 
119| — 22.7 — 34.6| + 2.34| — 0.43| 4-0.79| --0.76| — — 
234| -|-28.3| +42.4 +0.50 — 2.99 0.42, — 0.48 7| — 62.5| —45.4| +3.44| 4-0.84| — 0.32] — 3.25] +0.79| — 2.70 
254 --36.1| +23.6| 40.58 — 2.01|— 0.56, +0.40| — = 66, — 37.0 — 11.6] 41.29) — 1.62] +3.40| +1.27|— 0.96 +1.31 
255] +35.1— 33.4] 40.84 — 1.82] 40.58) 40.93] — | — 70, — 39.9 — 23.6 --3.15|— 0.34 --2.92| -- 0.12] -I-0.27, +0.11 
267| +41.1|— 16.8| 4-0.20| — 2.17] +0.07| +0.34| — = 79| — 30.1| — 17.9| +1.83) — 1.13|] — 0.19| — 1.99| — 0.47, — 2.17 


93| — 29.3| -1-17.2| — 0.11] — 2.58] + 0.54] — 1.42| — 1.33| — 4.36 
122) —16.1| 415.0] 2-4.90| — 0.88| 4-0.38| — 0.89| --0.71| — 1.25 

Ur. 125| —16.6|— 2.9] 4-2.50| — 0.93] 4-0.05| — 4.27] -I-0.57| — 4.69 
Région 259, 193 —14.7|— 3.8| 4-1.37| —4.33| +1.48| 40.24] — 0.19| — 0.23 
136 —414.1 — 414.9] + 2.24| — 0.74] +4.0.34| — 0.92] + 0.28| — 1.43 


E = 1894.93; E'— 1911.90; T = 16.97. 146|— 8.2| --57.5| —0.70| — 3.13] — 0.10| —4.83| — 0.58) — 4.80 

| 186 + 2.31 — 30.9] +3.16 + 0.42 — 0.27|— 0.99] +1.24|— 1.93 

Kx = + 4.57; px = + 0.0182; rx = + 0.0124; 204| + 6.1| —34.6| -1-2.09| — 0.97] +1.94| 11.87] — 0.01] +0.57 
Rx = — 1.82; p'x = + 0.0218; r'x = + 0.0736. 205| +11.9| +53.6 --0.67| — 2.30 +0.77) — 0.24| +0.79| — 0.66 
ky = — 0.02; py = + 0.0013; ry = — 0.0037; 219| +12.6 — 52.4| 4-3.53| 40.35] -- 1.05, +0.04| 4-1.07, — 0.89| 
K'y = — 2.86; p'y = + 0.0067; ry = + 0.0475. 220| +41.1|— 50.7] 2-3.05| — 0.64| +1.42| 4-0.95| + 0.35) — 0.24| 


i 266| +30.6 — 8.4] --0.24| — 2.12| —1.07| —0.75| — 0.45| — 2.23 
6| —55.8| +53.6 9.00 3.08 219 9.55 1.48] — 2.37 286, 4-45.0| — 36.7| --1.51| — 1.65] + 0.91, +1.13| + 0.01, — 0.49 
17| —50.5| 4- 36.1 0.81|-2-0.82| — 2.20| — 2.01| + 0.42) — 2.30 323| + 61.5| 4-33.8| — 1.22| — 3.43] 4-0.15| +0.79]— 0.29| — 0.80 
36| —44.1| 2-37.9| —4.77| —1.32] — 0.14! --0.02| — 0.92] — 0.38||327| + 63-5| + 5.7] #0.36| — 2.95] 41.71) 1 2.78| --0-11| + 0.83 
37|— 492.6! --34.4| —1.85| 4-0.24|—0.59,—0.38|— 0.30 —0.86| | | 
49| —38.3| --39.7| — 2.06| — 0.601 — 2.48 — 1.21] 0.54 | —2.28|| 52) —44.6,.+ 33.6] 40.79 —1.91| +2.43/—0.53| — | — 
53| — 36.8| — 39.6| — 0.24| -I-5.34| — 0.43| + 0.87] — 0.00) — 0.57|| 93|— 40.0| 4-26.8| 1- 1.00, —0.96| 4-1.72, — 0.92) — — 
65|—26.2| +34.8|— 1.69| --0.06| — 1.73| — 0.75] 4-0.03|— 1.97|| 58| —42.0| — 32.5] +2.94 40.29] +2.93| --0.9] — | — 
95| — 14.4| 434.4] — 1.21| +0.47|— 1.13| +0.64] --0.70| —1.24||101| — 29.8| — 24.9] +2.89| — 0.60] --1.55| —0.14| — = 
428| — 3.4| 18.8] 40.71 4-3.58| --2.42| + 5.09] --2.76| --2.43||259| --33.3| --36.7| 0.00 —2.72] +1.09 +1.27] — | — 
431|— 4.8 — 0.2| — 2.36| --0.94| — 1.38| + 1.46] — 0.93) —1.29][268| --34.0 — 32.2] 41.14 —1.72] -F1.41 +147] — | — 
180) 4-12.3| — 39.8] — 1.35) --3.93|— 1.85) 4-2.07|— 0.30 —4.75|[273. +37.8| +37.1|— 0.38 — 2.76] --1.60 +140 — | — 
209| -1-95.9| -1-59.5| —1.96| —2.55| — 4.05, 2-1.86| 2-0.69|— 1.36||302| -- 51.1] — 29.3| 4-1.01|—1.87| +-0.83| +1.39| — | — 
219| +33.8| 4 38.7|— 2.29) — 0.98| — 1.02] +3.26| +0.58| — 0.90 
223| +35.6| --32.0| — 1.49|— 0.08| — 2.47| --2.13| 4-1.18|— 2.26 


233, --44.5| --35.1|.— 3.00 —1.75 —1.24| --4.35| 0.10 — 0.71 Région 261. 

250! -I-48.9| —14.8| — 9.68| — 5.44] — 9.65, — 3.84 7.34) 9.31 

256| -1-51.0| --19.9| — 1.17) +0.98|— 2.50, 4-2.92] 21-1.65| — 2.26 E — 1894.96; E'— 1913. 01; T — 18.05. 
266| +61.2| --34.7| — 3.45| — 2.61] —4.71| 4-4.22| — 0.44| — 1.38 ky — + 0.64; px = + 0.0271; rx — + 0.0276; 


I 


+ 0.23; p'x = + 0.0291; r^; = + 0.0487. 
&4| — 42.4 —98.6| —0.14| 45.65] +0.77 +144] — | — ky = — 4.36; py = + 0.0328; ry = — 0.0046; 
54|— 30.8) --44.4|—1.71|—1.43|—0.45| --1.04] — | — Kk = + 0.94; p'y = + 0.0280; r^, = + 0.0131. 
55,—34.9| --41.1|—2.03|— 0.52] 40.08] --0.93] — | — 
68 — 29.4| — 28.3| — 0.30| +4.10] --0.15| -I-1.47 | 17|— 60.3| — 25.7| 4-0.35| 4-1.86] 4-1.77| — 1.81] — 1.13) — 0.75) 
243) +30.1| -I-38.6| — 2.23| — 1.86] + 0.09] +4.13 35 —51.7| +18.6| 2-4.09| +0.31|— 0.121 — 3.6] --0.39| —1.21 
218| +30.0| — 41.5| — 2.06| +-4.03| — 0.16| +4.74 37 — 50.5 — 13.1] --0.12| 40.67 --1.96 —1.55|— 1.09 — 0.19 
2221 --35.5| --33.4| — 2.31| — 0.87] +0.16| +4.44 70 — 44.2 —39.9| — 4.16, —2.33| --2.89| — 0.15[—5.57| -- 0-13. 
230| -1-35.6|—41.9|—1,92| + 3.96 — 0.46 +443) — | — || 77|—37.9| 4-36.6| -- 0.30, — 1.01| — 0.32 — 3.53| 4-0.41|— 0.86 


N:o 7. 2 


10 RAGNAR FuRUHJELM. 
S € Y [ju nité 0.01 mm Unité 0.01 m m| 4x dy Z | 2 | y Unité Ô 01 m m Unité 0.01 m ml 4x ay 
en mm en Tr ree ce nl: © [emm enam] eee (an: 
| | | | 
4109/—27.6| -I-35.7| — 0.09| — 1.24 +118) — 2.06 +0.37| 4-0.55||160, — 4.8) + 45.0] + 0.14, 5.81 1224 10.55] — 7.84— 10.94 
117, — 26.3, — 37.7] — 0.59) + 0.14] +1.71/—1.15|— 1.97, — 0.971187 + 1.5 — 48.3| — 1.19) + 0.82] + 0.68 + 1.51] — 0.48] — 0.95 
132| — 20.3) --10.5|— 0.44) --0.07| — 0.28| — 2.15] +0.08/ — 1.02 239) + 24.2) — 12.1] + 0.97) — 0.101 — 0.17| + 1.52] — 1.04| — 0.88 
134| — 24.51 + 9.3| —1.07| — 0.39) — 1.33) — 3.46| — 0.62| — 2.21][242| + 28.8) + 62.5[+10.45| + 0.70 —4.91|—4.03 + 0.57, — 1.25 
143 —15.1) +29.5[ + 0.04) — 0.25| — 1.37| — 3.84] 4-1.03|— 1.85||246  -- 25.5 + 41.3| + 8.71| + 0.96| — 1.69| — 0.87| 40.78) —1.53 
145 —15.1| 4-26.7| — 1.40 — 1.69| -- 0.31, — 1.94] — 0.51 — 0.14|[279, +36.9 4-35.6| +8.30 +1.36|—2.30 —1.82| +1.34| —2.66 
168, — 12.7, — 55.0] 4- 0.52, 42.56] 41.38] 40.97) — 0.48 — 0.65|[340| + 63.1| — 20.6] + 3.25| + 0.72|— 3:62| — 2.30] + 1.91| — 5.43 
176 6.3, --19.7] — 0.68, — 0.65| — 0.82! — 2.94| -1-0.34| — 1.46 
192|— 8.3|— 62.7| — 0.05| --2.51| --0.66| — 1.57| — 0.95| — 2.53 d eed + 28.5| + 7.45) + 2.19)—1.60| + 045! — | — 
222| + 1.7) 422.9] —1.22| —1.45| —0.23| — 2.24| 40.02) —0.75|| 67) — 21.3] — 28:5 | + 4.75) + 2.72] 0.201 + 1.80] — | — 
247 + 9.5|--27.8|— 2.82| — 2.30| -- 0.33, — 2.01|— 0.91 — 0.22]| 84|— 33.4 + 39.3| + 8.38| + 2:40] —4.87| + 0.34] — = 
254| + 6.5|— 29.4 — 0.01] + 0.92] + 1.79] — 0.03 — 0.04 — 0.25 89|— 34.5| — 39.5| + 4.66| + 2.72] —0:04|-- 2.33] — E 
270| + 13.0, — 3.5|— 1.74 — 0.46] + 0.87, — 1.00| — 0.43| — 0.43 249) + 95.8| + 36.4] + 719! + 0.79| —0.62| + 0.97]. — BT 
3014 + 29.9| + 27.9| — 2.38, — 2.94| — 0.38, — 2.28| — 0.32, — 0.811950! + 25.4) + 33.9] + 7.40) + 0.45[— 0.53! 4- 4.85] — == 
314) + 28.7 — 52.0] + 0.85) + 2.93] + 0.98) — 1.10) + 1.15 — 1.981957] + 28.4| — 34.51 — 0.2^| + 0,492] + 1.78! 4- 3.06] — E 
319, + 34.3| + 50.7| — 1.04 — 2.631 + 0.32| — 1.52] + 1.50! + 0.58 286 + 35.8| 391 — 0.70] + 0,60] + 1.30| + DIGG .— E 
349| + 42.8 2.3 AA 1.411 + 0.02, — 1.31] + 0.46| — 0.96 
362 + 46.0) +427] 1.61] — 2:11 0.081 — 1.57] + 1.50) + 0.07 
363| + 46.3] + 23.4] — 2.05) — 1.52] — 0.54, — 1.25] + 0.84] — 0.59 
379| + 52.6] 2.7| — 3.17, — 2.94 -1.60 2.24 1.04| — 2.27 Région 263. 
1391| + 62.8 + 22.6 2.30 2.771 — 0.50) — 2.18] + 0.52, -1.13 
- | + 32.2/—-30.6]— 2.53|— 1.38] + 1.65| — 0.09|— 1.78) — 0.49 
E — 1894.93; E'— 1911.90; T == 16.96. 
58 — 42.3) + 2 — 0.43 — 0.30] + 0.56 — 2.47 = zx Kx = + 0.38; px = + 0.0092; rx = — 0.0200; 
60 — CL ar ER —0.05 = EE + 0.48 mee m = Ke = +.0.97: pa — + 0.0111; rx — — 0.009. 
A E Be X s T P x en Bee ky=— 4.95; py = + 0.0287; ry = — 0.0066; 
1| — 34.1) — 37.8] + 1.02| + 2.29] + 2.49] — 0.4 — —= A => Fr x 3 ’ 
297 + 20.6 — 31.2|— 0.06| + 4.04] + 2.35 +018] — | — med Edu SE 
300, + 28.6| + 31.4 —246 - 2.68|—0.14|— 1.91] == WC 19| -—56.5| — 41.3] + 2.35| + 2.96] + 7.30) + 2.54] + 3:36] + 3.38 
[311| + 28.9 — 33.1] — 0.62| + 0.46] + 2.14|+-0.51| — m AME MERE CP RE al on j 
320) + 32.9| + 25.7] — 2.51| — 2.57] + 0.801 — 0.90 m R 40) 49.5 + 15.3] + 1.24| + 1.46 + 3.22 0.88 1.33| + 0.84 
53|—42.8| + 41.5| + 0.31| + 0.01] + 0.43] —3.11| + 0:23| —1.79 
99 - 27.1 +47.3| +0 78| + 0.84] + 2.27) + 0.76] + 0.95] + 0.25 
rH. 262 100| — 29.1| + 16.9| — 0.70| — 0.82] + 2.54| + 0.09| — 0.63| + 0.82 
Région 202. 101| —26.7| + 13.8| —0.13| + 0.25] + 1.88 — 0.50] + 0.25] + 0.09 
A radit ados ode 135| — 19.1| — 21.9 — 0.06! + 0.04| + 2.32| + 0.44] + 0.79| —0.30 
BAS Epi Us 08 aT 09.06: 137 —17.4| — 28.6| — 0.64| — 0.95] + 1.30 — 1.09| + 0.12] —4.60 
Ky = — 3.97; px = + 0.0220; 7x = — 0.1015; 167 8.5| — 25.6| — 0.67, — 1.10] + 2.35! + 0:81] + 0:08] — 0:17 
Kg — 1 40; pi — 10 0288 7. — "7 0.0020. 478|— 94|-4- 3.5]—4.05| — 0.45 0.19, — 1.33| — 0.14 | — 1.89 
ky — + 044; jan = 10.0262: ry — + 0.0212; 186| — 2.1| — 40.9] + 0.47) + 0.81] + 0.34| — 0.73] + 1.901 — 2.38 
RATE po 010235 877 15 1 010115 9 191 + 4.4| + 30.8| + 1.18] + 0.50] + 1.7^| + 0.41] + 1-10] + 0:49 
193| + 1.0| + 27.8] — 1.24 | — 2.47| + 1.13| — 0.63] — 1.57| — 0.36 
6| — 62.2) — 10.2| + 4.32| + 2:04] —2.79|—0.96| —0.58|—1.81|213|-- 8.3 + 23.8| — 0.19] — 0.27] — 2.76, — 3:68] + 0:17 — 4-01 
10, — 62.7, — 48.5| — 0.15| + 2.17] +2.04| 43.66] — 0.90, 41.971224) + 8.2) — 26.1 — 0:89| — 1.28| + 2.38 | + 0:54] + 0.06| — 0.51 
13, — 58.3, + 69.4 11.29 + 2.66 —448— 1.56| — 0.13, — 1.11[|236| + 12.6, — £3.2]| + 0.25| + 0.38] + 0.60, — 1.63] + 1.90) — 3.18 
22| — 58.8, — 35.8| + 1.93) + 2.30] — 2.41 — 1.14| — 0.31|— 2.41[[243| + 16.5| + 44.5] + 0.32| — 0.701 — 1.60, — 2.73] — 0.00, — 2.56 
23| — 57.1 /— 44.1|— 2.26| — 0:14 — 0.33 + 0.87] — 3.18| — 0.60[[249| + 17.8) + 29.1| + 0.28] — 0.90] + 0.29| — 0.85] + 0.11, — 41.06 
40 — 51.5 — 41.2] + 1.83) + 2.88| + 1.10, + 2.48] + 0.37) + 0.88||264| + 24.4| + 48.5| —0.40| —1.47| + 1.20| + 0.61| — 0.73  -- 0.49 
60| — 41.8) + 20.5] + 6.91| + 2.63[— 2.92) + 0.03] + 0.02 — 0.98||274| + 24.3) + 40.7] — 0.89) —1.08| + 1.80| + 1.96| —0.22| + 0.58 
63 —43.3|— 9.0] + 355) + 1.94] — 4.18) — 2.46 — 0.60, —3.57[|295) + 28.3) —44.2] —4:00| —1.19 + 1.83) + 1.45] + 0.03, — 0.22 
| 881 — 32.5) —327.1|—1 85| —1.07| + 0.80) + 2.781 — 3.16, + 0.641297] + 28.9 — 30.8] — 0.82 —1.31| + 4.72| + 0.62] + 0.36| —1.16 
403| — 26.4 — 35.0 — 3.68) + 4.51 1.44| + 0.49] + 2.44 | —1.68/[299 + 28.9 — 57.9 —2.61|— 2.69 + 2.49| + 1.90] — 0.82) — 0.78 
115| — 23.7| — 43.0| — 0.31| + 1.76| + 0.37| + 1.40 — 0.46) — 0.571330! + 38.3) + 24.9] — 0.19| — 1.10] + 0.15) + 0.41] + 0.05] — 0.85 


- 


— 


N:o 7. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 11 
$ c y Unité à 01 mm Unité Ô 01 ton Ax | Jy = [> 2 n y Unité 0.01 e Unité 0.01 ze am dy 
enmmyenmm| .—o, [a5 || 51—e1 |: a2—b2 enmmyjenmm!| v... | as litı—ar |: abs 
30! + 43.9] + 50.4| — 0. us 92] — 1.70 —1.18| — 0.10) — 2.04 m 
342| + 40.7| + 33.3| — 1.69, — 2.72] + 0.29| + 0.51| —1.61| — 0.56 Région 265. 
366| + 45.8| — 20.4| — 2.21| —1.71| + 0.62) + 1.34| — 0.52) — 1.32 
| | E=M395 18: 011944 2251 = UE 0% 
59| —40.8| —36.7| —1.26| —1.43| + 3.02, —0.35| —- — ie m > 
78| —30.4| + 26.1| + 0.46| + 0.01] + 1.35| — 0.65 Lu M DOS; (Dai QD, Pet x 099925 
97| — 28.6| + 29.5] +1. — 0.01! + 1.29/—1.04 — | — te phas» piste UMR Dates 00208 
107| —26.9| — 31.7] — 0.84| — 1.15| --3.35| 40.53) — E: Eoi c pl: ur 00255 ru s 0.0210; 
298| + 27.21 —35.7| —4.05| —1.39| + 2 60) a 1 1 Cons iut qe 0229.9 yas cc 09 A8 
309| + 30.6] + 35.0] — 0.22] —4.40| + 1.08| 4-1.37] — | — ! 
314| + 32.9| + 28.8 — 0.45| —4.38| + 0.63 + 0.44] — | — 8| — 62.3; — 40.0] + 3.48, — 2.55 + 3.80! + 2.06 + 1.61) + 0.39 
318| + 31.7 304 0.991 —1.07| + 2.65) + 2.55] — ARS 91| — 53.3, + 12.2] + 1.51 — 3.53] + 3.24, + 2.42| — 0.42] + 0.42 
24| — 50.4| — 32.0] + 1.04 — 5.04 + 2.73) + 1.23| — 0.86| — 0.23 
| 97| — 54.2| — 36.9] + 3.851 —1.79| + 3.42) + 1.06| + 2.20 — 0.07 
Region 264. 64! — 30.0) + 48.0] — 1.13] — 5:44] + 1.40) —0.04| — 2.95] — 1.13) 
3 kl des 83. — 25.9| —32.3] + 0.16| — 4.40] + 1.01) —1.29| — 0.81| —1.64 
ac d beri ior Tat A24 95|—21.3| — 9.6| + 2.04| —3.70| + 2.09| —0.28| + 0.24 —0.51 
Ke = — 1.70; px = — 0.0008; rx — + 0.0121; 125, — 13.4 —58.1| + 1.89 —3.80| + 0.61, — 1.79) + 0.75 — 1.66 
Kx = + 0.35; px = + 0.0136; rx = + 0.0110. 36|— 9.6|—17.7| + 2.15| —3.52] + 0.83, —1.40| + 0.56] —1.34 
ky = +013; py = — 0.0044; ry = — 0.0295; 37| — 9.6, —37.1| + 1.02) —4.44| + 1.15, — 0.82] —0.23 — 0.85 
Ky = +41.65; p'y = — 0.0094; r^, = — 0.0276 154| — 3.6|— 57.8| — 0.85) — 6.35) — 2.05 — 3.72] — 1.83 — 3.67 
CER ERRORES INI EAT ENT ERIT 167| + 8.7| + 38.9] + 3.13| —1.71| — 2.84] — 5.22] + 1.40 — 4.70, 
; A le ls OT 976011761 + 6.9 —38.1| + 1.17| — 5.24| + 0.65, —1.75| — 0.43, — 1.08| 
18 —50.0 + 31.11 + 2.09 0.00! + 2.08 — 0.34) + 0-1 + 0.121791 + 9.9. 58.8] + 4.42 —5.29] + 1.88| —0.49| — 0.06! + 0.28 
27 45.31 — 6.2] + 2.80 + 0.89| + 1.76 —0.39| + 0.80! + 0.32 415. 10.3) + 44.8] + 2,49) — 9.85] + 0.65] —1.62] + 0.56  — 1.11 
Bu pc aec ord d ood noi +15 — 26.0 +1,53] — 4.52] + 0.54] —1.77| + 0.04 —0.91 
SE Le Es ; P dz! T E NS = ABER 210| + 22.6, + 16.9| + 4.22 —3.97| — 0.17] — 2.26| — 0.31| —1.42 
"m ud ER, di 090 —243 NOE dme 217| + 27.6, + 36.1| + 0.78] — 4.15| + 0.53| — 2.09| — 0.82| — 0.88 
? +811259| + 44.4| + 26.7] + 0.53|— 4.75| + 0.48| — 1.95] — 1.02] — 0.32 
155 + 6.8|—10.1| -- 1.88 —0.18| + 0.11) —1.14| 4.0.10 + 0.631] _ | + 98.11 62.0] + 0.93) —5.73| + 1.71| —0.54| — 0.35] + 0.73 
157 + 5.71 — 54.7| + 3.23| + 1.24] + 4.25) — 0.59] + 0.97| + 1.78 | | 
164 + 14.1 — 1.4| + 0.63 —1.35| — 1.42] —2.77| —0.96| — 0.79 Fan MN p | LE 
178| + 18.5 — 25.7] + 3.65| + 1.62] 1.60) —3.00] + 1.791 0.70] 51 17%) + 5-1] + 2:15 rer Del Ss 
191| + 20.7] —43.3| + 3.31 --1.25| —0.54| —2.21| + 1.23] + 0.44] 9| #93) +1] + Hi Le 4 ed aio N 
196| + 27.6| + 30.2] + 3.32] + 1.02] — 2.23) —2.94| + 2.02 —A11 Ee E Moy d je Reve dc: sr 
204] + 30.6 + 55.6] + 1.011 —0.56| —1.65| —2.55| + 0:44 | —0.66!. 394 24 ol à 4 79 Ms Ne ed d | A 
212| + 32.6. — 5.5 Le 2.25| — 2.06, — 3.46 x 40:980. | on eio il x a er Beet D E 
228 + 40.2 + 23.4] + 1.31) — 0.06] — 2.75) — 4. vil + 0.48) 1.86] 0) + 204 dn 23 83) Be er 2) 
232 + 40.6 — 35.4 + 2.53] 0.12| — 3.30 — 5.74] + 0.38, — 2.231] v e 3 ers are | 
233| + 40.6|—52.9| + 1. 02, 1.97 4.20 6.69] —1.50 3.98 240 + 34.3 —39,5| + 1.16| —5.38| + 0.64| —1.04| — | = 
250| + 57.4|—15.4| + 2.16) + 0.05] — 1.43, —2.48| + 0.62 + 0.66 
251| + 56.8 —22.1| + 3.43) + 1.92] — 6.78| — 7.46| + 2.10 — 4.4 Région 266. 
—|—24.3| + 29.5| — 0.52, —1.93| —0.36| — 1.32] —1.71| 08% 
SE SB me 27) an À Ven Nr em E =: 1894.93; E'— 1911.90; 7' — 16.97. 
60| —25.8| +38.3 + 4.96! + 0.06! + 0.19 —1.20| — kx = + 4.62; px = + 0.0133; ry = + 0.0121; 
61| —27.7 + 27.1 +106 —0.65| + 118/— 0.56 — Ke = + 1.38; px = + 0.0091; rx = + 0.0189. 
72 — 26.6, — 22.3] + 1.77, + 0.30| + 0.55, — 1.22 ky = — 0.72; py = + 0.0060; ry = + 0.0023; 
74| —27.7| —36.0| + 1.83) + 0.29| + 0.79 — 0.57 ky = + 0.34; p'y = + 0.0095; r^, = + 0.0256. 
195| + 28.4| + 40.1] + 0.96| —1.37| — 0.27) —1.60 
205| + 30.7| + 29.5] + 1.18 — 1.00] —1.22| — 2.12 2| — 60.8| + 35.4] — 0.37| — 0.42] + 0.25| — 2.73] + 0.97] — 0.30 
214| + 33.3| —32.1| + 1.98| — 0.94| — 0.68| — 2.48 15, — 57.9| —44.6| — 7.43, — 7.49| — 8:96|—10.38| — 6.84] — 9.17 
224| + 35. 8| —40.9 + 2.82| + 0.21|— 2.13) — 3.97 22 — 54.7| + 20.0] + 0.05| + 0.49| —1.56| — 4.21| + 1.46| — 2.15 


12 RAGNAR FURUHJELM. 


Diff. en x 
Unité 0.01 mm 


Diff. en y 
Unité 0.01 mm 


Diff. en x 
Unité 0.01 mm 


Diff. en y 
Unité 0.01 mm 


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| | | | | | | 
33| — 44.1| + 34.5] — 1.21) — 1.18 0.91 3.18| + 0.34, —1.35||124 — 15. 3 —19.3| + 3.48 4- 1.31 — 0.67, —1.91 + 0.88, — 2.09 
35|—40.3 + 7.3 0.27 0.25| — 0.54 — 2.81| + 0.90 —1.25 161 — 0.4) + 37.5| + 5.09| + 4.61] — 4.51) — 6.44] + 3.08| — 5.24 
65, — 27.6, —18.8| — 0.16, + 0.01) — 0.31 | — 2.15] + 0.82, —1.18 180! + 0.4 + 44.5 2.42 1.481 + 1.25) — 0.96! + 0.11! + 0.30 
72| —23.7| + 49.0] — 1.22, — 0.97] — 0.34| — 2.18] + 0.89, — 0.741200 + 8.6 6.2] — 0.62, — 0.72] — 3.05| — 4.56| — 1.71| — 4.20. 


75| — 23.5| + 29.4| — 1.67 —1.51| — 0.50, — 2.02] + 0.11, — 0.89[|214 + 17.7, + 55.3] + 0.61) — 0.601 — 1.11| — 8.54| — 1.63, —1.86 


1 


78 —24.1| + 2.41 — 0.84| — 0.81| + 0.02|—2.06| + 0.44 — 0.86||240| + 24.0 + 17.7| + 1.10) + 0.17| + 1.42] —0.79| —0.40| + 0.37 
92 —16.3| — 24.6] + 0.39 + 0.08] —1.89| — 2.90] + 1.17 — 2.54||241| + 22.1 + 11.0| + 1.16, + 0.56] + 0.66, —1.41| 0.12] — 0.41 
1106 — 6.5| + 39.4| —1.26| —0.91| — 0.72 —1.65| + 0.95| — 0.981249] + 21.9 — 58.5| —1.08| — 4.30] — 0.651 —3.78|— 1.301 — 3.12 
161| + 20.3| 4- 55.9 0.86 1.54| + 0.34 —0.74| + 1.39 —0.23| 254 + 27.1) —17.1| + 0.94 + 0.16|— 1.85 —4.10| + 0.02 —3.31 
1170| + 29.0| + 10.6| —1.05, —1.53| —0.11| — 1.01] + 0.70| —1.07]1257| + 25.9, — 28.5] + 0.63) + 0.29] + 0.65 — 3.11] + 0.04 —1.72 
1201| + 54.3| — 4.2| + 0.46 — 0.02] + 1.94| + 2.02] + 1.76] + 1.0011267| + 31.2) + 8.2] + 0.84 — 0.37] + 4.44| — 4.13| — 0.53, + 0.17 
[204] + 58.9| + 34.5| —2.16 —2.09| + 2.08. + 2.13] + 0.52| + 1.34272. + 30.8 — 51.8] + 1.15 + 0.45] + 2.011 — 2.21] + 0.63 —0.83 
207| + 59.9 — 34.5] — 2.83) — 9.83] + 1.22) + 4.54] —1.19| + 0.08|[279| + 36.3| + 19.2] + 2.51| + 1.76] + 0.67] — 2.79] + 1.33 | — 0.85 
209 + 62.2] + 15.4] — 3.12 —3.41| — 0.03, + 0.39|— 0.82 —0.75[307 + 53.9 + 20.2] + 1.57 + 0.63] -- 0.30, — 3.04] + 0.63 — 0.97 
1242] + 63.3| — 3.8| — 3.60, —3.77| + 0.80) + 4.27] —1.53| —0.07/316| + 57.8| + 29.0] + 2.58] + 0.86| — 2.12, — 6.00] + 1.21| — 3.51 
—| +244] + 56.7| — 1.63| — 4.63| — 2.04] — 3.70| — 0.51 — 2.91]|322| + 59.0) — 10.8| —1.55| — 2.93] + 1.301 — 2.92| —2.16| — 0.74 
Ty IST Emp. ei USE I eo 4-61: ^3] Pa 07724 tois Eo» ef | — (bår 
38|— 40.9 — 28.0] — 0.55, — 0.40] + 0.74 —0.83| — | — | | | 
48|—38:4| — 30.5| —0.62| — 0.80] + 4.43| —4.01 | 46|—42.2| + 26.5] + 2.46| + 4.86] + 0:34 —0.22] — | — 
57| — 29.9| + 36.6| —4.78| — 1.521 —0.35| — 1.78 | — || 56 —42.8 — 32.1| + 210! + 0.79] + 2.02) + 1.40 
59| —29.5| + 964| —1.72|—1.60| + 1.01 — 1.39 | 74| —34.2| + 26.4| + 2.90 + 1.99] + 0.07) + 0.44 
165| + 22.0 —32,3| —1.77| 0.72] + 0.83| + 0.03 | 82 — 32.6, — 39.4] 42.37 + 1.40) + 1.84 40.901 — | — 
173. + 28.7) —27.7| —1.72| —4.09 0.82 + 0.83 245| + 22.5 —20.1| + 0.96] 0.00 + AAA er el 
179) + 34.4| + 30.3| — 1.85| —2.56| + 0.83| + 0.65 | 259) + 30.0| —37.5| + 0.47|—0.15| + 1.99 —4.02] — | — 
183] + 37.7| + 32.8] —2.81| —2.34| + 0.66| + 0.23] — | — 11261 + 30.9) + 36.3] + 1.86) + 0.25] + 1.60 —1.34] — | — 
278| + 35.7| + 84.4] + 2.15| + 0.33] + 1.04/—1.590] — | — 
Région 267. 
Région 268. 
E = 1894.96; E'— 1913.01; T = 18.05. 
E = 1894.96; E'— 1913.01; T = 18.05. 
kx = — 1.85; px = + 0.0479; rx = — 0.0147; 
Ka = — 0.73; p'x = + 0.0220; r'4 — — 0.0106. ky = + 2.84; px — + 0.0073; rx = + 0.0388; 
ky — — 4.27: py = + 0.0160; ry = + 0.0072; kx = + 0.56; p’x = + 0.0157; r'x = + 0.0228. 
Ky = + 0.46; p'y = + 0.0089; r^, = — 0.0277. ky = — 0.57; py — + 0.0136; ry = + 0.0085; 


Ky = — 0.71; p'y = + 0.0152; rj = — 0.0477. 


27|— 52.8| + 33.7] + 3.84| + 2.58 — 0.49) — 0.36] + 0.43, — 0.95 
311 —51.6 +" 5.6| + 3.44] + 2.75] + 0.81 + 1.39| + 0.70 + 0.23|| 3] — 64.4] + 43.0|— 2.01| — 0.35] — 2.62] + 4.03] + 0.85] — 2.08 
32|—52.0| + 6.2] + 3.16| + 2.09 0.25| + 0.44] + 0.22 —0.51|| 41 —64.7| + 23.6| — 3.41 —0.97|— 2.47| + 1.28] —0.75| — 2.16 
35| — 52.5| —49.2 3-2.77| + 4.70] + 4.86 + 3.24] + 0.51 + 2.49|| 16 59.0 m ox 4.80 2.43] — 3.36| — 0.30] — 3.76| — 3.58 
36 — 50.3) — 53.7| + 1.82, + 1.99| + 2.91| + 1.65] + 0.29) + 0.69|| 29 — 48.2) + 22.4| —3.06 — 0.28| — 2.90. + 0.69|— 0.08, —2.37 
40 — 49.9 + 501] + 3.28) + 4.48] + 0.08! + 1.66) + 0.81) + 0.58 32 —46.2 + 4.6|—2. 23 + 0.34] — 1.82) "Pas + 0.02| —1.99 
45 —42.4| + 58.8] + 1.18) + 0.12 0.86 4.59] — 2.22) —1.33]| 47) —42.3| — 61.5| —1. &5| + 0.20] — 0.24| + 2.05] —4.55| — 4.45 
62 —38.4| + 34.4] + 3.90) + 3.21] — 0.41, — 0.24| + 1.06 — 0.69 50! — 2909/2290 38! 1034 —2.04| + 0:30 + 0.97 — 1.81 
64| — 36.5) + 16.8] + 3.09| + 2.35 od + 0.05] + 0.49] — 0.26 s2 — 25.0 — 4.7|—0.76 + 1.04] — 0.84) + 1.11 -4- 1.16| —1.06 
86 —328 — 50.4] + 1.24) + 1.25| + 1.78 + 0.26| —0.06 — 0.35 87 —B88 3 —30.0 + 0.09 + 1.58] — 0.49) + 1.17] + 1.04 —1.29 
94) — 24.0) + 54.4] + 0.99 — 0.01| — 1.06, — 2.35] — 1.97, — 1.67 120 —45.9| — 37.1] — 0.84| + 0.73 


B 07 — 0.18! + 0.06 — 2.10 
1m) — 16.5) + 24.4] + 2.46, + 1.57] — 2.32, — 3.38] + 0:08, — 3:12 127 — 12.8 — 2.0] — 2.69) — 0.74] — 0. 88 + 0.98] — 0.47 — 0.87 
119) —16.7| + 6.9] + 1.07) + 0.79] — 2.77, — 3.42] — 0. 78|—3. 58|[152| + 4.5 + 33.7] — 2.86| — 0.83] — 2 A8 —2. 74| + 0.69 — 2.66 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 13 
z La y Unies 0.01 E Unité 0.04 dn am | dy Zz | c Y. Unite 0.01 Bun dee Ax | 4 y 
? len mm en ac SEE S CARTES 2 ienmm|enmm]|'r a, [rasch Mina Loa bs | 
| | | 
165) + 9.7! + 56.0 ze a —9/40|—3:33| — 0:07|— 2:51 | 
172) + 10.8) + 42.4 — 2.82 —1.56 + 0.06 — 0.32] + 0.69 + 0.05 Région 270. 
230| + 35.2) + 50.4] — 1.53] + 0.20 — 0.55) —1.77 + 2.73|— 0.38 
240 + 35.7) — 53.8] + 0.48) + 1.61! + 2.40 + 0.27] + 1.24| + 0.62 E — 1894.93; E'— 1911.90; T — 16.97. 
262| + 51.8|4- 3.5| —4.66| — 2.97| — 1.61 —3.52|—1.66 — 2.14 
24.3|— 8.5|— 2.28| — 0.05| — 0.03, + 2.64| — 0.25| + 0.06 Kx — — 1.27; px — + 0.0104; rx = + 0.0096; 
| | SET RE SN Roc 1.02; pi 11010233; r/5 = — 0.0124. 
33|— 45.8, —28.8|—0.62| + 0.53| + 0.83) + 3.90] — | — Ky — — 0.81; py = + 0.0172; ry = — 90.0042; 
511—39.9| + 28.8|—3.87|— 0.84|—0.87|-- 1.2]. — | — ky = + 0.85; p'y = + 0.0184; ry = + 0.0204. 
re 
5 E. E pec: NE pe | | 9)—58.4| 4-50.8| +1.98| +2.10|- 1.38) — 5.29] — 0.15) — 1.94) 
212| 259 208 107019409202 — | — || 19994 — 20-1] +2.02| +1.66| + 0.53 —3.03|—0.26 —1.11] 
ne ao --0:89 oo — | pod — 320 Ta] 1,68) 2.00) 0.51 3.74] 40.04 —1.60| 
BM Lud Sl nel — | || 59)—31.3)— 3.3| 4-1.91| +1.89| -E0.35 —1.46| 40.23 — 0.34 
Dar de 146 3r EN HN | _ | 90—322|— 4.0] +1.25| +1.94] --0.98|—1.321— 0.08 +0.04 
a à | 82 — 24.2 —49.5| +2.91| +1.97| 4-0.72| — 1.71| +0.95| — 1.16 
146| + 6.9| +29.3| +1.22| +0.69| 40.32) — 2.08| — 0.11| — 0.39 
151| + 6.11— 29.0 +1.29| --0.82] 42.24 40.80] 40.04 +-0.98] 
Region 269. 1531 + 9.1|— 45.9] +0.74|—0.21| +0.02] — 4.37] —0.68| —1.53 
163| +14.5| —54.3| 42.42) +0.96| +1.50| +0.53| 4-0.86| — 0.05 
169| +18.5| — 2.6] 41.07 +0.87]— 2.05 —2.77| 40.14 — 2.58 
E = 1894.96; E'— 1914.03; T = 19.06. 186| +-26.7| +45.2| +0.19| +0.16| 40.01 — 1.22] —0.58| +0.00 
190! + 26.9) — 21.5] +0.36 — 0.61|— 1.43 — 2.39] — 0.78 — 2.49 
ky = + 1.42; px = + 0.0161; rx — + 0.0196; 197 --33.8 +15.8 +1.29| +0.80| +-1.63| 4-0.82 +0.45| +1.26 
Ke = — 0.01; px = + 0.0215; r^y = — 0.0433. 211 335.5 —+12.9| — 1.32 — 1.41| — 3.48 — 4.37 1.93 3.96 
ky — — 0.78; py = + 0.0162; ry — + 0.0167; 217 TEES --30.9| +0.57| 0.00! +0.38| — 0.32| — 0.14 +0.24 
k'y = + 0.10; p'y = + 0.0078; r^, = — 0.0226. 242| +59.5| 439.5] — 0.86, — 0.87 1.68, 1.37| — 1.05) — 1.28 
" 255| --62.8| --18.4| — 0.04| — 1.54| — 2.36 — 2.51|— 0.90 — 2.59 
—| +20.9— 6.7] --3.37| --3.51| — 0.80 — 1.66) -1-2.66| — 1.50 
29| — 45.7| — 20.8| -I-3.33| 43.491 — 4.56| — 4.361 4-3.50|— 5.18 | 
"EE a ara zie" E ape s mu FEM. --2.39| 4-1.99| 4-1.98|—0.83| — Le 
> PER ie s oH ids NES es ES 48|—35.7| +43.4| 41.25) +2.06| — 0.11 —2.52 [mes 
96 102 33.5 0.37 0.82 14% 1.0.76 1031 +023 53|— 37.6 —34.1| 42.00 4-1.48| 41.56, — 0.90 — pee 
: ; : : : Fan er > | 55 —32.1| +29.0| --0.83| +215] +0.22—236 — | — 
120| + 0.7] +55.5 +0. -- 5.49 +144 +011 +3.13| +096) | 94 8| —28.8| + 0.68 —0.84| 0.70 0.1] — | — 
"ME on tn on a en pub RETE na — | = 
; Sal > x de] -*911909 +39.2| +38.5| +0.85| +0.62| +-0.06| — 0.87 = 
150| +13.) —52.3| --0.05— 2.18] +-1.80|— 0.07] 40.511 0.061153 379. 25.2) 41.15 10.25] 10.99 +018 — "4 
455| +16.2| 4-10.7| — 2.81  — 0.45] +0.97|—0.27]— 0.74) +0.18|| | | 
1484| +34.6| + 0.4| —2.88| — 0.99] 4- 0.39] —4.16|— 0.58| — 0.62 
485| 4-32.0.— 2.5|— 2.40|— 0.72] 4-2.24| —0.02| — 0.22] — 0.83 m- 
205| +53.4| -1-53.3| — 0.85| --3.36| — 3.60] —6.31| --2.33| — 4.49 Région 271. 
210| +54.6|—12.6|— 2.35|— 2.64] 4-2.02] —14.20| — 0.61| 40.08 - " ; 
215| --57.2| 418.3] —1.67| +-0.54] +1.81| — 1.06] 4-1.00| +0.42 uec Mole aec PNEU ALES | 
€ ME Ky = — 0.03; px = + 0.0494; ry — + 0.0166; 
26|—43.1| --41.3|—14.90| 42.74] —0.58 1047) — | — Kx = — 0.37; p'x = + 0.0478; rx = + 0.0075. 
30|—42.0 —23.2| —0.26 —0.45| +0.30| +0.69 — | — ky = + 2.46; py = + 0.0516; ry = + 0.0037; 
40 — 37.5 —22.3| +0.25| --0.08| 41.09 --1.64| — | — Ky=— 1.43; p'y = + 0.0374; ry = — 0.0225. 
54 — 25.2] --32.4|—1.97| +2.05[— 0.59 40.26] — | — 
173| +28.6| —40.1| —1.65| —2.06| +1.63/—0.79) — 6|— 56.2] —45.4| +3.90| +3.75| —1.15| +3.97] +0.88| +0.73| 
177| +33.7| +39.6|— 2.56| +1.11| 4-1.19| —1.32 7|— 56.8|— 22.4] +4.74| 4-4.32] — 4.85| — 0.39] -2-1.47| — 3.62, 
186  4-32.1| —19.1| — 1.68 — 1.68| -- 1.50 — 0.66 27 — 38.7, — 4.6] —0.08) +0.03[— 3.55 41.61] — 2.04 —1.02 
200) -I-49.1| --31.1| — 2.34) 4-0.07| +1.03| — 0.95 31|— 35.1, — 49.0| +2.38| +2.86| — 0.82, +4.00| +0.23| — 0.40| 


N:o 


7 


14 RAGNAR FURUHJELM. 
2 | dH y Unité 0.01 m Unité 0.01 nm A % | dy 2 2 y UE eH 0.01 mum Unité 0 01 mm A x dy 
? jenmmienmm] y. 4. | as lee | E jen mm en elle Ui 
40 —36.0 — 51.9 -9.07| --2.57 7 +4.68| --0.81| +040] 35 —43.5| + 35.6] --1.34| +4.65|— 2.78) — 1.40 | 
45|-—20.7| + 6.4] +1.24| 4-4.95| —1.51| +2.99| +0.53| +1.34]| 50| — 38.8) +37.4| +1.72| +2,07] — 2.24 — 0:02 
48| —20.7| — 40.9] --3.72| +3.46| —4.05| +2.78| +1. Sic Qe 37.3 —3: +0.79 --4.23|—4.86| — 0.17 
82 + 0.9,— 31.5| 4-0.60| --1.28| — 4.03, — 0.55] +0.40 — 3.17]| 62| — 32. 5 — 29.8] 41.27) 4-4.06| —0.82| +0,49 — = 
83| + 4.11 —61.9| +1.00) +1.58| -I-0.13| +3.24] 4-0.53| — 0.52]454| -I-19.2| +31.6| --1.18| -I-1.18| --0:46| +4.35] — — 
91 +11.4) 425.4 0.310.691 — 3.37 — 0.31] + 0.121 —0.08|173. +20.7|— 40.3 +1.21| --1.40|—0.44 --0.23| — — 
101) 418.61 — 3.8] —0.12| 40.75] — 3.45) +-0.34] -- 0.91, — 1.03|[196| --32.8 +34.4| 40.76 +1.01] 40.66 --0.61| — — : 
104) +16.3/—36.7| +0.50| +0.981—0.68| +2.601 +0.84|  0.00||498, +30.1)— 29.6| +1.24| +41.44| --0.58| +0.54| — = | 
119| 428.7) --34.7|— 0:61 | — 0.04| — 2.54) 40.71] 41.20) +1.41 
120| +25.9| + 33.2] 1.63 33|— 5.58 — 2.12] 0.101 — 4:62. | 
140| +40.1| 4-33.9] — 4.97, —1.64| — 5.76 — 3.29] +0.23| — 2.12 
147, --48.0| 4-55.5| —2.81|— 2.76| — 6.22, — 4.29| — 0.13| — 1.82 
—|— 34|—40:3| 4-2:41| +1.86| —4.26| --2:40| 2-4:31| — 0:74 
| se 
24| —40.5 —37.8| +2.27| --2.68]|—0.73| 4-293] — | — Région 273. 
29) —35.11— 37.4] -- 2.34. +1.88]- 0.60, +3.70 
34| — 28.5| +38.8| --0.33| --1.64|—4.20| 41.39) — | — E = 1896.13; E'— 1913.10; T = 16.97. 
| 35) — 29.8| -I-30.7| 41.10) 4-1.71|— 4.52| +0,32] — — 
118) +28.8 +38.5 —1.99| — 1.25] — 4.82] — 0.93 | Kx = — 4.27; px = -# 0.0653, ry + 0.0222; 
128| 4-31.5| +46.8]— 1.96) — 1.89] — 4.30, — 0.91 ky = — 0.56; p'x = + 0.0545; rx = — 0.024. 
133) +34.9,— 27.9| — 1.23 — 0.75 —1.98 --4.50] — — Ky = 3104; "py = + 0.0426; ry — 0.0167; 
137| --36.6, — 21.9| —1.00|—1.20|— 0.80) --1.75| — - Ka 150; pan 010493: 872 BE OT0T4IGY 
11|—51.9|— 4.2] +6.10| 4-4.18| +5.26| +3.31| +1.64| +1.10 
14) —46.2) + 31.4] +2.52 A 4-4.39| -- 2.10] — 0.43| 4.66 
Région 272, 17|—47.2 — 34.6] +3. 37 +117] 4-5.71! +3.08|—0.97| 4-0.00 
21| —43.^ 4 +15.3] 4-1.46| +1.34| 4-2.50| + 0.671 — 1.70 — 0.64 
E — 1895.18; E'— 1911.22; T — 16.04. 25|—42.9| — 4.042. 02 +0.771 +3.55| 1.82, — 1.65 — 0.35 
28|—38.1| + 6.1| +2. 82) 4- 2.66| 4- 3.18, 11.84] — 0.08, — 0.03 
ky = — 4.47; px = +0:0027% 7x — — 0.0016; 31|—37.1| — 49.2] --2.58| +0.31| +5.50| +4.26| —1.27| +0.00 
Ka = — 1.35; px — + 0.0037; rx = — 0.0027. 32 — 33.3| 4-57.7] --0.63, --2.59| — 0.91| — 2.38|— 14.02, — 1.93 
ky = + 0.60; py = + 0.0032; ry = + 0.0346; 441 — 25.2| +38.6] +0. 49) +-0.88| + 0.05 — 1.78 — 1.52 — 1.84 
Ky = — 0.29; py = + 0.0011; r^, = + 0.0152. 59! —91.6| — 62.7 --2.25,| — 0.08 +7.46| + 6.62] — 0.85) +1.81 
67, —18.9| 59.8 -2.61 — 0.92] 44.54 4-2.88| — 0.96| — 1.35 
3| — 65.4| -- 27.1] 41.50] 4-4.24|— 3.31|— 1.69] — 0.17 — 0.66[| 81] — 9.6 — 4| +1.62| +1.19| 2-2.10| +0.66] 21-0.01| —41.15 
25|— 46.4 — 3.8] 40.29) 40.53] — 4.65 —2.85| — 0.99) —2.44|| 98| + 0.8 — 73 +3.69| 4-2.74| — 0.15| —1.47| 4-2.34| — 3.21 
27) —45.5 —17.4| 4-2.70| --3.40|— 0.42. 4-1.12] +1.68, --1.59]|102| + 4.0 — 42.3] +4.04| +1.61| 42.50] +2.64| 42.15) — 0:43 
41, —51.8| + 8.01 +1.63| 4-1.301— 2.79| — 1.351 + 0.06) — 0.851122 -1-12.6, — 53.0] 42:98) -I-0.30]| +2:61| -1- 1.83] 41.40, 2.10 
7A —20.0| -- 60.3] 40:87, 2-0.57| — 2.71| — 1.00]— 0.73, —1.07 142 2-27.1| — 55.7, 41.23 — 2.53] +4.37| + 2.78| — 0.15| — 0.61 
| 721 — 22.7| +57.4| 4-1.35| 44.32] — 1.00, 4-0.52] — 0.11| +0.60]|150| 433.1) — 16.0|— 1.32, — 2.75| — 2.59| — 3.42| — 1.28| — 5.47 
77] — 21.0) — 9.8] +3.45| +3,25 —2.18 —1.18 +2.04| —1.02 156, 1-38.7| 4-28.4| —1.03| — 1.15| 41.03) --0.06|— 0.10| +0:05 
144|— 5.2|— 57.0|— 0.35| +0.14| —1.19| — 0.71] — 1.26| — 0.78457| +39.4| +20.5| 4-0.12 — 0.54] 4-0.68,— 0.22| +0.82|— 0.59 
|116| — = +46.9] 0.77) +0.81| 1.20 — 0.60] — 0.57, — 0.64] 1 
157) +18.3) +11.0| +1.01) 41.50] — 0.73, — 0.15] +0.03) — 0.71 
179 Dei + 8.5| 40.22) --1.07| — 1.43 — 0.70|— 0.54 —1.54 36 30.2) +37.4| --1.19| +2.50| 4-1.86, —0.28| = cu 
183) --25.5|— 14.8] 41.30) 4-1.09| --0.52. --0.47| +-0.04| — 0.07 12 — 32.8 —37.6| --3.10| 4-0.79| +5.63| 43.74] — | — 
(199) +31.4 —52.4| 4.0.55) +0.29| +0.18| —0.10|— 0.65| — 0.68|| 8) —21.3| --45.9| +445) --3.73| --1.14| +0.18| — — : 
200| --34.1| — 52.8] -- 0.04, 4-0.93|— 0.30, — 0.66| — 0.55, — 1.29 55 —20.3 —37.9| +3. 90 --442| -—4,83| £3.29] — | — | 
209| +39.9) +21.2] +1.92| 4-1.71|— 1.70, —1.65| + 0:64 —2.4711132| 420.3] +29.2]—0: 65, —0. 09] --1.69| +o.18| — — 
239| +56.8 — 27.4|— 0.99 — 0.11| +0:87| 4-0.43|— 1.57, — 0.661436 121.0 — 26.7 +0. 36 y) RACE 32/56] är E. 
—|— 51.9] — 26.0| 4-1.25| 4-1.66| —3.34| — 1.89 -0.08 1.221137 -1934|—29.7| + 4.041 0.98 -342| 4210| — | — 
—| +37.4| —57.0|— 219) — 2.40] + 0.66) 4-0.86|— 3.31] — 0.13[|140| +27.6| +34.9|—0:02/ — 0.13] 41.14, —0.25| — | — 
Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 15 


Diff. en x 
Unité 0.01 mm 


Diff. en y 
Unité 0.01 mm 


zZ 


ETT 
© 


en mm ‚en mm 


em 


| " | Diff. en x Diff. en y 
Al I y m 0.01 mm|Unité 0.01 mm| 4x dy 


b3—a8| | a2—bo | bı-aı | aa—ba guion aate bı—aı | a2—bo | b1—01 | ay—ba 


Region 274. Region 275. 


E = 1894.96; E'— 1913.01; T = 18.09. 7 —1839%#.96; E/— 1913.01, 7 — 18.05. 
Kx = + 2.40; px = + 0.003 32; rx = + 0.0173; Kx = — 0.34, px = + 0.04157; rx = + 0.0039; 
Kx= + 1.87; p'x = + 0.0046; rx = — 0.0199. kr =— 0.23; px = + 0.0136; 7/3 = + 0:0534. 
ky = — 2.20; py — + S ry = — 0.0352; ky = + 0.04; py = + 0.0105; ry = —- 0.0167; 
k^ = — 0.54; p'y = + 0.0099; r^, = — 0.0078. Ky = + 0.63; p'y = + 0.0107; r^, = — 0.0042. 


3| — 60.6] + 20.3] — 0.84| — 0.76] 4-2.27| — 1.41] 4-1.07|—1.86]| 8|— 60.4| + 3.8] + 0.46| — 0.28| —1.22]—- 2.87] — 0.97| — 2.30 
11|— 56.5, 4- 29.1 2.87 115278] 0.44 3.93] — 0.17, — 4,241] 45 — 45.8] — 34.5) +248| +3.51| + 0.88) — 0.05] + 1.05] — 0.09) 
17 56.4 10.8 3.53| — 3.451 + 2.37] — 1.32] — 1.56| — 2.18|| 76|— 31.2| — 26.8] + 0.97) + 2.19] — 1.60| — 2.43] +0:07| — 2.14 
27 53.7 41-8) 1.93| — 1.081 4-2.09| — 1.33] +4 0.42] — 2.161 85| — 29.1) 445.5] — 0.67, — 3.24| -I-1.14| — 0.041 — 1.35| 2- 1.06 
44 41.1| +23.6 2:22 1.28| +2.65| +0.09] +0.19/— 0.621] 98| — 28:4| — 25.4] 41:82) 4-3.39]| +1.98| +1.59] -I-1.17| +1.55 
53|—38.4| --56.5| — 3.28| — 1.211 41.62] — 1.39] — 0.33, — 1.4411107| — 23.6| -1- 17.8] +1.1431—0.171— 0.37| — 0.34] + 0.36| — 0.07 
76| — 32.7| --12.1| — 3.77| — 2.19] +3.01| + 0.20] — 0.98, — 0.33]|108| — 21.1| + 7.4| + 0.29] 4*0.17 1.58 1.68 0.15 1.43 
79 33.6 SPI 1.80 1.30] +1.89 0.23] + 0.45] — 1.29]422| — 17.9 Sl 1.29 1.51| 4- 0.92| 4- 0.78] — 1.85| +1.03 
100 23.2| — 15.0 1.32 1.701 +3.04| 4-1.06| +0.55| + 0.01|][124 —17:0|— 26.3 +1.61| 4-3.09|] — 2.28| — 2.46] +1.06| — 2.49 
163| + 9.0 4-50.8 1.52| +0.77 1:59 0.31] +1.73| + 0.041144] — 8.8, — 4.8] 40.69] +0.74 — 2.15] — 1.79] + 0.17) — 1.78 
168| + 6.2] --17.6| — 2.30| — 0.32] + 0.31) — 1.22] + 0.82] — 1.491173] + 2.0) +32.4] 4- 0.02 — 1.231 — 0.59] — 1.08] + 0.07] — 0.13 
177| 4-44.8| — 7.8|— 2.02) — 1.42] +0.95| — 0.55] + 0.47| — 1.001192! + 7.7, — 38.11 — 0.16, +1.28 0.96 1.241 — 0.70 1.09 
4187| +18.7| --25.8| — 2.44| — 0.86| — 5.64| — 6.34] + 0.53] — 6.661193] + 7.3| — 54.5] +1.03| + 3.32] — 3.38) — 4.02] + 0.43] — 3.86 
194 +17.4 10.0 0.83 0.94 4.50 5.19] 2-1.33| — 5.951197] +12.8| L 6.6 + 0.34] + 0,351 — 1.08| — 0.59] + 0.43] — 0.30 
' |204| --21.6| — 0.6|— 2.68| —1.46| 41.52) + 0.491 2-0.15| +0.091|199 4-10.4| — 34.7 4- 0.12| 4-1.61] +0.64) + 0.33] — 0.261 +0.56 


207| -I-20.3| — 31.2 — 2.22] — 2.34] —4.79| — 2.74| — 0.03, — 3.55||219! + 24.01 434.8] 4-0.57| — 4.48| — 3.23|— 3.48] 4-0.61|— 2.40 
221| +34.0 4-49.4| — 4.57| —2.18| —2.51| — 3.27| — 1.17| — 2.96]||243| 4-25.8| — 16.9| — 0.64| +0.121 4-0.16|— 0.09| — 0.65| 4-0.46 
228 +31.2|+ 0.5| —3.54|— 3.55| 4-0.69| -I-0.12| — 1.24| — 0.29]|250| -2I-31.7| — 37.9] — 0.11| +1.52|— 0.18| 2-0.13| — 0.20| +-0.24 
232. +34.0 — 40.0| — 0.69 — 1.75] --0.70| — 0.40] 2- 1.10, — 0.94||255| +36.6, --30.8| — 1.48| — 3.02] — 2.30|— 2.36| — 1.12| — 1.29 
245. --43.1| 4-15.8| — 3.50| — 2.58] 2-0.90| +41.04|— 0.75! 2-0.69||262| + 37.4| — 56.3| — 1.19, 4-1.38| — 0.37] — 0.47| — 1.25| — 0.29 
246, +44.1| --12.5| —3.78| — 2.61] — 1.80|— 2.02| — 0.91) — 9.19]|268| -I-41.0| + 8.8] 4-1.28| + 0.84] — 4.14|— 3.85] 41.62) — 3.14 
261| 4-51.4|— 4.0|— 2.13|— 2.78] 4-1.57| +0.61|— 0:14| 2-0.78||274| + 46.2 4- 43.0 +0: 43|—4.77| 1.49) — 4.34] + 0.96| — 0.14 
272) --56.7| — 5.8|— 1.63| — 2.44| +1.12] +0.84| --0.33| 4-0.75||277 | --48.0| + 7.5| — 2.24 — 3.45| — 2.49) — 2.30| — 2.21| —1.48 
—|-+ 2:4| —19.4| —1.03| — 1.29] 4-0.86| — 1.27| 4-1.01| — 1.74||279| + 46.5) — 13.4] — 1.30|— 1.00| — 5.05| — 4.88| — 1.13| — 4.28 
4-36.7| —11.6|— 3.05| —3.30|— 0.10| — 0.92] — 0.88; —1.22]|288| 454.9 — 13.1] 40.81) +1.48| 40.12] 4-0.55| 41.29) +1.10 
289 +50.6 14.5 0.04, — 0.09 1.90 1.65 0.02 1.06 
67| —31.5| --36.6| —2.99—1.64| 1-3.34 40.70] — | — || —|+27.3| 413.4] 4-0.39| — 0.91] —2.31|— 2.74] 4-0.24| —1.76 
68|— 33.8) --33.0| —3.33.—41.11]| +3.11| +0.89| — | — | | alt RENTE So -4-3W RAN IER 

82| —31.9| — 34.7| —1.47| — 2.15| 4-3.34| +0.48 E 58| — 35.6, — 26.2] + 0.97| + 2.63| + 0.7411 — 0:13 — 

92 — 28.3) — 39.0| —1.35| — 2.08] 43.49) +1.32 | 68| — 32.4| --19.7| +0. 70! 0.34 --0.05|— 0.70 - 
211| --29.3| 4-27.8| — 2.41, — 0.78 10.26) 0.64 - 99 28.8| — 28.2] +1.16| 2-1.96| +0. 36 0.95 | 
216 +25.8| 39.11 —2.12|—2.88| 42:05] +0.90| — | — 106 — 24.8) +30.7] +0.44|= 4.48] 40.78 — 0.19 À 
229) 4 33.5| 437.8] —3.21| —1.25] + 0.46) +0.10| — — |[230| +24.9/— 23.6] +0.03| -- 1.49] — 0.14| — 0.44 — | 
231| 433.4 —31.8| 216 — 3.24 --1.81| 4-0.84|] — | — 1237) 4-27:5| 296.4] -I- 0.03, — 1.30|— 0:94| 1.19 = | 
| 239| -I-99:8| --22.3]— 0.22|— 1:2 1.10| —1.51 | 

260| 2-37.6| -—33.9| — 0.35| +0. 83 --0.11| — 0.13 
| à; | | | | | 
| IDE 
| | 
| | I 
| | 


N:o 7. 


16 RAGNAR FURUHJELNM. 
2| % y Unité. 0.0: ] Le Unité 0.01 | E Am | Jy zc y Unité 0.01 mm Unité 0.01 m dx | 4y 
© enmm en mm TEX En AE | o jen mm|en mm] y. | Gb | dı—aı | ab» 
i-i — 39.9] +2.95| — 1.32] -1-0.40| +1.14] 4-1.16| — 0.56 
A 439 + 9.7| —32.2| +3.20 — 4.31] +0.48| +0.10| +1.81| — 0.46 
Région 276. 147, +14.6| +42.3| --0.50| — 0.58| — 0.94| — 2.57| +0.56| — 0.75 
156| -1-18.4| — 0.8] 41.58) —14.02| — 2.22| — 2:50] 4-4.18| — 2:24 
E — 1894.96; E'— 1914.03; T — 19.06. 177, 4-27.5| +10.6| 4-0.50| —4.92| — 0.14| — 0.94] -1-0.35| — 0.02 
195| +39.7| --27.7| 4-1.00| — 0.40] — 2.13| — 2.70] --1.55|— 1.30 
Ky = + 1.64; px = -.0.0138; 7% = — 0.0126; 206| 4-37.0| — 33.1| — 0.18| — 3.91| — 0.08| — 0.84| — 0.55| — 0.73 
Kx = + 0.35; px = + 0.0181; rx = — 0.0107. 225| 4-54.5| 453.1] --1.37| +0.18| — 1.07 — 2:37] + 2.25| +0.22 
ky = — 0.98; py = + 0.0275; ry = + 0.0123; 253| --60.9| — 59.7] +0.59 — 4.36| — 0.15) —1.61| +0.27| — 1.49 
Ky = — 0.17; py = + 0.0302; ry = — 0.0127. | | 
; woe A 26|—48.0| +34.0| -1-1.38|— 0.70] +0.40| +0.66| — | — 
8| —53.0| 4-53.2 +3.81 +4.67 — 5.49, — 4.45 +3.77) — 4.021] 98 — 46.5! 4-28.3| 41.79) — 0.45] 2-0.03| --0.39| — - 
11 — 50.3| 2- 18.1] +1.65| 43.611 — 0.31| 40.881 +2.61| --0.22]| 30] _ 46.8 — 97,9] +3.29| —1.85| --4.55| 12.29] — = 
16| — 53.91 —12.8]—1.18| +0.21 +0.29 -4- 0.69] — 0.20! — 0.46 40 — 41.6 — 32.6 --2.72]—1.59| 4-4.25| +4.70] — I 
30| —41.9| + 7.2 ! 0.14 41.85 2.80 1.25] +1.23| — 2.39 174 --29.7| +31.0| + 0.23 1.97 0.97| —1.44 
38 — 35.9 — 49.01 —1.28| 4-0.18| 4-1.33| 41.13] + 0.44| — 0.77 184| +30.7| 428.9] 40.02] — 1.99 0.75 3.05 
46 — 27.4 + 5.3|— 41.57, 4-0.31|]— 0.97! — 0.18] — 0.09, — 1.00 205! --35.7| — 28.1 +0.27 — 2.93 4.0.58 — 0.06 LA II 
48| — 28.0) — 51.6) — 1.13| — 0.14 +0.44| + 0.43] + 0.51) — 1.64 207| +40.0 — 39.3] — 0.42! — 4.11] +0.28| +0.55| — Ar, 
51|— 20.8| +43.9|— 3.41 —1.95| — 6.401 — 5.68] — 2.53| — 5.34] — 
73| —14.1|— 39.4| — 0.20) +1.21|—1.413|—4.08] 4-1.73 — 2.81 
415) +14.7|— 35.9] — 2.86 — 0.76| 42.20 +1.74|— 0.16| +0.36 
425! +21.5| +35.3|— 2.03] —1.62] — 2.27) — 3.06] — 0.89| — 2.21 bs 
137 +29.2] + 6.4| —4.45| — 0.64] +1.14| +0.07| +0.34| +0.2 Région 278. 
439| --25.3 — 34.2|—-0.87| 40.48] + 0.42, — 14.01] +1.56|—1.76 
163| +53.2| +18.0|— 2.53| — 2.20] 4-0.14| — 1.80] — 0.73] — 0.87 E = 4893.18; E'— 1911.15; T = 17.97. 
1177| +62.0| --37.7| — 3.94) — 3.28|— 0.33| — 3.02] — 2.06| — 4.44 
1178| 4-61.0| —13.5|— 1.99 — 1.26| 4-3.76| +2.00| 4-0.49| +1.92 kr = — 1.50; px = — 0.0007; rx = tr 0.0249; 
| k'x = — 2.60; p'y = + 0.0229; rx = — 0.0023. 
| 21|—49.3| --25.1| — 0.37| 4-1.26| — 0.44 — 0.25 hy =— 096; p,— — 0.0034; "p 0.0069; 
39| — 33.0 --33.3|—1.52. +0.:09|—0.74 —0.10 ky = + 1.19, pj = — 0.0026; r^, = + 0.0308. 
9|. 94 .98 „| or] ı 9 49l 4 
b EB a Bev E urs xig | | 2] —64.4| +55.7] 4-0.67| 4-0.78| --0.29| — 5.38] — 0.04| — 1.82 
USE | ne 1073 449 — | — | 21—513 —52.3| +3.83) +4.861 0.03 — 4.51| 4-1.24 —1.41 
134| + 97.7 4-26.4| 1.300.181 1.01 — 0.81 26| — 45.7| --25.5| 4-1.15| +2.52| -I-0:63| — 2.85| 40.351 — 0.53 
M46| 32.7 —44e| 2.92 11 247 ro — | — || 27—48.4 +222) 40.37) +155) 1.05] — 4.62] —0:60|—2.24 
147-30 —480|—288 —149|1262 44:78] — | — || 29—49.0 + 5.8] +2.23| --2.70|— 3.08| — 6.52] --0.51 1.12 
| | | 30|— 48.0 — 9.1| +3.04| +4.36| --1.40| — 2.75| --1.39| 4-0.04 
47 —38.7| — 34.9| + 2.91| 4-4.13|— 6.09 — 9.96] 21-0.62| — 7.34 
51| — 36.2! — 60.7| +3.59| --4.71| — 0.23, — 3.42] +0.62| — 1.09 
60| — 30.0 +43.2] 4-0.02| +1.11| 2-1.12] — 4.63| — 0.47| +0.08 
Région 277. 73| — 24.4) +22.1| 40.99) 4-1.57] 4-0.37,— 2.31| — 0.26| — 0.63 
76| — 23.1| —10.8| +0.44| -I-1.27] — 1.83|— 5.23| 147) — 3.10 
E — 4894.93; E'— 1911.90; T — 16.97. 84 —18.9| + 3.6| —0.03| +41.84] --0.01|— 2.41| — 1.07| — 0.87 
98| —14.5 — 44.6] +0.98| --2.73| — 0.14 — 2.04| 1.27) — 0:66 
Ky = — 0.97; px — + 0.0285; rx = + 0.0118; 99 — 13.4| — 48.0] +1.41| +3.29| — 2.23| — 4.80] — 0.861 — 3.10. 
Kx = + 1.99; p'x = + 0.0179; rx = — 0.0219. 100 — 5.1| 445.9] — 0.07| +1.22|— 0.80 — 2.73] —0.39| —1.72 
ky = — 0.29; py — + 0.0173; ry = — 0.0106; 101 — 9.2 4-46.7| —1.17| — 0.55| — 2.80| — 6.14] — 1.80|— 4.38 
ky = — 0.10; p'y = + 0.0275; r'y = — 0.0243. 412, — 0.9, +46.6| +0.26| +1.56| 4-0.95| —14.22|— 0.02| — 0.15 
444| --10.7| — 47.8| +2.43| + 3.05[—1.31| — 2.89] — 0.44| — 1.97 
13| — 58.8| + 30.9] + 0.47) — 1.53] 4-0.68| 4-0.77] — 1.58| 4-0.19||456| +16.7|— 56.6] + 4.08| --5.91| — 1.42, — 2.39| 4-1.60| — 1.81 
33 — 43.7 --39.0| 4-0.85 — 0.96|— 0.63 — 0.32| — 0.79 — 0.56||159| +21.4 +14.2| +0.39| 4-1.09| + 0.37 — 0.50|— 0.95 — 0.25 
| 361 — 41.0 +17.9| +0.85| —1.51|— 1.88 — 1.81] — 0.89 — 2.35165. --21.1|—35.9| +4.55| +2.68| + 0.17| —1.25| —0.77| —0.57 
90| — 14.3| — 32.0| --1.24| — 2.74] 4-1.64| --1.77| — 0.45| 4-0.54||69| -- 20.4, — 59.8| 4-2.75| --3.93| — 1.04| — 2.90| — 0.12] — 1.92 
Tom. L 


"nrw À mn 


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N:o 7. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 17 
2| ® y Unité 0.01 mm Unité 0.01 inm dx | 4y Zi T£. y Unité 0.01 nm Unité 0.01 Tom 4x | 4y | 
e enmm en mm bı—ar | a3—53 | 61—a1 | a2—ba x SOIN nm bı—aı | d3—09 | bı-aı | a2—a2 | | 

| | | | | | 
176| 4-26.1| —16.4| + 1.39) +-2.81 mu 6.10|— 0.32, — 5.59||162| 4-25.8| + 22.01 — 0.01 —1.25[—1.711— 0.67) — | — 
208| +52.6| --54.0| +118) --1.65| 0.00) +0.03| 40.69 —0.66|476| +35.4| 4-22.2|— 0.28 —2.06|—1.59,—0.53| — | — 
211| 4-53.1| --27.1|—0.46| 40.67) — 0.48) — 0.60|— 1.26 — 1.14| 181, --36.6,—18.3| 40.19) —1.08[ 41.34 42.51] — | — 
— | 4-59.8| — 27.5| --2.67| 4-3.15| +1.40| +0.76| 4-0.25| +0.56 
— | 4-60.5| — 52.1| — 0.35| 4-1.87| — 6.84 — 6.18| — 2.48| — 6.95 
| | Région 280. 
46, —37.7| —34.3| +2.54| --3.75| 41.60 —1.88] — | — 
52| — 31.0| 4- 36.5 +0.53) --4.56| +1.13| —2.39| — — E — 1896.13; E'— 1911.15; T — 15.02. | 
59| — 29.5| 4-47.7| 4-0.53| 4-1.72] --1.172,—2.02] — | — | 
69| —29.3| — 35.0] +1.96| +3.34| --0.85—2.37]] — | — Ky = — 2.72; px — + 0.0302; rx = + 0.0112; 
168| 4-21.6| — 42.21 -I-2.53| +3.31] 4-0.19, — 0.88 ky = + 0.24; px = + 0.0326; r4 = — 0.0117. 
188| 4-32.0] — 43.2] --2.83| 4-3.59| +0.75|— 0.46] — | — k'y— — 0.28; py= + 0.0301; ry = + 0.0151; 
191| +37.9| +37.2| --0.26| +1.80[ 41.05 --0.33] — | — Ky — + 05% p'y = + 0.0371; r^y = + 0.0097. 
197| +41.5| --37.9| +0.74| +1.65| +0.88| +0.32] — | — 
34|—33.4| +59.6| 44.42] + 2.10)— 4.75| — 6.07] + 0.95|— 2.87 
41 — 31.4, — 24.5] 42.59 —0.75| 218) 1.70] — 1.29 — 2.25 
Ba 67| — 24.2] —53.9| 4-3.49| 40.20 40.41] 4-1.07| — 0.14] — 0.64 
Région 279. 70| —45.3| +26.9| --3.14| 4-0.60| — 1.62| —1.79| + 0.14] — 0.48 
95 — 0.0 —42.3| 43.06 —0.31| 4-0.77 0.00] +0.14| — 0.90 
E = 1896.08; E'— 1914.08; T = 17.99. 412| + 8.21 + 6.9] +3.33| 4-0.36| — 2.10) — 2.38| 40.86 — 1.97 
118| + 9.1|— 22.8] --0.93| —1.72| — 0.18. 4-0.35| — 1.34| — 0.67 
Lucius er des us eos 00165; 124| +19.6| 4-56.9| + 2.44| 4-0.70| — 4.44| — 6.20| 4-0.93 — 3.52 
Dole par 300262; rx agr 0.0178. 130| 4-15.0| — 28.9| + 3.74) + 0.58] — 0.80] — 0.61| 4-1.40| — 1.73 
2 Bu ee dry qe qt 00065; 155| 4-34.9| — 39.5] + 4.98| + 2.34] — 3.32] — 3.45| --3.51— 5.01 
Ky = — 0.26; p'y = + 0.0536: ry = + 0.0218. 158 --37.9| -- 52.6 +1.26 — 0.48] — 1.57 — 3.01 -- 0.32 — 0.86 
mec em pole ete 066 — C21 P2 129.3 RL PU $40 2 2 22e 222 
174| 4-49.2| +29.3| + 0.47) —1.59| + 0.53) — 0.44] — 0.26  4- 0.55 
33| —41.9| — 53.3] 4-4.42| 4-2.67| + 2.01) + 0.84] — 0.51| — 0.76 
ee nn de so -8d2| - 0.40 Sana?) -278|— 304] - 0:89 —2:49| +122) 40.78 — 0.36|— 0.50 
Dee EEE | 99-9 | — 12:9 — 028 — 8:054 7185| -F 1:29] — 1:21 0762 
55| 5831 129.2] -&2.37| 14.88] —3.99|—3.33| +0.17 — 1.58158 +57.01— 44.9] — 1-34 — 5.68 = -2.24] — 2.94] — 3.82] 
77| —17.8|— 29.5] 4-0.49| +0.35|—0.83| --0.49| —1.97| —1.39|]| | | | | 
89 —143.7| —51.5| +3.46| +2.44|— 0.62| — 0.34| +0.40| — 2.94]| 39 —30.3| --41.8| 42.95 +1.51| — 1.86 —2.52 
94|— 8.01 —17.4| +4.29| +0.43|—0.41| +0.74| —0.84|— 0.53] 46|—26.7| --48.0| --3.28| +4.32] —2.05| — 3.01 
99 — 6.8|—53.0| +0.80| —1.22| +0.74| +0.78| —2.44| —1.87]| 52 — 27-4 — 25.6] --3.42 + 0.21) +1.71/ +428) — | — 
421| + 7.6| +46.3| +215) +1.08|— 2.32) — 1.56] 41.84) +0.58 le ped --4.20 — 0.08] --0.76 —0.04| — | = 
146| +24.5| +21.9| 0.89 — 2.40] —5.39| — 5.04] — 0.60] —3.15][139| --24.7 — 40.1) +2.31| 1.06] +0.83| +0.86| — | — 
161| +27.0 +25.0| 40.68 —0.20| 1.96 — 1.40| --4.13| —0.56| 142, +29. | + 24.2 SES Far A ze | 
166| +29:3|—29.3] --0.79| —0.64|—0.14| +4.02] +0.18| —4.42]]154] + 34.5) — 35.5] 42.26 —1.8% +1.99 40.87) — | — 
168| 426.2) — 32.7| + 0.22) — 0:04] +1.02| +2.83]— 0.03] — 0.04||199| +35.2| 439.1] 41.40 —1.14| -0.23|—1.0]. — | — 
180| +38.3 — 6.0|—0.54| —1.92| —3.70|— 2.20|— 0.26| — 3.64 
204| 450.0 4-41.0| — 1.38 — 2.16| --3.16| +5.09| --0.60| +5.80 
207 --55.0| +21.7|— 2.25| —3.93| — 2.45| — 0.78| — 0.77] — 1.04 
209| --51.9| — 23.0| —1.41| — 2.68| — 0.55) -- 1.24] — 0.64] — 1.44 Région 28l. 
210| 4-52.2| — 32.9] —1.04| — 3.50| + 0.53| 4-2.35| —1.02, — 0.88 
—|— 27.&| — 46.8] 45.67 +414] 4:0.99, +1.44] 4-1.72| — 0.81 E — 1894.96; E'— 1913.01; T — 18.05. 
— | 4-28.0| — 38.5| --1.89, 40.09] 40.83) -I-0.99| 4- 0.86 — 1.40 kx = — 1.96: px = — 0.0033; rx = + 0.0022; 
| | | Kx = + 0.80; p'x = + 0.0040; rg = + 0.0097. 
20/—45.4| 4-33.9| +2.63 --2.16| — 2.38| — 3.03 ky = — 2.40; py = + 0.0102; ry = — 0.0218; 
47, —30.0| +34.2| +2.48| +1.67| — 2.50 — 2.11 Ky = + 1.39; p'y = + 0.0030; r^, = — 0.0215. 
60 — 27.9|— 36.4] --3.67| +2.21| +1.06| --1.42]. — m 
71|— 24.7 —37.9| +3.59| +2.93| --1.52 +2.31| — | 6|—63.7| «| 0.04] — 1.84| --2.35| —1.12] — 1.56, — 1.29, 
157) 4-21.9 — 30.6] + 0.22) — 0.58| --0.69, +1.54 29|— 50.2 — 60.3] +3.22| 4-0.81| — 0.48) — 4.30] +1.06| — 4.871 


18 RAGNAR FURUHJELM. 
[gs Ir Diff. en x Diff. en y eri Diff. en x Diff. en y 
4 : | V [Unité 0.01 mm|Unité 0.01 mm 42 | gy || | * 7 [Unité 0.01 mm|Unité 0.01 mm| 42 | 4y 
jen mm|en mm] », 5. | a4 bs | bı—aı | ao—be Bee ae 
vr | | | | 
31| — 46.4| +127 4-9.37|— 0.37 --2.58| — 0.90] + 0.47| — 0.58]| 60) — 29.7) + 27.4] +1.88| +1.33 —4.49| -- 0.26] + 0.67) — 0.41 
36| — 49.8 —15.6| +2.57| +0.67| + 2.82 — 1.22] +0.93|— 0.39|| 76 —17.2| 4-54.0| — 0.25, — 0.37 — 5.10 — 3.45| — 1.03| — 4.04 
40| —47.8| — 37.5| 41.86) — 0.72] + 2.89| — 0.66| — 0.24| — 0.67]|111| — 3.9| -- 36.8, 4-0.30| — 0.70 3.60 2.04|— 0.85) — 2.60 
47| —40.6| + 3.8| +3.58) 2-0.71| +1.56| — 41.24] 4- 1.57, —1.18||[112| — 3.7| 4- 26.9] + 0.85| — 0.04 3.13) —1:47 0.26, — 2.09 
50 — 43.5] — 33.0 +4.95| — 0.18 +.0.89| — 2.87| 4-0.09, — 2.661116) — 3.1, — 6.5] 4-2.46| +1.46 —2.01|— 0.74 -F1.18, — 1.19 
95|— 39.8, --24.4 42.61) — 0.20 12.46 — 1.19 4-0.76, — 0.481119 — 3.0|— 33.4] +1.86| +0.23 — 0.64, +0.96| +0.48| +0.29 
59|—36.8| + 0.5] 4-2.17| — 0.14] 4-0.82| — 2.68] + 0.42, — 2.22/M156| 12.8 — 44.0] +1.43 0.81 0.44, --0.98| — 0.42) -I- 0.40 
60| — 38.6) 7.6| 2-4.09, — 1.41 +2.49| — 0.82 — 0.80, — 0.55 178 +16.6| + 3.9] + 0.75| — 0.35] — 3.27 — 1.674 — 0.35, — 2.29 
73| — 30.5| 4-43.9| -- 1.66, — 1.31 2.03) — 5.58] — 0.15| — 4.68][204| -1-24.6| + 58.9] — 0.39) — 0.83|— 2.87) — 0.051 — 0.89) — 4.21 
77| —33.9 —16.2| + 2.16, 4- 0.02] +2.38| — 1.32] 4 0.39| — 0.821218] + 25.1) + 7.9| 4- 1.96, +0.74] — 0.98, 40.60! +0.90] 0.00 
103|—20.1|— 31.51 4- 2.58| — 0.35| — 4.84 —5.55| + 0.34| — 4.841255 srt nie 5.9| + 0.76, — 0.78| — 5.48, — 2.87] — 0.34 — 4.00 
123| —13.6| + 6.7] 40.09) — 2.64] + 0.74| — 2.541 — 1.82) — 1.65||257| +45.0| — 15.9 4-4.23— 0.10 — 1.73) 4- 0.49] +0.23| — 0.45 
195 — 11.1|— 36.01 4-1.02|— 0.97] + 1.80|—4.55| — 0.77| — 0.86 265| +47.9| — 8.9) +1.28| — 0.51| — 1.56, + 0.33| + 0.12, — 0.43 
146| + 3.1| +32.3 SERES 0.25] 4-3.34| — 0.40 +119 --1.25 274 --54.2| —18.3 — 0.49, — 2.53 +1.59) 4- 3.31| — 1.75| + 2.62 
451| + 3.3 + 7.6| 2-0.24| — 2.99 -3.26| 6.82| — 1.91 5.42 275) +51.8 26.4] 41.09) — 0.501 —- 0.89 +0.87| + 0.00) +0.15 
155| + 4.1 —31.8| + 2.07] — 0.86] + 2.00, — 2.36] — 0.16, — 0.87]|280| + 51.2! — 60.6] +3.79| + 0.98] — 3.75) — 1.83] +1.98| — 2.67 
199| +18.8| — 20.7 3-3.96 +.0.22] +1.27| — 2.39] +1.19| — 0.79 | 28.0 21.61 +2.79| +1.27 3.48| — 1.94] --1.09| — 2.52 
207, +22.3| 4- 16.8 -2.36| — 0.71 — 0.80, — 4.09 + 0.35| — 2.36 n? +-58.1| + 43.8|— 1.20 0.641 — 3.56 1.29] — 0.92, — 2.18 
214| 4- 28.7, 4- 52.5 +2.30) 2.00) — 0.64| — 4.97 0.11 2.33 | +62.2| 430.9] +0.94| +0.49 — 5.26 — 2.34] 4-0.71| — 3.58 
2191 4- 30.0| +17.6 +4.60) —+1.20] — 2.42 — 6.00 + 2.43, — 3.95 | 
2251 + 34.8) 4- 33.2] + 2.35| — 1.36 4-0.72| — 3.24 +012) — 0.86|| 42) —36.1| --25.5| 4-1.79| 40.81] 1.72] — 0.16] — E 
264| --51.3| 4- 59.7] +4.04 — 0.59|— 2.28, — 6.65] 41.52) — 3.47]| 52 — 30.3 30.9] +1.64 — 0.21] —0.98| +0.88] — =S 
273| +56.0| +48.4] +4.73| +1.32 + 0.86) — 3.20 2.75) — 0.15|| 59 —97.2| 130,51 +1.13| +0.51|— 1.00! 40.84] — x 
275| +58.6| --31.9| +2.31|— 2.08| + 0.09, — 3.92 — 0.25| — 0.93 74| — 20.9 — 34.9] +2.22| --0.33| — 0:31| 44.47]. — c 
—|—14.7| — 40.9] + 0.60, — 1.30] +2.36| — 1.12 —1.18,— 0.47 215| +28.8| +31.5] --0.59| — 0.08| — 0.44| +1.43 == 
—| +381) + 7.8| +5.23| +1.821 +0.11|— 3.79] 4-3.01| — 1.48|lo98 --32.6| -1- 34.3| 10.54 — 0.21 — 4.36 Se c. 
| | 235 +31.4|—37.5 +1.98| — 0.51] —1.11| +0.97] — — 
42| —41.3| 4-30.9| 4-1.77| —1.28| 4-2.98|—1.12] — —  |[246| +36.4| — 30.5] --1.42| — 0.50 — 1.88 -F049| — = 
59|—37.4| +35.9| 4-1.41|—1.02| +2.72/ — 0.16] — — 
66|—38.2,—929.9| + 2.20) — 0.13] -3.64,——0.33] — | — 
102|—22.9—28.7| 2-1.99|—0.31| -3.24 —0.99| — | — 
224| +39.5| 4-36.5| 41.78] — 1.12| --1.34| — 2.35 Région 283. 
233| +38.9| 2- 30.2] --2.58| —1.06| --1.35| —2.19| — = 
240) 4-36.9|— 30.8] 4-1.64|— 0.99] +1.83| — 2.32 | E = 1896.25; E'— 1911.21; T = 14.96. 
246 +42.2 —32.2| + 2.35) — 0.68] 41.75] — 1.96] — == 
kx = + 0.78; px = + 0.0309; ry = + 0.0129; 
x = + 0.25; p'a = + 0.0251; r'x = + 0.0044. 
Loi ky = + 0.07; py — + 0.0365; ry — + 0.0210; 
Région 282. ky = — 0.30; p'y = + 0.0297; r'y = — 0.0045. 
E = 1894.96; E'— 1913.01; T = 18.05. 
13| — 53.8| +18.3] 4-4.87| 4-4.75| — 2.30, — 4.51| 40.98) — 0.91 
kg = — 1.39; px — + 0.0085; ry = + 0.0129; 19| — 47.0 —13.4| +1.97| 4-2.47| — 0.41 | +0.98| +1.30| 2-0.14 
ky = — 0.06; px = + 0.0116; 7^; = — 0.0065. 22 — 44.4 --37.8| --0.52| --0.83| — 3.71) — 2.98| + 0.28, — 1.84 
ky = + 1.10; py = + 0.0011; ry = — 0.0031; 29 — 38.6 +31.5| +2.44| 4-2.98| — 3.46, — 2.90] + 2.42, — 1.93 
ky = — 0.75; py = + 0.0011; 7^, = + 0.0026. 36| —30.1| — 18.0] — 0.19| — 0.55| — 2.18| — 1.95] — 0.84, — 2.53 
46 — 27.9 — 35.0] +1.01| 4-4.51|] — 0.22) -- 1.01] 40.64 — 0.65 
2| —63.7| +43.3| +2.50| + 0.89 1.20, — 0.13| + 0.46) — 0.45|| 56 — 18.8, +20.6 +4.06| --5.91|— 6.53 — 6.00] +4.80| — 5.58 
&| — 62.9) + 7.7 2.19 3.14 2.39 0.62 3.99 1.331] 68| — 5.9, --28.8 --0.20| 4-1.06| — 1.85, — 1.75] 4-1.23| — 0.92 
| 5|— 60:9 — 14.41 4-2.90| 4-0.53| — 2.63| — 1.91| + 0.32) — 2131 75| — 0.0) 4-47.54|— 1.54) +0.14 — 2.07, — 0.89 +-0.21| — 0.02 
16| — 56.6 — 13.11 +2.74| 2-1.06| — 1.24, — 0.28| + 0.56) — 0.61|]] 79) — 4.6, —19.3 4-0.95| --4.04] + 4.08| -I- 4.62] 40.86) +3.64 
53| — 34.8) — 45.7 —+1.86 + 0.20 | --0.51|— 0.19, — 0.181 86 + 3.4| --1^.9 1.10, 1.04] — 4.57 4.39] — 0.34 — 4.11 
58| — 26.6) +30.3| 4-2.15| 4-1.70| — 2.92) — 1.30| +1.02)—1.91|| 99| + 8.9| --23.4|— 0.69| 4-0.31| — 1.92, — 1.84| -- 0.77] —1.30 


Ton. L. 


| 


rg 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 19 
: " | | " A 
Z| c y Unité 0.01 n Unité 0.01 zu ER | A y 2 v | y Unité 0.01 un Unité 0.01 e i Ay 
S enmm en mm] p o, ERE ic da pu z jen mm enmm bi—a4 | do —be bı-aı | Ga—bo | 
I I I 
119 +23.7 7.6 i. 0.59 1.78 1.571 + 0.27 — 2.24 18, — 45.9 — 30.31 + 2.02, +0,22] 4-0.88| +1.18| — -— 
120 +24.7 — 61.2 — 0:69 70.02 +113) 4- 2.27] + 0.31, — 0.64 19|— 47.0 — 33.7] +1.71| + 0.62] — 0.25| +1.00| — — 
129| +27.6|—18.81—0.:42| — 0.27] — 0.31| — 0.61] +0.93/ —1.43] 21, — 44.9) +43.0| +1.04) +0,80] — 1.62) — 1.00 
136, 4-33.6, — 5.9|— 0.95, — 1.221 4- 0.83, +0.13 +0.31| — 0.06 281 — 37.9) + 38.2] --1.83| +1.22] — 2.95 — 2.11] — — 
144| --36.8| — 14.1| +1.37| + 0.85] + 0.72, — 0.08 --92.53|— 0.56 124| --33.6| —+40.51 — 1.47, —1.88|—1.79, — 2.73] — — 
147| 4-43.2| +10.9 0.87| 0.11 1.46 1.60| 2- 1.32 — 1.64 127| 4- 30.4, — 26.0 —0.14|— 3.08] +-1.93| +1.28| — — | 
153| +47.9) — 11.3| — 1:08| — 0.55] + 2.27 4- 1.61] 2- 0.94| 4-1.06]430| 4-39.9| — 40.4 — 0.54 —2.46| 4-1.37, 4-1.39]| — ie 
454| +49.3| — 34.6) — 1.87, — 2.21| + 2.24 4-1.52] — 0.44) + 0.211133) +42.4| 432.7 1.37) 2.07] — 2.00 — 2.06 | 
155| 4-53.3| 4-46.8| — 6.36| — 4.61 2.63 3.05] — 3.07, — 1.84 
159| 4-50.8| — 12.4] — 0.76 — 0.64| — 0.21, — 1.12] -- 1.13, — 1.61 
160, +53.4 — 20.7] +0.86| -- 1.04 +0.69) -- 0.37] + 2.78| — 0.71 
16^| 4-57.8| — 34.9] — 2.08| — 1.07] +0.32| -- 0.48] + 0.26 — 1.34 Région 285. 
—| + 0.0|— 38.7] +0.19) --1.03| — 0.38, — 0.38] + 0.79, — 1.77 
—| 4-37.0| — 47.2| +1.49| + 0.64| +1.00) -- 0.39] +2.20| — 1.28 
E = 1898.18; E’= 1913.15; T = 19.97. 
16|— 45.5| +451] 40.77) +0.56|— 2.39 — 0.17 ee 0 0087: 
17| — 49.0| 4- 38.0| 2- 0.37, -- 1.52 22) 0.59 Ku -— 0.40: p'z — 0.0246; rx = — 0.0027. 
20|— 45.1 — 38.6 +0.96| --1.17]--0.02 --1.19| — | — = 247; py + 0.0209 ry — + 0.0206; 
26| — 42.9| — 38.8] + 0.36, +0.30 ARUM -R4.44] — — Ky — + 0.30; p'y — + 0.0206; ry = + 0.0060. 
122| 4-29.4| -I-40.8| — 2.68 — 1.50|— 1.51| — 1.43 | 
= med: is Lane ms Bs | m [| 7]59.1] 4-582] 73:13] 4-133] — 0.97)— 3.49] 4-0.04|— 1.27 
2 x = il ö ; d 11| — 59.4| +27.3] 4-3.00| -I- 1.14] — 0.50, — 2.41| — 0.03| — 1.04 
145| --36.0|—34.8|—0.73|—1.14] 42.28) --1.15| — | — || 27) 54.2) —52.0| +0.89| +0.63|— 1:77] — 4.04| — 1.01 — 4.18 
48| —43.7| 4-19.5| +2.17| 4-0.55| 4-1.22| — 0.94] — 0.47| +0.18 
91| —35.1| — 43.1| 4- 2.31| +1.06| — 0.73| — 2.76| + 0.19, — 3.09 
Région 284. 112| —28.3| — 7.5| --1.34| 4-0.13| — 0.70] — 2.72| — 0.77) — 2.42 
115, — 25.4| — 26.9] +1.68| + 0.97] + 0.84] — 1.37| — 0.07, — 1.41 
E — 1896.25; E'— 1913.23: T = 16.98. 117| — 27.4| — 49.8] +4.47| +2.93| — 2.29 — 4.85] + 2.17 — 5.04 
441| —14.4| +549! -I-0.44| — 1.15| — 4.53| — 6.901 — 1.84 — 5.34 
Kx == — 0.29; px = + 0.0317; rx = + 0.0088: 142| —14.2| +44.1] +0.76| — 0.35] — 0.42] — 2.78| — 1.20| — 1.48 
ky = + 1.00; p'x = + 0.0380; r'4 = — 0.0118. 148, — 8.1| +51.1| +1.71| +0.07 0.45 3.40] — 0.49 1.70 
ky = + 0.39; py = + 0.0437; ry = + 0.0093; 154, — 5.5| — 0.61 +2.91| 4-1.52| — 1.97| — 4.441 +1.03| — 4.08 
Ky = + 0.27: p'y = + 0.0445; r^, = — 0.0051. 165 — 2.0| +41.6| — 1.71| — 2.41] +3.21| 4-1.42| —3.31| --2:25| 
166| — 4.5| 4-33.5| +0.64| 2- 0.32] + 0.90, — 1.68| — 0.78| — 0.58 
2| — 63.4| --28.2] +3.15| --1.82] — 2.97! — 2.02] + 0.59] — 0.79||171| — 1.01—12.3 --3.92| +317] + 0.39] — 2.10] + 2.48, — 2.02 
42) —47.8| +53.1] +4.22| + 2.67 — 2.25| — 1.89] +2.05| + 0.701183] + 4.3| — 28.6] + 0.32) — 0.35] + 0.96) — 1.35| — 0.99, — 1.73 
26| — 44.9| — 52.9| 4-4.16| + 2.33] — 0.89| +0.06| + 2.11) — 2.32[|211| + 17.6 — 28.3] 41.30 4-0.12| 41.25) — 1.38 — 0.01 — 1.81 
27| —38.5| 4- 52.41 +2.09 + 0.44] — 3.47, — 3.28! 40.20) — 0.651218 +24.8| + 1.1} +3.33| + 2.52] — 0.25) — 2.83] + 2.22| — 2.78 
33| —34.4| + 4.51 -I-1.75| 40.361 —4.50| — 0.79] +0.20| — 0.54[1251| + 42.8] — 34.4] — 0.24| — 1.70] 4-1.07| — 1.92] — 1.28) — 2.63 
34| — 32.7 — 3.1] +2.70| + 0.73) — 1.68) — 0.72] + 0.93] — 0.931252] + 40.7, — 45.7] — 0.86 — 1.69] + 0.70) — 2.45| — 1.58 — 3.28 
55| —415.8| + 34.4] 4-1.77| 4-0.55| — 3.05 — 2.20] + 0.91! — 0.741253] +45.2) +41.3] +2.75| +1.51| + 0.45| — 2.67] 41.61] — 1.80 
74|—14.5|— 7.71 +1.49| + 0.431 — 2.95| — 2.47] + 0.82] — 2.69||264| + 51.2] — 16.8| — 1.62] — 3.17] +1.70| — 2.06| — 2.63| — 2.14 
84|— 3.1| --13.0| 4-0.92| +0.29|— 2.14| — 1.54] + 0.83) — 0.93|[266| + 51.9] — 46.7] +3.82] 42.91-11.21. —15.141| + 3.23 - 15.74 
87| — 3.5) — 31.2] +1.30| — 0.29] +1.81| +1.95| + 0.79) 4- 0.85|]] — LT Day +2.20) +1.44] +4.11| +1.84] — 0.03; +2.19 
99| +11.51 + 7.2] — 0.35, — 1.50|— 1.77) — 1.38] — 0.18) — 0.95 19.4 — 52.3 4-3.93| --3.32| — 0.37 — 2.65| + 2.39) —— 3.25 
"1105| +17.3| +14.6| +0.66| — 0.98| +0.14| + 0.04] 4.0.78! 4-4.02]| — | + 10.8) — 59.5] + 2.43| +1.87| +1.64| — 1.23] +1.41| — 2.09 
107, 4-45.8| — 5.4| 4-0.13, — 4.28| — 0.52, — 0.30] +0.33| — 0.35 | 
111| 4-16.7 — 43.1| +2.20| 40.06 — 0.16) 4.0.09] --2.13| — 1.64 94|— 30.8 --34.3| +1.86| +0.96| --1.09| — 0.94] — Bar 
422| 427.0) — 10.2|— 0.36, — 2.31] — 2.75, — 2.77) — 0.02; — 2.931]. 96 — 32.9] + 27.4] + 2.04| 41.401 + 0.70 — 4:22] — | — 
135| +43.2| — 15.5 1.49, — 3.02) — 1.91 2.73] — 0.37, — 2.761401 —32.1| — 27.6| + 2:06| +1.00| 42.081 —0.19| — | — 
139| 4-45.7| 4-37.3| — 1.99] — 3.28] — 1.79 — 3.20|— 0.74| — 0.61] 46 — 26.11 35.4] +2.01| +4.25| +2.34| +0.44| — | — 
144| 456.3] --34.4| — 4.02] — 4.59] — 2.81) — 3.48] — 2.04) —1.4111994 + 08.9) +27.7| 41.83) —0.15|--2.54 — 0.65] — | — 


20 RAGNAR FURUHJELM. 
| 
2 47 | y Unité 0.01 AE Unité 6.01 mm AZ | AY FÅ 2p | y Unité 0.01 mm Unité 0.01 Iu Az | Ay 
© enmmjen mm| „-a; | a3—b; | i-i | a9—ba | E [pu um en mn bas | aa—ba | bı—aı | ag—be 
229 --29.0 — 34.7| 4-1.01|— 0.70 wp e | = 
230| 2-26.7|—33.0| 41.59 —0.23|+3.13| +0:76] — | — T 
1239] 438.9 +34.7] +1.87| 635 +1:89| — 0.93] — | — Région 287. 
E — 1896.25; E'— 1911.21; T = 14.96. 
kx = + 1.88; px = + 0.0267; rx = + 0.0363; 
Région 286. Kx = + 0.50; px = + 0.0295; r^; = + 0.000. - 
ky = — 2.54; py = + 0.0279; ry = + 0.0371; 
E — 1896.08; E'— 1914.08; T — 17.99. Ky = + 0.68; p'y = + 0.0313; ry = + 0.0221. 
A 323:- Hr M. da --29.5|— 2.55| — 0.12] 4-0.27] — 2.41| — 1.69] 4-0.53 
b: V 4 An am s alode! DE Ere 7| — 59.6 30.8] --0.61| --0.81| --0.71|—1.47| —0.33| — 0.45 
RN ACER RE FTO TES 10, — 53.4 —12.4|— 0.89 +0.33| 41.63 —0.32]— 0.82, +0.93 
xu imum LA, IS B au 12) — 50.8 — 44.9] + 0.66! +0.49| —1.53| — 2.83| —0.48| — 2.94 
y = — 1.03; p'y = + 0.0482; ry = + 0.0372. | 
20| — 44.9 — 36.5| 4-1.07| +1.90| 4-0.35| —1.63| 4-0.75| —1.32 
T || 25|—36.4 417.2] 0.05, --2.16|— 0.89] — 3.50] +1.54| —1.54 
4| —58.8| + 41.2] 41.83) 41.33] 41.66 —0.18| 0.125859) 34] 953 +49.9| 3.60 — 9.46| — 2:59| — 5:84] 0.501 2.92 
7,—898.9 = 32.7 42.77) + 0.35] 40.09 —1.70| 0.381 1-91] 59 —42.4| 76) 044 +0.88| 1.37] — 1:58] +0,92] —0.89 
14| 54.51 +21.8| 0.64] + 0.701 —3.57| —4.50|—0-68|— 2.341] 64| 108. 29.6] +0.90! +0.57| +2.46| — 0:90] 40.72] 0.79 
32 — 39.0) — 56.0| 41.471 1.68] 4-0.09 —0.05|—1.08.—2.71] 63) 93 +44.4|— 2.08] +001 24145301. 0.27] 306 
330.3) 452.5] 124007522577 050270! 75 Q1 —13.8|—2.62) 162262 0.51] 119 — 0.28 
30 —30.1|— 1.21 +0.51|— 1.051 115 —1.28|—047 —122| 84] + 94 23 2.701 068] +o.sı 247] 0.321 -2.20 
221 — 26.6) +44:2| —0:35] --0.28|—3.43 —4.09] 40.191 —1.58|| 97] +20.7|-+32.3] 3.48 0.63] +4.61|— 2.29] +o.sal 0.98 
4| 20.4) +54.1|-1.36|—0.21| —2.90|—3.83| — 0.161 —0.62),, | + 30.8 15721 643) 249 2.001721] 0.70 592 
63|— 17.4) +45.8| +1.64| 42.93] —3.35| — 2.90] 43.011088] 14] 431.9 +46.5|— 4.32] — 1.61] —040 —asıl 0.05|— 2.69 
68|—17.7| +12.7] 40.89] +0.961 — 1.86 —0.99| +1.55|— 0:93]. 4| + 34.6| + 26.113.001 16e 121610 022208 
84 — 6.2 +48.4|— 0.53 --0.62| 1.42 —1.04| +1.42| 40.921490] 433.1 55 9| 0.77) — 1.88) +5.90| +1.03|- 0.26 — 0.16 
86 — 5.4] +25.1|—1.50] — 0:59] —1.43 — 0.05) +0.21 +016! 37) | c6 8. -+13.9| 5.18) — 3.20] + 2.21] —1.94| —1.15|— 2.06 
91] — 3.3) 447.27 1.98] — 0:48) — 3.45] — 6.24] +024 2-30] 40] 460.314 17.9] 5.041 ==3:76] 4:2.56|—1.47|—1.37| 2.43 
92 — 0.8) 438.9] 41.57) --2.30| —2.87 — 2.24] 43.50 —1.01]| | ses 455.01 286| +464] 1.85 — 10] +o.se|—1.05 
101, + 3.3 424.7) 1.81] 1.62] 2.84 4.38) 0.02 — 1.39] ———————— | 
102 + 3.4] —16.7| 2.17) 3.44] —2.23|—4.05|—1.36 —342] | ol 
112) + 9.4] — 28.8| —0.63| — 1.86| — 0.18 +1.77| 40.46 —1.45 4 : A UE x | AP x1 Sp 
140 --33.4 --62.3| 3.51) — 2.19] — 1.61 —3.95] 4-0.63| 2.46] >, E ODE EHI HUNE En 
142| +30.9| 430.5] — 2.34| — 2.83| — 2.63| — 0.99| +0.58 — 1.32 E E cer E "e iios Hi ge. m. 
155 +an.a| — 59.7] — 3.63] 9.50] --0:44| --2.49| — 2:44. —2,66]| 99 27.2] 7 28:91 #122] 10.80] ESS ER 
458 ass) -1-89,8| —3:67 — 3:0|—2:89| — 0:33| + 0:66. — 0:67] 10 | 352251 -83:21— 1.09 0-294 EE NE 
462| -1-49.8| —58:5| vel 1:04| 40:87) --2:57] :-:88| — 1:54] [109] 2528) 133.31 3,98 —1.221 32,86) 0 
178| --58:7] + lool — 5359] — 5:08] 4:56  -1-41:62| = 0:82| — 1:60] | 103] 2:26:95 6:6]. 1019 1.47 ee cda Mi 
= u8:7| pos — 1:07] — 0:93] — 0:36| + bed] -I-0:39. + 15061] 1431 E809, ar RAIS 59] 277 EZ i fn 
— |— 58.9| — 22.8| +0:77| — 4.56|.— 1.08| — 2.85| — 2.23| — 2.54 
— |—80.4| — 52.2] +4.54| 41.09] +3.45| +3.34| + 2.30) +0.69 
— + 24|— 29,7] 3-841/—2:20-— 3.76 — 2.28] -- 0.53 — 5.26 Région 288. 
| | | E = 1896.16; E'— 1911.17; T = 15.01. 
23| — 42.8| +30.5| +0.21| 4-0.36| — 2.05 — 1.55 
24 — 44.6, --18.3| +0.68 2-0.46— 0.70 — 1.48 kx = + 044; px = + 0.0273; rx = + 0.0066; 
31 —39.3|—42.3| 42.36 — 0.22] +2.22| +120 — | — Ka = + 1.80; px — + 0.0351; rx = — 0.0262. 
30| 34.5 — 42.2] --2.46|— 0.30] --2.41] --1.69| — | — ky = + 044: py= + 0.0255; ry — + 0.0014; 
128| +24.4| 4-23.0|—2.65|—2.59|—1.79| +049 — | - Ky = — 0.72; p'y — + 0.0257; r^, — — 0.0059. 
147| +37.7| -23.9| —3.20|—3.08|—0.88| +4:34] — | - 
153| +40.2|— 31.2] —1.75| — 4.19] 4-1.88| +412 1| — 62.4] 4- 59.9] 4-1.22] —0.05| — 3.87] — 4.50] — 0.97] — 3.09 
154| --40.7|— 41.4] —3.00| — 5.29] +2.73| +485] — 12 — 55.6| +31.8|— 0.85] — 2.27 d 0.70| 2.63) —0.51 


Tom. L. 


— 


N:o 7 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 21 
2 z y Unité 0.01 mm Unité 0.01 mm A x | dy Zz 2 y Unité 0.01 mm Unité 0.01 mm Az | dy 
Jen om sone presse e ioo le lex © jenmmjenmm| p.a, | ay p, | bı-aı | a3—bs 
29|—56.7| + 0.8| 4-1.13|—1.60| —1.09| +0.24|— 0.72  — 0.81|| 44| —15.9| +10.3| —4.92 — 5.56| — 4.51| —1.41| 2.65) — 2.39 
44|— 44.7, — 60.6|— 0.24 | — 2.24] +-2.21| --3.36| — 1.05) --0.83|| 51| — 11.0 — 19.3] 41.71) — 3.98| — 1.90) +-0.25] -- 1.46 — 1.29 
45| — 45.0|— 60.9] +-0.73| — 0.92] +4.08| 4-5.38| -- 0.07, +2.77|| 56|— 6.0) +31.4| --2.15| — 0.81| — 2.94) — 0.80] --1.17, — 0.951 
47, — 39.4| +31.8| +0.16| — 0.76| — 0.98| — 0.18| — 0.87| — 0.15|| 69) + 3.4) 4-60.7| +0.24 4-0.12| — 3.43|— 4.39| — 0.29) — 0.87 
51|—37.0|— 6.1|— 0.59 — 2.35] +1.25| 4-1.75| —14.59| 4-0.96]| 80| + 9.6 — 9.8] 4-1.26| — 3.62| — 2.10| +-0.78| 4-1.71| — 1.42 
53| — 37.4| — 28.7] +0.38| — 1.85] 2-0.20| 4-1.53| —0.65| —0.25|| 89| +15.6| 4-35.2] — 1.56 — 3.63| — 4.38| — 2.35| —1.49| — 2.93| 
54| — 31.7| --61.1| 4-2.15| +1.55| —3.36| — 3.45] +41.22| — 2.21||108| +32.5| + 0.3| — 0.53, — 4.64|— 2.20| — 0.55] 4-0.69| — 2.48 
60| — 30.9| — 13.0] 4-0.89| —1.42| —1.44| —0.68| — 0.18| — 1.75||109| +33.4| —45.7| — 2.35) — 9.47] 4-0.77, + 2.27| — 0.55, — 0.99| 
62] —31.9|—38.8| --1.44| — 1.45| 41.65| 42.35] +0.35| --0.64||112. 438.2 +13.8| — 2.64) —5.95| — 1.16, +-1.09)— 1.42, — 0.89 
68| — 26.2 — 29.3] + 0.90) — 1.62] +1.05| 4-1.12] 40.08 — 0.01]|122. +43.9 — 35.2] — 0.45) — 6.98] 42.29) --4.07| +1.55| +-0.68 
93| —16.6| +14.1|— 0.63| — 1.77|.—1.79|— 0.90| — 0.88| — 4.31] |140| +63.1| +25.9| — 1.05) — 4.31| +0.05| +1.24| 4-0.54| — 0.55 
103 —14.3| +25.3| 4-0.21|— 0.87] — 1.45|— 0.96| — 0.05| — 0.87 143) --61.7| —12.9| — 1.08, — 6.34] + 0.58| +1.90| +1.21 — 1.08 
144|— 5.7| --42.8| —0.74| —14.59|— 2.02, —1.27| —0.74 —0.85|| | | | | 
1146, — 5.3| 4-13.5| 4-3.39| --2.26|-11.18 — 9.92) --3.50.—10.50|| 24 — 40.0 — 37.2] --0.65| — 6.80 — 0.95 SE TT — E 
117, — 5.4| 4-12.9| +3.27| 4-2.53|- 11.18|—10.77| 4-3.52|—10.94|| 33 —_97.7| --46.3| --1.72| — 0.69] — 3.09| — 1.30 
434|— 3.4|— 30.2) --0.84| — 1.69| 4-0.45| 4-0.89| 40.73 — 0.42]! 34 — 26.0] + 49.7] --2.20| -- 0.69] — 2.39|— 4.10 
149| + 8.0 --40.1| — 0.84] — 1.77| — 0.60 +0.86|— 0.48) 4-0.88|| 36 _ 28.3 —32.5| 14.29 — 5.48 403 +299 — = 
460| +12.6| --10.2|— 0.20| —1.77| — 1.45] — 0.39] +0.27|— 0.92]]4 01 --29.4| 4-24.5| — 0.99| — 3.27 — 0.93 08710 — -— 
200| 4-32.1| + 34.6] — 0.19 — 1.50] — 0.70 — 0.43] --0.79| 2-0.10| 406! +32.5 +23.4| 1.24 —3.91|—0.45 +206 — | — 
215| +42.4| + 5.9|— 0.28| — 2.39| — 0.83 — 0.12] 40.90) — 0.51/1116| --38.5| — 24.0| —4.84| — 7.50] 2-0.67| +2.66| — =5 
218| +40.3|— 27.0) — 1.46| — 4.43] — 0.25, +0.021— 0.45 — 0.991420 --43.0| — 24.7 —4.50|— 7.32 +147] +355 — = Wi 
2221 +48.7| + 9.8| —1.93| — 3.48] —2.68| —1.73| — 0.31| — 2.12 
225. +49.4| —45.0| --0.01| — 2.38] +1.17| +1.34| +1.47| +0.70 
231| -+50.8| --48.2| —1.33 2 0.77 — 0.66| 40.36 +0.35 
236 +54.5— 41.1|—1.22|—3.46| 0.00! 4-0.82] +0.34| +0.22 Region 290. 
— | 424,7] — 8.3| 41.14 —1.53|— 0.98 — 0.23| 41.63] —14.04 
— | +60.4| —44.9| —4.12| — 5.89] 4-0:57| +1.45| — 1.71] — 0.28 E = 1896.21; E'— 1913.18; T = 16.97. 
| 
55|—31.3| +41.8| 40.35 —0.20| 0.75, +0.43 Kapa VO ROSE lar LAG 
65|—25.7| +36.2] --0.19| +0.73|—1.88 — 0.96 | kx — — 149; px = + 0.0419; rx = + 0.0020. 
69|—26.7 —34.7| +0.85|— 1.85] +1.02 +1.86| — | — hy = — 0.50; py — a 0.0431; Paral 0.0209; 
87| —21.8|—28.1| --0.83|—1.79| --0.52 41.77] — | fr resur AUGUE eee ANNE c WE 
191| +29.6| --29.0|—1.12—2.35|—0.19| +0:50] — | — 
496| 1-293. —294| 0.77327] —024 120 — | — 4| —65.0| 4-14.2] --3.21| +418 up ie +0.76|— 0.97 
201) +31.6 --24.9| — 0.97 —2.09| — 1.12 — 0.51 re nl NS MM Cama ed 
206, --31.9|—33.9| —0.98|—4.05| +0.37| +1.20| — | — Mn | aed SUE c BU ES ge ane 
9|—58.1| —12.3| 4-3.11| --4.11| 4-0.50| — 0.35| 4- 0.91, — 1.52 
40| — 55.8| — 20.7] -+4.69| + 6.24] +1.27| +1.03| +2.70| — 0.77 
13| — 51.8| — 34.9] 4-2.23| +2.79| --1.17| 4-0.59| — 0.18| — 1.58 
Région 289. 17 — 44.2] +58.1| +1.34| --5.19| — 1.96| — 4.88| + 0.52) — 1.72 
43| 21.2 + 2:3| —0.33 +2,57) — 0.59 —0.52] — 0.04 — 0.88 
E — 1896.13: E'— 491245; T — 16.01. &4| — 2^.1|— 29.5| 4-4.20| 4-2.90| +0.59| 4-0:23 +0,55 —1.34 
62| — 9.5|— 20.4] +0.41) 4-2.51|— 0.42|— 0.05| 4-0:63| — 1.33 
ky = — 043; py = + 0.0421; ry = — 0.0114; 75| + 3.2|— 59,5] — 0.28| 40.00] + 0.51) —4.06|— 0.70|— 2.84 
Kx = + 4.37; px = + 0.0295. rx = — 0.0780. 78| + 7.9|— 9.5| +0.12| +1.87| +1.09| + 0:98] +0.97| +0.71 
ky = + 0.87; py = + 0.0249; ry = + 0.0288; 88| +19.7| +56.2] — 4.11| —1.61| — 4.81| — 6.40] —1.93| — 2.87 
Ky = — 1.26; py = + 0.0354; r^y = + 0.0276. 92| 4-24.3| +13.2] —2.03|— 0.02] —3.24| —3.64| — 0.20, — 2.47| 
94| 4-21.0| —44.8| --0.62| 4-2.13| +0.07/ — 0.56| 4-1.87| — 0.57 
1|—64.2/— 8.6| + 2.84|— 2.38| — 2.77 —0.15| 4-0.44| — 0.101106 +34.0| —52.7| — 2.17 — 1.25 --2.44| 4-4.52| — 0.93| -- 0.07 
3| —62.4| — 60.4| --2.25| — 6.31| 5.74 — 2.43| --0.55| — 4.34][109| 4-36.5| +18.4]— 2.36 — 0.14] — 0.49 — 1.68] + 0.12! +0.29| 
9| —58.2| —18.1| — 0.61} — 5.90| — 0.35) 4-3.06| — 2.41 | +2.26|1113| --41.6| 4-52.1| — 3.56 —0.97| — 2.11| — 3.24] — 0.44) + 0.31 
17, —46.3| --31.7| 4-240, — 0.56| — 4.08| — 1.77] — 0:13, — 0.864114 4- 44.3, — 12.2| — 2.42) — 1.07] — 0.72] — 4.29] — 0.25| — 0.81 
32) —32.0| — 59.4| -- 3.22) — 5.06| — 3.75| — 0.93] 4-2.69| — 3.41||121| 4- 51.3, 2-35.8| — 2.26, — 1.26|— 2.01| — 3.30] 4- 0.35 — 0.26] 


22 RAGNAR FURUHJELM. 
9 [en mmien mmn ERES ES | ° en mm en mm b;—a3 | ag—bs | b1—a | da lg 
| | | | | | | 
193) +52.2 + 4.8|—2.15| —1.14|— 1.80) — 2.33| 4-0.29|— 0.99|| 22, — 30.3 — 41.0] +4.40| +0.70 +204) 4-603] — | — 
1124| +58.5| +57.4|— 2.11| --0.76| — 4.80| — 5.20| --1.88| —1.54|| 26|— 24.8| + 42.5] + 0.76 —1.06| — 0.60, — 2.26 
429| 4-62.7| --35.9| — 3.33| — 2.35|— 3.27, — 5.56| — 0.25| — 1.84|| 79| 4- 24.9] — 34.4| --0.78| — 2.11 +2,88 41:99) — | — 
130| 4-64.9| +11.5[— 4.28) — 2.68| 1.61} —2.02|—1.10 —0.28|| 86 --28.8|— 26.9] +0.27) —2.56|+3.28| +1.98| — | — 
—|— 53.8| +46.8]— 0.04| + 2.55] — 0.43 — 1.51|— 0.96| + 0.07|| 91| +32.6| + 22.7] — 0.06 — 2.10] + 0.71—0.02] — | — 
[ | | | 97) +40.3|+27.9]— 0.47) — 2:26] +0:95| — 0:52] — | — 
18|—43.1| 4-30.5| --0.68| + 2.64] —0.01| — 0.86 
22) — 36.0 +39.6| +-0.86| 4-2.68| --0.02|—1.70) — | — 
29|—34.1|— 26.0] --0:81| 2-2.79| --2:28| 1.24] — | — 
30|—30.8|—37.0| +1.10| 4-2:67| +2.41| +4.46| — | — 
98, +-28.2| -- 25.0 244 0.24|— 1.72 — 2.45 Région 292. 
99 4-25.7| 3-24.6| — 2.26 4-0.50| — 0.93 — 1.42 | 
4103| --27.1|—37:1|— 1.05| +0.40| +1.51| 40.84] — | — ; 
105| --32.1|—42.6| —1.47|—0.58| +2:06| +1.18| — | — Pre dau D LT | 
ky = + 0.18; px — + 0.0465; rx — + 0.0219; 
k'x-— + 1.34; p'z — + 0.0444; r'x = + 0.0091. 
ky — + 1.43; py — + 0.0406; ry = — 0.0038; 
k'y = + 1.42; py= + 0.0453; ry = — 0.0428. 
Région 291. 
4| — 63.0|—16.6| +2.30| 2-0.40| — 2.55| --0.10|— 4.00] — 1.98 
E = 1896.21: E'— 1913.48; T — 16.97. 7, — 63.1| — 46.6] +5.96| --4.43|- 10.151 — 7.77] 4-2.37|— 11.01 
44|— 46.4| +50.8| +-0.78| +0.78| — 5.13| — 2.84] + 0.22] — 1.46 
ky = — 1.30; px — + 0.0396; rx = + 0.0213; 16, — 49.3| — 19.6| 4-0.03|— 0.43| — 0.36| +2.11]— 1.97, +0.30 
K'— + 1.14; p'x = + 0.0363; rx = + 0.0016. 19| — 45.2| — 49.5] +1.90| +-0.61]— 0.42) -I-1.83|— 0.79) — 1.04 
ky = — 4.50; py — + 0.0405; ry = + 0.0116; 33| — 25.3|— 25,5] -I-1.02| — 0.23| — 0.25| --4.12| — 0.39) 0.17 
k'y = — 0.14; p'y = + 0.0389; r'y = + 0.0193. 37|— 23.3| 4-60.6| — 0.52] — 0.02] — 5.641 — 5.16] + 0.37) — 1.91 
40|— 23.1| --14.5| —0.18| — 0.96| — 2.73, —1.79| — 0.63|— 0.75 
5| —57.9| --37.8| 4-3:50| 4-0.62| 4-0.22| —3.11| 40.22] --0.13|| 49|— 15.5 —54.3| --2.46| +1.11 +0.47| +0.59| --4.00| — 0.73 
8,— 47.5) + 34.6] 43.04 40.92] — 0.50 — 2.86] 40.50 — 0.39|| 52) —12.5 4-24.8| —0.30, —0.27| — 2.41, —4.65| +0.29) +0.16 
16) — 44.2) — 62.0| --3.36| — 0.41| 4-2:23| —1.19|— 0.99 — 2.08]| 63|— 6.4 —12.4|— 0.23|— 0.52| — 1.32| — 0.59| — 0.09 — 0.20 
18|—38.2| + 0.6| 41.75 —o.31| +1.17 — 0.38 — 0.80) +018]! 66 — 9.1, — 50.5| + 0.24 — 1.08| — 1.35 — 0.90| — 0.85 — 2.08 
20 —32.3|— 27.5] --3.97| — 0.01| 4-2.49| +0.39| 4-0.36| +0.02|| 74 — 3.4|— 61.5] +1.35|—0.36| + 2.02, +2.02| + 0.14] 4-0.72 
27|—21.9 — 2.6| --0.71,—0.88|— 0.64, — 2.29| — 1.02, — 2.04|| 87| + 5.7| +46.9|— 1.40  — 0.93] — 4.45) — 4.611 40.581 — 0.96 
28|— 20.9 — 13.5| +2,16, — 0.18] + 1.33) — 0.27| — 0.04 — 0.50||101| 2-16.) — 11.2] — 0.65| — 1.80| — 1.15| — 1.87] +0.09 — 0.19 
30 — 21.6 — 33.9| + 2.81 — 0.401 -- 3.00, -I-0.59| — 0.08 — 0.031[102| +17.2| — 38.9| + 1.11} —0.26| — 2.21 — 2.30] +1.36|— 2.09 
42,— 8.8  --24.3| +0.37| 4-0.05| — 0.52, — 1.44| 4-0.07|— 0.70 421| --35.1| — 27.0| — 3.74| — 4.93] --1.16|—0.36|— 2.40] +148 
48|— 4.8| --50.4| — 1.15 — 2.74] — 3.83| — 5.24| 1.63) — 3.28||431 | -I- 47.1] -I-14.4| — 2.57, — 3.63| — 2:21 — 4.08] + 0.02) 0-00 
54 + 3.5 — 46.5] 4- 0.22 — 1.44] 4-2.48. +1.60] — 1.08|— 0.68||134| +48.9| — 45.5| — 1.13) — 2.95] +0.92| — 0.97| +0.23] 4-0.58 
55| + 9.7| +48.6| +0.33 — 1.15| — 0.26| — 2.58| + 0.43 — 0.46||37| +52.3| -- 20.2] — 3.99) — 4.94| — 2.28 — 4.68|— 1.02] +0.03 
62) + 6.9 —52.5| 4-1.37 — 2.01| -- 2.85, 4-1.17| — 0.74 — 1.001142 4-56.0| 4-10.1| — 4.85| — 5.66| — 1.79 — 3.76| — 1.80) +-0.39 
68| 410.2) + 0.4] 41.46) — 0.77| +1.56| 40.30] +0,65) — 0.03||145| -I-57.0| — 38.4| — 2.28| — 3.49] + 1.01 — 4.64| — 0:14| + 0.79 
74| --19.2, — 12.5| --0.45| — 1.89] 40:70) — 0.17] — 0.21| — 4.35||147| + 60.7, — 27.4] — 4.59| — 5.73] +.0.29| — 2.99|— 2.07| 0/31 
96| +35.7|— 25.0| —1.64| — 3.52] --2.76| 4-2.62| — 1.59. + 0.33]] — | +60.8| +44.8| — 4.49] — 5.17] — 4.84|— 7.45| — 0.62| — 1.38 
99| +45.4| -27.0|— 1.85| — 3.84| — 3.34| — 4.57| — 0.89, — 4.39|| | | 
103) -1-54.3| 2-59.2| — 2.52] — 3.45| — 1.49, — 2.35| — 0.33| —1.23|| 0| — 44.5 4- 37.0] --4.17| 4-0:52| — 2.32| —1.25 
109| --52.5 — 23.3|— 1.40, — 3.64| --2.93| 4-1.90|— 0.87| —0.14|| 97 38.3 —40.3] + 2.30! +0,75|— 0.90) +4.42] — | — 
—|— 62.1|— 15.0| 4- 2.09|— 1.65| + 0.08 — 1.56| — 2.38|— 119) 28| —34.2| +38.4] --0.72|— 0.55|— 2.55| 4.48| — ES 
—| 4-47.3, — 50.6| — 0.02| — 3.75| 4-2.96| +1.82] —1.88|— 0.70|| 34| —27.9| — 30.9 --4.72| --0.26| 4-0:43| +1.65| — EC 
— | 4-39:8|— 25.0] — 0.24| — 2.54] 41.58) + 0.42] — 0,39| — 1.36] 1144! 1-29.4| — 34.7] — 0:57] — 2.04] 4-0:07| —4:09] — =. 
| 118| 4-34.6|—40.4| —0.93|— 2.921 4-0.51|—1:04| — | — 
13 — 40.4| +22.9| + 2.18| +-0.40| +0.29 — 1.01 119| --37.1| --37.3|—2.97| — 2.92] — 3.32] — 5.02 
| 45|—44.7|—16.9| +3.42| +0.38| 2-2:39| --0.85| — | — |j120| +37.9| --25.4|—2:50|—3.54|—3:43|—4:02|] — | — 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 


| Diff. en x Diff. en y | 
2 LP NEU Unité 0.01 mm|Unité 0.01 mm| 4x dy 
© lenmm jen mm] 5. o. | ao—be | b1—a1 | aa—be 
Région 293. 
E = 1896.08; E’= 1914.08; T = 17.99. 
Kx = + 0.35; px — + 0.0444; rx = — 0.0103; 
k'x — + 0.57; p/x — + 0.0544; rx = — 0.0150. 
ky = + 0.20; py = + 0.0477; ry = + 0.0049; 
k'y = — 3.15; py = + 0.0430; r'y = + 0.0227. 
2| — 63.5| + 40.3] --2.43| 4-2.12| —3.83| — 0.45| — 0.91| — 0.91 
23|— 51.4 + 1.0| --1.69| 41.33] — 2.06| 4.0.19] — 0.58, — 1.65 
42 — 39.6 — 24.6] +1.93| --0.91|— 3.40 — 0.75 +0.23| — 4.12 
44| —33.0| -- 45.4] --2.91| 4-2.74| — 3.20 — 1.36| 4- 1.07, — 1.24 
66,— 20.6| + 7.3| +1.02| 4-1.23| — 1.05| 4- 2.65] 4-0.47| 
72| — 23.2 — 59.7| +1.24| +0.67| +0.09| 4- 2.28] +1.02| — 2.68 
81|—17.3| — 46.3| — 1.16 — 1.29] +0.97| --3.63| — 1. 03 —1.04 
93|— 9.61 2-47.7| — 1.11| — 0.62 3.30 0.40 1.48 1.021], 
417| + 7.7| — 34.6| — 4.17, —14.30| — 0.10, +3.24| +0.04| — 1.58]|; 
126| 2-13.7| +18.3| — 0.06, — 0.60] — 2.98| +1.14| --0.58| — 1.75 
133| --11.6| —51.5| — 2.59, — 3.24| +0.92| 4-3.89| 41.23 — 4.56 
445| 2-21.2| + 29.3] 1.30 — 1.12] — 1.27 4-2.40| — 0.07 +0.13 
157| +34.1| + 48.2] — 2.47 — 3.12] — 2.82| + 0.71] — 1.26 — 0.81 
161| 2- 31.6 7.2| — 3.25| — 4.38] — 0.24| +3.47|— 1.70) — 0.77 
165| 4-35.4| -I-41.0| — 1.14| — 2.11| — 3.02 2-0.96| -2I-0.09| — 4.13 
170| 4-39.5| — 13.9|— 2.93) — 4.31| — 0.21, 44.09] — 1.03, — 0.71 
176| 4-40.6| —15.9| — 2.10 — 3.16| — 0.68, + 4.28] + 0.03] — 0.95 
190| +57.7| — 41.5| — 4.00] — 5.34] --2.91| 4- 7.12] — 0.82! +0.86 
192| 4-56.5| — 53.0| — 2.73|— 4.52] +2.23| +5.93| --0.30| — 0.58 
—|— 61.2, — 28.1] +4.74| 44.59] 4-0.20| +1.07| + 2.45| — 1.27 
I 
55 — 27.2] --23.1| 41.19) +1.12) — 1.51, 41.54] — — 
59 — 26.0 — 38.6] 2-0.29| + 0.65] + 0.96! +3.56| — — 
63, — 22.3) 4-20.5| +-1.29| --1.08| — 0.74| +2.01| — — 
70,—22.9| —36.7|— 0.05 — 0.27] +1.54| +4.60| — — 
4143| +22.5| +35.1]— 1.08] — 0.90] — 1.91, +2.63| — — 
146| 422.0) --21.8|— 1.46| — 1.82| — 4.44 141.97] — — 
171| --38.1| —30.0|— 2.131 — 3.24] --1.91| 45.72] — = 
172| + 36.3, — 38.6| — 2.05 — 3.01] 41.80) 4-5.47] — — 
Région 294. 
E — 1895.21; E'— 1913.23; T — 18.02. 
Kx = — 1.68; px = + 0.0253; rx = — 0.0027; 
Re "0:04; px = + 0.0249, 7% = + 0.0100. 
Ky = +115; py — + 0.0203; ry = + 0.0132; 
ky = + 1.50; py = + 0.0158; 7^, = — 0.0319. 


15 —49.3 +-13.8 + 2.73) +063 —3.44| 40.11 — 0.36, — 0.55 
16 —46.0 + 7.8| 4-3.33| --4.33| —14. 95|— 0.41 -F0.36| — 0.14 


19) —41.9| +60.6| --1.81| 


N:o 


-1 


0.85 1.33 0.37 


3.46, 1.19 


23 
| i 3 " { 
Z z y Unité 0.01 mm Unité 0.01 m AT AY | 
o jen mm|enmmj[ po | ao—be | bı-aı | aa—bs | | 
| | | 
9| — 35.6 + 9:51 4-2.34| +0.28| — 1.64 — 0.46| — 0.41| +01 
32 — 33.1| 4-47.5| +1.63| — 0.65| — 3.95| — 3.69] — 1.01) — 1.95] 
36|—33.4|— 3.9] 40.76 — 3.89] — 2.05] —3.27| 
37|—33.0|— 8.8] +2:86| +0.80| +0.33| +1.22]| -+0:42| +1.63 
49| — 29.5| — 46.9] + 3.33) +1.63|—2.44| —1.56| +0.72| —1.79 
57| —16.7| 4-34.8| +1.58| — 0.54] — 4.07) — 2.88] — 0. unge 67 
58| — 16.8| +34.8| --1.73| — 0.29| — 2.32] — 1.86] — 41] — 0.29 
64| —17.2| — 41.8| +3.22| +1.21] 4-0.65| + 0.20] + a + 0.83 
66|—14.6| — 7.3| 4-2.07| 4-0.44| — 1.03) — 1.15| 40.09) — 0.00! 
76|— 2.2) — 24.7| -F 2:44) -I-1.06| — 1.05| — 4.42] + 0.61] — 0.37 
77|— 4.7, —55.7| +3.02] 4-0.99| — 0.48| — 1.53| -- 0.91 — 0.70 
79| + 4.2 2-39.8| --1.28| — 1.38] — 2.99| — 4.04| — 0.64) — 1.43 
80| + 0.0| --36.3| 4-0.99] — 0.68| — 1.19) — 2.19] — 0.56| +0.29) 
85 + 5.31 — 3.2| 4-426. --1.97| —3.86 — 4.94| 42.39] — 3.08] 
88| + 9.3] —24.7| --1.15| —0.14| — 2.90] —3.69| —0.19| — 2.32) 
89| + 8.1| —49.9| +0.96| — 0.20] + 0.31| — 0.87] — 0.44, +0.23| 
98| --11.4| — 26.7| +0.81) — 0.91] — 2.06  — 3.77| — 0.71| — 1.96 
100! +13.5|— 45.3] 41.84 — 0.01] 4-0.35| — 1.43| + 0.24) +0.09 
103| +19.5| +22.5| 4-1.12| —1.05| — 4.95| — 3.30] — 0.23| — 0.71 
118| + 27.4! —54.3 +1.35| — 0.38|— 0.58| — 2.11] +-0.13| — 0.74 
195| +39.8| -- 47.2 0.91, 3.21| — 2.18| — 5.29| —1.73| — 1.48 
151| +53.0| — 24.2] +1.61 — 1.10] 4-0.14| — 2.70| --0.65| -I- 0.10 
152| +53.7| — 30.7] +2.03| — 0.78| — 0.14| — 4.14] +41.01| +0.63) 
153| +55.1| +42.9| 4-0.33| —4.46| —2.69| — 5.94] 4-0.13| — 1.70 
159| 4- 63.9 uU rw --0.68| — 3.05| — 0.62| — 0.12 
34| —30.7| +21.8| +2.61| +0.53| — 2.11 | — 0.64 | 
A5 — 26.3| — 33.8| + 2.34 +1.44 | | 
47|— 27.9 — 35.5| +2,51| +1.37| — 0.82, — 0.22 
48| —26.1| — 38.3 0.80, —0.14 — 
55| — 23.8| --33.4| +1.97| — 0.44| —1.91| — 4.22 
417, 4-29.0| — 39.9] -I-0.62| — 0.67] — 0.42, — 2.20 
119 --31.2| +-20.2] +1.00| — 0.83 4.35, —3.24 — 
122, +31.5| —36.3| 40.70 — 0.791 4-0.58| —1.26| — — 
1432| +42.6| +30.3| +0.93| — 0.74| — 1.10) —3.17 
Region 295. 
E = 1896.16; E'— 1911.17; T = 15.01. 
kx = + 0.27; px = + 0.0439; rx = — 0.0145; 
k'x — + 0.31; px = + 0.0434; r'5 = — 0.0258. 
ky = — 2.45; py = + 0.0336; ry = — 0.0077; | 
Ky — + 0.63; py = + 0.0249; 7^, — — 0.0168. 


1| — 68. 2 +48.6| +1. 93| +2. 23| +0.24|—1.74| —1.11| — 1.07 
2160.91 Hs) 0,92, — 0.18| 2- 2.55, + 0.31] — 2.08, — 0.25| 


13, — 56.3 — 44.7 1.00) 0.97] 4- 4.04, + 0.60) — 2.00, — 0.52 
33 -— 40.7) 4-49.1| +0. 94 --2.25 --0.33 —1. 24] — 0. 63 —0.49 
39 40.3, 41.1 1.25 0.89 +-2.85| +0.06 — 1.46) —1.09| 


43, — 39.9 +21.41 +2. 23 --2:20| — 0:59| — 2.98 +0.58 — 2.59 
46 — 38.2) — 10.41 — 2.72, — 3.20 Lol — 3.88) — 2.95] 
70| — 21.9| +33.0 — 2,641. 73| +2.09| —1.01| — 3.26 4-0.27| 


24 RAGNAR FURUHJELM. 
| Z | e | y Unité 0.01 ‘mm Unité 6.01 mm 4m AY Zz 22 | y Unité 6.01 mm Unité 0.01 mm am EE 
e enam en ss os trad ista a SER 2 en mmienmm] 5.6, b, | bı-aı | as—bs- 
| | | | 
98 —41.5| +51.3| 41.47) +2.69| +1.55| — 0.82] + 1.09! 40.73 152 -FAL.5| +-20.6 4.45 +- 0.47 _9.2|—109 +0.37| — 2.05 
111,— 8.3) -- 14.4] 40.31) +0.76| +1.97| — 0.84 --0.42| — 0.04 156 42.2, — 43.9 0.32) 2.02 0.36 --2.16| — 0.53| — 0.35 
121 — 0.2) 4-21.4| — 0.20) +0.80| -I- 1.89, — 1.09| 40.20) -I-0.08||468, +55.4| 417.7] 40.91) — 0.09) — 0.04 41.71! +-0.33| +0.40 
1134| + 3.7 +32.3| — 0.24) +0.51| 4- 1.16, —2.49| + 0.18] — 0.631177) +60.8| — 42.4| —1.25| — 2.55 0.23 1.90] — 0.67, — 0.38 
140) + 9.4| +53.6| — 0.71| — 0.04| — 1.87, — 5.25| — 0.50 — 2.87 | +21.9| 4-42.5| +-2.78| +2.27|— 0.90, +1.51| +0.86| 4-0:17 
444| + 8.3| --21.1| — 1.58, — 1.42| +1.03| — 2.55| — 1.02, — 0.98 | | | 
1163| +19.0| +44.1 —044| 4-0.60 +0.27| —2.37 +0.70| — 0.50 36| —33.7| — 20.8 --3.13| --4.56| +0.01| +2.43| — ut 
1192! +32.0| +17.7 — 1.52] —1.01| +2.31|—1.27| +0.31| +0.49|| 37) 34.8) — 31.0 +3.01| +4.59| 40.50! 41.57| — = 
1202] +38.9| —18.7| —1.61|—1.22] 4-2.39| — 0.85] +1.20| — 0.18] 38|—26.0| 4+-20.6) --2.81| --2.35| —0.41| +1.06| = — 
1215) 4-48.9| +12.8| — 4.50| — 3.85] — 1.29) — 5.17| —1.76 —3.18]| 50! — 17.4 +30.0| 4-3.20| +2.37| — 0.24 +0.98| — Ll 
1221 +48.5| — 56.8 — 4.95, — 4.50] +4.49| +1.01] — 0.92, -I-1.35||29| + 21.8| + 39.7] --1.01| 40.32 058 sn] — A. 
236, --56.5, —16.4| — 3.64] — 4.21| +3.60| — 0.47 — 0.59 4-0.89|138| --26.5| — 23.5| --0.72| —0.84| 4-0.60| 2-2.05| — E 
239| +55.5| — 30.7| — 3.08) — 2.50] 4-2.59| — 1.71| 4.0.79) — 0.644139) + 29.9| — 29.5| + 0.91! — 0.58 — 048 Jio zd ee um 
246 1- 63.0) — 13.4] — 4.62, — 5.60! +1.10| — 2.88] — 1.55, — 1.39 144. +31.2) 4-21.7| +2.05| +1.84 —0.95| IE Wo E 
—|— 1.5) 4-31.3| — 0.80| +0.40| —1.73| — 4.51] — 0.36| — 3.18 i 
| | | | 
60 —31.4 — 35.6] 40.291 — 0.27] +4.09 +0.59 — | — 
68 — 27.8| — 34.0 —041 + 0.36 vos 2.099] E UE Région 297. 
71| — 24.6| +33.1] +0.45| 4-0.94| --1.84| —0.62] — | — 
72| —21.0| 4-26.4| +0.76| 4-2.00| 4-1.51| — 1.09 3 
M81| --24.6|—324|—2.78|—2.25| +3,38 —0.52] — | — M de Pa D 
185 4-294 -F25.9| —1.18|—0.93| --1.61|—1.35] — | — kc 4:20; pg c 55010297: rx DÖR 
191 | +-28.9 —244 —1.00 2130:89| — 2:23] — = = — 0.02; px — + 0.0239; rx = + 0.0078. 
203| +35.3| — 29.1| — 2.39. — 2.50 --3.22|—0.32| — = ky = — 0.34; py = + 0.0471; ry = — 0.0036; 
y = + 0.70; py = + 0.0133; r'y = + 0.0008. 
1|— 64.6 +53.5 +3.01| +0.75| — 4.47, — 2.95] — 0.44 — 1.31 
6| —55.5| +36.0| +2.42| 4-0.24| — 1.18, — 2.43| — 0.75| — 4.15 
Région 296. 8|— 55.4) + 4.9] 4-3.41| +1.20| — 0.56) — 2.15| + 0.26, — 1.18 
15, —47.6 3-97.3| +4.33| --2.43| —3.28| — 4.09] +1.48| — 2.70 
E — 189613: E' — 491444: T — 4501. 17, —45.5| --11.3| 4-1.98| 4-0.34| + 0.54, — 0.60| — 0.65, 4-0.26 
. ? 21| —44.0| 435.7] +2.38| — 0.30] — 2.85 — 4.69| — 0.74 — 3.11 
kx = — 2.40; px — + 0.0339; rx = — 0.0097; 22 —41.9 4-33.7| --1.69| — 0.28] — 2.61| — 4.09| —14.02| — 2.71 
Kx = — 1.07; p/x — + 0.0325; rx — — 0.0279. 23 —40.4| +15.1 2.60) + 0.941 +0.18| — 1.04] +0.11| — 0.07 
ky. — 046; py = 010144: 7, 010022; 35, — 33.3) — 30.6] +2.55 41.78] 41.16) — 0.18 +0.72| +0.16 
k'y = — 1.58; p'y = + 0.0121; r^, = + 0.0024. 36, —26.3| + 5.9] 4-1.92| +0.12] — 0.83 — 1.81| — 0.27, — 1.08 
46|—20.1 —11.9 +1.39) +0.61| 4-0.33| --0.08| — 0.11) +0.18 
| 19| —50.3| —13.0| +3.81| + 2.581 —1.17| +0.29 +0.18| — 1.37 9 18.9 —191 +-1.67| 4-0.89| — 0.18) — 0.95] + 0.20 — 0.70 
46|—47.9| 425.7] +4.10| + 2.84] — 0.96 — 0.52] — 0.19, —1.15|| 63| — 0.3) 435.6) +2:20| 4-0.91|— 1.08| —2.10 +-0.70| — 0.87 
24|—44.2 + 8.8| +244) 1.02] —1.31|—0.54| 1.49 —1.59]| 71) + 0.31 +29.1| +2.22| + 0.73] — 0.69, — 1.87] + 0.84) — 0.65 
49| —45.8| + 46.0] 4-2.51| 42.63 2.54| —0.41| — 0.40, —4.44]| 79| +10.2| +11.8| +0.78| 4-0.42| — 4.24| — 1.21] +0.23| — 0.85 
57| —14.7| --44.0] +3.27| +2.58| — 2.39, — 1.16 +0.02 —1.91 81| 4-12.8| — 5.3 -- 0.56, — 0.82| — 1.09| —1.85| — 0.40 1.35 
zi es pre esu +2.46| --0.79] +0.78| —1.71| +0.59| — 0.08 100| 29 33.0) — 0.09! + 0.28] — 0.35) — 0.87| +0.27| — 0.88 
82|— 4.4|—40.3| -+1.23| — 0.28] 40.09) 41.84] 0.49) — 0.28||103| + 33.0) — 37.1] +0.42| 4-0.18| 40.31) — 0.40! +0.57| — 0.38 
84|— 0.6. —50.5| +0.39| —1.30| 41.49) +341 1.11) +1.07][10% 438.0) — 8.3] +0.33| —0.63|— 0.12) — 0.69] 40.23) — 0.29 
90! + 2.01 2-48.2] +1.96| +1.15|— 0.25 41.26] — 0.30) 4-0.04]|114| 449.7) +58.8] 41.18) 4.0.03 — 0.18, — 0.81] +1.22) +0.65 
94| + 0.6| + 6.7| +2.09| +114] — 4.04| +0.96 __0.07| — 0.66 116 +48.3| --17.9| — 0.51| — 2.15| +4 0.15) — 0.59| — 0.71| +0.30 
96| + 4.7) —45.9| +41.90| 4-0.64| — 0.96| +0.67| -1-0.13| —1.06]|121| -1- 45.0, — 62.5| — 0.76, —1.42| 42.31) +1.22 — 0.47) 4-1.05 
107| +43.0| +40.8| 4-2.22| 4-4.86| — 2.10, — 0.75] + om 1.58 122) +52.3| 411.2] 4.0.43) — 1.61) — 1.04 — 1.47] 4 0.14| — 0.83 
1238| +924 41.7 2.24) +4.39] — 0.82| +0.82 +0.19 — 0.14 125, --52.1| —34.3| 4-0.26| —1.22] 41.43) +0.11| +0.29| 4-0.50 
143| +30.9| +49.3 T1376 --4:51| — 7.99| — 6.27| 2-0.14| — 7.15 126 -F97.8| + 9.8] 40.44 — 0.85 — 0.38 — 1.82 -- 0.66, — 0.49 
151| +44.8| +57.6| +1.60) 4-0.98| — 1.39| — 0.08| 2-0.14| — 0.64|| — | +5%.9| 2-17.9| — 0.14| — 2.68| — 0.08| — 0.10] — 0.62, + 0.44 
Tom. L 


1————————————————————— — 


D 


E 


mo sd 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 


Diff. en x Diff. en y É Diff. en x Diff. en y | 
Z| ® V [Unité 0.01 mm|Unité 0.01 mm| 4x2 | 4y Z| * | V Junité 0.01 mm[Unité 0.01 mm) 4z | zy | 
9 jenmmienmm| >, —a; |.aa—be | di—0a1 |, ag—da S jenmmienmm| ». 5, | ag—bs | b1—an | az—ba | | 
| | 
25|—44.0|—25.9| +2.29 + 1.28] +1.27| +0.28| — | — T | 
34| —34.1| — 27.0 192 --4.36| 4-0.53|—4.02| — — Région 299. | 
41|—24.6| +20.3| +2.03| +0.15| +0.23 — 1.46] — | — fen re EL ds dose. | 
42|—21.6| --19.0| +1.87| --0.37| +0.02| — 0.83] — | — Do ST Né ES 
88 +23.1| --23.8| --0.92 — 0.36 —0.30 —1149 — | — kx = +113; px — + 0.0221; rx = — 0.0242; 
90 + 20.4] — 27.1 +- 0.48, — 0.441 + 0.36 —0.96| — = k'y = + 0.62; p'x = + 0.0322; r'x — + 0.0126. 
97| +28.8| +23.1| +0.66| — 0.89| —0.07| — 0.78 ky = + 1.19; py = + 0.0223; ry = + 0.0112; 
105| +37.4| — 30.3] — 0.40) — 0.76] +1.47| +0.34| — | — k'y = — 0,90; p'y = + 0.0259; r^y = + 0.0190. 
1|—60.3| --20.5] — 0.82) — 0.73] — 2.17| —1.38| —1.65|-— 0.22 
4|—56.9| --10.3] — 2.23| —0.96|—1.51|— 0.28 2.32 +0,36) 
- 8|— 57.3| —38.2| — 0.65| +1.74] 40.59) +1.52| +0.08| +1.14 
Région 298. 10) —51.1| +44.8] 40.05 —1.06| — 4.12) — 2.38| —1.28 — 1.25 
12] — 53.2) —27.4 —1.01| 4-1.21| — 0.92) --0.56| —0.31| +0.41 
E — 1895.30; E'— 1913.27; T — 17.97. 20|—47.2— 6.2|—0.72 — 0.07| — 4.14] — 2.73| — 0.76 — 2.72 
E 35|— 37.8) —15.8| — 0.81| 4-0.60| — 2.52| — 0.78| — 0.17, —1.31 
a Faces NEED SE f UE 62| —14.4| --16.2| — 1.45 —1.22| — 2.66| — 1.16| — 0.93| —1.16 
Kx — — 0.01; px — + 0.0195; rx = + 0.0173. 74|— 8.2|—47.5| — 2.89) — 0.90| — 2.94| — 0.84| — 0.96| — 2.77 
LES ru oh UT did M. 81| + 4.5) 4-17.4| — 1.86| —2.27| — 2.96 — 1.00] — 1.17] —1.48 
vm MERE Vue aa EE 83 + 2.0|—13.8|— 2.30 —1.22| — 0.80 +-0.97| — 0.73 — 0.14 
a 38.51 27.011071 0101 8480 82610080 2007 1199] 21-1421 0.97 197 6:05 +017) — 1.24 
| LE exec de :261— 0.951 — 2-61] 0 +418.0| —38.7| — 2.00 — 0.25| — 0.60) +1.56] +-0.46| — 0.57] 
17|—53.0, —23.4] --1.41| --0.74| +2.16| --1.87|—0.36 1.58 46 493.61 43.4] — 1.72) —1.23|—4.02| 4-0.22] 4-0.11| — 0.93 
DE Cho 140 Fa ae 4:46] 0-03. 08M a0 21.71 hou] usa —1.95|— 0:56| 4.08) 0.9 — 0.47 
231 728.81 20.0] -F246 195-094 0.66! 40.56 -F029)21 +29.7] + 58.2] —120.—3.92| — 2.19] —347|—0.76| — 2:57 
* E E Wen s EXE Es 146  --42.3| +33.3| —4.01|— 2.20| — 2.45| —4.05| 4-0.22| — 1.44 
s Ire 25-013] i8 + 29.6 —34.5|—3.44| — 1.53] — 0.61, 41.74] — 0.06, — 0.86, 
33|— 899.0, -1-43.8| 7.0.45] 4.0.73) 0.47, 1.69] 0.57 — 0180) i 59 4/29 1) 4.51 — 2.06| — 0.89| +1.62| 0.28) +0.72 
me ae 102 0102 0 so: 60.9 + 5.0 3,28) 2,78) 2.21| +0,20) 0,80] 1.39 
A 32 03805469 079.196) 1200.50 | 95,0) 22,2 2.97] 0.32) 0.50) 21.82) 1.20) 40.14] 
58] —18.2) +51.4| —4.49|—0.43] 1-042 —0.81| 40.02) +0.78]| — | + 59 _ 17.0] 0.96| 02] 161 +089 rose on 
75, —134 —13.3|— 0.56, — 0.60] — 0.21 — 0.96 — 1.06 — 0.95] — 
100|— 0.4| --21.6| --0.15| --0.86| — 0.86, — 1.93| +1.09) — 1.09 | | ; | 
140|-- 4:5|— 4.6|—0.16| +016] +0.13| —0.97] --0.05|—0.s9| 59 29.5 1368 0.08.7 0.07|773.03 71.26 | 
412] + 24|—17.8| +0.60 --0.55| +0.17 — 1.22] +0.25| —1.02 20. 259 ac al o [A ID ms Bi i 
146) + 5.4| --60.0| 0.54) --4.86| —094|— 245) 4281-050 1757 = gr a] 422 1078] 060 X139 — | — 
128| --12:6| —88.6| +0:50 0:48] — 0.74 2.48 — 0134) 2.52], 21 35, Soul 444 01212224 — | — 
130| --20.0| +21.3] --0.69| --4.92| --2:34| --0.25| +225) HAS 12272 ond eal sol 199) ggg — | — 
154) +32.2) --19.5| —1.59| — 2.02] — 0.01 — 2.59| — 0.68 —1.14|190| -F32-2. +341 0. Na EAE | 
171| +40:2| +49.4|—2.42| —1.26| — 0.31 — 2.97 +0.28 —0.91 LO N N EB UE | 
es aal ol Dal 200) war see +3 F0 ASE far OSSI EL — 4 x 
182) +48.9|— 61.8] +1.56| — 0.15| 41.65 —1.70| +0.17 —1.58 
190! +55.0| — 41.5] + 0.56 —0.76| +2.98, —0.66| — 0.03 — 0.01 Region 300. 
— | +16.8|—55.7| +1.30) +0.05| +0.22) —1.73|— 0.28] — 2.08 
| | | E = 4896.25; E'— 1911.21; T = 14.96. 
44| — 27.7) -4-36.4| — 0.92| — 0.40| — 0.60) — 1.05 kx = — 0.90; px = + 0.0326; rx = + 0.0008; 
45| — 29.0! 4- 20.6 — 0.22 -- 0.28 0.10 1.20 ke = — 1.27; p'x — + 0.0299; rx = + 0.0186. 
55| — 22.1| —40.0| +1.94| +1.68| 4-1.17| +1.09 — — ky = + 0:06; py = + 0.0215; ry — — 0.0055; 
56 —223 —41.8| 40.98 +0.88] 41.60) 40.58] — | — ky = — 1.82; p'y = + 0.0224; rj = — 0.0092. 
148) +27.8| -32.2| —1.32|—1.40| 41.06 —1.42] — | — 
151| +28.9 —38.8| +0.35 — 0.11| +1.97) —0.11 7|— 53.2 — 44.5] +2.17| +3.19| 4-1.64| +2.73]— 0.46] 40-00] 
158| +31.3| — 41.1| +0.79| +0.09| +2.09 — 0.52 9|—54.8|— 52.9] +2.41| +4.08| --1.30| +1.15|— 0.06 —1.21 
160, +35.2) --31.0| — 1.99 — 0.93] +1.15, — 1.59 17\— 41.9 — 19.0] 42.49) 4-2.62| —0.08| +1.00]— 0.02) — 1.15) 


N:o 


7. 


26 RAGNAR FURUHJELM. 


| | Diff en x Diff. en y PI Diff. en x Diff. en y 
Z| * | JV [Unité 0.01 mm|Unité 0.01 mm| 4x | zy 2 V  |Unité 0.01 mm[Unité 0.01 mm| 42 dy 
o 
? len mm en mm| — a | "qu een ien mm enmm En PR RT. PER. 


| 
22|— 32.4) — 18.3] --2.20| +-2.62| 4-1.58| 42.43 +0.13| +0.48|| 95! + 0.9 — 42.6] 40.82 + 0.35] +1. ue — 0.44) -- 0.43 
25| — 25.0| +27.1| +1.98| +1.30|— 0.65| +-0.33 d 03|— 0.63 96 + 3.6|— 50.8| --0.92| +0.08| + 0.54] — 0.16) — 0.42) — 0.42 
| 29 —21.5| +22.9| 4-1.71| --1.54| 1.22] --0.23| 4-0.09 —1.03|102. + 9.8|+ 4.6] — 0.62|—0.84| — 0.29 —0.06|— 2:08) +0:01 
| 301 — 23.8) —10.7| +2.43| +1.86| —5.73| — 4.62 +0 — 6.46||105| +11.9| +42.7| 4-2.77| + 2.05 — 3.05| — 3.40] + 0.74 — 2.45 
32| —16.0| +51.6| +1.52) +0.48| 1.04] + 0.44 — 0.08| — 0.16] 109! 414.5 — 34.8| + 2.75 + 2.41] — 1.31| —1.16| 41.61) —1.70 
4| — 13.7) —39.7| 41.69) +2.46| — 0.38] +1.00| +017) —1.54||129| --38.8| +60.4| 4 4.49| +4.33 --0.14| +0.73| + 2.91) +1.10 
| 50/— 9.8) — 2.6] 41.37) 41.79] +0.05| +118] +016) — 0.391130 435.5 + 35.3] 40.72 40.95] — 1.11 — 0.51) — 0.47 — 0.50 
57,— 2.3) --25.4| 41.44) 40.97) — 0.49, +0.56| 40.29 — 0.30||133| --38.1| +13.3] +6.02| +-5.38]— 0:13) 40.62] + 4.62] +0.16 
69 + 0.2) —42.8] 41.61) +2.24] 42.18) +2.96| 40.43] +0.75/136| +35.4| — 21.7] +0.51| 40.09) — 1.35, — 0.70) — 0.50] —1.63 
80| --14.7| +10.0| 41.16, 4- 0.54 — 1.21) + 0.54| + 0.32; — 0.88|[153) +59.5| — 45.7| — 0.77) —1.91| 4.0.84) 4-2.51|— 1.63| +0.33 
86| +11.7)— 50.4] --1.10, +2.13| +0.78| +1.91| 4-0.40| — 0.551155] +61.3| --19.1| — 0.41| — 0.12] 1.48] — 0.99] — 1.12) — 1.56 
92|--20.8,— 9.6|— 0.35| — 0.04|— 0.82. --0.27|— 0.72|— 1.22]| — | + 0.8] +10.4| 4-2.50| 4-2.01|— 2.24| — 1.63] +0.75| — 1.53 
98|4-25.72-34.3|--0.52,—0.56|—1.37|—0.05|--0.08]—0.64] | | | | | 1 1- 1 FT 
101) +29.8|— 62.1|— 0.52] +1.26| +-0.21| --1.07|— 0.39 — 1.39|| 38 —36.9| +39.3| +2.17| --2.32| 0.11 —1.46| — | — 
108| +41.5| +44.5| +0.21|— 0.84|— 2.75) — 1.97| 4-0.33| —1.95|| 40 —36.3| +23.0| + 1.95! 4-4.74| — 0.82] — 1.63 
114| +44.0| — 53.4| — 0.66| — 0.68|— 3.51|— 2.77 — 0:89) — 7587] 26] 334 2716 --2.42| 4-1.92|—0.18|—0.38| — zer 
122 +60.7) — 31.2] — 1.89] — 0.70| — 1.56, 4- 0.21|— 0.78| — 1.79|| 48) _ 30. 8|—30.2 +1.25) 4-1.17| — 0.19, — 0.57 
32.9 —17.5| +2.45| +3.17| --0.61| 4-1.28| + 0.53) — 0.56|l144 + 20. 2 -E41.5| 41.53) 4-1.08|—0.95|—0.75| — | — 
—|-4-57.9|— 1.6] 4-0.03| 4-0.41|— 0.48) +1.79| 4-0.93| 4-0.16 | 


+0.1611123| +34. 9| --30.6| +1.94) +1.55|— 0.26 —0.36| — | — 
| | | 137| +38.8|— 25.3] +0.78| +0.27] 4-0.55| 4-1.37]] — | — 
24/—29.2| -- 34.2| 4-2.03| -- 2.00| — 1.09) +0.87 138| + 35.7] LES --0.36|--0.99|--0.58|] — | — 
31|— 23.9| — 38.4| +1.55) + 2.68 t050 +249) — | — 
33|— 17.3] 4-29.6| --1.68| --1.37|—0.55|--1.5| — | — 


37| —18.0|—10.2] 2-1.21| +1.40| --1.07/ +2.80] — | — e 
89 +16.6| — 36.4] --0.67, --1.75|—0.05| +2.06] — | — Région 302, 
97| --28.2 + 35.2] —0.50|—0.85|—0.32 +4.05] — | — 


103| --31.5— 34.8| --0.06| +1.30| + 0.80! +2.56| — | — E — 1896.16; E'— 1911.16; T — 15.00. 
105| 4-37.8| 4-25.7|—0.45|—0.35|—1.08| --0.77]] — | — 


tx = + 0.43; px — + 0.0285; rx = + 0.0118; 


'xy = — 0.45; p'x = + 0.0430; r'x = + 0.0317. 
ky = — 2.02; py = + 0.0322; ry = + 0.0083; 
Région 301. k'j = — 0.91; p'y = + 0.0265; r'y = + 0.0055. 


9| — 60.3|— 30.5| + 2.86| +3.96| 4- 1.36, + 0.13| + 0.58, — 1.20 


ne HON 26 re 17|— 59.0 —16.2| +1.81| 4-3.22] + 2.59| +0.63| +0.04| 40:07 


k'y = — 1.26; p'x = + 0.0154; r’x = — 0.0098. 46|— 39.3| +21.71 +0.27| +2.01 -1.23|— 0.35 + 0.20, — 0.11 
ky = + 0.16; py = + 0.0142; ry = + 0.0094; 47| — 35.7| 4-19.9| — 0.37| — 0.05] 2- 1.28, — 0.19] — 1.07, — 0.08 
ky = + 0.35; p'y = + 0.0179; r^, = + 0.0195. 48,—38.1| — 12.1| +0.48| +1.90| +1.91| 4-0.78| — 0.44] — 0.21 


51|— 33.4| +46.9|— 0.70| — 0.921 — 0.13| — 2:16| — 0.99| — 1.00 
1|— 65.0! 43-47.7|— 0.62, — 1.09|— 4. 05! 2.74] — 3.48| + 0.07 101,— 12.0, — 26.81 + 0.82 +-1.97] 4- 2.30| 4-1.15| + 0.37| — 0.44 
24, — 54.0 — 24.0] +2 49, --4.55|— 0.29| — 1.06] +0. 02 — 0.02]|105 — 72 4-25.3| — 0.47| + 0.25] + 0.70, — 1.29] + 0.15 — 0.97 
23| — 53.5| — 30.6] +1. 32| 41. 17|— 0.89| — 4.151— 0.54| — 0,48]|119, — 1.8,— 40.5] +2.29| 4-3.78| 4- 3.37; --2.23| --2:08| 40.16 
26|—49.8| 4-42.9| 4-2.25| +1.66 —444|— 2.44 — 0.45| 4-0.02][122] — 3.6| — 59.7] +0.69| 42.17] -- 6.64 45.16) 0.00. --2.71 
36|— 43.9) — 48.0] +0.91| 4-0.24|— 0.67 — 0.92] — 0.94|— 0.67||125| + 0.5 + 7.5] 40.42) --0.96| 2-1.28, — 0.30] 2- 0.86, — 0.75 
41|— 39.6, 4-22.0| 41.91) --1.65|— 2.45|— 2.94| — 0.31| —1.52/ 142) 1- 12.6. 1-63.9|— 1.06, — 0.91|— 3.15, —5.09| --0-84 — 3.79 
42 —35.7| + 4.9| --2.39| 4-1.97| — 2.67 — 2.78] 4-0.28| — 1.87]|[168| + 15.5, — 32.6|— 5.40) — 4.57] --0.64| —1.07|— 5.14 — 2,74 
60|—24.6|— 5.0|— 0.64|— 0.84|— 4.48| —41.67| — 2.39| — 4.04]||177| + 25.0| 1-47.2| — 0.21 | +0.37| 40.53) — 1.09] +1.99) — 0.53 
75|— 6.4) +12.3|+2.02| --1.60| — 1.74 —1.43| 4-0.20|— 1.04||193| +32.2/— 1.2|— 0.72 — 0.48| -- 1.00, — 0.37| +0,52] —1.41 
82 5.7, —42.5|— 0.33) — 0.32] + 0.18! 2-0.101 — 1.43 — 0.20][198| +35.7| + 27.8| — 2.82] — 2.29] 4- 0.50, — 0.78|— 0.68 — 1.03 
852 1517 TAG 4-2.37| 4-9.40|— 0.71 — 0.33 --0.78| — 0.24]|212| -I- 40.0, — 46.1|— 1.55|— 0.62] +3.73| +2.27 — 0.65:— 0.09 
86 — 4.8|—49.3| --1.25| + 0.98] — 0.46 --0.16| 4-0.11|— 0.65||221| 3- 51.8 — 43.2) — 1.70) — 1.46] +2.94| +1.76| — 0.52] — 0.73 
| 92| + 2.7] +18.6| -- 2.04, 2-1.38|— 0.28| +0.23| +0.15| +0.48]]227] +59.0 + 9.3[— 1.79| — 1.57| -- 0.98| — 1.33| 4-0:62|—1.77 


dioi 1b, 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 27 
z T y Unité 0.01 mm Unité 0.01 m EE Ay z| S. i1 Unité 0.01 EM Unité 0.01 zu. 412 | 43 | 
P!lenmm|enamm] last | bis |: aa ba ? jen mm en mm| p.a; | az—ba | bı-aı | a2—ba | 
| | | 
| 
54|—30:5| +30.4| +-0.31| 4-1.09| 4-0.88|—0.05| — | — 
61|—28.7| --34.3|— 0.23, --0.38| 40.751 —0.08| — | 
72|—928.2|— 36.2| +0.83| --2.67| +2.96| +1.33| — | — n 
84|—22.2| — 34.7] +0,57 +2.57|-+2.79| +2.022| — | — Région 304. 
178| +27.1| --25.4| — 1.30 —1.85| --1.46|--0.32] — | — 
190| +34.5| + 26.3] — 1.93| —1.61| 4-1.27| --0.34] — | — E = 1895.23; E'— 1913.19; T = 17.97. 
203| + 38.4 — 27.8| —1.33| — 0:44] +317, +217 — | — 
205| +36.4| —32.4| —0.94| —0.20| --3.58| +1.75| — | — kx = — 0.36; px — + 0.0161; rx — — 0.0097; 
ky = — 0.16; px = + 0.0225; r'x = + 0.0226. 
ky= — 4.90; py = + 0.0234; ry = — 0.0047; 
ky = — 0.83; p'y = + 0.0108; r'y = — 0.0004. 
Région 303. 4| — 59.8| +18.0] + 0.27| + 0.36] +1.54| 4-0.37| — 0.98| — 0.25 
5|— 56.4| +441] +2.49| +113] 4-0.94| — 1.07| +-0.54| — 1.38 
f H 8|— 57.6 — 34.3] +1.36| 4-2.22| 4-3.56| --0.24| J-0.19| — 0.19 
E Sx Dae Rep le M CR DE 9|—53.3| +17.8| +0.02 — 0.25] + 2.99! +0.73| —1.29| +0.66 
ke — — 4.43; px — + 0.0349; rx — + 0.0015; 10|— 50.6| + 9.6| 4-2.40| 4-1.28| --2.40| + 0.26| +0.67 — 0.00! 
Rx = — 1.29; pr — + 0.0286; rx — — 0.0013. 18|— 40.9| — 50.0] +1.53| + 2.38] + 2.23| +0.27| + 0.58| — 1.07 
ky = — 0.65; py = + 0.0239; ry = + 0.0008; 35|— 29.5| — 25.9| -- 0.76 +1.08| -- 2.20| — 0.04|— 0.07, — 0.80! 
k'y = — 0.68; p'y = + 0.0310; r'y = + 0.0055. 41| — 18.4| 38.2] 4-0.85|— 0.21| — 0:91| — 2.30|— 0.05| — 2.37) 
46, — 15.8) — 8.2|— 0.04) 4-0.82| -- 1.30|—0.43|— 0.23 — 1.11 
61 55.8] +17.8] 42.33] 42.32] 40.80] + 0.58] — 0.66 -- 0.69 52 — 13.6 — 15.9] 41.00! 41.35] 40.02] — 1.80] +0.54 — 2.56 
45|—52.3|—42.4| + 474l +4 66| +0:37| +0.89| 41471008]! 68| + 211622] 1.11| + 0.45) 4.41) 42.701 20.97] 1.18 
99/44 +40.0| +2.38| + 2.89 0.47 —o.14| --0.02] —0.55|| 71] + 5-2] +13.8| 40.37) — 0.56| 41.75) +0.39| 0.16] 0.03 
39| 34.7 450.7] — 0.39| 4-1.16|— 2.47|— 2.35| —1.92 1.571) 86) +16.2 46.61 — 1.34| — 0:30] 4-1.42]— 0.23] —41.07| — 1.52] 
a6 1:9] 4-1.81| +1,80 1.84 —4.23|—0.25|—2.47][104| 338.2] 614) 0.231062] 4160| 1,711 70.251 50.37 
ne tel -030 E0553] 3:84 |-—9.59 | 1.18) — 4:16 | 2 a a E09 ör ÖRE Od 
77| 44.3 —27.0| +4 99 12.12] -E0.10| +0,13] 4-0.36| 1.25] |L4| +49.4| +47.5| --0.22|— 1.86| 40.32) 4.0.78] 0-18 | 40.17 
84|— 7.0—55.4| 4-1.13. +1.86] +0.66| +0.79[ 40.06 — 1.43] > -F46.3 + 1.9| 1-0.25|— 0.38| — 0.10 /— 0.331 + 0.58) — 1.43 
Re eol se ES o q7| sera - 0.000149. 95.0|— Be GIE OA, 209 
95-25 458.11 0.99 10.961 —0.28| —0.50|— 0.15| -- 0.53 [120 +50.9— 50.8] — 1.82] — 1.01] +1.50| --0.67|— 1.02, — 1.02 
96|-+ 4,8| 28.5 11.09 2-1.49| —1.54| 2.22] 40.33 —1.74]| — | — 97-2| 4-98-8| +3.52| +215) 0.35 — 1.88] 1-1.85 —1.26 
401| + 6.4| +12.5| 2.39) 10 52] Lo sl +0.13| +1.44|— 0.021] — | 32-5] -25-4| 43.00] +2,54] —1.07| 1.75] +1.88|— 2.45) 
140 412.7] +230] + 0.57) +0.74| -4.06| 1.17] —0.17| 4-1.04|| — +415] +58.9] — 1.10 — 2.83] 40.53] —3.27|—1.04 —1.61 
421| 142.4 —56.5| +0.34| 40.67] 211,39 +0.78| —0.32| — 1.17]| — 59.5. 7 16-8| -- 0-77] + 0.88] 43.48] + 2.46| 1.80] +1.86 
123| 418.2) +13.8| --0.26| 4-0.16|— 0.55 —0.82/1— 0.42 — 1.021] | | | | 
426| +15.6|— 24.8| --0.84| +0.85| 4-1.33| +1.70| +0.12| +0.12|| 21/—38.6| +14.8] +1.43| -F0.69| +1.26 0.40] — | — 
143| +31.0|—33.0| + 0.54| +0.69| +1.04| +0.83| 4-0.38|— 0.73] 34 — 27.0 — 24.0) — 0.03) --1.17] 42.70 +135 — | — 
165| --56.8|— 7.5|— 1.08|—£15| +1 25| -- 1.11|— 0.52| 4-0.12|| 37 — 20-1| 418.5] +1.16| 40.37) +1.73| 0:67] — | — 
166, -I-56.8|— 29.8|.— 1.02 — 0.97| + 0:74| --0.06|— 0.40] — 1.26|| 48|— 17.6,— 34.6] 4.0.32] --1.28|-F2.99.--1.22] — | — 
167 +59.1|— 44.8| — 1.20| — 1.87] + 0.65 +-0.59|— 0.87| — 1.38|| 88| +22.0| 1 29.1|—0.14|—1.48| --1.91|--0.33| — | — 
471| --62.6| — 23.5| — 1.03| — 1.34] +2.74| 4-2.67| — 0.41| 4-1.20|| 93 29.3, — 32.8] — 0.08, +0.38| -F2.45 1.32] — | — 
—|+19,5| --42.6| +1.74| -0.78| — 0.97] — 0.77] --0.67|— 0.43|| 98| + 39.3) --37.2|—0.02 —1.27| 0.76 --0.66| — | — 
103| --38.0,—42.3|— 0.41| 4-0.30| --2.48| +0.85| — | — 
35|— 39.3 | + 24.0] --2.18| --1.77|— 0.19 — 0.60 
43|—34.0|—36.0| --2.51| -2.53| +1.58) +1.73| — | — 
45|— 30.3,—37.7| -2.50| -2.34| 41.281 +449) — | — | 
53|— 24.4| 4-25.3] +1.82| +2.46| --0.44| +016| — | — | 
4145| +37.5| +36.9| +0.27| --0.44| —0.05|--0.04|| — | — 
446| +39.8| + 22.3] — 0.40) 4-0.56|— 0.15| — 0.17 
452| --43.4| —23.2| —0.22| --0.25| --1.64| +1.85| — | — | 
153| +40.7|—32.5|— 0.79) 0.68| +4.24| 44.77] — | — 


N:o 7. 


28 RAGNAR FURUHJELM. 
es; Diff. en x Diff. en y | 2 | Diff. en x Diff. en y | 
Ale V (Unité 0.01 mm|Unité 0.01 mm| 42 | Ay ah f Unité 0.01 mm|Unité 0.01 mm| 4x | Ay 
© jen mm|en mm] p. , | 04— bo bı—aı | ao—b2 | ? jen Bee mm bı—aı | a2—ba | b1—a1 | a2—be 
PT TIE en, 4.45| — 1.25] — 2.12| — 2.89| 40.261 — 2.25 
Région 305. 7] 4- 1. 7—81. 2| + 0.76, +1.21| 42.04 — 0.67] +0.48| — 1.69 
80 + 6.8| 4-36.2| — 0.73| — 4.04| 2-0.81| — 0.71] +1.26| 4-1.03 
E — 1897.98; E'— 1914.03; T — 16.05. 81| + 94 + 9.8] 40.50) +0.96| +1.10| 4-0.34| + 2.26 +0.74 
ki 8s ge 83 + 8. 8 .—13.9 — 0.01| + 0.30] +3.32| -I- 1.49] 2-0.19| 4-0.37 
| Ki Se e petes i l 00660; Fg e F3 -00476; 90! +13.8 — 8.7|— 0.05, --0.09| +0.53) -- 0.01] 41.27) — 0.39 
iji ago: pp 551-10 0502007, 00: 97| +15.7| 4-34.1|— 0.90) — 1.84| — 3.00 — 4.44| --1.15|— 2.74 
k'y = — 144; p'y = + 0.0410; r'y = + 0.0257. 103 +22.2 +61.1|— 2.13 —1.98|— 6.14 — 6.21 +1.53)—4.12 
108| +20.7|— 9.3|—1.59) — 0.42] — 0.34| — 0.87] + 0.57|—1.23 
659.51 —57.4| 4.33] 41.28] + 3.66) 41.43] 0.80] — 0,73][110 +27.9| +49.0|—1.51|— 2.62|— 2.32) — 3.36] 41.46) —1.20 
957.0 —614| 4.98 14.66] +5.20| 41.501 0.08 — 0.49] L14| 25-6 — 8.0|—1.13|— 0.82] — 0.35, — 0.46) 40.87) —0.9% 
16502 450.9 +4.47| 1.35] +4.58| 1-2.69| —0.11| -E0.59]|119| 31-5 — 43-8|— 0.62 —0.71| +2.05| +1.26| 40.481 —0.17 
38|—49:5—19/0] +3,70] 21-1261] — 0:18 | 1:76] 3-0:15| — 2:96] [129 58-5 -I- 0:2|— 4.02 /5-3.75|--0:09 — 0:28|-- 0:89 GES 
62| —17.4| —24.8| --1.93|—0.59| 1-2:26 4 1123] 0121) — 0.69 [130! 54.6] -25.9| —1.67| — 2.65] + 0.16|—0.06] "Hr 2:03] 1.08 
70|—13.4| + 0.2] +4.14 4-3.33| 4-1.62| --1.34| +293 --0.17] | | 
73| — 14.9| — 46.9] +7.14| +4.12| 4-4.37| +2.52| +4.95| 0.00 25, —45.1| +28.7 — 0.06| +0.90| --0.87 —1.47| — — 
102 + 8.4| — 41.4| --0.53| — 1.98| -1-1.39| + 1.24] + 0.09! — 1.98|| 33) —39.4| --26.8| 40.09 --0.08| 40.50 —1.34| — | — 
127| +38.0| --11.0| — 0.91 — 2.52| — 0.12] +1.12] +0.79|— 0.51|| 39 — 27.6 — 37.8] +1.60| 41.54 --3.86| 40) MES 
132| +43.0| — 34.9] — 2.12| — 4.62| + 2.15) +1.90|— 0.31| — 1.10|| 50 — 22.6 — 33.9] +1.66| +1.56 -F2.25| +1.00| — — 
146| --58.3| +16.9| —2.65|— 4.32] —0.36| + 0.19] +0.32 — 0.94 [105 --24.8 --30.9|— 2.72 — 2.35] — 0.65 —1.45 = 
152| --61.9] — 48.4| — 3.15 — 7.84| + 3.35) + 4.59] 1.14] +0.12|j109| + 25.0) —26.2|—1.21 — 1.29) +1.51| +0,84) — | — 
--41.8| — 61.2] — 3.18|— 5.23] + 4.58) + 3.94] 1.10| — 0.071116) + 36.0) 4-28.4|—3.24 — 3.33] + 0.02 —120) — | = 
120) +38.3|—38.5[— 2.37, — 1.89] 41.74) 41.12] — | — 
29| 40.01 — 24.5] +3.50| +1.02| 43.26 +1.01| — | — 
35|—39.7| +28.7| +2.28| +0.62| --1.44,—0.48| — | — 
38|—32.3|—18.3| 43.52] +0.55| +3.26 +1,28] — | — 
49 — 24.5) --19.6| +3.04 +1.96| +0.32 —0.4| — | — P 
110. --45.5| 418.1) — 0.01) —2.09| +0.22| +0.68| — | — Region 307. 
416| 4-22.0| +19.9|— 0.741 — 2.22] +0.40 4-1.23] — | — ; - 
122| 1-26.6|—37.9|—0.14—3.30|--3:15|4-2:25| — | — E 4995.28; EAN Ua 
123| +27.6| —39.7|— 0.76, —3.69| +2.95| +3.39| — | — Ky = + 1.50; px — + 0.0141; rx = + 0.0161; 
x = + 0.27; p'x = + 0.0057; rx = + 0.0192. 
ky = — 1.22; py = — 0.0136; ry = — 0.0058; 
Région 306. k'y = — 0.89; p'y = — 0.0135; ry = + 0.0249. 
E = 4896.21; E/— 1913.18; T = 16.97. 3|— 59.6! --28.4|— 3.85| — 2.20] 4-2.09| -1-0.50| — 2.22| + 0.42 
13|—52.9|— 4.7|—1.16| — 1.48| -+1.77| — 0.18|— 0.99| +0.26 
Kx = + 0.92; px = + 0.0483; rx = + 0.0294; 45 —51.0|—31.3|— 0.46| — 0.20| — 0.01 — 1.99] — 0.50| — 1.14 
k'x = + 0.73; px = + 0.0489; rx = + 0.0255. 28|—43.2| — 36.7| — 1.97 — 1.321 --0:62| — 0:10|— 1.83| +0:11 
ky=— 1.08; py- + 0.0345, ry = — 0.0155; 33|— 38.6| -I-13.8| — 2.55 — 4.23| --0.63| — 0.24] — 1.15, — 0.68 
k'y = + 0.18; p'y = + 0.0413; r^y = — 0.0015. 37|— 37.8| — 46.2] — 1.14| — 0.88| -1-0.78| — 4.22] — 1.31| — 0.29 
60|— 16.0 4-58.9| — 3.56 — 0.90] +1.95| 4- 1.61 — 0.46| +0.08 
2|—63.3| + 5.3] 3-3.14| +1.75] 40.05 — 2.46] 4-0.34| —1.99]| 61] —17.9| +58.0| — 3.70 — 2.00| +2.11| --1.82|— 1.12. 4.0.30 
4| — 64.9| — 34.9] 4-0.39| --0.56| +1.86| — 0.84|— 2.79 —1.79]| 82 — 7.8| 4-61.8|— 2.27| — 0.57| +0.94| 4-1.02] + 0.48] — 0.84 
| 6,—59.4 +42.3| --0.57| +1.20 —1.39 —3.27| 0.00 —1.66|| 91,— 4.0 + 9.1|— 2.83 — 1.26! -- 0.38, -- 0.03|— 1.04 — 0.93 
| 24|— 40.3) +35.7| +0.84| +0.50| + 0.32) — 1.96! 40.51 — 0.28] 95 + 0.51 --37.5|— 3.80. 2.o5| 0.22) — 0.80| — 1.37| — 2.08 
| 27|—43.9 + 4.0|— 0.02, 4-1.63|— 0.09) — 0.52] 0.39 — 0.97||109| 4- 10.9 — 42.5| +1.09| 4-0.68| 4-1.75| +2.00| 41:12} +1.29 
| 341 — 31.8, —12.8| --2.07| +1.41| 4-2.04| —0.13| 40.66 — 0.25||23| + 24.7) --25.1|— 2.45| — 0.65] +0.38 + 0.50| -- 0.02 — 1.19 
| 44|— 25.0 -- 27.2] +1.05| --1.18|— 0.84 — 1.83] -- 1.47 — 0.97]127 +23.3| + 3.0|— 3.08 — 2.02] +-0.74| +0.85|— 1.38, — 0.52 
| 49,— 21.4 — 32,3] — 0.01] —0.02 +117) +0.19)— 1.11 —1.17][130 Le — 9.73 —2.01| 2-2:17| +1.87|—1.63| 41.03 
| 68| + 4.2|--52.2| 0.44)  0.00|— 1.66, — 3.38| 4-2.09| — 0.98||133. + 21.5 — 59.2|— 0.31) 4-0.45| — 1.61, — 1.44| 40.121 — 1.98 
| 69] + 0.9| 4-30.1|— 0.99| — 0.62] — 1.47 — 2.48| + 0.88| — 1.28]|134| +29. al +34.0|— 2.99| —4.51| 4-2.09| +2.76|—0.47| +0.63 


'l'om. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 


Lr y Unité 0 01 mm Unité Ô 1 inm 4x | 4g 2| ® y Unité 0.01 mm Unité 0.01 Tam 4x | 4gy | 
© jenmmienmm| 4, | a, bs | dı-aı | a9—b ? jen mm en MM] y, a, | a — | bı=aı | ay—be | 
| | | | 
140| + 27.6) — 23.6|— 0.82, +-0.65|— 0.12, — 0.26| + 0.66 — 1.19|| 34 — 20.3 — 30.8] +1. E 4-1.43|—0:28|--4.03] — | — 
445| + 32.2, —52.5| — 0.94| --0.09| +0.81| --0.11|— 0.15|— 019] 95| + 24.8) +26.4]— 0.06) +0.701— 0.97 —0.84 — | — 
147 --38.6 --21.3|—1.98 — 1.04| --0.85 --1.85| -- 0.13, —0.36||t03. -- 25.8, +28.3 — 0.161 40.861 0.93] —1.36[| — | — 
148, +35.7 --10.0|— 2.48 — 0.45| 1.00 +0.10|— 0.05 — 1.98||141| + 28.0, — 33.0] + 2.09) + 0.68|— 0.22 — 0.67 
457) 4-43.7| — 0.2|--1.87)—0.04| +0.68| +1.89| + 0.36 — 0.191117) 4-34. 1|— 25.9 +4. 03, 40.23] +1.41/—0.29] — | — 
458| --44.1|— 38.0| — 2.66| — 1.54| — 0.83| — 0.24| — 1.45| — 1.49 
464| +53.1| 4-27.8|— 2.45| —1.05| --0.24| +0.61| 4-0.15| —4.51 
170| 4-57.3| --31.1| — 3.03, — 0.75] + 0.17) + 2.01] 2-0.11| — 0.93 
—|— 36.1|— 17.4| — 0.11) +0.28| + 0.09 — 0.94| + 0.30 — 0.90 
— | 4-40.5| — 54.21 4-0.55| 4-4.11| — 0.39| +0.19| 4-1.16| — 0.81 
| | 
30|—36.1.--18.0| —1.29—0.25|-E1.24 +023 — | — Région 309. 
36|—37.5|— 31.1|— 0:60 +044] 4.41, —0.28] — | — 
46 253) 1-97:4| —1:89|— 0:88] 41,37) -E0:47]| — | — E = 1896.16; E'— 191413; T = 17.97. 
56|— 23.1|—20.0|— 0.39| --0.43| -F0.99| +0.03| — | — 
4221 +21.8| +33.3|— 2.50 —1.28| --4.91| +1.64| — | — ky = — 0.18; px — + 0.0476; rx = + 0.0127; 
131| +-28.3|— 32.8] — 1.06) -F0.09|--0.57 -0.72] — | — ke = + 1.35; p'x = + 0.0439; rx = — 0.0021. 
135| --27.2| --33.7| —1.93,—0.74| +1.46| +2.46] — | — ky — — 411; py = + 0.0521; ry = — 0.0296; 
441| +25.3|— 25.8|— 2.00! --0.15| 4-0.49| --1.32] — | — ky = — 119; p'y = + 0.0478; r'y = — 0.0403. 
8|—56.0| + 9.4| +4.82/— 0.27] +4.40| 2-1.47] — 1.15| — 1.17 
26|— 48.8| +16.6| 2-1.17| — 0.43] +5.34| +2.33|— 1.18] + 0.34 
33|—43.3| + 51.7] +-0.84|— 0.85] + 3.75, — 0.10|— 1.12| + 0.28 
US 49 — 36.4| 4- 51.0] +1.15|— 0.37| +1.59) — 0.99| — 0.42) — 1.04 
Région 308. 48|—39.0|— 9.5| 4-3.21| --0.31| + 2.82| — 0.59] -I-0.51| —3.33 
50|— 31.5| --52.2| — 0.03| — 0.17] -I-2.68| — 0.23] — 0.68| -1-0.14 
E = 1895.21; E’= 1913.19; T = 17.98. 56|—34.1|—40.4| +1.86| 0.00] +4.52| -I-1.60| — 0.12, — 2.65 
61|— 26.1| +16.4| -I-1.13| 2- 0.18] +3.64| -I- 0.54] 4-0.13| — 0.62 
Kx = — 0.98; px — + 0.0098; rx = + 0.0215; 91|— 8.6| +60.4] — 0.42| — 0.84| -I-2.63| -I-0.05| — 0.12| +1.44 
x = — 1.07; p'x — + 0:0159; rx — — 0.0039. 427| + 4.4|— 29.7| 4-0.35| —1.39] +4.13| 4-1.11| —0.03| —1.43) 
ky — + 0.45; py = + 0.0159; ry = + 0.0063; 137| + 6.9) — 29.0] — 3.35| — 4.06] -I-2.67| — 0.21| — 2.96| — 2.59! 
fy = — 0.06; p'y = + 0.0098; r', = — 0.0304. 139| + 5.8|— 51.6| — 4.73| — 4.19| +4.87| --0.64| —2.38| — 2.24) 
440| + 9.5|— 57.4] 4-4.00| — 4.45| +6.98| 4-2.37| +0.49| — 0.47 
44|—48.3|— 46.01 +2.04| +1.211— 0.35| --4.551— 0.42| — 0.38| 444 | -I-14.4| 451.7] +1.85| +1.13| 4-0.84| —3.16| 4-3.01| — 0.69| 
46|— 44.5| +18.8| + 0.94| 4-1.31|— 3.23 | — 4.25| — 0.31| — 2.34]|144| --11.2| — 4.7| +0.37| — 4.35| +0.48| — 2.23] 4-0.59| — 3.18 
40 — 15.6 —61.4| 42.36 +1.01| -- 0.84, --1.94|— 0.08, +0.61 [1188] +36.0 --20.0| — 2.72) — 4.41] 42.66 —0.81|— 1.23. +-0.57 
41|—47.5|— 62.3| 41.15) 4-0.17] 41.12 41.94] — 1.14| 4-0.74||244 | -1- 46.7, 4-19.3| — 0.96| — 3.21] —4.10| — 4.23] + 0.74] — 2.68 
46|—414.3|— 4.4| 4-0.22| 4-0.24|— 3.05| — 4.77] — 0.96 — 2.36||216| --51.7| — 49.1| 4-0.44| — 2.46| 4-2.82| — 0.60| +1.84| — 0.65| 
53|— 9.8|--24.8| — 1.40) --0.59| — 1.46| + 0.42] — 1.34| — 0.13||217| + 58.5) 4-40.2| — 1.66, — 3.77| +-0.92| — 3.43| +0.76| +0.18 
60— 7.5|—58.5| 4-3.08 + 2.02] — 0.56 —0.24| --0.91 — 1.041218 --56.1 +29.5| — 4.91  — 5.86| --1.62 —1.85| — 2.08] -- 0.71. 
69|— 3.7|—13.0| --1.16| +0.95|—1.65| — 0.26|— 0.13 — 0.97|225. + 60.1) — 53.3] — 2.26, — 5.29| 43.70) +0.37|— 0.72 —1. 44| 
80|4- 9.0] 2-14.1| —1.63|— 0.98| —1.63,— 0.83| — 2.14 | — 0.78|| — | —11.2| --18.4| +3.72| +3.00| +3.32| +0.86| +3.53| 40.00] 
83|+ 6.0|— 43.8] 42.16 +1.66| 4-4.79| +1.90| 40.58) 4-4.54]| | | | UOTE 
90| +16.7) +51.8|— 0.83| 2-0.49| -0.01,—0.08|—0.52/ --4.02]| | | | | 
407| +28.4| + 2.8| --0.60| 4-0.80|— 1.77|— 1.36| 40.06 — 0.99] 35 __31.3| 36.3 --3.06| --0.06| 4-6.99| +415 — zur 
128| +49.3|— 19.2] 4-0.78|— 0.13] — 0.38| —1.97|— 0.24|—0.63|| 59 _25.7| +39.8| 4.0.67) — 0.091 3.05! +0,34] — Mm 
130 +53.0| + 53.3) — 1.30) — 0.141 — 1.96, — 3.16| — 0.58| —1.04|| 60 — 25.1) + 34.4] + 0.47) —0.60| +-2.74| +0.69| — — | 
135] +63.1| +27.9|—0.63|— 0.39|— 0.04| — 1.75|— 0.48) +0.41|| 67 —29.7|—32.5| +1.77| +0.13| +6.73| +3.64] — | — 
| | 166! 90.0) 23h ODA AMI eng — | — 
19|— 36.4) + 928.8] + 0.87 Ww 0.73| +0.89 | 168| 4-27.6| --41.5| —1.27| —2.55| --1.30,|—4.86| — | — 
25|— 31.3| — 30.9] +1.38| --4.30|— 0.41 | 4-4.02]| — | — 11480) +33.2| — 35.71.25 —3.09| 45.201 41.79) — | — 
29 —26.3| +22.0 alle — | — [hs6| +37.6| +35.5|— 1.76 —2.49| +1.03|—2.47| — | — 


N:o 


(Le 


30 RAGNAR FURUHJELM. 
| 2 | T y Unité à 01 mm Unité à. 01 mm Ax 4y 2 | CAP N) Unité à i mm Unité 0 En mm Zam Ay 
© jen mm, en MM] bas | aa—ba | bi—a1 | aa—ba | i jen mm en MM] by—ar | az—ba | bı-ar | da—ba 
be 12| — 53.6| — 24:9] 2-3.42|.— 0.44 +1.94| 40.05 —1.57|— 1.06 
Région 310. 45|.—47.9| 4-174] 4-5.36 EE -- 0.74] +1,04] +156 
4 - n ; il 41|— 29.7| — 34.7] 4- 3.41 1.141 4-3.38| + 0.96) — 0.31|— 0.95 
E = 1895.30; E'— 1913.27: 414297; 49| —24.8| —25.9| 42.19) — 1.89] +4 har 31|--1.10 40.63 
kx = + 0.28; px — + 0.0354; rx = — 0.0281; 55|—15.9|— 38.8| + 3.49) —1. : +5: » 7-2.41| +0.33| 4-0.25 
k'x = + 4.68; px = + 0.0332; rx = + 0.0013. 56|— 18.9 — 50.0] --3.03|— 1.34] + 4.13! 4-2.04| + 0.16 — 4.09 
ky — + 0:54; py — + 0.0250; ry — + 0.0227; 69/— 4.1) +40.9| --0.94|— 0.34|— 1. 35 2.58] — 0.54 — 0.79 
k'y = — 0.62; p'y = + 0.0269; r^ = — 0.0009. 71|— 4.2 —32.5| +1.53|—1.97| +3.38| 4-1.33| — 0.10) — 0.96 
81| + 3. 4|— 99.3| + 0.78|— 2.85 +3. 47 4-0.91|— 0.71|— 0.99 
6|—55.0| — 6.8| +2.00| -I- 0.44] — 1.87| -- 0.20] 2-0.40| — 0.45]|104 +20. 2 — 16.5 2-1.93|— 1.34] +2. 91, + 0.90] +1.43| — 0.69 
9| 55.6! 23.9] — 0.54| — 0.72] - 2.22 — 0.20 1.17) —1.391M09| + 25.5| — 27.1] — 0.73| — 4.88] 43. PE —+1.241— 1.26|— 0.99 
13, — 53.6, — 41.0] — 0.80, — 1.52 2.93, — 0.79 1.47| 2.38]417| 2- 37.8| -I- 54.9] — 1. 39, 2.81 4; 64 3.19|— 0.76, — 0.88 
| 20|—49.6| — 22.8] + 0.49) — 0.65 0.09! +1.70 — 0.50) 3-0.72]4 27! -- 44.7, — 56.0] — 0.54|— 5,16! +5.31| +2,86] +0.12/—1.21 
21|—47.6|—49.3 +1.00 +0.92 +0.46| —+2.19 + 0.97] + 0.52 128, --48.1| 4- 48.0] 4-3.38| 42.451 +1. 10 — 1.80 Le 90! +0.64 
23|— 44.2| +18.7| 40.57 0.31 2.57| — 0.26 0.66| 0.491133 +541| 59.7] — 2.58| — 3.66 0.59 2.61] — 0.92, + 0.03 
24 40.7 25.1 0.19| — 0.77 2.78| — 0.49| — 0.55 — 1.89||135| +50. 4| — 43.0] + 0.08|— 4.20] +4. gl +2.25| 4-1.04|— 1.04 
43| — 31.4| + 39.4] — 0.45| — 2.77 — 0.48, +117 — 9:98| +1.67|| — | +49.4| +32. + 743] 1.49] — 4:27] +1.901 —( 74|— 1. 49|— 4. 27| +1. 90. — 0.39]: 99| — 0.77, — 0.97 
47 — 33.8 + 1.8 0.05, 0.84| — 4.57| — 2.24 0.65|- 3.02 | FT TRE TS URI il 
92 — 27.2 +37.31 +2.09| +0.25 —3.09,— 0.75 + 0.72) — 0.69]! 99 —35.4| +30.3]| + 3.24! +4.53]— 0. 58 —1. 94] == E 
55) — 28.3) —10.3| 4.0.66 — 0.571 — 2.17 +-0.09] +019) —1.04|| 31 33.2) 20.0] +4.32| 40.07) +3.35| +247 — | — 
59, — 23.0, + 8.3] --0.10| — 1.30] — 2.22, — 0.05| — 0.51, — 0.71 37|— 25.6 +27.4| +2.56| 4-0.99| — 0. 45 N + 
69 —10.7| +60.5| +41.08| — 1.96] — 0.79 40.36] — 0.64 +1.43]| 40 127.01 26.4] +3.30|—0.93[+3.75| 41.32| — | — 
| 71| — 10.9) 4- 22.6 1202 3.14 2:15| — 0.05 2.03 — 0.43|| 941 4-19.2/ — 24.71 +0. 55, — 3,96] --4.60| 3-2:34|. — -— 
| 721 —14.7| + 6.5) — 0.50) — 4.24 |— 1.74) 40.201 — 0.48] — 0.48ll403] +94 9| 126.410. 03) —1.61| +1. 08 —0. T6l = — 
82 8.4 — 59.21] — 2.47) — 2.13) —0.51| +1.12) — 0.82 — 1.18||4 06| +95. 6| --29.0]— 0. 06/21. . 0 = 
84|— 1.9 —33.8] —0.17| 4-0.31| 41.04) 41.71] +1.44| + 0.47 408] 127.9 — 923.5] 0. 11|— 3.20] +3.46| +1.13| — = 
106| +17.2| — 24.8| — 0.53| — 1.10] +1.78| + 2.75] +1.09| +1.39 
144| 4-35.6| — 21.7| — 2.45, — 3.15] +1.24| +1.25] — 0.31! 4- 0.25 
153 --41.2| + 6.9 1.05| — 2.55| — 1.37| — 0.39 +0.50|—1.19 
1163] 4-47.7| --16.6|—1.58| — 3.20] +-0.22/+0.23| 0.00) +0.10 Région 312. 
44| —31.6 --28.1| 4-1.34 —0.96|—2.00 —0.18| - E = 1895.92; E'— 1913.18; T = 17.96. 
1.48, — 31.7, —28.4| 40.53) — 0.11| — 0.42| 41.47) — — 
53|— 29.5| --35.1] --1.52| — 0.70| — 2.17| — 0.09 | ER A Al ges QU 
| 62|—20.4|—31.0|—0.40.—1.22|—0.21 +128] — | — 5- vim ur. RE: H ur Pii NOCH 
1113| 424.01 --26.2]| —0.09—2.44|--0.06|--0.02] — | — NR vhi e" Py Per dh mers 
123, 4-29.2| --29.5| —0.27| — 2.53| —1.18| — 0.46 | Du Ty pres 
We Axe sara] [e ra TNNT n. 
Ro ier EE EP E ies | — | 31-6281 326] +0.67/— 0.10] 4-0:48| — 2.90] —2:141— 0-30 
| | eue i ! 12|— 46.0! 4-16.8| +1.97| 4-1.92| — 1.88| — 4.69] 4-0.12| — 1.46 
20|— 44.3| — 48.6|— 0.80| — 1.16] + 0.101 — 3.17] — 2:94| —14.13 
ri 25|—35.9— 7.9] 4-1.30| +1.46] +116 — 1.331— 0.23| +1.09 
Région 3ll. 25|—32.5| +44.6| +1.24| 4-1.02| — 0.53|— 3.50] —0.24| +0.25 
| FAT 08 Et Hong m CM CIS 39|— 23.6) --18.4|— 7.32, — 6.98| — 9.88/-11.99| — 8.35| — 9.33 
| i P acd is d iex ríe "Ie 43|— 24.9 — 57.1| 4- 0.71 | 4- 1.30] -I-0.08| — 3.07] — 0.44| — 1.48 
| kx — — 4.57; px — + 0.0599; rx — + 0.0105; 4A4| —49.3| 2-60.7] — 0.03| — 0.44|— 4.69| — 4.91| — 4.20 — 0:83 
| ky — — 2.20; Py = + 0.0692; r, — + 0.0163; 95 — 3.4 4- 23.41 4- 0. 32) —+1.241— 1.58) — 2.89] 4 0.10, — 0.71 
| ky = — 0.52; p'y = + 0.0524; rj = + 0.0074. 60) — d 1|--20.8 --0.41| 4-1.25| — 0.73| — 2.15| + 0.18) 4- 0.01 
67| + 0.4,— 7.01 4-0.84| 4- 0.87] — 1.42 — 2.78] 4-0.25| — 1.30 
3|—01:5| 250916] 53 82| +3.31] +0. 59|+0.10 +0.94|— 0.12] 71| + 8.4 + 43.6] 40.07 41.26] — 2.45 — 4.34) 40.42 —1.59 
5, — 57.0) +48.1| 4-3. 58) + 2.65| —1. zh — 1.961 — 0. 75) + 0.281 72) + 9.9) 4-29.5|— 0.21| +0.521— 3.58 — 4.35|— 0.08, — 2.49 
| 10|— 58. 6|— 50. 2| --3 39|—4. 73| +3. 66, +2. 27] —2. 06, — 0. 75|| 79| --40.1|— 32.6| — 0.19| 24- 0.84] +0.93/ — 0.62] — 0.08) +0.30 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 31 
| 3 P | 1 : E 
2| ov | y Unité 0.01 mm Unité 0.01 mm AT | AY Zz | c | y Unité 0.01 mm Unité 6.01 id IE Ay 
o jenmmenmmi 6; |:ag—ós | 61—a1 |i ag ba | 9 |[enmm enmm| v, lagda Meier | aba 
80 46.3] +31.3|—1.04|— 0.36| —3.38| — 4.23] — 0.75| — 2.36||166| + 62.8 — 44.8] 4-0.82| +0.71|— 3.05 — 6.44 —159 -2.32| 
81| +15.8| 4-30.2|— 0.23| — 0.06|— 3.28| —4.39|— 0.22| — 2.41|| — | +23.5| + 47.2] — 0.62] — 1.28| — 0.71, — 3.20] 4-0.14| +1.70 
87|-1-23.7| — -8.5|— 0:77|—1.32|— 1.67 — 2.23|— 1.00| — 1.43 ESSE UR EET 
89| 4-23.5| — 43.9| 41.02] --1.75|— 0.15| — 1.23) 41.32, — 0.93|| 35/— 29.0) --32.7| --0.28| 4-0.43| — 2.46|—3.31 
93| 4-32.0| +13.3]— 0.94 — 0.93|— 0.97, — 1.16|— 0.60, — 0.17]| 40|—29.3| —18.7| --2.50|--3.48|—0.78,—2.34] — | — 
97| +39.8| --22.0| — 1.64| — 0.76| — 1.20|—1.67|— 0.62 — 0.44) 44|/— og 51 30.91 +345 -- 4.54] 410-244 — m 
101, 4-42.7 — 6.2]—3.05|— 2.09| 40.44) +0.78|— 1.99) 3-0.96|| 48—93.5| -- 27.7] +0.11| 2- 0.85 — 0.86! 939 — | — 
107| 4-45.9| — 40.4| 40.21) — 0.77] — 0.10) 40.021 +0.29| — 0.4513) 417.7 — 30.5| + 2.25| +2.751— 0.07. --2.47]| — ut. 
109! 4-53.7|— 60.5| —1.91|— 2.02] +1.98| +2.26| 1.24 +18] 19) 124,8 4 27.5] — 0.03 —010|—2.23 3.89] — | "1 
440! 4-55.7| + 59.5] — 0.84| — 1.511 — 0.28| — 1.01|— 0.06! +0.96|1124| 1.95.2 + 48.5] + 0.28 +0.49|— 2.86 — 4.88 
111| 4-55.2| 4-45.5| —1.87| — 2.41| — 2.16 | — 2.21|— 1.07) — 0.87||t26| -98.9| —32.6| + 2.08| + 2.14 1.09, — 3.29 
415| +59.8| —30.2|— 2.35|—1.27| 4-0.08| 4-0.57|—0.83,— 0.02] 
116| +60.6| 4-27.7| — 0.61| — 0.74| — 2.33| — 2.49| -I-0.48| — 1.53 
— |— 42.0| 4-17.5| —0.27| --0.11| — 7.32; — 9.50| — 1.79] — 6.61 Région 3M. 
31|— 28.8| +23.9| +1.23| +1.62| — 0.34| — 2.57 E — 1895.26; E'— 1910.29; T — 15.03. 
33|— 27.2) —31.6| 2-1.44| 44.72) + 0.64 1.89 — | — - vet 
35| —95.4| —36.6| +0.80 +4.60] -0.38|—1.80| — | — Rss 0865 NES ae s Mr em 0:01025 
38| —21.2| +24.0| --0.69| +1.46| —0.75| — 2.77 FSU pcc rio ed dao a e i. 02353- 
88| --24.4| —15.5| —0.25| —0.16| +0.14 — 0.84 — | — E = + 243; Bis DS h peer 0.0282; 
92| +33.9| --14.4| —0.61|—0.70| — 0.78 —1.07 urget Bb Dues vi 10019; Py ve SE 0-0222- 
ZR du 922- DO 00 UR) 4|— 56.1] --28.0] +1.90| — 3.13] —1.16|— 2:67] — 0.78| -- 0.05 
ELI 097 1-020] 0:2] 02941 521. 2x 140) —51.8|--904/- 2.54 2.44) 9,591 2.99) 0.03] 0.91 
32 — 34.6 4-43.6| -1-4.07 — 0.76| — 1.43, — 1.22] +1.80 4-0.70 
40| — 29.4| -I-32.9| 4-0.88| —3.30|— 2.22) — 1.06| — 1.08 +0.39 
62, — 15.2) — 54.2| 4- 1.04 — 0.33 — 4.13| — 2.43| 4-0.05| —1.22 
Région 313. 69, — 10.5 + 3.9] +2.04| — 1.13|— 2.53 — 0.87] 40.57 +0.38 
82|— 8.6|— 44.51 4-0.34| —1.52]— 2.43 —0.01[—0.79| +0.85| 
E — 4895.29; E'— 1913.26: T = 17.96. 85 — 1.6 --29.4| 40.98| — 3.29 3.01, 0.30|—0.78| +0.46 
901— 4.7| 416.7] 42.09 — 0.96|— 2.80 — 0.49] 40.82) --0.46 
ky — — 1.97; px — + 0.0127; rx — + 0.0421; 109| + 9.3) 4-16.0] 41.87) —1.28|— 3.63, — 0.62] +0.68| + 0.02 
K'x — — 1.69; px = + 0.0240; r^; = + 0.0485. 1413| +10.4| 4-32.7| +2.91| —14.21 — 3.50 —0.65 +1.35| +0.08 
ky= + 1.53; py = + 0.0228; ry = — 0.0096; 124 --19.3| +16.9]— 0.10 — 3.36| — 5.26 — 2.06| — 1.24| — 1.48 
ky — + 3:42; p'y — + 0.0186; r^ = — 0.0245. 130) +21.9| +23.6| 4-0.71| — 3.05|— 4.71|—4.20|— 0:61|— 0.77, 
136| 4-23.9| — 41.9] — 0.82) — 2.68| 3.74| — 0.44| — 1 60| -I- 0.08 
2|—58.3| +25.9] + 2.43] + 2.23] — 0.59] — 0.92] 4-0.95| 4-1.06||142. -- 27.3. +18.6| 2-1.30, — 2.57] — 4.74 — 0.55 gl 0.44. 
101— 46.4! — 61.7 +5,99 4-5.38|—1.81|— 3.38 0.17| — 2.39]|148| +28.3|— 55.8] 4- 2.04, — 0.45| — 4.21| — 0.09| +0.89) +0.02 
19|—42.4|— 8.3| 4-5.40| 45.28 —3.45|— 3.75| 2- 2.701 — 2.071|154| 4-34.3, — 32.2 0.50, 2.401— 5.73] — 1.761 1.14 — 1.53 
13) — 39.0| +34.7| 41.40, 41.39] —0.93| —1.30| 4-0.76| +1.21 167 +42.3) +15.3| +0.43| 3.16] 7.20) —2.17|—0.67 — 2.44 
44|— 20.6| +37.5| +0.60| +0.82|— 2.82) — 3.921 4-0.55| — 0.66][176| +46.4] —13.0|— 0.08 — 2.56|— 5.79] — 0.59] — 0.77 — 0.93 
50 — 21.3 —-40.3| 4-1.87| +2.89|— 1.22] —2.51|— 4.31, — 0.78]|180| 452.9) — 7.3| +0.25| — 3.07|— 3.81) +0.97|—0.76| +0.85 
81|—40.5|— 44.2] +2.88| --4.45| 4.151 —5.55| --0.13| — 3.611186, + 60.2] + 8.7] 40.67) — 2.74[ 5.31 4-0.62|— 0.21 — 0.04 
99|— 4.0/— 34.2] 41.02) 4-2.13| — 0.94|— 2.74| 1.33) — 0.22]| — | + 50.5] — 26.5] + 0.661 — 2.63] —6.46| — 0.08 0.49 —1.01 
95| + 1.61 — 20.4] + 2.03) 4-2.85|— 2.14| — 4.15] +0.06| — 1.26 | 
104| +12.3| + 2.7| 4-0.09| +1.45|—2.36| —4.32|— 0.51| — 0.80|| 41|— 26.6| +26.4| +1.16 — 2.70|— 2.98| — 2.07 
106| --12.0|— 56.8] --0.24| 4-0.69| — 2.16 | — 4.81| —3.36| — 2.18|| 43| — 25.1| —19.7| 4-1.46| — 0.75| — 2.09 — 0.60 
121| --20.9| --11.0| +0.32| 2-0.51|— 1.96| — 3.18| — 0.18| +0.28]| 44 — 26.9 — 31.4| 41.32) — 0.40| — 3.31 —1.83 
430| --31.4| --39.1|— 1.22 — 1.52] — 4.16| — 5.74| —0.50|— 1.33|| 49 —23.5| --34.5| 4-1.99|— 1.81|— 2.39) —1.04 
449| +54.8 — 0.9|— 0.39|— 0.82] — 1.25| — 3.58| — 1.11| 2-0.77||131| +20.1| 4-24.8| 41.72] — 2.04| — 3.70] — 0.15 | 
152) -I-51.6|— 60.9] +41.20) +1.92| —1.65| — 4.15| —1.72—1.00]M32| +21.2| --16.5| J-1.28| — 2.31| —4.22.—0.38| — "| 
157) 2-56.1| — 5.4] 10.08) +019] — 1.54| —3.89|— 0.56 2- 0.40] 44| + 27.3, — 22.41 4-0.66| — 1.46| — 4.30 — 0.75 | 
164| +62.3| + 0.7| —0.11|— 0.79|— 0.52) — 3.69|— 0.75) 4-1.25||146| + 29.0| —33.9| +0.47)—1.52[—4.21,+0.23| — | — 


c 


üt 


32 RAGNAR FURUHJELM. 
| | £ y Unité 0 01 mm Unité à 01 mm Az | Ay 2 | 2 y nal sn allel = 9 légal ue | vol 01 mm Unité i. 01 zs Ac | 4y 
(SE Sonne En BA | az—ba | bı—aı | a2—b2 i onam en mm] pa, | ag—ba | bi—01 MR ce me at ee] te EN Ir a 2 
RTE MC 3T PUE | 
9 56.5 953.4 0.43 1.70 0.25 2.17|—1.51| — 0.49 
Région 315. 18|— 45. S + 3.6| 4-0.67, — 1.90| — 2. 66 3.97|— 2.94| — 2.30 
41| — 37.3, —19.8| 4-2.18| — 0.22| — 2.40! — 3.40|— 0.62) — 2.34 
E — 4895.21; E'— 1913.18; T — 17.97. 82| — 19.5] — 7.71 +2. 95) + 0.75] + 0.08) — 1.65] -I- 0.09, — 0.48 
99, — 6.0 — 1.1 4-2.34| — 0.82 — 0.42] —4. 70| —1.04| — 0.96 
Kx = + 0.32; px = + 0.0081; rx = + 0.0073; 102 — 1.9) 4-58.9| 4-4.38| -- 0.83] + 0.68| — 0.48|— 0.78] + 0.42 
ky = — 0.34; p'x = + 0.0185; = — 0.0135. 103|— 0.7 +94.4| +4.71| 4-1.48| — 0.29, — 1.56| — 0.16] — 0.64 
ky = + 0.43; py= + 0.0242; ra — — 0.0094; 110 — 2.4—47.3| --1.57| — 0.70| —4.85|— 3.50| — 0.87] — 2.72 
ky = — 1.75; p'y = + 0.0359; r'y = + 0.0186. 119) + 3.3|— 2,6] + 2.37] — 0.361 — 0.20 —1.76|— 0:65| —1:05 
122 + 4.6, — 41.41 4- 0.96, — 1.41| + 0.57, — 0.61|— 0.81) — 0.30 
4| — 57.6| —418.8| --4.03| 4-0.95|— 0. 46 —0. 13 i4 26|—1.25|123 + 0.54|— 47.7| 4-0.71| — 0.78] 4-1.33| — 0.76| — 0.49| + 0.04 
| .9|—941.7| 4-93.5| +1.22| +1.63 0.79 — 9.44 1-0.56,— 0.28||426| + 6.6) +58.6| 4-3.82| — 0.19| 4-1.52| --0.62| — 1.48| +1.24 
| 41,—42.3| +27.8 --0.94| +1.04]— 0.07| +0. 58 +0. 33 4-0.62||131| + 5.4| +14.8| +2.72 —1.08|— 1.75| — 2.84|— 1.29] — 2.31 
23|— 28.3) +51.7 — 0.64) +0.62|- 1.95 1.29] — 0.54 — 0.591133, + 5.31 — 23.9] + 3.16) + 0.10] — 0.55| — 0.85] + 0.55| — 0.91 
25 — 29.1) 4-16.3| +1.26| 4- 2.37] — 1.62| — 0.50] +1. a 447! 4-17.6| —15.4]| + 2.64| — 0.29] + 0.74| — 1.46| + 0.00) — 0.74 
34 —15.7| +16.7| 4-0.91| +2.39]— 1.27, +0.81| 41.37) — 0.32|448| +17.3| — 26.1] + 0.85) —1.43| +1.00| — 0.22| — 1.17, — 0.03 
37|—15.5 5.3|— 0.40| 4-0.36| — 1. 37 1.14|— 0. 22 — 0.861159, +25.5| +22.5| 4- 4.62| 4-0.80| + 0.51) — 0.57] 4-0.58| — 0.36 
46| 11.5, — 53.2|— 0.34| — 0.63 40.04] +2.74|—0. 48|—0. 82 167 +31.1/— 58.8] + 0.41) —1.06| + 0.85 — 2.141] — 0.17, — 1.46 
A 9.3| +53.7 0.22) —+1.941— 1.26) — 0.19] + 0.56, +4 0.27 178) +42.8| +51.8| + 2.14] — 2.31| + 0.36| —1.43| — 2.83| — 1.02 
51|— 6.7 —+19.4| + 0.01! 4- 1.43] — 1.95) + 0.92] +0. 56|—0. 56 180! —+44.7| 4-21.7| +4.08| +0.61] + 0.12 — 1.37] +0.43| — 1.29 
57|— 5.3|—-12.4| +6.79| 47.74] +0.22| --2.75| +-7.21| -- 0.47 195 46.5, 4-31.3| 4-3.45| + 0.13] — 0.29, — 2.28] — 0.36, — 1.94 
73|+ 0.8|— 0.81 --0.07| 4-1.23|— 1. 38| +1.86| +0. 65, — 0.44]1204| +52.9| + 1.6] +4.65| +0.94] 4-1.24| — 0.43] +1,52 — 0.51 
79|+ 7.3| 2- 29.4] — 1.08, 4-0.11|— 1. 22 -F1.11 — 0.49 7-0.13[[208| + 56.3| +20.0[ 4-1.05, — 2.47| — 3.19, — 5.05| — 2.45| — 5.00 
95| --19.5| 4- 39.0| — 1.46 — 0.14 2.43| — 0.49 0.67! 1.04 209) 4-57.5 + 8.61 +4.78| 4- 1.23] 4- 1.15| — 1.24] +1.58| — 1.00 
105, 4-23.8| 4-27.6| — 0.45| + 0.68 —1.53 +0.94 + 0.83, — 0.23 210 "ps 3,— 2.7| 4- 4.22| 4-0.71| 4- 1.65, — 0.32] +1.35| — 0.36 
107) +24.8| + 8.7| --0 66| +1.81|—1.11| +2.74| +1.52 40.30 H17.4| +54.4| +4.36| +0.10| + 0.63, — 0.431 — 0.841 +0.07 
108| +23.0|— 0.3|— 0.89, — 0.37|- 2.43. —+2.011— 0.33, — 0.98]] — +2 0 —+13.9| +5.00) 4-1.04|— 1.33) — 2.97] +1.09| — 2.46 
125, +35.2| + 36.6 2.19 - 0.81 3.00 0.18) — 1.15, — 1.31 F 24. Ehre uersu SIE a 2| +3. 22 +0.29] 4-0.74|— 0.62] — 0.15| — 0.31 
141| 4-58.5| 4-48.8|— 2.94 — 1.72] — 1.53) 4-4.83| — 1.71, 4-0.68 SNS RE | | 
147| +62.4 2:2 0.99 1.45 3.01| 4-1.35 — 0.39) —1.84 35|— 39.4| +29.8| 44.69) +417 0.35) 0.60 
--|-F21.3 +37.1 +0.15) +148] — 0.77 +1.42] + 0.97, +0.68 51|— 30.3 — 30.6] + 2.24) + 0.31 +0.38 —1.22 er ed 
| | $52 — 28.3 -- 27.6] +4.18| 4- 1.52] — 0.45| — 1.30 
45|—35.3| 4-20.7| +0.21| 4-1.26| —0.92| —0.16 66 — 24.2] — 34.5] --2.00| +0.24| +0.30/—0.95) — | — 
22 — 31.01 — 24.3] +0.42 +0.09|+0.85| +219) — | — |158| +26.4| +30.7| --3.92| 40.53] 41.59) +0.09| — -- 
| 29|—22.9—25.4| +0.03| +0.68|+0.34 --2.56| — | —  |Me1|--25.7| —20.8| +2.55|—0.32| --243 +037] — | — 
42 13.9 1-20.7|— 1.03, +1.15]— 0.83| +-0.78 162| --29.4| — 33.5 --1.69|— 0.94 --0.91,—0.75| — = 
111; 425.9] +27.61— 0.58| +0.43|—1.26| +1.43]| — — 169| 4-38.7| +27.4| 4-3.79| +0.68] 4-0.95|—1.17|]. — — 
1413| 4 28.6, 19.0) — 0.50, — 0.40 0.81. --2.8004 — — 
114, 4-28.0| — 29.5|— 0.52) — 0.37| +0.24| --3.04|] — — 
117) +31.4| -32.2| — 0.67| — 0.24 —4.24| +1.46| — — Région 317. 
7E — 4895:80:0E7— 41913127: IE 
Région 316. ky = — 2.90; px — + 0.0291; rx — + 0.0348; 
t mL E x = — 0.02; p'x = -L- 0.0329; rx = + 0.0176. 
E — 1902.08; E'— 1922.21; T — 20.12. ERA FR c dono RR oA 
Ky = — 3.43; px = + 0.0059; rx = — 0.0350; ky = — 0.62; p'y = + 0.0105; r^, = — 0.0297. 
ky = — 0.40; p'x = + 0.0143; rx = — 0.0196. 
ky — — 0.69; py — + 0.0082; ry — + 0.0238; 2|— 63.8) 416.2] --3.01| 41.31] 42.04 --2.36| — 0.85] +0,34 
k^y = + 0.69; p'y — + 0.0017; r'y = + 0.0109. an — 48.8] +4. ze .25| + 2.51) 4- 2.99| — 0.96, +0.40 
ai à 4-418.3| 4-0.45, — 1.70] +1.91) +2.25|— 2.57| + 0.52. 
4|—55.^| +401] 4-5.46| + 2.15] — 1.81| — 2.79] 4-0.38| — 1.14 — 27. 4| + 4.4] 4-4.42| 4- 2.56| +2. 30! +1.86! 41.30) +0.41 
5|—581) A --0.55|— 1.25 —4.37|—1.32|— 0.16 MET +3.81| 40.40] --0.44| — 0.08] — 0.68 —1.76 


Tom. L. 


à aset o P: 


Body uam osa IPRC c E e rn — 


- TW 2 Ra 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 33 
z c y Unité à Er mm Unité Ö 01 mm AT | zy Zz v y Unité Ô 01 Es rn 01 Eun) da dy | 
9 pnmm,|enrum|.s..c,. | abs | Oro | a te | ? jenmmjenmm| p. an | as—ps lör a oa Da | | 
| | | | | 
44|.— 20.7! +27.8] +2.32| — 0.71 0.17 hal 0.56 —1.75|[415, 30.1! + 47.4 + 0.04) — 0.70 --1.84| — 1.85] -+1.00| 40.55] 
68, — 8.3| -- 46.8] +-0.52/—1.65] +1.32 — 0.22] — 4.05, — 0.481118! +31.1| + 2.7] — 0.89, — 1.28] -+1.14| — 1.95] — 0.53| — 0.80 
74|— 41.8| 4-52.5| — 0.03| — 1.53] -- 1.31, — 0.18 — 0.92| —0.34||419| +31.3| — 26.8] + 0.58! — 0.14] -I-1.81|— 1.90] -I-0.25, — 1.08 
76|— 2.3|— 61.2] 4-4.88| +0.54| +3.68 +1.55[— 0.43  --0.42||20| --30.2| — 26.6| — 1.70 — 2.18| — 0.48| — 3.74| — 1.92) — 3.16| 
87|4- 5.2|— 59.7| 4- 4.72! 4-0.21| 4-4.21| -- 1.62| — 0.40| + 0.80 135, +48.7| --22.3 --0.07|— 0.60 + 0.12, — 2.59 --0.98| — 0.82| 
90| 4-14.5| 4- 41.4| — 0.29| — 2.28| — 3.07, — 5.62,- "m - 5.94||440| -1- 49.2: —48.9|— 2.24 | — 2.66 — (0.09! — 3.61 2.46 — 2.99 
101| 4-18.2| — 31.0] +5.83| +1.661— 4.41 — 7.09] + 2.03, — 7.42 141 -F54.5| + 27.83) — 1.13] — 1.93] — 0.44| — 3.731 — 0.07, — 1.42) 
104| +19.5/— 49.1 +5,42 41.35] — 4.10) — 7.01] -+1.24 — 7.42 144) +54 0 — 40.21 + 0.051 — 1.35 --0.76| — 2.44 — 0.41) —1.68| 
118| 4- 31.0, + 0.31 +0.99| — 2.12| — 0.60 — 2.89 1.05| 2.96 146) +59.2 2 -F36.4|— 0.33|— 1.54 +1.04| — 2.52 + 0.77] +- 0.21 
121|+36.5| + 20.3 — 0.47| —1.99 7-0.67, — 1.38|— 0.87, — 1.30 149 +59. 4| — 49. 1|— 7. 10 — 6. 42| --1.07, — 2.88 — 6.58, — 1.82 
122 +36.4| + 20.2] — 0.08| — 2.361 + 1.03] — 1.64 — 1.02) — 1.24 151) +63.4| +17.0)— 0.72 |—1. 08| 4-1.86,— 1.05] + 0.54) 4- 1.01 
130| +40.6 — 9.8 +9.65| 6.501 — 6.55,— 10.05 + 7.62, — 9.54 | | | 
—|— 2.9) +33.7] +2.36| + 0.91] +1.50| + 0.51] + 0.96| — 0.13 37|— 25.8| +30.5 — 0.63 — 0.84 --2.93|— 1.29 = 
— |— 32.9] — 12.7] +5.34| +1.77| 4-2.33| 4- 2.15] +0.74| -I-0.32]| 39| — 25.7) — 24.3 +-1.30| +1.72] +3.54| + 0.45 | 
— | +35.0] 523.7] 4-0.67| — 2.73| 4-2.23|— 0.78|— 0.77, — 0.19]| 42] — 21.4| 4-42.6|— 0.56, -I-0.17] 4-3.29| — 1.05 
B | | | 5216: ml +4.47| 4-0.98| 2-4.05| --0.13]. — 
27|—34.4| +30.3] 4-3.09| 4-0.76| +1.79| 41.32] — -- 112| +25.2| — 22.0] -I-0.29| — 0.13 -1-2.99|— 0.26 
31|— 31.9, — 32.4] 4-5.58| --1.64| 4-2.39, +2.10| — | — 116| +33.4| + 35.5] — 0.89| — 0.85] -I-1.04| — 1.87 
36|—26.0| --26.3| +2.07| --0.18| +1.51| +1.49] — | — 117, --31.1| 26.0 — 0.54| — 0.57] -1-0.98| — 1.66 - 
50|—23.0.—28.3| 3-4.34| --1.35| 42.35 +4.34] — | — |[j121) +33.2|— 34.5| — 0.71|— 0.80] 4-2.94| — 0.46 
103| -I-19.9, — 38.0] --3.41| +0.06| +2.52| +0.01| — -— 
113, +25.5| +38.7| 4- 0.98, — 1.57| + 2.10, — 0.53 
114| +27.7| +31.0| 4-1.25|—1.29| +2.39)— 0.62] = | — 
117| +25.4|— 39.0] +3.33|— 0.25] +3.68|+0.76| — | - | 
Région 319. | 
E = 1897.98; E'— 1914.03; T = 16.05. | 
Fi ky = — 2.07; px = + 0.0463; rx = — 0.0047; | 
Région 318. k'y = + 1.12; px = + 0.0592; rx = + 0.0203. | 
E = 1895.23; E'— 1913.19; T = 17.97. a Mo EDO Na OA 
k'y = — 1.11; p'y = + 0.0536; r^, = + 0.0046. 
kx = — 0.10; px = + 0.0475; rx = + 0.0201; ' 
= — 0.10; px = + 0.0216; rx = + 0.0156. 8| 99.5 — 40.01 +6.34 --4.28| +5.35| +2.50 71.39 — 0.58 
ky — — 2.90; py = + 0.0214; ry = — 0.0290; HRS — 60.3] +5.29| -- 4.44| -I- 7.36| 4-3.60| --1.15| — 0.04 
^j — -k 0.65; py= + 0.0225; r^y = — 0.0141. 13 — 47.4| +45.6| 43.72 — 0.49| 4-1.72|—1.35|—1.00, +0.16 
16|— 45.3) — 30.2] +4.07| +1.96| +4.68| 4-1.57| — 0.08, — 0.80| 
4| — 58.9| 4- 48.1| +6.91| +8.34| 4- 3.13| — 0.98 --7:24| — 0.26, 17|—42.6 +27.6| +5.23| +1.16 2.36 — 1.04 +0.69| — 0.27 
8|— 59.1: — 42.9| 4-3.03| -- 2.59] + 6.43, +1.43] 4-0.79| 4- 0.59 23 — 35.8| + 63.31 4- 2.35| — 2.53] +4.85 + 0.911—1.96| +3.84 
10|— 52.5, +59.6 +0:55| + 0.20 +2.80 — 0.94 --0.32, — 0.011 33|— 33.0, — 20.81 +3.52| -I-1.55| 2- 3.11, 4-0.79| 4-0.16| — 1.43 
19| — 45.1| — 43.8| -- 1.86, +1.32] +4.76| +0.32 — 0.16|— 0.52 34 — 30.2| — 60.2] 2- 2.72| 4- 2.46 4-5.92| + 3.05] + 0.05| — 1.27, 
22|— 43.7| — 27.1| 4- 2.78, +2.43] 4-5.29| — 0.61| 41.17) — 0.82 39 — 98.9 —32.3| +3.17| +1.90 +4.68) --2.33| + 0.28 — 0.45 
26 — 35.1|— 43.1] + 0.28| — 0.55] + 2.87, — 1.93|— 1.69) — 2.35]| 41 — 28.2) — 51.3 +5.21| + 3:29] -I-5.15| 42.79] +1.88|— 0.96 
27 —30.3| +59.7 -1-0.42| — 0.98 --2.07| — 2.30] +0.44|— 0.58 53|—47.4| — 23.5 +1,57|— 0:50] + 3.32) --1.23|— 1.04| — 1.16 
33|— 32.3, — 36.4| + 0.58 — 0.17| --3.71|— 0.55|— 1.17, — 1.041] 65, — 7.3| +24.4 --4.69|— 0.90] 4-1.25| 0.00 2099/80108 
40|— 27.1| —41.6| +1.12| 4- 1.37] 4-3.92| — 0.36| — 0.13) — 0.84|| 82 + 9.5| +46.3] 43- 1.49| — 1.93] 4-1.23| — 1.01| +0.16| 2- 0.42 
58|—12.1| — 45.0| 4- 0.89| + 0.66] + 2.09| —1.74|— 0.36 — 2.19|]| 84 + 8.1, + 3.9 + 2.04 —1.32 +2:46| 1.06 --0.34 — 013 
76| + 9.0| 4-57.3| — 0.15, — 0.40 -F0.18, — 3.88 +0.82 — 1.52 85| + 6.1, —11.7 +0.99| — 1.04 +3.81| 4-1.67|— 0.27, 40.03 
83 + 9.5 — 46.41 +0. 91 +117] 4- 3.10, — 0.92] +0.30| — 0.841105) + 25.9 — 5.7] +0.99/—1.81| +1. 02. — 0.241] 4-0.43| — 1. 88, 
84| + 5.7| — 51.9] +0. 53 + 0.481 +3.39 — 0.35| — 0.41| — 0.62 107] + 32.6! + 62.4] + 0.33, —5.70|— 2. 34|—3. 66|— 0. em 73 
95| +12.6 — 11.9|— 2.80| — 3.15|— 1.56, — 5.26|— 3.04 — 4.521109) +30.2| +32.3| +0.98| — 2.80] +1. 72 -- 0.21] + 0.46! +0. 66 
100; 4-15.1| 4- 25.2| — 0.14 2- 0.49 — 0.42 —3. 06! +0. 82. — 1.98 1 +38.0 +51.3| +0. 65 — 4.06) +0. 87 — 0.811 +0.22| +0. 75| 
109; + 22.0) — 39.5] — 0.03 — 0.761 + 3.14 — 1.00) — 0. 72 — 0.45 119 +46. 7| +43. 7|— 0: 51, I—58. 62| +1. 04 —1. 03|— 0. 7^| +0.38| 


34 RAGNAR FURUHJELM. 
zi EZ y Unité 0. ot mm Unité 0. 0t mm AT dy A € | y Unité 0.01 mm Unité 0.01 mm mm IL AY 
© Jen mm en mm bi—a4 | de—ba | bi—01 | do—be | j E [en mmjen MM „—a | a—ba | bı—ar | ag—ba 
| | | 
120! --49.5| --27.6| — 0.12 pen 20| + 0.25) — 1.03 ju 24.6 — 43.3|— 0.55| 40.76] 41.91 +0.36| — a: 
122| +46.0) + 4.0] +0.05|—3.27|+3.63) +2.37|+0.37| +1.32]| 46) — 18.8, — 32.7|— 0.62) — 0.09] --1.36|—0.48| — zr 
124| 4-59.6| + 3.9|— 1.29] — 4.08] 4- 0.96 — 0.13| --0.04| — 1.19 99 +-26.9)— 19.8]— 1.13 —0.75|+0.89 1.11] — Es 
125| --57.1, — 2.2|— 2.50) —5.27| +2.59| 4-1.88| —1.36| 4-0.29||105| 4-35.7| +43.1]— 2.23| — 1.46| 3-0.42|—1.89| — - 
2-4 — 21125-2218 7.2293 npe + 3.36| + 0.18| -- 1.33 107| + 37.7| 4-21.9| — 2.22) —1.08| +-0.91| — 0.63 = 
| | | 116| 4-42.6| — 20.7] — 1.66) — 1.51] 4- 2.01] +-0:18| — — 
29|— 31.9! --41.3| 43.71] 4-0.24| --2.08|—0.59| — | — 
38/— 29.6 | — 24.6| -1-3.61| +1.35| 43.96 4-1.63| — | — 
45| — 91.5 — 93.4 -F2.46 --0.51 +4.57) 41.78 — | == 
50|—19.2| +32.0 +3.35|— 1.03] 42.30. — 0.19! — ar 
101| +24.9| 4-34.4| + 0.06 —4.51| 40.461 1.11] — | — vb 
414| 4-35.6| —18.2] --0.62|—2.21|--4.00|--2.65| — | — Région 321. 
115| 4-38.1|— 37.1| -- 0.07 — 3.36| +4.88| 44.03] — — 
121|4-48.5| + 26.5] --0.76| — 3.21| 4-0.75| — 0.44] — IPS E — 1895.26; E'— 4910.29; T — 15.03. 
x = — 4414; px = — 0.0032; ry = — 0.0144; 
kx = + 0.29; p'x = — 0.0100; rx = — 0.0264. 
ky = + 0.34; py = — 0.0120; ry = — 0.0065; 
k'y = — 0.45; p/y = — 0.0086; r^, = + 0.0088. 
Région 320. 
62.3| —12.7|— 0.10] — 2.50]— 0.55| — 0.49] — 1.04|— 0.39 
E — 1895.29; E'— 1913.26; T — 17.96. ch 45.0 +14.1| 2-1.66| — 0.70|— 0.80 — 0.97] 2- 0.08] — 4.04 
16|—48.9| + 8.7| 4-0.93| — 0.11|— 0.16| — 0.351 --0.14|— 0.35 
| Kx = + 4.44; px — + 0.0073; rx = + 0.0173; 19|— 41.4| --48.5| — 1.08| — 2.66|— 3.54 — 3.48| — 2.99|— 4.08 
ky — + 0.24; p'x = + 0.0268; r'« = + 0.0012. 23|— 40.6| —18.4| -1-1.00| — 14.06] — 4.75| — 5.27] --0.20| — 4.84 
ky = — 0.78; py = + 0.0234; ry — + 0.0119; 31|— 32.4| +20.8| 2-1.59| 40.90] + 0.08| — 0.07] 2- 0:62] — 0.24 
ky = + 0.78; p'y = + 0.0176; r'y = + 0.0007. 43|—232,6 --62.8| + 2.57! --0.60| — 0.66! --0.62| —0.04| — 0.71 
A44 — 92.9| --33.4| --1.33| 4-0.81|— 1.47 — 0.56| 40.13] — 1.40 
5|—58.9|— 0.7|—4.74|— 0.71] + 0.60] — 0.08] — 1.38| +0.61|| 45|— 24.0| 4-33.6| + 0.49) — 0:95|— 2:31|— 2.32|— 4.15| — 2.70 
6|—57.7| — 5.3|— 0.56, --0.57|— 0.18|—0.90|— 0.19) — 0.28]| 49| — 20.4| — 36.5] +2.06| 2-0.58|— 0.08| 4-0.37| +1.78| +0.47 
12|— 51.4| + 0.7 -- 0.34, 40.66] 40.89) — 0.71] + 0.46. +-0.43 50 — 24.7 —59.8 --0.47, — 0.50|—1.96|— 41.78] 4-0.95|— 4.29 
14|— 52.1| — 44.91 + 0.33) +0.43|— 0.02| — 2.33|— 0.08 —1.76|| 59, —49.0| — 39.9| --0:24| — 0.69] — 1.77, — 2.09] +0.29| 1.56 
26|— 38.0| + 29.2] --0.10| + 2.07|— 7.68|— 8.54| --1:55|— 7.27] 73|— 5.3| +11.0| 0.601 — 4.18]— 3:67|— 2.70|—1.49|— 3.35 
29 — 36.9 +141] — 0.57) 4-1.13|— 7.84|— 8.17| --0.59|— 7.54|| 74 — 7.9| + 6.8| +418) 4-2.60| — 3.74| — 3.07] + 2.90, — 3.53 
38|—15.3| -- 50.0] 44.15 4-6.38|— 8.94|— 9.85| +6.34 | —8.27|| 83|— 0.4 +19.6[ +2 20) --1.09|— 0.79 — 0.17] +0.84 —0.75 
54 — 14.3] — 8.4|— 2,42 — 0.75] +4 0.22|— 1.35|—1.06|— 0.65|| 93| + 4.9] --10.6|— 2.57 — 3.80|— 2.63| — 1.53|— 3.84 — 2.26 
55] — 10.9) — 29.0|— 0.43) --0.71| +0.03| — 1.06| -- 0.53 — 1.041106! -- 19.0, -- 62.1| 40.45) — 1.24|— 2.16) — 1.36|— 2.18 — 2.49 
57|—12.8|— 38.5|— 0.75| +0.16| 4-0.58| — 0.98| — 0.03|— 0.91 119 --20.2| -- 24.0] + 4.56 | +8. .48| — 0.71|— 0.24] +2.84|— 0.82 
70|— 4.3, — 40.4|— 2.52|— 4.56|— 0.54| — 2.06| — 1.59, — 2.06||425| + 24.3| — 40.7| — 0.46| — 2.60] — 5.88|— 4.65|— 1.27| — 4.94 
71|— 0.1} —51.9|— 0.69 — 0.30] +1.74| +0.01[— 0.13 — 0.18|141| -- 31.7, — 39.5] — 1.28) — 2.81|— 1.38| — 0.04| — 1.86 — 0.41 
72|— 4.9 — 58.7] 4-0.38| -I- 0.04] + 2.60) — 0.061 + 0.42) 4-0.10]|452| 4-40.4| — 12.5| + 2.11) 2-4.04| — 4.36| 4-0.53| 4-1.15| — 0.40 
76| + 8.9) 4-44.6| — 3.39) — 1.52] — 3.38|— 5.80|— 1.06, — 3.74] 74| + 60.6, — 14.6] 4-0.91| 4-0.69| — 0.77| +0.67| 4-0.22| — 0.07 
119, -- 48.6 — 28.2] — 2.34| —1.43|— 0.68 — 2.61|— 0.48| — 2.53||176| --60.1|— 57.9| --1.35| — 0.44| — 0.78] 4-0:21| + 0.82] + 0.17 
24.8| --60.3|— 3.31 — 0.85|— 2.29 — 4.06| — 1.10, — 1.78 58.0) — 25.8| 4-0.71— 1.85| — 0,14| — 2:02] — 0.07|— 0.82 
31.9,— 37.5|— 0.08) +0.04| + 2.08 — 0.49|— 0.07 +0.22]| — — 18.9 — 39.9| + 0.40, + 0.10] — 0.94, — 0.59| 4-0.77| — 0.40 
| ——39.2|— ,5.5|— 1.55| — 0.48| --0.93| — 0.91|— 0.90| +0.14|| — | +60.9, — 58.0] +1.81| 4-4.25| — 1.18] 4-2.44| +1.89| +1.09 
— | +93.8 --33.9| — 1.17 41.23] + 1.60 —0.55| 42.10 4-0.88]| | à | 
-28.6| —47.1|— 3.70| — 4.59] 4-1.80|— 0.92] —1.75|— 0.70h 37|— 28.9 --38.3 1.0.90] —0.33 +-.0.30| -1-0:22]..— | da 
mis ea — 9.66| — 5.55 +5,74] 3.59] — 4.38] +3.44]) 49 Mon ow +155] —0.12| 0.40 +0.13| — | = 
| | | 53|—19.6| +21.9| + 0.58|— 0.15] — 0.68| — 0.32 | — 
| 32) — 31.6, 4-21.3|— 1.78) + 0.76] — 0.92) — 1.84 58|— 19.2 — 25.5| +1.19|—1.36| + 0.24) +1.00| — | ^58 
| 35|— 20.4| +28.5[— 1.69) 4-0.13| +0.26/—0.77| — — 117) +23.9) +21.5| 4-2.02| 4-0.58| --0.30, +1.30| — = 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 35 
2 T | y Unité 0 En Som vs 01 n da | Jy zi em | y Unité 0.01 mm Unité 0.01 Mei daz dy | 
2 jen mm en mm] by—a | ao—be | bı-aı | as—b» i ? jenmmjen mm| p. o, | ag—bo | nan | aa—bs | 
123 23.5] 292 "t —4136|—-q132] = — 
124| -++25.0 — 36.0) — 0.12) —1.10— 1.16 —0.01| — | — 
135| +32.9| +23.5| +2.48| +1.57|+0.07|+1.60| — | — 
Region 323. 
E = 1896.16; E’= 1913.15; T = 16.99. 
NS Ky = — 2.49; px = + 0.0590; rx = + 0.0248; 
Région 322. k'y — — 1.97; p'x = + 0.0567; rx = — 0.0208. 
ky = — 0.37; py — + 0.0393; ry — + 0.0221; 
E — 1895.21; E'— 1913.18; T — 17.97. k^, = — 2.80; p'y = + 0.0462; r^y = + 0.0312. | 
kx = — 1.74;. px = + 0.0296; rx = + 0.0178; 2|— 61.9] + 2.0] -- 6.17] 4-5.23|— 1.28| + 0.64] —0.10|— 0.02 
Rx 1299; p'z — + 0.0279, rx = + 0.0228. a es n + 20.2] +3.13| +2,36] — 3.84] — 2.34| — 2.80 — 2.12 
ky — — 1.46; py = + 0.0119; ry = + 0.0431; 8|— 57.0, + 8.8]+5.21| +4.76[— 1.44| --0.47| — 0.52] — 0.02| 
ky = — 1.10; p'y = + 0.0162; r^, = + 0.0137 9|— 56.6 — 2.5| +4.08| --3.45| — 0.80| --0.93| — 1.74| +0.03| 
| | 36| — 34.2|— 49.6] +6.81| +3.81| 41.51) 4-3.19| 4-1.00,— 0.29 
10|— 46.6) +48.7| -- 0.84| -- 2.21|— 0.88 0.811— 0.97 —0.11|| 40|— 28.2) +13.1| + 0.89) +1.98|— 2.42 — 0.55 — 2,40|— 4.61| 
16| 44.3 — 2.4| 42.14) --2.96| — 2.40 — 1.12|— 0.92) — 1.81|| 46| —24.0, +36.7] +0.25| 4-2.86| —0.59| -I-0.82| —1.81| 4.0.81 
30) — 38.7, —34.0| 43.44) -4.23| — 1.23 —1.15 0.13, —1.85|| 54, — 20.9 — 11.1| + 4.42, 4-5.08|—19.39,—16.80| 4-1.28|—19.45 
36— 26.7 4- 54.4] -- 1.44| +2.58| 2.48) —2.38| + 0.20 — 2.18|| 56) —17.3| +10.5[ -- 1.14. 41.59] — 2.42| +0.54| 1.84 — 1.46, 
41|— 23.4| —12.6| 4-2.78| +3.56| +-0.61| --1.13| +-0.09| 4-0.08|| 57| — 19.9) + 6.7] +1.23| --1.20|— 2.25) 2- 0.90| — 2.15| — 1.29| 
44|— 23.0|— 57.4| + 2.82| --3.86| + 2.46, 2- 2.26|— 0.63| +0.93|| 61|— 11.4, + 3.2| +415] 2- 3.86] 4-0.22| 4- 2.97] 4- 1.12] -- 0.60 
53|— 6.5| 4-63.8|— 0.25) 4-0.43| 4-2.04| --0.88|— 0.95| +1.26|| 70|— 7.9) +31.8| --2.42| + 3.46| — 3.14 — 1.04] 4-0.31,— 1.95 
59— 5.1|— 38.0] +-2.57| --4.24] +1.42| --0.48| --0.33| — 0.72] 72|— 9.7) 4-14.6|— 0.05, +0.93| 4-0.96| +3.24]— 2.32) 41.54 
61|— 4.6) +28.2| +0.44| 4-2.51|—1.26 — 2.23|— 0.24 —2.49|| 73|— 7.5|4- 4.2| +3.88| + 4.33] 0.05) --2.29| +1.45| +-0.06 
66| + 4.5| +57.3|— 0.03| +0.78| 2-1.99| +1.04|— 0.48, +0.91|| 87| + 1.1) 2- 25.7] 4- 2.91 | +3.64| -I-0.24| +1.56| 4- 1.16, +4-0.54| 
73| + 0.7)— 32.5] +-0.39) 4-2.00| +0.48| 0.36|— 1.59 — 1.70|| 97| + 0.2} —16.2] -- 3.60, +2.93| +-1.03| 4-3.55| +1.01| +0.15 
7^| + 7.1| 4- 63.4] +0.08| +0.03| +-0.62/ — 0.99|— 0.60 — 0.78/|100| + 7.6|— 41.4] 4-0.85| +0.03|— 0.23| 2- 2.45| — 1.35) — 0.59 
81| + 5.6 — 24.1] 2-1.70| +3.09| +1.67| +1.02)— 0.08| — 0.43||110| 2-12.7| — 8.1] 2-2-11| 4-1.36|— 1.00) 4-1.77| 4-0.22|—1.73 
84| + 9,5 — 43.5] 2-3.52| --5.00] +3.25| 4-2.23| -I-1.50| --0.58||146| 2-15.1| 4-63.9] 1.51) 2-0.57| — 2.67, — 2.05|— 1.70, — 1.46 
101! --18.1| — 44.6| --3.63| 44.69] +2.38| +1.08| 4-1.62 — 0.69]1117| 416.6 --53.9| +1.89| +3.21|— 1.71) — 0.96] +1.39 — 0,91, 
104| 4-18.6| — 58.1] 40.71) +1.27| +3. 42| 4-1.39| —4.80| — 0.21|126| --17.1| — 46.8] + 3.53| +0.59|— 0.27| +1.99| 4-0.72|— 3.03 
118 --32.3 + 20.9 +1.28| --2.44| +3. 32| --1.81| +1. 06, + 0.66] 34 --28.4| -I-54.9| — 0.08| +1.48]—1.70|— 0.201 4- 0.22, — 0.79| 
120| +30.1| +13.6| 4-0.52| +1.70| +2. 58, +1.46| 2-0.10| +0.07/141| +33.2 — 3.8|— 0.13 — 0.72|— 0.69) --1.61|— 0.74| — 2.02 
121|+31.0 + 2.2] +1.03| --2.00| 41.62 +0.01| --0.30| —1.31||152| +38.0 — 2.1|— 0.56 | — 1.16| -- 0.16, 4-2.36|— 0.90) — 1.28 
132) --44.9| + 0.7] --0.38| 4-1.11| +4.38) 4-2.30|— 0.10| 4-0.79||162| -I-44.7| + 2.21 4-0.28| 4- 0.33|— 0.70| +2.35] + 0.66 — 1.70] 
136| +47.7 + 27.4| +0.22| 4-0.97| +1.63| — 0.58] 4-0.37| — 1.72||163| 4-41.9| + 1.6| +1.00/— 0.21| -- 2.43, +5.09| +0.59] 4-1.27| 
137| +46.7| 4- 23.3| — 1.11, — 0:96] + 2.04 — 0.03|— 1.37) — 1.27] 4174 | -- 45.3, 4-13.2| 4-0.16, — 0.25| +0.72| -- 2.45| 4- 0.37 — 0.491 
143| 450.81 + 3.5| 4- 0.56, +0.80| 4-3.87| 4- 2.03| + 0.06) +0.27[| — | 4-31.0| — 24.8| +6.16| 4-5.67| — 1.38| 4- 0.30] +5.43| — 3.86) 
150|4-55.5|— 5.1|— 0.45|— 0.26| 40.07] — 2.64] — 4.01 | — 4.21 | | 
152) 4-58.2 — 55.6|— 0.97, — 0.14| +5.17| 4-3.52]— 2.16, 4-0.63 21—42.3| 28.7| + 4.15] -E4.85| —0.79|--0.:28|. — | — 
194| --61.1|— 38.^| + 0.91) +0.56| 4-6.73| -I-9.47| — 0.44) +1.54|| 35| -34.4| — 44.51 +5.18| 4- 2.16 4-0.97| comu MR ER 
i 39|— 29.5 4-40:41 4-3.52| +4.93| — 2.18| — 0.13 | | 
25/—39.6| 4-25.5| 41.99) +2.63|—0.29| +018| - 58| 19.41 — 16.9] +4.13| --3.03| +0.46| 42.52] — | — 
29|— 36.01 — 28.6] +3.45| --4.03| --0.37| --1.00] — | — |j113) 414.2) — 44.9] 42.56] +0.49| 41.75 +440! — | — 
39| 24.01 +19.6| +2.34| +3.36|—0.33| +0.07] — | — [128] + 21.6) +36.6| +019! -1.37|— 0.65| +0.90| — : 
42—20.3|—24.6| --2.74| +3.86| 41.04 +1.65| — | — [1301 4-23.1|-— 15.7] +1.89| +0.40| 4-2.78| +514] — LE 
107| --20.9| 421.7) 40:88) +1.53| +41.84| 40:55) — | (59 +32.5| --32.5|— 0.88 40.04] —0.51| +2.32] — | — 
1412| --28.5| —16.4| +1.03| --1.85| 43.26) +217] — | — | | 
117 --31.1| +29.8| +0.25| --0.95| +3.02| +1.89] — | — | | 
[135| +44.8|—20.8| +0.71| +219] +3.00| +4.290] — | — | | 


N:o 7. 


