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ArckiT

der

Mathematik und Physik

mit besonderer Rücksicht

aaf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren

Unterrichtsanstalten.

Herautgefeben

von

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PrtfeiMr u SffibwaU.

Neiinunddreissigster ThelK

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MH ftnf Uthogrftphirten Tafeln.

Oreiftiwald.

C. A. Koch 's Verlagsbachhandlung, Th. Kanike.

186».

16

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InhaltsyeneichiUM des neuniuiddreisBigsteii Theils.

Nr. der Abhandlung. Heft. Seite*

Arithmetik.

IV. Ueber die Kettenbruche , welche Wandeln ca- biecher Gleich angeo darttelleo. Von Herrn Pro- feeeor Märcker am Gymnatiam Bemhardinnm

in Meiningen 1' 89

V. Die Mortalität in Geflellcchaften mit encceMi^ eintretenden und aufltcheidenden Mitgliedern. Von Herrn Profeitor Dr. Theod. Wittetein

in HannoTer . I. 67

VII. Ueber die Zerlegnug der Fanction

in Bwei lineare Fnctoren. Von dem Herauf -

geber 1. 98

VIII. Wenn

A = aa'^öö' ^cc' , D=: de' +cd' , B^zöb'—cc'—aa' , E=ca'+ac', C^cc'^-aa'-öö', F=:ab'-\-ba'

ist. so ist

ABC'-AD*'-'BE^^CF^'\-2DEF = (fl» + Ä» + c«)(ö'« •\-b'^-\-c'*){aa'-{bb'^cc') .

und

iA + B)(B + C^(C^ i4) — 2DEF = (^ + Ä)f^ + (5 + C)Z?« + (C+;4)£«.

Von dem Herauegeber I. 120

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Nr. der Abhandlung. Heft. Seite.

.IX. Ueber bettiininte Integrale. Von Herrn Dr. L. Oettiager^ GrotsherKoglich Baditrheni Hofrathe and ordentlichem Professor der Ma- thematik an der UniTersität zu Freibarg i. B. II. 121

XIII. Neue Auflösung der Gleichungen des vierten Grades ohne Wegschaffung des zweiten Gliedes. Von dem Herausgeber . > II. 198

XYI. BemarlniDg a« Sehldniloh's Auflösung der biquadratischen Gleichungen, Von Herrn Dr. G. F. Meyer in Hannover II. 230

XVII. Bemerkung zu Clausen's Behandlung des ca- sus irreducibilis. Für Studirende. Von Herrn Dr. G. F. Meyer in Hannover II. 235

XIX. Ueber bestimmte Integrale. (Fortsetzung von Theil XXXIX. Nr. IX.) Von Herrn Dr. L. Oet- tingor, Grosshersoglich Badischem Hofrathe und ordentlichem Professor der Mathematik an der Universität zu Freiburg i. B Hl. 241

XXI. Allgemeine Form der Fourier'schen Reihen. Anwendung auf die Berechnung bestimmter Integrale und die Summirung der Reihen. Von Herrn Professor Dr. J. Di enger am Polytech- nikum in Karlsruhe III. 303

XXVI. Aoflösaag der beiden Gleichnngen und über die Gleichung

Von dem Herausgeber

XXVI. Beweis des Ausdrucks von Waliis für n. Von dem Heraasgeber

XXX. Ueber bentimmte Integrale. (Fortsetzung von Theil XXXIX. Nr. XIX.) Von Hrn. Dr. L.Oet- tiager, Grossherzuglirh Badischem Hofrathe und ordentlichem Professor der Mathematik an der Universität lu Frei bürg i. B

111.

III.

354

356

IV.

425

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9ir. der Ahhaadluif^. Hefe. Seite.

X\%I. Sooinirwig der Keiheo:

«•, (fl+^', («+2<0'. (ö+3lb*. •,(«+»<')•; fl», («+rf)», («+2^», («+3rf)», (rt+ilrf)'-

Von dem Herauegeber IV. 477

Geometrie.

I. Ueber den Inhalt der Kugrl und Terwandtcr Körper. Von Herrn Profeator Dr. Wittstein

in Hannover ' . I. 1

II. Der Kreleabichnitt und die Simpflon'sclie For- mel. Von Herrn ProfeMor Dr. Wittttein in Hannover 1. 12

III. Ueber die der Ellipte parallele Curve und die

dem Ellipsoid parallele Fläche. Von Herrn Dr.

Wilhelm Fiedler, Lehrer der darttellenden

Geometrie an der Gcwerbetrhule an Chemnita I. 19

VI. Ueber das Prismatoid. Von Herrn Dr. E. W.

Grebe, Rector der Realschule so Gas sei I. 93 X. Zur Theorie des Prismoides. Von Herrn Her- mann Kinkelin, Lehrer an der Gewerbe- schale in Basel II. 181

\I. Beweis der drei Brüder für den Ausdruck des Dreieckinhaltes durch die Seiten. (Chasles: Geschichte dt^r Geometrie, an verschie- denen Stellen.) Mit^thellt durch Herrn Her- mann Kinkelin, Lehrer an der Gewerbe- schule in Basel II. 186

XII. Zur Theorie der geodätischen Linien. Von Herrn Dr. Otto ß o k 1 c ii zu S u I z a. N. im

Königreich Wurteniberg II. 189

XIV. Untersuchungen über die Theorie der Linien auf den Flächen. Von Herrn Dr. Otto ßöklon zu Suiza. M im Königreich Würtemberg . 11. 204

XX. Elementare Beweise einiger Sätze, welche für die Lehre von den rcgelmAssigen Polygonen von Wichtigkeit sind. Von Herrn Professor Dr. Uesael in llarbarg 111. 979

Nr. der übhsndlanf^.

XXIII.

XXIV.

XXVI. XXVI.

XXVI.

XXVII.

XXVIII.

XXIX.

JV

Heft Seite. Nene analytische DarstelluDg der ÜMipteigea- •chaften der atflNMigraphieciieD Projectioa. Von

dem Herauflgeber III. 332

De paraUelofprammis, quorom latera per qnat- tnor poacta data tranteant. Autore U^, Chri- fltianoFr. Lindraan, Lect. Strengneeenei III. Geometritcher Sats. Von dem Herausgeber III. Beweis des Ausdrucks tou Wallis für n-. Von

dem Heraasgebor III.

Geometrischer Lehrsatz. Von Herrn Professor

SimonSpitzorinWien HI.

Ueber den Schwerpunkt und dessen nützliche Anwendung in der Stereometrie. Von Herrn Corneille-L. Landr^, PriTat-Lehrer der Ma- thematik in Utrecht IV.

Theorie der elliptischen Coordinaten in der

Ebene. Von dem Herausgeber IV.

Theorie der ollipti«chen Coordinaten im Räume.

Von dem Herausgeber IV. 402

848 352

356

359

361

3T7

Trigonometrie.

XV. lieber die Formeln der iphärisrhen Trigono- metrie. Von Herrn Dr. E. W. Grobe, Rector der Realschule zu Gas sei II.

Will. Ueber den sphärischen Excess. Von Herrn

E. HacalogloinBucarest II.

XVIII. Demonstration de la formule de THuilier pour la valeur do l'excös sp^rique en fonction des troii« cntes du trian^le. Par Monsieur le Pro- fesseur Lobatt» & Delft II.

XXII. Die Anwendung* der stereographiichen Projec- fion zur Kntwickelnng der Thenrie des sphäri- schen Dreiecks und des sphärischen Vierecks. Von dem Herausgeber III.

XXVI. Ueber die Formel '

cos A -f cos B cos C

cos a = ; — ■mr~» — 7> '

sin ^8in C

Von Herrn E. Bacaloglo in Bucarest • . III.

226

237

240

318

360

Kr. der Abhandlaog. Heft. Seite.

Mechanik;

XIVII. lieber den Schwerpunkt und deeten nutxlicbe Anwendung in der Stereometrie. Von Herrn Corneille-L. Landr^, Privat- Lehrer der Mathematik in Utrecht IV. 361

Creschichte der Mathematik und Physik.

X&XI. Zur Charakteriatik de« Aatronomen Friedrich

Theodor Schubert von £. M. Arndt . . IV. 479

Uebungsaufgaben für Schüler.

XILV* Zwei arithmetieche und eine geometrische Auf- gabe Ton Herrn Doctor Christian Fr. Lind- man in Strengnäi in Schweden . . . III. 352

Literarische Berichte *).

CMII I. 1

ClilV • .... II. 1

CLV III. 1

CliVI IV. 1

*) Jede einzelne Nummer der Liierarischen Berichte ist für sich be- sondere paginirt Ton Seite 1 an.

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lieber den Inhalt der Kugel und verwandter Korper.

Von

Herrn Professor Dr. fViiisiein

in HannoTer.

§. 1

Die Inhaltsbestimmung der Kugel, welche wir dem Ärchimedes verdanken, wurde von Ärchimedes so ausgefChrt, dass er die Ku- gel mit zwei Rotationskörpern verglich, weiche durch Umdrehung ^\n^K d«m gr5s8ten Krciac der Kugel eingeschriebenen und um- schriebenen regelm&ssigen Polygons zu Stande kommen, und aus derselben Vergleichung fand Ärchimedes auch die Oberflfiche der Kugel. Dieser Weg, der etwas Umständliches hat, wird von den heutigen elementaren Lehrbüchern nur selten eingeschlagen (ich finde ihn z.B., sehr vereinfacht, in der Geometrie von Heis und Eschweiler), vielmehr pflegt man die Sache auf eine der beiden folgenden Arten abzukürzen. Entweder man behält von der Ar- chimedischen Entwickelung nur die Bestimmung der Kugelober- fläche, als die leichtere, bei, und gebt von da zum Inhalte durch den Satz über, dass die Kugel iohaltsgleich einer Pyramide ist, welche die Oberfläche der Pyramide zur Grundfläche und den Radius zur Hube hat. Oder man verlässt den Archimedischen Weg ganz und stellt die Halbkugel direct als die Differenz zwi- schen einem Cylinder und einem Kegel von gleicher Grundfläche and gleicher Hube dar, indem die Inhaltsgleichheit dadurch nach- gewiesen wird, dass in der Halbkugel und in dem um den Kegel ▼erminderten Cylider jede zwei in gleichen Abständen von der Grundfläche gelegte parallele Schnitte inhaltsgleiche Figuren her- vorbringen.

Didsen letztenGang, welcher für den Anßinger den Vorzug der £iBfachheit und grosseren Anschaulichkeit zu besitzen scheint, habe

ThciL

. :• • •

2 Wittstein: Oeber äerr fnhhlt der Kugel

ich auch in meiner »»Stereometrie'' (Hannover 1862) eingeschlagen. Inzwischen habe ich seit dem Drucke dieses Buchs erkannt, dass die Entfvickelung noch einer i^eiteren Vereinfachung fähig ist. Man kann den um einen Kegel verminderten Cylinder ganz ent- behren und statt dessen geradezu ein von Ebenen begrenz- tes Polyeder angeben, dem die Kugel direct als inhaltsgleich nachgewiesen werden kann. Um dies auszuführen» muss ich die folgenden Begriffe aus meiner „Stereometrie'' als bekannt voraus- setzen.

§.2.

Unter einem Prismatold verstehe ich ein Polyeder» welches von zwei parallelen Polygonen» die ausserdem vollkommen unab- hängig von einander sind» als Grundflächen» und im Allgemei- nen von Dreiecken» welche mit je einer Grundfläche eine Seite und mit der anderen einen Eckpunkt gemein haben» als Seiten- flächen begrenzt wird.

In besonderen Fällen können irgend zwei benachbarte Drei- ecke» welche nach dieser Dofinition die Seitenflächen des Prisma- toids bilden» in eine Ebene fallen und sich zu einem Trapez oder Parallelogramm vereinigen. Dies geschieht immer da» wo zwei correspondirende Seiten der beiden Grundflächen parallel sind.

Nennt man G und g die beiden Grundflächen» /) die in halber Hube parallel den beiden Grundflächen gelegte mittlere Durchnitts fläche» und A die Höhe» so ist allgemein der Inhalt des Prismatoids

'-m'*'")-

Diese Formel enthält das Prisma und die Pyramide als be- sondere Fälle unter sich ; fSr das Prisma hat man zu setzen ^= G und Dz=G, fOr die Pyramide ^=0 und D=:iG. Ebenso föllt der Obelisk unter diese Formel. Von den weiteren Unterarten» welche diese Formel in sich begreift» kommen hier hauptsächlich die beiden folgenden in Betracht.

Wenn eine Grundfläche des Prismatoids sich auf eine Kante reducirt» so nenne ich den Körper einen Sphenisken. Jene Kante mag die Schneide des Sphenisken beissen. Der Inhalt des Sphenisken ergiebt sich » wenn man In der allgemeinen Formel /ör das Prismatold ^=:0 setzt » also

und verwandter KOrper. S

/ = ^(iC+2D).

Der einfachste Sphenisk ist derjenige , dessen Gmndflfiche ein Parallelogramm und dessen Schneide parallel mit zwei Seiten der Grandfläche ist. Alle der Grundfläche parallel gelegte Darch- tchaittsflächen dieses Sphenisken, insbesondere also auch die mittlere Darcbschnittsfläcbey sind gleichfalls Parallelogramme^ welche mit der Grandfläche gleiche Winkel haben. Es könnte zweckmässig sein, diesen Sphenisken durch eine besondere Be- nennoog auszuzeichnen (etwa Parallel-Sphenisk) ; doch wird zum wenigsten hier nicht leicht ein Irrthum entstehen, da in dem Fol- genden nur Sphenisken dieser einfachsten Art zur Betrachtung kommen.

Wenn beide Grundflächen des Prismatoids sich auf Kanten reduciren, so entsteht ein Tetraeder. Jene beiden Kanten mö- gen auch hier die Schneiden des Tetraeders heissen, der senk- rechte Abstand derselben ist die Hohe des Tetraeders. Der In- halt des Tetraeders in derjenigen Auffassung» unter welcher der Körper hier erscheint» wird gefunden, wenn man in der allgemei- neo Formel f&r das Prismatoid G=0 und ^=0 setzt, also

^ Die mittlere Durchschnittsfläche des Tetraeders ist ein Pa- rallelogramm, von welchem zwei Seiten parallel je einer Schneide de« Tetraeders und halb so lang als dieselbe sind. Die vier Eck pnnfcte desselben halbiren die vier Seitenkanten des Tetraeders. Alle anderen den beiden Schneiden oder der mittleren Durch- scbnittsfläche parallel gelegte Durchscbnittsflächen des Tetraeders sind gleichfalls Parallelogramme, welche mit der mittleren Durch- schnittsfläche gleiche Winkel haben.

Die mittlere Durchnittsfläche zertheilt das Tetraeder in zwei Sphenisken von einerlei Grundfläche und gleichen Höhen, von denen ausserdem leicht bewiesen werden kann, dass sie inhalts- gleich sind.

§.3.

Wenn am Tetraeder die mittlere Durchnittsfläche und die Höbe in der so eben entwickelten Bedeutung genommen werden, so kann man allgemein den folgenden Satz aufstellen:

Lehvaaiu Eine Kagel ist an Inhalt einem Tetrae-

4 Witts lein: üeber den Inhait der Kugel

dergleich, dessen mittlere Durchschnittsfläche gleich einem grossten Kreise der Kugel und dessen Hohe gleich einem Durchmesner der Kugel ist.

Reweis. Taf. I. Fig. 1. Es sei ABCÜ die Kugel, AB ein grosster Kreis derselben, CO ein darauf senkrechter Durchmesser, und P der Mittelpunkt der Kugel.

Ferner sei EFGH das Tetraeder, EF und GH die beiden Schneiden desselben , IK das auf beiden errichtete gemeinscbafl- iiche Perpendikel oder die Hube des Tetraeders, und LMNO die mittlere Durchschoittsfläche des Tetraeders, welche in Q von dem Perpendikel IK geschnitten wird und dasselbe halbirt.

Nach der Voraussetzung ist sodann

LMNO = AB

iK=CD

und aus dieser Voraussetzung soll bewiesen werden, dass die beiden Korper inhaltsgleich sind«

Zu dem Ende nehme man in den beiden Kurpem einen belie- bigen Abstand Pp=zQq an und lege durch die Punkte p und q die Durchschnittsfläche ab \\ AB und Imno \\ LMNO. Alsdann hat man:

1) in der Kugel

ABiab^AP^iap"^, oder da ap die mittlere Proportionale zwischen Cp und Dp ist:

AB:ab=zAP*:Cp.Dp; (1)

2) im Tetraeder

LMilm = EL: El = IQ: Ig

LO:lo^GL:Gl=KQ:Kq

und da Parallelogramme, welche einen gleichen Winkel haben, sich verbalten wie die Producte der diesen Winkel einschliessen den Seiten, so folgt weiter

LMNO: Imno =-IQ.KQ:=z Iq.Kq. (2)

Nun sind nach Voraussetzung und Construction in den beiden Proportionen (1) und (2) das erste, dritte und vierte Glied bezie- hungsweise gleich gross; folglich muss man auch haben

und verwandter Körper. 5

Imno = ab.

Da dieser Scbluss giittij^ bleibt, wie gross man aucb den Abstand Pp = Qq oberhalb oder unterhalb der mittleren Durch- MhoittsflSche annehmen mag, so folji^t daraus auf bekannte Weise, das« die beiden Korper inhaltsgleich sind, w. z. b. w.

Aomerkang. Will man diesen Lehrsatz durch ein Modell veranschaulichen, so nimmt man am besten die mittlere DorcbscbnittsflSche LMNO als Quadrat an und die vier Seitenkanten gleich gross. Alsdann wird, den Kugelhalb- messer =r gesetzt,

EF=:GH = 2r V« EG=:EU = FG = FH=r 2r\l+ J

Das Tetraeder wird also kein reguläres.

Z. B. r = 31 Millimeter giebt EF = 110,0 Mm., £:6=99,5Mm. Daraus icann man das Metz des Tetraeders leicht herstellen.

§.4.

Der vorstehende Lehrsatz zeigt, dass die Kugel in Betreff ihrer Inhaltsbestimmung sich genau der , allgemeinen Formel für das Prismatoid unterordnet, wobei es dann natörlich einerlei bleibt, ob man diese Formel in ihrer Allgemeinheit oder in der ßfr das Tetraeder schon vereinfachten Gestalt anwenden will. Neont man r den Halbmesser der Kugel, so hat man in der all- gemeinen Formel §.2 zu setzen G = 0, ^ = 0, />=r*9r, A = 2r woraus fÜir den Inhalt der Kugel sich der bekannte Ausdruck ergiebt

4r^n ^ = "3"-

Aber aus dem Gange des vorigen Beweises folgt zugleich, dass auch der Kugelabschnitt, so wie das von zwei parallelen Ebenen begrenzte Kugelstflck hinsichtlich der Inhaltsbestimmung wie ein Prismatoid aufgefasst werden darf. Denn die Schlüsse dieses Beweises bleiben vollständig bestehen, wenn sie auch nicht auf die ganze dem Kugeldurchmesser gleiche Hube ausgedehnt, sondern nur auf einen beliebigen Theil dieser Höhe beschränkt werden, wobei das inhaltsgleiche Prismatoid in dem einen der angegebenen Fälle ein Sphenisk, in dem anderen ein Obelisk wird.

Um hierDAch z. B. den lohalt des Kugelabschnitts zu bestim-

6 Wiiisiein: üeöer den Inkait der Knget

men, sei r der Halbmesser der Kugel und h die Hohe des Kugel- abschnitts. Die Grundfläche ist ein Kreis, dessen Halbmesser die mittlere Proportionale zwischen A und 2r — h ist, mitbin

Die mittlere Durchschoittsfläche ist ebenso ein Kreis, dessen

A A

Halbmesser die mittlere Proportionale ziiiscben ^ und 2r — ö'^^»

oder

Ueberdies ist ^ = 0 zu setzen , d. b. der Korper wie ein Sphenisk zu bebandeln. Durch Einsetzung dieser Werthe in die allgemeine Formel des §• 2 erhält man für den Inhalt des Kugel- abschnitts

d. I.

/=;rA«(r-j). (1)

Will man in der Formel för / den Halbmesser r, welcher an dem Kugelabschnitt nicht direct gemessen werden kann, nicht haben, so kann man dafOr den Halbmesser der Grundflilche ein- ffibren, welcher a sei. Aus dem schon Gesagten hat man

a« = A(2r-Ä)

und wenn man hieraus den Werth von r entnimmt und denselben in (1) substituirt, so erhält man f'ör den Inhalt des Kugelabschnitts die Formel

/=^(a«+f). (2)

Die Inhaltsbestimmung eines Ton zwei parallelen Ebenen be- grenzten Kugelstacks liefert weniger elegante Formeln und wird deshalb auch gewohnlich in den Lehrbüchern fibergangen. Das Vorstehende bietet aber zum wenigsten das Mittel dar, um auch diesen Inhalt direct und Yollkommen allgemein zu bestimmen.

§.6.

Wenn man Ober den Standpunkt der elementaren Stereometrie blnausgeht , so erscheint der Kugeiabsebnitt als besonderer Fall

und verwandier Körper. 7

eine« Konoids, dessen Grundfläche ein Kreis oder eine Ellipse ist, dessen Achse rechtwinkelig auf der Grundfläche steht, and dessen Achseiischnitte sämrotlicb Kegelschnitte von einerlei Haupt- acbse sind, welche ihren Scheitel im Scheitel des Konoids haben Dieses Konoid ist demnach entweder ein Rotations- oder drei acbsiges Eliipsoid, oder ein Rotations- oder elliptisches Paraboloid oder ein Rotations- oder elliptisches Hyperboloid a deux nappes*) Voo allen diesen Konoiden lässt sich beweisen, dass sie gleich wie Kugel und Kugelabschnitt in Beziehung auflnhaltsbe Stimmung sich vollständig und genau der allgemeinen Formel für das Prisniatoid unterordnen.

Es kann nämlich gezeigt werden, dass jedes dieser Konoide mh^ltsgleich einem Sphenisken von gleicher Grundfläche und gleicher Hube ist, wenn nur der Schneide dieses Sphenisken, welche mit zwei Seiten seiner Grundfläche parallel ist, eine an- gemessene Länge gegeben wird.

1) Ffir das Ellipsoid.

Taf. I. Fig. 2. Es sei ^CF Abschnitt eines Ellipsoids, dessen Grundfläche ^AC/> eine Ellipse mit den beiden Achsen JC undfiZ>, dessen Hube £JF, und dessen Achsenschnitte FA, FBu.s.w. Ellip- sen sind, welche die Linie FX zur grossen Achse haben.

Femer sei GHIKLM ein Sphenisk, dessen vier Seitenflächen, fiber die Grundfläche GHIK hinaus verlängert, das Tetraeder LMNO hervorbringen. In diesem Tetraeder sei QR das gemein- schaftliche Perpendikel auf den beiden Schneiden LM und NO, weiches die Grundfläche GHIK in P durchschneidet.

Es werde angenommen

GHIK = ABCD PQ = EF QR = FX.

Legt man In einem beliebigen Abstände Ee = Pp von den beiden Grundflächen die Durchschnittsflächen abcd || ABCD und ^A££|| GHIK 9 BO bat man nach der Natur der Ellipse

AE^. ae« = XE. FEiXe. Fe BE*:be*=: XE.FEiXe.Fe

*) DaM das Hyperboloid ll une nappe zu den Prismatoiden gehört, habe idi schon, wie hier beil&nfig bemerkt werden mag, in der Schrift: „Das Prisma- (Hannover 1860) nachgewieion.

g Wilislein: Oeäer dem ImkmU der Kn§ei

oml da die FÜeheo zweier EUlpeee eieb trie die Prodecte dmr Halbaefceea verlialteD« eo folgt

ABCDiabed = XE.FEiÄe.Fe. (1)

Ferner ist in SphenieiceD (wie $. 3) <

GH:gh = RP:Rp GK:gk=QPiQp woraoe folgt

GHIK : ^A£i^ = RP. QP: Rp . Qjp. (2)

Aus diesen beideo Proportionen (1) nod (2) ergiebt sich wie im §. 3

^AüE; = abcd

nnd dsraos folgt auf bekannte Weise die Inhaltsgleichbeit der beiden Körper.

2) Far das Paraboloid.

Taf.I. Fig. 3. Die Fignr werde dahin abgeändert, dass ACF (Taf. I. Fig. 2) ein Paraboloid bedeutet, dessen Achsenschnitte FA, FB U.S.W, mithin Parabeln sind^ welche die oobegrenzte Linie FE zur gemeinschaftlichen Achse haben. In dem Spbenisken GHIKLM (Taf.LFig.3)seien die Dreiecksflächen GKL und HIM parallel.

El werde angenommen

GHiK^ABCD PQ = EF.

Legt man io einem beliebigen Abstände Ee = Pp von den beiden Grundflächen die Durchschnittsfläcben abcd \\ ABCD und ghik II GHIK, so hat man nach der Natur der Parabel

AE*:ue^=FE:Fe BE^:be^=z FEiFe

woraus wie oben folgt:

ABCDiabed s FEiFe. (1)

Ferner ist im Spbenisken

GH=:gh GK:gk==QP:Qp, mithin :

GHlKighik zsQPiQp. (2)

wid verwandter Körper. 9

Aus (1) und (2) folgt:

ghik = abcd nod daraus die Inhaltsgleicbheit der beiden KtSrper.

3) Für das Hyperboloid.

Taf. I. Flg. 4. Die Figur werde dahin abgeändert, daaa ACF (Taf.l. Fig. 2) ein Hyperboloid bedeutet, dessen Achsensebnitte FA, FB a.8.w. Hyperbeln sind, welche die Linie FY cor gros- sen Acbse haben. An dem Sphenisken GHIKLM (Taf.LFig. 4) mögen die vier Seitenflächen, über die Schneide LM hinaus ver- längert, das Tetraeder LMNO hervorbringen, in welchem QR das geroeinscbaftiicbe Perpendikel auf den beiden Schneiden LM und NO sei, dessen Verlängerung die Grundfläche GHIK in P rechtwinkelig trifft

Es werde angenommen

GHIK = ABCD

PQ=zEF

QR = FY.

Legt man wieder in einem beliebigen Abstände Ee = Pp von den Grundflächen die Durchschnittsflächen abcd \\ ABCD und gkik 0 GHIK, so folgt aus der Natur der Hyperbel

AE^ia^==YE.FE:Ye.Fe BE*:be^= YE.FEiYe.Fe

und daraus wie oben:

ABCD:abcd=z YE.FEiYe.Fe. (1)

Ferner ist im Spbenisken

GHigh^RPiRp

GK:gk=:QP:Qp mithin :

GHlKighik = RP. QP. Rp.Qp. (2)

Aas (1) und (2) folgt:

ghik = abed

■ad daraas wieder die Inhaltsgleiohheit der beiden Körper.

10 Wittstein: üeöer den Inhalt der Kugel

§.6.

Eine Vergleichung unter den Sphenisken, welche den Tor- bezeichneten Konoiden inbaltsgleich sind, lässt sofort erkennen, dass

1) för das Ellipsoid, jede der beiden Seiten der Grundfläche des Spbenisken, welche der Schneide parallel sind, kleiner als die Schneide;

2) für das Paraboloid, jede dieser beiden Seiten der Grundfläche gleich der Schneide; und

3) ftir das Hyperboloid, jede dieser beiden Seiten der Gnndfl&che grosser als die Schneide des Sphenisken ist

Diese Beziehung erinnert augenfällig an die Entstehung der Benennungen der Kegelschnitte aus ^Xkei'iffig (Mangel), Tettgaßolij (Gleichheit), vTcegfiokt} (Uebermass). Es wurde selbst nicht un- muglich sein, geradezu hieraus die Kegelschnitte zu definiren.

Ferner folgt aus der genannten Vergleichung, dass von allen Torbezeichneten Konoiden über einerlei Grundflache und von glei- chen Höhen das Ellipsoid den gr«issten, und das Hyperboloid den kleinsten Inhalt hat. Das Ellipsoid wird desto grosser, je kleiner die gemeinschaftliche grosse Achse der Achsenschnitte angenom- men wird, und kann jeden beliebig grossen Werth erreichen, hat also kein Maximum. Das Hyperboloid dagegen wird desto klei- ner, je kleiner die gemeinscbaltliche grosse Achse der Achsen- schnitte genommen wird, und hat zum Minimum einen Kegel von derselben Grundfläche und Hohe.

Was die Berechnung der Inhalte selbst betrifft, so bedarf man dazu offenbar der Sphenisken nicht weiter, sondern kann die betreffenden Dimensionen an dem Konoid selbst nehmen und in die Formel des §.2 setzen. Wird die Grundfläche G und die Hohe h als bekannt vorausgesetzt, so handelt e^ sich wesentlich nur noch um die Kenntnis« der mittleren Durchschnitts- fläche D. Man kann dieselbe gleichfalls direct messen, was man immer vorziehen wird, wenn Ober die Natur der Achsen- 'schnitte des Konoids nichts Näheres bekannt ist. Man kann sie aber auch aus diesen Achsenschnitten berechnen , wozu in jedem der drei Fälle eine der mit (1) bezeichneten Proportionen des vorigen Paragraphen gebraucht werden kann, wie folgt.

Im Ellipsoid sei 2a die gemeinschaftliche Hauptachse der Acbsenachnlite. Dana hat maa

folglicb

und verwandter Körper. \\

G:Z> = A(2a-A):-*(2ii^2),

nd

. Gh 3a ~A

Fflr A = a, oder das halbe Eilipeoid, erhält man hieraaa^)

- 2Ga

oder weno man mit 6 ond e die beiden andereo Halbachaen des Ellipaoids heseichnet, frodurch G ss bc% wird»

, 2abcn

Die Verdoppelung hiervon giebt da« ganze Ellipsoid. Man kann dasselbe aber auch direct haben, wenn man G=0, D^bcn und A = 2a setzt.

Im Paraboloid hat man

G:Z) = A:^.

folglich

G

and

Z) = 35

, Gh

Im Hyperboloid sei 2a die gemeinschaftliche Hauptaxe der Achsenschoitte. Uann wird

folgfich:

G:Z) = A(2a+A):^(2« + J)

/> = ?.'*" + *

4 2a-f A rad

*) Im halben SUiiMokl in D=:\G, im Fuaboloid (i. nuten) Di=\G, mKcgel Dss\G, waklM ZaMiameutellniig «ach nicht ohne Intereiae eein mag.

12 Wiiisiein: üeöer den InhaU der Kugel etc.

Gh 3a-|-A

/ =

3 ^a + Ä

Es wird kaum der Bemerkung bedOrfen, dass der Inhalt des abgestumpften Konoids, welches durch eine mit der Grundfläche parallele Ebene als zweite Grundfläche begrenzt wird, gleichfalls genau nach der allgemeinen Formel des Prismatoids berechnet werden kann. Ein Beispiel dazu giebt die bekannte Lambert'sche Formel für den Inhalt eines Fasses:

/=J(G+2D).

WO G die Bodenfläche, D die mittlere Durchschnittsfläche und A die Länge des Fasses bedeuten. Diese Formel ist nach dem Vorhergehenden Tollkommen streng, wenn das Fass wie ein an den beiden Enden um gleiche Grössen abgestumpftes Ellipsoid angesehen werden kann.

Der Kreisabschnitt und die Simpson^sche Formel.

Von

Herrn Professor Dr. fViiiatein

in Hannover.

Der Kreisabschnitt pflegt in den Elementarbflchern der Geo- metrie sehr stiefmfltterlich behandelt zu werden. Wenn man be- wiesen hat, das der Kreisausschnitt einem Dreiecke gleich ist, welches den Bogen zur Grundlinie und den Halbmesser zur Hohe hat, so pflegt man fortzufahren: der Inhalt des Kreisabschnitts wird gefunden, wenn man von dem Kreisausschnitte das Dreieck snbtrahirt, welches durch die Sehne und zwei Halbmesser gebil- det wird; und damit wird der Gegenstand verlassen.

Wiiisiein: Der Kreisabsehnin und die Simpsanftehe Formel. 13

Es sei r der Halbmesser» 6 der Bogen, a die Sehne und h der Pfeil des Kreisabschnitts. Dann wird also sein Inhalt dnrch die Differens aasgedrOckt

br a(r - h) i=2 2 — ^*^

nod damit die Sache als erledigt angenommen.

Diese Kfirze hat allerdings ihre guten Gründe. Die vier Grossen, welche die Formel (1) zur Inhaltsbestimmung des Kreis- abschnitts fordert, sind nicht unabblingig von einander; zwei der- selben müssen hinreichen, um daraus die beiden anderen zu be- stimmen. Aber die Ableitung ist, was den Bogen 6 anlangt, in den Elementen unausführbar, denn sie setzt trigonometrische Begriffe voraus.

Wenn z. B., wie gewohnlich, die Sehne a and der Pfeil h ge- geben sind, so bann man den Halbmesser r aus der Gleichung bestimmen

^ = A(2r-A).

Was dagegen den Bogen 6 anlangt, so sei q> der ihm zuge- geborige Centriwinkel. Alsdann muss man zur Bestimmung von 4p eine der drei Gleichungen anwenden

, q> a q) r — h . 9> «

and erhfilt daraus 6 durch die Proportion

3ßO^:q) = 2r7t:b.

Diese Rechnung kann natürlich in den Elementen der Plani- metrie keinen Raum finden.

Nichts desto weniger scheint es, dass man auch schon In den Elementen, welche keine Trigonometrie voraussetzen, in der Inhaltsbestimmung des Kreisabschnitts weiter geben könne als dies bisher üblich gewesen ist. Ich werde hier eine Entwickelung Bittbeilen, . welche ich in die zweite Auflage meiner „Planimetrie'* (Hannover 1862) aufgenommen habe und für deren Zulassung in die elementaren Lehrbücher hauptsSchlich die beiden folgenden üastlnde sprechen dürften:

1) Sie giebt schon dem Anßnger ein sehr instructives Beispiel der Exhaustions-Methode, welche sonst, nach

14 Witt$tein: Der KreiMoöickniU

dem Vorgange des Arcbiroedes, erst bei der Quadratur der Pa- rabel gelehrt wird, also fär Gymnasialschüler selten oder niemals.

2) Sie macht es mOglich^ die Simpson'sche Formel fflr Fläcbenberecbnungen, deren Aufnahme in die Elemente so wünschenswerth ist, schon hier abzuleiten, während dieselbe sonst nur unter Voraussetzung der Quadratur der Parabel bewie- sen wird.

§. 2. Die Gleichung (1) lässt sich umformen in

/= -^ + ^ (2,

und deutet in dieser Gestalt schon den Weg an, welchen die Ezhaustion der vorliegenden Flfiche zu nehmen hat, wenn der Bogen b vermieden werden soll.

Taf.I. Fig. 5. Alan beschreibe in den Kreisabschnitt das gleich- schenkelige Dreieck ABC, welches die Sehne AB = a zur Grundlinie und den Pfeil CD = h zur Höhe hat. Der Inhalt die- ses Dreiecks ist -y •

In die beiden Gbrig gebliebenen Kreisabschnitte beschreibe man wieder die gleichscbenkeligen Dreiecke ACE und CBF, welche die Sehne AC=^CB=i Oi zur Grundlinie und den Pfeil EG = FH=hi zur Höhe haben. Der Inhalt dieser beiden Dr«i.

ecke ist = 2 . -W-^ .

In die vier nun noch übrigen Kreisabschnitte beschreibe man wieder ebenso gleicbscbenkelige Dreiecke, welche in der Figur nicht weiter angezeigt sind, und nehme die Sehne AE =s a^ zur Grundlinie und den zugehörigen Pfeil = A^ zur Höhe. Der Inhalt

dieser vier Dreiecke ist =4« '^r*

Fährt man so welter fort, bezeichnet Sehne und Pfeil der nan- folgenden acht Kreisabschnitte mit a^ und A, u.s. w. und addirt alle Dreiecke, so erhält man den Inhalt des Kreisabschnitts doreh die unendliche Reihe ausgedrQckt:

/=f* + 2/-^ + 4.?^ + 8.?^' + ... (3)

vnd dte Simpson' sehe FormeL 15

Diese Reihe nimmt eine elegantere Gestalt an 5 wenn man sti<t der Werthe A, Af, A« n.s.w. den Halbmesser reinftibrt Alan tat niimlicb, wie unmittelbar aus der Figur zu scbliessen ist^

A=2ir^ '*»~2J^' Äa = 2^,u.s.w.

und die Substitution dieser Wertbe giebt die Reibe:

/='-a-+2.=^+4.^+«.a;?-+... (0

Cm nacb dieser Formel den Inbalt des Kreisabschnitts zu be- rechnen, bedarf es der Kenntniss der Wertbe a^, a^, a^, u.s.w Diese Wertbe entstehen aber successive aus einander auf dieselbe Weise, wie aus der Seite eines eingeschriebenen regelmässigen Polygons die Seite des eingeschriebenen Polygons von doppelter Seitenzahl hergeleitet wird, oder es ist

«i = V 2r«-2rY r«- ^

«« = V 2r«— 2rY r«— ^

U. S. W U. 8. W..

Wenn eine genaue Zeichnung des Kreisabschnitts vorliegt, wie es in den technischen Anwendungen bei Gewölben, Brflcken- bogen a.s.w. der Fall zu sein pflegt, so kann man kürzer die Wertbe voo 01, Ha» fls, U.S.W, aus der Zeichnung nehmen.

In der nnmerlscben Rechnung bricht die unendliche Reibe immer von selbst da ab, wo ihre Glieder so klein werden, dass sie ZQ der letzten in Betracht zu ziehenden Decimalstelle keinen Betrag mehr geben.

§. 3.

Die hier entwickelte Formel (4) für die Inhaltsberechnung des Kreisabschnitts ist im Allgemeinen einer Zusammenziebuug ■i eioen geschlossenen Ausdruck nicht fähig. Dies ist jedoch ia tioem besonderen Falle möglich, den die Praxis sehr häufig anbietet, nämlich wenn der Kreisabschnitt sehr flach, d. h. wenn fo Pfeil des Kreisabschnitts im Vergleich mit seiner Sehne sehr Ueb ist

16 Wiiisiein: Der KreUaäMckniU

Wean CD sehr klein ist im Vergleich mit AB^ so ist AC wenig grosser als AD, und mao kann mithin angenähert aetsM

a «1 = 2

und folglich um so mehr auch

Ol a a^ a

Setzt man diese Werthe in (4), so kommt,

f — ill _L «' _1_ ^' Ä%

16r "^ 64r "^ 26ör = ^0+i + A + ...).

a»

Der hier vor der Klammer stehende Factor ttt ist

mit -n~ 9 wie aas der Vergleichung mit (3) unmittelbar herrorgefa^

und die eingeklammerte Reihe hat zur Summe = {. Mithin ist endlich

d. h. der Inhalt eines sehr flachen Kreisabschnitts be-- trägt zwei Drittel eines Rechtecks, welches dieSehno des Kreisabschnitts zur Grundlinie und den Pfeil des* selben zur Hube hat.

Diese Formel Gndet man sonst aus der Theorie der Parabel durch die Betrachtung, dass der Bogen einer Parabel in der Nihe ihres Scheitels mit dem KrOnimungskreise des Scheitels als n- sammen fallend angesehen werden kann.

Was die Anwendbarkeit der Formel (6) anlangt, so kann mai die Frage aufwerfen, wann einem Kreisabschnitte die hier voraus- gesetzte Eigenschaft, sehr flach zu sein, zukomme. Diese Frage lässt aus der Vergleichung der beiden Reiben (4) und (5) eine vollkommen präcise Antwort zu. In der Reihe (5) ist jedes Glied genau ein Viertel des vorhergehenden; in der Reihe (4) dagegen ist jedes Glied im Allgemeinen grösser als ein Viertel des vo^ hergehenden, und reducirt sich nur dann gleichfalls auf ein Viertel des vorhergehenden, wenn diese Reihe in (5) übergebt. Wenn man demnach die beiden ersten Glieder der Reihe (4) in 2Sahlen berechnet und das zweite Glied mit hinreichender Genauigkeit gleich einem Viertel des ersten findet, so ist die Voraussetzung

und die Simpsan'scäe Formel, 17

ffrfilllt, auf welcher die Fonnel (6) ruht, and man darf mithin die bbaJtsberecbnnng nach dieser Formel ausführen. ^

Wenn aber das zweite Glied der Reihe (4) nicht gleich einem Viertel des ersten sich ergiebt, so muss man nach dieser allge- oeinen Reihe zu rechnen fortfahren, kann aber zum wenigsten dcD Schluss der Rechnung in die Formel (6) öberleiten. Denn Dan wird in der Reihe (4) jedenfalls früher oder später zu einer Stelle gelangen, von welcher angefangen jedes Glied hinreichend geoaa gleich einem Viertel des vorhergehenden ist; wenn man ki erste dieser Glieder um seinen dritten Theil vergrussert, so hat man sofort die vollständige Summe.

Beiläufig werde bemerkt, dass man, wenn / gefunden, hinter- ber auch im Stande ist, die Bogenlänge des Kreisabschnitts zu berechnen. Denn man hat nur nothis" den Werth von / in die Gleichung (1) oder (2) zu setzen und diese für b aufzulösen. So inabesondere giebt die Gleichsetzung der beiden Werthe (2) und (6) fSr die Bogenlänge b eines sehr flachen Kreisabschnitts den bemerkenswerthen Ausdruck :

^=a(l+3^).

§.4.

Aus der Formel (6) lässt sich die Simpson* sehe Formel abieiteo, welche von sehr vielfaltigem Gebrauche ist, um ange- nähert den Inhalt einer durch eine beliebige krumme Linie be- grenzten Fläche zu berechnen.

Taf.l. Fig. 6. Es sei AB eine beliebige krumme Linie, welche eine Fläche begrenzt, und XY eine willkürlich angenommene Abscissenlinie, auf welcher in gleichen Abständen ÄC^=z CD vorläufig die drei rechtwinkeligen Ordinaten XA, CL, DM errichtet sind. Die Abstände dieser Ordinaten seien «so klein genommen, dass der Bogen ALM keine zu starke Krümmung hat. Man setie XC = CD = « und XA = y , CL = ^i , DM = y^.

Zieht man die gerade Linie AM, so wird durch dieselbe das zwischen den Ordinaten XA und DM enthaltene Flächenstück m das Trapez XDMA und das Segment AML zerlegt. Das Tra- pez XDMAf dessen parallele Seiten y und y^ sind und dessen Hohe = 2a ist, hat den Inhalt

Die Mittellinie dieses Trapez beträgt CÄ'=-^^^^, folglich ist

TheU XXXIX. 2

18 Wiiistein: Der Kreitab9chniU und die Stmpson'sche Formel.

Um den Inhalt des Segments AML zu bestimmen, mache man CZ:=KL und denke sich durch die Punkte X, Z, D eine krnmme L)nie gelegt, welche ein Segment XDZ von demselben Inhalte wie AilfL hervorbringt. Dieses Segment XDZ kann man ange- nähert wie einen Kreisabschnitt ansehen, dessen Pfeil im Ter» gleich mit seiner Sehne klein ist. Die Sehne dieses Kreisabschnitts

ist =: 2cr, der Pfeil = yi —^^^f und mithin nach (6) sein Inhalt

Durch Addition der beiden gefundenen Werthe erhält man fiir den Inhalt des Flächenstficks XDMLA

d. i.

Sollte der Bogen ALM seine conveze Seite nicht, wie In der Figur, nach oben, sondern nach unten wenden, d.h. CL-^CK sein, so lässt sich durch entsprechende Abänderung der Figor zeigen, dass der Ausdruck fflr / in (7) dessen ungeachtet der- selbe wird.

Es seien nun solcher Theile wie XC= CD = a auf der Ab* scisseniinie XY beliebig viele, jedoch in gerader Anzahl Tor- handen, und die entsprechenden Ordinaten seien der Reihe nach

y> Vi* y%9 y^f ••• .v«*-«» y««-i> y»««

Alsdann erscheint die ganze zwischen den Ordinaten y und y^t enthaltene Fläche wie eine Summe von Fläch enstflcken, deres Inhalte nach der Formel (7) zu berechnen sind. Mithin erhält man filr die ganze Fläche den Ausdruck:

'= 3(y +^yi +ya)+ 3(ya+4y8 +^4) + •• + 5(^»*-«+^-i+y««)

d. i.

/ = 3(y + 4yi +2ya+4y8 + 2y8+ -.^yan-i + y»!), welches die Simson'sche Formel ist.

PiedUr:Oeö.dieder EiHp8eparaii.Curveuui*dem EUipi.par. Fläche. 19

üeber die der Ellipse parallele Curve und die dem

Ellipsoid parallele Fläche.

Von

Herrn Dr. fVilhelm Fiedler ^

Lthrer der daratellenden Geometrie a. d. Gewerbetcliale xa Chemnitz.

1. Im VI. Zusätze zu meiner deutschen Ausspähe von Rev. 8almon's ,,Treatise on Conic Sections*' („Analytische Geometrie der Kegelschnitte'^ p. 598— 604) und nachher habe ich, den brief- licbeo Aodeatongen des trefflichen Gelehrten nachgehend ^ Folge- mngeD ans der Betrachtung der Discriminante der Gleicbang

;ts + s, = o

mitgetbdlt (p. 602), welcbe sich den Art. 362-367 des Werkes anscbliessen; sie galten einer Gruppe von Sätzen Aber Kegel- scboitte, zu deren Entdeckung der Satz von Faure: „die Länge der Tangente, fr eiche man vom Centrum einer Ellipse an den Dmschriebeaen Kreis eines in Bezug auf sie sich selbst conjugir- teo Dreiecks ziehen kann, ist der Länge der Scbne des elliptischen Quadranten gleich'' (Nouvelles Annales de Math^matiques 1860. 524 p. 234) die Anregung gab. Ich knüpfte diese Folgerungen an aadre Betrachtangen über die geometrische Bedeutung der Dis- crnDioaDte an, in welchen diese Letztere besonders zur Bestim. naog der Enveloppen von geraden Linien und der Oerter von Punkten benutzt ward. Im Hinblick auf diese schloss ich die EntwickeluDgen Über die obige Gleichung för

S = 0

als Gfeicfaong eines Kreises mit der Bemerkung, die ich mir hier zu wiederholen erlaube: „Endlich knüpfen wir diese Entwickelun- gen an die erste Betrachtung dieses Zusatzes, indem wir bemer- ken, dass die Discriminante der Gleichung

2*

20 Fiedler: Veber die der Eiiipse paraiieie Curte

in Bezug auf die Veränderliche k ist die GleichuD|^ der zum betrachteten Eliipsoid

fl* 6* er

parallelen Oberfläche, d.i. die Gleichung der Ober- fläche, deren auf den Normalen desEliipsoids gemes- sener Abstand von diesem Letzteren unveränderlich und =:r ist.

Indem ich darauf zurückkomme, schliesse ich zugleich die von Oayley von andern Grundlagen aus nenestens gegebenen Ent- Wickelungen über denselben Gegenstand an. (Man vergleiche »»An- naii di Matematica da B. Tortolini'S tili, p.31l u. 345.)

"2. Die Richtigkeit der ausgesprochenen Sätze zuerst erweist sich leicht Denn was den ersten anbelangt, so repräsentirt be- kanntlich die Discriminante der Gleichung

A[(a;-«)« + (y-/S)»-r«] + ^ + ^-1 = 0.

welche in der oben gegebenen Form erhalten wird, und an den angefahrten Orten in der kürzeren Gestalt

k^.J + k^.e+k.Si + Ji =0

geschrieben worden ist, die auch hier beibehalten werden soll, das System der drei Paare von geraden Linien, welche durch die vier Durchschnittspunkte des Kreises

(^-c)*+(y-/3)«-r« = 0 mit dem Kegelschnitt

S + S-^=o

hindurch gehen, oder die Gegenseiteopaare und das Diagona- lenpaar des gemeinschaftlichen eingeschriebenen Vierecks.

und die dem EUipsoid parallele Fläche,

21

Für den Fall, da«8 zwei dieser Paare von geraden Linien in eins zusammenfallen 9 oder dass von den vier Durcbschnittspunk- ten der beiden Curven zwei in einem vereinigt sind^), d. b. wenn Berührung zwischen ihnen stattfindet, muss jene dnrcb die Gleichsetzung der Discriminante mit Null erhaltene Gleichung

ein Paar gleiche Wurzeln in A: haben, d.h. ibre nach der Veränderlichen k gebildete Discriminante muss «elbst mit Null gleich sein. Diese Discriminante wird durch die Elimination aus den partiellen Differentialen der homogen f«^- daebten Gleichung , d. i. aus

%k^\Wyk\ZA^ = ^ erhalten, und kann in der Form einer Determinante

3^, 20,

0, 3^,

0, 201,

0, Ö,

01, 0

20, 01

3//,, 0

201, 3^1

= 0,

oder entwickelt

0»0i«+ 18^/^1001 =4^/01»+ 27^//i* + 4iS^i0»,

und endlich in der zur Discussion brauchbarsten Form

(9^^,— 00,)2 = 4(0« — 3^ 0i) (01«— 3^10)

geschrieben werden.

3. Wenn nun in diese Gleichung die Werthe der Grossen 0, 0] , i^, //| , wie sie eben gegeben sind, substituirt werden — ich will nur die Coordinaten des Centrums a. j3 durch |, 7\ be- zeichnen, um sie als Veränderlicbe zu characterisiren — so ent- »teht eine Gleichung, deren geometrische ßedeutung keine an- dere ist, als diese: Sie reprüsentirt den Ort des Mittel- punkts eines Kreises vom Haibmeser r, welcher die gegebene Ellipse berührt; somit ist sie die allgemeine Gleichung der der Ellipse parallelen Curve.

*) Man vergleiche „Annlytischc Geometrie der Kegelschnitte- Art. 064.

22 Fiedler: üeöer die der Ellipse parallele Curve

Man. bat

//, = 1, ©1 ^a« + 6«-(S«+i2*-r«);

die Substitution liefert also eine Gleichung vom acbten Grade in Bezug auf §, i^» ^'^ Gleicbung der parallelen Curve. Sie erseheint in der Form

[o«6«— a«(i2«-r«) - 6«(|«— r«)]«[a«+6«-(J* + i?«-r»)J« + I8a«6«r«[a«6«-^a«(i2*— r») - 6»(S« -r»)][a« +*•—($• -f i?»—i^]

+ 27a*6*r* + 4[a«6* — a*(iy« - r«) — 6«(£* - r«)] » , oder in der anderen

[9a«6«r«— («26«— aV - 6«S« + a«r«+ 6«r«)(a« + *«—?- ly« + r«)]*

X[(a« + 6«— £«— iy« +r«)«— 3(a«6«— a V - *^ + a«r* + 6«r*)] *).

Sie stimmt mit der von C atalau im 111. Bde. der ^^Nouvelles Annales'' von M.Terquem (1844, p.553) gegebenen Oberein, welche auf Grund des Beweises von Cauchy im XIII. Bde. der Coroptes rendus (p. 1063) entwickelt wurde, dass die Gleichung der paral- lelen Curve der Ellipse durch die Elimination von B aus den Gleichungen

*) Ich darf nicht unerwähnt lassen, dass Salmon bereits in seinem »Tiea- tiseonthe higher plane Coryes^ (1852 p. 273 — 74) eine Lösung des Problemi egeben hat, die von ganz anderen Gesichtspunkten ausgehend, doch zu einem hOchst eleganten Resultate gef&hrt hat. Er untersucht die Cunren, welche mit der Ellipse dieselbe Evolute haben und zeigt, dass diese Aufgabe sich auf die Bestimmung der reciproken Curve einer Curve 4. Grades reducirt (Art. 109); er lOst sodann aber auch die Aufgabe direct durch die Betrachtung der ftqai- distanten Tangenten und die Theorie der Enveloppen. (Vergl. p. 98 — 104 des genannten Werks). Das Resultat, die Gleichung der Parallclcurve, ist in die Form

45* = r«

gesetzt, und cnth&lt nach der Natur von S und T allerdings Glieder des zwölften Grades; aber alle von höheren als dem 8. Grade verschwinden in der Entwickelung. Auch die Beziehung der Brennpui^kte zur Parallelcurve (siehe unten Art. 10) entgeht Salmon nicht, (p. 274.)

und die dem ßiiipsoid paraliede Fläche. 23

(«*+ Ö)« ■*■ (6« + ö)*"- * * (a« + Ö)« "^ (Ä*+Ö)» "" "^

gefiroden werden mfisse.

Cayley hat bemerkt^ dass die verlangte Elimination sieb am enfachsten vollziebt, indem man aas den vorigen Gleicbangen die Denen bildet

^* , .üL-i .!? ^* , y* »f

Hier ist die zweite durch die Differentiation der ersten nach 6 erhalten und die verlangte Elimination kommt daher auf die Bil- dung der Discriminante dieser ersteren zurflck, d. i. der Discri- minante von

(Ö+r»)(ö + a«)(d+6«)-ar»d(Ö+i«)— y«Ö(Ö + a«) = 0.

Man erhält damit genau die obige Gleichung wieder.

4. In vollkommener Analogie knüpft sich die Aufgabe, die parallele Fläche des Ellipsoids zu bestimmen, an die all- gemeine Gleichung

in welcher

— (aW + 6«c« +c«a«)(S«+i2H£*— r«), ^1 = 1, Ä = (a«6* + 6V + c*a«) + (a«J«+6V+ c«£«)

-(a«+*» + c*)(|» + iy«+£«-r«),

lind. (Wieder sind, um die Coordinaten des Centrum der Kugel als die Veränderlichen za characterisiren, die Buchstaben £, 97, {; in Stelle von a, ^, y eingeführt worden.)

Soll die Kugel

das Ellipsoid

a^ * 0^ * c* berühren, so muss die obige Gleichung in A gleiche

26 Fiedler: Veber die der Ellipse parallele Curve

indem er sunäcbst die Coordinateo ^l ti, i des Endpunkts der Normale von der Länge r Im Punkte (x^y^z) des Ellipeoids durch die SubetitutioD

in der Form

anedriickt und aus den durch die Substitution dieser Werthe ge- wonnenen Gleichungen:

(o«+A)« + (6«+A)« + (c«+A)«"- *'

iff AV ity _ ,

(««+*)« + (6«+A)« + (c»+A)« ~ *■

die folgenden bildet:

«• +z^.+ A=.+?.

S* , 3!_ I ?! ü!.

die zweite derselben ist das in Bezug auf k genommene partielle Differential der ersten und somit die Gleichung der parallelen Fläche des Ellipsoids zu gewinnen , indem man die Discriminante der Gleichung

-J!_._3!_._ü i+L*

a*+Ä + 6« + Ä + c* + Ä""* + Ä

in Bezug auf k bildet und mit Null vergleicht. Die Wegschaffung der Nenner lässt in ihr die Gleichung vierten Grades wiederfinden, welche vorher gefunden ward.

Es ist von Interesse, damit die von Will. Roberts**) ge-

*) Ich reducire überall seine Bezeichnungen aof die hier gebrauchten. **) M.W. Boberts ist derjenige des bekannten gelehrten Brüderpaares von Dublin, welcher in Terquem's „Annales** unter dem Anagramm Strebor so viele schwierige Probleme der Geometrie und Analysis gelOst hat.

und die dem ElUpsoid paraiiele Fläche. 27

gebeae und yon Cayley bekannt gemachte AuflGsmig zu ver- gleicbeD. Die Parallelfläche des Eliipaoids kann offen- bar gevronnen werden als die Enveloppe aller aus den Punkten der Oberfläche mit einem and demselben Radius r beschriebenen Kugeln. Roberts betrachtet noD snnächst die Ringfläche, welche die gemeinschaft- licbe Enveloppe der Kugeln ist, deren Centra einen Kreisschnitt des Ellipsoids bilden und geht sodann von ibr erst auf die Parallelfläche selbst über. In der That, nur die Gleichung der den Kreisschnitten entsprechenden Ringfiäche ist einfach genug, um die Gleichung ihrer Enveloppe, der Parallel- fläche des Ellipsoids, in genögend knapper Form zu erhalten. Für die Ellipse

erhält man die Gleichungen:

nod die Gleichung der Ringfläche durch die Discriminante der Gleichung:

in Bezog auf k. Sie ist eine cubische Form, reducirt sich aber ftir a=:6, oder für die Kreisschnitte, auf eine quadratische Form. Indem ich mich auf diese Andeutungen beschränke, verweise ich auf die schonen von Cayley über diesen Gegenstand g^e- benen Entwickelungen (Annali di Mat. 1. 111. p.347).

7. Statt in die Discussion der Parallelfläche des Weiteren einzugehen, will ich die Hauptmomente der Discussion der Pa- ralleicurve der Ellipse bezeichnen. Es wird nothig sein, dazu nach einander von ihrer Klasse und von ihren Singularitä- ten, nämlich von RQckkehrpunkten und Doppelpunkten zu han- deln, und niitzlich, ein Paar specielle Fälle zu erörtern.

Die Paralleicurve der Ellipse ist von der vierten Klasse, d. h. man kann von jedem Punkte ihrer Ebene aus vier Tangenten an sie ziehen. Man beweist diess, indem man die Gleichung der Curven in Tangentialcoordinaten auf- stellt; denn dieselbe ist vom vierten Grade in den Veränderlichen.

28 Fiedler: üeber die der Ellipse parallele Curve

Die Tangente der Ellipse kann durch den von ihr mit der Hauptachse gebildeten Winkel a in der Form ausgedrückt werden:

xcoBu-\-ys\ntt — V^(a* cos^a + 6* sin^a) =0*); dann ist unmittelbar

;rco6a -f ^ sin a — r — V"(a*cos*a+6*8in*a) = 0

die Gleichung der im Abstände r zu ihr parallelen Geraden, d. fa. die entsprechende Tangente der Parallelcurve der Ellipse.

Indem man sie durch

Xa:+ry + Zz=i)

repräsentirt, wo X, Y, Z die Tangentialcoordinaten sind, hat man

X: yiZ = coso:sina:r + V(a*cos*a + 6*8in*a)

und flndet

Z + r\fX*+r^+ V^o«JC«+6«F*= 0

als Gleichung der Parallelcurve, oder in der von Wurzelgrossen freien Form:

also in der That vom vierten Grade ^*).

Aber auch die Construction liefert das nämliche Ergeb- niss. Um von einen gegebenen Punkte aus die Tangenten der Paralleicurve einer gegebenen Ellipse für die Distanz r zwischen beiden zu zeichnen, beschreibt man von diesem Punkte aus mit dem Halbmesser r einen Kreis, zieht die geraeinschaftlichen Tangenten dieses Kreises und der Ellipse , und erhält die ver- langten Tangenten in den zu ihnen durch das Centrum des Krei- ses gezogenen Parallelen ; nach dieser Construction kann die Zahl dieser Tangenten nie grosser als vier sein.

♦) Man vergleiche „Analytische Geometrie der Kegelschnitte" Art. 179. *♦) M. Caylcy bemerkt, dass die Normale der Ellipse durch die Gleichung

oorsin a — by cos a = («* — 6*) sin a cos a

reprftsentirt werden kann, und dass man durch Betrachtung der orthogonalen Trajectorie dieser Geraden die Gleichung

erhält; die Differentialgleichung der Paralleicurve der Ellipse. In da« Inte- gral derselben, welches von der achten Ordnung ist, tritt die Grösse r als Constante ein.

und die dem EiUpsoid parallele Fläche. 29

R Indem man bemerkt, dass eine Carve des 8ten Grades im Allgemeinen von der 56. Klasse ist, wird man von selbst zu der Frage nach den Singularitäten der Paralleicurve der Ellipse geführt, welche die entsprechende Erniedrigung der Klassenzahl bewirken.

Sie besitzt zuerst zwo If ROckkehrpunkte oder^Spitzen. Sie sind die gemeinschaftlichen Durchschnittspunkte der drei Gur- ren vierter Ordnung, welche durch die Factoren der allgemeinen Gleichung der Paralleicurve einzeln dargestellt werden, nSmIich der Curven:

9/iz/i — e®! = 0 , ©«—3/^01 =0, ©1« - 3^1 0 = 0.

Man erkennt zunächst, dass sie zwulf gemeinschaftliche Durch- schnittspuukte besitzen, weil jede dieser drei Gleichungen aus den beiden andern hervorgeht; sodann aber, dass diese Punkte Ruckkebrpunkte der Paralleicurve sind, aus der Art und Weise der Verbindung jener drei Gleichungen. In der That, die Form

(9//^i — e0|)a = 4(0«— 3^e,)(0i2 - 3^, 0)

zeigt, dass die Paralleicurve der Ellipse von den Cor?en

0« — 3^01=0 und 0ia-3^i0 = O

in denjenigen Punkten berührt wird, in welchen die Carve

9//-^i ^ 00i = 0 sie schneidet.

Mao erhält die fraglichen Rückkehrpunkte aus diesen Glei- chungen selbst, vollkommen direct, indem man aus ihnen die Relationen

0 = 3(^//i)i, 01 = 3(^//i2)t

zieht und die entsprechenden Werthe aus Art. 3. suhstituirt.

Man hat

a«6«- «V- 6^^* + («* + ö*)r« - 3(a6r)l, a« + 6« + r2 — ^ - ly« = 3(a6r)l zur Bestimmung der fraglichen Coordinatenwerthe.

Es ist nicht schwer zu erkennen, dass sie denjenigen Punkten der Ellipse entsprechen, deren Krümmungs-

30 Fiedler: Veber die der Ellipse parallele Curve

halbmesser gleich r ist Man beweist diess nach Cayley*s Vorgang, indem man durch

acosa, bs\na

die Coordinaten eines Punktes der Curve ^) bezeichnet; denn dar mit sind die Coordinaten des KrGmmungscentrums durch

al = (a* — &•) cos*«, hvi=:^ (o* — 6*) sin*a

bestimmt, somit ist der Krümmungsradius = r, wenn man hat:

^ (a* sin*« + 6* cos*a)l

ab oder: •

a*sin*« + 6* cos*« = (abr)^.

Diess giebt:

(a«-.6«)cos«« = a«^(fl6r)l, — (««—*«) sin«« =6«—(a6r)l;

und somit fiir ^-f^^ und «V+^^l* Wertbe, welche mit den obigen flbereinstimmen.

Diese zwölf Punkte sind imaginär, so lange r nicht ein swi-

6« a*

sehen den Grenzen — und -r enthaltener Werth ist; ist r aber

a o

zwischen diesen Grenzen enthalten, so sind unter ihnen vier reelle

und acht imaginSre. För die Grenzwerthe

6« , «•

r=:— and r = -r" a b

vereinigen sich die reellen Kfickkehrpunkte paarweise in zwei respective in der Achse der | und der ri gelegenen Punkten.

Indem man hierzu bemerkt, dass die den zwölf ROckkehr punkten entsprechende Reduction der Klassenzahl = 36 ist, er- kennt man, dass mit ihnen die Singularitäten der Curve nicht erschöpft sind.

9. A1>er die Form der aligemeinen Gleichung gestattet, leicht darzuthnn, dass die Curve überdiess acht Doppelpunkte ent* hält; da diese die Klassenzahl der Curve um weitere 16 Einhei- ten reduciren, so erkennt man durch die Identität

56—36-16 = 4,

♦) Man vergleiche „Analytische Geometrie der Kegelschnitte'' Art. 231 f. Art. 245.

und die dem Eilipsoid parallele Fläche. 31

da88 die betrachtete Carve andere Singularitäten oicbt haben kann.

Von jenen Doppelpunkten werden am leichtesten ans der •Ugemeinen Gleichung erkannt die vier, welche der unend- licli entfernten Geraden angehören; es sind einmal die imtginären Kreispunkte , welche die Gleichung

bestimmt, sodann aber die durch

in oDendilcher Entfernung bestimmten Punkte.

Ausser diesen aber geboren den Achsen der El- lipse je zwei symmetrisch gelegene Doppelpunkte an, wie man erkennt, wenn man durch die Substitutionen

1 = 0. i? = 0

die Achsenschnittpunkte der Curve bestimmt. Denn diesen ent- sprechen die Gleichungen:

[in- *)•— r»][(i? + 6)«+r«][aV- («*-**)(^-ö^? = 0, [(l-a)*-r«] [(I + a)^^-T^] tö*?- (a« - 6«) (6«-r«)p = 0.

Es ergeben sich daraus för die bezeichneten Doppelpunkte die Gleichungen*):

und man findet füir die entsprechenden Punkte der Ellipse die entsprechenden Wertbepaare:

^_ fl4 ^ i«y« ^^^ ii^—a^

Demnach sind die Doppelpunkte in der Achse der y reell, so lange r^a^ die in der Achse der x aber, so lange A>r ist; da- gegen sind die Punkte der Ellipse, welche jenen entsprechen,

*) Man mnss diese Form ans dem Umstände schliessen, dass von jedem der Scheitel atu anf die entsprechenden Achsen nach dem einen und andern Shm die Distanz r abgetragen werden kann.

32 Fiedler: (Jeber die der Ellipse parallele Curte

nur reell 9 für '*<-t-» und die Punkte derselben, welche diesen

entsprechen, für r>-— • Man sieht, diese letzteren Bedingungen

•der Realität sind die nämlichen, durch deren ErfSlIung vier der Rilckkehrpunkte reell werden.

In dem ersteren Falle werden fiir r> -r-» im zweiten flir

r< — die Doppelpunkte zu isolirten oder conjugirten Punkten; die entsprechenden Curvenäste kommen nicht zur Erscheinong.

Bei den Grenz werthen r=:-jr und r=: — vereinigeo sich diese :

respective der Achse der y und der Achse der x angehorigen Doppelpunkte, die vorhin isolirt waren , wieder mit der Cunre und zugleich mit zwei Ruckkehrpunkten, ohne dass jedoch irgend eine Singularität in der Curve selbst sichtbar wurde.

Für die besonderen Fälle r = cr undr = 6 vereinigen sich die beiden Doppelpunkte respective der Achse der y und der Achse der x im Centruni der Curve als gemeinschaftlich zweien Zweigen der Parallclcurve, denen respective die Achse der y and die Achse der x als gemeinschaftliche Tangente entsprechen*).

lU. Es ist lohnend, den beiden speciellen Voraussetzungen

a = ö und r = 0

an der Hand der allgemeinen Gleichung nachzugehen und sich die geometrische Bedeutung der gewonnenen Resultate zu vergegen- wärtigen.

Die erstere giebt die reducirte Gleichung:

die Paralleicurve eines Kreises zerfällt also in vier gerade Linien, nämlich die von seinem Centrum nach seinen imaginären Punkten im Unendlichen gezogenen Geraden, jede doppelt gezählt, und zwei Kreise

denn das Product dieser letzteren Gleichungen ist der andere Factor der Gleichung der Paralleicurve.

*) Man vergleiche: Magnus ^Aufgaben und Lchrsfitze etc.^ Bd. Lp. 432, Aufg. 152, I.

und die dem Silipsoid parallele Fläche, 33

Mit welchem Rechte die nach den imaginSren Kreispunkten OB Dneidlichen gezogenen Geraden der Paralleicurve angehören, erllntert die specieile Voraussetzung r = 0, denn auch hier blei- ben diese Geraden mit dem doppelt erscheinenden gegebenen Kreise zugleich als Bestand theile der Paralleicurve und ihrer Gleichnng bezeichnet.

Der Voraussetzung rs=0 entspricht die Gleichung:

(*^lHfl^«-«*6*)»[(£*+i?*)*-2(a«— 6«)(S«+i?«)+(a*— *«)«] = 0.

Die Paralleicurve setzt sich also aus der swei&ch wieder- Mten Ellipse und vier geraden Linien zusammen, welche fCr A*=:a*— 6* durch die Gleichung

repriseiitlrt sind.

Ffir a^b kommt man auf §>-f i}*=:0 zurfick.

Jede dieser Geraden verbindet einen reellen und einen ima- giniren Breoopunkt der Ellipse und ist eine Tangente derselben*). Dass sie aber zur Paralleicurve gehören, beweist M.Cayley durch diese einfache Ent Wickelung.

Durch

1 = ?, ij = .a(J-e). .(i=V-T)

ist ein imaginärer Punkt der Ellipse und durch

(l-|)* + [i?-f«(-J-e)]«=o

der mit dem Halbmesser Null aus diesem Punkte beschriebene Kreis gegeben; der letztere zerfSllt aber in die zwei Geraden

l-7+'T'?-*'(]-e)] = 0

oder

l—ae-^-iri =0,

welche eine Tangente der Ellipse ist, und die Gerade

^ Man vergleiche ,, Analytische Geometrie der KegelBchnitte ^ Art. 400 Avfg. 5.

TheU XXXEC. 3

34 Fiedler: (Jeber die der Ellipse parallele Curte

oder

welche den Berfibrungspunkt mit demjenigen imaginSren Kreta- punkt im Unendlichen verbindet, welchen die vorige Tangeote nicht enthält.

Ich erinnere hier ao die vielfach analogen Zflge, welche echoi nach dem Fräheren die Discaasion der Parallelfläche des E^lipeoids mit dem Vorigen gemein haben rouss; and bemerke, wie Mcb sich die vorigen Entwickelungen auf die entaprech enden PrebtaM bezflglich der Hyperbel und Parabel und bezüglich der änderte Oberflächen zweiten Grades fibertragen lassen. Von alle des wäre jedoch wohl nur die Discussion der allgemeinen Glel«hvi| der Paralleifläche des Eilipsoidii an diesem Orte eingehenderer Aufmerksamkeit werth; ich ziehe jedoch vor, es bei den Andsi* tungen des Art 5 f. bewenden zu lassen und von einem nenea Gesichtspunkte aus diese Discussion und die ganze RlcUaif dieser Untersuchung zu erhellen.

11. Unter dem Namen der Curve von Tal bot bat mal eine krumme Linie bezeichnet, die aus der Ellipse als die Enveloppe der Normalen hervorgeht, welche man in den Punkten derselben auf den in ihnen ausgehendea Durchmessern errichtet. Es liegt nahe, an die auf glei- che Art als Umhüllungsfläche der Normalebenen aoa demEWipsoid hervorgehende Fläche zu denken. Die erste allgemeine und elegante Darstellung jener Curve ist wohl von Tortoiini (Raccolta scientif. di Roma, 1846; Annali di Scienae etc. da B. Tortolini, Vol. VI, 1855) gegeben worden; mit ihr und der entsprechenden Fläche hat sich A. Cayley in einer schSnen Abhandlung der Philosoph. Transactions (Febr. 1858) beschäftigt, und ihre Discussion in den elegantesten Formen gegeben. Ich will hier zeigen , dass die Cayley*sche Gleicbungsform sehr ein* fach aus den Betrachtungen dieser Abhandlung hervorgeht.

Geometrisch ergiebt sich sehr leicht, dass die Punkte der gedachten Curve als die dem Mittelpunkt der Ellipse entgegen- gesetzten Durchmesser- Endpunkte von Kreisen gefunden werden, die die Ellipse berühren und ihr Centrum enthalten ; ebenso leicht erkennt man das analoge Gesetz für die Fläche, wornach ihre Punkte als Durchmesserpunkte der Kugeln sich bestimmen, die

und die dem EMpsatd paraiieie Fläche, 35

I Elli|woid berGhren und deren Oberflächen sein Centruni eut- (eo.

Vir sofehe Kreiae gilt die ihre Gleichung specialisirende Re-

solche Kageln die analoge:

«t + |S« + y» = rl;

lberdl«M nicht die Mittelpunkte^ sondern die Durchmesser- jpankte dieser Kreise nnd Kugeln die fragliche Oberfläche be- imeB» so hat man a, ß oder a, ß, y nicht In die laufenden

irdinaten £» ij oder |, fi, i selbst, sondern >n 5» n ®d^' |*

I SV Hbeisetsen , u(n aus den allgemeinen Gleichungen des

.1 die Gleichungen der Curve und Fläche von Talbotin ihrer (■ernsten Form hervorgehen zu sehen.

Mao erhält aus -. . » rt'ft*-a*(/3*-r«)-6«(««-r«) . , aH**-(«'*-f |P-r«) . I

= 0

zanfebst:

V

Folge dessen geht die Gleichung

I9a«6«(«* + ß^) — (a« + 6«)(a«a« + 6«/3* + ii«6«)|«

=: 4la»a« + 6«/3» + a«6*)«— 3o«*«(«« + ß*)(a* + 6«)|

X t(a« + 6«)« — 3(a«a« + 6«/3« + a*6«) 1

W, in welcher nun noch die Substitution

3*

36 Fiedler: üeber die der Eiiipse paraUele Curpe

zu vollziehen ist, um die Gleichung der beeprochenea Corre zi erhalten. Es ist dabei beroerkenswerth , dass man die DSacriwi nante der betrachteten Gleichung dritten Grades auch in der Fora

schreiben kann, welches direct auf die Cayley*^che Gleiehangi- form der Curve fährt. (Vergl. Art. 1 und die Anmerkung des ArtSi)

Die Curre Ist symmetrisch zu den Achsen und berflhrt ii den Endpunkten derselben die Ellipse; ihre Form ist eine gan

verschiedene, jenachdem a^^ 26^ ist : im ersten Falle ein gaü

nnerhalb der Ellipse gelegenes Oval mit zwei conjugirteo Pnt ten in der Achse der x, im zweiten an den Enden der grositi Achse nach aussen mit einer zu der der Ellipse entgegengesefs* ten Convexität zu Ruckkehrpunkten gehend, um von da ans Btt Dnrchschneidung der Ellipse und ihrer grossen Achse — wodvcl Doppelpunkte in derselben bestimmt werden — nach dem Eod« punkt der kleinen Achse zu verlaufen.

Für die aus dem Ellipsoid entsprechend abgeleitete Fliehe, welche von der lOten Ordnung ist, erhält man die zur Discosiisi bequemste Gleichungsform aus dqr reducirten Gestalt der in Arii gegebenen Discriminante

ebenfalls mittelst der vorher gegebenen Substitutionen.

Die Form der FiSche ist natiirlich sehr mannichfaltig» je naeh den Achsenverhältnissen des Ellipsoids; dem Falle

a«>26«, 6«>2c«

entspricht die grusste Zahl reeller Singularitäten. Die den Haupt- schnitten des Ellipsoids entsprechenden Curven 6ter Ordnung be- sitzen dann nach dem Vorigen reelle Doppelpunkte und Rflck- kehrpunkte, die Fläche selbst besitzt drei Knotenlinien (Nodalen)» welche durch jene und eine Rückkehrcurve (Cuspidale), welcbo durch diese hindurchgeht. Für die ganauere interessante Dis* cussion muss ich auf Cayley's Abhandlung (sie ist auch im II» Bande der „Annali di Matematica'' 1859, p. 168—179 abgedniekt>

und die dem Eiiipeoid parallele Fläche, 37

iirweuen^ da nur die Verbindung darzulegen war, io der die Ab- feifamg ihrer Gleichung mit derjenigen steht, welche ich hier fSr die GlelchoDg der Parallelfläche gegeben habe.

Rinaicbtiich dieses Zusammenhangs mag noch erwähnt sein, diM eine einfache Verlegung des Coordinatenanfangs das Mittel dlrbietet, die Enveloppen von Normalen und Normalebenen soU dier Radien vectoren der Ellipse und des Ellipsoids zu studiren, irelehe nicht vom Mittelpunkte ausgehen; die specielle Wahf diuelben, weiche dann freisteht, liefert eine grosse Zahl merk- wirdiger Singularitäten.

IS. Es ist dabei endlich zu erinnern, in welcher Weise sich dhte Ergebnisse der Theorie der derivirten Flächen und CarTen aoschliessen , zu der W. Roberts im X. Bande von Lioiivlile*8 Journal den Grund gelegt hat, und welche neuerdings ToaHIrstinNo.l] desQuarterlyJoumal (p.210— 18) weiter ausgefiihrt imden ist Nach derselben ist die erste positive derivirte Oberfläche einer Fläche S der Ort des Fusspunktes der Senk- nebten, die man von einem festen Punkte auf die Tangentialebene der Oberfläche S mit; aus ihr entstehen auf dieselbe Weise die kttereo positiven derivirten Flächen von & Umgekehrt wird die Eoveloppe der zu den Radien vectoren der Fl Hebe S von jenem Ponkte ans in ihren Endpunkten in der Fläche gelegten Normal- tbenen als erste negative derivirte Fläche von iS benannt, nd es werden die höheren negativen Derivirten aus ihr auf die- selbe Art abgeleitet. Bekanntlich ist die erste positive Derivirte des Ellipsoids in Bezug auf das Centrum die Wellenfläche von Fresnei, die erste negative Derivirte ist offenbar die so eben Betrachtete. Den zwischen ihr und der Parallelfläche des Ellip- •oids bestehenden Zusammenhang, der so eben begründet worden 'st, sprach W.Roberts ohne Beweis in den Comptes rendus, 1889, p. 746, wie folgt, aus : Wenn man in die Gleichung der Parallelfläche eines Ellipsoids an Stelle der gleich-

Reibenden Entfernung r die Grosse V^^ + ^^+£* sub- •titnirt, so erhält man die Gleichung der ersten nega- tiven derivirten Fläche eines Ellipsoids, dessen Ra- dien die Hälften der Radien des gegebenen Ellipsoids lind.

An dieser Stelle vollziehe ich zur Verdeutlichung des Zusani- Iflahangs mit den Betrachtungen des 6. Arf. noch die Substitution

?+^*+£*=»-* und 4a2, 46«, 4c« statt a«, 6«, r;* n die Gleichung

38 Fiedler: Veber die der Eliipse paraiieie Curre

a«+* + 6« + * + c» + Ä-*+ Ä'

deren Discriminante in Bezug auf k di^ Gleichung der Parall flSche liefert; sie giebt

oder

*('+^ *cn-^ *(»+^

Die erste negative derWirte Fl8che des Ellipsoids ist in c That die Eoveloppe dieser Gleichung, insofern A; in ihr ver&nd« lieh gedacht wird.

i

Da die derivirten Flächen einen sehr einfachen ZusamoK hang mit den inversen Flächen und den reciproken Fl chen zu einer gegebenen haben» nämlich so, dass, «renn die verse und reciproke Fläche in Bezug auf eine und dieselbe ▼ Ursprung aus beschriebene Kugel gebildet werden, die erste | sitive Derivirte einer gegebenen Fläche die in verse Fläche ib reciproken und die erste negative Derivirte die reciproke Flä« ihrer inversen ist, so ist damit die Parallelflächey so weit n sich auf Oberflächen zweiten Grades beschränkt, auch dies bekannten abgeleiteten Flächen verbunden.

Auch in diesen Zusammenhängen schliesst sich die geg wärtige Entwickelung an den Inhalt jenes oben erwähnten VI.! Satzes zur „Analyt. Geometrie der Kegelschnitte" an; sie erl tem wie er die geometrische Bedeutung der Discriminante. dem ich sie hier mittheile, leitet mich der Wunsch, zur allgen neren Kenntniss der Vortheile nach Kräften beizutragen, wei die Methoden der neueren Algebra bei geometrischen Untei ohungen gewähren.

MäTCker: üeöM,fC€tUnörücke,weiche Wurzeln cub,€ieichungen dartL 39

IV.

Ueber die Kettenbruche, welche Wurzeln cubischer

Gleichungen darstellen.

Von

HerrD Professor Märeker

am Gjinnasium Berohardinum in Moiningnn.

$. 1. Hat man eine quadratische Gleichung von der Form:

aa:* + te+c = 0,

«orio a, 6 and e ganze Zahlen bedeuten, so läest sich bekannt- Beb jede ihrer Wurzeln , vorausgesetzt dass dieselben irrational aber nicht imaginär sind, in einen Kettenbruch verwandeln, der b's Unendliche fortläuft. Dasselbe gilt bei derselben Voraus- MtioBg von den cubischen Gleichungen der Form :

iuf»+6a:«+ca?+rf = 0, voM ebenfalls a, b, c und d ganze Zahlen shid.

8o ivie die ersteren KettenbrOche, die quadratischen, in mehr- heber Beziehung merkwürdige Eigenschaften besitzen, so gilt iiw auch von der letzteren Art, den cubischen Kette n- krlehen.

Um diese Eigenschaften kennen zu lernen, muss man zunächst ■it der Rechnungsweise sich vertraut machen, durch welche man Wurzeln cubischer Gleichungen, analog dem bei quadratischen Gleichangen Oblichen Verfahren, in Kettenbrfiche verwandelt. Die ^i Wurzeln der obigen cubischen Gleichung sind:

40 Mdreker: Veber dte Kettenkrieke,

1)

II)

X

a

III) ^ - zL^±9P±fQ

X =

a

Hier bedeuten nämlich / und g die beiden imaf^Dären Cibik- |3 wurzeln von 1, nämlich:

/= «-1 + V=3) , ^ = i(- 1 - \^:i3); P und Q aber haben die folgenden Wertbe:

P=^ - «V^'+iaÄc-ia'rf+V^C-VTÖHiaÄc— Ja«d)«+(-i6Hiflc)'. ©= V ^,S6»+JaÄc-ia«rf- V^(— ,VÄH ia6c— i««rf)*+(— i6Hiflcj*.

":• IB

Wie hieraus leicht folgt, gelten die Gleichungen:

PQ = JA«— 4flc und

P»+ e» = — ^, 6» + 4a6c - a«d.

§. 2. Um nun einen der Werthe von x in einen Kettenbradi zu verwandeln, kann man zwar, nachdem derselbe durch die car- danische Formel oder trigonometrisch bis zu einer hinreichendeB Menge von Decimalen berechnet worden, auf die allgemeine HVeise der Verwandlung von Decimalbruchen in Kettenbrficbe verfabren* Jedoch bekommt man hierdurch nicht diejenigen Zahlen, auf die es bei der Untersuchung des Wesens cubischer Kettenbrücke vorzugsweise ankommt. Bei dem zum Behuf dieser Untersuchaog einzuschlagenden, jetzt näher zu beschreibenden Verfahren musi man ebenfalls die irrationale aber nicht imaginäre Grosse P\Q (oder fP^gQoA^x yP+fQ), alsdann auch /»+ö^ (p^er gP^-^fif oder fP^+gO*) berechnen, und zuar auf so viel Decimalen al« nuthig ist, um zu bestimmen, wie viel Ganze in jedem der bei der Rechnung vorkommenden irrationalen Brüche enthalten sind.

Ist die Zahl der in der Grösse

-ib + P±Q

a

enthaltenen Ganzen A, so haben wir:

weiche Wur%ein euöischer Gieickungen darsUlien, 41

a a ^ q>i

Hierin ist:

a

Dm den Nenner von ipi rational zu haben, multipliciren wir ZShIer and Nenner mit der Grosse:

deren Berechnung später gezeigt werden wird. Zuerst thun wir es im Nenner, wobei nach §. l: ^

(P+ ©)(/»+ «•) = /» + ©» + PQ{P^ Q)

= — Ab* + iabe — a« + (JA«— iac)(P + Q) und

(«* + lÄ)(P+0)«=(2aÄ+J6)(56«-iac) + (ciA + i6)(f» + e«)

eingesetzt wird:

P^+ QF+(ah+ib)(P +Q)+ a«A« + labh+iae

P + Q-ah—Vf

-Ä6*+ia6c— a«rf+ «6«-. lac)(P+Q) +(aA + 46)(f»+ Q«)

+(2aiH-i6)(i6«-iac)+(a»AH|a6Ä+Jac)(P+e)+(-iiA-46)(PH-e^

+(-aÄ— j6)(aW + Ubh+iac) + (— a«A«- JaAA - ib^XP-i- Q).

Hier heben sich die Glieder mit P + Q und Ps + Q*. Es bleibt noch nach Auflosung der Parenthesen stehen:

— A6'+4aÄc-a«d

+ (!a6«— !a«c)A+ Ä6»-JaAc

- o»Ä»— a«6A« + (— «06«- J «•c)A — i abc

oder:

— a»A» — aHh* — a«cA — o««? = — d^(ah^ + 6ä« + cA + //) .

Multipliciren wir den Zähler a mit derselben Grosse, womit es beim Nenner geschah, so hebt sich a, und der Werth von q>i heisst nun:

P^+Q^ + {ah + lb)(P+Q) + aH^+labhi^iac

42 Märe her: Leber die MettenMUke.

Sind hierio t Ganze enthalten, ao haben wb:

9t

so daaa also

ist Hier mfiaaen wieder Zähler and Nenner mit einer Grwaae von der Form

moltiplicirt ond /, m, n so bestimmt werden, daas die Crlieder mit P-\rQ und P^-^Q^ im Nenner sich heben.

Da sich diese Holtiplication zur Befreiung der Nenner roD irrationalen Grossen auf eine nun leicht ersichtliche Weise immer- fort wiederholt, so wollen wir /, m» ti fSr einen Nenner von der allgemeinen Form

so bestimmen, dass derselbe, mit

/(/»+Q^+m(l»+Ö)+n ronitiplicirt, rational wird. Es ist:

_5 irf(l»»+e*+2/MÖ«) + (am +/»/)(/» + Q»+/^(P+Q)) >

={

Wir setzen PQ = d und P»+Ö»=e, wobei nach §. 1.

und

ist. Dann haben wir:

Also ist das erhaltene Product:

welche Wur%eln cuöitcher GMcktmgen darttelien, 43

(-B«+aji+y/+/Jm)(#»+ Q^ + («e/+a&Ji+|M/+i5«+/m)(P+0)

-h2ad*/-f am -f /If/-h 2/3^111 -fyir.

Hierin sollen die Glieder mit P*-f Q* and P-\rQ yerechwiDden, so dass die beiden Glelchangen

-^uil^^an-^yl^ßm = 0 und

as/-|- aim -t- /3d/-h jSn -f ym = 0

xa luseo sind. Die erste wird mit — ß und die zweite mit a mul- tipHeirt:

aßil-ßyl^ ßhn — a/?fi = 0 a^el+aß8l+a*dm+aYm-{'aßn = 0

addirt: (««€+2«/»«— /Jy)/+(a«d+«y— /P)m = 0. DiMer Glekhung wird genflgt, wenn wir

/=— «»a— «y+/S«

und

m = a*i + 2a/3a — /Sy

setien. Die Gleichung

— 0^/-^ cm -f y/+ /Jm = 0 oder

an = (ad — y)/— ßm ▼«rwasdelt sich dann in:

an = («a — y)( — a«6 — «y + /J«) — ß(a^6 + 2aj5« — jjy) = — «»d« - a«i8€ — a/W+«y«.

Folglich ist:

n = — aW— a|3«— /W+y«.

^ bleibt dann im Nenner noch :

(2«6«+|3f)/+(c£ -l-2j5d)m + y^

stehen, was aus den gefundenen Werthen von /, m, n zu be- rechnen ist.

Nnn ergibt sich aach, warum wir oben den ersten rational ZQ machenden Nenner

P + Q'-ah-ib

44 Mdrcker: Veöer die KeUenbrücke,

mit

lu maltipiiciren hatten. Dort war nämlich a = 0» /? = 1» y = — aA— i6, i= 26«— icrc. Folglich tat:

/ = — «M— «y+^ = 1 , m = a«£ -I- 2o/7d— /Jy = ah^V», n=— a«3«— a/?c — /W + y* =— d+y« = -i6*+lac + (aA+i6)« = a«A«+Ja6Ä+lac.

§. 3. Damit die Verwandlung der Wurieln cubischer Glei- chungen in Kettenbrflche ganz deutlich werde , lassen wir jetzt ein Beispiel folgen, bei welchem wahrgenommen werden wird, dasB, mit Ausnahme des Bruches q>i, die Zahlen, welche man durch die Formeln fGr l^ m, n bekommt, immer einen gemein- schaftlicfaen Factor enthalten, welcher dem zum rational zu ma- chenden Nenner geborigen Zähler gleich ist. Man kann diesen gemeinsamen Factor von /, itt, n selbstverständlich weglassen, so dass man statt ihrer die durch Division mit jenem Factor ent- stehenden Zahlen /', m', n' nimmt; und dennoch wird der neue, nun rationale Nenner auch wieder jenen Factor enthalten (diese und die vorige Behauptung werden später bewiesen werden), so dass der mit /'(/» + Q«)+m'(/^+ 0) + n' zu multiplicirende Zähler sich ganz hebt, und die eben genannte Grosse der neue Zähler wird.

Eis sei 2a:' -f- 3^* -)- ^^ ~ ^ = 0 die gegebene Gleichung, welche nur die eine reelle Wurzel

8 S

— 1 + V^18 + V^449 + V 18^ VitiQ x = 2

hat. Man flndet alsSumme der beiden Cubikwurzeln: P-|-Q= 1,9247. Auch ist Pe=d=:— 5 und/>»+Q3 = e=36.Danun(P+<?)«=3,700l, so ist:

f» -I- Q« = (P+ Q)a— 2PQ = 3,7001 + 10 = 13,7001.

In

— l-f/^-fQ_ 0,9247 2 "~ 2

sind 0 Ganze enthalten ; also setzen wir :

9€i€he Wur%ein cuMscher Gleichungen dareteiien. 45

Es »t Dach $. 2 :

_ /»+Q«+(flA+i&)(P+Q)+a*A«+!a6A+iac

od«r, da A = 0> ii = 2, 6 = 3, c=9, d =s — 6 ist:

Vi- ^ io Hierin sind, weil der Zähler

13,7001 + 1,9247+6 = 21,6248 itt, 2 Ganze enthalten , also

P^+Q^+P+Q+6 .^.P^+Q^+P+Q-U ^^ l

^= io =^+ Tö =^+Ä'

Abo:

10

^""P«+Q«+P+Q— 14*

JetHist a = l, ß=:l, r = -14, 4= -5, £ = 36; folglich:

/=-««^— «y+/P = 5-fl4-fl = 20,

mss a«e+2«/J^— /Jy = 36—10+14 = 40,

ji = —aM«-ai3fi—/J«d+y*=*— 26— 36+5+196= 140.

Den gemeinschaftlichen Factor 10, weicher dem Zähler von q)^ gleich ist, lassen wir weg and nehmen f :=2, m'=4, n'=I4. Dann wird der nbne Nenner:

(2od«+ /Je)f +(«6 +2/Jd)m'+yn' = (50+36).2+(36- 10) . 4 - 196

= 172+104-196 = 80,

worin aach wieder der Factor 10 enthalten ist, der gegen den ZäUer 10 sich hebt. Demnach ist:

2(P»+<P)+4(P+0) + 14

<p,= g .

Das weitere Heben mit 2 unterbleibt, weil, wenn die nachher aufzufindenden Gesetze zutreffen sollen, alle Zahlen streng nach den gegebenen Vorschriften berechnet werden mOssen.

Der Zähler von q>2 ist:

27,4002+7,6988+14 = 49,0990.

46 Märcher: Veber die Ketlenbrücke,

Also sind, da der Nenner 8 ist, 6 Ganze in tp^ enthalten. Wir haben :

, _. ■ 2(f»+OT+4(P+Q)-34 1

^ = 0+ g ~ "''Ä'

Also : .

8

'^ ""2(f»+Q«)+4(P+©)— 34*

Jetzt Ist a = 2, /J = 4, y = — 3^ d = — 5, « = 36. Folglieh:

/ = — a«d— «y+/3* = 20 + 68 + 16 =104,

m= aS£ + 2if/3d-/37 = 144—88 + 136 =200,

n = —a«d«-a/?€-/W+y« = — 100-288 + 80+1156 = 848.

Den gemeinschaftliehen Factor 8 lassen wir w^ und nehmen /' =: 13, m' = 25, n' = 106. Der neue Nenner ist:

(2cd« + /Se)/' + (ac + 2/3d)m' + yn' =(100 + 144).13 + (72— 40). 25— 3604 = 3172+800-3604 = 368,

%Torin 8, der Zähler, 46 mal enthalten ist. Daher %vird:

13(P»+Q«) + 25(P+Q) + 106 9^8 = 46

Hierin sind 7 Ganze enthalten. Es ist:

. , 13(P«+Q«) + 25(P+Q)-216 .^1. 95 = 7+ jg -^ = 7 + -,

46

^* — 13(P»+ Q^ + 25(P+ 0)-.216 '

oder, wenn wir wie vorher die Rechnung fortsetzen:

93(1» + 0") + 179(P + Ö) + 736 ''*= 626

. . 93(P«+Ö«)-H79(I>+Q)-1368 .^1. = '*+ 5^ ^^^Vt'

u. s. w.

Die Entwickelung stellt sich also, wenn wir die zu den Theii- nennern gehörigen Näherungswerthe mit ihnen in die nämliche Zeile stellen und mit Xj, Xt, M^ u. s. w. bezeichnen, so dar:

wOeke Wur%eln eubiuker eMehungen darstellen. 47

2 =0+— 2 =0+^,J »• = 1'

9i- ^ö

-'*+ 10 ~^+g>,' ''«-a»

_ ä(P».f Q«)-|.4(P+<?) + 14

^_ _

I3(l»+ Q») + 25(P -f Q) -f 106 91 = 4g

. 13(P« + <?«)f 25(P-Hg)-2I6 , , I . ^ 43. "■^+ 46 ~ ■''vi* '•♦=93'

93(A»+ Q«)+ 179(P+ <?) + 736 »4 = 520

, . 1>3(P'+ Q^ -t- 179(P+ Q) - 1368 , , 1 . ., 178.

u. s. H .

