TE 5 nEotA > ¿Qe a pe AEglOS A ANALES DESTA Oo | DE ZARAGOZA ¡el Se publican por trimestres, en los meses de Marzo, Junio, Septiembre y Diciembre AÑO 1l. —= DICIEMBRE. == NUÚm. 8 SUMARIO Matemaática.—Apuntes para la teoria geométrica de las lineas cíclicas de 4. orden, por S. Cámara. —Las tablas gráficas de Luyando, por (Giuseppe Pesci. | Química.—Proyecto de unificación de los méto- dos de análisis de vinos, por A. de Gregorio Ro- casolano. Historia natural.—La enseñanza de la Geolo- Neexutotia: : Ji gia en España, por P. Ferrando.—Líquenes- de ¿13 Bibliografía. ! : Aragón, por 21 R. P. Navas. * Questiones. propuestas y resueltas. ra pe eii o ol ao A pesetas. Astronom fta.—La estrella variable SS. Cigni, por Percy Ryves. PARIDO , Meteorología. — Observaciones verificadas en Zaragoza, durante el cuarto trimestre de 1908, por /. A. Izquierdo. IIS 2D DIS LS Extranjero. 1 íd. 10 francos. as AAN Toda la correspondencia á los Sres, Director ú Secretario, Facuitad de Ciencias, paseo de Pamplona, / ZARAGOZA eS ESTABLECIMIENTO TIPOGRÁFICO DE EMILIO CASANAL, Coso, 100 AS 1908s f a e D. PAULINO. SAVIRÓN, Decano de la Facultad. SECRETARIO DE EEDAECIAN DAOPRADAAAARA ( — SEÑORES. PROFESORES. DE LA FACOLTAD- DE CIENCIAS DE A mo ALVAREZ 3 Yo UDE -os8 GABRIEL). —Catedrático de Geometría descriptiva d tría de Ma posición. ' : EA : E ARÉVALO. DÍ CARRETERO (CELSO). —Auxiliar de Historia Natural. -BOZAL Y OBEJERO (EDUARDO). —Auxiliar de Física. CALAMITA Y ALVAREZ (GONZALO).-. Catedrático de Quimica preánIca FERRANDO Y MÁS (PEDRO). — Catedrático de Historia: natural. SE IS da GALÁN Y RUIZ (GABRIEL). —Catedrático de. Astronomía y Cosmografía. Da da DE GALDEANO (ZOEL). Catedrático de Cálculo. infinitesimal. E $ : . GREGORIO: Y ROCASOLANO (oa DE). —Catedrático de Química general. da IZQUIERDO. Y GÓMEZ (J. ANTONIO). —Catedrático- de Fisica y Cristalografía. : MARCO Y> MONTÓN. (JUAN). Auxiliar de Mecánica y Astronomía. - > ¿RIUS EY CASAS an Catedrático. de: Análisis a Ñ o a 2. o curso. ea “métrica. z : A E - YOLDI Y BEREAU (Fñanasco). — Auxiliar de Quimica. E AOS Jos o 5 2 ¿ - en una misma cíclica, cuando - se verifica uno de ellos para un par de superficies cónicas. En efecto, el tetraedro autopo- ar V,V,V,V,, tendrá uno desus - vértices interior á la superficie esférica, de modo que, si su- ponemos que dicho punto es el v,, el cono V,?, contendrá en sus dos hojas á la cíclica, sien- do todo él útil, pues todas sus generatrices cortan á la esfe- ramas reales y distintas, dán- dosele por este motivo el nom- bre de bicursal. DICIEMBRE DE 1908 ra. La cíclica contendrá dos E ELA CL EE DE ZARAGOZA NÚM. 8 Untes para la feoría geométrica de las lineas cíclicas de 4. orden Y primera especie ( CONTINUACIÓN ) Estos cuatro apartados se presentan simultáneamente en un mismo haz de planos cuando se verifica uno de ellos para un par de cónicas. En efecto, el tetraedro autopolar 5,53035,, tendrá una de estas ca- ras exterior á la superficie es- férica, de modo que, suponien- do que sea la s,, la cónica y, determinará con la esfera dos haces de planos tangentes co- munes: uno tal que cada uno de sus rayos dejará á un mis- mo lado á la esfera y la cónica dejándoles á distinto los rayos del otro, y componiéndose el haz tangencial de dos partes ó haces parciales tales que, cada uno podrá considerarse engen- drado de un modo continuo por un plano que ruede apo- yándose sobre la esfera y la cónica; por este motivo le lla- maremos b¿cursal:en este caso toda la cónica dada es útil. Por cada vértice del tetrae- dro pasarán cuatro rayos del haz todos reales ó todos imagi- narios, siendo.en este caso con- jugados dos á dos; si son rea- les los correspondientes á un = 218 tendrá esta cara tres pares de generatrices reales relati- vas á los conos cuyos vértices estén en la misma; si dichos puntos son imaginarios, las generatrices de uno de los co- nos contenidas en dicho plano serán reales, y las de los otros dos imaginarias, siendo en to- dos los casos el triángulo defi- nido por los vértices, autopo- lar respecto del haz de cónicas producido en el haz de cuádri- cas por aquella cara. Dos de las tres caras concu- rrentes en V,, cortarán el cono V, +, según generatrices reales y, por consiguiente, á la cícli- ca, en puntos reales, cortando la otra cara al cono y á la cí- clica según elementos imagi- narios. Supongamos que esta cara sea la sj, = V,¿VaV,; se- gún lo anteriormente dicho, cortará á la superficie V, o, se- gún generatrices reales, y á la V,?. según imaginarias, ó vi- ceversa; si suponemos lo pri- mero la superficie V,p, ten- drá parte parásita y este mis- mo plano s, separará las dos hojas de los conos Vat. y V,v, así como también las dos ramas de la cíclica; luego cada rama de esta también estará en cada una de las hojas de V. o, con la diferencia de estar cada dos puntos de la curva separados por V, y no estarlo por el vértice V,. vértice, pasarán por él tres pares de tangentes reales rela- tivas á las cónicas contenidas en las caras del tetraedro que determinen dicho vértice; si los planos son imaginarios, las tangentes á una de las cónicas serán reales é imaginarias las de los otros dos pares, siendo en todos los casos el ángulo triedro determinado por lostres planos, autopolar respecto de la serie de conos determina- da por la serie de cuádricas y cuyo vértice sea el citado punto. Por dos de los tres vértices situados en la cara exterior, pasarán cuatro planos reales del haz cíclico siendo imagina- rios los que pasen por el tercer vértice que será el interior á la cónica +, puesto que el triángulo V,V,V;,, es autopolar respecto de la misma. Si supo- nemos que este vértice es el V, =9,%,5,, pasarán por él dos tangentes reales y dos imagi- narias relativas á las cónicas v', y Y'2, y si admitimos además que las de la cónica o', son las reales, las de la 4', serán ima- ginarias; en esta hipótesis la cónica y”, tendrá parte parási- ta. El punto V, separará los dos haces parciales de planos de que se compone el total; pues si consideramos una tan- gente á la cónica qy',, Obser- varemos que desde uno de los planos tangentes ála esfera trazados por dicha recta, no puede pasarse al otro sin pasar por dicho punto Va. A Pe TERA La arista V,V, será interior á V,o, por ser la polar del pla- no s, = V,V, V, respecto del cono V,o,; luegó la cara 0, = V,V¿V,, que es la exterior á la esfera, cortará á V,o, según dos generatrices reales y á las otras dos V,vw, y V,?, según dos pares de imaginarias. Co- mo consecuencia de esto dedu- cimos que la superficie cónica V,v, contendrá parte útil y parte parásita, puesto que en ella existirán generatrices sin puntos reales de la cíclica. 13.— Veamos á que apartado pertenece el grupo de los dos conos Va, Ya y V, ?,; para ello tracemos desde la recta V,V, los planos tangentes al cono V, +, que serán tangentes á la cíclica en puntos reales, pues- to que el cono V, +, sabemos que no tiene parte parásita; tracemos análogamente, des- de la misma recta, los planos — 219 — Este punto también será inte- rior á la cónica v”,, puesto que las tangentes trazadas desde él á la misma hemos dicho que son imaginarias; pero existe una diferencia entre los dos planos tangentes á * trazados por una tangente á v”, y el par trazado por otra tangente á q”, y es, que aquellos están sepa- rados por el plano s, mientras que estos no lo están por el s,. El lado V, V, opuesto al vér- tice V, en el triángulo V, V, V, y contenido en la cara 5, será exterior á la cónica 9',; luego por el vértice V,¿= 653 5; s, que será interior á la esfera por ser opuesto á la cara cs, exterior á la misma, pasarán dos tangen- tes reales á o”; por el contra- rio, ese mismo punto V, tendrá que ser interior á u', y 9%, puesto que por él no pasan planos tangentes reales á *; de modo que las tangentes á estas curvas trazadas por aquel punto serán imaginarias. De- dúcese de lo anterior, que la cónica o”, tiene parte útil y parte parásita, puesto que existen tangentes á la misma que cortan á la esfera. Veamos á que apartado pet- tenecen las cónicas 9”, y Ys; observemos para ello que la arista 6, 0, =V, V, cortará la y, en dos puntos pertenecientes á dos planos reales del haz cícli- co puesto que +', no tiene par- te parásita; la misma arista cortará á la cónica 7”, en otros dos puntos que no podrán con- fundirse con los anteriores ni e VE A AA A — 220 — tangentes á Va, que tocarán á la cíclica en puntos imagina- rios, puesto que dichos planos no pueden confundirse con los anteriores ni ser secantes á la cíclica, porque en tal caso lo serían al cono V,v, doblemen- te proyectante de la misma; resulta, por consiguiente, que dichos planos no podrán cot- tar á la cíclica ni ser tangen- tes á la misma en puntos rea- les; luego dejarán á esta en el interior del diedro que deter- minen: de modo que los dos conos V,v, y V,¿v, estarán en el caso b), es decir, el diedro relativo al cono V, «, conteni- do todo él en el interior del relativo al cono Vavo. Como el plano s, es exterior álos conos V,?, y Vap,, las aris- tas V,V, y V,V, serán interio- res á ellos y como esta última recta también es interior al cono V,?, por ser la polar de s, respecto de este cono, deduci- mos que, los V, Y, y V, v, per- teneceránal apartado d), no te- niendo ninguno de ellos parte parásita; los V, +, y V,y, esta- rán en el caso Cc). Análogamente, como la arista V,V, es interior al V,o, y exterior al V,v,, también es- tos estarán en el caso C). Por ser la cara 5, = V,V, Va, exterior á la esfera y determi- mar en los conos V, v, y V, 9; generatrices imaginarias, es decir por separar las dos hojas de estos conos, deducimos que pertenecer al segmento exte- rior determinado por la y”, en dicha recta, puesto que en tal caso la y”, tendría parte pará- sita, correspondiente al seg- mento interior de la Y,; luego los dos puntos en que dicha có- nica y”, corte á la recta 5, 9, Se rán interiores á la v', y sus puntos interiores también se- rán interiores á ésta; luego di- chas cónicas estarán en el ca- so b).. Como el vértice V, lo supo- nemos interior á la esfera y á las cónicas v', y 9”,, las aristas de = We Ve Y 0d = Wo Se rán exteriores á dichas cóni- cas, y como sz, 0, = V, Va tam- bién es exterior á v”,, puesto que V, es interior, resulta que las cónicas q', y y', pertenece- rán al apartado d), no teniendo ninguna de ellas parte parási- ta; las o”, y o”, estarán en el caso C). > Análogamente, como la arista 5, 0, = V, V, es exterior á la cónica v', y secante á la 0',, también estas estarán en el caso C). E Por ser el punto V,=05, 63 9, interior á la esfera así como á las cónicas v”, y v',, no podrá separar los dos haces de pla- nos tangentes que componen el total; pues si trazamos los AE j A, E súlo una hoja de ellos conten- drá la cíclica, puesto que esta está á un solo lado del plano 5, y como el V, y, tiene todas sus generatrices útiles y el V, +, tiene parte parásita re- sulta que estos están en el caso b) Para ver la posición ocupa- da por los conos V, o, y V, 2, observemos: 1. que la arista V, V, es exterior á ambos y que el haz de arista V, V,=0, 5, formado por los planos tan- gentes al V, o, y los s,=V, V,Va y 5, =V,V,.V, como conjuga- dos es armónico, siendo el s, el que separa las dos ramas de la cíclica; 2.2 que el haz de la misma arista formado por los planos tangentes al V, +, y los 5, Y 5, como conjugados, tam- bién es armónico, y 3.2 que el diedro de los dos planos tan- gentes al V, +, que contiene en su interior á la cíclica ha de contener también los dos pla- nos tangentes al cono Va 0, puesto que si estos planos es- tuviesen fuera, la cíclica no estaría contenida en el cono V,v, por estarlo en cada una de las dos hojas de V, v, que quedarían en el ángulo exte- rior al Y, 9,; luego dichos co- nos estarán en el caso a). | dos planos tangentes á la esfe- ra por una tangente á y, 6 4”, exterior á Y, podrá irse de uno de ellos al otro por un giro, sin pasar por ninguno de los puntos interiores á la esfera, luego los dos haces parciales no estarán separados por el punto V,; además por ser la recta 5, 0, = V,V, secante de la cónica v”, que es toda útil, y de la y”, que tiene parte pará- sita, el segmento interior á o', tendrá que estar dentro de la vw; deduciéndose de aquí que se hallan en el caso 0). Para ver la posición ocupa- da por las cónicas o', y 2”, 0b- servemos: 1.2 que la arista 51 a = V¿V, es secante á am- bas cónicas, puesto que V, es interior á o”, y V, lo esá e, y que la serie formada por los dos puntos comunes á la v, y V, y V, es armónica, así como la determinada por estos dos puntos y los comunes á v”,; 2.9 que por ser V, interior á v', y exterior á u', y V, exterior á w', É interior «',, deducimos que el segmento exterior á una cónica contendrá todo el inte- rior á la otra puesto que si solo contuviese una parte, los pun- tos de intersección de la pri- mera con la recta V,V, esta= rían separados por los dos puntos de la otra cónica, en cuyo caso los dos puntos V, y V, no separarían armónicamen- te aquellos dos pares; además, como el punto V, es interior á la esfera y á la cónica y”, y ex- terior á la q',, se desprende Resumiendo lo anterior, ve- mos que la cíclica puede con- siderarse engendrada por seis pares de conos que agrupados los de cada par de aristas opuestas serán los siguientes: la arista V, V, es ex- 22) terior á los dos 4,| conos que están en el caso... a) la arista V, V, es im- V,v,| terior á los dos WeW=390 : conos que están en el caso.... d) V,V,¿ es exterior á Vo 189 los conos que es- tán en el caso. b) V,V, es exterior á los conos que es- 3*4| tán en el caso b) V,V, es interior á ol V,p, y exterior á Y V¿p, estando estos en el caso.... c) V,V,¿ es interior á val Vap, y exterior á p,| V¿w, que estarán en el caso .... Cc) 14.—Los casos particulares que esta clase de cíclicas pue- den presentar son debidos al número de cilindros doblemen- te proyectantes, ó lo que viene á serlo mismo, al número de vértices del tetraedro que se que, todo el segmento interior á la y, estará en el segmento exterior á la o”, y también, por una razón análoga, todo el segmento interior á la y, esta- rá en el exterior de la q”,; lue- go las cónicas q”, y y, estarán en el caso a). Resumiendo, se vé que el citado haz de planos puede considerarse engendrado por seis pares de cónicas que agru- padas las relativas á cada par de aristas opuestas serán las siguientes: la arista 5,5, es secan- te á las dos cóni- cas que están en el CASO a) , 6,5, —?,1 AD Pa la arista 0,5, es exte- ¿| rior á las dos cóni- ¿| Cas que están en el CASO a d) / [5,5 es secante á las 3l dos cónicas que es- 3l tán en el caso.... D) 6,5, €s secante á las dos cónicas que es- tán en el caso.... D) 1 |6,5, es exterior á 9, y secante de v',¿ com- prendidas en..... c) , |6y5, es exterior á p, y secante á Q',; com- prendidas en .... c) Las variedades que esta es- pecie de haces de planos de cuarta clase pueden presentar son debidas al número de ca- ras del tetraedro que pasan por el centro de la esfera; ten- dremos por consiguiente tres $ sustituyen por direcciones; tendremos, por consiguiente, tres variedades, según que es- tos sean 1,2 63. En todos los casos, subsisti- rá el vértice interior que he- mos designado por V, y el cono correspondiente que seguirá conteniendo en sus dos hojas la curva. Cuando un vétice se sustituye por una dirección, la, involución cuyo centro es di- cho punto y cuyo plano central es la cara opuesta, se transfor ma en simetría respecto de esta cara y aquélla dirección; si son dos los vértices que se sustituyen por direcciones, la involución respecto de la aris- ta que determinan y la opues- ta, se transforma en simetría respecto de esta última arista y.aquella orientación, y si son tres los vértices sustituidos, la involución respecto del cuarto vértice (que será el centro de la esfera) y la cara opuesta al mismo, se transforma en simetría respecto de aquel centro. Dentro de la primera varie- dad pueden ocurrir dos casos, según que el vértice sustituído sea el V, Ó uno de los V, Ó V,, es decir, según que el cilindro sea hiperbólico ó elíptico y, aun dentro de este último, se- gún que el cilindro penetre ó nó en la esfera. Cuando hay dos cilindros existirán tantos casos como combinaciones puedan formarse con V,V, y V, es decir tres. Por último, si los trés vérti- + 1223. variedades (además del caso general) según que una, dos Ó tres caras pasen por el centro de Y. En todos los casos, subsistirá por consiguiente, la cara exte- rior que hemos designado por 5, y la cónica correspondiente p”, que en la tercera variedad quedará reducida á un cono director, y el plano de esta có- nica separará los dos haces de planos de que se compone el total. Cuando un plano pasa por el centro, la involución de que es plano central quedará reducida á una simetría; si dos caras pasan por el centro, cada una de ellas vendrá á ser plano de simetría del haz y su recta de intersección un eje de simetría, y si las tres caras pasasen por dicho centro, exis- tirían tres planos de simetría del haz de cuarta clase, tres ejes de simetría y un centro de ídem, que será el centro de la esfera. Dentro de la primera varie- dad de estos haces, pueden ocurrir dos casos según que el plano que pase por el centro sea el s, ó uno de los s, Ó 5, es decir, según que se trate de las cónicas q”,, y, Ó y”, Cuan- do los planos de dos cónicas, pasen por el centro, existirán tantas combinaciones como pueden formarse Con 5,, 5, Y 93: Por último si los tres planos 004 ces son los sustituídos por di- recciones, las cíclicas reciben el nombre especial de cónicas esféricas, pues, en este caso, el vértice V, es el centro de la esfera, por ser polo del pla- no del infinito. 15.—Cíclicas reales unicur” sales.—El segundo género del grupo 20 corresponde al caso en que los planos conjugados comunes á dos cuádricas del haz son imaginarios. Sean V,p, y V.y, las dos su- perficies cónicas que nos defi- nen la cíclica; A, y 4',, 4, y A', los planos tangentes al cono V,y, y al V,p,, respecti- vamente, trazados por la recta V, Va. = 5354, estando separa- dos los dos primeros por los otros dos; la parte de superfi- cie cónica V,p¿, comprendida en el diedro 4, 4, no contendrá puntos reales de la cíclica, de modo que será parte parásita; una cosa análoga sucederá á la V,p, comprendida en el die- dro 4',4',; en cambio serán útiles las partes de cada una de aquéllas superficies conte- nidas en el 4,4',. El plano 4), tangente al cono Vag2; tocará á este según una generatriz y cortará al V,o, según dos, que con aquella de- terminarán dos puntos de la cíclica, con el plano osculador G,, %, y 5, pasasen por el centro obtendríamos los haces de pla- nos correlativos de las cónicas esféricas. Haze cíclico de planos de cuarta clase unicursal.