RAGNAR FURUHJELM. 


36 
Z| | W [unité 0.01 mm|umne 0.01 mm| 42 | sy 
© jen mm en mm| s , | a, b, | bi—a | a3—bs 
Région 324. 
| E = 1896.13; E/— 1911.14; T = 15.01. 
| kx = + 1.91; px — + 0.0396; rx = + 0.0248; 
k'y = — 0.16; px = + 0.0378; rx = + 0.0106. 
ky = + 2.03; py — + 0.0262; ry — + 0.0346; 
ky = + 0.21; p'y = + 0.0258; rj = — 0.0149. 
8|— 46.4| —15.1| — 0.85| 40.93 — 6.82 —2.08 = 1.14 — 3.26 
| 22|—30.7| +19.4| — 2.26 — 0.06] — 8.35 —4.73| —1.13 — 4.61 
35|— 23.2) 420.5] 2.84 — 0.50|— 4.05 —0.75| — 1.33 — 0.52 
49| —144.2| --47.4| —0.91| 4-1.44|— 5.80| — 3.52| --1.43| — 2.47 
70|— 14.7|—26.5|—4.42| -1-4.24| —4.43| +1.04| 40.40) +0.25 
80| + 6.1| --48.0]| — 2.36) 4-0.39| —2.45|— 0.76| --0.97| +0.70 
83/4 5.6| + 4.6|— 2.72| --0.15|— 2.01|— 0.15| — 0.16| + 0.02 
84| + 4.9| + 1:7|—2.50|— 0.30] —14.74|— 0.25| — 0.30| +0.11 
88 + 8.4|— 28.7] — 2.22| — 0.75| — 2.40|—4.97| — 0.79] — 4:89 
89 + 8.7| —44.2]—14.76|— 0.17| —4.84|— 0.91| — 0.58| — 1.44 
404| 21-15.2] — 56.3] —1.50|— 0.78] +0.61| --1.59| —0.68| +0.60 
412. +28.9| 1-19.4| —2.74| — 0.29] — 2.20| — 2.48| -1-0.69| —1.18 
416| --30.3| —16.5| —0.63| --4.06| — 7.86| — 7.67] +1.97' 7.37 
117| --35.6| 4-41.4| — 3.84 —1.61|— 1.34| — 1.70] + 0.26! 4-0.32 
129 --45.9 --10.7| — 5.39) — 3.38|— 2.66 — 2.93| — 1.54 — 1.85 
4139) --61.1|— 35.6| — 0.85| — 0.38|— 0.62|— 4.85| 2-1.99| — 1.64 
— | + 0.7| 4-45.5|— 2.58| — 0.20] — 3.29| — 1.26| 4.0.32) +0.02 
— |--21.3| --23:8| —3.39| — 0.76| — 1.74| —4.42] +0.04 — 0.05 
— | 4-45.8| 2-45.8| — 8.07| — 5.54|— 6.17, — 7.60|— 3.34 — 5.02 
[2:85.25 27:4|-— 2.73|— 1:25] + 0:21] 074) + 0.53|— 0:27 
| 
16|—38.9|— 23.3] +0.43| +1.49|—2.93| +0.83 | 
21|— 31.3| --31.0| —1.30| -1-0,96] —4.31|— 0.75 | al 
38| —30.0| +241] 1.77) +1.08| 3.822) 0.72 — | — 
31|—28.2| —19.0|—0.22 +1.83l 1.85 441 38) — | — 
99| 1-19.3| + 44.7| 3.73) —1.46| 2.36 1.24 | 
108| 424.6 —19.8|— 2.87) — 0.621 1.03 0.72] — | 
111| +26.3| +43.9| 3.70 —0.83| 1.88 — 1.55 
114| +26.2| —35.0|—1.92, —0.42| —0.34| +0,42) — = 
| Région 325. 
E — 4897.98; E'— 1914.01; T — 16.03. 
Kx = — 1.39; px = + 0.0547; rx = + 0.0024; 
Kx = + 0.9; px = + 0.0542; r/x = + 0.0046. 
ky — — 042; py = + 0.0451; ry — + 0.0294; 
ky — — 0.45; p'y = + 0.0488; r^y = — 0.0046. 
8 — 60.2 — 48.4 E234 --0.09 —1.91 +0.72 — 2.47) — 2.40 
9 — 58.4| +22.7| --4.62| +1.61[— 4.26 —1.77| — 0.23| —1.51 
12|— 55.2] —39.8| + 4.61] 4-0.73| — 0.07| +1.69|— 0.71|— 0.65 


ZZ 2 Diff. en x Diff. en y TH 
< V [Unité 0.01 mm|Unité 0.01 mm| 4x | 4y 
enmmenmm| pay | a» b | bı-aı | a2—ba 
14 —52.4| +28.1| 4-3.20|— 0.03| — 4.33|— 2.47| —1.44|—1.74 
16 — 50.0, — 49.0|— 0.47| — 3.92| — 0.37| --2.74| — 5.33|— 0.78 
17|— 47.4| +36.5| +3.48| 4-1.06| —3.81|— 2.64| — 0.42) — 1.21 
22, — 43.8) 4-17.0| 4-3.86| +1.83] — 2.54|— 0.70| +0.28|— 0.56 
27 — 35.2, --15.8| +4.19| 4-1.72| —3.27| — 1.59] + 0.85) 1,54 
35,—35.0| + 2.31 --0.83| — 1.32] — 2.40|— 0.05| — 2.38|— 0.82 
38|— 34.4 — 35.8] +5.77| +3.28| +0.11| +1.79| 4-2.29 | — 0.59 
44|— 21.5] +62.4| 41.99) +0.09| — 4.65| — 4.02| — 0.15|— 1.42 
66,— 7.7) 4-60.6| --1.35|—0.38| — 2.02|— 1.21| 4-0.04| +1.04 
73 — 1.7) -- 63.3] 2-1.35| —4.38| — 2.62 —1.84|— 0.12] +0.47 
82 + 2.9| 4-54.6| — 0.46|— 3.21| — 6.73|— 6.46| — 1.72  — 4.35 
3 + 4.6 + 4.1| 4-0.30|—1.82| —1.42|— 1.02| — 0.73| —1.37 
88 + 7.8 4-21.2] --1.39|— 1.11| — 1.00 —1.06| +0.40|— 0.41 
96. 4-14.8| — 44.01 --1.00,— 1.40| +1.12| +1.38| +-0.21| — 1.28 
143) +-27.5| +34.1| --1.29| —1.10| —1.75| — 2.14| --1.47|— 0.97 
414) +25.3| 4-31.0| — 0.01 — 2.33| — 1.87] — 2.06| 0.07 — 1.10 
129| --31.0 — 33.0|— 0.47  — 2.78| +0.41| 4-0.15|— 0.29/— 1.94 
133, 4-36.0| —50.3| — 1.90) — 3.93| +0.15) 4-0.84| — 1.37 — 2.59 
436 --42.6| — 44.8| 41.19 —0.48| +2.39| +1.87| +-2.27| — 0.78 
138 4-45.1| — 24.1| — 0.62] — 3.27] +0.64 — 0.07] 2-0.18|— 1.69 
439| +50.2| + 4.0|— 0.49 — 2.97| — 0.71] — 1.34] --0.78|— 4.74 
444 459.4 — 3.4|— 2.27 — 5.01| 40.17 — 0.37|— 0.66, — 1.28 
— | 4-25.0| + 3.0|—1.78| — 4.00] — 0.74| — 0.56|— 4.75| — 1.10 
| 
20 404 -25.2| +419 +41.39]— 1.90) +0.08| — | — 
21/— 44.6, +25.6| +3.48| -I-1.48|— 2.65| — 1.02 
36 — 30.8, — 38.4] +2.47| +0.43| --0.72,--2.27]] — | — 
49— 21.7,—36.5| +3.00| +0.61| 41.35 --2.28[ — | — 
106| --23.7 +28.5[— 0.13 — 2.50 — 0.24] —4.03 = 
110 4-22.7 —37.4|— 0.35 | —2.51|+2.50 +2.40] — | — 
116 +-28.7| +20.6|—0.44| —2.71|—0.20 —0.95| — | — 
417| 4-27.5|—19.5| --0.891— 4.44| 41.78) +1.30| — | — 
Région 326, 
— 1896.25; E'— 1911.21 ; T — 14.96. 
Ky = — 1.96; px = + 0.0374; rx = — 0.0122; 
kx = + 0.57; p'x = + 0.0352; r’x = + 0.0233. 
ky — — 2.05; py= + 0.0844; ry — + 0.0255; 
k'y — + 1.81; p'y = + 0.0274, r^y = + 0.0018. 
2/— 56.4| --43.8| -3.47|—1.05| | 0.00|— 2.73|— 1.09| 40.57 
4|—58.3| + 4.1| +3.10| +0.93| 4-1.70| —1.02|— 0.57) +143 
554.4) +27.6| +3.59| --0.19|— 1.51 |— 4.44] — 0:44 |—1.38 
7/—47.4/— 2.5| :-4.94| — 0.61| 41.07) — 1.96|— 1.56| 0:00 
10,—44.7 + 3.6| --3.32| 4-0.47| — 0.19,— 3.43|— 0.20] — 1.22 
15,—35.9 +23.5| 4-2.51|— 0.98| 2- 0.47 — 2.13| — 0.90| +-0.23 
25,—28.5| +42.6| 42.57 — 0.89] 4-0.39,— 2.28|— 0.45| --0.58 
32, — 20.2, —39.3| 4-2.78| +1.27| 4-2.98,— 0.35| +0.57| 4-0.32 
34 — 22.5 — 46.6] --2.06| 4-4.30| +3.65) -- 0.14] --0.11| +0.74 
35|—21.8| — 58.0] 2-1.60| 4-1.22] --2.16| — 0.97] — 0.19|— 0.93 
Tom. L. 


— 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 37 


oo nn — ,——— 


y Diff. en x Diff. en y | 2 | T | y Diff. en x 
Unité 0.01 mm|Unité 0.01 mm A y A | Unité 0.01 mm 
en mm en mm 


| 
S 
wee ro uec | jen mm en mm 
” RT 


Jr 


O:N 
8 


b1—aı 5 —b» 
| | | 

43|— 7.21 + 9.5| +1.33 — 0.91] +0.91|— 2.16] — 0.49, — 0.36 137, +37.3| — 61.6 

&A4|— 7.3| + 9.5| 4-0.89, — 1.29] -- 0.65 — 2.34] — 0.91, — 0.58||139| -- 44.0, — 9.7 


— 0.57| 4- 0.02 


54|— 4.7|— 33.2] +1.43|— 0.26| -- 1.62, — 3.15] — 0.26| — 1.79]|164| 4- 60.1! + 25.3| — 3.66, — 2.33 


61 + 7.9| --21.6| 43.76] 40.54] 4-0.10 — 4.24| 42.06 — 1.65 RE SI 

66| -I-16.4| --52.0| +8.92| -I-3.71| — 4.02 — 9.68] +-6.70|—5.66| 31|— 41. äl — 30.2] +1.56| + 2.54 

76| +27.7| + 21.3] 4-4.01|— 2.45] — 0.79| — 5.12] — 0.08, — 2.82 36 — 95. 7|—23. 4] +2.48| +317 

80|--29.5, — 2.4| -I-0.91,— 1.43| -I- 3.04 — 0.75] 4-0.30| 40.561! 44|— 32. 3 --98.9| +0.96| +-1.27 

85| + 30.4) 4- 48.7| +5.65| 41.25 +1.301 — 3.86 + 4.33) — 0.37 42) N), 6 +95.2] 4-1.09| +2.07 

88| +32.1|— 3.41 41.44 —1.14 2.63 — 2.03 +0.80 — 0.34 1120. -4-99.7| -2I-28.9| — 2.24| —1.22 

— 2.99 — 89.8] --0.18|— 0.17] 4-3.34| -I-0.09| — 1.11, — 0.05]|496| +33.3| --33.9| — 2.18| — 1.21 
| 130 | +32.7| — 29.9) 0.93 — 0.09 

23|— 31.6 — 38.4] + 2.36 --1.89| +2.01/—1.05| — — |I135| +38.2|— 26.0|— 1.39, — 0.45 

37|— 20.4| --25.7| --2.36|—0.68| +1.00/— 2.32) — | — 

|:31|—24.3|—30.5| +1.83| --0.91| 43.241 —0.39| — | — 

37|—19.8| --30.4| --3.02| —0.82|—0.04|—3.28| — x 

|-74| +25.6| +20.8| --1.01|—1.94| 4-1.724|—2.60], — | — 

77| 4-26.8| + 20.6] --0.83|—2.00|--243|—2.20| — | — i 

83| 4-29.0, — 27.3|— 0.06 — 1.09] +3. 54—0.83| — — Région 


91| -35.9| —28.5| 40.14) —1.50| --3.62|—1.55| — | — 


Unité 0.01 mm 


:E/ — 1896.16; 2’= 1913.45; T — 16.99. 


Diff. en y | 
1z dy 


bi—a, aga—ba 


--4.86| — 1.47] + 0.03, — 1.69 


— 0.88, +0.20| --5.57| — 1.42] +1.15| + 0.48 
46, — 5.8|— 37.2] --0.29| — 1.18] 2-1.87, — 1.76| — 1.36| — 1.07 444| 4-42.2| — 31.2| — 1.73| — 1.64] + 3.69) — 2.67| — 0.64| — 1.84 
&7|— 4.4 + 6.0| -- 1.73, — 0.33| 2-1.46| — 1.83] +0.08) — 0.0611157| -- 56.3, -I-48.9|] — 2.37, — 1.64] 41.37) — 6.73| -I- 1.04, — 2.31 


H1.75| — 4.72] — 0.18, — 2.01 


52|— 9.0|—57.1| --4.33| +0.76| 4-4.09|- 0.26 +016! +0151 — |— 14.8, 2-39.8| — 2.56 — 0.80| — 0.07| — 4.30| — 1.85, —1.30 
| ! 


.-2.86(— 0.82] — == 
0108 NP) ees Rs 
4-4.25|—3.02] — 
zuo | qas esee ccr 
--3:05|—3.16| — = 
57 09|— 3 — Y 
--5.07,—0.41| — — 
--5.44|—140| — 

328. 


ky = — 0.29; px = + 0.0377; rx = — 0.0202; 

k'y = + 0.56; p'x = + 0.0523; r'x = + 0.0215. 

ky = — 0.92; py = + 0.0372; ry = + 0.0068; 

Région 327. ky = — 1.40; p'y = + 0.0420; ry = + 0.0141. 
E = 1896.16; E’= 1913.15; T = 16.99. 13 — 55.3 — 14.2 +1.40 +1.66| 40.75) +0.70| — 0.88) — 0.42 
| 27/—50.0/—11.8| + 3.01| +3.20] + 0.80| Toa cud — 0.07 
| kx = + 0.10; px = + 0.0463; rx = + 0.0166; 29/—40.4| +46.1|+2.77| +0.75|—1.96|—1.23| +0.05|—1.69 
| Kx = — 0.74; p/z — + 0.0435; r'x = + 0.0176. 40|—35.1 — 36.2 — 0.77| +0.66| 1.51) 2-2:25| —4.57, — 0.35 
ky — — 3.15; py — + 0.0334; ry — + 0.0291; 56 — 27.6 — 47.7| 4-0.90| 2-1.87| -- 0.06, +1.18 +0.19 — 2.13 
ky = + 1.76; p'y = + 0.0390; r'y = — 0.0041. 59 — 23.8 4-26.9| 41.99 — 0.13] — 2.49 —1.96|— 0.03 — 2.07 
60 — 20.5) —18.8| 41.10 --1:37| 41.29 --1.71| 40.39 — 0.19 
6|— 58.31 --34.1] + 4.50 4-5.49] —1.43|—3.20] --2.64| —1.05|| 94|— 1941 + 9.6] +0.18| — 0.19| — 2.59 — 1.70|— 0.77 — 2.72 


481—548.2| +31.7| 41.16) 2-1.33| —1.65| — 4.48] — 0.69| — 2.01]1 71 —12.3| --15.0| 4-2.20| 4-1.08 


— 0.89 — 0.03| --1.18 — 0.90 


5.46 —4.76|— 4.74 — 6.75| 


| 26|— 44.8 + 4.0] --4:22| +1.82| 4-1.61| —1.59|— 0.61|— 0.04|| 761— 10.3 —14.5|— 4.92 — 4-01 
28 —40.51— 6.0] +3.36| 4-4.01| --1.59 —1.51| 1.94 —0.36|| 79 —10.6 —59.6|— 4.78 —2.28 
49 — 26.2| 4-43.7| --2.29| +2.66| — 7.23 —11.30]| 4-1.73| —8.06|| 80 — 9.6 +35.7| --2.36 40.11 
51|—28.7|— 5.2] 4-1.76| +1.67| --1.53| —1.67| --0.01| —0.66|| 82 — 4.1 1 63.8| +2.70 — 1.18 
60|— 19.9 — 62.3] 4-0.30| --0.84| --4.13|— 0.42] 1.711 —0.83|| 96| + 5.0, +56.1| +2.78 — 0.63 
68|—12.3 —47.1| + 0.60! +1.22| 44.99 --0.47|—0.77| +0.49]]129| --17 8 — 25.9| 3.73 —3.53 
70 —13.11 58.21 41.23 --2.14| --3.16 —1.22 0.22) — 1.66] 147 + 25.9 —15.6| 40.18] — 0.26 
79|— 1.9 +32.7|0.97| +0.21| +1.38|—2.62|— 0.22) — o.11|[162| + 35.2) + 44.0] +0.23 — 3.74 


| 
19 — 48.2) 4-19.2| 21-1.91| +1.66| 1.86 — 4.65| — 0.37 — 2.65|| 7° 104 14.7| — 4.46 — 4.27 
| 


4.85 — 4.36| — 4.85 — 6.23, 


| 


-F447| 4-1.72] — 3.95| —14.57| 


— 2.44 — 2.59| +0.91|— 2.00 


— 2.35|— 4.83] -+ 0.70 — 0.68| 


— 0.60! — 0.84] +1.42 +.0.29) 


+1.04| --1.51|— 2.76 — 1.09 
+4.57| 4-2.11| -I-1:20| — 0:21 
4-0.28| 4-0.27|— 0.05| 4-0.49 

2.46 — 2.75|— 0.99| — 2.88 


| 86| -- 4.3 --24.1| 41.11) +2,58] 41.62) — 2.85] +2.13| — 0.49||170| +40.9| --33.0|— 1.54 — 4.33 
110 --12.7| — 33.5| +1.05| +2.33| +4.43 — 0.28| +1.36| + 0.01||184 1-53.5| —16.0|— 5.41, — 4.66 
119) +20.8| — 48.6| —1.80| — 0.10| 4-3.90] —1.26|—1.17| —1.39|189| -- 52.2 —31.1|— 4.25, — 4.33 
195 --26.3 — 8.60.99 — 0.32] --4.75| — 0.49| +0.06| --0.79 —|+ 5.9 —42,3|— 4.02, — 3.09 


--3.05| 4-3.12| — 2.55| +0.73 
+1.71| 4-3.28| —1.87| — 0.44| 
3-1.15| --1.25|— 3.23| —1.69 

1.62| — 0.77] —1.16| —1.11| 


134| --37.3|— 3.7|—1. 38 — 0.48] +2. 27 — 3.58| -- 0.36, —1.95 — | --52.9| --45.3|— 1.82) — 5.49 
N:o 7. 


38 RaAGNAR FURUHJETLM. 
3 z | | = 5 
Z| = | V [unité 0.01 mmjunite 0.01 mm| sx | sy | Z| © | 9 |Uniteld01 mm|unite d.01 mm| sr | sy 
© Jen mm en mm b—a1 | az—ba | by—a3 | az—ba | 5 [pousse En re | d3— b» bias | a 
| | 
43|—324| 4-22:7| --2:49| --0:31|-—0:05 +0:40] — | — | 
46|—32.0|— 29.5] +0.94| +1.66| 42.16) +2.09| — | — 
&9|— 27.2) + 40.5] 4-1.75| --0.07| —1.06|—0.72] — > 
67 — 15.8 — 26.0] 40.49 +2.05| 41.64 +201] — = Région 330. 
135| 4-20.6| +-20.4|— 0:49) — 2:47] +-0.23| +018] — | — 
4139| --2325| — 31.21 —1173| —4:24] 2- 2/74 | 4-3:43| = — ALT RENTE NUR | 
140| --21.8|—35.3|—0.90|—0.57| 3-t.21, +317 — | — Fd dp Port e OR 
142| + 28.9] + 23:3| 2-0:25| —1.34| 2-0:54| 41.12] — | — kx = — 1.06; px — + 0.0525; rx = — 0.0248; 
Rx = + 1.96; p'x = + 0.0607; rx = — 0.0356. 
ky = — 1.79; py = + 0.0443; ry = + 0.0307; 
ky = + 0.78; p'y = + 0.0471; r^, = — 0.0284. 
Région 329. ; 
27 — 44.3| +27.0] --4.36| 41.47] — 0.68] — 0.40] 4-0.04| +-0.24 
| E = 1895.21: E'— 1913.18; T — 17.97. 35 — 36.5 --11.8| 41.88, — 0.03| — 1.79 — 2.09|— 1.05 — 1.86 
| 45, — 30.4 451.7] 43.40) 4-0.40| +-0.38)—1.50]— 0.93) +1.33 
kx = + 0.34; Px = + 0.0193; rx = + 0.0238; 57, — 27.2 + 0.4 +1.93| 0.24 0.03, — 0.30 0.25 0.61 
k'y = + 1.48; px = + 0.0268; r^; = + 0.0316. 62,—20.1|— 4.4| 4-1.08|— 0.89] — 0.47 — 0.13| — 0.55| — 0:84 
ky = — 2.37; py = + 0.0211; ry = — 0.0244; 64| —19.3| +564 --3.13| +013 2.63|— 5.04| — 0.71|— 1.74 
ky = — 1.00; p'y = + 0.0205; r^, = + 0.0088. 74|—17.5|— 6.2] +3:41| 4-0.68| 4-0.32| — 0.75| +1.69|— 0.98 
77|— 17.3 — 29.1] +1.82]—1.00 32.52 41.21] 40.76) 40.05 
| 1|—61.5| + 0.9] 4-0.30| — 0.44] + 4.49) +1.20|— 0.55] + 0.70] 83) — 11.2) +47.8| + 2.07|— 0.39] + 0.981 —1.95| — 0.79| + 1:20 
| 4—57.8| 427.5] 40.39 — 1.51] + 0.43 — 2.35] — 0.22) — 2.52] 86|—14.8) + 28.8] 2-107, —1.32|— 1.52 — 3.73| — 1.38) — 1:79) 
51— 59.0) 4-23.5|— 1.44) — 3.46] 41.47) —1.07| —2.10|—1.45|| 96 — 5.8| + 8.5] 4-2.26|— 0.58] +1.32 — 0.61] +0.74 | 4-0.25 
6/—55.5 + 3.5] 4-0.34  — 1.27| 4-2.37| --0.46| — 0.74| — 0.64||109| + 8.2! +33.7| +0.53|— 1.84] — 0.04 — 2.86| — 0.76|— 0.42 
12,—541.0|— 5.2|—0.98 — 2:60|—2.00| —3.81|— 2.19| — 5.09]|110| + 8.1| +33.8] 4-0.06| — 2.47| — 0.13|— 3.14| —1.31|— 0.59 
15 — 50.0) — 55.8| +1.65| +1.76| 43.44 +1.72|— 0.08 — 0.65||111| + 6.3) --34.3| + 0.62 — 2.20] — 2.32 — 5.41| — 1.02 — 2.80 ] 
21|— 46.5, — 38.7| +1.98| 41.12] +4.42| 4- 2.12] 4-0.31| 4-0.27||114| + 9.5| 4-19.1|— 2.45| — 4.41|—15.62|—18.83| — 2.86|—16.86 
43|— 26.6 — 26.0| --2.44. +1.45| --2.08|—0.11| -- 1.52 — 1.45||122. +10.4| 4-18.5| —0.47| —3.24| 4-0.69| — 2.03| —1.36|— 0.34 j 
44 — 28.9 — 29.1] -- 0.37 — 0.66| + 2.65) 4-0.67|— 0.70 — 0.86|1132| +18.5| +41.0] +0.49 — 2.56] 2-1.46|—3.45|—0.78|--0.35| ME 
46, — 20.6| +56.6|— 0.08) — 2.22] +1.95| +0.11| 4-0.85| +0.36|147 + 20.4 — 58.8|— 3.78, — 7.29] --2.74|—0.63|—2.15,—2.16| «4 
68 — 4.4. —56.4| --1.29 —0.17| -- 2.77, --1.13|— 0.19 — 0.941150 +28.5 + 8.0] 41.57 —2.01| --1.14—2.81|--1.60. —1.00| M 
76, + 3.0, —62.8| 40.08 — 1.12| +3.03) --2.63|— 1.27 — 0.14][159 --39.1,— 0.4|— 2.31, — 5.83|— 0.85) —5.08| — 1.40 —3.53 
109 +-29.2| + 0.7) --0.15| —1.12| + 3.14) +2.16| 41.11) +1.18]j174) +48.4|— 6.2] + 0.55 —3.35| +3.51|—1.95| 4-1.97| — 0.06 
114| +33.7)—14,5| +1.21| +0.32| + 0.47) — 0.27] + 2.13|—1.56]178| +52.4| + 40.9] — 1.50 — 3.63] --0.83|—4.17|—0.39,—0.36| # 
121) +41.6| +17.6|— 2.12] — 3.59) + 0.72| -- 0.25] — 0.50 — 0.51|185| 4-58.8| +46.8| 1.96 — 2.51] + 1.45 —4.68| 0.37) 0.05| d 
134) -58.4| — 4.8[—-3.50| —6.02| +0.43| +1.21 — 2.64 — 0.51 186) 458.1) +25.8|— 2.39 — 4.99] —0.14|—5.58|—0.73.—2.25| M 
— |— 23.4 4-57.8|— 1.50, — 2.02] +1.29 — 0.84] 40.22] — 0.4289, 457.4 — 6.2] +0.20|—3.05| + 3.11) — 2.46] +2.45|— 0.52 
129.6 57.4] 1.41] +0,28] 43.15 41.12] — 0.53, — 0.96 91] 457.8 — 49.9| 2.58 — 5.41] 46.83 +1.68| 41.23] +440) MS 
| | | | 
34) — 30.6|— 31.6] + 0.88) + 0.14] +4.28| +1.67 | 50 —30.8 — 34.7] +1.77| 1.11 19.73 ein NN | 
39 — 29.9] --19.3|—0.18|—1.09|4-1.94,—0.42|] — | — || 55/—29.9| +29.21 --3.39, --0.91|—0.62,—1.22] — | — 
45|— 25.6|— 39.6| +1.26| 4- 0.80] +3.87| -- 2.06 61|— 24.2) --30.3| +3.20| --0.56|—0.10|—1.72] — | — 
|-48|— 24.0] +32.8| 0:74 — 2.231 +2,29 40.12] —  — || 63|—23.4|— 37.4| 41.02) 2.101 4-2.35| 4459 UN 
(100! +22.3| + 28.6|1.10 —2.63[ +1.59 +142] — | — 40 255 +43.3| 40.56, — 2.04) 41.06 3.25] — | — 
104) +24.1|— 35.6] + 0.08|— 0.89] 42.06 +0.96| — | — [43 --20.2|— 27.8|—0.72|— 4.44] --3.33|--0.03] — | — 
[1051 +-28.7| -- 27.2] — 1.85) — 3.32] +1.26| +0.94 | — 1561 +36.5 --40.1| 40.06 —2.64| --0.66,—3.83] — | — | 
124) --40.0,—24.6|—0.61|—2.05|--1.86,4-2.08| — | —  |H61|--35.2|—22.8|— 0.96 —4.95| 3-419. —0.90] — | — | 
| | | | | | | 
| | 
| | | 
| 
| | | 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 39 
2 | T y Unité à M ET UA 01 ed 4x | 4y 2 | La C? Unité 0.01 mm Unité 0.01 Mm $3 43 | 
ö en 28000) On D allo ler [aa BR S cyber vb rera] mem meu] SERE "uj | 
| | 
12|—48.9)— 3.6| +4.55| +4.35|— 0.67| + E 4 0.23|—0.12 
Région 33l. 26 23.4| + 60.8] +2 | .24| Td pes] I és + 0:83] + 2:24 
35|— 18.9| — 16.2] + 0.92] 4-3.87|— 0.63| 4-1.70| 4- 0.18| + 0.04 
E — 4896.13; E'— 4911.44; T = 45.01. 44 — 13.4|—27.3| 40.55) --3.55| — 3.60 —1.721— 0.10 — 3.35 
59|— 4.2|— 45.2] +2.01| +4.59|— 0.68| +1.21 + 1.42  +0.06! 
kx = +10.78; px — + 0.0282; rx = — 0.0043; 60|— 2.4|— 32.6] --0.77| 4-4.58| — 0.23| +1.97| +0. 70| + 0.21 
ky — 0.12; p'x = + 0.0247; r'x = — 0.0173. 62 + 5.4| +54.8]— 1.87, — 0.78|] — 2.23| — 0.72|— 2.77| + 0.14| 
Ky = — 0.69; py = + 0.0408; ry = — 0.0087; 64 -- 8.7|— 56.1| — 2.60| +0.69| + 0.43| 4-1.76|— 2.82 40.02) 
K'y = — 1.98; py = + 0.0454; rj = — 0.0323. 66) +13.8| -- 26.2] 4-0.68| --2.81|— 1.87| +0.37| +0.33| - 0.29 
8l—51.8|—35.6] +1.75| 4-189] — 0.05] --2:37] 1-147] —2.72]| © 1197 186 ud TA Be RARES as 
23|— 36.8) --34.4| 4.68 — 0.02] —1.23| +1.00] —1.87| — 0.72 AR j PAPE pr rd He posce diss Mod 
ee 1:38 0:47 -Et68] 190 0:60] |. sen e PE Tm 
51|— 2.5| +98.7|— 1.66 — 0.16] — 0.25, -- 0.65|— 0.95 +0.05 SU SG] ARIANE Md Md Qin 08 
Pee ad oai a PEN cosi PES 5195 101, 595 + 8.0 1.46, +-0.60|— 1.76 — 1.21 — 1.06 — 0.21 
| sol 4.0] —35.2| — 4.46| —4.59|— 0.56| -- 1.02] — 0.70 — 2.49 A d pese ee Bess | iio e Tm. 
70| --44.3| --55.3| — 1.00! --0.59| —3.33|—2.46| -0.10|—2.05]| _ —194 ee Her Bi ey Re ee 
76| +12.8| — 45.4| +1.08| +1.29|—1.611— 0.83] +2.35|—4.25|| _ per sn ps T EDS E S. ross 
ECS RES EE 24.79] RP AP oa Em ENN FASAN mt S LE en LE 
| 83) --25.4 — 13.0| 2.75 — 2.40) +0:13| +0.85]—1.43|— 0.88) | 504 Mp Le En Gr | RS 
RE else eo) #0 4 ee | 7 
ao as émet) 23.6 99-0] 70.872230 7022 72261 — | — 
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iat ooa al 3:28] Deal — 1:20 — 2:28|--1:08|— 0:06] 99, 19-1 81.410,07) +1.78 21.961 0.46] .— 
= 28:9] +48:2]— 2:00] — 1.72] — 0:44] --3.56|—3:02| +045] 99| +322) 27.21 30191 43.12] 102] —041| — | — 
zu lee Del 0.00 Mod 0:3] -i-41:34]| 96 97322821 0:86) 43.08) 40.18 PLAN P — 
nal aan ae) 45102] 5 0:77] — .09|| 521 -547:8] 738.71 70.38] 71-63] 72.54 1.36] — | 
—|+48.4| +21.9| +1.81) --2.74| — 2.19 — 2.34] +3.64| —1.67 
—|+52.4| +26.8|—3.25|— 2.87] + 0.64| + 0.24] — 1.63] +1.31 "M 
—| 4-25.4| — 26.1|— 1.39 sa io eas oa ca | eo cor 273 +3.17| 0.03 +1.01 Région 333. 
DEL ul ee da ar | 2 E — 1897.98; E'— 1914.01; T — 16.03. 
27|—34.2| --29.1| +0.42| --1.47| 40.01 +243 — | — Kx — — 0.39; px — + 0.0450; rg — + 0.0012; 
35|— 26.3| — 31.1] + 0.03| 4-0.531 +2.43| --4.16| — = ky = + 0.02; px = + 0.0515; r/x = + 0.0281. 
39 — 22.6 — 26.3| — 0.50 |: on ENCRES ky = — 0.00; py = + 0.0516; ry = — 0.0129; 
77| +19.6| -1- 27.81 — 0.49) +0.99|—1. 13 1.09 ky = + 1.54; p'y = + 0.0526; rj = — 0.0162. 
90| 4-28.6 — 21.2 —2407 —145 a ee | 
94 +39.9 4-31.7|— 2.54 —1.29 0.62 0.311 - | 27|— 39.4| +16.9 peu 1-1.54|— 0:411 — 1.86 +0.24) 40.19, 
00! 4-44.6| —16.5| — 1.65 — 0.68] +1.00| +2.15 30|— 23.0) — 59.2] 42.75) +517] +513) +4.19] 41.75) +2. 00! 
49|—14.9| +474 +0. 44  --0.28|— 1.93 — 3.35|— 0.30|— 1.45 
46|— 11. 242. 6[— 0.02| 41.34] + 2.04! 4-0.45|— 0.69| — 0.36 
m 51|— 3.8| 4-30.8| --0.19| — 0.47] — 2.93| — 3.59] — 0.05|— 0.94! 
Région 332. 61|-- 9.7| + 5.7| — 0.49) 4-0.47|— 0:66, — 4.47] .-- 0.39 | -I- 0.14 
de BORN 1p 65| +12.4| --60.5| + 0.04 — 2.04|— 1.58|— 4.00] +0.30| +1.31 
ar Be Le 70| +14. 5 —25.|—0. 76| --0.14| 40.39 —1.49|— 0.16 — 0.89 
kx = — 0.46; px — + 0.0179; rx = — 0.0069; 72) +13.6| — 28.9| — 0.80| — 0.051 -- 1.04 | — 0.52] — 0.37, — 0.27] 
K'x = — 3.11; p'x = + 0.0194; rx = + 0.0157 81 +23. 4|— 18.41— 3. 64 3.22 3.53 5.01 2.75| 4.12, 
ky— 44.30: py 4-010235; "ry 25 0.0019; 82| --23.3 — 52.8| 0.48| 4-0.43| +4.89| 4-3.04] 4-0.14| +2.32| 
k'y = — 0.83; p'y = + 0.0259; r^y = — 0.0275. 84| + 27.7) -4- 44.8 1.87 2.74 3.85| — 4.54 0.49) 0.68 
86| - 125.6 — 9.2] —-0.61| +0.69|— 0.39) — 1.37] + 1.56 — 0.21 
1|— 63.8|— 23.8] 4-1.54| +4.29]— 1.99] --1.08| —0.16| —1.79|| 93| +38.8| +32.4] --1.07| — 0.29| — 0.84 — 3.14] + 2.55] +1.03 
2|—57.9| + 4.4| +1.31| 4-3.75| — 1.91) 2-4.14|— 0.32) — 0.94] H 03| + 44.0 — 55.0] — 1.87) — 1.27] + 2.14) 4-0.81|— 0.44| +0.02) 


N:o 7. 


40 RAGNAR FURUHJELYM. 
| Z | Tz y Unité 0. 01 mm Unité 6. v1 mm Az | ay zi #2 | y Unité ö 04 mm Unité 6. 01 mm A x | 
5 © fen mm en mr enmm D| öar | 02 = ba | bı—aı | ao—b2 onu enum b1—01 | d9—b» | bı—aı | a2—ba2 | 
| 
| | 
hos 449.2) —52; PRO NI 87|—3.77] +2: 6| +-0.47|—1.89| +0.24 33 —30.2| +16.8] +1.97| --3.86| —0.09| — 0.57 
pes --45.2| — 4.40 — 5.28|— 3.25 — 3.54] — 1.33| +0.64|| 35| — 33.1, — 16.7] + 2.99) 43.09] --0.96| +0.13| — 
114, +62.8 4-30.5| — 1.03, — 3.06 — 2:17|— 3.00 +4.25| + 0.68 36 — 30. 9 — 42.5] --1.96| +215] 40.05, — 0.63]. — 
|145| --62.9| — 5.5| 3.33 —3.93|—0.29| — 2.04|— 0.86 4-0.23|| 39|—28.3| +39.0] + 0.98) --2.59|— 0.57) —1.19 
mr TE. | | 105, 32.9 +27.2 + 0.83| --2.51|— 0.25 — 0.30 
95|— 39.7 — 30.41 +9,60! +3.55] --2:01| +0.53| — à 107, +33.7| — 30.9 —0.61|— 0.13 4- 0.16, 4-0.50 = 
26|— 30. 3 --27.7| +1.66| +0.62 4.04 — 2.66 - e 110, +37.2] + 23.0] + 0.12] +2.08 1.16) 0.57 | 
| 31|-27.3 3| +28.5| +1.46| 21-0.34|—1.54|—2.72] — 4| -|-40.8| — 28.4|— 0.67| — 0:75|— 0.35, --0.12|. — 
38 23.9 — 32.8] +1. 31| +1.83 +2.49| +1. 00 = — 
77| 4-15.6| —36.6|— 0.34 4-0.16 --0.78| — 0.15 >= = 
35142544 27.4| 1.07 —2.46|— 2.17) — 3.59 
27.01 —30.8|— 0.91 —0.89 +1.73| —0. 35 
| 90) Hi + 29,8] — 0.66| — 2.13] — 1.111 — 3.19 
| Region 335. 
E=M89526 EP 1910297 7 00302 
Kx = + 0.46; px = — 0.0099; rx = — 0.0023; 
Ke = + 2.49; p'x = + 0.0011; r'x = + 0.0136. 
Région 334. ky = — 2.46; py — — 0.0004; ry = + 0.0207; 
ky = — 0.70; p'y — + 0.0032; r'j = + 0.0081. 
T vci o pal e dc MN N 3-584] — 30.8] —1.92/— 945] 40.381018] — 0:95 
MS ^ 8|—46.2| + 4.5|— 3.26| — 5.291 +0:83| -1-1.03|— 2.26 
tb lon dl 12,—44.3|— 4.4] --0.17|— 2.36| — 0.56 — 0.84] +0.87 
er de HM in A gait S JA at 16|—35.9| +57.5|— 3.25) — 3.97] + 0.84 — 0.37| — 1.74 
ape Porc pi e P Mex 27|— 27.7 — 25.9|— 0.57 — 2.33| +1. 66 +0.85| +0.36 
| ty EME c c DANS 47|—12.3| — 33.0 0.32, — 2.54] -- 0.92. --0.17| 2- 0.21 
| 54|— 7.9|—38.4 --3.55| +1.80| +0. 46 —1. 16| 4- 4.27 
| 5|—56.2| 4-49.0| --4.51| --3.47|—14:95| — 2.39] — 1.501 — 1.34]| 63! 3.9|— 33.5| — 3.37, — 5.82 er 44 —0. 02|— 3.05 
| 11| —53.1| +25.4] +2.31| +1.57|- ED) 2.611 — 1.59 — 1.33 70 4- 1.6| + 4.5|— 0.86 — 3.03 4-2.43| 7-0.67|— 0.49 
| 14 — 51. d —25.5| 4-2.70| +1.30| — 2.721 — 3.63] — 0.69) — 3.24|| 75] Ë C —41.11|— 3.63| + 0.27, — 1.56|— 0.90 
| 21|— 49. 5|— 26.0 +211) 42.28] --1.03| — 0.09|— 0.42, -I-0.39]| 79 8.7, —35.9|— 0.91, — 2.88] -- 2.07, — 0.43|— 0.50 
| 221 —47.6| — 41.3 +1.27| 4- 0.80| + 0.22) — 0.41|— 1.29 — 0.36 des +10. 561. 9|— 0.18) — 1.78) + 2.97| +0.57| +0.41 
| 23) —44.5| 445.0] 4-4.96| +5.25| — 4.62| — 5.45| 4-1.99| — 4.60 97, 4- 21.3 — 33.9|— 0.17, — 2.42] -1.78|— 0.64|— 0.05 
| 30| — 39.1 — 19.0] +0.99| +1.09] + 0.38. 1.05] — 1.37| — 0.32 109 +33: 0|—53.4 —41.19|— 3.59] +2.45| + 0.03] — 1.27 
31|— 31.4) +47.2|— 0.03| +2.03|— 1.88  — 2.54 2.211 — 1.37 u +39.5, +38.2]— 1.01, — 3.56] 44.39) 4-1.89| — 1.30 
| 34/—30.4| + 7.6 7- 2.50, 43.80] + 0.07 — 0.23| +0.58| 40.261125), 4-57.3| 433.4] 4-0.35| — 1.94| + 2.78| — 0.93] — 0.01 
98|— 5.3|— 19:51 4-0.93| 4-1.55|— 1.00, — 0.99 0.16 0.98||127| + 55.4 — 32.4| —1.65| — 3.77] 4-3.79| -1-0.60|— 1.86 
| 63|— 3.4| 4-40.0 — 0.29] +-2.23|— 3.74| — 4.54|— 1.29| — 3.39 55.5 4-45.5| — 1.37, — 1.08|— 1.27) +0.24| 4- 0.87 
| 68|— 3.0|— 5.3 4-0.01| 4-0.73|— 1.90) — 1.73 1.17| — 1.63 56.9| +28.1 —1.97 —3.44 +0:18| 4-1.61|— 0.41 
77 4.3, — 43.7|— 0.45| 4-0.89| + 0.35, +0.06 — 41.06, +0.28]| — — 35.1 --34.3| + 0.86 — 0.13|— 0.42) +0.13| 4-2.23 
78| + 0.2, — 34.7| 4- 0.48, +0.59 1.25| 2.22) — 0.46 —1.91!| — |— 56.7|—15.8| 1.39 — 4.84 +0.65| + 0.58| — 0.96 
84! +14.8| + 26.0] — 2.24 — 0.441 — 1.53, — 0.92] — 2.84| — 0.64 | | 
| 98! +24.6 +13.1| +0.58| +2.391—0.82/—0.391 + 0.48| — 0.18 25 — 29.6| +155 _p.88l 2.62 --4.49| --0.48| — 
103, +26.8| + 3.01— 0.36 -- 0.79] — 2.19| — 1.94 0.56 15757 26|— 29.3| —19.3 0.87! 4|--1.35|—0.25| — 
(108| -- 33.7, — 58.61 40.74) — 0.59] — 1.03, — 0.73] + 0.45 — 1.35 33| — 22.3 --33.1|— 0.26, — 2.71| +2.30| +0.80| — 
1118| +-51.9) 4-33.4|— 0.12) 4-2.15| — 3.01, — 2.31| 2-0.51|— 1.98|| 49 —46.0 — 28.5|—0.78|— 2.82 --2.68| +1.27| — 
—|— 49.6 — 26.01 4.0.29) — 0.12] 4.0.08 — 0.67|— 2.55 — 0.37|| 96 423.9] — 25.8 4.0.32 —1.37| + 2.74) #0.91| — 
—|— 31.5 434.2] 40.69) 41.93] + 0.04 — 1.04|— 1.70) +0.18 100 4-25.6| --24.7| — 0.57, — 2.68| + 2.42] --0.48| — 
— | +26.2 + 36,1|— 0.63, 41.25] — 1.14) — 2.05|— 1.00 — 0.884104) + 28.1| — 20.7| — 0.65 — 2.44| --3.19| --1.22] — 
—| +31.3| --16.6|— 1.32| +0.47|— 0.32) — 0.12| — 1.29) -- 0.24 106| --31.7| +33.0| +0.18|— 2.00| +3.78| 4-1.04| — 


Tom. L. 


("^ —— 


An 
IR 
N:o 7. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 41 
| i i | i i | 
Z ce | y Unité 0.01 mm Unité 0.01 mm EE | dy 2 2 y Unité 0.01 mm Unité 0.01 mm Az | dy | 
9 jenmmienmm| p, c. | ay—bs | di- ar | ao—be e en mm en mm] =, | aa—ba | b1—0a1 | ab 
| | | | 
"gw — 64| 4-2.88| 4-2.58|— 0.17 — 0.03| +0.26| +0.20 
Région 336. 33,—22.9 + 1.4| --0.36| --0.93|— 0.90| — 0.57|— 0.56| — 0.91 
63| 4-17.0|— 20.7| —1.77| —1.67 4144 —0.10| — 0.68 — 1.14 
E — 1895.21; E'— 1913.18; T — 17.97. 65| + 20.4| --14.2 — 0.08| 4-0.23| — 0.52 — 1.07| -- 0.32, — 1.46 
2444 =} EL 73| +26.11— 7.9|—14.53| — 0.53| 4-0.02 — 1.24] +0.05|— 2.06 
= ceu d px = j jus Pg E CN 7| 4-28.4|—47.9|— 3.55 —2.18| +1.43 —0.17| — 0.62 —2.11 
dre: ate À Tee ti n RE: 93| +58.2) 450.2] + 0.60 — 0.23] 40.94 — 1.13] 41.05 — 0.43 
LR py — RE RE TA 96) +56.0/—58.1|— 7.19 — 5.18] 4-1.21| —1.11|— 2.52 — 3.56 
Mat dr ipid "uc ss 009 97| +61.0| --60.7| — 0.04, — 1.91] --4.41| — 0.71|— 0.26| + 0.27 
3|— 63.7| --47.8]— 2.41] +0.58|— 0.65| --4.33|— 2.53|— 0.06] — | 54-8) +46.8] + 2.78] t 1.66|—1.89| 1.86 —1.53| 0.00 
41|—47.9|— 5.0|—0.28|—0.82]—0.57, +5.16|—1.99| 0.00! | | | | 
16,—441.0,— 7.71 4-3.27| --3.05] +0.22 +4.59| +1.85| +0.16 23|— 37.4 TEM 3-2.09|— 0.20 — 0.78 
19|— 40.1 — 45.3] + 4.81] +2.56| +1.67| 4-4.76| - 2.11, — 0.13]| 26 — 33.9 — 21.6| 41.09] --1.48|-F0.06 +0.20) — | — 
23|— 37.8) --34.7|— 0.02) 4-2.24| — 2.57| 4-1.90| +0.17)—1.25|| 29|— 25.2 —18.6|-- 0.46 +1.46| 1.261 40.79) — | — | 
95|—38.8| -1-31.1|— 0.70! +4.46|—1.53| +2.94| — 0.60! — 0.33|| 31|— 22.6. +29.1| +1.88| --1.95|—0.79 —0.94| — | — | 
28|— 39.9| — 33.7| --3.92| +1.67| 41.42 +4.70| --1.31| +0.06|| 69, - 25.5, 4- 19.4] +0.05| 40.23 +0.57 — 0.56 ar 
29 — 35.9 —63.0| --1.89| —1.69| 41.19 2-4.53|—1.51|— 0.94|| 70, +25. +17.1]— 0.53 — 0.35] +1.40| 20.691, — = 
34|— 26.6| +50.7| + 0.06! +3.59|—1.68| +-1.66| 41.25) — 0.23 24 -27.8.—22.7|—2.57 — 1.14) 43.01) +185] — -— 
35 —28.8| 4-41.5| — 5.12 — 2.55| — 5.52, —1.94| — 4.52. — 4.27) 75, +29.0/—29.6[— 2.43 — 1.31 +2.52| 44186] — | — 
39|— 29.4 + 7.2] +0.27| --1.28| 4-1.86| 4-6.48|— 0.18 +2.59 
63|— 8.7| + 4.7|— 0.76| 4-0.59| — 0.65, + 2.73] — 0.61 — 0.22 Région 338. 
74|— 3.5|-- 7.6|—1.10| 4-0.20|— 0.68| --1.46| — 0.84| — 0.68 
76|— 4.1|—44.5|— 0.25| — 1.56 pen +3.241— 1.69) — 0.41 E = 1895.30; E’= 1913.27: T = 17.97. 
80| + 3.1|— 42.3| 4-1.25| — 0.03| 41.79) + 2.66] — 0.01| — 0.21 
85 + 5.5/— 51.9] 41.96 — 0.87] 41.64 42.72] 0.09| — 0.50 S ern Sg ME pe eg œil 
87| +10.8| --53.9| — 3.42] — 0.12 1.67 —0.71| 1.50 — 0.60 RÉ tgo; Dis IBID EOS UN en 0.0099. 
112| +25.9) --16.3| —1.14| 4-1.04| — 0.23| --0.13| + 0.26 — 0.31 LL Wed Das Em ws cubi T es 
145| --25.7|— 45.6] +5.98| + 4.35] --2.25| --2.201--5.02 +0.11 Dé pet Ve nde a E Cole 
135| +45.7 + 3.9|— 0.90, — 0.61|— 0.09 — 0.74|— 0.10 — 0.66|| 10] — 59.6| — 19.7] +1.22|— 0.86|— 4.16| — 4.19| — 2.17) — 3.12 
444. +58.1| +30.2]— 2.77, — 0.65] 40.14 — 1.82 — 0.59|— 0.07 16 —544 +45.2] +1.61 RM 4.81|— 4.54|—4.25| —1.95 
151|-4-63.8|— 3.2] 0.00, — 0.23| +0.64 — 0.76] -- 0.87, — 0.18 22 471 +24.5| 40.62) — 0.37| — 2.15 —1.52|— 1.98| -- 0.25 
| | | | 28 —41.6 — 33.9 +0.36 2.47|— 1.58|— 1.72] — 2.67 —1.19| 
17|— 40.5 — 28.6| 4-1.88| + 0.64] +0.93| +4.86 39 —34.5| --26.3| 42.13) --0.61|— 2.16 — 1.98] — 0.29) — 0.08) 
26|—37.0| --23.4| +0.55| --2.26|—1.65|--3.4| — | — || 40,— 30.0) — 24.0| — 0.40 — 2.03|— 0.70, — 1.26|— 2.46, — 0.38. 
32|—30.6|—18.6|--1.50 +0.21|+0.83 --4.25| — | — || 41|—32.0|— 47.0| +2.01| 4-0.12|— 0.11, —0.76|— 0.14 — 0.43. 
37|— 25.5| +29.0|— 0.31| 4-1.77|— 0.87, 4- 2.84 47|—29.9 —57.1| --0.57 — 0.32] — 1.50 — 1.47] — 0.96 —1.77 
100! +20.0 —30.3| 40.92, —0.05| +0.76 +1.21 511—23.1/+ 7.0] 40.98) —0.27| — 1.37 —1.74|— 0.79 — 0.21 
103| 4-22.8| +19.9|—1.42)4+0.23|— 0.35 40.41] — | — || 76|— 0.4 --27.3|— 0.38 — 1.37|— 2.96 — 3.82] 1.29 — 1.78 
111) +27.5| + 26.0) — 1.50, 4-0.48| 40.09 +0.55 79— 4.4 —27.4| +1.25|—0.19)—1.60 — 2.81] -- 0.23 — 2.00 
120 --33.0|—16.5| + 0.46) — 0.60] +1.86 41.47| — | — || 99 +23.2 +37.6| +0.49| —1.51| — 2.23 — 4.33|— 0.11/—1.67 
100! +21.4 + 9.21—0.37 —-1.81|—0.83 — 2.12] — 0.62 — 0.60 
7 103) +27.6| +43.6| 40.73 —1.03[— 2.84 — 5.52] + 0.37) — 2.46 
Région 337. 109 4-37.0 +-56.9]— 0.34|— 0.87| — 1.08 — 3.47| +0.20 — 0.32 
410| +36.7| 4-43.9| +1.60! 20.90] — 2.33| — 4.86] + 2.11 — 1.99 
E = 1896.13; E'— 1911.14; T = 15.01. 118) --40.2| + 3.5| —0.44|— 2.25| 4-0.47| — 1.64] — 0.14, — 0.09 
7 him Mov ya em 125 +49.6| + 9.7] --0.31— 1.18] 4-1.40| — 1.38] + 1.05| 4-0.57 
pi " 3 ios P. " h fous Ps bre TA 128 +51.5| 419.0] — 0.69 — 2.72] 40.531 —2.48| 0.19 — 0.19 
k,— — 402; py— + 0.0306; ry — + 0.0273; 135 yore — 2.83 — 514 SERE — 0.12] —1.77| +0.10 
^ — — 0,35; py— + 0.0307; ry— + 0.0136. — 25.2 —43.6] +0,64 — 0.70 me + 0.32] — 1.00, +0.33 
his +2.74| +1.68[— 2.51 — 2.47) 1.66 — 0.651] 33|— 39.2) — 33.7] + 2.13) + 0.69] — 0.77 — 0.40 | 
zo se Moe i a Lars —4.85|—4.93|| 37|— 33.5! +37.9] +2.27) --1.28|—2.19|—2.53| — ge 


42 RAGNAR FURUHJELM. 


| nn mm 


Diff. en x 
Unité 0.01 mm 


by—a1 | ag—ba 


Diff. en 
Unité 0.01 nm 


Diff. en x 
Unité 0.01 mm 


Dole eli aire br 09) far ba) EL at ne 2 


Diff. en y 
Unité 0.01 mm 


bi—a; | ao—b2 


| | | 
y | zd y 
© lenmm en mm 
| | OL EE | 
| aa — 27. 5 +39.4| 4- 1.86, 4-0.53|— 1.90, — 2.44 10 56.6 -— 51.6] 4-1.31| 40.25] +5.32 --3.44| +1.51| 1- 1.28) 
60|—419.3|—37.3| 4-4. 98 --0.24| 4- 0.29| — 0.26 16 -40.3 -+ 30.4] +0.74| +0.43] — 0.48, — 1.31] — 0.14 — 0.26 


4c 4 
en mm y 


by—01 | a2—ba 


| 
| 
| 


1:95] -1-19:5| --47.9 049 0.731 — 0.61, — 2.78 17 41.4) 5.5|— 0.01 — 1.54] + 0.72) — 0.32] — 0.65 — 0.85 
97| +15.9) +35.5 +0.87|— 0.64] — 0.96| — 2.79 18, —39.9| +45.1] +2.85| +1.09|—1. 59/—2:27 +-0.89| — 0.62 

1106| +27.9|— 45.9 19 37.9 +40.8| — 0.41| —4.21|— 2.39|— 3.03| — 1.71 —1.61 
114! 4- 36.5, — 48.5 30 26.9 43.41 +015] —1.66| +2.64| 41.47] 40.79) — 0.91 
50|— 7.4|—56.1| +0. 16|— 9. 33] +4.02| 42.59] --1.45| — 0.42 

51 — 4.9) +22.7| 4- 0.47, — 0.69| — 0.41 — 0.74] -I- 0.56, — 0.61 

57| + 2.3) 4-33.51— 0.84 — 2.42| — 1.13, — 2.31] — 0.97) — 1.30 

74| + 5.4,— 30.0|— 0.34| — 4.70| 2- 3.12, +1.68| 4-1.31, — 0.20 

87 +19.6 — 38.1| — 1.87| — 4.57| +4.24| --2.18| — 0.20) +0.11 

92, +27.4| --45.3| — 2.87, — 4.07] 4- 1.41, — 0.85|— 2.23| +1.04 

iR --34.4| — 35.4| — 1.34| — 2.35| -- 1.17, — 0.86| +1.61| — 2.94 

104| --37.0,— 57.8|— 2.31 — 4.521 +4.67| -I-1.85| +0.68 — 0.91 
106 +43. 5 + 6.1|— 4.27, — 3.00] +-1.04|— 0.74| +0.61| —1.06 
119, +51. 6| —39.2 — 1.45| — 3.16| +4.36| +2.62] -I-1.59| +0.5% 
423, 4-61.5| +27.1]— 3.01) — 4.70] +1.39/ — 0.30|— 1.01, -I- 0.17 
|—18.2| + 0.2|— 2.10, — 2.96] +1.23| +0.05]— 1.76, — 0.34 

| -- 40.3, — 38.2| — 0.76) — 3.21| +5.07| +3.56| 4-1.75| +1.04 


1-032 —2.53| 41.85 —0.36 
— 043 —2.47| --1.60 -0.07] 


| Région 339. 
| E = 1897.98; E'= 1914.03: T = 16.05. 


kx = + 0.78; px = + 0.0655; Lech 0.0132; 
Ke = — 0.20; p'x = + 0.0663; r'z = — 0.0097. 
ky = — 0.560; py = + 0.0502; ry = — 0.0275; 
k'y = — 0.08; p^, = + 0.0519; ^, = — 0.0298. 


5|—57.8| + 16.5] — 0.15| 4- 0.30] +0.68| + 0.01 3.41, — 0.73 
i9 — 50.5, -F18.5| +0.51| -1- 1.82] +0. 58| 24-0.84| — 1. 84 0.06 
46 — 53.3) — 55.01 +1.69 +2.04] +3.37| 4- 2.82] — 1. 45! — 1.51 
18 —48.3| + 8.8] — 0.05, -1.40|—1.04 — 1.03] — 2.19 — 2.241] 20 M "en 0.36, — 1.95 19,77 erg ae 
| 40 — 28.0 +14.9 +4.45| 49.58 +040 — 0.01 -+3.49| — 0.26 93| — 34. 6l --31.6 eq 54! -- 0.09 + 0.36| — 0.73 
58 — 14.8) — 21.9| — 1.08| — 0.37] +3.44| 4- 3.07| — 1.45 +1.44 29, — 30.0, — 30.7 0.34 1.64] +3.03| 4-1.56 


| 68| + 2.9|—-27.4 — 1.18) — 0.51) +1. 27 --0.03|— 0. 4 —0. 921] 33 — 18.6) +38.1| 40.55 — 0.44] — 0. 43| —1.23 
75| 2-10.8| 4-56.6| — 2.82, — 0.63|— 2. 57, —2.92| 0. 62 + 0.18 81 + 18.2) + 23.3] — 0.49| — 2.92] +1.17|—1.45 


| | 
50:05 94-291 —283| 230 aA 43474342] — | — 


78) --15.9— 32.7 — 0.89 — 0.91] 4-1.80| +1.11| 4-0.38| 
91| --31.8| + 4.2|—3.73 “api an —446| —1.26 95| 4-27.7|—30.3|—1.43,— 4:44 | + 3:86) 2.04] — | — 


94| 2- 37.3| 4- 62.3| — 4.39| — 2.34| — 3.17, — 3.15| — 0.51, + 0.82 100! --36.4| --18.7| 1.57) — 2.60! 41.75|— 0.33] — Br 
4104| +50.0,— 17.5] — 4.77) — 4.59 


0.17, — 0.21|— 1.12, +0.08 
1407, +50.8| +51.3|— 3.91| — 1.77] —3. ‘65! 3.94] + 0.89) + 0.01 
112 +55.0) — 47.2|— 2.27) — 2.18 


+1.86) +1.34] +1.61| -- 0.49 


24/—44.2| 4-31.5| --1.84| +4.54[— 0.25 —0.07| — | — Région 341. 

| 27] — 39.9] 4-22.3| +1.18| +2,90] 40.44 —043| — | — 

| 37|—314 —44.7| +4.99| +141|+3.66 43.97) — | — E = 1895.32; E’= 1913.29; T = 17.97. 

| 44| 29.21 —42.2| +4.74| --4.20| 43.67) +2.56| — | — 

| 86| +27.2| +422 TESI TM E | ks = 202 wet ONE EE 

| 88| --26.7,—40.0|—2.81,—2.22|--1.35,-0.95| — | — Kip ETSI pae PAS RE 
89| +31.8, --43.7| — 3.14  —1.99| — 1.62 — 2.63 | ky. OT [Bye TO IDRG T Mr. c EE 
97| --37.3|—37.8|—2.13,—1.43|--1.35|-1.26| — | — Ky. a A FA AO Ar RR LEEN 


1|—60. .0| +33.6| +-1.56| 4-0.81]|.— 2.94| — 2.09| --0.75| — 0.26 
19139: 3|— 45.7| +2.56| + 0.21] + 0.71|— 0.85] — 0.29] —1.27 


Region 340. 54|+ 4.0) + 0.2|— 0.52 —1.61| 40.42 — 2.00] — 0.87 — 0.20 

57 + 1.0. — 10.2] +1.85| +1.09| 41.06 — 1.25| 41.38) +0.06 

E = 1897.98; E'— 1914.03; T — 16.05. 71 417.5 — 49.8] 40.69 —1.03| --3.14| —1.45|— 0.62| -- 0.46 

ye + need + Pr ea + ACRI On 85 --29.0 + 4.10.95 —1.42] 44.24 --0.38|— 0.37, +2.96 
et ee IPM ost 93| 436.9 427.01 1.74] —1.81| 1.11) —5.44|— 0.29 — 1.67 
ks! Je et bros VR AES. 95 --39.3 — 50.1|— 1.77, — 2.98] 4-0.55| —3.96|— 2.52 — 3.39 


4 | Eu. "j — 
+ 0.0522: r^y — + 0.0038. 97, +434) + 2.3] 40.161 — 0.99] 40.41] —4-37| -F0.66 —4.46 
99 +44.2 — 5.4|—1.84| —3.04| + 2.54 — 2.16] — 1.49) +-0.38 
2|— 64.3] 4-33.1| 4-5.15| 4-4.07]| --0.41| — 0.80| 4-2.99| +0.75||103 | +51.3| + 2.8|—1.91|—2.31| + 0.29 — 4.43|— 0.85 —1.56| 
| 5|— 61.8, — 54.4] +116) — 0.36| 4-2.82| +-2.14] 44.02) — 0.71||109| 4-56.7| +12.1]— 1.59 —3.08| 4-0.32| — ^-69|— 0.75 — 1.30 


ky — — 0.52; p'y 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 43 
A | 1 n | | 
? jen mm en mm ESTEE E] IRL | g [enmm|en mm| v. ^5, | ob | 5;—a3 | aa—62 | 
112| +61.6 + 5.0|— 2.01, — 2.88| -- 4.42, — 1.84| — 0.92| +1.85 | 
115| +62.9|— 34.0) — 2.59 — 3.99| + 1.93 — 3.73| — 2.59| — 2.00 ded | 
—|+42.8|—27.4|—1.02| — 2.88] --3.14| —1.95| — 1.53| — 0.14 Région 343. 
| | | 
45|—36.3| +17.9| --4.52|—0.44| —0.54|—1.701 — | — E = 1894.29; E'— 1913.25; T = 18.97. 
ne ee Ion bcr Anl aper p 200 7 sk DAE 
33|—15.5|—43.0| 1-144 —045| 44.74] —040| — | — mor Habs ni Te N: 
S E ER de : ky = — 3.05; py = +.0.0012; ry = + 0.0007; 
72 +15.0 — 49.6] 40.95 — 0.26] 42.74 — 0.95] — = Ky — — 048; p'y = — 0.0025; r'y = — 0.0309. 
76|--22.4|--23.4|—0.68|—1.59| 0.00—3.25] — | — 
ud ar hui À ws Pd Hog E | D | 3—601+ 4 He tete nas — 0.65 
SRE sas SEE d EI T 46, —47.0| 4-30.0] +0.61| +0.16| 4-2.51| +1.67| +0.19 — 0.40 
25.—42.3|— 3.5| --2.10| +1.34] +2.93| --1.87| --4.22| 0.00 
31|—32.8| 4-21.81— 0.99 — 1.37] 2-2.61| 4-2.051— 1.17, 4-0.06 
45, —22.0|— 56.2| — 0.12 — 0.94] 4-1.78| --0.08|— 1.25| — 1.13 
47, —184| +24.3] 42.14 42.20] — 0.45 —2.80| -- 2.54 — 3.68 
Région 342. 50 —15.7 + 1.81— 0.42 —0.85| +-2.82| --1.17|— 0.50 — 0.01 
56 —12.2 +21.4|— 0.47 — 0.62] 4-3.39, +1.51|— 0.08, +0.49 
60,—414.2|— 5.5| 41.27] + 0.99] 4-2.33| — 0.12| 41.21] — 0.87 
E = 1895.26; E'— 1910.29: T = 15.03. 68 — 0.8  4-30.2| 40.17] +0.83| --2.33| + 0.29] 4-1.31, — 0.48 
69,— 2.4|— 9.3| 4-0.49| +0.51| 4-2.76| +0.40| + 0.78 — 0.21 
ks— E002; pa — 0.0217; = + 0.009 hoi +26.6 + £9| 4.98. 2,07| +0.49| —3.19|— 0.92 — 2.86 
Pepe NET = 2ER UII, 32.7] A| 4 66) 2 32) 929) 1-0.01|—1.03| 40.22 
nes AS ur = 0:0809; 108 --35.8 — 5.5|—1.17 —1.92] + 3.67) + 0.06|— 0.38) + 0.64 
al Pu 0 AA 2 ri nn 0.0088. 115 4-44.6| —44.0| 1.09 —1.40| 2.90 —0.54|— 0.37 +012! 
117| 4-48.9| +14.8|—1.851—2.33| --1.81| — 2.22|— 0.39 —4.24| 
&|— 52.0| 4-33.3|— 0.55| — 0.75] + 0.39] — 0.82] — 1.25|—1.93|| — | 29.5 4-43.2| —4.67| — 4.27| +2.60 —1.36|— 2.83| — 0.73 
| 46/— 39.0, +27.61 +1,12) +1.78| +0.86 — 1.38] -- 1.13 —2.07|| — | +-40.2) +53.5|— 2.42) — 2.35| --3.89| +0.2|— 0.39| +0.96| 
22 —32.0 — 22.5| 40.33 — 1.42] i-0.91 —4.22] 0.01 — 1.40] 
23|— 34.3, — 50.8|— 0.39| — 2.58| --2.11 | --0.35| — 1.24 | -I- 0.37 38| —26.1| —148.1| 40.77) 2-0.33| 43.381 +1.46| — 25 
25 — 27.5. — 16.5] 4-0.60| —1.60| +0.03 —1.37|— 0.32, — 2.05 40 — 23.2 --31.4] 0.48 — 0.30 19,69) +1.36| — En 
29,—18.0,— 3.3| +1.221— 0.38| -- 2.32 — 0.70] +0.70| — 0.87|| 41 —24.7| 4-29.5| — 0.66 —0.57| --2.70 +4.00] — A 
| 30) — 18.4 — 16.3] + 2.28) — 0.05] 4-1.13| — 1.83| 4-1.47| — 1.86 431 — 24.3| — 20.2 40.79 --0.18| 13.35 +1.20| — Eu 
44 — 4.7 --42.3| — 2.56 —1.64| +2.61| +0.20| — 1.86 —1.04|| 99! +20.0— 31.7] 0.51|—1.25| +2.27|— 0.87] — = 
&46|— 0.1 2-12.5| +0:80| +0.63| 4-1.89| — 1.13] --1.23| — 1.74|| 96 +24.5| 1-36.8| —1.57 —1.57| 4+3.56| £0.34 — | — 
A48|— 4.1|—44.5| +0.49| —2.44| 4-2.41| 2-0.04| — 0.19| —0.14]| 99 124.6 — 32.60.23 —0.90]--3:3« +0.06| — | — 
56| +14.2| +50.6| — 1.26| -1-0.36| + 0.05) — 3.64| 40.10 — 4.601100 -+26.9 --47.8| —1.12 —1.16| -3.09 — 0.52] — = 
73|--31.8|— 0.6) 4-0.31|— 0.85] --3.20| — 1.10] + 0.93) —1.31 
79| --39.6| +-18.6| + 0.24) — 0.16] --6.61| +1.27| 4-1.27| + 1.22 
84| +44.0| --49.1| — 2.08| — 0.42] + 3.29 — 0.49| —0.13| — 1.77 
97| 4-60.9| —19.9| — 4.13| — 4.13| 45.37) + 0.64|— 2.25| +0.51 tet 
— |— 55.8 —32.4|— 0.67 — 2.77| 0.36 —1.55| —1.97| — 1.76 Région 344. 
—|— 64— 50.7| --1.91| —0.14| 42.80 — 0.44| +1.69 — 0.04 ee E oon 
13|—43.2|—30.9| +1.01| —1.58| -2.:34|--1.0]] — | — kx — — 2.16; px — + 0.0058; rx — + 0.0034; 
17, —36.8| + 24.4] --0.91|— 0.03| +3.13| +1.40| — 2 k'y = + 2.52; p'x = + 0.0171; rx = — 0.0123. 
19|/—39.4|— 24.4| +0.51|—1.26| 41.36 +0.05| — ky = — 0.92; py = + 0.0061; ry = — 0.0372; 
27 —232.5| --14.6| --0.78| +0.06| 41.99 +0.23| — — ky = + 1.30; p'y = + 0.0061; r^ = + 0.0134. 
65| +26.3| +30.3[—1.73|— 1.49] 44.79) +449 — | — 
68| + 28.2) — 34.3| —0.26|— 2.74] + 3.15 — 0.64 4| — 55.9| +50.4| +3.83|— 0.04] 4-4.18| —14.79]| 4-1.21| + 1.03 
69| --32.3| -1-22.5| — 1.10, — 0.99] +4.56 +0.77 7|— 52.8 | +60.8| 4-1.75| — 2.06| --3.39| — 1.90] — 0.85) 40.68 
77| +34.1|— 23.6| 4-0.46|—1.60|--4.57| +0.30| — | — || 18,— 47.7, — 35.3| 2-1.24| — 3.04|— 0.13) — 4.14| — 1.11|— 2.73] 


44 RAGNAR FURUHJELM. 
Z z y Unité 6.01 mm Unité à 1 mm IX dy Zz | gi Unité 0.01 en Unité 0 01 mm A x 4y 
© jenmmjen mm bı—aı | FER bi—01 | d2—b2 > Jen mmjen mm bı—aı DEI bı—aı | a2—ba | 
| | | 
21|— 43.2] —13.3| -I-4.27| — 0.34| -I-1.91| — 1.92 +1.70| — 0.41 58 14.0 — 58.0 +3.66 —1 29] 4-1.28| +0.76| + 0.67, — 0.31 
26|— 39.8| --17.6| -- 2.29, —1.96| --2.38| — 2.15| — 0.19 — 0.06] 62) — 5.8|— 57.7] 4-1.48| — 2.46 --4.67| 4-2.08| — 0.75| + 0.44 
27 — 39.5|— 17.0] +2 04|— 2.72| 41.70, — 1.71|— 0.48, — 0.33 67|— 0.3| — 48.4| +0.88 — 3.04| 4-0.79| 4-1.69| — 1.13| — 0.17 
35|— 30.3, —412.5| +4.16 — 0.55| 41.37) — 2.36| 41.69) — 0.74|| 73| + 4.5|— 55.6] 2-1.10| — 3.61| +5.39| +5.56| 4.19| 3.93 
47|— 418.2, +10.0| --1.03| — 3.27] —1.29| — 3.45 4.19|— 2,34 75 -F10.0| 4-50.3| — 1.07, — 1.30] +1.14| 4-1.37| — 0.46| +0.60 
53|—13.6| +-62.3| +2.82|— 0.86|— 0.62 — 2.86] 40.72, — 1.33|| 76) + 5.8 +39.8|— 0.79) — 1.82] — 0.64| + 0.31] — 0.75) — 0.86 
55|—12.7| +54.6| 40.75] — 2.76] 41.52) —1.27|— 1.21| +0.49|| 86| +24.4 +16.1| +0.20|—1.33|— 0.92| — 0.10] -I-0.43| — 1.66 
56 — 14.4 4-32.6| +1.91)— 1.74| 4-0.71|— 1.87| — 0.04, — 0.36|| 99 4-30.3, + 6,7] 4- 1.00, — 1.54|— 0.16| 4-0.73] + 0.86 — 1.02 
60|— 5.4 +62.6 + 0.93] 2.16|— 0.62 — 2.85 0.77, 1.23||106. +44.3) --25.4|— 1.88, — 2.93| — 0.36| + 0.13] — 0.76 — 1.43 
73| + 4.0, — 20.6| --3.60| — 2.30] +1.04|— 0.78 +-0.96| 4-0.24]|117, 459.6 + 6.6] + 2.39] — 0.36|— 5.61| — 5.09| +3:02/— 7.03 
75| + 1.6|— 58.4] --4.64| — 0.92 mi +2.32|—1.99 121 + 62.8) —35.5 +1.40|—3.21|— 3.40, — 2.87] +1.00| — 5.23 
78| + 5.6| 4-25.7| -- 1.39) — 3.18| — 0.71, — 2.21| — 0.76 — 1.04] — |— 28.0, — 55.9] 43.32) — 0.83| +4.93| + 6.16] + 0.32) -- 4.40 
| 82] +13.8)— 3.61 --2.17| — 83.20] + 0.55, — 1.35]- 0.16 0.06 |+61.7| + 6.6] 40.79 — 1.88] +1.44| +2.08| +1.52 +0.05 
89| +17.7|— 3.0] +2.18|— 3.28 —0.68| — 1.98 — 0.15, — 0.95 =] +24.8| — 51.3|— 0.04 | — 4.84] 43.76) 4-3.29|— 4.73| +1.76 
92| -- 21.2! --20.4| + 2.70/— 2.741 +0.07|— 1.65 -F0.31| — 0.22 | | | 
93| -- 24.6 + 2.5 1.49 — 2.33] — 3.85 | — 4.791 0.03, — 3.81 35|—927.1| 4-25.9| --1.66|— 0.02| —0.33| --0.88| — = 
95| --21.5|— 42.8 251) 1.09[-10.51 11.62 -- 2.32 —10.89|| 37 — 29.2) —19.9| 2-2.30|— 0.56 --0.53, ke — = 
96! +20.3 — 41.8] — 1.14 — 6.24] — 4.27 — 5.64] — 3.09 — 4.77) 38|— 29.7|— 36.7] +1.89/—41.49|— 0.32) --0.72] — A 
109. 4-36.1| 4-52.6| --1.13| —3.29| — 1.75| — 2.36| — 0.72) — 1.121] 45 91.0  4-36.5| 10.59 +0.58| £0.55] +174) — | — 
120 -]-46.8| — 43.8| + 2.49 — 2.93] -- 0.01, — 0.28 +0.69| +0.34]| 85| +20.9| +30.8|— 0.89: —4.79| +0.23| --0.76| — == 
1123) +51.4| +40.6|— 2.11 — 6.77|— 6.16 — 6.03| — 3.85| —5.04]| 89 --29.9|--24.9| — 0.84 —2.04|--0.72 +1.33| — | — 
—|—96.5|— 8.4] -- 4.15, — 0.85] -I- 2.73, — 2.09 +121) — 0.21 102| 2-37.6| — 32.4 +0.90/—3.07 --1.96| --1.94| — = 
—|+ 9.0| 3-10.8| +2.08 — 2.25] 4.0.58 —1.25| 4-0.15| +0.03]1103| --39.2| — 33.6] 4-4.34| — 2.69| +1.88| +2.50| — = 
— | +29.8| 4-57.0|— 3.13 — 7.28] — 5.88 — 6.64|— 4.94) — 5.36 | 
— | +45.3| +33.7] +1.63|— 2.85 2.56 2.36 — 0.06 — 1.52 
— | +48.9|— 2.2] +2.00)— 2.44] — 3.40) — 3.22] + 0.53) — 2.55 
Region 346. 
19, —42.5| +39.5| 41.94 — 1.63 42.90 — 1.33 — — : 
30.—35.2,—44.2] 4-2.30|—2.61| +2.02/—4.86| — | — E — 1895.31; E'— 1913.28; T — 18.97. 
33, — 34.0, -- 45.0] +2.00/ —1.56| --2.10.—2.24] — ETT kx = — 0.68; px — + 0.0196; rg = + 0.0181; 
42|— 29.8 — 34.8] --3.20/| —1.77| +1.86 —1.74|] — — k'x = — 0.09; px — + 0.0331; rx = — 0.0063. 
97| 4-26.0| 4-44.9| + 2.09] — 2.38 1.00 1.41 | ky = + 0.78; py= + 0.0223; ry = + 0.0030; 
101, +30.3| +52.8] -2.10,—1.92|—0.69 —1.62] — | — k'y = + 1.08; p'y = + 0.0236; r^y = + 0.0092. 
107, +30.9/— 37.7| +1.40| — 4.05] 4-0.87, -+0.39] — — 
"lg vlla SH repe i6 aero e HU) | 6|— 55.4| 451.3] 4-150] 4-2.78| — 1.59] — 2.47] + 0.60] +0.41 
7|— 58.2| — 17.4] — 0.07, — 0.93|— 0.76| — 1.78| — 2.52| — 0.38 
11|— 54.0, — 47.8| +2.57| 4-2.11|— 0:21 — 0.991 + 0.25, — 0.42 
29 —39.2)— 9.3| --1.60| +0.81!— 4.08| — 4.581— 0.27, — 3.37 
Xi 33,— 26.2) + 62.01— 0.19| 4-0.21|— 5.58) — 5.76|— 0.70, — 3.16 
Région 345. 44|— 22.3| — 60.9| 42.63) +1.88| --1.14| 4-0.87| + 0.92] +0.67 
BENT TSUNAMI 45|—18.5| --42.5| —1.01|—0.84| — 2.21 — 2:58] —1.54| — 0.37 
a. RE FRA 56 — 14.2, — 41.8] 4-2.70| +1.99| --3.30| +2.44| 41.33) +2.92 
ke = — 0.92; px — + 0.0274; rx — — 0,0263; 60,— 8.9) 2-15.9|— 0.62) — 0.45| — 1.95| — 2.64| — 1.05 — 0.94 
= + 1.99; p'x = + 0.0332; rx = — 0.0169. 62|— 9.4|—41.4| 40.25 4-0.07| — 2.27, — 2.94] — 0.54| — 1.87 
ky = — 0.59; py — + 0.00442; ry = + 0.0182; 77 +14.3 455.8] -- 0.81] 4-1.42| — 9.63 10.41] +1.43| — 7.74 
ky = — 1.88; på — + 0.0069; ry = + 0.0072. 84 --12.7  — 55.4|— 0.34 —1.86| +0.90| --0.47| — 1.47) +0.27 
87, +19.9 — 48.4] +1.63| +0.24]— 0.58| — 1.18] +0.78| — 1.18 
2/—61.7| +10.0 +5.72| --4.20|— 0.92| +0.81| 4-3.33| — 0.17 95| +34.0) 4- 58.9] — 3.39| — 3.53] — 3.89| — 4.041 — 2.59, — 1.89 
5 — 59.5) 419.2] +1.98) --0.70|—1.43 —0.13|— 0.17 —0.83| 100. +36.7 --14.0|— 0.57 — 0.74| —1.12,—0.53| +0.00| +-0.20 
42— 53.2|— 59.5| 4-2.08| — 2.01| 4-0.76| 2-4.07|— 1.66| +0.06||104 -I- 40.5, — 45.2] +1.30| -1- 0.15] 4.0.36) 40.32] -I-1.13| — 0.01 
41|—23.4| +59.5| --1.94| +1.99|— 0.11 +1.31| 41.72) +0.45|[113) 2759.1 2- 45.4| — 2.56 — 2.45] — 4.40 — 3.86|— 1.06, — 2.52 
54|—19.8|— 33.2] 4-1.13|— 2.65| — 1.10] +0.04|—1.33|—1.56|| — — 17.1 +54.5]— 0.42) +0.18]—1.58|— 2.24|— 0.63) +0.38 
Tom. L 


CA TS 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 45 
—————————————————— M —————————— 
Z eb | y Unité 0.01 mm Unité 0.01 m AT | 4y z ‘2 | y Unité 0.01 mm Unité 0.01 DA am AY | 
© jenmmlen mm| »,-— | 05-62 | dy 01 late | = enmm en mm are ren ar | 
| | 
30|— 33.4) 428.6] --0.84 +-1.09]— 2.03 — 2.88 PE | 
35,— 28.8 +27.6| -- 0.73, +1.28|—1.20/—1.61 Région 348. 
37|— 27.3 — 29.9] --1.33| --0.35| +0.07 —0.35| — =E | 
44|/—21.4/— 37.7| +2.21| +1.231—0.04/— 0.25 =: E — 1895.29, E'— 1913.26; T — 17.96. | 
90| + 23.6/— 29.5| +1.08 — 0.621 +0.16 —0.09| — 2 | 
93| 4-29.2| +27.5|— 0.44 — 0.58|— 1.05 — 1.38 ke = — 0.64; px = + 0.0202; rx = — 0.0101; 
94| 21-97.1| +925.7|— 0.27, — 0.56| — 1.30| — 1.11 xc — 4.48; px — + 0.0235; rx = — 0.0404. 
97| 4-32.5| — 18.3| + 0.05, — 1.58|— 0.72 — 0.86 ky — — 2.97; py = + 0.0124; ry = — 0.0459, 
: k^ = — 0.95; p'y = + 0.0093; r'y = + 0.0059. | 
4|—62.1|-+ 3.0] -+0.97| +1.16| 2-4.33| — 0.85|— 1.41 | 18) 
Region 347. 6|— 56.5, +12.2| 42.001 +1.97| 4-4.58 — 0.85] — 0.60 — 1.09] 
11|— 51.81 4.91 41.34) +2.36| 47.71| +3.07|— 0.45] + 2.45 
E = 4894.30; E'— 1913.27; T = 18.97. 44|— 51.7| — 34.4] +0.97| + 0.40| -I-4.70|— 0.03|— 0.62, — 1.02 
27|— 36.2| — 39.6| 4.0.66 40.20] +4.47| +0.77|— 0.40| — 0.49 
Kx = — 1.08; px = + 0.0196; rx = + 0.0030; 31|—34.5| + 8.9| --0.16| +1.46| 4-3.93| + 0.84| 1.15, — 0.11| 
«= + 2.94; p'x = + 0.0203; rx = + 0.0225. 33| — 33.0| — 57.6| +1.27| +0.33| +1.76| — 2.64| +-0.48| — 3.68 
ky = — 0.62; py = + 0.0180; ry = — 0.0305; 44/—20.7/— 7.7| 4-0.33| +1.30| --2.67| — 0.18|— 0.49, — 1.21 
k'y = + 0.30; p'y = + 0.0185; r'y = + 0.0217. 55|— 44.8|— 26.7] +-0.78| +1.27| +3.15| + 0.48] + 0.39| — 0.67 
61|— 5.7 —49.9|— 3.88|— 3.301 — 2.36| — 4.401 — 4.26| — 5.67 
2/— 60.5! + 5.9| 43.72) --0-35| —0.35 — 4.841 41.83 —2.91] 75 + 6.7) +241] 41.01] --2.33| — 4.03|— 5.47] 40.17 — 6.31 
13, — 53.3, — 29.5| --3.85| -- 0.04] 42.25 — 1.51] 41.44 — 0.56]| g1| + 10.5! +26.1| 40.75) +3.06| +-1.27| +0.30| 4- 0.43, — 0.68 
21|— 41.9 | --26.5| --3.96 — 1.07] --1.20 — 1.69| 41.88, — 0.10|| g6| + 11.3|— 14.1] -- 0.20, -- 0.70] +1.11| +0.06 --0.01 | —1.30 
40, — 26.3, — 58.3 +0.62 —2.50 +0.33 — 2.03|— 4.27 — 2.19|| 7| -1-44.0]|— 19.1] 2-1.82| 4-2.10] —1.42| — 2.37] 4- 1.63, — 3.84 
42|—22.4 + 8.5|— 0.12) —3.78|— 0.54 — 2.29| —1.35| —1.51|| 911 +49.5| 4-30.4| +1.54| +3.20| +2.00| 4-1.37 -L0.98| +044 
43|— 22.9 —17.1|— 1.34 — 4.56| + 0.84, — 1.01|— 2.69) — 0.66 413| 2-41.1|—47.3|—4.80|— 2.10| — 0.71|— 0.33 4.66 1.84 
45|—16.8| + 24.7|— 0.93 — 4.90| — 0.84 — 2.47| — 2.00 — 1.44 hi 4| + 49.7| 4-36.9| + 0.68| 4-2.65| — 0.80! +0.65 40.77 — 0.6 
51|—12.0|— 6.8) 42.33 —1.53| 41.89 — 0.02] +1.00| +0.59[1124| + 62.0) +41.3|— 0.34| +1.44| +0.74| --1.68| — 0.18. 4-0.93 
56|— 2.0) +36.5] --3.05 — 1.21|— 5.51|— 7.05| +2.27| — 5.78| 498 +61.1| — 21.7| 40.03 +0.45| — 1.50, +0.04| 4-1.08 —1.70 
62!— 3.8 —45.7| --0.61| — 2.01| 40.55 — 1.05|— 0.43, — 1.26 37.0. — 34|—4.42| —3.50| —4.81  —5.45|— 5.51|— 6.16 
67 + 4.3|— 6.6| --1.25|— 216] +1.21| 40.69] -- 0.42. +0.67|| _ | .-49.6| —19.1|— 2.20 — 2.24] — 2.62) —1.55 1.70|— 3.26 
78| +13.8| 4- 23.2] +1.93| — 2.40] + 0.07 — 0.45| 4- 1.26 4-0.13]| — | +61.5| 4-28.8| —3.10| —1.41| — 0.38| 4-0.62 — 2.68|— 0.29 
93| --33.9| — 61.3|— 0.29, — 3.33| — 0.85| — 0.28| — 0.98| — 1.69 | 
99| --35.8| — 44.3] +2.03 | —1.41| 42.20 --2.21| 41.39 --1.39|| 99 565 à 40.2] 1152 +2.63 baec: Mei Bo 
105| +45.2 —45.0| --0.93| —1.66|— 0.36 | +0.74| 40.89 —0.59]| 965 _ 38.7 32.8] 40.78) +4.07| +5.55| +134 — | — 
143| -- 59.5 —19.3| — 2.12] —5.58|— 2.47) — 1.47) —1.97.—2.22| „9 _963 36.7 1497] er M s 
—|—22.2| 2-45.2| — 3.91] — 7.64|— 6.70, — 8.59] — 4.74 | — 7.08| i5 18.4 0761406 42.70) 43.06 —033l — | — 
| | 101| 4-24.5| — 29.4| — 0.37) — 0.62 "E cap 
301 — 35.1) — 33.0] --1.60/—1.97| +246 —0.12/ — | —  |h04|--29.5 +40.2| +0.46| +2.471 40.32 40.500 — | — 
34|— 28.9) +37.2| --1.51,—3.55| —0.24 —2.46| — | 110| 4-36.2| +45.4| + 0.82) +3.20| 41.75 2-57] — | — 
38|— 27.9| — 23.3| 24- 1.87, — 1.66 +3.09) --0.10] — — AM, --39.5|— 22.3| — 0.45| — 0.82 --4.50| 34:834]. — | er 
&1|— 20.9| +27.8| 41.50 —2.47| --0.43|—1.34| — Le 
88| 427.6 — 13.2] + 0.37) — 2.81] — 0.96| — 0.05 | 
95 --38.8| 4-34.3| 0.00|—4.59|—0.69|--0.433]| — | — Ea 
96 +36.1| --31.6|--0.52,—4.53|—0.10|2-0.:34| — | — Région 349. 
102| 4-43.3|— 23.5| --0.59, —3.37|—0.70| -F0.76], — | — E = 1894.32, E'— 1913.32; T =19.00. 
| Kx = + 0.34; px = — 0.0002; rx = + 0.0100; 
| kx = — 0.97; p'x = + 0.0083; rx = — 0.0007. 
| | ky = — 0.74; py = + 0.0120; ry = — 0.0042; 
| ky = + 4.28; p'y — + 0.0128; ry = — 0.0359. | 
| | 2) — 64.5) + 49.4] --4.07| --3.13| —1.22| — 4.58] +1.73|— 1.56) 
| | | 14|—55.2|— 9.6|— 0.25) 4-0.83| 4-1.05|— 0.49|— 0.27 — 0.22) 


46 RAGNAR FURUHJELM. 


Diff. en x 
Unité 0.01 mm 


| 
Ar | Ay 


! 


Diff. en x 
Unité 0.01 mm 


Diff. en y 
Unité 0.01 mm 


Diff. en y 


| 
Unité 0.01 mm Zz ct y 


© enmm en mm 
| | 
55| +24.4| +46.6|—5.43 — 2.14| — 5.68| — 6.13] — 2.42) — 5.72 
56| --24.0| +416.3|—4.95| — 1.45| — 5.38| — 6.25 | — 1.85| — 5.64 
67 +33.6 — 8.1|— 233) --0.17]| --0.17| — 0.45| --1.06|— 0.36 
76 4-41.8 4-36.0| —1.69, +0.35| +0.12) +0.16| 4-0.82| +0.80 
87 +541) --33.8|— 2.87 — 0.91|— 1.08 — 4.34| +0.04 — 0.51 
88 +50.2 --18.5|— 1.92. --0.04| — 1.47  — 1.74] +1.16|— 1.22 
90, 4-58.7, +60.0|— 3.34 — 2.28|-12.35|—13.75| — 4.31 |-11.83 
96, +55.9 — 48.5| — 5.38, — 2.45| — 0.78| — 0.24| — 0.24| — 1.35 
99, --63.1,— 0.1|— 6.59 — 4.34| +1.85 +1.61)— 2.58 | +1.84 
|—19.6 — 26.8|— 3.91. +0.32| 40.69 — 1.84|— 0.87, —1.49 
-F 60.9, +61.4| 1.06, --2.13| 40.37) +1.82| 42.07) 4-2.35 
| +39.8 — 46.9|— 8.38 — 4.44] --0.22 — 0.20| — 3.26 — 0.90 


z Tu M 
| © len mm|en mm LT ER 
| | | | 

"MM QUE EDR -F4.27| + 0.05, — 0.75] — 0.08 — 1.07 
—43.1| + 5.3|— 0.43, +0.38| 4- 0.36, — 0.47| — 0.50 — 0.33 
25 — 35.8 -F41.9| + 0.71! 4-1.76| — 0.45| — 1.53 +0.81 —1.04 
38 —15.1| +14.8| 4-0.26| 4-1.95| 40.22) — 1.33 +0.78, — 0.15 
44 — 11.4 — 35.1| — 1.60 — 0.54] + 0.59) — 1.89 1.61, — 0.79 
58 + 3.7) — 54.1] 4-1.82| + 2.22] — 7.08 —10.14] 41.45 — 8.68 
63| --10.7| +30.6| — 1.80| --0.25|] — 2.89, — 5.06] — 0.91, — 2.86 
| 86. +34.3| — 37.3| — 2.48 — 1.94| — 0.09] — 3.23 2.57 : 0.92 
87 132.6 40.4 4.145 — 0.23] +1.21 2.241—1.07 4-0.16 
88| +32.8 — 41.6 2.62 1.901 — 0.75| — 4.38 2.65 1.90 
94| +36.6/— 10.91 — 2.27 — 1.70] — 2.36, — 6.05] — 2.22) — 3.09 
96 +44.4| +29.01 — 0.53, +1.16| + 0.741 — 2.79 +0.30 +0.74 
| 98| +40.9| + 21.2 — 0.76] -- 0.93] 4-0.88| — 2.58] +0.02 +0.75 


103) -+46.3)— 44.2| —2.24| —1.82| --0.12|—3.49| —2.39|—0.78|| 9.463 --30.5|—0.21 +2.58| 10.67 —245| — | — 


AT) A 
104| +52.6| 458.5] +0.16| +1.98]— 0.24| — 4.05 3-1.23, + 0.15] 12 — 43.4| --19.3|— 0.85, +1.58| --1.46|—1.23| — m 


b1ı—aı | a2—bo 


b1—a3 | ao—b2 | b1—01 | aga—ba 


» 
e 


| 
| 


105, --52.6| + 2.5| +1.72| +3.02|— 0.74| — 84.62] +2.27|— 1.07 45 —42.3.—30.4 —4.82| +1.70| --2.93,—0.06| — c 
106 +51.5| — 8.3|— 1.63, — 0.96] 41.26 — 2.58| — 1.45| 40.79 | 


22 27.3 — 34.6|— 2.60, 40.99] +2.87 4-0.68| — = 
107, 4-51.5|—15.7| — 1.44| —1.06| + 0,52) — 3.561 — 1.44 — 0.16 
— 31.3) — 44.0 0.76 +0.22 0.82| — 2.37] — 0.93, — 2.24 


61| 4-25.1| 4-43.4| — 4.85 40.74] — 0.01, — 0.67) — = 
64 4-27.3|— 20.2] — 4.01, —1.29| 40.20 —0.16| — - 

25.6 — 53.6| 4-0.70| 2-4.73| — 0.48| — 2.65) 4 0.53] — 2.22 
—|+ 5.7|—55.1| — 2.34| —4.14| — 0.85, — 3.57| — 2.29 — 2.25 


68| 4-31.8|— 27.7| — 4.46) — 0.24| +0.46|—0.29| — — 


| 69| +39.7| +46.8|— 2.29 — 0.05] 4-0.25|— 0.70] — = 
— | +46.1|— 20.7] — 1.35| — 0.02] 4-0.72| — 2.58|— 0.93| +0.26 


— | 4-93.8|— 27.7] — 2.22 — 1.74|— 0.95) — 6.06| — 2.22 — 2.24 


| 


— | 4-53.2] —14.7| +-5.61| +6.60| 4-1.38|— 3.71] 4-5.93| +0.27 Région 351. 


31, — 25.7 — 35.3] 40.16 41.43] --1.04|— 0.33] — — E — 1894.29; E'— 1913.32; T — 19.04. 


nn a sul SIT] ea ctn mo à an menu 
37|—18.3| --29.3| —1.09, --0.76|— 0.08 — 2.25 EX da dx DO T MR 


77 +26.01— 25.4] — 0.57 --0.32|--1.35,.—2.233| — | — ky = + 045; py = + 0.0084; ry = + 0.0107; 


Ka 20. Va QE AL 
78| +-28.4|— 34.3] 40.19] 40.71] --0.50/—2.94] — — Media Mi. Pr ol U Re E 


80| --32.9 --34.8|—0.57| 4-0.83|--0.37.—2.92] — | — 
82| --31.9| --24.0|—0.28| --1.01|--0.27]—3.20| — | — 


11— 62:4 el 4.57| — 5.98|— 6.93|-— 8.35] — 4.77| — 5.94 
42|— 45.3| --46.3| —0.11| — 0.77| — 3.35| — 4.021 --0.08| — 2.05 
43|—45.7| --44.3| +1.30| +0.57|— 5.27) — 6.67] +1.53| — 4.39 
| 43.5|— 39.9| —4.04| —1.05| — 0.22| — 0.97] +0.83) +0:03 
30|— 38.9 —15.2| —1.20|— 2.06|—4.89| — 2.56| — 0.11 — 4.34 
35 —34.2|— 4.5[—1.52 — 2.14| 4.04 — 1.44 — 0.45 0.27 
36|— 31.4|— 37.3| —0.98| —1.32| — 0.24| — 0.73] +0.75) +0.08! 
47|—45.6| --42.7| —1.21|—1.97| — 3.13| — 4.66|— 0.83|— 2.52 


Région 350. 


E — 1894.31, E — 1913.28, 7 — 18.97. 


kx = + 2.50; px — + 0.0310; rx = — 0.0286; 50 — 15.9, — 3.6|— 3.70 — 4.05| — 4.34 — 4.96| 2.40, — 3.80 
k'y = — 0.58; p'x = + 0.0298; r’x = — 0.0129. 51|—415.5| — 26.0|— 0.05| +0.03|— 2.37| — 3.50] +1.81!— 2.35 
ky = — 1.07; py = + 0.0474; ry — — 0.0213; 61|— 0.0|—37.5|— 0.97| — 0.90] — 0.41| — 1.37] +1.16/— 0.55 


66 + 4.3| 4- 37.9] +1.54| --0.75| — 2.98, — 4.82] 4- 2.09, — 2.73 
70| + 3.2, — 39.6|— 0.64 — 0.89] — 0.25| — 1.32] +1.38| — 0.49 
77| 4-41.7| 4- 55.7] -- 0.96 — 0.26| --0.40|— 1.97] +1.06| + 0.53 
97, --35.5| --22.0| 40.02) —1.71| — 2.13 — 3.99| + 0.54 — 2.30 
101| 4-44.0| --24.8| 0.00 —1.59| + 0.68) — 1.32] 4- 0.60, -- 0.40 
103, 4-43.7| — 48.3 1.50, 2.73 241 3.62| + 0.42 — 2.98 
108 --52.5| 4-34.1|— 0.89|— 2.24] — 0.98| — 2.51|— 0.27, — 0.97 
113) 4-59.0 — 17.7| +4.58| 4-3.36| — 2.81) — 4.29] + 6.12, — 3.42 
—|— 7.2 --40.7|— 0.51, — 1.58| — 4.28 — 5.63|— 0.21, — 3.66 
— | +43.4| --10.3|— 1.50, — 4.80|— 2.22, — 3.71|— 1.53) — 2.40 


ky = + 0.50; p'y = + 0.0202; r'y = + 0.0085. 


I 


4 —65.3|—43.9|— 0.76] | +2.15|— 0.92] +1.16|— 0.90 


5 —97.6 7F14.7|— 1.36, +1.23 +0.54 — 3.36 —14:16|— 1.78 


| 17,—39.8|— 4.3|— 0.51) --2.52| — 6.10) — 9.22] -I-0.84| — 8.28 

23 — 20.0 — 1.5] — 5.31) —1.96]— 0.44 — 2.55|—3.25 —1.94 
26/—47.8| +15.5|— 1.44) + 0.89] 4-1.05|— 0.70|— 0.17) +0.06 
32 — 8.5 --14.7| —1.59. 4-1.38| — 1.85) — 3.50] +0.29 — 2.73 
uu 5.0 —15.2|— 4.03) — 0.72] — 2.25| — 3.73| — 0.94) — 3.52 


38| + 6.1| --40.1 2.98| 0.69|— 2.76| — 4.11|— 1.52] — 2.92 


Tom, L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 47 
Diff. en Diff. | | Diff. Diff. | 
zu T y Unité 0.01 mm Unité 0.01 mm| zz | ay | 2| © Y unite 0.01 mm Unité 0.01 mm 4x | 4y 
2 Jen mm|en MM| y,—a, | a, | di—a1 | aa—ba | E jenmmjen mm| $,—a1 | o, b | bai | aa—be | 
| | | 
292/— 41.0| 4-27.1| — 0.30, — 1.05| — 0.96| — 2.34 ncs | 
34|— 32.3| +30.8|— 0.83| —1.71| — 0.83|— 4.62 A 
37|—31.9|—47.6|—1.14| —1.69| —o.24 —o.9| — | — Région 353. | 
41|—28.3|—45.2]|— 2.07| — 2.84| 40.30 —0.69| - — , Nr rer oov | 
85| --24.9|--16.2|—0.70|—1.45| +0.22| —1.44| — | — Da" 0 Tigra Part 
87| --20.3|— 23.9] —1.45| — 2.58|— 0.23/—1.51| — = kx = + 0.35; px = + 0.0299; rx = — 0.0222; 
91| +25.5| + 23.4|— 1.28| — 1.50 + 204 120 E — k'y = + 0.36; p'x = + 0.0338; r'x = + 0.0142. 
99| +37.1|/— 20.3] —1.70|— 2.91| +0.66/—0.38| — -— Ky — — 1.25; py — + 0.0263; ry — + 0.0244; 
ky = + 3.01; p'y = + 0.0209; r'j = — 0.0063. 
12/— 43.8|—29.2]— 1.11| +0.16/— 1.89] — 4.961 — 1.35| — 2.84 
Région 352. 26 — 19.7 +52.0| +1.35| — 0.51] — 0.42 — 4.39| — 0.04 — 0.11 
35 — 10.1 — 31.4] —0.87| +0.86| + 2.18 — 1.90| 40.16 +0.37 
1 40/— 1.5 — 2.0] + 0.06! +0.41| 4-1.38|— 3.06! -+0.55| +0.02 
E — 1894.29; E'— 1913.25; T — 18.96. 
44| + 1.8|--11.1|—0.70|—1.25| | 0.00|— 4.13| — 0.61| — 0.94 
Ke EL UIQ9!» 0.0288; A45 + 9.9) --59.4| — 2.33|— 3.64] 4-4.81| — 3.21|— 2.56| +1.49) 
EL 401 p — 4-002557, 4 0:0210: 54| 420.7 — 28.5| — 0.28| +0.89| --1.16| — 3.64] --1.41| — 1.22 
= + 0.86: py— “+ 0.0297; ry — + 0.0025; 60) --48.1| —38.9| — 3.34 — 1.94] --4.01|— 1.83|— 0.64) + 0.62 
jen AB p'y 5 420.0219; 7^, s: — 0.0524. 62 +55.9 + 4.8|—3.33| — 3.21| 41.45 — 4.46| — 1.21| — 1.01 
— |— 48.5) 4-45.4| — 0.01| — 2.66| — 4.33, — 7.43| — 2.66, — 3.49 
9|—50.9| + 6.6|— 0.49) — 0.02]— 7.66| +0.70] +0.36|— 6.38] — bie uc ES. ne ne nn 
1545.31 33.7] 0.15] 41.19] 0.39] +6.86| +-0.23)—0.56) 55 el a ar] ve] FO 
161-204) 55.6) 0.24 +0:92] 5.84] +2] 0.34 —644] |, loue est aol cool ag seg 
28|—36.2|— 29.6| + 0.88| +1.16| --0.71| + 7.32] +4.01| +0.54] — | 1579 "021-7 0. ne JE PE 
a nig] eva) Dole 2:63] 2-285] —1:67|— 0.62] + 923 5861 297] 2:26] +1,79 — 5:14] — 0:10) — 2:72) 
43|—21.9|4-19.9|—2.43|—0.21|—1.52 +5.31]+015/+0.05| | | | | 
44/—24.7| --18.6| — 4.42) — 1.92] —3.80| 4-3.46| —1.57|— 2.04|| 15 E 4-14.5|4-1.52| +0.72] 40.22 —2.94 — | — 
47| —17.4| +49.3| — 4.59| — 3.68|— 5.06, 4-0.98| —1.84|— 3.01|| 22 — 21.9 --32.4| --0.34 —0.44|--0.39 —3.38 — | — 
$8 .— 8.3 4-15.8|— 3.54| — 2.14| 41.65) -I-4.19| —1.21|—0.33|| 24|— 24.0 — 30:51 --0.10 +1.07| 41.72.51] — | — 
$9 — 5.9 — 23.5| 4-0.07| --1.12| — 2.07] +3.51| 4-1.28| —1.84|| 34 15.0 —24.4|—0.88 40.511 40.821 —2.46| — | — 
61|— 4.2) 4-62.4|— 0.74) --0.10|— 5.01] --0.72| +-2.61/— 2.37] 47, + 8-0 —34.6|—1.21,— 0.20] + 2.39 —2.64| — = 
62,— 2.5| 4-51.6|— 3.65! — 2.92] — 1.90| --3.42| — 0.66, +0.22|| 99, -26.2 —33.8|—2.00 —0.92|--3.45 —1.84| — | — 
63|— 2.6|--44.2|—3.45| — 1.86| — 2.95) +2.53|— 0.22] —0.94|| 56) -F31.3 -F30.3|—0.61 —1.81| + 0.61 —4.29| — | — 
78|+ 9.4 -- 4.6|—1.54| — 0.79| — 0.67| 2-4.35| -- 0.42] 4-0.30|| 571 +32.9) 2-20.1|—0.71/—1.59| 4-1.53|—3.53] — | — 
81| + 6.4| —19.3| —1.67|— 0.61|— 0.05| +5.19|— 0.13) +0.42 
85| + 5.8| —31.7| — 0.87, — 0.55] +0.34| 44.921 — 0.01| +0.15 
88| --45.0| + 2.9|—2.46| — 2.42| — 2.69| 4-2.78| — 0.72] — 1.32 dps 
144| --36.1| 2-29.9| —1.71| —1.99| — 2.00! +1.86| 4-0.93| — 0.21 Région 354. 
125| 2-40.4| — 28.7| — 3.17] — 2:94| — 0.15| + 2.98|— 1.66 — 0.14 
= 395: E'— 9190: — 
—|— 48.9 + 6.6|—4.35|— 3.01|— 0.98| +7.52]— 3.02) -- 0.41 ducc I LEE LE 
—|— 8.4 4-39.3| —1.43|—14.10|— 1.57) +5.00| + 0.94] +0.72 ky — — 2.68; px — — 0.0125; rx — + 0.0023; 
—|— 0.8 -+48.2] +3.25| 4- 4.95| — 3.90| -1- 2.39 6.66, — 1.34 k'x = — 4.45; p'a = + 0.0024; rx = + 0.0354. 
—|— 10:5] 4-32.2] — 3.911— 2.87] — 3.31] 4-2:47| —4.21/— 4.56 ky — — 0.56; py — + 0.0069; ry — + 0.0381; | 
| | | ky = — 0.66; p^, = + 0.0115; r'y = — 0;0121. | 
22 — 43.5 — 37.31 — 0.56 --0.45| +0.49| +7.66] — | — 
23|— 40.7, — 43.4| 4-0.17| +1.45| +019! + 7.14 2|— 64.0] — 44.7] +2.13| 4-3.40|— 3.30| +0.22] + 0.17] — 1.77 
34|—28.3| --34.9| — 2.62 —1.46| — 1.45| + 5.96 45| —45.8|—19.5| 4-0.74| 4-0.89|— 2.67 — 0.74| —1.38| — 1.89 
40|— 22.4| --24.2| —1.89| — 0.30| — 2.35| +4.63 18) — 40.2) --24.8| +216) +1.34]— 0.99) +0.55| 4-0.36 — 0.08 
98| + 22.2) + 37.5] — 3.23| — 2.41| — 1.76 4-2.36 32|— 28.3 +18.5| 4-2.79| 4-1.52] — 4.45| — 2.96| --0.58|— 3.77, 
100| 4-21.6| +-28.0|— 2.76 — 2.33|— 1.57, --2.58 36 — 28.4 — 43.7] 40.66) --0.94| — 5.32 —3.83| 1.94 — 5.21 
104| 4-20.6 — 22.0| —1.17| — 1.11] + 0.17) +4.40 37 — 28.0 — 43.4] + 0.57) + 0.78] — 6.38 — 4.701— 2.06 — 6.18 
405| 4-21.2| — 24.6| 1.30 — 0.78| — 0.60! +3.70 54|—10.3| — 24.3] + 2.42] + 2.79] + 0.60! +1.80| 40.12) +0.49 


N:o 


LE 


48 RAGNAR FURUHIELM. 
2 T | y Unité 0.01 mm Unité 0.01 mm zu | ay A 2 | y Unité 0.01 M erc Te EE Ay 
© en mm jen MM} bo | a,b. | ba | ag—b; © 'enmm en mm ESTEE AA 
| | | | | | 
60|— 2.9| --19.7| --1.50| +0.45|— 0.24 | — 0.04 0.70 0.51] 29 — 35.8, --35.5| 4-1.91| +1.18| .-1.10. —1.79| — | — 
62,— 2.2|—44.9| +2. 96 -L3. 28| +0.34| +0.20| --0.28|— 0.70|| 37—32.3|— 36.7] +41.61|— 0.451 --2.94| +0.55| — | — 
66 + 1.9 — 26.7] --2.40| +1.82|— 0.20|— 0.39|— 0.47, — 1.17|| 42 — 22.3 --21.6| 41.58 +1.20| --1.70.—0.73] — | — 
70 + 9.3 + 0.7 +2,55 +1.82 -F4.51| +1.09| --0.08| 4-0.57|| 53 —19.8 — 34.8) +1.47|— 0.40] --3.08| +0.30| — | — 
7| 4- Vo — 0.6| -I-2.00, --0.95| — 9.83 —10.63|— 0.64|—10.94|| 88) +17.9 — 25.4| --1.37| —0.60| 3-1.86,—0.84| — | — 
74 +11.8 +348] +1,45) — 0.82] — 0.20 —0.341— 1.16 —0.74|| 96) +35.3 +26.0| --0.60|—0.16| 41.75 —0.47]] — | — 
77 +11.8 — 23.4] 42.51) +2.42] 4119) +0.51|— 0.25 —0.13]| 97|-+32.2 4-25.9| 40.29 — 0.68] +0.89 1.97] — | — 
83| 410.4 — 60.8| --0.05| 4-0.49| +3.57) +2.97|— 2.99) --4.96|103| 4-37. 9 —33. ?2|—0o.04/—2.87| +1.98/—0:59| — | — 
89, +17.5 — 58.1] --1.75| 42.22) 40.06 —1.38| — 1.26 — 2.03 
95 +22.9 + 5.71 --7.86| 45.90] 41.05 — 0.29] +4.80| — 0.47 
97, +22.2 — 42.8| --2.00| +1.94| 4-0.43| — 0.97|— 1.02, — 1.56 
99 --27.4| --25.0| --2.29| — 0.31| +1.50|— 0.26| — 0.74| — 0.11 
[100 +26.6| --15.4| — 7.21) — 9.11| 11.09 —13.06| 10.06, 12.88 
114 437.7 —44.6| +341) --3.15| 42.35 — 0.29| --0.03 — 0.48 Région 356. 
115| --37.6| — 44.6| 4-2.73| --3.02| --1.12| — 1.56|— 0.22 — 1.73 
127| +46.2 — 46.7| +3.71| +3.81| 4-0.90 — 1.01] 4-0.57| —1.69 
136, --61.4| — 40.4| + 2.82| 4-1.83]— 0.40 — 3.66| — 0.82 — 3.81 En ni dec Lm idu 
137| 4-62.7| — 56.6 +0.56| 41.36] 41.71 — 0.89 — 249) 108 — My 1000 ÈN AE 
| | k'x = + 0.86; px = — 0.0041; rx = + 0.0023. 
24|—97:7 — 84:7] +247) 4-2:26| — 0:08) 4-244] - — ^| — ky — + 2.05; py — + 0.0029; ry = 0,0103; 
| 22 — 36.5| — 38.4 + 3.09! --2.99|— 0.61| +1.31]| — | — 127 = — 048; p'y — — 0.0046; r'y c 0 0347. 
40 —21.5|--37.4|--1.64 4+-0.20|— 0.79) +019] — | — 
ST [ri] 68:8] --29:3] + 0:80! —0:921—2.50)-- 0:96) 
90| +24.4| 427.4 +2.88| +0,73 DT OR and Mar 3|— 64.0) — 43.9|— 1.86|— 1.68| — 4.22) — 0.28) 1.26| — 2.69 
SA HS ESI nn Alena] 3619] + 26] 3-325 --eo| anal ruso ee 
| 98 +26.9| 483.6] 43.65 +0.12) 41.84 +0.61| - 557.7 — 8.2] 1.18 —2.24| 1.66] --1.04| — 1.22|— 0.63 
100 +30 31.4] 280 4248 uns Hol — | 6|—57.9| —15.6|— 1.23 — 1.99] 1.69 +1.24|- 1.12 — 0.56 
14 — 40,9 — 57.2] — 1.61|— 1.16| — 4.24 — 0.62] — 0.90 — 2.34 
18/— 32.8) +31.8| 40.70) — 0.63| — 2.79| 4-0.17| +0.46 — 1.12 
I 29|— 19.4 — 30.4| 41.05) -I-0.67| — 3.07| — 0.46] +1.30 — 4.21 
Région 355. 35|—14.6| +10.2]— 1.46 — 2.00| — 3.57) — 0.23|—4.31|— 1.28 
: &40l— 5.5| 4-20.9| --0.28| — 0.75| — 1.39| 4-1.08| 40.16 4-0.66 
EC TERGUM DIS EMT RN DO 52 + 83|+ 14|—1.11|—1.93|—2.35|—0.88| —1.13| — 0.47 
Kx = — 4.05; px = + 0.0214; rx = — 0.0030; 58| +10.9 4-57.9| -- 0.44 — 0.77| — 1.60, +-0.78] 40.20 +0.74 
1:5 0904.45, 05 70 258 AN 60| +12.4 --31.3| —1.08| — 2.71| — 3.58| — 2.42] — 1.52 —1:68 
fy 4:88: Afiam. diio: n, = — 0.0094; 66, --17.8.—39.9|—2.25 —2.70/—3.77 —2.24|— 2.11 —1.61 
Ky = + 0.72; p'y = +0.0181; r'y = — 0.0088. 78| + 25.9) — 5.9 +5.86) +4.68] — 3.63 — 2.59] + 5.63] — 1.56 
82| +25.3| — 42.3] 40.61) — 0.42|— 2.11 —1.06| + 0.47 — 0.02 
8|— 50.5| +41.1| 42.78] 41.32 he % — 0.87|— 0.12; +0.39|| 85! 4-33.4| + 7.4] 40.49) +0.04|—2.08| — 0.90] +0.61| 4-0.21 
13) — 53.3 — 21.9] 42.66 +1.40|— 0.14. —2.75| +0.67 —2.91|| 95| 4-40.3| — 18.2|— 1.42 — 1.87] 2.20| — 0.90|—1.30 + 0.33 
18 —45.6 — 4.2142.25| +0.98 en hs — 0.16| 40.19 — 0.10|| 97 443.3 — 53.8] — 7.94) — 8.10|—21.70 —20.38| — 7.66, 19.06 
21|—41.7| +631 +1, 58| +1.62] 4-0.12, —3.64|— 0.67, —1.57|| 99| +47.9| +52.9| 41.46, +0.44|— 2.23 — 0.45] 41.26) 40.65 
45, — 22.3 —38.2| 41.49 —0.18| --0.14| — 2.28] 40.25 — 2.56] |100| +48.6 +24.9| + 0.37) — 0.951 — 2.14| — 0.48] 40.03) +0.72 
49 — 47.0) 4-31.1 +0. 41 —0.29| +1.25, — 1.19] 1.18 — 0.141103) 451.9) 4-51.4| + 0.42 —1.00|— 1.75 — 0.42] +0.02) +-0.99 
59 — 13.8|— 35.6] +1.72| 4-0.29| +2.53| — 0.27] +0.77 —0.22]1108| 458.4 --49.1|— 1.57, —3.02|— 2.79 —0.58| — 2.00) +0.54 
65|— 5.21 — 26.4] 4-0.40| — 0.35| --1.61|— 1.40] —0.13| —1.00|1114| +59.7 — 12.5| — 1.84| — 2.93| — 1.35 — 0.98| 2.06] +1.14 
81 + 7.9 — 49.9] +0.30 — 1.97| 4-2.09| — 1.04| — 0.36 —0.88|| — — 46.8 — 58.4] +1.00) +1.13|— 2.69) +1.36| 4-1.55|— 0.70 
86 418.0 + 3.21 2.51 —3.22 +1.72)— 0.21] — 2.89, 40.40 | | 
117 en 0,— 6.8|— 2.28 — 4.33 See 45 — 0. 73|— 2.17| 4- 0.74 20 —27.4| +26.3 — 0.25 — 4.02 —32.46| --0:89| — im 
118| +63.2|—18.2] —1.03, —3.26| 4-3.18| — 0:60] — 0:80| +0.95 26 —19.7| + 26.6 4-0.54|—41.16|— 2.21]--0.35] — e" 
"nup --28.7| +1.44 — 0.08 +1.98| — 0.97 — 1.34 — 0.01]| 30 19.1, 34.3| —0.21|—1.17|— 0.73] +4,99] — au 
14.6) — 50.1|— 1.64) — 2.67] 40.22) — 1.99] — 2.20 — 2.51|| 34 19.7] — 39.2 +.0.21| — 0.40] — 1.87) --0.89| — ET" 


E 


om. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 


49 


Diff. en x Diff. en y | Diff. en x Diff. en y | 
= nité 0.01 mm[|Unité 0.01 mm] 4x 4 at ° nité 0.01 mm[Unité 0.01 mm] 4x A | 
= Ro V Unité 0.01 mm[Unité 0.01 y Ae t | V Unité 0.01 mmUnité 0.01 y | 

en mm en mm| p 4, | a3—ba | bj —a; | ida Då Jen mm|en mm| s —a | ab, | bı—aı | agb; | 
| | | 
| | | 
75| +24.2|— 31.2]— 0.08 — 0.68) 2.16 —1.26] — | — 
81|--25.1|—37.8|—0.41|—0.82| —2.85| 1.4] — | — Region 358. 
84| -I-32:9| +29.1| --0.15|—0.44|—2.17,—0.55| — | 
88| --35.1| +-22,5] + 0.09 — 0.99] — 1.89|— 0.40 | E = 1894.11; E'— 1913.12; T = 19.01. 
kx = — 0.83; px = + 0.0073; rx = + 0.0280; 
kx = + 0.18; p'/x = + 0.0093; rx = + 0.0048. 
ky = + 0.42; py = + 0.0160; ry = + 0.0206; 
Région 357 b ky = + 0.35; Py = + 0.0072; ry = — 0.0013. 
1|— 61.7| + 34.2] — 0.66] — 0.56|— 2.56|— 0:78] — 0.88| — 0.29 
E — 4891.29: E'— 4913.32; T — 49.04. 8|— 56.7] —17.7|+8.80| +-7.66|— 6.19, —5.10| 47.141 — 4.91 
12, — 49.0| +11.2| + 0.09 — 0.76| — 2.52 — 1.65| — 0.89| — 1.09| 
neo acce 1610/0045? re Be 0.0424; 13|—47.2,—32.7| --3.54| +1.95| — 246 — 1.42 848 U 
Qu adu. zac lerolo0a0: v^. 52. 0.0210. 17,—380]— 3:2|—0.06—0.78|—3.11.—2.36|—142.—2.03 
ky = + 247; py = + 0.0069; ry = + 0.0199; 2 = B = qud —0.27|- -1.56 - PU EE ES He 
Ky — +199 pu — + 0,0188; 7, = — 0.0237. 23|— 34.9 — 43.8] +4.65| -I-2.70|— 3.72  — 3.42] + 2.34| 3.36 
40|— 0.3—35.4| 2-0.72, —1.00|— 0.66 — 0.73|— 4.04|— 0.71 
- R | 41) + 4.7) +52.8|— 1.17 — 0.991 — 1.47 — 1.65|— 0.50,— 0.61 | 
41— 59.4 | 18.6] + 3.37) 41.681 4.29) — 0.48] +0.42|— 0.521] 46) + 1.7/—14.2] +4.04|— 0.13|— 0.20 — 0.30|— 0.09, — 0.05 
50.7) 733.8) 2.74] 40.89) 4.41] — 0.97] — 0.62 — 0.63 || 485.1. 4.9|—34.7] +0.88|—0.47| — 2.44 — 2.96] — 0.59|— 2.73 
28.6] rs 02 3.0.20) 3-58 0.412] 30.501 088) 54] + 6.21 161.4] 0.20] 0.39) 1,027 1.28) 4.0.07] 0.35 
14|— 45.2 459.9] 43.43, +2.28[- 15.76-13.63] +0.29-12.29]| 55 + 8.6 01 9 41.29 +026 +1.56| +0,87] +0.16| 1.26 
46| — 40.8) 437.0 +2.91| 41.75] 3.68, —1.26|— 0.12] —0.35]| 79) : 95 9|__37 BE occ My Rc Mrs 
iod Re pm S OS ed x 200] ee B23 E61] D28J- 0.08 0:46] —0.02— 0.56 
pee lt eod EP PE OT 73) +-31.3| +39.8[—1.61| — 2.26] —1.29| —2.47|—1.35|—1.33 
237 + 22] 02-1 1024776537 LA 1.111 LA 76] + 30.0! +21.8| +0.26| — 0.19] — 2.44) — 2.54] -0.32 — 2.15 
| 26a del 32 220 0 1-97] 79| 437.0] 424.9) 2 162.56 4.39] 2.17] 1.97) 146 
44] — 15.3) +45.3] +315) 41.72] 3.13 — 1.52) 40.13] 0.43) 86| +43.7/— 48.9] 0.00! —1.65| +0.23| —0.91|—1.58/— 0.94 
215088 ET 72.75] 79:51 ARR — 0-96] 88] +47.3| 1.52.8 —147 — 119) 0.26) — 0.77) —0.24) +0.28 
38 E42) 8:8] 43.75] +186 2.47] —1.86| + 0.400.280! 90 449.3) +22.5|— 0.66] — 0.94. 0.09 —0.88| — 0.34) — 0.32 
SU 22.3 — 99:8] 4.2.80 0.80 2:941 —1.43|— 0.98 — 1161] 93/--47:6|— 36.4) 0.98] 8.12] 0.79) 1.79] 2.551 —1.78 
E D rn / | 
5 Hh 7 NS 135 ipd FE S p 99| 4-52.0|— 31.4] 4-0.40|— 2.18] 4-0.83|— 0.95| — 1.30] — 0.54 
= —4.11|— 0.29] + 0.28| +0. qt | | | 
72| --10.2|—62.4| +4.18| --0.19| —1.11.—0.29] 40.28) 4026| 18 — 99.81 41.551 oo 044 10:23 ja 
74] +19.6| — 37.4] 4-4.69| + 0.96|— 2.93|— 2.58] +0.83|—1.46 | 
d | 19/—30.5| --18.8| 4-0.99| +0.39|—1.36|—0.70 - 
75 --24.5| +58.9|— 0.61|— 0.92] 5.25 — 5.58] — 3.146 —2.89|| 94 356 45.51 4918 0.06| 058—006 
78) 4-25.1| +32.4| 4-1.85| --0.81|—3.56,—3.83|—0.95.—1.51] 5- s.s ror sl Aso Inge 4 p 
Zz : «-]| 25|— 21.6| 4-21.5| 40.49] --0.25| —1.33|—0.4] — | — 
80| --27.5| +12.5| +2.05| +0.30|— 2.10] — 2.93|— 1.01 | — 0.57]| © | | | | 
69! --21.5.—28.4| +4.41| --0.11| --0.40,—0.30| — | — 
82| --28.5| — 48.5| 4-2.78|— 1.25| — 2.48|— 2.15| — 1.16|— 1.14|| | : | | 
E 74| --30.7 +37.6[— 0.55 — 0.63) —0.72 — 0.94 | 
83| +33.5| -I-16.2] +1.22| —0-69|— 3.34| —3.54|— 1.93 —1.44]| |... | | 
: ; all 75| +30.3) +26.5|— 0.57 —1.29| +0.14| —0.00| — | — 
86| 435.81 — 3.6| 41.63] —1.50|— 3.201 3.88|— 2.031 1.83] 55 5 24 8 Ge lr dig > gal dal os — | — 
90| --44.6| —19.3| +4.31| 4-1.67|— 2.07|— 3.23] + 0.97|— 1.07 X. PN LEO ; 
91| 4-42.5| —43.4| +3.47| +0.30[— 2.26|— 2.45] — 0.03|— 1.09 
—— 5 D — QM — 98 pra 
East +2.25| --1.81|— 3.30|— 0.28|— 0.46) 4-0.28 Région 359. 
21|— 38.8| +28.8| --2.79| +1.30]— 2.97 —1.51 | E — 1894.11; E' — 1911.15; T — 17.05. 
24 — 35.5 — 32.5| +410) --0.49|— 2.87, — 0.01 | 19.8 = 68,4 j T 
27/—32.8 — 24.5] --3.64| --0.66|—2.51|--0.33] — | — Ps ide cid D Et Kr 
31|— 29.1| 4-28.3| 4-3.10| +2.13]— 3.06 — 0.76 | ^8 Erk Br e ES quts ao 
REA : ; 7 fe : | ky = — 0.09; = — 0.0093; — .0336: 
73| +19.6| --25.0| + 2.91! + 1.39 — 2.37|— 2.43 i x By A EQ PT 
| al y = — 2.89; py = — 0.0127: ry = + 0.0314. 
76| + 24.9|— 35.5] +3.79| --0.60| — 1.42, — 1.34 
77) 4-23.8|— 40.3] +3.58|— 0.31|— 1.37) — 1.26 | 8| —46.9| +-61.4] + 0.17] —1.33| —0.02| +2.85| —0.74| 40.77 
79] +25.8| 4-29.2| +3.28| +1.76|—1.51|—1.98 25|— 38.0) +20.3|—0.67/—1.10|— 1.74) +0:54|—1.57|—1.09| 


N:o 7. 


50 RAGNAR FURUHJELM. 
| 4 | z y Unite 0.01 mm Unité 0 En mm EE Jy 4 T | y Unité 0. 01 ‘mm Unité 0. 01 inm AL IY 
en mmjen mm, a | ass [hn 0 ag Ug namen mm] bios | as—ba À byar | ay—b | | à 
| | UCUTTTTTTTTTETTIZMMM 
| 30 - 38.1|— 56.9|— 1.97] —4.40|— 0.66| 4-2.46|— 3.29| --1.27|| 80| +15.5| +30.2| +2. 98| +2.68|— 0.67 — 3.91] +3. 49|—345 
35) — 30.5) 417.8] 41.94 4-1.10|— 0.51, 42.40] --0.78 +0.25|| 89 424.0 +40.91—0: 54|— 1.75] + 2.41|— 1.80] —0.13| — 0.12 
38 — 29.4) 454.2] 46.61) 45.12] 1.97] 41.07] --5.56 — 1.581107 +43.1 — 31.4| — 5.84 — 4.29|— 5.53 —10.32| — 5.69| — 9.44 
50/— 15.2) +41.7| + 0.34 —1.30|— 0.62] 4-1.99|— 0.97, — 0.77|| — | +13.8| + 0.1|— 3.16|— 1.72| — 3.81 — 6.73| — 2.56|— 6.81 
57|—12.6| + 6.1|— 5.97 — 7.34|-17.83|—15.65| — 7.58|—47.89|| — | -1-64.1|— 46.0| +0.67) 4 3.47| 4-3.47| —1.55| --1.28|— 0.37 
74| + 4.3| +471] 4-0.78|— 1.07] +0.58| 4-2.97| — 0.63, — 0.37 PTE TE 
84|+ 9,8| 54.2 — 0.69, — 0.16] — 0.79 7-4.59|—- 2.15) — 0.81 29 — 28.4. +24.6| — 0.42| 4-0.37| +2.95| 41.59] — E 
Pal) +41.5| + 9.0] -E0.02|— 0.76| — 1.67) — 0:20| — 1.34|—2.89|| 30) —29.6| -1-19.8/— 1.91... 0.00) +2,96] +172) — | 
89]. | | 36|— 24.8|— 34.3] --0.66 4-3.06| +316 1184] — | — 
96! +-16.2| — 42.6 — 0.28 — 0.31 4-0.56| +3.54 —1.90) +0,50 41|— 419.6 — 37.8] + 0.52| +2,57 4-3.95| SE A| — =S 
97| +18.7/—46.2 --2.13| 4-23.08|— 0.53! + 2.34] + 0.45, — 0.68 95| +925.2| -26.4|— 0.08, —0.04| --2.48|—41.24|] — 2 
4417| +37.6|— 5.8| 43.50) +2.30 3-0.95| + 2.72] +1. 67|— 0: 81 96! -1-98.4| — 33.0] — 0.61 | +-0.78 +3,90 --0.09|] — Lam. 
423| +41.3|— 33.3] 40.46 +0.81|— 0.82] +2.24] 0. 282 761] 98) +34.4| +27.6|—0.67|— 0.55] +4.83|— 4.49] — | — 
139) +62.11— 1.8|+1.09] -0.86| — 0.42) +2.11]— 0.281 —2-64]102 + 39.8, — 18.61 0.12) 4+0.76| +4.43|—0.76| — | — 
| | 
34|— 30.6 + 22.3] +1.69| 4-0.33|—0.78|--2.37] — | — 
A43|— 22.2] 422.0) 457) +0.19]—0.12| 42.561 — | — 
45|— 23.6 — 34.4] 41.40 +0.91|—1.41|+1.43| — == 
47 —22.3|— 50.0] +1.16| +149] — 1.03| 41.59) — = Region 361. 
100| + 24.9] + 22.7| +0.45| 4-0.56| 40.631 43.700 — | - 
104| +25.1) + 28.5| 4-0.80| --0.48| --1.41| +4.0| — | — E = 489449; E'— 491145; T — 16.97. 
108 /2-25.8|—28.0| 4-2.28| --2:02|-F0.89| +3.62| — | — 
109| 2-29.4 —33.5| +419) +1.56|+0.86 +3.36| — | — ky = + 0.69; px = — 0.0024; rx = — 0.0408; 
kx = — 2.30; p/x = — 0.0199; r4 = — 0.0267. 
ky = — 0.25; py = — 0.0019; ry = + 0.0412; 
k'y = + 0.34; p'y = + 0.0035; r^, = — 0.0324. 
Région 360. 
459.11 — 46.4|— 3.64) --0.48|— 2.67] --1.84|— 0.16 — 0.14 
E — 1894.28; E'— 1913.24; T — 18.96. 44|— 43.7| — 40.5] 3.71) — 4.43] 4.501 — 1.73|— 1.52|— 2.91 
kx = + 0.34; px = + 0:0015; rx = + 0.0145 15.— 42.9 —56.8|— 5.26 — 2.45] — 1,22 —1.04|—2.26 — 2.44 
Lx = — 0.82; p/g = + 0.0182: rx = + 0.0364. 20 33.7) 4123| 3.44 — 0.31 — 1.54) 0.06| —2.72 —0.59 
— S AEN en sg mA 22|— 98.3| +27.0 40.33 | --3.01| — 1.25 +0.30] + 0.27 — 0.33 
ky = — 3.41; py = + 0.0225; ry = — 0.0003; mm MDC MERE re n 
k'y = — 0.62; p'y = + 0.0200; ^, = — 0.0468. HN PERSA = 8:04 
24 — 26.8 — 27.6] — 2.83] — 0.71] — 1.68|— 0.45| — 1.34| — 0.93 
3|— 60.3| — 38.8|— 0.25| 4-3.25| + 2.97| +3.87]— 0.33|— 0.69]| 29) — 18.8, — 43.8|— 2.97) — 1.52|— 1.32) — 0.83|— 1.36| — 0.98 
8 — 51.3 + 4.6|— 2.06, — 0.46| 4-1.86| 4-2.05|— 1.90 — 1.02] 95 +113) 454.11 — 0.09. --2.46| 41.53) — 1.13|— 1.57. 1- 0.24 
141/— 48.0| +51.6|—1.50 — 0.78| 4-1.98| 4-2.57| — 0.56, --0.37|| 63) + 30.51 + 6.8|— 1.90| -- 1.39 1.47 — 2,06| — 1.63) — 0.53 
16|— 46.8 — 58.9| + 0.15) +4.07| +1.03| +1.83|— 0.09, — 2.79|| 66! 1- 35.6 1- 38.2] — 0.33| +2.201 41.70) — 2.35| — 1.96, — 0.41 
19 —43.4 — 24]|4-0.31| +1.06| 42.49) 4-2.25|—0.05| — 0.56|| 69 +42.0| +47.3| + 0.73) +3.41| -- 2.62 —1.77| — 0.80) 4-0.32 
20|— 42.2) — 28.8|— 4.03, --1.22| 40.65] --0.27| — 4.30] — 3.01|| 70| +43:7) 2-11.4]— 0.19) +3. BERE ‚45 +0.25| 0.00) -- 2.21 
25 — 33.7) 4-22.7|— 0.25 +0.67| +1.62| +0.48| 4-0.20| —1.13|| 81] +53.0/ — 46.5] — 2.94. --1.38| +0 67, —3.55[— 0.60 — 1.66 
31|— 95.0) 2-14.5| — 2.37 |.—1.02] +2.17| --1.06| —4.90|— 0.59]| 9^| + 64.0 — 19.7] —1.40| +1.91] 4-1.44| — 4.08|— 0.59 — 1.57 
37 — 21.6 — 52.9| + 0.52} +3.73| 4-3.02| +1.65| + 0.32] — 1.16 24.8 47.4] — 3.60) — 1.44] 2.71) — 0.67) — 1.45) — 1.57 
39 — 17.1) +56.3|— 3.59 —3.70|— 0.06 —1.51|— 2.64 — 1.85 | PTT TMS 
^4 —10.9| +16.5|— 0.85, --0.26| 42.39 +0.22]— 0.24 — 0.46|| 13, — 40.11 —27.7|—1.61 --1.07| —1.04--1.33] — | — 
46 — 8.4| 4-40.5| + 0.10) --0.21| +1.89|— 0.26| + 0.84 — 0.38 21|— 32.5 — 34.8] — 2.05) +0.83|—1.24| +0.79| — | — 
49 — 6.5.— 7.6|—0.55 --1.19| 41.19) — 0.65) — 0.19) —1.90| 25) — 23.1, +38.0| 40.67 42.72] 0.04 +0:78] — | — 
50 — 6.11 —35.6]— 0.50 41.89] 2.37 — 0.22] — 0.52 — 1.69) 28 — 15.7] +23.3|—0.09| +2.31]— 1.28 — 1.24 
| 93.— 2.5 — 9.5] — 0.98, +0.78] +2.46| +0.05|— 0.62] — 0.87 57 --44.0| 444.5] +0.15| +3.64| +0,23 1.29) — | — 
60|+ 4.0|—44.5|— 2 eges 1.22] + 2.06 — 0.86| — 2.28) —1.41|| 64 ts 9|—28.5|— 2.19) +2.01| +1. 27|— 2.04 
| 75| 4-14.9| + 25.3] + 0.60! +1.27| +2.85| — 0.56 -F1.46| 4-0.17 73| 442.9 — 20.3] — 1.45, +2.41| --2.00— 1.81 | 
76) +10.7| 4-14.0|— 0.93] +0.14| --2.54| — 0.00|— 0.19, — 0:04 49.8) --39.0| 4-1.43| 4-3.99| 5-3.33|— 1.34]. — | — 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 51 
2 | e y Unité 0 En mm Unité Ô 01 mm am | dy Z | * y U snité 0. 01 mm ee en NNNM PEPREPRIECCERCZEIR Je | y. 01 mm daz dy 
BEN | no 4-01 | aa its | © nmm |enmm| y. | ob |.—as | aba 
| Région 362. Région 363. 
E — 1894.28; E'— 1914.25; T — 19.97. E = 1894.15; E'— 1911.15; T = 17.01. 
E = — 1.75; Px = — + 0.0005; rx - 0.0338; kx = + 0.15; px — = + 0. Poe rx = 0.0078; 
K'x = — 0.92; p'x = + 0.0094; AE = — 0.0075. Kx = + 1.26; p'x — + 0.0222; = — 0.0045. 
ky — — 1.21; Py — + 0.0092: ry = + 0.0344; ky = — 0.69; py — = — 0.0025; s — — 0.0103; 
ky = + 0.42; p'y = + 0.0067; r'y = — 0.0177. ky = — 0.22; p'y = — 0.0038; ry = + 0.0232. 
13|—52.3|— 6.9] --0.46| +0.29|— 0.57, 4-0.35|—1.08| — 0.12]|  4|— 60.8| -I-25.1| +0.32) — 0.31] -I-1.24| — 1.51|— 0.43|— 0.23 
14|— 50.5, —18.3 A 81| +1.52] 4-0.43| +0.93| +0.46 +0.56|| 4|—56.8| 2-51.1| — 0.34 — 0.34] -I-1.55| — 0.43] — 0.87| 40.31 
20|—47.2| + 6.4 1:0.05|—048|-—157 |. PE —0.79]| 8|— 50.4| -- 48.9] — 1.28 | — 2.39| + 0.69, — 1.41| — 2.25, — 0.64 
25|— 40.6! --17.8|— 0.05 — 0.30] — 0.14| +0.66] — 2.07 + 0.34] 441— 50.9, — 12.7|— 0.72] — 1.41) — 0.05| — 1.65] — 1.12) — 0.93 
30|— 38.2. 414.2] 42.64 --2.73|— 0.59! 40.17 --0.86|— 0.47 25|— 45.3|— 50.9] — 2.13| — 1.751 — 2.88| — 4.21|— 1.64|— 3.55 
38|— 25.9) — 20.2| 2-0.08| -2- 0.51] — 1.28| — 0.88 — 0.25| —1.42 45| — 11.6| + 28.5| — 4.09| — 5.48| — 7.65, — 8.30] — 4:44 — 8.44 
41|— 26.6, — 38.2] 4-1.58| 2-2.81|— 0.92, — 1.24| 4-1.52| — 1.55|| 57) + 9.1| 4-13.5| 4-0.86| — 0.271 +0.98| 21- 0.22] -1- 1.06, -1-0.04 
42|— 20.4| — 35.2 0.36) 0.05 Ara — 0.75) — 0.91\— 0.79]| 63| + 8.8! — 56.8] — 1.40, — 2.06] — 0.60) — 0.79 — 0.53, — 1.02 
48|— 15.3) + 26.8 +1,47) +0.52)— 1.44] — 1.72] — 0.97, —1.631| 65 6.1|— 62.41 — 2.01! — 2.37] — 1.40, — 1.23 1.00 — 1.61 
49|—15.4|— 23.41 — 1.97, — 2.07|—1.81|— 2.51] — 2.94| — 2.61|| 68| +12.7| — 29.3|— 0.37| — 1.63] — 1.83) — 2.56] 4 0.09) - 2.64 
60 — 9.7|— 7.5 +1.84| +1.68 +1.34| 0.00] +0.53| +0.29 78| --224| + 2.4 1.91| — 2.32] — 1.15| — 0.96] — 0.71| — 1.66 
62,— 8.1|— 37.8 + 0.85) 41.79 +-0.49|— 0.51] + 0.72, — 0.63 83 +286 (o —1.83| + 0.36| +0.27] + 0.09) — 0.27 
72| + 8.6| +63.6| +2.95| --0.08|— 0.55|— 4.08| — 1.09, — 2.27 85 4-29.0|—38.6| + 0.26) — 0.44) 40.03) — 0.00] +1.32| — 0.50 
74 + 6.0| 4-57.9] + 2.10] — 0.711 — 0.12] — 2.631 — 1.80) — 1.36 98| 436.1 34.7] —1.98| — 3.00|]— 1.17) — 0.79] — 0.98| — 1.56 
88| --20.1| + 3.2] + 0.77) — 0.26|— 0.09 — 2.99 1.04 2.071102 +411) —13.9 +0.38|— 0.58] — 1.54 — 1.24] 41.36) — 2.07 
98| 4-33.1| 4-18.5| +1.61| +0.15| 4-0.64| — 2.71] — 0. 67|,—1. .96]H 04, 4-40.5, — 56.9 8.81. 9.83|-19 42,—18.53|— 7.60 —19.51 
100! 4-31.9| — 23.8| +-2.06| +1.05| 4-1.07|— 2.45| 4-0.87, — 1.54|416| +62.0| +52.3] + 0.10) — 1.39] +0.11| +1.69] 21-0.74, — 0.12 
108| 4-40.3| --63.5| — 4.81, — 7.80|—20.37|— 26.10|— 8.75 —23.46 60.8| +53.1] --2.44 --0.41 --0.35|—4.38| -1-0.81|— 0.74 
119| 4-57.2| + 29.1[— 0.28|— 1.57| 2-1.13| — 3.71|— 2.57, — 1.93 | --51.1|— 43.5|— 0.37) — 1.91 2.13| 0.41| +0.66| — 1.91 
122| +59.3|— 34.8| +3.02| +2.87] + 2.80) — 2.32] +2.62| — 0.92 | | N 
—|-—18.6| 454.3] +4,51) +3.28|— 0.22) 40.30] 41.34 0.28]! 47 45.0) +27.2|+0.27 +0.05| 40.89 0.01] — | — | 
—|+15.7| 4-10.1| 4 2.65| 41.62] 4-1.05|— 1.25] +0.67| —0.54]| 39 30. 4| —934.6 --0.18| — 0.46 --0.95|—0.74| — ar 
— | +23.9— 21.5 0.79] 1.72|— 0.68|— 3.81|— 2.03 — 3.01] 33| 26.3) + 27.11 0.02| —1.301 + 1.33|— 0:31 
| ——] 715 44510|— 61:6] —3:25|— 2:48 +1.49|— 2.77 — 2.56 — 1.89 41 —19.4|— 27.6 --0.18|—0.65| 4-0.83—0.34| — I 
| | 79! +23.8 — 35.9 — 1.05) —1.99| 4.0.76) +1.38| — = 
24| — 40.01 4-30.0| +2.60| +1.45]— 0.27| +0.05 82, +25.8| -- 33.3 3.0.26 — 0.97 --0.51| 4-0.72 = 7 
29| — 35.2) +21.3| +2.19) +0.931—1.49/—0.76 86| --26.0|—39.7|— 0.97, — 2.54| — 0.12 +002! — mz 
35,—30.0 — 32.7] --0.96 --1.14|--1.44 --1.25| — | — || 90) +32.2| +33.7 mr 40.484129 — | — | 
39|— 26.6 — 22.5| +1.18| +1.36|-+0.65| --0.14| — = | 
90| +28.3| 426.4] 4-3.15| +1,18] +1.95|— 0:69] — = | 
94| +27.7/— 31.41 4-0.17,— 0.09] +2.43| — 0.77 | PRE, | 
102| 4-36.4| --34.2| --2.84| +1.06| +2.96|—0.85] — | — Région 364. 
106, +37.3 32.6| 4-0.67| +0.29| + 2.00, — 1.65 | = 
| EL —— 189545: B/— 1911157 7 — 19.08. 
| | | kx = + 4.32; px = — 0.0053; rx = — 0.0057; 
| k'e = + 4.72; p'x — + 0.0034; r'x = + 0.0620. 
| ky = — 4.84; py = + 0.0107; ry = + 0.0453; 
| ky = + 0.89; p'y = + 0.0081; r^, = — 0.0305. 
| 17|/—43.0|/—45.8 +0.41| 40.79] — 0.29! 40.01] 
21|— 38.0 — 29.6] 4-1.49| +4.20|— 2.49 — 2.81| +3.56 — 3.12 
| 24|/—38.6|—34.5|— 0.25| +2.22| +0.42| +0.90| 4-1.57| +0:14 


52 RAGNAR FURUHJELM. 
| zb. = 7 Unité à. 01 mm Unité à. 01 mm 4x | dy ZA EE y Unité 0.01 mm Unité 0.01 Jam min Az | 4y 
= jenmmienmm| par | as—b2 | &—ai | at © len mm en mm Halala | 
| | | 
| 29.—29.3 54 2.02 — 1.09] 4-0.66 — 0.281 0.54 — 0.24 Tu +29.7 NA -1.06| — 0.59, — 0.25 
| 62.— 04 132] —1.65| — 2.97| --0.85| —1.48 0.42 — 0.66 99 +36.2| 2-35.5| — 0. 35 +1. 35|— 0.74|— 0.77 
| 73| +11.3| +39.8|— 0.23 | — 4.04] +0. 78 —2. 04| +0.51| —0.81|1100| 437.6 — 36.7] — 1.49) +1.40 A 2.21 
| 79 +-22.2| + 49.0] —1.12)—5.38] +0. 94 —2. 98|— 0.37 —1.20||105 -E44.2|— 232.4|—144|--1.92| —1.81|—2.00]| — | = 
| 82 --20.4| — 28.4] 2.18 — 0.88| + 2.81) — 1.27| — 0.83| — 0.12 
| 87| 4-25.4| --19.0| — 2.09 — 3.80| +2.09 — 2.48|— 0.91 — 0.68 
| 88 --25.8| 4-15.7| — 0.81 — 1.99] +2. 80 —1.54| --0.53| -- 0.11 
100! 2-35.7| — 27.4| — 2.77| —4.53| +1.65 —2.95|— 1.43|— 1.64 
105| +43.5| -- 45.9| — 0.38| — 4.13| 4-2.01| —3.27| +0.52|— 0.99 Région 366. 
M49 | 4-53.4| 4-47.6| — 1.67, — 4.90| +2.22|— 3.93] — 0.47 — 1.27 
1122) 459.0) --26.1|— 0.26 — 2.53] +2.02)— 4.01] +0.80 — 1.66 7 — 4894.11; E'— 1911.15; T — 47.05. 
1126| 4-58.5|— 2.9|— 3.12 — 3.43] 4-2.64|—3.78|—1. 89 —1.50 
427| +56.6| — 51.7| — 3.26 --0.11| — 0.76| — 7.60|— 1.57| — 5.55 kx — — 0.17; px — = — 0.0173; rx = + 0.0194; 
| —|— 26.7 +22.4| 41.54 0:00] — 0.31|— 0.76| +2. .94— 0.60 k'x = — 0.75; p'x = — 0.0146; r'x = — 0.0059. 
|—61.7|—19.0|—1.96| — 1.30| — 0.76, — 0.34| — 0.58|— 0.74 ky = + 3.41; py = — 0.0006; ry = — 0.0297; 
| : | ky = + 0.87; p'y = — 0.0103; ry = — 0.0189. 
| 25|—-33:3| Fe 0:93) 3179] 40% 05) 20) 1 | 
| 32| —928.3|— 33.6| —1.24| 40.56] +0.95| +0.44| — 17|— 46.7] + 3.7|—1:70|— 0.13|— 4.29| — 1.24| — 0.60]— 1.92 
37| — 22.4|— 32.5 —948| 4-0.29|--0.38|— 0.45| — 19|—49.5|— 1.9|— 2.33) — 0.73|— 3.82| — 1.85] — 1.21| — 2.04 
| 38 —18.0 4-31.5|—1.43| —4.08| 4-0:90|— 0.34] — 21|— 42.5| 4-31.1|— 0.56) 4-1.42] — 5.54|— 2.47] 40.861 — 3.21 
| 77 4-19.9| -32.6| 1.25 —4.03| -2.08| —201| — | 34|— 36.1|— 56.8|— 1.57, —1.56| — 3.24| — 0.88|— 1.83, — 0.64 
84, +93. 2|__ 36. 7|—1.72| — 0.02] +3. Sl 35|—32.6| +62.71— 2.23) — 0.16| — 2.19) — 0.06| — 0.71| — 0.27 
86| +26.6| --32.0| — 0. 91|—3.56| 4-2.24|—2.09|] — | — 391 — 26.3| 4-45.5|— 0.75| +1.15]— 2.06, +0.91| + 0.46) +0.52 
96) +35.0)— 35.2 0,89) N EA MINES 41|— 26.3| +21.5] + 0.76| + 2.33] — 3.42] — 0.79] + 1.64] — 0.87 
| 50|— 22.8|— 41.7] —0.50|—0.86|— 3.73| — 1.44| — 1.06|— 0.92 
| 53| —149.1| 4-25.4| —1.96| — 0.57| — 4.22| — 1.97] —14 25/1174 
55|—45.1|- 34|— 8.48| — 7.38| 21.41| 19.54] — 8.13 | 48.87 
62| —13.8| +46.1| 4-0.48| --2.17| — 4.79| — 2.07| +1.39| — 2.02 
Région 365. 77|— 43| 2-16.3| 42.47] --3.53| — 5.84| 3.47] --2:71|— 2:84 
83 + 1.3| —31.5|— 2.77 | — 2.48| — 4.42 — 2.62| — 3.34, —1.33| 
1 la ee, 100! --15.5| — 25.0] — 0.46| — 0.19| — 3.81|— 4.59|— 1.20] — 0.19 
mde ese cen ANT 415| +25.2| —13.4| — 0.41] — 0.67| — 6.17 — 3.83|— 4.49| — 2.32 
ke ages PEER 0163 ie a 425| --40.3| + 9.1|— 1.82| — 0.61] — 5.30| — 2.00|— 2.25|— 0.73 
Kx cz Mot: pr te Be 5 0008. 127| 4-50.0| 2-58.1| — 0.17| +1.66|— 4.17, — 0.58|— 0.12| +0,51 
hy. abs qi cog bags, RE NE 132. --48.9|— 29.9|— 2.10 —2.13| — 3.20 — 1.43|—3.53| +1.01 
My = + 016: p'y  — 0,0462; i^, — — 0,0335. 142 +62.5| 4-23. — 2.21| — 0.80|— 6.12 — 2.53|— 2.80, — 0.94 
54| +61.7|— 12.7] — 0.90] —1.73|— 4.04, — 0.67] — 2.84] +1.20 
|— 35.3| 4-36.3|— 0.72| 4-1.52| — 1.33| + 0.62] 4-0.24|— 0.75] | | 
45|— 22.9 — 44.5| — 2.62] + 0.90|—2.84| — 2.30] --0.20|— 2.57] 22|—39:7| —38:6] +0.45|— 0.09|—2.24 — 0.46 
52) —43.7/— 4.2|—3.61|— 0.85| — 2.40 —1.19| 1.99/— 4.35] 26) 31-3] +24.3) 1.33] 15 0:03 | 403 +042! — | — 
68) + 2.01 --25.0| +1.79| 43.74] —4.20|—0.72| +2.48| — 0.65] #2 — 29.3] -20.5|—0.75 3-086|—2.81 —0.67]] — | — 
88| --18.0—55.2| —5.38| —1.46| — 4.54| — 3.60 2.65 — 2.44|| 4€ — 27.6 —33.8| + 0.62] +0.17]— 1.68 — 0.34 
[101] +30.31— 2.2| +115) +3.53|— 0.73, — 0.95| --2.04| 4-0.67| 07 -F23-5| +17.0| 40.611 --1.53|—3.89 —1.52] — | — 
112 +63.1 —42.8| —3.05| +0.90 — 3.59 — 4.011 1.00 — 1.1811 0 +23.9 —33.8| 40.82] +0.64| 3.95 — 1.61 
- | —36.7| +63.6| + 0.70! +1.06|— 2.41|—0.68| --0.46|— 2.61|| 7 + 25-5 — 23.8| 41.00 4-1.25|—4.12 208) — | = 
33.2) +38.7|0.42|— 0.42] 3.99] — 2.201 — 0.50 —3.69|| 24 + 32.0 +38.3| 40.11 41.10) 3.60 —0.38 | 
—|+ 7.0) +58.0|— 0.01| --0.86|—5.05|—5.29|—0.40|—5.30] | | | 
| | 
29 — 33.0] — 45.0] — 0.44| -I-1.12] — 0.31 | +1.70 — | 
37|—29.6| +29.1|— 0.56) +1.44|— 0.91 --0.85 
40|— 28.5 —33.1]— 2.94| --1.17| —0.99| +0.18| — — 
41|— 26.8 — 42.1] — 3.89| -- 0.37] —1.93| 40.46 | 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 53 
2| I | y Unite 0.01 mm Unité 0.01 mm daz | 4y ZU T 4 Unite 0.01 Eum Unité 0.01 mm da Ay 
© jenmmjenmm| s, 4, | a,—5 | dı—aı | as—ba | © jen mm en mm] 4 0, | a2—be | by—a | a2—ba 

| | 
42|— 20.3 all _4.76|— 3.80 i" 1.74| — 3.47 
44|/— 24.9) --29.2| — 3.72] — 2.84|— 2.02| +0.30|— 2.49| — 1.50, 
Région 367. 64 — 6.9 --55.6|—1.91|—0.71|— 2.17) --0.46|— 0.82, —1.61 
701— 9.31 14.41 0.77| 40.27] — 1.48 40.66] 40.59 — 0.71 
E — 1894.11; E'— 1911.15; T = 17.05. 82| + 0.7, —12.9| —1.61|—4.34|— 2.66| +0.15|— 0.74| — 1.53. 
92| -- 6.01 —34.5| — 0.18| +0.28|— 2.37| +0.20] -I- 0.83, — 1.20 
kx= — 3.04; px = + 0.0028; rx = — 0.0069; 97 --41.7| — 6.0|— 0.75| — 0.11| — 6.70| — 3.72| -I-0.16| — 5.50 
k'x — — 1.91; p'x = — 0.0002; rx = — 0.0019. 98| --11.7— 6.0|— 0.84|— 0.47| — 6.70, — 4.90|- 0.06|— 6.09| 
ky — — 0.40; py = + 0.0164; ry = — 0.0022; 104| -I-19.6| — 39.0] +0.50| 4-0.43| —1.22| +1.46| + 1.13 10.07 
Kurz 13048; p'g — + 0:0101; ry = — 0.0100. 412. --31.7| —39.0| —1.93| —1.79|— 2.70| 4-0.91|— 1.30 — 0.90 
; 1415| +33.2|— 57.4] + 0.66) -+0.99|—2.77| +0.88| +1.45|— 0.83 
11 |—45.5|— 46.4] 44.39) +2.35]— 0.99 — 1.04] 41.35 — 2.04), -136.8| —21.5| —2.12|—2.23| —0.95, +2.08| — 1.74! 40.45 
21— 33.3, +31.7| +3.02| +1.24|— 0.10) 40.33] 0.22] + 0-20ll4 40] +57.4| 483 —0.78| --0.35| 2.89 --1.09| 0.00|—0.96 
26|— 32.8) — 57.6] +1.36|—0.34|—3.08| — 2.20] — 1.42 — 3.73] _| "370.4 94|—0.99/—0.79|—1.57| +0.05|-+0.10 —1.3 
40|—18.0) +32.8| +-2.20) 4-0.85|—4.09|—1.021—0.80 —0.80| | + 56.8) 14] 4.23 2.731 4.09) 1.931 — 3.49) — 2.99 
62| -- 2.5| + 7.9| +2.34| 40.49] —3.91,— 4.521 0.77, — 4.22 | | 
69 + 5.11 +56.6| +2.14| +0.32| —1.58| — 2.03| — 1.17, — 1.16 sl: ba | 
73 -- 7.9 — 8.4| + 3.06) +4.06) +0.47|— 0.25|-— 0.05 — 0.08]| 22|— 33-5| +23-4]—1.73|— 0:55] — 0.84 +1,52] — | — 
sol ran) — 44.8] 1-1.65| —0.07| —2.01 —2.79|—1.45 —3.04]| 32,— 33:0 27.210.981 0.271 0.13] 1.01] - " 
E2060 951682741] 1-343 7453] 0:10] —- 0:22] --0:06| E90: £29 95] — 28:8 |-:26:0| — 1.80. 0.22]-- 89 2) | a 
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99|-1-33.3| --62.7| --5.36| +3.22| —0.80| —1.12] +2.00| — 0.06||109| +32.8| -F26.0|—0.60 --0.24| 142 72.88] — | — 
105| +5&.3| --94.9] + 3.67 + 2.51] 0.01| --0.54| --0.90| --0.75|| 117] 399-9] 401—005] -0.97|—1.89 #1.88| — | — 
106| --54.7| —30.9| +2.21| +1.23| — 0.95| —1.93|— 0.23 — 1.65||129| 43-9, —35.1|—0.50 — 0.201 1.28 72.45] — | 
108l 4571| + 63| 43.38! +2.07| +0.85| +1.23| +0.61| +1.33||!26] +40:6| —45.4|—0.89/ —4.42] —2.42] +4.36] — | 
| 
33|— 30.7| --23.3| +3.61| +41.46| +0.41| +0.05] — | — 7 
28|—28.5| --43.4| --3.53| +1.64| —0.21 +011] — | — Région 369. 
33| — 28.6| — 26.8| 42.71 --1.25| + 0.47|— 0.19 * : 
38|—22.2 —26.5| + 2.60 --0.88| 41.25 +0.48| — | — RE SR eo 
83) --15.6| +38.4| --2.51| + 0.60] —0.71|—1.25 | kx = — 1.64; px — + 0.0065; rx = + 0.0077; 
87| 4-24.5|— 28.6| +3.24| --1.75| 40.82 40.42] — | — k'y = — 2.47; p'x = + 0.0093; r'x = + 0.0082. 
90| -28.7| --23.6| --3.33| 4-4.77| +0.33|—0.57)| — | — ky = + 0.53; py — + 0.0062; ry = — 0.0146; 
95| --33.4|— 18.5] +2.79) --1.15| --0.68|—0.29| — — k^, = — 4.60; p'y = + 0.0016; r^, = — 0.0339. 
5|— 55.4| --29.4| — 4.28| —4.75|— 4.56| 4-1.64|— 3.61|— 1.72 
i 7|— 55.1|— 34.8] 44.52] +4.70|— 0.45| +2.60| 4-2.00|— 0.93 
Région 368. 19 —41.1| +35.3| 4-4.00| --0.69| — 0.92! 4-1.10|— 1.09| —1.30 
39| —17.1| — 62.4| +5.15| 2-5.07|— 0.66| 4- 1.12| + 2.59) — 0.96 
E — 1895.28; E'— 1912.30; T — 18.02. 42|— 7.8| +33.0| +0.18| +0.28|— 4.67| +-0.78|— 1.46, — 4.04 
vet dnos Ded P120 cre Se 00030; 57| + 5.2) 437.0] 0.43 — 0.22] +-0.29| +-1.82|—1.80) +0.83 
Fun pac b poor re 00192. 67 +10.1|— 28.6| 40.05 --1.02|— 1.38 +0.53 — 4.50|— 0.83 
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Ky — 4.25; p'y — — 0.0121; r'y — + 0.0111. ELA EE E PTS m E ^i rv MS 
99| --48.1| --30.4| —1.18| — 0.65| — 2.87, —4.18| — 2.18|— 1.27 
2|— 60.9| --11.7|— 0.93| 4-0.25| 4-2.03| 4-3.72| +0.87| +2.23 404| +47.5|— 34.2| +2.30| + 2.03) 1.98 — 0.83| 4-0.38 — 0.92 
13|— 50.3] — 46.5|— 1.33, — 1.23| — 1.28 — 0.23] -- 0.12, — 0.98 107 --57.7|— 24.5|— 1.12) — 1.06|— 3.36| — 2.12]— 2.71 — 1.97 
21|— 41.6 | — 20.0 — 0.75, — 0.57| — 1.36, — 0.03] 4-0.54 — 1.07|- |— 31:2] 46.9| 4-0-28. --1.08|— 2.62. — 0.13|— 1.08, -2.48 
23.—35.4|4- 7.5 3.03) -9.30| —4.83| —2.27| —4.68| —4.08|] —|—49:6|— 41.9] +2.22| + 2.85] — 2.49] + 0.43] + 0.24 — 2.77 
31|— 30.4| —11.0|— 1.97/— 1.31] — 1.72) — 0.36| — 0.62] — 1.43 | | i 
39|— 27.7 — 41.0| —1.76| —1.82| —1.27| +0.28|—0.65|— 0.67|| 27/—31.4| +36.41+2.12| +2.39|— 0.46 +2.33| — | — 
40|— 27.5|— 45.4| —0.39| —0.53| — 0.51 +1.20| +0.68| +0.18|| 28|— 32.9| 1-26.5| --2.03| --2.99|—0.45| -+2.65) — | — 
41|—21.3| -38.3|—1.18| — 0.02] —1.53| +1.55| 4- 0.10] — 0.68l| 34| — 27.5|—30.4| --1.63| +215] --0.39| +2.75| — | — 
N:o 7. 


54 RAGNAR FURUHJELM. 
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jen mm ‘en mm a ee SR AR BR | Jen mm enmm| by—a, | as—bs RATE Tur. | 
| | 35/—34.2| — 28.0] +1.08| +3.22]— 0.491 +0.74| +0.56| +0.33 
35|—20.7| — 24.8 +13 a — 0.02) +2.48 | 39|— 21.1 --20.9| —1.58| --0.19| —1.19— 0.05| —4.22|— 0.34 
78 | 4-20.1|— 39.0] +2.23| 4-2.75| — 0.77) +0.80 | 43|—15.7| +38.4] 1.52! — 0.44| — 1.05) +0.63|—1.14| +0.09 
80| +-26.5| +30.8 +0. 13 I-1.22| — 0.38| +1.05 | 45,—49.9| + 2.5| +4.69| 4-3.09| — 1:27|— 0:04] +1.43|— 0.37 
86| +31.8| 4- 29.8] 4-0.93| +1.22| 1.52] +0.38| — | — || 64|-- 4.6) +41.2] 1-0.57| 4-1.12| — 2.59|— 0.25| 2-0.59| — 4.09 
88| 4-32.5|—15.2| +2.06| 4-2.51|— 1.12] +0.42 | 69| + 0.4|— 38.7] 4-0.80| +2.91| 1.28) 2-0.15| —0.23|— 0.31 
71|+ 3.01—54.3| +0.06| 2-3.47| — 1.19. 4-0.92| — 0.70| +0.41 
89) +16.7| +22.3| +2.30| 4-3.31]— 1.19 | 40.79] 4-2.01 40.13 
Région 370. 91| 4-23.5| +39.8| +1.22| 4-2.49| — 2.46 | —0.74| +1.41] 4.24 
4 100| +-27.8|—58.0| 4-0.36| + 3.46] —1.82|— 0.74| — 0.84|—1.00 
Z SE Lf SMEG EUR ENT" 107| 4-33.5| — 62.0|— 0.70  --2.77|— 6.70 |— 5.19] —1.85|— 5.67 
ke — 0.05; Ps = + 0.0063; rx = — 0.0129; 113) +43.7| + 2.8] 41.40) 2-3.16| — 2.73|— 0.83] + 0.82) — 1.53 
ke = — 0.72; px — + 0.0145; rx — + 0.0151. 122. --53.3| +61.3[— 3.91|—3.06|— 2.62) + 0.14] — 3.66| — 0.83 
ky = — 0:34; py — + 0.0016; ry = + 0.0128; 129| 4- 58.0, — 12.2] +216! 4- 4.10] — 1.05| + 0.74] +1.21) 2- 0.19 
ky = — 0.04; p'j = — 0.0013; r^, = — 0.0309. — |+ 44] 4-28:11— 3.06: — 2.24| — 2.83 |— 2.08|— 3:21| — 2:43 
SR RME] EL = G0 
12) — 46.2) +52.2]— 0.36) —0.42|— 1.27) --0.64|—1.12|—0:92] 5| 44.9] 4.33.6| 0.76) + 0.22) 0.27| 40.64] — | — 
| 20— 40.4] 2-15.6|— 0.74|— 0.39| — 1.92) — 0.94| — 1.28 — 1.99] : hia 
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47|— 54|— 2.3|--0.20| 4-0.90| — 0.36|— 0.54] --0.12| — 0.68 on E M PA ey: a His: 
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| in e BA ON mu "es n " n nr E 94] 424.4) 43.6] 41.59 +3,50] — 144 40.09 
| 70| 414.71 —31.0| — 0.73! +0.64| —1.67|— 2.56| — 0.34, — 2.18 Ame 08 FE 125. GE CU 
77 423.0 + 2.5] 40.32) +1,17] 4-0.32, — 0.76] 40.56 — 0.20 ee 0 
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(87 +33.8 +58.3] cran 1.88] — 4.92| — 7.92) — 1.37] — 6.30 
1104| -I-46.4| — 56.3|— 2.16 +0.09| — 2.20| — 3.35 —197| — 2.55 $t 
1415.5] — 54.1] — 1.42, +0.98|— 1.33] —1.25|— 0.79| — 1.62, —415.5|—51.1|— 1.42| +0.98|— 1.33, — 1.25| — 0.79| — 1.62 Région 372. 
pie PEN NES ST ze E = 1893.30; E'— 1912.31; T = 19.01. 
19, — 40.2) MLB ao Eje Jug = | — 
27 - 39.3|— 49.9) 10.06! 2-2.24| — 0.06! +1.50| — € Kx = — 4.61; px = + 0.0050: rx = — 0.0016; 
38| 29.9| +31.7| +0.56| 4-0.32] 4-0.11| +0.91 -- khe = — 1.02; plx = + 0.0176; r’x = + 0.0294. 
36) accade ena +010 0741| — -— Ky — — 0.56; py = + 0.0132; ry = + 0.0202; 
64 4-11.4| +3%.8| 40.51 4-0.26| 4-0.21| — 0.07 - K'y = + 0.25; p'y = + 0.0074; ry = — 0.0087. 
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ee lee 384.214] — | — | 977426 +31.8| 40.93) —0.77|—1.89 —1.65|—1.33|—1.27 
7|— 45.9,— 29.6| 4-1.78| +3.19|— 3.08| — 3.06| + 0.24] — 3:22 
27, — 26.9! — 22.0| +0.53| -- 0.70] +0.35! — 0.07|— 1.30] — 0.04 
Région 37l. 29|— 23.9! +31.4| 2-3.52| 4-1.40|— 5.68 — 6.88) +1.31 — 5.93 
31|— 415.4|— 97.8| +0.74| 4-0.99|—2.83| — 3.19] — 1.03| — 3.32 
E — 4894.15; E'— 1911.15; T = 17.01. 37 —10.3| 4-25.6| +1.85| 4-0.13| — 1.09 —1.55| —0.08|—1.10 
45| — 11.5| — 61.9] — 1.72) — 0.26|— 3.29 — 3.75| — 3.29| — 4.20 
RE en TG E &9— 9.5|—13.3| --0.39| —0.14|—1.51|—2.26|—1.47| — 2.08 
V. 1.02 Dis sx ON PE me EN sol 5.5|— 57.0] +4.14| +54] 7.66 — 8.20] --2.60|— 8.59 
ON LE OR END, 55|— 0.9 —48.4] 4-4.53| --1.39| —0.43| — 2.47| — 0.53| —1.90 
SO ne TON Bui ae PA DOO fis a OLE 57| + 0.0) --35.2| — 0.65 — 1.59] — 2.48|— 2.35| —1.95| —2.16 
3|— 61.7| + i64 --4.32| 4-0.70]— 1.42|— 1.25| 4-4.39|—1.07|| 68) +13.7| 1-43.4| + 2.43) +0.10)— 1.29 — 3.07| +0.71| 1.92 
14|—54.7| +4 0. 39| 4-0.57| — 2:35| — 1.44 +0,43) —1.64 73| +19.9) 4-33.3|]— 0.77, — 3.20| — 1.91| — 4.41|— 2.61 — 3.04 
18|— 51.6|— 51.81 0.02] --2.41|—5.71|—3.76| —0.78| —4.55|| 82; + 22.4, — 5.2] 43.07) +1.26| --0.95| — 0.83] + 1.03) — 0.23 
191— 46.7| 4-25.8| --0.70 He EN 4-1.35|— 1.39]| 9) 4- 31.4, — 25.6| 41.98, 41.34] 40.42) — 1.58 --0.34| — 1.13! 
2 182 3.2| —1.00| 2-4.47| —4.25| —4.25|— 0.79/=—1.26|| 99] +45.5|— 37.5) +1.15| +1.13|— 1.23) — 3.56|— 0.18 — 3.15 
94|— 40.5 5| — 6.64 — 4.97| 0.661 — 5.51||102| +52.1| -- 28.2] — 1.10| — 3.66| 40.74 — 2.23|— 2.71 |— 0.86 
34|— 33.2) 1.924 1447 2,47] 0.62 +0,53] 4-1.42| 4- 0.22||110 110] 1 60.0| + 6.9|— 0.06| — 2.11| — 1.91|— 4.73| — 1.62/— 9.71 6.9|— 0.06| — 2.11| — 1.91|— 4.73| — 1.62| — 3.71 
'Tom. L. 


To 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 


Diff. en x Diff. en y | 
2 | cz | V Unité 0.01 mmjUnité 0.01 mm 4x | 4y 
5 jnmmenmm|;» 0, | aa—ba ldı-aı lau Il | ESR RR RE | 
16— 37.8 +21.2| +1.65| +0.91|—1.18|— 0.29| — | — 
92 — 33.7 23.21 4- 1.13| 4- 2.03 + 0.06! +040] — | — 
28|— 28.0|— 39.4| + 4.70) + 2.58] 40.86) 40.83] — 
36|— 14.9| 4-29.5| --2.52| 0.90] — 0.06|—0.53| — [TE 
83 --23.6| — 20.5| 4-1.35| -I-0:69| --1.09|— 0.67] — — 
85 E527: 81512918 xU — 0.50 MO S mme 
86! +29.3 3 +484 SER = NE TE 
92! + 33.71- 40.4 Ve + 2.47 1.36 0.28 -- 
Région 373. 
E= 4893.30: E'= 1912.31; T = 19.01. 
Er = — 1.45; Px = + 0.0075; E -- 0.0098; 
Ex + 1.70; px = + 0.0101; = — 0.0095. 
EL + 0.20; py = + 0.0081; ME — + 0.0412 
ky = + 1.62; py = + 0.0050; r^, — — 0. 0101. 
1|— 60.7 +58.11 + 2.96! + 0.06| — 2.59, — 2.16 +1. 11|- — 0.12 
9— 51.0| — 13.0] + 0.43, — 3.49 1.82 RD 1.86| -- 0.4: 
1412| — 49.2) -- 22.9] 4-0.71| — 2.03| — 4.94| — 4.141 — 0.97 — 2.71 
18, — 41.3 --29.1| -- 1.41 1.31 3.67 2.95| — 0.18| — 1.56 
52— 9.914 24 +0.74 1.59 2.38, 2.64] — 0.38| — 1.41 
| 55|— 8.4|— 30.2 + 0.7 2.78] — 2.04, — 3.08] — 0.97 — 1.71 
90) +173 + 0.4 0.05 3.05| — 1.15| — 3.34|—- 1.26 12 
97| +25.81 12.6 +3.90| + 0.26] — 0.44| — 3.56] + 2.43 — 1.5 
105) +38.3| + 45.61 — 0.30) — 3.24 0.87| 4.77|— 1.29 220 
106, +36.6| 445.7] 4-1.24| — 0.58] — 4.91) — 8.00! + 0.78 — 5.81 
141 +404 +55.3] +4.20| + 1.04 Eu 96| — 3.64| +3.10| — 0.69 
115| 4- 44.9 — 15.5| — 1.64| — 5.16] + 0.12| — 3.36| — 2.88| — 1.51 
116| +47.5| +35.4] + 0.68|— 2.68| — 2.33| — 7.06| — 0.45| — 4.29 
117| +46.4| 4-10.9|-12.91,—14.38| — 8. 45|—11. 33|-13.10| — 9.63 
— — 32.5) 4- 62.5 + 0.86; — 0.36| — 2.3^| — 1.13] +0.10| +0.09 
19| — 43.6| +19.1| 4- 0.56 1.60 3.20 1522 
| 34|— 24.6| — 30.6 PUT 1.4 5|—0.67|—1.43 — - 
| 99, —19.4| -- 29.1] 41.7 1.30 1.02) 1527 
| &1|—19.0| — 26.1| +2. 11 1.46 1.24 1.46 
| 87 +19.6| + 20.5] + 0.98] — 1.96 +0.20 —2. 601 — — 
94| +28.6| -1- 36.4| 4- 1.61 28-80 +0. 75) —1.78| — — 
98| +28.7|— 21.3] +1.29| — 2.52 4 671 1.32] — — 
404! + 32.5 — 37.2] 4- 1.11| — 2.65 --1.09| — 1.89 = — 
Region 374. 
Ber = NND RO 
kg = — 0.52; px = — 0.0099; rx = + 0.0063; 
cl 0.19; p'x = + 0.0075; r'x = — 0.0345. 
ky = 213: Py — - 0.0060; NT — + 0.0196; 
k'y = + 0.46: p'y = + 0.0090; r^y = + 0.0109. 
7|- E 30.9| —0.88| — 2.96] 4-1.26| — 2.12] —1.76| — 0.66 
8 — 0| 4- 24.9| -- 0.94| 4-1.67| +1.11| — 1.67| + 0.70, — 0.12 


55 
2 | zs y Unité 0. 01 ma ole] = | v Ju sv 01 a Jr 4y 
9 lenmm en mmj| yc. |.a5—5g | ba: |: aa—bs b 
| | 
10|—54.7| + 6.2| —0.30| -1- 0.17] +1.87| + 0.15] — 0 AA 1.01 
26 27.0 + 2.1|— 0.90| — 0.33| 4-0.13| — 2.01| — 0.96 — 1.35 
sil 1. 2.01—1.47|—1.75|— 2.42) — 5.31 1.94] 4.39) 
32 /| - 2 2 a. 47\ :75 2.42 nm 2 1.9: 
38|—10.0| +62.6| +1.47| -I-3.91| — 1.24) — 4.67] --1.46|— 3.16 
57| + &4| 4-47.4| +14. 52 --3.39 +1.80] —1.70| +1.42 — 0.49 
70| +18.8| + 16.8|— 2.69) — 2.71] — 0.28 — 3.23 ul 2.75 
— |— 32.9| — 57.8] 4-1.98|— 1.68] -I-2.05| — 0.18] +0.65| +0.16 
24|— 30.1| 4-16.6| 4-0.35| 2-4.75| --4.74| — 0.88 | 
34|— 21.31 — 20.3] +0.34|— 0.72] +1.99|— 0.17 | | 
37|—19.3|— 39.8] +1.28|—0.89 HE (LE 
40|/—13.5) 4-35.9| — 0.65] +4.00] +4.12|/—1.47] - 
80| --20.6|— 41.9] 4-0.76| — 1.68] + 2.79 tii — 
86| -+ 31.41 +28.8| +0.52| --0.68| 43.03] +0.27| - | 
87| --33.5| + A 4-1.39| -+0.89| 1-2.40|— 0.52]. - 
90| + 36.4| — 24.4] + 0.69| — 0.42] --2.75|— 0.14 | 
Région 375. 
E = 1893.30; E' = 1912.30; T = 19.01. 
ky = — 0.98; px = + 0.0041; rx = + 0.0091; | 
ke = — 10.40; px — + 0.0022; r^. = — 0.0162. 
ky = — 0.47; py = + 0.0089; ry = — 0. ep 
ky = — 1.14; py — 10/0066; ry = — 0.014 
Ars: 4| — 18.4] 41.25) 40.37] —1. 60! — 4.10| 4-0.03|— 2.78 
36. —37.8| + &.2| 41.53! +1.22| --0.81| +1.27| --0.55| — 0.06 
42, E9616 a7l5 3.36 4-1.65| --0.22| +1.15| +1.83|— 0.73 
48|—32.1| + 4.4] --5.77| 4- 5.68| — 4.09 — 3.10] + 4.92 — 4.63 
59 —29.6|— 20.1] + 2.69 +4,59] — 0 .911— 0.46 --4.49|— 1.87 
73|—16.3 4-44.5| —1.07|—1.03|— 2.25 — 0.39|— 1.84| — 2.06| 
87|— 9.9|—57.4| +3.82| 4-2.04| — 1.32| —1.77| 4-2.41|— 2.76) 
91,— 2.5|4- 8.8| +0.39 is 66|— 1.50| +0.51|— 0.20] — 1.10 
98|+ 0.6| + m 9|— 2.43 56|— 2.24|— 0.76| — 3.18|— 2.12 
107| +13.8| --44.2| 1.19 4-0. 0.0% 2.73 —1.76|—1.38|— 2.36 
140 +10. à nasa +0.85| -.-0.65| — 1.06| +0.17| +0.03|— 0.82 
197. 4-23.5| — 48.9| -I-1.82 — 0.79] —4. A8 +0. 16| 4-0.07| —1.21 
129| +27.3|+ 7.7| 4-0.68| + 0.46|— 2.98| — 1.23|— 0.06|— 2.32 
455| 4-56.7| + 25.7] — 1.18! — 0.20|] — 0.48| + 0.62 TES 30| 4-0.39 
|— 49.1) —31.5|— 2.40] — 3.69| — 3.13|— 4.06 249.4] —31.5|— 2.40] — 3.69| —3.13|— 4.06|—3.78| — 5.14 
24 37.3 — 29.21 +1.65 s ND TA cap N = = 
45|—31.3| --21.9| 40.261 --0.42| +0.40| +1.77] — == 
55|—27.1| +37.8| +1.19| +1.18| 40.49) +1.56| — > 
60|— 25.5 — 30.8 +1.80| + 0.09] +0.66| 41.24] — | — | 
132| 4-29.1| —31.1| 4-1.20|— 0.33] --0.40| +117 — = 
138) +38.6, +24.1| 41.06 +1.37 — 0.90, — 0. 34| - 
141 --35.4|— 27.6] + 0.82] — 0.261 — 0. .03| +1.22 — 
144) +42.2| --20.2| +0.36| +0.28| 0.54! +0.44| — = 


56 RAGNAR FURUHJELM. 
| | Diff. e Diff. e | | Diff. en Diff. en | 
Zu. eq. M Unité 6.01 mm Unité 0.01 mm dx | 4y z| £d. Iunllumite 0.01 mm Unité 0.01 mm az | 4y 
> Jen mim en mm], —a, | ob [ ba, |.as—bs | > jenmmjenmm] „a, [ar | Bron | abs 
| | | | 
| | 
38| —17.2| —14.7 1.94 4.10|— 1.18, — 2.14|—4.69| —1:58 
43|—15.0— 5.0] +-2.70| --2.74| — 0.51, — 1.64| +2.35| — 0.94 
bur 52 — 8.2|— 24.9| 1.551 — 1.02| — 2.60, — 3,91|— 1.13, — 3:20 
Région 376. 53 — 9.6—49.5|- 15.24 —12.02| — 5.70 — 7.50|-12.94| — 6.71 
95| 4-34.7| +51.5|— 0.95| — 3.46| — 0.27 — 4.04| —3.31| —1.25 
E = 4893.29; E’= 1912.30; T = 19.01. 109| 4-47.2| -- 21.9] 4-0.39|— 0.82| — 0.44| — 4.69| — 0.53| — 1.78 
en ne) 447.5] 41.98) +1.47|+0.511 +0.01| — | — 
Kx — + 2.29; p'x = + 0.0055; 7x — + 0.0119: 29|—36.9|—39.5 — 0.83 --0.33| —0.02|—0.57| — b 
y = 170; py = + 0.0124: ny. — 0.0123; val ; ; à : + : 
‘y opu AU EU À 32|— 27.0|—23.8| — 0.15 --0.81| --0.97|--0.05| — | — 
Py = 0.28, Bu fee 0033. Du en ek 36|—18.1| +35.6| 41.24 —0.23| --0.44,.—1.35| — | — 
89| +-21.0| +20.3| 4-0.35| 0.00) 41.04 —2.00| — = 
6|— 56.3| — 24.6] — 2.20] — 3.90] + 0.57] — 0.44| — 2.18|— 4.75 Se VUES Mec dep w "Ee Ser 
24|— 42.5) —16.6| +-0.23|— 1.65| +-0.25|— 1.62] 4-0.28|— 2.22), 99 --36.8.—25.3 Now mes +4 089.59 - d 
27|— 38.2) + 60.9] — 2.47 — 5.171— 0.59 — 2.99|— 2.21 — 2.66] 06! --42.4| 129.8 42.01 20.2 1.0.68 — 25e — - 
31|— 36.4 — 26.7|— 2.83| — 4.11|— 0.22| — 2.38| — 2.54 — 2.81 | » "Ut i i 
38|— 29.9) +47.71 +2.40|-—0.03| —.0.00| — 4.97] +2.73| —1.82 
58|— 10.9) +44.5|— 3.52) — 5.50] — 0.74] — 1.99] — 2.91 — 1.92 
77|— 4.3|—32.3|— 2.80|— 4.27] +1.53| — 0.84] — 2.50) — 0.70 
| | # 
91| -- 3.31—53.7| —1.10|— 2.14|— 0.80| — 2.57| — 0.72] — 2.78 Région 378. 
114| +-22.6|— 21.3] — 2.37| — 4.30] + 0.21|—1.93|-- 2.10| — 1.40 
128| 4-34.7| + 0.1|—3.51| — 5.50|— 5.27 — 7.71|— 3.05|— 6.67 E — 4893.30; E'— 1912.30; T — 19.01. 
129 --32.0|— 3.3| +4.11| 4-1.99| — 1.94| — 3.89] + 4.46|— 3.16 
: = — 0.22; = +0. ; — — 0.0161; 
132, --36.5| --47.1| 4-0.81| — 1.59) + 0.88 — 1.39| 4-1.43|— 0.04 s 2A a Beg ji Reb. idi Nes 
138| +42.5|— 17.7] +1.82]— 0.30|— 0.61|— 2.90] + 2.101—1.95 DAMM ni Bar EE I ome. 
152) + 50.7|— 22.0] 2.51|— 4.19|—1.55| — 3.44] — 2.00| — 2.59 a My BR SÄTER 4 e UF 
153) + 51.4 wo lm — 0:27|— 2.72, — 5.23] 4-4.73|— 4.23 Pius bend i2 e yd was Tones 
— | --30.1| --40.21 — 2.28 — 4.90| — 3.78| — 5.23| — 1.84 — 4.45 | 
de Se oae wis Eee 1|—63.5| + 3.2] --2.54| 4-4.00]— 0.10 — 4.21]— 0.03|— 1.54 
— 837.6] 52.0) 2.48] — 5:07] +082 2742610) na] + bara] osa] nn D. 
3 | | AR y | 16|—49.6| —12.2| --1.94| +4.27| 41.39 —2.22| + 0.34] +0.19 
22.1 PS0) POS RER À | 28|—35:3|-— 524] 3:85] 0.82) 1140 ala re 
| 256] 92:3] 7.0.4817 1.641 42:66) RDS — 7 — 83 30:0] EE 1:06| 2.58 01220 ONE 
47|— 23.6| + 23.0| 4-0.01| — 2.30 F1.79 --0.06| — ass 75 -:45.0|— 1.9| — 2.98 — 0.52] 40.24  — 2.60] —2.65| —1.13 
E p » |--15.0|— 4:2|—2.98|—0:52| 4-0.2 ! p 43, 
29/7294 —-202|—0.02 —1.59 183-0121 — | — Los) --36.2 +21.5| +0.81| +2,59] 3-2,33|— 0.79] -:25| 0150 
109 7 222 728:21 0:80 — 2:0] M SA] ZI Miad0]-1-29:2, E2117] 20.20 2120,93] 554 2 Dee RES 
116 --21.11—35.1|—0.33 —1845|3-1.79 —0-52| — | —  |ha2| 58.8) --35.2] —2.11|— 0.91| — 0.93 — 3.99] — 1.38|— 2.99 
122 +28.5 —27.3|—0.57,— 2.73| 41.93 064 — |. —  [|———————À— 
126 --33.2| --40.8| —0.41|—2:88| --0.48|——1.34] — | — le +4 8512.04] 14.00 _ 8.95 
o cua Ze . m . = A "$t 
32 — 28.0| +18.9| +1.14| --3.08| --2.98|—41.52]. — | — 
—|— 24.0) 4-28.9| + 0.05| 4-1.72| 4-1.56|—2.09] — | — 
40 — 20.4|—33.7| +1.17| --4.16| --0.23|—83.22] — | — 
Région 377 86 --17.6|—28.1| —1.23 -1-4.36| 44. — 5:03] NI 
90| 4-24.8|— 22.9|— 2.04 --0.59| --2.67]—6.83] — | — 
= - : 93| + 27.3) --35.1| +0.65| --2:58| 41.85 —444|] — | — 
E -31993.:305 EZ 191220; 2 £3.01. 95 --26.5| --24.2| J-0.72 --2.59| 40.44 1.83] — | — 
ky = — 0.40; px = + 0.0084; rx = — 0.0388; | | 
ky = — 0.24; p'x = + 0.0126; rx = — 0.0059. | 
ky = — 0.70; py = + 0.0056; ry = + 0.0115; | 
ky = + 1.27, p'y = + 0.0075; r^, = — 0.0268. | 
24|— 38.9) — 59.6|— 3.56 — 0.63] — 0.23 — 0.55] — 1.49) — 0.79 
37|—18.9|— 14.5] +0.18| +-0.69[— 4.18, — 5.85] + 0.24 — 4.97 | | 


Tom. L. 


Calcul des mouvements propres annuels. Réduction au 
mouvement propre absolu. 


Les mouvements propres annuels ont été calculés en partant des quantités Ax et Ay, 
d’après les méthodes déjà employées dans le volume précédent de ce travail. Les moyennes 
des résultats de régions différentes ont aussi été formées de la méme maniére que précédem- 
ment. Pour ce qui est de ces calculs, je me bornerai donc à renvoyer aux pages 95 —100 du 
vol. Ler. Il en est autrement de la détermination des corrections systématiques des mouvements 
propres, c'est-à-dire de la réduction au mouvement propre absolu; — cette détermination a eu 
lieu d'une manière quelque peu différente de celle du vol. Eer. Il faut donc en donner iei 
un exposé. 

Dans le vol. I:er, les corrections systématiques furent déterminées au moyen d'une com- 
paraison des valeurs que j'avais trouvées pour les mouvements propres avec celles données dans 
le Preliminary General Catalogue de Boss, pour toutes les étoiles communes. De plus, à titre 
de contrôle, je fis une comparaison avec les mouvements propres de Porter (Cincinnati Publi- 
cations, n:os 13 et 14). Cette derniére comparaison a été abandonnée dans le présent volume, 
vu le nombre trop insignifiant des étoiles communes. En revanche, j'y ai fait usage du ca- 
talogue revisé de GnoowBRIDGE, qui contient un grand nombre des étoiles dont j'ai déterminé 
les mouvements propres. Dans le premier volume de ce travail, je n'avais point tiré parti 
de ce catalogue; mais ici J'ai étendu la comparaison aussi aux étoiles dudit vol. Ler. 

La partie de la zone de Helsingfors dont nous traitons ici a 29 étoiles communes 
avec le catalogue de Boss. Elles sont notées dans le tableau suivant, dont la première colonne 
donne les numéros du catalogue de Boss. Viennent ensuite la classe de grandeur d'après 
Boss, les coordonnées équatoriales approximatives pour 1900.0, les composantes u, et ws des 
mouvements propres d'aprés Boss et d'aprés les valeurs que j'ai déterminées — puis les 
différences Boss—Hels. en unités de la dernière décimale, et enfin les poids de ces différen- 
ces; ces derniers ont été calculés de la maniére indiquée p. 163 du premier volume de ce 
travail. 

* DvsoN and TuackERAY: New Reduction of Groombridge's Circumpolar Catalogue, 1905. 


N:o 7. 8 


58 RAGNAR FURUHJELM. 


Tableau Il. 


Comparaison entre Boss et Helsingfors. 


Boss Helsingfors Boss—Hels. Poids 
N:o | Gr. a Ó 1 4 ci 
Ua us Ua us Ua Mo Ma us 


1498 | 6.3 | 556 5 | 42 54.9 F0.0113 | —0.141| +0.0115 | —0.183, — 2, +42) 0.4 | 0.4 | 
1506 6.0 | 5752 | 4259.4 | —0.0025 -0.145 | —0.0022 | — 0.172 3.) 27 a (AO | 
1571| 6.9 | 610 8 | 46 27.4 | —0.0044 | +0.013 | —0.0054 | —0.013 | --10 | +26 0.8 | 0.8 | 
1 


576 6.7 49 | 46. 24.0 | +0.0009 | —0.133| +0.0006 | —0.142| + 3! + 9| 0.8 | 09 
1632| 6.2 | 2235 | 4644.9 | +0.0005 | +0.005 — 0.0020 | +0.000 | +25 + 5| 0.7 | 0:8 | 
1687| 5.9 | 3144 3928.38 | —0.0021 |—0.116| —0.0001 | —0.118 | —20 | + 2| 09 | 1.0 | 
1688 | 5.3 51 | 3959.3| — 0.0013 | —0.032 | +0.0007 /—0.004 | =20|=28 "0 (1a 
1694| 5.0 | 3211 | 42 34.6 | +0.0005 | —0.061 0.0001 | —0.084 + 6 +23| 1.6 | 18 | 
1707| 5.21! 3548 | 4437.2 | 22010036 | 0.039101 —0.0029 | —0.044 | — 7 | --.5/ 1.2 | 1.4 | 
1724 | 5.6 | 39.32 | 4340.6 +0.0007 | +0.158| +0.0022 | +0.158 | —15 0/22 Eds 
|1748 | 5.2 |. 4342 | 41 54.0 | —0.0016-| — 0.135 | 20-0030 20.146 | +14 | +11| 1.4 | 1.6 | 
1762| 6.3 | 46 9 | 3859.3 | -4-0.0005 | +0.005 | — 0.0036 | +0.033 | 41 | —28 0.2 | 02 
1779 | 6.0 | 49 8 | 4624.1| +0.0024 | --0.006 | +0.0002 | —0:025 | +22| +31| 0.7 | 0.8 
11786 |..5.0.| : 5019. 45 13.5 |..—0.0024 | —0.002,| —0:0027 .|.—0.036 | .--.3] 4:34. | 4.7 412.8 
1841| 5.1 | 7 447 | 3929.0 | --0.0041 | —0.003 | +0.0025 | —0.034| +16| +31| 0.5 | 0.8 
(1880 6:042 1151041037 | — 0100102] ^ 40:000] —0.0007 | 0.047, SE re EE 
|18907| 5.8 | 14 3| 4524.8| —0.0034 | --0.005| —0.0035 | —0.017 | + 1| --22 LI | %5 
|1919| 5.5 | 1713 | 4051.9| +0.0001 | —0.024, --0.0006 | —0.019 — 5| — 5| 1.2.| 13 
|1986| 5.9 | 2916 | 46 24.1] —0.0009 | 0.046 | —0:0010 | —0.010| + 1| —36.| 0.7 | 0.2 
2142| 6.5 | 8 014 | 43 32.9 | +0.0004 | —0.031| — 0.0021 | —0.053 | +24) 5-22 | 1.1210 
2148 | 6.7 231 | 42 43.4 |. +0.0011 | —0.072 |: +0:0001 | —0:082 | 10! +10!) 1:3: |- 12 
2208 | 4.4 16 0 | 43 30.6 0:0008 | —0.107| — 0.0032 | —0.092 | +24| -15| 1.7.1219 
2320, 6.3 | 1757 | 42 19.6 |. +0:0007 | —0.007 | — 0.0012 -|-2-0:003 | +19.) —10.| 158 | 
2936 | 6.7 | 9039 | 4559.5 | —0.0031 | 0.3617) =0.0015 | 0.367) —16 | + 6| 1:0 | AT 
2306| 5.6 | 34 7 | 461L1]| +0.0028 |--0.077| 4-0.0006 | +0.077 | +22 0.0.9 | 1.3.| 
2333| 8.5.|..8835.| 42. 3.1. | —0,0241. |.—0.649:|. —0.0249..|— 0:6/71-| 208 | 2:92. | tQ AS 
|2368| 5.3 | 4514 | 44 5.9| --0.0001 | --0.037| — 0.0010 | +0.029| +11 8| 1.5 22:0 
2392| 6.1 | 50 41146 0.9 0.0105 | —0.046| —0.0109 | —0.066 | + 4| +20 | 1.1 | 1.2 
|2413.|. 4.01]: 54 9| 42:10:8 |), — 0.0388 | —0:261 |. 0.0374.| 0:259| —14 | —2 |«2:2 [42:4 


La dernière étoile de ce tableau, celle qui porte le N:o 2413, est identique à la pre- 
miére du tableau correspondant du vol. Ler de ce travail Les valeurs de 4, et us de 
Helsingfors pour cette étoile s'écartent de celles qui ont été publiées antérieurement; la raison 
en est que deux nouvelles déterminations du mouvement propre (dans les régions 372 et 376) ont 
été ajoutées ici. 

Dans le catalogue de GROOMBRIDGE, on trouve un nombre total de 75 étoiles dont les 
mouvements propres ont été déterminés aussi dans le présent volume de mon travail. Les 
résultats de la comparaison avec ledit catalogue entrent dans le tableau ci-dessous, construit 
de la méme manière que le tableau II. Cette comparaison s'est d'ailleurs, comme il a été dit 
plus haut, étendue à la partie de la zone de Helsingfors traitée dans le vol. L:er de ce travail, 
lequel contient 71 étoiles de GROOMBRIDGE. Les étoiles qui se retrouvent aussi dans le cata- 
logue de Boss, sont marquées d'un astérisque. Pour ce qui concerne le calcul des poids des 
différences Groombr.—Hels., je renvoie à ce qui en est dit plus bas. 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsinyfors. 


Tableau TII. 


Comparaison entre Groombridge et Helsingfors. 


Groombr, Helsingfors Gr.—Hels. Poids 
INEQAN GrP: [04 Ó 
‘| Ua ug Ha us Ma | Us | Ua | Us 
hm s c / o " 8 " 
1065| 6.5 | 55540: | 4322.7 | +0.0015 | —0.014 | +0.0018 0.034 3| +20 | 05 | 0.7 
*1067 6.1 56 5 | 42 54.9 | --0.0093 OSA E00 | 0.183.122 | E31] 10.3 0.4 
1068| 7:2 | 57 10 | 45:35.4 0.0011 0.068 | 1297001515] — 0:06 70 — 291 = 1] 0 6 110.8 
1069 6.7 | 12 | 44 16.0 | +0.0077 | —0.150 | 4-0:0097 0.139. | —20;| — 1| :0:6. | 1.0 
I*1071| 5.8 | 52 | 42 59.4| —0.0022 | —0.147 0.0022 0.172 0 | +25 | 07 | 0.6 
1081 7.3 | 6 056 | 4534.0 | —0.0019 | —0.021| —0.0010 | —0.023 | — 9 +2 0.8 | 14 
| 1083| 6.4 1.19: | 41 4.1 | —0.0034 0.055 --0.0007 0.061 | —41| + 6| 08 | 1. 
1086| 7.2 |. 242 | 4646.5 | +0:0031 | —0:020 | +0:0028 | —0.055.| + 3| —-35| 0.5 | 0. 
1116 7.5 722 | 3942.0 | —0:0011 0.055 | —0.0014 | —0.081 | + 3| +26 | 0.5 | 0. 
*1125| 6.5 10 "8: | 4627.4| —0:0048 0.000 | —0.0054 | —0.013 | + 6| +13| 0.6 | 0.8 
1139 1:4 | 1422 | 4589.38 | +0.0013 | +0.010 | +0:0006 | — 0.040 Lu 7| +40! 0.9 1.7 
1140 6.7 9 | 4223.1 | —0.0010 0:042 | --0:0006 | —0.032| —16| —10 | 0:8 | 1.6 
1148 6.9 16,37 | 40 34.2 | +0.0001 | —0.006 | --0.0042 0.024141 | 2:18 | 0:9 | 1.6 
1152 7:2 |. 1733. | 4336.0| —0.0001 | —0.024 0.0008 0.024 | + 7 0. 0.8 || 3.5 
1154| 8:3 | 52 | 40:54.3 | —0:0096 | —0:036 0:0054 | 0.0381 —42)) + 2| 0.8 | 1.2 
| 1165| 7.8 | 2154 | 4010.9 | —0.0022 01095. | 010001. | — 0.0115: — 251 £—10/| 10:8. || 1.2 
*1166 6.0 22351 | 46 44.9 | —0:0001 | +0:015 | —0.0020 | --0.000 | -- 19 | --15| 0:6 |. 0.7 
| 1167) 18:10 | 1-93 13 | 440.2) —0:0038 | — 0:018 0.0023 0.028) 103) +10) 0.9 | 1.4 
| 1175, 8.5 2545:| 4638.8 | —0.:0004 | —0:036 | — 0.0030 | —0.028 +26 | — 8| 0.6 |.0.8 
|*1196| 5.7 | 3144 | 3928.8| —0.0053 | —0.115| —0.0001 |—0.118, —52| + 3| 0.6 | 0.9 
"1198| 5.3 51. | 3959.3 | —0:0018 | —0:027| --0:0007 | —0.004—925| =23| 0.7 | 1.0 
51199 5.2 3211 | 4234.6 | +0.0005 | —0.054 0:0001 | —0.084| + 61 +30| 0.9 | 1.6 
| 1201| 6.6 43. | 446.1 | --0:0016 | 0.013 | +0.0005 | —0.002 +11 =11| 0.8 1.2 
|*1206| 5.2 3548 | 4437.2| —0.0051 | —0:030 | — 0.0029 0.044: —292)| +14) 10:7. 1 72 
| 1209| 7.0 4t | 3859.4 | —0:0027 | —0:089 | --0:0032 01610 59 E5719 10019 3101079 
a BAT 36214 4431.b| + 0:0092 | —0:051 | --0.0072 | —0.072..--20 | E21. | 0.7 11.2 
| 1214| 6.9 Silke AOC 070082 04160.) — 00007 | — 0:172 25 | +12| 0.8 1.4 
| 1216| 7.8 3812.| 4420.6 | --0:0158 | —0.211| +0.0156 | —0.212.5-- 214 1| 0.7 ite 
I*1218| 5.3 3932 | 43 40.6 | —0.0007 | +0.166 +0.0022 +0.158 | —29| + 8| 0.8 175 
|*1224| 5.1 4342) | 4154.01 |. —0:0017 | —0:123 | —0:0030 | —0.146 | +131 #23| 0.9 INNER 
| 1225| 8.3 58 | 4410.5 | +0.0016 | —0.039 | +0.0036 0.048 | —20: + 9| 0.8 | 1.2 
|*1229| 6.0 46 9.| 3859.3| +0.0026 | +0.033 | — 0.0036 | +0.033 | +62 0 | 02 |- 0.2 
1233| 7.9 | 4710 | 41 0.9 | +0.0065 0.057 -+-0.0063 0.092| + 2| +35| 0.8 1.4 
1237| 6.2 48 2 | 442,1 | +0.0009 | 0.030 | +0.0000 0.033 + 9| + 3| 0.8 | dd 
*1243| 43 |. 5019 | 45 13.5 0.0019 | —0.011| —0:0027 0.086 -- 8|--25| 0.9 | 1.8 
1246 6.9 50 | 4150.3 | +0.0020 0.058 — -- 0.0044 0.054 | —24| — 4| 0.6 1.0 
1253| 7.9 5325 | 4213.) —0:0101 | — 0.010 0.0039 | — 0.034 | —62| +24| 0.8 | 1.4 
| 1265] 7.0 | 7 055.) 4411.0| —0:0001 | —0.022 | —0:0005 0.006| -- 4| + 4| 0.8 | 1:2 
| 1270| 7.8 415 | 4012.5 | —0.0048 | —0.084 0.0046 Oo ea 1037 "WEIST 
*1273| 5.0 47 | 3929.0 | --0.0040 | +0.013  --0.0025 0.034 | --15| +47 | 0.4 | 0.7 | 
| 1275| 8.1 519 | 44.9.3 | --0.0004 | —0.024 | --0.0007 | —0.010| — 3| —14| 0.9 | 1:8 
1282| 6.7 821 | 4534.9| —0.0016 | —0.011 0:001:2..|.— 0:022] =" 4) | 0.8 03 
| 1287| 7.8 1047 | 4518.5 | —0.0008 | — 0.067 0.0007 0.021 E- 11 8516/1028 NAR 
*1289| 5.8 (I DO Ale 0.0010 0.004 0.0007 0.047 | ATEN 70:8 ENT 
*1295| 6.0 14 35| 451248 0.0040 — —- 0.004 0.0035 ol 753] 1721| 08 mM 
1306 8.3 1717 | 4325.0, +0.0011 0.032 0.0005 0.041 | +16 9| 0.8 |; 4:2 
|*1307| 5.3 13 | 40 51.9 | --0.0007 | —0.005 | +0.0006 | —0.019| + 1, +14| 0.8 | 1.2 


N:o 7. 


60 RAGNAR 

| Groombr. 
N:o | Gr. a Ó et 

Ma Ms 
hg o t Ei 4 

1312) °7:9 | 71936 | 4440.6 | —0:0081 0.040 
1313] 16.7 53 | 4397.4 | +0:0001 0.012 
| 1326 6.5 95 8 | 39 64 0.0040 0.005 
|-:13321-.6.3 2854 | 43 15.1 0.0034 0.051 
1338 6.6 3027 | 40 14.9 | — 0.0020 0.022 
1362! 1719 3644 | 44 1.9 0.0082 0.009 
1384| 6.4 51 15 | 4414.7 | +0:0040 | +0.017 
1402 7.2 5757 | 40. 1.4 0.0028 | +0.001 
*1405| 6.3 | 8 014 | 4332.9 | —0.0019 0.019 
I*1411| 6.4 2 31 | 4243.4 | +0.0017 0.065 
1416 6.5 444 | 39.3.7 |. —010057 0.055 
*1430| 4.4 16 0 | 43 30.6 0.0021 | —0.081 
|*1433 6.2 1757 | 4919.6 | —0.0005 | +-0.006 
1434 8.5 58 | 4918.4 | —0.0056 | —0.044 
*1437| 6.5 2039 | 4559.5 | —0.0061 | —0.361 
1448 6.8 2433 | 40 33.6 0.0019 0.034 
1453, 8.7 29 23 | 43 24.6 | —0.0038 0.033 
*1465 5.5 34 "7 | 46 11.1 | +0.0003 | +0.077 
1467, 7.6 16 | 4032.3 | —0.0012 | +0.009 
1468 7.2 56 | 4513.1| —0.0010 0.020 
*1474| 5.3 45 14 | 44 5.9! —0.0009 | +0.048 
1476 6.1 331 742927 0.0055 0.085 
1482 7.5 4759 | 40 31.0 | +0.0037 | —0.160 
11486) 5.9 50 4 | 46 0.9 -0.0122 0.043 
| 1487, 6.0 1| 4035.1| —0.0072 0.050 
[*1495| 4.0 54 9 | 4210.8| —0.0417 | —0:250 
| 1498| 6.2 5514 | 40 6.4 0.0044 0.081 
| 1509 7.9 5814 | 43 51.3 0.0104 0.053 
*1594| 5.4 |19 716 | 43 37.8 0.0030 0.031 
1527 6.8 840 | 3977.37 — 0.0113 | +0.074 
*1546 5.5 22 7| 46° 9.4 |. +0:0004 0.140 
*1547| 8.4 OM 46: 3:1! | —0:0039 0.048 
*1560 4.9 2850 | 40 3.9| — 0.0029 | +0.016 
*1565 5.9 32 7 | 4041.3 | —0.0015 0.001 
| 7.0 3511 | 3924.5 | -+0.0050 -0.144 
*1574 5.5 | 49 | 4012.8 — 0.0069 0.038 
|*1578| 6.8 | 4019 | 4534.8 | +0.0050 0.137 
*1580| 5.1 | 42 8 | 4699.2 | --0:0187 0.092 
*1582| 6.8 | 44 6 | 40 5.9 +0:0006 | —0:014 
*1592 5.2 5134 | 4131.9 — 0.0089 0.037 
1608, 7.2 5955 | 40 4.1| —0.0080 0.004 
*1617| 6.5 110 457 | 41 9.2| —0.0020 | —0:005 
I CD TAS 529 | 4213.5  +0.0006 0.046 
"*1699 | 3.4 11 4 |4324.8| —0:0157 | —0:046 
1630 6.9 | 18 | 41 58.0 | —0.0088 | —0.025 
1635 6.6 | 1231 | 43 33.0 | —0.0109 | —0.073 
*1636| 6.7 | 47 | 4433.4 | 40/0074 | —0.294 
*1639| 6.7 | 15 5 | 4221.17 | --0.0000 | +0.010 
*1641 5.9 1614 | 4144.3 | —0.0118 0.147 
*1649| 3.3 23 | 49 0.1| —0:0089 | +0.029 
|*1644| 5.7 | 2133 | 42 6.7| —0.0039 | —0:087 


FuRUHJELM. 


Helsingfors Gr.—Hels. 
Ha Us Ua Us 
0.0009 | —0.029 22 11 
0.0006 0.032 | + 7 -20 
0030-0094 9 +19 
-0.0017 | —0.083 j Uf SS) 
20700978155 05060) —K ea, 
010071 | —0:034 1 — 1| CE 95;| 
4-0:0054 | —0.005 | —14 | 4-22 | 
0.0007 | —0.039 | —19 | +40 
0.0021 | —0.053 | + 9!| +34 
+0.0001 | —0.082.| 2-16. | +17 
0.0088 | —0.141 | 4-31 | :- 86 
—0.0032 | —0.092 +11! +11 
— 9.0012, 0.0030 0 EES 
—010059- | 0.062 Er BM Erde 
010015. | 0304 46 Be 
—0:0008 | —0.029 | —11| — 5 
0:0009 | —0.018 | —29 | —15 
4-0:0006 | 4-0.077 — 87! 0 
4-0.0007 | —0.015 | —19 | #24 
—0:00131 | —9.034-- MIA 
— 0.0010 0.029 1| +19 
0.0040 | —0.076| —15! = 9 
+0.0035 | —0.181 + 2) 4-91 
0.0109 . —- 0.066 13 | +23 
-0.0060 0.062 1 Se 
0.0374 | —0.259| —43| + 9 
0.0033 0.090411 2E. 9 
-070092. | —0.0631—-12)| 10 
-0.0027 0.029 Ses 
0:0083. | -:0:053| —30!| +2 
— 0.0006 0.128110 251 
+0.0001 | —0:040 | —40| =:8 
-0:0006 | +0.004 | —23/| #12 
0.0004 | —0:006 | —11 Æ 5 
4-0/0088 | 0155-3311 #11 
00037 | =-0:0881E 3320 50 
+0.0062 ee 8E 5 
+0.0236 | —0.108 | —49 | +16 
010008 55 0:0081/ E 2 2899 
0.0125 | —0:041:113236/| 7 4 
—0:0075 | —0.030 | 5| +26 
0.0009 | —0.012 | —11| + 7 
+.0:0031 | — 0.037 | —25 | = 9 
0.0148 | —0.070 | 9| 4-94 
—0.0064 | —0:035 | —24| +10 
— QOL 4 Vo NET 
10.0073 | — 0:310! 1-3 12 4-25 
+0.0004 | —0.002 | — 4 | +12 
0.0093.) —0.158/| —95 | #11 
0.0052 | +0.024 | —37 +5 
—0.0041 |—0:095|-- 2j # 8 


Poids 
Us us 
0:9 | 1.8 
0.8 | 14 
0:4 | 05 
aye eon 
0.8 | 1.5 
0.8 | 1.2 
0:8 | 1:4 
0.6 | 0.9 
0:7 | X44 
0.8 | 12 
0.2 | 02 
0.8 | 1.6 
0.9 | 1.6 
0.9 11.6 | 
OM ask 
0.8 | 1.6 
0.9 | 1.8 
0.6 | 1.2 
0.9 Kal | 
0:8 | 444 | 
0.9 |a 
0:8 | di" | 
0:9 | 3T | 
048 62 
0.9 19 
0.9 4 
0.9 1 
0.9 | 1. 
L3) |A 
0.5 | © 
0.9 UM 
09 | I. 
1.0. MIR 
Lai [MM 
0.6 | 1 
1 "BE 
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0.7 | © 
11 THE 
34" Puf 
1.0 | 
4.04 Gel 
1.9 | 9 
d 09g 
1.0 | 1 
i. 01 
i4 |n 
apo HITS 
1.8.0 
1,2 eus 
1.0 dub 


Tom. L. 


QUOS Oo ove o rh rw dames 


Heo T4 BO -3 -4 09 -3 hO 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 61 


—-——Å— < X —-—--—-— On 


Groombr, Helsingfors Gr.—Hels. Poids 
N:0 | Gr. [tr Ó 
Mu Us Ua Hg Ha us Us us 
hm s o un Ss 17 | E e" | | 
*1652| 5.9 110 2416 | 39 26.2 0.0019 0.001 |" --0.0033 | +0.010 | —52  —11| 0.6 | 0.9 | 
*1658| 4.7 | 27 24 | 40 56.4 0.0140 0.007 0.0124 6.006 16 PTS 1.0 175 
1661 7.0 | 2916 4225.6, +0.0003 | +0.003 | --0.0046 0.010143 as tale 
1675| 7.7 34 45 | 42 40.4 | : —0.0010:| +0:023 0.0008 | + 0.022 2 141.0, 126 
*1678 5.2 3741| 4643.8| —0.0281 | —0.087 | —0.0250 0:060 |.— 31 |e27. 0.8 | 1:0 
*1679| 8.0 | 38 9 4643.9 | —0.0259 | —0.071| --0:0244 | —0.057 | —15| 14 | 0.8 | 1.0 
1690! 8.0 43 9| 44 97.4 | —0.0022. | — 0.037 0:0026 | — 0.061.144 | 2-24. 1:17 | 1.7 
1692, 8.0 42 | 41 55.1 | —0.0063 | +0.009| —0.0041 |—0.021,.—22 +30) L1 | 1.5 | 
*1703| 4.8 4814 | 4343.4 | +0.0055 0.027. | 550.0032. | 0.000 | +23 | —33 11 | 17 | 
1700 NT) 53 | 41 52.2 0.0095 |.4-0.056 |. —0.0072 | +0.049 —23 | + 7| 1.0 | 13 | 
1707| 8.4 4941 | 41 59.5 | —0.0047 | +0.024| — 0.0016 | +0.032 | —3 Sl a | al 
*1711| 6.1 5032| 42 32.7 | +0.0011 | —0.088 |- +0.0017 | — 0.089 oed. MER 95 
1715| 7.4 5197| 4153.2| —0.0094 | —0.064 | —0.0075 | 0.0731 —19 | + 9| 1.0 | 1.3 
*1718| 5.1 53 52 | 40 57.9 0.0301 | 0.054 0.0282 | +0.067| —19| —13| 1.0 | 13 | 
#1722| 5.7 5430 | 46 3.7| +0.0003 | +0.014| +0.0003 0.041 00285110 de 
*1723| 6.1 41| 43 27.1 | —0.0098 | —0.132 | —0.0092 | —0.133 eese vier | 3:9. 
#1725| 5.0 55 14 | 39 45.0 | —0.0060 | —0.020| —0.0050 | —0.010| —10 | —10| 0.7 | 1.4 | 
1730 7.7 58 0| 4452.2 | —0.0171 | —0.077| —0.0137 | —0.092, —34| +15| 0.8 | 1.0 
1734| 7.5 |11 0 6 | 44 50.5 | +0.0022 | —0.005 | +0.0017 | —0.003 | + 5| — 2| 09 | 1.3 
*1741| 3.2 4.3| 48 2.5| —0.0055 | —0.034 | —0.0047 | —0.040| — 8| + 6| 0.7 |. 0.8 
1742| 6.0 3| 43 45.0 | — 0.0062 0.015 | —0.0057 |—0.056| — 5 +41 11 | 16 
1744| 8.4 | 6 4| 43292.1| 0.0136 | —0:233 ' — 0.0092 | —0:254 | —44| +21 | 1.1 | 1.5 
1745| 7.3 | 15 | 43 22.9 | —0.0128 | —0.249! — 0.0095 | —0.263 | —33 +14| 1.1 | 1.6 
1751| 7.5 | 932| 45 36.5 | —0.0047 | —0.086 | —0.0047 | —0.055 (D ESSO CD PR ES 
1753| 8.1 | 10 4| 4253.1| —0.0030 | —0.004| —0.0006 |—0.003,—24,— 1| 1.2.| 1.9 
1756! 8.0 18 | 42 59:7 | — 0.0092 | +0.003,| :— 0.0097 | —0.005 | + 5| + 8 193 | Ale) 
1763| 7.0 1257| 4251.8 | +0.0056 | —0.015| +0.0089 | —0.033 | —33 | +18 1.0 | 1.3 
[168 ... 7.1 16 8| 4058.8| --0.0037 | —0.059| --0.0040 | —0.074 NES! ORO AE 
1772| 6.5 1715 | 4043.4| —0.0084 | +0.006 | —0.0050 |—0.014| —34| —-20| 1.1 | 1.6 
*1773 5.1 21| 44 1.9 — 9.0024 | —0.012 | :—0.0002'| —0.039| —22|--97 1.0 | 1.2 
1775| 7.8 20 5 4310.7, —0.0059 | +0.146| —0.0053 | 0.103, — 6443, 11 | 1.9 
1784 7.3 | 2326| 43 20.7 |.—0:0047 | —0.074 |, »— 0.0026 | —0.067 | —21| — 41 1.0 | 1.4 
*1786| 5.3 | 41| 3953.3, —0.0027 | --0.015| —0.0012 | —0.033| —15 | +48| 0.7 | 0.9 
*1793|.5,9.| |. 25 7| 4343.3| —0.0023 | 40.079 |; —0.0047 | --0.072, +24 E 7| 1.0 | 1.7 
1794 6.9 6| 44 7.7|.—0.0264 | --0.073 | —0.0246 |--0.008, —18| + 5 1.1 | 1.6 
1795|- 7.0- | 25 | 4150.5| 4-0.0067 |—0.068| +0.0094 |—0:093| —27| +25| 1-1 | 1.9 
1798| 7.4 26 31 | 41 59.3 |. —0.0054.| +0.094 | .—-0.0029 | +0.077 | —25| +17| 1.2 | 1.4 
1805 8.6 31 38 4935.5 | +0.0022 | —0.071| +0.0056 | —0.056 | —34| —15| 1.0 | 1.4 
*1810,.5.6 | 33 1| 4410.8| —0.0128 | —0.021| —0.0121 | —0.047 Y e So MEET M 
*1812| 6.7 | 29 4539.0 | — 0.0570. | 10.015 | —0.0557 |--0:014| —13| + IT| L.X | 16 
1813| 7.0 | 3429 45 42.7 | +0.0021 | +0.002| +0.0021 | —0.004 À. | dT Patr 9 
*1821| 6.8 3820 | 49 16.7 | --0.0010 | —0.010 | +0.0011 | —0.014 I UN OR dE 3 
1832) 6.7 48 39 | 41 28.3 | —0.0012 | —0.059 | —0.0030 | —0.088 | +18| +29| 1.1 | 1.6 
*1833| 6.5 | 4954| 47 2.0 | +0.0028 | —0.021| --0.0084 | —0.006 | —56| —15| 0.3 | 0.2 
1834 6.9 | 59 | 4T 1.6| --0.0029.| —:0.021 | +0.0091 | —0.023 | —62| + 2| 0.3 | 0.2 
| 1836! 7.0 50 53 | 4112.3 | —0.0034 | —0.008| —0.0009 | —0.049 | —25| +41| 1.1 | 1.5 
| 1841| 6.7 | 52 6| 4054.1| — 0.0158 0:055: 010105 10.000 0 5312202) EFT TES 
|*1847| 5.2 | 57 2| 4336.0; —0.0308 | +0.079| —0.0318 | +0.098) +10| —19| 0.5 | 0.6 


62 RAGNAR FURUHJELM. 


Les poids des différences Groombr.— Hels. ont été déterminés de la manière suivante. 
Le catalogue de GRrooMBRIDGE n'indiquant pas les erreurs probables des mouvements propres, 
mon premier soin fut de chercher à les calculer. A cet effet je formai les différences Boss— 
Groombr. pour les étoiles communes à ces deux catalogues entre 6^ et 12^ d’ascension droite. 
Dans cette comparaison, il faut tenir compte des différences systématiques entre les valeurs 
des mouvements propres de Boss et celles du catalogue de GrooMmBRIDGE. Les valeurs de Boss 
sont déterminées en employant les constantes de précession de NEwcowB; dans le calcul des 
valeurs du catalogue de GROOMBRIDGE, on a fait usage des constantes de SrRvuvE-PETERs. Par 
suite, les valeurs du catalogue de GROOMBRIDGE doivent subir les corrections suivantes, afin 


d'étre réduites au systeme de Boss: 


en «: + 0.00035 + 0°.00035 sin « tg d, 
en à: + 0".0053 cos «. 


Après application de ces corrections, on obtient comme erreurs probables des diffé- 


rences Boss— Groombr.: - 


en « cos à: + 0".00970; en d: + 0".00633. 


D'autre part, d'aprés les données indiquées pour chaque étoile dans le catalogue de 


Boss, on a, pour les mouvements propres de Boss, les erreurs probables suivantes: 
en « cos 0: + 0".00444; en à: + 0".00366. 


Ces valeurs donnent comme erreurs probables des mouvements propres du cata- 


logue de GROOMBRIDGE: 
en « cos à: + 0".00862: en à: + 0".00517. 


Par la comparaison des mouvements propres de Boss et de ceux que j'ai déterminés 
ici, j'ai obtenu, pour les mouvements propres de Helsingfors, les erreurs probables suivantes 


pour le poids 1: 
en « cos d: + 0".0106; en à: + 0”.0137. 


Ces nombres sont valables pour la partie de la zone de Helsingfors dont nous trai- 


tons ici. Pour la partie entre 9^ et 12^ on obtient 


en « cos à: + 0".0133; en à: + 0".0150. * 


A l'aide de ces valeurs on obtient les poids des mouvements propres du catalogue 
de GROOMBRIDGE. Désignons ceux-ci par P,, et par r, les erreurs probables correspondantes ; 
si nous appelons r, les erreurs probables des mouvements propres de Helsingfors pour le 


poids /, nous trouvons P, an moyen de l'équation 


Big. 


Be 
* vol YD 


* La valeur obtenue pour à s'écarte un peu de celle qui a été publiée antérieurement dans le volume 
Ler de ce travail L'écart provient de ce que l'étoile N:o 2413 du catalogue de Boss, laquelle appartient au 
domaine entre 6h et 9h, a été exclue cette fois dans le calcul de l'erreur probable pour le domaine entre 


9h et 12h, 


'Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 63 


Il m'a semblé le plus juste de calculer séparément les quantités 7, pour chacune des deux 
parties de la zone, vu que les erreurs probables de mes mouvements propres ne coincident 


pas complètement pour les deux parties. Les valeurs suivantes ont été obtenues pour Py: 


en « cos d: end: 
Entre 6! et 9^: 185 7.0 
T 9^ et 19h: 2.4 8.4. 


Ayant calculé ainsi les poids des mouvements propres du catalogue de GROOMBRIDGE, 
on tire les poids Py des différences Groomb.—Hels. de l'équation 
P, j IE 


IgG PH 


Ce sont ces poids qui entrent dans le tableau III. 

Pour déterminer les corrections systématiques des mouvements propres de Helsingfors, 
il s'agit d'abord de former les moyennes des différences Boss—Hels. et Groombr.— Hels. pour 
les étoiles communes à Boss et à GROOMBRIDGE. On peut calculer immédiatement ces moyen- 
nes, les poids des différences étant connus. 

Le tableau suivant contient toutes les différences définitives employées pour fixer les 
corrections systématiques. La premiére colonne donne l'ascension droite de l'étoile. Les 
deux suivantes indiquent les différences en uw, et en us, exprimées en 0.0001 et 0".001 comme 
unités, et réduites au systeme de Boss partout oü cette réduction a été nécessaire. Viennent 
ensuite les poids en #, et en us. Enfin, la dernière colonne indique par la mention D, 6 ou 
BG que la comparaison a eu lieu avec le catalogue de Boss, avec celui de GROOMBRIDGE où 


avec tous deux respectivement, 


Tableau IV. 


Différences définitives Boss (Groombridge) —Helsingfors. 