$. 4. Nachdem gezeigt ist, wie man bei der Entwickelaog einea cobischen Kettenitnicbes, analog dem bei quadratischen KettenbrOchen fiblichen Verfahren, zu Werke gehen Inuss, wollen wir an dem gegebenen Beispiel die Eigenthflmlichkeiten aofsuchen, welche cubische Kettenbräche in Verhii>dung mit den bei ihrer Entwickelang entstehenden Zahlen darbieten. Die Beweise ffir die an diesem Beispiel erkannten Gesetze sollen dann nachfolgen.

Zunächst flült In die Augen , dass der Nenner jedes Nfihe- magswerthes dem in der folgenden Reihe stehenden Coefficienten von P*4-Q* gleich ist. Die Nenner der Näherungswerthe sind TOD der ersten Reihe an: 1, 2, 13, 93 u. s. w.; dieselben Zahlen sind von der zweiten Reihe an auch die CoefGcienten von PH'Q*. Da die Nenner immerfort wachsen müssen, bo kann keiner von den irrationalen Brüchen je wieder ganz die Gestalt eines frühe- rra haben uAd eine Periodicität, wie sie sich bei der Entwicke- Img quadratischer Kettenbrflche in den irrationalen Brüchen zeigt, iit Tvllig ausgeschlossen.

48 Marc & er: Ueber die MettenbHUke,

Etwas schwerer ist das *Geseti f&r die Coefficientei P-^Q zvL erkennen. Heisst irgend ein Näberongswerth -»i

der in der folgenden Reibe stehende CoefBcient von P4~< Werth ap-\-V}q. So ist iür \ in der zweiten Reihe p=l, < und da a=:2 und 6=3, so ist ap-f ip9 = 2-|-2 = 4» wa CoefBcient von P-\^Q in der dritten Reihe ist. Für /, ist 9 = 13, also aj9-t-i69 = 12+13 = 25; auch steht in der ▼ Reihe 25(P-hQ). Fflr ;S ist p = ^, 9 = 93, aUo ap =86-h93=179, womit in der fänften Reihe P+Q multiplid Ist as=:l und 6t=0, so ist ap'{-\bqz=:p^ also der Coefficiei P + Q mit p einerlei. Dies gilt namentlich fSr alle Cubikwi ganzer Zahlen, wenn man sie in einem Kettenhruch darstellt hat z. B. flir die Cnbikwurzel von 2 die Gleichung:

a:»-2 = a

Es ist a = I, 6=0, c=0, d=-2, P=V2, 0=0. Wir f wenn wir wie in {• 3 rechnen:

= 1 + — i »1=15

P*+P+l , . J»-t-P-2 9»i = j ^«» + j

3l»+4P+2 , 3f»-f4P— 8

4l»+5P+4 . . 4I»+5P— U »»= 3 =5+ 3

= 8+^' »4 = 23'

23iM+29l*+27_. 23P«+29P— 28 V«= 66 -'+ SS

, 1 ^ 34

= 1 + ^,' "» = 27'

wtkke Wtanulm aMieker eMekumpe» ikrtteUen. 49

37/» + 34p— 10 , .27/» + 34P-72

*»- m =*+ ^

=1+-. »«=6ä;

80^+63P+54 . . SOiM + eSP— 184

9'« = 47 =*+ 47

-I . 1 t» 286.

U. 8. W.

FOr alle eabischeu Kettenbriicbe zeigt sich ein ganz besonders nkenswertbes Gesetz in den Nennern der irrationalen BrQcbe. {dem derselben geht der Coefficient von x^, den wir mit a icbneten, auf, uod es lässt sich daher jeder dieser Nenner ir Form' aN darstellen. Ist non der einem solchen Nenner

ugebende Näherungswerth = -» so gilt die Gleichnng:

si das obere oder untere Zeichen vor N genommen werden i, jenachdem die Zahl, welche angibt, in der wievielten Reibe Nenner aN steht, eine ungerade oder eine gerade ist In Beispiel von §.3., worin a=2, ^=3, c=9, <2 =— 5 Ist, gilt

baben in der zweiten Reihe p = ]y 9=2, und in der dritten =8, also N=i. Es gilt daher die Gleichung:

2.1+3.1.2+9.1.4-6.8 = 4;

2 + 6+36—40=4. er filr /i=6, ^ = 13, iV=23 gilt:

2.216 + 3.36.13 + 9.6.169-5.2197 = — 23;

432 + 1404 + 9126 — 10986 = — 23. er för /i=43, ^'=93; 2^=263 gilt: 2.79507 + 3.1849.93+9.43.8649-5.804357=: 263;

159014 + 515871 + 3347163—4021785 = 263.

heil XXXDC. 4

50 M4rcker: Oeber die Kettenhrüdke,

Bei dem aaderen Beispiel x^ — 2=7 0 iniiss die Gleichun] p»— 29»= db igelten.

Wir haben: fürj»= 1, 9= 1 aod 2V=: 1: 1—2 =— 1,

- p= 4, 9= 3 - ZV = 10: 04-2.27 =10,

. p= 5, 9= 4 - N= 3: 125—2.64 =—3.

- /i=29, 9 = 23 2V= 65: 24389— 2.12167 =55,

- p = 34, 9 = 27 • 2^=62: 39304-2.19683 =—62 . p = 63, 9 = 50 2V=47:250047-2.iaMX» = 47.

Es ist wohl kaum notbig^ darauf binzuweiseiij dass 10 Bezie hung auf das zuletzt angefahrte Gesetz die cubischeo Ketten brüche mit den quadratischen mit Ausnahme des einzigen Un Standes fibereinstimroen^ dass bei letzteren in der Gleichun crj9*-|-6p9-hc9* = 4: -'V^ dieses iV der Nenner des irrationalen Bm

ches ist, weichem der Näberungswerth -• vorausgeht, bei erstere

aber in der Gleichung op* + 6p*9 + cp9* + 1£9' = db -W" das J durch Division des Nenners mit a erhalten wird. Ist in der ci bischen Gleichung a = 1 , so ist es hier ganz ebenso wie dort

§. 5. Um nun für die aufgestellten Gesetze die Beweise z geben , bezeichnen wir einen beliebigen Näherungswerth mit ^

und den vorhergehenden mit -• Ueisst der Theilnenner, welche

zu dem auf ^ folgenden Näherungswerth gebort, k, so ist diesi

V

Näherungswerth bekanntlich

kq-i-s'

k ist die grosste ganze Zahl, welche in dem dazu gehörigen im tionalen Bruch von der Form

<(P»+Q*)+tt(P+Q)4-t>

enthalten ist Setzen wir diesen Bruch statt ky so bekomme wir statt des Näherungswerths den vollständigen Wertb des gai zen Kettenhmchs, nämlich:

od«:

wM^ Wurtelm eubiteker tMeMmtfe» OtrtteUeii. gj

«L w J +*

Da DiiD anch der KetteDbrach ^ — ist, so haben wir:

a

folglich :

od«, da PQ—d ond /» + <?» = £ ist,

M+i*9<— qu){P^ + Q*) + (a/w + lÄgra — dqi -- yt? — nr)(P+ Q) + a/w+ arte — f^t— 2^911 + \bqv +16fw = 0.

Da hier die rationalen Glieder sich nicht gegen die irrationap len heben kSnnen^ so müssen sowohl jene als diese fSr sich die SamiDe 0 geben. Aber auch die mit P'-f Q^ verbundenen Glieder können sich nicht gegen die mit P-irQ verbundenen aufheben; ^ ist 0 die Summe von diesen wie von jenen. Es gelten dem- otch die drei Gleichungen :

I) apt + ibqt — ^11 = 0,

ü) apu-Hbqu — 8qi — 9» — iw=:0,,

ni) apv + arw — egt — 2öqH + ibqv + ibsw = 0.

Hit HOlfe derselben sollen zunächst die Gesetze über die Coefficienteo von P*+Q* und P+Q nachgewiesen werden, wo. bei anch hinsichtlich des in §. 3. zur Entwickelung des cubiscben Kettenbruches gezeigten Verfahreos dargethan werden wird, dass ^e ans den Formeln für / und m berechneten Zahlen den ge- meinschaftlichen Factor w enthalten, der in ihnen, sowie in n, weggelassen wird. Doch gilt dies noch nicht för den weiten^

4.

■^■

52 Märeker: Ceöer die Ketienbrüeke, ^

irrationalen Bruch api, weil der Bevreis voraussetzt, dass bereits zwei Näherungswerthe - und *■ vorher gegangen sind.

Da wir die grusste in dem irrationalen Bruch

w enthaltene ganze Zahl k genannt haben, so haben wir: <(P»+<y)+u(P+Q)+p^j^ ((/^+Q*) + tt(P+Q) + e-fa

Hier ist der Nenner des Bruches

w

durch Multiplication von Zähler und Nenner mit

rational zu machen, wobei die für / und m aus den Formeln

/ = — aH'-uy + /5«

und I

iii = a»e+2a/3^ — /3y

hervorgehenden Zahlen noch mit tr, das, wie sich zeigen wird» darin aufgehen muss, zu dividiren sind, damit wir V und «i' b^ kommen. Wir haben jetzt

statt

. «(l»+Q*) + /3(P+Q) + y,

also ist t statt o, u statt ß und v — kw statt y in jene Formell einzusetzen. Zunächst erhalten wir:

/ = —6t^ - <r + M»+ Afw.

Multipliciren wir die obige mit I) bezeichnete Gleichung durch=^ — u und die mit II) bezeichnete durch t^ so gibt dies:

^aptu — ibqiu+qu* := 0 und

aptu -i-ibqtu — dqfi-^qtv — stto = 0

addirt : — ä^£* — \tv + qu^^-stto = 0

weiche Wurzeln cubiscker 6Mckun§m 4af$ieUen, 53

also:

9 Dies JD den Werth von / eingesetzt, gibt:

bt nun t, der Coefficient von P^-^Q^, dem Nenner q des rorbergeh enden Näberongswertbes gleich » so wird l == tc(Uq -{-$), ood Dachdem dies mit w, welcbes, wie man siebte darin aufgeben ^us8, dividirt ist, bekommt man l'^skq-^-s als den neuen Coeflfi- cieoteo von P^-f Q^* l^iese Zahl kq-^-s Ist aber der Nenner des

auf'- folgenden Näbeningswertbes %^ ■ . Es ist demnach be-

tviesen, dass, wenn das Gesetz für den Nenner eines Nfiberongs- ^erthes und den darauf folgenden Coefficienten von P'-f Q* ein- mal gilt, es auch das näcbstemal gelten muss. Da der erste Nä- herangswertb immer 1 zum Nenner, und das darauf folgende t^\ Q* (nach §. 2.) auch 1 zum Coefficienten bat, so ist auch der Venner des zweiten Näherungs werth es mit dem darauf folgenden Coefficienten von P^-f Q* übereinstimmend. Ebenso stimmt der Kenner des dritten, vierten, überhaupt aller Näberungswerthe mit lern jedesmal folgenden Coefficienten von P^-f Q^ fiberein. Auch st hier zugleich der Beweis geliefert worden, dass in der fSr / ms der Formel berechneten Zahl l^wikq+s) der Zähler w des n Nenner rational zu machenden Bruches jedesmal aufgehen muss.

Um nun das Gesetz ffir die Coefficienten von P-^-Q, dass Smlich dieselben durch die FormeP u == np-f 1^9 ausgedrückt 7* erden, zu beweisen, brauchen wir bloss den Werth von u aus ier Gleichung I) zu entwickeln. Sie heisst:

api+ ibqt—qu = 0. Heraus erhalten yrir:

oder, da bereits bewiesen wurde, dass i = q ist,

u = ap-t-ibq.

Es ist nun auch hinsichtlich des neuen Coefficienten von P+Q den man durch Division mit lo in m =: cflB-^-iaßö'^ßy erhUt, zu

>

m

r>4 Märeker: Veber die Kettenbrüche,

bevreiflon, das« wirklieb hd eio Factor dieser Grösse m ist. Wi. haben wie vorher a = /, ß = u, y = v — kw. Dies eingesetzt gibt

m = f /• + 2Ä<M — MP + kuw.

In Gleicbung III) iconnen wir statt! apv + Ibqv schreiben (ap + iög)v oder uv. Dann heisst diese Gleichung:

UV + aru> — eqt — 28qu + 1 6nr = 0.

Dies (nämlich 0) zum Werth Ton m addirt gibt:

fti = Bfi — Bgt+^dtu — 28gu + kutc + cnr + i btw,

oder» wenn wir statt t das gleiche q einsetzen:

m = «^* — f7*+ 2^^u — 2^^ + kuw+arw + jÄiw

= (ArM + cir+46i)i€,

wovon also u> ein Factor ist. Als neuen Coefficienten too P-t-Q erhSlt man m' ss ku-i-ar + ibSf welche Zahl entweder eine ganze Zahl oder ein Bruch mit dem Nenner '3 sein moss.

§. d. Jetzt ist auch noch f&r den aus der Formel folgeadea' WeHh

KU beweisen» dass, nachdem er mit w divldirt ist, for »% ebenso wie es bei m' dargethan wurde, entweder eine gaeze Zahl oder eia Bmch mit dem Nenner 3 herauskommt Wir wollen aas dea Gleiehaagea 11) und III) (f 5), in deaea l = f « ^ «f -|- i^f eingesetzt wird, also aus

aad

m\ -d)tV«l»4iH^-«f* + V«|» + i^)r+(«r + i4rW = a eia«a t>mi «r aaabhjmgtect« Werth ti>ii r betvchaer. Zjq dieeem

/«<><4if» malli|»lirinNi wir Ih mil icr^ fis s»d llh mit s:

^

f

MicA« WurteiH eubtteker eiettkunge» OartuUen.

55

i

»

f

« »«

\

%

«

»

IT a

9

e

•O

•

^^

1

§

6

IT

SO

' ff II 11 + +

II i: 1 1 1

1

Ml» + m i

1 PI»

1 + *•

1 + mm

• +

§ 1 s a 9 M u

a • CO Q ja

• ■ " :

1 + 1 + t ^ ^ t

J H 'S 1 'S 1 +

ja »Mi ••> ? 1 •C •*• 1

+ + II 1 «

T 'S

CS + e OH* + Q >-• II

i + 1 >•• II

1 1 II

Ü CS mm + + +

1 mm 1

8 mm + mm

'S p ki o o 3 'S

u 1 ''S •S o < ■ua S OD

* m ;■

J? 1

1 'S

1 II

+

1

I +

•5. ■

i; 1

+

II A

II

-2 OD

^ J

o 9

^

1

1 1

1

I+- II

d. 3

1

8 ■

1

Q

1

s

•• Im 9

1 % II (CA • Cd •

•• e E e -3

\ 1

1 1

1 1 II o • • TS CS

• • o CO

1 •— e s

PH 0 e e 'S e '5 c

*■•

&,!<>*

■r *

I .>

56 Märeker: Veber die KeUetArüche,

von 7 9. Die 3 Gleichungen 4), II) und III) in §. 5. gelten all- gemein ffir zwei aufeinander folgende Näherungswertbe - und ^«

Also müssen sie auch für die beiden Näherangswerlhe - und

, , gelten, wenn darchgehends p statt r, q statt «, kp-{-r

statt p und ä:^+s statt q, sowie auch 7* statt t^ ü statt »» F statt V und IF statt w gesetzt i^ird, wobei T, ü, F, W die Zah- len des neuen irrationalen Bruches bedeuten. , Nach §• 6. ist T=:kq+s und l7 = ö(Ä:p+r)+iA(Ä:^+i). Für V erbalten wir„ wenn in der Formel für v die genannten Substitutionen gemacht werden, indem jetzt

(Ä:^ + i)p— (Ä/> + r)^ = pj— ^ = ± 1 an der Stelle tou qr — ps steht:

(ps:^qr)v=± r

= a{iop^V^q){kp^r)H^^bp^^lcq){kpi■T){kq^in{^

Der so gefundene Werth von V ist der zu T und 17 In der Weise gehurige, dass der letzte irrationale Nenner von der Form

«(p*+e*)+«p+Q)+yrait r(iM+e«)+i7(P+Q)+r

multiplicirt rational wird. Nach §. 5. ist /' = kq -{• s, also T=zf. Auch hatten wir dort m' ^= ku-\-ttr + iös. Da nun

Ü= a(kp + r) +ib(kq+s) = k(ap + ibq) + ar + ibs==ku + ar+ih

ist, so haben wir Ü = m\ Auch muss V=^ nf sein. Denn wäre F = n' ± />, so würde das rationale Product

[«(i« + e«) + /3(P+Q) + y][r(/»+e«)+ üiP+Q)^ V]

oder

[«(!»+ Q*)+i3(P+0) + y][/'(l»+e«)+m'(P+ «)+ FJ

um />[of(/^ + Q*) + /J(P+Q)+yl grösser oder kleiner als das ra- tionale Product

[a(P»+<?«) + ß(P+Q) + Y][ni^+ Q*) + m'(P+ Q) +n'],

folglich irrational sein. Es ist demnach unser Werth für Fganz der nämliche wie der, den man aus der Formel

indem man n noch mit to dividirt, berechnet. Da der obige Werth

t wHeie Wuraeln cubltcbtr Giele/tunfta äßnttlUM. 57

Fon F, abgeMhen vom Nenner 3, nor ganze Z^len enthSIt, ho ■US, wAiD mit w in den nach der Formel berechnelea Wertb ' iDD « dEvIdirt wird, liSr r' entweder eine ganze Zahl oder eine Zibl mit dem Nenner 3 herauskommen.

Als EigenIhfimlichkeU der mit r oder F bezeichneten Rational- labl, die neben den Irrationalzahlen jedesmal mit ihnen durch Addition verbunden steht, ist, wie man ans den Formeln fSr c vd F erkennt, noch anzuführen, dass a immer ein Factor der- »IbeQ sein mnss. Doch ist die erste Reibe hiervon noch aus- pnonmen.

{. 7. Es soll nnn der Beweis Rlr das Gesetz gegeben deiif welches in der Gleichung;

uigcsprochen liegt und jedenralls als das wichtigste von di cikiscfaen KettenbrÜchcn gdtende anzusehen ist. Wir hatten In }.6.die Gleicbaogen :

m -M9(flp+iA,)~e9>+(op+J*^)o + (or + 4*»)» = 0. Wir multipliciren II) mit ap-{-ibg und III) mit q:

") (oH-**9)'-*9'(«P+**9)-9''(«P+i*?) + C— «P'-4*9»>«'=0 Ul) -V -W7«{a|)-Hftj)+?p(op+i69)+ (aiir+V>qs)w=0 addirt: (ap-{-ibq)'—iq'—39q^ap+ibg)-^ a{qr-pi)u>=:0. Nun haben wir, weil 4=:j6* — lac und t^-~frb'^iabc—a*d

MAreker: Ueber dit KeaaOrieke,

II

H-

■^■^		+		s	!		¥
p		1		1	1			f
■r		■js			s			1
4-		»»•					H-	3,
	?	+	?		s.	\	8	Y
+	+	1		i 1"	+	II	II
+ + 4-	1 + II	i 1 1	1 II +		+ * > i		t + s 4	+ s 4-
1	1 •2	8			iN".	BIS		+ 4-
4-			t»		H- 8		^	j
1	•W	1	+ 4:		■a II

I

J

i

I

iMieke Wuneln cvblschir Gtelchungtm tanttUm. 59

(2«J«+ ßt)t + («e+a^m' +)«'.

mrin f, «', n' bereits m!t w diridiii und nach $. 6. mit 7, V, V |lciebb«(leatend sind, so berechnet wDide,da«8 wir die aus jener Formel hervorgeheude Zabl auch Doch mit to dividirten. Diese tetitgniannte Division inuss also, da W als ganze Zahl sich dar- «lellt, jedesmal aufgehen.

f. 8. Die Eatwic belang cnbiscber KflftenbrBche Usstsich nach BwKhnnng der Formeln für i, u, n, to auf kfirzerem Wege be- ■iikeD, als der iu $. 3. eingeschlagene ist, indem dort Cberall Ui- Ittil eine Division mit w vorgenoranien werden musste, im All poeiaeo also die Rechnung dort mit grösseren Zahlen zu th) ^ ils dies bei Aowendnng der folgenden Formeln der Fall

* = dt a(<ip'+Äp«? + «^7"+ dq').

Für V nad w gilt das oliere oder untere Zeichen, jenachdem

^ in einer geraden oder nngeraden Stelle steht. Sowohl t als v>

«ind immer ganze Zahlen , während n nnd c ancb den Nenner 3, Aber keioen anderen als diesen, haben können.

Um eine noch grüssere AbkSriang als die zu erzielen, welche ttus der unmittelbaren Anwendung der zuletzt genannten, für r Und w immer noch etwas unbequemen Formeln hervorgeht, wollen nir den vor - vorausgehenden NSherungswerlb mit ->denza ^ schürenden Theiloenner mit k, die vor v und w vorausgehenden, ihnen entsprechenden Zahlen mit r' und »' bezeichnen. Es ist P=A'r + >^ und 9=Ä'i+f', folglich r'sip — /('r nnd «' = 9 — Uß. Dann haben wir;

tc' = T n(or»+*r«f+cr»»+(ii«) I ud

I o' = ± <i[(ar'+iÄj')r» + J (Ar- + «')" +(1«»^ + df)ifl],

1 oder, wenn wir die Werthe für r' und 1' einsetzen:

,.^ . rta(p-A'r) + iA{9-A',)]r»+J[Ä(p-A'r)+c(9-*'.)Jrf-|

1

I

60 Mfreker: Deber die Ketlatbr^he.

Hieraas folgt, weil

isl:

± a[(ff;>+ift9)r»+J(*p + «?)"+(*cp+*«9')^] = <''-*'«'- Wir haben nach $.6.:

F =

±<i[(ö|»+i69)(*|.+r)»+!Cfip+c9){Al'+»-)(*9+*)-K*t»+''?)t*ff+»)'] »der, weoD nach Jt geordnet wird:

+ 2t[(or+l«.)p« + «fa'+«)p» + (4cr+<i.),»] I + (op+J««)r' + ;(»y+i;j)r.+ (J<y + iij).« J oder:

F = i«w — 2*0+0'— i'te' = *(Aio— 2o)+ o'— A*«'. Aucb hoben wir nach ^ 7.: H'=T<i[o(*P+')'+S(t?+'-)'<*«+«)+c('j>+'-)(*f+»)'+''(*«+>)' oder:

" - T ■'S+ 3i[(op+ 16,>»+!(Sp + c,)r.+l(cp+d,).^r ' +or"+Sr»« + cr<«+<4' *

oder:

IP = -A*te + 3*«c— 3*(o'— itioO+to'.

Auch ist 3AP=; 3A»ie—6*»o + 3A(c' —*'»') addirt: lt'+3i P= itV - 3i^ + »'. folglich:

»P = 2iSo-3»%-3tF+»'=t[»f2*«-3e)-3FJ+,o'.

Die beiden Foriaeln:

F= *(*«— 3e) +••— i-io'

weUke WuneiH euUieker eietehungeH danullen.

61

"\

md

»F= *[AC^*tr— 3r)-3F]+fi7'

:r— t

^^^ykfh'

geben eine bedeateode Abkdrzung des Verfahrens. Sie sind je- doch, fr eil zu ihrer Entwickeln ng die drei früheren Reihen benntst wurden, erst von der vierten Reihe an zu gebrauchen.

}. 9. Wir wollen, uro ihre Anwendung zu zeigen, eine cubi- übe Gleichung wählen, die drei reelle irrationale Wurzeln hat, deren Berechnung auf directem Wege bekanntlich nicht durch fccardanische Formel, sondern trigonometrisch ausgeführt wird. Die Verwandlung in einen Kettenbruch geschieht ganz so wie ftr die reelle Wurzel einer cubischen Gleichung, die auch zwei imgiBlTe Wurzeln hat, und zwar nicht bloss für die erste der drei Wurzeln in §. 1. :

' a

Modem auch fGr

H)

and

Ml)

—ib^fP^^gQ

a

^Ih+gP+fQ

Denn flberail, wo in der bisherigen Rechnung P+Q stand, etebt bei II): fP+gQ und bei III): gP+fQ; überall aber, wo P»+e« stand, steht bei II): gP^^fO*, und bei III): fP^+gQ*, indem bdcanntlich f^g*, 9'=-f^ und fü^^^y also:

ood

ist

{fl'^gqf =gP^\fq[^\ WQ (gP+fQ)* = /•/» +gQ^ +2PQ

9 *

Wir wählen die Gleichung:

5ar» + 4a;«— 5^— 2 = 0.

■

Ihre trigonometrisch berechneten 3 Wurzeln sind:

I)

/»+<?-;

i= 0,87224,

wobei P+Q= 5,60452 und /» -|- Q> = 12.2064 ;

II) ^^^±1^=-* = -1,32663, wobei fP+gQ = --5,29933 und gP*^fQ^ = 7,8606;

.*

1 ■

62 Uärcker: Oeber die XeUenMlcJU,

9

III) ^^^8^~'= -0,34571,

wobei gP+fQ=s—0fi9SaO and /'#»+9Q>bs— 20,0660 Ut

Fflr I) haben wir:

Nach §. 2. ist

*Pi- — ci(«Aa+6A«+c?A4-rf)

worin A = 0, a = 5, 6 = 4^ c= — 5, c?=:'--2 ist, also:

Der augehurige Näbeningswerth ist }, der vorhergehende j, a

19 r=0, 1=1, p = l, ^'ssl, ^=9^ = 1, tt= ap-i-lbq = -^;

tc= a(ap»+6/^i7 + cp9»+rf9») = 5(5+4— 5—2) = 10. Demnach

P'+Q'+^^/>+Q);■^-20 68,2707 1

9^= iö "^"To^^^.+ ^j-

Der Näherungswerth ist $, also p=6, 9=7, <=7, tf=

25 Es ist 10=10, w' = 10, ü=20 ü'=— 3^, ^=6,^^=1, al

F= A(Aw— 2») + c' - A'io' = 120 — j — 10 = ^, ir=A[A(2Äw-3ü)-3F]4.fr'=6(360~306) + 10 = 340.

V

Also:

welche Wnr%eim eubiecker etelektmgem äm^ieiien. 63

^= 34Ö -~3iÖ" = *+Ä'

*

Der Niheraogswertb ist i ; alsop=7, 9=8, t=:8, M=5.7+f.8

_137

305 Nan ist to = 340, io'=10, v=-r-, v'=s3ß, k=l, A'=:6, also:

F=*(*w-2c)+r'-*'«.' = 340— ^ + 20-60=^, W = *[A(2Aw — 3e) — 3 F] + tr' = 680— 305 - 290 + 10= 95.

'♦= 95 = ~96 " = *''+ ^5-

Die Entwickelung stellt sich also folgendermassen dar:

''+^-t 1 0

--5-^=«+i. '»'=?••

'h= iö =1 + -, M,=j;

19 P'+<?"+^(#*+Q)+20 j g

'^= iö =®+Ä' "» = 7'

7(i»+Q«)+^(P+ö) + ?^ l 7

*•- 34Ö =* + vi' **'"8'

"•= 95 = '^ + Ä' "»=87'

u. s. w.

Ebenso ist die Entwickelung der Wurzel II) ; nur mnss, weil »e negativ ist, ihr Gegeotheil genommen werden. Wir setzen Wier ^y statt a: in die Gleichung 5a;»+4ar« — 5ar— 2 = a Also:

64 Mdreker: üeöer die Kßtienkrüehe,

Nun haben wir a = 5,6=— 4, c= — 5,(2=2. Die Cobikwurze P und Q haben jetzt den entgegengesetzten Werth von vorhc und wenn wir, der Vergleichnng wegen, den vorigen Werth ?( P und Q beibehalten, so niuss der Coefficient von fP+gQ jet en^egengesetzty abo nicht ^^^ap-i-iöq, sondern = — ap — i6 genommen werden. Ausserdem verfahren wir wie vorher. W haben :

5 ^q>^

und , weil A = 1 ,

Der NäheroDgswerth ist ^, der vorige j, also p^4, 9=- r=i, *=I, t=3, H=— ap-iÄ7=— 20+4=— 16;

r = - «[(«r + i&*)p«+ ; (6r + c«)/)«- + (JCT + rf%«]

176 \ 155

=-5(i|5-:.+,)=!».

fo=a(flp»+6;i»9 + cpg*+dg^) = 5(320—192- 180+ 54) = 10 Demnach

155 3(gi^-f/lty)-WP-fyQ) + -3-_160.0377_ ,, 1

9'«= iö — lö ~ ■*'^'

65 UerMäberuDgswerth ist tq. Daher |> =65, 9= 49, { = 4

11 = — i^—ioq= 5-, w=10, «i'=10, e=;-sr-f »'=■«-. «=li

also:

F=A(*w-2c)+ r'-A'«'= 16 (^^^^^) + ^-30=880,

»1= — iö =— iü~=^+5i*

17164 Der lUherangswerth ist: logao' ^''*'

5 ='+^' *• = !'

«•« = W~ '''■*'S* *"~3'

9,=: jQ =*®+;i^* *»=49'

770

«KgP'+fQ') - ^ (fP+gQ)+ 880 j ,7,^4

*>= iö =2M+-. »4 = 12939 *•

Q. S. W.

Für die Wurzel III), deren ebenso auszufSbrende Entwicke- Itng hier oiebt speciell gegeben werden soll, bat man :

-(sP+fQ)+i 1 0 5 ^=0 + ^' »«=1'

^fP^-^gOn-ligP+fQ) , ,

9(fP>+gQ^-(gP+fQ)-j , 9

'^* IIIÖ "^■''vi' **=26'

U. 8. W.

fc*

Mn erbilt hier dte Nemier vom zweiten an negatir, doch darf man nicht durch Moltiplication von Zfihler ond Nenner mit — 1 beide positiT machen, weil aonal die in §.8. und §.7. bewie- senen Geaetce nicbt mehr zutreffen würden.

§. lOl Die Betrachtung der cubiachen Ketteobrflche lieaae sich Bwar noch bedeutend ausdehnen. Doch sind die Uaupteigeo- schaften derselben in Torstehender Abhandlung hinreichend aus- einander gesetst worden. Ihre Anwendung auf die LOsung cubi- scher diophantiscfaer Gleichungen, die sich hauptsfichlich an die Formel

mp*+bp^q+cpq^+dg*=z ± -

knüpft, erfordert eine besondere üntsrsuchung. Jedenfalls ver- spricht ihr Einfluss auf die L5sung cubischer unbestimmter Gleh chungen ebenso bedeutend zu werden, wie der Einfluss der qaudratischen Kettenbrüche auf die Losung der unbestimmten Glei- chungen zweiten Grades.

Wititiein : Die MorMität in GeuUiekmften eu. 67

V.

Die Mortalität in Geselischaflen mit successiv eintre tenden and ausscheidenden Mitgliedern.

Von

Herrn Dr. Theodor ffUisiein,

Prnfc««nr in Hannover.

§. 1.

Unter der Wahrscheinlichkeit einer njfihrigen Per- MO, binnen Jahresfrist zu sterben, versteht man bekannt- liek den Quotienten, welcher sich ergiebt, wenn man die aus einer gewissen Gruppe njähriger Personen im Laufe eines Jäh- ret Gestorbenen durch die Lebenden dieser Gruppe im Anfange dat Jahrs dividirt. Es sei w diese Wahrscheinlichkeit Ist die- selbe bekannt, so erhftlt man daraus fOr eine beliebige AnsabI tjikriger Personen, welche =a sei, die Anzahl der binnen Jah« resfrist Sterbenden ^^aw, und folglich die Anzahl der nach Ab- laof eines Jahres noch Lebenden =a(] — w). Die Differenz 1— le bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, nach Jahresfrist noch am Leben zu sein; man kann sie direct erhalten, wenn man die am Schlüsse des Jahres noch Lebenden durch die Lebenden im An- Guige des Jahres dividirt.

Die Ermittelung der Werthe von to Rfr die verschiedenen ganzen W>rlhe von n, anfangend mit n = 0 und aufhurend mit dem höchsten erfahrungsmässig vorkommenden Lebensalter, bil- det eine der Fundamental- Aufgaben der Bevölkerungsstatistik, und inabesondere beruhen auf ihr alle richtig construirten MortalitSts- tafeln, wie dies noch neuerlich mit Recht Dr. Fischer in seinen trefflichen „Grundzügen des auf die menschliche Sterb- lichkeit gegröndeten Versicherungswesens'' (Oppenheim 1860) so nachdrucksvoll hervorgehoben hat. Indessen ist diese Ermittelung aus einem vorgelegten statistischen Material nicht immer ganz so einfach, wie es die obige Definition der Wahr- sebeiolichfceit anzuzeigen scheint. Eine geschlossene Gesellschaft — aei es die Bevölkerung eines Landes oder eine su besonderen

5*

« t

68 Wiitaiein: Die MortaUiät in Geseiltckafien

Zwecken, z. B. einer Versicherang, zusammengetretene Gesell- schaft — hat in der Regel im Laufe des Jahres successive Zu- gfinge und Abgänge von Mitgliedern zu erleiden» welche resjp. vor dem Zugange und nach dem Abgange sich der Beobachtung entziehen. Die innerhalb der Gesellschaft im Laufe eines Jahres beobachteten Todesfälle gehören nicht rein derjenigen Personen- gruppe an> welche im Anfange dieses Jahres die Gesellschaft bildete; theils sind deren durch die Ausscheidenden verloren ge- gangen, theils sind durch die Eintretenden neue hinzugekommen, und demnach kann die Division der beobachteten TodesnUle durch den Bestand der Gesellschaft im anfange des Jahres im Allgemeinen nicht den %vahren Werth der gesuchten Wahrschein- lichkeit liefern.

Wie nun dessen ungeachtet mit Rücksicht auf die successiv eintretenden und ausscheidenden Mitglieder der wahre Werth der Wahrscheinlichkeit, binnen Jahresfrist zu sterben, aus beobach- teten Zahlen sich bestimmen lasse, das ist die Aufgabe, welche wir hier einer kurzen Betrachtung unterwerfen w*ollen. Zwar hat diese Aufgabe schon anderweitige Behandlung gefunden, nanent- lich von Dr. Heym in der „Rundschau der Versicheran- gen (Jahrgang 1853) und von Dr. Fischer in den schon erwähn- ten „Grundzflgen u. s. w.". Aber wir glauben nicht, dass dadurch eine neue Behandlung des Problems überflOssig gemacht werde, und geben unsere Losung um so mehr, als wir damit Gelegenheit erhalten, auch einige verwandte, bisher nicht hinrei- chend erörterte Punkte einer Besprechung zu unterziehen.

Wenn man die Wahrscheinlichkeit einer njfihrigen Person, in einem bevorstehenden Brnchtheile eines Jahres zu sterben, bestimmen will, so ist zunficint die Frage zu erledigen, nach welchem Gesetze in einer Personengruppe gleichen Alters, welche weder Zugang noch Abgang erfllhrt, die Sterbenden eines Jahres sich über dieses Jahr vertheilen. In dieser Beziehung vereinigen aber alle Gründe sich dahin, in eio«r allgemeinen Untersuchung, wie sie hier beaMichtigt wird, als die plausibelste aller möglichen Annahmen eine gleich massige Vertheilung der Sterbenden Ober das Jahr erscheinen zu lassen, oder mit andern Worten, die Sterblichkeits- Curve für die Dauer dieses Jahres als gerade Linie vorauszusetzen.

Denn einerseits wird durch die Sterbeftllle im Laufe des Jahres der Baatand der Gesellschaft successiv kleiner, und einer

mii sueceiiiv eintretenden und auackeidenden Miipltedern, 69

kleirfereo Personenzahl entspricht ceteris paribus auch eine klei- lere Ansaht Sterbefölle; aber zugleich wird mit sonehmendem Alter die Wahrscheinlichkeit , binnen einer gegebenen Zelt m sterben y reeistentheils grosser, mithin mflssen aus diesem Grande Ae Sterbefölle successive sich hfiufeu, und beide Ursachen ver- mifi, haben deshalb im Allgemeinen den Erfolg, die Sterbeftlle dei Jahres einer gleich massigen Vertheilung nahe su bringen. Aidererseits ist erfahrungsmässig die Sterblichkeit in den ver- Mfaiedenen Monaten des Jahres merklich verschieden; eine allge- meine Dntersuchang, welche kein bestimmtes Datum als Anfang des Jahres ansetzt, kann demnach nichts Anderes thun, als diese Verschieden heiten als ausgeglichen anzunehmen, d.h. wiedemn, sie muss die Sterbefölle gleichmässig Gber das Jahr Tertheilen. Endlich ist die gleichmässige Vertheilung der Sterbefälle die ein- fachste Hypothese, welche man machen kann, ohne aus dem be- treffenden Jahre herauszutreten; die Wirklichkeit wird von ihr abweichen, aber zuversichtlich nicht mehr, als von irgend welchen kfinstlicheren Hypothesen, zwischen denen sie wie eine Art Mit- tel eich halten wird.

Es bedeute nun x irgend einen zwischen 0 und ] enthalte- nen Bruch. Wenn, wie im vorigen Paragraphen, a eine Anzahl njähriger Personen und w die Wahrscheinlichkeit einer njährigen Person, binnen Jahresfrist zu sterben, bedeutet, so sterben von dieser Anzahl im Laufe des Jahres av> Personen, und es erleben den Schluss des Jahres oder erreichen das (n -f 1)te Lebensjahr a(I — «) Personen. Ferner sterben nach der Hypothese der gleichniSssigen Vertheilung der Sterbeftlle innerhalb des Bruch- tbeils X des Jahres awx Personen, und es durchleben diesen Bnicbtheil oder erreichen (n-\-x) Lebensjahre a{\ —wx) Personen.

Daraus ergiebt sich für die Wahrscheinlichkeit einer (n4-^)jfih- rigen Person, den Schluss des Jahres, d. h. das Alter n-f 1 zu «Heben, der Werth:

1 — to

I) I ,

' I — tox

ond rSr die Wahrscheinlichkeit derselben Person, vordem Schlüsse des (n-f 1)ten Lebensjahres zu sterben, der Werth:

(2) 1— , d.i. -| .

' I —wx 1— loar

Will man die Wahrscheinlichkeit einer (ft 4- ar)jährigen Per- son, noch ein Jahr zu durchleben, oder binnen Jahres- frist zu sterben, bestimmen, so greift dieselbe In das folgende

70

Wiifsitim: Me MortaUtäi in Ceseiisckaften

^^_ ttw. Auch in diesem Jahre vertheilen wir WMcr

4ie 3t^cftllr des Jahres nach der obigen Il3rpothese. b ni ^ ^ Wahrscheinlichkeit einer (it -f l)j8hrigeii Person , btanefe jybi^sMst SU sterben. Nach dem Obigen leben Ton o Persesn^ w#khe i^Xhrlg sind» im Alter n-f 1 noch a(l— is), folgKckin Aller N^f l*f^ noch a(l — to)(l— 10'^). Mithin hat die Wihr ««helsUchkeit einer (n + jp)jähTigen Person , noch ein Jahr ss lebai, Ueii Werth:

w rn^ •

und die Wahrscheinlichkeit derselben Person, binnen Jahretfrivt XU sterben, den Werth:

_ (1 — w)(l — tr'.r) 1 — w.r

wofür man auch schreiben kann:

(l-w)(ir'-fr) (4) wH ^1 X,

Dieser Werth (4) reducirt sich fSr d:=0 auf w und fSr x^^ auf vif i wie es auch sein muss, und er stellt überhaupt die h^ und Weise dar, wie mit wachsendem x allmälig w xvk uf flbev* geht Doch muss man sich hüten ^ diesem Ausdrucke absolute Richtigkeit zuzuschreiben; denn er beruht auf einer Hypothese obwohl auf der einfachsten und plausibelsten Hypothese» weld>^ man treffen kann, nSmIich auf der Gleichmässigkeit des Abstet" bens Innerhalb des Jahres n bis n -f 1 , ifso wie innerhalb de^ Jahres it-f 1 bis n-f 2.

5.3.

Wenngleich die Hypothese der gleichmSssigen Vertheilao^c der SterbeföUe innerhalb eines Jahres ohne Zweifel die natnrg^'' mSsseste von allen ist, welche man machen kann, so wollen wi' ihr dennoch zur Vergleichung noch eine zweite Hypothese si^^ Seite stellen, auf die man eben sowohl nicht ohne Grund ve^' fallen konnte.

In der Hypothese des gleichmlissigen Absterbens ist offenb^-^ die Wahrscheinlichkeit, innerhalb eines bevorstehenden unendlicV^ kleinen Zeittheils dx zu sterben, nicht zu allen Zeiten dieselbe ' Eis sei y die Anzahl der Lebenden zur Zeit j;, so dass x und wie Coordinaten angesehen, die Sterblichkeits-Curve innerhal

mit $me€€$MiP eiaireiemkn "uttä auucäefdinden Miigliedem* 71

da« lo betracbtendeD Jabres festlegeu. IHfi StorbendM in der Zeit dji dsd al«daDD — <2y; folglich hat die WahrecheiDiiebkeit, inntrhaib dieser Zelt su aterben, den 4uadraek

y

Naa iat Air die IJy[Kitfieee des gieichmäaaigeii Abaterbena MK dem Tarigea Paragrapheo x

(5) y = a(l— fror),

oder die Sterhliehkeita-Gurve reducirt sich ffir dleae« FaM» nie •ebon angexeigt worden, auf eioe gerade Liaie. Daraaa folgt:

^' y 1 — wx

d.h. die WahnicheiDlichkeit, bionen der ZcA dx wa sterbe«, wird ■it wacbaendem' ar gleichfalls wachsea; odergenaaer^ me ist mn- gekebrt proportional der Anzahl der im Anfange dieser Zeit dx noch Lebenden. Ffir :r = 0 oder im Anfange des Jahres reducirt sich diese Wahrscheinlichkeit auf wdx^ und ffir a::=l oder am

Schlosse des Jahres auf i •

Wenn man dieselbe Betrachtung fOr das folgende Jahr wie- derholt, so wird aus demselben Grunde dieselbe Wahrscheinlich- keit Im Anfange des folgenden Jahres, wo w' ffir to eintritt, den Werth v/dx annehmen, und mithin wflrde die Hypothese des gieiebmSssigen Absterbens ihre vollkommene Berechtigung haben, wenn man allgemein setzen dürfte:

1— IC

Aber der Zusammenhang zwischen den Werthen to und w' zweier aof einander folgenden Jahre ist theoretisch gar nicht bekannt. Die Hortalitfitstafein lehren darfiber nur das Eine, dass die Werthe der auf einander folgenden Wabrscheinlichkeiten , binnen Jahres- frist zu sterben, mit alleiniger Ausnahme der höchsten und nie- drigsten Lebensalter, nur um geringe Gi^ossen von einander diffe- rireR. Man vergleiche z. B. die angcbSngte Tabelle, wo die WeKhe voB w in der Columne 2. vom 238ten bis znm 45sten Lebensjahre von dem Werthe 0,012 beharrlich um weniger als eine halbe Ein- heit der dritten Decimalstelle verschieden sind.

Aus diesem letzten Grunde scheint nun eine andere Hypo- these als naturgemäss sich darzubieten, um die Sterblichkeit im

72 Wittstein: Die MortaiitOi in GeseUeck^ftem

Laafe eines Jahres darzosteilen , nämlich die: die Wabrsch lichkeit» binnen einer Zeit von gegebener Daver sterben, innerhalb des Jahres als constant ansui nien, d. h. als unabhängig' von dem Anfangstermine dieser für welchen die Wahrscheinlichkeit gilt. Damit wird allere die Gleichmässigkeit des Absterbens sofort gestOrt; denn dieser Annahme folgt unmittelbar, dass die in gleichen Zeit len Sterbenden den im Anfange dieser Zeittheile Lebenden portional sind, oder mit anderen Worten, dass im Verlaufe Jahres die Sterbeßilie in gleichem Verhältnisse mit der ak menden Zahl der Lebenden successiv weniger dicht fallen.

Die Forderung, dass die Wahrscheinlichkeit, binnen < Zeit von gegebener Dauer zu . sterben , als constant angenoni werden soll, wird für eine beliebige Dauer dieser Zeit ei sein , so bald ihr för einen unendlich kleinen Zeittheil dx Gei geschieht Hieraus lässt aber das Gesets des Absterbens analytisch darstellen. Nennt man nämlich l eine vorläufig u kannte Constante,' so muss man mit Beibehaltung der obigen Zeichnungen haben:

y

woraus durch Integration folgt:

indem die Integrations - Constante so bestimmt ist, dass wie < y=a für x^O wird. Hieraus wird, wenn man vorfibergel mit ^0 und yi die Lebenden resp. fOr d:=0 und a; = l bezc net, die Wahrscheinlichkeit einer njährigen Person, binnen . resfrist zu sterben,

yo

und da diese Wahrscheinlichkeit =to ist, so folgt:

Mithin ist endlich: (7) y = a.(l-l^)^

d. h. die Lebenden bilden eine abnehmende geometrische I gression oder die Sterblichkeits-Curve ist eine logarithroii Linie; und die Wahrscheinlichkeit, binnen der Zeit da: zu i ben, nimmt den Werth an:

(8) -^=-/(l-«,).f/:r,

ci

mit iweeeni» eMretenden und ausscheidenden Mitgiiedern, 78

wcIcIm iMidea Gleiehongeii den Gleichungen (5) and (6) der vori- geo Hjfpotfcste correspondiren.

Daraus ergiebt sich ferner R!r die Wahrscheinlichkeit einer (»•f :r)jihrig6n Person« den Sehluss des Jahres, d. h. das Alter n-f 1 SU erleben, der Werth:

(9) •5 = (1~«^)^-',

aidfür die Wahrscheinlichkeit derselben Person, vor dem Schiasse 4e8 (M-fOten Lebensjahres lu sterben, der Werth:

(10) 3LlJ?ir=l-(l«.,i,)i-*.

Was die Wahrscheinlichkeit einer (n-f :ir)jährigen Person, noch ein Jahr an darchleben, anbetrifft, so wird dieselbe hier:

(11) \ . (1— w)i-'(l-toO'>

ood die Wahrscheinlijchkeit derselben Person, binnen Jahresfrist zu sterben :

(18) 1 — (l_,i,)i-*(l— tr')',

WM ia ähnlicher Weise bewiesen wird, wie es nach der ersten Hypothese am Schlosse des vorigen Paragraphen geschehen ist.

§.4.

Wenden wir uns nun zu der Betrachtung der Im Laufe des Mres successive eintretenden und ausscheidenden Personen. Da dis Eintreten, sowie das Ausscheiden im Allgemeinen einem nachweisbaren Gesetze nicht unterliegt, so bleibt hier die einzige Dogliehe Annahme die, sowohl die Eintretenden, als auch die Aaiscbeidenden eines Jahres gleichniässig über dieses Jahr zu vertheilen. Was die im Laufe des Jahres eintretenden Sterbeßille aus einerlei Personengruppe anlangt, so werden wir hier zonfichst der ersten Hypothese (§2.) folgen und dieselben gleichfalls jdeicbroSssig ilber das Jahr vertheilt vorauszusetzen.

Aufgabe. Es seien a Personen vom Alter n zu einer Ge- sdbdiaft zusammengetreten. Im Laufe eines Jahres treten b Personen desselben Alters wie die Mitglieder der Gesellschaft ivccessive ein und scheiden c Personen successive aus. Die An- ^1 der innerhalb der Gesellschaft im Laufe des Jahres beob- achteten TodesflUle sei =111, und der Bestand der Gesellschaft

74 Witt stein: Die Mortalität in Ge$elii€haften

am Sehluase des Jahres aei =^'. Man sucht aus die die Wahrscheinlichkeit w einer njährigen Person, biao« • Frist zu sterben.

Auflösung. Unter den gegebenen Grossen hat ] die Beziehung:

(13) a + 6 — c — »1 = «',

denn es ist unmittelbar klar, dass wenn man von der S alifiingllchen Bestandes* und der Eingetretenen die Si Ausgeschiedenen and der beobachteten Todnsftlle subt Differenz den Bestand der Gesellschaft am Schlüsse d ergeben mu8s. Derselbe Bestand am Schlüsse des Ja aber auch durch die Grosse w ausgedruckt werden, nämlicl

1) Die a Personen für sich, abgesehen von jedem und Abgange, geben am Schlüsse des Jahres einen Bc

(14) =a(l— w).

2) Werden die b Eintretenden s^leichmSssig über vertheilt, so kommen auf den unendlich kleinen Zeittli Eintretenden bdx. Um hiervon die Ueberlebenden am des Jahres zu finden, hat man diesen Betrag mit der Wj lichkeit (1), den Schluss des Jahres zu erleben, zu mul Dies giebt:

(1 — to)M.r 1 — wx

Die Summe der Ueberlebenden aus allen b Eintretei demnach durch das Integral dargestellt:

o

3) Werden die c Ausscheidenden gleichmfissig fiber vertheilt, i^o erhSlt man daraus auf dieselbe Weise dit der Ueberlebenden am Schlüsse des Jahres:

(16) . =-^(l-w)/(l-ti.).

Nun muss offenbar die Summe von (14) und (15), vermi (16)« den Bestand der Gesellschaft am Schiasse des Jahi ben. Man hat also:

(17). . . . a(l-<c)-^(l~fr)/(l-ii,) = aS

mU SHCcessiv eintretenüen und ausscheidetiden Mitgliedern. 75 und darch Elimination von a' aus (13) und (17) folgt:

(18). . . a«7 + (6— .c)[l + -(l-fr)/(I— w)] = i».

Diese Gleichung ist einer directen Aunosung fiir tr nur in dem besonderen Falle iahig, wo man hat 6 = c, und giebt in diesem

Falle to = — y wie auch an sich klar ist. Denn wenn jeder Aus-

•eheidende sofort durch einen Eintretenden ersetzt wird, so liegt fie Sache für die Rechnung genau ebenso, als ob gar kein Zo- fiang und Abgang stattgefunden h&tte.

Um in anderen Fällen die Gleichung (18) zur Bestunroung von V braachbar m machen, entwickele man den in Klammern [] ntbaltenea Ausdruck nach Potenzen von to. Dann kommt:

/ te tu* \

(IQ). . - . a» + (*-c)f j-2 + ^+.... I = w,

voqns maa erhält :

m

«0 =

a+l(Ä— c) + ?.(6 — c)tr + .../

vrenn man hierin die rechte Seite wieder nach Potenzen von » entwickelt :

/CMVN *» ^1 i(6— C)

Km), . . ^-|,+ 1(Ä— c)^*""a + i(A— c)-"'--^-

Diese Gleichung kann auf bekannte Weise zur approximativen B^Nchnang von to gebraucht werden. Man hat nämlich als erste Anlbernng :

(i1) «,= "•

ttd wenn man diesen Werth auf der rechten Seite der Gleichung sabstituirt, so erhält man als zweite Annäherung :

m \{h — c)ni^

"^""ö+lRft'-^) " [a + Kft-c)]"»-

Dm den Grad dieser Annäherung in Zahlen zu prüfen, neh- n«D wir aus den Mittheilungen Ober die Ergebnisse des 25jäb- 'iS*» Bestehens der Lebensversicherungs - Bank in Gotha (s. d. «iRnndschau der Versicherungen'S Jahrgang 1855) die ^vamen aus sämmtlicben Lebensaltern, wo

76 Viilt$telH: Die Horialtlät tn CeatüseMmftem

0=240412. 6=27210.

c= 4264. m=z 4521,

und finden als erste Annäherung aus (21):

«> = O,O17«4S07,

und für das Erglnzungsgiied in (22):

-0.00000489.

I

folglich als zweite Annäherung:

to= 0,01794378.

Man darf hieraos wohl allgemein «chlleasen» daaa flir die Zh- g&nge and Abginge in Lebensversicherangs- Anstalten schont Formel (21) ein hinreichend genaaes Resoltat giebt« Denn es tit keinen Sinn, die Werthe der Wahrscheinlichkeit, binnen Jakw- frist zu sterben, auf mehr als vier oder höchstens Anf Dednal- stellen zu entwickeln, da die statistischen Data, auf denen dieie Werthe beruhen, selbst kaum eine so grosse Crenaolgkeit beit- Sprüchen können. Nur für sehr grosse Werthe Ton b oder t dürfte es nuthig werden, das Ergänzungsglied in (22) in Betndit zu ziehen. ,

§. 5.

Die vorstehende Auflösung erleidet einige Aeodening, wenn man in Betreff der Vertheilung der Sterbefälle über das Jahr der zweiten Hypothese (§. 3.) folgt, in welcher die Wahrschen* lichkeit, binnen einer bevorstehenden unendlich kleinen Zeiti> sterben, als constant angenommen wird.

Werden nämlich die h Eintretenden gleichmässig tlhpr dt* Jahr vertheilt, so dass auf den unendlich kleinen Zeittheif «liri* Eintretenden hdx kommen, und will man von diesen letzteren ^ Ueberlebenden am Schlüsse des Jahres flnden, so hat man ihree Betrag mit der Wahrscheinlichkeit (9), den Schluss des Jahres zu erleben, zu niultipliciren. Dies giebt:

(1— to)i"-*AAr.

Die Summe der Ueberlebenden aus allen 6 Eintretenden witd demnach hier durch das Integral dargestellt:

(23) ./' (1 _«,)!-. Arfx = -;j^^-j.

mii 9HCce$9i9 Hfttretenden und, auuckeidenden Mit^edern. 77

Ebenso erhilt man aus den c Ausscheidenden die Summe der Ceberlebenden am Schlüsse des Jahres:

<2^) =-/(Nriy

Diese beiden Ausdriicice (23) und (24) treten an die Stelle der beiden obigen (15) und (16). Folglich erh&lt man weiter statt (17) :

(25) «<>-'^)-/(r=~)=«'

und statt (18):

(26) atr+(6-c)[l + j^i^^]=m,

BDd statt (19):

(27) aw+(Ä~c)Q + ^ + ....^ = m,

vroraus

1»

"^ "" « + 4(Ä-0~+A(6~-c)ic + .7. . '

und durch weitere Entwickelung :

/Oöx W /, A(ft — g) V

' « + 4(6— g) a+l(ö — c)

«

Diese Gleichung liefert als erste AnnSherung fCr va genau den selben Wertb wie (21); dagegen die zweite AnnSherung gieht:

.go>. ^ tV(6~c)iii*

(jy). . . . «^-« + i(Ä--c)""[ri+4(6-c)]»'

wo das ErgXnsungsglied die HXIfte des obigen in (22) beträgt.

Ftir die Praxis ist, wie aus dem Schlüsse des Torigen Para- gnphen hervorgebt, der Unterschied der beiden Formeln (22) und (20) vollkommen unerheblich.

§.6.

Die bis bieher aufgestellten beiden Hypothesen 6ber die Ver- Aeilang der Sterbefölle einer und derselben Personengruppe über ^M Jahr haben, in ihrer Anwendung auf das Problem des §.4., ^ bemerkenswerthe Resultat geliefert, dass die erste Annfibe- 'VQg fflr die Unbekannte w in beiden vollkommen libereinstim- lA^de Werthe giebt, welche durch die Gleichung (21) dargestellt ^^rden. Erst die «weite Annfiberung ffigt Correctionen von ver-

78 Wiiistein: Die UtorMiiäi in GeBeUtckmflm

sehiedeoeii Werthen bima» dereo Betri^ jedoch •• gering bleibt» da88 er, wie sich geselgt hat, fflr die AiiwendonpieB in der Regel unberücksichtigt bleiben darf. Daraus folgt allerdings zunächst, dass es im vorliegenden Falle fflr die Praxis so gst wie gleichgültig ist, welche der beiden Hypothesen über die-Ver- theiluDg der Sterbefölle man als Grundlage der Rechnung aaaelMii will. Aber es ist theoretisch nicht ohne Interesse, auch die Frage zu erörtern: ob nicht eine Vertlieilung der Sterbenden Ober dt» Jahr von solcher Beschaffenheit sich treffen lasse, dass der ge« suchte Werth von to genau durch die Gleicbuag (21) darge- stellt wird. y

Diese Frage kann beantwortet werden wie folgt:

Aus den Entwickelungen der beiden vorigen Paragrapkeo €^ giebt sich, dass die Hypothese über die Vertheilung der Sterbe- Hille für das in Rede stehende Problem zu nichts Anderem gebrascbt wird, als zur Gewinnungeines Ausdrucks für die WahrscheiDlidi- keit einer (n -|- a:)jährigen Person, das Alter n-\-\zvL erleben, oder vor dem Ablaufe des (n -f l)ten Lebensjahres zu sterben. Die betreffenden Ausdrücke nach der ersten und zweiten Hypotbeie finden sich unter (1), (2) und (9), (10). So lange daher Ober die Vertheilung der Sterbenden keine Bestimmung getroffen ist, b^ zeichne man die Wahrscheinlichkeit einer (ft-|-ar)jährigen PeisoD, vor dem Ablaufe des (n-|-l)ten Lebensjahres zu sterben, allge- mein mit f(z) ; also die Wahrscheinlichkeit derselben Person, da« Alter n-l-l zu erleben, mit 1— /(o:), wo Ober die Function /(r) vorläufig nur das feststeht, dass man haben muss:

(30) AO)=te.

Mit Hülfe dieses allgemeinen Ausdrucks wird nun, nach d«- seihen Schlussweise, wie in den beiden vorigen Paragraph^pwdip Summe der Ueberlebenden am Schlüsse des Jahres aus Mfi ^ Eintretenden durch das Integral dargestellt:

und ebenso dio Snmme der Ueberlebenden aus den e Avsscbei- denden dareh das Integral:

cf^ [I-A*)]Ap.

0

Folglich muss man statt der Gleichung (17) haben:

mU $ueen$^ eMrUenden und ausicMdenden Mitgliedern. 79 (31). . . a(l— tc) + (Ä— c)y * n— A^)]rf^=flS

o und statt der Gleichung (18):

(32) au>+(b—c) f f{x)dx = m.

Soll nao hieraas, wie verlaugt wird, ffir w der Werth (21) her- vorgehen, 80 muss diese Gleichung sich reduciren auf

(33) air + i(A-c)tr=:m,

mithin muss man haben:

o

oder mit Rucksicht auf (30), die Function f(x) ist an die Bedin gvag gebunden:

(34) f n^)dx^mo).

Wenn man diese Gleichung geometrisch als Quadratur deu- tet, so fordert sie die Herstellung einer Curve von solcher ße- schalenheity dass die von ihr begrenzte Fläche, von x=0 bis ^:=1 genommen, inhaltsgleich dem halben Rechteck aus der Abscisse von 0 bis 1 und der Ordinate im Anfangspunkte wird. Dieser Forderung kann offenbar durch unzfihlig viele Curven 6e- nOge geschehen, welche das genannte Rechteck balbiren. Wenn man aber auf die Natur der Aufgabe RGcksicht nimmt, nach ^rictor f(a) mit wachsendem x abnehmen muss, und zugleich ffer dioM Abnahme das möglichst einfachste Gesetz auswfthlt, so redacirt die gesuchte Curve ^ich auf eine gerade Linie, nSmIich die Diagonale des Rechtecks ; oder es wird :

(36) /(:r)=fc(l-ar),

d. h. die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist proportional dem noch *u darchlebenden Theile des Jahres.

Nennt man femer, wie im §.3., p die Anzahl der Lebenden ZV Seit Xt so dass x und y die Coordinaten der SterMichkeits- Cv?e innerlialb des betrachteten Jahres aosdHIcken, und berfick- ^cMgt, dass a(l«-to) die Lebenden für «ss l bedeuten, so kann ^R statt dieser letzten Gleichung auch sehreiben :

80 Wittstein: Die MortaUtat in GeeeUBck^len

1 =5tr(l-ar),

woraus :

■

(36) y = — "

1 + 1 a:

I — w

welches die Gleichung der Sterbllchkeits-Curve ist.

Daraus erhSit man für die Sterbenden in der unendlich klei- nen Zeit da: den Ausdruck:

oder:

(37) -^y = ?-T^^^'

d. h. die Sterbenden in den unendlich kleinen Zeittbeilen dx neh- men in demselben Verhältnisse ab, wie die Quadrate der Leben- den im Anfange dieser Zeittheile. Sie fallen mithin im Vertanfe des Jahres successive noch weniger dicht, als in der svreiten Hypothese» wo sie in gleichem V'erhältnisse mit der Zahl der Lebenden selbst abnehmen, während sie in der ersten H3rpotheie constant bleiben.

Ferner erhält man aus der Gleichung (37) iiir die WahrscheiD- lichkeit, binnen der unendlich kleinen Zeit dx su sterben» den Ausdruck:

(38) _^==lf.^_A„

d. h. diese Wahrscheinlichkeit nimmt ab in gleichem VerhSlfiiie^ mit der Zahl der Lebenden im Anfange dieser Zelt dx^ wdifen' sie in der zweiten Hypothese constant bleibt und in der ersten Hypothese im umgekehrten Verhältnisse der Zahl der Lebenden wächst.

Man wird zugestehen, dass die hier durch die beiden Glei- chungen (37) und (38) näher charakterisirte Vertheilung der Ster benden eines Jahres Ober dieses Jahr weit davon entfernt litf diejenige Plausibilität su besitzen, welche ihr zukommen mOsstei um als Hypothese dieser Vertheilung zu Grunde gelegt zn wer* den. Nichts destoweniger ist sie bemerkenswerth genug. Si» giebt in der hier vorliegenden Aufgabe för die Wahrscheinlich- keit, binnen Jahresfrist zu sterben» genau den in der Gleicliang (31)

mii suoMttt' elmireunden mtut amueketdenden MitfNedem. 8V

ntbalteimi Werth, und da di^«« Wertfr, ^vielcMer miteif andeimi iypothesen nur als Mähernngswerth erscheint , in den Am«%H^' hngen meistentheils genau- genug wU sö'ist es gerade die hier gefandene Vertheilung der Sterbenden,, der die Praxis folgt , ohne es eigentlich 2u wollen.

§.7.

Der gesuchte Werth von to kann noch in anderer Weise genau dorcb die Formel (21) dargestellt werden , wenn man nftmlicb in deo Voraussetzungen der vorigen Paragraphen folgende Aende« niog trifft.

Der bisherigen Behandlung der Aufgabe §. 4. lag die Annaiune mm Grunde, dass die Eintretenden, so wie die Ausscheidenden in «lern Augenblicke des Eintritts und^ Austritts genau dasselbe' Lebensalter haben, wie die resp. schon vorhandenen oder zurtfdr- bleibenden Mitglieder. Man kann aber auch die Voraussetzung machen, dass die Eintretenden und die Ausscheidenden im Augen- !ilicke des Ein- und Austritts dasjenige Lebensalter n besitzen Milien, welches der Stamm der Gesellschaft im Anfange des lahres hatte. Allerdings ist diese Voraussetzung für die Aus- iGheidenden factisch unmöglich und kann höchstens wie eine An- iSberung zugelassen werden. Filr die Eintretenden dagegen ist ne nicht nur zulässig, sondern wir werden auch sogleich einen Fall anf&hren^ in welchem gerade nach dieser und keiner ande- ren Voraussetzung gerechnet werden muss.

Wir behalten die bisherige Bezeichnung bei. Wenn zur Zeit X eine Person von n Jahren eintritt, so hat dieselbe am Schlüsse des hier betrachteten Jahres das Alter n-fl — ^ erreicht. ?^acb der fljpothese des gleichmässigen Absterbens (§. 2.) hat demnach dis Walirecheinlichkeit der gedachten Person, vor dem Schihsse faMJdireff zu sterben, den Werth :

ao. . • w(i— o!),

^•b. sie ist proportional' dem noch zu durchlebenden Thelle des Mxu\ und die Wahrscheinlichkeit derselben Person, den Sch'luss ^Jahres zu erleben, wird:

itOi 1— tt(i— ä). ,

Werden nun die h Eintretenden glieicKmSssig jahtt das Jahr vtitteilt, so dass auf den unendlich kleinen Zeittfaeil dx an Ein- ^ttDden bdx kommen, und will man von diesen letzteren die Dderlebenden am Schlüsse des. Jahres finden, so hat man ihren

Thell XXXIX. 6

«

82 Wiiistein: Die HorUMtät in Ges$it$cAaftm

Befrag mit der WahrscheiDlichkeit (40) xa maitiplicireii. giebt:

[1 — fr(l — a:y]bdx.

Die Summe der Ueberlebenden aus allen b Eintretenden wM demnach durch das Integral dargestellt:

(41). . . /** [l— fo(l— a:)]6rfa:=6(l— |).

Ebenso erhSit man aus den c Ausscheidenden die Summe der Ueberlebenden am Schlüsse des Jabres:

(42) =c(l-J.

Diese beiden Ausdrficke (41) und (42) treten an die Stelle dir beiden obigen (15) und (16). Folglich erhält man welter statt (17):

(43) a(l-«>) + (6-c)(l-2) = o',

und statt (18):

(44) ato + (6— c)2=»»»

woraus flir w genau derselbe Werth sich ergiebt wie (21).

Man wird leicht erkennen , dass der eigentliche Grand ßr diese Cebereinstimmung der Resultate darin zu suchen ist» diss die Wahrscheinlichkeit (39) denselben Werth hat wie (36).

§. 8.

Es giebt einen besonderen Fall, in welchem die Voraossflimg des vorigen Paragraphen immer erfüllt ist, nffmiich wenn aas als Eintretende die Neugeborenen ansieht, welche im Laafö des Jahres successive in's Leben kommen. Denn es ist an sich klar, dass die Neugeborenen jederzeit mit dem Lebensalter 0 in ifie Gesellschaft eintreten. Wird die vorige Entwickelung auf dieseo besonderen Fall öbertragen, so bedeutet a die Anzahl der Nei- geborenen beim Anfange des Jahres, b die Anzahl der Neuge- borenen im Laufe des Jahres, m die Anzahl der Gestorbenen is Laufe des Jahres und to die Wahrscheinlichkeit eines NengelM)- renen, binnen Jahresfrist zu sterben. Man hat also, Indern nun c = 0 setzt,

(45) aio-f4^=m.

suee^Müt eh$tretenden und aunekeidmden Htt^Uedern, 88

lier gewöhnlich auch a=0 sein wird, |6fo=:m>

_ m

f©=:2.-T-

nnel beruhet jedoch auf der Hypothese des gleichmis- sterhens im Laufe des Jahres (§. 2.), eioer Hypothese, ir das erste Lebensjahr des Kindes keineswegs der Wirk- mtspricbt. Nach den grfindlichen Untersuchungen von die Gesetze der Lebensdauer, Berlin 1839), welche als erschöpfend angesehen werden mfiss^n, ist vielmehr »rben der Kinder in dem ersten Lehensjahre (und noch linaus) einem Gesetse unterworfen, vermöge dessen man zo setzen hat:

wVU^,

eh TerwandeK sich die Gleichung (46) in : ib.w=zm.

iBt ZU erionarn, dass die Formel Moser's voraussetzt, *odtgeborenen angesehen werden wie Lebendiggehorene, rz nach der Geburt sterben.

den 2klittheilungen des statistischen Bfireao fiSr das I Hannover wurden z. B. im Jahre 1865 geboren:

lebendig 55454, todt 2206,

zusammen 57662;

December 1855, wofür wir ohne merklichen Fehler den nss setzen können, lebten Kinder unter 1 Jahr:

4S105.

Dan hieraus die Wahrscheinlichkeit eines Neugeborenen, iresfrist zo sterben, bestimmen, so hat man so setzen:

6 = 57662, m = 92S7,

eh (47) oder der Hypothese des gfeichniSssigeo Ab- >lgt:

to=: 0,32106,

g4 Wi tutein: Die MoriaUtät in GeseiUckafien

und nach (50) oder ,der Focmel von Mosef c

IT :;=: 0^20067.

Dieses letzte Resultat stimmt mit Moser iiberein^ welchei durchscbnittlicben Werth w^^fi^ annimmt. Dagegen das < ist gänzlich zu verwerfen.

§. 9.

Die Aetcachlung des vorigen Paragraphen Alhrt, wenn sie ayach .auf andere Lebensalter, als dasjenige der Neugebor {tvsdehnt^ zu jder nachstehenden bemerkenswerfhen Folgervni

Es sei 6 di« AozaM derjenigen Petsone« .einer «Gesellsc welche im Laufe des Jahres successive das («-f ])te Lcibeni vollenden, und w' die Wahrscheinlichkeit einer (n-f l)jährigen son, binnen Jahresfrist zu sterben. Aus demselben Grunde, wir oben die Neugeborenen eines JaAies .gleichmässig über Jahr vertheilt haben, müssen wir auch die hier In Betracht menden erlebten Geburtstage gleichmässig über das Jahr ver voraussetzen. Nehmen wir dazu die Hypothese des gleich sigen Absterbens, so haben wir nach (46) aus diesen b Pers bis zum Ablaufe des Jahres \bvD' Todesßille. Nennt man also c Lebenden der Gesellschaft am Schlüsse des Jahres, welche sehen n-f 1 und n-f 2 Jaihre alt sind, so liat roani

(51) a' = 6(l^iw').

Nennt man ferner a die Lebenden der Gesellschaft im Anl des Jahres, welche zwischen n und n*f 1 Jahren stehen, « die Wahrscheinlichkeit einer «jährigen Person, binnen Jahre zu sterben, so lässt sich auch a durch b ausdrücken. Hai nfimlich« um a zu erhalten, jedes Element bdac durch die V scheinlichkeit (l), in welcher \^x statt x zu setzen ist dividiren und von dem Quotienten das Integral von 0 bis nehmen. Dies giebt:

(52) «=^^n:^-

Aus (51) und (5t>) folgt:

(63) a: ^ (l-«)(N^i«0 ,

^ ' a 1 — tu?

welcher Ausdruck genau mit de^ der Wahrscheinlichkeit (t

mit suecMiiP ettUreteuden und ausscheidenden Mitgliedern. 85

x^\ ab««ei98ti«Bil. Man bat also den allgemeraon Sata : Wenn mau in einer GeaeUsebaft, welcb» weder Zugang noeh «Abgaag erftbrt, die Lebenden am Schlüsse des Jahres, welche zwischen «-I-1 und n-f^ Jahren stehen, durch die Lebenden im Anfange des Jahres, welche zwischen s und n-fl Jahr alt sind, dividirt, 80 ergiebt der Quotient genau die Wahrscheinlichkeit einer ^fDjihrigeo P«raon, noch «in iaibr za leben. Daraus folgt «o-

dami iroB selbst idte Wahracheinliebkeit d«rscitben Person, tonnen

Unalnst tzo «terban.

Dieser Satz drückt eine Regel aus, nach welclier scfhon längst die Praxis verfthrt, ohne nach dem Beweise gefragt zu haben, hdessen dürfte es nicht ohne Interesse sein^ hier nachgewiesen m utee., .-mof 'wdehen Voraossetzongen diese Regel beruht und nter JVKelehen Bedingimgeii allein sie richtig ist.

Will man die Wahrseheinlichkeit, binnen Jahresfrist 20 ster- ben, fttr die Mitglieder einer ganzen Bevölkerung bestiro- meo^ alle Lebensalter zusammen gerechnet, so wfirde, selbst vreoD man von Ein- und Auswanderung während ii^^ Jahres ganz absehen wollte (welche nach §. 4. zu behandeln ist), dennoch die Division der beobachteten T«desftlle des Jahres durch den Be- stand der BevulkeniDg im Anfange des Jahres noch immer ein fehlerhaftes Resultat gebe». l>eini die beobachteten Todesfülle enthalten zu einem merklichen Theile auch diejenigen Todesfalle in sich, welche aus den erst im Laufe des Jahres Geborenen her- rühren, und diese letzten Todesfälle müssen deshalb zuvor selb- stfndig ermittelt und von der Gesammtzahl aller Todesfälle in Abng gebracht werden. Diese Ermittelung kann entweder nach der Formel (49) geschehen, oder auch aus dem statistischen Mate- Tiil selbst, falls solches dazu ausreichend sein sollte.

Es beseichne A die Bevölkerung im Anfange des Jahres, B ^ie Geborenen «od M die Gestorbenen im Laofe des Jahres, nnd A die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Dann hat man :

(54) Ä=: — -j— ,

*o n wie im §. 8. die Todesfölle aus den Geburten des laufen- ^ Jahres bezeichnet; oder mit Rücksicht auf (49):

(B) ß = ^l=|^.

86 WUitiein: Die Manaiität in Cenlisck^km

wo w die Wahrscheinlichkeit eines Neugeborenen» binnen Jahres- frist zu sterben, bedeutet;- oder noch allgemeiner:

(56) SL^^LZ^,

*

WO fi ganz allgemein und ohne jede Hypothese, den Factor be- deutet, mit welchem die Geborenen B des Jahres sn mnltipfici- ren sind, um die aus ihnen im Laufe des Jahres hervorgriiendeD Todesfölle zu erhalten.

Der umgekehrte Werth ^ zeigt offenbar an, auf wie viel

Kupfe des annnglichen Bestandes der BeFolkerong im Laafe im Jahres je ein Todesfall kommen wird, wenn die Bevölkemg, ohne Zugang durch Neugeborene, in sich ausstirbt.

Um die Rechnung durch ein Beispiel zu erläutern, hat mu aus der Volkszählung vom 3. Decerober 1855, welche wir'wieder an den Jahresschluss uns verlegt denksii, die Bev5lkening des Königreichs Hannover:

^ = 1819777,

und ferner an Geborenen im Jahre 1856:

lebendig 56659, todt 2167,

zusammen 58826,

und an Gestorbenen im Jahre 1856:

39199.

Man hat also zu setzen, mit Einschluss der Todtgeboreneni

£ = 58826, ;i!f= 41366.

Um zunächst m zu bestimmen, kann man den aus dem Voijakre 1855 im §.8. gefundenen Werth tö =0,20067 benutzen, wodoreh man erhält:

m = ifiw = 9444.

Man kann aber auch aus den Zahlen des Vorjahrs im §.8. an* mittelbar den Werth von jü bestimmen, nämlich :

^=57662 = ®''**^' woraus (Sr m=fAA sich derselbe Werth ergiebt, wie vorhin.

mii gueeesüp etnireienden und auuchetdenden ittWMern. 87

Diese Reehnungeo set^sen voraus, dass die Sterblichkeit der Neugeborenen in swei auf einander folgenden Jabren nahe die- selbe bleibt. Wenn eine Zählung der Kinder unter 1 Jabr ffir den Jabreascbluee 1856 existirte, so würde man daraus unmit- telbar und ohne Hypothese den Wertb von m entnehmen k5nnen.

Hit den so erhaltenen Zahlen wird endlich fflr die Bevölke- rung des Königreichs Hannover beim Jabresscbluss 1855 die Wahr- sckeblicbkeit , binnen Jahresfrist zu sterben:

Ä=iii^=0.017542.

Wenn man dieselbe Rechnung mit Ausschluss der Todtgebo- i&en f&hrty wo also zu setzen ist:

Ä=56659, ilf= 39199,

80 erbilt man zunSchet aus dem Vorjahr :

o:

und daraas :

7(U9

« = iS = 0'0»^^-

Offenbar würden diese beiden Werthe von Sl genau öbereinstim- 'x^en, Yvenn das Verbfiltniss der Todtgeborenen zu den Lebendig- Seboreneo in den beiden auf einander folgenden Jahren constant gewesen wSre. Man kann deshalb füglich das Mittel nehmen und

••tico:

ß=: 0,017562, - = 56,940.

Der hier gefundene Wertb von Sl ist übrigens, wie aus dem Obigen hervorgeht, noch nicht vollkommen richtig, sondern be- ^f Doch nach §. 4. einer Verbesserung durch die Ein- und Aus- wanderung des Jahres 1856, worüber jedoch statistisches Material lucht vorliegt.

§. 11.

Wenngleich nach' dem vorigen Paragraphen das Verhältniss '^beobachteten Todesfälle eines Jahres zu dem Bestände der ^SlkeroDg im Anfange dieses Jahres keineswegs den richtigen ^dmck der Wahrsi^elnlicbkeit, binnen Jahresfrist zu sterben, ^ diese Bevölkerung abgiebt, so ist das genannte Verhältniss

8& WiUsiein: Die MortaUtdi In GettUtehaftSm

demicKh in. anderer Rücksicht fiSr die Statistik nicht ohMl Be^ deuiuB^. Wit woll«ii- es. das* St er blichkeits-Vevh-fUiaiM der BeT5llKe*rung. nennesi, und ebenso da» Verhftltniss dsp GelMurten. des Jahres au dem. Bestände im AnÜMge A&b Jahiet das Geburtsverhfiitniss der Bevölkerung. Bo^ioboetm diese beiden Grossen, «welche unmittelbar aus den statistischeB Daten entnommen werden kSnnen, mit p und q^ so hat man:

M B

und nir die Formel (56) erbfilt man den- einfacheren Ausdruck: (57) Sl=p^n.

T

Die umgekehrten Werthe - und - haben oifenbar die B^

deutung, dass sie anzeigen, auf wie viel K3pfe des anfönglichen Bestandes im Laufe des Jahres resp. je ein Todiesfall oder eine Geburt gekommen ist.

Die Werthe von p und q sind fan Allgemeinen nicht gleich gross; in der Regel wird 9>p sein, obwohl auch da|i Ca- gekehrte stattfinden kann. Sie werden nur dann gleich grosB sein, wenn die Bevölkerung sich im Behflffmngszustande befft- det, d. h. wenn durch das ganze Jahr jeder Todesfall sofort durch eine Geburt ersetzt wird. Daraus folgt aber, da«si dieie beiden Grossen zusammengenommen nicht nur den Stand, sob- Hern auch die Bewegung der Bevölkerung charakterisiren, swi zwar beides in untrennbarer Verbindung. Man kann nun die Fuge aufwerfen, ob nicht die beiden Grossen p und g sich auf ÜMß gemeinschaftlichen Werth P reduciren lassen, welcher das Stei^ lichkeits- und Geburtsrerhältniss derselben Bevölkerung unter dir Voraussetzung ausdruckt, dass diese Bevölkerung durch den Lnf de» Jahres im Behamingszustande geblieben wSre* Em fl#to Werth wird sodann von der BiBwegung der Bevölkerung' anailhh gig sein und allein flir den Stand derselben einen charaktiriitl' sehen Ausdruck abgeben.

Zur Beantwortung dieser Frage kann man verfahren wie folgt:

Um bestimmter uns ausdrficken zu können, nehmen wir an, es sei wie gewohnlich die Anzahl der Geburten (iberwiegend über die der Todesfiille, oder B> M. Soll die Bevölkerung durch den Lauf des Jahres auf dem Bestände seines- Anfangs erhalten blei* ben, so ranss die Anzahl B der Geburten um einen- gewiBsea Betrag u vermindert werdeui, so dass man durch schickliehe An* nähme von « haben wird:

Mtii tueeeasiv Hnireienden und auuekeidendtn MUffttedertu 8Q (58) P=^-

Aber die VerniindeniDg der Geburten nm u hat, wenn man die* •dbe gleichmässig Gber das Jabr vertbeilt, eine gleicbzeitige Ver- ■indening der SterbefSlle um fiu zur Folge» und man wird also anch baben :

(59) P=^^.

Die Elimination Ton u aus diesen beiden Gleicbungeu giebt :

rier mit Rflcksicbt aaf (57) :

■

ivelches der gesncbte Werth ist

■* 1

Der umgekehrte Werth p zeigt an, auf wie viel Kdpfe des

«Bfto^iehen Bestandes der Bevölkerung im Laufe des Jahres je ein Todesfall und eine Geburt gekommen sein wflrde, wenn die Berolkemng für das Jahr fan Bebarrnngszustande geblieben wSre.

Hiermit dürfte dasjenige auf sein richtiges Maass zurdckge- i&hrt werden« was die Statistiker über die sogenannte Sterblich- keitszilTer lehren. Denn die Ausdrucke (58) und (59) zeigen un- mittelbar, dass P niemals zwischen p und g fallen kann; vielmehr wird für eine zunehmende Bevölkerung P kleiner und für eine abnehmende Bevölkerung P grosser als beide. Auch Ist P nie- ■aiibdfberlei mit Sl, sondern stets grosser.

So gehen z. B. die obigen Data für die Bevölkerung des KSaigreichs Hannover, wenn man die Todtgeborenen einschliesst:

p = 0,022732, -=43,992;

0=0,032326, - = 30,936;

P= 0,020896. p= 47.885. EHiMlbai Data geben, wenn man die Todtgeborenen anMchüeeat:

90 Wltistein: DU Uortalität in Ge$eUtckafien

p = 0^1541, ^ = 46,423;. 9 = 0^1136, -=32>1I8; P = 0,020144 , p = 49,643.

§. 12.

Die Entwickelungy durch welche oben die Aufgabe dei§.i ihre LOsnng gefunden hat, kann oifenbar auch gebraucht irertoi wenn die Wahrscheialichkeit u> bekannt ist und dagegen eine u- dere der in der Aufgabe enthaltenen Grossen als Unbekaanlija- gesehen n-ird. Insbesondere kommt im Versichemngswesei w Fall öfter vor, wo der Bestand einer Gesellschaft am SiMww des Jahres gesucht wird. \Vir führen die folgenden beiden Bei- spiele dieser Art an.

Erstes Beispiel. Aus einer Geseilf^aft von dieneoden Personen scheidet im Laufe des Jahres eine Anxahl als lanMe ans. Es sei für irgend ein Alter derBcüüiid a in Anfange des Jaihres, die Wahrscheinlichkeit lo, im Lttdcf des Jahres snitar- ben, und die Wahrscheinlichkeit y^ im Laufs des Jahres infiUs XU werden 1 gegeben. Man sucht den Bestand c=a' der dieMs- den Mitglieder am Schlüsse des Jahres^

Hier muss zunächst auf eine GeCilir aufmerksam gemacbt werden, welche in der Behandlung dieser Aufgabe schon zu Fehl- schlössen geführt hat. Die Wahrscheinlichkeit, am Schlüsse des Jahres noch zu leben, ist =1 — ^o^ und die WahrscheinKchkeil; am Schlüsse des Jahres noch zu dienen, =rl — y; folglich — m hat man geschlossen — ist die Wahrscheinlichkeit, am Sdifamo des Jahres noch zu leben und zu dienen, =(l — tr)(l — y)«,..oder man hat ^*^

a'=:a(l— ir)(l — y).

Dieser Schluss ist aber unrichtig. Die WahrscheiDlicbkeÜ; dass mehrere Ereignisse zugleich eintreten, ist nur dann gleieh dem Producte der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereigniste, wenn diese Ereignisse vollkommen unabhängig von einander siad Eine solche Unabhängigkeit findet jedoch im vorliegenden Filh nicht statt; denn es kann zwar wohl Jemand zuerst invalide wei den und dann sterben, aber nicht zuerst sterben und dann Infi lide werden. Die Zahl derjenigen Personen, welche, wenn A nicht gestorben wären , invalide geworden sein wurden , ist w^ der Kleinheit der Brfiche to und y allerdings nur klein; nidi' desto weniger hat sie zur Folge, dass die vorstehende Rechs^i nur zu einer oberflächlichen Annihening führt.

mfi sueeäMiiv einireienden und auuckeidenden Mii0ii€dern. 91

Die richtige AoflfiBong iat ip der Gleicliung (17) enthalten, in reicher man 6=0 and e=:ay xa aetaen hat. Dies giebt:

(62) o' = a(l-tc)(H-J/[l-fo]).

mIct mit demselben Grade von Annäherung, welcher sich oben als ausreichend gezeigt hat,

(63) a' = a(l-fD)(l-y[l+'|]).

Zweites Beispiel. Von unverheiratheten MSdchen schei- det durch Heirath im Laufe des Jahres eine Anzahl aus. Es sei tr irgend ein Alter der Bestand a im Anfange des Jahres, die Wibscheinlichlceit w, im Laufe des Jahres zu sterben, und die Wakseheinlichkeit y, im Laufe des Jahres zu heirathen, gege- ben. Mao sacht den Bestand =a' der Unverheiratheten am Schlosse des Jahi^s.

Dieser FM liegt ebenso wie der vorige und ist gleichfalls lach der Gleichung (0^ sa behandeln. Auf Grund dieser Glei- bong ist die hier felmide Tabelle berechnet

Ib dieser Tabelle sind die Columnen 2. und 6. aus Brune*s WertalitStstafel des weiblichen Geschlechts (Bearlieitang von 1847) inddieColumneS. aus der Berliner Borsenzeitung vom 17. April 1862, Abendausgabe, entnommen. Die Columne 4. stellt die successiven Berthe von a und a' dar, nach der obigen Formel berechnet, und ie zeigt demnach, irie eine Zahl von 10000 unverheiratheten GjShrigen Mädchen durch Heirathen und Todesfälle von Jahr au akr sich vermindert. . Die Columne 5. enthält die Differenzen der Sahlen in 6. und 4. In Columne 7. finden sich für jedes Jahr die Verthe von c^uay. Endlich sind die Zahlen der Columne 8. da- loreh entstanden, dass, für jedes Alter, die Summe der Heira- binica in 7., von diesem bis zum hrichster\ Alter, durch die }iTerheiratheten in 4. dividirt wurde. Die Gestorbenen sind des laumes wegen weggelassen ; sie können in 4. und 5. leicht mit tficksicht auf 7. nachgetragen werden.

Aus dieser Tabelle geht hervor, dass die grusste Zahl Hei- «theo von Mädchen im 248ten Lebensjahre geschlossen wird, and iie grusste Zahl verheiratheter Frauen im 40sten Lebensjahre steht. Die grusste Wahrscheinlichkeit, binnen Jahresfrist zu heirathen, ladet im 27sten Lebensjahre statt und beträgt etwas Über 10 Pro- eent, während merkwürdiger Weise zugleich die Wahrscheinlich - Ut, binnen Jahresfrist zu sterben, ihren kleinsten Werth erreicht; ligegen die grusste Wahrscheinlichkeit, Oberhaupt zu heirathen, Uet sieh schon im Alter von 20 Jahren und beträgt 76 Procent.

02

Witiiiein: Die Mortalitäi in Ceselisckaflen etc.

Diese letzte WahrscheiDlichkeit i^inkt mit dem Alter von 33 Jal ren unter den Werth i, d. h. von hier an ist die Wahrscbeinlieli keit, nicht zu heirathen, grösser als die, zu heirathen. Hierf&ig also die «»alte Jungfer" an» die auf diese Weise matbematiscl streng zu deGniren ist.

Helratlifl- Tabelle des weiblichen Geaelileelit«.

1.	2. Wahr-	3. Wohr-	4.	5.	6.	7 1	8.
Alter. '	icheioUch- keit.	icheinlich- keit.	Lebende.		Hei- rathende im Laufe des Jahrs.	Wahr ■cheiolicii-
	binnen	binnen				keit, abtr-
Jahre.	Jahrot- fritt ca	Jahres- frict za	Ünver- heira-	Ver- heira-	Zniain-	haapC H heiralhcL
1	fftnrhen.	heirathen.	thcte.	thcte.	men.
IQ	0.0162	0,013 '	10000	0	10000	130	0,737
IT	0,0159	0,019 ■	9709	129	9838	184	0,74«
18	0,0154	0,026	93T2	310	9682	244	0,753
19	0,0148	0,037	8986	647	9533	332	0,758
20	0.0141	0,051	8523	869	9892	435	0.761
21	0.0134	0.066	7972	1288	«VO	5261	0,759
82	0,0128	0,080	7342	1794	9186	587	0,752
23	0.0123	0.090	6665	2354	9019	600	0,740
24	0,0119	0,095	:>987	2921	890B	569	0,721
25	0.0116	0,099	5350	3452	8802	630	0,701
26	0,0115	0,103	4762	3938	8700	490	0,600
27	0.0115	0,103	4219	4381	8600	435	0,651
28	0,0116	0.102	3739	4762	8601	381	0,618
29	0,0117	0.095	3316	5086	8402	816	0,582
30	0,0117	0.082	2964 2688	5310	8^4	243	0.545
31	O.OllH	0,008	5519	8207	183	0,5IO
32	0,01 18	0,061	2474	5636	8110	151	0,400
33	0,0120	0,0.')8	2295	5719	8014	133	0,451
34	0,0120	0,057	2135	5783	7918	122	0.4S4
35	0.0120	o,o:>3	1989	5834 5»tt9	7H23	105	0,394
36	0,0120	o,o:>o	1860	7729	93	0,861
8T	0.0122	0.049	1745	5891	7636	86	ojte
36	0.0122	0,048	1639	5904	7.543	79	0,801
39	0.0121	0,046	1541	5910	7451	71	0,272
40	0.0120	0.046 0,047	1152	5909	7361	67	0.241
41	0,0118	1368	5905	7273	64	0,207
42	0,0118	0,043	1288	5899	7187	55	0,170
43	0,0118	0,035	1218	5884	7102	43	0,134
44	0.0120	0,026	1161	5857	7018	30	0,104
45	0,0128	0.020	1117	5817	6934	29	0,OB1
46	0,0127	0.016	1081	5768	6849	17	0,068
47	0,0130	0,014	1050	6712	6762	15	0,048
48	0,0135	0,013	1022	6652	6674	13	0,036
49	0,0140	0,011	995	5589	6584	11	0,083
50	0,0146	0,012	970	6522	6492	12	0,018
tl	0,0163	0	944	6453	6397	0	o

1 Grebe: Leber das Prismmioia. 03

in

\

\1.

Ueber das Prismatoid.

Von

Herrn Doctor £. FF. Grehcj

R«ctor der Realschule zu Cacael.

Wittstein erklärt das vod ihm in die elemeDtare Stereome- trie eingeführte Prismatoid als ein von z^vei parallelen Poly- goDBD als Grundflächen und von Dreiecken oder Vierecken, welche allemal eine Seite der einen Grundfläche mit einer Ecke oder parallelen Seite der andern Grundfläche verbinden, als Seiten- iäcben begrenztes Polyeder. Anhangsweise rechnet er zu den Prismatoiden auch diejenigen Polyeder, bei welchen aus einer Gmndfläche oder aus beiden eine blosse Kante geworden ist. ESoe Pyramide ist somit auch ein dem Prismatoid sehr nahe ver- waidter Körper, indem sie aus demselben entsteht, sobald eine der- beiden Grundflächen zu cioem Punkt wird. Es mOcbte sich (hher in mancher Beziehung empfehlen, die Pyramide ebenfalls XQ den Prismatoiden zu rechnen. Thun wir dieses, so ergibt sich Bachstehende Definition. Ein Prismatoid ist ein von lauter ebenen Figuren begrenzter zwischen zwei, seine sämmllichen Ecken auf- nehmenden parallelen Ebenen liegender Körper. Der Abstand dieier parallelen Ebenen heisst immer die Hohe des Prismatoids. Liegt in einer Ebene nur eine Ecke, so haben wir die Pyramide. Li^en in beiden Ebenen zwei Ecken, so haben wir ein Tetraeder, welches in der Stellung, die es hier hat, wo nämlich seine Hohe fcr kleinste Abstand zweier Kanten ist, und wegen der Wichtig - kit, die ein so aufgefasster Kurper in der Lehre von dem Pris- ^toid besitst, einen besondern Namen zu erbalten verdient. Ich

I

}

94 Grebi: Veber das Prismmlüid,

schlage den Namen Dispheniam (Doppelkeil) vor. Liegen fe ner in einer Ebene zwei Ecken, in der andern aber drei odi mehr, so entsteht ein Korper, der wohl nicht unpassend Spbe noid (keilförmiges Prismatoid) genannt werden mag. Das vo Wittstein vorzugsweise berücksichtigte Prismatoid begreift ali besondere Fälle in sich das Prisma, die abgeklirzte Pjmiiiide den Obelisk, das Antiprisma, den Antiobelisk.