-El se- gundo género del grupo 20 co rresponde al caso en que los dos puntos conjugados comu- nes á dos cuádricas de la serie son imaginarios. Sean e”, y 9”, las dos cónicas que nos definen el citado haz; A, y 4',, A, y 4', los puntos de intersección de las cónicas py Y, con la recta 5,5, = V, Va de intersección de sus planos, estando separados los dos pri- meros por los otros dos y sien- do el segmento exterior común á las dos cónicas el 4',4,; la parte de radiación de planos tangentes á «', que contenga puntos del segmento 4,4, no contendrá planos reales del haz, siendo parte parásita de dicha radiación; una cosa aná- loga sucederá á la de la radia- ción de planos tangentes á y”, que corte al segmento 4',4',; en cambio serán útiles las par- tes de cada una de aquéllas radiaciones que corten el seg- mento 4', A, exterior á las dos cónicas. Por el punto 4, de la q', pa- sarán dos tangentes á la y, que serán generatrices de la desarrollable envolvente del haz cíclico de planos, siendo su punto de contacto con esta de retroceso (LA núm. 166); siendo aquellas generatrices las tangentes en ellos. Estos dos puntos de contac- to del plano 4, bitangente á la cíclica pertenecerán alplano s, polar de V,; las demás genera- trices de V,p, cortarán la cí- clica en pares de puntos ar- mónicamente separados por V, y s, resultando, como con- secuencia, que dicha curva estará formada por dos arcos armónicamente separados por el vértice V, y el plano s,, uniéndose estos arcos en aque- llos dos puntos de la cíclica contenidos en el plano s,, y pudiéndo describirse la parte real de un modo continuo por un punto; esta curva que pre- senta todos sus puntos ordina- rios, recibe el nombre de u421- cursal por el motivo anterior- mente citado; otro tanto de lo dicho para el cono V, y, su- cede con el V,g. Por ser dos caras del tetrae- dro” autopolar imaginarias conjugadas, tendrá éste reales las otras dos caras, que nos determinarán dos vértices rea- les en la arista real en que se corten las dos caras imagina- rias. Existirán por tanto, solo dos superficies cónicas reales doblemente proyectantes, sien- do las otras dos imaginarias con vértice imaginario. Hay, en este caso, mordedura de un cono en otro y de ambos en la esfera. Las variedades que pueden — 225 — cónica punto límite de la mis- ma y de retroceso de la arista de retroceso de aquélla des- arrollable. (L 4 núm. 178). Los dos rayos del haz que pasen por el punto 4, doble de la desarrollable, contendrán la tangente á e, en este punto, y, por consiguiente, pasarán por el polo y, del plano s, res- pecto de *, puesto que V, es polo de 5,5, respecto de la có- nica o”,; por las demás tangen- tes de o, pasarán dos planos armónicamente separados por el plano s, y el punto V, resultando, como consecuen- cia, que dicho haz se compon- drá de dos haces tales que, de un modo continuo podremos pasar del uno al otro por aque- llos dos planos que pasan por V',; por cuyo motivo le dare- mos el nombre de unxicursal; siendo ordinarios todos sus planos. Como dos vértices del te- traedro son imaginarios con- jugados, tendrá éste reales los otros dos vértices, que nos de- terminarán una arista real, siendo además reales las caras que pasan por la recta real definida por aquellos puntos imaginarios; existirán, portan- to, solo dos cónicas dobles rea- les de la desarrollable envol- vente del citado haz de planos; las otras dos cónicas serán imaginarias, así como sus pla- nos. Las variedades correspon- presentarse, serán debidas al número de cilindros de segun- do orden que sustituyan á los conos. 1.6= Cíclicas nodales.—Co- rresponden éstas al grupo 21, según ya hemos visto (8), exis- tiendo tres superficies cónicas de segundo orden doblemente proyectantes de las mismas, dos de las cuales, las Vap, y V.,, son tangentes á un mis- mo plano s, á lo largo de dos generatrices que por ser tan- gentes conjugadas respecto de 2 (6), serán perpendiculares. También vimos que este plano 5, cortabaá la superficie cónica V,?, según dos generatrices que eran tangentes de la cuár- tica armónicamente separa- das por aquellas dos de con- tacto, siendo el vértice V, pun- to doble de la línea, por lo cual se da á ésta el nombre de cuártica nodal alabeada. 17.—Se distinguen en este grupo tres géneros de cuárti- cas. En el primero que corres- ponde al caso en que uno de los diedros 5, A,, 5, A, de arista V.V,, en que están inscritos los conos V.y, Ó V, p, esté con- tenido en el interior del otro, cortará el plano s, al cono V, o, según dos generatrices reales tangentes cada una de ellas á cada uno de los dos arcos rea- les de la curva que deben pa- LAS = den al número de cónicas do- bles cuyos planos pasen por el centro de la esfera. Has cíclico de planos nodal de cuarta clase. —Correspon- den al grupo 21, existiendo solo tres cónicas dobles de su desarrollable envolvente, dos de las cuales las v', y vw”, tie- nen un punto común V, con un plano tangente común s, que es el determinado por las dos tangentes á cada una de aquellas en V,, cuyas tangen- tes serán perpendiculares por ser conjugadas respecto de Y. También vimos que por V, pa- saban dos tangentes á la cóni- ca y”, contenida en el plano s, tangente común á las dos pri- meras, armónicamente sepa- radas por las tangentes á y, y o”. el plano s, es rayo doble del haz que consideramos, por contener dos generatrices de la desarrollable envolvente, pudiéndose designar con el nombre de haz cíclico de planos nodal de cuarta clase. Existenen estegrupotresgé- neros de haces de planos co- rrespondientes á otras tantas desarrollables de cuarta clase. En el primer género que co- rresponde alcaso en que elseg- mento exterior á una de lasdos cónicas y”, Ó v', determinado en la recta de intersección de sus planos, esté todo él contenido dentro del segmento exterior á la otra, podrá engendrarse el haz tangencial de planos de un DAT sar por el punto V,, el cual aparecerá como doble; por cuyo motivo las de este géne- ro que se componen de una sola ramareciben el nombre de cuarticas crunodales alabea- das. (LA n.* 281). El segundo género se obtie- ne cuando los diedros 5,4, y 5, Á, en que están inscritos los conos V,v, y V,?%, tienen una parte común exterior al pla- no tangente s, que separa las dos hojas del cono, V,+, Cor- tándole según dos generatri- ces imaginarias que sustitui- rán á las tangentes de la cícli- ca en el punto aislado V,; y las porciones de las dos super- ficies cónicas V,v, y Va, in- mediatas al punto V, que que- dan á distinto lado del plano s, determinarán cada una de ellas en la otra una cadena (0) de puntos que contendrá el punto real V,. A las cuárticas de este género las llamó Sal- món acuodales. a modo continuo por un plano movil que se apoye en las dos cónicas v”, y 4”,, apareciendo dos veces como rayo del haz, el plano s,; y siendo sus gene- ratrices de contacto las tan- gentes reales á «', trazadas desde V, (6) que será punto ex- terior de esta cónica; por esta causa, y por ser correlativo de las cuárticas crunodales, lo distinguiremos de los otros con el nombre de haz de pla- nos crunodal de cuarta clase. En el segundo género de ha- ces de este grupo que se obtie- ne cuando los segmentos V, 4, y V, 4, de puntos exteriores á las dos cónicas v', y vu”, deter- minadosenlarecta de intersec- ción de sus planos tienen una parte común 4,4,, los planos tangentes á las dos cónicas trazados desde puntos de la recta s,s, inmediatos al V, por uno y otro lado del mismo, se- rán imaginarios, y solo será real el s, determinado por las tangentes á o”, y y”, en V,, de modo que este plano tangente será aislado y sus generatrices de contacto con la desarrolla- ble envolvente imaginarias; luego el punto V, estará en el interior de la cónica y”,. Todos los planos reales de este haz cortarán al segmento +l, A, de los puntos exteriores comunes; á este haz de planos le llama- remos por analogía con las y : (1) Generalizando el concepto de cadena expuesto en la Geometría de Posición de don : : Eduardo Torroja (458) designaremos también con este nombre á la parte imaginaria de una curva ar contenida en rayos reales de un haz de rectas ó de planos. — 228 — El tercer género corres- ponde al caso en que los ángu- los 9, 4, y 9,4, no tengan par- te alguna común, siendo la curva imaginaria y estando contenida en dos conos reales Vasa Y Va? y en otro V, y, ima- ginario cuyo vértice real V, pertenece á la esfera *. En todos los géneros la cí- clíca está en involución consi- go misma de tres modos dis- tintos; uno respecto del vértice V, y el plano s,, otra involu- ción análoga respecto del vér- tice V, y plano y, y la tercera respecto de las rectas V, Va Y 07 03+ Los vértices V, y V, podrán sustituirse por direcciones dando origen á variedades de estas cíclicas nodales. 18.— Cíclicas cuspidales.— Son las comprendidas en el grupo 22 (8) que se hallarán se- gún dijimos (6) en dos superfi- cies cónicas V,v, y V,v, tan- gentes entre sí y á la esfera X en el punto V, vértice de una de ellas; las generatrices de contacto del plano s, tangente común serán perpendiculares por ser conjugadas respecto de la esfera YX Si considera- mos una generatriz de la su- perficie V, vw, moviéndose sobre la misma cortará en dos pun- tos á la V,p, que vendrán á confundirse á la vez en el vér- tice V,; luego dicha generatriz vendrá á ser una tangente de - curvas correlativas, has cíclí- co de planos acuoda?. El tercer género se obtie- ne cuando el segmento exte- rior á una cónica es interior á la otra, siendo la desarrollable imaginaria; de modo que solo existe un solo plano real del haz, el s, siendo todos los de- más imaginarios. En todos los casos está el haz de involución consigo mis- mo, de tres maneras distintas; una respecto del plano s, y su polo V,, otrarespectode s, y V, y la tercera respecto de las rectas V, Va y 0203. Los planos de las cónicas V, y V, podrán pasar por el cen- tro de la esfera dando origen á variedades de estos haces de planos. Haces cíclicos de planos de cuarta clase con un rayo de retroceso. —Están determina- dos por los planos tangentes comunes á dos cónicas v', Y Y, tales que una de ellas la q”, por ejemplo corte á la otra o, siendo el plano de la primera tangente á esta; la tangente á «', en el punto V, común á las dos cónicas es la recta de in- tersección de los planos s, y 9, de ambas, siendo exterior á ellas todo el segmento de la expresada tangente exterior á la y”; el haz de planos reales estará formado por todos los tangentes comunes que corten al expresado segmento, de segunda especie de la cíclica en el punto V,, como por otra parte, la generatriz de contac- to de la V, 2, con el plano tan- gente s, es tangente á la cícli- cea en el vértice, según se des- prende de la definición ordina- ria, (L. 4. núms. 1 y 2), el vér- tice V, tendrá que ser de retro- ceso de la curva. Por presen- tar este punto de retroceso suele darse á las cuárticas de este grupo, el nombre de cus- piídales. Estas cíclicas están en invo- lución consigo mismas respec- to del vértice V, y de su plano polar s, respecto de 2. El cono Va, podrá ser susti- - tuído por un cilindro; entonces el plano diametral de la esfera perpendicular á las generatri- ces, será de simetría, y las sec- ciones producidas por este pla- no en la esfera, y en el cilindro serán osculatrices; pues el cír- culo y cónica obtenidos que deben ser tangentes no podrán tener más que otro punto co- mún sin ser tangentes en él. A modo que este haz podrá ser engendrado de un modo conti- nuo por un plano tangente mo- vil. Por otra parte si en este movimiento consideramos el punto de intersección con una recta perpendicular al plano s, en un punto de la tangente á v', é interior á o',, se observa que al describir un rayo del haz; la parte de éste próxima al punto V, pasando por él, el movimiento del punto de inter- sección de este plano con aquella recta, se verifica en un sentido constante, hasta llegar á confundirse el citado rayo con s,, retrocediendo después; luego el plano s, es de retroce- so, (L. 4. núm. 42) puesto que la expresada perpendícular no corta á ninguna generatriz de la desarrollable envolvente en la parte considerada; los haces de este grupo son correlativos de las cíclicas cuspidales pre- sentando:m plano deretroceso. Estos haces de planos están en involución consigo mismos respecto del plano s, y de su polo V, respecto de Y, Se obtendrán dos variedades de estos haces según que el plano s, contengaó no elcentro de * siendo este plano de si- metría del haz, y el cilindro cir- cuscrito á * á lo largo de la circunferencia sv, es osculador del V, v,, pues estos cilindros que deben ser tangentes á lo largo de una generatriz solo podrán tener otra generatriz común sin ser tangentes á lo largo de la misma. = 230= 19.—El haz cíclico de planos circunscrito á la esfera *2 á lo lar- go de una cíclica (%) es de la misma naturaleza que la curva. Para demostrar esta propiedad, observaremos que á todo punto A de (2) corresponde en ,el haz el plano a tangente en él; á uña cuerda 4.£B su polar af; al haz radiado de segundo orden doble- mente proyectante de (2%) desde V, un haz plano de rectas de se- gundo orden contenido en el plano s polar de V; al haz de planos bifangentes Vo, la serie y” de puntos dobles de la desarrollable; luego existen los mismos puntos con el mismo plano polar respec- to de la curva (2) y del haz cíclico de planos circunscrito, y cuan- do el vértice V no sea punto de *, la línea doble y” será polar de e respecto del círculo s (L. A. núm. 239). Dedúcese de aquí que, cuando existe un cono con su vértice interior á la esfera, la des- arrollable envolvente del haz cíclico de planos tendrá una línea doble en un plano exterior á *, siendo la línea y el haz bicursales. Si ninguno de los conos doblemente proyectantes tiene su vérti- ce interior á la esfera ni sobre la misma, los planos de las cónicas dobles serán secantes de *; luego el haz y la línea serán unicur- sales. Cuando uno de los conos doblemente proyectante tenga su vér- tice sobre la superficie esférica, existirá también una cónica doble de la desarrollable sobre el plano tangente á * en aquel punto, puesto que según hemos visto esta línea doble q" es lugar de los polos de los planos del haz de bitangentes á (2), estando estas có- nicas o situadas en los conos S+” conjugados de los haces de pla- nos tangentes á Vo en el sistema polar absoluto. Si el cono Vy tiene dos generatrices reales en el plano s, pasarán por el punto V dos rayos reales del haz de rectas tangentes á o siendo la línea crunodal y el haz de planos de la misma especie. Cuando las ex- presadas generatrices sean imaginarias, sus polares también lo seran, correspondiéndose las acnodales con los haces reales que tienen 21 rayo aislado. Si el cono Vo es imaginario, imaginarios serán los polos de sus planos tangentes; luego la nodal ¿magina- ría se corresponde con el haz imaginario de un solo plano real. Por útimo, si el cono Vo es tangente á s, la cónica o” tiene por tangente en V la perpendicular á aquella generatriz de contacto, siendo las cíclicas cuspiídales y el haz de planos con un rayo de rebroceso. TIT 20.—Proponémonos en pri- Trataremos en primer lugar mer lugar reducir la construc- de reducir la construcción de ción de una cíclica definida una desarrollable circunscrita por una esfera Y y otra cuádri- ca Y”, ála intersección de dos superficies cónicas de segundo orden, observando para ello que los vértices de estas super- ficies que proyectan doblemen- teála cíclica (Y) serán los pun- tos que tengan el mismo plano polar respecto de las cuádricas del haz cuya base es (2) (£L. 4. número 232). — Ball. == á una esfera Y y otra cuádrica 2», 4 la determinada por dos cónicas dobles de la expresada desarrollable cíclica, obser- vando para ello que los planos nos de estas cónicas dobles son los que tienen el mismo polo respecto de cada una de las cuádricas de la serie. 21.