Diff. |, Poids Diff. Poids 
(22 | = & | = 
Ha us | ka us | Ua | us | Ma Må 
iT Mm «s I mm IS 

5 55 40 + 3.8 |» +20.1 10.5 | 0.7 G 61752 — 35.4 1.6.5 0282 019, G 
56 5 — 3.0.5304 504.704, BC: 21 54 -16.5 10:51 0:85 1162 3 
57 10 14:97 a (r9 NOS G 29 35 -25.4 | + 8.0 | 0.8 | 0.8 | BG 
Dal 0.90: 0 G 2313 8.1 |, + 95 | 0.9 | 1.4 } 
52 Zar 1964 10:6, BE 25 45 TED) 8.6 |. 0.6 | 0.8 G 
6 056 Prisco MONTE un term TE! N 31 44 DRS 2.1 ! 0.9 | 11:04 | BG 
119 344 02 GLO 90:82 RE i 51 -19.6 26.2 ee BG 
249 10.3 | +. 34:9 12:10:57 IKON x 32 11 1.1.2 DAS I 1:68 BG 
122% SEC EN 195.8 60:9 (Öst G 43 +17.9 le | es G 
10 8 -E10.6 | 21.5 |. 0.8 | 0.9 | BG 35 48 Red rodean UE, | 1.4 | BG 
49 133.0 6 29:07 1080:87 50:9 3 41 ER MEET EN | NE G 
14 29 as u 22389: 7 SO ET x 36 21 3496.9 452152019]. OSS G 
9 — (8 10.3 L 0.8 | 1.6 x 37 17 — 18.5 | 11.1 | 0.8 | 1.4 G 
16 37 — 34.5 17:629 0:02 1e O Y 38 12 ENS ONE NOTI OT STET G 
JU 939 +13.9 0.4. 17.:0:8 5165 G 39 32 al TEE Re] ame 


64 RAGNAR FURUHJELM. 


Diff. Poids Diff Poids 
œ = : “u — BENI — 
Ha ua Ma | Ma Ua Må | Me | Me | 
h ums | LS TON] | | 
6 43 42 a | eter ord E LH x «x EE) D EG 1 39 sv Be 
| pa^ | ee "98 375 a PIG 28 50 Wire» Spon dist ey ME 
46)09950:1549/59 | 174 02 NO 10 IRUB (8 39.15 0) maa) 30.01 Lo NEC 
47 10 + 8.5 | +33.9 | 0.8 | 14 G 35 11 19/31 ES 7-0 TAB 
ASMONNIPENLE SN NE HO 0 EROS reed «RI GS 49. ONE 1:9. 4:3 51128 3/92:01 | BG 
49 8 RON SESTO IIO NOS RIRE ZI LY) NE ON e eR e e CN EDS RIRE 
5019 MEL ED + Sai a) dc Zoe 49.8, - [1552495] 19:5 d OEM 
50 | —174 5.24, 0:64 1.008 € 4 6 | + 3.8 | —19.1 | 1.8 | 1.8 | BG 
53 25 55.4) 2292.8 | 0:8 | Ado o8 51 34 +24.7 | + 8.1 | 1.9 | 1.9 | BG 
7080155 107893 EP} CRI TS MISSAM MN 59 55 0.0 | 21.4 | 1.0 | 13 IE 
4 15 4.4 | 31/5 | 0.7 IN € TION FEELS UO ELO EG NS Co ; 
41,1] 16.6; 1443354] 0:54 0.8. | BG 5,290015 20.9 lat 1227 & | 
5 19 E 3.8 115159 I0: BITES G 1 4A ar eeu M Oe | RE 
8 21 E 919 gras 07321103 G 18 d biis ie) oen og? G 
1047 | 4 59 | +144 | 08| LT |^ G 19.31 E 10:09 05 9.30 11m la Ta 
itt ‚5 PEL SES NT |) Ile. | BG 41718 44-2168) I SCIES ROME 
14 3 i- qe 20.89 43532 91.:0. | BE E252 EN EE OMS 1 TAC 
if aum DD TON po Lbs ov RU À Aa «eo 16 14 | ee | BE 
13 2.2 + 2.0 | 1,3 | 1.4 BG 2391 0-432150 | M8. 6AM2 SUN TON 
19:36, 1:15.20 5-12:8:.100:9. 5358 G 21088 Ne NNE ALSING 
53 +13.6 | +18.2 | 0.8 | 1.4 G 24 16 — 42.9 14.7 | 0.8 | 1.0 BG 
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| 98 54 =116.41 | 1430.01 1.0.89 1 1.4 G 2916 || —38.3 | + 8.1.) Ld || 1.8 G 
|,,, 2916 nl) 36.0 | 0.7 0.7 B 34 45 | 135254 3.9 | L0 | 1.6 G 
| 30 27 aA DR NO SES G 37 41 29 0110 PONS qul p TG 
36 44 AA | 1598| 0.8.1212 G 38 9 20:40 271611 71.0 3.0 1 BE 
51.15 1.8 19.5) 0:8. G 3.982 816 Nee G 
DT 57 2.95 15.-737:6416.0.6212.089 G 49 —11.5 1229500 IST G 
282.014 E20.1 | +25.0 | 1.1 | 16 BG 1814 | +11.9 | —40.5 | 2.0 | 2.1 BG 
Do ae non T2 A LE BG 53 SD TED Gad odas G 
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16 0 :23:84| 1124) d T2 HL QC BG Ka | Er 1.0 AG RG 
17 57 > 603 Tork sr BG 51 27 PORN ECRIRE G 
58 RP | 110.92] 20,9 81.6 | G 53 52 i- 0:5 EST SA AIRE 
20 39 23 | Na ala HET 2d e 35 Gi 54 30 1:46:09 NAS EP STR 80 RE 
24 33 Ball G 41 — TI 
29 93 22.8 | 18.2 | 0.97 1.3 G 55 14 UGS 18:82 0:9 G BG 
34 1 16.4 | — 1.0 | 1.0 | 1.3 |! BG 882.080 29:6 LE ER ON MOIS 2120 G 
16 13.2, 100017401026 | CANON 6 0 a7 OON NS x 
56 Cr RESTO nn Coss ert G 4 3.0) 07,9 mu 3:9 310 1 0:99 BG. | 
38 35 3.0, DO ON TE B a emm 5.9 | CE OS EC G | 
oa | ao | SÖ RCE 108 RE (Gg 6, es G 
Sa OM DES ERES SG G 15 DB. RSS EEE G 
47 59 | xL meg | ssi Ts "Holz € 9384| 149.973, M3-36.9. Eon IG G 
50 4 1.1 %2519.7 | 3:91] 3.44 | B GI 10 PAIE 9 2 -E5r6:90 TOR HIERO G 
1 (ee a) G TM 19,27 EIE RS eoi ley e ES; G 
54 9 15.9. -- "9.9 1-527 | 9.5 BE 12 67001298 810540 | 303 G 
55 14 5.4 ^J? 5.3 |-0:9-| 1.9 G 16, Su dos SOT MEO TS G 
j8 14 6.2 9563 LE Eke a 17315 1 EE og TOC EIAS TET = 
9 716 3:8 ge Bro EIS GE 21 BIG TS: A LC ROSE EST, 
8 40 JAGUAR OU NO ERIC: DOME AN EMMA OUEN TES aka IE G 
PDT ar OO SX Eom BG 2312602170 9 beg Om Ted G 


———A————————————————— 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 65 


| Diff. Poids | Diff. Poids 
| [44 i - (t 
| da Hå Ma | Mé | ER RUE etes La 
h ms | hm s | | | | 
112341 M |ie998.3.- \8.-742.211110.9 | 1.0 1 BG | 1138920 +P 89 5.0, AR 5 BE 
25 7 A, Eee ra Ro] BG 48 39 PO OST EF EEG G 
| MoN 1059.95 TEE x 49 54 so HA or Dr BE 
| 95 148-93.0 | #198-| 1.1 | 39 G BO | —Tq + 98 | (94 | 0.2. | BG 
DOTT ESO 1.8, 102 EE 3 50 53 Ads TN le) 3 
| 3138 | —30.1 | —203 | 1.0 | 1.4 G 52 6 2490749 08536772 11215153 3 
IEEE S SI ESSI 0.51 | 16: Dr WEB un -2 i 25.5 3282 70:7. KU IEC 
oO PES" | E20 | 1.7 | ROH BE 25 111.0 | —34.0 | 1016! |^0.6 B 
34 29 | 07 3-3 (7158 G 


Les différences ci-dessus ont été réparties en groupes d'aprés les ascensions droites, de fa- 
con que tous les groupes ont reçu à peu prés le méme poids, aprés quoi on a formé les moyennes 
pour les divers groupes. Je n'ai pas eru opportun d'ajouter aussi un groupement des diffé- 
rences par déclinaisons: en effet, l'étendue en déclinaison de la zone est peu considérable, et 
les données dont nous disposons sont trop restreintes pour permettre un groupement double, 
qui ne me semble devoir mener qu' à des résultats illusoires. La répartition par ascensions 


droites donne pour les différences les valeurs suivantes: 


a Diff. en « Poids [2 Diff. en à Poids 
hum h m 
GES — 8.5 7.4 6 .1.9 -- 12.3 9.3 
19.1 — 2.6 7.3 18.0 + 8.0 11.0 
33.8 — 4.5 7.3 34.4 + 6.1 10.1 
43.8 + 6.0 6.9 44.0 + 12.0 9.0 
58.6 — 8.1 6.8 59.0 + 13.6 10.9 
7 19.8 + 24 7.4 7 15.7 -- 11.0 10.4 
45.0 + 3.2 1.2 44.4 + 22.2 10.6 
8 19.7 + 44 7.1 8 20.7 — 3.1 LOS 
40.5 + 49 7.0 40.7 + 95 10.8 
56.8 — 5.1 8.0 53.6 + 6.6 9.2 
9 26.5 — 13.2 6.9 9 23.5 — 4.4 9.4 
42.9 — 1.6 8.4 42.6 + 6.8 9.2 
TOR — 5.0 tt 10 7.8 + 7.2 10.2 
15.2 — 14.7 7.8 16.2 + 6.2 97 
29.9 — 16.3 Cet 33.8 — 05 9.6 
47.7 — 4.9 7.9 48.8 — 7.7 9.9 
55.1 — 44 8.1 56.5 + 1.9 10.2 
11479 — 13.7 8.8 11 8.4 + 42 11.4 
20.2 — 15.8 7.7 20.6 -F 15.1 10.6 
29.4 — 11.7 8.3 29.2 + 2.8 9.7 
47.2 Er! 7.9 46.2 4: 16.6 : 9.5 


N:o 7. 9 


66 RAGNAR FURUHJELM. 


Les nombres ci-dessus montrent qu'en une certaine mesure les différences dépendent 
de l'ascension droite. Ces nombres ont été ajustés par la formation des moyennes de trois 
différences consécutives; on a obtenu ainsi les valeurs suivantes: 


a Diff. en « Poids [2 Diff. en à: Poids 
h m h m 
6 18.2 — 3.5 22.0 6 18.2 + 8.7 30.4 
32.0 — 0.5 21.5 31.0 + 8.5 30.1 
45.1 — 0.6 21.0 45.9 + 10.6 30.0 
59.6 FE 15 ZIEL FRANCIS + 12.2 30.3 
7 20.0 + 0.8 21.4 19.5 + 15.6 31.9 
46.3 +. 3.2 21.7 46.6 + 10.2 31.1 
8 14.8 + 42 21.3 8 15.4 + 9.7 31.5 
39.7 + 11 22.1 38.0 + 44 30.1 
909 — 4.5 21.9 58.4 + 42 29.4 
22.2 — 6.2 23.3 9 19.9 + 2.9 27.8 
46.1 — 6.2 23.0 45.3 + 8.3 28.8 
102172 — 7.0 23.9 10 2.6 + 6.7 29.1 
17.4 — 12.0 23.2 19.0 + 44 29.5 
31.0 — 11.9 23.4 33.0 — 0.7 29.2 
44.4 — 84 23.7 46.6 — 21 29.7 
57.3 — 79 24.8 58.4 — 00 31.5 
TS — 11.3 | 24.6 ES + 70 32.2 
18.9 — 13.7 24.8 18.9 + 74 31.7 
32.3 — 12.2 23.9 31.6 + 8.4 29.8 


Enfin, les chiffres qui précèdent ont été soumis à un ajustement graphique, et les cor- 
rections Ju, et Aus, employées dans le catalogue général pour la réduction au mouvement 
propre absolu, ont été déterminées au moyen du tracé des courbes. Le tableau suivant donne 
les quantités 4 w, et 4 ws de dizaine en dizaine de minutes d'ascension droite. 


Tableau V. 


Réduction au mouvement propre absolu. 


mu Aa | Ah | CNP NE | ET 4 us 
LORI | nm | | nm | 

|. 82055 [$0249 | FEES 8 0 +3 AN +10 10 0 — 9 dd 

| 1014 rq | eee 10411 ud de c 9 10 —10 + 2 

| 20 za ee 20 | 1 43 | +8 1:220 —10 t3 

30 = + 9 30 +2 +7 30 ut) +8 

40 0 4-10 40 DEN 5-6 40 —10 t3 

50 0 +11 50 ESI 5 50 u +4 

70 +1 +12 9:07 1 S + 4 4150 En + 5 

10 +2 | 14 TON REA - 10 —11 + 6 

20 ONE MT: 20 |  —6 + 8 20 —11 + 8 

30 HH Ed 304 | MEET 209 30 = + 9 

40 +3 +13 40 | —8 + 2 40 ES +10 

50 +3 +12 50.0h| u—8 u) 50 hl +10 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres duns la zone de Helsingfors. 67 


Pour les corrections systématiques dans la partie de la zone comprise entre 9" et 12^, 
les courbes donnent des valeurs s'écartant quelque peu de celles qui ont été déterminées dans 
le volume Ler de ce travail. Les écarts, cependant, n'atteignent guère en général que quelques 
unités de la dernière décimale des mouvements propres. Les valeurs relatives des composantes 
us et ts des mouvements propres ayant été publiées, l'introduction des nouvelles corrections 


ne rencontre aucun obstacle partout où elle semble nécessaire. 


III. 
Catalogue général des mouvements propres. 


Les données du catalogue ci-dessous sont analogues à celles qui ont été données dans 
le vol. Ier de ce travail. Les différentes colonnes contiennent donc: 

1:0) le numéro courant du catalogue; 

2:0) la grandeur d’après le Cat. phot., 7. Hels.; si une étoile appartient à deux ou plusieurs 
régions, on a pris la moyenne des différentes déterminations; 

3:0) et 4:0) l'ascension droite et la déclinaison pour 1900.0 d’après le Cat. phot., Z. Hels. 
(si l'étolle n'est pas mesurée pour le Cat. phot., on ne donne que les coordonnées approxi- 
matives) pour les étoiles figurant dans plus d'une région on a formé les moyennes des valeurs 
différentes en tenant compte des poids; 

5:0) l'époque de « et à; E de d au-dessous de E de «, si elles différent l'une de l'autre; 

6:0) et 7:0) les valeurs relatives de u, et as pour les diverses régions. Pour les étoiles 
appartenant à plus d'une région, on indique les valeurs particuliéres en caractéres ordinaires, 
les moyennes en caractères ?/faliques; 

8:0) le numéro de la région et le numéro de l'étoile dans la région; 

9:0) les poids de w, et ws resp. la somme de ces poids; 

10:0) le mouvement propre absolu « (abs.), c.-à.-d. le mouvement propre total calculé 
en tenant compte de la réduction au mouvement propre absolu; 

11:0) l'angle de position P, calculé selon l'équation 


ter — ec. Aue) c08 d 


us + Aus 


Au-dessous deszcolonnes sont notées les quantités du, et Aus. 


u 


0 (abs.) 


" 


0.167 
0.033 
0.026 
0.061 
0.063 


0.194 \ 
0.042 | 


0.042 
0.047 


0.038 | 


0.016 
0.083 


0.031 | 


0.102 
0.076 
0.006 


0.213 | 
0.077 | 


0.009 
0.057 


0.084 | 


0.112 
0.049 
0.047 
0.016 
0.083 
0.061 
0.151 
0.005 
0.059 
0.165 
0.170 
0.064 
0.003 
0.060 
0.056 
0.051 
0.046 
0.066 
0.060 


0.055 | 


0.166 


68 RAGNAR FURUHJELM. 
Tableau VI. 
Catalogue général des étoiles à mouvement propre. 

| a d HE Région : 

N:o | Gr. 1900.0 1900.0 — 1890-- fa LUN Ne ouis 
| | hm s | CAN Wn 8 ar | 
1 | 10.2 | 553 45.28 | 46 26 57.3 | 4.93 | —0.0057 | —0.163 |256 6 | 0.2 0.2 
2 | 9.7| 5410.95 | 42 20 10.4 | 4.96 | —0.0026 | —0.006 254 6 | 0.2 0.3 
34 9M 32.91 | 41 11 25.6 | 4.96 | —0.0011 | + 0.012 | 254 9|0.2 0.2 
4793) 42.29 | 41 59 5.2 | 4.96 | —0.0046 —0.034 254 18 | 0.3 0.7 
5 | 80| 45.49 | 45 41 16.2 | 4.93 | +0.0002 | —0.071 |256 19 | 0.5 0.7 
6 | 10.4 | 47.14 | 46 9 2.1 | 4.93 | +0.0171 | —_ 0.094 |256 29 | 0.6 0.8 
721 SÖN 59.56 | 46 38 27.4 | 4.93 | + 0.0040 | + 0.011 |256 26 | 0.5 0.5 
8 | 91| 55 0.37 | 40 43 18.3 | 5.18 | +0.0039 | —0.001 |253 7|0.3 0.3 
9 | 9.7 | 17.85 | 41 41 34.2 | 4.96 | —0.0001| —0.055 |254 29 10.7 0.9 
| 10 | 9.5 23.91 | 46 15 59.4 | 4.93 | +0.0033 | + 0.014 |256 39 | 0.8 0.9 
Tb |, mei | 27.83 | 42 52 48.7 | 4.96 | + 0.0007 | —0.023 |254 33| 0.4 0.3 
To MESS 36.84 | 46 45 23.6 | 4.93 | + 0.0003 | —0.091 |256 36|0.6 0.6 
130 Urs 39.93 | 43 22 39.7 | 4.96 | + 0.0018 | — 0.034 |255 47| 0.7 0.8 
14 | 8.5 44.30 | 41 22 3.3 | 4.96 | —0.0087 | —0.007 |254 42 | 0.6 0.7 
| du NOT 48.50 | 44 47 57.9 | 4.96 | +0.0040 | —0.074 255 38| 0.6 0.6 
16 | 10.8 53.44 | 39 42 0.6 | 5.18 | +0.0008 | —0.012 |253 28| 0.7 0.8 
17 | 6.9 | 56 5.40 | 42 54 54.6 | 4.96 | --0.0115 | —0.183 254 43 | 0.4 0.4 
18 | 9.9 11.90 | 40 34 39.4 | 5.18 — 0.0002 | — 0.085 |253 35 | 0.7 0.7 
| 19 7.5. 18.04 | 43 47 24.4 | 4.96 | + 0.0003 | --0.001 255 58 1.1 1.1 
20 10:3. 24.05 | 39 53 37.7 | 5.18 | --0.0035 | —0.052 |253 39 0.8 0.8 
21 | 10.6 | 25.79 | 45 51 13.9 | 4.93 | +0.0024 | —0.089 |256 69 | 0.9 0.9 
29 8h 29.77 | 4415 8.8| 4.96 | +0.0063 | —0.101 |255 68| 1.1 1.1 
23 Klo 38.86 | 39 34 53.3 | 5.18 | 0.0024 | —0.045 |253 54 | 0.8 0.8 
24 | 10.7 41.02 49 18 1.9 | 4.96 | +0.0015 | — 0.052 |254 63 | 1.0 1.0 
25 | 9.7 45.12 | 39 39 19.4 | 5.18 | —0.0010  —0.004 253 53 | 0.8 0.8 
26.|. 9.4 45.90 | 39 45 17.3 | 5.18 | + 0.0020 | —0.089 |253 50 0.8 0.8 
27 | 8.6 | 50.93 4654 9.2 | 4.93 | —0.0023 | —0.062 |256 2| 0.6 0.4 
ON DS OI 54.52 | 4417 2.9 | 4.96 | +0.0082 | —0.133 |255 86 | 1.1 1.1 
29 | 8.2| 57 3.83 | 4111 27.6 | 4.96 | —0.0001 | —0.006 |254 91 | 0.8 0.7 
SOM VEI 9.96 | 45 35 23.9 | 4.93 | --0.0011| —0.067 |256 99| 0.9 0.9 
See T2 11.51 | 4416 1.9 | 4.96 | + 0.0097 | —0.139 |255 85 | 1.1 1.1 
3200 84 13.36 | 45 45. 9.5 | 4.93 | —0.0038 | — 0.172 |256 96 | 0.9 0.9 
Som 16.7 | 4257 5 |4.96 | +0.0044 | —0.054 |254 — | 0:6 0.4 
Sb Du 25.38 | 43 22 38.5 | 4.96 | -- 0.0003 | —0.005 | 255 109 | 1.1 1.1 
35 | 10.8 | 27.58 | 45 33 12.0 | 4.93 | + 0.0012 | —0.067 |256 100 | 0.9 0.9 
36 | 9.9| 31.22 | 39 048.4 | 5.18 | — 0.0034 | --0.027 |253 77 | 0.4 0.3 
37 | 10.3 33.79 | 46 26 35.2 | 4.93 | +0.0053 | + 0.003 |256 93, 0.9 0.9 
381 XOU 36.17 | 41 50 47.6 | 4.96 | +0.0025 | —0.047 | 254 103 | 1.0 1.0 
SO) TT 40.19 | 41 1 26.0 | 5.18 | +0.0057 | — 0.036 |253 62 | 0.4 0.2 
40 | 9.2 43.70 | 41 29 48.2 | 4.96 | —0.0001 | + 0.052 | 254 107 1.0 1.0 
41 | 10.4 14.08 | 44 13 22.4 | 4.96 | — 0.0007 | — 0.062 | 255 117 | 1.1 1.1 
2 | 6.0 52.00 | 42 59 22.8 | 4.96 | —0.0041 | —0.168 | 254 114 | 0.6 0.3 
| | — 0.0002 | —0.177 | 255 127 | 0.6 0.3 
| —60.0022 | — 0.172 1221076 
A tu = — 08.0004; À us = + 0,008, 


165.5 | 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 69 


c Ó E | Région Be 
od 5 " " \ > 
e 1900.0 1900.0 — 18904 Pa us N:0 Poids | (abs.) I 


| | 
| " Hu o 


0.081 180.0 
0.067 316.8 


ı DPF mis ) for LAR 8 | 
9.1 | 5 57 56:00 | 45. 54 21.7 | 4:03 + 0.0005 | 0:089 | 256 112 | 0.9. 0.9 
9.8 58 15.33 | 44. 9 10.6 | 4.96 0:0040 | + 0.041 | 255 184 | 1.1 1.1 


IM 24.12 | 46 56 15.3 | 4.93 0.0003 0.012 256 120 | 0.7 0.4| 0.008 240 
11 39.010 | 43 34 3 | 4.96 0.0053 | +0,008 \255 — | 1.1 1.1| 0.063| 284.7 
10.2 | 55.41 | 41 1 54.8 | 4.96 | 2- 0.0001 | --0.049 | 254 147 | 0.7 0.4| 0.057 | 357.0 

8.7| 5927.26 | 43 3 19.1 | 5.00 | +-0.0058 0.093 | 254 148 | 0.5 0.2 

| | 5 5 159 | 0.9 0.6 


.07 | +-0.0067 | — 0.115 | 255 
| —0.0014 —0.120 | 258 
| +0.0054 | — 0.114 | 1.6 1.3 
9.0 38.47 | 45 52 59.9 | 4.93 | —0.0019 | — 0.088 | 256 182 | 0.9 0.9 
| —0.0049 | — 0.085 |259 6 0.2 0.2 
| — 0.0024 0.087 (AT 


0.119 | 152.6 


0.085 | 200.8 


8.3 40.75 | 39 6 28.5 | 5.18 | —0.0040 | —0.175 | 253 122 | 0.8 0.6| 0.175 | 197.0 
11 48.8 |393411 | 5:18 | —0.0053 | —0.136 |253 — | 0.8 0.8| 0.144 | 207.3 
11.2 | 49.15 | 46 24 39.7 | 4.93 | + 0.0005 | —0.076 | 256 179 | 0.9 0.9| 0.068 | 179.2 

9.3 52.57 |43 39 54.8 | 5.02 | --0.0027 | —0.051 | 255 171 | 1.1 1.1 

| | 5.04 | —0.0028 | —0.036 | 258 11 10.3 0.4 | 
| | +0.0015 | — 0.047 | 1.4 1.5| 0.041| 162 

9.2 | 55.66 | 41 40 0.7 | 4.55 | --0.0041 | —0.084 | 254 180 | 1.0 1.0 | 
4:45 | +0:0010 | —0.077 | 257 10 0.3 0.4 | 

| 4-0.0034 | — 0.082 | 1.3 1.4| 0.081| 156.0 

10.7 55.68 | 41 46 15.8 | 4.96 | --0.0007 | —0.083 254177 1.0 1.0| 0.075 | 176.9 
8.2 56.45 | 41 46 21.5 | 4.55 | + 0.0025 | —0.101 254 176 1.0 1.0 | 

| + 010011 | —0.073 257 9|0. 


hi 
e 
NY 
m 


| +0.0022 | — 0.095 1.3 1.3| 0.089 
| 4.93 | + 0.0021 | —0.049 | 256 195 | 0.9 0.9 
| +0.0015 | —0.081 | 259 17 0.5 0.6 
| 4-0.0019 | —0.062 | 1.4 1.5 
| 


| 10.5 18.34 | 39 45 36.3 | 5.18 | — 0.0000 | — 0.009 | 253 130 | 0.8 0.8 


9.8| 6 010.27 | 45 35 36.3 | 


0.056 | 163.5 
0.004 | 


dd 
or 
eos 


E 
(= 
Co 
© 
: 5 = LE RARE qe 
nn nn mn a nn mn nn rn nn nn SS SAS 


9.1 21.24 | 4145 7.4 | 4.45 | +0.0006 | —0.061 | 254 190 | 1.0 1.0 
| | 4.37 | — 0.0036 | —0.043 | 257 16 | 0.4 0.5 
| — 0.0006 | — 0.055 14 1.5| 0.048 | 192 
8.8 | 31.19 | 46 40 30.8 | 4.93 | +0.0035 | —0.094 | 256 204 | 0.9 0.9] 0.092 | 159.6 
6.2 | 40.20 | 42 40 34.2 | 5.06 | +0.0004 | —0.004 | 254 199 | 1.0 1.0 | 
| 5.07 | —0.0034 | — 0.041 | 258 36 | 0.7 0.8 | 
| — 0.0012 | — 0.020 1.7 1.8| 0.021 | 235 
10.2 41.46 | 41 36 20.0 | 4.23 | +0.0048 | —0.051 | 254 206 | 1.0 1.0 
4.17 | +0.0007 | —0.063 |257 23 0.7 0.8 | 
+0.0031 | — 0.056 | | 1.7 1.8| 0.057 | 157.1 
9.4 46.42 | 45 37 27.3 | 4.93 | —0.0028 + 0.005 | 256 212 | 0.9 0.9 
| | | — 0.0031 | — 0.014 | 259 36 0.7 0.8 
| | | — 0.0029 | — 0.004 | (15 1.2] 04084 | 2?7 
7.08 55.54 | 45 33 57.1 | 4.93 | — 0.0011 | — 0.016 | 256 213 | 0.9 0.9 | 
—0.0010 — 0.030 259 37 0.9 0.9 
— 0.0010 | —0.023 | 1.8 1.8| 0.021 | 223 
83| 1 810 3913 23.3 | 5.18 | —0.0043 | —0.100 |253158 0.8 0.8| 0.107 | 210.4 
1.2 | 19.45 | 41 4 8.8 | 3.97 | +0.0050 0.034 | 254 249 | 0.8 0.5 | 
| 3.11 | —0.0011 0.074 |257 3b| 1.0 1.0 
| +0.0007 | — 0.061 12.8 1.5| 0.053 | 175.7 
| | | 
| | | | 


À ta = — 05.0004; 4 us = + 0,008, 


70 


67 


69 


82 


83 


84 


N:0 | 


Gr. 


8.6 


10.4 


10.3 


8.0 
10.2 


IM 
iff 
9.4 


10.6 | 


h 
6 


[14 


1900.0 


m 


1 


b2 


Ha 


5 


19.54 


| 
| 


20.19 | 


28.26 
33.52 


| 


RAGNAR FURUHJELM. 


47.52 |4031 1.2 


28.45 | 42 


28.7 
28.84 


31.37 


31.56 


0.99 


16.55 


17.43 


Poids 


10.970.9 
| 0.9°0.9 


1.8 1.8 
1.0 1.0 
0.8 0.8 
1.8088 
108120) 
ant 
0.9 0.9 
2.0 2.0 
0.8 0.8 
ROMEO 
1.8 1.8 
0.6 0.4 
0.5 0.2 
0.8 0.8 
1.9 1.4 
1.0 1.0 
0.9 0.9 
0.9 0.9 
1.8 1.8 


| 1.0 1.0 


0.7 0.7 
SVETS 
1.0 1.0 
1.0 1.0 
2.0 2.0 
0.8 0.8 
1.0 1.0 
1.0 0.9 
2.0 1.9 
0.9 0.9 
1.0 1.0 
0.9 0.9 


| 0.9 0.9 


1.8 1.8 
0.8 0.8 
1.0 1.0 


| 1.8 1.8 


Jai At 


| 0.8 0.7 


0.2 0.5 
210278 
0.6 0.6 
0.8 0.8 
0.2 0.2 


17.6 1.6 


Ô E Région | | 
1900.0 48904| — "^ us LENT Her | 77 EPA 
o qup | s 7 
45 39 22.1 | 4.93 | +0.0005 | —0:073 | 256 236 
0.0016 | —0.081 259 49 
—0.0006 | —0.077 
42 33 44.6 | 5.07 | +0.0011 | +0.003 | 254 221 
— 0.0007 — 0.018 | 258 53 
--0.0003 | —0.006 
41 47 20.3 | 4.96 | + 0.0063 | — 0.047 | 254 246 
44 20 14.7 | 4.95 | +0.0003 | —0.019 | 255 221 
| — 0.0000 | —0.020 | 259 53 
| --0.0002 | — 0.019 
4.18 | +0:0012 | —0.116 | 253 178 
| —0.0029 | —0.148 257 44 
-0.0011 | — 0.134 | 
58 37.8 | 5.06 | —0.0032 | — 0.031 | 254 263 
| 5.10 0.0007 | —0.076 | 255 260 
| — 0.0078 | —0:042 |258 193 
| -0.0045 | — 0.045 
4151 9 |4.96 | —0.0015 | —0.084 254 — 
45 34 31.6 | 4.93 | —0.0005 | —0.045 | 256 270 
| +0.0002 0.070 | 259 65 
— 0.0002 0.058 
49 13 43.1 | 5.06 | + 0.0057 0.045 | 254 269 
4-0.0029 | —0.035 | 258 101 
-4-0.0045 | —0.041 | 
41 29 33.1 | 4.07 | +0.0010 | —0.079 | 254 275 
0.0008  — 0.090 [957 54 
--0.0009  — 0.084 
46 46 30.5 | 4.93 | + 0.0028 | — 0.055 | 256 265 
41 48 21.4 | 4.07 | —0.0026 | —0.019 IE 254 307 
4.12 | — 0.0021 | —0.008 | 257 73 
-0.0024 | —0.014 | 
46 24 51.0 | 4.93 | —0.0021 | —0.059 | 256 290 
4156 9 | 4.96 | —0.0082 | —0.314 | 954. — 
45 34 13.1 | 4.93 | + 0.0000 | +0.001 | 256 297 
4-0.0024 | —0.044 | 259 95 | 
4-0:0012. | — 0.022 
40 21 53.0 | 4.13 | — 0.0001 | — 0.007 | 253 235 
4.18 | -- 0.0014 | — 0.027 | 257 102 
-0.0007 | —0. 018 | | 
43 49 11.6 | 5.06 | +0.0041 | —0.026 | 255 304 | 
| 5.04 Eos | —0.071 | 258 145 | 
— 0.0016 | — 0.057 | 262 6| 
+ 0.002(0 0 046 | 
4'11 1.3 5.09| —0.0008 | +0.028 | 255 306 
EPQI poss +0.006 | 258 148 
— 0.0027 | 4-0.061 262 10. 
0 0024 + 0.021 
| 
4 u, = — 05,0004: I ug = + 0”,008. 


0.070 | 


0.002 
0.077 


0.011 


0.127 


0.064 


0.079 | 
0.050 | 


0.057 | 


0.076 
0.053 


0.031 
0.057 
0.321 


0.016 


0.011 


0.042 


0.042 


156 


314 


Tom. L. 


86 


87 


88 


89 


90 


91 


92 


93 


95 


97 


98 


N:o 7. 


94 


96 | 


10.3 ! 6 


9.7 | 


9.3 


9.6 


9.0 


9.3 


9.8 


9.1 


. 


Recherches sur les mouvements propres 


[04 


m 8 


4 31.44 


37.56 


39.20 


5 18.58 


19.34 


28.46 


38.94 


| 
54.11 


6 0.66 


3.13 | 


7.50 


san IN 
1900.0 | 


o , " 


| 44 59 43.9 | 4.94 


| | 
39 44 21.6 | 5.18 


41 33 48.1 | 4.07 
| 4.22 


43 23 44.3 | 5.08 
| 5.06 


4.93 


45 18 45.1 | 
| 
| 


| 43 15 31.6 | 5.09 


| 5.08 
| 
| 


43 18 27.7 | 
4218 9.4 
41 46 29.7 


46 15 24.6 
46 11 34.5 
43 50 45.0 


41 19 50.9 


44 20 12.6 | 
| 


- 


Ua 


Ei 
— 0.0025 
— 0.0073 
— 0.0031 
— 0.0003 
— 0.0032 
-- 9.0017 
+ 0.0026 
+ 0.0019 
— 0.0035 
— 0.0012 
— 0.0033 
— 0.0028 
-- 0.0042 
+ 0.0024 
— 0.0008 
4- 0.0024 
+ 0.0055 
+ 0.0092 
-- 0.0111 
4- 0.0084 
— 0.0040 
— 0.0076 
— 0.0091 
— 0.0069 
-- 0.0050 
+ 0.0032 
+ 0.0010 
+ 0.0029 
+ 0.0043 
+ 0.0058 
4- 0.0012 
+ 0.0036 


— 0.0015 | 


--0.0001 


— 0.0032 | 


— 0.0015 
-- 0.0021 
+ 0.0045 
+ 0.0088 
— 0.0023 
+ 0.0008 
-- 0.0000 
— 0.0016 
— 0.0016 
— 0.0016 
— 0.0092 
— 0.0164 
— 0.0124 
— 0.0010 
+ 0.0001 


— 0.0004 | 
À wa = — 05,0004; 


dans la 


| Région | 


Us 
4 N:o 


" 


— 0.027 | 255 297 
+ 0.048 | 256 327 
— 0.046 259 131 


—0.035 262 13 


—0.029 | 

— 0.086 | 253 251 
—0.101 |260 7 
—0.091 | 

—0.021 | 254 349 
—0.009 | 257 115 
—0.026 261 17 
— 0.017 | 

— 0.066 | 255 318 
— 0.084 | 258 164 
—0.076 262 22 
— 0.075 
+0.121 
+0.086 
+0.124 
+0.104 
—0.051 
—0.045 
—0.020 | 
— 0.041 
+0.007 
+0.005 
+0.028 
+ 0.013 
— 0.014 
— 0.063 
— 0.040 
— 0.040 
+ 0.005 
— 0.006 
— 0.007 
— 0.004 
— 0.003 
+0.030 
+0.017 
— 0.058 
— 0.063 
— 0.061 
— 0.080 
—0:112 
— 0.101 
+ 0.004 
+0.002 
+ 0.008 | 
— 0.062 | 259 180 
— 0.031 262 60 
— 0.045 


259 128 
263 19 


255 320 
258 165 
262 23 


255 335 
258 178 
262 40 


254 356 
258 186 
261 35 


257 135 
261 37 


256 344 
263 40 


256 358 
263 53 


258 197 
262 63 


257 154 
261 70 


A que = + 07.008. 


256 323 | 


254 367 | 


Poids 


0.2 
0.2 
0.9 
0.2 
1.5 
0.6 
0.2 


zone de Helsingfors. 


Hu (abs.) 


" 


0.031 


0.141 


0.086 


0.034 


0.049 


0.020 


0.044 


0.053 


0.096 


0.144 


0.038 | 


| 
1 EL THE LUN Pre: A A re 
CENTER FINE 


P 


241 


161.8 | 


37.2 | 


131 


281 


55 


-2 


[os] 


112 


113 


114 


115 


116 


117 | 


118 


Nabe 


I 
0.6 | 
9.6 | 
| 


10.2 
8.8 | 


1.6 


8.8 


8.2 


9.0 | 


9.9 | 


8.8 | 


œ 


RAGNAR FURUHJELM. 


Bam IE! 


| Région | 


1900.0 1900.0  189-| À” a Sie 
h m s OBEN: | 8 "n 

6 6 31.84 | 39 36 16.0 5.18 | + 0.0009 | 40.004 260 70| 0.8 0.8 
33.02 | 42 36 16.8 | 5.08 | — 0.0005 | — 0.062 | 258 220 | 0.8 0.8 
| +0.0013 | — 0.029 | 261 77 | 0.9 0.9 
4-0.0005 | — 0.045 "ABE 
46.19 | 39 48 16.8 | 5.18 | —0.0031 | +0.049 260 66 0.8 0.8 
7 2.08 | 43 22 50.6 | 5.07 | —0.0131 | +0.025 | 258 225 | 0.8 0.8 
| —0.0091 | +0.019 262 88|1.1 1.1 
| | — 0.0108 | + 0.022 |1.9 1.9 
13.41|46 17 8.4 | 4.93 | —0.0022 | 40.029 | 263 100 | 0.9 0.9 
22.83 | 39 42 2.7 | 5.18 | —0.0014 | —0.081 260 79| 0.8 0.8 
24.96 | 46 17 30.7 | 4.93 | + 0.0033 | --0.009 263 99| 0.9 0.9 
25.28 | 40 17 1.7 | 4.18 | —0.0032 | —0.069 | 257 198 | 1.0 0.9 
4.23 | —0.0042 | —0.051 260 93|0.8 0.8 
— 0.0036 | — 0.061 I S BIA) 
27.21 | 45 59 14.7 | 4.93 | -- 0.0023 | —0.048 259 202 | 0.5 0.3 
21.44 | 4614 2.5 | 4.93 | + 0.0008 | +0.003 263 101 | 0.9 0.9 
28.71 | 42 35 27.3 | 5.07 | +0.0043 | —0.050 | 258 242 | 0.8 0.8 
+0.0011 | +0.018 261 109 1.0 1.0 
| +0.0025 | — 0.012 WEHR 
35.77 | 43 24 58.3 | 5.07 | +0.0011 | —0.028 | 258 236 | 0.8 0.8 
| | +0.0071 | — 0.052 | 262 103 | 1.1 1.1 
| +0.0046 | — 0.042 | 1.9 1.9 
39.18 | 41 22 15.1 | 4.07 | —0.0022 : — 0.053 | 257 202 | 1.0 1.0 
| | —0.0058 | —0.033 | 261 117 | 1.0 1.0 
— 0.0040 | — 0.043 2.0 2.0 
46.85 | 42 911.8 | 5.05 | —0.0018 | —0.120 | 258 252 | 0.6 0.5 
| — 0.0018 | —0.074 | 261 134 | 1.0 1.0 
— 0.0018 | —0.089 | 1.6.1.5 
50.50 | 4317 0.3 | 5.07 | —0.0032 | 4-0.018 | 258 244 | 0.8 0.8 
| —0.0013 | —0.018 | 262 115 | 1.1 1.1 
| — 0.0021  —0.003 | 1.9 1.9 
8 9.47 | 42 10 22.6 | 5.05 | —0.0005 | —0.117 | 258 259 | 0.6 0.5 
| 5.04 | +0.0003 | —0.034 | 261 132 | 1.0 1.0 
| — 0.0000 | — 0.062 | | 1.6 1.5 
11.53 | 45 38 23.5 | 4.93 | --0.0019 | —0.032 | 259 212 | 0.9 0.9 
| --0.0027 | —0.011 | 263 135 | 0.9 0.9 
| | --0.0023 | — 0.022 '"TH GUTER 
21.04 | 45 31 44.2 | 4.93 | +0.0039 | —0.080 | 259 223 | 0.9 0.9 
| --0.0004 | —0.056 | 263 137 | 0.9 0.9 
| --0.0022 | —0.068 | | 1.8 1.8 
32.31 | 39 57 45.1 | 4.85 | --0.0004 | —0 125 | 257 223 | 0.2 0.2 
--0.0019 | —0.063 | 260 125 | 0.8 0.8 
| + 0.0016 | — 0.075 | 1.0 1.0 
34.32 | 40 14 54.8 | 4.36 | +-0.0010 | — 0.064 | 257 222 | 0.7 0.7 
--0.0023 | —0.047 | 260 122 | 0.8 0.8 
| +0.0017 | —0.055 THES 
36.66 | 42 29 21.0 5.07 | --0.0016 | —0.092 | 258 269 | 0.8 0.8 
--0.0031 | —0.061 261 143 | 1.0 1.0 
4-0.0024 | — 0.075 | LS 18 

I tu = — 08.0004; 102—119: —05.0003; I us = + 0".008, 


0.057 


| 
0.060 


0.084 


0.027 | 


0.054 | 


0.024 


0.063 


0.069 


0.050 


0.071 


234.5 


196.5 


280 | 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 73 


a Ó E | | Région | — | n | 
N:6 | Gr.) 16090 1900.0 8904. Ma | #4 | No | Poids |# (abs.) IAE | 
h m s 95. E 8 | " | | " | 
120 | 10.2 |6 8 37.13 | 42 26 32.1 | 5.07 | —0.0019 | —0.020 | 258 270 | 0.8 0.8 
— 0.0015 | — 0.005 | 261 144 | 1.0 1.0 
— 0.0017 | —0.012 | 1.8 1.8| 0.023 | 260 
121 | 9.6 42.19 | 39 56 11.8 | 5.18 | —0.0006 | —0.009 | 260 133 | 0.8 0.8| 0.011 | 265 
122 | 8.6 45.34 | 39 45 7.6 | 5.18 | +0.0009 | — 0.054 | 260 136 | 0.8 0.8| 0.047 | 171 
123 | 9.5 51.60 | 41 5 1.4 | 4.02 | +0.0005 | +0.010 | 257 216 | 1.0 1.0 
3.91 | —0.0014 | —0.022 | 261 168 | 0.9 0.7 
— 0.0004 | — 0.003 1.9 1.7| 0.010 | 299 
124 | 10.0| 911.96 | 45 34 41.6 | 4.93 | —0.0004 | —0.025 | 259 233 | 0.8 0.8 
| --0.0003 | —0.006 | 263 167 | 0.9 0.9 
+0.0033 | —0.010 266 210.2 0.3 | 
0.0003 | —0.014 1.9 2.0| 0.006 | 214 
125 | 8.8 14.96 | 40.57 23.5 | 4.29 | —0.0002 | —0.037 | 257 228 | 0.9 1.0 
3.86 | —0.0018 | —0.068 | 260 146 0.6 0.4 
| — 0.0028 | —0.084 | 261 192 | 0.6 0.2 
— 0.0022 | —0.026 |264 60.1 0.3 | 
— 0.0014 | — 0.047 2.2 1.9 | 0.044 | 208 
126 | 9.8 24.73 | 42 19 39.4 | 5.05 | —0.0019 | —0.053 | 258 279 | 0.4 0.5 | 
| | | 5.06 | --0.0010 0.048 | 261 176 | 1.0 1.0 | 
+0.0054 +0.016 |265 8|0.2 0.2 
| | + 0.0008 | —0.042 | 1.6 1.7| 0.085 | 170 
127 | 8.6. 33.44 | 44 44 51.1 | 4.94 | —0.0247 | —0.325 | 259 250 | 0.8 0.9 
| — 0.0230 | —0.344 | 262 160 | 1.1 1.1 | 
—0.0221 | —0.328 |266 15 | 0.4 0.6 N | 
—0.0234 | — 0.334 | 2.3 2.6| 0.413 | 217.9 | 
128 | 9.1 48.26 | 45 19 27.1 | 4.93 | +0.0054 | —0.081 | 259 256 | 0.8 0.9 | 
| 0.0063 | —0.084 | 263 186 | 0.9 0.9 
| +0.0050 | —0.075 |266 22| 0.4 0.7 | | 
+0.0057 | —0.080 2.1 2.5| 0.092 | 141.6 | 
229.17 7.9 49.09 | 46 346.3 | 4.93 | —0.0005 | —0.067 | 263 178 | 0.9 0.9| 0.060 | 188.7 | 
130 | 6.6| 10 7.52 | 46 27 26.6 | 4.93 | —0.0054 | —0.013 | 263 193 | 0.9 0.9| 0.058 | 265.1 
131 | 10.2 8.01 | 42 22 52.6 | 5.06 | —0.0020 | —0.077 | 258 296 | 0.3 0.4 | | 
5.08 | +0.0001 | —0.025 | 261 222 | 1.0 1.0 
+0.0074 | —0.001 |265 27 0.4 0.5 
+ 0.0014 | — 0.030 | 1.7 1.9| 0.026 | 149 
| 132 | 9.5 8.75 | 43 11 49.8 | 5.08 | —0.0022 | +0.023 258 291 | 0.4 0.6 
5.10 | —0.0014 | —0.030 | 262 187 | 1.1 1.1 
| —0.0015 | +0.016 | 265. 21) 0.6 0.7 | 
| —0.0016 | — 0.003 2.1 2.4| 0.021 | 284 | 
1334| 34-1 10.36 | 39 29 12.1 | 5.18 | +0.0039 | —0.072 | 260 186 | 0.8 0.8| 0.078 | 145.5 
134 | 9.6 27.47 | 46 30 58.0 | 4.93 | + 0.0038 | + 0.017 | 263 191 | 0.9 0.9| 0.044 | 55 
135 | 8.9 28.14 | 42 27 45.1 | 5.06 | —0.0055 | —0.048 | 258 303 | 0.2 0.3 
| 5.08 | —0.0027 | —0.007 | 261 247 | 1.0 1.0 
| — 0.0029 | —0.009 | 265 24|0.5 0.7 
| —0.0031 | —0.014 | 1.7 2.0| 0.037 | 261 
136 | 10.6 30.41 | 39 25 30.0 | 5.18 | —0.0000 | -+0.021 | 260 304 | 0.8 0.8| 0.029 | 354 
137 | 9.0 33.67 | 41 30 40.2 | 4.12 | —0.0018 | +-0.026 | 257 248 0.2 0.3 
4.03 | —0.0001 | —0.008 | 261 254 | 1.0 1.0 | 
| 4-0.0012 | +0.004 | 264 18|0.7 0.8 | 
| +0.0002 | 4-0.001 | 1.9 2.1| 0.009 0 
4 ka = —08.0003; Aus = + 0".008, 


10 


RAGNAR FURUHJELM. 


| 155 


156 | 


! 160 


1900.0 1890+ 


h m 


6 10 


all 


& | 
| 


Ei 


47.18 


49.45 | 
55.98 
0.91 


3.81 
8.66 
10.81 


38.40 
44.92 | 


12 14.64 


-1 0 


| 44 41 


| 45 29 16.0 


| 46 24 43.0 | 


Ó | 
1900.0 | 


4534 7.3 


46 23 58.7 | 
39 994.8 | 
40 53 31.7 | 


| 
39 742.5. 
41 56 26.3 | 
45 7 0.8 


46 10 41.5 


6.2 


46 48 26.9 
41 758.6 | 


| 
39 51 33.5 | t 


42 27 43.1 


45 48 45.8 | 4 


45 215.5 


41 29 21 


42 50 21.2 


44 35 21.3 


4 Wa 


E 


4.93 


4.95 


4.93 


4.07 


4.93 


Ua 


—-0.0016 
+ 0.0002 
+ 0.0012 
+ 0.0004 
+ 0.0006 
-0.0011 
+0.0026 
+0.0024 
4- 0.0025 
-- 0.0035 
— 0.00153 
+ 0.00653 
+ 0.0030 
-- 0.0046 
— 0.0001 


+ 0.0004 | 


— 0.0050 


— 0.0101 | 


— 0.0055 
— 0.0007 
+ 0.0025 
4- 0.0023 
+ 0.0025 
— 0.0025 
- 0.0035 
4- 0.0028 
+ 0.0030 
— 0.0015 
— 0.0010 
— 0.0027 
— 0.0018 
+ 0.0001 
4- 0.0030 
4- 0.0015 
-4- 0.0017 
— 0.0028 
-- 0.0015 
-- 0.0004 
+ 0.0013 
4- 0.0004 
-- 0.0008 
— 0.0053 
— 0.0051 
— 0.0052 
+ 0.0045 
-4- 0.0008 
+ 0.0025 
+ 0.0039 
+ 0.0039 
-- 0.0039 
+ 0.0002 


us | op Poids |w (abs.) | 
, | j 
— 0.048 259 266 | 0.2 0.3 
— 0.018 | 263 221 | 0.9 0.9 |: 
—0.048 |266 33|0.7 0.8 
— 0.034 | 1.8 2.0| 0.026 
—0.142 | 263 213 | 0.9 0.9 | 0.134 
— 0.009 | 260 220 | 0.8 0.7 | 0.010 
— 0.025 | 260 205 | 0.7 0.5 
+ 0.011 |264 27|1.0 1.0 
— 0.001 | 1.7 1.5| 0.026 
— 0.034 | 260 219 | 0.7 0.6| 0.045 
—0.014 | 261 270 | 1.0 1.0| 0.018 
— 0.113 | 263 236 | 0.8 0.7 
— 0.044 266 35 | 0.9 0.9 
— 0:074 | ITE 2T 61 NOTOS 
— 0.090 | 263 243 | 0.9 0.9 | 0.082 
—0.037 | 263 249 | 0.9 0.9 | 0.029 
| —0.027 | 262 239 | 1.1 1.1 
—0.043 |265 64|0.6 0.6 
— 0.033 1.7 1.7 | 0.068 
40.020 | 263 274 0.9 0.9 | 0.030 
| —0.048 | 262 246 | 1.1 1.1 
| —0.041|266 65 0.9 0.9 
| —0.045 | 2.0 2.0! 0.044 
10.018 | 263 264 | 0.8 0.7 | 0.039 
— 0.066 | 261 314 | 0.7 0.7 
| —0.062 |264 66 | 1.0 1.0 
| — 0.064 1.7 1.7| 0.063 
| 0.084 260 266 | 0.8 0.8 | 0.079 
| —0.027 | 261 301 | 1.0 1.0 
—0.062 |265 83| 0.8 0.8 
| — 0.043 1.8 1.8| 0.041 
— 0.009 | 263 295 | 0.9 0.9 
| — 0.026 |266 72 | 0.8 0.7 
— 0.016 | 1.7 1.6| 0.015 
— 0.040 | 262 242 | 0.4 0.2 
— 0.027 | 263 299 | 0.5 0.3 
—0.030 ! 266 78 0.9 0.9 
— 0.031 1.8 1.4| 0.023 
— 0.041 | 263 297 | 0.9 0.9 
— 0.031 266 75| 0.9 0.9 
— 0.036 1881881 ..0.028 
— 0.016 | 26 1.0 1.0 
—0.028 | 264 — |1.0 1.0 
—0:022 2.0 2.0! 0.063 
4-0.019 | 261 319 | 0.7 0.7 
— 0.019 |265 95| 0.8 0.8 
— 0.001 | 1.5 1.5| 0.026 
| -—0.084 | 262 279 | 1.1 1.1 
0.090 266 92 | 0.9 0.9 
— 0.087 2.0 7] 0.088 
— 0.030 | 263 330 | 0.9 0.9 | 0.022 


05.0003; I us = + 0".008. 


| 
| 


122 


178 


170 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 75 


a d E | | Région : | | 
N:o | Gr. 1900.0 1900.0 — 48904- fra TF EM EN dM ITEM Poids |#{abs}| P | 
| |n m 8 | oo Wi s d — EISE ECENCSNES Mech een " | 
161 | 9.9/6 13 48.82 42 2 1.3 | 4.63| +0.0013  — 0.032 261 349 | 1.0 1.0 
| 14.77 | +0.0028 | —0.067 | 264 93| 0.5 0.2 
| + 0.0025 | — 0.062 | 265 125 | 0.6 0.3 | 
| | | +0.0020 | — 0.043 | 2.1 1.5| 0.040 | 150 
162 | 84 50.96 | 39 23 11.9 | 5.18 | +0.0000 | — 0.018 260 286 | 0.6 0.6| 0.010 | 197 
163 | 11.0 | 58.01 | 4633 2.3 | 4.93 | —0.0056 | —0.019 263342 0.9 0.9| 0.061 | 259.6 
164 | 9.2) 14 8.62 | 42 49 92.4 | 5.08 | +0.0045 | + 0.002 | 261 362 | 0.7 0.7 
| | +0.0019 | —0.050 | 265 136 | 0.8 0.8 | 
+0.0027 | —0.069 |268 3|0.2 0.2 | 
| | + 0.0031 | — 0.031 | 1.7 1.7| 0.039 | 127 
165 | 61 9.15 | 4223 3.4 | 5.06 | +0.0025 | — 0.020 261 363|0.9 1.0 
— 0.0008 | — 0.032 | 265 137 | 0.8 0.8 
— 0.0021 | —0.072 s 40.2 0.3 
| +0.0006 | — 0.032 | 19 2.1| 0.024 | 171 
166 | 8.6 18.38 | 4650 2.8 | 4.93 | —0.0004 | —0.072 | 263 340 | 0.5 0.4 | 
| — 0.0004 | —0.068 |270 910.2 0.2 | 
— 0.0004 | — 0.071 0.7 0.6| 0.064 | 187.2 | 
167 | 8.2. 21.81 | 45 39 19.4 | 4.93 | —0.0018 | — 0.046 | 263 366 | 0.8 0.9 | | 
1.0.0032 | —0.035 | 266 106 | 0.9 0.9 | | 
| — 0.0008 | — 0.039 | 270 16 0.3 0.5 | | 
| 1.0.0006 | — 0.040 2.0 2.3| 0.032 | 175 | 
168 | 9.6 41.46 | 42 222.5 | 4.66 | —0.0032 | — 0.075 | 261 379 | 0.8 1.0 | 
4.86 | —0.0055 | — 0.067 | 264 125 | 0.5 0.21 
— 0.0061 | — 0.137 | 265 154 | 0.6 0.4 
— 0.0081 | — 0.087 |268 16 | 0.3 0.7 | 
— 0.0052 | — 0.089 2. 2.8| 0.101 | 217.0 
169 | 7.9| 1521.55 | 40 33 22.4 | 3.94 | —0.0010 | —0.030 | 260 323 | 0.2 0.3 
4.15 | +0.0021 | —0.016 | 264 145 | 1.0 1.0 | 
--0.0012 | —0.031 | 267 27\0.5 0.7 | 
| + 0.0015 | — 0.023 Ho DN 0502 137 
| 170) 10.9 27:55 | 40 553.7| 4.96 | +0.0007 | — 0.017 |267 32| 0.8 1.0| 0.010 | 151 
171 10.6 28.74 | 3910 37.0 | 4.96 | --0.0014 | + 0.083 |267 35| 0.4 0.4| 0.092 | 8.1 
172 | 84 29.92 | 40 519.4 | 4.09 | +0.0004 | 4-0.031 | 260 327 | 0.2 0.2 
| 4.37 | +0.0028 | +0.059 | 264 157 | 1.0 0.7 
4.0.0020 | --0.008 267 31|0.8 1.0 
| --0.0022 | -- 0.029 | 2.0 1.9| 0.044 32 
| 173 | 10.8 | 35.91 | 40 49 48.4 | 3.69 | --0.0003 | +0.021 | 264 155 | 1.0 1.0 
+0.0023 | +0.020 [267 40 0.4 0.4 
| 4-0.0009 | 40.021 14014) 0.0300| 14 
174 | 9.5. 38.08 | 42 22: 3.5 | 5.07 | +0.0015 | —0.038 | 261 391 | 0.2 0.3 | 
| 5.06 | —0.0015 | — 0.040 |265 176 | 0.8 0.8 | 
— 0.0001 | —0.079 |268 29| 0.8 1.0 | | 
— 0.0005 | — 0.058 1.8 2.1| 0.051 | 190.2 | 
175 | 9.6 40.08 | 39 6 9.7 | 4.96 | +0.0008 | +0.023 |267 36|0.3 0.3| 0.032 | 11 | 
176 | 10.8 | 48.75 | 43 38 52.6 | 5.06 | +0.0053 | —0.172 | 262 340 | 0.3 0.4 
+0:0048 | —0.175 | 265 167 | 0.8 0.8 
+0.0103 | —0.161 |269 22 1.0 1.1 
| + 0.0075 | —0.168 | 2.1 2.8| 0.178 | 154.0 | 
| | | 
| | | | 
| | | 


4 Ma = — 05.0003; 4 Má = + 0”.008. 
N:o 


- 


76 RAGNAR FURUHJELM. 
| Im EM c D) E Région | = . 
| Non CO ee cr femp Eug Noo POSE (abs) MP 
| i r IDE qs | s " | | " o 
177 | 10.6 | 615 50.19 | 42 121.8 | 5.05 | —0.0004 | —0.072 264 — | 0.6 0.3 
| | | 5.01 | —0.0002 | +0.010 | 265 179 0.6 0.3 
| +0.0001 | —0.066 268 32 1.0 1.0 | 
| | | | 10.0001 | —0.053 | |2.2 1.6| 0.045 | 185 
| 178 | 8.0| 57.84 | 43 44 44.3 | 5.07 | +0.0016 | —0.041 | 265 181 0.8 0.8 
| | | | +0.0039 | —0.030 269 29 1.1 1.1 
| 4-0.0029 | —0.035 | |1.9 1.9| 0.039 | 134 
| 179 | 10.0| 1615.00 | 40 58 29.0 | 3.77 | —0.0029 | —0.026 264164 1.0 1.0 
| | | 0.0065 | —0.045 267 45 0.3 0.3 
| | | —0.0045 | —0.049 268 47 | 0.2 0.2 
| | | — 0.0038 | —0.033 H5 uo | 0.052. DAS 
| 180 | 9.6| 25.96 |42 32. 4.0 | 5.07 | +0.0001 | —0.034 265 202 | 0.8 0.8 
| +0.0030 | —0.060 268 50 1.0 1.0 | 
| | +0.0017 | — 0.048 | 1.8 L8| 0.043 | 159 
181 | 10.8 | 26.29 46 1112.9 | 4.93 | --0.0002 | —0.056 270 51 0.9 0.9| 0.048 | 181 
182 | | 37.39 | 40 34 14.3 | 4.07 | +0.0052 | —0.024 264 178 | 1.0 1.0 
| | +0.0031 | —0.023 | 267 62 1.0 1.0 
+0.0042 | — 0.024 | (2.0 2.01 0.048 | 110 
183 | 9.2 48.23 | 40 16 37.9 | 4.07 | +0.0036 | +0.014 | 264 191 | 1.0 1.0 
| +0.0014 | —0.009 | 267 641.0 1.0 
| + 0.0025 | 40.002 | 2.0 2.0| 0.027 | 68 
| 184 | 10.0 54.90 | 45 55 42.9 4.93 | +0.0047 | —0.008 | 266 161 0.7 0.5 
| | -0.0003 | +0.001 270 60 10.9 0.9 | 
| | +0.0019 | — 0.002 |1.6 L4| 0.018 | 71 
185 (108. 59.91 | 45 56 28.0 | 4.93 | —0.0018 | —0.103 266 — | 0.6 0.4 
| | | +-0.0008 | —0.012 |270 59 10.9 0.9 
| — 0.0002 | — 0.040 12.5013 | 10.0334), 198 
| 186 | 7.5| 17 4.83 | 43 16 54.3 | 5.07 | —0.0011 | —0.053 | 265 210 | 0.8 0.8 
| 5.08 | --0.0028 | —0.027 269 50 1.1 1.0 
| +0.0012 | — 0.039 1.9 1.8| 0.033 | 162 
187 | 8.9 10.20 | 39 937.1 4.96 | —0.0002 | —0.012|267 86 0.7 0.7 | 0.006 | 231 
188 | 10.7 | 27.60 | 4130 0.6 4.07 | +0.0060 | —0.037 | 264 196 :1.0 1.0 | 
| | | +0.0030 | —0.042 1268 871.0 1.0 
| +0.0045 | —0.040 | 2.0 2.01 0.058 | 123.7 | 
489. 110 31.8 |415713 |5.18 | —0.0012 | +0.027 |265: — | 0.3 0.2| 0.038 | 335 
190 | 6.4| 32.75 | 4336 1.8 | 5.07 | —0.0029 | —0.033 | 265 217 | 0.8 0.8 
+0.0007 | —0.018 | 269 61,11 1.1 
— 0.0008 | — 0.024 1.9 1.9| 0.019 | 215 
191 | 10.4 42.99 | 45 10 26.6 | 4.93 | --0.0023 | —0.038 | 266 170 | 0.9 0.9 
-0.0032.| —0.041 270 82| 0.8 0.7 
+0.0027 | —0.039 | 1.7 1.6| 0.040 | 140 
192 | 9.9 44.74 | 41 55 17.2 | 4.23 | --0.0013 | —0.022 | 264 204 | 0.7 0.4 
4.45 | +0.0035 | —0.035 268 82|1.0 1.0 | 
| +0.0026 | —0.031 1.7 14| 0.085 | 131 
193 | 11 48.5 |415929 | 4.96 | —0.0007 | +0.002 268 — | 1.0 1.0| 0.015 | 312 
194 | 8.3 52.40 | 40 54 18.7 | 3.91 | —0.0051 | —0.029 | 264 212 | 1.0 1.0 | 
| 3.77 | —0.0058 | —0.056 267 94|0.7 0.5 | 
| | —0.0054 | — 0.038 1.7 1.5| 0.071 | 244.9 
| 195 110.0 1832.14 40 654.1 | 4.37 | —0.0044 | —0.109 | 264 233 | 0.5 0.4 
| 4.45 | —0.0022 | —0.119 | 267 119 | 1.0 1.0 | 
— 0.0029 | —0.116 | 15 14| 0.114 | 198.9 
4 u, = — 05,0003; 186—195: — 05.0002; Aus — + 0".008, 


= 


Recherches sur les mouvements propres dans la 


7 | 


| | a | d | E Région 
A a | | 490001 | am, , t nie N:o 
| h m s DUMP | 8 | " | 
196 | 8.6 | 618 32.87 | 40 24 22.5 | 4.12 | +0.0010 | _0.074 | 264 232 
| | - +0.0003 | 0.109 | 267 117 
| +0.0006 |. 0.092 | 
197 | 9.8 34.01 | 4123 2.2 | 4.07 | --0.0014 | — 0.062 | 264 228 
| 4-0.0002 | __0.070 | 268 120 
+0.0008 | — 0.066 
198 | 8.3 38.47 | 39 40 46.0 | 4.96 | --0.0026 | — 0.069 | 267 124 
199 | 16.8 50.01 | 4158 5.3| 4.96 | —0.0014 | — 0.029 | 268 127 
200 | 8.4| 19 4.84 | 43 26 29.0 | 5.08 | —0.0035 | — 0.012 | 265 259 
| +0.0009 | 0.007 269 96 
--0.0005 | — 0.025 272 3 
| | — 0.0008 | — 0.003 | 
| 201 | 9.3 58.79 | 40 37 25.2 | 4.82 | +0.0059 | — 0.149 | 264 251 
| | 4.78 | +0.0090 | — 0.174 | 267 161 | 
| +0.0054 | — 0.144 | 271 
| | 4-0.0076 | — 0.159 
202 10.3 | 20 1.20 4044 25.0 | 4.88 | +0.0019 | 40.022 | 264 250 
| 14.78 | 40.0003 | 10.010 | 267 180 
+0.0030 | 40.030 271 6 
| à +0.0013 — 0.018 
203 | 9.1 5.07 | 44 55 21.3 | 5.34 | +0.0059 10.034 | 266 201 
| 5.38 | +0.0093 0.030 | 269 120 
| +0.0054 | +0.040 | 273 11 
| | 4-0.0072 | + 0.035 
204 | 11.1 | 23.02 | 42 33 49.2 | 4.96 | +0.0020 | — 0.088 | 268 152 
| | | 0.0003 | —0.046 | 272 
| | | | + 0.0014 | — 0.072 
205 | 89 33.89 | 4425 5.1 | 5.43 | —0.0039 | + 0.004 | 266 207 
| | 5.38 | —0.0007 | — 0.014 | 269 128 
| —0.0032 | —0.000 | 273 17 
— 0.0019 | — 0.006 | | 
206 | 9.4 34.20 | 45 30 56.8 | 5.39 | +0.0018 | +0.047 | 266 204 
| 5.38 | +0.0001 | +0.035 | 270 151 
| — 0.0015 | +0.059 | 273 14 
| — 0.0002 | + 0.046 | 
207 | 10.5 39.20 | 46 29 10.0 | 4.93 | —0.0004 | —0.014 270 146 
208 | 7.9 44.02 | 39 53 53.0 | 4.96 | —0.0050 | —0.139 267 200 
209 | 9.4 51.38 | 42 55 58.5 | 5.08 | —0.0002 | --0.083 | 268 165 
| 5.11 | —0.0033 | —0.091 | 272 25 
| | | —0.0018 | — 0.088 
210 | 9.0 | 51.62 | 45 14 51.1 | 5.48 | —0.0028 | — 0.026 | 266 209 | 
5.43 | —0.0023 | — 0.054 | 270 153 
—0.0057 | —0.023 | 273 21 
— 0.0039 | — 0.036 
211 | 10.0 55.78 | 44 55 39.1 | 5.54 | —0.0051 | — 0.001 | 266 212 
5.60 | —0.0035 | —0.019 | 269 126. 
— 0.0055 | —0.013 | 273 25 
| — 0.0046 | —0.013 
| 212 | 11.0 57.22 | 42 42 20.4 | 5.06 | +0.0021 | +0.002 | 268 172 
| 5.07 | +0.0056 | +0.060 | 272 27 
+0.0035 | +0.028 | 
4 Ur — 05.0002; Z us = -— 0".008, 


zone de Helsingfors. 


Poids 


M (abs.) 


" 


0.058 
0.067 
0.028 


0.012 


0.173 


0.086 


0.008 


0.083 


0.066 
0.022 | 


0.054 | 


0.144 | 


0.051 | 


0.084 | 


0.029 | 


294 


150.6 | 


[Gs] 
ii 


167.7 | 
275 


399.8 
225 
204.2 


195.4 
236.9 | 


264.3 | 


45.8 


78 RAGNAR FURUHJELM. 
| | e | Ó I 78) IST: | 
N:o | Gr. | 45009 | 49000 18904) “+ Hé poss Poids | (abs) | P 
| nom s © Leur 8 | " | 2 | o 
213 | 8.8 | 6 21 15.92 | 43 745.5 | 5.07 | +0.0015 | —0.002 | 269 150 | 1.1 0.9 | 
| | | 5.08 | --0.0002 | —0.032 | 272 41| 0.8 0.8 | 
| | +0.0010 | —0,016 | 789 1:72 0.012 0132 
214 | 9.6 21.84 | 45 544.8 | 5.56 | +0.0028 | —0.002 | 270 163 | 0.8 0.6 | 
. 5.64 | —0.0003 | —0.001|273 28| 0.9 0.9 | 
| 4-0:0012. | — 0.001 | 7572155: 901018 | 58 
215 | 9.8 31.01 | 44 10 38.4 | 5.44 | —0.0022 | +0.006 | 269 155 | 1.1 1.1 | 
| | 5.40 | —0.0042 | —0.000 | 273 31| 0.6 0.5 | 
| | — 0.0029 | -- 0.004 | | 1.7 1.6| 0.035 | 290 
216 | 10.5 32.80 | 4055 8.8 | 5.64 | —0.0048 | —0.062 | 267 214 | 0.7 0.6 | 
| | 5.68 | —0.0072 | —0.042 | 271 27|0.7 0.7 | 
| | — 0.0060 | — 0.051 | | 1.4 1.3| 0.082 | 238.4 
217 | 9.4 45.90 | 45 57 19.5 | 5.33 | +0.0004 | —0.091 | 270 169 | 0.9 0.9 | 
5.21 | —0.0034 | — 0.068 | 273 32, 0.5 0.3 | 
| — 0.0010 | — 0.085 1.4 1.2| 0.078 | 188.9 
CHEN e PSI 51.31 | 39' 134.2 | 4.96 | — 0.0038 | —0.104 | 267 249 | 0.7 0.3| 0.106 | 205.6 
219 | 7.6 | Ad 40 10 55.0 | 5.47 | —0.0004 | —0.014 | 267 241 | 1.0 1.0 | 
| | | 5.43 | +0.0008 | —0.016 271 31), 0.6 0.5 | 
| 4-0.0001 | —0.015 | 1.6 L5| 0.007 | 188 
| 220 11 59.3 | 45 53 12 4.93 | --0.0089  —0.054|910 — | 0:9 0.9| 0.103 | 116.6 
221 11.0| 22 4.90| 40 17 36.8 | 4.96 | —0.0012 | +0.013 | 267 240 | 1.0 1.0| 0.026 | 324 
1229 11383: | 13.25 | 39 31 31.8 | 4.96 | +0.0001 | —0.057 | 267 257 | 1.0 1.0| 0.049 | 181 
2932 97:33 19.75 | 39 42 49.5 | 4.96 | +0.0000 | —0.110 | 267 254| 1.0 1.0| 0.102 | 181.1 | 
224 | 9.2| 33.26 | 45 38 21.9 | 5.53 | —0.0027 | — 0.088 | 270 190 | 0.9 0.9 | 
| 0.0051 | —0.065 | 273 44| 0.9 0.9 | 
| | 0.0039 | —0.076 1.8 1.8| 0.080 | 211.7 
295 | 6.8 34.81 | 46 44 56.8 | 4.93 | —0.0020 | + 0.000 | 270 186 | 0.9 0.8| 0.023 | 290 
226 | 10.7 37.23 | 39 813.8 | 4.96 | +0.0018 | — 0.028 |267 272 | 0.7 0.7| 0.028 | 136 
297 | 10.3 41.97 | 40 8 6.3 | 5.47 | —0.0015 | --0.006 | 267 267 | 1.0 1.0 | 
| 5.43 | --0.0028 | :-0.016 | 271 40 | 0.6 0.5 
--0.0001 | + 0.009 | |-2:651:5.| 30:0171| 835% 
298 | 9.6 58.14 | 43 57 18.9 | 5.21 | —0.0006 | +0.026 | 269 185 | 1.1 1.1 
| 5.16 | —0:0004 | +0.022 |272 72 0.6 0.3 
| — 0.0028 | +0.064 |273 59 0.3 0.2 
| — 0.0009 | +0.030 | 2.0 1.6| 0.040 | 342 
229 | 10.6 23 7.62 41 615.2 | 5.68 | +0.0037 | +0.020 | 268 240 | 0.6 0.4 
| 5.18 | +0.0018 | +0.054 | 271 45 | 0.7 0.7 
| +0.0027 | 40.042 1.3 1.1| 0.058 28.8 | 
230 | 9.4 9.08 | 4019 1.4 | 5.54 | +0.0038 | —0.029 | 267 279 | 1.0 1.0 
| | --0.0068 | — 0.025 |271 48|0.7 0.7 
| --0.0050 | — 0.027 1.7 17 | 0.059 | 107.8 
231 | 10.8 10.11 | 42 50 11.8 | 5.09 | +0.0083 | —0.013 | 268 230 | 0.7 0.6 
| 5.10 | +0.0069 | —0.038-1272 77| 0.8 0.8 | 
| | +0.0076 | — 0.027 1.5 1.4| 0.083 | 102.5 
232 | 8.0 13.19 | 44 013.9 | 5.34 | —0.0017 | —0.019 | 269 184 | 1.1 1.1 | 
5.22 | —0.0025 | —0.040 | 272 71, 0.5 0.3 
| | — 0.0031 | —0.048 |973 67| 0.6 0.3 
| —0.0023 | — 0.028 | 2:9 01:7 48010332 2235 
233 | 9.3 14.82 | 46 15 32.9 | 4.93 | +0.0016 | + 0.044 | 2910 191 | 0.9 0.9 | 0.055 14.8 | 
234 | 10.5 24.17 | 4612 37.6 | 4.93 | —0.0067 | — 0.139 | 270 211 | 0.9 0.9| 0.149 | 209.0. 
235 |10.3, 24 3.28 | 44 56 33.5 | 6.13 | +0 0001 | —0.041 273 81] 0.9 0.9| 0.032 | 182 


À Ua 


I 


05.0002; A us = + 07.008; 229—235: + 0”.009, 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 79 
E [C Ó E Région | >. 
N:6 | Gi. 600.0 1900.0 48904. — "^ Fe N:o | Poids | (abs) | P 
| In m s OT | s " " 
236 | 10.4 | 6 24 18.12 | 46 30 27.3 | 4.93 | —0.0005 | +0.008 | 270 217 0.7 0.8 
| —0.0054 | --0.006 |277 13 0.3 0.5 
| | | — 0.0020 | 4-0.007 | 1.0 1.3| 0.027 | 306 
237 | 10.4 36.96 | 42 312.0 | 5.05 | —0.0050 | —0.070 | 268 262 | 0.8 1.0 
| 5.01 | —0.0043 | — 0.029 | 272 114 | 0.6 0.4 
| | | —0.0028 | —0.077 [275 8|0.3 0.7 | 
| | — 0.0044 | — 0.065 1500216 0:075 227.8 
238 10.4 | 41.27 | 40 19 46.9 | 4.96 | +0.0018 | —0.032 | 267 307 | 0.7 0.8 | 
| ec 0.030 |271 — | 0.7 0.7 | 
+0.0032 | —0.061 |274 2|0.3 0.6 | 
| | 4-0.0032 | — 0.040 |1.7 2.1| 0.047 | 132 
239 | 9.6 | 25 1.82 | 44 52 46.0 | 5.69 | +0.0067 | —0.142 |269 205 | 0.3 0.3 
--0.0078 | — 0.113 |973 98) 0.9 0.9 | 
| | +0.0113 | —0.124 1276 8 0.3 0.3 
| | +-0.0083 | — 0.121 |IS-L15| 0.141 | 149.5 
240 | 8.9 | 2.52 | 40 28 34.6 | 5.64 | --0.0034 | —0.117 | 267 316 | 0.3 0.6 
5.46 | +0.0014 | —0.127 |271 82|0.7 0.7 
| — 0.0003 | — 0.141 |274 11|0.4 0.7 | 
| +0.0013 | —0.129 1153 19:01] 0.122 .173.8 1) 
241 | 8.7 | 2.64 | 43 46 54.7 | 5.06 | —0.0018 +0.003 269 210 | 0.7 0.9 | 
| 5.04 | —0.0020 | —0.024 | 272 116 | 0.8 0.8 
—0.0006 | —0.014 | 276 16 0.7 0.9 
| | — 0.0015 | —0.011 | 2.2 2.6| 0.018 | 264 
| 242 | 9.0 5.93 | 39 48 47.6 | 4.96 | —0.0063 | — 0.024 | 267 322 | 0.3 0.7 
| | —0.0044 | — 0.073 | 274 17| 0.5 0.8 
| | | — 0.0051 | —0.050 | | 0.8 1.5| 0.073 | 236.1 
| 243. | 9.2 19.21 | 39 58 15.4 | 5.34 | +0.0030 | —0.030 | 267 330 | 0.2 0.5 
| 5.10 | +0.0019 | —0.021 |271 83) 0.3 0.2 
--0.0013 | —0.071 |274 27| 0.8 1.0 
| | | +0.0017 | — 0.053 1.3 2. 0047| 259 M 
| 244 | 8.1 20.07 | 44 17 46.2 | 5.49 | +0.0029 | +0.013 | 269 215 | 0.5 0.8 | 
| 5.41 | +0.0071 | —0.016 | 273 102 | 0.9 0.9 | 
+0.0076 | +0.008 |276  11|0.9 1.0 
+ 0.0064 | -- 0.001 2.8 2.7| 0.068 | 81.5 
245 | 7.6 45.17 | 46 38 47.2 | 4.93 | —0.0037 | —0.044 | 270 242 0.3 0.3 
| — 0.0027 | —0.020 | 277 33 0.6 0.6 
— 0.0030 | — 0.028 0.9 0.9| 0.038 | 240 
246 | 10.3 58.10 | 41 25 15.8 | 5.64 | +0.0004 | —0.003 |271 91 0.7 0.7 | 
| 5.60 | +0.0031 | —0.003 | 275 45| 0.7 0.8 | 
--0.0018 | — 0.003 |1.4 L5| 0.019 | 72 
247 | 94 26 2.54 | 4617 411 | 4.93 | —0.0032 | —0.091 | 270 255 | 0.2 0.4 | 
| — 0.0029 | —0.084 |277 36 0.9 0.9 
| — 0.0030 | — 0.086 |1.1 1.3] 0.084 | 203.8 
248 | 9.7 7.69 | 44 7 2.1 | 5.51| +0.0046 | — 0.074 | 273 122 | 0.8 0.6 | 
| 5.44 | +0.0037 | —0.075 | 276 30|1.1 1.1 | 
+ 0.0041 | — 0.075 |1.9:1.7| 0.078 | 147.5 
| 249 | 8.6 23.25 | 40 23 20.6 | 5.54 | +0.0029 | +0.000 | 271 104 | 0.7 0.7 | 
+0.0006 | —0.021 |274 44|1.0 1.0 
+ 0.0015 | —0.012 (1.7 1.71 0.016 | 101 
| | 
Zu, = — 05,0002; 4 us = + 0".009, 


80 RAGNAR FURUHJELM. 
: 5 a Ó E | Région sz . 
| Non Cr M Bod 1900.0 be im Hd No l'OS A Has 
| hr am s DU | E " | m o 
| 250 | 8.6 | 626 35.75 | 40 56. 9.3 | 5.73 | --0.0032 | —0.042 | 271 101 | 0.7 0.7 
| 5.78 | —0.0009 | —0.048 274 53| 0.5 0.4 
m | 4-0.0015 | — 0.044 | |12 11| 0.038 | 158 
| 251 | 8.6 44.36 | 4311 2.2 | 5.09 | +0.0001 | —0.026 | 272 157 | 0.8 0.8 
| +0.0013 | —0.024 | 276 38) 0.8 0.8 
| --0.0007 | — 0.025 | | 1.6 1.6| 0.017 | 159 
|252 |10.3 27 3.97 | 39 56 33.0 | 4.96 | +0.0013 | —0.041 274 79| 1.0 1.0| 0.035 | 158 
| 253 | 10.8 7.91 | 40 11 55.8 | 4.96 | —0.0028 | — 0.011 274 16, 1.0 1.0| 0.035 | 267 
| 254 | 9.3 15.06 | 4133 2.8 | 5.54 | —0.0004 | —0.065 | 271 120 | 0.7 0.7 
| | +0.0003 | —0.071 | 275 76 | 1.0 1.0 
| | | +0.0000 | —0.069 | | 1.7 1.7| 0.060 | 181.9 
255 | 11.0 | 23.07 | 42 45 12.1 | 5.08 | --0.0001 | —0.003 | 272 183 | 0.8 0.8 
| | —0.0041 | +0.035 | 275 85| 0.9 0.8 
| — 0.0021 | + 0.016 1.7 1.6| 0.035 | 315 
256 | 7.4 27.35 | 43 831.6 | 5.09 | —0.0019 | —0.057 | 272 179 | 0.8 0.8 | 
| +0.0015 | — 0.051 | 276 48 | 0.8 0.8 
| — 0.0002 | — 0.054 11.6 1.6 | 0.045 | 185 
257 | 8.8 28.39 | 44 5 18.3 | 5.44 | —0.0005 | — 0.022 | 273 142 | 0.6 0.4 
| 5.29 | —0.0002 | —0.031 | 276 46 | 1.1 1.1 
| -0.0003 | — 0.029 1.7 1.5| 0.021 | 197 
258 | 9.4 30.15 | 41 34 28.4 | 5.54 | +0.0043 | +0.056 | 271 119 | 0.7 0.7 
+0.0034 | --0.052 | 275 98 1.0 1.0 | 
| +9.0038 | + 0.054 17 17| 0.075 | (854 
259 | 8.8 54.12 | 42 17 36.5 | 5.07 | —0.0022 | —0.025 | 272 199 | 0.8 0.7 
| | | 5.06 | +0.0011 | —0.002 | 275 107 | 1.0 1.0 
| | | | — 0.0004 | — 0.011 1.8 1.7| 0.006 | 252 
260 | 10.2 58.44 | 39 44 55.4 | 4.96 | + 0.0016 | + 0.000 |214 100 | 1.0 1.0| 0.018 | 61 
261  9.8| 28 3.78 | 44 43 51.1 | 5.55 | —0.0044 | —0.193 | 273 150 | 0.9 0.9 
—0:0074 | —0.168 | 276 51 L1 1:1 
| — 0.0060 | —0.180 | 2.0 2.0| 0.184 | 201.4 
262 9.0 8.22 | 42 7 15.9 | 5.05 | —0.0019 | —0.048 | 272 200 | 0.6 0.4 
| | 5.03 | —0.0004 | —0.047 |275 108 | 1.0 1.0 
| — 0.0010 | — 0.047 1.6 1.4| 0.040 | 199 
263 | 10.6 25.50 | 42 2 58.4 | 4.96 | —0.0111 | —0.004 272 — | 0.4 0.3 
| | | — 0.0055 | +0.034 | 275 122 | 1.0 1.0 
| | — 0.0071 | 4- 0.025 | 14 1.3| 0.088 | 292.8 
264 | 9.7 31.02 | 41 33 39.9 | 5.50 | +0.0007 | —0.085 | 271 140 | 0.6 0.7 
| 5.54 | +0.0032 | —0.082 | 275 124 | 1.0 1.0 
| +0.0023 | — 0.083 1.6 1.7| 0.078 | 162.0 
265 | 10.4 37.70 | 4528 5.7 | 5.53 | —0.0003 | +0.002 | 273 156 | 0.9 0.9 
| | — 0.0015 | 4-0.019 277 90 10.9 0.9 
| | — 0.0009 | 4-0.010 | 1.3 18.\ 0.022. 398 
266 | 10.2 | 39.45 | 45 20 12.5 | 5.53 | --0.0027 | —0.021 | 273 157 | 0.9 0.9 
| | | +0.0039 | —0.020 | 277 93| 0.9 0.9 
| | + 0.0033 | — 0.020 | | 1.8 1.8| 0.035 | 108 
| 267 | 8.6 43.42 | 4321 2.8 | 5.07 | +0.0021 | —0.093 | 272 209 | 0.8 0.8 
| +0.0050 | —0.088 |276 73 1.1 1.1 
| +0.0038 | — 0.090 | 1.9 1.9| 0.090 | 153.7 
| 
| | 
| | 
À us = — 05,0002; 4 us = + 07.009. 


Tom. L. 


nm 


un 


ELLO rn 0. . on ELS. 


Recherches sur les mouvements propres dans la 


zone de 


^ a Ó | 2 
N:0 | Gr.) 49000 1900.0  48904| — "^ 
h m 8 » " | S 
268 | 8.9.6 29 14.34 | 41 55 7.9 | 5.08 | — 0.0005 
| | -- 0.0005 
| —0.0000 
| + 0.0003 
269 | 11 3011.2 | 394040 | 4.96 | +0.0029 
2703. 8A 12.55 | 42 32 19.8 | 5.38 | — 0.0053 
— 0.0009 
: 0.0019 
— 0.0014 
271 | 9.4 31.18 | 40 17 30.8 | 4.37 | + 0.0024 
| 4- 0.0037 
| | +0.0028 
27122 210.7 40.47 | 41 5 34.1 | 4.07 | +0.0013 
| | 3.91 | +0.0016 
| + 0.0014 
273 8:9 42.71 | 41 21 56.2 | 4.17 | —0.0021 
| 4.12 | — 0.0017 
| — 0.0019 
274 | 9.0 46.39 | 40 50 43.3 | 4.12 | -- 0.0051 
3.97 | +0.0041 
| +0.0046 
2750) 1133 54.52 | 45 27 53.2 | 4.93 | +0.0061 
276 | 9.6 | 56.86 | 41 25 16.7 | 4.17 | —0.0008 
| 4.12 | +0.0011 
+ 0.0000 
| 277 | &8| 31:0.03 | 39 52 11.2 | 4.96 | + 0.0014 
CHIENS) 10.72 | 42 6 30.4 | 5.33 | +0.0013 
| 5.28 | —0.0015 | 
| | --0.0004 | 
279 | 10.4 | 21.54 | 43 24 17.9 | 5.52 | —0.0005 | 
| | — 0.0003 
| — 0.0004 
280 | 9.9 | 24.75 | 46 42 15.8 | 4.93 | + 0.0019 
| 281 | 9.9 29.28 | 39 49 59.3 | 4.96 | + 0.0038 
282. |. 4.9. 36.92 | 40 25 42.8 | 4.07 | -- 0.0015 | 
| | -4- 0.0020 
No. | 4- 0.0018 
283 | 7.4 43.84 | 39 28 45.9 | 4.96 | — 0.0001 
284 | 9.7 45 17 | 45 59 13.2 | 5.27 | + 0.0040 
| | 5.13 | +0.0038 
| | +0.0040 
| 285 | 57 51.37 | 39 59 19.6 | 4.55 | -- 0.0004 
| | | 4.66 | +0.0018 | 
| | 1.0.0007 
286 | 8.7| 32 1.26 | 44 35 21.3 5.55 | —0.0026 
| | — 0.0048 
| | | — 0.0035 
| 287 | 6.4 11.49 | 42 34 37.6 | 5.52 | -- 0.0018 
| | — 0.0020 
| 3825, zone) | — 0.0001 
| 
A 


| Région 


Ma N:o 


| —0.073 
| —0.059 
70.061 
— 0.061 
| —0.058 
— 0.024 | 
—0.004 | 275 173 
— 0.047 |279 16 
— 0.023 
| — 0.049 274 168 
| —0.047 |278 21 
| — 0.048 | 
0498 
| 0.137 
| — 0.133 
| — 0.036 
| —0.074 
| — 0.054 
| +0.001 
+0.002 | 
+ 0.002 | 
— 0.016 | 277 139 
| +0.019 | 275 199 
| — 0.018 278 26 
| +0.001 | 


271 147 
275 144 
278 2 


274 


275 193 
278 29 


275 192 
278 27 


274 163 


| — 0.033 | 274 177 
| —0.010 | 275 197 
— 0.026 | 279 33 
— 0.015 
+ 0.011 
— 0.037 
— 0.012 
— 0.027 
— 0.198 | 
—0.221 
— 0.244 
— 0.232 
— 0.118 
— 0.079 
— 0.114 
— 0.085 
+ 0.003 
— 0.036 
— 0.004 
— 0.069 


276 115 
279 36 


277 147 
274 194 
274 187 
278 47 


274 207 
277 156 
280 34 


274 204 


|276 125 


— 0.090 | 280 41} 


I — 0:077. 
| — 0.080 
| — 0.088 
| — 0.084 


275 219 
279 50 


— 05,0001; 4 us = + 0”,009, 


272 239 | 


278 30 


[278 51| 


Helsingfors. 


Poids 


= 
S 


0.059 


0.022 


0.049 


0.125 


| 1.3 0.009 
| 1.1 


| 1. 0.078 
| 1.0 
| 1.0 
| 2.0 


2. 0.075 


0.052 | 


81 


M(abs)| P | 


177.8 
146.9 


142 


173.6 


207.1 


77.6 
96.4 


349 
148 


153 


239 
133 


167.5 | 


175.1 | 


181.6 


1522 


58 


209.8 


181.5 


À Ua = 


— 05,0001; Aus = + 07,009. 


82 RAGNAR FURUHTELM. 
| Ir sic. P d E Région | 
N:o | Gr. |: 4009.6 1990.0  48904| — "^ ua | = Poids | (abs) | P | 
288 | 10.4 | 6 32 19.57 | 41 43 1.8 | 4.12 —0.0019 | +0.015 | 275 243 | 1.0 1.0 
| —0.0014 | +0.003 278 60 0.9 0.9 
— 0.0017 | + 0.009 | 14:9. 1:9 1007027 | 312 
289 | 10.6 | 20.13 | 43 28 56.6 | 5.52 | -- 0.0045 | —0.056 | 276 2/59! ha lea Kaa fa 
+0.0005 | — 0.053 | 279 55 | 1.0 1.0 
+0.0026 | — 0.055 | | 2.1. 2:1 | 0.054”) 148.7 | 
290 11 28.6 | 421313. | 5.49 | +0.0007 | —0.059 275 — | 1.0 1.0 
5.46 | +0.0052 | —0.027 |279 — | 0.9 0.8 
+ 0.0028 | —0.045 | 1.9 1.8| 0.048 | 139 
291 9.17 38.00 | 46 10 34.1 | 4.93 | +0.0012 | — 0.001 | 277 177 | 0.9 0.9 | 0.014 54 
292 | 10.8 | 41.56 | 40 0 21.2 | 4.96 | —0.0036 | —0.009 | 274 228 | 1021.01 902022 270 
| 293 7.4) 42.74 | 44 6 7.3 | 5.48 | +0.0010 | +0.007 | 276 137 | 1.1 1.1 
| 5.35 | —0.0005 | —0.026 280 67 | 0.6 0.4 
| +0.0005 | — 0.002 | | 1.7 1.5 | 0.008 30 
294 8.9 | 50.19 | 41 22 1.8 | 4.07 | —0.0006 | +0.008 | 275 250 | 1.0 1.0 
—0.0008 | — 0.021 |278 73 | 1.0 1.0 
— 0.0007 | — 0.006 | 2.0 2.01 0.009 | 288 
295 9.2 | 54.35 | 39 19 57.1 | 4.96 | --0.0031 | — 0.032 | 274 232 | 1.0 0.9| 0.042 128 
296 9.9 58.17 | 40 49 10.1 | 3.97 | —0.0035 | —0.098 | 274 221 | 0.8 0.7 
| 3.91 | —0.0043 | —0.104 | 278 76 | 1.0 1.0 
| — 0.0039 | — 0.102 | 1.8 1.7 | 0.103 | 205.8 
297 | dites 33069-83948 107 4.96 | —0.0026 | —0.040| 24 — |1.0 1.0| 0.044 | 225 
298 6.4 19.58 | 41 3 33.3 | 3.77 | —0.0037 | —0.009 | 275 262 | 0.5 0.4 
| | 3.69 | —0.0031 | —0.029 278 84 1.0 1.0 | 
| | | — 0.0083 —0.023 1.5 1.4| 0.041 | 250 
| 999 8.8 | 19.62 | 42 30 31.1 | 5.52 | —0.0034 | —0.042 | 275 255 | 1.0 1.0 | 
| | —0.0059 | —0.047 279 17 1.0 1.0 | 
| | | — 0.0046 | — 0.044 | 2.0 2.0| 0.064 | 236.6 | 
| 300 10.4 29.81 | 45 26 49.4 | 5.53 | —0.0019 | — 0.026 | 277 206 | 0.9 0.9 | | 
| 4-0.0006 | — 0.019 | 280 7010.7 0.7 | 
| — 0.0008 | — 0.023 | 0769226, | 0.0178 2216, 
301 8.7 | 42.61 | 42 833.0 | 5.49 | +0.0047 | —0.105 | 275 268 | 1.0 1.0 
5.46 | +0.0012 | —0.098 | 279 89| 0.9 0.8 
+ 0.0030 | — 0.102 | 1.9 1.8| 0.099 | 159.9 
| 302 15: 44.15 | 40 15 30.0 | 4.07 | —0.0022 | +0.023 | 274 245 | 1.0 1.0 
| | —0.00347 | —0.022 | 278 981.0 1.0 | 
| — 0.0080 | -- 0.000 12.0 2.0| .0.036 | 284 
303 8.8 49.55 | 4012 6.8 | 4.07 | —0.0027 | —0.072 |2/14 246 | 1.0 1.0 | 
| 4.12 | —0.0025 | —0.103 | 278 99|1.0 0.9 | 
| | — 0.0026 | — 0.087 | 2.0 1.9| 0.084 | 201.7 
304 9.4 49.60 | 46 27 25.7 | 5.15 | +0.0053 | —0.047 | 277 195 | 0.9 0.9 | 
| +0.0021 | —0.028 |284 2|0.2 0.2 | 
| +0.0047 | — 0.044 | JATOTAD | 10:061 | 12520 
305 10.5 34 10.64 | 4146 38.9 | 4.07 | —0.0035 | —0.142 | 275 279 | 1.0 1.0 
—0.0054 | —0.146 | 278 101 | 1.0 1.0 
— 0.0044 | — 0.144 | 2.0 2.0| 0.144 | 200.7 
306 9.7 12.41 42 42 37.5 | 5.58 | +0.0029 | —0.005 | 275 274 | 0.6 0.6 
— 0.0025 | —0.018 279 94|1.0 1.0 
-- 0.0014 | — 0.015 | 282 21 0.2 0.2 
— 0.00038 | — 0.013 1.8 1.81 0.006 | 225 
| | 


Tom. L. 


| 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 83 
: (2 d HE ion 2n 
No] Sonden dog 1900.0 18904] Me P3 po Poids |# (abs) | P 
heme CS Mn: ES | " | " | 
307 10.9 6 34 20.00 | 42 7 6.5 | 5.46 | —0.0067 | —0.048 | 275 277 0.9 1.0 | 
| | 5.35 | —0.0072 | —0.062 279 99 0.9 0.7 
| | —0.0119 | —0.046 282 4 0.2 0.3 | 
| | — 0.0074 | —0.053 | 2.0 2.0| 0.094 | 242.1 
| 308 10.0 26.38 | 39 55 41.1 | 4.96 | —0.0003 | --0.026 274 261 0.8 1.0 
| | | —0.0045 | — 0.044 | 281 60.2 0.3 
| —0.0011 | +0.010 | 1.0 1.8| 0.094 | 324 
309 10.0. 32.56 | 41 45 9.4 | 4.11 | —0.0001 | —0.035 | 275 289 0.8 0.9 | 
| | | 4.28 | —0.0011 | — 0.057 | 278 100 1.0 1.0 
+0.0011 | — 0.071 282 5 0.3 0.7 
| | — 0.0004 | — 0.053 | 2.1 2.6| 0.044 | 187.8 
310 | 10.8 | 53.91 | 39 53 48.4 | 4.96 | +0.0010 | +0.025 | 274 272 | 0.5 0.8| 0.035 | 16 
311 | 9.6. 55.31 | 41 46 30.4 | 4.11 | +0.0039 | +0.036 275 288 0.6 0.8 | 
| 4.28 | —0.0001 | —0.005 278112 1.0 1.0 | | 
| | +0.0017 | —0.020 282 16 0.5 0.8 | | 
| | +0.0015 | +0.003 2.1 2.6| 0.019 | 51 
312 | 9.3 57.14 | 4417 44.2 | 5.82 | —0.0022 | —0.027 | 276 163 | 0.8 0.9 | 
| | 5.81 | +0.0005 | —0.036 280 95 0.7 0.7 
| +0.0037 | —0.036 283 13 0.5 0.6 | 
| +0.0002 | — 0.032 2.0 2.2| 0.023 | 178 
313 8.8 3517.52 | 46 52 35.3 | 5.68 | --0.0078 | +0.007 | 277 225 0.3 0.3 | 
| | | | --0.0070 | +0.026 284 12 0.4 0.4 | 
Bu. --0.0073 | +0.018 | 0.7 0.7| 0.079 | 69.3 
| 314 | 9.7 37.11 4346 8.7 | 6.05 | +0.0015 | 4-0.000 276 178 0.3 0.7 
5.88 | --0.0056 | +0.019 279121 1.0 0.9 
+0.0048 +0.005 283 19 0.6 0.7 
--0.0047 | + 0.027 | 1.9 2.3| 0.002 | 53.5 
315 | 8.9 39.79 |:39 43 58.9 | 4.96 | +0.0027 | —0.013 281 36 0.8 1.0| 0.030 | 96 
| 816 | 7.2 40.86 | 38 59 22.6 | 4.96 | --0.0032 | —0.161 281 29 0.2 0.2| 0.155 | 166.2 
| 317 | 9.4. 43.55 | 45 6 54.2 | 6.01 | +0.0008 | —0.042 | 277 253 | 0.2 0.2 
| +0.0032 | —0.079 | 280 112 | 0.7 0.7 
| +0.0072 | —0.081 284 26 0.4 0.4 | 
| --0.0041 | —0.074 | 13 L3! 0.077 | 146.7 | 
318 | 6.7 48.44 | 44 37 14.8 | 6.06 | —0.0061 | —0.035 | 276 177 | 0.2 0.3 | 
| | | — 0.0050 | —0.027 280 118 | 0.7 0.7 | 
| +0.0012 | — 0.074 283 22 0.5 0.5 | 
| — 0.0029 | — 0.044 1.4 1.5| 0.047 | 224 
| 819 | 10.8 51.70 | 39 22 11.8 | 4.96 | — 0.0007 | —0.022 281 40 0.6 0.7 | 0.015 | 217 
320 | 81 55.60 | 40 12 17.4 | 4.02 | —0.0013 | —0.066 278144 1.0 0.9 
| | 4.12 | +0.0014 | —0.019 281 31 0.9 1.0 | 
| | — 0.0000 | —0.041 1.9 1.9| 0.031 | 182 
321 | 9.4| 3612.26 | 46 51 59.0 | 6.25 | +0.0007 | —0.023 284 27 0.5 0.5| 0.014 | 155 | 
322. 9.9 | 13.43 | 39 26 41.5 | 4.96 | + 0.0003 | — 0.088 281 50 0.8 0.9| 0.078 | 177.8 
393 | 8.2 21.27 | 4431 5.5 | 6.19 | +0.0052 | —0.069 280 130 | 0.7 0.7 | 
| | --0.0091 | —0.076 283 29 0.7 0.7 | 
| | | +0.0072 | —0.072 1.4 1.4| 0.097 | 129.6 
324 | 8.4| 26.69 |40 330.3 | 4.17 | +0.0046 | —0.061 278156 0.8 0.5 
| 4.37 | +0.0046 | —0.039 |281 47 1.0 1.0 
| + 0.0046 | —0.046 1.8 1.5| 0.062 125.2 
325 105 37.60 | 39 52 8.7 | 4.96 | —0.0023 | — 0.019 281 60 1.0 1.0| 0.029 | 252 
| 326| 8:7 | 39.17 | 46 416.9 | 6.25 | +0.0007 | —0.019 284 33 0.9 0.9| 0.011 | 146 
4 Ua = — 05,0001; 4 us = + 07.009; 313—326: + 0.010. 


84 


INFON Gr. | 


| 328 


| 329 
330 


331 
332 


333 


334 


| 335 | 


336 | 


| 337 
338 


339 
340 


341 
342 


348 
344 
345 
346 
347 


RAGNAR FURUHJELM. 


10.2 


8.8 


9 


Jut 


8.8 


[04 | Ó | 
1900.0 | 


1900.0 


I 
S o / " | 


6 36 46.31 40 016.3 | 4.29 
| | 4.55 


49.58 | 45 56 40.2 | 6.20 


50.25 4024 81 
53.71 | 4114 11.3 


2.08 | 39 45 33.0 
11.17 


17.29 | 40 43 34.8 


17.85 | 42 27 16.2 | 


1890+ 


43 41 47.1 | 6.16 


24.14 | 43 24 51.9 


27.3 | 42 21 30 


Ua us 


| 
" 


— 0.0004 | —0.064 
+0.0013 | —0.074 
--0.0007 | —0.072 
--0.0035 | —0.141 
--0.0032 | — 0.032 
+ 0.0033 | — 0.059 
— 0.0023 | — 0.019 
--0.0022 | — 0.016 


— 0.0000 | —0.018 
— 0.0028 | — 0.008 
— 0.0006 | — 0.006 
— 0.0018 | — 0.007 


--0.0012 | —0.027 
— 0.0019 | — 0.105 


— 0.0030 | — 0.102 
0.0024 | —0.104 
— 0.0010 | — 0.186 


| 
— 0.0003 | —0.155 
| 


— 0.0007 | —0.172 
— 0.0001 | —0.001 
+0.0020 | —0.014 
--0.0010 | — 0.008 
--0.0034 | —0.019 
--0.0024 | —0.026 


--0.0030 | —0.022 | 
|279 — 


+0.0025 | —0.047 


Région | 


N:o 


278 169 
281 59 


280 124 
284 34 


278 165 
281 55 


278 159 
282 53 


281 77 


279 146 | 


285 36 


218 116 
281 73 


219 168 1 


282 60 


279 161 


283 46 | 0. 
1 


Poids 


0.3 
1.0 
1.3 
0.3 
0.9 
1.2 
1.0 
1.0 
2.0 
1.0 
0.8 
1.8 
1.0 
1.0 
0.7 
Bik 
1.0 
0.8 
1.8 
1.0 
1.0 
2.0 
1.0 


+0.0033 | —0.084 282 — 1.0 
--0.0029 | — 0.066 | | 2.0 2.0 
34.55 | 42 30 9.6 --0.0005 | —0.047 | 279 166 1.0 
| --0.0031 | —0.063 |282 58 1.0 
| --0.0018 | —0.055 | 2.0 
38 12.15 | 44 20 24.4 +0.0129 | —0.200 280 155 0.6 0.6 
| +0.0180 | —0.222 283 56 0.7 
| +0.0156 | —0.212 1.3 
14.56 | 39 28 23.0 | 4.96 | +0.0011 | — 0.161 281 103 1.0 
24.53 | 42 53 50.2 | 5.55 | — 0.0009 | — 0.121 | 279 180 1.0 
| | 5.62 | — 0.0031 | —0.134 282 76 0.7 
| | —0.0019 | 0.126 | 1.7 
25.36 | 46 34 16.1 | 6.25 | +0.0032 | —0.026 284 55 0.9 
34.38 | 45 52 15.8 --0.0012 | —0.035 | 280 158 0.3 
| +0.0028 | 0.095 284 71 0.9 
+ 0.0023 | — 0.080 1.2 
42.4 |3919 5 — 0.0034 | — 0.016 281 — 1.0 
47.18 40 6 33.9 —0.0053 | —0.055 | 281 123 1.0 
39 0.95 4447 41) — 0.0123 | — 0.089 | 280 172 0.7 
1.04 | 39 23 57.0 | 4.96 | —0.0022 | —0.029 | 281 125 1.0 
24.55 | 44 28 39.7 | 6.21 | —0.0014 | —0.020 | 280 177 0.6 
+0.0046 | —0.037 283 68 0.7 
—0.0012 | —0.018 287 7 0.4 
| | -- 0.0016 | —0.027 1.7 

| 

I I 
Jus = — 05,0001; 345—347: + 05.0000; I us = + 0".010. 


I^. (abs.) 


0.062 


0.059 


0.008 


0.021 
0.021 


0.098 


0.162 


0.009 


0.034 


0.064 


0.049 


0.262 
0.151 


0.118 
0.035 


0.074 
0.040 
0.076 
0.153 
0.033 


0.023 


146.0 


187 


278 
145 


196.0 


183.2 


WR 


111 


151.0 


157 


140.4 
175.8 


190.7 
117 


161.8 
261 
233.6 
238.9 
235 


137 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 85 


| c | Ó E | | Région ^ 
N:o | Gr. 1900.0 | 4900.0  4890L Ma Me N:o Poids |# (abs.) | P 
| | h m s I Toce | s # | 
| 348 | 5.6 | 6 39 32.00 | 43 40 36.9 | 6.17 | +0.0021 | +0.193 279 204 0.5 0.6 
+0.0032 | +0.146 283 79 0.7 0.7 
| +0.0002 | +0.118 286 4 0.3 0.3 
| | | +0.0022 | +0.158 | 15 L6| 0170| 7.8 
349 10.8. 37.35 | 42 36 45.3 5.42 | —0.0020 | —0.048 | 279 209 0.7 0.9 
| 5.49 | —0.0026 | — 0.086 | 282 111 1.0 1.0 
| —0.0066 | —0.086 286 — 0.3 0.6 | 
| — 0.0030 | — 0.072 2.0 2.5| 0.071 | 208.7 
350  9.3| 37.39 | 45 28 53.5 6.21 | —0.0009 | --0.022 | 280 174 | 0.5 0.6 | 
| | +0.0027 | +0.030 | 284 87 0.9 0.9 
| | —0.0064 | +0.020 287 40.3 0.5 | 
| — 0.0000 | 40.025 17 2.0| 0.085 | 358 
3Bl | 9.7 38.48 | 42 26 53.4 | 5.49 | —0.0031 | —0.029 | 279 210 | 0.6 0.7 | 
| 5.55 | 0.0008 | —0.069 | 282 112. 1.0 1.0 
—0.0009 | —0.064 |286 7 0.3 0.4 | 
| | — 0.0015 | — 0.055 19 2.1| 0.048 | 202 
352 | 86| 39.22 | 4612 55.4 | 6.25 | +0.0028 | — 0.033 |284 84 0.9 0.9| 0.036 | 129 
353 10.0 41.78 | 41 53 33.4 | 4.37 | 10.0020 | —0.022 | 278 208 0.3 0.3 | 


4-0.0035 | — 0.040 282 116 | 1.0 1.0 
+0.0002 | —0.038 285 710.3 0.3 
| +0.0026 | — 0.036 1.6 1.6\ 0:038 | 133 
354 10.1 42.60 | 41 26 40.8 4.17 | — 0.0038 | —0.037 | 278 211 0.5 0.8 
| | 8.92 | +0.0005 | +0.010 | 282 119 | 1.0 1.0 
| —0.0000 | —0.031 285 11| 0.4 0.7 


| | — 0.0007 | —0.017 | 1.9 2.5| 0.011 | 232 
355 | 9.7 57.03 | 44 47 11.0 | 6.21 | —0.0045 | +0.026 | 280 181 | 0.5 0.6 
| | | | --0.0008 | —0.001 283 75, 0.7 0.7 
| | —0.0031 | +0.037 287 10| 0.5 0.6| | 
= | — 0.0019 | + 0.020 | 1.7 1.9| 0.037 | 324 
356 | 10.6 | 57.67 | 43 21 18.9 | 6.08 | —0.0024 | —0.034 | 279 207 | 0.5 0.8 
| | +0.0029 | —0.071 | 283 — 10.7 0.7 
| | — 0.0020 | —0.078 | 286 14, 0.5 0.8 
| | | — 0.0001 | — 0.061 | 1.7 2.3| 0.051 | 182.2 
357 | 10.9 40 3.83 | 39 28 10.3 | 4.96 | —0.0005 | —0.029 | 281 155 | 1:0-1:0 | 0:020-| 198 
| 358 | 10.9 | 14.22 | 40 32 8.7 | 4.96 | +0.0008 | +0.019 278 — | 0.2 0.5 
+0.0035 | 0.042 | 281 146 | 1.0 1.0 
— 0.0002 | +0.066 | 285 — | 0.6 0.9 | 
4-0.0020 | + 0.046 | 1.8 2.4| 0.060 | 21.4 
359 | 10.0 14:89 | 44 14 47.7 | 6.23 | —0.0111 | —0.151 | 280 188 | 0.2 0.2 | 
| — 0.0013 | —0.164 | 283 86 | 0.7 0.7 
| — 0.0016 | —0.118 | 287 12, 0.3 0.3 | 
—0.0030 | — 0.150 1.2 1.2| 0.144 | 193.3 
360 | 10.4 | 15.62 | 40 7 34.0 | 4.55 | —0.0075 | —0.230 278 — 0.2 0.2 | 


| | —0.0055 | —0.180 | 281 151 | 1.0 1.0 

| | —0.0025 | —0.126 285 27] 0.4 0.4 
| | — 0.0050 | —0.173 1.6 1.6| 0.173 199.6 
| 361 | 10.4 47.02 | 44 23 14.3 | 6.25 | 4-0.0029 | —0.052 283 99| 0.7 | 

| | | +0.0029 | —0.052 287 20 0.6 

| | | --0.0029 | —0.052 13 L3| 0.002 144.5 
362 9.3, 41 3.60 46 710.0 | 6.25 | —0.0006 —0.034 284 99 0.9 0.9| 0.025 | 196 
| | | | 
4 Ua = + 050000; 4 us = + 0".010. 


N:o 7. 


86 RAGNAR FURUHJELM. 
N:o | Gr " dan | = | Région | poids |, P 
0 * | 1900.0 1900.0  48904| — "^ PS | No ale (abs) 
| HMS Qu DA | s “ | iz © 
| 363 | 106] 641 651 14119 74 | 4.07 | —0.0013 | +0.013 | 282 156 | 1.0 1.0 
| | | —0.0013 | +0.005 285 48 1.2 1.2 | 
| | | — 0.0013 | 40.009 2.2 2.2| 0.024 | 324 
| 364 | 10.2 27.74 | 45 54 34.6 | 6.25 | +0.0011 | —0.012 | 284 107 | 0.9 0.9 
| --0.0022 | —0.042 | 287 — | 0.4 0.3 
| | + 0.0014 | — 0.020 13 1.2| 0.018 | 124 
365 | 10.2 27.74 42 352.9 5.33 | —0.0011 | —0.076 | 282178 1.0 1.0 
| | | 5.28 | —0.0031 | — 0.091 | 286 32 | 0.5 0.4 
| | —0.0018 | — 0.080 (15 14| 0.078 | 195.9 
366 | 10.6 32.36 | 45 16 57.5 | 6.25 | +0.0071 | —0.058 | 284 111 | 0.9 0.9 
| | +0.0059 | —0.061 287 25 0.7 0.7 
| + 0.0066 | — 0.059 1.6 1.6| 0.085 | 125.4 
367 9.8 36.07 | 39 39 15.5 | 4.96 | +0.0034 | —0.027 | 281 199 | 1.0 1.0| 0.043 | 113 
368 | 10.4 36.99 | 46 14 30.5 | 6.25 | + 0.0027 | + 0.036 | 284 105 | 0.9 0.9| 0.054 | 31.3 
369 | 10.4 54.98 | 40 16 42.0 | 4.12 | +0.0010 | —0.078 | 281 207 | 1.0 1.0 
| 4.17 | +0.0006 | —0.093 |285 91 1.1 1.0 
| + 0.0008 | — 0.086 2.1.2.0| 0.077 | 173.2 
370 | 7.2| 42 8.78 | 43 52 15.8 | 6.18 | +0.0010 | —0.090 | 283 119 0.7 0.7 
— 0.0016 | —0.090 286 34 0.7 0.7 
| — 0.0003 | — 0.090 1.4 1.4| 0.080 182.9 
371 | 9.9 12.56 | 42 58 43.9 5.80 | —0.0027 | —0.040 | 282 204 0.6 0.3 | 
5.88 | --0.0011 | — 0.026 | 283 120 0.4 0.2 
— 0.0014 | — 0.041 | 286 36 1.0 1.0 
| | — 0.0013 | — 0.039 |2.0 1.5| 0.082 | 206 
372. 11.2 13.49 42 749.4 4.96 | +0.0027 | 0.000 282 218 | 1.0 1.0 
| --0.0068  +0.024 286 — | 0.7 0.7 | 
+0.0044 | 40.010 | | 1.7 1.7| 0.053 | 67.8 
Pers 3:6 29.34 40 52 16.5 | 3.91 | —0.0004 | —0.077 | 281 214 | 0.7 0.7 
| | | — 0.0020 | — 0.073 | 285 112 1.2 1.2 
| | — 0.0014 | —0 074 | | 1.9 1.9| 0.066 | 194.0 
374 | 9.2 | 29.61 43 41 2.0|6.16 | +0.0034 | —0.058 | 283 129 | 0.7 0.7 
| | | +0.0006 | —0.053 | 286 42 1.0 1.0 
| + 0.0018 | — 0.055 | 1.7 17| 0.049 | 1529 
| 375 | 8.6. 32.18 | 45 49 42.5 | 6.25 | —0.0000 | —0.103 | 284 122 0.9 0.9 | 
| —0.0018 | —0.117 287 34) 0.6 0.5 | 
| — 0.0007 | — 0.108 | 1.5 1.4| 0.098 | 184.7 | 
| 376 8.0 | 35.24 | 40 17 27.5 | 4.07 | --0.0070 | —0.132 | 281 219 | 1.0 1.0 
| | | | +0.0058 | —0.150 | 285 117 | 1.2 1.2 
| | +0.0063 | — 0.142 | 2.2 2.2| 0.150:| 151.4 
| 377 | 9.6 45.32 | 40 32 57.2 | 4.07 | +0.0003 | —0.029 281225 1.0 1.0 
| —0.0002 | —0.042 | 285 115 | 1.2 1.2 | 
| | +0.0000 | — 0.036 | 2.2 2.2| 0026 | 177.8 
| 378 | 9.6| 43 3.71 | 43 53 55.1 | 6.17 | --0.0012 | —0.002 | 283 136 0.7 0.7 | 
| 6.18 | —0.0005 | —0.021 286 47. 0.8 0.7 | 
+ 0.0003 | — 0.012 1.5 1.4| 0.004 | 124 
379 | 11 17.2 735 |412| +0.0087 | —0.050 2831 — | 1.0 1.0 
| | 4.28 | +0.0063 | —0.097 285 — | 1.1 0.9 
+ 0.0074 | — 0.072 | | 2.1 1.9| 0.105 | 126.1 | 
| | 
RE | | | 
I u, = + 05.0000; Aus — + 0.010. 
Ton. L. 


i wa vow 


GD————— 


ne PVE 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 


H 


Région 


| [14 
N:0 | Gr. | 1900.0 a 1890-4 Ma us N:o Poids | (abs.) | P 
| öh NA s | rs. a Ss | ” | " | 
380 | 10.7 | 6 43 20.09 | 43 12 38.2 | 6.08 | --0.0080 | —0.052 283 — | 0.5 0.5 
| --0.0044 | —0.031 286 68 1.0 1.0 
| | | +0.0056 | — 0.038 | 1.6 1.51 0.067 | 114.7 
381 9.2 20.57 | 43 45 39.3 | 6.16 | --0.0093 | —0.023 | 283 144 | 0.7 0.7 
| | +0 0092 | —0.029 | 286 63 | 1.0 1.0 
| | +0.0092 | — 0.027 | RT) 0.102 99.6 
382 | 6.2 41.80 | 41 53 57.4 | 4.17 | —0.0011 | — 0.133 | 282 255 | 1.0 1.0 | 
| | 4.23 | —0.0049 | — 0.161 | 285 141 | 1.0 0.9 
| | — 0.0030 | — 0.146 2.0 1.9] 0.140 | 194.0 
383 | 10.7 47.81 | 44 52 22.9 | 6.25 | --0.0035 | —0.036 | 287 59 0.7 0.7 | 0.045 | 125 
384 | 7.6 57.60 | 44 10 31 4 | 6.25 | +0.0049 | —0.066 | 283 147 | 0.7 0.7 
| --0.0027 | —0.032 | 287 61| 0.7 0.6 
4-0.0025 | —0.035 |290 110.2 0.2| : 
| + 0.0036 | — 0.048 1.6 1.5| 0.054 | 134.3 
385 | 8.6 59.05 | 41 43 53.4 | 4.07 | +0.0007 | —0.015 | 282 257 | 1.0 1.0 
| —0.0032 | — 0.044 | 285 142 | 1.2 1.2 | 
| | —0.0014 | —0.031 | 2.2 2.2| 0.026 | 217 
| 386 | 10.0 | 44 4.52 | 45 44 15.9 | 6.25 | —0.0014 | — 0.097 | 284 135 | 0.9 0.9 | 
| —0.0010 | — 0.122 | 287 63 0.7 0.7 
| — 0.0080 | —0.044 | 291 — | 0.2 0.4 
| — 0.0020 | — 0.095 | 1.8 2.0| 0.087 | 193.2 
| 387 | 9.9| 15.38 | 41 50 49.7 | 4.22 | --0.0003 | —0.014 |282 265 0.9 1.0 
| | | 4.36 | —0.0013 | —0.051 285148 | 1.2 1.0 
| +0.0015 | —0.003 289 1.0.2 0.2 
| — 0.0004 | — 0.030 | 2.3 2.2| 0.021 | 194 
388 | 10.0 22.24 | 43 48 18.9 | 6.16 | +0.0035 | +0.042 | 283 153 | 0.6 0.7 
| | | | 6.18 | +0.0044 | +0.031 286 84 1.0 0.8 
| | | | —0.0008 | +0.053 290 50.2 0.5 
| 4-0.0035 | +0.040 | 1.8 2.0| 0.063 37.2 
| 8894 8.2| 29.60 | 46 36 58.0 6.24 | —0.0026 | —0.021 | 284 139 | 0.7 0.7 
| | | --0.0007 | +0.005 291 5.0.3 0.4 
— 0.0016 | — 0.012 | 1.0 11| 0.016 | 263 
390 | 9.4 28.66 | 4325 4.1 | 6.16 | —0.0016  +0.009 | 283 154 | 0.5 0.6 
| 6.17 | +0.0006 +0.005 286 86 1.0 1.0 
—0.0031 | — 0.008 290 6 0.2 0.4 
| | — 0.0005 + 0.004 | 1.7 2.0| 0.015 | 340 
391 | 8.0 29.56 | 40 59 14.3 | 4.00 | +0.0043  —0.116 | 281 264 | 0.2 0.2 
| | | --0.0057 —0.090 | 282 280 | 0.2 0.2 
| | | +0.0028 —0.122 | 285 154 | 1.2 1.2 
| | | —0.0033 | — 0.124 288 1] 0.1 01 
| | +0.0021 —0.162 289 3 0.101 
| | +0.0029 — 0.120 1.8 1.8| 0.115 | 163.8 
392 | 9.4 34.98 | 41 33 19.7 | 3.91 | +0.0000 +0.005 | 282 275 0.7 0.8 
3.97 | —0.0021 | —0.017 | 285 166 | 1.2 1.2 
—0.0013 | — 0.008 | | 1.9 2.0| 0.015 | 278 
393 | 11 36.5 | 432551 |6.08| +0.0010 +0.035 286 — | 1.0 1.0| 0.046 14 
394 | 7.9 38.39 4347 9.9 | 6.16 | +0.0041 —0.065 | 283 159 0.6 0.7 
6.18 | +0.0008 —0.077 286 91 1.0 0.9 
+0.0030 — 0.054 290 9| 0.3 0.6 | 
--0.0022 —0.067 1.9 2.2| 0.061 158.0 | 
4 ua = + 05.0000; AI us = + 0”.010, 


88 RAGNAR FURUHJELM. 


| [^ | [) | Æ | | Région | : ; 
| Np rn) | 190089 lAggote| Mara |, Pgo No | Poids |w(abs) | I 
| lih mois re s c | U | 
395 | 7.8 6 44 48.14 | 41 41 26.7 | 4.25 | —0.0051 | +0.088 | 282 274 | 0.7 0.8 
4.58 | —0.0089 | +0.068 | 285 165 | 1.2 1.2 
— 0.0082 | +0.082 289 9| 0.3 0.6 | 
— 0.0076 | + 0.077 2.2 2:8| 0.122) 315.7 
| 396 | 10.0 52.16 | 43 38 51.6 | 6.16 | --0.0102 | —0.030 | 283 160 | 0.5 0.6 
| | 6.17 | +0.0107 | —0.034 286 92 1.0 1.0 
| | | | +0.0088 | —0.029 290 100.5 0.6 
| | | +0.0101 | — 0.032 |. 2.0 2.2| 0.112 | 101.3 | 
| 397 | 10:2 | 53.52 | 40 47 33.8 | 3.59 | +0.0081 | —0.006 | 281 273 | 0.3 0.3 
+-0.0065 | —0.061 | 285 171 | 1.2 1.2 
4-0.0068 | — 0.050 | 1.5 1.5| 0.087 | 117.5 | 
398 | 9.9 56.88 | 44 46 14.1 6.25 | —0.0116 | —0.072 | 283 155 | 0.3 0.3 
—0.0044 | —0.011 287 75|0.7 0.7 
| —0.0032 | +0.002 290 — | 0.4 0.4 
| — 0.0056 | — 0.020 | 1.4 1.4| 0.061 | 260.5 
| 399 | 8.1, 45 5.72 | 40 31 22.3 | 4.20 | —0.0008 | —0.031 | 281 275 | 0.3 0.5 
| 4.46 | —0.0026 | —0.052 | 285 183 | 1.2 1.2 
| | —0.0092 | —0.022 | 288 12| 0.3 0.5 
| | | —0.0034 | — 0.040 1.8 2.21 0.048 | 232 
| 400 | 10.7 13.79 | 42 43 20.2 | 6.08 | —0.0029 | —0.072 282 — | 0.3 0.3 
| | | —0.0041 | — 0.104 | 286 102 | 1.0 1.0 
— 0.0038 | — 0.097 | 1.3 L3| 0.097 | 205.8 
401 | 9.3 15.14 | 43 24 42.1 | 6.14 | +0.0009 | —0.054 | 283 164 | 0.3 0.4 
6.16 | —0.0001 | —0.046 286 101 1.0 1.0 
— 0.0005 | —0.056 290 13 0.5 0.6 | 
—0.0000 | —0.051 | |1.8 2.0| 0.041 | 181 
| 402 | 9.2 23.67 | 46 33 56.5 | 6.22 | —0.0071 | —0.049 | 284 144 | 0.4 0.5 
| | | | | 6.23 | +0.0017 | —0.013 291 8| 0.6 0.7 
| | | — 0.0018 | — 0.028 | 1.0 1.2| 0.025 | 225 
| 403 |11 | 35.4-|423022 | 5.89 | +0.0020 | —0.119 282 — | 0.2 0.3 
| | | | 5.82 | +0.0016 | —0.175 286 — | 1.0 1.0 
| | | 4-0.0017 | —0.162 | 1.2 4:3] 0.153 2299 
404 | 8.2 47.94 | 42 31 19.3 | 6.10 | +0.0014 | —0.048 | 286 112 | 1.0 1.0 
| | | | | — 0.0004 | —0.032 289 17 0.6 0.6 
| | --0.0007 | —0.042 | | 1.6 1.6| 0.083 | 166 
405 | 6.4 50.23 | 44 57 40.0 | 6.24 | —0.0012 | —0.088 287 84| 0.7 0.7 
| | +0.0018 | —0.061 290 17| 0.3 0.3 | 
—0.0032 | —0.074 291 16 | 0.2 0.2 
| | | — 0.0008 | —0.079 | | 1.2 1.2| 0.069 | 186.6 
406 | 10.8. 54.80 40 030.9 | 6.16 | +0.0037 | —0.063 285 — | 0.9 0.4 
— 0.0025 | —0.033 |288 290.7 0.7 | 
| | --0.0010 | — 0.044 (1.6 1.1| 0.036 | 162 
407 10.0. 46 7.34 3859 1.6 6.16 | +0.0001 +0.111 288 45 | 0.2 0.2| 0.122 0.9 
| 408 | 6.9 8.70 38 59 20.1 | 6.16 | —0.0036 | +0.033 288 44 0.2 0.2| 0.061 | 316.3 
409 | 10.8 | 19.93 46 0 9.6 6.21] —0.0027 | --0.006 291 18 0.9 0.91 0.033 | 301 
410 | 9.2| 30.88 | 40 31 33.2 | 4.67 | —0.0001 | —0.054 | 285 211 | 1.2 1.2 | 
| — 0.0031 | —0.006 288 47 0.7 0.7 
— 0.0012 | — 0.036 |19 1.9| 0.029 | 209 | 
411 | 10.6 44.70 | 39 31 12.0 6.16 | — 0.0023 | — 0.010 288 53 0.7 0.7| 0.026 | 270 
412 | 8.5 45.72 | 39 53 47.4 | 6.16 | —0.0056 | + 0.038 288 51 0.7 0.7 | 0.081 | 307.4 
| | 
| | I || 


4 ua = + 05,0000; I us = + 0.010; 407—412: + 0”.011. 
Tom. L. 


415 


418 


419 


420 


421 


422 


424 


425 


427 


423 


496 | 


Recherches sur les mouvements propres dans la 


[44 
1900.0 


b. m.s 


6 46 55.35 


47 10.10 


13.78 
17.74 
42.61 
46.85 


53.89 | 


56.82 


59.81 


42.85 | 


49 0.43 


1.55 


8.56 


26.15 | 


28.07 


| 40.14 3.1: 


d 
1900.0 
o DIR 


45 32 14.3 


41 052.8 


3921 9.3 
39 46 56.5 
39 30 40.0 
43 30 24.5 


45 57 10.7 


45 25 57.5 | 
45 46 16.7 | 


44 2 54| 


| 42 10 17.7 | 


40 25 16.6 


41 40 47.1 


43 39 34.6 


46 24 4.6 
42 31 21.6 


40 42 46.1 


I Ma 


a a | 7. | Le, | Nr | Pots [een] Pu Poids 
| 6.23 4.0.0011 | | —0.087 |287 97) 0.7 0.7 
+0.0012 | +0.001 291 20 0.9 0.9 
+ 0.0012 | — 0.016 1.6 1.6 
4.58 | +0.0058 | — 0.084 | 285 218 | 1.2 1.2 
| 4.17 | +0.0044 | —0.088 |288 54| 0.3 0.2 
| 4-0.0090 | — 0.127 | 289 32| 0.4 0.3 
| + 0.0063 | — 0.092 | 1.9 17 
6.16 | --0.0012 | +0.026 288 62 0.7 0.7 
6.16 | —0.0006 | —0.070 |288 60 | 0.7 0.7 
6.16 | --0.0003 | —0.000 |288 68 0.7 0.7 
| 6.14 | +0.0018 | —0.044 | 286 142 | 1.0 1.0 
| +0.0018 | —0.047 290 44 0.9 0.9 
+ 0.0018 | — 0.045 | 1.9 1.9 
| 6.23 | —0.0028 | —0.209 | 287 110 | 0.4 0.3 
6.22| —0.0034 | —0.072 |291 27|0.9 0.9 
— 0.0032 | — 0.106 | 1.3 1.2 
6.23 | +0.0008 | —0.039 | 287 114 | 0.7 0.7 
— 0.0003 | —0.001 291 30 0.9 0.9 
+ 0.0002  — 0.018 | 1.6 1.6 
6.23 | —0.0003 | —0.108 287 111 | 0.6 0.6 
—0.0001 | —0.018 291 28) 0.9 0.9 
— 0.0002 | — 0.054 15 15 
6.20 | --0.0019 | —0.072 | 286 140) 0.3 0.2 
— 0.0010 | —0.006 | 287 120 | 0.4 0.2 
— 0.0001  —0.031 290 42.0.9 0.9 
+ 0.0000 | —0.033 | 1.6 1.8 
4.93 | —0.0042 | —0.098 285 252 | 0.9 0.9 
— 0.0031 | —0.053 | 288 93 | 0.7 0.7 
9.0037 | —0.078 | 1.6 1.6 
6.11 | —0.0073* —0.088 286 155 | 0.6 0.5 
— 0.0089 | —0.090 289 44| 0.8 0.8 
— 0.0082 | — 0.089 | 14 1.3 
4.15 | —0.0034 | | — 0.079 | 285 251 | 1.1 1.2 
4.67 | —0.0002 | —0.035 | 288 103 | 0.7 0.7 
— 0.0022 | — 0.063 | 1.8 1.9 
4.92 | +0.0043 | — 0.055 | 285 253 | 0.9 0.9 
4-0.0049 | —0.048 289 51| 0.8 0.8 
--0.0046 | — 0.052 | Lfd 
6.15 | +0.0020 | —0.023 | 286 158 | 0.7 0.7 
+0.0021 | —0.047 290 62| 0.9 0.9 
0.0027 | —0.031 293 20.2 0.2 
4-0.0015 | — 0.036 | | 1.8 1.8 
6.21 | + 0.0002 | — 0.025 291 42 0.9 0.9 
6.11 | +0.0026 | —0.052 | 286 162 | 0.7 0.8 
+0.0040 | —0.036 |289 56 0.8 0.8 
--0.0074 | —0.041|293 — | 0.2 0.4 
--0.0038 | —0.043 1.7 2.0 
4.96 | —0.0070 | —0.063 | 285 264 | 1.0 1.1 
4.88 | —0.0026 | —0.034 | 288 114 | 0.7 0.7 
— 0.0034 | —0.080 292 4| 0.2 0.2 
— 0.0050 | — 0.055 | 1.9 2.0 

= + 05,0000; 4 us = + 07.011. 


zone de Helsingfors. 


A (abs.) | 


0.101 


0.007 


0.043 


0.022 | 


0.080 


0.120 


0.058 


0.065 


0.030 
0.014 


0.053 


0.072 


229.4 
205.7 


128.8 


146 
172 


127.3 | 


436 


437 


438 


| 439 | 
| 440 | 


441 | 
442 


443 
444 
445 
446 
447 


448 
449 


450 


5.4 


10.5 


10.5 


10.8 


10.6 


Oo 
1900.0 


h m S 


6 49 30.02 


19.44 


38.54 


40.13 


43.44 
50.35 


56.08 | 


57.98 


51 3.60 


23.68 


31.16 


49.63 


RaAGNAR FoRUHJELUM. 
d E | | Région 
(900104 80 EN mo 

Bw n : 2 | 
40 12 53.0 | 5.36 | +0.0079 | —0.473 | 285 266 
+0.0124 | —0.437 | 288 117 | 
--0.0089 | —0.439 |292 7 

| | 4-0.0104 | — 0.451 | 
40 13 29.6 | 6.16 | +0.0122 | —0.419 | 288 116 | 
46 50 9.4| 6.21 | — 0.0056 | —0.116 291 48 
39 29 54.1 | 6.16 | + 0.0025 | —0.017 | 988 134 
43 035.6 | 6.13 | —0.0026 | — 0.053 | 286 176 
6.10 | —0.0010 | —0.032 289 69 
—0.0023 | —0.100 |290 75 
— 0.0017 | — 0.055 | 293 23 

—0:0019 | —0.057 | 
45 13 27.2 | 5.85 | —0.0044 | —0.082 | 287 137 
5.86 | —0.0036 | — 0.024 | 291 54 
—0.0011 | — 0.018 | 294 15 

| — 0.0027 | —0.036 | 
45 727.4| 5.81 | —0.0053 | —0.096 | 287 140 | 
5.82 | — 0.0025 | —0.035 | 291 62. 
| + 0.0011 | —0.005 | 294 16 
| — 0.0012 | —0.035 | 
4040 2.8 | 6.14 | —0.0017 | 40.035 | 288 149 | 
—0.0070 | +0.011 | 292 16 | 

— 0.0041 | +0.023 | 
43 50 28.8 | 6.21 | +0.0032 | +0.025 290 78 
41 50 16.6 | 6.12 | +0.0057 | —0.053 289 80. 
+0.0008 | —0.058 292 14 
--0.0044 | —0.054 | | 
46 48 21.4 | 6.21 | +0.0015 | — 0.016 | 291 55 
46 015.2 | 5.98 | +0.0022 | —0.001 | 291 68 
6.04 | 0.0038 | —0.013 294 19| 

+ 0.0007 | —0.003 
40 10 11.0 | 6.14 | +0.0009 | —0.037 | 288 160 | 
—0.0027 | —0.042 | 292 19| 

— 0.0004 | — 0.038 | 
42 35 12.8 | 6.11 | —0.0051 | —0.110 | 289 89| 
--0.0008 | —0.137 |293 42 
— 0.0018 | —0.125 | | 
45 918.4| 5.21 | —0.0063 | —0.024 | 291 — 
— 0.0013 | +0.003 | 294 29| 
— 0.0035 | —0.008 | 
45 47 16.7 | 5.77 | —0.0007 | —0.048 | 291 74| 
5.80 | —0.0032 | —0.065 | 294 32 

— 0.0019 | —0.055 
44 55 59.3 | 5.62 | —0.0065 | —0.101 290 88| 
5.50 | —0.0063 | — 0.109 | 294 36 

— 0.0064 | —0.107 | 
44 51 4.9| 5.21 | +0.0003 | +0.054 |294 37 
4345 7.9| 6.15 | +0.0061 | —0.020 | 290 94 | 
+0.0033 | —0.041 293 44 

--0.0048 | — 0.030 | 
395141 |6.16 | 0.0056 | —0.042 288 — | 


À uo = + 05,0000; Aus = + 07,011. 


Poids 


^ (abs.) | P 
0.456 | 164.9 
0.431 | 161.1 
0.119 | 208.5 
0.030 | 102 


0.050 


0.038 | 


0.027 


0.058 
0.050 


0.065 
0.016 


0.011 


0.027 


0.116 


0.038 


0.048 


0.118 
0.065 


0.055 
0.072 


203.5 


229 


207 


305.9 
43 


131.3 
108 


41 


188 


189.9 


275 


204 


215.3 
3.0 


110.1 
115.5 


Tom. L 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 


454 


455 


456 
457 
458 
459 


460 
461 


462 


463 | 


464 


Gr. | 


e 
1900.0 | 


he m 5s 


| 10.1 | 6 52 14.86 | 


N:o 7. 


9.0 


7.9 


10.3 


10.8 


8.2 


10.6 
9.0 


46.66 | 


53.82 | 


56.92 | 


54 4.59 
12.31 


14.80 
22.26 


À Ma 


Ó 
1900.0 


| 


o " " 


4413 60.2 
40 34 25.2 


42 017.5 | 


41 14 19.1 | 


43 7141| 


45 34 43.5 | 


44 18 13.4 
45 34 42.2 


42 13 43.1 


| 


39 32 56.3 | 
40 5 45.3 | 


41 24 42.0 


| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 


44 52 42.2 


43 47 33.0 


40 9 34.6 


39 44 47.5 | 
46 26 27.6. 


H 


6.16 
5.96 
5.85 


1890+- 


———— — — om — ————— M ———e€CUUUPmRTPFW 


Ua 


— 0.0007 
4-0.0023 | 
4-0.0008 | 
+ 0.0028 
— 0.0014 
+ 0.0007 
-- 0.0023 
+ 0.0014 
-- 0.0031 
4- 0.0024 
— 0.0018 
— 0.0020 
— 0.0019 | 
— 0.0030 
+ 0.0014 
— 0.0004 
— 0.0054 
— 0.0013 
— 0.0032 
+ 0.0004 
+ 0.0024 
-- 0.0015 
— 0.0014 | 
— 0.0019 
— 0.0017 
— 0.0048 
— 0.0031 
— 0.0039 
— 0.0016 
+ 0.0031 
+0.0035 | 
4- 0.0033 
-- 0.0052 
+ 0.0010 
+ 0.0029 
— 0.0014 
+ 0.0003 
— 0.0013 
— 0.0005 
— 0.0009 
— 0.0045 
— 0.0028 
— 0.0012 
— 0.0029 
— 0.0020 
+ 0.0051 
— 0.0032 


—0.087 290 92 


—0.0029 | 
— 0.0031 | 
| 


+ 05,0000; I ug — + 0" 


— 0.059 
— 0.074 
+ 0.004 
+ 0.007 
-- 0.006 
— 0.093 
— 0.076 
— 0.089 
— 0.089 
— 0.037 
— 0.030 
— 0.033 
+ 0.005 
— 0.002 | 
— 0.000 
-- 0.012 
— 0.010 
4- 0.000 
-- 0.010 
+0.028 | 
+ 0.019 | 
— 0.048 
— 0.056 
— 0.052 | 
— 0.033 | 
— 0.035 
— 0.084 | 
— 0.040 
— 0.021 
— 0.029 
— 0.024 
+0.025 
-- 0.006 
-- 0.016 
+ 0.011 
— 0.000 
— 0.044 

0.000 
— 0.029 
— 0.034 
— 0.032 
— 0.085 
— 0.083 
— 0.084 
+ 0.027 
— 0.155 
— 0.088 
— 0.124 | 


| 291 


|204 49 


288 200 
292 33 


289 108 


1292 37 


293 72 


288 109 
292 40 


290 106 
293 66 


291 96 


294 58 |, 


290 109 
294 64 


294 57 


289 112 
293 81 


288 218 
288 215 


292 49! 


289 122 


|202 52 


290 113 
294 66 
291 101 


290 114 


1293 93 


| 288 222 


292 66 


288 225 


|291 99 


298 5 


Poids 


)11: 455—467: + 0”.012. 


^ (abs.) 


" 


0.064 


0.019 


0.082 | 


0.032 


0.013 


0.036 | 


0.035 


0.043 | 


0.047 
0.033 


0.040 


0.043 


0.013 


0.035 


0.076 
0.072 


0.116 


172.8 


25 


161.6 


226 


342 


289 


27 


203 


242 
213 


108 


50 


342 


92 RAGNAR FURUHJELM. 
| | « d E | Région 
| N:o | Gr. | 1900.0 1900.0 48904! — "^ a | N:o 
| h m 8 o ü | 8 " | 
| 468 | 8.9 | 6 54 25.92 | 40 47 52.4 | 6.13 | +0.0013 | +0.014 | 288 231 | 0.3 0.3 
| — 0.0003 | —0.008 292 63 1.0 1.0 
| —0.0039 | — 0.044 295 1 0.1 0.1 
| —0.0002 | —0.006 | | 1.4 1.4 
469 | 9.5 | 42.02 | 39 58 37.6 | 6.14 | +0.0012 | +0.009 | 288 236 | 0.5 0.6 
6.15 | +0.0005 | +0.029 | 292 74 0.4 0.2 
—0.0072 | —0.011 295 7|0.2 0.5 
| | — 0.0006 | +0.004 | za 123 
4702 7.8 46.78 | 44 35 22.8 | 5.48 | --0.0011 | —0.009 | 290 121 | 0.5 0.6 
5.52 | +0.0019 | —0.012 | 294 76 1.0 1.0 
| | —0.0023 | —0.039 297 6| 0.4 0.6 
| | + 0.0008 | — 0.019 | TUE 9 
471 | 94 49.74 | 44 424.3 | 5.55 | +0.0009 | —0.035 | 290 123 | 0.7 0.9 
| 5.62 | --0.0028 | —0.023 | 294 77 | 0.9 0.7 
| | +0.0009 | —0.039 297 80.7 0.8 
| | +0.0016 | — 0.033 | | 2.3 2.4 
AT OT 59.23 | 45 36 15.1 | 5.53 | —0.0029 | —0.004 | 291 109 | 0.6 0.7 
5.55 | —0.0018 | +0.010 | 294 80 1.0 1.0 
— 0.0012 | +0.053 | 298 17 0.7 0.8 
| —0.0019 | 4-0.020 | | 2.3 2.5 
473 |10.4| 55 9.38 | 39 14 53.9 | 6.16 | —0.0059 | —0.010 | 288 — | 0.2 0.2 
—0.0068 | —0.022 295 13 0.2 0.3 
— 0.0064 | —0.017 | | 0.4 0.5 
474 | 9.3 16.69 | 46 58 26.9 | 5.66 | —0.0012 | —0.043 | 291 103 | 0.2 0.2 
| 5.76 | —0.0001 | +0.005 | 298 19 0.3 0.2 
| — 0.0005 | — 0.019 | 0.5 0.4 
| 475 | 10.8 22.98 | 45 39 46.4 | 5.25 | —0.0020 | —0.047 | 294 79 1.0 1.0 
| | --0.0018 | +0.008 | 298 23 | 0.8 0.9 
| — 0.0003 | —0.021 TREE LO, 
476 | 9.3 29.18 | 44 56 46.9 | 5.34 | +0.0061 | —0.056 | 290 124 | 0.2 0.2 
| --0.0074 | —0.102 | 294 85|1.0 1.0 
+0.0048 | —0.089 | 297 15| 0.3 0.3 
| --0.0118 | —0.042 | 298 25 | 0.2 0.1 
| +0.0073 | —0.090 | TER 
477 | 8.4 29.69 | 41 46 43.0 | 6.12 | +0.0040 | —0.041 | 289 143 | 0.2 0.5 
| +0.0021 | —0.038 | 292 87 | 0.7 0.7 
| | +0.0007 | —0.055 | 296 12| 0.6 0.7 
| | +0.0018 | — 0.045 | 1.5 1.9 
478 | 92 40.20 | 42 25 26.1 | 6.11 | +0.0018 | —0.021 | 289 140 | 0.2 0.3 
| | 4-0.0001 | —0.053 | 293 117 | 1.0 1.0 
| —0.0006 | —0.046 | 296 16 | 0.6 0.6 
+0.0001 | — 0.046 1.8 1.9 
479 | 10.3 44.92 | 44 10 55.1 | 5.31 | —0.0036 | —0.010 | 290 130 | 0.2 0.5 
| 5.43 | —0.0014 | 40.008 | 294 89 | 1.0 0.9 
| | —0.0020 | +0.008 297 17| 6.9 1.0 
| | —0.0019 | +0.004 | 2.1 24 
480 | 8.6 | 50.92 | 44 35 20.4 | 5.32 | —0.0009 | —0.064 | 290 129 | 0.2 0.2 
| | —0.0006 | —0.077 294 88 1.0 1.0 
—0.0022 | —0.104 |297 21 | 0.8 0.8 
— 0.0013 | — 0.088 | 2.0 2.0 
| | 
À us = + 0°.0000; 473—480: + 05,0001; I us = + 0".012. 


" 


0.006 


0.017 


0.012 


0.028 


0.037 


0.073 | 


0.008 


0.009 


0.111 


0.039 


0.034 


0.025 


0.077 


EXER | | 
| Poids | # (abs.) 


342 


339 


125 


138 


329 


266.1 | 
210 


193 | 


134.6 


148 


178 


310 


189.7 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 93 


a | Ö E Région | 2. | 
DE ER 1900.0 | 19000 M8904| M4 | ^" Neo! | Poids} (abs) EA 
| In m S | o S 8 4 " 
481 | 9.6 656 0.99 42 836.0 6.10| —0.0037  —0.052 293133 1.0 0.8 
| 6.11 | —0.0053 | — 0.063 296 24 0.7 0.7 
| 0.0044 | —0.057 1.7 1.5| 0.065 | 226.2 
482 | 9.4 2.92 | 44 33 19.8 | 5.22 | —0.0022 | —0.065 294 98 | 1.0 1.0 
—0.0031 | —0.091 297 22, 0.9 0.9 
| —0.0026 | —0.077 1.9 1.9| 0.070 | 202.6 | 
483 | 11.1 | 8.23 | 46 29 11.4 | 5.30 | —0.0008 | +0.004 298 27 1.0 1.0| 0.017 | 336 
484 | 11.2 | 13.04 | 4318 12.9 | 6.08 | +0.0018 | — 0.059 | 293 126 | 1.0 1.0| 0.051 | 156.9 
485 | 9.4| 13.90 | 46 43 31.4 | 5.30 | +0.0019 | —0.006 298 33 0.8 0.7! 0.021 73 
486 | 9.6. 14.46 | 44 14 47.2 | 5.22 | +0.0008 | +0.003 | 294 100 | 1.0 0.9 
--0.0003 | —0.002 |297 23 1.0 1.0 
| +0.0006 | 4-0.000 | 2.0 L9| 0.014 | 30 
| 487 | 10.2 | 24.25 | 40 48 44.8 | 6.13 | +0.0003 | —0.008 | 292 101 | 0.7 0.7 
| —0.0022 | —0.020 | 295 33 0.5 0.4 
| | — 0.0007 | — 0.012 12.2 1.1| 0.007 | 270 
488 | 8.6 30.13 | 40 21. 4.4 | 6.14 | +0.0048 | —0.084 | 292 102 | 0.7 0.7 
| | +0.0021 | —0.103 |295 43 0.7 0.7 
| | +0.0034 | — 0.094 | | 1.4 1.4| 0.091 | 154.0 
489 | 9.6 | 31.62 | 39 18 40.9 | 6.16 | —0.0050 | — 0.044 |295 3910.6 0.61 0.065 | 240.7 
490 | 9.4 40:61 | 39 49 24.8 | 6.16 | —0.0133 | — 0.119 |295 46 | 1.0 1.0| 0.187 | 235.0 
| 491 | 9.2 49.62 | 45 22 26.6 | 5.25 | —0.0008 | —0.024 | 294 103 | 1.0 1.0 
| — 0.0009 | —0.009 298 42 | 1.0 1.0 
| — 0.0008 | —0.016 | |2.0 2.0| 0.008 | 240 
492 | 10.1 54.41 | 43 29 13.0 | 5.66 | — 0.0002  --0.004 | 293 145 1.0 1.0 
| --0.0022  --0.006 | 297 35| 1.0 1.0 | 
| Då 4-0.0010 +0.005 | 2.0 2.0| 0.021| 35 
493 | 10.5 | 5731.38 44 543.1 5.22| --0.0004 | —0.025 | 294 118 | 0.7 0.5 | 
| — 0.0008 | -.0.036 | 297 36 1.0 1.0 | 
— 0.0003 | —0.031 | 1.7 1.51 0.019 | 189 
| 494 | 11.3 | 50.17 | 42 52 44.4. 6.08 | —0.0052 | —0.025 | 293 161 | 1.0 1.0| 0.057 | 256.9 
| 495 | &1| 58.64 | 46 40 42.8 5.30 | +0.0042 | —0.020 |298 51, 1.0 1.0| 0.046 | 100 
496 | 9.6 58 4.28 | 40 32 51.4 | 6.14 | —0.0084 | +0.060 | 292 121 | 0.7 0.7 
| | —0.0114 | +0.010 |295 70 0.7 0.7 
| | | — 0.0099 | +0.035 1.4 1.4| 0.121 | 292.8 
| 497 | 10.9 | 6.41 | 43 47 59.2 | 5.61 | —0.0039 | —0.027 | 293 157 | 0.8 0.7 | 
| 5.58 | —0.0003 | +0.006 | 297 46 1.0 1.0 | 
| — 0.0019 | —0.008 | 1.8 1.7| 0.020 | 281 
| 498 | 8.8 | 13.29 | 43 40 47.7 | 5.63 | +0.0002 | —0.038 | 293 165 0.9 0.8 | 
| | | 5.61 | +0.0006 —0.023 | 297 49 1.0 1.0 
| | | +0.0004 | — 0.030 1.9 1.8| 0.019 | 162 
499 | 9.8. 15.00 | 46 51 2 5.30 | 40.0001 +0.026 |298 58 0.9 0.71 0.038 3 
500 | 10.9. 32.90 | 42 45 56.8 | 6.11 | —0.0032 | —0.023 | 293 170 | 1.0 1.0 
|6.10| —0.0014 | —0.057 |296 49 0.7 0.6 
| — 0.0025 | — 0.036 1.2 1.61 0.035 | 227 
| 501 | 9.6| 39.00 | 4244 0.4 | 6.11 | +0.0001 | —0.032 |293 176 1.0 1.0 
| | +0.0001 | — 0.076 | 296 570.7 0.7 
+0.0001 | — 0.050 | N1T0R2 |) 0:938 177 


A pu = + 05.0001; I ug = + 0”.012. 
N:o 7 


94 RAGNAR FURUHJELM. 
| | [72 | Ó E | | Région | | 
| €. |. 190.0 19000 18904 he n Nee fi | olds (ab) qe 
| Im Inj 5 | o / 8 | " ! " | o 
| 502 | 8.8 6 58 46.61 | 45 46 51.8 | 5.26 | —0.0055 | —0.039 | 294 125 | 0.7 0.7 
| —0.0034 | —0.032 | 298 75 | 1.0 1.0 
—0.0125 | +0.000 | 301 10101 
—0:0047 | —0.038 | 1.8 1.8| 0.052 | 246.4 
| 503 | 10.8 58.54 4051 5.9 6.16 | +0.0038 | +0.030 295 98 0.7 0.6| 0.061 | 46.3 
504 | 9.0) 59 9.13 | 41 14 5.6 | 6.12 | +0.0001 | —0.000 | 292 131 | 0.6 0.7 
+0.0021 | —0.003 296 71) 0.7 0.6 
| | + 0.0012 | — 0.001 | 1.3 1.3| 0.018 52 
| 505 | 9.1 15.69 | 40 14 18.8 | 6.14 | +0.0008 | +0.023 | 292 134 | 0.3 0.4 
| | --0.0015 | — 0.002 | 295 111 | 0.7 0.7 
| | +0.0013 | +0.007 | 1.0 1.1| 0.025 40 
506 | 8.8. 37.40 | 41 19 51.8 | 6.14 | —0.0036 | +0.002 | 292 137 | 0.5 0.6 
| | 6.15 | —0.0017 | —0.011 296 82 0.7 0.7 
| —0.0059 | —0.010 |299 1 0.2 0.4 
— 0.0030 | — 0.006 1.4 1.7| 0.034 | 280 
507 | 11 51.2 |403111 |6.16| —0.0012 | —0.127 |295 — | 0.7 0.7| 0.116 | 186.4 
508 | 9.8 56.16 41 941.9 6. 15 | —0.0064 | +0.017 | 292 142 | 0.4 0.6 | 
| 6.16 | —0.0039 | +0.043 296 84| 0.7 0.6 | 
| — 0.0082 | +0.013 299 4| 0.3 0.5 | 
— 0.0055 | 4-0.025 1.4 1.7| 0.071 | 301.2 
509 | 9.0 56.36 | 44 35 30.1 | 5.22 | +0.0020 | +0.003 | 294 151 | 0.7 0.8 
| --0.0022 | —0.029 297 63 1.0 1.0 
| | +0.0001 | —0.001 301 21|0.4 0.6 | 
| | 4-0:0017. | —0.011 2.1 2.4| 0.019 87 
| 510 | 8.3 | 58.08 | 40 21 22.0 | 6.17 | — 0.0005 | +0.032 292 145 | 0.3 0.3 
| | +0.0014 | +0.003 |295 121 ,0.7 0.7 
+0.0002 | +0.046 299 8/0.3 0.3 | 
+ 0.0007 | +0.020 | | 1.3 1.3| 0.033 16 
| 51d. 10.7 58.75 46 21 43.3 | 5.30 | -- 0.0035 — (0.036 298 100 | 1.0 1.0| 0.044 | 123 
512 | 10.1 | 59.68 | 44 28 57.7 | 5.22 | +0.0032  +0.020 | 294 152 | 0.5 0.7 | 
| +0.0026 | —0.022 297 71/|1.0 1.0 
—0.0019 —0.018 301 23 0.4 0.6 
| | | +0.0018 | — 0.008 1.9 2.31 0.020 79 
| 513 | 8.217 0 2.19 42 6 46.9 | 6.14 | +0.0009 | —0.019 | 293 192 | 0.2 0.2 | 
| | | —0.0003 | —0.026 | 296 94 0.7 0.7 
—0.0002 | — 0.048 300 -9:1:0:2 0.2 
| | — 0.0001 | —0.029 | TETTE DNE 8387 
514 | 9.4 | 9.74 | 42 18 13.9 | 6.15 | —0.0024 | +0.029 | 293 190 | 0.3 0.4 
| | —0.0011 | +0.002 |296 90 0.7 0.7 
| | —0.0017 | +0.000 300 7 0.3 0.4 
| | | — 0.0015 | +0.009 1.3 1.5| 0.026 | 323 
515 | 10.6 | 10.29 | 45 58 36.4 | 5.30 | --0.0002 | —0.020 | 298 110 | 1.0 1.0| 0.009 | 159 
516 | 9.3 | 14.01 | 45 42 21.9 | 5.26 | +0.0003 | —0.056 | 294 153 | 0.4 0.4 
| | +0.0008 | —0.034 | 298 112 | 1.0 1.0 
| | — 0.0016 | +0.001 |301 24| 0.3 0.4 
-- 0.0003 | —0.031 | | 1.7 1.8| 0.019 | 168 
517 9.9 | 18.54 | 40 32 12.0 | 6.18 | —0.0073 | +0.014 | 292 147 | 0.2 0.3 
| +0.0006 | —0.029 | 295 134 | 0.7 0.7 
—0.0011 | +0.004 299 12 | 0.4 0.6 
| | — 0.0011 | —0.009 | | 4.8 1.6| 0.012 | 284 
| | 
A u, = + 05,000 ; Aus = + 0”.012. 


| 525 


526 | 


527 


528 
529 


530 | 


531 


532 
533 


534 


535 


536 
537 
538 


N:o 7. 


Recherches sur les mouvements propres dans la 


| a Ó 
Gr. | 1900.0 1900.0 


| [0 
h m s JD eur 


E 


1890-4- 


9.9 7 024.32 | 


41 44 13.8 | 6.16 


zone de Helsingfors. 


6.17 
9.7 32.60 | 47 038.8 | 5.30 
10.6 42.61 | 4021 0.7 | 6.16 
10.3 48.55 | 40 53 24.5 | 6.20 
| 6.21 
TT 54.51 | 44 11 41.7 | 5.22 
| 

11.0) 1 8.71|4365436.1| 5.23 
8.2 | 9.57 | 42 40 48.4 | 6.19 

| 
9.0 | 13.54 | 45 21 36.6 | 5.25 

| | 

| | 
EL d 36.99 45 4 35.8 5.21 

| I 

10.2 | 39.03 | 40 43 57.8 | 6.20 
| | 6.21 
9.4 56.99 | 46 21 23.1 | 5.30 
11 58.1 |424296 | 6.19 
93| 2 0.87 | 42 41 37.9 | 6.19 
8.8 39.18 | 43 26 55.8 | 5.74 

| 
10.8 40.03 | 44 54 46.8 | 5.21 
10.8 46.86 | 40 17 30.0 | 6.16 
10.8 47.11 | 42 49 12:8 | 6.20 
10.2 58.82 | 43 22 46.4 | 5.74 

| 
11.0 3 7.44 | 46 19 31.6 | 5.30 
11.0 20.95 | 39 41 11.9 | 6.16 
9.6 28.30 | 43 51 27.3 | 5.71 
5.68 


Ua Ug PES Poids |" (abs.) 
—0.0023 | — 0.055 | 292 — | 0.2 0.2 
--0.0005 | —0.042 |296 96 0.7 0.7 
—0.0045 | —0.051 |299 10| 0.3 0.3 
—0.0012 | — 0.046 * | 1.2 1.2| 0.036 
--0.0092 | —0.020 | 298 116 0.7 0.3| 0.095 
— 0.0036 | —0.039 | 995 144 | 0.7 0.7 | 0.048 
-0.0018 | —0.115 | 295 140 | 0.6 0.5 
— 0.0025 | —0.109 | 299 20 | 0.6 0.7 
—0:0022 | —0.112 1.2 12| 0.103 
—0.0019 | —0.004 294 159 | 0.1 0.1 
4-0.0007 | —0.028 |297 79|1.0 1.0 
—0.0032 | —0.026 301 36 0.4 0.3 
— 0.0005 | —0.026 | 1.5 L4| 0.015 
— 0.0013 | —0.045 297 81|1.0 1.0| 0.035 
--0.0004 | —0.063 | 296 107 | 0.7 0.7 
— 0.0000 | —0.046 300 17| 0.7 0.7 
4-0.0002 | —0.054 1.4 1.4| 0.041 
— 0.0010 —0.086 298 128 | 1.0 1.0 
—0.0011 | —0.057 301 41 0.8 0.8 
—0.0010 | — 0.073 1.8 L8| 0.061 
—0.0009 | —0.069 298 — | 0.8 0.5 
+0.0011 | —0.070 301 42 | 0.8 0.8 
+ 0.0001 | — 0.070 | 1.6 1.3| 0.057 
--0.0025 | — 0.020 | 295 163 | 0.7 0.6 
— 0.0006 | —0.052 |299 35| 0.7 0.7 
4-0.0010 | —0.037 | 1.4 1.3| 0.027 
+0.0073 | + 0.051 | 298 130 | 1.0 1.0| 0.099 
--0.0031 | +0.007 296 — | 0.7 0.7 
--0.0019 | — 0.022 300 — 0.7 0.7 
+0.0025 | — 0.008 | 1.4 1.4| 0.029 
+0.0007 | —0.006 |296 128 0.7 0.7 
--0.0005 | +0.019 | 300 22 0.7 0.7 
--0.0006 | +0.006 | 1.4 1.4| 0.020 
--0.0008 | —0.029 | 297 100; 1.0 1.0 
+0.0001 | —0.025 |300 25 0.7 0.7 
+ 0.0005 | — 0.027 | 1.2 1.7| 0.016 
— 0.0084 | —0.040 301 60 0.8 0.8| 0.093 
+0.0011 | +0.020 | 205 192 0.7 0.7 
—0.0042 | +0.004 1299 — | 0.7 0.7 
— 0.0016 | 4-0.012 | 1.4 1.4| 0.030 
--0.0003 | — 0.285 | 296 143 | 0.6 0.5 
--0.0009 | —0.258 |300 30 0.7 0.7 
--0.0006 | —0.269 1.3 1.2| 0.256 
--0.0017 | —0.013 | 297 103 | 1.0 1.0 
--0.0004 | — 0.041 |300 29 | 0.7 9.7 
4-0.0012 | — 0.025 1001-00 DIS 
__0.0022 | — 0.038 298154 1.0 1.0| 0.033 
+ 0.0042 | — 0.008 | 295 202 | 0.7 0.7 | 0.049 
--0.0007 | — 0.010 | 297 104 | 1.0 1.0 
—0.0003 | —0.006 300 32| 0.6 0.6 
--0.0003 | — 0.008 1.6 1.6| 0.007 


4 u, = + 05,0001; 4 pg — + 07.012; 523—538: + 0.013. 


95 
p | 
201 


94.8 . 
236 


193.0 


RAGNAR 


FURUHJELM. 


546 


547 


548 | 


549 | 


550 | 


[44 


him) 9s 


9.0 7 3 42.93 


9.4 43.08 


9.5 8.75 
74 15 07 
| 
| 8.4 22.94 
ET URP 
| 10.0 | 37.97 
83 44.00 
| 
6.8 | 46.72 
9.0 | 48.63 
9.4. 52.74 
| 
9.2 57.95 
| 11 5 3.3 


Ó | 4g 
| 1900.0 (4890 4- 


42 20 24.2 | 6.19 
41 16 2.3 | 6.20 


46 49 1.7 5.30 
42 57 21 4 | 6.09 


39198 420) 16:16 
40 12 29.9 | 6.21 
6.2 


45 12 8.0 | 5.56 


44 17 28.4 | 5.22 


44 58 17.1 5.41 


43-25 22.0 | 5.80 


3929 2.5 | 6.16 


| 4410 42.8 | 5.22 


39 43 19.2 | 6.16 


42 17 21.1 | 6.19 
6.18 


45 9 59 5.21 


4- 0.0013 
+ 0.0007 
+ 0.0010 
— 0.0019 
— 0.0033 
— 0.0027 
-- 0.0009 


--0.0004 | 


— 0.0014 
+ 0.0006 
+ 0.0002 
— 0.0031 
— 0.0062 
— 0.0033 
— 0.0046 
— 0.0012 
+ 0.0007 
— 0.0028 


— 0.0004 | 


— 0.0022 | 


— 0.0050 
— 0.0050 
— 0.0035 
+ 0.0039 
-- 0.0005 
-- 0.0028 


--0.0059 | 


— 0.0001 
-- 0.0029 


+0.0009 | 
+0.0011 | 


+0.0006 


+ 0.0009 | 


-- 6.0027 
-- 0.0021 
+ 0.0025 
+ 0.0004 
+ 0.0004. 
-- 0.0017 
+ 0.0007 
— 0.0020 
-- 0.0001 
— 0.0013 


--0.0012 | 


-- 0.0016 


— 0.0024 | 
+0.0004 | 4-0.025 
-- 0.0026 | — 0.057 


— 0.082 
— 0.062 
— 0.072 
— 0.014 
— 0.046 
— 0.033 
— 0.030 
— 0.026 
-F 0.035 
— 0.016 


— 0.009 | 


+ 0.055 
— 0.125 
— 0.111 
— 0.119 
— 0.062 
— 0.039 
— 0.028 
— 0.045 
+0.010 
— 0.008 
— 0.009 


— 0.001 | 


+0.021 
— 0.053 


+ 0.027 


| Region 


N:o | 


296 152 | 0.7 
300 44 0.7 
1.4 
296 156 | 0.5 
299 62 0.7 
| 1.2 
298 171 | 0.7 
296 151 0.2 
297 121 | 0.2 
300 50 0.7 
1 


- 


|995 221 | 0.2 
| 295 215 | 0.6 
299 74 0.7 

| 1.8 
298 179 | 0.5 
301 75 0.8 
305 6,02 


297 116 0.8 
301 82) 0.8 
304 4 02 


= 
Co 


| 297 114 | 0.2 
| 298 182 | 0.2 
301 85, 0.8 
304 — | 0.2 
1305 9/01 


297 125 | 0.5 
300 57 | 0.7 
304 810.3 


= 
AA 


295 239 | 0.3 
302 90.2 
| 0.5 
297 122 | 0.8 
301 86, 0.8 
304 5|0.5 


295 236 | 0.4 
302 17| 0.2 


296 168 | 0.4 
300 69 | 0.7 
303 604 


301 — 0.8 


4 us = + 05,0001; Aus = + 07.013. 


| Poids 


0.7 
0.7 
1.4 


u (abs.) 


0.032 


0.039 


0.031 


0.017 


0.036 


185 


288 


90 


40 


126 


156 


Tom. L. 


ir fé 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 


| 560 
561 
562 


564 


565 


N:o 7. 


| 558 | 


559 


563 | 


9.4 


8.8 


-1 


9.0 | 


oc ER 
| 
1900.0 | | 


1900.0 
| | 


3.68 | 44 17 25.1 | 5.22 


11890 je 


|4046 9.4 6.25 
| 45 18 28.7 | 5.96 
| 6: 02 


11.61 
14.10 | 


44 9152 | 5.22 


21.86 | 41 17 17.1 | 6.20 


26.62 | 39 46 8.6 6.16 
28.8 404259 | 6.25 
54.08 45 429.2 5.21 
0.06 42 943.0 6.19 

6.18 


3.10 | 44 25 10.1 | 5.21 


I 


7.05 | 45 42 30.2 
| 
| 


17.18 | 43 9 58.1 | 
| 
26.87 | 
32.40 


6.60 


5.87 


5.91 


6.25 
6.20 


40 52 49.6 
40 21 20.2 | 


| 
| 
E 39 47 38.9 | 6.16 
| 
| 


42 50 24.9 | 6.20 


51.83 | 40 19 35.4 | 6.20 


| 
| 


2.33 | 40 46 33.1 | 6.21 


18.29 | 43 34 7.8 | 


| 


À us = + 05,0001; 


97 
2 "EE UE T | 
£ La | | o 

—0.0019 | +0.015 297 — | 0.5 0.8 

— 0.0015 | +0.016 301 95 0.8 0.8 

— 0.0040 | +0.021 304 9 0.7 0.8 

— 0.0025 | + 0.017 | 2.0 2.4] 0.040 | 319 

0.0026 | —0.006 299 83 0.7 0.7| 0.029 | 284 

— 0.0001 | —0.000 | 298 190 | 0.4 0.5 

+0.0005 | +0.018 301 92 0.8 0.8 

— 0.0004 | +0.022 305 16 0.4 0.5 

+0.0001 | + 0.014 | | 1.6 1.8| 0.027 6 | 

+0.0020 | —0.017 | 297 126 0.4 0.8 

—0.0014 | —0.016 301 96 0.8 0.6 

--0.0021 | +0.000 304 10 0.8 1.0 | 

+0.0007 | — 0.010 | |2.0 2.4| 0.009 | 69 | 

— 0.0024 | — 0.015 | 296 177 | 0.2 0.2 

—0.0042 | —0.059 299 81 0.7 0.7 

—0.0041 | —0.041,303 15 0.3 0.4 

— 0.0039 | — 0.047 | 12 13| 0.054 | 231.0 

— 0.0054 | —0.055 | 295 246 | 0.2 0.2 

—0.0016 | —0.039 302 28 0.5 0.6 

— 0.0027 | — 0.043 0.7 0.8| 0.042 | 225 

--0.0030 | — 0.028 299 — | 0.7 0.7 | 0.038 | 113 

— 0.0073 | --0.001|301 102 0.8 0.81 0.078. 280.3 

+0.0015 | — 0.022 300 86 0.7 0.6 

+0.0001 | —0.022 303 29 0.7 0.7 

4-0.0008 | —0.022 | 14 18| 0.013 | 135 

+0.0056 | —0.064 | 301 109 0.8 0.8 | 

+0.0058 | —0.081 | 304 — | 1.0 1.0 | | 

+0.0057 | —0.073 | | 1.8 L8| 0.086 | 134.1 

+0.0026 | —0.092 | 301 105 0.8 0.8 | 

+0.0007 | —0.110 | 305 28 0.8 0.8 

--0.0016 | — 0.101 1.6 1.6| 0.090 | 167.8 

--0.0012 | —0.035 300 80 0.7 0.7 | 

+0.0018 | —0.036 304 18 0.6 0.5 

+0.0015 | — 0.035 1.3 1.2| 0.028 | 142 

+ 0.0006 | — 0.050 | 299 107 0.7 0.7 | 0.038 | 168 

+0.0016 | —0.023 | 299 110 | 0.7 0.7 

--0.0007 | —0.004 | 302 46 | 0.7 0.7 | | 

--0.0012 | —0.014 | | 1.4 1.4| 0.014 | 94 

— 0.0015 | —0.008 302 48, 0.7 0.7| 0018 | 286 | 

— 0.0027 | —0.049 |300 92|0.7 0.7 | 

— 0.0069 | —0.064 303 39 0.5 0.4 

— 0.0045 | — 0.054 | | 1.2 1.1| 0.063 | 229.5 

— 0.0028 | — 0.018 | 299 120 | 0.7 0.7 

— 0.0037 | — 0.004 |302 47 | 0.7 0.7 

— 0.0032 | — 0.011 1.4 1.4| 0.087 | 273 

+0.0004 | —0.037 | 299 116 0.7 0.7 | 

—0.0034 | —0.040 302 51 60.6 0.5 | | 

— 0.0013 | — 0.038 1.3 1.21 0.029 | 209 

+0.0001 | —0.026 | 300 98) 0.7 0.7 

—0.0002 | —0.027 304 35 | 1.0 1.0 | 

— 0.0001 | — 0.027 | 17 1.7| 0.014 | 176 


4 us = + 0.013, 


98 RAGNAR FuRUHJELM. 
ue n) | E Région 
No PETIT 1900.0  48904.| — "^ (Fö | Poids [p (abs) IB 
hamis Lauf C 8 M " o 
573 | 8.6|7 7 36.74 | 41 57 58.0 | 6.18 | —0.0028 | —0.103 | 299 121 | 0.4 0.2 
| | 6.17 | —0.0015 | —0.056 | 300 101 | 0.2 0.2 
—0.0008 | —0.087 |303 52|0.7 0.7 
— 0.0015 | — 0.084 1.3. 31:1:1 10:07:32 819129 
574 | 9.2 817.48 4438 6.4 5.22 | —0.0018 | —0.061 | 301 136 | 0.8 0.8 
| —0.0001 | —0.079 | 304 41 1.0 1.0 
| — 0.0009 | — 0.071 1.8 1.8| 0.058 | 186.9 
575 | 7.0 21.27 | 45 34 56.4 | 6.60 | —0.0017 | —0.018 | 301 130 | 0.8 0.8 
—0.0008 | — 0.026 |305 62 | 0.8 0.8 
— 0.0012 | —0.022 1.6 1.6| 0.014 | 231 
576 | 10.5 33.39 | 43 51 49.9 | 5.23 | —0.0007 | —0.037 | 304 46| 1.0 1.0| 0.025 | 194 
577 | 82 34.85 | 45 12 58.0 | 6.60 | +0.0164 | +0.004 | 301 133 | 0.8 0.8 
| 6.52 | +0.0175 | +0.001 |305 73 | 0.8 0.7 
+ 0.0170 | + 0.003 1.6 1.5| 0.182 84.9 
578 | 8.8 41.71 | 45 59 56.1 | 7.34 | +0.0105 | +0.040 | 301 129 | 0.3 0.2 
7.52 | +0.0105 | +0.007 |305 70 0.8 0.8 
| +0.0105 | + 0.014 1.1 1.0| 0.114 76.3 
579 | 8.4| 43.03 | 4133 0.9 | 6.18 | +0.0007 | —0.058 | 299 146 | 0.6 0.6 
6.19 | +0.0013 | —0.050 303 770.7 0.7 
+ 0.0010 | —0.054 D 30013 161 
580 | 8.4 45.92 | 43 44 12.2 | 5.65 | +0.0011 | —0.078 | 300 108 | 0.5 0.5 
| + 0.0017 | —0.085 | 304 52| 0.7 0.7 
| | + 0.0014 | — 0.082 | 1.2 1.2| 0.071 |. 165.4 
581 | 178 53.51 | 42 6 27.7 | 6.16 | —0.0034 | —0.194 | 300 114 | 0.3 0.3 | 
| — 0.0042 | —0.166 303 75 | 0.7 0.7 | 
| | — 0.0040 | — 0.174 1.0 1.0| 0.166 | 194.6 
582 10.8 56.63 3933 8.8 | 6.16 | +0.0013 —0.018 302101 | 0.7 0.71 0.018 | 106 
583 | 9.3| 9 17.89 | 40 25 13.1 | 6.19 | —0.0002 | — 0.034 | 299 148 | 0.4 0.5 | 
FR 6.20 | --0.0005 | —0.039 | 302 105 | 0.7 0.7 
| —0.0085 | —0.065 | 306 4| 0.1 0.2 
| — 0.0005 | — 0.041 1:9 1:4 || 0.028 \ 188 
584 | 9.7 22.65 | 41 4 42.1 | 6.19 | —0.0029 | —0.055 | 299 156 | 0.6 0.7 
| 6.20 | +0.0002 | —0.057 303 84 | 0.6 0.5 
+0.0012 | —0.070|306 20.2 0.3 
| — 0.0010 | — 0.059 | 1.4 1.5| 0.047 | 191 
585 | 10.8 33.39 | 43 27 01.7 | 5.26 | —0.0082 | +0.015 |307  3|0.2 0.4| 0.091 | 287.8 | 
586 | 9.8 40.49 | 39 0 24.3 | 6.16 | -- 0.0000 | +0.108 | 302 122 | 0.5 0.2| 0.121 0.9 | 
587 | 10.1 | 41.76 | 41 41 40.0 | 6.17 | +0.0010 | +0.029 | 299 150 | 0.3 0.4 
6.18 | --0.0017 | +0.000 303 890.7 0.7 
| --0.0001 | —0.059 306 6| 0.3 0.3 | 
| +0.0012 | — 0.004 1.3 1.4| 0.017 59 
588 | 9.3 49.39 | 39 19 35.7 | 6.16 | -- 0.0072 | + 0.006 | 302 119 0.7 0.7 | 0.087 | 77.4 
589 |10.6| 10 1.37 |40 727.8 | 6.16 | +0.0030 | —0.030 | 302 125 | 0.7 0.7 | 0.039 | 114 
590 | 10.7 | 12.55 | 42 57 59.7 | 5.54 | +0.0034 | +0.006 300 — | 0.3 0.5 | 
| | | 5.47 | —0.0005 | +0.021 | 303 95| 0.5 0.3 
| —0.0029 | +0.038 | 304 68 | 0.6 0.2 
— 0.0036 | +0.010 307 13 0.6 0.7 
— 0.0016 | 4-0.014 | 2:0 1:7 |. 0:032) | 330 


1 ua = + 08.0001; 589—590: + 05,0002; 4 ws = + 0".013; 589—590: + 0".014. 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 


| | @ d E | Région As | 
Na | Gr. | 1900.0 | 1900.0  |18904- ia fa No | Poids, |n EM H | 
| n m s | vo 5 " | " | 
591 | 9.3 | 7 10 25.37 | 42 28 25.6 | 5.85 | —0.0030 | —0.071 | 300 122 | 0.2 0.3 | 
| 5.86 | +0.0012 | —0.069 303 96 0.7 0.7 
—0.0017 | —0.046 |307 15 0.4 0.5 | 
| — 0.0003 | — 0.062 | 1.3 Ló| 0.048 | 182 
592 | 8.8 30.04 | 44 13 51.0 | 5.22 | —0.0057 | +0.014 | 301 153 | 0.2 0.2 | 
| | — 0.0005 | —0.002 304 71|1.0 1.0 | 
| —0.0013 | —0.013 |308 14) 0.5 0.5 | 
| | — 0.0013 | — 0.003 17 L?| 0.016 | 313 
593 | 10.9 | 33.54 | 42 12 27.6 | 6.13 | +0.0052 | — 0.001 | 303 101 | 0.7 0.7| 0.060 | 77.6 
694 | 7.2 46.55 | 45 18 28.7 | 6.53 | — 0.0041 | —0.058 | 301 155 | 0.2 0.4 | 
| 6.32 | +0.0003 | —0.074 | 305 102 | 0.8 0.8 
| —0.0009 | —0.078 | 308 16 | 0.9 1.0 | 
| | — 0.0007 | —0.073 1.9 2.2| 0.059 | 185.8 
595 | 5.8 11 5.13|41 340.7 | 6.17 | +0.0030 | —0.152 | 302 142 | 0.2 0.1 | | 
6.18 | —0.0011 | —0.047 |303 121 | 0.6 0.4 | 
— 0.0012 | —0.035 |306 27| 0.9 0.9 
— 0.0007 | — 0.047 1.7 1.4| 0.083 | 189 
596 | 10.4 7.69 | 42 23 7.8 | 5.74 | —0.0006 | +-0.041 | 303 110 | 0.7 0.7 
— 0.0067 | +0.004 |307 28| 0.6 0.6 
| — 0.0034 | + 0.024 1.3 1.3| 0.052 | 817.4 | 
597 | 10.9 19.00 | 39 27 23.2 | 6.16 | —0.0178 | —_ 0.109 | 302 168 | 0.7 0.7| 0.224 | 244.9 
598 | 8.6 22.77 | 41 35 16.6 | 6.17 | +0.0004 | +0.005 | 303 126 | 0.7 0.7 | 
--0.0016 | —0.009 | 306 24| 0.8 0.8 
+ 0.0010 | — 0.002 | | 1.5 L5| 0.018 | 49 
599 | 10.8 29.83 | 43 13 34.3 | 5.25 | —0.0033 | —0.051 | 304 86 1.0 0.9 | 
| — 0.0041 | — 0.028 |307 33, 0.7 0.7 
; | | | —0.0036 | — 0.041 |1.7 L6| 0.047 | 235 
600 | 8.8 37.31 | 42 13 46.0 | 5.77 | —0.0015 | — 0.041 | 303 123 | 0.7 0.7 
—0.0046 | —0.012 |307 37| 0.5 0.5 
— 0.0028 | — 0.029 L2 L2| 0.084 | 243 
601 | 11 45.1 |424232 |5.70 | +0.0024 | —0.017 303 — | 0.7 0.7 
+0.0011 | —0.036 307 — | 0.7 0.7 
+0.0018 | —0.026 | 1.4 1.4| 0.025 | 119 
602 | 10.8| 1210.38 | 40 47 1.4 | 6.19 | +0.0070 | —0.022 | 302 177 | 0.6 0.6 i 
--0.0021 | —0.009 | 306 34) 0.9 0.9 
+0.0041 | — 0.014 | 1.5 1.5| 0.047 | 90 
603 | 10.4 44.77 | 4121 2.3 | 6.17 | +0.0013 | —0.029 | 303 143 | 0.7 0.7 | 
+0.0046 | —0.034 |306 44 | 0.9 0.9 
-- 0.0032 | — 0.032 1.6 1.6| 0.042 | 115 
604 | 10.8 46.22 | 39 58 38.2 | 6.16 | + 0.0018 | —0.056 | 302 193 | 0.7 0.7 | 0.047 | 152 
605 |10.8| 13 5.66 | 40 27 38.7 | 6.18 | —0.0024 | —0.041 | 302 198 | 0.7 0.7 
— 0.0034 | —0.042 |306 50 | 0.9 0.9 
| | —0.0030 | — 0.042: |1.6 1.6| 0.043 | 229 
606 | 9.6 | 22.36 | 43 57 53.0 | 5.23 | —0.0009 | +0.004 | 304 102 | 1.0 1.0 
— 0.0041 | +0.012 |307 61 0.5 0.3 
| | — 0.0035 | +0.024 308 41 0.4 0.2 | 
| | — 0.0023 | +0.008 | |1.9 1.5| 0.032 | 314 
607 | 10.4 25.21 | 39 13 48.5 | 6.16 | —0.0023 | — 0.003 302 212 0.5 0.5| 0.026 | 295 
| | 
| 


À ua = + 05.0002; 4 us = + 0”.014, 


100 


RAGNAR FURUHJELM. 


| T | 

Region ; 
| 8 Poids 
| | 


N:o 


| 304 101 
1307 60 
1308 40 
| 


305 127 
304 
305 
308 46 


304 110 
307 76 


| 305 132 
308 53 
312 3 


304 113 
307 82 
308 60 
311 3 


302 221 
304 111 


308 69 
aii EB 


| 304 120 
307 91 
311 10 


303 166 
306 69 
310 9 


303 165 
306 68 
310 6 


304 116 
307 95 
311 12 


302 227 
306 77 
309 8 


303 167 
306 70 
310 13 


| a | Ó | E 
N:0 | GT. | 49906 | 49040 Isny] Pr i 
h m E OM: " | 8 7 
608 | 10.5 | 7 13 32.75 | 43 58 45.3 | 5.23 | +0.0008 | +0.012 
| | — 0.0017 | +0.003 
| | — 0.0003 | +0.020 
| | | — 0.0001 | +0.012 | 
609 | 8.8 37.68 | 46 10 38.0 | 7.98 | + 0.0028 | — 0.019 | 
610 | 10.3 55.14 | 44 58 37.2 | 5.21 | —0.0033 | —0.053 
— 0.0039 | — 0.002 
— 0.0030 | —0.079 
| — 0.0032 | — 0.064 
611 | 9.8 58.58 | 43 13 20.8 | 5.25 | -- 0.0005 | —0.053 
— 0.0022 | — 0.038 
— 0.0010 | — 0.045 
612 | 5.9| 14 3.31 | 45 24 47.7 | 6.32 | —0.0011 | —0.041 
— 0.0042 | — 0.004 
— 0.0068 | — 0.011 
— 0.0035 | — 0.017 | 
613 | 9.9 17.91 | 44 140.3 | 5.45 | -- 0.0017 | —0.048 
5.98 | -- 0.0018 | — 0.034 
4-0.0028 | — 0.035 
4-0.0033 | — 0.004 
4-0.0022 | — 0.034 
614 | 7.7 25.91 | 39 16 39.0 | 6.16 | —0.0018 | —0.029 
615 | 10.3 38.61 | 44 47 9.0 | 5.56 | +0.0006 | -- 0.006 
5.68 | —0.0004 | —0.032 
— 0.0026 | +0.010 | 
— 0.0004 | — 0.014 | 
616 | 9.8 39.52 | 43 9 4.6 | 5.59 | —0.0032 | — 0.034 
— 0.0038 | — 0.037 
— 0.0070 | —0.030 
— 0.0041 | —0.035 
617 | 7.9| 15 2.24 | 41 29 57.5 | 5.99 | —0.0015 | — 0.050 
5.94 | +0.0028 | — 0.045 
— 0.0034 | — 0.047 
| +0.0004 | — 0.047 
618 | 9.5 3.71 | 41 52 3.2 | 5.89 | —0.0019 | +0.005 
5.86 | +0.0066 | —0.035 
+6.0012 | — 0.015 
+ 0.0033 | — 0.016 
619 | 8.6| 4.20 | 43 37 24.1 | 6.12 | —0.0017 | —0.036 
| 6.09 | —0.0050 | —0.083 
—0.0053 | — 0.041 
| — 0.0041 | — 0.053 
620 | 8.5 6.82| 40 853.8 | 6.19 | +0.0021 | —0.071 
| 6.18 | +0.0015 | —0.060 
| — 0.0033 | —0.039 
| | | + 0.0001 | —0.054 
621 | 8.8 13.47 | 41 17 58.4 | 5.98 | —0.0031 | —0.055 
| 5.94 | --0.0008 | —0.079 
| — 0.0042 | — 0.080 
— 0.0011 | —0.076 
4 ua = + 03.0002; Aus = + 0".014, 


1.0 
0.5 
0.5 
2.0 
0.8 


4 (abs.) 


0.035 


0.033 
0.024 


0.002 


0.047 


0.034 


0.039 


0.058 


0.040 


0.063 


232 


270 


243 


168 


93 


227.8 


176 


189.2 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres 


623 


624 | 


625 


630 


631 


632 


633 


634 


635 
636 


637 


638 
639 


N:o 7. 


Gr. 


10.8 
9.2 


9.6 
| 10.0 
9.2 


8.3 


a 
TBLjl 


8.9 
10.9 
10,6 


10.6 
10.0 


9.3 
10.0 


9.6 


11.2 
6.4 


[14 
1900.0 


h m s 


7 15 32.55 


33.81 


35.02 


44.31 


46.06 


49.91 


57.8 


16 0.02 | 


10.61 


21.40 


35.00 


36.86 
47.00 


51.40 
56.56 


17 8.01 


8.59 
13.13 


Ó E 
1900.0 1890 + 
ra Hl 
44 16 23.3 | 6.44 
| 6.60 


4136 6.1 | 5.84 
5.83 


46 16 17.0 | 5.91 
| 6.36 
4016 9.5, 6.19 


41 941.8 | 5.95 


4511 6.7 | 5.54 


4617 2 5.22 
42 17 37.7 | 5.28 


40 5117.2 6.19 
6.20 
4133 55.8 5.75 


45 5147.6 5.22 


39 50 13.7 6.16 
40 50 39.9 | 6.19 


46 44 16.2 | 5.22 
42 0 50.7 | 5.51 
5.41 


42 38 24.2 5.28 


43 253.7 5.26 
40 51 54.8 6.19 


QE 


Ua 


+0. 0057 
+0.0018 


+0.0035 | 


+ 0.0050 

-0.0014 
+ 0.0040 
— 0.0015 


+ 0.0011 | 


+0.0011 
+0.0004 


+ 0.0006 | 


+ 0.0006 
— 0.0035 
— 0.0013 
+0.0071 


+0.0028 | 


+ 0.0058 
— 0.0040 
— 0.0067 
— 0.0092 
— 0.0071 
— 0.0055 


+0.0040 | 


— 0.0020 
-- 0.0006 
+ 0.0040 
— 0.0033 


4-0.0014 | 
--0.0036 | 
— 0.0016 | 


-- 0.0009 
— 0.0017 
— 0.0008 
— 0.0012 
-- 0.0016 
-- 0.0017 
— 0.0012 
+ 0.0004 
— 0.0008 
+ 0.0048 
-- 0.0004 
— 0.0019 
-- 0.0005 


—0.0059 | 
— 0.0068 | 
— 0.0064 | 
— 0.0050 | 


-- 0.0027 


— 0.0020 | 


+ 0.0006 


dans la zone de Helsingfors. 


a 


Lo. 061 
+ 0.051 
+ 0.059 
+ 0.056 
+ 0.048 
+ 0.036 
+ 0.024 
+ 0.032 
— 0.035 
— 0.049 
— 0.044 
+ 0.013 
-- 0.011 | 
+ 0.012 
-- 0.025 
3- 0.018 
+ 0.023 | 
+ 0.005 | 
— 0.026 | 
— 0.039 | 
— 0.026 


0.221 


+ 0.051 
— 0.017 


-- 0.011 
- 0.014 


-- 0.009 
— 0.007 
— 0.097 
— 0.063 
— 0.079 
+ 0.034 


- 0.056 


0.2149 


— 0.043 
— 0.035 
— 0.040 
+ 0.008 


-0.146 


— 0.077 
— 0.101 
— 0.104 
+ 0.041 
+ 0.055 
+ 0.049 
— 0.020 
— 0.034 
+ 0.004 
— 0.019 


Région 
B ee PEN IC NE 0 pe s 


304 
308 83 
311 15 


303 171 | 


306 80 


310 20 


305 146 
312 12 


306 83 


1309 26, 


306 81 
310 21 


| 305 152 | 


‚308 80 
312 20 


312 — 
| 307 109 
310 23 


306 90 
309 33 


1306 97 


1310 24| 


308 90, 


312 24 


+ 0.035 | 


1309 48 
306 108 
309 42 


312 25 
306 103 
| 307 133 
310 47 


| 907 130 
310 43 


307 127 
306 111 
309 50 


Hu, = + 05,0002; 4 us — + 0".014. 


Poids 


.L 
n 
a 
a 
n 


4 (abs.) 


0.078 


0.048 


0.031 


0.029 


0.077 


0.075 | 


0.214 


0.027 | 


0.018 


0.066 | 


0.050 
0.099 


0.027 
0.023 


0.090 


0.093 
0.053 


0.010 


25.9 


17 


163 


339 


61.4 


260.8 
194.9 


20 


68 


169.5 


348.5 
168.3 


165 
345 


176.2 


312.4 
263.5 


119 


102 
N:0 
640 


641 
642 


643 
644 
645 
646 


647 
648 


649 
650 


660 


Gr, 


8.8 


8.3 
9.6 


9.6 


8.0 


10.8 


8.6 


9.0 


10.3 
10.9 


1.4 


10.4 


ihi 
10.4 


8.10 


8.3 


9,2 


a 
1900.0 


heran IS 


qan nn 


19.06 
26.85 


30.96 


39.93 


42.70 


43.43 


36.83 


RAGNAR FURUHJELM. 


cu Rem | 


1900.0 1809+ 


43 25 2.2 6.62 


39 19 32.7 | 6.16 
41 48 48.5 5.70 
5.67 


42 36 23.0 5.28 
45 2 46.6 5.21 
40 16 11.0 6.18 
43 33 50.7 | 6.62 


4618 8.7 5.22 
42. 7 28.7 | 5.28 


47 022.7 5.22 
43 9 49.4 6.53 
6.45 


42 21 49.1 5.28 


42 59 35.7 | 5.28 
5.27 


40 18 18 6.16 
41 010.9 5.94 
6.03 


46 23 16.8 | 5.22 
44 40 38.5 6.47 
6.24 


46 20 38.6 5.22 


Ua 


+ 0.0000 
— 0.0010 
— 0.0005 
— 0.0005 
+ 0.0046 
+ 0.0006 
+ 0.0022 
+ 0.0024 
+ 0.0022 
+ 0.0025 
-- 0.0002 
— 0.0013 
- 0.0004 
-- 0.0015 
+ 0.0004 
+ 0.0009 
— 0.0017 
— 0.0038 
- 0.0028 
— 0.0266 
- 0.0005 
—0.0015 
- 0.0012 
— 0.0039 
— 0.0003 
+ 0.0006 
-- 0.0002 
-- 0.0005 
+ 0.0011 
-- 0.0008 
— 0.0031 
- 0.0041 
-0.0014 
4- 0.0002 
-0.0053 
0.0061 
-0.0058 
+ 0.0013 
— 0.0020 
— 0.0002 
4- 0.0105 
-0.0022 

— 0.0005 
—0.0024 
— 0.0017 
+ 0.0005 
— 0.0008 
— 0.0019 
-- 0.0009 
— 0.0009 
+ 0.0006 


u Le) 


-0.047 
— 0.056 
— 0.041 

-0.088 

0.043 
— 0.035 
— 0.038 

0.047 
— 0.025 
— 0.033 

— 0.033 
— 0.050 
— 0.038 
— 0.006 

- 0.021 
— 0.015 
+ 0.025 
+ 0.023 
+ 0.024 
— 0.513 
— 0.008 
— 0.024 
— 0.019 
— 0.028 
— 0.079 
— 0.041 
— 0.061 
— 0.014 
+ 0.009 
— 0.002 
— 0.045 

0.033 

-0.016 
— 0.020 
— 0.059 
- 0.015 

0.032 

-0.008 
+ 0.048 
4- 0.009 
4- 0.001 
-0.005 
+ 0.048 
— 0.039 
—0.001 
— 0.024 
— 0.021 
— 0.030 
— 0.041 
— 0.029 
4- 0.000 


Région 
N:o 


307 123 
311 41 


309 56 
306 110 
310 55 


307 140 


310 52| 


308 107 | 


312 43 


306 115 


309 61| 


307 134 


311 49 


312 39 
307 145 
310 59 


312 44 
307 148 
311 56 


307 147 
311 55 


312 Di 
307 — 
310 72 


307 158 
310 71 


307 157 
310 69 


309 

306 125 
309 91 
310 82 


312 54 
308 128 
311 69 
315 4 


312 60 


A uo = + 05,0002; 4 us = + 0”.014. 


a ET mL 
2010 1Sù 0 


INT EME MEET 


Poids 


B © CQ 00 À -3 -3 © SO Ct © C» OO 


0.033 


0.024 


0.012 


0.048 
0.406 


0.012 
0.040 


0.047 


0.016 


0.043 


0.007 | 


0.066 


0.023 
0.121 


0.021 


0.011 | 


0.017 
0.016 | 


125 


187 


95 


323 
222.5 


246 
250 


175 


45 
224 


146 


254.1 


358 
82.9 


307 
153 


205 
30 


Tom. L, 


N:o 


661 


| 662 


663 


664 
665 


666 
667 
668 
669 


671 


| 673 


675 
676 
677 


678 


679 


672 


| 674 


680 | 


670 | 


8.4 


8.4 


8.7 


| 10.5 


| 
| 


htm) s 


21 15.10 | 
30.36 | 


32.20 
35.01 | 
51.10 


22 14.18 


16.61 


23 5.07 | 


Recherches sur les mowvements propres dans la zone de Helsingfors. 103 
Ó | E ion : | 
1900.0 F4 is art x Poids | (abs.) PA | 
"Romi : EY*- I" 
41 25 28.6 | 5.54 | +0.0064 | +0.036 306 130 0.4 0.6 
| 5.57 | +0.0043 | +0.016 310 84 1.0 1.0 
| +0.0028 | +0.036 313 2 0.4 0.6 
| +0.0044 | +0.027 1.8 2.2| 0.066 | 51.7 
43 27 25.5 | 6.62 | +0.0005 | —0.060 307 164 0.4 0.5 
6.39 | —0.0003 | —0.036 311 71 0.8 0.8 
— 0.0029 | +0.002 314 4) 0.3 0.5 
| — 0.0006 | — 0.032 1.5 1.8| 0.019 | 196 
45 52 53.0 | 5.22 | —0.0019 | —0.034 | 308 130 | 0.3 0.3 
+0.0008 | —0.043 312 67 | 1.0 1.0 
+0.0018 | —0.009 315 50.3 0.3 
+ 0.0005 | — 0.035 | T8: T0 0:022. | 162 
39 30 21.0 | 6.16 | —0.0001 | —0.048 | 309 127 | 1.0 1.0| 0.034 | 178 
43 30 35.6 | 6.56 | +0.0004 | —0.037 307 170 | 0.3 0.4 | 
6.44 | —0.0024 | — 0.037 311 81 10.8 0.8 | 
—0.0001 | —0.032 314 10 0.5 0.5 | 
— 0.0012 | — 0.036 | 1.6 1.7| 0.025 | 207 
(39 827.6 | 6.16 | — 0.0069 | —0.075 | 309 139 | 1.0 0.91 0.099 | 232.0 
| 39 30 58.3 | 6.16 | — 0.0085 | — 0.086 | 309 137 | 1.0 1.0| 0.121 | 233.4 
(39 240.8 | 6.16 | +0.0014 | —0.016 309 140 | 0.8 0.4| 0.018 | 96 
| 46 43 26.0 | 5.22 | --0.0013 | —0.053 312 71| 1.0 1.0| 0.042 | 158 
39 58 12.0 | 6.02 | +0.0017 | —0.106 309 144 | 1.0 1.0 
--0.0006 | —0.080 313 10 | 0.2 0.2 | 
| +0.0015 | — 0.102 1.2 1.21 0.090 | 167.8 
|46 29 21.8 | 5.22 | —0.0003 | —0.083 312 72 1.0 1.0| 0.069 | 180.8 
45 27 22.8 | 5.21 | —0.0015 | +0.014 | 308 135 | 0.1 0.2 | 
— 0.0003 | +0.010 312 79 1.0 1.0 
+0.0010 | +0.021 | 315 11 | 0.9 1.0 | 
| +0.0002 | 4-0.015 | 1270 2210/0292 120, (| 
40 51 32.5 | 5.70 | --0.0088 | —0.023 | 309 141 | 0.9 0.8 | 
| 5.68 | +0.0080 | —0.068 (313 12 | 1.0 1.0 
+0.0084 | —0.048 | 1.9 1.8| 0.103 | 109.3 
41 34 28.7 | 5.30 | +0.0033 | +0.046 | 310 106 | 1.0 1.0 
| +0.0022 | +0.041 313 13| 0.9 0.9 
| +0.0028 | +0-044 | 1.9 1.9| 0.067 | 29.6 
46 30 1.4 | 5.22 | —0.0007 | —0.080 312 81 1.0 1.0| 0.066 | 185.2 
4631 8.5 | 5.22 | —0.0025 | —0.078 312 80| 1.0 1.0| 0.068 | 199.8 
43 43 20.5 | 6.69 | +0.0049 | —0.026 | 311104 | 0.8 0.8 
| 6.77 | +0.0066 | .-0.029 314 32 0.6 0.6 
| --0.0056 | —0.002 | |14 L4| 0.064 | 79.2 | 
4516 3.2 | 5.21 | +0.0042 | —0.031 312 89 1.0 0.9 
| | +0.0043 | —0.036 | 315 25 | 1.0 1.0 
| +0.0042 | — 0.034 | | 2.0 19| 0.051 | 113.1 
45 51 19.7 | 5.22 | —0.0032 | —0.048 312 87| 1.0 1.0 | 
| —0.0017 | —0.020 315 23 | 0.8 0.7 
| —0.0025 | —0.036 | 1.8 1.71 0.033 | 229 
43 32 44.2 | 6.62 | —0.0043 | —0.037 | 311 109 | 0.8 0.8 | 
—0.0040 | 0.016 314 40 0.7 0.7 
| —0.0042 —0.012 1.5 1.5| 0.043 | 273 
46 12 58.8 | 5.22 | —0.0019 | — 0.006 312 93 1.0 1.01 0.020 | 294 


4 ua = + 05.0002; Aus = 


+ 07.014. 


104 RAGNAR FURUHJELM. 


| | | | ó E | Medion |... | 
[ENE | Or. | 1900.0 | 4900. 8904| — "^ ps | No | Poids |& abs.) | P | 
| | | Hunt es OP MR | s | # | | : | 
682 | 9.2 123 7.59 | 40 19 49.0 | 5.72 | —0.0036* +0.019 | 309 188 | 1.0 1.0 | 
| | —0.0038 | —0.026 | 313 50 | 1.0 1.0 
| | | | | — 0.0037 | —0.004 2.0 2.0| 0.041 | 284 
| 683 | 10.6 8.59 | 41 37 24.8 | 5.30 | —0.0009 | 40.008 | 310 144 | 1.0 1.0 
| --0.0017 | —0.022 |313 44/1.0 1.0 
| 1.0.0004 | — 0.007 | | 2.0 2.0| 0.009 41 
684 | 10.7 | 30.07 | 4516 32.2 | 5.21 | + 0.0043 | —0.011 315 34| 1.0 1.0| 0.048 | 86 
| 685 | 9.4 31.67 | 44 54 30.9 | 6.13 | —0.0027 | —0.033 | 311 117 | 0.4 0.3 | 
| | 6.00 | —0.0007 | —0.029 |315 37|1.0 1.0 | 
| — 0.0013 | — 0.030 14 L3| 0.019 | 215 
| 686 | 7.8| 40.32 49 553.5 | 5.28 | -- 0.0015 | —0.040 | 310 153 | 1.0 1.0 | 
| | --0.0002 | —0.049 314 62 0.6 0.5 | 
| | 10.0010 | — 0.043 | 1.6 L5| 0.082 | 156 | 
687 | 10.6 50.665 46 21 35.8 | 5.22 | —0.0020 | —0.014 312 97|1.0 1.0| 0.019 | 270 | 
| 688 | 11.0 55.04 44 6 44.9 | 5.21 | —0.0026 | —0.036 | 311 — | 0.8 0.8 | 
| | —0.0015 | — 0.027 |315 46 | 0.9 0.7 | 
| | — 0.0020 | —0.032 | 1.7 1.5| 0.027 | 228 
| 689 | 9.8| 24 3.73 4018 59.5 | 5.70 | +0.0021 | —0.090 | 309 211 | 0.9 1.0 | 
| 5.72 | --0.0004 | —0.120 313 81|1.0 1.0 | 
| | +0.0012 | — 0.105 | 1.9 2.0| 0.092 | 170.0 
| 690 | 9.7 4.19 | 43 3 50.7 | 6.04 | +0.0004 | —0.045 | 311 127 | 0.3 0.3 | 
| 5.89 | +0.0021 | +0.015 314 69 | 0.7 0.7 
| | 4-0.0016 | — 0.003 | 1.0: 1.0 | 0.022 | 60 
691 | 10.8 5.75 | 45 53 28.6 | 5.22 | —0.0063 | +0.033 | 312 101 | 1.0 1.0 
| | | --0.0018 | +0.009 | 315 4710.9 0.7 
| | — 0.0025 | + 0.023 | 1.9 1.7| 0.044 | 327 
692 | 10.6 15.78 | 42 15 33.4 | 5.28 | +0.0000 | +0.003 |310 163 | 0.8 1.0 
| —0.0028 | --0.034 | 314 82 | 0.7 0.7 
| | —0.0026 | +0.011 |317  2|0.1 0.3 
| | | | — 0.0014 | 4- 0.015 | 1.6 2.0| 0.032 | 334 
693 | 8.4 | 21.30 | 45 19 16.2 | 5.51 | +0.0009 | —0.015 | 312 107 | 0.7 0.7 
| | | | 5.63 | +0.0018 | —0.019 | 315 51|1.0 1.0 
| | | --0.0049 | —0.021|319  8|0.2 0.2 
| | | | | +0.0018 | — 0.018 | | 1.9 1.9| 0.021 | 101 
| 694 | 10.6 | 27.76 | 39 40 33.9 | 6.16 | + 0.0053 | — 0.023 | 309 216 | 0.7 0.9 | 0.064 | 98.1 
| 695 | 9.3| 29.06 | 44 47 31.0 | 5.90 | --0.0172 | +0.022 | 311 128 | 0.3 0.3 | 
| +0.0226 | --0.016 | 315 5711.0 1.0 | 
| +0.0227 | —0.005 |318 4 |0.2 0.2 | 
| +0.0215 | +0.014 1.5 L5| 0.283 | 83.1 | 
696 | 8.7 | 36.32 | 43 16 41.2 | 5.89 | +0.0035 | —0.039 | 311 135 | 0.3 0.4 | 
| | | 6.01 | +0.0030 | 40.018 | 314 90 | 0.7 0.7 
| | | +0.0024 | +0.020 |318 80.3 0.3 | 
| | +0.0030 | +0.002 173012 | 10.088006 
| 697 | 11.0 53.43 | 43 29 18.8 | 5.26 | —0.0029 | + 0.018 |314 85| 0.7 0.7 | 0.043 | 318 | 
698 | 10.3 53.16 | 40 29 0.1 | 5.65 | —0.0060 | +0.025 | 309 218 | 0.4 0.6 | 
5.75 | —0.0039 | —0.007 |313 92|1.0 1.0 | 
—0.0034 | —0.006 316 50.4 0.6 | 
— 0.0043 | 40.002 | 1.8 2.2| 0.049 | 289 


I u, = + 05.0002; 4 us = + 0".014. 
Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la 


2 Ó | E 
N:o | Gr 1900.0 1900.0 1890+ FE 
|n m 5 | em | 8 | 
699 | 9.3 725 3.85 4459 6.4 5.83 | —0.0033 
—0.0038 
4- 0.0020 
4- 0.0010 
+0.0040 | 
| +0.0009 | 
700 8.6 7.32 | 40 39 42.1 | 5.65 | +0.0022 | 
| 5.68 | +0.0002 
| +0.0010 | 
+ 0.0008 
701:1.6.3 8.4939 623.6 | 6.16 | —0.0021 | 
— 0.0038 | 
— 0.0031 | 
702 | 7.6 22.91 | 46 44 49.1 6.94 | — 0.0035 | 
| 6.75 | —0.0036 | 
| | — 0.0036 | 
703 | 8.5| 26.36 | 46 58 48.2 | 5.22 0.0001 
704 | 10.0 40.90 | 45 29 15.4 | 6.32 | — 0.0026 | 
| 6.25 | — 0.0015 
— 0.0003 
| — 0.0012 
705 | 9.2 51.47 | 46 26 58.8 | 7.48 | -- 0.0015 
7.06 | +0.0025 | 
| +0.0023 | 
706 | 8.9. 53.31 | 43 15 58.1 | 5.25 | +0.0025 
— 0.0005 
| +0.0011 | 
707 | 8.6 59.52 | 43 32 39.5 | 5.25 | +0.0049 | 
+ 0.0036 | 
| | + 0.0042 | 
708 | 8.5| 26 1.83 40 3 22.0 | 5.77 | —0.0098 
| | 5.91 | —0.0075 
| | — 0.0084 
| 709 | 10.9 3.93 | 41 2 50.0 | 5.29 | —0.0015 | 
710 | 9.4 28.68 | 47 2 40.1 | 7.98 | — 0.0073 | 
"bd | Cat 45.79 | 39 40 10.3 | 6.16 | — 0.0015 
712 | 9.0 47.95 | 43 16 48.6 | 5.25 | —0.0046 | 
— 0.0051 
— 0.0049 
713 | 9.9 49.69 | 4111 3.1 | 5.29 | —0.0005 
— 0.0028 | 
| | — 0.0014 | 
714 | 10.6 50.58 | 45 38 48.1 | 6.60 | —0.0022 | 
| --0.0006 | 
| | — 0.0010 
715 | 11 27 0.8 | 453652 | 6.60| +0.0031 
4-0.0006 
+ 0.0020 
716 | 9.0 2.63 | 42 23 31.4 | 5.24 | — 0.0023 
| — 0.0036 
— 0.0031 | 


+ 0.001 
-- 0.040 
— 0.015 
— 0.000 
—0.001 

- 0.004 

+ 0.006 
0.042 

— 0.034 
— 0.032 
— 0.038 
— 0.015 

— 0.024 
— 0.028 
+ 0.006 
0.011 


+ 0.032 | 


— 0.000 
+ 0.004 
— 0.030 
— 0.008 
— 0.051 
— 0.010 
— 0.026 
+ 0.001 
— 0.017 
— 0.007 
+ 0.003 
— 0.027 
— 0.015 
— 0.073 
— 0.070 
— 0.071 
— 0.027 
+ 0.142 
— 0.070 
— 0.059 
— 0.079 
— 0.070 
+ 0.009 
+ 0.013 
+ 0.010 
— 0.035 
— 0.053 
— 0.043 
+ 0.022 
+ 0.050 
+ 0.034 
— 0.031 
— 0.035 
— 0.033 


| 
| 


| 916 


zone de Helsingfors. 


| Région 


N:0 


311 133 
312 109 
315 73 
318 10 
319710 


309 217 
313 95 
316 4 


309 225 
&) 


312 111 


|319 13 


312 110 
312 115 
315 79 
319 16 


| 912 116 


319 17 


314 109 
318 19 


314 113 | 
1318 22| 


313 106 
316 18 


313 104 
319 23 
316 41 
314 124 
318 26 


313 121 
317 25 


315 
319 


95 
33 


315 
319 


314 130 
318 33 


4 u, = + 05,0002; À us = + 07.014. 


C m R00 c 105.0 -115-11t0 09 9» O bo to PR 


SHREONOSRHOSSSOONSHOSSS. 
SHRSCDRORRMSNRSRSONSONSES 


Cv Oo -3 o to c O» ho |» ^ C -3 Q9 C» -4 G9 O0 Gt Qo -1 0 X 


a © 


1.6 


0.016 


0.021 
0.036 


0.035 
0.046 


0.013 
0.029 
0.016 
0.048 | 


0.110 
0.019 
0.172 
0.058 


0.075 
0.028 
0.030 
0.053 


0.036 


50 


194 


25.6 


— 
| Poids | « (abs.) | 2m | 


TAL | 


| 728 


| 729 | 


130 
131 


732 
733 


734 


| 10.5 


11.0 | 


RAGNAR FURUHJELM. 


| a | d | E 
1900.0 | 4900.0  18904- 


n 
o ( " 


| 
Tham 


| 
797 44 E AT 7. | 5.30 
| 


9.16 | 44 59 30.2 | 5.91 
| 5.61 


11.26 | 4218 7.3 5.28 


14.63 | 45 27 22.1 | 6.60 


19.48 |45 826.7 6.44 | 


31.85 | 43 18 25.7 | 5.24 


34.62 42 4 16.0 | 5.28 
| E 
| | 
46.23 | 41 39 0.7 | 5.30 
| | 
| | 
28 8.04 | 42 27 40.5 | 5.28 
| | 


17.75 | 39 52 21.3 | 6.16 
19.64 45 36 13.5 | 6.60 


53.83 | 43 15 4.5 | 5.24 


29 14.76 | 42 46 42.1 | 5.28 


16.20 | 46 24 3.6 | 7.98 
27.88 | 39 59 2.4 | 6.02 


35.83 | 42 33 12.9 | 5.30 
44.5 | 42 33 37 5.29 


48.12 | 39 42 50.6 | 6.16 


Ho | Us | 


Région 

N:o | 

[ I | 
--0.0004 | +0.057 | 313 — | 0.9 
4-0:0022 | +0.011 |317 — | 1.0 
-- 0.0013 | +0.031 | 1.9 
— 0.0011 | —0.033 | 315 108 | 1.0 
--0.0014 | —0.019 318 27 0.5 
4-0.0003 | —0.047 |319 34 | 0.4 
— 0.0001 | —0.033 | | 1.9 
— 0.0058 | +0.004 | 314 136 | 0.7 
— 0.0077 | +0.017 |317 28 1.0 
— 0.0069 | +0.012 | | 
+0.0011 | —0.008 | 315 105 | 1.0 
+0.0010  —0.017 319 39 0.8 
--0.0011 | —0.012 | JS 
+0.0048 | +0.010 315 107 1.0 
--0.0067 | —0.035 319 41 0.6 
4-0.0055 | —0.007 1.6 
— 0.0003 | —0.018 | 314 142 | 0.7 
—0.0004 | —0.028 |318 40 1.0 
— 0.0004 | — 0.024 jg 
4-0.0032 | +0.001 | 314 148 | 0.5 
+0.0039 | +0.014 317 38 1.0 
+ 0.0037 | +0.011 | 1.5 
—0.0015 | —0.044 | 313 130 | 1.0 
—0.0020 | —0.059 317 411.0 
— 0.0018 | —0.052 | | 2.0 
— 0.0042 | —0.061 | 314 154 | 0. 
— 0.0016 | —0.059 | 317 sa (10 
—0.0027 | —0.060 19 
--0.0003 | —0.014 316 82 1.2 
—0.0037 | —0.043 | 315 125 | 1.0 
—0.0037 | —0.043 |319 53 | 0.8 
— 0.0037 | —0.043 15728 
— 0.0025 | —0.097 | 314 167 | 0.7 
—0.0011 —0.073 |318 58 |1.0 
—0.0017 | — 0.083 187 
—0.0028 | —0.037 | 314 176 | 0.6 
—0.0032 | —0.016 |317 68 1.0 
—0.0037 | —0.016 |321 3 0.2 
— 0.0031 | — 0.024 HAS 
—0.0010 | —0.010 |319 65 | 0.8 
—0.0050 | —0.033 | 313 152 | 0:2 
— 0.0027 | —0.029 |316 99 | 1.2 
— 0.0030 | —0.030 1.4 
—0.0018 | — 0.040 314 — | 0.5 
--0.0029 | —0.004 | 317 — | 1.0 
—0.0002 | —0.033 | 321 — | 0.2 
+ 0.0024 | — 0.012 E 
316 110 1.2 


— 0.0022 | — 0.081 | 
| 


À fra = + 05,0002; 4 us — + 0.014. 


| Poids 


0.8 
1.0 


(^ (abs.) 


| 


0.019 | 


0.078 


0.014 


0.061 | 


72 


289.4 


82 


83.5 


186 


60.4 


204 


210.4 
90 


231 


193.1 | 


253 
300 


243 
213 


86 
198.9 


Tom. L. 


Pre” 


KRecherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 


N:o | Gr, | 


| 735 | 


736 | 


| 737 


138 
139 | 
140 
741 | 
142 


143 
| 744 | 


| 745 | 
746 | 


747 | 
748 | 


| 749 


750 | 
751 | 


| 
| 752 | 


IB bar 


N:o 7. 


9.8 


9.3 


| 
7.8 | 


10.6 | 


E 


(24 


E | . 

1900.0 1900.0. 4894| "^ | " N:o | Poids 
pme s | a ER | 8 | " PR a ina ie 

7 29 48.60 | 40 58 53.9 | 5.56 | —0.0032 | --0.026 | 313 149 | 0.7 0.8 
| | 5.42 | —0.0021 | +0.013 | 316 102 0.9 0.4 
| | —0.0013 | +0.014 317 76 0.6 0.2 
—0.0041 | +0.020 320 5| 0.3 0.7 
| — 0.0025 | -- 0.020 | 2027 
50.14 | 42 52 19.1 5.28 | —0.0027 | +0.034 | 314 180 0.5 0.6 
| —0.0028 | —0.011 317 TI) 1.0 0.8 
| —0.0028 +0. 008 1.5 1.4 
55.12 | 40 54 22.2 | 5.70 | —0.0016 | +0.014 | 313 157 | 0.6 0.8 
| 5.55 | —0.0004 | —0.019 | 316 103 | 1.1 0.9 
—0.0006 | —0.009 320 60.4 0.8 
— 0.0008 | —0.005 | | 25 1208 
30 1.30 | 39 12 29.4 | 6.16 | —0.0013 | --0.001 | 316 123 | 1.2 1.2 
16.00 | 39 57 32.9 | 6.16 | —0.0017 | —0.031 | 316 119 | 1.2 1.2 
22.84 | 3919 6.1 | 6.16 | —0.0021 | —0.009 | 316 122 | 1.2 1.2 
26.78 | 39 37 0.5 | 6.16 | +0.0014 | — 0.027 | 316 133 | 1.2 1.2 
27.30 | 40 14 55.1 | 5.87 | —0.0047 | —0.077 | 313 166 | 0.1 0.2 
| 5.80 | —0.0033 | —0.069 | 316 131 | 1.2 1.2 
| | — 0.0002 | —0.059 | 320 14) 0.4 0.5 
| | — 0.0027 | —0.067 | 1.7 1.9 
28.29 41 024.2 5.29 | —0.0022 +0.042 | 313 164 0.2 0.5 
— 0.0012 | +0.027 | 317 87 0.7 0.3 
--0.0014 | --0.015 | 320 12 0.9 1.0 
--0.0000 | 4-0.024 "TESTES 
31.49 | 43 812.1| 5.25 | —0.0008 | —0.002 | 314 186 | 0.2 0.4 
| | — 0.0012 | —0.021 318 84 | 1.0 0.9 
| --0.0005 | —0.014 | 321 16 | 0.6 0.7 
| | — 0.0006 | —0.015 820 
33.67 | 40 58 34.0 | 6.16 | —0.0039 | + 0.037 | 316 126 | 0.9 0.4 
33.81 | 45 48 6.8 | 6.84 | —0.0054 | --0.024 | 315 141 | 0.2 0.2 
| —0.0010 | +0.001 | 319 85 0.8 0.8 
— 0.0031 | —0.004 |322 10 | 0.5 0.5 
| — 0.0023 | +0.002 | | 1.5 1.5 
45.10 46 3 36.9 | 7.98 | +0.0012 | —0.005 | 319 84 0.8 0.8 
50.96 4457 9.4 5.22 | —0.0014  —0.061 | 315 147 0.2 0.5 
5.21 | +0.0026 | —0.051 | 318 76 0.8 0.4 
| —0.0028 | —0.061 | 322 16 1.0 1.0 
| — 0.0005 | — 0.059 | 2.0 1.9 
52.40 | 43 13 44.4 | 5.24 | +0.0009 | — 0.028 | 318 83 1.0 1.0 
+0.0003 | —0.041 | 321 15 | 0.7 0.7 
+ 0.0007 | — 0.033 | 1215 
53.34 | 46 45 59.8 | 7.98 | --0.0006 | --0.016 319 82 | 0.8 0.8 
31 9.75 | 4348 4.6 | 5.24 | —0.0094 | —0.150 318 95|1.0 1.0 
| | .—0.0109 | —0.162 | 321 19| 0.4 0.4 
| — 0.0098 | — 0.153 1.4 1.4 
18.52 | 42 41 19.3 | 5.28 | —0.0037 | —0.174 | 317 90 1.0 1.0 
| | --0.0009 | —0.193 |321 23 | 0.7 0.7 
| 00018 | 0182 | rari 
24.49 4425 7.7, 5.22| +0.0025 | —0.066 | 318 100 | 1.0 1.0 
| | —0.0003 | —0.062 | 322 30 | 0.9 0.9 
| --0.0012 —0.064 1.9 1.9 


A u. = + 05.0002; Aus = + 0".014. 


&^ (abs.) | 


0.059 


0.038 


324 


308 


326 
321 
223 
283 
124 


207. 


107 


| Région | 


0 


RAGNAR 


108 

| ENN - 7 | EI 

In: 

vox een 1900.0  1890+ 

| hm s as aee | 4 
754 | 10.7 | 7 31 28.81 | 3934 4.7 | 6.16 
755 | 1l | 30.3 |405425 | 5.68 
| 5.65 

756 | 8.9 30.52 | 39 44 44.8 | 6.16 

757 | 9.3 37.51 | 41 28 59.2 | 5.30 
| 

758 (10.6 | 43.99 | 41 10 58.5 | 5.29 

| 759 | 11 54.1 |4014 0 | 6.16 

760 10.2 32 1.14 | 43 20 30.1 5.24 

| 761) 11% | 6.8 |401113 | 6.16 

| 762 | 11.0 | 12.59 | 40 22 30.3 6.16 

| | 

| 763 | 8.2 27.47 | 45 54 1.2 | 6.84 

| | | 7.06 

| 764 | 8.2. 39.30 39 1 20.0 | 6.16 

765 | 9.8 46.53 | 43 33 20.8 | 5.24 

766 | 10.2 | 46.63 | 42 0 8.1 5.29 

| 

767 | 10.6 49.28 | 44 47 12.9 | 5.22 
| 

768 | 8.6 52.59 4333 9.9 5.24 

769 | 9.2 52.92 | 44 233.3 5.23 

770 | 84 53.41 | 46 31 54.7 | 7.98 

771 | 9.8| 33 8.89 | 47 152.0 | 7.98 

772 | 11 8.90 42 23 28.4 5.26 
| 

773 | 84 16.41 4220 1.5 | 5.28 

| 
774 | 10.5 17.09 | 42 20 5.0 | 5.30 
Au, 


Ua 


FURUHJELM. 


Mö 


N 


— 0.0030 — 0.001 


— 0.0022 
— 0.0027 
— 0.0024 
-- 0.0000 
-- 0.0060 
-- 0.0048 
+ 0.0054 
+ 0.0036 
+ 0.0019 
+ 0.0027 
-- 0.0026 
— 0.0023 
+ 0.0023 
— 0.0004 
— 0.0004 
4-0.0015 
— 0.0002 
+ 0.0007 
4- 0.0015 


+ 0.002 
-- 0.004 
+ 0.003 
— 0.022 
—0.247 
— 0.242 


— 0.244 | 


— 0.247 
— 0.251 
— 0.249 
— 0.073 
— 0.015 
— 0.010 
— 0.015 
— 0.009 


| —0.011 


--0.0007 | 
+ 0.0011 | 


— 0.0005 
— 0.0060 
— 0.0042 
— 0.0053 
— 0.0032 
— 0.0033 
4- 0.0034 
— 0.0018 
+ 0.0052 
+ 0.0005 


4- 0.0016 | 


+ 0.0007 
4- 0.0005 
+ 0.0006 
— 0.0017 
— 0.0001 
— 0.0020 


— 0.0017 | 
+ 0.0017 | 
— 0.0035 | 
— 0.0023 | 
+0.0064 | 


+ 0.0013 
— 0.0031 
-- 0.0011 
— 0.0014 
— 0.0027 
+ 0.0028 
— 0.0004 


+ 0.007 
— 0.003 
— 0.070 
— 0.073 


317 101 
320 26 


317 104 
320 29 


316: ES 
318 109 
|391 31 


1816 — 


316 159 | 


390 © 
| 

| 319 105 
1322 36 


— 0.071 | 


— 0.044 
— 0.105 
— 0.108 
— 0.106 


| — 0.098 


— 0.060 
— 0.051 
— 0.084 
+0.018 
+0.003 
+ 0.010 
— 0.036 
— 0.056 
— 0.044 
— 0.027 
— 0.028 
-- 0.031 
220.078 
+ 0.024 
— 0.064 
— 0.006 
+0.020 
-- 0.005 
— 0.041 
— 0.062 
— 0.050 
— 0.043 
— 0.016 


|316 167 
| 318 120 
321 45 


| 317 118 
320 — 
321 50 
| 
|318 115 
|322 41 


| 318 119 
|321 44 


322 44 


319 109 
319 107 
AM 


317 122 
1321 59 


AL — 


— 0.032 | 
, = + 05,0002; I us = + 0".014; 760—774: + 0".013. 


316 147 | 


318 118 | 1. 
321 43 | 


| 317 121 | 


Poids 


e bouem redes 
SovsoSsu 


2.0 


en 
som 


2.0 


1^ (abs.) 


0.035 | 


0.030 
0.009 


0.238 | 


0.237 
0.069 


0.002 | 


0.004 


0.015 


0.060 
0.031 


0.108 


0.073 


0.030 


0.033 | 


0.014 | 


0.043 


0.061 | 


0.025 


0.039 


0.019 


198 


186 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 109 


———— 0 — 
| a d | E Région : 
| 5 I € : 
GT, | 49000 | 1900.0 Magos | = Hu ge Tow Umum Poids je eb 2 


h m s LE; S " 
10.8 | 7 33 37.81 | 41 49 59.7 | 5.30 | --0.0225 | —0.320 | 317 130 | 1.0 1.0 
0.0189 -0.275 320 38 | 0.9 0.8 
+ 0.0208 | — 0.300 (EEE 
8.4 40.09 | 46 50 44.8 7.98 | +0.0009  --0.028 319 111 | 0.5 0.4 
9.2 44.24 | 40 51 39.2 | 5.58 0.0075  — 0.030 316 178 | 0.6 0.6 
-0.0031 | — 0.022 320 54|1.0 1.0 


0.371 140.7 | 
0.043 16 


-0.0048 | — 0.025 1.6 1.6| 0.052 | 256.8 
9.1 53.14 | 40 21 35.9 | 5.70 | --0.0011 | —0.038 | 316 180 | 1.1 1.2 | 
5.72 | —0.0001  —0.030 320 57 | 1.0 1.0 | 
+0.0005 | —0.034 2:1-2:2/| 0.023 |. 157 
9.1| 34 2.67|4031 6.8 | 5.68 | —0.0010 | —0.058 | 316 195 | 1.0 1.0 
+0.0016 | —0.035 | 390 55 1.0 1.0 | 
--0.0003  — 0.046 2.0 2.0! 0.034 168 
11.0 15.54 |43 6 43.3 | 5.26 | +0.0206 | —0.141| 391 74| 0.7 0.7 || 0.175 | 137.1 
8.9 23.31 | 46 331.5 | 7.20 | --0.0014 | +0.049 | 319 122 | 0.8 0.8 
7.05 | —0.0030 | +0.042 |322 53 | 0.2 0.2 
— 0.0023 | +0.045 |326  4|0.3 0.5 
-0.0001 | --0.047 | 1.3 1.5| 0.060 1.0 
8.7 29.62 | 43 10 52.4 5.59 | —0.0076 —0.098 | 318 140 | 0.4 0.4 
—_0:0054 | —0.134 | 321 73 0.7 0.7 
| — 0.0083 | —0.092 |325 8| 0.2 0.2 
| — 0.0065 | —0.116 2313| 0:123. | 213.4 
8.8) 30.13 | 46 43 9.3 | 7.33 | —0.0027 | +0.015 | 319 119 | 0.4 0.4 
| | 7.21 | —0:0043 | +0.022 1326 2!0.2 0.3 
| —0.0032 | +0.018 | - (0.6 0.7 | 0.043 | 316 
8.7 32.25 | 44 21 55.4 | 5.64 | + 0.0030 | —0.028 | 318 135 0.8 0.9 | 
| | 5.96 | +0.0010 | —0.024 322 59 1.0 1.0 
| | | —0.0007 | —0.056 325 9.0.3 0.5 
| -- 0.0015 | — 0.032 2.1 2.4| 0.027 | 135 
| 11.0 34.49 | 45 28 5.2 | 5.21 0.0008 | —0.083 | 322 61 | 1.0 1.0| 0.070 | 184.1 
8.9 34.61 | 40 127.5 | 5.80 | +0.0039 | —0.015 | 316 204 | 1.0 1.1 
| 6.01 | +0.0012 | +0.003 320 72 0.7 0.3 
—0.0003 | —0.001 |323  2|0.2 0.5 | 
--0.0025 | —0.008 1.9.29) 0:03 — Sä 
9.2 45.20 | 46 26 59.7 | 7.26 | -- 0.0009 | —0.038 | 319 120 | 0.6 0.6 
7.17 | —0.0015 | — 0.056 |326 5| 0.4 0.5 | 
0.0001 | —0.046 10: DAN 0033 HT 
10.4 53.49 | 40 19 46.1 5.65 | —0.0065 | —0.148 | 316 208 | 0.5 0.9 | 
| 5.80 | — 0.0047 | —0.069 320 70 1.0 1.0 
—0.0085 | —0.076 323 70.3 0.6 | 
0.0058 | —0.099 1.8 2.5| 0.107 | 216.2 
9.1 56.39 | 43 19 32.6 5.86 | —0.0013 | —0.056 | 318 144 | 0.4 0.5 | 
5.93 | --0.0031 | —0.030 321 83 0.7 0.7 
-0.0024 | — 0.025 | 325 12 | 0.3 0.4 | 
--0.0007 | — 0.037 1.4 1.6| 0.026 | 157 
9.2 59.36 40 820.1 5.68 | +0.0042  —0.031 316 209 0.5 1.0 
5.85 | —0.0004 | —0 006 320 71. 1.0 0.9 
—0.0016 | — 0.001 323 48.0.4 0.7 
+ 0.0006 | — 0.014 1.9 2.6| 0.009 96 


A u, = + 0.0002; 779—790; + 05.0003; I ws = + 07.013. 


792 | 


793 | 


794 


797 


198 


199 


800 
801 


802 


803 


804 
805 


806 


[04 


Gr. 1900.0 
nem ss 
10.7 |7 835 12.43 
9.0 4.83 
10.1 25.42 
10.4 26.77 
8.5 32.14 
8.3 | 41.74 
9.4 | 47.71 
| 
10.5 53.89 
| 
10.8| 36 2.21 
9.4 30.59 
10.3 42.10 
7.6 44.31 
10.1 49.72 
10.2 SX (oi 313) 
9.3 10.18 
10.5 12.49 


| 42 19 13.0 | 


BAG NAR 


1900.0 — 18904- 


, " 


3957 3.4 6.16 


6.10 


43 10 30.7 | 5.94 


4557 6.8 | 6.26 


6.63 


44 35 49.6 | 6.18 


6.22 


46 311.3 | 6.38 


6.78 


41 44 36.0 | 5.69 


5.71 


6.47 
6.42 


44 16 29.0 


46 23 11.1 | 
44 15 20.0 | 


44 1 52.5 | 6. 
6 


43 23 52.1 | 


39 10 24.0 | 6.16 


5.10 


46 42 20.2 | 6.25 


A ——————————————————————————————————————————————————— 


Ua 


+ 0.0035 
— 0.0053 
— 0.0014 
— 0.0003 
— 0.0050 
— 0.0048 
— 0.0058 
— 0.0201 
— 0.0140 
— 0.0182 


— 0.0161. 


— 0.0049 
— 0.0015 
— 0.0060 
— 0.0038 
-- 0.0024 
— 0.0008 
— 0.0014 
— 0.0002 
+ 0.0000 
— 0.0019 
— 0.0007 
— 0.0009 
— 0.0032 
— 0.0039 
— 0.0035 
-- 0.0017 
-- 0.0046 
4-0.0010 
-- 0.0029 
+ 0.0039 
+ 0.0044 
-- 0.0041 
— 0.0035 
-- 0.0050 
-- 0.0030 
-- 0.0041 
— 0.0081 
— 0.0056 


— 0.0082 | 


— 0.0071 
-F 0.01053 
+0.0079 
+ 0.0090 
-- 0.0030 
— 0.0047 
— 0.0039 
— 0.0045 
— 0.0018 


FuRUHJIELM. 


Mg 


" 


— 0:011 | 
+ 0.000 
— 0.006 
— 0.047 
— 0.057 
— 0.065 
— 0.056 
— 0.057 
— 0.090 
— 0.033 
— 0.070 
+0.012 
4-0.030 
— 0.001 
4- 0.012 
+-0.007 
— 0.014 
— 0.046 
— 0.019 
— 0.044 
— 0.026 
— 0.049 
— 0.044 
— 0.125 
—0:191 
HER 
+0.033 
+0.019 
— 0.021 
+ 0.006 | 
+0.101 
+ 0.105 
+ 0.102 
+ 0.009 
— 0.023 
— 0.057 | 
— 0.039 | 
— 0.099 
— 0.007 
— 0.032 | 
— 0.034 | 
— 0.033 
— 0.021 
— 0.027 
— 0.010 
— 0.197 
— 0.184 | 
— 0.190 


Région 
N:o 


316 210 0.4 
323 9 0.5 

0.9 
318 141 | 0.5 
322 73|1.0 
325 14 0.6 
2.1 
0.2 
0.7 
0.3 
1.2 
0.4 
0.8 
0.6 
1.8 
0.3 
1.0 


318 149 
321 93 
325 16 


319 125 | 
322 66 
326 7 


318 146 
322 81| 
325 17 


319 124 
322 74 
326 10 


320 76 
324 8 


318 151 | 
322 84 
325 22 


322 
326 


90 | 


326 15 
322 101 | 
325 27 


321 106 | 
322 104 
325 35 | 


| 
321 119 | 
325 38 


393 36| 
321 195 | 
324 22 


0.9 
0.7 
1.6 
0.7 
1.0 
0.6 
2.3 
0.2 
0.7 
0.3 


+0.023 | 326 25 0.7 0.6 


À wa = + 08.0003; I us = + 07.013. 


Poids |#{abs) P 


0.057 | 


0.182 | 


0.044 


0.006 


0.032 


0.120 


305 


197.5 | 


Tom. L. { 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 


808 


809 


810 


| 811. 


812 
813 
814 
815 


816 | 


817 
818 


819 


820 


821 
822 


823 | 


824 


825 


826 
827 


Gr. 


10.9 


9.9 | 


10.9 | 
1.4 | 

ASE 

10.4 
Cal 


| 10.4 
10.5 


| 10.7 


E 
18904- 


œ Ó 
1900.0 1900.0 


Région 


2: in 2 ab cad Poids 


Ua us 
| 


h m s nere: S | " 

7 37 29.52 | 4013 1.3 6.16 | —0.0051 | —0.023 320 — 0.8 0.8 
—0.0074  —0.058 323 40 0.9 0.9 
— 0.0063 | — 0.042 TEXTE, 
50.25 | 42 20 23.2 | 5.72 | —0.0067 | —0.016 | 321 141 | 0.6 0.6 
—0.0048 | —0.021 324 35 0.7 0.7 
— 0.0057 | —0.019 | 1.3 1.8 
51.42 | 45 13 21.5 | 5.70 | +0.0003 | +0.002 | 322 120 | 1.0 1.0 
| 5.67 | +0.0004 | 40.028 326 34 0.6 0.6 
| +0.0003 | +0.012 | 1.6 1.6 
56.20 45 2 3.5 | 5.99 | +0.0009 | —0.044 | 322 121 | 1.0 1.0 
| | 5.79 | —0.0005 | —0.053 | 325 44 | 0.2 0.2 
—0.0007 | —0.037 |326 35 0.5 0.2 
--0.0003 | -- 0.044 I rn 
38 4.11 | 45 20 38.7 | 5.73 | +0.0034 | +0.022 | 322 118 | 1.0 1.0 
| --0.0022 | +0.013 |326 32| 0.7 0.7 
--0.0029 | +0.018 | Jd JU 
6.88 | 40 36 37.0 | 6.16 | —0.0056 | +0.028 | 323 46 | 0.9 0.9 
8.46 | 39 48 53.6 | 6.16 | +0.0043 | —0.686 |393 54 0.9 0.9 
13.47 | 40 6 40.4 | 6.16 | —0.0066 | —0.046 |323 51! 0.9 0.9 
26.67 | 40 10 25.2 | 6.16 | —0.0056 | —0.052 323 56 | 0.9 0.9 
38.62 | 42 47 14.9 | 5.70 | +0.0041 | —0.016 | 321 152 | 0.7 0.7 
| 5.67 | --0.0052 | —0.086 324 49 | 0.7 0.6 
| 10.0046 | — 0.048 | ES 
57.96 | 40 311.1 | 6.16 | +0.0034 | +0.022 |323 61 0.9 0.9 
39 6.49 40 14 33.0 | 6.16 | —0.0127 +0.116 |320 — | 0.5 0.5 
—0.0072 | +0.054 323 720.9 0.9 
— 0.0092 | 4-0.076 | 1.4 1.4 
14.44 |45 017.8 | 6.13 | 0.0003 | +0.026 | 322 132 1.0 1.0 
5.54 | 0.0001 | —0.039 325 66 | 0.5 0.2 
—0.0042 | —0.002 326 — | 0.4 0.2 
—0.0018 | +0.023 329 110.2 0.5 
— 0.0011 | +0.024 | VTL TL, 
15.53 | 40 31 42.9 | 5.80 | —0.0015  —0.084 | 320 119] 0.7 0.8 
5.77 | +0.0010 | —0.069 323 70 | 0.9 0.9 
— 0.0001 | —0.076 7L) 1,5 
16.50 46 925.6 | 6.25 | —0.0035 | —0.023|326 44| 0.7 0.7 
16.96 46 925.9 | 6.25 | —0.0019 | —0.014 326 43 0.7 0.7 
18.73 40 411.8 6.16 | +0.0045 | +0.002 |323 73 | 0.9 0.9 
26.19 : 45 22 49.6 | 5.71 | —0.0044 | —0.042 | 322 137 | 0.8 0.9 
5.63 | —0.0051 | —0.043 |326 46 | 0.7 0.7 
| —0.0066 | — 0.050 |329 5|0.3 0.6 
—0.0050 | — 0.044) | 1281919. 
32.23 | 45 26 53.2 | 5.68 | --0.0011 | —0.058 | 322 136 | 0.8 0.9 
5.63 | —0.0010 | —0.072 326 511.0 1.0 
— 0.0005 | —0.084 329 4 0.4 0.6 
— 0.0001 | —0.070 ZZ 
33.16 46 557.6 6.25 | +0.0003 0.002 326 47| 0.7 0.7 
47.19 | 41 33 38.1 | 6.14 | +0.0063 | -+0.028 | 320 0.4 0.6 
--0.0014 | +0.010 |324 70 0.7 0.7 
--0.0083 | —0.036 327 60.3 0.4 
--0.0043 | +-0.006 1.4 17| o. 

d Ua = + 05,0003; 4 Us = u 0".013. 


M (abs.) 


0.075 | 


0.060 | 


0.026 


0.032 


0.046 
0.075 

0.675 
0.080 
0.075 


0.065 
0.055 


0.135 


0.038 


0.063 
0.034 
0.017 
0.056 


0.059 


238.2 


179.0 
29 


69.6 


833 


834 


835 


836 


841 | 


842 
843 


844 


845 


| Gr. | 


8.7 


8.4 


9.8 


[24 
1900.0 


Tm ÅS 


7 39 47.86 


40 2.67 


39 43 51.0 
42 45 25.9 


40 25 42.9 
44 54 20.4 


42 1 38.2 | 


42 47 56.9 


39 58 36.7 


| 41 31 24.3 


4421 2.0 


41 18 54.1 


| 46 21 34.1 


| 


39 51 54.6 | 6 
(41 349.6 6 


43 15 54.3 


40 53 49.5 


FI la = 


RAGNAR FUrRUHJELM. 


No) 4060 "| 4909 jmw| Men | 


5.99 


6.16 


-- 05,0003; 


Ua 


1o; 0002 | 


— 0.0004 
+0.0006 


— 0.0023 | 


— 0.0005 
+0.0031 
+0.0011 

— 0.0028 
0.0005 


4-0.0036 | 


— 0.0034 
—0.0060 


— 0.0066 | 


— 0.0054 | 


+0.0029 | 
— 0.0011 | 


— 0.0006 
— 0.0067 
— 0.0025 
— 0.0002 
— 0.0026 
+ 0.0068 


4- 0.0005 


+ 0.0050 


— 0.0006 | 


+ 0.0008 | 
-- 0.0035 


--0.0029 | 
— 0.0041 | 


— 0.0028 
-0.0021 
— 0.0025 
— 0.00153 


--0.0014 | 
+0.0010 | 
-- 0.0009 | 
— 0.0017 | 
— 0.0011 | 
— 0.0014 | 


-- 0.0080 
+ 0.0007 
— 0.0053 
— 0.0024 


. —0.0019 


— 0.0026 
-- 0.0007 
-- 0.0002 
-- 0.0004 
+ 0.0043 
-- 0.0060 
-- 0.0053 


| Région | 
N:o 


+0.009 | 322 143 | 0.9 
+0.018 325 73 0.3 
+0.006 326 52, 0.6 


+ 0.006 | 321 176 | 0.1 
+0.004 324 841 0.7 


+0.022 | 322 152 0.2 
— 0.051 | 325 83 | 0.8 
— 0.022 | 329 15 | 0.3 


+0.042 | 321 — 01 
|324 83| 0.7 


+ 
D 
© 
= 
m 


321 174 | 0.2 
+0.028 |324 80 | 0.7 
328 27 0.7 


| 
e 
2 
e 
D 


— 0.021 | 323 100 0.9 


— 0.066 |326 61 | 0.7 
— 0.061 | 323 110 | 0.9 
—0.052 | 323 116 | 0.3 
0.024 | ja24 204] 0.6 
—0.001 | 327 26 | 0.9 
— 0.001 1.8 
—0.048 325 96 0.8 
— 0.060 398 29 0.9 
— 0.054 | In 
— 0.032 | 323 117 | 0.7 
— 0.012 
— 0.020 | 


| 1.6 


Aus — + 07.013. 


| Poids 


1.0 
0.2 
0.4 
0.8 
2.4 
0.9 
0.7 
0.7 
1.4 
0.9 
0.8 


> 0.6 


1.0 


Mu labs.) | 


" 


0.012 
0.045 


| 


0.006 . 


0.054 


0.156 


0.017 


a 


301 
65.2 


342 


54.0 


200.3 


202.6 


M 
S 
M 
ee 


Tom. L. 


[o o] 
Bm 
[=>] 


oo O0 
c. © 
cc 


N:o 7. 