Nach dieser Vorausschickung stellen wir den Satz auf, da« alle Prisraatoide Körper seien, die man durch Addition und SÄ tractSon aus Prismen und Pyramiden von derselben HSbe abloten kann. Die Pyramiden dürfen hierbei sowohl \n aufrechter ab n verkehrter Stellung in Betracht kommen* Bei dem Beweise n- seres Satzes betrachten wir zuerst ein Prismatoid mit volblk- digen Grundflächen. Wir erweitern die von den Seiten eiaer Grundfläche auslaufenden Seitenflächen bis zum Darchschnilte je zweier benachbarten. Haben die Grundflächen ungleiche SeHei- zahl, 80 wählen wir die von der geringeren Seitenzahl. Der eil- stehende Körper ist ein Obelisk von dieser Seitenzahl. Deikea wir die gewählte Grundfläche als die oberej so sind die zu de« ursprflnglichcn Prismatoid hinzukommenden Kurpertheile aufreckt stehende Pyramiden. Von unserem Obelisk schneiden wirno so oft es angeht verkehrt stehende Pyramiden weg, luden «ir Schnitte machen von einer Diagonale der oberen Grundfläche ttd einer der wegfallenden Ecke dieser gegenüberliegenden Ecke der unteren Grundfläche. Wir erhalten dann ein Prismatoid, dessen obere Grundfläche beiläufig nur halb so viele Seiten hat als die dei vr* sprunglichen. Indem wir nun das beschriebene Verfahren so oft als möglich fortsetzen, langen wir zuletzt bei einer abgekflnteD dreiseitigen Pyramide an. Nehmen wir von dieser die verkcbt stehende Pyramide zwischen der oberen Grundfläche und eiM Ecke der unteren weg, so bleibt uns ein Sphenoid mit dreiseifigei Grundfläche. Wir fahren daher in unserer Beweisfifihning ail der Betrachtung des Sphenoids im Allgemeinen fort. Bei einen solchen Körper endigen die von der die obere Grundfläche rep tretenden Kante auslaufenden Seitenflächen in der untern Grand- flache entweder mit einem Punkte oder einer Seitenlinie. Wie dem auch sei, jedesfalls nehmen wir in jeder der genannten bei- den Seitenflächen einen mit der untern Grundfläche geroefaieehift- lichen Punkt an und verbinden diese Punkte durch eine gerade Linie, von welcher wir denn nach den beiden Endpunkten dei oberen Kante Schnitte führen. Das Spenoid wird liierdarch i^ zwei aufrecht stehende Pyramiden und ein Dispheniom zerlegt Ist jedoch die untere Kante des Diapheniums eine Seitenlinie d^ friiheren untern Grundfläche, so erhalten wir ausser dem Dispb^

Grebe: Ceber dai PiitmaUrtd. 95

im nur eine aufrecht stehende Pyramide. Uaaer Bewein wird endigt Mem, weon noch geieigt ist, das« alle Disphenien als mnen und Differenzen von Prismen und Pyramiden derselben 5lie gelten dürfen. Um dieses zu zeigen, fassen wir irgend eine alte des Disphenhims, welche eine obere Ecke desselben mit iDer unteren TCrbindet, ins Auge und legen mit ihr dorcb die eidan noch übrigen Ecken des Kurpcrs Parallelen. Werden Ehe- tt durch je zwei dieser Parallelen gelegt, so begrenzen diesel- CD in Verbindung mit den die Hube des Dispheniums zwischen ich fassenden parallelen Ebenen ein Prisma, welches ausser dem KqiheDium noeh aus einer aufrechten und einer verkehrten Py- •mide besteht

Nachdem so der fiber die Prismatoide aufgestellte Satz voll- itiodig erwiesen ist, wird weiter klar, dass, wenn es gelingt die nbaltsberechDung eines Prismas und einer Pyramide durch die- lelbe Formel zu bewirken, In welcher die Huhe ein Factor ist, Summen und Differenzen der mit gewissen Coeßicienten zu ver- leheDdefo Grundflächen und c{iesen parallelen Durchschnitte aber ler andere Factor, wobei eine Grundfläche der Pyramiden =0 »1 nehmen sein wfirde, und wobei es ausserdem noch einerlei »in Dusste, ob man die Pyramiden als aufrecht oder als verkehrt itehend denkt, eine solche Formel sofort aucb zur Inhaltsberecb- tRg eines Prismatoids geschickt sein müsse. Formeln dieser krt giebt es aber, wie alsbald erhellen wird, unzählig viele; es aodelt sich nur darum die einfachsten auszulesen. Da drängt ich nun natürlich zunächst die Frage auf, ob nicht etwa ein ein- iger Schnitt in der richtigen Hohe gemacht schon ohne die Grund- leben ausreichend sein könne. Ein solcher Schnitt muss wegen es Prismas den CoefScienten 1 haben. Nun lässt sich allerdings ■dl bei der Pyramide ein Schnitt finden, der einfach mit der iGhe multiplicirt den Inhalt der Pyramide gibt; es ist der, wel- ker die Hube in dem Verbältniss 1-f V3:2, das kleinere 8tflck ich unten genommen, theilt. Da ein solcher indessen nicht durch ie Mitte der H5he geht, so passt er nicht zugleich auf verkehrt lebende Pyramiden. Weiss man daher von Prismatoiden, dass iesich aus Prismen und nur aufrecht stehenden Pyramiden durch Addition und Subtraction bilden lassen, so kann man ihren K(ir- «rinhalt allerdings .dadurch finden, dass man die HChe derselben lit der bezeichneten Durchschnittsfläche multiplicirt. Prismatoide lieier Art gibt es auch ; man erhält solche zum Beispiel, wenn Ua bei einem gewöhnlichen Prisma Schnitte von Ecken der Aeren Grundfläche nach passenden Diagonalen oder anderen Li- litD der unteren Grundfläche ffihrt. Umgekehrt Icann man aber Itttos, dass eine Durchschnittsfl&chej welche die HOhe eines

96 Greke: öeber das Prismatoid,

Prismatoids in dem oben angegebenen Verhiltniss theilt, mit letzterer multiplicirt, den anderweitig bekannten Kurperinhalt nicht liefert, den Schluss ziehen, dass sich das vorliegende Prisma- toid auf iKeinerlei Weise aus Prismen und bloss aufrecht stehen* den Pyramiden durch Addition und Subtraction bilden lasse, dass vielmehr auch verkehrt stehende Pyramiden mitwirken mfissen.

Zwei Schnitte in gleichen Abständen von der Mitte der Hulie genügen jedoch nebst letzterer auch ohne die Grundflächen snr Berechnung eines jeden Prismatoides. Die CoefBcienten dersel- ben müssen gleich sein, damit die Umdrehung des Korpers keine Störung verursache, und folglich des Prismas wegen jeder =i. Nehmen wir nun an, die Schnitte durch die Pyramiden seien in den Hohen h{\ — x) und AC^-f ^) gemacht» so haben wir die Gleichung:

aus welcher sich x^=W\ ergibt. Dass die beiden Grundflächen neben der in allen Fällen als Factor beizubehaltenden Hohe nicht genügen, folgt daraus, dass der Werth x = i mit der eben auf- gestellten Gleichung unverträglich ist.

Will man aber, um das Prismatoid P zu berechnen, die bei- den Grundflächen A und B nebst dem Durchschnitte C in der Mitte der Hube anwenden und

setzen, so hat man wegen des Prismas 2a4-/?==l und wegen der Pyramiden a-f ii3 = i« Hieraus ergibt sich a = o-, ß=\» wie bereits von Wittstein auf anderem Wege gefunden worden Ist

Berücksichtigt man ausser den beiden Grundflächen A and B noch zwei Schnitte C und jD, so dass jede dieser vier Figaren von der nächsten um \ der Hube entfernt ist, so hat man

PzzzhiaA^ßC^rßD+aB),

ferner des Prismas wegen 2« -f 2/? = 1 und der Pyramiden wegen a-fl/S-f ij3s=i, woraus a = i, /3=i folgt.

Wollte man in der Gleichung

P=ih{aA'{rßC'\^ßD'\^ctB)

Cund D Schnitte in den Hohen h{\^x) und A(4-f«) bedeuten lassen und zugleich 0 = /} = ^ setzen, so hätte man:

I

Grebe: üeöer da» PrUmaMd. 97

imi» sich X s: V — tV ergeben würde. Eine solche Bedingung irt demnach nicht lu befriedigen.

Setit man aber

wo £ einen Schnitt durch die HItte der Höhe bedeuten soll» und I Mimmi a^ßzs:^, so ist

Soll die Berechnung des Prismatoids durch Benutzung von Her Schnitten mit gleichen CoelBcienten in den Höhen A(i=F^) nd k(iTy) erfolgen^ so hat man

Bei fünf Schnitten mit gleichen Coeflficienten erhält man die Bedingnngsgleichnng

Die Annahme von sechs Schnitten mit gleichen Coefßcienten wfirde die Bedingungsgleichnng

rwfinrn. ^

Man übersieht leicht, dass Je grösser man die Anzahl der SdiptttOy die Grundflftchen auch als solche betrachtend, nimmt desto mehr willkührlich aufgestellte Bedingungen hinsichtlich der Coslleienten und der Abstände der Schnitte befriedigt werden kunnen, und dass unser Gegenstand geeignet ist, eine Menge in- teressanter Aufgaben zur Lehre von den unbestimmten Gleichun- gen des ersten nnd zweiten Grades zu liefern.

•. ■ > • •

Theil XXXn.

98 Grunert: JDeUr die ZerUgung der Function

7.*

Ueber die Zerlegung der Fanction in zwei lineare Factoren.

Von

dem Herausgeber.

Die Zerlegung der Function

na:* + bxy + cy*+da: + ey + f

in zwei Factoren des ersten Grades oder swel sogenannte liseai Factoren, welche fiSr viele Untersuchungen von grosser Wichtig keit ist^ ist nach meiner Meinung noch nicht mit solcher Allg( meinheit und Schärfe^ namentlich noch nicht mit so vollstftndig« Berücksichtigung aller möglichen Fälle behandelt worden« wie < wünschenswerth ist, weshalb ich im Folgenden eine genftgende Behandlung dieses Gegenstandes zu geben versuchen werde.

Wenn die Gleichung

1)

also die Gleichung ■

2) ax^-i-öxy + cy^-i-dx-i- ey+f

identisch erfttllt sein soll, so mflssen die Gleichungen

3). . . \

{ d^rp' + pr'f es^rq' + qr', f^rr'

crfoUt sein. Nimmt man aber diese secha Glelehangen ala erfüllt

10, 80 laaaen aich daraus gewisse Glelcbungfea s wischen den Coef-

üdenten a^ b, e^ d, e, f ableiten, welche also als Bedingnogs-

{^ichangen zu betrachten sein werden , denen die Coefficienten

ithtCfdf e,f nothwendig genfigen mfissen^ wenn es ilberhaopt

■oglicfa sein soll, die Grossen p, g, r; p' , g'^ r' bo sa bestim-

Mo, dass die Glelchnngen 3) erfüllt werden; die Gleichung 1)

ider2) sich also identisch erfüllt zeigt. Diese Bedingnngsglei-

ckmgen woUeo wir daher jetzt zunächst aus den Gleichungen 3)

lUeiteD.

Ad8 den beiden Gleichungen

d=srp' +pr', e=zrg' + gr'

»rgiebt sich sogleich :

dg-'-ep^rigp'—pg'), ep'-dg'= r' (gp' -pg") ;

iliodarch Multipiication :

idg-epHep'^dg') = rr' (gp' -pg')\

■d folglich durch Auflösung des Products auf der linken Seite:

vMns sich wegen der Gleichungen

^—PP'> bssgp'+pg', c^gg*, f=vT' die Gleichung

Me — a€* - cd» = f(gp' — py')» ergiebt. Nun ist aber:

^ igp' -pq')^ = (gp' + pgT- ^pp'gg' ,

also wegen der TorsteheDden Gleichungen:

folglich nacU*' dem Obigen : ' r^^.

4) bde—iu*—ed*={b*^MSif

1*

100 Grunert: üektr dU Zeriepung der Fwtetton

oder: 5) 6ifc = ae* + (6«— 4iM?)/^+cd*.

Aas dieser Gleicbong lassen sich andere ableiten.

Es Ist nämlich, wie man darch einfache Multiplication s gleich übersieht:

(6«— 4ac) (iP-W) = 6«d«— 4acrf«— 4ii/(6«— 4ac), (/?- Aae) (e*— 4c/) =*•«« ---lact^-Aefitß — 4ac);

also nach 4):

(6« — 4ac) (iP - 4a/) = 6«iP — iabde + 4iiV, (6* — iae) (e* — 4c/') = 6V — 46ci{e + 4c«rf« ; folglich offenbar:

( (6*— 4ac)(d«— 4a/)=:(Ärf-2aif)«, 6) . . . . }

f (6* — 4ac) (c« - 4c/) = (6c — 2cd)*.

Hieraus folgt:

(6«— 4iic) (d^-^iaf) (c«- 4c/)=(c«— 4c/') (M— 2<ic)«. (6« - 4ac) {d^—Aaf) (e^^Acf) = {d^-Aaf) (6c— 2crf)«;

also:

7). . . (<P— 40(6c—2crf)« = (««— 4c/)(6d— 2a«)«

Alle diese tileichnngen zwischen den Coefficienten a, 6, c» d, c, werden wir nnn im Folgenden als erfüllt voraussetzen.

Wenn die Gleichung

(6»-.4ac)(rf«— 4a/) = (M— 2ae)*

erfSlIt Ist oder als erfSlIt vorausgesetzt wird, so ist, weil

(6*— 4ac) (iP- 4a/) =6y«— 4aciP— 4a/'(6«— 4ac) , {bd^ 2ae)s = 6\i*— 4a6iic + 4i«V

ist, olmbar: |

ocrf* + af(jt^ — 4ac) = oMc — aM, also: jj^

^ a6rfc = alae*+(6«— 4ac)/'+crf«J,

und folglich, wenn #^lri|Bht verschwindet, unter der gemacht« Vofsmsitirtig: ' ^

•-. • •

Öde = ae* + (6«— 4«c)/'+ ccP. Wenn die Gleichung -.^

(6*— 4iic) (e«— 4c/) = (6e— 2c«f)* erfüllt ist, oder als erffillt vorausgesetzt wird; so ist, weil

(*•— 4ac) (e*— 4c/) = 6V— 4acs* — 4c/'(6*-4iic), (6« - 2cd)* = ft V— Uede + 4cM« ist, offenbar:

ae^ + efiiß — 4ae) = bcde — c%P,

6ciis=: c{ae* + (ä*— 4iic)/'+ ciPl,

also:

isd folglich, wenn e nicht verschwindet, unter der gemachten Voraussetzung :

bde=a^+ (6*-^4«c)/'+ ccP.

Wenn also a nicht verschwindet, so kann man, wenn die Gleicbong

(*•- 4ae)(iP- 4«/) = (M-2iie)«

erftllt Ist, immer schliessen, dass auch die Gleichung

bde = ae* + (b*'-'iac)f+ cd^ erfaut ist.

Wenn c nicht verschwindet, so kann man, wenn die Gleichung

(6*— 4«c) (e*— 4c/) := (6«— 2crf)«

erfflK ist, immer schliessen, dass auch die Gleichung

bde = ae* + (4»— 4ac)/'+ ed* erftllt ist

Ffir 0 = 0 geht die Gleichung

(6* -4«c) (d^'-iaf) = (bd—2ae)^ identische Gleichung

; nnd für c = 0 geht die Gleichung ^.

(4»-.4ac) («•— 4c/^) = (Ae-iwl)« Ae identische Gleichung

■ft

«.

• •- - - » i - . ? . /"• ••: ^

fiber.

%> *

Aus den drei Gleicbungen folgt :

also:

I ep^ -bpq +a^«=0,

Aus den drei Gleichungen

a=pp', d^=irp'+pr', f^rr* folgt:

ar* — dpr + fp*=i f^pp' — pr(rp' -^pr') +phT' ,

ar'«— d/>V + /5p'» = r>p' - JtiV (rp' +pr') +p'Vr' ;

also:

( Ol*— dpr +fti^ =0.

9)

Aus den drei Gleichungen

c^qq's e==rq' + qr', f^^rr' folgt:

er'« — 6^'r' + Z'^'* = r'^qq' — 7'r' (r^' + qr') + q'hr' ;

also:

Icfl -^eqr +/o» =0,

^ m.

Wenn nun a nidit verschwindet^ so haben wir zur Besti mung Ton

•#

^t

«*■

ax^+äwp+ep^i-äX't'ep+f in %»et Umare Faetoren. lOS

-j ^ and -, -7 P P P P'

ich 8) uDd 9) die folgimden Gleich^ieD:

.P / ^ p deo beiden ersten Gletchongen folgt:

eil nun aber nach dem Obigen

Id iniiss» 80 mos« man offenbar mit Beziehung der oberen nfid iteren Zeichen auf einander setzen :

**) • p— 2a- ' p'"" 2a

Ans den beiden letsten der vier obigen Crleichangen folgt:

r _d±Vd^—iaf r^ d±\/ d^^Aaf, p"" 2a ' p'"" 2a '

»il aber bekanntlich

r 1^ ,^ "^ _ /"

10 iDii0s> so moss man offenbar mit Beziehung der oberen und teren Zeichen auf einander setzen:

Id I. baben jrir die Gleichungen

4'>

* . ■

J9^

v^y I

I •

^

104 eruneri: üeäer äie Zerl^ung der Fumtiau

gefunden, aus denen sich sogleich

ergiebt.

Setzt man nun mit Besiehung der oberen und unteren Zeic in den vier folgenden Gleichungen auf einander :

p"" 2a ' p'"" 2a

so ist:

folglich :

o oder:

7 ^ Vf— 4ac

r /? _ gr'x _ d±V^=^ V6«-4gc PVP PV""'*' 2 «

^*P (« - ^)= V 6«-4ac. Vd«-W± rfV*«— 4ac;

ferner ist:

,y _6d— 2flei:<IV 6«— 4flc

oder:

2a(rf? - e)=M-2au±rfVÄ»-4iic, und folglich» weil nach dem Obigen

ist:

V»»-4«.V«l«-4«/'=M_Ü

ax^+^ZMr^ep^+äX't'ep'i-f in %mei iineare Factoren, 105

Nach 6) ist bekaontlicb :

(Ji— iac) (d^-'Aaf) = {bd - 2a«)« i oder

(4«c— 6«) (4a f^ iP) = (M - 2««)«,

und wenn also bd — ^ae nicht versch windet, so haben b^ — Aac Qod (2* — 4k;/ gleiche Vorzeichen. Sind nun 6* — 4ac und d^ — Aaf beide positiv » so kann die Gleichung

V 6«— 4ac. V cP— 4ii/'= 6<2— 2ae *

nur dann ezlstlren, wenn bd — 2ae positiv ist. Sind dagegen 6*— 4ac und d^-^iaf beide negativ, so kann die Gleichung

V6«-4ac.V<P-W=6rf-2ae, n&mlich die Gleichung

V4IIC— 6«.V^.V^4a/'-iP.V^:n = 6rf-2a^,

oder

— V^4öc— 6*.V4ii/'-.rf« = 6rf-2a«,

oder

Dor dann existiren, wenn 6<2— 2a« negativ ist. Die vier Glel- ehongen, von denen wir ausgingen, sind also, unter der Voraus- Mtzong, dass bd — 2a« nicht verschwindet, nur dann zulässig, vreon die Grössen

bd'-2ae, b^-'iac, d^^-^iaf

gleiche Vorseichen haben.

Setzt man mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen in den vier folgenden Gleichungen auf einander:

y_6db V6*-4ac q^ ^bjVW^^ p"' 2a ' p'- 2a

so ist:

folglich :

p 2a ' »'"" 2a . '

q g' _ , V"6«— 4ac

)V

r

106 Grunert: Oeber die Zerlegung der Funetto»

^P\P P'J 2 ' a

oder :

ferner ist:

,o 6<e— 2iie±ifV6*— 4ac

oder:

2a(rf5'_«)=:6rf_2öedbrfV6*— 4iic,

und folglich, weil nach dem Obigen

ist:

— V6*— 4ac.V^<P-4a/'±rfV^6»— 4ac=6rf— 2ae±rfV6«— 4ac,

also:

V6*— 4ac. V^d»-4i]/= - (6d -2ae).

Nach 6) ist bekanntlich :

(6*— 4ac) (d^-^iaf) = (6rf— 2ac)« oder

(4ac— 6«) (4a/'- tP) = (6d - 2ae)«,

und wenn also bd — 2ae nicht verschwindet, so haben 6* — 4ac und d^ — iaf gleiche Vorzeichen. Sind nun 6* — 4ac und cP — 4a f beide positiv, so kann die Gleichung

V6*-4ac.Vrf*— 4flf= — (Äd— 2«e)

nur dann existiren, wenn bd'^iae negativ ist« Sind dagegen 6*— .4ac und <P — iaf beide negativ, so kann die Gleichung

V 6*— 4oc. V^iP— 4a/'= — (6rf- 2a«) , nSmIich die Gleichung

VT5?=^6« . V^ . y/Aaf-d^. Sf^l = - (ftd— 2ae) , oder ^

i>

iMr*-f-Ajiy-|-f^^-f ^+^4-/ te **^ iineare frieren. 107 oder

nur dann ezistiren, wenn bd--2ae positiv ist. Die vier Gleichun- gen, von denen wir aasgingen » sind also, unter der Voraassetiung, dass bd — 2ae nicht verschwindet» nur dann zulässig, wenn die Glossen

bd-^^ae, 6*-^4ac, d^'—iaf

Dfcht sämmtlich gleiche Vorzeichen haben.

Wenn also bd — 2ae nicht verschwindet, so mos« man mit BeziebuDg der oberen und unteren Vorzeichen auf einander

13). .

y_6J:V>~4flc g' _b^ Vb^^iac ,

oder

13*)..

p"" 2a * p'"" 2a

q 6i:Vg^4ac y^ 6TV6*— 4flc.

p"" 2a ' p'"" 2a

r_dTV^4^ 1^ rfJzVrf»— 40/"

p"^ 2a ' P'"" 2a

setEeD, jenachdem die Grössen

ft<;— 2a6, 6«— 4ac, rf*-4a/'

sämmtlich gleiche Vorzeichen oder nicht sämmttich gleiche Vor- zeichen haben.

Wenn bd — 2ae=0 ist, somuss wegen der bekannten Gleichung

(6* — 4ac) (d* — 4a/) = (öd - 2ae)»

immer mindestens eine der beiden Grössen

6* — 4ac und rf*— 40/"

verschwinden. Wenn nun 6^ — 4ac=i0 ist, so ist nach dem Obigen :

p - 2a' p' '~2a* p"^ 2a ' p'"" 2a '

106 Grunert: üeber die Zerie§9m§ der PuneU&n

und weon d^ — AafziiQ ist, so ist:

15) . . < '^ ^ ^

p"-2a' p'"-5i'

also in keinem dieser beiden Fälle noch eine Zweideutigkeii banden.

Der Fall, wenn ä* — 4ac = 0 und €P—iaf=0 ist, er sieb hiermit von selbst.

Man kann noch andere Ausdrücke fiSr

r r^

finden. Nach dem Obigen ist nämlich:

P P\P PJ

P P \P P /

weil nun, wie wir schon wissen:

q 6J:V6»~4iic y^ _6T V6*— 4flc ist, 80 Ist:

und

p 2a

2;^_ M— 2agT<<V&*~4ac

P P also nach dem Vorhergehenden:

r ./.^= — 3— . 6rf— 2a«±rf V^^^^^^4ac -V6«-4ac=± ^ .

r ^rrm — r- -^M— 2a« ^dV^b^—Aac ^VP^4ac=T 1^ ;

folglidi» wenn

ist:

ax^-^kef+ev^-t-dx+^p+f in %wH Hneare Faetoren. 109

6>-4ac^0

r 6rf-2ge±dV6»~4flc

P 2ayrw^i^

P' ^aVW^ae

lao hat also die vier Formeln :

p 2a * P' 2a

I r 6d— 2fleJ:rfV6^-4flc

y bd — 2iie T rf V 6*— 4ac .

denen die oberen und unteren Zeichen sich auf einander be- eben, die aber nur unter der Voraussetzung

6«-4ae^0

Itig sind.

Wenn 6*— 4ac = 0 ist, hat man die keine Zweideutigkeit senden Formeln 14) anzuwenden.

IV.

Wenn c nicht verschwindet» so haben wir zur Bestimmung von

P P' A ^ ^

9 9 9 9

1 8) und 10) die folgenden Gleichungen:

\q/ c q^ € ' \qy C q' ' c

\qj e q^ e \q'J c q'^c

HO eruneri: [Jeder die ZerUgww der PtmeM^n

Aas den beiden ersten Grleichungen folgt:

7*" 2c ' }'"" 2c

weil nun aber nach dem Obigen

sein muss, so rooss man offenbar mit Beziehung der oberen and unteren Zeichen auf einander setzen :

p_b±Vb^'-4ac p' b^^b^^iac 17) ... ^— 2c ' ^ "^ 2c ' '

Aus den beiden letzten der vier obigen Gleichungen folgt:

r ci:Vc«— 4c/' r^_cJbVe^ — ^A 7"~ 2c ' 9'7" 2c

weil aber bekanntlich

r r' rK __ /"

sein muss, t^o muss man offenbar mit Beziehung der oberen fl|^ unteren Zeichen auf einander setzen: ■

,^. r _ c-fcVe^— 4c/ r' _ cTV^*— ^c/"

*^^ • ^-- 2^~ ' 9'- & •

In 1. haben wir die Gleichungen

dq — ep=:r(gp'-^p^, ep' —dg'z^r' (qp' -^pq') gefunden, aus denen sich sogleich

9 *» q\q' qj q\^ qj'

^-^-""^K^-qJ-'q'Kq'-q) ergiebt. fl^

Setzt man nun mit Beziehung der oberen und unteren Zri* eben in den vier folgenden Gleichungen lyuf einander:

9

so ist:

9 9 c

folglich :

^ (P' P\ T e±Ve^— ^/^ V 6>— 4flc

oder

ferner \%X\

, p_ — (&6— 2c€0TgV*'-^flc "^"^q— 2c

oder :

2c(rf— c^=— (6e— 2cd)TcV6«— 4ac,

and folglich, weil nach dem Obigen

2c(rf-c?)=2c»?:r«;^e)

9 9V9 9/

9 V9 9- ist:

_ V A«— 4ac. V e^-Xcf T « V 6*— 4ac=: - (6^-2crf) T e V6*^=4äc,

also :

V6*— 4ac . V c« - 4c7 = Äe — 2cd. Nach 6) ist bekanntlich:

(6«— 4ac) (c« - 4c/') = (6c — 2crf)*

oder

(4ac— 6«) (4c/— c«) = (6c - %d)*»

und vrenii also 6c — 2c€^ nicht verschwindet, so haben 6^ — 4ac

«^9— -4c/' gleiche Vorzeichen. Sind nun 6' — 4ac and c^ — 4c/' e positiv, so kann die Gleichung

V6»— 4«c.V^-4c/'=:*«— 2cd

112 Grunert: Oeber die Zeriepunp §er FwnOt&n

nur dann ezlstiren, wenn he — 2oi2 positiv ist Sind dagegen 6* — 4ar ond e* — \ef l>eide negativ, so kann die Gleichung

nämlich die Gleichong

oder

— V4ac— 6«. V4c/-«« = 6«— 2crf, oder

nur dann existiren, wenn 6e — 2cd[ negativ ist Die vier Glei* chungen, von denen wir ausgingen, sind also» unter der Voraus- setzung, dass ht — ^cd nicht verschwindet» nur dann sulissig, wenn die Grössen

6e— 2crf, 6«-4ac, e*— 4^/

gleiche Vorzeichen haben.

Setzt man mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen in den vier folgenden Gleichungen auf einander:

q" 2c ' 9'"" 5F •

r cTV^g*— 4c/ r^ gdbVg^^"4c/'. 9"" 2c ' 9'"" 2c '

so ist:

p' p -r VA*— -4ac

folglich :

oder :

femer ist: MBr

, p ^(6g— 2cd)TcV6«— 4<ic 9 2c

qg» I iiy'4'<»*+<fer+n^+^ im »mei lineare Factoren. HS

9u(il— «*)=— (6e— 2i?rf)T^V6«-4ac, nd foigiicb, weil nach dem Obigen

ist:

also:

Naeh 6) iat bekanntlich

(^— 4ae)(e«-4c/) = (6e— 2cd)* •der

(4ac— ««) (4c/— «•) = (6c— 2c<D«,

and wenn alao be — 2ed nicht verschwindet, so haben 6* — 4ac «■d c*-*— 4€|^ gleidw Voraeichen. Sind nnn 6*— 4€ic und i^^-Xcf beide positiv , so kann die Gleichung

V6«-4ac.Ve*— 4c7=:-(6«-2cd)

imr dann ezistiren, wenn 6c-- 2c<Z negativ ist. Sind dagegen ^ — 4ac and c*— 4c/ beide negativ, so kann die Gleichung

VTCZSSc. V6»-4c7 = - (6c— 2c€«) , die Gleichung

V^4ac— 6«.V^=^.V^4c/— AV^ä— (6c-2crf),

oder

oder

-.V4ac— 6*.V4c/— ^=5— (6c— Scrf), V4«c— 6«. V4c/— e« = 6c— 2crf,

vir dann exiatiren, wenn be — 2c€2 positiv ist. Die vier Gleichun- gen, von denen wir ausgingen, sind also, unter der Voraussetzung, 6c — 2ed nicht verschwindet, nur dann zulfissig, wenn die

6e— 2cd, 6* — 4ac, c* — 4c/ almmtlich gleiche Vorseichen haben.

TbeUXXJUa:. 8

4.

§

114 Brunert: Oeber die Z€rU§un$ äer FimeUm-

Wenn also be^^^icd nicht verschwindet» so rnnss man Beziehung der oberen und unteren Vorzeichen auf einander

W)

oder

19*) . .

^"" 2c '9'" 2c

p ftJ:V&*— 4ac p^_&TV^ — 4ac, 9"" 2c ' q'~ 2c

r e^Sfe^—ief r' ej-Ve<^4c/' 9"" 2c ' y'"~ 2c

setzen, jenachdem die Grössen

be — 2cd, 6* — 4ac, e'^^-icf

sämmtlich gleiche Vorzeichen oder nicht sämmtlich gleiche ^ zeichen haben.

Wenn 6c— 2cc{=0 Ist» so muss wegen der bekannten Gleich (b^—iac) (e^—Acf) = (6« — 2cd)* immer mindestens eine der beiden GrSssen

6*— 4ac und c* — icf verschwinden. Wenn nun 6*— 4ac=:0 ist» so ist nach dem Obig

e-A £l — A.

9 ■"2c' 9' ~2c*

20) . . <{ ^ ^ ^

9*^ 2c '9'"" 2c '

und wenn e* — 4c/*=0 ist» so ist:

p &JbV6^^4ac p^ _ 6TV>--4ac .

9"" 2c '9'"" 2c '

21) . . "^

r ^ r[^ c ,

9""2c' 9'""2c*

also in keinem dieser beiden Fälle noch eine Zweideutigkeit! banden. ^'•

Der Fall, wenn 6> — 4ac=:0 und c^ — 4c^=0 ist, erle« sich hiemit von selbst.

«?+*a9r+ar*+^+^+/ In M»ei Uneate fkeioren. 115

Mao kann Doch andere AoadrScke filr

f r'

findeo. Nach dem Obigen ist oämlicb:

9 9W 9/

9" 9W 9/

weil non, wie wir schon wissen:

q~ 2c ' 9'~ 2c

ist, ao ist;

d«e^=-

6e— 2cd±«V6«^4ac

g'^ 2c

e— - — tf= ■=

q' zc

und

also nach dem Vorhergehenden:

-V6«-4ac=± ^ >

^yrtß~iac=T ^ »

fol^ieb, wenn

ist:

6«-4ac^0

r fee— 2c<g±gV6>— 4ac

^ r' 6e— 2cdT«

J* 2cV6*-4«c

Man bat also die vier Fomela:

i;

HO Bruneri: Oe^er die Zeriefung der ifimeHäm

p _ ö±\r^^4ae p' bTVW^lae

^^•'U"* 2c^6«^::45i '

r^ _ 6e ^2cd T e V 6^ ~ 4ac , 9'" 2cV*«— 4ac

in denen die oberen Qod untereo Zeiehen sich aaf eioander be- ziehen, die aber nur unter der Voraossetzoog

6«-4ac^0 gältig sind.

Wenn 6^ — 4ac = 0 i^t, hat man die keine Zweideutigkeit^ lassenden Formeln 20) anzuwenden.

V.

Die im Vorhergehenden entwickelten Formeln reichen vOlligaos, wenn a und c nicht zugleich verschwinden. Verschwinden aber a und c beide , und hat also die Grösse

ax*+bxy+cy^+dx-i-ey + f die Form

bsg + dx-^^ey + f,

so wollen wir zuerst annehmen, dass b nicht verschwinde. Da wir nun, weil a und c beide verschwinden, die Gleichungen

pp'=0, gq'=0

haben, so kann rücksicbtiich der Grossen p, p'; q, q' nur ein» der vier folgenden Combinationen Statt finden:

p=0, ^=0; |;=0, q' = 0; p' = 0, ^=0; y=0, ^' = 0.

Wegen der Gleichung

wfirden aber ^e Combinationen p=0, ^ = 0 und p'=:0, q'zssQ anf 6 = 0 fahren, was der Voraussetzung widerstreitet. Also bkll- ben nur die Combinationen

p = 0, 9'=0 oder p'=0, ^=0.

ÄX«+*a?if+cy«+rfr+tfy-f/^ %wei lineare Faetaren. 117 Im ersten Falle hat man die Gleichungen :

aas deoeo sich

ergiebt flieraos folgt durch Hultiplication» wie es sein muss:

qp'^l^-^t^-^ b*

weil nämlich wegen der vorausgesetzten Gleichung.

bde = a^+ (V^^Aacyf-^ cd»

im Torllegenden Falle bde = b'^f, also de = bf ist. Im. zweiten Falle hat man die Gleichungen:

b^ptf , rf=pr', e=:r^, f=W\

ans denen sich

«rgiebt Hieraus folgt durch MultiplicatioD , wie es sein muss:

W _ de_bf_f

weil nämlich , wie oben , im Yorliegenden Falle de = bf ist. Wäre endlich zugleich

0 = 0, ft = 0, c = 0; 80 hätte die GrOsse

ax^\bxy\c%i^\dx\ey\f

<e Form

dx-^ey-^r f»

■od wäre also selbst eine lineare Functfoo, weshalb also natilr- lieb TOD einer Zerlegung dieser Function in zwei lineare Functio- nen nicht die Rede sein kann, und daher über diesen Fall nichts weiter zu sagen ist.

VI.

Man kann noch verschiedene andere Formeln und Relatio- neo finden^ woffiber das Folgende bemerkt werden mag.

118 erunert: Deöer die Zerlegung dir PunelUm

Aus den in 16) gefundenen Formeln:

r bd'-'2ae±d^6^ — Aae

r' bd'-2aeTdV^i^^^^iäc^

P'^^ 2aV6«— 4ac

in denen 6* — iac als nicht versch windend vorausgesetzt werde ist^ folgt:

(6d-2«e)-=± ^^V^^^ ' •

/nj 1 V»*' -r (W - 2ae)« T «^(6d— 2a«) V 6* — 4ac P . 2ttV6*— 4ac

also, weil

(bd - 2ac)« = (*«— 4ac) (£«•— 4a/)

= (cP— 4an V b^--iic. V 6«— 4ac • ist:

p 2tt '

26) {

(M-2ae) -,= ^^ .

Aus den in 22) gefundenen Formeln:

r be'-2cd±eVW^^:Jac

9"" 2cV6«— 4ac

r^_ 6g--2cifTeVft^-^gg. »'"''' 2cV^6«-4ac

in denen gleichfalls 6* — 4ac als nicht verschwindend Foraoagi setzt worden ist, folgt:

/r « ^ »• . (*«— 2cd)« ± g(6e— 2cd)V^ä«^^4^ ^q 2cV^Ä«— 4ac

.^ rt ^»•' ^ (6«— 2crf)«T«(&«— 2crf) V 6*-4to (6e-2c^^= T 2cV6*34äi '

also» weil

(Ae— *2c«0« = (*«— 4<ic) (e«— 4c/)

ax*+ia)r+e»*+dx+ep+/ in »wei ÜHeare Faeloren. 119

st:

!,- - .r e (be-2cd) ± (fi*-Aef) V^^Jüc {be - 2cd) - = ^ , , ,^ - j.r' ejbe -2cd) T (g*— 4c/0 VP^4oc {6e — 2cd) -;= 2^ .

Aas den aas 12) bekannten Formeln:

r _d±Vd^-4af i" _d^Vd*—Aaf p— 2a ' p'~ 2a

olgt durch Cmkebrnng:

p 2o p^ 2a

r~d±yfd^—Aaf' »^"rfT V"rf*-4a/

Jso, weoD man Zähler und Nenner respective mit

rfTVrf*^^^ und d±V<^-4ä7 maltiplicirt :

p 2o(rfTV^5*^4^ y^_ 2a {d± VW^^af) folglich :

^ • • r"" 2/ ' r'~" 2/

Aus den aus 18) bekannten Formeln :

9 "~ 2c ' 9' "■ 2c

folgt durch Cmkebrnng:

q %: ^ 2ic .

»•~e±V^e«— 4c/'' »''""«TV««— 4c/-' dso, wenn man im Zähler und Nenner respectlve mit

mltiplkirt:

2 _ 2c(cTVe*^^^l^ ?^ _ 2c(«J:V««-4c/) T~ Acf ' r* ~ icf '

folgiieh :

«h g_eTV^*^4c/ y'_«J:V««-4c/^

Eine weitere AnsfUhrnng dieses Gegenstande* ist nicht nSthig.

120 MUeetien.

Till.

M i 8 c e 1 1 e D.

Von dem Herantgebvr.

Weno

B = bV-^cd --aa', £ = ca' + ae', C=ce'^aa'-bb'; F=zab' + b^ ist, 80 Ist:

ABC ^ AB* - BE* -^ CF^ + 2DEF

= («• + ft* + c^ («'• + &'• + c*«) (aa'+M' + ci/) and

{A+B)(B+C)(C+A)'-2DEF=(A+B)F^+(B+C)D»-HC+A^.

(Carabridgo and Dublin matbematical Joomal. Nos. V. et VI. (November 1B46.) y. 886.)

Druck fe hier.

In der Abhandlung TU. XXXEL Nr. XXV. ist §. 11. (S. 274. und a MO.) zweimal gez&hlt. Man muBs S. 280. itnd 8. 281. etwa |. 11. und §.12. leyc tive in §. 12. und §. 13. umwandeln.

TU. XXXYI. S. 205. Z. It v. o. ist zu lesen „finden^ statt „fandea*

TU. XXXVm. S. 474. Z. 11. u. Z. 15. mnss es 15) ttatt 14) Mmm. ' ''

In den in diesem Hefte enthaltenen beiden AuDriUien von Eterm Brotav Dr. Wittstein in Hannover, No. I. und No. £[., sind folgende Fehler nb»^ richtigen : Auf 8. 1. Z. 5. y« u. ist in dem Worte „Cylinder ** das n hiasHh fftgen. — 8. 2. Z. 15. v. u., 8. 8. Z. 4. v. u. und Z. 9. v. u. ist ^tatt „Darob* nittsfläche** so setzen: „Durchschnittsfiftche.*' — 8. 12.2. SLt.a; W zu les. ^ydass*' statt „das.^ — 8. 13. Z. 16. v.o. statt ,,hann*' zu les. „kann.'

Berletttlffunii^« In der Abhandl. des Herrn Dr. Meyer TU. XXX.ViU. Nr. XX. 8. 244. Z. 14. u. 15. v.u. muss es nach mir gemachter ^Tisdrift fftttt' „wenn auch 2p '\- l eine Primzahl bedeutet" heissen: ,,wenn jp eine Primsabi 2/-|-l bedeutet." G.

Fehler io 8chruD*s siebenstelligen LogarithroentaMa«

S. Ausgabe von 1861.

No. 6. Taf. I. 8. 9. uirter P. P. zu 36S. Z. 8. statt 222,8 lies : 292,8. — In der ersten und in der imgarischen Ausgabe befindet sich die richtige ZaU 292,8.

Oeittnger: üeäer öeiUmmte InUfrait.

121

Ueber bestimmte Integrale.

Von

Herrn Dr. X. Oettingerj

firoiihenoglich Badinchem Hofrathe ond ordentlfcliem Proffittoi- der Mathematik an der UnWersität zn Frei bürg I. B.

I.

Die AosdrQcIce Igo: und \g(\-i-x) erzeugen durch ihre Ver- Kodong mit anderen Functionen von x eine besondere Gruppe von Integralen zwischen den Grenzen 0 und 1^ die eine be- Mdere Beachtung verdienen. Schon Euler hat sich mit denen to ersten Art in mehreren -Abhandlungen beschäftigt, die in sei- ■er Integral-Rechnung (aus d. Lat. fibersetzt von Salomon, vierter TU*) iQsammengestellt sind. £r bearbeitete sie mit dem ihm ligeiieD Scharfsinn bis zu der Grenze , welche durch den Stand fcr damaligen Wissenschaft gezogen war, denn er wiederholt an MhrertD Orten die Bemerkung, dass die hierher gehörigen Inte-

■nf yyiHientwickelbare Formeln** ffihren.

:-'Vpiter wurden sie von anderen bearbeitet, wie aus den Inte- lUtafeln von Bierens de Haan, Amsterdam 1858. Tab. 152 I* t zu ersehen ist. Ferner beschäftigte sich mit ihnen Legen dre ■ seinem Trait^ des fonct. elli^t. T. II. P. 365 u. ff., wo sie Star dem Namen der Eul er 'sehen Integrale aufgefiShrt sind. Der Fortschritt der Wissenschaft hat unterdessen manche Grenze entfernt, die frfiher bestand. Es dfirfle daher wohl gerechtfertigt erscheinen , diese Untersuchungen wiederholt aufzugreifen und weiter fortzuführen, und hiemit die aus dem Ausdruck lg(l + x) Mk ergebenden zu verbinden, Belebe bisher weniger beachtet wurden. Zu dem Ende nehmen wir zuerst die letzteren auf und lehen dann za den ersteren über. Hierbei wird es sachgemäss

TlieU XXXIX. 9

1

12:2 Oeitinffer: üeäßr besUmwUe Integrale,

sein 9 zuerst die Darstellung einiger Integrale vorauszuschicken, welche die Grundlage der ganzen Untersuchung bilden, und im Spätem hauptsächlich zur Anwendung kommen. Hierdurch wird die folgende Untersuchung wesentlich erleichtert und gefördert

§.2.

Entwickelt man den Ausdruck -ü—. — in eine Reihe und be-

1+1

riicksichtigt den dabei entstehenden Rest, so erhält man:

1)

J-— j — * — * --r» — » ....V— ;• -» v"^ rx,*

Diese Darstellung führt auf die Unterscheidung zwischen doer geraden und ungeraden Zahl. Man hat daher

2) l «-*■

3> ,

Diese Formen lassen sich leicht verallgemeinern und es eiit- " steht fBr 1 _. 1

4)

1 _ y* ag~* o'ar-» o«"a:-»*-> o . ^ , .

a+6*~ 6 6» ■•" 6» •+ 6*»f> "" 6*»l*(«+j«>*

Hierin kann a nnd 6 willkflrlich gewählt werden. Setzt man — t statt x in Nr. 1), so entsteht

«)

OetHnger: Otter beHtmmie imepraiei 12S

id die Unterscheidung zwiecbeo einer geraden und ungeraden M tun weg.

Im Folgenden werden Torngsweise die Gleichungen Nr. 2), 3) d 0) benutit werden, weil diese die einfachem sind und die Übertragung ins Allgemeine nach Nr. 4) und 6) leicht ist

Schreibt man nun as statt z in Nr. 2) und 3), verbindet erstere iifa^^Xf letztere mit fafl'^^x, integrirt zwischen den Gren- m 0 und x und ordnet nach den steigenden Potenzen von x, so hält man:

/

o

7)

1+F = "«(J + *)-<*-- 2 + 3 • • • • - äir> •

8)

*ar*«H-»3ar at* . x* . a;>»+x

2m -fl

pzx*»¥^x .„. ... »* X*

Hieraus ergibt sich (tir die Grenzen zwischen 0 und 1:

0

10)

i:l+« - *'+* 5 + 3 4+" -+«»+1

= - lg2+2?,«^»(-)' '^ Aas Nr. 6) entsteht auf diese Weise:

11)

j^ =_lg(l-*)-(x+ 2- + 3 + •• • r-^-x^i-xy.s^'^ .

f

In den Darstellungen 9)— 11) hat man für u allmälig die Werthe rischen den angezeigten Grenzen zu setzen*

Aus Nr. 9) und 10} leiten sich folgende Integrale ab :

9»

124 Oetttnger: Beter bettiPtmte Inugrale,

12)

/^^=-.g2+l,

0

I

l+i= 'g2-2'

0 0 0

J 1+^= -'82+00'

I

0

U. 8. W.

Die Werthe sämmtlicher Integrale sind positiv, wie sich leicht ^ folgert. Der Werth von Ig 2 ist zwischen zwei auf einander fol- gende Brüche eingeschlossen. i

Aus Nr. 4) und 5) ergeben sich folgende Formen :

13) i

t\rEi— 6*»+» ■•■ 2mÄ ~(SSP3)P+ vsr%

Vi

14) j

o+6a? •"- 6*»+» +(2;m^1)?~ 2»iÄ ^ •• +^iHT- ;

§.3.

I

Bringt man nun mit den in §• 2. erhaltenen Resultaten den 1 Ausdruck IgCl-f^) In Verbindung, so erbilt man nach der ge- wöhnlichen Methode:

OttUnper: Oeier ieUtaunte /nteftait. 125

1)

nod bleraua durch Einf&hniDg aas Nr. 7) §• 2. :

2)

Auf gleiche Weise eDtKteht durch IntegraüoD und EinfShrung an« Nr. 8) §.2.:

3)

O O

g^"H-i-f 1 1 /^ ^* £» ^am-i-ix

— 2iii+l *^*+'^^'"2m+lU""2 +3^-' +2SHhl/

Ffl* die Grauen xwischen 0 and 1 ergeben sich folgende Feimen :

4)

= i^«"-<->-'[

5)

o

2lg2 1 „. ... , ,1

Hierman erhält man folgende Integrale:

• . I

126 Otttinter: D«ter bestimmt« Metmie.

(S)

/*' Ig(l+ar)e«=*ilg2-l,

/l 1

/i 2 5

a:*lg(l+a?)aa:=3lg2-|g,

0 0 0

/ x^\g(l+x)Bx=^f

o

/i 2 319

Ä«lg (I +«)ÖÄr Ä ^ Ig2— ^gjQi

o

/i 533

^^lg(l+*)8«=^^»

u. s. w.

Verbindet man mit den ans Nr 4) und 5) alefa ableiten* und'in Nr. 6) angegebenen Ausdrficken der Reihe nach die Wei <>i ' ot, Os...., 80 erhält man folgende Darstellungen:

7) y -So*"-*«i^lg(l-Kr)8a:=-^o"^g^2lgi2

o

y ' ^o'-a-Ä-lg (I+«)ax= -Eo-gil^ 2lg2

Hierin hat man io dem Gliede links und dem ersten Gli rechts statt ü allmälig die Werthe zwischen den angegelie

e^ttinger: Otker deOtmmis /ntepraie, 127

GreDzen zu setaen. lo dem sweitaD Giiede rechts hat man für jeden bestimmten Wertb Ton u in dem eingeklammerten Aus*

drucke ^•(— )•*-'- allmlllg die Wertbe 1, 2, 3... |i zuschreiben.

Setzt man a^) = a, = a^ =:.. .^ 1, so geht Mr. 7) u. 8) Aber in

9)

/**T~^'«(H«)aar=-So--i2j;^lg2+i,«-(--)-J(-S,-(-)--*J).

10)

/»l— a*H-i 2 1 1

o

Werden aber die mit ungeraden Stellenzahlen versehenen a gatiF genommen and die « der Einheit gleich gesetzt, so erhält

11)

I

/i 1— ^s« ^ 2ltt2 1 I

12)

/ ' '-TT?-' '8 ^* + "^" = '^»" -^1 - -^'-^'^ <'^'"^->-' i-

A

Setzt man in 7) und 8) statt der a die Vorzahlen der Poten- wen des Binomiums (I — a^) oder, was dasselbe ist, vervielfacht

i

[- Mmo der Reibe nach die Integrale in Nr. 0) mit diesen Vorzahlen - — -^ vereinigt man die erhaltenen ReeaKate nach Angabe der Zei' , so leiten sich hieraus folgende Integrale ab:

13)

O

y \l - x)«lg(l+a:)8« =|lg2- ^,

129 O€Uin0er: OeUrdesUmmie Jniegrmle.

o

/i' ■"i''' ^''i- 82 ■ 1327

u. s. w.

Aus den Daistellungen Nr. 9) bis 12) leiteo sieb folgen tegrale ab:

14)

/ll -K« 3

^lg(l+a;)8«='2lg2-J.

o o

0

/»11-a:» ,.^ .. 46, „ 3739

ö

/»il-x«, ^, . ^ 46, „ 1123

o

a. 8. w»

16)

^lg(l+:r)3*==21g2-5,

o

J -I+i-'K<l+*)ö*=g«82-36' o

o

/»»l+£», ,-^ ^. 46,-6589 J l+^'8<*+*)3* = S'82-36ÖÖ'

o

/»U— ar« 46, „ 6959

0

U. 8. W.

Oeitin.ger: Veker betUmmu Iniepraie. Vi\\

\ 5-4.

Behandelt man aaf glaiche Weite das Integral /aH>^Mg(l— ar)8T.

io ist

1)

Dnrcb EinfiSbruog des Wertbes aus Nr. 11) §.2. entsteht

2)

1 , .«*.«»

and für die Grenxen iwischen 0 nnd 1

3)

J *— lg(l-*)ar = --(l+.2 + 3+....^=--- , 5J3 ^

A

Hierio iMdeatet C(l,%3...jn)*-^ die Somme der Producta der ,, VerbiadnBf;«« ohne Wiederbohngen an« den Elenenten \,%'4..,.m nr ■— 1 Cbaee. Hicnwa eribilt man folgende Integrale :'

t

1

		4)
•	l?(I-	-xllcx =	-1.
•	x\^a-	-XyCJr = .	3 ""4'
	^kl-	-jr/cjr=	11
/•	2«IC 1-	-4r,« =	^^^ "«!'

f*M*^1-xkM=-^

f

«V

130 Oeiiinger: Oeber öeHimmfe imegraie.

/i 353

761

J xng(l-ar)aar=— 224Ö' 6

U. 8. W.

Verbindet man auch hier die aus Mr. 3) fliessenden AiiadrQcke der Reihe nach mit Oo« ^> Of** und verfthrt wie in §. 3. ge- schah ^ao erhält man folgende Darstellungen:

»)

O

«)

-j3^ lg(l -xßx = - ^,--(5,--), o

7)

/>! l<~^'^'*"'|g(l-a:)8x= - A-r-)-«^(r.-^.

o Werden^ die Vorzahlen der Potenzen des Binomiums (1 -{-x) statt der a eingeführt ^ so erhält man folgende Integrale, die zu weiteren Anwendungen dienen':

8)

o

/i 28

(l+a:)«lg(l-a:)aa: = -^-g-,

0

(l+a:)»lg(l-a:)aa:=~^, o

y* '(1+ a:)*lg (1 - «)a« = - ^ , o

y ' (1 + x)»ig (1 -x)dx = - ^ . ,

o

U. 8. W.

OetUnger: üeöer besUmmte Integrale,

181

Ao6 Nr. 7) und 8]

/■

o

/'

0

/■

0

IwteD «icb folgende Integrale ab:

»)

-««

2— lg(l— «)8ar= — 2

7 4'

— ••

85 ~Ig(l-jr)a:c=-3g,

^^lg(l-ar)8j:

— :r*

— -Ig(l— a:)aa:

— X

<

3^lg(l— ar)aar = —

415 144'

12019 3600'

13489 3600'

a. 8. w.

10)

/ /

o

/l 1 ^ -j^lg(l-.)8* = -

0

I

4*^

31 36'

49 144'

y !+?'«<' -*>^* = -

2869 3600'

1399 3600'

U. 8. W.

Naebdem io diesem Paragraphen geseigt ist, wie die in Nr. 9) und 10) aufgestellten Integrale gefunden werden , und das- selbe auch Ton den in §. 3. Nr. 14) und 15) aufgestellten gilt, so wird im Folgenden auf Integrale dieser Form nicht weiter RSck- siebt genommen werden. Die Darstellang der integrale dieser

132 Oeetinffer: üeber bestimmte Intepraie,

Art aoterllegt aach in deo späteren FSlIen keiner weitern Schwie- rigkeit.

§. 5.

Andere hierhergehurige Resultate^ die za weiteren Anwen- dungen dienen, gewinnt man auf folgende Ait. Es ist, wie sich leicht rechtfertigt:

1)

Setzt man der Kürze wegen (a+bxvyz=:X^ und differenzirt diese Gleichung wiederholt nach r und dividirt durch dr, so ent- steht:

JCH-^lg Jg)» 3X'-+Hlg.X)« 3.2J:'^+» IgJt 3.2.1JrH^>

u. s. w.

Durch Fortsetzung dieses Verfahrens wird man zu folgend Datstellung geführt, wenn der ursprfingllche Werth fSr St g schrieben wird:

2) fa^\a + bx^y [Ig (a '{-bx)i\fdx

(g -hfta?f)'-H^r[lg(a+fta:f)]P p[\g{a'{-bx^y\P-^ ■" 69 L r + 1 (r + 1)*

Für die Grenzen zwischen 0 und x entsteht:

OeUinfer: (Jeder desümmie Inieprale. I33

/

3)

*

x^Ha + &rf )>'[lg (a+6a!«)]P3ar

- bi L r + 1 5n? ""^~^ '(r+l)P+» J

1^]

""Ä^Lr+l" (r+1)» + (r + 1)» -^ ^'•(r+l)H-»

Setzt man a=:l,6=sl, so eDtstebt hieraus för die Grenzen (wiscbeii 0 und I , da alle Glieder der zweiten Reibe mit Ana- lahme des letzten verschwinden:

0

_2r+ip(lg2)y p(|g2)P-i .- IUI -1 , ., lyii

- 9 Lr+1 (r+l)» +"^"''(r+l)i'+ij^~^ %(r+l)P+»"

Wird — 6 statt b geschrieben, so folgt ans Nr. ^ :

_ (g— 6g*)'-+^r[lg(a— dg»)]!» p[lg(a— da^»-* bq L r + 1 ~ (r + l)»

^orf»r(|ga)> p(|go)p-i . p« I -i(lgo),-.» _i^ll_l

M-r+1 (r + 1)* + (r+l)» ."••^""^ (r+l)P+U'

Wird in Nr. 5) aasi, 6=al gesetzt und zwischen den' Gren- ** 0 Dod 1 integrirt, so ergibt sich hierans :

6) / V»(l - x»)'[lg(l-;r«)]P8ar = ( -)P . ^(^^j^i •

Wird a= 0, 6 — 1 in Nr. 2) gesetzt and zwischen den Gren- *» OVnd 1 Integrirt. so folgt;

7) /'**rH-»(Ig*,)P8x=(-)P.^^^5^,. '

IS4 Oetilnper: Veber be$tim$nte fnUpnie.

Hieraus und aus Nr. 6) erhält man folgende Beziehung :

8)

0 0

'Wird 9 = 1 gesetzt» so erh&lt man hieraus s

0

10) f\\- ^nig(l-«)?3:r = (-)f . ^^^i .

0

11)

i x^\%x)fix^ 1 (1— a:)^lg(l — j:)]>ar.

0 0

Von diesen Gleichungen ist Nr. 9) bekannt. Diese Gleichun-

/* IP I * .

0

ten, wenn man y=x^9 und y=:\—x setzt und die nSthlgen Umformungen macht.

Da die Gleichung Nr. l) bekanntlich fffr ein ganzes und ge- brochenes« positives und negatives r gilt, so gelten auch die dar- aus abgeleiteten Gleichungen Nr. 2) — 5) unter dieser Bedingung. p bedeutet eine ganze Zahl.

Ist aber a=0 und r negativ, so ffihrt das sich ergebende Resultat auf einen unendlich grossen Werth. Dasselbe ist de^ Fall in Nr. 5) unter dieser Voraussetzung. Die Gleicbdngeii Nr*. 6)— II) beziehen sich daher nur auf positive ganze und gebro — ebene r.

$. 6.

Die im vorigen Paragraphen aufgefundenen Resultate geben aii nur für sich, sondern auch in Verbindung mit den frühem St«^"^ zu mancherlei Anwendungen.

Setzt man ^ = 1, ;» = 1, m — 1 statt r In Nr. 4) §, 5., so ^^^' h&lt man:

Oettinger: (Je^r öeMümmte JiUHraie. U5

1)

0

aas sieb folgende InlsgnUe ablelteo :

2)

/*'lg(l+x)aar = 2lg2-I, /**(!+«) Ig(l+«)8x=2lg2-j, y* ' (1 + «)• lg(l + *)ar x=| Ig2 - 5 , y*\n- «)»lg(l + a:)ax =4lg2-{J.'

0

(1 + ^)« lg(l + a)8* = ^ Ig2 -^ .

0

/i 32 7

(1 + ar)«lg(l + «)«« =-j Ig2- j,

a. s. w. ^08 Nr. 6) §. 5. erhält man fQr 9=1, p=s 1 und m — 1 statt r:

3)

nd man erkennt, dass die bierans sich ableitenden Integrale die iBeder der sweileo reciproken Poteirsrelbe biMen. - Setzt man -m— I statt Ty 9=1» /i = l in Nr. 4) $. ö., so erhält man:

4)

/*Mg(H-a;)8j? }S^ ."^^izl

J (1+*)^^ "" m.2-''" iii«.2-*

0

IKew führt zu folgenden Integralen :

5)

/*Mg(I + g)8j;_ Ig2.1 J (! + *)• — 2 +2'

130 Oeitinger: Ueöer öestimmte lnie§r^e.

/^ Ig (1 +37)80: _^ 'l2._3_ (l+o:)» —"'2.4 + 4.4' 0

/^i|g(l+a:)8a: _ Ig? 7.

J (1+ar)* ^ 3.8 + 9.8'

0

/*Hg(l+j?)8x Ig2 . 18

J (I + ar)» - OS+ 16.16'

0

31

rn^^±x)dx lg« ,

,/ (l+ar)« — 5.32 +

26.32'

a. 8. w.

Setzt man die eben angegebenen Werthe in Nr. 5) §. 5, so entstehen für die Grenzen zwischen 0 and I nnendlich grosse Werthe. Nimmt man aber die Grenzen zwischen 0 und — 1, so erhält man:

ö)

/-i lg(l— ar)8a?_ Ig 2 _ 2»— I (1— ^j^+i ■" m.2" m«. 2«'

0

Diess führt zu den entgegengesetzten Wertheo von den ebeo angegebenen. Setzt man 9 = 1 und m-\r\ statt r in Nr. 4) {. 5, so erhält man:

7)

0

woraus sich folgende Integrale ableiten:

8)

y* ' VT+i lg(l + «)8« = ^^^y^ - 5(9V8- 1) ,

■0 :

y (I +^)llg(l +a:)ax = .§*^'l?_ ^(4v2-l),

0

y' \l +a:)llg(l +ar)8ar == ?5V^^ - i (8V2-1),

y* (l + a:)llg(l+a:)8a:==?^^~^^- -^

0

u. s. w.

Setzt man aber -^m — \ statt r, so erhält man:

Oeitinger: Veker ^eiUmmie imegraie.

/^ lg(l + j?)3jr _ V2lg2 2^->v2

(l + ar)»f-i "" Cim— l)2«-i +(2m — 1)«2»-«

0

Hieraus ergeben sich folgende Integrale:

10)

0

J (1+ar)» = - "37r + #-V2).

0

/i lga+^5 _ V2lg2 8>-V2 (l + a:)i ~ 5.4 + '25.2 *

0

/i lg(l + a?)8x _ \/2lg2 16— y2 (1+^)1 — Tis"""*" 49.4"'

137

u. s. w.

Aaf gleiche Weise erhält man ans Nr. 5) §. 5.:

H)

y ' (l-*)«+»lg(l-a:)8x= - (ä;^,.

0

woraus sich die besonderen Fälle leicht ableiten.

§.7.

Weitere Resultate lassen sich gewinnen, wenn man die in |. 3. und {.4. gefundenen unter einander verbindet, letztere von entern abzieht, oder sie ihnen zuzählt. Zieht man Nr. 2) §. 4. Bach der nöthigen Umformung von Nr. 2) und 3) §. 3. ab, so er- bSlt man:

r^m

I)

— I. 1+« . 1

2m

Ig

1— j: m

■ •« (^ ■ 1 ■ ic • • • •

X

Am-l

6*'2lll-l

h

TlieU XXXIX.

10

]38 Oßitin^Br: Oeöer ^summte Inie^raie,

2)

0

Hieraus erhSit man fOr die Grenzen zwischen 0 und 1:

3)

0

4)

J ^ '*!-«* 2m + l + 2m+r' + 2 + 5+••"m^• Hieraus ergeben sich folgende Integrale;

5)

f Igii|8^ = 2lg2,

0

/ ^''gr^*=-x +3'

/

u. s. w. Hau kann nun die in 3)— ö) enthaltenen Daratelinngen i

Oettinger: üeker be$Ummie Inte§rai€. 13B

selben Weise behandeln^ wie diess in §.4. Nr. 7) — 12) oder l. Nr. 5) — 7) gezeigt wurde. Diess bietet keine weitere Schwie- ceit dar. Wir übergehen daher die Aufstellang allgemeiner men nnd theilen folgende hieraus abgeleitete Integrale mit:

6) f\\-^x) Ig}^a«=2lg2+I,

0

0

/l 1-4-^ li

(l+;r)»lg^Ja*=4lg2+3,

0

0

r^ii^ ^5t 1 + ^;^ ^2, q. . 1531

0

U. 8. W.

7) y (!-«) Ig}±-^8a:=2lg2-l,

0 0

y(I-^)»lg}±|S;r=4lg2-|.

0

/**/, ^A, 1 + ^a 32, - 131

0

f\i ,., l+«fl 32 661

n. s. w.

ferner leiten sich durch schickliche Verbindung der Vor- m der Potenzen der Binomien (Idb^^ ™>^ ^^^ Darstellungen ) folgende Integrale ab:

10*

140 Oetlinger: Veber bestimmte tnUgrale.

8)

0 0

0

/*\i. «X4I l+*n 2656, .16679

0

a. s. w«

0

/\i-*«)«ig}±fa*={g«g2-y.

/*\i «^si * + «a 32, - 38 J (»-**)''gü:i3*=35'«2-iÖ5'

0

J vi * ; «g i.a;"* - 315 'g ^ 3780'

u. s. w. 10)

/^(1 + *«) Igi±f8*=5.

0

/'-(i+-»)«ig}^a*=f.

0

«(l+x«)»lgj3^aa: = -2j-.

0

/^ /l L «V4I l+*a 13808

n* s« w.

»ttUnfer: Oeber betttmmle Integrale. 141

y*'«(i-;r«)«ig|±|a«=^,

0 0

128 1675

O. 8. W.

Diese Darstellungen lassen sich, wie man sieht, beliebig wei« ter fortsetzen.

§.8.

Zählt man die Gleichungen Nr. 2) §. 4. und Nr. 2) und 3) $. 3. zusammen, so erhält man nach den nöthigen Umformungen:

i " . •

I 2)

/%-ig(i-x^.=^=i^ig(n-.)+^J^^g(i-x)

o

am+r-'T 3^6 ^" ••äÄ+1'

Ffir die Grenzen zwischen 0 nnd 1 folgt hieraus : ^.

3)

,y a:— lg(l «;(J«- 2m^*+2 + 3+"W 2m 1.2.3...in '

O

/* •_■ /i .vf) 2lg2 2 ,, . 1 . I . 1 ,

^lg(I-«.)ax = 5j^-2-^;^(l+3+g+....g;^l). ,

o Hieraas leiten sich folgende Integrale ab:

[•

\^ Oettinser: Otber bestimmt« Mefrale,

6)

O 0

o

/i 3

a?»lg(l-:r«)8j: = -g.

o

/i 2 46

o

/i 11

a:»lg(l-^«)a^ = -3g, o

/i 2 352

a:«lg(l-^«)aa;= 7^82-735. o

/i 25

ar7|g(l-^«)aa: = -gg» o

/i 2 1126

o

/i J37

.T»lg(l~a;«)aa;=-ggQ,

o

u. s. w.

Werden auch diese Integrale nach den früher gemachten J roerkangen mit den Vorzahlen der ßiiiomien (IJzx) verband 80 erhfilt man :

6)

r\l + x) Ig(l-««)Sa: = 2lg2-|, o

/^ 8 35

(l + :r)«lg(l-a;«)aa: = glg2-y, 0

y*\l +x)»[g(l-x*)Sx = 4lg2-^.

Oitlinoer: üeöer öesiimmle iniegrale. 14S

/i 32 1717

(1 + ^)*lg (1 - x^ßx = 5- «g2 - -jgg- ,

o

(l+x)»lg(l-a:«)aar= 5-lg2-^,

a. 8. w.

7) y** (l-«)lg(l-a:«)a*=2lg2-|.

y** (l -a:)«lg(l-««)&t=3lg2- ^,

0

y**(l-«)»lg(l-x>)8« =4lg2-.2. (l-a:)*lg(l-a:«)ax = ^lg2-j^,

0

a-x)*\%{\-x*)Sx = j Ig2- y.

u. 8. w.

Bringt man die Integrale in Nr. 5) mit den Vorzählen der Bi- •mieD (1±^^) in Verbindung, so entsteht:

8)

0

/i S6 088

(H.a^»lg(l-a;«)3ar= jglg2-g,

0

9) y*'(l-a»)lg(l-x«)a* =glg2-^,

0

(l-««)«lg(l-.a:«)aa: = ^g Ig2- g^.

144 Oeitinger: Veöer besümmie lnt9§rmU.

/i 02 2552

(l-^»)»lg(l-X«)8^=^lg2-3gyg

10)

/ X{\\X^)\^{\-'X^)^X = — g»

o

/i 16

x{\ +a:«)«lg (l-.;r«)Sx = — 9^ »

0

/i 269

0

/i 1^1

^(l+x«)*lg(l-a;«)ar = - -ggff '

0

11)

/* *ar(I— ar«) lg(l— aj«)aar = - g» o

C * a:(l— ar«)«lg ( l - x^ix = — jg * o

y ';r(l-a»)>lg{l-*«)ar= -^,

12)

I>le««« Int^^ral l^t ein besonderer Fall von den in Nr. 6) $.5. aufjite«tellteii« wenn dort 5f:=r. r^M und j» = 1 geschrieben wird. Die VeffEMebnn^ der eben in Nr« 6) — 10) nnfgesteliten Ke«nlUte mit den in $. 5. entwickelten nll^Meinen Foniien zeigt, dn»» wnn nnf dem bi;4K»f befoli^ten Wege eine reicbere Aasbeate von Intefcmlen etb&lt« nU dkjenigen sM* weldie eitli ass allge- «Minen Integmiremieln nbleileii U»;ies.

Oe tu» ff er: (Jeder bestimmte Inteffraie. 145

Kehrt man nun zu den Gleichungen in $. 2. zurück und setzt s = a:« in Nr. 2) und 3), verbindet Nr. 2) mit fx^^x und fa^'^^dx, t Nr. 3) mit /a:**+*8a: und /r*'H->8a:, integrirt zwischen den Gren- zen 0 und X, so entstehen folgende vier verschiedene Integral- formen, die alle hierher gehurige Fälle umfassen:

1)

o o

2)

/*ar««H-'8a; _ /** Jtdx x* x* x' x*»

•> o

3)

/•*«*"+*8ar_ P* 8x x^ x* ar*»+»

o o

/* jr*«»»+»8j: /»* xdx x* X* x^ a:4w+«

«> 0

Hierin ist:

5)

o o

Integrirt man zwischen den Grenzen 0 und 1, so entsteht:

6)

/* a^8a; _ n 1 ^

o

/'TT^r = ilg2-4(l-i+W....-2^).

7 T+«« ■-~4+'"~*+*"* • + 4m+r

o

O

Fflr die allgemeinen Formen erhält man:

146 Oeltinger: üeber bestimmie IniegraU.

7)

0 , o

8) X ^p4M+igj; ^1^ fi^gi^m~% d^-'^x . a*" /•* xdx

dx

9)

o o

10) Hierin ist:

11)

o

12)

/' xdx _ 1 fl-f- 6j:*

o

Aus Nr. 6) leiten sieb folgende Integrale ab :

13)

/i djc n r+a:«~ 4'

p^ xdx 1, - J \T^*^ 5'«2.

0

/*^ x*dx 1, „ ^1

o

/^ a:*8a? _ »_2 l + ar«- 4 3'

o

BetttHter: Veber teaämmte Inttprate. 147

r^afihx_ 1 1

O ^

U. 8. W.

Setzt man z* = x'^ In Nr. 6) §. 2., r = 'im und verbindet die hiedurch eDtstebende Reihe mit fa^dx und fx^-^^dx, integrirt iwischen den Grenzen 0 nnd j? and bemerkt» daas

o 0

ist, 8o erhält man:

ni^ = 4 '8 IZIi - (* + 3 + 5- + • - 2iül^[> •

/

15)

0

Diese Integrale fuhren f&r die Grenzen zwischen 0 und 1 auf unendlich grosse Werthe.

§. 10. Geht man von der Gleicbang

1)

aus» setzt 4iii -f 1 , 4m +2. 4m -f 3, 4m-f4 statt m, und fiibrt die im zweiten Giiede auf der rechten Seite angezeigten Integrale aus Nr. 1)— 4) $. 9. ein, so erhfilt man folgende Tier Integralformen :

2) / ^»*^ lg(l+a:«)aa:

0

= iSrn'«^* +^ +^4Sr4T -4^44<* - 3

148 Oet tinger: üeöer bestimmte Intepraie.

3)

o

= 4m +2 '«(' +^>-4^ri:2V 2 ~ r+ ¥ •• + ÜM^/

4)

/ '«•»+Mg(i+«»)a«

***'^*i„nj. ax 2ArcTgjr . 2 , a:» x» ar^

8) I 'a:*"-H|g(l+a:»)ax

0

**"+<— 1 2 /«« a;* ar« a;*"-M\

- 4m+4 *«<• +^ ^ + i^+iU - T + T ""-isr+i;'

FOr die Frenzen zwischen 0 und 1 entsteht hieraus:

6)

/> Ie2 3c 2 I

a:4-lg(l+a:>)8a:=^+2-^^-^-j;^(l-4+>...+4ji:p).

/'a:4-+Mg(I+a:>)a*=2^-4-^^(l-i+i-4+....+ j5^).

0 0

/'-*^''8<'+*')ö^=4;rr4^'-*+*----25rf2>-

0

Hieraus ergeben sich folgende Integrale:

7) y* lg(l + ar!«)ö«=lg2 + |»-2,

0

y*\r lg(l + ar«)aa: = lg2-5,

0

y * a:«lg(l + x^x = 5»g2 - J + J.

«

I

Oeiiinoer: üeöer öesämmte Integrale. 149

/ ar'lg(l+Ä«)aa:=g, o

y*Vlg(l+;r«)ax=l|g2+^ - I?.

x»lg(l+a:«)aa;=3lg2-3Q.

o

/i ] 9r 152

o

y *arng(i+x«)a«=^,

o . y :r«lg(H-a:«)ax=glg2 + g-2y35.

0

u. s. w.

Werden diese Darstellungen auf die frfiber angegebene Weise »ebandelt, so leiten sich hieraus folgende Integrale ab:

8) y**(l + «) lg(l + x«)3ar = 2lg2+|-5,

0

/j in « 2!i

(l+x)«lg (1 +:r«)aa: =^lg2 + j-^ ,

0

/i ig

(l+;r)»lg(1+«»)ax z=5lg2-^»

0

/'(l+^)*lg(l+^*)a:r=flg2-y-^.

0

u. s. w. ^

9)

f * (1-«) lg(l + a;«)a« =1»- 1 .

0

150 Oettinger: üeber bettfmmu Int^att.

. y*\l-^)«lg(H-;r»)8;r = -|lg2+|-|,

0

r\l-x)*lg(l +x*)dx =-glg2-|^+g5.

0

/X Q— 01

(l-a;)»lg(l+a:«)ax=-y +g.

o. s. w. 10)

y* * j:(1 + ««) Ig (1 + ««)aar = Ig2 - g , y* ' a:(H-a:«)«lg(l +««)a* = 5lg2 - ^ ,

0

y** «(1 +a:«)»lg(l +a:»)8« e:2lg2— g|,

y* ' «(1 + x«)«lg (1 +««)aa? = ^ igs - U .

Q. 8» W.

11)

/ ^(1+^ ig(H.a-)a. =^J- g:J.-j/..

0

'^ 12)

y**a:(l— «*) Ig(l+a*)a* = lg2— g,

0

y* ' j:(1 - a:«)«lg (1+ a»)aa: = g lg2-§, o

y* * «(l-a:»)»lg(l+ar«)aa: =2lg2- ^ . o

/i 16 661

O. 8. W.

OeeHnger: üeder besiimmte Intepraie, 151

Das in Nr. 11) angegebene Integral ist ein besonderer Fall ?on dem in Nr. 4) §. 5. angegebenen, wenn dort r t^m, ^ = 2 und p = 1 gesetzt wird. Die übrigen Integrale lassen sich nicht aus den in §. 5. angegebenen Gleichungen ableiten. Man sieht , wie die hier aolgefondenen Darstellungen ein reiches Feld der An- wendung haben.

§. 11.

Verbindet man die DarstellungeD in Nr. 6) §. 10 mit denen in Nr. 3) ond 4) §. 8., indem man in letztere die entsprechenden Wertbe fSr m eiofOhr^ so erhalt man:

I)

-4«! Lt^ — 'gg , « , ^ ,,.,. _1 ,

'^ '^1=;^*— "iB+r 2(4m+i) "^4iii+i"+»+ "iii::^'

2)

/i 1+x* Ie2 I 1

^ -^»'si=^=2Änr+4-Är+2<'+i+*+--s)'

3)

/l 1-f^^ Ig2 TT 4 1

**"***8ii:^*=-4ml^-2(SH:3)+4mqh3<*+*+*+-4^^

Hieraas leiten sich folgende Integrale ab:

5)

/

l+X« I a . «

0

1 1+ar«

xlgj^^d» = Ig2,

152 Oei tinger: üeber besUmmie InUgraU,

u

O

o

/ *'8i_^««'*— 9+18+189'

Q. 8. W.

Werden diese Integrale mit den Vorzahlen der Potenzen Binomiums (1±^) verbunden, so entsteht:

6) (l+x)«lgj^-|^3x=3lg'i+g«+|,

O

O

/*'/!. X4I i±£!fl -^i o 2« 154

/ (i+:c)«igi:::^aa;=gig2--g-+-jg-.

0

/»» , . ,,, l+g'o 2» .119

0

U. 6. W.

7)

f\l-=c) Igy~lax = -21g2 + f, o

y a-*)*lglZ:^.3* = - 3lg2 + 3+3,

0

(l-a:)»lgjf||a*=-6lg2+i.

Ottttmfer: üeber beiUmmte Integraie. 153

J (l-a:)*lgj3_— ,ar=— 5lg2-^ + jg.

O

/**/! ^•l '+*% 32, . 2»^ 19

a. 8. w. 8)

«(l+*«)lgj£— ,8;r = lg2+g.

o

/*' :r(l+;t«)»lgji^8x=2lg2+g,

0

/* .. . «v^. I +«"^ J6lg2 . 269

o

U. 8. W.

9)

/i 1 4- f * I

*(l-.T»)lgj£^aj:=lg2-i.

«(l-«*)«lgj^::^,aa:=3lg2-g,

a:(l -;r«)»lg iij,aa:=2lg2- 1.

0 O

^iese Darstellungen lassen sich leicht weiter verfolgen.

§. 12.

Werden die Gleichungen Nr. 6) §. 10. und Nr. 3) und Nr. A) .8. zusammengezählt 9 so erhält man folgende Formen:

1)

"' :r*-lg(l-x»)a*=j^5^-^i:f(l+m+....4;i^),

Thcil XXXrX. 1 1

154 oe tun ff er: Veöer betttmmte ItUtprale.

2)

3)

Hieraas Leiten sich folgende Integrale ab:

8) jf' \gil-x*)dx =»3lg2+|-4,

j' slg(l—x*)Bx =lg2— 1,

O

jf' a:«lg(l-:r*)a^=lg2-|-J, xHg(\ — ar*)8ir = — t>

o *

/*' _Ai /i «a 8lg2 . w 24 /* ;r»lg(l-a:*)8*=glg2-5,

a:«lga-^)3^=-f H'^ll?'

/* 3

/' a:»lg(l-a:*)aa:=glg2+g-^,

U. 8. W.

Ebenso erhält man durch Anwendung der angezeigten Metho / (l+a:)lg(l-a:«)aa;r=:4lg2 + i»-5,

O

/' (l+a(>«l8(l-a:^8«=6lg2+*«-f ,

Oet Unter: üeker betUmmte huegrate. l!V5

y" (I+«)»lR(l-ar*)aar=9lg2-^,

a. 8. w.

7) y (l-«)lg(l-ar«)a«=2lg2+i«-3,

O

J[' (l-ar)»lga-«*)8«=8lg2-.^,

r(i-.)-.g(i-:.-)a.=^^^-f-f.

U. 8. W.

8)

/' «(l+^")lg(l-**)aa: =lg2-i, /' *(l+a:«)«lg(l-««)aa:=^-^.

/' ar(l+a:«)»lg(i;-;t«)aar=2lg2-^,

a. 8« w.

y ' «(l-x«)lg(l-««)aar =lg2-j,

0 *

/' ar(l^««)«lga-a*)a«=^-{8. /' a:(l-««)»lg(l-a:«)8a:=2lg2-^.

U. 8. W.

eroer erhält man au8 Nr. 6) §. 5. :

11*

156 OettiMffer: Oehtr be$ammu ItUtgrute.

10)

/" 1

^ x*{\-x*)\i{\-a*)dx =-474.

/' a:»(l-«4)«lg(l -a*)dx = - rq . ^' a:»(l-a:*)»lg(l-a:4)ax = - j~,

■

8- 13.

Wird z = :r' in den Gleichangeo Nr. 2) ond 3) §• 2. g^st^U wird die erste der hiednrch entstohenden ReiheD mit /r^är, /a:**+*8x, /a:**+*8j:; die zweite mit fx^'^^dx^ fx^'^^Si, fx^^-^dx verbonden, und werden die Integrale zwischen deo Grenzen 0 und o? genommen, so erhält man folgende sechs Formeo:

/* x^dx _ 1* * _dx_^ . ^.^ x*^-*^

„ l+ar»-< l+:t»~'*~4 + 7 "•• 6m-V'

2)

/«j:*"+iax_/** a^x /£?_£?.«! a;«— ''\

3)

/* x^**dx __ /** j:«8a: /a:" a:« ar« a:*"\

/« a;*»+»8ar_ /*' 8a: f^.fT , a;*H-' j

1 + a:» i( l+a:»+*~4 + 7~""''6Sr+T ■

6)

l+a:» - ^ l+as'+T-y+S"" "VST+Si

6)

/» ar*»f»8a; /** ai*dx x' x« x* ar*M^

1+ar» — ~^ l + ar»+J~ 6+¥~ ••+giSr+3

Hierin ist:

Oetttnger: Veöer 6e$ttmmte fnietrale. 157

7)

Für die Grenzen zwischen 0 und 1 gehen diese Integrale in olgende Gber:

' 8)

Durch Einfähning dieser Wertbe: in Nr. 1)— 6) erhält man fol- r^ode Integralformeln :

9)

O

J 1+«» -~3^'*''~V3^~V2 5 + 8~-~6m-l/*

0

/»»ar*»+«8x_ 1, _ I,. 11 ' J_,

J T+^» - 3'^^~3^ 2 + 3~-'~2m^'

0

/»»«*»+»a^ r, „. «,j^,, 1^1 . I , J Tq^«-=-3('»2+v3>+<»-4+7-";-+6;Mri).

0

p 1 j:«*M8x 1,, „ «x./l 1.1 .__L_>

0

p i s'^^Bx _ 1 1 11 ■ 1 ■

J l + ;r» -~3'8^'''3^'~2 + 3~"+2m + r-

(>

Die speeiellen Fälle hieraus leiten sich leicht ab. Benutzt ^^n nun die Gleichung *U' '* '

• ♦ ■

158 Oettinger: üeöer be$timmte Integraie.

10)

führt allniftiig die Werthe (Vm-fl, 6m-|-2, ....6«i-|-6 eio, s gibt sich aiM Nr. 1)— «X nod Nr. 7):

11)

/ a:^"lg(l+a:')3a? = o

6«t-fl

1 . (1 4-a:)« « . « ;rV3 3 :r* x^ a:*

• o

■

1 (l4-:p)* ^ -, :pV3 3 ^* a:* x*- ar«"

o

o

1 ,,,(1 + 4?») ,_. ™ a;V3, . 3 . ar^.ar'^ x

«

6ii

0

+ 6V3 6+9 "••~6m + «y'

o

Hieraus erhält man (Üt die Grenzen zwischen 0 und 1 :

OUiing^r: (Jeder öeiUmrnie Ini^fraie. 159

12)

2lff2 n

;r-lg(l + *«) =6^+(6m-|-l)V3

3 1

' ^"8^ •<-«*>^— (6m+4) V3 ' sk^^-^+^-^TÄ^'

" ^«■^iga-i-^')a^=^-(6«.+6)v3

3 1

n

Hieraus ergeben sich folgende Integrale:

yig(l + *»)8^ = 2lg2 + ;^-3,

0

a:lg(l+a:»)ax = 2v3"^4'

0

0

/l TS 9

0

/* ^. /i ' ..Q 2lg2 « . 9

0 0

/i ^ 2le2 n 75

0

160 Oeitinger: Ceber betthumie InUgrmln.

/i n 51

0

0 /'x»lg(l+^«)aa:=-;j^+}lj,

a. 6. w.

Mit Hfilfe dieser Darstellungen lassen sich nim aocb die lote grale von folgender Form:

J^ (ldbaj)"'lg(l + ^)8^. f^ (ldb«*)*lg(l+ar»)ar O.S.W.

0

finden.

§. 14.

Setzt man in der Gieichong Nr. 6) $.2. 2=j?*, verbindet da« hiedorch entstehende Resultat der Reihe nach mit /t^Sj» fx^^^dx, /ar*^*3a: und integrirt, so erhftlt man :

1)

/^X*^dx _ P* SX . A.^A.^A. 2!ül!\

0 o '

/'x^'^^^dx_ P' xdx /x* x^ X* £!."!l!^

1-a:» "7/ l-a:«""V2"*^5 + 8 ^- -am-iy"^ 0 o

1-x» -;/ ' l-ar^^Vs^e +9 +• -Sm/

0 0

Hierin ist:

2)

0

o

/* x^hx ,, ,,

0

Otiiinger: Ueöer bettimmte Integrale, 161

>urch Einführung dieser Werth/» in Nr. 1) entsteht:

3)

—(^+4^ + T + ""3^:r2>'

/*j.*»+iaa: ,,,, (*— !)• , ,,. •_ arV3.

^+ 6^ + F + - -3^=1/'

, Diese Intef^ale haben für die Grenzen von 0 und l unendlich [ posse Werthe. Benutzt man die Gleichung

4)

ic»

««<) schreibt hierin 3m-|-l, 3m-|-2, 3m-|-3 statt m und mtirt die angezeigten Werthe aus Nr. 3) ein , so entsteht :

5)

js»"lg(l-ar»)8ar= ^^^^

0

) (« — !)• „ «VS 3 a:* *' x»m+i

/

0

/%.».«.ga-.,..=^-£!^^Jf^)

3JII + 3V7 + 6 +-3S;+3/

^ird nun zwischen den Grenzen 0 und' 1 integrirt, so ent- ^^At aus Nr. 2) :

162 Oet tinger: l/eöer bestimmte integrate.

6) nZ^,==-i(lg(^-l)-4lg3-2^3).

0 0

Hierin wurde \g(x — 1) vorerst belassen. Bemerkt man

SO fallen die nnendlich gross werdenden Werthe aus Stellungen weg und die Gleichungen Nr. 5) gehen In folge

7)

0

0

o

Hieraus leiten sich folgende Integrale ab:

8)

0 J a:lg(l-a:»)8a:= jlgS-j-j-j^

0

r^ a:«lg(l-a:»)8:r = -|,

0 0

0

/l 1

x*lg(l — ar')Sa: = — 2 '

(^4iiußer: Veöer beiUmmte /$Uspra4e,

16»

7t

y a:Mg(l^a:«)8a:= ^^ + uy;^

x^)dx= -T^ —

16 16V3

117

196'

99 320'

a?8)8ar = -g^.

11. •. w.

Auch hieraus lassen sieb nun leicht nach der angezeigten l^eise Integrale von der Form

J * (l±ar)»lg(l-Ä»)8ar, f^ (ldb««)«lg(l -x^Bx u. s. w.

0 0

»bleiten. Bine der hieher gehörigen Formen leitet sich aus Nr. 6) {. 5. ab. Sie Ist folgende :

f" ^(l_:r«)-lg(l-;r»)&r=-3^^^,.

0

Eben so kann man die in diesem und dem vorhergehenden Paragraphen erhaltenen Resultate mit einander verbinden und "*ön lotegrale von folgender Form :

J ^"^^Rr^lls^' J^ (ld:a:)«Igj;i^8ar u. s. w.

und

/ ar"-i|g(l— a;»)3a:, /. (l±a:)"lg(l — a:«) u.s.w. '^^n and diese Darstellungen beliebig fortsetzen.

§. 15.

^^tzt man 2=:ar« in Nr. 2) und Nr. 3) §. 2. , vervielfiacht mit Jx^öop, /a;*»+*8ar, .... und integrirt zwischen den Grenzen 0 und Si8o erhält man folgende acht Integralforroen^ die wir in abge- '^^^ Gestalt angeben :

164 Oettinger: Oeber beaUmmte hOefraU.

I)

0 0

/* a^^*Bx p*x*8x _. . ,. _. a:««-'

0 0

,/ 1+x* — J l+x* • ^ ^^ 4a

0 0

0 0

J fTx*— J 1 + 3^+-^ ^^ 4a + 2

0 0

J TTx* — J 1+0:« + '*» ^~' 4tt + 3"

0 0

-n^=-y TT^+'^"»'-^->-5r+4

0 0

Die hier erforderlichen Integrale sind :

2)

P* Sx 1 ., ^±*v^2 + l ._. _ xV2^

J rT:?=4v2<'8««-**/2+l+^^'*^8ü:^

r€4««iide tf her :

Otttinger: Veber öesOmmte Integrale. 165

3) /»» a« 1 . 2 + V2 . .

o

/* xdx n

o

/»» a:^x 1 , , 2-fV2. ,

0

Hieran reihen sich folgende als Fortsetzung der Integrale in Mr. 3), wenn die Integrale in Nr. 1) zwischen den Grenzen von 0 und 1 genommen werden :

4)

/'^x*dx 1 ^, 2 + V2 . ^^-

J T+P=-4V2^'«2=V2 + "> + ^'

u

l+««~~8+2'

O

/»> jr«ex 1 , , 2 + V2,- 1

y rri* = -4V2^-'«5^^i+">+3!

/i ar^ax 1, ^ 1

o

l+a?*" 8 3'

u. s. w.

^M non die Gleichung

5)

/^.W.+^a.=s^tefl±?i'-i/^^8,

^< um die Entwickelung abzuldlrsen.

t .

166 OetHnper: (leber betUmmte Intttrmie.

6)

/'^Mg(I+^)8*=!^-i/^^

benutzt, und zu dem Ende in dem zweiten Ausdruck auf der rech- ten Seite die angezeigte Substitution aus den Darstellungen Nr. l) und Nr. 3) gemacht, so erhält man folgende Integralformen:

7)

/i Is2 1 2-fv3

4 1

/* Iß2 1 ^ 2 + v2

4 l

/i ls2 9c I Ix

/i Ie2 1 2 + V2

.re«+.lga+^)a^g;|^-(g^;^:p7jp.^(-lg2zr^+»)

4 ^»

j|r':r-+'ig(i+^)a;r=g^(i-i+i-i+....-55Pqp^

Hieraus ergeben sich folgende Integrale:

8)

/» 1 2 + V2

lg(l+a:*)8a: =lg2 + ;^(lg2-l^ + »)-4.

Ottttnfer: Veöer buUmmte Inttfrule, 107

/*xlg(l ^a*)dx =4lg2+J-I.

0 *

/Vlg(l+a:*)a^ = '|?-g-i5(lg|±^ + „) + ^.

/* 61 /i.»^va ^2 1 , , 2 + V2. ^,16

/*a:»^lg(l+j:4)aj;=^,

/* Ie2 1 2-I-V2 164

u. s. w. Hieraus lassen sich nun wie frfiher Integrale von folgender Form :

/ (l±«)"'lgO+a;*)8a:, J (ldba:«)'"lg(l+ar*)ar, iLS.w.,

0 %

«i^en 80 durch Verbindung mit den in §. 12. aufgefundenen folgende :

^g*^^lg^_^8a?> y Är»»-Mg (l—a:«)ar, s. s. w. «Weiten.

§. 16.

^Vir verfolgen jedoch diese Darstellungen nicht weiter, da '® Methode sa Ihrer Auffindung gezeigt ist» und wenden uns zur ^fstellung noch anderer hierher gehöriger Integrale, deren Be- iitzani^ im Folgeoden nothig wird.

I^urch Division erhält man:

-f^iidelt man den begleitenden Bmch wiederholt nach dem /in ^^^s«r Gleichmig liegenden Gesetze, so entsteht:

168 Oe tun ff er: Veöer bestimmte tnieptile.

1) 1

1 + a: + a:* '

Verbindet man diese Darstellung der Reihe oaeh mit fx^^i fx^^-\-^dxy fx^^^^dx, 80 erhält man drei Formen, welche i Reihe nach mit den Integralen

/dx f xdx f x^dx

1+x+x** J l+a:+;r«' J 1+ar+a:«

begleitet sind^ von denen das letzte in folgendes:

fibergeht. Nun ist:

2)

f dx _ 2 . _, 2«+!

J 1+x+x* -v3^'*''^~i^'

Werden nun die so aus Nr. l) erhaltenen Reihen zwischen d« Grenzen 0 and x integrirt, so erhält man folgende drei Forme

3) /*« x'^Sx _ 2 _ ar+l *»£»«• .a:»— ^

— :^ A"'''8y3— (*+-4 + 7 — •+ 3„_2)» /•»a*MJ8^ ., . . .v 1 A T. 2«+l . > A rr l

"•■ 3 ^ 6 + 9 +••• 3^

0iitin§9r: üeöer be$Hmmte Inteffrale.

169

1 2^-1-1 1 A

5m+l

Hieraim erhält mao fär die Grenzen swischen 0 and 1 folgende itegrale:

4)

* X^'^dx TS 1 1

f

/l fSM^l^^ 9E 1 1

riq^+:55=-*lg3-g^3+l+H}+...3;^,-i(l+Hi+....-).

BBeraas leiten sich folgende Integrale ab:

8)

/

/

0

dx

l+x+x*

xdx

3V3'

l+x+x

i=-4lg3-

n

«V3'

x^dx

%

3V3

-4,

l+ar+o:«

_^*a^___ II 1 ^ 1

ar^da? % 11

l+or+a:«"" 3V3""20'

u. s. w.

Benutzt ^man die Gleichung

(

iIg(l+*+:r«)8x = ^lg(H-x+;r»)-^/jqg^^,

_2 f jt^^dx

rwi

la

170 Oettinger: üeäer öeslimmie Iniegraie.

so erhält man für die Grenzen zn-ischen 0 und'l:

6)

Wird nun 3m -fl, 3m -1-2$ 3m+3 «tatt m in Nr. 6) gesi ben, werden die angezeigten Integrale aus Nr. 4) eingefubr die hieraus sich ergebenden Resultate zusaromengezäblt, so < man folgende Integralformen:

7)

+3^<*+*^^+-"3ir-i) + 305^)^»+*+*+ •••1)

~ 3^+1 ^* +*+' + - 3^Ti^ •

/^»"+« lg(H.:r+a:«)8^=3^, (1 + J+l + .... 3^

1 ,,12 1

^Sm + 3 ^*+* + '"-3^rf2^~3(3;iiT3)^^ +*■*■*•••• liTi

Zieht man die drei Reihen in eine susammen, so

man aus Nr. 7) :

8) + 3-^^-2+i+4-HJ+I....+3;;^+i-3j;^>

r

3lg3 TT

1 112

0 ei fing er: Veber bestimmte Iniegrate. 171

J ar«'»+«lg(l+ar+a:*)Sar

0

1 1 1 2

Hierauü leiten sieb folgende Integrale ab:

9)

J x\%{\^x^x^)hx =—4- - j^» a?*lg(l+a:+j:«)8a:=Tg,

o

^* a:»lg(l+a:+a;«)8a:=^|- + g^-;^.

/i 19

a:*lp(l+a:+j:«)aa?=j^,

/i . , « 3lff3 n; 111

a:e|g(l+a:+a:*)8:r = -j|- + j^:^- 49Q.

P ^^lga+^+^*)8^=n|- -16^3 + 560'

y * a:«lg(l+aj+a:«)8a? =

2509

22680'

U. 8. W.

^^Hen diese Integrale mit den Vorzablen der Potenzen des "^■Uins (l::^^) verbunden, so entsteht:

10)

jf' (l+ar)lg(H-a:+a:»)8a; =ilg3+4:^-2,

J^ (l+a:)«lg(i+a;+a:«)a;r=3lg3-W,

I

a. 8. w.

172 Oettinger: Deber bestimmte Inlepraie.

11)

(l-x)lg(l+«+x«)Sar =jlg3+|;^-2,

/i re 31

(1 -a;)«lg(H-j;+a»)ajr= ;^— jg ,

/* . 9le3 9» 3 (l-x)»lg(l+a;+ar«)aa:= ^^^-l'

^* (l-ar)*lg(l+a:+j:^a^=-^+I5^ + ^,

O. 8. W.

8. 17.

In gleicher Weise lässt sich das Integral

/ar'»-* Ig (1 — o? + o:*) 8ar darstellen. Man erhält durch Division:

1) ^ =ar-* — ar-» + ar-«- a:" .... (-)r-iar-»'+i (-)r ^

1 — ar+or* "** ' 1— :

+ a:-» — ar-«+ar-«— a:-«.... (— )^-iar-»',

und man hat in dieser Darstellang xwischen einem geraden ungeraden r zu unterscheiden. Es entstehen daher bei Entvi Inng des vorstehenden Integrals sechs Formen^ von denen zwei Reihen mit abwechselnden Zeichen umschliesst and voi Integralen •

/dx C xbx C x^x

1— a:-Fx«' J |_^ + a:«* J l— a:+ar«

begleitet ist, von welchen sich das letztere auf folgende ^ zerlegt :

/l ; — \ = / 8ar 4- / y , — a 8a:.