—La esfera * y la cuádrica Y/ son directrices de dos sistemas polares en el espacio, de tal modo que á una figura *,, correspon- den otras *, y *”, polares de *, y homográficas, por consiguiente, entre sí. Es evidente que los puntos que tengan el mismo plano polar respecto de las cuádricas * y *', serán dobles en las figuras homográficas Y, y *', y también serán dobles los planos que ten- gan el mismo polo. Para determinar estos puntos y planos dobles, observaremos que al punto 4, de la primera co- rresponderá uno A, de la se- gunda, y á éste, como de la primera otro 4; de la segunda, y que siimaginamos definida la relación de homografía en- tre las dos figuras por las ra- diaciones 4, y 4, de la prime- ra de aquellas, con sus homó- logas respectivas 4, y A, de la segunda,se cortarán en todo punto doble V, no situado en la recta 4,4,, las rectas V, 4, y V, 4, de la primera figura y sus homólogas V,4, y V,4A, de la segunda; pero como en general, las rectas 4,4, y 4,4, serán distintas, los pun- tos de intersección de las rec- tas de la radiación 4, con sus homólogas de 4, formarán una cúbica; los de intersección de las rectas de 4, con sus homó- logas de 4, constituirán otra cúbica que cortará á la prime- al plano a, de la primera co- rresponderá uno u, de la se- gunda y á este, como de la primera, otro a, de la segunda, y que si imaginamos definida la relación de homografía en- tre las dos figuras por las figu- ras planas q, y a, de la prime- ra con sus homólogas respec- tivas a, y a, de la segunda, estarán situadas en todo plano doble s,, que no contiene la recta 2,%,, las a,5, y %, s, de la primera y sus homólogas 2, 9, y 0,05, de la segunda; pero como en general, las rectas %¡%, y %,% serán distintas, los planos determinados por las rectas de la figura plana a, con sus homólogos de la a, constituirán un haz de planos de tercera clase; los planos de- terminados por las rectas de la figura plana u, con sus ho- mólogas de Y, constituirán otro e rá en puntos que tendrán el mismo plano polar respecto de todas las cuádricas del haz, siendo por este motivo vértice de los conos de segundo orden doblemente proyectantes de la cíclica. Podríamos ya determinar simultáneamente todos estos conos por medio de cinco elementos convenientemente elegidos; por ejemplo, cinco puntos tales que entre ellos no haya dos en línea recta con un vértice del tetraedro, los cua- les podrían hallarse cortando la cíclica por un plano que no pasase por ningún vértice y añadiendo á los cuatro puntos así obtenidos otro cualquiera en general. Si en particular tomásemos uno de los dos pla- nos paralelos á los cíclicos tra- zados por el centro de *, como este plano cortará al haz de cuádricas según un haz de cir- cunferencias que tendrán co- munes los puntos cíclicos y los del eje radical común, podría- mos determinar fácilmente so- bre el mismo las circunferen- cias directrices de los conos que pertenecerán al haz y pa- sarán por las proyecciones de un punto real de la curva no contenido en el plano. (Continuará.) haz que tendrá común con el primero varios planos con el mismo polo respecto de la se- rie siendo por este motivo los Planos de las cónicas dobles de la desarrollable envolvente del haz cíclico. Podrán determinarse simul- táneamente todas las cónicas dobles por medio de cinco ele- mentos convenientemente ele- gidos; por ejemplo,cincoplanos tales que entre ellos no haya dos que se corten según una recta contenida en una cara, los cuales podrían hallarse elí- giendo cuatro rayos que pasa- sen por un punto no contenido en ninguna cara y además otro cualquiera en general. Si en particular tomásemos el punto del infinito de una de las dos rectas focales reales del cono circunscritoá *' desde S en que se cortan dos rayos isótropos del haz, como este punto debe ser vértice de una serie de su- perficies cilíndricas que ten- gan por planos tangentes co- munes dos reales y aquellos dos isótropos tendrán una rec- ta focal común, siendo suficien- tes estos elementos con un nuevo plano tangente á cada cilindro para la determinación de estos. No obstante de ser este el procedimiento correla- tivo, creemos más sencillo ele- gir como punto del infinito el de una de las asintotas de la hi- pérbola focal de *' cuando esta tenga centro, pues en este caso serán de revolución las super- ficies cilíndricas circunscritas. SIxTO CÁMARA Primer Teniente de Infantería. A A Ñ e E Las Tablas gráficas de Luyando CONTRIBUCIÓN Á LA HISTORIA DE LA NOMOGRAFÍA Por GIusePPE PeEsct. De la R. Academia Naval de Livorno $ 7.—El segundo abaco, que ocupa la parte superior de la tabla pri- mera, da los valores de e, que se deducen numéricamente de la fórmula [6] ya expuesta. - Para construirlo se ha formado sobre el eje de las x una escala uni- 'orme para p poniendo, (excepción hecha siempre de un coeficiente cons- tante), ap 54: [13] esta escala abarca de 54' á 62” y tiene la misma densidad y el mismo coe- ficiente constante de la escala e, del primer abaco. Sobre la paralela al eje de las y, trazada por el punto de cota p = 62', (de la escala prece- dente), se ha trazado otra escala idéntica á la anterior, poniendo y = +s,.2 sen 60%, Por tanto para trazar la línea de cota hi se procede del modo si- guiente: De la [6] resulta inmediatamente que el segmento de la pri- mera escala comprendido entre el origen y el punto p — 54”, y el seg- mento de la segunda escala comprendido entre el eje de la x y el punto - tángulo en el cual el ángulo $ opuesto al segundo estará definido por tg. $ = sen H.; E 19 entre 800 y 90%; además, la escala e, está limitada entre 0' y 5”; (ha- bría bastado entre 0' y 8: 2 sen 609 = 437”). Trazando ahora por todo los puntos de división de las dos escalas (p) y (82) todas las rectas necesarias, se ha obtenido el abaco que co- rresponde á la [6] mediante el cual, dadas p y h”, se calcula inmediata- mente e, con un error menor que 25 (como para <,). Es notabilísimo este abaco, por presentar un anamorfismo analí- tico completo; no empírico como en el abaco primero, ni incompleto como en el cuarto. Pertenece al tipo de los abacos radiados, (N. $ 27), de los cuales el primer ejemplo se encuentra en el de «vida probable» construí- do por LALANNE, (1. c. $ 65). : $ 8.—Consideremos finalmente el abaco correspondiente á la [7], úni- co que nos resta por examinar. : Siendo en este abaco e, función de tres variables, no podía ser un sencillo abaco cartesiano, y por ello se ha recurrido al ingenioso artificio siguiente: Se comienza por construir un abaco para la ecuación cs =f> MP (a); [15] para esto, sobre el eje de as x se establece una escala, análoga á la que determina la fórmula |13], pero tomando un coeficiente constante di- verso, pues en esta siendo el intervalo de 0,9 cm. solamente, queda divi- dida de 15” en 15”. Sobre el eje de las y se ha establecido otra escala y uniforme para los valores de s”¿ poniendo y = Ey y extendiéndola de 0' á 35”, elegido el coeficiente constante, de modo que ocupe unos 25 cm. y dividida como la escala (p) de 15” en 15”. Por los puntos de división de ambas escalas se han trazado los dos sistemas acos- tumbrados de rectas. Hecho esto, atribuído un determinado valor, p.e. 50 á Rh, se han cal- culado los valores de e”, (como ahora diremos), para p = 54' y p = 61';- se han marcado los puntos correspondientes, y se han unido mediante un segmento rectilíneo; se tiene así obtenida la línea de cota ho = 00, y haciendo variar después h, de grado en grado hasta 80% y de cinco en cinco grados entre 80% y 909, se ha obtenido el abaco que corresponde á la [15], mediante el cual conocidos que sean p y h q Se calcula. <'y Respecto al cálculo de s”, debemos advertir que el autor no dice ex- plícitamente que este elemento sea función lineal de p como resulta de la forma que hemos dado á su valor; dice solamente que no puede obte- nerse el valor (dados p y h a ) mediante el uso de una de las tablas de MEN- DOZA, Y atendiendo el autor, á la poquísima curvatura de la curva Ra Loa O A ituído estos arcos por dos segmentos rectilíneos que ha trazado cal- do los valores de <'y (oomsigaecios en una tabla de la pág. 6), corres- sl cos d a 08 “aparece sobre la misma lámina del abaco de la al con los mismos ejes - cartesianos. : Por un punto O' del eje de las x colocado á corta distancia del punto p= 62 (en nuestro caso 1 cm.) se ha trazado una recta O' Y” paralela al eje de las y y sobre esta recta se ha colocado la escala (sz), prolongán- dose todas las rectas paralelas al eje de las x que pasan por los puntos “de división. Después, sobre la recta que pasa por el punto +, = 35 á artir del punto P' de intersección con la O'Y” se ha establecido una escala uniforme para s,; se extiende esta escala de 0 á 33” y en ella el espacio correspondiente á 1” ocupa cerca de 1,7 cm., estando fraccionada de 5” en 5”. Ahora, para trazar la línea de cota de obsérvese que por la [17], el segmento comprendido entre 0' y el punto de cota <”,, y el comprendido entre P” y el punto de cota e”, pueden ser considerados, como catetos de un triángulo rectángulo del cual el ángulo y opuesto a segundo cateto estará definido por tg y = cos d 5 las líneas de cota d, son pues, rectas concurrentes en P”, y para trazar- las, bastará poner <" = 35' enla [17] y calcularlos valores de <, correspon- dientes á todos los valores de d, que se desee considerar y que en nuestro caso, son los mismos considerados en el curato abaco ($ 6). Debe por tan- o trazarse el sistema de rectas por los puntos de la escala (s,) y prolon- gar todas las que pasan por los puntos de la escala (s',) hasta en- obtiene así un abaco completo de la [9] mediante el cual conodicndo a y d, se obtiene s, del modo siguiente: se halla primero el valor de , que corresponde á los valores de p y d, 3 se sigue después la recta que sa por e”, hasta encontrar á la recta de cota des á este punto de inter- RA E sección corresponde el valor buscado para e, (valor que en nuestro caso, E se tiene evidentemente con un error menor de 2”,5, como paras, y s,): Resta observar, que por economía de espacio una parte del segundo aba- co (desde e, = 18”), ha sido trasportada á la porción de la lámina que dejaba libre la primera parte. Este abaco, consta de dos abacos conexos, (á échelles accolées, N. $ 117)- No es necesario, que la escala común contenga la graduación puesto que puede prescindirse del valor de s', siempre que se conozca el punto corres- pondiente; (por esto se dice fundadamente en el prólogo que «la numera- ción puede ser provisional»): y por esto también LALLEMAND llama al principio en que tales abacos están fundados, «eliminación gráfica». De este tipo de abacos, frecuentísimo en la práctica, () no presenta LALANNE ejemplo alguno, y por ello consideramos el abaco tercero de LuYyANDo como el más notable de todos. S 10.—En conclusión: Los abacos constituyen un punto importantí- E simo en la historia de la Nomografía, puesto que son notables, no sólo por la época á que se refiere su construcción, sino porque palpita en ellos el fundamento de toda esta moderna parte de la ciencia. eS De haber sido secundado el ejemplo de LuyAnDo, ciertamente que habrían podido introducirse ya, simplificaciones notables en los cáleu- los, referentes sobre todo á la Navegación astronómica, (los cuales, á ser posible deben consignarse gráficamente en cartas reducidas), y á todas las inmediatas aplicaciones de las Matemáticas. Sólo en los últimos años, especialmente después de la invención de E nuevos métodos se ha tratado de aplicar la Nomografía á la resolución de los problemas principales de la Navegación astronómica, como lo con- firma la enumeración siguiente de los abacos construídos hasta ahora, y que juzgamos de utilidad (P». 1.9 El cuadrante de reducción, que juzgamos como el primer abaco construído, (bastante anterior al de PoncHEr), descrito al jinal de 1692 por el piloto mayor de la Armada del mar Océano, D. ANTONIO GASTANETA E en un libro vouminoso cuyo título es: Norte de la navegación, hallado por A el cuadrante de reducción $) . Ienoramos por qué los cultivadores de la Nomografía no lo han tenido en cuenta. Consta de dos abacos cartesia- (1) Citemos como ejemplos: DE REGIS.—Tavole grafiche fatte sulle formule di Darcy e Bazin... (Atti della Societé degli Ingegneri ed Industrali, di Torino.—1869-1870. VOGLER.—Anleitung zum Entwerfen graphiscer Tafeln. (Berlín, Ed. Ernest et Korn, 1877, pá- gina 100. PASTORE.—Abachi per determinare la carica dei fornelli da mina. (Rivista d'Artigliería € Ge- nio, 1884). Z ñ MOREL.—Considérations nouvelles sur les fonctions balistique. (Cosmos. Paris, 1900). D'OCAGNE.—Application generale de la Nomographie, au calcul des profils de remblai et dé- blaí. (Annales des Ponts et Chaussés. 1896). (2) Como hemos indicado en una nota al $ 4. (3) V. CESÁREO FERNÁNDEZ DURO,—Los ojos en el Cielo. (Madrid. Aribau, 1879). ES cuando se toman por incógnitas dos cualesquiera de las cuatro cantida- des a, b, c, f. - 2,0 Las tablas de LuyanDo, objeto de nuestro trabajo 2. 3.9 El Abaco de la desviación de la brujula, de LALLEMAND, (N.$ 132). 1885: Contiene seis variables independientes, y constituye un ejemplo notabilísimo de las aplicaciones de los abacos exagonales ideados por el mismo autor. - 4,0 El Abaco de las horas de orto y ocaso del Sol, de COLLIGNON. (Nou- velles Annales de Mathématiques. 2.* serie. T. XVIII). Es un abaco ra- diado, (N. $ 27), cuya lectura está ingeniosamente simplificada. e 5.2 El Abaco de la distancia esférica, (N. $ 123). 1891. Es una de las primeras aplicaciones hechas por D,OcAGNE en su genial principio de los puntos alineados €). 6.0 El Abaco para la determinación del punto en el mar, construído _por FABÉ y ROLLET DE L'IsLE (Annales hydrographiques, 1892): Este ed y AY y) (1) La construcción y uso, han sido notablemente simplificados por FAYE, en la pág. 23 de su Cours d' Astronomie Nautique.—París. Gauthier Villars, 1880. (2) El profesor d'OCAGNE, ha tenido la cortesía de comunicarnos, la siguiente indicación bi- bliográfica referente á varios abacos publicados á fin del siglo XVII, anteriores á los de Luyando: 7 MARYETT'S.—Longitude Tables for correcting the effect of paralax aud refraction on the dis- is tance observed between the moon and the Sun or á fixed star. (Dicem 1794). MAINGON.—Carte trigonométrique servant ú réduire la distance apparente de la Lune au So- EA leil ou á une etoile en distance vraic et 4 résoudre d'autres questions de pilotage. (Neptune francais, 210 an. VI de la République. 1798. Y agrega, que en una nota presentada á la Académie des Sciences, en 1798, por LÉVÉQUE y BORDA (citados en una observación al $ 4), se dice «que MARYETTES reduce á una simple opera, ción gráfica los pocos cálculos que requiere el uso de las grandes tablas de reducción de SHEPERD, y que en 1791 el mismo autor publicó una nueva colección de tablas para hallar gráficamente la hora en el mar, y para resolver otros problemas diversos de Navegación astronómica. No hemos podido adquirir ninguna de estas gráficas, por lo cual nos es imposible juzgar de VAR la analogía que puedan tener con las Tablas gráficas de LUYANDO. Esta noticia nos sugiere las siguientes reflexiones: De las ciencias que podrían denominarse Matemáticas aplicadas, las que con anterioridad á la aparición de la Vomografía hicieron uso del Cálculo gráfico, fueron la Navegación astronómica, la Balistica y la Ingeniería: La primera, prin- -cipalmente por el problema de la distancia lunar, comenzando con la labor citada de MARYETTES; la segunda con el problema del tiro, comenzando en 1816 con los trabajos de D'OBENHEIM; la ter- cera con los problemas de los desmontes y terraplenes comienza en 1845 con DAVANI (véanse á este propósito las dos monografías de TERRIER, 1. c. ya en el $ 1, y el D'OCAGNE, $ 2). Para ninguno de estos problemas existen numerosas tablas, (para el último no llegan á una ; veintena). Cada uno de los autores que emprendían estos procedimientos gráficos imaginaban so- Í a luciones especiales, (deseando perfeccionar lo ya hecho), no existiendo hasta hace pocos años un a libro que sistematizase los diversos procedimientos adoptados. (3) En una nota presentada á la Académie des Sciences (Comptes rendus, 1904) por el Pro- - fesor D'OCAGNE hace ver que estos abacos suyos, pueden ser considerados como los abacos gene- rales de la Trigonometría esférica, es decir, que mediante su empleo, puede resolverse un trián- gulo esférico en todos los casos. La misma nota se publicó en el mismo año, en el Bulletin de la Societé Mathematique, con mayor desarrollo, y con una solución simplificada qne nosotros pre- Ts SO — 238 — abaco resuelve el sistema cosa =cosbceos e tg 9 = tg b: sen c [19] cuando se toman por incógnitas dos de las cuatro cantidades a, b, c, 9, y sirve por tanto para resolver completamente un triángulo rectángulo es- férico (salvo el caso en que se dan dos ángulos), como el cuadrante de re- ducción sirve para resolver completamente un triángulo rectángulo pla- no. La analogía entre estos dos abacos es completa, aun cuando no se comprenda fácilmente la razón (D.. Según los autores «este abaco sirve para resolver sin cálculos, muy rápdamente y con suficiente aproxi- mación todos los problemas frecuentes de la Navegación, y sustituye por ello á todas las tablas náuticas, excepto las efemérides. Sin embargo no creemos que su uso sea de excelentes resultados, por sus dimensiones (1 mt. por 0,50), y por la dificultad de su lectura, tratándose de cuatro sistemas superpuestos de líneas. 7.2 El Abaco de la ecuación de la marea diurna y semidiurna de D'OcAGNE (Comptes rendus de l1'Academiedes Sciences, 1896), del cual dados los dos parámetros variables de lugar y época se deduce la altura como función de la hora, y viceversa. 8.0 El Nomograma de las curvas de altura, del prof. MoLrINO (Rivis- ta Marittima, 1899). El principal de ellos, sirve para el cálculo de los ele- mentos que permiten trazar una curva de altura sobre una carta reduci- da. Consta de dos abacos cartesianos superpuestos, que resuelven dos ecuaciones del tipo [19], y tiene gran analogía con los de FABÉ y ROLLET DE L,ÍsLE; mas para la práctica ambos presentan los mismos inconveni- nientes. - 9.0 El Abaco para la distancia de un punto al horizontee, construído por nosotros, (véase, Sul calcolo delle distanze in mare, Rivista Marítti- ma. 1897). Hacemos observar que este abaco da directamente la distan- cia corregida de la refracción, sin necesidad de calcular previamente un valor aproximado de la misma distancia, como se enseña ordinariamente en Navegación (p. e., Faye. 1. c., pás. 361). 10.9 El Abaco para el cálculo de la latitud mediante una altura cir cunmeridiana, construído también por nosotros, (Rivista Maríttima, 1898) Se trata del cálculo notable y frecuente de un elemento de corrección; en estos casos, (como ya hemos dicho en una nota al $ 4), el uso de los abacos es importantísimo. Sobre una lámina de 0, 45 por 0, 35 se tiene el elemento desconocido con un error menor de 30”, mientras como es sabido, la fórmula adoptada, lleva anejo un error que puede alcanzar como valor 1". 11.0 El Abaco para la distancia de un punto á otro dentro del horizon- (1) A propósito de esta analogía, debemos hacer referencia de un antiguo é interesantísimo tascículo que tiene por título: Harmonía Trigonométrica: or a short treatise of Trygonometry, pu- blicada en Londres en 1764, tip. R. Cave, mas no contiene el nombre de su autor. ÉS Mi — 239 — te, tamibén construído por nosotros mismos, (Cenni di Nomografía. II edición. Livorno, Guisti, 1900). Este abaco define la distancia en cues- tión, corregida de la esfericidad terrestre y de la refracción, (esta última se considera constante é igual al valor medio frecuentemente adoptado, mas sería fácil construír un segundo abaco considerándola variable), y da también la distancia de un punto colocado entre el observador y una costa, la cual oculte un horizonte de distancia conocida (D . 12.2 El Nomograma de los azimutes del Sol, del prof. MoLrIxo, (An- nali Idrográfici, 1901). El principal de estos abacos, si ha de dar la apro- ximación frecuentemente requerida en la resolución de los triángulos esféricos, exige dimensiones considerables; mas en el caso particular que su autor considera, son suficientes las dimensiones de 0,45 por 0,40. 