9.2 


10.4 


| 10.6 


| 10.2 


10.0 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 


[04 
1900.0 


h m s 

7 41 25.39 
34.06 
50.56 


i 
-3 
NN 


35.41 
50.29 


Aus = + 05,0003; dw — + 0 


Ó 
1900.0 


39 13 21.0 
| 42 23 43.8 
44 250 


44 30 45.5 


40 54 42.7 


39 35 11 


1 | 41 43 31.9 


43 26 50.1 


39 56 8.1 


46 48 26.6 | 


45 56 25.3 


42 41 13.6 


39 57 49.7 


43 935.8 | 


40 127.6 
40 1 59.8 


46 51 49.0 | 


| 44 33 52.9 | 


E 
1890-] 


6.16 


6.25 
6.16 


6.60 


"013; 861—860: + 0",012, 


113 

m (tà PESON Poids | (abs.) P 

S | "n " I o 
-- 0.0022 0.107 323 126 | 0.9 0.8| 0.098 | 163.4 
+ 0.0261 0.227 326 66, 0.6 0.6| 0.345 | 128.4 
+ 0.0001 0.002 | 324 (202077 
— 0.0050 | —0.013 328 40| 0.8 0.8 
— 0.0026 0.008 1.5 1.5| 0.025 281 
—0.0061 | —0.041 | 325 (0.8 0.8 
—0:0016 | — 0.032 | 329 0.7 0.4 
— 0.0040 0.038 | 1.5 1.2| 0.047 238 
+ 0.0002 | —0.041 325 114 | 0.8 0.8 
—0.0022 | —0.029 329 44|1.0 1.0 | 
— 0.0011 | — 0.034 1.8 1.8| 0.023 | 203 
4-0.0007 | —0.028 323 134 | 0.6 0.4 
+0.0001 | — 0.023 |327 51 | 0.9 0.9 
4- 0.0003 | — 0.025 I-2:6 1:8: 0.074 150 
+0.0025 | — 0.047 324 112 | 0.7 0.7 
+0.0007 | —0.075 1328 56 | 0.7 0.7 
+ 0.0016 | — 0.061 1.4 1.4| 0.052 157.4 
--0.0051 | —0.037 | 325 113 | 0.8 0.8 
+0.0048 | —0.048 |329 43 1.0 1.0 
+ 0.0049 - 0.043 | 1.8 1.8 | 0.064 118.2 
+ 0.0165 | — 0.138 |323 — | 0.9 0:9 |: 0.231 122.8 | 
+0.0069 | —0.295 | 324 116 | 0.7 0.7 | 
--0.0056 | —0.284 | 327 49| 0.8 0.8 
-- 0.0062 | — 0.289 1.571.535: 0.285411 165,2 
— 0.0004 | — 0.113 | 326 76| 0.7 0.7| 0.100 | 180.6 
+0.0012 | +0.022 | 326 80 0.7 0.7 
+ 0.0007 | —0.014 329 — | 0.6 0.3 | 
4-0.0010 | -- 0.011 | FÄR 1 0102027 28 
— 0.0010 | —0.073 | 325 129 | 0.8 0.8 
—0.0001 | —0.073 |328 59| 0.9 0.9 
— 0.0005 | — 0.073 10.7870 1222 0206027182597 
0.0023 | — 0.071 | 323 141 | 0.9 0.9| 0.063 202.5 
+ 0.0169 | — 0.016 326 35 0.6 0.5| 0.176 91.0 
--0.0031 | —0.014 | 326 88| 0.7 0.7 
+0.0027 | +0.012 | 329 46 | 0.7 0.4 
+ 0.0029 | — 0.005 1.4 1.1| 0.034 78 
+0.0010 | +0.013 | 324 117 | 0.6 0:6 
+0.0012 | —0.007 | 328 601 0.9 0.9 
4-0.0011 | +0.001 Ip25 591253 020247 51 
— 0.0028 | —0.045 | 323 152 | 0.9 0.9 
— 0.0052, | —0.030: 327 60! 0.3 0.2 
— 0.0034 | — 0.042 T2 1.111 0:0470 230 
—0.0048 | —0.096 | 325 133 | 0.6 0.4 
—0.0024 | —0.096 | 328 641 0.9 0.9 
— 60.0034 | — 0.096 JEXCTE 3050971 202.0 
+.0.0018 | + 0.044 323 163 | 0.9 0.9 | 0.061 28.2 
+0.0020 | — 0.060 | 323 162 | 0.9 0.9 
—0.0007 0.059 327 70,90.6 0.4 
+ 0.0009 - 0.060 | 4.5 1.3| 0.050 163.7 


| 10.7 


À ua = + 05.0003; 


114 RAGNAR FURUHJELM. 
a E 
Sole 1900.0 u8go+| — "^ 
im vs | i 
867 | 10.7 | 7 43 52.72 2.0 | 6.91 | +0.0078 | 
6.84 | +0.0038 | 
+ 0.0054 
868 | 10.8 54.10 6.16 | +0.0011 
— 0.0024 
— 0.0006 
869 11 55.2 6.16 | — 0.0058 
870 | 10.8 | 44 3.10 6.14 | — 0.0056 
— 0.0125 
— 0.0095 | 
871 | 10.6 4.50 6.16 | — 0.0123 | 
| — 0.0155 
— 0:0145 | 
872 | 11.6 | 5.32 6.16 | —0.0151 | 
873 | 9.8 1.52 6.88 | +0.0006 | 
6.85 | +0.0030 | 
— 0.0004 | 
+ 0.0019 
874 | 10.1 37.39 6.37 | +0.0026 
6.40 +0.0023 | - 
— 0.0006 | 
— 0.0009 
4- 0.0008 | 
| 875 | 10.7 | 47.98 | | 6.16 | -- 0.0018 
— 0.0007 
— 0.0028 
| — 0.0003 
876 | 9.9| 4518.51 | | 5.91 —6.0039 | - 
Sum 2789 21.18 | 6.15 | --0.0070 
4-0.0067 | 
4- 0.0043 
| +0.0061 
878 | 9.7 27.76 4356 5.2 | 6.01 | —0.0023 
6.31 | +0.0047 
4- 0.0007 
4- 0.0017 
879 | 11 32.5 6.15 | —0.0103 
— 0.0109 
— 0.0105 
880 | 8.8| 46 5.01 4026 38.6 | 6.16 | +0.0042 
| +0.0001 
+ 0.0024 
881 | 10.6 36.86 | 6.15 | —0.0088 
— 0.0067 
— 0.0080 
889 | 10.6 47.09 | 40 11 31.8 | 6.16 | —0.0036 
— 0.0032 
— 0.0034 
883 52.78 | 46 16 26.2 | 7.98 | + 0.0008 


uw 
{er} 


m 
SI IE EU En SLS Co CO Qs Caro Ca Sk er n DIEA E Eo eng 


oo © -1 
Homann 


en 
oo © 
m © 


e 
[0 +} 


b2 


OR to He 00 WMI LM cO CO» Db CO HH 


© © © -1 Q2 Où À © D Hu AN 


4 us = + 0",012, 


| Poids PHESIETTHESI abs.) 


0.115 


0.256 
0.280 


0.060 


0.033 | 


0.006 


0.040 


0.082 


0.021 


0.115 | 
0.034 


0.088 | 


0.059 
0.022 


160 


120.0 


93 


259. 0 


Tom. L. 


| 
896 


N:o 7 


7.3 


Recherches sur les mouvements propres 


[7 
1900.0 


h m 


8.9 


10.6 | 


10.6 


| 10.8 


11.0 | 


11.3 
10.5 
10.0 


| 10.9 


| 10.9 


7 4717.10 | 40 51 27.8 | 


e 
= 


| 


5 


20.84 | 42 44 24.8 


36.11 | 40. 0 14.3 
46.33 45 0 36.1 | 6 


119 mt 


13.10 


14.60 


15.37 


| 
| 


26.70 | 39 53 46.6 | 6. 
28.03 | 39 30 51.9 |.6. 
39.87 | 40 28 43.5 


| 


45.33 | 43 32 46.3 | 


50.71 | 40 50 11. 
46 16 


SELIN 
57.47 


58.18 | 40 47 42.6 

27.13 | 40 8 27.9 | 
38.07 | 46 30 33.0 | 
2 98 40.8 


43.00 | 4 


5 
190 


D 


44 48 
| 39 58 30.0 
43 43 49.9 


| 40 56 11.4 


A ur 
0.0 11890 + 


" 


25.8 


2 | 6.16 
9 | 7.98 
.2 | 6.47 

6.41 


47. 


6.16 
6.16 
7.98 
6.01 
5.94 


45.80 | 43 27 30.7 | 5.61 


50.80 | 42 43 43.7 


| 5.64 


6.16 


A uws.= + 08,0005; 


 -—-—-—-—— nn ——————————————— 


Ua 


+ 0.0002 
— 0.0029 
— 0.0010 
-- 0.0039 
-- 0.0069 
+ 0.0051 
0.0008 
-- 0.0035 
+ 0.0026 


-- 0.0089 


4-0.0061 | 


4-0.0066 | 


--0.0078 | 


+ 0.0072 
+ 0.0000 
— 0.0017 


— 0.0002 
-- 0.0006 
+ 0.0005 
4-0.0011 
— 0.0022 
— 0.0002 
+ 0.0052 
-- 0.0025 
— 0.0021 
— 0.0042 
— 0.0032 
— 0.0035 


+ 0.0056 
-0.0011 


— 0.0079 
- 0.0026 


-- 0.0022 
— 0.0002 
— 0.0060 


— 0.0034 | 


— 0.0012 


— 0.0016 | 
— 0.0024 | 


-0.0025 | 


— 0.0018 | 


— 0.0003 | 
— 0.0016 | 


— 0.0041 | 


4- 0.0021 
— 0.0015 


-- 0.0013 | 


— 0.0081 
— 0.0011 
— 0.0035 


! —0.0042 


dans la 


+ 0.026 


Région | 
N:o 


327 125 
330 45 


0.9 
0.6 
1.5 
0.9 
0.6 
1.5 
0.9 
1.0 
0.5 
0.5 
| 2.0 
329 114 | 1.0 
332 | 0.9 
| 1.9 
327 137 | 0.3 
330 62 0.9 

| 1.2 
328 162 | 


328 147 | 
391 33 


390 51| 
329 109 
332 26 
333 39 


13327351 160 


I 
327 134 | 0.9 
330 64 0.6 

185 
330 74 0.9 
330 77 | 0.9 
327 144 | 0.8 
330 86 | 0.9 

Er 
328 170 | 0.8 
332 44|1.0 

1.8 
327 139 | 0.9 
333 42)| 0.8 
329 121 | 1.0 


328 185 | 0.6 
331 51 0.7 
335 9302 


60 


4 us — + 07.012, 


Poids 


0.9 
0.6 


zone de Helsingfors. 


P (abs.) 


0.049 | 


0.061 
0.012 


0.079 
0.093 
0.025 

0.021 || 


0.055 | 
10.067 
0.033 


0.062 


0.096 
0.053 
0.032 


0.025 
0.060 
0.035 
0.023 | 


0.043 | 


0.025 | 


P 


349 


73.9 
211 


34.7 


121.8 


206 


3115 


| 906 


| 907 


909 


910 


911 


908 | 


912 | 


1900.0 


| 
nom ^s 


T 49 52.37 


[51 
© 
[0 2] 
[>] 


50 18.04 


29 23 


30.52 


40,17 


40.50 


46.85 


4d a = + 05,0003; 


RAGNAR FURUHJELM. 


1900.0 - 
| 43 44 55.9 
| 
| 


| 41 48 28.6 
41 24 55.6 


| 44 54 46 7 


| 40 34 10.7 


| 40 33 41.0 


| 40 33 39.9 


1140119 3.1 


| 


| 40 18 28.7 


|46 529.3 
| 41 14 43.9 


44 14 40.6 


3 | 4426 12.1 | ! 


5.23 


ct 


-1 


OU 


[ord 


An 


4 


— 0.0038 
+ 0.0044 
+ 0.0033 
— 0.0022 
4- 0.0032 
-- 0.0010 
— 0.0044 
= 0.0004 
— 0.0007 
— 0.0025 
— 0.0047 
— 0.0031 
— 0.0083 
— 0.0087 
— 0.0062 
— 0.0076 
— 0.0032 
— 0.0019 
— 0.0026 
— 0.0041 
— 0.0075 
— 0.0056 
— 0.0024 
— 0.0012 
— 0.0019 
— 0.0086 
— 0.0032 
— 0.0084 
— 0.0089 
— 0.0042 
— 0.0038 
— 0.0040 
-- 0.0014 
-- 0.0083 
+ 0.0060 
4- 0.0069 
-- 0.0038 
+ 0.0058 
4- 0.0049 
4- 0.0011 
— 0.0004 
+ 0.0032 
-- 0.0015 
+ 0.0047 
+ 0.0065 
+ 0.0054 
+0.0011 


+ 0.0041 | 


+ 0.0025 


E MET 
Région 


us N:o Poids 
— 0.038 |328 — | 0.4 0.4 
+0.002 | 332 59| 1.0 1.0 
0.049 335 — | 0.2 0.3 
— 0.016 1.6 1.7 
— 0.082 | 327 157 | 0.2 0.3 
—0.069 |331 57|0.7 0.7 
— 0.044 334  5|0.2 0.3 
— 0.066 | LD 
— 0.071 | 327 164 | 0.3 0.5 
—0.099 |331 60 | 0.7 0.7 
—0.045 |334 11|0.7 0.8 
— 0.070 | 1.7 2.0 
| —0.016 | 329 134 | 0.4 0.7 
| +0.005 |332 62|0.8 0.7 
| —0.001 336 11|0.9 1.0 
| — 0.004 DR 2:1 
| —0.099 | 330 111 | 0.9 0.9 
| —0.108 |334 14 | 0.7 0.8 
| — 0-108 1.6 1.7 
| —0.021 330 110 | 0.9 0.9 
— 070155. 1534 0910273018 
Or. TE 
0.015 330 109 | 0.9 0.9 
10.013 |334 21) 0.7 0.8 
707002 1.6 1.7 
--0.001 |332 64| 0.8 0.5 
—0.000 |335 810.7 0.7 
— 0.000 | IE 2) 
—0.595 | 330 114 | 0.9 0.9 
— 0.012 | 330 122 | 0.9 0.9 
—0.013 |334 22| 0.6 0.7 
— 0.012 | 759116 
--0.005 333 61| 0.8 0.8 
0170 (331 76 | 0.7.0.6 
0.153 |334 231.0 1.0 
STA! 1.7 1.6 
--0.004 339 — | 0.9 0.7 
+0.006 |336 16 | 1.0 1.0 
+ 0.005 | T0 gin 
--0.049 |333 65| 0.5 0.3 
—0.082 |331 70| 0.6 0.4 
0.067 1335 12110 7007 
201072 IBI TNT 
— 0.006 332 68 1.0 1.0 
—0.004 336 19 | 0.7 0.7 
— 0.005 BIER MIR. 
10.010 |332 66 |1.0 1.0 
+0.002 |336 28| 0.9 0.9 
10.006 | 12.9 1.9 

ISA 


Aus = + 07,012; 916—921: 


M^ (abs.) 12 
0.026 | 99 
0.055 | 171.6 
0065 | 2073 
0.077 | 275.9 | 
0.093 196.5 
0.060 265.2 | 
0.021 299 
0.090 277.7 
0.591 189.6 
0.043 270 
0.005 47 
0.169 151.3 

| 
0.057 | 73.8 
0.062 13.1 
0.065 161.0 
0.062 84.5 
0.034 60 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 117 


e Ó E Rögion 


-1 


1900.0 | 49000 48904] Me Fi N:o | Poids |m(abs)| P 
ih m s MOT | 8 ul " 

7 51 18.33 | 45 30 57.2 | 6.67 | —0.0013 | —0.010 333 72 | 0.8 0.8 
— 0.0019 | — 0.012 |336 25 | 0.9 0.9 

— 0.0016 | —0.011 1.7 1.7| 0:014 | 270 
23.50 | 45 34 30.9 | 6.67 | —0.0006 | —0.033 333 70 | 0.8 0.8 
--0.0006 | —0.042 336 23 0.9 0.9 

--0.0000 | —0.038 1.7 1.7| 0:027 | 174 

27.32 | 41 31 55.4 | 6.13 | --0.0010 | +0.007 |331 80, 0.7 0.71 0.023 38 
34.79 | 40 40 51.1 | 5.73 | —0.0024 | +0.013 | 330 132 | 0.9 0.9 


— 0.0040 | —0.011 334 30 /1.0 1.0 

— 0.0052 | -- 0.000 1.9 1.9| 0.086 | 288 
39.89 | 43 57 5.5 | 5.24 | —0.0067 | —0.042 332 74|1.0 1.0 

— 0.0064 | —0.031 335 16, 0.4 0.3 

—0.0046 | —0.032 | 336 29| 0.2 0.2 


— 0.0064 | — 0.038 1.6 1.5| 0.071 | 247.8 
42.50 | 39 116.4 | 6.16 | — 0.0065 | — 0.076 | 330 147 | 0.6 0.31 0.098 | 228.3 
45.4 48 34 2 | 5:24 | +0.0011 | —0:071 | 332. —| 1.0 1.0 


RAM NOM + 


| | +0.0082 | —0.046 1335 — | 0.7 
| 4-0.0040 | — 0.061 
52 12.5 | 41 33 59 5.71 | —0.0001 | +0.040 |331 — 
— 60.0051 | +0.006 | 334 — 
| — 0.0030 | 4- 0.020 
12.57 | 4146 57.0 | 5.76 | —0.0051 | —0.035 |331 8 
5.78 | —0.0066 | —0.046 334 31 
| — 0.0059 | —0.040 


0.068 | 137.4 


HEensssnHonssHHroen 
SSOONGSGONSOIR INS IN 
HH 
© 


0.044 | 315 


0.069 | 245.3 


E EVE dem E EE 


12.83 45 7 8.0|6.44| +0.0006 | --0.087 (333 82 6 
| 6.35 | —0.0007 | +0.086 | 336 39 { 
| — 0.0002 | + 0.086 161 0.097 | 0.6 
14.50 | 45 41 26.0 | 6.67 | —0.0099 | —0154 |333 81 | 0.8 | 
| | — 0.0143 | — 0.144 1336 35 | 0.9 
| | — 0.0122 | — 0.149 1.7| 0.186 | 222.2 
21.57 |41 724.5 | 5.66 | —0.0023 | +0.044 |331 91 0.5 
5.64 | +0.0017 | +0.009 |334 34 1.0 
| | + 0.0002 | +0.021 | | 1.6 1.5| 0.032 9 
26.44 | 40 753.7 | 6.16 | +0.0049 | — 0.036 | 330 150 | 0.9 0.9| 0.064 | 113.0 
27.12 | 45 50 35.7 | 6.75 | --0.0056 | —0.008 |333 86 | 0.8 0.8 | 
6.84 | +0.0039 | — 0.007 | 336 34 | 0.8 0.7 | 
0.0048 | — 0.008 6 L5| 0.053 | 86.8 
28.76 | 42 33 56.7 | 5.70 | —0.0018 | +0.051 331 87 | 0.7 0.7 | 
+0.0013 | +0.002 | 335 27| 0.7 0.7 | 
— 0.0002 | + 0.026 4 14| 0.037 0 
41.15 | 46 44 28.9 | 7.98 | —0.0018 | —0.025 333 841 0.7 0.6| 0.021 | 229 


53 21.18 | 39 59 23.6 | 6.16 | —0.0044 | — 0.124 | 330 159 
45.04 | 46 31 59.7 | 7.98 | +0.0093 | +0.038 333 93 
| +0 0107 | +0.031 1340 2| 
| +0.0095 | + 0.036 
52.72 | 42 26 58.6 | 5.65 | —0.0006 | +0.002 |331 98 
5.67 | +0.0008 | —0.036 |335 47 
--0.0002 | —0.018 
54 9.57 | 39 53 34.5 | 6.16 | + 0.0060 | —0.003 | 330 174 


4 wa = + 05.0003; I us = + 0".011. 


0.9] 0.122 | 202.6 


Oo O5 -1 CO» Co FM =I © 
S 
D 


DAN 0.111 | 065.01 


1.3.| 0.008 150 
0.9 | 0.073 83.7 


SROLCSCESSASSUCS 


118 RAGNAR FURUHJELM. 
e lp pd cem, Pur 1 Région ids | 
| N:o | Gr.) 49000 | — 4900:0 18904] — "^ HE No, | Poids e (abs CP 
| h m s psp”. ^ | 8 | " | " o 
942 8.4 | 754 9.90 45 4 44.6 | 6.13 | —0.0015 | +0.001 | 333 103 | 0.3 0.3 


6.00 | —0.0019 | —0.007 336 63 1.0 1.0 
| +0.0037 | —0.026 |340 5/01 0.1 


— 0.0014 | —0.007 1.4 14| 0.013 | 288 
943: | 10.9 | 16.43 42 21 38.6 | 5.26 | +0.0130 | —0.069 |331 — | 0.6 0.6 
| | +0.0154 | —0.074 335 54 0.7 0.7 | 
| | + 0.0143 | —0.072 1:3e1:3 | 0:172 qt 1108 
944 | 8.3 | 32.99 4040 32.6 5.64 | —0.0012 | —0.013 330178 0.5 0.5 
| — 0.0005 | —0.033 334 58 1.0 1.0 
— 0.0058 | —0.027 |337  1,0.2 0.2 | 
—0.0013 | —0.026 | 1.7 1.7| 0.019 | 219 
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| | 5.96 | —0.0052 | —0.014 336 76 1.0 1.0 
| | — 0.0118 | —0.030 339 5 0.3 0.6 
| | | — 0.0063 | — 0.016 2.1 2.5| 0.065 | 265.6 
| 946 | 11.1 38.13 42 26 31.4 | 5.26 | —0.0058 | +0.053 331 — | 0.5 0.6 
| —0.0110 | — 0.035 |335 63 0.7 0.7 
| — 0.0088 | +0.006 | 1.221.371 10.092 1| 2208 
947 | 10.0 39.1245 7 38.8 | 6.25 | —0.0067 | +0.010 | 333 108 | 0.3 0.3 
6.35 | —0.0026 | —0.023 |336 74|1.0 1.0 
--0.0052 | --0.049 |340 10 | 0.2 0.3 
| — 0.0024 —.0.003 | 1.5 1.6| 0.023 | 290 
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| 5.57 | —0.0038 | —0.113 |334 63 |1.0 1.0 | 
| —0.0063 | —0.105 | 338 10 | 0.3 0.6 | 
— 0.0038 | — 0.106 | 1.8 2.2| 0.103 | 202.8 | 
949 10.6 45.90 | 40 54 39.3 | 5.29 | —0.0035 | —0.054 344 68 1.0 1.0| 0.056 219.9 | 
950 | 10.1 55.17 39 9 52.4 | 6.16 | + 0.0038 + 0.049 |330 1910.2 0.2| 0.076 38.1, 
| 951 | 8.6 56.23 | 39 53 28.9 | 6.14 | + 0.0075  — 0.020 | 330 189 | 0.4 0.7 | 
| | --0.0009 + 0.008 | 337 10 | 0.3 0.6 | | 
+ 0.0047 | — 0.007 0.7:1.3| 0.056 | 85.9 | 
|952 | 8.0, 55 1.99 | 40 25 19.7 | 5.67 | —0.0024 | —0.079 |330 186 0.4 0.6 | 
| | 5.77 | —0.0014 | — 0.064 | 334 78 | 1.0 1.0 
| —0.0064 | — 0.078 |337. 7|0.3 0.5 | 
| — 0.0025 | —0.072 1.7 2.1| 0.066:| 2028 
| 953 | 9.1 7.09 | 42 44 42.0 | 5.42 | —0.0040 | —0.002 | 331 110 | 0.2 0.2 
| — 0.0033 | —0.090 | 335 75 9.7 0.7 
| | — 0.0037 | —0.066 | 338 16 | 0.4 0.4 
| | — 0.0035 | — 0.069 1.3 1.3| 0:068 | 211.8 
| 954 | 10.5 7.52 | 40 46 16.2 | 5.44 | —0.0027 | —0.001 | 330 185 | 0.2 0.2 
| | | 5.49 | —0.0031 +0.009 334 77 1.0 1.0 
| | —0.0054  —0.001 337 — | 0.2 0.3 
| | 0.0034 | + 0.006 14 1.5 | 0.089 | 296 
| 955 | 9.7 7.15 |43 4 28.0 | 5.80 | —0.0059 | —0.007 | 332 103 | 0.2 0.2 | 
| | | 5.64 | —0.0018 | —0.002 |335 70|0.7 0.7 
| | —0.0049 —0.057 |339 16 | 0.3 0.2 
| —0.0033 | — 0.013 HOT) 10033 10867 
956 | 7.7 16.27 | 44 17 52.7 | 6.22 | —0.0008 | +0.011 | 332 100 | 0.4 0.7 
| 6.17 | —0.0000 | —0.007 |336 80 1.0 1.0 
—0.0064  —0.003 339 9 0.6 0.7 | 
— 0.0021 | —0.001 2.0 2.4| 0.021 | 298 (| 


4 wa = + 08.0003; A us = + 0.011, 
Tom, L. 


buie. 


m 


u 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 119 


| | [7 i Ó | 2 ] Régi 
| | ‚egion : TS 
1900.0 | 1900.0 18904| "^ dis No) | Poids lu (abs) ^ P 


= 
© 
= 


| | hm s | or E | 
957 | 10.7 | 7 55 29.52 | 44 8 15.1 | 6.40 
| | 6.32 


o 


—0.0034  — 0.007 332 101 
—0.0003 —0.017 336 85 
— 0.0075 | —0.085 339 18| 
—0.0035 | —0.038 
—0.0018 | —0.037 335 79 
— 0.0060 | - 0.008 338 92. 
— 0.0040 | —0.012. 
--0.0015 — 0.002 335 88 
— 0.0031 | +0.009 | 333 115 | 0.2 
— 0.0048 | —0.020 336 87 0.8 
—0.0023 | —0.032 340 17 
— 0.0036 | — 0.019 
+0.0046 | +0.025 | 333 114 


tl 
e 


958 | 10.8 46.27 | 4224 8.3 | 5.98 


DEUTET 


Ma € 00 -1 © =] 
sosnsous>P»> 


-]4R (D O45 -1 05 00 OO -1 


| 41 58126 |! 
| 45 53 50.6 | 


| —0.0005 —0.010 340 16/07 0.7 
| | --0.0006 30.000 0.9 1.0| 0.016 45 
962 | 10.0 | 5.25 | 46 44 24,5 | 7.98 | —0.0048 | +0.025 | 333 113 | 0.1 0.2 
| | +0.0033 —0.023 340 18 | 0.6 0.6 
| | | + 0.0021 —0.011 10.7 0.8| 0.026 90 
963 | 10.7 | 17.07|4640 8.5 | 7:98 | —0.0061  —0.061|340 19| 0.6 0.6| 0.077 | 229.7 
964 10.8. 19.77 | 41 25 55.1 | 5.29 | —0.0084 | —0.021 334 84 1.0 1.0 


—0.0079 —0.041 338 28 | 0.9 0.9 

— 0.0082 | — 0.030 |1.9 1.9| 0.090 | 257.8 
—0.0002 | —0.054 335 97 0.7 0. 
—0.0009  — 0.003 338 39 1.0 
— 0.0006 | —0.024 Tie 
--0.0014  — 0.006 334 98,1.0 
—0.0004 —0.014 338 41, 0.8 
4-0.0006 | — 0.009 1.8 


1 

1 0.013 | 189 

1 

0 

1 
—0.0030 | —0.029 334 — |1.0 1. 

1 

2 

0 

0 

1 


966 | 9.7 5711.35 | 41 12 58.3 | 5.29 


0.011 80 
9678 SEN 20.86 | 41 35 53.6 5.30 
| —0.0074 —0.013 |338 40 1.0 
— 0.0052 | —0.021 2.0 € 
--0.0155 +0.003 336 115 | 0.9 
+0.0121 | —0.009 339 40 0.8 
+ 0.0139 | —0.003 | 127) 
—0.0017 | —0.059 334103 1.0 1.0 

—0.0028 | —0.059 (338 47 0.6 0.4 

— 0.0021 | —0.059 1.6 1.4| 0.052 | 202.6 | 


0.055 | 259.5 


968 10.0 22.17 | 44 14 31.8 | 6.67 


| 0.154 87.0 
| 10.5 | 22.85 | 41 251.2 | 5.29 


| 
| | | 
970 | 8.6 26.39 | 45 16 16.9 6.52 


eo eo © 
e» a © 
m © © 
Oo oo co 
e Ha 
An 
[e] 
An 
eo bh2 00 
[er] oe 
= 
[>] 
bl 
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= 
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-1 -1 2» AM 
e EA I ND 
[979] eoo 
mr 
© hR © © 
ho © OO cO 
ceo 
w so O0 
S 
SS 
C9 
Hu. 
ND 
QC 
e 


1.0.0008 | —0.010 | 336 112 1.0 1.0 
| 6.44 | +0.0028 | —0.034 |340 30 0.7 0.7 

| | | --0.0016 —0.020 1.7 L7| 0.094 112 
| 971 | 11 47.2 |411626 | 5.29 | —0.0038 | +0.008 334 — 1.0 1.0 
| | —0.0030 | +0.011 |338 — 0.9 0.9 

| | | — 0.0034  +0.009 | 19 19| 0.040 300 
972 | 7.8 56.82 | 40 121.7 | 5.89 | +0.0013 0.045 334108 0.4 0.3 
| | 5.94 | —0.0019 | —0.036 |337 33 0.7 0.7 

| — 0.0007 | —0.089 | 1.1 1.0| 0.028 | 190 
| 973 | 10.6 56.84 42 6 51.7 | 5.28 | —0.0046 | —0.035 | 335 109 0.5 0.4 

| 5.29 | —0.0024 | — 0.007 338 51 1.0 1.0 | 
— 0.0031  — 0.015 1.5 L4| 0.030 | 262 


974 |11 . 5813.6 b^ 5948 | 7.98| —0.0063 | —0.013 340 — | 0.8 0.8| 0.062 | 268.2 


À us = + 08,0003; 4 us = + 07.011. 
N:o 7. 


977 
978 


979 


983 


989 


990 
991 


992 


| 993 


Gr. 


8.6 | 


10 4 | 


10.8 
10.5 


10.6 


0:0 


10.8 


9.8 
10.6 


8.4 


9.0 


9.3 


[r2 
1900.0 


hun? s 


1 58 36.85 


59 17.43 | 


58.94 


11.45 
14.41 


29.79 


58.86 


— 
bo 
= 
An 
I 


56.19 


bo 


6.94 


12.10 


22.59 


31.20 


37.38 
À us 


RAGNAR 


Ö E 
1900.0 — 18904- 


48 37 54.8 | 6.77 


= 
Qt 
[US] 
= 
L2 
-1 


6.13 
5.61 


[m 
Ha 
[o1] 


4633 9.0 | 7.98 
43 32 51.3 | 6.62 
50 


45 29 45.6 
44 56 21.2 
39 39 18.6 
43 27 17.4 
4014 7.5 


45 21 42.6 | 6. 


42 37 25.9 | 5.28 
39 52 6.3 | 6.13 


39 12 10.4 | 6.13 
42 43 25.0 | 5.28 


46 44 54.8 | 7.98 


Ho 


— 0 0047 
— 0.0050 
— 0.0049 
— 0.00053 
+0.0051 
— 0.0017 


+0.0012 | 


+ 0.0020 


+0.0014 | 


+ 0.0007 
+0.0022 
-- 0.0011 
— 0.0067 
— 0.0039 
— 0.0070 
— 0.0050 
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— 0.0001 
— 0.0014 
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— 0.0019 
+ 0.0047 
+ 0.0006 
-- 0.0019 
+ 0.0027 


— 0.0022 | 
+0.0036 | 


+ 0.0017 
— 0.0024 


+ 0.0013 | 


-- 0.0042 
-- 0.0027 
4- 0.0011 
— 0.0008 
+ 0.0001 
— 0.0007 
— 0.0035 
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— 0.0019 
— 0.0044 
— 0.0027 
— 0.0004 
— 0.0014 
— 0.0008 
4- 0.0001 
— 0.0022 
-- 0.0011 
— 0.0011 
+ 0.0001 
— 0.0081 


| 0.042 


+ 0.048 


45 | 337 


— 0.082 


— 0.084 | 


— 0.082 


— 0.082 | 


— 0.082 
+ 0.039 


2 | 342 


FURUHJELM. 


Région 
N:0 


335 111 
339 58 


336 135 
340 50 
343 3 


340 51 
334 118 


338 79 | 


341 1 


335 127 | 


1338 76 


342 


340 
|335 
| 339 
|349 4 


-1 


EA 
© D Ct 
An 


336 144 
340 74 
1343 16 


336 15 
|339 75 
|343 25 


| 339 
391 
341 


340 8T 
343 


340 92 


RSS EUR 
$& 00 I1 


Poids | (abs.) 


" 


0.6 
0.8 
1.4 
| 1.0 
0.6 
0.3 
1.9 
0.8 
0.6 


0.077 


0.019 
0.028 


0.048 


0.047 


0.024 
0.042 


0.044 


0.040 


0.024 


0.026 


0.046 
0.072 
0.077 


0.072 
0.095 


S 
2e 


+ 05,0003; 4 uj = + 07,011; 976—993: + 0”.010. 


204 


Tom. L. 


2228 


— 


> 


Recherches sur les mouvements propres dans la 


| 994 


995 


996: | : 


997 


998 


999 | 
1000 | 


1001 


1002 


1003 


1004 


1005 - 


1006 


1007 
1008 


| N:0\| Gr. | 


10.8 


8.7 | 


10.1 


1009 | 


N:o 7. 


6.5 
8.1 


9.0 | 


43.19 


43.91 
52.85 


5 0.21 


d 
1900.0 
' " 


44 3 50.6 | 


45 24 21.1 


42 43 40.2 


42 56 38.3 


1 55.4 


42 317.0 
44 54 39.0 
45 21 25.8 


46 5 36.8 


42 9 21.6 


43 42 10.8 | 


42 18 36.6 


44 50 48.0 


39 143.8 
45 30 18.9 


43 12 26.9 


A Ua 


H 


| 1890 + 


6.46 
6 93 


6.13 


Ua 


Ss 

— 0.0040 
— 0.0036 

-0.0038 
+0.0057 
4-0.0077 
4- 0.0069 
-- 0.0063 
-- 9.0053 
+ 0.0058 
+ 0.0006 
4- 0.0025 
+ 0.0017 


—0.0018 | 


-- 0.0024 
— 0.0015 
— 0.0008 
— 0.0004 


+ 0.0036 | 
--0.0062 | 


— 0.0002 
+ 0.0021 
+ 0.0022 
+0.0057 
+ 0.0032 


+ 0.0061 
+ 0.0095 
+ 0.0051 
— 0.0038 
— 0.0068 
— 0.0073 
— 0.0059 
— 0.0006 
— 0.0007 
— 0.0005 
— 0.0006 
-- 0.0031 
-- 0.0023 
+ 0.0018 
+ 0.0024 
— 0.0088 
4- 0.0057 
4- 0.0039 
+ 0.0045 
+ 0.0045 
4-0.0055 
4- 0.0045 
+ 0.0008 
+ 0.0037 


zone de Helsingfors. 


121 


Région 


us 


2 


—0.047 
— 0.056 
— 0.045 


|—0.110 


-0.116 
—0.113 
— 0.067 
— 0.074 
— 0.070 
-0.011 | 
— 0.035 | 
— 0.026 | 
4-0.031 
—0.034 | 
— 0.000 | 
— 0.002 
— 0.003 
— 0.027 
4-0.038 
4- 0.015 
4- 0.023 
— 0.040 
— 0.091 


| — 0.064 
+0.0032 | 


+0.019 
— 0.002. 
— 0.004 | 
+ 0.006 
-- 0.003 
— 0.041 
— 0.014 
— 0.017 
— 0.006 
— 0.005 
— 0.027 
— 0.012 
-- 0.000 
— 0.007 
+0.013 
— 0.001 
— 0.141 
+0.019 
— 0.015 
— 0.017 
— 0.007 
-- 0.018 
— 0.069 
— 0.013 
— 0.033 


N:o Poids | (abs.) 


339 
343 


91 | 
45 

0.050 
340 
343 


99 
47 | 
0.128 
338 110 
342 30 
0.091 
338 109 
342 29 
0.028 
339 94 
340 104 
343 50 


338 118 | 
343 60 
340 
343 56 | 


0.041 
340 106 
347 2 


338 125 | 
342 
345 2 


0 062 
339 104 
342 44 
346 7 
0.060 
338 128 
342 48 
345 5 
0.004 
339 107 
343 69 
346 6 
0.030 
337 96 0.164 
340 119 
(343 68 
1347 13| 


CSS, Ed Cubs Se 
D to x) 5o © 0» ca na 


all 


0.051 
339 112 
342 46 
346 11 
0.05) 


+ 05,0003; 4 us = + 0.010. 


0.009 | 
0.007 | 
0.045 | 


0.065 | 


P 


229.0 
145.6 
131.0 


125 


328 
352 
112 


37 


145.6 


263.3 
236 


73 
217.1 


86.6 


| 
117.6 | 


16 


N:0 


[12 
| 1900.0 


Gr. 


Ó 
1900.0 


RAGNAR 


HE 
1890 + 


| 11 


In mi 8 


8.418 5 2.96 


9.0 | 


53.83 
7 20.53 
27:72 


8 12.09 


14.27 


19.15 


19.78 


o , " 


40 49 45.9 


[3951 5 
141 0 9.9 


| 39 24 20.0 
| 46 26 21.0 


39 46 18.9 
43 50 31.7 


| 4017 10.7 


| 39 42 40.4 
39 47 14.6 | 
145.1 54.1 


|41 358.5 


45 43 4.2 


46 835.5 
46 45 10 
| 42 59 13.5 


| 44 42 24.6 
41 26 42.8 
44 54 25.0 


| 46 24 44.1 


FunvuHJELM. 


ts "m 


" 


4.31 
4.30 
4.76 
4.94 


4.30 


4.81 


4.29 


4.30 


5.29 
5.23 
4.31 
5.12 
4.31 
4.91 
5.43 
4.31 
4.76 
4.73 
4.81 


+0.0037 
+0.0041 
+ 0.0037 
+ 0.0040 
+ 0.0087 
— 0.0009 
— 0.0052 
— 0.0026 
— 0.0027 
— 0.0046 
— 0.0029 
— 0.0083 
— 0.0037 
-- 0.0057 
+ 0.0043 
4- 0.0052 
+ 0.0005 
— 0.0007 
— 0.0003 
— 0.0018 
— 0.0006 
— 0.0012 
— 0.0015 
4- 0.0052 
— 0.0028 
— 0.0020 
— 0.0038 
— 0.0030 
— 0.0010 
4- 0.0008 
— 0.0005 


— 0.0086 | 


— 0.0081 
— 0.0085 
— 0.0041 

0.0144 
-- 0.0033 
+ 0.0050 
+ 0.0026 
-- 0.0037 
— 0.0030 
— 0.0046 
— 0.0058 
— 0.0009 
— 0.0031 
— 0.0024 
— 0.0011 
— 0.0019 
— 0.0015 


— 0.0061 | 


— 0.018 
+ 0.002 
-- 0.037 
+ 0.006 
— 0.007 
+0.011 
+0.004 
— 0.007 
+0.024 
+0.001 
— 0.000 
— 0.096 
+ 0.007 
— 0.003 
— 0.001 
— 0.014 
— 0.184 
— 0.107 
— 0.134 
— 0.015 
— 0.002 
— 0.009 
— 0.012 


— 0.026 + 


— 0.090 
— 0.100 
— 0.070 
— 0.088 
+ 0.099 
4- 0.139 
+ 0.112 
—0.022 
— 0.021 
— 0.021 
— 0.048 
— 0.224 
— 0.053 
+ 0.015 


Région 


4-0.021 | 


— 0.024 
+ 0.014 
— 0.012 
+ 0.001 
— 0.056 
— 0.050 
— 0.058 
+ 0.020 
-- 0.012 
+ 0.017 
— 0.046 


| 347 45 


N:o 


337 
341 
344 4| 


344 — | 0.4 
397 97 
338 135 
341 54| 
3417 
345 12/0.2 
| 1.6 

344 18 | 0.6 
340 123 | 0.2 
347 91 1. 
1.2.8 
21 | 0.9 
56 | 0.6 
29:| 1.1 
167.7 


344 
342 
346 


341 
344 


> 
© 


343 104 
346 45 


341 93 
345 54 


343 108 | 
346. — 0. 


4 ua = + 05,0003; 4 us = + 07,010; 1019—-1029: + 0”.009. 


Poids lu 


D 


(abs.) | 


| 


P 


71.9 


Tom. L. 


ocn — 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 123 


a Ó E | Région 


| N | Gr... Ua Mg Ni 


sj yc Ir A D 
1900.0 1900.0 — 18904- Poids |4 (abs. F 


" " " 


hm S »« s 
1030 | 9.4 8 823.08 | 40 948.1 | 4:69 | —0.0074 | — 0.112 341 95 0.6 0.5 
| | 4.65 | — 0.0036 | —0.082 344 47 0.9 0.9 


| | —0 0051  —0.093 1.5 1.4| 0.101 | 213.7 
1031 | 8.6| 37.93 43 18 21.0 4.78 | +0.0047 | +0.048 342 79 0.7 0.7 
| | +0.0038 | +0.093 346 56 1.1 1.1 
| +0.0042  +0.076 1.8 1.8| 0.098 | 30.0 | 
1032 | 11.0 42.33 | 40 32 22.9 | 4.31 | —0.0045 | —0.004 341 — 0.9 0.9 

—0.0001  — 0.013 344 56 0.9 0.9 

—0.0023 | —0.008 1.8 1.8| 0.023 || 272 


1033 | 9.4 45.94 41 2 0.3 4.82 | +0.0019 | —0.049 341 97 1.0 1.0 | 
| 4.98 | --0.0023 | —0.047 344 53 0.3 0.2 


| --0.0019  — 0.010 345 580.8 0.4 | 
| 4-0.0020 | — 0.039 2.1 1.6| 0.039 | 140 


1034 | 11.0 47.88 | 45.53 19.2 | 4.30 | —0.0012 | +0.030 343 — | 0.6 0.5 | 
| --0.0030 | +0.019 | 347 51 1.1 1.1 
| +0.0015 | 40.022 1.7 1.6 | 0.036 32 
1035 | 9.8 51.24 | 40 54 21.0 4.87 | —0.0044 | --0.013 341 99 1.0 1.0 | 
| | | 4.90 | —0.0038 | 40.017 344 55 | 0.7 0.6 | 
| — 0.0042 | + 0.014 1.7 1.6| 0.050 | 297.6 
1036 | 9.7 9 3.71 | 43 48 43.0 | 4.61 | —0.0005 | —0.071 | 342 84 0.4 0.3 | 
| —0.0015 — 0.059 346 62 1.11.1 
| | | +0.0051 | —0.048|349 2 0.1 0.1 | 
| — 0.0008 | — 0.061 1:695| 0.0524 187% 
1037 | 10.1 | 6.00 4415 56.5 | 4.30 | —0.0011 | --0.004 |343 115 0.7 0.7 
| | —0.0031  —0.030 346 60 1.1 1.1 
| | +0.0035 | —0.028 350 40101 
| | --0.0020 | —0.017 1.9 1.9 | 0.021 |! 247 
1038 9.4. 29.49 |41 222.8 4.77 | —0.0026 | —0.052 341 103 0.8 0.9 
| | | 4.99 | —0.0024 | —0.043 344 60 0.4 0.2 
| —0.0021 | +0.014 345 620.9 0.5 
—0.0041 | —0,048 348 1 0.2 0.4 
| | 0.0025 | —0.034 2.3 2.01 0035 | 225 
1039 | 72 34.40 | 45 14 32.8 4.30 | —0.0012 | —0.039 343 117 0.9 1.0 
0:0013 | —0.040 347 62 1.1 1.1 
—0.0034 | —0.057 350 5 0.5 0.8 
-0.0017 | —0.044 2.5 2.9| 0.038 |. 203 
1040 9.1 45.64 |46 36 31.1 | 4:30 | --0:0069 —0.183 |341 56 1.1 L1| 0.189 | 156.7 
1041 8.9 58.48 | 41 11 39.6 | 4.78 | —0.0023 | —0.043 | 341 109 | 0.4 0.8 
| 4.95 | —0.0031 | —0.005 345 67 | 1.1 1.0 
—0.0017 —0.037 348 60.5 0.8 
| | | | — 0.0026 | —0.027 2.0 2.6| 0.032 | 236 
1042 | 11.0 | 10 3.92 | 4553 31.4 | 4:30 | +0.0013 | --0.021 |347 67| 1.1 1.1| 0.034 28:01 
1043 | 9.8 6.37 39 136.6 4:31 | +0.0070 | —0.070 |344 15|0.6 0.3, 0.105 | 125.7 
1044 10.5 18.78 | 39 39 18.5 | 4:31. | +0.0029 | --0.008 |344 13. 0.9 0.9 | 0.041 65 
1045 9.0 23.87 | 41 4 26.0 | 4.86 | —0.0026 | +0.062 | 341 112 | 0.2 0.5 


4.97 | —0.0033 | +0.124 |345 73 0.9 0.8 
| — 0.0014 | --0.082 348 11 0.8 0.9 | 
| — 0.0024 | +0.093 1.9 2.2| 0.105 | 846.2 


I ta = + 08.0003; A us = + 07.009, 


1345 75, 


Région | 


N:o 


341 115 
344 78 
348 14 


342 97 
345 76 
349 15 
344 — 
349 14 


346 84 
349 20 


344 82 
346 77 
350 17 


347 78 


344 89 


124 RAGNAR FUuURUHJELM. 
| [2 | D) E 
N:o | Gr, 1900.0 1900.0 48904| ER 
| iheumi 48 pU PAPE OT owe UA WIE W c Eccc D. v Ww " 
1046 9.9 | 8 10 27: 45 | 40 25 33.2 4.75 AN ).0076 — 0.065 
4:77 | —0.0024 | — 0.037 
—0.0018 | —0.034 
| — 0.0028 | —0.039 
1047 | 9.9 31.19 | 42 39 38.6 | 4.41 | —0.0081 -+0.022 
4.52 | —0.0022 | —0.027 
— 0.0002 | —0.034 
— 0.0019 | —0.021 
1048 | 11 45.3. | 40 10 38 | 4.31 | --0.0005  +-0.001 
‚1049 | 10.6 54.57 | 42.50 8.2 | 4:32 | —0.0013 | 4-0.019 
— 0.0008 | —0.007 | 
| — 0.0010 | 4- 0.005 | 
1050 | 9.4 11 5.18/|43 5 1.3 4.32 | —0.0042 | -- 0.009 
— 0.0014. | — 0.011 
— 0.0027 | —0.003 | 
1051 9.5 9.94 39 56 13.4 4.31 | — 0.0005 — 0.002 
1052 8.8 16.25 | 44 55 45.0 '4.31| +0.0042 —0.245 
--0.0027  — 0.261 
--0.0034 — 0.254 
1053 9.1 16.74 46 23 12.0 4.30 | --0.0038 | -- 0.004 
1054 9.5 30.40 39 56 50.5 4.31 | — 0.0005 | —0.033 
1055 8.9 42.83 | 3918 3:2 4.31 | — 0.0095 ' — 0.167 
1056 8.4 44.56 | 43 11 44.7 4.32 | --0:0023  — 0.038 
--0.0024 —0.033 |? 
+ 0.0024 | — 0.035 
1057 9.4 48.84 | 39 17 2.7 | 4.81 | +0. 0068 | —0.384 
1058 | 10.9 49.00 | 40 20 11.5 | 4.75 | +0.0009 | — 0.008 
—0.0011 | —0.017 
-0.0000 | —0.012 | 
1059 8.2 12 6.26 | 40 2 19.1 | 4:64 | 4- 0.0000 | — 0.134 | 
| 4.59 | --0.0015 | — 0.123 
+ 0.0005 | —0.131 
1060 | 10.9 11:4. | 41. 18 42 4.85 | —0.0048 | -- 0.056 
4.89 | —0.0034 | — 0.004 
— 0.0041 | -- 0.023 
1061 | 11.1 11.76 | 42 15 56.9 4.31] +0.0012 | — 0.052 
| — 0.0026 | —0.071 
— 0.0005 | —0.061 | 
1062 | 11 357 40 56 41 4.92 | — 0.0154 | — 0.188 
5.01 | —0.0161 | —0.207 
| — 010159, — 0.203 
1063 | 10.9 43.21 | 42 6 28.1 | 4.31 | +0.0024 | — 0.033 | 
--0.0015 —0.070 
J-0.0020 | — 0.047 
1064 | 7.3 13 7.46 |44 58 41.1 4:31| —0.0078 | — 0.059 | 
—60.0030 | — 0.053 
) — 0.0097  — 0.062 
| — 0.0081 | — 0.060 
1065 8.5 8. 90 | 40 52 9.8 4.89| —0.0023 | — 0.039 


4.96 | —0.0014 | —0.041 
— 0.0017 | — 0.040 


344 109 
348 44 


Au = + 05.0003; Aus = + 0".009. 


| 0.2 
0.9 
0.6 
1.7, 
0.2 
imt 
0.9 
2.2 
0.9 
1.0 
TE 
2.1 
0.9 
jl: 


Poids 


& (abs.) | 


12 


0.042 | 


0.022 


0.013 


0.017 


0.028 
1.008 


0.248 
0.045 
0.024 
0.191 


0.039 


0.384 | 


0.004 


0.122 


0.054 | 


0.052 | 
| 
0.263 | 


0.046 | 


0.097 | 


0.035 | 


P 


o 


224 


306. A 


183.8 


222.4 | 


146 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 12 


| N:o | Gr. | 19000 | 4900.0 1890 + Ua us | Wr Poids |w(abs.) | P 

1066 |11 /|81310.5 |443324 ]|4.31| —0.0026 | —0.047 | 350 :—1 1.1 1.11 0.045 | 212 
1067 | 8.9 19.50 | 45 15 39.5 | 4.31 | +0.0042 | +0.043 347 99| 0.9 0.8 
— 0.0005 | 4-0.002 350 26 1.1 1.1 

| + 0.0016  +0.019 | 2.0 1.9| 0.035 37 

1068 | 10.6 19.98 | 44 13 54.4 | 4.31 | --0.0000  +0.006 346 100 | 7.1 1.1| 0.015 11 
1069 9.6. 31.66 | 43 14 45.7 | 4.32 | +0.0033 | —0.001 346 104 | 0.3 0.8 
| | --0.0022 | —0.005 349 38 | 1.1 1.1 

| + 0.0027 — 0.003 1.9 1.9| 0.034 80 
1070 10.9 56.27 | 40 33 13.8 | 5.29 | —0:0002 | —0.054 | 344: — | 0.7 0.7 
--0.0011  —0.022 348 55 1.0 1.0 

4-0.0006 | — 0.035 1.7 1.7| 0.028. | 161 

1071 8.6 59.28 | 42 24 59.6 | 4.32 | —0.0022 | —0.045 | 345 106 | 1.0 1. 

—0.0046 | —0.025 | 349 44 1.1 1.1 

— 0.0035 —0.035 | 2.1: 2.111 0.044 | 234 

1072 9.0 59.44 | 39 15 56.2 | 4.31 | +0.0021 +0.012 | 344 120 | 0.5 0.6 | 0.034 52 


1073 9.5 1412.29 | 45 14 53.9 4.30 | +0.0027 —0.019 | 347 105 0.6 0.6 
--0.0009 — 0.086 | 350 32 : 
+0.0007 | —0.059 354 42 0.2 0.2 


Led 
en 
ni 
[en 


| + 0.0014 | —0.062 14:9, 1.9] 0.0565 164:2 
1074 | 11 12.9 | 39 57 21 4.31 | 4-0.0015 —0.090 344 — | 0.8 0.9| 0.084 | 165.5 


1075 | 8&8 28.48 | 40 40 5.9 | 4.88| —0.0121 —0.176 | 344 123 | 0.5 0.5 
| — 0.0125 | —0.189 | 348 61 | 1.0 1.0 
| —0.0130 | —0.190 | 351 1 : 
— 0.0124 | —0.185 1.7 1.7| 0.224 | 218.1 
1076 | 10.4, 1520.86 | 42 6 1.8 | 4.31 | +0.0083 | —0.224 | 345 117 | 0.3 0.7 
| +0.0041 | —0.273 | 349 58 | 1.0 0.8 


= 
bo 
e 
bo 


+0.0013 | — 0.202 | 352 9| 0.9 1.0 
| + 0.0035 | —0.231 2325 110.227 1693 
1077 | 10.5 28.14 | 44 44 56.9 | 4.31 | — 0.0033 | —0.079 | 346 113 | 0.2 0.3 
—0.0028 | —0.111 350 37 L1 1.1 
—0.0082 | —0.118 |353 — | 0.5. 0.5 
—0.0044 | —0.108 | 1.8 1.9| 0.109 | 203.3 
1078 | 11 31.7 | 42 6 3 ]|4:30| +0.0043 | +0.001 | 345 — | 0.2 0.6 
— 0.0065 —0.071 349 — | 0.9 0.8 
— 0.0086 |.3-0.012 | 352 — | 1.0 10 | | 
— 0.0065 | — 0.018 2.1 2[.4| 0.070 | 261.8 | 
1079 | 10.2 | 33.93 | 41 241 0.7 | 4.85 | +0.0026 | —0.166 | 345 121 | 0.2 0.2 
| 4.82 | +0.0005 | —0.210 348 75 | 1.0 1.0 
— 0.0007 | —0.193 352 16 | 0.7 0.8 
--0.0003 | — 0.199 19120) 079701 1178:2 
1080 | 8.2 36.30 | 45 40 14.1 | 4.30 | —0.0061 | —0.069 | 347 113 | 0.3 0.7 
| — 0.0046 | —0.092 350 38|1.1 1.1 
— 0.0043 | —0.064 354 15 0.9 0.9 
| | — 0.0047 | —0.077 2.8 2.7| 0.083 | 213.7 
1081 | 10.9 54.07 | 41 25 56.4 | 4.85 | +0.0013 | —0.023 348 81| 1.0 1.0 
--0.0007 | —0.018 352 15 | 0.9 0.9 | 
| | --0.0010 | — 0.021 1.9 1.9| 0.019 | 133 
1082 | 8.8 56.42 | 40 40 50.5 | 4.88 | +0.0048 | —0.128 348 87.1.0 1.0 
| | + 0.0044 | —0.138 | 351 13| 0.8 0.8 
| + 0.0046 | — 0.132 1.8 1.8| 0.136 | 156.1 | 
| 


Au, = + 05,0003; 4 us = + 0".009; 1076—1082: + 07.008. 
N:o 7. 


126 RaAGNAR FURUHJELM. 
ob de Dalle. Lee ETT 
| ^50 PEN) M000 | Modo Maso| Ma He N:0 Say LD, | | 
| |n m Ss o , " " o | 


| | i e | 
1083 | 6.7 8 15 57.82 | 40 45 47.4 | 4.96 | +0.0000 | —0.043 | 348 86 | 1.0 1.0 


| +0.0003 | —0.065 |351 12 0.6 0.6 | | 
| | +0.0001 | — 0.051 | 1:6*226:| 10,042. | Urs 


1084 | 5.8 59.53 | 43 30 33.3 | 4.73 | —0.0027 | —0.090 349 63 1.1 1.1 
| | |4.76| —0.0040 | —0.095 353 12 0.8 0.9 

— 0.00382 | — 0.092 1.9 2.0 | 0.090 | 200:9 | 
1085 | 11.0 16 5.54 | 46 24 28.7 | 4.28 | + 0.0011 | —0.003 354 18 1.0 1.0| 0.016 | 72. | 
1086 | 9.8 12.62 | 39 19 49.6 | 4.29 | +0.0022 | +0.001 351 26 0.8 0.8| 0.080 | 73 
1087 | 10.8 34.94 | 39 44 34.2 | 4.29 | — 0.0003 | —0.042 351 30| 1.1 1.1| 0.084 | 180 


ren 
= 
[92] 
[9,0 
ju 
e 
= 
[m 
Qo 
e 


| 41 30 10.1 4.79 | +0.0029 +0.015 348 91 1.0 1.0 
| +0.0028 | +0.017 352 28 1.1 1.1 
| | --0.0028  +0.016. 2.1 2.1| 0.042 56 
1089 | 8.9 58.84 


| | 39 8517.1 | 4.29 | —0.0012 | —0.009 351 35 1.1 1.1| 0.011 | 265 
1090 | 9.2 1714.79 | 39 22 34.0 | 4:29 | --0.0021 | + 0.003 |351 36 1.1 1.1| 0.029 | 68 
1091 | 9.2 14.95 4618 21.0 | 4:28 | --0.0019 0.125 354 38 1.0 L0| 0.119 168.9 | 
1092 | 9.2 16.98 | 45 16 19.2 | 4.30 | —0.0057 | —0.178 |350 56 1.1 1.1 | | 
| —0.0060 | —0.174 354 36 0.9 0.8 
| — 0.0058 | —0.176 2.0 1.9| 0.178 | 199.0 
1093 | 74 19.45 | 45 16 33.6 | 4.30 | —0.0074 | —0.180 350 55| L1 11 
| —0.0063 —0.206 354 31 0.9 0.8 | 
— 0.0069 —0.191 12.0 L9| 0.196 | 200.9 | 
1094 | 7.0 56.63 | 42 19 37.1 | 4.30 | —0.0030 | +0.005 349 87 1.0 0.9 | 
| | +0.0004 | 0.002 352 43 1.1 1.1 
— 0.0012 | 40.003 |2.1 2.0| 0.016 | 315 
1095 | 7.8 57.92 | 42 18 21.0 4.30 | —0.0076 | —0.059 349 88! 1.0 0.9 | 
—0:0044 | —0.065 352 44 1111 
| — 0.0059 | — 0.062 2.1 2.0| 0.083 | 229.4 
1096 | 11.0 | 18 6.00 | 42 22 37.1 | 4.30 | —0.0073 | —0.028 349 86 1.0 1.0 
—0.0048 | —0.020 352 42 1.1 1.1 
— 0.0060 | —0.094 |2.1 2.1| 0.065 | 255.7 
1097 |10.0 9.63 | 44 51 50.4 | 4.72 | +0.0032 | —0.012 350 67 1.1 1.1 | 
| 4.69 | —0.0001 0.004 353 26 0.8 0.7 | | 
| +0.0018 | —0.009 1.9 L8| 0.022 | 93 
1098 . 9.6 | 20.18 | 42 49 1.7 4.31 | —0.0064 | —0.097 349 94 1.1 1.1 
| | | —0.0052 | —0.095 352 47 1.0 0.9 
| | | 0.0058 | —0.096 |2.1 2.0| 0.108 | 215.2 
1099 | 8.9 34.38 3956 19.8 4.20 | - 0.0065 —0.120 351 50 1.1 1.1| 0.133 212.7 
1100 | 9.8 34.81 | 40 42 29.2 | 4.79 | —0.0049 | —0.061 | 348 113 1.0 1.0 
| —0.0023 | —0.079 | 351 471.1 1.1 | 
| | — 0.0035 | —0.070 2.1 2.1| 0.073 | 211.5 
1101 | 85 36.63 | 39 33 56.6 | 4.29 | + 0.0050 | —0.074 351 51 1.1 1.11 0.089 | 137.7 
1102 | 11 41.5 |4413 5 | 4.86 | —0.0096 | —0.027 350 — | 0.8 0.8 | 
— 0.0058 | -0.000 353 — | 1.0 1.0 | 
| — 0.0075 | — 0.012 L8 L8| 0.078 | 267.1 | 
1103 | 10.7 45.45 | 43 20 58.7 4.32 | + 0.0001 +0.024 349 98 1.1 1.1 | 
| | | | | —0.0050  4-0.016 353 — 1.0 1.0 | 
| | | | | 0.0023 | + 0.020 | |2.1 2.1| 0.036 | 322 
1104 | 10.6 59.60 | 45 35 46.9 | 4.29 | +0.0025 +0.025 350 76 | 0.9 0.9 
| | | --0.0004 | 40.016 354 54 1.0 1.0 
| | | | —0.0014 | +0.009 357 — | 0.2 0.2 | 
| +0.0011 | + 0.019 | 2.1 2.1| 0.031 29 


Aux = + 08.0005; 4 us = + 0.008. 
Tom. L. 


D M MH————HoS9€€ 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors 


1106 


1107 


1108 


1114 


| Gr. | 1900.0 
| hp” mi os 
| 99/819 5.12 
9.9) . 10.38 
11 | 11.2 
| | 
11 19.0 
10.6 | 23.53 
8.6 40.89 
10.7 41.26 
| 10.6 41.60 
9.3 45,77 
10.7 48.02 
11 50.4 
al 52.0 
9.3 52,58 
8.7 | 50.83 
9.9. 920 9.33 


Ó 
1900.0 


43 28 41.7 
42 15 40.4 


4239 3 
40 40 33 


41 36 24.6 | 


42 44 0.4 
42 51 22.6 


| 46 19 42.9 
4518 9.9 | 


7.6 


43 2 


42 47 58 
4232 1 

| 

|4358 3.9 


139 22 30.3 
45 33 19.5 


A uw, = + 08,0003; I us = + 0",008, 


E 


| 1890 -+ 


4.80 
4.16 


4.13 


4.62 
4.70 
4.28 
4.26 


4.27 
4.26 


4.28 
4.29 


4.26 


| 4.25 


4.30 


4.50 


5.09 


4.29 
4.29 


Ua 


-0.0009 
4- 0.0005 | 
+ 0.0014 
+ 0.0007 
— 0.0068 
0.0035 
- 0.0036 
— 0.0047 | 
— 0.0026 
+0.0027 | 
4- 0.0003 | 
— 0.0051. 
— 0.0005 
— 0.0024 | 
+0.0023 
+0.0036 
4- 0.0032 
— 0.0041 
— 0.0007 
— 0.0034 
— 0.0024 
— 0.0041 
— 0.0019 
— 0.0037 
— 0.0031 
— 0.0022 | 
4-0.0034 | 
+ 0.0009 
4-0.0004 
+ 0.0016 
-- 0.0065 
+0.0075 | 
+0.0061 
+0.0069 | 
+ 0.0067 | 
4-0.0170 
+0.0191 
4- 0.0182 | 
— 0.0064 
— 0.0034 
— 0.0046 
4- 0.0036 
4- 0.0017 
+ 0.0020 
+ 0.0032 | 
+ 0.0000 | 
— 0.0015 | 
— 0.0019 | 
— 0.0013 | 


--0.002 | 


— 0.017 | 351 
— 0.016 | 350 
— 0.039 | 354 
— 0.020 | 357 


— 0.026 | 


Région | 


Ha N:0 
0.023 | 349 96 
0.012 353 35 
0.042 356 1 
+ 0.012 
-0.024 | 349 103 | 
—0.011 352 58| 
—0.090 356 3. 

0.020 
+0.009 | 349 — 
+ 0.023 | 352 — 
+ 0.016 | 
—0:108 348 — 

| 0115 |351 = 
— 0.112 | 
— 0.022 | 348 114 
—0.058 352 59 
— 0.044 | 
— 0.004 | 349 107 
—0.030 352 63 
0.019 356 6 
— 0.018 
40.026 349 106 
40.007 | 352 62 
—0.022 |356 5 
0.006 
— 0.017 354 60 
—0.039 |350 88. 
— 0.023 |354 62. 
—0.016 |357 4 
— 0.026 
— 0.035 | 349 105 
—0.075 |352 61| 
—0.020 |353 — 
—0.080 356 4 
— 0.052 | 
+0.006 |349 — 
—0.042 |352 — 
— 0.019 
—0.070|349 — | 
—0.049|352 — 
— 0.058 | 


40.004 | 349 104 
--0.001 353 40 


Poids 


0.9 0 
1.0 1 
0.1 0 
2.0 2 
0.70% 
T 330 
0.1 0 


ft (abs.) | 


2 


0.022 


0.050 


0.025 


0.107 


0.053 


0.027 


0.088 


0.203 


0.069 


0.027 
0.040 


0.021 


193.5 


132.7 


247 


120.1 


93.1 


211 


198 RAGNAR FURUHJELM. 


| a [) E | Résion | , 

N:o | Gr. 1900.0 4900.0 48904.| — "7 Må RH Poids i (as) | a 
ıh m 8 oı " Ss 7 | | " o | 

1120 | 8.6 820 10.72 4411 9.4 |'4.85 | —0.0008 | —0.043 350 96 0.3 0.3 

—0.0019 | —0.031 353 44 1.0 1.0 

--0.0015 | —0.026 357 100.5 0.5 
| | | — 0.0008 0.032 1.8 1.8| 0.025 | 192 | 
1121 | 8.5 13.43 | 39 20 22.0 | 4.29 | + 0.0038 | —0.015 351 70 1.1 1.1| 0.047 99 | 


1122 | 9.7 19.45 | 40 37 47.8 | 4.76 | --0.0031 | — 0.057 | 348 128 | 0.2 0.5 
4.86 | +0.0058  —0.086 351 66 1.1 1.1 
--0.0021 | —0.097 355 13, 0.7 0.8 
+ 0.0042 | — 0.084 112.0 2.4| 0.092 |! 1461 


1123 | 10.9 | 25.87 412813.0 4.29| —0.0000 +0.005 352 85 1.1 1.1 
| —0.0040 | — 0.001 355 — | 0.7 0.7 
| —0.0016 | 4-0.003 (1.8 L8| 0.019 | 306 
1124 | 91 29.48 | 41 40 38.7 | 4.70 | —0.0005  --0.031 348124 0.2 0.2 
4.73 | —0:0004 | +0.013 | 352 81| 1.1 1.1 
| | —0.0004  +0.013 355 8 0.5 0.6 
— 0.0004 | + 0.015 1.8 1.9 || 0.023 | 358 
[195 | 6.41 38.53 45 59 27.4 | 4.28| —0.0047 | —0.373 | 350 90 0.1 0.1 
—0.0021  — 0.363 354 71 1.0 1.0 
--0.0014 | —0.387 357 11 0.3 0.2 | 
| — 0.0015 | — 0.367 14 L3| 0.359 | 182.1 | 
1126 | 10.5 43.92 |42 1 29.7 | 429 | +0.0012 | --0.009 352 78| 1.1 1.1 | 
--0.0047 | — 0.023 356 — | 0.3 0.2 | 
--0.0020 | 4- 0.004 1.4 1.8| 0.027 63 | 
1127 | 10.5 51.74 | 46 042.0 | 4.28 | --0.0064 | --0.073 350 — | 0.1 0.1 
--0.0003 | +0.019 354 70 1.0 1.0 | 
| +0.0009 | -- 0.024 T d d411| 0.034 2211 II 
1198 | 9.0 56.73 44 59 20.1 | 4.56 | —0.0076 -+0.060 350 99 0.2 0.3 | 
4.44 | —0.0081 -+0.050 353 45 0.7 0.3 | 
—0.0093 <+0.065 354 83 0.6 0.3 
— 0.0078 -+0.065 357 19| LI PI 
| — 0.0082 | -- 0.062 (2.6 2.0| 0.109 | 309.8 | 
1129 | 9.6 58.93 40 55 30.8 | 4.85 | --0.0080 | --0.017 351 77 0.9 0.7 | 
4.91 | +0.0006 —0.003 355 18 1.0 1.0 
--0.0017 | 4-0.005 19 1.7| 0.026 59 
1130 | 10.8 | 21 5.66 | 45 36 40.6 | 4.28 | —0.0008 —0.004 354 77 1.0 1.0 
__0.0004 —0.011 357 16 0.9 0.9 
— 0.0006 | — 0.007 19 1.9| 0.003 288 
1130) TA 6.97 | 46 34 41.6 |-4.28 | —0.0037 | — 0.024 354 74 1.0 1.0| 0.039 | 246 
Tb nem 15:60 | 42 2 42.8 | 4.38 | —0.0020 — 0.042 352 88 1.1 1.1 
14:83 | —0.0020 | —0.053 355 21 |0.2 0.1 
— 0.0026 | —0.078 356 14 0.4 0.3 | 
— 0/0021 | — 0:050 1.7 1.5| 0.047 | 207 
1133 | 10.3 37.05 45 159.9 | 4.29 | —0.0028 | —0.060 353 — | 0.3 0.2 
— 0.0040 | —0.067 | 354 89, 0.7 0.3 
— 0:0083. ! —09:037 11857. *22/ FL. T 5001. 
— 0.0035 | — 0.046 |2.1 16| 0.050 | 221.0 
1134 | 10.5 54.68 43 31 33.2 4.69| +0.0043 | —0.041 353 54 1.0 1.0 | 
+0.0015  — 0.037 356 18 1.0 1.0 
--0.0029 | — 0.039 2.0 2.0| 0.047 | 132 


À us = + 08,0003; 1130—1134: + 05,0002; Aus — + 0".008, 
Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 129 


| | | 
| E 4 IE: Poids 


| Région 
1900.0 1900.0 E apos | 


4 (abs.) | I | 
| " | | " : o | 
0. 0033 0.052 | 354 971.0 


0.0014 0.043 | 357 25| 11 
— 0.0023 | — 0.047 | 2.1 


[nm s Fire 


1135 | 10.8 822 4.29 | 45 dial 4.28 


1.0 
I 
2.1 
1136 | 11.0 10.32 | 46 5 36.6 | 4.28 | +0.0153 | —0.017 | 354 95, 1.0 1.0| 0.162 | 93.2 
1137 | 9.1 31.97 | 46 15 15.2 | 4.28 | —0.0326 | —0.425 | 354 100 | 1.0 1.0| 0.535 | 218.8 
1138 | 10.5 36.90 | 46 24 50.4 | 4.28 | —0.0024 | —0.004 354 99 1.0 1.0| 0.022 | 280 
1139 | 9.1| 23 3.04 | 40 21 45.3 | 4.79 | +0.0015 | —0.073 |351 97 1.111 
--0.0008 | — 0.085 355 45 1.0 1.0 
--0.0012 | —0.079 2::231| 0.974 | 16725 
1140 | 11.0 10.50 | 42 29 35.0 | 4.22 | +0.0027 | —0.007 | 352 115 | 1.1 1.1 
| +0.0039 | —0.040 356 29 1.0 1.0 
| + 0.0033 | — 0.023 | 2.1 2.1| 0.042 | 112 
1141 | 10.6 28.93 | 4131 2.5 | 4.82 | —0.0047 | —0.004 | 352 124 | 1.0 1.0 
—0.0035 | —0.005 |355 49 1.0 1.0 
| —_0.0041 | — 0.004 2.0 2.0| 0.043 | 274 
1142 | 11.1 31.67 | 45 15 15.7 | 4.29 | —0.0008 | —0.057 | 354 115 | 0.8 0.7 
| | +0.0004 | —0.014 357 41 1.11.1 
| | — 0.0001 | — 0.031 | 1.9 1.8| 0.024 | 175 
1143 | 10.8 31.81 | 45 15 19.5 | 4.29 | +0.0001 | —0.016 | 354 114 0.8 0.7 
| | +0.0008 | — 0.001 | 357 40 1.1 1.1 
| | + 0.0005 | — 0.007 | 1.9 1.8| 0.009 90 
(1144 | 10.8 35.60 | 43 10 10.9 | 4.15 | —0.0040 | —0.043 356 35 1.0 1.0| 0.055 | 228.7 
1145 | 9.6 49.10 | 39 11 32.6 4.29 | -- 0.0010 | —0.094 351103 0.6 0.6| 0.088 — 170.2 
1146 11 43.4 |40 959 |4.76| —0.0043 | —0.075 351 — 1111 
| 4.73 | —0.0064 | — 0.084 355 — 0.9 0.8 
| — 0.0052 | — 0.079 2.0 1.9| 0.092 | 218.4 | 
1147 | 92 47.59 | 40 24 28.6 4.82 | --0.0017 | +0.013 | 351 101 | 1.0 1.0 
| | +0.0022 | —0.007 355 59 1.0 1.0 | 
| | +0.0020 | + 0.003 | | 2.0 2.0| 0.027 | 68 
1148 | 9.9| 2419.87 | 4513 3.2 4.28 | +0.0017 | —0.056 | 354 127 | 0.5 0.5 
| +0.0044 | —0.030 357 48 1.1 1.1 
| —0.0005 | —0.005 |361 4|0.2 0.2 
| +0.0031 | —0.034 | 1.8 L8| 0.045 | 127 
1149 | 10.2 | 25.04 | 43 20 54.5 | 4.53 | —0.0019 | +0.021 (353 60 | 0.6 0.7 
| 4.55 | +0.0005 | +0.022 356 40 1.0 1.0 


| | | — 0.0009 | — 0.022 
— 0.0005 | 5 i 
1150 6.2 32.73 | 40 33 38.2 | 4.83 | —0.0008 | —0.031 | 351 108 | 0.7 0.8 
| | 4.76 | —0.0004 | —0.033 |355 65 1.0 1.0 
—0.0024 | — 0.010 358 110.2 0.3 
— 0.0008 | — 0.029 | | 1.9 2.1| 0.023 | 193 
1151 | 10.0 25 3.23 | 39 4153.9 4.18| —-0.0166 | —0.111 351 113 0.3 0.8 
4.19 | +0.0197 | —0.152 358 8| 0.6 0.9 
| + 0.0187 | — 0.133 | DOM Dr RETI OUT 
1152 | 9.6 11.64 | 44 423.7 | 4.55 | —0.0038 | —0.033 353 62| 0.6 0.8 | 
| | 4.60 | —0.0028 | — 0.036 357 60 0.9 0.8 
—0.0055 | — 0.033 360 8 0.9 1.0 


360 3|0.2 0.3 | 


NN 
oo 
do 
S 
S 
S 
[6s] 
[Us] 
v 
e 
V 


| 
— 0.0041 | — 0.034 | | 2.4 2.6| 0.050 | 237.8 | 
1153 | 10.4 26.52 | 44 51 17.4 4.29 | +0.0012 | —0.009 | 357 58 1.1 1.1 | 
| —0.0017 | +0.012 | 360 11 0.5 0.5 
--0.0003  — 0.002 | | 1.6 1.6| 0.007 | 45 


I wa = + 08.0002; 4 ug = + 0".008; 1139— 1153: + 07.007. 
N:oxz, 


130 
— | > 
N:o | Gr. | 1900.0 | 
| hm s 
1154 | 93 
| | 
1155 | 9.2 41.24 | 
1156 | 7.9 46.68 | 
| 
| | 
ihre ys 51.02 
1158 | 9.9 52.27 
1159 | 9.0 55.71 
| 
| 
1160 | 10.2 | 26 3.76 
T4514 ESS 31.42 | 
1162 | 8.9 34.92 
1163 | 10.4 39.64 
1164 | 10.1 10.01 
1165 | 11.0 48.24 
| 
1166 9.6 57.59 
11167 | 9.2]. 2710.08 | 
1168 | 9.7 10.40 | 
1169 | 9.8 11.90 | 
11170 | 10.0 16.76 
ala || al 19.13 
1172 | 6.8 21.83 


2 | 41 3 10.5 | 4.95 
| 02 


RAGNAR FuRuHIELNM. 


d E 
1900.0 


o , " 


8 25 40.80 43 1 4.5|4.16 


40 10 54.6 | 4.70 


45 19 10.8 | 4.25 


43 57 45.4 


| 43 31 12.0 | 4.21 


42 20 8.2 | 4.13 


3956 11.6 | 4.11 
4612 2.4 | 4.19 
44 92 37.7 | 4.28 


39 16 12.0 | 4.11 
39 34 11.8 | 4.11 
46 26 45.8 | 4.19 
42 17 42.5 


42 54 5.9 | 4.13 

45 58 46.1 | 4.23 
| 4 

45 32 16.4 | 4.24 


| 


Ha 


— 0.0005 
— 0.0034 
— 0.0024 
—0.0002 
— 0.0026 
— 0.0011 
— 0.0024 
— 0.0018 
— 0.0028 
— 0.0032 
— 0.0050 
— 0.0037 
+ 0.0041 
— 0.0079 
— 0.0027 
— 0.0074 

- 0.0042 
+ 0.0006 
+0.0008 
—0.0002 
+ 0.0005 
— 0.0047 
— 0.0037 

- 0.0042 
— 0.0064 
— 0.0049 
— 0.0057 
— 0.0085 
— 0.0103 
— 0.0090 
— 0.0030 
— 0.0092 
+ 0.0024 
-- 0.0006 
- 0.0015 
+ 0.0064 
— 0.0052 
+ 0.0009 
10.0014 
+ 0.0025 
+ 0.0019 
+0.0170 
+0.0178 
+0.0173 
— 0.0096 
— 0.00953 
— 0.0094 
— 0.0029 
— 0.0045 
— 0.0036 


| 
| Mö 
| —0.091 
— 0.016 
+ 0.027 
— 0.088 
— 0.029 
| —0.029 
—0.035 
— 0.032 
— 0.126 
— 0.108 
0.103 
— 0.108 
— 0.046 
— 0.049 
— 0.055 
— 0.087 
— 0.061 
+0.025 
40.008 
—0.018 
— 0.005 
— 0.054 
— 0.096 
— 0.075 
— 0.053 
— 0.039 
— 0.046 
+0.014 
+0.044 
+ 0.021 
— 0.064 


— 0.022 |: 


— 0.046 
— 0.036 
— 0.041 
— 0.105 


— 0.068 | 3 


— 0.012 
— 0.001 
+ 0.009 
+ 0.004 
— 0.053 
— 0.054 
— 0.053 
— 0.090 
— 0.093 
— 0.092 
— 0.048 
— 0.033 
— 0.041 


Region | poids 
| N:0 | 


353 — 
356 52 
359 8 
360 16 


357 61 
361 14 


358 13 
354 137 
357 63 
361 15 


356 58 
357 72 
360 19 


4 pa = + 05.0002; 4 us = + 0”.007. 


355 81| 
358 12| 


354 136 | 


| 
| 


u (abs.) 


0.069 | 


0.005 
0.081 | 
0.072 | 


0.104 
0.066 
0.095 


0.038 

0.125 | 
0.084 
0.013 


0.025 


10.197 
0.128 | 


0.050 


12 


218.5 
| 


68 


212.9 


'Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 


1184 


1185 
1186 
1187 


1188 


N:o 7. 


| 10.9 


10.1 


7.9 | 


9.2 


a IE TH 


1900.0 | 1900.0 | 


h m 


8 27 34.50 


8 Qu TE 
I 
| 


37.32 | 44 11 33.1 


58.17 | 43 717.8 


28 8.37 [ 4516 7.8 | 


20.36 | 44 56 15.5 | 
| 

34.15 | 42 41 40.6 

48.59 | 42 6 7.5 


55.68 4416 33.1 


29 9.35 | 44 40 29.8 


20.38 | 43 52 32.7 


22.78 | 43 24 36.4 


$ — 
1890-- 


4.28 


4.24 


42.80 | 43 50 40.5 | 4.23 


| 


56.02 39 24 58.1 | 4.11 

30 6.41 3945 51.3 4.11 

18.55 | 43 48 36.0 | 4.23 
| 


20.01 4247 4.5 | 4.13 


| 
| 


4.14 


Ua 


45 12 29.0 | 4.29 | —0.0030 


— 0.0048 
— 0.0038 
— 0.0034 
— 0.0056 
— 0.0046 
+ 0.0018 
+ 0.0009 
+ 0.0014 
— 0.0058 
— 0.0045 
— 0.0053 
— 0.0061 
— 0.0079 
— 0.0069 
— 0.0039 
— 0.0031 
— 0.0055 
— 0.0235 
— 0.0238 
— 010237 
— 0.0001 
— 0.0007 
— 0.0004 
+ 0.0028 
4- 0.0025 
— 0.0019 
4- 0.0022 
+ 0.0059 
— 0.0006 
+ 0.0027 
-- 0.0008 
+ 0.0001 
— 0.0015 
— 0.0014 
— 0.0009 
+ 0.0001 
— 0.0018 
— 0.0029 
— 0.0015 
— 0.0028 
— 0.0002 
— 0.0061 
— 0.0067 
— 0.0073 
— 0.0068 
— 0.0062 
— 0.0020 
— 0.0036 
— 0.0033 


— 0.018 

— 0.056 

— 0.033 

— 0.036 

— 0.019 

— 0.026 

+ 0.007 
| — 0.037 
— 0.013 
— 0.046 
— 0.035 
— 0.041 
— 0.058 
— 0.059 
— 0.058 
+ 0.012 
— 0.027 
— 0.006 
— 0.632 
— 0.629 
— 0.630 
— 0.034 
— 0.014 
— 0.022 
— 0.034 
— 0.012 
— 0.026 
— 0.023 
+ 0.021 
— 0.060 
— 0.026 
— 0.037 
+ 0.024 
| —0.053 

— 0.008 


Région | 


N:o 


357 80 
361 — 


357 82 
360 31 


356 85 


1360 37 


| 


— 0.018 | 


+ 0.053 
— 0.027 
+ 0.011 
— 0.008 
— 0.022 
— 0.002 
+ 0.019 
— 0.045 
— 0.024 
— 0.033 
+ 0.039 
— 0.013 
| — 0.033 
— 0.004 


I 


357 83 
361 29 


357 86 
360 39 


356 95 
359 50 


356 97 
359 57 


357 91 
360 44 


357 90 
360 46 
364 — 


356 99 
360 49 
363 — 
356 100 | 
360 50! 
363 1 


356 103 | 
360 53 
363 4 


358 40, 
358 46 
356 108 
360 60 
363 8 


356 114 
359 71 
363 14 


Au = + 08.0002; 4 u, = + 0.007. 


Poids 


^ (abs.) 


0.046 


0.052 


0.018 


0.063 


0.087 


0.057 


0.676 


0.015 


0.051 


0.032 


0.013 | 


0.014 
0.034 
0.005 


0.076 


0.034 


[ov] 
[I 
Or 


131 


LC) 


132 RAGNAR FURUHJELM. 
| | We eur * | | Région | pr: 
Le 1] Gres Msg BEE ee | MEE UA LOHN No | Poids ls (abs) | P 
| | |n m s dcs MD | 8 | " s | B 
1189 | 10.1 830 22.09 4052 45.8 | 4.36 | —0.0064 | +0.025 | 355 117 | 0.3 0.6 | 
4.50 | — 0.0014 | —0.019 |358 41|1.0 0.8 
— 0.0029 | — 0.004 |362 13| 0.9 1.1 
| — 0.0027 | — 0.002 2.2 2.5| 0.028 | 280 
1190 | 9.8 22.88 | 39 28 26.5 | 4.11 | —0.0016 | —0.086 |358 48| 1.1 1.1| 0.081 | 192.1 
1191 | 91 32.28 | 40 41 23.6 | 4.24 | —0.0023 | -- 0.032 | 355 118 | 0.1 0.2 
| 4.30 | --0.0002 | —0.011 358 511.111 
| --0.0012 | +0.017 |362 14|1.0 1.0 | 
+ 0.0005 | 40.005 2.2 2.8| 0.014 | 34 
11920 42.11 3938 9.0 | 4.11 | +0.0004 | +0.040 |358 55 | 1.1 1.1| 0.048 8 
1193 | 10.1 48.35 41 6 1.0 | 4.20 | —0.0067 | —0.028 |359 84 | 0.7 0.6 
4.21 | —0.0046 | —0.025 |362 20 1.1 1.2 
— 0.0054 | — 0.026 1.8 1.8| 0.062 | 252.1 
1194 | 9.6 56.28 4414 1.3 | 4.23 | —0.0006 | —0.001 [360 76|1.1 1.1 | | 
| — 0.0010 | +0.000 | 364 17 | 0.5 0.5 
| — 0.0007 | — 0.001 1.6 1.6| 0.008 | 320 
(1195 9.1 58.47 42 9 3.5 | 4.12 | —0.0043 | —0.101 |359 88, 89| 0.9 0.9 
|1196| 9.6 | — 0.0051 | —0.126 |363 25|0.5 0.4 
| | | — 0.0046 | — 0.109 1.4113| 0.118) 2082 
1197 | 8.8) 31 0.32 | 46 53 58.9 | 4.19 | —0.0054 | + 0.008 361 54|0.7 0.6| 0.055 | 285.8 
1198 | 11 13.0 |44 013 | 428 | —0:0076 | —0.215|360 — | 1.1 1.1| 0.223 | 201.0 
1199 | 9.5 19.94 | 44 25 19.3 | 4.22 | +0.0043 | +0.005 360 75| 1.1 1.1 
--0.0051 | +0.006 |364 24 0.8 0.8 
-- 0.0046 | + 0.005 | 1.9 1:9| 0:053 | 0770 
1200 10.8 22.58 | 41 17 33.0 | 4.20 | —0.0059 | +0.018 |359 96 | 0.9 0.9 
— 0.0055 | --0.010 |362 25 1.2 1.2 
— 0.0057 | +-0.013 | 2.1 2.1| 0.065 | 287.9 
1201 | 10.2 23.97 | 44 30 11.6 | 4.22 | --0.0103 | —0.100 |360 80 1.1 1.1 
--0.0119 | —0.108 364 21 0.8 0.8 
+ 0.0110 | — 0.103 | 1.9 1.9| 0.153 | 1289 
1202 | 10.2 35.67 4113 59.1 | 4.20 | +0.0014 | —0.024 359 97 0.8 0.7 
--0.0023 | —0.005 |362 30 1.2 1.2 
-- 0.0019 | — 0.012 2.0 1.9| 0.025 | 102 
1203 10.7, 32 7.70 39 22 10.5 | 4.11 | —0.0001 | —0.018 358 72. 1.1 1.1| 0.012 | 175 
1204 | 8.8 11.28 44 40 52.8 | 4.21 | —0.0004 | —0.004 360 89 1.1 1.1 
— 0.0018 | —0.008 |364 29 0.9 0.9 
— 0.0010 | — 0.006 2.0 2.0| 0.009 | 270 
1205 | 11 24.1 [452217 |415| +0.0099 | —0.020 364 — | 0.9 0.9| 0.107 | 97.5 
1206 9.0. 39.02 | 40 21 42.5 | 4.20 | + 0.0008 | —0.068 |358 76 1.1 1.1 
+ 0.0040 | —0.046 |362 41 1.2 1.2 | 
+ 0.0025 | — 0.057 2.3 2.8| 0.060 | 148.7 
1207 | &8| 42.01 | 40 39 42.4 | 4.20 | —0.0038 | —0.042 |358 73, 1.0 0.9 | 
| | — 0.0019 | —0.043 |362 .38| 1.2 1.2 | 
| | — 0.0028 | — 0.043 2.2 2.1| 0.048 | 219 | 
1208 | 10.8 50.14 |46 636.5 4.19 | —0.0056 | —0.018 |361 63| 0.9 0.9| 0.057 | 257.9 | 
1209 | 9.6| 3311.31 | 40 24 45.5 | 4.20 | —0.0055 | —0.045 |358 79 1.1 1.1 
| | — 0.0024 | — 0.024 |362 42|1.21.2 | 
| — 0.0039 | — 0.034 | 2.3 2.3| 0.051 | 236.9 | 
1210 | 11.0 18.55 4154 6.8 411 | 0.0052 | —0.029 | 359 117 | 0.9 0.9 
--0.0036 | +0.007 [362 — | 1.0 0.8 | 
4.0.0044 | — 0.012 | 19 1.7| 0.050 | 96.8 | 


A u = + 05.0002; 


12031210: + 05,0001; Au, = + 0.007; 1203—1210: + 07.006. 


'Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 133 


N:o 


3 | à E Région £ 
| 1900.0 1890+- Ha | No | Poids |# | B 


ir 
Gr. | 1900.0 


Qo 


— 0.0026 | —0.049 |362 48 | 1.2 1.2 
— 0.0027 | —0.053 | 1.9 1.9 
—0.0098 | —0.075 |358 82 | 0.9 0.9 
362 49|1.2 1.2 


0.055 | 211.7 


—0.0077 | — 0.079 


| 
1213 | 10.0 37.16 | 40 36 37.5 | 4.20 
| 
| 
| 
| 
| 


| | — 0.0086 | — 0.077 |2.1 2.1| 0.120 | 233.8 

1214 | 10.6 42.50 | 39 11 1.4 | 4.11 | — 0.0048 | — 0.029 | 358 86 0.6 0.6! 0.054 | 244.9 
1215 Säl 53.60 | 43 28 30.9 | 4.21 | —0:0169 | —0.296 | 360 107 | 0.9 1.0 
| — 0.0148 | —0.298 | 363 45 | 0.9 0.9 

| | — 0.0156 | — 0.297 | | 1.8 1.9| 0.337 | 210.1 

1216 | 8.4 | 59.39 | 46 46 58.2 | 4.19 | —0.0027 | + 0.012 | 361 69 0.6 0.6 | 0.032 | 304 

1217 OM 34 3.23 | 39 23 43.7 | 4.11 | —0:0070 | —0.055 | 358 93 0.7 0.81 0.094 | 238.5 

1218 | 5.7| 6.63 | 46 11 5.2 | 4.20 | +0.0001 | +0.078 | 361 70 10.9 0.9 


+0.0026 | +0.075 1368 2|0.2 0.5 


+0.0006 | +0.077 | 1.1 1.4| 0.083 4.8 


1219 | 10.2 6.99 | 40 52 29.5 | 4.23 | —0.0007 | +0.009 1358 88| 


0.009 | 362 60 


+ 0.0014 


0.0008 0.018 34 


0 
1 - 
+ 0.009 | HTC 
— 0.0010 | —0.010 |358 90 0 
+0.0019 | —0.019 |362 62/1 
2 


+0.0007 | — 0.015 0.013 | 135 


— 0.0036 | — 0.016 | 358 99 | 0.8 0.8 


12 10.6 | 26.68 | 39 28 21.8 | 4.11 0.041 | 256 
1222 7.3 55.53 | 4513 7.6 | 4.19 | —0.0021 | —0.058 |361 81 | 0.4 0.4 


—0.0014 | — 0.023 |364 62 | 0.9 0.9 
+ 0.0004 | —0.033 | 368 13 | 0.4 0.4 
— 0.0011 | — 0.034 1.7 1.7 | 0.030 | 201 


1223 9.1 35 30.14 | 41 57 48.4 | 4.18 | —0.0010 | —0.093 | 359 139 | 0.2 0.4 


— 0.0048 | —0.041 | 362 74 1.0 0.5 
—0.0032 | —0.057 363 65 0.4 0.2 
— 0.0037 | —0.072 366 19 | 0.8 0.9 
— 0.0038 | — 0.067 | 2.4 2.0 
— 0.0030 | —0.068 | 362 72 | 0.4 0.2 
—0.0017 | —0.036 |363 63 | 0.7 0.4 
— 0.0018 | —0.068 | 366 17 0.9 0.9 
— 0.0020 | —0.059 2.0 1.5 
4-0.0037 | —0.012 | 360 - ; 
+ 0.0034 | +0.001 (363 57 | 0.9 0.9 
4-0.0044 | —0.071 | 367 110.5 0.5 
+ 0.0038 | — 0.023 | 17517176 
— 0.0021 | —0.055 |361 84| 0.1 0.2 
+0.0017 | —0.029 |364 73 | 0.9 0.9 
--0.0017 | — 0.035 


0.074 | 214.5 | 


1224 9.1 | 44.37 | 42 3 26.7 | 4.15 


| 0.057 | 201.6 | 
11225 | 10.6 47.25 | 43 13 33.2 | 4.14 


0.045 | 112 


1226 8.9 36 0.26 |45 39 43.2 | 4.21 


368 21 |1.0 1.0 


+ 0.0015 | — 0.034 2.0 2.1| 0.033 | 149 
11227 9.0 5.72 | 42 30 52.2 | 4.13 | + 0.0003 | —0.093 |363 68 | 0.9 0.9 
| +0.0028 | —0.112 |366 21 | 0.7 0.8 
| -0.0014 | —0.102 J^ 6091572180709 72 EPIO OT 
1228 | 11 21.8 | 4110 2 4.28 | +0.0018 | —0.017 |362 — | 1.2 1.2| 0.024 | 118 
1229 | 11 24.6 |46 852 |4.28 | +0.0003 | —0.043 368 — | 1.0 1.0| 0.037 | 172 | 
1230 | 9.4 35.58 | 46 717.6 | 4.28 | —0.0052 | —0.136 |368 23| 1.0 1.0| 0.140 | 202.2 | 


| In m Ss | CNT: 2 | 8 | " | " o 
1211 | 8.5 | 8 33 21.39 | 46 37 56.0 | 4.19 0.0054 0.014361 66 | 0.8 0.81 0.055 | 261.6 
1212 D | 36.48 | 41 26 40.3 | 4.20 0.0030 | —0.061 | 359 123 | 0.7 0.7 
s 


a 


Ma = + 05.0001; 4 w = + 07.006, 


RAGNAR FURUHJELM. 


: a Ô E 
Gr. 1900.0 | 1900.0  |1890+ a 
hum es | CDN CO 2 S 
8 36 44.44 | 41 310.0 | 4.22 | — 0.0028 
| | 4.94 | +0.0015 
— 0.0057 
— 0.0030 
9.9 50.42 | 44 31 36.9 | 4.13 | —0.0028 
| — 0.0007 | 
— 0.0018 
| 72 57.80 | 43 2 27.7 | 4.13 | —0.0023 
| | — 0.0023 
— 0.0044 
— 0.0029 
| 7.9.1 37 3.36 | 45 48 49.9 | 4.22 | —0.0012 
| — 0.0019 
| — 0.0016 
ii 4.1 |403825 |4.20 | —0:0054 
| — 0.0014 
| | — 0.0038 
9.8 | 20.16 | 45 18 54.7 | 4.21 | —0.0031 
| — 0.0020 
| | — 0.0026 
| 10.0 99.93 | 45 15 36.1 | 4.13 | + 0.0018 
| | | | + 0.0021 
| -- 0.0020 
9.4 32.78 | 49 45 23.0 | 4.13 | + 0.0003 
4- 0.0015 
| aos 33.53 | 46 29 3.2 | 4.28 | — 0.0080 
9.7 33.62 | 42 21 26.0 | 4.13 | + 0.0042 
1.0.0052 
| 4- 0.0047 
10.2 45.91 | 40 36 5.4 | 4.20 | + 0.0023 
| 4- 0.0007 
| | 4- 0.0016 
9.9 | 53.80 | 4638 8.6 | 4.28 | + 0.0005 
9.0 | 54.26 | 41 18 21.7 | 4.20 | — 0.0018 
| — 0.0033 
— 0.0024 
9.8 59.95 | 46 37 32.3 | 4.28 | — 0.0054 
| 98| 38 14,39 1525.1 | 4-41 | 4-0.0007 
| 8.9 12.16 | 42 25 19.0 | 4.13 | —0.0031 
| — 0.0039 
— 0.0035 
309 16.14 | 44 32 46.6 | 4.13 | — 0.0048 
— 0.0026 
| — 0.0037 
8.3 34.70 |42 3 8.8 | 4:14 | —0:0242 
| | 4.13 | —0.0247 
| — 0.0252 
— 0.0249 


A u = + 05.0001; 1245—1248: + 


| Fesgion EPOR 

" | 
— 0.062 362 881.2 1.2 
— 0.092 1365 — | 0.2 0.1 
— 0.023 | 366 34 0.4 0.3 
— 0.057 | 1.8 1.6 


—0.004 364 82.0.9 0.9 
+0.007 |367 210.9 0.9 
4- 0.002 | 1.8 1.8 
— 0.058 |363 78|0.9 0.9 
— 0.010 |366 35 0.3 0.2 


—0.132 |367 26|0.5 0.4 
—0.071 127/165 
—0.042 |364 79|0.7 0.7 
—0.048 |368 31|1.0 1.0 
— 0.046 DEA TA 
—0:090 362 — | 12 1.2 
—0.130 |365 — | 0.8 0.7 
— 0.105 2.0 1.9 
—0.024 |364 870.9 0.9 


— 0.023 |368 39 | 0.9 0.9 
— 0.024 | 1.8 1.8 
+ 0.004 |364 88 0.9 0.9 
4-0.006 |367 40 0.9 0.8 
-- 0.005 | Late, gis 
— 0.010 363 83|0.9 0.9 
--0.019 |366 39 0.7 0.7 
+ 0.003 | 1.6 1.6 
— 0.050 | 368. 44 | 1.0 1.0 
— 0.018 |363 85 |0.8 0.8 
— 0.030 |366 410.9 0.9 


— 0.024 | Ir 09 
—0.047 |362 100 | 1.2 1.2 
0.026 365 36 0.9 0.9 
— 0.038 2.1 


- 0.047 | : 
— 0.033 |366 50 | 0.9 
— 0.041 | 2.1 2.0 
— 0.106 | 368 42 | 1.0 1.0 
— 0.090 365 45 0.8 0.8 
—0.055 |363 98 | 8 
— 0.060 | 366 53 | 0.9 0.9 
— 0.058 NR 
— 0.057 | 364 100 | 0.9 0.9 
— 0.031 367 40 0.9 0.9 
— 0.044 IUE 
— 0.702 | 362 108 | 0.2 0.1 

0.684 |363 104 | 0.4 0.3 
— 0.663 |366 55|0.9 0.9 
— 0.671 | 3.5 1.3 


Iu 
(er 
to 
=) 
[070] 
en 
w 


2.1 
— 0.023 |368 41 1.0 1.0 
1 
0 


M 
Co 
E 
oe 


05.0000; A us = + 0”.006. 


0.072 


0.043 


0.108 


0.032 


0.025 


0.013 
0.092 


0.056 | 


0.037 
0.018 


0.044 
0.115 
0.084 


0.065 | 


0.054 | 


212.9 


203.5 | 


48 
241.5 | 


108.8 | 


149 
164 


218 
209.2 
173.9 | 


D 
M 
e 
Se 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 135 


0 


| (t Ó E : | Régi | à 
Nio | Gr. 1900.0 | 4900.0 48994] Me | Me EAR FR | cun € A 
n^ mess ort 8 Ht, | " 
1249 | 8.2 | 838 40.57 | 49 46 2.5 | 4.13 | +0.0043 | —0.073 |363 102 | 0.9 0.9 
0.0045 | — 0.071 |366 62 | 0.9 0.8 
| + 0.0044 | — 0.072 | 75591-72109 0:0822 10143:4 
1950 | 10.3 47.39 | 39 58 14.2 | 4.11 | —0.0067 | —0.056 | 362 — | 0.2 0.2 


— 0.0059 | —0.048 |365 52 | 0.9 0.9 

0.0060 | — 0.049 | TOT 010808089 37777 
-0.0017 | —0.035 | 364 105 | 0.5 0.5 | 
0.0019 | —0.024 | 368 70 | 1.0 1.0 

0.0047 | —0.037 371 3.0.1 0.2 


1251 | 10.1 39 4.62 | 45 45 34.2 | 4.23 
| 2 


| +0.0020 | — 0.029 | 1.6 1.7 | 0.081 | 138 
1252 9.0 17.43 | 46 55 27.1 | 4.28 0.0026 | — 0.053 |368 64| 0.8 0.6 | 0.054 | 209.9 
1253 | 11.1 32.56 | 42 16 20.2 4.11 | --0.0020 | — 0.067 |363 — | 0.4 0.4 
| | 4-0.0086 | —0.100 |366 77 | 0.9 0.9 | 
| | - 0.0066 | — 0.090 180151011720 13910 


1954 | 9.3 40 1.60|4547 6.8 | 4.22 | —0.0017 | — 0.045 | 364 119 | 0.3 0.4 


—0.0024 | —0.051 368 82|1.0 1.0 
| L0.0015 | — 0.056 | 371 14 0.4 0.4 
| | — 0.0014 | — 0.051 1.7 1.8| 0.047 | 197 
| 2.71 | 41 28 37.8 | 3.97 | —0.0069 | —0.057 | 362 119 | | 
| 3.91 | —0.0104 | —0.047 |366 83 | 0.9 0.9 
| | | -0.0100 | —0.056 |369 50.5 0.8 


= 
An 
=] 
1 


| | | — 0.0094 | — 0.053 1.9 2.4 | 0.115 | 245.9 
1256 | 8.9 9.19 | 40 24 50.0 | 3.95 | -- 0.0068 | —0.029 | 562 122 | 0.4 0.5 


3.90 | +0.0077 | —0.023 |365 68 | 0.9 0.9 
0.0056 | —0.029 | 369  7|0.5 0.7 


| | +0.0069 | — 0.026 | 1.8 2.1| 0.081 | 1042 | 
1257 | 9.8 10.81 | 44 8 0.1 | 4.12 | —0.0054 | —0.195 | 364 127 | 0.2 0.2 | 
| | | | | —0.0025 | — 0.148 | 367 62 | 0.9 0.9 
| | 0.0023 | — 0.161 | 371 18|0.3 0.3 
| - 0.0029 | — 0.158 | 14 1.4| 0.155 | 191.5 


1958 | 10.2 | 25.75 | 44 56 36.7 | 4.13 | —0.0064 | —0.052 | 364 126 | 0.3 0.6 
| | | 4.14 | —0.0039 | —0.041 |367 69 0.7 0.4 


| ; — 0.0026 | —0.045 | 371 22|0.8 0.9 
| | | | — 0.0037 | — 0.046 1.8 1.9| 0.056 | 224.3 
1259 | 9.0 31.77 | 45 25 31.0 | 4.21 | +0.0026 | —0.059 | 364 122 | 0.3 0.5 
| | 4.20 | --0.0026 | —0.040 |368 92 1.0 1.0 
| | +0.0046 | — 0.048 |371 19 0.7 0.8 | | 
| | | +0.0033 | — 0.047 2.0 2.31 0.053 | 140.3 
1260 |11 | 35.8 |405748 |3.65 | —0.0012 | —0.186 |365 — | 0.6 0.3 
| | | | 3.53 | --0.0008 | —0.087 | 369 — |1.0 1.1 | 
| | +0.0000 | — 0.108 | | 1.6 1.4] 0.108 | 180.0 | 
1261 | 8.6 40.52 | 43 51 44.3 | 4.12 | -- 0.0024 | —0.004 [363 116 | 0.1 0.1 | 
| | | — 0.0002 | —0.003 367 73 | 0.9 0.9 
| —0.0036 | — 0.033 | 370 12 0.4 0.4 
| | — 0.0010 | — 0.012 | 1.4 1.4| 0.013 | 241 
1262 | 9.5| 41 4.85 | 45 53 55.6 | 4.28 | —0.0003 | —0.202 |368 98 1.0 1.0| 0.197 | 180.9 | 
1263 | 8.8 4.94 | 45 53 58.3 | 4.24 | +0.0005 | — 0.183 [368 97|1.0 1.0 
--0:0024 | —0.194 | 371 24| 0.5 0.4 
+ 0.0011 | —0.186 ID ds O1 8:12 TOP) 


4 u, = + 05,0000; ./ us = + 0,006; 1262—1263: + 0".005. 


136 RAGNAR FURUHJELM. 


| | | Ei T = > m I I 
i M ad d E | | Région | d | 
| NS | Gr. | 1900.0 1900.0  48904| — "^ 5 | No Poids |# (abs.) | z 
| HANNES YS ATA E 7 | 


S | " | o 
1264 10.4 | 8 41 14.84 | 43 15 20.1 | 4.13 0.0037 | —0.107 | 367 82, 0.9 0.9 
| | — 0.0040 | —0.071 370 20 | 0.9 0.9 | 


0.094 | 206.6 | 


| | — 0.0038 | — 0.089 | | 1.8 1.8 
1265 | 8.7 18.49 | 4135 1.6 | 3.75 | —0.0038 | —0.007 366 100 0.9 0.9 
| | —0.0030 | —0.041 |369 19 | 0.9 0.9 | 
| | | — 0.0034 | — 0.024 1.8 1.8 | 0.042 | 243 | 
1266 | 9.5 | 31.51 | 39 4 48.5 | 4.11 | —0.0080 | —0.074 | 365. 880.6 0.5| 0.116 | 233.4 | 
1267 | 9.9 | 49.18 | 45 21 1.3 | 4.21 | +0.0035 | +0.002 | 368 104 | 1.0 1.0 | 
| +0.0047 | +0.008 |371 34| 0.9 0.9 | 
| 0.0041 | 40.005 1.94.9| 0.0442 177 
1268 | 9.4 | 54.62 | 43 45 31.8 | 4.13 0.0044 | —0.041 |367 860.9 0.9 


| | 0.0055 | — 0.046 370 25 0.7 0.6 


0.0049 | — 0.043 1.6 1.5| 0.064 | 233.8 | 


1269 | 9.5| 42 3.20|4432 2.9 | 4.13 | + 0.0002 | +0.006 | 367 85 | 0.9 0.9 
+ 0.0019 | +0.012 |371 35 | 0.9 0.9 
| -0.0010 | +0.009 1.8 1.81 0.018 | 338 
1270 | 11.0 10.84 | 41 46 38.4 | 4.11 | —0.0047 | —0.081 | 366 115 | 0.9 0.9 
| | | — 0.0030 | — 0.078 |369 — | 0.9 0.8 | 
| — 0.0038 | — 0.080 |18 1.7 | 0.086 | 209.8 | 
NON Uk) 57.52 | 45 20 52.5 | 4.21 | —0.0041 | — 0.029 | 368 112 | 0.9 0.9 
— 0.0041 | —0.012 |371 39 | 0.9 0.9 
—0.0041 | — 0.020 | 1.8 1.8| 0.046 | 251 


1272 9.8 43 5.34 |45 231.8 | 4.18 | +0.0067 | —0.003 (367 92 | 0.2 0.1 
+ 0.0045 | —0.028 | 368 115 | 0.5 
+0:0047 | —0.013 |371 45 |1. 

1 
1 


| | | | | +0.0049 | — 0.016 


0.053 | 101.9 | 


| | +0.0010 | +0.002 | 22: 


[— © a 
NES 
es : RÖR 
— —Ó—————————————————— Á— Hi ÓÀ— M Ü————————— —— — — ——— 


1973. (19:5 97.83 | 45 38 21.5 | 4.91 0.0055 | +0.016 | 368 118 | 1.0 1.0 
| | — 0.0038 | +0.003 371 430.9 0.9 | | 
| | — 0.0047 | + 0.010 1.9 1.9| 0.052 | 287.02) 
1274 | 8.2 28.93 | 39 57 36.9 | 3.92 | + 0.0062 | +0.023 | 365 101 | 0.9 0.9 
| | 3.98 | +0.0071 | —0.030 |369 390.3 0.2 | | 
| | | | | + 0.0064 | + 0.013 11800070 76.3 | 
119/758 al 32.98 |49 8 56.3 | 4.11 | —0.0072 | —0.025 | 366 125 | 0.9 0.9 
| | -0:0025 | —0.057 |370 — | 0.8 0.7 
| | — 0.0050 | —0.039 | 117 L6| 0.065 | 238.3 | 
1976 | 10.9 | 44 16.30 | 41 32 54.6 | 3.66 | —0.0110 | --0.037 | 366 132 | 0.7 0.7 | 
0.0041 | —0.033 369 42 1.1 1.1 | 
— 0.0068 | — 0.006 | | 1.8 1.8| 0.076 | 269.2 
Teri" e um 28.36 42 57 45.1 4.08| —0.0003 | +0.018 | 366 127 | 0.2 0.2 | 
+0.0004 | —0.024 |370 47 | 0.9 0.9 | 
| +0.0032 | —0.003 1373 1 0.1 0.1 | 
| + 0.0005 ug 1.2222) 0.0102 OT 
| "eet 57.99 | 43 28 49.0 | 3.95 | — 0.0008 | — 0.058 | 367 106 | 0.4 0.6 | 
3.92 | —0.0043 | —0.035 |370 53 | 0.9 0.9 | 
— 0.0051 | —0.022 |374 70.5 0.7 | 
==050084 = 0:037 1.8 2.2| 0.051.) 231.3 
1279 | 9.0 59.88 | 44 21 31.5 | 3.91 | + 0.0030 | +0.026 | 367 105 | 0.5 0.7 | 
3.88 | —0.0008 | —0.011 371 69 0.9 0.9 | 
| | +0.0020 | —0.003 374 8 0.7 0.9 | 
| 5 | 0.014 | 60 


4d us. = + 05,0000; 4 us = + 0",005. 
Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 137 


| Région 


MID. | „un te 


SAS on b 1900.0 48904| "^ | Me wig. | Ode labs, P 
| m ti Lr M. | s ^ | | "n | 
1280 | 5.8 | 845 14.35 |44 5 55.4 | 3.80 | --0.0021 | +0.046 | 367 108 | 0.4 0.7 | 
| | | 3.82 | —0.0023 | +0.004 | 371 71 | 0.7 0.6 | 
— 0.0013 | --0.032 | 374 10 | 0.9 1.0 | 
| | — 0.0010 | +0.029 | 12.0 2.3| 0.036 | 341 
Tas] 13:7] 91.0 |452810 |3.89 | —0.0102 | —0.097 |368 — | 0.4 0.6 
| | 3.93 | —0.0108 | —0.075 |371 — |0.9 0.9 | 
| —0.0111 | —0.164 375 — |0.8 0.8 | 
| — 0.0108 | —0.112 | |2.1 2.3] 0.157. | 227.1 
1982 | 6.9 23.93 | 45 41 16.1 | 3.86 | —0.0001 | —0.032 | 368 140 | 0.4 0.7 
| | 3.89 | +0.0020 | — 0.038 | 371 64 | 0.9 0.9 
| +0.0002 | —0.088 | 375 21 | 0.9 1.0 | 
| | | 4-0.0009 | — 0.056 | | 2.2 2.6| 0.052 | 171.1 
1983 | 8:6 | 24.45 | 39 16 48.4 | 3.46 | —0.0031 | — 0.041 | 365 112 | 0.1 0.2 | 
| | | 3.57 | —0.0049 | +0.001 372 3|0.5 0.5 
| | | — 0.0046 | — 0.011 0.6 0.7 0.054 | 263.7 
1284 | 9.6 | 25.83 | 41 46 54.6 | 3.38 | — 0.0089 | +0.044 | 366 144 | 0.2 0.5 | 
| | | 3.48 | —0.0051 | +0.026 | 369 57 | 1.1 1.0 
| —0.0053 | +0.013 | 373 90.9 1.0 | 
| — 0.0055 | + 0.024 2.2 2.5| 0.069 | 294.7 
1285 | 6.8 33.33 | 4222 43.8 | 3.83 | — 0.0089 | —0.031 | 366 142 | 0.2 0.3 | 
3.82 | —0.0040 | —0.082 370 61. 0.9 0.9 
— 0.0027 | —0.086 | 373 12 | 0.8 0.9 
| — 0.0040 | — 0.076 | | 1.9 2.1| 0.084 | 212.4 
1986 | 9.3 | 51.05 | 40 31 28.3 | 3.30 | —0.0041 | —0.026 |369 67 | 1.1 1.1 | 
| | | | — 0.0036 | —0.041 1372  5|0.9 0.9 
| | | | — 0.0039 | — 0.033 | 2.0 2.0| 0.054 | 238.7 
1287 | 10.5| 46 3.86 | 3930 9.1 | 3.30 | +0.0008 | —0.101 |372 7|0.9 0.9| 0.096 | 175.2 
1288 | 9.8 15.91 | 4229 2.2 | 3.75 | —0.0011 | —0.077 |370 70 | 0.9 0.9 
| — 0.0005 | —0.049 | 373 18 |1.0 1.0 
| — 0.0008 | — 0.062 | | 1.9 1.9| 0.058 | 189.0 
1289 10.9 22.95 | 46 358.4 | 3.30 | --0:0017 | —0.002 |375 36|1.1 1.1| 0.016 | 79 
1290 | 10.4 32.50 | 45 22 21.8 | 3.75 | --0.0067 | +0.004 | 371 89 | 0.9 0.9 
«| +0.0055 | —0.022 |375 42| 1.0 1.0 | 
+0.0061 | — 0.010 | 1.9 1.9| 0.063 | 94.5 
1991 | 10.9 55.52 | 46 412.0 | 3.80 | +0.0150 | —0.144 375 48| 1.1 1.1| 0.208 | 131.9 
1292 |10.4| 47 2.09 | 43 2 26.0 | 4.15 | + 0.0018 | —0.007 |370 77 | 0.9 0.9 
| | +0.0003 | +0.003 | 373 — | 09.3 0.2 | 
| +0.0019 | +0.005 | 374 — | 0.6 0.3 | 
| | +0.0016 | — 0.003 Iz sr 42 10.016 83 
1293 | 9.9. 11.61 | 45 39 49.1 | 3.72 | 40.0047 | —0.044 |371 91| 0.9 0.9 | 
| | +0.0043 | —0.059: 375 59 | 1.1 1.1 | 
| | | +0.0045 | — 0.052 | 2.0 2.0| 0.066 | 135.0 | 
1294 | 9.8 31.83 | 44 2 6.6 | 3.70 | —0.0015 | —0.085 | 370 81| 0.3 0.2 
| - | 3.58 | —0.0028 | —0.035 | 371 100 | 0.5 0.3 
| —0.0028 | —0.043 374 26 1.1 1.1 
— 0.0026 | —0.047 1.9 1.6| 0.051 | 214.6 
1295 | 7.1 41.58 | 39 37 56.0 | 3.30 | —0.0036 | —0.002 372 27! 1.1 1.1| 0.042 | 274 
1296 | 11.1 50.75 | 41 157.0 | 3.30 || — 0.0023 | — 0.041 | 369 87| 1.1 1.1| 0.045 | 217 
12980 72 59.26 | 40 30 59.5 | 3.30 | +0.0033 | —0.175 | 369 89 | 1.1 1.1 
| +0.0037 | —0.187 |372 29|1.1 11 | 
| | +0.0035 | — 0.181 | 2.2 2.2| 0.180 | 167.5 


A ta = + 05.0000; 1287—1297: — 05.0001; 4 us = + 0".005. 


138 RAGNAR FURUHJELM. 
I eG : 2 j us | Région | poids let p 
nou accede 1900.0  48904.| — "7 a eR. eui os 
h m s | Demi nir 8 Ui | JL o 6 
gs 7.5 | 848 3.77|4358 5.3 | 3.68 | —0.0047 | —0.221 |370 870.5 0.3 N 
\1299| 8.2 | 3.58| —0.0062 | —0.199 | 371 107 | 0.3 0.2 : 
| | —0.0055 | —0.139 |374 31:32] 1.1 1.1 | | ) 
| | | — 0.0054 | — 0.162 1.9 1.6| 0.168 | 200.6 | 
1300 | 9.7| 26.49 | 46 14 27.2 | 3.30 | —0.0056 | — 0.065 |375 73| 1.1 1.1| 0.084 | 224.5 | | 
1301 | 9.2. 41.51 | 39 32 11.0 | 3.30 | —0.0028 | —0.105 | 312. 31 1.1 1.1| 0.105 | 198.3 | i 
1302 | 9.4| 49 2.46 |3858 9.8 | 3.30 | —0.0089 | —0.133 |372 45 0.5 0.2 | 0.165 | 219.1 
13031 TEA 4.48 |45 2 38.7 | 3.67 | +0.0027 | —0.051 | 371 113 | 0.9 0.9 
3.75 | +0.0044 | —0.100 |374 38 | 0.5 0.2 
+0.0072 | —0.087 |375 87 | 0.8 0.5 
— 0.0000 | —0.049 |378 1| 0.2 0.3 | i 
| | | +0.0043 | — 0.065 | 2.4 1.9| 0.074 | 97:84 f 
1304 | 7.2 5.99 |42 333.2 | 3.54 | —0.0035 | —0.089 |370 104 | 0.3 0.3 | | ; 
| | 3.50 | —0.0011 | —0.044 |373 52|1.1 1.1 | | i 
| | — 0.0016 | —0.054 (DEREN - 9.05232 2000 ? 
1305 | 7:8 6.95 | 40 25 33.6 | 3.30 | -- 0.0011 | —0.029 | 369 104 | 0.8 0.9 | | 
| —0.0002 | —0.035 372 37|1.1 1.1 | | 
| | | +0.0003 | — 0.032 | | 1.9 2.0| 0.027 | 176 
1306 | 9.1| 12.31 | 39 46 45.0 | 3.30 | —0.0040 | — 0.066 |372 49 | 1.1 1.1| 0.077 | 217.6 
1307 | 10.8 | 14.38 | 41 30 5.2 | 3.30 | — 0.0062 | — 0.039 |369 99 | 0.8 0.9 | 
| — 0.0027 | —0.054 | 373 54 1.1 l.l | 
—0.0042 | — 0.047 | | 1.9 2.0| 0.064 | 228.8 | 
1308 | 10.0 | 32.7139 3 7.1|3.30| +0.0070 | —0.271 3172 52| 0.9 0.5| 0.278 | 163.1 
1309 | 6.3 | 46.29 | 46 8 45.5 | 3.30 | —0.0006 | —0.035 375 91, 1.1 1.1| 0.031 | 193 | 
1310 | 8.0| 56.52 | 39 11 42.3 | 3.30 | —0.0015 | —0.060 372 55 1.1 1.0| 0.058 \ 198.1 | 
[313]. Sat 50 01532 140 35 5.2 | 3.30 | —0.0076 | —0.061 | 369 107 | 0.4 0.7 | | 
| | | —0.0054 | —0.068 | 372 57 1.1 1.1 | 
| | | | —0.0059 | —0.056 376 6 0.5 0.8 | 
| | | | — 0.0060 | — 0.062 2.0 2.6| 0.089 | 230.4 
13120) 6.27 4.01|46 0 54.6 | 3.42 | —0.0124 | —0.027 | 371 122 | 0.2 0.2 
| —0.0096 | —0.067 |375 98|1.1 1.1 
| —0.0169 | —0.102 ,378 10 | 0.2 0.2 
| | | — 0.0109 | — 0.066 | 1:5 L5| 0.130 |) 242 | 
1313 | 6.9 | 24.14 | 44 47 29.8 | 3.42 | +0.0040 | +0.006 | 371 129 | 0.3 0.6 | 
| 3.53 | +0.0042 | —0.015 |374 57|1.1 1.1 1 
| +0.0010 | +0.006 378 16 0.9 1.0 
+ 0.0029 | — 0.003 | | 2.3 2.7 | 0.080 | 86 
1314 |10.5| 51 3.47 | 4615 45.2 | 3.30 | + 0.0001 | — 0.026 | 375 110 | 1.1 1.1| 0.022 | 183 
1315 | 10.7 | 13.23 | 40 43 15.4 | 3.30 | +0.0019 | —0.061 | 372 68|1.1 1.1 | | 
| | | +0.0009 | —0.070 376 24|1.1 1.1 | 
| | +0.0014 | — 0.066 2.2 2.2| 0.064 | 167.3 
1316 | 81 20.68 | 46 44 4.5 | 3.30 | —0.0043 | — 0.074 | 375 107 | 1.1 1.1| 0.084 | 213.3 
i 9.8 32.09 42 0 34.8 | 3.30 | —0.0036 | —0.050 373 90 1.1 1.1 | 
| — 0.0062 | —0.085 376 27| 0.3 0.2 | 
| | —0.0042 | —0.025 | 377 24| 0.3 0.2 | | 
| | — 0.0042 | — 0.051 | 1.7 1.5| 0.067 | 225.6 | 
1318 | 9.0| 45.72 | 40 33 12.8 | 3.30 | —0.0072 —0.095 372 73 1.1 1.1 | 
| | | — 0.0070 | —0.089 |376 31|1.1 1.1 | | 
| | — 0.0071 | — 0.092 |2.2 2.2| 0.121 | 228.3 | 


| | | | 
| | | | 


4 us. = — 05.0001; 4 us = + 0”.005; 1314— 1318: + 0”.004. 
Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 139 


[14 
1900.0 |  1900.0 Dm 


RESOR | 
Ma fee RE NON | Poids 4 (abs.) IE 


N:o | Gr. EISEN 2 
| | m .s | o " | " 
| 1319| 9.4 | 8 51 46.32 | 44 16 53.0 | 3.30 e 0o98 | —0.086 |374 70|1.1 1.1 
| | —0.0199 | — 0.082 | 378 28 | 0.9 0.9 
-0.0112 | — 0.084 2.0 2.0| 0.146 | 236.7 
--0.0028 | —0.008 | 312 82| 1.1 1.1| 0.030 98 
10.0002 | —0.038 | 375 127 
X 0062 | —0.016 |378 : à 
—0.0033 | — 0.026 | 2.0 2.0| 0.043 | 239 
+0.0068 | —0.050 |373 97 | 1.1 1.1 | 
+0.0077 | —0.057 |376 38 0.9 0.8 | 
+ 0.0072 | — 0.053 | | 2.0 1.9| 0.092 | 
— 0.0002 | — 0.073 375 129 | 1.1 1.1| 0.069 | 184.1 
--0.0009 | —0.036 372 91| 1.1 1.1| 0.033 | 
4.0.0021 | —0.183 | 373 106 | 0.9 0.8 
+0.0007 | —0.157 |377 37| 1.1 1.1 | | 
0.265 | 175.: 


1320 10.0 57.87 | 39 54 43.2 | 
1321, 10.4 52 13.41 | 4511 4.4| 
| 


1322| 10.8 | | 41 47 30.6 | 3.30 


m 
-1 
ba 
Le} 


en 
dd 
S 
nu 


1323| 5.6 | 37.97 | 46 
1324 10.2 43.68 | 393 
1325| 9.9| 5318.47 | 42 4t 


im 
e 
Mi 


Or 


+0.0013 | —0. 168 2.0 
0.0038 | —0.069 | 373 105 | 0.8 
377. 38! 14 


1326| 8.5 27.70 | 42 45 29.4 | 3.30 
__0.0048 | —0.050 
— 0.0044 | — 0.058 


0.074 | 222.8 | 


1327| 8.4 39.93 | 4255 7.2 | 3.30 | --0.0089 | —0.023 | 373 111 | 0.6 | 
| +0.0067 | —0.030 |377 43 1.1 | 

+0.0075 | —0.028 X 0.084 | 106.7 

1328 8.8 55.93 | 39 22 21.3 | 3.30 | —0.0006 | —0.099 312 99 | 0.8 0.095 | 185.4 
1329| 10.6 | 59.08 | 41 44 25.5 | 3.30 | —0.0082 | —0.047 | 373 115 | 


1 
0 
1 
— 0.0082 | —0.061 376 58|1 
— 0.0082 | — 0.054 2. 
1 

il 

0 

2 


0.106 | 241.7 


+ 
[en 
e 
w 
© 
= 
bo 
Qt 
um 
«e 
t2 
a 


0.0375. 1220298 373 117 
0.0366 | — 0.212 |377 53| 
— 0.0403 | . 0.269 | 380 2 | 


| 42 10 46.1 | 3.30 


0.490 | 238.7 | 


RON SNS RS SR NS Te De Ea SEI ES au RTE 
EA 00 -3 CX Gt EA cO Ha 4 EM © © Ot © HS D HE © CG FE OK 00 © 


— 6.0374 | — 0.259 | | 2. 
*1331| 8.7 16.90 | 42 35 14.6 | 3.30 | —0.0014 | —0.135 | 373 116 | 0.8 | | 
—0:0082 | —0.101 377 52/11 | 
| —0.0079 | —0.143|380 110.3 | | 
| | — 0.0032 | — 0.121 | | 2.9 0.123 | 198.0 | 
*1332| 9.3 34.24 | 40 27 47.7 | 3.29 | —0.0075 | —0. 026 | 372 102 0.8 | | 
| —0.0069 | —0.022 | 376 77 | 1.1 | 
| 0.0075 | — 0.013 379 2. 0.2 | 
| | | —_0.0072 | — 0.022 2.1 0.086 | 257.9 
“1333 5.2, 5514.27 40 625.8 3.29 | —0.0046 | —0.116 372 110 | 0.3 | 
| —0.0020 | —0.088 | 3767 91 | 1.1 | 
| 0.0045 | — 0.074 |379 13) 0.8 | 
9.0033 0.090 | 2.2 2.6| 0.094 | 204.4 
| 


1334, 10.5 29.00 | 46 25 11.2 | 9.80 | — 0.0039 | +0.013 | 375 155 | 0.5 0.81 0.046 202 
*1335, 10.0 29.67 | 3932 13.2 | 3.28 | — 0.0057 | + 0.005 | 379 14 | 0.8 1.0| 0.068 DENT | 
3.291 0.0079 | —0:035 378 75 | 3E EST. | 


|*13360| 8.9 56 27.61 | 44 58 48.1 | | 
| —0.0048 | —0.073 |381 14 
| | — 0.0103 | —0.072 |382 15 | 0.4 0.2 


| — 0.0076 | — 0.048 | | 2.0 1.7| 0.094 | 242.1 
*1337| 10.9 32.21 | 46 15 42.7 | 3.29 | + 0.0018 | —0.007 |382 12| 1.1 1.1| 0.017 | 100 
*1338| 10.3 55.92 | 40 38 40.5 | 3.29 | —0.0058 | — 0.044 | 376 114 | 1.1 1.1 | 
| | | —0.0057 | —0.014 | 379 21 | 1.1 1.1 
| | | — 0.0058 | — 0.029 2.2 2.2| 0.072 | 249.8 
Aya = — 08.0002; Aus = + 0".004. 


N:o 7. 


140 RAGNAR FURUHJELM. 
| Bet Le NIE" © | E Région 
No | GT. 49099 | 19000 89904] — "4 RE) No | Poids H{abs)| P 
|h m s [eio quA | S " 2 E 
*1339| 9.9 8 56 59.28 46 5 39.6 | 3.29 | + 0.0007 | —0.018 |382 18| 1.1 1.1| 0.015 | 160 
| 1340| 11 57 38.1 413958 | 3.29 | 0.0053 | 0.140 | 316 — | 1.0 1:0 | 0.149 204.5 
I*1341| 8.4 | 46.10 | 40 56 30.6 | 3.29 | + 0.0123 | —0.101 |376 129 | 1.1 1.1 | 
| | | | 4-0.0132 | — 0.092 | 379 401 0.3 0.5 | 
= | 4-0.0127 | — 0.098 1:9 1.6 | 0.169 | 123.7 


*1342 8.7 | 58 0.69 | 40 59 55.5 | 3.29 | —0.0086 | —0.209 |376 128 | L.1 1.1 | 
| —0.0105 | —0.182 |379 49 |0.7 0.3 | 
| | —0.0100 | —0.152 |380 42|0.8 0.4 


| | | — 0.0095 | — 0.192 2.6 1.8 | .0.218..|.. 210.0 
+1343 9.6 | 9.90 | 39 25 32.9 | 3.28 | — 0.0035 | — 0.037 [979 54| 1.1 1.1| 0.054 | 232.5 
*1344| 9.0 | 12.64 | 41 46 49.1 | 3.29 | +0.0040 | —0.002 | 376 132 | 0.9 0.8 


| | | +0.0030 | — 0.018 |380 39|1.2 1.2 


| | + 0.0034 | — 0.012 2.0| 0.037 | 103 
|*1345| 6.6 | 14.19 | 43 51 15.9 | 3.29 | —0.0097 | —0.038 | 377 95 0.7 
| | | — 0.0088 | — 0.078 | 381 33 1.2 
| — 0.0092 | — 0.063 | 1.9 | 0.118 | 240.0 
*1346| 9.3 | 17.54 | 38 57 52.9 | 3.28 | +0.0080 | — 0.055 |379 56 0.4| 0.103 | 119.5 
*1347| 10.9 20.88 | 39 48 36.6 | 3.28 | —0.0016 | — 0.253 | 379 59 1.1| 0.250 | 184.8 | 
1348| 9.9 | 29.18 | 45 21 15.2 | 3.30 | -- 0.0038 | + 0.015 | 378 105 1.1| 0.042 | .63 
1349| 10.0 | 40.96 | 40 42 6.4 | 3.29 | -- 0.0058 | — 0.062 | 376 138 1.1| 0.086 | 132.6 
*1350| 8.8 42.20 | 39 56 5.6 | 3.38 | +0.0072 | —0.029 | 319 66 1.1| 0.083 | 107.6 | 
*1351| 8.8 | 42.50 | 3956 7.4 | 3.28 | -- 0.0104 | —0.023 319 67 11, 0.119 | 992 
*1352| 10.2 | 53.52 | 39 12 36.0 | 3.28 | —0.0005 | —0.480 |379 69 1.1| 0.476 | 181.1 


en 10.6 


59 5.46 | 40 647.6 | 3.28 | —0.0074 | — 0.050 |376 — 
— 0.0073 | — 0.015 |379 65 | 

1.510.089 257.1 
1.1| 0.118 | 1495 


— 0.0073 | —0.024 | 

+0.0061 | —0.106 |382 41 
--0.0026 | — 0.003 | 378 110 
—0.0020 | +0.011 |382 44 
—0.0067 | +0.051 1385 2 
— 0.0005 | + 0.013 | 

—0.0016 | —0.056 | 377 109 
— 0.0046 | —0.076 |381 53 
— 0.0039 | —0.059 384 1 
— 0.0033 | — 0.065 | 2.6 2.9 | 0.073 | 213.8 


| 
HA | | 
*1354| .9.5 | 6.74 | 46 30 17.8 | 3.29 
*13591 19.971 8.81 | 45 21 26.8 | 3.29 


nm 
HB 


0.019 | 335 


> 
ESI 


*1356 10.2 | 20.91 | 43 21 32.6 | 3.29 


CE RO CON E ENS EUROS EST SES SS NS EEE OS 
POS U FL LB ROO. OR Ni Re NN CSS ED IN 
© 
m 


#1357| 9.9 23.89 | 40 37 39.7 | 3.27 | —0.0056 | —0.081 | 376 152 | 0.8 1.0 
| — 0.0080 | —0.082 |379 72|1.1 1.1) | 
| —0.0111 | —0.040 |383  3|0.2 0.5, 
| | | và — 0.0074 | — 0.074 3.1 2.6, 0.112 | 2812 
|*1358| 9.3 | 24.41 | 40 16 16.2 | 3.27 | +0.0046 | —0.134 | 376 153 | 0.5 0.6 | 
| +0.0061 | —0.116 |379 75|1.1 1.1 | | 
| | | --0.0063 | —0.115|383  5|0.2 0.3 
| Jii | | -- 0.0057 | —0.121 1.82.0 0.188 | 151% 
[*1369| 8.8 | 9 038.92 | 45 34 40.6 | 3.28 | —0.0043 | —0.094 | 378 132 | 0.4-0.5 | | 
| | | | —0.0057 |-—0.057 |382 67|1.1 1.1| 
| — 0.0089 | —0.035 |385 18|0.8 0.9 | | 
— 0.0066 | — 0.056 | 2.3 2.54 0.089 | 2342 
Au, = — 05,0002; 1353—1359: —— 05,0003; 4 us = + 07.004. 


d vail. 
* L'astérisque indique que l'étoile rentre aussi dans le Catalogue du volume premier de ce tra 


Tom. L. 


"un 8n] 


Deuxième partie. 


Fréquence des mouvements propres. 


I. Introduction. Dans la discussion statistique des matériaux contenus dans le premier 
volume du présent travail, je me bornai au traitement des mouvements propres > 0”.05 par an. 
Ceux qui étaient < 0”.05 furent laissés de côté, tout faisant présumer qu'une grande partie d'entre 
eux n'avaient pas été découverts lors de l'examen des clichés au blink-microscope. Je supposai, 
au contraire, que la plupart au moins des mouvements propres > 0”.05 avaient été découverts; 
je basai done mes recherches sur le nombre de ces mouvements propres. 

Les mouvements propres publiés dans le premier volume ont depuis été traités par d’autres 
auteurs. KAPTEYN et VAN RHIN, dans leur travail sur le nombre d'étoiles à mouvement propre 
compris entre des limites définies*, ont fait usage de mes matériaux en tant que ceux-ci se rappor- 
tent à des mouvements propres > 0”.10, en laissant de côté les autres, parce que leur nombre n'était 
pas complet. — A l'aide de données que je lui ai fournies, M. E. ÓPrK** a calculé le nombre probable 
d'étoiles à mouvement propre en se fondant sur le nombre observé dans divers groupes des mouve- 
ments propres; il a trouvé que mes matériaux sont complets à peu prés à partir de 0”.011, tandis 
que pour les mouvements propres plus petits, le nombre réel dépasse le nombre observé à mesure 
que le mouvement propre devient plus petit. 

Dans le présent volume, je ne me suis pas contenté de former, comme dans le volume 
premier, une statistique des matériaux observés: j'ai aussi tenté de tirer de ceux-ci le nombre réel 
des mouvements propres pour les divers groupes. En ce sens, j'ai traité non seulement les mouve- 
ments propres publiés dans le présent volume, mais encore ceux du volume précédent. Ces derniers 
ont été calculés à nouveau en tenant compte des nouvelles corrections systématiques ici déterminées 
(p. 60—66). De là les petits écarts qu'on peut constater entre le nombre des mouvements propres 

* J. C KAPTEYN and P. J. VAN RHIJN: The number of stars between definite limits of proper 
motion, visual magnitude ete. (Gron. Publ. N:o 30). 

++ E. ÖPIK: On The Frequency of Proper Motions of Stars (Tartu Publ. XXVI. 4). 


N:o 7. 


LU 
142 RAGNAR FURUHJELM. 


trouvé directement, donné dans le volume I:er, et celui qui est donné ici. La discussion a toujours 
été limitée aux étoiles à mouvement propre > 0”.05. Pour les autres, le nombre réel des étoiles 
ne peut être obtenu qu'avec des valeurs assez peu certaines. 

2. Groupement des matériaux d'apres l'ascension droite et la grandeur des mouvements 
propres. Nombre des étoiles à mouvement propre observées. On a exclu de la présente statis- 
tique le nombre relativement restreint d'étoiles (entre 5^ 53" et 6^ 0") dont l’ascension droite est 
< 61 0". ainsi que les quelques étoiles pour lesquelles elle est > 12" 0", Il devient ainsi possible 
de répartir les matériaux en douze groupes dont chacun comprend une partie d'étendue identique 


sur la sphère céleste, ayant 30 minutes d’ascension droite. Voici ces groupes: 


Le groupe I comprend les étoiles entre 6" O"”et 6^ 39" 


» » II » » » »-- (e Qc - s T 0) 
» yo Int » » » DT OP) 0 
» DOE » » » "OST S0 SEN 
» » V » » » mee 0) 19€ S310) 
» » VI » » » » 5880723970 
» » S lt » » » » E990. 229750 
» » VIII » » » >29 30 AIDE O0 
» Y ID » » » » 10 0 » 10 30 
» » X » » » à p Sy xal -( 
» ÿ > » » » » BEY 5x3: SO 
» SEXET » » » ale 9» 182. (9) 


Tableau VII. 


Nombre des étoiles à mouvement propre observées. 


————- Groupe 
TS 


0”.051-—0”.060 = 21 | 19^ 16| 390  31| 395 975 20. 39 16 8 aa Do 
0.061—0.070 132 «1929. odi rel es 9 71,24 |. ANT 
0.071— 0.080 SEES COS PRICE TE TE 012 Sur) SD MS RS EN 
0.081— 0.0920 13 
0.091—-0.100 
0.101— 0.110 
0.111—0.120 
0.121—0.130 
0.131— 0.140 
0.141— 0.150 
0.151— 0.200 
0.201—0.250 
0.251—0.300 
0.301—0.350 
0351— ^" ^u pip 3; 790-4 RS ER RS EE RU MT D 7 
7 Ensemble | Ensemble | 92 | 110| 70| 118] 86| 114] 80| 93) 116] 145| 128] 4104/1256 


5, abi EP 14 6 5| 13 | 14 16| 11| 120 
) | ) 98 
8 
67 
55 
24 


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Go| Go E to WH 
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semble | 92 | 110| 70) 118) 86| li4| 80| 93] 116] 145] 128] 102]1256 3] 101 [1256 


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e 
[o 
Hi 
an 
[22] 
HB 


Tom. L. 


m | ıv | v | vı iv vin ire: xi [xu | 2] 


FECE, TEN 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 143 


Dans chaque groupe, les matériaux ont été répartis d’après la grandeur des mouvements 
propres, le nombre d'étoiles ayant été compté entre les limites suivantes de ces mouvements: 0”.051 
—0”.060, 0”.061—0”.070, 0".071—0^".080, 0".081—0^".090, 0".091—0^".100, 0".101—0^".110, 0”.111 
—0".190, 0”.121—0”.130, 0”.131—0”.140, 0".141—0^.150, 0”.151—0.”200, 0”.201—0”.250, 0^".251 
—0^".300, 0^".301—0^.350, > 0".350. Les étoiles doubles ainsi que les étoiles à mouvements 
propres paralléles ont été regardées comme étoiles simples. Les résultats sont donnés dans le 
tableau VII. 

Il ressort du tableau que le nombre des étoiles est un peu plus faible dans les premiers 
groupes que dans les suivants; mais la différence n'est pas fort marquée. Entre 6" et 9", le nombre 
total est de 590; entre 9" et 19^, il est de 666. Cependant, pour la raison mentionnée plus haut, 
les chiffres du tableau ne permettent de tirer des conclusions valables que pour les mouvements 
propres > 0”.1 sur la fréquence des mouvements propres et sur sa dépendance éventuelle de la 
situation de la région sur la sphère céleste. Il devient done nécessaire de chercher à déterminer, 
en partant du nombre observé des mouvements propres, leur nombre réel. Avant d'exposer la 
méthode employée à cet effet, il faut expliquer en quelques mots la situation réciproque des clichés 
de la zone de Helsingfors. 

3. Situation réciproque des cliches de la zone de Helsingfors. Les clichés de la zone de 
Helsingfors appartiennent à deux séries: l'une avec des centres aux degrés pairs en déclinaison (40°, 
42°, 44°, 46°), et aux dizaines entières de minutes de temps en ascension droite (6" 0", 6" 10", 6^ 20" 
etc.); l’autre avec des centres aux degrés impairs en déclinaison (41°, 43°, 45°), et aux ascensions 
droites 6" 5", 6^ 15" etc. La portion utilisable des clichés a une superficie de 63^ x 63’ environ. 
A 47°, 10" en ascension droite correspondent à peu près à 102' d'un grand cercle; à 43°, c’est-à-dire 
au milieu de la zone, elles correspondent à 110^; à 39°, elles correspondent à 117'. Rappelons de 
plus à ce propos que toutes les régions ont été observées à nouveau afin de déterminer les mou- 
vements propres; chaque région est done représentée par deux clichés que nous appellerons 
dorénavant wne paire de clichés. De ces faits ressortent évidemment les conclusions suivantes: 

1:0) Dans le domaine compris entre 46° 3' et 39° 57', chaque étoile, — à moins qu'elle ne 
soit trop faible, — apparait sur deux paires de clichés au moins. Chaque paire de clichés ayant été 
examinée absolument à part au point de vue de la recherche des étoiles à mouvement propre, il en 
résulte que dans ce domaine chaque étoile a été soumise à deux examens au moins, indépendants 
lun de l'autre. 

2:0) Dans ledit domaine, les étoiles dont la coordonnée x sur le cliché dépasse en valeur 
absolue une quantité variant entre 41’ (à 46°) et 53' (à 40°) apparaissent généralement sur trois 
paires de clichés. Elles ont donc été examinées à trois reprises au point de vue de la constatation 
des mouvements propres. 

3:0) Dans ce méme domaine, les étoiles dont la coordonnée y est comprise, en valeur absolue, 
entre 57' et 63', apparaissent de méme sur trois paires de clichés au moins, sauf dans les cas où le 
centre du cliché est situé à 45^ et où y est positif, ou lorsque le centre du cliché est à 41° et y négatif. 

4:0) Une étoile remplissant à la fois les conditions 2:0) et 3:0) peut appartenir à quatre ou 
cinq paires de clichés. 


N:o 7. 


144 RAGNAR FURUHJELM. 


5:0) Si la déclinaison d'une étoile est supérieure à 46° 3’, ou inférieure à 39° 57’, cette étoile 
n'apparait le plus souvent que sur une seule paire de clichés. Ce n'est que dans le cas où la coor- 
donnée x de l'étoile dépasse en valeur absolue une quantité variant entre 39' (à 47°) et 54' (à 39°), 
que Pétoile peut appartenir à deux paires de clichés. 

4. Methode pour la recherche des étoiles à mouvement propre dans le blink-microscope. 
Cette méthode a déjà été décrite dans le I:er volume du présent travail (p. 7). Afin de faciliter la 
lecture de ce qui doit suivre, je répéterai succintement cet exposé. | 

Lors de l'examen au blink-microscope, j'ai noté non seulement les étoiles chez lesquelles 
je croyais pouvoir constater un mouvement propre sensible, mais encore un certain nombre d'autres 
pour lesquelles la réalité d'un mouvement propre sensible me semblait douteuse. Les numéros de 
ces dernieres dans la région furent notés d'un ?. Les premières furent mesurées dans tous les cas; 
elles se retrouvent done toutes dans le Catalogue général. Les dernières furent mesurées dans tous 
les cas où leur déclinaison était > 46° ou < 39^. Pour les déclinaisons comprises entre 39° et 46^, 
ces étoiles ne furent mesurées que dans les cas oü elles avaient été notées d'un ? lors de l'examen 
de deux paires de clichés au moins. Dans le cas contraire, elles furent négligées; elles ne se retrouvent 
done pas au Catalogue général. 

5. Formules pour le calcul du coefficient de découverte. Nous définissons ici le ceefficient 
de découverte comme étant le rapport du nombre des étoiles à mouvement propre observées à 
leur nombre réel. Dans le calcul de cette quantité, on fait usage des formules ci-dessous. 

Supposons d'abord qu'on ait traité un groupe d'étoiles appartenant à deux paires de clichés 
et ayant par conséquent été soumis à deux examens indépendants dans le but de constater des mou- 
vements propres. Soit n, le nombre des étoiles notées dans un seul examen comme ayant un mou- 
vement propre, », le nombre de celles qui ont été notées dans les deux examens, s le nombre total 
des étoiles à mouvement propre trouvées. La valeur moyenne du coefficient de découverte p pour 


* 


ce groupe d'étoiles s'obtient alors, selon M. ÖPIK, par la formule: 


29; 2 m, 
(1) we 3 eR T 
n, + 2Nn, Sn, 


Considérons maintenant un groupe d’etoiles ayant été l’objet de trois séries d’observations 
indépendantes, et désignons par », le nombre des étoiles trouvées dans les trois examens, par na 
celui des étoiles notées deux fois, par »; celui des étoiles notées une seule fois, et enfin par s le nombre 


total des étoiles à mouvement propre découvertes. On trouvera p par la formule 


No + 3 n4 EDU 2 


(2) Re Br EUIS 
Da RTE EO ENSE LET 2m, 


Les formules (1) et (2) donnent le rapport du nombre des étoiles à mouvement propre 


découvertes pendant un seul examen au nombre réel. Le coefficient total de découverte, 7, c'est-à- 
dire le rapport du nombre des étoiles trouvées dans tous les examens en question, et du nombre 
réel, est donné par la formule 

(3) z—1—(1— py 


dans le eas oü il s'agit de deux séries d'observations, et par la formule 


* Voir ÖPIK, loc. cit. p. 8. 
Tom. L. 


er ee 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 145 


(4) æ—1—(1—p} 
s'il s'agit de trois examens. | 

Nous avons remarqué plus haut que mes matériaux contiennent aussi un certain nombre 
d'étoiles faisant partie de 4 on 5 séries d'observations indépendantes. Pour des raisons mentionnées 
plus bas, ces cas n'ont pas été traités à part. J'ai considéré ces étoiles comme appartenant à trois 
paires de clichés seulement. Par suite, il est inutile de noter iei les formules qui donneraient p et = 
dans les cas où les séries d'observations sont plus de 5. 

Comme M. ÓPrk l'a remarqué dans son travail cité plus haut, les formules (1)— (4) ne sont 
pas immédiatement applicables à mes observations. En effet, les mouvements propres que j'ai 
examinés ne peuvent pas étre rangés simplement en deux catégories: »découverts» ou »non décou- 
verts» Il existe une troisième catégorie, embrassant les mouvements propres considérés comme 
incertains lors de l'examen et notés d'un ?. Ces mouvements ne peuvent être regardés que comme 
»partiellement découverts», puisque (si l'on excepte les cas où d > 46° ou < 59^) ils n'ont été mesu- 
rés que-lorsque dans l'examen d'une autre région on les a considérés comme certains, ou muni d'un ? 
leur numéro. 

Il est clair que si on traite les matériaux en regardant les mouvements propres munis 
d'un ? comme certainement découverts, on trouve une valeur trop grande pour le coefficient de 
découverte. Si au contraire on les néglige comme non découverts, la valeur de ce coefficient devient 
trop petite. Sa grandeur exacte se trouve entre ces deux limites; on peut done, en caleulant celles-ci, 
arriver à une valeur approchée du coefficient. 

Cependant, M. ÓPIK * a montré que mes observations permettent d'obtenir une valeur 
exacte du coefficient de découverte par les formules suivantes. Soit p' la valeur de ce coefficient 
obtenue en supposant que les mouvements propres marqués d'un ? sont regardés comme découverts; 
et soit p" la valeur correspondante dans le eas contraire. Désignons par p, la probabilité qu'un 
mouvement propre soit noté comme certain, et par p, celle qu'il soit noté avec un ?. Il ressort de la 
définition qu'on à 


" 


Dac p. 


Désignons par p, la probabilité que, lors d'un examen, un mouvement propre ait été noté, 


soit eomme certain, soit avec un ?. On a alors 
Po = Pi T Pa. 
Supposons qu'il s'agisse d'un groupe d'étoiles apparaissant sur deux paires de clichés, et 


par eonséquent examiné deux fois. Dans ce cas on obtient les équations 


^ ñ p 
(5) po 


permettant de calculer pg si p' et p" sont connus, et 
(6) a = pi + 2p»'(l— p, 


qui donne le coefficient total de découverte 7. 


* ÖPIK: loc. cit. p. 15—18. 


N:o 7- 19 


146 RAGNAR FURUHJELM. 


Dans le cas où les étoiles à mouvement propre apparaissent sur trois paires de clichés, po 
ressort de l'équation 


(7) p,—2—— +» 


équation du 3° degré en py, qu'on résout le plus facilement par approximations successives. Le 


coefficient total de découverte 7 est déterminé ensuite au moyen de l'équation 
(8) RE pit 8P6 (1— 9) Få pil Pp) 


qui, en vertu de l'égalité p5—p" = pa, peut être mise sous la forme plus commode pour le calcul 


(8 a) m qe peso Dp 


6. Calcul des coefficients de découverte en partant des matériaux disponibles. Pour les étoiles 
les plus faibles, il faut remarquer que leurs images sont souvent invisibles sur les clichés où elles 
sont très éloignées du centre; on ne les trouve que sur ceux où elles sont situées au voi- 
sinage du centre. Ces étoiles n'ayant été l'objet que d'un seul examen, il m'a semblé le plus juste 
d’exclure toutes les étoiles les plus faibles du calcul des coefficients de découverte, ainsi que de 
l'élaboration statistique des matériaux. L'expérience nous apprend que les étoiles de grandeur 10.6 
ou plus faibles (échelle de Helsingfors) n'apparaissent pas toujours prés des coins ou des bords des 
clichés. Les matériaux ont donc été limités aux étoiles jusqu'à la grandeur 10. 5 inclusivement. 
Si nous excluons les étoiles plus faibles, le tableau VII est remplacé par le tableau VIII. A titre de 


comparaison, le tableau donne aussi le nombre total d'étoiles de chaque groupe. 


Tableau VIII. 


Nombre des étoiles à mouvement propre < 10".5. 


s — 1221] CERE TP Na EVITE VE D | Sy Ar SA Et xi | | 
0".051—0^.060 20 11 9. 16 OS sels rers 1 2769) ET GT m 
0.061—0.070 10 | 17] 10) 19 fx eati 7 7 ön SER 9. 1196155 
0.071—0.080 14 EC OEM OT Lt 4 CHEN 12. 21. 116109 
0.081—0.090 10 6 D | ETS 5 Fa 3« rr die 7.110090 
0.091—0.100 Bull 5| 6 6 7 2 an 9 (ele cms 
0.101—0.110 ZU Um 3| 4 8 3 4 7 TOS al). a dl 2 
0.111—0.120 ES SE Os SOM LT 8 5 6 9 7 6 3-1 51 
0.121—0.130 2 3 pret Zt" 2 9 1 6 5 al um 
0.131—0.140 5 AT NOCET ONU) 1 2 4 2 3 e 9 
0.141—0.150 5 3 = = =) 3 il 3 3 1 3c meos 
0.151—0.200 2 7 SEO) CHERS zie sig v sais ca Sole ot 
0.201—0.250 Ee dy Api: 3 1 3 4 3 6 AN EON og 
0.251— 0.300 ==) 034. to Ma RR Hoo NT a, 4 | —] U 
0.301—0.350 =S) deese em rogi 2 1 il 1 1 1 9 
0.351— xp Zt. quere 2 il 1 1 ur sm 
| Ensemble | ZIEL E XS 65 19 95 | 129 | 97 | 89-] 988 
Nombre total | | 
d'étoiles 1951 | 1490 | 1109 | 997 | 823 | 905 | 885 | 814 | 816 | 871 | 621 | 586 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 147 


La différence entre le nombre d'étoiles des premiers et des derniers groupes est plus prononcée 
ici que dans le tableau VII. Sur un total de 988 étoiles à mouvement propre, 434 appartiennent 
à la région comprise entre 6" et 9" d'ascension droite, tandis que les 554 autres sont situées entre 
9" et 19" Le nombre observé des étoiles à mouvement propre croit donc en général avec l’ascension 
droite, et cela malgré qu'en méme temps le nombre total d'étoiles decroit fort rapidement. 

Les étoiles plus faibles que 10,5 ayant été écartées de la statistique, les matériaux restants 
ont été divisés en deux parties selon le temps où l'examen des clichés avait eu lieu. Les paires de 
cliehés se rapportant au premier volume du présent travail ont été examinées durant le printemps 
et l'été 1913; les autres, c’est-à-dire celles pour lesquelles nous publions ici les mouvements propres, 
furent examinées en mars—novembre 1918. On ne peut admettre que l'auteur ait procédé d'une 
maniére identique à ces deux époques différentes pour trouver les étoiles à mouvement propre; 
et en effet, les résultats prouvent bien le contraire. Les deux parties ont done été traitées indé- 
pendamment l’une de l'autre, en ce que le coefficient de découverte a été calculé séparément pour 
chacune d'elles. Le catalogue général du I:er volume commençait à 8! 54" d'ascension droite; 
la première partie embrasse done toutes les étoiles situées en ascension droite entre Gig ep ah m. 
La seconde comprend celles dont l'aseension droite est > 8" 54" et — 12" 9", La première partie 
sera désignée dans la suite par la lettre A, la seconde par la lettre B. 

Je rendrai compte maintenant des détails de la méthode suivie dans le caleul du coefficient 
de découverte. Cette quantité a d'abord été déterminée pour le cas où les étoiles appartiennent à 
deux paires de clichés. A cette fin, on a d'abord laissé de cóté les bandes communes avec d'autres 
clichés ayant leur centre sur le méme cercle parallèle. Les étoiles situées dans ces domaines appartien- 
nent en effet le plus souvent à trois régions au moins et sont donc nécessaires dans le ealeul du coef- 
' ficient de découverte pour trois examens. Il est vrai que pour les étoiles situées au nord de 46° 5' 
et au sud de 39° 57', ceci n'a pas lieu; elles n'appartiennent qu'à deux paires de clichés; mais 
sur ees deux paires elles sont situées prés des bords; leur situation est done plus défavorable 
que dans le eas général d'étoiles appartenant à deux paires de clichés; c’est pourquoi on les a ici lais- 
sées de cóté. 

Les clichés dont les centres ont la méme ascension droite mais different de 2^ en déclinaison, 
ont en commun une bande étroite (sa largeur est d'environ 6’). Les étoiles qui se trouvent dans ce 
domaine appartiennent done en général à trois paires de clichés; sur l'une d'elles la coordonnée 
y est prés de 0, sur les deux autres, sa valeur absolue est pres de 60'. La position de ces étoiles sur 
la paire de clichés où » > 60' est particulièrement défavorable; la determination du mouvement 
propre est donc peu sûre; par suite, ces étoiles n'ont pas été employées dans le calcul du coefficient 
de découverte pour trois examens; elles ont été considérées comme appartenant à deux paires de 
clichés seulement. La région où la coordonnée y des étoiles est > 60' a été négligée. 

Les étoiles dont la déclinaison est comprise entre 46° 0’ et 46° 3' ou entre 39° 57° et 40 0”, 
appartiennent en général à deux paires de clichés. Cependant elles n'ont pas été employées 
dans le caleul du coefficient de découverte, parce que la coordonnée y sur l'une des paires de clichés 
est >60". 

Nous avons déjà mentionné que la présente statistique n'embrasse que les étoiles dont le 


mouvement propre annuel est > 0".05. Les coefficients de découverte ont cependant été calculés 


N:o 7. 


148 RAGNAR FuRUHJELM. 


aussi pour les mouvements propres de la classe 0".041—0^.050. Lors de l'ajustement des valeurs 
obtenues directement, il devient ainsi possible de déterminer avec plus de certitude les coefficients 
de découverte pour les autres classes de mouvements propres, et surtout pour la classe 0".051— 
0^.060. . 

En appliquant les formules données plus haut pour les étoiles examinées deux fois, on a 
obtenu les valeurs suivantes des quantités p', p^, po et 7. Une recherche spéciale a prouvé que 
ces quantités peuvent étre considérées comme constantes pour toutes les classes de grandeur jus- 


quà 107.5 inclusivement. 


Tableau IX. 


Coefficients de découverte pour deux examens. 


| | | 


u 0:041—0-050.0:051—0-060!0:061—0.07010:071—0-080)0:081—0:090|0:091-—0-100'0:101—0-140|0:111— 
A: 

p' 0.459 0.635 0.733 0.807 | 0.909 0.963 1.000 1.000 

p" 0.275 0.415 0.643 0.667 0.159 0.92: 0.951 0.966 

Do 0.380 0.562 OTHO T CONTRE 0.894 0.962 1.000 1.000 

a 0.486 0.679 0.877 0.902 0.961 0.996 1.000 1.000 
B. 

p 0.714 0.623 0.681 | 0.787 0.848 | 0.833 0.857 | 0.983 

nu 0.273 0.321 0.389 | 0.364 | 0.615 0.750 0.692 | 0.977 

Po 0.552 | 0.510 0.586 0.668 0.809 0.820 0.833 0.983 

E: 0.550 0.575 0.666 0.688 0.889 0.942 | 0.925 | 1.000 


La comparaison des deux parties de ce tableau prouve que les coefficients de découverte 
sont généralement plus grands dans la partie À que dans la partie B, sauf pour les mouvements 
propres 0".041—0^.050. En d'autres termes, dans l'examen de la partie de la zone comprise entre 
6" et 8" 54", examen qui a eu lieu plus récemment, un nombre plus restreint d'étoiles ont échappé à 
l'observation que dans la partie comprise entre 8" 54" et 12h, 

La partie B contient les mêmes matériaux que ceux que j'ai mis à la disposition de M. ÖPIK, 
et qu'il a élaborés dans son travail cité plus haut. Les chiffres iei publiés s'écartent un peu de ceux 
du travail de M. Órrk *; cela tient à ce que les mouvements propres ont été corrigés des nouvelles 
erreurs systematiques après que M. ÖPIK eut recu mes matériaux. 

Pour le calcul des coefficients de découverte dans le cas de trois examens, j'ai fait usage 
exclusivement des étoiles appartenant aux domaines communs aux clichés ayant leurs centres 
sur le méme cercle parallèle; la raison en a été expliquée plus haut. Les rares étoiles de ce genre 
appartenant à quatre ou cinq paires de clichés ont été traitées comme appartenant à trois paires; 
les eas où la coordonnée y dépasse 60' en valeur absolue, ont été exclus. 


Pour trois examens j'ai ainsi obtenu les valeurs suivantes de p', p^, po et sr: 


+ ÖPIK, Loc. cit. p. 16, 


Tom. i 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 149 


Tableau X. 


Coefficients de découverte pour trois examens. 


u 0:044—0.:050 0.051—0.060 0:061—0.070 0.071—0.080 0-081—0.090/0.091—0-100 0:101—0:110 0-111 
A. 
p 0.370 0.568 0.609 0.720 0,909 1.000 0.750 0.955 
p" 0.167 0.371 0.421 0.353 0.722 0.200 0.667 0.905 
Po 0.291 0.530 0.580 0.685 0.901 1.000 0.745 0.955 
T 0.457 0.791 0.842 0.870 0.994 1.000 0.968 1.000 
B. 
p 0.109 0.528 0.677 0.600 0.854 0.789 0.771 0.951 
p' 0.071 0.158 0.391 0.500 0.552 0.583 0.478 0.901 
Po 0.243 0.416 0.643 0.585 0.847 0.779 0.754 0.970 
T 0.270 0.531 0.858 0.885 0.976 0.960 0.935 1.000 


L'on voit que, dans ce cas aussi, les valeurs obtenues sont généralement plus grandes 
pour la partie 4 que pour la partie 5. 

Les valeurs de = calculées plus haut et données dans les tableaux IX et X sont valables 
pour la partie de la zone située entre 40° et 46° de déc'inaison. Il faut excepter cependant les étoiles 
situées à moins de 3' des degrés 41°, 42°, 43^, 44^ et 45°, lesquelles, quoique appartenant en géné- 
ralà 3 paires de clichés, peuvent apparaitre quelquefois dans 4 ou 5 régions. Cependant, j'ai eru 
pouvoir employer méme pour ces étoiles les valeurs de x valables pour trois examens. Le fait que 
certaines de ces étoiles font partie de 4 ou 5 paires de clichés et ont subi par conséquent 4 ou 5 exa- 
mens, est en effet compensé par ce que ces étoiles occupent une situation défavorable sur la ma- 
jorité des clichés (la coordonnée y est toujours presque — 60' sur deux paires de clichés au moins). 

Pour ce qui est des étoiles à déclinaison > 46° ou < 40°, il faut remarquer les faits suivants. 
La plupart de ces étoiles n'appartiennent qu'à une seule paire de clichés. Les mouvements propres 
ayant toujours été mesurés dans ces parties de la zone, méme dans les cas où ils ont été considérés 
comme douteux et sont marqués d'un ?, il semble justifié d'employer pour les étoiles en question 
les quantités p' comme coefficients de découverte. De plus, la situation de ces étoiles étant géné- 
ralement analogue à celle des étoiles dans les parties de la zone comprises entre 40° et 46° qui ont 
été soumises à deux examens, il faut choisir pour p' les valeurs données dans le tableau IX. Parmi 


les étoiles à à > 46° ou < 39^, une minorité appartient à deux paires de clichés. Pour cette mi- 


norité, les coefficients de découverte 7’ doivent être évidemment calculés par la formule 
m — 1 (1— »)?. 


Dans cette formule, le plus juste est d'employer les valeurs de p’ déduites pour trois exa- 
mens et données dans le tableau X. Car dans le cas maintenant en question les étoiles sont géné- 
ralement situées dans les mêmes domaines des clichés que celles qui ont été employées pour fixer 
les coefficients de découverte dans le cas de trois examens. 

Pour les différentes parties de la zone j'ai donc fait usage des coefficients de découverte 


suivants (les indices indiquent les quantités se rapportant à 2 ou à 3 examens): 


N:o 7. 


150 RAGNAR FURUHJELM. 


0 > 46° ou < 39°: pour un examen p',,, pour deux examens æ',3, = 1 — (1 — pP’); 

d — 46° et > 39° (sauf pour les bandes larges de 6' situées à 41°, 42°, 43°, 44° et 45°): pour 
deux examens 7,,,, pour trois examens 73); s 

pour les bandes à 41°, 42°, 43°, 44° et 45°: m3. 

7. Ajustement des coefficients de découverte. En général, les coefficients de découverte 
calculés ci-dessus suivent une marche assez régulière, en ce que lews valeurs croissent en méme 
temps que celles des mouvements propres. Un ajustement des nombres obtenus semble cependant né- 
cessaire. Or, il à été impossible de trouver aucune formule simple satisfaisant aux diverses valeurs. 
J'ai done effectué l'ajustement par la méthode graphique, en procédant de la manière suivante. 

La valeur du coefficient de découverte caleulée pour une certaine classe de mouvements 
propres, soit par exemple entre les limites 0".051 et 0”.060, est une valeur moyenne pour la classe 
en question. Mais cette valeur moyenne ne correspond pas à la moyenne directe des mouvements 
propres, 0”.0555, car le nombre des mouvements propres n'est par le méme pour chacun des mil- 
lièmes de la seconde d’are: 0”.051, 0.052 ete. Pour commencer, j'ai supposé que la valeur moyenne 
du coefficient de découverte est valable pour la moyenne des mouvements propres qu'on obtient 
en multipliant chacun des millièmes, 07.051, 0".052, par le nombre d'étoiles pour ce millième, et 
en divisant la somme des produits par le nombre total d'étoiles de la classe en question. J'ai trouvé 
a 


ainsi que les valeurs suivantes de p' Ta, et m4, correspondent aux valeurs ci-dessous des 


(2)* (3)* ( 
mouvements propres. Dans quelques eas où cela a semblé opportun, quelques-unes des classes de 


mouvements propres ont été subdivisées en deux ou trois. 


A 
u 0".0456 0".0551 0^.0644 07.0750 0”.0856 07.0959 07.1010 
D 0.459 0.635 0.733 0.807 0.909 0.963 1.000 
a 0^.0465 0".0544 0".0651 0".0745 0".0848 0”.0920 07.1060 0".1132 0".1210 
a) 0.603 0.813 0.847 0.922 0.992 1.000 0.938 0.960 1.000 


uU — 0".0427 0".0483 0".0528 0".0584 0”.0644 0".0750 0^".0856 0".0959 0”.1010 
To) 0.348 0.587 0.645 0.725 0.877 0.902 0.961 0.996 1.000 


a 0^.0465 0".0544 0”.0651 0".0745 0".0848 07.0920 0”.1060 0".1110 
T(3) 0.457 0.791 0.842 0.870 0.944 1.000 0.968 1.000 
B. 
u 0”.0449 0^.0548 0".0655 0".0755 0".0861 0^".0954 0".1056 0".1151 0^".1263 0".1310 
pa) 0.714 0.623 0.681 0.787 0.848 0.833 0.857 0.933 0.941 1.000 
u 07.0456 0^.0564 07.0664 0".0763 0".0848 0".0948 0".1043 0".1110 
3) 0.651 0.777 0.896 0:840 0.979 0.955 0.948 1.000 
u 0.0449 0.0548 0”.0655 0.'0755 0”.0861 0”.0954 0”.1056 0".1110 
(2) 0.550 0.575 0.666 0.688 0.889 0.942 0.925 1.000 
u 0".0456 0”.0564 0”.0664 0".0763 — 0.'0848 0".0948 0".1043 0".1110 
7 (3) 0.2 70 0.537 0.858 0.885 0.976 0.960 0.935 1.000 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 151 


Les valeurs des coefficients de découverte données dans cette liste ont été portées graphi- 
quement comme ordonnées des valeurs correspondantes des mouvements propres considérées comme 
abseisses; on a tracé les courbes qui se rattachent le plus étroitement aux points ainsi obtenus. 
Les courbes résultant de cette opération représentent une solution approximative du problème. 
Leur courbure a permis de calculer des valeurs améliorées pour les coefficients de découverte cor- 
respondant aux valeurs moyennes des mouvements propres, ce qui a permis de fixer le tracé défi- 
nitif des courbes. Cela fait, les coefficients de découverte ont été déterminés pour chaque millième 
de seconde en question (0".051, 07.052 ete.). Il est évidemment inutile de donner ici toutes ces valeurs. 
Le tableau ci-dessous donne les valeurs ajustées de p'5,, T's TE et Ta), correspondant aux 


valeurs des mouvements propres 07.051, 0".061 etc., ayant des intervalles de 07.010. 


Tableau XI. 


Valeurs définitives des coefficients de découverte. 


u 0:051 | . 0.061 | 0.072 | 0.081 | 0.091 | 0401 | O11 |. 0.121 | 0-131 
A. 

ve) 0.562 0.696 0.790 0.867 0.942 1.000 1.000 1.000 1.000 

3) 0.728 0.851 0.910 0.943 0.962 0.916 0.990 | 1.000 1.000 

T(2) 0.627 0.788 0.891 0.957 0.990 1.000 1.000 1.000 1.000 

CER 0.690 | 0.838 | 0.902 | 0.943 | 0.970 | 0.988 | 1.000 | 1.000 | 1.000 
B. 

D) 0.648 | 0.694 | 0.739 0.784 | 0.828 0.872 0.916 0.961 1.000 

DAC 0.722 | 0.810 | 0.870 | 0.916 | 0.953 | 0.979 | 1.000 | 1.000 | 1.000 

To) | 0.550 | 0.634 | 0.718 | 0.800 0.877 | 0.948 1.000 1.000 1.000 

v | 0.464 | 0.704 | 0.846 | 0.914 | 0.949 | 0.979 | 1.000 | 1.000 | 1.000 


8. Réduction des grandeurs des etoiles à l'échelle photographique de Harvard, Comme nous 
l'avons déjà dit, nous avons compris dans la présente statistique toutes les étoiles jusqu'à la grandeur 
107.5 inclusivement d’après l'échelle employée pour le catalogue de Helsingfors. Les clichés appar- 
tenant aux diverses parties de la zone ayant été photographiées en des saisons différentes et durant 
des états différents de 'atmosphére, il n'est pas certain a priori que ladite grandeur observée (10.5) 
corresponde toujours à la méme grandeur réelle des étoiles. Par cette raison, et afin de rendre possible 
une classification certaine des matériaux selon les grandeurs, j'ai tenté de réduire les grandeurs 
de Helsingfors à l'échelle photographique de Harvard. A cet effet, j'ai recherché dans The Henry 
Draper Catalogue toutes les étoiles qui appartiennent à la zone de Helsingfors entie 5! et 13” d'ascen- 
sion droite, et j'ai comparé leurs grandeurs photographiques dans ce catalogue avec les grandeurs 
dans le eatalogue de Helsingfors. Cependant, le catalogue de Harvard ne contenant pas en général 
des étoiles plus faibles que 9"'.5 selon l'échelle de Helsingfors, j'ai dû compléter les matériaux pour 


les étoiles plus faibles. Ce travail a été possible par le fait que les archives photographiques de 


N:o 7. 


152 RAGNAR FURUHJELM. 


l'Observatoire de Helsingfors possèdent un certain nombre de clichés où certaines régions du catalo- 
gue de l'Observatoire ont été photographiées avec la séquence polaire. Sur ces clichés, j'ai déter- 
miné directement les grandeurs selon l'échelle de Harvard pour un certain nombre d'étoiles faibles, 
et je les ai comparées avec les grandeurs du catalogue de Helsingfors. 

Les résultats de toutes ces comparaisons sont donnés dans le tableau XII. Les différences 
moyennes Harvard — Helsingfors y sont indiquées pour différentes ascensions droites et pour quel- 
ques valeurs moyennes des grandeurs d’après l'échelle de Helsingfors. Les différences des quatre 
premières colonnes se basent sur la comparaison avec The. Draper Catalogue. Le premier 
nombre, — 0.07, indique donc la différence moyenne Draper— Helsingfors pour toutes les étoiles 
communes ayant des grandeurs entre 6"'.00—6".99 (Hels.) et comprises entre 5! et 6" d'ascension 
droite; et ainsi de suite. La dernière colonne donne les résultats de la comparaison directe avec 
la séquence polaire. En général je n'ai eu à ma disposition que deux clichés pour chaque heure 
d'ascension droite, et ces deux clichés ont représenté la méme région. Les chiffres de la dernière 
colonne se basent done sur les différences pour un nombre assez restreint d'étoiles; mais en revanche, 


chaque différence est d'une exactitude plus grande que celle des autres matériaux. 


Tableau XII. 


Différences de grandeurs Harvard—Helsingfors. 


m m m m Tn 


a 6.59 | 7.70 8.41 9.20 | 10.19 
5h 30m 10:01 2096|, 70:58 SET 0.2083 
6.59 7.58 | 849 9.39 | 10.24 

6 30 --0.29 +0.51 | +0.75 1.12 3L alti 
6.56 | 7.59 | 8.49 9.18 10.42 

7 30 +0.16 +0.46 | +0,73 | +0.89 | + 0.99 
6.55 7.55 Ra) 9.14 10.16 

8 30 +0.90 0.75 | 0.80 TOAST CE TOS 
6.55 7.56 | 8.59 9238| 1841028 

92:305 ade 4.0.93 4.1.2320). 1528 
| 6.46 | 7.53 8.43 = 10.16 
10230248 131.09 TEESE Erg — | + 0.97 
| 6.59 | vog 9 8.43 | 9.50 | . 10.20 

11 30 | 0:84 | <+0.78 | +1.07 2L 721 Eros 


6.51 | 7.64 8.49 9.37 10.37 
12 30 --0.38 --0.38 20:77 gr 


Il ressort de ce tableau que les différences Harvard Helsingfors varient beaucoup avec 
les grandeurs moyennes, ainsi qu'avec l'ascension droite, ce qui a lieu surtout pour les étoiles les 
plus lumineuses. Les variations ayant un caractère très continu, leur ajustement ne présente aucune 
difficulté. Aprés cet ajustement, exécuté selon la méthode graphique, j'ai obtenu les valeurs défi- 


nitives suivantes pour la réduction des grandeurs de Helsingfors à l'échelle de Harvard. 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 153 


Tableau XIII. 


Réduction à l’échelle de Harvard. 


m m m m m 

a | 6.5 1.5 8.5 9.5 10.5 
5h 30m —0.1 | +03 --0.6 --0.8 +0.9 
6 30 +0.1 -+0.4 0.7 0.9 1.0 
7 50 +-0.2 40.5 1.0.8 10 +1.0 
8 30 --0.6 --0.8 +0.9 zie 21.1 
9 30 0.9 + 0,9 el +1.2 
10 30 tåg bj En een o oes cct) 160 SE 
11 30 0.9 ETE T | CE -I- 1.0 --1.1 
2 30 203 22 Seo [e Tem 2 OF NRA 


A l’aide du tableau ci-dessus, les grandeurs de toutes les étoiles faisant partie de la pré- 
sente statistique (à mouv. pr. > 0”.05) ont été réduites à l'échelle de Harvard. Nous avons déjà 
vu que sur les clichés ici traités apparaissent toutes les étoiles jusqu'à la grandeur 10".5 de Hel- 
singfors inelusivement; la réduction à l'échelle de Harvard entre 6" et 19" est de + 1".0 au moins. 
Les matériaux examinés sont done complets jusqu'à la grandeur 11".5 inclusivement selon l'échelle 
de Harvard. Pour obtenir des matériaux aussi homogènes que possible, et afin de pouvoir comparer 
entre eux les résultats pour les différentes parties de la section de la zone, j'ai exclu de la statisti- 
que suivante les étoiles qui, après réduction à l'échelle de Harvard, ont obtenu une grandeur > bs. 

9. Nombre probables des étoiles à mouvement propre, reparti par groupes selon l'ascension 
droite. Les coefficients de découverte ayant été déterminés pour chaque millième de la seconde 
d'are (0.051, 0".052 ete.), ainsi qu'il a été dit plus haut, le nombre réel ou probable des étoiles à 
mouvement propre peut être calculé pour chacun de ces millièmes, en divisant le nombre observé 
par le coefficient de découverte. Les résultats de ce caleul sont donnés dans le tableau XIV ci- 
dessous. Les matériaux de chacun des douze groupes en ascension droite y ont été classés selon 
la grandeur des mouvements propres. Le nombre observé des étoiles à mouvement propre y est 
désigné par n *, et leur nombre caleulé par N. A titre de comparaison nous y donnons aussi pour 
chaque groupe le nombre total M des étoiles jusqu'à la classe 11".5 de Harvard. On y trouvera 
enfin l’ascension droite, la latitude galactique b et la distance à l'antiapex (A = 905; D — — 30°) 
du centre de chaque domaine, 6”. 

Le tableau montre que le nombre des mouvements propres varie assez considérablement 
pour les divers groupes. Cependant ce nombre ne diminue pas, comme le nombre total des étoiles, 
lorsque la distance à la Voie lactée augmente. Au contraire, le nombre des mouvements propres 
est relativement considérable dans les groupes où le nombre total des étoiles est le plus petit. Ceci 
est vrai surtout des mouvements propres les plus grands, mais aussi pour ceux de grandeur moindre. 
Le tableau confirme done une fois de plus un fait constaté déjà dans le premier volume de ce travail 
ainsi que par d'autres auteurs: les étoiles à mouvement propre sensible ne présentent pas une densité 


croissante dans la direction vers la Voie lactée. 


* Quelques rares étoiles rentrant dans le Catalogue général, quoiqu'elles n'aient pas été découvertes 
lors de l'examen des clichés, ont élé laissées de côté. 


N:o 7. 20 


RAGNAR FuRUHJELM. 


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0€60—T106'0 
008 0—TST 0 
OST OS TRIO 
OTT'0—ISTO 
OST 0—Te6T' 0 
OGT O—TIT 0 
OIT0—TIOT' 0 
00T'0—160'0 
060'0—180'0 
080'0—120'0 
020'0—T190'0 


090*,0— LO", 0 


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Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors, 155 


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N:o 7. 


156 RAGNAR FURUHJELM. 


D'autre part, et surtout si nous supposons pour les coordonnées de l’antiapex des valeurs un peu 
différentes de celles généralement adoptées, il semble que le nombre des étoiles à mouvement propre 
est une fonction de la distance à l’antiapex (ou à l’apex). Les parties de la zone dont cette distance 
est minima, contiennent relativement peu d'étoiles à mouvement propre, tandis que, dans les 
régions situées vers 90° de l’antiapex (ou de l’apex), le nombre de ces étoiles est notablement plus 
grand. Cependant, la partie de la zone ici traitée est trop faible pour qu'on puisse tirer des conclu- - 
sions certaines sur la relation entre le nombre des étoiles à mouvement propre et la distance à l'anti- 
apex. 

10. Nombre probable des étoiles à mouvement propre, reparti par grandeurs des etoiles. Ainsi 
que nous l'avons dit plus haut, nous avons réduit à l'échelle de Harvard les grandeurs de toutes 
les étoiles à mouvement propre > 0.'05. Cela fait, les matériaux ont été répartis par grandeurs 
des étoiles selon les principes qui ressortent du tableau suivant, et le nombre réel des mouvements 
propres dans chaque groupe a été calculé à l’aide des coefficients de découverte. Les calculs ont 
été effectués séparément pour le domaine entre 6" et 9" et pour celui entre 9" et 12" d'ascension 
droite. 

Pour chaque groupe de grandeurs, j'ai calculé la densité d, c'est-à-dire le rapport du nombre 


N pour le groupe et du méme nombre pour tout le domaine; j'ai obtenu les valeurs suivantes: 


d 


ni « 6.6 0.6-7.0 7.1-7.5 7.6-8.0 8.0-8.5 8.6-9.0 9.1-9.5 9.6-10.0 10.1-10.5 10.6-11.0 11.1-11.5 
gut 9h 0.026 0.011 0.024 0.036 0.056 0.062 0115 0.162 0.182 0.171 0.155 
qu 19h 0.023 0.017 0.015 0.030 0.036 0.048 0.085 0.218 0.212 0.164 0.152 
62191 0.024 0.014 0.019 0.033 ‘0.045 . 0.054 0.097 0.194 0.199 0.167 0.153 


Les chiffres prouvent que la densité d prend à peu près les mêmes valeurs pour les deux 
domaines en ascension droite. Concernant la valeur de cette quantité pour les divers groupes de 
grandeurs, remarquons que d croit en méme temps que les grandeurs jusqu'aux groupes 9.6—10.0 
et 10.1—10.5, où le maximum est atteint. Ensuite on trouve une lente décroissance. Le nombre 
des étoiles à mouvement propre > 0”.05 ne semble done pas croître continuellement en même 
temps que la classe de grandeur, comme le nombre total des étoiles. Ce résultat s'accorde bien avec 
le fait que la fréquence desdites étoiles à mouvement propre ne dépend pas de la latitude galactique. 

11. Spectres des étoiles à mouvement propre. Pour toutes les étoiles de la présente sta- 
tistique qui font partie du Draper Catalogue, j’ai cherché dans ce catalogue les types des spectres. 
J'ai obtenu ainsi le tableau suivant du nombre des étoiles à mouvement propre appartenant aux 
diverses classes de spectres. Les étoiles ont été réparties en deux groupes: l'un comprend celles à 
mouvement propre < 0”.10, l’autre celles dont le mouvement propre est plus grand. 

On voit que la très grande majorité de ces étoiles appartient aux classes F—K; les autres 
classes sont trés faiblement représentées. De plus, il ressort du tableau que le nombre relatif des 
étoiles des classes G et K est plus considérable dans le second groupe (mouv. propre => 0”.10) que 
dans le premier (< 0”.10). 

Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 157 
1 [ 


Tableau XVI. 


Nombre d'étoiles à mouvement propre faisant partie du 
Draper Catalogue, par classes de spectres. 


Spectre 0.051— 0-100 0.101— Ensemble 
n o n zu % | n % 

B il 0.7 = — 1 0.3 

A 9 po fi 4.9 16 5.2 

F 59 36.0 41 28.5 100 32.5 

G 56 34.1 59" | 41.0 115 31.5 

K 36 22.0 36 | 25.0 2 23.4 

M 3 1.8 don ar 1 1:9 

Total 164 | 144 308 | 


Détermination de l'apex et du vertex. 


1. Determination de l’apex. De méme que dans le volume antérieurement publié de ce 
travail, j'ai entrepris ici une détermination de la position de l’apex, quoiqu'une telle détermination 
doive être affectée d'une incertitude assez considérable par suite de la faible extension de la section 
de la zone. J'ai basé mon calcul sur tous les mouvements propres > 0”.05 contenus dans les deux 
volumes. Ici, comme dans la discussion de la fréquence des mouvements propres, les étoiles ont 
été réparties en douze groupes, mais cette fois en comprenant dans le premier les étoiles dont l'ascen- 
sion droite tombe entre 5/53" et 6"0". et dans le dernier celles pour lesquelles elle est > 122012 
Les centres des groupes ont été calculés en prenant la moyenne des ascensions droites et des décli- 
naisons de toutes les étoiles appartenant au groupe respectif. Puis j'ai calculé pour chaque groupe 
la direction vers l'antiapex, déterminée par l'angle de position //; ee calcul a été fait selon la méthode 


indiquée par SCHWARZSCHILD * ainsi qu'au moyen de la formule 


Su, + A ua) cos 0 
(1) a le dua) CORP. 
(usd 4n) 


Afin de donner une idée de la variation du nombre d'étoiles à mouvement propre en fonction 
de l'angle de position P de ce mouvement, le tableau suivant donne, comme dans le volume précé- 


dent, ce nombre d'étoiles entre les limites 0° et 10°, 10° et 20° etc. de l'angle de position. 


* Voir le I:er volume pp. 176—177. 


N:o 7. 


158 RAGNAR FURUHJELM. 


Tableau XVII. 


Nombre d'étoiles à mouvement propre > 0".05 pour 
différents angles de position. 


p UP ST Pp SER: v v VV) px x enm nn 
OPE 3 1 2 1 m = = 2 il = 
10 ii = -— 1 = - = = 1 an NO: — 
20 il 1 3 2 1 — — == it eed eso I 
30 2 2 — 2 —— = Nod = = = 1 | — 
40 i 1 1 LE | etu en 1 1 = 
50 il 2 il 3 = M 1 2 2 1 = 
60 — 2 2 2 CER — 3 2 
10 1 4 3 RR NEC AMNES = = 2 = B 
80 1 — 4 5 LOAD 2 2 1 3 
90 — DA nei" 3 3 3 3 3 — 5 2 i 
100 2 1 1 2 2 5 3 2 2 2 2 2 
110 1 4 1 4 — 1 3 ? 2 3 Ta 
120 4 T | — 6 4 3 = E 2 2 4 2 
1903 RE qur Eu 2 SR M 2 2 = 5 6 il 
1409 0 5 6 1 2 Tu 2 3 plier ONE 2 3 
150 9 qM | = 3 NAMEN 1 M NES 3 Na ES 4 
160 8 e: 39 As d EE 6 4 2 — 6 2 4 ESS 
170 7 8 4 5 6 5 2 5 1 4 1 1 
180 10 PRE 7 4 6 5 7 4 2 = 2 
190 9 TM n 5 3 5 7 Inm mI 3 1 5 
200 6 10 ji 10 6 | 15 8 Se 6 3 1 
210 4 2 2 10 145-012 7 4 9 6 5 4 
220 2 2 4 4 7 8 7 6 7 10 3 2 
230 5 5 4 3 514 3 2 1 9 6 6 
ARA 3 1 6 ji AN 3 6 12 12 8 8 
250 9 1 2 7 Ies e di 6 13 19 13 11 6 
GE] 5 2 4 5 3 3 9 11 2 12 3 
2 TOM ME E] = = 2 — 1 AE DRE, ne RIE 16 7 
280 1 = 3 1 i 3 3 il 1 14 10 15 
290 -d 1 = = = 1 1 = 6 4 10 6 
300 zs 3 = 1 3 Er 2 ji 3 4 6 
310 2 2 2 I = ==: 1 2 T 3 4 
Se I 2x 2 = a 2 = zar piae 2 ex 
ees ems -— 9 1 = = 1 = — ld 2 = 
310 MERE = = = 1 = — — STET = 2 
350 1 en a = = pr = 1 d ret — = 


Les résultats des caleuls de // sont donnés plus bas. Les valeurs obtenues en appliquant 
la formule (1) sont désignées par /43 //; désigne celles qu'a données la méthode de SCHWARZSCHILD; 


11, enfin est la moyenne entre //, et //,. 


Nombre - : 
Groupe étoiles œ Ô I, H, n» 
I 130 (Qe. Gym qug^ AY 182? SOS OMS LATE 
IT 110 43 16 42 23 177.1 176.1 176.6 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 159 


Groupe re a d I, I, TT 
ILI 10 7 bula 42:571 186.2 184.3 185.25 
JIM 118 14 19 42 32 181.5 191.2 186.55 
Mi 86 8 15 36 42 41 191.3 198.5 194.9 
MIT 114 45. 1 42 26 200.4 208.9 204.65 
VII 80 9 15 46 42 55 212.3 211.4 211.85 
VIII 95 45 18 43 20 208.5 215.9 212.2 
IX 116 10 14 56 42 46 230.5 234.4 232.45 
X 145 45 42 43 5 236.9 238.2 237.55 
XI 12 ll 15.23 42 53 251.0 260.5 255.75 
XII 106 42 33 42 48 249.8 252.4 251.1 


En général, les deux méthodes donnent à pen près les mêmes valeurs de l'angle //; cependant 
dans plusieurs cas les valeurs de //, sont un peu inférieures à celles de //,. L'angle en question croit 
assez réguliérement avee l'ascension droite. 

Pour déterminer la position de l'apex à l'aide des matériaux qui précèdent, j'ai procédé 
comme il suit. J'ai formé d'abord la moyenne //, des six premières valeurs de //,;. Cette moyenne 
a été considérée comme valable pour le point de la sphère dont l’ascension droite et la déclinaison 
sont les moyennes respectives pour les six premiers groupes. Le méme calcul a ensuite été effectué 
pour les six derniers groupes. La direction vers l'antiapex a ainsi été déterminée pour deux points 
situés à peu prés au centre de chaque moitié de la section dela zone. La position de l'apex a enfin 
été calculée comme étant l'un des points d'intersection des deux grands cercles correspondant aux 
valeurs //,. Mais la position de l'apex ainsi obtenue ne peut étre considérée que comnie une pre- 
miére approximation, // n'étant pas une fonction linéaire de l'ascension droite: la moyenne d'un 
certain nombre de valeurs de // n'est done pas exactement valable pour la moyenne des ascensions 
droites correspondantes. 

Afin de trouver ensuite des valeurs améliorées pour les coordonnées de l'apex, j'ai caleulé 
pour chaque groupe les quantités c, c’est-à-dire Parc de grand cercle reliant le centre du groupe 
et la position approximative trouvée pour l’antiapex, ainsi que //,, c'est-à-dire l'angle de position 


dudit are au eentre du groupe; j'ai enfin déterminé la quantité ./ de l'équation 
sin 4 = sin (//4, — II) sin 6. 


La quantité 44 désigne la distance à laquelle le grand cerele qui est déterminé par //», passe 
près de la position approximative de l’antiapex. 


La condition pour qu'une position calculée de l’antiapex soit la plus probable, est 
X4? = minimum. 


J'ai done tàché d'ajouter aux moyennes //, des corrections telles que cette conditiou fût 
satisfaite; puis j'ai entrepris, en partant des valeurs ainsi corrigées, un nouveau ealeul de la position 


de l'apex. Mais la condition n'a été complètement satisfaite qu'après une troisième approximation. 


N:0 \7. 


160 RAGNAR FUuRUHJEL M. 


Comme résultats de mes calculs, j'ai trouvé les valeurs définitives suivantes pour l'ascension droite 
et la déclinaison de l'apex: 
A = 285°, D= 1 19°. 


Pour les quantités ./, j'ai obtenu les valeurs ci-dessous, se rapportant aux douze groupes: 


+ 139.7, + 17.6, + 07.8, — 5?.3, — 5?.9, — 47.6, — 5°.2, -— 11*.3, + 1°.1, 
+ 0°.2, + 12?.5, + 3°.0. 


Ces valeurs sont en général assez petites. Elles présentent cependant une marche sys- 
tématique, ce qui pourrait dénoter des courants spéciaux dans cette partie de la sphere céleste. 
Les valeurs que nous venons d'obtenir pour les coordonnées de l'apex concordent de très 
prés avec celles qui résultaient de la discussion de la région située entre 9" et 19", traitée dans le 


premier volume du présent travail Les moyennes de celles-ci étaient en effet: 
A = 293°; D = + 13°, 


Ainsi que nous l'avons dit plus haut, un calcul de l’apex basé sur les mouvements propres 
dans un domaine aussi restreint donne nécessairement des résultats peu certains Cela étant, il 
est remarquable que ces résultats ne s'écartent pas plus notablement de ceux qui ont été obtenus 
à l’aide de matériaux se rapportant à la majeure partie de la sphère céleste. 

2. Détermination du vertex. Jai aussi tenté un ealeul du vertex en me basant sur les 
angles de position des mouvements propres. 

A l’aide de la méthode indiquée par SCHWARZSCHILD dans son travail cité plus haut, et em- 
ployée déjà dans notre volume précédent, nous avons d'abord déterminé les directions vers le vertex. 
Ces directions ne ressortant pas avec exactitude pour chaque groupe en particulier, on a réuni ces 
groupes deux par deux. L'angle de position /7, fixant la direction vers le vertex a done été calculé 
pour six groupes. Les centres de ceux-ci ont été déterminés de la méme manière que dans le caleul 


de l’apex. Les résultats sont donnés ci-dessous. 


Nomhre 
d'étoiles 


I-II 240 6 24 50° 42° 43' 182°.9 
TIDDCEODV ee SSD IS A2 IR 23310 
V-FVI 200 8 32 22 42 32 261.6 
VIT -F VIE 1737793193977 457 52200 73:06 
IX+X 261 10 32 2 4256 272.3 
XI-- XII 233 11.27 44 42 51 285.7 


Groupes (t Ó Il, 


Par la methode qui nous a déjà servi dans le calcul de la position de l'apex, nous avons 
ensuite déterminé les coordonnées du vertex à Paide des valeurs de //,. Les résultats sont 


DATI ED ges 
Pour les six domaines l'angle ./ prend les valeurs 


Tom. L. 


Recherches sur les mouvements propres dans la zone de Helsingfors. 161 


— 9291, — 191, + 29.9, + 4^1, — 4°.1, — 0°.1, 
qui montrent que les diverses valeurs de //, concordent assez bien avec la valeur trouvée pour le 
vertex. 
Dans le premier volume du présent travail, nous avons trouvé pour coordonnées du vertex: 
A — 134°; D — + 43°. 
Les nouvelles valeurs concordent done mieux que celles-ci avec celles qu'on adopte géné- 
'alement. Mais dans les deux eas, la déclinaison présente un écart considérable. Ce fait confirme 


peut-être ce qui a été constaté dans d'autres recherches, je veux dire que les étoiles plus faibles 


donnent une valeur en déclinaison plus grande que celles qui sont plus lumineuses. 
io eos ED nis 5 Pie 
J'ai enfin déduit pour les différentes groupes le rapport " entre le demi-petit axe et le demi- 
& 
grand axe de l'ellipse de vitesse. J'ai trouvé les valeurs 
0.76, 0.81, 0.71, 0.80, 0.66, 0.65, 


qui semblent montrer que le rapport en question est assez constant dans la section considérée de 
la zone. 


N:o 7. 


Préface 


Table des matières. 


Première partie. 


I. Introduction. Les mesures et leur réduction. Résultats des mesures. 


II. Caleul des mouvements propres annuels. Réduction au mouvement propre absolu 


III. Catalogue général des mouvements propres . 


Deuxième partie. 


I. Fréquence des mouvements propres. 


il, 


2 
2. 


10. 


bil 


Introduction . 5 SM CS. MEST SUPER: 

Groupement des matériaux d’après l'ascension droite et la grandeur des mouve- 
ments propres. Nombre des étoiles à mouvement propre observées . 

Situation réciproque des clichés de la zone de Helsingfors . 


Méthode pour la recherche des étoiles à mouvement propre dans le b/ink- 


MICEOSCOPS AM: RR E E TRE : : 
Formules pour le caleul du coefficient de découverte : 
Caleul des coefficients de découverte en partant des matériaux disponibles 
Ajustement des coefficients de découverte . SEXE UB C RATES 
Réduction des grandeurs des étoiles à l'échelle photographique de Harvard 
Nombre probable des étoiles à mouvement propre, réparti par groupes selon 
lascension droite . . 
Nombre probable des étoiles à mouvement propre, réparti par grandeurs 
des étoiles ym 
Spectres des étoiles à mouvement propre 


IL Détermination de l'apex et du vertex. 


il: 


2 


à. 


Détermination de l’apex 


Détermination du vertex . 


141. 


142. 
143. 


144. 
144. 
146. 
150. 
151. 


158. - 


156. 
156. 


157. 
160. 


ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 8. 


ÜBER 


SIABVERBINDUNGEN 


MIT 


VERANDERLICHEM KRAFTANGRIFF 


VON 
HARALD LUNELUND 
(Am 17. November 1924 von Hj. Tallquis! und Osc. V. Johansson mulgeleilt) AXE 
AN d 
/ à 
/ 2 
>. 
In 


DI 
ciTER Schon, 


HELSINGFORS 1925 


HOMNIF MUSA! TAHOE CITAT300€ ATOA 


B. Vt. MOT 


undi í SEHE 1 ex] 


VAJVUA PAU 1VAATE& 


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130 EH u NÖFORS 195 pas 


DRUCKEREI DER FINNISCHEN Al b ES 


Über Stabverbindungen mit veränderlichem Kraftangriff. 


Gewóhnlich werden in der Statik Stabverbindungen mit konstanter Kraftrichtung unter- 
sucht. Abweichend davon wollen wir im folgenden einige Fälle mit veränderlichem Kraftangriff 
behandeln. Wir beginnen mit der ebenen Dreiecksverbindung, um sodann die Betrachtungen auf 
räumliche Stabverbindungen auszudehnen. 

Ebene  Stabverbindung. AC und BC seien (Fig. 1) zwei in 
den Punkten À und B an einer Mauer und in C unter sich gelenk- 
artig verbundene starre Stäbe, welche in C die Last P tragen. Die 
Widerstandskräfte der Mauer werden mit KA, bzw. K, bezeichnet. 
Wir wollen dieselben zuerst unter der speziellen Voraussetzung be- 
rechnen, dass P die Richtung der Lotlinie hat. 

Die Richtungen von KA, und K, mögen mit der Horizontalen 
die Winkel v bzw. « bilden. Dabei rechnen wir v nach oben pos., 
y nach unten pos. Weil X, und X, mit P im Gleichgewicht sind, 
schneiden sich die Wirkungslinien der drei Kräfte in einem Punkte C. 
Dann ergibt sich 

P:K, = sin [180° — (p+ w)]: sin (90° + p) = sin (g + w) : cos y 
P : K,— sin [180° — (y + w)]: sin (90° + v) = sin (9 + V): cos y 


Fig. 1. 


und daraus 
P cos q > | 72 cos v 


Ki = sin (9 v)" Kan qv) 


Wie verändern sich X, und A, mit q und v? 
Es sei zuerst « als konstant, als variabel angenommen. Dann variiert K, zwischen co 


und Pcosy für 
f W——p und y-—90?—9, 


I bzw. y —180?— y 


K, zwischen oo und 0 für 
| W——p und wy- 90°, 


| bzw. y — 180° — y. 


Der Fall v — —« bzw. v —180? — q bedeutet geometrisch, das AC und BC parallel, der 
Fall v — 90? — dass AC zu BC senkrecht ist. 
Sehr einfach gestaltet sich die Sache, wenn g oder w=0 ist. Im ersten Falle ist 


a ARES K,=P.ctgw, im zweiten K,=P-ctgy, K,— 


117 sny' sing 
Wenn g+w=«=konst. ist, wächst A, proportional zu cosy, K, proportional zu 


+ 


COS V. g+W= konst. bedeutet geometrisch, dass C sich auf einem Kreissegmente befindet, 


HARALD LUNELUND. 


dessen Sehne — AB und dessen eingeschlossener Winkel = « ist. 


Um die Veränderlichkeit von A, und K, mit w oder q zu untersuchen, bilden wir 


- IK, - K. | 
2 inde (bzw. 41K, und s Es ist 
dv dy dp dp, 
d K, P.cosp-cos(p+w) _ i Pcosg | 
dy /—— sin? (q + v) sin (g + v) etg (9 + v), 
dK, ____ Pfsin (9 + v)sin w +cos ycos(p+w)] — | Peosp . 
dy — sin’ (p + v) — sin?(p+) 


Weil die Differentialquotienten keine besonders übersichtliche Form annehmen, stellen wir 
für gewisse Werte von y und « die entsprechenden Werte von K, und X, in Tabelle 1 zusammen. 


Tabelle 1. 
Abhängigkeit der Kraft K, von « und « bei P = 1000 kg Belastung. 


09 | 3864 | 2000 | 1414 | 1155 | 1035 | 1000 | 
+ 15° | 3732 | 1932 | 1366 | 1115 | 1000 | 966 
-:309 | 3346 | 1732 | 1225 | 1000 897 | 866 
+ 45° | 2732 | 1414 | 1000 817 788 low 707 
+ 60° | 1932 | 1000 707 577 518 | 500 
+ 75° | 1000 518 366 299 268 | 959 
+ 90° 0 0 0 0 On 0 


Wir nehmen für q -- v — « die Werte 15°, 30°, 45°, 60°, 75° und 90°. Wenn «= 105°, ist 
ja sin105° —sin 75° usw., und man kommt auf die vorigen Werte zurück. Wenn q = vy, ist 
K,-— K,. Sonst erhält man den Wert von Ks 
aus den in Tabelle 1 angeführten Werten von 
K,, indem man y durch y —«-— q ersetzt. Es 
sei einfachheitshalber P — 1000 kg. Wir lassen 
q der Reihe nach die Werte 0°, +15°, 30°, 
+ 45°, + 60°, 4-75? (und 4-909?) durchlaufen. 
Wir stellen in Fig. 2 die Abhängiskeit der 
Widerstandskraft K, von y und « graphisch 
dar. 
Bei «— 15^ sind die Kurven für A, und K, 
; = = = x _ T, im Verhältnis zu einander nur wenig ver- 
E a ee ST schoben. K, und A, nehmen mit wachsendem 
q gegen O schnell ab. 
Viel kleiner ist die Veränderlichkeit der Kräfte mit q bei «— 45^, wo K, in Bezug 
auf 45° symmetrisch verläuft und innerhalb der in der Figur angegebenen Grenzen den Wert 
1000 nicht untersteigt. 


4000 
kg 


3000 


Tom. L. 


Über Stabverbindungen mit veränderlichem Kraftangriff. 5 


Bei «—90? nimmt A, mit wachsendem « gegen 0 kontinuierlich ab, während K, in 
der entsprechenden Weise von 0 bis 1000 wächst. 

Spannungen bei veränderlicher Kraftrichtung. Bisher haben wir angenommen, dass P senkrecht 
nach unten wirkt, nun móge die Richtung von P wechseln. Derartige Überlegungen haben 
praktische Bedeutung z. B. beim Heben von Lasten mittels eines Krans. Es verbleibe jedoch. 
die Kraft P in der Zeichenebene. 

Fig. 3 stellt schematisch einen Kran dar, welcher unten in einem Spurzapfenlager, oben 
in einem Halslager befestigt sein móge. 

Wir benutzen die frühere Abkürzung g+w—aæ. P bilde mit der Normale zu BC den 
Winkel 9 (Fig. 4), der bei Drehung von CN entgegengesetzt dem Uhrzeiger pos. gerechnet wird. 


Pm 


K, 


Fig. 3. 


Dann ist, wenn wir mit K, die in der Richtung BC wirkende Kraft, mit X, die in der Richtung 


CA wirkende Kraft bezeichnen, 
P cos (« + 9) = K,sın @ 


P cos 9 — K,sin«, 
woraus 
7 os (v + 9 - S 
kou (2 ) : | RC sid 
Sin « sin «c 
a ne à P Pine. ef à « 
K, variiert zwischen — — und ——- für $—180?—« bzw. 9——« 
Sin &« sin « 
> BR. 12 
» » =S ) — g 08 
Ks sin« É sin « uec ) iei 


K, ist —0 für 9—909—« > 9-—-—«-— 90° 
Io» S005 
Die Extremwerte von K, und KA, ergeben sich aus 


dU EAM DER. WES dE, _ EE Ciao een 
qq TES SINCE 0 bzw. "s ema iu, 


sind aber auch unmittelbar zu bestimmen. Wie die obenstehenden Formeln zeigen, ist die Ab- 
nahme von K, zu sin I proportional, während ES durch eine Sin.-Kurve mit der Amplitude 


und einer Phasenverschiebung — « dargestellt wird. 

Die Werte von X, und K, werden in Tabelle 2 für die Werte 9 — 0^, +30°, + 60°, + 90°, 
+120°, 4-150? und 4-180? zusammengestellt. Um Zahlenausdrücke zu bekommen sind die 
N:o 8. 


sin e 


6 HARALD LUNELUND. 


Rechnungen für bestimmte Werte von e, nämlich «= 30°, 60°, 90°, 120° und 150? ausgeführt. 
P ist dabei gleich 1000 kg genommen. 


P und 2 


Die Extremwerte Sine we haben bei verschiedenem « folgende absolute Betráge: 


cQ —1 10544209 0 MAO MER 50v 60951170854 BOR 1909 
12 


sin « 


= 5760 2924 2000 1556 1305 1155 1064 1015 1000 kg. 


Tabelle 2. 


Abhängigkeit der Kräfte X, und K, von 9 und «. K, ergibt sich aus der Tabelle 
durch Verschieben der Werte von K, um einen Schritt nach unten, wenn 
« — 30° ist (zweite Kol.), um zwei Schritte wenn « = 60° ist usw. 


| ^ue ; 
« = 30° « = 60° æ=90° | a=1202 | a=1502 | 


9 | | 
K, m5 e K, K, K, 
| 

—1809 | -1732 | -2000 | — 573 o | + 678 | +1732 
—1509 | —1000 | —1732 0 | + 500 | +:1000 | + 2000 
— 190? 0 | —1000,| + 578 | + 866 | —-1185 | + 1782 
— 90° | 41000 | O | 41000 | +1000 | +1000 | + 1000 
— 600 j|24-1/92: 6-000» ls |. 868 QA. 578 0 
— 30° | +2000 | 41782 | 1000 | + 500 0  — 1000 

oo | 417382 | 432000 | + 578 om n dg 
4 80 41000 | +1732 | 0 1 —"500 | 21000 |" 23000 
+ 609 OÙ | nent 000 | FYI I SN AA M quaa 
+ 909 | — 1000 0 | —1000 1000 1000 | —1000 
+ 120° -1739 | -:1000 | — 1156 806 | — 578 0 
+160° | — 2000 | —1732 | —1000 | — 500 0 | 4 1000 
+180° | —1732 | —2000 | — 578 | 0| + 678 | 1782 


Fig. 5 stellt die Veränderung von K, mit % bei «— 30^, 60° und 90° graphisch dar. 
Ausserdem ist für den Winkel « — 30? die Variation von K, angegeben. 

Die Werte von K, und K, kónnen auch dadurch veranschaulicht werden, dass man das 
Dreieck mit den Seiten K,, K, und P mit einem Kreis vom Durchmesser m umschreibt. 
K, und K, können höchstens gleich dem Durchmesser werden. 


Räumliche Stabverbindungen. Wenn es gilt Lasten zu heben, und kein ordentlicher Kran 
zur Verfügung, steht, hilft man sich zuweilen mit der in Fig. 7 dargestellten Anordnung. AD 
ist ein Stab, dessen unteres Ende auf dem Boden ruht und an dem im Punkte D die Stäbe 
oder Seile BD und CD befestigt sind, welche in B und C verankert werden (in Wirklichkeit 


Tom. L. 


Über Stabverbindungen mit veränderlichem Kraftangriff. 7 


2000 = ba 
-180°-120°-60° 0° +60° 420'«1BO 


Fig. 5. 


e 
gewöhnlich von Leuten gehalten werden, so dass das Ganze eine grosse Beweglichkeit bekommt). - P 


Die Last wirkt im Punkte D und zwar nehmen wir an, dass die Kraftrichtung derselben in 
der Papierebene veränderlich ist. Die in den Stäben AD, BD und CD wirkenden Spannungen 


werden gesucht unter der Voraussetzung, dass P 
mit der Lotlinie den Winkel g bildet. „= ^ NDP 
wird bei Drehung aus der Lage DP entgegen dem 
Uhrzeiger positiv gerechnet. 

Wir wählen den Mittpunkt O der Linie BC 
zum Anfangspunkt eimes rechtwinkligen Koordina- 
tensystems, dessen positive z-Achse nach oben 
gerichtet ist. Die Richtungen der beiden anderen 
Achsen sind aus Fig. 7 a ersichtlich. 

A, B und C liegen in der xy-Ebene (Fig. 7 a, 
b, ce). Die Koordinaten der genannten Punkte sind 
bzw. (b, 0, 0), (0, a, 0) u. (0, — a, 0), die von D (e, 0, d.) 

Die allgemeine Gleiehgewichtsbedingung ver- 
langt, dass die Translationsresultante und das re- 


! Fig. Ta. à 


=: 


sultierende Kräftepaar beide gleich 0 sind und somit auch ihre Komponenten. Es ist bekanntlich 


NENNEN 0272, 8 


M,—X(Zy—Y2)—-0; M,—X(Xz—Z2)—0; M;—ZX(Yr—Xy)—O. 


Zur Bestimmung der obengenannten neun Kräfte sind also sechs Bedingungsgleichungen 


D 
>) 
B' 
&——— 


vorhanden. Die Ermittlung sämtli- 
cher neun Komponenten ist daher 
nur auf Grund besonderer Annahmen 
moglich. 

Wir nehmen erstens an, dass die 
in À und D wirkenden Kräfte keine 
Komponenten parallel der Y-Achse 
besitzen. Der in À wirkende Auflager- 


8 HARALD LUNELUND. 


widerstand sei durch seine Komponenten X,, Y,,Z, in der Richtung der Koordinatenachsen 
ersetzt, ebenso die in B und C wirkenden angreifenden Widerstandskräfte durch ihre Achsen- 
komponenten X5, kap Z3 bzw. x, Ve. ig: 

Nach unserer obenstehenden Annahme ist Y, — 0. Für die Stabverbindung als ganzes 
bestehen dann folgende Gleichgewichtsbedingungen: 


1) 2X=0: X,— X,— X, P-.sin q — 0, 
DRM 0:97,35 0,0 ha De 
3) 2Z=0: Z,-Z2-Z;—-P-c089=0, 
4) M;—0: —Z,-a+Z;-a=0, d.h. Zg — Z5, 
5) M,=0: —4Z,b-LP-eo8q-:c-- P-sing-d-—0, 
GC) 10: MONS ae EXC) 0 TORE RE AN 
Aus 5) ergibt sich 
Z, — + (c cos y + d sin q). 
Aus 3) ergibt sich 
Z,— Z,— 9; (c — 0) - cos q + d- sin y]. 


Wir denken un» nun die einzelnen Stäbe der Reihe nach freigemacht. 


Freimachung des Stabes AD. In A sind anzubringen die Kräfte H, (horiz.) und V, (vertik.), 
in D einige weitere Kräfte. Die Momente der letzteren verschwinden jedoch, wenn man die 
durch D zur Y-Achse gezogenen Parallele als Momentenachse wählt. Die Gleichgewichtsbedin- 
gung lautet 

— H,-d+V,(c-b)=0. 
Daraus erhält man 
und mit Hilfe von 1) 


Y,(c—-5) _ Zi(c—8) Ple- 


b) 3 
7 i bd (ec: 608 o + d- sin y) 


X,— X, — 37 [(c — b) cos 9 +d-sin y]. 


Freimachung des Stabes BD. Wir denken uns in D statt des Stabes AD die Kräfte H, 
und V,, statt des Stabes CD die zu den Achsen parallelen, den genannten Kräften entgegengesetzt 
gerichteten Kräfte H3, Y3, V4 angebracht. Die Last P sei ganz dem Stab BD zugeteilt. Die 
in B anzubringenden Kráfte geben, wenn die Y-Achse als Momentenachse gewählt wird, die 
Momente 0. Bei Gleichgewicht ist daher: 


M,=0: P.cosg-c+P-sng-d—V,-c+H,-d—H;,-d+V;-c=0. 


Es ergibt sich somit 
Hd pec 


Freimachung des Knotenpunktes D. In D greifen ausser der Last P an Stelle von AD 
die im Sinne von vorhin wirkenden Kräfte H,, V,, an Stelle des Stabes CD die Kräfte H3, Ys, Vas 
endlich an Stelle des Stabes BD die noch unbekannten Kräfte H,, Y und V, an. Die Gleich- 
gewichtsbedingungen lauten: 

1 EX-0: H,—-H,—-H,+P-sng=0. 
Tom. L. 


Über Stabverbindungen mit veränderlichem Kraftangriff. 9 
Wegen der Symmetrie ist 7; — H3, daher 


H3 — Hs = 95 4|(c— 0) - cos q + d - sin g |. 

2) X220: —V4,—Vg—P-.cos8q-- V4 —0, d. h. 
Va V,— 2, (e b) eos q + d sin g| 

3) EY 0: Mara Lar ON AVG, 


Desgl. des Stabes CD. In D seien die entgegegesetzten Kräfte H;, Y;, V4 angebracht. 
Nimmt man die durch C zur X-Achse gezogene Parallele als Momentenachse, so liefern die in 
C anzubringenden Kräfte je ein Moment —0, daher (die Last dem Stab BD zugeteilt) 


M;=0: —Y,:dctV;:a-—0, 
woraus 


Va de V, — 4:5 [(c—b)- cos 9 + d- sing]. 


Nachdem jetzt die Achsenkomponenten der Spannungen ermittelt worden sind, können wir 
die resultierenden Spannungen in den Stäben berechnen. Vordem sei jedoch bemerkt, dass man 
auch so vorgehen kann, dass man zuerst nach der Dreiecksmethode (S. 3) die Spannunsvertei- 
lung im Dreieck OAD berechnet und die Spannung in dem hypothetischen Stabe OD in ihre 
längs BD und CD gerichteten Komponenten zerlegt. 

Weil die Stäbe der Verbindung nur in ihren Endpunkten von Kräften beansprucht werden, 
erleiden sie nur Druck- oder Zugspannung S. Um dieselbe zu berechnen, setzen wir für jeden 
Stab die parallel zu den Achsen wirkenden Komponenten H, Y und V eines Endpunktes zu 
einer Resultante H,, Y,, V, zusammen. Est ist dann 


S-y H;-Y;-Z;. 
Für den Stab AD ergibt sich mit den oben angegebenen Werten 


== 2 B B - * 
5 = zu Wen (c-cosg+d-sinmp), (Druck, wenn c:c08 q + d- sin p > 0 ist). 


Für die Stäbe BD und CD erhält man die unter einander gleichen Werte 


S5 — S3 — ire m [(c— 5) -cos e + d. sing], (Zug, wenn (c— b)-cos q 4- d - sin q > 0). 


Wir untersuchen jetzt die Veränderlichkeit der Spannungskomponenten X,, Yi, Zi, Xs, Yo, 
Z;, Xa, Ya, Zz Sowie der resultierenden Spannungen S,, S,, 5, mit dem Winkel q. Es ist 


< e—1 3 
de À zen (-c-sinp+d-cosg)—0, woraus tgq—-: 
FRA 
dp t 
| : 
de — y Co eisin 4 dcos q) 20, 1 tp“ 


N:o 8. 


10 HARALD LUNELUND. 


de — gua [- (6 —0):sin q + d- cos q]— 0, XML) tgq — > 
PS |— (e—b)-sing+d-cosy|=0, » » tg yq — 
= EYE NEE. c-sinq + d-cos g)= 0, woraus tg = =. 
2 ee | (eb): sinp+d-cosp=0,  »  tgg-.—, 


Die Spannung im Stabe AD und ihre Komponenten (ausser Y,) nehmen also je ein 
Maximum an, wenn tg 9—4, während die resultierenden Spannungen in den Stäben BC und 
CD sowie ihre Komponenten für tep= t, einen Extremwert liefern. Durch Einsetzen der 
Werte von q ergeben sich als grósstmógliche Spannungen 


S Py(c— by +d2.Ve+d: 
dd Y bd : 


Pyat4 c -d'- y(c —by + d 


Sa = 8. = 2bd 


Dagegen ist 
3 (4 
$1—0, wenn tgy= anu 
= ss Må » Ÿg p = ——: 
S, >0 bedeutet Druckspannung, S, bzw. $47» 0 Zugspannung. Es ist bei 
0°<p< 90? stets S, 0 und S, stets >0, wenn, wie hier, c b, 
9099-1809 » $8,720, wenn d-sSing c-c089, $5720, Stets wenn 


d-sin q > (c—b)-co8 q, 
LEO PA TO 9278120, 85,805 


270° Lp<360° » S,>0, wenn c:cosq >d-Smp, 5S, >0, wenn (c—b)-cos q >d-siny. 


Wir stellen die Spannungen und Spannungskomponenten in Tabelle 3 zusammen. 


Tabelle 3. 


Spannungen und Spannungskomponenten. 


Spannung Stab AD Stab BD und Stab CD | 
N Py (c — by d : + € d ; | 

E PY € B'* 9 (6.008 g + d-sin q) REG X (to — b)- cos q + d - sin 9] | 
X P6 D(C cos q + d-sin 9) E [(c— b) - eos q + d sin | 

any 0 sty l(e—b): cos q + d-sin y] 

| 

Ie P : Pd ; 

Tz 7 (c: COS p + d. sin q) y K(c — 5): eos + d - sin y] 


Tom. L. 


Über Stabverbindungen mit veränderlichem Kraftangrıff. 11 


Spezialfall. Wir wollen nun die Spannungen zahlenmässig zusammenstellen (Tabelle 4) 
für den besonderen Fall, dass P=1000kg ist und a, b, c, und d folgende Längen haben: = 
a—2m, b—3m, e=5m, d—4m, Die grösste Spannung tritt dann für folgende Winkel q auf 


in AD für q = 38° 39' 35" bzw. — 14102025”, 
» BD und CD » g—63°26 6” » —116° 33’ 54”. 
Die Spannung ist O 
in AD für p=128° 39'85" bzw. — 51° 20^ 25^ 
» BD und CD » -103?260' 6" »  —826?88'54". 
Wir geben im folgenden die Spannungen für folgende Winkel q an: 180°, 153° 26 6", 
1989 39'35", 909, 63° 26'6", 38° 3935", 09, — 36? 838'54", — 51° 20'25", — 90°, —116° 33’ 54 
und — 141? 20'25" an. 


Tabelle 4. 


Variation der Stabspannungen und ihrer Achsenkomponenten mit dem Winkel q, 


Zugspannungen sind mit positivem Zeichen versehen. Werte im kg. 


| 
be | SP Ram EU ETES | 

| X. | Y, Z, 8, REX | xE*[zez- "gs | 

180? | + 833 0 ira "Esas. eroe 2807, 1333, Ec y DEN 
1530 36^ 6" | 244740 + 894 | +1000 0 0 | 0 | 0 

|| 128° 39’ 35” | OÙ NOM, 0 0| 4391 | +157 | +314 | + 524 
| 909 — 667 0 —1333 | —1491 | +833 | +833 | 607 | +1118 
| | 68026 67) — 969 | 0 | 1938 | —2167 | +932 | +873 | +746 | --1850 
38? 39 35" | — 1067 0 | —2134 | —32383 | +846 | 388 | --677 | +1135 

0° — 833 0 | ses | 1868 | +417 | X167 (4888 | 560 
36033547 | — 447 | 0 — 894 | — 1000 0 0 0 0 
— ple: 25” 0 | 0 0 | 019 —391 | —1b57 ee Ner 594 
| — 90° I +desz | 05 0 lass Nase — 888 | — 33235 AMG | Lise 
116233 54” | + 969 | 0 **19g8s | 232167" |f. — 932 | ara AN 13-1250 
1410020 25". 1067 POUR 2134, |: 23886 IN = 846 —338 | —677 | —1135 


Die resultierenden Spannungen und ihre Komponenten sind in Fig. 8 veranschaulicht. 
Die Maximalwerte betragen für S, 9386 kg, für S, und S, 1250 kg. Z, erreicht den Höchstwert 
2134kg, X, dagegen nur 1067kg. Noch kleiner sind die Komponenten X,, Yo, Z, bzw. Xs, 
Ys, Za, mit den Maximalwerten 932, 373, und 746 kg. bzw. 


Eine andere räumliche Stabverbindung. Wir betrachten jetzt eine aus drei Stäben be- 
stehende räumliche Stabverbindung A, 4, DC, welche in den Knovenpunkten A, und A, gestützt 


N:o 8. 


12 HARALD LUN ELU ND: 


und in C verankert ist. Wir wollen nebenbei auch den Fall behandeln, dass C mit A, und 4, 
durch Stübe verbunden ist. In D wirke eine Kraft P, deren Richtung mit der nach unten 
serichteten Lotlinie den Winkel q bilde. 


y wird bei Drehung gegen den Uhrzeiger 
positiv gerechnet. 


2000 / 1 1: Wir wählen 4, 4, zur Y-Achse, die 
N durch die Mitte O von 4, A, gehende, zu 4, 4: 

: senkrecht gezogene Horizontale zur X-Acbse 

1:000 joe eines rechtwinkligen Koordinatensystems. Die 
N , Koordinaten der Punkte A,, 4,, C und D 

0 E = ho seien bzw. (0, a, 0), (0, —a, 0), (0, 0, c) und 


(Do CN 
Die in A, bzw. in A, wirkenden Auf- 


lagerwiderstände sowie die Widerstandskraft 

der Mauer in C seien durch ihre Kompo- 

nenten X Yı, 71. bzw. X35 Lata Utd. 

X34, Ys, Z, ersetzt. Wir haben dann neun 
Kräfte, welche mit P im Gleichgewicht sind. 

-3000 1 Pp t ; : 

-180° -120° -6 0° +0° +6 0° «120180 Da nur sechs Gleichgewichtsbedingungen: 

IX 0,3270, 970, ME ORUM IO 

M.=0 zur Verfügung stehen, wollen wir die 

besondere Annahme machen, dass die Befestigung in C so beschaffen ist, dass sie nur eine 

zur X-Achse parallele Kraft auszuüben vermag. Es ist dann Y3= Z;-— 0. 

Für die Stabverbindung als ganzes bestehen dann folgende 

Gleiehgewichtsbedingungen: 

1) 2X=0: X, +%-%+P-snp=0. 

2) 2Y=0: Y,-Y,—0. Weil kein Bestreben zur Verschie- 


2000 


Fig. 8. 


Ög 


g 
2 
2 
2 
[4 
2 
À 


7 
J 
z 


Fig. 9 b. Fig. 9c. 


bung des Systems in der Richtung der Y-Achse vorhanden ist, so nehmen wir weiter an, 
(dass 160: 
3) 2Z=0: Z,+Z;—P:cosp=0. 
4) M.—0: Z;-a—Z:-a=0, woraus Z, —Zs,. Aus 3) folet Z;, = 0; 5 P-cos g. 
5) 2M,=0: P:cosp-b—X;-c+P-sing-d, woraus X, = P. cos g + d- sin q). 
Tom. L. 


Über Stabverbindungen mit veränderlichem Kraftangriff. 13 


6) M,—0: —X,-a+X,-a=0, woraus X,— X, und mit Hilfe von 1) X,— 
= [b- cos p + (d — c) sing]. 

Die Spannungen in den Stäben werden bestimmt, indem man sich die Stäbe der Reihe 
nach freigemaeht denkt. Wenn das starre Dreieck A, 4,0 existiert, so ist es zuerst freizumachen. 
Wir ersetzen zu dem Zweck den Stab I durch zwei in C wirkende Kräfte H, (horiz.) und V, 
(vertik.), deren Resultante in die Stabrichtung fällt. (Die nach der Y-Achse wirkende Kompo- 
nente — 0). Die Momentengleichung um A, A, als Achse ergibt dann 

M,=0: c°H, —X3°c=0, 
und daraus 
H,— X3= P (b. cos p+ d- sin q). 


Stab I. Um V, zu bestimmen, denken wir uns in C die entgegengesetzten Kräfte H, und 
V, angebracht und in D eine Anzahl weiterer Kräfte, welche letzteren jedoch verschwinden, 
wenn man die dureh D gezogene Parallele zur Y-Achse als Momentenachse wählt. Bei Gleich- 
gewicht ist dann die Momentengleichung um jene Achse 


M=0: H,:(d—c)—V,:b—0. 


H, (d - c) Pd — €) 


y,- > > ^ [b - eos 9 + d - sin q |. 


Stab II. Statt des Stabes I werden in D die Kräfte H, und V, angebracht, statt des 
Stabes III die zu den Achsen parallelen Kräfte H7, Y; und Vi. Wir wollen die Last P ganz 
dem Stab II zuteilen. Das Moment der ausserdem in 4, anzubringenden Kräfte verschwindet, 
wenn wir die Y-Achse als Momentenachse wählen. Es ist dann bei Gleichgewicht (Fig. 9b) 

P.c089-b+V,-b-V,-b+H,-d—-H,-d+P-sing-d=0 
und somit 
b-V;+d:H,=0. 


Die Gleichgewichtsbedingung für den Knotepunkt D gibt, wenn der Stab II durch die 
vorläufig unbekannten Kräfte H7, Y}, V; ersetzt wird 


2X=0: —H,+H,+H,;,+P-sing=0. 


Wegen der Symmetrie ist H,)—H}, woraus 


‚_ gr 1 d à 

Hi — H1— y (H,—P-sing)— Z[b-c0s@ +(d—ec)- sing] 

und somit 

on (Had Pa : 

Pi = av lb: 008 q + (d— c)-sin pl. 

2Z=0: VI+ Vi—WVi-P-.cosq-—0, 

also 
V3= [b-c08 9 + (d — c) sin gl — V". 
PENNA 2 u dm NEN 


Freimachung des Stabes III. Die in D anzubringenden entgegengesetzten Kräfte seien 
H3, Y PE . Die Kräfte in A, verschwinden, wenn wir die durch 4, gehende Parallele zur 
X-Achse als Momentenachse nehmen. Dann ist 
N:o 8. 


14 HARALD LUNELUND. 


M,=0: Y;:d—Vi-a=0, 


E: 
woraus 


Vasa E 


Yj— Y;— 7 = 55, [b - 608 q -- (d — c) - sin p]. 


Wir csv jetzt die in den eventuel vorhandenen Stäben A, As, A, C und 4,C wir- 
kenden Spannuneskomponenten. 


Stab V. Anstatt des Stabes I sind in C die Kräfte HM, und V, anzubringen, anstatt des 
Stabes VI die Kräfte Y, und V, (H;= 0). Ausserdem sei X, ganz diesem Stab zugeteilt. In 
Bezug auf die durch A, zur X-Achse gezogene Parallele als Momentenachse erhält man 

M=0: —-V,-a+ Ye: c+Ve-a=0 


und somit 


er 


€: Yo 4- Vera (b-cos q +d sing). 


Stab. VI. Wir denken uns in C die entgegengesetzten Kräfte Y, und V, angebracht. 
Es sei die durch A, zur X-Achse gezogene Parallele die Momentenachse. Dann geben die in 4, 
angreifenden Kráfte je ein Moment — 0, daher 
ULT S (OS > TAS E D VE TOTEE SU) 
Es ist also 


y neuro (b - cos q + d - sin 9), 


Ve= D 
Im Knotenpunkt A, denken wir uns den Stab VI durch die mit den vorigen gleichge- 
richteten Kräfte Y, und V;, den Stab III durch die wie vorhin gerichteten Kräfte H;, Y;, 
Vi ersetzt. An Stelle von Stab IV ist die Kraft Y, anzubringen, dazu kommen die Auflager- 
drücke X, und Z,. Die Gleichgewichtsbedingung 
2Y=0 gibt daher; Y,J- Y, —Y,— 0, woraus 


- (b- cos p + d- sin y). 


Y,— 2/5. [(2 be — bd) cos q — (c — dy: sin gl. 
Zur Probe der oben erhaltenen Resultate stellen wir die Gleichgewichtsbedingungen im 
Knotenpunkt 4, auf. Es ist 
Z2X=0: X—H;-—0, 2. [b «cos q + (d — c) sin 9 |— g. [b cos y + (d — e):sin q]— 0 


+ (d — e): sin q] — II. COS p + d - sin q) — 


- = el cos q — (c — dy? - sin q | — 0, 


EYE Y,- 130, 


Le Ib. coS q +d- IM 5. P-cos q — 


2:27, 0: 42-0, 
— [b-cos g + (d — c): sing |— 0. 

Resultierende Spannungen. Um die resultierenden Spannungen zu berechnen, setzen wir 

wie oben (S. 9) die parallel zu den Achsen wirkenden Komponenten H, Y und V eines Stab- 


endpunktes zu einer Resultante H,., Y,, V, zusammen. Es ist dann S— y H8 + ys my Wir 
stellen die auf diese Weise berechneten Werte in Tabelle 5 zusammen. 
Tom. L. 


2 bus + p + hs09:0)- 46. - p US: p + D 309: UC ME 
(huis p + bed.) + oo I GT (hup hsoo-q)., pa (^um-p--ó300-q) og : 
ees a T IA DÅ | 
ETT h us (p —2) — 5 soo (pq —: 16 _ 
|^ uis «p I 2) bh 809 (pq E 9q Die 0 | 2 3 «(p 2) ) (pq 24€)] DT 0 
A AI 
E huis (2 — p) + ^ soo odo = b uis (2 — p) + 6 g09- q] 225 = | [o mis (o ) + 809: 4| 5 
DUO DP NET | 2 É dre | ^h ut p dires | | 2 i 417 | 
3 u zie ZUR ER FA uH IE ID. 
(Ch WS - p + ^ soo - = DT = 
(fx p E diBoos q) Cp) + 2 (bus-p + b soo q) DEP ; | (h uis - p + ^ soo 0; 
i- M i | ="H I 
S A Wa "IN aus | 


masunuueds opuojen[nsor pun uaquauodwuoyssunuueds 


4 9[TI9Q* ], 


16 HARALD LUNELUND. 


Wir untersuchen zuerst für welche Winkel y die Spannungskomponenten und die resul- 
tierenden Spannungen ihren Hóchstwert annehmen bzw. — 0 werden. 

Als gemeinsamer Faktor für die Stäbe T, V und VI tritt b-cosq -d-sinq auf. Durch 
Differentiation nach q ergibt sich 


—b - sin q + d- cos ç = 0 
und somit die grösste Spannung bei x 
CURE 
Dann ist 
b-cos q + d- sin q —y b? + d?. 


Die Spannung ist — 0, wenn 


b-cos q + d-sinq = 0, 
woraus 
b 
Bye 
Die für die Stäbe II und III geltenden Spannungen enthalten dagegen den gemeinsamen 
Faktor b.cosy-+(d— c):sinq. Die Differentiation nach y gibt 


—h - sin q + (d — c): eos q& = 0. 


Die grósste Spannung tritt demnach bei 


]—6 
tg y = “ b 


auf. Dann ist 
b cos q + (d —c):sinq = J b? + (c — dy. 
Die Spannung ist — 0, wenn 
J 
ig g — emm 
Endlich tritt in dem für Stab IV geltenden Ausdruck für die Spannung der Faktor 
(2be-—-bd)-cosy -(e--d)?-siny auf, welcher nach q differentiiert gibt 


—(2bc—bd):sing —(c— d)-cosy=0. 
y ergibt sich also aus der Gleichung 


(c — d)?, 
ir re 


Der grösste Wert des Faktors ist | (2bc— bd) + (c — dy. 
Die Spannung im Stabe IV ist — 0, wenn 
(2 be — bd): eos o —(c— d) -sinq = 0, 
d.h. für 
tg qz 206-bd | 
EC NECI 
Wir stellen in Tabelle 6 die Maximiwerte der Spannungskomponenten und der resultierenden 
Spannungen zusammen. 
Tom. L. 


Über Stabverbindungen mit veränderlichem Kraftangriff. 17 


Tabelle 6. 


Grösste Werte der Spannungskomponenten und der resultierenden Spannungen. 


Stab Nr H, Y, y, S 
| | 
I |Zyere® 0 Éd pula  Pywir(d—o.p rd 
(a | ) [6 
| DN Be m ee — 
Iw]. yber(e-a% Fr VB dy ÉLIRE LCL EN ET] 
IV 0 d. y (8be—Udy -(c—dy | 0 EU y (3be —bdy + (c — dy 
LL Ibid L—— "i ZUR (pene vau aoo dae s Miel RS TEE 
V u. VI 0 | pue TE Vb? + de <= Va+ ce -Vb?+ de 


Spezialfall. Um eine genauere Vorstellung von der Veränderung der Spannungen mit dem 
Winkel y zu erhalten als aus obenstehenden Formeln möglich ist, nehmen wir an, dass P = 
1000 kg ist und a, b, c und d folgende Längen haben: a— 1m, b —3m, c—3m, d— 4m. 

Die grösste Spannung in den Stäben I, V und VI tritt dann bei folgenden Winkeln ein: 


Stab I, V, VI: tgy= = woraus «g — 53° 7'49' bzw. —126?52'11", 


Bip TR TIL  teg= à  g= 18998" 0". X © 1610881647 
Stab IV: igo—-—4,  » '€4-1708215". » . — "9997 45". 


Die Spannung ist 0 bei folgenden Winkeln 


Stab I, V, VI: tgg— 1, woraus q— —36552'12" bzw. +143° T'4g", 
Stab IL, II: tigq——3, »  4-—71938'54" ^»  +108°26 6”, 
Stab IV: ta p = +6, D q-—-—99?97 45" |.» + 809892'15". 


Wir geben jetzt in Tabelle 7 die Spannungskomponenten und die resultierenden Spannun- 
gen für folgende Winkel @ an: 180°, 170?32'15", 143° 7'48", 108? 266”, 90°, 80° 32’15”, 
FOSTER MIE ET AIDER 54”, —90°, 1990972451, 
— 1267 52'12", — 161? 33' 54" und — 180°. 


HARALD LUNELUND. 


Tabelle 7. 


Spannungskomponenten und resultierende Spannungen in kg für P—1000kg. Resultierende 
Zugspannungen und ihre Komponenten sind mit positivem Vorzeichen bezeichnet. 
Die rómischen Ziffern geben die Nummer der Stäbe an. 


Spannungskomponenten Resultierende Spannungen; | 


Wie [9 Becas t ET Vu. VI I ul IV. Vu VI 
Hank ve UE oT re op Ms Dauer 

1809 — — |— 1000| — 3338| + 500167 |4:667|- 55-6|— 1671 —1054|-- 8501—111 |— 176 
170° 32' 15" 767 - -256| + 466|+ 155 | + 621|— 42- 6, --128|- 808 + 792|- 113 |— 185 
148? 7'48" 0 ol + 300/+ 100 |+ 400! 0 0 0|--510 —100 | 0 
108° 26° 6"|-- 949 + 316 0 0 0+ 52-7, + 158| + 1000) 0|— 52-7|+ 167 
90° — — |+1333| + 444| — 167|— 55-6 — 222|+ 74.8] + 283| + 1405 — 2831 — 18.5! + 234 

80° 32’ 15" | + 1479| + 493| — 246— 82-2 — 329 + 82-2) + 247| + 1559| — 419) 0 |4 260 

53^ 7' 49” | + 1667| + 556, — 433—144 | — 57814 92-6 + 278] + 1757, — 737) + 51:9|+ 293 

18° 26’ 6’ |+ 1370) + 457| —527|— 176 703|+ 76-1 + 228] + 1444 — 896 + 99-6 + 241 

0° — — |-+ 1000| + 333| — 500 — 167 -6674- 55 - 6 + 167| + 1054 — 860|-L111 „++ 176 

= (COA 767) + 256 — 466— 155 |— 621-42-6 +128|+ 808 — 792 +113 | + 135 
- 869159121 0 ol 300-100 | 490! 0 0 0 — 510 + 100 0 
71° 33’ 54" 949 — 316) 0 0 0,— 52-7 — 158] — 1000 01 52:7 d BT 

— 90* 1333| — 444| + 167)+ 55-6 + 222— 74- 3| — 288| -- 1405| + 283 + 18-5|— 934 
— 99° a7’ 45" | — 1479 — 493| + 247)+ 82-2) + 329 — 89 . 9) — 247| — 1559) + 419) 0- |— 260 
— 196° 52/12" |— 1667, — 556| + 48314144 + 578|— 92-6, — 278] —1757| + 737 — 51-9|— 293 
| — 161? 33' 54” |— 1370 — 457) + 527-- 176 + 703,— 76-1 — 228] — 1444 + 896 — 99-6|— 241 
| BS e —1000| — 333| + 500|+ 167 | + 667|— 55 - 6, — 167| — 1054] + 850| — 111 -176 


Die Variationen der resultierenden Spannungen S werden 


in Fig. 10 veranschaulicht. 


Positive Ordinate bedeutet Zug. 

Wie die Tabelle 7 und Fig. 10 zeigen, sind die Spannungen am grössten im Stab I, darauf 
im Stab II und III. Am kleinsten ist die Spannung im Stab IV. Bei den oben angenom- 
menen besonderen Dimensionen der Stabverbindung ist 
im Stab I die H-Komponente 94.9 ?/,, die V-Komponente 31.6 °/, von S;. 
II und III die H-Komponente 58.8 °/,, die Y-Komponente 19.6 "/,, die V-Kompo- 
nente 78.5 ?/, von S, bzw. 55, 
IV die Y-Komponente gleich der resultierenden Spannung 54, 
V und VI die Y-Komponente 31.6 °/,, die V-Komponente 96.6 von 5; bzw. S,. 


» » 


» » 


» » 


Tom. L. 


Über Stabverbindungen mit veränderlichem Kraftangriff. 19 


-2000 - $ 
-180°-120°-6 0° 0° -60*-*«120"«|9Q* 
Fig. 10. 


Zusammenfassung. Während in der Statik gewöhnlich Stabverbindungen mit unver- 
änderlicher Kraftrichtung behandelt werden, habe ich oben einige Stabverbindungen bei 
veränderlichem Kraftangriff untersucht: eine ebene Dreiecksverbindung und zwei räumliche 
Stabverbindungen. Nach Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen und Berechnung der 
Spannungskomponten und der resultierenden Spannungen im allgemeinen Falle wurden die 
Berechnungen für einige besondere Fälle durchgeführt. Derartige Untersuchungen haben 
praktische Bedeutung, z. B. beim Heben von Lasten mittels Kräne. 


N:o 8. 


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ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 9 a 


UNTERSUCHUNGEN 
THEORIE DER BELEUCHTUNG DES MONDES 
AUF GRUND PHOTOMETRISCHER 
MESSUNGEN 


AKERI 
SON * @ I 
E. SCHOENBERG E | 


(Mitgeteilt am 23. Februar 1925 von K. F. Sundman und A. Donner) 


LISBSISSAENSGB. OIRS 19235 


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HELSINGFORS 1925 | 
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DRUCKEREI DER FINNISCHEN LITERATURGESELLSCHAFT 


I Teil. 