Werden die aus Nr. 1) sich ergebenden Reihen der Reihe mit /ar*"8j:, /a:**+*8a:, .... /a:*~+*8a: verbunden und xwii den Grenzen 0 und x integrirt, so ergeben sich folgende Foi die wir in abgekürzter Gestalt angeben:

OeiUnger: (Jeder bestimmte Integrale. 173

2)

^ !-*+««=< i-x+x*'*^'^" ^"^ 3irn~ ' ^~^ äiT'

•( !—«+«*" < l-ar+ar« ^o"^ ( ^ 3a+l

Die begleiteodeD Integrale haben folgende Wertbe:

3) /•' aar • 2 . . ar-l . 2.1

/' af8g ,, ,, . * . 1 A , 2a;— 1 ,1.^1

f

Werden die Integrale in Nr. 2) zwischen den Grenzen von 0 «nd 1 genommen, so gehen sie mit Rficksicht auf Nr. 3) in fol- gende über:

4)

/' afi^dx- 2« , 1 , 1

, 1— *+a:«-5v3~^*~'+*-~6m— 1^"^'"*+' •~^:r2)'

/••^««-jja* «_ 1 1 ,

/ I— «+««~3V3~*^*""*"*'*"-"~2m^~^*~*+''-"~6^^^'

/" ar«"+«8ar _ jr^ 1_ 1

^ l-;r+a^-~3f3+*~'+^ ••+B;jrFT~*^'~*"*'*-~2S;>'

/i j«i»|»ftg 2» 1 1

174 Oeittnger: ieber öeiUmm:e Integraie

./ l=J+^«= + 3t73 - ('-ä+}- .- 6;;^+4>+*^^~*+*-- +a+\^- Hieraus ergeben sieb folgende Integrale:

5)

./ f^^+:r«"" 3V3'

•/ 1— ar+o:«-" 3v^^^'

/t x^dx 2n 3 „ 1— ar+a:*-7""3i/3"^2'

r ' ar*8 j: _ ^_,5 ./ 1— a:+a:« — "3v/3^6'

/• i ac^dx _^ n 5

./ r-~rTi^ "■ 3 v^3 - 12'

/» jr^e^r _2^ 21

„ 1-V+A^^"" 3V3"'20'

U. 6. W.

Benutzt man die Gleichung

fx'^'^gil-'X+x^)dx= ^ lg(l-.j:+a:*)+ ^/V^

ar"»8a:

_2 /• ar-'+ia^ m«' 1 — a;+a:*'

welche für die Grenzen zwischen 0 und 1 in folgende übergeht:

6)

J X lg(I XtX )CX^ ^^ J l_^^j,2 ^y l-.^^.j«'

und setzt hierin der Reihe nach Gw-f 1, 6m -f 2,.... Gm 4-6 statt m, so ergeben sich mit Rucksicht auf Nr. 4) folgende Integralformeo :

7) * I 1 1 1 2 , , 1

fim+P» *^*" 6m-r 6m+P' '^'— '^em+I

Qetiinper : Geber bestimmte Iniegraie. 175

1 j I 2 , , 1

1 ^12 1

■"ö^+ä^*""*"** "■ •••• "'"6^T2^"" 3(6m+3) ^*'^+*~""+2m+i^'

1 1 2 j , l

(6;/i+5)V3

'^ a-i + 4- ..+ or:\-|)

■3(6m + 5)^" '^^ •••^2m + l 1 ^ ^ 1 2 , 1

1 12 1

^6S+g^*""^+^'-^ 6^+5^ "*"3(6m+6)^^"^ "*■*"* ••~2^+2^*

Hieraus leiten isich folgende Integrale ab:

8)

/ x\f(\—x^■x*)^x—~^—\,

/ a:«lg(l — a: + a:*)9a:=— lg.

o

/l TC 5

x»lg(l — ar + a?«)8a?=-j^ + j2,

A

176 OBiUn§er: Oeöer btiUmmie Inie$raie.

0

0

/* 7

o

O O

U. 6. W,

Ferner ergeben sieb bieraas folgende Integrale:

9) (H-«)Ig(l-aH-*«)aa: =3^3-3.

(l+ar)»lg(l-*f*«)3a: =|5-jg. (1+«)» lg (l-a;+a^) 8x = ^ - :^ ,

^'(l+:r)*lg(l-^H-*«)ax = ^-^,

/' 60

(1+a)« Ig (1-«+j^)8j: = - ^ .

O. 6. W.

10)

^'(l-x)lg(l-aH-a:»)3« = ^-l.

18

5

^'(I-:r)»Ig(l-ar+ar«)aar=- j^ + j^. y ' (l-ar)«lg(l-j:+««)ax=-^ ,

u. s« w.

Merkwürdig Ist der Zusammenbang» worin die Integrale P mit denen in Nr. 8) stehen.

Ottiinger: Otder destimmte hUegrtUe.

177

Abs den in diesem und dem Torhergehendeii Paragraphen ge- findenen Resnitaten könoen nun auch folgende Integrale :

0. 8. w. abgeleitet werden.

§. 18.

Setst man in den §. 16. Nr. 4) gefundeneu Gleichungen 2i?i und &I-I-1 statt fiiy verbindet die biedurch entstehenden Resultate m\ den in $. 17. Nr. 4) {gefundenen und bemerkt, dass

1)

/^ xP^^dx /** xvdx f^ _ü^Pdx_

, l + ar^ + i*"'^ l-.r+a:« ^J l + a:+ar*

bt, 80 erhält roan^ wenn statt p allmälig die Werthe 6m, 6m-f 1 ,.... ^-fS geschrieben und die erforderlichen Reductionen gemacht werden, folgende Integralformeii :

2)

/•" it*M*ar Ig3 » , 1 1

/' sM-adi; »11

. il?q^=i«83-i2^-i(4+J+...ä;i;ri)+l(H4+i....^.

i /•■ J'»f*8a; _ «...,. i ^ IHM I — '-

/' > «<»f*S« «11

/' 2*H-0d:r ^1 1

/ i+P+i»=i'83 + i^-(i + J+.-6;;i+i)+i(HUl+....s;i:f-,).

Die letzte Form geht, wenn m — 1 statt m geschrieben wird, in feigende über:

/

3)

12»

178

Oe Hing er: ileöer bestimmte Integrale.

Hieraus ergeben s

/

0

/

/

/

o

/

(I

/

ich folgende Integrale:

4)

xdx

x^dx

x^dx

x*dx l+xHa:*' x^dx

l+xH^'

=Jlg3+
»
6v'3'
-i'g3 + 4v3'
ilg3-	ff 12 V3'
X ~2v3	+ 1,
-ilg3	ff ~ 12V3
Jlg3+

+ 4,

u. s. w.

Man kann nun entweder folgende Gleichung;

benutzen, 6m -fl, 6m -f 2,.... statt m setzen und dann die ao^- ^ zeigten Werthe aus Nr. 2) und Nr. 3) einführen^ oder mao kann, was einfacber ist, die in §. 16. Nr. 7) und §, 17. Mr. 7) erhalttneo Gleichungen mit einander verbinden, nachdem man in Nr^7){. 16. 2m und 2m -f 1 statt m geschrieben hat« In beiden Ffillen nirA man folgende Integralformen erhalten:

/ x^\g(\+x*+x^)dx=:

8) 31g3

3ff

2(6m +l)'^2(6m+l)V3

+3(6m+i)^* +*+*■*"••• äST^n:^

2 14 1

r -•-*^'«<'+-'+-*>«'=2-(l^+-2j +2W2)V3

1

+ 3(6^2)(»+*+* + --i-^

Oettin§er: Veöer öesttmmte !nU§rai€. 179

r a:-+«lR(l + xH:r*)8^=g^ (i + } + A + .... e^sqri)

2 14 1

"•"feM^^' + T'^ + '-e^Zl)— 3(6m + 3)^* + * + * + - •2Srri^'

' **-f»lg(l4^«+:f)aa: =2(^^ -2(6m+4)v3

1 12 1

I

2 1

+3(«OT+5)^'+*+^+-"2irn^

1,12 1

Hienu8 gewinnt man folgende Integrale;

6)

/' ig(i+xH-*)a* =-|- + ^3-4.

f' :rlg(l+a:»+**)a:r =^|^ + |^-l, f x»lg(l+a:"+a:«)a«=5,

/^ ar»lg(l+a;«+ar4)3a:=^,

/"' «. /. . . ^.n 3lg3. 3» 368 ./ a:«lg(i+a:«+x*)a* = T5-+i4-^-735.

IgO Oßiiinger: üeber bestimmte Integrale.

%

/i ^ 3lß3 n 5

y* a:»lg(l+ar«+a:«)3a? =

286

2836'

U. 8. W.

Eben so erhält man:

7)

/* (H-«)lg(l-Ne«+a:*)8a: =i'g3+^-5'

V (H-«)«lg(l+*«+a:*)ac=3lg3+:j^— g ,

/> . 33ie3 I7n 19

(H-;r)»lg(l+;r«+^)e:r= -g^ + g^- 3 .

/*! 63le3 17» 472

./ (H-^)*lg(l+^+^)8^ = ^J^ + li^- 75 .

O. 8. W.

8) J[' (l-a:)lg(l+a:«+;r«)8;r =-2i|3+^8^_3,

/' (l-:t)«lg(l+a:«+ar*)8a;=;^-^. r (l-a:)»lg(l+a;«+jr«)aa:=-|lg3 + g^-g, ^' (l_;r)«lg(l+^+^)ar=-^+i^^ + ^.

U. 8. W.

(Die folgenden Abtheilungen dieser Abhandlang werden baldigst folge

Berleltiii^iiii||. Folgende Fehler im Anfange dieses Satzes wurden erst nachträglich gefunden:

S.lSl.Z.Lv.o. setze man statt ,,Nr.7) und 8)'<: ,,Nr.6) um „ 132. „ 2. V. u. statt „ - ** «. m. : „(—)'*"•

„ loo. „ o. V. 0. setze man r-=- — - statt • ^ ri

r + 1 r+l

A 133. „ 13. ▼. o. in der Formel 5) fehlt am Integralzeichen uo

k'tnkeltn: Zur Theorie des Priimoidee, \fi\

J

Zur Theorie des Prismoides.

Von

Herrn Hermann Kinkelin y

Lehrer an der Gewerlietchtile in KascI.

I.

Denkt man sich im Räume irgend ein System von stetig auf einander folgenden Geraden, von denen die letzte sich wieder an die ergte anscbliesst, so umhüllen dieselben einen unvollkommen begrenzten Raum. Schneidet man diesen Raum durch zi%Vi unter sich parallele Ebenen, so dass jede Gerade des Systems getrof- fen wird, so wird von jenem ein Körper abgeschnitten, den man Prismoid oder Obelisk genannt hat. Die beiden parallelen Schnittebeoen hcissen die Grundflächen und die von dem System der Geraden eingenommene Fläche (eine in sich selbst zuröck- kehrende Regelfläche) die Seitenfläche. Diese Seitenfläche ist iD Allgemeinen kramm, kann aber im Besonderen aus Ebenen* •tkken bestehen. Man darf indessen auch umgekehrt sagen, bn die Seitenfläche im Allgemeinen aus Ebenenstüdcen bestehe, welehe im Besondem unendlich werden und eine krumme Fläche Uden können. Von diesem BegriflT werden wir im Folgenden aus- geben nnd die Grundflächen demnach ansehen als beliebige gerad- hige Vielecke mit bezGglich parallelen Seiten, und die Seiten- 6che als bestehend ans neben einander liegenden Trapezen, welche fe parallelen Seiten der Grundflächen unmittelbar verbinden, hf^ndere Formen des Prismoides sind unter andern: Pyramide nd Kegel, Prisma und Zylinder, die abgestutzte Pyramide, das ciOMhalige Hyperboloid, das schiefabgeschnittene dreiseitige Prisma, ^ Zelt, das Tetraeder u. s. w. Ueberhaupt ist das Prismoid ^ der allgemeinsten Kurperformen und gewährt theoretisches ^praktisches Interesse, letzteres um so mehr, als sich dessen

182 /Cinkelin: Zur Theorie des Prim§ide$.

Inhalt durch einen einfachen Ausdruck angeben Ifisst, den man mit den allerelementarsten Hölfsmitteln finden kann. Die nach- stehenden Eigenschaften scheinen noch keine Besprechung gefoo- den zu haben.

8ie betreffen die Gr5s8envergleichung paralleler ebe- ner Schnitte durch das Prismoid. Ich denke mir drei äquidistante ebene Schnitte durch dasselbe , von denen die zwei äussersten die Grundflächen sein mögen, und der mittlere Mit- telschnitt genannt werden soll. Man bezeichne die Inhalte die« ser drei FiSchen bezüglich mit G, g^ m and den Abstand rea G und g, die Hube, mit h, so dass m sowohl von G, alsvoo^, um ih entfernt ist. Die Seiten des Mittelschnitts sind die aritt- metischen Mittel zu den parallelen Seiten der GmndflScheo, and die Winkel am Mittelschnitt sind den Winkeln an den Grand- flächdn bezOglich gleich (Taf. II. Fig. !.)• Die Grosse von m iit im Allgemeinen von G und g nicht unmittelbar abhängig, dage* gen ist sie durch die Seiten und Winkel von G und g ausdrflckbtf. Nur in einigen besonderen Fällen^ wie z. B. beim Prisma, M der vollständigen und der abgestutzten Pyramide, lässt sieb ■ direkt durch G und g ausdrucken. Dagegen können wir jedea anderen mit diesen dreien parallelen Schnitt, dessen Inhalt durck y bezeichnet werde, von 0, g, m und seinen Abständen von di^ sen Flächen abhängig machen, wie ich nun zeigen will.

IL

Betrachten wir zunächst das ebene Trapez ABGB (TitD. Fig. 1.); JK sei dessen Mittellinie, d. h. die Gerade, welche die Mitten der nicht parallelen Seiten AB und BG verbindet, QP irgend eine Parallele zu JK. Der Abstand der Grundlinieo AB und GB von einander sei ^, der Abstand von AB und QP sA 1^1 , und der von QP und GB sei ^^, Man ziehe die Gerade BRSt parallel zu BG und setze den Inhalt ABGB= T, JKGB-T, GBQP^^i, BGBT^py so wird:

KSGB:=\, GBRP=^.

Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke ATB, JSB, QRH folgt sogleich , dass

(^-f)--(^--^=T^V.

Xtnkelin: Zur Theorie des Prismotdes, 183

Jiminirt man hieraus die Grosse p, so erhält man eine Glei- bang, aus der sich t leicht bestimmen lässt» nemüch:

setit man hierin d"^ durch ^ — ^j» so wird:

inms man sieht, dass i^ d. h. der Inhalt des Trapezes GBQP, le lineare Funktion der Trapeze ABGB und JKGH, und eine ladratische Funktion des Abstandes d'i seiner Grundlinie QP D AB ist

Dieses festgestellt, denken wir uns ein Prismoid, dessen nadfllche G auf der Zeichnungsebene aufliegt, und projiziren «selbe senkrecht auf diese, so sind die Projektionen aller mit G iraltelen Schnitte den Schnitten selbst gleich. Es sei ABCDEFGB De solche Projektion eines vierseitigen Pri<imoides (Taf. II. Fig. 1.), id die Inhalte seien :

ÄBCD==G, EFGB=zg, JKLM = m, NOPQ=zy;

ner seien die Abstände von G und g, von G und m, von g und • bezüglich gleich h, rj, ij'. Alsdann ist nach (1):

kr, da ^9 ^1, ^^ bezuglich mit h, ri, r{ proportional sind:

GBPQ^ (5j:J^1?- ,ABGB\^^. JKGB, (2)

Aeknliche Relationen gelten fiir die Flächen BCFG, CDEF, U)£J7. Es ist aber :

y— ^= GBPQ+ QNEB'-ONEF + POFG,

G^g= ABGB + ADEB - CDEF + BCFG,

m^g=JKGB ^JMEB--LMEF^KLFG.

Durch entsprechende Verbindung der Relation (2) mit ihren 'H^dneten erhält man daher:

oder

184 Kinkelin: Zur Theorie des Primneiäe».

«

oder auch, weil ri' = h — rj,

welche Bestimmung offenbar auch für Jedes andere Prismoid gilt

Am Prismoid ist daher der Inhalt einer den Grund- flächen parallelen Schnittfläche eine lineare Fanktion der Grundflächen und des Mittelschnittes, und ein^qia- dratische Funktion ihreß Abstandes von einer Grund- fläche.

III.

Würde man in einer Ebene die Hoben q ab AbMdsssn und die Inhalte y der Schnittflächen als Ordinaten in einem recbtirbb ligen Koordinatensystem auftragen, so erhielte man als Ort dfli Endpunkte der letzteren eine Parabel, deren Axe mit der Oldl» natenaxe parallel ist (Taf. 11. Fig. 2.)* Diese Parabel kann die At scissenaxe entweder gar nicht treffen , oder in einem Punkte be^ rühren oder in zwei Punkten jecbneiden. Ersteres Gndet Mt, wenn keine Schnittfläche null ist» wie etwa beim einschalipi Hypcrl)oloid. Das zweite flndet statt, wenn nur eine Schnlttflicfce null ist, wie bei der Pyramide. Das dritte endlich tritt ein, weoa zwei Schnittflächen null sind, wie dies beim Tetraeder der Fall ist, wenn die Schnitte parallel mit zwei einander gegenflberlieps- den Kanten gefuhrt werden; in diesem Falle sind die Schaitt* flächen, welche «wischen den beiden Terschwindenden Schnitt- flächen liegen, positiv, wenn die ausserhalb liegenden negttir ^ angenommen werden , und umgekehrt. Indessen will ich hier siebt \ weiter auf die Untersuchung solcher negativen Flächen elqMlii^ j da sie ohnehin keinen Schwierigkeiten unterliegt J

Der Kauminhalt des Prismoides zwischen den GrviidÜchei (ff' und g kann durch verschiedene Methoden gefoodeD werdea- Derselbe wird z. R. auch durch die Fläche angegeben, frekbl von den zwischen G und g liegenden Ordinaten der eben bespreche nen Parabel bedeckt wird. Sehr elegant ist die Ableiting voi Herrn Professor Steiner, der das Prismoid von irgend eiMß Punkte im Mittelschnitt, als Spitze, aus in Pyramiden scilegt Man kann ihn auch aus dem zuletzt angegebenen Werthe vos / ableiten, indem man ihn mit fi^ multiplicirt und nach q swisckin den Grenzen 0 und k inlegrirt. Man erhält leicht:

Einkeiin: Zur Theorie des Prismaides, 185

J = JA(C+^+4m),

ie bekannt. Soll der Inhalt, statt darcb m, durch irgend einen diebigen Schnitt y, der von G, g bezüglich nm 17, V absteht^ isgedrSckt werden, so ist ans (3):

relcbes fär J den Ausdruck gibt:

J=iÄ(2(G+i^+y)+^(y-G) + i(y-^)). (4)

IV.

An das Vorhergehende lassen sich verschiedene weitere Be* nchtuBgen anknüpfen, von denen ich einige hervorheben will, k sie 10 bemerkenswerthen Resultaten fShren. Untersuchen wir michst,*in welcher Beziehung zwei Schnitte zu einander stehen, lie in bezQglich gleichen Abstünden von den Grundflächen ge- Rihrt sind.

Die beiden Schnitte seien y und /, ihre Abstände von den BmndflSdben seien 17 und ff ^ so folgt aus (3):

woraus man durch Subtraction unter Berficksichtigung , dass * = i}+V> erhält:

y-/ = ^«?-Ä^), (6)

4.b. die Differenz zweier von den Grundflächen gleich- abstehender Schnitte verhält sich zur Differenz der Qmndflächen, wie ihre EntfeVnung zur ganzen Hohe.

Theilen die beiden so eben besprochenen Schnitte die Hube 4 des Prismoides in drei gleiche Theile, so mögen sie Drittel- edmittebeissen (Taf.II. Fig. 3.), und dann ist i}s=iA, V^iA, also:

ond die Inhaltsformel (4) geht über in:

J = iA(G + 3y). (6)

Dieser letzte Ausdruck ist dadurch merkwürdig, dass man, um eimittelst desselben den Inhalt des Prismoides anzugeben, nur

Theil XX3JX. 13

186 Kinkelin: Beweis der drei Brüder fltr dem Asudruck

zwei parallele Schnitte und die HShe sn kenoen braucht» Qe»' lieb die untere Grundfläche G und den obereo Drittelechnitt y» odari die obere Grundfläche g und den unteren Drittel«chnitt /. lDta< fern G-fSy als Summe von vier Grossen aofgefasst wird« b« man die letzte Gleichung so aussprechen:

Das Prisrooid ist gleich gross mit einem Prliat von gleicher Höhe, dessen Grundfläche das arithae- tiscbe Mittel ist zwischen der unteren Grandflächeiii dem dreifachen oberen Mittelschnitt des Prismoides.

Beweis der drei Bruder für deD Ausdmck des Drä*

eckinhaltes darch die

(Chasles, Geschichte der Geometrie, an versebied. SteHes.)

Mitgetheilt durch

Herrn Hermann Kinkeliny Lehrer an der Gewerbetchale in Batet.

Von der Schrift, welche mit deo Worten beginnt: »fVfihi filionira Moysi filii Schir; Manmeti, Hameti et Hason" ImIbM sich nach Chasles Angabe ein Manuskript auf der IcaiserlichM Bibliothek in Paris und eines auf der öffentlichen Bibliothek u Basel. Das letztere ist auf Pergament und unter dem Tild: „Liber trium fratrum" mit mehreren anderen interessanteo aitif nomischen, physikalischen und mathematischen Handscbriftea b einen Band gebunden; die Handschrift scheint dem 14tefl Jib- hundert anzugehören.

Die drei Brflder erklären im Eingange, dass sie ein Bq(^ über nicht allgemein bekannte Sätze der Flächen- und RanmiB* haltsbestimmung sn verfassen gedenken, und setien dafaiN^ eise

an DreieekinAalies durch die 8H^n. 187

indige Bekanntocbaft mit den Lehren des Euklid es ▼orans« 8t aber darin nur der angeführte Beweis des Satxes, dass

ihalt eines Dreiecks gleich V *(# — a) (s — ö) (i— ^ ist, werni

halben Umfang und a, b, c die Seiten des Dreiecks beden-

Alles Uebrige ist dem Archimedes (oder naeh ihrer Schreib-

Archimenides)und anderen griechischen Autoren entlehnt;

det einen Theil des höheren geometrischen Wissens Im Hit-

sr and nrnfasst die Berechnung der Kreise, Kegel, Zilinder

kugeln, Ausziehen der Kubikwurzel und Dreitheilufig des

eis. Der Beweis aber, den sie von obigem Satz geben, ist

, wie Chasles zuerst bemerkt hat, eigenthflmlich. Da der-

meines Wissens noch nirgends Teruifentllcht ist, so will

n hier in möglichst treuer Cebersetzung mittheilen:

Ich will zeigen, dass, wenn man den Ueber- schuss des halben Umgangs eines Dreiecks fiber jede Seite nimmt, hierauf den einen dieser Ueberschösse mit einem anderen multiplizirt, das Produkt davon mit dem dritten Ueberschass und dieses Produkt endlich mit dem halben Umfang, alsdann das, was herauskommt, gleich ist dem Produkt des Inhalts der Figur mit sich selbst.

s sei das Dreieck abg (Taf. II. Fig. 4.) gegeben, so behaupte Jass, wenn man den Ueberschuss der halben Samme der 11 abf bg, ga Gber jede von ihnen nimmt, hierauf die halbe le der Seiten mit dem Ueberschuss iQber ab multiplizirt, das ikt hierauf mit dem Ueberschuss über bg, and dieses letzte ikt mit dem Ueberschass über ga, dass das, was beraus- it, gleich ist dem Produkt des Inhalts des Dreiecks abg mit selbst. Ich beschreibe in das Dreieck abg den grössten dxn, dessen Mittelpunkt e sei, und ziehe aus dem Mktel- e die Linien ed, eu, ex nach den Punkten, in denen die ckseiten den Kreis berühren, sowie die Linie ae. Ich zeige lasa da=az, z6=6n, ng=g€L Weil nenilich ^eda=^eza eder ein Rechter ist, und ferner de=^ei, ea-^ea^ so ist tx, qod ebenso erkennt man, dass 16 = 611, ng=gd. Hier* il sm erkenne«, das» jede- der Linien i£«, az der Ueberschuss lalben Summe der Seiten ab, bg, ga über die Linie gb ist jede der Linien zb, bn der Ueberschuss jener halben Summe ag, und jede der Linien dg, gn der Ueberschuss jener hal- Samme über ba. Verlängern wir jetzt die Linie ae bis t, Mi A und ag bis k, und machen ah und ak gleich dem halben '^Bge des Dreiecks abg, so ist aus dem Vorigen klar, dass

13»

188 Einhelin: Bewein der drei Brüder für den Ausdruck etc.

die Linie hb gleich jeder der Linien ffn^ dg und die Linie 5 gleich jeder der Linien tby bn ist. Errichte ich aas h die Gerat ht senkrecht auf ah nnd ziehe kt^ so ist offenbar ht=^kt Mac! ich ferner auf bg das Stüclc bl ^ bh und ziehe </, so ist diet senkrecht zu 69; denn wenn man btj ig zieht, so ist klar, das bt^ --tg^ = bh^ -- kg^ oder, weil bh=zbl, kg — gl. *(• — % = 6/* — gPy woraus das Behauptete folgt. Daher ist (i^ = (i ^6/< und ^6A< sind Rechte. Demnach ist ^M^^bth, ud weil ^ltA + j^lbh=:2R, sowie ^%bn + ^lbh=^2R, so ist Z/< ==^z6n ; aber ^ebn ist die Hälfte von ^ zbn und ^ 6tik die Hfilft von ^Ith, folglich ^ebn=zj^htb und ^ben = ^ibk. DieDre ecke ben und bth sind also ähnlich und es entsteht die Proportioi

en:n6 = hbiht, woraus

6z.Af=6z.A6. Da aber

ez^:ez.kt=z eiiht und ez:A^=az:Aa,

so wird:

ez*:ez.hi=^ai:ha oder

ez^ibz.hb = az:Aa.

Hieraus kommt:

ez*.Aa:= 112.6z.A6.

Es ist aber et*,ah=ex.ah.€z, und da ez.aA der Inhalt^ Dreiecks abg ist, so folgt aus dem Vorigen, dass

^•6z = ii2.6z.A6, daher

^.ez.aA = az.6z.6A.aA oder

^. .^ := az.ftz. ftA.oA,

w. I. b. w., denn az. 6z, 6A sind die Ueberschilsse des btlb^ Umfange des Dreiecks abg über die Seiten bg, ag. ab, uoA^ ist der halbe Umfang selbst.

Bö k Jen: Zur Theorie der geodäliicAen Linien. 189

XII.

Zur Theorie der geodätischen Linien.

Von

Herrn Doctor Otto Böklen

zu Salz a. N. im Königreich Wartemberg.

Die geodätischen Linien nehmen an vielen Eigenschaften der »eraden Linien in der Ebene Theil. Es liegt daher der Gedanke iahe, dieselben einer ähnlichen Behandlung zu unterwerfen^ wie 'le Geraden in der Planimetrie. Das Folgende ist ein Versuch Qr Ausführung dieses Gedankens.

§. 1.

1. Erklärung. Die geodätische Linie ist der kdrsesle Weg on einem Punkt zum andern auf einer Fläche.

2. Grundsatz. Von einem Punkt zum andern kann aiif iner Fläche nur Eine geodätische Linie gezogen werden.

3. Lehrsatz. Zwei geodätische Linien, welche zwei Punkte emein haben, fallen in ihrer ganzen Ausdehnung zusammen und ilden nur eine und dieselbe geodätische Linie.

Beweis. Die gemeinschaftlichen Punkte sollen A und ß sein Taf. IL Fig. 5.) , so miissen zuerst di^ beiden Linien von A bis B Qr eine einzige bilden (2. Grundsatz). Gingen nun die Linien OD B an aus einander, die eine nach C, die andere nach D, so ass BC und BD zwei Elemente derselben sind, die wir als erade annehmen können , so nebinen wir auf der geodätischen •inie AB unendlich nahe bei B einen Punkt E an; BE kann

190 Bökien: Zur Theorie der §eodäti$eken IMem.

dann ebenfalls als Gerade angesehen iverden. Wir siehen nn durch B auf der Fläche eine sehr kleine Linie BF senkrecht wÜ EB. Wäre der Winkel FBD kein Rechter, so konnte man £JI| ziehen; dann wäre in dem unendlich kleinen eheoen Dreieck EßB\

EB+ßD'>ED,

also könnte EBD keine geodätische Linie sein. Wäre aberJarj Winkel FBC kein Rechter, so konnte man EC ziehen ead UHi| in dem unendlich kleinen ebenen Dreieck EBCi

EB + BC> EC,

also konnte EBC keine geodätische Linie sein. Somit sind iaj Winkel FBC und FBD zugleich Rechte, also ßillt BD mit HCl zusammen.

4. Zusatz. Zwei geodätische Linien auf einer Fläche nen sich wohf schneiden, aber' nicht berühren«

Beweis. Worden sie sich berühren, so hätten sie zvfeiiif einaader folgende Punkte gemein, mOssten also ganz zosanowi' fallen.

5. Lehrsatz. In jedem geodätischen Dreiecke ist jede SA Ueiner als die Summe der beiden übrigen.

Beweiiä. Es sei ABC das Dreieck. Da AB der Vku/k Weg von A nach B ist, so muss AB '^AC-^BC sein. (I. &

klärung.)

6. Lehrsatz. Wenn man von einem Punkte O (Ttf.D* Fig. 6.) im Innern eines geodätischen Dreiecks ABC nach du Endpunkten einer Seite ßC die geodätischen Linien OBu^OC zieht, so ist die Summe dieser Linien kleiner als diejenige dv | beiden Seiten AB und AC.

»

Beweis. Es werde die geodätische Linie BO verttogvi bis sie die Seite AC in D schneidet, so ist die geodätische LW* OC<^OD + DC (5. Lehrsatz.). Thut man auf beiden Seitei BO hinzu, so hat man:

BO+OC<BO+OD + DC oder BO + OC<:BD + DC

Ebenso aber ist:

BD<: BA + AD;

thut man auf beiden Seiten DC hinzu, so hat man:

BD + DC<:BA + AC,

Aber es war

Bökien: Zur Theorie der geodättechen LMen. 191

BO -{■ OC <, BD ^- DCs

st um 80 mehr:

BOi^OC<^BA + Aa

\8 mag hier erwähnt werden, dass von dem entsprechenden aetrischen Satze Herr Professor Banr in Stuttgart bei Gele- (it des Beweises von dem nachfolgenden Lehrsatze 21 b. ide Erweiterung angegeben hat: Gegeben ist das (gerad- ) Dreieck ABC (Taf. IL Fig. 7.) ; wenn man den Punkt O so imt, dass die Linien CO und BO die Verlängerungen der 9 AB und AC dber B und C hinaus schneiden, so ist:

Ä0+ OCK^ABi-AC.

. Lehrsatz. Unter allen geodätischen Linien, welche

7on einem Punkte auf einer Fläche nach einer geodätischen

ziehen lassen, schneidet die kürzeste dieselbe rechtwinklig.

(eweis. Es sei ^4 (Taf. II. Fig. 8.) der Punkt und BM die lene geodätische Linie. Würde die kürzeste geodjttiache , die sich von A nach ^Jlf ziehen lässt, AB sein, und wäre Vinkel bei B schief/ so nehme man unendlich nahe bei B 'unkt C auf AB an und ziehe nach der Curve die Linie CD echt. Dann wäre In dem unendlich kleinen Dreiecke- CBD lie Hypotenuse, also

CB> CD, mithin auch AC+CB>AC+ CD;

wäre AB nicht die kürzeste Linie, die sich nach der gege- 1 geodätischen Linie ziehen lässt.

)ieser Satz kann insofern eine Modifikation erleiden, wenn lem Punkte nach der gegebenen geodätischen Linie mehrere Itische Minimumslinien gezogen werden können, deren Zahl ens immerhin begrenzt ist. Auch gilt obiger Beweis für den neineren Fall, wenn BM keine geodätische Linie, sondern beliebige Curve auf der Fläche ist.

§.2.

I. Erklärung. Die Mittelpunktscurve auf einer Fläche (welche Kreise in der Ebene entspricht) ist eine krumme Linie, le die Eigenschaft hat, dass die geodätischen Entfernungen sämmtlichen Punkte von einem und demselben Punkte inner- . welcher Mittelpunkt heisst, einander gleich sind.

192 Bökien: Zur Theorie der geodätischen Linien.

9. Erklärung. Jede vom Mittelpunkte nach dem Umfang der Mittelpunktscurve gezogene geodätische Linie heisst Radine Jede geodätische Linie, welche durch den Mittelpunkt geht an an beiden Enden vom Kreisumfange begrenzt ist, heisst Dnrcfa messer.

10. Erklärung. Jede geodätische Li nie , welche zwei be liebige Punkte einer Mittelpunktscurve verbindet, heisst Sehne

11. Lehrsatz. Jede Sehne ist kflrzer als der Durchmesser

Beweis. Denn wenn man nach den Endpunkten der Sehn« CD die Halbmesser AC und AD zieht, so ist in dem geoditi sehen Dreiecke ACDi

CD^AC+ AD. (5. Lehrs.)

12. Lehrsatz. Die auf dem Hall^messer am Ende dessel ben senkrechte geodätische Linie ist eine Tangente der Mittel punktscurve. Dieser Satz ist identisch mit demjenigen von Gausi (Disqulsitiones generales circa superficies curvas) ZM|t, man von einem Punkte auf einer Fläche unendlich viel< gleich lange geodätische Linien, so schneiden sie die Verbindangi iinie ihrer Endpunkte rechtwinklig.

Beweis. A (Taf. II. Fig. 9.) ist der Mittelpunkt, m ubd m sind zwei unendlich nahe Punkte der Mittelpunktscurve, so mos der Winkel mm'A ein Rechter sein. Denn wäre er schief an grosser als der Winkel bei m, so könnte man m'm'' so ziebei dass Winkel mm'm" gleich 90^ wäre; in dem unendlich kleine Dreiecke mm'm" wäre mm" die Hypotenuse, also grösser als m'm" mithin Am" '{■m"m* < Am" ■\-m"m < Am^ -^Am', oder kleiner al die kürzeste Linie zwischen A und m' , was nicht möglich ist Dieser Beweis ist von Gauss (Disquis.), welcher denselbe Satz auch analytisch behandelt hat.

13. Lehrsatz. Alle von einem Punkte ausgehenden gCQ dätischen Linien, welche die Verbindungslinie ihrer Endpunkt rechtwinklig treffen, sind gleich lang.

Beweis. (Taf. II. Fig. 9.). Denn wäre z. B. Am^ Am', s könnte man auf Am einen Punkt m'' annehmen, so dass Am^^^An wäre. Dann niösste nach dem vorigen Satze Winkel m'^m'A ei Rechter sein, was der Voraussetzung widerspricht.

Dieser Satz hat kein Analogen in den dem Verfasser hi kannten Lehrbüchern der Planimetrie.

14. Zusatz. Jede geodätische Linie , welche eine Mittelpankt curve senkrecht schneidet, geht durch den Mittelpunkt derselbei

Bökien: Zur Theorie der geodätischen Linien. 193

J6. Lehrsatz. Wenn die Entfernung der Hittelpunkte zweier Mittelpnoktscurven kleiner ist als die Summe der Radien » der grussere Radius aber kleiner ist als die Summe des kleineren und der EntTernong der Mittelpunkte» so schneiden sich die Mittel - punktscurren.

Beweis. Denn damit das Schneiden stattfinde , mnss das Dreieck CAD rodglich sein; es muss also (Taf. II. Pig. 10.) nicht allein CD<:AC+AD, sondern auch (Tar.II.Fig.il.) der gros- sere Halbmesser AD-^AC+CD sein. Sobald das Dreieck CAD gezeichnet werden kann, werden sich beide Mittelpunktscnrven schneiden.

16. Lehrsatz. Wenn die geodätische Entfernung CD der Mittelpunkte zweier Mittelpunktscurven der Summe ihrer Halb- messer CA und AD gleich Ist, so werden sich die Curven von aussen berühren.

Beweis. Es ist klar, dass sie den Punkt A gemein haben werden, aber auch nur diesen Punkt; denn, um zwei iPimkte gemeinschaftlich zu haben , mOsste die geodätische Entfefi^^Dg der Mittelpunkte der Mittelpunktscurven kleiner sein als die Summe ihrer Radien.

17. Lehrsatz. Wenn die Entfernung CD der Mittelpunkte zweier Mittelpunktscurven dem Unterschiede ihrer Halbmesser CA und AD gleich ist, so werden sich die Curven innerhalb be- rOhren.

Beweis. Zuerst ist klar, dass sie den Punkt 'A gemein- schaftlich haben, aber auch nur diesen. Denn wäre es anders, so mflsste der grossere Halbmesser AD kleiner sein als die Summe des Radius AC und der Entfernung CD der Mittelpunkte, wel- ches nicht der Fall ist.

18. Zusatz. Wenn sich zwei Mittelpunktscurven ausserhalb oder innerhalb berühren, so liegen die Mittelpunkte und der Be- rührungspunkt in einer und derselben geodätischen Linie.

19. Zusatz. Alle Mittelpunktscurven, deren Mittelpunkte auf Einer geodätischen Linie liegen und durch den Punkt A geben, berühren sich. Sie haben nur den einen Punkt A gemeinschaft- lich, und wenn man durch A eine geodätische Linie zieht senk- recht auf die Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte, so wird die- selbe eine allen Mittelpunktscurven gemeinschaftliche Tangente sein.

20. Zusatz. Die Mittelpunkte aller derjenigen Mittelpunkts-

194 Bökien: Zur Tkeotie der geodättuhen linitn.

carveo, welche sich in einem und demselben Ponkte beführeD, liegen in einer geodätischen Linie.

Beweis. Es sei il der Beröhrungspunkt; man ziehe durch denselben eine geodätische Linie, welche die Mittelpanktscurven berührt, und senkrecht auf diese eine zweite geodätische Linie, 80 liegen auf letzterer die Mittelpunkte aller Mittelpnnktscurven. (14. Zusatz.)

§3.

Vorstehende Sätze sind Uebertragungen von planimetrischen Theoremen auf die Theorie der geodätischen Linien, mit Zugrun- delegung der Geometrie von Legendr e. Es sind dbrigens Hieils einige Erläuterungen beizufdgen, theils bieten sich noch weitere Sätze dar, die ebenfalls hier ihre Stelle finden ddrften.

Der Lehrsatz 7. bedarf einer näheren Erläuterung: Wenn ein.iPiinkt Ä auf einer Fläche gegeben ist und eine Curve X be- llaliigäür ^^f so sei AB eine von A nach der Curve gesogene geedftäsckie Linie, welche dieselbe senkrecht in B trifft. Wir ziehen die Mittelpunktscurve, deren Mittelpunkt A und deren Radius AB ist. Diese wird die gegebene Curve in B berühren. Es können nun drei Fälle stattfinden:

L Beide Aeste der Curve X vom Berührungspunkt B aus liegen ausserhalb der Mittelpunktscurve ; dann ist die Normale AB ein Minimum oder die kürzeste geodätische Linie« die sich von A nach X ziehen lässt.

11. Beide Aeste der Curve X vom Berührungspunkt B aus liegen innerhalb der Mittelpunktscurve« entweder ganz, oder so, dass sie wieder aus der Mittelpunktscurve heraustreten. Dann ist die Normale AB ein Maximum oder die längste geodätische Linie, die sich von A nach X ziehen lässt.

Hl. Der eine Ast der Curve X vom Berührungspunkt B ans liegt innerhalb, der andere ausserhalb der Mittelpunktscurve. Dann ist die Normale AB weder ein Maximum , noch ein Minimum.

Der Ausdruck Maximum oder Minimum ist relativ zu nehmen; denn wenn sich von A nach der Curve X mehrere Normalen ziehen lassen, so gibt es auch mehrere Maxima oder Minima.

Aus 111. folgt, dass sich der Lehrsatz 7. nicht umkehren lässt, man kann also nicht sagen: Unter allen geodätischen Linien, welche sich von Einem Punkte nach einer Curve auf einer Fläche ziehen lassen, ist die Normale die kürzeste (oder längste). Mit Aus-

BSkien: Zur Theorie der §eodäti$cken U$äen. 105

sdiliiMi der relativen Maxima uod Minima. Ut die allgemeine Faa- sang des 7ten Satzes diese: Unter allen geodätischen Linien, die sich von einem Punkte auf einer Fläche nach einer Curve ziebeo lassen, schneidet die kfiraeste oder längste dieselbe recht- winklig.

21a. Lehrsatz. Zieht man auf einer Fläche ein vollstän- diges geodätisches Viereck ABghfe, so dass Bh — Ahsi^Be — Ae ist, so findet die Relation statt:

woraus sofort auch folgt:

hg^hf^eg-^ef.

Diesen Satz habe ich im Archiv angegeben und bewiesen (Ueber die Rektifikation der Linien auf den Flächen^ Theil XXXVI. No. V. 16.). Der entsprechende planimetrische Satz heisst:

21 b. Lehrsatz. Zieht man von zwei festen Punkten A und B In einer Ebene nach zwei beweglichen PunlKton' f^ utA g

Gerade, so dass > !*^

Af+Bf=Ag+Bg

ist, and verlängert Af und Bg bis zum Durchschnitt in A, so ist auch :

ÄA — ^A = fic - Ae.

Beweis. (Von Herrn Repetent Binder in Schönthal a. d. Jaxt). Verlängert man in einem Viereck um den Kreis eghf (Taf.ll. Fig. 12.) die Gegenseiten, bis sie sich in A uod B schneiden, so ist:

Af^Bf=:Ag + Bg. Denn es ist:

Af+Bf=Ab''{'Ba^ Ab + Ba'=Ag + Bg.

Zieht man also die Geraden Af, Bf, Ag, Bg so, dass

Af+Bfz:iAg+Bg,

so ist, wenn A der Durchschnitt der Verlängerungen von Af und Bg ist, eghf ein Viereck um den Kreis, woraus weiter folgt:

Bh — Ah = Ba' — Ab' = Ba—Ab = Be—Ae,

was zu beweisen war.

Dieser Beweis gründet sich offenbar ausschliesslich auf fol- gende Eigenschaft des Kreises : „ Die von einem Punkt ausserhalb

196 Böklen: Zur Theorie der geoddliscäen Unten.

eines Kreises an denselben gezogenen Tangenten sind einander gleich/^ Da nnn ein Kngelkreis eine ähnliche Eigenschaft bat, nSmIicb diese : „ Die von einem Punkte auf einer Kngel an einen Nebenkreis tangential gezogenen ßOgen grosster Kreise sind ^n- ander gleiches so folgt hieraus, dass der Bin der 'sehe Beweis sich unmittelbar auf folgenden Satz ausdehnen lässt, der wieder ein spezieller Fall des Lehrsatzes 21 a. ist.

21 c. Lehrsatz. Zieht man von zwei festen Punkten A und B auf einer Kugel nach zwei beweglichen Punkten f und g Bugen grusster Kreise« so dass

Af+Bf=:Ag + ßg

ist» so ist 9 wenn die Verlängerungen der B5gen Af und Bg sich in h schneiden,

BA'^Ah = Be — Ae.

Die Punkte f und g liegen auf einem sphärischen Kegelschnitte, desden Brennpunkte A und B sind; die Punkte e und h liegen auf einem homofokalen sphärischen Kegelschnitte (dessen Brenn- punkte also auch A und B sind) und der den ersteren rechtwinklig schneidet. Da nun die Seiten des Vierecks eghf einen Kugelkreis aba'b' berubren, so folgen hieraus einige Eigenschaften homofo- kaler sphärischer Kegelschnitte:

22. Zieht man nach zwei Punkten eines sphärischen Kegel- schnitts von den Brennpunkten aus vier Bogen grosster Kreise, so erhält man durch Verlängerung derselben ein vollständiges Vier- eck aus Bogen grSsster Kreise, die Einen Kugelkreis berühren und von welchem zw^i andere Gegenecken auf einem homofoka- len sphärischen Kegelschnitte liegen.

Da der durch / gezogene Bogen eines grOssten Kreises, wel- cher den ersten sphärischen Kegelschnitt fg in f berfihrt, den Winkel der grossten Kreise Bf und hf bei f halbirt, so geht er durch den Mittelpunkt des Kugelkreises aba'b'; ebenso verhält es sich in den drei anderen Punkten g, e, h; hieraus schliessen wir:

23. Gegeben sind zwei homofokale sphärische Kegelschnitte. Man ziehe durch einen beliebigen Punkt der Kugel an beide Cur- ven je zwei berührende B5gen grosster Kreise, so sind die vier Berührungspunkte die Ecken eines V'ierecks (von Bogen grosster Kreise gebildet), dessen Gegenseiten sich paarweise in den bei- den Brennpunkten schneiden und dessen Seiten Einen Kugelkreis berühren.

Bökien: Zur Theorie der geodääicken Linien, 1Q7

Einen anderen anal3rtischeo Beweis des Lehrsatzes 21 b., wel- cher auf die versebiedenen speziellen FSlie eingehend Rücksicht nimmt, veröffentlichte Herr Professor Bau r an der polytechnischen Schule io Stuttgart (Correspondenzblatt fflr die Gelehrten- undRealschulen Württembergs» 1861). Folgende Sätze über solche Curveo auf den Flächen, welche den homofokaleo K^el- schnitten in der Ebene entsprechen, mOgen hier noch ihre Stelle finden :

Wenn eine Curre auf einer Fläche die Eigenschaft hat, dass die Summe der von einem Punkte derselben nach zwei festen Punkten der Fläche gezogenen geodätischen Linien konstant ist, so schneiden die letzteren die Curve unter gleichen Winkeln; und umgekehrt bilden die von jedem Punkte der Curve nach den festen Punkten gezogenen geodätischen Linien gleiche Winkel mit der Curve, so ist ihre Summe konstant.

Auf einer Fläche sind zwei feste Punkte und eine Curve ge- geben. Wenn der Winkel (nicht Nebenwinkel, wie yorbin), wel- chen die von einem Punkte der Curve nach den festen Pnnkten gezogenen geodätischen Radienvektoren mit einander bilden, von der Curve halbirt wird, so ist die Differenz dieser Radien kon- stant und umgekehrt (Analytische Geometrie des Ver- fassers S. 75.)

Diese Curven entsprechen den homofokalen Kegelschnitten in der Ebene, und es ist namentlich anzufiihren, dass die Krfim- mtmgslinien des Ellipsoids und zweimantlichen Hyperboloids hie- ber geh5ren. Die Mabelpunkte der Flächen sind die festen Punkte, von welchen aus die geodätischen Radienvektoren gezogen wer- den. Wenden wir nun den Satz 21 a. an, so bekommen wir fol- gendes Theorem:

2L Lehrsatz. Zieht man nach zwei Punkten einer Krüm- mungslinie eines Ellipstfids (einmantligen Hyperboloids) von den Nabelpunkten aus vier geodätische Radienvektoren, so erhält man durch Verlängerung derselben ein vollständiges geodätisches Vier- eck, von welchem zwei andere Gegenecken auf einer Krümmungs- linie des zweiten Systems liegen.

Als Corollare m5gen noch zwei planimetrische Sätze ange- führt werden , die unmittelbar aus 21 b« folgen :

Zieht man nach zwei Punkten auf dem Umfange einer Ellipse vier Brennstrahlen, so erhält man durch Verlängerung derselben ein vollständiges Viereck, von welchem zwei andere Gegenecken auf einer homofokalen Hyperbel liegen. In dieses Viereck lässt

198 Grüner i: Neue Auffös, der Gleichunpen des vterten Grades

sich ein Kreis beschreiben, in dessen Mittelpunkt sich die Tan- genten der Ellipse und Hyperbel in den genannten Eckpunkten schneiden.

Gegeben ist eine Ellipse und die honiorokale Hyperbel. Blan ziehe von einem beliebigen Punkte an beide Curven je zwei Tan- genten, so sind die Berührungspunkte die Ecken eines Vierecks, dessen Seiten einen Kreis berubren und dessen Gegenseiten sich paarweise in den Brennpunkten schneiden.

xui.

Neue Aaflosung der Gleichungen des vierten Grades ohne Wegscbaffung des zweiten Gliedes.

, Von

dem Heransgeber.

Die gegebene Gleichung des vierten Grades sei: 1) . . . . afi'\' ax^ + 6a:* + co? + rf ^ 0. Man setze:

j:* + im:'+ Aar* ■\-cX'\-d:^ (x^+p$f + g) (ar* + piX + ?i ) ,

oder nach Eutwickelung des Products auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens :

ar* + €uc^ + 6a:* + cx + d

x*i-p ■	x'+ g	X»
+Pl	+ PPi	+ 9Pi	X
	+ 91	+ P9i	+Wi.

^äme Weffscäaffunp des zweiten Gliedes. 199

Zorans sich zur BestimmuDg der Grossen p, q und ^, ^i die folgenden Gleichungen ergeben:

2)

qqi = d. Ans der zweiten und vierten dieser Gleichungen folgt

also :

(?+^i)*=y*+2wi+?i*=(&-m)*>

iqgi = 4d;

folglich durch Sdbtraction :

^o dass man also die beiden Gleichungen:

qi-qi^b'-ppi,

^^t, ans denen sich:

I 2q ^b'-ppi ± V (6-./?pi)«-4rf,

( ^qiz^b—ppiT^iä^ppi)*—^

«rgiebt.

Nach der dritten der vier Gleichungen 2) ist nun ferner ;

2c = 2qpi+2pqi, ^l^o nach 3) :

2c= ib'-ppi)pi ±pi V (6-/Vi)«-4rf

^^oraus sich:

2c = (6-jtip,)(/i+/h)T(p-A)V(6-ppi)«-.15, ^^0 nach der ersten der vier Gleichungen 2):

2c=a(6-«>i)T(p-Pi)^(*^IVi)*-^

oa

«t:

200 Grunert: Neue Aufiös. der Gleichungen de$ vierten Grade»

ergifebt.

Aas dieser Gleichung folgt:

also, weil

Pi—a-^p, b'-ppt=b'-p(a'-'p), p^p^=1p'-a

ist:

|(2c— a6) + ap(a-p)!«= (2p— a)«|[6— p(a— ^)]«— 4d| ={ai— 4p(i,— p)j|6««4ii— 26/i(a-/i)+p«(a-/i)«|,

oder, wenn man

5) p(a-~/>)=/>Pi = «

setzt :

|(2c— a6) + a«)* = (a*— 4«) (6»— 4rf— 26tt+ii«),

woraus sich nach leichter Rechnung die Gleichung:

6) . . «»— 26«*+(ac + Ä«— 4«0« + (c*— a6c + a«d)=0

ergiebt, mittelst welcher Gleichung u bestimmt werden nrass, worauf man p durch AuflusuDg der quadratischen Gleichung 5), ferner pi mittelst der Formel:

7) pi^ü'-p,

und endlich q, gi mittelst der Formeln 3) erhält

Ffir 6 = 0, also fllr biquadratische Gleichungen von der Form

nimmt die cubische Gleichung 6) die Form

ti» + (ac— 4«0«+(c«+a^=0

an, so dass also das sweite Glied schon in ihr fehlt

Durch Auflösung der Gleichung 5) ergiebt sich leicht:

( p=4aJ:Via«-ti,

wo keine Besiehnng swiscken den Zeichen in diesen und den Zeichen In den obigen Formeln Statt findet.

«te# We§$ekBff^mg dei »weiten 6ttede$, SOI

Die Aoadrlfcke von 2g, 2f| io 3) «teilt man am fieeteo auf fols^ode Art dar:

j 29 = 6-u Jb V(6-t«)«-4rf,

Wenn man

10) .... r = Ja*— II, also tt=ia* — ©

setzt, 80 lässt sich die Gleichung 6), wie man leicht findet, auf folgende Art darstellen:

Afl*— ia*6+i«*(flc + 6«— 4d) + (c«— I1ÄC+ aV)

+ (Ja«-26)r« ' "" '

oder, weil, wie man leicht findet,

Aa* — Ja** + Ja«(flc+6*— 4€i) + (c«— ii6c + ii«cO

ist, auf folgende Art:

+ {TVff*— a**+(ac + 6«-4d)]r | =0, -^(ja»— ia6+c)« )

80 dass also diese Gleichung, deren letstes Glied negativ ist, immer mindestens eine reelle positive Wurzel hat*); und wegen der Formel 10) muss also die Gleichung 6) Immer mindestens eine reelle, von jetzt an durch u zu bezeielioeode Wurzel haben, ^elchq die Grösse ia^ — u positiv, nach 8) also die Grossen P» pi reell liefert. Wegen der aus dem Obigen bekannten Gleichung

oder

{2c-a(6— t«)l«=4(Ja«-^a)|(6-tt)«-4rf| lat also auch die Grosse

(6--t,)«-4d P^«itiv, und die Formeln 9) liefern auch för q und ^1 reelle Werthe»

*) M. fl. die Anmerkang am Ende. **

202 Grüner t: Neue Amflßi. der GMekunfem des vierten Grades

Es (rauft sieh nan bloss noch, vne maii ia Obigvn die eben za nebmeo bat» worüber sich nach folgenden Regeln scheiden iSsst.

Die Gleichung 4) kann auf folgende Art geschrieben wen

11) . . . 2c-a(6-ti) = T(p-Pi)V(6-tt)«-4rf,

and mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen in dieser den beiden folgenden Gleichungen auf einander ist nach 9):

2« =6-fi±V^(6-«)«-4rf, 12) . . . \ , :

Nimmt man nun in den Formeln 8) die oberen Zeichen und « demzafoige :

13) I .

( Pi=4a— Via* — 1<;

also:

14) .... . p-pi=2Vja« — w«,

so lässt sich mittelst der Gleichung 11) immer entscheiden, we Zeichen in den Formeln 12) genommen werden müssen. Dass ist der Fall» wenn man in den Formeln 8) die upteren Zei< nimmt» und demaufolge

13*) .... 1 ^

also:

14*) g.-|h=-aVii?^ii* -

setzt. Dass aber beide Auflösungen im Wesentlichea is f zusammenfallen, ist klar. Hat man auf diese W^ise die re< Werthe von p, q und pj» q^ ganz unzweideutig bestimmt, so h&lt man durch Aoflosung dar beiden quadratischen Gleichun]

die vier Wurzeln der aufzulusenden Gleichung des vierten 'Gra

Bei den gewohnlichen Auflösungen der Gleichungen des 1 ten Grades durch Zerlegung der Function der Gleichung in : quadratische Factoren wird angenommen , dass aus der GleicE das zweite Glied weggeschafft sei, was bei der vorstehenden lösung nicht erforderlich ist.

«ter We0sehaffung des %wHien Gäedet. 203

ADmerkung.

Der oben angewandte Sats, daas jede Gleichung, deren letztes Glied negativ ist, mindestens eine reelle po- sitive Wnrxel haben mnss, kann leicbt auf folgende Art bewiesen werden.

Die gegebene Gleichung sei:

ar* + fli^:"-* + a«a?*-* + .... + a«— ia:+ a«=0 oder, wenn

f{x) =s o:« + Cia:*-* + a^p^-* + .... + On-iix + Hn gesetst wird,

Ftr ^ = 0 ist f(ß)=iau9 also ßff) negativ, weil o» als ne^atfv ▼oransgesetzt wird; und weil nun

/i:*)=^"(i+i + ?» + ••••+ iÄ=r + ^

bt, so ist ofleabar /|[ao) = -f po; da also flO) und /^od) entge- gengesetzte Vorzeichen haben, so bat die gegebene Gleichung offenbar mindestens eine reelle Wurzel zwischen 0 und od, die also nur positiv sein kann.

14»

204 Bohlen: Vntersuckungen über dU TUmie

ILTV.

Untenachnngen über die Theorie der Linien auf deo

Flächen.

Von

Herrn Doctor O. Bohlen j

in Sulz a. X« im Königreich Wärtemberg.

Wir ziehen in einem Ponkt a auf einer FlSeh^ die Nomk 6nd parallel mit derselben durch den Mittelpnnkt eioer Kofek deren UaTbmesser gleich Eins, eine Gerade, welche die Kopl- flfiche in A trifft, so haben wir zwei entsprechende Pub o und A, wovon der eine auf der beliebig angenommenen FUcb liegt und der andere auf der Kugel. Durch 'Fortsetxong dicMi Verfahrens lässt sich zu jeder Linie oder Figur auf der Fttdn eine entsprechende auf der Kugel konstrniren, welche mm all ein Bild davon betrachten kann. Wir brauchen zu diesem Zwecke bloss durch alle Punkte der gegebenen Linie oder Figur die Vm- malen der Fläche zu ziehen, und parallel mit jeder Normale eton Kugelhalbmesser, deren Endpunkte sofort die korrespondireode sphärische Figur bilden werden. Gauss hat diese Methode sei- nen Untersuchungen über die Flächen zu Grunde gelegt, und ge- langte so zu folgenden Theoremen, welche ganz geeignet M den Werth derselben zu zeigen:

Einem unendlich kleinen Kreis (oder Dreieck) auf der FBcfw entspricht ein ebenfalls unendlich kleiner Kreis oder ein Dreieck auf der Kugel; das Verhältniss des Inhalts beider Kreise oder

Dreiecke ist gleich -jn-nji R und R* sind die HauptkrOmmnngi- halbmesser der Fläche in dem gegebenen Punkte.

Indem hierauf Gauss das Produkt jr-nt ausdrückt als eine

Funktion von zwei beliebigen Variabelen , von welchen die ge- wohnlichen Coordinaten der Fläche or, y^ z ebenfalls als Funktio- nen betrachtet werden, schliesst er weiter, da das Element di einer beliebigen Linie auf der Fläche sich als eine Funktion der

der Unien auf den-Fiächen. 20b

geuannteD Variabelen darstellen IftMt» daäs die beiden Gr^sMo ■K — -Trn and dt zugleich konstant und zugleich yeränderlich sind.

Da nun d$ konstant bleibt, wenn die gegebene FiSche beliebig gebogen wird, ohne Dehnung oder Pressung, so findet dasselbe

aach bei dem Produkte d, ^ statt. Es fällt hier sogleich in die Augen, dass bei einer FIfichenblegung auch jede andere GrSsse, äosser |S~7m9 konstant bleiben muss, welche als Funktion jener Variabelen sich darstellen lässt.

Der dritte Satz endlich, der aus der Anwendung der Gaoss*- «chen Methode hervorging, bezieht sich auf die Winkelsumme in einem geodätischen Dreieck (Polygon) auf einer Fläche; dieselbe iat gleich derjenigen des entsprechenden sphärischen Dreiecks

(Polygons).

Diese sind die drei wichtigsten Sätze der Disquisitiones circa superficies curvas, und werden genfigen, um die Frucht- barkeit des Gedankens zu zeigen, welcher ihnen zu Grande liegt MaD gewinnt auf diesem Wege ein Mittel, Eigenschaften der Lioien auf den Flächen zu entdecken durch Betrachtung der viel «iafaeheren sphärischen Curven, welche Eigenschaften ohne Hfilfe der letzteren wohl schwer zu erkennen sein würden. Die folgende kleine Sammlung von Beispielen soll die Anwendung des Gauss'- «eben Prinzips iq dieser Richtung zeigen.*)

§. 2.

Veber eia/k^ alll^emelne Beslelranipen Bwiielien den ^taien auf den Flftelien und den korrespondhrenden

•phftiisclien Chirren«

Zunächst mOgen einige allgemeine Relationen angegeben wer- ^^, welche zwischen einer beliebigen Linie oder mehreren auf ^ioer Fläche und den entsprechenden sphärischen Curven statt- finden. Wenn wir durch alle Punkte einer solchen Linie die Flä- <^beD*Normaien ziehen, und mit jeder Normale einen parallelen

*) Ich habe die Torttehenden S&tie natärlich ganz mit deo eigenen ^<^rten des Herrn Verfatflers gegeben, bitte jedoch aoMer der berähmten Abhandlung von Gauss namentlich auch meine Sphäroidische Tri- S^aoBofcrie. Berlin 1833. 4®. Fünftes Kapitel., insbesondere |^*S*n des dritten Satzes S,88. S.274., zu vergleichen. — „Sphärisches ^''^eck (Polygon)*' kann hier natürlich nicht im gewöhnlichen Sinne ^^rMaaden wenlen. G.

206 Bökien: Untersuchungen über die Theorie

Kagelhalbmetser, b6 bildeD dl« Endpunkte der letsterea aof der Kugel die entsprechende sphärische Curve.

1. Schneiden sich mehrere Linien auf einer Fliehe in Einem Punkte, so werden sich auch die ihnen est- sprechenden sphärischen Curven in Einem Punkte schneiden. In dem Durchschnittspunkte auf der PiSche iiiit sich nur Eine Flächen-Normale ziehen (ausgezeichnete Punkte der Flächen, wie Spitzen u.s.f., welche mehrere Normalen znlasseD, be- rüeksichtigen wir nicht) , also entspricht derselben nur Ein pt* ralleler Kngelhalbmesser.

a und a' seien zwei unendlich nahe Punkte einer Linie nf der Fläche, und A und A' die entsprechenden Punkte derKij(fl deren Mittelpunkt O ist. Da die Normalen in a und 1/ parallel liiJ den Halbmessern OA und OA', so stehen die Tangential-Ebem der Fläche in a und a' senkrecht auf OA und OA\ mifhiiiit die Durchschnittslinie dieser Tangential -Ebenen, oder die kiB- jugirte Tangente des Elements aa', senkrecht aufderEbeM OA/H^ AA' ist eine Tangente der entsprechenden sphfirisctai Carve; wir schliessen somit:

2. Die konjugirten Tangenten einer Linie aufder Fläche stehen senkrecht auf den Ebenen der die spkl- rlscheGurye in den entsprechenden Punkten berflhrei- den grussten Kreise.

Wenn sich zwei Linien auf der Fläche berühren, ae babeo sie ein Element aa* gemeinschaftlich, somit haben eie^ auch die diesem Element konjugirte Tangente gemein ; also fallen die zwei grussten Kreise, welche die sphärischen Curven in den entspre- chenden Punkten A und A' berühren, zusammen; diese Gorfet haben demnach auch das Element ^^1' gemein, d.h.sieberfihrennck

Findet bei zwei Linien auf der Flächexeine Berahmag zwei- ter Ordnung statt, so haben sie drei auf einander folgende Punkte a, a', a^ oder zwei Elemente aa' und a'a/' gemein; somit smd auch die konjugirten Tangenten dieser Elemente beiden CorreD gemeinschaftlich. Die grussten Kreise, welche die sphfirischea Curven berOhren, gehen durch die entsprechenden Punkte A^ M und Al'^ also haben diese Curven drei Punkte oder zwei auf ein- ander folgende Elemente gemein, und berühren sich ebenfalls in der zweiten Ordnung.

Die gleiche Schlussweise lässt sich auf den Fall aasdehnea, wenn die gegebenen Linien auf der Fläche eine Berührung dritter, vierter Ordnung haben. Wir folgern hieraus :

der Linien auf den Fiächen, 207

3. Wenn sich zwei Linieo auf einer Fläche berüh- re ■« so berfihren'»ich auch die eDtspreehendea sphä- rischen Curven, uadawar ist die Osculation in beideD Bo TfihruDgspunkten von derselben Ordnung.

Ans 2. folgt unmittelbar:

4. Wenn eich zwei oder mehrere Linien in eioem Punkte auf einer Fläche schneiden, so sind die Win- kel ziviseheo ihren konjugirten Tangenten in diesem Punkte gleich den Winkeln zwischen den entspre* ehenden sphärischen €urven in ihrem Durchsohnitts- pankte.

Man ziehe in einem Kegelschnitt vier beliebige Halbmesser >> ^> 7» '; ferner die ihnen konjugirten Semidiameter a, (, c, d; die Winkel zwischen zweien dieser Linien, z. B. zwischen o und ^y liezeichnen wir mit (aß\ so findet, nach einem bekannten Satze, die Gleichheit folgender Doppel Verhältnisse statt:

sin(tty) sin (ac)

sm(ßy) _ sin (od) sin (ß^	sin ((C) sin (9X) sin(»^)
sin (aß) sin (yß) sin (aS) sin (yS)	sin(a() sin (c^) sin (ati) sin (cd)
fiin(a/?) sin (^ß) _ sin (ay) ""	sin (ob) sin(d») sin (ac) '

sin (<^y) stn (de)

Wh' nehmen nun einen beliebigen Punkt m auf einer Fläche, fcoistniiren die Tangential-Ebene, und in derselben einen Kegel« ^hottt, dessen Mittelpunkt m, dessen Azen mit deo Tangenten ^ Krflmmnngslinien in m zusammenfallen und den GrOssen Vfiund V/2' proportional sind. Die Gleichung dieses Kegelschnitts CDapin nennt ihn die indicatrice) ist:

Derselbe ist bei gleichartig gekrilmmten Flächen eine Ellipse, bei «gleichartig gekrOmmten eine Hyperbel ; und hat die Eigenschaft, dass je zwei seiner konjugirten Durchmesser mit zwei konjugirten

2J08 Bohlen: Onieriuckungen üäer die Theorie

TäDgenteD der Fifiche Im Pookte m zusammenfalleo. We o, ß, Yf d vier beliebige TangeDten der FiSche sind, ond i ihre konjagirten Tangenten, so finden zwischen den Winke (ay), (al^).... die Relationen 5. statt. Sind ferner a, ß, Tangenten von vier Linien, welche durch den Punkt m Fläche gehen, so sind die Ebenen der grossten Kreise, diesen Linien auf der Kugel entsprechen , besiehungsweis recht auf den konjugirten Tangenten a, 1^, c, ^ (nach 2.): finden unsere Gleichungen auch statt, wenn statt der Ric! a, h, c^ b die Tangenten A^ B, C, D der genannten | Kreise gesetzt werden, welche durch den Punkt M auf de gehen, der dem Punkte m auf der Fläche entspricht. Bez wir somit analog die Winkel zwischen A und B mit {AB so bestehen folgende Relationen:

6in(«y) smjAC)

sMy ^ sln(gC) „ ^ , sin (cd) BinjAÜ)

sin(/9d) s\n{BD)

welche diesen Satz enthalten:

5. Zieht man durch einen Pun,kt einerFläche bige Linien, und konstruirt auf der Kugel die et chenden sphärischen Curven, so sind die Dopp hältnisse der Sinus von je vier Winkeln zwisch Linien auf der Fläche gleich den Doppelverhält der Sinus von den vier Winkeln zwischen den et chenden sphärischen Curven.

a und a! seien zwei unendlich nahe Punkte einer Krun linie auf der Fläche, A und A' die entsprechenden Pun Kugel. Die durch a und a! gehenden Normalen der schneiden sich und liegen somit in Einer Ebene, welcl die Tangente der KrQmmungslinie, d. h. das Element cia! und der Ebene AOA' bei der Kugel parallel ist. Da zugl Tangential- Ebenen der Fläche in den entsprechenden Pu und A parallel sind, so mOssen es auch die Elemente AA' sein.

6. Die Tangenten einer Krummungslinie aul Fläche sind parallel den Tangenten der cntsprecl sphärischen Curve.

Wenn die Tangenten von zwei gewundenen Curven in entsprechenden Punkten einander parallel sind, so sind av Contingenzwinkel (Winkel zwischen zwei auf einander fo

der LMen auf den Flächen. 209

Elementen) eioander gleich, ihre OicalatioDS-Ebenen (Ebeoen von zwei auf mander folgenden Elementen) sind parallel; mithin sind aach die Oeealationawinkel (Winkel zwischen zuei auf einander folgenden Osenlatious- Ebenen) einander gleich. Wir achlieasen demnach weiter:

7. Die Contingenzwinkei einer Krümmnngslinie

auf einer Fläche sind denjenigen der entsprechenden

sphärischen Curve gleich, üie Osculations-Ebenen

der KrQmmungslinie und der sphärischen Curve sind

einander parallel.

Der HauptkrQromungshalbmesser einer Gurre ist gleich dem Element derselben, dividirt durch den Contingenzwinkei. Der Torsionshalbmesser ist gleich diesem Element, dividirt durch den Oscdatiooswinkel.

8. Diebeiden HauptkrGmmungshalbmesser sowohl als auch die Torsionshalbmesser einer Krämmungs- lioie auf einer Fläche und der entsprechenden sphäri- schen Curve verhalten sjch wie die Elemente beider in entsprechenden Punkten.

Wir ziehen die Normalen der Fläche in zwei Punkten a und ^ eioer Krfimmungsünie; A und A* sind die entsprechenden Punkte der sphärischen Curve, Oist der Mittelpunkt der Kugel, R der Eine Haoptkrümmungdhalbmesser der Fläche, welche der genannten Krümmungslinie entspricht, also:

Ä =

aa' Oft'

AOA' — AA''

0« Der Hauptkriimmungshalbmesser der Fläche, Welcher einer Krümmungslinie entspricht, ist gleich dem Elemente derselben dividirt durch das Element ^er entsprechenden sphärischen Curve.

«a^ sei ein Element der anderen durch a gehenden Krfimmungs- ünie, und AA? das entsprechende Element der sphärischen Curve; ^^ ist auch, wenn W der andere HauptkrQmmungshalbmesser der ^'^che ist, in a:

AA"' _J AA'.AA"

210 Bohlen: (JnlersuchungeH über die Theorie

Nun ist der Brach rechts offenbar das Verhäitniss je eiikee Flächen-Elements aaf der Kugel za dem entsprecheodeD Flächen- Element der Fläche, oder nach Gauss das Krummongsaiass (mensura curvaturae). Wir haben somit, aber auf anderem Wege;, den Gau8s*scheD Satz bewiesen : das Krflmmungumasa ist l

ÄÄ''
Wir können	in	der	Gleichung : 1 AA' R*R ttcL	.AA" .ttaf

AA\AA''=const setzen, oder, was dasselbe ist, annehmen, dass die Kugel in gleiche Elemente eingetheilt sei» so ist:

R,R'=^ aa\ aa" . const.

und durch Integration:

fR.R' = const ftia^aa" •\- const.

Der Ausdruck rechts gibt die Complanation der gegebenen Fläche, mithin hängt dieselbe von der Integration fR.R'nh (Bor- chard: Quadrature d^finie des surfaces courbes. Lion- ville 1864. XIX. S. 369.)

«

Wir ziehen durch a' eine weitere KrOmmungslinie auf der Fläche parallel aa'' und durch a" eine vierte KrOmmangaÜBie parallel ao', dadurch entsteht das unendlich kleine Krflmmiings- linieo-Viereck aa'afa", welches rechtwinklig ist. Demselben ent- spricht auf der Kugel ein ebenfalls rechtwinkliges Viereckil^l'il'^il'^. Durch Fortsetzung dieses Verfahrens können wir auf der Fläche ein Netz von unendlich kleinen Rechtecken aus Krfimmungslinien ausbreiten, welchem auf der Kugel ein Netz von ebenso vielen Rechtecken entsprechen wird. Ferner können wir annehmen, dass die Kugel rech tecke einander gleich sind, dann folgt aus der vorigen Gleichung, dass, wenn die Fläche der Differential-Glei- chung

ßi p/ = const.

entspricht, auch dieKriimmungslinienrechteckeauf ihr einander gleich sind, woraus man sogleich schliesst, dass die Fläche sich auf der Kugel abbilden lässt. Wir haben also nachstehenden Sati:

10

I. Wenn bei einer Fläche das Krummungsmass js-j^^

der Linieti auf den Flächen, 211

koBAtant ist ffir jeden ihrer Punkte, so iXset sie eich anf einer Kogel abbilden.

Solcher Flächen gibt es unendlich viele, worunter aber die Ebene nicht begriffen ist. Die einfachste derartige Fläche ent- steht durch Drehung einer Curve um eine Axe in ihrer Ebene, welche der Gleichung entspricht:

1

— = const.

n ist das StOck der Normale zwischen der Curve und der Dre- hnogsaxe, q der Krümmungshalbmesser der Corre. Die beiden Banptkrümmungshalbmesser der entstandenen Drehungsfläche, R ood £', sind gleich n und ^, also ist aach

Hat man zwei Flächen, wo dd> = const, so lassen sie sich

beide auf einer Kugel , mithin lassen sie sich auch .auf einander abbilden.

Wir nehmen nun eine zweite Fläche an, deren Hauptkrüm*

mangshalbmesser mit Rß und R'ß bezeichnet werden sollen, kon-

stroiren nach dem Obigen ein Netz von Krumraungslinienrecht-

ecken ßß'ß^ß", welchem auf der Kugel ein Netz von unendlich

Ueioen Rechtecken BB'B^B" entspricht, die wir auch unter sich

and den Rechtecken AAA^A" gleich annehmen. Wir haben nun

die Relation:

1 BB'. SB" AA . AA"

R^m^ß- ßß^ßß" - ßß'.ßß' •

Aus dieser Gleichung und der frflheren

_1 AA'. AA"

R,W^ aa'.aa"

folgt:

aa*. ac^ : ßß\ ßß" = Ä. R'i RßRß.

Hierin ist folgender Satz enthalten:

IL Wenn zwei beliebige Flächen so aufeinander bezogen werden, dass in je zwei korrespondirenden Punkten die Flächen*Normalen parallel sind, so ver- halten sich in diesen Punkten die Flächen-Elemente wie die Produkte der HaiiptkrfimmangshalbmeBser.

212 Böklen: Vniersuckungen über die TMeorie

In dem spesiellen Fall, wenn beide Flächen der BediagoDg genfigeD, daes ßlr je zwei korrespoodirende Pookte derselbeii

ist, moss auch

sein ; jedem Rechtecke des Netzes aaf der ersten FiSche eol ein gleich grosses Rechteck des Netzes auf der zweiten Fiicfce; somit lässt sich die eine auf der andern abbilden; hiermit irfce der zweite Satz von Gaues bewiesen:

Wenn bei zwei Flächen das KrQmmangsmass -grg

in je zwei korrespondirenden Punkten gleich ist, so lassen sie sich aufeinander abbilden.

Der Gauss'sche Beweis gründet sich auf einen allgemeioeo

Ausdruck von o~g/ mittelst der eben genannten zwei Variabeba,

welcher aber so komplizirt ist, dass er in seiner ursprflngBchci Form bis jetzt noch keine weitere Anwendung fand. Andere (ana- lytische) Beweise desselben Satzes von Bertrand. Polseix und Liouville findet man bei Monge, Application de l'Aii- lyse ä laG^om^trie, 5me äd. IVme Note deM.LiouvIIle,

wo der Letztere auch einfachere Ausdrücke flir w-si geg^beo kt

a und €^ sind zwei unendlich nahe Punkte auf einer Flick) a und af sind die korrespondirenden Punkte auf einer anderea Fläche (nicht auf einer Kugel) ; die Normalen der Flächen in « und a sind einander parallel, wie auch diejenigen in af and o'* Die beiden Ebenen, weiche die erste Fläche in a und af berflhm, sind also auch den Tangential «Ebenen der zweiten Fläche ioff und a' parallel, mithin ist auch der Durchschnitt des ersten Pu- res von Ebenen, oder die konjugirte Tangente des Elements wlt parallel dem Durchschnitt der beiden anderen Tangential-Ebeneo, oder der konjugirten Tangente des Elements aa'. Hieraus folgt der allgemeine Satz:

12. Wenn zwei Linien auf zwei beliebigen Flächen in einer solchen Beziehung zu einander stehen, da«' die Flächen-Normalen In je zwei entsprechenden Punkten beider Linien einander parallel sind, so sin' in diesen Punkten auch die konjugirten Tangentto der Linien onter sich parallel.

der Unten auf den Flächen. 218

Wir beceichnen das Elemeiht ao' mit d^ und aa' mit di\ der Winkel, welchen die Normalen der ersten FIfiche in a and ol mit einander bilden, ist gleich o, so ist derjenige zwischen den Nor- malen der zweiten Fläche in o und a* auch gleich a>; 9 ist der Winkel zwischen den konjugirten Tangenten in a; / der Winkel zwischen den konjugirten Tangenten in a ; p und r sind die Krfim* mungshalbmesser der Normalschnitte der Flächen» welche durch die Elemente oa' und aa* gehen; d und d sind die Poldistanzen dieser Elemente (wenn man die Gerade zieht, welche auf den Flächen • Normalen von o und 0^ zugleich senkrecht steht, so ist der Punkt, wo sie die erste Flächen-Normale trifft, der Pol des Elements att* und die Entfernung des Pols bis zum Punkt a die Poldistanz von oo'). Wir haben nun folgende Gleichungen:

de ^ dt ^

d=:<?4f.sin^.cotga>, 1/=: c{f,sin/'.cotga>;

d(fl:ds^=: QÖird.

13. Bei den in 12. genannten Linien verhalten sich die Quadrate zweier entsprechenden Elemente wie die Produkte aus den Poldistanzen dieser Elemente und der Kr fimmungshalbraesser von den durch sie ge- heoden Normalschnitten der Fläche. Spezielle Fälle die- ses allgemeinen Satzes sind folgende:

Die Eine dieser Linien ist eine Krflmmungslinie der Fläche, 90 [gi r =z d = Rß = dem derselben entsprechenden HauptkrQm- ntnngshalbmesser der Fläche, also:

Die Eine der Linien liegt auf einer Kugel, deren Halbmesser ^ == ], so ist r = <2 = 1 , also :

14, Wenn man nach der Gauss'schen Methode sn ®iner beliebigen Linie auf einer Fläche die entspre- ^^hende sphärische Curve konstruirt, so ist das Ver- o^ltniss derElemente beiderLinien in entsprechenden l^Q^nkten gleich der Wurzel aus dem Produkt der Pol- distanz des Elements der ersten Linie und des Krfim* ^vngshalbmessers von dem durch dieses Element ge- benden Normalschnitte der Fläche.

214 Böklen: €niersueAun§en übtr di§ Theorie

Wein die orstere der gfsnaiiDleo Lioien aise KifhUMi^ liDie, die aodere eine sph&riftche Curve ist, so folgt ano Proportion :

da:di'=iRi\, welche« dor Satz 9. ist.

$. 3.

Wie i;iiileii 4ca 0 jatema (a)»

Wenn wir die Eigenschaften der Linien aaf den Fl&chen dank Betrachtang der korfeapondirenden apbäriachen Gurren ootem* eben, so beginnen wir am besten mit solchen Linien, welchen die einfachsten sphärischen Cnrven, also grusste Kreise, entspredeii. Ist nSmIich auf einer Fläche eine Linie gegeben von der Art, ] dass die Normalen der FlSche, welche durch die eioselMi Punkte dieser Linie geEogen werden. Einer Ebene parallel sind, so liegen die parallel gezogenen Kugelhalbmesser auch in Bmt Ebene, und treffen somit die Kugel in einem grGssten Knii. Solche Linien auf den FISchen nun, welchen eis grusster Kreis entspricht^ nennen wir Linien des Sj* stems (a), oder kurz Linien (a). Sie haben folgende Eigei- Schäften :

15. Die Tangential-Ebenen der Linien des Sy- stems (a) bilden einen Cylinder, dessen Erzeogende auf der Ebene des grussten Kreises senkrecht steben.

Jede Tangente einer Linie (a) und die durch den fitrilH rungspunkt gehende Erzengende des Gylinders sind koqigkte ' Tangenten der Fläche.

16. Die konjugirten Tangenten der Linien des Sy- stems (a) sind unter einander parallel und senkrecht auf der Ebene des der Linie entsprechenden grSsstei Kreises der Kugel.

Da alle Flächen-Normalen, welche durch die einzelnen PobI^ einer Linie (n) geben, Einer Ebene parallel sind^ so stehen aiick die Geraden, welche zwei auf einander folgende Normalen senkrecht treffen, und mithin die kürzeste Entfernung dieser Normalen angebsni auf jener Ebene senkrecht, und sind folglich unter einander paialleL

der £Mem uuf den Fiäehen. 215

17« Dl« 6<et«deD, welche die kfirseste Etttfernaiig sirieebeB je mwex aaf einander folgenden Flfichen-Nor- nalee einer Liniedee Systeme (a) angeben, sind unter einander parallel, und stehen, wie die Eraengenden des Cylinders, der die Fläche in der Linie (a) berührt, auf der Ebene des entsprechenden grSssten Kreises senkrecht.

18. Zieht man durch einen Punkt einer Fläche vier beliebige Linien (a) und konstruirt die entsprechenden grossten Kreise auf der Kugel, so sind die Doppelver- bältnisse der Sinus Ton je vier Winkeln, welche die Linien (a) in ihrem gemeinsamen Schnittpunkt mit ein- ander bilden, gleich den Doppelverhältnissen der Sinus der entsprechenden vier Winkel^ welche die grOssten Kreise In ihrem Schnittpunkt mit einander machen.

19. Werden durch einen Punkt auf einer Fläche vier Linien (a): a, ß, y, ö gezogen, so dass die Glei- chung stattfindet:

sin (ay) sin (a&) iintßyj'^sihjßdj*

^o bilden dieselben einen harmonischen Strahlen- hQschei. Die entsprechenden grussten Kreise bilden ebenfalls einen harmonischen Strahlenböschel, weil

sin (AC) _ sinjAD) sin{ßC)^sm{ßjü)

■8t.

Auf einer Kugel, deren Mittelpunkt O ist, liegt ein Punkt iH, ^iirch welchen vier grusste Kreise gehen, die von einem fiSnften S^dssten Kreise in den Punkten A\ B', C, D' geschnitten werden. ^^ir bezeichnen, wie vorhin, die vier ersten Kreise mit A, B, C, D ■md die Winkel, welche sie unter einander bilden, mit (AB) u.s. f., ^ ^o ist nach einem Satze der sphärischen Trigonometrie:

B\n{AC) . sin A'O

sin (BC) _ Single

sin {AD) "" sin A'iy ' 8in(BD) smBir

-^'Gj B'C u. s. f. sind die BSgen zwischen den Schnittpunkten -4- pnd C, B' und C u. s. f. Es ist auch 9\tkA*C' = sin^'OC% ^itiB'C'^sinBOC.

216 Bökien: üniersuekunffen üker die Tkemie

Aaf einer Fläehe ziehe man durch einen Pookt m vier belie- bige Linien (o): a, ß, y, i; welche von einer ffenlton Linie (c) ii den Punkten a', /?', /» 6' geschnitten werden. Die Mormahn der Fläche, deren Fusepunkte af, ß', y, i' sind« bezeichnen wir gUdb- fallfi mit afy ß\ fy 8' und die Winkel zwischen je zwei eolckt Normalen mit (a'ß'), (af/) u. s. f.^ so ist offenbar:

(a'ß')=A'Oß', afY = A0O n.8.f.

indem A', B\ C, D' die entsprechenden vier Pankte auf derln- gel sind. Wir haben also mit Rficksicht auf die vorige Glelckn^ diese Relation:

sin (cfy) sin (a*/)

sin«3y) sin (/?-/)

sin (ad) — sin (af») * sin(/3d) sin(Vd')

welche folgenden Satz enthält:

20. Wenn vier von einem Punkt ausgehende Liiie» (a) auf einer Fläche von einer fönften in vier Pnaktei getroffen werden« so ist das Doppelverhältniss der Sinus von vier Winkeln jenes Strahlenbaschels gleicb dem Doppelverhältniss der Sinus der vier Winkel tob je zwei solchen Flächen-Normalen, die durch dieaiif diesen Strahlen liegenden Schnittpunkte gehen.

2L Auf einer Fläche sind zwei Linien (o); auf der ersten liegen die Punkte af, ß\ y\ i'\ auf der zweites a^/3^ A^''; die Winkel zwischen den Flächen-Norm-, len €^ und ß\ af und / u. s. f. werden wie vorhin bezeiek- net durch {afß')^ (af/) u. s. f.; wenn die Doppelverhältoisie

sin (äff) sin (a''f)

8in(/3Y) _ BxnlßY)

"sinT^^ "^ ""im (c^d'')

8\n(ß'ö') SlD(ß''ö'')

einander gleich sind, so schneiden sich die durck die Punkte o" und a", ß' und /3^ /'und f,i' und 6" bestinn- ten vier Linien (a) in Einem Punkte.

Vier harmonische Punkte auf einer Linie (a) sind solche, bei welchen

sin (afy') _ sin (aMQ sin(/3y)""sin(/3'd')

ist.

der Unien auf den Flächen, 217

!29. Jede Linie des Systems (<i) auf einer FlSche wird von einem harmonischen StrahlenbOschel aus Linien (a) in vier harmonischen Punkten geschnitten. Sind auf jeder von zwei Linien (a) vier harmonische Punkte gegeben^ und man verbindet je zwei entspre- chende dieser Punkte durch Linien (n), so konvergiren diese in Einem Punkte.

23. Wenn auf einer Fläche zwei harmonische Strah- Unbüschel mit verschiedenen Centren gegeben sind, wovon zwei entsprechende Strahlen in derVerbin- langslinie ihrer Centren vereinigt sind, so liegen die Durchschuittspunkte der drei anderen Paare von eni- sprechenden Strahlen auf einer Linie (a).

Durch zwei Punkte a und ß einer Fläche ziehen wir eine Linie (a) and die Normalen der Fläche. DerWinkel zwischen die- leo Normalen heisst der der Linie aß entsprechende Normalen- Winkel.

§• 4. •releeke und Trannvernalen, i^eblldet von Iiinien di^n

Sljntemn (a).

Auf einer Fläche ist ein Dreieck aßy aus Linien des Systems (a) gegeben. Man ziehe drei sich in Einem Punkt schneidende Transversalen crcr'j ßß\ yf* ^^ entspricht dieser Figur auf der Kngel ein sphärisches Dreieck ABC mit drei sich in Einem Punkte schneidenden Transversalen (nach 4.) AA'y BB\ CC'\ da nun

AnAC*.smBA\s\ikCB' :=zBmC'B.%\nA*C,s\nB'A,

•o ist auch , wenn wir die Bezeichnung der Winkel zwischen den FiScben-Normalen in aund of, ß uftd ß* u.s.f. nach2L beibehalten:

sin «/ . sin ßaf . sin yß* = sin y*ß . sin a'y , sin ß'a,

24. Auf einer Fläche ist ein Dreieck mit drei sich inEinem Punkt schneidenden Transversalen, sämmt- iich Linien des Systems (a), gegeben. Es entstehen dadnreh auf jeder Seite zwei Abschnitte, im Ganzen • ecbs, wovon dreinichtan einander liegende getrennte heitsen. Das Produkt der Sinus von drei Normalen- Dinkeln, welche getrennten Abschnitten entsprechen, >st gleich dem Produkt der Sinus der drei fibrigen Normalen-Winkel.

TkcU XXXEK. 15

218 Böklen: ünUrstiChungen über die Theorie

Die folgenden Sätze sind einfache Uebertragung^o von be- kannten Theoremen der sphärischen Trigonometrie:

25. Nimmt man auf den Seiten eines Dreiecks, foa Linien des Systems (a) gebildet, drei Punkte an, so dass das Produkt der Sinus von drei getrennten Sei- ten-Abschnitten entsprechenden Normalen- Winkeln gleich dem Produkte der Sinus von den drei übrigee Normalen-Winkeln ist, welche den drei anderen ge- trennten Seiten - Abschnitten*^ gegenüberliegen, •• schneiden sich die von den Ecken des Dreiecks oack diesen Punkten gezogenen Transversalen dea System (a) in Einem Punkte. (Converse von 24.)

26. Zieht man eine Linie (a), welche die Seitei eines Dreiecks oder deren Verlängerungen aaf einer Fläche schneidet, so bilden die drei Schnittpunkte iif den Seiten im Ganzen sechs Abschnitte. DasPredakt der Sinus von drei, getrennten Seitenabschuitteo ent- sprechenden Normalen-Winkeln ist gleich dem Pro- dukt der Sinus von den drei anderen Normalen-WinlLeli.

27. Werden auf einer Seite eines Dreiecks nni Linien des Systems (a) und den Verlängerungen der beiden anderen, oder auf den Verlängerungen aller drei Seiten Punkte angenommen, so dass das Prtdnkt der Sinus von drei, getrennten Seiten-Abschalttaa entsprechenden. Normalen - Winkeln gleich Ist de« Produkte der Sinus von den drei anderen Nornalei* Winkeln, so liegen diese drei Punkte auf Einer Liaie des Systems (a). (Converse von 26.)

28. Wenn man drei sich in Einem Punkt schaei- dende Transversalen eines Dreiecks von Linien dti Systems (a) zieht, und die Fusspunkte von zweien die- ser Transversalen verbindet durch eine Linie (a),eo wird diese durch die dritte Transversale und die dritte Dreiecksseite harmonisch getheilt.

Die beiden Transversalen eines Dreieck^ von Littlaa [iji welche durch eine Ecke gehen und den Inneren sowohl als du äusseren Dreieckswinkel halbiren, bilden einen - rechten Wlakri mit einander, also sind sie in Verbindung mit den von 4er gM* eben Ecke ausgehenden Dreiecksseiten ein harmoDlscher Sbnb- | lenbfiscbel, somit bestimmen sie auch auf der OegeuaoMa viel harmonische Punkte.

der Unten auf den Flächen, 219

■

29. Wenn man die Fasspunkte von drei sieb io j^inem Punkte schneidenden Transversalen eines >Teiecks aus Linien des Systems {ii) verbindet, so lie- fen die Durchschnittspunkte der Verbindangslinien nlt den- Gegenseiten des Dreiecks wieder auf einer liinie des Systems (a).

30. In einem vollständigen Viereck aus Linien des Systems (a) auf einer Fläche schneiden sich die Dia- gonalen gegenseitig harmonisch.

§. 5.

Die Iiinfen des Systems (6).

Auf einer Fläche liegt eine Linie, durch deren Punkte wir die Normalen der Fläche ziehen; parallel mit denselben durch den Mittelpunkt der Kugel gehen die Halbmesser. Wenn letztere in Einer Ebene liegen und die Kugel also in einem grossten Kreise treffen, so ist die gegebene Linie auf der Fläche eine solche, die .wir Linie des Systems (a) genannt haben. Bilden die Halb- meiser aber einen Kegel zweiten Grades und treffen somit die Kugel in einem sphärischen Kegelschnitt, so nennen wir die Linien ftuf der Fläche Linien des Systems (6) oder kurz Linien (6).

Jeder sphärische Kegelschnitt hat zwei Brennpunkte und jeder Kegel ieweiten Grades zwei FokaULinien. Die Summe der Win- kel, welche eine Erzeugende mit den Fokal-Linien bildet, ist kon- stant. Hieraus schliesst man:

31. Jede Linie des Systems (6) auf einer Fläche hat zwei Brennpunkte; die Summe der Winkel, welche «ine Flächen-Normale eines Punkts der Linie mit den Flächen-Normalen der beiden Brennpunkte bildet, ist konstant.

Die beiden Ebenen, welche durch eine Erzeugende des Kegels vi^d die Fokal-Linien gehen, bilden mit der durch diese Erzeu- gende gehenden Tangential - Ebene gleiche Winkel. Wir nehmen ^u auf der Linie des Systems (6) den Punkt a an, dessen Flä- chen-Normale parallel seiner Erzeugenden ist, so ist die der Linie (^) in er konjugirte Tangente senkrecht auf der genannten Tan- gential-Ebene. Ziehen wir ferner zwei Linien (a) von a nach den ^Hnnpnnkten, so sind die konjugirten Tangenten dieser Linien im Punkt a senkrecht auf den beiden, durch die Erzeugende des Kegels und die Fokal-Linien gehenden Ebenen ; mithin bilden diese

15*

220 Böklen: Untersuchungen über die Theorie

konjugirten Tangenten mit der konjugirten Tangente der Linie (b) in a gleiche Winkel.

32. Man ziehe von einem Punkt einer Linie dei Systems (6) nach den Brennpunkten zwei Linien dei Systems (a), so bilden die konjugirten Tangenten der letzteren in dem genannten Punkt mit der konjngirtei Tangente der Linie (6) gleiche Winkel.

In dem speziellen Falle, wo die Linie (6) eine Krifmaiiiiigi- Knie der Fläche ist, erhält man mit HSlfe des Satzes von Dapin, wornach die konjugirten Tangenten in einem Punkt einer. lüde zugleich die konjugirten Tangenten eines Kegelschnitts (derii- dicatrice) sind, folgendes Corollar: n

33. Wenn eine Linie des Systems (b) zugleich Kria- mungslinie der Fläche ist, so bildet sie mit den fei einem ihrer Punkte nach den Brennpunkten gezogenei Linien (a) gleiche Winkel.

Wenn auf einer Kugel zwei feste Punkte gegeben sind, oid um dieselben zwei Bugen grusster Kreise sich so drehen, daie sie sich rechtwinklig schneiden, so beschreibt ihr Durchschoitti* punkt einen sphärischen Kegelschnitt; hieraus folgt:

34. Wenn auf einer Fläche zwei feste Punkte lie- gen, und um dieselben zwei Linien des Systemi («) sich so drehen, dass ihre konjugirten Tangenten in Durchschnittspunkte rechtwinklig zu einander lind, so beschreibt dieser Durchschnittspunkt eine Linie des Systems (6).