113.0 El Nomograma para la determinación del azimut, y para prede- cir la ocultación, del subteniente de navío Sig. PERRET (véase, Note sur quelques applications de la Nomographie, Annales hydrographiques, 1904). El primero estaba ya hecho tres años antes; es el citado del profe- sor MOLFINO, aunque podemos afirmar que el autor desconocía esta cir- cunstancia. Para el caso de ser el azimut próximo á 0% 6 1800, la aproxi- mación es escasa, más para esta excepción PERRET acude á un artificio ingenioso, que se ha hecho corriente. 14.0 El Nomograma para el cálculo de las alturas correspondientes, del mismo Sig. PERRET (véase, Note sur la construction d'un nomogram- ma, París, lib. Chapelot, 1905); al cual nos hemos referido en una nota hablando del abaco 11.2 y cuyo dibujo no se halla en la publicación ci- tada Y. (1) Como hemos expuesto, (véase sul calcolo delle rette d'altezza. Rivista Marittima, 1903) con procedimientos análogos habríamos podido construir otros muchos abasos, útiles en la Nave- gación astronómica, por ejemplo: «Cálculo de las alturas correspondientes»; fórmula que da la la- titud, mediante la observación de la estrella polar»; «Corrección de ángulo horario, para un error de la latitud»;... Podríamos haber construido también para la Navegación astronómica, un atlas, cual deseaba D'OCAGNE (véase, Ensayo sobre la Nomografía, 1891), como el que construimos ya para la Balística con la colaboración del comandante RONCA, (Abbachi per il tiro, é Abbachi gene- rali della Balística. Livorno, Giusti, 1901). Pronto abandonamos la idea, porque comprendimos que al menos entre nosotros el uso de los abacos para la Navegación, no estaba generalizado, á causa de la «tradición de la gente de mar» como con otro motivo dice justamente el prof. GELCICH, (La Scienza náutica nel secolo XIX. Rivista Marittima. 1901). (2) El profesor D'OCAGNE al comunicarnos las noticias que hemos expuesto en otra nota, ha- blando del abaco 2.?, nos dice también que PERRET, está publicando los siguientes abacos: —Point estimé, parallaxe en hauter des planetes. —Correction des hauteurs d'astres. —Parallaxe en hauter de la Lune. E —Levers et couchers vrais; circonstances favorables au calcul d'heure. —Azimut par l'heure; recherche d'un astre observé; navigation par arc de grand cercle. —Droite de hauteur, par une ouservation circum-meridienne. —Equation des hauteurs corrispondentes du Soleil. Comprende todo ello la labor á que hacíamos referencia en una nota, al hablar del abaco 11%, y que suspendimos por las razones allí indicadas. Auguramos para la estimable labor del distinguido oficial el mejor éxito. — 0-= 15.2 El Abaco para hallar los límites entre los cuales puede hacerse uso de las rectas de altura de M. S. HILARIE, por el profesor MOLFINO, (véa- se, Circa le rette d, altezza, Rivista Maríttima 1906). 16.0 A todos estos abacos podrían agregarse los dos Abacos genera- les de la Trigonometría plana. El primero fué construído por el profesor D'OcacNE, Bulletin astronomique, 1894); el segundo por nosotros, (Pe- riódico di Matemática, 1900); y de ambos dimos una construcción elemen- tal que no requiere conocimientos de Geometría analítica, (Suplemento al Periódico di Matemática 1900). No creemos, sin embargo, que estos abacos puedan ser prácticamente útiles; pero haremos ver en otra nota cómo pueden remediarse, al menos en parte, los inconvenientes prin- cipales que los citados abacos presentan. Por la traducción, GABRIEL GALÁN 24 Mayo 1906. — Praycto de unificación de los métdo de ardid vio Ponencia del Dr. D. Antonia de Gregorio Rocasolano en el Congreso de Zaragoza de la Asociación Española para el Progreso de las Ciencias ENSAYOS PRELIMINARES Examen microscópico.—Después de dejar reposar el vino durante 24 horas, en la vasija que lo contiene, se sacará una muestra introducien- do en la masa líquida una pipeta de vidrio previamente calentada á 1209 y cerrada de tal modo, que pueda abrirse cuando el extremo de la pipe- ta introducido en el líquido, toque las capas más profundas. Depositada la muestra en un frasco esterilizado y cerrado con tapón de algodón se procede al reconocimiento. Si se trata de un líquido claro, se. observa al microscopio una gota (20 en Cc.); si fuera turbio, se tomará una gota más pequeña (40 ó 60 por ec.) diluída con otra ú otras dos de agua esterilizada. De la observación microscópica directa puede deducirse la fase de - elaboración en que se encuentra, las condiciones de conservación que más le convienen, las infecciones microbianas, si las hubiere, etc. Se completa este reconocimiento cuando se trata de vinos que estén largo tiempo en reposo, observando una muestra tomada con las precau- ciones indicadas, de la superficie del líquido (infecciones producidas por microorganismos aerobios). -——Cata.—Un práctico, puede deducir por la simple prueba ó cata de un vino, datos suficientes para juzgar de su calidad bajo el punto de vista comercial y entre ciertos límites, de su composición referida á alguno de “sus componentes. E Es este un reconocimiento, para el que no pueden dictarse reglas, ni y -es solo la práctica quien hace maestros; es necesario una gran sensibi- lidad en los sentidos del gusto y del olfato; la práctica desenvuelve esta aptitud y la constancia produce los más seguros resultados. , ANALISIS QUIMICO Determinación del alcohol. —En una probeta aforada hasta 200 cc., se , mide este volumen de vino, procurando que la temperatura sea lo más . próxima posible á 15%. Se vierte el vino en un matraz que forma parte O de un aparato destilatorio y con tres lavados de agua destilada, se recu- pera el que haya quedado adherido á las paredes de la probeta: estos la- vados que en conjunto deben tener un volumen de 100 ec. aproximada- mente, se incorporan al vino colocado en el matraz y se procede á la des- tilación después de haber neutralizado con potasa ó sosa. , Del líquido que destila, que debe recogerse en la misma probeta en que se midió el vino, se recogen aproximadamente 200 ce. que después se completan exactamente con agua destilada; se agita por inversión, se toma la temperatura y con un alcohometro bien comprobado se lee el grado alcohólico, que debe someterse á la corrección que le correspon- de según la temperatura del líquido, haciendo uso de las tablas que dan el grado real de alcohol á 159, en función del grado marcado por el alcoho- metro y la temperatura (Gay Lusac). Acidez total.—Debe referirse al ácido tartárico. Para determinarla, se miden en una pipeta de dos trazos cinco cen- tímetros cúbicos de vino, á la temperatura más próxima posible á 150: puesto el vino, en una copa, se añaden 30 cc. de agua destilada y dos go- tas de disolución alcohólica de fenoftaleina al 1 % procediendo á la neu- tralización por medio del agua de cal recien filtrada cuya temperatura t se conozca: del número n de centímetros cúbicos gastados en la neu- tralización, se deduce en función de la temperatura £, la acidez def vino referida al ácido tartárico, por la fórmula: 0,00409. n — 0,000032. n.t= Az, en la que el valor Ar encontrado, representa la acidez total de 5 ec. del vino problema, referido al ácido tartárico: multiplicada por 20, tendre- mos la acidez por %. El conocer el momento de la neutralización cuando se trata de mos- tos ó de vinos rosados ó blancos, no ofrece dificultad alguna, porque la variación de color del líquido, cuando vira al rojo por la fenolftaleina er el momento de la neutralización y persiste en rojo con dos gotas de agua de cal añadida en exceso, es bien marcado, destaca perfectamente; si se opera con vinos tintos de mucho color, esta reacción final aparece enmas- carada y debe observarse, que el color del líquido, rojo en el primer mo- mento, se cambia por un color verdoso-violeta sucio y la aparición más abundante á medida que se aproxima la neutralización de unos copas de este mismo color; cuando se tiene gran costumbre de operar, estos ca- racteres son suficientes para reconocer el final de la operación, obrando así la materia colorante de los vinos rojos, como reactivo indicador. Más fácilmente se aprecia la neutralización en este caso, disponiendo en un plato de porcelana unas pequeñas gotas de fenolftaleina y cuando el co- lor del vino comienza á variar del modo indicado, se toca con la varilla conque se agita el líquido una de estas gotas que se teñirá en rojo cuando la operación termine. AS Del gasto de agua de cal acusado por la bureta, habrá que restar 0,1 cc. en el caso de vinos blancos ó rosados y 0,2 cc. en el de vinos tintos que es la cantidad de agua de cal que necesitan 30 cc. de agua, para pro- ducir en la fenolftaleina la reacción indicadora. Extracto al vacío.—Sé toman 5 cc. de vino, y puestos en una cápsula de porcelana de fondo plano, se colocan debajo de una campana puesta en comunicación con un aparato de vacío: dentro de esta campana debe colocarse un vaso de vidrio de poca altura y ancha base, con ácido sul- fúrico de 660 B” . Se extrae el aire y se deja el aparato en esta disposi- E ción durante cuatro días. Al cabo de este tiempo, se pesa la cápsula con : el extracto y restando la tara de la cápsula, deduciremos el peso del ex- p tracto. Extracto á 100%.—En una cápsula de porcelana, tarada, se ponen 5 cc. de vino y se coloca en una estufa de agua. Cuando el agua hierve, se sostiene de este modo durante tres horas, se retira el fuego, se deja enfriar y se pesa. De Sino se dispone de una balanza muy precisa, se operará con 10 cc. de vino. Acidez volátil. —Determinando la acidez total de un extracto seco con relación al volumen de vino con que se obtuvo y restando este nú- mero que es la acidez fija, de la acidez total yá determinada, la diferen- cia-será la acidez volátil con relación al ácido tartárico. Si se opera con vinos picados esta acidez debe expresarse en ácido acético. Glucosa.—Se toman 100 cc. de vino y puestos en un matraz aforado E á 150 cc. se añade negro animal y la cantidad necesaria de agua hasta 2 completar este volumen: realizada la decoloración se filfra, y del líquido a filtrado se toman 50 cc. que se diluyen con agua destilada, si fuera nece- e sario, de modo que resulte un líquido que reduzca próximamente la mi- e tad de su volumen de líquido de Feheling. eos Puesto en una bureta el líquido problema, se coloca en una pinza de mano, un matraz-Elenmeyer con 10 cc. de licor de Feheling, que se diluye un poco, se hace hervir y si el reactivo queda perfectamente transparen- te después de la ebullición, se va añadiendo del líquido problema, y ca- lentando hasta que la reducción se verifique. Se llega al final de la re- ducción, cuando el precipitado rojo de óxido cuproso, se deposita fácil- mente separando el matraz del fuego y el color azul del líquido observado por refracción desaparece siendo sustituído por un ligero matiz amarillen- to, cuando la reacción ha terminado. Si el color amarillo se acentúa, in- dica que se ha pasado el momento de la reducción total y la operación está mal terminada. Por el volumen de líquido problema gastado y el valor del licor de Feheling se calcula el azúcar reductor referido á glucosa, y como to- mamos 50 cc. de los 150 cc. en que convertimos al descolorar los 100 ES cc. de vino de que se parte, multiplicando el número obtenido por 3, tendremos la cantidad por 100 de glucosa contenida en el vino. Sulfato potásico.—Esta determinación, solo tiene interés, cuando se trata de vinos enyesados ó se sospecha que lo hayan sido. La cantidad de sulfatos contenida en los vinos normales, varía según el terreno de que procede la vid, entre 0,18 y 0,46 por 1.000: si el vino ha sufrido varios trasiegos, llega hasta 0,70-por 1.000 efecto de la oxidación del anhídrido sulfuroso con que se desinfectan las vasijas vinarias: no debe considerarse como enyesado un vino sino cuando contiene más de 1 por 1.000 de sulfato potásico. El fundamento del método de determinación, es la eliminación de los sulfatos insolubilizándoles en forma de sulfato de bario por medio de una disolución valorada de cloruro de bario y la filtración del líquido, hasta que este no se enturbie por nuevas adiciones de sal soluble de bario. El líquido valorado, se hace disolviendo en agua destilada 14,02 gra- mos de cloruro de bario puro cristalizado y seco, añadiendo 50 cc. de áci- do clorhídrico, y completando con agua un litro. Para practicar la determinación, se ponen 10 cc. de vino en un tubo de ensayos se calienta hasta ebullición y se añade 1 cc. del líquido va- lorado que producirá un enturbiamiento debido al sulfato de bario que en estas condiciones se forma, se deja reposar y se filtra: al líquido fil- trado se añaden unas gotas de disolución de cloruro de bario y si se pro- duce nuevo enturbiamiento, es prueba de que en el vino problema existe más de 1 por 1.000 de sulfato potásico, ó sea que el vino fué enyesado. Con otros 10 cc. de vino, se repite la operación pero añadiendo 2 cc. de la disolución valorada de cloruro de bario, y si después de la filtración precipita con el mismo reactivo, demuestra que el vino tiene más de 2 por 1.000 de sulfato potásico. Se repite en caso afirmativo con nuevos 10 cc. de vino, añadiendo 3, 465 cc. de la disolución valorada, para reconocer si tiene más de 3,405 gramos de sulfato potásico por litro. O e La enseñanza de la Geología en España De las tres principales ramas en que se divide el estudio de la His- toria Natural, la Geología es la que en peores condiciones se enseña en las Universidades de provincias. Su enseñanza hay que darla en la asig- natura de Mineralogía y Botánica, de lo cual resulta que, de no pres- cindir del estudio de importantes grupos de plantas, queda muy poco tiempo para la exposición de la Geología propiamente dicha, que debe ser además ampliación de la que se explica en los Institutos. Haciendo enorme contraste con la heterogeneidad y excesiva extensión de dicha asignatura, está la otra de Historia Natural del preparatorio, que te- niendo el mismo número de clases comprende solamente el estudio de la Zoología general, resultando así, que mientras en Mineralogía falta tiempo para la explicación de la Geología, en Zoología hay que repetir muchos de los conocimientos de Biología expuestos en Botánica. Dedúcese por tanto que la actual división de la Historia Natural del preparatorio en las dos asignaturas de Mineralogía y Botánica y Zoolo- gía general, es anticuada é inconveniente, debiéndose modificar, á mi entender, comprendiendo una de ellas la enseñanza de la Mineralogía y Geología y la otra la Biología animal y vegetal. De este modo podría explicarse bien la Geología, dando así á la Mineralogía el verdadero fundamento histórico natural que debe tener; pues si en el estudio de los minerales se prescinde de sus caracteres de yacimiento se desnatura- liza dicho estudio llevándole al campo de la química mineral. Además, esta reforma no creo que perjudicase á la enseñanza de la Botánica y Zoología general; muy al contrario, haciendo su estudio en la misma asignatura podría dársele un carácter más científico y prácti- co, empezando el curso por unas lecciones de Biología general y si- guiendo después con el examen detenido de los principales tipos de or- ganización animal y vegetal. Si por la reforma propuesta se consiguiera el tiempo necesario para poder dar debidamente en las Facultades de Ciencias la enseñanza de la Geología, las ramas de esta que habrían de ser objeto de un estudio más completo serían la Geognosia y la Geología histórica, ya que tanto AGE la Geología fisiográfica como la dinámica pueden exponerse con toda la extensión necesaria en los Institutos. Ahora bien, si se quiere como es indispensable que á dicha enseñan- za se le dé el carácter práctico, sin el cual es completamente estéril, precisa que cada profesor, numerario ó auxiliar, no tenga más alumnos de los que puedan hacer bajo su dirección las observaciones ó experien- cias sobre las cuales verse la explicación. Hora es ya de que terminen esas clases numerosas en que hay que dar la enseñanza de ciencias de observación en igual ó parecida forma á como se enseña el Derecho ó la Historia literaria. Para conseguir esto, creo yo, que el claustro de la Facultad, al re- unirse para organizar el curso, debería fijar el número de alumnos que hubiesen de recibir la enseñanza teniendo en cuenta el personal cientí- fico auxiliar de que pudiera disponerse, y de tal modo, que cada profe- sor no tuviese bajo su inmediata dirección más de veinte escolares. Sí el número de solicitudes de matrícula fuera mayor del fijado, se podían eliminar los sobrantes por medio de un examen de ingreso. El catedrá- tico numerario establecería el programa y plan de curso que habría de seguirse y los profesores auxiliares que hubiesen le desarrollarían, como el catedrático, al frente de su respectiva sección. De este modo los alumnos, rodeando la mesa del profesor, podrían observar los ejemplares, preparaciones, láminas ó experiencias que cons- tituyeran el objeto y fundamento de la explicación; así esta sería ver- daderamente fructuosa y quedaría para las clases prácticas lo que real- mente debiera constituir el asunto de las mismas, que es el manejo por los alumnos de los instrumentos, reactivos y libros de laboratorio para que manipulando ellos, resuelvan los problemas que se les propongan. Si la reforma expuesta se creyese que, por lo intensiva que resulta- ría la enseñanza, es más propía de las asignaturas especiales que de las de caracter general como son las del preparatorio, podría también sus- tituirse por la siguiente. En vez de la actual distribución de cuatro cla- ses semanales, tres teóricas y una práctica, establecer una sola clase se- manal teórica á la que habrían de concurrir todos los alumnos y en que la conferencia que en ella se diera versase sobre las observaciones Ó ex- periencias que previamente hubiesen hecho los alumnos en las clases prácticas convenientemente distribuídos en secciones. Estas clases prác- ticas con pocos alumnos deberían ser lo más numerosas posibles duran- te la semana y en la clase teórica general se haría el resúmen ó síntesis de todo lo que se hubiese visto en las clases prácticas con las induccio- nes, hipótesis