II Teil. 


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om - © © 


© o - © Oo, W D + 


ENVEA DT. 


Die Messungen und ihre Darstellung durch empirische Formeln. 


. Einleitung . : 
. Die Beobachtungen 


Die Winkel ti, & « . 


. Diskussion der beobachteten Ticktverteilang 

. Die absoluten Helligkeiten des Mondrandes . NOS 

. Die Helligkeit des Mondrandes in Bezug auf das Zentrum . 

. Bestimmung der Funktion w (c) $e RE TER 
. Beobachtungen der Helligkeitsschwankung einzelner Möndgsbilde 6 
. Die Deutung der Funktion 1 («) 


Theorie. 


. Über diffuse Reflexion . 


Die Beleuchtung einer mit kontschön Méhisüutgon gégechten Kugel . 
Die Beleuchtung einer mit halbkugelfórmigen Erhebungen bedeckten Kugel . 


. Kalottenfórmige Erhebungen . POSEEN ne: cer ee CS ZU 
Der Einfluss der Vertiefungen auf die Beleuchtung einer Mood Sphärische Vertiefungen 


. Zylinderfórmige Vertiefungen 


Die Beleuchtung einer von runden Offnungen durchbrochenen Decke. 
Übersicht über die Resultate des zweiten Teils. Schlussfolgerung . 


. Über den Begriff der Albedo uneben begrenzter Kórper . 


56 


69 


— 


I Teil. Die Messungen und ihre Darstellung durch 
empirische Formeln. 


1. Einleitung. 


Bei meinen in die Jahre 1914—1918 fallenden Untersuchungen über die Lichtverteilung 
auf den Oberflächen der Planeten habe ich auch den Mond ins Arbeitsprogramm aufgenommen, 
wesentlich mit der Absicht an ihm in bequemer Weise die Lichtverteilung und das Emana- 
tionsgesetz ohne die stórende Wirkung einer Atmospháre zu studieren. Eine vorläufige Berech- 
nung der Beobachtungen zeigte, dass in der Opposition und bis zu 15^ Phasenwinkel die Hellig- 
keit der »typischen» Mondoberfläche keine Abhängigkeit vom Einfallswinkel des Lichtes auf- 
weist, also in jedem Momente auf der ganzen Scheibe dieselbe ist, dass aber gleichzeitig die mitt- 
lere Helligkeit der Scheibe schon innerhalb des kleinen Phasenintervalls von 15° schnell abnimmt. 
Diese Tatsache kann am einfachsten durch folgenden Ausdruck für die elementare reflektierte 
Lichtmenge dargestellt werden 
(1) ds = G eos e ds y (œ) 


wo G eine Konstante, e der Emanationswinkel und w(«) der Ausdruck für die Lichtabnahme 
mit dem Phasenwinkel («) ist. Diese Formel wurde als eine der Hypothesen über die Reflexion 
des Liehts von Jupiter und Saturn ohne Atmosphäre verwendet und als brauchbar befunden. ! 
Als wahrscheinliche Ursache für das Auftreten der Funktion w(«) wurden Schattenwirkungen 
angenommen. 

Das náhere Studium meiner Beobachtungen, sowie neuere Arbeiten über die Photometrie 
des Mondes, insbesondere aber WILSINGS ? Schrift über die Entwickelungsgeschichte des Mondes, 
führten mich zu dem Versuche die Eigentümlichkeiten seines photometrischen Verhaltens theore- 
tisch zu erklären, und da dieser Versuch befriedigend ausgefallen ist, und die Wilsingschen An- 
sichten eine Erweiterung und Bestätigung durch ihn erfahren, so soll er im zweiten theoretischen 
Teile dieser Arbeit mitgeteilt werden. 


' Photometrische Untersuchungen über Jupiter und das Saturnsystem Annal. academiae scientiarum 
Fennicae, Serie A, tom XVI, N:o 5. Helsinki 1921. 

> Zur Entwicklungsgeschichte des Mondes. Publik. des astrophys. observatoriums zu Potsdam N:o 77. 
Potsdam 1921. 


6 E. SCHOENBERG. 


Entsprechend dem Zwecke dieser Arbeit die allgemeine Lichtverteilung auf der Mondscheibe 
in Abhángigkeit vom Einfallswinkel des Lichts 7, dem Emanationswinkel e, und dem Phasen- 
winkel « zu untersuchen, habe ich die Messungen nicht auf besondere, hervortretende Gebilde 
des Mondes, sondern auf die s. z. s. typische Mondoberfläche bezogen. Je stärker das angewandte 
Fernrohr ist, desto schwieriger wird die Bestimmung dieser typischen Teile, weil die Menge der 
sichtbaren Einzelheiten das Urteil stört, während für das blosse Auge die ganze Mondoberfláche 
mit Ausnahme der maria und einzelner heller Strahlen einen gleichmässigen Helligkeitsverlauf 
aufweist. Meine Messungen beziehen sich wesentlich auf die Kontinente mit Ausschluss heller 
Krater und der hellen Strahlen. Die Messungen auf den maria sind nicht zahlreich genug, um 
eine Diskussion zu gestatten. 

Die in den letzten Jahren recht zahlreichen Publikationen über die Photometrie der Mond- 
oberfläche beziehen sich umgekehrt gerade auf einzelne Gebilde (Krater, Strahlen u. a.) derselben. 
Sie haben den Zweck ihre Liehtkurven und Albedo zu bestimmen und werden vor allem, wenn 
die Beobachtungen genügend zahlreich und genau für die einzelnen (Gebilde vorliegen werden, zu 
einer genauen Klassifizierung derselben führen. Die Klassifizierung nach der Lichtkurve bedeu- 
tet aber eine Einteilung nach der Beschaffenheit der Oberfläche, und diese kann unter Umstän- 
den im Verein mit dem Reflexionsvermögen in der Opposition ein wichtiges Merkmal! für die 
Identifizierung der einzelnen Mondgebilde mit irdischen Substanzen abgeben. Zunächst sind die 
diesbezüglichen Beobachtungen von W. PICKERING,! W. F. Wısuizenus, ? P. Gótz,? Bara- 
BASCHEV, + MaRKow?* noch nicht genügend zahlreich und genau. Einige von ihnen sollen hier 
diskutiert werden. Sie bieten eine wertvolle Ergänzung zu meinen Messungen und können teil- 
weise auch nach derselben Theorie erklärt werden. Sie weisen alle trotz grosser Verschieden- 
heit im Einzelnen den starken Abfall der Lichtkurven mit dem Phasenwinkel auf, wie ihn auch 
meine Beobachtungen der typischen Mondoberfläche zeigen. 

Eine bei der Drucklegune dieser Schrift erschienene Arbeit von. E ÖPIK 9 stellt sich die Auf- 
eabe aus photographischen Helligkeitsmessungen für die Mondkontinente und maria empirische 
Formeln des Liehtwechsels in Abhängigkeit der drei Variablen +, £, « zu geben. Diese Formeln 
können für gewisse praktische Zwecke genügen.? Ich habe eine andere Form für die empirische 
Helligkeitsfunktion /(?,s,«)-— f(2) & (s) v (a) angewandt, doch ist der wirkliche Zusammen- 
hang der Variablen theoretisch für unebene Oberflächen nicht so einfach darstellbar. Bei Pla- 
neten mit kleiner Schwankung des Phasenwinkels wie Jupiter und Saturn ist dagegen die Tren- 
nung der Helligkeitsfunktion in ein Produkt, sowohl praktisch als theoretisch genügend begründet. 

Endlich ist hier noch einer experimentellen Untersuchung des Freiherrn v. u. Zz. AUFSESS ® 


! Ann. Harw. Coll. observ. 59 (1909). 
* A. N. Bd 201 p. 290. 
3 Veróffentlichungen der Sternwarte Österberg. Bd 1. Heft 2. 
£A. N. B. 217, 445. 
5 A. N. N:o 5285. 
* Publications de l'Observat. astronomique. Tartu. Tome XXVI N:o 1. Photometric measures on the 
moon and the earthshine. 
? Der Verfasser bezeichnet übrigens seine Bestimmung der Function w(«) als sehr unsicher 1. c. pag. 48. 


* Ergänzungshefte zu den Astr. N. N:o 17. 


Tom: 


— 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund pholometr. Messungen. 7 


über das photometrische Verhalten parallel bestrahlter Kugeln Erwähnung zu tun. Die Phasen- 
kurven solcher Kugeln erweisen sich denen der Planeten durchaus unáhnlich. indem die Phasen- 
koeffizienten durchweg bedeutend geringer ausfallen. Unebenheiten von der Grössenordnung 
der Mondberge haben einen nur sehr geringen Einfluss auf die Phasenkurve und auch Reflexe. 
von Spiegelungen an glatten Teilen herrührend, haben keinen merkbaren Einfluss auf dieselben. 
Die starken Phasenkoeffizienten des Mondes, der kleinen Planeten und die geringeren aber immer- 
hin noch bedeutenden Phasenkoeffizienten der von Atmosphären umgebenen Planeten, die be- 
kanntlich durch keine Formel für diffuse Reflexion erklärt werden kónnen, müssen ihre Ursache 
deshalb in einer solehen Oberflächenbeschaffenheit der Planeten haben, wie sie bei den genannten 
Versuchen von Aursess ausser Acht gelassen worden sind. Die mittlere Helligkeit der Mond- 
scheibe beträgt nach H. RussEL,! der die sicherste Phasenkurve des Mondes aus der Gesamt- 
heit der vorliegenden Beobachtungen abgeleitet hat, schon bei 25^ Phasenwinkel nur ?/, derjeni- 
gen bei Vollmond, während die bekannten Formeln von Lambert und Seliger eine Abnahme der 
Flächenhelligkeit von höchstens 5 9/, ergeben. Russeu selbst nimmt als Ursache dafür den Schat- 
tenwurf von unzähligen Steinen und Felsstücken an. 

Eine solche Beschaffenheit der Mondoberfläche in allen ihren Teilen auch auf den maria 
in weiter Entfernung von den Kratern erscheint unwahrscheinlich und ist mit den allseitig so 
wohl begründeten Ansichten Wilsings über die Entwickelungsgeschichte des Mondes schwer 
vereinbar. 

Bedeutend näherliegend ist die Erklärung die J. WILSING selbst für den starken Lichtab- 
fall der leuchtenden hellen Strahlen des Kraters Kopernikus in der Nähe der Opposition gegeben 
hat, und diese Erklärung ist für die vorliegende Arbeit von nicht unwesentlichem Einfluss ge- 
wesen. Wilsing beobachtete den Lichtwechsel einer mit quadratischen Vertiefungen versehenen 
Gipsplatte, die bei schrägem Lichteinfall dank dem Schattenwurf der Wände eine bedeutende 
Liehtabnahme aufwies. Durch eine ähnliche löchrige Beschaffenheit der Lava, aus der die 
Strahlen des Kopernikus bestehen dürften, wäre dann ihr starker Lichtwechsel zu erklären. Aus 
meinen Untersuchungen über die Lichtverteilung auf dem Monde und den anderen Planeten 
hatte ich ebenfalls die Überzeugung gewonnen, dass zwar die gleichmässige Helligkeit in der 
Opposition und in ihrer Nähe durch Berge und Erhöhungen bedingt sein und bei dieser Annahme 
auch mit Zugrundelegung des Lambertschen Reflexionsgesetzes erklärt werden kann, dass aber 
die starke Lichtabnahme mit dem Phasenwinkel nur in einer löchrigen Struktur der Oberfläche 
eine einfache Erklärung findet. Unter dem Eindruck der Wilsingschen Arbeit habe ich dann 
die Theorie der Beleuchtung einer solchen Oberfläche, die für die Löcher einer Wolkenhülle vor- 
lag, auch auf die Beobachtungen am Monde angewendet, nachdem ich sie für die Beschaffenheit 
von erstarrter Lava umarbeitete. Eine neulich von Herrn Barabaschev ? erschienene Arbeit über 
denselben Gegenstand ist ein weiterer Beweis für den Eindruck, den die Wilsingschen Ansichten 
ausgeübt haben. Seine Zahlen sind wegen der fehlerhaften Formeln nicht beweisend. 


! Astrophys. Journal XVIII, 1916 s. 103 u. 173. 
? A. N. N:o 5297. Der Verfasser gibt seine ursprüngliche Rillentheorie zu Gunsten der Wilsingschen 


Poren auf. 


N:o 9. 


8 E. SCHOENBERG. 


2. Die Beobachtungen. 


/ 


Die Beobachtungen wurden mit meinem Flächenphotometer * mit Benutzung der grösseren 
Öffnung (III) des zweiten Lummer-Brodhunschen Prismas zum grössten Teil an einem kleinen 
Frauenhoferschen Kometensucher ausgeführt. Derselbe hat eine Fokallänge von 75 cm, ein Objek- 
tiv von 80 mm im Durchmesser und ist mit einem Uhrwerk versehen. Die Einstellungen der 
Spiegelöffnung auf gleiche Helligkeit mit der Umgebung wurden stets in geometrisch bestimmten 
Punkten der sichtbaren Scheibe ausgeführt, also unabhängig davon, welche Mondgegend oder 
Formation durch die Öffnung bedeckt wurde. Späterhin wurden Beobachtungen auf den maria 
und den hellen Strahlen ausgeschieden, und nur diejenigen auf den Kontinenten mit gleichmässi- 
gem Verlauf der Helligkeit behandelt. Die Spiegelöffnung deckte eine Kreisfläche mit dem Radius 
von 36". Zweierlei Orientierungen wurden angewandt, welche auf der beiliegenden Figur 1 ver- 
deutlicht werden. 


Orientierung der Beobachtungen auf der Mondscheibe. 


Die eine Orientierung war längs der Begrenzung der sichtbaren Scheibe (römische Ziffern) 
beginnend mit dem Punkte I auf dem Intensitätsäquator u. weiter am positiven Rande, in den 
Punkten II und XII, II u. XI, auf dem halben und auf ?/, des 
Abstandes zu dem südlichen und nördlichen Endpunkten der 
Sichel; längs dem negativen Rande — im Punkte VII auf dem 
Intensitätsäquator, und in den Punkten VI und VIII, V und IX 
in denselben Abständen von VII. Dabei wurde die kreisrunde 
Spiegelöffnung immer auf Berührung mit dem Rande eingestellt. 
Andere Messungen wurden längs dem Intensitätsäquator in der 
Mitte zwischen den Rändern (Punkt 1), auf halbem Abstande 
(Punkte 2 u. 3) und in ?/, Abstand von der Mitte zu den Rän- 
dern (Punkt 4 u. 5) ausgeführt. Die Konstanz der elektrischen 
Viervoltlampe des Photometers wurde am  Milliampermeter 
kontrolliert und ihre Änderungen mit dem Faktor 


0.001 amp. = 0.027 m 


in Rechnung gezogen. 

Eine zweite Beobachtungsreihe im Winter 1918 wurde am 
alten 9%/,-zölligen Frauenhoferschen Refraktor nach derselben 
Beobachtungsmethode ausgeführt. Hier wurde ein schwaches Zeisssches Okular angewandt und 
die grösste Spiegelöffnung (IV) bei den Einstellungen benutzt. Sie’ deckte einen Kreis mit dem 


Fig. 1. 


Radius von 25".1. 
Die Beobachtungen wurden symmetrisch zu den Referenzpunkten (I oder 1) ausgeführt 
und gewöhnlich nach 4 Einstellungen auf den Referenzpunkt und Ablesung des Ampermeters 


! E. SCHOENBERG "On the illumination of planets.” Public. de l'observ. astron. Dorpat Tom. XXIV. 


Tom.-L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. 9 


8 Einstellungen auf die anderen Punkte mit einmaliger Ablesung des Ampermeters in der Mitte, 
dann wieder 4 Einstellungen auf den Referenzpunkt nebst einer dritten Ablesung des Ampermeters 
gemacht. í 

Ein Teil der Messungen dieser Reihe, welche im Beobachtungsjournal die Bemerkung hatten, 
alles unverändert seit der letzten Beobachtung», wurden als absolute Beobachtungen zur Be- 
stimmung der Veränderlichkeit des Mondrandes mit dem Phasenwinkel verwendet. 

In der folgenden Zusammenstellung der Beobachtungen stehen alle Ablesungen des Posi- 
tionskreises des Photometers nebst ihren Mitteln, sowie die Ablesungen des Ampermeters (4). 
Wenn diese eine geringe und gleichmässige Veränderung innerhalb der Beobachtungszeit auf- 
weisen, so braucht dieselbe bei der symmetrischen Verteilung der Beobachtungen nicht in Rech- 
nung gezogen zu werden. Die mittleren Beobachtungsmomente für jeden Punkt sind tatsächlich 
fast durchweg dieselben, wie das aus den unter den Mitteln stehenden Zahlen ersichtlich ist. Bei 
den Beobachtungen auf dem Intensitätsäquator habe ich statt der Bezeichnung der Punkte 1, 2. 
4,3, 5 oder 1, 3, 5, 2, 4 stets die Bezeichnung M, F4, Rs, L,, L,, also Mitte, Rechts, Links benutzt. 
Wenn notwendig, wurde die Helligkeit des Himmelsgrundes in nächster Nähe des Mondrandes 
gemessen. Diese Messungen, die gewöhnlich ebenfalls aus 8 Einstellungen bestanden, sind hier 
nur mit ihren Mittelwerten in den Bemerkungen angeführt. 

Der Einfluss dieses diffusen Lichts auf die relativen Helligkeiten war oft verschwindend: 
dann war auch seine Messung wegen Schwäche sehr schwierig und wurde unterlassen. Manchmal 
wurde die Messung durch ein gelbes Filter vor dem Okular ausgeführt, wobei der Himmelsgrund 
natürlich praktisch verschwand. Diese Fälle sind immer in den Bemerkungen notiert. 


Die Beobachtungen der Helligkeiten auf der Mondscheibe. 


N:o 4. 1915. Juni 4. 14" 13" m Z.D. N:o . 1915. Juni 3. 13" 59". m. 7. p. 

A=39.9 A=39.75 

I Il DV VII VID OVID Ex I Il IM MINI YI ONE Xu 
19.5, 45.4. 94.9. 20:6 195 11:0 35.8 434 92.84239.0 21.5 20.5 17.9. 94.493 47:3 
51.9) 454 99:5 143.6 12.5 13.2 38.8 338 46.0 48.5 23.3 14.2 19.8 ' 8.[4 91.6 33.0 
44.3: 45.5 25.8 13.3 6.5 13.4 26.8 31.6 36.0-[ 49:2. 23.5 417.0 42:4. 124 250 390 
40/67 39:40; 392.5 -15.8— 79:5 193 28:5 40.6 42.0 34.8 26.5 18.2 14:8! 5.8 ^ 97.6 463 
RAS Kom 24: 160 43:4 45:7. 92:8 334 64.6 62.8 26.6 20.6 21.0 413.4 26.0 41.5 
50.8, AD. 328 40:8 13/5 —89:07 7268 8330 FE (07719999 20) 0:0 Or A 
48.5. 46.0 344 018.6 417.4 .11.6 . 29:1 231.6 5082955277 IST 9899 7:22 43 0:15 1992-0 
36.0 49:8 37.4 136 411.5 11.3 196 334 DAME OMS ET 72075: 2 48:89942:9: 12316115976 
44.94 43.14 30.18 16.04 11.60 13.03 28.53 34.90 51.16 48.40 26.08 18.78 16.80 9.93 25.00 41.09 
44" 40" 4441 1420 1445 148 148 1425 13^ 59" 43 58 13 59 13 59 13 59 12 58 13 59 43 58 
A—39.9 A— 39.9 A—39.75 A— 39.75 


Farben schlecht abgestimmt. B — 3. 


N:o 9. 


[vo] 


10 


I II VIA FVT AMOR VIDT NI 


59:8. havs 23.028 2470 "12.4 
a A 2293170291478 a 88551578 
47:6 50:6 1,29:6°7 19.2 16.87717.8 
51.9 LES MO OL 2041861220 
53.75 49.62 28.88 19.70 20.68 15.00 
Farben gut. B—3. 


E. 


X 
24.0 
24.9 
25.9 
31.6 


26.60 


N:o 3. Juni 4, 13" 52" m.Z.D. 


AX ODE 

97-5 37:8 3076:518.56. 18-5 6.5 
47/2 539.2 72326. 20.2 54476 9.2 
49.3 427.8 725.0 ^ 17.6 12.4 7.6 
237.2, r5: 2671 17.202 
44:61 102-31.) 18:2 446.41 13.07 15:2 
30:9, .:91,7.1/23.8]. 197% 18.0 9.6 
59:0. 10.3, AEA RAA STÄD 1156 
62.0 GOT SOS TT SR 0 


20.1 
13.2 
16.8 
14.2 
17.6 
21.8 
19.6 
19.0 


SCHOENBERG. 


XII 
46.5 
35.1 
36.1 
44.4 
40.60 


33 5 
36.5 
29:0 
36.3 
33.1 
35.4 
37.5 
29.0 


47.1 45.88 24.98 18.46 15.13 10.26 17.79 33.79 


13"54" 1358 1352 1353 1351 13 51 13 50 13 50 


Gelbes Filter. B—4. 


N:o 4. Juni 7, 14^ 4" m.Z.D. 


A—39.25 

68.6. 797.0 80:2. 18:1. 20.97 17:7 
92.2 . 52.9 34.2 20.1 42.6 20:1 
57:61 26.6, 36.3 22:6 15.2 13.9 


6726198221 7128 0.417 054 


62.78 52.95 30.60 22.20 16.58 16.68 


4144" 441 449 141 141 142 


Helliek. d. Himmelsgrundes 9.24 


N:o 5. 1915. Juni 8, 14" 9" m.Z.D. 


A—39.2 

42.8 54.5 26 19:5, 16.1. 28.4 
44.0 43.6 29. 23.5 18.5 18.5 
$1.0 45.0 20 DOS 


65.0 55.0 22. 18.0 25.5 23.5 


50.70 49.52 24.88 21.62 20.65 21.98 


852.02 395.0 2720,08 700327650231 
KUNDEN SD 33100 25168223. 
72.02 164.5..036.9, 28:0, 23.6 23145 
891015165:82227:025927701825:6:2929710 


80.00 60.08 32.00 27.85 26.85 28.02 


A=39.4 
23.5 45.0 
27.0 46.0 
28.0 59.0 
18.5 57.0 
24.25 51.75 
141 141 

A—39.25 

jg 
28.8 42.4 
29.6 48.6 
18/0526 
23 584170 
24.98 46.08 
28.4 57.8 
32:1 54.8 
33.0 47.0 
26.5 48.8 
30,00 52.10 


TE pO ETERNI INTRA vn ER EAST 
459" 449 149 149 149. 1449 149 149 
A— 39.2 ; A—39.2 

Hell. d. Himmelsgr. Erste Reihe 15.09 
Zweite Reihe 24.14. B—3. 
N:0 6. 1915. Juni 18, 10" 58" m.Z.D. 
A=39.15 
81.4 77.5 26.4 17.2 "10.5 
78.5 79.2 32.5 las.8 13.5 
70.4 175.6 20.5 22.0: 15:5 
66.5 63.0 24.0 414.0 18.8 
74.20 71.91 25.10 18.00 14.58 
10/52" 40 55 4058 110 114 
A=39,15 
Hell. d. Himmelsgr. 6.00 B—4. 
N:o 7. 1915. Sept. 29, 9" 59" m.Z.D. 
A — 38.25 
59.0 49.5 24.4 92.4 16.3 414.5 16.7 43.0 
55.3 50.0 27.4 48.3 19.8 440 20.5 45.4 
52.5 46.6 28.6 20.3 13.4 18.5 27.5 43.5 
51.6 47.6 28.7 19.5 17.3 13.0 27.2 39.3 
52.85 48.42 27.98 20.12 16.70 15.00 23.26 46.36 
9'49" 953 955 957 959 41401 102 1017 
A—38.25 
Hell. d. Grundes 3.15. B—4. 
N:o 8. 1916 April 7, 8" 27" m.Z.D. 
A— 992.95 
56.5 29.5 9.6 23.4 294.8 23.4 83 54.3 
35.2 55.4 270 41 3.4 40.00 946 346 
45.0 33.4 11.0 22.6 24.3 26.8 10.6 45.3 
94/8 459. 99.8 "98. mia 10:8: 72053818 
55.0 33.8 25.8 6.6 23.8 10.5 10.8 42.2 
343 4441 132 995 x 21 30.5. 362 
463 80.5 31.8 "5.4 (9470 . 857] 1010135919 
34.4 52.5 11.0 220 5.6 26.9 24.7 36.8 
49.34 40.45 19.65 14.14 13.56 17.15 18.54 41.31 
"26" 896 827 827 827 827 826 828 
A—22.95 
Hell. d. Grundes 6.84 B—4 
N:o 9. 1916 Apr. 8, 9" 18" m.Z.D. 
A—23.05 
49.4 39.5 75 190 32 205 64 45 
29.6 29.0 92.5 1.5 196 68 23.5 97.5 


'Tom. L. 


af 


I 
40.1 
29.2 
46.8 
28.0 
41.5 
30.5 


36.89 34.70 15.45 


gh 2" 


N:o 9. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. — 11 


Il IV 
47.5 7.4 
27.8 25.8 
25.4 20.0 
36.8 7.4 
26.1 24.7 
45.8 35.9 


918 918 


VI 
17.5 
2.9 
1.5 
18.3 
1.3 
17.5 
9.89 


918 


VII 
2.0 
18.0 
18.8 
0.5 
17.8 
1.8 


VIII 
23.5 
2.4 
6.4 
24.6 
7.4 


24.0 


X 
8.8 
26.6 
10.8 
27.5 
975 


25.6 


XII 
37.8 
31.6 
40.1 
26.8 
46.5 
27.0 


10.24 14.83 17.30 34.85 


9 18 


349 


9/17 
A= 


Hell. d. Grundes 1.99 B—4.5. 


II 
45.2 
45.7 
54.1 
44.0 
41.8 
42.8 
56.5 
A^. 5 


46.83 45.78 32.58 


10 12 


III 
42.6 
44.4 
48.5 
43.9 


9 
22.90 


A —22.8 

33.3 31.3 
35.4 324 
29.5 36.4 
30.9 28.6 


32.20 31.95 18.42 


Il 


IV 


VI 


NID AVR x XII 


N:o 10. 1917 Mai 4, 11" 22" m.Z.D. 


16.8 
18.4 
19.8 
18.7 


9.0 
6.2 
6.9 
7.2 


7.32 


7.4 8.0 16.6 35.0 
10.0 2580. 1974 29:4 
6.7 9,5% 48.4 29.5 
8.9 122472333 
8:20 — 8:22. 19:12 31.72 


11544" 4445 1119 1121 1124 1125 1127 1130 


N:o 11. 1917 Mai 2, 10" 12.5" m.Z.D. 


III 
42.0 
42.2 
41.2 
54.5 
45.0 
53.5 
45.8 
42.0 


1012 


IV 


32.9 
39.1 
30.0 
30.9 
34.5 
31.3 
29.7 
32.2 


VI 
12.2 
11.1 
13.5 
11.1 
10.6 
12.2 
11.8 
14.8 


1013 1012 
Helligk. des Grundes 2?.51. B—3. 


VII 
9.0 
10.6 
9.6 
13.8 
14.7 
10.2 
13.4 
9 


10 13 


VIII 
13.4 
10.2 
11.7 
10.5 
10.5 
13.5 
10.0 
12.4 


10 13 


X 
28.6 
34.1 
30.7 
29.6 
38.3 
32.4 
32.6 
32.0 


10 12 


N:o 13. 1917 Mai 31, 9" 34.5" m.Z.D. 


IV 


26.3 
30.0 
29.6 
25.6 


V 
13.5 
16.3 
13.3 
15.6 


VI 


14.1 
10.8 
12.4 
10.5 


44,72 44.85 27.88 1468 11.95 


A—22 
I 
43.1 
53.5 
45.1 
43.9 
42.9 
43.6 
44.2 
54.4 
46.34 
10^ 42" 

A=23.60 

I I 

40.5 — 44.0 

145 47.4 

39.0 42.0 

49.9 45.5 

48.5 

43.2 

46.8 

41.8 

43.43 


gh 34.5" 9 25 


927 


929 


9 32 


9 33 


VII 


10.5 
12.2 

9.3 
10.8 


10.70 


935 


VII 
12.4 
10.0 
14.5 
11.2 


IX 
14.8 
16.7 
14.4 
15.5 


412.16 10,93 11.53 32.29 46.63 


A—22.8 
B4. 

XI XII 
44.5 43.7 
54.5 46.4 
45.4 56.6 
45.4 51.0 
53.8 46.6 
44.2 — 45.2 
42.4 45.6 
A34 517 

48.23 

1013 — 1013 

X XI XII 
33.6 38.6 42.8 
30.4 41.8 42.8 
28.0 45.8 50.0 
30.3 45.1 45.8 


12.02 15.35 30.58 42.82 45.35 


935 


9 36 


Helligk. des Grundes 3°.60 B—3. 


9 39 


940 941 
A=23.65 


.E. SCHOENBERG. 


N:o 22 1917. Oktb. 26, 9" 58" m.Z.D. 


A— 38.05 

I IT III IV V VI NIDICBNGDTIE IX X XI XII 
36.1 30.9 33.1 19:0 tU 7.4 7:939 0075 14.9 298072 28:0 26.5 
32.0 354 3919921978 9.6 9.8 7:959 41:59 49!0 Du 054/65 30.0 
32.8 SE) 65 02278 10.9 9.3 8.8 10.6 15.4 20.0 31.6 33.2 
28.5 33.6 1.5 21.5 8.5 8.9 8.0 14.0 155 25.8 28.8 BA 
29:4 30.0 8.4 17.9 7:7 8.6 7.8 11.1 14.1 1 30.: 30.2 


3 
31.4 31.2 
32.1 33.2 


t2 NM 
o 
co 


16.4 8.1 8.3 0541-2 13.0 
18.6 9.5 9.9 7.4 13.1 13.5 


R2 NN NN CD NH 
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c 


2 8.5 23.6 
EXTR DUC DIEGO Alc) al) SE ule A NE RO EDS 
31.39 32.24 29.93. 19.24 9.35 8.68 8.09 12.18 44.41 24.15 30.78 31.05 
ghggu wa OS — "E xs Ss. 9859 -— ga GE 
A—37.80 A—37.9 
Be 


N:o 24. 1917 Oktb. 27, 10° 11" m.Z.D. 
A=36.95 E 


36.0 43.5 ^0.7 23.9 14.4 12.0 12.8 16.6 245.2. 31.7 44.0 41.5 
37.7 Aloe) 390 ea Alessi] 12.5 12.1 18.8 25.6 34.8 42.0 40.0 
So SE see AN 14.8 12.2 12:5 16.87 26.07 30.6 136.2 738% 
ens SEXE TR le) 12.7 10.5 17.2. 24.0 38.0 WI 538.8 
39.8 40.9 34.6 2541 12.9 12:2 11.1 18.4 . 19:5. . 339.6 39.4 (45:0 
37.8 41.4 080 20:80 4370 12:6 54/3: TEE 33 400 
3.0, ra a E250 LUPA ME 13 0908256: 017581! 2720101 3702/08786: 2 0170 
&5:91 795052. SDR 27509211610 12.4 11:8. — 16:9) 22:61 37:00098253638: 38:0 


39.05 41.23 37.60 26.90 14.14 12.55 12.13 17.44 122.71 35.14 39.08 40.28 


10/41" 4041 1011 1010 41010 1011 109 108 1012 = = 1011 


A — 36.90 A=36.90 
B=4 


N:o 27. 1917. Oktb. 31, 8! 40" m.Z D 

A=36.75 

33.6 37.0 as 023% — 23:4 80.6.5300 ae Kun om Lu 
394 3555. 43.9. 565° 92544 95:4 986 90 49:6]. 45:6. 506 KA 
SARA uu ARR e MO SD CSS D ey Aa DITES 
34:0 38.8 "43/0 '35.9 90% onto ap Mois m at an 49/0 
352 45.5. 45:0. 1 88:0 1 24.97 ^ 94.1. 26:2. BA INA 56.2 A2: ^ 41515 
38.6 44.8 48.5 914 96.0 248. 306 324 46.66 53.8 482 48:8 
37.000 44.82 TA6:0, 085.4 Mash 98.9. 22:5. 372 190 505 506 ASK 
38.4. 180.0 ER PPT A CT EP ET CIN AS ON 5 


35.15 39.99 45.54 35.18 24.91 24.63 29.31 35.05 41.58 48.81 43.85 45.70 


8'40" 840 840 840 841 839 840 841; 840 RAO 840 840 


A— 36.4 A=36.6 
B=4 


Tom. L. 


su 


— 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photomelr. Messungen. 18 
N:o 30. 1917 Nov. 26, 7" 9" m.Z.D. 
iA — 36.5 
I Il III IV V VI MDIISSSVIELLU 1% X XI XII 
50.4 98.0 52.2 36.4 27.4 19.4 17.4 19.8 27.9 37.1 44.2 43.5 
47.6 45.5 47.4 38.2 26.5 20.4 17.0 20.5 29.9 35.3 46.8 42.2 
46.4 48.5 40.0 35.6 24.2 19.5 18.0 19.1 21.6 39.8 46.5 48.5 
47.6 49.9 48.0 35.4 9:2 21.0 18.6 4959 22 38.5 43.2 44.9 
49.5 54.5 47.2 45.5 23.1 18.6 14.2 20,0 22.5 31.2 93.2 43.6 
47.3 44.6 47.4 48.5 26.1 20.0 14.0 20.6 26.1 36.8 47.2 46.4 
43.2 59.0 50.4 34.0 25.2 19.5 14.4 21.8 23 38.2 42.1 40.8 
23.4 52.1 53.0 35.5 29.8 17.2 18.4 22.1 22:2 38.8 39.0 48.8 
48.48 50.95 48.20 38.39 25.94 19.45 16.50 20.48 24.53 36.96 45.28 44.84 
Jg 8 tl 7 JAMIE DE TI Re 710 7101 710 
A=36.2 A=36.5 
B=4. 
WA 
/ 9 QS 
h 43m ; REN, = 
N:o 32. 1917 Nov. 30, 10 13°.5 m.Z.D. T » nr 
A— 37.9 | A Ha olc 
33.4 32.0 36.5 33.6 25.0 15.6 20.2 29.8 37.5 38.2 40.0 — 41.9 NS rd y & 
30.2 38.7 37.5 32.3 25.0 16.5 19.0 31.1 39.9 34.0. 37.8 40.9 & 2370 / 
30.5 376 41.8 315 224 162 23.2. 315 379 362 47.1 380 ŒTE : 
CUT SEEN CES PDO DOTE | 38.9: 39.6 45.0 
31.2 39.5, 36.0) 282 724118:07. 48702 722.60 33:319 8 33.3, SO 23038 AND 
91:55 36:1 5074 2.29.73420:.02. 46:02 227.28 29:01 NE 30.7 21.05 544219 NAP 5 
30:85 39.02 736.6 °732.6,32.20:072 18:02 2 25:58 KJ 0 35:8. 25:09 724177 80:0 
35.0 40.0 37.6 28.5 21.5 16.5 22.4 30.5 40.0 38.0 35.7 41.4 
31.64 37.18 38.09 31.60 21.81 16.43 22.61 31.06 37.05 38.85 40.32 41.78 
10945" 1013 1013 1013 1043 = 1011 1042 1012 10:12: 10411 1012 
A= 37.9 A=37.9 
B=4. 
N:o 52. 1918 Febr. 12" 21" m.Z.D. 
A=37.8 


45,8.-37 1.452 43.9, 41.2 47.8. 41.5. 40.9 42.8 41.8 50.0 48.0 37:0 
43.8 37.6 41.4 43.2 41.4 44.5 43.2 38.4 45.4 42.0 47.8 40.8 35.7 
46.8 39.2 40.8 44.4 40.5 43.0 38.9 39.5 40.3 40.8 40.5 40.5 42.0 
43.8 36.7 45.4 40.7 39.1 38.4 441 39.5 43.6 42.4 40.8 45.8 41.8 

44.9 42.2 

43.2. 43.8 

41.6 37.8 

49.4 39.0 


42.76 37.65 42.70 43.05 40.55 43.42 41.92 39.58 43.02 41.75 44.78 43.78 39.12 


12^ 39" 4943 1217 1225 12 22 1223 1222 1221 1220 1218 1217 1215 12 14 


A=37.8 
B=4. 


N:o 9. 


I II III XI Xu 


N:038. 1918. Jan. 19. 119146" 


m.Z.D. 
A=37.6 
21.9 18.8 12.7 
20.6 20.3 18.7 
20.1 19.3 17.6 
20.3 17.4 18.8 
20.73 18.88 18.20 
1144" 41 16 1149 

A=37.6 


N:o 39. 1918 Jan. 24, 6h44" 
A=37.8 

02:708 207275596:5, 72947 2309 
28:5 132.3 31.4 26.0 31.3 
32:528897:019267/:0828:0 IT 
945.01? 33.3 282 38478. 39.7 
33.1 27.90 7294. '97*9. 36:6 
94,8. 99.9 112810. 72595. 91-4 
30.4 37:5 904 3016 26.9 
26.9 32.9 9445. 73615. 3157 
91:410932/08229728:229*36 29111 


644" 645 "643 ^ -— 644 

A=37.75 

B=3.5. Alles unverändert seit 
N:o 38 


N:o 40. 1918. Febr. 15. 64g" 


m.Z.D. 
Axel zs 


a 2817752041519 
INKA ST 61011670 
LOS OT 0 
VMS AT SMS 500016 
LOST TS TS el 
TOME le ORE GS 
LOI ANA EM O5 5 
12:608915:9122415:0 9:49:75 2075 
16.94 16.39-15.20 16:30 17.19 
648" 648^ 647 618 618 
A=37.40 A=37.6 
B=4. Alles unverändert seit 
N:o 39. Leicht. Dunst. 


E.!SCHOENBERIG. 


I II AST XII 


N:o 43. 1918. Febr. 18- 7540" 


m.Z.D. 
A —38.0 
23.3 23.6 20.2. 23.0 234 
23.3 95.8 20.4 22.7 24.7 
24.2 23.9 23.8 20.9 23.5 
25.6 24.9 21.8 21.2 22.9 
22.6 24.9 24.6 22.5 25.6 
21.7 24.3 25.8 95.2 | 254 
24.9 921.7. 25.4 234 24. 
26.9 25.8 2923.4 22.8 23.8 
24.48 24.28 23.26 22.71 23.73 
el) ze) 97/9 


A=37.9 
B=5. Alles unver. seit N:o 40. 


N:o 45. 1918 Febr. 19. 7"45" 


m.Z.D. 
A—38.1 
22.2 23.4 22.4 
24.8. 25.4 22.1 
26.1 26.5 24.1 
26.4 26.8 24.8 
24.88 25.52 23.35 
7/13" 744 718 

37.9 
B=4. Alles unverändert seit 


N:o 43. 


N:o 46. 1918. Febr. 46. 10/28" 


M.Z.D 
A=38.0 
24.0 24.4 24.2 22.8 22.5 
22.2. 23.0 22.9 24:5 24.0 
29-10. 26.400224 22428 1284 
29141 25:8: 726 12/25 2218 
20.6 24.7 25.6 23.3 20.6 


Du 2 62 SÄG FDA PE 
22.410 24.6, 22229 524.97 25:3 
DHL SED 3 II 2 
23.49 24.78 24.08 23.54 23.24 
10 282 .— = 2910198 
A=38.0 A=38.0 
B=4, Leichter Nebel. 


I IT HI XI XII 


N:o 47. 1918. Febr. 20 7"49" 


m.Z.D. 
A=38.2 
20.92 23:2, 722.62 22229 LOS 
21-4 291.8 02297 790352 102375 
244262 226297 121682 222-0 782336 
24.40 20.0 29.8. 5494992379 
22:8. 020 LUS ED NOTE 
23.4.0264) 22:62 523410952325 
25.2 .253 90 DONNE 
26:1—-25:5—24:4— 25.9. 24.2 


23.05 25.64 23.40 23.39 23.28 
SATA = 5 A 75,9" 
A—38.1 

B-—^, Leichter Schleier. 


N:o 48. 1918. Febr. 21. 745" 


m.Z.D. 
A—38.2 


20.5 23.97 24:2. 20.072232 
22.6 23.0 3249 234 72258 
20:2. 25:37 26.4 19225282095 
22.5 204 25:6. DER 
26:9. 25.2 25:8 29:9 AO 
26.3 22.8 293.0 28.0.2262 
24.6 25.89. 28.2 20.022329 
28:4 NET 24:2: 28:0 
23.83 24.88 25.56 24.09 25.39 
FES" EE) ps — 
A—38.0 A 2:88.1 
B=3. Leichter Nebel. 


N:o 49. 1918. Febr. 22. 7h43" 
m.Z.D. 


21.1 127717" 29:2. 2171 092222 
22717 7277510722720 722175 0882/02 


23.4 25.9 24.8 23.0 23.0 
22.2 022.8 21.9 23:9. 26% 
26.2 26.2 26.1 23.6 23.8 
25.7 25.698 263 121910 2775 


23:06 20:85 2001 20:08 TAND 
220 25:4. 23:6 
23.99 25.63 24.54 22.65 24.77 
gio e RU han 

A=38.05 
B=3. Nebel veränderl. Dichte. 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. 15 


I IT III XI XII 


N:o 50. 1918. Febr. 25. 120" 


m.Z.D. 
A—37.8 


31462533:02. 33:9, 297 38.0 
Doris ne 37:81 OL 32.7 
A2 OS 0 0 TE OS C0 306% 
30:95032:9 172977. 33.8 39:1 
36.97 30.8. 30.7. 30.7 34:5 
ale el 587297 37:1 
Anl 3747029: 28.8 347.0 


27.6.— 33.4 28.4 33.4 33.8 
32.34 32.20 31.75 31.39 35.20 
42"0" ELM DET NR 12^o" 


A=37.70 N 392719 
B=4. Dieselbe Einstellung des 
Instruments wie bei N:o 45. 


N:o 153. 1918. März. 1025" 


m.Z.D. 
A=37.9 


VEN 42.52. 39:50 36.57 42:4 

39.1 42.3 42.9 36.8 43.4 

39.2. 44.4 39.9 36.8 45.5 
1 


h1.4 42.2 40.8 37.2 41.8 
39.4 43.3 36.3 36.4 40.5 
39.21 436. 421 405 412 
434 44.4 35.8. 39.6 42.4 


42.5 40.5 39.0 38.9 42.0 
40.70 42.90 39.54 37.84 42.40 
10/24" 10 26 1026 1025 1025. 
4A —37.8 


B=4. Leichter Dunst. 


N:o 54. 1918. März 25. 11'"29" 


m.Z.D. 
44 —397.8 
48.3 52.2 41.1 IA 51.1 
80.97 53.4 1.54.8". 44.9° 51.4 
49.3 52.8 40.4 45.6 494 
52:40 56:2. 46.5 47.9. 54:0 
52:6 52.0 52.4 54.9 50:1 
92:008949:1. 792.67 52-2. «5195 
96.0 904° 54.9: 32.9 4917 
56:015 46/8. —54.0-...50:2— 597. 


92.23 50.33 47.29 48.66 51.11 
11529" RS m NS 1199" 
07 A— du 
B—3.5. Leicht dunstig. 

9 


ww. aw oa oy 


N:o 42 197. Mai 2. 10h38" 


m.Z.D. 
A—22.45 


EI EBEN ICH? 
94.9 46.07 38.44 26.07 19.0 
35.8 97.07 49.07 24.8 19.4 
35.4 36.9 38.6 30.4 18.4 
36.4 441.7° 34.0- 26.9 23.0 
31.07 3E:X" 306.54" 28:6" 16:6 
39.4 40:7" 47:4 24:51 1873 
35.5 .45:6- 36.4 23:6 178 
39.31 40.06 39.84 26.31 18.55 
10"38".5 10.38 10.37 10.38 
A=22.45 
Helligk d. Grundes 2.51 


N:o 44. 4917. Juli 8. 413'"39" 


m.Z.D. 
NEP JP 


29:2 MILE 20: 
3082975225235; 
26.6 30.4 2 
a rl re er 9 
32.130.727 24:8. 30.2 2970 

(o DAMES SL 200 
SD TNT ON 9172 30:6 
0201062558 34,5. 29.9 
30.26 30.32 26.31 31.60 30.95 
dg — = — 04889 
2AC— 2772415 

Helligk. d. Grundes 19.25 

B=3. Dunst. 


6 31.0. 29:0 
229 T 2070 
8 32.0 31.3 


m fJ 


In 


N:o 15. 1917. Juli 8. 149 
A=27.0 

31.1 30.5 28.4 31.0 Bist) 
28:51: 31.00 25.34 329: 28:6 
31:80 30:89. 95:5) 32.85 29% 
28.8 32.5 23.5 34.4 29.6 
32.4 30% 234 
33.8. 30.2 23.2) 35.2 28.8 
29.2 29.3 922.9 32 


331264) 29.01 32.1; 29.4 


31.03 29.98 24.11 32.64 30.35 
149m EA fet Les 142 
A=27,0 

B=4, Leichter Nebel. 


M R, R, Lo; Ir 
N:o 16. 1917. Juli 9. 43/55" 
A —22.9 m.Z.D. 
48.56 37.59 329.9! 55.27 50.5 
47.0 41.8 35.6 43.8 48.8 
40.9. 49.6. 35.91 49.5 42.8 
49:30 34207 38.9] 50.55 48.5 
45.6 41.4. 35.8 46.8 48.7 
42.4 33.4 30.8 48.8 44.9 
0.00 39.2, 34,41 53.57 40.5 
45,96 44.15. 35/40" 49.86 451 
44.39 38.93 34.84 49.49 46.19 
13/55 4354 1355 1255 13 56 

A=22.9 
Helligk. d. Grundes 2.98 
B=3. Schleier. 


N:o 17. 1917. Sept. 6. 13/47" 


m.Z.D. 
A=37.2 


28:71 "341327 2 3ER 328 
30m 28:5! 22.0. 39/8" 35. 
30.48 29.5! 20:2. 37.0: 39.7 
37.4! 20:5! 22.0: 32/5. 30.0 
30:01 2405: 33.1 343 
30.8. 22.1 35.8 36.8 
30:5! 2720: 34:0. 30.4 
34.08 22.00 82.57 34.0 
31.65 29.88 22.63 33.74 34.08 
13^4^/43 94 13 20 13 22013 21 
A—37.2 A—36.90 
Amperm. unruhig. B-—4. 


N:o 18. 1917. Oktob. 1. 9/55" 


m.Z.D. 
JANE 
94:2. 75776127 38.0, 5952.1 4500 
51.4 44.7 39 49.3 48.3 


I 4 
4.0 48.8 48.5 46.3 42.0 
5.4 42.0 "444 55.0 39.4 
63.8 47.8 47.9 49.0 42.0 
48.0 7.59 49.1 45.6 50.0 

5:2,— 50-2-—46.4 


> 
CONS 2 OT OT IUT 


54.54 4815 47.26 49.94 44.44 
gh34m i EN A. 9h55 
NE gum A=3T.4 


MJ Bi UR E 1 


N:0:20. 1917. Oktob.5. 10"34" 
A=36.4 
39.3 30.5 1941 35.5 33.5 
37.3. 28.4. 19.5 36.5. 37.0 
40.8. 27.5 19.6 37.0 39.5 
42:0). 31.30 19.58 38.06 40.3 
38.0 27.5. 22.0 40.5 35.9 
41.3) 97.5» 18.20 35-60 37.6 
31.4. 18.8. 39.8. 35.6 
31.8. 18.8 328 37.8 


40.02 29.49 19.19 36.94 37.13 
10534" BA > > 10^34" 


A=36.7 A 30:7 
PES: 


N:o 23. 1917. Oktob 26. 10/43" 


m.Z.D. 
A=37.8 


29.0, 224120722907 47:6 92:5 
25:05 24.40 227,05 19:55 54143 
28.3: 23.0 28.6. 15.5 14.6 
26:0. 24.5. 26:4. 47:8c 44.8 
26.60 22.4. 25:70 19.1 12.2 
26:01 226.07 29:92 USA 12.0 
28.5. 25.9 25.7. 18.8. 15.0 
9.7 9.7 


25.5. 25, 17.0 14.6 


26.44 24.13 27.23 17.98 13.28 
aio ote e ea QUES 
A=37.8 A=37.8 


B=A 


N:o 25. 1917. Oktob. 27. 10/53" 


m.Z.D. 
A=36.85 
95999371 5012 20, 24515 
SDL 43541, 23919 9279, 1467 


38.8, 30.6, 14075 224027. 241755 
37.8 40.3 37.5 25.4 17.5 
36.1 -931.5. 39.8 26.3 | 18.8 
32.0 1365, #376 1 27:4. 719.4 
38.0, 30.8 38.5, 25.4 49.8 
34.5 36.6. 38.6 27.4 18.4 
36.16 36.06 39.08 26.44 17.88 


10553" pam ars == 10^53" 
A=36.8 A=36.8 
Helligk. d. Grundes 2.98. 
BA 


E. SCHOENBERG. 


Mi EG Me Al TE 
N:o 28. 1917. Oktob. 31. 9"39" 


m.Z.D. 
A=36.3 
4525.4 75512. A976. 1435. 19726. 
45.2 47.6 38.8 46.4 37.0 
48.2 45.4 38.4 46.4 40.4 


46.8 43.5 40.4 43.4 40.0 
48.0. 47.4 36.2 43.2 391 
48.4 4h.5 38.1 35.5 38.3 
45.5, 47.4 42.0 39.5 41.2 
46.0. 41.2. 42.4 39.5 41.4 


46.70 45.38 39.86 42.30 39.35 

Quopnfolno MEN —1 "er an 

A —36.1 A=36.2 
D 


N:o 31. 1917. Nov. 30. 947" 


41.20 41.53 36.00 37.69 37.86 
gh47m LA Er 12e 9 4 


A=36.4 À — 36.4 
B=4. 


N:0 34.1917 Dezember 4. 12/42" 
m.Z.D. 


A=37.85 


el EA 11:899 18/725 9210 
17.416.980 1975992155 0 
19285 45:5" 49:1 "206 22:8 


16.8 15.5 12.0 294.8. 22.0 
18.9 15.8 11.6 22.4 19.5 
20.8 14.7 413.8 20.6 19.8 
23.5 15.9 42.4 20.4 20.4 
20.2 16:4 414.4 19.8 22.8 
19.26 15.34 12.64 20.74 20.96 
LOU — MM icis A] 
A=37.7 


M. (Bu MES MAINS 


N:o 41 1918. Febr. 15. 6h55" 


1-7. 
A=38.1 


34.8 31.0 53.3 30.6 17.0 
40.41 37.2 97.3 23.4 455 
33.2. 47.4 44.7 20.5 13.8 
29:05 201, 015517 0 19755 MIE 
31:0. 504. 47.5. 244 A166 
46.4 37.1 33.0 25.0 20.8 
330. 295 41.4 30.5 42.9 
26:91 839. 158:9 DEAN MER 
34.03 38.26 46.39 95.34 15.79 
A=38.0 

HU a — er I 


DB 


N:o 42 1918. Febr 15. 7158" 


m.Z.D. 
A—38.2 


30.4 34.1 48.8 22.4 16.6 
35.5. 45.5 32.6 21.9. 13.0 
31.6 38.4 42.9. 23.8. 10.8 
29.6 95:5 «55:5: 30.58 MD 
424 405 42.8 195) 122 
325. 29.5; 35.51 28.6) 45:8 
26.9) 134587 39:57 213053) EE 
30.0 47.& 56.4 24.4 42.0 
32.36 40.55 44.12 24.58 13.04 
A— 38.05 

phobie nn 758 


N:o 44. 1918. Febr. 18. 7/28" 


m.Z.D. 
A=37.9 


29.6 27.3 25.0 145.4 10.0 
20.7. 25.7, 19917. 49.5, 94128 
21.6 25.1 26.0 14.8 43.4 
22.0 24.7 26.6 14.8 11.5 
24.2 25.6 30.0 446 44.8 
24.5 28.4 26.9 45.4 44.9 
24.4 24.6 28.1 15.7 12.9 
24.7 94.4 29^.1 18.4 10.5 
21.99 25.73 27.05 45.79 11.63 
A=37.9 

al Lol 728 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund pholometr. Messungen. 17 


MIR RG et; MS Fo ARE qe 
N:o 55. 1918. Mai 43. 9"55" N:o 56. 1918. Mai 14. 10/25" 

m.Z.D. m.Z.D. 
"A-9719 A=37.8 
345 462 495 24.5 15.2 35.0 48.0 51.7 25.5 15.5 
32.5, 40:80 750.307 27:9 6172 35.20 40:5. 04512 112615. 018.5 
35.3 45.3 45.8 24.3 18.1 40.5 425 49.2 2921.4 45.5 
35.9 46.8 40.0 23.5 16.9 41.5 A41.& 51.8 24.4 144 
36.4 36.5. 21:6 21:6 71475 29:598539:0 101 2746: 321.8: 419.0) 
300 36.5 47.5 21.6 415.9 298 42.0 44.0 22.5 14.2 
39.4 38.5 45.6 18.6 17.9 30.4 37.6 42.4 96.4 16.6 
34.6 42.4 41.4 222 16.5 34.5 36.2 58.5 24.8 15.4 
33.58 41.63 45.15 23.03 16.53 34.43 40.70 48.30 24.16 15.64 
er en ee Of 10220020 240,25 
A=37.3 A=37.2 A=37.8 

B=4. B—4. 


Im Folgenden sind die relativen Helligkeiten in Gróssenklassen in Bezug auf die Punkte TT 
resp. 1 zusammengestellt. Die weiterhin nicht verwendeten Beobachtungen auf den maria oder 
hellen Strahlen sind eingeklammert. In den Bemerkungen ist angegeben, auf welehes Gebilde 
der betreffende Punkt fällt. 


(9 


N:o 9. 


E. SCHOENBERG. 


18 


Die relativen Helligkeiten am Rande des Mondes. 


18 u n k t e EN Fa 
N:o | Gr. m. Z. = BE 158 Bemerkungen 
np u nv Py | VE | vu | VII | 163 KB LOEO | 28 5 
| | i 
NE Mes | 
1915 | | | | | 
1 Juni 1. 518| 0.07) — 10.74 — | 2.04 2:72) 2.48 | — 0.85| -— |(0.46)| 8—8 |3 |! Mare Tranqu. * Mare Cris. 
Juni 8. 508| Tom) © | 1.184 — | (1.91) (1.97) (2.87)? — | 1.80| —  |(0.42))12—12|3 |: Strahlen d. Tycho; ? M. ger. 
3 Juni 4, 603 | 0.06) — |1.20) — | (1.88)| 2.26 | (8:07)| — 1.90 | —  |(0.60) 8-8 |4 Strahlen d. Tycho; ? M. Imbr. 
“Juni 7.510) 0.25| — |1.29! — | (2.04)! (2.85)? (2.88Ÿ) — | 1.82| — | 0.28 | 4—4 |8 |? M. Hum; >? Oc. Proc. ®M.1. 
5 Juni 8. 509| 0.04| — 1072 = OL ae Er) Zossen | 4-4 13 |10e. Proc; 
6} Juni 18. 383 0.03 — |1.84| — | (2.61) (8.14Ÿ) —- (Ar -— m t | 4—4 |4 |1Strahl.d. Tycho; ? M. Tranqu. 
Tr Sept. 29. 349 SOS EE 1.01, — | 1.85 |(2.26)) CRT) NT NT ded. HM |! M. Tranqu. ? M. Ser. 
1916 | | | | 
8| Apr. 7. 278] 0.05 — |1:67%) — |(1.81)/ (2.33) (2.28%) — 1.52 — 0.08| 8—8 4 !Str.d. Tycho; ?M. Tranqu. 
9| Apr. 8.813| 0.11| .— |1.64| — | (1.87)!| (2.73)? (2.76% — 1.82| — | 0.11 8—8 |4.5|'Str.d. Tycho: * M. Tranqu. 
1917 | | | | | 8 M. Ser. 
10 | Mai 1.899, 0.083) — |106| — | 2.86 (2.86) (8.11? — | 1.14| — | 0.02 | 4—4 |4 |!Oc. Proc. ? M. Imbr. 
11| Mai 2. 351 —0.02 9.02 0:64. | KE (2.96) (2.84)? — 0.66 —0.01 |—0.07 8—8 E SN um SOC Proc MT 
13 Mai 31. 325 —0.07 | 0.02 |0.66/ 2.13 | (2.69)! (3.11)? (2.70) 2.23 0.85 -—0.06 [70.08 | 8—4 | —|'! M. Hum. ? Oc. Proc. ? M. I. 
22 Oktob. 26. 341 —0.05 | 0.09 1.00 2.58 2.69 | 2.84 | 1.96 |1.60| 0.82| 0.04! 0.02 8—8 |4 
24|Oktob. 27. 850 —010 | 0.07 0.73 2.10 | 2.37 | 2.45 | 1.64 1.11, 0.20 0.00 —0.06 8—8 |4 
27| Oktob. 31. 287 | 0.16 —0.07 |0.40 | 1.09| 1.11 | 0.76 | 0.41 |0.09 —0.19 —0.01 —0.08 8—8 |4 | Hellikgeit des Referenzpunkt. 
30|Nov. 26. 224 —0.09| 0.00 |0.40 |1.16| 1.76 | 2.09 | 1.64 |1.37| 0.47| 010! 0.12 8—& |4 um 0.40 m. vergrössert. 
32 Nov. 30. 302| 0.09 0.05 |0.40 | 1.15 | 1.74 | 1.08 | 0.44 |0.10| 0.01 --0.06 —0.12| 8—8 4 | Hellikgeit des Referenzpunkt. 
| um 0.40 m. vergrössert. 
1915 | 
36 Mai 20. 397| 0.00 | — 1.76) — |=== (2.50) — | = | 166  — |=018| 8e |4 |! Mare Foec. 
37| Mai 21. 861|—0.08| — |1.74| — — (2.66) — | = | 1.58| — |—0.06| 8—8 |8 |» » oo» 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. 19 


Die relativen Helligkeiten am Mondrande. 


(Frauenhoferscher Refraktor). 


> 
| LEN | 
N:o Gr. m. Z I IH XI XII 2E | Bemerkungen 
ES 
1918 | 
38 | Jan. 19. 395| 0.19 = — 07440") 


39 | Jan. 24. 206| 0.18 | 0.02 | 0.14 |--0.09 | 8—8| 3.5 
40 | Febr. 15. 188| 0.08 | (0.03)| 0.23 | 0.07 |8—8 4  |'Heller Strahl. 
48 Febr. 18. 224| 0.13 | 0.04 | 0.08 |—0.01 |8—8| 5 
48 | Febr. 19. 295| 0.18 |  —L^ | "m [239105 | 4——4| 4 
46 | Febr. 19. 362| 0.00 | 0.02 | —0.05 |—0.11 | 8—8 
47 | Febr. 20. 251 —0.03 | —0.02 | —0.03 | 0.22 | 8—8 
48 | Febr. 21. 249| —0.02 | —0.13 | —0.14 | —0.09 | 8—8| 


4 
4 
3 
49 | Febr. 22. 206| 0.12 | —0.07 |—0.05 |—0.13 |8—8| 2 
4 
4 
4 


60 | Febr. 25. 303| 0.06 | —0.06 0.04 0.01 8 

b3 | März. 23. 360| 0.13 | —0.07 0.05 | —0.09 | 8—8 
| 

54 | März. 25. 404| 0.11 0.03 0.16 0.06 | 8 


Die relativen Helligkeiten auf der Scheibe. 


Punkte 3 EE 
N:o Gr. m. Z - ZE 186 Bemerkungen 
| 2 4 3 5 &e|"g 
| 1917 | 
! 19 | Mai 2. 369 | —0.23 | —0.22 |(4-0.58)!(--1.31)| 8—8 3 |!u.? Ocean. Procell. 
14 | Juli 8. 495| —0.09 | —0.04 | 0.00 | 40.28 |8—8| 4 
15 | Juli 8. 510| +0.04 | —0.09 | 0.07 | 40.51 IS =S] 4 
16 | Juli 9.506! —0.18 | —0.07 | +0.23 | +0.44 |8—8 3 | 
17 | Sept. 6. 479 —0.06 | 0.08 | +0.17 | +0.77 |4—8 4 | Amperm. unruh. Wolken. 
18 | Oktob. 1. 339 (+0.14)'(+0.33)| +0.19 | 40.22 |8—8 4 tu," Ocean. Procell. 
23 | Oktob. 26. 372| +0.18 | —0.06 (4-0.80)!( +1.44)?| 8—8| 4 |1y. ? Ocean. Procell. 
25 | Oktob. 27. 379| +0.01 | —0.15 (-F-0.62)!(-L-1.44)| 8—8 4 |! wu. ? Ocean. Procell. 
28 | Oktob. 31. 321 (+0.17) (+0.30)* +0.05 | +0.28 | 8—8 4 |!u.? Ocean. Procell. 
31 | Nov. 30. 312 (--0.16)!(--0.15)? +0.01 | +0.25 |8—8 4 |!u.? Ocean. Procell. 
34 | Dez. 4. 45b5| —0.15 |.—0.18 | 10.48 | 10.0 .8—8| 4 
| 1918 Frauenhoferscher Refraktor. 
41 | Febr. 15. 214| —0.22 | —0.56 | +0.58 | --1.56. /8—8| 3 | 
42 | Febr. 15. 258| —0.42 | —0.67 | +0.55 | +1.88 |8—8| 3 
44 | Febr. 18. 237 —0.32 | —0.42 | +0.69 | +1.34 |8—8 | 6 
55 | Mai 13. 339 —0.40 | —0.54 | +0.75 | +1.44 MM 4 
56 | Mai 14. 360| —0.31 B 40.70 | +1.61 |8—8 | 4 


20 E. SCHOENBERG. 


5. Die Winkel ; und : in den beobachteten Punkten. 


Die Einfalls- und die Reflexionswinkel in der beobachteten Punkten der Scheibe wurden in 
folgender Weise berechnet. Bezeichnet man durch v die Breite, durch o die Länge eines Punktes 
der Mondoberfläche in Bezug auf den Intensitätsäquator, letztere von der Mitte der Mondscheibe 
gerechnet, und weiter durch « und v die linearen Koordinaten auf der Scheibe, so ist 


u — COS v sin o 
2,— sin y. 
Hier sind u und v in Einheiten des Mondradius ausgedrückt; dann haben wir die bekannten Be- 
ziehungen 
COS € = COS W COS w 
COS à = cos W cos (e — «). 
Eliminiert man aus diesen Gleichungen w und w, so erhält man 
COS i = cos « | 1 — (u? + $2) + u sin e (1) 
coss—= ]/1— (u? + v) (2) 
als Ausdrücke für + und e in linearen Koordinaten. 
In diese Formeln haben wir für die Beobachtungen am Rande der Scheibe einzusetzen: 


für den Punkt . 
I w-1-—k; v=0; 

II und XII w—(1-— k) cos 45°; v = (1 — k) sin 45°; 

us Xe we (=) 0086756; VW = (17%) Sin TD; 

IV RE m mme v—1-—k; 


u 
vu IX  «-—cos48..6c00«—k; v—i; 
u. VIII u—cos 30° cosaæ—k; v—}; 
VII u—=cosa—k; DIOE 


wo k den in Einheiten des sichtbaren Mondradius ausgedrückten Radius der Spiegelóffnnug 
bedeutet, und mit Hilfe des aus den Ephemeriden entnommenen scheinbaren Mondradius be- 


^ 


rechnet wurde. 
Der Phasenwinkel des Mondes wurde nach den Formeln 


cos y = cos (A, — Am) cos B, 


A 

p — COS y 
cotg 75 sin y 
für die mittleren Beobachtungsmomente berechnet. Hier bedeuten A und R die geozentrischen 
Sonnen- und Mondabstünde. Bei der unsicheren Orientierung der Messungen war eine topo- 
zentrische Berechnung von Phasenwinkel und Durchmesser des Mondes überflüssig. Die folgende 
Tabelle enthält die für alle einzelnen Beobachtungen berechneten Winkel 7, « und «, sowie auch 


für die Randbeobachtungen den Mondhalbmesser. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. 21 


Die Randbeobachtungen am Kometensucher. 


N:o 


10 


11 


13 


22 


24 


27 


30 


32 


36 


37 


93.5 


127.5 


138.4 


— 60.8 


— 50.3 


== PE 


1 18.8 
E 15.6 
1 1.8 
& 75.4 
v 18.3 
E 15.4 
v 52.5 
€ 75.5 
i 63.4 
€ 75.4 
35.5 

E 75.4 
D 0.9 
t |. 73.6 

| 

ı | 46.9 
& 1588 
1 95.1 
€ 72.9 
i 12.8 
€ UBI 
i | 28.8 
€ TÍS BT 
15.6 

£ 73.8 
26.9 

E 74.5 
D 41.1 
€ 74.5 
1 53.8 
€ 74.3 
1 47.5 
E 74.3 
$51 48.5 
& 74.0 
| 60.8 
€ | 74.2 
1 49.1 


IB xn k te 


V 


16' 4" | 
0.0313 


1b 33 
0.0323 


15 20 
0.0328 


14 52 
0.0338 


14 47 


0.0340 


15 27 
0.0325 


14 48 
0.0405 


14 52 
0.0404. 


14 49 
0.0405 


14 53 
0.0403 


14 58 
0.0401 


15 19 
0.0396 


16 25 
0.0365 


16 27 


| 0.0365 


16 1 
0.0375 


16 6 
0.0373 


15 28 
0.0388 


15 53 


| 0.0378 


16 5 
0.0378 


22 E. SCHOENBERG. 
Randbeobachtungen am Frauenhoferschen Refraktor. 
Punkte | nent Punkte 
No| a hr men = INo| e re Rn: 5 
I - 1 k 
Xl XI | XIL | XII 
| eg | | | | 
38 85.2| 1 7.9 | 45.1 = 16 24 | 47| —57.4| ? | 19.2 | 45.1 | 64.0 15 16 
su 71.8 = = 0.0255 € | 76.6 S 0.0274 
39|— 30.8| à | 45.8 | 56.5 | 65.0 15 16 | 48| —46.0 | i | 30.5 | 48.9 | 64.5 T 537 
£i 6:6 = = 0.0274 | & | 76.5 = = 0 0277 
40 | —120 2| 4 | 48.2 | 61.1 | 77.9 16 18 | 49| --35.5 | 2 | 41:3 | 54.1 | 66.3 15 0 
E | 770 = = 0.0257 | € | 76.8 = = 0.0279 
43 | — 81.4 4.8 | 44.4 | 66.2 157491750 NE B V e| TANT TS ee 14 46 
76.6 == = 0.0273 | € | 76:3 = == 0.0283 
45 | — 69.4 4 7.2 | 43.5 — 15827 | 53, SIUE $ | 85.1 | 50.9 | 65.0 14 50 
£ | 76.6 = == 0.0271 || £ | 76.4 —= = 0.0282 
46 | — 47.8 à | 28.8 | 46.4 | 64.4 15 26 | 54| —19.51: à | 56.8 | 63.1 | 69.7 14 44 
€ | 76.6 = = 0.0271 & | 76.3 == = 0.0234 
Die Beobachtungen auf der Scheibe. 
Punkte Tin nil Puntk tre 
N:o [04 N:o & 
1 2 4 3 5 1 2 3 5 
12|—50.1, 10.3, 36.1 62.6 |—18.4.|—25.9 || 28 20.8|.18.9 | 10.3 | 28.5 47.6| 64.6 
39.8 140 2:0 63.5171 76:0 1.9 | 81.1 |-49.3 |—20.8 |-—43.9 
14| 56.6 | 44.8| 19.6 3.4 66.0 71.5 31 25.0| 22.8 6.6 | 24.6 50.4 | 66.9 
(0^9 31:18 53:93 209 2.7 | 31.6 | 49.6 |—2b.b |—41.9 
15| 56.9! 43.8| 19.0 3.1 66.1, 77.6 | 34 72.1| 51.8 | 29:8. 15.3 71.0 | 80.4 
1331 7 SM DS 1.0292, 2 (027 20.3 | 42.3 | 56.8 Liljan Gl 
16|. 70.3 | .50.9| 28.9 13.9 10.5 | - 80.1 | 41|—119.8| 71.4 | 58.8 | 50.2 81.3 | 85.8 
1333! 4:198 N56: — 10-2: 0978 48.5 | 61.0 | 69.6 38.5| 34.1 
17421740 | |5L7| 31.0 16.7 71.5 |.-80.7 || 49.| —119:8| 71.3: |.58.8 | 50.2 81.3| 85.8 
21121412 98) DER PA Ems (Is 48.5 | 61.0 | 69.6 38.5 | 34.5 
18) 14.5 —13.6 | 16.0 84.4 43.6 | 60.8 || 44 — 81.3, 56.2 | 35.9 | 22.4 73.4| 81.7 
0.9 | 30.5 | 48.9 |—289 —46.2 95.1 | 45.4 | 58.9 ST OB 
90| 65.9| 48.7| 25.5 | 10.4 69.1 79.3 || 55,—136.7| 76.9 | 68.0 | 61.7 84.0 | 86.1 
15.9 | 40-4 | 155.82, 13.2 SN 59.8 | 68.8 | 75.0 52.8, 49.7 
98|—46.6 | 37.6) 11.3 5.5 62.0 | 75.1|| 56|—124.2, 72.8 | 61.3 | 53.2 82.0| 86.1 
9.0| 35.3 | 52.1 |—15.4 |—28.4 51.4 | 63.0 | 71.0 42.9| 38.1 
| 
25 |-—33.0 28.8| 0.3 | 17.4 5b.3| 70.5 
4.6| 832.7 | 50.4 |—22.81 —87:b 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. 23 


4. Die Diskussion der beobachteten Lichtverteilung. 


In allen Punkten der Scheibe kann für die Dauer der Beobachtung der Phasenwinkel als 
konstant angesehen werden. Die vom Flächenelemente ds des Mondes ins Auge des Beobachters 
selangende Lichtmenge ist eine Funktion der veränderlichen 7, s, «. 


ds = TF (1, €, «) ds (3) 


wo / eine Konstante bedeutet. Wir haben die Aufgabe die Form der Funktion F aus den Be- 
obachtungen zu bestimmen und machen zunächst den Versuch sie in der Form F(1, €, «) = 
f(t, #) vw (e) darzustellen, und f(z,e) aus den relativen Helligkeiten auf der Mondscheibe em- 
pirisch zu bestimmen. Wegen der Konstanz von « für jede relative Messung müsste das möglich 
sein, wenn die obige Trennung der Funktionen zulässig ist. 

Zunächst wurde der Versuch gemacht auch die Funktion / (a, e) in ein Produkt aufzulösen 


f (9) — fi Q) - kl), (4) 


indem für jede der Funktionen f,(7) und f,(s) eine Fouriersche Reihe mit unbestimmten 
Koeffizienten angesetzt wurde. Die Beobachtungen am positiven Rande des Mondes, wo « 
konstant ist, können dazu dienen, die Koeffizienten der Funktion f, (4) zu bestimmen. Ich machte 


den Ansatz 
f (à) = À cos à + Beos34-- Ceos Bar... 


Nachdem die symmetrischen Punkte II und XII, IIT und XI, IV und X zu Mitteln vereinigt 
worden, wurden 44 Gleichungen für die relativen Helligkeiten angesetzt von der Form 


A, (cos 3 2 — m cos 3 à) + B, (cos 5 4 — mcos 5 à) = m cos à — cos 4 


wo m das beobachtete Helliekeitsverhältnis der Punkte des positiven Randes zur Helligkeit des 
Referenzpunktes I bedeutet. Die Auflósung dieser Gleichungen bei gleichem Gewicht führte 


zu dem Ausdrucke 
f; @) = cos à — 0.231 cos 3 4 + 0.141 cos 51 


40.013 40.017 6) 


Stellt man diese Gleichung graphisch dar, so erweist es sich, dass die entsprechende Kurve von 
0° bis 67.5 nahezu gradlinig paralell zur Abszissenaxe verläuft, um dann wiederum nahezu grad- 
linig steil bis 0 abzufailen. Sie kann deshalb innerhalb der Genauigkeit ihrer Koeffizienten durch 
zwel sich schneidende gerade Linien dargestellt werden. 


Von 0? bis 67?.5 von 67?.5 bis 90? 
f; (à) = 0.800; fi (2) = 0.800 — (1 — 67.5) - 0.359. (6) 


Die Darstellung der Beobachtungen ist für die Hórner der Sichel nicht ganz befriedigend, doch 
kann das auch zum Teil in der Unsicherheit der Bestimmung der Winkel + und s liegen, die hier 
Schnell veränderlich sind. Die Konstanz der Helligkeit des Mondrandes inner- 
halb ®/, des Halbkreises bei allen Phasenwinkeln ist jedenfalls sicher und schon während 
der Beobachtungen als Merkwürdigkeit aufgefallen. 


24 E. SCHOENBERG. 


Das erhaltene Ergebnis kônnte unter Umständen für Beobachter von praktischem Werte 
sein, findet aber hier keine weitere Verwendung, weil faktisch die Trennung der Funktion f(t, «) 
in ein Produkt f, (à) f. (+) für die ganze Oberfläche des Mondes nicht möglich ist. Es scheint mir 
aber ausserdem auch theoretisch interessant, indem es den Gedanken nahelegt, dass erst bei 67.5” 
die Wirkung des Schattenwurfs der Unebenheiten der Mondoberfläche am Mondrande wirksam 
wird. Denkt man sich die Schatten durch Erhebungen der Oberflüche hervorgerufen, etwa 
konischer Art, so müssten Schattenwirkungen und ein Ausfall der mittleren Helligkeit erst ein- 
treten bei Sonnenhóhen, die geringer sind, als die Erhebungswinkel der Erhöhungen, während bei 
grösseren Höhen im Gegenteil am positiven Mondrande die nach dem Lambertschen Gesetze zu 
erwartende Abnahme der Helligkeit dadurch aufgehoben wird, dass die Einfallswinkel des 
Sonnenlichts verkleinert werden. Der Bruch in der Helligkeitskurve wäre daher erklärlich, 
wenn der mittlere Erhebungswinkel der Unebenheiten der Mondoberfläche 23.5” betragen würde. 

Verwendet man nur die Beobachtungen auf der Scheibe und am negativen Rande dazu 
die Funktion f,(£) getrennt zu bestimmen, so erweist es sich unmöglich für sie einen einfachen 
Ausdruck zu finden, welcher der Gesamtheit der Beobachtungen genügen würde. Legt man da- 
gegen die Seeligersche Form des Reflexionsgesetzes mit einem unbestimmten Koeffizienten 


COS À COS E 
JE Token eos (7) 


den Beobachtungen zugrunde, so ist eine Darstellung der Gesamtheit der Beobachtungen für 
Phasenwinkel von 4? bis 138? und für Einfallswinkel von 0 bis 85? wohl móglich, wenn man den 
Koeffizienten 4 mit dem Phasenwimkel veründerlich macht. Zunächst wurde versucht, einen 
mittleren Wert für 4 abzuleiten, indem man die Abweichungen der Beobachtungen von der üb- 
lichen Form des Lommel-Seeligerschen Gesetzes (4— 1) mit Hülte der Gleichungen behandelt: 


COS À, — COS? 


cosi, COS à + COS & (8) 
(cos i+ cos c) (cos 2, + COS &) 


COS À COS À, + COS &, 


A) Mod. cos « 


= log a 


Hier ist a das nach Seeliger berechnete Heligkeitsverhältnis der Punkte. Der Index 1 bezieht 


sich auf den Referenzpunkt, als welcher für die Beobachtungen auf dem Intensitätsäquator der 


Å : : 2 ; INI bue 
mittlere Punkt 1 diente, bei den Beobachtungen am negativen Rande — der Mittelwert 3 5 X 


derselbe welcher am positiven Rande als letzter Vergleichspunkt eingeht. Auf diese Weise wur- 
den die 3 Gruppen von Gleichungen einzeln aufgelöst und als Korrektion des Wertes 4 —1 
erhalten 
Mod. A4 = 0.205 4- 0.0581 aus den Beobachtungen am positiven Rande 
— 0.341 + 0.062 Haka? » » negativen Rande 
= 0.488 + 0.118 DO » auf der Scheibe. 


Als Resultat ergab sich dann mit Rücksicht auf die Gewichte 


Mod. A4 = 0.279 + 0.042 
AA = 0.642 + 0.097 


und der Einfachheit halber wurde angenommen 


A4 — 0.666 


450.333 = 


Tom. L. 


—Ónsnns S— — M —— OM ——— H— iL e ——À n 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. 


25 


Die folgende Tabelle enthält unter Hypothese I die Darstellung der beobachteten Hellig- 
keiten nach der Formel 


|89 


| 49 | 


| 58 
| 48 
24 
22 


43 
38 


1 CQ» D 


11 | 


— 81.4| +0.03| +0.02 
+85.1 +0.20. +0.19 
+82.7 0.05 +0.06 
199.5 +0.04 —0.01 
+72.9 +0.14 +0.12 
Mittel +0.09 <+0.08 


N:o 9 


| 


1 
COS à + 3 COS & 


— 0.05 —0.09. E 
0008! —0.37 
= ao — 0 11 
= — | "#0.62| 40.43 
0.05 —0.09 +0.35 --0.02 


Mittel! —0.05| —0.06| —0.12, - 0.17) --0.44| +0.25 -+0.48 


cos 
I = OS I (9) 
cos?, COS + 3 cos: 
Die übrigbleibenden Fehler der relativen Helligkeiten geordnet nach den Phasenwinkeln. 
Die Beobachtungen am Rande der Scheibe. 
2 n Le XII) | à amxm | 40v-x) | : uS ig tur + VIII) [vuv 
œ Hypothese Hypothese | Hypothese | Hypothese Hypothese | Hypothese 
I Il I Il 14-0 Ie ES: LE en Il 
| I | | 
—4.6, +0.01 40.03 0.08) —0.01 = = == = 
—19.5| +0.06| +0.08| +0.02| +0.07 - I E = = 
+20.5, +0.01| —0.13| —0.12) —0.08| — 0.08, +0.14| —0.10| —0.18| —0.05| +0.07| —0.12| +0.38 
—26.8 0.01] —0.04 —0.04 +0.22| +0.22| +0.37| +0.37 -F0.64 -F0.64|  — = 
-F25.5| —0.04| —0.03, —0.08, —0.06, 0.00 --0-04| —0.21| —0.59| --0.10| — 0.38, +0.01| —0.19 
Mittel +0.01 —0.01 —0.05 —-9.02 +0.07 +0.13 —0.02 — 0.13 +0.23 40.11 —0.05 +0.10 
|—80.8| —0.01| —0.01 +0.01 0.00  — -— - 
35.5| —0.04| —0.05, —0.14 —0.18 — | — | — = — 
|--41.4, —0.01| —0.03 —0.09 — 0.17 I... - | 
-6.0| —0.08|-—0.11| —0.18 —0.26 — | — == | == | 
33.3 —0.11, —0.13, —0.04 — 0.08 +0.22 +0.14| +0.45 --0.18| 40.65 +0.38 — — = 
| —47.1| --0.04 —0.07, —0.02, —0.11 40.43) +0.17| 40.53 —0.10 +0.60 —0.06 — = 
40.8| —0.07| —0.11| —0.12| —0.21 40.0 0.0 — | — | — = - = 
Mittel —0.05 —0.07, —0.08| —0.14| 40.31 --0.10| +0.49 +-0.04| +0.63 +0.16  — = 
57.4 0.15) —0.17| 043 019 = 
— 67.81 0.09) —0.11\"—0.11| —0.15 == 
—69.4| +0.01 0:000 — Ex = — À = — == = 
—56.9) +0.04 +0.02 = — | ARN SOI = repo sd = = 
—60.8|—0.05|--0.02, — | — | +0.63| 40.48 — |. — |+0.87 40.9 — | — 
—58.2| —0:09| ——0-11| —0.X1| —0:17| 0.32) --0:14| +0.48| -0.09\ 


+0.09| +0.48 


26 E. SCHOENBERG. 
RN Ve CB C TES ER VEN 
N:o [d 7 Hypothese | d | Hypothese de Hypothese | Hypothese Hypothese | Hypothese 
D TE b o UT I IE Mi (4 Vers En MDC MNT 
| | I | | | | | 
40 —190.2| +0.03 —0.06| +0.01| —0.34 — NT = " - 
6 |—110.9| —0.03| —0.11 + 1.02| 40.31 — — : - == 
8 |—120.6| —0.02, —0.14 — | +0.90| -F0.25| — | 
9 |—109.3| 4-0.05| —0.93 - = RER HON = — dl rs en 
Mittel | --0.01, —0.08| --0.01, —0.34| 40.94 40.28 | - | — 
4| 127.5) +0.18| 40.06 — | — |-F0.76| +0.04  — -— == — | +0.90| —0.14 
5| 1838.4 —0.00| —0.17| | — | 447, +0.55) — — | 40.77, —0.22, +0.87| —0.14 
86—184.9 —0.20|—0.39|. — | — | -FL8| 40.57 — 
37|—123.6| —0.07| --0.26| —- mee ss — — — 
Mittel| —0.02| —0.19| — | 4-1:02 —-0:36|-— +0.77| —0.22| --0.89| —0.14 


Beobachtungen auf dem Intensitätsäquator. 


| Punkt 2 
| N:o [2 e Hypothese 
| I--—]— 4H 
| 
18 "EE = 
E PEDIS = - 
| 91 25:05] - 
| NEGERI S 
25 | --32.9| +0.09 | +0.11 
23 | —46.6| +0.29 | +0.38 
19. | —850.1| —0.06 |. —-0.05 | 
| Mittel| +0.11 | +0.15 | 
14 56.6| #0.09 |- 1013 
15 56.9| +0.17 | --0 25 | 
16 70.3 | —0.01 | +0.04 
34 72.1 | --0.08 | —-0.07 
Mittel| +0.07 | +0.12 
17 "ow 14.0] Er 0110016, 
444 | 0813101211 50:04 
Mittel| 0.12 | +0.06 | 
42 | 119.8] —0.15 | +0.11 
41 | 119.8 | 0:06 | 410.31 
563 7 1042| 20.17 020.08 
55 | 136.7) —0:11- SE EOS 
Mittel| —0.01 | +0.18 | 


Punkt 4 Punkt 3 | Punkt 5 
2 Hypothese ! | Hypothese Hypothese 

I- + | I-—]|-—-H | IH 

| | | 

= — | +0.14 | +0.17 | +0.12 | +0.18 

- | —0.02 | +0.01 | +0.12 | +0.22 

= -——— [008180064006 ONUS 

= — | 0.01 |,49.04 |, 24-0.10. | 0:16 
ee is = Ba 
+0.11 | 40.27 | — - — — 
ee = = = 
+0.02 | 40.13 | -- = = - 
+091! 40.39 299190" | 39/83 1-999 94:1 09,50 
40412 0230 0e 155972771 15099.9:6] ONA 
+0.17 | +0.25 | —0.08 | -—0.16 | —0.36 | —0.42 
+0.08 | +0.16 | +0.17 | 40.08 | +0.14 | +0.02 
01a NAN 07 | 0.17 29 14029 | 

| | 

Ode ou pee nr 0 10.16.) 
0.14 | —0.05 | 4-0.82.| 40.24 | +0.48 | 40.35 | 
+0.02 | -+0.10 | +0.08 | +0.00 | +0.24 | 0.09 
—0.19 | +0.24 | +0:03 | —0.24 | 40.76 +0.33 | 
— 0.17 |.+0.25 | -F0:06 | —0.29. 0.43. E001. 
—0.00 | +0.25 | +0.36 | —0.12 | +0.78 | —0.14 | 
—0.12 | --0.40 | --0.90 | —0.14 | 4-0.46 | +0.07 | 
—0.12 | +0.28 | +0.16 | —0.20 | +0.61 |. +0.07 


Tom. L. 


€— 


€ 


Le) 
-1 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund pholometr. Messungen. 


Betrachtet man die übrigbleibenden Fehler in den Kolumnen Hypothese I, so ergibt sich, dass 
die Darstellung der Beobaehtungen in allen Punkten der Scheibe mit Ausnahme eines Streifens, 
der dicht an den negativen Rand der Mondsichel anschliesst, befriedigend ist. Es sind dies alles 
Punkte, in denen der Einfallswinkel grósser ist als 75^, und den hierbei auftretenden Lichtver- 
lusten durch Schattenwurf trägt die Formel (9) somit nicht Rechnung. Die Abweichungen am 
negativen Rande nehmen mit wachsendem Phasenwinkel zu und erreichen 1 m bei Phasenwin- 
keln die 190? übersteigen, sie verschwinden ganz bei Phasenwinkeln, die kleiner sind als 30°. Die- 
ses ist auch zu erwarten, weil in der Nähe der Opposition die Schatten durch die Erhóhungen 
selbst verdeckt sind. während sie bei wachsendem Phasenwinkel immer mehr für das Auge her- 
vortreten. 

Der grösste Teil dieser Abweichungen kann zum Verschwinden gebracht werden, wenn man 
dem Koeffizienten 4 in der Seeligerschen Formel mit dem Phasenwinkel veränderliche Werte 
zuteilt. Ieh erhielt dieselben durch Auflósung der Gleichungen (8) für Beobachtungsgruppen 
mit naheliegenden Werten von «. Die erhaltenen Korrektionen A4 wurden dann graphisch aus- 
geglichen. Als Resultat ergab sich dann folgende Tabelle. 


Tafel I. 


Werte des Koeffizienten 4. 


| a | À | a | 1 X À | [2 | 1 | 
| Le | TRES | 

0° | 0.00 | 50° | 0.80 90" | "0.52 | 1259 | 1.89 

| 10 0.05 | 55 | 02 95 0.63 | 130 1.51 

301° 930. 1 | neo 0 50 100 0.80 135 1.63 
95 0.22 | m 0.50 | 106 0.96 || 140 1.75 
30 0.88 | 80 0.50 | 110 1.06 145 1.87 
35 | 052 | 85 0.50 115 116 150 2.00 
40 0.64 | 90 | 0.52 120 1.26 
45 0:75 | | 


Die Werte von 4 in der Nähe der Opposition sind hier recht willkürlich; der Tatsache, dass die 
Helligkeit der Kontinente bei Vollmond und bis zu 20^ Phasenwinkel überall auf der Scheibe 
dieselbe ist, kann durch die verschiedensten Werte von 4 rechnerisch senügt werden. Die Kor- 
rektionen A4 wurden erst bei Phasenwinkeln «> 20° einigermassen sicher erhalten. Die Fort- 
setzung der Kurve vom Werte 4 — 0.1 bis À — 0.0 für « — 0 ist deshalb willkürlich. 

Mit den obigen Werten von 4 sind alle relativen Helligkeiten von neuem berechnet und die 
übriebleibenden Fehler unter Hypothese II angeführt. Betrachtet man dieselben, so findet 
man, dass die grossen Abweichungen am negativen Rande der Scheibe verschwunden sind, und 
somit dem Schattenwurf bei grossen Phasenwinkeln in der Hauptsache Rechnung getragen ist. 
Die Darstellung der Beobachtungen auf dem Intensitätsäquator ist vielleicht weniger befriedi- 
N:o 9. 


28 E. SCHOENBERG. 


gend, indem systematische Abweichungen auftreten, die den zufälligen Fehler übersteigen. Letzte- 
ren habe ich aus den Abweichungen von den Mittelwerten für naheliegende Phasenwinkel berech- 
net. Es ergab sich als mittlerer Fehler einer Beobachtung 


Am pos. Rande Am neg. Rande Auf der Scheibe 


Hypothese I & = + 0.058 + 0.168 210.122 
Hypothese II == + 0.074 —+ 0.200 + 0.118 
Mittel «e — + 0.066 + 0.184 +- 0.190 


Die Beobachtungen am positiven Rande sind bei weitem die genauesten, die am negativen 
sind sehr ungenau. Die Ursache für diesen Unterschied ist vor allem die Konstanz der Helligkeit 
làngs dem positiven und ihre schnelle Abnahme am negativen Mondrande. Kleine Einstellungs- 
fehler auf die geschätzten Teilungspunkte haben am positiven Rande gar keinen Einfluss, am 
negativen — einen sehr grossen. Eine zweite Fehlerquelle ist das verschiedene Reflexionsver- 
mógen der einzelnen Teile der Mondkontinente. Auch der hierdurch bedingte Fehler ist am posi- 
tiven Mondrande nur gering, weil hier nur wegen der Libration und des Umstandes, dass manch- 
mal der westliche, manchmal der óstliche Mondrand »positiv» waren, auf verschiedene Mond- 
partien eingestellt wurde, während am negativen Rande ständig neue Partien gemessen wurden; 
da die Phasenwinkel, die zu Mittelwerten vereinigt sind, bis zu 20? von einander abweichen, so sind 
die Mittelwerte der Helligkeit durch diese topographischen Verschiedenheiten beeinflusst, ebenso 
wie der mittlere Fehler, der aus den Abweichungen der Einzelmessungen von diesen Mittelwerten 
berechnet ist. Die Genauigkeit der Beobachtungen auf der Scheibe lieet zwischen der am posi- 
tiven und am negativen Rande. Hier wechseln ebenfalls, wenn auch in geringerem Masse (wegen 
der Teilungsmethode) die eingestellten Mondpartien, aber die Helligkeit verändert sich nur lang- 
sam. Es wäre leicht aus den oben angeführten mittleren Fehlern in der Weise wie ich es a. a, O. ! 
für meine Messungen an Jupiter und Saturn getan habe, den mittleren Einstellungsfehler in Ein- 
heiten des Mondradius abzuleiten. Doch erscheint mir diese Untersuchung ohne Bedeutung. 

Betrachten wir die systematischen Abweichungen für die einzelnen Punkte, also die Mittel- 
werte der Helligkeiten für naheliegende Phasenwinkel, so finden wir, dass bei veränderlichem 4 
(Hypothese II) die grossen Abweichungen am negativen Rande nahezu verschwunden sind. Die 
Darstellung der Helligkeiten in den übrigen Punkten ist aber nicht genauer, sondern etwas weni- 
ger genau als bei konstantem 2. Diese Darstellung ist bei beiden Hypothesen besonders aber 
bei der Hypothese I durchaus befriedigend. Abweichungen bis zu 0.2 m können bei der hier an- 
gewandten Messungsmethode durchaus zum Bereiche der topographischen zufälligen Abweichun- 
gen des Reflexionsvermógens der gemessenen Mondpartie gerechnet werden. Es erscheint daher 
zwecklos dureh Einführung anderer empirischen Konstanten in die Reflexionsformel ihre Be- | 
seitigung anzustreben. 


' Photometrische Untersuchungen über Jupiter u.d. Saturnsystem. Seite 19. 


Tom. Lx 


Mmmm 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photomelr. Messungen. 29 


5. Die absoluten Helligkeiten des Mondrandes. 


Ein Teil der Messungen des Mondrandes am Frauenhoferschen Refraktor ist direkt von Tag 
zu Tag mit einander vergleichbar, weil, wie das auch jedesmal im Beobachtungsjournal vermerkt 
wurde, am Instrumente keinerlei diesen Vergleich geführdende Veránderung oder Verstellung 
stattgefunden hatte. Solche Veränderungen waren entweder das Auswechseln des benutzten 
Blauglases vor der elektrischen Lampe des Photometers, des Diaphragmas vor derselben oder 
vor der Objektivöffnung, endlich Veränderungen an der Akkumulatoren-Batterie oder den Kon- 
takten der Leitung, welehe sich dureh Sehwankungen oder starke Abnahme der Ablesungen des 
Milliampermeters kundgaben. Wenn keinerlei Verdacht derartiger Veránderungen vorlag, durfte 
die Helligkeit der Spiegelóffnung des Photometers als einzig von der Lage der Nikolschen Prismen 
in demselben abhängig gedacht werden. Die Helligkeiten des Mondrandes zu verschiedenen Tagen 
konnten dann, nach Anbringung der Reduktion auf den Zenit nach den Müllerschen Tafeln der 
Extinktion, ebenso mit einander verglichen werden, wie die Helligkeiten an verschiedenen Punkten 
der Scheibe am selben Abend. Es sind nur wenige Beobachtungen, die für diese Vergleiche brauch- 
bar sind, sie umfassen aber das Intervall der Phasenwinkel von 4^ bis 190^ und schmiegen sich 
einer einfachen leicht abfallenden Kurve gut an. Man darf sie als von gróberen Fehlern frei 


k "1 
ansehen und wird die erhaltene Kurve für die Theorie verwenden dürfen. Die Messungen A LA) 
; L 4 
in der foleenden Tabelle enthalten: AV » 

e s € 
# 
Die absoluten Messungen. > 
—_— — = r 1 
X i FT | EIN] P" has! nd z— | 
. Gemess. | Korrektion NICE] Korrig. | ® E | Os, Nuts 
N:o Gr.m.Z. @ 4 | | à | ars Bemerkungen sa N 
| Helligk. | Amper. | Extinkt. | Helligk. | 5 > 
| | | Jess 
| I T 
1918 | 


38 | Jan. 19. 395 | 857.2 3".04 | —0.11 | --0.45 | 3.88 | 4 |Beob.3 Alles unveränd. 

6.— 30.8] 43.88 | —0:05 2018 |. 9-96. |: 8, || 35.) » 

15. 188 |—120.8| 3.62 |—0.11 | 0.14) 265 | 8 

43 | Febr. 18. 224 — 81.4 3.36 | —0.01 | -+0.09 | 3.44 8 » 
: | 


5 
9. 228 — 69.4 | 342 |--0.01 | +0.05 | 3.48 4 Yan A 

=S SAN 0.00 | --0.10 | 3.40 & (oh Pop NES » 
50 | Febr. 25. 393 |— 4.6| 3.94 | —0.06 | +0.17 405 | 8 » 4 


m 
O 
Hj 

e 

c 
DE 
m 

eo 

© 

[on] 

bo 

| 


Die Korrektionen wegen Extinktion sind gering bis auf einen Fall in No. 38. Hier war der 
Mond nur 20° über dem Horizonte. Doch ist glücklicherweise eine andere Beobachtung No. 43 
bei einem, dem absoluten Betrage nach, naheliegenden Phasenwinkel vorhanden und in guter 
Übereinstimmung mit No. 38. Es wurden nur die Messungen in der Mitte des positiven 
Mondrandes (Punkt I) zum Vergleiche benutzt. Die für denselben aus den Einsteilungen 
des Positionskreises von einem willkürlichen Anfangspunkt berechneten Helligkeiten stehen in 
der Kolumne »Gemessene Helligkeit». Die Korrektionen wegen Ampermeter sind Reduktionen 
N:o 9. 


30 E. SCHOENBERG 


auf die Ampermeterablesung 38.00, von der die beobachteten immer nur wenig abweichen. Die 
‚nebenstehende Kurve veranschaulicht die Abnahme der Helligkeit des Mondrandes (Fig. 2). 
Eim Unterschied zwischen dem westlichen und óstlichen Mondrande kann bei.der geringen Zahl 
der Beobachtungen nicht hervortreten. Doch kann er nicht gross sein, wie das die folgenden 
Messungen der Helligkeit der Vollmondscheibe beweisen. 

Am 25. Febr. 1918 konnte die Helligkeit der Vollmondscheibe (Phasenwinkel 4^) untersucht 
werden. Das geschah durch Messungen am grossen Refraktor längs dem ganzen Mondrande und 
im Zentrum der Scheibe. Andere Punkte innerhalb der Scheibe wurden hierbei nicht mitgemes- 
sen, weil durch zahlreiche Messungen in der Nähe der Opposition an demselben Abende und auch 
an verschiedenen anderen festgestellt war, dass die Helligkeit innerhalb der Kontinente auf der 
typischen Mondoberfläche dieselbe ist wie im Zentrum. Die hier angeführten Messungen sind 
mit dem grössten Spiegel des Prismas (Halbmesser 25”.1) also in einem Abstande von 0.03 R 
vom Mondrande ausgeführt. Doch gelten sie unverändert bis zum Rande, da keine merkbare 
Veränderung der Helligkeit am Mondrande stattfindet. ! 


! Manchen Beobachtern erscheint der Vollmond mit blossem Auge am Rande heller als in der Mitte. 
Es ist das augenscheinlich eine Kontrasterscheinung, die besonders deutlich an den Stellen wirksam ist, 
wo grosse dunkle Partien (maria) nahe an dem hellen Rand herantreten. Ein ganz geringes Anwachsen der 
Helligkeit in aller nächster Nühe des Randes kann vielleicht bei meinen Messungen durch Diffraktionswir- 
kung am Objektive verwischt worden sein. 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund pholomelr. Messungen. — 81 


6. Die Helligkeit des Mondrandes in Bezug auf das Zentrum 
der Mondscheibe bei Vollmond. 


N:o 51. 1918 Febr. 25. 408 Gr. m. Z. 


| P U N K T E 
iri | ce 4l al: VI VII VII IX X XI XII 


——— 
I | | 
| 


| 0:23 | 40.16 | —0.04| —0.08 | +0.04 | —0.01 | +0.14 | +0.03 | —0.03 | 4-0.09 |— 0.01 0.00 
LE nl I IM M S à B 62 * A. I | 


Mittel +0.04m. +0.08 
Der unmittelbare Eindruck bei Betrachtung des Mondes mit unbewaffnetem Auge, dass 
der Vollmond in seinem typischen Teile gleichmässig hell ist, ist durch diese Messungen bestätigt. 


7. Bestimmung der Funktion v (c). 


Aus der Phasenkurve. Sieht man von der sehmalen Zone am negativen Rande des Mondes 
mit Einfallswinkeln grösser als 75? ab, so kann für den übrigen Teil die Trennung der Funktionen 
f (i, s) und v («) als gültig angesehen werden und die reflektierte Lichtmenge daher dargestellt 
werden in der Form 


dq = L'ds F (1,5, «)= FT ds f (2, e) v (e), (10) 
wo 
- COS À COS E 
N mess 
ist. 


Der durch die Vernachlässigung der stärkeren Liehtabnahme innerhalb jener schmalen Zone in 
der Gesamtlichtstärke des Mondes entstehende Fehler kann erst bei Phasenwinkeln grósser als 
90° einige Prozent ausmachen. 

Es handelt sich jetzt um die Bestimmung von v («). Diese Funktion kann durch Vergleichung 
der beobachteten Phasenkurve mit der aus dem Integral 


Q=TJI (Ge ds 


über die sichtbare Oberfläche berechneten erhalten werden. Bei den üblichen Variablen, Länge 


w, Breite w, die mit + und « durch die Gleichungen verbunden sind 
COS 4 = COS W COS (o — a ; 
COS € = COS U/ COS € 

und ds = R?coswdw do 

stellt sich dieses Integral in der Form dar 


[CHEN] 
" 


2 
3 fe : * cos o COS (o—« 

Q= LR? | cos y du CLARA ER do 

l , COS (0 — «) + 4 COS w 


m T 
= 2—3 


und führt nach ausgeführter Integration zu dem Ausdrucke 


N:o 9 


32 E. SCHOENBERG. 


2 cos 5 cos (u— 7) 
TR? | 2 2 sin u Sin (u — c) = 
Q== 2 r | aW" "EE sl u „ie : log nåt [cote : 2 "cnet (ie 


wo u und m aus den Gleichungen bestimmt werden. 
sin « = m Sin u 
0.333 + COS « = m COS w. 


Die nach dieser Formel berechnete Lichtkurve ist in der folgenden Tabelle berechnet. In ihrer 
zweiten Kolumne stehen die Helligkeiten bei verschiedenen Phasen in Einheiten der Oppositions- 


helligkeit: 3 
Q— ‚IR. 


In der folgenden Kolumne ist die Phasenkurve nach Russen! angeführt. Sie muss z. Z. als die 
sicherste Phasenkurve des Mondes angesehen werden, weil sie aus den gesamten bisher veröffent- 
lichten Beobachtungsreihen nach kritischer Verarbeitung abgeleitet ist. In der letzten Kolumne 
stehen die Werte der Funktion v'/(«), wie sie sich aus der Division der Zahlen der dritten und 
zweiten Kolumne ergeben. 


Tafel II. 
Funktion w («). 


| a |. nach a? | kd beobacht. | v (0) c | Q nach (12) | Q beobacht. | v (o) | 
| Qv ires | | | Qo | Qo | e 
0° 1.000 1.000 1.000 | 80? 0.472 | 0.19 0.315 | 
10 0.979 0.816 0.834 | 90 0.392 0.108 0.274 
20 0.936 0.654 0.699 | 100 0.317 0.075 0.985 | 
30 0.871 | 0.593 0.599 | 110 0.247 | 0.050 0.202 | 
40 , 0.79 0.412 | 0.519 | 120 0.185 0.032 0.170 
50 | 0.72 0.326 0.451 | 180 | 0182 | 0.019 0.140 
60 | "0.643 0.267 0.403 | 140 0.085 0.010 0,112 
70 | 0.555 0.199 0.389 || 150 | 0.051 0.004 0.078 


Die Funktion w(«) zeigt einen sehr scharfen Fall in der Nähe der Opposition, zwischen « = 0° 
und «=30°. Macht man den Versuch die Phasenkurve mit Hilfe der Seeligerschen Formel 
mit veränderlichem 4 darzustellen, so ist es schwierig diese Werte von 4 mit denen der Tafel I in 
Einklang zu bringen, wenn auch ihr Verlauf ähnlich ist. Zum Studium der Eigentümlichkeiten der 
Mondoberfläche erscheint daher die Untersuchung des Verlaufes der Funktion w(e«), wie sie in 
der vorigen Tabelle für ein konstantes 4 = 0.333 erhalten worden ist, zweckmässiger zu sein, 
da mit diesem Werte von 4 die Lichtverteilung innerhalb eines grossen Phasenbereichs bis auf 
die erwähnte schmale Zone fast vollkommen dargestellt wird. Freilich gilt das nur für die 
typische Mondoberfläche, also nicht für die maria, die hellen Strahlen, das Innere der Krater. 
Berechnen wir daher den Verlauf der Funktion y (æ) aus unseren absoluten Messungen des Mond- 


! Astrophys. Journal XLIII, pag, 114. 


''om. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund pholomelr. Messungen. 33 


randes, so können wir eine Übereinstimmung mit dem w(«) der vorigen Tabelle nur dann 
erwarten, wenn für diese Teile der Oberfläche die Funktion F (41, £, «) einen ähnlichen Verlauf 
hat. In Bezug auf die maria hat das neuerdings E. Örık festgestellt, und wir wollen selbst 
weiterhin andere Bestátigungen dieser Annahme liefern. ' 

Aus den absoluten Messungen des Mondrandes. Bei den absoluten Beobachtungen des Mond- 
randes war der Reflexionswinkel nahezu konstant und gleich | 


8 — 116 PROS —0/998* 


Die Funktion v(«) wird daher aus den absoluten Messungen durch folgende einfache Rechnung 


gefunden 1 : 
Ka 1+0.078 sec i. 
V TRETEN 


Folgende Tafel enthält den so berechneten Verlauf der Funktion wv («) in der dritten Kolumne. 
Die zweite Kolumne enthält das w(«) der vorhergehenden Tafel und die vierte dieselben Werte 
dividiert durch 0.72. In der letzten Kolumne stehen die Abweichungen. Der Verlauf der Funktion 
V (c) in der dritten Kolumne zeigt einen weniger starken. Fall in der Nähe der Opposition. Die 
typische Mondoberfläche nimmt langsamer an Helligkeit ab, als die Gesamtoberfläche. Es gibt 
also Gebilde auf dem Monde, die in der Nähe der Opposition viel schneller an Helligkeit ver- 
lieren. Die beiden Kurven v(«) fallen zusammen, wenn man die aus der Phasenkurve abgelei- 
teten Werte von wv («) durch 0.72 dividiert, was der Annahme entspricht, dass der Wert von 
V'(«) nicht bis 1.00, sondern bis 0.72 in der Opposition ansteigt. Der scharfe Abfall der Hellig- 
keiten jener besonderen Gebilde liegt aber, wie man aus der Tabelle ersieht, dann wesentlich 
zwischen 0? und 30°. In diesem Gebiete fällt dann die Fuktion v («) die durch Überlagerung 
der Kurven wv(«), wie sie für die betreffenden Gebilde und die typische Mondoberfläche gelten, 
auch stárker ab, während sie für den weiten Umfang der Phasenkurve zwischen 30? und 120° 
mit der aus den absoluten Messungen erhaltenen vollkommen übereinstimmt. Beobachtungen 
des Mondrandes über diesen Bereich heraus liegen nicht vor, auch wäre ein Vergleich ausserhalb 
dieses Gebietes schon wegen des Gültigkeitsbereichs der Funktion f (4, s) nicht möglich. 


Tafel III. 


Funktion v(e). 


Aus d. Aus den | | Aus d. | Aus den 3 
[2 Phasen- | abs. Mes- | #(«):0.72 A lee Phasen- | abs. Mes- | w(a):0.72 ^ 

kurve sungen | | kurve sungen | | | 

| | | 

0? 1.00 1.00 | 1.39 — 0.39 | 70 0.36 0:50 1 — 0:50 | 0.00 | 
10 | 0.8 0.89 | 1.17 — 0.28 80 0.32 0.44 | 0.44 0.00 | 
20 0.70 0.88 | 0.96 —0.13 | 90 0.27 0.38 | 0.38 0.00 
30 0.60 0.78 | 0.88 — 0.05 | 100 | 0.24. | 0:32 | 0.32 | 0.00 | 
40 Do 0070 PRI? —0.02 | 110 0,20 1/40 27/12 028 — 0.01 
50 | 0.45 0.64 | 0.62 | +0.02 | 120 | 017 | 032 |; 0.24 | —0.02 | 
60 | 0.40 0.67 | 0,56 | +001 | | | | | 


34 E. SCHOENBERG. 


8. Beobachtungen der Helligkeitsschwankung einzelner Mondgebilde. 


Die vorhergehende Untersuchung hat gezeigt, dass nicht alle Mondgebilde dem Beleuchtungs- 
gesetz folgen, welches wir für die typische Mondoberfläche abgeleitet haben. Beobachtungs- 
reihen über die Veränderlichkeit solcher Gebilde sind deshalb von besonderem Werte. Ausser 
der ausgedehnten, aber wenig genauen Beobachtungen von WISLIZENUS!, die WrRTZ bearbeitet 
und veróffentlicht hat, sind in neuerer Zeit flächenphotometrische Beobachtungen der maria von 
BARABASCHEW ? in Charkow und einzelne Reihen verschiedener Mondpartien von A. MARKOW? 
bekannt geworden. Letztere sind ohne Photometer nach der Pickeringschen Methode gemessen. 
Die während der Drucklegung dieser Arbeit erschienene photographische Beobachtungsreihe von 
E. ÖPIK? kann hier nicht mehr diskutiert werden. Erwähnt sei nur, dass er für die maria einen 
ähnlichen Verlauf der Intensitätskurve findet, wie für die Kontinente. Dieses Resultat finden 
wir auch in den Beobachtungen der beiden russischen Beobachter bestätigt. 

Betrachtet man die von Wirrz in A. N. Band 201 gegebenen graphischen Darstellungen 
der Veränderlichkeit von zwanzig Mondgebilden während der Lunation, so fällt sofort die 
grosse Amplitude der Lichtschwankung für die allermeisten derselben auf. Wırrz wählt als 
Argument den »photometrischen Faktor» 

cosicose 

COS ? + COS € 
und trägt als Ordinaten direkt die beobachteten Helligkeiten auf. Das Maximum des photo- 
metrischen Faktors, das Wırrz als »photometrischen Mittag» bezeichnet, tritt ein, wenn à - e, 
oder « — 0, das heisst bei Vollmond® Die Wirtzschen Kurven haben alle ihr Maximum nahezu 
im photometrischen Mittag, also für den Vollmond, unabhängig von der Lage der Punkte auf 
der Mondoberfläche. Sie enthalten deshalb: die von Herrn MARKow als »Phénomeéne Barabaschew» 
bezeichnete Tatsache der starken Abhängigkeit der Lichtkurven vom Phasenwinkel, wobei w («) 
bei «--0 ihr Maximum hat. Dieselbe Tatsache, mir auch bei anderen Planeten wohl bekannt, 
und als Grundlage der Theorie angenommen, 5 tritt ja mit erósster Deutlichkeit auch in meinen 
Beobachtungen des Mondes hervor und gilt somit sowohl für die typische Mondoberfläche, als 
für alle Einzelheiten derselben. Kleine Verschiebungen des Maximums der Wirtzschen Licht- 
kurven gegen den photometrischen Mittag sind hierbei ohne Bedeutung; sie sind leicht schon 
dureh eine Neigung der beobachteten Gebilde gegen den Horizont erklärt, kónnen auch andere 
naheliegende Erklärungen finden, wie wir weiterhin zeigen werden. Ich übergehe hier die Versuche 
von Herrn Mankow und BARABASCHEW eine phvsikalische Deutung der Funktion w(«) zu 
geben, weil davon im zweiten Teile dieser Arbeit eingehend die Rede sein wird und will nur einige 
Beobachtungen der genannten Autoren dazu verwenden, um aus ihnen den Verlauf der Funktion 


A. N. 201, 289. 
® A. N. 217, 445. 
D PACRIN 22 12066! 
+ Photometric measures of the moon and the earthshine. Publications de l'observatoire astronomique 
Tartu. Tome, XXVI, N:o 1. 
* Photometrische Untersuchungen über Jupiter u. das Saturnsystem. 


. Tom. L 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund pholometr. Messungen. 35 


y (e) für einzelne Mondgebilde abzuleiten, und mit demjenigen für die typische Mondoberfläche 
zu vergleichen. Die Beobachtungen von WISLIZENUS, so wertvoli sie auch für uns sind, durch die 
Bestätigung der oben erwühnten Tatsachen, und den Nachweis der Verschiedenheit der Licht- 
kurven tür verschiedene Mondgebilde, sind doch zu ungenau und zu wenig zahlreich, um eine 
Klassifizierung derselben zu ermöglichen, was erst nach Wiederholung der Messungen an den- 
selben Gebilden móglich sein wird. Die Beobachtungen der russischen Autoren sind freilich für 
den obengenannten Zweck auch noch ungenügend. Die nier folgende Rechnung ist deshalb auch 
nur ein vorläufiger Versuch, der angeführt wird, um einen Typus der Kurven hervortreten zu 
lassen, der geeignet ist die Zahlen der Tafel 3 zu erklären. 

Wir müssen bei der Ableitung der Funktion w(«) für die Funktion f(?7,«) auch hier die- 
selbe Form annehmen, wie für die typische Mondoberfláche, weil sonst die abgeleiteten Funktionen 
w(«) nicht mit einander vergleichbar sind. Damit ist natürlich nicht gesagt, dass diese Form 
physikalisch begründet ist. Bei der Berechnung ist dabei aber auf dem Gültigkeitsbereich der 
Funktion 


[ (i, 9) = RE 
COS ?-- 3 COS € 
auf der Mondoberfläche Rücksicht genommen. 

Maria. Für die in dem Markowschen Aufsatze angeführten Zahlen, die sich auf Mare 
Criswum, Mare Foecunditatis und Mare Humorum beziehen und die Originalwerte der beobach- 
teten Helligkeiten nebst der Längendifferenz der beobachteten Mondpunkte gegen die Sonne 
enthalten, wurde dieselbe dem Phasenwinkel gleichgesetzt. Weiter wurden die Winkel + und & 
berechnet und die Helligkeiten nach den Argumenten « und + graphisch dargestellt und durch 
Kurven verbunden. Mit grósster Deutlichkeit trat dabei die Erscheinung auf, dass die maximale 
Lichtstärke bei + — s eintritt und scharf nach beiden Seiten abfällt. Die Lichtstärke bei 4 — € 
wurde dann abgelesen und die beobachteten Helligkeiten durch dieselbe dividiert. Bezeichnet 
man den Wert der Funktion y («) für « — 0 mit 1 so folet 


JC ERU Uy RE 


RII 4 
COS 2 + 3 COS € 
und 
i hz. d cos i 
«isis mi dicar 0n 


cos i-- 4 cos & 
woraus w («) bestimmt wird. 

Für die von Markow nicht gemessenen Mare Tranquillitates und Oceanus Procellarum wurden 
die Helligkeitswerte BaARABASsCHEW's ausgeglichenen Kurven entnommen und da die Beob- 
achtungen hier nahe dem Intensitätsäquator des Mondes liegen, so wurde hier e gleich der 
Lànge | der beobachteten Punkte angenommen, und dadurch jede weitere Rechnung erspart, 
da BARABASCHEW's Kurven nach dem Argument + geordnet sind. Nach Anbringung der Korrektion 
wegen der Funktion f(75s) wurde v («) in derselben Weise wie oben bestimmt. Für die zwei 
genannten Gruppen wurden die Werte von wv («) einzeln graphisch ausgeglichen und den 
erhaltenen Kurven folgende Werte entnommen. 


N:o 9. 


36 E. SCHOENBREG. 


Tafel IV. 


Die Funktion w(e) für die maria. 


À li M Es AE TE | Aus der 
je är. I | Gr. II | Mittel | Phasen- 
kurve 


035 y, i dass 
0.35 Va Gr. I Gr. II | Mittel | Phasen- | 939 Uy, 
+ 0.65 9, kurve |^ 0.65 y, 


0° er MP ACT | 1.00 1.00 | 1.00 50°| 0.30 | 0.45 0.37 0.45 0.54 


10 0.65 | 0.87 0.76 0.83 | 0.84 60 0.27 | 0.36 0.32 | 0.40 0.48 


| | 


[20 | 0.52 |.0.75 | 0.68 | 0.70, | 0.76 || 70 | ,0.24 | 0.27. |, 0.26 | 0.36 | 0.42 
30. |, 0.48 | 0:65. | 0.54 | 0.60.) 0.70 | 80 | 0.22 | 0.28, | 033 0.32 20/37 


40 | 037 | 055 | 0.46 | 0.52 | 0.62 | 90 | 0.21 | 0.17 | O.19 | 0.27 | 0.30 


Hiernach haben die maria einen etwas stärker abfallenden Verlauf der Funktion w («) als 
die mittlere Mondoberfläche. Will man diesen Unterschied, der nicht gesichert ist, als reell 
auffassen, so hat man entsprechend dem prozentualen Anteil der maria an der Gesamtoberfläche, 
die Funktion wv («)-—0. 35 yw, (&) +0. 65w;(«) zu bilden und diese dann mit w(«e) für die 
Gesamtoberfläche zu vergleichen. Die entsprechenden Zahlen stehen in der letzten Kolumne der 
Tafel IV. Man sieht, dass die aus der Phasenkurve für die mittlere Mondoberfläche abgeleitete 
Funktion 2 («) immer noch schärfer abfällt; es gibt also noch Gebilde der Mondoberfläche mit 
einer schnelleren Abnahme der Helligkeit in der Nähe der Opposition. 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. 37 


Die hellen Strahlen. Wine interessante Ergänzung des Vorigen finden wir bei der Berechnung 
der Funktion w («) für die Beobachtungen Mankow's der Helligkeitsschwankung eines hellen 
Strahls, der vom Krater Kopernikus ausgeht, und die vom Inneren eines kleinen Kraters. Be- 
handelt man die von MArkow angeführten Zahlen für die Helligkeiten dieser Gebilde in dersel- 
ben Weise wie die Beobachtungen BARABASCHEW'S, so ergibt sich für die Funktion w(«) im Mittel 
aus beiden ganz ähnlich verlaufenden Kurven folgender Verlauf. 


Tafel V. 


Die Funktion v(«) für die hellen Strahlen. 


| 
M: v | e« | w*(9 | 
| | 
| | | 
0^ | 100 8024 1. 0:70 
5 | 0.80 40 0.70 
1024 be QUAS Neal NE 0.70 
15 0.72 60 | 0.70 
20 |. 0.70 70 0.70 


So ungenau die Beobachtungen auch sein mögen, so lassen sie doch bei der guten Überein- 
stimmung der beiden Kurven für den hellen Strahl und den Krater und dank ihrer grossen 
Anzahl keinen Zweifel über den eigentümlichen in den Zahlen dieser Tabelle hervortretenden 
Verlauf der Kurve, die von 0° bis 15? scharf abfällt, und von 20° an parallel zur Abszissenaxe 
verläuft. Unter den von Wırrz gegebenen Kurven verraten einige, wenn auch schwächer ausge- 
prägt, einen ähnlichen Charakter. Die Beobachtungen sind eine Bestätigung der schon von W. H. 
PICKERING gemachten Beobachtung über die Sichtbarkeit der hellen Strahlen in der Nähe der 
Opposition. Unabhängig von ihrer Lage auf der Mondoberflüche verschwinden diese Strahlen 
bei grósseren Phasenwinkeln auf dem Hintergrunde, ihre Helligkeit nimmt also stark zu, wenn 
der einfallende und reflektierte Strahl in ihrer Riehtung zusammenfallen. Es ist zunächst nicht 
bekannt, auf welche andere Gebilde ausser dem Inneren kleiner Krater sich diese Erschei- 
nung noch erstreckt, und auch die Helligkeit dieser Gebilde in der Opposition im Vergleich 
zu der mittleren Helligkeit der Kontinente und der maria ist nicht genügend bekannt. Es ist des- 
halb sehwierig den Einfluss ihrer Helligkeitskurven auf die Phasenkurve des Mondes zu berech- 
nen. Photographische Helligkeitsbestimmungen sind für diesen Zweck unbrauchbar und die 
optischen Messungen der Helligkeitsverhältnisse auf der Vollmondscheibe von W. PICKERING und 
WISLIZENUS stimmen sehr schlecht mit einander überein. Da WrsrizENUS' Beobachtungen aber 
eine bessere Übereinstimmung mit der photographischen von Gorrz aufweisen, will ich sie hier 
zu einer Abschätzung des genannten Einflusses benutzen. Auf der Mondkarte in NaswvTH's Buch 
»The moon» habe ich mit Hilfe von durchsichtigem Wachspapier die Begrenzungen der hellen 
Strahlen des Tycho, Kopernikus und anderer Krater, sowie auch die maria und Kontinente ein- 
gezeichnet, dann auf Millimeterpapier die Anzahl der Quadratmillimeter für die genannten Ge- 
bilde abgezählt; so fand ich für die Kontinente 0.58 für die maria 0.35 und für die hellen Strahlen 


N:o 9. 


38 E. SCHOENBERG. 


nebst einigen angrenzenden hellen Partien 0.07 der Mondoberfläche. Für die mittlere Helligkeit 
der maria erhielt ich aus Wırrz’s Zahlen eine um 1.97 m (Mittel aus 7 maria) geringere Helligkeit, 
als die grösste von WISLIZENUS gemessene Helligkeit des Aristarch. Diese setze ich aus Mangel 
an genaueren Daten der Helligkeit der hellen Strahlen gleich, und für die mittlere Helligkeit der 
Kontinente nehme ich eine um 1 m. geringere Helligkeit, als die der hellsten Punkte an. Dann 
setzt sich die Vollmond-Helligkeit zusammen aus 


Kontinente 0.58 x 0.40 = 0.232 
maria 0.35 x 0.16 — 0.056 
helle Strahlen 0.07 X 1.00 = 0.070 

Summe 0.358 


Die Helligkeit der Strahlen und anderer hellen Partien beträgt somit 0.20 der Gesamthellig- 
keit des Vollmondes und wenn sie alle den in der vorigen Tabelle angegebenen Verlauf der Funk- 
tion V («) aufweisen sollten, mit einer Abnahme derselben um 30 °/, zwischen 0° und 20° Phasen- 
winkel, so könnten damit die Abweichungen im Verlaufe der Funktion wv («), wie sie aus der Totaı- 
helligkeit (Phasenkurve) und meinen absoluten Messungen für die Kontinente sich in Tabelle 
No. 3 ergeben, teilweise erklärt werden. 

Ein näheres Studium der Lichtkurven der einzelnen Mondgebilde wird sicherlich viele andere 
interessante Eigentümlichkeiten zutage treten lassen und die Klassifizierung der betreffenden 
Gebilde ermöglichen. 


9. Die Deutung der Funktion v(«). 


Die hier für die Gesamtoberfläche des Mondes und auch für ihre Einzelheiten als charakte- 
ristisch eingeführte Funktion w'(«) würde einen anderen Verlauf aufweisen, wenn die Funktion 
f (4, s) anders gewählt wäre. Es ist aber sicher, dass die Einführung einer Funktion des Phasen- 
winkels in die Reflexionsformel zur Darstellung der beobachteten Helligkeit notwendig ist, denn 
keine der bekannten Formeln für diffuse Reflexion gibt auch nur annähernd die starke Licht- 
abnahme bei kleinen Phasenwinkeln wieder, wie sie die Beobachtung aufweist. Die spezielle 
Form der Funktion f (4, £), die in dieser Abhandlung auftritt, hat natürlich keine andere als rein 
praktische Bedeutung. Es wäre möglich gewesen, den Einfluss des Phasenwinkels durch einen 
veränderlichen Koeffizienten 4 in der Seeligerschen Form des Reflexionsgesetzes zum Ausdruck 
zu bringen, wie es hier bei Darstellung der relativen Helligkeiten auch versucht worden ist. Doch 
wird die Analyse der Beobachtungen dadurch nur weniger durchsichtig und, wie die Praxis be- 
weist, die Darstellung derselben weniger genau. Herr ÖPIK versucht in seiner Arbeit die relati- 
ven Helligkeiten durch einen veränderlichen Exponenten k der Funktion cos + in der Lambert- 
schen Reflexionsformel darzustellen, kann aber dann der Phasenkurve nicht genügen und muss 
ausserdem eine Funktion w(«) einführen, welche die Tageskorrektionen seiner Platten dar- 
stellen soll. 

Das Studium der Funktion des Phasenwinkels ist von grósster Bedeutung für die Beurteilung 
der Oberflächenbeschaffenheit, denn es kann wohl kaum einem Zweifel unterliegen, dass ihre 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. 39 


physikalische Deutung in dem Lichtverluste zu suchen ist, Welcher durch Schattenwurf der Un- 
ebenheiten der Mondoberfläche hervorgerufen wird. 

Eine andere Erklärung, die in letzter Zeit für das Auftreten der Funktion w(«) in den 
Phasenkurven der Mondgebilde von Herrn MARKOW ? versucht worden ist, kann m. E. nicht als 
stichhaltig angesehen werden. 

Ausgehend von der Annahme, dass die Lichtzerstreuung bei diffuser Reflexion nicht gleich- 
mässig in allen Richtungen erfolgt, sondern nach der Rayleishschen Formel, leitet Herr FESSEN- 
Kow! eine neue Formel für diffuse Reflexion ab, welche bei Berücksichtigung der Reflexionen 
höherer Ordnung eine äusserst verwickelte Form hat, bei Beschränkung auf die Reflexion 
erster Ordnung sich nur durch den Faktor 1 -+cos®« von dem Lommel-Seeligerschen Gesetz 
unterscheidet. 

COS 2 COS E 


Fi) 2% tog oj, S985 coss 


COS i + COS € 


Es ist begreiflich, dass der Faktor (1 + cos? «), zwischen 0° und 90° vom Werte 2 bis zum 
Werte 1 abnehmend, einen stärkeren Fall der Phasenkurve in diesem Bereiche ergibt und den 
Beobachtungen hier besser genügt, als die Seeligersche Formel. Die Differenzen wachsen aber 
zwischen 90° und 180°, in welchem Bereiche die Flächenhelligkeit nach FEssENKow wachsen muss, 
sehr stark an, weil tatsächlich eine weitere Abnahme derselben stattfindet, wie das sowohl die 
Phasenkurve als auch unsere absoluten Messungen der Flächenhelligkeit der Kontinente be- 
weisen. Ausserdem trägt die Formel in keinerweise dem scharfen Fall der Funktion w(«) in 
der Nähe der Opposition Rechnung. 

Auch die Beobachtungen im Laboratorium an zerstreut reflektierenden Substanzen bestär- 
ken die Fessenkowsche Formel nicht. Der Verfasser selbst leitet (l.c. pag. 80) zur Darstellung 
der Beobachtungen von K. Ängström! über die Diffusion der strahlenden Wärme von ebenen 
Flächen eine andere rein empirische Formel ab, weil dieselben nicht zur Bestärkung seiner For- 
mel dienen können, also auch kein mit dem Phasenwinkel abnehmendes Glied von der Form 
1+cos?« enthalten. Ebensowenig haben andere Beobachtungen über diffuse Reflexion von K. 
MESSERSCHMITT u.a. die genannte Abhängigkeit aufgedeckt; man kann daher sagen, dass die 
anderen Ursachen, die das Emanationsgesetz an rauhen Flächen beeinflussen, so vor allem die 
Reflexion an der Oberfläche selbst von solcher Bedeutung sind, dass auch die Laboratoriums- 
versuche mit besonders präparierten rauhen Flächen nicht darüber entscheiden können, ob die 
innere Diffusion nach dem Rayleighschen oder einem anderen Gesetze vor sich geht. Um so 
weniger können das die Beobachtungen an der unebenen Mondoberfläche, wo für das Auftreten 
der Funktion w(«) eine andere Ursache herangezogen werden muss. Dass diese Ursache in 
erster Linie der Schattenwurf der Unebenheiten der Mondoberfläche sein muss, ist schon ver- 
schiedentlich hervorgehoben worden. H. N. RussEL? schreibt die scharfe Abnahme der Hellig- 
keit dem Schattenwurf unzähliger Felsenbruchstücke zu, die, dem Auge auch durch das 
stärkste Fernrohr unsichtbar, die Oberfläche des Mondes dicht bedecken. 


1 Bulletin de la Société astronom. de Russie. Livraison XXII. Mai 1916. 
? Astr. Nachr. N:o 5285. 
3 Astrophys. Journal 43, p. 192. 


N:o 9. 


40 E. SCHOENBERG. 


J. WirsixG! führte spektralphotometrische Beobachtungen an Gipsplatten aus, welche mit 
halbkugelfórmigen Vertiefungen bedeckt waren und an Platten mit Vertiefungen quadratischen 
Durchschnitts, und fand, dass bei schräger Beleuchtung solcher Platten der durch Schattenwurf 
entstehende Lichtausfall bedeutend ist. Diese Beobachtungen sollen dazu dienen, die schnelle Ver- 
änderlichkeit der hellen Strahlen des Mondes zu erklären. Endlich hat auch Herr BARABASCHEW 
anfangs Spaltenóffnungen und später die halbkugelförmigen Wilsingschen Poren zur Erklärung der 
von ihm beobachteten Flächenhelligkeiten auf der Mondoberfläche herangezogen. Er entscheidet 
sich für die Wilsingsche Hypothese, welche er von den Strahlen auch auf die Oberfläche der marıa 
ausdehnt. Auch unsere Beobachtungen der Kontinente weisen die schnelle Abnahme der Hellig- 
keit in der Nähe der Opposition auf wie die Beobachtungen der maria, und der Charakter der 
Liehtabnahme ist für beide Gebilde derselbe, während für die hellen Strahlen ein anderes Gesetz 
zu gelten scheint. 

Es entsteht nun die Frage, ob bei der Unsicherheit über das Reflexionsgesetz die aufge- 
worfenen Hypothesen über die Beschaffenheit der Mondoberfläche in jenen Teilen, die im Fern- 
rohr keine Konturen aufweisen, überhaupt geprüft werden können. Eine nähere Untersuchung 
zeigt nun, dass bei dem besonderen Charakter der Oberfläche, bei der der Schattenwurf eine so 
überwältigende Rolle spielt, dieses in gewissen Grenzen wohl möglich ist, und dass somit dieser 
Weg neben den anderen Mitteln der Astrophysik die physikalische Natur der Mondoberfläche 
zu erforschen eine gewisse Bedeutung gewinnt. 


Übersicht über die Resultate des ersten Teils. 


Die Tatsachen, welche bei der Analyse der Beobachtungen über die veränderliche Intensität 
der Mondkontinente, maria, und anderer Gebilde festgestellt worden sind, und die im zweiten 
Teile theoretisch behandelt werden, sollen hier ncch einmal kurz zusammengefasst werden. 

1) Die Helligkeit auf der Vollmondscheibe ist für die typische Oberfläche dieselbe im Zent- 
rum und den übrigen Punkten bis zum Rande. 

2) Die Helligkeit des positiven Mondrandes auf einem Streifen von 0.03 R Breite, die in 
weitem Umfange (@/, des Halbkreises) bei gegebenem Phasenwinkel dieselbe ist, fällt mit wach- 
sendem Phasenwinkel stark ab. | 

3) Die scharfe Abnahme der mittleren Flächenhelligkeit der Mondscheibe zwischen « — 0° 
und « = 20°, wie sie sich aus der Phasenkurve ergibt, ist nicht der typischen Mondoberfläche 
und den maria, sondern, besonderen Gebilden (helle Strahlen und das Innere kleiner Krater) 
zuzuschreiben, welche in diesem Bereiche des Phasenwinkels sehr stark (cirka 30 °/,) an Hellig- 
keit einbüssen. 

4) Eine Trennung der für die Mondoberfläche charakteristischen Funktion P (?7,s,«) in ein 
Produkt f (4s) w (e) ist annähernd durchführbar, wenn man für f(?,s) die Seeligersche Form 
annimmt mit A= 0.333; die relativen Helligkeiten auf der Mondscheibe werden durch die Funk- 
tion f (à, s) in weitem Umfange dargestellt; die Funktion wv («) wird hier in erster Näherung als 
Charakteristik der besonderen Oberflächenbeschaffenheit der Mondgebilde eingeführt. 

! ]. e. pag. 64. 

'Tom. L. 


II Teil. Theorie. 


1. Über diffuse Reflexion. 


Sieht man von der vóllig unbrauchbaren Eulerschen Formel für diffuse Reflexion ab, so 
hat man für die Beleuchtungstheorie des Mondes zwischen zwei einfachen Ausdrücken für die 
von einem ebenen Flüchenelement ds reflektierte Lichtmenge dq zu wählen: 


dq= G cos icoseds ... nach LAMBERT 


und 
COS À COS € 


dq = G, — — . nach SEELIGER. 
COST + 4 COS € 


Nach dem Lambertschen Gesetze ist bei einer vollbeleuchteten Kugel eine Abnahme der Hellig- 
keit vom Zentrum nach den Rändern proportional mit cos zu erwarten. Nach dem Seeliger- 
schen dagegen gleichmässige Helligkeit auf der vollbeleuchteten Scheibe. Letzteres entspricht 
freilich den Beobachtungen, aber die Phasenkurve weicht in so hohem Masse von der nach der 
Seeligerschen Formel bei konstantem 4 berechneten ab, dass die Beobachtungen des Mondes 
keineswegs als eine Stütze der Seeligerschen Formel angesehen werden können. 

Die Resultate der Beobaehtungen im Laboratorium an diffus reflektierenden Substanzen, 
lassen keinen Zweifel darüber, dass die Lambertsche Formel, der eine theoretische Begrün- 
dung fehlt, der Natur bei weitem näher kommt, als irgend eine andere einfache Formel, und 
dass die Korrektur der Lambertschen Formel die viele Beobachtungen erfordern, jedenfalls 
nicht in der Richtung der Seeligerschen liest. Wir wollen hier eine kurze Übersicht über die 
senannten Versuche anführen, die wir teilweise LIEBENTAL's Praktischer Photometrie (Braun- 
schweig 1907) entnehmen konnten. 

BovauEn's Messungen an mattem Silber, Gips und holländischem Papier ergaben, dass 
bei nahezu übereinstimmender Einfalls- und Sehrichtung, also bei «= die Flächenhelle nicht 
proportional cos à ist, sondern schneller abnimmt. Auch KowowowrrscH! findet stärkere Ab- 
weichungen. Die Beobachtungen von MEssERScHMITT? an einem Glanschen Spektralphotometer 
ergeben für Porzellan Übereinstimmung mit dem Lambertschen Gesetz, für andere Substanzen 
Abweichungen. WIENER® untersuchte Gips in verschiedenen Azimuten und fand, dass bis 

1 Fortschr. der Physik 35, 430 (1879). 

2 Wied. Annalen. 34, 867 (1888) 

^ Wied Annal. 47, 638 (1892). 


N:o 9. 6 


49 E. SCHOENBERG. 


s = 60° die Intensität der Beleuchtung proportional mit cos « ist, aber durchschnittlich schneller 
abnimmt, als mit cos. 

WRIGHT! untersucht Platten aus Englisch Rot, Kaliumchromat, Zinkgrün, Ultramarin, koh- 
lensaurer Magnesia und Gips, die nicht gegossen, sondern in Stahlstempeln gestampft sind. Es 
gelingt ihm regelmässige Reflexionen dadurch ganz zu vermeiden. Seine Versuche ergeben auch 
eine bessere Übereinstimmung mit der Lambertschen Formel. Er findet die Intensität der Beleuch- 
tung streng proportional mit cose, also eine vüllige Widerlegung des Lommel-Seeligerschen Ge- 
setzes dagegen nicht ganz proportional mit cos ?, doch übersteigen die Abweichungen niemals 10 /,. 

Nach PEGRAMm ? befolgt feines Gipspulver, das man aus der Luft in Staubform auf eine ge- 
eignete Glasplatte hat fallen lassen, genau das Lambertsche Gesetz. 

MATTHEWS? findet für einen Gips- und zwei Papierschirme bei konstantem e die Helligkeit 
innerhalb der Grenzen 0 — 50° proportional mit cos i, während bei «= 75° die Abweichung etwa 
5 %/, beträgt. 

THALER 4 findet für Gipsplatten, mattierte Glasplatten und Platten von Magnesiumoxyd, die 
noch stark regelmässig reflektieren, merkliche Abweichungen vom Lambertschen Gesetz. Von 
späteren Untersuchungen ist noch zu nennen die von HuTCHINS?, der an feinem Papier nochmals 
das einfache cos à Gesetz für kleine Winkel bestätigt fand. Für grössere Winkel fand er erheb- 
liche Abweichungen. Wie von verschiedener Seite hervorgehoben worden ist, spielt bei den Be- 
obachtungen an matten Substanzen die niemals ganz zu vermeidende regelmässige Reflexion 
an kleinen dem Auge nicht mehr bemerkbaren glatten Flächen eine bedeutende Rolle. Sie über- 
lagert sich mit der diffusen Reflexion und macht die Resultate der Messungen unübersichtlich. 
Bei Pulvern, wie sie ÅNGSTRÖM 6 bei seinen Beobachtungen der Diffusion strahlender Wärme ver- 
wandt hat, fand Goparp? stets reguläre Reflexion. Bei der grossen Wellenlänge der Wärme- 
strahlen kommen die Beobachtungen dieser Art für uns weniger in Betracht. Sie weisen übrigens 
auch durchaus keine Übereinstimmung auf. De La Provostayk und DESSAINS? fanden das Lam- 
bertsche Gesetz für à — 0 bei einer Bleiweiszplatte vollständig bestätigt, nur annähernd bei einer 
Zinnober- und Chrombleiplatte und garnicht für pulverisiertes Silber. MACQUENNE? fand eine 
Bestätigung des Lambertschen Gesetzes für kleine Inzidenzwinkel. Goparp fand ebenfalls für 
i=0 das eos e streng gültig für hinreichend dicke Schichten, während ÅNGSTRÖM keine Überein- 
stimmung findet; die Abweichungen sind aber auch bei seinen Versuchen geringer als vom See- 
ligerschen Gesetz. 

Dieser Überblick über die Literatur zeigt einerseits, dass die diffuse Reflexion durch keine ein- 
fache Formel darstellbar ist, dass aber von den einfachen Formeln der Reflexion die Lambertsche 

! Annal. d. Physik 1, p. 17 (1900). 

? Science (N. S.) 13, 148 (1901). 

3 Transactions Amer. Inst. Electr. Eng. 20, 59, (1902). 

* Annal. d. Physik. (4) 11, 996 (1903). 

5 American Journal of Science, Nov. 1898. 

Bihang till K. Svenska Vet. Akad. Handl. 13, I N:o 4 1887. 
7 Annal. chim. et phys. 10, p. 354. 1887. Journ. de Phys. 7, p. 435. 1888. 


Thèses presentées à la Faculté des Sciences de Paris 1880. 
Pogg. Annal. 74, 147. 1898. 


E 


© 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund pholometr. Messungen. — 48 


vor allen anderen den Vorzug verdiene; keine der untersuchten Substanzen würde in Kugelform 
bei voller Beleuchtung durch parallele Strahlen gleichmässige Helligkeit auf der Scheibe auf- 
weisen, eher würde noch eine stärkere Abnahme nach den Rändern zu erwarten sein, als es 
Lamberts Gesetz fordert. Die Ursache der gleichmässigen Helligkeit der Vollmondscheibe haben 
wir daher in der besonderen Oberflächenbeschaffenheit des Mondes zu suchen. Im Folgenden 
wollen wir verschiedene Hypothesen über die mögliche Beschaffenheit dieser Oberfläche unter 
Zugrundelegung des Lambertschen Gesetzes durchrechnen und an das sich aus ihnen ergebende 
modifizierte Reflexionsgesetz die Forderung stellen, dass es sowohl die Lichtverteilung bei allen 
Phasenwinkeln, als auch die beobachtete Abnahme der Helligkeit des Mondrandes erklärt. 


2. Die Beleuchtung einer mit konischen Erhebungen bedekten Kugel. 


Es ist naheliegend, die gleichmässige Helligkeit der Vollmondscheibe Erhöhungen seiner 
Oberfläche zuzuschreiben, infolge welcher die Kinfallswinkel des Lichtes auf die Randpar- 
tien des Mondes verkleinert werden. Die nächstliegende ideale Form solcher Erhöhungen, 
die eine mathematische Behandlung 
zulässt, und auf der Erdoberfläche 
sehr verbreitet ist, ist die Form des 
geraden Kegels. 

Wir nehmen an, dass die Mond- 
oberfläche mit geraden Kegeln gle- 
chen Öffnungswinkels gleichmässig 
bedeckt ist und untersuchen die Licht- 
verteilung auf einer solchen Kugel. 
Bezeichnen wir die Höhe des Kegels 
durch H, den Halbmesser der Basis 
mit R, den halben Öffnungswinkel 
durch y, die Seitenlinie durch [. 

Es sei weiter ds ein Flächenele- 
ment der Oberfläche, À das Azimut 
dieses Elements mit der Ebene des 
einfallenden und reflektierten Strahls, 
welche mit der Ebene der Zeichnung x 
zusammenfällt, g, 4 der Einfalls- und der Reflexionswinkel des Lichts in ds, à und « dieselben 
Winkel mit der Normalen zur Oberfläche oder der Kegelaxe, endlich r, h Halbmesser und Höhe 


Fig. 4. 


des zum Elemente ds gehórigen Kegels. Wir haben dann 


ri 
EE cotg y 
ds- dirdA; dl- dhseey 
ds — htgysecy dh dA 
COS q = cos 4 Sin y + sin 2 COS y COS A 
COS 9 = COS «sin y + sin # COS y COS À 


N:o 9. 


44 E. SCHOENBERG. 
Die vom Flächenelement ds reflektierte Lichtmenge dq = G cos icoss ds wird 
dq = Ghtg ysec y dh d.A [sin? y cos (cos & + cos? y cos? A sin sin & + sin (à + +)sin ycos y cos A]. 


wo das untere Zeichen in dem Falle angewandt wird, wenn ? und « zu verschiedenen Seiten der 
Normalen, oder der Kegelaxe liegen (e — 0). Nach Integration über die sichtbare Oberfläche 
erhalten wir für 2< y und |s| «y 


H a T 


Q=2GH tg}sec}y jl h an| | sin? y cos 4 COS ed A + ji COS? y sn 2 Sn e COS? À + 
0 0 0 
ir ji sin (2 + «) sin y cos y cos 4 dA | = GH? sin y x (cos à COS etg? y + 1 sin 7 sin +) (13) 


0 


Ist 4 — y, so ist die eine Hälfte des Kegels unbeleuchtet und bei .«| — y erhalten wir dann 
Q = GH? sin y | 5 cos i cos « tg? y + sin i sin & i + sin (2 + 2) tg y | . (14) 
Dieselbe Formel gilt auch, wie leicht zu ersehen, für 


i< y und bei £250 i>y 


lel>y auch für sy 
Bei $7 y 
lel>y und e« O0 ist MES) (15) 
Bei 4—:; «—0 wird 
für» «y | Qo = GH? x sin y (cos? vig? y + 3 sin? i) (13) 
"TH ELE > 1 3E: Jor sini \ 5 
für 2 y Qo= GH? s: sin y (; cos? 2 tg? y + a SR — — tg r) (14) 
Für das Zentrum der Vollmondscheibe isi 
(Qo = G.H? x sin y tg? y — Gr R?siny. (13)" 


Die von einem geraden Kegel, der in seiner Axenrichtung beleuchtet ist, in derselben Rich- 
tung reflektierte Liehtmenge ist somit im Verhältnis des sinus des thalben Offnungswinkels 
gegen diejenige verkleinert, welche von der ebenen Fläche seiner Basis senkrecht zurückge- 
strahlt werden würde, ein Resultat dass sich ohne Rechnung voraussehen liess. 

Bezeichnet n die Anzahl der Kegel pro Quadrateinheit der Mondoberfläche, so ist der ebene 
Teil derselben 1— nzR?. Bei Reflexionswinkeln « > y ist noch ein Teil der ebenen Fläche durch 
die Projektionen der Kegel verdeckt. Wir haben in diesem Fall als sichtbare ebene Fläche 

1 — na H? tg y—nH?tigytge—10—nTrH°te 7 (3 + Ber), 
es sei y y ij 


na H*tg!y-—mmHh?-—k (16) 
dann ist der ebene Teil, wenn wir uns auf den Fall « — 0, à = « beschränken 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. 45 


für e<y 1—k 
 tgecotg Y) 


® 1 
e>Y 1—k(54 E 
Die Flächenhelligkeit der Einheitsfläche wird daher 


für 2—-s&«y p 
J=Gksiny (cos: & + 3 Sin? cotg? 7) Sec € + G cos & (1 — k) (17) 


und für? — 8» 


. . i 2 go i] jp" o 
J — Gk sin (5 COS? & + : sin? « cotg? y + ^ EE? | gec e+ a —k|5- = T : )| 


cos. (17) 
Die letzte Formel (17)’ hat nur solange Gültigkeit, als die Projektionen der Kegelspitzen nicht auf 
die benachbarten Kegeloberflächen fallen. 

Geht man von verschiedenen Annahmen über den Öffnungswinkel y der Kegel aus (etwa 
y = 67.5° und 45°) und berechnet aus den Gleichungen (12), bei welcher Dichte der Kegel die 
Vollmondscheibe gleichmässig hell erscheint, so erweist es sich, was leicht vorauszusehen war, 
dass es eine solche Dichte überhaupt nicht gibt. Wir begnügen uns deshalb mit der Berechnung 
der Intensitätsverteilung bei Vollmond für y = 67.5° und innerhalb der Einfallswinkel 7 = 0 
bis 4 = 67.5°, da hier keinerlei Überdeckungen der Kegel vorkommen können. Dabei nehmen 
wir die grösste mögliche Dichte der Kegel, also Berührung ihrer Grundflächen, an. Die Berech- 
nung geschah nach der Formel 


k sin y (cos e + I sin e cotg? y tg #) + cos e (1 — 4) 
CRETE Er IE AH 7. 4 Xp T (18) 


n ksinyt1-k 


Bei Berührung der Kegelgrundflächen ist annähernd 


Wir erhalten folgende Helligkeiten auf dem Vollmondäquator 


Tatel VI. 


Abst. v. Zentr. 


0.00 | 0.34 | 0.64 |: 0.87 | . 0.92 
Mi E 
| 


J :Jo 1.000 | 0.948 0.801 0.599 | 0.529 


nach Lambert | 1.000 | 0.939 | 0.766 | 0.500 | 0.383 


Lå 


Die letzte Zeile enthält die Helligkeiten, wie sie sich ohne Erhöhungen nach Lambert ergeben. 
Die Lichtabnahme ist durch die konischen Erhebungen verlangsamt. 

Wir berechnen noch einen Fall geringerer Dichte der Kegel, mit einem Abstande der Basis- 
zentren von 3 R. Dieses ergibt für k den Näherungswert k = 0.44. Die Kegel nehmen wir spit- 
zer an, y = 45". Zwischen s = 45° und s = 63.5” ist dann mit der scheinbaren Bedeckung der 
ebenen Fläche zwischen den Kegeln zu rechnen (17)', und die relativen Helligkeiten sind dann 
N:o 9. 


46 E. SCHOENBERG. 


2 


ni La : Lu tgy 
y  ksiny lo COS £ + 4 Sin e cotg? y tg e + 7 sine cotg y ) 4 | 1—k iz 4 imei cu) )| COS # 
————— ln N I u — — EE ÈS 18) 
Jo ksiny+1-%X qo) 
Bei &> 63.5 treten Überdeckungen der Kegelflächen ein, und daher ist der letzte Wert J Sell 
der folgenden Tafel nach einer weiter abzuleitenden Formel berechnet. Wir haben für die Licht- 
verteilung auf der Vollmondscheibe: 


Tafel VII. 


€ 0° | 20 | 40e 50° 60° 6355 | 7695 | 


bts v. Zentr. 1.00 0.34 | 0.64 0.77 0.87 0.89 0.97 
| J : Jo 1.00 0.962 | 0.863 | 0.822 | 0.733 | 0.699 | 0.698 


| nach Lambert | 1.00 


Die Liehtabnahme ist noch mehr verlangsamt. Wenn auch keine gleichmässige Helligkeit zu 
erreichen ist bei strengen Gültigkeit des Lambertschen Gesetzes, so ist doch eine Annäherung 
an die Wirklichkeit erreicht. Es steht zu prüfen, wie sich die Helligkeit des Mondrandes bei zu- 
nehmendem Phasenwinkel bei konischen Erhöhungen verhält. 

Für den Rand des Mondes überdecken sich die sichtbaren Kegelflächen derart, dass der ebene 
Boden zwischen ihnen unsichtbar wird. Zur Berechnung der Flächenhelligkeit brauchen wir hier 
die Dichte der Kegel nicht mehr in Betracht zu ziehen, weil die Flächenhelligkeit unabhängig 
davon, wie gross der von der Kegelspitze aus gerechnete sichtbare Teil sein wird, einfach der 
mittleren Flächenhelligkeit des sichtbaren Kegelmantels gleich gesetzt werden kann; diese ist 
für verschiedene senkrechte Schnitte des Kegels dieselbe. 

Um dieselbe zu erhalten haben wir die nach Formel (14) (\e| > y) berechnete reflektierte 
Lichtmenge durch die scheinbare Fläche derselben zu dividieren; 
letztere ist 

(5 a H?tg?y--H?igyig «) COS € — > a H° tg? ;1 ar re) COS € 


und für ein bestimmtes s konstant. Das Verhältnis der Helligkeiten eines bestimmten Punktes 
(à &) des Mondrandes bei verschiedenen « ist daher von ihr unabhängig. Wir haben daher 
für die Helligkeit des positiven Mondrandes im Verháltnis zur Randhelligkeit bei Vollmond 


itii J Le cotg y | 
3] cos À, COS & + 5 Sin i, sin e, Cote? y + sin (à, + &,) — HII u 
Ter —— OR eat a. Re (RE 

: Re: 3 TESTER y 
E cos? à, +5 sin? i, cotg*y + sin 25, = 
und { (19) 

we V ee cotg y 
Ji COS 7, COS €, — 5 Sin 2, sin e, Cote? y + sin (7, — &) - = R 
Ya _ 2 PC bei >: 
Jo AR AD . 9; COtg y 

cos” à, +5 sin*cotg'y-csin2à > | 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund pholometr. Messungen. 47 


Zum Vergleich der Helligkeit des Randes mit der Helligkeit des Zentrums in Opposition muss 
die sichtbare Fläche in Betracht gezogen werden. Wir haben 


f ( 3 er N sin 2e " ) 
I 15 COS” Sin” e cotg” y - x var 
p : p E c 9 COS NH E d + 27 cote; e 
SRG EE cotg tg: E eU) 
1 + EE cos e (k sin y + 1 —k) 


Diese Formel diente zur Berechnung des letzten Wertes J :J, in der Tafel N:o VII. Nach 
den Formeln (19) wurde für die zwei Fülle y — 67.5 und y — 45 die Helligkeit des Mondrandes 
für den Reflexionswinkel s — 76.5, wie er unseren Beobachtungen entspricht, für wachsende 
Phasenwinkel berechnet. Es ergaben sich folgende Zahlen. 


Tafel VIII. 


Helligkeit des Mondrandes im Abstande 0.03R. 


[17 | 0° | 20 40° 60° 92 80° 90° 120° 

1= 07.5; Ja: Jo 1.00 | 1.51 184 | 1.94 | 1.86 1.81 1.66 1.06 
nm n : m | 1.00 115 | 115 1.08 = 0.82 0.76 | 0.59 0.05 
Ja: ES a. 100 | 0.97 0.86 | on 7 0.58 | 0.55 0.47 0.28 

| nach Lambert 1.00 | 2.36 3.44 | 4.11 4.98 497 | 416 3.11 


Die mit kegelfórmigen Erhóhungen bedeckte Kugel nimmt am Rande anfangs an Helligkeit zu. 
Diese Zunahme dauert bis zu Phasenwinkeln, bei welchen die Sonne in den Zenit des sichtbaren 
Kegelmantels kommt, und ist ihrem Betrage nach stark abhängig von der Zenitdistanz im Mo- 
mente der Opposition, und damit von der Nähe des beobachteten Punktes zum Mondrande. Wei- 
ter nimmt die Helligkeit wieder ab und sinkt schnell zu 0 herab, wenn die Sonne nur noch die 
Rückseiten der Kegel beleuchtet. Die Beobachtung weist, wie die Tafel zeigt, eine anfangs lang- 
same, spáter schnellere Lichtabnahme, widerspricht somit der Hypothese kegelfórmiger Erhóhun- 
sen. Die letzte Zeile, welche die Helligkeit des Mondrandes nach LAMBERT ohne Erhöhungen 
enthält, zeigt, dass die Beleuchtungsverhältnisse durch die Erhóhungen des Bodens, über deren 
Grösse gar keine Voraussetzungen gemacht waren, vollkommen verändert werden. 
Selbstverstándlich kónnen Erhóhungen konischer Art, bei denen Schattenwirkungen erst 
auftreten, wenn die Zenitdistanz der Sonne den halben Offnungswinkel der Kegel übersteigt, 
auch nicht die scharfe Lichtabnahme einzelner Mondgebilde in der Nähe der Opposition erklären. 


3. Die Beleuchtung einer mit halbkugelfórmigen Erhebungen bedeckten Kugel. 

Wir wollen jetzt den Einfluss von Erhóhungen einer anderen Art, die ebenfalls einem Typus 
von auf der Erde vorkommenden Unebenbeiten entspricht, untersuchen. Wir nehmen an, die 
Oberfläche der Kugel sei gleichmässig dicht mit Halbkugeln gleichen Durchmessers bedeckt, 


N:o 9. 


48 E. SCHOENBERG. 


deren Radius gegen den der Kugel verschwindend klein ist, und fragen uns, in welcher Weise 
diese Erhóhungen die Lichtverteilung auf der parallelbestrahlten Kugel beeinflusst. Auch hier 
genügt es, die Helligkeit auf der Vollmondscheibe und die 
Abnahme der Helligkeit des Mondrandes zu berechnen, 
um den Vergleich mit den Beobachtungen auszuführen. 

Betrachten wir zunáchst eine einzelne Halbkugel 
auf dem Intensitätsäquator des Mondes. Der Radius 
der Kugel sei r, das Flächenelement ds. Wir führen die 
üblichen sphärischen Koordinaten in Bezug auf die 
Ebene des einfallenden und reflektierten Strahls ein: o — 
die Lànge, gerechnet vom Gegenpunkte der Erde von 0 
bis + 90°, positiv in der Richtung nach. der Sonne zu, 
und w die Breite vom Äquator nach beiden Seiten bis 
90? anwachsend. Es ist dann die elementare reflektierte 
Lichtmenge 


dq = Gcos 9 cos 9 ds = G cos q cos I 1? cos dv do 


Hier ist 


COS y = COS W cos (o — «) 
COS I = COS w COS 0 


2 à 4 . B B . 
Die Integrationsgrenzen nach w sind 3 und 53 die nach e bezeichnen wir mit a und b. Die 


gesamte reflektierte Lichtmenge ist daher 


3 


2 a a 


3 : ne et 
(OI TA | cos? dw | COS & COS (w — «) de = ; Gr? | COS o COS (m — a) du. 
J : ; 


b 


Bei der Bestimmung der Integrationsgrenzen nach o sind 3 Fälle zu unterscheiden, die durch 
die nebenstehende Figur veranschaulicht sind. 
Diese Grenzen sind bei 


a b 
I en -(s-« 
urne EE 
II NEA ibo (: «) 
rese oe os e 


Wir erhalten nach Ausführung der Integration 
ER er 1 
I c5. t. [cos e (a — + sin 2+) + sin « COS? «| 
2 


RA 1 my 
lub pae aes c ur cos a (7 — e + oin 2+) + sin « sin? «| 


| i (21) 
[cos ce (x —a&4- 2 sin 2 2i + sin? «| | 
| <0 J 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. — 49 


bei i=s « — 0 wird 

it he 

Gr? (x = PES Wy 26) 

ist & die Zahl der Erhöhungen pro Quadrateinheit der Fläche, so ist der ebene Teil 


We öka dL fe 


Davon ist aber bei sz£0 ein Teil durch die Projektionen ;mr?sece verdeckt, sodass der 


sichtbare Teil der ebenen Fläche wird 
1 "2 1 24 a I d 
1—5"-1 og mr* see e — 1 —5 k(1-- sec 6). 


Da dieser Teil nach dem Lambertschen Gesetze reflektiert, so ist die von ihm herrührende 
Lichtmenge 

! 1 . 
Qi Gli -Tk (1 + sec s) | cos i cos e. 


t 


Die Gesamtlichtmenge wird für den Fall «=0, 4 =: 


2 le 1 l 
( +0 -36nr (m -e+ ssin2e)+G(1- SK > k sec & | cos? e. (22) 
Die Helligkeit 
ENT - lg 2s|sec s--G(1— lk — lkse s 23 
gei: i5 (x — 6 + sin 2 «) sec e + ei! ze: sec +) cos e. (23) 
Im Zentrum der Vollmondscheibe ist 
2 ; ! 1 ; 
Jo= 3Gk x G(1 —k) - G(1 gk). (23) 
Die relativen Helligkeiten sind 
2k Ier k Ä 
J am L —e +5 sin 2 : sec e [1 EXONLESSEC »] cos € 


E > = RG (24) 
3 

Diese Formel ist solange richtig, als keine Überdeckungen der Halbkugeln für das Auge eintreten. 
Versucht man einen Wert für k zu bestimmen. bei dem sich gleichmässige Helligkeit vom Zentrum 
bis zum Rande der Scheibe ergeben würde, so erweist sich das für gleichmässige Dichte der Kugeln 
als unmöglich, wenn auch die Lichtabnahme.nach dem Rande zu durch die Anwesenheit der 
Erhöhungen im Vergleich zum Lambertschen Gesetze verringert wird. Die Ausgleichung der 
Helligkeiten ist um so crôsser, je dichter die Halbkugeln stehen. Wir führen hier die Berech- 
nung für den Fall k = 0.44 an, was einer Entfernung der Halbkugelzentren voneinander von 37r 
entsprieht und wobei bis « — 60? keine Überdeckungen vorkommen. 


N:o 9. 


50 BA SCHOENBERG. 


Tafel IX. 
0° 202 |. 40° 602 | T7695 ' 
Abst. von Zentrum . | 0.00 0.34 0.64 0.87 0.97 | 
Essi mod e s us 1.00 0.96 0.86 0.75 0.70 
TUS ud od Er wa 
| | 
Nach Lambert . . . . | 1.00 0.94 0 77 0.50 0.23 


1.00 1.02 1.06 1.07 0.90 


J:J, für die Halb- | 
kugeln allein | 


In der letzten Zeile sind die Helligkeiten ohne Berücksichtieung des zwischen den Halbkugeln 
liegenden ebenen Bodens berechnet nach der Formel 


1 
1G(x-e+psin2e) 


J (25) 


2? = BSmi(l-seecs)cose 

Die Zahlen für « — 76.5? in der ersten und dritten Zeile sind nach einer anderen weiter abzu- 
leitenden Forme! erhalten. 

Wir sehen, dass die Lichtabnahme auf der vollbeleuchteten Scheibe bedeutend geringer ist 
als nach dem Lambertschen Satze ohne Erhebungen. Wir folgern weiter aus den Zahlen der drit- 
ten Zeile, die nahezu gleiche Helligkeit der Erhebungen allein bis dicht an den Rand ergeben, 
dass die Abnahme der Helligkeit wesentlich dem ebe- JS: 
nen Boden zwischen den Erhebungen zuzuschreiben 
ist und desto geringer sein wird je dichter letztere 
verteilt sind. 


7 


Fig. 6. 


Für die Nàhe des Mondrandes müssen die Überdeckungen der hinteren Halbkugeln durch 
die vorderen in Betracht gezogen werden, weil hier auch bei geringer Dichte dem Auge nur die 
Scheitelkalotten der Halbkugeln sichtbar sind. Die mittlere Helliekeit der Kalotten ist aber 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund pholometr. Messungen. 51 


verschieden für verschiedene Hóhen derselben. Es muss deshalb auch eine Hypothese über die 
Dichte der Halbkugeln gemacht werden. 

Die vorderen Halbkugeln werden in ihrer Gesamtheit wie eine Bergkette gleicher Höhe, die 
längs einem Meridiane verläuft, wirken, und wir haben bei der Berechnung der mittleren Hellig- 
keit nur die Lichtmengen in Betracht zu ziehen, die von den sichtbaren Teilen solcher durch zum 
Horizonte geneigten Schnitte entstandenen Kalotten reflektiert werden. Wie aus der Figur er- 
sichtlich, sind diese sichtbaren Teile Halbkalotten. Schattenwirkungen kommen zwischen «e = 0° 
und 90? nicht in Frage, weil von der Opposition bis zum ersten Viertel die Sonne über dem Hori- 
zont des Mondrandes immer höher steigt und erst bei à — c — (y +), wo y den Zentriwinkel 
der sichtbaren Halbkalotte bedeutet, treten die ersten Schatten auf. Wir brauchen diesen Fall 
hier nicht zu verfolgen. 

Wir bezeichnen durch w den Polabstand vom Scheitelpunkte der Kalotte und durch A das 
Azimut des Flächenelementes ds, q, 9 Einfalls- und Reflexionswinkel, dann ist 


ds = r? sin y dy d A 
COS q = COS wW Sin « + Sin w cos « COS À 
cos I = sin w cos A 
dq = G cos g cos 9 ds = Gr? dw d A (cos w sin? w sin « cos A + sin? ı cos « cos? A) 


und die gesamte reflektierte Lichtmenge 


2 7 2 
qg=2 Gr? [sin [2 | cos À d A | cos W sn? y d v + COS « | cos? Ad A fläns vdv| 
0 0 0 0 i 
Nach Ausführung der Integration 
q=2Gr? | 5^ sin’ yc ^ COS a [i — COS y). + n (cos 3 y — 1) | (26) 
In Opposition bei & — 7, « — O0 ist 
ew | 
qo = 26r 7 [201 — 6087) + 19 (00537 — 1] (27) 


Die Helligkeit finden wir hieraus nach Division durch die seheinbare Fläche, die ein Segment 
T? (y — cos y sin y) ist zu 


Ga 


3 1 
„A COS y) + 12 (COS 3y— j| 
— — (28) 


do em ; 
Ü 2y— sin 2y 


Diese Formel diente zur Berechnung der letzten Zahlen J:J, der Tafel IX. 
Bezeichnet man durch f den Abstand MN und durch m den Abstand der Zentren CC, so 
findet sich der Winkel y aus den Gleichungen 


m 
rif sin(5 #41) cosy 
FIAT OAI 2] = eost 
sin(s TE 


r+ f = v COS y sec es; 
und 


N:o 9. 


52 E. SCHOENBERG. 


m+r+f=rsece 
hieraus folgt 
m = rr sec «(1 — COS y). 
Bezeichnet man m= mr, so ist 
n = Sec & (1 — COS y) 


COS y — 1 — COS € (29) 


Bei Berührung der Halbkugeln ist n — 2. Wir untersuchen ausserdem noch den Fall, wo n = 3. 
Die Halbkalotten sind vollbeleuchtet. solange + dem absoluten Betrage nach kleiner ist, als m — 
(y ++). Wir erhalten aus Gleichung (29) für die 2 genannten Fälle 


RE n = 32 
= bis mile JB 


PE ör + 


Die Grenzwinkel der vollen Beleuchtung bei s = 76°.5 sin d 
à = —45.7. und 2- —81.0 

Für den Punkt des Intensitätsäquators mit s = 767.5 entspricht das den Phasenwinkeln 
12292 und qe 1075 


Innerhalb dieser Grenzen können wir die Formel (26) zur Berechnung der Veränderlichkeit des 
Mondrandes anwenden. Wir erhalten für die relativen Intensitäten, die den Verhältnissen der 
reflektierten Lichtmengen gleich sind 


ilis N T 3 1 S 
J ges sin «sim y+ eos « [3 (1— cosy) = jo (1 — cosy) | RN A GUN SENS (30) 
Ju TNG d x (3 MN. J 3 E b 
4 m — cos y) — ga (1 — Cos3 y) | 
Es ergeben sich hiernach foleende Zahlen für die 2 Dichten der Halbkugeln. 
Tafel X. 
i 0° 20° 40° 60° | 80e 90° 120° 
Bee gis 1.00 1.42 1.54 Tort 1.55 1.40 0.71 
de al aestas l'en if 010) 1.28 1.40 1235 1.14 0.98 — 
Nach Lambert ..| 1.00 | 236 | 3.44 | 411 | 497 | 416 | 3.11 
= | —— -- - _ - — Zn | — — -——— 
Beobachtet . .. . 1.00 0.97 0.86 0.71 0.55 0.47 0.28 | 


Bei beiden Hypothesen über die Dichte der Halbkugeln haben wir ein Anwachsen der Helligkeit. 
das freilich gegenüber dem Anwachsen, welches die Lambertsche Formel ohne Erhebungen for- 
dert, mehr als um das Doppelte abgeschwächt ist. Die zweite Hypothese bei der grössere Teile der 
Halbkugeln sichtbar sind, ergibt ein geringeres Anwachsen der Helligkeit, weil bei steigender Sonne 
die unteren Teile derselben, sehr schräg beleuchtet, die mittlere Helligkeit der Kalotte verringern 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. 58 


Im Gegensatz zu kegelförmigen Erhebungen muss sich die Abnahme der Helligkeit bis zum Werte 
0 bei Kugeln langsam und stetig vollziehen, weil die beschatteten Teile der Kalotten allmählich 
sichtbar werden. . Unsere Tafel reicht nicht so weit um das zu verfolgen. 


4. Kalottenförmige Erhebungen. 


Halbkugelförmige Erhebungen sind auf der Erdoberfläche Ausnahmefälle, kalottenför- 
mige dagegen recht gewöhnlich; es soll deshalb auch dieser Fall der Vollständigkeit halber hier 
untersucht werden. 

Wir nehmen den Zentriwinkel der 
eleichmässie auf der Oberfläche verstreu- 
ten Kalotten zu 120° an. Die Polaraxe 
ON richten wir senkrecht zur Mondober- 
fläche. und zur Basisebene der Kalotte und 
rechnen die Polarabstände vr vom Pole 
bis y = 60°, die Azimute von der Ebene 


des Hauptmeridianes, in welcher die Rich- 
tungen zur Sonne und zur Erde liegen von 
0° bis + 1807. Wir lassen die Richtungen 
nach Sonne und Erde zusammenfallen (os), 


beschränken uns also auf die Untersuchung 
der Lichtverteilune bei Vollmond. Bezeich- 


Fig. 7. 


net man durch A, das Azimut des Punktes M, in welchem die Schattengrenze die Grund- 
fläche schneidet, so ist 
cos (m — A,) = cotg y cotg i (31) 


und überhaupt hat man für die Azimute der Punkte der Schattengrenze die Beziehung 
cos (m — A) = cotg v cotg« oder tg w= cotg sec (sz — A) 
w — arcte [cotg i sec (7 — A)] (32) 


Wir haben weiter für das Flächenelement ds der Oberfläche und für die Einfalls- und Re- 
flexionswinkel des Lichts g, 9, wenn À den Radius der Kugel bedeuten folgende Beziehungen 


ds = R? sin w dw dA 
COS I = COS p = COS 2 COS ww + : in z Sin w cos À 


Daher ist die von ds reflektierte Lichtmenge 
dq = G cos g cos 9 ds = GR? sin v (cos? i cos? v + sin? i sin? w cos? À + sin 21 sin w cos v cos A). 
Bei der Integration sind zwei Fälle zu unterscheiden. 
Ist 2« 90 —y, oder 
1 < 30°, so treten keine Schatten auf und die Integrationsgrenze nach A ist von 0° bis x 
nnd von 0 bis —.. Wir haben dann für die reflektierte Lichtmenge 


N:o 9. 


54 EH. SCHOENBERG. 


7, 3 7, & 
q=2GR? (cos? « | sin w cos? ui d v [ a4 + Sin? 4 | sins vid y [ cos: AdA + 
D | D Ma 0 
sin 24 | sin? v cos wdw | cos 4d A) = | (33) 
0 0 


c Do "eos! im T NS mr | le) 4 l 

=" 9 GR? | 3 — (15 cos®y) + Sin? 4 2 F (1 — cosy) — ji; ( — 6083 2) 
Ist 4 > 30°, so integrieren wir zunächst bis 4,, wobei die Integrationsgrenze für w konstant ist 
wie oben, und dann weiter von A, bis x, wobei die Integrationsgrenze für eine Funktion von 
A wird, die aus der Gleichung (32) bestimmt ist. Wir haben somit nach Ausfüarung der mög- 
lichen. Integrationen 


FT 


9 GR? | cos? i 


HEP — (x — A COS y — " COS? U dA) + 


ED 


q- 


T 
NC I PR 3 1 | "(3 ils 5 
+ sin? i[$—5(4.4 5 sin 2 44) (4 cos y — 12 608 3 r)- Hh (4 cos V — 45 6083 v) cos? AdA|+ (34) 
LP ETT m n 
sin 21 / 


3 (sin A Sin? y + 1 sin? v cos À d A ) = 2 GI (1) 


o 


sb 
T 


Die in dieser Formel vorkommenden Integrale, in denen w durch die Gleichung (32) bestimmt 
ist, wurden nach der Gaussschen Formel für eine Reihe fortschreitender Winkel à von 0° bis 75° 
numerisch ausgerechnet. Es ergaben sich auf diese Weise folgende von den sichtbaren Kalotten- 
teilen reflektierten Lichtmengen, die der Formel (34) bis auf den Faktor 2 GR? entsprechen 


i 02 102 202 30° | 409 50° 60° FO PTE 


F (0) 0.916 0.899 0.847 0.769 0.673 0.567 0.456 0.346 0.296 | 


Bezeichnen wir die Anzahl der Kalotten pro Quadrateinheit der Oberflüche mit », so ist der 
ebene Teil derselben 
TL rode mal ds 
Davon ist ein Teil verdeckt und wir können ihn hier, wo es sich um eine Überschlaesrechnung 
handelt, ebenso berechnen, wie im Falle von Halbkugeln, indem wir die schráge Projektion der 


Kalotte auf die Ebene gleichsetzen einem Halbkreise Im + eine Halbellipse „rl, wo 
!=CL. Aus der Figur (7) finden wir leicht die Beziehung 


E r cosec y sec «(1 —3sin e) - 1.1547 r sec e( 1 - sine) 


Der unverdeckte Teil der ebenen Fläche zwischen den Kalotten ist somit 


il 


1 -sk|i + 1.155 sec « (1—5sin e)]. 


Wenn dieser Teil nach Lambert reflektiert, so ist die gesammte von der Flächeneinheit reflek- 
tierte Lichtmenge 


5 2 2.666% ang: YD £i : 
q=2GRnF(i)+G 1 sb |1+ 21.155 sec «(1 -- 5 sin «) |} cos? « - Eh GF(i) + GF,(2)cos?s (35) 


wo F, (1) zur Abkürzung für den Klammernausdruck eingeführt ist. 


Tom. L 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund pholometr. Messungen. 55 


Für das Zentrum der Mondscheibe ergibt sich 


qo = G (1 —0.300k) (36) 
und für die relativen Helliekeiten 
2060k — . VT 
= F' (i) sec e + (1) cos e u 
Jo NET PET (37) 


Für die relativen Helligkeiten der Kalotten allein erhalten wir 


JF) 2.155 


Te 38 
A FO [, (38) 


1 
+ 1.155 sec s (1 +5 Sin 3! COS € 
Nach diesen Formeln sind die relativen Helligkeiten der Tafel XI berechnet, wobei 
: — 0.44 angenommen ist, was einer durchschnittlichen Entfernung der Basiszentren von 37 
entspricht. Bis zum Winkel « = 75° treten dann keine Überdeckungen der Kalotten ein. 


Tafel XI. 
(e 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 159 
dl 9s tesi m 5e dag) 1.00 0.99 0.94 0.87 0.78 0.69 0.61 0.57 


Nach Lambert . 1.00 | 0.98 0.94 0.87 0.77 + 0.64 0.50 0.34 0.26 
I 


Kalotten allein . 1.00 1.03 1.05 1.04 1.02 0.98 0.93 0.85 | 0.81 


Die Tabelle zeigt. wie zu erwarten war, eine ähnliche Lichtabnahme vom Zentrum aus, 
wie bei halbkugelförmigen Erhöhungen. Diese ist bedeutend geringer als sie das Lambertsche 
Gesetz ohne Erhebungen ergibt. Sie zeigt weiter, dass die Lichtabnahme sich bis zu einer 
weiteren Grenze erstreckt. als bei Halbkugeln, weil die Überdeckungen später eintreten. 
Endlich zeigt die letzte Zeile, welche die Helligkeiten der Kalotten allem angibt, in Überein- 
stimmung mit der Tafel IX fast oleichmässige Helligkeit in weiten Grenzen. Die Lichtabnahme 
in der ersten Zeile, die am Rande selbst auch hier einem neuen Anstieg platzmachen würde, 
ist somit durch das ebene Terrain zwischen den Erhôhungen bedingt und wird um so gerin- 
ver sein, je dichter die Erhóhungen stehen. Diese Lichtabnahme muss noch durch eine andere 
hier nicht in Betracht gezogene Ursache in Wirklichkeit verringert werden. nämlich durch die 
Reflexionen zweiter Ordnung von den Abhängen der Erhöhungen, die stärker beleuchtet sind. 
auf das ebene Terrain; auch diese Wirkung wird um so stärker sein, je dichter die Erhóhungen 
stehen. 

Die Veränderlichkeit des Mondrandes folgt bei kalottenfórmigen Erhebungen demselben 
Gesetz wie bei halbkugelfórmigen, weil von den Halbkugeln am Mondrande auch nur Kalotten 
sichtbar sind. Die diesbezüelichen Rechnungen können deshalb nur denselben Widerspruch mit 
der Beobachtung ergeben. wie er in den Zahlen der Tafel X hervortritt. 

Zusammenfassung. Die drei Hypothesen über die Form der Erhebungen auf der Mondober- 
fläche, die hier diskutiert worden sind, führen zu dem übereinstimmenden Ergebnis, dass bei 
strenger Giltigkeit des Lambertschen Gesetzes und ohne Rücksicht auf Reflexionen zweiter Ord- 


N:o 9. 


56 H. SCHOENBERG. 


nung bei gleichmässiger Verteilung dieser Erhebungen eine gleichmässige Helligkeit auf der Voll- 
mondscheibe nicht zu erreichen ist, dass aber diese Helligkeit sehr bedeutend ausgeglichen wird 
im Vergleich zu der, welche die Lambertsche Formel ohne Erhebungen ergibt. Die übrigbleibende 
Lichtabnahme, die sich nicht ganz bis zum Rande des Mondes erstreckt, ist wesentlich durch 
die Lichtabnahme des zwischen den Erhebungen liegenden ebenen Bodens bedingt, während die 
halbkugelfórmigen und kalottenfórmigen Erhebungen in weiten Grenzen nahezu gleich hell er- 
scheinen. Je dichter die Erhebungen neben einander stehen, desto gleichmässiger wird die resul- 
tierende Gesamthelligkeit. _ 

Die Annahme von Erhebungen ist aber ganz ungeeignet, die Veránderlichkeit des Mondrandes 
und überhaupt der mittleren Flüchenhelligkeit der Scheibe mit dem Phasenwinkel zu erklären, 
da sie ein Anwachsen der Helligkeit, des Mondrandes statt einer Abnahme nach der Opposition 
bis zu bedeutenden Phasenwinkeln verlangt. 


5. Der Einfluss von Vertiefungen in der Oberfläche auf die Beleuchtung einer Kugel. 


Sphärische Vertiefungen. Nach den Wilsingschen Ansichten über die Entwickelungsgeschichte 
des Mondes müsste ein grosser Teil der Mondoberfläche aus vulkanischer Lava bestehen. Eine 
sehr gewöhnliche Form von Lava ist der Bimstein, dessen löcherige Oberfläche mit halbkugel- 
fórmigzen Löchern dicht besät ist. Wir wollen den Einfluss solcher Vertiefungen auf die Be- 
leachtung der verschiedenen Phasen untersuchen. Auch hier beschränken wir uns auf den Fall, 
wo der einfallende und reflektierte Strahl in einer Ebene liegen, also auf die Lichtverteilung 
auf dem Intensitätsäquator des Mondes bei verschiedenen Phasen und die Veränderlichkeit 
des Mondrandes. 

Im Zentrum der Vertiefung lieet der Anfangspunkt eines rechtwinkeligen koordinatensys- 
tems (Fig. 8), dessen Z-Axe nach unten gerichtet ist. Wir führen die üblichen sphárischen Koor- 
dinaten des Flächenelementes ds ein, die Breite v, die von der zy Ebene aus gerechnet wird, stets 
positiv ist, und-von 0° bis 90° anwächst, und w die Länge von der X-Axe aus von 0 bis 180° wach- 
send und positiv in der Richtung nach der positiven Y-Axe; letztere Richtung legen wir immer 
in den beleuchteten Teil der Halbkugel. Die Grenze des beleuchteten Teils beginnt stets, auch 
bei << 45° auf dem zur Richtung der Beleuchtung senkrechten Durchmesser der Kugel, also 
auf der X-Axe und schneidet den Hauptmeridian (y2-Ebene) in der Breite v = #— 21, wie das 
aus der Figur ersichtlich ist. 

Um den Verlauf der Grenzkurve auf der Halbkugel zwischen den genannten Punkten zu 
bestimmen, lesen wir folgende Gleichungen aus der Zeichnung ab. 

Der kleine Kreis ABD ist ein zum Hauptmeridian paralleler Schnitt der Halbkugel und die 
serade AD ein den Grenzpunkt A treffender Strahl; AE=z=rsin v 

g — (CD — EC) cotg à = r (V 1 — cos? w cos? e + cos v sin e) cotgi=rsin v 
Nach einfachen Transformationen erhalten wir hieraus die Gleichung der Grenzkurve: 
tg — — sin otg 21 = sin w tg (x — 21) 
setzt man 
tg (a -2)=n, (39) 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. — 57 


Fig. 8. 


80 ist 
w = arctg (n sin o) = p (40) 

Bezeichnet man Einfalls- und Reflexionswinkel auf das Element der Halbkugel ds durch q u. 9, 
so ist. COS g = cos e COS «, + COS f COS B, + cos y cos y, Wo «, B, y die Winkel des einfallenden 
Strahles mit den Axen xyz bedeuten, «,8,y, — die Winkel der Normalen oder des Radius im Ele- 
mente ds mit denselben Axen. Dann ist 

COS a = 0; COS «, = COS W COS © 

CO» B = Sin 2; cos, = cos Y sin o 

COS y = C081; COS y1 = Sin VW 


Ersetzt man hier à durch e, so erhält man die entsprechenden Gleichungen für den reflektierten 


Strahl. Es ist daher 
COS y = Sin ? COS v/ sin o + Sin v/ COS ? 


COS I = gin « cos Y Sin o + sin ı cos e 
dq = Gds cos 9 cos 9; wo ds = 7r?c0s w dy dw 
dq = Gr? dv do [cost v sin? o sin i sin « + sin? v COS v/ cos 4 COS € + cos? v sin v sin (v + &)] 


m 


. 2 p 2 " 
q-— 2 Gr] sim i Sin & J sin? o do I COS? w d'/ + COS 4 COS € | do [ cos w sin? wdw + 
T 9 zi 
2 2 ; 
+ sin (à + &) f sin o do fos v sin v ay]- 2 Gr sin 4 sin « jJ sin? o del? = ar, 
0 = - 0 
n? 2 3 
+ COS 2 COS € fau sin (i + €) [ simo ae (59 _1)] (41) 
0 


N:0 9.. 8 


58 E. SCHOENBERG. 


Diese Formel kann nach Einsetzung von p aus Gleichung (40) nur numerisch ausgewertet wer- 
den; sie gilt für den Fall. dass der einfallende und der reflektierte Strahl auf derselben Seite der 
Normalen liegen, und dabei & — 7. Ist e >i, so lieet die Grenze des sichtbaren Teiles der Halb- 
kugel oberhalb der Schattengrenze. Die Integration ist in diesem Falle bis zur Grenzkurve 


y = arctg [sin o tg (m — 2«)] = arcte (n, sin ©) = p, (42) 
auszuführen. 
Bei der numerischen Integration ist weiter in Betracht zu ziehen, dass die Schattengrenze 
bei kleinen Einfallswinkeln (?< 45°) innerhalb des 3. und 4. Quadranten liest. Es ist bel à < 45 
tg(z —24)«0 und da Y nur positiv sein kann, so folgt aus der Gleichung (39), dass sin w « 0. 
Die Integration nach c hat also die Grenzen — = bis 0, da aber der erste und zweite Quadrant 
auch beleuchtet sind, so nehmen unsere Doppelintegrale jetzt die Form an 


[2E 
12 


2 


I= | sin? o do | cos? u du + | sin? e do | cos? w dw 
ÿ 0 E: p 


TUS 


v0 


und hieraus erhält man nach einfachen Transformationen 


m PB. l Am 
Er | G sin p + jp» Sin 3 p) dw, 
0 
m m F 
2 2 
iie | do | sin? v cos v du + fås Pm ?4 cos vid v 
0 0 
und hieraus 


2 
I "sin? p 
=, J| ^ da, 
3 . 3 
0 
T Tx tra 
E 2 n 2 2 
UNE = fö sin o do | cos? y! sin ud y + [ sin.» do il cos? sin-u'd ur = tafs sin o cos? p du 
0 Ü x p 
2 


Liegen der einfallende und der reflektierte Strahl zu verschiedenen Seiten der Normalen, so ist 
von der beleuchteten Halbkugel nur der Teil sichtbar, der zwischen den Grenzkurven 


ur = aretg (n sin); wo m-tg(s-—22) 
und 
y -arctg(n,sine); wo n,=tg2: liest. 
In diesem. Falle ist 
COS q = sin 4 COS v sin e + Sin v COS 7 


cos I = — sin « COS y sin e + sin Y COS € 


und der Ausdruck für die retlektierte Lichtmenge daher 


Tx 


2 ] 2 p 
= Gy | sin 1 sine | sin? « do | COS? wdıl + COS 1 COS € | do | sin? w cos ur dp + 
0 m 0 Pi 


2 
+ sin (7 za sin o do | cos? u Sin vr ài]. ; 
ü Pı 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. — 59 
' 


TE NI TE A BE : 18s i 
+ SIN 2 SIN & | Sin? w do la (Sin p — Sin pi) + 15 (sin 3 p — sin 3 pi) 
0 


2 
z 


+ COS 7 COS «| dm : (sin? p — sin? p,) + sin (7 - e) | sin e do 3 (cos? p — cos? M), (43) 
0 0 
Die drei Integrale der Formeln (41, 43) wurden nach dem Simpsonschen Regel numerisch ausge- 
wertet, nachdem Tabellen der zu integrierenden Funktionen von 5 zu 5° berechnet worden waren. 
Bezeichnet man den Ausdruck in den Klammern durch f(4, +), so ist also die von der Halbkugel 
reflektierte Lichtmenge 


— 2G rS T (v2) 


und die Helligkeit der kreisrunden Offnung 
DIG TAR 
= p: f(t, s) sec « (44) 


In den hier folgenden Tafeln sind die Werte von f (7, £) sec « zusammengestellt für die beiden 
Fülle: einfallender und reflektierter Strahl auf derselben Seite und auf verschiedenen Seiten der 
Normalen. 


Tafel XII. 
f (2, e) sec « 


Einfallender und reflektierter Strahl auf derselben Seite der Normalen, 


à | 09 | 5-| 40| 45 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | "85 | 90 | 
| | 

0° — 1.047 1.099 1.131 1.133 1.101 1.033 0.938 0.826 0.710 0.606 0.510 0.413 0.319 0 231 0.153 0.088 0. 040 0.010 0.000 

5 — 44034 164.1.198 1.4991 163 1.193 0.994 0.879 0.762 0.659 0.563 0 465 0.367 0.274 0.190 0.117 0.060 0.020 0.000 
10 1.149 1.212 1.265 4.266 1.227 1.153 1.050 0.933 0.815 0.713 0.617 0.517 0.416 0.318 0.227 0.147 0.080 0.031 0.000 
15 — 4473 1.237 1291 1 335 1.293 1.215 1.109 0.989 0.870 0.768 0.673 0.571 0.467 0.363 0.266 0.177 0 101 ,0.041 0.000 
20 — 1.711.233 1.286 4.330 4.362 1.280 1.170 1.049 0.928 0.827 0.731 0.629 0.520 0. 411 0.306 0 208 0.123 0.052 0.000 
25 — 1.107,1.201/1.253 1.295 1.327 1.336 1.235 1.110,0. 989 0. 888 0 794 0.688 0.577 0. 462 0.349 0. 242 0.146 0.064 0.000 
30 10831143 1.194 1.2371 270 1.29311.30611.178/1.05610. 956) 0.861 0. 754 0.638 0.517 0.395 0. 279 0.171 0.077 0.000 
35 1.008 1.069.4.122 1.167 1.203 1.228 1.246 1.253 1.120 1.030 0.936 0.826 0.706 0.578 0.447 0 319/0.199 0.091 0.000 
40 0928 /0.991 1.048 1.097 1 138 1.170 1.194 1.208 1.213 4.144 1.020 0.908 0.782 0.646 0.505 0.365 0.230 0.107 0.000 
45 — 0.857/0.926 0 993 4.049 1.098 4.139 0.170 1.193 1.207 1.212 1.118 1.003 0.871 0.726 0.573 0.418 0.267/0 126 0.000 
50 — 0.794 0.873 0.946 1.011 1.069 1.119 1.160 1.192 1 220 1.230 1.235 1.116 0.977 0.821 0 653 0.481 0.310 0.148 0.000 
56 — 0.720 0.807 0.888 0.962 1.030 1.088 1.138 1.180 1.213 1. 237 1. 251 1.256 1.108 0.938 0.753 0. 559 0. 364 0. 175.0 000 

| 


60 0. vun 732,0. 8200. .902 0. 977 1. 045) 1. 10% 1.156/1.199/1.232 1. 256 1.271/1.27511 0890. 880, 0. 653 0. 433 0.210 0.000 
65 0. 546| 0.646 0. 742 0.830 0. 914 0.990 1. 059. 1.1191.1714 2151. 248 1.273,1.288 1.293 1.054 Al 795 0. 526 0 257 1.000 
70 447 0. 552 0 653 0.750 0.840 0.924 1.001 1.070 1.132 1.184 1.228 1.263 1 287 1.302 1.307 0. 994 0.665 lo. 327 0.000 
75 0.341 0.450 0.558 0.659 0.756 0.847 0. 932 1.010 1.080 1.141 1.194 1.239 1.273 1.298 1.313 1.318 0.886 / 0.4410 000 
80 0. 230 0 343 0.554 0.560 0. 663 0. 761,0. 852 0.938 1.016 1.086 1.148 1.202 1 346 1.281. 1.306 1.321 1 526 0.665.0.000 
85 0.116 0.234 0 344 0.454 0.562 0. 666! 0. 763, 0. PR 0.941 1.020 1.090 1.152 1.206 1 249 1.284 1. 3091 325 1.330 0 000 


90 ‚0.000.0.000 0.000 0.000, 0.000,0.000 0. 000 0. 000 0.000 0.000 0.000 0 000 0.000,0.000,0.000 0.000,0.000.0 000.0.000 


60 E. SCHOENBERG. 


Tafel XIII. 
f (9,5) sec « 


Einfallender und reflektierter Strahl zu verschiedenen Seiten 
der Normalen. 


35 | 40 45 | 50 | ss| 60 | es | vo 75 | 80 | 85 | 90 


| | | | I | | | | | 
| | | 
0° 11.047 1.099 1131 1. AE 101 1.00% 0.938 0.826 0.711,0.606,0.510 0.413 0.319 ‚0.231/0.153 0.088 0.040 0.010,0.000! 
5 1.103 1.035 1. 064. 1 067 4. 037 0.947 0.882 0.772,0.659. 0. 953, 0.457 0 361 0.270 0.187,0.116,0.059,0.020,0.000| — 
10 14491 077 0. 995 10.999 0.971 (0. 912 0.824 0. 716 0.604. 0. 449 0 SU 0. 308 0.221/0.143/0.078 0.030 0.000 = | = 


15 (14473) 1.101 1.018 10.925 0.901 0. 846 0. 761 0.657 10.546) 0. 4390. ‚344 0. 252 0. 269 0.097 10.040/0.0000 — | — | — | 
20 1472 1400 1.018 0.926 0.824 0.773 0.693 0.592 0.482 0.355 0.282 0.192 0.115 0.049 0.000 22 sed — | 


25  4.1074.071/0.991 0.901 0 802/0.695 0 618 0.521 0.415 0. 310 0. 2160. 4431/0 058,0.000! | | 
| | 
30 11.0831. Med .937/0.849 0.752 0.647 0.535 0.444 0.341 0. 238 0. 147 0. 057) 0. 990. = a ===, = 


35 [1.008 09390. .861 0.774 0.679 0.577 0.469 0. 347 0. 261 0.162 10.074| 0. 000 — | —[—-|-|-— == 
40 0.928 0. 8570. 777 /0.689 0.593 0.491 0.386 0. 280 0.177 0.082 0. 000! | | | | | | 
| 45 0.857 0.779 0.695 0.600 0.501 0.397 0.292 0.187 0.089 0.000. =] =E NE EVEN RN 


I 


0.791 0.708 0.615 0.517 0.412 0. 305 0 198, 0. 095 0.000! = | 
55 (0.720 0.628 0.529 0.425 0.3150. 207 0.100 0. 000) — = MEN = | — 


60 0 698 0.539 0.435 0.326 0.215 0.105 0.000 — = E ee 


| | 
65  10.5460.449 0. 334 0.221 0.108 0.000 | NE - | | | 
70 0.4470 338. 02250.1120.000 — | — | | = | 


| | 
75 0.341 0.230 0.114 0.000 — | — | - RE BE | 


80 0.230 0.116 0.000. 
85 0.116 0.000. - | | —| = EN NEN NEN SS / 
90 10.000] — | — | —| | —| - | | —| —1 


Verfolgen wir die Zahlen der ersten Tabelle längs der Diagonale, die gleichem Einfalls- und 
Reflexionswinkel, also der Lichtverteilung längs dem Intensitätsäquator in Opposition entsprechen, 
so sehen wir, dass sie nahezu konstante Helligkeit für alle Punkte ergeben. Nur in allernáchster 
Nähe des Zentrums ist ein kleiner Anstieg zu bemerken. Dagegen zeigen die horizontalen Zeilen, 
welche den Helligkeitsverlauf bei konstanten s angeben, vom Werte s = 4 an starke Abnahme 
der Helligkeit. 

Um zu prüfen, wie weit die poróse Beschaffenheit der Oberfläche die beobachtete Licht- 
verteilung auf der Mondscheibe erklären kann, müssen wir zunächst eine Hypothese über die 
Reflexionsformel für den übrigen nicht porósen Teil der Oberfläche machen, denn sogar bei Be- 
rührung der kreisfórmigen Poren bleiben 22 °/, ebener oder anders geformter Oberfläche nach. 
Lava ist oft derart dicht mit Löchern besät, dass sogar die Wände zwischen den Poren viel- 
fach zerstört sind und die Form der übrigen Oberfläche ist dann schwer bestimmbar, jedenfalls 
aber nicht eben, weil auch bei diesen kleinen Löchern, wie bei den grossen Kratern bei Ent- 
weichen der Gase ein Aufreissens und Aufwölben des umgebenden Bodens stattfindet. Man 
wird deshalb schwer erwarten können, dass für den nicht porösen Teil der Oberfläche die 
Lambertsche Reflexionsformel unverändert gültig sein wird. Wir bezeichnen die bestimmende 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. — 61 


Funktion allgemein dureh G,«(7,s). Den Anteil der nicht porösen Fläche, der auf eine Pore 
kommt durch n?r2, dann ist die Helligkeit der Oberfläche proportional mit 
2Gr* 


T 


f (3, S) sec € + Gi m? r? p (2, e) sec e Wie 
oder | p 

DBODESTHOD 
wo fi=fsece, y=ygsece und 


na G, le : 
yt e UG | ) (45) 
die relative Helligkeit zweier Punkte der Oberfläche ist V 
e. JI fi G, s) - kg, (?, £) MM Put Ps (46) 


fi (à &)-d kg, (à &) 


Aus den Beobachtungen auf dem Intensitätsäquator bei verschiedenen Phasen zeigte sich sofort, 
dass wenn man für die Funktion f (i, «)sec € die Werte aus den vorigen Tabellen entnimmt, der 
Gleichung nur bei einem nahezu konstanten oder mit dem Winkel 2 sehr langsam abnehmenden 
Ausdruck für q,(7,:) genügen kann. Dasselbe Resultat ergab sich bei der vorläufigen Prüfung 
der Randbeobachtungen. Es wurde deshalb für die Funktion &,(t,+) die Seeligersche Form 
angenommen , 
$155) — Gi st Mount 

Dem Koeffizienten 4 wurden versuchsweise verschiedene Werte gegeben und für jeden von ihnen 
der entsprechende Wert für k abgeleitet. Da jede zwei Beobachtungen zur Bestimmung von k 
dienen kónnen, kam hier auch die Methode der kleinsten Quadrate zur Anwendung freilich nicht 
in strenger Form, da die benutzten Gleichungen zur Bestimmung des besten Wertes für k, für 
ein gegebenes 4 


J Ti £) + ko qi (à €) p (i, €) Pi (à &) "7 
IT, IG CE AR Mod nes fi (4 6) + Ko qi CU =! en 


nicht unabhängig von einander sind. Als Referenzpunkt (à +) diente wie früher der Punkt 1 
in der Mitte des Intensitätsäquators und es wurden nur Mittelwerte aus 2—4 Beobachtungen 
mit naheliegenden Werten von « bei der Ausgleichung benutzt. Schon die erste Probe mit 4— ; 
gab eine gute Annäherung, der Wert 4 — 0.1 führte aber zur besten Übereinstimmung. Es 
konnten nur die Beobachtungen mit « — 90 zur Prüfung der Porentheorie benutzt werden, weil 
bei «—2 > 90? kein Licht mehr aus den Poren ins Auge gelangt. Die folgende Tabelle veran- 
schaulicht das Resultat der Rechnungen für die zwei Hypothesen 4 = 0.3 und 4 = 0.1. 

Zu oberst stehen die beobachteten Helligkeitsverhältnisse, unter ihnen die Differenzen 
Beobachtung — Rechnung in Gróssenklassen für die beiden Hypothesen (Hypothese 2 in kursiv). 


Die Werte für k sind 
Hypothese 1 4220.83; k—1.4 


» 2 20.1; =) 
Der Hypothese 2 gebührt zweifellos der Vorzug. Eine Prüfung derselben kónnen wir erhalten, 
wenn wir die Gleichungen (47) auf die Randbeobachtungen anwenden, die sich bei keiner der 
früher untersuchten Annahmen auch nur annähernd darstellen liessen. Der Kurve auf Seite 26 
wurden für jede 10? des Phasenwinkels die Helligkeiten entnommen und auf die Helligkeit bei 
N:o 9. 


62 E. SCHOENBERG. 


Tafel XIV. 
Beobachtungen | = y e 5 5 E 

PIE COUR IL DE LA PER ae: 

Je 2 4 3 5 

18, 28, 31 20.1 | - - 0.929 0.795 
2 E- —0,07-^ = 005) -! 0010 85:0:93 

DER MA INA 1.028 1.143 = 5 

| | + 0.11 --0.08, — 0.01 — 0.01 = = 
MD que 56.8 | 1.095 1.069 0.969 0.699 | 
|+ 0.18 +0.13 | + 0:21 4 0.16, — 0.80 — 0.19, — 0.33 — 0.10 

V8? 1 dr federa 1.198 1.108 0.769 0.539 
+ 0.08: + 0.01 + 0.19 : + 0.08 | + 0.10 | + 0.05 | — O16" +048 


« — 0 bezogen. Es wurden dann einige Hypothesen über den Wert des Koeffizienten 4 ge- 
macht. Noch deutlicher, als bei der vorigen Untersuchung, trat aber die Erscheinung auf, dass 


der porenfreie Teil der Oberfläche seine Helligkeit nur sehr wenig verändert. Es wurde deshalb 
À = 0.1 angenommen, wenn auch 4 — 0.0 also das Reflexionsgesetz q (1. +) = G, 608 s ebenso 
eut oder noch besser genügt hätte. 

Die Anwendung der Gleichungen (47) bei konstantem « = 76.5 auf die Werte J, : J, ergibt 
für k den Wert k — 0.94. Für 4 = 0.3 ist keine genügende Übereimstimmune zu erhalten. Wir 
bleiben deshalb bei Hypothese 2. Die Übereinstimmung der erhaltenen Werte für k, und das 
aus der foleenden Tabelle einzusehende fast vollkommene Zusammenfallen der beobachteten 
und nach Formel (46) berechneten Veränderlichkeit des Mondrandes bestärkt die in diesem Kapi- 
tel behandelte Hypothese. Die Berechnung geschah mit den Werten k= 1.0, 4 — 0.1. 


Tafel XV. 
rs | 
a | m, = M, fi (i, &) | q; (à €) m, — Mo | B-G | 
RAA e 
| 0° 0.00 1.320 0.909 0.00 0.00 
| 10 0.01 1.299 0.944 — 0.01 + 0.02 
20 0.03 1.239 0.959 + 0.02 + 0.01 
2000 0220.08 1.141 0.967 + 0.06 + 0.02 
40 0.17 1.010 0.971 + 0.13 + 0.04 
50 0.27 0.847 0.974 + 0.22 + 0.05 
60 0.38 0.659 0.976 + 0.34 + 0.04 
70 0.51 0.451 0.976 + 0.48 + 0.03 
80 0.65 0.230 0.976 Mn 0.67 — 0.02 
90:8 10:88 0.000 0.976. | + 0.88 — 0.06 


Tom. L 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. — 63 


Eine bessere Übereinstimmung anzustreben scheint bei der Unsicherheit der beobachteten 
Kurve überflüssig. Die Funktion f (+, +) kennzeichnet die Liehtmengen, die aus dem porösen 
Teile der Oberfläche zu uns gelangen, die Funktion y (+, £) jene des übrigen Teiles. Diese Tren- 
nung kann freilich nicht als ganz streng angesehen werden, wegen der bei der Theorie gemachten 
Vernachlüssigungen.! Das aus den Löchern zurückgestrahlte Licht wird wegen der Reflexionen 
zweiter Ordnung innerhalb der halbkugelförmigen Höhlung geringere Schwankungen aufweisen. 
als es sich in den Zahlen unserer Tabellen 12 und 13 ausdrückt, wenn auch der Unterschied bei 
dem geringeren Reflexionsvermögen (Albedo) der Lava nicht bedeutend sein wird. 

Der prozentuale Anteil der porösen Fläche kann unter diesen Umständen nicht sicher be- 
stimmt werden. Für den Wert k = 1.0 erhalten wir nach (45) 

k= a =1 n? = a — 0.64 eu 
G ist die Konstante des Lambertschen Reflexionsgesetzes, oder die bei senkrechter Bestrahlung 
von der Flächeneinheit senkrecht reflektierte Lichtmenge, 0.9 G, die unter denselben Bedingun- 
een nach der Seeligerschen Formel bei 4 — 0.1 reflektierte Lichtmenge. Die Betrachtungen der 
vorigen Kapitel haben aber gelehrt, dass die Seeligersche Formel bei kleinen 4, mit der gleichmäs- 
sigen Helligkeit in Opposition und geringen Veránderlichkeit in der Nähe derselben sich als Resul- 
tat der Wirkung halbkugelfórmiger oder kalottenfórmiger Unebenheiten der Oberfläche ange- 
sehen werden kann, wobei jedes ebene Flächenelement nach Lambert reflektiert. Wir können 
diese Hypothese hier weiter verfolgen und einen Grenzwert für das Verhältnis G : G, aus folgender 
Überlegung ableiten. Denken wir uns im Zentrum der Vollmondscheibe ein Flächenelement 


2 


sr? die von ihm reflektierte Lichtmenge ist nach LAMBERT G.r7?. Haben wir dagegen über 1? 


eine balbkugelfórmige Wölbung, so ist die reflektierte Lichtmenge „Gar. Es wäre daher 


0.9 G, ar? = = Gar? 
Gm 100748 
Man darf diesen Wert als untere Grenze des wahren Wertes ansehen, weil bei schwächeren 
Wölbunsen (kalottenförmigen Erhöhungen), wie leicht ersichtlich, sich grössere Werte ergeben, 
die aber immer kleiner bleiben, als die Einheit. Bei diesem Werte ergibt sich 
n? — 0.864 


Der Anteil poróser Fläche wäre dann 
LULU 
TT + mrt 
Dieser freilich sehr unsichere Wert entspricht zufälliger Weise genau einer direkten Berührung 
der Poren, der zwischen den Poren übrig bleibende Teil müsste dann gewólbt sein und für den 
Bereich der Phasenwinkel von 0 bis 90^ am Rande der Scheibe nahezu unveránderliche Helligkeit 
haben. Da derselbe aber nicht mehr halbkugelförmig oder kalottenförmie sein kann, so können 
wir dieses Resultat nicht weiter prüfen. Die Lavastücke, die mir zugänglich waren, weisen bei 
dicht anliegenden Poren zwischen denselben nichts weniger als ebenen Boden auf; vielmehr ist er 


' Ein geringer Teil der Poren wird zur Normalen geneigte Axen haben. Daher wird es Poren geben, 
die über « —909 hinaus zur Beleuchtung beitragen werden, und unteralb dieser Grenze wird die Funktion 
f(i,e) durch ihre Mitwirkung einwenig ausgeglichen werden. 


N:o.9. 


64 E. SCHOENBERG. 


unregelmässig aufgeworfen, Gebirgsgraten vergleichbar, und leuchtet stark bei grossen Einfalls- 
winkeln, wie das am Schluss abgebildete Lavastück zeigt. 

Wenn die zwischen den Poren liegende Fläche Rundungen aufweist, so sind bei grósseren 
Phasenwinkeln « > 90 am Rande der Scheibe nur diese Wölbungen sichtbar und für die grósse- 
ren Phasenwinkel müsste das Reflexionsgesetz hier von den Poren ganz unabhängig sein. Unsere 
Kurve für die Helligkeit des Mondrandes erstreckt sich bis « — 120^. Entnimmt man ihr die 
Helligkeiten Lio und Igo, SO ist 

Jl 27/65 = ORE 
während unsere Tabelle No. 10 für die Helligkeit der am Rande der Scheibe allein sichtbaren 
Kalotten bei n — 2 ergibt 

es Qs 
Diese Übereinstimmung ist bei der Unsicherheit der Kurve in diesem Gebiete, sowie auch der 
Unsicherheit der über die Wólbung des Bodens als genügend zu betrachten. 

Die Annahme dicht verteilter halbkugelfórmiger Porem mit 
Rundungen des Bodens zwischen ihnen erklärt sowohl die Licht- 
verteilung auf der Scheibe als die absoluten Helligkeiten des 
Mondrandes bei verschiedenen Phasenwinkeln auch bei stren- 
ser Gültigkeit der Lambertschen Formel. 


6. Zylinderförmige Öffnungen. 


Es soll hier noch der Vollständigkeit halber die Beleuchtung schmaler zylinderfórmiger Poren 
untersucht werden. Die Tiefe der Öffnungen wird im Verhältnis zum Durchmesser als unendlich 
gross angenommen. Ein rechtwinkeliges Koor- 
dinatensystem wird in das Zentrum der Öff- 
nung gelegt und die Z-Axe in die Zylinderaxe 
nach unten verlegt. Die Schattengrenze beginnt 
auch hier bei allen Einfallswinkeln des Lichtes 
auf dem zu der Ebene des einfallenden und re- 
flektierten Strahles senkrechten Durchmesser, 
der mit der x-Axe zusammenfällt. Die Gleichung 
der Schattengrenze erhalten wir, wenn wir die 
Koordinaten des Schnittpunktes des Lichtstrah- 
les SA mit der Zylinderfläche bestimmen. Wir 
haben 


um 


qz?--y*— T? und 
{x = r COS w 
ly—etgi—rsino 


Hieraus folgen die Gleichungen für die Koordinaten des Schnittpunktes 
2rsi Y . . 
2—0 und 2= es 2 = 9 r sin w cotg (1) (48) 


Auf ähnliche Weise kann die Grenze für den sichtbaren Teil der Zylinderfläche bestimmt werden 
Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. — 65 


Man braucht nur in der obigen Gleichung + durch « zu ersetzen. Man ersieht leicht, dass wenn der 
einfallende und reflektierte Strahl zu verschiedenen Seiten der Normalen liegen, die beiden Grenz- 
kurven auf verschiedenen Seiten des Zylinders liegen, und daher überhaupt kein Licht ins Auge 
gelangt. 
Bezeichnet man durch g und 9 Einfalls- und Reflexionswinkel vom Elemente der Oberfläche 

ds, so findet man ! un. 

COS q = sin e sin ? 

COS 9 = sin © Sin € 
Die reflektierte Lichtmenge ist daher 


dq = G cos q cos I ds = Gr sin « sin ? sin? o do dz 


Solange s << à haben wir bis zur Schattengrenze zu integrieren, daher 


T 7 
2 2» sin c cotg i 2 
RICE ki RS eic 2rsin 4, oUm 
q = 2 Gr sin i sin £ [ sin: o do [ de = 9 Gr SIM I SINE f sin? o do EE =; Gr? cosısine. (49) 
0 0 0 = i 
Ist s grösser als +. so ist die Integrationsgrenze nach z — dun und wir haben dann 
Oct 
q = 3 Gr? sin ? COS # (50) 
Die Helligkeiten der Offnungen sind 
A À 4 TE 
J—,4.Gcositangs; und J=, Gsini (51) 


Die folgende Tabelle enthält diese Helligkeiten für verschiedene Winkel à und « von 0° bis 90° 


ohne den Konstanten Faktor ES 


Tafel XVI. 


Die Helligkeiten zylindrischer Öffnungen. 


t | r3 BERI "Tal | | 
NO 0° 0 | 3 jnu soi^| 40 | 50 60 20, 1 "B 90 | 
I | | | | | 


| 0°. 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 0.000 | 

| 10 | 0.000 | 0.173 | 0.165 | 0.152 | 0.134 | 0.113 | 0.088 | 0.060 | 0.081 | 0.000 
20 | 0.000 | 0.174 | 0.342 | 0.315 | 0.278 | 0.234 | 0.182 | 0.124 | 0.063 | 0 000 
30 | 0.000 | 0.174 | 0.342 | 0.500 | 0.449 | 0.871 | 0.289 | 0.197 | 0.100 | 0.000 | 


| | 
| 40 | 0.000 0.174 0.342 0.500 0.643 0.539 0.420 | 0.287 0.146 0.000 
| 


50 | 0.000 0.174 0.342 0.500 0.643 0.766 0.596 0.408 0.207 | 0.000 
60 | 0.000 0.174 0.342 0.500 0.643 0.766 0.866 0.592 | 0.301 0.000 
70 | 0.000 0.174 0.342 0.500 0.643 0.766 0.866 0.940 0.478 0.000 
80 | 0.000 0.174 0.342 0.500 0.643 0.766 0.866 | 0.940 0.987 0.000 | 
90 0.000 0.174 0.349 0.500 0.643 0.766 0.866 0.940 0.987 | 0.000 


66 E. SCHOENBERG. 


Betrachten wir die Zahlen auf der Diagonale der Tafel, welche gleichen Winkeln + und e 
entsprechen, so sehen wir, dass die Helligkeiten der Offnungen, vom Zentrum der Vollmond- 
scheibe aus, wo sie 0 sind, proportional zum sinus des Einfallswinkels anwachsen. Da die Hellig- 
keit des ebenen Bodens zwischen den Offnungen mit dem cosinus desselben Winkels abnimmt, 
so ist ohne weiteres klar, dass bei gleicher Dichte der Öffnungen gleichmässige Helligkeit der 
Vollmondscheibe unmöglich ist. Nimmt man dagegen zwischen den Öffnungen gewölbten Boden 
an, der für sich allein nahezu gleichmássige Helligkeit ergeben würde, so wäre die Gesamtwirkung 
ein Anwachsen der Helligkeit nach dem Rande zu. Das Zentrum der Mondscheibe müsste 
demnach bedeutend dunkler erscheinen als die Ränder. Die Helligkeit des Randes würde ein 
scharfes Aufleuchten mit nachfolgendem langsamem Abfall der Helligkeit aufweisen. Für die 
typische Mondoberfläche kommt deshalb diese Hypothese nicht in Betracht, wenn auch einzelne 
Mondgebilde ähnliche Helligkeitsschwankungen aufweisen kónnen. Wir brauchen diese Hypo- 
these hier nieht weiter zu verfolgen, weil unser Beobachtungsmaterial keine Handhabe dazu 
bietet. 


7. Die Beleuchtung einer von runden Öffnungen durchbrochenen Decke. 


Die eigentümliche Form der Phasenkurve, welche einzelne Gebilde des Mondes, wie die hellen 
Strahlen des Kopernikus, das Innere kleiner Krater, aufweisen mit dem äusserst schnellen Abfall 
der Helligkeit in der Nähe der Opposition (siehe Fig. 2), legt die Erklärung nahe, dass hier nur 
in nächster Nähe Teile der Oberfläche sichtbar werden, welche bei grösseren Phasenwinkeln 
unverändert dunkel erscheinen. Das führt zu der Hypothese einer durchlöcherten Decke, 
wie sie bei glasurartiger Lava manchmal beobachtet worden ist. Hier ist die Dicke der 
Wände der Decke verschwindend im Vergleich zu ihrer Erhebung über dem Boden, und es 
ist deshalb bei der Berechnung des Beleuchtungseffekts dieselbe zu vernachlässigen, dagegen 
die Beleuchtung des Bodens in Rechnung zu ziehen. Ähnliche Beleuchtungseffekte können 
übrigens auch auf ganz andere Weise 
etwa in Anhäufungen lose liegender fla- 
cher unregelmässig geformter Blättchen 
entstehen. 

Da die Beobachtungen Mankows die in 
Fig. 2 dargestellt sind, noch einer Bestä- 
tieung bedürfen, so soll dieser Fall hier 
nur kurz behandelt werden. 

Wir denken uns die Offnungen kreis- 
förmie, bezeichnen ihre Höhe über dem 
Boden durch h. ihren Radius durch r. In 
der Figur 9 sind C, und C, die Zentren 
der Projektionen der Offnung von der 
Sonne und von der Erde aus. Solange diese beiden Projektionen einen gemeinsamen Teil 
haben, dringt noch Licht aus ihnen zum Beobachter. Vom Momente an, wo die beiden Kreise 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes au f Grund photometr. Messungen. 67 


sich berühren, erscheint die Öffnung schwarz. Bei Überdeckune ist der gemeinsame Teil ein 
Doppelsegment, dessen Fläche gleich ist mit 


F — v? (8 B — sin 26), 


wo 2B der Zentriwinkel zwischen den Schnittpunkten der Kreise ist. Wir bezeichnen 


C, C. 
co88 — 5 —u; 
Dann ist duit 
F= 27? (arc cogu — uy 1-— u) (52) 


Dieser Ausdruck kann noch durch eine Reihenentwickelung, ausgehend vom Momente der Oppo- 
sition, in welchem w = 0 ist, in die Form gebracht werden 


a u? ut 
Pons Burg a) (63) 


Die Kurve in Fie. 2 ist viel zu unsicher, als dass eine Anwendung der obigen Formel für sie statt- 
haft wäre. Vielleicht darf sie dazu benutzt werden, um einen Näherungswert für die Grösse der 
Öffnungen im Verhältnis zur Höhe der Decke abzuleiten. Wir haben aus der Fie. 10. 


AO, =hseci, AC,=hsecs; 
C, C; = h? sec? à  h? sec? e— 9 h? cos « sec i sec & 


Mit Hilfe der Beziehungen zwischen sphárischen Koordinaten auf der Scheibe und den Winkeln 


i und e, 
COS 2 = COS V/ COS (v — c) 


COS & = COS U COS m 


verwandelt sieh diese Gleichung in folgende 


C, C, — COS y xs EET (o — c) (54) 
Bei €, C, = 2r tritt kein Licht mehr aus der Öffnung ins Auge. Wir sehen, dass mit Ausnahme 
des Gegenpunktes der Erde für alle anderen Punkte des Mondes der Verlauf der Helligkeitsab- 
nahme durch Verdeckung vor und nach der Opposition unsymmetrisch verlàuft. In den Beobach- 
tungen von Markow eines hellen Strahles von Kopernikus und eines kleinen Kraters tritt diese 
Unsymmetrie auch hervor, doch ist sie unbedeutend, weil die Länge der Gebilde vom Zentral- 
meridian nicht gross ist (e — 197); sie ist deshalb bei der Ableitung der Kurve für w(«) (Fig. 2) 
nicht beachtet worden. Diese Kurve ist dazu als Mittel für beide Gebilde erhalten worden, weil 
der Unterschied zwischen ihnen gering war. Setzen wir in die Formel 


h ^ cos cos m cos(m — o) 
2R sinc 


für w und w die mittleren Koordinaten der beiden unweit von einander liegenden Punkte ein: 
a = 19°, w = 31.5^, und für « den Wert, bei dem die Kurve v'(«) ihren Bruch hat, « = 15?, so 
erhält man x = 3.1. 


Auch über den Teil der Fläche k, welcher innerhalb einer [ | Einheit von Öffnungen bedeckt 
N:o 9. 


68 E. SCHOENBERG. 


st, kann aus dem Verhältnis der minimalen zur maximalen Helligkeit ein Schluss gezogen 
werden. Dieses Verhältnis ist gleich dem Verhältnis des unbeschatteten Teils der Fläche zur 


ganzen, also nach Fig. 2 
Jones 1—k 
I max À 1 


woraus k — 0.30 folgt. 


8. Übersicht über die Resultate des zweiten Teils. Schlussfolgerung. 


Ausgehend von der Annahme, dass, die Lambertsche Reflexionsformel, welehe den Versuchen 
im Laboratorium über diifuse Reflexion irdischer Substanzen, doch noch am besten genüst, 
auch für die ebene Mondoberfläche annáhernd gültig ist, sind verschiedene Hypothesen über 
die besondere Beschaffenheit der typischen Mondoberfläche gemacht worden, um die Beob- 
achtungstatsachen über die Lichtverteilung und Lichtabnahme mit dem Phasenwinkel, wie sie 
im ersten Teile dieser Arbeit festgestellt sind, zu erklären. 

Diese Tatsachen: gleichmässige Helligkeit der Vollmondscheibe. gleichmässige Helligkeit 
des Mondrandes innerhalb ?/, der Mondsichel bei allen Phasen, starke Veränderlichkeit der mitt- 
leren Helligkeit der Scheibe mit dem Phasenwinkel, welche alle in der empirischen Formel 


COS i COS € 


dg — Gi — —— y (e)ds 


cos À + g cose 


ihren Ausdruck fanden, können bei einer Annahme über die Beschaffenheit der typischen Mond- 
oberfläche auch eine theoretische die Beobachtungen quantitativ befriedigende Erklärung finden. 

Diese Oberflächeist dicht besát mithalbkugelfórmigen Vertie- 
fungen, wobei der zwischen denselbenliegende Boden konvex nach 
obengewólbtist. Löchrige Lava, wie sie das beigefügte Bild zeigt, entspricht am besten 
solcher Beschaffenheit. Demnach wäre die Oberfläche des Mondesüberall dort, 
wo das Fernrohr keine Details mehr aufweist, von derselben Be- 
schaffenheit im Kleinen wie sieim Grossen in den kraterreichen 
Gegendenfür das Fernrohrist. Da die maria ein nahezu gleiches Reflexionsgesetz 
haben, wie die Kontinente, so gilt dieses Resultat auch für die maria. 

Loses Gestein, dicht an einander gedrängt, könnte durch die Rundungen der hervorstehenden 
Teile und die Lócher, die zwischen den Steinen entstehen, als Resultat ein ähnliches Beleuch- 
tungsgesetz bedingen, wie die lóchrige Lava. Dann müsste aber die ganze Mondoberfläche 
auch auf den maria in weiter Entfernung von den Kratern mit dicht an einander liegenden Stei- 
nen besát sein. Da diese Annahme im hohen Grade unwahrscheinlich erscheint. die erste aber 
mit der Entwickelunesgeschichte des Mondes wie sie E. Wırsıng durch viele Gründe überzeugend 
gestützt hat, in gutem Einklange steht, so dürften die Resultate dieser Untersuchung nicht un- 
wesentlich zur Bekräftigung der Wilsingschen Ansichten beitragen. 

Diese Schlussfolgerungen bedürfen freilich wegen der Unsicherheit des Reflexionsgesetzes 
noch einer experimentellen Bestätigung, welche durch Beobachtungen im Laboratorium über 


Tom. L. 


Untersuchungen zur Theorie der Beleucht. des Mondes auf Grund photometr. Messungen. 69 


das photometrische Verhalten porüser Lava leicht erhalten werden kann. Diese vorausgesetzt 
wird man sich des Schlusses nicht entziehen kónnen, dass die Mondoberfläche auch in ihren 
tiefer liegenden Teilen niemals die ausgleichende Wirkung einer Flüssigkeit oder einer dichten, 
staub tragenden Atmosphäre erfahren haben kann. Beide hätten in kurzer Zeit die Löcher 
des Bodens mit feinen Teilchen gefüllt und somit denselben wesentlich geebnet. 

Ein Nebenresultat dieser Untersuchung ist die besonders starke Lichtabnahme in nächster 
Nähe der Opposition einzelner heller Gebilde der Mondoberfläche (helle Strahlen das Innere 
kleiner Krater) welche auch die Gesamthelligkeit des Mondes in Opposition bedeutend vergrós- 
sert. Diese Erscheinung kann ebenfalls durch eine lóchrige Struktur dieser Gebilde aber von 
besonderer Art erklärt werden. Es wären das Lócher in einer dünnen Decke oder überhaupt 
Lócher, aus denen das Licht nur bei kleinen Phasenwinkeln herausdringen kann, wenn der sicht- 
bare Teil des Bodens beleuchtet ist, und bei denen die Beleuchtung der Wände nicht in Betracht 
kommt. 


9. Über den Begriff der Albedo uneben begrenzter Kórper. 


Bonps Definition der Albedo eines Pianeten, als des Verhältnisses der gesamten vom Pla- 
neten zerstreuten zur gesamten auffallenden Lichtmenge ist vorzüglich geeignet die Strahlungs- 
verhältnisse einer Planetenoberfläche zu bestimmen, umsomehr als man zur Bestimmung 
dieser Konstanten nur der Oppositionshelligkeit des Planeten und der Phasenkurve bedarf, 
nieht aber des Reflexionsgesetzes. Es ist die Albedo 


A-— pq, wo p die Oppositionshelligkeit, und 


q-— 2 f gla)sinade, wo g(e«) die Phasenkurve. 
0 - 
Will man diese Beziehung aber auch zur Identifizierung irdischer und planetarischer Substanzen 
verwenden, so wird man folgendes zu beachten haben. Die Phasenkurve ist in hohem Grade 
von der Beschaffenheit der Oberfläche abhängig, wie das aus den Ausführungen der vorigen 
Kapitel hervorgeht. 

Aber auch die Oppositionshelligkeit ist nicht unabhängig von ihr. Für eine poróse Ober- 
fläche mit halbkugelfórmigen angrenzenden Poren und unebenem aufgeworfenem Boden zwischen 
ihnen kann das rechnerisch verfolgt werden. 

Von den Poren kommt ?/, der Lichtmenge welche bei ebenem Bodem reflektiert werden 
würde, von den Wólbungen zwischen ihnen, welche 0.22 der Gesamtfläche einnehmen ein grós- 
serer Bruchteil (?/; entspräche halbkugelfórmigen Erhöhungen). Wir können ihn zu 0.8 schätzen. 
Es ist dann die in der Bestrahlungsrichtung reflektierte Lichtmenge 


0.78 X 0.667 + 0.22 X 0.80 = 0.696 


derjenigen die von ebenem Boden reflektiert werden würde. 
Da die Helligkeit einer Kugel mit solcher Oberfläche in Opposition gleichmässig hell er- 
scheint, so ist die gesamte Lichtmenge von ihr 0.696 G=r?, während von einer Kugel ohne 


N:o 9. 


70 E. SCHOENBERG. 


Unebenheiten Ga reflektiert wird, somit nur um 4.4 ?/, weniger. Die Helligkeit des 
Zentrums ist bedeutend verkleinert, diejenige der Ränder durch die Unebenheiten erhöht. Die 
aus der Oppositionshelligkeit berechnete Grösse p wäre somit direkt mit dem Reflexionsver- 
mögen, das im Laboratorium für à — € für einen Körper bestimmt ist, vergleichbar. 

Er gilt augenscheinlich allgemein folgende Gesetzmüssigkeit. Die nach LAMBERTS Satz 
reflektierende Kugel hat voll beleuchtet nahezu dieselbe mittlere Flächenhelligkeit, wenn sie 
keine Unebenheiten aufweist, und wenn sie mit gleichartigen Unebenheiten gleichmässig be- 
deckt ist. 

Bei konischen und kalottenfórmigen Erhöhungen über ebenem Boden zwischen ihnen 
is; die Helligkeit des Zentrums weniger abgeschwächt, dafür aber die Helligkeit der Ränder 
auch geringer, als im oben berechneten Falle. 

Bei Unebenheiten, die keine gleichmässige Helligkeit der Kugel ergeben, ist aber das Re- 
flexionsvermógen für 4j,— «— 0 nicht mehr mit der Oppositionshelligkeit des Planeten vergleich- 
bar. Hier ist es dann angemessen die Flächenhelligkeit des Zentrums in Opposition zum 
Vergleich heranzuziehen. 

Ein Vergleich der Phasenkurven einzelner Gebilde auf der Oberfläche des Planeten mit 
derjenigen für irdische Kórper beobachteten wird unter Umständen die Identifizierung wesent- 
lich sicherer machen. 


L. N:o 9. 


Tom. 


Fenn. 


Scient. 


Acta Soc. 


Bimsteinlara unter verschiedenen Winkeln («) zur Beleuchtungsrichtung photographiert. 


o 

© 

= 
Il 
S 


a = 109 


ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 10. 


UBER DAS PEMMERMOGEN DER 
MISCHUNGEN VON STARKEN 
EEEKTROEYTEN 


UNTERSUCHUNGEN BEI SEHR KLEINEN KONZENTRATIONEN 


VON 


JE RENHOLM 


(Mitgeteill am 23. Februar 1925 von L. W. Üholm und Osc. V. Johansson) 


HELSINGFORS 1925 


AMT MUS AILTMSIOG 2!TATAIDGE ATOA 
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”tnosenndst „The dod SW ui nos BLÖT Toinda LS poi MY LS | 


DRUCKEREI poe UNA Bini. de 


Diese Arbeit ist im Physikalischen Institut der Eidgenössischen Technischen Hochschule 
zu Zürich ausgeführt worden. Es ist mir eine angenehme Pflicht hiermit meine Dankbarkeit 
den Herren Professoren Dr. P. SCHERRER und P. DEBYE zu bezeugen, die mir die Anregung zu dieser 
Arbeit gegeben und zu meiner Verfügung alles, was zu den experimentalen Untersuchungen erfor- 
derlich war, gestellt sowie meine Arbeit während ihres Fortganges mit Interesse umfasst haben. 

Zuletzt bitte ich noch meinen Dank an International Education Board aus- 
sprechen zu dürfen für ein Stipendium, das mich in die Lage gesetzt hat diese Untersuchung 
zu Ende zu bringen und sie über die Grenzen dieser Arbeit weiter zu führen. 


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" 


HEURE LIT ML k 
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1. Theoretisches über das Leitvermögen bei 
starken Elektrolyten. 


Wir wollen das Problem des Leitvermógens erst von einem ganz elementaren Standpunkt 
aus betrachten. Darunter verstehen wir folgendes. Wir wollen ein Ion aus der Lösung heraus- 
greifen und die Bewegung dieses Ions so behandeln, als ob die anderen Ionen nicht da wären. Man 
kónnte dieses auch so formulieren: Wir wollen keine Rücksicht auf die gegenseitige Einwirkung 
der Ionen auf einander nehmen. 

Die Ladung des herausgegriffenen Ions sei e, die Geschwindigkeit v und die Feldstärke an 
dem betreffenden Orte sei E. Dann gilt 

e E — ov, 


wo e die Bedeutung der Reibungskonstante hat. Als spezifische Stromstärke i definieren wir 
die Ladung, die durch eine zur Stromrichtung senkrechte Fläche, von der Grösse von 1 cm? wäh- 
rend 1 Sek. hindurchgeht. Dann ist, wenn n die Anzahl Ionen in 1 cm? bedeutet 


4 — env. 


Aus diesen Gleichungen bekommen wir 


Die spezifische Leitfähigkeit 4 wird definiert durch die Gleichung 


1— AE. 
Also hier 


2 
E n; e; 
bir, 2 0; In 
Wird das elektrische Elementarquantum mit s bezeichnet und die Wertigkeit der Ionen 
mit 4, 2... 2, hat man 


€; — 2; €, 
und 


6 J. E. RENHOLM. 


Sind weiter in 1 cm? n gelöste Moleküle vorhanden, und zerfällt jedes Molekül in v, Ionen s-ter 
Art, hat man 
nm nv, 
und 
2 
(1) 1=ne Yi. 


Di 


Man kónnte auch von dem »Leitvermógen pro Molekül» sprechen. Für dieses würde man 
dann bekommen 


Gewöhnlich wird von dem molaren Leitvermögen gesprochen; darunter versteht 
man das Leitvermógen pro Mol in 1 cm? der Lósung. Wird die Avogadrosche Zahl N genannt, 
und multiplizieren wir diese Gleichung mit N, bekommen wir 
2 


— Ney t. 
0; 


Wird die linke Seite der Gleichung in der Form Es geschrieben, sieht man sofort, dass dieser 
n 


SS!» 


N- 
9 


Ausdruck das Leitvermögen pro Mol in 1 cm? der Lösung repräsentiert. 
Das molare Leitvermógen bezeichnen wir mit .4, und bekommen 


= À 
m? 
und 
2 
(2) [go we Nf 
: » 0; 


Die Gleichungen (1) und (2) enthalten in sich das Gesetz der unabhängigen Wanderung der 
Ionen. Aus der Gleichung (2) folgt, dass jede Ionensorte gewissermassen ihren Beitrag zu der 
molaren Leitfähigkeit der Elektrolytlósung liefert. Wir führen deshalb eine neue Grösse L; ein, 
die durch die Gleichung 


= e 22 
(3) PET L 
(oder 
, = e? 
3^) Dye. 
e; 


definiert ist. Die Grösse L, können wir die ionale Leitfähigkeit (DEBYE nennt sie 
Beweglichkeit) der Ionen eter Art nennen. Dann ist 


(4) =D be 


Gewöhnlich wird die Leitfähigkeit nicht in elektrostatischen, sondern in praktischen Einheiten 
Ohm -! em?) angegeben. Werden die Grössen in diesem System mit 4 und L bezeichnet, hat man 


Tom. L 


Über das Leitvermóg n der Mischungen von starken Elektrolyten. 7 

Es fragt sich jetzt, inwiefern die so entwickelte elementare Theorie der Leitfähigkeit der 
Elektrolytlösungen mit der Erfahrung übereinstimmt. Zuerst ist zu beachten, dass die Gleichung 
(1) fördert, dass o der Konzentration proportional sein soll. Die Erfahrung widerspricht die- 
sem vollständig. Schon bei sehr grosser Verdünnung zeigt sich eine Abweichung. Die jetzt 
entwickelte Theorie ist deshalb ein Grenzgesetz, dessen Gültigkeit nur für lim n= o postuliert 
werden kann. Wir setzen lim 4— 4, und nennen 4, den Grenzwert für die molare Leit- 
fähigkeit. Als Definitionsgleichung für AA, bekommen wir dann 


/ 1 Ui 2; 
(2^) 4o — ga NE , 
oder 
(4^) A9 — À Vi Li. 


Die Gleichung (4^ drückt aus, dass die Grenzleitfähigkeit eine additive Eigenschaft der 
Ionen ist. 

Wie làsst sich nun die experimentell gefundene Abweichung von der elementaren Theorie 
erklären? Zur Erklärung bieten sich zwei Wege. Man kann sagen: Das Gesetz der unabhängigen 
Wanderung der Ionen ist immer richtig, aber für lim n=o und nur für diesen Wert sind alle 
Moleküle dissoziert, für alle anderen Werte aber von « nur ein Bruchteil, «. Man bekommt dann 


Die Grósse « ist der Dissoziationsgrad und muss eine Funktion der Konzentration sein. 

Oder man kónnte sagen: Bei starken Elektrolyten sind alle Moleküle dissoziert, aber die 
Ionen wirken gegenseitig auf einander und zwar so, dass die Konzentration dadurch scheinbar 
vermindert wird. | 

Schliesslich kónnte man auch noch die Hypothesen zweckmässig kombinieren. 

Schon 1907 hat W. SUTHERLAND ! die Theorie der starken Elektrolyte auf der Annahme einer 
vollkommenen Dissoziation aufbauen wollen. Zwei Jahre später hat N. BJERRUM? die Hypo- 
these der vollständigen Dissoziation ausgesprochen. Er wurde dazu geführt durch Studien über 
das optische Verhalten von gefärbten Salzlösungen. In einer Arbeit von 1918 betont S. R. MILNER?, 
dass jede Theorie der Dissoziation, welche die Verringerung der molaren Leitfähigkeit bei zu- 
nehmender Konzentration durch die Verringerung der Zahl der freien Ionen und nicht durch die 
Wirkung der interionischen Kräfte auf ihre Beweglichkeit erklären will, auf unüberwindliche 
Hindernisse stossen müsse. 

Wir bemerken, dass in der Tat das Massenwirkungsgesetz bei starken Elektrolyten versagt. 
Daraus würde unter anderem folgen, dass für alle Elektrolyte, deren Moleküle in mehr als zwei 
Ionen zerfallen, die molare Leitfähigkeitskurve, als Funktion der Konzentration aufgetragen, 
für im Konz. — 0 eine Tangente parallel mit der Konzentrations-Achse hätte. Das stimmt aber 
nicht mit der Erfahrung. 


! W. SUTHERLAND: Phil. Mag. 1907, Bd. 14, S. 1. 
* N. BJERRUM: Proc. 7 Internat. Congr. Applied Chemistry, Sect. X. London 1909. 
3 MILNER, S. R: Phil. Mag. 1918, Bd. 35, S. 214 u. 352. Trans. Faraday Soc. 1919, Vol. 15, S. 148. 


N:o 10. 


8 J. E, RENHOLM. 


Milner hat zuerst das Leitfähigkeitsproblem lósen wollen, indem er die Wirkung aller Ionen 
der Lósung auf jedes einzelne in Rechnung stellte. Spáter betrachtete er nur die Wirkung eines 
Paares zweier Ionen auf einander. Aber schon früher erschienen die Arbeiten von I. CH. GHosn. ! 

Auch er postuliert, dass wenn ein Salz in einem Lósungsmittel aufgelóst wird, es sich voll- 
ständig in Ionen aufspaltet. Er begründet diese Hypothese durch die Ergebnisse der Róntgen- 
strahlenanalyse, die gezeigt haben, dass selbst in einem festen Salzkristall nur Ionen, aber keine 
Moleküle sich finden. Alle Ionen in der Lösung sind jedoch nicht als »vollständig frei» anzusehen. 
Zwischen den geladenen Ionen bestehen elektrische Kráfte. Infolge dessen besteht im Innern 
einer Lósung ein charakteristisches Potential. Für die Leitfáhigkeit berücksichtigt Ghosh nur 
die Wirkung der nächstgelegenen entgegengesetzt geladenen Ionen auf einander, indem er annimmt, 
dass die Ionen eines Moleküls ein elektrisches Dublett bilden. Mit 4 wird die Arbeit bezeichnet, 
die erforderlich ist, um die Ionen eines Mols vollkommen von einander zu trennen. Die Zahl der 
»freien Ionen» in einem Mol des Salzes wäre dann, nach dem Boltzmann-Maxwellschen Gesetz 

A 
nN-e »nRr, 
wo n die Zahl der Ionen bedeutet, in die ein Molekül zerfällt. Der »Dissoziationsgrad» «, wenn ein 
solcher Ausdruck hier gestattet wird, ist dann 
Ll 
OG (NONE 
Wenn r den Abstand der Ionen eines Dubletts, s die Elementarladung und D die Dielektrizitäts- 
konstante bedeutet, würde nach der Annahme von Ghosh die Trennungsarbeit eines Ionenpaares 
bei 1—1 wertigen Elektrolyten (Typus KCI) pu sein. In 2-1 wertigen Salzen (Typus BaCl,), 
entsprechen jedem Molekül zwei elektrische Dubletten Cl- Ba- Cl. Die Trennungsarbeit wäre 
demnach T Auf die Wirkung aller anderen Ionen auf ein hervorgehobenes Ion wird keine 
Rücksicht genommen. Das ist die erste recht kühne Annahme von Ghosh. Um die Grósse r zu 
bestimmen wird eine zweite gemacht. Er nimmt an, dass die Ionen bei 1—1 wertigen Salzen 
(Typus KCl) abwechselnd die Ecken eines einfachen kubischen Raumgitters einnehmen. Wenn 
v (cm?) das Lósungsvolumen für ein Mol ist, bekommt er dann 
dre 
r= V5 

Für 2—4 wertige Salze berechnet er unter der Annahme des für Fluss-spat CaF, durch Rönt- 
genanalyse gefundenen Krystallgitters (flächenzentriertes kubisches Raumgitter mit den F-Atomen 
in den Mittelpunkten der acht kleinen Elementarwürfel) | 


primas: 
r-H".y € 


Somit ergibt sich für ein Mol eines bináren Salzes (TYpus KCl) die Trennungsarbeit 


3 
= 

eet Ny2N a. 
Dyv 


+ GHOSH, I. CH.: Journ. Chem. Soc. 1918, Vol. 113, S. 419, 627, 707, 790. Zeitschrift f. phys. Chemie 1921, 
Bd. 98, S. 211. 


Tom. L. 


Über das Leilvermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. 9 


und für ein Mol eines ternären Salzes (Typus Ba Cl) 


3 
ee V3 N VEN 


» 
amr €”. 
Dyv 
Also bekommt man bei den 1—1-wertigen Salzen DNS y 
Ya 4 n 
N a 2 XP > { 
NV2N , - N41 1M 
WDRVE AS "UM EL RE. 