Jedem grOssten Kreise auf einer Kugel entspricht ein Pol; der nach dem Pol gebende Kugelhalbmesser ist senkrecht anf der Ebene des grussten Kreises. Ebenso entspricht jeder Linie des Systems (a) auf einer Fläche ein Pol; die Normale der Fläche, welche durch den Pol geht, ist parallel mit den koajngir ten Tangenten der genannten Linie (a).

Bewegt sich ein griisster Kreis so, dass er einen sphSrisehen Kegelschnitt urohfillt, so beschreibt sein Pol auf der Kugel eben- falls einen sphärischen Kugelschnitt.

Wenn auf einer Kugel zwei feste B5gen grSsster Kreiscge- geben sind, und man lässt auf ihnen die Endpunkte eines grtaten Kreises gleich einem Quadranten sich bewegen, so wird dieser einen sphärischen Kegelschnitt umhüllen, und sein Pol also aich

der Linien auf den Flächen, 221

einen sphärischen Kegelschnitt heschreiben. Hiernach schlies- sen wir:

36. Auf einer Fläche liegen zwei Linien des Sy- stems (a). Man nehme auf jeder einen Punkt an, so dass die Flächen-Normalen in beiden Punkten zu ein- ander rechtwinklich sind/ so wird der Pol der durch diese (beweglichen) Punkte bestimmten Linie des Sy- stems (a) eine Linie des Systems (6) beschreiben.

Auf einer Kugel sind zwei Punkte O und O'; durch O gehen grusste Kreise A, B, C, />....; und durch O' gehen die Kreise A*i B\ O9 />'.... Zwischen diesen beiden sphärischen ^Strahlen- büscbeln findet die Beziehung statt, dass das Doppelverhältniss der Sinus von je vier Winkeln des Einen Büschels gleich ist dem Doppelverhältniss der Sinus von den entsprechenden vier Winkeln des anderen Bfischels, also z. B. :

sin (AC) sin {A'C)

sin(ßC) _ sxnlä'C)

^n{AD) sin {A'D') '

Bin (BD) 8\n(B'D*)

Wenn nun in dem grussten Kreise 00' zwei entsprechende Strahlen vereinigt sind, wie A und A*, oder B und B* u. s. f., so liegen die Durchschnitte von je zwei anderen entsprechenden Strahlen beider Büschel , z. B. von C und (?, D und D' u.s. f., auf Emem grOssten Kreise. Sind aber in dem grSssten Kreise 00' nicht zwei entsprechende Strahlen vereinigt, z.B. A und B*; so liegen die Durchschnitte von je zwei entsprechenden Strahlen •^ und A'9 B und B',.,.. auf einem sphärischen Kegelschnitt. Dieser Satz lässt sich direkt auf die Linien der Systeme (a) und (6) fibertragen:

3ft. Auf einer Fläche liegen zwei Punkte, von denen ^trablenhöschel aus Linien (a) ausgehen, welche in der Beziehung zu einander stehen, dass das Doppel- verhältniss der Sinus von je vier Winkeln des Einen Bfischels gleich dem Doppelverhältniss der Sinus von den vier Winkeln der entsprechenden Strahlen des anderen BOschels ist. Sind in der Verbindungslinie veider Punkte zwei entsprechende Strahlen vereinigt» *<> liegen die Schnittpunkte von je zwei anderen ent- sprechenden Strahlen auf einer Linie^(a). Sind aber *" dieser Verbindungslinie nicht zwei entsprechende

222 Bohlen: Untersuchungen über die Theorie

Strahlen vereinigt, so liegen die Schnittpankte von je zwei entsprechenden Strahlen auf einer Linie (6).

Hier schliesst sich nun unmittelbar folgender Satz an, dessen Beweis aus dem Hauptsatz 36. ebenso abgeleitet wird, wie der entsprechende Satz der Kegelschnitte aus den EigensebafleD der projectivischen und harmonischen Strahlenbfischel :

37. Gegeben ist ein Punkt fi. auf einer FISche und eine Linie (6); man ziehe von fi aus zwei Linien des Systems (a), welche die Linie (6) tangiren, yerbindedie Berührungspunkte durch eine Linie (a); so w^ird jede durcji (|Li) gezog'ene Linie (a) durch diese Verbioduog«- linie und die Linie (6) harmonisch getheilt. Zieht man in den Schnittpunkten mit der Linie (6) an letztere zwei tangirende Linien (a), so schneiden sich diese auf der genannten Verbindungslinie.

Wir konnten nun noch eine Menge von Sätzen der neaereo Geometrie anführen, die sich auf die Linien der Systeme (a) ood (6) übertragen lassen., begnügen uns aber mit den bisherigen.

Unter den Linien (6) gibt es eine besondere Gattung, welcb^ nur Einen Brennpunkt haben. Denselben entspricht auf der Ka>^ gel ein Nebenkreis. Sie haben folgende Eigenschaften:

a

38. Diejenigen Linien (6), welchen einNebeokr» auf der Kugel entspricht, haben einen Brennpanl^ ^ Jede Normale der Fläche,' welche durch einen Pon^^ der Linie geht, bildet mit der Flächen-Normale d Brennpunkts denselben Winkel. Zieht man vom Bren pnnktaus eineLinie desSy8tems(a) nach der Linie (^^^ so stehen im Durchschnittspunkte die koejagirt^i^' Tangenten beider Linien auf einander senkrecht.

Die Linien (a) gehören ebenfalls zu der genannten speidelB ^^ Gattung von Linien (//) , auch sie haben einen Brennpunkt, w ^' chem wir aber den besonderen Namen Pol gegeben haben; im ^ die Sätze über die Linien (6) und ihre Strahlen büschel sich mit geringen Modifikationen auf die Linien (a) ausdehnen..

§■ 6. Anwendanir auf die Flftchen zweiten drade«.

Die Linien (er) sind bei den centrischen Flächen swei^^ Grades Diaraetralschnitte , bei den Paraboloiden siad sie ebeRr^U^

der Linien avf den Flächen. 223

ebene Curven, deren Ebenen der Axe der Fläche parallel sind. Die Sätze der §§. 3. und 4. können direkt auf die Flächen zweiten Grades übertragen werden^ wenn man statt Linien (a) Diametral- schnitte, eder solche Schnitte, deren Ebenen der Axe parallel sind, eetst

Zo den Linien (6) gehören bei den Flachen zweiten Grades

die Krummungslinien ; ihre Brennpunkte sind die Nabelpunkte der

Fläche, Der Beweis dafür liegt in dem bekannten Satze: Wenn

man darcii den Mittelpunkt einer Fläche zweiten- Grades Linien

parallel mit solchen Normalen der Fläche zieht, deren Fusspunkte

eiae Kxüninangslinie bilden, so sind diese Parallelen die Erzeu-

feiiiden eines Kegels vom zweiten Grade, dessen Fokal -Linien

parallel den Normalen der Nabelpunkte sind. Jeder Krümnnngs-

lioie entspricht somit ein Kegel; den Krummungslinien beider

Systeme entsprechen zwei Systeme homofokaler Kegel, welche sich

gegenseitig senkrecht durchkreuzen. Unter den verschiedenen

Sitzes, welche wir nach dem Vorhergebenden für die centrischen

Flächen zweiten Grades anführen könnten, mögen die folgenden

vveaiger bekannten namhaft gemacht werden.

39. Man ziehe auf einer Fläche zweiten Grades ein Orj^ieck von Diametralschuitten und nehme auf jeder Seite des Dreiecks oder dessen Verlängerung einen Ptfnkt an, so dass diese drei Punkte entweder auf Einem Diametralschnitt liegen, oder dass die von ihnen nach den Gegenecken gezogenen Diametralschnitte sich in Einem Punkte schneiden, dann ist das Produkt der Sinus^on drei solchen Normalen-Winkeln, welche drei' getrennten Seitenabschnitten entsprechen, gleich dem Produkt der Sinus von den Normalen-Winkeln, welche <leB drei übrigen Seitenabschnitten entsprechen.

40. Auf einer Krünimungslinie (oder auf einem öiametralschnitt) einer Fläche zweiten Grades sind zwei Punkte gegeben, durch welche zwei Strahlenbü- schel von Dianietralschnitten gehen, die sich paar- weise wieder auf der Krünimungslinie (oder auf dem ersten Dianietralschnitt) schneiden; dann ist das Dop- pelverhältniijt« der Sinus der Winkel zwischen je vier Strahlen des ersten Strahlenbüschels gleich dem Dop- Pelverhältniss der Sinus der Winkel zwischen den entsprechenden Strahlen des zweiten St rahlenbüschels.

41. Auf einer Fläche zweiten Grades ist ein Punkt ^^deine Krümmungslinie (oder ein Diametralschnitt)

224 Böklen: Uniersttc Atmgen über die Theorie

gegeben. Man lege durch den Punkt beliebig viele Diametralschnitte, ivelche die KrummangsliDie (oder den ersten Dianiet falsch nitt) je in zwei Punkten scbBei- den. Die Durch Schnittspunkte der Diaro etralschnitte, welche die Krünimungslinie (oder den ersteo Dlaoie- tralschnitt) in zwei solchen Punkten berühren, liegen ebenfalls auf einem Diametralschnitt der Fläche*

42. Jede Kriimmungslinie einer Fläche zweitei Grades bildet mit den beiden von einem ihrer Punkte nach den Nabelpunkten gezogenen Diametralschnittei gleiche Winkel. Nach dem Satze von Michael Robertf bildet eine Kriimmungslinie mit den von einem ihrer Punkte ndk den Nabelpunktcn gehenden geodätischen Linien gleiche WioM. Hieraus folgt also:

43. Zieht man von irgend einem Punkt einer centri- sehen Fläche zweiten Grades nach den Nabelpnnktei zwei geodätische Linien und zwei Diame^tralscbnitte, so bilden die crsteren mit den letzteren gleiche Winkel.

Verschiedene SStze über homofokale sphärische KegelscinlttB (hinsichtlich der Begründung derselben, • sowie einiger andere» Sätze dieses Aufsatzes verweise ich auf meine Analytiscke Geometrie des Raumes) fahren zu weiteren Resultaten:

44. Wenn an eine KrQmmungslinie auf einer eei- trischen Fläche zweiten Grades berfihrende Diametral- schnitte gelegt werden, welche eine zweiteKrGmmongs- linie je in zwei Punkten schneiden, so liegen die Durchschnittspunkte von jedem Paar solcher Diaiue- tralschnitte, welche die zweite KrQmmungslinie in den genannten Punkten berühren, auf einer Linie desSy- stems (6).

45. Wenn man an eine Kriimmungslinie einer centri* sehen Fläche zweiten Grades einen tangirenden Diame* - tralschnitt legt, welcher die Qbrigen Kriimmungslinien je in zwei Punkten schneidet, so liegen die Durch- schnittspunkte von jedem Paar solcher Diametral* schnitte, welche jede Kriimmungslinie in den genann- ten zwei Punkten berühren, auch auf einem Diametral- schnitte, der die erste Krümniungslinie im BerühruDgs-

punkte senkrecht trifft.

der Linien auf den Fiäehen. 225

Bewegt sich die Spitze eines vod zwei grossten Kreisen aaf einer Kugel gebildeten Winkels, welche einen sphärischen Kegel- schnitt berühren 9 auf einem zweiten, homofokalen, sphärischen^ Kegelschnitt, so bilden sie mit dem letzteren gleiche Winkel ; hieraas folgt:

46. Bewegt sich die Spitze eines von zwei Diame- tralschnitten auf einer centrischen Fläche zweiten Grades, welche eine Krömroungslinie berOhren, auf ein'er zweiten Krüroniunglinie, so bilden sie mit der letzteren gleiche Winkel. Dieser Satz ist eine Verallgemei- nerung von 43.; er gilt auch, wenn man geodätische Linien statt

Diametralschnitte setzt; wir echliessen desshalb:

#

47. Zieht man von einem Punkte .einer Krfimmungs- liDie auf einer centrischen Fläche zweiten Grades an eine zweite Kriimmungslinie sowohl zwei berührende Diametralschnitte als auch zwei berührende geodätische Linien, so bilden letztere mit den ersteren gleiche Winkel.

In einem von vier homofokalen sphärischen Kegelschnitten gebildeten Viereck sind die Bugen grOsster Kreise, welche zwei Gegenecken verbinden, einander gleich:

48. In einem Krümmungslinienviereck auf einer PlSche zweiten Grades ist der Winkel zwischen zwei durch Gegenecken des Vierecks gezogenen Flächen- formalen gleich dem Winkel zwischen den durch die beiden anderen Gegenecken gezogenen Flächen*Nor- malen.

g{^Q Grebe: üeber die Formein der sphärischen Trigonomeirie.

XV.

Ueber die Formeln der sphärischen Trigonometrie.

Von

Herrn Dr. JE. FF. Grfbe,

Uector der Realschule sn Ca« sei.

Wenn man bei sphärischeD Dreiecken nicht die Winkel «db^^* sondern deren Supplemente mit drei Buchstaben bezeichnet, i^^ den Wickeln gegenüberliegenden Seiten aber mit denBelbeii d^^ diicch veränderten Index unterschiedenen Buchstaben , so eih^^ man Cleiehungen, in denen e^ gleichgültig ist» welche Gruppe vo<* Buchstaben maa Seiten vnd welche man Supplemente def Wt^' kel bedeuten lassen will. Mögen zu diesem Zwecke die Vmfi^ stabengruppen Oi, bi, Ci und o«, 62, c« verwandt sein^ m5ge|t|l^ 1, =i(rii+6i+c,), «a = i(a«+62+^2) gesetzt sein; so ist, we»*" wir uns zunächst auf die für die Dreiecksberechnung wichtigst«^ Formeln beschränken :

mCOS 6« cos C- — cos €U cos er, = ^^-r-^r ^ ;

4/ sin<a8in(<a-~q2) sin ia, = \ r-T — ; 9

r^] <i cosjai = V

sin («2 — 62) sin (s% — Cj)

sin 62 sin c« . 1 tT sini^sinC«, — o^)

Grebe: Otbtr die F&rmein der spMriseken Tri§onometrie.

;3]

[4]

[5]

um\ci "^ siDCs ' cosjfli co8Ji6| sin (s« — c»)

co8^C| "^ 81 nc« 8in4at8in^i > sinf^ ,

co8}C| «incs'

cogK^t +fti)__ co8^ga -f 6a)

8in^(q| -f ^) _^ cosKoa — fet) 8in^i "" cos^a

8]Di(a| — 6i) sinKo« — 6») .

— »^ j ;^ ■ « — i — ' — »

8tn fCi 4Eiin ICf

taiigi(qt + 6,)__ co8;(qy — ^) tangici cosi(iia + 62)'

tangi(qt ~ 6|)_ ainJCflg— 6,),

(«1

sin

Qi 8in Oa

sin^i sin 6a*

Von diesen Formeln stellt jede^ welche sich bei VertauAcbnng 38 Index selbst reproducirt, ein Gesetz, jede andere zwei Ge- stze 4ar. Die unter [4] «nihaltenen Gaossischen Foriaeln er- sheinen hier auf drei Formeln reducirt, da die mittlere deren ▼ei vertritt. Aus den Gaussisehen Formeln mögen hier noch nige weitere bemerkenswerthe Formeln hergeleitet werden.

Unternimmt man es, [1] mit ilen Gleichungen [4] durch Ad- tion und Subtraction zu verbinden, so erhält man unter Weg- «sung von Wiederholungen:

81 n Js, si n i(sj — Ci ) cos \s^ coai(sa — <?«)

I — — — ■- ^*» — > .

cos )C| cos ica

sin^g|COS^(<|— C|) _ €0»i(H*^Qg) cogi(*i*-fta)

, , sinlr« co8 4<?2

I <

cosi^tsin^Csi— C|) __sini(<a— aa)8ln^(ia— &a)

siniCi "*" cos^Ca

sinftd, "-qt)c^^*i —^i) _eo8KH— «•)^Mii(sa--^«) «inici . sin|c^ '

S28 6r$b€: Otber die Formeln der sphdriechen Tri^ammeirie.

Aus den Formeln [7] lassen sich nun aach leicht AusdrOcke für die Functionen von \si herleiten. Namentlich ergibt sich sin ^#i, wenn man die beiden ersten Formeln multiplicirt, sodann darcfa die umgesetzte dritte Formel in [3J dividirt und schliesslich die Quadratwurzel nimmt. Wir haben dann:

[8]

sinlf --4rcQ»i<iC<>»i(H— «>)cosi(ii— 6,)cosi(<a— cj * ^ V cos ^9 cos 16« cos ^9

Ferner ergibt sich cos^ffi, wenn man die umgesetzte erste For- mel in [7] mit der dritten multiplicirt und dann gerade so wie eben weiter verfährt:

>[9] ^^, «, '8iDi«,sini(n— a^ain^(«,-6^siDi(«,— cj

*..=V"-

cos \fl% cos \fi^ cos ie« Wird [9] durch [8] dividirt. so hat man:

[10]

cotii, = V^tangif,tangi(«t— aa)tangi(<a— 6»)tangi(%— cj.

Dass In [10] die Formel von L'Huilier enthalten ist uo^ dass auch die Formeln [8] und [9] auf den sphärischen Ezee^ bezogen werden kOnnen, ist ohne Weiteres klar. Aus [10] tol^ übrigens noch:

cot4,,«cot4H«= tatfigiit •

und da der Ausdruck links sich bei einer Vertauschung des lnc9 ^ nicht ändert 9 so ist auch :

r,j^ tangidi — fli)tangi(yi - ftj tangi(i, — cQ

^ J tangiii

__tangl(j4f aa)tangi(<a — 6t)tangi(j^ — c^

tangi«a

Aus den Formeln [7] ergeben sich durch eine der obigen »^^^ ähnliche Ableitung Ausdrücke für die Functionen von i(«i — ^i)' Wir erhalten :

[12] * ^ smicFsSiniOtCos^

^ebe: üeber die Farmein der sphärieekem Trigammeirie. SS9

[13J ,

.«I— Ci;-Y 8inia,8iD4«4co8ic,

t«ng,{.,c-c.) = \ taDgiHt«ngi(H-<^ ' 8 [14] folgt sodann:

tang4(*i - cTi) tangi(fi - 6i) = lang 4(j^—c^ cot i%,

tangi(fi— ai)coti(«i— 6,)=coti(n— oJtangKn-Ä,),

tangW«! — «i) tangi(«,— ot)

= cotif|Cotifa,

tang45, fangi(«, — Ci) = cotif.coti(n— Cj).

16 Verbindang der Formeln [7] anter einander durch Divl »fert aber auch noch folgende Resnitate:

tangic

i^ _co8i(<a — ag)cogi(ja— ft»)

j sin i«, sin 4(1, —c^ *

tangin _ co84<aC084(n— Ca)

cot 4ci "^ sin 4(*»— Oft) sin i(s^ — 6 J *

tang4(<t — Ci)_sin4(<«— fla)g»"i(<»-"fti) tangici 8in4s2sin4(js— Ca) '

tang4(5i--C|) coa^cosKs^ — c^

cot^Ci *~cos4(ii— aa)cosi(ia — Äj)'

wichen eine Rückkehr zu früheren Formeln, namentlich so tten l(<*ormel in [2] und zu [14] leicht roOglich ist

280 Meyer: Bemerkung %u Schlömiieh'e Außöitmg

XVI.

Bemerkung zu Schlomilch's Auflosung der biqaa-

dratigchen Gleichungen *).

Von

Herrn Dr. G. F. Meyer

in Hannover.

. HeiBBt die aa&alosende Gleiehang des vierten Gradoi so kann man diese nach Schlömilchln eine reciproke von der Form verwandeln, indem man statt x schreibt:

Die CoefBcienten a und ß werden dabei definirt durch die &^' chnngen :

46 . 66« + 4ai« ^ ^^==2^' ^== (291)» '

und für die Grossen q uni t erhfilt man die Beziehungen:

' 5.

*) Siehe Zeittchrift für Mathem. und Phytik von Schlö' milch, Cantor und Witztchel. Jahrg. 6. Heft 1. S. 50— 51>

der äi^mdraiiseAett eiHehnngen. 2S1

). *» + 2m«+(o«— 4c)f— 6* = 0.

»

id auf diese Weise die nuthigen Werthe ermittelt worden , so t man bekanntlich zur Bestimmung der neuen Unbekannten y beiden quadratischen Gleichungen zu losen:

i?»+«i?+/3-2 = 0, y+i=i?;

:li deren Entwickelung si^j die Unbekannte x mittelst der iichung 3. ergiebt.

Vergleicht man diese, dem Principe nach zwar sehr bemer- iswerthe, wegen der vielen Hülfsrechnungen aber etwas mühe* le Auflusuugsweise der biqnadratischen Gleichungen mit der trefflichen Eul er 'sehen Lusong; so sieht man, dass sie mit ser die Resolvenfe 6. gemeit hat. Es dOrfte daher die Frage le Hegen 9 ob nicht etwa Eni er 's Lösung aus der obigen ab- eitef werden kann. Soll dies möglich sein, so muss offenbar

Beziehung gelten:

b

b.

y = 4j— [sVu + * Vi> + sVu> —6] ,

tf, 0, to die drei Wurzeln der Gleichung 6. ausdrücken. Be- nmt man aber y aus den Gleichungen 7.^ so entspringt:

i. wegen i)=— sJ:iV"8-4/S + o«:

d mit Benatzong der Wertbe fllr a ond ß erhält man hieraus:

2SS Meyer: ßemerkunp %u Schi ifmiicä's Auflösung

Setzt man nun voraus, dass 2^ — a — ^^ eine der Warzelo un- serer Resolvente ansdriickt^ also z. B. =tf ist» so ergiebt sich:

y = ^,[-b±MVu± V{-b±sVu)*^iqV]

= 2^ [— 6±«Vw±V^Ä«T26*Vti+*«a-49V]- Nun finden aber die Beziehungen Statt:

— 2a = u + v + u), b*z=uvw, ^• = 2 + 2"*"4?* daher nach einigen leichten Reductionen:

y =^, [-6±fVt«±«\ r+foT2.". V^].

Aus dieser Gleichung erkennt man jetzt sofort, dass man bei der Bestimmung von g fOr s den Wurzelwerth u zu nehmen hat, an fOr y einen Ausdruck von der Form

y = 2^[-6±*Vtt±«(V«TVw)]

zu erzielen. Wenn sonach die Beziehung u=i2g* — ^"0% &^^*

so ist es in der That möglich, aus Schl5milch's AufldsnngS' weise der Gleichungen 4ten Grades Euler 's Losung abzuleiteo — und umgekehrt. Unter welchen Bedingungen aber ist

Soll diese Gleichung Statt haben, so muss offenbar

(2ti)* + "4a« + 2tt + ^"4 + 4 +16«*+ 2 +4t« + 4ti«

sein. Dies giebt:

^-"4+4+4 ""4t«

oder

^- 4 " 4u ^•

*) Mit BennCsnng dietet Werthet von c folgt, wie man tich socb darch eine directe Rechnung überzeugen kann, immer fär <=t( so* Glelchang 6. :

der äi^HodraUieMen GMekumgen. S88

Da aber diese Bedingung auf a* — Ac^^uv-{'uw-\rvu> zurCick- rt, so lässt sich auch stets aus der üchlSmi Ich 'sehen die ler'sche Auflösung herleiten.

Wir habe» oben fBr s den Werth u gewihlt; well aber s drei !rthe annimmt, so konnte man glauben, bei der Sebll^mlteb*' en AuflGsungs weise wQrden Im Ganzen 12 Werth e als Wur- n der biquadratischen Gleichung gewonnen. Man weiss nun lieh im Voraus, dass immer drei Wurzeln identisch sein miis- ; indessen kann ma» die Bedingung stellen, dass diese Wahr- t unabhSngig von dem bekannten Theoreme fiber die Anzahl

Wurzeln einer algebraischen Gleichung bewiesen werde. ^6 soll im Folgenden geschehen. Setzt man 5=e, fo, so folgt :h dem Vorhergehenden:

y = jt; [— 6 ± ü%/e db KVtt T Vw)]

2^ = 2^ [- * ± ••Vte±tp(VeT Vtr)]. her erhält man überhaupt för x die drei Gleichungen :

^ ^ 16«*^ 4tt«^2a^ 4 4ti

= -L ^6* 4- 406««« + (2a«»)« + 4k» [6« -f 2««^] + (2tt»)*.

tr

bUn wird :

<t man demnach « = t;, tr, to enttprinjct bemiebangaweiiie :

9^

4tp«^2^2 ^ ^ Ste«^

Theil XXXIX. 16

2S4 Meyer: Bemerk. %uSckidmHcM'$ Auflds.der öiguadr.€ieick.

d. h. man gewinnt respective aus der ersten^ zweiten und dritten dieser Gleichungen die Wertfae:

Xi = JVtt + lV©— iVtr, s^ = iVu— iVr + iVto, «8 =— iVtt + IV» + iVw, x^ =— iVtf— 4Vt>— iVtc;

3:3'= -iVr + iVti + Ww,

a:/= 4Vto + iVe-4Vtf, x^"— - 4Vw + 4VtJ + 1 Vti,.

Hieraas aber ergiebt sich, dass

Xi^iXi'^x^"; x^:=ix^'^x^\ x^z=x^'=Xi''; x^^x^:^*k'

3.

Die in dem Vorstehenden gefundenen Werthe gelten bebiiDt- lieh 9 wenn 6 positiv ist. Bezeichnet aber b eine negative Zahl so sind sämmtliche Werthe mit den entgegengesetzten Zeicheo XQ nehmen. Soll auch diese Wahrheit an unseren Formeln sichtbar sein 9 so hat man sich zu erinnern ^ dass, für ein negatives 6» t cot* weder zi^Uy f> oder w gesetzt, die Gleichung

übergeht i^

y = 2^[*±*Vf±V[6±fV«]*-VA woraus z. B. schliesslich folgt:

Meper: Bemerk, %u Ciausen's Behandi, des casus IrredueiöilU. 285

y = 2^ [* ± tt Vu ±(uVv± uVu>)].

Man erkennt aus dem Obigen noch, dass man auf die Viel- entiglceit Ton g keine Rücksicht zu nehmen braucht.

XVII.

Bemerkung zu Glausen's Behandlung des casus

irreducibilis.

Für Studirende.

Von Herrn Dr. G, F. Meyer

in Hannover.

Wie man weiss hat Th. Clausen flir den irreducibelen Fall 'r Gleichungen dritten Grades den Wurzelwerth mittelst der »tteobriiche zu finden gelehrt *). Bekanntlich läuft bei dieser Me- ode die ganze Betrachtung darauf hinaus , die cubische Gleichung

1. ar»— oo: — 6=0**),

welcher die positiven Zahlen a und 6 der Bedingung 276* <4a' DGgen müssen, in die einfachere

2. y»-3y-2c = 0,

» c < 1, zu verwandeln; diese dann wieder in eine neue von rselben Form umzusetzen u. s. f. Dea Interesses wegen, was ne Zweifel dieser Methode zukommt, wird es hoffentlich zu tschuldigen sein, wenn ich in dem Folgenden zu zeigen ver-

*) M. t. meinen Aufsatz über die »chöne und sehr verdienstliche heit de« Herrn ClauMen in ThI. II. S. 446. G.

^) Diese Gleichung kann bekanntermaatten alt Normaifall betrach- ' werden.

296 Meyer: Bemerkung zu Clauten's BekatuUrnng

suche 9 wie man, bloss von dem Streben geleitet, den Wurzel- vverth einer Gleichung von der Gestalt 1. auf die leichteste Weise durch einen Kettenbruch darzustellen* gerade die Form 2. als die geeignetste hierzu findet. Zu dem Behufe setzen wir in Hioblick

auf die Entstehungsweise eines Kettenbruches *) zuerst x=zmi--f

y

wo m und n noch näher zu bestimmende Constatite und y eioe neue — ebenfalls noch näher zu bezeichnende — Veränderliche bedeuten. In Folge dieser Substttutlon geht offenbar Gleichung I. über in :

(m* — am — b)y^+ (3m* — a) ny* -f 3mnhf + «• := 0.

Diese Gleichung nimmt augenscheinlich die reducirte Form an, indem man 3m* = a setzt und ausserdem mit m* — am — b difi- dirt; man erhält so:

y + ;;:5 — ;;;;;; — i-y + ^3 — 7;^ — ä=0.

Ein Blick auf diese Gleichung zeigt nun aber sofort, da«8 sie die einfachere Gestalt

»'-2Tft-^-2 + 6=® annimmt, wenn man msl, also a=3 wählt. Uiid schreibt man, was geschehen darf, n* = 2-f69 d.i. n= V^2+6; so folgt:

3(»-33^-V2T6 = 0.

S«ll diese Gleichung aber zum irredocibelen Falle geh^irei, «^ mins die Beaiehuog Statt haben:

1>^, d.g. 2>6.

BeEeichnet demnach c eioe Grosse, die kleiner als l ist, so kann

man 6*= 2c, sonach n = V2(l+c)=:2 Vi(l + c) «etsea» «^^ durch sich ergiebt:

y» — 3y — 2Vi(r+7) = 0 oder j^»— 3^-2ci=0.

Die Gleichung ar* — 3ar — 2c = 0 oder — was dasselbe sagt - ^*— 3jf— 2c=::0 besitzt mithin die gewünschte Eigenschafi. i^

sie durch die Substitution « = ^ +~-*^^- = 1 + —

" .Vi tft

geht in die neue:

.*) Maa vergleiche beiepieltweiso : Stern, Algebraische Ad*' Ijreit. S. 264.

I

des casus IrreducibiUs. 2^7

eine Gleichung also, die — wie aus dem Gesagten sofort er- illt — durch die Substitution:

die folgende

bergehen mnss u. s. C

Anmerkung. Sind die Werthe von a und b in der Glei- bung 1. nicht die vorhin gefundenen , wie das fast durchweg der ^all ist; so darf man Yu dieser statt a; nur ry einschalten , wo-

l«cb ftlr r der bekannte Werth r=V g, mithin <?=o^==9(* )

Htspringt.

^ XTIII.

M i 8 c e 1 1 e n.

Schreiben des Herrn E. Bacaloglo in Bucarest an den

Herausgeber.

Heute erhielt ich die nir von Ihnen gütigst zugesandten zwei ^^traabzüge meiner Notiz über den sphärischen Excess (Tbeil I^XXVIII. S. 220.)- I^A weder auf dem Couvert, noch sonst wo, ^gend ein Datum zu sehen war, so kann ich nicht urtheilen, wie Mt ich nach der Absendang derselben antworte ; so viel ist aber ^«riss, dass ich diess unmittelbar nach deren Empfange thue.

Ich danke Ihnen verbindlichst fdr die Aufmerksamkeit, welche i« meiner Notiz gewidmet haben und überhaupt (är Ihre rück- ■^tsvolle Ausdruckweise in Hinsicht oMiner. Ich bin auch mit 'uien vollkommen einverstanden, wenn Sie sagen, 4msb wenn ^Hsh durch die Z#rleguBg des Ausdruckes

2S8 MiseeUen,

2 ^ a 0 e

. ^_ V^sTnjgsinCjg — fl)8in(jg— fe)8in(jg — c)

a b e

2C0S^C08^C08s

in zwei Faktoren » wie folgt:

singsin Q sin o sm^ ^

a 6 c C08 5 cos 5 cos ^

» ü — a p — b p — c cos s cos ^—5— cos ^—Q— cos -Q

a b c

C0Sc|C0S^CQS5

und durch den Beweis, dass die Summe der Quadrate diefer

E

zwei Faktoren =1, dargethan wird, dass der eine ssln-^f der

E

andere aber =cos-7- ist, so folgt doch nicht unmittelbar daranSt

dass auch wirklich der erste =sin-2- und der zweite = cos -j s^io

E

rouss, nicht aber auch umgekehrt der erste =cos-j- und der

E

zweite = sin -ir sein kann. Indessen gestatten Sie mir zu hvw^

ken, dass ich, als ich in meinem Aufsatze behauptete, dass

£ m I srngsm*--«"'*^"' — 5— sm^ q-

sinj =

cos j =

cos n COS 5 COS 5

p p — a p — b p — c

F W i ^^^^qCOS^-;^ — cos Q COS Q

COS^COS^COSä

es nicht ohne Weiteres, sondern erst dann gethan habe, als i^ mich überzeugte, dass (ur EzziO der obere Ausdruck, nicht aK'^ der untere sich auf Null reducirt; ich hielt es aber für minGtli^^ diese Bemerkung beizufiigen, wodurch, wie ich glaube» meiD ^^^ weis mangelhaft erscheinen durfte.

Sollten Sie nun durch diese Bemerkung zu der Uebera^^' gUDg gelangen, dass mein Aufsatz nichts Willkührliches enthl^^ so bitte Ich Sie, aber nur in diesem Falle, meioeo Namen, ^^ den Verfasser jenes Aufsatzes, zugleich aber aocfa obige

MiBceilen, 239

mng io beifolgender deutlicherer Form der Oeffentllcbkeit gütigst ibergeben su wollen.

Nach der Zerlegung des Aasdrackes

iD die Faktoren

. E _ V^sinpsin(/> — a)8in(p — b)B\n{p — c)

1 a b c

2 cos 5 cos R cos»

sin rt — — A

2 ^ a b

und

. p . p—a . p— ^ . pr-c sin s sin ^2 *'** 2~" ®'° 9

06c cos .3 cos ^ cos ö

p p — a p — b p — c cos % cos Q cos ^-5 — cos *--5 —

a 6 c cos Ä cos Ä cos ^

nnd dem Beweise ^ dass die Summe ihrer Quadrate =1 ist, folgt

E

nnmittelbar, dass der eine derselben ^sinj» ^^^ andere aber

E

==cos'2-- ^^ ^^ entscheiden 9 welcher von beiden Ausdrücken

E

^8in-j ist, braucht man nur zu ermitteln, welcher von ihnen

beiden, für £ = 0, sich auf Null reducirt, welches das Charak- teristische flir den Sinus eines Bogens ist. Ist aber £:=0, so ^olgt A +B-{^ C=180o, das sphärische Dreieck schrumpft in einer deiner Seiten zusammen, z. B. in der Seite c, so dass a-f 6=c

^dera+6 — c=0 und sin^--^=0. Also reducirt sich in die (em Falle der Ausdruck

. p • p— o . p—b . p — c sin§ sin^ Q sin ^ sin^ q

COS^COSnCOS»

E

•Of Null und hiermit reprSsentirt derselbe den Sinus von -^ » iO'

'em der zweite Faktor =cos7 ist.

Bucarest den 13./25. Juli 1862. E. Bacaloglo.

Mit Ruckticht auf die in Tbl. WXVUI. Nr. Will. S. 920. vorläufig ^^«e Nennang de« Namen« det Verfastert mit einer ,, Nachschrift** l^on mir Teroffentlichte „Notiz aber den sphärischen Excess*' ^Ite ich mich'jetst für verpflichtet, den vorstehenden, von dem von

240 msceUen.

mir hochgeachteten Verfasser dieser „Notis'S Herrn Bacaloglain Ba- carest, an mich g^erichteten, ebenso freund liehen, als dnrchansprachslose Bescheidenheit ausgezeichneten Brief auf dessen Wunsch zn Teronentlichcn. Mansche den folgenden sehr schönen Bewois von Herrn Lohatta. G.

Schreiben des Herrn Professor Lobatto in Delft an deo

Herausgeber.

Dans le 38. toroe (p. 220.) de votre estimable jourDal oo trooFe une notice qui vous a ^t^ adressee sur une noavelle d^inonstra- tion de la formule ^Ugante due k THuilier pour exprimer la valeur de l'excös sph^riqiie en fonction des trois cot^s du triangle.

Quoique cette d^monstration ait son nierite particulier, je doute cependant qu'elle soit la plus simple qu'on puisse dooner de la formule dont il s*agit. C'est pour cela que je me pennets de vous soumettre par la präsente une autre demonstration ä h quelle je suis parvenu d^jä depuis bien longtems. La voici teile que je Tai exposee dans' un petit trait^ de trigononi^trie spb^ri- que publik en 1836. En partant de T^quation

S\n\{A + B) __ Cosi(q-6)

CosiC ~* Cosic on en d^duit

Sinl(4+Ä)-Co8lC

Cos^ 2 J~'^''^*^_Co9Ua-4hJC<^

ou bien, en vertu de la relation connue

Tgi(180»+C-.l-Ä)TgJ(^+Ä+C-180O)=Tgi(a+c-6)Tgi(c+M). Cot i (180« + ^ + Ä- C) Tg JE s: T'g i(* - b) Tg i(* - «). ifj

I .^ «• Co»i(^ + B) Co«i(a+ 6) . , . ^ , Lequation — J. ^^ — :=— j^^-r- — eonduira de mime a

Co8 (90°— jC) - CosiJA 4- ß) _ Cosjc—Cosi^a + b) Co8 ('m + iC)+Coai(A^B)~ Cos ic -f Coai(a -f 6)

ou bien

Tgi(180o + ^ + fi-C)TgiE = Tgi(a+6+c)TgJ(a + 6-c)

=:Tgi« Tg «*-€?)• (11)

Multipliant les ^^uations (I) et (U), on parvient immMiatemflot ä la formule 'de I Huilier:

TgiE= VtTgi*Tg4(*-fl)Tg4(f-6)'fgi(5-c)|.

Je m*en rapporte ä votre jugemeot pour d^eider si la dtooiütr*^ tlon präc^dente peut ^galeroent nieriter une place dans votre joorsal«

Delft, ce 8. Octobre 1862. R. Lobatto.

Oeiiinger: üeber öeslimmie Integrale. 241

Ueber bestimmte Integrale.

(Fortsetzung yoq Thl. XZXIX. Nr. IX.)

Von Herrn Dr. £• Oeiiingery

sihersoglich Badinchem Hofrathe and ardentlicbem Professor der Mathematik an der Universität zu Freibarg i. R.

U.

§. 19. In {. 5. wurde folgendes Integral entwickelt:

i)

/l 1>'|1 1 ^2 3 r

0

man auch In folgende Fomi umsetzen kann:

2)

/* 1 « I'l*

0

1 wnrde bemerkt, dass m eine positive» ganze nnd gebrochene, ber nnr eine positive ganze Zahl sein kann.

Diese Integrale wurden vielfach und namentlich von Euler . Legendre, von letzterem unter der Benennung „Euler- ies Integral zweiter Art*% untersucht. Sie lassen Be- sbtungen zu, die bisher nicht hervorgehoben wurden. Sie sollen r in Kürze nachgetragen werden.

hsii XXXIX. n

242 Oetiinger: l'eber bestimmte Integraie.

Beide Integrale gelten auch, wenn r eine gebrochene, positife und negative Zähl bedeutet. Diess zeigt sich durch UmformuDg des bekannten Integrals

/

o

Setzt man nämlich:

^ 3)

«-'• = ». also x^^— \gy , so wird

« = (— Ig»)« "•"» a« = --(-lgy)« ^.

Durch Einflihrung dieser Werthe in das vorstehende Integral er- hält man:

1 r ?-i

Die Grenzen, zwischen welchen dieses Integral genommen wer- den muss. bestimmen sich auf folgende Weise. Fflr j; = aD

wird e-'^ = 0. In diesem Falle ist auch ^ = 0. Wird aber

;r = 0 gesetzt, so ist e^^'^rsl und in diesem Falle muas aseh y = 1 sein. Das umgeformte Integral Nr. 4) muss daher zwischen den Grenzen 1 und 0 genommen werden. Hiernach erhält van

/OD 1/^0 ' 1 I /*! C 1

^-le-s^Sx =- - J (-lgy)i"8y=-y (-lgy>t ?»

0 1 o

p 15

.?|i

Setzt man hierin p + q statt p, so entsteht nach den n Reductionen:

P-rq

I»

oder

S)

o

(Ig.y)iay=:(-)i.l5'*

Oettinger: Oeöer desUmmte Iniegraie. 243

das auch in folgende Form umgesetzt werden kann:

4

6)

0

Formt man nun das Integral

OD — fl 1—7

o

/

auf die gleiche Weise uro, so erhält man:

7)

/» i iL iii

o

8)

E>a p und q unabhängig von einander sind^ so kann ^ jede

ll^anze und gebrochene positive , -^ aber nur eine negative ge- brochene Zahl bedeuten 9 denn f€r eine ganze negative Zahl wird Mr. 7) und S), also auch Nr. 1) und 2), unendlich gross. In die- ' sem Sinne sollen die obigen Integrale hier in Kflrze betrachtet werden.

§. 20.

Wir wählen hiezu das Integral Nr. 2) §. 19. , weil faiebei das Zeichen nicht zu beachten ist. Die sich ergebenden Resultate sind reell, während die aus Nr. 1) sich ergebenden in bestimmten Fftllcn auf imaginäre Werthe führen.

n Setzt man r-f - in Nr. 2) S- 19., so erhält man folgende all- gemeine Form 2

IT*

244 Oetttnper: Veber öettimmte Intefrate.

1)

-|i,. . «.

(y + n)»-!«.!«" (n4-y)(n-f2y)....(n+ry). H' ' '

— = ,

worin alle hierher gehurige Integrale enthalten sind. Ist ~=^ 80 ist 1il^=:|y7r, und man erhfilt:

2)

0

Fflr msri entsteht:

3)

0

16V« 8

0

Hiermit sind die Resultate zu Tergieichen, welche Eoler in se ner Integralrechnung Bd. IV. S. 91. mitgetheilt hat«

Setzt man - = i» so erhSit man ans Nr. 1): 9

^)

• I ^

V

7t

Otttinger: Ueöer betUmmle inleprale. 245

Hieraus erhält man für m = l folgeode Integrale:

5)

/^V^a. =1».».

0 0

y"(l8i)'Vl»;a»=fHi',

0

Eben so einfach ergeben sich die besondern Fälle für das In- tegral Nr. 4), wenn man m in die Darstellung mit den entsprechen- den Wertheil aufnimmt. Hierin ist

]tli=0;89297951]6 und lgUM = 0,9508414045945-1.

n Für - = } erhält man: 9

6) r^-H\Kh^-= ^'^''y ^5.8.11....(3r+2).llli

Uie besondem Fälle leiten sich hieraus leicht ab. In dieser Dar- Btellung ist

1111 = 0,9027462928, Ig lH» = 0,95566523262835—1.

n Setat man ~ negativ in Nr. 1), so ergibt sich:

7)

0

246 Oettinger: lieber öeMümmte IniegraU.

Hieraus leiten sieb folgende Integrale ab:

8)

/^ ,^ 1^ .r. M'.VmJi 1.3.5.,.. (2r—l)Vmä;

0

2^ I ».Vw.l-* 1 1 2.5.8...(3r-l)Vm. l-*|i

/i 1 2^ I »A

m»-+* ■" 3»".iii»-+*

/

10)

^^,_,(t^lj,-^3^^1-'^V^'l-*'^_l-4-7.,..(3r--ä)\rn.^^

u. s. w.

Hierin ist

1-111 = 1,3541179392, Ig I-« i ^ =0,13165649168403, 1 -* 1 1 = 2,6789385348 , lg 1 -I I » = 0,42796274931426.

Diese Darstellungen lassen sieb leiebt weiter fortsetzen« and

speeielle Fälle aus ibnen ableiten. Euler bat diesen Gebilden

eine grosse Aufmerksamkeit gesebenkt und seine Untersucbangea

n aueb auf die Bruehe - =^9 i» i» f u. s. w. a. a. O. ausgedehnt

9

und mit vielem Scharfsinne Sätze aus der Lehre der Facultiteiiy die er als nnentwickelbare Grössen bezeichnet, aufgestellt, wie dort nachzusehen ist. Da aber die Darstellung der besondern Fälle, wie sich zeigt, keine weitere Schwierigkeit bietet« so ver- folgen wir sie nicht weiter.

Setzt man nun — r statt r in Nr. 2) §. 19., so entsteht

« . ,--11 .. n «

und hieraus, wenn die Facultät mit negativem Exponenten in eine mit po^tivem umgesetzt wird:

I'

OettiHgtr: Oeber bettimmte Integrale. 247

11)

0

''^' m.n'"*^ ^ ^ 'm.n(n-{-g)....(n + Tq-'gy

ese Darstellung gibt eine reiche Anebeute fSr die Anwen-

Setzt man ~=:A« so erhält man 9

12) "nr"*^"^ ' m.M« -^""^ •|ii.l.3.5....(ar— !)•

= 1 erhält man folgende Integrale:

13)

= V»

'4V

8^ « >

•Ti

/l dx

ö«i)'vr«8

0 *

i-^«l

erhält man:

V. ,^J^

248 Oettinger: üeöer öeilimmie Integrale,

14)

1 —^ ^''' m.lM» "-^""^''•||i.l.4.7....(3r-2)'

Ol

15)

* a;"'-^8ar (3m)''. V^. 1-» I ^ _ (3m)'-. V^.l-f i'

,, 1,,^""^ ^' m.2r\* ""^ ^'•m.2.6.8....(3r-l)

0

U. 8. W.

Hieraus gewinnt man leicht eine Menge besonderer Fälle» die man mit den von Euler und andern aufgefundenen ver^eichen bann*

Setzt man, da auch m eine gebrochene Zahl sein .kann,

k

m -f ~ statt 711, so erhält man aus Nr. 2) §. 19. :

16)

J X P V'g^Ö*— (.^^^jr+l- Ebenso erhält man aus Nr. 1), 7) und 11):

IT)

I X V (Ig^ ibx = '=- — J — ,

•^0 ^{pm^ky^

18)

••+1-? , .. ■ . ,- 1 1 •

J ^ ' <'»i> '^^=^ — ;.^x-; '

" f{pm + *) »

19)

w-l 1 , . r— 1+- , — |1

£--l-.ax = ^_),y(»'f>+^)/«-ii_ ,

(Ig^ V . ;, ^«.nM«

Hieraus lässt sich eine Menge besonderer Integrale ablttteo.

Oetiinger: l-eötfr bestimmte iniegraie. 249

k k

Setat man - =i, - = i> und für m und r allmälig die Werthe

0, 1, 2.... in Nr. 17), so entsteht:

20)

V« 3V3 '

vi "^"'25^5 '

Var " 243V7 '

'aj-dg^'Y Igi

o

, ^ _ in^\^.\ni _1.3.5....(2r+l)V2»

Vor ^ "" i2mi^ly^^VImii'^l2m+iy^^V^2ii[+V

u. 6. w. üiese Integrale lassen sich beliebig vermehren.

S. 21.

Eine aasgedehnte Gruppe von integralen gewinnt man durch Verbindung der in §'. 19. angegebenen Ausdrucke mit dem Bino- mium (1=fa;9)«. Man erhält:

/ arP-Hl — ^)*(}g ^y^x

o

o

Werden die einzelnen Glieder nach Nr. 1) § 19. integrirt, so entsteht :

250 OctUnger:, Veber betUmmte ltue§rate.

I)

o

= <—Y, Ir 1 1. ;5 ■/ )■ . W«

worin

' _ B(n-l)(w-2)....(«— w+1)

bedeatet. Die Glieder der eingeschlosseneD Reihe bilden dto «ten Unterechied von r^qii, jedoch in umgelcehrter Ordnung. Mao Icaon daher dieses Integral auch so darstellen:

2) 1 ]

/

o

bei der Zunahme q. Auf gleiche Weise erh&lt man:

3) / xr-H}. + j;f)"(lg xydx

0

Denn die Glieder der eingeschlossenen Reihe bilden die nie Aaf* stufung von -771 bei der Zunahme 9. Man kann auf beide Dar- stellungen die Gesetze anwenden, welche von dem mten Unter- schied oder der nten Aufstufung gelten und daraus eine Menge besonderer Integrale ableiten. Sie werden jedoch nicht Gefi^n- stand unserer Untersuchung sein.

Setzt man — n statt n in Nr. 1) und 3), so entsteht:

Oetttngtr: üeber be$ammte Integrate. . 251

(4)

r

— ^_y ir 1 1 2;„» ^5^5 ■. ,

8)

/»> :n>-Hlgxr . . / 1 _..« . [«]. _ \

y (1+««)«'''^-^ ^ Vp'+* (P + 9)'+'^(p+2v)'+» '")

o

Hierin ist:

r 1 __«(n-H)(ttf2)....(n+«-l) LWJ» — 1.2.3....»

\

I

Aus der Gleichung Ni% 2) §. 19. ergeben sich folgende Dar- stellungen :

6)

- * V/»'+> + (/» + ?)'+» + (1» + •29)'-+» + ■ ■ • 7 ' .

7)

(1 +0:«)" "^ - ' ' Vp'+» ± (f> I »)'+« "*■ 0» + 2?)'+' * ■"/

Die Formeo io Nr. 1) ~ 5) und in Nr. 6) und 7) fähren die glei- chen Zahlenwerthe und unterscheiden sich nur durch das Vorzei- chen. Die geraden* Potenzen von r fuhren auf gleiche Zeichen. Da aber die Ausdrucke in Nr. 1)~5) bequemer darzustellen sind, •o werden sie hier berücksichtigt werden. Aus den fGr jene ge- fbodenen Resultaten kann man leicht auf die in Nr. 6) und 7) zu erhaltenden übergehen.

So lange n>l Ist, sind die Reihen in Nr. 1) — 5) zur Aus. werthung nicht geeignet, da sie wenig convergiren. Man kann zwar die in meiner Lehre von den aufsteigenden Functionen an- gegebene Methode anwenden, um diese Reihen zu suromiren.

r »

252 Oe Hin ff er: (Jeder beHimmte Integraie.

Sie fuhrt aber zu sehr zusammengesetzten Ansdrficken. Wir beschränken uns daher auf den Fall, wenn » = 1 ist, snmal sich auch hier noch immer eine reiche Ausbeute bietet. In diesen Falle erhalten wir folgende zwei Darstellungen:

8)

/•»x|H!g£):g^_._., i„y_L _JL_. \ + \

= (_)r.Ir|I.5(^,,)r+l, Ö)

/»i^-Clg^ ^^ /J 1__ 1__ \

O

= («)r.|r|l.S/(p,^)r+l.

Hier ist zur Bezeichnung des Summenausdrucks der aneudlicbeo reciproken Potenzreihen mit einerlei Zeichen das Symbol «SQ», qf^ und der mit abwechsejnden Zeichen das Symbol S'{p, qY^^ ge- wählt. Sämmtliche Elemente, welche zur Bestimmung der Reihe nuthig sind, nämlich das erste Glied {p), die Zunahme (9) ml der Exponent der Glieder (r 4- 1)» sind darin aufgenommen. Diaü' Bezeichnungsweise dürfte geeigneter erscheinen , als andere^ und namentlich die von Legendre gewählte, bei welcher die reciproken Potenzreihen mit abwechselnden Zeichen , die gleich wichtig sind, nicht berflcksicbtigt sind.

Bei der Anwendung ergeben sich aus den Elementen p und q so viele verschiedene Reihen als q Einheiten enthält, und 80 lange p sich höchstens bis zu q erhebt. Wird p=zq, so erhalten diese Darstellungen folgende Form:

10) '

1^1».. 1.1

— ( )'*.,r+l(^ +2^+' ^'^r^-y'^ 4r+l + "-).

II)

r^ aiP-K\fixY ^ _, ,, „,/J_ 1 . 1 \

Ofitinger: üeäer äesümmie Iniepraie, 253

[leraua leitet sich folgendes Gesetz ab:

12)

Ä(p,p)r+i=pj:, 5(1,1)^+1.

überhaupt erhSit man, wenn p und q einen gemeinschaftlichen iktor haben, was häufig vorkofmmt, folgende Redactionsformeln :

13)

Ferner ergeben sich aus Nr. 8) und 9) folgende Ableitungen, im Folgenden viele Anwendung finden werden, wenn p=1 i g z=zl, 2, 3...« gesetzt wird:

14)

O

J*^ ^^3« = (— )•• . l' I »S(l, 2)«+i ,

O

y ' (!5^;ax = (-)r.lr| JS(1. 3)r+t.

0

U. 8. W.

18)

P ^~^dx=(-)r.lr I 15'(1, l)rf a ,

0

0

^'^

U» 8. W.

IL «

■ ■ » ,

254 Oeifinger: Oeber öesiitnmle Integraie,

§.22.

Man kann die in Nr. 8) und 9) §. 21. gewonnenen Gleichungen ZOT Ableitung einer beBtimmten Classe von Integralen brauchbar machen, wenn ^an die Werthe von p und q^ die unter einander unabhängig sind, in bestimmten Zusammenhang bringt. Setzt man nämlich p statt q und (m 4- ^)p statt p in Nr. 8) §. 21., so ent- steht mit Racksicht auf Nr. 13) :

/

— i** ' Y 1 1 1 \

In der eingeschlossenen Reihe fehlen die m ersten Glieder. Er- gänzt man sie und schliesst sie wieder aus, so geht obige Dar- stellung Aber in

1)

/

o

1 a:m|H-p-i(|gar)''

l»*!^ , . V\^ 1 1 I

Auf dieselbe Weise erhält man aus Nr. 9) §.21.:

j

l + arP ^^

_ IHip I 1 1^ -1

""^■"^'* V+*L(w + ir+*'"(m + 2)>-+i + (m + 3FP •"•J'

Auch hier fehlen die m ersten Glieder. Bei der Ergänzung hat man auf den Zeichenwechsel Rücksicht zu nehmen, und das vor- zusetzende Zeichen so einzurichten, dass das CUied t — . iv,i i» ßr sich betrachtet, positiv wird. Es wird daher

2)

V-

Oeiitnger: üeber betUmmie intepraie, > 255

Dntevcheldet man aber, waa hier eintritt, swiachen einer g^a* den ond ungeraden Zahl,, so ergeben sich folgende zwei Daratel- longen :

3)

/_>r+l »lÜM J_4. » _L __L_x

4)

in» 1 1 1 1

Eine andere Form von Reihen bekommt man, wenn 2p statt q und 2mp +p statt p in Nr. 8) und 9) §. 21. gesetzt wird. Auch in diesem Falle lässt sieb p aus der Reihe ausseheiden, und es entsteht:

/

5)

1 j:«»p+p-i(|gj:)r I— a:«P

dj:

_ \r 1'''Y ^ 1 1 \

— ^""^'■' ^tV(2iii + l)'^+i + (2m + 3)>-+i + (am + 5)*^+ 1 + ' ' ' 7

/

8) l+aflP

dx

piy 1 1. 1 \

f.

»■• ■

256 Oeitinger: Veb9r öeätimmte IntegraU.

Art von Reihen iä«Bt sich in eine allgemeine Fom briB- geby wenn man kp statt q und mkp+p statt p schreibt:

7)

o

_ iM»p 1 1 1 -1

- ^""^'" V+^Um* + 1)'+» + (tnA+k+iy+^'^ (m*+2Ä+l)rf »+ "J :

8)

O

Mip 1 ' 1 -i

-^ ^V+'L(mA + l)H-i — (»iifc+A+l)H-i+ •••J

Aach hier lassen sich die Anfangsglieder ergänseo and wi erhält:

O

^"^'^^'^f* + (*+ !)••+» + (2Ä+ D'+i + • •■ ((m— 1)*+1)'+J'

10)

(_)m+r+l. ^ [1 - (A+l)r+l + (2FFr)'-+*"" - ^-)"^\mit-A+ly+J* ^

Diese Gieichangen werden spfiter zu mancherlei Anwendvoga ■ dienen. |

I

§.23.

i

Die Auswerthnng der hier in Frage stehenden Integrale he-

I

Oeiiinger: Oeder öeiOmmte Megraie. 257

rie man sieht, auf der Daratellong der SammeD der reci- Potenzreihen mit gleichen und abwechselnden Zeichen» i verschiedenen Anfangsgliedern und Zunahmen.

einer Abhandlung, welche im 26. Bande dieses Archivs ff. abgedruckt ist, habe ich die Gleichangen angegeben, 9 Summen der reciproken Potenzreihen mit gleichen and iselnden Zeichen bei jedem Anfangsgfiede und jeder Zn- dargestellt werden können. Bezeichnet man das erste Glied 71, die 2^nahme durch k, so hat man zur Darstellung der einer Reihe mit einerlei Zeichen folgende Gleichung:

1)

1 . 1 . I . 1.

— — • "T /_ I f.\« T /_ I 0»A« + *'*'

«* ^ (m + *)i» ^ (m+^yp^""(m + nA -*)P l)(m+nk)P-KA + 2(m+»i*)P "*■ 6.2(fn+nA)H-» 30.4(m+nA)P+»

6(m + n)fc)P+* "" 30 . 8(1» + nk)?^^ "*" 66 . 10(m + nk)P^^ ""

»rtgangs- Gesetz der begleitenden Reihe liegt deutlich vor. rzahlen der einzelnen Glieder sind die Bernoulli'schen Zahlen:

' 6' 3Ö' 42' 30' 66' 2730' 6' 610' •••

e Summe einer reciproken Potenzreihe mit abwechselnden n bestimmt sich durch folgende Gleichung:

2)

_ 1 11 1

»(m,*)P_^ (m + A)P + (m + 2A)P (m + 3*)P+*--

mf (m + U)P^(m + '2A)P""^ ' (m + n*-*)P

pk _ [p]aA» , [pUk>

.2(f» + nkyp ^ 4(111 + it)P+» 8(m + *)p+" ^ 4(m + «A)P+»

17[p3yF 31[p3,A« 691[p]„A" -1

~ 16(m+«*)P+' "•" 4(iii+»iA)P+»~8(m + n*)P+" + • " J"

le Vorzahlen der begleitenden Reibe sind die Vorzahlen

1 XXXIX. 18 *

.*

■«3#-

258 Oi Hing er üe^er öe^timmie IntegrßU.

1 1 1 1 17 31

der Glieder der ersten negativen Aufstufang »' 7* g' 7' 16' ~i*

691 4561 8 • 4

y • • ■ •

Bei Anwendung dieser Gleichungen wird es zweckmSssig sein, die Zahl (m+nA) in der begleitenden .Reihe so zu wählen, dass sich die huhern Potenzen, worauf sie fährt, bequem darstellen lassen, wozu sich die Zahlen 10, 20, 30.... und auch 25 gani gut

eignen, da jg = jtjq i»t.

Obgleich die Glieder der begleitenden Reihen nicht volistSD- dig convergiren, so lassen sie sich doch ganz gut gebrauchen, um bei schicklicher Wahl von (m-\-nk) den Werth des Sommenaus* drucks beliebig genau zu bestimmen, indem man so weit fortgehen kann, bis die Convergenz auf hurt, was dadurch erkannt wird, dass man hei dem Fortschreiten der Glieder Werthe erhält, die theils kleiner, theils grösser als der gesuchte Summenausdrnck sind.

Man kann eine Reihe mit abwechselnden Zeichen in zwei Reihen von einerlei, aber entgegengesetzten Zeichen auf fol- gende Weise zerlegen:

3) S'(m, k)v = Ä(m, 2ä)p — S(m + A, 2A)p,

und dann nach der Gleichung Nr. 1) verfahren. Dadorch wird aber nichts gewonnen, denn die Arbeit verdoppelt sich.

Da im Folgenden die Summen der Potenzreihen mit verschie- denen Anfangsgliedern und Zunahmen n5thig werden, so sollen hier diejenigen bestimmt werden, welche die Grundlage zor Auf- findung anderer bilden, wodurch sich das hier zu beobachtende Verfahren verdeutlicht. Um die Summe von <S(2,3)* zu bestim- men, hat man ifi = 2, n=:6, A; = 3, p = 2 in Nr. I) zo setzen. Hiernach ist:

S(2,3)«=2i+5j + g4 + .... 175 + 2720 + 2720« + 6. 2.20»

4.3» 6.3^ 8.3^ 10.5.30 12.691.3"

30.4.20* ■** 6.42.20^^ 30.8.20« + 66. 10.20" ""2730.12.2Ö" -

« Werden die angezeigten Werthe berechnet und zusammenge- zählt, so entsteht:

Oeitinger: Oeber öesümmie integrah. 250

«

5) 5(2. 3)«=^4^^, + ^-f ....s^0,34Q4306010^D8.... EbeDSo erhält mani

^l^.a; -;2» + ßa + gi+", 7» + 272^73 +2.20» +6. 2.20*

10.3» 21.3« 36.3^ . SS.S.3» 78.691.3"

~3O.4.20«'6.42.20»~8.30.20w+fi6.10.25S— 12.2730.20M+' '

and hierana:

7)

5(2, 3)'=^> + ^, + g,+. ..=0,1367662326834...

Au(t Nr. 2) erhSIt man ffir dieselben Werthe :

8)

S'a Sf^-^^—l + l 1 1 2.3 4.3» 6.3»

Sf f^z.aj--.^ 5« + 8»"" 17» + 2.20« ^4.20» 8.20» + 4.20'

17.8. 3^ . 31.10.3> 691.12.3" . "■ 16.20» ■*■ 4.20" 8.20»» ■**

• •••

= 0.3204359069284.... 9)

Ä(z,tf;— 2i 6» + 8»"" 17» + 2.20» + 4.20* 8.20« + 4.20«

36.17. 3^ 31.56.3» 78.691.3" — 16.201« ■•■ 4.20» 8.20" ■*■• "

= 0.1184387784250....

Setet nas fii=l, Ass4, nas6, p=2, 3 in Nr. 1), so entsteht :

10)

^i 4)«=i+i + l+ ±+JL._L+_M___Lf_

*(*,♦> — ' + 5« + 9«+-'2l« + 26.4 + 2.25«+6.2.26» 30.4.26»

. 6.4« 8.4»^ 10.5.4»

42.6.25' 30.8.26»^ 66.10.26" "• = l.O74898O7ei066....

18*

^

^€1

260 OetUnger: üeber öeiUmmie Iniegraie.

11)

«n ^^8-lJ.I4i4. JLü 1-4. ^ , 3.4 10.4»

-;>(j,4; -i+58-t9ä+-2lt"»2:2ö*.4"*"2.25»' 2.6.26* ""30.4.25«

21. 4» 36. 4^ 66.6.4<>

^42.6.26«"~30.8.25w + 66.10.26W""-

= 1,0103729682620....

u. 8. w. Die WertbberechnuDg dieser SuiDmenaiuidrifcke Ut, wie maD sieht, mit viel Mfihe verbnndeD, namentlich wenn sie weiter aosgefQhrt und aaf die verschiedenen Summen einer ond dwsel- Ben Zunahme ausgedehnt viterden soll. Es wird daher gut sein, noch weitere Methoden anzugeben, welche ihre Auffindung erleich- tern und die Arbeit auf ein Minimum zurfickbringen. Diess soll im Folgenden geschehen.

S. 24.

Wir betrachten zuerst die reciproken Potenzreihen mit einor- lei Zeichen und verschiedenen Zunahmen. Da die Zunahme jede ganze Zahl bedeuten kann, so kann man ffir jede so vkU in's Unendliche fortlaufende Reihen bilden, als die Zunahme Einheiten enthält, so dass die Summenausdrucke sämmtlicher so entstan- dener Reihen zusammen so gross sind, als der Summenaosdmck der reciproken Reihe von der gleichen Potenz besagt, deren Zu- nahme die Einheit ist. Hiernach hat man f&r die Zunahme 3 fol- gende Zerlegung:

S(l,l)J'=l + ~+5j + 5-f....

-l+i+1. +1.1+1.

also nach Nr. 12) §. 21. :

1)

S(l , 1)? = S(l , 2)F + 5(2, 2)p = 5(1 , 2)P + ^ 5(1, 1)p oder

S(l,2)P = (l-i)5(l,l)F,

und man kann 5(1, 2)r durch 5(1, 1)p darstellen. Ffir die Zi ndime 3 erhfilt man folgende Zerlegung:

OeiUnger: üeber öesUmmu Iniegraie, 261

S(i.i)'=i+5 + ^+i + s;+.... _ 1 1 1

-* + 411 + 7,+ 10f + ••••

.■*'S + » + S^''"* + » + S'*'^'*""*

HwtaiM folgt

3) S(1,1)?=S(1,3)F + S(2,3)f+5S(1,1)», .

0-5) «(1 . 1)' = 5(1, 3)? + S(2, 3)P.

bt Dun «ine der SnmmeD 5(1 , 3)r oder 5(2, 3)r bekannt, so liMt sich hieraips die andere, und somit alle drei der Zonahme 3 sogebSrigen Sninnien bestimmen, da die Wertbe ffir 5(1, 1)1* bis aar 40sten Potenz aus der oben angeföbrten Abbandinng bekannt •fad. P«r />=2 ist ans Mr. 4) und Nr. 5) $. 23.:

8)

S(l , 3)« = (1 — }) 5(1 , 1)» - 5(2, 3)« = 1,1217330139304

5(3, 3)*=sO,1827704518720261

Eb«D so erbllt man aas Nr. 7) §.23. und Nr. 3) dieses Paragraphen:-

«) S(l, 3)» = (1 —Ä) 5(1, !)•— 5(2, 3)» = 1,0207800444332.. ...

5(3, 3)s = 0,0445200260429 ....

Fflr die Zunahme 4 ergibt sich folgende Zerlegung:

7) 5(1, 1)P=5(I, 4)P + 5(2. 4)P + 5(3, 4)i»+5(4, 4)»

= 5(1. 4)P +|;«(^ 2)i> + 5(3, 4)P + j;5(l. 1)p, and hieraus mit Rficksicht auf Nr. 2) :

1 '^

(1-^5(1, 1)P=5(1,4)P+S(3. 4)P.

^

262 OeiUnger: Veber beHimmte Integraie,

Es zeigt sich , dass alle vier hierher gehurigen Sammen bestimmt werden können^ wenn einer der SammenausdrCIcke StX^^)^, iS(3, 4)P bekannt ist.

Die Fortsetzung dieser Untersuchung führt zu folgendem Ge- setze fdr die Zunahme ki

9) S(l,l)p==Ä(l,*)P + Ä(2,Ä)P + Ä(3,^)P + ....Ä\A-l,*)P+gÄ(I,J)?.

Diese Gleichung zeigt « dass vorerst nur zwei Summen aus deo fibrigen (k — 2), beziehungsweise nur eine abzuleiten sind. So lange, k eine Primzahl ist» bleibt dieser Satz io voller GeltoDg, wie diess bei der Zunahme 5,7,.... der Fall ist Ist aber/: keine Primzahl, dann werden noch weitere Reductionen zu macbeD sein, namentlich dann, wenn schon Summen f&r kleinere Zonab- men bekannt sind. Diess wird sich an den Summen fiir die Zu- nahme 6 zeigen. Hiefur ist :

S(l, 1)P= S(1,6)F+ S(2,6)P+ S(3,6)P + S(4,6)P + S(5,6)p+S(6,6)? = S(l,6)P+^S(l,3)P+~S(l,2)P+~is(2,3)P + Ä(B,6)'

Nun ist aus Nr. 2) und Nr. 4) :

is(l,2)P = iÄ(l,l)p^l!Ä(l,l)P,

J^(Ä(1, 3)P+ Ä(2, 3)P)=^S(1, 1)P-^Ä(I, l)P.

Werden diese Werthe eingeführt und geordnet, so erh&lt m^

10)

Ist einer der Werthe iS(l,6)P oder iS(5,6)P bekannt, so las -- sich hieraus der andere finden, und es sind beide bekannt. Nun is^

11)

S(2,6)P=^S(l, 3)P=^(l + i + i + jjp + ....)

iJt'

O^tUnger: Veöer betUmmte Integraie. 963

Wird nun dieser Wertb in die oben angegebenen Gleicbungen ^ngeffihrt uod wird geordnet, so eutetebt:

12)

(1 -h S(l. 1)«'=(1 + ^) Sil, 6}P + 5(6. 6)P + (I +^)S(4,6)'.

Hieraue kaftn S(4, 6)p gefunden werden. Ist auch dieser Wertb gefunden, so lässt sieb aus Nr. 11) aucb der von 5(2, 6)P finden. Es ist daber zur Bestimmung der zur Zmabme 6 geborigen Sum- sen ausser iS(ly ])P nur die Auffindung ^nes der Wertbe iS(l>6)i> •der S(6, ö)p nOtbig.

Diese Metbode ist aber, wie man siebt, nicbt ffir^alle Fälle aureicbend. Es wird dinier sacbgemäss sein, noch eine andere Ketbode anzugeben, welche die Darstellung diesjer Summen min- destens auf die Hälfte der Arbeit reducirt und die zugleich den Vortheil der Conftole gewährt. Sie Ist folgende.

§26. Geht man von der bekannten Doppelreihe

«_i._l_ + _L_. _« 1

Tg

~(ir=^ "•■ 2Ä— m + 3*-m + • •7

aus und diiferenzirt wiederholt nach m, so erUllt man die ver- schiedenen Potenzen der beiden In Nr. 1) ttng«(;ebenen Reiben nebst den dazn gehSrigen Summenausdrfljcken, weiche durch Dif- ferensiatien des Ausdrucks auf der rechten Seite «ntstehen. Hier- nach ist:

2)

!* /i . _L_._J__. ^

)m ~ \m* "•■ (m+*)« "•■ (m+2*)« ^""J

~((A-m)« + (2A-»i)«+ (3P=j;i)«+ ")

204 OBttInger: üeber öniimmle Imieffraie.

3)

a«iif . ^^ i.»» ^°^T

^-gjj^a=1.25(«l. Ä)»-1.2S(*-m, *)» = -jj- —

flt^r.

(Sin Ap)« 4)

^^ = — 1.2.3S(«, *)«— 1.2.3S(ifc— m. *)•

*^; r__6 i.— 1

L(Stii -j") (Sin -^)»J

8) ^^•= 1*1 »S(m, *)• - 1« I »S(*-m, *)•

**L(SiB'^)» (Sin?^)J'

6)

^^= -l»l iS(«. *)«-l»l >S(*-m, *)•

_ »<r 120 120 ^* 1

**'-(SiB^)« (SlD^)« (Sio^)«-''

7) 3«*

(8my

= l«l ^S(jm, *)'— l«l »5(*-m, *)'

^,r-720Cos^ 480Cos^ 32008^-1 »- (Sin -r-y (Sin -T-)» (Sin -r-)« -«

8) ^^=_ir| 1 «(,„, *)•_ Fl I S(A_m, A)«

j^«»r 6040 6720 2016 _ M T

(Sin-j-)» (Sin-j-)« (Sin-j-)« (Sin-g-)«,

OeiHnper: Veäer besiitnmie Integraie, 205

»)

(^=I«l»5(«,*)»-l"»«(*-m,A)»

^,p40320CoB^ 40320Co8^ 8064Co«^ 128Co8^-| L. (Sin-j)« (Sin-j-)' (Sin-j-)» (Sln-jj-)«^

9. w. Diese Gleichungen findet man, wenn man bei der Ent- :keiang der verschiedenen Differentiale (Co8-7~)*=l — (Sln-7-)*

ireibt, so oft (Cos-r-)* erscheint, und dann die Diferensiation

Utetzt Geschieht diese Redaction nicht» so erbUt man viel »gedehntere Ausdrficke.

Nach den hier aufgestellten Gleichungen reducirt sich die ßadung der SummenausdrGcke auf die möglichst geringe Arbeit, tat man, um diess zu zeigen» k^S, m= 1» 2, 3» 4 und /i=2, entsteht ans Nr. 2) :

10) Sil, 5)«+ 5(4. S)'=8i^i^)-s= ^ V ^ .

Si''6 = 2v2^^»^=^ and Sin-^=^^VTfV6 ist

Hiemach hat man nur zwei Werthe zu bestimmen» um die »r Suromen S(l,5)«, Ä(2, 5)*, S(3,5)*, S(4,5)« zu erhalten, S{6, 5)* bekannt ist.

Ist A:=6» p=2 und m=l»2...., so entsteht aus Nr. 2):

1»)

S(l. 6)« + Ä(6. 6)«= '*'- =y.

e"(SlnJ)«

S(2, 6)« + 5(4. 6)«= ^ = t-

6« (Sin»)"

' nach Nr. 11) j. 24.:

SMO Oe Hing er: Ueber öesUmmie iniegrate.

Ä(2,6)«=iÄ(1.6)« + JS(4,6)» ist, 80 ergibt sich dorcb EinflBhrung dieses Wertbes:

1-3)

■

S(4.6)*=~-|S(1,6)«.

Ist daber iS(lyö)* bekannt» so lässt sieb bieraus <S(5, ( 5(4, 6)s und 5(2,6)* finden. Die übrigen Wertbe ==V,S(I,I)« and S(3,6)«=iS(I,2)« sind bekannt.

Bei der bier gezeigten Metbode ist jedocb zu bemerk die versebledenen Potenzen der reeiproken Reiben ni< derscilMn Gleicbung, wie diess bei der in §.24. gezei Fall ist, bebandelt werden können. Ffir jede Potenz wc sondere Formeln entsteben. Die Entwicklungsweise bl« die gleiche.

Mao kann nun die gefundenen Gleicbungen ieicbt i ren Darstellungen benutzen. Setzt man A := 2, m = 1 , Sin^Trsl und Cos4ff=0, und die Summen der ungera proken Potenzreiben geben in 0 über, kOnnen also aul Wege nicbt bestimmt werden. Die beiden Reiben verein! aber in dem vorliegenden Falle in eine, und es entst< geraden Potenzreiben mit den ungeraden Zablen. Hieri

13) S(l,2)«=l+~ + ^+. ..=-,

S(I,2)*=l + p + ^+....=~,

1 1 TT«

Ä(l, 2)* — ^ + 6« + 7«+"''^^ggÖ' S(l , 2)».-= I + gj + ^+. ...=^^gjj^ ,

U. 8. W.

Da nacb §. 24. Nr. 2)

ist, so erbält man bieraus und aus Nr. 13):

Oetiinger: Veber besümmie liUegraie. 2ffl

14)

S(l. !)•= l+2i + gi +.... = ^ > 5(1, 1)*= 1 + 5^+ ^+'--'=9ö»

11 n^

S(l, 1)»— 1 + 28+ 3S+-- =5450'

U. 8. W.

§26.

Bei Untersuchung der reciproken Reihen mit abwechselnden eben bat man zwischen einer geraden und ungeraden Zunahme unterscheiden und die Bemerkung festzuhalten, dass alle Glie- , welche gerade Zahlen in der Reihe S'(l, 1)F ffibren, das .^ative, und die» weiche ungerade fuhren^ das positive Zeichen len. Für die Zunahme 2 hat man daher folgende Zerlegung:

iS'(l,l)r = l— g + 3^— ^ + gjj— ....

= l + 5+7P+-""(^+4P+^+*-y'

raus sich folgende Gleichung ableitet:

«

1)

«'(1, 1)1' = S(l. '2)»-^S(l. l}f. r «lie Znnabme 4 and 6 erhUt man folgende Zeriegong :

S'(l, l)f = S(l, 4)P- S(2;4)P+ Ä(3. 4y-j^S{l, 1)P, ;i , I )P = S(\,6}r~ S(2,6)P+S(3, 6}r - S(4,6)p+S(6,6)p -^S(l,\)i>

9

». w. Diese führt so folgendem Gesetze für die Zunahme 2k:

3) .S'(l, 1)p = S(l, 2A)p — S(2, 2*)P + S(3, 2*)p-....

+ S(2A-1,2A)I'-^S(1,1)p.

^1»

268 Oeitinger: Ueber öesümmie iniegraie.

Nach diesem Gesetze lassen sich die reciproken Poteozreiheo mit abwechselnden Zeichen und geraden Zunahmen auf die mit einerlei Zeichen zurfickHihren. Ihre Auffindung unterliegt daher, da die von <S'(1» \)p bis zur 40sten Potenz bekannt sind« dem^in dieser Gleichung ausgesprochenen Gesetze. Die Methode ßült daher mit der in §. 24. ^ und §. 26. angegebenen zusammen.

Anders verhUt es sich mit den Potenzreihen von ungerader Zunahme. Ffir die Zunahme 3 erhält man folgende Zerlegung:

S'(\ np-i_i+i-i + i-l + l_^ _l_J_iJ._ »

\Jf> Sp^Sp 10p+"V^3p 6p^9p 12p'"' Diess fShrt zu folgender Gleichung:

4) S' (1 , 1)P = S' (1, 3)P - S' (2. 3)P +^ «»(l , I)P. In gleicher Weise erhält man:

5) S'(l, 1)P=S'(1,8)P-S'(2, 5)P+S'(3, 5)P-S'(4, 5)P+^S'(l,l)'

u. 8. w. Uiedorcb wird man za folgendem Gesetze geführt:

6) S{\, l)p= «ra, 2*+l)P — «»(a. 2A+1)P + S'(3, 2*+I)P-...-

-S'(2*, 2A+l)P+^jj^ S'(l, l)p.

Die Reihen mit abwechselnden Zeichen und nngeraden 0^' nahmen lassen sich daher nur In Reihen mit abwechselnden Z^ eben nach dem vorstehenden Gesetze zerlegen. Die Metho^^ kommt hiebet nach den in §. 23. gemachten Bemerkungen zur A^ Wendung. Es wird daher auch hier sachgemäss sein, noch eic^^ andere Methode fiSr die Entwickelung der Summen dieser Reib^^^ anzugeben. Ehe diess jedoch geschieht, setzen wir noch eini| Sätze über Ableitung der Suromenausdrficke von Reihen mit h3b ^ ren Zunahmen aus denen mit niederen her. Es ist:

= 5(1 , Uyr -I- S(l -I- k, 2«)P,

Oeiiinger: Ueber beiUmmU IniegraU. 20Q

denn 5(1^ k)P iSsst sich in zwei Reihen zerlegen. Hieran« hat man :

7)

S(l , 2*)p = 5a, *)' — S(l + *, ä*)?. Auf gleiche Weise erhXlt man :

*'^*'*^'^* + (l+2*)P + (l + 4it)P+(l + 6A)P + ' ••

-(ädF*)?+ä;ki;+(TiW + • •)=*^''^^'-*<*^

und hieraus:

8)

r

SO . 'ikyr = S^(.l, k^ + 5(1 +*, 2A)P. Durcli Vereinigung von Nr. 7) und Nr. 8) eototelit :

9) 5(1 . 2A)P = i5(l , *)» + 45» (1 , k)r.

bt k ungerade, so erliXlt man ans Nr. 7) pnd Nr. 8): .

10)

5(1, 4*+2)P=5(l . 2*+ 1)!»-^ 5(*+ 1 , 2*+ l)p,

- II)

5(1, 4*+2)i'=5'(l, 2*+l)+ ^5(*+l, 2*+l)*.

IHese Gleichungen fördern in Verbindung mit den bisher ge- Migten Methoden die Auffindung der Summen der reciproicen Po- twirdlien sehr und dienen unter sich zur Controle. Setzt man i=l in Nr. 10) und Nr. 11) und k=3 in Nr. 9), so hat man:

12) 5(1 , 6)» = 5(1 , 3)^-^ 5(2, 3)*,

5(1, 6)P=5'(l,3)P+^5(2, S)P, 5(1, 6)P=45(1.3)P+4S'(1 , 3)p,

"■d man kann anf dreierlei Art 5(1 , 6)P aus den Summen üBr ^ Zunahme 3 ableiten. Eben so ist;

970 OetUnger: üeber öetUmmte MtgnOe.

13) S(l, 10)P=S(1. 5)P-^S(3, 6)P.

5(1 , 10)p = S'(l, 5)» + g; 5(3. 6)P.

5(1, I0)P=i5(l, 5)P +i5'(l. 5)P,

u. s. w.

§. 27.

Die im vorigeo Paragraphen angedeutete Metbode ist fol- (^ende. Legt man die Doppelreihe zu Grunde:

1)

Siny

I -1.1

+ T— --

k—m 2*— m äife— m und differenzirt vriederbolt nach m, so erhält man:

2)

~ \m* (m + *)• + (fn+2*)« —

VItM

m Co8-r

87V _ _

(Sinj)'

, 1 _J_ .__L_

^ (A-a)* ~ (2*— m)« "*" (3ft— tu)* " "•

= - 5'(m, *)« + 5'(*-m, *)«.

3)

g= 1.25'(«. A).+ 1.25'(A-m. *,.= ^'f-^^}

— — ~r ^^r ^ 1 ~i

(Sin -r-)« (Sio -jr)^

■M.*»

Oeiiinger: (Jeder besUmmie /megraie. 271

5) ^^=l4|iÄ'(m,A)»+"l*liS'(Ä:-iii,A)»

Tt^r 24 20 I -|

"" ^* L^Sin^)» (Sin^)»"*" Sin ?^ '''

_Ä« mnr - 120 60

(Sin-^)« (Sin -jp

VA /cj. wijr ,j r (SiD -j:^)«

7)

jf^r 720 840 182 1 T

'"*'4sin^)r (Sln^^)* (Sin?^)» Sin^"*'

8) ^^^=- iriiÄ'(m, Ä:)»+in tS'(^-m, *)•

91« III9K r 5040 4200 .546 In

= — TiC08-T- I + ' 1)

^^'"X' ^ X^ (Sin-j-)* (Sm-^)« Q. 8. w. Diese Differenziale entstehen» wenn man

(Co8-2-)»=l-(Sio-j-)«

schreibt, so oft (Cos~t-)* erscheint.

Die Anwendung der hier aufgefundenen Darstellaugen auf Sum- ^ining der reciproken Potenzreihen mit abwechselnden Zeichen geschieht auf die in §. 25. angegebene Weise und unterliegt keiner ^eitern Schwierigkeit. Das Auffinden der Summenausdrflcke für «ioe bestimmte Zunahme wird auf die Hälfte der Arbeit redncirt. Setü man k=z2, mz=:l, so gehen die Summenausdrucke fGr die geraden Potenzen in 0 über, da Cosiff = 0 ist» und man findet oor die der ungeraden Potenzen. Biernaeh erhftit man:

/

S72

OetUnger: üeber bestimmte MtfnU.

9)

S'(l,2)=I-3+g

1.1

S' + S»

5'(l,2)«=I-5j + Rj-»5....=

S'(l,2)«

= 1-

^+1 3»^ 5»

3^ + 5'

Q. S* W«

1

1

1S36' 184320*

Für deo Zusammenhang der reciproken PoteDEreiheo mK abwech- selnden und einerlei Zeichen bei der Zaoahme I gilt foigeade, sich leicht rechtfertigende Gleichnng:

10)

S'(l,l)F=(l_^)5(l,l)f.

Für die Ableitung weiterer Reiben aas den hier ond frdier Gefundenen gilt die Gleicbung Nr. 9) {. 26., und man hat, wen A:=:2 gesetzt wird;

^ II) ♦ .

5(1,4)«= l + ^+p + ....=^-J-4S(l, 2)», S(l,4)»=l + i + p + ....=^-HSa.2)*,

U. 8. W.

Hiebei Icann man nocb folgende Gleicbung benutzen : ^

12)

Wir stellen nun die Summen einiger Reihen, die später rar An- wendung kommen werden und die nach den ang^ebeneir Metho- den f&r verschiedene Zunahmen berechnet sind, hier soaaamen:

S(1.2)« «(2, 2)«

Sil. 2)» S(2, 2)»

13) 1,233 700 590 136 1606, 0,411 233 516 712 0606,

1,061799 790264 6461, 0,150 257 112 894 9492,

OttUnger: Otber betUwmtt ItUtfrale. 373

S(l , 3)* = 1,121 733 013 9364 , 5(2, 3)* = 0.340 43a 601 0398, S(3. 3)* = 0,182 770 461 8720,

S(l , 3)> = 1,020 780 044 4332, S(2, 3)« = 0,136 756 232 6834, S(3, 3)> = 0,044 520 626 0429.

8(1 , 4)« = 1,074 833 072 156, S(2, 4)« = 0,308 425 137 53404, S(3, 4)« = 0,158 867 477 980, S(4. 4)« = 0,102 808 379 17801 ,

5(1. 4)» = 1,010 372 968 262 0071, S(2, 4)» = 0,131 474 973 783 0806, S(9, 4)« = 0.041 426 822 002 6380, S(4, 4)» = 0,018 782 139 111 8717,

S(1 , 6)« = 1,036 625 363 6766, 5(2, 6)« = 0,280 433 253 4841 , 5(3, 6)« = 0,137 077 838 90401 . Ä(4, 6)« = 0,085 107 650 2599, S(5, 5)« = 0,059 997 347 5556, 5(6, 6)< = 0,045 692 612 968006,

5(1, 6)* = 1,003 685 515 3478, 5(2, 6)» = 0,127 597 505 5541 , 5(3, 6)« = 0,038 955 547 7875 , 5(4, 6)> = 0,017 094 529 0854, 5(5, 6)» = 0,009 158 727 1294, 5(6, 6)s = 0,005 565 078 2553,

5'(l , 2)« = 0,915 965 594 176, 5'(2, 2)«= 0,205 616 758 35602,

5'(1, 2)»= 0,968 946 146 259 369 380 = S ' 5'(2, 2)8= 0,112 692 834 671 2119,

5'(1, 3)«= 0,951 517 713 4165, 5'(2, 3)«= 0,220 435 905 9284, 5'(3, 3)»= 0.091 385 225 9360,

Theit X"XX1X. 19

274

Oeiiinper: üeäer teUimmie Int^irmie.

Ä'(l,3)»=

S'(2,3)»: Ä'(3,3)»:

aM6 590 986 2624« ans 438 778 4250, 0,033 39046953221,

U. 8. W.

§. 28.

Die in §. 25. und §. 27. gefundenen ReeuMate dienen noch u andern Anwendun^^en. Nimmt man das Integral

/ar*-^ a:**— jp»*— \

zvrischen den Grensen 0 and 1 and bringt es mit No. l) {. & in Verbindung, so erhält man:

-/

.1)

I «M— 1 ^— a-1 11 1

l-a*

m m-|-ik iR-t-äA

"^ ••■• i^BB

*Tgx

~ \k-m + 2A— m ^ 3A-iii ""/

Wird nun die Darstellung Nr. I) nach m wiederholt

so entsteht mit Kflcksicht auf die in §.* 25. gefundenen Wertbe:

2)

dm

«'

I

(Sm-T-)»

3^ Om)

i=/'

3) ,""%^ (lga:)«aa:= 1.2S(m, A)» - 1 .2S(/fe-m,ib)»

2;t»Cos

mn

A»(Sin^)»

Ottttnger: Veter betümmte iMiyrofc. 275

4)

— j3:^5 — (ig«)»a«

5)

O

(SlD -^)» (SlD -j-)»^

6)

41

= - l»l >S(m, A)«—I»l »S(*—m, *)• ««r 120 120 ** "1

(Sin -^)« (Sin -j^)|| (Sin -j-)«

7)

O

= l«l »S(m, *)' - 1*1 »S(A_m, *)' _»^ m«r 720 480 33 -|

"*''"'* Ssio^r (Si.!^)» (Sln^P»-*'

8)

o

= — n 1 S(m, *)•— P I »S(*— m, *)•

«•r 5040 6720 2016 64 i

(Sin-|r)* (Sm-T-)« (Sin-r-)* {^m-jrr

276

Otttinger: Veber öestimmte Integrate.

O

(Iga?)' 8x

»

F»^*X

mnr 40320

[

40^0

8064

128

mit.

mn

mn.

mn

(Sin-j-)» (Sin-j^)r (Sin-j^)» (Sin-jp)»

3

U. 8. W.

>^

a'

§. 29. Nimmt man das Integral

zwischen den Grenzen 0 und 1, so erhält man mit Rücksicht^ '"'

Nr. 1) §. 27. :

1)

.(r — »1—1

7t

IT^S 8^=:S'(m.A)> + 5'(*-m.A) = ^.— =5äi

o Sin^ — 3"

Wird diese Gleichung wiederholt nach m differenziirt, so entst^^^^'

2)

/> 1 ^n—l _^lr— m— 1

Sm

=y pf^s 'K ^3* = - S' (m, A)« + «' (*-m. *:^'

7t

2

Cos

in^T

*''(Sm^)«' 3)

)*=y Tq^* (lga:)«8a: = 1 . 2 (Ä'(m , A)« + «»(il-m,

)•)

(8m)*

71* I - 2 1 l

(6>in-jj-)» Sin-j-

4)

/l -».m — l __ yt— m— 1 -4%

— Y:^r^t — (.\sx)*dx=^l* I KS'(m, k)*-S'(k-m. 1kr>

o

71*^ m% |~ 6 1 ~l

Ä:* A; L,42. m» - .q. mit \ *

(8in-7r)* (Sin-T-)«

Oettinger: üeber bestimmte Integraie, 277

5) =y* ^^^^^^J^^- (lg*)*3ar= 1*1 »(«'(«»,*)•+ S'(A-m, *)•) ^^r 24 _ 20 _1-1,

6) " — nr^S (lg«)»8«=;-l»l H«'(m.*)«-«'(A-m,*)«)

O •

(Sin-j-)« (SiD-j^)* (Sin-y)«

7) l^^t (lga;)<'aa:=l« I »(«'(m. A)'+Ä'(A-m,*)')

o

nf r 720 840 182 1 -\

*'L^g.^««r^, ^g.^^^, (SiD^)» Sln^-"

8)

0

• m»r 5040 4200 .546 1 T

iC08-r-| + tt

(Sin-^)« (SiD-^)« (Sin^)* (Sin-^)«

U. 8. W.

$. ao.

m )tzt man nun rz:^\, so erhält man ans den Gleichungen

da die geraden Potenzen von \gx aasfallen , weil Cos ^tc = 0 Igende Integrale :

.( l—ar« —""16'

/* (igar)<>8ar «•

278 Oettinger: Oeber öesümm/e Integrale.

n (lga:f aar 17jr«

J— o:« — 32

u. s. w.

17 . .u. /' (Igarf 8ar 79;r8 ^ r . v

Ealer gibt ^ f^J ^ = -gg" a« a. O. an, was auf einem V

sehen za beruhen scheint. Aus §.29. erhält man unter der dS liehen Voraussetzung folgende:

2)

da: n

4 l + a;« ~4'

/» (Ig ar)«8jf «» o l + o:« =18'

* (\ga:)^da:_57t^ 1 + x^ ""64 '

* (lgjr)<»3ar 6lggy

/

o

U. S. W.

Setzt man r-^i» ao ergibt sich aus §. 28.:

3)

/» aar _ »

, l+a;+a!« ""Sv^'

/' (lga;)«8ar 8»«

]+«+«» — 81.V3'

0

.f 1—«» -~

/

3» (lgar)*8ar 32w»

l+jT+ar« ""3».V3'

/•' (l+a)(lga:)»8a: 832jj«

o

U. S. W.

Aus §. 29. entsteht:

4)

/•• dx _ 2»

•f l-ar+a« "5^3'

Messei: SUmeniare Btweize einiger Sdlze über Poijfgane, 279

/* (1— ar)(lgjr)»3jr_ 14»* l + o:» ""■" 3» ' a. 8. w.

ese Oarstellaogen künnen beliebig fortgesetzt werden. Man cennt jedoch aas dem hier Mitgetbeilten« dass die Formeln, so eressante AnfschlOsse sie auch im Einzelnen geben, grosse icken lassen, und dass die meisten, in Frage kommenden Inte- üe nicht auf dem gegebenen Wege gefunden werden. Diess

stätigt sich noch mehr, wenn man 3,-4, i,,»., -statt t- setzt.

entstehen dann noch grössere LQcken. Zur Entfernung dieser hranke wird di^ nachfolgende allgemeinere Methode dienen.

(Fortsetzung in einem der nächsten Hefte.) J

ementare Beweise einiger Sätze, welche für die )hre von den regelmässigen Polygonen von Wichtig- keit sind.

Von

Herrn Professor Dr. Res sei

in IVIarlinrg.

§. 1.

Aufgabe. In Taf.III. Fig.l. sei BEKL ein Rectangel, M sei Q Schwerpunkt, durch ihn seien die Linien AG und DQ parallel I betreffenden Seiten gelegt und ay sei eine andere durch ihn egte gerade Linie, welche die Seiten BL und £K schneidet, ist gegeben MA = MG = r und MD = MQ = b und Winkel ^A^=-A oder dessen Tangente, so dass tg^ = T ist; man soll I Abstand ot=x von AG und den Abstand ol^zy von der Axe DQ bestimmen, wenn o der Schwerpunkt von aBEy ist.

Auflösung. Man ziehe durch a die ae parallel mit BE, wird der Flächeninhalt F von aBEy in ein Rectangel f^zaBEe 1 in ein Dreieck q) =: aey zertheilt.

280 ffeaei: Elementare Beweise einiger Sdine, weicäe tHr tue

* §

I

Es ist dann:

1) /•=:2r.(6— rtg^)=2r.6— 2r«.T. und

2) <p = 4(2r.2rtg^) = 2r«tgi = 2r».r.

Dabei haben die AbstSnde des Schwerpufiktes o fSr /" foo der y-Aze and von der j?-Aze die Werthe:

3) l^i—oM — Aa + \aB

= rtg^/ + 4(6-rtg-^) = 4(6 + rT),

4) ti=0;

and die Abstände des Schwerpunktes i des Dreieeics tp von des genannten Azen die Werthe:

6) $2 = ^ = M<x=i*'-tg^ = ir.r,

6) i;;^ = t» = iJÜ G = ir.

Nach den elementaren Gesetzen der Statik hat man aber für die betreffenden statischen Momente die Gleichungen:

8) (f+9)'y = f'^i + V'^'

Setzen wir in diesen zwei Gleichungen« statt der darin ror- kommenden Grossen, ihre bereits gefundenen Werthe, so ist die Aufgabe gelöst. Wir erhalten dabei die Gleichungen:

9) a; = i6— ix--»V

10) 3r = *jr-^-

r«

$. 2.