y teorías fundadas en dichas observaciones. La implantación de cualquiera de las dos reformas expuestas con- duciría á un grandísimo adelanto en la enseñanza de la Geología, cual es el de conseguir que el profesor tuviese que preocuparse más de pre- parar una serie gradual y metódica de observaciones y experiencias, Respecto á la enseñanza de Geología litológica creo que se incurre en un grave error científico y pedagógico al prescindir ó relegar por lo menos á segundo término en la clasificación de las rocas los caracteres deducidos de las condiciones de su yacimiento. Esto ha sido una abe- tración resultante de la importancia que ha adquirido el estudio micros- -Ccópico de las rocas eruptivas. Han sido tales los nuevos horizontes que respecto al origen y formación de las mismas, ha abierto su examen mi- crográfico que los caracteres de la composición mineralógica y estruc- tura que proporciona dicho examen, se han considerado como principal y hasta único criterio de distinción de grupos. Y el resultado de ello es la formación de una infinidad de especies de rocas distribuídas en nu- merosas secciones, muchas de ellas, enteramente artificiales. Se ha re- accionado sin embargo contra dicha tendencia en los últimos veinte años, pues no otra cosa significan los tres grupos en que clasifica H. Rosen- busch las rocas eruptivas: rocas profundas, en filones y solidificadas en el exterior, como también los trabajos de ciertos petrógrafos de la es- cuela americana (Cross, Iddines, Pirssons y Washington) encaminados á clasificar las rocas, teniendo en cuenta en primer término su compo- sición química y solo secundariamente su composición mineralógica y estructura. . Comprendo que varíen los grupos secundarios según el criterio que se siga al establecerlos, más entiendo que deberían conservarse siempre las grandes divisiones fundadas en las condiciones en que se encuentran las rocas en la corteza terrestre, pues estos son grupos verdaderamente - Naturales y que por tanto no deben desmembrarse. Y los caracteres se- -—cundarios que se empleen para distinguir los sub-grupos no debieran ser los mismos en las rocas hipogénicas que en las extratificadas, ya que en estas puede utilizarse perfectamente el carácter de su origen así - como en aquellas es preciso tener en cuenta los caracteres de su estruc- tura y composición mineralógica. En la enseñanza de la Geología histórica ó extratigráfica hay que 4 distinguir el estudio de la parte general ó fundamentos de la cronología geológica del de la parte descriptiva. Aquella hay que explicarla nece- _sariamente en la cátedra y en el gabinete, exponiendo á grandes rasgos os caracteres principales de las eras y períodos geológicos siguiendo el orden cronológico de su formación, más la parte descriptiva no debería de ninguna manera estudiarse, como generalmente se hace en España, Y describiendo en clase las diversas formaciones y obligando al alumno á hacer esfuerzos de memoria é imaginación que le desvían del verdadero Y — 248 — camino que debe seguir para ser un geólogo, cual es el estudiar los te- rrenos en el campo, no en las descripciones que de ellos se hacen en los libros; éstos, en la parte descriptiva, deberían servir tan solo para con- sultar, no para estudiar. El profesor á mi entender debiera preparar la explicación de las lec- Ñ ciones de extratigrafía descriptiva, escogiendo un cierto número de lo- he calidades típicas para el estudio detenido de los terrenos y este estudio ¡ detallado deberían hacerlo los alumnos, siguiendo el orden inverso al que generalmente se sigue, es decir, empezando por las formaciones modernas y terminando por las antiguas. Así se evitaría el grave inconveniente de empezar el trabajo por lo más desconocido y difícil de comprender cual es la formación de los te- rrenos pizarroso-cristalinos y las fuerzas orogénicas que han obrado so- bre ellos y los primarios para llegar á colocar sus estratos en la dis- posición en que actualmente se encuentran. Además también la flora y fauna de la época primaria es la más distinta de la actual, resultando : de todo ello que los alumnos se desorientan y llegan á creer que la Ss Geología histórica es una serie de hipótesis y conjeturas muy dificil- mente coordinables. E: Todo lo contrario sucede si en la observación de los terrenos se si- gue el orden cronológico inverso. Empezando por las formaciones alu- viales y cuaternarias no hay dificultad ninguna para explicar su origen y disposición y los fósiles que en ellas se encuentran son así mismo per- S fectamente comprensibles por su completa analogía con las especies ac- tuales. Continúase después con los terrenos terciarios que en muchas localidades, Zaragoza por ejemplo, aparecen inmediatamente debajo, bordeando al cuaternario. La disposición de sus extractos es también seneralmente horizontal y la naturaleza marina ó lacustre de los mis- > mos, fácilmente reconocible. Las especies fósiles son ya algo distintas de las que viven actualmente, pero la relación entre unas y otras se establece con suma facilidad. Y así sucesivamente debe irse arcediendo en el estudio de lo bien conocido y fácil de comprender, cual son los te- S rrenos modernos á lo menos conocido y difícil de interpretar como son las formaciones más antiguas. De este modo se aplica mejor á la geolo- gía extratigráfica el criterio general de Lyell sobre.la acción de las cau- sas actuales en los fenómenos geológicos y que como es sabido tanto ha influído en la constitución de la moderna geología. E Resumiendo en breves frases todo lo expuesto diré para terminar 2 que si se quiere que la enseñanza de la Geología de las asignaturas de Historia Natural del preparatorio sea verdadera ampliación de la que se explica en los Institutos es preciso implantar las reformas siguientes: 1.2 Unir la enseñanza de la Botánica á la de la Zoología general ; en la misma asignatura, constituyendo la otra con la Mineralogía y Geología. ducir te do lo posible las clases numerosas ya dividiéndolas 1s secciones como permita el personal científico auxiliar de que os y cuatro ó más de carácter práctico con pocos alumnos según l número de estos. 2 Que el profesor prepare la explicación de las lecciones de Geo- PeDfROo FERRANDO Mas. -=.2400 = LIQUENES DE ARAGON POR EL K. P. LONGINOS NAVÁS, $. ]. (CONTINUACIÓN) 3. FamiLIia PARMELIÁCEOS Talo membranáceo, en su conjunto orbicular, lobado ó lacinia- do, dorsiventral, ó sea con corteza superior é inferior, ambas constituidas por hifas perpendiculares á la superficie; envés de color algo distinto del haz, sin venas, con ricinas esparcidas por igual, ó sin ellas. Apoteczos parmelinos, ó sea en forma de discos levantados sobre el talo, con reborde talino, dispersos por la su- perficie. Paráfisís articuladas. Esporas hialinas y simples. Con espermogontos dispersos ó marginales (fig. 13). Crecen en las rocas y en las cortezas, á las que están adheri- dos; se desprenden con facilidad estando mojados. 7. GÉNERO PARMELIA Ach. Talo más ó menos orbicular, adherido al soporte en toda su extensión, lobado ó laciniado, de color muy vario; envés con rici- nas esparcidas por igual. Sección l. XANTHOPARMELIA Wainio Talo amarillo ó pajizo en el haz; envés con ricinas hasta cerca del borde. 19. Parmelia caperata L.—Talo grande (á veces de algunos decímetros), de un amarillo páli- lido, orbicular, mate, arrugado, con lóbulos sinuoso-liciniados, redondeados ó festonados en el margen. Envés negro, más pálido y lampiño en la periferia. Apote- cios bayo-rojizos, con margen festonado. K+ 4. CaCl =. Fig. 13 Abundantísimo en todas par- Parmelia perlata L. — a. Asca.— b. Este- rigma.— c. Espermacios. — d. Corte del tes. Troncos de los bosques. talo con dos Espermogonios O. Parmelia sinuosa Sm.—Talo amarillento, liso, orbicular, obado, con lacinias estrechas, pinatífidas, dilatadas y con fre- a encia soredíferas en el ápice, en la base con seno eN circu- : erios parias: Son margen delgado y ESO. OR No la he visto de Aragon. 21, Parmelia conspersa Ehrh. (centrífuga Huds.).—Talo or- bicular, amarillo, brillante, salpicado de puntos negros; contorno laciniado- dividido, ado en el margen; envés pardo, con ri- cinas del mismo color. K + EAN después rojo, Ca Cl =. Apotecios bayos ó parduscos, con margen entero é inflexo. Frecuentísima en las piedras silíceas. Var. latior Scheer. Lóbulos del contorno anchos, planos, no _hendidos, sino redondeados, festonados. Veruela. Var. stenophylla Ach. Lóbulos muy estrechos, empizarrados en el centro y en la periferia. Frecuente. Calatayud (Vicioso), Cariñena (Navascués), Mon- - Cayo, Veruela, Zaragoza, etc. g F.* hypoelista Nyl. Envés pálido. Cariñena (Navascués). F.? isidiata Leight. Talo con abundante isidio, excepto en la periferia. Frecuente. A esta forma tal vez deban referirse las lusitana, -verrucigera € ¿sidiotyla de Nylander. 22. Parmelia Mougeoti Scher.—Talo pequeño de 1-2 ctm. y - amarillo, verdoso, en su conjunto orbicular, laciniado, con laci- - nias estrechas, planas, adherentes, salpicado de soredios amari- llos; envés negruzco; apotecios (raros) rojizos. M + K= A. Piedras silíceas. No la tengo de Aragón, pero paréceme haber- la visto en varios sitios. 23. Parmelia ambigua Wulf. (d:/fusa Web.) —Talo pequeño, amarillo de azufre, orbicular, estrellado, con lacinias estrechas, planas, aplicadas, multífidas, con abundantes soredios amarillos; envés pardo negruzco, con pocas ricinas. Apotecios rojizos. Espo- ras algo encorvadas. En los troncos, sobre todo en los pinos. Sallent, etc. Sección 1. MELZENOPARMELIA Hue Talo con el haz verde obscuro, pardo verdoso, pardo-negruzco negro; envés con ricinas dispersas. 24. Parmelia acetabulum Neck.—Talo ancho, hasta de un — 202 lor verde azulado, á trechos cubierto á veces de una eflorescencia blanquizca. Apotecios grandes (5-10 y más milímetros), elevados, casi urceolados, de reborde tenue y arrugado, disco pardo. M+K= A, después R. Troncos. Veruela, Sallent, etc. 25. Parmelia olivacea L.—Talo grande, hasta de un decíme- tro y más, de un verde ollváceo, mate ó apenas brillante, menu- damente rugoso, con lóbulos divididos, en la periferia festonados; envés algo más pálido; apotecios bayos ó rojizos, planos, con mar- gen entero. En los troncos frecuente. Veruela, Moncayo, Sallent, etc. 26. Parmelia exasperata Dnrs.— Color como la anterior. Más pequeña, hasta 5 centímetros ó más, orbicular, profundamente lo- bada, enel borde los lóbulos festonados; todo el haz y el margen talino del apotecio erizado de pequeñas papilas del mismo color; apotecios 2-4 mm. En los troncos lisos de varios árboles. Calatayud (Vicioso), Ve- ruela, Moncayo, etc. 27. Parmelia prolixa Ach.—Talo grande, de un decímetro ó más, oliváceo-obscuro, orbicular, brillante, laciniado empizarrado; lacinias estrechas y multífidas, planas, en el extremo festonado- hendidas, biem adherentes al soporte; envés negruzco; apotecios pardos, con margen entero. Es bastante variable en sus formas, que no es necesario distin- guir. : En las piedras, sobre todo silíceas. Común en los campos. Ca- latayud (Vicioso), Moncayo, Veruela, Zaragoza, etc. 28. Parmelia fahlunensis L.—Talo delgado, liso, de un color pardo-negruzco, laciniado, con lacinias estrechas, divididas en di- gitaciones empizarradas, atenuadas en el ápice, planas ó algo ca- naliculadas; envés algo más pálido; apotecios pardos, apenas fes- tonados. En las rocas de las alturas. Moncayo. 29. Parmelia stygia L.—Talo grueso, apergaminado media- no, de unos 3 centímetros, pardo-negruzco, brillante, orbicular, lasiatado estrellado, con lacinias convexas, empizarradas, muy . divididas, casi truncadas en la periferia, con espermogonios pe- - queños hemisféricos; negro por debajo; apotecios pardos, con margen festonado. En las rocas silíceas de grandes alturas. Moncayo, Benasque, etcétera, AA o Sección UI, LEUCOPARMELIA (0 Mint Talo de fondo blanquizco, tirando á blanco, garzo y aun á par- (omphalodes). 30. Parmelia omphalodes 1.—Talo grande, hasta de 15 6 20 centímetros, cartilaginoso, delgado, brillante, laciniado, con laci- s estrechas, divididas, empizarradas, en el extremo truncadas, de un gris obscuro pardusco ó ahumado, comúnmente estéril. Común en las rocas silíceas de las alturas. Moncayo, Pirineos, Var. panniformis Aa. Talo ceniciento ó pardusco; lóbulos y sus divisiones estrechos y cortos, formando una placa algo gruesa. Moncayo. 31. Parmelia saxatilis L. (retiruga DC).—Talo membraná- ceo, ceniciento ó blanquecino, frecuentemente con abundante isi- dio, arrugado y agrietado, formando malla irregular; laciniado con lacinias planas, aplicadas, lobadas, ensanchadas y festonadas en el extremo; envés negro; apotecios pardo-rojizos, con margen entero ó festonado. Insensible á la potasa. M+K = 0. Con fre- cuencia enrojecido por los agentes atmosféricos. -——Enlas piedras muy frecuente. Moncayo, Pirineos. 32. Parmelia sulcata Tayl.—En su aspecto y color parecida - ála saxatilís. Haz lisa, sin isidio, muy distintamente reticulada, con soredios alargados marginados; envés pardu obscuro. Mi = Me En troncos preferentemente. Aranda de Moncayo (Lázaro), Veruela, Moncayo, etc. 33. Parmelia Borreri Turn. (Zubía Scheer). —Talo ancho, or- - bicular, lobado, reticulado por encima, salpicado de abundantes soredios centrales y marginales; apotecios pardo-rojizos. - Aunque no la tengo de Aragón, no dudo que se halle en esta comarca. 34. Parmelia eetrata Ach.—Talo ancho, cartilagíneo, blan- quizco garzo; haz sin soredios ni isidio, algo agrietada; lóbulos anchos, festonados y ascendentes en la periferia; envés fibriloso hasta el borde mismo, ó con las,ricinas submarginales transfor- madas en papilas negras. Con la potasa la corteza y la médula amarillean y esta última pasa rápidamente al rojo de sangre; apo- tecios maduros perforados en el centro. Se cita de España (Amo). Creo que en Aragón existe, pues está en otras regiones de la península. (1) Aevxoc blanco. Incluyo en esta sección varias secciones ó subsecciones de Wainio, Hue y otros; como también para mayor comodidad, he dado diferente ex- — 254 — F.? soredifera Wain. Con soredios. F.a ciliosa Viaud.-Gr.-Mar. Con pestañas negras marginales. 35. Parmelia perforata Jacq.—Reacción y apotecios como la cetrata. Talo enteramente liso, de un blanco algo garzo, lobado, sin soredios, con pestañas marginales negras de 1-3 mm.; envés negro en el centro, pardo en la periferia y en la misma ancha- mente desnudo de ricinas. Debe de existir en Aragón. 36. Parmelia perlata L.—Talo grande hasta de 30 centíme- tros de diámetro, blanco garzo, liso, orbicular en su conjunto; ló- bulos anchos, de bordes enteros ó casi enteros, plegados, ascen- dentes, sin fibrillas ó pestañas, con soredios marginales; envés ne- gruzco y más pálido hacia los bordes. Con la potasa amarillean la corteza y la médula, y ésta se enrojece añadiendo enseguida clo- ruro cálcico. En rocas y árboles. Falta hallarla en Aragón. 37. Parmelia tiliacea Ehrh.—Talo mediano (hasta un decí- metro ó más), blanco, mate, profundamente lobado, con lóbulos festonados y casi hendidos, aplicados; bordes sin pestañas; envés negruzco; apotecios grandes (4-6 mm.), de disco bayo, margen fle- xuoso ó festonado, lampiño. Común en las cortezas. Frecuentemente se ha confundido con la perlata. F.? munda Scheer. Menor. Haz lisa, sin granulaciones; lóbulos bastante divididos; apotecios abundantes. : Calatayud (Vicioso), Veruela etc. F.? seortea Ach. Mayor. Ordinariamente estéril; haz cubierta, sobre todo hacia el centro, de granulaciones isidioides, negruzcas. Veruela, Moncayo, etc. 38. Parmelia carporrhizans Tayl.—Talo parecido al de la tilzacea, de un blanco garzo algo azulado, con lóbulos alargados, lobado-hendidos, con lobulillos; cartilagíneo, sin pestañas margi- nales; apotecios bayos (2-6 mm.), con margen casi entero, grueso, con una corona de pestañas negras en la base exterior. : Cortícola. Benasque (Lázaro), Veruela. 39, Parmelia trichotera Hue.—-Talo anchó, blanquizco, te- rroso y aun negruzco, orbicular, lobado, liso, sin isidio; bordes de los lóbulos crispados, ascendentes, sorediosos, pestañiosos, con pestañas de 0'5-1 mm., negras; envés negro, pardo en los bordes, brillante, con ricinas negras, ordinariamente desnudo en una ban-. da periférica, á veces papiloso en la misma K Ale Con la potasa amarillea la corteza y la médula y ésta se enrojece al fin. Moncayo, Veruela, etc. > dl — 205 — 40. Parmelia pilosella Hue.—Talo grande, blanquizco, cu- bierto de un isidio en el que se ve alguno que otro pelo negro; la- ciniado; lacinias de 10-15 mm. de ancho, lobadas profundamente; periferia con pestañas negras de 1-2 mm., simples ó ramosas; en- vés negro en el centro con ricinas negras, pardo en la periferia, con faja desnuda; apotecios anchos de 6-12 mm., pardos, con mar- gen algo festonado, casi pedunculados. Con la potasa amarillea la corteza y la médula. Es muy fácil que se halle en Aragón, aunque de esta región de España no la he visto. 41. Parmelia revoluta Flk.—Talo blanquizco, orbicular, laci- niado, con lacinias estrechas, lobado-hendidas, empizarradas; haz sin isidio, lóbulos ascendentes en el extremo; envés negro, pálido en el margen, apotecios de margen festonado. M + K = O. Debe de hallarse al menos en los Pirineos. 42... Parmelia levigata L.—Talo blanquecino Óó garzo, poco adherente, liso, con algunos soredios, orbicular, laciniado; laci- nias sinuado-hendidas, divergentes desde el centro, algo empiza- rradas; envés negro hasta el borde mismo; apotecios rojizos, con margen entero ó apenas festonado. En las rocas y troncos no es rara. Moncayo, Veruela. Quadro de las especies del género PARMELIA 1. Talo amarillo ó a en el haz a IL, A INEA Ne : 2 —Talo obscuro, dle un ende patdascol y aun negruzco ) (Sec- ción Il, Melenoparmelia) . .. E ARNO) —Talo más ó menos grisáceo ó planeo, o ulndo llegar á par- do obscuro y á blanco (Sección Il! Leucoparmelia) . . . . 11 2. Talo grande, de más de un decímetro, orbicular, lobado, mate, arrugado, laxamente adherido al soporte; envés bayo en los bordes. Cortícola . . . a CANA Lo —Talo más pequeño, lefsado (acuaiado Ó acimado a ASS 3. Talo mayor de 5 centímetros . . . a pies, —Talo menor de 5 centímetros, laciniado, estrellada, no e cado de puntos negros, sino de soredios amarillos . . . . 