=> =6 


Wirde man diese Gleichung auf Lósungen von sehr kleinen Konzentrationen anwenden, 
beküme man 


D 3 
A,— A  Ny9N , vr 
NCA , 
und bei ternären Salzen 
3 
AA 2y3Ny2N , VT 
ODER i 


Da bedeutet £ die Konzentration der Lösung in Mol pro Liter. Wir wollen noch die kon- 
stanten Faktoren bei 18° Celsius berechnen. Wir benutzen folgende Werte: N = 6.06 - 10°, 
£—4.17-10—!9 elektrostat. Einh., D— 81.29, RK-— 8315-10" erg/grad, T= 291. Dann be- 
kommt man bei 1—1 wertigen Salzen 


und bei 2—1 wertigen 
An a / 


im — DISCUTE 


Für unserem Zweck genügt es vorläufige zu bemerken, dass die Theorie von Ghosh die indi- 
viduellen Eigenschaften der Salze von gleichem Typus gar nicht berücksichtigt (allerdings ver- 
meidet Ghosh seine Gleichung als Grenzgesetz anzuwenden, indem er für die Berechnung 4, 
aus der Gleichung eliminiert und die Exponentialfunktion nicht entwickelt). Wenn 


Ay ns 
es fa 
vesetzt wird, würde man für alle 1—1 wertigen Elektrolyten dasselbe Grenzgesetz 
3 
1— fi = 0.374V1 
finden, was jedoch der Erfahrung widerspricht. Übrigens kann man auch sagen, dass diese Theorie 
in dem Grenzfalle bei unendlicher Verdünnung wenigstens nicht explicite das Gesetz der unab- 
hángigen Wanderung der Ionen gibt. 
Wenn eine Theorie der Leitfühigkeit starker Elektrolyte aufgestellt werden soll, muss zuerst 
klargeleet werden, was diese Theorie leisten soll. Man kann dann sagen: 
1:0. Die Theorie soll die Abhängigkeit der molaren Leitfähigkeit von der Konzentration erklä- 
ren kónnen. Die molare Leitfähigkeit soll also eine Funktion von der Anzahl Mol des Elektrolyten 
in 1 Liter der Lösung sein. 


N:o 10. 2 


10 J. E. RENHOLM. 


2:0. Wenn man die Âquivalentleitfähigkeitskurven, so wie sie z. B. bei Konrgavscn und Hor- 
BORN! gezeichnet sind, studiert, bekommt man den Eindruck, dass die Wertigkeiten der Ionen 
einen Einfluss auf die Neigung der Leitfähigkeitskurve haben und zwar so, dass die Neigung 
mit steigender Wertigkeit wächst. Über die Art der Zunahme dieser Neigung lässt sich noch 
etwas Bestimmteres sagen. Zuerst wollen wir die Bemerkung machen, dass hier nur von dem 
Verhalten der Elektrolytlósungen bei grosser Verdünnung die Rede ist. Bildet manm jetzt = 
was dem entspricht, dass alle »molaren Leitfähigkeitskurven» so transformiert werden, dass sie 
einander in dem Punkte 4 — 1 auf der 4-Achse schneiden, so ist die Neigung dieser Kurven auch 
eine Funktion der Wertigkeit und zwar so, dass mit steigender Wertigkeit der Ionen auch die 
Neigung wächst. Das ist die zweite Forderung, die wir an die Theorie stellen müssen. 

3:0. Muss die Theorie auf die charakteristischen Eigenschaften der einzelnen Ionen Rück- 
sicht nehmen. Als solche kommen in Betracht die Grössen L;, weil die Theorie für lim Konz. — 0 
das Gesetz der unabhängigen Wanderung der Ionen geben muss. Wenn auch Reibungskräfte 
im Sinne von Stokes bei der Bewegung des Ions durch die Lósung auftreten, sollen auch die 
»Ionenradien» in die 'Theorie eingehen. 

Hieraus ist zu schliessen dass die Theorie eine Formel von dem Typus 


aer vl 
A ee FU, ty 2. 2 Las Lassus Lo, by De. , bo) 


geben soll. Dabei bedeutet 4 die molare Leitfähigkeit, 4, den Grenzwert der molaren Leitfähig- 
keit, z; die Wertigkeit, L; die vionale Leitfähigkeit» und b; den Radius des Ions «ter Art. Schliess- 
lich bedeutet P die Konzentration der Elektrolytlósung, in Mol pro Liter angegeben. Über die Art 
der Funktion f lässt sich a priori sehr wenig Bestimmtes sagen. Bekanntlich haben einige Forscher 
den Schluss gezogen, dass die Potenz !/, der Konzentration für die molare Leitfähigkeit bestimmend 
sel, während andere die Vermutung ausgesprochen haben, dass die Potenz !/, massgebend sei. ? 

Die Debye'sche Lösung des Leitfühiekeitsproblems erfüllt all die oben aufgestellten For- 
derungen. 

Die Aufgabe dieser Arbeit soll später genauer formuliert werden; zunächst genügt es zu sagen, 
dass wir das Leitfähigkeitsproblem bei Gemischen von starken Elektrolyten näher studieren 
wollen und uns fragen, zu welchen Resultaten wir, wenn wir die Decye'sche Theorie auf Mischun- 
gen von starken Elektrolyten entwickeln und anwenden, kommen würden. 

Wir werden hier zuerst die Debye' sche Theorie für die Leitfähigkeit einer einheitlichen Elektro- 
lvtlüsung eines starken Elektrolyten näher auseinandersetzen, um einen genauen Ausgangspunkt 
für die Behandlung des Problems bei Mischungen zu bekommen und das Entstehen aller Be- 
eriffe, die wir später verwenden wollen, näher verfolgen zu können. Weiter soll die Theorie hier 
etwas breiter auseinandergesetzt werden, als das in der ausgezeichneten aber ziemlich konzen- 
trierten Arbeit von Degye und HöcKEL,? der Fall ist. 

Wir machen die Voraussetzung, dass bei starken Elektrolyten alle Moleküle dissoziert sind. 
Dann müssen wir eine gegenseitige Einwirkung der Ionen auf einander postulieren. Wie lässt sich 
eine solehe Einwirkung erklären und behandeln? Betrachten wir die Sache zuerst ganz qualitativ. 

' F. KonLRAUSCH u. L. HoLBORN: Das Leitvermógen der Elektrolyte. Leipzig u. Berlin 1916. 

> Man vergleiche F. KonLRAUSCH: Gesamm. Abhandl. IT, S. 1127, S. 1132 ff. 

' P. Dreye und E. Hücker: Zur Theorie der Elektrolyte. II, Phys. Zeitschr. Bd. 24, 1923. 

Tom. L. 


Über das Leitvermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. 11 


Wenn wir ein Ion in Ruhe betrachten und um das Ion als Mittelpunkt eine Kugelfläche kon- 
struieren, müssen wir annehmen, dass die Ionen sich auf diese Fläche symmetrisch verteilen, 
wobei sich eine in allen Richtungen symmetrische lonenatmosphäre bildet. Wie verhält sich 
die Sache nun, wenn das Ion in Bewegung ist? Dass das Ion in Bewegung ist, können wir so deuten, 
dass wir sagen: eine Ladung verschwindet an einem Ort und entsteht an einem anderen. 

Wir betrachten ein Ion mit positiver Ladung. In der nächsten Umgebung von diesem Ion 
ist dann ein Überschuss von negativen lonen. In grosser Entfernung von dem hervorgehobenen 
positiven Ion hört seine Wirkung auf. Da müssen wir eine gleichmässige Verteilung von positiven 
und negativen Ionen haben. Auf konzentrischen Kugeloberflächen um das hervorgehobene Ion 
muss also der Überschuss von negativen Ionen mit zunehmender Entfernung sich vermindern. 
Die stark gezeichneten Kreise dienen zu einer anschaulichen 
Vorstellung von der Ionenverteilung um ein ruhendes positives Ion. 
Verschwindet jetzt die positive Ladung von ihrem Ort und ent- 
steht an einem anderen (mit Kreuz bezeichneten), so hat man durch 
den gestrichelten Kreis sofort ein anschauliches Bild davon, wie die 
symmetrische Verteilung durch die Bewegung des hervorgeho- 
benen Ions gestört wird. Auf einer Kugeloberfläche, die mit der 
neuen Lage des Ions als Mittelpunkt gezeichnet wird, sind auf 
der Hinterseite mehr, auf der Vorderseite aber weniger negative 
Ionen vorhanden, als dies der Fall bei gleichmässiger Verteilung 
wäre. Der Effekt ist dann eine bremsende Einwirkung auf die Ionenbewegung. In Wirklichkeit 
sind die Verhältnisse nicht so einfach, wie sie hier auseinandergesetzt sind. Die Ionenatmospháre 
ist nicht starr, sondern folgt in ihrer Ausbildung dem Ion nach, bleibt aber immer zurück. 
Wir drücken dies so aus, dass wir sagen: Die lonenatmospháüre hat eine endliche Relaxa- 


tionszeit. 

Wir wollen jetzt die Ladungsverteilung um ein bewegtes Ion untersuchen. Das Bolzmann- 
Maxwellsche Prinzip ist nicht unmittelbar anwendbar, weil hier kein statischer Fall mehr 
vorliegt. Um die Verteilungsfunktion zu finden, greifen wir deshalb auf die Einsteinsche Theorie 
für die Brownsche Bewegung zurück. 

Wir betrachten ein Raumelement dS in der Lósung und fragen nach der Veränderung der 
Anzahl der Teilchen innerhalb dS. Die einzelnen Individuen innerhalb dS werden sich dann 
im Laufe der Zeit verändern und im allgemeinen auch ihre Anzahl. Wir greifen auch ein in 
der Nähe befindliches anderes Raumelement dS' heraus. Die Anzahl der Teilchen in jedem 
Raumelement wird durch den momentanen Wert einer Verteilungsfunktion f (x, y, z, 1), defi- 
niert, so dass die Anzahl Teilchen innerhalb dS in einem bestimmten Zeitmoment durch den 
Ausdruck fdS definiert ist. Es sind zwei Ursachen für die Veränderung der Teilchen inner- 
halb dS vorhanden: 

1:0) die elektrischen Kräfte, 

2:0) die »Wärmebewegung». 

Bei der letzteren haben wir anzunehmen, dass alle Richtungen gleichwertig sind. Infolge 
der »Wármebewegung» werden die innerhalb dS ursprünglich vorhandenen Teilchen während einer) 
kleinen Beobachtungszeit + auswandern (bis auf einen Betrag von kleinerer Grössenordnung 


N:o 10. 


12 J. E. RENHOLM. 


Während der Zeit r hat das Raumelement dS dann f dS Teilchen verloren. Diese Veränderung 
der Anzahl der in dS ursprünglich (für 1—0) befindlichen Teilchen wird also angegeben dureh 
A, = —fd8. 

Während derselben Zeit ist aber eine Anzahl Teilchen von dS’ in dS eingewandert. Diese Anzahl 
wird bestimmt durch die Grösse des Raumelements dS, durch die Anzahl der in dS" ursprünglich 
befindlichen Teilchen, welche angegeben wird durch den Ausdruck f' dS' (wo f der Wert von f 
am Orte des Raumelements dS’ bedeutet) und durch eine gewisse Wahrschemlichkeitsfunktion w. 
Die Anzahl von dS' in dS eingewanderter Teilchen wird dann angegeben durch den Ausdruck 
"bysso lev o wire 
Wir können sagen, dass w’ die Wahrscheinlichkeit dafür misst, dass ein Teilchen aus dS’ nach dS 
gelangt. Die Zunahme der Teilchenanzahl in dS infolge der »Wärmebewegung» beträgt daher in 

der Zeit 7 
HAS. + | dw ds, 
wo das Integral über die ganze Lósung zu erstrecken ist. 

Die Verteilungsfunktion f werden wir als eine kontinuierliche, differenzierbare Funktion von 
den Raumkoordinaten x, y, 2 ansehen. Denken wir uns, dass der Nullpunkt des Koordinaten- 
systems sich am Orte des Raumelements dS befindet, so bekommen wir nach dem Taylorschen 
Lehrsatze 


, 1 QUAE nio. IAE if ; DEV a 
P—f- X / IF ff He talk Am ...+2%2 / t 


Or "gy dz CE 2 vuydz 


Denken wir uns, dass die Zeit r genügend klein gewählt wird, so kommt nur die nähere Um- 
sebung von dS in Betracht und die folgenden Glieder der Reihe können vernachlässigt werden. 
Die Ableitungen sind am Orte des Raumelements dS gebildet und sind also bei der Integration 
als konstant anzusehen. Wir bekommen dann 


4=—fdS-+dS l/ [was or 9T [was IE ss di PE ES uds |... 


SÖDER 


wit fuzu'as +.. |. 


duoz a 
Gemäss der Definition der Funktion w haben wir 
yf w'd s E © 


Weil die »Wármebeweegune» ganz ungeordnet ist, haben wir 


fx w' dS. —=0, Syw ds’ =, Szwds’ —08 Jyzw'd S eq jJ ea w'dS. — 0, Jæyw ds’ —(};, 
frw' as = [ypw'dS' = [uw ds — 8, 


wobei s vorläufig unbestimmt bleibt. 
Wir bekommen dann 
Gu nf : 
/ = = li ds. 


QUE U ZE 


pipi 


Vorläufig haben wir keine elektrische Kraft eingeführt. Wir wollen jetzt annehmen, dass auf 
die Teilehen eine elektrische Kraft wirkt und den Teilehen eine Geschwindigkeit v gibt gemäss 
der Gleichung 


Tom. L. 


Li 

Å 
La 
) 
' 


Über das Leitvermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. 13 
K=ov, 


wo die o die Reibungskonstante ist. Welche Veränderung bringt nun während der Zeit r die 
Kraft K hervor in Bezug auf die Anzahl Teilchen in dS? Wir können dieses Problem identifizieren 
mit der Strömung einer Flüssigkeit von variabler Dichte f. Als Raumele- 
ment wählen wir hier ein rechtwinkliges Parallelepiped mit den Kanten dr, 
dy und dz. In der Zeitenheit ist dann die Strömung nach innen durch die 


Fläche P P" P'"' angegeben durch den Ausdruck 
qi = (for) dy. de, 

und durch die gegenüberliegende Fläche 

a — —|(f0.) Fs (fv) du |dy dz. 


Durch die mit der z-Achse parallele Gesehwindigkeitskomponente ändert sich die Zahl der 
Teilchen innerhalb dS mit 
(2) 
— om (0248. 


Die ganze durch die Kraft K bedingte Veränderung der Anzahl von Teilchen innerhalb ds 
während der Zeit r ist also gegeben durch 


[7] [7] 2 y 
at — [7 fv) Hög fo + fv lar. 
Wenn man beachtet, dass 
K 
= , 
[4 


bekommt man 


: KW ; 
da — «div[f ; Jas. 
) 
Die Gesamtzunahme der Teilchenanzahl in dS’ wird andererseits angegeben durch 
of 1 
T ot dis . 


Man hat dann die Gleichung 


fra 8 [0T Of of ; fr É\ ya 
Tas = le + dy? sb 52)45 — div (/ 3 )dS. 
Also 
of ns odi es K 
7453 liv grad f — v div ik 


[] STIS K 
e = div[; grad f — c f at 


< : : es Cie : 3 : 
Im statischen Falle, das heisst für ETE muss die Boltzmann-Maxwellsche Verteilungs- 
funktion 
M 
f—=const-e *r, 
wo U die Energie und k die Boltzmannsche Konstante ist, eine Lösung zu dieser Differential- 
sleichung für f sein. Weiter ist 
K = — grad U, 
und unsere Differentialgleichung gibt im statischem Falle als spezielle Lösung 
N:o 10. 


14 J. E. RENHOLM. 


+ grad f + H grad U — 0. 
Aus der Boltzmann-Maxwellschen Gleichung erhalten wir 
ER dU 
ego OU AUD do U^ 
Folglich wird 


5-2. net pra quus dieit ss ee 
sprl" grad U + 2 grad U — 0, 
oder 
ge T 
DATEN 


Diese Gleichung entspricht der berühmten Einsteinschen Formel für die Brownsche Bewegung. 
Daraus bekommen wir 


Wird dieser Wert in die Differentialgleichung für f eingeführt, so bekommen wir 
(5) oe’ — div [k T grad f —fK]. 

Diese Gleichung wollen wir auf eine einheitliche Elektrolytlósung eines Elektrolyten anwen- 
den. In dieser Lösung seien Ionen vorhanden von den Sorten: 1, 2... s, mit den Ladungen e,, 
€..€, und deren Anzahl pro cmm Lösung «4, n2..n, sei. In dem Raumelement dS werden sich 
dann im Mittel die Ionenzahlen «, dS,... m, dS vorfinden. 

Die Lósung sei von einem Strom durchflossen, entstanden unter der Einwirkung einer 
konstanten elektrischen Feldstärke E in der z-Richtung. Ein Ion der Sorte i greift dann 
eine äussere Kraft 


an. 

Um das hervorgehobene Ion wird sich eine solche Verteilung einstellen, dass die Ionen 
entgegengesetzter Ladung da überwiegend sind. Es wird eine Ionenatmospháre ausgebildet, 
die im Mittel am Orte des hervorgehobenen Ions zur Erzeugung eines elektrischen Potentials w 
Anlass gibt. Dieses Potential bedingt, dass auf das betrachtete Ion ausser der oben erwähnten 
üusseren Kraft noch eine andere hinzukommt, von der Grósse 

— e; grad y. 

Wird die allgemeine Differentialgleichung für die Verteilungsfunktion f auf die Ionen der Sorte 
; angewandt, hat man f mit n; und K mit e; E—e; grad v zu identifizieren. Man bekommt dann, 
wenn die Zeit mit t' bezeichnet wird 


3 d 
(6) 0/55 — Div [k T Grad n, — n, e; E + ne, Grad v]. 


Die Grösse o; stellt hier die dem Ione der Sorte i zukommende Reibungskonstante dar. Div 
und Grad bezeichnen, dass die Operationen in einem starren Koordinatensystem zu bilden 
on 
ot 

Für jede Ionensorte gilt eine solche Differentialgleichung. Im ganzen bekommt man also s 
solche Differentialgleichungen. Wäre das Potential bekannt, dann wäre auch, wenigstens theo- 


x Tom. L. 


sind; auch — ist in diesem Koordinatensystem gebildet. 


Über das Leitwermögen der Mischungen von starken Elektrolyten. 15 


retisch die Ladungsverteilung bestimmt. Jetzt aber kennen wir a priori das Potential ı nicht. 
Was wir jedoch sicher sagen kónnen ist, dass für das Potential die Poinssonsche Gleichung 


(7) A D — u "n, e; 
gilt, wo D die Dielektrizitätskonstante des Lösungsmittels bedeutet. 

Wir haben jetzt (s-- 1) Gleichungen für (s + 1) Unbekannte mj, ny... m, und wy. 

Wir wollen nun Lösungen zu diesen (s+1) Gleichungen suchen. Wir schicken gleich die 
Bemerkung voraus, dass wir nur eine approximative Lósung suchen und zwar unter der Voraus- 
setzung, dass Grad w klein ist, was um so genauer mit den Verhältnissen übereinstimmt, je kleiner 
die Konzentration ist. Und hier ist nur die Rede von sehr kleinen Konzentrationen. Die Feld- 


stärke E ist sicher klein. Wir wollen jetzt den Ausdruck 
— n, e; E + n, e; Grad. v 
nach Potenzen von », entwickeln und die Entwicklung bei den Werten von m; abbrechen, die sich 
im statischen Falle einstellen. Dann ist sicher E=0 und auch se —0. Eine spezielle Verteilung 
wird dann definiert durch die Gleichung 
| k T Grad m; + 7; e; Grad v = 0, 


won; die mittlere Dichte der Ionen z-ter Sorte bedeutet. Ein Ansatz, der diese Gleichung befriedigt, ist 


wo À eine Konstante bedeutet. 

Dieses Resultat stimmt in der Tat überein mit dem Werte, der sich aus dem Boltzmann- 
Maxwellsehen Prinzip für die Verteilung ergibt. Bekanntlich gibt dieses Prinzip in dem stati- 
schen Falle 

CAM 
RT 


Entwickelt man diesen Ausdruck nach Potenzen von wv; erhält man 


3 e; v 
T; — i jT +... . 
Wenn man die Entwicklung bei der ersten Potenz von v abbricht, bekommt man 


= (1 us 
n; = n; au". , 


was genau mit unserem Ansatz übereinstimmt, wenn wir À mit a; identifizieren. 


Bis jetzt sind alle Betrachtungen für ein raumfestes Koordinatensystem zx’, y’, z', t 
gemacht. Wir werden jetzt ein mit dem hervorgehobenen lon mitbewegtes Koordinatensystem x, 
y, 2, t einführen und zwar so, dass die z-Achse in der Richtung der elektrischen Feldstärke liegt. 
Zwischen den beiden Systemen gelten dann folgende Beziehungen 


DEI 
q'— x+vt, 
y— y, 
EE EL 


N:o 10. 


16 J. E. RENHOLM. 


Für die Operationen div und grad in dem neuen System gelten 
div — Div, 
grad — Grad. 
Weiter ist 
du ue dri Co NIS 
CENT 0t v 0g 04 dz ot 
Jetzt ist aber 


Qa [17] dz 


Qt FRU gums cam da 
und man bekommt 
on; on; 
DU PAGE 


Die Differentialgleichungen für die Verteilung werden dann 
Ön. 


€. w e. Wy 
pel '— div) k T er: —n (Ne ‚Hin = zy or | 
ur, dix L T grad m; a1 sr) E | „(1 ir) grad Pl: 
Werden hier die Glieder zweiten Grades wv E und v/ grad vr gemäss der Voraussetzung ver- 
I m e 


nachlässigt, bekommen wir, wenn wir noch beachten, dass div E=0 


on; : ibt 
== beers div [k T grad m; + n,e grad vi], (s Gleichungen), 


Hätten wir den statischen Fall, wäre die Verteilung der Ionen i-ter Art gegeben durch den 
Ausdruck 


n; €; 


Nr: v. 


TETE 
Dieser Ansatz vermag aber jetzt unsere Differentialgleichungen nicht mehr zu befriedigen, weil 
das statische Feld nunmehr von einem zweiten, das von der endlichen Relaxationszeit der Tonen- 
atmosphäre herrührt, überlagert ist. Debye macht deshalb gemäss der Voraussetzung einer ad- 
ditiven Superposition, den Ansatz 


M h; 6; 
N; = n— TT y + Mias 


wobei die noch unbestimmte Funktion w, von der Wirkung der endlichen Relaxationszeit herrührt. 
Dann wird 


k T grad n; = — n, e, grad vw + k T grad u;. 
Also 
k T erad n; + 7; e, grad y = kT grad w;, 
und 
on; ñ; e; 0 w du; 
re Tor, 9.3 


2 ue “ eis 
Das Produkt » „, ist von höherer Ordnung in v und kann deshalb vernachlässigt wer- 


den. Wir bekommen dann 


ne, 01 


(8) 0; U ET js k T div grad w,. (s Gleichungen) 


Die Poissonsche Gleichung wird 


'Tom. L. 


$ 


Über das Leitwermögen der Mischungen von starken Elektrolyten 17 


A iN T 4m Ys 2 vd yy 
TENTE Dk T Zn mei V D e; Mi. 


Wir beachten noch, dass gemäss der Definition von %; 


Wir setzen formal 
ta y nios en 
(9) DET "4 | ue LI 


Die Grösse z hat dann die Dimensionen einer reziproken Länge. 


Die Poissonsche Gleichung können wir dann in der Form 


(10) METTENT 
schreiben. 

Was uns vor allem interessiert, ist nicht so sehr die von den Grössen n; bedingte Konzentra- 
tion, als vielmehr das Potential 4. Die Gleichung (8) kann geschrieben werden 


n; e; Ow : 
(8^) 0;U To ee kl Zu. 
Aus der Poissonsehen Gleichung bekommen wir 
A (dw — #2 uU) = — AD ad 


Man findet dann 


i 4x nn; e& 0; v 0 
AIF TNE TD NTE NE Dior 


Wir setzen jetzt N 


vuU NS 9 - 
(11) o X mn;e;— 26; 0r, > 
wo o gewissermassen eine mittlere Reibungskonstante ist, und 


9 0 — QUIE 
(12) k1 


wo o die Dimension einer reziproken Länge hat. Wir bekommen dann 


E 4 j 2 
AA — xy) oi [ ordi. 


Mit Benutzung der Gleichung (9) finden wir 


(13) A (Aw — x? y)— —# ^t. 


Es wird jetzt unsere Aufgabe sein, diese Differentialeleichung zu lósen. Wir brauchen dabei 
keine exakte Lösung zu suchen, sondern können uns mit einer approximativen bis zur ersten 
Ordnung in v, d. h. in e begnügen. 


Die nullte Näherung bekommen wir, indem wir die rechte Seite = 0 setzen. Der entsprechende 
Wert von «w ist dann eine Lösung der Gleichung 
A(A uy —x ÿ) = 0. 
Als Lösung kommt hier in Betracht 


N:o 10. 


18 J. E. RENHOLM. 


Die Konstante B muss = 0 sein, denn sonst wäre lim v = oc, was natürlich unmöglich ist. Wir 
re) 

haben also die Lösung 
AIT 


y == A L7 
wo die Konstante A noch unbestimmt ist, und r den Abstand von dem hervorgehobenen Ion be- 


deutet. Wenn wir diesen Wert in die rechte Seite der Gleichung einsetzen, erhalten wir 


r 


(14) A (4 y — 9) a (4). 


20:7; 
Wir bemerken, dass A — das Potential im statischen Fall darstellt. Gemäss der Einführung 


AT 


der Funktion À — Wissen wir, dass 


Wir haben also 


4 (4 y IE —0 2 E (4 a 


dz 


Eine spezielle Lösung zu dieser Gleichung erhält man also aus der Gleichung 


Weiter ist 
0 Ci à ( e) or d m 
e )=2(4 FRIAR ER CR AV 


wo 9 den Winkel zwischen z-Achse und Radiusvektor bedeutet. Unsere Differentialgleichung 
kónnen wir dann schreiben 


dr 


7. 
AY — xr — — 0 2 (4 "cos 9. 


Ohne die Lósung dieser Gleichung zu kennen, kónnen wir aus physikalischen Gründen erwar- 
ten, dass die Lösung achsiale Symmetrie um die z-Achse haben muss. Wir können also die gesuchte 
Lósung in der Form 

v = R(r)cos 9 


schreiben, wobei RB (r) eine Funktion von r allein ist. Wenn wir dies wissen, können wir unsere 
Differentialgleichung etwas vereinfachen, indem wir / v/ transformieren. Dazu könnte man die 
alleemeinen Transformationsgleichungen in krummlinigen orthogonalen Koordinaten! benutzen, 
oder man könnte den Satz von Gauss auf ein Raumelement, das zwischen zwei konzentrischen Ku- 
gelllächen, zwei Breitekreisen und zwei Meridianebenen liegt, anwenden. Man bekommt dann 


QUIE NONE: 
(15) at an 


T.dr Mi 


) COS I. 


! Man vergleiche z. B.: R Gans: Einführung in die Vektoranalysis. 1909, S. 56 if. 


Tom. L. 


Über das Leitvermögen der Mischungen von starken Elektrolyten. 19 


Die Differentialgleichung für die betrachtete spezielle Lösung wird also 


PR 2 » 51 > i : 1 nl 
É SN un Zehen C08 9 = Lm FAR: Jeos o 
dr: r dr r? dr r 
oder 
dR,2d4R 2R p x 
i iR — #2 = Zeus YU EIS 
dr? L r dr yr? ARE id reA 


Um diese Gleichung zu lósen, machen wir den Ansatz 


—yır 
R=ke ". 
Diese Funktion ist eine Lósung für 


(16) W— 61 "cos. 


Dieser Lósung kónnen wir noch eine Lósung der Gleichung 


A (aw —x*wy)-—0 
hinzufügen. Wir setzen 


4v — 
und suchen eine Lósung zu der Differentialgleichung 
4d — x?  — 0. 


Indem wir auch hier eine Lösung suchen. die der Forderung der achsialen Symmetrie genügt, setzen 
wir wieder 
d — q (r) cos 9, 


wo q(r)eine Funktion von r allein ist. Unsere Differentialgleichung wird dann 


d 23d 2 
(a) c E HL Eme E mee 0) 


(b) lie an uA Os 


und setzen voraus, dass F=F (r) eine Lösung zu dieser Gleichung ist. Indem wir differenzieren 
IF : : 
Tr — F’ setzen, finden wir 
qug To qm 
dr* r dr 


und 


pns oq 
E 


Wenn wir die Gleichung (b) gelóst haben, bekommen wir also durch blosse Differentiation 
eine Lósung zu der Gleichung (a). Eine Lósung zu der Gleichung (b) ist 


E907 xr 
[E An ar gun. 
r (/ 
Also ist die gesuchte Lósung 
) 1 zT d 7 
ae RENE cos 9 


N:o. 10. 


20 J. E. RENHOLM, 


Zu dieser Lösung können wir noch eine Lösung der Differentialgleichung 
A w z—0) 


hinzufügen. Soll auch diese Lósung der Bedingung der achsialen Symmetrie genügen, kón- 
nen wir wieder setzen 
y = f(r) cos 9. 
Gemäss der schon früher gemachten Transformation bekommen wir in diesem Falle die 
Gleichung 


Pf  2af_2f 
Uns 


oder 
2 dei 9 dí 9 
T d; Tus 2f=0 


Um die Lösung zu finden, machen wir den Ansatz 


f == qui 
wo n vorläufig noch ganz unbestimmt ist. Die Grösse n muss dann der Gleichung 


n? --q—29-2—0 
genügen. Man bekommt daraus 


Die zuletzt gesuchte Lösung ist dann 
= ( B + B” r) cos I. 


2 
ri 


Wenn alles zusammengefasst wird, können wir sagen: Die Funktion, welche die Lösung der 
Differentialgleichung 


A (Aw — #2 Vv) = 0 


und zu gleicher Zeit proportional mit cos 9 ist, ist 


—xr ur ; 
[E53 Jb. oi d ( : ) E B Lm À COS 9. 


r dr r 7A 


7) y — |4 : 


dr 
Unmittelbar klar ist, dass solche Glieder, die bedingen, dass 


lim —'e9 
r= [r2] 
wird, zu verwerfen sind. Daraus folgt 
[ A" — 0, 
(18) | p" = 0 , 
Zu dem Potential im statischen Falle 


— 
€ 


Yo = À 


j 
kommen also noch die von der [onenbewegung bedingten Zusätze 
nA —xr 
Us. EL CAN COR 9, 
und 


Tom. L. 


Uber das Leilvermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. 21 


OR EU B' 
D, = QE | "OS Ÿ 
UN, LA el = ) l- à [C08 9. 


Also bekommen wir für w den Ausdruck 


a 3 „Ar u 
(19) y — At + " SW MEET at — Ja P [cos 2. 


7 

Das zweite mit cos 9 proportionale Glied stellt die durch die Bewegung des [ons infolge der 
Relaxationszeit der Ionenatmosphäre hervorgerufene Änderung des Potentials vor. DEBYE ersetzt 
diesen Ausdruck in unmittelbarer Nähe des Nullpunktes bei sehr kleinen Konzentrationen durch 


TAN 3 Al 04 ' A a A' ; 
(20) E 2 = Ti = = = = = Jer] cos Ji 


Für das ganze Potential bekommen wir dann den Ausdruck 


LEID y ' RENE TEE j 2 4' 
DA : oe [2 : A HEX A = © À m (2*4) cos o. 


ya 2 3 


Das Glied À = X eos 9 hat den Charakter des Potentials eines Di pols, welches bekanntlich pro- 


: LOS. ó : = ug c 3 
portional ' , ist. Da wir die Existenz eines solchen Dipols am Orte des hervorgehobenen Ions 


hier ablehnen wollen, ist zu setzen 


(21) B4 
T vr ; Kar ac 2 # A'— © À ^ 
Wir wollen jetzt das zweite Glied der Klammer 5 cos 9 betrachten und nach der 
Ladungsdichte, die davon herrührt, fragen. Dazu benutzen wir die Poissonsche Gleichung 
4 
» g ——4 V, 
; : ; : x? 4! — m : ses 
wo c die Raumdichte der Ladung angibt. Wenn wir R — * 1 7 "setzen, können wir die Trans- 
formation für 4 (15) benutzen, und bekommen dann 
2 DE > 
A y — ang 4 5 LEE ; (5) Cos I 
Wir haben also 
4x x? A! — mA 
p9—- cal. 


Wenn r gegen Null konvergierte, so würde die Raumdichte c der Ladung geg 
Dieses müssen wir ablehnen und setzen deshalb 


(22) CHUA c mae 
Hieraus erhalten wir 
a vo 
und mit Berücksichtigung der Gleichung (21) j Law 
: o 
B'—:;,4. 


Für das Potential v finden wir dann 
ar 
y = 4° mt Ira m = «v COS 9, 


N:o 10. 


22 J. E. RENHOLM. 


Es bleibt noch die Aufgabe übrig, die Konstante À zu bestimmen. Wir erinnern daran, dass 
er CT 
Yo = À : 
das Potential im statischen Falle bedeutet. Wie schon hervorgehoben ist, werden wir das Problem 
nur bei sehr verdünnten Lósungen behandeln. Wenn wir uns auf die náchste Umgebung des 
Ions beschränken, wo zr« «1 ist, können wir deshalb e-*^ — 1 — x7 + 2 
durch 1 ersetzen und bekommen i 


einfach 


Vo= A- 1. 


Yr 
Ist die Ladung des hervorgehobenen Ions e;, gilt anderseits in der nächsten Umgebung des 
Ions bei grosser Verdünnung 


Us — py 
Also ist 
= tj 
P — mu 


Für das Potential & bekommen wir dann den Ausdruck 


— HV 
Få (0 €; 
23 Umm cd fe une r 
(23) Uere Gren CUBE 
Gemäss einer Bemerkung. die wir schon früher gemacht haben, geht aus dieser Gleichung 
hervor, dass das Feld durch eine Superposition von zwei Feldern zustande gekommen ist. Das 
— AY 


1 r : [un E 3 EX r^ 
eine Feld ist das statische mit dem Potential iy = på TD das zweite rührt von der Relaxations- 


zeit der Ionenatmosphäre her. Das davon herrührende Potential ist 


[n] €; 

I ER LC 
D 8D AL. 

Dieses Potential entspricht einer Feldstärke 
a Ü Y,. ox €; 
EE on en 

und einer auf das Ion wirkenden Kraft 

2 
DA €; 
6 D 
Wir wollen ein physikalisches Bild zu diesem Resultate suchen. Wenn vor dem Ion im Ab- 
stande I eine Ladung + e; und hinter dem Ion eine Ladung — e; auch im Abstande I sich bewegen, 


so ist die Wirkung, die von diesen Ladungen auf die hervorgehobene Ladung + e; ausgeübt wird 


912 


(24) RSR s 


et B H . B . * på . 
dureh den Ausdruck CTI bestimmt. Wenn man die beiden Wirkungen identifiziert, bekommt 
man 
] 42 
(25) y V ox" 


Diese Kraft ist also stets bremsend (entsprechend dem negativen. Vorzeichen) und von einer 
Grösse, als würden sich vor dem Ion eine gleich grosse und áhnlicheiLadung, hinter dem Ion eine 


Ars 12 " 
eleich grosse aber entgegengesetzte Ladung, beide im Abstande l p bewegen. Je grósser 


Tom. L. 


Über das Leitvermögen der Mischungen: von starken Elektrolyten. 23 


die Geschwindigkeit, die Konzentration und die Reibung sind, desto kleiner ist I, und desto grós- 
ser die von der Relaxationszeit der Ionenatmosphäre herrührende Kraft. Das alles entspricht 
genau dem, was man schon qualitativ erwarten dürfte. 

Dadurch ist der Einfluss der Relaxationszeit der Ionenatmosphäre bestimmt. Es besteht 
aber nach DEBYE noch eine andere, die Bewegung des Ions bremsende Kraft. Qualitativ können 
wir das verstehen, wenn wir uns das Resultats von Stokes, gemäss dem eine Kugel, die sich in einer 
Flüssigkeit bewegt, eine bremsende Kraft erfährt, die durch den Ausdrucke 6 x 7 v b, wo v die Ge- 
schwindigkeit, b der Radius der Kugel und »; der Reibungskoeffizient sind, bestimmt wird, erinnern. 
Allerdings ist das Problem hier komplizierterer Art. Das Ion nimmt bei der Bewegung gewisser- 
massen ein Ionenatmosphäre mit sich und es ist zu erwarten, dass während das Ion sich in der 
Lösung bewegt, nicht nur reine Reibungskräfte, sondern auch Kräfte elektrischer Art auftreten 
können. Die Bewegung des [ons mit der Geschwindigkeit v findet statt unter Einwirkung der 
Feldstärke X in der x-Richtung. Die äussere Feldstärke erzeugt so eine Volumkraft 


EEE ^ 


wo 6 die Raumdichte der Ladung ist. Nach der Poissonschen Gleichung ist 


4x 
D 


GE AD: 
Wenn wir die Potentialverteilung kennen, kann c nach der Poissonschen Gleichung berechnet 
werden. Bis auf Glieder höherer Ordnung können wir hier das Potential für den statischen Fall 
een 
je 
W= = 
i-is 
nehmen, welcher Ansatz, wie schon früher auseinandergesetzt wurde, eine Lösung zu der Differen- 
tialgleichung 
IV —x* y) — 0 
im statischem Falle bei erosser Verdünnung ist. Dann ist 
- DIX 
(26) K Hal Xx. 
Wir wollen das so entstandene Problem derart behandeln, dass wir annehmen. das Ion ruhe, 
und die Flüssigkeit bewege sich, und zwar so, dass die Geschwindigkeit in grosser Entfernung 
v ist. Wir werden also zuerst die Bewegungsgleichung für das Lösungsmittel aufstellen und 
dann die von der Bewegung auf die Ionenoberfläche ausgeübten Druckkräfte berechnen. 
Bekanntlich lauten die Bewegungsgleichungen für eine zähe, inkompressibile Flüssigkeit, 
deren Dichte, wie hier für sehr verdünnte Lösungen der Fall ist, gleich 1 gesetzt werden kann 


dv, Op hi 
—— = — À: J fr 0. 
| dt Ka S T MON grad v, , 
(27) 
div o = 0. 
(Gemäss der Vektorrechnuneg ist 
2. 4 ; Q ü à LS Öd L " 
rot, (rot ») - 5, TO: D — 57 106, v, 


oder 


N:o 10. 


94 J. E. RENUTO LM. 


rot, (rot v) = — | + 


CÉOPNECRTE 0 (n —) 
dy? 9: | ox : 


dy | oz 
Hieraus bekommen wir, wenn wir ausserdem die Inkompressibilitätsgleichung benutzen 
div grad v, — — rot, (rot v). 


Die Beweeuneseleichung kann dann foleendermassen geschrieben werden 


dv, " Op 
dr JE rei: ET nrot, (rot v), 
oder 
dv 


= K — grad p — » rot rot v. 
dt o 1 I 


Nun ist noch zu beachten, dass 


dv dv 
ät v V grad) v. 


SVT d 5 à . Óv 5 > N : : ; 
Ist die Strómuneg stationär, so haben Wir y. — 9. Ist die Geschwindiekeit klein, so dass man, — 
was wir immer vorausgesetzt haben — die quadratischen Glieder vernachlässigen kann. so kón- 


nen wir (v grad) v — 0 setzen. Wir bekommen dann als Bewegungsgleichung 
(28) 5 rot rot o = K — grad p. 


Mit Hilfe dieser Gleichung können wir p als Funktion des Potentials 4 bestimmen. Bilden 
wir div für diese Gleichung, bekommen wir 


1 MCN MO AS 
div grad p = div K — 57- 
Benutzen wir die Gleichung (26), bekommen wir 
DX dy 
(29) Ne 


Eine spezielle Lösung dieser Gleichung ist natürlich 


1DX0Y 
B 4x dx 


Zu dieser Lósung kónnen wir noch eine beliebige Lósung der Gleichung 
A) 


hinzufügen. Wir können uns in Übereinstimmung mit den vorigen Betrachtungen die Lösung aus 
zwei Teilen zusammengesetzt denken, von denen der erste p, sphärische Symmetrie, und der zweite 
p, achsiale Symmetrie besitzt. Für ./ p, haben wir dann 


dr? r dr 
Zu der Differentialeleichung 
d? p, 2 dpi 
diu reU 
finden wir leicht die Lösung 
D, 
Bi lo 


wo A, und B, vorläufig unbestimmte Konstanten bedeuten. Für p, gilt (man vergleiche (15)) 


Tom. L. 


Über das Leilvermôgen der Mischungen. von starken Elektrolyten 25 


d'un a2. E DU 
( AS den =) eos 9, 


«d py — 


di? 


und also 
d@R i: 2dR 2 R 


dr? ' r dr r* 


= (0. 
Bine Differentialgleichung dieser Art haben wir früher gelöst. Wir finden 
Ps — (= + À; 2 cos 9. 


Beachten wir noch, dass 


Op OU EMEN 
3792: 815. 008. up 
bekommen wir 
B, SED DXdwy c 
m - at ZA pa — — 308 U, 
(30) p — As d- a (4i: FEES = dr) 608 


Die Grössen A, und B, sind vorläufig noch unbestimmte Konstanten. 
Wir gehen jetzt zu der Bewegungsgleichung des Lösungsmittels zurück und setzen 


(31) rot v= w. 


Die Grösse p wird aus unserer Gleichung eliminiert, indem wir rot bilden. Wir erhalten 
dann 
(32) 7-rot rot 2) — rot K. 


In dieser Gleichung werden wir das Cartesiansche Koordinatensystem gegen ein anderes 
austauschen, das ebenfalls orthogonal, aber für unsere Aufgabe zweckmüssieer ist. Wir denken 
uns eine Kugel mit dem Mittelpunkt am Orte des hervorgehobenen Ions und wählen die 
a-Richtung als hervorgehobene Achse dieser Kugel. Die Lage eines Punktes 7 im Raume ist 
dann bestimmt durch den Radiusvektor r, den Polabstand 9 und die geographische Länge q. Der 
Zusammenhang zwischen den alten und den neuen Koordinaten ist gegeben dureh die 


Gleichungen 
| y —r0089, 


y —rsin 2 cos q, 
| 2 — rgin Ÿ Sin y. 

Wir suchen zuerst die Komponenten von ow in dem neuen System. (Wir bemerken inzwischen 
dass w die Bedeutung der Wirbelstärke hat). Die Komponenten von » in dem neuen System 
sind gemäss der Gleichung (31) bestimmt durch 

es —ÓNU e OR 
ws = rota v, 
| wp = rot, v. 


Der Zusammenhang zwischen x, y, z und u, v, .w sei gegeben durch die Gleichungen 


uw 
| 
ux 
= 
sS 
= 


| eaa cow, v, w), 
| 


dann gilt nach einer allgemeinen Gleichungin der Vektoranalysis, wenn beide systeme orthogonal sind 


N:o 10. 4 


26 J. E. REN HOLM. 


l| j/0(e4A, 0 (es A, 
(ke | (edo os ). 
| exe ÅN Ov dw 

1 /0(e,A 0 (es A, 
| rot, A = == (© (& x u) — (es zi 
| £316) N 7 QD du 1 

10e 42 0 (e À, 
[10,4 =; ( Bee )), 

€; € ou Óv , 


wobei 


n [Pav dy \2 (02M 
Sx oc) 10 (Gå +) : 


Hier entsprechen sich 


Also ist 


Wir bekommen dann 


1 DL: |  dvy 
V» rang jp n9 Us) — any Jg 
1 dv, 1 0 
wear: 
1 0 1 dv, 


mer on 


Aus Symmetriegründen können wir sagen, dass die Strömung in jeder Meridianebene die 


gleiche ist und keine Komponente in der g-Richtung haben kann. Also haben wir v, — 0, E — 0 
dv, 
as — 0. Deshalb ist 

Ww, — 0, 

wa —0, 

Wp Wy: 


Physikalisch bedeutet dieses, dass die Wirbellinien Kreise um die z-Achse bilden. 
Wir gehen jetzt zur Behandlung der Bewegungsgleichung 


7 rot rot w= rot K 


in unserem neuen System über. Wir bemerken, dass 


TON m 
0p - sin Ÿ 
rot, w TS AE (sin 9 wp), 
1 0 
rots uL 5 rl Wp) , 
rot, w — 0. 


Diese Resultate bekommen wir ohne weiteres aus den allgemeinen Definitionsgleichungen 
für rot. Man bildet nun zuerst 


Tom. L. 


bo 
-1 


Uber das Leitvermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. 


l f 0 


rot, (rot €) = ing Lg (Sin J rot, w) — x (r rota w)i 0, 
ZUR Dp 


] ) | 9 
rot, (rot 40) = xy (rot, w) — = > (r rot, w) 
1 


r sin 
1 D) : o Wp ^ 
E - ISIN 0) 
Fan 9 35 ( x q ) 2 
und 
1 


) 
rot, (rot w) = E (r rotg w) — 228 (rot, 1) 
(33) 
RG JM EC) 


a X B rd 
= nor (t w 2) =. 209 RENTE (sin J Wy) 


Es erübrigt noch, rot A zu bilden. Da K in der Richtung der Achse fällt, sieht mar ebenso 
wie oben, dass 
OA Ja = (0, 
Toys AIDE 


Rot K hat also nur eine y-Komponente. Man kann setzen 


K, = F (r) cos 4, 
Kg = — F (r)sin 5, 


1 = 
Also 
X dK.. 
H ————S Jj 
rot, K dr SIM 9. 
mit Hilfe der Gleichung (26) bekommen wir 
3 OS DEN RT 
rot, K =" 7 av Sin 9. 


Die Bewegungsgleichung können wir dann schreiben 


(sin 9 27) | N DE ng. 


4andr 


1 9? 1.0 19, 
(84) rar MWe) + 09 (= $39 


Die Art des Problems deutet darauf hin, dass es vernünftig wäre, eine Lósung zu suchen, 
die proportional mit sin 9 ist. Wir setzen deshalb 


wp = R (r) sin 9. 


Hier ist 
Do d*R \24R\ . . 
ror? (rw) = ( dr: E r dr ) sin Y, ] 
GTS Ape 2 
ro [ans 09 (sin 9 v) | = come Ui 


Weiter haben wir für das Potential 
RUE TRUE 
Wir machten die Voraussetzung, dass wir bei der Behandlung unseres Problems mit dem Potential 
im statischen Falle rechnen könnten. In diesem Falle hat v sicher Rotationssymmetrie und wir 
haben 
JM d w 2 dw : 
“Rire dr? dr 
Durch Differentiation erhalten wir 


N:o 10: 


28 J. E. RENHOLM. 
dw tds w 2 d° y kt 2 dap 
dr dB "rd? ndr 


Unsere Differentialgleichung (34) kónnen wir also schreiben 


dr? r dr? T dr 


ŒR ,2dR 9?R X DX(dvw,2d a) 
dr: r dr FACE dan 
Eine spezielle Lösung zu dieser Differentialgleichung ist 
D DX dw 
Bu io ant 
Ausserdem kann noch eine allgemeine Lósung zu der Differentialgleichung 


d R 2dR 2R 
dr: a TP DS 0 


) 


eefüet werden. Diese Differentialgleichung haben wir schon früher gelöst. Wir finden 
D 
R= C, r sis = = 


Für unsere Differentialgleichung bekommen wir also folgende Lösung 


; D, "e DX dap 


" Lx Y ^! 2 LD B n 
(35) us = (Cur tag, gr) Sin 9. 


wobei C, und D, vorläufig unbestimmte Konstanten sind. 

Bei der Lösung der Bewegungsgleichungen für das Lösungsmittel sind sechs vorläufig unbe- 
stimmte Konstanten aufgetreten. Es müssen jetzt die Werte von w, und p in die undifferenzierte 
Grundgleichung eingesetzt werden, um zu sehen, ob die Lösungen mit einander verträglich sind. 
bzw. welche Beziehungen zwischen den Konstanten bestehen müssen, damit dies der Fall ist. 
Wir wollen deshalb die Gleichunge (28) als Komponentengleichungen schreiben. Gemäss ihrer 
Definition ist 

w — rot. 
Die Gleichung (28) lautet dann mit Hilfe der Gleichung (26) 


y rotw = — grad p Ls x*ap. 


2 
Wir bestimmen zuerst die Komponenten von rot w, wenn « durch die Gleichung (35) bestimmt 
ist. Wir bekommen 


TOi, w = 


2 


2 cos I / TD: D X dy 
Ir AA er? Fer 


i ) KX FA d 
ote w — sin? |— 20, 4-7 2 JI 


n d r&andr\ dr 
rot, w = 0. 


Dann bestimmen wir die Komponenten von grad p, wenn p durch die Gleichung (30) definiert ist. 
Wir finden 


1 UELLE BEEEEN Xe n 

grad, p — — t urn: 4i: )eos Jj, 
B; DX T du « 

grady p — — (A HR rar sin o, 


grad, p = 0. 
Tom. L. 


Uber das Lertvermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. 29 


Wenn wir die Gleichung (28) in Komponentengleichungen zerspalten, bekommen wir also 


^ D DX2dw B 2B DX d'y DX 
1 | 9 1 2 9 = 0 » 1 ‘08 4 22 OS 4 
(36) (270, | 7 (dd Ear av) cos pr ( li y! 4 x PELLE 4x EU COR}, 
On 
j - Dr DER dap : b DXldwy.. DX ^ 
9 MI Le S t - ;[. is 3 J - x* ans n 
ll 226; i ur T £m art qx )|sin : (Ai Mere 4x ar )3in Je 4 x x pam. 


Die dritte Komponentengleichung resultiert in die Identität 0—0. Diese Gleichungen sollen 
für alle Werte von 9 und r gelten. Wir schliessen daraus, dass 


Bg —0, 244-276, 250, By —- Di — 0. 


Die X enthaltenden Glieder heben sich mit Rücksicht auf die für w geltende Differentialgleichung 
gegenseitig auf. Wir haben also 
A b 
Po — NC D). 


29 n 


Wir kónnen also die Lósungen der Bewegungsgleichung der Flüssigkeit in folgender Form 


schreiben 
i NW LAE FIDEM 
p = Ao + (4. nr ? And ; cos y 


WR 
1091 — 0, 
4, al DX dwY .. 
fee pie ou. Ps En ‘ 
(Er | 2d "ow ue iz, ar Sn Zi 


Nachdem ww nunmehr bekannt ist, wollen wir die Geschwindigkeit v bestimmen, wobei natür- 
lieh die Inkompressibilitätsbedingung erfüllt werden muss. Für die Bestimmung von v, haben 
wir die Gleichung 

rot, v = Wy, 
oder 


10 (— aw vB DX dy 
- 5 : : 


lo Eur 
(37) | nn — Jsin 9. 


2n nr, an dr 
Jetzt wollen wir untersuchen, wie sich die Inkompressihilitätsgleichung 
divv=0 
in den neuen Koordinaten schreiben lässt. Wenn wir dieselbe Bezeichnungen wie früher bei 
sinführung der krummlinigen orthogonalen Koordinaten anwenden, gilt allgemein 


m 5 l | 9 v9 , d \l 
div 4 — ec, ev e lou (es és 4) T v (es & À ) LE "miU es Au), 3 
Hier bekommen wir also 
: en NOR. 1, Obs de 
(38) div 9 — or (rv) r sin 909 (sin 2.09) —0. 


Wir haben also die beiden Gleichungen (37) und (38) zur Bestimmung der zwei Unbekannten 
v, und vg. Wir setzen 
för = Ey cos 9, 
| va = R, sin 9, 
wobei A, und À, zwei noch zu bestimmende Funktionen von r allein bedeuten. Werden diese 
Werte in die Gleichung (37) eingesetzt, erhalten wir 


N:o 10. 


30 J. E. RENHOLM. 


/ 1 d R A BU DX dw 
am re up Ro re) Ec Ll — 
(87) „ar, Be) r an nr 479 dr! 
und 

DATI , 2 
(38^) crm nl: 


Nehmen wir den Wert von A, aus der zweiten Gleichung und setzen diesen Wert in die erste ein, 
bekommen wir 
2 B, 1 


Das Are A. UTD dap 
(39) dr? (r Ri) „er A) Tm d nao. 3 emp 


Wir suchen zuerst spezielle Lósungen zu dieser Differentialgleichung. Wir kónnen uns diese 
Gleichung aus drei Teilen zusammengesetzt denken, die den Gliedern rechts entsprechen. 
Zuerst haben wir dann eine Differentialgleichung folgender Art zu lösen 


GRANT 
dr" 


wobei wir anstatt r? R, die Grösse Y geschrieben haben. Wir suchen eine spezielle Lösung, indem 


wir setzen 
are 


wo k und n vorläufig unbestimmte Konstanten sind. Wir bekommen dann 
kn(n—1)r"-?—2kr" 2 — 72. 
Wenn unser Ansatz eine Lösung sein soll, muss man haben 


N 2 —0, 


n=4. 
Dann wird 
1 
hk 39 


Eine spezielle Lósung, die dem ersten Glied entspricht, ist also 


Ar: 
te zi 


$anz ähnlich findet man eine spezielle Lösung, die dem zweiten Glied entspricht 


Um diese Gleichung zu lösen, greifen wir auf die Differentialgleichung für v zurück 


d*ap 2dw 2 
tr) 
dr: rdr HUE 
Wenn wir differenzieren, erhalten wir 


,de Pr 2du 2d 
dr — dr r dr? r dr 
oder 


Tom. L. 


rtf 


Über das Leitvermógen der Mischungen von starken Elektrolylen. 31 


dv Y f,d'wv ot v 2dw| 
dr 2 | dr = dr: r dr | 


Die betrachtete Differentialeleichung lautet dann, wenn = weggelassen wird 


d'Y 2y s d? ap I ot v 2dv 
dr? NR Sä r dr 


: Dr Um pont n 2 I | 
Der Versuch liegt nahe das Glied „ mit dem Glied = d zu identifizieren. Wenn wir 
z ‚dw 
PEU 
setzen, bekommen wir durch Differentiation 


Ji E „® w d arv 
en tage 


Unser Ansatz genügt also in der Tat der Differentialgleichung. 


dr? 7 


Eine spezielle dem dritten Glied entsprechende Lösung unserer Differentialgleichung ist also 


an, DX ‚dp 


1  Amxmqw dr 


Wenn wir die Resultate (ue erhalten wir die spezielle Lósune 


DX r 4% 
d BR, =" n I ST PET dr 


7] 


Dazu kann noch eine allgemeine Lósung der homogenen Differentialgleichung 
d? 9 R 2 2 R 
dr (r^ Rı) — nO) (r£) = 0 


sefügt werden. Die Lösung dieser Gleichung ist ganz einfach und wird gefunden, indem wir 


setzen 
Bahr N 
Wir erhalten dann 
n = 2, 
No = — 1. 


Die ganze Lósung zu der Differentialgleichung (39) wird dann 


ÅN 


(40) p? R, = er 215 ng u 


a 
ot dif. 1 nz T dr! 


HB tara 
wo 4, und B, vorläufig unbestimmte Konstanten sind, die bei der letzten Integration eingeführt 
sind. Aus der Gleichung (38) 


Ay rl PERS dE, 41 DA AE 
(41) Rodin +; B ar) 


35774 ann dr 
Für die Geschwindigkeitskomponenten v,, vg und den Druck p erhalten wir also fol- 
gende Gleichungen 
1 DX ldw 
> 2 2 I - v 
I [uc Ch + 4s : LB, = Tärna ott 


NS DIN l a 
Que [^5 LA Le 2nr +3 ; B, 7 Arms re] sin #, 
(42) 1 en mor 
Vo — 0, 


| We à 
p= A, + [4r B LT T coss. 


N:o 10. 


39 J. E. RENHOLM. 


Die Konstante A, ist nur für die absolute Bestimmung des Druckes massgebend und darf 
hier deshalb ohne Beschränkung gleich 0 gesetzt werden. Weiter muss À, — 0 sein, denn sonst. 
würde die Geschwindigkeit in grosser Entfernung sehr gross werden. Gemäss unserer Annahme 
und dem Bild, das wir uns von dem Vorgang gemacht haben, dass die Geschwindigkeit in grosser 


Entfernung parallel der z-Achse gerichtet sein und den Betrag — » haben soll, müssen mit 
wachsendem r die Grössen v, und vg sich asymptotisch den Werten v, = — cos 9 und vy = 
v sin 9 nähern. Dann muss 4, = —v sein. 


Weiter müssen an der Kugeloberfläche sowohl v, wie vy verschwinden. Wird der Ionenradius 
mit b bezeichnet, muss also 
förr — b. ©. — 0 mundivss0 


sein. Das gibt folgende Bedingungen 


r zr Vim 0, 


MULCA MST dap 
[es 7 BAT Bs ja hard 
(43) | AT erra zug, brad (res) nf à 
and ! 2:95  4mme[rdrN dr)|r=o : 


Hieraus erhalten wir 


LE 


By wil 3 7 DIX I du a ra 
nb 2  A4mgqwdrdr | rår 


dr]f y — v. 


Jei unserer Voraussetzung über das Potential ist der imnerhalb der Klammer sich befindende 
Ausdruck = 22 yr. Also ist 
Jy dte) * DX ap 
»n We er! N 


und 


I LAE DX ([dq*w 
$ge a | 


4an#’\dr® 


B 

Hiermit sind alle Konstanten bestimmt. : 

Wir können jetzt die Spannungen berechnen, die auf das Ton durch die Oberfläche übertra- 
een werden. Diese übertragene Kraft wird in der z-Richtune zerichtet sein und wirkt auf ein 
Oberflächenelement der Kugel, dessen Normal stets r ist. Wir suchen deshalb die Spannungs- 
komponenten, welche nach der üblichen Bezeichnungsweise mit p,, bezeichnet werden. 

Es ist 


a y z 
pez = Dex T E Pyx " = Pzx = 
Weiter haben wir nach den Gesetzen für eine zähe, inkompressibile Flüssigkeit 


[ES 


Pratt rm? 


Qvy , Ar 


I SE er JE 25). 
uc DE QU, 
Pre 77 or a dz n 
Für die Geschwindigkeitskomponenten findet man leicht die "lransformationsgleichungen 
0, = vU, COS I — va Sin I, 
v, = (v, Sin I + vs cos I) cos p, 
v. = (v, sin I + v» cos 9)sin q. 


Tom. 1. 


Über das Leitvermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. 


Erinnern wir uns noch, dass wir die Bezeichnung 
v, = R, cos I, 


vg = R, sin 4 
eingeführt haben, bekommen wir 
D — RC0829. — Is. 


1 : 
V, — 5 Rsin 2 4 cos q, 


1 : PRE 
v, => RSin 2 9sin q, 


wobei 
R — R4 +R. 
Wenn wir beachten, dass 
7 = cos 9, för sin ÿ cos e, 
07 sin + 09 cos? cos p 
Qr — (^ an MIT GNE S 


und 


TL sin 9 cos g, 


| : — sin 2 sin q, 


so finden wir nach ziemlich langen Rechnungen, die hier nicht reproduziert werden sollen, 


or GN eA due 
för = sin I sing, 


je cos 9 sing 
= Se I 


Dette T 


Er : (ls DES EE ER eo (TT) 
u DGOR uere 2 dr dr 7 eo v dr r Jl 
Mit Berücksichtigung der Gleichungen (42) bekommen wir 
dh dh RB 2H 98, DX em »_4dy, Ady), 
dr dr [PR mare Te Anna\dr: 7 ge V ej 
und 
dR, R 1, DX dv 
— | yb >) —3B, A Anna dri! 


38 


Wenn man diese Werte und den Wert von p aus der Gleichung (42) einsetzt, findet man 


1 DX dy 
Prz = +3 B; 7. 3F z 


Tr 4n dr 


j 1 1 
SF Sea — Oda An dr 4axwVdr rar 


Wenn wir die Differentialgleichung für wu 


DXdw DX (s EURE 73 


Cos? I. 


r° dr 


differenzieren, lässt sich der Ausdruck für p,, in folgender Form schreiben 


1 DX dw 
Pra — 3 Bs zm an 47»: dr? 


1 
+38, :—98, 7 


rt Dar? WM? dr r dr? 


n mE ne eg 


N:o 10. 


I 2 
cos? 9. 
j 


on 


34 J. E. RENHOLM. 


Um die auf das Ion wirkende Kraft zu bestimmen, müssen wir Jo. d c über die ganze 
Oberfläche nehmen. Dabei ist natürlich r als eine Konstante = b anzusehen. Als Oberflächen- 
element do empfiehlt es sich hier eine Kugelzone zwischen 9 und 9 + d9 zu nehmen. Dann wird 


do = 2xrsindd od. 
Wir finden also 


[ ER € 
I» = bb \—Bı + A dr! 4r r dr? rdr))»=.. 


m x? 


DX ja m v, 2d'y N 


Mit Hilfe der Differentialgleichung von v/ können wir schreiben 


[v..do=4=!—B, tr e 


Benutzen wir jetzt den Wert von B, 


3 DX 
B, = 3009-34 b), 


= ba 
bekommen wir 


[ode = ant Sobn + P (o 9) a 


r= bf; 
oder 
à EN UL DXb d i 
|] 9. .de — 4 (—5tbn Au arr, 
5 E = A Hd 2 ? tj e RUE 
Für kleine Konzentrationen können wir den Ausdruck für das Potential y = p 2B der 


Nähe von dem Ion, das die Ladung e; haben móge, entwickeln, oder 


RTE 


$j 
TU = pt L 
durch 
ej 
yv = — — p4 
ry = p — x) 
ersetzen und die Glieder hóherer Ordnung vernachlüssigen. Wir bekommen dann 


; ane) Xbx \ 
[9 de — 4| 5 vb? er 


oder 
Jr do — — 6zqvb — e; X«b. 
Bei der Bewegung erfährt das Ion j-ter Art durch das Lósungsmittel eine Bremsung K, die 
gegeben ist durch 
(45) K — —6z$vb —e, Xxb. 


Zu der Stokeschen Kraft — 6: 7vb kommt noch eine elektrophoretische Kraft hinzu, die gegeben 
ist durch den Ausdruck — e,Xxb. Diese ist stets der Ionenbewegung entgegen gerichtet und 
wächst mit der Konzentration. Bei einer unelektrischen Kugel, die sien in dem reinen Lösungs- 
mittel bewegt, fállt diese Kraft weg. 

Da wir nun im Besitz von diesen Resultaten sind, können wir das Problem des Leitvermögens 
jetzt theoretisch behandeln. 

Es liege folgender Fall vor: Wir haben eine einheitliche Elektrolytlósung eines Elektrolyten, 
wo jeder ccm. Lósung enthält 

Tom. L. 


Über das LeWvermógen der Mischungen von starken Elektrolyten. 35 


n, lonen mit der Ladung e,, 
n, » » » » Co, 


Ms » » » » es. 


Wir betrachten ein Ion j-ter Art in dieser Lösung. Die Bewegung dieses Ions findet unter 
Einwirkung von folgenden Kräften statt: die äussere elektrische Feldstärke X gibt den Anteil 
e, X; infolge der Relaxationszeit der Ionenatmosphäre kommt eine Kraft 


2 
0,X 6j 


a) 
hinzu, wo 


Dazu kommt eine durch das Lösungsmittel bedingte Kinwirkung 
— 6m 4b; vj — e; X xb;. 


Die beiden letzten Effekte sind bremsend. 
Bei einer gleichförmigen Bewegung muss man also haben 


2 
0,» €. 
eX — baby — e X b, — 0, 


wobei x durch die Gleichung (9) und e durch die Gleichung (11) definiert sind. 
Für unendlich kleine Konzentrationen kónnen die Glieder die x enthalten. vernachlässigt 
werden. Wir bekommen so als Grenzgesetz 


ej X —6xmb;v; = 0. 
Wir sind also berechtigt 6:75; als eine Reibungskonstante aufzufassen und wie früher wird 
diese hier mit o; bezeichnet. Wir kónnen daher unsere Gleichung folgendermassen schreiben 
2 
U + e pepe 9 = 6 X (1 — xb). 


Hieraus bekommen wir 


j J 
ir 
: 0j 0 x6 
0,6 DET 


za 
Das Glied 5 5. ist sicher klein. Folglich finden wir 


0,6 DKT 
2 
Vv; = eum mus Ör — bj) 
acrd 06,6 DkT 2/3 


Die spezifische Stromstärke i wird bestimmt durch die Gleichung 


4 — 2 nj ej vj. 


2 2 
zT NM x|[ LUNAM | 
i=> SOR one 


Man findet hier 


Die spezifische Leitfähigkeit (im elektrostatischen System) ist bestimmt durch die Formel 
N:o 10. 


36 J. E. RENHOLM. 


Hier ist also 
es n; & n; 6 
e^ os CE ES by 
+ 


Wir sind schon früher dem Ausdruck x 5 begegnet und fanden, dass dieser den Grenz- 


wert der spezifischen Leitfähigkeit bei idée Verdünnung bedeutet. Wird diese 4, genannt, 
hat man 


46 À Lj 

(46) iD g 

Weiter definieren wir einen Leitfähigkeitskoeffizienten f; durch die Gleichung 
(47) = fat. 


Die Grósse f; spielt hier offenbar dieselbe Rolle wie der früher eingeführte Dissoziationsgrad. 
Wir bekommen jetzt, wenn die molare Leitfühigkeit eingeführt wird 


4 2 
Dre ab 

J 
4A. The ns 0; | 
m 6DkT wd "4 | 
es 0; 0j J 


4 2 
yr 0e yy 
Da, e e; = o? » p 2 
5 
M n; e QUE Mie 
DEREN e; > ej 
Es wird jetzt unsere Aufgabe sein, diese Formel auf eine Mischung von zwei Elektrolyten an- 


zuwenden. Gegeben sei eine Lösung, enthaltend y Mol eines ersten Salzes und y’ Mol eines zweiten 
Salzes pro Liter Lösung. Die Gesamtkonzentration 7 wird dann definiert durch die Gleichung 


(49) y+r=T. 
Wir setzen 


(48) TES A P no 


(50) Vip Und v = 
Jedes Molekül des ersten Salzes zerfalle in 


», lonen von der Wertigkeit 2, 
Vo » » » » Z5. 


Jedes Molekül des zweiten Salzes zerfalle in 


", lonen von der Wertigkeit z,', 
Vo » » » » PM 


In der Lösung befinden sich. dann y N — z IN Moleküle des ersten Salzes und y N —z' FN 
Moleküle des zweiten Salzes. Da bedeutet N die Avogadrosche Zahl 6.06-10%. Die Konzen- 
trationen der Ionen in der Lósung sind dann 


Tom. L. 


Über das Leitvermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. 37 
n=ıy T, Ya= vd, y! = DT, y = uv, F. 


Die Anzahl der Ionen pro em? der Lósung ist 


zu TN CY TN y, TN. De ocius OT) 
M = sam mg? A e = —dág ^ 


und ihre Ladungen 
, , , L4 
Gi — EGO EPIO Gl Em Cn Cp Ca 2e. 
Dann wird 
" 2 TN e? P 9 1,12 1,12 ss 
» M ei — gi [vd 2,2 + ra 292) © + (0$ 21° + 92 22°) 7]. 


Nach Lewis ! führen wir die lonenstärke I ein und definieren diese durch die Gleichung 
2 
n 2 


(51) jar : (nat) art eta] LE. 


Im vorliegenden Fall bekommen wir 


Wir erbalten also 


Die Gleichung (48) können wir dann wenn die Ionenradien bi, ba, b, ^ und b,' sind, schreiben 


T 2 8m N (vi 2? 0 + va 22? 02) + (vs! are + vel 22° Qi) 7 
2 jener! DET 10 (v zi? + va 2?) © + (v! 2 + vel 22!) 2 
Di Zi Va =) e Zi v x) ' 
nr + a+ z 
i 01° 03? ) 0° i DAR 
e 02 ei 02 
2 2 Pm D ZA 
Ne 
m- 5 : 
nes DkT10 5 7, 2, = 25° v T SPEARS VI. 
me 
0 02 A1 02 


Wir haben früher (3) die ionale Leitfähigkeit L, eingeführt durch die Gleichung 


2? 
L;= Ne = 
1 
Wir bekommen also 
2 
Q;— Ne —. 
i 


Gehen wir noch zu dem in praktischen Einheiten gemessenen L, über, so finden wir 


D CEA EE) «(ng e) P 
1—f = = ry Um e Uie ie 
À t6 DEkTP DkT10  (v,z t vizg)ox d (V a+) z,?) a 


a ie rois (m L+v, Lys € 8 = N s (vj Li b, +» L ba) 2  (v,' La! bj! + v, Sue! yi 
(v, Li FL) z 4 (v, L,! 3 v, Ly) a DKT 10? (vi Li 4- v4 L5) & +! Li+ vs! L!) x i 


Aus der Gleichung sieht man, dass 1—; eine lineare Funktion aus der Quadratwurzel von 
I ist. Die Gleichung lässt sich also in folgender allgemeinen Form schreiben: 


! G. N. Lewis and RANDALL: Journ. of the Americ. chem. soc. 63, S. 1112, 1921. 


N:o 10. 


38 J. E. RENHOLM. 


(52) 1—fi;—kVI. 
Die Konstante K setzt sich additiv zusammen aus zwei Teilen 
(53) k=k, + ke. 
Wir führen noch folgende Abkürzungen ein. Wir setzen 
XE Ea IBN 
(54) *—6DkTM DkTlO" 
8x N Ji 
(55) =:V 1007 


Sowohl « wie 8 sind bei gegebener Temperatur und gegebenem Lösungsmittel konstante Zahlen- 
faktoren. Der Faktor 10-8 ist eingeführt, um die Ionenradien b sofort in Angstrôm-Einheiten 
angeben zu können. Die Zerlegung von k in zwei Teile hat nicht nur eine formale Bedeutung 
sondern auch eine physikalische. Diese entspricht der Tatsache, dass die Bremsung bei der Ionen 
bewegung sich aus der Wirkung der Relaxationszeit der Jonenatmosphäre und aus der elektro- 
phoretischen Kraft zusammensetzen lässt, welche sich beide bis auf Glieder höherer Ordnung 
ungestört auf einander superponieren. Wir finden hier 


Vi 2° Fe "es i 2 ll 2 - 2 E TROC prs ^j 
[= TRADE apes L/ + n z(v, LD v, Lj?) 2! (v, Lí, v, L,?) 


= , 


[x (v, zi? Fv, 25?) +0 (v, 2 + v;' z,2)] [o (v, L, + L4) 4-2 (v L4! Fv LV) 


(56) Ko 


welches die Wirkung der Relaxationszeit der Ionenatmosphäre bestimmt. Weiter ist 


* 2 (v Li by vy La ba) + (nt Lb! vy! Ly by). 
(57) ke — 8 2%, L, -», Lj) 4 & (v; Li v; Ly) 


was die Wirkung der elektrophoretischen Kraft beschreibt. 
Wenn man für jedes Salz einen mittleren Ionenradius by und by einführt, folgendermassen 
definiert : 
bo (v4 L4 + Va D4) — Y, Ly 5, +, Ds b;, 
by Qs Ej! + vy Le) = n! Lb vs! Le by, 
wobei b, und by berechnet werden können aus der Beobachtung der einzelnen einheitlichen Elek- 
trolytlösungen der Elektrolyten, so bekommt man 


c (v, L, +9 Li) bot (vi L’ + L:') bo! 
€ (v, L, + v, 14) 4- a? (vy D! 4-9, Lj) 


k.— p 


Wenn man, was hier berechtigt sein dürfte, von einem mittleren Ionenradius b für die Mi- 
schung spricht und diesen durch die Gleichung 


à v (v Li + v, Le) b, a (n! L + vå! Di) by 
(58) = ASO u) 2 (v D. +72!) 


definiert, wird die Wirkung der elektrophoretischen Kraft einfach durch den Ausdruck 
(59) k. — 8b 
beschreibt. 

Es erübrigt noch die Zahlenwerte der Konstanten « und 8 anzugeben, wenn das Lösungsmit- 
tel reines Wasser ist. Für die Dielektrizitätskonstante D können wir dabei die Drupesche ! 
Interpolationsformel. 


iP. DRUDR: Ann. d. Phys. 1896, Bd. 9, S. 61. 
Tom. L. 


Über das Leitvermógen der Mischungen von starken Elektrolyten. 39 


D = 88.23 -— 0.4044 t + 0.001035 12, 


wo t die Temperatur in Celsius darstellt, benutzen. Alle Beobachtungen sind bei genau 18° 
oeemacht. Für diese Temperatur sollen dann die Werte von « und 8 angegeben werden. Dabei ist 


D — 81.29. 


Für den anderen Konstanten haben wir hier folgende Werte angenommen 


& = 4.77 - 10—19, k = 1.371- 10- * (die Boltzmannsche Konstante), 
N = 6.06 - 1023, 
Man bekommt dann bei 18? Celsius 
« = 0.382, 
p = 0.327. 


Hiermit ist die Konstante k in der Gleichung (52) vollständig definiert. 


Es bleibt noch übrig festzustellen, was sich über den Grenzwert lim 4 = 4, der Mischung 
pco 
sagen lässt. Für den Grenzwert der spezifischen Leitfähigkeit, elektrostatisch gemessen, fanden wir 


n e 
x 
0 0; 
Wir erinnern daran, dass auch die elementare Theorie dieses Resultat gibt, was auch ganz natür- 
lich ist, da im Zustand der unendlich grossen Verdünnung von einer gegenseitigen Einwirkung 
der Ionen auf einander keine Rede mehr sein kann. Wenn man die Werte für die Grössen n; und 
e; einführt, bekommt man 


3 PN: f{v, z,° 179 25. viaa SE 
iter mestre 


0 Lo Qi 02 
Als die molare Leitfähiekeis definierten wir die spezifische Leitfähigkeit durch molare Konzentra- 


tion pro emm oder 


— 1082 
ciem p 


Wir bekommen also als Grenzwert für die molare Leitfähigkeit, elektrostatisch gemessen 
= 5 2 2 lag ! m 

py Ne (e 2 V» 22 IE (= er ue 

x ar n ga lues ] 


Wir führen jetzt die ionale Leitfähigkeit L, (die Beweglichkeit) der einzelnen Ionensorten 
semäss der Gleichung (3) ein und erhalten 


A, = (Vv, L, + Ve La) Bar (OR IDR se L3!) qu. 
Man identifiziert hier unmittelbar », L, +», L, und »,' L,' +», L,’ gemäss der Gleichung (4) 
als die Grenzwerte der molaren Leitfähigkeit des einzelnen Salzes, d. h. 


zs = = 
A0 =", Li + Vala, 


igar | L , , 
AV = Y, Li + vaL, 
und bekommt 
212). 7 


= pL) 
Age 9 T + Ag, 


oder praktisch gemessen 
N:o 10. 


40 J. E. RENHOL M. 


(60) 4 — AV a + Me a". 

Der Grenzwert für die molare Leitfähigkeit einer Mischung ist also eine lineare Funktion 
von æ und lässt sich aus den Grenzwerten ihrer Bestandteile nach der elementaren Mischunegs- 
regel berechnen. 

Die Gleichung (52) stellt ein Grenzgesetz dar, das, streng genommen, nur für die Tangente 
im Punkte I = 0 gelten soll. In der Tat zeigen die Leitfáhigkeitskurven bei manchen Salzen eine 
gewisse Krümmung, die im Alleemeinen mit der Wertigkeit des Hauptions wächst. Diese Krüm- 
mung soll hier unaufgeklärt bleiben und unser Interesse wendet sich hauptsächlich der Tangente zu. 
Da die Beobachtungen aus praktischen Gründen — weil hier das Leitvermógen des benutzten Wassers 
anfängt eine erhebliche Rolle zu spielen (bei einer Konzentration von 10- 4 Mol pro Liter ist bei 
unseren Messungen der Beitrag des Leitvermögens des Wassers zu dem gemessenen Wert schon 
etwa 7—9 9/,) — sich über ein Gebiet erstrecken müssen, wo die Krümmung der Kurven, wenn 
auch nur als kleiner Korrektionsbetrag, zur Geltung kommt, wollen wir empirisch die Gleichung 
(52) erweitern und setzen 
(61) 4 — A,—AVI+BI. 


— 


Unser Interesse wird sich dann hauptsächlich der Bestimmung von zs j 
Weiter werden wir untersuchen: | 
1:0. Inwieweit die theoretische Formel (52) mit den Beobachtungen vereinbar ist. 

2:0. Inwiefern die elementare Mischungsregel für die Grenzwerte der molaren Leitfähigkeit 
der Mischung gilt. 

3:0. Inwiefern dieses einfache Mischungsgezetz bei kleinen Konzentrationen Gültigkeit hat 

Bei den Untersuchungen werden wir — und das ist wichtig — zu einem Begriff der 


zuwenden 


0 


Rolle kommen, die der Wertigkeit der Ionen und deren indivi- 
duellen Eigenschaften bei der Neigung der Leitfähigkeitskurve 
zukommt. : 

Wir werden auch zu der Frage kommen, ob die Beobachtungen mit dem Gesetz mit 1/, Po- 
tenz — was unsere Gleichung (52) fordert —- vereinbar sind. Ferner werden wir in einem ein- 
zelnen Fall einen Vergleich mit lem Gesetz mit !/, Potenz ausführen um zu sehen, wie dieses 
mit den Beobachtungen übereinstimmt. 

Damit haben wir die schon anfangs versprochene, bestimmte Formulierung unserer Auf- 


gabe gegeben. 


Tom. L. 


Über das Leitvermügen der Mischungen von starken. Elektrolyten. 41 


2. Die Messapparatur. 


Bei den elektrischen Widerstandsmessungen wurde eine Widerstandsbrücke mit einem Tele- 
phon als Nullinstrument benutzt. Bei dem Gebrauch von Wechselstrombrücken müssen besondere 
Vorsichtsmassregeln getroffen werden, damit die vier Brückenzweige sich nicht gegenseitig durch 
Induktion beeinflussen und auch die Stromleitungen keine Induktion ausüben. Als nótige Be- 
dingungen wollen wir formulieren: 

1:0 Der Wechselstrom muss einen möglichst reinen Sinuscharakter haben. 

2:0 Die Vergleichswiderstände müssen möglichst induktions- und kapazitätsfrei sein. 

3:0 Grosse Induktionsflächen sind zu vermeiden. 

Bekanntlieh wird bei den Präzisionsmessungen der Leitfähigkeit von Elektrolyten nach 
dem Verfahren von F. Koutrausch und MALTBY, die eine grosse Anzahl von solchen Leit- 
fähiskeiten mit sehr grosser Genauigkeit gemessen haben, eine Walzenbrücke benutzt. Die Walzen- 
brücke wurde bei den vorliegenden Untersuchungen vermieden. Wenn auch der Draht der 
Walzenbrücke als ausreichend induktions- und kapazitätsfrei angesehen werden kann — wenig- 
stens wenn die Messungen bei symmetrischer Brücke gemacht werden —so bietet die Walzenbrücke 
selbst eine nicht ganz unwesentliche Induktionsfläche dar; ausserdem ist bekanntlich die Herstel- 
lung eines gut definierten und gut arbeitenden Kontaktes bei der Walzenbrücke ziemlich schwierig. 

Bei der Durchbildung und Aufstellung der Apparatur sind bei Beachtung der oben ange- 
gebenen Bedingungen und der Entwicklung der elektrischen Messtechnik neue Gesichtpunkte 
zur Anwendung gekommen. 

Wie bekannt hat der mittels einer Elektronenróhre zu Schwingungen angeregte Kreis aus 
Selbstinduktivität und Kapazität eine völlige Umwälzung auf dem Gebiet der Wechselstrom- 


technik hervorgerufen und bietet derselbe ein sehr bequemes Mittel um ungedämpfte Schwingun- 
sen von grosser Konstanz der Frequenz zu erzeugen. Bei nicht zu starker Inanspruchnahme der 
Röhre sind die Oberschwingungen kaum merklich. Als Generator wurde deshalb eine Sender- 
röhre benutzt. Die Anodenspannung war etwa 600 Volt. Der Heizstrom wurde von einer Akkumu- 
latorenbatterie von sieben Zellen geliefert und war von einer Stärke von 2.6 Ampere. Die Schwing- 
ungsfrequenz konnte mit Hilfe eines Stöpselkondensators stufenweise geändert werden. Ge- 
wöhnlich wurden Schwingungen, derer Frequenz akustisch auf etwa 700 geschätzt wurden, benutzt. 
Die Schaltung in dem Schwingungskreise war eine Rückkopplungsschaltung, wie sie in »Die 
Elektronenröhren und ihre technischen Anwendungen» von Dr HANS GEORG MÖLLER, 1922, 
Seite 63, Fig. 71 angegeben ist. Aus diesem Primärkreise wurde der Strom für die Brücke durch 
induktive Kopplung herausgenommen. 

Die Messbrücke war eine bifilare, von etwa ähnlichem Typus, wie die von GTEBE ! eingeführte. 
Die beiden Brückenzweige bestanden aus parallel aufgespannten, blanken Manganindrähten, die 
sehr sorgfältig ausgewählt wurden. Der Durchmesser betrug 0.34 mm. Der Abstand zwischen 
den parallelen Drähten war überall 8 mm. Der kürzere Zweig hatte eine Länge von 786 mm und 
wurde bei GH durch eine Kupferlamelle kurzgeschlossen. Ebenso waren bei DF die beiden 
Brückenzweige mittels einer Kupferlamelle mit einander verbunden. Der längere Zweig hatte 


! E. GIEBE, Ztschr. f. Instrumentenk. 31, S. 6, und S. 33; 1911. 
N:o 10. 6 


49 J. E. RENHOLM. 


eine Lànge von etwa 970 mm. Die fünf Punkte der Brücke F, 
D, C, P und E wurden einander sehr nahe angeordnet, um stó- 
,, rende Induktionseinflüsse zu vermeiden. Von Æ, P und C führ- 
-)» ten Kupferlamellen zu den Klemmen K, L und M. Zwischen K 


und L wurde das Widerstandsgefäss eingeschaltet, zwischen L und 
M die Vergleichswiderstände. Da das Widerstandsgefäss eine 
wenn auch kleine Kapazität besitzt, lässt sich durch einen reinen Widerstand allein kein gut be- 
stimmtes Minimum erreichen, weil der Phasenwinkel dann niemals gleich Null ist. Desshalb wurde 
parallel mit den Vergleichswiderständen ein kleiner Drehkondensator eingeschaltet. Der Zweig 
DBAC wurde bei den Versuchen durch einen verschiebbaren Kontakt kurzgeschlossen. Die Lage 
des Kontaktes wurde auf einer bei D B befestigten Skala abgelesen. Wird die korrigierte Able- 
sung auf dieser Skala a genannt, bestimmt sich der gesuchte Widerstand X dureh die Gleichung 
X 786 


RTE 


Auf die Herstellung eines guten Schleifkontaktes wurde besonders grosse Sorgfalt verwendet. 
Der Kontakt wurde in folgender Weise hergestellt: In der unteren Seite eines rechtwinkligen 
Marmorparallelepipeds wurde eine zylindrische Rinne ausgehöhlt und zwar so, dass das Parallele- 
piped, wenn es auf der Brücke liegt die Brückendrähte in keinem Punkte berührt. (Vorbereitende 
Versuche hatten gezeigt, dass Goldsilber in jeder Hinsicht als Kontaktmaterial Neusilber weit über- 
legen ist.) Der Kontakt wurde deshalb aus einem in spitzem Winkel gebogenen Goldsilberblatt 
hergestellt. Die so gebildete Kante wurde schwach abgerundet um den Draht nicht zu verletzen. Das 
Goldsilberblech wurde dann an eine der kurzen Seitenflächen des Marmorparallelepipeds mittels 
Schrauben, die, da sie nicht festgespannt waren, in vertikaler Richtung eine gewisse Bewegungs- 
freiheit gestatteten, befestigt. An die Basalfläche in der Nähe der zweiten Kurzseite des Parallele- 
pipeds wurde ein unten abgerundeter Marmorstift angebracht. Das Marmorparallelepiped wurde 
dann auf die Brücke gelegt, das Goldsilberblech genau einjustiert und mittels der Schrauben 
endgültig befestigt. Das Marmorparallelepiped ruhte so auf drei Punkten: auf den Berührungs- 
punkten des Bleches mit den Drähten und auf dem Marmorstift. Der Kontakt wurde dadurch 
mathematisch definiert und erfüllte sämtliche von F. KonrnauscH und L. HoLBoRN angege- 
benen Bedingungen. 

Es ist noch zu erwähnen, dass bei den Punkten D und P der Generatorstrom angeschlossen 
war. Ein Doppelkabel diente dazu um die Störungen nach aussen zu vermeiden. Die Punkte E und C 
waren nicht direkt mit dem Telephon, sondern mit einem Niederfrequenzverstärker und dieser 
wiederum mit dem Telephon verbunden. Als Leitungen dienten wieder Doppelkabel. Der Nie- 
derfrequenzverstürker arbeitete gewóhnlich mit drei, bisweilen mit vier Róhren. Ein Punkt der 
Brücke war geerdet. Dem Brückendraht wurde dadurch ein künstliches Alter gegeben, dass vor 
dem Gebrauch ein elektrischer Strom längere Zeit durch die Brücke gesandt wurde. Aus der 
Konstruktion der Brücke folgt, dass die Korrektionstabelle der Brücke öfter erneuert werden 
musste als bei einer gewóhnlichen oder einer Walzenbrücke, was natürlich ein, wenn auch be- 
langloser, Nachteil war. 


Tom. L. 


Über das Leiteermógen der Mischungen von starken Elektrolyten. 43 


Die Benutzung eines Niederfrequenzverstärkers stellt natürlich sehr grosse Ansprüche an 
das Minimum, Bei Widerständen von gewöhnlicher Konstruktion von einigen hundert Ohm war 
kein gutes Minimum mehr zu erreichen. Hier sollten nun aber bei reinem Wasser Widerstánde 
von der Grössenordnung von 10° Ohm gemessen werden und bei den kleineren Konzentrationen 
solche von einer Gróssenordnung von 10% bis 10* Ohm. Es bestand also die Aufgabe, möglichst 
induktions- und kapazitätsfreie Widerstände herzustellen. Die Herstellung induktionsfreier Wi- 
derstände bietet keine sehr grosse Schwierigkeit. Anders gestaltet sich aber die Sache, wenn 
crosse, ebenfalls kapazitätsfreie Widerstände hergestellt werden sollen. Bekanntlich sind mehrere 
Versuche gemacht worden, diese Aufgabe zu lósen. Der bekannteste ist von CHAPERON angege- 
ben. Nach den Versuchen von H. L. Curtis und F. W. GRover ! hat es sich jedoch gezeigt, 
dass die von den genannten Forschern angegebene Methode, für die Herstellung induktions- 
und kapazitätsfreier Wechselstromwiderstände, viel bessere Ergebnisse liefert als diejenige 
von Chaperon. Nach dem Prinzip von Curtis und Grover wurde zuerst ein Widerstand von c:a 
1,000 Ohm und ein zweiter von 2,000 hergestellt. Ein Marmorzylinder von 4 cm Länge und 2.8 em 
Durehmesser wurde längs eines Durchmessers mit einem feinen Schlitz versehen, der sich über 
3/, der Zylinderlänge erstreckte. Die Wicklung wurde darauf in der Weise ausgeführt, dass der 
Draht einmal um den Zylinder geschlungen und dann durch den Schlitz hindurchgeführt wurde. 
Dann wurde er in entgegengesetzer Richtung einen ganzen Umlauf weitergeführt, wieder durch 
den Schlitz geführt und so weiter. Der Draht bestand aus Konstantan von 0.05 mm Diameter und 
war mit Seide umsponnen. Die ganze Spule wurde dann in geschmolzenes Paraffin eingetaucht 
und so mit Paraffin überzogen. Nachdem sich diese Widerstände bei vorbereitenden Messungen mit 
Wechselstrom ausgezeichnet bewährt hatten, wurden mehrere solche Widerstandsspulen herge- 
stellt. Die grösste von diesen hatte einen Widerstand von über 17,000 Ohm. Auf die Herstel- 
lung von weiteren sehr grossen Spulen wurde verzichtet, weil bekanntlich die Störungen, 
besonders der Kapazität bei mehreren kleinen Spulen kleiaer sind, als bei einer grossen 
bei gleicher Gesamt-Ohmzahl. Dabei wurde immer darauf geachtet, dass der Durchmesser so ge- 
wählt wurde, dass die Wicklungsbreite nicht viel den Durchmesser überschritt.? Auch den 
Widerständen wurde in ähnlicher Art wie dem Brückeudraht ein künstliches Alter gegeben. 

Die oben beschriebene Apparatur hat sich sehr gut bewährt und lieferte bei Messungen bis 
hinab zu den kleinsten Konzentrationen und sogar bei sehr reinem Wasser von einer Leitfáhigkeit 
der Gróssenordnung 10—5 ein sehr gutes und scharfes Minimum, wenn der Niederfrequenz- 
verstärker mit drei Róhren arbeitete und der» Nullstrom» also etwa 200 Mal verstärkt wurde. 

Um den stórenden Einfluss, der davon herrührt, dass Glas sich ein wenig in Wasser lóst, zu ver- 
meiden, wurde als Material für das Widerstandsgefäss undurchsichtiger Quarz benutzt. Das Wider- 
standsgefáss hatte die Form eines Zylinders mit 9 cm Durchmesser und 16 cm Hóhe und war von 
der »Quarzhütte Silectra» im Uster hergestellt. Vor dem Gebrauch wurde es sorgfältig ausgeglüht. 
Die Elektroden bestanden aus 0.2 mm dickem Platinblech und wurden von starken Platinstiften 
getragen. Bekanntlich lässt sich Platin in Quarz nicht einschmelzen, deshalb wurde das Prinzip 
der Quecksilberlampe benutzt und die Platinstifte in durchsichtigen Quarz eingeschliffen. Jedes 


' H. L. CunTIS und F. W. Grover, Bull. Bur. Stand., Washington, 8. 495, 1912 und Elektrotechn. Zeitschrift 
33, S. 1221, 1912. 
* Man vergleiche: F. KonLrAUSCH, Lehrbuch der praktischen Physik 1923. S. 611. 


N:o 10. 


44 J. E. RENHOLM. 


von diesen durchsichtigen Quarzstücken wurde dann an eine Quarzróhre angeschmolzen, die den 
Zuleitungsdraht enthielt . Der Deckel wurde aus Hartgummi gemacht und zwar so, dass er in 
einer — und nur einer — Lage eingepasst werden konnte. Die oben erwáhnten Quarzróhren wur- 
den durch diesen Deckel geführt und daselbst mit einem Gummiring und Wachskolophonium 
befestiet. Um eine ganz feste und konstante Lage der Elektroden gegen einander zu erzielen 
wurden zwischen den beiden Quarzróhren zwei Querróhren aus Quarz angeschmolzen. Die Elektro- 
den waren kreisförmig und hatten einen Durchmesser von 20 mm, Da die Messungen sich über einen 
Bereich von etwa 5- 10—? bis zu etwa 2 - 10—? Mol pro Liter erstrecken sollten, schien es zweck- 
mässig, die Widerstandskapazität etwa von der Grösse 0.1 zu wählen. Das entspricht, wenn auch 
das reine Wasser gemessen werden soll, einem Widerstandsbereich von etwa 105 bis 10? Ohm, 
was für die Apparatur günstig war. Die Elektroden wurden deshalb in einer Entfernung von 
etwa 8 mm von einander einmontiert. 

Die Elektrodenfláchen wurden zuerst mit einer Lösung von Kaliumbichromat und Schwefel- 
säure gründlich gereinigt. sorgfältig mit destilliertem Wasser abgespült und dann platiniert 
Nach dem Rezept von LuwwER und KuRrBAUM! wurde eine Lösung von 5 gr Platinchlorid und 
40 mg Bleiacetat in 150 gr Wasser hergestellt. Bei einer Stromstärke von etwa 0.1 Ampere (die 
richtige Stromstärke erkennt man an einer Gasentwicklung von mässiger Stärke) erhält man ohne 
Schwierigkeit einen sehr schönen Niederschlag von Platinschwarz. Die Anode wird nicht angegrif- 
fen. Die beiden Elektroden wurden deshalb abwechselnd als Anode und Katode benutzt. Nach 
dem Platinieren wurden die Elektroden längere Zeit mit destilliertem Wasser ausgewássert, weil 
beim Entstehen des Platinmohrs Teile aus der Lösung eingeschlossen und hartnäckig fest- 
gehalten wurden, die im Laufe der Zeit aber wieder in Flüssigkeiten, mit denen die Elektroden in 
Berührung kamen, heraustraten und diese verunreinigten. Der Zweck der Platinierung ist ja 
bekanntlich die Störung, die von der Polarisation herrührt, zu vermindern. Empirisch ist die 
untere Grenze des Widerstandes, bei der man ein scharfes Minimum bekommt, festgestellt. > Bei 
den hier vorliegenden Untersuchungen gestattete dieses Widerstandsgefäss mit den derart plati- 
nierten Elektroden noch bei Lösungen von einer Konzentration von etwa 3 - 10 -? Mol pro Liter ein 
scharfes Minimum zu erreichen. Schliesslich sei noch erwähnt, dass das Widerstandsgefäss einen 
Ringrührer aus gut ausgeglühtem Quarz enthielt. Die Messungen wurden immer, mit Ausnahme 
der Bestimmung des Leitvermógens des reinen Wassers, bei ziemlich symmetrischer Brücke ge- 
macht, weil dabei alle Stórungen so weit wie móglich vermieden werden. 

Die Zuleitungen von der Brücke zu dem Widerstandsgefáss und den Vergleichswiderständen 
waren nahe an einander gespannte, parallele Drähte. 

Es fragt sich noch, inwiefern die Kapazitäten die Bestimmung des Widerstandes beinflussen. 
Zu diesem Zwecke wollen wir die Frage rechnerisch bei einer einfachen Brückenanordnung behan- 
deln. In dem ersten Zweige soll ein unbekannter kapazitiver Widerstand vorhanden sein, in dem 
zweiten ein ohmscher Widerstand À, und parallel damit eine Kapazität Cs. Die beiden anderen 
Zweige sollen aus induktions- und kapazitätsfreien Widerständen R, und R, bestehen. Der kapazi- 


! F. KOHLRAUSCH: Lehrbuch der praktischen Physik, 1923, S. 40. 
> KOHLRAUSCH und HorBoRwN: Das Leitvermógen der Elektrolyte 1916, S. 10. 


Tom. L. 


Über das Leitwermögen der Mischungen von starken. Elektrolyten. 45 


tive Widerstand lässt sich bekanntlich als ein ohmscher Widerstand X mit parallel geschaltener 
Kapazität C, auffassen. Der Widerstandsoperator für diesen Zweig ist 


W — X ^ Xü-ieXC) : y, 
S Tuc Pu CNE X CR ( —Y—1) 
wo w die Frequenz des Wechselstromes ist. Die Bedingung der Stromlosigkeit lautet dann, wenn 
die Kapazitäten und die Frequenz so klein sind, dass die Glieder von dem Typus o? X? C? vernach- 
làssigt werden kónnen 

Xü-ioXO) __R, 

R: (1 —iw R; Ci) m R, 
oder 

X [1 0? X E, C, C; 4- io (R, C, — XC) A Fs . 


Ra (1 + w° R0) R, 


Aus der genannten Annahme der Kleinheit der Kapazitäten und der Frequenz folgt 


X[l-4io(R,C,— XO)  R, 


R, R, 


Daraus ergibt sich als Bedingungen für die Stromlosigkeit 


Rear 


Bam; 


Ixo, A CE 


Man sieht daraus, dass unter den erwähnten Voraussetzungen, bei der Bestimmung von X die Ka- 
pazität nicht hineinkommt. Die Ausgangsgleichung zeigt weiter, dass wenn die Messungen bei sym- 
metrischer Brücke gemacht werden, die Voraussetzung dass R, und R, induktions- und kapazitäts- 
frei sein sollen, wegfällt. Es wird nur gefordert, dass sie gleiche Kapazität und Induktivität be- 
sitzen. In der Tat ist auch bei früheren Messungen des Leitvermógens der Elektrolyte die Kapa- 
zität nicht berücksichtigt worden. 

Das Leitvermögen der Elektrolyte hat bekanntlich einen ziemlich grossen Temperaturkoeffi- 
zienten (bei verdünnten Lösungen der Salze 0.020 bis 0.026). Bei den Messungen über die Leit- 
fähiekeiten muss man also bei jeder Messung eine Temperaturmessung oder auch ein für alle Mal 
ein konstantes Temparaturbad herstellen. Der letztere Weg erschien in jeder Hinsicht sicherer 
und zweckmässiger. Dabei muss beachtet werden, dass die Temperaturbestimmung der durch 
die vorliegende Apparatur sonst zu erreichenden Genauigkeit entspricht; bei vorliegenden Unter- 
suchungen also etwa 0.01 Grad. Ein konstantes Temperaturbad wurde hier durch einen Dop- 
pelthermostat erreicht. 

Dass durch Verwendung eines Thermostats das Minimum in Folge von störenden Kapazitäts- 
einflüssen verschlechtert würde,! wie in der Litteratur erwähnt wird, konnte hier nicht beobachtet 
werden. Der Thermostat bestand aus einem äusseren grossen Behälter aus Kupferblech und 
einem inneren Glasgefässe. Hierzu wurde ein grosses Akkumulatorgefäss benutzt. Durch den 
äusseren Behälter floss ein beständiger Wasserstrom. Die Geschwindigkeit des Wasserstromes wurde 
immer so eingestellt, dass in dem äusseren Behälter eine Temperatur von 17.8°—18° erreicht wurde. 
Die Heizung in dem inneren Behälter geschah mit Hilfe einer 32-kerzigen Metallfadenlampe. 
Der Heizstrom wurde mittels eines Temperaturregulators automatisch ein- und ausgeschaltet. 


! KOHLRAUSCH: Gesammelte Abhandlungen Il. 


N:o 10. 


46 J. E. RENHOLM. 


Der Temperaturregulator bestand aus einem Glasbehälter von etwa 100 cm? Inhalt, der 
unten in Verbindung mit einer U-fórmigen, dünnen, gebogenen Glasróhre stand, die oben zu einem 
kleinen zylindrischen Trichter erweitert war und seitlich in Verbindung mit einem anderen Trich- 
ter stand. Diese Verbindung konnte mittels eines Glashahnes geschlossen und geöffnet werden. 
Als eigentliche Thermoregulatorflüssigkeit wird gewóhnlich Toluol benutzt. Nach vorbereiten- 
den Versuchen schien es mir jedoch zweckmässiger Olivenöl zu benutzen. Olivenöl hat nämlich eine 
geringere Neigung das als Kontaktflüssigkeit dienende Quecksilber zu verschmieren als Toluol. 
Olivenól hat allerdings einen kleineren Ausdehnungskoeffizienten (0.00072) als Toluol (0.00109) 
und eine gróssere spez. Würme [Olivenól (0.47) Toluol(0.41)]. Jedoch ist dies nicht so wesentlich. 
Deshalb wurde der 100 em? Behälter mit Olivenöl gefüllt. Die Glasróhren wurden mit Queck- 
silber gefüllt und zwar so, dass das Quecksilber auch den untersten Teil des 100 cm? Behälters 
einnahm. Der Quecksilberfaden in der dünnen Glasróhre konnte mit Hilfe des oben erwáhnten 
Glashahnes am Seitentrichter genau auf eine gewünschte Höhe eingestellt werden. In der 
Glasróhre unterhalb der oberen Quecksilberoberfläche war noch ein Platinstift eingeschmolzen 
und mit dem einem Pol eines Akkumulators verbunden. Mit Hilfe einer Schraube, die in einer 
Fassung, welehe in einem Hartgummideckel des erst erwáhnten Trichters, ihre Führung hatte, 
konnte ein zweiter zentrierter Platinstift in Berührung mit der oberen Quecksilberfläche gebracht 
werden. Dieser Stift stand in Verbindung mit dem zweiten Pol des Akkumulators. Dadurch 
wurde ein Elektromagnet in Tätigkeit gesetzt, der den Heizstrom der Lampe ein- und ausschaltete. 
Wenn die Quecksilberoberfläche sank, wurde automatisch der Heizstrom eingeschaltet. 

Der Rührer des inneren Thermostates wurde in folgender Weise gebaut: An eine unten offene 
Róhre aus Messing wurden in der Nähe des unteren Endes drei schráge Schaufeln angebracht, 
ühnlich wie bei einem Propeller und oben seitlich etwas unterhalb der Wasseroberfläche drei 
Seitenröhren, die in Verbindung mit der erstgenannten Messingróhre standen, angelótet. Die 
Messingröhre mit ihren Seitenarmen wurde von einem kleinen Motor in Rotation versetzt. 
Dieser Rührer arbeitete in folgender Weise: Erstens wurde das Wasser durch die Schaufeln in Be- 
wegung gesetzt, zweitens wurde das Wasser durch die Rotationsbewegung durch die Seitenarme 
oben herausgeschleudert, wührend anderes Wasser von unten herein- und herausstrómte. Dadurch 
wurde ein Transport von Wasser von unten nach oben erreicht. Mit der gewóhnlichen Schaltong 
liess sich die Tourenzahl des kleinen Motors für die Versuche nicht klein genug machen; der Motor 
war stehengeblieben. Deshalb wurde hier eine von BARKHAUSEN angegebene Schaltung gewánlt. ! 


Die Bestimmung der Vergleichswiderstände. 


Die Grösse des Widerstandes der oben erwähnten Widerstandsspulen wurde mit Hilfe einer 
gewöhnlichen Wheatstoneschen Brücke mit einem empfindlichen Galvanometer als Nullinstru- 
ment bestimmt. Bekanntlich existieren Methoden, mit Hilfe von Interpolation der Galvano- 
meter-Ablesungen Präzisionsmessungen zu machen. > Auch gibt es eine Methode die Empfindlich- 
keit der Messung durch Vorschalten von Widerständen zu erhöhen — sogenannte Ballast-Wider- 


1! BARKHAUSEN: Phys. Zeitschrift 1912, S. 1131. 
? Man vergleiche z. B. W. JaEGER: Elektrische Messtechnik 1922, S. 315. 


Tom. L. 


4 Uber das Leitvermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. 47 


stände — deren Verhältnis zu demjenigen des Drahtes bekannt ist. ! Ich 
habe eine Substitutionsmethode benutzt, die nicht eine genaue Kenntnis 
der Ballast-Widerstünde erfordert ebensowenig wie die des Verhält- 
nises dieser Widerstände zu demjenigen des Drahtes und durch welche 
die Empfindlichkeit sehr bedeutend erhöht werden kann. Diese Methode ist besonders bei Be- 
stimmung von grossen Widerständen verwendbar und beruht auf folgender Überlegung: 


A 


A und B seien zwei beliebige Vorschaltwiderstände von ungefähr gleicher Grösse, a die korri- 
gierte Ablesung der Brücke, c die ganze Brückenlänge, X der unbekannte und R, der Vergleichs- 
widerstand, G der Galvanometer. Der Widerstand pro Längeneinheit des Drahtes soll mit c be- 
zeichnet werden. Bei Stromlosigkeit des Galvanometers hat man dann 


SE ao + Am 


(1) TO (ORE EP 


Wird dann X anstatt R, eingeschaltet, muss man einen Widerstand R, in den zweiten Zweig 
einschalten um dieselbe Ablesung a bei Stromlosigkeit auf der Brücke zu erhalten. Man be- 
kommt dann 


755 a6 + A 
(2) 


XA (6 —a)e-- B. 
Dadurch erhält man 
FO em TP ne 


X — Y R, Rs. 
Ein solcher Widerstand R, steht aber gewöhnlich nicht zur Verfügung. Dagegen lassen sich 
ohne Schwierigkeit zwei Widerstände H, und RH," finden, so dass 
Ry<R<R' und RB"—R’<<R,. 
Anstatt der Gleichung (2) bekommt man dann 


Hy) C a' 6 + A 
X (her 


ER," a" 6+ A 


D (Ga) TENTE 


wobei a << a< a". Von diesen Gleichungen leitet man ab 


TEE His aO ANR GG A 
x (—a)o+B (c—a)o+B' 
B, — H/ _  wto+A —  ao-cA 3 
X ^ (c—a")c+B (c-a)o+B 


Nehmen wir jetzt an, dass -4 und B einander beinahe gleich und gross im Verhältnis zu dem 
Widerstand des Drahtes sind und ausserdem A," — R,' sehr klein im Verhältnis zu X ist, 
erhält man mit grosser Genauigkeit 


R;'—R, 2(a—a)o 
EN PEN 


Ro — Ry 2 (a" — a) a i 
"Xd MC) SEU 


Daraus folgt 


' F. Kouzrauson und L. HOLBORN: Das Leitvermógen der Elektrolyte 1916, S. 43. 
N:o 10. 


48 J. E. RENHOLM. 


R; —R, a'— a 
a 
Rz" = R,' a’ — q' 


oder 
(3) R,— Ry + Br” — Ri): 

Setzt man dann diesen Wert in die Gleichung X —Y I^, R, ein, so lässt sich der unbekannte 
Widerstand berechnen. 

Die Ballastwiderstände wurden immer so gewählt, dass die Vergrösserung von 2," mit 10/5 
auf der Brücke 15—40 mm entsprach. Die Empfindlichkeit der Brücke lässt sich in dieser Weise 
sehr stark erhóhen und gleichzeitig werden die meisten Fehler von Bedeutung eliminiert, die auf 
nicht genau bekannten Widerständen der Zuleitungsdrähte und auf ungenauer Kenntnis 
der Korrektionstabelle der Brücke beruhen. Die von Thermoströmen im Galvanometer her- 
rührenden Fehler berücksiehtiet man durch Kommutieren der Stromrichtung bei jeder Lage 
von X und Mittelnahme der Brückenablesungen. 

Als Vergleichswiderstände bei der Messung der Widerstandsspulen wurden in Petroleumbad 
eingetauchte Normalwiderstände benutzt. Zu diesen wurden noch einige kleine Widerstände eines 
Präzisionsrheostats (von Wolff) zugeschaltet, die vorher mit Hilfe von Normalwiderständen 
kontrolliert waren. Als Ballast-Widerstünde dienten einfache Stópselrheostate. 

Gewöhnlich wurden die Beobachtungen so ausgeführt, dass bei der ersten Lage des unbekann- 
ten Widerstandes X drei oder vier Beobachtungen gemacht wurden, in denen der Widerstand 
R, um einen kleinen Betrag geändert wurde. In der zweiten Lage wurde dann in entsprechender 
Weise verfahren. 

Es wurden im ganzen elf Wechselstromwiderstände der oben erwähnten Konstruktion bei 
den Messungen der Leitfähigkeiten der Elektrolyten benutzt und vorher mit Hilfe der oben 
beschriebenen Methode bestimmt. Die Spulen wurden nummeriert. Als Beispiel sollen hier die 
Messungsresultate bei einer Spule N:o 1 ausführlich angegeben werden. 


Widerstand N:o 1. 
Erste Bestimmung. 


A 120.17 0m, 
B = 120 Ohm. 


(A und B sind die direkten Ablesungen der Stöpselrheostate) 


1) In der ersten Lage: 2) In der zweiten Lage: 

mm £ Sm | N a reg N om “are FAT = | 
Beobach- | Beobach- , " ETE 

tung | án | P | tung Fs, s ) | gum | 

I | 9069 | 891.37 | V 2072 | 907.92 | 

2 ET | 9070 | 858.16 | ss 2071 | 873.93 | 
III [UV 207 2 7893.82 VII | 2070 | 83850 | 

IV 2072 | 787.53 | VIII 2069 | 80426 | 


Tom. L. 


Über das Leitvermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. 49 


H, bedeutet die Grösse des Vergleichswiderstandes im der ersten Lage, R’,, (R”,) in der zweiten, 
aist der wahre Mittelwert der Ablesungen auf der Brücke in der ersten Lage, a’, (a) in der zweiten. 
Diese Beobachtungen wurden in der oben beschriebenen Weise zusammengestellt und daraus 
bei jeder Zusammenstellung der Wert von R, berechnet. Man bekommt in dieser Art folgende 
einander entsprechende Werte für R, und R, und den aus jeder Zusammenstellung bereehneten 
Wert von X: 


I Is X 


2069 | 2071.51 | 2070.25 
2070 2070.58 | 2070.29 
2071 2069.57 20 70.28 
2072 | 2068.51 | 2070.28 


Der Wert 2068.51 ist extrapoliert. 


Zweite Bestimmung. 
; A — 100 Ohm, 
B — 100 Ohm. 


1) In der ersten Lage: 2) In der zweiten Lage: 
Ban | Beobach- | 

R', TR 2 fu 

tung | i 7 tung CO CNE) 
I 2069 | 872.51 IV 2072 | 861.66 | 

IL 2070 902.09 V 2071 | 890.62 
III 20/1 M 98 152 VI 2070 920.37 | 
- VII 2069 949.08 | 


Hieraus bekommt man ähnlich wie oben, folgende einander entsprechende Werte 


12 ER 


2069 2071.63 | 2070.31 


2070 2070.61 2070.30 | 
2071 2069.61 2070.30 | 
Man findet als Mittelwert d 
X — 2070.28(7) Ohm, NE) 
3—) az Qlibs M 


E = 0.006, 


wobei se der mittlere Fehler der einzelnen Messung und E der des Mittelwertes ist 
Es folet jetzt eine Zusammenstellung der so bestimmten Widerstünde X der Widerstands- 
spulen 


N:o 10. 7 


50 J. E. RENEHOLM. 


| Spule | > | te | +E 
| N:o 1 | 2070.28(7) 0.015 | 0.006 
| N:o 2 | 1976.16(5) | 0.020 | 0.009 
| N:0 3 1995.74(4) 0.033 0.012 
N:o 4 | 1951.88(5) 0.011 0.005 
N:o 5 | 4953.20(0) 0.032 | 0.016 
| N:o 6 508.78(6) 0.003 | 0.001 
| N:o 7 | 1025.91(1) | 0.068 | 0.026 
N:0 8 | 11556.06(0) VE VE 
| N:o 9 | 100.068 0.001 | 0.000 
N:010 | 99.797 | 0.005 | 0.002 


Der Widerstand N:o 8 wurde nur bei Messungen der Leitfähigkeit des reinen Wassers benutzt 
Für die Bestimmung dieses Widerstandes wurden deshalb nur drei Beobachtungen gemacht. Hier- 


bei ergab sich 
11556.06, 11556.04, 11556.08. 


Ausserdem wurde bei Messung der Leitfähigkeit des reinen Wassers eine noch gróssere Wider- 
standsspule benutzt. Der Widerstand dieser Spule wurde bestimmt zu 17625.1 Ohm. 


Die Messkolben, Pipetten und der Thermometer. 


Die Art der Herstellung der nôtigen Lósungen soll in jedem einzelnen Falle näher beschrieben 
werden. Als allgemeines Prinzip mag hier nur erwähnt werden, dass hierbei zuerst eine,konzen- 
trierte Lósung und aus dieser mit Hilfe von Pipetten verdünnte Lósungen hergestellt wurden. 
Dabei wurden immer nur zwei Pipetten benutzt, die eine vom Inhalt von etwa 50 cm’, die 
zweite von etwa 5 em. Auf die Benutzung von kleineren Pipetten wurde hier, grösserer Genauig- 
keit wegen, verzichtet. Da die Messungen einen relativen Charakter haben, indem die Bestim- 
mung der Widerstandskapazität des Elektrolytgefässes in ganz ähnlicher Weise wie die eigent- 
lichen Messungen gemacht wurde, garantiert auch die Benutzung von immer denselben Pipetten 
eine grössere Genauigkeit. Die Benutzung der Pipette als Präzisionsinstrument hängt wesentlich 
davon ab, dass die Pipette immer genau in der gleichen Art behandelt wird. Sorgfältig wurde 
darauf geachtet, dass jede Spur von Fett in der Pipette vermieden wurde. Sowohl die Pipetten 
wie die Messkolben wurden deshalb sehr oft mit einer Lósung von Kaliumbichromat und konzen- 
trierter Schwefelsäure gereinigt. 

Bekanntlich gibt es zwei verschiedene Arten die Pipetten zu verwenden und dem entsprechend 
die Pipetten zu eichen. Man kann die Pipette auf Ausfluss oder auf Trockenfüllung (mit Nachspülen) 
eichen. Letzteres garantiert natürlich im allgemeinen eine gróssere Genauigkeit. Im vorliegenden 
Halle ist dies jedoch zweifelhaft, weil hierbei andere und schwierig zu bestimmende Fehler 
auftreten kónnen. Die Pipetten wurden deshalb auf Ausfluss geeicht und benutzt. Nur die 
äusserste Spitze der 5 cm? Präzisionspipette wurde nachgespült. Die 50 cm? Pipette war eine 
Präzisionspipette von besonderer Konstruktion mit einer Marke auch an der Spitze. Bei dieser 


Tom. L. 


Uber das Leitwermögen der Mischungen. von starken Elektrolyten. 51 


wurde deshalb die Spitze nicht nachgespült. Wenn eine Pipette immer eine konstante Benetzung 
haben soll, muss man bekanntlich darauf achten, dass die Ausflusszeit nicht zu klein! und stets 
ungefähr dieselbe ist. Dies wurde dadurch erreicht, dass der Hals mit dem Finger etwas ver- 
schlossen wurde. Bei der 5cm? Pipette wurde der letzte Tropfen derart ausgetrieben, dass der 
Hals mit dem Finger vollständig geschlossen und die Pipette mit der Hand erwármt wurde. 
Wenn man eine Pipette in dieser Art behandelt, gibt sie eine sehr konstante Benetzung und ist 
sicher als Präzisionsinstrument verwendbar. 


Die folgenden Tabellen geben die bei der Eichung erhaltenen Pipettenvolumina. 


50 cm? Präzisionspipelte: 


G l | 9 | v 


49.8966 17.70 | 49.9493 50.0155 
49.8953 17.50 | 49.9482 | 50.0128 
49.9002 17.50 | 49.9531 50.0178 
Hierbei bezeichnet G das Gewicht des Wassers in der Pipette in Luft, g in Vakuum ange- 
in gr, t die Temperatur, v den Pipetteninhalt. Als Mittelwert bekommt man 
v — 50.0154 cm?. 


5 em? Prázisionspipette: 


G | t | [7 v | 
| | | | 
(M5 015220181727 5.0205 5.0268 | 

5.0153 | 17.60 5.0206 5.0270 
10.0264 18.10 10.0370 5.0255 
5.0138 18.20 5.0191 5.0262 


Bei der dritten Beobachtung ist, wie aus der Tabelle hervorgeht, das Gewicht des doppelten 
Pipetteninhalts bestimmt. Bei der Mittelwertbildung ist deshalb dieser Beobachtung ein doppeltes 
Gewicht gegeben. Als Mittelwert erhält man hier 


9 = 5.0262 cm$. 


Als Messkolben wurden käufliche, von der Reichsanstalt geeichte Präzisionsnormalkolben 
benutzt. Diese wurden geeicht. Dabei ergab sich: 


Kolbe N:o 57 v — 1000.04 cm? 
» » 56 v — 1000.02 » 
» » 48 v = 1000.09 » 
» » 89 v — 500.159 » 
» » 35 v = 500.015 » 


Für die Bestimmung der Temperatur des Thermostates wurde ein Thermometer benutzt auf 
welchem die Skala in 0.02 Grade geteilt war. Dieses Thermometer wurde geeicht durch Kom- 


1 Man vergleiche Osrwarp-LuTHER: Physiko-Chemische Messungen, Leipzig, 1902, 
N:o 10. 


59 J. E. RENHOLM. 


paration mit einem Prázisionsthermometer aus Quarz, dessen Korrektionstabelle aus der Reichs- 
anstalt stammte. Dabei ergab sieh für den benutzten Thermometer foleende Korrektionstabelle: 


ta Korr. 

0 + 0.06 
14 0:07 
15 + 0.07 


15.5 + 0.07 


Weiter ging die Skala des Vergleichsthermometers nicht. Als Korrektion des benutzten Ther- 
mometers bei 18° wurde durch Extrapolation +0.07 gefunden. 


Bestimmung der Widerstandskapazität des Elektrolytgefásses. 


Bei der Bestimmung der Widerstandskapazität muss eine Lósung von einem gut definierten 
Salze von einer Konzentration gewählt werden, deren Leitvermögen innerhalb des Gebietes, wo 
die eigentlichen Messungen des Leitvermögens zu machen sind, liegt. Als Normalflüssigkeit wurde 
hier deshalb eine Lösung von Chlorkalium gewählt. Die Erfahrung hat bestätigt, dass die Messun- 
sen von KOHLRAUSCH und MazrBy bei KCl ausserordentlich zuverlässig sind. Ausserdem haben 
neuere Messungen von WErLAND! die Messungen von KOHLRAUSCH und MarTBy bei KCl sehr gut 
bestátigt. Als absolut richtige wurde hier das Leitvermögen von 1-10-? normal KCl: 


2 e TE e 10-68 


angenommen ?. Um Anschluss an die Messungen von KOHLRAUSCH und MALTBY zu bekommen, wurden 
7.4565 gr. KCI in Luft gewogen und zu 1000.02 cm? Lösung bei 18° aufgelöst. Dadurch erhielt man 
eine 0.1 Normallösung (im Sinne von KoHLRAUSCH. Weiter wurden in Luft 496.38 gr. reines Wasser 
gewogen. Hierzu wurden 5.0262 em? von der 0.1 Normallösung zugeführt. Dadurch bekam man 
eine Lösung von der erwünschten Konzentration d.h. 1- 10-3 normal. Diese Lösung wurde 
sowohl in dem Elektrolytgefässe wie in einer Flasche aus Quarz zubereitet. Aus der Flasche 
wurde dann mittels der kleinen Pipette dem Elektrolytgefässe Lösung zugeführt, um den Ein- 
fluss der Füllungshöhe auf die Widerstandskapazität zu finden. 

Bei Benutzung einer Lösung von so kleiner Konzentration kann man von dem Leitver- 
mögen des reinen Wassers gar nicht absehen. Durch die Messungen müssen also sowohl das Leit- 
vermögen des reines Wassers wie die Widerstandskapazität bestimmt werden. Dies geschah 
mittels sukzessiver Approximationen. Als Ausgangswert für die Widerstandskapazität C wurde 

(0/ z Qi 
angenommen. 

Es wurde zuerst das Leitvermógen des verwendeten reimen Wassers bestimmt. Dabei ergab sich: 

Die wahre Ablesung auf der Brücke — 844.74. 

Der Vergleichswiderstand R, = 43154.3 Ohm. 


1 Journ. Amer. Chem. Soc. 40, S 138, 1918 
* Um Anschluss an die, in der experimentellen Praxis eingeführten Bezeichnungen zu finden, wird die 


spezifische Leitfähigkeit hier mit x statt mit A bezeichnet und kurz das Leitvermógen genannt. 


Tom. L. 


Über dus Leitvermögen der Mischungen von starken Elektrolyten 53 


Der Widerstand der Zuleitungsdrähte y zu dem Blektrolytgefäss war bei allen Beobachtun- 
gen — 0.1 Ohm und zu den Vergleichswiderstánden 0.02 Ohm. 

Daraus ergibt sich der Widerstand H, des Wassers — 98391 Ohm. 

Aus der Gleichung 
d Rn — Y 
erhält man bei der Annahme C = 0.1 hier in erster Approximation als Leitvermögen des 
Wassers 

al - 

Durch Zuführung von 5.0262 em? der 0.1 Normallósung KCl wurde jetzt, wie oben beschrie- 
ben ist, die 0.001 Normallösung erhalten. Der Vergleichswiderstand war hier À, = 708.68 Ohm. 
Folgende Tabelle gibt die korrigierte Ablesungen a auf der Brücke bei verschiedener Füllungs- 
höhe (Flüssiekeitsmenge f + dem Gefässe): 

o c 


f a 
492.5 689.15 
497.6 689.15 
502.6 689.17 
507.6 689.17 
512.7 689.19 
bibit 689.17 
522.7 689.21 


Die Versuche zeigten also, dass die Widerstandskapazität in dem vorliegenden Intervalle 
innerhalb der Beobachtungsfehlergrenze beinahe unabhängige von der Füllungshöhe war. Als 
Mittelwert bekommt man 

a — 689417: 


. 
Daraus ergibt sich der Widerstand R, 


H,- 808.25 Ohm. 
Benutzt man jetzt wieder die Gleichung C = z (HK, — y) wobei z = (127.34+ 1.02). 10-5 


= 128.36 - 10- findet man 
C0 103734 


Dieser Wert wird als Ausgangswert für die zweite Approximation genommen und in ähn- 
licher Weise wie oben weiter verfahren. Als Schlusswert ergibt sich 


C — 0.103763 


Die Konstanz dieser Widerstandskapazität wurde während der Arbeit wiederholt kontrolliert. 


Das reine Wasser. Berücksichtigung des Verdunstens. 

Als Ausgangsmaterial wurde in grossen Bomben käufliches destilliertes Wasser benutzt. 
Das Leitvermógen desselben war 8-10—5 bis 12- 10-5. Dieses Wasser wurde noch zwei Mal 
destilliert; das erste Mal mit einem kleinen Zusatz von Kaliumbichromat und Schwefelsäure; ! 

! HULETT: Zeitschr. f. Phys. Ch. 21, S. 297, 1896. 

N:o 10. 


54 ; J. E. RENHOLM. 


das zweite Mal wurde ein wenig Âtzkali zugesetzt. Bei der zweiten Destillation wurden nicht mehr 
als 270 cm? pro Stunde überdestilliert. Die Kühlróhre wurde aus Quarz hergestellt, der Tropfen- 
empfänger aus Jenaglas N:o 59. Man erhielt in dieser Weise Wasser von einem Leitvermógen 
von etwa 1.10—*. Zur Aufbewahrung das Wassers wurden Kolben aus Jenaglas benutzt, die 
vorher lange und gut ausgedämpft waren. Infolge der Löslichkeit des Glases verschlechterte sich 
jedoch mit der Zeit das Wasser in diesen Kolben. Zu meiner Verfügung stand auch eine Quarz- 
flasche von 3 Liter Inhalt. Die Mündung wurde durch Überstülpen eines Glases von besonderer 
Konstruktion gedeckt. An dem inneren unteren Rande des Glases wurde ein ziemlich hoher 
konischer Glasring angeschmolzen und der so gebildete Zwischenraum teilweis mit gelóschtem 
Kalk gefüllt. In dieser Flasche liess sich das Wasser sehr gut aufbewahren. In der Tat verbesserte 
sich das Wasser. Bei Wasser von einem Leitvermógen von 0.9. 10—5 wurde nach etwa drei 
Wochen ein Leitvermógen von 0.5-10—5 gefunden. Zweckmässig ist es jedoch nicht bei den Mes- 
sungen so gutes Wasser zu benutzen, weil es sich bei der Berührung mit der Luft verschlechtert. 
Dagegen hat es sich gezeigt, dass Wasser von einem Leitvermógen von etwa 1.10— 5 wenigstens 
während der Zeit, die die Messungen in Anspruch nahmen, sich nicht veränderte. 

Es fragt sich noch, ob das Verdunsten des Wassers so stark war, dass man bei den Konzen- 
trationsbestimmungen darauf hätte Rücksicht nehmen müssen. Zu diesem Zweck wurde die 
aus dem im Thermostate stehenden Widerstandsgefässe in 16 Stunden verdunstete Was- 
sermenge bestimmt. Es ergab sich, dass diese Menge 0.20 gr. war. Die dadurch bedingte 
Korrektion während der Zeit der eigentlichen Messungen braucht man deshalb wohl kaum zu 
berücksichtigen. 


5. Die Beobachtungen. 


Es wurden nur solche Salze ausgewählt, die sehr genau definiert sind, wobei auf die Defini- 
tion des Kristallwassergehalt besondere Rücksicht genommen wurde. Für die Messungen wurden 
Chlorkalium, Chlornatrium, Bariumnitrat und Kupfersulfat benutzt.! 

KCl: Von SIEGFRIED (Zofingen) wurde Kaliumchlorid »pro Analyse» mit Analysenschein ge- 
liefert. Das Salz wurde noch ein Mal umkristallisiert, in einem Quarztigel ausgeglüht und in einem 
Exsikkator über Chlorkaleium abgekühlt. Sp. Gew. = 1.98. Gewicht eines Mols in Luft = 74.525 gr.! 
Das Salz ist ein wenig hygroskopisch, doch nicht so stark, das seine genaue Abwiegung Schwierig- 
keit erbietet. 

NaCl: Das Salz »zur Analyse» von KAHLBAUM wurde in ganz ähnlicher Weise behandelt wie 
KCl. Sp. Gew. = 2.17. Gewicht eines Mols in Luft = 58.486 gr. i 

Ba(NO,): Das Salz von Kahlbaum wurde zwei Mal umkristallisiert und in einen Exsikkator 
über Phosphorpentoxid gebracht. Das anhaftende Wasser wurde schliesslich noch durch Erwärmung 
auf etwa 200? entfernt. Sp. Gew. — 3.93. Gewicht eines Mols in Luft — 261.328 gr. 

CuSO,: Das Salz von Kahlbaum »zur Analyse» entspricht der Zusammensetzung CuSO, 
--bH,O. Das Salz wurde noch ein Mal über Eis umkristallisiert und in einer Nutsche sorgfältig 
Cio e ERN ots wurden hier benutzt: H — 1.008, 0 = 16.00, N = 14.008, Na = 23.00, S=32 07, Cl= 
35.46, K —39.10. Cu = 63.57 Ba — 137.37. 


Tom. L. 


Über das Leitvermögen der Mischungen von starken Elektrolyten. 55 


ausgetrocknet. Um die Konstanz der Zusammensetzung zu prüfen, wurden zwei Portionen in ganz 
gleicher Weise hergestellt und ausgemessen. Die Messungen ergaben vóllige Übereinstimmung. 
Sp. Gew. — 2.28. Gewicht eines Mols in Luft 249.615 gr. Die offen auf der Wage stehenden 
Kristalle zeigten keine Gewichtsveränderung. 
KL br 4 
NaCl 1 

Es wurden 29.810 gr. KCl und 5.8436 gr NaCl in Luft gewogen und zu 1000.04 em? (Kolbe 
N:o 57) Lösung gelöst. Das gab eine Gesamtkonzentration 2= 0.5 Mol pro Liter (Lösung 
N:o 1) Davon 2 Mal 50.0154 cm? zu 1000.02 cm? (Kolbe N:o 56) verdünnt, gab die Gesamtkon- 
zentration 0.050015 Mol pro Liter (Lósung N:o 2). Von dieser Lósung wurden wieder 2 Mal 
50.0154 cm? zu 500.015 cm? (Kolbe N:o 35) verdünnt. Diese Lösung hatte dann die Gesamtkon- 
zentration 0.010006 Mol pro Liter (Lósung N:o 3). 

Die bei den Messungen benutzten Gesamtkonzentrationen wurden aus diesen Lösungen her- 
vestellt. Zu 485 cm? Wasser wurde 5.0262 cm? Lösung N:o 3 zugeführt. Das ergab die Gesamt- 
konzentration I = 1.0263 - 10—* Mol pro Liter. 


Mischung 


Dazu 5.0262 cm? von der Lösung N:o 3 gab I = 2.0317 -10 4 E 
» 5.0262 » » » D » » Jr gea 5 
» 5.0269 » » 5 » Wie 9 $5 Jrnemese1 0-9 » 
» 5.02629 » » » » ) » Jed SIST 5» 
» 5.0262 » ub De » DOTE IDE) 


Für die »Ionenstárke» gilt 


I — =S vit? = = [Qi 21? + va 22) + (Mr 21”? + vs 2?) v'] HF. 
Hier ist 
für K CI: für NaCl: 
», — 1,2, — 1, "n 1,21, 
| ionis i aen in 


4 " 1 
LEE 4E ELEC 


Daraus berechnet man 


TU, 
Man erhält also 
TER VI 
1.0263.10- ? 0.010131 
Digest y; 0.014254 
3.0170 » 0.017369 
1.9640 » 0.028221 
12.813 >» 0.035795 
17.568 » 0.041914 


Um jetzt die molare Leitfähigkeit zu bestimmen, wurde bei den oben angegeben Konzen- 
trationen das Leitvermógen bestimmt. Es wurden drei Messungsreihen benutzt. 
N:o I0 


56 JE MR ENT OL. 


Messungsreihe 1. 


D TOR | n n Ra ME Esa bnt 


0.903 1.0263 122.00 6948.96 1564.85 128.14 124.86 
0.907 2.0817 | 783.48 3947.66 3960.24 252.94 124.49 | 
0.911 3.0170 715.49 2460.69 2702.96 374.78 124.22 
0.915 7.9640 770.22 1025.93 1046.85 982.04 123.31 


0.919 12.813 729.65 608.78 | 655.69 | 1573.30 122.79 | 


0.924 17.568 831.63 508.81 480.79 | 2148.93 122.32 


Hier bedeuten x’ das Leitvermögen des Wassers, / ist die Gesamtkonzentration in Mol pro 
Liter, a ist die korrigierte Ablesung auf der Brücke, À, der bekannte Widerstand, R, der berechnete, 
Widerstand, y der Widerstand des Zuleitungsdrahtes zu dem Elektrolytgefässe (R, — y gibt also den 
Widerstand der Lösung an), x ist das Leitvermógen der Lösung (das Leitvermógen des Wassers 
ist abgezogen). Das Leitvermógen ist dabei aus der Gleichung z = EL berechnet. Schliesslich 
bedeutet 4 die molare Leitfähigkeit in der üblichen Definition: Das Leitvermögen durch molare 
Konzentration pro em, also 

Ponto: 

Das Leitvermógen des benutzten Wassers war 0.8992 -10 6. Ausserdem wurde vorher 
das Leitvermógen des Wassers, aus dem die Lósungen N:o 1, N:o 2 und N:o 3 hergestellt sind, 
gemessen. Die verdünnten Lösungen wurden in einer Quarzflasche und in Flaschen aus Borosili- 
katglas aufbewahrt, um sicher zu sein, dass das Leitvermógen des Wassers in diesen Lósungen 
sich nicht veränderte. Gewöhnlich wurde bei diesen Lösungen nicht sehr gutes Wasser ver- 
wendet, ungefähr von dem Leitvermógen 1.4-10—5. Dieser Umstand ist wie aus der Tabelle 
hervorgeht, berücksichtigt worden. 

Das benutzte Borosilikatglas ähnelt in Bezug auf die Lóslichkeit in Wasser sehr Pyrexglas 
und war deshalb für diesem Zweck sehr geignet. 


Messungsreihe IL. 


x" - 108 1.10% a R, Rz, — y x-10* | A | 


1.056 1.0263 129.92 6948.96 7482.75 128.10 | 124.82 
1.059 2.0317 788.37 3947.66 3935.67 253.06 | 124.53 


1.062 3.0170 718.59 2460.69 2691.31 374.94 | 194.98 
1.065 7.9640 771.48 1025.93 1045.14 982.18 | 123.33 
1.068 12.813 730.12 608.78 655.27 1572.85 | 122.75 
1.071 17.568 832.09 508.81 480.53 2148.67 122.31 


Das Leitvermógen des benutzten Wassers war hier 1.0533 : 10 =. 


Tom. L. 


1 


e 


Uber das Leitvermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. 


Messungsreihe III. 


I 1o er-106 | Nani ee [ELA HELM NE 
1.198 | 1.0263 | 733.80 6948.96 | 7443.29 128.12 | 124.84 
1.130 2:081 708 1790.18 3947.66 | 3926.65 252.95 124.50 
1.133 3.0170 | 719.70 2460.69 | 2687.15 374.82 | 194.94 
1.136 7.9640 | 771.75 | 1025.93 | 1044.78 981.80 | 123.98 
113908 NOTE SES 730.60 608.78 | 654.84 | 1573.18 | 122.78 | 
1.141 17.568 832.19 Is 508.81 | 480.47 | 2148.21 | 122.98 | 


Das Leitvermógen des benutzten Wassers war 1.1250 - 10- 5. 
Wir stellen jetzt die Resultate zusammen. Man erhält dann 


I: 101 A (Mittelwert) 
1.0263 124.84 
2.0317 124.51 
3.0170 124.25 
7.9640 123.31 
12.813 122.77 
17.568 122.31 


Die Theorie gibt, dass bei grosser Verdünnung, 4 eine Funktion von der Quadratwurzel 


aus der Ionenstärke ist. Empirisch setzen wir, wie oben erwähnt ist 
En AVB 


Dabei bedeutet 4, den Grenzwert bei unendlich grosser Verdünnung, A gibt die Neigung und B 
die Krümmung der Leitfähigkeitskurve an. Die Grôssen 4,, A und B sollen aus den Beobachtun- 
sen bestimmt werden. Zu diesem Zwecke haben wir die Gleichungen 


124.84 = A, — 0.010131 A + 0.0001026 B, 
124.51 = 45 — 0.014254 A + 0.0002032 B, 
124.25 = Ag — 0.017369 A + 0.0003017 B, 
123.31 = 45 — 0.028221 A + 0.0007964 ip: 
122.77 = A5 — 0.035795 À + 0.0012813 B, 
122.31 = A, — 0.041914 À + 0.0017568 B. 


Aus diesen Gleichungen kann man zuerst Nähererungswerte für 4,, À und B finden und die 
Fehlergleichungen mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate lósen. Man findet dann 


= TORN 
FILE some 
BI=0 49/86: 


Die Restfehler sind hierbei 
0.00, 


L 0.02, 


0.00, 


N:o 10. 8 


58 J. E. RENHOLM. 


— 0.05, 
+ 0.04, 


de + 0.02. 
Empirisch bekommt man also 


A= 125.67 — 83.14 VI + 49.86 I. 


Wir wollen jetzt dieses Resultat mit der Theorie vergleichen. Nach der Theorie soll 


1—f;—kVI 
sein. Dabei ist 
A 
en) 
zen le, 


Für k, gilt die Gleichung 


Ia (5 zi Pa 2 z( vy ext m’ M 


auf el tte ime La +a rt L,»)| 
FUN (a (vy 2° +9, 232) +8 (v, 21? wy! 2,2)) m (v, D, va L)+a(v, L’+v,' Ds) E 
Hier ist 
für KCl: für NaCl: 
= = q'— = 
»,—1, 2, — 1, L, = 64.61, y, —1, 2-1, L,' — 43.49, 
vo = 1, 2,— 1, Li — 65.39, v, —1l, 8) — 1, La — 65.39, 


Hieraus ergibt sich bei 18° 
I, — 0.892; 


Wird der mittlere Ionenradius b eingeführt, bekommt man 
Ic = 03270. 
Hierbei ist b definiert durch die Gleichung 


pese (v, L, by +», La by) + (v,! L4! b,! v! L4! by) 
t (v, Li + v4 Li) +X (v! Li'+ v! Lj) 


Bezeichnen wir jetzt den mittleren Ionenradius für KCl mit b, und für NaCl mit bj', bekommen wir 


b & (v, L, + L5) b, +x' (v! La! + v! Lj) by ; 
(000 & (v, Da + vo L2) + (vy Li! b ws! Lj) 


Die Theorie gibt also als Grenzgesetz 


1 —f, = (0.392 + 0.327 b) VI. 
Experimentell fanden wir 


83.14 
Ih 
oder 
1— f1 = 0.662 VI. 
1 Die Beweglichkeiten Z der lonen stammen aus der Arbeit von DEBYE und HückEL (Phys. Zeitsch. 
XXIV, 1923). 


Tom. L. 


Uber das Leilvermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. 59 


Für die Bestimmung des mittleren Ionenradius bekommen wir also durch Vergleichung der 

beiden Werte von 1 — f; 
0.662 = 0.392 + 0.327 b. 
Hieraus ergibt sich 
b = 0.83 (Ängström-Einheiten). 

Aus der Definitionsgleichung für b ergibt sich bei der Annahme, dass die mittleren lonen- 
radien für KCl und NaCl in der Mischung dieselben Werte behalten, wie sie sich aus der Beob- 
achtung der Leitfähigkeit der einzelnen Salzlösungen ergeben, das heisst 


für K Cl: für Na Cl: 
b, = 0.82 (Ängström-Einheiten), b, = 0.90 (Ängström-Einheiten), 


der Wert für den mittleren Ionenradius für das Gemisch 
b — 0.83 (Ängström-Einheiten). 


Die beiden Werte für den mittleren Ionenradius stimmen also genau mit einander überein. 
Es erübrigt noch den Grenzwert .4,—lim.4 für das Gemisch mit dem theoretisch aus 
1=0 
der Beobachtung von KCl und Na Cl gewonnenen zu vergleichen. Theoretisch soll man für das 
Gemisch haben 
Ag m mq KU Lf Ufa cn. 
Aus den Beobachtungen von Kohlrausch folgen 


AAC — 199.93, AN“) — 108.89. 
Hieraus ergiebt sich 
A, = 125.72. 


Dieser Wert stimmt mit dem aus den Beobachtungen für das Gemisch gefundenen gut überein 


Mischung d = à 
Es wurden 7.4525 gr KCl und 23.3744 gr NaClin Luft gewogen. Die Lósungen wurden in ganz 
ähnlicher Weise hergestellt wie bei d = z 
waren bei beiden deshalb ganz gleich. 


Sowohl die Konzentrationen wie die Ionenstärke 


Messungsreihe 1. 


—————— —— 


| x -10$ T. 10% a I; aye ec 2 TO A 

| | I | 
0.969 | 1.0268 | 657.77 | 6948.96 8308.55 |. 115.27 | 112.32 
0.974 | 2.0817 709.81 3947.66 | 4371.27 | 227.62 112.03 

(AU: 979 | 3.0170 782.72 | 2977.81 | 2990.13 | 337.22 111.77 

| 0.985 | 7.9640 | 694.27 | 1025.93 | 1161.38 | 883.60 110.95 

| 0.990 12.813 | 764.45 | 108.68 728.56 1414.34 110.38 
0.995 | 17.568 748.04 508.81 534.53 | 1931.25 | 109.93 | 


Das Leitvermógen des benutzten Wassers war = 0,9635 - 106, 
N:o 10. 


60 J. E. RENHOLM. 


Messungsreihe I. 


x.105 | T-10: a R, RB | oe) 
1.046 | 1.0963 | 661.82 | 6948.96 | 8252.73 | 115.90 | 112.3 
1.051 2.0317 | TI2.06 | 3947.66 435746 | 927.2 | 112.03 
1.055 | 30170 | 784.24 | 2977.81 | 298440 | 337.14 | 111.75 
1.060 7.9640 | 694.81 | 1025.93 | 1160.48 | 883.54 | 110.94 
1.064 | 12.813 | 76513 | 708.68 | 727.91 | 1414.86 | 110.42 
1.008 | 17.568 | 748.50 508.81 | 534.20 | 1931.75 | 109.96 


Das Leitvermögen des benutzten Wassers war = 1.0414 - 1076, 


Messungsreihe III. 


z' 109 1.10% a R, lar i nk 2° 1070 A 
| | 

1077 | 1.0963 | 663.65 | 6948.96 | 8229.98 | 115.81 | 112.36 
1.082 20817 | 712.88 | 3947.66 | 4352.75 | 227.56 | 112.00 
1.086 | 3.0170 | 785.16 | 2977.81 | 2980.90 | 337.98 | 111.78 
1.091 | 7.9640 | 695.33 | 1025.92 | 1159.61 | 883.90 | 110.99 
1.095 | 12.813 | 765.88 | 708.68 | 727.67 | 1415.01 | 110.43 
1.099 | 17.568 | 748.78 | 508.81 | 534.00 | 1932.14 | 109.98 


Das Leitvermógen des benutzten Wassers war = 1.0730 -10 5. 
Stellt man jetzt die Resultate zusammen, bekommt man 


I - 104 A (Mittelwert) 
1.0263 112.33 
2.0317 112.02 
3.0170 EZ 
7.9640 110.96 
12.813 110.41 
17.568 109.96 


Für die Bestimmung der Grössen 4,, 4 und B hat man folgende Gleichungen: 


112.33 = Ag — 0.010131 A + 0.0001026 B, 
112.02 = A, — 0.014254 A + 0.0002032 D, 
111.77 = A, — 0.017369 A + 0.0003017 B, 
110.96 = 45 — 0.028221 A + 0.0007964 B, 
110.41 = 45 — 0.035795 A + 0.0012813 B, 
109.96 = 4, — 0.041914 A + 0.0017568 B. 


Aus diesen Gleichungen bekommt man 


A = 113.13, 
A= 19.25, 
B = 83.96. 


Tom. L. 


Über das Leitvermögen der Mischungen von starken Elektrolyten. 61 


Die Restfehler sind dann 
—0.0% 


0.00, 
0.01, 
0.00, 
-0.01, 
0.00. 


ee 1 LOTES 
Experimentell bekommt man also fü Nai a 


A = 113.18 — 79.25 V I + 83.96 I. 
Wir wollen wiederum dieses Resultat mit der Theorie vergleichen, wie wir es bei 
f 0 PRES A 
Nai ^ 1 semacht haben. Hier ist 
mV Eo NET Jh d 
für KCl: DER für NaCl: mn 
Man berechnet wieder zuerst den Wert für 5, und bekommt 
k, = 0.412. 


Wird der mittlere Ionenradius b für das Gemisch eingeführt, erhält man 


Die Theorie gibt also 


1 — fi (0.412 + 0.327 b) VI. 
Experimentell fanden wir 


1— fi — 11343 
oder 
1 —f; = 0.700 VI. 


Vergleicht man jetzt das experimentelle Resultat mit dem theoretischen, bekommt man 
0.700 = 0.412 + 0.327 b. 
Daraus berechnet man den mittleren Ionenradius für das Gemisch 
b = 0.88 (Angstróm-Einheiten). 


Berechnet man b aus der Definitionsgleichung für den mittleren Ionenradius für das Gemisch, 
findet man ; 
— 0.88 (Angstróm-Einheiten). 
Also wieder eine genaue Übereinstimmung. 
Berechnet man noch den Grenzwert, der sich aus der Theorie für das Gemisch ergibt, be- 


kommt man 
45 = 113.10; 


Dieser Wert stimmt gut überein mit dem, was sich aus den Messungen der Mischung ergab. 


N:o 10. 


62 J. E. RENHOLM. 


Mischung WEE x 

Es wurden 26.1328 gr Ba (NO,), und 22.3575 gr KCl in Luft gewogen und zu 1000.04 cm? 
(Kolbe N:o 57) Lösung gelöst. Das gab eine Gesamtkonzentration I = 0.4 Mol pro Liter (Lö- 
sung N:o 1). Davon 2 Mal 50.0154 ccm zu 1000.02 cmm verdünnt (Kolbe N:o 56) gab die Gesamt- 
konzentration /-— 0.040012 Mol pro Liter (Lösung N:o 2). Von dieser Lösung wurden wieder 
2 Mal 50.0154 ccm zu 500.015 (Kolbe N:o 35) cem verdünnt. Die so erhaltene Lösung hatte dann 
die Gesamtkonzentration /-— 0.0080048 Mol pro Liter (Lösung N:o 3). 

Die bei der Messungen benutzten Konzentrationen wurden aus diesen Lósungen in folgender 
Weise hergestellt: Zu 485 ccm reinem Wasser wurde 5.0262 cm? Lósung N:o 3 zugeführt. Das gibt 
die Gesamtkonzentration /-— 0.82103 :10-* Mol pro Liter. 


Dazu 5.0269 cem von der Lösung N:o 3 gab I = 1.6254 - 10-3 ce 
» 5.0262 » 2E » » e as emm PS0 flyer cn 
>» 02620) 3 03 » Nora TE 1049 qI19 ERIT) END, 
D 5:0262 men, » » DOTE AIO T9. 
> ee ee » » D DD AIO o 


Die jeder Konzentration zugehörige Ionenstärke wird wieder aus der Gleichung 


I p , 2 , , , d 
I= 2 [Ga 21? + va 2?) x + (247 + vo 2 7)a] T 


berechnet. 
Hier ist 
für Ba (NO4),: für KCl: 
Un 212: eh är = 
yy — 2, £y — 1, "vy — 1, Z2 — 1, 
1 5 am 
T= 7i a 7 
Hieraus ergibt sich 
ls 


Man erhält also folgende einander entsprechenden Werte von 7, I und V I: 


r I VI 
0.82108 -10—4 . 1.2815-10—* 0.011097 
1.6254 - » 2.4381 + » 0.015614 
2.4136 - » 3.6204 + » 0.019027 
6.3712 - » 9.5568 - » 0.030914 
10.951 : » 15.376 - » 0.039212 
14054 : » 21.082 - » 0.045915 


Es wurden wieder drei vollständige Messungsreihen ähnlich wie vorher bei Mischungen aus 
KCl und Na Cl ausgeführt. 


Tom. L. 


Über das Leitvermögen der Mischungen von starken Elektrolyten. 


Messungsreihe 1. 


| "2106 T- 10° a R, AN #107 
I I 
0.926 0.82103 | 716.71 6948.96 | 7620.68 126.90 
0.932 | 1.6254 776.14 3947.66 | 3997.69 250.24 
0.938 | 2.4136 708.24 2460.69 | 2730.64 370.62 
0.944 6.3712 759.82 1025.93 | 1061.18 | 968.47 
0.949 | 10.251 717.90 608.78 | 666.43 | 1547.50 
0.955 | 14.054 816.24 508.81 489.86 | 2108.66 


Das Leitvermögen des benutzten Wassers war = 0.9201 - 10®, 


Messungsreihe LI. 


x.10 | r.10 a no ES ae 107 


0.957 | 0.82103 | 718.20 6948.96 7604.86 126.87 | 


0.963 ° 1.6254 777.14 | 3947.66 3992.55 250.26 
0.969 2.4136 708.49 2460.69 2729.67 370.44 
0.975 6.3712 760.04 1025.93 1060.88 968.34 


0.980 10.251 718.12 608.78 666.23 1547.67 
0.985 14.054 816.50 | 508.81 489.71 2109.02 


Das Leitvermógen des benutzten Wassers war = 0.9517 - 10— 5. 


Messwngsreihe ITI. 


| #10 710% |, a R, y | x10 


1.075 0.82103 | 724.45 6948.96 1539.28 126.88 


1.080 | 1.6254 780.84 | 3947.66 3976.17 250.16 
1.085 | 2.4136 710.86 | 2460.69 2720.70 370.54 
1.089 | 6.3712 760.89 1025.93 1059.69 968.29 
1.094 | 10.251 718.40 608.78 665.97 1547.09 | 
1.099 | 14.054 816.83 508.81 489.51 2108.73 | 


I 
Das Leitvermögen des benutzten Wassers war = 1.0698 - 1076, 
Stellt man die Resultate zusammen, bekommt man 


1.10% A (Mittelwert) 
1.2315 154.54 
2.4381 153.94 
3.6204 153.52 
9.5568 151.99 
15.376 150.96 
21.082 150.05 


N:o 10. 


154.56 
153.95 
153.55 
152.01 
150.96 
150.04 


A 


154.53 
153.96 
153.49 
151.99 
150.99 
150.06 


154.54 
153.90 
153.53 
151.97 
150.93 
150.04 


64 J. E. RENHOLM. 
Für die Bestimmung der Grössen 24, 4 und B ergeben sich also folgende Gleichungen: 


154.54 = A, — 0.011097 A +0.0001232 B, 
158.94 = A, — 0.015614 A +0.0002438 B, 
158.52 = A, — 0.019027 A +0.0003620 B, 
151.99 = 4, — 0.030914 A + 0.0009557 B, 
150.96 = A, — 0.039219 A +0.0015376 B, 
150 05 = A, — 0.045915 A + 0.0021082 B. 
Hieraus finden wir 
A5 = 155.92, 
Ze TS S 
B = — 0.92. 
Dies Restfehler sind 
+ 0.03, 


0.00, 
OU 
0.00, 
5 049/27- 
— 0.04. 
HOUR 
Ba(NOÿ TN 


-| o 


Experimentell bekommen wir also für 


A = 155.99 — 126.87 VI —0.92 T. 


Wir wollen jetzt dieses Resultat mit der Theorie vergleichen. Zunächst stehen wir also 
vor der Aufgabe die Grössen k, und k, zu bestimmen. Dieses geschieht in ganz ähnlicher Art 
wie vorher. Wir haben 


für Ba(NO),: für K CI: 
1 
Led fh 
Mae B US ms TQ m pem dom emo = gh. 
Jum EE ls 61.83, einer ee 5i). 


Man bekommt dann 


Wenn wieder der mittlere Ionenradius b für das Gemisch eingeführt wird, finden wir 
k, — 0.327 b. 
Die Theorie gibt also à 
1 — fi = (0.622 + 0.327 b) VI. 
Experimentell fanden wir 


126.87 = 
U ling 155.92 VI, 
oder 
1 —f1 = 0.814 VT. 
Vergleichen wir die beiden Werte auf 1 —/; mit einander, erhalten wir 
0.814 = 0.622 -- 0.327 b. 


Tom. L. 


Uber das Leitrermógen der Mischungen von starken Blektrolyten. 65 


Hieraus berechnet man den mittleren Ionenradius für das Gemisch. Man findet 
b = 0.59 (Ängström-Einheiten). 

Wir berechnen jetzt den mittleren Ionenradius für das Gemisch aus der Definitionsgleichung 
unter der Annahme, dass der mittlere Ionenradius für die einzelnen Salze bei der Mischung sich 
nicht verändert. Diese mittleren Ionenradien sind 

bei Ba (N O5): bei K Cl: 
by = 0.50 (Angstróm-Einheiten), by‘ = 0.82 (Ángstróm-Einheiten). 
Die Definitionsgleichung gibt 
b = 0.70 ( Ängström-Einheiten). 


Die Übereinstimmung dieser beiden Werte von b ist recht befriedigend. 


Wir berechnen noch den Grenzwert lim A = 4, für das Gemisch aus der Theorie von den 
HA 
Grenzwerten für Ba(NO,), und K Cl. Diese Grenzwerte sind 
für Ba (N 04): für KCl: 
Fly EOS WINE 9 5 3100 AR GU ez IDEE. 
Daraus ergibt sich für das Gemisch 
A, = 155.92 
in völliger Übereinstimmung mit dem experimentellen Ergebnis. 
KCl 1 


Mischung BUONO 1 

Es wurden 26.1328 gr Ba(NO;), und 7.4525 gr KCI in Luft gewogen und zu 1000.04 ccm 
(Kolbe N:o 57) Lösung gelöst. Das gab die Gesamtkonzentrationen £' — 0.2 Mol pro Liter (Lösung 
N:0 1). Davon wurden 3 Mal 50.0154 cm zu 1000.09 ccm (Kolbe N:o 48) verdünnt. Man erhielt dann 
die Gesamtkonzentration Z’ = 0.030007 Mol pro Liter (Lösung N:o 2). Von dieser Lösung wurden 
wieder 2 Mal 50.0154 cem zu 500.015 ccm (Kolbe N:o 35) verdünnt. Die so erhaltene Lösung hatte 
dann die Gesammtkonzentration 0.0060031 Mol pro Liter (Lósung N:o 3). 

Die bei den Messungen benutzten Konzentrationen wurden aus diesen Lósungen in folgender 
Weise hergestellt. Zu 485 ccm reinem Wasser wurde 5.0262 cm? Lósung N:o 3 zugeführt. Das 
gab die Gesamtkonzentration 0.61572 - 10—* Mol pro Liter. 


Dazu 5.0262 ccm von der Lösung N:o 3 gab T= 1.2190 - 10-* A 
» 5.0269 » » » » » 5. yrs diese B0) IN 
» 5.0269 » » » » INCOME EDT: TT OO EL) 
DNS 022) 9935 » ) b TT = still.) 
D NSI02 62) » » » » pu neas) oi) sss; 


, 
Die zu jeder Konzentration gehörige Tonenstärke wird aus der Gleichung für I berechnet. 
Hier ist 


für Ba(NO;): für ACT: 

Helen well: 

»=2, Z3 — 1, ra — 1, 2, — 1l, 
e p: 9l 
D-3 1 EO 


N:o 10, 9 


66 


Hieraus ergibt sich 


J. B. RENHOLM. 


Ihe BUE 


Man erhält also folgende einander entsprechende Werte von I, I und VI: 


7 


0.61572 - 10-1 


1.2190 
1.8101 
4.7179 
7.6874 
10.540 


» 


» 


I 
1.2315 
2.4380 : 
3.6202 - 
9.5557 : 

15.375 


21.080 


ig) 


» 


vi 
0.011097 
0.015614 
0.019027 
0.030912 
0.039211 
0.045913 


Es wurden wieder drei vollständige Messungsreihen ähnlich wie vorher ausgeführt. 


Messungsreihe I. 


#-107 


A 


# - 108 T- 10% a | R, RM y 
0.960 0.61572 | 727.28 7974.87 | 8618.64 110.79 179.91 
0.965 1.2190 769.97 4456.43 | 4549.11 218.45 | 179.19 
| | | 
0.969 1.89101 | 750.65 2977.81 3117.95 323.09 178.51 
0.974 4.7779 | 791.51 | 1225.80 | 1217.17 | 842.75 | 176.39 
0.978 7.6874 | 727.16 | 708.68 | 765.93 | 1344.99 174.98 
0.982 10.540 = 708.59. | 508.81 | 564.30 | 1829.01 173.55 
Das Leitvermögen des benutzten Wassers war = 0.9551 + 106. 
Messungsreihe IL. 

z.105 | 7.10: NE mr acoge 

| | 
1.067 0.61572 | 139.99 7974.87 | 8539.85 110.83 | 179.97 
1.071 1.2190 113.49 4456.43 | 4528.45 | 218.43 | 179.18 | 
1:075 1.8101 752.87 2978108108 5 323.03 | 178.46 | 
17079 4.7779 192-55 1925:80^ | 1205557 849.81 | 176.40 | 

| | | 
1.083 7.6874 727.79 708.68 765.26 1345.08 | 174.99 
1.087 10.540 709.07 508.81 | b63.91 | .1829.19 173.57 

Das Leitvermögen des benutzten Wassers war — 1.0628 - 10°. 
Messungsreihe 111. 
x' +106 T'. 10% u R, Homes A 
| | E i 

1.096 0.61572 135.58 | 7974.87 | 8521.40 | 110.81 | 179.94 
1.100 1.2190 774.70 4456.43 4521.33 | 218.50 179.23 
1.104 1.8101 753.47 2977.81 3106.28 323.00 178.43 
1.108 4.7779 192.53 1225.89 1215.62 | 842.50 176.34 
JL LT 7.6874 727.76 708.68 165.29 | 1344.45 | 174.92 | 
11) 10.540 709.39 508.81 563.66 1829.72 173.62 | 


Das Leitvermögen des benutzten Wassers war = 1.0921 - 10 ®. 


Über das Leitvermögen der Mischungen von starken Elektrolyten. 67 


Die Resultate werden jetzt zusammengestellt. Wir bekommen dann 


I. 10% A (Mittelwert) 
1.2315 179.94 
2.4380 179.20 
3.6202 178.47 
9.5557 176.38 
15.375 174.96 
21.080 173.58 


Für die Bestimmung der Grössen 4,, 4 und B erhalten wir also folgende Gleichungen: 


179.94 = 4, — 0.011097 A + 0.0001232 B, 
179.20 = 4, — 9.015614 A + 0.0002438 B, 
178.47 = A, — 0.019027 A + 0.0003620 B, 
176.38 = 49 — 0.030912 A + 0.0009556 B, 
174.96 = A, — 0.039211 A + 0.0015375 B, 
173.58 = A, — 0.045913 A + 0.0021080 B. 
Hieraus findet man 
4, 181.93, 
A = 178.95, 


B = — 492.00. 
Die Restfehler sind dann 
0.00, 


+ 0.04, 
— 0.04, 
+ 0.01, Y 
0109) 
— 0.06. 


Experimentell bekommen wir also 
A = 181.98 — 178.95 VI — 42.00 I. 


Wir wollen dieses Resultat wieder mit dem, was die Theorie ergibt vergleichen. Zu die- 
sem Zweck berechnen wir zuerst k, und k, aus ihren Definitionsgleichungen. Hier haben wir 


für Ba(NO,): für K CI: 
1 , 1 
CE GE $ —33 
demde em B. I5 edere mise il, JL ga 
orne =, JL, = Br y em do = Ia seo. 


Wir bekommen dann 
Ils. m OE T TEE 


Wenn wieder der mittlere Ionenradius für das Gemisch eingeführt wird, erhalten wir 


; Re eoe 
Die Theorie gibt also 
1 —f; = (0.772 +4 0.327 b) V I. 
N:o 10. 


68 J. À. RENHoLM. 


Experimentell fanden wir 
178.95 


Dm ims ee 


oder 
1 —f1 — 0.984 Y I. 
Vergleichen wir die beiden Werte von 1 —/; mit einander, finden wir die Gleichung 
0.984 = 0.772 + 0.327 b. 
Diese Gleichung wird erfüllt für 
b = 0.65 (Angstróm-Einheiten). 
Wird für das Gemisch der mittlere Ionenradius aus der Definitionsgleichung unter derselben 
Annahme wie vorher berechnet, bekommen wir 
b = 0.61 (Ängström-Einheiten). 


Die Übereinstimmung dieser beiden Werte ist gut. 
Wir wollen noch den Grenzwert lim 4 aus der Theorie vou den Grenzwerten für Ba (NO), 
HEAD 
und KCl berechnen. Wir finden dann 
AIR 9, 

was gut mit dem Werte übereinstimmt, der sich aus unseren Beobachtungen ergibt 
RO ES; 
wSO, 1 

Es wurden 22.3575 gr KCI und 24.9615 gr Cu SO, +5 HO, in Luft gewogen und zu 1000.04 ccm 
(Kolbe N:o 57) Lösung gelöst. Das gab eine Gesamtkonzentration / = 0.4 Mol pro Liter (Lösung 
N:01). Davon wurden 2 Mal 50.0154 cem genommen und zu 1000,02 cem (Kolbe N:o 56) verdünnt. 


Mischung Ö 


Das gab eine Gesamtkonzentration 7 = 0.040012 Mol pro Liter (Lösung N:o 2). Von dieser 
Lösung wurden wieder 2 Mal 50.0154 cem zu 509.015 eem (Kolbe N:o 35) verdünnt. Man erhielt 
dann eine Lösung von der Gesamtkonzentration / = 0.0080048 Mol pro Liter (Lösung N:o 3). 

Die bei den Messungen benutzten Lösungen wurden aus diesen Lösungen in folgender Weise 
hergestellt. Zu 485 ccm Wasser wurde 5.0262 cem Lösung N:o 3 zugeführt. Die erhaltene Lösung 
hatte dann eine Gesamtkonzentration I = 0.82103 - 10-* Mol pro Liter. 


‘Dazu 5.0262 cmm von der Lösung N:o 3 gab I = 1.6254 - 10-3 E 
» 5.0269 » » » » » » Seal 5 
» 5.0262 » D » » Wise 2) ox Vemm Wo o1-s » 
275006227 9» » 0» » » VE Hl 9 
» 5.0262 » » » » » Da TELE HIDE x» c 


Die zu jeder Konzentration gehörige Ionenstärke wird aus der Definitionsgleichung für 
I berechnet. Die dazu erforderlichen Konstanten sind 


für Cu SO: für K CI: 

Qr em ls En e 9. d =, =, 
==. gy md ges 
SEI T 3 
LE 3 Cia 


Tom. L. 


Über das Leitvermögen der Mischungen von starken Elektrolyten. 


Man bekommt dann 


I-1,r. 
Wir finden dann folgende einander entsprechende Werte von /, I und VI: 
T I VI 
0.82103 - 10 ! 1.4368 - 10- * 0.011987 
1.6254 » 2.8445: >» 0.016866 
2.4136 » 4.2238 + oo» 0.020552 
6.3712 » 11.150 » 0.033390 
10.251 » 17:989 » 0.042354 
14.054 » 24.595 » 0.049594 
Es wurden folgende Messungsreihen benutzt: 
Messungsreihe 1. 
| x'-105 [101 a R, da —Y x. 10° A 
| 0.918 0.82103 705.94 6948.96 7736.94 | 124.93 | 152.16 
0.923 1.6254 | 760.86 | 3947.66 | 4077.97 | 245.22 | 150.86 
0.928 | 2.4136 | 691.66 | 2460.69 | 2796.10 | 361.82 | 149.91 
0.933 6.3712 733.12 1025.93 | 1098.93 | 934.89 | 146.74 
0.938 | 10.251 687.51 608.78 | 695.90 | 1481.69 | 144.55 
0.942 | 14.054 777.27 508.81 514.43 | 2007.62 | 142.85 


Das Leitvermögen des benutzten Wassers war — 0.9132 - 10 $. 


0.974 


0.82108 


1.6254 

2.4136 

6.3712 
| 10.251 


14.054 


Messungsreihe I. 


a 


707.48 
162.19 
692.52 
734.14 
687.82 
VUNNET) 


R, 


6948.96 
3947.66 
2460.69 
1025.93 
608.78 
508.81 


Re — y 


#- 107 


7720.10 


4070.86 


2792.63 
1098.30 
695.57 
514.48 


Das Leitvermögen des benutzten Wassers war = 0.9462 - 


z' - 108 
0.970 
| 0.975 
0.979 
0.984 
0.988 
0.992 


I'.10* 


0.82103 


1.6254 
2.4136 
6.3712 
10.251 
| 14.054 


Messungsreihe 111. 


a 


708.50 
762.58 
692.70 
734.04 
687.65 
776.97 


R, 


6948.96 
3947.66 
2460.69 
1025.93 
608.78 
508.81 


BY 


7708.98 


4068.88 | 


2791.90 


1098.45 | 
695.75 


514.62 


124.90 
245.34 
361.96 
935.11 
1482.07 


2007.11 | 


1072. 


x: 107 


124.90 
245.28 


361.87 


1481.49 
2006.36 


Das Leitvermögen des benutzten Wassers war = 0.9663 - 10-6, 


N:o 10. 


934.79 | 


A 


152.14 
150.94 
149.96 
146.78 
144.58 
142.81 


A 


152.12 
150.90 
149.93 
146.73 
144.53 
142.75 


69 


70 J. B. REN HOTLM.:* 


Die. Resultate werden jetzt in folgender Tabelle zusammengestellt: 


I - 101 A (Mittelwert) 

1.4368 152.14 

2.8445 150.90 

4.2238 149.98 

11.150 146.75 
17.939 144.55 | 

24.595 142.80 
Für die Bestimmung der Grössen A,, 4 und B bekommen wir also folgende Gleichungen: | 
152.14 = A, — 0.011987 A+0.0001437 B, | 
150.90 = Ay — 0.016866 À + 0.0002845 Db, [ 
149.93 = A, — 0.020552 A+ 0.0004224 B, | 


146.75 = 45 — 0.083390 À - 0.0011150 B, 
144.55 = A, — 0.042354 A +0.0017939 B, 
142.80 = Ag — 0.049594 À + 0.0024595 B. 


llieraus folgt 
A, 155:21; 
4 = 259.46, 
B = 184.00. 
Die Restfehler sind dann 
++ 0.01, 


+ 0.02, 
—0:03; 
— 0.08% 

0.00, 
20.01. 


Experimentell haben wir also 
A — 155.21 — 259.46] T B4 


Wir vergleichen dieses Resultat mit dem, was die Theorie bei sehr grosser Verdünnung gibt. 
Wir wollen zu diesem Zweck zuerst k, und k, aus ihren Definitionsgleichungen bestimmen. Wir 
haben ja 


für Cu S0,: für KCl: 
=S | me 3 
LT = ru sn 


5-—1,24-—293,L,— 9556, v», —1, 2 —1, L,' = 64.61, 
vo = 1, 2, = 9, Lo = 185.924, v4, — 1, 2, — 1, Ly = 65.39. 


Wir bekommen dann 
= Qe 


Wenn wieder der mittlere Ionenradius b für das Gemisch eingeführt wird, finden wir 


ka 032706: 
Tomi 


Über das Leitwermögen der Mischungen von starken Elektrolyten. 71 


Die Theorie gibt also als Grenzgesetz (Gleichung der Tangente der Leitfähigkeitskurve, 


wenn VT als Abszisse gewählt wird) 
1 — fı = (0.877 + 0.327 b) VI. 


Experimentell fanden wir 
259.46 y 


1—h — 15521 a 


oder 
1.672 V T. 


! 


1 — f; 
Vergleichen wir die beiden Werte von 1 —/f;, bekommen wir 
1.672 = 0.877 + 0.327 b. 
Für den mittleren Tonenradius b für das Gemisch finden wir den Wert 
b = 2.41 (Anestróm-Einheiten). 
Aus der Definitionsgleichung berechnen wir jetzt den mittleren Tonenradius für das Gemisch 


unter derselben Annahme wie vorher. Als mittlere Ionenradien für die einzelnen Elektrolyten 
findet man aus den Messungen von KoHnnRAUSCH 
für Cu S0,: für KCl: 
(ij = Bell: bo = 0.82 (Ängström-Einheiten). 
Die Definitionsgleichung gibt für das Gemisch 
b = 2.41 (Angstróm-Einheiten). 


Die Übereinstimmung der beiden Werte von b ist also gut. 
Wir berechnen noch den Grenzwert lim 4 = 4, für die Mischung aus der Theorie von den 


= 
Grenzwerten für Cu SO, und KCl. Diese Grenzwerte! sind 
für Cu SO,: für KCl: 
4,080, — 230.80, ASK? = 199.98. 


Daraus ergibt sich für die Mischung 
Aq = 155.15. 

Die Übereinstimmung mit dem aus den Beobachtungen über die Mischung erhaltenen Wert 
ist befriedigend. 
KO 1 
wS0, 2 

Es wurden in Luft 7.4525 er K CI und 49.923 gr Cu SO, + 5 H,O gewogen und zu 1000.04 ccm 
(Kolbe N:o 57) Lösung gelöst. Das gab eine Gesamtkonzentration /' — 0.3 Mol im Liter (Lösung 
N:o 1) Davon wurden 2 Mal 50.0154 cem zu 1000.02 cem (Kolbe N:o 56) verdünnt, und man be- 
kam dann die Gesamtkonzentration 0.030009 Mol pro Liter (Lósung N:o 2). Von dieser Lósung 
wurden wieder 2 Mal 50.0154 cem zu 509.015 cem (Kolbe N:o 35) verdünnt. Diese Lösung hatte 
dann die Gesamtkonzentration 0.0060036 Mol pro Liter (Lósung N:o 3). 


Misehung G 


! Die 4, Werte für die einzelnen Elektrolyten sind überall aus der Arbeit von DEBYR und HÜCKEL: 


l.c, genommen. 


N:o 10. 


72 J. E. RENHOLM. 


Die bei den Messungen benutzten Gesamtkonzentrationen wurden aus diesen Lósungen 
hergestellt. Zu 485 ccm reinem Wasser wurde 5.0262 cem Lösung N:o 3 zugeführt. Das gab 
die Gesamtkontration 7 = 0.61577 - 10—* Mol pro Liter. 


Dazu 5.0262 cem von der Lösung N:o 3 gab I =1.2191- 107? A 
» 5.0262 » We) » » » jede esqU-- De 
PPS: » No » F-4T77084-1-* ». 

» 5.0262 >». » » » » » T= 7.6879.- 10-27 >» - 

» 5.0262 » D) » » » PSN DE 


Die zu jeder Konzentration gehörige lonenstärke wird aus der Definitionsgleichung für 
I berechnet. Dabei ist 


für Cu SO,: für KCl: 
Li , 
M — 1, 2; — 2, »Ó —1,2 —1, 
y, = 1, 25 — 2, SECO 
SES x =1 
3 3 


Man findet 
I-38r. 


Wir stellen jetzt die einander entsprechenden Werte von 7, I und V1 zusammen. 


y I : VI 
0.61577 - 10 * 1.8478 - 10-4 0.013592 
1216) y 39.6579 - » 0.019124 
1.8102 - » 5.4306 + » 0.023304 
4.7784 - » 14.335 - » 0.037862 
7.6879 » » 23.064 - » 0.048025 

10.541. -. » 912622209» 0.056234 


Es wurden folgende Messungsreihen gemacht. 


Messungsreihe I. 


Ro — y 


| x' - 105 Hs ER) a | Ts nil x 107 A 


0.976 | 0.61577 665.77 6948.96 | 8203.78 | 116.72 189.55 | 
0.980 | 1.2191 | 709.59 3947.64 4372.63 227.49 186.62 | 
0.985 | 1.8102 775.01: | 2977.81 3019.94 333.73 184.37 
| 0.990 | 4.7784 | 791.87 1225.80 1216.61 | 842.98 176.42 
|. 0.995 1.6879 710.46 708.68 | 783.93 | 1313.67 | 170.87 
1.000 | 10.541 | 680.11 |. 508.81 587.93 1754.88 166.48 


Das Leitvermógen des benutzten Wassers war = 0.9705 - 107 6, 


Tom. L. 


Über das Leitvermógen der Mischungen von starken Elektrolyten. 


Messungsreihe II. 


x' «109 


Verte n 
1.121 
1.125 
1.129 

a 

1.136 


2’. 10% 


| 
0.61577 | 


1.2191 
1.8102 
4.7784 
7.6879 
10.541 


a 


673.43 
713.97 
778.03 
792.99 
711.16 
680.90 


Ii 
6948.96 
3947.64 
2977.81 
1225.80 

708.68 
508.81 


| Hy — " 


8110.45 


4345.80 | 


3008.22 
1214.90 
783.16 
587.25 


Xx 107 A 


116.77 189.63 
227.56 186.67 
333.61 | 184.30 
842.81 176.38 
1313.61 170.87 


1755.57 | 166.55 


Das Leitvermógen des benutzten Wassers war = 1.1134 - 10 - 5. 


2 " 108 


Messungsreihe III. 


2-10% „is a R, Rey x: 107 A 
| 1.815 | 0.61577 | 683.82 | 6948.96 | 7987.22 | 116.76 | 189.62 
| 1.317 1.2191 | 719.60 | 3947.64 | 4311.80 | 227.48 | 186.60 
1.318 | 1.8102 | 782.40 | 2977.81 | 2991.41 | 333.68 | 184.83 
1.820 | 4.7784 | 795.18 | 1295.80 | 1211.65 | 843.24 | 176.47 
1.821, | 7.6879 | 712.31 708.68 | 781.90 | 1313.83 | 170.90 
1.323 | 10.541 681.63 508.81 | 586.62 | 1755.58 | 166.55 


Das Leitvermógen des benutzten Wassers war = 1.3130 - 10 *. 


Die Resultate sind in folgender Tabelle zusammengestellt: 


1.10% 
1.8473 
3.6572 
5.4306 


14.335 
23.064 
31.622 


A (Mittelwert) 


189.60 
186.63 
184.33 
176.42 
170.88 
166.53 


Die Grössen 4,, 4 und B werden also aus folgenden Gleichungen bestimmt: 


189.60 
186.63 


Ay — 0.013592 À +0.0001847 B, 
Ag — 0.019124 A +0.0003657 B, 


184.33 = A, — 0.023304 A + 0.0005431 B, 
176.42 = A, — 0.037862 A +0.0014335 B, 
170.88 = A, — 0.048025 A +0.0023064 B, 
166.53 = 4, — 0.056234 A + 0.0031622 B. 


Hieraus findet man 


N:o 10, 


A, = 197.17, 


556.59, 


B = 205.40. 


10 


74 J. E. RENHOLM. 

Die Restfehler sind dann 

— 0.05, 

+ 0:02, 

+ 0.02, 

+ 0.03, 

0:09 

+ 0.01. 
Experimentell bekommen wir also 


A = 197.17 — 556.59 V I + 205.40 I. 


Wir wollen jetzt dieses Resultat mit der Theorie vergleichen. Der Grössen k, und k, 
sind zu diesem Zweck aus ihren Definitionsgleichungen zu berechnen. Hier sind 


für Cu SO;: für KCl: 
2 Fest 
T — 3 1 H = 3? 


| 


ee, ee 
vl, — 2 35, = 1, M 65.39. 
Wir finden dann 
k, 10368: 


Wenn wieder der mittlere Tonenradius für das Gemisch eingeführt wird, bekommen wir 
wie früher 
I0 92b. 


Die Theorie gibt also bei grosser Verdünnung 


1— f, = (1.368 +0.327b) VI. 
Experimentell fanden wir 
Bu... 


Ey, 
zi 197.17 / I, 


oder 
1 — f1 = 2.828 VI. 
Vergleichen wir die beiden Werte von 1 — fr, erhalten wir 
2.823 = 1.368 + 0.327 b. 
Für den mittleren Ionenradius der Mischung gibt diese Gleichung den Wert 
b — 4.45 (Ângstrom-Einheiten). 


Aus der Definitionseleichung für den mittleren Tonenradius der Mischung bekommen wir 
bei derselben Annahme wie vorher den Wert 


b = 4.24 (Àngstróm-Einheiten). 


Die Übereinstimmung ist zwar nicht so gut wie vorher aber immerhin recht befriedigend. 
Wird der Grenzwert lim 4 — 4, aus der Theorie mit Benutzung der Grenzwerte für Cu SO, 
/; mu 
und KCl berechnet, findet man 
A, = 197.18, 


was mit dem Wert, der sich aus den Messungen des Gemisches ergibt gut übereinstimmt. 


Tom. L. 


Uber das Leitwermögen der Maschungen von starken Wlektrolyten. 


—] 
Qt 


4. Zusammenfassung. 


1:0) Es ist eine Apparatur zusammengestellt, die Leitfähigkeitsmessungen auch bei sehr 
kleinen Konzentrationen mit befriedigender Genauigkeit gestattet. 

2:0) Es ist eine elementare Methode entwickelt um mit Hilfe einer gewöhnlichen Wheatstone- 
schen Brücke Widerstandsmessungen von ziemlich grosser Genauigkeit zu machen ohne den Eich- 
wert der Brücke ganz genau zu kennen. 

Wir stellen jetzt die Resultate zusammen. 


Mim » 215.195.855 88:14, VT, 49861 
KO 31. va. doi irri to oe: guido: 
Ma A — 118.13 — 19.25 YT 83.961. 
Elektrolyt | Ag | 2 dof | A B y? k, b b 
KCI | 129.93 | IT | 84.77 90.6 0.652 | 0.389 0.82 T" 
KCl 4 jen | | X438 ne 1 
EL 125.67 | 125.72. || 83.14 49.9. | 0.662 | 0.892 | 0.83 | 0.83 
| | | | | 
ee 113.13.| 118.10 | 79.25 | 84.0 | 0.700 | 0.412 | 0.88 | 0.88 
NaCl 108.89 EN aan 198 | 0.710 | 0413 | 0.90 À. 


Dabei bedeutet 4, den Grenzwert der molaren Leitfähigkeit wie er aus den Beobachtungen 
berechnet ist, A, wie derselbe nach der Mischungsregel (60) berechnet ist. Die Grössen b sind, 
die Ionenradiea wie sie aus den Beobachtungen berechnet sind. b' wie sie aus der Definitions- 
gleichung (58) für den mittleren Ionenradius berechnet sind. 

BOAT A — 155.92 —126.87 V I —0.9 I. 
KG. i1 


Ba(NO,. I A = 181.93 —178.95 V I —ÉÀA a 1H 


| 
| Elektrolyt zd | A A b | ef; k, b b | 
| | “to | 
| | | | 
KCl | 199.98 | | — 84.77 90.6| 0.652 | 0.382 | 0.82 = 
Vo RM | pieni». pg ED LPS, LE | | 
Ba(NO,;, 1 | 155.92 | 155.92 | 126.87 mn 0-2] 0 8140 70.622 | 0.59...| 0.70 
tC | i | | 
meo = |18res"l 1891 P7898 | 5 420| 0.984 ^ 0.772 | "0:85 | "O.6l 
a(NO,, 1 | | 
Ba (NO;), 233.90 =  1262:23 "| — 187.0;| ‚1.121 W 0.959 0.50 — 
K Cl 3 — 1RR 91 —9RQ0 AG 1/ 3 
Ou SO, — 1 A= 155.21 —259.46 V I + 184.0 I. 
XD i toL gt - Mull ryan Faran 
Cu SO, — 3 . A = 197.17 —556.59V I + 205.4 I. 
! Die Werte von A, 5, = k, und b für die einheitlichen Elektrolyten sind aus den Beobachtungen von 
0 


KOHLRAUSCH berechnet. 


N:o 10. 


76 J. E. RENHOLM. 


Elektrolyt Ag len A | J^ = | N b | b’ 
| | EU | | 
| | I 
| KCl 199.98 |." | 84.770110 90611) 2 0:6520 [110.8821 || 0:82:00. oos 
KCl 3 | | | | | | 
rap: 155.21 | 155.15 | 259.46 1.1840 | 1672 | 0.877 | 24 | 24 | 
| | 
xm a 197.17 | 197.18 | 556.59 | 206.4 |,2.823,.|,1.868 |. 4.46 .| 4.24... 
ERE | | 
Cu S0, 230.80 — | 765.52 | 349.0 | 3.317 | 1.622 | 52 | = 


3:0) Aus den Tabellen geht hervor, dass die aus den Beobachtungen berechneten Werte für 
den Grenzwert 4, bei Mischungen ausserordentlich gut mit der elementaren Mischungsregel (60) 
übereinstimmen. 

Weiter sieht man sofort, dass die von dem Koeffizienten À bestimmte Neigung der Leit- 
fähigkeitskurve (für / — o), mit steigendem relativem Gehalt von mehrwertigen Ionen steiler 
wird und zwar so, dass t wächst. Dies deutet darauf hin, dass die Veränderung der molaren 
Leitfähigkeit mit der Konzentration durch Einführung von elektrischen Kräften erklärbar wäre, 
und wäre dies eine Stütze für den Ausgangspunkt der Theorie von DEBYE. 

Mit Hilfe dieser Theorie ist eine Gleichung für die Leitfähigkeit bei Mischungen von 
zwei Elektrolyten aufgestellt und diese Gleichung wurde mit von mir gemachten Beobachtungen 
bei sehr kleinen Konzentrationen verglichen. Wenn man das aus den Beobachtungen für die 
Mischung gewonnene Resultat mit der Theorie vergleicht, ergibt sich eine Gleichung, aus der man 
einen »mittleren Ionenradius» für das Gemisch berechnen kann. Wenn man annimmt, dass bei 
der Mischung der mittlere Ionenradius eines Salzes sich nicht verändert, findet man einen zwei- 
ten Wert des mittleren Tonenradius’ des Gemisches. Die gute Übereinstimmung dieser Werte 
spricht zu Gunsten der Theorie. Nur in einem Falle, bei BANG: =, 
weichung vorhanden. 

Wir erinnern daran, dass die Ionenradien bei der Integration i p.,dc über die Ionenober- 
flächen eingeführt sind. Dabei sind die Ionen als starre Kugeln angesehen. Bekanntlich kommt 
man je nach der zu untersuchenden Eigenschaft der Ionen, zu etwas verschiedenen Werten des 
lonenradius. Die jetzt erhaltenen Werte der Ionenradien entsprechen der Grössenordnung nach 


ist eine kleine Ab- 


durchaus dem, was zu erwarten war. Dagegen lassen sich je nach der zu untersuchenden Eigenschaft, 
Verschiedenheiten erwarten. Bei Untersuchungen derselben Art ist es jedoch anzunehmen, 
dass der Begriff »Ionenradius» sich gleichartig verhalten wird. Es scheint deshalb der Schluss 
berechtigt, dass die früher erwähnte Übereinstimmung der Werte des Ionenradius’ für das Ge- 
misch zu Gunsten der Gleichung (52) spricht. 

4:0) Wir werden jetzt unsere Aufmerksamkeit etwas genauer auf die charakteristischen 


2 EI 3 d : E 5 F Xm i 
Grósse 5 richten. Theoretisch setzt sich diese aus zwei Teilen zusammen, von denen derjenige 


49 
welcher von der Relaxationszeit herrührt, eine Form hat, die erwarten lässt, dass ein kleiner 
Zusatz von 2—1 wertigen oder 2—2-wertigen Salzen zu einem 1—1-wertigen Salze eine ziemlich 
starke Vergrösserung des ^. -Wertes für die Mischung zur Folge haben dürfte. Das geht in der 


410 
Tat aus der Kurventafel N:o 1 für die “Werte hervor, wo die Kurven nach oben konvex 
410 


Tom. L. 


-1 
-1 


Über das Lertvermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. 


sind. Diese nach oben konvexen : -Kurven scheinen mir zu Gunsten einer Gleichung von 
der Form (52) zu sprechen. Bei Mischungen von KCl und Na CI dagegen ist die Kurve wenigstens 
sehr annähernd eine Gerade. 

Wir wollen hier nebenbei einen Vergleich mit der Theorie von Gmosm machen. Wir fanden, 
dass diese Theorie als Grenzgesetz für alle 1—1 wertigen Salze angewandt 


3 
1—f;-—0374Vyt 


gibt. Wenn wir aber empirisch den Ansatz machen 


4 3 
pomi oup p 
As 
nnd aus den Beobachtungen von KonrRaAuscu über K Cl bei //— 1- 10-3, 2-10 4, 5-10 #, 


A 


12.210.533 = berechnen, ergibt sich — 0.246. Die Überstimmung ist kaum befriedigend. 


Weiter zeigen die genauen Berechnungen von DesyE und Hückekr!, dass bei dem Werte für 
= bei verschiedenen 1—1-wertigen Salzen nicht ganz unwesentliche Verschiedenheiten auftre- 
“10 


ten. Man vergleiche übrigens in unserer Zusammenstellung die 5 -Werte für KCI und NaCl. 


sn 
A 


Unsere Beobachtungen zeigen wie bei Gemischen von KCI und Na Cl mit verändertem re- 


40 
lativen Gehalt von KCl und NaCl sich in sehr guter Übereinstimmung mit der Gleichung (52) 
ändert. 
Wir fragen jetzt, was die Theorie von Guosn bei einem Gemisch von einem 1—1-wertigen und 
einem 2—1-wertigen Salze (z. B. KCI und BaCl,) geben würde. Indem wir für die Arbeit A 
einen in x und z' linearen Ansatz machen ?, finden wir 


SER = 
ENV2Nx+ zx. 213 | 


Phi DET Det rsæ 0 
wo 
K Cl z s 
Ba (NO), + Ga" 1). 


Wenn man die empirische Kurve mit der theoretischen vergleicht, findet man 


3 
A | mx -a'-2V3g8NV2N 
FT ER NDR 


3 Pat Y^ NN : s : - : . 
Wenn wir jetzt eine ^ -Kurve entwerfen würden so, wie unser Kurvendiagramm es zeist, 
10 = x 


nnd den ^ -Punkt für K Cl mit dem = -Punkte für Ba Cl, verbinden, ist die Neigung dieser 


“0 


Geraden 
3 
(ser eNY2N 
3 2 10DRT 
Die Grósse 5 für das Gemisch steigt also, wie man leicht zeigen kann, für kleine Werte von x’ schneller 
zl! 


als diese Gerade, was in der Tat der Effekt ist, den wir beobachtet haben und welchen die Gleichung 


ale: 

* Allerdings hätte man vielleicht hier auch einen anderen Weg einschlagen und erst einen regulären 
Gittertypus suchen können, der mit der Formel x-K Cl +x'- Ba Cl, vereinbar wäre, und dann die Arbeit 
berechnen, die nötig wäre um die Ionen dieses Gitters ins Unendliche zu bringen. 


N:o 10. 


78 J. E. REN HOLM: 


(52) beschreibt mit Berücksichtigung auch der individuellen Eigenschaften der Ionen die zu dem 
gleichen Haupttypus gehören. Die qualitative Ubereinstimmung der Theorie von GHosH mit 
der von DEBYE bei der Beschreibung des Ganges der Funktion = bei Gemischen von Salzen 
von verschiedenem Typus, sind wir geneigt darauf zurückzuführen, dass beide Theorien die Ano- 
male der starken Elektrolyten durch Wirkungen interionischer Kräfte von elektrischer Natur 
erklären wollen. Die Übereinstimmung mit der Erfahrung scheint darauf zu deuten, dass es 
berechtigt ist, die Veränderung des Dissoziationsgrades mit der Konzentration auf solche Kräfte 
zurückzuführen. 

Zusammenfassend kónnen wir sagen: Bei den von uns untersuchten Mischungen ändert 
sich E mit x (und x') und zwar so, als ob zwei Effekte dabei vorhanden wären. Bei Mischungen 
von KCl und Na CI sind die individuellen Eigenschaften der Ionen von demselben Typus wirksam. 
Die dadurch bedingte Änderung ist in z (und x’) annähernd linear. Bei Mischungen von KCl und 
Ba(NO,), oder Cu SO, treten hauptsächlich die Typus-Eigenschaften der Salze in ihrer Wirkung 
zu Tage. Die dadurch bedingte Änderung ist nicht mehr linear, sondern die 2 -Kurve hat (als Funk- 
tion von x’ aufgezeichnet) eine nach oben konvexe Krümmung. 11 

5:0) Es fragt sich noch, inwieweit die von uns gewonnenen Resultate mit einer elementaren 
arithmetischen Mischungsregel übereinstimmen. Für den Grenzwert bei lim / = 0 ist die Über- 
einstimmung vom 4,-Wert der Mischung mit dem arithmetischen Mittelwert sehr gut, wie bei 
den Berechnungen der Beobachtungen auseinandergesetzt wurde. Für lim / — 0 wären also 
alle Lósungen isohydrisch, was auch mit dem Gesetz der unabhängigen Wanderung der Ionen 
übereinstimmt. Die Ermittelung des 4-Wertes für ein Gemisch könnte also zu einer — aller- 
dings sehr mühsamen — quantitativen Analyse für ein Gemisch aus bekannten Bestandteilen 
dienen. Aber wie verhält es sich, wenn: nun die Konzentration wächst? In erster Linie wird der 
Gang der 4-Kurve dann durch die Grösse A beschrieben. Bekanntlich folgen z. B. die Chloride, 
Bromide und Jodide ein und desselben Metalls oder die Salze naheverwandter Metalle mit derselben 
Säure sogar bei ziemlich grosser Konzentration der einfachen arithmetischen Mischungsregel. ! 
Darauf beruht bekanntlich eine quantitative Analyse solcher Salze.” Was zeigen nun unsere Beob- 
achtungen über KC] und Na Cl? Gesetzt wir haben zwei Salze, deren Grenzgesetze in 44 — V I. 
Ebene gegeben sind durch die Gleichungen 


A! = i — 4'] p» 
bz caer de A] Tr 


= 


Wenn wir ein Gemisch von diesen beiden Elektrolyten haben, definiert durch x und x’, wobei 
æ und x’ dieselbe Bedeutung haben wie früher, muss man, falls die arithmetische Mischungsregel 
richtig ist, für das Gemisch 
A = 3% Aÿ 3-2 4," — (x A4’ +3 A") VT 
haben; also für das Gemisch 
AZ en BRA 
Wenn wir dies mit unseren früheren Resultaten vergleichen, haben wir 


! KOHLRAUSCH u. HOLBORN: Das Leitvermögen der Elektrolyte, 1916. S. 134. 
? ERDMANN: Chem. Ber. 1897. S. 1175. 


Tom. L. 


Über das Leitvermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. 79 


| | 9 No at A" 
| 
OEL! | soy E BIS 
| NaCi ^ i | 83.14 83.28 
KCU 1 
= 7 95 s 8: 
NOD 4 (9.25 78.83 


Die Ubereinstimmuns ist also sehr befriedigend. 

Wie lassen sich nun die beiden Tatsachen, dass die elementare Mischungsregel sehr gut stimmt, 
und dass die , Kurve für Gemische von KCl und Na Cl in grosser Annäherung eine Gerade 
ist, in Zusammenhang mit einander bringen? Für ein Gemisch von KCl und NaCl haben wir dann 

E A'a-A"at c 
3 A D AE + Ar 
Setzt man hier 


dT 

und beachtet, dass für Na Cl und KCI die Werte von A und A, nicht weit verschieden von ein- 
ander sind, kann man mit ziemlich grosser Annäherung diesen Wert durch 

A 2 ZU | 
Iu = RZ 1 ee a: f , 
ersetzen. Aus der Tatsache, dass die einfache Mischungsregel für Gemische von Na Cl und K C1 
eilt, folet dann, dass die a Kurve für das Gemisch mit grosser Annäherung eine Gerade ist. Der 


4^9 


45 4 


/ 


acd 
oben angegebene Wert für : i: 
sollte man eigentlich haben 


gilt streng genommen nur für kleine Werte von x. Für z=1 


Unsere Annäherung gibt aber hier einen Fehler von etwa 19/,. Das Resultat, dass die ^ — -Kurve für 
Gemische von NaCl und KCl annähernd eine Gerade ist, kann dadurch nicht cR werden. 

In diesem Zusammenhang geben wir auch die Resultate bei Mischungen von KCl und Ba(NO,),, 
ebenso wie bei KCl und Cu SO, an 


B. TEES E24 
| Boy | 12687 | 12914 
BANG, -lo| 17895 I | 178.50 
| 1 259.45 25496 | 
| 3 | 566.59 | 538.60 | 
Es treten also Abweichungen hervor, die bei DES E sogar nicht unwesentlich sind. Be- 


stimmtes aber lässt sich darüber nicht sagen. 

5:0) Als charakteristische Variabel tritt bei dem Leitfähigkeitsproblem nicht die Konzentration 
selber sondern eher die Ionenstärke I und zwar mit der Potenz !/, auf. Schon Lewis und Rın- 
DALL! haben als massgebend für das Verhalten einer Blektrolytlösung ihre Tonenstärke eingeführt. 

Gewöhnlich wird wie bekannt als Interpolationsformel 


! ] c. Man vergleiche auch: OTTO SCHÄRER: Theorie der Lóslichkeitsbeeinflussung bei starken Elektro- 
lyten. Leipzig 1924. 


N:o 10. 


80 J. E. RENHOLM. 


Mt, D: 


benutzt. Unsere Gleichung (52) aber fordert ein Gesetz mit der Potenz !/, Schon KoHLRAUSCH 
fand, dass sich das Äquivalentleitvermögen von starken Salzen merklich vollkommen durch den 
Ausdruck | 
A=A—AVE 

darstellen lässt. Diese Formel gilt nach Kournauscu zwischen Konzentrationen von einem Zehn- 
tausendstel bis zu einigen Tausendstel normal herab. In dem Kurvendiagramm N:o 2 haben wir die 
Ay — A-Kurven für BG mit I, H, I? als Abszissen dargestellt. Man sieht, dass die 
Kurve, wenn VI als Abszisse gewählt wird und nur dann eine Gerade ist. Wir haben früher 
cesehen,«dass wir für kleine Konzentrationen setzen können 


A=A,— A VI BI. 


Die Grösse 4 = B I misst die Abweichung von einer Geraden. Aus unseren Beobachtungen und 
Rechnungen bekommen wir folgende Zusammenstellung: 


RCE ROT eg KG iB 
NaCl 11 NaCl 4 Ba(NOj, 1 
pen Wr I pee e af | | ap. 398 RE 
er nei mi RTS UT FÖ Te SAT 
| 1.026 0.01 1.006 | 0.01 | | 1.982 | 0.00 
2.032012. 0.0155 | 2.032 0.02 | | 2.488 0.00 
is 0174140102, = | 3.017 0.03 | | 8.620 0.00 
| | 
7.964 | 0.04 7.964 0.07 | | 9.557 0.00 
12 Spa 0-06 12.813 CE nl | 15.376 0.00 
17.568 | 0.09 | 17.568 0.15: | | 21.082 |. 0.00 
EE ne N KCl 3 KCI |] 
Ba (NOJ: 1 Cus0, I Cu 50, 2 
Aro RA ES IMP "710% P AN 
1.232 | —0.01 | | 1.437 | 0.03 | | 1.847 | 0.04 | 
23g MSS 2.845 | 0.05 | | 3.667 0.08 | 
3.620 | —0.02 | 4.224 | 0.08 | | 5.481 Oak. 
9.556 | —0.04 | AE darı, 14.885 | 0.29 | 
Ou) 17.939 | 0.33 | 23.064 0.47 | 
7.21.0803 = 0:090 | 94.595 | 0.45 | | 31.622 0.65 | 


Daraus geht hervor, dass die Beobachtungen für Gemische von KCi—NaCl! und 
KCl — Ba (NO,), in 4 — yI-Ebene ziemlich genau bis zu Konzentrationen von etwa 1-10 -? 
durch eine Gerade darstellbar werden können. Bei Gemischen von KCI—Cu SO, macht sich eine 
für die 2—2-wertigen Salze charakteristische Krümmung schon früher geltend. 


! F. KoHLRAUSCH: Berl Akad. Ber. 1899, S. 665; 1900, S. 1002. Zeitschr. f. Elektrochem. 13, 1907, S. 333. 
Tom. L. 


Über das Leilrermügen der Mischungen von starken Elektrolyten. S] 


SZ, 
4. 2 93 XS DaB DEREN EAT Te: 


Das Kurvendiagramm N:o 1 ist in für derartige graphische Darstellungen üblicher Weise 
aufgezeichnet. Handelt es sich z. B. darum, den Verlauf von 3 för die Mischungen K Cl und 
0 


Ba (NO,), vom Typus z- KCl + x'- Ba (NO,), darzustellen, so ist zu beachten, dass = für rei- 


Jo 

nes K Cl einem Punkt auf der vertikalen Linie links, für reines Ba (NO,), einem Punkt auf 
K Cl T . A . E 

- — = SpDric eme x d = or 

BaUNUM 7 entspricht 4, einem Punkt auf eineı 

vertikalen Linie, welche den Abstand zwischen den beiden erstgenannten Linien im Verhältnis 


2 teilt. 
j 


der vertikalen Linie rechts entspricht; für 


Ka 
Ba (NO,): 
wobei für AZ der von mir gefundene Wert 155.92 benutzt wurde. Als Abszissen wurden, wie 

3 
bereits früher erwähnt, Z, 1 und VI gewählt. Der extrapolierte Teil der Kurve ist punktiert 
3 
gezeichnet. Die unterste, mit VI als Abszisse aufgezeichnete Kurve, weicht sogar innerhalb 


des bei der Untersuehung angewendeten Intervalls recht beträchtlich von einer geraden Linie ab. 
Die am stärksten gekrümmte Kurve wurde mit I als Abszisse gezeichnet. 


Das Kurvendiagramm N:o 2 veranschaulicht den Verlauf der Kurve A,— A bei 


B 
B? 


Berichtigungen. 
Seite 7, Zeile 3 von oben lies: 4 statt c. 
Eo a IQ TR t Cr À. 


EDS a l von unten lies: Systeme statt systeme. 
nn 5 1 von oben lies: z' »,' ^ statt x v,' P und z' v,' P statt c v,' T. $ 
» 398 Gleichung (56) lies L," und L," statt L," und L,". 


wise hen Konami À: 
lum Kunyendiakrs 


pi 
, | | EA 

LN Kurve, wenn 17 ats AR 

| , yosehen, dans wir für Kiel 


sw : 

+ LA 

Din Qrtuso 9 = LL missat die at: vint pl oí! 
Via 

Heehüanihn bébomsen wir- olmrilh Ziafubtime me 
3 = E 4 


radon Aux upperan Aria htéteen 


Y dl Vi 
9219 orfoikkih stogırllohzrect mforichyartg onto "rt ad dab D ouf ant 
bin BI SAN qu gov Wil. pofi mune 8 4t aloe = 
Hort 4n bn aed dorf, ars si. ow close GU) nt one EX 

^o dua Heu amar OA amio al efr iod ilio v 1h us 
co. omis dug. tit. nodi t 5 adoiquito. iac Si n qa. tila loi, 

winilbdhrs V. nt Mini a übisd- lx h 


Akte. «itid dis Dania Ts mi. 
Hh ^ aal. MB LUNA Vu 


" d iod br vui 19h nhe sh tinae L'on imagi tt aT 


ster Jmm 


" e Ist kung uos irl i 
4 us a Va EX + | y 
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" e f i j £ H 

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AM .d eiim. T mofrtét nouo - or boit nt terii noh taion 
T) ELM DUTY ME 9 ir 
Ur: |. 550 0.04. à pas T ex | 

td N ywate 008) | (t anm de 


|^ 9109)  (- (0:09 24 £j 


5 Faux, ehh. Horror s iip 


pine Brad diustelihas vor du M dede ran maf 
i ordei isch iin irc Pr 


Keane Cw kia. DUE jw! id^ 1, BEA 


ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 11 


ÜBER 


FACHWERKTRAGER 


MIT 


VERANDERLICHEM KRAFTANGRIFF 


VON 


HARALD LUNELUND 


(Vorgelegt von Hj. Tallquist und Osc. V. Johansson am 23. März 1995). 


HELSINGFORS 1925 


"T RUE DONAPIERR 


1 
-— 


AOMNIT MURAITUIIDE eiTAT31908 ATO A 


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H3 DAHT2 7H AWHOA 


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GKÉCLASEÁET EE GLASTAH : 


IIS LE nus mon Met, Er ol et A no 2,11 


HELSINGFORS 19% T 
DRUCKEREL DE n URP Uem edi A Ca 


Im folgenden werden die Spannungen in einem Fachwerkträger unter der Einwirkung. ver- 
schiedener Kräfte untersucht. Dabei wird angenommen, dass ausser dem Eigengewicht und der 
Schneelast noch eine Kraft bzw. zwei Kräfte mit veränderlichen Angriffsrichtungen an geeigneten 
Knotenpunkten angreifen. Derartige Kräfte können z. B. dadurch entstehen, dass man in den 
betreffenden Punkten Rollen befestigt und mit deren Hilfe Lasten hebt. 

Es werden hier nur »statisch bestimmte Fachwerke» behandelt, d. h. solche, bei denen sich 
die Auflagerdrücke mit Hilfe der Gesetze der elementaren Statik berechnen lassen. Ein solches 
Fachwerk lässt sich u. a. ohne Zuhilfenahme überzähliger Stäbe in Dreiecke auflösen. 

Die Einzelstäbe werden hier überall als starr angenommen, d.h. ihre Formveränderung, 
ihr elastisches Verhalten nicht berücksichtiet. 

Wir machen die Annahme, dass die Schwerlinien der in 
einem Knotenpunkte zusammentreffenden Stangen sich in 
einem Punkte schneiden. Die Stangen seien in dem betreffen- 
den Punkte dureh reibungslose Gelenke verbunden. Nur die 
Knotenpunkte seien Belastungspunkte, d.h. äussere Kräfte 


werden nur in den Knotenpunkten angreifend gedacht. 

Problemstellung. Wir betrachten den in Fig. 1 dargestellten Dachstuhl mit unver- 
strebtem Hauptsparren, welcher in den Punkten À und B befestigt ist. (Die Art der Befestigung 
wird S. 4 näher angegeben.) Es gilt die in den Stäben AC, BC, AD, BD und CD unter verschie- 
denen Bedingungen auftretenden Spannungen zu berechnen. 

Die Beanspruchung jedes Stabes rührt teils aus dem Eigengewicht, teils aus der zufälligen 
Belastung her. Zur zufälligen Belastung gehört u. a. das Gewicht einer auf der Dachfläche ruhen- 
den Schneelast. Weil dieselbe sich über den ganzen Träger wie das Eigenwicht verteilt, können 
wir jedoch mit der Summe der beiden Gewichte rechnen. Wenn P, die aus dem Eigengewicht 
herrührende, P, die durch die grösste Schneelast allein bewirkte Belastung bedeutet, so ist die 
ganze, vertikal nach unten wirkende Beanspruchung P = P,- P,. Dabei denken wir uns das 
ganze Bigengewicht an den Knotenpunkten des oberen Gurtes angreifend. 

Wir werden nun folgende Fälle behandeln: 


1) Ausser der Belastung P wirke in D eine Kraft Q, die zuerst lotrecht nach unten gerichtet 
sein möge. 

2) Die Kraft Q möge sich um den Punkt D drehen und teils allein, teils eleichzeitige mit P 
wirken. 


4 HARALD LUNELUND. 


3) Im Punkt C greife eine um € drehbare Kraft (Q^ an. Es gilt die Stabspannungen bei all- 
einiger Wirkung von ( sowie bei gleichzeitiger Wirkung sämtlicher oben angeführten 


Kräfte zu bestimmen. 


1) Von der Belastung P entfällt auf jeden der Sparren AC und BC die Hälfte. An den Knoten- 


: " ; 1 SCR : il 
punkten 4 und B wirken somit nach abwärts die Lasten , P, nach aufwärts die Reaktionen , P. 


2 : - SORT "Pot 4 1-5 E il. 
Der nach aufwärts gerichtete Überschuss beträgt , P. In C wirkt nach abwärts | P as 
Dagegen gibt die am Knotenpunkt D angreifende Kraft Q in 4 und P nur die nach oben 


gerichteten Reaktionen 20: An den Knotenpunkten À und B ergeben sich somit nach aufwärts 
die resultierenden Kräfte ıP an ;Q = ; (P +20). 

Wir wollen die in den Stangen AC (bzw. BC), 4 D (bzw. BD) und C D wirkenden Spann- 
kräfte mit O bzw. mit U und V bezeichnen. Um dieselben zu berechnen, kann man sich z. B. 
der Rilterschen Schnitlimetlhode bedienen. Führt man durch den Träger einen Schnitt, so soll der 
abgeschnittene Trägerteil im Gleichgewicht sein, wenn man an ihm die entsprechenden Stab- 
kräfte anbringt. Man sucht, um statisch bestimmbare Verhältnisse zu erhalten, den Schnitt so 
zu führen, dass er hóchstens drei Stäbe trifft. Um die Spannung in einem der Stäbe zu bestimmen, 
wählt man den Schnittpunkt der beiden anderen zum Momentenpunkt und erreicht dadurch, 
dass die Kräfte der beiden letzteren je ein Moment gleich Null geben. Die gesuchte Kraft tritt 
dann als einzige Unbekannte in der Momentengleichung auf. 

Bestimmung von O und U. Wir legen den Schnitt mm (Fig. 2) und berechnen die Momente 
in bezug auf C und D als Drehpunkte. Es ergibt sich für den Punkt D 


1 1 
Op, 4(P 4 29): 51— 0, 
woraus 
E (22 Q)I 
IU DT) 
"AS hl 4 h 
Weil p,-— h:cos«— ,.-, so erhalten wir 
(P+2@)s, 
(1) 0=—- I. 


O erleidet Druckspannung. Dieselbe ist direkt proportional P-4-2( und der Länge s, des 
Obergurtes, aber umgekehrt proportional zu h. 
Für AD ist C Drehpunkt, folglich lautet die Momentengleichung jetzt 


l 1 
= U pa (P209), L— 0, 
so dass 
DJ 
Ties (Pe2q 
8p, 


; hl : 
Da p.=h- cos B - _ EESOEISU 
; (P2 Q)s, 
9 [NE Ve Pa RTE Re 
(2) U 4h 
U wird demnach auf Zug beansprucht. Die Spannung ist proportional zu P +20 und s, 
und umgekehrt proportional zu A. 


Tom. L. 


Über Fachwerkträger mit veränderlichem Kraftangriff. 5 


Bestimmung von V. Wir führen den Schnitt m, m, so wie Fig. 3 zeigt. Die Momentengleichung 
in bezug auf Punkt A lautet 
efi 
(Q— VS Usb Umum 0, (d.h. 


2IU p: 
à : = . - : . : h'l 
woraus durch Einsetzen des Wertes von U sowie unter Berücksichtigung dass p, = /sin = 


|i 
e 


ees 


L r PU +2Q(h+h) 
(3) Pr 2h ; 


Wir kontrollieren die Richtigkeit der Spannungen durch Aufstellung der Gleichgewichts- 
bedingungen im Punkt C. Es soll sein (Fig. 4) 


= I : oh + LAS 
V+,P=92(—0)smæe=2(—0) —- ARN 
u Cr fi ww 
Nun ist | 2" Ji 
R 1 Hh -20(-V 1 ’+2Q)(h +4 
por pl Ih de epe d + U) | ois: 
2 2 2 2 es 
Setzt man den oben für O (1) gefundenen Wert ein, so ergibt sich it © 
" j > 2( 4 ' N 
2 (— 0) h = cm e h : 


o 
d.h. derselbe Ausdruck wie oben für V + PD 

Wie veründern sich die Spannungen, wenn die Stange ADB horizontal bzw. nach unten ge- 
brochen ist? 

Im ersten Fall ist h'— 0, im zweiten Fall negativ. Es ergibt sich 


für W=0 FO 
D SON y-Q-(P«29)^- 
d.h. hÀ'——1h C 
V bleibt somit-eine Zugkraft, so lange A" -— 49^ |, wird Null für À"— 2 oh und 


ITI 
seht für grössere Werte von h’ in eine Druckkraft über. 
2) Wir wollen jetzt das Problem so erweitern, dass wir annehmen, die Richtung der Kraft 


BUDE) 


() sei veränderlich. 

Es bilde die Richtung von ( mit der nach unten gerichteten Lotlinie den Winkel g - y wird 
bei Drehung gegen den Uhrzeiger positiv gerechnet. Die vertikale Komponente ist dann () - cos y, 
die horizontale )- sin y. Während vorher die Auflager nur lotrechten Druck auszuhalten hatten, 
tritt nun eine seitliche Beanspruchung hinzu. Für den Träger kommt demnach jetzt die Art 
der Unterstützung in Betracht. Bekanntlich ist ein an beiden Enden unterstützter Träger sta- 
tisch bestimmt aufgelagert, wenn er an einem Ende ein festes, als Walzen-(Kipp-)lager ausgebil- 
N:o 11. 


6 HARALD L'UNELUN D. 


detes Auflager erhält, am anderen Ende dagegen ein bewegliches Rollenlager. Das erste Lager 
vermag ausser der Ausübung eines lotrechten Druckes einer seitlichen Verschiebung des Trägers 
einen wagerecht wirkenden Widerstand entgegenzusetzen, das andere nur einen vertikalen Druck 
auszuüben (wenn man von der Reibung absieht, welche in Wirklichkeit nicht unbedeutend sein 
kann). 

Im folgenden wollen wir bei À (Fig. 1) ein Rollenlager, bei B ein Walzenlager annehmen. 
Das erstere sei jedoch zugleich so beschaffen, dass das Fachwerk nicht von A vertikal gehoben 
werden kann. 

Die Wirkung einer zufälligen Belastung, z. B. eines Winddruckes kann bekanntlich mit Hilfe 
eines Cremonaplans bestimmt werden, jedoch erhält man je nachdem der Wind von rechts oder 
links kommt verschiedene Auflagerdrücke. Wir werden hier den Winddruck erst später (S. 16) 

und nur im Vorbeigehen berücksichtigen und statt dessen 
erst die Wirkung der beweglichen Kraft untersuchen. 
Der Einfluss der vertikalen Komponente 6 - cos q 
ergibt sich leicht. Man hat nur in den Formeln (1), (2) 
B und (3) Q durch Q-cosy zu ersetzen. Etwas umständ- 
licher ist dagegen die Berechnung der durch die horizon- 


tale Komponente Q -sin g veranlassten Spannungen. Wir 
nennen ()-siny vorläufige kurz À und untersuchen zuerst den Einfluss dieser Komponente. 

a) Es wirkt nun in D (Fig. 5) nach rechts die Kraft À. Eine Reaktionskraft von derselben 
Grösse wirkt in B nach links. Dazu kommt aber noch ein Kräftepaar vertikaler Reaktionen von 


T Ih ^ OE j. : x ed : : NES or ; L 
der Grósse T . die in À abwärts, in B aufwärts wirken. Das Fachwerk darf nämlich in 4 nicht 
von der Unterlage gehoben werden, und wir nehmen wie gesagt darum an dass dies durch die Be- 
festigungsart verhindert ist. Die Beweglichkeit in horizontaler Richtung wird dadurch nicht 
beeinträchtiet. 

RW 
1 
in B. Die Richtung der letzteren erhält man indem man (Fig. 5) R in D bis zum Schnittpunkt 
E mit der durch .4 gehenden Vertikalen verlängert. BE gibt die Rich- 

tung der Reaktionskraft in B an. 


Die Reaktionen bestehen also im ganzen aus einer vertikalen in 4 ( ) und einer schiefen 


Wenn h’= 0, sind die vertikalen Reaktionen = 0. 
Um die Spannungen © u.s. w. zu bestimmen, könnte man wie vor- 
her Schnitte legen oder die Summen der horizontalen bzw. der vertikalen 


Komponenten in 4 und B gleich Null setzen. Einfacher bestimmt man 
jedoch die Stabspannungen durch direkte Zerlegung. Wir bezeichnen die Spannung in AC mit 
0; m BC mit 0°, m AD mit U, in BD mit U’ und in CD mit V. Dann ist (Hig. 6) 


0: i. En und WR: Br rate 
woraus ? 
0 Rh's, Tan U Rh's, 
(4) mI zo oi Alıla 


Dass O = O' ist, geht unmittelbar aus der Symmetrie (oder aus den Projektionsgleichungen) 
hervor. O und 0’ sind Zugspannungen, U Druckspannung. 


Tom. L. 


Über Fachwerkträger mit veränderlichem Kraftangriff. 7 


Wir bestimmen jetzt V aus Fig 7. Es ist. 


Rh's, hh Rh'(h-4-h)- 
BE d ? 
hl r = hl 


0 


> 2Rh'(h+h") 
(5) "e mus T 


CD erleidet Druekspannune. 


-V=20-sine=2 


^ 


Die unbekannte U’ kann mit Hilfe der Projektionsgleichungen im Punkt D bestimmt wer- 
den (Fig. 8). U’ ist Druckspannung. Die Projektionsgleichung für die vertikalen Kräfte lautet 


(U + U^)sin ÿ V. 
Daraus ergibt sich 


U U’ 2 Rh (Rh +) 2 Rh 8, 
I U RA Eros x. ; 
hl-sin 8 hl 
Weil 

U Rh's, 

ki Dart 
so ist 

» RI (2h h')s, 

(6) I ia i 


hl 


(WU Rh 


mr 


B 


Fig. 9. 


Wir wollen die Resultate mittels einer Projektionsgleichung in B (Fig. 9) z. B. in horizonta- 
ler Richtung kontrollieren. 


Es soll sein 
R + 0X. c0sa@-t UF -eos B— 0. 
Nun ist 
Toy M Rh 


hl ers ARN 
b R@h+h)s,. I R(2h +1) 
408 pes © d 


O'- cos « = 


QURE Dose eV pU" 

Die Summe der beiden letzten Terme ist somit eleich — R wie es die Gleichgewichtsbedingung 
verlangt. 

Graphisch bestimmt man die Stabspannungen durch Zeichnen des in Fig. 10 dargestellten 
Kräfteplanes. In dem der Zeichnung zu Grunde gelegten speziellen Falle verhält sich I: h: h’ 


D.:2152°70,6 


Wir gehen z.B. vom Punkt A aus, ziehen A, B, lotrecht und gleich und von B, eine 


vn 
l 
Parallele zu DA. Diese schneidet die von A, parallel zu CA gezogene Linie im Punkt C, : 4, C, 
und DB, C, stellen durch ihre Längen die Spannungen O und U dar. 

Wir ziehen weiter durch A, eine Parallele zu BC. Diese schneidet die durch C; gehende Lot- 
linie im Punkte D,-C, D, gibt dann die Spannung V, 4, D, wieder O'. 

Endlich ziehen wir durch B, eine Parallele zu B D. Diese schneidet die durch D, gehende 
Horizontale im Punkte E,- B, E, stellt die Grösse der Spannung U’ dar. 


N:o 11. 


8 HARALD LUNELUND. 


Wenn W=/5m;Mh= 1,2 m, 
h'—0,6m und R= 1000 kg, 
so erhált man Ez 120 kg, 
() — 308!kg7 = UE 
—1286 kg, V = 360 kg. Die 
Spannung U’ ist demnach 
bei weitem die grösste. 

b);Wir berücksichtigen jetzt 

Rn'auch die vertikale Kompo- 
mente ()-cosy, setzen aber 
vorläufig P=0. In den For- 
meln (1), (2) und (3) schrei- 
ben wir statt Q den Wert 

()-cosq. Dann ergeben sich durch die vertikale Komponente allein folgende Spannungen: 


Fig. 10. 


Q:cos p:8, Q-cosp:s, 


(9- cos q -(h +h') 
me WOES. sn 


9h. h 


Die resultierenden, durch () bedingten Spannungen sind also in diesem Falle, wenn zugleich 
für R sein Wert (9 - sing substituiert wird 


; Qs, Ps 
020'2— xr (l-cos g—2h-sin y), 


( 
D e (l- cos q — 2 h/ - sin q), 
(1) Qs 
Ut Sn iU + COS q — 2 (2 h + h°) sin gl, 
y — 807 (1. cos e — 21 -sinq). 


Wir untersuchen jetzt wann die unter Einwirkung von () entstehenden Stabspannungen gleich 
Null werden, bzw. ihr Maximum und Minimum erreichen (im algebraischen Sinne genommen ). 
Es sei zuerst wie vorher h’ >0, d.h. ADB nach oben gebrochen. Dann ist 


(90) VE VEN yen Rå d.h. tgq-ctg8 und entweder q- q,- 90? — B, 


2h" 
d.h. Q hat die Richtung DB oder g = qs = 270° — B, d.h. Q hat die entgegengesetzte Richtung. 
Alle Stäbe sind dann spannungslos ausser DB, wo U'— —(Q bzw. =Q. 
U' wird Null, wenn 
l 
t8 9 —» (Öh +) 
woraus 
à l 
SU = Hr ————— — 
—VE+402h +): 
2 (2h--h')3 
COS PL ————— = 
PTT ^E 4(2h4- Ar) 


Der eine Drehungswinkel y, liegt im ersten, der andere 


2 im dritten Quadranten. Es ist um « zu konstruieren 
nur nötig DC in Fig. 11 über den Punkt C um das Stück h zu verlängern und den End- 
punkt F mit 4 oder B zu verbinden. Dann ist — 4 PFD- q. 


Tom. L. 


Über F'achwerktrüger mit veränderlichem Kraftangriff. 9 


2 (2h4- h') 
l 
Bei Verwendung von g und y können wir nunmehr die Spannungen (7) dureh folgende Ausdrücke 


Wir führen einen Winkel y ein, sodass tg y — , woraus q,- 909 — y, Po = 2709 — y. 


wiedergeben: | 
yt +44? 


Lj 
0=-0'=-0 2,7 — cos (8+ 9), 


T Su ye x 4n? 
U=Q hl — COS (B + q»), 


(h+h)yE+AR? 
= () . — COS (8 us œ), 


(8) 


+4(2h +M)® 


, Su Lä 
DE zz) V Sn — COS (y + p). 


Die Veränderungen der Spannungen mit ç gehen aus den Formeln (8) unmittelbar hervor. 
Die Extremwerte bei O, O', U und V ergeben sich aus q = 360? —8 bzw. q = 180° — B, bei U’ 
aus q— 3609 —y bzw. = 180? —y, welche Richtungen zu den die Nullspannungen sebenden 
Richtungen senkrecht sind. 

Wir haben also folgende Zusammenstellung: 


s, y P - 4n? s, yP o AR? 


O bzw. 0': ga = 180? — 8, Max. = Q- SEDI PA 360? —8, Min. — —Q- — sh 

U: q$4— 180? —8, Min. = —Q- SUME ON Pa = 360? — 8, Max. = Qu UM 

EE SE ena IgE IKE RANG, 5600, Max. Siga mee 
m M Mg eye PEG 2605 Max = Q- m EUM 


Wenn Q sich von ç —0 bis ç = 360° (entgegengesetzt dem Uhrzeiger) dreht, so verändern 
die Spannungen ihren Charakter von Zug- bzw. Druckspannung. So ist z. B. nach einer Drehung 
von q um 180° À entgegengesetzt gerichtet als in Fig. 10. Um Zahlenwerte zu erhalten, neh- 
men wir jetzt bestimmte Dimensionen des Fachwerkträgers an. Es sei «vgl. S. 7) |1— 5.0 m, 

matt à : ; : F : PEN SEN 
h=1,2m, h’=0.6m. ( möge einfachheitshalber gleich 1000 kg sein. Dann ist s, = V 2 d: (h + h’)? 


ARTEN E Me n pete : 
= 3.081 M, s,— V za h’®=2.571m. Die den 0- und den Maximi- bzw. Minimiwerten von O, 


0", U und V entsprechenden Winkel g sind dann 
Ga = 16? 30' 15", pe — 256? 30' 15", q, = 166? 30' 15", pa = 346° 30' 15", 


wobei jedoch O und O' in bezug auf das Vorzeichen von den anderen Spannungen abweichen. 
Dabei ist 
«— 35? 45' 18", 8— 13? 29'45" und y=50°11’40”. 

U’ wird also Null für q/ — 392 48'20" und q4- 219? 4820”, Minimum für qj-— 129° 4820" 
und Maximum für | = 309? 48' 20". 

Die gróssten Spannungen erreichen bei den oben angenommenen Fachwerkdimensionen fol- 
sende Werte: 

Omax. DZW. O'max. = 1320 kg, Umax. = 1102 kg, V max. = 1543kg und U'max.= 1673 kg, 


welehe sich wie die Zahlen 1:0.8345:1.169:1.267 verhalten. 


N:o ll. 2 


10 HARALD LUNELUND. 


Die Spannungen können graphisch als 
Sehnen in denjenigen Kreisen dargestellt wer- 
den, welche mit den jeweiligen Maximiwerten 
als Durchmesser gezeichnet werden und die 
© Nullrichtungen berühren. Entsprechend dem 
verschiedenen Zeichen bei Zug- und Druck- 
spannung erhält man Doppelkreise, in denen 
die positiven (Zug-)Spannungen voll ausgezo- 
sen, die negativen punktiert sind. Beim pas- 
sieren der Nulllinie tritt Zeichenwechsel ein. 

In Fig. 12 sind in der angegebenen Weise 
die Veränderungen der Spannungen von O 
bzw. O', U, U' und V, durch »Spannungsrosen» 
dargestellt. Man sieht, dass für U’ die 0 — bzw. 
Extremwerte bei verschiedenen Drehungswin- 
keln als bei den anderen Spannungen auf- 
treten. 
1000kg Wir gehen jetzt zu dem Fall über, dass 

"=0, d.h. die Punkte A, D und B in einer 
Geraden liegen. 
h’=0. Die Gleichungen (8) gehen nun, weil in diesem Falle auch 8— 0, in folgende über 


Fig. 12. 


= 8, COS $8, COS 
ae u pa uU. y 
(9) ; Miet 
, , Qs,yP «16h: Qs, (1: cos p — 4h-sin q) 
FETT orage ar CP) TOLIMA WERT 
0, O', U und V sind Null wenn cosy —0, d.h. 9=90°, bzw. 270°. 
U’ ist gleich Null wenn tg = = wobei q entweder im ersten oder im dritten Quadranten 
liegt. 


Die Extremwerte ergeben sich aus den Gleichungen 
cos q — 1, d.h. g—0°, 180° (die Spannungen O, O', U und V), 


tgq-— ——-. Es liegt g jetzt im zweiten oder im vierten Quadranten. 


Die grössten Spannungen sind 


Q 8, 


Qs, ) Qs, VU 4-16 1? 
mc e Of = 2h , DE zs Sh ? Has = (, TUI es > Fr 


Fehl 
s, und s, haben jetzt andere Werte als vorher. Es ist für | — 5.0 m, h=1.2m, s,— 2.773 m 
und s,— 29.5m. Die grössten Spannungen O, bzw. O', U, V und U’ erreichen jetzt die Maximi- 
werte 1155 kg, bzw. 1042, 1000 und 1444 ke. Der grósste absolute Wert von U' ergibt sich natür- 
lich wenn die Kraft Q die Richtung DB oder die entgegengesetzte Richtung DA (Fig. 1) hat. 
Die Spannungsrosen für den Fall h’=0 sind in Fig. 13 dargestellt. 


Tom. L. 


Über l'achwerktrüger mit veränderlichem Kraflangriff. 11 


Um den Fall A'«0 zu untersuchen, hat 
man in (7) hÀ'— —h, zu setzen, wobei h, >0 
ist, oder in (8 8=—f,. Weil die Verände- 
rungen in den Spannungen beim Passieren des 
Wertes h’=0 nicht wesentlich sind, bietet dieser 
Fall kaum was neues, Die Discussion desselben 
kann deshalb hier unterlassen werden. 

Um die Abhängigkeit der Spannungen von 


h’ zu untersuchen, kann man auch in den For- 
meln (7) die Differentialquotienten in bezug 
auf h’ bilden. Es ist 

dO  dO' Qs,-snp dU  dU' (9s, sin q 
UE C GR FRA RE GR RUT 
d.h. die Zu- bzw. Abnahme der Spannungen O 
O'. U und U’ mit h’ ist bei unverändertem h 


proportional zu sing. Die Abhängigkeit ist bei 
V etwas komplizierter, indem 
dV Q 


ay nl Cosp—2(h+2 h/)sin q ]. 


Jetzt wollen wir auch die Belastung P (vgl. S. 3) berücksichtigen. Die Gleichungen (7) geben 
dann 


po E ERN Laser soy Te en Pe Lu) sit d). 
ah = Sn Te Le (Pl 2 Q 1-08 g — 400 sin q), 
0 
D 015608:—4 QUU Rl], 
V n) QE M OEM LE EPU +2 Q(h+h)(- cos o — 2 h' - sin gl. 


Benutzen wir statt dessen die Gleichungen (8), so erhalten wir 


, Ps, Qs,Vl+ARh" 
ee an SS (É + 9), 
Ps Qs, V? -- AN? 
ee L 
D s Si cos (B + p), 


(11) ces 
PR! y P - Ah 
y S. sl U UMEN ee 
, Ps, QsVP+4G@R+R) 
Use 5py ^ Co8(y + 4). 


Die Gleichungen 


4hlO 


8 


— — Pl 4- (—21c0s 9 +4h' -sing)Q— —Pl—2QV +4? cos (B - 9) 

zeigen unmittelbar, dass die Maxima- und Minima- jetzt bei genau denselben Drehungswinkeln 

wie früher erhalten werden, nur die Grösse der Spannungen wird durch das Glied — Pl geändert. 
Es fragt sich, welchen Einfluss die relative Grósse von P und Q auf die Spannungen hat. 

N:o 11. 


12 HARALD LUNELUN D. 


Um die Frage zu beantworten, setzen wir einfachheitshalber zuerst =0 (bzw. 180°) und be- 
2 p 


trachten das Verhältnis 24 als variabel. Dann ist 
SRE u ao 
8, 
worin () sowohl —0 als — 0 sein kann. O ist ein Maximum, wenn i — oo, ein Minimum, wenn 
= +oo st. O ist gleich 0 für P=—2%. Wenn man aber einen beliebigen Wert für g an- 
nimmt, so ist O—0, wenn 
(—21cos q + 4 / - sin q) (9 = Pl. 
Wir führen einen Hilfswinkel 9, ein, sodass 
5 2h l oh 
sing, = , COS gy = — valo diga 


Vera "T ESUT 


q, liegt im ersten Quadranten und es ist q,- 8. Dabei wird 


4h10 » ERBEN deca wma 
= PI-2QVE 4I? cos (B 4 q)  —P(E- 24V P ah’®-cos(d + ph}: 
DEP jr aces Pc ARUM ME cosg | 
2 y T AW? - cos (B4- q) 2 cos (B + q) 


Wenn cos(P+Y)>0, d.h. — $ —p«oc 5 — 8. so nimmt O algebraisch mit wachsendem 

q ab und wächst, wenn q abnimmt. Wenn dagegen cos(#+g)<0, d.h. 2— pic mm 
so kehrt sich die Sache um. 5 ; 

3) Eine vm Punkte C. wirkende Kraft Q'. Wir wollen das Problem noch so erweitern, dass 

wir annehmen, im Punkt C (Fig. 14) wirke eine Kraft Q', deren Richtung mit CD den veränder- 

C lichen Winkel y' bildet. w wird bei Drehung gegen den Uhr- 

zeiger positiv gerechnet. Wie vorher sei À ein so beschaffe- 

nes Rollenlager, dass das Fachwerk nicht von À vertikal 

sehoben werden kann, aber die Beweglichkeit in horizontaler 

Richtung ungestört ist. B ist ein festes, als Walzen (Kipp)- 


lager ausgebildetes Auflager. 


Fig. 14, 


Um die Wirkung der vertikalen Komponente ("cos w zu 
berücksichtigen, hat man in bezug auf O, O', U und U' in den Formeln (1), (2) und (3) nur Q 
durch Q' cos y zu ersetzen. In bezug auf V tritt dagegen eine Veränderung ein, da Q' cos v jetzt 
nicht im Punkt D sondern im Punkt C wirkt (vgl. S. 14). — Wir betrachten zuerst ausschliess- 
lich den Einfluss der horizontalen Komponente (sin v, die wir in Analogie zu S. 6 kurz mit 
R' bezeichnen wollen. 


In € wirkt (Fig. 16 folgende Seite) also jetzt nach rechts die Kraft 
R’ und in B nach links eine ebenso grosse Reaktionskraft. Ausserdem ROS 
müssen wir, um ein Kräftesystem im Gleichgewicht zu bekommen noch — Zl. J 
ein Kräftepaar vertikaler Reaktionen annehmen, die jetzt die Grösse Fig. 15. 


R'(h +R") 


1 haben. Die entsprechende Reaktion in B ist aufwärts, in À abwärts gerichtet. 
à d : ; d E = ee R' (h+h’) 
Die gesamten Reaktionen sind also in A eine vertikale Kraft von der Grösse 2 — > 


Tom. L. 


— o.) cm 


—— 2 


Über Fachwerkträger mit veränderlichem Kraflangriff. 13 


in B eine schiefe Kraft, deren Richtung man dureh Verlängern von R’ in € bis zum Schnittpunkt 
E mit der durch A gehenden Vertikalen ermittelt. Die Verbindungslinie BE zeigt dann die Rich- 
tung der schiefen Reaktionskraft in B an. 

Wir nehmen zuerst an, dass À 0, d.h. ADB nach oben gebrochen ist. 

Die Spannungen O und U entnehmen wir dem in Fig. 15 gezeichneten Kräfteplan. Es ist 


R' (hk M) 


: um HUREN HM 


QE ] 


sh" und 
woraus 

R'(h+h)s, i R'(h+h)s, 
(12) ÖT bzw. U=— ST VET KR 


T/ 


O ist Zugspannung, U dagegen Druckspannung. Aus Symmetriegründen ist jetzt U — I 
dagegen ist O0". 

Die vertikale Spannung V kann mit Hilfe der Projektionsgleichungen im Punkt D bestimmt 
werden. Es ist nämlich 


9U-snp-V 
und somit 


| BN UESTRE 
(13) Vs 


Der Ausdruck für V gleicht so- 
mit dem früher für V erhaltenen (5), = 


nur steht R’ statt R. IR) 

O' wird jetzt durch eine Projek- d | Pan 
tionsgleichung im Punkte C bestimmt. I zus 
Es ist ? | 

(0+0')sin«e=—V, d.h. 


( ^ I 2R'h's,, |V ic 

ro sine Al » 

Weil a 
R'(h+M)s, 


4 " hl 
so ergibt sich 


= — 2 


7 RV ys; 
(14) ne 


Wenn, wie in unserem speziellen Beispiel, h (= 1.2 m) >h’(=0.6m), so ist O' Druckspan- 
nung, während O Zugspannung ist. O' wird gleich 0, wenn h=h’ ist. 

Wir kontrollieren die Richtigkeit obenstehender Resultate durch Aufstellen der Projektions- 
gleichung in B, z. B. in horizontaler Richtung. Es soll sein 


R +0'-cosa + U' -cos B — 0. 


Nun ist 
0! - cog « = EM — p. 
I R'(h+h') 
U' - cos B — — E n° 


Addiert man diese zwei Glieder, so erhält man die Summe — R’ wie es sein soll. 
Der entsprechende Kräfteplan ist in Fig. 16 gezeichnet. 
N:o 11. 


14 HARALD LUNELUND. 


Bei Berücksichtigung sowohl der horizontalen wie der vertikalen Komponenten von (9^ (wo- 
bei also vorläufig P gleich Null gesetzt wird) erhalten wir 


mise m Se se € TR a i [L: cos v — 2 (h + i) sin v], 
: (Uk yi Ul 2 es NIE n Lu Le 7 ll: COS W—2(h+h)sinp], 
d potus RE RE ES GU RENTEN 
Dunn eT MILES senes Vv [Leos ur — 2 (/ — h)sin v. 


== qu _ 
2(h ch) 
weder u/— y, — 90? —«, wobei Q' die Richtung CB hat oder w- y = 2970? —«, wenn Q' ent- 


O, U, U’ und V sind alle gleich Null wenn tg y — d.h. tgyv-—ctg« und ent- 


gegengesetzt gerichtet ist. Dann sind alle Stäbe spannungslos ausser CB, wo O — — (Q' bzw. = (Q' 
o : l l : : : : 
ist. O' wird Null wenn tg ^5 (EN ua Ee Wenn h>h', liegt im zweiten oder im 


vierten Quadranten, wenn h<h’ dagegen im ersten oder im dritten Quadranten. Für h- h' ist 
ij — 907. Um w zu konstruieren ist es nur nötig h’ von h zu subtrahieren, der Rest ist die eine 
Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck, dessen andere-Kathete gleich ;1 ist. 


Wir führen nun einen Winkel d ein sodass tgd= ctg(90? — v) — 2. AR à 


W, = 90° — d, y,— 270: —0. Mit Hilfe der Winkel « und à können wir die dios: (15) fol- 
gendermassen transformieren 


Es ist dann 


^s, V P 4-4 (h+h) Q's? 
pons Rte COS (« + y") = — : COS (e + y), 
2hl hl 
> Q's, yP - 4 (h - Wy V'5,5, 
U-U zT zs COS (0 + Dee COS (e + w'), 
o ( v y, x40 Wy 20 h/ s, 
[| 
A Fe COS (« + y) — hr COS (« + y), 
Q's, VP - 4 (Ww — hy 
= Psy Al co8 (0 + v). 
Die Gleichungen (16) zeigen unmittelbar, dass O, U, U' und V ihre Extremwerte für 
U-— —« oder 3609? —« bzw. v — 180? —« erreichen. Für O' sind die entsprechenden Drehungs- 


winkel w— 0 oder 360? —60 und wv — 180° — 6. 
Wir stellen übersichtshalber die Drehungswinkel und die entsprechenden Extremwerte zu- 


sammen. arae Xm fu c LE 
Q's, y P - 4 (h - ir Q'e, y" t 4 (e Wy 
Us — 1809 —&: Omar. = E Spy» 947 3609— 0: Onin. = 2h i) 
Q's, VEFEhR+ NM) 
Us = 1809 — a: Unix. bzw. U’ iin. d 2 2hl 4 Q VETA GER) 
. 's, yU 4 (hoy 
(17) VW, = 3609 — a: Umax. DZW. U’max. = 2hl : 
"ye xi wy QW yP r&y 
Us = 1802 Prin — 2 - hl | l » U4— 360? —0: V max. = r hl p 


Q's, VP - 4 (Wh) 
2l 


+4 (' — hy 
, y, — 360? — d: Qd eso Earn Aen * 


Us = 1809 — 0: Ou. 
Tom. L. 


Über Fachwerkträger mit veränderlichem Kraftangriff. 15 

Wenn /[— 5.0 m, h — 1.2 m, h”’=0.6 m, so ist d = —13^29'45" und die den Null-Span- 

nungen entsprechenden Winkel y, und y, sowie die den Maximi- und Minimiwerten entsprechen- 
den Drehungswinkel ı, und w, haben folgende Werte: 


U^ Ue Us Ya 
QUTD d 54^ 14" 47" 934? 14' 47" 144? 14' 47" 394? 14' 47" 
O' 103? 29' 45" 983? 29' 45" 193? 29' 45" 13? 99' 45". 


Die gróssten Spannungen erreichen unter den oben angegebenen Bedingungen folgende Werte: 


— 616, 0’ 


max 


0 — 1582, U bzw. US. 


max, T max, 


.—1320, V = 1820 kg. 


x max. 


Das Verhältnis der Spannungen ist: 
1: 0.8345 : 0.3895 : 0.8345. 


Fig. 17 stellt die zugehörige »Spannungsrose» dar. 
Wenn h’=0 ist, so geben die For- 
meln (15) 


Q's : 
O=— ee (1: cosy —2h-sin v), 


U — U' — 5, (l-eos p — 2 h-sin v), 
20: 
0' — — Z^ q. cos y 4-9 h-sin v). 


Die Verháltnisse gestalten sich somit 
jetzt (mit Ausnahme von V) weniger ein- 
fach als in dem $8. 10 bei der beweglichen 
Belastung () behandelten Falle. Der Be- 
trag der Maximi-Spannungen für O, O', 
U, U’ und V beträgt, wenn h'— 0, 1424, 
1189, 555 und 1188 kg bzw. 