Aufgabe. In einem Kreise vom Mittelpunkt JU und foff Radius R (Taf. JII. Fig. 2.) ist ein regelmässiges 2nseitlge8 Po-

*) Datt diese Gleichungen, dorch Eliminatidn Ton r» zo einer Gld- chnng zwischen X und |( fähren, ans der man sofort erkennt, dass, wilt- rend das äussere Ende a des Strahles 3fa sich von L bis B bewegt, du äussere Ende o des Strahlet i^(» eine Parabel beschreibt, deren Seheitel in der J?-Aze MD liegt, mag hier bloss erwähnt werden. Vergleiche die Abhandlung „lieber gewisse statische und mechanischeEigen- Schäften derRanmge bilde, welche einenSchw^rpunkt haben* Von Hessel. Marburg. 1862.**

Ukf tu» äma renimä$9l§€m Pö^ß^enen mii WMM99s9U Hmd. 9B1

n beschrieben, BL und EK sitid zwei parallele Seiten des-

en; DQ ist der, diesen Seiten parallele, AG der zn ihnen

Lrechte (sie halbirende) Dorchmesser, dessen Länge 2r =

380^ :oa-T- =3 2Atosa ist; vfx±H ist eio anderer Dorcbm^sscr

411

Polygons^ weicher die erwähnten Seiten schneidet; r, n (also et) Winkel aMA = J^ mithin tg^ = T, sind gegeben, man «oll den Schwerpunlct o der in aBDEy liegenden Hälfte des Po- ns, sie beisse F; die Abstände ot^=^ x und ol=:y desselben den betreffenden Coordinatenaxen AG beziehungsweise DQ m. Auch soll dann der Abstand des Schwerpunktes o. von

Tbeilungslinie ay für jeden Werth von A, der ^ 0 und T a

insbesondere aber für jene beiden Fälle bestimmt werden, in :hen die Tbeilungslinie ay ^ntwed#r mit dem kleinsten Durch- ser 24Cr = 2r, oder mit dem grossten Durchmesser BK zu- menföllt Ausserdem aber soll fär jene Fälle, in denen ^ > Ö <a ist, der Abstand des Schwerpunktes o der berflcksich- in Polygonhälfte yon demjenigen Durchmesser h bestimmt len, der zu dem theilenden Durchmesser ay senkrecht ist.

Auflösung. Man ziehe BE, so wird F zertheilt in das illeitrapez aBEy^=i<p und in den Theil, welcher in BDE ;, den wir = f setzen wollen.

£s ist dabei:

q> = ABEG sc 2r-rtgfl.=5J 2r«tga, /•= F-q) = 2it.ir«tga— 2r«tga = (n— 2)r«tga.

Es bat dabei der Schwerpunkt tf von f etneif Abstand ti tevi y«>Axe,. dessen Werth ist:

einen Abstand ^i von der ^-Axe, dessen Werth ist:

t(^l ±ä: 0 ^ Null.

JEbeoso aber hat auch der -Schwerpunkt i voo ip seine Ab^ ide ^ = t^ und 1(19 = 10 von den Coordinatenaxen AG und DQ,

Beachten wir, dass A In der vorTgen Aufgabe ^=: AB, also =:rtga, und dass x und y in der vorige* Aufgabe hier .=s|« ehungsweise ='4^^ sind, so haben wir sofort:

19*

♦ir

282 Messet: StemmUare Beweise ein^fer Sä{%e^ weMe ff§r 4te

2) ♦•=*,r^i? = ir.cotc.T.

Nehmen wir nun vorerst I2 als bekannt an, so wünteo (oack den bereits von uns bebatzten Lehren der Statik) die Gieicbmigeo gelten :

and aach in diesen beiden Gieichnngen aasser x und y laoter bekannte Grössen vorhanden sein.

Beachten wir» dass

f+q>=z (n— 2)r>tga + 2r*tgfl = fif*tga

ist, so haben wir aus 3) und 4) die Gleichungen:

ftr»tga.:p= (ii-2)r«tga.{i+2r*tga[;r(?^^^)], also:

5) *r = (« - 2)1» + i:r(^^^) ,

und:

' nr^tga.y =:2r*tga.(ircota.T),

6) it.y = frcota.r.

BerCicksichtigen wir nun, dass der Schwerpunkt o von F swtr nicht bei jeder Lage» welche der das Polygon thellende Dvreb' messer ay annehmeii. kann » In einem zu Ihm senkrechten Rsü^ MoS liegt» dass diess aber» wegen der regelmässigen BeschafcO' heit des Polygons» dann der Fall ist» wenn ay die Lage elo^ kleinsten Durchmessers wie AG, oder die Lage eines grSsfteo Durchmessers» wie BK, bat» und dass» wenn ay mit BK taas^' menAllt» der Winkel oMD = a Ist» so dass ffir diesen spedeO^' Fall» wenn wir f&r Ihn ot=sXi und ol=:g^ und T = tga

7) yi=zxi,igoMD:=Xi.tga

und (gemäss 6) auch:

2 2

8) yi =3^r.cota.tga = ^r,

also: ^

n

ZMrf wm am re߀im4sti§em Poimoutn vom Wi€ää§keit simL 28S

st, 8o können wir, wenn wir in 5) statt t den Werth t= tga

md statt X den Werth Xi =5- .cota setzen, sofort £1 finden.. Eis ist nSmlich dann:

n.3j|^cota=(n— 2)&4-ir, ^ga '

ilso:

2r 10) . ^1 = 3(^3^(^^«"-*8ö)-

Man hat daher ans 5) und 10):

"> ^ = -;r'3örr2)(^^^^-^*g^>+Si' tga -

so dass für jeden Werth von t, der ^ 0 und T tga ist, dieWerthe

▼OD X nnd g gemäss 11) und 6) bestimmt sind durch die swei Gleichungen:

^ = ^ [(cota+itga)— icota.T«],

2r ^ y = »- .cota.T.

DrOckeo wir hier cota aus durch 7 — 9 so haben wir nach

tga

loicbter Reduction:

12.1) : *

Es ist hierdurch der ßine Theil der Aufgabe gel5st. Dm nun Aber auch den Abstand des Punktes o von der Theilungslinie ay «Dgemein gültig zu bestimmen, haben wir, wenn wir ihn mit x beieichnen, sofort aus Taf. IIL Fig. 2. den Werth:

I = Mo, sin oMy = JVo.sin (oMt + tMy),

^so, wenn wir den Winkel oMi mit to bezeichnen und beachten, dass XMy^A ist:

x=: Va;*-fy^(siQtc*cos^-f cosflo.sio^)

Hassel: Sirnnmimre ßeweSwe einiger SOi^e, weidk 0lr il§

z 32 x.cosJ-i-y.Bin^ =3 (:9-|-ytg^)co8^

1

3«tga^ ^^ ^ 'VTft«

13)

Es itft dieses der gesuchte , für jedeii der oben aDgegebeaeo Werthe von % gültige Werth von z.

Dip nun insbesondere jene beiden Werthe von z zu findeoi Welche den Fällen entspreehen, in denen ay entweder mit JC oder mit ßK susammenfällt, so setsen wir fiühr den ersteren iamf beiden Wertbe, welcher z^ heissen möge« t = 0 und erhalten.*

und für den anderen, welchen wir mit z« bezeichnen woUao» T = tga, 80 ist:

2r(l + tgfi«)

*•= ~i;it^i— ^^««'

lim * cQg« 2r 1 2r

13,11) z* = 5- . — = K- . -: — =ö" coseca.

'^ * 3n siu a cos a 3it sin a on

Bezeichnen wir nun den Abstand des Schwerpunktes 0 von dem zur Theilungsüoie ay senkrechten Durchmesser A mit f i *^ ist:

Q = Mo : cos oJUy = ilf o . cos (w + J)=i Mo. (cos co cos^f — sioiosiB^' also :

Q = V^^M^ ( rrf « C08^— ,^— Bin zf)

= lycos^— jrsiu^c=(^— -ortg^cos^

Lehre twn äen re§elmä»Blpen Feiffffonen mm Wlehi^heii sind. 285

'M

$. a

Aufgabe. Ein regelmässiges Polygon wd 'gerader Seiten- i 2n^^) ist durch seine n Cckdurchmesser in 2n gleichscheoklige iecke Di, D^y D^.,,. D^n getheilt und von einer beliebigen iden Linie H, z. B. mitteist des Durchmessers ay, so durcb* aitten^ dass dabei die Dreiecke Di und Dn-{-i durchschnitten den ; es ist Insbesondere dadurch das Dreieck Di =r E^nCE^

getheilt, dass Winkel EiCy ^ E-mCy ist; man soll» wenn der

aste Durchmesser AG des Polygons = 2r und der Winkel 9 = J, also tg^ = Ty nod die Zahl »^ alao auch der. Winkel

)'£|=6C£2ii= 7 — = a gegeben ist, von den Schwerpuok-

Oi, Ofy o^.... Ou der Dreiecke Di, D^y D^,.,, Dn Perpen- el fallen, einerseits auf die Th^ilungslinie H^ das heisst auf «7, 1 andererseits auf eine zu uy senkrechte Durchschnittslinie A» und

arithmetische Summe

er Perpendikel und auch die algebraische Summe

ser Perpendikel bestimmen, wenn nntor der algebraischen tnme dei letzteren eine solche Summe verstanden wird, bei Icher die entgegengesetzt gerichteten Perpendikel auch mit gegengesetzten Vorireicheii In Rechnung kommen.

I. Auflösung des ersten Theiles der Aufgabe. Be- chnen wir das Dreieefc yCEi mit di und das Dreieck £nz=yCE^ mit ^4.1 und, wenn ay die Umdrehupgaaze ist.

*) Der Unidtand, daas q einen negativen Werth hat, giebt ah, dast

Winket oßfy in Taf. UI. Fig. 8. , obgleieh er kleiner ItC, alt der

nkel 03Iy, doch, au lan<^e J^O und ^a i^t, steti grösser' st»

' rechter Winkel i«t. Die Figur ^. «tollt ihn, au« leicht ersicl^li'

n Gründen, als einen spitzigen Winkel dar.

•*) Vergl. Taf. III. Fig; 8, wo tr^ö, al«o 2;/= 10 ist.

286 B€$$ei: Siewuntare Beweiu eM§er SMUt weUktflIr dtit

die statischen Momente flir die Dreiecke di, D^, Dg, 0^.... . flt^i mit Uli, M^, Mg, üf«.... JUn, Wh-i» ^dcI das statische! ment ffir das halbe Polygon yEiEgEg.... £7«« mit m, so ist:

60 dass, wenn wir setzen:

die GrOsse o den Werth

3) C = uff "{"Mg -{• M^, •••-!* Mn

hat

Bezeichnen wir nan den Flächeninhalt eines der DreiM Dl, D^ Dg.... mit D, so ist:

4) i!) = r«.tga, also nach Nr. 13) in der vorigen Aufgabe :

m=»./).«=(n.r».tga).[3^(2+tg«*+T«);j^J

5) iii = ir».(2 + tga«+tg^cos^/. Es ist aber dann auch:

0

a=r*.^a(f^-f;>»+p«..'--|-pii)>

6) ff = »*.tRo[i,-ft]; folglich» gemfiss 2):

» = (Wi +niii+i)+r»tga[-£, — pi] , mithin :

7) ^iif-pi + jäT^^^^ .

Man hat daher die Werthe von Wi und Otii-fi au brätimflis

Bedeutet nun E^CEn^vfi Taf.III. Fig. 4. ein solches Dreie wie EiCE%m in Taf. III. Fig. 3 und ist Cy die Theilungslinie, so in Taf. III. Fig. 4. das Dreieck EiCy=zdi und das Dreie E^mCy^^dn^i, und man findet fitlr die Inhalte dieser swei Dr ecke die Werthe:

8) rf|=4r»(tga + tg^,

9) df^i = if^iga^igJ),

JMm m» dm rejfUmätUffen Pa^ffonen von WiekägMi $tmi. 287

MadU Buui non Co = l CG= Jr and zieht man durch o die Mte pardel mit EiE%i, so schneidet sich die «xete mit Öf ^daen PoDkte i Wird daoo jeder der beiden Theile i^i , ietm ItM, so sind die Halbimngspanlcte I und /die Schwerpunkte n £|C7^ besiehnogsweise von EimCy, und es ist:

10) « = 4fei = i.S£iy=4Ktga+tg^.

11) i/=iie«« = i.5li,y = iKtga-tg-dO.

Fällt man dann von t und von / aus die Perpendikel ik be- ihuDgswelse lg auf die Theilungsiinie Cy, so ist» weil die recht- nkligen Dreiecke tik, Ug, cio einander und dem Dreieck CyG nlich sind, dessen Winkel bei C den Werth J hat:

12) tk = Ü.co8J:=z^r(tsa + r)y=^,

13) lg = ü.coB/f = ir(iga--t)

Be sind daher die statischen Momente der Dreiecke EiCy d EamCy» welche der Umdrehungsaxe entsprechen (die in ay gt), bestimmt durch:

Mj =dj.iA = 4f«(tga + T).ir(tga+T) ^

14) m,=ir>(tga+T)V^— =, d ebenso:

15) nUfi = lr»(tg«-T)« . ^^~= .

Man hat daher:

1

1

16) mi+m»i.i = ir»(tga*+^

VT+i*

Setet man die Werthe m (aas 5)) and (JUi + TSUti) (aas 16)) die Gl^chong 7), so erhSit man:

kln, weil auch »i = Jr. sin -^ = }r-7:^=== (siehe Taf. 111. Flg.3):

V 1+r"

288 MiMsei: Eiemeniare BeweiBe einiger sai%e, weiche fSir die

2r

Beachtet man, dass diese Gleichang dasselbe sagt, wie die Gleichang

d. h. wie

^ - cos a cos ^/-f sinn siD^I

' sio a

so kann man sie auch aaädrficken durch: 18) ^ii/=}rf -1 — Jcos(a— ^= Jrcoseca.cos(a — ^).

II) Auflösung des zweiten Theiles der Aufgabe. Es ist hierdurch der eine Theii der Aufgabe gelost. Um aber andi den anderen zu iOsen« bezeichnen wir^ wenn der zu ay senkreckte Durchmesser des Polygons die Umdrehungsaxe ist^ mit Wi, Mp MF^, M\.,., M'ny yXi'n^i die statischen Momente der Dreiecke

und mit m* das statische Moment für das halbe VoXjp^ yEiE^^,... Ena, so ist:

und, weil nach Nr. 13) in der vorigen Aufgabe

war, und:

m' =:n.D,Q

ist, auch:

m' = - (ilr«tj? a) . g—^ (tga»— tg ^«Inzf,

also:

. .•

6,1) m* = '-ir^. (tg a« - tg z/«) sin d.

Bezeichnen wir dann ferner mit 6' die* Somnve -

tf' ==: J!f',+ ^'3 + Jlf'4.... + iüf'n, so ist:

^e van den regeimässigen Poipganen van WiahügheU 9tnd. 289

Ist daan (analog der Gleichung 6) :

& = r»tg a (P, + Pb + P4- • •• +Pi«). tf'=:r«tga[-Si*— Pi], [analog der Gleichung 7):

-^«* = l'i+ ?M^^^

iber hier:

W, = dl . CA, ]

[(siehe Taf.IlI. Fig.4.),

CK=Ci-KU

CK=ir. :i— iVsinzf (vergl. iNr. 12).

• cos^ "

also:

CÄ= ir(2-(tga— T)t)

enso:

13,1)

i:

1

W, = ir«(tgfl + «) .ir(2-(tgo-«)T)

m

I

'i = Jr»(2(tga -I- t)-T(tga«-.«)) ^^==

ai'H-i = 1 r»(tg a - 1) . i (2 + (tgo + T)*) y=^5

1 XXXIX. ao

290 tiB$sel: Btementare Beweise einiger SäHe, weUhe fär die

also: 15,1) m'M-i= ir»[2(tga-T) + T(tga«-T«)];^=.

mithin :

16,1) M'i -m'H-i = *r>[2- (tga«-T*)] ^^^^

= ir» [2 - (tg a« - tgz/«)] sin ^. Es ist daher:

m'- {M'j -ni'»+i)=*»-*-8'n 4— (tg^^-tg^) - (2— (tga«-tg^

= — Sr*sin^.

Da nan )9| sjrcos^/ und ^tt = J>|+f — ^q- J (vergieic

1X)> JS^o ist:

17,1) Z%h = i r(co8 ^/ — 7— ) = 1 r(cotz/— cot a) sin A.

Es ist also auch:

„ /cos^ cosa\ . ^ . sin(a — d)

' \H\Vk A sm a/ ^ sin a

folglich :

18,1) JSalb = i r cosec a . sin (a — ^/).

Es ist dabei zu beachten, dass för z/ = a beide Formeln 17» und 18,1) den Werth ^2^ = 0 geben, dass aber, für ^=0, ^ Gleichung 17,1) übergeht in

Z^k = IKcotO— cota).sinO = QO.'0,

während die Gleichung 18,1) übergeht in

^lA z= {r cosec a. sin (a — ü) = jr-r— , • das heisst in

Soll aber auch für ^ := 0 das Zeichen &k die Beratung <1< algebraischen Summe:

-2:2A = Pi+P,+P3.... +P«=-25»(ii) haben und setzen wir die algebraischen Summen:

(Pi + P«+P3 . . +P«) +P-+1 = ^^n + l), <!P« + P3+P4+ .. + P- = -S,»(ft-1);

Lekte 90n äeu regelmdssigen Polpgmen von WichUgheit sind. 291

f sehen wir leicht ein (yerglelche Taf.lII. Fig. 6,1. und Fig.7J.), ISS, weon J>i = + ?r(= Ct>,) ist, auch U„+i= — }r(=Co«+i) ist, id dass

l?«A(n + l) = 2:2A(n— )1 =0, so:

Utk = £tim = 2:2A(n-l) + Pi = 0 + |r = Ir *) lt.

Man hat hier also, ffir^=0, besonders zu beachten die Berthe :

£th(n±l)=:0 und 1?2ä = l?2A(n) = Jr.

5.4.

Bedeutung der im vorstehenden Paragraphen ent- laltenen Formeln 17) und 18); 17,1) und 18,1). Con- (tmiren wir in einem Kreise vom Radius B=3r ein regelmSs- iges 2nseitiges Polygon, theilen es mittelst eines solchen Durch- lessers H, der mit einem seiner Eckdurchmesser Winkel

^J bildet, die ^0 und <i(*ö— ) d« h. ^a sind, und füllen

Ir in der einen der so entstandenen HSlften, von den Eckpunk- ^n derselben aus, die Perpendikel auf den Durchmesser £f, so ftben diese die Werthe pi, p^9 p^-»»- pn, und ihre Abstände >ni Mittelpunkte haben die Werthe P|, P«, Ps*-*- Pn* und es t die arithmetische Summe

'+P1+P8-— +P«^'^iw=Ä.(cota+tgz/)cos^=Ä.coseca.cos(a— z/), id, für ^>0 und ^ a, die algebraische Summe:

i 4P«+P8-— +P«= -^«A^iU-Ccot^— cota)sin//=B.coseca.8ln(a— ^). Vergleiche Taf. III. Fig. 9. mit Röcksicht auf Taf. III. Fig. 3.) Fflr // = 0 ist die algebraische Summe :

Pi +P2 + P3-.-.+P« = »» Pi+Pt+P8--+P« + P«+i = 0.

Ist daher in Taf. III. Fig. 5. die Cyi = B und Z^Cy, = J

*) EbeiMO Uii

2:«A=Ä»(n)=:l?«A(n+l)— Pii+i =5 0— (-Sr)=sjr.

20*

:292 /lessei: Eiementare Beweise einiger Sätze, weiche fitr die

und Cg^Ji.codJ=ti, ood ^NiCg=:^W^ — a, so ist, weH ^PfiCyit^NiCg + gCyi und Nigyi senkrecht za Cg ist, aoch

NiYi = r|(cota + tg^)= H.cosz/(cota + tgz/)= -Tijsr.

Es ist dann aber auch ^/| = B.sin^=rs und Cgz^gyi.tggjiC = rs.cot^. Zieht man daher yim parallel CN, so ist ^gnji =z^gCN=:a, also ^gyim=z90^ — a, und daher

gm = r« • *Si7yi '" == ^« cot a , mithin :

Cm = C^ — gm = r^Ccot// — cota) = £%h'

Ist ferner in Taf. III. Fig. 8. die C/ = H und die

CiSC=: )t«coseca = p und es ist in dem Kreise toih Radios ^

der Centriwinicel yiC2V = (^CZV— lyC/i = a — //, und man bat Yiv senkrecht zu CN gezogen, so ist:

Cv = p.co8(a — ^=B.coseca.cos(a — J) == ^i»,

und

ifyi = p . sin (n — ^) = H . cosec a . sin(a — z/) ,

also , falls ^> 0 und T a ist:

§. 5.

Sfitze» die aus vorstehender Untersuchung sieb er- geben.

1} Ist in einem Kreise vom beliebigen Radius X ^° regelmässiges 2fiseitiges Polygon (D beschrieben and mit- telst eines beliebigen Durchmessers ii so halbirt, das« die.^er Durchmesser mit dem nSchstnachbarlichen Eck*

durchmesser Winkel =^ bildet, die > 0 vnd <iC^) d. h. v<i sind, so ist

I) die arithmetische Summe Hin der, aus den Eci^' punkten der einen Hälfte von O auf den theileodeo Durchmesser^ muglichen Perpendikel sowohl erstens: gleich der Summe der in einem Hulfskreise vom Radio« r|=:B.cos^ construirten Tangentenlinien der beiden Winkel (!«<»— a) und J

Lekre von den regelmässigen Polygonen von Wichiigkeii sind, 293

. 1,1) 2?iir = (Ä cos //)(cot a + tg //) ,

als auch zweitens: gleich der in einem HQlfskreise vom Radius p = llc08eca construirteu Cosinuslioie des Winkels (a— ^);

1/2) SiH = (K . cosec a) . cos (a — A),

II) Die algebraische Summe S%h der, aus den Eck- punkten der einen Hälfte von O auf den, zu dem balbi- renden Durchmesser U senkrechten Radius sowohl erstens: gleich der Differenz der, in einem Hfllfskreise vom Radius rs = lt.sin^ construirten Tangentenlinien der Winkel (90—^) und (90— a);

ll,lj 2^ = (B.8iu^)(cot// — cota),

als auch zweitens: gleich der, in einem Hfllfskreise vom Radius ^=:K. cosec a construirten Sinuslinie des Winkels (a — d)\

11,2) Z^k == (K . cosec a) . sin (a — //).

*2) Ist irgend ein regelmässiges 2nseitiges Polygon O vom EckradiuM =8 mittelst eines grössten Durchmessers li halbirt, so ist die arithmetische Summe der Abstände Aet Eckpunkte, in je einer der zwei Hälften des Polygons (D, von dem theilenden Durchmesser U gleich der dem Ra- dius entsprechenden Cotani^entenlliiie des halbenCen- triwinkels (vergl. Taf.lU. Fig. 7,1), und die algebraische Summe der Abstände dieser Ecken von dem zu der Thei- lungslinie H senkrechten Durchmesser A, wenn bei jeder der beiden Hälften von O nur einer der beiden in H liegen- den Eckpunkte von O berficksichtigt wird, gleich dem Radius;

wenn aber beide in /fliegenden Eckpunkte bei jeder der beiden Hälften von O berflcksichtigt werden sollen, gleich Null.

Das heisst es ist bei ^ = 0 : / £iH = Ä.cota, III) ) &k = £2h(n) = M,

3) Ist ein regelmässiges inseitiges Polygon 0 vom Eckradins =K mittelst eines kleinsten Durchmessers H

296 Hessel: Elementare Beweise einiger Sätze, welche fiStr die

(Fi+F,) + (Ai+Z^ = (Ä.cos^.(cota + tg^x

= (B. co8eca).co6(a — d) \ = äh, = (K . cosec a) . cos d ;

(*^i + y«) — (^1 + ^) = (Ä . sin J) . (cot//— cot a) v

= (K . cosec a) . sin(a — J){ = &&• = (K. cosec ci). sind )

Es folgen daraus , wenn h statt If, und d statt ^ (und um- gekehrt) gesetzt vrird> die Gleichungen:

(«>• +yi) + (^i + a;J = (Ä.cosd). (cota+tgd) i

= (Ä . cosec a) .cos (a — d) / = -Su, == (B . cosec a) . cos// '

(^•+ Kl)— (Za + JC,) = (Ä.sind).(cotd-cota) j

^ (K. cosec a). sin (a — d) \ = Z^g*). = (K . cosec a) . sin ö )

5.7.

Aufgabe. Man soll, unter Beibehaltung der im vorigai Paragraphen eingeführten Bezeichnungen, auch für das regelmSssige Polygon /|, dessen Seitenzahl ungerade (=2v+l) ist, dieWerthe:

Fl + -Xi = SiH und Vi — Xi = Sth bestimmen^ und auch die analogen Wertbe:

^1 +.yi = *^ih und Ai — Fl = StH angeben.

Auflösung. Denken wir uns, es habe jeder der Eckpunkte Ol, Ob» o^.... O414.1 des an sich nicht schweren Polygons /| («ehe Taf.lII. Fig. 9.) das Gewicht g, so ist, wenn Ifdie Umdrehongs- axe ist und für jeden Werth von m durch pm das Perpendikel von Om auf H bezeichnet wird, als Gleichung der statisdieii Momente gültig die Gleichung:

9(Pi +;^8 +P5- •• • +p^v-k-i) = g(piv-\-^ + pii^ +;»2H-7 .... +P4h^i),

*) Man kann ati8 diesen viur Gleicliung^eu auch folgende Gleichongea ableiten:

Ukre VOM den regeimässfgen Polygonen von Wichtigkeit sind. 207 oder:

Da aber (vergl. Taf.III. Fig. 9.) p9fp^ =^P% uo^ F^M-6 =^40.8. w., ao ist auch:

Es ist also auch:

Pi +Pä + P« — +P214-1 = P^+P^ + P«--- • +P»i'> mithin jede dieser beiden Summen =i£iH3 so dass

Es ist daher:

F, + Jf, = F, + Zj = Si« = iZta. mithin:

I) SiH = i (JB. cosee a) . cos (a — ^).

Ebenso ist:

also:

II) ^lA = i2ih = iK • cosec a . co8(a— £) = «11. cosec a . cos ^.

Da nun aber auch derogemäss:

und auch« wie bereits oben gezeigt ist,

»o folgt durch Subtractiou dieser beiden Gleichungen:

und durch Addition: so das8

also:

III) $u=ii5sA=iK. cosec a.8ind=iK. cosec a. sin (a—^^).

Ebenso ist:

298 ffessel: Elementare Beweise einiger Sätze, welche für üe

also: IV) S%H = \Z%H^=- iK . cosec a . sin (a — d) = iK . cosec a . sId^.

Ist daher in einem Kreise ein regelmässiges Polygon fx ?od ungerader Seitenzahl (2v-fl) und ein anderes (D von doppelt so grosser Seitenzahl 2(2v -f 1) concentrisch so dargestellt , dass die abwechselnden Eckpunkte von diesem zugleich auch die Kek- punkte von jenem sind» und es sind beide Polygone mittelst eioet und desselben beliebigen Durchmessers i^ des Kreises getheill, so ist

die arithmetfsclie Summe der Abstände der Eck- punkte von dem tlieilenden Durclmiesser H in beide« Tbeilen von /| i^leicli i^ross und lialb so i^ross als io je

einem der beiden Theile des Polygons <P; und

die ali^ebrafflclie Summe der Abstände der Eck* punkte von dem, zum theilenden Durchmesser H seafe- recliten Durclmiesser h in beiden T heilen von f^ yleiefe i^ross und io jedem halb so ^ross als in je einem der beiden Theile von <D.

Hat daher der Winkel ^, den der theilende Durchmesser E

mit dem näcbstnacbbarüchen gemeinschaftlichen Eckradlos (Co^

= = 360® —

macht, den Werth //^ 0 und < ^9/0 1 ■ \ ^' ^' < «» w*l »®^ ^'^

Eckradius =:lt, so hat jene arithmetische Summe den Wertfi:

S\H = i ÄH = IK. cosec a . cos (a — ä)y

und die erivähnte algebraische Summe den Werth:

i$2A = V ^2A = vK . cosec a . sin (o'-^ ^.

Ist // = a, das heisst, ist der theilende Durchmesser B^ einem das Polygon fx symmetrisch theilenden Durchmesser senk* recht, so wird jene arithmetische Summe zu

S\H = iK. cosec a, und die berficksichtigte algebraische Summe zu

&A=0.

Ist ^ = 0, d. h. ist der theilende Durchmesser U selbst ein symmetrisch theilender Durchmesser für /j , so geht die io R^'^ stehende arithmetische Summe libef in

lehre von den regelmässigen Polygonen von WichUgkett sind. 209

&H = iÄ.cota, und die berücksichtigte algebraische Summe in

SfM = Äwk(v+ 1) = 42:2a(2v+ 1) = iM.

Es ist daher z. B. bei einem gleichseitigen Dreieclc fi , wo «i:=30<>, alsosina=:i; cosa = iV3; cota=v^ ^^^ coseca=:2 Ist, bei ^>0 und <a:

AÄ=iÄ.2.co8(a-//)=M.co8(30ö— ^) = Ä.(cos^.V2+4«*"nzO, Äfc==iÄ.2.sin(a— ^)=:B.8in(300— z/)=Ä.(icos//— siozl.vj).

Bei ^-=0, d.h. wenn der theilende Durchmesser ti senk- recht zu einem symmetrisch theilenden Durchmesser ist:

Ä« = i».co8ec30ö=B=i» + iB.

M ^ = 0, d. b. weno 77 ein symmetrwcb theilender Durchmesser . ist:

Si» = iH.cotSO« = 1» V3 = MV 3 = M . sinÖO», SM = 4It = K-4B.

§.8.

Sonstige Beweise der in Rede stehenden Sätze. Man kann naturlich die hier auf elementarem Wege bewiese-

(360\" ^ -^

-T— J und für J.^ 0 und ^ a die

üileiehungen bestehen:

8in/l-fsin(^/-f2a)4-sin(^-f4a)-f8in(^+6a)....-f6in(//-|-(2v— l)2a)

= cosec a . cos (a — z/) ,

cos^+co8(^+ 2a)+cos(^+4a)+ cos(^+6a) ....+ cos(^+ (2v ~l)2a)

= cosec a . sin (a — J);

jBin^ -f sin(^+4a)-|- 8in(//-f Sa)....-|-sin(^-f v.4a) =: icoseca . cos(a— ^, cos2f+cos(^+4a)+co8(^-f8a)....+cos(^+v.4a)=icoseca.sin(a--z/)5

und die sonstigen daraus folgenden Sätze (von denen hier nur einige angedeutet worden sind) auch aus den betreffenden allge- meineren Sätzen:

300 Bessel: Elementare Beweise einiger Sätze, welche für He

8ina+8in(a+|3) + sin(a+2/3) + 8in(a+3i3)....+8in[o+(ji-I)fl

sin|n/g.6iu[tt-f i(» — J)/3]

t

13

co8a+co8(a+/3) + co8(«+2/3) + cos(« + 3i3) .... + COS [a+(fi-l)(Il

_ 8iniyi/3.co8[tt + ^(n — l)/3] |i

~ 8ini/3

ableiten, welche in den Lehrbuchern der Analysis, z. B. io d« „Vorlesungen über höhere Mathematik von Ettings- hausen (Wien 1827)'' im ersten Bande Seite 125 Nr. 110. bewiesen werden.

Der interessanteste und noch dazu höchst elementari Beweis der beiden Fundamentalsätze , auf die es hier ankoDvt; scheint mir aber der folgende zu sein.

Es sei ein regelmässiges 27tseitiges Polygon f=:oiO^Oi,,.0h (siehe Taf. III. Fig. 9.), dessen Eckradius == M und dessen Mittel- punkt C ist, mittelst zweier beliebiger, zu einander senkrechttr Durchmesser £f| und hi durchschnitten, so dass i7| mit dem

Eckradius Coi den beliebigen Winkel //^O und ^ifo") ^'^-

3 a bildet. In ihm seien von den Eckpunkten Oi, o^» o^....0t einerseits die Perpendikel pi, p^, /'s*** pn auf i^ und anderer- seits die Perpendikel Pi, P^, Ps**** Pn auf A geföllt. Man cou- struire ein anderes regelmässiges 2n seitiges Polygon F so, dass dessen Seiten 0i, a^, c^.,,. atn der Ordnung nach parallel deo Eckradien Coi, Co^^ Co^»... Co^n in f sind und die Länge (j = n haben, ziehe in F zwei zu einander senkrechte Durcbmei- ser Hl und hi parallel mit H beziehungsweise mit h, projidre dann die Seiten a^, a^, (^3..-. <fn (durch Fällung von Perpendikeln aus den Endpunkten derselben auf den betreffenden DurchmeMer) das eine Mal auf den Durchmesser hi und das andere Mal aaf den Durchmesser H^. Bezeichnet man dann für die Seiten ^t a^ (T3.... On die so entstehenden Projectionen, welche in Af Ko* gen, mit qi, q^, q^.»-. qn, welche in Hi liegen, mit Qi,Qif Qz"" Qn, und den Eckradius in F mit R, so ist allgemein:

gm = <F«.cos(900 — (/f+[m- l).2o]) = 0.sin(^+ (m— l).2fl)

= M.sin(^+(m— l).2fl),

also:

qm = pm.

L»kre vom ämt regehnässtgen Polygonen von WickUgheii sind. 301 h.

id

Q^ = ^i,.co8(//+(m— l)2a) = »•coa(^+(m— l).2a, so:

h. es ist die algebraische Summe:

Es sind dabei die in h^ liegenden Projectionen so za einer iraden Linie £ih verbunden , dass diese ihre arithmetische amme 9i-|-9s~l'93---*~l~(7ii darstellt, und man sieht dann aus der onstruction sofort , dass

üiHzzz Rco8(a — -J) + Äcos(a — ^ = 2/Zcos(a — J) t.

Ebenso aber bilden auch die in Hi entstandenen Projectionen ne solche Zusammenstellung « in welcher man sofort ihre alge-- raische Summe

Öi+Qä+Ös. •+0« = Pi+P«+P8 • • + P«

Form einer begrenzten geraden Linie Z^h erkennen kann, und an ersieht aus der Constructioii sofort, dass

-S«jk = Äsin(a — z/)+Äsin(a — z/) =:2Äsin(a — z/) L

Wäre nämlich das Polygon OiO^O) — Oiq, Taf. 111. Fig. 9., iigesehen von seiner bisherigen Bedeutung, das Poly- m F für einen Fall, in welchem dessen Seitenzahl = 10 ist, und Sren 0505, O5O4, o^a^, o^o^, o^Oi der Ordnung nach die Seiten ' ^» ^8' ^4» ^A» ^^ würde die arithmetische Summe der rojectionen dieser Seiten auf den beliebigen Durchmesser cty, 8nn dieser die Seite a, ohne dass sie verlängert ist, schneidet, eich sein der Summe CG. coa F Cy •{■ CA. cos ACa und die alge- 'aische Summe ihrer Projectionen auf den zu ay senkrechten urchmesser wäre dann ebenso gleich der Summe

CG.sinGCy+C^.sin/ICa. äre nun ay der zu Hi senkrechte Durchmesser A|, und es Idete üi mit £f| den Winkel A, der ^0 und <4(th'J d. h.

rs

302 Beisei: Elementare Beweise einiger SOite üöer Patffotm.

^a ist, 80 würde Oi mit hi einen Winkel =90^ — ^ bilden. Et

würde aber dann der zu Oi senkrechte Radios mit A^ einen Win- kel ^ // einschliessen. Daraus folgt aber, dass der zu A| nSchst- nachbarliche Eckradios mit h einen Winkel s (a — ^ bilden mQsste, dass also Winkel ACa z=z GCy :=: {a — /l) sein mfisste. Ist aber diess der Fall, so ist auch:

ZiH = 2Äco8(a — //) und Z%h = 2Äsin(a— ^.

Da nun aber auch ,

12:^0=: A:|It = l:sina, also A=:|)tco6eca

ist, so Ist auch:

£xfi = 2/Zco6 (a — /f) = M. cosec a . co8(a — d) , Sth = 2Ä sin (a — J) = H. cosec a • sin(a — zQ.

Biei^per: AUffemetne Form der Fourfer'scken Heiken, 30S

allgemeine Form der Fourier'scben Reiben. Anwen- lang auf die Berechnung bestimmter Integrale und

die Summirung der Reihen.

Von

Herrn Professor Dr. J. Dienger

nm Polytechnikum in Karlsruhe.

Die Formel, von der ich im Nachsteheoden aa8gebep will, 8t die folgende:

(1)

— C

Für x=+c oder =: — i; mus8 die sweite Seite dieser Crleidinng beissen :

~4y*"*^A*)3x+ic|yrc)+A-c)]. (10

— 0

Der Beweis dieser Formeln findet sich etwa in meiner 9,Dif- 'erential- und Integralrechnung, zweite Anflage*% S. 227. Dabei ist nur zu bemerken, dass, wenn /Xas) ffir einen Bwischen — c und +c liegenden Werth von a: doppelwertbig ist, man auf der zweiten Seite in (1) die halbe Summe beider Wertbe 7on f(x) sidM dieser Grosse zu nehmen bat. Ist an den Gränzen [x =^^c)f{x) doppelwertbig, so ist in (!') (üt f{c) oder /( — c) 1er innere Werth (d. h. der gegen das Intervall — c zu +c {ewiendete) ku wählen« Das ^-^Zeiobeii 4>eziehtsichaaf dieWerthe 7on fft von 1 durch die positiven ganzen Zahlen bte oo .

304 Dienger: Allgemeine Form der Fourier'scken Beikem.

Selen a, ß zwei (reelle) Zahlen zwischen — c und -t-c, so das

-c<,a<,ß<^ + c; (2)

sei ferner f(z) so beschaffen, dass von z = — c bis z = ex und w 2 = ß bis x==-t-c diese Funktion beständig Null, dagegen tw z = o bis z=: ß immer = F(z); alsdann folgt ans (1), wenn mu beachtet, dass hiernach ffir z=a und z=:ß die f(z) doppelvrer thig ist:

' « )

=z-ij* Fix)di-i-eF(x), «<a:<jS; 3

'rß c > ('^

= — il F(t)di + 2 F(a:), ar = o oder = /J ;

= — i/ ^W3«. wenn — c^x^a, /3<a:^+c;

wo für 07= — c oder a?=-f-c die letzte Gleichung nach (l') noch gilt, indem f(c) = /t- c) = 0.

Ist /Xz) nur Null von z=— c bis z=:a, dagegen F(2) von z = a bis zzs-{-c, so folgt aus (1) und (!'):

^^f Fiz)cos^^^^8z

a

— — ^f F(»)az + cF(ar), «<af<c;

a

= -i/ FW3i, — c<ar<a.

Ist endlich /(z) Null von z==/9 bis z=-|-c> dagegen F(x) von z = — c bis ßi

Dienffer: Aiigemeine Form der Fourler'sehen Heiken. 305

2 / F(2)co8^^ — ^ -dz

I t/ c

— c

= — kfF{x)dt-[-eF{x), -c<^</J,

— —hl F(*)8i+^F(a:), a; = — c oder = /J,

a

= -\f F(z)Bx, ßKxKc.

Bei Doppelwerthigkeit gilt immer die bereits fröber sebon ge- achte Bemerkung.

In (4) erhält man fiir a: = — c denselben Wertb wie föra:=+c; I (5) für x=: +c denselben wie für x = — c.

§. -2.

Man setze in (1): 2 = z' — a — c, wo a ganz beliebig. Alsdann 'hält man (wenn man z statt z* schreibt):

^ / /(z — a — c) COS *- * 9x

a

/a-|-2c /*(2 — a — c)8z+c/(a:), — c <ar<+i:.

a a

Setzt man hier f(u) = 0(u + a + c), so ergibt sicb: 2 I <P(z)co8^— ^ -3«

a

/o-f-2o <P(2)82+c(I>(a: + a + c), — c<a:< + c,

a

= - i y* "^ *" <I>(x)aJ + ^ [«(« + 2c) + «(a)], a; = ± c.

a

Setzt man endlich a: = ar' — o — c und beachtet, dass die Bedingung —cK^x'—ü—cK, +c jetzt heisst : a < a:' < a + 2c, to erhält man leicht:

Theil XXXIX. 21

9M 9i^m§$r: AUgemäne Form der FemHer^Meäem il«ilM.

CD pa^u un(z^x)

1 t/ c

/•(*)& + ä[A« + 2c) + Aa)], a; = a oder = a + 2c.

Ut 6 iivischen a und a -f2c» /"(z) Null von z=6 bis z=a| dagegtn F(2) vod 2 = 0 bis 2=6, so folgt hieraus:

-Ä / F(2)co8^-— ^ -dz

a

Ä-iy F(2)8i+2F(a:), a:=aoder=6.

-4/*'f(x)8i.

6<jr<a-f 2c.

Fdr « = a + 2c erhSIt man denselben Wertb wie filr j:=i Hier Ist A — a<2c, sonst a und 6 beliebig.

Setit man in (6) a+2mc für a, x-\-^mc für x, wo m «d [fsnia (positive oder negative) Zahl, so folgt wegen

tt;r (i — a: — 2mc) an (z — x)

cos ' = cos :

c c

Z / /Wcos^— ^^ ^82

a-f-2mo

/•f 2*10-1-20 /•(*) ai +c/'(a:+ 2mc) , a < a; < a +2c.

•4-s«io

(I

/» •4-^'"^4-^ c I

a? = c oder = a + 2c.

M«Ut man eben so In (7) a4-2mc für a. b + 2me flr # l^^in^ Mr *, wo noch 6+2mc— (o + 2iiic)<2c, so folgt:

Diemger: AUgemeime Perm der Femier'eeken üeläeik SO?

f/'*"A«)co.e^^a,

o-f-Smc

/6-l-ame f{z)dz + cf(a: + 2mc), a<x<b,

f{z) 3z -f 5 A^ +2»tc) , x^a oder =6,

a-|-2flio

f{z)dz. 6<a:<a + 2c.

Pur X = a -f 2c erhält man denselbeii Werth wie flir d? er a. A rouss 6 — a<2c sein.

$. 3.

Sei iß>i4, iß — i4 = 2nc-f99 wo n eine positive ganie Zahl 1 eiDgeschlosseo), q zwischen 0 und 2c. Alsdann ist:

/1[2)C08^^— ^^ ^8i + ^ / /(i)co8^— ^ -hl.

Von den Grossen zweiter Seite ist nun die ^erste nach (6):

nz)Sz+^[f(A + 2e)+f(A)l x^A oder=ii + 2c;

Eweite nach (8):

/'(z)a2+cA^+2c), ^<ar<^+2c,

\

A»)8x + 5[A^+4c)-|/(ii+2c)], dP = ii oder A+2c;

A'^%e

21 •

308 Dienger: AUgemefne Form der Fourier* sehen Relke», die dritte nach (8) :

A-^ie

U. 8. W.

die vorletzte nach (8):

f{z)dz+cf[x+2(n'-l)c], ^ <a: < A+'2c,

^-f8(ii-l)e

f(z)Sz + ^[f(A+2nc)+f(A + 2nc-2c)],

^+2(11-1)0

x=iA oder =il+2c; die letzte ist Null» wenn ^=0; dieselbe ist fär 0<^<2c nacbl

^ij" n^Sz + cf{x + 2nc), A<,x<A + Q,

— \f A2)& + |A« + 2iic), x^A oder A^^Q,

itf-f2ne

für j? = 2l-|-2c dasselbe wie für dr:=^; sie ist fhr ^ = 2c nach (8):

— 4/ A«)3a; + cAar+2nc). A<,'X<,A\1c,

-ir^f(z)dz + l[f(B)+nA+2nc)], x^A oder =J+«c

Hieraus folgt, dass man drei Fälle: p = 0, <2cy =2c, aotei scheiden müsse, so wie im zweiten Falle x von A bis J-f^' B—2nc, und von A + q bis ^l-f 2c gehen zu lassen habe.

I. Sei B — Az=z2nc, n positiv ganz. Es ist

Diemger: Aiigemeine Form der Fourier' sehen Reihen. 300 £ I f{i) co»^—^ -dz

\ A

= - kj* /t»)&+ c\f{x) +/(j'+2c)+/i:ar+4c) + ... +/(af+2»c-2c)],

.... + A/< + 2nc-2c) + 4A'4+2nc)],

I

X'=- A oder = -4 + '2c.

II. Sei £— /l>2nc aber <2(7t-|-])e. Es ist

Zj f(z)eos'^^ '-dz

= —ij" f[2)d2+c[f{xHf{x+2c)+....+/{a:+2nc-2c)+f(x+2ne)l

A<;x<^B—2nc;

a: = Ä — 2nc;

= -kf * AOai fc[;/(^)+A^+2c)+...+/(^+2iic-2c)+/][^+2nc)],

X =^ A oder =/4 + 2c;

- -i /'^AW82+e[A^)+A:r + 2c) + ....+Aa: + 2nc-2c)].

ß— 2wc<ar</i+2c.

III. Sei ß-^ = 2(n + l)c.

Da dieser Fall aus I. folgt, ivenn man dort n-f-l statt n setzt, ^o ist er nicht besonders aufzuführen ; doch ergibt er sich ganz ^unmittelbar aus dem Vorhergehenden.

Will man deft Werth von

2; # f{z)co^-—^ az

für ein ganz beliebiges x kennen, so bestimme mau x* zwischen

810 Dienger: AUgemeine Form der Fourier'sckem MeHUm.

0 and 2c bo, dass x^Ä^^ 2$c-{-x\ wo $ eine ganze Zahl; dann liegt Ä-^-x* zwischen Ä und A-\-2cj und wenn

80 ist:

£ I f(2)C0B- -et = S / f(2)C08-

1 t/ c , ,/ c

^ \J ^ ^^ c

Da man non letztere Grosse za bestimmen weiss, so is die erste bestimmt (bei beliebigem x).

{.4. Der Fall I. liefert (x = a, A=^a, S = a-|-2Rc):

f **'*"/(i)az=2c[i/l[a) +/i:a+2c)+....+/(o+2nc -2c) +4/i:a-

a

Für den besonderen Fall, dan = l, heisst die zweite wegen (6):

OD /»»fSe

2c [i Aa) + iACa + 2c)] ~ 2 -Sy /(i) cos

ft?c(z— g).

Setzt man hier 2c = A, a4-2nc=<i-f fiA = 6:

(10) yVw3^ = Ä[iA«)+Aa + Ä)+/]ra+2Ä)+....+A6 — Ä) +

-2 2:y A

2fi»(s_-- fl)

X) cos 7 02,

WO 6 — a = nA y n positiv ganz ;

(100

y* ***/-(,)a» = 4A[Aa)+ Aa+A)]-2 ly '^V(*)«os ?^

Dienger: Aligemeine Farm der Fourier*$ehen Reihen» 311

Die BedingoDg 6 — a = itA sagt aus , da^s A ein aliquoter Theil von b — a «eiD mnss. Die Formel (10) ist die Formel zar ^ftherangweisen Berechnung eines bestimmten Inte- KYal<3. Sie rQhrt ursprünglich von Poisson her.

Man hat durch theilweise Integration:

y F(Z)C08 ?«^^^^&

^ r./ . . 2/[i«(2— a) Ä* ^,, . 2/[i»(j— a)

f = j5 — F(i) sin -^— \ ^ + 75 — 7^ F' (x) cos -^-^ ^

2f4» ^^ A ■ (2f47r)* "^ ' Ä

Da 6^a-|*29tc und n ganz, so folgt hieraus:

/ F{t) cos -^- — -T Ol

= <K^l'-<')-"'"(«)l-(5^/''-<-)-'-'=t=^''^

daraus dann:

2fi7c(2— g) ^ cos i dl

•

6

U. S. W.

Auf diese Weise folgt aus (10):

f A^)82 = A[i/'(g)+Aa+'i)+A« + ^2Ä) + .-..+A*-Ä)+i/(6)l

••••±(2;^[/*-»(6)-/»-K«)]^;^T Ä.

312 Dienger: Ailgemeine Form der Fourier'gcheu Reiketu wenn

Dabei ist m eine beliebige positive, ganze Zahl. Für m hätte man kurzweg die (10).

Setzen wir noch:

80 ergibt sich endlich:

(13)

a

- -,72-[/"(*) -/"(«)]+X^^[/'''(*)-/'»(«)]-.-. .

WO R durch (11) gegeben ist. Dabei ist m wie oben bescfa

und Ä = • Die Zahlen Bi, ^3,.... sind die Berno

sehen Zahlen.

Wäre n= 1, also h^^^b — a, so wurde auf der zweiten in der ersten eingeklammerten Summe bloss if{ä)-\-\f{b) st sonst bliebe Alles ungeändert, nur dass natürlich 6 = a -f A

Für m = 0 fielen alle Glieder mit den ß^^ ß^, ^eg> u

wäre mit dem Vorzeichen — zu nehmen, nach (10).

§. 5.

Wir wollen nun den Werth von R näher untersuchen dem Ende unterscheiden wir zwei Fälle.

]. f^^ii) behält dasselbe Zeichen von z = a bis z = 6 u

bleibt endlich.

«. 2ttJj(2— a)

Da cos - — -, als äusserste Werthe +1 und — 1

so liegt die Grosse

j

f^ (2) cos -^— V dz

Dienper: Aiigemeine Form der Fourier'sehen Reihen. 313

«

^irischen

f^{i)di und f / f^{i)hz,

a a

d. h. zwischen

-[r™-M6)— /*™-*(a)] und + [/«'»-i(6)-/^-*(a)].

/ ba dies für alle ft in derselben Weise gilt, d. h« fär alle fi

"^ die erste Grosse etwa kleiner und die zweite grösser ist als das

^'genannte Integral, alle Glieder in R ferner addirt sind, so ist ? offenbar

R zwischen'

I und

d. b. wegen (12):

R zwischen

und

+ ri^[^*(*>-/"-^(«)]-

Srlao bat also folgenden Satz:

Ist h = > wo n eine beliebige positive und ganse Zahl

(6^a gedacht), so ist:

(14) /**/'(jr)8x = A[/(«) I- /(«+*) + •••• +/"(*-A)] + 5[A6)-A«)]

wenn 6 zwischen — 1 und -f 1 liegt, m eine beliebige positive ganze Zahl ist, und f^^{x) dasselbe Zeichen behält, wenn x von a bis 6 geht.

S14 Dienger: Allgemeine Form der Fourier'uAen MHkem. Far m = I hätte man:

a

- 7^[/"(*)-/"(«)]+^[/"'(*>-/"(«)]-

Fflr fit = 0 liesse sich ebenfalls die Formel bilden ; sie I aber dann keinen Werth.

II. /"^(z) bleibt endlich von z=a bis z == 6. Da

2ftyg(2— g) . f*ff(x--a) cos-^^ — i ^ = 1 — 2 sin*^- i ~

so ist:

a ' a

Demnach ist:

* = (-£)S;[/^-'W-/^-H«)] -S;^

4A*" „ 1 Z*»-,^, , . ,»w(i— o)-

und also:

y* A*)&=*W«)+-+/t6-A)]+*[/r*)-/K«)]- ^[/■'(*)-A«)]+

•

•

Da sin«^ t^*^^) g^ets positiv, so liegt das Integral

Di9n§er: Aiiffemeine Farm der Fourier* sehen BHMem. S15

'>6

/^»(j)«in* ^ — -

Sz

iwiscbeo
m	fiLTt (2 — a] h	■Ol	und	•
1. h. zwischen
	2	a)	und	K{b — a) 2 *

veon G und #^ den grussten und kleinsten Werth von f^^(i) Ar von a bis b bedeuten. Also liegt

Ä' zwischen -^^^j^pj;^G2:-£i und (2^)2«, ^-^^^Si^

i. h.

o. . u Äaiii-iA«»(6— a)G . ggm-iAg~(6— c)ig

Ä' zwischen =— ^ — « ^~ wd =— :: t: •

1.2. ..2m 1 .2. ..2m

demnach ist:

/j , ^ ?^.p:S^^ f^ (a ^. „ö^j ^ ^ zwischen 0 und I .

Man bat also, wenn man noch m-|'2 statt m setzt» neben (14):

(15)

J'^nx)dx = h[f{a) + f(a+h) + ....+f(b-h)]

m

.... T X^iS^ |/«"-»(Ä) - /*--» (a)]

*^-p^^^f+«<'-)i.

nenn f^^'^^(x) von a bis 6 endlich ist. Dabei ist 6 zwischen 0 und 1.

Die Sätze (14) und (15) sind von Malmsten in anderer Weise aufgestellt worden.

Far m = 0 heisst der Satz (15):

314 Dlenger: Allgemeine Form der Fotirteftehen If^ FGr m = l fafitte man:

- ?.|[/'(*)-rw]+'-?!l'[/^c*)-f''*^

Ffir in = 0 liesse eich ebenfalls die FornkeX aber dann keinen Werth.

II. P*(i) bleibt endlich von *=a ' "'' ^ ' Da ^ ^

rna-l- 1 '- — ■ I 9aM|S!-— i

=r—\b)

Demnach ist

■■♦NSr

\

y"rtoä.=»(A»)t-+A»

-(2»)-

'^-^

B^,, fücUaohnd *-^

316 Dtenter: MlgemHne Form der Fourter'$cheH Rethai. f ^f(x)dx=:A[f(a) +/-(o + A) + . . .. +/-(6-*)]

a

vFeuD f^(x) von a bis 6 endlich bleibt

§. 6.

Setzt man in (14) a und 6 positiv voraus, 6=a-f nA, ferner f(x)=x^, so folgt daraus:

(16)

«'' + (a + Ä)»- + (a+2A)»^ + .. .. + (a-f-nA)^

= (a->«An--a-^^ ^ (o + nAM:«: ^ ^^^^^^^^,_^_,^ _ .

^ ^ -_»•!! 12.... 2m r(o+«A)'-»"+>— a'-*-+»l,

WO 6 zwischen — 1 und -fl. Ist r eine ganze positive Zahl, so

=r +2 ftllt das letzte Glied weg, sobald m ^ ,v .

Diese Formel gilt auch fiir 7t=l, wie wir oben gesehen. Setzen wir also a=l, /i = l, n = l und nehmen r als ganze po- sitive Zahl, so ist:

(17)

1.2^^ *^ 1.2.3.4 ^»^" '^

r(r-l)(r-2)(r--3)(r-4) _2r+l 2r+i-l

+ rX7.6 ^»(^ ~'^"~ ^2 Tfl '

aus welcher Formel sich ßi, B^,..,. rücklaufend berechnen lassen, wenn man nach einander r = 2, 4, . . • . setzt. .

/

Für r= — 1 kann man (16) nicht zulassen, weil wir x^dx = —VT setzten, das jetzt = l{x) ist. Demnach:

Dten§er: Ailfemeine Form der Fourier'tekem KHkem. 317

(18) 1 1.1

«+ „-tÄT -jOA+--'*T

••••± 2ot \a^ (a + nh)*"/ 6IÄ»»_iA*»-YJ J \

WO a and h positiv , B zwischen — 1 und -f 1*

Wir begnügen ons hier mit dieser Anwendung, die wir nur der Formel (17) wegen gemacht haben, welche uns behufs eines theoretischen Abschlusses nothwendig war. Unsere Absieht war, ans der gebräuchlichen Darstellung der Fourier'schen Reihen^ wie sie in ihrem Ergebniss in (1) vorliegt, die wichtigen Sätze (14) und (15) abzuleiten, wobei wir einer genauen Formulirung der in §. 3. aufgeführten Sätze bedurften. Die Sätze selbst sind an sich nicht neu; ob sie schon in ähnlicher Weise abgeleitet worden, wissen wir nicht.

318 Ornneri: Die Aitwendung der Mtereograph. PrciSfUm Mir

Die Anwendung der stereographischen Projection zur Entwickelang der Theorie des sphärischen Dreiecks

und des sphärischen Vierecks.

Von

dem Herausgeber.

§. 1.

Wenn auch die Anwendung der atereographischen Projectio« zur Vereinfachung vieler geometrischer Untersuchungen wohl im Allgemeinen als bekannt vorausgesetzt werden darf, so glanbe ich doch, dass namentlich die, jedenfalls besondere Beachtung verdienende Anwendung auf das sphärische Dreieck und sphä- rische Viereck noch nicht so bekannt ist, wie man im Interesse dieses nicht unwichtigen Gegenstandes wünschen muss, und will daher diese Anwendungen im Folgenden etwas ausführlicher eot- wickefn, ohne übrigens dieselben erschupfen zu wollen, indem ich vielmehr durch das Folgende nur zur noch weiteren Bearbei- tung dieses interessanten Gegenstandes anzuregen beabsichtige. Ich werde dabei, wenn auch nicht vollständig, doch im Weseot* liehen, dem vielfach ausgezeichneten Buche von Paul Serret: „Des roethodes en G^om^trie/' Paris. 1855. p. 30. folgeik

Die beiden Haupteigenschaften der stereographischen Projection:

1. dass die Projection jedes Kugelkreises ein Kreia ist;

2. dass die Projectionen der Kugelkreise sich unter densel* ' ben Winkeln schneiden wie die Kreise selbst ;

müssen im Folgenden als bekannt vorausgesetzt werden. Ich lasse jedoch diesem Aufsätze unmittelbar einen anderen folgen. In wel- chem ich eine neue analytische Entwickelung der Eigenschaften

MMrtcM. der Theorie des ephär. Dreiecks u. des spkdr. Vierecks. S19

»r stereographischen Projection gegeben habe, welche, wie ich laube, mehreres Eigenthüniliche enthält» und sich, insofern man mächst -bloss die gewöhnlichen Haupteigenschaften der genannten rojectionsart kennen zu lernen beabsichtigt, besonders empfeh- n durfte. Ausserdem verweise ich auf meine frühere Abhand- ng über diese Projection in ThI. XXXII. Nr. XXV., die aber, isser der Entwickelung der bekannten Haupteigenschaften der :ereographischen Projection noch eine andere besondere, aus ir iron selbst ersichtliche Tendenz verfolgt. Die geometrische egrundung dieser Haupteigenschaftc^n ist bekanntlich namentlich ach in neuerer Zeit mehrfach mit Glück versucht worden, wie lan ü. A. in ThI. XXX. S. 354. und ThL XXXI. S.217. sehen kann.

§. 2.

In Taf. llf. Fig. 10. sei i^JSCein auf einer aus dem Mittelpunkte } mit dem Halbmesser r beschriebenen Kugelfläche liegendes ph arisch es Dreieck, dessen Winkel und Seiten wir wie gewuhn- ch durch A^ ß, C und a, b, c bezeichnen. Durch A ziehe lan einen Durchmesser der Kugel, bezeichne den Punkt, in elchem von diesem Durchmesser die Kugelfläche zum zweiten lale geschnitten wird, durch Ü, versetze das Auge in Ü, und rojicire das sphärische Dreieck /fil^Cauf die in dem Mittelpunkte ) der Kugel auf dem Durchmesser ^^ senkrecht stehende Ebene, it nun OB'C die anf diese Weise erhaltene Projection, so sind ffenbar OB^ und OC gerade Linien und die Seite B'C der 'rojection ist nach den Eigenschaften der stereographischen Pro- jction ein Kreisbogen. Die an den Punkten O, Ä', C liegen- en Winkel des geradlinigen Dreiecks OB'C sollen durch A\ B\ C nd die diesen Winkeln gegenüberliegenden Seiten dieses gerad- nigen Dreiecks durch a! , b\ c' bezeichnet werden. Bezeichnen 'ir nun die an denselben Punkten liegenden Winkel der Projec- on des sphärischen Dreiecks ^JSC selbst durch ^|, Bi, Ci ; 0 ist nach den Eigenschaften der stereographischen Projection:

Ai = A, Bi-B, Ci = C;

nd ausserdem ist offenbar J| = /l', also auch A^^iA.

In dem geradlinigen Dreiecke ÜB'C ist nach den Formeln er ebenen Trigonometrie:

Ä' C« = ÜÄ'« + Ä C^« — 2 . ÄÄ' . ÄC . cos iB'ilC ;

ffenbar ist aber:

320 Grüner t: Die Anwendung der stereograpk, PredecUmi »ur

HB' =zraecic, ilC=r8ecl6,

cosB'üC = ^JiSTöC '

leroer, ivie leicht erhellen wird.*" irB=2rsinil360o— (180o+c)| = 2r 810(900— 4c) = 2r cos 4c, AC = 2r8in4l360O- (1800+6)1 == 2r sin(90O-46) = 2rco«46, BC = 2rsin4fl;

also :

_,^^ cos 46* + cos 4c* — 8in4fl*

cos BAL/ = ö Tl i »

2 cos 46 €08 4c

und folglich nach dem Obigen:

/a'\* ,.« , . , j- . cos46g + cos4c*— sinjg«

( — 1 =^sec46* + 8ec4c'— sec468ec4c rr i ^— *

\r / a • ■ » » co646co8 4c

worans man mittelst leichter Rechnung sogleich den fOr das Fol gende sehr wichtigen Ausdruck:

, r sin 4a

fl' =

cos 46 cos 4c erhält. Da nun ferner offenbar:

OC = Oil.taog46, 0Ä'= Oil.tang4c ist, so haben wir die drei folgenden Formeln:

, r sin 4a */ . i. #

''=coBibcosic' *='-»«"Si*. c'=rtang4c.

Der Einfachheit wegen werden wir im Folgenden r als Ein- heit annehmen, wodurch die vorstehenden Formeln die Gestalt:

sin 4a ,, . ,, ,

" =co»i6co8ic' *=tongi*. c' = tangic

erhalten.

Aus der Gleichung

f^ r sin 4a

cos 46 cos 4c erhfilt man nach dem Vorhergehenden offenbar:

B'C _ BC 2^0Ä 2.0A OA "~2.0ä' AC ' ab '

^nimiekeL der Theorie des ephär. Dreiecks «. des sphOr, Vierecks, 321

Ä'r' = 2.0il«. ^^

ÄÄ.üC

hier noch beiläufig bemerkt sein mag.

$. 3.

iezeichnen wir den Excess des sphärischen Dreicks ABC I E, so ist:

jE;=.4 + ä+C— 180«, nach dem vorhergehenden Paragraphen :

en wir 4 wie Taf. IIl. Fig. 1 1 . zeigt, in der Projectionsebene 1 & und C an den Bogen B'O Berührende , welche sich ' schneiden, und bezeichnen den Winkel B'O'O durch O'y t in dem Vierecke OB'O'C'i

^, + ^.+Ci + O' = 2.180",

■

US sich, wenn man dies mit dem Obigen vergleicht , sogleich:

E = 1800— O'

ibt. Bezeichnen wir die gleichen Winkel, unter denen die b B und C gezogenen Berührenden gegen die Sehne B'C igt sind, durch or, so ist:

O' = 1800 — 2ar,

I nun offenbar :

B'=Bi—x, C' = C, — or

so ist nach dem Vorstehenden und mit Rucksicht auf den ergehenden Paragraphen :

A = A, B^B-^iE, C^zC'-iE,

Denkt man sich den Bogen B'C liber B' hinaus erweitert, ron demselben die über O verlängerte OC zum zweiten Male " geschnitten wird, und zieht B'C, so ist^ wenn man den kel B'C"C' durch C" bezeichnet, nach einem bekannten geo- ischen Satze offenbar C"=zx; also' nach dem Obigen:

leil XXXIX. 22

922 ^rnneri: Die Anwendung der eiereopraph. Pretfeeitem tmr

C = iE.

Denkt man sich den Bogen B'C über C hinaus erweitert, bis von demselben die über O verlängerte OB' in B' geschnit- ten wird, 80 ist ganz eben so:

B" = iE.

Weil OB'C offenbar die Projection des sphärischen Drei- ecks ist, welches mit ABC die Seite AB gemein bat, und det- sen zwei andere Seiten die Seiten AC und BC zu 180® ergSaxen; so ist nach dem in §. 2. Bewiesenen offenbar :

B'C^ «'ni(180o-fl) ^ cosiii

cosi(180® — 6)cosic siniAcosic'

OC = tangi(J80o— 6)=:cnti6,

OB^ =itangic.

Auf ganz ähnliehe Art ist :

C'B''^: «'°i('80<>--a) ^ cosia ^ eosi6cosi(180®— c) cosi^sinic'

OC' = tangi6,

OB''= tangi(180o— c) = c^tic. Weil

C'C = OC + 0C\ BB" = OB' + OB^

ist, so ist:

C'C = tangi6 + coti6= ^jjj^,

o B'B''= tangic + cotic= -A .

8.4.

Jede Sehne eines Kreises ist offenbar gleich den ThsfdtMt ser multiplicirt mit dem Sinus des Winkels, welchen die dorck den einen Endpunkt der Sehne an den Kreis gezogene BerA* rende mit der Sehne einschliesst; bezeichnen wir abio des Btib- messer des Kreises in Taf. III. Fig. 11. durch ^, so ist offenbar:

also nach dem vorhergehenden ParagrapheB{r

EUtmkikH, der Theorie des ephOr, Dreiecke u* dee epkär, Viereeke. 838

2 2

Iblg^lich durch DivisioD:

BlTiB 810 6

sinC "" sine*

welches der .bekaont« erate Haaptoatz der sphSriachen Trigono- metrie ist.

$. 5.

In dem geradlinigen Dreiecke OB'C (Taf. 111. Fig.rll.) ist :

^, Ä'^ + c'« — a'«

COS^ X= gj;p ,

ml0o nach §. 2.:

sin in tangi6» + tangjc»-^^^^,^^^^^,

"^^^ 2tangi6tang|«

iPiroraas sogleich:

_ sin 46* cos 4c* + eos46*sin 4c* — sin 4a* ~* 2 sin 46 cos 46 sin 4oGos 4c

alao:

. (1 — cos6)(l+cosc)-f (] +co86)(l — caaD)-<-2(l'— cosa)

cos A SS — '— *— jr— ; — 7 — ; -• 9

2sin6siBO und hieraus:

coaa — cos6coac

cosi4 =

sin 6 sine

folgt, welches die bekannte Relation zwischen den drei 8eiten and eintm Winkel des sphärischen Dreiecks ist, ans welcher man femer auf bekannte Weise mittelst döa Sopplemeutardreiecks die Relation zwischen den drei Wmkaln and einer Seite erhält.

$. 6.

In dem geradlinigen Dreieck 08*0' (Tsf.IH. Fig. 11.) ist nach der ebenen Trigonometrie:

_ B*C"^+ OC"^-^ OB^ eosC — %.BC*\OC" *

•M*

22

SS4 Srunert: Die AnweHdung der nereograph. Fr^tcUm wm

also nach {. 3. :

cos in'

-^ 8iniö*cos4c* ■ ®'

cos Ja = — = = — i

Costa

oder :

sinjocosfc

_,^ COS Jg^ -\- cos J6* cos jc^ — si n J6* si n J^ * ' 2cosiacosJÄco8jc

folglich nach bekannten Relationen:

_,_ 1 -|- cos g + J(l + cos6) (1 -|- cosc) — J(l — cos6) (1 — cosc) ' "" 4 cos Ja cos J6 cos Je

woraus sich mittelst der leichtesten Rechnung die bekannte Formel.'

-, 1 -\- cos g -\- cos b •{■ cos c

4 cos Jg cos J6 cos Je ergiebt.

Es ist:

OC" + OÄ' + B'C" = cot J* + tang Je + -T-^^i^ ' " « ■ o» • sinj^cosjc

_ cos J(6 — e) -|- cos Jg ~ sin J6 cos Je

_ 2 cos J(g — 6 + e) cos J(g + b — e) "" sin J6 cos Je '

cosjg

--OC'*^ OÄH i?'C"=— cotJÄ + tangJc+ -v

sin JA cos Je — cos J(& -}- e) + cos Jg

sin JA cos Je

_2sinJ(g-f&+e)sinJ(---a-|-&-he)

sin J6 cos Je

OC- OB' + Ä'C"=coti*_tangic + ^jjj^

_^cos J(ft + e) + cosJg sin JA cos Je

_2cosJ(a + &4-e)cosJ(— a-|-6-|-e) "" sin J6 cos Je *

OC"+ OÄ'-Ä'C"=cotJ6 + tangJe . ""^^^ ,

^' sinJ6cosJe

cos J(6 — e) — cos Ja

~~ sin J6 cos Je __2sin J(o -6 + e)sinj(g + & — e)

sinJ6co8je

Eniwicäei. der Theorie des epAär. Dreiecke u. des spkdr. Vierecks. 325

Das Product dieser Grossen ist:

sin i(a+b + c)Bini(-^a + b + c)8iii^(o — 6 + c)s\ni(a -}- & — c)

sin ^6^ cos ^

Ferner ist; '

] sin^A sin|&cos^c_ siftj^A^cosJic

2. OC'.B'C" " *• cöslÄ • cosia "" 2 cosiöcös V^'

Muitiplicirt man hiermit die Quadratwurzel aus dem vorhergehen- den Prodocty so erhält man, weil

sini£J = sinC"

ist, nach einer bekannten Formel der ebenen Trigonometrie den folgenden gleichfalls bekannten Ausdruck fKir den Sinus des hal- ben sphärischen Excesses:

. ,_ V sin|(a + 6 + c)si n4(— « +6+ c)sin4(a— 6 + c)sini(a+6— c) * 2 cos ^ COS 46 cos fc

. 7.

Nach dem vorhergehenden Paragraphen ist:

(0C''+ OB' + B'C") (OC— Oä;+ä'C")

__ 4 cos ^a-{-b-\r c)cosi( — « + 6 + c)cos^(fl — b-\-c)coB\{a-\-b — c) '^ sini6*cosi€* '

(^OC"+Oß' + ß'C")(OC"+ OB' -^ B'C)

^ismVa + b + c) sini(— a + b + c) sinK«— 6 + c) sini(q + b—c)

sini6*cosic'

Ferner ist:

l ' sin^A^cosic

A,OC",B'C" "" 4 cos ia cos 16*

lind folglich nach dem Vorhergehenden:

• (PC" + OB* + B'C")(OC"'-OB'+B'C")

i,OC".B'C"

cos^q + b + c) cos K— a-j-b+c) cosi(q — & -f c)cosl(q -j-b—e)

' cos ^a cos ^ cos ^c

S26 ^runeri: Die Anwendung der stereo§rapk. Proiect§9m sao* (— OO* + OB' + Ä'C'O {OC"^- Ofi'— B*C")

i.OC'.B'C

1$

cos

6in^(a-}-&4-c)6in^( — a-frt-fc)8in^(ii — 6-f c)6in|(aH-6—c)

cos \a cos 16 cos je

Nach den bekannten Formeln der ebenen Trigonometrie ist aber:

,^,, ,^ tf(OC''+OB' + ß*C'')(OC^'-OB'+B'n 4C- = cosiE = Y i.OC'.ß^' •

81 D

iC =8ini£ = \ i.OC'.B'C" '

also nach dem Vorbergehenden :

cos

j^ 4/ co8T(g+6+c)co8^(-a+6-fg)cos^fl— 64-c)cos^a+6-c)

' If cos^cos^Acosic

. ,-- 4r8lni(a+Ä-i-c)8inJ(— «+6+c)sini(/y— 6+c)8inJ(ö+6-c) * T cosincosiocosie

und hieraus:

tangi£

= V^tang i(af 6+c) fang i(— a+Ä+c) tang J(a — 6 + c) tang i(a+6— c), wie bekannt ist.

§. 8.

Wir wollen nun das sphärische Viereck ABCD betrachten, dessen Seiten und Diagonalen AB, BC, CD, DA und AC, BD wir nach der Reihe durch a, b, c^ d und f, g bezeichnen wer- den. Die an den Punkten A, B^ C, D liegenden Winkel diese« sphärischen Vierecks bezeichnen wir beziehungsweise dordi A, B, C, D. Durch A ziehen wir einen Durchmesser der Ka^el, bezeichnen den Punkt, in welchem von diesem Durchmesser die Kugelfläche zum zweiten Male geschnitten wird, durch Ü, ver- setzen das Auge in ü und projiciren das sphärische Viereck ABCD auf die in dem Mittelpunkte O der Kugel auf dem Durch* messer AÜ senkrecht stehende Ebene. Ist nun OB'C'D die auf diese Weise erhaltene Projeotion, so sind OB* und OD^ ^rade Linien und die Seiten B'C* und CD' sind nach den Eigenschaf' ten der stereographischen Projection Kreisbogen. Die an den Punkten O, B", C\ D* liegenden Winkel des genadlinigen Vier- ecks OB' CD' sollen (hirch A', ß', C, D' und die Seiten OF,

4

KmtmlekeL der Theorie des ephär. Dreiecke u. des ephdr. Vierecke* 327

B'C, CD', D'O dieses geradlioigen Vierecks durch a\b', f, d' bexeiclinet werden. Bezeichnen wir nun die an denselben Ponk- ten liegenden Winkel der Projection selbst durch Ai, ßi, Ci, Pi; so ist nach den Eigenschaften der stereographischen Projection:

Aiz=A, Äi = Ä, C1=C, Di=iD;

und ausserdem ist offenbar Ai:=zA', also auch A'=A, Die Pro* jectlon der Diagonale AC ist offenbar eine gerade Linie , die der Diagonale BD ein Kreisbogen; die durch O und B* gehenden Diagonalen des gsradiinigen Vierecks OB'C'D sollen durch f und g' bezeichnet werden.

§, 9.

Wenn das sphärische Viereck ABCD in einen Kreis be- schrieben ist, 80 ist nach den Eigenschaften der stereographiscben Projection das geradlinige Viereck OB'C'D" (Taf.IlI. Fig. 12.) auch in einen Kreis beschrieben.

Folglich hat man in dem geradlinigen Vierecke OB'C'D die bekannte Relation:

a'& + b'd' = /y. Nach §• 2. ist aber offenbar :

und:

r=tu.sif, ^=J.^',t.»<>

also ist nach dem Vorhergehenden:

tangl cos

[^asin^c sinj^tang^ ^ tang^/'sinjjy^ idcosif cos Ja cos i/* cos^a cos^d*

nnd multiplicirt man nun diese Gleichung mit

cos ia cos Id cos j/*,

so erhält man auf der Stelle die merkwürdige Gleichung:

sin ia sin \c -f sin ^6 sin ^ = sin Ifsm lg*

In dem geradlinigen Viereck OB'C'D' ist ferner nach einem be- kannten Satze der ebenen Geometrie:

328 G runer t: Die Anwendung der stereograph. PreJeeHon nw

f _ a'd' + 6 V g* " a*h' + Cd'

oder f

Nach dem Obigen ist aber:

' cosiacosj/' cos4</cosi/

sin |a sin ^ cos |c2* -f- sin \c sin ^ cos ^*

cosi«*cos4i£*cosi/'

und folglich :

/Ä/ /j#\ sin y(sin \a sin |^ C06|rf^ -f sin |c sin ^ cos t^*)

' ^ "■ ' cos4a*co8irf*cos4/*

Ferner ist nach dem Obigen:

sin ^b sin «c

■

sin 4a sin 4c2[ cos 4/** + sin 4^ sin 4c "" ^ cos 4a cos \d cos 4/"^

und folglich':

u *^4 . Ä. A sin4gr(8in4asin4dco84/^-fsin46sin4€) g{ad\hc)= cos4a<cos4d>cos4/^ '

Also haben wir nach dem Obigen die folgende Gleichung:

sin 4/'(sm 4a sin 4^ cos \(d^ -\- sin 4^ sin \d cos 4«^) = sin 4^ (sin 4a sin \d cos \f^ -{■ sin 4^ sin 4c) ,

welche man leicht auf nachstehende Form bringt:

sin 4Asin 4a sin \b -f sin 4c sin 4^)

— sin4asin4c^^*^in4A^'>"i''^>"i^ 1' sin46sin4c{)

= sin 4^ (sin 4a sin 4«^ + sin 46 sin 4c)

— sin 4« sin 4^ sin \f, sin \f^\v\ \g ;

also ist, weil nach dem vorher Bewiesenen

sin 4a sin 4c -f sin \h sin 4</ = sin 4/'sin 4^ ist :

Snitrtekei. der Theorie des sphdr. Dreiecks v. des sphdr, Vierecks, 320

sin \f{ß\ji \a sin |6 -f sin ^ sin |<2) = sin ig (sin ^ sin \4 ~f sin i6 sin \c)

oder:

sinj/ sin^asin^ -f- sin|6siiii€

sioj;^ sin^asin^ -f- sinicsin^Äf*

§. 10.

Wir ^wollen nun den Excess E des sphärischen Vierecks, d. h. den Ueberschuss der Summe seiner vier Winkel über 360^, so da SS also

£; = i< + Ä+C + />-36(K>, folglich nach §. 8.

£ = ^, + Bj + C, + />, — 360®

ist, betrachten.

Wenn wir in Taf. III. Fig. 12. die Bogen B'C und CD' bis zu ihrem gemeinschaftlichen Durchschnittspunkte C" mit der fiber O hinaus verlängerten Geraden OC* verlängern , und dann die Geraden B'C und DC ziehen, weiche den Winkel B*C"D' mit einander einschüessen , den wir durch C* bezeichnen werden ; so ist nach {. 3. offenbar :

C" = \E.

Also ist nach den Lehren der ebenen Trigonometrie:

8iniC"«=sini£:«=: A.B'C'.DC" '

.^s^ .^ iB'D+ B'C"+ DC) {B'C" + lyC'—B'D') cosiC"«=cosi£:*= 4 B'C" D'C" '

Nach §. 2. und §. 3. ist aber :

B.iy=-Ipl.-y--. B'C"=.-{ri^.,. D'C"=-^^^; cos 4^ cos ia cosiasini^ cosidawif

also:

_ ^ ^ ^ sin4tir . . coslb cosic

COS 4« COS ic^ ' cos ^a sin i/* cos id sin 1/*

_ 8ini/'sini<7 + cosi^cosi«? — cosj^acos^c '~ cos ^ cos ^€2 sin i/"

380 Srunert: Die Anwendung der stereagraph. Frofgciimt Mir

B'D'^D'C' --»€" = — f°*^^ +

cos^c

cosjA

cos^acosicf cosic^sin^ cosiasioi/

_ sJD i/sin fey — coe ^& cos ^ + cos |a cos ^c '^ cos|acosii/siDi/'

B'C'.D'C"^

cos |6 cos je cos \a cos ict sin |/^ *

folglich :

sinl£ =

Ferner ist :

(sin \fe\n \g-\- cosi6 cos^cf — cos^acosic)

X (sin ysin j^ — cos ^ cos |rf -|- cos \a cos je) 4 cos ^ cos i6 cos Je cos jct

' cosiacosfa cos ja sin f/^ cos ja sin {/

81 B y sin jy + cos j&cos \d + cos ja cos \c "^ cos jacos jctsin j/*

COS je

sinj^

cosjosinj^ cosjiisinj/* cos ja cos 1^

—sinj/'sinjjy+cosjftcosjcg-f cosjacosjc

cosjacosji£sin j^

B'C'\D'C"=

cos j6 cos je cos ja cos \d sin f^ '

folglich :

cos jE = Weil

ist, so ist:

(sin j/'sin \g -h cos j6 cos \d -{■ cos ja co8 je)

X(— sinj/'sin j^r+cos \b cos ji^+cos ja cos je) 4 cos ja cos j6 C08 je cos jc(

sin \E = Ssin \E cos j£

V

sinj£; =

(sin j/'s

X(— «inj/*s X <sinj/'s X (sinj/'s

n j^ -f cos ja cos je + cos j6 cos j<0 n j^ -1- cos ja cos je + cos jA cos jiQ

n j^ — cos ja cos je -|- cos j6 cos jd)

^iJ5)r -|- cos ja cos je — cos jA cos jd) 3cosj«cosjAcosjecosj<{

EiUtrtekeL äer Theeiie des tpkär. Dreiecks u. des Sfkdr. Vierecks. SSI

Es würde keine Schwierigkeit haben, noch andere Formeln s den vorhergehenden abzuleiten.

Ist das Viereck in einen Kreis beschrieben, so ist nach dem rhergehenden Paragraphen :

sin \fs\n \g = sin la sin |c -f sin \b sin \d ,

[glich :

si n }/* sin 4j7 -f cos ia cos |c -f cos |6 cos lif

CO» i(a — c) + cos i(6 — d) = 2 cos J(a + 6 — c — d) cos \{a — 6 — e + d),

^- sin l/sin j^ -t~ cos ia cos ic -f- cos|6 cos iil :cosi(a+c)+co8i(6 + rf) = 2cos4(a+6 + f+rf)cosi(a— 6+c— d),

sin i/'sin \g — cos ^a cos ic -f- cos ib cos id : — cos i{a + c) + cos 4(6 — d) = 2 sin i(a— 6+c+d) sin ila+b + c^d),

sin 4/'sin ^^ -f cos ^o cos «c — cos JA cos id :cos i(o— c) — cos4(6+rf) = 2sin i(—a+b+c+d) sin J(fl+ A — c + d). Setzt man:

a + b+c + d = 2s, 9 ist :

— ö + 6 + c+rf = 2(«— «),

a-6 + c + d = 2(«— 6),

« + * — c + if = 2(«— c),

a + 6+c — d = 2(«— <i);

Iglich :

n4/'8inj^7 — cosjacosic + cos^Acosidf := 2sini(f — 6)sin^(«^€Q,

ri^/^sinj^-hcos^acosic — rosJ6 co8 4f/ = 28in^(s — a)sinj(« — c) ;

k1 daher nach dem Obigen:

. , ,, _ iTsinKf—g) sin Ji(*—6) sinJCi ^^sini(r-^^ ^ 1 cos 4 a cos 46 cos 4c cos ic£

Bezeichnen wir die halben Summen und halben Differenzen '^ gegenüberliegenden Seiten durch a', ts>' und d% d" ; und setzen so;

a\c:=^ '2a\ b + d = 1la", a-c=:2d', 6— rf=2d";

332 G runer t: Neue anaiptUche DanUliung

80 ist:

sib i/'sin \g ■{■ cos ^a €os ^c -|- cos yb cos jiZ = 2 cos ^{i* -f- d") cos l(d'— ''O»

— sin \fB\Ti\g ■{■ cos ia cos 4c -f cosvAcosid = 2 cos iCo* + c") cos iCo* -c")\ also :

, g^ _ dTcos \(6* ■}- 6^0 cos iÜ^' — 6") cos ^{& + <y^0 cos i(<T^ — Q ^ "" ▼ cosiacos^öcosiccos^

Hieraus würden sich wiederam verschiedene andere Formeln ableiten lassen.

Neue analytische Darstellung der Haupteigenschaften der stereographischen Projection.

Von

dem Herausgeber.

Wir nehmen die durch den Mittelpunkt der Kugel gelef^ Tafel als Ebene der xy, den Mittelpunkt der Kugel als Anfang eines rechtwinkligen Coordinatensystems der xyz an, und setien das Auge in den Punkt, in welchem die Oberfläche der Kogd von dem positiven Theile der Axe der z geschnitten wird; den Halbmesser der Kugel wollen wir wiegewühnlich durch r beseichneo.

Ein Punkt auf der Ko^elfläche sei {utw), und (tiVtoO ^i dessen Projection auf der Tafel; es ist:

1) i«« + t?« + to«=r*.

# I

der RaupiHgemchatien der $tereographitcken PraJeeUon. 3S3

Von dem Auge, dessen Coordinaten 0, 0, r sind, ziehe man nach dem Pnnkte (uow) eine Gerade, und bezeichne die von der- selben mit den positiven Theilen der Axen der x, y, z einge- schlossenen» 180^ nicht Obersteigenden Winkel dorch a, ß, y; so sind die Gleichungen dieser Geraden:

2)

X y z — r

cos« cosjS cosy' also, weil der Punkt (uvw) in dieser Geraden liegt:

3) _?i_=_'!__!£:zr=G;

cosa cosp cosy

woraus sich:

4) . . . u=Gco8a, v=^Geo8ßf w = r+Gco8y;

folglich nach 1) die Gleichung:

G*(co8a*+co8/3* + cosy*) + 26rr cos y + r*=r*,

also nach einer bekannten Relation die Gleichung:

G(G + 2i-co8y)=:0

ergiebt, welche ferner zu

G = 0 oder G-f2rcosy = 0

fahrt. Aus der ersten dieser beiden Gleichungen würde nach 1) sich ti = 0, 0 = 0» fo=r ergehen , und der Punkt (uvtc) würde also mit dem Auge zusammenfallen , von welchem Falle natOrlich hier abzusehen ist; daher ist nach dem Obigen:

G+2rcosy=:0, G = — 2rcosy;

also nach 4):

/ ti =' — 2rcosacosy9

5) \ t? = — 2rco6j3cosy,

w=:r (l ^ 2 cos y*) = — r cos 2y

zu setzen.

Für das Bild (tiVfo')f in welchem die als Ebene der xy an- genommene Tafel von der von dem Auge nach (uvw) gezogenen Geraden geschnitten wird, ist nach 2):

u' v' r

cos a "" cos ß cosy *

SS4 Gruneri: Neue aimlpitseke DareieUmnf

also: .

«V s coscr ^ cosÄ -.

' cosy ' cos 7 *

Nach 5) und 6) finden also zwischen dem Puakte (ww) umI seinem Bilde (tiVtc') immer die durch die folgenden GleichungeD aasgedrückten Relationen Statt:

/ ^ ^ cosa

i ti=— 2rcosacosy, ti'= — ^~r,

' 0= — 2rcospcosy, ©' = =-r,

i r /» cosy '

^ fi>=r(l — 2 cos y*) =5 — rco8 2y; fc'=0;

welche die hauptsächlichste Grundlage unserer folgenden Be- trachtungen bilden.

Leicht leitet man aus diesen Relationen auch die Gleicbong:

8) tii«' + cr' + tiw' = 2r«sinya

ab.

§. 2.

Wir wollen nun die Coordinaten tf% v% w' des Bildes durcli die Coordinaten u^ v, w des entsprechenden Punktes ausdrucken.

A«s den Gleichungen 7) ergiebt sieb auf der Stelle:

^ 2cosy»' 2co8y*' '

nun ist aber:

irsi:r(l — 2cosy*), cosy*=— 5-- ;

also nach 9) :

10) t«'=-^^, tj' = -^, fo' = 0.

Nach 1) ist:

also :

II) \ , r?

r

©' = ^ — f

1

. der ääupMgeiueAaflen der tureograpkitekem FrcJecUon. 385

Nennen wir die Halbkugel « in welcher das Ange liegt, nicht liegt» respective die positive « negative Halbkugel, so ist offenbar 10 positiv oder negativ, jenachdem der Punkt (utw) in der posi- tiven oder negativen Halbkugel liegt; also müssen wir in den For- meln 11) die oberen oder unteren Vorzeichen nehmen, jenachdem der Punkt (tieto) in der positiven oder negativen Halbkugel liegt.

{• 3.

Umgekehrt wollen wir nun auch die Coordinaten ti, v, w des Punk- tes (utw) durch die Coordinaten n', v', w' seines Bildes ausdrücken.

Nach 10) ist:

r r '

also nach 1):

weiche Gleichung man leicht auf die Form:

also, wie man leicht findet, auf die Form:

r(ii^-l-p**) ^_ r«

bringt, woraus sich:

ergiebt. Nehmen wir die oberen Zeichen, so erhalten wir to = r und folglich nach dem Obigen tf=:0, v = 0, was auf das Ange führen würde, wovon hier keine Rede sein kann, weshalb wir die unteren Zeichen nehmen , ' folglich :

setzen müssen, woraus sich:

2r»

ergiebt ; also haben wir nach dem Obigen die folgenden Formeln :

336 Grünen : Neue analyUiche DwrUMun§

12)

2rV

r.

8. 4.

Wir wolleD jetzt die Projection eines Kugelkreises betrach- ten, dessen Ebene dureb die Gleichung

13) Aj:+By+Cz + D=iO

charakterisirt werden mag. Liegen also alle durch (uvw) darge? stellte Punkte der Kugelfläche in dieser Ebene, so ist naeb 7):

2r(ilco«a + Äcos/5)co8y— 0(I — 2cosya)--Z> = 0. Nun ist aber ferner nach 7):

co8a= cosy, cosp= cosy;

folglich :

Acoaa-i- B cosß =3 cosy,

und daher nach dem Vorhergehenden, wie man leicht flbereiebt:

2\Cr'-(Au'+Bv')\co8y»=Cr + D, also :

Cr+D

cosy -2tCr— (ilu^ÄtOr

folglich » in Verbindung mit dem Vorhergehenden :

• — !f!? Cr+D

cosa — r*'2\Cr-iAu^ + Bv')\'

cos/P— ^••2|O^(ilt«' + Är0l'

o_ Cr+D

cosy-— 2|Or-(^ti'+ÄcOr

Ans diesen Gleichungen erhält man, weil

coso' + cos/3* + cosy*= 1

4er ffaupietgensckafleti der Miereopraphisehen ProjeeUm, 337 ^ Wt, dqrch Addition die Gleichang:

kiso:

tt^+p^ 2Mt<H^pO Cr — Z> r« ^ ft+/> ~CV + Z>'

hieraus : «^ , 2^r ti' , Ah^ , p*« . 2JBr p' , ^«

T3+ -FT-TTi- r +77x71— FiT« + Z« + TS—TTi • "T +

r«^ &+/>• r ^(ft+Z))« ^ r« ^ Cr^^D r ^ {Cr^D)^

Cr-D (A*+B^)r^ "Cr+D^ {Cr+D)* *

(uf Ar V,/o', Br y (A^+B^+C^)r*-D^ r'^ Cr+Dj ^\r^Cr + Dj ^ (Cr+D)^

mder:

Bezeichnen wir das von dem Mittelpunkte der Kue^ei als dem solange der Coordinaten auf die durch die Gleichung 13) charak- risirte Ebene gefüllte Perpendikel 'durch P, so ist nach den ^^^^hren der analytischen Geometrie:

^■id soll nun die Kagelfläehe von dieser Ebene in einem Kreise Virklich geschnitten oder von derselben wenigstens berührt wer-

iien, 80 muss P'^^» also:

^«+^+C«<''' Iglich :

(il«+fi»+ C*)r« - £)» = 0

I. Unter dieser Voraussetzung ist also nach 14) die Pro- jsction oder das Bild unsers Kugelkreises ein Kreis; le Coordinaten des Mittelpunkts der Projection sind:

; ^r« Ar«

Thtil XKXIX. 23

3d8

Grüner t: Neue analyiiseke DarsteUumg

und der Halbmesser der Projection ist:

oder:

-Cr + D

(CV + />)«

V^(^2 + Ä«+C«)r*— Z>«,

b

wenn man das obere oder untere Zeichen nimmt, jenachdeo ^ Grosse Cr-t-D positiv oder negativ ist.

Wenn man die sogenannten Parameter der Ebene, woraotei man namentlich in der Krystallographie die gehörig als pofffir oder negativ betrachteten Entfernungen ihrer Durchschni mit den Axen der Xj y, z von dem Anfange der Coordinaten rv* steht, respective durch a, b, c bezeichnet; so kann man, «i> man tegleich fibersieht: 1^

^=-, B=l, C=-, I>=-1 a 0 c

setzen, und erhftlt dann für die Coordinaten des Mittelpunkts Jffj Projection unsers Kreises aus dem Obigen die Ausdrficl^e:

er

ci^

a(c — r)* b(c^r)* fClr den Halbmesser der Projection aber den Aiisdnick:

wo man das obere oder untere Zeichen zu nehmen hat, jenacU**! positiv oder negativ ist.

Vom Mittelpunkte der Kugel, welcher der Anfang der CoM' dinateo ist, föllen wir auf die durch die Gleichung 13) charaktr risirte Ebene ein Perpendikel, und bezeichnen dessen Durch* Schnittspunkte mit der Kugelfläche durch (Xtf})- Die Gleichangci' dieses Perpendikels sind nach den Lehren der analytischen Gst- metrie :

A "^ B-C

und zur Bestimmung von X» P* } haben wir also die GleiGhoDgcii

.\... *.L*

er Bmifi^mueka/lten der HereograpMichen PrafeeUam. 880

a=lf=C' »f'+v'+f =r«;

len sich:

_& _

I

Die Gleichuogen der Tom Auge nach CriQ) geiogeoen 1 sind hiernach:

ilr ""=*^ ßr -"" 5?"

eobar :

£— S.—

z — r

noo (r'v't) das Bild vod (tq;), so ist:

A B CT^^^* + Ä«+C«'

r' = - '^''

' CTVilH-ÄH-C«'

gt man durch den Mittelpunkt der Tafel nod den Mittelpinikt les nnsers Kngelkreises ein« Gerade , so ist deren GMchnng :

SL

Ar* — A* '

O + ö Cr-\-D

A^B'

28'

S40 Grnneri: Neue analptisehe Dantethmi

und man sieht Dun auf der Stelle, dass diese Gleichung befrie- digt wird, wenn man für x, y die obigen Werthe von X* 9 t^' setit, woraus man schliesst, dass der Mittelpunkt der Tafel, der Mittelpunkt des Bildes unsers Kugelkreises und die Bilder der Punkte, in denen die Kugelfläche von den von dem Mittelpunkte der Kugel auf die Ebene de« Kugelkreises gefällten Perpendikel geschnitten wird, jederzeit in einer geraden Linie liegen.

§.6.