5 4. Talo mayor, brillante, salpicado, sobre todo hacia el cen- tro, de puntos negros, más ó menos orbicular; contorno lobado ó laciniado; envés comúnmente negruzco, ricinoso en toda su exten- sión, fuertemente adherido al soporte. Saxícola. conspersa Ehrh. —Talo menor, liso, orbicular, con lacinias pinnatífidas y fre- cuentemente soredíferas en el ápice, en la axila con seno ancho redondeado; envés negro, más pálido en la periferia. sínuosa Sm. 3. Cortícola. Talo amarillo de azufre, con lacinias estrechas, EIA. PA — 256 — multífidas, planas, aplicadas, muy sorediosas . . ambigua Wif. —Saxícola. Talo mínimo, de 1—2 ctm., amarillo verdoso, con lacinias lineares planas. . . co... Mougeofí Scher. 6. Talo más bien verdoso, sa amado; ya pardusco . . . 7 —Talo más bien negro, con un tinte de pardo, ó verdoso. Sa- CO a O) 7. Talo ende azilado, con a apoecion asadas. elevados, ur- ceolados, de margen tenue y arrugado . . . acetabulum Neck —Talo verde oliváceo puro ó pardusco . . . CE PEIAAEAS 8. Talo oliváceo obscuro, brillante, laciniado; envés negruzco. Sarco E O ADE IN —Talo elívácen au%O, maño. Cortícola: O O Ia. O) —9. Talo apenas brillante en los bordes, menudamente rugo- so, con lóbulos divididos en la periferia, festonados . olivacea L. Haz plana, toda ella y el margen de los apotecios erizada de pequeñas papilas. . . - . . exasperata Dnrs. 10. Talo delgado, fío, edo, con lacinias estrechas, lí- neares, planas ó algo acanaladas . . . . . . fahlunensis L. —Talo grueso, apergaminado, brillante, orbicular, laciniado, con lacinias convexas y con cefalodios . . . . . . stygzaL. 11. Cara superior más ó menos reticulada, con líneas salien- testo profundasta manera da LA -—- Cara superior lisa, no reticulada . . . . O) 12. Talo con o sorediformes blancas ases y margi- nales OA ATOM —Sin soradios, ó con sonedios mar ale AS 13. Talo con isidio y granulaciones abundantes M + K = O. saxatilís L. —Sin isidio ni granulaciones en el talo. . . . . . . . 15 14. Haz muy distintamente reticulada, con líneas á manera de surcos ó grietas lineales. MPK=A . . . . . sulcata Tayl. —Haz poco distintamente reticulada. M. + K = A, luego R san- - guíneo. Envés fibriloso hasta el borde mismo, ó bien con las rici- nas submarginales transformadas en aa: Apotecios maduros _ perforados en el centro... O UA NCÍMO 15. Apotecios maduros sopor ados en el centro. Reacción como en la cetrata. Envés con faja marginal desnuda. perforata Jacq. —Apotecios no perforados; distinta reacción . . . . . 16 16 Talo lobado, con lóbulos redondeados, en su totalidad poco “ó nada más largos que anchos, de borde entero ó festonado, ó poco profundamente dividido . . . . o AL —Talo laciniado, con lóbulos en su totalidad! ms de dos veces más largos que anchos. MPK=0......... . . +. 21 anchos, bordes enteros ó casi enteros, plegados, ascendentes, in fibrillas ó pestañas, con soredios marginales; envés negruzco más pálido hacia los bordes . . . DET Lane Mralo menor lóbulos festonados. ==... 2.0.0... 8 18. Lóbulos tibrilosos en sus bordes. . . . . . . . . 19 —Lóbulos sin pestañas ó fibrillas marginales. . . . . . 20 19. Haz lisa, sin isidio, bordes de los lóbulos crispados, ascen- A O CHOLO AAA Ue: - —Haz con isidio, del cual nacen pelos negros; bordes de los ló- bulos con pestañas simples ó ramosas. . . . . pilosella Hue. 20. Talo blanquizco; apotecios sentados, con el disco pardo y el margen exterior lampiño . . . . . . . . Zíiliacea Ebrh. —Talo garzo; apotecios levantados, casi pedunculados, rodea- - dos de fibrillas en la base exterior del margen. carporrhizans Tayl. 21. Lóbulos ascendentes; envés pálido en los bordes. revoluta Flk. —Lóbulos aplicados; envés negro hasta el borde mismo; talo SOLAR qUEA A A leorsa ram: 8. GÉNERO MENEGAZZIA Mass. Haz como en el género Parmelia; envés desprovisto de ri- cinas. - 43. Menegazzia physodes Ach.—Cortícola. Talo garzo, te- nue, membranáceo, laciniado, empiza- rrado, poco adherente al soporte, as- ¿NS OZ cendente en los extremos (fig. 16). Es- ONZA téril. 2 - Común en los bosques. Ofrece algu- nas variedades. Var. labrosa Ach. Lóbulos termina- dos en dilatación á manera de placa —Menegazzia physodes Ach. var. la- harinosa. brosa Ach. Moncayo, Sallent, etc. Var. platyphylla Ach. Lóbulos aplanados y ensanchados en los extremos. Moncayo. Var. vittata Ach. Lóbulos ceñidos de línea parda en el borde. Veruela. -44, Menegazzia encausta Sm.—Saxícola. Talo blanco, ceni- nto, obscurecido ó negruzco á trechos, grueso, cartilagíneo, ¡ddherente en toda su extensión; laciniado; lacinias multífidas, em- arradas, convexas. — 258 — En los montes Pirineos, Benasque, etc. 4. Famita CETRARIACEOS Talo foliáceo ó fruticuloso, aquél muy dividido en lacinias de mediana anchura (fig. 17), verticales Ó ascendentes Ó aplicados, éste en forma de arbolillo bien ramificado. Apoteczos lecanorinos, fijos oblicuamente en el extremo de las lacinias. Ascas con ocho esporas pequeñas, sencillas, incoloras, hialinas. Paráfisis grue- sas y articuladas. Espermogontos incluídos en una espinilla ó pa- pila negra. Esterigmas casi simples ó de muy pocos artejos. Vegetan en el suelo, en las rocas, en las cortezas. 9. GÉNERO CETRARIA Ach. Talo de consistencia apergaminada, levantado, foliáceo, com- primido, frecuentemente acanalado, de igual color por todas par- tes, pardusco Ó apenas más pálido en su cara posterior; ó bien fistuloso y ramificado. Apotecios colocados en los extremos de las lacinias ó ramas. 45. Cetraria islandica L. (fig. 17). —Talo comprimido, levan- tado, laciniado, con lacinias más Ó menos acanaladas, con bordes espi- nulosos, el pie sanguíneo; de color castafñío más ó menos pálido y á ve- ces negruzco, con el envés salpica- do de puntitos ó soredios blanquiz- cos. F.? vulgaris Scheer. Lacinias di- latadas, planas, lóbulos fértiles dila- tados (fig. 17), los estériles termina- dos en dos lóbulos truncados. En las alturas, en el suelo. Panti- Fig. 17 etcétera. Cetraria islandica L. Var. erispa Ach. (tubulosa Er). Lacinias estrechas, acanaladas, con bordes casi conniventes, con sumidades obscuras, muy divididas, algo recurvas, crispadas. Moncayo, cerca de la cumbre. 46. Cetraria nivalis 1L.—Talo amarillo ó pálido, foliáceo, con lacinias levantadas, lagunosas, planas, acanaladas, muy divididas; apotecios pálidos, con margen festonado. Debe de existir en nuestro Pirineo. 47. Cetraria cucullata Bell. —Talo amarillento ó pajizo, alto de 246 cent., con lacinias acanaladas, inermes, con el extremo ahuecado en forma de capuchón. cosa (Lázaro), Benasque, Moncayo, o ens, on en los extremos, planos, con el margen nerme ó dentado. Adherido á rocas silíceas de altos montes. Moncayo, Sallent, Benasque, Noguera (Vicente). 49. Cetraria tenuissima L. (aculeata Ehrh).—Talo levanta- do, fruticuloso, fistuloso, con rasgones grandes en las axilas, más 6 menos ramificado, de un mlm. de grueso, 3—6 cent. de longitud, castaño tirando á negro ó bayo, con muchas espinillas en las ra- : mas; apotecios rojizos, con margen dentado. Frecuente en los campos ó matorrales. Veruela, Zaragoza, -_Beceite, etc. 4 Se han hecho muchas variedades poco distintas; las más mar- - Cadas son las siguientes: Var. spadicea Ach. Talo más comprimido, lagunoso, de color bayo, con márgenes Camada. Veruela. Var. muricata Ach. Talo más redondeado, rígido, negruzco, - ramosísimo, con los ramos entrelazados y llenos de espinillas. Veruela. Clave de las especies del género CETRARIA 1. Talo fruticuloso, en forma de arbolillo, más ó menos cilín- Arico ó comprimido, levemiadl, castaño ó bayo . tenuissíma l.. a —Talo foliáceo, acintado ó laciniado, aplicado al soporte ó as- cendente .... SR CA ass 2. Talo negro o NEO menenenio diario al soporte por el centro; lacinias muy estrechas y acintadas, aplicadas ó as- cendentes, menda OSSLA > - . tristis Web. % —Talo manifiestamente foláces. Edo más flojamente al soporte por la base; lacinias planas ó acanaladas . . . . . 3 -3. Talo castaño, tirando á bajo ó negro, con la base frecuente- mente sanguínea, márgenes con espinillas. . . . ¿slandica L. - —Talo amarillo ó Aa lacinias acanaladas con márgenes MEMES oo e an Al 4. Talo amaia, con (aciaias semicilíndricas, foveoladas, pla- as en Sus extremos. . . . a LOavOS Vo —Talo pajizo ó blanquizco, con | lacinias acanaladas y extremo y ahuecado en forma de capuchón. . . . . . . cucullata Bell. A E — 260 — 10. GÉNERO PLATYSMA Horrm. Talo foliáceo, de consistencia membranosa, apenas apergami- nado, con las caras superior é inferior de color algo diverso ó mu- cho; ascendente, laciniado. Apotecios de ordinario situados en el extremo de las lacinias, sentados. Paráfisis articuladas. Esporas hialinas, sencillas. Espermacios pequeños, rectos. Espermogonios (fig. 18, b) papilosos, tuberculiformes, por lo común marginales. 50. Platysma glucum L. (fig. 18).—Talo garzo en la cara su- perior, negro total ó parcialmente en la inferior, ascendente, la- xamente fijo al soporte, con laci- nias dilatadas. Apotecios margi- nales, pardo-rojizos, con margen estrecho, prontodesvanecido. Es- poras elípticas. Crece en las rocas silíceas de las alturas. Forma vulgaris Scheer. Toda EEN la cara inferior, ó en su mayor Platysma glaucum L. a. Talo. b. Espermo- parte, negra, extremos más páli- gonio. dos, tirando á violado. Moncayo, Benasque (Lázaro). Var. fallax Ach. La cara inferior en gran parte blanquizca, hacia el centro á veces negra. Con la forma típica. Moncayo, Sierra de Albarracín (Pau) etc. 51. Platysma juniperinum L.—Talo amarillo de limón, más pálido por debajo; médula de un amarillo intenso; lacinias ascen- dentes, lobadas, crispadas, cóncavas. Sallent, al pie de los pinos. 52. Platysma pinastri Scop.—Talo membranoso laciniado, aplicado, de un amarillo pálido, por debajo amarillo y rugoso; la- cinias de 2-6 mm. de anchura, mates, con márgenes llenos de so- redios de un amarillo de limón, del cual color es la médula. Para algunos es variedad de la especie precedente. Lo he visto del Pirineo catalán; falta hallarlo también en el aragonés. 53. Platysma sxepincola Scop.—Talo castaño ú oliváceo, más pálido por debajo, pequeño, decumbente ó ascendente, laciniado lobado; lacinias con el margen onduloso ó festonado. Apotecios submarginales pardos, con margen delgado festonado. No lo he visto aún de Aragón, donde probablemente se encuen- tra en los Pirineos. 5. Famiia USNEACEOS Talo fruticuloso ó filamentoso, adherido al soporte por su base le cartilaginoso. Apoteczios lecanorinos, peltados, laterales ó ter- inales. Ascas con ocho esporas pequeñas, simples. incoloras. DL GÉNERO USNEA Dir. Talo filamentoso, cilíndrico, ramoso, del mismo color en am- bas partes; corteza con frecuencia frágil é interrumpida; eje car- tilaginoso, compuesto de filamentos apretados. Apotecios del mis- mo color que el talo ó poco diferentes, grandes, discoides, con margen fibriloso, insertos en un ramo geniculado, ó sea en el codo de una rama; ascas de ocho esporas pequeñas, elipsoides. 54. Usnea florida L. (barbaía L).—Talo garzo, blanquizco ó Nu amarillento, pardusco hacia la base, levantado, K = (es decir, insensible á la potasa dentro y fuera), de 4-12 centímetros de longitud; ra- mos primarios de 1—2 mm. de grueso; superficie lisa Ó con menudísimas verrugas; con ramitos fibrilosos, fibri- llas de 3-6 mm. de longi- tud. Apotecios grandes de 3-10 milímetros, con mar- gen pestañoso, disco garzo tirando á cárneo y harino- so (fig. 19). El tipo, con verruguillas escasas Ó nulas, debe de ser . raro en Aragón, creciendo en los troncos de las selvas. Moncayo? Fig. 19 Var. soredifera Arn. Ta- Usnea florida L. lo de 3—7 cent., ejes prima- rios de 1 mm. ó más delgados. Ramos, y á veces las fibrillas tam- Bic: con frecuentes soredios pequeños pulverulentos, á manera de eflorescencias. - Sierra de Guara, en los troncos de las encinas. — 262 — Var. comosa Ach. Como el tipo. Fibrillas abundantes, como también lo son las verruguillas; soredios hacia el extremo. Beceite? Var. hirta L. Talo de 3-8 centímetros, muy ramoso desde la base, formando césped; blando, muy fibriloso; ramos primarios delgados, de medio milímetro, todos ramosísimos, enredados en- tre sí, con fibrillas cortas y hacia el extremo, con soredios blan- quizcos ó verdosos. Sierra alta de Albarracín (Pau). 55. Usnea ceratina Ach.—Talo grande, de 4-20 cent.; con ramos primarios de 1|—2 mm. de grueso, abiertos, ó sea aparta- dos unos de otros desde la base; superficie áspera con multitud de verruguitas y fibrilosos; las papilas frecuentemente se convierten en soredios á modo de llagas. Estéril por lo común. Moncayo, en los troncos y ramos de las Hayas (P. Garriga S. J.). 56. Usnea articulata l.—Talo ceniciento ó amarillento, col- gante, alargado, de 15—40 cent.; ramos primarios gruesos de 1—3'5 mm., á trechos articulados ó estrechados, con artejos adel- gazados en es extremos é hinchados en medio, lisos, sin fibrillas más que en los extremos. No la he visto aún de Aragón, pero debe de hallarse. 57. Usnea plicata L.-—Talo ceniciento ó amarillento, de 15— 30 cent., con ramos cilíndricos, lisos, sin fibrillas si no es hacia el extremo, con numerosas dicotomías que los hace enredarse, con la corteza frecuentemente interrumpida transversalmente. Moncayo, en las hayas (P. Garriga $. J.). La var. dasypoga Ach. muy parecida, pero con ramos más fi- brilosos y algo verrugosos, no la he visto aún de Aragón. Algunos autores toman la dasypoga por forma específica y la plicata por variedad. Clave de las especies del género USNEA 1. Talo largo, muy filamentoso; la corteza estrechada ó inte- rrumpida á trechos . . . : : 3 — Talo menos lamentos», más de «Hitoleso, secelando Sinai llo invertido, uniforme, sin estrecheces ó interrupciones, si no es accidentalmente AN POS : SSA 2. Fructífero con frecuencia, menor; comieza apenas verrugo-. sa; ramos primarios poco divergentes, de 1 mm. ó menos Jlorida L. —Estéril, mayor; corteza distinta y densamente verrugosa; ra- mos primarios muy divergentes, de l mm. ó más. ceratina Ach. 3. Ramos primarios cilíndricos, lisos, con la corteza interrum- v 203) = pida á trechos con frecuencia, con muchas dicotomías. plicata L. —Ramos larguísimos, gruesos de 1—3'5 mm., estrechados é hinchados alternativamente. . .. . . . . . artículata L. 12. GÉNERO ALECTORIA Ach. Talo filamentoso, rígido, más ó menos cilíndrico, con médula floja, superficie igual en todo. Apotecios lecanorinos, con margen angosto. Esporas grandes, sencillas, hialinas ó parduscas. 58. Alectoria jubata L. (fig. 20).—Talo pardo, negruzco, fila- mentoso capilar, cilíndrico, comprimido en las divisiones. Var. prolixa Ach. Talo larguísimo, de 1-4 decm., muy ramoso, pardo ó negruzco, con so- redios blancos ó cenicientos. Moncayo, en Peñas Meleras y otros sitios. Var. implexa Ach. Talo alargado ramosí- simo, enredado, pardo-pálido, flexible, con so- redios blancos ó cenicientos. Por tenerla de Ortigosa (Vicente) en la pro- vincia de Logroño, la incluyo aquí. 59, Alectoria lanata l.—Talo negro, en césped aplicado al soporte, ó poco levantado, como un centímetro, negro; ramos principales Fig. 20 $ EEN z Alectoria jubata L.. dle medio milímetro de grueso, los terminales divididos en dos ramitas cortas. Rocas silíceas de las alturas. Moncayo, Sallent (Pau, ipse), Be- nasque, etc. 60. Alectoria sarmentosa L.—Talo verdoso, amarillento, fle- xible, muy largo hasta 5 decímetros; ramos principales de 0'5 —1'5 mm. de grueso, cilíndricos, aplanados en las ramificaciones, fila- mentosos y enredados entre si. Debe de hallarse en Aragón el tipo y la var. erinalis Ach., con filamentos capilares. 6. Fammia RAMALINACEOS Talo fruticuloso, en lacinias comprimidas generalmente, im- plantadas por su base en el soporte; á veces fistuloso, rígido ó fle- xible. Apotecios lecanorinos, esparcidos ó marginales, con margen grueso. Ascas con 8 esporas sencillas ó biloculares, hialinas. 13. GÉNERO RAMALINA Ach. Talo de igual color por ambas caras, grisáceo, garzo ó amari- llento, fruticuloso, en lacinias divididas, más Ó menos puntiagu- E das en su ápice. Apotecios esparcidos en el haz, ó marginales, ó terminales aparentemente, del mismo color que el talo ó poco di- ferente, con reborde grueso. Esporas elípticas, biloculares (fig. 21). 61. Ramalina fraxinea L. (fig. 21). —Talo de 3-5 cent. de lar- go, con lacinias de 6-10 mm. de ancho, con nervios y surcos lon- gitudinales, ramosas, mates Ó apenas brillantes; apotecios es- parcidos y laterales á lo largo de las lacinias, con disco algo cár- neo; esporas encorvadas (figura 21 0). Fig. 21 4 atan aia ds Frecuentísima en las hayas del a. talo.-b espora. Moncayo y otros sitios. Var. ampliata Ach. Talo de 12 cent. de largo, lacinias de 3 cent. de anchura, apenas ramificadas. Moncayo. Var. tenizformis Ach. Lacinias muy alargadas, colgantes, apenas ramificadas, más lisas que el tipo. Moncayo. Var. striatella Nyl. Lacinias estrechas, numerosas, con estrías menudas blancas. Moncayo. Var. tuberculata Ach. Lacinias con numerosas granulaciones rugosas cefalódicas, desiguales, convexas. Moncayo. Var. luxurians Del. Lacinias principales provistas en los bor- des de numerosas divisiones lineales, cortas, separadas. Moncayo. 62. ¡Ramalina calicaris L.