Allgemeine Behandlung des Problems. 
Wir wollen zuletzt das Problem allgemein 


behandeln, indem wir sämtliche oben ein- 
geführte Kräfte auf einmal angreifen las- Fig. 17. 
sen. Es wirken also zu gleicher Zeit: 

1) Das Eigengewicht P, und die Schneelast P,, deren Summe P beträgt; 

2) im Punkt D eine drehbare Kraft von der Grösse Q und mit dem Drehwinkel q; 

3) im Punkt C eine drehbare Kraft von der Grösse Q' und mit dem Drehwinkel,w.' 

g und : werden wie früher von der nach unten gerichteten Lotlinie bei Drehung gegen 
den Uhrzeiger positiv’gerechnet. Weil Q und @’ voneinander unabhängig sind, haben wir jetzt 
ein Problem mit zwei Variabeln g und w. 

Die resultierenden Spannungen ergeben sich durch Superposition sämtlicher Spannungen. 
Es ist demnach mit bezug auf Gl. (11) und (16). 


N:o 11. 


16 HARALD LUNELUND. 


Ps, Qs yP 4n? Q's, VP -- 4 (h - h')? 


Tp? rame COR merae Mec temm 
TA DR VE +4h'? Q's,] E+4(h + MY 

U a PE NS a 608 (e-t V), 

‚_ PR | Q(h+h) VP eA "Wy E TENTE 
(18) pe CPE a VER oe), 

hr Ps, Qs,yP+4W° Q's, y P - 4 —h) 

Dd nr ne ERE eT au): 
Ne on Em: "s, EX AQ + my 

ht CODE (mc) e iE RCE 


Wir wollen die obenstehenden Gleichungen kurz folgendermassen schreiben, wobei die Werte 
der Konstanten ohne weiteres klar sind: 


O = — A, — B, - cos (8 + g) — C, - cos (e + v), 
U = A,+ B,- cos (B + g) + C,- cos (a + v), 
(19) V = A, B,- cos (3 + g) + C4- cos (e + y), 
O' — — A, — B, cos (B + q) — C1 - eos (Ó + y), 
U' — À, + B;- cos (y + q) + Ca: cos (e + y). 


Die Spannungen ergeben sich somit als Summen zweier Cosinus-Kurven, wobei die resultie- 
rende Kurve um die Werte A,, A, und A, nach oben bzw. nach unten verschoben wird. Einfach- 
heitshalber nehmen wir an, dass die genannten Konstanten gleich Null sind. Wenn wie früher 
|— 5.0 m, 5 — 1.2 m, h’=0.6 m, Q — Q' = 1000 kg ist, so haben die anderen Konstanten fol- 
gende Werte: 

B,—1320kg, C,— 1582kg, B,--C,— 2902 kg, a — 35° 45’ 13", 

B,—1102 », C,=1320 », B,4-C,— 2422 », ß= 13^ 29’ 45", 

B9 1543 9720, Zr 616 2,1 Bat 0,2169, y = 50° 11' 40", 

B,—1073 », Cj—1390 », B, +C?— 2640 », ó — 13° 29' 45". 
„+ 0,— 2993 >». 


In diesem speziellen Falle ist also B, = C, — C! = 1320 kg und 8— 9. 
Die gróssten Spannungen treten (absolut genommen) ein, wenn zugleich bzw. 


BP+g und æ+w—0° bzw. 180°, 
B-gp "9 d+V-0° '» 180%, 
Lt o» e 02 » 180°, 


Wenn h’=0 ist, treten in den Formeln (18) gewisse Vereinfachungen ein. Weil die Sache 
teilweise schon S. 10 behandelt wurde, wollen wir darauf nicht weiter eingehen. — 

In Wirklichkeit hat man bei den Fachwerken auch noch den Winddruck zu berücksichtigen. 
Wir schliessen diese Untersuchung mit einigen Bemerkungen über den Winddruck und die Schnee- 
last ab. 

Winddruck. Es sei die Geschwindigkeit des Windes v, die Richtung desselben schliesse mit 
der Dachfläche von der Grösse F den Winkel € ein (Fig. 18). Man zerlegt v in v-cos © parallel 
der Fläche und. »- sin & normal zu ihr. Zur Wirkung gelangt nur die Normalkomponente v- sin ©. 


Tom. L. 


Lp dim 


Über Fachwerkträger mit veränderlichem Kraftangriff. 17 


Die Erfahrung lehrt, dass der Druck des Windes (N) auf eine zur Windrichtung senkrechte Fläche 
: c; £ x & T e ie a m a ve 
F proportional der Flächengrüsse (in m?) und dem Quadrat der Geschwindigkeit (in sx) ist. Es 


ergibt sich somit 
N —AF (v- sin 9? = À F-sin?6-«?. 


1 
4 

Bezeichnet man 4-1-v?, d.h. den Winddruck auf die zur Geschwindigkeit senkrechte Fläche 
von 1m? mit w, so folet 


Der Proportionalitätsfaktor 4 hat etwa den Wert 


N —w-F-sin? 9. 


Man rechnet ja oft, dass die Windrichtung um etwa 10° gegen den Horizont geneigt ist. Bei 
der Horizontalneigung « der Dachfläche ist dann © — «° + 10°. Da man, um die Auflagerdrücke 
statisch bestimmbar zu machen annimmt, dass eines der Auflager 
(A in Fig. 1) ein Rollenlager: das andere B ein festes Auflager 
ist, so ist man genötigt mit zwei Windrichtungen zu rechnen, 
von links nach rechts und umgekehrt. — 

Die Belastung des Trägers hängt ja wesentlich von der Ver- 
teilung der Knotenpunkte ab. Gewöhnlich werden die Spannun- 


gen mit Hilfe von Cremonaplänen ermittelt. Will man sich jedoch 
des analytischen Weges bedienen, so kann man die Spannungen auch unter der Annahme be- 
rechnen, dass die Windrichtung sich ändert. In der Tat weht ja der Wind selten mit konstanter 
Stärke und Richtung, denn durch Unebenheiten des Geländes, dureh andere Bauten, Wälder, 
Felsen u. del. wird derselbe geschwächt und abgelenkt. Auch von oben kann er gelegentlich 
kommen (Fallwinde). 

Welchen Einfluss hat ein Veränderung von © auf die Spannungen? 

Die anfänglich von links angreifende zur Dachfläche normale Kraft N = a- sin? 6 (a = w-F) 


verteilt sich zur Hälfte auf die Knotenpunkte À und C. In 4 wirkt also In, davon kommt aber 


T 1 é Ir ; 
wegen des Rollenlagers nur die vertikale Komponente 5 N-cos« zur Geltung. In C dagegen 
1 


: 1 4 AS: 
wirkt lotrecht nach unten 35 N-cos«, horizontal nach rechts ;NX - sine. 


Wenn 6 -—0, so ist der Winddruck —0, desgleichen auch für € — 180?. Dann wirkt er 
aber schon auf die rechte Seite des Daches. Solange O — O — 2 « ;ist, wird nur die linke Dach- 
fläche beansprucht, von da an aber beide Flächen bis € — 180^, wonach die Wirkung auf die 
linke Fläche ausfällt. Bei 9©=90°+«, d.h. wenn der (Fall-)Wind genau von oben kommt, 
ist der Druck auf beide Dachflüchen gleich, jedoch ist die Wirkung auf das feste und bewegliche 
Lager verschieden. 

Das Problem ist analytisch lósbar, jedoch werden die Verháltnisse etwas kompliziert, sodass 
diese Methode hier keine besonderen Vorteile bietet. Wir verzichten deshalb darauf und beenü- 
gen uns darum mit einer Bemerkung über die gróssten Windstárken in Finnland. 

Die höchsten in Finnland während einer Stunde beobachteten Windstärken betragen gegen 
20 m/sek, wobei einzelne Stösse mindestens 25 m/sek erreichen können. Den letztgenannten 
Werten entspricht somit ein Winddruck von etwa 160 kg/m? oder etwas mehr. Für Deutschland 
wird bei stärkstem Sturme etwa 250 ke angegeben, in den Lehrbüchern der Statik als Mittel- 
N:o 11. 3 


18 HARALD LUNELUND. 


wert 200 kg/m? angenommen. Für ganz Europa kann man nach Körren als höchste mittlere 
Windgeschwindigkeit einer ganzen Stunde 28 m/sek annehmen. Wie weit die Maxima darüber 
hinausgehen lässt sich, sagt er, nicht feststellen. In Nord-Amerika ist die Windstärke grösser, 
so hat man u. a. aus den Zerstörungen, die ein Tornado daselbst 1875 angerichtet hat den Wind- 
druck in der Nähe des Zentrums auf mehr als 330 kg pro m? berechnet. 

Die Windstärken sind in Finnland somit verhältnismässig klein, sie untersteigen eher als 
übersteigen die in Mitteleuropa vorkommenden Windstärken. Grösseres Interesse als der Wind- 
druck bietet in bezug auf die Fachwerke in Finnland die Schneelast, welche nicht unerhebliche 
Werte annehmen kann. Sie ist in den verschiedenen Teilen Finnlands recht verschieden und 
variiert von Jahr zu Jahr wie die folgenden (nach KORHONEN! zusammeneestellten) Zahlen zei- 
sen. Sie beziehen sich auf die Periode 1891 —1911 und folgende Orte: 


Mariehamn, Br. N. 60° 6 L. E. v. Gr. 19° 577 
Helsingfors » » 60°107 » » » » 94057, 


Wärtsilä 5 09» PO 53 3» 5» 9 NET BR 
Kajana » 5 Gage e 5» » x ENS. 
Inari BE E MOTOS 


Wir geben im folgenden die gróssten und kleinsten während jener 20 Jahre beobachteten 
Maximi-Schneehóhen in em an sowie ihren Dichten, d. h. diejenige Zahl, welche angibt wie viele 
Millimeter Wasser man von einem Zentimeter Schnee erhält. Durch Multiplizieren der Schnee- 
höhe mit der Dichte erhält man den Wassergehalt in mm und daraus den Druck in kg pro m? 


horizontale Fläche. 


Ort: Mariehamn Helsingfors Wärtsilä Kajana Inarı 
Grösste Schneehöhe: 6—44 cm 24—81 cm 53—-106cm 36-89 cm 53—133 cm, 
Dichte 3-1 2.8 2.4 2.3 2.1 
Wasserwert 18—134mm 67—227 mm 137—254mm $83—204mm 112—278 mm, 
Druck pro m? 18—134kg  07—297kg  137—954kg | 88—904kg —112—9278kg. 


Die Beanspruchung der Fachwerkträger durch die Schneelast ist demnach in Finnland so 
eross, dass sie eingehende Beachtung seitens der Ingenieure und Architekten verdient. Dazu 
kommt, dass zuweilen die Schneelast auf den verschiedenen Dachflächen recht verschieden ver- 
teilt ist, wodurch gelegentlich grössere Spannkraft in den Wandstäben als bei Vollbelastung 
erzeugt werden kann. In den deutschen Lehrbüchern der Statik wird als Schneedruck 70 —75 
ke/m? (lotrechte Belastung) angegeben. i 

Wir fassen das oben gesagte nochmals kurz zusammen. 

Zusammenfassung. Es sind oben in einem statisch bestimmten Fachwerkträger, nämlich 
einem Dachstuhl die unter verschiedenen Bedingungen auftretenden Spannungen eingehend 
untersucht worden. Um statisch bestimmbare Verhältnisse zu haben wurde angenommen, dass 
der Fachwerkträger an einem Ende ein festes als Walzen(Kipp-)lager ausgebildetes Auflager, 
am anderen Ende dagegen ein bewegliches Rollenlager besitzt. Weiter wurde vorausgesetzt, 


| W. W. KORHONEN, I. Die Ausdehnung und Höhe der Schneedecke, Diss. Helsingfors 1915. 
Tom. L. 


Über Fachwerkträger mit veränderlichem Kraftangriff. 19 


dass die Einzelstäbe starr sind, d. h. ihre Forniveränderung, ihr elastisches Verhalten wurde nicht 
berücksichtiet. Ausser Eigengewicht und Schneelast, welehe vertikal nach unten wirken, wurde 
der Einfluss zweier drehbaren, an verschiedenen Punkten des Fachwerkes angebrachten Kräfte 
auf die Spannungen untersucht. Derartige bei veränderlichem Kraftangriff durchgeführte Unter- 
suchungen bieten nicht nur theoretisches Interesse dar, sondern haben auch praktische Bedeutung. 

Die Variationen der Spannungen mit den Drehwinkeln der Kräfte wurden abweichend von der 
üblichen graphischen Darstellungsart in bequemer Weise durch »Spannungsrosen» veranschau- 
licht. — Zueleieh wurden Angaben über die Grösse der in Finnland vorkommenden Winddrücke 
und Schneelasten gemacht. 


N:o 11. 


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ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 12 


EE 


UBER DIE EIGENSCHAFTEN MEROMORPHER 
FUNKTIONEN IN EINEM WINKELRAUM 


VON 


ROLF NEVANLINNA 


(Am 20 Mai 1925 mitgeteilt von E. Lindelöf und K. F. Sundman) 


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20 


HELSINGFORS 1925 


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as Mahal SEHE INA DV N 


HELSINGFORS 1925 
DRUCKEREI DER FINNISCHEN LITERATURGESELLSCHAFT 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen 
in einem Winkelraum. 


Wenn f(x) eine in einem Gebiet G und auf dem Rande I desselben eindeutige und mero- 
morphe Funktion ist, so lässt sich der Wert log f(x)| aus der Formel 


1 A0 i; - = 
(A) log | f (x) | = oO) Edel Y9la,0)+))9@,b,) 
D G G 


berechnen, wobei g die GnEENsche Funktion des Gebietes G bezeichnet, und das Integral über 
den Rand 7, die Summen über die innerhalb G gelegenen Nullstellen a, und Pole b, von f(x) er- 
streckt werden sollen. In der vorliegenden Arbeit wird diese Formel zur Untersuchung der asymp- 
totischen Eigenschalten meromorpher Funktionen in einem Winkelraum angewandt. 


Das Hauptergebnis des ersten Abschnittes besteht in einem allgemeinen Satz, der gewisse 
von F. NEVANLINNA und dem Verfasser früher bewiesene Sätze enthält und ergänzt. Dieser Haupt- 
satz erlaubt uns u. a. die Ordnung einer meromorphen Funktion in einem Winkelraum in natür- 
licher Weise zu definieren. 


Im zweiten Abschnitt werden einige Sätze über meromorphe und ganze Funktionen end- 
licher Ordnung bewiesen, die gewisse von BIEBERBACH und dem Verfasser gegebene Erweiterungen 
des Picarpschen Satzes wesentlich verschärfen. Diese Sätze ergeben sich sämtlich als Folge- 
rungen einer allgemeinen Ungleichung, die unter Anwendung des oben erwähnten Hauptsatzes 
hergeleitet wird durch eine Methode, die ich schon früher zur Untersuchung verwandter Fragen 
angewandt habe. Unsere Ergebnisse führen zu ziemlich genauen Aussagen über die Verteilung 
der Argumente derjenigen Stellen, wo eine meromorphe Funktion endlicher Ordnung einen ge- 
gebenen Wert z annimmt. 
zi 
k 
gültige kanonische Darstellung einer meromorphen Funktion hergeleitet. Von dieser Darstellung 


Im dritten und letzten Abschnitt wird eine innerhalb eines Winkelraumes der Öffnung 


ausgehend werden einige neue Eigenschaften meromorpher Funktionen bewiesen, insbesondere 
in dem Falle, wo die Ordnung der Funktion kein Multipel der Zahl % ist. 


1. Es sei f(x) eine analytische Funktion der komplexen Variable z — re”, die in jedem 
endlichen Punkt der oberen Halbebene I (x) > 0 eindeutig und meromorph ist. Die in der oberen 
Halbebene gelegenen Nullstellen und Pole von f(x) seien a, (y — 1,2, ...) und b,(v=1,2,...); 
wenn diese Stellen in unendlicher Anzahl vorhanden sind, so häufen sie sich nur in dem unend- 
lich fernen Punkt. 

Im folgenden sollen die asymptotischen Eigenschaften der Funktion log|f(z)| untersucht 
werden. Es erweist sich hierzu als zweckmässig, diese Funktion als Summe von zwei harmonischen 


Funktionen: 
log | f(x) | = Uo (z) + Ui (z) 


zu schreiben, von denen die erste durch folgende Vorschriften bestimmt wird: Es sei gy eine be- 
liebig gewählte positive Zahl. U,(x) soll in der oberen Halbebene (einschliesslich des Unendlich- 
keitspunktes) regulär harmonisch sein, mit Ausnahme derjenigen Punkte a,, b,, die in den Kreis 
|z|<e, fallen, wo sie negative bzw. positive logarithmische Pole von denselben Multiplizitäten, 
wie log|f|, haben soll. Auf dem Segment |t|< @ der reellen t-Achse nehme sie die Randwerte 
log | f (1) | an, während U,()=0 für |1|>e,. Fordert man noch, dass U, in der Umgebung 
der Punkte = +0, beschränkt sei, so ist sie hierdurch eindeutig bestimmt, und man findet 
gemäss der Formel (A), wenn g(a, b) die Grernsche Funktion der oberen Halbebene bezeichnet, 


+0 
WE 0g (t, 2) 
U (2) 7 5. | log f (0| 2659 di V 9@,a,) + V g (5 b) 
26, | ay |! e | bl < 
2: MAN i a z—5,| *) 
ee! = ^ r Sin @ sn di 
a log |f (0 | ara 9 3 log Td, teg z—b, |” 
— 00 la | < @o | by | < €o 


Es ist für die folgende Untersuchung wichtig zu bemerken, dass U,(x) für x — co verschwindet 
derart, dass 


a) UG)=0()- 


[2| 


!) Die zu einer komplexen Zahl « konjugierte Zahl wird im folgenden mit « bezeichnet. 


'Tom. L. 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 5 


Die Differenz 
U, (x) = log | fa) | — Us(x) 


ist eine in der oberen Halbebene harmonische Funktion, die in den ausserhalb des Kreises 
|r|— 90, gelegenen Nullstellen a, und Polen b, von f(x) negative bzw. positive logarithmische 
Pole besitzt und in jedem Punkt t des Intervalls |t|>o, den Wert log | f(t) | annimmt. Auf 
dem Segment |t|« e, verschwindet sie wiederum und lässt sich also gemäss dem Spiegelungs- 
prinzip über dieses Segment in die untere Halbebene harmonisch fortsetzen. Insbesondere ist 
sie demnach im ganzen Kreise |æ|<o, regulär und kann in eine daselbst konvergierende 
trigonometrische Reihe 


à 
U; (x) = dg + ) r” (d, Cos v q + c, Sin v p) 
1 


entwickelt werden. Unsere nächste Aufgabe ist, für die Koeffizienten dieser Entwicklung gewisse 
Ausdrücke mittels der Randwerte und Pole von U,(x) in einem durch die Ungleichungen 


I(x)70, |x|Xe (>) 


definierten Halbkreis C, herzuleiten. 
Zu diesem Zweck stellen wir U,(æ) in C, durch die Greensche Formel (A) dar, wo das Integral 
über den Rand von C, erstreckt werden soll. Führt man den Wert 


e 
a — — 
go (a, b) = log | log — ; 
ker 7:3 
der GnaEENschen Funktion von C, ein, so wird fos | 
a 
U, (c) — log |f (7) | - Uo () e » 
ff ] ] wf, 
Bee BO BEE — LZ NP 
ae é+() Ron Or 
191 | i9 cup) f "= 1 1 | 
g|f (ee'")| — U,(ee ) (e? Me *) e+r- RACE ea Cl 


e 


g'-a,a 


292871 E g?—a,2 + Vi 


01 ap «e 0, X | ^4] e 


Die Kerne der hier stehenden Integrale und die GmEENsche Funktion g,(x, c) haben die Ent- 


wicklungen 
oo 
-— | 1 1 | 1 Y r'sinvg 
I ELEC D Ea jme = i ; 
0° -+ aL —2rtcosp 1 i 
1 1 NN si 
0? y? p — 2 + 3 = Ve N , 
(o SI ze ICE) o? 4- r* — 2 or cos (9 +) I x : o" TED E» 


GPS) i 


Meses vq (e — | e | e). 
2v v 


Tele 


N:o 12. 


6 RoLF NEVANLINNA. 


Wenn z = re? ein innerer Punkt des Halbkreises C,, ist, so sind diese drei Reihen für sämtliche 
Werte t, 9, |c]|, y der Intervalle gy to, 0 9, oo c|-o bzw. 0<y<æ absolut 
und gleichmässig konvergent, und wir erhalten also die trigonometrische Entwicklung der har- 
monischen Funktion U,(z) durch gliedweise Integration bzw. Summation der obigen Reihen 
auf der rechten Seite der Formel (2). Für die Koeffizienten e,, d, ergeben sich die Werte: 
d,-— 0 und 


re TPE 2 f mou 
a= | e ft (5 al MERE U, (oci?) sin v9 43 
n t o? t a o" 
0 


e «|te 
1 IGN = 
p (a ET Sim v B,, 
1 


2 1 la, |" rr a 
RE Bender X 
225 NEAR T jw 
e « |a,| «e e « | 5, | «e 


(3) 


ID 


. pn 


wo a=|ale" ^*^, b, — |b,|e B, gesetzt worden ist. Es gilt also das Ergebnis: 


SATZ. — Die harmonische Funktion U,(x) lässt sich in die für |x|« og konvergente Reihe 
a 
" A . 
U, (rev) — Di c,r'Sinvq 
1 
entwickeln, deren Koeffizienten c, durch die Formel (3) gegeben sind. 
2. Die Formel (3) verdient für den speziellen Wert »—1 besondere Aufmerksamkeit. ’) 
Um übersichtliche Bezeichnungen zu erhalten führen wir die durch die Gleichung 


log |f; (z)| = U, (x) 


bis auf einen Faktor e/? wohlbestimmte analytische Funktion f,(z) ein und setzen dann für 
r 2 0o:?) 


r 


AG fy 1 | (102i 0| 84 =) (1). 


00 : 
9 f + = 
Br f) - 2. | Wehen) sin g dy, 
0 
— 1 MEANS 
C(1)73 De )sin i. 
e «€ | by | cr 


Mit diesen Bezeichnungen ergibt sich aus (3) für v — 1: 


1) Diese spezielle Formel ist, in etwas modifizierter Form, zuerst von F. NEVANLINNA (Über die Beziehungen 
zwischen dem Anwachsen einer analytischen Funktion und der Verteilung ihrer Nullstellen und Pole, Ve Congres des 
Mathématiciens scandinaves, Helsingfors 1922) aufgestellt und angewandt worden. Vgl. auch F. und R. NEVAN- 
LINNA: Über die Eigenschaften analytischer Funktionen in der Umgebung einer singulären Stelle oder Linie (Acta soc. 
sc. Fennicae, t. 50, N:o 5, 1922), T. CARLEMAN: Über die Approximation analytischer Funktionen durch lineare Aggregate 
von vorgegebenen Potenzen (Arkiv för mat., astron. och fysik, Band 17, N:o 9, 1923, insb. $ 2). 


+ 
?) Es ist loga gleich loga oder Null, je nachdem a>1 oder 0<a<l. 
Tom. L. 


———————— ÀHRÓ 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 7 


(4) Ar, hi) + B(r, fj) - C (r, fi) 2 À (r, 4) + B (r, 7 ) + Cr, ; ) T6. 


1 1 
Unter Anwendung der letztgeschriebenen Formel werden wir nun einen für die folgende 
Untersuchung wichtigen allgemeinen Satz herleiten. Wir beweisen hierzu zunächst den 


HILFSSATZ 1. — Die Summe 


S(r fi) = AC fi) + Bir f) + C Gf) 
ist eine wachsende Funktion von r. 
Beweis. — Sei o > oy und U,(x) diejenige harmonische Funktion, die auf dem Rande des 


+ . . SL 
Halbkreises C, die Randwerte log|f,| annimmt und im Innern von C, dieselben positiven loga- 
rithmischen Pole b,, wie log|f,| = U,, besitzt. U,(x) ist hiernach nichtnegativ und die durch 
die Gleichung 
log |f, | = U, 
bestimmte meromorphe Funktion f, also dem absoluten Betrage nach >1 im Gebiete C,; es ist 


folglich 


S(r, F)=0 fürs 0,70: 
e 


und gemäss der Formel (4) 
S(r,f;)- const. für ro Sr So. 


Nach der Konstruktion von f, ist aber S(o, f,) = S(o,fi), und unser Satz ist hiernach richtig, 
wenn 
S(r,h)<S(r,fe) für go<r <e. 


Dies ist tatsächlich der Fall, denn zunächst ist 


(a) C (r, h) x C (r, fe); 
ferner ist die in C, reguläre Funktion ^. anf dem Rande und folglich auch im Innern von C, dem 
e 


absoluten Betrage nach <1, und also 


+ + 

i log |fr| El0g|fel in Ce. 
Es ist also auch 
(b) Ber, fi) EB(r, fo), Ar, fi) EA (r, fe); 
und die zu beweisende Ungleichung ergibt sich durch Addition von (a) und (b). 

Man bestätigt leicht, dass die einzelnen Glieder A und C der Summe S nichtabnehmende 
Funktionen von r sind. Demungeachtet ist der soeben bewiesene Hilfssatz nicht trivial, denn 
das Glied B ist nicht immer mit r wachsend, wie durch Beispiele gezeiet werden kann. 


HILFSSATZ 2. — Die meromorphe Funktion f(x) genügt der Bedingung 


1 1 
86.0) -S(n.j) - a € 0()- 
Beweis. — Nach der Definition der Funktion f, ist 


A (rf) - AG, fi), € Gf) - € (s fa) 


N:o 12. 


8 ROLF NEVANLINNA. 


und, da die Differenz U,=log|f|— log \f,| der Ungleichung (1’) (S. 4) genügt, weiter 


B(rf)- BG fo +0(,)- 
Durch Addition ergibt sich, dass 
(5) 8f) 80h) 0(7) 


und, in analoger Weise, 
1 1 1 
s( 1 rh =) | 
ny) S(r fh +0, 


Unter Beachtung der Formel (4) ergibt sich nun die Behauptung durch Subtraktion der zwei 
letzten Beziehungen. 

Wir führen nun zur Abkürzung folgende Schreibweise ein: Es sei z eine beliebige komplexe 
Zahl; wir bezeichnen für ein endliches z 


S(r;2)= S(r, 7 2 


und für 2 —oo 
S(r; 69) S (rf). 


In entsprechender Weise definieren wir die Ausdrücke À (r; 2), B(r; 2), C(r;z). Es gilt dann der 
HILFSSATZ 3. — Die meromorphe Funktion f(x) genügt für jedes Wertpaar a, b der Bedingung 


S (r; a) — S(r; b) 2 O (1). 


Beweis. — Sei z zunächst eine endliche Zahl. Gemäss der evidenten Ungleichung 
+ + + 
log (« + 8) log « + log 8 + log 2 (e, B7 Q) 
ist 
+ + + + 
log|f—z2|<log(|f|+|2)<log\f +log|2|+log2, 
+ + + + 
log|f|—log|(f —2) -- z| € leg|f — 2| log|2|-- log2, 
und also 


E: + + 
Mog|f—2|—1log|f||<log|z|+ log 2. 
Demnach wird 
A (r.f) 2 A(r,f 2) 00), Ber D=B(r.1 —2):0 (0). 


Ferner ist C(r,f) = C(r,f —2), und es gilt somit 


S (r,f)  S(r, f —2)- O(1). 
Nach Hilfssatz 2 ist weiter 


S(rf—2)=8{r, ;—)+00) 


und es wird also: 
S(r;00)=S(r;2)+O(1), 


woraus die Behauptung folgt. 
Tom. L. 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 9 


Bezeichnen wir nun die oben betrachtete wachsende Funktion S (r, f,) kurz mit S (r), so er- 
halten wir unter Beachtung der Beziehung (5) als Zusammenfassung der soeben bewiesenen Hilfs- 
sätzen den 

SATZ I. — Sei f(x) eine in jedem endlichen Punkt der Halbebene I (x) >0 eindeutige mero- 
morphe Funktion. Er existiert dann eine bis auf eine beschränkte Grösse O (1) bestimmte, wachsende 


Funktion S(r) derart, dass die Beziehung 


(1) A(r;2)+ B(r;2)+C(r;2)=S(r)+0() 


für jeden endlichen oder unendlichen Wert z besteht. 

Dieses Ergebnis entspricht einem Satz in der Theorie der in der ganzen endlichen Ebene 
meromorphen Funktionen, den ich in einer kürzlich erschienenen Arbeit den ersten Hauptsatz ge- 
nannt habe und der in derselben Weise aus der Jensenschen Formel folet, wie (I) aus der For- 
mel (4).?) Wie dieser erste Hauptsatz, bringt auch die Formel (I) eine bemerkenswerte Symmetrie- 
eivenschaft einer meromorphen Funktion zum Ausdruck. Von den drei nichtnegativen Gliedern 
der linken Seite in (I) bestimmen die zwei ersten (4 und B) die Stärke der Konvergenz von f(x) 
gegen den betreffenden Wert z, das dritte (C) die Dichte der Stellen, wo f(x) diesen Wert z an- 
nimmt; die Summe dieser drei Grössen verhält sich nun nach (I) gegenüber verschiedenen Werten 
2 invariant (von einer beschränkten Grösse O(1) abgesehen). 

Die zu einer meromorphen Funktion f(x) gehörige Fundamentalgrüsse S(r). die in der fol- 
senden Untersuchung eine wichtige Rolle spielen wird, besitzt auch nachstehende Rigenschaft, 
die eine leichte Foleerung aus dem obigen Satze ist ?): 

Wenn die Delerminante der Zahlen e, B, y, d von Null verschieden ist, so ist 

S(nf)- S(n. S£ 5).-00). 

Durch eine einfache Variabeltransformation lassen sich die oben erhaltenen Ergebnisse auf 
den alleemeineren Fall übertragen, wo die analytische Funktion in einem beliebigen Winkel- 
sebiet W meromorph angenommen wird. Ist W insbesondere durch die Ungleichung 


!) Wenn f(x) eine in der endlichen Ebene meromorphe Funktion ist, setze man für ein endliches z 


ar T 
su | 
= eia d. | 108 ital dp, Na [52a 
un f (re*9) — z| n 
0 23 
und für z — oc 
P , 
m = | log |f (re'?) | dg, N03 | LT 
en 
0 X 


wo n(t;z) die Anzahl der z-Stellen von f(x) im Kreise |æ|<4{ bezeichnet. In meiner Arbeit „Zur Theorie 
der meromorphen Funktionen“, die bald erscheinen wird, habe ich folgenden Satz bewiesen: 

Zu jeder meromorphen Funktion gehört eine bis auf eine beschränkte Grösse O (1). bestimmte, reelle, wachsende 
Funktion T(r) derart, dass 


T (r) = m (r; 2) + N (r; 2) FO (1 
für jedes z gilt. = | ; | 


2?) Vel. meine soeben zitierte Arbeit, insb. S. 19. 


N:o. 12. 


10 ROLF NEVANLINNA. 
Ë 7z | 
(6) OLp<T (E) 


definiert, so findet man in dieser Weise für die Fundamentaleróssen A, D, C die Ausdrücke 


46.05 flera + be rhe?) 4) 


B (r, 0-55 Jette ?)sinkgdg, 
C (r, us 2 2 er LAN jy) sin Ed, 
«Iu |a 


welche für k=1 die speziellere, S. 6 gegebene Form annehmen. 


3. In diesem Paragraphen sollen einige einfache Folgerungen des Hauptsatzes I besprochen 
werden. Wir machen den Anfang mit einigen Hilfssätzen über die Grössen A und C. Wenn f (x) 
in dem durch die Ungleichungen (6) definierten Winkelraum meromorph ist, so kann man den 
etwas komplizierten Ausdrücken von À und C eine übersichtlichere Form geben, wenn man die 


neuen Hilfserüssen !) 


a(re*?;2) — | log| 


dt utis 
—, e(r;2)= 2 Sinkg,(z) 
/ ET i (r; 2) 25 Pol 


00 <ry <>” 


= 


einführt, wo r,(z)e' *) die z-Stellen von f(x) (im Winkelraume W) bezeichnen; man findet so: 


DOPO EE mu 
A (r5 2) E] a( no a a) dt. 
(7) | 00 
(t; 12# 
C (r; 2) = a | el ib dt. 
00 


Es gelten dann die Sätze: 
HILFSSATZ 1. — Für ein posilives À sind die Integrale 


oo 
. Xi . + 
(te* * ; 2) | 1 | dt 

(8 ] Ba und | log|— zo 

) "TES |, ar 
gleichzeitig konvergent oder divergent. 

Beweis. — Durch partielle Integration findet man 
r jg. E E 

" Ten) a (ve 512) a (re! 2) | 1 dt 
8 J CA Uem = - = lo , 
(8) J LES, ig ir ^. 8 ra INT 


') Vgl. die in der Fussnote S. 6 zitierte Arbeite von F. NEVANLINNA. 
Tom. L. 


Uber die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 11 


voraus man sieht, dass die Konvergenz des ersten Integrals (8) eine Folgerung der Konvergenz 
des zweiten ist. Ist umgekehrt jenes Integral konvergent, so wird für ein gegebenes & > 0: 


o6 or. 
Vv 


oo 
; in 5 i 
"1 a (te " sz) is PRESS di, . a(re :2) 
E > | FR dt > a (re 52) Dl nem 


r " 


von einem gewissen Wert r ab, und man schliesst aus (8), dass auch das zweite Integral (8) kon- 


vergieren muss. 


HILFSSATZ 2. — Für ein gegebenes À >0 ist das Integral 
ze 
Ja 
mil der Heihe 
sink q , (2) 
2 (ey 


gleichzeitig konvergent oder. divergent. 
Die Behauptung folet, in derselben Weise wie im Hillssatz 1, aus der Identität 
: 


ua ci er; LEE, 
tiu e Enc rag) ir^ 5 À (ry 
sen 


0» 


Eine leichte Folgerung aus den Formeln (7) ist schliesslich 
HILFSSATZ 3. — Für A>k sind die Integrale 


Um 
a (t;z) 4- a (te *; 
NLES! 


[oJ 


@œ 
'" A(t;z 
(9) ET und I 


gleichzeitig konvergent oder divergent. Wenn À — k, so ist das zweite der Integrale (9) dann und nur 


2) dt 


dann konvergent, wenn die Grösse A (r; 2) beschränkt ist. 
Dieser Satz gilt auch dann, wenn man die Grössen A und a durch C bzw. c ersetzt. 
Aus den oben gegebenen Hilfssützen folet nun mittels des Satzes l: 
: D . : . o : 2 : = À 
SATZ 1. — Notwendig und hinreichend, damit die zu einer in einem Winkelraum W (o <p< x) 


meromorphen Funktion gehörige Fundamentalgrösse S (r) beschränkt sei, ist, dass die drei Ausdrücke 


Fe + / Cr 
fl 2 1 IN dt 
(10) | log ( fq) Eg + log | mr NE: Je 1 
| 203 -z| 

i a 

Dai 
(11) lim [log — 1. sin d9, 

a f (re! = Al 

(12) sin # q, (2) 


(6 


für einen Wert z endlich sind. 


N:o 12. 


12 RoLF NEVANLINN A. 


Dieser Satz lässt sich noch etwas verschärfen. Hierzu bemerke man dass die Grössen j5(r) 
= Str, fj) (vgl. S. 9), 4(r;oc) und C(r;oc), als wachsende Funktionen von r, für r— co be- 
stimmten Grenzwerten zustreben. Sind die zwei letzten dieser Grenzwerte insbesondere endlich, 
so folgt aus der Formel: B(r;oc)-— S(r)— A (r; oc) — C (r; 9) + O () (vel. (5), dass auch 
B(r;oc) mit wachsendem r sich einem bestimmten Grenzwert nähert. Wendet man nun dieses 
Ergebnis auf die Funktion Fu an, so ergibt sich: 

Wenn das Integral (10) und die Reihe (12) für einen gewissen Wert z konvergent sind, so existiert 


der Grenzwert 


uU 
fire 


= sink9d9. 
Qui eR E 


r=or Zi! 


n 
k 
NU 25 
lim — | log 
€ 


Ist dieser Wert insbesondere endlich, so sind die Ausdrücke (10), (11) und (12) für alle Werte z 
endlich. 

Wenn die Fundamentalerósse S(r) für r > oo unbeschränkt wächst, so gilt der 

SATZ 2. — Wenn, für ein gegebenes À 7» k, die Integrale 


"ES + | | 
fie HE) cepe ER NAME 
] (re Ifay-z|* log Ime ) PV 
ler) 
co k 
rez + | | 
| 2 ehe: wo b(r; 2) = i log ul . |gnksd9 
r [719 
. E if (re ye 


und die Reihe 
sin ko, (z) 
> (2) 
für einen Wert z konvergent sind, so sind sie, sowie das Integral 


(13) | ID rege, 


perm 
für jedes 2 konvergent. 

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Satz I in Verbindung mit den Hilfssützen 2 
und 3. Man könnte das obige Ergebnis auch in folgender Weise aussprechen: 

Für ein gegebenes 4 > k ist das Integral 


oo Hm 
[ a (t; z) - a (te^ ;z) e b (t; 
A DT 


z 202) 
(14) eduxi 
entweder für alle Werte 2 konvergent oder für sämtliche 2 divergent. 
Es sei 4 > k eine Zahl, wofür der erstgenannte Fall zutrifft. Wir behaupten, dass die Summe 
im 


(15) a(r;z)+a(re k ; 2) + b (r; 2) + c(r;2) 


Tom. Ll. 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 13 


höchstens von der Ordnung r^ ist.?) Da nämlich a(t; 2) eine wachsende Funktion von r ist, so 
folet aus der vorausgesetzten Konvergenz des Integrals (14), dass für ein gegebenes € > 0: 


& 25 

C JE Oase 5 Ge San) 
e> | Ü FI dt > «(3 | Juste 7 
r = 


von einem gewissen Wert r ab gilt. Die Grösse at; 2) ist hiernach höchstens von der Ordnung 
© 


|^, und dasselbe eilt auch für afte*;z) und e(t;2), die ebenfalls wachsende Funktionen sind. 


Um b abzuschätzen, bemerke man, dass das Integral (13) für den betrachteten Wert 4 konver- 
ejert. Da nun aueh S(r) mit r wachsend ist, so schliesst man wie oben, dass ihre Ordnung höch- 
stens eleich 4% ist. Gemäss dem Hauptsatz (T) trifft dies dann auch für B(r;z) zu, und die 


Grüsse b=,"r"B ist also nicht von höherer Ordnung als r^. Hiermit ist die Behauptung 


2k 
bewiesen. 

Andererseits folet aus der Definition des Ordnungsbegriffes, dass die Ordnung der Summe 
(15) auch nicht niedriger als r^ ist, wenn das Integral (14) divergent angenommen wird. Wir 
schliessen. also: 

Wenn die Ordnung y (2) der Summe (15) grösser als k ist, so ist das Integral (14) für jedes 
À >u(2) konvergent und für A<u(z) divergent. Die Ordnung u (2) behält also für sämtliche z 
einen konstanten Wert?). Ist u(2) wiederum für einen gewissen Wert 2 kleiner oder gleich k, so 
hat sie diese Eigenschaft für alle Werte z (Satz 1), ist aber im allgemeinen nicht mehr für ver- 
schiedene z konstant. Es liegt nun nahe folgende Definition aufzustellen: 

Die Ordnung einer meromorphen Funktion in einem gegebenen Winkelraum W(0ce«* 
ser im Falle u(z) > k gleich der konstanten Zahl u(z), im Falle u(z) Ek wiederum gleich der oberen 
Grenze der Menge u (2). 


!) Man definiert bekanntlich die Ordnung einer positiven, reellen Funktion s(r) als die obere Grenze 


lim logs(n. 


— ; 
= log r 
nach PRINGSHEIM sagt man weiter, s(r) sei vom Mazximal-, Normal- oder Minimaltypus der Ordnung A, je nachdem 


lim 5) 
r—cowy 
unendlich, endlich und positiv oder gleich Null ist. Falls s(r) von der endlichen Ordnung A ist, so ist dass 


Integral 
a 


| an) dr 
r* +1 


für k>A konvergent, und, falls s(r) eine wachsende Funktion ist, für k<A divergent. Wir sagen, dass s(r) 
vom Konvergenztypus oder Divergenztypus der Ordnung A ist, je nachdem das Integral für k — 1 konvergent oder 
divergent ist (G. VALIRON, der zuerst die Bedeutung dieser letzten Begriffe für gewisse Fragen in der Theorie 
der ganzen Funktionen erkannt hat, spricht von ,classe inférieure“ bzw. „classe supérieure“. Vgl. seine Arbeiten: 
Sur les fonctions entières d'ordre fini (Bull. Sciences math., 1921) und Fonctions entières et fonctions méromorphes 
(Mémorial des sciences math., fasc. II, Paris, 1925)). 

*) Man könnte leicht zeigen, dass sogar der Typus (vgl. die obige Fussnote) für verschiedene z in- 
variant ist. 


N:o 12. 


14 RoLF NEVANLINNA. 


Es sei in diesem Zusammenhang noch darauf aufmerksam gemacht, dass eine meromorphe 
Funktion dann und nur dann von der Ordnung w > k im Winkelraume W ist, wenn die zuge- 
hörige Fundamentalgrósse S(r) von der Ordnung r^- ^ ist. 


Die schürfsten Sätze über das asymptotische Verhalten einer meromorphen Funktion in 
einem Winkeleebiet ergeben sich direkt aus der Hauptformel (I), nach welcher die Gleichheit 


A(riz) , B(r;2) u) er 


(16) lim (e: (r) E (r) Sr) 


r=0 
für Jedes z besteht, sobald die Fundamentalgrösse 5 mit wachsendem r selbst unbeschränkt wächst. 
Diese Formel enthält in möglichst allgemeiner und prägnanter Fassung einige Sätze, die F. NEVAN- 
LINNA und der Verfasser ais Veralleemeinerungen eines CanrsoNschen!) Satzes früher bewiesen 
haben (vgl. die in der Fussnote 1 S. 6 angegebenen Arbeiten). 


T: N : A B 
Aus der Formel (16) folgt insbesondere, dass die oberen Grenzen der Quotienten : und 


SS 
3 für r co nicht grösser als Eins sind. Einige weitere Eigenschaften dieser drei Ausdrücke 
werden als Folgerungen eines allgemeinen Satzes hervorgehen, der im nachfolgenden Abschnitt 


hergeleitet werden soll. 


?) F. CARLSON: Sur une classe de séries de Taylor (Thèse, Upsala 1914, p. 58). 


Tom. L. 


II 


1. Um die am Ende des vorigen Abschnittes in Aussicht gestellte Formel!) herzuleiten wáh- 
len wir zunächst g — 1 verschiedene, endliche Zahlen a, da, ..., a, ı. Ist nun f(«) eine im Winkel 


W(0co- | meromorphe Funktion so bezeichne man mit #(x) das Produkt 


q—1 


v - [[t-2. 

1 
Es ist dann 
(1) (q— 1) S (r, f) « S (r, v) +0 (1). 
Denn zunächst ist 
(1) (031) G. (5 h- Cr, V); 
ferner ist 

mw Ÿ : 
m r all En 
Cor | VES 


und also für !f|>2a, wenn a die grösste der Zahlen |a,| bezeichnet, 
+ + 
If)! 2:-1| v], (q— 1)log|f| € (q—1)1og2 t log| v |. 
ES + 
Für |f|<2a ist wiederum log |f|<log2 +loga, und jedenfalls gilt also 


+ + E 
(q — 1)log |f |  (q — 1) (log 2 + log a) + log | v |. 


Setzen wir zur Abkürzung 
A (r, f) - B(r,f) - D(r. f), 
80 ist hiernach 


(^) (q—1) Dr, f) D (r, v) - OQ), 


und die Behauptung (1) folgt durch Addition von (1^) und (1"). 
Nach dem Satz I ist weiter 


(2) Sr, v)- D(r, s) *e(r ;)* oo - Dr, S)+ YC (r. er t 0 (1). 


1) Die Methode, die im folgenden zur Anwendung kommt, ist dieselbe, die ich bei einer verwandten Frage 
in meiner S, 9 zitierten Arbeit benutzt habe. 


N:o 12. 


16 ROLF NEVANLINNA. 
m + T i 
Hier ist nach der Ungleichung: log (af) < log « + log 8 


(3) D(r,. - D(r, £. 5) € D(r, +P, =) 
und ferner nach Satz I: 
D(r, F)+00- -D(r,f9+ C(nf) Cr, 5)- D(r.f-D)-c6f)— (rs) 
(4) c D (rf c D(r, EF) FC, f)—C(r. =) 
-8(f- CN +Dr, ^) «0cf)-c(n 5) +00). 
Nach (1) bis (4) ist also 
(B^! (= 380,0 & Y o(r. Z7.) 0 (fen o(nis) dri.) eu (on 


Man schreibe nun weiter 
1 T NY Cy 


w f-a, ; 


wo e, die endliche, von Null verschiedene Zahl Gr (ah) bezeichnet. Unter Anwendung 
= 4 


dw)r=a, 
der Ungleichung 
+ «5 De 
(6) log ba D E » log e, + log p 
1 1 
folet dann, dass 
Ir [ a ' — + + 
log 7 cf Eee |) EX 08 = | + log (q — 1) 
und also 
DE} Zon i) « oo». 
Unter Beachtung dieser Beziehung folet aus (5): 
q-—1 
(7) (0-2) 80) < 3 ln 5) + 00-000 -0(1 s) «no» 
wo 
R(r) = %of. “+00 (a, — 0). 


Dieses Ergebnis erhält eine etwas allgemeinere Form, wenn man q endliche, verschiedene 
Zahlen 2,,...,2, nimmt und die Ungleichung (7) auf die Funktion 


: 1 ; 
anwendet, indem man a,— => (—1,...,q— 1) setzt. Es wird dann 


o d Zn 


Tom. L. 


Über die Ergenschaften meromorpher Funktionen. in einem Winkelraum. 17 


el 0e eni.) 


, 
q-— a, 2 
und da 


)- er ;)-20 60 «60.1. 


Ferner ist 


pl jn Zr lan heit jain avit 
D(n®)=D(r, E ) Di(r 2 )<D(r,, )+D(r, +00 (yr N D 


Schliesslich ist nach Satz I 
S m q) =S (r, f) 10) (D); 
und man findet aus (7): 


q 
s 1 l E NOT DD t 
(8) (0-2 860, 0(n;)-|c(n5)* G0 en-0er]«no. 
wo R(r) jetzt der Ungleichung / 
q 
3 1 
R(r) <(g—1 D D(r, =) +00) 
1 v 
genügt. 
In der Beziehung (8) kann man auch einer der Zahlen z, den Wert oo geben. Denn ist z.B. 


2,— oo, 80 hat man nur f statt Fe Zu schreiben, und die Formel (8) geht in die früher bewie- 
^q 
sene (7) über. 


Das zweite Glied rechts in (8) rührt von den mehrfachen Stellen von f(x) her. Bemerkt man, 
dass einer m-fachen Stelle von f entweder eine (m — 1)-fache Nullstelle von f' oder (falls die Stelle 
ein Pol ist) ein (m + 1)-facher Pol von f' entspricht, so folet: 

Der Ausdruck 


0,0) = C(n7) «(8605 f) 


wird durch die mehrfachen Stellen ee?» von f gebildet in derselben Weise, wie C (r; 2) vermittels 
der z-Slellen; hierbei soll jedoch eine m-fache Stelle nur (m — 1)-mal mitgezühll werden. Setzt man 
also, unter Beachtung dieser Regel, 


a (r) = yx sin k dy, 


e o0y-r 
so wird 
^ «(b EN 2 
[d = Ad 
0,6) -2x | 59 (14 ar) dt y 
0» y 
Wir haben also schliesslich das Ergebnis: » 


N:o 12. uad" 3 


18 ROLF NEVANLINNA. 


SATZ II. — Es sei f(x) eine in jedem endlichen Punkt des Winkelraumes 0<arge<z 
meromorphe Funktion. Wenn 2,,...,2, verschiedene, endliche oder unendliche komplexe Zahlen 
bezeichnen, so ist 


(LI) (q—3)8 (rf) « 9,C(r:2)— 0. (r) FERM. 
H 


wo C,(r) in der oben angegebenen Weise mittels der mehrfachen Stellen von f(x) gebildet wird, und 


(9) 16) n (4(s; Belle 00) 


Die Bedeutung dieses Ergebnises beruht darauf, dass das Restglied R(r) im allgemeinen von 
niedrigerer Grössenordnung als die Fundamentalgrösse S (r, f) «st. Wir wollen bei dieser Gelegen- 
heit auf eine allgemeine Untersuchung des Restgliedes nicht eingehen, sondern beschränken uns 
auf den einfachsten Fall, wo f(x) in der ganzen endlichen Ebene eindeutig, meromorph und von 
endlicher Ordnung ist. Es gilt dann der 

HILFSSATZ. — Wenn f(x) in der endlichen x-Ebene meromorph und von endlicher Ordnung 
ist, SO ist 


(10) R(r) = 0 (1). 


Beweis. — Wegen der Ungleichung (9) genügt es zu zeigen, dass 


A(r,! L)- 0), Br, = 0 (1). 
Zum Beweise stellen wir f(x) in der kanonischen Form 


fer 


To 


dar, wo P ein Polynom ist und 7,,”, mittels der Nullstellen bzw. Pole von f(x) gebildete 
WEIERSTRASSsche kanonische Produkte von endlichem Geschlechte sind. Es ist hiernach 


; 
2 pe fn Me ea, 


Ti Ag 


und also gemäss der Ungleichung (6) S. 16 N 


a If T , 25 T | | x! 
log | 7 |<log3 +log | P' | + log | 7* | + log =. 
+ 
Da log P'—O(logr), so folgt, dass 


an de fées 


dt 


7<Oldogr)?) + aln %)+a(r 25). 


Zur Abschützung der zwei letzten Glieder betrachten wir ein kanonisches Produkt vom end- 
lichen Geschlechte q: 


!) Wenn z,—co so hat man einfach f statt f— z, zu schreiben 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 19 


a lf 
co rera) 


(r)- Il Kin) 


Durch Differentiation ergibt sich für |e|=r, wenn |z,| — v, gesetzt wird, 


oo | ao Q 
EM rr 1 
zx cad Imzes r, r-r| 
| 1 (x z,) Ly | 1 y y 
Falls », so gross gewählt wird, dass r,>2r für v», so wird 
E ONG 1 9o 1 
^? 7 2 q al 
) — <2r! ) ——« const. re 
6 BR] m sgg | : 
Vo Vo i 


und es ist also gemäss der Ungleichung (6) S. 16 
n (2v) 


: + n' | : = de r q 
(12) log | = < Const. + g log r + log 9 (7) mer’ 
; ; 
wo n(r) die Anzahl der Punkte x, im Kreise |z|« v bezeichnet. 
Es sei nun « eine beliebige positive Zahl. Dann gilt für r — o: 


rM 1 oz 1 
: a CR In 
[m FEAT | 


v | 7. [o^ e et 


wo 7, die kleinste der Zahlen r, ist, und also nach der Ungleichung (6): 


Jå QN pM 1 | uL n(2r) ar 1 
log D (;) Fer] « Const. + (q+w)logo + log n (2r) + > log ar Er Js 
1 1 d 7 


Nun ist bekanntlich log »(r) = O(logr) und man findet aus (12) durch Integration 


z' a 2 Er) rl) 1 dt 
(13) AT OO NE Eee Et 
m JN | o (£— r,) 
Qo 
Hier ist 
fab. 
rue] En ERE MÄN f ] | 2 
i| ee [dee el, 
/ E ok qr) t 00 log a7 Lo o^ 
o 1 
ry okt 


und die Summe rechts in (13) ist also höchstens gleich 


2 n (2 0) 
Lo of 


Wählt man nun # >q+1, so strebt dieser Quotient für o — oc gegen Null und es wird gemäss 
(13) a[r, cce O((log ry). Gemäss (11) ist nun a(r, )< O((logr)), und man schliesst ver- 
mittels des Ausdruckes (7) (S. 10) der Grósse À, dass 
Ji : 
4 T Jj —( . 
4 (r, =) (1) 


N:o 12. 


20 ROLF NEVANLINNA. 
Durch eine ähnliche Überlegung kónnte man zeigen, dass auch 
NE 
(14) B(r, = 0 (1). 


Am Einfachsten geht dies indessen aus einem Satz hervor, den ich in meiner S. 9 zitierten Arbeit 
bewiesen habe. Ich zeigte dort (vgl. S. 52), dass eine meromorphe Funktion von endlicher 


Ordnung der Bedingung 
2 
hex i jr UBL Oe 
mr TE ME | rire?) 


dq — O (log) 


genügt. Es ist hiernach 


und also B (r, £)= o(*). Hiermit ist die Beziehung (14), und folglich auch die Behaup- 
= 


tung (10) nachgewiesen. 


2. In diesem Paragraphen sollen einige Folgerungen aus der Hauptformel (II) besprochen 
werden. Setzt man zunächst q=3, so ergibt sich dass die Fundamentalgrösse 5 (r, f) beschränkt 
ist, sobald die Grösse C (r; 2) für drei Werte 2 beschränkt ist, und weiter dass die Konvergenz 
des Integrals 


Ken (420) 


zur Folge hat. Verbindet man dieses Resultat mit den im ersten Abschnitte gegebenen Sätzen 
(S. 9—12), so folgt: 

SATZ 1. — Es seien f(x) eine meromorphe Funktion von endlicher Ordnung und r, (2) e'?*(e) 
ihre innerhalb des Winkelraumes 0 — arg x — E fallenden z-Stellen. Wenn dann, für einen Wert 
A>k, die Reihe 


— sin kp,(z) 
(15) 2: or 


für drei verschiedene Werte 2 konvergiert, so ist sie für sämtliche z konvergent. Falls A >k, so ist 
auch das Integral 


œ 
S (r) 


konvergent; im Falle 4 — k ist wiederum S(r) beschränkt und also, für jedes z, 


— d fh ae: [25-2] NT 
lim - Ne —— Sinkq dq und | (re ro 


r=or f(re!*) — z| 


+ 
+ log 


k 
. 
0 


endlich. 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Wnkelrawm. 21 


Dieses Ergebnis bringt, auch in dem speziellen Fall einer ganzen Funktion f, eine wesent- 
liche Ergänzung zu einigen älteren Sätzen. Es bezeichne M (v) das Maximum von |f(r)| auf 
dem Teilbogen des Kreises |z|-—r, der innerhalb eines inneren Winkelraumes W’ von W fällt. 
Unter Anwendung des s.g. Scuorrkyschen Satzes (in der schärfsten ‚Fassung, die ihm mittels 
der Modulfunktion gegeben werden kann !)) zeigte BIEBERBACH, dass wenn 


a MES: 
(16) lim M co, 


= go, 17 


die ganze Funktion f(x) im Winkelraume W der Offnung alle endliche Werte z, ausser hóch- 
stens einem einzigen, unendlich oft annehmen muss.?) Später habe ich?) diesen Satz dahin ver- 
allgemeinert, dass die Reihe 
Teo 
at) Jl 
für alle endliche z mit eventueller Ausnahme eines einzigen Wertes divergent ist, falls f(x) der 
etwas spezielleren Bedingung 
: M (r) 
(17) lin. 21 _ os 
r=or log T 
senüst. Nun lässt sich zeigen, dass die Beziehung (16) nur dann erfüllt sein kann, wenn 
S(r,f)— oco für r— oco), und wir schliessen aus Satz 1, dass, unter der Voraussetzung (16), macht 
mur die Reihe (15"), sondern sogar (15) für jedes endliche 2, ausser höchstens einem einzigen. Wert, 
divergieren muss. Das Hinzutreten der Faktoren sinkq,(z) in den Zählern der Glieder der 
letztgenannten Reihe ermöglicht gewisse Schlüsse über die Argumente der z-Stellen einer me- 
romorphen Funktion zu ziehen, die vielleicht nicht ohne Interesse sind; dies wird im folgenden 
an zwei Beispielen erläutert. 
Beispiel 1. — Sei f(x) eine meromorphe Funktion erster Ordnung, derart dass für I(x) > 0 


SM) EI NR mee 


Nach dem obigen Satz ist dann die Reihe 


sin p, (2) 
25 a) 
divergent für jedes z ausser möglicherweise für zwei Ausnahmewerte z— «a, 2=b. Man nehme 
nun eine beliebig kleine Zahl « > 0 und ziehe die Kurve L:: 


TSI p— 1. 


1) E. LANDAU: Über den Picardschen Satz (Vierteljahrschrift der naturf. Ges., Zürich, 1906). 

2) L. BIEBERBACH: Über eine Vertiefung des Picardschen Satzes bei ganzen Funktionen endlicher Ordnung (Math. 
Zeitschrift, B. 3, 1919), und: Auszug aus einem Briefe des Herrn BrgBERBACH an den Herausgeber (Acta 
math., t. 42, 1920). Vgl. auch H. Mırvoux: Le théorème de M. Picard, suites de fonctions holomorphes, fonctions 
méromorphes et fonctions entières (Journ. de Math., 1924, p. 345, insb. N:o 11). 

3) R. NEVANLINNA: Untersuchungen über den Picardschen Satz (Acta Soc. sc. Fennicae, T. 50, N:o 6, 1924, S. 28). 

*) Dies wird im letzten Abschnitt vorliegender Arbeit gezeigt (Fussnote S. 37). 


N:o 12. 


29 ROLF NEVANLINNA. 


Ich behaupte, dass die obige Reihe auch dann für jedes za, b divergent ist, wenn sämtliche 
Glieder gestrichen werden, die von den zwischen der reellen Achse und der Kurve L gelegenen 


z-Stellen herrühren. Für diese Stellen ist nämlich r,sin»g,<1, und die entsprechende Teil- 


sin py = ü Iq 
DSL 
y 


diese letzte Reihe ist aber konvergent, da die Funktion f nach Voraussetzung von erster Ord- 
nung ist. 

Eine Funktion der betrachteten Art ist z.B. /(?x). Man bestätigt mittels der STIRLING- 
schen Formel, dass sie in der oberen Halbebene der Bedingung 


summe 


S(r) — const. logr 


genügt und dass ihre z-Stellen, in Übereinstimmung mit dem obigen Ergebnis, asymptotisch in 
dem von der Kurve L- und den Geraden sin q = & begrenzten Gebiete liegen, ausser für z —0,oo, 
welehe Werte sie in der oberen Halbebene überhaupt nicht annimmt. 

Beispiel 2. — Es sei f(x) eine meromorphe Funktion, die wenigstens vom Divergenziypus 
der ganzzahligen Ordnung q ist; d. h.: wenn T(r) die in meiner S. 9 angegebenen Arbeit ein- 
geführte Fundamentalgrósse bezeichnet (vgl. die Fussnote S. 9 der vorliegenden Arbeit), so soll 
das Integral 


oo 


1 T (v) 
Er 
divergent sein. Wenn f insbesondere eine ganze Funktion ist, so ist diese Bedingung damit gleich- 
bedeutend, dass das Integral 


oo 
log M (r) 
j E ey df 


divergiert, wobei M (r) das Maximum von |f| auf dem Kreise | z|— r bezeichnet. Man weiss, 
dass auch die Reihe 


(18) 2 (en 


dann divergent sein muss für jedes z ausser möglicherweise zwei Werte (vgl. meine S. 9 zitierte 
Arbeit, S. 64). Ich nehme nun an, dass zwei solche Ausnahmewerte 2— a, 2=b tatsächlich 
existieren, und weiter, dass die z-Stellen für einen dritten Wert z- c hauptsächlich in die Um- 
gebung der q Geraden 

(19) sin gg = 0 


singe, (2) | 
x (r, t2 


für z — e konvergent ist. Da nun diese Reihe für die drei Werte z — a, b, c konvergiert, so schliesst 
man nach Satz 1, dass sie für alle Werte z konvergieren muss. Es liegen also nicht nur die c-Stel- 
len, sondern überhaupt alle z-Stellen (ausser für 2 - a, b) vorzugsweise in der Nähe der Geraden 


fallen derart, dass die Reihe 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 2 


wo 


(19), derart dass diejenige Teilsumme der Reihe (18), welche den in den Winkelräumen |sin q4 | 
« s(s7» 0) gelegenen Stellen entspricht, divergent ist, wührend die übrigbleibende Teilsumme 
konvergiert. 

Man kónnte ferner zeigen, dass eine solche meromorphe Funktion hóchstens vom Normal- 
typus der Ordnung r2 ist, d. h. dass 


log M (rn) 


zm Mr E 
lim ^ bzw. lim : 
— r 


D o Tr Y (22) 


endlieh ist *). Ein Beispiel einer Funktion, die den obigen Voraussetzungen entspricht, ist f — e^. 


3. Aus der Hauptformel (II) kónnen indessen einige Folgerungen gezogen werden, die we- 
sentlich schärfer als die im letzten Paragraphen besprochenen sind. Es sei f(x) eine meromorphe 
Funktion von endlicher Ordnung, die im Winkelraume W (o <p< =) der Bedingung S (r) > oo 
für r-— oo genügt. Nach der ersten Hauptformel (I) ist dann für jedes 2 


A(riz)- B(riz) , C(riz) _ x M SU 
SC LINE + ID —1l-Fe(r) wo e—0 für r-co. 


Durch Division mit S und Elimination der Gróssen C findet man dann aus der zweiten Haupt- 
formel (II), dass 
2. A(r;z)-4 B(r;2zj) C, (r) 
il y y AB, ^ 
De HS) A Sd set. 
Bezeichnet man mit ©(z) die Zahl 
A (r; 2) - B (r; 2) 


FRAN x rs 2) 1 33 En 
O(2)=1 —lim Se Len lim SW (DO) 
| = PNE 
so wird also a fortiori 
[^| 
a) = = 
(20) D 0()<2. 
1 


Dieses Ergebnis besteht nun wie gross die Anzahl q auch gewáhlt wird, und man schliesst folelich 
zunächst: 

Die Menge der Werte 2, für welche € (2) posi ist, ist abzühlbar. 

Diese Bemerkung berechtiet uns jeden Wert z, für welchen 6(z) nicht gleich Null ist, als 
einen Ausnahmewert der Funktion f im Winkelraume W zu bezeichnen. Die entsprechende Zahl 
€ (2) benennen wir das Gewicht des Ausnahmewertes. Aus der Ungleichung (20) folgt nun weiter: 

SATZ 2. — Sei f eine meromorphe Funktion von endlicher Ordnung, die im Winkelraume 
W der Bedingung 

lim S (r) = 


"= © 


genügt. Die Funktion besitze in W die Ausnahmewerte 21, 22, ..., 2,... Dann ist die aus den Ge- 


Y o() 


konvergent und ihre Summe höchstens gleich 2. 


wichten dieser Werte gebildete Reihe 


1) Dies kann mittels der im letzten Abschnitt dieser Arbeit gegebenen kanonischen Darstellung einer 
meromorphen Funktion in einem Winkelraum geschehen. 


N:o 12. 


24 ROLF NEVANLINNA. 


Aus diesem Satz geht u.a. folgendes hervor: 


Wenn q eine ganze Zahl >3 bezeichnet, so kann die Ungleichung 
2 — (47302) 2 

6 = : = 

9()2; (oder also lim 8(5 AN ;) 


*— (œ 


höchstens für q—1 Werte 2 bestehen. 


Wenn f(x) insbesondere einen Ausnahmewert zy vom Gewichte Eins hat, d. h. wenn 


O(n)-1 (lim 96:29 o), 
so kann die Ungleichung 
5 Lei == Qm) TID AN 
6G», (mS in) 


höchstens für q—2 verschiedene Werte 22, bestehen. 
Hat f(x) schliesslich zwei Ausnahmewerte vom Gewichte Eins, wofür also 
NUNC 
6 (2) - 1 (lim 5 -0), 
r= © 
so ist für alle übrigen Werte 2 
6 (2) = 0 tim $—1). 
r=090 


Wenn die z-Stellen einer meromorphen Funktion von endlicher Ordnung für drei Werte z 
bekannt sind, so führen die obigen Ergebnisse, insbesondere wenn sie mit den analogen, in mei- 
ner S. 9 zitierten Arbeit gegebenen Sätzen verbunden werden, zu ziemlich genauen Aussagen 
über sowohl die absoluten Beträge als auch die Argumente der übrigen z-Stellen. Um die Art 
der Folgerungen, die aus dem obigen gezogen werden künnen, zu beleuchten, untersuchen wir 


im folgenden etwas eingehender einen besonderen Fall. 


Beispiel. — Es sei f(x) eine meromorphe Funktion von endlicher Ordnung, die den nachste- 


henden Bedingungen genügt: 


1:0. — Wenn n(r:2) die Anzahl der z-Stellen der Funktion im Kreise |x | < r angibt, so 
E] o 


existiere ein Wert 2-2, derart, dass das Integral 


an 


n (r; 24) 
J re 
für ein gegebenes, ganzzahliges q divergent ist. 

2:0. — Bezeichnet n- (r; 2) die Anzahl der in den Sektoren 
(21) gingg|« e, |2|<r 
gelegenen z-Stellen, so sei für jedes s > 0 

„N. (r5 zs) 
E n(riz) 
3:0. — Es existieren zwei Werte 2, und 2,, für welche 
im eren) aee Myr nen) n 
SE ds o) ro T2) 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 25 


Unter diesen Voraussetzungen behaupten wir: 
Die Beziehungen 


99 li n.(r;2) — 
(22) HI m (riz) u.s 
* (riz 2 n.(r; 2) 
(22°) lim am I <1< Tim - 
n (T5 Z5) = ot! AS 20) 
ke) 


bestehen für jedes 2z£2,, 2. 
Zum Beweise betrachten wir die Ausdrücke 


A r 


eu e(t; 2) a RR "n (t; 2) 21 
Eq: 724 [ al ae Gr: = 24 | COR 0m 


00 [47 
die in derselben Weise mittels der Summe 
e (r, 2) -) | sin qq. (2) | 
Lo c ry cr 
bzw. der Anzahl n (r; 2) gebildet sind, wie die Fundamentalgrósse C mittels c (vgl. S. 10). Man 


bemerke zunächst, dass, gemäss der Voraussetzung 1:0, 


@(%: 20), SEN für ‚7200. 
Ferner ist nach 2:0 und 3:0 


. . €(r; zy) P 
lim =), NE 
ET n(r; 2) 
und also auch 
a L2 GRE) ) : 
mes DUM T a N 9 
(23) pa se) 0 für r-0,1,9. 


Nach dieser Vorbereitung bringen wir die Grundformeln (I) und (II) im Winkelraum 


0<y< d zur Anwendung. Es ergibt sich für jedes 22, 25: 


C(r;z) -O(Q)) Ser) C (r; 20) + Cr; 2) + C (7; 29) FO (1). 


E ö : 3 5 : =. , 2 (as eu Doy 
Zu dieser Ungleichung addieren wir die analogen, in den Winkeln = u - T (v=0, 


1,...,2q—1) geltenden Beziehungen und finden so 


u 
E(r;z) c N E(r:2)+0(). 


v=0 
Gemäss (23) gilt demnach die Gleichung 
(24) lim aen = 0 
r2 > e! 


für jedes z. 

Um weiter zu kommen, brauchen wir jetzt nachstehenden, in meiner oben angegebenen 
Arbeit (vgl. S. 68) bewiesenen Satz: 

Wenn eine meromorphe Funktion von endlicher Ordnung der Bedingung 3:0 genügt, so gilt für 


jedes 2 21, 25 


N:o 12. 4 


26 ROLF NEVANLINNA. 


100 


N (r; 2) = | esa 


0o 


Schreibt man nun die Grósse G in der Form 


3 hal 12 4qN(r; EV ; 2q\ 
DER | ts er A JAN Ga=— m | uis (1- xs) dis 
0o 0o 


so schliesst man aus (25), dass auch 
Grsz) _ 


G (Tr; 2) : 


(26) lim 
Y-— 00 

für zz, 2, gilt. Hieraus lässt sich sogleich eine weitere Folgerung ziehen. Es bezeichne G: 
den Teil von G, der von den in den Sektoren (21) gelegenen z-Stellen herrührt, also den Ausdruck 
Y 


* n. (ls z) 24 
E (a A 


+ ie 2837, 


6.0525) 24 | dt. 


[47 


Für die ausserhalb (21) befindlichen Stellen ist |sin qq,| — e, und es ist also 


e(r;2) > (n(r;z) —n.(r; 2)) € 
und folglich 
G(riz)—G. (riz) <1 Ems). 


Gemäss (24) schliesst man hieraus, dass 


3 G (1; z) - @.(r; 2) 
em a Gi an fe 


s: 


für jedes 2 ist, und die Beziehung (26) zeigt schliesslich, dass 


G.(r; 2) CRE) 
m ee) 


(28) lim 


im 4— =] für 23,2%: 
FE CCE) SE 1» #2 


PR 


Diese Formeln können aber nur dann bestehen, wenn die behaupteten Ungleichungen (22) und 


(22^) richtig sind. 


Speziellere Voraussetzungen über die Verteilung der z,-Stellen der oben betrachteten Funk- 
tion erlauben entsprechend genauere Schlüsse über die übrigen z-Stellen zu ziehen. So kann man 
z. B. folgendes zeigen: 

Die meromorphe Funktion f genüge, ausser den unter 1:0, 2:0 und 3:0 angegebenen Voraus- 
selzungen, noch folgender Bedingung: 


Es bezeichne n? (r; 2) die Anzahl der z-Stellen, die innerhalb desjenigen der Sektoren (21) fal- 
len, dessen Halbierende der Strahl q = 7 ist (v—0,1,...,9q—1). Es sei dann 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 27 
g p 


lu) 
(29) mean, 


UN) 


wo k, >0 und 


= 
N ei 
H À 0 
Dann gilt für jedes 22, 2s: 
. nV(r;2z) . n4 (r; 2) 
(30) lim ^n (r5 2) = k, = lim n (r; 2) 5. 
roo r-— D 

(30) nn né c MUTA 
INR TS EG 

oo) (f$ 9) Lan n M (7320) 


rz 


Wir führen den Beweis für den Wert »— 0 und setzen zu diesem Zweck 
À 
(s " B ga \ 
H(r;2)= 24 | Fe 2 (1 EU Ja; 
00 
hier ist 
h (t; 2)= > cosqq,(2, wo |p|< 2 
Po cry LT 


Man beweist zunächst leicht, indem man die Voraussetzungen 2:0 und (29) beachtet, dass 


h (t5 20) — n9 (t; 20) — kom (t; 20)» 
und also: : 


(31) H (r; 29) = Ge (r; 29) — ko G (v; 20), 


wobei (E der von den innerhalb des Sektors S, (| qy | < are sine) liegenden 2,-Stellen herrüh- 
rende Teil von G. ist. 
Wendet man nun die zweite Hauptungleichung im Winkelraum S, an, so folgt, da nach 3:0 


H (r5; z,) 


ndr MU ER des 9 
H (ri z,) wen) 


lim 


= 


dass 


für alle Werte 22, z, gilt. Für dieselben Werte z ist dann infolge (31) und (26) 
(32) H (r; 2) — ko G(r; 20) — ko G (v; 2). 
Wir behaupten schliesslich, dass 
(33) H (r; 2) » Ge (r; 2) (2 2E 21, 2). 


In der Tat ist zunächst 
h (76 2) ed (m — i) ES AR 


und also 
H (r; 2) < (G(r; 2) — Ge (T; 2)) + GAV (T; 2), 
GIO (r; 2 G (riz) —G. (riz 
H(riz) NC H(r;z 


N:o 12. 


28 ROLF NEVANLINN A. 
Nach (32) und (27) strebt nun das letzte Glied für r — co gegen Null und es ist demnach 


GO (r; z 
ed E 


(34) me: 


*— do 
Eine Abschätzung in umgekehrter Richtung ergibt sich durch folgende Erwägung: Es sei e eine 
beliebige Zahl des Intervalles 0<e<1 und g=y, eine Wurzel der Gleichung cosqy=6e; 
die Zahl |singy,| bezeichnen wir kurz mit za. Es ist dann 


h (r; 2) > ons, 0 (r; 2) 2e(n.® — (n — na)) Zen." (r;2) — (n (r;2) — na (r;2)), 
und also 
H (r; 2) > eG." (r; 2) — (G(r; 2) Gar; 2)), 
oder ; 
GU (p. 2) 04 G (r; 2) = Ga (15.2) 


5 
< 


Hine 5e! > eH(riz) 
Hier verschwindet, wegen (32) und (27), das letzte Glied für r — oo, und es folgt, dass 


ae 
lim VHS S 


= 

dieses Ergebnis besteht aber, wie nahe an Eins e auch gewählt werden mag, und es muss also 
(0) 

(35) lim = Ei 


= 


für jedes 2£2,, z, sein. Die zu beweisende Beziehung (33) folgt nunmehr aus (34) und (35). 
Durch Verbindung der Formeln (33) und (32) erhalten wir schliesslich die für alle 2 2,, 22 
gültige Beziehung 
G2 (r;2) — ko G (r; 20) — ko G (r; 2), 


woraus die Behauptungen (30) und (30°) unmittelbare Folgerungen sind. 


Tom. L. 


III 


In diesem letzten Abschnitt werden wir, von der Integralformel (2) S. 5 ausgehend, eine 
innerhalb eines gegebenen Winkelraumes gültige Darstellung einer meromorphen Funktion 
endlicher Ordnung herleiten. 

Es sei f(x) in jedem endlichen Punkt der oberen Halbebene /(x)- 0 meromorph. Wenn 
die zugehörige Fundamentalgrósse S (r) zunächst beschränkt angenommen wird, so ergibt sich 
die in Aussicht gestellte Darstellung direkt aus der Formel (vgl. S. 5) 


Te 


1 ID sj 1 
elften =! | log FOIrsn Er Zricosp  . [ry Peru 
0 +(£) BP — 2rtcosp 


10 
tor (og* — 1?) sin y sin 9 
o 19 or (o P € 
Q) eds fs if (ee I t r*—2prcos(8 — q)) (e +r?—2gr cos (9 + g)) dö 
= E e'—a, x b, || 0 —byx ; 
Dogs lose +Y Lg): #6, ghz (CE) 
la, | <e I by| «e 


durch den Grenzübergang o — oo. Hierbei hat man nachstehende Folgerungen aus der voraus- 
gesetzten Beschränktheit der Grösse S zu beachten: 


1:0. — Das Integral 
a 
| Hog £6 1e log fC 01] , 
P 
ist konvergent. 
2:0. — Es existiert der endliche Grenzwert 
z — 
lim - | lg) sin 4 d3 = y (z S or # 
Q—o € f (o? )—2 ^ AS binis 
3:0. — Die Reihen el, ar » 
sin Li sin B, C & . , 
al” ATI Ke RO 
und das Integral Cie 
D VEO 


N:o 12. 


30 ROLF NEVANLINNA. 


sind konvergent, und es ist also 


lim EI 2 o. 
= co 
Man findet nun: 
| Ye k m +e 
IN TC Bet — d sot N log | f (0) Id CREDAS 
0 eo (Jr 28008 p n (us er 9 


Aus 1:0 folet leicht, dass das letzte Integral tür o — oo verschwindet, und es ergibt sich also als 
Grenzwert des ersten Gliedes rechts in (1): 

ris 
T sin op 


FFE ONT 


LM 
: : f e PR UNE ; E adm , 
Das zweite Glied zerleven wir in zwei Teile, indem wir log |f| = log |f | —10g | ;| schrei- 
ben. Für den ersten Teil hat man den asymptotischen Ausdruck 


T 


+ , 
zu Louer ps 1 [he rei”) sin dad, (5.10 TUE oS 
en 


a à T 2 n(co j 5 nt 
der wegen 2:0 für o— oo gegen den endlichen Wert SO Bin y strebt. Der zweite Teil nähert 
2 : 2m(0y AS : AI . 
sich wiederum - X rsing, und das ganze zweite Glied also dem Grenzwert 


2 


= rsing, 
wobei 7 = 2 (00) — 7 (0). 
Die erste, von den Nullstellen a,—| aile herrührende Summe rechts in (1) schreiben 
wir in der Form 


1 log o* Ty x 
o poro 
( ) > S s j^ a, T 
lay | <e lay | «e 
Eiern ist. für mie ro: 
gaz | e = aya 3-1 p?— a,2 | 2r la, sin VIDET sin «, 
e'—a,x 9° Cl e (o — 7) (U (Q 
und also 
or 95r Sine Deep 
og qae eee £ —; 
2 o T = T € 
0°— ar 1 


die zweite Summe in (2) ist demnach kleiner als 


2r  €(o;0) 
Lo MEN e. A m 


und strebt gemäss 3:0 mit wachsendem o gegen Null. Der ganze Ausdruck (2) hat also als Grenz- 
wert die unendliche Reihe 


die wegen 3:0 in der ganzen endlichen Ebene konvergent ist. 
Tom. L. 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 31 


Die letzte Summe rechts in (1) ereibt schliesslich als Grenzwert die Reihe 


= log 


und wir haben also zusammenfassend das Ergebnis: 


2b, 
, 
x 


b, | 


SATZ 1. — Es sei f(x) eine in jedem endlichen Punkt der oberen Halbebene meromorphe Funk- 
tion mit den Nullstellen a, und Polen b,. Wenn dann de zugehörige Fundamentalgrösse S (v) be- 
schränkt ist, so existiert der endliche Grenzwert 


«x 


ce pd aed i À 

lim , | log |f (re*?)|sin9 d9 — s, 

= D 
0 


und es ist für jeden Punkt x = re'? der betrachteten Halbebene: 


rn 
E n rsin eo : e 
(3) log f (re = À Slog Or rus „rsin 4— D log 


T 


Le dy 
= a, 


1 æ—b, 
un > log | z—b 


v 


= 0 
Dieses Ergebnis enthält als unmittelbares Korollar einen Satz, den ich früher als eine Er- 
weiterung eines bekannten PHRAGMÉN-LINDELÖFSchen Satzes bewiesen habe. 1) Nimmt man 
nämlich an, dass !f(x)|-1 auf der reellen Achse und 


lim : | 108 | f(ref*) | sin 9 d 9 = 0, 
PEU 
0 
so ist zunächst 7<0. Wenn ferner f (x) in der oberen Halbebene regulär angenommen wird, 
so ist S(r) beschränkt und sämtliche Glieder rechts in (3) sind nichtpositiv; es ist demnach 
log |f|<0, |f] 1 in jedem Punkt dieser Halbebene. 


Wir gehen jetzt zu dem allgemeineren Falle über, wo 5 (r) mit wachsendem r selbst unbe- 
schränkt wächst. Es existiere andererseits eine so grosse (ganze) Zahl q > 0, dass das Integral 


o 


konvergent ist, und also 


Wir stellen wieder zunáchst einige Konsequenzen aus dieser Voraussetzung zusammen, die wir 
im folgenden nötig haben und die sämtlich unmittelbare Folgerungen der am Ende des ersten 
Abschnittes gegebenen Hilfssátze sind. 
1:0. — Die Integrale 

e a 


[log |f (5 || |log|f C7 01 | "alt; )+a(-t; 2) 
(4) ln PA Rennes 


sind konvergent. 


1) Vgl. R. NEVANLINNA: Über die Anwendung des Poissonschen Integrals zur Untersuchung der Singularitüten 


analytischer Funktionen (Ve Congrès des Mathématiciens scandinaves, Helsingfors 1922) und die S. 6 zitierte 
Arbeit von F. und R. NEVANLINNA. 


N:o 12. 


32 ROLF NEVANLINNA. 


2:0. — Es ist 
lim 25220, 
"T—Ho " 
; jJ SENT ; 
Schreibt man also |log | f||=log| f | + log | f I so folgt insbesondere, dass 
Jim An) [log |f (rei?) || sin 9 d9 = 0. 
3:0. — Das Integral 


[2] 


phos: [d (ri 2 ddr 
. ra 
und die Reihen 


sine, a Siné, 
(4) ae CR fö 


sind konvergent. 
Nach diesen Vorbereitungen schreiben wir, wie im ersten Abschnitte, 


log|f| — Uo + Ui, 


wo U, die Funktion (1) S. 4 bezeichnet und U, die im Satze S. 6 angegebene, im Kreise | x | Low 
konvergente trigonometrische Entwicklung hat. Wir werden im folgenden die in (3) (S. 6) gege- 
benen Ausdrücke der Koeffizienten c, durch den Grenzübergang o— co transformieren. 

Das erste Glied auf der rechten Seite der Formel (3) (S. 6) schreiben wir in der Form 


e 
(5) [ Í log | FO] *log|fC-0l 73 = | (log f (0| + log tc-9)() $. 


7 [1 +1 Tp 
00 00 


Der absolute Betrag des letzten Gliedes ist kleiner als 


e 
1 | [log] f 1 og | £C 01 7, (030) +a(o; 00) + a (— 0; 0) + a (— 0; 00) 
Te ( x 0” 
und strebt also, wegen der Konvergenz des zweiten Integrals in (4), mit wachsendem o gegen _ 
Null für jedes v>q+ 1. Der ganze Ausdruck (5) hat also den Grenzwert 


[4 


log | (0 | - log|f (— | T e, ES 
| TEM dt” fürs Eqs 


0o 
Das zweite Glied rechts in (3) (S. 6) strebt gemäss 2:0 für o — cc gegen Null, falls » = q4 1. 
Das dritte, von den Nullstellen a, herrührende Glied schreibe man: 


2 x GE Tad? y |a, |” sinve, 
v Ww e PULSI 
(4, | e i 
@<|an|l<e 0 |a,| e 
Es ist für 0 « — x 
sin re 
y 
sin« 
und also 
1 Ja, |” sinv« 1 ATHRUR 
» e TIEN en Y sin «, — —* 
v zu v 
0 0 v 
&l«,l «e & «layl «e 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 33 


Nach 3:0 verschwindet dieser Quotient aber für o —co, sobald v>q-+ 1, und das betrachtete 
Glied geht also über in 

2 sin CHE FERE 

= N ——— für jedes »>q+1. 

v |a u 

n 

| ty, | 27 0o 

In derselben Weise findet man schliesslich als Grenzwert des letzten, von den Polen b herrüh- 


renden Gliedes der Formel (3) (S. 6) die Summe 


2 sin vf 

e 2 N 

z ) Top P>g+1). 
du 1 > 00 


Zusammenfassend ergibt sich also für den Koeffizienten c, die für » > q+1 gültige Dar- 
stellung 4 


oo 


_1 f logIf(b|-- log|f 7 0| 2wxvSinve, 2wYSin»f, 
(6) e = UU (a 3» |a, |” Y 16,1” 


5 laul>@& DIET 


Man betrachte nun andererseits den Ausdruck U,,;(x), der aus der rechten Seite der For- 
mel (1) (S. 29) formal so hervorgeht, dass man o — oc setzt, und von dem Kerne des Integrals 
und «den Gliedern der von den Nullstellen und Polen herrührenden Summen die q--1 ersten 
Glieder ihrer trigonometrischen Entwicklungen subtrahiert, d.h. den Ausdruck: 


(7) Urin) | log! f (0) Rule, del + V log D, (x, aj), = V tog (D, Gr, bj), 


[t| 2 0 i lan | 2 0o I by | Z9 0s 
WO 
q 
: AU en q +1 
= r sin q jr sin » a in 
== re ) Bu t=re 
en) r?+tW—-2rtcosgp ï pri 1 D ru (a ) 
und 


a = 
Bora) 
Die 
DIE 7) 
hier bezeichnet E(w,q), wie gewöhnlich, den Werersrrassschen Primfaktor 


u? ud 


wy 
E (u, q) 2 (1— u)e m 

Man bestütiet unschwer, dass das Integral und die Summen rechts in (7) wegen der vorausge- 
setzten Konvergenz des Integrals (4) und der Reihen (4') in jedem inneren Bereich der oberen 
Halbebene absolut und gleichmässig konvergieren. U,,, definiert also eine in dieser Halbebene 
harmonische Funktion, die in jedem Punkt (ausser a, und b,) regulär ist. Auf dem Segment | | 
< ov der reellen Achse verschwindet sie und lässt sich hierüber in die untere Halbebene fort- 
setzen. Speziell ist sie im ganzen Kreise |z | < o, regulär und lässt sich also in eine daselbst kon- 
vergierende trigonometrische Reihe entwickeln. Es ergibt sich aus (7): 


8 


4 


d 


c,r'sin vq, 
1 


U,+1(8)= 


+ 


q 


N:o 12. 5 


34 ROLF NEVANLINNA. 


wo die Koeffizienten c, ebenfalls die Werte (6) haben. Man schliesst also, dass 


q 

TJ B . 
U, (rei?) = > er’ sinvg+U,+ı(re'®) 

1 


zunächst für |z| < oe, gilt; aus dem Prinzip der harmonischen Fortsetzung folgt aber weiter, 
dass die Gültigkeit dieser Gleichheit sich auf jeden Punkt der oberen Halbebene erstreckt. 

Für die meromorphe Funktion f(x) ergibt sich schliesslich die in der-ganzen oberen Halb- 
ebene gültige Darstellung 


. 


q 
(8) log | f (re'?)| = Us (rei?) + U, .1(re'v) + > c,r'sinv p, 
1 


wo U, und U,,, durch (1) 8. 4 bzw. (7) definiert sind. Wir bezeichnen nun mit f,(x) die ana- 
lytische Funktion, die durch die Gleichheit 


(9) log |fo| — Uo 


bis auf einen Faktor e'” eindeutig bestimmt ist; addiert man dann zu beiden Seiten der Formel 
(8) die konjugierten harmonischen Funktionen, so kann unser Ergebnis in nachstehender Weise 
ausgesprochen werden: 
SATZ 2. — Es sei f(x) eine in jedem endlichen Punkt der Halbebene 1(x)>0 meromorphe 
Funktion und S(r) die zu ihr gehörige Fundamentalgrósse. Wenn das Integral 
E. 


* S (r) 
| ar ar 


für ein positives, ganzzahliges q konvergent ist, so isl 


. 1005 zMci ar I] 5292 
iP,(z) * z; | log| F(0] V7 =. 
(10) f(x) =fi(r)e EIE d ! 
= I] 2,65, 
I by 1>@ 
Hier ist fo die durch die Gleichung (9) bestimmie, ausserhalb des Kreises |x| = o, (einschliesslich 


des Unendlichkeitspunktes) reguläre analytische Funktion, P, ein Polynom vom Grade <q, dessen 


x 
nn) 
x 


2) 


Koeffizienten reell sind, und D, gleich 


D, (x, a) = 


Wir beweisen noch folgenden ergänzenden 
ZUSATZ. — Die Darstellung (10) ist auch im Falle q— 0 gültig, falls S(r) beschränkt ist 
und dazu: 


(11) lim > [ | log | f (rei?) 
0 


Y — o 


sin 9d9-—0 


Ist nämlich S beschränkt, so gilt die Darstellung (3) S. 31, wo nach der Voraussetzung (11) 
» jetzt =0 ist. Diese Formel ist aber mit der obigen (10) identisch, falls q — 0 gesetzt wird. 


Tom. L. 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 35 


Aus der Darstellung (10) geht die wichtige Tatsache hervor, dass eine in einer Halbebene 
meromorphe Funktion von endlicher Ordnung k durch ihre Nullstellen und Pole und die Rand- 
werte ihres absoluten Betrages bis auf einen Faktor e", wo P, ein Polynom vom Grade q<k' 
bezeichnet, eindeutig bestimmt ist. Eine Folgerung dieser Tatsache ist, dass falls die Ordnung k 
einer meromorphen Funktion in einem Winkelraum der Öffnung : kein Multipel von h ist, die 
asymptotischen Eigenschaften der Funktion im Wesentlichen bestimmt sind, wenn das Ver- 
halten der Fundamentaleróssen A und C für zwei Werte z bekannt ist. Um dies einzusehen 
brauchen wir indessen einige Hilfssätze, die sich auf die einzelnen Faktoren der rechts in (10) 
stehenden Ausdrucks beziehen und die im foleenden Paragraphen bewiesen werden sollen. 


2. Wir beweisen zunächst den 


HILFSSATZ 1. — Es sei f(x) in der oberen Halbebene meromorph und das Integral 


f log If + De if 0 
og -log!f(— 
o [scm teens | 


konvergent. Dann ist (e=re'P) für r 09, 0<p<x 


r 


: ale - ere d D TS Pal) 
(13) sing - log |f (t) | K, (x, 0) |dt| | hr? axidte v | aradt |, 
lt|>% E Le 
wo h eine von r und q unabhängige Grösse bezeichnet, und :: 


a (t) — a (t; oo) + a (—1;6e). 


Es ist gemäss der Definition des Ausdrucks K,, falls |t] —-2 r, 


Gaye SR RE CE 450! 


|z—-t|— gg 3 — (eg qne en) 


LT ODIESE 


und für |t|« 2c 


v s IP = r sin? 9 Y M r” SEA 
sin «| Kv, t), Any t—2rícos p dr - It)” 1 
Hier ist das erste Glied rechts gleich 
sin? © 
, 
- 


wo » den Winkel bezeichnet, den der Vektor z-——1 mit der Richtung der positiven reellen Achse 
bildet, und man findet also: 
: aa S T zc] rz —31 „ar 
sing|K,|<- Due — Sh —— Mon 
Jod, vex p RE ro paa EEE 
wo h, eine nur von q abhängige Zahl bezeichnet. Es existiert also eine von r und g unabhängige 
Zahl h, derart, dass die Ungleichung 
ee pe hr 
Sin & | K,(re'?, t)| SSR 
iy 7 S preetqeeo 


für r>0 und jedes t gilt. Es wird hiernach weiter: 


N:o 12. 


36 ROLF NEVANLINNA. 


o 


la( OR R (g+NDt+gr 
sing| [log f (t) K,(x,t "m h re sa ee dat dt 
«| Jos to Ku 0 | cet f FO QE 
|t] 2 0o 00 
(t) dt 
eh: em DE 
Sl) i (tr) 


Qo 


Die Behauptung (13) folgt hieraus, wenn man das letzte Integral als Summe von zwei Integralen 
zwischen den Grenzen oy, und vr, bzw. r und co schreibt. 
Aus dem oben Bewiesenen ergibt sich der b 


HILFSSATZ 2. — Es sei f(x) eine meromorphe Funktion, die in der oberen Halbebene von 
endlicher Ordnung ist und q > 0 die kleinste ganze Zahl, für welche das Integral 


| Penes needed 
(14) RENE "gat Gg "i 
konvergiert. Es bezeichne ferner w,(x) die in der oberen Halbebene reguläre analytische Funktion 


Er) 
(15) oe ler 


und S(r, w,) die zu ihr gehörige Fundamentalgrösse. 
Dann ist im Falle q — 0: 


(16) B(r, Yo) = 0 (1). 
Ist wiederum q>1 und die Summe 
(17) alt, fk aC t f) a(t, 3) + al- i3) 
von der Ordnung (^ (g<4<q+1), so ist S(r, vj) von der Ordnung v^ —! und weiter 
Su) : 
(16) hm — 20. 
r=00 rt 


Die Ordnung der Funktion w, in der Halbebene I(x) —0 ist also gleich A. 
Beweis. — Wenn das Integral (14) für g>0 konvergiert, so ist die Summe (17) gleich 
+ ar 
er?*1 wo s—0 für r>oo. Schreibt man nun in (15): log |f | — log 1f1—108 5], so ergibt 
sich aus der Ungleichung (13) dass 
(18) sin q |log | w, |  erz* 1, 
und es ist also | 
DIN RASE . 
(19) B (ry Ye) —z; frog w(re?)|sin Fd I ere. 
0 3 
Ferner ist als, f)=a(r, w,), und also nach dem Hilfsatz 3 S. 11 A(r, do) = OA) und 
À (r, w,)=er! für g>1. Da schliesslich C'(r,#,) =0, so ergeben sich die Beziehungen (16) 
und (16’) unter Anwendung des ersten Hauptsatzes. 
Wenn, im Falle q>1, die Ordnung der Summe (17) gleich +? ist: (g<4<g+1), so ist 


die Summe A(r,+4A (ra 5) = À (r, v,) + À (r. =) von der Ordnung »^—!, Nach dem ersten 
q 


Tom.^L. 


MER. — MNA > ethdi ui 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 37 


Hauptsatz ist also S(r, v,) nicht von niedrigerer Ordnung als i^ ^!, Andererseits ist sie auch 
nicht von höherer Ordnung. Denn aus der Ungleichung (13) folgt zunächst, dass die Ordnung 
von B (r, v) höchstens gleich r»* —! ist; ferner ist C (r, #,) 0, und die Summe À (r, v) + B (r, W,) 
+ € (r, v) = S (r, w,) + O (1) kann also höchstens von der Ordnung r^- ! sein. Hiermit ist der 
Hilfssatz vollständig bewiesen. 

Wir machen insbesondere auf nachstehende Folgerung der Ungleichung (13) aufmerksam: 


ZUSATZ 1. — Es bezeichne u(r, w,) die Grösse: 
3 x 
(20) u (r, v) = max (sin q log | v, (re?) ) für 0<p<x. 


Die Ordnung von u(r, w,) ist dann höchstens gleich der Ordnung der Summe (17) und es ist 


Wenn die Ordnung 4 der Summe (17) nichtganzzahlig ist, so lässt sich der Hilfssatz 2 etwas 
verschärfen. Durch einen ähnlichen Beweis, wie der obige, ergibt sich z. B. nachstehender Satz, 
der für einige spätere Anwendungen von Bedeutung sein wird, : 

ZUSATZ 2. — Wenn die Ordnung À der Summe (17) im Intervalle g<<A<g+1l(g>1) 
liegt und das Integral 


dt 


© 1 Ae dl 
ence p pones 
E i? + 1 X 
konvergiert, so sind auch die Integrale 
f S(r, w,) Fuer, t) 
21 — dr - und —1cx1- dr 
(21) | E : AH 
konwergent. 
Wenn die Voraussetzung dieses Satzes für den ganzzahligen Wert 4-— q--1 erfüllt ist, so 
ist nach Hilfssatz 2 zwar S(r, w.) <ert1,a(r,y,)<er*, die Integrale (21) sind aber nicht 
notwendigerweise konvergent. 


Wir gehen jetzt zur näheren Untersuchung der von den Nullstellen und Polen herrührenden 
Produkte rechts in der Formel (10) über und beweisen zunächst den 7 
HILFSSATZ 3. — Es sei a, = | a, | e^» (gu — 1,2, -*-) eine Folge von Punkten, die in der obe- 
ren Halbebene liegen. Ferner sei die Reihe 
7 


4) Unter Berüchsichtigung dieses Zusatzes kann man aus der Darstellung (3) S. 31 folgendes schliessen: 
Falls f(x) in der oberen Halbebene regulär und die zugehörige Fundamentalgrösse S (r) beschränkt ist, so ist die 


obere Grenze 


u— &(r) 
lim E 
gs r=n 
"endlich, wobei u (r) = max (log | f (re/?) | sin p). 
0<p<r 
Hieraus folgt weiter, dass wenn M(r) das Maximum von |f| auf demjenigen Bogen des Kreises |x|—r 
: MC 5 : : M 
bezeichnet, der in einen inneren Winkelraum der betrachteten Halbebene fällt, auch der Quotient e 


beschrünkt ist. Von dieser Bemerkung haben wir schon im zweiten Abschnitt (S. 21) Gebrauch gemacht. 


N:o 12. 


38 RoLF NEVANLINNA. 
d sin « 
(22 uL 
) jag 


für einen ganzzahligen Wert q>0 konvergent, und æ,(x) die in der oberen Halbebene reguläre ana- 


LÉ 


/ 


lytische Funktion 


E 


(x) = Io, (x «9-]I 


Bezeichnet og 7-0 eine Zahl, die kleiner als | aj | ist, so existiert eine von r und q unabhängige Zahl 
k derart, dass die Ungleichung 


S ef eh fisci 
«xe | 20 aie | T 


für r > og besteht, wobei c(t) die Summe 


(23) log | x, (re'?) 


bezeichnet. 
Im Falle q=0 sl 
(23^) log \æ,;(x)|<O0 für I(x)>0. 


. Beweis. — Wenn q=0, so ist jeder Faktor des Produktes x in der oberen Halbebene dem 
absoluten Betrage nach höchstens gleich Eins, woraus die Beziehung (23°) folgt. Im Falle g>1 
ist wiederum 


| x 4 sin : 
24 log |.D, (re'?, a,) | 2 log| ——*|-- 2 ^ gin vp, 
o q kJ 1 o 7 
| 2—a, em v | a, | 
und also für r — |a, |: 
= sin 
(25) log | D, (rev, a,)|=—2 > SON r'sinvg. 
v a, N 
v=q+i 


Ist nun |a,|- 2r, so folgt aus (24), wenn man bemerkt, dass das erste Glied rechts nichtpositiv 


ist und dass 


| sin va, | = 


= SV, 
sin Cu = 
q 
TES 
log | D; <2sin an 2 (m, | <hr sin & (ra rem «los DOS NETS 


wo k, und %, nur von q abhängig sind. Im Falle |a,| 7-27 ergibt sich aus (25): 


; : E v. I Y ql (a, | : FESU 
log | D, |  2sin«, — 1) —82sine,|.—— EL 68in «, —— ———————- 
o q | L |a | p E | la |-r HL, d 
ea e 7 lu |a, |* (|a, | - 7) 


Jedenfalls existiert also eine von a,, r und q unabhängige Zahl k, derart, dass 


„ar 
(26) log |.D, (re/?, a,)| < k, sin «, —— —— — —- 
Ah orar " [ay E CI a,| 3-0) 


Tom. L. 


TY 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 39 


Gemäss (25) ist nun 
oo 2 
i | dert ' de(b te) | (q-- 1) t-- qv 
m, (re'?) = Y log| D, « hri | Wang n | c (1)! ET dt 
$0 


= Lo o 


log 


Le 


<k3(q+1)r1+1 | 


C] 


e (t) dt 
mRtigirn 
woraus die Behauptung (23) folgt. 

HILFSSATZ 4. — Sei q die kleinste ganze Zahl,für welche die Reihe (21) konvergiert. Ferner 
bezeichne S (r, ,) die zu der Funktion , gehörige Fundamentalgrösse und M (r, v,) das Maximum 
M (r, z,)— max|s,(re'v)| für 0<yp<e. 

Dann isl 


MT) STIS (raso) OC) 
und 


+ 
. log Mr, Hate na) = 
lim log ong —0, lim — Zu I OM fur qd 
d r qe 


Wenn die Ordnung der Grösse c(r) gleich v^ ist, so ist S(r,æ,) von der Ordnung v^ =, falls 
A>1. Ist À insbesondere nichtganzzahlig (q« À«q--1) und das Integral 


konvergent, so konvergieren auch die Integrale 


an 
"log M(r,x,) zi Du 
| Sr re dr und NE dre 


Zum Beweise bemerke man, dass [z,|-— 1 auf der reellen Achse und dass =, im Innern 
der oberen Halbebene regulär ist. Folglich ist A(r,æ,;)—0, C(r,-,)—0, und also B(r, T) = 
S(r,z;)+0(1). Die Grössen B und log M werden weiter “mittels der Ungleichung (23) 
ähnlicher Weise abgeschätzt, wie B und « im Hilfssatz 2 (nebst Zusátzen) mittels der analogen 
Ungleichung (13). 


3. Es sei f(x) wieder eine im Winkelraume W (0 < arga ET ) meromorphe Funktion von 
endlicher Ordnung 4. Wenn 4 —k ist, so ist die Summe 


(27) a (r; 2) + are’ i. ;2)+b(r;2)+c(r;2)=s(r;2 


für jedes z von der Ordnung r* und die Fundamentalgrösse S(r, f) von der Ordnung »? = * (vel. 
S. 13). Die oben abgeleitete kanonische Darstellung erlaubt uns nun folgende Ergänzung zu die- 
sem Ergebnisse zu beweisen: 


SATZ 1. — Es sei f(x) eine im Winkelraum 0<arg E meromorphe Funktion von der 
endlichen Ordnung A>k. Wenn À kein Multipel der Zahl k ist, so ist die Summe 
im 
(28). a (r, 2) + a (re* ; z) - e(r; 2) 
von der Ordnung v^ für jedes 2 ausser möglicherweise einem einzigen Wert. 


N:o 12. 


40 ROLF NEVANLINNA. 
; \ 


Beweis. — Vermittels einer Variabelsubstitution lässt sich der Satz auf den Fall k=1 zu- 
rückführen. Wir führen den Beweis indirekt und nehmen also an, dass die Summe (28) für zwei 
Werte z=« und z=ß von der Ordnung 4’<4 sei. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit 
können wir «— co und 3=0 wählen, denn der allgemeine Fall wird auf diesen zurückgeführt 
durch eine lineare Transformation, die die Ordnung der Funktion f invariant lässt (vgl. S. 9). 

Es sei nun q(>0) die grösste ganze Zahl von der Eigenschaft q« 2. Weil f von der Ord- 
nung 4 ist und g+1>4, so muss das Integral 


[72] s( f 
5) 
konvergent sein, und f(x) lässt sich also in der oberen Halbebene durch die Formel (10) S. 34 


darstellen. Es ist also 
1 
(er) 


(29) - WHEN. 


wo wv, die Funktion (15) und =, (v. =) die früher (S. 38) mit x, (v) bezeichnete Funktion bedeutet. 


Wir machen nun von folgender einfachen Bemerkung Gebrauch: Wenn f, (x) (v = 1, 2,--- 
je = 2 


Funktionen bezeichnen, die in der oberen Halbebene meromorph sind, so ist 


(30) Sh fet) Se n. 


: + + + 
Aus der Ungleichung log |f,---f,| —log|f,|-------log]f,] folgt nämlich zunächst, dass 


(30°) Ath 4)<Y AGE, Beh f) BG f). 
1 1 


Ferner sind sämtliche Pole des Produktes f,...f,in den Polen der Faktoren enthalten und also 


(30") CG hf) LOG). 


Die-zu beweisende Ungleichung ergibt sich nun durch Addition aus (30^) und (30. 
Bemerkt man, dass nach Hauptsatz I: 


S(r, zj = S (r, z,) -- O(1), 


so folgt aus (29) dureh Anwendung der Ungleichung (30): 


/ 


(31) S (r, f) < S (v, fo) + S (re^) 4- S (r, wa) + S U o, (o, JJ + S (r, e, (x, f)) 4- O (1). 


Hier ist zunächst 

S(r,f)=0(), S(r e^) 20 (rs - 9). 
Da die Summe (28) nach der Antithese für 2 — 0, 2 — oo von der Ordnung T^ (A LÀ) ist, so 
folet ferner aus den Hilfssätzen 2 und 4, dass die Ordnune der vier letzten Glieder in (31) hóch- 


N 


stens 75^ —! ist. Die ganze rechte Seite ist also von niedrigerer Ordnung als 7? —!, was unmöglich 
ist, da die linksstehende Grösse S(r, f) doch nach der Voraussetzung des Satzes genau von der 

| Ordnung »*-1 ist. Aus diesem Widerspruch geht die Richtigkeit des Satzes hervor. 
Tom. L. 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem Winkelraum. 41 


Um sogleich eine einfache Anwendung des obigen Satzes zu machen, betrachten wir eine 
ganze Funktion f(x) von endlicher Ordnung, die auf den Schenkeln des Winkels W (0 «arg < 2) 
den asymptotischen Wert oo hat und zwar so, dass die Grösse 


r 


f| --Yog fe *) ) 


ir ES 
a (r; 00) + a(re* ;o0)= | (105 
E 


von der Ordnung r? ist, wo A>k. Dann ist, falls die Ordnung von b (r; cc) nicht höher als r^ ist, 
die Funktion f von der Ordnung 4 im Winkelraum W. Ist wiederum die Ordnung 4' von b (und 
f) grösser als A, so kann man folgendes behaupten: Wenn # kein Multipel von k ist, so nimmt f (x) 
jeden endlichen Wert z im Winkelraum W unendlich. oft an derart, dass die Grösse e (r; 2) von der 
Ordnung r* ist. In der Tat ist die Funktion f von der Ordnung r^ und die Summe (28) für 2 — oo 
von niedrigerer Ordnung (r^). Nach Satz 1 muss sie also für alle endlichen Werte z von der Ord- 
nung r^ sein; hieraus folet die Behauptung, wenn man bemerkt, dass f auf den Schenkeln von 
c 
W gegen oo strebt und dass also die Summe a(r; 2) + a(re ^; 2) für jedes endliche z beschränkt 
sein muss. 
In ähnlicher Weise, wie den Satz 1, beweist man ferner nachfoleenden, schärferen Satz: 


SATZ 2. — Es sei f(x) eine im Winkelraum W (o « arg zx) meromorphe Funktion von 
der endlichen Ordnung A>k. Ferner sei das Integral 
1 eo m 
ee ke. »! 
| Smet tel; 2) dr 
. ya +1 


für z we Werte 2 konvergent. | 
Wenn 4 keine Multipel der Zahl k 4st, so konvergiert das Integral 


© ir 
a(r;z)+a(re* ; 2) eb(rsz)be(riz) 4 
d AX C e 


für jedes 2. Falls f(x) insbesondere in W regulär ist und 


+ 
u(r) = max (log | f(re'?)|sin kg), 
0<p<? 


so ist auch das Integral 


op 


u (r) 
a dr 


4. Von der kanonischen Darstellung (10) S. 34 ausgehend könnte man, in Analogie mit der 
Definition des Geschlechtes in der Theorie der in der vollen Ebene meromorphen Funktionen, 
das Geschlecht einer meromorphen Funktion in einem gegebenen Winkelraum definieren. Bei einer 
ganzen oder meromorphen Funktion ist bekanntlich das Geschlecht durch die Ordnung 4 ein- 
deutig bestimmt ausser für ganzzahlige Werte A, für welche gewisse Komplikationen eintreten. 
Mittels der in den zwei letzten Paragraphen gegebenen Sützen kónnte man analoge Regeln zur 


konvergent. 


Bestimmung des Geschlechtes einer in einem Winkelraum der Offnung i meromorphen Funk- 


N:o: 12. 6 


49 ROLF NEVANLINNA. 


tion aufstellen; die Rolle der kritischen Ordnungen wird hierbei von den Werten 4 = »:k (v— 1, 1 
2,...) übernommen. 

Ohne auf eine nähere Erórterung der oben berührten Verhältnisse einzugehen, wollen wir 
zum Schluss, als Anwendung der oben erzielten Ergebnisse, einen Satz beweisen, der einen Bei- 
trag zu gewissen Fragen in der Theorie der ganzen Funktionen liefern wird. 

Es sei f(x) eine ganze Funktion von der endlichen Ordnung 4 >; und M,„(r) das Maximum 
von | f | auf demjenigen Bogen des Kreises | x | = r, der innerhalb eines gegebenen Winkelraumes 
« fällt. Nimmt man weiter an, dass log M, von niedrigerer Ordnung als 7^ ist, so weiss man, dass 
die Öffnung des Winkels « höchstens gleich = (2 = i) sein kann. Andererseits kennt man ganze 
Funktionen (z. B. die MrrraG-Lerrrerschen E-Funktionen), die in einem Winkelraum von die- 
ser extremen Grósse sogar den asymptotischen Wert Null haben.!) 

Anders verhält sich die Sache, wenn f(x) einen endlichen Ausnahmewert z hat derart, dass 
die Anzahl n (r; 2) der z-Stellen von f (x) im Kreise |z | — r von niedrigerer Ordnung als v? ist (dies 
kann bekanntlich nur für eine ganzzahlige Ordnung 4 eintreffen). Dann kónnte man schon mit- 
tels der Wererstrassschen Produktdarstellung schliessen, dass die Öffnung eines Winkelraumes 
c, wo log M, von niedrigerer Ordnung als r^ ist, höchstens gleich I ist, was für 4 > 1 mehr aus- 
sagt als der obenerwähnte Satz. Dies ergibt sich auch als Korollar des nachstehenden, schär- 
feren Satzes, der im folgenden bewiesen werden soll: 

SATZ. — Es seien f(x) eine ganze Funktion endlicher Ordnung mit den Nullstellen r„e'” 
Weile seh NG) Ar Maximalmodul 


f v) | 


M(r)= es 


und M, (r) das Maximum von |f| auf dem innerhalb eines Winkelraumes « fallenden Teilbogen 


des Kreises |x|=r. Ferner seien die Reihe 


(32) XC) 


und das Integral 
œ 


| 

| 

| 

m 

(33) l FEM, (n dr B 
| 

| 

i 

Í 


für einen Wert k > 1 konvergent. 


Wenn die Öffnung des Winkels « grösser als = ist, so ist auch das Integral 


d log M( 


konvergent und die Funktion f(x) also höchstens von der Ordnung r*. 
Beweis. — Es sei 8 der Eksplementwinkel von e, und m;(r) das Integral 


ms) = [le |ftren)lag, 


A | 
1) Vel. die S. 21 zitierten Arbeiten von BIEBERBACH. id 
P T 


Tom. L. 


Uber die Eigenschaften meromorpher Funktionen in einem. Winkelraum. 43 


wo die Integration über den innerhalb 8 liegenden Bogen des Kreises |x | = r erstreckt werden 
soll. Wenn m; von niedrigerer Ordnung als r, ist, so folet aus der Voraussetzung des Satzes, dass 
das Integral 


œ ( 1 2x ks 
" m (r) t SPEI 
| +10"; wo m(r)=5, [ws ite ?)dg, 
0 


konvergieren muss. Es ist aber bekannt, dass für eine derartige Funktion auch das Integral (34) 
konvergent ist. !) 

Wir können also im folgenden annehmen, dass die Ordnung h der Grösse m;(r) grösser als, 
oder gleich k ist; Es sei nun «' ein vollständig innerhalb « liegender Winkelraum von der Óff- 


nung E derart dass 
k 


(7 
(35) el pes 
Unter Berücksichtigung dieser Vorschrift legen wir den Wert k’ so fest, dass h kein” Multipel der 
Zahl RA ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass «' der 


Winkelraum 0 < arg x — = ist.  Beachtet man, dass f(x) eine ganze Funktion ist, und also 


e(r,f}=e(r;cc)=0, so ergibt sich aus der vorausgesetzten Konvergenz des Integrals (33), dass 
das Integral 


D de 
a(r;z)+a(re #2) + b(r; 2) + ec (r; 2) 
k +1 dr 
x 
für z — oo konvergent sein muss.?) Da die Öffnung von «’ gleich m ist und k >k’, so schliesst 


man hieraus, dass dieses Integral für alle Werte z konvergiert (vel. S. 12). 

Nach dieser Vorbereitung gehen wir zur Untersuchung der Eigenschaften der Funktion f(x) 
in dem Eksplementwinkel # von «' über. Um unsere gewöhnliche Bezeichnungen benutzen zu 
können, denken wir uns $’ durch eine Drehung von vornherein in die Lage 
hr 


DEI: 


0 «argz « 7: wo l= 


gebracht. Aus dem oben bewiesenen schliessen wir zunächst, dass das Integral 


co 


I 
"B re $2) 
(36) de Es 2 dr 


für jedes z konvergent ist. Die Summe 
im 


a (r; oo) 4- a (re? ; oo) 


ist demnach höchstens von der Ordnung r*. Um die Grösse 
= 
Yan: 
b(r; 00) = | log |f (rev) sinl dq 


0 


1) Vgl. meine S. 9 zitierte Arbeit, insb. S. 23. 
?) Die Hilfsgrössen 5, c sind hierbei für den Winkelraum «' zu bilden 


N:o 12. 


44 RoLF NEVANLINNA. 


abzuschätzen, bemerke man, dass 8 ein innerer Winkel von f' ist und dass also eine positive 
Zahl » existiert, so dass sinlg >» für jeden Punkt z — re'? des Winkels g ist. Es ist also: 


(37) nm; (r) Eb (r; oo) & ma (r) + log M, (v). - 


Weil nun ms von der Ordnung »^ (h — k) ist, während log M, höchstens der Ordnung r* ist, so 
folgt, dass auch b(r;oc) von der Ordnung r^ ist. Schliesslich ist e(r;©)=0 und es geht also her- 
vor, dass die Ordnung der Summe 


im 


a (r; 00) + a (re! ; oc) -- b (r; oo) + ec (r; 00) 


gleich h ist. Gemäss der Ungleichung (35) ist aber h 7k 1 (- P. und wir schliessen, dass 


auch die Ordnung der Funktion f im Winkelraum f gleich h ist (S. 12). 
Ich behaupte nun, dass das Integral 


to ic 
"a(r;z) E a(re! ; z) -e(r; 2 
DEI " 


für die zwei Werte 2—0 und z—oo konvergent ist. Um dies einzusehen, genügt es zu bemer- 
ken, dass das Integral (36) für diese Werte z konvergiert, dass c(r;oc)— 0 und dass die Reihe 
(32) nach Voraussetzung konvergent ist. Ferner ist die Ordnung h 7» 0 der Funktion f im Winkel- 
raum # der Öffnung = kein Multipel von I. Aus Satz 1 (S. 39) folgt dann zunächst, dass 
notvendigerweise h = k, und aus Satz 2 (S. 41) weiter, dass das Integral 


Tes S9) y 


ré +1 


konvergieren muss. (Gemäss der Ungleichung (37) ist aber dann auch 


konvergent, und die behauptete Konvergenz des Integrals (34) ergibt sich durch die Erwágung, 
welche am Anfang dieses Beweises angestellt wurde. 1) 


Von besonderem Interesse ist folgendes unmittelbare Korollar des obigen Satzes: 
Sei f(x) eine ganze Funktion von ganzzahliger Ordnung q und das Integral 


oo 


| log M (r) 


re tl 
divergent. Wenn die Reihe 


konvergierl, so ist das Integral 


') Wir haben den obigen Satz nur im Falle k > 1 bewiesen. Tatsächlich ist er auch für k<1 gültig. 
der Beweis lässt sich in analoger Weise, wie oben, unter Anwendung des Satzes 1, S. 31 führen. 


Tom. L. 


-P-—sm 


Über die Eigenschaften meromorpher Funktion in einem Winkelraum. 45 


c + ^ 
log M, (r) 
SS dr 


+1 


für jeden Winkelraum «, dessen Öffnung = ist, divergent. 


Wenn r,(2)("—1,2,--:) die absoluten Beträge der z-Stellen der ganzen Funktion f(x) 
bezeichnen, so kann man nach einem Satz, den VALIRON !) zuerst bewiesen hat, schliessen, dass 


die Reihe 
er 
Ilse 
unter der Voraussetzung des letzten Satzes für jeden endlichen Wert 20 divergent sein muss. 
Der obige Satz führt nun zu folgender Erweiterung des Varrronschen Satzes: 


Es sera ein beliebiger Winkelraum von grösserer Öffnung als T Unter den Vorausselzungen 


Es 


wo die Summation nur über die ın « gelegenen z-Stellen erstreckt wird, für jedes endliche 20 


des letzien Satzes ist dann die Reihe 


divergent. 
Ich habe diesen Satz früher (vgl. die in der Fussnote?) S. 21 zitierte Arbeit, insb. S. 28) unter 
der Voraussetzung bewiesen, dass ein innerer Winkel «’ von « existiert derart, dass das Integral 


o 
[ log M, (r) 


rt tl 


dr 


+ 


divergent ist. Diese Bedingung ist aber nach dem obigen Satze tatsächlich erfüllt. 


1) G. VALIRON: Sur les fonctions entières d'ordre entier (C. R. Acad. Sc., t. 174, 1922). 


N:o 12.’ 


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ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 13. 


ÜBER DIE NUMERISCHE INTEGRATION VON 
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 


VON 


Er I NYSEROM 


(Mitgeleilt am 25. September 1925 von E. Lindelöf und K F. Sundman) 


HELSINGFORS 1925 


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VORWORT. 


Die angenäherte Integration hat, besonders in der letzten Zeit, ein ausgedehntes Anwen- 
dungsgebiet innerhalb der exakten Wissenschaften und der Technik gefunden. Nicht nur in 
Fällen, wo die Integralfunktionen unbekannt sind, ist man auf Nàherungsverfahren angewiesen, 
sondern es kommt auch vor, dass die theoretiseh entwickelten Integrale derart kompliziert 
sind, dass man für praktische Zwecke Approximationen vorziehen wird. 

Der Zweck der vorliegenden Abhandlung ist, die wichtigsten Methoden der numerischen 
Integration von Differentialgleichungen darzustellen. Unsere Abhandlung gehört somit der an- 
gewandten Mathematik an. 

Im ersten Abschnitt derselben wird die Rungesche Integrationsmethode auseinandergesetzt, 
welche die meistens sehr mühsamen Reihenentwicklungen zu ersetzen bestimmt ist. Da bis 
jetzt die direkte Anwendung der Rungeschen Methode auf den wichtigen Fall von Differential- 
gleichungen zweiter Ordnung nicht behandelt war, haben wir hierüber eine eingehende Unter- 
suchung angestellt. Als Ergebnis davon haben wir mehrere neue Formelsysteme gefunden, 
welche die gleiche Approximation wie die früher bekannten mit bedeutend geringerem Arbeits- 
aufwand erreichen lassen. 

Der zweite Abschnitt ist denjenigen Methoden gewidmet, die in der astronomischen Störungs- 
rechnung ihr klassisches Vorbild haben. Einige der gebräuchlichsten Integrationsformeln nebst 
ihren Restgliedern werden unabhängig voneinander durch Integration, von bekannten Interpola- 
tionsformeln abgeleitet. Auf diesem Wege hat z. B. J. C. ADAMS seine Integrationsformel 
(s. S. 32) abgeleitet. Wir geben übrigens eine andere Formel (41), welche dieselben Differenzen 
benutzt, wie die Adamssche, die sich aber durch bequemere Koeffizienten auszeichnet. Unsere 
Formel ist ein Analogon zu der von C. STÖRMER aufgestellten, bequemen Formel (54) für die 
zweifache Integration. Ferner werden die Verfahren der Fehlerabschätzung recht ausführlich 
besprochen. 

Schliesslich wird im dritten Abschnitt die praktische Ausführung der numerischen Inte- 
gration behandelt; die Vorschriften der verschiedenen Methoden werden miteinander verglichen 
und durch Beispiele erläutert. Dabei wird auch die manchmal sehr nützliche »Methode der 
sukzessiven Approximationen» berücksichtigt. 


UN uy 


un 


N uy IDP AR 


N UN A U 


Un up 


AN wn un 


Loo FR WIN 


Inhaltsverzeichnis. 


Vorwort. 

Erster Abschnitt: Die Rungesche Integrationsmethode und darauf beziigliche Untersuchungen. 
Integration von Differentialgleichungen nach den Methoden von Runge und Kutta . 
Allgemeiner Ansatz für Differentialgleichungen zweiter Ordnung 

Aufstellang der Bedingungsgleichungen. 

Auflósung der Bedingungsgleichungen 

Zusammenstellung der Formeln . 

Fehlerabschátzungen 

Beispiele . EIN rode AV PTE DIT ty TIC EMT E cnr. d TE e e 
Zweiter Abschnitt: Integration von Differentialgleichungen durch numerische Quadratur. 
Zurückführung der Integration von Differentialgleichungen auf numerische Quadratur 
Die wichtigsten Integrationsformeln 

Über die Genauigkeit der Integrationsformeln 


. Beispiel zur Erläuterung der Fehlerabschätzungen 


Dritter Abschnitt: Über die praktische Durchführung der pes len dete ue 
Die Methode der sukzessiven Approximationen . 


. Beispiel der sukzessiven Approximation . 


Allgemeines über die Wahl der Integrationsmethode 


. Ergünzende Bemerkungen betreffend die Summationsmethode . 
. Beispiel aus dem Zweikórperproblem . 


Errata. 


Seite 


Erster Abschnitt. 


Über die Rungesche Integrationsmethode und darauf bezügliche Untersuchungen. 


= 


$ 1. Integration von Differentialgleichungen nach den Methoden von Runge und Kutta. 


1. Wenn es sich darum handelt, den Verlauf einer durch einen gegebenen Anfangspunkt 
(t,æ) gehenden Integralkurve der Differentialgleichung 


(1) mato (tuu) 


analytisch zu verfolgen, liegt es sehr nahe, der unabhängigen Veränderlichen t einen Zuwachs 
At zu geben und die entsprechende Zunahme Az der gesuchten Funktion z zu berechnen. Man 
gelangt so zu einem neuen Punkt der Integralkurve, von dem man wieder ausgeht, um einen 
dritten aufzusuchen. Man kann auf diese Weise eine Reihe von Punkten der Lósungskurve be- 
rechnen, wobei die Differenz At der Abszissen zweier aufeinander folgenden Punkte, wenn man 
will, bei jedem Schritt verschieden sein kann. 

Um Az zu berechnen, kann man die Taylorsche Reihe 


d'z (At)  d*z (At) 
dips "e TEW 


da 
(2) Az 0 Mir 


benutzen, wobei die einzelnen Differentialquotienten sich nacheinander aus (1) ableiten lassen. 
Durch Differentiation nach t wird nämlich erhalten 

d*z " , , 

FFT mL A =, +{f, 

AM, ran 9 F1" 2n 27 19 

Se ges arp pto p p. 

Es wird natürlich vorausgesetzt, dass die Taylorsche Reihe für die betrachteten Werte kon- 

vergiert; wenn das aber der Fall ist, kann durch Berechnung genügend vieler Glieder derselben 
Az mit beliebiger Genauigkeit ermittelt werden. 


2. Die praktische Anwendung der eben geschilderten Methode stósst in den meisten Fällen 
auf grosse Schwierigkeiten, weil die Ausdrücke für die hóheren Differentialquotienten im allge- 
meinen sehr kompliziert werden. 


4 E. J. NYSTRÖM. 


Daher hat Runge ! eine Methode gegeben, die später von Heux ? und Kvrra? vervollstän- 
digt worden ist und welche gestattet, den Wert Az, bis auf Glieder einer gewissen Ordnung in 
At, durch Berechnung einer Anzahl von Werten der direkt durch die Differentialgleichung (1) 
gegebenen Funktion f zu finden. Die Idee ist folgende: 

Ax wird als Mittelwert aus mehreren, mit geeigneten Gewichten a, b, c, d,... zu versehen- 
den Werten A'x (7— 1,2,3,...) bestimmt, die folgendermassen sukzessiv berechnet werden: 


(Az —f(t,z) t, 
| A"y =f(t+xAt,x + x A'z)A, 
(3) | Ag FEE ANT, qo et (EES 0) NEN 
Ag f (CER ANDE ro Ar NS pe (u o-a)Am) At, 


Die hierbei auftretenden Grössen z, 4, ..., r sollen zusammen mit den Gewichten a, b, c, d, ... 
so bestimmt sein, dass die Entwicklung des Ausdrucks 
(4) Ac = aA'z --bA"x + cA" y + Am +... 


in móglichst vielen Gliedern mit der Entwicklung (2) übereinstimmt. 


3. In seiner schon zitierten Abhandlung hat Kurra gezeigt, dass für Näherungen 2., 3. 
und 4. Ordnung bzw. 2, 3 und 4 Funktionsberechnungen nótig sind, und mehrere Formeln der 
betreffenden Art aufgestellt. Eine von ihnen, die vier Funktionswerte benutzt und eine Genauig- 
keit von der vierten Ordnung gibt, lautet 


Nr = f(t, x) At, 
A" = f(i +3 At;2 N) T)'AE, 


(5) Y AU -Tü-55,2 IA" x) At, 
AT SPECTAT DEA) TA 
An = : [Az -- 2 A" + 2 A"'z 4- A" 3]. 


. 


Sie hat sich für die praktische Rechnung als besonders brauchbar erwiesen und hat unter dem 
Namen der »Runge-Kuttaschen Formel» in vielen Lehrbüchern Aufnahme gefunden. 

Wünscht man die Glieder der Taylorschen Reihe (2) bis zur fünften Ordnung einschliesslich 
richtig darzustellen und benutzt man zu diesem Zweck fünf Funktionswerte, so stehen nach (3) 
im ganzen 15 Zahlenkoeffizienten zur Verfügung, während die Anzahl der mit ihnen zu erfüllen- 
den Bedingungen gleich 16 wird. Die grosse Zahl der letzteren erklärt sich folgendermassen: 
Sollen die beiden Ausdrücke (2) und (4) bis zu den Gliedern einer gewissen Ordnung in A: für 


* RUNGE, Math. Ann. 46 (1895). S. 167—278. Seine Formeln können ebenso wie (5) und (7) als Erweite- 
rungen der »Simpsonschen Regel» aufgefasst werden. : 

? HEUN, Zeitschr. Math. Phys. Bd. 45 (1900). S. 23—38. 

3 KUTTA, Ebenda, Bd. 46 (1901). S. 435—52. Erst hier findet sich der vollstándige Ansatz (3). Litera- 
turangaben über die früheren Formeln sowie über den ganzen Gegenstand überhaupt enthält RUNGE-WILLERS: 
Numerische und graphische Quadratur und Integration gewóhnlicher und partieller Differentialgleichungen in 
Enc. math. Wiss. II. C. 2. S. 148—950. 


Tom. L. 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 5 


beliebige Funktionen f(t, x) übereinstimmen, so müssen nicht nur die Koeffizienten gleicher 
Potenzen von At einander gleich sein, sondern innerhalb dieser Ausdrücke auch die Teile, die 
in den partiellen Ableitungen gleich gebildet sind. Die beiden ersten Potenzen liefern je eine 
3Meiehung. Die dritte Potenz liefert jedoch zwei, die vierte vier und die fünfte Potenz endlich 
acht Gleichungen; im ganzen also für eine Näherung fünfter Ordnung 16 Bedingungsgleichungen. 
Diese lassen sich nun mit 15 Unbekannten nicht befriedigen, es sei denn, dass sie voneinander 
abhángig wären. Ob dem so ist, lásst sich wahrscheinlich erst durch sehr lange Rechnungen fest- 
stellen, und die Frage ist unentschieden. Sehr wichtig ist die betreffende Untersuchung nicht, 
denn aus den Bedingungsgleichungen ist zu ersehen, dass die zugehórige Formel, — wenn sie 
wirklich existierte —, mit unbequemen Koeffizienten versehen wäre und nur einen geringen 
praktischen Wert besässe. 

Kurra gibt noch zwei Formelsysteme an, die sechs Funktionswerte benutzen und eine Appro- 
ximation fünfter Ordnung ergeben. Aus irgendeinem Grunde ist das zweite von ihnen fehlerhaft; 
es soll so lauten (wenn wir t, x statt x, schreiben): 


Atque tay A, 


Aa rli+3, 24 At, 

A" = f(ta n Le, 

dr Pt Duca ne 

Ar = (i + = el — nn At, 
AVIS = rt zt = x + 8 Am + 10 SEE 36 Az + 6A'x ) A 
Ag — 234œ+ 125 Aa — 81 A'z-125AV!g 4 | 


192 

4. Rune hat bemerkt ?, dass sein Verfahren auch auf Systeme von simultanen Differential- 
gleschungen angewandt werden kann, und Kurra zeigte ®, dass seine Formeln für jedes solche 
System gelten, bei dem die Anzahl der Gleichungen gleich derjenigen der gesuchten Funktionen 
ist. Man lässt nur jede Funktion auf dieselbe Weise wie x in die Formeln eintreten, und es zeigt 
sich, dass die Ordnung der Näherung für jede Funktion dieselbe wird, als wenn es sich um eine 
einzelne Gleichung für diese handelte. 

So lässt sich z. B. das System 


| du. gru h(t, x,w), 
(6) 


| En ln f (t, 7, wu), 


falls die Anfangswerte von t, x, u gegeben sind, mit der aus (5) durch Verallgemeinerung entstan- 
denen Formel 


* Bei KUTTA steht 
AMICI f(t £at $ „taz — SAX + 18 A" i 7 A'x 
5 30 
> In dem unter ! genannten Aufsatz, S. 172 ff. 
$ EMDEN: Gaskugeln, Leipzig 1907, S. 92 ff. 


N:o 13. 


_ 48 A'z + 125 A" — 81 A x + 100 Vlr 
Tr CTP CAEN 


Jar, Ac 


[er] 


E. J. NYSTRÖM. 


Az —h(t,z,w)At 
A"g Be z,u-- 1A u)At, 


Au er 
Au =flt+5 han: 245A zut 4 u)At, 


AU" a —h(t- tee A s aio, Nw) AE, M AT wo T A tum SAT aw OA PAL) AY 


m 1 1 n | “11 n 
(7) | A" —h(t--5At,z 45 PTT ‚ut, S UE CUR LUE singe AAT o DEO 2,u d I A" u)Aë, 
1 Hn Hn nu LA , Hn n ny 
| Ax = {Az 4.24724 2A" 2 LATI], |A = [d'u +24 u + 2 Au + Nu 


integrieren, und zwar wird dadurch eine Approximation vierter Ordnung sowohl in x als u erhal- 
ten. Dabei werden für jede Funktion vier Funktionswerte berechnet. 


5. Bekanntlich lässt sich eine Differentialgleichung hóherer Ordnung sowie ein System 
soleher, auf ein Normalsystem zurückführen (die Gleichungen (6) bilden ein solches mit zwei Funk- 
tionen), indem man die höheren Ableitungen als neue Funktionen bezeichnet. In der Praxis kann 
es jedoch unter Umständen vorteilhafter sein, die genannte Zurückführung in anderer Weise zu 
bewerkstelligen. 
Wenn also die Anfangswerte der Funktionen und ihrer Ableitungen gegeben sind, kann auch 
ein System höherer Ordnung mittels der Formeln Kurras integriert werden. Werden z.B. die 
Formeln (7) auf ein System von Gleichungen zweiter Ordnung 


| 5 RUN Oros ey ORO oed e 0 
(8) RES VE y'—v 


angewandt, so nehmen sie folgende Gestalt an, wenn man sie für zwei Funktionen (x, y) aus- 
schreibt: 


A'y = wAt, Au = (UD, yummy NU. 

| Az —(u-5M u)AL Mu —f(L-1M g 1A qwe ous u, pra v) At, 
Sis = (u Sa" uw) At, Au = f(t + 5A x 5" a s ; A" y, ur, | A" u. ?5 I A" v) At, 
AU y—(u-oAUu)AL, Au f(1-- Ai x- A"Um,y- A"y,w- A'’u,v+ Ao)At, 


Ny = våt, AE (CY Ur ue D) ANS 
A"y (v-p IA v)At, Av = g(t + 5 At, z+o A z,y Fo yurın u,v+sM v) At, 
je — (o DAP v)At, Av = g(i +34, c-+5 LA" zy E SA" y,u+3sA u,v+så” v) At, 


A"", —(vo-- A"vo)At, A""o—g(t-- At, z-- Ng yt A"y,u-- A’u,v+ A”v)At 
Am s [Aa +24” 2 + 2A” + AUT] Au= lau + 2 Au + 2 A" uy + Au], 
Ay — s [Ay + 9 Ay --9 AU 4 + AU" ,4]. Av — a [Av F 9A" y + 9 A" y + AU]. 

Die erste Gruppe dieser Formeln gibt nebst den Ausdrücken für Az und Au die Vorschrift 

zur Integration der Differentialeleichung 2" — f(t, z, w). Der Vergleich mit (7) lässt erkennen, 


dass eine Differentialgleichung zweiter Ordnung sich mit viel geringerer Mühe integrieren lässt 
als ein System von zwei simultanen Gleichungen der ersten Ordnung, was darauf beruht, dass 


'Tom. L. 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen 7 


die Berechnung der Funktion h beim Übergang auf (9) ganz fortfällt. Entsprechendes gilt für 
den Fall mehrerer Gleichungen. 

Bisweilen, etwa wenn f oder g grosse Werte annehmen, kann es vorteilhaft sein, die oben 
angegebenen Formeln nicht direkt anzuwenden, sondern zuerst einen Wechsel der unabhängigen 
Veränderlichen vorzunehmen. 


8 2. Allgemeiner Ansatz für Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 


6. Auf obige Angaben (nebst Bemerkungen über die praktische Benutzung der Formeln) 
beschränken sich sämtliche, uns bekannte Darstellungen der Runge-Kuttaschen Methode. 

Der Umstand, dass im Normalsystem (8) die Hälfte der Gleichungen von ausserordentlich 
einfachem ‚Bau ist, gibt jedoch zu der Vermutung Anlass, es gäbe möglicherweise Formeln, die 
speziell für dieses System eine bequemere Integration gestatteten oder etwa, bei dem gleichen 
Arbeitsaufwand, eine bessere Approximation lieferten als die Formel (9). Für Differentialglei- 
chungen höherer als zweiter Ordnung ist diese Vermutung noch mehr berechtigt. 

Wir beschränken die Untersuchung indessen auf beliebige Systeme von Differentialgleichungen 
zweiter Ordnung, die weitaus das grösste Interesse bieten, insbesondere durch ihr häufiges Auf- 
treten in der Astronomie, der Physik und der Technik. 

Wenn die Integration von (8) mittels (9) ausgeführt wird, werden die Grössen A"w, A"»,... 
mit den Werten 

Da u N AIT A = Misi AA UE oc og 


(wo = 3 berechnet. Es sind aber die Grössen A"z, A"5,... schon bekannt oder sie können 
wenigstens vor A"4, A"v,... ermittelt werden; daher hätte man allgemeiner setzen können 


Aq, — f(t-E 0st, m-E 0m, y E039. sr sr WE 0g Ww, 0-090, --.) At, WO 


(10) 051— 44,41, 052 — (44— 941) Az tue, day —(41—9u4) Ay + iu A"y, . 
OU SA TACNA 03 a as 
und analog für A"5»,..., wodurch ein neuer Parameter gewonnen wäre. 
Weil aber die A'z, 4 y,...,(2— 1,2,8,...) lineare Funktionen von u,A’u,A’v,..., 
(r—1,2,...4— 1) sind, erscheint es natürlicher, 052, 0,y.... mit Hilfe der letzteren aus- 
zudrücken. Wir schreiben daher statt (10) 


(11) dut —4A4t, 0,2 — [Au + oA'u]At, day — [4v + 94'v]At, ...,03u = AA'u, 05v — AN, ... 
Nach diesem Gesichtspunkt werden wir nun einen allgemeinen Ansatz aufstellen, indem wir 

unter den Funktionszeichen lineare Verbindungen aus möglichst vielen der Grössen Mu, A’v,... 

in Betracht ziehen. Dadurch wird eine gróssere Zahl von unbestimmten Koeffizienten hinein- 


gezogen, als es bei dem Kuttaschen Ansatz der Fall ist. 
Um konsequent zu sein, müssten wir A’u so ansetzen 


(12) Nu=f(i+zAt,x+zxuAt,y+zxvAt,...,u,v,...)At 
und ähnlich für A'v,... Das wollen wir jedoch nicht tun, sondern berechnen zuerst ebenso wie 
Kurra die Funktionen f,g,... mit den Anfangswerten Von t, 2,9, ...,u,v,... Erstens kann 


es nämlich vorteilhaft sein, die Funktionswerte gerade in den Anfangs- und Endpunkten der Inter- 
N:o 13. 


| 


8 E. J. NYSTRÖM. 


valle berechnet zu haben, namentlich dann, wenn die gefundene, erste Annäherung mittels der 
Methode der sukzesswen Approæimationen? verbessert werden soll, und ferner hat ein von uns 
mit (12) begonnener Ansatz zu solehen Bedingungsgleichungen geführt, die es fast unumgänglich 
erscheinen liessen, x = 0 zu setzen. 

Während Kurra die Funktionen x, y,...,"u,v,... sämtlich als gleichberechtigt ansieht und 
auf dieselbe Weise behandelt, lassen wir diese Voraussetzung fallen, indem wir die Funktionen 
æ,y,... nur unter sich und ebenso ihre Ableitungen «, v,... nur unter sich als gleichberechtigt 
ansehen. Zwar könnte man in 052, 059y,... und 0,u,05,v,... die Koeffizienten 4 und ebenso die 
“4 als verschieden annehmen; das würde aber nur unnötige Komplikationen mit sich bringen und 
schliesslich doch zu demselben Resultate führen, was wir jetzt nicht näher begründen wollen. 


7. Nach diesen Bemerkungen können wir gleich den allgemeinen Ansatz hinschreiben. Da- 
bei schliessen wir mit dem fünften Funktionswert, weil wir im folgenden hóchstens je fünf Werte 
Au, Àv,... zur Bestimmung von Az, Aw,... heranziehen werden, Unser Ansatz lautet, wenn 
wir uns der Kuttaschen Bezeichnungsweise anschliessen: 


A'w — f (t4- 0;t, c + dix, y + Óiy, ..., u + Ó;u, v + div,...)At 
Av = g(t4- dit, + dix, y + diy,..., u + diu, v + div,...) AE 


wo (in Übereinstimmung mit (11)) 


OO OU OU 0e ona 20, 

mE dt 

d2x = [Au + o A'u]|At, du = ANU, 
95y — [4v + oM v]At, 0,0 = AA'«, 


Ost = wAt 
ds — [wu +(o— r)Au+ TA”ulAt, 
= [uv 4- (c—€*) Av + TA” vJAt, 


c 
[3 
< 

| 


ds = v Åt 
dax — [vu +(p—x—#) Au + x A"u t v A"w]At, 
0,y — [vv - (S —x — v) A'v + x A^ v + wA" vJ At, 
Gs = EAE 
[E 


[ru - (E—9$—£— 9) A'u + y A" u + EA" u + JA””YUJst, Ó 
05y = |rv + ($—«—6£— 9) A'v + 2A" v + CA"" v + 94"" 9] At, 0,» = (rn 


a, fel Lone + 07) 


Og = (p —T,) Au + v, Au, 
059 = (u —7,) Av + 1, A" v, 


Ó4Qu — (v —34— V4) A'u + y, Au + y, Nu, 
dv — (v—31— V1) Av + q1A"^ v + y, Av, 


gu — (Tr — 9 — 6103) Au + 7 A" wr E Au + dy 


6,—94,)A'o E94 A" v + CAT o 4:99 


Zu bemerken ist, dass wir z.B. in dem Ausdruck für 04 z den Koeffizienten von A’u mit c —c 
bezeichnet haben, statt ihn einfach e zu nennen. Das ist in der Absicht geschehen, die folgenden, 


ohnehin sehr breiten Rechnungen abzukürzen. 


* Vgl. Nr. 45 und 47. 


Tom. L. 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen 9 
: Die Grössen Az, 4y, ..., Au, Av,... bildet Kurra als Mittelwerte und wendet jedesmal 
1 dieselben Gewichte a,b,e,... an. Dagegen setzen wir 
N 
4 ( Az —[u-- a A'u-- b Mute A’u+d Mute AVu+-.-]At 
| Au = a! d'u + b! N'w + c' Nu, + d! A" +e AY pee 
e (Ay—[v-- a A'u+b A"v-- c A" oc d Ave AYo- At 
| Av = a’ Mv + b! N'vo-4- c' Av d! Ay e! AYo d, 
50 d bio cr capa cf US © Re ot TC TRUE TALENTE : 
indem wir also neue, passend zu bestimmende Koeffizienten hineinziehen. 
' 8 5. Aufstellung der Bedingungsgleichungen. 
j . 8. Die folgenden Entwicklungen werden wir so gestalten, dass sie für ein aus beliebig vielen 
; o o o [o] 
Gleichungen bestehendes System (8) gelten. Es wird jedoch genügen, die Formeln für nur zwei 
r g J genug 
[ Funktionen x, y hinzuschreiben, denn daraus geht schon die allgemeine Form der Ausdrücke 
1 hervor. 
Zunächst müssen wir die Taylorschen Reihen der Funktionen x,y,...,u,v,... bilden, 
/ damit wir die aus (13) und (14) folgenden Entwicklungen mit denselben vergleichen können. 
" Bei den Differentiationen wird es praktisch sein, folgenden Operator 
À ; io Opes [7 or) à 
1 Da ob aguas Eponge 
einzuführen. Wenden wir ihn auf eine Funktion g (1,2,%Y,...,u,v,...) an, so ist das Ergebnis 
er Ip L op Pe: M. 
; Dg 3:7 Vg EE bat d393 3 2 
r wir sehen also, dass D nichts anderes bedeutet als eine Differentiation nach t. Durch formale 
| Anwendung des binomischen Lehrsatzes werden nun VR Operatoren gewonnen 
M D, à à à D a. 9? ö CE 
EA TRES atf gat Er L3 ane Te 58r re 
p rare Lime ID ) El 33g otom t Tie Dem "Tm ca uf mus 5 
| à D à à 3 9 9? 9° as 
GENE ER ICE A 20 I Ms RARE Re EE CARS 2 io rm 
D T uas tu DI UV ) RS I ea er Coran ‘ 


u.s.w. Ferner gelten die Regeln 
D(g+w)=Dg+Dy, D(gw)=gDw+wDy, 
DE ER ED eg D tp: CE DPD*—-'g t DgDvr-tgt + 2] (n=1,23 3. 2). 


9. Es kommen in D drei Arten von partiellen Ableitungen vor: erstens solche in bezug 
auf die unabhängige Veränderliche t, dann die in bezug auf die gesuchten Funktionen x, y, ... 
und schliesslich Ableitungen in bezug auf die Funktionen w,v,..., die ihrerseits Ableitungen 
der gesuchten Funktionen sind. Wir kónnen indessen eine gróssere Symmetrie dadurch erreichen, 
dass wir die Veránderliche t als eine der gesuchten Funktionen betrachten. Denken wir uns näm- 
lich zu den Gleichungen (8) noch die Gleichung 1" = 0 hinzugefügt, so ist nichts im Wege, t als 
gleichberechtigt mit &,y,... anzusehen, und zwar lautet für diese Funktion die eine Anfangs- 
bedingung t’ = 1. Diese Auffassungsweise erlaubt uns nun, t ganz zu ignorieren, wenn wir nur 
dafür Sorge tragen, dass unsere Formeln für eine unbeschränkte Anzahl Funktionen c,3.... 
N:o 13. 2 


10 E. J. NYSTRÖM. 


gelten. Anders ausgedrückt: Wir operieren s0, als ob die unabhängige Variable in den Gleichungen 
(8) explicite gar nicht vorküme. Für die Übersichtlichkeit ist das von grossem Vorteil. 
Nun bilden wir die Ableitungen von x, y,... und erhalten für die vier ersten 


z'—uw,z"-—f, z"-Df 2” = D?f + ff tf 2n See DT ES f; Dg- > dd 

y'—v, y"—g, y" — Dg, y" = D*g- gif -g,9*---- g; DE - gi; Dg ^ 
Die mittels derselben erhaltenen Taylorschen Entwicklungen für x und « sind auf Seite 
12 —13 in je eine Kolumne geschrieben und bis zu den Gliedern fünfter Ordnung einschl. in At 
fortgesetzt. Der Grund, warum wir diese Schreibweise benutzen, wird später klargelegt werden. 


10. Die Zuwächse Ax, Ay,..., Àw, ^v,... müssen auch nach Potenzen von At entwik- 
kelt werden. Dazu brauchen wir den Taylorschen Lehrsatz für mehrere Variablen, den wir unter 
Benutzung der sog. symbolischen Multiplikation in folgender Form schreiben: 


f(t-- it, x + dix, y + diy,...,u + Ó;ju, v 0;io,...) S f(t m, y... ., 9,9...) E 


TR uS eain Dei bos don ation oec nid Mr cR 


wo in jeder Klammer derselbe Ausdruck steht wie in der ersten. 

Die Grössen 0;2, d;y,..., d;u, 0;v bilden wir jedesmal nach (13) und bleiben bei den Glie- 
dern vierter Ordnung stehen, falls die Reihen nicht eher abbrechen. Nachdem diese Ausdrücke 
bekannt sind, benutzen wir die Formel (15), um die Reihen für A'u, A'v,... zu entwickeln. So- 
dann bilden wir dis, 0; 419, ..., ı1u, d+10,... und gehen so Schritt für Schritt weiter. 

Die Übersicht über die z. T. sehr weitlàufigen Ausdrücke versuchen wir durch folgende An- 
ordnung zu erleichtern. In A/«,... erscheinen nach und nach. dieselben Glieder wie in den Tay- 
lorschen Reihen für æ,...,u,..., und nun haben wir diejenigen Glieder der erstgenannten Reihen, 
die einen gemeinsamen Koeffizienten bekommen, bereits beim Hinschreiben der Taylorschen 


Reihen für æ,...,u,... (S. 12—13) in eine Gruppe zusammengefasst und für sie eine besondere 
Zeile reserviert. Dabei ist unter einem Koeffizienten eine Funktion der unbestimmten Para- 
meter 4,&,..., 3, verstanden. Die Reihen A'4 tragen wir jetzt, nachdem wir sie mit den zu- 


gehörigen Gewichten a, b,c,d,e multipliziert haben, in je eine Kolumne der Tabelle S. 12—13 
ein, und zwar brauchen wir dabei nur die Koeffizienten hinzuschreiben, da die mit diesen zu 
multiplizierenden Glieder auf derselben Zeile in den z- und «-Kolumnen schon angegeben sind. 

Die Bedingungsgleichungen, deren Aufstellung das Ziel dieser ganzen Rechnung ist, treten nun 
fast unmittelbar hervor. Der Koeffizient (in dem angegebenen Sinne) irgendeines Gliedes der 
Taylor-Reihe muss nämlich nach (14) gleich sein der Summe der Koeffizienten desselben Gliedes 
in den Reihen für aA'u, bA" «, cA" u, dA" u, eAVu, bzw. a/ Au, b' Au, c' A" wu, d' A", e' Au. 
Diese Gleichungen kónnen aus unserem Schema ohne Schwierigkeit abgelesen werden; auf der 
einen Seite des Gleichheitszeichens steht in jeder ein Bruch, und diesen Bruch haben wir von den 
Gliedern der Taylor-Reihen stets als Faktor abgetrennt. 

Bisher haben wir nur die Reihen für Az, Au, A'u, (1 = 1, 2, 3, 4, 5) ausdrücklich in Betracht 
gezogen, genau dieselben Bedingungsgleichungen ergeben sich aber beim Vergleich der beiden 
Reihen für Ay, Av. 

Wir stellen hier die Grössen 0;2,0;y,0;u, 0;v, (— 2, 3, 4, 5) zusammen. Man bekommt 
der Reihe nach 

Tom. I. 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 11 


0,2 = AuAt+of(At)?, 
Md,y = 4vAt + og(Ai)?, 
| dau = Af At, 
| d,v = 4g M, 


Bo - pudt+ of (At)? + Ae Df (At)? [oc (f; f - f,9) - 4* v5 lp? f](Au)4, 
| D poA + 0g(At)?+ Ac Dg (A0? + [er (97f - 9,9) + 4*5 | D?g](A0)*, 
I u=ufht +7, Df (AO? t [ov (Kf + 5,9) + 42 7, D? f (At)? t [Len (f Df, + gDf,) + 4 rı ; D*f (A05, 
DO = ugAt + Ar, Dg (A0? + [orı (9f - 9,9) + 223 5 D?9] (A0? -- [40 | (DY, + 9D9;) +43 7, 5 D? gJ(A0)* 


MO, = vu At+ qf (AO? + (n + Ax) Df (At)? + 
t IE fig)(ov ox) c An v (Df + f; Dg) + (nv 22%), D*f (AU*, 
MO y = vv At + 9g (A)? + (eV + 4x) Dot)’ + 
+ [(g!f + 9,9) (o v + ox) + 4 v (g; Df - 9, Dg)+ (w* v - 4?x)a ; D*g |(A*, 
deu = vf At-- (uw, + 4x1) Df (At? + 
+ [Gi + 0x1) (7f + f,9) + Av vs (Df + fi Dg) + (9? Vx 42 4) 3 Df (A0? + 
ETC +de) (D, + gDfj) + (u* v4 2341), Def er ii (LL e + fiat + 9,9)) + 
Tie, Vi (FL D*f + f! D? g) + Aut V, CDf Df) - Dg Df,) - vv, (KDE), Dg)| (A0. 
Bv=vgäi+------ 3 


x = KUA + Ef (At)? + (v9 + nC - 49) Df(At)8 + 
E IG fig)(e9 rot on) - (Df *- f;Dg) (ev19 + 419 +486) + Q5 + i? C4 429) 3 D*f (A0*, 
dy = &vAt-- Eg (At) + (v9 E pE- 13) Dg (A0)? + 
| + [(^f + 9/9) (99 ++ on) + (g/DÉ+ g!Do)(u bad + 339 + à C) (29 + ut +427); D'g](A0*., 
du =rfAt+ (v9, + wir + Ag) Df(At)? + i 
| [GL 10) (955 + 08 + em) + N DI + f1 Dg) us D + kt m Ga) + Q9 9v e Doe 42) DIA + 
EDI gDfD (ph + pot, + AoT) + (+ Ub + Am) Df + 
S UTE + 1,9) + fí(g;f + 9,9) (GV19i + 0x8 921-0161) + (n? v, 3 4 227, Hy + 4270) 5 (2 D*f f; D*9) + 
t Of Df; + Dg D) (ur di + Argıdı + Au 151) + (f; Df + f,Dg)(nu9,-- Ay9, + tb) + 
+ (ADF + Dg) + (Df + 9! Dg)l le Vi ( age, 
d;v — zgAt Sia n 


Der Kürze wegen haben wir die Ausdrücke für d,v, d,v nicht hingeschrieben, sie können 
leicht nach der Analogie von d,u, d,u gebildet werden. 

Nun lassen wir die Tabelle der Reihenentwicklungen und der Bedingungsgleichungen folgen. 
Die letzteren haben wir mit laufender Numerierung versehen, und zwar bezeichnen die Num- 
mern 1—12 diejenigen Gleichungen, die aus den Reihen für Az erhalten wurden, während die 
Gleichungen 1/—32 durch Identifizierung der beiden Reihen für Au entstanden sind. Diese 
Gleichungen enthalten die Gewichte a’, b’, c', d", e’, die ersteren dagegen die Gewichte a, b, c, d, e 
als unbekannte Koeffizienten. 
N:o 13. 


JP ES PP A EE EN BHL ELE E a 


Axz=urNt 


Ar=uAt+ 


+ É(A0? x 
+ Df (At)? x 


+ (AUD) x 


(HT + tg) x 

+(f,Df+f,Dg) x 

tgD*fx 

+ (At)? x 

{GDF +9Df,) x 

+ DX 

AIT 1,9) Fi (OR + 9,0) x 
+ $GLD*f + f,D°g) x 

+ (Df Df, + DgDf,) x 

IDE Do) x 


+ [A GL Df f; Dg) + f (o; Df + g;/Dg)] x 


N aAu+bAutcA”"urd 
a'A'u+b'A''u + eA" wl d' 


sir min 


| — € 


Tb 
bA 


bo 


b A? 


bio 
b 3 


bo? 
bio 
bas 


GC 
Tcu 


+c0 
CAT, 


+ cu? 


+ euo 

tcu? 
cot; 
cA? 44 
cluT; 


CAT 


+ co? 

+ cu?6 

+ cm‘ 
de 
cA?« 
cAoTı 
case, 
ca? 
COÂT: 
cu? Av, 
cuit 
ck OT: 
CWA? vi 


Au) At 
u ; cuoi EM Au 
Au = 
N 1xfAt+ 14 
3x Df(At) + 2. 
| (A6) x 
| = (x fo 3’. 
+ mé: tån) | = | sx (Df - fIDg)4 H^ 
| = | sxsaD*f)4 5. 
(At)! x 
= | (ax Df gDf)) + 6’. 
ES xe DAE [i 
för + 061 + 011) = | ax GET f fitfeog]) + 8% 
29, + n? 6, +429,) = | 5x 3(f/ Def + fD2g) + 9'. 
(99; + nC, + Ayı) = | 3x(DfDf:+DgDf!)+ 10". 
9+u6+ Aq) = | ax (Df flDg) ^ 11”. 
Mad + Amd ài) = | a XL DE FED9) AF IDA Do)l} + 19. 
(At)! x 
= ax Alf pe BI" fac fg) + 137. 
E = | TX (f D*fz- gD*fo) + 14. 
= > M DI 15'. 
e(p9+ eC + on) fig) ACH -- 9,9)] + 16'. 
y39 + u? C 4- A23) = | exilfDtfe f Dg] 17'. 
&(v99; + not, + 207) = | awXxIU A Dfi-9gDfj) + f; (Da; - gDg,)] + 18. 
v9, + n°, + 4271) = [sm g(f; D*f + f;D*g) + | 19". 
(95; + n£i + A)? = | Ax MON Dt D+ (DAT 20”. 
(v94 + n5, + À91) = | aXGLIDI -fZÍDg f oDf *f,gDg) + 21^. 
(vd, + nC, + 291) LOU Ex a (DEDIfL + Dg DE) + 22. 
(CENTER = | gx(DfDf' - DgDf^) + ME 
(99; + GE + 091) = | dxIG TDI + (af + 99) DE] + 24. 
]-- em (»?9, + ul, + 2234) = | ExQODf' e D*gDf)4 95'. 
(EJ; 9 + 43,9 + Av, 0) = dx [GDf + DI - f (2 Df + 9! Dg)] + 36. 
BAG D + ox D temi) = [gsx [fs Us E fa) + (at + 9,9)1 + 27”. 
| + FIG + £0 + gl (gif 2591] + 
(u*y,9, + 423,9, + Ari) = DEE FLD*g)-t fz(g; D?f F9, DEG 28’. 
DEEP D + 4vg19; + Aurılı)= a X [f.(DfDf} + DgDf,) + f,(DfDg, + DgDg,)] + 29". 
fred + Ax 9, + At) = | XL Di E f Do) + fi (9; Df + g;Dg)] + 30°. 
|-em(nuid + xd +6) = | gx [GDF - f;Dg) Df, + (ge Df + g;Dg) Df;] + 3r. 
| år 9, = | 4x [EIE GLDEA ED9) + f. (g! DE g/Dg)]. 32". 
| | + fL [9, (f; Df - f; D9) - g; (g, Df+gDa)]]; 


14 E. J. NYSTRÖM. 


8 4. Auflósung der Bedingungsgleichungen. 


11. Bei der numerischen Integration von Differentialgleichungen bildet im allgemeinen 
die Berechnung der Funktionswerte den weitaus grössten Teil der Arbeit, denn alles Übrige sind 
im wesentlichen nur Additionen und Multiplikationen mit verhältnismässig einfachen Koeffi- 
zienten. Daher werden wir bei der Bestimmung der letzteren stets mit môglichst wenig Funk- 
tionswerten den gewünschten Grad der Annäherung zu erreichen versuchen. 

Aus der grossen Tabelle der Bedingungsgleichungen werden wir nun bestimmte Systeme 
von solchen herausgreifen, durch deren Auflösung sich Näherungsformeln verschiedener Ordnung 
erzielen lassen. 


Unter einer Näherung einer gewissen Ordnung n für ein System (8) verstehen Runge und — 


Kurra eine solche, die die Taylorschen Reihen 
Az = uAt + Sf (M)! oS Df (A9 +... Au f ESDf(ADM sÁ- 


bis auf Glieder n-ter Ordnung einschliesslich richtig darstellt. Es ist dies eine notwendige Folge 
aus der Betrachtung des Systems (8) als eines Spezialfalles des Normalsystems. Von unserem 
Standpunkt aus erscheint die Frage berechtigt, ob es nicht natürlicher wäre, die Ordnung der 
Näherung n zu nennen, wenn die gesuchten Funktionen bis auf Grössen n-ter, ihre Ableitungen 
aber bis auf solche der n—1. Ordnung einschl. riehtig angenáhert werden, weil nämlich dann in 
beiden Reihen gleich weit in der Berechnung der Ableitungen z"', z"". .... gegangen wird. Jedoch 
wollen wir die frühere Benennung nicht ändern, werden aber Formeln untersuchen, die sich ent- 
weder der einen oder der anderen Auffassungsweise anschliessen. 

Gelegentlich werden wir die Ordnung nur durch rómische Ziffern andeuten und daneben 
die Anzahl der zu berechnenden Funktionswerte schreiben; so würde z.B. die Bezeichnung 
(IV, III, 3) auf eine Náherungsformel hindeuten, die eine Approximation vierter Ordnung in 
den gesuchten Funktionen und-eine der dritten in ihren Ableitungen liefert und zwar durch Be- 
rechnung von drei Funktionswerten für jede Funktion. 


A. Näherungsformeln für Differentialgleichungen zweiter Ordnung, in denen 
die ersten Ableitungen fehlen. 
19. Wir werden zuerst eine besondere Klasse von Differentialgleichungen zweiter Ordnung 


(8) untersuchen, nämlich solche, wo die ersten Ableitungen w, v,... fehlen. 
Auf die Form eines solchen Systems lässt sich jedes Normaisystem 


Ta: : d 
vr UTR RUE dd ln nei. 
bringen. Durch Differentiation findet man nämlich 
d’xz oF OF dx OF LYNN d'y. 0G 0G dr 0G dy, . 
di ot ‘ox dt ^ ày dt ' dit ot "de dt og dt ^ 


In diese Ausdrücke tragen wir die Werte der ersten Ableitungen von z, y,.. . ein und bekommen 
dann ein System der verlangten Form 


à d’x d?4 
(16) ag cf m yes) Sie mg (eges ac 13) Pos 


Tom. L. 


":T-—"l€.———————— 


i 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 15 


Differentialgleichungen dieser Art kommen oft in den Anwendungen vor, in der Mechanik 
z. B., wenn die wirkenden Kräfte von dem Ort und von der Zeit abhängen, nicht aber von den 
jeweiligen Geschwindigkeiten. 


13. Aus dem allgemeinen Ansatz (13) geht hervor, dass als Folge des Auftretens von u, v,... 
‘in den Differentialgleichungen (8) die Koeffizienten mit dem Index eins, also 7,,...,%, in den 
Bedingungsgleichungen erscheinen. Daraus lässt sich schliessen, dass im Falle eines Systems 
der Form (16) alle diejenigen Bedingungsgleichungen, wo diese Grössen vorkommen, fortge- 
lassen werden können. In der Tat haben wir in diesem Falle = ff gg ,-...0, 
und können uns überzeugen, dass die Glieder der Taylorschen Reihen, die den genannten 
Gleichungen entsprechen, identisch verschwinden. Die Nummern dieser Bedingungsgleichungen, 
die also im Falle des Systems (16) nicht erfüllt zu werden brauchen, sind: 4, 8, 9, 10, 12; 4”, 
8^ 9° 107 12^ 18/—99". 24'—39". 


14. Zur Bestimmung einer Näherungsformel dritter Ordnung (III, III) ist es notwendig, 
das System der Gleichungen 1,2,1', 2, 3, 5' zu befriedigen. Diese lauten, wenn wir nur zwei 
Funktionsberechnungen voraussetzen, also'e= d— e— c' — d'2e'— 0 setzen, 


1 1 1 1 : 1 
- a+b=;, bl=;, a! Eb, — 1, bacs, b'o— s, DUAE E 
Die Lósung ist eindeutig bestimmt, und es ergibt sich 
T9 b EU UN SEES NEIN C 
üt Maine ee 


Die Formel selbst ist nebst den anderen an anderer Stelle (S. 23) angeschrieben und wird dort 
mit Nr. I bezeichnet. Dabei erscheint es zweckmässig, gewisse Grössen A’x,A'y,... wieder als 
Abkürzungen einzuführen. 


15. Zur Bestimmung der Koeffizienten einer Näherungsformel (IV, IV, 3) erhält man das 
folgende System von Gleichungen: 


TERRE =: d am bM crie ils 6’. b'Ag+c'uo = à 
9. 1 ; 
! 
I 


1 , 72 TE 1 T! D , ad ^ 
äh bá Went 211 b’A T6. — HO DEAE CRM | IBRARY = 
3. bo +co -3 Bn b'o +c’o = all c'it= EN fap 
BR aS uh p batteur. y 
> Dre JOUÉ Te) Tab 


Wir versuchen zuerst 4 und u zu bestimmen, denn wenn diese Grössen bekannt sind, Können 
die anderen Unbekannten linear ermittelt werden. Durch Elimination von b',e' aus 2’, 5’, 7 
bekommen wir die Relation 


|? 2 3| 

| 1 A+u 1 
0-2! ut z|=Aulm 1)[ 3 un 

ue 


Es muss 


N:o 13. 


16 E. J. NYSTRÖM. 
as poseen 


sein, denn die anderen Möglichkeiten, nämlich 4 — 0, u = 0 oder À = u würden, wie leicht er- 
sichtlich, zu einem Widerspruch führen. Nun folgt aus 3', 5^; 6', 7’ 


b'(4*—29)--c'(u?—20)—0, b'4(4*—20)-- c'u(u? —26)—O. 


ec’ kann wegen 11’ nicht verschwinden und b' wegen 2', 5’, 7’ auch nicht; daher folet 
g 


2 
(19) 0 — 9» UI 


Diese zwei Relationen machen nicht nur 3' und 6' mit den Gleichungen 5' und 7' bzw. identisch, 
sondern auch 3 und 5 untereinander. In anderen Gleichungen unseres Systems kommen o und 
o überhaupt nicht vor. 

Werden nun À und « so bestimmt, dass die Relation (18) erfüllt ist, so bestimmen sich die 
anderen Unbekannten eindeutig und zwar Y 


QI bc ausis o bastbrzxcOraus. 552 b 7^ raus oM os aus (H9) 


Damit werden in der Tat alle 11 Gleichungen in (17) befriedigt. 

Den willkürlichen Parameter (4 oder u) können wir entweder dadurch verwenden, dass wir 
dem System (17) noch eine Gleichung hinzufügen, um etwa ein bestimmtes Teilglied fünfter Ord- 
nung in der z-Reihe richtig darzustellen, oder aber um das Wurzelsystem möglichst bequem zu 
gestalten. 

Für den letztgenannten Zweck liegt es sehr nahe w = 1 zu setzen, womit wir nach (18) 4— i 
bekommen. Es ergibt sich weiter in der beschriebenen Weise r 


i-i RUNI 0-1, 6-35, T—j. a=}, bu CE UI =}, = 

Dieses Wurzelsystem wird wohl das einfachst mögliche sein; die zugehörige Formel, Nr. II, 
S. 24, erinnert sehr an die »Runge-Kuttasche», setzt aber nur drei berechnete Funktionswerte 
voraus, statt vier wie jenes.3 Bei der Untersuchung der Restglieder werden wir zeigen, dass das 
neue System dem alten auch an Genauigkeit nicht nachsteht. Dasselbe macht es unnótig, eine 
Näherung (IV, IIT) zu suchen, da zu der letzteren ebenfalls drei Funktionsberechnungen erfor- 
derlich wären. 

16. Hóhere Näherungen als die schon behandelten kónnen wir erst durch Hinzunahme eines 
vierten Funktionswertes erhalten, in welchem Falle wir nach (13) und (14) über 17 Koeffizienten 
verfügen kónnen. 

— Zunächst schreiben wir die Bedingungen für eine Náherung (V, V, 4) vollständig auf: 


5 Wie die »Runge-Kuttasche Formel» als Erweiterung der »Simpsonschen Regel» gilt, kann unsere Formel 
Nr. II als Erweiterung einer gewissen Kubaturformel aufgefasst werden, die in der Literatur unter verschie- 
denen Namen, z. B. »régle des trois niveaux» vorkommt; zuerst wohl in CAVALIERI: Una Centuria di varii 
Problemi (Prattica Astrologica), Bologna 1639. Vgl. Enc. Math. Wiss. II. C. 2. $. 129. 


c 


Tom. L. 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 17 

| LA Gr tr REG OR ET = 9: 17. a! 4- b + c' + d’ = 1 
2: bi +icu +dr = ; , 2”. b'à cu +dv = : , 
8. bo +c0 +dy = 5 > 23% bo +co +d’q = : , 
5 bA? eu? --dv? = = , 5'. b'à? +c'u? +d'v? = : ; 
6. bio + ceuc + dvçp — ig , 6’ b'Ào +c’uo +d' vg = = , 
7/6 bà3 +cu® + dv? = = , Te: bä eus -Ed'r? = : , 
(20) 4 11. cAT +d(u + ÀX) — qu 1122 e’At +d’(uw+ ix) = ,, a 
8. We dee dui P 
14’, b'À*o +c'u?o + d’r?œp = — 
di^ blan out +d'vt = 2 
16'. cov +d'(oWw+0X) =) 
UTA c'À*v + d' (u?W + 4? x) - 4. 

PRI c'uir +d'r(uw+iy) = = 


Die Auflösung gestaltet sich ähnlich derjenigen von (17), aber natürlich verwickelter. Da- 
mit die vier in b’, c', d' linearen Gleichungen 2', 5', 7, 15' vereinbar seien, ist die Bedingung 


z| 
Altus = 2 | 
|a? 2 y? L | 
| RCE ev  Au+Ar+tur Ata+v 1 
| DIETER "o RE S cae 
13 u? ver T 
| 4 
kal benfe m 
fer u! 9^ pg 
notwendig, wo ' 
À uv 
Pp-a vt —-aAur(A—u)(g—v)(v—4A). 
[22 4828| 


Sie ist auch hinreichend, wenn wir vorläufig die Annahme PZ£0 machen. Dann haben wir 


luv À Av pe y 1 
(21) x SEE T ;-0. 


Wie bei der Auflösung von (17) zeigt es sich, dass, 4, «, » als bekannt vorausgesetzt, alle übrigen 
Parameter sich durch diese rationell ausdrücken lassen. Die IGrössen a,b,c,d werden linear aus 
1,2,5. 7 berechnet, ebenso a’, b', c', d' aus 1', 2, 5', 7’, und zwar ergibt sich 


(22) teer cus bc re DW CERO ce 
[eremo =%, del, a=1-v-e-d’, 


N:o 13. 3 


18 E. J. NYSTRÖM. 


lj 1 

ze RR LATINE 

AA Ue | cte - eor emos 1 N | 29. + uv u+v 1 
^ut ab us = ma =") ee b |: Bk u? » 3 [= —uwr(u [5 3 a 

(97 yos 3005 A1 

NEA AIR drin 

| À 1 i 23. z | 

| = = 

|| À A+v 1 | ; a dv À- 1 

ea Ictus H ) 

1 

LU + 1 NE 

2 T Au At l D | ;2 1 - lu Àc-u 1 
pe 44 nie -inta-n)| +. D ut; |=—Au(i=u) 9 + tel: 

13 S) M) 5; vim 

EEE AP amis 


Um 6,6, zu bestimmen, bilden wir aus 5’, 3'; 7, 6; 15”, 14' das homogene System 


b' (42—90o)+c (u?—-20)+4d (»*—24)290, 
b'à (42— 20) + c’u (u?-- 20) -- d'v (vr? —2$4)— 0, 
b’A2(42 — 20) -- c'u?(u? 20) -- dv? (v? —29) — O0. 


Wenn b', c', d' alle von Null verschieden sind, folgt hieraus, weil P=0 angenommen wurde, 


22 u? v? 


(24) Ta 2 NS SR 


Unter den Annahmen b' — 0, c' — 0 oder d' — 0 würde man aus 2', 5', 7, 15” für u und v, bzw. 
À und », 4 und « bestimmte, irrationale Werte bekommen, während 4 bzw. p,» unbestimmt 


blieben. Aus 11’ und 23' erhält man aber für e' 2 0 den Wert v =; und für d’=0 den Wert 


[fim = diese Annahmen führen also zu einem Widerspruch. Wenn b’=0 ist, gelten jedenfalls 
die beiden letzten der Relationen (24). Zieht man noch die aus 17’, 16’ zu erhaltende Gleichung 
(c'r + d'x)(42— 20) + d' w(u?— 260)=0 in Betracht, so sieht man, dass entweder 20 = 4? oder 
c'r-- d'y —0,ist. Die letztere Annahme führt aber in Verbindung mit b'-— 0 auch zu einem 
Widerspruch, denn damit würde aus 11' und 17’ der Wert u -i folgen. Wir sehen also, dass 
die Gleichungen (24) stets erfüllt sein müssen, wenn Pz£0 ist. Mit den dadurch bedingten Werten 
für o, c, g werden alle die 7 Gleichungen von (20), die o, o enthalten (nämlich 3, 3', 6, 6”, 13”, 
14’, 16'), mit gewissen anderen (5, 5’, 7, 7’, 15', 16', 17") desselben Systems identisch. 

Es bleibt nun übrig, die vier Gleichungen 11, 11’, 17', 23' mit den drei Parametern c, w, x 
zu befriedigen, was den Grössen 4, &, v eine weitere Bedingung als (21) aufzuerlegen scheint. Wir 
betrachten zunächst die drei in bezug auf 27v und ww + Ay linearen Gleichungen 11, 11', 23”. 
Diese lauten, wenn wir nach (22) die Ausdrücke für c, d, c', d' eintragen und mit P multiplizieren, 


Wee *D(pU-iy) —ggP-—0, 


(85) C’ir +D'(uw+ix) —g P- 


C'uàr - D'v(uw +) — = P=0. 
Eine notwendige Bedingung für ihre Vereinbarkeit miteinander besteht in dem Verschwinden 
der Determinante - 


Tom. L. 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 19 


l ) 
120 À 


Gt D 

(26) ie EE: 
, AN El 

C'u D'v 30 P 


Falls P 0 ist, kann, wie wir gesehen haben, eine Lösung nur existieren, wenn weder c' noch 
d' verschwindet; daher müssen infolge (22) auch C' und D' von Null verschieden sein. Wir sehen 
1 
dies besagt aber, dass die genannte Bedingung für die Vereinbarkeit der Gleichungen (25) auch 

hinreichend ist. Nun tragen wir in (26) die Ausdrücke (23) ein und erhalten 


nun, dass die zweireihige Unterdeterminante des Elements P in (26) nicht verschwinden kann, 


lee IER. el Ay en l 

TER 29 Te RE 

A UE not End Lan EL NE 1 
mU pr AE) IN EEE LIU i 
| | 

Av A+v 1 Au AEST NU E SE 

ke FT Wr e pea] 5 


Diese Determinante transformieren wir noch folgendermassen 
K,K;:K,; | =|K, Ka »vK—uK;-(w—v)Ks,Ks, 


wobei K,. K,, K, symbolisch die drei Kolonnen derselben bedeuten. Es ergibt sich dann statt (26) 


| dt À y 
(6 12 12 20 | 
vn leg À 1 
een 3 à | 
CRM | Auv | Àg -Àv*ur utv 1 lj 
[8 4 DE 3 4 5 Bl 


Wegen (21) ist aber das zweite Element der dritten Zeile der Determinante gleich 2 daher er- 
halten wir endlich 


ART RT 
EME) 
POLE AU fa Jet GOT 
Bion XI AE ENG UE 
TTE PETAT 
SUD ANUS 


Die Entwicklung dieser Determinante zeigt aber, dass dieselbe ?dentzsch verschwindet. Wenn 
(21) erfüllt ist, ist also (26) stets gleich Null. Daher ist von den drei Gleichungen in (25), nämlich 
11, 11',93', die erste durch eine lineare Kombination der beiden anderen zu erhalten. f 

Zur Bestimmung von c, v, benutzen wir nun die Gleichungen 11',23', 17’. Die Auf- 
lósung liefert eindeutig bestimmte Werte, denn die dreireihige Determinante des betreffenden 
Systems ergibt sich zu c'd'^4*u (u — à)(u — v) und ist von Null verschieden, da wir PZ0 ange- 
nommen haben und weder c' noch d' verschwinden kann. 

Die Auflösung von (20) geschieht also, indem man den drei Grössen A, u , v solche Werte gibt, 
die die Relation (21) befriedigen und keine der Grössen P. C'. D' zum Verschwinden bringen. 
Dann werden die übrigen gesuchten Grössen eindeutig bestimmt und auf die angegebene Weise 
berechnet, wodurch, wie gezeigt, sämtliche Bedingungsgleichungen (20) erfüllt werden. Es ist 
somit eine zweiparametrige Schar von Näherungsformeln (V, V,4) gefunden worden. 

N:o 13. 


20 E. J. NysTRÔM. 


Noch muss der Fall P — 0 untersucht werden. Es ergibt sich, dass keine der Grössen 4,4, 
À — u, u — v verschwinden kann, ohne einen Widerspruch zur Folge zu haben. Für » —0 und für 
À- v existieren zwar Lösungen, diese enthalten aber irrationale Koeffizienten und sind daher 
unbequem. a 

Es ist vorteilhaft. ein Koeffizientensystem zu bestimmen, wo d = 0 ist, denn mit der zuge- 
hörigen Formel kann man Ax,Ay,... berechnen, ohne A""4, A""5.... ermittelt zu haben. 
Das beste, von uns gefundene Wurzelsystem dieser Art wird für 4 — E u 2 
und lautet 


,v-41 erhalten 


2 
o 


1 25 9 1 2 7 9 2 

| * ^2 5. geste rann Anden rare Ten KF 
Iioc meg S vos Er cup" MR ND VE 
[a za re GE = N 


Die Formel ist auf S. 24 mit Nr. IIIa bezeichnet. 
Unter den sonstigen Wurzelsystemen ist vielleicht dasjenige das einfachste, welches erhal- 


ten wird, wenn man 7=0 und =0 setzt. Es ergibt sich dann eine Formel Nr. III b, wo 
23 25 9 25 2 2 4 4 
| a = 192? b m 61° C 64? d 192? mr: PSS pap T —0, y —0, DS) 
23 125 27 2 2 8 4 
[dog bo d'ou = Lim won ag 


= Die Untersuchung über Näherungen für Systeme der Form (16) schliessen wir jetzt mit der 
Bemerkung ab, dass wir solche von der Ordnung (V, IV) nicht aufgestellt haben, weil dieselben 
schon fünf Funktionsberechnungen erforderten und daher nur wenig einfacher wären als die ge- 
naueren Formelsysteme (V, V). 


B. Näherungsformeln für beliebige Differentialgleichungen zweiter Ordnung. 


17. Obgleich jedes Normalsystem und also auch jedes System der Form (8) sich mit Hilfe 
der schon gefundenen Formeln integrieren lässt, wollen wir noch einige Näherungsformeln ablei- 
ten, die direkt auf (8) anwendbar sind. Die in Nr. 12 angegebene Transformation kann nämlich 
unter Umständen unangenehme Komplikationen mit sich bringen. 

Wie vorher suchen wir mit möglichst wenigen Funktionsberechnungen auszukommen. Auch 
betrachten wir es als vorteilhaft, wenn zwei Funktionswerte mit denselben Argumenten z + d'x, 
y + 0/y,... zu berechnen sind und der Unterschied nur darin besteht, dass an Stelle von u + d'u, 
v--0'v,... die Argumente w+ d'tlu, v--0'*!o,... treten. Es ist klar, dass in der Arbeit 
dadurch oft eine erhebliche Erleichterung eintritt, wie etwa in dem Falle, dass die Differential- 
gleichungen in bezug auf die ersten Ableitungen linear sind. 

Hätten wir z. B. eine Formel für eine Approximation vierter Ordnung in 2,9. ..., w, v, ... 
mit vier Funktionsberechnungen, von denen z. B. in den beiden mittleren die eben genannte 
Vereinfachung eintritt, so ist nach (13) 4 = w, o — c und 7 — 0. Eine derartige Formel wollen 
wir mit (IV, IV,3 - 4) bezeichnen. 


18. Um eine vollständige Approximation dritter Ordnung (III, III) zu erhalten, haben 
wir drei Funktionswerte zu berechnen und das folgende Gleichungssystem zu lósen: 


Tom. L. 


^ - 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. ; 21 


1 , , , ' 
1. a+b +c = 5 1. a +5 Tc zd 
9 bå + cu=3, pu bL A. e^ uw =; 
3’. b'o +c’o = 
5 1 
4”. c'Ati=;, 
DS b’A2 + c’u2 -p 


Es erweist sich hier möglich, die Bedingungen 4 — w, o — 6, r —0 hinzuzufügen, wodurch 
eine Approximation (III, IIT, 2—3) gewonnen wird statt eine (III, III, 3) wie sonst. Man findet 
aus dem Gleichungssystem eindeutig 


ARS EN db ra PL REC MIE 6-5, r=0 
EN EE N erro AUT ETT mv 
A : Ka : à ; 3 
b und b' kónnen noch frei gewáhlt werden. Wir entschliessen uns, b — c =}, b’=e0'=; u 
2 . * * = 
setzen, woraus folgt r, = 3: Damit haben wir eine Formel (Nr. IV in der Zusammenstellung), 


aus der die Nr. I entsteht, wenn sie auf ein System der Form (16) angewandt wird. 


19. Da leicht gezeigt werden kann, dass eine Approximation (IV, III, 3) unmóglich ist, 
versuchen wir Approximationen der Art (IV, IV, 4) aufzustellen und schreiben die zugehörigen 
Bedingungsgleichungen auf. 


1. a+b cc + d LE 1f qp P Sig 4- d' zd 
2. bà +cu +dv -$ 9". (D dy edm + d'v = ;, 
8. be teo xdg ARE b'o too +dp - > 
4. civ, dun, A1) — gi. 4' c'Àv, -d' (pi, +Ayı) =, 
5. bi?+cu? +dv? = 5, 5’. b'42 +ç'u2 | 4 d'y? = = ; 
(27) 6’. b'io +c'uo +d'vy = = ; 
T^. bis -Ec"u3 +d’v: = i 2 

8'. c'ov4 +d’ (ov, +0%:1) T 

9 er, + d' (ww, + 4331) D, 

10”. c'AuT, - dv (BU +Ayı) = 4 ; 

Te CAT Ed (py Ax) =, 

EVA d’irıvı =: 


Die »Runge-Kuttasche Formel» (9) gibt eine Approximation (IV, IV, 4), also müssen ihre 
Koeffizienten das System (27) befriedigen. Diese ergeben sich durch einen Vergleich von (9) mit 
(13) und (14) und werden 


N:o 13. 


22 i E. J. NvsTRÓ Y. 


(28) | | | 
a =b=c=z 


Die Verifikation bietet keine Schwierigkeit. 
Unsere Aufgabe ist nun zu untersuchen, ob wir mit unserem allgemeineren Ansatz in der 
Anwendung bequemere Formeln finden können. 


Wir versuchen (27) unter den Zusatzbedingungen 4 = u, o=6, r—0, von denen ja nach 
(98) die mittlere bei der »Runge-Kuttaschen Formel» nicht erfüllt ist, zu lósen. Zunächst gibt die 


E! , 


Elimination von b'--c' und d' aus 2,5, 7 


À 1 E 
= E AL I 
EN LU SÄ (CA pa (EES SN Coa RP EN 
02|4* $1 = Avr(4 21 3 tah 
13 3 | 
d 
woraus folgt 
LT TEE ceat 
(29) 5 — 35 he moi 


denn das Verschwinden irgend einer der anderen Faktoren würde in (27) einen Widerspruch er- 
zeugen. Sodann ergibt sich, dass auch in dem-vorliegenden Falle die Relationen (24) stattfinden. 
Infolgedessen können alle Gleichungen in (27). die o, « enthalten, weggedacht werden, da sie 
mit anderen desselben Systems identisch sind. 


D , ace à - l 5 
Aus 4' und 9' folgt durch Division 4 — & —;; und hieraus nach (29) v — 1. -Ferner geben 


, Tm I , 2 , 1 E : . 
ONE 9s. Die T SD si CSS d=0, b'4 d=5, d "m und mit diesen Werten folgt aus 4' und 


10 et, =z, Wii +y1—=1. Die anderen Gleichungen geben nach Einsetzung der schon be- 


rechneten Werte 
1 1 1 


- 1 1 : 
a 6^ a 6° rn GES 604 — 


Um ein möglichst einfaches Wertsystem zu bekommen, setzen wir y = y4— 0, womit sich 
alle übrigbleibenden Werte berechnen lassen, und es wird der Reihe nach gefunden 


, 


l 1 1 1 l / 
Urs vi=1, lob € T3) CGU b b’=>- 


Hiermit sind wir zu einer Näherungsformel (IV, IV, 3—4), Nr. V, S. 25 gelangt, die bei der 
Anwendung bequemer ist als die »Runge-Kuttasche», indem sie unter Umständen die Arbeit 
auf etwa ?/, reduziert, in keinem Falle aber eine Mehrarbeit erfordert. Auch ist unsere Formel 
als die genauere anzusehen (vgl. S. 27). 

Die Betrachtung des vollständig angeschriebenen Formelsystems lässt erkennen, dass aus 
demselben das früher abgeleitete Formelsystem Nr. II (S. 24) entsteht, wenn das erstere auf 
Differentialgleichungen der Form (16) angewandt wird. 


20. Die oben willkürlich angenommenen Konstanten hätten wir zwar anders wählen kön- 
nen, jedoch wäre damit nicht viel zu erreichen. Es zeigt sich, dass eine Näherung (V, IV) schon 
fünf Funktionsberechnungen erfordert. dass wir aber dann eine grosse Mannigfaltigkeit solcher 
Formeln bekommen. 


Tom. L. 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 23 


Sogar mit den die Anwendung erleichternden Annahmen À — p, o — 6, r — 0 ergibt sich 
eine mehrparametrige Schar derselben. Die ziemlich umständliche Auflösung hier wiederzu- 
geben, hat wenig Zweck, weshalb wir uns darauf beschránken, diejenige Lósung anzugeben, die 
uns als die einfachste erscheint. 

Ihre Koeffizienten sind 


1 | ; 1 3 
a'=d= a b=0=3, e! = 0,4—"—5, EUM CUERO M es 
13 (AE Oe 8 1 we 4-49 1 
PAT gm 06 = — 13 xpo x aci exire aru 2 
1 ; 3 
Ka U Ten U en 
aba 3 
X20. Ua l5 qi 01-397 V1 — gp 


und es lässt sich verifizieren, dass durch dieselben die Bedingungsgleichungen 1—12 und 1'—12"' 
befriedigt werden. Wir haben also eine mit ziemlich einfachen, rationalen Koeffizienten versehene 
Näherungsformel (V, IV, 4—5) gefunden (Nr. VI, S. 25), die dadurch bemerkenswert ist, dass 
die vier ersten Funktionswerte genau so berechnet werden wie in der vorhergehenden Formel 
Nr. V, (IV, IV, 3—4). i 

Möglicherweise existiert eine Formel (V, V, 5), die durch Auflösung des Systems der Bedin- 
gungsgleichungen 1—12, 1'—32' zu bestimmen wäre. Diese Auflösung bietet jedoch grosse Schwie- 
rigkeiten und würde aller Wahrscheinlichkeit nach jedenfalls keine bequemen Zahlenwerte liefern. 


8 5. Zusammenstellung der Formeln. 


21. Obgleich die Formeln für eine unbeschränkte Anzahl von Differentialgleichungen gelten, 
schreiben wir sie der Kürze wegen für den Fall zweier Gleichungen aus, die Systeme III a und 
IIIb für den Fall einer einzigen Gleichung. 


A. Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche auf die Form 
[z^ —f(tz,y), x'—w, 
|y^—g(t,2,9), y’=v 
sebracht sind. (z,y,w,v sind für einen Anfangswert { gegeben). 
{Au — fito yat. Mq — (u t 5 Mu) At, 
| 2 CP. IV 
| "uf (Sta +3 Tj tg Ay) At, 
, , 1 , 
NIH: En My=(v+z4’v)At, 


9 D 9 
Qe ay 7] E =g(t+zAl,a - 5A2,y - 5 Ay)AL 


Ax = [u + d (Au + A'u)]At, Au = [Au 3 A"u], 
| Ay —[v -1(A'v + A7v)]At, — Av — ,[A'v 1 8A"v]. 


N:o 13, 


24 E. J. NYSTRÖM. 


| 


= ln, WEE Na = (u-- 1M u)At, 


I le At, z+3 lA x pts y) At, Aix — (a +5 Au) At, 
br At,æ+ A’a,y+ A"y)AL, 


Nr. II: (6, 2, y) At, My = (v +34 v)At, 


(V,1V,3) 4 b; D ; » i45 
Av = g(t* 5 LA, T+SN yt: LA y) At. A"y = (v--5" v) At, 


Av =g(t+ At,z-c A"g,9-F A" y)At, 


1 1 , ] " " ln 

Az —[wtrgA'w F3 A"u]At, = [au + 4 Au + A" wy], 
n Dar l AU , ” mn 

| ^y = [v +340 +34” v]At, Av = [Av +44 v + A" v]. 
(Au — N Xx = [u + 5 Au] At, 


| | ru = (HE At, œ +20 æ) At, Ar =[u —35 


, 7 LA 
| Au t 45 A"uJAt, 


Hn 2 2 , n 2 g 
Nr a: |A u =f(i+3At,z+5A"x)at, A m=[u+ S Au —2 A"u 4 À A"u|At, 


J 
(V, V, 4) I are fox At, x + A"' 5) AM, 
14 100 4e 
Ag =[u Yet” u + SE A u]At, 
14 1 162 m "a 
Lx = og A ggg Au + 336 À u + ap 
(du fü), M3 = [u +, Au] At, 
9 2 
fau fiato DA, Aa [ue ^u] At, 
9 : 3 
xx ine; [| A7 fügt mA" dat, A [ue (Au + Au)]At 
(V. V; 4) au = f (t 2 At,2 1-2 A") At, 


N 4 LA 27 1, 1 25 nm 
Aq = ju + 29. au + Pare — A ii wu] At, 


192 192 Uu 
23 "n Ua 195 Hn 
Au = AU HA nr + 105 À u 


22. B. Differentialgleichungen zweiter Ordnung in der allgemeinen Form 


(s”"=fli,z,y,u,v), z'—u, 
\y”’=g(t,2,yu,v), y=v. 


(æ, y. u, v sind für einen Anfangswert 4| gegeben). 


Tom. 


TT UK"—w——— NS I nm 


dn. -——— lll ML 


—— 5 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 25 


= Ro) AGE A'y — (u -- 5 Mu) At, 


Nu =f(t+3 2 At, zi She, y+3 2M y, uds 2M u, V SM v) At, 


D A 
NE V A'v Ram v) At, 


(III, III, 2-3) 


un un At, +3 ne, y My, uds 2 u, v+3 = A" v)At, 
e v =g(t+z BAY ERE s Ag, yigy ug EN u, 0-2 2A' v) At, 


AE (ru. Ars TY y +3 Ny, uta sau, vs = Av) At, 


Az —[w-l(2A'u- Au A"w)]At, Au —T[29 d'u + 3(A”u + A”u)], 


de 


Ay = +3(2 Av + Av + A" 9JJAt, Av = ;[2A'v + 8(A"v + AN” v)]. 


— 


Ay c — Eras y, av. Dy NU, AW = fu +4 ulAt, 
4 
, , 1 , 
Nu —f(t+3At,0 +34 2,y 3M yu 5A wv 34 v)At, 
Au = fins 2,y-E 5A yu SA" uod SA v) At, A" = [u +5 Au] As, 
Alu=f(t+ Atm oup A’y,u+ A"Uwv-F A”v)At, 


Nr. V: Am gita), A'y =[v AL v]At, 


EURE) LAT. m g(t-E3At oL A a, vier, u+iN w,v4 2M v)AL, 


A" y —g(t-1At,z 5 x gs La’ y. ts I A" uu v+ par v) At, A"y = [v + 1 A" v] At, 


A"4—g(t-- At,z+ A'x,y+ A’y,u+ A’u,v+ A”v)At 


—————M———————Á—— 


Ar = [u + s (d'u + Au + A"w)] At, Au = [Au + 9 Au + 24 /"u + Au], 


— 


Ay -—[vdl(M v-- A" v--A"v)]At, — Av — S [A v-- 2A" v-- 2 A" vc A"" v]. 
Ausser den Formeln in Nr. V werden, zwecks einer schärferen Bestimmung von 
Az, Ay, folgende Ausdrücke berechnet: 
3 1 , vn 3 , "n dn ni 
dx = [uw +36 0 wA u)] At, dzu= [5A V 4- 8 A" y 4-2 Ag, 4 AU" y], 
dy = [o + (5A v -- A""v)|At, do = [BA v BA" v 2A" v + A" v], 


Nr. IV: 


3 1 
Iv. 1v 5) AYu-—f (tc iA m dx, y -Ógy, w-- 0gu, v -- 05v) At, 


AY» — g(t-- 241,0 0,2, y + Ósy 8 + Og, o Ou) At, 
Az —[u-F gy (18 d'u + 21 Nu + 21 A" ^u + 6 Au — 16AYu)]AL, 
Ay —[»-- d, 18 A v 21A" v + 21A" v - 6A" v — 16AY v)] At. - 


Für Au, Av gelten die in Nr. V berechneten Werte. 


N:o 13. 4 


26 E. J. NYSTRÖM. 


8 6. Fehlerabschátzungen. 


23. Irgend eine der im Vorigen aufgestellten Náherungsformeln, die etwa bis zur n:ten Ord- 
nung einschliesslich genau ist, wird im allgemeinen die nach dem Gliede m:ter Ordnung abge- 
brochene Taylorsche Entwicklung an Genauigkeit übertreffen. So ergibt sich z. B. mit der For- 
mel Nr. I, (III, III, 2) als Glied vierter Ordnung in der z-Reihe der Ausdruck 


il o D 1 
(At) [s G2 f + 38 Df] 
statt des von der richtigen Integralentwicklung geforderten 
1,767 , 
(St) [a (7f - frg) + o, D*f]. 


Also sind die relativen Fehler der einzelnen Teilglieder vierter Ordnung beide eleich = Hät- 


ten wir die Taylor-Reihe nach dem Gliede mit (At)? abgebrochen, so wären die relativen Fehler 
(mit +1 bezeichnet) von dem dreifachen Betrag gewesen. 

Wir stellen in der folgenden Tabelle für einige unserer Formeln und für die »Runge-Kut- 
tasche» solche Fehlerkoeffizienten (in der Reihe für Az bis zu den Gliedern fünfter, und in der 
Reihe für Au bis zu den Gliedern vierter Ordnung einschliesslich) zusammen. Dieselben kön- 
nen natürlich durch direkte Reihenentwicklung gefunden werden, am bequemsten aber erhält 
man sie durch Eintragen der jeweiligen Werte von À. u,.. 
gleichungen S. 12—13. 


. In die nicht erfüllten Bedingungs- 


Tom. L. 


| 


LOUE De | 
| E m T | WE : DE 
ER SET a » 
1. +3f(Ar)a De oam FO À) or Fig | 0. |D'o 00 
| 2 +3zDf(At): oie guai nor o. Mo 3/0 8 | 0 | -iDf(At) 
8. +alfıf+fio Een 0% 1107 2 gus r0 | aras 0 ++ fta 
4 = D/+fDg Rosso | 0 |+fDf+fDg 
b. + D!f}(At)4 + 0 0 0 = 0 0 0 0 + Def} (an 
6. +:%48(fDf:+9Df!) ats) 0 | 9|-S|*« +2 |*s| ^ | + AÍSCDE + gDP) 
Jc deep sr ere OR MRC E £i a DU | 
zogen MUR er COR TE org) | E SERES SU 
9. Df FD ll IU 
10. +3(DfDf!+DgDf’) 2 | +3 | ++ ++ | +3(DfDf,+DgDf,) 
11. +/f'Df+f.Dg RESTE AN at ESS ED LR re P DE 
12. +f(fDf+f Da)+ | Een | 
+ f/(g,.Df + 9! Dg) (At)* | EM feug le + (9 Df + g! Dg) (AE 


ME Ve: 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 


uw 
-1 


Aus der Tabelle ist ersichtlich, dass unsere Formel Nr. V, die Nr. IT als Spezialfall um- 
fasst, mit der Runge-Kuttaschen gleichwertig ist oder sogar etwas genauer (Teilglied 8), obgleich 
sie Vereinfachungen zeigt. Es würde jedoch wenig Zweck haben, die Tabelle der Fehler in den 
Gliedern hóherer Ordnung hier wiederzugeben, weil die komplizierten Ausdrücke der Teilelieder 
nur in den seltensten Fällen zur praktischen Fehlerabschätzung verwendet werden können. 
Auch kann man sich nicht darauf verlassen, dass eine Formel mit den kleineren relativen 
Fehlern in der Wirklichkeit auch immer das bessere Resultat liefert. Verschiedene von uns 
durchgeführte Beispiele haben vielmehr gezeigt, dass die Fehler der Teilglieder sich in ganz 
unerwarteter Weise verstärken oder aufheben können. 


24. Eine praktisch brauchbare Abschätzung der Grössenordnung des Fehlers gewinnt man, 
wie Runge gezeigt hat!, durch nochmalige Anwendung der benutzten, Formel, aber mit der dop- 
pelten Intervallbreite. Wenn die Ordnung der Annäherung n ist, kann man den Fehler nach einem 
Schritt, den wir mit «, bezeichnen, proportional zu (At)”+1! annehmen und also e3=k„.ı(At)” +1 
setzen. Nach zwei Schritten ist der Fehler etwa auf den doppelten Betrag gewachsen. Hätte 
man nur einen Schritt von der Länge 2At gemacht, so wäre der Fehler s, = k,+1(2At)" +1 


Bee: : —2 . E 
gewesen. Nun ist identisch 22, = P. n und wir kónnen daher sagen: 
- ; 1 " - 
Der Fehler der ersten Berechnung beträgt nach zwei Schritten. etwa. pur des Unierschiedes 


beider Resultate. 

Für die Formelsysteme Nr. II, V sowie für das »Runge-Kuttasche» ist " gleich = 

Numerische Beispiele zu dieser Methode der Fehlerabschätzung finden sich in dem oben 
zitierten Lehrbuch von RungzE-Könıg (S. 297 f. und 315). 

Schliesslich ist zu erwähnen, dass die »Methode der sukzessiven Approximationen» als Kon- 
trolle der in diesem Abschnitt auseinandergesetzten Methoden dienen kann und sogar die be- 
quemste Fehlerabschätzung darbietet. 

Bisher handelte es sich nur um den Fehler der Integrationsformeln. Wie ein Fehler in den 
Anfangswerten æ,7y,...,u,v,... auf das Resultat wirkt, hat RUNGE untersucht. ? 


8 7. Beispiele. 


25. Die Richtigkeit der Formelsysteme Nr. I—III wollen wir noch an dem Beispiel z" = x 
und die der Nr. IV—VI an dem Beispiel z" -l(gi w) kontrollieren, -obgleich eine solche 
Kontrolle natürlich keine durchgreifende ist. 


À. x =x. Anfangswerte: Für 1—0 ist »— 1, w— 1. 
-Intervallbreite: At — t. Dann muss sich die exakte Lösung = u= e' mit der oben 
angeführten Genauigkeit ergeben. | 
Wir finden nacheinander 
Nr. I: 1 2342 
(LII, IIT, 2) AV aem i, Au = t, Ne +38, N HE +gt° 


* RUNGE in Göttinger Nachrichten 1905, S. 252—57. 
N:o 13. 


28 E. J. NYSTRÖM. 


und damiit 


l l l 
D 44 == 738 ES 
t 1g!^ Au—ltgt Ti. 


Am er ET 
Hier zeigt sich deutlich der Vorteil dieses Formelsystems gegenüber der direkten Me- 
thode der Reihenentwicklung. Denn die nach dem Glied dritter Ordnung abgebrochene 
Taylor-Reihe gibt ja für Az denselben Wert, den wir für Au erhalten haben, während 


unser Wert von Az bedeutend genauer ist. Die folgenden Formeln geben: 


Nr. II: i lodos Le 5 * A À 
(IV, LV, 3) Az —i t 5l* t ct Pr DATI i Sg ai +5 zt ed 
1 2 1 3 1 4 
Nr. IIIa: Az —t4 5t + gt t.t + mo E 
WE AP Au bes a ia a el Deer 
CAES er! Um dex eeu 
Der Koeffizient von 4$ in der Reihe für u wird zufällig gleich dem richtigen. 
Nr. III b i 5 = Wh na ra ara 
(V. V. 4) N a a6 db ADT em Xon Au —t- 5t tg! tal +5!" 
Für z wird also zufällig mit IIIb, für u mit IIIa ein. besserer Wert gefunden. 
B. g^ l(g Tau). Anfangswerte: MOSS en il: 
Intervallbreite: At— t. 
Exakte Lósung: D 
ER ss A [sc I ue oae 
qp em om E DUET Fab y + 398 tag: + 
Nr. IV: 


1 1 1 1 1 1 1 
que DAD ES [Vene ee Le CUT Ae CHENE 
UO TOES Ag—i-t 5l Est E tt nt, Au=itst t gt eg 
Nr MN: 
(IV, IV, 3-4) 
»Runge-Kuttasche Formel»: 
(IV, IV, 4) . Ag -— (CE IEEE LU ro Au. 


1 1 I 
= 12 3 4 = Ea zx t) = A i rr 5 6 
Ag 4-1 at t Ec mn Au — LE 5l* E SU Earl E s tt 


In diesem Beispiel liefert also die Formel Nr. 5 tatsächlich bessere Werte für x und 
u, als es die dE tut (vgl. S. 27). 


Nr. VI: 
(V, IV, 4-5) 


1 


6 € 
(53 1990! 0.0009 17 


Az=i+stt+e jeu ADM e 


Au hat denselben Wert wie in Nr. V. 


Um die Güte der in Nr. 24 angegebenen Fehlerabschátzung zu beurteilen, nehmen wir irgend 
eine der benutzten Formeln, z. B. die »Runge-Kuttasche», und berechnen, von x = 1 + Az aus- 
gehend, mit derselben Intervallbreite t einen neuen Wert x und ferner, von z — 1 ausgehend, 
mit dem Intervall 21 noch einen Wert x. Dann kann die genannte Regel ohne weiteres ange- 
wandt werden. Es ergibt sich nach zwei Schritten von der Grösse t 


&=1+2t+2i?+z EE E near 
nach einem Schritt von der Grösse 2t 


Tom. L. 


rn 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 29 


z=1+2t+ 21? - 313 + 


4 
= 4 
3 i 


I 19 


und daraus der abgeschätzte Betrag des Fehlers zu 
1 20 
T5 10 - 
at + 288.150 À 
während der wirkliche Betrag des Fehlers 


84 en 


l 
n yc 
co!  * 988-15 


ist. Auch in allen anderen Fällen würde man die Grössenordnung des Fehlers bestimmen können. 


Zweiter Abschnitt. 


Integration von Differentialgleichungen durch numerische Quadratur. 


8 8. Zurückführung der Integration von Differentialgleichungen auf numerische Quadratur. 


26. Für den in der Praxis besonders wichtigen Fall, dass man eine Integralkurve durch 
äquidistante Ordinaten bestimmen will, sind mehrfach Methoden angegeben worden, denen wir 
uns jetzt zuwenden wollen. 

Es gibt zwar auch Methoden, die mit ganz willkürlich verteilten Ordinaten operieren und 
die als Verallgemeinerungen der ersteren anzusehen sind 29, allein bei ihnen wird die Rechenarbeit 
derart vermehrt, dass ihre etwaigen Vorzüge in Frage gestellt werden kónnen, weshalb wir auf 
sie nicht näher eingehen. 

Es handle sich um die Differentialgleichung 


da... 


(30) at -f(ta). 


Wir setzen voraus, dass ihr Integral z — æ(t) in dem ganzen Integrationsintervall eine stetige 
Funktion von t ist und endliche und stetige Ableitungen besitzt soweit sie in den jeweils zu 
entwickelnden Formeln vorkommen. | 

Ferner wollen wir annehmen, die Rechnung sei bereits im Gange und die Werte z(i;) = o; 
der gesuchten Funktion für eine Reihe äquidistanter Werte 


(31) to potat ORE) 


seien bereits bekannt, wobei we die als positiv und konstant vorausgesetzte Intervallbreite be- 
deutet. f(t,æ) kónnen wir dann als eine stetige Funktion f(t) von t auffassen, deren Werte 
f(t:, 2;) = f, in den Punkten (31) bekannt sind. Nun sollen also die Werte von x für die darauf- 
folgenden Werte t;, (“=1,2,...) ermittelt werden. 


10 Z. B. bei T. N. THIELE: Interpolationsrechnung, Leipzig 1909, S. 21—29. iN) 1-1 70 
ÄN : € À 
N:o 13. fx VE 


30 E. J. NYSTRÖM. 


t 
Indem wir die Differentialgleichung (30) als Integralgleichung x = x, + fra. z)dt schrei- 
Lo 
ben. sehen wir, dass die Bestimmung des nächsten unbekannten Wertes von z, d.h. 


tot O tot @ 
(32) un + [fe matos, +] f (0) dt, 
fo fi 


darauf hinausläuft, die in (32) bezeichnete Quadratur auszuführen unter Berücksichtigung der 
schon bekannten Werte x, und f,. Nachdem x, auf diese Weise ermittelt worden ist, wird damit 
h berechnet, und dann können der Reihe nach x,,x3,... in derselben Weise gefunden werden. 

Quadraturformeln, die sich zu dem genannten Zweck verwenden lassen, gibt es sehr viele, 
wir beschränken uns aber darauf, diejenigen unter ihnen zu erwühnen, die zur Integration von 
Differentialgleichungen verwendet worden sind oder sich dazu eignen. 


27. Vorerst wollen wir jedoch bemerken, dass die Integration eines Normalsystems von 
der Form 
(33) 


durch Erweiterung der oben skizzierten Methode prinzipiell keine Schwierigkeiten bietet, falls 
F,G,... den nótigen Bedingungen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit genügen. Man hat 
nämlich nach (33) mit der Bezeichnung y;- y(t;). 


tot 0 tot 0 
Ti Lo + EIGNET Wow [G0 usus. )dts 
à to 


und kann wiederum alle Quadraturen angenähert ausführen, sofern man die Werte von æ,%,... 
für tg, lo— e, 1, —20,... schon berechnet hat. Es bedarf also keiner neuen Quadraturformeln 
um ein beliebiges Normalsystem (33) zu integrieren. Wenn es sich um Gleichungen zweiter Ord- 
nung handelt, kann es angemessen sein, Formeln für eine zweifache Quadratur zu benutzen. Von 
den Einzelheiten in der Durchführung der Rechnung wird im dritten Abschnitt die Rede sein. 


8 9. Die wichtigsten Integrationsformeln. 


28. Eine Reihe von Formeln, welche erlauben, die Werte der betreffenden bestimmten Inte- 
grale aus den schon bekannten Funktionswerten fo, f- 1,f2,... linear zu berechnen, gewinnt 
man durch Integration aus der »Lagrangeschen Interpolationsformel» und erhált, von dem Rest- 
glied der letzteren ausgehend, Ausdrücke zur Beurteilung der jeweils erhaltenen Genauigkeit. 4 
Diese haben durchweg die Form von Ableitungen von f, die für einen Mittelwert eines gewissen 
Intervalles zu berechnen und mit kleinen Konstanten zu multiplizieren sind. 


7 Vgl. J. F. STEFFENSEN, Skandinavisk Aktuarietidskrift 1922, S. 20—36. Die Methode ist ganz analog 
der bekannten Quadraturmethode von NEWTON-COTES. Diese letztere kann hier nicht direkt angewandt wer- 
den, denn dabei wird auch f, benutzt, welche Grósse in unserem Falle eben gesucht wird. — Vgl. auch STEF- 
FENSEN: Interpolationslære, Kobenhavn 1925, S. 166—474. 


Tom. L. 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 31 


Die betreffende Methode hat ausser der Einfachheit der Koeffizienten den Vorzug, dass 
etwaige Fehler in den f; nachträglich leicht zu verbessern sind. Trotzdem werden im allgemeinen 
gewisse Formeln der Differenzenrechnung vorzuziehen sein, hauptsächlich weil dieselben eine 
bequemere Abschátzung der aus der Integrationsmethode selbst herrührenden Fehler gestatten. 
Man erhält dabei schon durch den Integrationsprozess, ohne jede besondere Rechnung, eine 
Vorstellung von der Genauigkeit des Resultates. ; 


29. Quadraturformeln, die, statt der Funktionswerte f; selbst. deren Differenzen enthalten, 
kann man am einfachsten durch Integration der gebräuchlichen Interpolationsformeln der Dif- 
ferenzenrechnung herleiten. Die letzteren haben den Zweck, eine Funktion f durch ganze, rationale 
Funktionen anzunähern, deren Werte mit denjenigen der Funktion f in einer Anzahl áquidistan- 
ter Punkte 4; übereinstimmen. Wir können daher das Integral in (32) durch das Integral 
über die Näherungsfunktion ersetzen und erhalten verschiedene Formeln je nach den Differen- 
zen, die wir in die Formeln eintreten lassen. 

Am natürlichsten scheint es, nur diejenigen Differenzen zu benutzen, die direkt aus den 
bekannten Funktionswerten f;, (?=0,—1,—2,...) hervorgehen, die also in dem folgenden 
Schema oberhalb der schräg eingezeichneten Geraden gelegen sind. 


(34) 


N:o 13. 


32 E. J. NYSTRÖM. ! 
30. Solche Differenzen benutzt die »Newtonsche Formel für Interpolation nach rückwärts» 22. 
die folgendermassen lautet, wenn wir n= ze (o) Setzen: 


‚ n(n+1),2 n(n+l)...(n+v—1),7 n(n+1).--(n+v) 
RE is oe © v! : Seht (+1)! 


f(t)=fo+ LA ortif etg 
ee 

Hierbei liegt £ zwischen dem grössten und dem kleinsten der Werte t,t,,to— vo und hängt 

von t ab. Wir führen die Integration von t, bis t, + © aus und erhalten mit Rücksicht auf (32) 

to + \ 


Ti — Lo + J Fee ae te [Te non, oder 


cipe A Dis 95 ,5 | 
(36) 2 = Do + 0 for pô Te Nes NE Haft Beta, 
l y 
y n (n--1)---(n- v) za ys 
(37) en +2] venta. 
0 


& liegt diesmal zwischen 4,-- vo und ty+w. Weil die Ableitung f'*" stetig angenom- 
men wurde, und weil der andere Faktor des Integranden in (37) sein Vorzeichen zwischen n = 0 
und n= 1 behält, können wir den Mittelwertsatz der Integralrechnung anwenden, und finden 


1 
2 7 c ; (n +1 (n+ı 
(38) R,yı=ortzjetugen) |" zn än, 
wo 3” wieder zwischen (, — ve und {, +w liegt. 


Setzen wir 
1 


(39) A nn NN 6218, 
0 

so lässt sich (36) nebst dem Restglied (38) so schreiben: 

(40) s,— 29 ofo- o dA A i Assur? fe D(E), — (tova citra) 
= 2 


Diese Formel, die wie gesagt nur bekannte Differenzen enthält, ist — allerdings ohne Restglied 
-von J. C. ADAMS 13 aufgestellt worden. Sie kommt später z. B. in Arbeiten von CHARLIER und 
KRYLOFE vor. & 
Eine etwas bequemere Formel wird durch Integration von (35) zwischen {, — w und ty + o 
erhalten, nämlich die folgende: 


? Die gewóhnlich mit dem Namen NEWTON's bezeichnete Interpolationsformel ist nach einer Bemerkung 
bei E. T. WHITTAKER & G. ROBINSON: The Calculus of Observations (London 1924, S. 12) im Jahre 1670 von 
JAMES GREGORY entdeckt worden (loc. cit. 4), Die meisten von den gebräuchlichen Interpolationsformeln 
sind aber zum ersten Male in dem Werke I. NEWTONs: Methodus Differentialis, (gedruckt 1711, geschrie- 
ben vor Oktober 1676) enthalten. Restglieder hat man erst seit CAUCHY benutzt. 

13 F. BASHFORTH & J. C. ADAMS: An attempt to test the theories of Capillary Action, Cambridge 1883, 
S. 18. WHITTAKER und ROBINSON bezeichnen (loc. cit., S. 363) die Anwendung der Formel (40) als »the 
best method of integrating differential equations numerically». 


Tom. L. 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 33 


+1 


a re 6 ACHSE TER ER 
en en a GOT äs P133 + Te pr TR en, + Ryzı, 
die am zweckmässigsten in der Gestalt 
| J 2 Le 4 5 i ] 44 m | 
(41) De DRE D Wan AS SE 2775 3 I 


geschrieben wird, welche sich durch die bequemen Koeffizienten im Vergleich mit (36) empfiehlt. 


Auf das Restglied kann diesmal der Mittelwertsatz erst dann angewandt werden, wenn man das- 
ET 


selbe in zwei Teile zerlegt. Wir setzen in Analogie mit (39) G;— 1 S Utd 
und finden leicht 0 
(43) PR e LFP (E^) — Gs f D (E")] o +2 


wobei &’ zwischen 1,— vo und ty+w, €" zwischen ty — vo und t, liegt. 


31. Die Integration kann aber auch mittels anderer Differenzenwerte als der direkt gege- 
benen vollzogen werden, wenn auch in indirekter Weise. Wenn nämlich die f; für ; — 0, — 1, 
—2,... gegeben sind, kann man durch Extrapolation sich die Funktionswerte f; für «=1,2,... 
verschaffen und das Differenzenschema ergänzen. Falls die so extrapolierten Funktionswerte 
nicht mit den später durch Integration gefundenen übereinstimmen, wird es notwendig, die Inte- 
gration mittels der verbesserten Funktions- und Differenzenwerte zu wiederholen und dies so 
lange fortzusetzen, bis eine Änderung in den f,,... nicht mehr eintritt. Das Verfahren konver- 
giert bei kleinem » sehr rasch. 

Wir werden jedoch weiter unten sehen, dass die fraglichen Integrationsformeln ihre grósste 
Bedeutung bei der Verbesserung schon vorhandener Näherungen erlangen. 


32. Eine Formel, welche die mit f, in einer aufsteigenden Diagonale des Schemas (34) lie- 
genden Differenzen enthält, ist am bequemsten aus der »Newtonschen Interpolationsformel» 
zu erhalten, wenn man die letztere auf die Umgebung von /, anwendet. Dieselbe lautet: 


v 
(43) z aufi e GA su, EH. 
i=1 2 
wo 
zl 
à, n(n+1l)---(n+i-—1 ; 71 re 
Gi | ie E ran uud eR, er UE 2G, UN), ee Ta ers ect da); 
‘0 
ES ML tr Vo vo e d: i iocus. ad 863 
G3 — 5. 272° Gs — 34, Ga = 720 Gs 160^ Gs = 50180? :: 


Dieselben Koeffizienten hat eine, bereits von GREGORY aufgestellte Formel. 14 


33. Besonders in der Astronomie wird eine von Gauss herrührende Quadraturformel viel 
benutzt, die in zwei horizontalen Geraden des Schemas (34) liegende Differenzen enthält. Wir 
führen zur Abkürzung folgende für k —0,+1,+2,... geltenden Bezeichnungen ein: 


# Brief von GREGORY an COLLINS vom 23. Nov. 1670 [Rigaud's Correspondence 2, S. 209]. Von der 
Formel (43) hat u.a. G. H. DARWIN umfassenden Gebrauch gemacht. Scient. pap. Vol. IV und Acta mathe- 
matica Bd. 21 (1897), S. 99—242. Vgl. auch die Note ?5. 


N:o 13. 5 


34 E. J. NYSTRÖM. 


ic up i 3 i T x 
(em At UT Mi 11/3... CANIS AE) für 45.5294... 


A 


wo die Bedeutung der negativen Werte von 7 weiter unten angegeben wird. Die Formel ergibt 
sich aus der »Besselschen Interpolationsformel» 


1 Nay Mom RD 
f yes lees pul dédit A ig as Je id 
Gé fee NS MC Sed t atv , Bei 
E ;Jlo ite s a? Nu -3}(e een EE RUM 
NC NE de ds SEE y 


- Aaa l 1 EN 3 | 
Hierbei ist p= "ium heb. gesetzt worden. Wir integrieren nun (44) zwischen {= t, und 


{= ty + w und erhalten gemäss (32) 


(45) xi = alt RM MM (AT. Eu DESC 


(v' - i)»: 3). : p? 4 SLR 


(46) Mai | PL TURN EAU dp, (i— 1,2% 
y 
definiert. die ersten von ihnen sind 
l 11 191 9497 
Mi, Mig Mo gun M. 5608800 


Man kann nun für 2%, — 21,%3 — $5,...,1, — 2, .; ähnliche Formeln wie (45) ableiten, indem 
man die »Besselsche Interpolationsformel» auf die Schritte t, — 1,,... anwendet. Setzt man dann 
y = 
2 Maar", 
EI 


1 > 1 
(47) A = af 


so gilt allgemein, wie man durch Addition der Teilintegrale findet, 


| vo 
= ^ 2i—1 n p 
(48) z,—olN + Zu, i BS, (=) 
= 
oder 
, aee DTE TR ERAT SANT NEN CO TONES T Ne 
(48) Da 94 A, SA, + 755 5, 60480 ^» À 3628800 2 » [2 RUE 


Die Gróssen A-! erhält man durch blosse Addition, indem man das Differenzenschema durch eine 
Kolonne nach links ergänzt. Das Restglied ist nach dem vorigen leicht zu bilden. Setzt man 


n 
, 


^ à 7\2v *- : 712 rå AR rS . 
statt der darin auftretenden Summe > f^" (3;) den Ausdruck nf ?"(E'). wo &’ zwischen den 
i=1l 
äussersten der &; liegt, so findet man 
(49) R9) —-o?* +1 Ma,f ^" (8), © Eta We uo Eo tet (nr Mei. 


gy 


Tom. L. 


"ad 


Über die numerische Integration von Differentialgleiehungen. 35 


34. Gemäss der Bemerkung am Schlusse von Nr. 27 wollen wir noch einige Formeln für eine 
zweifache Integration besprechen. 
Handelt es sich um die Gleichung 


dig. 


(50) dg "= Fir), 


so haben wir mit Benutzung der bisherigen Bezeichnungsweise 


(51) et fat [rwaı. 


indem die Integrationskonstanten so bestimmt worden sind, dass für t=1t,, 2= zy und 
da 
dt 
sein und ebenso z- z ,; für t=t,—w. Aus den dadurch erhaltenen Gleichungen folgt 


| — wg Wird. Setzen wir in (51) nach ausgeführter Integration (— {4 + e, so muss z = 7, 
t=t; 


— tot 0 t ty 6 t 
(52) Same Mg fa | F(t)dt + | di | F(t)dt. 


F(t) konnen wir wieder durch eine ganze, rationale Funktion annähern, um die Integrationen 
auszuführen. Wollen wir nur direkt gegebene Differenzenwerte benutzen, so wenden wir auch 
jetzt die »Newtonsche Interpolationsformel» an; wir ersetzen also in (36) fit) dureh F(t). Mit 
den Bezeichnungen 


1 n —1 n 


E nd 119 ue yu j ml)... posed 
a mer Dan, C;= | an | RENE RES. Jan, BG = S; 


1. 1. 
0 0 0 n 


ergibt sich 


(53) T1—2$5—2 DEGNE,L or SA SERO ee 


AED 2 
Hier bedeuten die A ; Differenzen der Funktionswerte F;. Die ersten Koeffizienten der Formel 


(53) sind : 


Le 1 mg] Teil z 3 JU DECO 
Sa= gr San, San 85— 39 Se = 13096 
Für den praktischen Gebrauch schreibt man statt (53) 
ed 2D 3 4 5 dl AE (NES 
(64) 'z,—92z,—35 ,-- o? Fort 5 [A pEA 844 VEA ES i e] 


Diese Formel ist unabhängig von ADAMS von STÓRMER aufgestellt 15 und von ihm und sei- 
nen Assistenten viel benutzt worden. SrómwEm tabuliert übrigens direkt die Funktion o? F. 
Für R, ; erhält man durch Anwendung des Mittelwertsatzes für zweifache Integrale unmittelbar 


(55) Rae) SUD s^ — 0, ato GEM (ty — vo « E'« ty o, ty —vo « E" tt) 


15 C. STÖRMER: Sur les trajectoires des corpuscules électrisés dans l'espace sous l'action du magné- 
tisme terrestre avec application aux aurores boréales (Archives des Sciences physiques et naturelles, Genéve, 
juillet-octobre 1907), S. 63 ff. 


N:o 13 


36 E. J. NYSTRÖM. 


oder, wenn man JF'"*"(rz"j- p**P(z').(g" 8’) HUF (er) setzt, wo E" zwischen &° 


und &” liegt, 
(55y Ro TH ar) / SINT. Es x^g i OT ET ibo s 


Betreffs der Grösse |$'— $"| kann man jetzt nur sagen. dass sie nicht grösser ist als (v + 1) o; 
eine andere Betrachtung zeigt aber, dass sie erheblich kleiner ist. Bei kleinem w kann man 


jedenfalls das Restglied durch den Ausdruck A,,;:— 9'' S, FU" (E") abschätzen. 


35. Die rechte Seite von (52) findet sich bei LEGENDRE durch Differenzen, die in einer 
horizontalen Geraden liegen, ausgedrückt.!$ Die betreffende Formel wird am besten aus der 
»Stirlingschen Interpolationsformel» 


D 3 Near ED TEEN i: n(n?—1?)\ ,4 
5 F(t) = Fo DAS ES M ML Np NM 
) n (n? —1*)(n* - 2?)...(n* — S Adr cH UM CREDE 


23)...(n?*— (v - 1?) 2» 52» 
LE EI Cy aM 


v)! 
WO n= ie lo) und fyj—re« $«tsg-- vo, (v—1,2,...) ist, abgeleitet. Führen wir die 


( 


Integrationen von (52) aus und setzen 


1 » 
få nua au Nine a2 (9:3 em (o 30 ile py 
(57) Loi= 2 | dn | Lee AI GU B rm TUR AM 1-01; Oe NN 
: : Ken 0 | 
so ergibt sich nämlich 
v—1 
(58) 2,—92,—5 et, LAM, 07 Bo RER (Er 


Qe] 
WO lg— reo « E« t(y4- vo und die ersten Koeffizienten folgende Werte haben: 


1 1 31 


; 289 
(58) L.= ja, La=— 240° Li= 60480 ^ 


Ls = 3628800" 

36. Für die zweifache Quadratur hat Gauss eine sehr bequeme Formel abgeleitet, die der in 
Nr. 33 erwähnten ganz analog ist und die den Vorzug vor (58) verdient. 17 Dieselbe wird vielleicht 
am einfachsten durch zweimalige Integration aus der »Stirlingschen Interpolationsformel» (56) 
erhalten, wenn man nachher A7/—2(47/ mc A? — ANT) setzt, @=1,2,3,...). Hierbei 
ist unter A) der Funktionswert P; verstanden. Wir finden mit Rücksicht auf (51) 18 


15 LEGENDRE: Traité des Fonctions elliptiques T. II, Paris 1826, S. 52. LEGENDRE wendet allerdings 
die Formel nur zur zweifachen Quadratur an, obgleich er die Integration von Differentialgleichungen für eine 
Aufgabe erklärt, deren Behandlung wünschenswert wäre. Vgl. loc. cit%, S. 65. 

U Vgl. P. H. COWELL & A. C. D. CROMMELIN: Essay on the return of Halleys Comet (Greenwich Obser- 
vations 1909). Die in Rede stehenden Gauss'schen Formeln (48)' und (62)' wurden zuerst von ENCKE im Ber- 
liner astr. Jahrbuch 1837 und 1862 veróffentlicht. É Tv dl 

18 Während unmittelbar hervorgeht, dass die Koeffizienten (57) vor den Gliedern (AL P Ann] 
erscheinen, erfordert der allgemeine Nachweis, dass die Koeffizienten von ADT durch (46) definiert sind, 
eine besondere Rechnung. Hierüber, sowie betreffs der Herleitung von (62) und (63) vergleiche man die 
Arbeit STEFFENSENs On Laplace's and Gauss’ Summation-Formulas [Skandinavisk Aktuarietidskrift 1924, 
S. 1—415]. 


Tom. L 


Uber die numerische Integration von Differentialgleichungen. 37 


KS »—1 | 


i—2 2i—2 lm py au > 
1 — Lo = OU + 0? p (4 = A, Italo 2 Ma ki "pt Beca (= 2,95.) 


oder, wenn wir in Analogie mit (47) setzen 


TE 
ES! to ^ ds 1 —1 : 
(59) Nr ue LP Nap Du anti ug 
2 i = 2 2 
und ausserdem LT 
y—1 9% 1 
=) Lo 2i—2 — 2 —9 =" "s 
(60) A, #4 > Zr , A =A; + Ai ? is 
il 2 
d Ira 
die Formel ico 
y—1 , 
(61) = et AT? «à MÖRT SE NM wa 
NC n 
Hieraus kann die allgemeine Formel 
y —1 
Il 
(62) Gi 020 À, "AMD CR BE (n=1,2,... 
vel 
oder 
/ ANR PEE a 11222 1 31 4 289 ENTER LAN (n) 
se ma E qs F,— 0405) ggg S. 3628800 An + "+ R 


in ähnlicher Weise wie (48) aus (45) abgeleitet werden. Ihre Anwendung setzt voraus, dass man 
dem Differenzenschema der F; noch eine Kolonne A-? hinzufügt. Die ersten Grössen dieser 
Kolonne sind durch die »Integrationskonstanten» (59) und (60) gegeben. Für das Restglied er- 
hàlt man nach einiger Rechnung den Ausdruck 


n 2—9 2y- At OM, c (2 t. 2 1 
(63) na 97 — oz M, Ses tcl INE en, [(to+no — S) F"?"(8) — 2» F' AE) )] o* £A a 
WO 
lj—(v—l)o-«£&£«t,-t(n-c-v -1)o. 
37. Schliesslich wollen wir noch eine Integrationsmethode erwähnen, die neuerdings von 
B. NUMEROFF erdacht worden ist.! 
Zwecks Integration der Gleichungen (30) oder (50) führt NuMEROFF neue »Koordinaten» 
ein. Im ersteren Falle setzt er 
^ 1 9 , , 
z—z-go*|f,f.fl 
und im letzteren 


In Ge 
je 5 (ba 


L=TL— 
womit er in der Tat sehr bequeme Integrationsformeln erhält, die die Werte von x ergeben. In 
der Praxis ist die Rechnungsart von NUMEROFF — wie er auch selbst hervorhebt — nur dann 
von Bedeutung, wenn der Übergang von den neuen Koordinaten x zu den alten z mit hinreichen- 


der Leichtigkeit zu bewáltigen ist. 


1% B. NUMEROFF: Méthode nouvelle de la détermination des orbites et le calcul des éphémérides en tenant 
compte des perturbations [Publikationen des russischen astrophysikalischen Instituts]. Moskau 1922 (?), 
S. 8 ff. und 76. 


N:o 13. 


38 E. J.. N x sTRÓM. 


8 10. Über die Genauigkeit der Integrationsformeln. 


38. Wenn wir bei der Anwendung des Differenzenschemas der Funktion f (oder F).uns von 
vornherein auf die Mitnahme der Differenzen bis zu etwa der »:ten Ordnung einschliesslich be- 
schränken und dabei annehmen, die »:te Differenz sei konstant, und also alle folgenden gleich 
Null, so heisst das dasselbe wie anzunehmen, f (t) (bzw. F(t)) sei ein Polynom in t, P,(t) vom 
r:ten oder niedrigerem Grade. Denn für eine solche Funktion, und nur für eine solche, ist die vite 
Differenz konstant. Wir müssen offenbar » +1 verschiedene Funktionswerte schon kennen, um 
eine Differenz der »:ten Ordnung bilden zu können, andererseits ist ein Polynom vom v:ten Grade 
durch » + 1 Bedingungen bestimmt. 

Nun führen wir statt f(t) das Polynom P,(t) ein. Wird dann die Integration mit irgend 
einer Formel des vorigen Paragraphen ausgeführt, die » + 1 Funktionswerte benutzt oder — was 
gleichbedeutend ist — nehmen wir in der Formel noch die (konstante) »:te Differenz mit, so er- 
geben sich für die x; die Werte derjenigen Integralfunktion von P, (t), die den Anfangsbedingungen 
entspricht, und zwar exakt, denn das Restglied einer jeden der Formeln verschwindet in diesem 
Falle identisch. Alle Formeln geben also unter den erwáhnten Annahmen die gleichen Werte 
für z;, von etwaigen Abrundungsfehler abgesehen. Wird also eine Differenz irgend einer Ordnung 
als konstant betrachtet, so sind alle Integrationsformeln, was die Genauigkeit betrifft, gleich- 
wertie. Der Fehler rührt von den vernachlässigten höheren Differenzen her, die ja in Wirklich- 
keit nicht gleich Null sind. 

Hiernach hat es also gar keinen Zweck, unter der genannten Annahme zu extrapolieren, um 
etwa eine der Formeln (43), (48)', (68), (62) anwenden zu können, da man dasselbe Resultat ohne 
Extrapolation mittels (36), (41) oder (54) erhält. Die Extrapolation ist also nur dann anzu- 
wenden, wenn bessere Anhaltspunkte dafür zur Verfügung stehen. 


39. Durch Verkleinerung der Intervallbreite w kann man den Fehler der Integration bei 
einem jeden Schritt beliebig klein machen. Denn das Restglied enthält eine Potenz von w als 
Faktor, während der andere Faktor nach unseren Voraussetzungen endlich ist. 

Auch bei der Integration über ein bestimmtes Intervall, etwa von (— a bis t — b — a + nm, 
kann der Fehler beliebig klein gemacht werden. 

Es móge sich z. B. um eine Integration mittels der Formel (40) handeln. Bedeutet dann M 


den grössten Wert, den |f"*". zwischen (— a— ve und t=b annimmt, so ist der Fehler 
[5— 


bei keinem Schritt grösser als A,ı ı@’+?M. Da die Anzahl der Schritte betrágt, so 
kann der Fehler der Integration von a bis b nicht grösser sein als R=A,ıı b —a o*^! M. 
Wird w verkleinert, so ändert sich M nicht oder wird jedenfalls nicht grösser; daher kann R 
beliebig klein gemacht werden. = 

Es wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass die Funktionswerte f(a--e), g(a +), 
f(a+2w), g(a+2%),... exakt berechnet werden können. Dies trifft nur in dem Falle einer 
»reinen» Quadratur zu; bei der Integration von Differentialgleichungen dagegen entstehen in den 
Werten z(a+®), y(a+®),... und also auch in den Funktionswerten f(a +»), gla + 0), ... 


Tom, L, 


Uber die numerische Integration von Differentialgleichungen. 39 


gewisse Fehler. Man sieht aber leicht ein, dass dadurch in den x; Fehler von der Ordnung 
» + 3 in o entstehen, und die Gültigkeit der obigen Behauptung wird daher nicht aufgehoben. 2° 

Das oben Gesagte kann unmittelbar auf den Fall eines beliebigen Normalsystems verallge- 
meinert werden. 


40. Die genaue Fehlerabschätzung mit Hilfe der Restglieder bietet in den meisten Fällen 
grosse Schwierigkeiten, weil die dabei zu benutzenden, höheren Ableitungen von f (oder F) im 
allgemeinen nur sehr mühsam zu berechnen sind. 

Meistens genügt aber eine ganz rohe Kenntnis des Verlaufes der betreffenden Differential- 
quotienten, die man sich auch ohne Differentiation verschaffen kann. 

Man hat allgemein 


(64) A —oerf"(EX), wo (l—50 EX s). 


Demnach kann man die »:ten Differenzen als Stichproben von den Werten der mit o" multipli- 
zierten v:ten Ableitung von f betrachten. Wenn nur diese Differenzen einen regelmässigen Ver- 
lauf zeigen, erhält man also einen Begriff von dem Verlaufe von 2 (1). Will man den grössten Wert 
von f " (E) in einem gewissen Intervall schätzen, so genügt es meistens, dafür die grösste Differenz 
der »:ten Ordnung, anzunehmen die in dem für € festgesetzten Intervall vorkommt. (Eigentlich 
müsste man ja die Werte von A’ in einem nach beiden Seiten mit 5» verlängerten Intervall 
in Betracht ziehen.) Hieraus ergibt sich eine, zwar rohe, obere Grenze für den Fehler der Integra- 
tionsformel, und es ist klar, dass eine untere Grenze in analoger Weise bestimmt werden kann. 

Diese und die später erwähnten Methoden der Fehlerabschátzung werden wir weiter unten, 
Nr. 44, an einem numerischen Beispiel erläutern. 


41. Bisweilen kann man schon aus der Kenntnis der Vorzeichen der hóheren Ableitungen 
wichtige Schlüsse ziehen, wie das Folgende zeigt. Es sei eine Reihe und ihr Restglied R gegeben 


IS » U,+R,:,. Wenn die erste, von Null verschiedene Zahl U nach U, mit U,+, bezeichnet 


y —U " 
wird, so ist Rn} — Viry + R, 4,41. Daraus ist folgendes ersichtlich: Wenn R,; ı und R,ı 241 


verschiedene Vorzeichen haben, ist das Restglied R,., numerisch kleiner als das nächste, nicht ver- 
schwindende Glied der Reihe und hat dasselbe Vorzeichen wie dieses. Die genannte Bedingung ist 
auch notwendig. Dieses Fehlerkriterium kann bisweilen gute Dienste leisten **, besonders bei der 
zweifachen Integration kann aber die Bestimmung des Vorzeichens von &,,; und H,.,,; viel 
Mühe verursachen. 


42. Um den Fehler einer Integrationsformel der Differenzenrechnung zu überschlagen, 
kann man auch untersuchen, welches Resultat man bekommen haben würde, wenn man in der 
Formel ein Glied mehr hinzugezogen hätte. Die Formeln liefern im allgemeinen »semikonvergente» 


1 


20 Vgl. die Konvergenzbetrachtung bei J. TAMARKIN, Mathematische Zeitschrift 1923, S. 214—219. 
2 Vgl. STEFFENSEN: On the Error in Interpolation-Formulas (Skandinavisk Aktuarietidskrift 1923, 
S. 185—189). 


N:o 13. 


40 E. J. NYSTRÖM. 


Reihen, und es ist deswegen kein unbedingter. Vorteil, viele Glieder mitzunehmen, denn diese fan- 
gen von einem bestimmten Glied an zu wachsen. Wie man zweckmüssig verfahren kann, er- 
làutert CHARLIER folgendermassen. ?? 

»In der Praxis bin ich dem Prinzip gefolgt, die Reihe mit dem kleinsten Glied abzubrechen 
(das kleinste Glied wird nicht mitgenommen), und den Fehler ungefähr gleich dem doppelten 
Betrag des kleinsten Gliedes geschätzt. Es ist zwar, — — — nicht bewiesen, dass dem wirklich 
auch so ist, aber das wahre Resultat wird nicht weit hiervon abweichen, wenn w so klein gewählt 
worden ist, dass die Differenzen innerhalb des Intervalles nicht das Zeichen wechseln.» 

Es bliebe also übrig zu zeigen, dass bei hinreichend kleinem « der Fehler kleiner ist als der 
zweifache Betrag des ersten vernachlässigten Gliedes. Für einige der bei CHARLIER angeführten 
Formeln, hat C. R. ADAMS dies getan. 22 

Es lässt sich aber a priori erwarten, dass, in dem uns interessierenden Falle, das Ver- 
hältnis des Restgliedes À, zu dem ersten vernachlässigten Glied, welches Verhältnis wir allge- 
mein mit V, bezeichnen, bei verschwindendem © sich der Einheit nähert. 21 

In der Tat erhalten wir aus (40), um mit dieser Formel zu beginnen, 


»+2 =(v+1) zul) 
(a A ï (8) f CE) 
z v +1 ; 
(65). amer oe sr (lo — vo « E« luc o). 
oA, 1B 7, 3 cud vrl 
2 2 o 2 
v1 
A »4-1 


Sowohl f^*"(s) als —? nähern sich für »..0 dem Grenzwert f""”(t,), also ist 
[C 


0) ^ 


lim Y,+1=1 für » =1,2,... 


(e —.0 
Für die mit (40) analoge Formel (53) gilt Entsprechendes. Wir haben mit Rücksicht auf 
(65) lim V, —1, (r=2,3,...). 


(0 — 0 
Was die Gaussschen Formeln (48) und (62) betrifft, lässt sich leicht zeigen, dass für beide 
lim V,- 1 ist, bei welchem Glied man auch die Formeln abbricht. Dabei muss man nur be- 


© — () 


achten, dass, wenn man vorläufig unberücksichtigte Kolonnen des Differenzenschemas später in 
hechnung zieht, auch die »Integrationskonstanten» verbessert werden müssen. 'Tut man dies 
nicht, so kann das Verhältnis V bei beliebig kleinem w einen sehr grossen Wert haben. 

Es wäre von Wichtigkeit, in jedem Falle entscheiden zu kónnen, ob das Intervall klein ge- 
nug ist, damit die von CHARLIER erwähnte Regel gültig sei. Was z. B. die Formel (40) betrifft, 
kann dies mittels des Ausdrucks (65) geschehen, indem man zusieht, ob die Ungleichheit V,« 2 
gilt oder nieht. Dies setzt allerdings wieder die Kenntnis der Ableitungen von f voraus, und die 
Charliersche Regel kann deshalb nur selten exakte Anwendung finden. 


# CHARLIER: Die Mechanik des Himmels, Leipzig 1907, Bd. II, S. 63 f. 

# C. R. ADAMS in Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. XLVII (1923). S. 53—61. Erratum 
dazu ibid. Bd. XLVIII, S. 28. Seine Untersuchung gilt auch für den Fall der Integration über ein bestimmtes 
endliches Intervall. 