Durch den Punkt (uno) auf der KugelflSche, dessen Coorfi- naten bekanntlich :

u = — 2rcoscrco8y, V = — 2rcos/3cosy, koz=, r(l — 2cosy*) = — rcos2y

sind, denken wir uns eine beliebige Gerade gelegt, deren Glei- chungen : ^

. jr4-2rcos«co6y y •\- 2rcosP cosy _ z + r cos2y

^ COSÖ ' cos 09 coso

sein mögen, wo 6, o, c3 die 180^ nicht übersteigenden Winkel bezeichnen, welche der eine der beiden von dem Punkte («r«) ausgehenden Theile unserer Geraden mit den positiven Theilei der Axen der x, y, z einscbliesst.

Die Gleichungen des nach dem Punkte (tfvto) gezogenen Kuf^ halbmessers sind :

18)

£ . _ ___«__ _

2cosacosy 2cosßcosy ' cos2y'

Soll die erstere Gerade, wie wir nun annehmen wollen, vS diesem Kugelhalbmesser senkrecht stehen oder die KugelflScke berühren > so muss nach den Lehren der analytischen Geometn« die Gleichung:

19) 2 cos a cos y cos ß -f 2co6 ß cos y cos od -f cos 2y cos ö = 0 oder:

20) 2 (cos a cos 6 + cos ß cos cd -f cos y cos o) cosy =: cos Q Statt finden.

der Hauptei§enscäaften der stereograpMichen Prcjeeikm, 941

Das Bild vod (tiüio) ist (u'oW), wo bekanntlich

f cos« , cos/3

cosy cosy

Durch dieses Bild legen wir eine beliebige Ebene» deren ichung :

^^ . cos« V . ^y . cos/J ^

mag. Soll nun aber diese Ebene durch die erste, durch den kt (iioio) gezogene Gerade gehen, oder diese durch die Glel- Dgen 17) charakterisirte Gerade in der Ebene liegen, so muss, n wir

cosÖ , ^ '.

ar = = U + rcos2y) — 2ifcos «cos y >

COSCi)^ ' #/ ' /

y := -1 — = (z + rcos2y) — Srcos/Jcosy ; ^ coso ' '' r #»

, wie man leicht findet:

^ cos« cosö . . ^ . cos«

ar + r=-' — =(z + rco82y) — r cos2y.

^cosy cosG)^ ' '' cosy '

C0Sj3 COSÖ, , ^ . C08/5

V H '-r= =.(z + rcos2y) — r cos2y;

•^ 'cosy coso^ ' ^' cosy ''

r :

^wc« ^»,«v/ . /^cosd cos«\ .

x + r = =2+rl =. lcos2y*

-'T^^„..' «^«.. * Vcoso cosy/ '

cos« cosö

cosy cosc3 vcosö cosy^

GOS^jS cos CO . /cos 00 cos/3\ ^

« + ^r= =z + r| = |cos2y

^ cosy coso vcQSO) cosy/ '

;en, für jedes z:

^ cosö^^coso^ '

^/cosö cosa\ -./cos© cosp\, ^

+ r|il| n l + B( — = ^)lco82y

* ' \cos6) cosy/ \cosG) cosy/ '

I, woraus sich die lieiden Gleichungen:

cosö cos^ coso^ coso^ '

fcosB cos«\ ^ /coso <^^?^\ _ A \cos ö " cos y / ' \cos ö cos y/ ""

= 0

äfiSt eruntrt: Neue anaipUscke DarsteUunff

ergeben , so das« iniEin also, wenn e eineD gewissen Factor zeichnet :

VcoscD cosy /

-^ ^/cobB cosa\

»=— C5I = J,

\cos G> COS yy

-# --COS« cos» — cos/}cosd

COS)' cos CD

oder aoeh bloss:

^ cosio cosß

cos Q cos y *

y^ /coad coscX

\cosS cosy/'

^ Gosacos CO — cobScobB

tf =— JT- ♦

cosy COS CD

offenbar ancb bloss:

iÜ =ze08ßC0BQ — cosy COSIO, S=cos/cos0 — cosacoscD, (t = cos o cos CD -^ cos/? cos (9

setzen kann. Daher ist die Gleichung unserer Ebene:

« — V y . cosa . (cospcoscD — cosvcoso)) (a?i r)

22) . . . -fCcosycosd — cos«cosö)(f/ + — ^r) '^""

•f(cosacosio — CO8/?COS0)Z

Die Durehschnittslinie dieser Ebene mit der Tafel ist das oder die Projection der ersten durch den Punkt {uvto) gelei durch die Gleichungen - 17) charakterisirten Geraden, and die< chung dieses Bildes oder dieser Projection ist also:

_ coso

(cos 8 cos (ö — cos y cos 0») (a? + r)

\ r i /\ ■ Qosy

23).... ' > = 0

__ cos p -f (cosycosO — cos a cos cd) (^-f- ^)

oder:

der ffmipieißefueJkaflen der iiere&frapJUicAen FrtfeeMeiL MB

. cosa x + r

y + -r

"cosacoscj — cosyco«^ eos/teosS— -eosyco«»*

ezelchoen wir die 180^ nicht ilberatelgenden Wlnkd» welche ne der beiden von dem Punkte {vfv'w') ausgehenden Theile urch die vorstehenden Gleichongen charaktttrieirten Bildee n positiven Theilen der Azen der x, y, s einechlieest, darch , c3'; so ist, wenn G' einen gewissen Factor bes^hnet» 24):

cos^ =6'(cosacosc5 — cosycosO), cos m' = G' (cos j9 cos cS — cosycos o), cosc5'=0;

wenn man diese Gleichungen quadrirt und dann sn einan* Idirt:

Cr''t(cosacosc5 — cos7Cosd)*-f (cos/}eoscS — cosycos«)*),

e Gleichung man mit Hfllfe der beiden Glelcl\!Bngen :

D8a* + co8j3* + cosy*^l, cosÖ*+ cosö*+ cosS*=l

auf die Form:

I'«

cosy*

[— [2 (cosocosO -f cos/?cosio -f cosycoscS)co8y — cosIS] cosS lach 20) auf die Form

IsG'^cosy* \, woraus sich

C' = ±

1

cosy

laher nach dem Obigen:

cos

. cos o cos Q— cosy cos 0

0*=+ ' »

■*- cosy

cosjScoscS — cosycosflD coey

cosi»'=db cosc3'=U

lt.

Is entsteht nun die Frage, wie man in dieeen Formeln die en sn nehmen hat, wenn die Wiakel ^^ n\ S' dem Tb^le

344 Grunert: Neue analj/Uscäe DarsteUun§

des Bilde» der durch den Punkt {uvto) gelegten» durch die Glti- chungen 17) charakterisirten Geraden entsprechen solleo, welch« als das Bild des Tbeils dieser Geraden zu betrachten ist, dem die Winkel 0^ cd, c5 entsprechen. Diese Frage kann auf folgeode Art beantwortet werden.

Von dem Punkte {uvw) aus schneiden wir auf dem durch die Winkel 6» o», o bestimmten Theile der durch diesen Punkt ge- legten, durch die Gleichungen 17) charakterisirten Geraden ^Id beliebiges Stück R ab, und bezeichnen durch X^ F, Z die Coor- dinaten des Endpunkts dieses Stücks; so ist:

Ä = — 2rcosacosy+ Rcosß, F=: — 2rcosj3cosy + Rcoam, Z =z — rcos2y + Reo8<d = — r(2cosy* — 1) + Rcoa^.

Von dem Auge ziehen wir nach dem Punkte (XTZ) eine Ge- rade, bezeichnen deren Durchschnittspiinkt mit dem Bilde der durch den Punkt {uvw) gelegten , durch die Gleichungen 17) cha- rakterisirten Geraden durch (X'Y'Z*), und die Entfemong diese» Punktes von dem Punkte (uVtoO durch R'; so ist:

cos« _

X'=z r + Ä'cosÖ',

cos y

F'=— ^= — ^r+R'co6(o\ cosy

Z' = 0.

Die Gleichungen der durch das Auge und den Punkt (XVZ) g^ legten Geraden sind :

und es ist also :

woraus :

X^ Y -^ Z—r'

rX _ rV

J^'=-^-^, F = -

folgt; also nach dem Obigen:

_ 2r cos a cosy — Rcos6 y^_ 2r cos ß cos y — R cos » ^ """'" 'ircosy^— Äcosö ' "~ 2rco8y* — Äcosö

Folglich ist nach dem Obigen :

also :

26)

dir HaupMgenschafien der stereographiseken Prfijeciion. 345

eoso _ 2rcosoco8y — RcoaS

coay ■ 2rco«y* — Äcoso *

coaß . „ ^rcoaßcosy — Rcoam

=-r-h/t'co8a)' = — —^i — — «i^ö ^T'Ti

cosy 'ircosy* — Kcosq '

- ^ (cos a cos 5 — cos y cos Ö) Ar

R' cosd' = — ^^ 7o ö — ^ö =T- »

cos y (2r cos y* — /c cos o)

„^ ^ (cos j3 cos ö — cos y cos cd) Rt

cos y (ir cos y* — Ä cos ü)

und daher oach 25) offenbar:

■" 2rcosy* — iBcosCD ' oder:

■*• iZcos o — 2rcos y* *

Nun kanD man aber das ganz willkuhrliche R offenbar immer so klein annehmen ^ dass die Grosse Rcoao — 2rcosy^ negativ wird 9 wobei man zu beachten hat, dass 2rcosy^ stets eine posi- tive Grosse ist; und wollte man nun in den Gleichungen 25)^ also auch in der vorstehenden Gleichung die oberen Zeichen nehmen, so wurde R' negativ ausfallen, was ungereimt ist, woraus sich ergiebt, dass man in den Gleichungen 25) die unteren Zeichen nehmen, also:

\

cos fit cos (d — cos y cos 6

cos ö = »

cosy

27) . . . N , co8j3tosö — cosycosoo

cos cd' = ■-

(

oder :

cosy cos Q' = 0 ;

cos« _

cos 6 r- cos ß COSO ,

cos y

•27*) < cosß _

^ cosa>':=coso> cosCD,

cosy

\ cosö'=0

«etzen muss. Führt man diese Ausdrücke von cos 6', coso', cosc5' in die ganz allgemein gültigen Gleichungen 26) ein, so erhält man :

28) Ä' = — -,

' Srcosy* — /fcoscD

346 Grüner i: Neue analyiiecke DariteUun§

Aus dem Pankte (tino) lassen wir jetzt eine zweite auf des nach (uvw) gezogenen Kugelbalbmesser senkrecht stehende Ge- rade ausgeben» und bezeichnen die von derselben mit den posi- tiven Theilen der Axen der Xy y, z eingeschlossenen, 180^ nicht Clbersteigenden Winkel durch du cni, c5| ; so ist nach 27) f&r du Bild dieser Geraden:

cos a cos öl — cos y cos dt

cos dl ' = 9

* cosy

29). . . < , cos/9cosc3i— cosycoso»!

COS(0i'= ' ' '»

* cosy

cosc5|'=0.

Bezeichnen wir ferner den von den beiden von (tivtr) aasgeben- den, durch die Winkel 6, », o und di, o>i, c5| bestimmten G^ raden eingeschlosseneu, 180^ nicht fibersteigenden Winkel durch Sl, den von den Bildern dieser beiden Geraden eingeschlossenen, ISO^' nicht fibersteigenden Winkel durch Sl' , so ist:

cos Sl = cos 6 cos $1 -f- cos a> cos oo^ -f cos Q cos c5| ,

COS.^' = COS0'COS^l'-t-COSO)'COSO9i'-f C0SC5'C08C5|^

Nun ist aber:

(cos o cos o — cos y cos 0) (cos et cos 0| — cos y cos 0^) -f-(cos/3co8c5 — cosy cos 0») (cos/? cos Qi — cosy cos iO|) = (cos «* + cos j3*) cos c5 cos öi -}- cos y^ (cos ß cos ßi + cos co cos o>| )

— (cos a cos ß -f- cos ß cos oo) cos y cos 0|

— (cos o cos ^1 -f cos /? cos (0|) cos y cos (5 :^ (cos a^ -f cos /3*) cos O cos o^

-f cos y* (cos ö cos öi + cos oo cos 00| )

— (cosfitcosd -f cos/? cos 0» -f cos y cos o) cosy cos 0| •

— (cos o cos ^1 -f cos ß cos 00| -f cos y cos c5| ) cos y cos c5 + 2 cos y* cos Q cos öj

= (cos a* + cos j5* + cos y*) cos ö cos «i

4- cos y^ (cos ß cos 0i -|- cos o» cos o>| -f cos Q cos Ol ) — (cos fit cos 6 -|- cos j3 cos CD -f cos y cos o) cosy cos e5|

— (cos a cos Ol -f cos ß cos Ui -f cos y cos €5| ) cos y cos c5 ;= cos y* (cos ^ cos 6i -f cos 0» cos o>| -f cos c5 cos Ol)

— ^t2(cosocos0-f- cos j? cos CD -I- cosy coso) cosy — cosolcosOi

— i t2(cosocos^i -}- cos j3 cos a>| -f cosy cos Oi)cosy — cos Si \ costt = cos y* (cos 6 cos ^i^ -|- cos » cos o>i -|^ cos c5 cos c5i)

dtr Hampteipemehapen der atereoprapkischen ProJeciiotL 347 nach 20). Nach 27) und 29) ist offeD|>ar:

(cpa a C08 «5 — cos y cos Q) (cos et cos 05^ — cos y cos di ) -f- (cos ß cos c3 — cos y cos o») (cos /3 cos Oj — cos y cos o>| ) = cosy*(cos d'cos 0| ' -f cos flo' cos o>|' -|- cos ö'cos OiO-

Also ist:

cos B cos Si ^ cos 00 cos o>| -f cos o cos Q| = cosd'cos0i' -|- cos od' cos (»i' -|^ cosc5'cosc5|', folglich Dach dem Obigen:

weil die Winkel St und Sl' zwischen 0 und 180^ enthalten sind.

Hieraus ergiebt sich nun der folgende wichtige Satz:

Wenn von einem beliebigen Punkte der Kugel- fläche zwei beliebige, die Kugelfläche berOh- rende Gerade ausgezogen werden, so schlies- sen die Bilder dieser beiden Geraden auf der Tafel immer denselben Winkel mit einander ein wie die beiden in Rede stehenden Geraden selbst.

Gewöhnlich wird dieser Satz etwas anders ausgesprochen; der vorstehende Ausdruck desselben scheint mir aber der Natur der Sache am Meisten zu entsprechen ; man kann hierQber auch meine frühere, eine mehrfach andere Tendenz als die vorliegende verfolgende Abhandlung über die stereographische Projection in Tbl. XXXII. I^r. XXV. S. 280. vergleichen.

348

Lindman: De paralMogrammis, quorum UUera

De parallelogrammis , quorum latera per quattuor

puncta data transeant

Auetore i

0**^ Christiano Fr. Lindman,

LecL Strengnesensi.

9»

l>

Puncta data A, B, C, D appellentur eorumque coordinatae orthogonales, servato ordine, sint a:^ yi; a:^, y2l ^3> yzl ^4»Jf4' Sint primum lineae per Ai ei B transeuntes inter se parallelae itidemque lineae per C et D ductae inter se. Si tangentes ango- loram, qai inter has lineas et axin abscissarum compreheodontar, litteris t et ^ ex ordine designantur, inveniuntur aequationes

lineae per A ductae tf — ^i= t(a:—Xi),

„ B „ ^— ^a= tix—xt),

ff C „ y-y^ = H^—^z)f

„ „ D „ y— y4=^(*— *4)-

Coordinatae punctorum, ubi linea prima tertiam et qnarttfi secat , sunt :

&.4- IZTÖ^ ' ^l'4- ^^gi^

e quibus posteriores substituendis 0:4, y^ pro x^^ y^ inventae sont.

Coordinatae puncti, ubi secunda linea tertiana secat, inveni- untur, si in prioribus Xi, yi in x^, y^ routantur. Ita reperimos:

fcga— ^^s+ys— y« t»(jra— arg) + iy^ - &y^

^s = 7IZÄ ' ^»3= ■

<— ^

t^e^

per ^uaiiuor pttneia daia irmueani. 849

Facile patet, lineam (=fi) puncta primuin et secnndum conjan- gentem esse unum et lioeara (= #2) punctum primum et tertiuiu coDJungentem esse alterum latus contiguum parallelogrammi quae- 8iti atque ideo

'» "" (^-^)*

Angolas (= F), quem hae lineae comprehendunt , ejusmodi est, ot Sit

Sin«F== ^ ^

Itaque inveoitor superficies (= P|) parallelogrammi quaesiti :

iibi Signum ita eligendum est, ut P| positiva fiat.

Indicibus permutandis reperitur superficies, si linea per Ä dncta lineae per C aut D transennti parallela fingitur. Ita fit:

o - I «(^1—^4) + 3^4— yi)(^(^tt— ^8)-f'y8— yt). .«.

obi Signa eodem atque antea modo eligenda sunt.

Si quis eos tangentium t et d' valores quaesiverit, qui maxi- mam aut minimunfi parallelogrammum efficiant, differentiatione inveniet, neque maximum nee minimum reperiri.

Jam vero parallelogramma illa rectangula sumamus vel, quod

1 idem est, 1^ =— t. Ita e forroulis (1), (2), (3) inveniemns:

w, _ , (^(^1 -'^2) + y2-yi) (^(^8—^4) + a^8— ■^4)

« _ , (<(^l —^8) + ,73 —.Vi) (<(y2— ^4) + ^g— J^4)

« . «(j?i— j?4) -f ^4— yi) (<(y8— y») +^8"-^«). Ä8=± iqjTii •

850

Lindman: De paralleiogrammU, guamm laiera

vel si brevitatis caossa poniinas:

Ai = (a?3 - 0:4) (yt— yi) *

Bi =(a:i —0:9) (0:8—0:4) + (y, - yi) (y,

^«=(^«— ^4)(y8— yO»

^«=(^1 — ^8)(^«-«4) + (ys— yi) (yi

Ci = (oTi — ars) (ya — y*) ;

^8=(*8— *f) (y4— yi)»

^8=(^i -«4)(^8— ^2) + (y4— yiXys

Ci=(ar,— ar4)(y8-yt):

-y4).

— y*)»

-y«).

Äi-± fqr^i — f

Ä3 = ±

^8 + ^8^-f Ca^' ! + <•

(4)

(5)

(Ö)

NamqQid rectangvlum sit maximnin aut minimum, jam qoaert* mua. Si primum /Z| consideramusy differentiaodo inveniemus:

dRv - Bt +2(Cj - 2<|)<— i?tf*

d«

(TH^y

Poaita -gj^^O, invenitar:

<=B^tCk-.lil:V(Cl-^i)«4^ßin

Repetita differentiatio, qaam termini» qui propter aeqoatioBea -^T-z=0 evanescnnt, negliguntiir, dat:

<P^_, 2(C1— /<i--.git) d<« ~* (! + <")•

Si valores iaventi in (4) introdacuDtnr, rednctionibiu qaibofdia facti«, prodeant:

Ä,''=-4(Ci+^,-V(Cl-^,)«+Ä.«). Signa ita samenda esM, «s eo intolligitar, quod Mt

per guaiiuar puneta data iramemU, 351

i

id quod valoribns quantitatam Ai^ Bi, Ci considerandis elacet.

Jam sequitur, ut in "jjST siSi*^™ superius pro priore valore ipsiua t, sed Signum inferias pro posteriore eligendom sit. In utraque igitar re evadit .^' < 0, atqae ideo est et Mi' et Ri" maximum.

Minimom non esse etiam sine calculo patet, quia lineae ita duci possunty ut nulluni rectangulum prodeat.

Permutandis indicibus, roazima rectangulorum R^ et R^ inve- ninntur.

Jam quaeramus» quando rectangula, de quibus agitur, in qoadrata transeant. Tum est

unde in?enitnr:

Itaque sunt latera quadratorum, bis ?aloribus respondentinm :

, _ , (^1 -^^ (^8-^4) -*• Cvi — y«) (ya — 3^4)^ * ^ ^i-^a— y8 + y4

^_. I (ari — j:>) (JTs —^4) + (yi — y«) (y8— y4)

Si prius x^, y^f deinde x^^ y^ pro x^^ y^ et contra posuerimus, bioa quadrata inveniemus. Itaque sex omnino sunt quadrata, quo- Tum latera per quattuor puneta data transeant. Cfr. Clausen io hoc Arch. Tom XV. pag. 238.

352 Oebungtaufifaben für ScMUer.

Uebangsaafgaben für Schüler.

Von Herrn Dr. Christian Fr. Llndnian in Strengnät in Schwedei.

1. Invenire terminum generalem et surnmam seriei n-i-l itt- minorum

3 11 43 + 4 + 16"*"e4"*"'* •

2. Omnis nnroern» formae 2^^^-f'l et fonnaeL2?P — 1 per 3 divisibilis esse demonstratur.

3. E tribus puDctis datis (in eadem iinea non jacentibos) nt centris tres circulos describere, qai tres tangentes comrounM habeant.

M i 8 c e 1 i e n.

Geometrischer Satz.

Von dem Heranfgeber.

In einem mit dem Halbmesser r beschriebenen Kreise sei eine Sehne AB=:s gezogen, welche den Kreis In swei Abschnitte theilt. (Jeher dieser Sehne AB=s als Grundlinie beschreibe mao in die beiden Abschnitte Dreiecke und bestimme die Dnrcb- Schnittspunkte der Uuhen derselben. Man soll den geometHscbeo Ort dieser Darchschnittspunkte finden.

Miiceiien, SSS

Mao nehme A als Anfang and ABrrs als den positiven Theil ?r Are der x eines rechtwinkligen Codrdinatensystems der xy I , und bezeichne in diesem Systeme die Coordinaten des Mittel- inkts des Kreises durch a» 6; so ist

(:r-a)* + (y-6)«=r*

e Gleichang des Kreises. Nun ist aber offenbar a*-f 6* = r*9 id folglich:

^*+y*-2fla: — 26|y=0 oder ««+^=:2aa: + 26y

e Gleichung des Kreises; auch Ist klar, 6ä8h fsr2a ist.

Die Spitze S eines beliebigen der ober ABz=s als Grund- lie in einen der beiden* Kreisabschnitte beschriebeneh Dreiecke i dnrch die Coordinaten r, 9 bestimmt; so ist

^ jr — s^ '

e Gleichung der Seite BS dieses Dreiecks; also ist

X— f . jr-2a f/ = X oder v= ^

e Gleichung des von .A auf die Seite BS gefüllten Perpendi- sls. Bezeichnen nun x^ y die Coordinaten des gemeinschaftlichen ^nrchschoittspunkts der drei Hüben unsers Dreiecks » so hat man u deren Bestimmung offenbar die beiden Gleichungen:

jr— 2a voraus folgt:

«=r, yz=,^—^X',

(x — 2a) X X=:x, V =

^a der Punkt (jr^) in dem gegebenen Kreise liegt, so ist nach em Obigen:

jf« + t^«=2ajr + 26t^,

nd die Gleichung des zu bestimmenden Orts ist also:

^ , (ar — 2a)«.r« ^ 2bx(x^2a) x^ i ZÄ = 2aa: ::

ler

y'

so: Theil XXXrX. 24

3M MiMceUen.

I I

oder

oder

d. i., weil a*-f 6^=1^* ist, wie man leicht findet:

Fol^ich Ist der Ort ein n^t dem Ualkmeaser r aus des direh die Coordinaten a^ — b bestimmten Mittelpunkte beschriebener Knis.

ist « die ßetfelrDiMig des DorchscbnittspunktB det drei Hub« des oben betrachtetea Dreiecks voa dessen 8pitae 8^ so itt:

also nach dem Obigen:

und folglich, weil

45*+y* — 2iur Ä — 26y ist:

^« = 46*, e = db26;

indem man das obere oder untere Zeichen nimmt, jenachdeni positiv oder negati? ist. Also ist e eine constante Grosse.

Von dem Herausgeber.

Um die beiden Gleichungen

X — y = o, ^— y*3ca* aufzulösen, setze man

so ist:

2a; = tf4-a» 2y = tt — a; also:

2(ar*— y*) = tt»a + tia», und folglich

MUeeiim. 866

"i^^v^a-^uifi, 2a» = «(11«+ II«)

ler:

^1+0-1=^

ioe Wurzel dieser Gleichung itt offenbar -=l,iinddividirtman

I« . . .' /ti\* . tt

in mit 1 in (-1 +-r** 2 hinein, 8o erhält man zur Be- tt \a/ a '

immung der beiden anderen Wi|rzein die Gleichung: irch deren Anflösung eich

i±lV^

«:

giebt, 80 dass also die beiden anderen Wurzeln iroaginSr sind. Wendet man auf die Gleichflng

e cardanische Forfnd an, tA> l^hftlf man:

ler:

u 3 , A /28 8 , A / 28 -=V(l + V27> + ^<>-V'i7)'

iese Wurzel ist reell, und da nun nach dem Obigen die Glei- itmg nur eine der ISinfaeM gleiche refslle Wurzel hat, so jst

Wie ist die Richtigkeit dieser Gleichung auf andere Art leicht ichzuweisen?

Die Bestimmung von x und y ergiebt sich aus dem OMgen m selbst.

Durch Recbnnng wt Logarithmen, terificirt man vorstehende ieichung leicht wie folgt:

366 HtticeiietL

li.

JoitSS =>: 1,4471680 log 27 = 1,4313638

/Itf^ f= 0,0157942

.018350

: . V S = ■'••

l+Y^= 2,018350

018350

•og(l + VP>= 0,3049966 ' * *log(l— Vi>= 0,2636361—2, log V(l + y ^)sz 0,1016665 logV(l— Vi)=> 0,4212120-1, V(l+y§)= 1.263763 VXl-V §^ = -0,263762

V'(l+VS)+V(l-Vi)= 1.000001.

VoB dem Heraatgeber.

. T'

Ein dem WeseaÜicheo. nach bekannter Beweis des Auadi von Wallis flir n l&sst sich mit besonderer iStrenge auf folg Art darstellen.

Aus der bekannten Redoctionsformel

/sin j^&r=: sin j:"— * coso: -f /sin a:«-* dx

ergifbt sieh sogleieh:

MUeeUen. S57

oraus mao, wenn der Kürze wegen

n

J«= / sih:r"djlr

o

setzt wird, die Relation

Jn = — — Jn-a'

91

[lall.

.»

Ist nun zuerst n eine gerade Zahl» i^lso etwa n = 2f«, so ist:

u. s. w.

so durch Mnitiplication :

_ 1. 3.5,7. ..>(8ft—l) ,

•^•'*- 2.4.6.8.... 2fi "^^^

t ■ ■ [id folglich, weil

■ n »1

=/ »^=1

il:

'0

0

_ 1.3.5.7...; (2fi-l) n •^•''- 2. 4.6.8. ...2f* '2'

Ist ferner li ejoe angerade Zi^hl, etwa^ fi=2^/f 1, so ist:

2f« _2fi-2

J^^ j — 2^ __ j J^^-ji ,

U. S. W;

^8 = JA;

858 iHteeUen.

also durch Maltiplication :

•^*'*+' -3.6.7.9.. ..(2f* + l) -^^

uod folglich 9 weil offenbar

n

Ist:

0

2.4.6. 8.... 2tt

Zwischen 0 und ^ ist itUgemein;

also, nach dem bekannten Uauplsatze von den hestimmten b gralen offenbar:

n n

I sinar«^*>/ sina'"+»8a:

oder in der obigen Beseichnong allgemein •/A>il»fi, folglich:

und daher ^ch dem Obigen r

1.3.S.7....(2ft— 1) » . 2.'4.Ö.8..i.2fi 2.4.6.8.... 2tt a ^3.6.7.9.... (2i* + l)'

woraus

oder:

2fi a -^3.6.7.9.... (2f* + l)

» 2.2.4.4.6.6....2>t.2|M.

2 ^ l,3.3.&.S.7..y.(^T-l)(2,»+l)

.« >

»22 4 466 2fi 2jii

Ferner ist nach dem Obigen:

also:

2

1.3.6.7.... (2ft+l) «g. 2.4.6.8.... 2f* 2.4.6.8. ...(2fi-|-2)' 2 ^ 3,6.7.9. ...(2fi + r)'

woraus :

n 2.2.4.4.6.6....2^.(2fi-t-2)

2 ^ 1.3.3.ö.!5.7....(2^+l)(2|»+l) oder :

ßfaeeiien. äW

2 ^1*3'3Ö'57 -^lÄ + l 2^+r

Setzt man:

2 2 4 4 6 6 2|ii 2fi

-. 2 2 4 4 6 6 ^ 2ft4-2 ^'•-I3 3*5'6'7—Vn'5MT

»t: il^<^<B^, also, weil ^m=^^» ^ | ^/u = (^ +2irn^ ^^

n 1

Differeni der beideo Gränzeo fat ^ j!? i, imd da i'/B'^S*

60 ist dkae Differenz kleiner als ttts — r-n, kann also treue-

klein gemacht werden, wenn mau nur pt, gross genog »fmnit.

Das Wesentliche dieser Darstellung gehurt Sturm an; n. s. irs d'Analyse par M. Sturm» publik d*apr^s le voeu i'auteur parM. E. Proohet Tome II. Paris. 1860. p. 1^., vielen Schöne enthaltendes Buch.

Geometrischer Lehrsatz.

Von Herrn Professor Simon Spitzer in Wien.

Wenn im Kreise ein Centriwinkel und ein Peripheriewinkel denselben Bogen aufstehen, so ist bekanntlich der Centriwin-

zweimal so gross als der Peripheriewinkel. Ein Satz, der lem analog ist, gilt auch fiir die Kugel. Schneidet man nfim-

eine Kugel durch eine' Ebene und verbindet jeden Punkt

Schnitts sowohl mit dem Centram der Kugel als auch mit im beliebigen Punkte jenes Tbeils der Kugeloberfläcbe, wel- r mit dem Centrum auf derselben Seite der Ebene liegt, so alt man zwei Kegelflächen, die eine gemeinschaftliche Basis en; die Spitze der einen liegt im Centrum, die Spitze der eren in der Peripherie der Kugel. Führt man sodann durch die tzen beider Kegel eine Ebene, welche beide Kegel in geraden ien, die Kugel aber in einem grüssten Kreise sehneidet, so

der Winkel, welcher gebildet wird durch den Schnitt der lannten Ebene mit dem Kegel, dessen Spitze In der Kugelober- he liegt, halb so gross als der Winkel, welcher entsteht durch ' Schnitt derselben Ebene mit dem Kegel, dessen Spitze im itrnm der Kugel liegt.

360 MUceUen.

Schreiben des Herrn E. Bacaloglo in Bncarest an dei Herausgeber über die Formeln der sphärischen Trigono- metrie.

^ ^ 28. Mai .^

Bucarest c% y • 1^»^ 2. Juni

Gestatten Sie mir, Ihnen eine roodificirte Ableitung eioigcr Formeln aus der sphärischen Trigonometrie mitzutheilen.

Jedermann weiss ^ dass die Formel

,, cos il + cos Äcos C .. -

1) cosa= ; — TT-' — 7> aas dieser anderen:

^^ . cos a — cos b cos c

2) cos A = r—r— —

^ smosmc

mit UOlfe der sphärischen Polar- oder Sapplementardreiecke ab- geleitet werden kann. Es bezeichnen dabei a, b, c die SeiteD, A, B, C aber die Winkel eines sphärischen Dreiecks. Diese Ableitung ist sehr einfach, nur bleibt Anfängern und wenif^ Ge- übteren im mathematischen Nachdenken, denen die ReciprocitSt der polaren Dreiecke nicht ganz klar ist, der Verdacht, als ob die Formel 2) eine allgemeine, Formel 1) aber nur für das eiDen gegebenen Dreiecke entsprechende Polardreieck wahr sei. Aus- serdem scheint es mir nicht ganz ohne Interesse zu sein, For- mel 1) direct aus 2), d. h. ohne Zuhilfenahme der polaren Drei- ecke abzuleiten, und dies geschieht ganz einfach in folgender Weise. Man addire zu 2) das Product der Gleichungen

cos 6 — cos a cos c cosc~cosacos6

cos I» ^ i : , cos f/ =: ;; 7—7 >

Sinn sine sin asm 6

und dann ergiebt sich:

€08 A 4- cosJBcosC

(cos a — cos b cos c) sin*a -f (cos b — cos a cos c) (cos c — cos acosi)

sin^asin6sinc 1 — cos*a — cos*6 — cos*c + 2cosaco8frcosc

= cos a i — Ä — ; — 7 — ; ' »

sin 'asm 6 sine und wenn man sich erinnert, dass

V"l — cos*a — cos*6 — cos*e -f2cosflcos b cos c

sin^:=

sinasine

. ^ V^l — cos^fl — co8'6 — cos*e-f 2cosacos6cose

sin C = ; : — 7 5

sin asm 6

so findet man cos/l -f cosJBcosC= cosasiniBsinC oder auch A+ cos^c

sin B sin C

cos A + cos B cos C ^. cosa= ^. n»^ r* )'

*) iMir war diese Ableiiiin^ nicht neu, jedoch theile ich eie 11 hin mit, am sie wieder in Erinnerung zn bringen. G.

Cerneme-L Landri: üeöer den ScAwerpunki eic, 361

sber den Schwerpunkt nnd dessen nützliche Anwen- dung in der Stereometrie.

Von

Herrn Corneille-L. Landri^

Privat-Lehrer der Matlieniutik in Utrecht.

§. 1.

»ber die Bestimmung der Schwer punkte der Vielecke.

1. Die drei geraden Linien^ welche je eine Ecke eines eiecks mit der Mitte der gegenöberliegenden Seite verhinden, hneiden sich bekanntlich in dem nämlichen Punkte, und zwar in m Schwerpunkte des Dreiecks. Dass dieser Durchschnitts- Dkt der Schwerpunkt ist, ist so bekannt, dass es überflüssig lre> es auf analoge Weise wie die übrigen Sätze in diesem Auf- tze zu begründen.

Wh* nennen gleich am Anfange, der Einfachheit der Bezeich- ng wegen, das Centrum der mittleren Abstände von zwei et mehreren Punkten den Schwerpunkt dieser Punkte.

Theilt man ein beliebiges Viereck durch eine Diagonale in ^ei Dreiecke, so liegt natürlich der Schwerpunkt des Vierecks f der Verbindungslinie der Schwerpunkte dieser beiden Dreiecke, hne nun den Grundsatz der Statik (Gleichheit der statischen omente) za benutzen, kann man leicht den Schwerpunkt des ierecks bestimmen, mittelst des einleuchtenden Principe, dass der urehschnitlspunkt zweier Schwerlinien der Schwer-

ThtUXXlCIX. 96

S62 Corneüie-L Landri: (Jeder dm SchwerpunlU

ponkt ist. Ich zog nämlich die zweite Diagonale des Viere wodurch das Viereck aufs Neue in zwei Dreiecke getbeilt \ deren Schwerpunkte ich wieder durch eine gerade Linie ?erbi und also eine zweite Linie bekam > worauf der Schwerpunkt Vierecks lag. Der Schwerpunkt selbst war daher völlig bestii Das Gesetz von der Gleichheit der Momente bewährte sich in That^ wie folgende Rechnung zeigt.

Schneiden sich die beiden Diagonalen AC und BD des^ ecks ABCD (Taf. IV. Fig. 1.) im Punkte a, nehmen wir Äb:z Ac=^Bc, Cd = Dd, Be = De; so ist der Durchschnittspoo von Bb und Cc der Schwerpunkt des Dreiecks ABC; p (Dv schoittspunkt von Ad und Dö) der Schwerpunkt des Drei ACD; deshalb op eine Schwerlinie des Vierecks; g (Durchschi punkt von Ae und De) der Schwerpunkt des Dreiecks A. und endlich r (Durchschnittspunkt von Bd und Ce) der Seh punkt des Dreiecks BCD; daher ist qr die zweite Schfiei des Vierecks. Der Punkt z, in welchem sich op 'und gr sc! den, ist mithin der Schwerpunkt des Vierecks.

Nun ist bekanntlich Bb—3ob, Db=3pb, folglich op\\ op schneide die Diagonale AC in f, so haben wir denn a Ba=3of, Daz=3pf; ebenso schneiden sich qr und BL Punkte g, qr\\AC, Aa^iZqg, Ca = 3rg; das Viereck aß, also ein Parallelogramm.

Weiter haben wir:

A ABCi^ACD = ßaiDa = ofipf.

px :=zpf'^f% s ^Da-^ag,

Ol = of+ fi = \Ba + ag.

Daher:

p%\oi^=> Da — ZagxBa-^-Zagy

aber

Da — 3a^= De-^-ae — 2a6= Be^ae = Ba,

Ba + 3ag = Be— ae + 2ae = />e + ae = Dn ;

folglich :

p2:oz=^Ba:Da,

Wir erhalten also, was wir jauchten:

^ÄBC:/iACDszpx;oz,

UMä 䀻$en nMt%Uche Anwendung in der Siereomttrie. 3AS

l«r:

^ABCXot= ^ACDXfn.

Weil nun of'{-fp:=zpz-{-oi ist, so findet sich aus obigen Pro- »rtionen: of=zpz^ 01=^ fp^ welches «In leichtes Mittel zur Con- niction des Schwerpunktes des Vierecks darbietet, wie auch Herr IJbius in seiner Statik bemerkt hat

Man findet natürlich auch:

^ABDXgz = ^BCDXrz, gz=zrg, qgzzzrz.

Aas obigen Proportionen leitet man noch leicht die folgen- ID ab:

Viereck AB CD : ^ ABC =:op:pz,

Viereck ABCDi^ACD = opioz,

Viereck ABCD:^ABD=: qrirz,

Viereck ABCD:^BCD= grigz ;

eiche ich nur deshalb erwähne , weil ich dieselben bei der Be- Immung der Schwerpunkte der andere 1 Vieleke benutzen werde.

11. Das Ffinfeck (/4i^CZ>£;, Taf. IV. Fig. 2.) I&sst sidi aaf Df Arten durch eine Diagonale in ein Dreieck und ein Viereck leilen. In unserer Zeichnung Ist:

a der Schwerpunkt des Dreiecks ABE,

6	99	99	M	ff»	ßCE,
c	99	99	»ff	»ff	ABC,
d	99	»9	»f	99	ACE;

ithin ist der Punkt o, worin sich ab und cd schneiden, der chwerpunkt des Vierecks ABCE. Da nun e der Schwerpunkt BS Dreiecks CDE ist, so Ist oe eine Schwerlinie des Fünfecks.

Weiter ist:

/ der Schwerpunkt des Dreiecks BCD, g »ff ff» ff» w BDE;

tso ist der Punkt p, worin sich be und fg schneiden, der Schwer- aokt des Vierecks BCDE; ap ist deshalb eine zweite Schwer- nie des Fünfecks. Der Durchschuittspunkt 2 von oe und ap ist ^er der Schwerpunkt des Fünfeck;^.

Non haben wir bewiesen:

25*

304 Corneiüe-L Landr^: Veöer den SekmerpmüU

Viereck ABCE\^BCE=abiao

A BCE:^ CDE = epthp

Viereck ABCE:/aCDE = abXep:aoXöp.

Nun werden die drei Seiten des Dreiecks obe tod der den ap geschnitten; deshalb föhrt die Theorie der TransTi salen auf folgende Gleichung:

abXozXep=2 aoXzeXbp ,

oder:

oA X ej9 : ooX6j9 = ze : oz.

Mithin ergiebt sich» was wir suchten:

Viereck ABCE:^CDE = ze:oz.

Gleichfalls haben wir:

Viereck B CDE :^BCE=zbe:pe

^BCE:^ABE=ao:bo

Viereck BCDE: /HABE z= aoXbe'.peX.bo.

Nun kann aber auch oe als Transversale des Dreiecks abp b^| trachtet werden» folglich haben wir:

oder:

Deshalb :

aoXbeXpz =^ peXazXbo ,

aoXbe ipeXbo = az:pz.

Viereck BCDEi/üABE^azipz.

Verbinde ich nun den Schwerpunkt t des Dreiecks ADE wä dem Schwerpunkte q des Vierecks ABCD, so «foll die Verbii- dungslinie ig durch den Schwerpunkt z des Fünfecks flehen, wie es auch in der Tbat in der Figur der Fall ist. Es giebt oatfiriiek fünf solche Schwerlinien, welche sich im Punkte : schneiden.

Zugleich ist uns das Mittel dargeboten, den Schwerponi^ zweier Dreiecke zu finden, welche nur eine Ecke gemeinscbafilitk haben. Z. ß. die Gerade cc, welche die Schwerpunkte der beidn Dreiecke ABC und CDE verbindet, ist eine Schwerlinie der ais beiden Dreiecken zusammengesetzten Figur. Zieht man nun eine Gerade durch d (Schwerpunkt des Dreiecks ACE) und durch ii so wird offenbar der Durcbscbnittspunkt (s) von dz nnd ce der gi- suchte Schwerpunkt der beiden Dreiecke ^fiC und CDE sei*-

äe$$em Hüi%Uche ÄHwendung in der Ster§omelrU. S05

och liehe man eXf welche de schneideD m ird in r (Schweqiankt MS Vierecks ACDE). Nun hat man :

^ABC:^ACE=:od:eo

^ACEi^CDE—reidr

^ABC: A CDE = odXre ; coxdr.

Weil nno die Geraden er, eo and ds durch je eine Eclce de« reiecka und durch den nämlichen Punkt (z) gehen; so lehrt die beorie des Transversalen :

odXreXcs =s coXdrXeM.

t«r:

odx^re: coXdr = esici,

iher:

A ABC: A CDE = eacs;

Iglich auch:

/üABC l^ /aCDE:^CD£=zce:cs;

ir hatten schon: ^CDE:^ACE=^dr:re •

/aABC+ A CDE:^ACE = ceXdr:csXre.

Betrachten wir nun er als Transversale des Dreiecks des, Bdann ist:

ceXizXdr = scXtdXre,

ier:

ceXdr: es Xre = 2cl:iz ;

ir erhalten also:

^ABC+ ^CDEi^ACE-tdisz.

OL In dem Sechsecke (Taf. IV. Fig. 3.) ist :

a der Schwerpunkt des Dreiecks DEF, o 9f ,9 ,y f» CmjF^

o f9 „ ,9 Vierecks CDEF,

p »9 ff »> ' »f ABCF,

g 9f n „ Fönfecks ABCDF;

f und ap sind deshalb Schwerlinien und deren Durchschnitts- Ulkt X Ist der Schwerpunkt des Sechsecks. Nun ist schon im orlgeo bewiesen:

306 CornetUe-L. Landre: üeber den Sckwer^wM

Viereck CDEF:^CDF=ab:a0

A CDF: Viereck ABCF=i pq r bg '__

also: Viereck C/>i;F: Viereck ABCF=zaöXpqiaoXbq.

Da wieder aq Transversale des Dreiecks pob M» so haben

abXpqXio = aoXbqXpi»

oder:

abXpq*aoXbq ^=p2:oz;

daher:

Viereck CZ>£;F: Viereck ABCF = pz:zo.

Wir haben aber aocht

Fönfeck ABCDF:i\CDFz=zbp:pq

A CDF: /a DEF =iao:bo

Fünfeck ABCDF:^DEF=bpXao:pqXbo,

Nun betrachte man das Dreieck abq mit dessen Transversale wodurch sich ergiebt:

oder:

noXbpXqz = boXpqXaz,

bpXaQ:pqXbo:=z aziqz'^

so dass wir wieder erhalten:

Fflnfeck ABCDF: A DEF = az : qz.

In dem Sechsecke giebt es neun Schwerlinien , welche 9A\ im Punkte z schneiden, denn man kann dasselbe anf sechs Aitt*{ in ein Dreieck und ein Ffinfeck, und auf drei Arten in zwei Vir! ecke zerlegen.

Auch kann man < den Schwerpunkt zweier von einander cit* fernten, obgleich In der nämlichen Ebene liegenden Dreiecke b' den, wofür ich ein neues Sechseck gezeichnet haJiie (Tat IT- Fig. 4.), weil in Taf. IV. Fig. 3. alle zu suchenden SchwerpooUi einander so nahe kommen, dass die Linien schwer zu antersckci'l den sein würden.

In Taf. IV. Fig. 4. habe ich die Schwerpunkte nicht eoostmbi' sondern nur gewählt, welches aber der Bewelsßlhrung nicht sck» det, wie man sehen wird. Sei denn:

unä äßt»en nüMtcAe Anwendung in der Siereometrte. 361

a der Schwerpunkt des Dreiecks ABC, p „ „ „ Vierecks ACDF ,

q » „ ,, Fflnreeks ABCDF.

terer Punkt liegt natfirlich aaf ap zwischen a und p.

b der Schwerpunkt des Dreiecks DEF\

slb ist hg eine Schwerlinie des Sechsecks.

r der Schwerpunkt des Fünfecks ACDEF,

her auf pb zwischen p und b liegt» ar ist die zweite Schwer, des Sechsecks; der Durchschnittspunkt (2) von ar und bq lun der Schwerpunkt des Sechsecks, die Linie pz schneidet Linie ab im Schwerpunkte (1) der beiden Dreiecke ABC und P. Nun haben wir kraft des Vorigen:

il^lBC: Viereck ACDF^pqiaq

Viereck ACDF:^DEF=zbr:pr ^

^ABCi ^DEF ^ pqXbriaqXpr,

I ar, bq und pi sich im Punkte 2 schneiden, haben wir:

hrXpqXoM^: aqXprXbM^

brXpq laqX^pr = bsias ; in:

ich auch :

\ABC+ ^ DEF: ^ABC= abibs, wir wussten schon : Ai^ÄC: Viereck ACDF=zpq:aq

BC+ ^DEFiWereck ACDF— abXpqibsXaq;

das Dreieck aps mit dessen Traasversale bq giebt:

abXszXpq = agXAiXpj,

ab Xpq :aqXbs=zpi:gz, ass wir erhalten:

^ABC+^DEFiWereck ACDF=ipz:sz. IV. Dm fOr das Siebeneck (ABCDEFG) den Schwerpunkt

368 CorneiiU'L Landrd: üeber den sehmerpttnlA

aaf ähnliche Weise zu bestimmen und zu gleicher Zeit das setz von der Gleichheit der statischen Momente bewähret sa theiie man dasselbe durch eine Diagonale {AC) In ein (ABC) und ein Sechseck (ACDEFG), und durch eine Diagonale (AD) in ein Viereck (AB CD) nnd ein Ffi^[ (ADEFG). Oder man ziehe die Diagonalen AD und AE, w jede das Siebeneck in ein Viereck und ein Fünfeck theilen. ■'* Schwerpunkte aller dieser Figuren kann man nach dem Vt^sHS" construlren, und mithin bekommt tnan wieder leicht zwei schneidende Schwerlinien' nebst dem Dreiecke mit der versale.

V. Im Allgemeinen: Ein it-Eck (ABC....) theiie maa ^^ irgend einer Ecke (A) aus durch eine Diagonale In ein p*^^ (ABC....) und ein (n — p-{'2)Eck, und durch eine zweite Dif gonale von der nämlichen Ecke aus in ein (j9-|-^)-Eck (ilAC...<) und ein (n — p — q'i-''2)'Eck. Die erste Diagonale theilt d« (p + q)' Eck wieder in ein p-Eck und ein (q-{'2)-Eck, und (Kl zweite Diagonale theilt das (n — p-{-2)'Eck in ein (7-|-2)-Eii!k und ein (n—p — q'{'2)'Eck. Die beiden Schwerlinien , dem Durchschnittspunkt der Schwerpunkt des n-Ecks ist, verbinlii den Schwerpunkt des p- Ecks mit dem Schwerpunkte des (n— p^t^ Ecks, den Schwerpunkt des (j9-|-9)-Ecks mit dem des (it— j9— fiih Ecks. Nimmt man noch die beiden Geraden hinzu, welche ds Schwerpunkt des /7-Ecks mit dem des (^-1-2) • Ecks, den Schwer punkt des (q +2) -Ecks mit dem des (n—p — 9-|-2)-Ecks verbil- den, so bekommt man wieder das Dreieck mit der Transversak. Es ist also das Suchen des Schwerpunkts eines beliebigen Viel- ecks zurückgebracht auf das Suchen der Schwerpunkte anderer Vielecke von einer kleineren Anzahl Seiten, wodurch die Allg^ meinheit der Methode völlig bewiesen ist.

Je grosser die Anzahl der Seiten ist, in desto mannigfaltif^ rer Weise kann man das Vieleck theilen, und erhält also desto mehr Gerade (Schwerlinien) für je zwei sich ergänzende TheÜei welche sich in einem Punkte (Schwerpu|ikt) schneiden. Ist tiB ein Vieleck einer Linie zweiten Grades ein- oder umgej^cbrie- ben, so lassen sich vielleicht mittelst der bekannten Theorie der polaren Reciprocität noch einige nicht unwichtige Sitse ableiten. Es wäre aber ein besonderes Studium erforderlich, «oi* ches zu untersuchen.

Es hat nicht die mindeste Schwierigkeit, das nämliche Ve^ fahren auch für Vielecke mit convexen Winkeln anzuwenden, denn, sie sind immer als die Differenz zweier oder mehrerer gewohn- licher Vielecke zu betrachten.

und dessen uAlziicAe Anwendung in der stereomeirie. 869

5.2. Ueber dieBestimmuug der Schwerpunkte der Polyeder.

I. lo Dr. Th. van Doesburgb's y^Ligchaamsmetiog en bolvormige Driehoeksmeting'S verfasst nach den aka- demischen Vorträgen des Herrn Professor Dr. Buys Ballot, ist folgender Satz bewiesen: Die geraden Linien, welche die Spitzen einer dreiseitigen Pyramide mit den Schwer- punkten der gegenüber liegenden Seitenflächen ver- bindeo, schneiden sich in einem Punkte (dem Schwer» punkte der Pyramide), welcher auf l dieser Linien liegt, von den Spitzen ab gerechnet.

IL Hiernach ist es sehr leicht den Schwerpunkt einer vier-, flinf-, u. s. w. n*seitigen Pyramide zu finden.

Die vierseitige Pyramide ABCDE (Taf. V. Fig. 5.) wird so- wohl von der Ebene ACE als von der Ebene ABD in zwei drei- seitige Pyramiden getheilt.

Es sei nun:

a der Schwerpunkt des Dreiecks BCE,

b „ „ „ „ CDE,

c „ „ ,, „ ißLfiJf

d „ „ „ „ BDE,

e ,, „ „ Vierecks BCDE.

Ziehen wir Aa, Ab, Ac, Ad und nehmen ap^^Aa, bq^^iAb, cr=:iAc, ds^=lAd, so sind p, q, r und s respective die Schwer- punkte der Pyramiden ABCE, ACDE, ABCD und ABDE, Nun haben wir offenbar: pg\\ab, rs\\cd, und zwar liegen pq und r$ in einer und derselben Ebene, weil beide Geraden gleiche Ent- fernung von der Spitze haben, sie schneiden sich also in einem Punkte (z), dem Schwerpunkte der vierseitigen Pyramide. Weiter ist es leicht zu ersehen, dass die Punkte A, % und e in einer Geraden liegen, und zwar im Durchschnitte der Ebenen Aab und Ade, und dass ezzziiAe ist. Weiter haben wir:

Pyt.ABCEiPyr.ACDE = A BCE:^CDE=^be:aessqz:pz.

Ebenso :

Py r. ABCD : Pyr. AB DE = n : ri.

S70 'Cornetiie-L, Landri: Ueber den Sckiperpunki

Es hat Dicht die mindeste Schwierigkeit, diese Methode ti fünf- und mehrseitige Pyramiden anzuwenden, so dass allgeneh der Schwerpunkt der Pyramide von der Spitze ab aif 2 der Geraden liegt, welche die Spitze mit dena Schwer- punkte der Grundfläche verbindet.

111. Es wäre nun nicht schwer, auf ähnliche Weise die Schwerpunkte aller solcher Polyeder zu bestimmen, weiche be- gränzt sind von zwei gegenüber liegenden Dreiecken dnd drei Vierecken, und sich daher auf mehrere Arten in eine dreiseitige und eine vierseitige Pyramide zerlegen lassen. Ich habe Ijet aber unterlassen, weil Ich beweisen muss, dass die Methode Ar jedes beliebige Polyeder anwendbar ist. Deshalb haben wir nmi zuerst das Polyeder, welches sich in zwei dreiseitige PyramideD zerlegen lässt (Taf. V. Fig. 6.) :

(Polyeder = Pyr. DABC+Pyr.EABC).

Der Schwerpunkt liegt natürlich wieder auf der Geraden, welche die Schwerpunkte beider Pyramiden verbindet. Legt mao nun eine Ebene DAEF durch AD und AE, so ist das Polyeder in zwei vierseitige Pyramiden getheilt, deren Schwerpunkte man zu bestimmen weiss; man erhält dann eine zw*eite Schwerllnie. und mithin den Schi\erpunkt selbst. Da aber die Constructioo dieser Schwerllnie ohne descriptive Geometrie ziemlich be- schwerlich ist, so habe ich ein anderes Mittel ersonnen ; ich habe nämlich eine Ebene (Schwerebene) gesucht, welche den Schwe^ punkt enthalten muss.

Wenn sich die Ecke D der vierseitigen Pyramide (Taf. V. Fig. 5.) auf einer Ebene parallel zu der Ebene des Dreiecks ACE bewegt, so bleibt die Höhe der Pyramide DACE dieselbe, folg- lich bewegt sich der Schwerpunkt q gleichfalls parallel zu der Ebene ACE (denn er liegt stets auf \ der Hube). Indess lassen wir die Pyramide ABCE ungeändert, so dass der Schwerpunkt (z) des ganzen Polyeders immer auf der sich bewegenden Gera- ^ den pq liegen bleibt. Es ist nun nur die Frage, wie sich der Punkt z bewegen wird bei der Bewegung von D. Schiebe sieb denn der Punkt D zuerst fort parallel zu C£, bis er in der Ver- längerung der Kante BC ankommt; während dieser Verschiebung beschreibt auch q eine Gerade parallel zu C£, und weil nun der Inhalt keiner der beiden Pyramiden sich geändert hat, p unbe- weglich geblieben ist, und wir eine vierseitige Pyramide behalten haben, wenigstens bis sie dreiseitig geworden ist; so werden auch die verschiedenen Geraden pq stets von z im nämlichen Verhält- nisse getheilt, so dass auch z parallel zu CE sich fortbewegt

und dessen nüMiche Anwendung in der Stereomeirte. 371

hat» Nach seiner Ankunft in BC bewege sich D parallel zn AC, bis er in AB kommty endlich gehe er parallel za AE, so dass D einen ganzen Oreiecksumfang dorchlSnft, dessen Ebene parallel so ACE ist. Ans den obigen Gründen haben nun auch ^ and z jeder einen^ Dreiecksurafang parallel zu ACE beschrieben. Be- wegt sich nun D längs irgend einem andern Wege, obgleich Im- mer parallel zu dem Dreiecke ACE, bis er in der Ebene einer der drei Seitenflächen ABC, ABE oder BCE ankommt, so wissen wir wenigstens schon, dass der Schwerpunkt In dem oben genann- ten Oreiecksumfang ankommen muss; dies ist aber noch nicht hinreichend um zu schliessen, dat^s för jede Zwischenlage des Punktes D (d. h. ausser den drei genannten Ebenen), der Punkt z sich auf der Ebene dieses Dreiecks befinden niuss. Folgende Betrachtung bringt dies aber meines Bedönkens zur Evidenz: Wenn der Punkt D sich längs mehreren verschiedenen Wegen (stets parallel zu der Ebene ACE) bewegt, und sich diese Wege ein oder mehrere Male schneiden, so schneiden sich natürlich die übereinstimmenden Wege, welche z durchläuft, eben so viele Male, und da z nun stets in dem Umfang des genannten Dreiecks an- kommen soll, so kann dies nur dann Statt finden, wenn sich z in ^er Ebene dieses Dreiecks selbst fortbewegt.

Um also den Schwerpunkt eines aus zwei dreiseitigen Pyra- miden zusammengesetzten Polyeders (Taf. V. Fig. 6.) zu bestim- men, lässt man eine der beiden Spitzen, welche die beiden Pyra- miden nicht gemeinschaftlich haben (D oder £), sich bewegen, parallel zn dem den beiden Pyramiden gemeinschaftlichen Dreiecke (ABC), bis man eine vierseitige Pyramide erhäl% durch deren Schwerpunkt (welchen man nun zu finden weiss) man eine Ebene legt parallel zu oben genanntem gemeinschaftlichen Dreiecke (ABC). Der Durchschnittspnnkt dieser Ebene mit der Geraden, welche die Schwerpunkte der beiden dreiseitigen Pyramiden (ABCD und EABC) verbindet, ist dann der gesuchte Schwerpunkt des Polyeders. Es bedarf wohl keiner Nach Weisung, dass das Ge- setz der statischen Momente hierdurch bewährt wird.

IV. Fjir das aus drei dreiseitigen Pyramiden zusammenge- setzte Polyeder (ABCDEF, Taf. V. Fig. 7.) sei:

p der Schwerpunkt der Pyramide ABCD, g f, $i 99 99 FACD,

r „ „ des Polyeders ABCDF,

$ „ „ der Pyramide BCDE,

i „ „ des Polyeders ABCDE^

S72 CorneUie-L Landri: Veber den SckmerpmM

qt und n sind deshalb Schwerlinien des Polyeders. Sie liegM In einer und derselben Ebene, weil r mit p und q^ und I nitp und 1 in einer Geraden liegen, und schneiden sich in einem Puakis (z), dem Schwerpunkte des Polyeders ABCDEF. Nun habM wir bewiesen :

Polyeder ABCDF:PjT.ABCD = pg:Tq Pyr. ABCD ; Pyr. BCDE = Uipt

Polyeder ABCDF:Pyr.BCD£ = pgxU:TqXpt Da wieder tq Transversale des Dreiecks prs ist, so haben wir:

pqXttXrz = rqXptXsz,

oder:

pqXU:rqX,pi = szirz;

so dass wir haben:

Polyeder ABCDF: Pyr. BCDE =iiz:rz. Ebenso :

Polyeder ABCDE : Pyr. FA Cü — qz: tz.

Zieht man nun noch sq und pz, so ist deren Durchschnittspankt («) der Schwerpunkt der beiden Pyramiden FACD und BCDE, welche nur eine Kante (CD) gemeinschaftlich haben. MitteUt des Dreiecks pqs und seiner Transversalen ri, qt und pu bewei- sen wir leicht gerade wie wir etwas Analoges bei'm Fünfecke und Sechseck| bewiesen haben:

Pyr. ACDF: Pyr. BCDE = su:qu.

Für die Vielecke glaube ich die Allgemeinheit dieser Me- thode genugsam entwickelt zu haben» so dass die Allgemeinheit auch für alle Polyeder in die Augen füllt.

Neues mögen die vorigen Discussionen nicht an's Licht ge- bracht haben, die Theorie der Schwerpunkte ist aber dadurch io^i Gebiet der Geometrie zurückgeführt, auf ganz andere Weise alu diesen von Chasles in seinem schonen „Traitö de G^om^- trie superleure'' (p.328 8qq.) geschehen ist. Für jede Figur uni jeden Körper findet man das Centrum der mittleren Ab* stände aus den Sätzen: Für zwei Punkte liegt das Ceo- trum in der Mitte beider, welcher Satz eine Identität ist, und: Das Centrum aller Theile ist auch das CentruD des Ganzen, woraus folgt: Wenn man auf (zwei) ver- schiedene Arten Irgend ein Ganzes in zwei Theile

umä denen nüMiche^ Anwendung in der stereameuie. 878

serlegt, so liegt immer das Centrum des Gänsen auf der Geraden, welche die zwei Centra verbindet, daher in dem Durehschnittspunkte aller Geraden, welche, die Centra jeaweier solcher sich ergfinzender Theile ver- binden.

§. 3.

Inhaltsbestimmung der abgestumpften Prismen, (in welchen Grund- und obere Fläche nicht parallel sind).

I. In Dr. van Doesburgh's schon oben genanntem Lehr- buche der Stereometrie ist bewiesen, dass der Inhalt des Parallelepipedons sich nicht ändert, wenn eine der Seitenflächen sich um den Durchschnittspunkt der Diagonalen dreht. Seien nämlich S die Fläche eines Paral- lelogrammes, das entsteht, wenn man eine Ebene senkrecht zu den vier parallelen Kanten eines abgestumpften Parallelepipedons legt, p der Durchschnittspunkt der Diagonalen der Grundfläche, q der Durchschnittspunkt der Diagonalen der oberen Fläche, so findet sich, dass der Inhalt des abgestumpften Parallel- epipedons =z Sxpq ist.

Diese so einfache Formel hat mir Anlass gegeben zu unter- suchen, ob es nicht möglich wäre, den Inhalt eines beliebisen abgestumpften Prisma's (denn das Parallelepipedon ist doch auch ein Prisma) durch eine einfache Formel auszudrücken, wel- ches mir In der That gelungen Ist.

II. Betrachten wir denn zuerst das abgestumpfte dreiseitige Prisma (Taf. V. Fig. 8.). Seien die parallelen Kanten AD, BE and CF senkfecht auf der Grundfläche {ABC). Nennen wir den Inhalt dieses Körpers F, so hat man bekanntlich:

F = A -4ßCx:i(i4/> + Ä£ + CF).

Nehmen wir AG = GB, DH — EH, und ziehen CG, FH md GH; offenbar ist nun GH || AD || BE \\ CF. Ferner sei Gz^\GC, Hzi z=i\HF, so sind z und Z| die Schwerpunkte der Grund- und der oberen Fläche, ZZ| ist dann auch || GH\\ u. s. w. Noch zie- hen wir HJ\\ GC, HJ schneide zzi im Punkte AT. Nun haben wir:

FC=^FJ + JC=zZziK + zK AD + BE=2HG=^'2zK

AD+B£+CF^3xiK + 3zK=3tzi.

374 CorneiUe-L Landr^: (Jeder den Sckmenßunkl

Wir erhalten also die einfache Formel:

Der Inhalt ändert sich daher nicht, wenn die obere Flfiebe siel

um den Schwerpunkt dreht. Wenn die parallelen Kanteo siebt senkrecht auf der Grundfläche sind, so lege man eine Ebene senk- recht zu den parallelen Kanten; nennt man nun die Fläche des entstehenden Dreiecks den senkrechten Durchschnitt, 80 bat man den Satz:

Der Inhaltdes abgestumpften dreiseitigen Prismas ist das Product aus dem senkrechten Durchschnitt und der Länge derGeraden, welche die Schweipuakte der Grund- und oberen Fläche verbindet

III. Derselbs Satz gilt nicht nur für das dreiseitige, sondern für jedes beliebige abgestumpfte Prisma, welches sich bewetsei lässt mittelst der in §. 1. bewiesenen Relationen, wenn man des fiSr das Trapez geltenden Satz dazu nimmt (Man sehe: Dr. Boys Bailot „Beginselcn enGrnnden der Meetkunde.*' Dritte Ausgabe). Sei nämlich (Taf. V. Fig. 9.) gegeben: BC senk- recht zu AB und CD\ EF, parallel zu AB und CD, schneide AD in E und BC in F, so bat man:

FCx AB + BFx CD = BCx EF

und

DEx ABi^ AEX CD = ADxEF.

IV. Das vierseitige abgestumpfte Prisma (ABCDEFGB) (Taf. V. Fig. 10.), worin die parallelen Kanten auch senkrecht auf der Grundfläche sind, zerlege man durch eine Ebene, welche durch zwei parallele Kanten AH und CF geht. In zwei dreiseitige ab- gestumpfte Prismen (ABCEFH und ACDHFG). Es sei:

p der Schwerpunkt des Dreiecks ACD,

9 »» M »9 99 AßCf

Vierecks ABCD, Dreiecks HGF, HEF, Vierecks HEFG.

z P\

2l

99

99 »5

99 M

99

ppi und qgi sind offenbar parallel zu den parallelen Kanten; dass dies auch von ZZ| gilt, lässt sich leicht nachweisen; denn weoD 5 die Grosse des zweiflächigen Winkels, welchen Grund* und obere Fläche zusammen machen, vorstellt, so hat man bekanntlich:

nmd denen nützliche Anmenäung in der Stereometrie, 375

A ÄCD = ^HGFxcoaS; daher:

^ABC:i\ACD=i/aHEF:i\HGF;

nher wir haben auch:

^ABC:^ACD = piiqi,

^HEF:^HGF = piZi:qi2i;

folglich

p2:qz = PiZi:qiZi'

Nun sind ppi und qqi parallel, deshalb auch Z2| parallel mu ppi und ffi«

Bezeichnen wir den Inhalt des abgestumpften vierseitigen Prismas mit V, so ist nach dem in II. Bewiesenen:

V=:i^ABCXqqi + ^ACDXqq^.

Nun haben wir in §. 1. bewiesen:

Viereck ABCD:pq=: ^ABCizp — \ACD:xq;

oder:

Ai<ÄC=: Viereck ABCDx^ ^

pq

^ACD=: Viereck ABCDx ^ ;

P9

so dass wir bekommen:

F = Viereck ABCDx T><m±H><m

P9

= Viereck ABCDx^^^*^^ (siehe §.3., III.);

endlich :

F = Viereck ABCDxzz^.

Man sieht leicht ein, dass, wenn die parallelen Kanten nicht senkrecht auf der Basis sind, man auch hier eine Ebene senk- recht anf die parallelen Kanten legen kann. Nunmehr hat es nicht die mindeste Schwierigkeit, den Satz auf ein beliebiges abgestumpf- tes Prisma auszudehnen. Der Gang des Beweises selbst zeigt die Allgemeinheit, so dass wir vollkommen sicher den Satz auf- «teilen kdoneo:

376 CorneiiSe-L. landrä: (Jeöer den SekwerptuM eif.

Der Inhalt eines jeden abgestumpften Prismas Ut das Product ans dem senkrechten Durchschnitt nii der Länge der Geraden, welche die Schwerponjcte der Grund- und oberen Fläche verbindet

Es ist beinahe äberfliissig zu bemerken, dass für abgestumpfte Cylinder der nämliche Satz gilt, weil dieselben doch immer als Prismen betrachtet werden können.

§.4. Erweiterung des Guldin'schen Satzes.

Im Elementar- Unterricht wird dieser Satz gewohnlich nnr vi die Umdrehung von regelmässigen F^iguren beschränkt« Man kasi ihn leicht für unregelmässige Figuren beweisen. Sei gegeben ein beliebiges Viereck, dessen Umdrehung um eine Axe ausser demselben, obgleich in der nämlichen Ebene, einen kurperlicbeo Inhalt V erzeugt. Man theiie es (Taf. V. Fig. 11.) durch eine Diagonale AC in zwei Dreiecke ABC und ACD.

Es sei:

p der Schwerpunkt des Dreiecks ABC^

9 »> » »» »» ACiJf

z „ „ „ Vierecks AB CD;

pty gs, zt seien senkrecht zu der Umdrehungsaxe PQ, so findet sieb:

aber:

A/^BC= Viereck ABCDx^ ,

P9

il^CJD = Viereck ABCDx^ >

P9

Daher:

F= Viereck ABCDxf''^^' + '>'^^x2n

P9

= Viereck ABCDx^^x^n (siehe §.3., III.).

Mithin:

P=: Viereck ABCDx2nXzL

Auch hier ftlk es in die Augen, wie sich dieser Salt Ar

eruneri: Theorie der eiüpi. Coordin. in der Ebene. 377

anr^elinflssige Vielecke von mehrereD Selten beweisen iSsst, und dass er flir einen beliebigen UmdrebangskSrper gültig Ist Weiter ist es evident, dass, wenn der Schwerpunkt nur einen Kreisbogen beschreibt, doch immer der Inhalt des erhal- tenen UmdrehnngskSrpers gefunden wird, indem man die Fläche der erzengenden Figur multiplicirt mit der Länge des vom Schwerpunkte durchlaufenen Weges.

Schliesslich mache ich noch darauf aufmerksam, welche schSoe Analogie zwischen den Inhalten des abgestumpften Pris- ma's und des UmdrehungskSrpers statt findet Letzterer kOnnte in der That als eine Art Prisma betrachtet werden. Nur ist die Linie, welche die Schwerpunkte der Grund- und oberen Fläche verbindet, nicht eine Gerade^ sondern ein Kreisumfang oder ein Kreisbogen, aber immer eine Linie, deren gleiche Theile iden- tisch sind, und (darum) auch auf identische Weise an einander schliessen.

XXTIII*

Theorie der elliptischen Coordinaten in der Ebene.

Von

dem Herausgeber.

Wir wollen uos^ indem wir in der Gleichung

1) -^ + ^±1=0

die Grosse q als die Unbekannte betrachten, zuerst mit der Auf- lösung dieser Gleichung und der genauen Untersuchung der Na- tor ihrer Wurzeln beschäftigen, weil diese Untersuchungen die hauptsächlichste Basis aller unserer folgenden Betrachtungen bil- deo. Wir nehmen hiebei immer a und b als ungleich an, indem tOtrüssi aas 1) sogleich

ftlgg« wMrie, ab# €iaa weHcfie fceio»dgre Betnchteag Gidcfamge« rickcicbtlich ihrer Wand« salfidieh fhag wir«.

WesB wir die Glticliinif I) auf die Fora :

briogeD, eo erfcalfeii wir tm Bestiomraag tob ^ CUekhug:

eder, wie maa nach leidbter Rechnong fiodet:

worauf eich auf belcannte Weise:

4)

•rgiebt

Üeo Zahler

(«" + y*T « T 6)*± 4(6ar* + by* T «*) bringt man leicht auf die Form:

(*«+»«)«T-(a-6)|2(ar«-j,«)T(a-6)|, alao auf eine der beiden Formen :

(«•+y»)«T(a-6)t-2(a«+»»)+4x«T(a-*)h odert

(«• + y«)«T2(a - bXx* + »«) + (a-6)«±4(o-6)y«, («• + »")*db 2(o- 6) (a« + y«) + (a-6)«T 4(0 - 6)a»;

alaot

{ («" + y") T (a - 6) l*db 4(a - 6)y«.

I («• + y") ± (a - 6) I • T 4(a— b)x*

in 4er Ebene. fffV^

BetraehteD wir nan zuerst die Gleiehang:

6) -^+-^+1 = 0,

■o ist nach 4):

' V((ar«+^«)+(«i— 6)}»— 4(a— 6)xt«;

PTorans zavSrderet erbellet» dass die Wurzeln etetk reell sind, ^eil> wenn a — fr positiv oder oegativ ist, respective -f4(a— A)y* »der — 4(a — ft)ar* positiv ist.

Setzen wir nan:

^_ n(a:«+y»)«(o-ft)l» + 4(a-.6)^« ^* • • \ "■ lt(:c«+y«)+(a-ft)l«-4(a-6)^«

uid bezeicfinen die beiden Wurzeln^ so wie sie durch das obere and untere Zeichen in der Formel 6) bestimmt werden, respective Inrcb X und fi; so ist nach 6):

^ U=-.i(:r«+.v«-a-6)-iViV;

tiso:

A— f*==ViV, folglich iL>fA;

lo dass also das obere Zeichen in 6) immer die grossere Wur- fc^l liefert.

Leicht findet man:

Otd folglich, wie sich sogleich durch leichte Maltiplication ergiebt:

^ I a— [— i(a*+»*-a-6)dbiV2V]MÄ-[-i(a;«+y«-a-A)4iV^]l

= («• + »" T ViV)> - (o— 6)»

= U«*+»*)+(«-ft)TViVll(a!« + y«)-(a-6)TVM. ^Iso ist offenbar:

26

•

380 eruHert: ThmHe der elUpttuhen Coordlnatm

4(a-i)(6-i)

«»(«•+»*)+(a-*)-viVH(««+y«)— (o-6)-v:ri,

4(a-,i)(6-^)

= I (*•+»•) + (o - 6) + VN\{ («• +»•) -(a —6) + V^> • Wenn nun a>6, also a — A>0 tat, so ist

(*«+y«) + (a-6)>0. Nach 7) ist in diesem Falle offenbar:

K«*+»»)+(a-6)|«> iV> |(a*+y«)-(a-6)l«, and folglich, wdl biernacb VN grOsser als der absolute Werth tm

ist:

(«•+»«) +(a-6)-ViV>0, (a:« + ,»)-(o-6)-ViV<0;

(«•+»^+(0—6) + V^>0, (jr*+y«)— (o-«) + ViV>0; also nach dem Obigen:

(a-l){b-l) <0, (a-rt(*-<») >0. Aus der ersten Vergleicbung folgt:

w8re aber

80 wäre a<6, da doch nach der Voraoaaetiang a>6 iat; alao ift:

Ans der zweiten Vergleichung folgt:

wire aber

80 wäre wegen dea VorhergehoDden A<fft, da doch nach dco Obigen il>fft iat; also ist:

Daher haben wir die folgenden Vergleichimgen:

in der Edene. S81

rf>A>ft, a>f»<6; also:

Wenn a<fr» also a-r-b^O ist, so Ist

(«•+y«)-(a-6)>0. Nach 7) Ist in diesem Falle offenbar:

{(«•+y«)+(«-ft)l*<^<l(«*+Sf^-(«-ft)l*.

Qod folglich» weil hiernach VN grosser als der absolote Werth Ton

ist:

(^+»*) + (o-ft)-ViV<0, (a:«+y«)-(a-6) — V2V>0;

(a:*+»*)+(a-6) + ViV>0. (a:«+y»)-(a-ft) + ViV>0; also nach dem Obigen:

(a-X)(6-A)<0, (a-f*)(ft-,*)>0. Ans der ersten Vergleichung folgt:

wäre aber

a>l>b.

so wSre a> A, da doch nach der Voraussetzung a < 6 ist; also ist:

a<A<fr.

Aus der «weiten Vergleichung folgt:

wäre aber

so wäre tvegen des Vorhergehenden il<fft» da doch nach dem Obigen il>fft ist; also Ist:

a>(ii^b.

Daher haben wir die folgenden Vergleichungen :

992 Grunert: Theorie der elUptfseäen CoardHuUen

also:

a<A<fr» a>f*> — 00.

Die beiden reellen Wurzeln unserer Gleicbang li^en a im ersten Falle innerhalb der beiden durch die Grossen

-—30, A, a

bestimmten Intervalle; Im zweiten Falle innerhalb der beiden da die Grossen

«

M^fp^unten I^tervall^. Im ersten Falle ist:

im xwelteo dagegen:

Betrachten wir ferner die Gleichung:

9) ....... . -^+^-1 = 0.

so ist nach 4):

10). .Q= i(^«+»*+a+ft)

'^l(ar'»+i^2)-(a— 6)t» + 4(a-6)ar«,

«Voraus wiederum erhellet, dass die Wurzeln stets reell i weil, wenn a — ö positiv oder negativ ist, respective -i-^ia — oder — 4(ci — b)y* positiv ist.

Setzen wir nun:

11) ' ^^jt(*'+Jf') + («-*) !"-'»(«-%•

~ ll(«"+»«)-(a-6)l« + 4(a-6)j:»

nnd bezeichnen die beiden Wurzeln, so wie sie durch das o und untere Zeichen in der Formel 10) bestimmt werden, reape durch 1 und ft; so ist nach 10):

also:

in der E$eue, SSS

fl

l—H = V/f, folglich 1> f»;

M dass also das obere Zeichen in 10) Immer die pSssere Wn» aal liefert

Leicht findet man:

*— l««*+y* + a + *)±4VA't = 4{-(a-*)-(af'+y*)=FViV); and folglich, wie sich sogleich durch leichte Multiplication ergiebt:

4ja - [4(«»+:y» + o + 6)±iViV }|6-[i(««+»*+o+«)dt4ViVlJ

= («■+»«±ViV)»-(a-6)*

= K«'+»") + (a-6)±VA'lt(«*+»«)— (o-»)dtViV|. Also ist offenbar:

Ha-XXb-X)

= t(«'+»«)+ (0-6)- VÄ'lt(*«+y«)— (a-6)-^ViVI- Wenn nun c(>6, also a'— 6>0 ist, so ist

(a:«+y*) + (a~*)>0. Nach 11) ist in diesem Falle offenbar:

Ua*+»")+(a-«)l*>A'>«(«"+»*)-(a-6)l«, und folglich, weil hiernach ViV' grfisser als der absolate Werth von

(«•+y*)-(a-6) ist:

(«• +»^ +(o-6) + VA'>0, («•+y«)-(o-6) + ViV >0;

(«•+»•) + («-*)- ViV>0, («a+y«)— (0-6)— y^' <0; also nach dem Obigen:

(«-A)(6-i)>0, (a-^)(6-p)<0. Aus der sweiten Vergleicbnng folgt;

384 Gruneri: Theorie der eUiptteeken CaoräüuUem

wäre aber

00 wäre a<fr, da doch nach der VoraaeseUang a> 6 ist; aleo ifl:

a >• fi > fr. Aas der ersten Vergleichang folgt:

wäre aber

so wäre wegen des Vorhergehenden il<fiy da dpch nach den Obigen il>f4 ist; also ist:

Daher haben wir die folgenden Vergleicbnngen :

a4^X>b, a>f»>6; also:

Wenn a<6» also a — A<0 ist, so ist

(^*+y«)-(a-6)>0. Nach (11) ist in diesem Falle offenbar:

nnd folglich» weil hiernach Vif gr5sser als der absolute Werth voi

(«*+»») + («-») ist:

(^ + y^ + (a-ft) + ViV>0, (a«+^)— (a-6) + VJV'>0;

also nach dem Obigen:

(a-JL)(6-A)>0. (a-fi)(6-|i)<a

Ans der zweiten Vergleicbung folgt:

«$»»$Ä;

wäre aber

in der Ebene. S85

«o wäre a>Aj da doch^nach der Voranssetzung a<fr ist; also ist: Ans der ersten Vergleichang folgt:

wäre aber

so wire nach dem VorhergeheDden il<fft» da doch nach dem »igen il>fft Ist; also ist:

Daher haben wir die folgenden Vergleicbungen : also:

Die beiden reellen Wurzeln unserer Gleichung liegen also im ersten Falle innerhalb der beiden durch die GrSssen

b, üp 4- OD

bestimmten Intervalle; Im zweiten Falle Innerhalb der beiden durch die Grössen

«• b, +00 bestimmten Intervalle. Im ersten Falle ist:

im zweiten Falle dagegen:

5. 2.

Auch ohne die Gleichungen

o:« . ^

=^+-^±1=0 — o e— 6

S86 Gruneri: Theorie der eiUpttscken CoardinaUn

wirklich aafzolSseiiy kann man anf folgende Art die Reeliitil d« Wurzeln dieser Gleicbangen nachweisen und die Grlnzen, zwi* sehen denen dieselben liegen mifssenj bestimmen, wobei t und i respective eine unendlich kleine und eine unendlich grosse pa«- tive Grösse bezeichnen sollen.

Betrachten wir nun zuerst die Gleichung

-^ + -^ + 1=0. und setzen der Kürze wegen

so Ist:

und es haben also offenbar immer, es mag a > 6 oder a < A sein, f(a^i) und f{b±i) entgegengesetzte Vorzeichen» woraus sieh ergiebt, dass zwischen a und b immer eine reelle Wurzel liegt Ferner ist

A-^ = -7T-«-j?6 + ''

folglich f( — J) positiv. Ist nun a>6, so liegen, da» weil fir^Jj positiv und nach dem Obigen offenbar fifi — t) negativ ist, eiM reelle Wurzel zwischen — x und 6 liegt, zwei reelle Wundi in den beiden durch die Grössen

— QO, 6, a

bestimmten Intervallen. Ist dagegen a<fr, so liegen, da, wail f( — J) positiv und nach dem Obigen offenbar /^a-— i) negativ ist. eine reelle Wurzel zwischen — oo und n liegt, zwei reelle Wir zeln in den beiden durch die Grossen

— 00, a, 6

bestimmten Intervallen.

Betrachten wir ferner die Gleichung

-^ + -^-1 = 0,

in der Ebene. 9S1

«od «etsen der Kurse wegen

so ist:

Q — a * Q — b

JT* y^

und es haben also offenbar immer» es mag a > 6 oder a < fr sein, jF(aTt) und F(6dbO entgegengesetzte Vorzeichen, woraus sich ergiebt, dass zwischen a nbd 6 immer eine reelle Warzel liegt Ferner ist

'^ + '^-J^a+Ä->'

folglich Jl[-|- •') neg&tiy. Ist nun a^b, so liegen, da, well F(a-i-i) nach dem Obigen offenbar positiv und F(-i-J) negativ ist, eine reelle Wurzel zwischen a und -|-od liegt, zwei reelle Wurzeln in den beiden durch die Grossen

b, a, -l-QD

bestimmten Intervallen. Ist dagegen a<fr, so liegen, da^ weil nach dem Obigen F(b -\- i) offenbar positiv und F(+ J) negativ is^ eine reelle Wurzel zwischen b und -f od liegt, zwei reelle Wur- zeln in den beiden durch die Grossen

bestimmten Intervallen.

Dass die beiden reellen Wurzeln unserer Gleichungen auch jederzeit im Allgemeinen ungleich sind, ergiebt sich aus dem Vor- hergehenden von selbst.

Alle diese Resultate stimmen mit den in §. L gefundenen Resultaten vollkommen überein.

Weily indem wir die obigen Bezeichnungen beibehalten, of- fenbar

'«.)=- lC-^.)'+(i^JI '••

äTO=-t(j£-.)"+(jij)'|8,

388 Gruneri: Theorie der eiiipiisehen CoordimUen

ist, so haben dp, dfig) and dp, ifXo) stets entgegengesetEte Vw- zeichen; wenn also q zivischen gewissen Gränzeo, iooerhalb wel- cher keine Cnterbrechang der Stetigkeit von ({q) oder f\p) eit* tritt, wächst oder abnimmt, so wird finj) oder FXi^) respecfire fortwährend abnehmen, oder fortwährend wachsen.

}. 3.

Wir wollen jetzt umgekehrt die Grössen o;*, y* darch die Wurzeln X, fi auszudrücken suchen, und zugleich einige zwiscbeo allen diesen Grössen Statt findende Relationen anschliesften, wo- bei es nicht mehr wie vorher nöthi^ ist, dass X die grossere, nod fft die kleinere Wurzel bezeichnet, indem vielmehr von jetzt an i, H Oberhaupt nur die Wurzeln der Gleichung 1) bezeichnen solien» ohne ein bestimmtes GrOssenverhältniss derselben festzasetseD.

Weil A, fi die reellen ungleichen Wurzeln der Gleichung

oder

sind; so ist nach der allgemeinen Theorie der Gleichungen ßr jedes Q bekanntlich:

13) (p-a)(p-6)±j?«((>-ft)±5^«(p-.a) = (p-.A)(p-^),

und folglich, wenn wir, was verstattet ist, da diese Gleichung für jedes Q gilt, nach und nach p = a, p==6 setzen:

also :

Setzt man in der Gleichung 13) nach und nach q=^X, p=f»t so erhält man, wenn zugleich der KGrze wegen

ri=(it-a)a-6),

^ ljf = (fi-a)(f4-6)

gesetzt wird^ die folgenden Crielchnngen :

tH der Ebene. 380

l*db(*«-*)«*±(f»~a)^ = 0;

und hieraus» weil» wie man leicht findet:

a- a)(f4-ft) - (A-6)(fi - a) = («-.6)(A-^)

ist, die GleichangeD:

(f*— a)L— a— a)ilfT(a— 6)(il-fi):r« = ü,

ft)i»db(fl-ft)a-f*)»* = 0;

woraoa sieh mittelst leichter Rechnung fUr o?*^ y* gans dieselben Ausdrücke wie vorher ergeben.

Aus 15) ergiebt sich unmittelbar die Relation:

J9) • • • • • (i_«)(^_^ + (A_6)(^-r6) = ®- Die Gleichung 13) kann man auch auf folgende Art ausdrflcken :

20) . • . • ^_„ + p_6±»-±(p_„)(p_6)'

und differentiirt man nun diese Gleichung in Bezug auf q als ver- Snderliche GrSsse» so erhält man die Gleichung:

"> (^.)'+c-^y

^(g-«)(p-ft)(2<>-it-f«)-(g-il)(g-t*)(2g-a-fe). -+ (p-a)«(»-6)« '

alao, wenn man nach und nach n=iX, 9 = (* setzt:

*0 • • • ^

Die durch Diiferentiation hergeleitete Gleichung 21) kann man auch auf folgende Art ausdrücken:

(f^,)V(Ä)"

""*'(«-a)(ff-6) ) (*-i)(p-|.) (*-«)(* -6) < ' also aaf folgende Art:

€rmm€r$: TMearie der eiUpiUeken Coardimmtem

Vf-«/ "*" U- V "" ■*^ (« - a)(*-6) 1 I 1

l f—a f — 6

23)

worana sieb, wem nan biermit 20) verbwdet, die Relation:

24)

ergiebt.

Ans 15) erhilt man darch partielle DiffereDtiation Dick i

und fi:

oder:

fla: X fl — ft 1 8a:__ ar a — l 1

und folgnch Dach 15);

. dx X l

25) . .

aX~'"2'tt-A""2X— tt'

8£ X 1 X l ,

3fÄ 2 ' a — fft 2 * «» — a *

1 V 1

3j_ .V .jL_»

3A""""2;6-i-2l— 6*

8|[_ J J! ? *

Hi der Eätme. 391

Weil DUO

t\ 00 ist nach den vorsteliendeo Formelo:

2d) \

Quadrirt man diese Gleichungen und addirt sie dann zu ein ■der, so erhält man:

Iglich nach 22) and 19):

ler, wenn wir der Kflrze wegen:

S8) .

^ -"♦■4(i-a)(l-6)-"*' iL '

«#' — a: ^—ümi— _ — i ** "" * " ~+4ö»— a)(^— A) — "»"!]!*"

tzcn:

29) dx*+dy^=L'Bl* + M'dffl.

Zunächst wollen wir nun im Allgemeinen untersuchen, welche irven unter der Voraussetzung» dass a, fr; l, fi gewisse con- inte Grössen sind, dagegen o?, y als veränderliche rechtwink- e Coordinaten betrachtet werden, die Gleichungen

X — a l — 6 a — a u—o

!

302 €rumert: Theorie der elttpüeeken CoaräüMem

oder I \

30) . . . r^ + A=l, -^+-^=1

darstelIeD, wobei es aber nöthig iet, ein bestimmtes swischeo i, 6; il, f* Statt findendes GrussenverhfUtniss su Grande sn i^en

Nehmen wir demzufolge an, dass

sei; 80 sind die Grossen

A-a, A-6 respective

positiv, negativ;

dagegen die GrSssen

respective

positiv, positiv;

woraus sich ergiebt ; dass die erste der beiden Gleichungen 30| eine Hyperbel, die zweite eine Ellipse darstellt. Beide Kegel- schnitte sind auf dasselbe rechtwinklige Coordinatensystem dei opy bezogen, haben beide denselben Mittelpunkt, und für beide ist die Axe der x die gemeinschaftliche Hauptaze, weil bei der Ellipse unter der gemachten Voraussetzung fi-^a^ii — b ist. Die halbe Hauptaze und die halbe Nebenaze der Hyperbel sind re-

spective V^A — a und V^6 — X; die halbe Hauptaze und die halbe

Nebenaze der Ellipse sind respeetive V^— a und V^fi — 6. Dai Quadrat der halben Ezcentrioit&t der Hyperbel bt:

und das Quadrat der halben Ezcentricitit der Ellipse ist:

also ist, wenn wir fSr beide Curven die halbe Ezcentricitit dirck e bezeichnen, für beide Cunren:

31) «*=6 — a, e = V6 — o;

woraus sich ergiebt, dass die beiden Gurven dieselben BfSis* punkte haben, folglich confocal sind. Daher stellen die beides Gleichungen 30) jederzeit eine confocale Hyperbel und Ellipie dar. Lissf man l, pk varilres, so sind natSrIidi alle dadscb

fn der Ebene. 903

lervorgeh enden Kegelschnitte confocal, weil nach dem Vorher- gehenden e nur von a and b abhängt.

Wie man in jedem anderen Falle Ober die Natnr der beiden Corren zu entscheiden bat, erhellet hieraus genugsam.

Wenn (xy) ein gemeinschaftlicher Punkt unserer beiden con- fbcalen Kegelschnitte ist, und die veränderlichen oder laufenden Coordinaten jetzt durch ti> v bezeichnet werden ; so sind bekannt- lich die Gleichungen der Berührenden der beiden Kegelschnitte in dem Punkte {xy) respective:

und weil nun nach (19)

also

x^ y^ ^

(i-a)(^-«) + (A-6)(ft-6) ~ •

(i^X-^.)+Gi.)(A)=«

ist^ SO stehen nach den Lehren der analytischen Geo Doetrie die beiden in Rede stehenden Berührenden je derzeit auf einander senkrecht.

§.6.

Wir wollen uns jetzt in der Ebene, in welcher wir alle Con- itrnctionen- auszuführen beabsichtigen, ein beliebiges rechtwink- iges Coordinatensystem der xy^ und in derselben Ebene einen »aoz beliebigen Punkt, dessen Coordinaten durch x^y bezeich- let werden mögen, denken. Nun nehmen wir zwei beliebige Brossen a, 6 an, welche wir jedoch grösserer Bestimmtheit we- ^en der Bedingung unterwerfen, dass a < 6 sein soll. Bilden wir Jann die Gleichung

^ ^ yi - 1

lo hat dieselbe, wie im Obigen gezeigt worden ist, jederzeit zwei >eelle ungleiche Wurzeln A, ft, die sich durch Auflösung der vor- itehenden Gleichung bestimmen lassen, und von denen wir aus lern Obigen wissen, dass sie in den beiden durch die Grössen

a, 6, -foo Theil XXXIX. 27

394 Grüner i: Tkeorie der elliptischen Coordinaien

bestiminteD Intervallen liegen , so dass also, vreon wir Bestiramtheit wegen annehmen, dass il die kleinere der Wurzeln, dass also A < fi sei , jederzeit

ist. Die Coordinaten j?, y unseres Punktes {xy) geofiges hier nach den beiden Gleichungen:

und der Punkt (xy) ist also ein, den durch diese beiden Gier- chungen dargestellten confocalen Kegelschnitten , von denen der erste eine Hyperbel, der zweite eine Ellipse ist, gemeinschafiü- eher Punkt. Construirt man also diese beiden Kegelschnitte, wel- ches keine Schwierigkeit bat, da der Anfangspunkt der x^ ihr gemeinschaftlicher Mittelpunkt ist und ihre Hauptaxe und Nebeo* axe respective in die Axe der x und der y fallen, ausserdem dii Grössen der halben Hauptaxe und der halben Nebenaxe für dk

Hyperbel Va — a und Vä — iL, für die Ellipse \l ^-^a und Vfi-* bekannt sind; so wird der Punkt {xy) ein DurcbschnittspoDkt dieser beiden confocalen Kegelschnitte, folglich durch dieselbei jedenfalls bestimmt sein. Vollständig ist freilich die Bestimmii; der Lage des Punktes {xy) durch die beiden in Rede stehendai confocalen Kegelschnitte nicht, weil man natfirlich für die viff Punkte, deren Coordinaten

+ «. ^ry^ —x, +y; —X, —y; +x, —y

sind, ganz dieselben beiden confocalen Kegelschnitte erhSIt; aber einer der vier Punkte, in denen diese beiden Kegelschnitte sid im Allgemeinen jederzeit schneiden, wird der in Rede stehende Punkt immer sein. Man kann also in gewisser RGcksicht die beiden confocalen Kegelschnitte als eine Art krummliniger Co«' dinaten des durch die rechtwinkligen Coordinaten x^ y bestinni' ten Punktes (xy) betrachten, pflegt jedoch meistens die beideB durch X, y völlig bestimmten Grössen k, fi, welche der Beding

a<A<6<ft

genügen, selbst die elliptischen Coordinaten des durch die rechtwinkligen Coordinaten x, y bestimmten Punktes (xy) s* nennen.

Diese Betrachtungen kann man aber auch umkehren. Lia^ man nämlich die beiden als beliebige unabhängige Variable n !}etrachtenden Grössen k^ (i swar im Allgemeinen beliebig, jedoch

i

in der Ebene. ^ffy

Tarüreo, d«JM l sich immer awiacben den Gränzen a uid b :egeD /4 sich zwischen den Gränzea b ond -f oo bewegt; so r4en zu jeden zwei bestimmten Wertben dieser Variablen ge- ae bestimmte Wertbe der Grossen x, y gehören, welche den den Gleichungen:

lügen, und nach 15) durch die Formeln:

a — b ' ^ b — a

5r:

^,_a-a)(ft-a)^ ■_(A-A)(|i*-6) 6 — a ' y 6 — a

(tiramt werden, wobei zu beachten ist, dass wegen der ße- guog

snbar

b — a ' b — a

lerzeit positive Grössen sind, die obigen Formeln also filr or, y ner reelle Wertbe liefern. Freilich ergeben sich aus diesen rmeln för ar, y die vier folgenden Systeme von "Wertben:

_^^Sr^fc^, , =+V^^

a

*=-\ — ÄI=^ »=-\ — JUi — >

^- + \ — bm — ' »— \ — jir^ — >

durch jederzeit vier gegen die Axen der as, y symmetrisch rende Punkte der Constructionsebene bestimmt werden, welche vier Durchschnittspunkte der durch die Gleichungen

-^ + -^ = 1, ^^ , y* ^j

X — a'^l — b * f*— a f*— 6

27*

396

Grnneri: Theorie der eliipttschen CoordimaUm

bestimmteD eonfocalen Hyperbel and Ellipse sind. LSsst aber i, fA In der angegebenen Weise sich Terändem, nfA stimmt immer die beiden entsprechenden eonfocalen Ke| über den angenommenen Axen der x^ y als Axen; so wird naturlich unendlich viele solcher Systeme confocaler Hypei und Ellipsen erhalten» welche gewissermassen die Constnicti( ebene ganz überdecken» und in ihren vier Durehschnittspool alle Punkte dieser Ebene liefern.