—Talo garzo, pálido ó pajizo, con lacinias de 3—5 cent. de longitud y 2—3 mm. de anchura, dividi- das ó ramificadas, con frecuencia canaliculadas y siempre con es- trías ó costillas longitudinales. Apotecios de 2—3 mm., colocados en un codo de la lacinia cerca de su extremo, de suerte que la jun- ta sobresale (á veces falta) en ángulo, semejando una espuela; dis- co rosado, harinoso; esporas biloculares, rectas. Más frecuente tal vez que la anterior, en las cortezas. Veruela, Moncayo, Sierra de Guara, Benasque, etc. (Continuará). La estrella variable “SS Cygni, E Por P. M. Ryves Después de haber hecho, durante el año 1908, algunas investi- gaciones acerca de esta interesante estrella variable, creo opor- tuno dar á conocer los resultados sin demora. El objeto de esta nota es, principalmente, publicar las magnitudes fotométricas ob- - tenidas en cada una de las observaciones verificadas durante el año y no me propongo deducir conclusiones de estas porque una investigación completa de los fenómenos de variación sólo puede hacerse cuando se reúnen los trabajos de diferentes observadores situados en distintos puntos; sin embargo las observaciones nues- tras bastan para demostrar que Jas variaciones durante el pasado año (1908), han sido muy anormales y diferentes de las observadas en otros años. Antes de dar más detalles convendrá citar algunos anteceden- tes y hacer mención de otra estrella variable estudiada desde ha- ce medio siglo considerada prototipo. En el año 1855, el astrónomo Hind, descubrió, desde su obser- - vatorio, en Londres, una estrella de novena magnitud en los ge- - melos. Aunque venía practicando observaciones, durante algunos años, en aquella región del cielo nunca había visto tal estrella y anunció que había descubierto un nuevo planeta ó estrella varia- : ble. Su brillo empezó á disminuir llegando en poco tiempo á la pá magnitud 12; lo cual demostraba que no era planeta sino variable. De En la primavera del siguiente año, fué observada nuevamente como estrella de 9.2 6 10.2 magnitud, y los pocos observadores que entonces se dedicaban á estos estudios, reconociendo la im- ortancia del descubrimiento y el carácter singular de la varia- “ción luminosa de esta estrella, la vigilaban con insistencia, ejem- plo que fué seguido por otros hasta que se pudo conocer El carác- ter de sus variaciones. En la generalidad de las estrellas variables (excepto las del tipo 41201), la variación es contínua, más ó menos popisrne, y los fenómenos se repiten Ed O á un periodo aos a 4 — 266 — visible en los anteojos de mucha potencia, pero de vez en cuando, y á intervalos desiguales, aumenta con rapidez asombrosa, lle- gando en dos ó tres días á su máximo cerca de la cuarta magnitud. Disminuye su luz después, aunque con menos rapidez, hasta llegar otra vez á su brillo normal: este fenómeno tiene lugar en un tiempo de 12 4 20 días. Por razon de estas idiosincrasias fué preciso crear una clase especial en la cual U. Geminorum gozaba de la distinción de ser el único ejemplar conocido, hasta que en 1896 fué descubierta por procedimientos fotográficos otra que manifestaba características semejantes. : Esta se halla en la constelación Cisne (es conocida por la de- signación SS Cy gn1) y por razón de su mayor brillantez y situación apartada de la eclíptica—circunstancias que facilitan la observa- ción—se ha podido realizar una larga serie de observaciones y trazar la historia de sus variaciones durante 10 años. El carácter predominante de las variaciones así deducidas es un estado not- mal de poco brillo interrumpido de cuando en cuando con repen- tinas alteraciones de actividad luminosa de mayor ó menor dura- ción. Como en el caso de U. Geminorum se ha reconocido dos cla- ses de máximos — largo y corto — y estos generalmente alternan “aunque en este caso no es siempre así. Pero nil0 años de estudio asiduo, ni miles de observaciones hechas en diferentes partes del mundo, bastaban para fijar el - caracter de la variación de una estrella tan capricosa como SS Cygní. Las investigaciones hechas por nosotros indican de modo definitivo que durante el pasado año (1908) la variación ha sido tan irregular que ya no puede considerarse propiamente como del tipo de U. Geminorum aunque muestra alguna similitud. En vez de permanecer gran parte del tiempo en su mínimo brillo (cerca de la magnitud 12) ha sido generalmente más briilante; y desde Junio hasta fin del año no ha bajado una sola vez á su brillo «normal». Deducimos seis máximos que pueden ser considera- dos primarios y además hay varios máximos secundarios y otras oscilaciones más pequeñas como indica la gráfica que acompaña esta nota mejor que la descripción verbal. He aquí un enigma, un problema que se resolverá sin duda, en lo futuro. Pero no se resolverá solo; hay que seguir trabajando y faltan trabajadores. Yo creo que en estos tipos de estrellas varia- bles vemos algo de las diferentes fases de la evolución estelar, y que las llamadas estrellas nuevas representan casos de la más grande actividad, siguiendo después variables como U. Gemino- rum y SS Cygní y á continuación las de largo período y otras de menos amplitud. IA RS A ANS “UQIDRAJISQO IP SIPPJMIHIP SAJQPYADUI SP] P SPPIQIP J9S uIpand SAPypISOnuIS seUanbad sp se] ap SeunSiy—"Y.LON "PZOSJ87 IP PONUQUON]SP UQIDBISI NS UY SIAÁY "Y “Y 10d SAYIOU 9G] US SEO -914 SAUOIDRAJISQO (LT U9 PPPSPQ PISA “8061 OUR Ja ajueImp IJUSAD) “SS IP UQIDELIRA e] eorpur anb ¡euorsiacid emo 99 0008 +000017%8 HERE A a a aaa a y AA e EonEaniEN pls CORA Ada da Aaa ase br MG +) HH 58-515 :58:S1 -S -93:91:9:18: 21: 4:18:11 2:88:81 -8-883 -81-8:63 -6) -6:83 -81-8-68-6)- 6 "910. “AON 100 d3S “09Y “10 NNF. “AVIN "YaWY "YVWN "414 "YINI o E 068 — Las observaciones se verificaron con un anteojo de 72 milíme- tros de abertura. La 1.* columna indica las fechas. 2.* Hora astronómica en tiempo medio de Greenwich. 3. Magnitud de SS Cygni referida á la escala de Harvard. 4.* Día del período Juliano. Dd Notas: llo osos claridad de la luna. LARA íd. muy fuerte ó molesta. C. ..... crepúsculo. MA nubes ó niebla. dif. .... observación difícil. invis... invisible teniendo un brillo más débil que el indicado en la columna 3. Tabla de las observaciones verificadas durante el año 1908 HORA MAG. DIA | HORA. MAG DIA FECHA ya = Notas || FECHA E = Motas T.M.G. Harvard 2.410.0004+ T.M.G. Harvard 2.410.000+ 1 | Enero 24 6.9 11.77 7965 | Mayo 1 134 10.13 8063 » 26 69 8.50 7967 lo» 2 127 9.39 8064 » >» 180 860 7967 oo 5 132 9.39 8067 5.280.086 860. Da l> 6 18,7 919 8068 Febrero 1 6.9 8.52 7978 [E 7 135 9.15 8069 OS O OA lo 8 134 8.90 -8070 ES > 3.12. 650. 0 > 059 00 3% » 4 16.7 8.74 7976 E e 07% all SS A OA A A BO Ed SU TL >» > 181 8.98 7977 - € » 17 156 8:60. 8079 Le. 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DIA MAG. ¿ FECHA AU pe = Motas FECHA da E ne Notas ESA T.M.G. — Harvard 2.410.000 | TM. 6- Harvard 24 0.000+ Julio. 31 105 1043 8154 'Sepbre, 27 115.1. 950 8212 Agosto 1 10.6 (10.59) 8155 dit [| > 28 13. 9.50. 8213 » A 0 OS e (ES Si E 9.66 8214 > | 158 [esos 13d 9/84 8915 » 6 152 1100 8160 Uche. 1 139 998 8216 O e A o 156. 978 8163 ES a 17 10:32 8219 LO TS 8164 [Sn a ralO 10:83; '8220 611013 Ste Le. O SO Sd 210.08 E S166, Ll > 00177 84 9:19 8232 Da 10MO .S166 1. >» 130. "947. 8239 » 13 a da a (19 18:59:80) 8934 > , 16 SOS 0) 9/88 00182935 os 101537 8169. 11 | > 24:10:33 10:55 8259 » dE 20 e 8170 ¡A ooo: 894d » IO) 8171 A 048 8949 > 18 108 1020 8172 [BS 1013919918943 O LO6. 10:67. 8178 » 29 180 10.43 8244 US Ti 00 8173) Ll > 31 11.84 10:13 8246 O COn 11.21 8174 IUWbre. 4 8.1 (1043) 8250 ndif. > 26 182 1112 8180 > 6 02 9s) em LI > y > .39 De > Si LS EE e > a 10.0 9.24 SA IS » O rlle 185 OO 993 1 86 Ml Sepbre. 2 136 11.31 8187 (STE 1818.57 8:68% 58297 > 3 DE LEO o callao 1 OA 8199) 8258 > 6710: 1 IS ES ICON 08209 » 5 149 10.80 8190 lo 19 85 10.05 8265 > E e 1028 a [ES 13.4 10.03 8265 > 4 9. 192 (A OA AiO 9.70: 8193 (OS 89 10.43 8269 OA 9.095 8195. 1. |..>/ 24-95 “10.43. 8270 o ed 81067 bl > 0270 7.8 1092 8973 OS sio 8197 Llores 4 66. 11:19 827 Ll e den a El al o ña a as) 8285 dt. > E eS y Io Saa le SA 8:06 8199 1. l A o RS > ña E O en aos :0 Sos m8289 » 17 01 AS O EN IS Si6. 8:10/5-8208 | GO 800) m8gO2 A 085077 8208. 1. >: 18. 7.7. 8.15. 8294 » 19 142 850 8204 1. | A ONO 8297 ODA E6: 8:65 8205. 1. |». 122.105 9.19. 8298 » ñ ls Ss E ES ADAL 9.88 8303 > 2. 15. y 207 » » 75 9.86 8303 », 28 152 9.00 8208 [A OLE EE al a 18:97. 19:10 8210 li» 30. 6.4. 9.90. 8306 1. > E a E aL O EN ea. > 3 9.63 212 — 270 — ESTACIÓN 1 Observaciones verificadas d: | | OCT 2| TEMPERATURA ode M e E , HUMEDAD| DIRECCIÓN TEM | MÁXIMA MÍNIMA RELATIVA | DEL VIENTO MÁXIMA Sol Sombra | Cubierto | Reflector [A las 9% A las15"] A las 9h Alas 15h Sol Vacio| Aire Vacío| Aire 1|55.7/30 2/24.8/15.0 11.5] 20 | 62 E SSE ||33 8S| 15.8|- 957.2 30.5126.3114.2 [10.7 | 82 | 50 ESE | SE |27 9/19.0 3|56.5/29.5/26.6/13.0 |10 7 | 87 | 51 | ESE | SSE [154.2 21.2 4|56.4|28.9/25.7/11 7 | 8.2] 76 | 50 | E SE |151.0/ 22.0 5157.5130 0/26.8/11.2| 75 | 02 | 44 E SE |154.5| 24.0 6/|62.0/38 2/ 30.0/11.5 | 9.5 | 72 | 68 N E |[53.6/30 3 7/55.7|28 01 26.212 7 |10.5 | 76 | 50 | ESE E ||33.0/ 16.5 8/|55.6/28.8/25.5/12 2 [10.1] 78 | 55 SE ESE ||32.0/ 14 0 9|55.2|26.6/25.5/15.2 [12.8 ] 85 | 58 E E [153.5] 19.5 10|51.0/22.1/20-3|14.0/12.2| 98 | 13 [ONO | NO ||52.5| 19.0 11/55.5/31.4/23.2)11.0| 95] 79 | 64 N ESE ||51-0; 21.0 12/53.0/ 24.51 22.51 11 0 | 9.0] 88 | 64 E SE |[150.2| 23.5 e 1357.31 28 723.513 0 |10.0 | 84 | 57 | ESE | ESE [52.0 24 1 14/53.5/91 9/21 0/16.0. 13.4 | 91 | 95 SE NE ||32.5| 17.0 15|51.0/93.0| 21.0/14.0|12.5 | 94 | 82 E | ESE [[46.5/18 5 16/59.0/325/93.5]11.0 | 10.5 100 | 67 | NO ¡ENE [|[13.5/11 0 17/54.8/25 0/22.3)11.5]| 95| 86 | 58 E E [115.5 13.0 18/|49.5/24.4/21 411 5/10.0 | 90 | 74 | ESE | ESE ||49.0| 18.0 19|54.0/23 9/21.0/14.3 [13.0] 94 | 69 [ONO | NO ||47.0| 15.0 20155.0| 25 0/21 0/11 94] 16 | 53 | NO NO ||44.5| 18 2 » 21|53.5/22.1|20.0/10.3 | 95] 80 | 63 | NO NO ||46.0/ 18.5 92153.5/22 0,19 010.0 | 9.0] 89 | 78 | ONO | ONO |[52.5| 19.0 23|35.5| 18.0/16.5/11.0 |10.0 | 96 | 78 0) SSO ||48.5| 19 4 24|47.5/16.3/15 5] 6 4| 5.0| 72 |. 64 | NO | NO |[45.8/ 18.2 25|49.5/12.5/12 01 6.5 | 5.0] 712 | 12 (0) NO ||49.0/15 4 26150 0123.38 11.11 2.0 | 0.0| 81 | 68 [ENE | SE ||16.0| 11.0/ 27|44.0/16.8/ 15.6 4.5] 2.2 | 82 | 72 E SE ||[43.6/15 4 28|49.6/20.6/19.5| 6.0 | 4.0 | 98 | 87 | ESE | ESE ||39.0| 12.4 29/55.8| 21.0/20.6| 8.7. | 2.5] 98 | 72 E E [|32.2/ 13.4 30|58.6|22.0/20.5/12.0 |10.4 | 88 | 78 | ESE | ESE [[21.0| 14 6 31/46.8|21.0/18.6/138.5 |10 0] 98 | 83 | ESE | SE LE DICIE MBE A EN A ¡[DIRECCIÓN OS HUMEDAD | DIRECCIÓN DEL VIENTO MÁXIMA MÍNIMA RELATIVA DEL VIENTO . A las 9 | A las 15% Sol | Sombra | Cubierto | Reflector [A las9t [Alas15:| A las 9» | A las 15% Vacío | Aire . SE ESE ||44.5|17.0/15.6| 6.7 4.2 93 719 E SE E S 30.5| 14.8/12.7| 4.6 2.3 | 100 86 ENE S SSE ESE [130.5| 14 6/11.3] 4.5 2.5 | 100 93 0) ONO E ESE |30.8/13.0| 9.9| 3.0 |- 15 | 100 88 NE | ENE OSO NE 10.518.711 8.51 5.3 3.8 | 100 9% NE E ESE NO |[|[10.5| 8 0| 7.6] 4.5 2.8 95 90 NE NO E SE [132.5 9.8| 7.6] 3.0 1.0 95 sí NO NO ESE E -1140.5/11.0"10 O] 4.0 2) 95 “4 ESE SE ESE | NNO [|32.0/11.2| 9.8] 5.0 2 92 76 NO ONO NO NO [112.51 11 9/10 6] 3.5 169 7 76 OSO | OSO (0) ONO |118.5/13 0/12 0] 4.3 225) 98 86 SO ONO NNO NO ||45.0/ 14.2] 12 3] -3.0 1.0 69 15 NO ONO ONO | ONO |47.5/23 216.7] 4.5 2.4 88 70 ONO | ESE NE (113.511 8/11 5] 5.5 3.3 97 95 ESE E (0) NO ||11.0/10.3|10.0| 5.2 3.0 83 74 ONO | OSO ONO NO |42.5/12 5|10.4] 3.0 1.0 | 100 80 ONO | ONO ONO | NO |52.5/14 5|13.0| 5.0 00 15 Y NO ONO NNO NO ||52.3|14.0/10.6| 3.2 2.0 18 Y O NNO ONO | ONO ||[46.0/23.7| 13 0/ 6.0 4.0 15) 76 NO ONO NO 492.8|%5.0| 16.01 9.0 7.0 ONO | ONO ||47.6|16.4|13.9| 2.3 do, 719 61 ONO NO ON ONO [46.516 0113.17] 0.7 0.0 97 15 NO O ONO | NO |[130.0| 3 7| 5.2) 02 | -2.0 S4 94 N E ONO |11.9| 4 7] 4.5] 6.7 21065) 96 95 SE ESE ; SO) NNO || 9.6| 5.0| 4.6] 1.2 0.6 96 94 N (0) OSO | NO |[[46.7/12 7/11.0| 6 3 2d 45 “1 ONO | ONO ESE SE 48.9/11.5/11.5] 4.5 Die 18 75 ONO | ONO ESE SE [125.8| 9.7| 6-83] 4.1 1E) 64 91 ONO 0) ESE [42 9/17 0/15.0| 8.0 43 66 68 ONO | ONO ENE ESE ||43.7/11.7/10.4| 6.2 3.1 16 15 ONO | NNO 44.8| 12.0/11.0| 5.2 Hoz 65 59 NNO | ONO RO Pr ¿ y e a e e TO A SA e agp o ME A A ID No EN E , / SAR 9D 483 = uu] 'BIANTT OP BOSE [9 SOLOKIOANS SOY A cad01= = uu] *OJU9TA T9P OJIBIP OPELIODO 19 ue) ues9. do! 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Por la grati- tud que le debo, espero se me permitirá consagre unas breves líneas á su memoria. Dedicóse á la vez.á estudios muy diversos. Catedrático de Filosofía del Derecho en la Universidad de París, escribió un texto que ha sido muy es- timado. Realizó investigaciones y excursiones geológicas y fue Presidente de la Sociedad Geológica de Francia. Pero lo que siri duda ha enaltecido más su nombre, ha sido la botánica y en ella el estudio de los líquenes. Se- ría elaño 1896 cuando publicó su libro Nouvelle flore des Lichens. con 1.178 figuras inéditas, libro de asombrosa facilidad en su manejo y que in- troduce al inexperto con pie firme, en el campo antes poco menos que la- beríntico de la Liquenología. El mérrito principal de Boistel es la clari- dad y facilidad. Acierta á coger los caracteres más culminantes de cada forma y ponerlos ante los ojos con toda precisión. Sin desechar los estu- dios microscópicos y de reactivos, sabe prescindir de ellos (aunque los consignos) para no aterrar al bisoño con aparatosos procedimientos, antes hacerle amable la ciencia de estas humildes plantas, convertirle en sim- páticos loss despreciados líquenes. De mí se decir que apenas llegó á mis manos la obra de Boistel, me sentí irresistiblemente impulsado á estudiar los líquenes que alcanzar pu- diese. La misma impresión produjo por el mismo tiempo en mi amigo el señor Vicioso y en otros, de quienes he sabido. Los pocos adeptos de la Li- quenología que en España existen, á Boistel se deben; en Francia no hay. que decir cuántas aficiones ha despertado el libro de Boistel. La Academia de Ciencias ds París confirmó la estimación general dan- do un premio á Boistel El mismo autor completó luego su obra con otro volumen, en que desciende á más pormenores de estudios microscópicos y de reactivos y descripción de variedades. No he de pasar en silsncio lo que la misma revista consigna, que por su obsequiosa amabilidad se había atraído Boistel muchas simpatías. Así era, en efecto, y yo mismo soy testigo agradecido en este punto. Al tro- pezar en las primeras dificultades de mis estudios liquenológicos, muy pronto me dirigí al autor del libro que al principio me guiaba casi 1 solo. Le hice mis preguntas, le envié ejemplares. Siempre allé á Boistel compla- ciente y benévolo. En medio de sus muchas ocupaciones allanóse á res- ponder por menudo á las consultas de un novicio. A sus palabras de alien- An Z PRA EA dían interesarme. Quiero poner aquí algunos párrafos de sus cartas que 'Onservo como precioso recuerdo del maestro y del amigo. Decíame á 8 de Abril de 1899: «Notre maitre á tous, le Dr. 3Nylnader, est mort la semaine derniére. Il était protestant, et il n, y avait rien á ten- ter pour le faire entrer dans nos sentiments. Je lui ai consacré une courte - notice dans le journal des Debats ce matin, en attendant une étude plusdé- -taillée que mérite un savant de sa valeur». Ambos trabajos me los envió el autor. A 6 de Marzo de 1900, después de un largo trabajo de revisión de gran número de mis líquenes más difíciles, decíame: «Il y a beaucoup de choses “intéressantes dans vos différents en vois; notamment la collection si com- -pléte de Gyrophora du Moncayo, et 1, Evernia villosa. qui est une plante essentiellement méridionale. Il faudrait seulement la trouver en fructi- fications.« He de advertir que siendo este liquen de Zaragoza, en vano lo busqué - con frutos en multiplicadas ocasiones por las colinas vecinas, donde se en- cuentra, hasta que al fin este mismo invierno hallé fructíferos algunos ejemplares en Torrero. Disponíame á enviar algunos de regalo al Sr. Bois- tel, cundo supe su fallecimiento. En la misma carta añadía: «J, espére... que vous continuerez vos re- cherches de lichens; les succés de vos trouvailles et 1, exactitude de la plu- part de vos déterminations ne peuvent que vous encourager puissamment. _Recevez toutes mes félicitations.« Por desgracia, ocupaciones perentorias que se han sucedido unas en pos de otras, me han impedido satisfacer á veces los deseos de Boistel y los míos propios. Quiera Dios que ahora ya más libre de ellos pueda dedi- - Carme con ardor y sin interrupción á mis estudios predilectos. TNA BIBLIOGRAFÍA Tratado elemental de Zoología, por Pedro Ferrando y Celso Arévalo Doctores en Ciencias Naturales, Catedrático y auxiliar respectivamente, de la asignatura, en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zara- goza. Parte primera. Zoología general, Protozoarios y Fitozoarios. Zara- goza, 1908. Quisiera en estos momentos que no fuesen mis amigos sino desconoci- dos, los autores de esta obra, para que mis elogios no pudiesen ser inter- pretados como lisonja ó tributo de amistad. No es solamente un resumen de las explicaciones del profesor dispuestas para preparar el ineludible paso del examen; es un cuerpo de doctrina compendioso y completo, que ilustrará al alumno en cualquiera época de su vida, así como á las perso- nas que deseen tener un compendio de Zoología, puesto á la altura de los últimos adelantos de la ciencia. Porque con él vemos las nociones gene- rales más depuradas, las clasificaciones más perfectamente elaboradas. La obra comprenderá necesariamente dos volúmenes. Este primero se divide en tres partes: la Zoología general, y de la particular los dos grandes grupos de animales, Protozoarios y Fitozoarios, dejando para el segundo tomo el estudio de los animales más perfectos ó Artiozoarios. Unas nociones preliminares preceden á la primera parte y otras breves de Taxonomía encabezan la segunda. La exposición es metódica y progresiva; así es que en el cuadro gene- ral de los animales puesto en la página 10, se apuntan solamente los gru- pos principales, indicándose alguna especcie ó especies de las más vulgar- mente conocidas en cada uno de ellos, con lo que se forma una idea clara del orden y escala zoológica, y en el de la página 153, con más riguroso tecnicismo y sin ejemplos se exhibe la clave sinóptica de los nueve tipos de animales que actualmente se admiten. Ilustran este volumen 114 grabados. Verdaderamente lustram. porque - son escogidos de los que más pueden instruir al lector y aclarar el texto, sobresaliendo algunos esquemáticos, debidos al Sr. Arévalo. LINA E Annuaire du Bureau des Longitudes, pour 1909.