^ Man kann nämlich die Integrationsformeln der Differenzenrechnung nach (64) gewissermassen als 


Potenzentwicklungen auffassen. 


Tom. L. 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 41 


43. Die in Nr. 24 auseinandergesetzte Methode der Fehlerabschätzung kann auch auf die 
Formeln der Differenzenrechnung angewandt werden. Wenn man nämlich die Integration mit 
der doppelten Intervallbreite wiederholt, ist der Fehler der ersteren Berechnung, wenn man 
jedesmal vor den Differenzen derselben Ordnung abbricht, angenähert gleich einem bestimmten 
Bruchteil des Unterschiedes beider Resultate. Dieser konstante Bruch kann in jedem besonde- 
ren Fall unmittelbar angegeben werden (vgl. das folgende Beispiel). 


8 11. Beispiel zur Erläuterung der Fehlerabschätzungen. 


44. An der zweifachen Quadratur 


t 1 


T = — | ai | 107 cos t dt 


wollen wir nun die verschiedenen Methoden der Fehlerabschätzung zur Anwendung bringen. 
Der exakte Ausdruck für x ist 107 cost. 

Der Grund, warum wir nicht die Integration einer Differentialgleichung als Beispiel gewählt 
haben, ist der, dass wir jetzt bloss die Fehler der Quadraturformeln betrachten wollen. Bei der 
Integration von Differentialgleichungen treten ausser diesen Fehlern, vom zweiten Schritte an, 
zugleich solche auf, die von den ungenau bestimmten Funktionswerten herrühren und die be- 
sonders untersucht werden müssen. In Nr. 48 werden wir ein Beispiel soleher Fehleranháufungen 
geben. 


Das Intervall e nehmen wir gleich und erstrecken die Integration, die wir mittels der 


T 
15 
Störmerschen Formel (54) ausführen, von 0 bis v. Das Differenzenschema der Funktion 
-(5) 107 cost kann jetzt hingeschrieben werden; darin bilden wir noch die Differenzen 
sechster Ordnung, obgleich wir bei der Integration nur diejenigen bis zur vierten Ordnung ein- 
schliesslich benutzen. Neben dem Schema, das sich auf der folgenden Seite befindet, haben wir 
bereits in besonderen Kolumnen die exakten Werte von x sowie die mittels der Formel (54) 
berechneten z eingetragen. Alle Grössen geben wir in ganzen Zahlen an, bei der Rechnung 
wurde aber z. T. eine Dezimalstelle benutzt. 

Nach der Formel (65)' wollen wir nun den ungefähren Betrag des Fehlers der Integration 
feststellen. Da wir etwa C, = Ed haben, wollen wir das Glied mit C; ganz vernachlässigen. > 
Man kann nun leicht nach (55)’ für den Fehler eines jeden Schrittes eine obere und eine untere 
Grenze ermitteln. Es zeigt sich aber, dass man genau dieselben Grenzen erhált, wenn man nach 
Nr. 40 statt der fünften Ableitung des Integranden die Differenzen fünfter Ordnung benutzt. 
Wie aus der Tabelle hervorgeht, liegen die wirklichen Korrektionen von z tatsächlich zwischen 
den angegebenen Zahlen, mit Ausnahme einer derselben, die mit der oberen Fehlergrenze zu- 
sammenfällt. 


> Dieses Glied wird tatsächlich verschwindend klein (vgl. die Schlussbemerkung von Nr. 34). 


N:o 13. 6 


42 E. J. NYSTRÓM. 
u 2 | | 
t T gg bi DM NIE PA TE LPC ARR A5 | A? 
| | | 
| M 
— 60° | 
— 489 | 
_36 | | | | 97 
| | — 90 
249 | eee 767 37 
| | 1238 | —53 
12° | 18752 | —819 34 
— 9586 419 — 19 
09 | 10000000 — 438649 19171 — 838 38 
| | 9586 | — 419 | 19 
12e 9781476 9781480 — 429064 | 18752 = 819 34 
28338 — 1238 | 53 
24° 9135454 9135457 — 400726 17514 76T 37 
| | 45852 | —2005 | 90 
3052 8090170 8090167 — 354875 | 15510 11057677 97 
| | 61361 | — 2682 | 116 
489 | 6691306 6691303 - 293514 1282 | —561 27 
| 74189 — 3243 | 143 
609 | 5000000 4999993 —,219325 9586 | —419 17 
| 83775 — 3661 | 159 
72° 3090170 | 3090161 — 135550 5925 |o) 13 
| 89699 — 3921 | 172 
84° | 1045285 | 1045274 | . — 45852 2004 AME VER 3 
| | 91703 — 4008 17530] 
969 — 1045285 | — 1045296 45852 — 2004 88 | — 8 
| : 89699 — 3921 | 172 
108° | — 3090170 | — 3090184 135550 — 5925 | 960 15 
| 83775 — 3661 | 159 
1209 | — 5000000 | — 5000013 219325 — 9586 419 — 17 
| 74189 — 3243 | 143 
1329 | — 6691306 | — 6691319 293514 — 12828 561 cn 
61361 — 2681 116 
1449 — 8090170 | — 8090181 354875 — 15510 677 — 27 
45852 — 2005 | 90 
1569 | — 9135454 | — 9135465 400726 — 17514 767 — 37 
28338 — 1238 | 53 
1682 — 9781476 | — 9781484 429064 — 18752 | 819 — 34 
9586 E TOM 19 
180° | — 10000000  — 10000007 438640 — 19171 | 838 — 37. 
| Fehlerabschätzungen E = S&S © * sg 2 Sgt s 2 3 
o 
| Fehler der Integration von £— o bist..... —-4|-3| 3| 3| 7| 9| 11| 11|14| 13, 13. 11 | 11]. 8) 7 
| Nach Nr. 40 berechnete obere Grenze d. Fehlers 6| 8| 10| 12| 13| 14| 14| 14 | 14 | 14| 14| 14| 13 | 12 | 10 
» Nr4) 4 2. wen ps. SKE 0]. 2) 34 71.9] DI #0) 7 a NES 
| MENT) - Obere m N. E | | MISIT TIR END 
| » Nr. 42 berechneter Hóchstbetrag d. , |—14|—8|—3| 3| 8| 4| 17| 21| 24| 26| 261 26| 24 21 Imm 
| » Nr.43 abgeschätzter Betrag „ „ |— 8|-6/—3| 0| 2| 3| 7| 10| 11) 12| 13| 13; 12 | 11|. 10 


Das Fehlerkriterium von Nr. 41 kann nur bei den vier letzten Schritten der durchgeführten 
Integration Anwendung findep. Man kann nämlich sowohl aus den Ableitungen wie aus den 


Tom. L. 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 43 


Differenzen mit ziemlicher Sicherheit schliessen, dass R, und R, für t= 144°, 156^, 168°, 180° 
verschiedene Vorzeichen haben; bei anderen Schritten aber kann man das nicht behaupten, ohne 
die wirklichen Korrektionen der Werte y zu kennen. 

Die Charliersche Regel kann jetzt eigentlich nicht angewandt werden, weil die ersten ver- 
nachlässigten Glieder (mit den Differenzen der fünften Ordnung) noch nicht die kleinsten sind. 
Man sieht jedoch, dass die Integrationsfehler (mit einer Ausnahme) kleiner sind als die doppelten 
Beträge dieses Gliedes und dasselbe Vorzeichen haben. Hätten wir bei der Integration auch die 
Glieder mit A? und A® mitgenommen, so hätte die Charliersche Regel eine gute Fehlerabschätzung 
geliefert. 

Um endlich das in Nr. 43 auseinandergesetzte Verfahren zu probieren, haben wir die Inte- 
= , einmal von 0 
und einmal von 12° ausgehend. Denken wir etwa an den Schritt von t; bis t;+ 2, so kann der 
Fehler von z;,» gemäss (55) mit (2»)?k bezeichnet werden. Bei der ersten Berechnung 
ist der Fehler von z;.;. d.h. der Fehler nach einem Schritt von der Grösse o, angenähert 


ek und derjenige von x;4,2 mit einiger Annäherung gleich 2w7%. Demnach ist der Fehler 
— des Unterschiedes der beiden für x;... erhaltenen Werte. Die 
Genauigkeit dieser Art der Bestimmung der Gróssenordnung des Fehlers ist, wie aus der Tabelle 
hervorgeht, recht gut. 


eration nochmals durchgeführt aber mit der doppelten Intervallbreite «e = 


von æ::, ungefähr gleich 


Dritter Abschnitt. 
Über die praktische Durchführung der angenáherten Integration. 


8 12. Die Methode der sukzessiven Approximationen. 


46. Wenn irgendwie eine Integralkurve des Systems 

(66) S CEDE DEOS CAO ve Nr 

durch eine Anzahl von passend verteilten Punkten angenähert bestimmt worden ist, aber noch 
nicht mit der gewünschten Genauigkeit, so kann man in sehr einfacher Weise von dieser ersten 
Approximation zu einer besseren gelangen, ohne die ganze Rechnung aufs neue durchzuführen. 
Dabei genügen auch ganz rohe Näherungswerte für die Koordinaten der Punkte. Man kann sogar 
von ganz beliebigen Werten ausgehend schrittweise sich der richtigen Integralkurve nähern ganz 
ohne vorherige Kenntnis des Verlaufs derselben. Es ist jedoch von Vorteil, wenn die erste Appro- 
ximation schon einigermassen genau ist, und daher behandeln wir das betreffende Verfahren, 
das auch als Iterationsmethode bezeichnet wird, hier nicht als eine selbständige Integrations- 
methode, sondern als ein Mittel zur Verbesserung schon vorhandener Náherungen, die etwa nach 
den Methoden der vorherigen Abschnitte oder auf graphischem Wege gefunden sind. ?$ 


26 Die Methode ist ursprünglich von PICARD in Anwendung gebracht worden. Später haben u.a. 
E. LINDELÓF, RUNGE und COTTON daran gearbeitet. 


N:o 13. 


44 E. J. NYSTRÖM. 


Obgleich wir uns in dieser Abhandlung nicht mit der graphischen Integration beschäftigen, 
wollen wir hier hervorheben, dass diese bisweilen das geeignetste Mittel zur Auffimdung einer 
ersten Approximation bildet. Denn die graphischen Verfahren liefern im allgemeinen rasch eine 
Übersicht über den Verlauf der Integralkurven und eignen sich somit zur Vorbereitung und 
teilweise zur Kontrolle der Rechnung, falls sie nicht selbst den erwünschten Genauigkeitsgrad 
erreichen lassen. 


46. Wir denken uns (66) durch das System von Integralgleichungen ersetzt 
L t 
(67) qi ed | fit mv ys ONE | (IET ITA e YA. eo c 
fo to 
und nehmen an, dass man sich von der Existenz einer den Anfangsbedingungen entsprechenden 
Lösung überzeugt hat. 

Wir bezeichnen allgemein mit z^ (t) y^? (t), ... (n=1,2,...) ein System von Näherungs- 
lósungen von (67). Tragen wir diese Funktionen in die Integranden ein, so ergibt sich ein neues 
. System von Näherungslösungen 

cs E 
(68) EINER) + | HR D A NT) I y EEE | (tos CoL PUE SV 
to ta . 

Es lässt sich nun beweisen, dass zr +1), y^ *U,... in der Nähe von (y bessere Näherungen 
für z(t), y (t) sind als 2, yo, ... 

Um die Fehler der einzelnen Näherungsfunktionen zu untersuchen, bilden wir aus (67) und 
(68) die Unterschiede æ— ze), g-—3*-9,... und geben ihnen auf Grund des Mittelwert- 
satzes für Funktionen mehrerer Veränderlichen die Form 


t 


gr) | zo. E pM) (8o) e f (6, m 3 .…..)(y—y0) + ---]dt, 


t 


t 


y—yet»- | PACE NEED toam eyed") rss 


Die auftretenden partiellen Ableitungen von f,g,... sind für gewisse Werte der Veränderlichen 
im Bereich x, 2”, y,y®,... zu berechnen. Wir nehmen an, f/, j^. Seien in dem genannten 
Bereich absolut genommen nicht grösser als eine Zahl M, und ebenso seien die absoluten Beträge 
von g;,9,.... für die in Betracht kommenden Werte nicht grösser als N etc. Ferner mögen 
dus En,... je den grössten absoluten Betrag von z— 2"), y— y^ ,... im Intervall von t, bis t 
bedeuten. Dann ist 
0,41 € M(0, +en+-)lt—tol, Eng EN (Or ten He) [t—to |... 
und folglich 
On 41 Fengit. EOM EN >>) (On + En +). 


Das Intervall t—t, kann so klein gewählt werden, dass die Grösse (M+N +-:-)!t—tol. 


kleiner wird als ein echter Bruch x. Dann hat man 


Q,.1- E, u1 ccc E X(0, Fen For) (dy Kern), 
Tom. L. 


mant 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 45 


woraus hervorgeht, dass die grössten Fehler der Näherungslösungen mit zunehmendem n inner- 
halb des bestimmten Integrationsintervalls beliebig klein gemacht werden können. Zu beachten 
ist, dass die Näherung =" +V, y@+»,,.. nicht in jedem Punkte genauer zu sein braucht als 


die vorherige xo y". ... 


47. Bei der praktischen Anwendung lohnt es sich im allgemeinen nicht, die Grössen M, N. ... 
im voraus zu ermitteln, um das zulässige Integrationsintervall zu bestimmen, denn das Aufhóren 
der Konvergenz ist aus dem Verhalten der einzelnen Näherungen deutlich genug zu ersehen. 

In dem Beweis wurde vorausgesetzt, dass die wiederholten Integrationen exakt ausgeführt 
werden, allein in der Praxis ist man gezwungen, zu diesem Zweck die Quadraturformeln des zwei- 
ten Abschnitts anzuwenden. Es gilt daher, die Intervallbreite » so klein zu wählen und die Rech- 
nung mit so viel Stellen zu führen, dass sowohl die Fehler der Integration als diejenigen der Ab- 
rundung für die Konvergenz der Iterationsmethode unschädlich sind. 

Sollen die Werte der gesuchten Funktionen mit einer vorgeschriebenen Genauigkeit berech- 
net werden, so muss man sich also vor allem davon überzeugen, dass die benutzte Integrations- 
formel für diesen Zweck hinreichend genau ist. Nur dann kann man, bei der Übereinstimmung 
aufeinander folgender Näherungen, die letzte für ausreichend genau halten. 

Es sind noch ein paar Bemerkungen zu machen. In die Integranden trágt man stets die 
besten bisher bekannten Näherungsfunktionen ein. Wenn z.B. 2 +) mit Hilfe von 2, y",... 
ermittelt sind, wird y” +) mittels z^ +D,y®,... berechnet, also nicht mittels 2”, y, wie das 
im Beweise aus Symmetriegründen geschehen ist. 

Soll eine nach den Methoden des ersten Abschnitts berechnete Lósungskurve durch Inte- 
sration verbessert werden, so kann man mit Vorteil die Formeln von NEwTON-CoTES anwenden, 
weil es dann nicht nótig ist, das Differenzenschema zu bilden. 


$ 13. Beispiel der sukzessiven Approximation. 


48. Um die praktische Brauchbarkeit des eben besprochenen Verfahrens zu beleuchten, 
behandeln wir ein numerisches Beispiel, nämlich das der Differentialgleichung 


(69) a =—ı. 


Diese hat STÖRMER mittels der Formel (54) integriert? und zwar mit den Anfangsbedingungen 
z- 107 und z'—0 für t=0 und unter Benutzung der Differenzen bis vierter Ordnung einschl. 
Er hat die Rechnung von {= 0? bis t= 180° dreimal durchgeführt, so dass er der Reihe nach 


die Intervallbreiten —, =, © benutzt. Die aus der zuletzt genannten Integration resultierenden 


60° 30" 15 
Werte von x sind in der folgenden Tabelle angegeben nebst dem Stórmerschen Differenzenschema. 


# STÓRMER: Résultats des calculs numériques des trajectoires des corpuscules électriques dans le champ 
d'un aimant élémentaire, III, S. 41—49 (Videnskapsselskapets Skrifter, Math.-naturv. Kl. 1913, Nr. 14, Kris- 
tiania). Über die Art, in der die Rechnung begonnen wird, werden wir später reden. 


N:o 13. \ 


46 ER. J. NxsTRÓM. 


Es ist interessant dieses Schema mit dem in Nr. 44 zu vergleichen, wo es sich um die zweifache 
Integration 


t 


dt | 107 cos { dt = 107 cos I 


0 


q-— 


[IN 


handelte. Dieses Integral definiert gerade die exakte Lösung. der jetzt vorgelegten Aufgabe, 
und die beiden Schemata sind daher nur insofern verschieden, als die Integrationsfehler der 
einzelnen Schritte auf die folgenden einwirken. 

Die Tabelle enthält ausserdem die von STÖRMER mit den kleineren Intervallbreiten erhalte- 
nen Werte von æ für t — 0°, 12°,...,180°. Es zeigt sich, dass die Werte der zweiten Rechnung 
(o = 30) die genauesten sind. Bei der dritten Rechnung war w offenbar zu gross; bei der ersten 
dagegen zu klein, denn die Abrundungsfehler haben sich hier bei den vielen Schritten derart an- 
gehäuft, dass der Vorteil der kleineren Intervallbreite ganz vereitelt wurde. 


| a | 5 Ng 20 | | 
| | nach | nach nach | zweite aV | 
t | 0? eost. | Stórmer | Stürmer | Stürmer | Näherung |— = (15) (ro IE LS ELA AN EA At 
m | E | 7 | T | | 
Zu aS STONES | | 
! | | | | 
| | | — 9586 | 421 | 
0° | 10000000 | 10000000 10000000 10000000 | 10000000 | — 438649 0 19172 — 842 
| 9586 — 421 
129 9781476 | 9781476 | 9781475 | 9781476 | 9781476 | — 429063 | 0 | 18751 — 816 
| 28337 | — 1237 
24° 9135454 | 9135458 9135453 | 9135457 | 9135454 | — 400726 | 0 | 17514 — 166 
| | 45851 — 2003 
36° | - 8090170 | 8090177 |  8090169|  8090173| 8090169 |— 354875 0 15511 — 681 
| | 61362 — 9684 
48° |  6691306| 6691315 | 6691305, 6691306 | 6691305 |— 293513 0 | 12827 — 557 
| | | 74189 — 3241 
60° | 5000000, 5000009 | 5000000 4999991| 4999999 | — 219324 0 9586 — 420 
| | 83715 — 3661 
72° 3090170 | 3090180 | 3090170, 3090143, 3090168 | — 135549 | — 1 5925 — 260 
| | | | 89700 — 3921 
84° |  1045285| 1045296 1045283 1045231 1045285 | — 45849| - 2| j 2004 — 86 
| | | 91704 — 4007 
96° |— 1045285 | — 1045274 | — 1045289 — 1045375 | — 1045284 45855 | — 4 — 2003 86 
| | 89701 — 3921 
108° |— 3090170 | — 3090157 | — 3090178, — 3090306 | — 3090167 135556 | — 6 — 5924 | 259 
| | | | 83777 — 3662 
120° |— 5000000 | — 4999981 |— 5000011 | — 5000189 | — 4999995 219333 | — 9 | — 9586 421 
| | | 74191 — 3241 
1329 |— 6691306 | — 6691283 | — 6691320 LE 6691553 | — 6691300 293524 | — 11 — 12827 558 
| | | | | | 61364 — 2683 
1449 |— 8090170 | - 8090139 | — 8090186 | — 8090476 | — 8090163 354888 | — 14 | — 15510 679 
| | | | 45854 — 2004 
156° |— 9135454 | — 9135413 | — 9135472 | — 9135817 | — 9135448 400742 | — 16 | — 17514 | 
| | | 28340 | 
168° | — 9781476 | - 9781427 |— 9781494 | — 9781888 | — 9781469 429082 | — 19 | | 
| | | | ] | 
180° Im 10000000 | — 9999945 | — 10000018 | — 10000450 | — 9999995 [438648] | 


49. Um die von STÖRMER erhaltenen Werte z zu verbessern, kann man nun z. B. mittels 
der Formel (62)' über den berechneten Teil der Integralkurve von (69) integrieren. Um dies bis 
| = 180° fortsetzen zu können, kann man entweder ein paar Schritte weiter nach der Störmer- 


Tom. L. 


EL 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 47 


schen Methode rechnen oder aber die fehlenden Differenzen vorläufig durch Extrapolation er- 
mitteln und bei dem letzten Schritt die Formel (62) wiederholt anwenden, wie das in Nr. 31 aus- 
einandergesetzt wurde. 


Für den Fall «= = 
ebenso, in einer mit d überschriebenen Kolumne, die eintretenden Änderungen der Funktions- 


sind die so verbesserten Werte x(?) in unserer Tabelle angegeben und 


werte, d.h. der Grössen (5) . Die erhaltene zweite Approximation ist wesentlich genauer 
als die direkt mit der halbierten oder mit der geviertelten Intervallbreite berechnete, ja sogar 
besser als die aus diesen durch wiederholte Integration erhaltene, denn hierbei ergäben sich nur 


ganz kleine, durch die Abrundung bedingte, zufällige Änderungen. 

Die noch einmal mit e = I5 durchgeführte Integration ergab in den Werten z(?) für t — 108°, 
120°, 132°, 144°, 156°, 168^ je‘eine Korrektion von — 1. Die weiteren Wiederholungen der Inte- 
gration würden dann keinerlei Änderungen mehr verursachen. 


$ 14. Allgemeines über die Wahl der Integrationsmethode. 


50. Der Zweck einer numerischen Integration von Differentialgleichungen erfordert bis- 
weilen nur die Ermittelung einzelner Funktionswerte von gewissen Partikularlösungen. Man 
bestimmt also nur wenige Punkte von einigen Integralkurven, ohne sich für den weiteren Verlauf 
derselben zu interessieren. In solchen Fällen empfiehlt sich die Rungesche Methode von selbst. 

Soll aber eine Integralkurve in einem längeren Intervall genau verfolgt werden, so entsteht 
die Frage, ob die Quadraturenmethode (Summationsmethode) der Rungeschen nicht vorzuziehen 
sei. Hierüber zu entscheiden sowie die Intervallbreite passend zu wählen, ist im allgemeinen 
schwierig, wenigstens bei völliger Unkenntnis des Verlaufs der Integralkurven. 

Mit den im ersten Abschnitt entwickelten Formeln können wir eine Approximation höch- 
stens der fünften Ordnung erzielen, bei der also das Restglied die sechste Potenz der Intervall- 
breite At (oder o) als Faktor enthält. Unter Anwendung der Quadraturenmethode dagegen 
tritt in dem Restglied schon eine höhere Potenz von e auf, sofern wir mehr als die vier ersten 
Differenzenkolonnen in Betracht ziehen. 

Allein der Exponent von w ist für die Grösse des Fehlers nur dann massgebend, wenn w sehr 
klein ist. Zu beachten ist nämlich, dass in den Fehlerausdrücken Ableitungen auftreten, die für 
gewisse Mittelwerte £ zu berechnen sind, und dass in dem Restglied der Taylorschen Reihe der 
Spielraum für & nur ein Bruchteil von dem in den Restgliedern der Quadraturformeln vorhande- 
nen ist. Demnach ist es sehr wohl möglich, dass die Taylorsche Reihe, und daher auch die Run- 
gesche Methode, genauere Resultate liefert als die Quadraturenmethode, obgleich die Restglieder 
der ersteren niedrigerer Ordnung in o sind. 


51. Um das Gesagte deutlicher zu machen, nehmen wir an, es handle sich um die Differen- 
tialgleichung (30), und weiterhin, dass die Werte x; für 4—0, —1, —2,..., d.h. für die Werte 
(31) von t bekannt seien. Die Integration von (30) ist nun gleichbedeutend mit der Aufgabe, die 
Fläche zwischen der in einem Koordinatensystem (t, z^) gezeichneten Kurve C mit der Gleichung 
z'—f(t,z) —f(), der t-Achse und zwei Ordinaten, etwa die zu t, und t gehörigen, zu be- 


N:o 13. 


48 E. J. NYSTRÖM. 


stimmen, wobei man also eine Anzahl Punkte der Kurve (t— t;, z'—f;) für = —1,—2,.. 
schon kennt. 

Nach der »Runge-Kuttaschen Formel» (5) geschieht diese Bestimmung, nachdem man den 
unbekannten Bogen der Kurve C durch einen anderen ersetzt, der mit der ersteren eine vier- 
punktige Berührung für | — 1, hat. Es werden vier Funktionswerte f(t, x) berechnet, und zwar 
ermittelt man die Ordinate fy, zwei Funktionswerte in der Nähe von loo und einen Funk- 
tionswert in der Nähe von t, + e, welche Werte nur wenig von den Ordinaten der Kurve C in 
den Punkten +50 und {5 +w, bzw., abweichen. 

Ziehen wir dann die Anwendung der Quadraturformel (41) zum Vergleich heran. Diese 
setzt nur die Berechnung der einen Ordinate f, voraus, benutzt aber mehrere der bekannten 
Ordinaten von C. Die Idee ist, durch die bekannten Punkte von C eine glatte Kurve zu legen 
und die von dieser und den genannten geraden Linien eingeschlossene Flüche zu berechnen. 


Fig. le 


Hat C etwa die in der obenstehenden Figur angedeutete Form, so gibt die Rungesche Me- 
thode einen viel besseren Näherungswert für die genannte Fläche. Denn wie viele der bekann- 
ten Punkte von C man auch berücksichtigen mag, so kann man die Gestalt der Kurve zwischen 
1g und {, doch nieht voraussehen. Man wird nur dazu verleitet, für f, einen negativen Wert anzu- 
nehmen, während diese Grösse nach der Figur positiv ist. Die Intervallbreite » ist in diesem 
Falle also viel zu gross gewählt. Dagegen würde die Rungesche Methode vielleicht bei noch grös- 
serer Intervallbreite benutzt werden kónnen, denn die dabei angewandte Näherungskurve hat 
mit C für (— ty eine Berührung höherer Ordnung als der Krümmungskreis im Punkte /— (9, und 
letzterer entfernt sich ja im ganzen Intervall von t, bis t, nicht merklich von C. 


52. Es ist natürlich vorteilhaft, die Schritte móglichst gross zu halten, denn erstens wird 
dabei direkt an Arbeit gespart, und ferner hat das den Vorteil, dass die Fehler der z; sich weniger 
summieren. Sonst kónnen diese Fehler derart anwachsen, dass die Rechnung mit den grósseren 
Schritten in der Tat genauere Resultate liefert. Hiervon haben wir ja im vorigen Paragraphen 
eim Beispiel gesehen. 

Man sollte also die Rungesche Methode der anderen vorziehen, wenn sie die Anwendung 


Tom. L 


Uber die numerische Integration von Differentialgleichungen. 49 


längerer Schritte gestattet, ohne die Arbeit zu sehr zu vermehren. Genaue Regeln hierfür können 
kaum gegeben werden. 

Wir wollen an dieser Stelle nur beispielsweise folgendes erwähnen: In dem schon zitierten 
Werk von BASHFORTH und ADAMS werden Differentialgleichungen zur Bestimmung der Gestalt 
von liegenden und hängenden Tropfen ausgewertet. Einige solche hat Hugo Koch später nach 
der Runge-Kuttaschen Methode behandelt und ist zu dem Schluss gelangt, man käme nach die- 
ser Methode in derselben Zeit mehr als doppelt so weit wie nach der Adamsschen, eben weil man 
grössere Schritte machen könne. °® Kock äussert an einer anderen Stelle ?? die Meinung, die Runge- 
Kuttasche Formel könnte bei der numerischen Behandlung des Dreikörperproblems ausgedehnte 
Anwendung finden. Wenn das der Fall ist, würden unsere Formeln noch geeigneter sein. 

Ein Beispiel, bei dem die Summationsmethode am leichtesten zum Ziele führt, findet sich 
bei KRYLOFF. 30 

Es muss noch hervorgehoben werden, dass das Differenzenschema ein sehr einfaches und 
ziemlich sicheres Mittel gewährt, um zu entscheiden, ob die Intervallbreite klein genug ist. 
Dazu hat man den Einfluss der ersten vernachlässigien Differenzen zu überschlagen. Zugleich 
bietet der regelmässige Gang der Differenzen eine Art Sicherheit gegen Rechenfehler. Da es 
entsprechende einfache Kriterien bei der Rungeschen Methode nicht gibt, wird man in zwei- 
felhaften Fällen sich für die Summationsmethode entscheiden. 


53. Hat man sich für den Gebrauch einer der beiden Hauptmethoden entschieden, so 
bleibt noch zu überlegen, welche der vorhandenen Formeln man anwenden soll. 

Was die Rungesche Methode betrifft, kommt für Systeme der ersten Ordnung hauptsächlich 
(7) in Betracht und für solche der zweiten Ordnung die Systeme Nr. II und V, falls etwa-in dem 
letzteren Falle nicht die einfacheren Nr. I und IV genügende Genauigkeit ergäben. 

Bei der Anwendung der Summationsmethode wird im allgemeinen die letzte berücksichtigte 
Differenzenkolonne nur kleine, meistens einen etwas unregelmässigen Verlauf zeigende Grössen 
enthalten. Wollte man also mit Hilfe des Differenzenschemas extrapolieren, so müsste man diese 
letzte Differenz als konstant und gleich dem arithmetischen Mittel der bisher bekannten anneh- 
men. Eben dies wurde aber in Nr. 38 als ein unnötiger Umweg befunden. Daher ist für einfache 
Quadraturen die Adamssche Formel (36) oder die mit einfacheren Koeffizienten versehene (41) 
am meisten zu empfehlen, und für zweifache Quadraturen die Störmersche Formel (54). 21 Nur 
wenn die Beträge der genannten Differenzen stark anwachsen, kann es von Vorteil sein, die 


# HUGO KocH: Ueber die praktische Anwendung der Runge-Kuttaschen Methode zur numerischen 
Integration von Differentialgleichungen (Dissertation, Göttingen 1909, S. 18—29). ADAMS hat in der ge- 
nannten Arbeit sich der Formel (43) bedient, nicht der von ihm aufgestellten (36). 

221bid2S, 31: 

30 A. N. KRYLOFF: Angenäherte numerische Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen, (in rus- 
sischer Sprache), Berlin 1923, S. 39—42. Es handelt sich hier um die Differentialgleichung y’=yx+ Jy. 

#1 KRYLOFF hat (loc. cit S. 4f und 71 f) die Vorzüge der Formeln, die nur bekannte Differenzen ent- 
halten, ausdrücklich hervorgehoben und gezeigt, dass durch Benutzung der Formel (36) die Adamsschen Rech- 
nungen leichter ausgeführt werden können. 


N:o 13. N # PEN 7 
S Sv r$ 
Lay, GA 


50 BE. J. NysTROM. 


nächstfolgenden schätzungsweise zu bestimmen und nach Nr. 31 eine der anderen Formeln wie- 
derholt anzuwenden. 

Jedenfalls wird es aber gut sein, nach einigen Schritten über den bisher berechneten Teil der 
Integralkurve nochmal zu integrieren, um die bisher berechneten Werte zu verbessern und so- 
mit eine starke Anhäufung der Fehler zu vermeiden. Für diesen Zweck sind die Gaussschen For- 
meln (48) und (62)' am meisten geeignet, denn sie benutzen zum Teil Funktionswerte ausser- 
halb des Integrationsintervalles, die bei den anderen Formeln nieht berücksichtigt werden, und 
liefern daher vermutlich etwas genauere Resultate. Auch sind ja die Koeffizienten dieser For- 
meln für die Rechnung sehr bequem. 

Die Vor- und Nachteile der Steffensenschen Formeln wurden schon in Nr. 28 besprochen. 


$ 15. Ergänzende Bemerkungen betreffend die Summationsmethode. 


54. Während die Rechnung nach der Rungeschen Methode stets in der gleichen Weise fort- 
schreitet, bedarf es bei der Summationsmethode für den Anfang besonderer Vorschriften, weil 
man nämlich schon einige Werte der gesuchten Funktionen kennen muss, um die Quadratur- 
formeln anwenden zu kónnen. 

Die betreffenden Funktionswerte kann man sich etwa in der Weise verschaffen, dass man 
nach irgend einer Formel des ersten Abschnitts einige Schritte berechnet, und zwar mit konstan- 
tem At(— o). Dieses Verfahren ist nach Nr. 2 und 23 der bisweilen gebrauchten Methode der 
direkten Reihenentwicklung vorzuziehen. 

Einen anderen Ausweg bietet die sukzessive Approximation. Wir fassen den Fall eines 
Systems (66) ins Auge. Zuerst werden die Anfangswerte der unabhängigen Variablen und der 


gesuchten Funktionen /,.2z,,9,.... in die Differentialgleichungen eingesetzt, wodurch sich die 
Werte f,,g,,... ergeben. Dann können wir angenähert setzen 

La+1= Kart f, Ya+ıYı + gum, ... 

Mt Hen Os POT Ren: 
und können damit Näherungswerte, wenn auch sehr rohe, für f,. i, fa 1, go. Ja—1,... berech- 


nen. Darauf bilden wir die Differenzen erster und zweiter Ordnung, die sich aus den bisher (ange- 
nähert) bekannten Funktionswerten ergeben (auf je einem Blatt für jede vorkommende Funktion), 
und benutzen dieselben, um die Formel (41) auf den Schritt von t,+1 bis {,:2 anzuwenden. Nach- 


dem wir so Werte für æ,,9,ÿa:2,... bekommen haben, berechnen wir f.+2, 9a+2,... und er- 
eünzen die Differenzenschemata. Sodann werden genauere Werte für , (1, 2, 19, Ya+ 1» Yat 2; 2 
mittels (41) oder (43) berechnet, mit deren Hilfe die Funktionswerte f, : 1, g,+1,... und deren 


Differenzen verbessert werden. Die Formel (41) wird nun auf den Schritt von ti...» bis t, +3 ange- 
wandt, und so geht es weiter, indem man nach und nach die bisher berechneten Werte verbes- 
sert. Nachdem die Differenzenschemata mit genügend vielen Kolonnen sicherer Werte auf- 
sebaut sind, geht die Rechnung in der früher beschriebenen Weise rasch weiter. Soll ein System 
von Gleichungen zweiter Ordnung integriert werden, kann man statt (41) die Formel (54) an- 

wenden, wobei nur kleine Modifikationen des geschilderten Verfahrens nötig sind. 
Man könnte auch, wie STÖRMER vorschläst, die Werte x. : 1, 442. Yat1, Yaxr2,... Mittels 
Tom. L. 


ot 
LZ 


Uber die numerische Integration von Differentialgleichungen. 


der Taylorschen Reihen bestimmen, wobei man die nötigen Werte der Ableitungen mit Hilfe 
von Differenzen berechnete, etwa unter Anwendung der »Markoffschen» oder ähnlicher Formeln. ®? 

Die Ingangsetzung der Rechnung kann oft durch Symmetrieeigenschaften der Differential- 
gleichungen erheblich erleichtert werden. 


55. Es kommt oft vor, dass die anfangs benutzte Intervallbreite », auch wenn sie passend 
gewählt war, später sich als unzweckmässig erweist und geändert werden muss. Bei der Runge- 
schen Methode kann die Änderung ja ohne weiteres geschehen, bei der Quadraturenmethode 
dagegen nicht so leicht. 

Man wird gewöhnlich in solchen Fällen entweder eine Verdoppelung oder eine Halbierung 
der Intervallbreite e vornehmen, da eine anderweitige Änderung derselben viel mühsamer ist 
und es überhaupt schwierig ist zu ersehen, welcher der vorteilhafteste Wert von w sei. 

Die Verdoppelung der Intervallbreite geschieht. indem man aus den bisher berechneten 
Funktionswerten jeden zweiten herausnimmt, aus ihnen ein neues Differenzenschema (für jede 
Funktion) bildet und mit den letzteren die Rechnung fortsetzt. Würde die Anzahl der berech- 
neten Funktionswerte nicht genügen, so hat man zu verfahren wie bei der Ingangsetzung der 


Rechnung. 
Um eine mit der Intervallbreite » etwa bis ( — t, geführte Rechnung von hier an mit 3 


m 


fortzusetzen, müssen die Werte der gesuchten Funktionen für 4, 5. 4, E "vh cg. ET 
Za—3,... ermittelt werden, was mit gewöhnlichen Interpolationsformeln geschehen kann. 
Darauf berechnet man die entsprechenden Funktionswerte f,_ ls Ja}, ..., Welche zusam- 
men mit fa, Jus fa-ı: Ja—1, ... zur Aufstellung der neuen Differenzenschemata dienen. 

Man kann die Werte x, 1, Sa—3.. auch unter Benutzung der schon vorhandenen Diffe- 
renzenschemata bestimmen. Die hierzu nótigen Formeln erhält man unmittelbar durch Inte- 


gration von (35). Es ergibt sich 


I. Einfache Integration 


v 


=a,+ol—5f + À D,N ND AE GU CU Hd Out, Loc] 


| 
2 
Y n(n*1l)::(n-i—l);. uw Lg 3 91 539 
p,- | ii — EUER dn; JD); = : D;— 5 D; — 153 D, = 5760? Dove 25: 
0 


IL Zweifache Integration 


1 1 Ex i a ra (Vv + , P 
2, 724—394 + wF) 9, E, —E,,,F DE) © ie, (t,—vo<E<t,) 
i=1 m x 


=#1 
podeis meg ug. 1 E, 1 E, 53 E, 49 E, 311 
0 0 


i! 48° mis) — 11520 — 15360” MEN 


Analoge Formeln gelten natürlich für y,_1,... Um Ta—3, Ya—3,... zu bekommen, hat 
man obige Formeln auf den unmittelbar vorangehenden Schritt anzuwenden. 


** STÓRMER, loc. cit. 1%, S. 67—70. — A. A. MARKOFF: Differenzenrechnung (deutsche Übersetzung), 
Leipzig 1896. S. 20 ff. 


N:o 13. 


52 E. J. Nyström. 


8 16. Beispiel aus dem Zweikörperproblem. 


56. Wir wollen noch ein Beispiel der angenäherten Integration behandeln, das nicht so 
einfach ist wie dasjenige von Nr. 48, andererseits aber doch einen Vergleich mit dem exakten 
Integral zulässt. Ein solches bietet das Zweikörperproblem. 

Ein Planet P möge, von einem Zentralkörper S angezogen, eine Ellipse von der Exzentrizi- 


tät e= v2 beschreiben (Fig. 2).% Wir wählen die mittlere Entfernung a zwischen P und 5 zur 
Längeneinheit und, um die folgenden Rechnungen möglichst bequem zu gestalten, bestimmen 
wir die Zeiteinheit derart, dass die ganze Umlaufszeit T gleich 36 wird. Wir bezeichnen die (recht- 
winkligen) Koordinaten des Körpers P in bezug auf 5 mit v, y und denken uns dabei die positive 
x-Achse gegen das Aphel À von P gerichtet. Von dem Durchgang des Planeten durch A wollen 
wir die Zeit t rechnen. Die Bewegungsgleichungen lauten dann 

dt 

d? 


E zn Tom) S esf (m9); 
(70) j ; 3 

qi o m)z.—g(e. y), 
wo r?— x? + y? ist, k? die Gravitationskonstante und m das Verhältnis der Massen von P und 
S bezeichnet. Aus der Gleichung k?(1 + m) T?- 4-c?a? bekommen wir mit a = 1 und T = 36 
k2(1-+ m) = Die Koordinaten des Aphels sind 2, = 1 + = = 1.866025403, yo = 0, und die 
Geschwindigkeitskomponenten in diesem Punkt sind w,— z5— 0, v, — y; = 0.046765968, wobei 


die letztere Zahl mit Hilfe der Relation zv— yw = const =] k?(1--m)-] a(1— e?) berechnet 
worden ist. 

Wir stellen nun zwei, unabhángig voneinander zu behandelnde Aufgaben. 

57. Es soll der Ort sowie die Geschwindigkeit des Planeten zu irgend. einer gegebenen Zeit, etwa 


t= 4, bestimmt werden. 
Die Aufgabe wird am einfachsten durch eines unserer Formelsysteme, etwa Nr. I, II oder 


IIIa erledigt. Das Resultat wird: 


a | y u v 
| 
Näherungsformel | 
Nr 2 GIBESEIIS2) 1.795093 0.184621 |! 0.035703 — 0.044934 
| NTI GV ATV) 10795335 0.184668 — 0.035719 | — 0.044933 
ENT AIT VS | 1.795327 0.184664 |  —0035716 |  — 0.044933 
Exakter Wert | 1.795325 0.184664 — 0.035716 |  — 0.044934 


Würde die Genauigkeit der Formel III auch nicht genügen, so müsste man den gesuchten Ort 
des Planeten durch kleinere, aufeinander folgende Schritte zu erreichen versuchen, eventuell 
eine Rechnung nach der Summationsmethode beginnen. 


33 Vgl. das von E. STRÓMGREN in Meddelanden frán Lunds Astronomiska Observatorium N:o 13 gegebene 
Beispiel, wo es sich um eine Kreisbahn handelt. 


Tom. L. 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 53 


. 68. Es wird verlangt, für den Planeten eine Ephemeride vom Aphel bis zum Perihel mit einem 
konstanten Intervall, etwa At — 1, zu berechnen. 
Zuerst berechnen wir mittels der Formel Nr. II vom Aphel ausgehend zwei Schritte von der 


Grösse Arf — 1 und finden 
für {=1 x; —1.8616486, y1— 0.0467294 
für (—92 x: 1.8484850, Ya = 0.0932377. 


Die erhaltenen Werte sind auf sieben Dezimalstellen genau. Um dies festzustellen, kónnte man 
einen Schritt von der Grósse 2 machen — was nur eine einzige neue Funktionsberechnung erfor- 
derte — und würde finden x, = 1.8484852, ys = 0.0932378. Nach Nr. 24 ist der Fehler der 
Integration viel kleiner als derjenige der Abrundung. 

Wir können nun vermuten, dass die Summationsmethode bei der Intervallbreite At — 1, 
wenigstens für einen Teil der Bahn, eine gute Konvergenz zeigen werde und dass dieselbe daher 
den anderen Methoden vorzuziehen sei. Zur Ingangsetzung der Rechnung kónnen wir die Funk- 
tionswerte fo; f1: fa» 90, 91, 92 benutzen und ausserdem noch f_2,f-1.9-2.9-ı. da infolge 
(70) f-:=f: und g-;— —9;, (i=1,2,...), ist. 

Hätten wir uns von vornherein für die Summationsmethode entschieden, so wäre es am be- 
quemsten, die Rechnung auf folgende Weise zu beginnen: 

Nach der Formel Nr. II berechnen wir nur 


1 1 1^5 llc , l 

T1 = Lo + Wo afe tal (Y 5A 2,y c 58 y), Mo-uctifo 

1 1 UT lr , l 

Ya = Yo t V5 390 +39(2 +54 T,y +54 y), y = 00 +390, 
und finden x; = 1.8616486, y1 = 0.0467294. Mit diesen Werten werden f,,g, berechnet und die 
auf der S. 54 angeführten Differenzenschemata aufgestellt, und nun ergeben sich mittels (54) 
schon so genaue Werte für Ze, ys, dass f,, gs sich mit der erforderlichen Genauigkeit berechnen 
lassen. Darum kann die Rechnung von jetzt an in der regulàren Weise mittels (54) geführt 
werden. 


N:o 13. 


54 


Hi J. NUESUNROOM. 


| t / Al ^ 
ps | 
| -1 | —000878110 
| | 3288 
| 0 | —0.00874822 | | —6576 
— 3288 
1 | - 0.00878110 
t g Al A? 
ES 
| | 
ig 0.00022041 
| — 22041 
0 |  0.00000000 | 00000 
| | 22041 
1 | —0.00002041 | 
a em - — —— 
t æ (appr.) y (appr.) | + (exakt) y (exakt) 
| | 
0 1.8660254 | 0.0000000 18660254 |  0.0000000 
1 1.8616486 0.0467291 1.8616486 0 0467294 
2 18481850 |  0.0932377 1.8484850 0.0932377 
3 18964344 | 01392969 18264344 |  0.1392969 
4 17093247 01846636 |  1.7953247 | 0.1846636 
5 17549049 | 02290706 1.49048 |  0.2290706 
6 1.7048323 | 02722146 1.7048324 0.2722145 
7 1.6446566 | 03137411 1.6446565 | 03137411 
8 15737926 0.3532229 1.5737927 0.3532229 
9 1.4914857 0.3901280 1.4914858 |  0.3901280 
10 1.3967537 0.4237709 1.3967539 0.4237709 
11 1.2883038 04532332 1.2883035 0.4532332 
12 1.1643918 0.4772257 1.1643915 0.4772257 
13 1.0225914 0.4938334 1.0225919 0.4938336 
13.5 0.9439402 0.4984797 
14 0.8593659 | 0 4999887 0.8593665 0.4999889 
14.5 0.7681140 0.4975974 | 
15 0.6692053 0.4902199 0.6692071 | 04902200 | 
15.5 05613287 | 04762249 | | 
16 0.4426718 0.4529819 |  0.4426740 04529828 
165 0.3106494 | 04158128 | 
17 0.16158 | 0.35516 0.1616649 0.3549213 
17.5 | .—0.0081 | 09421 | 
18 — 0.1317 | 00146 | —0.1339746 0.0000000 


Tom. L. 


Über die numerische Integration von Differentialgleichungen. 55 


Die hóheren Differenzen sind bei den ersten Schritten sehr klein, sie wachsen aber rasch, so 
dass es notwendig wird, nach und nach neue Kolonnen in Betracht zu ziehen. Wir haben z. T. 
noch mit den sechsten Differenzen gearbeitet und, weil es bei den spáteren Schritten angemessen 
erschien, zuerst die Werte einiger von ihnen durch Extrapolation bestimmt und dann die Formel 
(62)' wiederholt angewandt. Die von uns erhaltenen Werte von z, y sind, ebenso wie die exakten, 
deren siebente Stelle etwas unsicher ist, in der Tabelle 3. 54 angegeben. Bis etwa {= 10 
sind die Fehler der Integration von der Gróssenordnung der Abrundungsfehler oder noch kleiner, 
was sich auch mit den Methoden von Nr. 40 bis 43 nachweisen liesse, und die Werte von x und 
y weichen nur um eine bis zwei Einheiten der siebenten Stelle von den exakten Werten ab. Bei 
den weiteren Schritten aber nehmen die Inteerationsfehler stark zu, was durchaus natürlich ist, 
da die Geschwindigkeit des Planeten immer wächst. Daher wurde von {= 13 an mit der halben 
Intervallbreite gerechnet. Aber trotzdem häufen sich die Fehler von z und y derart an, dass sie 
z.B. bei dem letzten Punkt vor dem Perihel, d.h. für {= 17, die Beträge 8 bzw. 24 Einheiten 
der fünften Stelle erreichen. Im Perihel sind die Fehler der berechneten Koordinaten schon 2 
bzw. 16 Einheiten der dritten Stelle. 

Durch nochmalige Halbierung der Schritte hätten wir natürlich die Genauigkeit weiter trei- 
ben können. 


N:o 13 


(E. J. Nyström: Uber die numerische Integration von? Differentialgleichungen.) Tom. L. N:o 13. 


Berichtigungen und Zusätze. 


Zur Fussnote 3 ist hinzuzufügen: Vel. auch RUNGE-KÖNIG: Vorlesungen über numerisches 
Rechnen, Berlin 1924, S. 287 ff. 

Seite 19. An der rechten Seite der symbolisch geschriebenen Determinantengleichung fehlt 
der Faktor = , Dementsprechend ist in den beiden folgenden Ausdrücken der Faktor 
u—v zu streichen. 

Seite 25, Zeile 5 von oben steht A’», soll sein M'v. Das letzte Formelsystem auf derselben 
Seite ist mit Nr. IV bezeichnet, soll sein Nr. VI. 

Seite 36. Das Restglied der Formel (56) ist nicht vollständig, sondern es kommt hinzu 

auo st Mare — 29) eo CE) ? (gi&» qe) « pe?(g") PR 
WO lg—vo«s'«iy--(v—1)o und u —(v—1)w LE” —1,-- vo. Demzufolge ist das 
Restglied in (58) in der angegebenen Form nicht exakt. eibt aber eine durchaus brauch- 
bare Näherung, zumal bei kleinem «. 

Seite 44, Zeile 14 von unten steht g', soll sein g/l. 


Sale all, » 3. » » soll das zweifache Integral negatives Vorzeichen haben. 


ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 14. 


UBER DIE-DREHUNG EINES STARREN 
KÖRPERS UM EINEN FESTEN PUNKT 


VON 


HI TABEOVTSF 


(Vorgelegt am 19. April 1996) 


HELSINGFORS 1926 


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f s 
à { ‘M f y 
] X / 


1. Als Differentialgleichungen für die Drehung eines starren Kórpers um einen festen Punkt 
hat man u.a. 


duse B)qr = M., 


(1) Bär + (4—C)rp=M,, 


C 57 - (B— A) pq - M. 


u 


Ex TDI qus 
d 
(2) us 
dy — 
a de Pb. 


Die Konstanten haben hierin folgende Bedeutung. A, B,C sind die Hauptträgheitsmomente 
des Körpers im festen Punkte O. Die Hauptträgheitsaxen bilden ein mit dem Körper fest 
verbundenes rechtwinkliges Koordinatensystem Oxyz. In bezug auf dasselbe stellen p,q,r 
die Komponenten der augenblicklichen Drehungsgeschwindigkeit oe, M,, M,, M. die Kompo- 
nenten des Momentes der äusseren Kräfte dar. 

Mit O als Anfangspunkt führt man ausserdem ein im Raume festes Koordinatensystem 
OEn& ein, das mit dem System Ozyz kongruent ist. Es seien die Richtungscosinus der Axen 
der beiden Systeme folgende: 


Sie genügen den sechs bekannten Gleichungen, unter welchen 
G) - «++ 721 : 


ein Integral der Gleichungen (2) darstellt, oder allgemeiner 


4 IET API PIONATSITe 


(4) a? + B? -- y? — Konst., 


wenn «,ß,y nur den Richtungscosinussen proportionale Grössen sind. 

Wáhrend die Gl. (1) die bekannten Eulerschen Gleichungen sind, erhält man die Gl. (2) 
einfach dadurch, dass man ausdrückt, dass die absolute Geschwindigkeit eines Punktes der C-Axe 
Null ist. Sie setzt sich in der Tat, bezogen auf das System Oxyz, zusammen aus der relati- 


tiven Geschwindigkeit 
| BEER 
ar ait 


und der Geschwindigkeit des zusammenfallenden Systempunkte: 
qy —TB, ra — py, pi — qe. 


Wenn die Schwere Mg allein auf den Kórper wirkt und zwar im Schwerpunkte (avo Eo) 
parallell der negativen &-Axe, so werden ihre Komponenten im zyz-System bez. — M ge, 
— Mg8,—- Mgy und die Kraftmomente die rechten Seiten der Gleichungen 


| d qo B)qr = Mg (e8 — yr), 


(5) | B att (4 — C)rp = Mg(xy— ze), 
(© Zr (B-A)pgqg= Mg(y«e— rf), 


welche jetzt die Gl. (1) ersetzen. 

Die berühmten Fälle, in welchen die Integration der Differentialgleichungen der Drehung 
eines starren, schweren Körpers um einen festen Punkt bei beliebigen nee 
geleistet wurde, sind bekanntlich: 

1) Der EuLEersche Fall, in welchem keine äusseren Kräfte wirken, und somit 
AIL cs ES s Mp 0) tar 

2 Der LaGRANGESChe Fall, in welchem 4— B und der Schwerpunkt auf der 
z-Axe liegt, d.h. z,— y, — 0 ist. (Der Fall des schweren symmetrischen Kreisels). 

3 Der Fall von SoPHrE KowALEVSKI, in welchem A=B=2C ist und der 
Schwerpunkt des Körpers sich in der æy-Ebene befindet, d.h. 2, — 0 ist. 

In jedem der genannten Fälle existieren ausser dem Integral (3) noch drei von einander 
unabhängige algebraische Integrale der Differentialgl. (2) und (5), von welchen eins den Flächen- 
satz, ein anderes den Satz der lebendigen Kraft ausdrückt. Die Integration der Systeme (2) 
und (5) lässt sich dann auf Quadraturen zurückführen. Andere Fälle, in welchen vier algebraische 
Integrale vorkommen, gibt es überhaupt nicht. 

Ich werde hier zunächst analog dem Lagrangeschen Fall einen Kórper betrachten, dessen 
Hauptträgheitsellipsoid ein Umdrehungsellipsoid ist. und der in einem Punkte O dieser Um- 
drehungsaxe befestigt ist, auf den aber jetzt nicht seine Schwere wirkt, sondern ein äusseres 
Kräftesystem allgemeinerer Art. Für mehrere Annahmen betreffend die wirkenden Kräfte kann 
die Integration der Differentialgl. der Drehungsbewegung auf Quadraturen zurückgeführt werden. 
Es dürften auch derartige Fälle, die man übrigens mechanisch verwirklichen kann und die 
meines Wissens kaum früher behandelt worden sind, etwas Interesse darbieten. Auch eine Ver- 
allgemeinerung des Kowalevskischen Falles wird behandelt. 

Tom. L. 


Über die Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt. 5 


2. Es sei A=B, &o— y, —=0 und auf den Körper wirke eine Kraft P im Schwerpunkte 
S, welche durch den festen Punkt / auf der £-Axe, d.h. (0,0,6,) geht, und proportional der 
Entfernung o von diesem Punkte sich verändert, somit 


P=Mko. 


Eine solche Kraft kann bekanntlich als Resultierende von Zentralkräften aufgefasst werden, 
welche alle Massenelemente des Körpers angreifen und proportional der Entfernung vom Zentrum 
R sind. Mechanisch könnte man wenigstens prinzipiell diesen Fall so verwirklichen, dass der 
Körper in eine Flüssigkeit eingesenkt ist, welche die Wirkung der Schwere grade aufhebt, ferner 
der Schwerpunkt S und der feste Punkt R durch eine elastische Spiralfeder mit einander ver- 
bunden sind. 

Wenn «,ß,y die Richtungscosinus der &Axe im beweglichen System bezeichnen, so ist 


(6) aa Pha yt 1, 
ferner die wirkende Kraft 
P- Mko- Mky E x 2; —26,z,r5. ATT 
ihre Komponenten sind / € » / 
X=Mktoo Y-Mkt,8; Z=Mk(tor—2), e? 
die Kraftmomente [c 
(7) M.,—-—Mkt,z,8; My= Mkt&ozo,«; M,=0, ir 
und die Differentialgleichungen der Bewegung 
Her = lo 
ATP (C— A) qr = MEG, e, B, [zm ay. 
d 1 
(8) A71 X (4 — O)rp — Mktozoe, (MI 25 — pr — re, 
d d 
| en ii^ 99 — Pp. 


Man bekommt hier wie im LaGranGeschen Fall die vier algebraischen Integrale 


(D a? 4 B* 72-1, 

(IT) A(p?+q?2)+Cr2=2 Mktgs 29 y + E^, 
(LL) A («p t-Bq) - Cyr — G, 
(IV) r — Konst., 


von welchen (II) ein Ausdruck des Satzes von der lebendigen Kraft ist, (III) den Flächensatz 
in bezug auf die &7-Ebene enthält und (IV) besagt, dass die Winkelgeschwindigkeit r der 
Drehung des Kórpers um seine Figurenaxe Oz sich nicht ändert. 


Man berechnet noch 


G-C 
ap + pq = - E 


a? Lf? —1—y, 


2Mkt,zoy + E 
2 2 SADE Ag. 
D g7,— A 


(10) 


sowie aus der identischen Gleichung 
N:o 14. 


6 HJ. TALLQVIST. 


(eq — Bp)? = (e? - B*) (p? + q?) — (ap ba)? 


dy\2 >  A(1—5?)(2Mk£,z, y - E) -(G—C = 
(11) (5) = (eg — d»? = Icons Asi PEN SU 


d 
V DENT 
M VF(y) 
worin F(y) eine ganze Funktion dritten Grades von y darstellt, somit y eine eindeutige ellip- 
tische Funktion einer linearen Verbindung der Zeit t ist. Setzt man 


y —f(t), 


so hat man 
d , 
Kan 210), 


(12) G-Crf(t). 
A 


| enc #a= 
Zur Bestimmung des noch übrigen sechsten Integrals berechnet man die Grósse 


a+ y—18-2ae-ri. 
Es ist 
(13) p+iq ap+Bq+i(ag—8p) _G-Crf(t)+iAf'(t) 
aig 1e A(1- f? (t)) 


und ergibt sich à 
d (er dB) m dy (p +ig)— ir (a i), 


d ; ., P+i ; (Bp-aq) +ily(ap+Bg)-r(l-y? 
a 108 (a + iP) = iy 01 är EpE qu Arer ria series 
_ —Af(t\f'(t)+i[(4 — C) rf* (0 -GfCD - Ar] = (t) 

AU -7°(t)) FANS 


worin y(t) somit eine rationale Funktion von f(t) und f’(t) darstellt. Das sechste Integral 
ist jetzt 

(VI) a if edt (t 
und es ergeben sich « und pg hieraus durch Zerlegung in den reellen und den imaginären Teil. 


Das Integral (VI) ist etwas weiter ausgeführt 


. f C— A EG COE EPA 
" a fare dt j 


(VI) j a--48— y1— f? (t) e^ 
oder noch 3 
(VI^) arctg E = EE rt + | du — = di 


und bestimmt zusammen mit 
a? 4 p? —1— y? 
die Cosinus « und ß. Übrigens ist 


9 =>  arctg : 
der Eulersche Winkel, der die Drehung des Kórpers um seine Figurenaxe angibt. Die Euler- 
schen Winkel y, w, 9 = arc cosy werden aber hier eigentlich nicht benutzt. 
Zuletzt erhält man p und q ohne Quadraturen aus der Gleichung 
Tom. L. 


— 


Uber die Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt. N 


d ., dy 1 SS m 
ese pe EM een 


G - Crf(t) cir (n, J oca d" zum 


+2q = i e = — — e 

(14) Bong ATI- in] AyA- y: 
Zur vollständigen Bestimmung der Drehungsbewegung gehört noch die Berechnung der 
Richtungscosinus «", 0", y"; «', g',y', am besten folgenderweise. Sowohl «',B",y" wie «', 
8’,y’, die alle reell vorausgesetzt werden, erfüllen die Differentialgl. (2) und genügen den 


Bedingungen 


UCET VC MC CR E 
a" a SE B" g^ Ey" y' — 0, 
wie schon geometrisch ersichtlich. Lösungen der Gl. (2) sind ferner 
(15) Ui= a! aa V=p"+iB; W-y"c-ra' 
und man kann denselben die Bedingungen auflegen 
(PURE M0 


es | Uo + VB 4- Wy — 0. 


Mit Berücksichtigung der Gl. (6) berechnet man aus denselben 


(17) U= IREM, vf. 
Alsdann ergibt sich 
CAGE 1 
TEL sp. 
| dW | -y(eg—Bp) ti(epfq) —Af(UOf'(C)*i(G-Crf(0] _, 
un 
(19) = 6 Jvtoat 
oder etwas weiter ausgeführt 
D G — €Crf(t) 
(19) Vires cradle = roi 6 
oder noch 
(4 y' p G-Cry 
(197) + arctg Eee 


Bei der Zerlegung von U,V,W erhält man jetzt «", 8", ;" aus den reellen, «', $’,y’ aus den 
imaginären Teilen. Das Doppelzeichen in den Gleichungen oben hänst mit der Wahl der Rich- 
tungen auf den $- und 7-Axen zusammen. Auch ergeben sich ;" und y’ aus der Gleichung 
(19") zusammen mit y"?--y/'2— 1 —y?. Es ist y — arctg T — 3 der Eulersche Winkel, der die 
Länge des aufsteigenden Knotens angibt und dessen Ableitung in Bezug auf die Zeit die 
Präzession misst. 

Aus den hier erhaltenen Gleichungen ergibt sich der Lagrangesche Fall der Drehung des 
schweren Umdrehungskörpers als Grenzfall, indem man, die positive &-Axe als lotrecht nach 
oben gerichtet angenommen, & =—e=—co und k=0 derart werden lässt, dass —k&,=g 
bleibt, wo g die Beschleunigung der Schwere ist. Dass der jetzt behandelte Fall mit dem 
N:o 14. 


8 Es ALTO IS 


Lagrangeschen fast identisch ist. sieht man auch daraus, dass wenn man die Kraft P= Mko 
auf die Richtungen SR und die &Axe zerlegt, die letztere Komponente konstant und gleich 
Mk{, wird. Der Unterschied liegt nur in der Gegenkraft im Punkte O. 


3. Die Lösung der im Art. 2 behandelten Aufgabe setzt nicht voraus, dass der Punkt S, 
in welchem die gegen R gerichtete Kraft P= Mko angreift, der Schwerpunkt des Körpers 
sein müsste; er kann ein beliebiger Punkt der z-Axe sein. Beispielsweise könnte der Schwer- 
punkt mit dem festen Punkte O zusammenfallen und die Kraft P mittelst einer Spiralfeder 
zwischen S und R hervorgebracht sein. Auch könnte die Kraft P eine abstossende sein, was 
einem negativen Werte von k entsprechen würde. 

Es mógen jetzt zwei Kráfte auf den Kórper wirken, und zwar eine Kraft P — Mko im 
Punkte S der z-Axe, gerichtet nach dem Punkt R auf der &Axe und proportional SR — o 
ganz wie oben, ferner eine Kraft P'— Mk'o' im Punkte S' der z-Axe und gerichtet nach 
einem Punkte S’ der &-Axe sowie proportional der Entfernung S'HA'-g'. Die Kraftmomente 
werden dann gemäss (7) 
| M,=—M(kl,2, + k'G e) B, 

M,= M(ké,2,+ k' de) a, 


M, - 0, 


(20) 


worin alle Bezeichnungen analog den früheren sind. Man sieht dass die Aufgabe in derselben 
Weise wie die frühere behandelt werden kann; der einzige Unterschied steckt in den Aus- 
drücken der Konstanten. 

Tatsächlich kónnen die beiden Kráfte P und P' durch eine einzige Kraft P, mit ähnlichen 
Eigenschaften wie P und P’ ersetzt werden. P, greift in dem Punkte S, auf der z-Axe an, 
für welchen 
(21) OS Pr 


pr FR NL 
k&, En ó k £o 


RE rre 


ist, d.h. in dem Schwerpunkte der in S und 5" bez. verlegten Massen kö, und k'i, und ist 
gerichtet nach dem Punkte R, auf der &-Axe, für welchen dis 


kz t£ +k'z'6! 


(22) OR br ee 


ist und der den Schwerpunkt der in R und R’ bez. verlegten Massen kz, und k’z, bildet. 
Bezeichnet o, den Abstand S, R,, so gilt für die Grösse der Kraft P, der Ausdruck 


A (kö + k'E y (ke +k'2!) 
Gp pom Io NM 
Wenn speziell 
(24) kt zd kölen — 0, 


so verschwinden die Momente (20), d.h. die Resultante P, der Kräfte P und P' geht durch 
den festen Punkt O und der Körper bewegt sich als ob er kräftefrei wäre. Ist besonders 


(25) kz, 4 k'g^ — 0, 


'Tom. L. 


Uber die Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt. 9 


so rückt der Punkt ZH, in’s Unendliche und die Kraft P, reduziert sich zu einer in S, an- 
sreifenden, stets der &-Axe parallelen Kraft von der unveränderlichen Grösse 
(26) P,= Mk, + k' 50). 
Wenn ferner speziell 
(27) kö +k'E=0 


ist, so fällt S, ins Unendliche und es resultiert eine der z-Axe parallele Kraft P, von un- 
veránderlieher Grósse 

3 / SEL 
(28) P,==M(ka, the), 


welche durch den im Raume festen Punkt À, geht. Falls schliesslich die Bedingungen (25) 
und (27) auf einmal erfüllt sind, liefern die Kräfte P und P’ ein Kräftepaar in der Ebene 
der Axen Oz und O£, mit dem Momente 


—M(kt e te) M5 (kod + k'27*), 


und wenn allen drei Bedingungen (24), (25) und (27) genügt wird, heben sich die Kräfte P 
und P" gegenseitig auf. 

Man sieht unmittelbar, welche Vereinfachungen eintreten, wenn die Punkte S und S' oder 
die Punkte R und R’ zusammenfallen oder wenn k=k’ oder k— — k" ist. i 

Es könnte z.B. auch die eine Kraft vom Anfang an parallel der £-Axe und der Grösse 
nach unveránderlieh angenommen werden, z.B. durch die Schwere des Kórpers ersetzt werden. 

Das hier für zwei Kráfte gefundene lässt sich auf eine beliebige Anzahl von Kräften er- 
weitern, welchen in bestimmten Punkten S, 8’, S"... der z-Axe angreifen, nach den im Raume 
festen Punkten RE, R',R"... der &-Axe gerichtet sind und durch die Ausdrücke Mk.SR, 
Mk’.S’R’, Mk”. STR”... der Grösse nach gegeben sind. 


4. Es sei wieder 4 — B, der Schwerpunkt des Körpers liege auf der z-Axe und in einem 
Punkte S derselben im Abstande 2, von O wirke eine der negativen £-Axe parallele Kraft 
P= Mki-— Mkz,y, somit proportional der Entfernung von der im Raume festen &7-Ebene, 
welche eine anziehende oder abstossende Wirkung ausübt, jenachdem k positiv oder negativ ist. 

Die Komponenten der Kraft P auf die Axen Ox,0y,0z sind dann 


X—-—Mkez,yo; Y—-—Mkzez,yf; Z—-— Mkey? 


und die Kraftmomente in bezug auf dieselben Axen 


(29) M,— Mkzy8; M,—-— Mkz;ye; M,—0; 
somit ist das System der Differentialgleichungen der Drehung 
1 2 1 
AT +(C-A)gr= Mk rf, pus 
(30) A+ (A—C)rp ——- Mkz? ya, (81) | f  — py — ra, 
dr — dy . 
e |o oe 
Man berechnet hiezu die vier algebraischen Integrale 
N:o 14. 9 


10 EL TANIA T//0 VIS ET! 


(D aber gua 

(IT) A (p? 4 q)+ Cr? 2 Mkeoy + E', 
2 A (ep +8g)+Cyr=6@, 
(IV) r = Konst., 


welche ganz dieselbe Bedeutung haben wie die Integrale (I)..(IV) im Art. 2. 
Ferner bildet man in derselben Weise wie dort die Gleichung 


2 A(1l-y?)(—Mkz?y?-- E) -(G— Cry)? 

(a) - : di —= F(y), 
worin also F(y) jetzt eine ganze Funktion vierten Grades von y darstellt. Somit wird auch 
jetzt y als eine eindeutige elliptische Funktion einer linearen Verbindung der Zeit erhalten. 
Die Fortsetzung der Rechnung ist formell dieselbe wie im Art. 2. (Die Formeln (12) bis (19)). 

Die Lósung wird ohne weiteres ausgedehnt zu mehreren in Punkten der z-Axe angreifenden, 
der &Axe parallelen Kräften, welche proportional den Entfernungen von der £7-Ebene sind 
und mit im allgemeinen verschiedenen Proportionalitätsfaktoren gebildet sind. Die Resultie- 
rende zu zwei Kräften P und P’ ist die der negativen &-Axe parallele Kraft 


(32) 


P, — M (ka +k'2)y 
im Punkte S, im Abstande 
kz2+k'21? 
TA 

von O, wobei also auch 
„(kz,+k'z')® 


) (2, 
P,=M kz2--k'z'? FEV 


ist. Die Kraft P, geht durch O, falls 
ke? + ke ° — (0; 
und wird mit der speziellen Annahme 
ke, + k'z =0 
durch ein Kräftepaar ersetzt, das die positive z-Axe gegen die positive C-Axe mit dem Momente 


— M (ke? + k' 2) y V1— r^ dreht. 


5. Auf den Körper, für welchen À = B sei, wirke gleichzeitig eine Kraft P = Mke von 
dem im Art. 2 betrachteten Typus und eine Kraft P'— Mk’z/y von der im Art. 4 behandelten 
Art. Die Lósung wird auch dann in derselben Weise wie in obigen Fällen erhalten. Es genüge 
hier die Differentialgl. für y hinzuschreiben, d.h. 


dyv2 AQ —-y3) ( EX2 MkE z y — Mk'z5?y* y -(G Ory)? 


(33) 
6. Auf den Kórper, für welchen À — B sei, wirke im Punkte S der z-Axe eine senkrecht 
gegen die &-Axe gerichtete Kraft P, welche proportional der Entfernung o von derselben sei, 
also 
12= VITRO s AVR VILSE 
Tom. L. 


Uber die Drehung eines starren Kürpers um einen festen. Punkt. 11 


Dies kónnte mechanisch verwirklicht werden durch eine Spiralfeder in einem gegen die C-Axe 
senkrechten Rohr mit geigneter, (fast) reibungsfreier Führung längs dieser Axe. Die Kompo- 
nenten der Kraft P auf die z-, y-, und z-Axen sind 


X = Mkeoya; Y = Mkey,yb; Z—-—Mkaegy?, 
die Kraftmomente in Bezug auf dieselben Axen 
(34) M,-—Mkaydi M,- Mke,yo; M,=0, 


d.h. die Ausdrücke (29) mit entgegengesetzten Zeichen, wie man ja auch direkt einsieht Die 
Differentialeleichungen der Bewegung werden also 


da 


A9? + (0 — A)qr = — Mkcyp, 1o — n — qr, 
(35) A+ (A—C)rp= Mkasye, (36) 1 = py — ra, 
dr 1y — 
Cup dua LD 
ihre vier algebraischen Integrale 
(D GE PE SE 
(II) A(p*- d) Cr = Mkzoy, & E', 
(LIT) Alep+ßg)+Cyr=G, 
(IV) r = Konst. 
“und die Gleichung für y 
dy\2 A(l-y?)(Mkz2y®+E)-(G — Cry)? 
(37) (at) AU B E I Moser na men c US 


Die weitere Behandlung der Aufgabe ist dann formell dieselbe wie in den Art. 2 und 4. Auch 
sieht man unmittelbar, wie die Sache liegt, wenn mehrere Kráfte der jetzt betrachteten Art 
auf den Körper wirken. 


7. Wenn man bei den in den Art. 2, 4 und 6 behandelten Fällen die Kraft P nicht pro- 
portional dem Abstande o, sondern der Grösse nach unveränderlich annimmt, so kommt man 
im Falle des Art. 4 auf den klassischen Lagrangeschen Fall zurück; in den beiden anderen 
Fällen kann die Lösung zwar noch auf Quadraturen zurückgeführt werden, aber im allgemeinen 
nicht mehr mittelst elliptischer Funktionen vollbracht werden. Mechanisch könnten diese beiden 
Fälle mit Hülfe einer Schnur verwirklicht werden. in welcher eine konstante Spannung aufrecht- 
gehalten wird. 


Es sei zuerst die konstante Kraft 
P= Mh 


von dem Punkte S der z-Axe nach dem festen Punkte R der &-Axe gerichtet, wie im Art. 2. 
Ihre Komponenten auf die z-, y- und z-Axen sind dann 


X-Mhh*; Y- Mh 55; Z- Mart, 
worin 


N:o 14. 


12 ENT TA Q MINE) 


is VEU Ten ET 
ist, die Kraftmomente 
(39) Me m; M,-Mh®&“, M,=0 
und die Differentialgl. der Bewegung 
A CE A on Mhz. £,8 da _ = 
po )gqr VE EE ant cs dr 
Mhz £& a dg 
40 A 22 ». i oda KSU ET 
(40) | = 3r CHE 6 Np Verse (41) a Pr re, 
d 
dr dy _ (ems 
| C dt 3.08 di 3 ph: 
Zu denselben erhält man wieder vier algebraische Integrale 
(D (EE pip puo, 
(IT) A(Q^ cq) c Cr- 2 Mhy zi +022 Cy E, 
(ILL) A («p + Bq) + Cyr — G, 
(IV) r — Konst. 
Die Differentialel. für y wird aber jetzt 
dy\2_ A(1—y2)(-C2Mhy 224 £2—2 E)—(G - Cry)? 
(42) Io en ( y?)( EE e (or oar )-( ry) = F(y), 


somit P(ry) keine ganze rationale Funktion von y mehr. Wählt man indessen o statt y als 
Veränderliche, so findet man 


| A1 Aesch ie uat He i ) J C2 Mho-- E) -(2Gz, £, - Cr(z2 - £2— o?) 

43) (de : TR JA 

SEX abo P E = 06), 
worin o?®(o) eine ganze Funktion fünften Grades von o ist. Somit wird o eine hyperellip- 
tische Funktion von t, folglich auch y. Bei speziellen Lagen von S und R und speziellen 
Anfangsbedingungen kann o sich auf eine elliptische Funktion reduzieren, z.B. wenn 


2-6 und GE Cr 
oder 
ne Mol GC Cr 
In beiden Fällen wird 


(44) 


do A(e?—42?)(2Mho+E) -C?r?o? 
EU er ©). 


8. Es sei ferner die unveränderliche Kraft P = Mh senkrecht gegen die i-Axe gerichtet. 
Ihre Komponenten sind dann 


X=Mh Ee Y- Mh 2 Zune, 
y1-— y1i-y: yay 
die Kraftmomente 
(45) Mi late ap, le MOSS QE 


Vica "o yA-y: 
die Differentialgl. der Bewegung 
Tom. L. 


Uber die Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt. 13 


dp 1 ge Mhz,y de /— f 
| no dices caue cus | tras eet LE 
d Mhzy,y« d 
(46) | A + (4 — C)rp — TES , (47) | =py-re, 
CLS dy _ 
ad oe 
die vier algebraischen Integrale hiezu 
(D CLE dile a 
(IT) A(p*--q?3)--Cr* — —2 Mhz, y1— y? 4 E', 
(I) A (ap + 8q) + Cyr = G, 


(IV) r = Konst., 
und die Differentialgl. für y 


dy\2 A(l-y2)(-2Mh2,V1-y?+E)-(@G-Cry)? 4 
(4) = ( y ) Lh z p ux ( y) = F(y). 


(48) 


Als Differentialgleichung für o — 2, /1--y? erhält man 


(esr t (22—0?) (Aog? (C2 Mho * E) -(Gz, — Cr yz*—o?) | — @(e) 

dt FETE : 

Es ist weder F(y) in bezug auf y, noch ®(e) in bezug auf o eine rationale Funktion. Mit 
den speziellen Annahmen Cr- 0, d.h. keine Drehung um die z-Axe, oder C — 0, oder die 
Flächenkonstante G — 0 wird e eine hyperelliptische Funktion der Zeit, und wenn z.B. zugleich 
r—0, G=0, E=0 ov eine elliptische Funktion von t. 


(49) 


9. Es sei wie vorher À — B und es wirke auf den Körper eine Kraft im Punkte S der 
z-Axe, mit der Richtung nach einem festen Punkte R der &-Axe, aber allgemein durch den 
Ausdruck P = Mx(o) gegeben, worin 

e 2, tau tr 
die Entfernung SR darstellt. Die Komponenten der Kraft P auf die z-, y- und z-Axen sind 
dann : 


X-M&eXQO; Y=MbBHO; Z=M(tor—- 20), 
die Kraftmomente 
(50) M.-—MzGBÉO, M,- Mate, Mi=0. 


0 


Zu den Differentialgleichungen der Bewegung erhält man immer noch vier Integrale, von 
welchen (I), (III) und (IV) dieselben wie in allen obigen Fällen sind, während (II) jetzt die 
folgende Form bekommt: 

(D A(p* t qt) - -3M[x(g)de-- E 


und somit algebraisch wird, wenn | y(e) de eine algebraische Funktion ist, Die Differentialgl. 
für o lautet jetzt 


dg AlAz?g2- (z2& £2—o2) | (-2M f (o) de - Ey -(282, 6, -Cr(z2 62-095. (o 
(51) (at H FAR oui Ou D RTT ——— = (09). 


N:o 14. 


14 EPP AL TAQSVABIS LT 


Bei allgemeinen Anfangsbedingungen wird o? und somit auch y eine eindeutige elliptische 
Funktion der Zeit in den Fällen 


k 
(52) x()-—ke; x(e)-—ko*; x(e)—.;5 x(g- ke-ko*, 
während u.a. in den Fällen 
(53) x (o) = h; x (0) == 


o Sich als eine hyperelliptische Funktion der Zeit ergibt. Von diesen wurden ja die Fälle 
x(e) = ko und x(o)-— h schon oben betrachtet. 1 


10. Es sei ferner mit 4 — B die im Punkte S der z-Axe wirkende Kraft P parallel der 
negativen £-Axe und der Grösse nach durch den Ausdruck 
P = Mx(2oY) = Mx(e) 
gegeben. Ihre Komponenten auf die x-, y- und z-Axen sind dann 


X-—Mx(zr); Y=— Myx(zoy)ß; Z-5—Mx(2or)Y 
und die Kraftmomente 
(54) M.-— Mzox(zoy)8; M,—— Mzox(zoy)u«; M;:=0. 


Für das Integral (IT) erhált man jetzt 


(IT) A (p? 4- q?) ? — Mz, x(zor) dy - E — —2 M Jxlo)do+E, 
während y die Differentialgl. | 
55 dy 2 AQ0—-y?)(-2Mz, f 1(207) dy +E}-(G— Ory)? — 
T) (5) A* --FQ) 
und o — 29; die Differentialgl. 
do  A(22—0?)[-2 M | (o) do - E] —(Gz, — Cro)? 
(69) (4) a Ne A? EE y I D(e) 


erfüllt. Hieraus ist ersichtlich, dass bei allgemeinen Anfangsbedingungen y und o elliptische 
Funktionen von t werden, falls 


[9 = 9: x(e)=ke; 19 = x(0) = 
(50) | PRE 
| o — à + ke; (Osee V es 


o? 


ist. Der Fall y(g) — 9 ist der klassische Lagrangesche, der Fall x(e) — ko wurde im Art. 4 


! In der Note XX zu „Cours de Mécanique, par Despeyrous“, T. II, Paris 1886, p. 546 zeigt DARBOUX, 
dass das Problem der Drehung um einen festen Punkt O auch dann auf Quadraturen zurückgeführt wird, 
wenn das Potential der wirkenden äusseren Kräfte ein Funktion von y allein ist. Dies trifft ein bei einem 
einwirkenden Umdrehungskörper, dessen Axe durch O geht. Besonders wird der Fall erwähnt, dass eine 
homogene Kugel, die in einem beliebigen Punkte befestigt sei, von einem Massenpunkte nach dem Newton- 
schen Gesetze angezogen wird. Eine unmittelbare Verallgemeinerung hiervon wäre den Massenpunkt durch 
eine Kugel zu ersetzen; auch kónnten beiden Kugeln aus konzentrischen Schichten aufgebaut sein. Der Dar- 
boux'sche Spezialfall der Kugel führt, wie oben nachgewiesen, auf hyperelliptische Funktionen und gehórt 
somit nicht zu den einfachsten denkbaren. 


Tom. L. 


Über die Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt. 15 


behandelt; beachtenswert sind besonders noch der aus beiden zusammengesetzte Fall y (o) = q 4- ko, 
in welehem sich folgende Formeln ergeben: 
(D) RPM S. res ad +kay)+E, 
d A (1— E +E})-(G-— Cry): ] 
(58) (9) - ( y! 2 y( g Y) Ji ( y F (y), 


sowie der Fall x(o) =: in welchem man erhält: 
= 1 


u) Aw+q)-27,, E, 
dy? _ A(l1-y?)(2Mk+ Ez, y) — 29 y (G — Cry)? 
(59) s) dons : F(y). 


11. Endlich werde mit der Annahme À — B vorausgesetzt, dass der Körper im Punkte 
S der z-Axe von einer Kraft P angegriffen wird, welche längs der Senkrechten o auf der &-Axe 
wirkt und durch den Ausdruck 


P = Mx(e) = Mx(esV1— y?) 
dargestellt ist. Die Komponenten dieser Kraft auf die z-, y- und z-Axen sind 
X= Meçra tie; Y = Meoy8 fx Z-— Mz, (1— y?) A 
und die Kraftmomente 
(60) M.-— Met; M,= Maya); M.=0. 


Als Integral (IT) der Differentialgleichungen der Bewegung wird jetzt erhalten 


QD A(pt qo 2 Ma fg Yl 1) 7, — Y + E=—-2M/|x(e)de+E; 
es genügt y der Differentialgl. 


A(l-7?){2M2, f 16 V1- 7?) i LH E)-(6- Ory)? 
dy\2 TE 
(61) (7) = PE K comes mul a) 


und o—29,)/1— y? der Differentialgl. 


dos. 2-9 [aos me à: 
@) (= Aet C- 2M fai) de + E) - (G2 — Cr 2e") )= ©). 


[U 
x 


Bei allgemeinen Anfangsbedingungen wird y eine elliptische Funktion der Zeit, wenn 


x(e)=ke; 
dieser Fall wurde im Art. 6 behandelt. 
Wenn 
k 
(69 x(0) — 4: 
so ergibt sich 
(65) (2) - A(ME-- Ez? (1—y?) 3 - z2(G — Cry)? 
dí A? ZE 


und somit die bemerkenswerte Tatsache, dass die Lösung sogar keine elliptische Funktionen 
erfordert. 


N:o 14. 


16 IE mOvArS UD 


19. Der um O drehbare Körper sei jetzt von der von Frau KowarEvskri betrachteten 
Art, d.h. es sei 
ABI 9] 
Im Punkte (x,,yo) oder S in dessen xy-Ebene greife aber nicht die Schwere, sondern eine 
Kraft P an, welche nach dem festen Punkte R(£—6,) der CAxe gerichtet ist und propor- 
tional der Entfernung o — SR, somit 


0 
o 
P-Mke- Mky/ (t, — 2) - (BV) + ör = 


on 
0 


(66) 


A: -2 2 TEE 
= Mky/ GO 2? y, — 26, (ez, + By). 
Wegen etwas einfacherer Schreibweise werde 


ZA —:9- B9] M=m 


sesetzt, was durch passende Wahl der Einheiten immer möglich ist. Die Kraft P hat die 
Komponenten auf die z-, y- und z-Axen 


X-—mk(f£y« —2,); Y —mk(698—9o); Z-— mktoy 
und die Kraftmomente sind 
(67) M,=mk&,yoY; My,—-—mkir,y; M.-—mkt,(xof8 — You), 


ferner die Differentialgl. der Drehungsbewegung 


1 = 1 

25b —qr-— mkteyor, | rear, 

(68) 2525 E rp o — miter, (69) . a IL pyra, 
lr d 

dp mköolzoB— yon), Dons 


Frau KowaALevskı! nimmt auch y,— 0, was ja immer möglich ist, die Formeln aber weniger 
symmetrisch macht. Zu den Gleichungen (68) und (69) hat man, falls «, 8,7 Richtungscosinus 
selber sein sollen, die drei algebraischen Integrale 


(D) «+ B? cq? 1, 
(IT) 2(p?+q?)+r2=2mké0 (xg & + yo B) + Konst., 
(111) 2(ep+Pq)+yr= Konst. 


Die Differentialgl. (68) unterscheiden sich ausser durch die Ausdrücke der Konstanten nur 
dadurch von Frau KowaLEvskIs Gleichungen, dass y, beibehalten wurde, und können in der- 
selben Weise behandelt werden. Die Rechnungen sollen jedoch hier etwas anders durchge- 
führt werden, teilweise in Übereinstimmung mit einer Vorlesung von Prof. ScHoTTKY. 
Zunächst findet man zu den Gleichungen (68) und (69) noch ein viertes algebraisches 
Integral. Man erhält 
[pese — r(p + ig) — imktoy (2o + 1Yo), 


(69) € : : ; : 
nd - ty (p + 29) —-ir(e 4-2) 


1 Acta Mathematica, T. XII, p. 177—232. 
Tom. L. 


Uber die Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt. 17 


und hieraus mit Anwendung der Bezeichnung 


F = (p +1q)? + mk£o(to + 299) (a +79) 


dE 


= dr. 


Für die konjugierte Grüsse 


ilt eb F'-—(p—iq)* + mk&g(zo —19yo) (« — ip) 
eilt ebenso 


dE" AT 
Pani, d 
also 
AURA A 
I dt +1 "CY 


und es ergibt sich das vierte algebraische Integral 

(IV) FF’= Konst. 

Diese Gleichung ist vom vierten Grade in bezug auf p,q, vom zweiten in bezug auf « 
und 3. Zwischen den vier Integralen kann man «,ß,y eliminieren und bekommt eme alge- 
braische Relation zwischen p,q und r. Es bewegt sich also der Endpunkt von c in einer 
algebraisehen Fläche nicht aber in einer algebraischen Kurve. | 
Man wende jetzt die Bezeichnungen 

| a=mköo(zo+iyo); a’= MkE (To — yo), 
(70) p+iq= ar; P—1q—=a x", 
œ += au; œ—1ÿ— au 
an und erhält dann statt der vier Gleichungen (I)...(IV) 
aa ww E y? =, 
(T1) 2aa'zx' 4 vr? — aa'(a + u^) + Konst., 
| aa’(u’x +ux’) + yr = Konst., 


(zr? -- u)(z'? + uw’) = Konst. 


Mit Anwendung der Bezeichnung 


(72) qa. -—m? 

und der Veránderlichen 

(73) y—z*t:w, y'=2?+u 
statt « und w' ergibt sich hieraus 

(74) yy' =D, 


y+y’—(ce+z2')?+4, 


(75) LEE _ ya —y'x+zz'(x+r')+B, 


—yz'?--gy'z?—z?c'?-4 C, 


n? 
wobei ausserdem die Ordnung der Gleichungen geändert und die Integrationskonstanten be- 
zeichnet wurden, e, B, y aber die Richtungscosinus selber nur in dem Falle bezeichnen, dass 


N:o 14. 3 


18 Hs. TALLQVIST. 


(76) n®(C+D)=1 
ist, sonst ihnen proportionale Grössen sind. 
Wenn y und r zwischen den drei Gleichungen (75) eliminiert werden, so folgt 


2 


(y t y! — (x z')* + Ay (yz? + y'z? — 222’? C) — (yx - y'z—az'(z- 2 )— By =0 
und man hat zwei Gleichungen, welche y und y’ algebraiseh durch » und >’ ausdrücken. Es 
werden r und y als algebraische Funktionen von x und x’ erhalten und es erübrigt nur x und 
x’ als Funktionen von t zu bestimmen. 

Aus der obigen Gleichung und yy' — D folgt 
(77) G(z^)y + G(z)y' = H (z, x"), 


worin 


G(r)—z*— Az? —2Bx —C, 
(78) Him y— AC PB ARTE Brie 20) = CET DE a ay 
und man sieht, dass y/G(x) und y’/G(x') die Wurzeln der Gleichung 


(79) G(z) G(x')e? —H(x,2')o + D=0 
darstellen. 
Zunächst einige Transformationsformeln. Führt man die Funktion 


(80) G(x,x')=x?x ?— Azz' — B(x+x')—C 


ein, so wird 
G2(x,x') — G(x) G(z') 


, 


eine ganze symmetrische Funktion von rz und x’, welche für x = z' verschwindet; man setzt 


deshalb 
(81) G(azyG(z^) - Gl, 2) = (cL. 
worin wieder L(z,z') eine ganze symmetrische Funktion von x und z' ist, und findet identisch 


(82) H(z,2') - D(e— 2’)? + L(z,z^) — (xz —a")? [D Ene) en a) | 


Aus der mit 4yG(x’) multiplizierten Gleichung (75) erhält man 
{9yG(x')—H)*=H?2—-4DG(x)G(x')= 
=/H+2VDVG(x)VG(x’)}{H—-2V/DVG(x)VG(x')}= 


E EET f G(z)G(z')-G*(r,z')  2VDyG(x)VG(z')| 
-(z—a^y [[{D+ (a) rue 
2 Fakt. 
7 mu YG()yG(zc5)sG (x, x) 
=) I NEE)! ZUR 
—(z—2) I: vD+ (2 - x")? / 


Statt ; und x’ führt man noch zwei neue Variabeln s und s' mittelst der Gleichungen 


(=P 


| „ _ S Get) VG) VG (a7) 


(2 —2')? 


| " LG (z.2') - VG(x) Y G(a'). 
(83) 


ein; sie werden als schliessliche Integrationsvariabeln benutzt. Es wird dann 
Tom. L. 


Uber die Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt. 19 


(2yG(z') — HY = (2 -2’)!(D-s:)(D-s’), 


(84) H(&,®)=(2- 2’)? (D-ss’) 
und folgt 

PRE EEE DES SE TATE TID esae 

y — 2G8(a') | 5: Sr tfo 
(65) a 

Ze p , = / LD 

| y^ IG (x) ıD- SS MED SR Ds 
Gemäss (83) und (81) sind s und s' die Wurzeln der Gleichung zweiten Grades 
(86) (m—2")2s2=—91G(x;x)s —L(x,x')= 0. 


Die Grössen » und z' drücken sich algebraisch durch s und s' aus. Ordnet man die Gl. 
(86) nach Potenzen von x, so erhält man 
Q5?--2Uzz-Fxy20 
oder 
(«Da + y)? = v? 2 Dy. 
Hierin ist (Dx +#)? vom vierten Grade in Bezug auf x’ und in Bezug auf s. Weil die Gl. 


Ga, 2°) 


(86) mit G(x^)-— 0 zwei gleiche Wurzeln mr; bekommt, muss 


(87) (0x + y)? = G(z')S 
sein, worin S hóchstens vom vierten Grade, tatsáchlich nur vom dritten Grade in bezug auf 


s ist und einfach durch die Spezialisierung x’ = 0 erhalten wird. Es ergibt sich dabei aus (86) 


sx? +2s(Bx - C) - Cz* — AC 4 B* —0, 
somit 
D=s?+C; y—sB; y—25C 4 B*— AC, 


ferner, mit Achtgeben auf G(x’=0)=--C, 


(88) S— —. p» | (s? 4 C) (25— 4) 
und : 
(89) Dr+w=+yG(x)VS, à 


wo das Zeichen + gewáhlt wurde. In derselben Weise erhält man 


20) S' — B* 4 (s^ ; C) (3s' — A) 
und | 
m 0'a' 4 e — VG) VS. 


Aus (87) und (85), d.h. 
N(z,c',s)es*(s—z')—2G(zx,«')s— L(z,2') — 0, 


folgt 

(93) À du + N da! sr ds o, 
1 ON rer 
5 = Dr + y = -HVYG(z')VS, 


und zufolge der Symmetrie 


N:o 14, 


20 HJ: TALLQVIST. 


IS 


IN _ -Y G()V S, 
ferner 


RO e 


sowie beim Einsetzen dieser Ausdrücke in (92) die Differentialformel 


ls dx da' 
93 EE = a + = 
(2) VS yG(x) va) 


In derselben Weise erhält man 


r 


ds' da da 
94 = er === + TR 
SÖ y S' VG(x) VER) 


Es sind S und 8’ ganze Funktionen dritten, G(x) und G(x') ganze Funktionen vierten 
Grades. Die algebraischen Beziehungen zwischen s,s', x,’ können auf Grund dieser Gleichun- 
gen durch transzendente ersetzt werden, mit Anwendung von elliptischen Funktionen. 

Um zuletzt s und s' als Funktionen der Zeit darzustellen, beachtet man, dass gemáss den 
Gl. (69) und (70) 


2 . dæ' 
=rz+y; — 21 = =r2" +7 


21% 


und hieraus mit Anwendung noch der Gl. (75) allgemein erhalten wird 
4 1 , Toi , | , 
lag + TH) = (Ar Mar) 4 2 (ag ME (RANA (AA) 
art ya) 60) IQ (ee) 667) H3 GE. 


Setzt man dann speziell 


AMI Bee der YU. + 
VG(x) VG(x') 
und beachtet die Formeln (93), (77) und (82), so findet man 


4 MER D (z—2')* (G(z,z') -VG(z)V G{(x')}° 
2 Ss Tdt G(x)G(x') G(2)G(x') 


jr 


und mit Anwendung von (83) 


Toe: s?— 1) ee 1 CN ES D) 


n? S\dt n? S'\dt (s'—s)? 
ferner hieraus, mit Einführung der ganzen Ausdrücke fünften Grades 
(95) | R(s) =n?S(s? —D), 
| TAGS ye D 4 (Qe D) 


dt a ds Yn ds' 
nd VR(s) VR(s') 


sowie zuletzt 


YRG) vr) 
(96) | at cols s’ds! — 
V R(s) * YR 


| ds 24 ds" 


Die noch übrigen zwei Integrale des Problems werden dann mittelst hyperelliptischer 
Quadraturen in der Form 
Tem. L. 


D u re 


Über die Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt. 21 
[ , 1 


8 


( ds "IN qat - 
V = + == Konst.” 
AMD rs y R(s') 
(VI) BETT ER Konkt. 


SJ VED SVEG) 
erhalten. 

Bekanntlich ist jede symmetrische Funktion von s und s” eine eindeutige Funktion von t. 
Dies ist hier der Fall mit allen Grössen p, q, r, «, B, y. Man kann ferner zeigen, dass sie 
für alle endlichen (- Werte den Charakter rationaler Funktionen besitzen. Bei der analytischen 
Behandlung kann t als ein komplexe Veränderliche betrachtet werden; für das mechanische 
Problem haben aber nur reelle Werte von ( Bedeutung. 

Betreffend die weitergehende Ausführung, mit expliciter Anwendung von elliptischen Funk- 
tionen und J-Funktionen von zwei Veränderlichen, werde nur auf die Abhandlung von Frau 
KowaLEvski:i hingewiesen. 


13. Nach der obigen allgemeinen Übersicht über das Problem der Drehung eines starren 
Kórpers um einen festen Punkt bei verschiedenen Gesetzen der wirkenden Kráfte sollen einige 
Fälle beim Lagrangeschen Körper (4 = B, x9 — y, = 0) näher ausgeführt werden und zunächst 
in Kürze der im Art. 2 behandelte Fall, obgleich derselbe sich, wie wir gesehen, nur ganz un- 
wesentlich von dem klassischen Lagrangeschen Fall des schweren Umdrehungskórpers unter- 
scheidet. 

In der Gleichung (11) werde G durch G' ersetzt und die Bezeichnung 


(97) K ——92 Mkt,£ 


benutzt. Der Kürze wegen sollen nur positive Werte von K angenommen werden, obgleich 
negative Werte ebenso zulässig wären. Man erhält dann 


es ka) tee ee 
Mit den abkürzenden Bezeichnungen 

(99) F=AR+tC:r:; G— AK —2CrG; H—AE-—G'* 
ist 

(100) I (1)=1"— 37 yP—Xertik 


Die Wurzeln dieses Ausdruckes seien yı, ys, y, und es werde der beim mechanischen Problem 
allein mögliche Fall betrachtet, dass sie alle reell sind, d.h. dass die unten angegebene- Discri- 
minante A positiv ist, wie man übrigens hier direkt nachweisen kónnte. In bezug auf diese 
Wurzeln gilt 


(101) ton oW. > En! 
Es ist jetzt 


1 Im Falle XK< 0 hätte man 
+l>y,>y>yn>-12>7:- 


N:o 14, 


22 ÉTAT AT QIVAD SUD 


und wird mit angemessener Wahl des Zeitanfangs und des Wurzelzeichens 


2 


VAN 5 dy 
(102) EVE E 
D 


Setzt man um zur Weierstrass'schen Normalform überzugehen 


I 1 AE 4 Ctr 
(103) PER DR Er EE 
(104) 4I(y) — S— 4(s—ei)(s—eg)(s €3) = 45? — gas — gs, 
wobei 
3AK—F 3AK+F 
(105) CAPES or ne Cab QU ES 
so erhält man 
A ds 
(106) dre 
4 F°+3AKG. 4 2/'439AKFG-?1A* K^ H 
js 3 Ara 4 AUS or E ECKE IC : 
(107) — A-gi—23719;— qii (F*(G* -4FH) 2 AKG(2G? 9 FH) - ASK H1). 


y varlirt zwischen y,4x-— ys Und y; - yaQ und s zwischen e, und eg. Grenzfälle sind 
Ymax = +1, [falls G'—-—Cr, und Yun=-—1, falls G'— Cr; die Figurenaxe des Körpers 
beschreibt dann auf der Fläche einer Kugel mit dem Mittelpunkte O sog. Rosettekurven. 

Ferner folgt 


co 


(108) So (0) v | 


N 


oD €2 Y 
ds ds ds Pros b AG 
— = = + -=W +: —1, 
VS | ys ys a 


worin o" — co - o' und 2 die reelle, 2 ^ die rein imaginäre Periode eines primitiven Perioden- 
paares von @(u) darstellen. Mit Anwendung der Bezeichnung 


iE 


ergibt sich alsdann 


| F " vi F (ei —er)(er— es) . 
(109) Y=3 4x (v + nt) 3 AK ts g(nt) — e 
Die oberen Extremwerte von y 
DH 
Ymax = yo = 3 AK + eg 
* 5 2o 4 t 
gehören den Zeiten t=0, =, Sc an, die unteren Extremwerte 
il, Ja 
Ymin = Y3 = 8 ZU + €3 
: o 3o 5m OR (0 AU - 4 sie NER: 
den Zeiten be Din OU UD E CLE y e die entsprechende oder Nutationsperiode. 


Zur Bestimmung von «,f,p und q hat man die Formeln (VI) oder (VI^) und (14) im 
Art. 2, worin y — f(t) ist, und zur Bestimmung von y”, y’, a", 8", a", gp” die Formeln (19°) und 
(17) dort. Man beachtet wegen der vorkommenden Integrationen, dass 


Tom. L. 


Uber die Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt. 23 


en 5-0 Cr«G' 
Hi 2(y-1) 2(y+1 
G'—Cry Ür—G' Cr+@ 
TORTUE CITE 


Setzt man 


[ -1-i d. g(u) 1-534 | p(u) = p(u) — p(v), 

110 

e E F1-i E + @(u) + De + g(u)- fo (u) — p(w), 
so ist 

(111) Pu): g(w)- AERE. g(v) — p(w) = 2 

und 

(112) €1 > fo (v) >e2 > 5 > e3  Q(w), 


d.h v=»9+:,0, w-—s5,o' mit 0<s,<1, 0<s,<1, ferner 


4(Cr— G')* 4 (€r 4 G') 


[2 Aw) 3 g"?(w) = — AK 
und, indem |G'|-—C|r| ist, 
' 2(Cr—G'). — 2(Cr+@'). 
113 D (ape — og El) m Te; 
(113) p'()=+ s g'(w) Dam 
wo das obere oder untere Zeichen gewählt wird, jenachdem G^" negativ oder positiv ist. 
Indem . 
; i du TRUST o(u—v) , 9 a'(v) 3 
(114) | zx ee unu] Konst. 


erhält man mit Beachten obiger Ausdrücke 


« 


(115) JR 3 ilog / 2 e Ro E Dee hu + Konst., 


A(1— y? o(u+v)o(u+w) \ow 0 (ww) 
G'— Cry ja : sc(u—v)a(u-w)— .fo'(v) a'(w)|. 
(116) Ve File V 20. o Ger) | USE CSS pud Konst. , 


und es sind dies bei angemessener Konstantenbestimmung reelle Grüssen. Aus der Gleichune 
(VI^) folgt jetzt 


qu) ag! [Ar Få E [n0 mtm] Veg tog V3 01560) à tonat = 


A 2 a (v) o (ww) o(u+rv)o(u+ı) 


à E 
ES 
= 


Die Gleichung (19") gibt ebenso 


P. AE o(u-v)o(u+w)— .|o'(v) a'(w) NE 
dU + aretg 7; = + log eV: (ux v)e(u-—w) t | o(v) "er hu + Konst. = 5 + v. 


Es könnten alle diese Gleichungen so transformiert werden, dass nur reelle Grössen er- 
scheinen, mag aber hier unterbleib:n. 

Zur Berechnung von «”, 8”, «’,p’ liefern die Gleichungen (17), nachdem «, g, y^, y" ge- 
funden, 


1 Berni Ute: , EN sy + #2 
BE un F8» ee : 
(119) 2 Mx 
Le iu BY po. Pire, 
ES on EE 


N:o 14. 


24 : El AL TOAST. 


Es erübrigt noch die Bestimmung von p und q aus der Gleichung (14). Dieselbe geht 
über in 
G'- Cr - Cr[o(u) — o(v)] 1-3VAKe' Ru) i-o) 


0 NEGO VIUA: EP EE S 2 
(120) pq re ae 


G'—Cry4 iAT E 
mA — sin q-4 1 COS « 
AVISO BE 


Weil g’(u) und E hier reell sind, folgt noch 


1 
| (G' —Cry)sing — Ag} cos 
p=— 


Ay1-y? 
(121) HT dy 
| (G'—Cry)eosg+A 7e sing 
ONE T EE 
Mit Anwendung der drei Eulerschen Winkel q, v, > gehen sie, indem 
8 q.u g 
lv G'—COCr 
9 dap, c GE OT. - 
(122) Gay) 
über in 
dw E 
(123) Dos sin q sin I + E ? cos RE = ; cos q Sin 9 — —- ; Sin q, 


welehe bekannte Gleichungen aus der Drehungstheorie sind. Auch hat man in ausgeführter 
Form 


j (G8 - Cry) e E BVA(I — y*) CE - Ky) -(G' — Cry)* 
(194) | ; A NE 


| (G' Cry) B* «Y AQ —5*) CE- Ky) -(6' Cry)? 
q AT ux) : 


wie übrigens aus den algebraischen Integraleleichungen unmittelbar hervorgeht. Das obere 
Zeichen gilt als y wüchst, das untere als y abnimmt. 


14. Die Gleichungen (32) und (37) haben beide die Form 


(125) E (2 —A(1—y3)(E' — K y?) - (G' - Cry)? — R(y), 
worin 
(126) K=+Mkz, 


je nach Umständen positiv oder negativ ist. Der Kürze wegen werde hier nur der Fall A 
(127) NE) 


betrachtet, obgleich die Behandlung der Aufgabe dadurch unvollständig bleibt. Man sieht un- 
mittelbar, dass R(y) dann eine im Intervalle + 1--- +00 liegende reelle Wurzel y, und eine 
im Intervalle —oo---—1 liegende reelle Wurzel y, besitzt. Folglich gibt es beim mecha- 
nischen Problem noch zwei reelle Wurzeln ;, und y, zwischen — 1 und +1, so dass 


(128) memory Le 


ist. Dasselbe wird mit Hülfe allgemeiner Transformationsgleichungen nachgewiesen. Es sei 


Tom. L. 


& it u At ra a CR Zu 


Fo. ww 


fam | 


Le et Emme —/, 


——————— 


Über die Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt. 25 


(129) R(x)=Fxt+4Gx+6H2+4lx+, 
so hat man mit ; 
dd = FJ —4GI--8H*, 
gs = FHJ --2GHI — FI? — JG? — H*, 
A — g; — 2193, 
D2G*—FH; E=F?I—-3FGH+2G° 
die Gleichune 


D\3 D E: 
(130) ar) ze) F la p» 


und die Bedingungen für vier reelle Wurzeln von A(x) sind dass ausser A > O zugleich 
(131) D>0: 12D? — F2g,7 0. ; 

In unserem Falle ist 
(132) F=AK: 4G=0, 6H=—(AK+AE'+C?r?); 41—2CrG'; J=—6G"? 
und berechnet sich 

19g, = (AK + AE' + C?r2)* —12 AK G"*, 
21695 = (AK + AE' + C? r2)? +36 AK (AK + AE' + C? r2) G'?* —54 AK C? r? G2, 
6D=AK(AK + AE' -C?r?); 2E— A* K*CrG', 
16(12 D? — F?g,)= A* K*/(AK + AE' + C?r?)? + AAKG"?5. 
Gemäss den algebraischen Integralgleichungen ist 
l@|>Cir|; E'—Ky?—OCr? 0, 

somit E' positiv und AK + A E'..- C?r? positiv, d.h. mit K > 0 auch D >0, 12D? —F?g, 50 
und alle vier Wurzeln von R(y) reell. 

Den Grenzfällen y, = + 1 und y,— —1 entsprechen bez. G'— Cr und G' — — Cr, wie im 
Art. 13. Mam setzt jetzt 3 
di. | dy År t > dy j^ 
A —yRG» 4 JAM 

p - 

und transformiert zu WkrERsTRASS' Normalform. Aus (130) ist ersichtlich, dass man bei be- 


liebiger Bestimmung des Zeichens von YAK ein Argument w so wählen kann, dass in bezug 
auf die Funktion @(u) = fp (u, 93, 93) 


(133) 


D AR VARG Cire. 
= SAT, 


(134) p{w)= z p'(w)=- — 2 yARCrG". 


FE 3 
Es seien mit e,,e,,e, alle hier reell und e, >e, >e, 2» und 2%’ bez. die reelle und die 
rein imaginäre Periode eines primitiven Periodenpaares von @(u) sowie o" = o 4- o'. Ich ent- 
lehne hier der Kürze wegen einige Transformationsformeln der Abhandlung von Frau Kowa- 
LEVSKI, die dieselben einer Vorlesung von WEIERSTRASS entnommen. Es sei 0<w< 20; 
die Gróssen 

(135) 71 (w) _ D 2o (10) D) Mm sace T D 


& (10) m 78s & (w) ET jj e eX a(w), mis 


sind reell und positiv. Mit Anwendung der Bezeichnungen 
N:o 14, 4 


26 , Hy AT IL Qv TS 


h =) +0s(w)+a le). je (10) 02 (2) 00 (10) 

0 a (w) ? vo a (10) ; 

uum — 01 (a) + o; 10) — es (10), "e — 5, (ww) — 62 (w) + o4 (w) 
0 6 (10) 2 0 o(w) 


erhält man als Wurzeln des Ausdruckes R (5) 


Gs hM LEE LAS RAS h, 


136 h = = er u a 
(59 zZ VF yAK yAK 


und mit Benutzung noch der Bezeichnungen 


_ Ca = 3) 0, (1) + Ces — ei) 03 Q0) e Ces — es as (10) 


hi 


a (00) 
(es —es)a;(w)+(es — e) 00 (w)+(ei —e5) a, (10) 
ho — o(w) $i j 
r (e —eg)a, (w) — (es — e.) os (w) — (ey — e3) os (w) 
h, = a (10) : 
y _ — e3)o, (ao) — (e$ — 63) 05 (10) — (ej — e2) as (w) 
va a(w) j 
nes (es — e) d, (w) + (e3 — e) a (w) — (ey = e) 03 (w) 
1 a(w) i 
m _=(e — es) ay (20) (05 — ei) 00 (10) — Cet — es) 0s (av) 
ho = o (w) , 
n — (es — 6) 0, (ww) — (es — ej) fo (w) Flen — &) a (W) 
eT a (10) ; 
DE er Dee ME le een) 
v2 o(w) 
als Lösungen der Differentialgl. 
dy 
137 due 
(tony : V R(y) 
= 2 "egi 68) Ne — ee) Cei 63). s 
TELA: M, g(u)-- hi 
2 (es — es) (65 =e,)(eı = 6.) 
Y Ya E 2 m : Dn Rd 
(138) J VAR h, p (u)- h, 
EN nn 
UT VER hy p(u)-hy 
| yy 2 (es —e,)(es — e) (e — es! 
I DE VAK h,g(u)+h, 


mit der Eigenschaft, dass sie sich für «= 0 auf bez. y,,y5, y, und y, reduzieren und übrigens 
gerade Funktionen von « sind. Unter diesen wählt man hier 


2 — Ca o — =) 
in Tg du 
welche dann zusammen mit ! 2 

t 
(140) u=; 


die Lösung der Aufgabe, y als Funktion von t zu bestimmen, darstellt. Der grösste Wert von 
Tom. L. 


Über die Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt. 27 


y ist yy, und entspricht den Zeiten 0, 2904, 4»4A..., der kleinste Wert y, und kommt vor 
zu den Zeiten mA, 3o4.... Die Nutationsperiode beträgt also 24. 

Bei der Fortsetzung der Rechnung naeh den Formeln (6") und (19") erscheinen wieder 
elliptische Integrale dritter Art in Ausdrücken von der Form 


IRRE 
g(u) eo) 


"L+Mp(u) len, / a | 
| p) "VPdu=Mu+(L+Mp(v)) | 


die nicht weiter ausgeführt werden sollen. 


N:o 14. 


TUER RATE 23V 


sy: I Dr de WEN 


TE a DER 


* 


b BER, 


Kan al 2 CAT 


EE ain Mars ire 


es 
* 


27 
= 
+ 


a od {1 rx. Pat pen LYS 


À 


” à RD u E 
-: $ s ic 
x E! 
_ E 
* ^ 
Eo be e 
(C 
- h 
> 4 E^ 
- CETT 
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- E " - "n E- 
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4 E f , " Ecos 
FAX eh D Na vd + ; " 


ACTA SOCIETATIS SCIENTARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 15. 


UNTERSUCHUNGEN ÜBER ROLLENDE 
BEWEGUNG 


ANWENDUNGEN DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN 


VON 


HJ. FALLQVIST 


( Vorgelegt am 20. September 1926) 


HELSINGFORS 1926 


U IL 


KOM YMURATY3IgE ÉTAT AIOOEFATOM 
JW IOH ANT VAMAU ASUS 
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\ | n , t-. 


APE 


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et [9 Lu - 
tas 
) 
"P r - 
ES 
5 
DRUCKEREL DER PINNISCHEN LI | 
= PS À ES 
EL 
" PE 


1. Rollen einer beliebigen Kurve auf einer anderen. Die Bewegung eines ebenen Systems 
in seiner Ebene ist bekanntlich dadurch gekennzeichnet, dass eine mit dem Systeme fest ver- 
bundene Kurve (7), die bewegliche Polkurve, ohne zu gleiten auf einer in der Ebene 
festen Kurve (C), der festen Polkurve, rollt. Der gemeinsame Berührungspunkt C — P 
beider Kurven ist der augenblickliche Rotationsmittelpunkt oder Pol der Geschwindigkeiten. 
Die Kurven (C) und (7) können als Grundkurven von zwei Zylinderflächen (C) und (7) 
aufgefasst werden, deren Erzeugende senkrecht zur Ebene der Bewegung sind. Der Zylinder 
(1) rollt ohne zu gleiten auf dem Zylinder (C) und dreht sich dabei in jedem Augenblick 
um die gemeinsame Berührungslinie beider. Noch allgemeiner könnte man bei der folgenden 
Untersuchung den Zylinder (7) durch einen beliebigen Körper ersetzen, welcher eine auf die 
Erzeugenden des Zylinders (C) senkrechte Symmetrieebene der Massenverteilung besitzt. Der 
Kürze wegen werde hier meistens nur von den Kurven in der Zeichnungsebene gesprochen. 
auch wenn es sich um die dynamische Aufgabe der rollenden Bewegung des Zylinders (7) 
auf (C) unter dem Einfluss gegebener Kräfte handelt. 

In allen hier betrachteten Fällen rollender Bewegung hat das bewegliche System nur 
einen Freiheitsgrad und das Integral der lebendigen Kraft bildet die Grundlage der Behand- 
lung. In mehreren Fällen, in welchen die Lösung der Aufgabe mit Hülfe der elliptischen 
Funktionen gewonnen werden kann, ist sie tatsächlich durchgeführt worden. 

Es seien die Gleichungen der festen Polkurve (C) (Fig. 1) in bezug auf das feste Koor- 
dinatensystem A, « in Parameterform 


UV 2=4(9); u=u(Q), 


die Gleichungen der beweglichen Polkurve (P) in bezug auf 
die mit dem beweglichen System fest verbundenen Koordi- 
natenaxen OS, 07, wieder in Parameterform, 


(2) E—E(w); q—7(v), 


ferner z,,yo die Koordinaten des Anfangspunktes O im zy-System und 9 der Winkel zwi- 
schen der z- und der £-Axe. 
Dass die Punkte C und f£ beider Kurven zusammenfallen, wird durch die Gleichungen 


(3) A—gcgg-4-£co8S9 —gsin9; uw = Yo + 5$sin9 + 2c089 


ausgedrückt, dass die beiden Linienelemente in denselben gemeinsam sind, ebenso dureh die 
Formeln p 


4 Er AA TON ITS UT: 

(4) di=cosÿ d£-— sin dy; du = sin Ÿd£ + cos ÿ dy. 

Künftig asien, (4,u) und (£,n) meistens die zusammenfallenden Punkte C und I bezeichnen. 
Für die Linienelemente gilt - 

(5) ds? — dà? + du?; do®=d&?+dn?; ds?— do?, 

für die Tangentenrichtung in C 

(6 a) tg — 9) = 


dn 

Tr +ig 9 : 
b AU TTE dE . Sin? d£- cos 8 dn 
(6 b) da "js cos 9 d£ — sin I dn 


dy 
pe eB 


mnm — 


und hieraus folgt mit do 0 


sin 9 d£ 4- cos F dn. COS % cos I d£ — sin I dn 


.(6 6) SIN y = zs : ds 


Die Gleichungen (1), (2), (3) liefern Ausdrücke für zy und y, mittelst p, v, 9; differen- 
ziert man die Gleichungen (1) und (2) und setzt ein in ( 6 b), so findet man eine Beziehung 
zwischen q, und 9, aus welcher 9 genommen gedacht werde; man erhält dann Ausdrücke 
von zy und y, mittelst y und w. Aus (1) (2) und der letzten Gleichung (5) ergibt sich 
durch Integration die Beziehung zwischen y und w. Man bekommt alsdann Ausdrücke der 
Grössen x, Yo und Ÿ mittelst « oder mittelst y sowie Ausdrücke von & und 7 mittelst q 
oder von x und y mittelst w. 

Die Wechselgeschwindigkeit w, mit welcher der Punkt C sich auf den Kurven 
(C) und (7) verschiebt, hat im &£y-System die Komponenten 


d£ dy 

dt’ dt 
und im æy-System die Komponenten 

di — m. sno qd». dub 048 , 9 07 

(7) gr^ 008 9 3j — sin 2575 ar — SIM IG cos 9D 
es ist > 
, e eel tI 
(8) 7 = (37) = (52) 


Das bewegliche System hat die Winkelgeschwindigkeit 
(9) 0 — D 


welche positiv gerechnet wird in der Richtung von der positiven z- zur positiven y-Axe, und 
eine Winkelbeschleunigung ; 


: d 
(10) _s= = 


in bezug auf deren Zeichen dasselbe gilt. 
Ein beliebiger Punkt S des rollenden Systems, mit den Koordinaten &,,7, in bezug auf 
die &- und z-Axen, hat im y-System die Koordinaten 


Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. b 


(97 vo 8,0089 — 7, Sin 9 = 4 + (8, — 5) cos 9 — (gy, — 7) sin 9, 
CE | y = Yo + Es Sin 9 + 4,008 9 — y + (E, — E) sin I + (y, — 7) COS I. 
Indem man hier die rechten Seiten als Funktionen von q oder von # ausdrückt, geben diese 
Formeln die Bahnkurve des Punktes S, sowie die Abhängigkeit zwischen den Lagen von S 
und C. 
Die Geschwindiekeitskomponenten von S sind im æy-System 


m [a e mt Dane (B) 
: JU £(8,—8)08$— (9. —n)sind)o=  (z—4)e, 
und zeigen, wie die Geschwindigkeit durch die Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit o um 
das Momentanzentrum oder den Pol C entsteht. Auf die &-,7-Axen hat die Geschwindigkeit 
die Projektionen — (2,—7)o; (E,— 3). 

Für die Beschleunieungskomponenten des Punktes S im æy-System ergibt sich 


dix du 


v quu t d ((8$,— 5) cos 9 — (y, — y) Sin 25 o? —((8, — 5) sin I + (7, — 2) cos 9 y e, 
18 
dE — —e 5 — (8, —E) sin + (j,— 4) cos 9 o* + (5, — E) cos 9 — (y, — p) sins }e 


und für ihre Projektionen auf die £- und z-Axen bez. 


ta tA „du 4 = 
fee iind cos y 9 | (&—-8)02 —- (9:7): 


[19 dà : d 
|a, = —{ cos 977 + sin 325 1 (mn) a2 + (Ese). 

Diese Ausdrücke zeigen die bekannte Tatsache, dass die Beschleunigung des Punktes S sich 
aus drei Komponenten zusammensetzt und zwar: 1) aus einer Beschleunigung von der Grósse 
|o -|w|, gleich dem Produkte der Winkelgeschwindigkeit und Wechselgeschwindigkeit, sen- 
krecht auf der letzteren und nach derjenigen Seite von w gerichtet, nach der e das System 
nicht dreht, 2) aus der Zentripetalbeschleunigung CS-»2= Ro? in der Richtung von 8 
nach C, und 3) aus der Tangentialbeschleunigung OS-s= Re, senkrecht auf CS in positivem 
Sinne. 

Es werde noch die Krümmung, der von S beschriebenen Bahnkurve berechnet. 
Man erhält mit CS —R 


dr d'y dy d?x d£ n "v 
di quai asc mq Go Det Rhet, 


CORTE 


Bezeichnet u, die Projektion der Wechselgeschwindigkeit « auf diejenige Richtung, welche 
mit CS einen rechten Winkel in negativem Sinne einschliesst. also 


"gc 7) dé S. Sn 


r SEHR iiy A Á 
so findet man / 


N:o 15. 


6 Hs. TALLQVIST. 


(15) LE It dir. 


dep ma 


worin Ro die mit ihrem Zeichen gerechnete Geschwindigkeit des Punktes S ist und der 
Krümmunesradius o positiv in der Richtung von S nach C gerechnet wird. Er ist also gleich 


dx d'y dy dix 
2 


R, vermindert in dem Verhältnis 1: (1 + ec) somit speziell für Punkte der Tangente in C 
gleich R und für Punkte der Normalen in C gleich 


EN R*o : 
u Rozru 


(16) On = 


In den Ausdruck (15) kann man die Krümmunesradien der Polkurven im Punkte C einführen. 
Es sei do=ds positiv. Man berechnet aus (6a) durch Differentiation 


déd?n — dnd? 
dy = wdt een za — u), 
somit 
d el dy — o död’n-dnd’E — ee cl 
Or AS do da do? 24, 07 
dt 
oder = 
3 1 1 0. 
(17) T =———; U=-— Se. -&, 
0, 0, 0.0, 


und erhält alsdann aus (15), wenn der Winkel zwischen « und CS mit (w, R) bezeichnet wird, 


N sn) 2-4 e,0.Sin(u,R) 
we) Em T EUR R* (o, — 0,) 


DEUS 


und speziell für einen Punkt der Normalen in C 


1 1 1 1 
19 u ge 
(19) 0%, R ni(7 =) R R*(0.— 07) 


TE 


Die Krümmunegsradien o. und o, werden positiv gerechnet, wenn die Kurven (C) und 
(P) konkav nach der positiven y-Richtung sind. Man nennt auch 


1 Um den Krümmungsmittelpunkt Æ der Bahnkurve von $ zu bekommen, 
konstruiert man zunächst (Fig. 2) gemäss (17) — = als vierte Proportionale zu p, , 


0.—0, und 0,» Setzt es auf der Normalen in C als CJ ab, wobei J der sog. 
Wendepol ist. Dann verbindet man $ mit J. zieht in C eine Senkrechte CL 
auf CS und durch deren Schnittpunkt L mit SJ die Parallele LK zu CJ. Als- 
dann ist deren Schnittpunkt X mit SC der gesuchte Krümmungsmittelpunkt, wie 


es ja die Formel (18) einfach ergibt. 


Tom. L. 


-1 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 


0^ P gr 
relative Krümmung der Kurve (I) in bezug auf die Kurve (C). In der Figur 1 ist 9, 70, 0 
und die Kurve (P) rollt innerhalb der Kurve (C). Dasselbe würde mit 0 70,7», der 
Fall sein. Wäre 0,>0>e. oder 0. >0>e,, so würde (7) auf der konvexen Seite von 
(C) rollen, und wäre 9, 0.7» 0 oder 0 90.7»59,, so würde (7) mit seiner konkaven Seite 
auf der konvexen Seite von (C) rollen. , 

Das oben dargestellte enthält natürlich nichts wesentlich neues, war aber notwendig 
schon wegen der zu gebrauchenden Bezeichnungen. Für näheres in bezug auf die ebene 
Bewegung und die rollende Bewegung, was die kinematische Seite betrifft, sehe man z.B. 
ScuELL, Theorie der Bewegung und der Kräfte, Bd. I. 

Es sei noch bemerkt, dass man bei der Untersuchung der Bewegung eines einzelnen 
Punktes S gewöhnlich den Anfangspunkt O in denselben verlegen kann. Es ist dann $,— 0. 
dq. — 0 und 2=xz,,y=y,, und man erhält statt (11) 

[2 =20 = À —Ecos Ÿ + ysinŸ, 
(20 a) 
| Y = Yo m — EÉSIN Ÿ — COS 2, 
sowie umgekehrt 
fE=—{(x—4)cos 9 +(y—u)sind}, 
ag | 29 —4— (x — 4)sin 9 4- (y— u)cos 9». 


2. Die dynamische Aufgabe. Das Rollen ohne Gleiten des Zylinders (7) auf dem Zylinder 
(C) oder, wie wir sagen werden, der Kurve (Scheibe) (P) auf der Kurve (Scheibe) (C) soll 
erfolgen unter dem Einfluss seiner Schwere im Schwerpunkte S. Eine eenügende Reibung 
soll das Gleiten verhindern, oder auch eine um (7°) gelegte Schnur. Die Masse des Zylinders 
(7) sei m und kann auch teilweise oder ganz ausserhalb der Zylinderfläche (7) sich befindend 
gedacht werden, das Trägheitsmoment in bezug auf eine den Erzeugenden des Zylinders pa- 
rallele Axe durch S, gleich K. Die kinetische Energie des rollenden Körpers ist dann 


Beamer iron 


m | &,sin 9 + 008 9) ol” + [a (en COS I — 7, sin of ies Kos— 


p oi Mrd t, UN 
(21) 


—15, sind) } = 


et ne 


— 


5 m (a —2)+(y— u)? lox e iK otc s(mRt e K)us, 


worin K + m(E +») das Trägheitsmoment in bezug auf O, K 4 mB? das veränderliche 
Trägheitsmoment in bezug auf C sind. Für die kinetische Energie kann man Ausdrucke von 
der Form 


N:o 15. 


8 ENT A TL LIQVEStT: 


dœp\2 ; dw X2 
(22 a) ÉD Gf) oder L= W(y) (5) 
oder noch mit Anwendung von (11) von der Form 

; ^ dy\2 
(22 b) L- FG 


aufstellen. Wenn die Schwere mg die wirkende Kraft und die y-Axe vertikal nach oben 
gerichtet ist, so ist das Energie-Integral der Bewegung 


(23 a) L— Ls —mg(y — Yo) 
oder 
(23 b) L + mgy = Konst. — h, 


und gibt somit z.B. eine Differentialgleichung für y als Funktion t (oder für q oder y . 


u.s.w.) Die Aufgabe führt speziell auf elliptische Funktionen, wenn man F(y) in die Form 
eines Quotienten oder eines Produktes von zwei Faktoren setzen kann, von welchen der eine 
das Quadrat einer rationalen Funktion von y, der andere eine ganze Funktion von y vom 
zweiten oder dritten Grade ist. 

Durch Anwendung des Satzes von der Bewegung des Schwerpunktes findet man den 
Druck N im Stützpunkte oder in der Stützlinie C sowie die tangentielle Kraft P, welche 
erforderlich ist um das Gleiten zu verhindern. Es seien die in der Fig. 1 angegebenen Rich- 
tungen von N und P die positiven. Man hat dann 


| m C — — Nsiny 4- Peos y, 
(24) ; 


| m 2 mg+ Ncosy+Psiny 


Er 


und erhält durch Projektion auf die Richtungen von N und P, wenn noch a, die totale 
Beschleunigung von S bezeichnet, 


d’x = de 
dt: — 605% 


di? 
d*y 
dt* 


| NE mg cos x — m (sin x 2)= mg cos y +ma,cos(as, N), 


(25) 


| P = mgsin x + m (cos x TE + sin x )= mgsin xy + ma.sin (as, N), 


wie übrigens ohne weiteres direkt folgt. Man berechnet noch auf Grund der Gleichungen 
(6e), (13) und (14) oder schreibt unmittelbar hin. mit Kenntnis der drei Komponenten von a., 


| a.costa.. N) = — a+ a, 5— ou Ro*cos(N, R)+ Resin (N, R), 
(26) í 
La.sin(e,,N) 2 ac 25. a, = — Ro? sin (N, R) — Recos(N,R), 


und erhält damit aus (25) 
| N —mgcos y —mouwu —mHRo?cos (N, R) 4 mBssin (N, RB), 
| P = mgsin y —mhRo?sin (.N, R) — mRecos(N,R). 


Es ist gemäss (17) 


(27) 


mo? : 
(28) — MOU = ———. = dy eae 
TEES: 9.—0y 


0» 0. 


Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 9 


(29) ; (N,R)=5—(u,R). 


In einem Punkte, wo N Null wird und sein Zeichen ändert, hört entweder die Berührune 
beim Rollen auf, wenn sie nieht in irgend einer Art sichergestellt ist, oder tritt die Bedingung 
pus . " . B . p \ 

für ihre Möglichkeit in Kraft. 


3. Andere Kraftgeseize. Statt der Schwere als wirkende Kraft könnten auch andere Kraft- 
gesetze benutzt werden, welche übrigens zum Teil mechanisch verwirklicht werden können. 
Wenn der rollende Zylinder in seinem Schwerpunkte S von einer Kraft angeeriffen wird, 
welche senkrecht auf einer festen Geraden in der Normalebene von S ist und durch eine 
gegebene Funktion des Abstandes von dieser Geraden dargestellt wird, so erhält man, wenn 
man die Gerade zur z-Axe wählt und die Kraft, in der Richtung nach der r-Axe positiv 
senommen, mit mf(y) bezeichnet, als elementare Arbeit derselben 


anf (y) dj, 
und als totale Arbeit 
(30) m ffa) dy, 
so dass die Bewegungsgleichung wird " 

u 

(31a) L—Lo=—m | f(y)dy 
oder + 14 
(31 b) L+m [rau = Konst. =h. 


Für L kann man hier den Ausdruck (22b) nehmen. Die Aufgabe führt auf elliptische Funk- 
tionen, wenn 


y 
h—m | f(u)dy 
Taf 


nach Absonderung derjenigen Faktoren, welche Quadrate von rationalen Funktionen von y 
sind, ein Polynom in y vom dritten oder vierten Grade zurücklässt. 

Wenn im Schwerpunkte S in der Fig. 1 eine Kraft in der Richtung nach einem festen 
Punkte (a,b) wirkt, welche eine Funktion mf(r) des Abstandes 


r— | (x—a)*-(y—b)? 
ist, so ergibt sich die totale Arbeit 


(32 a) —m | f(r)dr, 


und dieser Ausdruck kann mit Hülfe von (11) z. B. in eine Form 


P 


(32 b) —m [ ht) da 


Po 


transformiert werden. Als Bewegungsgleichung findet man dann mit Anwendung von (22a) 


N:o 15. 2 


10 DORT VOBIS TO 


p 


(33 a) DTA oq) (5t J-n--m[fh( 4s 
oder = 

o 
(33 b) I, + m ] fhi(q )dq. = Konst. = h. 


Die Veränderliche g braucht nicht eine Länge zu sein, sondern kónnte z. B. auch ein Winkel 
sein. In speziellen Fällen können auch jetzt elliptische Funktionen auftreten. 

Die einfachsten Fälle ergeben sich, wenn f(y) und f(r) proportional der Entfernung 
sind, d.h. f(y) —- ky oder f(r)- kr ist. Man erhält dann in (30) und (32 a) bez. 


y 


/ i JT 
— m [ray -—gmk (y — yo); 
D 


or m | (Ma = -jmk(r* — AN 
ro 

Die Kraft könnte aber auch z.B. umgekehrt proportional dem Quadrate oder der dritten 
Potenz des Abstandes sein u.s. w. 

Auch die Ausdrücke (25) werden einfach erhalten; die Modifikation tritt in den ersten 
Gliedern rechts ein. 

Die Aufgabe kónnte ferner so verallgemeinert werden, dass die Kraft in irgend einem 
anderen Punkte des rollenden Zylinders als dem Schwerpunkt angreift. 


4. Rollen lüngs einer Geraden. Als Gleichungen der Geraden werde genommen 


(34) VE COS &, uw -— g sine, 


so dass sie durch den festen Anfangspunkt geht und « den Abstand von demselben bezeichnet. 
Dabei ist 


DA n dpt Deere dq 
(35) di^ 008€ s qi Sine 
N es EZ Mer N 
(36) ul Ze: Velen Sen 
sowie gemäss (4) und (35) | 
(37) dö = cos(e—Y)dyg,;, dy-—sin(e—9)dq. 
Die Gleichungen (2) geben 
(38) |g— &'(y)dy —& dy; dg—s'(v)dv —q'du, 
so dass die Gleichung 
a) er 
(39) "ure ED 


die Beziehung zwischen v und 9 liefert. (xemáss (5) sel ferner 


v 
(40  q—«,-6—2,- | yd£? + dq? = | yg FN dy, 
Wo 


woraus also nach Ausführung der Integration die Abhängigkeit zwischen g und v hervorgeht. 
Man kann dann 9 und w und nachher auch 3 und 7 als Funktionen von g ausdrücken. 
Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 11 


Der bewegliche Anfangspunkt O möge mit 5 zusammenfallen; die Gleichungen (20) geben 


dann 
(41) y = To = G COS a — Ecos 9 + Sin 9, 
4 : ; 

| Y = Yo = q*8In & — Ë Sin I — 7 COS I 
und 
42) | $5 — 20084 — ysin 9 + q cos (a — I), 
(49 : 

=  gcsin9— y COS I + q Sin (« — I). 

7 y q | 


Weil o, — oo ist, folet aus (17) für die Wechselgeschwindigkeit 


(43) u=—0 


» ®; 


und der Ausdruck (18) für die Krümmune der von S beschriebenen Bahnkurve vereinfacht 
sich zu 
1 1 o, sin (u,R) R: 


(44) GBR a TOT RESOR 


Die Konstruktion von o — SK gemäss Fig. 2 ist auch jetzt anwendbar; der Wendepol J ist 
der Krümmungsmittelpunkt der rollenden Kurve. 
In bezug auf die dynamische Aufgabe hat man, wenn die Schwere die wirkende Kraft ist, 


(45) L-—l(m(E8 aa Kyot, 
(46) L + mgy= Konst. — h, 


und gemäss (27) 
| N = mgcosa + mo,0®— mRo?cos(N,R)+ mResin(N, R), 


(47) | | | 

ae mg Sin « — mRo:sn(N,R)— m Recos(N, R), 
worin 
(48) (N, R) - 5 - e — (E, x). 


Die Gerade, auf welcher die Kurve rollt, sei speziell horizontal. Dann ist « — 0 und 
es folet uw — 0, À = p=s, ferner aus (37) und (39) 


(49) di —cos9dq; dgp--—sin9dqg 
AE) e eet 
(50) Eu ER tg4, 


während die Formeln (40), (44), (45) und (46) keine Änderung erleiden, und statt (41) tritt 
(51) x = p—E£Ecos Ÿ +ysind; y=—Esind— cos Ÿ. 


In den Formeln (47) ersetzt man die beiden ersten Glieder rechts durch bez. mg und 0, und 
die Formel (48) wird 
(52) (N,R)=5 (Re), (WR). 

Wenn der längs der horizontalen Geraden rollende Zylinder von einer Kraft angegriffen 
wird, welche nach dem festen Punkte A4 — 0, «=b gerichtet und der Entfernung proportional 
ist, so tritt statt (46) die Gleichung 
N:o 15. 


12 FDA TO VIS Ur 


(58 a) = Am(82 + 92) -- K yo? 4- mk (22 + (y — b)?» = Konst. — h 
oder, mit Anwendung von (51), 
> (n (E? g2) + K ya? + 


(53 b) : . 
plmk(E gig pt + b? —2£(qcos9 —bsin)4 25(qsin9-rbcos9)) — h. 


5. Rollen eines Kreises auf einer Geraden. Es sei « der Neigungswinkel der Geraden, a 
der Radius des Kreises und e der Abstand des Punktes S vom Kreismittelpunkte M (Fig. 4). 
Als Gleichungen des Kreises werde genommen 


(54) E+e——acosw; gy-—-—asin y. 
Gemäss (39) wird alsdann 


— cot y = tg (« — 9), 
d. h. 
(55) Ÿ=S+a— y. 


Wenn die Werte w—0 und 6-0 zusammengehóren, so folgt 
aus (40) 
(56) G-—28aJ-—qg—q9,. 


Aus (41) erhält man die Koordinaten des Punktes S im æy-System 


| qy = po C0S & — a Sin « + a cose — e Sin (a — y), 


(57) : ; 
| Y = Po SIN « -acose + a W SIN « + ecos(e — y). 

In bezug auf ein Koordinatsystem x,,y,, in welchem die Gerade z,-Axe ist, ergibt sich 
einfacher 

(58) Zi— $9o--aUy-resiuy; yı=atecosw. 


Indem man yr aus diesen Gleichungen eliminiert, findet man 


(59) Ti — Po Ve? — (y, a)? + a are cos, 

Diese Gleichung stellt eine Zy kloide dar, wenn e — a (oder e— — a) und der Punkt S auf 
dem rollenden Kreise liegt, eine verkürzte Zykloide, wenn derselbe innerhalb des 
Kreises liegt (le, « a), und eine verlängerte Zykloide, wenn S ausserhalb des Kreises 
sich befindet (le! > a). Die Zykloide hat Spitzen auf der Grundgeraden, die verkürzte Zykloide 
ist eine wellenfórmige Kurve und die verlàngerte Zykloide schneidet sich selbst in ihren 
Doppelpunkten. Die Normale der Kurve hat die Richtung SC und für deren Krümmungs- 
halbmesser folgt aus (44) mit 

(60) R = ya? + 2aecos y 4 e? 


/ hs (a? +2 ae cos y t e2)? 
(51) EL e(e-- a cos y) 


Bezeichnet N die Projektion von C auf S M, so ist auch 
Tom. L. 


O———————m————————— 


| Untersuchungen über rollende Bewegung. 13 


se 
(62) = sM.SN- 


Der Ausdruck (61) gibt o— oo, wenn e—0, d.h. für den Mittelpunkt M des Kreises, der 
sich in einer Geraden bewegt, sowie mit e — « den Krümmungshalbmesser der Zykloide 


(63) o—2ay2(1-- cosy) — 28C, 
bekanntlich gleich der doppelten Normalen SC. 


Wenn der Zylinder oder die Kreisscheibe unter dem Einfluss seiner exzentrisch in S 
wirkenden Schwere rollt, hat man mit 


EEUU NOn, 
(64) ea an à dt 
(65) L = (m (a? + 2aecos v + e?) + Kyle) 


und bekommt die Bewegunesgleichung 


db 


1 ^ EN 2 : 
(66) 5 (n (a? + 2ae cos vi e?) + K}(° re mg {Po SIN e + a COS a + ayrsine + € COS (a — yp)y — h. 


dt | 

Beiläufig mag hier daran erinnert werden, dass man vor der Erfindung der Züge in 
Kanonen und Anwendung von um die Längsaxe rotierenden Langgeschossen einige Zeit als 
(reschoss hohle Kugeln mit exzentrischem Schwerpunkt benutzte, die eine Rotation um eine 
Queraxe annahmen. Die treibende Kraft ist jedoch hierbei der veränderliche Druck der 
Pulvergase, in Vergleich womit die Wirkung der Schwere im Lauf fast unmerklich bleibt. 
Die Resultierende der Druckkräfte geht durch den Mittelpunkt der Kugel, verursacht aber 
eine Rotation, weil der Schwerpunkt vom Mittelpunkt verschieden ist. Übrigens ist ja diese 
Bewegung kein Rollen ohne Gleiten, aber man kónnte bei der Kreisscheibe z. B. den Fall 
betrachten, dass eine der Grundgeraden parallele unveränderliche Kraft P im Mittelpunkte 
M der Scheibe wirken würde. Die Arbeit einer aufwärts gerichteten Kraft P ist 


Po=P(y-y,)=Pav 
und die Bewegsunesgleichung wird, jetzt unabhängige von der Neigung der Geraden, 


(67) o (m (a: + 2ae cos Ww +e?) + K y (at) — Pav zh. 


jedoch nicht genügend einfach um eine Integration zu erlauben. 

Auch die Gleichung (66) ist sehr kompliziert und vereinfacht sieh wesentlich nur, wenn 
5 in den Mittelpunkt M des Kreises fállt oder wenn die Gerade horizontal ist. In jenem 
Falle erhält man das gleichförmig verzögerte (oder bei negativem « gleichförmig beschleunigte) 
Rollen entlang der Geraden gemäss der Gleichung 


1 m 
2 K 
M+ — 
PED 


(68) 9 — Ro = Konst. — g Sin e(t — ty). 

Die Bewegung des Schwerpunktes geschieht somit mit einer im Verhältnis m: (m T =) ver- 

minderten Schwerebeschleunigung; beispielsweise bei der homogenen rollenden Kugel im Ver- 
5 


RARE : : : z AU o TA 
hältnis 5 beim homogenen Zylinder im Verhältnis 3. 


N:o 15. 


14 ET NA TIO VOD STD: 


Beim Rollen auf einer Horizontalebene ist « — 0 und 
(69) y = à + ecos y 


und die Gleichung (66) gibt, wenn man noch y als Variable einführt, ° | 


(70) 


az EO fena uH | 
me a (är) an may). 


Diese Aufgabe führt somit auf elliptische Funktionen und wird im Art. 19 eingehender behandelt. 
Hier sollen noch in diesem zuletzt betrachteten Falle der Druck N und die tangentiale | 
Kraft P berechnet werden. Aus (47) ergibt sich jetzt 


| N = mg — meo?cos w + meesin yr, 


(71) : 
| P --—meo?sin y — me(a + e cos y). 
Man hat gemáss (66), wo « — 0 zu setzen ist, 7 
2 dy\2  2(h—-mga— mgecos à) 
(72) e E13 ^ m(a*--2aecos pre?) - K 


und bildet hieraus durch Differentiation 


(78) Y do (2ha -g[m(e* —a?) - K] y mesin v 
ei —— = = —- - . 
dt fm(at+2aecos y+e?) + KY 


Indem man diese Werte in (71) einsetzt, findet man, wenn ausserdem noch y statt y benutzt 
wird, 


| N'= mg— UE a)(h —mgy) m? (e? — (y—a)*] 12 ha g[m(e* —a*) - K] 2 


(74) m(e*—a*t2ay) - K (m(e?*—a? +2ay)+K)” 
1 
22 EEE RER 2(h—mgy) my 2ha  g [m(e? —a*) - K] | 
P=-+m fe? — a EN po - - iq 
RA (y ) \m(e—a?+2ay)+K {m(e?—-a:+2ay)+Ky | 


Zuletzt werde der Fall behandelt, dass der Kreis: auf einer hori- 
zontalen Geraden rollt (Fig. 5), unter dem Einfluss einer exzentrisch 
in S wirkenden Kraft, welche nach dem Zentrum E mit den Koordi- 
naten 4— 0, u=b gerichtet und der Entfernung r von diesem Zent- 
rum proportional ist. Die Bewegungsgleichung wird gemäss (53 a), wenn 


Gap 
Fig. 5. k jetzt durch k? ersetzt wird, 


1 


75) 3(m(a?+ 2aecosw+e?)+K) zi 
= 74 


de) ami? Cav + esin v)? -- (b— a — e cos y)?» — h, 


und speziell mit e — 0 


(76) I (ma? + K) (SE) =h— > mk? fa2w?+(b—a)?}, 


oder noch mit b — «, was wie ersichtlich, keinen wesentlichen Unterschied macht, 


(77) 5 


(ma? +K) (55) =h— Imkta? y?. 


Wählt man x = aw zur Veränderlichen, so hat man 


Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 15 


i K\(de\2 — Dos 
(78) (m 4 aJ) = 9h — mk?z?, 
worin h positiv sein muss. Bei der Integration findet man, wenn noch der Kürze wegen 
K 
(79) M = m + -i 
gesetzt wird, 
Suh see m | 
An A d / i2 
(80) z=) FERE l a F0 lo) T 


d.h. es handelt sich um harmonische Rollschwingungen mit der Periode 
miss dm a /M dm, K 
(81) T = AT n 1 + 
2eispielsweise ist bei der homogenen Kreisscheibe 
7 v 4T 
(82) IP ex 3 EC 
(2 
Der Vorgang ändert sich nicht, wenn der Körper ausserdem von seiner Schwere angegriffen 
wird; diese wird durch einen ebenso grossen Druck N aufgehoben. 
Man behandelt auch einfach den Fall, in welchem die Kraft mk?r eine abstossende 
Kraft ist. 


6. Rollen einer Parabel auf einer horizontalen Geraden. Die Betrachtung werde beschränkt 
auf Punkte S, welche auf der Axe der Parabel gelegen sind (Fig. 6). Die Gleichungen der 
Parabel in einem Koordinatensystem mit dem Anfangspunkte in 
S und der &-Axe entlang der Parabelaxe sind, wenn a den Ab- 
stand zwischen S und dem Scheitel T der Parabel bezeichnet, 


(53) SF $-—2p(wv-a), 


worin p positiv gedacht wird. Gemäss (50) erhält man 


en re. TION 
(35) SYS ) T esca) 


Für die Länge des Parabelbogens c, vom Scheitel T gerechnet, gilt 


un] c0 a A 7 P 
x p* PNE SEL S au ud BUS qr esc qt Vp'+n |, 
(85) xg dues pm +7 dy=t; DVD + 92 + plog à 
Mit der Koordinatenwahl in der Figur muss das Zeichen — genommen werden, so dass gemäss 
(40) erhalten wird 
à 1 DENE + Vp°+7° | 
(86) o= — I y/ pt gh plog YE Eug, 


worin statt 7 auch w eingeführt werden könnte. 
Als Bahngleichungen des Punktes S geben die Formeln (51) jetzt 


>, 1 pu 3243.34 279 
DVD EN ds p TETE 
1 A AW. s 
Wenn a—5p, d.h. wenn der Punkt 5 mit dem Brennpunkt der Parabel zusammenfällt, so 
erhält man einfacher 


N:o 15. 


16 ED TALLOVEST! 


n Yp*-m*. 


(88 a) r——jp log ; 2y=Vp® +72 


p 
und nach Elimination von 7 
2r 2 
(88 b) y= ler te 2! 


d.h. das bekannte Resultat, dass der Brennpunkt der rollenden Parabeleine gewóhnliche 
Kettenlinie beschreibt, deren Direktrix die Tangente der Parabel im Scheitelpunkte in 
der symmetrischen Lage ist. 

Auch aus den Gleichungen (67) könnte man 7 eliminieren, was jedoch unterbleiben mag. 
Ferner könnte man die beim Rollen entstehende Kurve eine verlängerte oder ver- 
kürzte Kettenlinie nennen, je nachdem a>sp oder acp ist, aber auch negative 


Werte von a können gewählt werden. Mit a — 0 erhält man als Gleichung der vom Parabel- 
scheitel beschriebenen Kurve 


—— —UrE Ne ea N 
(89) N ay y ptas Sn qgg A Pp E eun VVp**-y*-y-V2yi. 
2 E © & 9 D p 


Dieselbe hat eine Spitze im Punkte 0. Bei negativen a-Werten hat die Rollkurve einen 
Doppelpunkt. 

Bei der dynamischen Aufgabe, wenn eine parabolische Scheibe unter dem Einfluss der 
Schwere rollt, berechnet man in dem allgemeinen Falle 


NOCTURNO] 
(90) = dt = pine dí . 
x n*+4p(p-a)n?+4p?a? 
E? + m2 = = ARS OU EA 
(91) L= ay +4p(p—a)q - 4p*a*] + K À —P — (2) 
2 |4p° I (p?+m°2)°\dt 
Das Integral der lebendigen Kraft ist alsdann 
PSE ; Æ 2 2521 An? K Er 
(99) FEDES le any Cif ODE (2) era LA 
8(p*+n°) eS 2yp*-n* 
oder, wenn {= pp? + "E als Variable benutzt wird, 
(93) (2) En (PEPE EE na qo He 
[ dt m[(£?—p*) c4p(p—a)(g£ —p?) -4p*a?] - 4? K 


Wie ersichtlich kommt man hier sogar nicht mit hyperelliptischen Funktionen aus. Mit 


1 à N 
a=,p wird etwas einfacher 


1 eh, 
Tee pde ^ 
(Fy = PULO noD. 
dt nC Kp! 


(94) 


N:o 15. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 17 


Es muss sein 
(95) h>mga, 


worin a positiv vorausgesetzt werde. Die parabolische Scheibe führt rollende Schwingungen 
aus zwischen zwei in bezug auf Oy symmetrische Lagen, welche durch 


_h+yYh®—mgp(2a-p) 


(96) So mg 
bestimmt sind. Mit a p ist speziell 

+ h 
(97) Co = 2 mg 7 


Für a «p ist die Gleichgewichtslage stabil; die Schwingungszeit der unendlich kleinen Schwin- 
sungen um dieselbe beträgt 


: / ma? +K t 
(98) T 2x} mg(p—a)- 
speziell mit a — p 
; 5 mp? + 2K 
(99) N = Xu l UE 


7. Rollen eines beliebigen Kegelschnittes auf einer horizontalen Geraden. Es werde zuerst 
der Fall betrachtet, dass der Punkt S mit einem Brennpunkte F des Kegelschnittes zusammen- 
fällt (Fig. 7). Die Gleichung des Kegelschnittes in Polarkoordinaten R,y, mit dem Pol im 
Brennpunkte PF, ist dann 
(100) Ber ÿ 


^ I Fecosv” 


d: 


als Parametergleichungen nehme man 


zat SN M peosw , OT TENE COM ep Sina 
(101) E—— R cos W = pem ds pU HOME 
Gemäss (50) erhält man alsdann 

à n" e + COS w ; 0 € 
(102) EUER. 1 P Fig. 7. 
und hieraus I 
[ sin ip T e + COS i 
103 COS Ÿ = ———————————;:  SInJ2 ES == 
des) V1+2ecosy+e? Vi+2ecosv+e* 
sowie für den Winkel FCx={(u,R) = w +4 
— e Sin wy : 1 +e cos Y 

104 COS CE D) (BORN Sr SU ED) + 
(108) (9 ) V1+2ecosw+e? Ce '"  yl-c2ecos yc v* 


Ferner ergibt eine Differentiation 


(105) à d3 l-+ecos y dy, 


— dt^  1+2ecosw+e dt 


Für die Bogenlänge des Kegelschnittes findet man mit den Anfangsdaten in der Figur gemäss 
der Gl. (40) 


a PET 
(106) q-s-p| ERI E ip a 
0 


die Formeln (51) geben hiermit für die vom Brennpunkt beschriebene Rollkurve 


N:o 15. 3 


18 Ha. WALLEOVIST. 
Ve, er UR eh 
» Vi+2ecosw+te: ] pesin v 
I P (1+ecos y)* v 1+ecosp)VI F2ecospre: 
(107) | ; ( v)yl-c u 
TE —  ——. 
V 1-2ecos y - e? 


Wie im Art. 6 gefunden, ist diese Kurve bei der Parabel als Erzeugenden die gewóhnliche 
Kettenlinie, während man bekanntlich bei der Ellipse und der Hyperbel bez. die Meridian- 
kurven der Onduloide und Nodoide genannten Flächen erhált, denen die Eigenschaft 
zukommt nebst der Kugel und der Katenoide (Rotationsfläche der Kettenlinie um ihre 
Leitgerade) die einzigen Rotationsflächen mit konstanter mittlerer Krümmung zu sein (siehe 
L. L. LINDELÖF, Surfaces de révolution à courbure moyenne constante, Acta Soc. Scient. 
Fenn., T. VII, 1863). Von diesen sog. Delaunay’schen Kurven (G. Lonra, Spezielle 
algebraische und transscendente ebene Kurven, Leipzig 1902, p. 509) ist die Meridiankurve 
der Onduloide eine periodische, wellenfórmige Linie, die Meridiankurve der Nodoide eine perio- 
dische Kurve mit Doppelpunkten und Schleifen. 

Es werde hier noch die Differentialgleichung dieser Kurven abgeleitet. Wenn dl ihr 
Bogendifferential bezeichnet, so hat man, indem ihre Tangente senkrecht auf CF steht, 


dati: js. ay. vane 
(108) HERE 


Man berechnet, mit Anwendung der Formeln (104) und des zweiten Ausdruckes (107), 


2 


1+2ecos y +er=s=2(1 + eCOS W) — (1 — e?) = 


=2V1+ 200081 + e sin (y+$)—(1—e?)=2 7 A (e) 
oder 
= da 
(109) (1—62)y* —2py 3; + p* — 0 
und dies ist folelich die gemeinsame Differentialgleichung aller Delaunay'schen Kurven. 
Wenn die rollende Kurve eine Parabel ist, so hat man e=1 und erhält 
(110) gc nec ay 
mor y y!-lp: 


sowie nach Ausführung der Integration wieder die gewóhnliche Kettenlinie 


(111) me ped se), 


wie im Art. 6. Ist die erzeugende Kurve eine Ellipse mit den Halbaxen a und b, hat man 


p p 
à a = : b = ey) 
1-e?’ ey 
(119) i um 
2 2 
p T 1-eir E 
und erhält aus (109) die Differentialgleichung 
(113 a) y! — 2ay + be —0 


oder 


Tom. L. 


— 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 19 


da y* +b? 
(118 b) JT Pay 
Man berechnet hieraus 
(114) Lean. y 2 Ne EN 
2ay y*-b "ya 2,2 2 242 
a*y* — (y* +5?) 


und erhält somit als Differentialgleichung der Meridiankurve der Onduloide 


(115) ne ae ee LEUTE V 


—V4aryt- (yr +d) 
Schliesslich ergibt sich bei der Hyperbel 


es] 
(116) Ve 
| ii ea I 
Pi a’ Spa? 
dz. *—y? 
di Bay 
und 
(117) ure A (EP TOUR TA 


Die Integration der Gleichungen (115) und (117) erfordert die Anwendung der ellipti- 
schen Funktionen, mag aber hier unterbleiben. Einzelheiten über diese Kurven findet man 
in den oben erwähnten Arbeiten. Ihre Bogenlänge wird, wie unmittelbar aus (114) ersichtlich, 
auf elementarem Wege erhalten. Hier werde nur noch die Krümmung der Meridiankurve der 
Onduloide aus unserer Formel (44) berechnet. Man findet aus (107) und (112) 


+ ? 2 2 
(118) 1 + 20008. + 02 =; 1 + ecos y — ? A 
hiermit aus (101) 
9 DL 
(119) es FE , 
Ferner folgt aus (105) und (106) sowie (118) A. 
120 do (1+2ecos pet)? 8a?*b? y? que 
( ) 0 ; = — = . | 
T dö (1 + ecos w)” (br +y?)” | 
Setzt man diese Werte und 
(121) Rsin(w, R)-—y 
ein in (44), so ist das schliessliche Resultat 
2 
(122) ote" 


Bei der Hyperbel als Erzeugenden erhält man in derselben Weise 


5 : LOAD _ 2ay° 
(123) R= 22,53 OR OE T 


Um jetzt die dynamische Aufgabe vorzunehmen, wirke im Brennpunkt F des Kegel 


schnittes die Schwere mg. Die Gleichung (105) gibt die Winkelgesehwindigkeit und aus (101) 
erhält man 


N:o 15. 


20 ÉTAT VAR SU 


c £2 + $2 = R? pat 2s 
(23) S (lo ecosw)- 


somit für die kinetische Energie des rollenden Kórpers 


1| mp? |  (1+ecos ©)” EH 2 
2 L=351— ;+K ilc © 
(9) 2|(1+e cos y)” | (1+2e cos y + e2)* at) 
Die Bewegungsgleichung wird alsdann 
; 1 f mp* ill (1+ecos y) m) mgp 
126 51 ———— + K i = jf —— tn. 
\ 2|(1+ecos y)” |(1+2ecosw+e?)” V dt V1+2ecos y+e? 


Es soll hier noch y als Veränderliche eingeführt werden. Man berechnet aus (107) durch 
Differentiation 


05254; 
(127) dy =+— PES 
VUES or aes (Ol CE 


und erhält hieraus bei der rollenden Ellipse 


2b*dy 
(128) du = =E == =? 
y V 4a* (a* —5*)y* —[b* (20° —5*)y*]" 


bei der rollenden Hyperbel 


(199) dp scs e sunm INET op diu a. 
y y 4a? (a? +5?) y*— [b* — (2a? +b?)y?]’ 


Mit Anwendung noch der Formeln (118) transformiert man die Gleichung (126) bei der Ellipse zu 


en på (d)? _ 2y° (dat (a* — 6) y* - [05 (a? — 6?) y?]") (h - mgy) 
( ) qui ew ; 1 2)? 
4ma?*y*-- K(b*--qy?*) > 


und bei der Hyperbel mit Hülfe der (118) entsprechenden Formeln in 


(131) ba (92) = 2y* (4a? (a? +b*)y*- [b* — (2a? -52)g2] ^j (h—mgy). 
dt) 4 ma yt K(b? — y?) 


Bei einer elliptischen Scheibe sind die Grenzwerte von y 


| Y min a (1 €) = ] a? —b?, 


(132) ) 9 
: a NE) SEE Vase 
Es muss sein 


(133 a) h > mga(1-— e). 
Ist 
(133 b) h > mga(1- e), 


so macht die Scheibe volle Umläufe, d.h. rollt immer in derselben Richtung. Wenn dagegen 
(133 c) mya(l+e)>h>mga(i—e), 


so führt die Scheibe Rollschwingungen um die unterste symmetrische Lage aus, welche eine 
stabile Gleichgewichtslage ist, indem dort 


(134) TRE 0, al) rater) ae(l _e)>0. 


Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 21 


Die Schwingungszeit der unendlich kleinen Schwingungen um diese Lage beträgt 


ymal-e)i+K, 
l mgae(l-e) 


(135) Ne 
Bei der von zwei Hyperbelästen begrenzten Scheibe ist 


| Ymin = a (e -1) = ya? 4- b? —a 
(136) gus 
| Unas: et 1D ] a®rb2 ta 
und muss immer 


(137 a) h>mga(e—1) 
sein. Ist 
(137 b) h > mga (e + 1), 


so ergibt sich auch hier stetiges Rollen in derselben Richtung, wobei wechselweise die beiden 
Hyperbeläste auf der horizontalen Geraden abrollen. Ist dagegen 


(137 6) mga(e+1)>h>mga(e—1), 


so handelt es sich um Rollschwingungen um die eine stabile Gleichgewichtslage, und zwar 
sehört hierbei zu unendlich kleinen Schwingungen die Schwingungszeit 


(138) T — 22] ma*(e- 1)'-K ; 


mgae(e—1) 


Beim Rollen einer Ellipse längs einer Geraden beschreibt der Mittelpunkt der Ellipse 
(Fig. 8) die sog. Sturm'sche Kurve (Lorra, l.c. p. 511) Man nehme jetzt als Para- 
metergleichungen der Ellipse mit Anwendung der exzentrischen Anomalie 


(139) = — ac08V; n=—bsinw, 


wo a b. Gemäss (50) wird 


(140) i tg 9 — rtg v, 
woraus | 
(141) COS 9 = ep rebos i: == 3 sin N) — me GO BID == 
y a? sin? qp + b? cos? ip Va? sin? w + b? cos? v 
Der Ellipsenbogen vom Scheitel T nach C beträgt 
v ^ 3 > 
(142) 6 = p— | ]/ a? sin? v + b?cos? y dw, Fig. 8. 


0 
und die Parametergleichungen der vom Mittelpunkt beschriebenen Kurve sind gemäss (51) 


Vv 

PVC ES : ) ab cos 2 w 
T = J'a? sin? v + b?cos? w dy + — —— — 
5 Va” sin? w + b? cos? qp 


J 
| 3 (a°+5*)sin2 y 


(143) 


y-- 


^ Va*sin? y- b cost y 
Die Differentialgleichung der Sturm'schen Kurve wird in mehr geometrischer Weise ein- 
fach erhalten (vergl. Lorra, Le.) Man zieht den horizontalen Halbmesser MD und hat 
semäss den Eigenschaften der Ellipse 


N:o 15. 


22 Hg: P ALLQVIST. 


MD?--MC?-a?--b?:; MD-MCsinCMDc-ab, 
ferner 
sin CM D = sin MCN = des 
y = MN = MCsinCMD, 
und erhält hieraus 


M D? + (v a) = a?+b?; MD:y—=ab 


und nach Elimination von MD aus diesen Gleichungen 


woraus schliesslich gefolgert wird 


- 2.4 
144 dab t MEL re 
(ee) VIEN ER 


Die Ellipse rolle jetzt unter dem Einfluss ihrer Schwere mg im Mittelpunkte M. Man 
hat dabei 


3 de _ ab dw 
(145) 0 — di a’sinep+becostn dt^ 


(146) L — 5 (m (a? cos? y + b? sin? D) + Ko. 


und erhält die Bewegungsgleichung 


(147) arb? {m (a* cos? y +b?sin?y)+K) (32) a mg(a*+b?)sinycos y 
2 (a? sin? y + b* cos? y)* dt V/a* sin* y 4- b* cost y 

Hierbei ist 

(148) Ymin = b > Ymax = AQ 

und es muss sein i 

(149 a) h>mgb. 

Ist 

(149 b) h>mga, 


so geschieht das Rollen die ganze Zeit in derselben Richtung, mit vollständigen Umläufen der 
Ellipse. Ist dagegen 


(149 c) mga > h > mgb, 
so führt die Ellipse Rollschwingungen aus um die kleinere Axe als vertikale Symmetrieaxe, 


so dass der Mittelpunkt zwischen zwei Lagen in der Hóhe h:mg oszilliert. Bei unendlich 
kleinen Schwingungen, somit h von mgb unendlich wenig verschieden, ist die Schwingungszeit 


(150) T wd ve TEEN 


mgae? 


Bei einer homogenen Ellipsscheibe hat man 


K = m (a? + b2) = pma? (2—e?) 
und ; 
ma? (1—e?) + K= ma*(5—1e?). 


Tom. L. 


v 


Untersuchungen. über rollende Bewegung. 23 


Es kónnte die analoge Aufgabe bei einer von zwei Hyperbelästen begrenzten Scheibe 
gelöst werden. 


8. Rollen eines Körpers m ebener Begrenzungsfläche auf einem beliebigen. Zylinder. Es 
werden dieselben Bezeichnungen wie im Art. 1 benutzt (Fig. 9); der Anfanespunkt des 
&n-Systems wird auf der rollenden Geraden genommen, so dass 


(151) É=w=0, 7=0 
die Koordinaten des Berührungspunktes 7° = C sind, während die teste Polkurve die Gleichungen 
(152) A—A(q); u=u(g) 


hat. Es ist hier y — und aus den Gleichungen (4) und (5) ergibt sich 


(153) di=cosÿ dy; du-sinody; 
(154) (A?(9) T u^ * (q);dq? — dy? 
sowie 
0 I = u'(p) > 
| tg A'(q) 
155 \ , ' 
(155) Boss EDIT AO upg ee MP) s 
VX*(e)-u'*(q) YX*(g)*u'*(q) 
Für einen beliebieen Punkt S des rollenden Körpers mit den Koordinaten &,, 7. erhält 

man 

^ (8,— w)4' Zngu! (5,— v) M "m, 
156 Z=4A+— —— zt uy = 4 
MES) VA?-Eua'* G Y d VX* ut 


und für die Krümmung seiner Bahnkurve aus (18) mit o,— co, wenn man noch o, durch 
— o, ersetzt, so dass es hier positiv gerechnet wird für eine naeh unten konkave Kurve (C). 


(157) RD ea For 


Die Konstruktion des Krümmungsradius o nach Fig. 2 ist auch jetzt anwendbar; nur ist J 
jetzt der Krümmungsmittelpunkt der festen Polkurve. 

Wenn der Punkt S auf der &-Axe liegt, so ist seine Bahnkurve eine Evolvente der 
festen Polkurve und hat eine Spitze in dem auf derselben liegenden Punkte. 

Bei der dynamischen Aufgabe, Rollen des Körpers ohne Gleiten unter dem Einfluss der 
in S wirkenden Schwere mg, ergibt sich 


z 29 _ Nu — u' A" dp _ A'u" — pu! dy 1 dp 1 
(158) 0 — RT AUC dias (A3 rtl dt 0, "am oi 
wobei 

57 
(159) dy — y1?3a?dg und y—w,- [VAR FR? de 


Po 
genommen wurde, ferner für die Geschwindigkeitskomponenten von S gemäss (12) und (155) 
oder durch Differentiation von (156) 


N:o 15. 


24 EI. VDALDOVIST. 


da (4 u" —u'A")Cp' (5,—v)- 1m, dp p'(5,—wv)-ct An, 
— — — = o. 
(160) | i (+ ut} y Va 
J | dy (Mp FT A) 4M (5,—v) —u'7,) dq Emm 
—— E ). 
d (Mt ur)? d yix 
Hieraus berechnet sich alsdann die kinetische Energie 
: 1 a 9 € d 1 FA 2 2 3 2 Es 1)"1)2 0 2 
(161) L-itm[G,—v)y ++ Kjo'-5(n(G, = w) + ni] + KY CEE (e) 
2 2 (A®+u'?) t 
und das Energie-Integral 
1 2 2 m (Mu — u' A")? dq 2 j u'(5,- v) t Xn) 
162 s^m|(s — 4 + K\ i ( ) + m = 
( ) 2 [( 8 v) 2.] j (A+?) dt gj" Vra j 


worin «v mittelst (159) in y ausgedrückt zu denken ist. 
Für den Druck N und die tangentiale Gegenkraft P geben die Formeln (27) und (28) 
hier mit Beachten des Zeichens von e; 


N = mg — 2 mo, o? —mRo?cos(N, R)+mResin(N,R), 
yat 
(163) * | 
P = mg" —mRe?sin(N, R)—mRecos(N,R), 
VA'? ru? 


worin die Winkelbeschleunigung & gleich 


(164) Bar d'# de . À'u" — u' A" d*q Ge) CRE EAN RO EE E) ES (ANS 
dt? dt Au dt? (Mu)? dt 


: dq 1? ; SN 
ist und die Werte von (5) und ern aus (162) und der aus derselben durch Differentiation 


erhaltenen Gleichung eingesetzt werden könnten. 
In bezug auf die Behandlung der Bewegung bei anderen Kraftgesetzen als der Schwere 


sei nur auf Art. 3 hingewiesen. 


9. Rollen einer ebenen Scheibe auf einem Kreiszylinder. Es seien in Fig. 10 die Gleich- 
ungen des festen Kreises 
(165) Â=asinpg; w-acosjg, 
wobei also 

A4'?--u'*—0?; adq—dw; ag—w; 9-25—94. 
Aus (156) folgt dann 
acm E,—ag)cosg + (7, + a) sin q, 

(166) | C 9) | g+(r )sin q 
| y — —(E.—aq)sin q 4- (q.2- a)cos y, 


und die Elimination von q aus diesen Gleichungen ergibt 


aq — E, ] 2*4 y? — (5. a), 


(167) x Sin — 3 NIRE DE Con out a 


a a 


ns FA. 


Die Bahnkurven sind die Evolventen eines Kreises mit dem Radius a +7, und speziell mit 
5.:- 0 des festen Kreises selbst. Für ihre Krümmungsradien ergibt sich aus (157) 
Tom. L. 


(177) 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 25 
(168) ER 


und speziell für 2,— 0 o=R. 
Bei der dynamischen Aufgabe mit der Schwere als wirkender Kraft ist 


dw dq. 244,0 

(169) ARR ST SEC 
1 2 
(170) L-5(mn|[(5, —a9) +17,1+K) (5): 


und die Bewegungsgleichung wird 

an)  $(n[(. a9) + 02] - K) 3H + mg(—(8,—aq)sin q +(7,+a)cosp}=h. 
Wir nehmen speziell £, = 0 und erhalten dann 

(172) z---aqc0o8q--(y.--a)Sinp; y=apsing+(7,+a)cos q, 


(173) lm m [a^ gp ! eate KY( e) = h— mg(ag sig 4 (2. 4 2)c089; — h —mgy. 


In dem letzten Falle soll noch der Druck N vom Zylinder auf die rollende Platte berechnet 
werden. Zur Abkürzung setze man das Trägheitsmoment der Platte in bezug auf die Axe im 
Berührungspunkt C gleich 


(174 a) K,=Mm (a^? + 2) +K= mk”. 
wobei 
(174 b) Hm —2ma?qg. 
Es ist jetzt 
_ do . dg 
LE D AL IM} 
, f T ^ 
und folgt bei der Differentiation von (173) f - A 9 
(175 a) K,s- mg(aq cos q —7,sin q) + ma (Gr) + 
oder y 
op 2 
(175 b) k° pe =g(apeosp—,sinp)+a p(5e)- 
Setzt man diesen Wert und die Werte 
(176) Dos ai roS UNS RR) s RsnlN, Foy — — 0 


in die erste Formel (163) ein, so ergibt sich 


7 


IP (aq cos 9 — 7. sin q) ( u (Ey 
k° ag q 7, SIN @ +|a Ns 5 ) ze) 


[2 


und schliesslich mit Hülfe von (173) 


N (a—5,)k, —a 
kr, — k2gcosq —gaq (aq cos q — p, sing) —29-— = ? [agsinq + (m +a)cosyp]+ 
p 
20-7, Le ap" lh 


mkr 7 
In dem obersten Punkte hat man mit q& — O0 


N:o 15. | 4 


26 ELSE DEAS EROR ZEN 


(178 a) mk? = mm“ +K 
und 

a. —m. (a—m, Där 
(178 b) Ny = mg —2 "t mg + 2 PE 


positiv nach oben, in dem untersten Punkte mit == 


(179 a) mk? = m(a* s? + 72) + K 
und 
(a+n,)[(a— DE 3 24 9 c gie 37217 
(179b) N = Emg + S PE URN rau 22 FRE mg ie Le een ; 
T m m 


positiv nach unten. 
Damit der oberste Punkt in Frage komme, muss sein 


(180) h>mg(a+n,), 


und es ist N, in demselben positiv, falls „, die Bedingung 


(181) ar dado 


mg 
erfüllt. Die oberste Lage ist eine stabile Gleichgewichtslage, wenn 
(182) Nn<—4, 
d.h. S unterhalb dem Mittelpunkte M des festen Kreises liest, wie man es bei einem »Rollpendel» 
einrichten kann. Wenn h dann nur unbedeutend grösser als mg(a + n,) ist, so hat man kleine 


Schwingungen um die Gleichgewichtslage, und die Schwingungszeit unendlich kleiner Schwin- 
sungen beträgt 


(183) en Em up Tum 


—mg(a-5,) mn 


Wenn eine solche Anordnung getroffen ist, dass die Scheibe nicht vom Zylinder abfallen 
kann, und welehe nur Einfluss auf N hat, kann man sich auch eine untere Gleichgewichtslage 
sowie volle Umläufe in derselben Richtung denken. Die Bedingung für die Stabilität des 
Gleichgewichtes in der unteren Lage ist 


(184) 252» —9, 
d.h. dass S unterhalb dem Mittelpunkte M des Kreises fállt; es muss sein 
(185) h + mg(aà -- 2.) 20, 
und die Schwingungszeit der unendlich kleinen Schwingungen um die Gleichgewichtslage betrágt 
(186) T JL LE 

; mg(a+n,) 

Die Bedingungen für volle Umläufe sind, dass auf einmal 

(187) hmg(a-c5,); h>—mg(a+n.); 


wenn a +7.>0, genügt die erste, wenn a+n,<0, die zweite Ungleichheit; nur positive 
Werte von h sind jetzt zulässig. 


Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 27 


Auf die Scheibe wirke eine der Entfernung proportionale, nach einem festen Punkte 
4-0, w-b gerichtete Kraft. Man nehme für den Angriffspunkt S 5,— 0 und erhält dann 
mittelst (166) 

(188) r? — y?-- (y — b)? — a? q? -- (9, + a)? - b? —2b (agsin q + (9, + a) cos p} 
sowie als Bewegungsgleichung gemäss Art. 3 


» 9 LY 2 2 9 D 3 
(189) Jn (ag? + 7.) -- Kj (52) 7 mk” (a* g? + (7, + a)? +b—2dlagsing+((7,+a) cos q]y— h. 


Der Ausdruck vereinfacht sich nur, wenn b — 0 d.h. die Kraft nach dem Mittelpunkte des 
festen Kreises gerichtet ist. Man erhält alsdann 


1 2 9 T d 2 1 p 24 
(190) s (n (a*g? +9) + Ko (Ge) c smi (a^ ah (0, a) — 


und die Lösung vollzieht sich mit elliptischen Funktionen. Einige Ausführungen hierzu im Art. 20. 


10. Rollen eines Kreises auf einer beliebigen Kurve. In den allgemeinen Formeln des Art. 
1 nehme man hier als Gleichungen der festen Polkurve (C) 


(191) 2= (2); w—n(g). 


als Gleichungen des rollenden Kreises (7) in einem Koordina- 
tensysteme mit dem Anfangspunkte S 


(192) E—asinU; m+e—=—acoswy. 
Ferner ist : 
EN STAN TAA _u'(p)_ u' 
7 : 
(194) c—ay 2 f yi*(9) n? (q)dq Fig. 11. 
Po 


und gemäss (20 a) erhält man hieraus als Koordinaten des Punktes S im xy-System 


A'esi —u'(a+ecos 
Dan er (are v). 
VA cu? 
A'(a--ecos p)+u'esinw. 
yAtxan ; 


(195) 


|i 


hieraus kann man sieh w oder y weggeschafft denken. 
Für die Krümmung der Bahnkurve von S gibt die Formel (18) mit den Werten o, -— a und 


| Rsin(u, R) — a + e cosy; R cos (u, R) = e sin y, 
(196) 

| 2 = a? + 2aecos y + e?, 
den Ausdruck 

(197) 2 : e.a(a+ecos v) 


© ya?-c2aecos y 4 e? (e, — a) (a? --2ae cos p - e)? 


Wenn di das Bogenelement der vom Kreismittelpunkt beschriebenen Kurve bezeichnet, 
welche eine Parallelkurve zu der festen Polkurve ist, so ergibt sich 


N:o 15. 


28 Hy. DALLQVIST. 


diy 50 
(198) (5) = 00 
mit 
d$ dy dw [|Ag'—uA' VX*-ctru'?Ydg inf ar 
(199) ra war id | Kern: a jee Va? +n ac aaa 
d. h. 
200) Eee 272 "sy (Be ae) 
( m) cO ay er 
Für die Wechselgeschwindigkeit w gilt 
ds \2 1» ; dq? do \2 dapA2 
9 Bun [pM = 2 ^2 E71 Lect ya [Sae 
air AM unes (qaaa nes gta (oe) 
und somit folgt 
O()€ 2 Qc ei) ( 0c JE 2 
202 ES Tm Te 292 
(202) u (ue) dt, EE a? o 
und 


903) AU NP AO EN 
a ke -( 0. ) 

Bei der dynamischen Aufgabe erhält man die kinetische Energie des rollenden Kreises 
(204) "L-l(m(at2aecos y 4 e?) + K yo? 


und mit der Schwere in S als wirkender Kraft die Energiegleichung 


1 = DATES FRA? 72 2012 2 
s{m(a?+2aecos y + e?) - Kj Au u'À en 7 tu | (52) = 


A a amat 
(205) ! e 
Es ipm] EIE 
AN Via 


Nunmehr beschránken wir uns jedoch auf den wesentlich einfacheren Fall, dass der 
Schwerpunkt S mit dem Mittelpunkte M des rollenden Kreises zusammenfällt, somit e = 0 ist, 
und erhalten dann 


(206) E—asiny; y—-—acos v 
4 l'a 
207 pac uem Morts et ee EE; 
( ) VÀ? cru? y ft VFU? 
ferner 
1 - 1 K "NY al di \2 
em yet rc + Emma 


worin m; die auf den Umfang des Zylinders oder Kreises reduzierte Masse bezeichnet. Die 
dynamische Gleichung wird jetzt 

1 dl 2 va À 
(209) ;m+mı)(G,) nd ele h—mgy. 

Die Gleichung der Bewegung eines schweren Punktes auf der als absolut glatt gedachten, 
vom Mittelpunkt des rollenden Kreises beschriebenen Parallelkurve (C,) der festen Polkurve 
(C) ist 
(210) SM) = H — Moy. 

Es ist hieraus ersichtlich, dass die wirkliche Bewegung des Schwerpunktes S auf der Kurve 
(C.) mit der Bewegung eines schweren Punktes auf der glatten Kurve (C.) nahe verwandt 


Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 29 


m ma* 


————— — verkleinern. Dies 
m+m, ma?*-4-K 


ist, nur muss man die wirkende Kraft in dem Verhältnis 
stellt ein besonders wichtiges Resultat dar, wonach die Natur des Problems beurteilt werden 
kann. Dagegen besteht kein einfacher Zusammenhang zwischen dem Rollen einer schweren 
Kreisscheibe auf einer Kurve (C) und der Bewegung eines schweren Punktes auf der Kurve 
(C) selbst. 

Die Gleichung der Parallelkurve (C,) zu (C) möge in der Form 


(211) 2=f(y) 
berechnet sein. Man hat dann 
e» (Jar 


und findet als Gleichung (209) der Bewegung des Schwerpunktes S 
(213) + 3 (m 4 m4) CL f Q3 (22) = may. 


Die Aufgabe führt zu elliptischen Funktionen, wenn 1+/f'2(y) eine ganze Funktion vom 
zweiten oder dritten Grade in bezug auf y ist, multipliziert oder geteilt mit dem Quadrat 
einer rationalen Funktion von y. 

Es werde noch der Druck N gegen den rollenden Kreis berechnet. Man findet aus (207) 
durch Differentiation 
| d: ar (4. au" —u'à") | dp 


| » ap' (A u" —u'à")* | dp 2 
ae Ke) 


di? — | 12 12 3 12 D à 
SÅ (Mu?) (A? + w'2)% 
dy D 1 Un en} ql 71 ak (A! u" —u' A")? | (dq 2, 
ds pue a Ur BEES ar) 
(A'?+u'?) (A'2+u'2)? 


und danach aus (25) und der Gleichung (205), für e=0, 


1! EURE EM pupa dq 2 
— + ml ——— - = 
+u ru "tu 
Virtua dyümew*o Karten? ji 


' m(0.—a),. 
3 A m pes ar + u, ()' - 
(215) Vu e dt 
eoe 
Vd ät a? AR Ful? 
re er ma*4 K i 


11. Rollen eines Kreises auf einem Kreise. Mit dem Schwerpunkt S im Mittelpunkte des 
rollenden Kreises unterscheidet sich die Aufgabe nur unwesentlich vom Problem des einfachen 
Pendels. Es rolle zuerst ein kleinerer Kreis innerhalb eines grósseren (Fig. 12). Für den 
festen Kreis mit dem Radius b sei 
[4^-bsing; u=—bcosg, 


(216) 
| ds=bdy; s=by, 
ferner 
(217) by = aw, 


worin b a. Für die Bahn des Punktes S ergibt sich dann 
N:o 15. 


30 Ho. NA LT Q VÄRST 


fæ=(b—a)sinp; y=—(b—a)cosy, 
g?-ry* — (b —a)?*. 


(218) 


Ferner ist 
d9 dp dy ^ b-a dg 


2 Dee = 
| x (219) ies mI en unu 


und die Bewegungsgleichung 
(220) lm + mr) (b — a)? (SY — mg (b — a) cos q = h 


oder mit y als Veränderlicher 


(221) a (m + mom) = (h—mgy) (1— gy): 


Für den Druck N berechnet man 
2m{h+mg(b—a)cos gy m{2h+(8mt+m,)g(b—a)cosp) À 
(m+m,)(b-a) (m+m,)(b-.a) 


(222) N — mgecos 9 + 


Man erhält Rollschwingungen um eine untere stabile Gleichgewichtslage, wenn 
(223) mg (b — a) >h>—mg(b — a), 
und die Schwingungszeit der unendlich kleinen Schwingungen beträgt 
(224) T- ap "im (b — a). 
Die Bedingung für vollständige Umläufe ist 
(295) h  mg(b-—a) 
und der Druck N noch im hóchsten Punkte positiv, falls 


3m+ m, 


(226) Kb) nn 
z. B. bei einer homogenen Kreisscheibe 


h > + (b— a) mg. 


Es rolle jetzt ein grösserer Kreis mit seiner Innenseite auf der Aussenseite eines kleineren 
Kreises (Fig. 13). Dabei ist 


(227) 2=bsing, w—bcoswy, 
(228) DURS DE 
(229) r— —(a—b)sing; y——(a—b)cosy. 
(330) — puse bod 

a dt 
und die Bewegungsgleichung 
(231) a (m + m4) (a — b)* (A2) =h + mg (a — b) 608 q 
oder in y 

1 dy\2 y* 

(232) a (m + mr) (42) = moy) (1 — c rg): 


sowie schliesslich der Druck N, positiv nach aussen, 


Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. T 31 


2m/h--mg(a-—b)cosg" m 2h (8m my)g(a - b) cos gj 
= "OS qd N += - 
(233) N = mg 005 q + (m 4- mj) (a— b) (mm, ICE) 


Man erhält Rollschwingungen um die obere stabile Gleichgewichtslage, wenn 
(234) mg(a—b)>h>—mg(a—b). 
Die Schwingungszeit unendlich kleiner Schwingungen hat den Wert 


RM 


mg -b). 


(235) 27 V 
Der gróssere Kreis vollzieht vollständige Umläufe um den kleineren, wenn 
(236) h 7 mg(a—b), 


und es ist der Druck N noch im niedrigsten Punkte positiv, falls 


3 m + Um, 


(237) hz» (a — 5) —, -—- 4. 


Zuletzt lassen wir einen Kreis mit seiner Aussenseite auf der Aussenseite eines festen 
Kreises rollen (Fig. 14). Dabei ist 


(238) A-—bsing; u—bcosy, 
(239) E=—asinv; n=acosy, 
(240) s=-by=au=o, 
z=(b+a)sing; y=(b+a)cosy, 
(241) | )8nqo; y=( ) cos g 
| z*-py?-(b-ra)?*, 
(249) : gg  bta dg. 
OT 
die dynamische Gleichung 
(243) | (n + mx) (b + a)? (m) = h + mg(b +a)cos y 
oder in y 
(244) 3 (m + ma) (9 2 =(h— mgy)(1— m 


Der Druck N, positiv vom festen Kreise nach aussen gerechnet, 
beträst 


(245) N = 


mi(3m+mi)g( b+a)cos p—2 hy 
2 (mm,)(b-a) Fig. 14. 


und ist immer im niedriesten Punkte negativ. Wenn die Berührung jedoch in anderer Weise 
gesichert ist, z. B. durch einen M und S verbindenden Arm, so ergeben sich mit 


(246) mg (b -- a) — hz» —mg(b-4- a) 
rollende Schwingungen um den niedrigsten Punkt mit einer Winkelamplitude 
are eos 2 


mg(b+a) 
N:o 15. 


32 ET. RAT mov us. 


Die Schwingungszeit unendlich kleiner Schwingungen beträst 


(247) ecu ny "> 5 a Jp): 
Man erhált volle Umläufe, falls 
(248) h>mg(b+a). 
Wenn 

h ne == (mA): 
so wird der Druck N gleich Null für 
n) AT, ner 


12. Rollen eines Kreises auf der Parallelkurve zu einer Zykloide. Die Gleichungen der 
Zykloide (Fig. 15) seien 
(250) r-—r(q--sinq); y=-a+r(l—cosy). 


Man berechnet dann als Gleichungen ihrer Parallelkurve (C,) 


a Sin 9 
A — (q + sing jc ——RRe— 
(251) | Lá T 7 V8üxcosg) | 
i 9 — a --r(1—c0o8g) —ap Lpeee. 
Hieraus ergibt sich 
252 = Vig cos) v yi O08q bool. a Me voran el. 
o) TP COS a en roy 
u' sin g 1 y' 
DT se een SA 
| 1 
À 2d E 
1+ cos w 5 sing 
COL PS Bin an 
“ } 2 2 V201 + cos 9) 
(6% EM 3 3 : 
207) Als Gleichungen des rollenden Kreises nimmt man 
Fig. 15 > : : 
Md (254) $—a8nwy; 7—-——a008 y. 


Die Formeln (207) geben hier wieder die Gleichungen (250) der Zykloide. Für die Bogenlänge 
derselben findet man 

5 
(955) l=r | y20 605 g)dq = 4rsin] g, 


0 


für die Bogenlànge der Parallelkurve 
(256) s— 4rsinlq lag — 1 ag. 


Die Beziehung zwischen g und v ist s— c, d.h. 


d 1 sing a 
257 4 SIN a 9 = ee GAL 1L . 
(257) rsing qt 5aq u sd aw 


Ferner erhält man 
$—-x3—w- —4^sinjg, 


Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 38 


19 r 1 2 ) 
(258) o == —-2-00859 de! y2 + cos) 1 


und bei der dynamischen Aufgabe, dem Rollen des Kreises unter dem Einfluss der Schwere 
in seinem Mittelpunkt, die kinetische Energie 


(259) L = „(m + m) a? o? — (m + m,)r? (1-- eos e(t | 
und die Beweeungseleichung 

(260) (m + m4) r? (1 + 608 g) (5t) + mg(a -- r(1—608q), — h. 
Mit Anwendung von y findet man 

(261) (m 4- mz); 2 (7) = —h-—mgy. 


Bei der Integration braucht man also nur elementare Funktionen, wie man es ja im voraus 
weiss, mit Hinsicht auf das berühmte Problem der Beweeung eines schweren Punktes auf einer 
Zykloide. 

Es muss sein 
(262) h > mga; 2 


die Ausführung der Integration in (261), so dass für /— 0 y=a, gibt 


u eros pé E ) 
(263) V= aae ae) rm): 


Die Rollschwingungen sind isokron mit der doppelten Periode von y, d.h. 


T en 


unabhängig vom Radius des rollenden Kreises, wenn nur m, dieselbe ist. Indem die Parallel- 
kurve der Zykloide im niedrigsten Punkte den Krümmungsradius b=4r+ «a hat, steht der 
Ausdruck (264) in Übereinstimmung mit (224). 

Die Zykloide möge jetzt ihre konvexe Seite nach oben kehren und der Kreis auf einer 
inneren Parallelkurve zu derselben rollen (Fig. 16). Die Gleichungen der Zykloide sind dann 


(265) x=r(g+singp); y—a-—r(1—c08q), 
und es Sal On hieraus für Tangente und Bogenlänge 

(266) 1=-39; s=4rsin)g, 

ferner als Gleichungen der Parallelkurve 


(267) i=r(p+sing)—asin\gy; u = a—r(1-cosg)—acosiy. 


Die Gleichungen des rollenden Kreises sind 
(268) S=asiny; n=—acosw, 


die Beziehung zwischen y und w ist 


(269) 4rsin] 39 —9 sag — av, 


und man leitet ferner ab Fig. 16. 


N:o 15. 


34 EAN AE QEVAR SUD: 


RU 
)—y—q-—-—4^sin;q, 
19 7 lr TIU sr one 
270 CU Na sde 
(270) m TOU erm ze C 


Für die kinetische Energie des rollenden Kreises folet alsdann 
l ; 2 
(271) L-353(m --m,)a?o?- (m + m,)r?(1-- cos v) 
wie (259) und die Gleichung seiner Bewegung wird 
mc 9 do 2 
(272) (m + mı.)r?(1+C08E) (3 ) — h —mg(a —r(1— cos p)). 
Damit der Kreis über den hóchstens Punkt rollen kónne, muss 
(213) h > mga. 


Mit h=mga befindet der Kreis sich im labilen Gleichgewichte in der höchsten Lage, ent- 
sprechend q —0. 


13. Rollen eines Kreises auf der Parallelkurve einer Parabel. Die Gleichung der Parabel 
in Fig. 17 mit ihrer Axe vertikal nach oben ist 


(274) 22:— 2m (ya); 
(C) 0) 
i als Gleichungen der äusseren Parallelkurve im Abstande a berechnet man 
^ ax Ger ap 
(275 4=%+ — N one 1 
) Vp°+x: # 2451) V pia? 


| Man erhält 


3 da?  p* DATE dri p*2(y-a). 
u ay) INT) Tad ) FD : 


gemäss der Gleichung (213) kann also das Problem mit Anwendung 
elliptischer Funktionen vollständig gelüst werden, falls nämlich die 
Schwere im Mittelpunkte S des Kreises die wirkende Kraft ist. Die Bewegungsgleichung lautet 


E 1 zn 2(y —a)(h—mgy) 
9 d u => = . 
(277) 3 (M + mx) (2 p+2(y-a) = 


Es werde noch der Druck N mittelst der Formel (215) berechnet, wobei x jetzt q^ ver- 
tritt. Man findet 


AEN AR Ee Nb pei 


3 
(p? a?) p (p* a)? 
oe leer 
p* | D 2 3) 
(p* t2c*)* 
(278) 
re Beo 7 In EI) 
(p® +22)” p (Ups ta 
AD mU m (1: ap" = 2 
Pp (p?+æ?)? 


Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 


(p°+æ° yj? 


(279) CS -- — p: 
eA EL xs HE] =: DD re n (25 LE 
N = mg ypizi am y p*- a? (GF n] p42(y-a) \7 F2(y-a) dt J " 
sn PE Le 
y»? +2? m 4m, (p?+2?)? 


Bei der Bewegung bleibt  — gy —0, somit N immer positiv. Man hat 
zwischen zwei Lagen in der Höhe h:mg. 


sungen beträgt 


(281) 


/ m-rm, p 


NZ T 
mg 


/ 


Die Parabel habe jetzt eine vertikale Lage mit der Axe nach unten 
und der Kreis rolle auf einer inneren Parallelkurve (Fig. 18). Die Gleichung 
der Parabel ist dann 
(282) 


und die Gleichungen der Parallelkurve sind 


æ?=2p(a—y) 


83 1=x cc uiii ap bere un. 
m) s Vr°+2° Etre 2p yp'+x!? 
Man erhält jetzt 

£ dx\2 p+2(a-y) 
up: li (ay) 2(a-y) 


Rollschwingungen 


Die Schwingungszeit unendlich kleiner Schwin- 


CC) 
18. 


Fig. 


und die Aufgabe führt zu elliptischen Funktionen wie die vorige. Die Bewegungsgleichung 
E D DULSDS D 


wird gemäss (213) 


9 2 ers - , 
(285) _?2(a—y)(h—mgy), 


1 dy\? 
s(m + mx) (4) p+2(a-y) 


Die Berechnung des Druckes N ist hier folgende: 


2 s " 2 
(286) 4 —1 ap xis = al! = ) 
(p°+x°)? (p°+x°)? 
be EN Er Rte 
Da I (p? a2)i] 
A" 3ap°a ne pne 
re Poo (p!+2:)® 
RE u I ce LUAM 
p (p 22)? 
2 p 2 
(287) 0,—a m 
^ U Br | I d 
N=m Da Na e 6 Ej — 5l 
p. ? yp ez: Vp* cz? = re TU 2(a-y) 
( ) E Beier 2mp* h-mgy . 
( V pira m-4- m; (p-4 a2)? 


N:o 15. 


36 ED VIDPASE E QUV. SUP 
Damit der Kreis über den Scheitel der Parallelkurve der Parabel rollen kónne, muss 


(289) h>mga 
sein. 

Die beiden hier betrachteten Aufgaben werden im Art. 21 mit Hülfe von elliptischen 
Funktionen näher behandelt. 

Auch das Rollen eines Kreises auf der Parallelkurve einer Parabel mit horizontaler Axe 
führt zu elliptischen Funktionen. 


14. Rollen eines Kreises auf einer Parabel. Die Gleichungen der Parabel (man verwende 
die Fig. 17 mit (C) und (C.) getauscht) seien 


(290) deque qnm qu 
die Gleichungen des Kreises 
(291) E—asinyp; gy—-—acosuy. 
Der Parabelbogen hat den Wert 
m 2 
? m 'o——1754. ] —;——: + pH 
(292) 5 = | VAR + dp =; | y p? + 4? di = Vp? 4- 4? + plog TV M =, 3 
0 0 


und somit ist die Beziehung zwischen w und g oder und 4 


A+yp'+a | 


À p 4. 22 DE 
p VD?  4* plog Ü ( 


1 
(293) 9 —0Uy-—8-—5 
Ferner ergeben sich als Gleichungen der von 5 beschriebenen Kurve, d. h. der inneren Parallel- 


kurve der Parabel 


: ax = ap 
294 IU Lr 5 Y = ff 
( ) : Vp*xa J 2» Vp:+1? 
und hieraus für deren Bogenelement 
2 2 | 2 2 
(295) di? = dx? + dy? = PE = — di2, 
p (p? + A: )? 


Die Bewegungsgleichung wird schliesslich 


Er ] qoe ded ERAS uj ER ap ) 
296 a J^——341 — | —H-mg|5- H 
wr Pe ss (pr+a2)2) NI lan ya 


sie ist wie ersichtlich wesentlich komplizierter als in dem Falle, dass der Mittelpunkt des Kreises 
die Parabel beschreibt. Ähnliches gilt beim Rollen auf einer Ellipse oder einer Hyperbel. 


15. Rollen eines Kreises auf der Parallelkurve zu einer Ellipse oder einer Hyperbel. Der 
Kreis kann auf der Aussen- oder Innenseite der Parallelkurve der Ellipse oder eines Hyperbel- 
astes rollen. wobei in jedem Falle sein Schwerpunkt die Ellipse oder den 
Hyperbelast beschreibt. Wenn es sich um eine Ellipse handelt und der 
Kreis auf der Innenseite rollt, wie in der Fig. 19, so hat man 


: TA (y: c—a)? 
(297) OU Sur 12 
Man bildet hieraus 

dy (de 
dx  bBi(gy-c-a) 


Fig. 19 und 
Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 37 


diM da? — ci+(bi—c)(y -e—a)* 
EE) (55) =1+() — e?(y—a)(2c+a-y) 
Gemäss (213) wird alsdann die Bewegungsgleichung , 
l 'dy\2  c*(y—a)(2e--a—y)(h—mgy) 
990 1 nié = ie AUT Ld ptor ws A ACE EE 
(299) „(m + nu) (Gr) e*+(b?—-c?)(y-ec-a): 


und führt also zu hyperelliptischen Funktionen. 
In derselben Weise erhält man, wenn S den oberen Ast der Hyperbel mit der Gleichung 


(300) Dar ve ça 1 


beschreibt und der Kreis auf seiner unteren Parallelkurve rollt, die Gleichung 


1 | dy\2 b? (y-Fa)(y—2b--a)(h —mgy) 
(301) 5 (m + m) Co (bM xe)y-bray-b 


und komunt wieder zu hyperelliptischen Funktionen. Nur bei einzelnen ganz speziellen Werten 
von h:mg kónnte die Lósung mittelst elliptischer Funktionen erhalten werden (siehe auch 
Hs. TALLQVIST: Einige Anwendungen der Theorie der elliptischen Funktionen auf Aufgaben 
der Mechanik, Öfversigt af Finska Vet. Soc. Fórhandl. XXXIV, 1891— 92). 


16. Rollen eines Kreises auf der Parallelkurve zu einer gewöhnlichen Kettenlime. Die 
Gleichung der Kettenlinie in der Fig. 20, welche ihre konkave Seite nach oben kehrt, ist 


y 


(302) y+p-a=2ler+e =). 6) ©) 


Man berechnet hieraus 


und 

AE da \? (y+p=a)? 
304 (35 "^ ( ) th 
Ten ay) bre dy (y-a)(y+2p-a) 


Die Lösung der Aufgabe wird somit mittelst elliptischer Funktionen gewonnen. 
Als Gleichungen der Parallelkurve erhält man 


(305 a) EL ÄNTITEE 109108 pr a DM N LS 
4 4 y+p-a 3 y+p-a 
oder mit Anwendung von zz 
Ed Ei x r 
x TRADES Z AES A (or ra 
(305 b) a == u=2ler+e JENE p) Bean : Hoe 
e? pe P LOL 
Die Bewegungsgleichung ist 
: 1 'dyM — (y-a)(y+2p-a)(h-mgy) 
306 } DEM FIRE LER 
(206) a (m + mu) (Gr) (y+p-a): 
Der Krümmunesradius der Kettenlinie ist 
(307) i en 


N:o 15. 


38 ERS BANTALIORVILSER: 


und es passt somit, indem für y=a o, —a =p, auch hier der Ausdruck (281) für die Schwingungs- 
zeit unendlich kleiner Schwingungen. 
Die Formel (215) gibt für den Druck N auf den rollenden Kreis 


1] p 1 2mp(h—mgy) | x 
(308) NEN eg (m +m,)(y+p- 0): 


Die Kettenlinie möge jetzt ihre konkave Seite nach unten kehren; so dass die Gleichungen 
derselben in einem Koordinatensystem mit dem Anfangspunkt im Scheitel der inneren Parallel- 
kurve 


(309) y=Pp+ EM e 7 


ist. Die Gleichungen der Parallelkurve sind dann 


2M s ATEN TELE i 1 pac 
(310) A-—d4q TE UL duca 
die Bewegungsgleichung: 
I, dyM (a-y)(2p+a-—-y)(h-mgy) 
(311) 5 (m + mi) (Ge) = ET 
und der Druck N 
(312) N = mg- DH 2mp(h—mgy) _ 


pta-y (m+m,)(p+ta-y): 


Wir kommen im Art. 22 auf die hier betrachteten Aufgaben zurück. 


17. Die Differentialgleichung der vom Kreismittelpunkt S beschriebenen Kurve sei von der 


Form 
da 
(313) (GJ Ar Bu. 
Hieraus folgt 
(314) dz = + YA + Bydy 
und 
(315 a) Dun I— V A + By + Konst. 
oder 
(815 b) (A + By)? 21 B* (z — Konst.)?, 


d.h. die Kurve (C.) ist eine semikubische Parabel. Gemäss (213) ist die Gleichung der rollenden 
Bewegung eines Kreises auf einer Parallelkurve (C) zu (C.) 


a Ir dyY — h-mgy 
(316) 3 (m + ma) (Gi) i+4+8By 
und integriert sich in elementarer Weise. 

Dasselbe gilt allgemeiner, wenn 

7 d \2 dl\2 à 

(317) Le (a5) = (a5) = EWA + By), 


worin A?(y) das Quadrat einer rationalen Funktion von y ist. 

Zu einem Rollproblem mit einer durch elliptische Funktionen zu erzielenden Lósung, 
beim Rollen eines Kreises auf einer gewissen Parallelkurve (C), führt die folgende Differential- 
eleichune der Bahn (C,) des Kreismittelpunktes 

Tom. L. 


+ 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 39 


(318) (2) = A 4 By 4 Cy? 4 Dy* 
oder alleemeiner 5 
(819) er (5) = R?(y) (A + By+ Cy? + Dy?y, 


aber hier verlangt schon die Bestimmung der Kurve (C.) selbst die Anwendung elliptischer 
Funktionen. 


18. Rollen einer beliebigen Kurve auf einem festen Kreise. Die Gleichungen des Kreises 
(Fig. 21) seien 
(320) A=asny; w=acosg, 


die Gleichungen der rollenden Kurve (7) im &7-System mit dem Anfangs- 
punkte in S 
(321) Se ise wore gn 


Wenn z,y die Koordinaten von 5 sind, so hat man für den Berührunes- 
punkt C 
(322) asinq —:--8eos9 — ysin); acosq = y + ESin Ÿ + cos I 


und erhált ferner (vergl. Art. 1) 


[ a cos q dg = (3' cos à -4'sin2)dv; —asingdq — (s'sin9 + z^cos9)dw, 


(393) E NAT 
| a dq wp VE’? n: dw 3 P4. TH 7 CN 
: A Lt rs 4 et M 
du m e" m 
(324) teg=- = —i89: xy——9. M 
(825) di- te (x — 9)——tg(q +9), on SP oS 
NY 
- d$ d | " dq Ein" —n'E" dv «E zer flt I\dw e aj 
9 — ) Li — — Q 2 Ec pct 
(920). iei a1 dti aretg 7; j dox venant Veen (o) di: 
Für die Krümmung der von S beschriebenen Kurve findet man aus (18) mit g.— — a den 
Ausdruck 
(327) pulo. Tea EN 


qum d R* (a * o,) 


Wenn die Kurve (/) unter dem Einfluss der Schwere mg in S rollt, so hat man die 
kinetische Energie 


(328) T,=2{m(&® +92) + Ko = 


1 = 
In 2 
sun R + Kyo? 


und erhält als Integral der lebendigen Kraft, was hier gewöhnlich die Bewegungsgleichung 
genannt worden ist, 
(329) L + mgy= Konst. — h., 


Der Druck N vom Kreise auf die rollende Kurve lässt sich z. B. aus den Ausdrücken 
(25) und (26) berechnen. Man findet hier 


N:o 15. 


40 ESA TE QU VAT SURE 


(880) R cos ( N, DE RS ND um 
AE VÄSEN 
und erhält 
v im met £Ë"+nn' 
(331) N —mgcos q + mo? 7 —mw? 2= mmm A. a 
y. a-t VE+tn'? VE'?+n'° 


Hierin könnten die Werte von co? und s aus der Gleichung (329) und der daraus durch 
Differentiation in bezug auf i erhaltenen Gleichung eingesetzt werden. 

Die Kurve (/) könnte auch auf der Innenseite des Kreises rollen; es würden sich un- 
schwer die Formeln für diesen Fall aufstellen lassen. j 

Wenn die rollende Scheibe statt von ihrer Schwere von einer Kraft in S angegriffen 
wird, welche nach dem Mittelpunkte M des festen Kreises gerichtet und der Entfernung 
proportional ist, so tritt statt der Gleichung (329) die folgende: 


(332 a) L + > mik? (a? +y?)=1 
und 
(332 b) L +: jmk? |a 4 E24 ga DE ie h. 


Beispiele zu der hier betrachteten Bewegung kamen vor im Art. 9, wo die rollende 
Kurve eine Gerade war, und im Art. 11, wo sie ein Kreis war; andere kompliziertere Beispiele 
sollen nicht behandelt werden. 


19. Rollen eines schweren Zylinders mit exzentrischem Schwerpunkt auf der Horizontalebene. 
Mit den Bezeichnungen im Art. 5 ist die Differentialgleichung der Bewegung gemäss (70) 


(333) +] Des Motive IE -ga(e-e- LE 
= a 


/ h RN 
V (y=a=e)(v - ao) are ly- gs (e Sec 


Wir setzen hier 
(334) R(y) = (y — a ey(u 


PIC a+ e){y-g(a—e-#)} 


und rechnen die Zeit & von dem Augenblicke als S durch seine tiefste Lage hindurchgeht, 
dem Werte y — a —e entsprechend. Alsdann wird 


= vy PEL 2. pO 
^ Vial MEL. 


Zuerst sollen die periodischen Schwingungen des Zylinders um seine stabile Gleichgewichtslage 
behandelt werden. Dann ist 


(336) aea 


und dieser Fall umfasst auch das sog. Rollpendel. Die Umkehrpunkte der Schwingungen 
entsprechen dem Werte 


£ h 
(337) Y=Ymax — p. 


Ferner benutzen wir die Bezeichnungen 


Tom. L, 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 


Ya =" X —e5 ya ga (at — 0*5); 


2a m 


(338) yı=ate; Ya= 


ng’ 


die Grössenordnung dieser Wurzeln von R(y) ist 


(339) Yı Us > Us > Va- 
Die Gleiehung (335) schreibt sich jetzt 
y 
HOME 
(340) y2:i- | Ta 


ys 
Nach Werersrrass leistet man die Transformation 


N 


ds 
(341) er ere oran 


a 


mittelst der Substitution 


um nur RE ] 
VR(y)VRiy)+R(y)+5R'(yo)(y— Yo) To 
(342) ees 2 + E" 8), 


2(y —yo)* 24 
In unserem Falle ist 
(343) Yo = Vs 
und berechnet sich 
, [2 l K 
(346) R' (yo) = (y1 — Ja) (Us — Us) (Us — Ya) = smi a + er +(a—e)? pr 


R" (yo) = 2 (ya — Us) (Y2 — Ya) + Qa — D (Ya — a) + (Ya — V3) (Ya — Y3)) = 
(346) C 2 7 = DIES 2 
RACE h (ate)? K (@ a) ed e)(a?—-8ae+3e?) 


mg ma mg a ma a 


Mit Anwendung noch der verkürzenden Bezeichnungen 


1 1 
(347) A=5R"(yo); B-—g R"(yo) — 8o 
wird die Transformationsgleichung (342) 
E Al AREA. 
(348) PE eg el 
Hieraus folgt 
349 — yo d E —— z 
(349) Ue Unus serrer TA. Une 
und man berechnet weiter | 
Ads 
0 opu E AIRE 
(S ) du (5-80)? 
A S—E» 
YYı ae eee mh cue 
or Ee sa h A 2 Y h \s—e, 

Us Ms CC ce id le 
(351) » 

Visa FE 

(a—e)? A IA, dg n 
í UICE ATI Ee ra 2a 8—8, 2mas—6. 

worin 


N:o 15. 


42 H3. TALLOVIST. 
(352) K.=K+m(a-e)? 


das Trägheitsmoment des Zylinders in bezug auf diejenige Erzeugende seiner Mantelfläche ist, 
welche den kleinsten Abstand |a—e| vom Schwerpunkte S hat, und die Wurzeln e,,6,,e3 in 
der richtigen Gróssenordnung 


d €1 2 63 es 
die folgenden Werte haben 
A le GC 
METIER ? sr ln 4 (ae) d et 
RAS 
1 (4 Y h K, 
(353) M — ( Wo ul £e) + (a e)? j= so + (ing — 0 He)g zie 
A ef h 
2 0 m FCR DUREE, = Sg — zz a e). 
2ma * $E 
Auch die Beziehung 
€1 654-03 — 0 
wird erfüllt. Die Werte (353) geben tatsáchlich 
(354) yep. en AP PUE Mae y 
VR(y) VA(s—e:)(s -ex)(s—ei) 
Aus (340) erhält man alsdann 
2myag ; (s— e4) ds 
355 (= = => 
( ) K, J (s - 80) / 4(s — e4,)(8 — e3)(s —e:) 


Setzt man noch 
L| 
ds 


(356) quem Í 7; 


Vase ee Zr 


so erhält man 


u 


2myag ea) 
(857) E "dpa oj du: 


Es ist 


er, (ih 
(358) e'v)-] (So — 61) (80 — 62) (So — es) = A= 4ma us da e) 


reel und positiv; somit liegt g(v)—s, zwischen es; und e,, wie übrigens unmittelbar aus (353) 
ersichtlich. Wenn 2», die reelle und 2w, die rein imaginäre Periode eines primitiven Perioden- 
paares von g(u) bezeichnen, so ist 

(369) v—0,--«, (0<aœ<w1). 

Indem 


pO SE D pit Rees 
e(w-p(v) - (u)-g(v) 
und 


du M REL 8 (uw — v) a'(v) l ^ 
(260) area tt "CER erede ue 


mit dem Hauptwert des Logarithmus genommen, gibt die Gl. (357) beim Integrieren 


Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 43 


, 2myag , — plv)= es | a(v—u) oo), | 2am | o(v—u) a'(v) | 
(361) y ne E ui | 08 Flo) Ta MU K, LU o(v+u) ere j^ 


Die Periode 7 der vollständigen Schwingungen des Zylinders hin und zurück ist die 
doppelte Periode von y und berechnet sich somit aus 


x 2mya 4am | a'(v) 
(862) d To, + ne, "e 
Man hat 4 
A g' v) TA TEIED 
2) VE eu po) TO) —=p(v) =a—et 3ma(g(u)- FEN 
Es ist weiter laut Art. 5 
| xr=aWw+esinw; y—=a+ecosy, 
| g=aw, 
(364) DIR FREE 
[OJ dt 
di? — (dx? dy\2 _ (dv 
FE =(%) ^ae puts a LEE, ar) 
Man berechnet hier 
NS E & tá 3 ERE g'(v) 
COCA TU EET QU g(u) — o(v) eos plu)= pv)” dris 


V2eA lp Q(u) e; 
(365) . lesinpe t j]e?—(y—a?--tY—(y—uy(y—vi)- + = TIR 


V2eA To (u). 
-p(u)—p(v) o(u) 


Be 2gaA m eu) - e AD LIN do I (u), 

(866) rel“ e EV ae, K, Le ae) 03 (4) 
(dl 2 24h —mg(a—e)) | ^ 204 — (pg(u)-e. 

(357) (=) ir K, je e) g(u)—- (v) f ou) es 


Für (—0 ist 4 —0, y—a-—e, S am niedrigsten, die Winkelgeschwindigkeit e hat ihren 
erössten Wert Ex d 
(368) max w — J/ g- {h—mg(a—e)} 


und ebenso die Geschwindigkeit von S ihren gróssten Wert 


dl 


13/7 2 5 
dila e| max e|—-|a—eiV 5 {h—mg(a—e)}. 


(369) max 


Mit wachsendem u wachsen t und e und für (— ; T wird u=o,, y am grössten, gleich dem 


Werte (337), die G teschwindigkeit ^7 Null und Fe Bewegung kehrt um. Dabei ist 


(370) max v = are eos - : " — a); max p = a are COS - Il : — a). 
mg mg 


Nachher wachsen t und u weiter und der Zylinder geht für u=2w,, t=,T wieder durch 
seine Gleichgewichtslage, wonach dasselbe sich nach der anderen Seite wiederholt. 


N:o 15. 


44 EIND ANT IQLVET SIT. 


Als Periode unendlich kleiner Schwingungen um die Gleichgewichtslage erhält man einfach 
direkt durch Approximation in der Differentialgleichung (333) 


J^ grau -e)* 
«py K+m(a-e) : 


mge 


(871) T=2x V 


die bekannte Formel für das Rollpendel (vergl. K. F. Lınpman, Om rullningsfriktionen, 
Teknikern 1914, Helsingfors}. 
Es sei jetzt 


(372) ap atu 


so dass der Zylinder periodisch vollständige Umläufe macht. Die vier Wurzeln von R(y) 
sind dann in Ordnung nach abnehmender Grösse 


(373) WT: yo=ate; y=a—e; y=p(a—e À). 


mg s 2a 


Man kann wieder t=0 der Wurzel yg—a-—e entsprechen lassen und erhält dieselben 
Substitutionsformeln und Gleichungen (340), (348), (355)..(359) und (361) wie oben, nur ist 
jetzt 


A h \s—e, 
Iy-yı=a pux ar =(a PE 7); 2, 


mg | 8—8, mg] s—58, 
A 8—e 
UL Macc idee e ne 
374 
(874) P 
Uca scr 
E NERS vk A Ka 8— 63 
Y— Ya 3ma 3-8, 2mas-s 
( le 
Fi S ee LA mg mia ye 
A eK, 
(375) Pa DO TIN vec. SEA ACE 
a+e 
mg 
2maA efh 


Die Werte der Perioden 2w, und 2, sind jetzt andere als in dem früheren Falle; die Periode 
T der vollständigen Umláufe ist formell die Hälfte der Periode der Schwingungen. Man erhält 
somit hier 


Zmyga ue 2 am | COE a'(v) 
(376) E MES t wer qu CHEN) +2 bu). 


(877) Me Tes mn me]. 


Dazu berechnet man nebst (364) 


Tom. L. 


Untersuchungen. über rollende Bewegung. 45 


BIT ATS UN AREAS D ng g'(v) 
EDS ys pe, er (v) 


i ; Ba Ew) €. 
(378) beu SECOURS dp (ET onm ER 


p(u)—p(v) 
23 V2eA e, (u) 
giu)—(v) a(u) ' 
Sc 22 RT) TR roy 6) 654 
(879) ote a) gh ma(a- eye) 
ans 2{h—mg(a—e)) ^ 2a4A | o (w — e; 
(880) (4: =; J e “(a -e) To) p(v) i p(u) —e, 

Wenn t=0 ist, ist y=a-e, u—0, und die Winkelgeschwindigkeit |» | und die Ge- 
schwindigkeit [E des Schwerpunktes S haben ihre grössten Werte, welche durch die Aus- 
drücke al und (369) gegeben werden. Wenn t dann wächst, so wachsen w und y und nehmen ' 
(e| und E -| ab Bursu 07. Qt) e hat man pp Jg] e Ups m e mE. Der 
und dex Behr. 

Eu (a—e)} ie 24h - mg(a -e)) 
(381) min =} ET K+m(a+re): ' 


worin K+m(a-+ e)? jetzt das Trägheitsmoment in bezug auf die Berührungsgerade, d.h. die 
momentane Rotationsaxe ist, sowie 


2{h—mg(a+e)}. 
(382) min 4 = (a + e) min u -( ray X "C K+m(a+e): 


Mit weiter wachsendem wu setzt die Bewegung fort bei wachsendem w und q in demselben 
Sinne, und ein vollständiger Umlauf ist vollbracht als t — T, u=2o,, y —2-z, y=2ar ist, 
wonach das eanze sich periodisch wiederholt. 
Für 
h 


ergibt sich ein Grenzfall, mit asymptotischer Annäherung an die höchste Lage von S, und 
die elliptischen Funktionen degenerieren. 


20. Rollen einer ebenen Platte auf einem Kreiszylinder unter dem Einfluss einer Zentralkraft. 
Wenn die Kraft senkrecht gegen die Axe des festen Zylinders gerichtet und proportional der 
Entfernung ist, so gilt in dem symmetrischen Falle (5,— 0) die Gleichung (190) im Art. 9. 
Bezeichnet man etwas einfacher 5. mit b und wählt als neue Veränderliche 


(384) s=c—a?p?, 
so erhält man aus derselben 
(385) ak dt = +- (EUR 


A PS CE S 
mit dem Werte 


(386) c= 
und den Wurzeln 


area (Ab aub 0) 


N:o 15, 


46 HJ. TALLQVIST. 


K | 2h 
(387) (q— 0 DS ui Ga; es=c+(b+a) > 


wobei 


; €1 3 063 4-03 — O. 
Es muss sein 


(388) h >> mk? (b+ a)? 


und die Bewegung besteht in Schwingungen um die Gleichgewichtslage. 
Ferner setze man 
ds 


(389) U= — i TTE TOR sale). 


Der Gleichgewichtslage entsprechen die Werte (— 0, y=0,s=c=e,, und s=ç(u) variiert 
zwischen e, und es. Aus (385) ergibt sich jetzt, wenn man anfangs s mit wachsendem / 
wachsen lässt, 


u 


(390) aki= [4g(u) —ei)du, 


0, 


wobei 2w, und 20, die reelle und die rein imaginäre Periode eines primitiven Periodenpaares 
von @(w) seien. Für u kann man die Form 


(391) Ww = D? —0« 
nehmen, mit « reel. Indem 
(392) [ e(u)du- —7 (+ Konst., 
ergibt sich dann 
NN pa) 1). arr Hama) Al 
(393) akt=/ | SNC ex | | (reas + ey (0 3) | 


und ausgerechnet mit Hülfe des Additionsteoremes von = - 


0' (0) ^tg(a)— Lp(« )—es} : 
(394) | akt= Te V E PAPA 


Für die vollständige Periode T der Schwingungen erhält man 
4 
(395) T= n +101). 
Men leitet noch folgende Formeln ab, mit Anwendung auch des Additionsteoremes für jo. 


((a)— er; (o (e) — es) (e — e)(es — ex). 


(396) a? q? — c— g(u) —2es t (o) EL Tree 
(397) max || - YI = pe teas 

(398) Pe rx eene, 

(899) marem kV ec el gem ui 


Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 47 


worin K + mb? das Trägheitsmoment in bezug auf die Berührungslinie in der Gleichzewichts- 

lage bezeichnet. Der letzte Wert ergibt sich auch direkt aus der Differentialeleichung (190). 
E) = : r 2 ln 

Wenn t von Null wächst, so wächst « von Null bis zu dem Werte o, für t=,T, welcher 


dp __ 
di 


Se von dem Werte (399) ab. Es wachsen nachher t und « weiter und die Scheibe kehrt 


für (—5 T, «=2o, zur Gleichgewichtslage zurück, um nachher nach der anderen Seite aus- 


dem Umkehrpunkt entspricht. Dabei hat « den Wert (397) und ist 0. Zugleich nimmt 


zuschwingen. 
Die Schwingungszeit unendlich kleiner Schwingungen hat die Grösse 


(400) | fi asi RS 


91. Rollen eines Kreises auf der Parallelkurve zu einer Parabel. In dem Falle, dass der 
Kreis auf der inneren Parallelkurve rollt, wie in der Fig. 17, hat man die Differentialgleichung 
(277). Setzt man in derselben 


(401) Ve 
so erhält man N sn 

n P mg ip Ww (s—e,)ds N 
(402) V 2(m+m,) -y^(s—e;)(s—es;)(s- es) 
wobei 

1f A pi . 
(403) el TIRE el I 
h 


(404) 


Es muss immer 
(405) h>mga 


sein; die Bewegung besteht in Rollschwingungen um die unterste Lage, welche den Werten 
(—0, y=a, s=e, entsprechen möge. 

Setzt man alsdann wieder 
ds 


EE sam (u ) 
8—e65) (8— e3) à 


406 == > 
Ge 5 nen 


und lässt s mit wachsendem t zunächst abnehmen, so wird 


— u 


(407) V men) t= i (g(u)— edu; 


[071 
die Aufgabe ist folelich ziemlich ähnlich der im Art. 20 behandelten Aufgabe. Es ändert sich 
g(u) bei den Schwingungen zwischen e; und e; und man setze deshalb 
(408) u=0—&, 
mit « reel. Dabei ergibt sich ähnlich wie im Art. 20 


N:o 15. 


48 HI VAST DiQSVBSUT- 


— mg B Ln eo) /(g(e)—65 (ga) — es) 
(409) Vin! - el Fa: + ej 


und als Periode T der vollständigen nl x) 


+ m, ) 
(410) T-4y- mp Ci m). 


Hierzu berechnet man noch folgende Ausdrücke: 


zi E E (ei — 62) (63 — es) _ l p h—mga , toten Mo 
(20) Vs old) 05: (Q9 (a) — es = 2 mg g(«)—es* u = 7 : 
5 = 2 T dan 
MS C ye Vitesse ae TU 2 
(412) 2 y EE «a TP} mygpt)=e) 


da Img - / piu)- es. dy _ / 2 mg Les — p(u)y (p (wu) - es) 
(413) E E piu)? napi de As wA err p CD 


di?  fdx\? dy? — 2mg , 1 
(414) (ze) = (5r) - (2) eva NP) Es: 
jan me |dz| _ 4 /2(h— mga). 
(415) SENE HS | dt | m m; 


Wenn t von Null, der Gleichgewichtslage entsprechend, wächst, so wächst « und nimmt 


(a) von oc ab, o(u) von e; ab; r und y nehmen zu von den Anfangswerten bez. 0 und a, 
‚dl 
| 


En ab von dem grüssten Werte (415). Für =, T wird der Umkehrpunkt erreicht; es ist 


: . I dl : - 
in demselben «= &,, w- 093, Yy= Yıax = s ne Os Der rollende Kreis kehrt dann zurück 


und erreicht für t — : T wieder die Gleichgewichtslage, um nachher eine ähnliche Exkursion 
nach der anderen Seite auszuführen. 

Wir betrachten jetzt den in der Fig. 18 dargestellten Fall, in welehem der Kreis auf 
der Aussenseite einer inneren Parallelkurve der nach unten gekehrten Parabel rollt. Der Kreis 
kann über den Scheitel der Kurve rollen, falls 


(416) h>mga, 
dagegen nicht, wenn 
(417) h<mga. 


Wir betrachten zuerst jenen Fall und nehmen an, dass nicht nur die Bedingung (416) 
erfüllt ist, sondern auch 
(418) h>mg(a +5): 


In der Differentialgleichung (285) substituiert man jetzt 


(419) d 

und erhält AS us 

490 n e nr menu 
( ) oma noi Va(s—e,)(8—e)(8—63) 
worın 


Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 49 


(421) cl A. E224 

und 

(499) | VU 
Man setzt dann 


i ds : ve 
(423) Re ers Ga s — o (u) 


und erhält, wenn man den höchsten Punkt y — a der Zeit ( — 0 entsprechen und s wachsen 
lässt, wenn t wächst, 


(424) Vet —I | {g(u) —es5 du. 


Bei Ausführung der Integration ergibt sich 


28 mg a'(u) 
(425) Wie os cad daa (71 + 0904). 
Weiter leitet man folgende Formeln ab: 
ES XR AA Cu), 
(426) TT posta Bos vay 
ly=a+e—p(u)=e—p(u). 
da 4/ pmg p(u)=es, dy / 2mg 7 xp (u)=e:}< M) 16397. 
(427) dt J m + m, pee —e,” dt jns V m+ m, V e (w)— e; 
di 2mg P n Img (u) 
(428) dt ua Yg(u)—e-] m+m, o(u) 
di / Img. ye : 2 2 (h —mga) 
(429) mn p m, 61 6s y^ ae dd 


Von der der Zeit | — 0 entsprechenden höchsten Lage an, in welcher die Geschwindigkeit 
des Schwerpunktes S ihren kleinsten Wert (429) hat, nimmt x immer zu, y von a an immer 
ab, die Geschwindigkeit immer zu. Es wächst s— o(u) von e, bis co und u nimmt ab von 
e, bis 0. Für negative Zeiten hat man die symmetrische Bewegung aufwärts auf der anderen 
Seite der Kurve, entsprechend einem Abnehmen von u von e, + «& bis o,, wobei 0 — a < o,. 

Zuletzt setzen wir voraus, dass die Bedingung (417) erfüllt ist. Die Ordnung der Wurzeln 
61» 62,3 ist dann 


h p 
(430) fug C eph $97 06—0, 6g—0—0—3» 


mit dem c-Werte (421), und man erhält statt (420) 


= 1s 
431 DET des (t __ 
( ) 2(m + m,) ) VE 8,)(8- 8,)(8-6,) 


Say 


ausserdem wie früher 

(432) y=zc—-s=e-p(). 
Dem Werte t — 0 entspreche 

N:o 15. 


Sn | 


50 HJ. TALLQVIST. 


h 
(433) maxy FET LT s 
Alsdann wird 
Jing [ 2 

(434) V me ee (aile m) 
und man berechnet noch 
(435) a = y2p yYg(u) —e,— y8p 2:02; y—a-46e,—g(u)-c— (wu). 

E ERAS RER EV EM 
(436) DE png cu PU): y y; 2m f NEQU) c eu Er 

|t m nm, pu) Set qe m --m; fg (w)— es 
(437) di ,/ 2mg "Y m / mg nine 

47] mm, Ve lign m+m, a(u) 


Dem Werte max y entspricht 


; : : 2 
(438) min æ —] 2p(ey—es)- p bs (mga — h). 
hier auf der positiven Kurvenseite. Wenn t von Null ins Unendliche wächst, so nimmt x zu 
und y ab (numerisch zu) und die Geschwindigkeit E vom Anfangswert Null zu, alle in's 
Unendliche. Dabei nimmt u von ce, bis 0 ab und g(u) wächst von e, bis oo. Negativen 
i-Werten entspricht das entgegensetzte Rollen aufwärts auf der positiven Kurvenseite mit 
denselben Geschwindigkeiten, von der Richtung abgesehen, bis zum Umkehrpunkt für {= 0. 


22. Rollen eines Kreises auf der Parallelkurve zu emer gewöhnlichen Kettenlinie. Zuerst 
werde wie im Art. 16 der Fall betrachtet, dass die Kettenlinie ihre konkave Seite nach oben 
kehrt und der Kreis auf der inneren Seite der unteren Parallelkurve rollt. Er führt dann 
Schwingungen um die Gleichgewichtslage aus. Man hat 


(439) h>mga 


und erhält aus der Differentialgleichung (306), wenn man 


(440) NZ 08 
mit 
l 

(441) 6m sns + ya 2p) 
setzt, 

AE, Ir (s-(e-a+p)Yds 
442 1 d OR x j : 
( Jp y 2(m+m,) - VA(s-e,)(8-e,)(s-e,) 
ori h 
WE lisse, a = 6€— d, ee 


(443) €; +estes=0, 


1 1 

| €—a t p—3(ei- €3) = —5*s- 

Es entspreche dem Werte s=e,, d.h. y— a, die Zeit (— 0. Dann nimmt s mit wachsendem 
t zuerst ab und zwar bei der ersten Viertelschwingung bis zu dem Werte e,, welcher y — = 
gibt, der Zeit t= u entsprechend. Mit 


Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 51 


8 


ds 
iid TU Hs se Cu) 


erhält man dann 


— u 


4 mg taf real NA) ea d 
(445) ^ Sim Em =) ie co 9 (C t es) p du — G{u) nU erai: ram (uw — 05) 
sowie 
2 /? (mm), e, xs 
(446) T = 47 T RES + ort 


5 : "mi T 
Setzt man noch, mit « reel und wachsend von 0 bis w,, wenn t von 0 bis nit wächst, 


(447) U= De —&, 
so ergibt sich aus (44b) 
MEET /f NN A TN EN 
/ mg ne + 6n ala)  4/ / (n) — ey {gp (e) DE 
(448) l CENT are a (0) J (e) — es 
Hierzu leitet man noch folgende Formeln ab: 
(449) y e—g(u) — c e + pla) — VIp (a) —e5 (p (9) — es}, 
450) 4. — + / 2mg _PVp(u)-e ay Img Y(gO)-e6j(pQ0- exy (gu) - es) 
( dt zu m+m; ETE, (u) dt th m+m y PE SP 0 


(451) Me LII ET 
1 
dt m m; le, e)- p(u) 


dl 2mg ve, 
(462) EAST en | p = pp Ves — 6s— m+ m, 
und, um auch den Druck N zu nehmen, laut (308), 


N re Pf Up Send 
zm] T 2v 
ale, +e.)-p(u) (m4 m4) [aei - AEST 


mg 


(453) 
I ET e] dis Lara l(5m+my)es} 


(m+m,)!4(eı +8) - p (u)}° (m + m3) {p (2) +3 € As 
In dem niedrigsten Punkte hat man mit (o(w)- e» 


2m(h-mga) 
(m+m,)p 


(454) max N = mg + 


wie auch die Formel (308) unmittelbar gibt. 
Es möge jetzt die Kettenlinie ihre konkave Seite nach unten kehren und der Kreis auf 
der Aussenseite der inneren Parallelkurve rollen. Dabei können wie im Art. 21 die beiden Fälle 


(455) h>mga 
und 
(456) h< mga 


vorkommen. Wir betrachten zuerst den Fall (456), in welchem der Kreis also über den 
Scheitel der Kurve rollen kann, und setzen voraus, dass h so gross ist, dass auch die Bedingung 


N:0 15. 


52 Hu. TALLQVIST. 


(467) h>mga(a+2p) 


erfüllt ist. Man erhält alsdann aus der Differentialgleichung (311) mit 


(458) er 
/ 1 \ 
Img 18— 5(e+e.); ds 

459 /.& diese 
( ) I m --m, y As esser) (Seg) 
worin 

l/h 

=3(u,+2a+2P). 

h 

(460) "reed TU TO bee 


€1 tea - 63 — 0, 
1 1 
CC Es CPR 56 


ist. Mit der Substitution (444) ergibt sich jetzt aus (459), wenn man t= 0 der höchsten Lage 
(y=a, s=e,) entsprechen lässt, 

/ 9mg f [a RIS | 1 o'(u) 
(461) V mense J g(€1 + 02) — g(u) (du — 5 (e3 + e3) (u — 01) + e any ac 
Wenn t von 0 wächst, nimmt y von dem Werte a ab, s von €, Zu, und u von », ab. In 
unendlicher Entfernung nähert sich y zu —oo, s zu +, u zu 0. Negativen wachsenden 
Werten von t entspricht die symmetrische Bewegung aufwärts auf der anderen Seite der 
Kurve. Man berechnet noch die Formeln 


(462) y=c—s=c—p(u), 
(463) % / Omg  PVpUOO-e . dy ip / mg VIP(u) =) lp (w) = ey (p Q)— 6j 
=) = LT - ; ? 
dí J m+m,. p(u)-Ile,+e,) dt I, m--nm, p) - 106 e.) 
, dl /9mg Vo(u)—e ADU 2 
(464) dt a = Td 1 : ] (e(u) — ey (e(u) — es) ns 
FE qu) — (eit ex) 
und 
S Hh / mg rna dE 2(h —mga) 
(466) mnt TJ} m+ m; Ve, — es — eomm, 
im Scheitel der Bahn. 
Für den Druck N findet man laut (312) 
N PAR Zmp/g@(u)—e;) 


| mg gp Qu) — 3 (ei es) (m m) fg (u) - Se t ey 
(266) ptm mi) [pu - 30 6)] -3m[e 0076] pm, goo Gm mu)es) 


3n 2 


1 
(me my)Í p (u) - 3e e.) V" (m tm) giu) 3e} 


und speziell im Scheitel, für p(u)= e,, 


2m(h-mga) 
(m -- m,)p 


(467) N = mg— 


Tom. L. 


Untersuchungen über rollende Bewegung. 53 


Dieser Wert kann positiv oder negativ sein. Er wird Null, wenn 


E m+m, \ 
(468) h — nga T7 p), 
aber damit die Bedingung (457) erfüllt sei, muss dabei m, >3m sein. Für grössere h-Werte 
als (468) wird N negativ, für kleinere Werte positiv. Es bezeichnet der Wert (468) den 
grössten h-Wert, bei welcher der Kreis noch über den Kurvenscheitel rollen kann, ohne gegen 
die Kurve mittelst einer besonderen Anordnung gepresst zu werden. 
Allgemein erhält man aus (466) N —0 für 
D M + m, 
g (u) = 2m-—m,)93 
d. h. 
(469) y-c 


3 I 2 4 
5m-m, 2h-(m+m,)g(a+p) 


2 (m - m,)63 f (m - m3.) g 


Zuletzt soll der Fall (456) betrachtet werden, in welchem der Kreis den Kurvenscheitel 
nicht erreicht. Die Bewegung ist je nach den Anfangsbedingungen ein Rollen aufwärts bis zu 
einem Umkehrpunkte und nachher ein Rollen abwärts, oder nur ein Rollen abwärts, ohne 
oder mit Anfangsgeschwindigkeit. Der Umkehrpunkt (reel oder virtuel in der wirklichen Be- 
wegung) soll dem Zeitanfang (— 0 entsprechen. Für die Wurzeln e,,e5,,0e3 hat man jetzt 
die Werte 


h 
DAR S 693—0—8; 064—-06—a—9297p, 
(470) 1 | 
| c—a—p=3(e2 63) — 56; Le Ng 
4 (iw y 
: : - o 
mit dem e-Werte (460), und erhält mit far e? em 
ic a $5 
(471) y=6-s=C-p(u)=a+e—-gp(u) ic Eom. 


für den hóhsten oder Umkehrpunkt 


(472) MAX y = C— 6, = L 


f "um 
erner 
/ mg [ 1 1 '( 
(473) y. i--[lge—s(een]du-5( e 9) 5 -n- 


1 
[i 


Wenn t von 0 bis oc wächst, wächst (o(u) von e, bis ©, y nimmt ab von maxy bis — oo 
und w von o, bis 0. Es ergibt sich noch 


2mg PVEUU)—e | dy / 2mg Vie (u)-e,}{ptu)—e){ptu) es} 


da == 
(474) GLO ty + Uto +} m+ m, 


pu) - (etes) pu) — 3 (6s ex) 


UR CI Ve(u)-e —— 
(475) ai es ; Vu) — ej (p (u) — 635 t p*. 
t f (u) — (6s * €x) 
Zur Zeit (— 0 ist = 0. Schliesslich berechnet man für den Druck N 


N:o 15. 


54 HOT DING Var Sm 


N p 2mp(g(u)—e, 


eu)-le e) (memp(pgi)-l(ite)) 
(476) | { 
pin m,) [e Q0 — 3C e] -2m[p(u)-e;]} p (my -m)p(u)+4(5m+m,)e,} 


(m +m,){p(u) er) (mtm,){p(u)+le} 


Der Druck verschwindet für 


5m-m; 
POE c m 
d. h. 
(477) OA N d 


(m-—m;)g 
Ein solcher Punkt kommt während der Bewegung vor, nur wenn 


(478) m>m, und h<mg(a+p). 


1 N ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICE 
TOM. L, N:o 1. 


|. DIE AUSSERORDENTLICHE ; 
| HALOERSCHEINUNG | 


AM SOV MARZ/20. EN. | P 


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| TOM. L. No 3 | 


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ZUR THEORIE 


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BELIEBIG VIELER VERÄNDERLICHEN 


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VON 


| | HELSINGFORS 1922 
. DRUCKEREI DER FINNISCHEN LITTERATURGESELLSCHAFT 


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ZUR KENNTNIS - 


DER 


JUNCACEEN 


VON 
WIDAR BRENNER 


MIT 1 TAFEL UND 41 FIGUREN IM TEXT 


| (Am 25. September 1922 von V. F. Brotherus und H. Lindberg mitgeteilt) 


HELSINGFORS 1922 


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TOM. L. N:o 5. 


ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNIC Æ 


| ÜBER DIE EIGENSCHAFTEN ANALYTISCHER 
FUNKTIONEN IN DER UMGEBUNG EINER 
SINGULÄREN STELLE ODER LINIE 


VON 


F. UND R. NEVANLINNA 


(Am 22. November 1922 von E. Lindelof und J. W. Lindeberg mitgeteilt) 


HELSINGFORS 1922 


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ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 6. 


| UNTERSUCHUNGEN 
.. ÜBER DEN PICARD'SCHEN SATZ 


VON 


: ROLF NEVANLINNA 


HELSINGFORS 1924 


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ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNIC Æ 


TOM. L. N:o 7. 


RECHERCHES 


nr SUR LES 
JUVEMENTS PROPRES DES ÉTOILES 
m | ; | DANS LA 
VE PHOTOGRAPHIQUE DE HELSINGFORS 
na | .  RAGNAR FURUHJELM 
uu I | 
Do | Clichés de 6" à 9" 


ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 8. 


ÜBER 


STABVERBINDUNGEN 
 VERÂNDERLICHEM KRAFTANGRIFF 


VON 


HARALD LUNELUND 


(Am 17. November 1924 von Hj. Tallquist und Osc. V. Johansson milgeleilt) 


HELSINGFORS 1925 


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ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 9. 


UNTERSUCHUNGEN 


ZUR 

THEORIE DER BELEUCHTUNG DES MONDES 

AUF GRUND PHOTOMETRISCHER 
MESSUNGEN 


VON 


E. SCHOENBERG 


(Mitgeteilt am 93. Februar 1925 von K. F. Sundman und A. Donner) 


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HELSINGFORS 1925 


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ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:O 10. 


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ÜBER DAS LEITVERMÖGEN DER 
MISCHUNGEN VON STARKEN 
ELEKTROLYTEN 


UNTERSUCHUNGEN BEI SEHR KLEINEN KONZENTRATIONEN 


VON 


J. E. RENHOLM 


( Mitgeteill am 23. Februar 1925 von L. W. Óholm und Osc. V. Johansson) 


HELSINGFORS 1925 


ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


ÜBER 
FACHWERKTRÄGER 


VERÄNDERLICHEM KRAFTANGRIFF 


VON 


HARALD LUNELUND 


(Vorgelegt von Hj. Tallquist und Osc. V. Johansson am 23. März 1925). 


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HELSINGFORS 1925 


ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 12. 


/. ÜBER DIE EIGENSCHAFTEN MEROMORPHER 
FUNKTIONEN IN EINEM WINKELRAUM 


VON 


ROLF NEVANLINNA 


b. (Am 20 Mai 1925 mitgeteilt von E. Lindelöf und K. F. Sundman) 


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ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 13, 


ÜBER DIE NUMERISCHE INTEGRATION VON 
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 


VON 


E. J. NYSTROM 


(Mitgeteilt am 23. September 1925 von E. Lindelôf und K. F. Sundman) 


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ACTA SOCIETATIS SCIENTARUM FENNICÆ 


TOM. L. N'o 14. 


ÜBER DIE DREHUNG EINES STARREN 
KÖRPERS UM EINEN FESTEN. PUNKT 


VON 


HJ. TALLQVIST 


(Vorgelegt am 19 April 1996) 


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ACTA SOCIETATIS SCIENTIARUM FENNICÆ 


TOM. L. N:o 15. 


UNTERSUCHUNGEN ÜBER ROLLENDE 
BEWEGUNG 


ANWENDUNGEN DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN 


VON 


HJ. TALLQVIST 


(Vorgelegt am 20. September 1926) 


HELSINGFORS 1926 


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