—La librería Gauthier -Villars acaba de publicar, como todos los años, el Anuario antedicho, que en la forma acostumbrada contiene, además de los datos astronómicos, tablas relativas á la Física, á la Química y al Arte del Ingeniero. Este año merecen cita especial las noticias de M. G. Bigourdan, Les Etoiles varia- bles, y la de M. Ch. Lallemand: Mouvements el déformations de la croúte terrestre. Lecciones elementales de Fisiología é Higiene. del prof. D. Carlos E. Porter. Santiago de Chile boi O y pa El conocido profesor chileno Sr. Porter, fundador y director de la Re- ista Chilena de Historia Natural, y autor de obras muy recomendables referentes á la misma ciencia, es bien conocido por cuantos se dedican á - €s0s estudios que le han valido multitud de distinciones en su país y en el - extranjero. Las lecciones antedichas del distinguido profesor, constituyen uno de los libros más adecuados y recomendables para el estudio de la Fisiología - y la Higiene en la enseñanza secundaria, por lo cual no es de extrañar que en el Perú y otras naciones americanas hayan sido declaradas de texto ofi- cialmente. Con claridad ,concisión y método dignos del mayor elogio, ha sabido reunir el autor en pocas páginas, todas las nociones de Anatomía Fisiolo- gía é Higiene, expuestas con verdadero conocimiento de la ciencia actual, aunque sin entrar en elucubraciones impropias de alumnos de la ense- ñanza secundaria. De ese modo resulta utilísimo el libro del profesor ame- ricano, al facilitar el trabajo del alumno ni dejar de iniciarles en todos los conocimientos naturales cuya adquisición se propone. En números posteriores daremos cuenta de otras producciones del dis- tinguido naturalista, entusiasta como pocos, laborioso é infatigable, digno - de las distinciones y aplausos que se le tributan, y á la que desde estas co- lumnas nos adherimos muy gustosos. Complemento del cálculo infinitesimal.—Procedimientos geométricos y : aparatos de integración, por Celestino García Antunez, Capitán de Inge- _nieros y profesor de la Academia del Cuerpo. Un tomo con 190 páginas y 72 figuras intercaladas. Como introducción, expone el autor la utilidad de los métodos eráf cos en el cálculo integral y el objeto de la obra, que es el de agrupar en un solo cuerpo de doctrino las teorías diversas y descripciones distintas que en diferentes trabajos se encuentran diseminadas, dando á las pri- meras unidad de fundamento conforme requiere el fin didáctico á que se dedica el libro. ; - Empieza el texto exponiendo el procedimiento geométrico de deriva- ción de una función y=f (+) representada por una línea y estableciendo el concepto de la línea derivada; seguidamente se demuestran propieda- des importantes referentes á forma y posición relativa de las líneas pri- -——mitiva y derivada y á circunstancias especiales de sus puntos singulares. - A continuación se explica la significación geométrica y la dedución de la derivada cuando se emplean coordenadas polares. En la 2.2 parte de la obra se ocupa el autor de la integración geomé- rica, exponiendo la cuestión metódicamente para deducir de una mane- ra clara y racional el método de Zmurko y constituir base suficiente para el estudio de algunas propiedades de gran interés en la resolución - de ciertos problemas geométricos y mecánicos que más adelante el autor resuelve con gran elegancia. Es de completa originalidad en esta parte, : ; entre otras ideas, el procedimiento para integrar ecuaciones diferenciales basado en iguales consideraciones que el aplicado por Zmurko á las fun- ciones explícitas. = 218 = La 3.2 parte de la obra, dedicada á la integración con aparatos, com- tiene en sus primeras páginas una teoría breve=y sencilla común á todos los integradores del género Amsler y basándose en ella se estudian á continuación los planímetros Pritz y polar de Amsler y el integrador Deprez. Finaliza el libro con el estudio del intégrafo Abaknowiez-Coradi. En nuestra opinión, la obra de que damos cuenta, por la originalidad de gran parte de su contenido, por la forma didáctica y la claridad de su exposición y por la aplicación práctica que puede darse á los procedi- mientos de cálculo á que se refiere es de gran mérito, interés y oportuni- dad; pero á fuer de sinceros hemos de lamentarnos muy mucho de que no dedique unas páginas, sino tan solo una simple cita, á un aparato integrador que sobre su extraordinario mérito tiene para nosotros el in- terés de haber sido inventado por un hombre de ciencia español; nos referimos al Integrómetro cartesiano de nuestro querido maestro el ca- tedrático de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central señor Ruiz Castizo. Sin duda no cree el autor del libro reseñado, que este apa- rato sea de los que el Ingeniero encontrará con más frecuencia en el des- empeño de su profesión, pero aunque así fuera, las cireunstancias reuni- das en él justificarían, á juicio nuestro, el ligero aumento de extensión que adquiriría la obra al incluirlo. Aparte de esta consideración que nos sugiere nuestro particular cri- terio, no podemos menos de felicitar al Sr. García Antúnez por el traba- jo á que nos hemos referido y por los beneficios que su publicación ha de reportar al distinguido Cuerpo á que pertenece. A. Ruiz TAPIADOR. — 279 — CUESTIONES PROPUESTAS 18.05 Demostrar que en todo triángulo plano A B Cse verifica Y ==: sen2bB e a] sen3B Cc sen 2” Cc sen3” b=—a sen B c senl” le. 1 yA >) B HB. Fuhrmann. 19,4%) Si se prolongan los lados BC, CA y AB de un triángulo ABC, en longitudes CA,, AB, y BC, iguales á su mitad, se toman sobre las rectas 44,, BB, y CC, los puntos M, V y P tales que AMES BN CR 1 ARTE BB TOCINA y por ellas se trazan paralelas á los lados BC, CA y 4B,6álos CA, CBy AB6álos AB, AC y BC, estas rectas pasan por un mismo punto 0 6 0' ó O”. Caso particular: mn = 3. EL. de Alba. 20. (4) En todo triángulo, la distancia del punto medio de un lado al punto de contacto de este lado con el cálculo inscrito es igual á la semidiferencia de los otros lados. ¿Qué sucede si en vez del círculo inscrito se consideran los círculos exinscritos? Aplica- ciones gráficas. L. S. de la Campa. sen (x—1) 21.4) Hablar el límite de y=.x a para x= 1. E. Hernández. 22. 4**) Un triángulo P O R inscrito en un círculo dado, tie- ne dos vértices O y R fijos; el lugar de los piés P?, y P, de las bi- sectrices O P, y O P, del ángulo P O R y del suplementario ad- yacente es una estrofoide tangente al círculo en XP y con el nodo en O. Construir la asintota, las tangentes en el nodo y las tangen- tesen P, y P;,, y hallar el lugar del punto común á estas dos úl- timas. V. Retalz. (*) Cuestión 126 dela R T. M. (ee) » 27 > > »>»» (ee) » 1288» » » » » pa» 129 >» » » (E) ) 130.» » » » y 271 del P. M. S, y == Dee CUESTIONES RESUELTAS 8. Siendo SS E + (1 — 1), demostrar que ia (NS (CU CAES DNA. Pp Pos E p Pp W=2 Ma io 2=38 90 2 1 nl O E OA 2) 1 p=2 pp=4 2 1 1 do 0 CAES Ao E E A 2) p-4 1 pg 2 1 S, PAN n => 0 0 E 6000 p=3 C.-3 d 0 0 0 CESE n io 50000 4 3 1 2 n ON 0 0 OA 0 C C. A. LAISANT. Se verifica idénticamente: 0 => o E Ny k=p ? y también 0 PV ==» Cs (ES (O SD) Pp Sumando estas expresiones, resulta: 0 1 n—=1 k ¿n—1 P+ AS ==» CES p p+1 p k=+1 Ó sea: 1 ES] 13 p dee UA NES O Sa 1 =S, =m(n = 1) (225), (Pbpb=1,..... 3 2)E Despejando S, en este sistema lineal y teniendo en cuenta que — 281 — el determinante de los coeficientes es queda demostrada la cuestión. Según se ve, pueden obtenerse infinidad de expresiones análo- gas. Así por ejemplo, sumando las expresiones (1) se tiene: p=1 e C7S, = 1" —m y dando á p los valores Pp ES ON k=1 y despejando So resulta: Pp p—=1 p—=2 1 n 1 Cri a SA Cata data n p=1 p=1 p—2 1 0 (ENT n 1 Cr C, SR Cc, n—1 0 0 a J. Rey. 9. Se da un círculo de centro O y un punto 2 en su plano. Por el punto /? se trazan dos cuerdas rectangulares variables 4 B, CD. El lu- gar del centro de las cónicas que pasan por los puntos A, B,C, D, O, es otra cónica P'. Cuando el punto ? se mueve sobre un diámetro fijo del círculo O, la envolvente de la cónica Í' es una séxtica. E. N. BARISIEN. Tomando por ejes el diámetro que pasa por P y el perpendicu- lar, la ecuación de la línea formada por un par de rectas perpen- diculares que pasen por P, es, designando por a el segmento OP, B=(x4 a) my (x= aj=y =0 y la de la circunferencia A 0 La ecuación de la cónica +[ BCDO será de la forma P+10=0 con la condición A = — que se obtiene al poner x = y = 0. Las coordenadas del centro han de satisfacer á las ecuaciones AN 2(x — a) my + 2tx =0, a O 10 ) LS míx—a)= 2y + 24y =0, LR de las que, eliminando 1, se obtiene A A AA A AE e A ecuación de una cónica, uno de cuyos ejes es OP, que tiene un vértice en P, y para semiejes a? a? 2(1+a?)” NTE La envolvente de la cónica (1) cuando el punto P se mueve sobre un diámetro, se obtendrá eliminando a entre la ecuación (1) y su derivada con relación á a, 3xa=2 (14 =yY +1) a +2 x =0. (2) Aplicando el método de Bezout, se obtiene una ecuación que se desdobla en dos, representando la una el eje y, y la otra una lí- nea de 8.2 orden, cuya ecuación, es oy 4er) [0 - yr 900] (9) Pe) + y2 2 [27 (a? =- y? == 32 ra == (0% Un rápido examen de ella, nos dice que: 1.0 Por ser todos sus términos de grado par en x é y, los ejes coordenados son ejes de simetría de la curva, y el origen centro. 2.2 Haciendo x = 0, resulta NS DO luego el eje y corta á la línea en dos puntos en el origen, y en otros seis que forman dos grupos de tres, teniendo cada grupo las ordenadas + 7 y — 7. 3.0 Poniendo y =0, resulta E E == A) = 0), luego el eje 1 corta á la línea en seis puntos en el origen y en : S Y Y otros dos reales correspondientes á las abscisas -> y — 7. o 4,2 Poniendo y = +7, la ecuación se descompone en el pro- ducto de x? por un factor de sexto grado, lo que indica que la recta y = + Y tienen dos puntos comunes con la línea en el punto (0, + 7), lo que parece indicar, teniendo en cuenta las observacio- nes 1.* y 2.*, que la curva tiene un punto de retroceso en el (0, 7) y otro en el (0, — 7). 6.2 La línea corta á la recta del infinito en dos puntos circu- 1 — 283 — lares, que corresponden á y = + /x, y otros dos grupos de tres correspondientes á las y = + xv, bisectrices de los ejes. 7.2 De las anteriores consideraciones se deduce que la línea no puede descomponerse en una cónica y una séxtica, ni en dos rectas y una séxtica. El enunciado de esta cuestión dice que la curva de quese trata es una séxtica lo cual proviene, sin duda, de haber considerado la cuestión inversa, esto es, que en vez de ser móvil el pnnto P y fijo el círculo, es por el contrario aquél el fijo y este es el que se mueve. En tal caso, considerando el mismo eje .x, y el origen P, se obtiene para ecuación de la cónica lugar de centros A E e Ad O y la eliminación de a entre esta y su derivada con relación á a, STAR A EE == 57) conduce á las ecuaciones a +y=0, y: OA == E A AE YA 0) que corresponden la primera á las rectas isótropas trazadas por el origen, y la segunda á una séxtica que tiene como ejes y centro de simetría los de coordenadas. Si se representa por f(x, y) el primer miembro de la última ecuación, se comprueba fácilmente que sus derivadas parciales de primero, segundo y tercer orden, son núlas para x =y=0y que las de cuarto orden tienen por valores (E | Za Y“ AS ICASTA IX . ad y dJxt0y? dvf E df dl >. o el e de cuya consideración se deduce que el origen es punto cuádru- plo, siendo tangente doble en él el eje y, € imaginarias las otras ] = > 10872; 20 dos, correspondiendo á coeficientes angulares + V=6. Fácilmente se comprueba también que la parte real de la cur- va está en el ángulo completo formado por los bisectrices de los ejes, las cuales son asíntotas de la línea. Sixto Cámara. Otras soluciones de D. J. Ríus y Casas y D. J. Rey Pastor. 10. Hallar el lugar de las proyecciones de un punto dado sobre las generatrices de un hiperboloide alabeado. Casos particulares. H. BROCARD. El haz formado por las generatrices de un sistema del hiperbo loide y el de los planos perpendiculares á ellas trazados por el punto dado, son proyectivos, y, por consiguiente, el lugar geomé trico de los puntos de intersección de sus rayos homólogos es una cuártica de segunda especie (cuárticas que no son bases de haces de cuádricas); y otro tanto puede decirse para el haz de las gene ratrices del otro sistema. y Si en lugar de un erooloida: se tratase de un paraboloide, el haz de planos de segundo orden, se reduce á dos de primero y e lugar correspondiente á cada sistema de generatrices es una cú- bica alabeada. : pe , ASI Nota. En prensa ya este número, se ha recibido una muy in-. ñ teresante nota de D. Julio Rey Pastor, tratando esta cuestión de un modo general, que se publicará en el próximo número. 11. Se consideran las cantidades pe La : 2(n—Dr+a a COS -—, COS ————y COS =———— y ..... Cos 77) ) s , +, , , 7) m - Desienando por s el mayor entero oontenido en y estos productos es Yp =P, +P, cos a + P, eos 2a +..... + P, tos se, ES en donde P., P,, Po, ---.. P¿son independientes de a. J. OLIVERO. Esto equivale á demostrar que *p es de la forma q, + q,cos a + q, costa +..... + q,c0s' a siendo también Jo, ---- Qs independientes de a; pues es Sabido, Jal de esta expresión se ams fácilmente á aquella. o Para probar esto, formemos la ón cuyas raíces sean: ES z líneas trigonométricas. Eligiendo, pues, la forma más sencilla de poner en función algébrica del coseno, será o E ' E E n y Ñ cosa=x"— (5) UM) E) q Ap = y la ecuación buscada. oa LN 'Designemos por 47, 4,,..... a, los coeficientes que resulten al. hacer el desarrollo, notando que son independientes de a excepto a, que es de la forma c — a =c— cos asiendoc =+1ó6c=0, según que 1 sea par € impar. La ecuación, es pues, As a e a + a, =0. ésima A Ss . » Llamando s,, 4 la suma de las m2 potencias de las raíces, será 2p =S,, E do Para ver el grado en a de SO demos valores sucesi- h rr imer? vos á k en la relación A O oO SAS que liga k funciones simétricas simples consecutivas, conviniendo en que para *>2, a, =0. Y se observa que: para k=1,2,.....1n—1, los primeros miembros y por tanto S,S,.... S son independientes de a; le =Ñ para k=mnm,2n + 1,....., 21 — 1, son a 00 SE ae la forma ua +2,; para R=2m, 21 +1,.....3n—1, son ES AO MN de la forma 0,0 + 0,2 + D,;..... ; para k=/hnx, IE (d+ Dim — 1, de la forma ta pta A Por consiguiente, designando por 4, v, s los cocientes enteros de Mm, Y, Mr por 1, serán A respectivamente de gra- dos 4, U, $; y como evidentemente s >u + v, Ep será de grado s, es decir, de la forma (1); y la proposición queda demostrada. Julio Rey Pastor. Establecimiento tipográfico de Emilio Casañal, Coso 100, Zaragoza dr EN de Índice alfabético, por autores Arévalo (C.) Catálogo de semillas del Jardín botánico de DARA rd late Sa Cámara (S.) —Apuntes para la teoría geométrica de las líneas cíclicas de 4.” orden . . . e O Ley Comas Solá (J.) —Observaciones de la CHN gris tropi- cal de Júpiter. Coolidge (J. L.)—Un (sona sure ls e pOrEienEs. Espurs (D.)- A etéreo-eléctricas. . . . 18 y Ferrando (P.)—La enseñanza de la Geología en España. Galán o de la hora en el almicantarat del polo. : — La Asrorotla en Penta. — Congreso científico de Zaragoza. Galdeano (Z.G. de). —El IV Congreso miemacanal dle matemáticos . - Gregorio Rocasolano (A. de). ea de amitcación de los métodos de análisis de vinos . Guímaraes (R.)—Observaciones áuna nota comcemienie á la Espiral de Poinsot. : Tsquierdo (J. A.) — Observaciones meteorológicas e en Za ragoza, a] el año 1908. A O IS LO Vavás (R. P. Longinos. S. MT quenes de Aragón. 107 y Nó Hernández (J.) =Sobre la reacción de los pirofostatos con el cloruro luteocobáltico. A Pescí (G.)—Las tablas gráficas de Liyando. E LO IV -Peset (J. y B.)—Probeta para el análisis de gases — Tres reacciones nuevas para la anilina. Redacción (La).—Primer congreso general nico. de la Asociación española para el Progreso de las Ciencias. — Primer congreso de naturalistas españoles . Rryves (P.) - La estrella variable S. S. Cygni. . SUMARIO DEL AÑO l!.—(1908) PÁGINAS 11 ÍNDICE Sesé (M).—Sobre la reacción de los e con el cloruro luteocobáltico . — Una lección de Química asa : Silván (G.)—Normales á las superficies de 2.2 asa — Geometría analítica vectorial e Torroja (J. M.) —Aplicación de las coordenadas E iogecr vas al pr OS general de la fototopogratfía. USLOIDO EA A NN O AASS 215 > Crónica. Necrología . . . . . . . . 49,142,210y Cuadro de honor A a A USO EEN Cuestiones PDrOPpUEstas AS y Cuestiones resueltas . . . UD MAS 37 Resumen de observaciones On olágicas del año 1907, en Zaragoza, Huesca, Teruel y Soria. PÁGINAS “Revista Chilena de Historia Natural, JOURNAL BIMESTRIEL ILLUSTRE Destiné au développement et á la culture des Sciencies Naturelies au Chili Ditecteur et Rédoctur (Fondutenr); Prof. CARLOS E. PORTER, C. M. Z.S. La Revista Chilena de Historia Natural sera adressée á tous les journaux chiliens ou étrangers qui en feraient la demande et qui sont priés de bien vouloir envoyer un numéro de leur journal au bureau de laditte Revue. Tout ouvrage ou brochure de Zoologie, Botanique, Anatomie, Phy- siologie. Histologie, Géographie, Carcinologie, ete., chilien ou ¿tranger dont ils sera adressé un exemplaire au bureau de cette Revue, sera anoucé ou analysé selon son importance. Le Prof. Carlos E. Porter, est prét á faire ¿changes de ses publica- tions et des Crustacés du Chili pour des travaux recents sur les Crusta- cés malucostracés et des exemplaires exotiques. ll desire augmenter ses relations scientifiques avec ses colegues (Zoologie Histologie comparée, Carcinologie). Les échanges et ouvrages pour annonce, doivent étre envoyés a Vadresse suivante: Prof. PORTER, Directeur de la “Rev. Ch. de Hist. Nat, Casilla 2352, SANTIAGO (Chile) SMITHSONIAN | INSTITUTH nin E __ 39088 01223 8614 ) Notas de la Redacción y Administración p [ E Los AxALES DE La FacuLTaD DE Ciencias publicarán, además de los sumarios de las revistas y publicaciones recibidas á cambio, una nota bibliográfica de todas las obras de ciencias, de las cuales se en vien dos ejemplares á esta Redacción. sl También tendrá mucho gusto la Redacción de los AxaLEs, en pu blicar los trabajos cientificos con que la honren los hombres de cien= cia nacionales ó extranjeros, cuya colaboración admitiremos con ver- dadera complacencia haciendo tirada aparte.si así lo desean mani fiestamente, avisándolo al enviar el original. Por conveniencias de la Administración se ha trasladado ésta -á la Facultad, Paseo de Pamplona, 1, 4 donde rogamos se dirija toda la correspondencia de los AwaLeEs. Los señores subsecri tores que no de estén al corriente en el pago, se servirán remitir cuanto antes el im. porte de la subscripción en libranza de la Prensa. pe También rogamos á los que no hayan recibido alguno de los nu E meros publicados, se sirvan avisarnos para remitirselos á la mayor brevedad. e El tomo 1 de los AvaLes se vende encuadernado en holandesa al precio de 10 pesetas, franco de porte. Para los señores subseriptores su precio es el mismo de la subscripción.