§. 6.

Um eine Anwendung hiervon xu machen, wollen wir der Greaie fi den bestimmten » 6 übersteigenden Werth fio beilegen und die bestimmte Ellipse

32)

x"

^ -_

^ — a ^ — 6

= 1

betrachten. Zwei beliebige Punkte dieser Ellipse, deren redil-j winklige Coordinaten jedoch positiv sein sollen, seien (Xf^^ vd\

S^i5fi); an<^ zugleich werde angenommen» dass :ro<ar| sei. Dil] liesen beiden Punkten entsprechenden Werthe von l seien 4 und ^1, wo Ao> ^1 <lle beiden kleineren Wurzeln der Gleicbonjei

2

sind, wie auf der Stelle erbellet, wenn man nur überlegt, dsf die beiden Gleichungen

I«?

a?o

2

Vo^ _

f*o— o f*o— ^

= 1,

OTi

yi

f*o — a f*o— ^

= I

i

erfüllt sind, weil die Punkte (x^y^) und (a:,yi) der durch die Gifr chung 32) charakterisirten Ellipse angehören. Setzt man also:

33)

t

so Ist nach 12), da jetzt Aq, Ki die kleineren Wurzeln bezeieboeB: Setzen wir

34)

— u =

in der Ebene. 397

fipt\ ji _ ^ ^ ^ ^

•»;... • ^ -4(;t— a)(i— 6)""4(A— a)(6— A)'

D ist Dach 29) allgemein:

a..+ V= i'öi« = 4(r:^^T)8^''

'eil hier 8fi verschwindet, da ft constant ist; und bezeichnen wir an den von den Punkten (xq^o) "d^ (^i^i) begränzten, den ellip- sehen Quadranten nicht fibersteigenden Bogen durch Joi, so ist Dter den gemachten Voraussetzungen offenbar:

■«=/•■ »-V' + m-

Qn ist aber nach dem Vorhergehenden:

00, weil wegen der aus 25) bekannten Formel:

dx X 1

äi— 2'r^

iter den gemachten Voraussetzungen dx und dX offenbar gleiche orzeichen haben:

id folglich nach dem Obigen:

0 ffir Aq und Xi Ihre Werthe aus 34), in Verbindung mit 33),

1 setzen sind.

Will man den elliptischen Quadranten haben, den wir durch ^ bezeichnen wollen, so muss man

aro = 0, yo= V"f«o-^; ^1 = V^f*o— «» yi=o ^tzeu, wofOr man nach 33):

2Vo' = {(fio-6)-(ii-6)|« = (f*o-a)*, iVi' = t(f*o-a) + (a-6)l« = (fio-*)*;

398 Grunert: Theorie der elliptUcken Coordinaten

also:

and folglich nach 34):

Ao = i{(f»o-ft) + (a + *)|-i(«*o -«) = «.

ethält; also ist nach 36):

37) Q=i/'aiV' **""*

(A-«)(A-i)' Bezeichnet (7 den ganzen Omfang der Ellipse, so ist als

38)

«'=^/'»»V^^^,-

§.7.

Indem wir wiederum die durch die Gleichung 32) cbral sirte Ellipse betrachten» wollen wir das von den zweiten Cc naten ^q, y^y der Axe der x und dem Umfange der EHip8( gränzte FlächenstQck derselben zu bestimmen suchen, ii wir alle im vorhergehenden Paragraphen gebrauchten Bez nungen auch jetzt beibehalten. Bezeichnen wir das zu be mende Flächenstück durch F^x» ^^ >^^ n^t\i den Lehren dei heren Geometrie bekanntlich:

*oi

X

Nach 15) ist:

= / 'ySx-

und nach 25) und 15) ist:

8f \ \J (i - «i)(>«o - g)

ai~'2(A — o)^ b — a '

also

'"^— 2(i-a)lf b—a

iH der Bbetu. 399

«md folglich:

«a^_ 8* \f WEBBER \l ß-a)(i*o-'^

^-m^-äjM — 5=^^ — V b-a -'

^er:

^=^^^f^'-»Y^i-

ffolglich ist nach dem Obigen, n-enn Xq, Ag ihre aas dem vorher- gehenden Paragraphen bekannte Bedeatang behalten:

39)

Bezeichnen wir den Flächeninhalt der gansen Ellipse durch C, so ist, wenn wir wie im vorigen Paragraphen ilo=a, lizs:b setzen :

a

Weil Vf4o — a and Vfi^ — 6 die beiden Halbaxen der Ellipse Bind, so Ist, wie anderweitig genugsam bekannt ist:

41) . £=jtV(^-a)(f4o-^).

Vergleicht man die Aasdrücke 40) aud 41) mit einander, so erhält man die Formel :

^ b-a

n.

'^ /'»'V^i=

Es wird zweckmässig sein, diese Formel nach einer anderen [Methode zu entwickeln, um dadurch zugleich ein Kriterium für lie Richtigkeit unserer im Vorhergehenden gefilhrten Rechnungen KU erhalten.

Setzt man

b — A = fi, A = Ä — u;

so ist:

i— a = 6 — a — tt, Sil= — Sa;

^60 :

di

^ K — a f 6— a — tt

400 Sruneri: TAeotie der eiUpUscäen CoanUnaien

und weil nun für A = a, 1 = 6 respective tf=6 — a, « = Oii 80 ist:

a b—a 0

Setzen wir ferner u = ü*, was verstattet ist, weil u jede falls positiv ist, und nehmen v positiv, so ist dtf=:2t>do, also:

du

aT tt 2o^8o

und folglich, weil für tc=0, tc=6 — a respective o=:0, v=:\fb- ist:

J t 6— a— tt J[ V^6— a— ü«

0 0

folglich nach dem Obigen:

/'»'Vfe*-/

« ö

Nach einer sehr bekannten Reductionsforroel*) ist aber:

also oifeDbar:

0 0

also nach dem Obigen:

/•»Vfe-i= <*-«)/

V6— o— e»'

a 0

Endlich ist:

dt)

dv ^b-

V6— o— »•

^^'-(vfe)■■

*) M. t. meine Elemente der Differential- und Integri rechoaog. Thl. II. S.85. §.57.

in der Ebene. 401

also, wenn wir

to =

V"6-a setzen:

dp du>

V^Ä-a—ü« V"l — w«'

und folglich, weil för ü = 0, v^^yTb^a respective to = 0> to = 1 ist :

10«

0

also nach dem Obigen:

a 0

Nan ist aber nach einer Fandamental formel der Differential- rechnung offenbar: >

.0

also:

o

ganz eben so wie wir in 42) gefunden haben.

So leisten die elliptischen Coordinaten- Transformationen über- haupt häufig bei der Auswerthung bestimmter Integrale vortreff- liche Dienste, was das Vorhergeheode einigermassen zu erläutern wohl geeignet sein wird.

402 Grüner t: Theorie der eiUptiechen CoonUnaten

Theorie der elliptischen Coordinaten im Räume.

Von

dem Herausgeber.

§ 1

Wir beschäftigen uns soerst mit der Discassion der Wurselo der Gleig^ang:

welche leicht auf die Form :

2)

j»-{(o+6+c)T(«* + y«+*«)}«"

+ l(o6+6cr + ca)T[(6 + c)*» + (c + «)y» + (o + 6)»«]}cJ =0. — \abc^ (bex* + cay* + abt*) I

oder auf die Form:

3)

— t abc T {bcx^ + cay^ + aÄz*) }

gebracht wird.

Der Kurze wegen wollen wir aber zwischen den Grossen a, h, c das bestimmte Gr5ssenverhäitniss

im Räume. 40S

a<6<c

voraassetzen, wodurch die Allgemeinheit der Untersuchung nicbt beeinträchtigt wird. Durch i und J soll im Folgenden respective eine positive unendlich kleine Grösse und eine positive unendlich grosse Grosse bezeichnet werden.

Zuerst betrachten wir die Gleichung:

4) J^^JLj^J^^l^Q

' Q — a o — b • Q — c ■

und setzen der Kurze wegen:

Unter dieser Voraussetzung ist:

also f(o+i) offenbar positiv; dagegen ist:

'^ ^ b — a — t t b — c+t '

folglich f(b — i) offenbar negativ; daher liegt zwischen a und b eine reelle Wurzel unserer Gleichung 4), weil zwischen diesen Gränzen Unterbrechungen der Stetigkeit der Function fXg) offen- bar nicht Statt finden können. Auf ganz ähnliche Art kann ge* zeigt werden, dass auch zwischen b und c eine reelle Wurzel der Gleichung 4) liegen muss, woraus nun auch ganz von selbst folgt, dass die dritte Wurzel dieser Gleichung gleichfalls nur reell sein kann, und es also bloss noch auf die Bestimmung der Grän- zen ankommt, zwischen denen diese dritte reelle Wurzel liegen muss. Nun ist aber:

un(

J + a J+6 X+c

x^ Jf* X*

'^ ' t ' a — b — i a — c — i

also offenbar /*( — J) positiv und f(a — i) negativ» woraus sich er- giebty dass die dritte reelle Wurzel zwischen den Gränzen — od und a liegt, also die Gleichung 4) drei im Allgemeinen ungleiche reelle Wurzeln hat, welche in den durch die GrSssen

404 Grunert: Theorie der elUptUchen Coardinafem

— OD, o, 6, c

bestimmten drei Intervallen liegen. Weil, wie man leicht findet:

'A.)=-ic-^y+(i^)%(.-i-.)>

ist, 80 haben Sq and dfig) stets entgegengesetzte Vorzeichen, so dass also, wenn q zwischen gewissen Gränzen, zwischen denen keine Unterbrechung der Stetigkeit voit fig) eintritt, wächst oder abnimmt, zwischen denselben Gränzen /{g) respective stets ab- nehmen oder stets wachsen muss.

Femer betrachten wir die Gleichung:

5) -A_+.J!_+-i 1=0.

^ g — a • g — b g — c

und setzen der Kürze wegen;

F(g)--^— +^-z + -- 1.

^^' g — a Q — 6 g — c

Weil

^ • ' t a — o+t • a — c+t and

^ ' b — a— t t 6 — c— t

also offenbar F(a -ft) positiv und F(6— t) negativ ist; so liegt zwischen a and b eine reelle Wurzel der Gleichung 5), Gani eben so wird gezeigt, dass auch zwischen 6 und c eine reelle Wurzel dieser Gleichung liegt, woraus nun schon von selbst folgt, dass deren dritte Wurzel gleichfalls reell sein muss, und also bloss noch die Gränzen dieser dritten reellen Wurzel zu bestim- men sind. Weil aber

und

0?* «* 2*

JJ^ fl^ 2

also oifenbar F(e\i^ positiv ond F(-|- J) negativ ist, so kann die

im Räume,. 405

dritte reelle Wurzel nar zwischen c und -f- ^ liegen» und die Glei- chung 5) bat also drei im Allgemeinen ungleiche reelle Wurzeln» welche in den durch die Grossen

a, 6, c, +Q0

bestimmten drei Intervallen liegen.

Weil

ist^ so haben dp und dF(p) stets entgegengesetzte Vorzeichen, und wenn also q zwischen gewissen Gränzen, zwischen denen eine Unterbrechung der Stetigkeit von F{q) nicht eintritt, wächst oder abnimmt, so wird zwischen denselben Gränzen F{q) respec- tive stets abnehmen oder stets wachsen.

§. 2.

Die drei im Allgemeinen ungleichen reellen Wurzeln der Glei- chung

^ + -^ + ^-±1=0

Q — a Q — 6 Q — c

bezeichnen wir durch 1, ft, v; und haben mit RQcksicht .auf die Gleichung 3) nach einem allgemeinen Satze von den Gleichungen zwischen diesen drei Wurzeln die drei Gleichungen:

6)

A + ^ + v = (a+6 + c)iF(a:«+3f« + z*),

Xli + fiv-irvk = (aÄ+6c + ca)T(« + Ä + c)(a:* + 3^2 + ««)±(aar« + 6y« + c««),

Xfiv =: abc + (bcx^ + cay* + aÄi*). Da X, fi, V offenbar auch die Wurzeln der Gleichung

oder

sind, so ist fflr jedes q nach einem bekannten Satze von den Gleichungen :

408 G runer t: Theorie der elliptischen Coardinaien

Aas den drei Gleichungen 11) ergeben sich auch anmittelbar die drei folgenden Gleichungen:

I a — Ä)(A— c)il!f — (f4 - 6)(f4— c)L}ar«

+ ia-c)(;i-a)Ä-(fi-c)(fi-a)i|y«} =0.

+ {(A^a)(il-6)^-.(fi-a)(f»-6)i|i«

t (f4 — 6)((t — c)2V — (v ~ 6)(v — c)il!f U« + I (fi — a)(fi - Ä)2V— (v — a)(v — Ä) ;if 1 2*

|(v — Ä)(v _ e)i — (X — 6)(i — c)M ar* + ((v-c)(v-.a)L-a-c)a-a)2V'|y« + |(v - a)(v — Ä)L - a ~ a)(X— Ä)iV| 2«

= 0

oder

/I^iitfN /L^LitfN /L»_L»\.

(MN_m^>. /J^ i^x /Jtf^^ _ J«^>=0.

\|ii — a V — a/ \ft — 6 V — 6/^ ' \fi — c v—cj

olso offenbar:

14)

»•

(i_a)(^_a) -r (i_6)(p_ft) t (^ _c)(^_c)

= 0,

.2

(^-o)(v-a) + (^_6)(»-A) + (p_c)(»— c) -^*

»

,a

(V- a)(A— a) ■•■ (v-6)(A-^ + (iTl-cKA— c)"^"'

Schreibt man die fär jedes ^ geltende Gleichung 7) unter der Form:

im Räume. 409

16)

^— a"^p — Ä"'".p — c* *(p— a)(p — 6)(^— c)

€) differeDtiirt dieselbe dann nach q, so erhält man die Glei- ung:

j (ff-«)(ff-*)(*-c)K*-«(^(»)+(#-»»)(*-'')+(^v)(^A)] 1 -(p-A)(y-y)(y-v)[(^-a)(g-6)+(g-6)((»-c)+(g-c)(g-a)].

ao, «renn wir nach nnd nach 9=A, yssfi, p = v setsen:

17)

U— «/ ■*■ Vi— */ ■*■ U- c/ '~* (A-o)(i-6)(A-c)'

/'-f! V.l./'-» Vi/" ' V -T (^-^)(^-<*) Vv— «y ■*'\v— Äy ■•"Vv— c/ — "»"(v— a)(v-6)(v— c)'

Die darch Differentiation hergeleitete Gleichung 16) kann ■an auch auf folgende Art schreiben:

_-r(g""^XP— ^)(g-^)? ^""^ ^""^ ^■"*' - + (p-a)(p-^;6)(^-c)J 1 1 J_

\ p— a p— 6 ^— c Uo auf folgende Art:

ivorauB sich, wenn man hiemit 16) verbindet^ die Relation:

I

410 Grunert: Theorie der elUpüechen Caordinaten

d — a^ff-^b (f — c

19) ^i «. ,•

=-|

A — a fi — b V — c

(p-aX^-A) ^ (^-6)(^ - fi) ^ (p - c)(p- V)

ergiebt.

Aus den Formeln 9) Mltiit >i>&d dorcb partielle Differeo nach Xj (k, v:

^8i~+(a— 6)(a— c)'

a* (a-«0(a:-i) ^Sl»— +(a-6)(a— c)'

^_ (6--ß)(6-^) ay (*-v)(6:-i)

Q„8y_T-(*-^Xft-ft).

'^Sv""'*'(6-c)(6— «)' ''*aA--'»'(c— o)(c— 6)*

9, ^ — T<£-lüH£.-zi)

"a<»~"^(c— aXc— 6)' Bv ~^(c—aKc—b)

oder:

ai""*" 2 ' (a -6)(a— c) *i«'

a£_ £ (a — y)(a — l) l_ a<» —+ 2 ■ (a— 6)(o— c) ' ^ '

a«___£ (g — A)(a — t*) 2. dv-'*' i' (o-b)(a—e)' x*'

Ml JROHtH€,

411

^_i« (*->*)(*-») 1 ai~+9(6-c)(6— «)>•'

^ j (6~»)(6-i) 2 8»t~'*'2*(fr-c)(6— o)V'

§g_ « (6-A)(6-^) J_. 8v-'»'2'(6— c){6— a)*y*'

&__* (c-fi)(c-»). l

ds lieh nikch 9):

äi

_ * (c-v)(c-A) 1 ■*"2(c— o)(c— 6)"?'

, (c-A)(c-,t) 2. ''"2*(c—(i)(c— «)•««'

20)

£ _J

2a-i —

3«

ar 1

X I

2'a— (*~2'm— o'

2*o— v--2'v— o'

2

I

2'6— i 2'i b'

=-«

I

_2?

2*A— f»~2>— 6'

« 1 y 1

2«-v""5»-6'

3i z I * 1

dt X I X 1

8f» "~ 2 * e—ft "" 5 * f» — c *

dt_ X _i » 1

a»--~2*c— »""S'v— c*

il nuD

412

Grunert: Theorie der elUpUseken CaaräHmtem 8a: = ^)0X^ ^b^-^^dv

8^

9*

ist; so ist nach den vorstebeodeo Formeln :

Quadrirt man diese Gleichungen und addirt sie dann zs eii- ander, so erhält man offenbar die folgende Gleichung:

= .!(r^.)"+(A)VG-^.)>"

+ j(;^.)-+(^)VC-^.)>-

ix* y* ** { a

(»-a)(A-^) + (v-6)(l-A) + (if— c)(i^ « ^***'

nod folglich nach 17) and 14):

22) 4(8a:«+ay«+ai«)

_^ (A-y)(A— v) ,„ -■ *^(A-a)(i-6)(il-c)*'*

T (l*— »)(>* — ^) fi ,

+ (f.-a)0»-6)(,i-c)<'^ .

(v-A)(v-^) T(,_a)(v_6)(v-c)*^'

I

im Räume. 41S

wenn der Kürze wegen:

23)

X

^ ~ + 4(fi— a)(^— 6)(^— c)""""" iM

^^ """*'4(v-a)(v-A)(v-cl;7"*" 4iV

t wird:

§. 3.

^ir wollen nun untersuchen, welche Flächen des zweiten B durch die Gleichungen:

-^+^ + -^-1 = 0.

fA — a fi — 6 fA — c

V — fl V — 0 V — c

V — a V — 0 V — c

;tellt werden, wenn wir voraussetzen, dass

a<A<6<fi<c<v

o dass also A, fi, v in dieser Folge nach nd geordnet sind. Schreihen wir aber dk der Form!

414 Srun]eri)jTkeorie der eiUptUehen Ccordtnaten

a:« «• 1«

— 7^ — - — ^= 1.

26)

X — a b — A c— A

t 1/* 2«

fi — a^ — b c — fi

V — a V — b v — c

J

wo oun alle Nenner positiv glnd, so ergiebt sich aus der meinen Theorie der Flüelie^ des zweiten Grades"^ ohne Watan dass die erste ^ zweite, dritte Gleichung respective ein HypeA loid mit zwei Fächern, ein Hyperboloid mit einem Fache, i Ellipsoid darstellt.

Wir wollen nun die Haaptsehnitte dieser Flächen geu untersuchen.

Die Gleichungen der durch die Axen der x and y gelq Schnitte^sind beziehungsweise:

A-o b—l

-^ + JL i.

fi — a fi— ö

V — a V — b

und sind also respective eine Hyperbel, eine Ellipse, eine El Weil fi — ay^i/i — by V — a>v — 6 ist, so ist für alle drei h schnitte die Axe der x die Hauptaxe, in welcher die Brennp liegen, und die Axe der y ist' die Nebenaxe. Die Quadrat halben Excentrici täten sind beziehungsweise:

(Vir^)« + (V6^:^)« = a— a) + (6-A) = 6-a,

Vi^^)^'-(\rV^)*=(v'-a)'-(v'-b) = b'-a',

und die durch die Axen der x und y gelegten Schnitte sind lieh confocal für alle Werthe von A, fi, v.

Die Gleichungen der durch die Axen der y und 2 gel Schnitte sind beziehungsweise:

*) M. «. meine Kieme 11 te der anal j' tischen Geomc ThI. II. S.210. §.76.

\\

■ •

im Räume 415

j? ^^.

6 — A c — A

— .... 1 f

fA — 6 C — f«

= 1;

»*_ . 1«

V — 6 V— c

Ik^^ sind also respective imaginär, eine Hjrperbel^ eine Ellipse. ^"*^«il V — 6>v — c ist, so ist für beide Kegelschnitte die Axe der ?" 9^ die Hauptaxe, in welcher die Brennpunkte liegen, und die Axe

^«r 1 ist die Nebenaxe. Die Quadrate der halben Exceptricitäten

^ind besiehungsweise:

(V;r=6)«+(^^:::^)*=(fi-6) + (ü-» = c-6,

(V^Uft)«— (V^ir^)« = (v— 6)— (v— c) =c— 6;

Hod die durch die Axen der y und z gelegten Schnitte sind folg- lich wiederum confocai für alle Werthe von A, ^n, v, ^

Die Gleichungen der durch die Axen der z und x gelegten Schnitte sind beziehungsweise:

x^ z^

^ = 1,

A— a c — A

= 1,

fi — ff c — \k

= 1;

«« . 2«

V — a V — c

und sind also respective eine Hyperbel, eine Hyperbel, eine Ellipse. Weil v»-a>v — c ist, so ist fiir alle drei Kegelschnitte die Axe der X die Uauptaxe, in welcher die Brennpunkte liegen, und die Axe der z ist die Nebenaxe. Die Quadrate der halben Excentri- citäten sind beziehungsweise:

(VX^)*+ (Vc— A)« = (A— a) + (c-A) = c-'U, (V7^)* + (^^^^)*= (^-«) + (c-^) = c-fl,

(V^iT^)* — (V v—c)* = (v — a) — (v — c)= c — a;

und auch die durch die Axen der z und x gelegten Schnitte sind folglich confocai für alle Werthe von A, fi, v.

Wegen dieser Eigenschaften der Hauptschnitte nennt man

• >^

4L6

G runer t: Theorie der eUtp tischen CoordinmUn

die drei durch die Gleichungen 26) charakteriairten FUcben d» zweiten Grades selbst confocal» eine Eigenschaft; welche dfieHi Flächen für alle Werthe von l,^ ^, v zukommt.

Wenn {xyi) ein gemeinschaftlicher Punkt unserer drei cos- focalen Flächen ist, und die veränderlichen oder laofenden Coor- dinaten jetzt durch u, v^ w bezeichnet werden; so sind bekanot- lieh die Gleichungen der Berfihrungsebenen der drei FlScheo ii dem Punkte {xyi) respective:

= 1,

XU A — a	+		+	zw k-c
XU	+		+	TW
XU		y^		xw

V— a v-^6 v—c

= 1.

= 1;

und weil wir nan nach 14) die drei folgenden Gleichuogen haben:

(z^)C4-„) 4 ( A)t^O + (iiiX.-^.) =»■ (Ä)(Ä) + (A)^) + C-^.)fe) =•'

SO stehen nach den Lehren der analytischen Geome- trie die drei in Rede stehenden Beriihrungsebenen je- derzeit gegenseitig auf einander senkrecht; und man kann also auch sagen, dass die Durchschnlttsliniea der drei confocalen Flächen gegenseitig aufeinander senkrecht stehen.

§.4.

Wir wollen uns jetzt im Räume ein beliebiges rechtwinkliges Coordinatensystem der xyz, und einen ^atiz beliebigen Punkt, dessen Coordinaten durch x, y, z bezeichnet werden mögen, den- ken. Nun nehmen wir drei beliebige Grössen a, 6, e an, welche wir jedoch grosserer Bestimmtheit wegen der Bedingung unter- werfen, dass o < 6 < e sein soll. Bilden wir dann die Gleichung

X'

SL

•2

Q — a Q — 6 ' Q — c

= 1,

im Baume. * 417

mo hat dieselbe, wie im Obigen gezeigt worden ist, jederzeit drei rtf lle ongleiche Wurselo l, ii, v, die sich durch Aofiösung der Tor- stehenden Gieicbnng bestimmen lassen, und von denen wir aus dem Obigen wissen, dass sie in den drei durch die Grossen

a, A, c, +00.

bestimmten Intervallen liegen, so dass also, wenn wir grosserer Bestimmtheit wegen annehmen, dass die Wurzeln A, fi, v in die- ser Folge nach ihrer Grdsse aufsteigend geordnet seien, jederzeit

ist. Die Coordinaten unseres Punictes (xyx) genflgen hiemach den drei Gleichungen:

i — a + i-6 + i— c~*'

II — a II — 0 (» — c

^^ + -^-+-'- = 1 V — a V — b V — c '

und der Punkt (xyz) ist also ein, den durch diese drei Gleichun- gen dargestellten confocalen Flächen des zweiten Grades, von denen die erste ein Hyperboloid mit zwei Fächern, die zweite ^in Hyperboloid mit einem Fache, die dritte ein Ellipsoid ist, gemein- schaftlicher Punkt. Construirt man also diese drei Flächen, — oder denkt sich dieselben construirt, — so wird der Punkt (xyi) ein Durchschnittspunkt dieser drei confocalen Flächen des zweiten Grades, folglich durch dieselben jedenfalls bestimmt sein. Voll- ständig ist freilich die Bestimmung der Lage des Punktes (a:yz) durch die drei in Rede stehenden confocalen Flächen des zweiten Grades nicht, weil man natürlich für die acht Punkte, deren Coordinaten

+ «.	+».	+*;
— «,	+y.	.+*'
— «,	~V'	+*;
+«.	-V'	+ «;
+ x.	+».	— 2;
— X,	+».	— x;

— Xf — y, — 2;

^/

418 Grunert: Theorie der eliiptischen Coardinaiem

sind, ganz dieselben drei eonfocalen FlSchen dee swelteD Gradet erhält; aber einer der acht Punkte, in denen diese drei eonfoet- len FlSchen des zweiten Grades sich im Allgemeineo jederzeit schneiden, wird der in Rede stehende Punkt immer sein. Mai kann also in gewisser Rücksicht die drei eonfocalen Flächen des zweiten Grades als eine Art krummflächiger Coordinaten des durck die rechtwinkligen Coordinaten x, y» s bestimmten Punktes (xjfi) ' betrachten, pflegt jedoch meistens auch bei Betrachtungen im Räume überhaupt die drei durch a?, y^ z völlig bestimmten GrSssei X^ fi, V, welche der Bedingung

genügen, selbst die elliptischen Coordinaten des durch die rechtwinkligen Coordinaten x, y^ %c^f^^^^^^^^ Punktes {xyi) su nennen. '■

Diese Betrachtungen kann man aber auch umkehren. Lässt man nämlich die^drei als beliebige unabhängige Variable zu be- trachtenden Grössen A, fi, v zwar im Allgemeinen beliebig, jedodi 60 variiren , dass k sich immer zwischen den Gränzen a und b^ fi sich zwischen den Gränzen b und c, v sich zwischen den Grän- \ zen c und -{-oc bewegt; so werden zu jeden drei bestimmteo Werthen dieser Variablen gewisse bestimmte Werthe der Grössen ^9 tff ^ gehören, welche den drei Gleichungen:

^L + JfL .^L=,,.

fA — a f» — 0 fi — c

V — a V — o V — c genügen» und nach 9) durch die Formeln: .

a:* = -

(q — A)(a— fi)(o-v) (o-Ä)(«-c)

^ """" (A-c)(6-fl) '

, (c-A)(c~fi)(c>-v)

* - -(c-a)(c.-6)

oder:

-■ »

im Baume

419

x:

ft —

»»=

ß-aX(i—a)(v—a) (b-a)(c-a)

(6-A)(<t-6)(v-6) (e-b)(b—a)

(c— A)(c— ft)(v — c) (c-a)(c-6)

bestimmt werden, wobei zu beachten ist, dass wegen der Be- dingung

a<i<6<l»<c<v

offenbar

(t-äy(i— a)(v— g) "(ft-a)(c-fl) '

(6-A)(>i-6)V-6) (c-6)(Ä-«) '

(c — X)(c— ft)(»-c) (c-a)(c-6J

jederzeit positive Grossen sind, die obigen Formeln also f&r x, y, X immer reelle Werthe liefern. Freilich ergeben sich aus diesen Formeln, wenn wir der KOrze wegen:

4 =

» =

(X-a)(>i-a)(v~a) (a-bXa-c)

(l-b)i,i-bXv-b) (6— c)(Ä — a)

(A-c)(ft-c)(v-c) *- (c-'fl)(c-6)

setzen, für o:, 5/, z die acht entsprechenden Systeme von Werthen :

X X X X

+ Vil, y

= KV», Z=: +Vtf

= +V», t=+Vtf

=:-V», Z=+V<r

= +V», z = — Vtf

420 6 runer t: Theorie der elHptisehen Coardinaien

wodurch jederzeit acht gegen die Axen deV or» ^, z symmetrisch liegende Punkte im Räume bestimmt werden , welche die acht Durchschnittspunkte der durch die Gleichungen:

-!I — j. _^[ 1, LZ =1

V — a V — 6 »^^c

bestimmten drei confocalen Flächen des zweiten Grades: eine« Hyperboloids mit zwei Fächern, eines Hyperboloids mit einem Fache und eines Cllipsoids, sind. Lässt man aber A, ^, v in der angegebenen Weise sich verändern, und bestimmt immer die drei entsprechenden confocalen Flächen des zweiten Grades über deo angenommenen Axen der x, y, 2*als Axen; so wird man naturlich unendlich viele solcher Systeme von confocalen Hyperboloiden mit zwei Fächern, Hyperboloiden mit einem Fache und Ellipsoideo erhalten, welche gewissermassen den ganzen Raum ausfölleo, und in ihren acht Darchschnittspunkten alle Punkte des Raumes liefern.

8- »•

Um eine Anwendung des Bisherigen zu zeigen, wollen wir der Grosse v den bestimmten, c übersteigenden Werth Vq beile- gen, und das bestimmte^Ellipsoid

27) + ~äL-7 + = I

betrachten, indem wir von demselben nur den in dem ersten der acht durch die Axen der Xj y^ i bestimmten körperlichen Win- kel, welchem die positiven Theile der in Rede stehenden Axen entsprechen, liegenden Theil in's .^uge fassen.

Denken wir uns auf der Oberfläche dieses Theiles des Ellip- soids einen beliebigen Punkt und die beiden durch denselben

i^

hn Haume. 421

gdegteo confocalen Hyperboloide, so stehen deren Dorcbscbnitts- lioien mit dem Ellipsoid und mit einander bekanntlich gegenseitig aof einander senkrecht Die Quadrate der Elemente der beiden Durcbschnittslinien mit dem Ellipsoid erhält man aber offenbar ans der Gleichung 24), wenn man etwa zuerst f», v als constant betrachtet und folglich df* = 0, dv = 0 setzt, dann A, v als con- stant betrachtet und folglich dil = 0, dv ^ 0 setzt, wodurch man nach 24) die folgenden Ausdrücke für die Quadrate dieser Ele- mente erhält, indem man natürlich Vq ftir v schreibt:

wo

(X- t/L){l-Vo) (>*-A)(vo-A)

" - 4(i-a)(l-«t4r-0""4(l-a)(6— i)(c-i)'

■ b ' «

■ I

4(f*— fl)(f*— ^)(** — c) 4(^ — 0)0* — 6)(c— fi)

zu setzen ist, so dass also die beiden auf einander senkrecht stehenden Linienelemente selbst:

*"*! (i-a)(6— A)(c-i)'

sind. Folglich ist das Flächenelenient:

1 (»*-A)^ö^-A)(vo-^)

•»V(A-o)(6-A)(c-i)(^-a)(^-Ä)(c-^)

dtöf».

nnd da sich nun 1 von a bis 6, f» von 6 bis c ver&odern kann, so ist, wenn F den Inhalt der Oberfllf^* des ganzen Ellipsoids bezeichnet:

»>*>.

iF=zi CT (>*-A)V(i>o-A)(vo-(.) _

M '^ ^(i-a)(6-A)(c-i)(,»-a)(^-6)(c-,i) '^'

also:

28)

=2 rr (f*-^)VK-^)(^o-ft) aiau

J c/ Vä^a)(6-A)(c-A)(^-a)(ft-6)(c-^)

^ d A

422 Grüner t: Theorie der elliptischen Coordimaien

Das Quadrat eines ganz beliebigen Korperelements ist, wie aus den vorhergehenden Betrachtungen sich ohne Weiteres ergiebt:

L'M'üi'dkHiiiKi^,

wo

,, (l-v^jl—v) 0*-Jt)(v-il)

^ ~4(i— o)(A-*)(i-c)--4(i— aK6-A)(c— i)'

Hf __ifLr!^.niL_ _ (v~f.)(>»-i)

4(v — o)(v — b)(y — e) 4(v — o)(v — 6)(v — r)

zu setzen ist, so dasa also das KSrpmlement offenbar:

. ''■. •

(^^A)(v--fi)(v^X) ^^^^^

8V'a-a)(6-iL)(c-A)(fi-a)(^-6)(c-^)(v-a)(v-6)(v-c) '^'^

ist; und da sich nun X von a bis 6» ^ von 6 bis e, v von c ins Vo verändert, so ist, weon V das Volumen des ganzen Eilipsoids bezeichnet:

.\y.

im Räume.

4SA

4

CO

I

'S

I

I

I

I

Co

I

'S"

I

I I

o

II

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a a

1 %

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9

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I

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"5 "SSd

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' — * ai

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>

O

I

I

Q I

I

o

I

SL

I

I

o

I

I

II

o

I

I

V

424

Grüner t: Theorie der eiüpt. CoordiH, im ifämme.

60

s

XI

o 'S

3 s

5

'S

1

c o

s

a

a

9

o

I

I

I

1

I

I

I I

I

H*

M

. 1

9

X

8

e

s

9

ea

as

V V

I

E

o

a

JS u

e

9 I

o

'Sc

9

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8	•
j_^^	OD

Oeitimer: Oeker öetUmmte Iniegraie. 425

Ueber bestimmte Integrale.

(Fortsetzung von Thl. XXXiX. Nr. XIX.)

Von

Herrn Dr. X. Oettingerj

Grosshersof^lich Badiiichein Hofrathe and ordentlichem Professor der Mathematik an der UniTeriität an Freibnrg i. B.

III.

§. 31.

Der eben in §. 30. angegebene Zweck wird erreicht, wenn man die bisher befolgten Methoden mit einander verbindet.

— Y^ darzustellen , hat man in der

Gleichung Nr. 6) §.2. x atatt z zu schreiben« mit j^ zu multipli- ciren und r in nt umzusetzen, wodurch

entotebt. Verbindet man dieae Gleicbimg mit / (lg:r)''d:r, so erhält man :

o o o

Wird jedes Glied auf der rechten Seite nach §. 19. Nr. 1) behan- delt und der Werth fflr ß (\ga:yBx aus Nr. 14) §. 21. cinge-

filhrt, 80 bestimmt sich das fragliche Integral auf folgende Weise:

Theil XXXIX. 89

426 Oettin§er: Oeber betUmmte ItHefrate.

2)

/' ^^^?!^ = (-)M"ni + ^. + 3^1 + ....) o

Hiemit stimmt die in Nr. I) $. 22. gegebene allgemeinere Gleicht

3) ia:"P+P*-»(lgar)''3a:

/

1— arP

o

l*"»* V\^ 11 1

überein, aus der sieb Nr. 2) ableitet, wenn /?= 1 wird.

An diese Gleichnngen scbliesst sieb eine Reihe von AI tnngen. Setzt man nämlich r=:l, m=0, 1,2,...., so leiten aus Nr. 2) folgende Integrale ab :

4)

n

«

/

o

/

o

/»»»»Ig» ««49

J T=S^* — 6' + 36'

/» 3t^\gx a »• . 206

131^^* = - 6 +144'

O

Hierin ist:

l-ar^"^— ""¥+3600*

0

/i £^l££p^ _ ^ . 5^ '

5(1, !)• = ^= 1,6449340668482264 ...

Oeiiinger: (Jebtr äeüimmie ltUe§raU. 427

Verbindet man die Ausdrfieke in Nr. 4) mit eiDaoder, so erhält man :

8)

/

O

1d dem begleitenden Auadmcke Z — — ^ aind statt ti all-

niSlig die Werthe 1» 2, 3, ....m zu setzen, virährend m nnverän» dert bleibt» so dass

^«m— tt-t- 1_ m— I m— 2 , 2 , 1

bedeutet Diess föhrt zn folgenden Integralen:

«)

o

/» 1— or« , - 5«« . 726

O

* 1—«* . « -^ 389»

/

o

/

/

/

o

U. 8. W.

Verbindet man aber mit den Ausdrücken in Nr. 4) der Reihe nach die Werthe Oq» ^i» a^,....am9 ao ergibt sich aus ihrer Vereini- gung folgendes Integral:

7)

0 Bei Darstellung der einzelnen Fälle hat man in den Symbolen Sf^oux^ und 2*%» statt t» allmälig die Werthe 0, 1, 2, .... m und

in Z^auiZ^"^ zuerst statt u die Werthe 1,2, ....m und für jeden einzelnen Werth von ti in ^l* -^ statt u allmälig die Werthe

29*

428 Oetiinger: Oeber bestimmte Iniegrale.

1^ 2, .... « zu schreiben nnd sofort die sieb ergebenden Wert zu vereioigen. Hieroaeb ist:

8)

+ •••• + (flm-l + Arn) T- iTS + am -"i*

Beide Darstellungen in Nr. 8) dienen zur gegenseitigen Conti f&T die riebtige Wertbbereebnung. Setzt man nun statt der a Vorzablen der Potenzen des ßinomiuros (1 -f or) , so erhält r hieraus folgende Integrale:

9)

'(i+->'K-a.=-^%i.

J l-a: "* 3

0

p » {\±x^x. 2«« . 13

J l-:r-^^ = -X+4'

O

o

/i(l+£)*lg£ _ 8»« 2645 J_a: «»^ r+144'

0

/»i(l+^»lg£ _ 16«9 71447 J V-x ""^ 3~+18ÖÖ'

O

u. s. w.

Aus Nr^3) ergeben sich, wenn p = 2, 3,4,.... gesetzt w\ folgende Integrale:

10)

-iz:^8x=-is(i.i).+j^"l,.

V»^*»4^|g^ , 1 ,

J I-;c» *'* 9*<*'*> +9-^1 i?'

o

/iar*»f»|ga:, I 1 « 1

u. s. w.

Oeitinger: üeöer bestimmte lnte§raie, 429

Setit man nun iit=0, 1, 2,...., so wird man auf die gleichen Zahlenwertbe wie in Nr. 4) geßibrt, jedoch mit dem Unterschiede,

dass die Factoren ^^ n> ja» •••• ni>^ ihnen in Verbindung treten.

Die Potenzen der x folgen aber einem anderen Gesetze, wie dort, und lassen LQcken, da sie, wie bemerkt, nach einem an- deren Gesetze fortschreiten.

Wendet man auf Nr. 3) die in Nr. 5) befolgte Methode an, HO erhält man:

11)

/» » £(l:-£*»f^lg« _ (m + l)»^ l -m— u+I J (!-*«)* «*--" 4.6 +4 1 ^ '

O

/^j?«(i-a;»^»)lga;Q _ {m\\)n^ . 1 ^m— tc+l

/^ jrP-^(]--a:»^-^P)lgjf,Q _ (wi+l)« 1 „m— ti-fl

*^ •

Eben so erhält man nach der in Nr. 7) angegebenen Methode folgende Integrale:

12) ./ ni^. »*--(-%««•) 0 + 4 'S ''«•<'^ii?>'

n

Die Ableitung specieller Fälle aus Nr. 11) und 12) ist sehr einfach, da man die nämlichen Zahlenwertbe erhält, wie sie in Nr. 6) und Nr. 9) angegeben sind , und man nur die Coefßcienten

-, f|,..-. damit zu verbinden hat.

§.32.

Setzt man r = 2 und m=:0, 1, 2, 3, .... in Nr. 2) §.31., !»o erhält man folgende Integrale:

430 Oettinger: Oeber bestimmte Integrale.

1) /' ^8« =2S(1.I)».

/' ^l-'ax = 2S(i, i)"-s, /■^|.'a,=,s(i.i,.-»,

/■ i^lls^'a, = 2S(i, i).-f "»

: II

Darob Vereinigung dieser AusdrQcke entsteht: und hieraus:

n. 8. u*.

Eben so erhält man:

3)

woraus sich folgende Integrale* nach der in §.31. angegeb« Methode ableiten :

^ ^^ 9m. ifer: üeöer öesümmie ifUegraie. * 4SI

•♦•

J \

gte^%.= 85(1.1).-?,

•<te^a»= 165(1.1)»-^.

^fc. -\» 28643

-^ %^ "a»=325(l.l)»-^

4. '->''♦ < 1595942....

o. ^ ^ in Nr. 2) §. 31. gesetzt, so

♦*'*'

••!»

«4 1393 ~I5 + 216 '

_j£L"a _ ** . 2-2369 l_a: "^—"15 + 3456 '

< 1 — ar 15

14001361 2160000'

U. 8. W.

to ergibt sich durch Vereinlgiing der in Nr. 4) angegehe«

ate:

6)

/• (l-a:»)(lga:)» L »^99 •f (!—«)• <^— 6 ■•" 8 '

.( (l-ar)" ^*~~15"'" 108 '

/" (l-£»)(lg£)» _ »*. 87425

4, (1 — ar)« '^— ~ 3 ■•" 3456 '

— j*H-i)(|ga;)» (m+1)«* .« ^»»-u + 1

(1—«)» "•*=*- 15

„ -jmm — UT

432 Oeiiin§er: Oeöer be$UmmU InUfraie.

Feroer:

6) /'(H-jr)(lg.)»3^^_2^ % 1 — X 16 '

/•« (l+^)^lg£)»- 4«« .147

•( r=5 — 3*=-T5'+"8''

/• (l+£)*(lg^ _ 16»* . 3266S7 1— ar f^-- 15 + 3466 »

Hierin ist 5(1, 1)«.= ^= 1.082323233711 1382....

Aus Nr. 3) {. 31. erhalt man ferner:

7) /•• j">+f-Hlga:)«g^^ 2^(1, 1)» 2 ^^

/•« 5«p+p-2(!gfr)!a 6S(1. D* 6 _^ 1

< 1— a* .»» "•"»* IM*'

8)

/' a?P-H1 — a;'»P+P) (lg J;)*Q _ 2(m+ 1) S{} , 1)» 2 ^»w-u (1— «P)* *''^~ p» p» i M»

/' gP-*(l — a;«»P4i') (lga?)»a _ 6(m+l)g(l. 1)* d^^m-a „ (1-arP)« ^'^""~ j»* +p* 1 »«♦

-|<«,.(2; +^<«P»K

II. 8. W.

Oetitnger: Veber öesiitnmte Integraie. 433

Die ZablenausdrQckey worauf die in Nr. 7) — 9) angegebenen itegrale fähren » sind dieselben » wie sie in Nr. 1) — 6) angeführt nd. Hiezu treten dann noch die vorgeschriebenen Coefficienten.

§. 33.

Setzt man x statt z in Nr. 2) und Nr. 3) §. 2. und verbindet

ie hieraus entstehenden Resultate mit J 3fl^(\^xydx und •i

x^-\r^(}gxydxy so erhält man:

Verden nun die einzelnen Glieder nach Nr. 1) §. 19. integrirt und -erden die Werthe fOr die begleitenden Integrale aus Nr. 15) . 21. eingeführt, so ergeben sich hieraus folgende Integralformen:

2)

L-j- X y

• 3)

liemit stimmt die in §• 22. Nr. 2) gegebene Gleichung uberein, mrnach ist:

4)

434

OettiHoer: Oeber betUtumte lnle§rale.

Hieraus entnehmen sieh för r:=l und fit=:0» 1, 2,.... folg< Integrale :

8)

/

O

/

/

n

/

/

o

/

(I

/ /

()

/

1+ar

dx

=-S'(l,l)«=-

«^

f2'

l+x ä^lgx

x^\gx l^x

x^\gx

T+x

X^lf^X

Tj^x

x^igx

dx

dx

dx

dx

--12 + 4'

«•31 """'"12 36'

«'

= -io +

115

12 "^ 144 '

«'

d.T — |- .-4, .ji

3019

dx

Vi 3600'

- w^. 973 ""'"12 + 1200'

r«

I

?Ü^8^ -_5: .^r-/ )»-i-^.

3 j; = fs —

12 -S ^^ fi*-

Werden die in Nr. 5) erhaltenen Ausdhicke. um Harnion die Zeichen zu bringen , der Reihe nach mit abwechselnden eben verbunden, so entsteht: *

6)

^i(l(_)ma.m+i)|ga;^_ (m + 1)«« . ^,

y — 0+^ — ^' nr— + "S <-)

woraus sich folgende Integrale ableiten:

7)

/»»(iii£!)Jgf« _ «' , 7 (l+^r)« 3*— 6+''

O

, m-u-l

M^

/

»a+£»)ig£ ««7

(!+«)« "•*"" 4 "^4'

O

Oettln§er: Veber beMtimmte bUeffraie. 435

o

(1+^)«^'^'^-^ 12+144'

/»i (l-^^ar- _ *• . 2849 J (l+;r)» "*-" 2 t 600 •

O

r^ (l + a:^lg:r. _ 7«« 24269 J (1+a-)*^^^"'"" 12 + 4800 '

U. 8. W.

I Werden aber dieive Ausdrücke der Reihe nacli mit Oo* — Oiy a^,

! — <i8 9-**- verbanden und vereinigt, so erhSit man:

8)

Hieran« 'leiten sich folgende Integrale ab, wenn man die Vor- zählen der Potenzen des Binomiums (l — x) benntst:

Ö)

o

' j/ 1 +x 3 4'

/»» (l-x)»\gx 2«^ .58

J 1+« "* 3 + 9 '

/» (1— ar)«lgXj, 4»« 1S3S i+x ®*=^ r + T44'

o

U. 8. W.

Ans Nr. 4) erhfilt man folgende Formen:

10)

u. s. w.

434 Oeitinger: (Jeder öestimmie Iniegraie.

Hieraus entnehmen sich fiir r:=l und m = 0, 1, 2, .... folg« Integrale :

5) V'K^o_ =_S'(l.l)«=_g

O

Bx

f /

l+a;"^ - 12 ''

n

y l + ar"* -"^12 36'

/

1+«*** ~'~12''"144'

O

/*i^^ . JT« 3019

l+o:^* ""+1'2""36()0'

o

0

f

/

» a-«lga;. _ »« 973

Ifa:*'* -""12 + 1200'

O

/

1+ar ri ' i ^ ' tt*

1 + a: 12 1 ' M*

o

Werden die in Nr. 5) erhaltenen Ausdrücke, um Harmonie die Zeichen zu bringen , der Reihe nach mit abwechselnden Z eben verbunden, so entsteht: *

6)

y — 0+^* — ^*= — n" + -^ <-> —ij—

woraus sich folgende Integrale ableiten:

7)

/*'(l-a;«)lgx ««

y (! + «)• "*-- 6+'*

J (l+:r)» 8-*— 4+4

O

Oettinier: Ueber betttmmte Integrate. 435

/»» (l-£^l£«j, _ »^ . 47 J (l+j:)> *'*-" "3'''18'

(1+ar)« ^^— 12+144'

/i (1— a;«)|ga.^ _ »»* . %I9

O

/» (l+jr^lR*. _ 7w« 24»9 " (1+a-)' ''*-— 12 + 4800 '

O

U. 8. W.

Werden aber dieive Aasdrficke der Reihe nach mit Oo * — ^i > ^s» 03,.... verbunden und vereinigt» so erhSlt man:

ierans * leiten sich folgende Integrale ab, wenn man die Vor- ihleri der Potenzen des Binoroiums (1 — o:) benutzt:

Ö)

O

/»l (l-«)«lg£g^__«« 11

J 1 +a: 3^4'

'/»i (l-;c)»ls^ 2«« .55

U

/»i (1— ar)«lgar„ 4«« 1835

o

u. s. w.

Aus Nr. 4) erhält man folgende Formen:

10)

l+ii- 3^(-)~+4S'(l.l)»(-)-+«i-£.-(-)-',7,,

41

f ' '''t>i^»"^^^->'"+''*'f'' ')*(-)'-+»J^,"(-)-\7i.

U. 8. W.

436 Oet tinger: üeber bestimmte InUgrmie.

11)

./ (T+^^i ^*- 02- + »-^i" (->• — ir-

O

/» » a;«(l(-)'"x»"+»)lga; _ (m-t-l)»« . , „ ^ . ...^ m-K+l

O

U. 8. W.

12)

O

+ i^"fl««(^,"(-)-*;;i)>

1

+ j2:i-fl,.(-r,»(-)-»-j),

U. 8. W.

Die Zahlenwerthe bleiben mit Aosnabroe der Toi^eschriebeoH Coefficienten die gieicfaen, wie sie oben angegeben wurden.

§.34.

Setzt man r = 2 in Nr. 2) and Nr. 3) $. 33., so erhält mai:

1) /'^^n^'Sx=2S'(l.l).-2(l-l + l,_....-^,).

O

2) J 1+a: »*— 2Ä(M) +2(I-2J + 3»— ••+(2m+l)'''

t

Aus Nr. 4) §. 33. entsteht :

3)

0

I

Au8 Nr. 1) und Nr. 2) leiten sich folgende Integrale ab:

OetUmter: Veker bestimmte iHUgrale. 4S7

4) /'^I^'Sx = 2S'(1.1)..

O

y ^i"'^^ =-25'(l, I)»+2.

0

/■£;<M!a,= .*<■.. ,-^».

o

j "Tm^^ = -2* <* ' '^ - 108000 •

U. 8. W.

Durch Verbindung; dieser Ausdrficke unter sich mit ab- icbselnden Zeichen folgert sich das Initegral:

»)

iraus sich folgende Integrale ableiten:

o

0 O

J -IHM)«— s*=»OÄ'a. »)•- 864-'

O

u. s. ^.

Eben so erhSlt man:

438 Oetlinger: üeber desUmmie IniegraU.

7)

/»i (^o"(-)«fl.j*)(lga:)«g^ J 1+^

Hieraas leiten sich mit Benutzung der Binoniial-CoefficienU folgende Integrale ab :

8)

jr^(iz:^-)!a,= 85'(i.i).-?. /*^i=f^>'a.=i6S'(i.i).-f

0

u* s. w. Aus Nr. 4) erhfilt man durch Befolgung derselben Metho

ö)

o

10)

(1+^)*

_ 2(1« +1)^(1.1)» 2 m-tt+l = J^i ^A-(-)- j^i ,

11)

/» gp-t (■Sq'" (- )» a,„xv*){\fixf g^ l+arP o

Hierin ist S'(l, 1)* = 0,9015428773696957....

Oettin§er: Debet besümmie integrale. 439

§. 35.

tzt man r = 3 in No. 2), 3) und 4} §. 33., so erhält man e Formen:

I)

r+V-«*=-«*'(»' *>* + 6(> -2« + 3i - •••• - (2^4)'

;^V= + 6S'(l,I)*-6(l-2Usi--"-+ÖSrW>'

3)

.ti!^^|;^'a. = (-)^^^Ä'(l. 1)M-).^ A.(-)-i.

s Nr. 1) und Nr. 2) ergeben sich folgende Integrale:

4)

./ \^x "^ ~ 120 "•

/' «Vjg«)'« _ 7«^ .48 l+x *'*-~120+8'

/' j»(lga:)»a _ 7»« mi 1+* *''^— J20~216'

/•' a:4(lga:)»a !«• 19615

•J 1 + a: °^— "120'*" 3456'

/" ft»(lg£)3 _ 7»»4 12280111 J l+;r ^^- 120 " 2160000 '

U. 8. W.

rch Vereinigung dieser Ausdrücke mit abwechselnden Zei- rhält man:

8)

_)m j.m-f t) (lg j;)8 (m+l).7«« m-tt.t.1

— ^.^j,— a^_ 120 +6.^,-(-)« '— j^r-'

sich folgende Integrale ableiten:

440

Oett

Ferner erhält man:

Hfer: Ueher betttmmte Integrale.

6)

l-j;«)(lga:)'-. 7«^..

(! + «)• <**-- 60 ■'■'''

?«• 93 40 + 8'

(l+a:)« ''^-~

l-^(lga:V» 7«^ 1871

(l+ar)« <'^— ~30+ 108'

l+£^(lg£)»„ _ 7«* 79487 (1+a:)» "*~ 24 + 3456'

U. 8. W.

7)

•' 1 + a:

= - (^0-«.) X^ + 6-2," «„(-£,-(-)-• I).

Dies fährt zu folgenden Integralen:

8) /•• (l-x)(lgj;)» 7^

./ — r+^-^^=-6ö+®'

/•' (l-£)«(lg£)ffl _ 7«« ^141

J 1+* '''^-— SÖ + T'

/•' (I-£)»(lg£)_» _ 7«* .2191 < 1+a: *'*-~T5+ 54 '

/•' (1— j*)(lg.r)»^ _ 14»* . 297983 J 1+« <'^-— 15 + 3456 '

U. 8. W.

Ferner erh8lt man auf dieselbe Weise folgende integrall men ans Nr. 3) :

9)

/•> x>-Hl(-)-:r">+'')(lga;)» , _ (m-|-l).7;t« . 6 „_, .__.w-tt+l

10)

• ' 1 + arl>

_ (5ra^«?. 6 1

= ~ p*. 120 + j;» ^i""f-('^i"(-)'^' Si^-

Oeiitn§er: Oeber testtmmie fnteffraie, 441

Hieraas kann man leicht eine Menge specieller Fälle abiei- en, da die Zahlen werthe hierzu in Nr. 4), 6) und 8) angegeben ind. Hierin ist:

Ä' (1 , 1)*= y^ = 0,947 032 8?9 497 2460 ...

§. 36.

Setzt man x^ statt z in Nr. 6) §. 2. und verbindet die hiedureh ntstehende Darstellung mit

y x^(\gxydx und J x^^^(\gxydxf o erhält man:

1)

+ ./ l-:r« '

2) ^ ' ?^1(^^^' Bx=-/' (lga:)'-(a:«— > + J:»"-» + . . . . ar» + a:)aar

«

4an ist aus Nr. 8) §.21., wenn p«=2, g = 2 gesetzt wird:

/ • *-^?f ^ = (_)r . ir 1 1 5(2. 2)'-+» = (-)r . ^, 5(1 , l)r+l.

^ird dieser Werth und der aus Nr. 14) §. 21 angegebene för

ri (\iixydx T f- eingeführt, so erhält man aus Nr. 1) und 2):

M. "~™«fr

3)

/• x*»(igxySx

ThcU XXXIX. 30

4tö ' Oeltimter: Veber beattmmte hUeffrale.

4)

•^ 1 — a;« *

lr|l lr|l 1 ' J I

Bei dem üeb^i^nge anf besondere Fälle ist es am Besten, Formen getrennt zu bebandeln. Aus Nr. 3) ergeben sich fol Integrale flBr r = l und m = 0, 1, 2....:

5) /•' ^«Igo: ««10

„ n:^«*=- 8 +

269 8 "^ 225 *

12916 11025'

117469

1— a;«*''^'"""8 "^ 99226 '

a. 8. w. Durch Vereinigung erhält man:

6)

(1— a:»)* 4

3«« 1« 8 +9 '

^. d-o:«)« <'•''-- /•' (l—x^x _ w» 734

/* (1— a:M)lj5x 5nS,]62M

(1— «•)« "*- 8 "^SeTS'

/" (l-a»"+«)lga;^ (w + l)«« ^ „•m-«+l

•f (l-a;«)« ***- 8 + i(ä;r=Tf''

Eben so entsteht:

Oetlin§er: üeöer bestimmte integraie, 44S

7)

sich folgende Integrale ableiten: . . 8) ^

/•• (l+x«)«lga:. ««28

/•• (l+£Vlg£ 1684

•/ I-x« *"^— ^"+2205'

. U. 8. W.

ist ^ = 5(1, 2)s= 1,2337005501361698....

s Nr. 4) leiten sich unter den nämlichen Voranaeetzangen e Integrale ab:

— 24+4'

•' l-x*"" - "24 + 16

j^^jtfa; 24 + 144'

/*' fÜ?£a - ** . M6 ./ I-ar«**^ 24+576'

/• .r"lga;a _ ^»^^ ^ rri»**^ 24+14400'

./ -r;:^^=-24+*'^. i?

10)

/•• :t(l--£*)lg£ «»1

/•' xiV-x^\ix^ «• 9

•f ci_a^« "*— ~8 ■^'le'

442 ' Oettin§er: Veöer bestimmte HtUfraie.

4)

jr 1 1 im 11 1

Bei dem Deb^rgange auf besondere Fälle ist es am Besten, I Formen getrennt zu bebandeln. Aus Nr. 3) ergeben sich fol^ Integrale f&r r = l and m = 0, 1,2....:

^ l—ar«"^- 8+225'

/' x«lg«. «« . 1-2916

11026'

/•'£»«!££„ _ »»117469 •/ 1— o:« "*— 8 + 99225 '

o. s. w. Dorch Vereinigung erhält man:

6)

/• (1— a;<)lga:- . w« ,

, (1-^«"^* =-4+l'

/•' (l-£!)!g*a _ ?»«. 19 •J (l-o:*)« <** -- 8 +9 •

225'

(1 — «•)« <** - - 8 ■*" 3675 '

, d-a»)« *^= 8 + I (2ii-l)«'

Eben so mtstebt:

^ (l-:r«)« "^ ■5" +

Oetiinger: üeber öesUmmte inUffraie* 44S

7) * .

y iZI^ 9« = - (2?o"at«) 8" + ^" o«« (-Si» (^, :_!)«)»

woraus sieb folgende Integrale ableiten:

. . • 8) ^

n (l+a;«)«lga; '«• 28

/•■ (H-a:«)»lg^,_ ««x*^

2206 •

^ U» o« w«

Hierin ist |- = 5(1 , 2)« =: 1,233700550 136 1608. . . .

Ans Nr. 4) leiten «eh unter den nämlichen VoranssetzangeD folgende Integrale ab:

9) •

/ r::;^^* —24+4

24^4' -~24 + l6'

„ ü^*"^ 24 + 144'

/' ^"'g^a _ »* . äOS „ 1— ar«** 24+576*

/» 3;"lgara _ 5? . ^^ . r^^"^ 24+14400'

10)

/" :r(l-£*)jg£ »^1

J -(!_««)« "*— 12 + 4'

(1-a:»)« *'''—" 8 +16'

444

Oettinter: Veber betUmmte Integrale.

' a;(l — a:*)lga:

65

•f (l-a:«)«' ^"^ "^ 24+576'

/•' a:(l-:r»)lRar. _ «> . 3899 ./ (l-:r«)'« **^ "4+55R)'

./ (TZIi^« ö^ = - —24 + i-^i ü«

O

1 + o:*) Igo:

1— o:«

dar

-_ — ^ iji^

d:

«

1 \x^)'^\%x

1 — .r«

1

o;

2

8a:

^x

dx

11)

_ TT« l

-""12 + 4*

_ 7^ 13 -~ 6+16'

_ «* 73 -~"3 +36'

_ 27r» 2646

— "" 3 + 576 '

— 4j^ .71447

— "" 3 + 7200'

Auch hier lassen sich, wie in §.31. —35. geschah, aus der Gleichung Nr. 5) §. 22. noch andere Integrale ableiten. Ihre Dar- stellung unterliegt aber nach dem früheren Vorgange keiner wei- teren Schwierigkeit. Deswegen werden sie hier und auch künftig nicht weiter berücksichtigt.

§. 37.

Setzt man r = 2 und m = 0, ],2>.... in Nr. 3)$. 36., so erge- ben sich folgende Integrale :

I)

/' J^,8x =25(1.2)3. ./ -7I~5-8j; = 25(I,2)

8 .1

Oeltin§er: üeber bestimmte Integrale. 445

^ T^I^^^ = 2«(» ' 2)» - 1,57623 ' Hieran schliessen sich durch Summirung folgende Integrale:

/•' (l-a:'o)(lga)« _ 3187348

./ (l-a:«)«~^* -'"*(*' 2> -185875*

/•' (l-;r«»»+«)(lga:)« - «,in^«+l

./ (l-a:«)« S^-2(m + l)S(l,a:)»-2-S, (g^^i),-

Ferner ist:

3)

—^—\:z:^% aar=2(2;,«aaa) '»(1,2)»- 22:i«tf4„(Z ^2^_j^>)>

woraus sich mit Hälfe der ßinomial-Coefficienten folgende Inte- grale ableiten:

4)

/•' (l+ar«)*(lga:)» 7154272

u. s. w.

446 Oettinger: Ueöer bestimmte JtUeßraie.

Hierin ist 5(1, 2)* =1,05 1799 790 264 6451 ....

Aus Nr. 4) §. 36. erhSit man bei Annahme der nämli Werthe für r und m die 'oachstebenden Integrale :

5)

y^^'g^ =iS(i,i)»-i,

/'t^8^ =4«(».')'-

2035 6912*

»)

y. jO-^m«)!,^ =»«(■. 1,.-». y-.(.-.^y.^,,.,„,„._r,

/" x(l-£^(lRa;)« _ 355

4 d-ar«)« ^"^ -'*^'*) 6912'

\

7)

Oeiiin§er: üeöer bestimmte Imteprafe. 447

28643

/'^^^i!^'a.= 45(1. 1)3-

6912

9 '

O * ^

Hierin ist 5(1, 1)*=: 1,2020569031596942 ....

§. 38.

Wird endlich r=3 und m=:0, 1,2,.... in Nr. 3) §.36. gesetzt, so erhält man folgende Integrale:

I)

J r:r^^ =-65(1,2)*= -Jg.

/•• xMg^r)» «*

/•• £l(lR£)la _ «*j^l64 J 1-a:« "*— 16+27'

102662 16875 '

246592712 40516S75 '

./ !_,. »*- - 16 + «^ (Srri)i-

Hieran« leiten sich durch Snmmimng folgende Integrale ab:

'2) /" (l-j:*)(lgar)»^ «*

./ (l_^.).-9* =-8+*'

/•• (l-g«)(lgj;)^ 3«* .326

/•• (1— a-«)(lga;)»^ _ n* 306412

•( (1— X«)« "^ -~4'*'16875'

/" (l-a!«"^')(lgj;)»^__ (m+1)«« ^ Jf • d-a:«)« ^= i6~- + ®^

IM — tt+1

1 (2«— 1)»

448 0e Hing er: Veder öestimmie Mepraie.

Ebeo so erhält man:

3)

woraus sieb folgende Integrale ergeben:

4)

./ l^Ii* - ^^ = - "8 + ^■

/•• (H-ar«)«(lgar)»^ _ «»^488

/•• (H-ar«)»(lga:)»a «* . 713912

J i_a:« <**- 2 + 17875'

U. 8. W.

Hierin ist 5(1, 2)«= - = 1,014678031 604 1921....

Aus Nr. 4) §.36. folgt unter denselben Voraussetzungen:

5) /•^ÜSg-'ar =-{S(l,l)*=_

/•• :r»(lgj:)a. _ «* . 51_ ./ l_ar» *"^ —""540'*^ 128'

/•' :r'(lg*)»«^ _ ül . 1398 ^ ^T^* "" — "240 + 3456'

/" £^(lg£)»„ _ ff* . 22369 J l—a;« "^ -" 240 "'"^295'

»* . - - 240-

— ~240 + 8'

^ l-o:« *^— 24Ö + « 1 i?

Ferner erhält maif:

6)

/*' g(l-J:*)(lg^)'^ «1.3

J (l—a»)* *"^— 120 "'■8'

/•' jr(l-Jr«)(lgJ:)»^ 5* . «9

•( (1-*«)« *'*—- 80 + i^

Otttimter: Veber be$ammie huegrale. 449

^ (1-««)« *** -

«* 2033 60'*"1728'

_«* 87426 48 + 55296'

Eben so erhält man:

340 woraus sieh folgend« laterale ableiten:

8)

J 1— ar« *"^ -~120"*'8'

/» ^(i-h*5*(lga:)« _ «• 147

/' a;(l+a«)»(lga;)»^ _ «« ^ I— a« *"-~30+864'.

1— ar« ""^ 15"*^ 66296'

U. 8. W.

§.39.

Setzt man t = j:* in Nr.' 2) und Nr. 3) §. 2., verbindet die hierdurch entstehenden Resultate mit

J ai^(\^xydx und J 3i^^^{\gxYbx

o o

und dann mit

J x'»^^(\gxydx und J x^^^(\gxybx,

o o

80 erhält man:

1)

30

444

Oe Hin ff er: Veöer besümmte Integrale.

' :r(l— ;rW)|ga:^ Situ« 725

^ cx = — -irr +

./ (r=i5^« ^* = 24 ^i'^ 1^-

r- j;(H-x«)tg:a;g^

o 1 ^

/•' a:(l+a:«)»lR«.

^ — i— pr— a^

% 1 — a;* *

*f . 1 — ar* *

n* I -ß+4'

w» 13

~ e'^'ie'

»« 73 ~3 +36"

%fl 2645 ' ~ 3 + 57« '

4j^ 71447 ~ 3 + 72ÖÖ*

' K-.

./ r^^a ^^ ■" ('^o'"«««+024+i'^i^««+i( Vy!

,).

Auch hier lassen sich^ wie in §.31.-35. geschah^ aus der Gleichung Nr. 5) §. 22. noch andere Integrale ableiten. Ihre Dar- stellung unterliegt aber nach dem früheren Vorgange keiner fret- teren Schwierigkeit. Deswegen werden sie hier und auch kuofüf , nicht weiter berücksichtigt.

§. 37.

Setzt man r = 2 und m = 0, 1, 2,.... in Nr. 3) §.36., so t\?^' ben sich folgende Integrale:

/' T^S^* =25(1.2)3. /■-Jl^V=25(1.2,.-2.

446 Oeiiinger: Leber besiimmle inießrmle.

Hierin ist 5(1, 2)*= 1,06 1799 7902646451 ....

Ao8 Nr. 4) §. 36. erhält man bei Annahme der nimlU Werthe fOr r und m die nachstehenden Integrale :

5) 6)

^ (T^*)* -,A(I. I)-,.

r- a:(l-a:«)(lsa:)« _, 17.

/•' x(l-£f)(lRar)* _ 355

^ (r^¥ — - '^(''^)'-432•

V• ^(l-.-r">)(lg^)« _ X, i)3_

7715

6912

«r

(1— «»)«

7)

/'-^'-\iy8x=i^(i.i)»-i,

O 1 »t

X \^^^ 8«-2Ä(l,l) -2|g.

Oetiinger: Veber bestimmte ItUegrale. 447

28643

/■ s<i±^!££lV=4*(.. 1,.-

6912 '

t

= 2(^o''«.«+i) SO. l)»-i-Si'"''».+i(-Zi"^,)- Hierin ist S(l, !)*= 1,2020569031595942 ....

§.38.

Wird endlich r=3 and m=0, 1,2,.... in Nr. 3) §.36. gesetzt, 8o erhSlt man folgende Integrale:

If^,^ =-.S(>.ä,.=-S.

, l_:r« 3* = -16 + «'

/•• £^(IR£)». _ «*^164 J l-:t> •**— ~16+2f'

/•' £«(l5£)» _ ai* 102662 •( \-x* "* 16+ 16875 •

/" x»(»s j;)» - _ «* 246592712 •f 1 —X* ^* - ~ 16 + 40516875 '

./ i_^. ö*- - 16 + «-^^ (2irn)5-

Hieraofl leiten sich durch Sammirang folgende Integrale ab :

./ -(Tzi^ijr-Sa: =—8-+*'

/" (l-a;«)(lgjr)»^ _ 3»4 . 326 J (1— a:^« ""^ -~TF"*'27'

/•' (1— x«)(lga;)», _ «* . 306412 .( ' (1— «•)• ^'^ -~"4 + 16875 '

/" (l-a*«H-«)(|ga)»^ (m+1)«« . ^^t»-it+l J: (1-«V ^*= i6~ + ^^i (2S=Tr»-

448 Oeiiimffer: Veder öestinmie imte§rmle.

Ebeo so erhält man:

3)

./ — iz:^. a*=- (^o ««") 16+«"^, ««• ^-^i (äiTH)

woraus sich folgende Integrale ergeben:

/•' (1 + X«)(lga:)» «*

./ — izi-,— a^=--y +6.

/' (1 +x*)*(lgx)»^ _ jt» 488

/ — ni5»— ^*- - 2" +

o

U. 8. W.

713912

17875*

Hierin ist 5(1, 2)* = ^=1.014678031 604 1921....

Aus Nr. 4) §.36. folgt unter denselben Voraussetzungen:

5)

/•• x(iex)» _ ' «4

/•' x»(\gx)» _ «^3

•f 1-a^ "^ —"240''" 8'

/•' x<>(]gx)» _ n* 51

./ i_a:* "^ — ~54Ö'*'128'

.f l_ar« "^ —"240 + 3456*

/•' £»(lg£)f. _ >r« . 22369 Jr 1— a;« ^ ~ ~ 240 ■*■ ^290 '

Ferner erhält mari: '

6)

/•■ xa-x*)(lgx)> _ «^3 .f (i — a:«)« *"^— ~ 120 ■*■ 8 '

/' a:(l— a;«)(lsa;)»a _ »t« 99 (l-x*)« *** -- ~ 80 + 128 *

»

450 Oettimger: Oeber betOmtiUe mtefrale.

=/' (lgx)'(a:*--«*— «....-«« + 1)3*-/' r5$^*'

^ 1+«« ^'

Werden nun die einzelnen Glieder nach Nr. 1) §. 19. behan- delt and wird der Werth des einen begleitenden Integrals au Nr.. 15) §. 21. eingeführt, so erbält man, da nacb Nr. 9) §. 21.

l+S" = (-)'• »"'•«' (2. 2)'+» == {-y . ^p s' (1 . ir+'

ist, folgende Tier Integralfonnen zur Bestimmang der hierher gebSrigon Integrale:

3)

•{ I+af"

4)

*>^8*

= (-)r+i.lMi.Ä'(I,2)H-i(-^lr|i4l_X4_^_...+_^,,.

6)

•^ l + :r«

Otttimter: Veber betUmmte Intetrat«. 451

raus ergeben sich folgende Integrale fiBrr=I and m=0, 1, 2,....:

6)

0

' f^ax= s'(i.2)«-i.

/

0

J l+ar«*^"" 4.12""4'

J .T+r«^=-4T2 + l6'

J !+«•*'*— 4.12~144'

J I + «»"*— 4.12 + 676*

Setzt man r=:2 und m=0, 1, 2, 3,...., so erhält man folgende legrale :

7)

o

452 Oeitinger: Oeöer besUtnmU l$Ue§ruie,

1+a:* ^*"" 16 27'

II

► j'Ogj:)« _ «» 6554 1+«* ^'~ 16 + 3375'

/

y TT^^*=-**<''*> +854'

n

y^i ar« (lya?)« _ jt» 2241272 y 1+^* 16 ""1157625 •

J rf^"^"*^- »^ ^*' *^ "6912

»»

Hierin ist iS'(l, 1)« = j^=:0,822467 033424 1132.... and 5'(1,1)'

= 0,9015426773696957..., Die übrigen hierher gehörigen Wertbe S'(l,2)* und iS'(],2)> 8ind oben in §. 27. angegeben.

Hieraus lassen sich/ wie früher^ durch Vereinigung der gleichartigen Gebilde noch weitere Integrale

/■ a^^fe f'-är^ift»,, .....

o o

ableiten. Da die Methode der Entwickeinng im Früheren wie- derholt gezeigt ist, so unterliegt ihre Ausführung keiner weiten Schwierigkeit, und wir stellen die hieraus sich ergebenden Re- sultate nicht insbesondere auf.

§. 40. Setzt man : = a:' in Nr. 6) §. 2. und verbindet man das dt- durch entstehende Resultat mit / jt^'^+p (lga?)''fla:, so erhält

man :

1)

^3m+j»(Jg-,.)F

dx

/l /•! xviWxY

(lg.T);(x»«4p-«+a:^+P-«....arl»)Sa: + / -| _^, ■ ex

n * 4»

Oeiiinger: Ueöer öestimmie Iniegrale, 453

Hier kann p = 0, l, 2 sein. Werden die einzelnen Glieder

■ I _J^ , 8a? nach

Nr. 8) §. 21. befltimmt und die hieraas folgenden Werthe einge- führt, so erhält man folgende drei Integral formen :

2) /»» :r»"(lgx)'-g^

O

= (_)r.lrl.S(l,3n>(-)r+IIrl«(l+ Jj3 + ^Ij .... (3,,^:^,),

3)

= (-)r. 1M.S(2. 3)r+K-)^+» 1'" (2^-1+ 8R3 + •••• ßm~~ lr+>>>

4)

o !»• I ^ ^ Ir I 1 1 1 1

Hieraas leiten sich folgende Integrale für r = 1 und m = 0,

1, ^j...« ao •

6)

«I

./ r^:F»^*=-9 *(''*> =-54-

o

/i ^*ka:^ 1

454 Oettinger: üeber öetUmmte hUegraU.

J rr^^*— 54 + 9'

0 O

o

U 0

u. s. w. Fflr r:=2 and m=0, 1, 2, 3.... ergeben sich folgende Integral

6)

yfz^a« =2S(1,3)». Z^^'ax =25(2.3).,

o

/"*^r^3^=2Ä(I. 3)3-2. /'T?!p^8^=2S(2.3)»*^i

/•-^la.= .^.c,.i).-|. /^-;^a.=2.(,.3).-|«.

y^£M^'8,=2S(2.3).-^^

500'

o

/

Oeliinger: Veber bestimmie Inleffraie. 455

22359

o

10970'

8637 32000'

U. 8. W.

zwei

Die Werthe fdr iS(l,3)<, iS(2, 3)*, u. s. w. sind in §.27. aDge- geben.

§. 41.

Wird 2=iX^ in Nr. 2) und Nr. 3) §. 2. gesetzt, so entstehen n Formen. Wird die erste mit / x^*^-^P(lga!ydx, die zweite

^init / dr^"H-s+p(|gx)rär verbundeb^ so erhftit man:

1)

/** ^T?^Jf^'ö^=/** (lga:)'-(a:*»fP-»-a:*H-f-«- ....- xP)dx

O 0

4'

2) l+:r» ^^=V (lga:)'-(j:«-+»-«*-+»-»- .... + ^P)a*

O O

Hier kann przOyl/ü sein. Werden die Glieder auf der rech- ten Seite nach Nr. 1) §.19. und wird das Integral f^ T+^^^

o

nach Nr. 9) §. 21. bestimmt und die sich ergebenden Werthe ein- geführt, so erhält man folgende sechs Integralformen:

3)

O

456 Oettinger: Veöer bestimmte iniegraie.

4)

5)

=(-)'g^! «'(1. !)'+>(-)'+» JiJ (1-^1 +3i\-—(äi^M:-.).

6)

1 j.ttw-H8(|gj;)r

7)

o

8)

i»

Hieraus ergeben sich folgende Integrale, wenn r:=l, m=0, 1,2,3.... gesetzt wird:

O

0

Oittinter: iMer öesttmmte inie§raie. 457

._L_a^= s'(i.3)«-i.

ü fi

l+ars*'*- 108— 9'

ü

o /»»£^^l££^ 361

Wird r = 2, fii = 0, 1, 2, .... gesetzt, so erhält man fol Dnde Integrale:

10) /*?^»3* = 2S'(1,3)».

O

y*' T^A*=-2S'{1. 3)» + 2,

o o

/»» :t«(lgx)« 2 2

o

o Theii XXXIX. 3]

458

Oettinger: üeier bestimmte I/uegraie.

f

0

/ /

o

/

1 ar^Oga:)« 1 + a:»

8ar =

3a: =

2Ä'(2.3)»-ig

•2 • 7

s.S'(l.l)«-

. '27

108'

» j;»(lgar)%

8a: = —

u. s. w.

Die Werthe für Ä'(l,3)*, Ä'(2, 3)«,.... sind in §. 27. angegeben.

^ Man kann diese Entmckelungsweise weiter fortfuhren ond hiezu die Gleichungen des §.2. und des §.21. benutzen. Mai

— He V ^^ folgende Integral form en :

11) 1 a:*«(|ga;)''

J 1 -**

dx

=(-

rlr.lÄ(l,4r+«(-r+.lrIl(l+g^,+ g^,+....^^,).

. /»i ir*"+»(lg(r)''

/

l-^or*

da:

= (-)rM tS(2. 4)r+I(-)r+.lrl 1 (-J^, + ^, + " " ' " (4,^-2)^)'

/

O

1 — a?*

= {-)«• ir I > 5(3, 4)r+i(-)'-+» IH 1 (^^ + 7;^, + . .

(4m— ir+i''

Jrll lr|l 1 1

I

• mr+*

).

Ottiiuger : Leber bestimmte Iniegruie. 459

12)

^|y 3x = (^)>H-rir|iy(i, 4)^+1

-j ;-^|-^8ar = {-)^r in 1S'(2, 4)'-+l

/-.^m+r| llrl If ^i — -I- i ^m-l ^

1 4- S ^"^ = ^"^"^^ ^' ' ' ^'^^' '^^"^'

In Nr. r2) ist nicht zwischen einem c^eraden und ungeraden unterschieden. Geschieht diese, so entstehen acht Integral- rmen.

Auf dieselbe Weise kann man mit der gleiclien Leichtigkeit

e Inteijrale J ^_.^^— 8a:, y — ^^^^ 8ar, u. s, w.

^stimmen. Das allgemeine Fortgangsgesetz erkennt man leicht IS den angegebenen Darstellungen.^ Diese Integrale fuhren auf e reciproken Potenzreihen mit gleichen und ab%vechselnden Mchen, welche einer und derselben Zunahme zugehoren. Da I Friihern gezeigt wurde, wie die Summen dieser Reihen mit 4iebiger Schärfe gefunden werden können, so ist auch das Ge- tz, wornach alle hierher gehörigen Integrale bestimmt werden, »geben, und das vorliegende Problem ganz allgemein gelost.

Wir wenden uns nun zur Darstellung einer andern Art hier- ir gehöriger Integrale.

§. 42.

Verbindet man die Gleichung Nr. 1) §. 10. mit / ar'"«+P(lga:)''8a:, erhält man:

460 Oettinger: Oeber bestimmte Intefrate.

1)

o o

o

0

^■''^ rz — 'Jr~i '" Reiben nach den steigenden Potenzen entwickelt und mit / (lg^)''da: verbunden, so entsteht:

von X

2)

O «)

— / (IgarfCarP+i + arP-H + arP+^....)8a: o

= (-r ^ ' » ((7+ iyr+i + (p + 4)r+l + (p + 7)r+l + •- j

(-)r+l K • * (^^ ^ 2)r+l+(;, + 5r+l+(;, + S^+l + -J = (-.)r Ir I 1 Ä(p + 1 , 3)r+l (-.)r4-l Ir I l «(;, + 2 , 3)'-4-l.

Setzt man nun fur/i die Wertbe 0, 1, 2 in Nr. 1) und 2) and verbindet die hieraus sieb ergebenden Resultate in schicklicher Ord nung, so erhält man folgende drei Integralformen: n

3)

r ' ^5^5^?-^-^? = (-.)r Ir I 1 5(1 . 3)r+l (-.)r+l Ir | l'S(2, 3)r4-l o

, 1 J^ J[_ 1

( )'' • 1'' ' (jTm + S'^+i ■*" 8»^+» ■*"••• '(am — l)H-i^'

0 et Unter: Veber bettlmtnte Metrale.

461

4)

/

ijr»iH->(|gar)r3j:

im

/iaf»i+g(|ga:)raj: i+ar + a:« ~ u

mit dem ersten Gliede man daher (— )'"+^ V l ^

J_ J^ J^ 1

irll

r «IrO.! T • • • •

6)

1

m''+*

).

— )' . IM 1 Ä(3, 3y+i (-)''+i P I » S(4, 3)r+i

J 11 l

y • '"^ M''+i'^7''+*''"lÖ^+i"''""(3wi+J/+^^'

In der Darstellung Nr. 5) beginnt die Reibe 5(4, 3)''+i nicht

(. 1), eben so nicht das vierte Glied. Zählt . ( — )'".l'"i*. 1=0 in beiden za und ab, wo-

durch sie ergänzt werden, so geht Nr. 5) über in :

6)

/

O

1^8m+2/|g^)rgj^ Ir 1 1

INI

1

I

111 =

( y^^ 3r+l (^ + 2r+l + 3r+l + — „jr+i ^

Hieraus ergeben sich folgende Integrale^ wennr=:l und 0, 1 , !2 , . . . . gesetzt wird :

/

/

/

0

Iga:

7) 8.r = -S(I,3)« + «(2,3)«

n?

r+^+T«^^ = - '^C^'^) + 9*^('' "' = - «('^'3)* + ä4 =

n

2

1 •2»2 jir j"

462 Oeititiger : Leber bestimtnie Intepraie.

,r l+'i^^«^"^ = ~ Ä(1.3)« + 5(2,3)«f|.

, / 1+^+^«^^ = - ^^^'-^^ + 54 + 36 '

O

./ l+:r+^^* = -54 + *<''^> -144'

o

./ iTi+i"* ^* = - '*(2'^> + 54 + 96ÖÖ '

J TT^Ti^^*--54 + ^^(''^^ 2352'

O

U. 8. \V.

Integrale:

Wird r = 2, m = 0, 1,2,.... ^esetzt^ so erhält man folgend ale:

8) p > {\^xf<ix _ _^»_

J r+^ + a-« - -«(2,3)»- 27 Ä( 1, 1)3,

/

^x\\^x)^dx_ 2

o

^»1 /^8

/» i£8(|g5)«8jr __ J^^ _^ 7

J 1+ar+a:* ""81v3 4' o

p 1 ar* (Ig^:)« dx _ 2 J»

o /»t;r»(lgj.)«ax_ 2 1691

,/ i +:c" + *« ~ 27 *('' '^ -^'^'.3)'+ -^gj ' o

l+ä+o:« "~8IV3 4000'

o

U. S. IV.

Die Werthe Tür 5(2, 3)«, Ä(2,3)2.... sind in §.27. angegeben. Euier hat (Integr.-Rechn. Bd. IV. p. 141.) folgendes hicher gehörige Integral:

Oeitinger: üeber desUmmie Integrale. 4^

0

angegeben. Es findet sieb auf folgende Weise. Nimmt man das zweite Integral in Nr. 7) doppelt und zählt es zu dem ersten, so erhalt man:

" «» . 3««

= _ 5(1, 3)« - S(2, 3)«-fj^ + -g^ =-S(l,3)«- S(2,^3)*- 5(3,3)«+ j^ = -Ä(1, 1)«+ jg = — -g + |j^=- 9

TU«

ivenn man Nr. 3) §. 24. berücksichtigt. Man ist überrascht, mit welchem Scharfsinne Culcr bei den ihm zu Gebote stehenden Mitteln in diese Integrale eindrang. Auf dieselbe Weise erhält man aus dem 4ten ^nd 5ten Integrale in Nr. 7) :

I

16)

/^ x^{\ + 2x)\^x _ E!! , ?Z

0

^ u. s. \v.

Wird in der Gleichung Nr. 1) §. 17. zwischen einem geraden und ungeraden m unterschieden, also 2m statt m und 2i?i-f 1 statt m geschrieben , und werden die hierdurch entstehenden Resultate mit

/ a:^"*^v(\^xydx und / x^'^v^\\^xydx o o

verbunden und integrirt, so erhält man :

/* «<*■•+? (XaxV P *

o o

+ r ^ f^^^9^ +./ * Og^)' (^*»+P-^ - JT^^+P-« .... — a:P) aa:

o . I>

464 Oettintf: VeSer hetUmaue hU»frmU.

a ( ^r+l \t\1( I \ I \

2) S * ^T-r+^y^^ = y* \lga:)'-(a:*"+f+'-ar*"+i«-« + ...a*+»)ax

0 • 0

o o

_ ../ 1 1 . 1 1 \

_(-)'.!'■ I ^(p -1- 2)r+i - (p + 5)'+» ' (p+8)'-+> •'• (em+p+ay-H//

o '

../ 1 1 1 1 \

^-)'" • •'■ \(p + l)H-i - (p + 4)'-+» + (p + 7)'+i" • ^(eBt+p+inv

Wird auch | -j- — , in eine Doppelreihe nach den steigee-

den Potenzen von x entwickelt, mit / (\gxyda: verbunden und integrirt, 8o entsteht:

3)

u o

+ / (lga:)'-(a:H-i— arJ»+* + j:P+^ — ....)

o

= (_)r.|r| lS».(p ^. 1, S)r+l(~-y.V\^S'(p+'i, 3)'+».

0€$Uugey: Jüeber öeuifnmu Iniegr^. ^467

j^^,8x= «'(I.3)HS'(2.3)«-J.

0

J T=5+F«^*- *<^'^> +TO8-36'

O

/^ ^^leoT TS* 119

o

-w.

O

y n^+««^—'*^*'^ 158 + 78'

O

U. 8. W.

Für r = 2, m=:0, 1, 2,.... entsteht:

11)

r 1^^^^-= 2«'(l,3)» + 2S'(2,3)»=^,

o

/' I^?5|^.8-= 25'(2.3).+.;|ä'(1.1)». f'^^*^^= ^S'(l.l)»-a5'(l.3)» + 2,

0

/^^ x'dgx)»^ 10»» .9

J l-ar+Ä«"*" 8IV3 + 4'

l-or+a:«^^- 81V3 260*

o

U. 8. U*.

Von diesen Integralen hat Euler (Integr.-Rechn. ßd. IV. S. 141.) folgenden Fall :

12)

/> (I-2j;)lgj; ««

/ 1— «+««*'*- "18

o

466 Oetiinffer: Heber besiimmie InUgraie.

8)

IM^ J_ J 1^

9) .

/

*£^i;^^^ = (_)r+l^;S'(l,l)r+I(-)r+l,,MÄ'(4.3)'+'

(—)*■• ^+i(*— 2^+1 + 3r+i—"- + (2n,+|)i'+i' = ( -)'+» ^I «' (1, l)'+M-/ l' ' » Ä'd. 3)'+'

lr|l 1 1 I^

(~)'"-3Fr»^*~2H~i +$+»— ••••+ (2111+1)'+''

(-)'+». l' I »(1 _ jp^j + t7+—-~((^^xy\^

wenn (—)'". l*" • ^(— )»'+^. l»" M = 0 zur Ergänzung der Reihen in dem zweiten und vierten Gliede verwendet «vird.

Die Richtigkeit der zweiten Formeo in Nr. 6) und 9) ergibt sich auch dadurch , dass man die Gleichung

o o

I

benutzt und die angezeigten Geschäfte ausfährt.

Hieraus ergeben sich folgende Integrale für r = 1 und m = 0, 1, 2, 3....:

10)

o / ' 1-^Sf««*= - «'(2. 3)«-5 «'(1. 1)«= - «'(2. 3)« - ^.

Oeiiiuffer: Jüeber besUmmie InSepraie. ' •' 497

f l-x^:^^'= «'{l.3)«+S'(2.3)«-i.

o o

T«^

o

/»1^'lR^ ««22

o

U. 8. W.

Für r = 2, m = 0« 1, 2,.... entsteht:

11)

o

/' 1^5^.»-= 25'(2,3)»+.|«'(l.l).. /'^^3^= ^S'(I.l)«-'iS'(1.3)« + 2.

0

^/ t — X-f- x^

10«« .9

81V3^4'

o

O

J r=^+^*=-27*^'''> +^*^*'^> 864'

O

/» _£^(!g£)i« _ 10»' ^ 1_j:^.j:««*- 81 v3 250'

O

U. 8. U*.

Von diesen Integralen hat Euler (Integr.-Recbn. ßd. IV. S. 141.) folgenden Fall :

12)

J l-x-^^x*"'- 18

4118 Ottiinger: Oeöer bestimmte IntegrtOe.

entwickelt. Man findet ihn, wenn man das tweite Integral b Nr. 10) doppelt von dem ersten abzieht. Hiernach ist:

= — iS(I,I) +38— -12 + 36 18*

Wendet man das gleiche Verfahren auf das 4te und 5te Integral in Nr. 10) an, so erhält man:

13)

o

u. s. w.

Die Zahlenwerthe fQr $'(1,3)*, S'(2,S)*,.... sind in $.27. angegeben.

§. 44. Legt man die Darstellang

Grande und verbindet sie tnit / M^''*^(\gxyBj^, so erhält

zu

*^o man:

1)

/** ^^|il^'aa:== /**(ig«r («*^-* + «•-+*-^» ••• . «^+^8»

o o

+y* * i^^^S^-y * (lga:)'-(a:«-+P-« + ««-H*-».... d*)8j

o o

= (-)'• 1' ' * ((p 4-3)'+» + (p + y)'*» + • • • • (6m +p— 3)'+V

O

l+or^ + x*^"^

Entwickelt man i ■ « ■ ^ '" ^^^^ Reihe nach den steigen

OeUin^er: üeber detümmie Iniegraie.

400

den Potenzen von x and verbindet da« hiedurch entstehende Re- saltat mit / ai^Q^xYdx, so erhält man:

— / Oga?)** (^'J^* h ^P+» + arP+** + ....) dx o

I

(

-)'+*•»" 'TTTTLLn

f

I

+

V(p+3)'-+»'(p+9)'+»'(p =(-)'.l'i 1 S(p+I, O)»-*» (—)'■+». in » S(p +3, Vf^K

Setzt mau nun ^^0,1,2,3,4,5 in Nr. 1) und 2) und ver- bindet die hiedurch entstehenden Resultate mit einander, so er- geben sieb folgende sechs Integralformen:

3)

O

/*• ««-»ft(|g^

J r+^»T^^=

0

/

o

Ml

-)'. M »S(l,6)'+i(-)'+'3qä«(l>2)'+»

M» 1_ _I_ 1

— ) -gn^iv' +3r+l + 5r+l + • •• (2ro — 1)'+»^*

4)

— )'+» .Ml {^^^^ + p+i + • •• + (6m-4)H^V ~^''"*(fm + |ÖM'i+- + (6m-2)'+V'

-r.^!s(I.2)'-+' (-)'+' M > S(5,6)r+i

l'li 1 I 1

~^ iFF»^' + FT» "•" 5H^> + — (2m— l)»-*»^

' • V5'+» + 1 M» + • •• (6w — !)'+ V'

470

Oettinger: Veöer öeslimmte Integrale.

6)

TT

3a? =

o

O

/

1 +«« + «* '^'^~

(>

Die Formen in Nr

IMI

-)r . ir M Ä(4,6)r+1 (-)r+l. g_ «(1, l)r+l

7) -y.M ^Ä(6,6)'-+i(-)'-+>.M *Ä(1,6)'+*

""^'^' ^ • Ht + 7r+l+|3r+l + — • (e,„ ^ l)r+

l)»

8)

im

-y^ gPTi *(*^ ^^'^^ (-)'^' ^' * * s(2;6r+^

l»-!* 1 1 1

7) und Nr. 8) entstehen, H-enn die Keiben im zweiten und vierten Ausdrucke ergänzt werden, denn es ist:

(-ni.lr|l(-)M^|l = 0 und (-)r+l.lrll^^^(_)r. in 1-^^=0.

Hieraus ergeben sich folgende Integrale für r:=l und fii=:0, 1, 2,....:

9)

f nOT^3^=- Ä(1.6)*+J«(I.2)«=-S(I.6)H J'.-

O

/ ' i/jf^^g^=- «(2.6)«+ «(4.6)«.

O

/' f^^ö.=-*^ + 5(5.6)..

O 0

09tUnper: Ceber öetifmmle Int^rale. ^471

/' i:^^S:r=-5(5.6)«+S(l.6)«-l.

o

O

U. 8. W.

Wird rs=2 and m=:0, 1, 2, 3.... geftetxt, so ergeben sieb ende Integrale:

10)

O O

o

O

a. 8. w.

Aucb die bier angewendete Methode ist, wie man sieht, all- nein und iSsst sich leicht weiter fortfahren. Sie erdflfhet ein sseres Feld der Anwendung. Man kann nan hiernach das Integral

47S Oetttttfer-: Ceier battmmte Hite§rmle.

entwickeln. Es wird aaf zwSlf verschiedene Integralformen fuh- ren. Bei der Anwendung dieser Methode hat man die vorlie- gende Funktion auf zweierlei Weise in Reihen mit fallendeo and steigenden Potenzen von x zu entwickeln und dann die sich er- gebenden Resultate nach §. 19. zu hehandeln. Ffir alle Functio- nen von x^ die ^ich in solche Reihen entwickeln lassen, wird daher diese Methode benutzt werden kdnnen. Zor Darstellaof^ des Integrals

J Wx + x^^x^^^

o

]

I

erhält man, wenn , , ^ « auf die angedevtete Weise ii

1 -^ X "f" X ^ X

Reihen entwickelt wird:

11)

rt o

= (— )M'^ ' ' ((^+2)?H ■•" (p+er+i + " (4iii+p-2)'+0

/» » _£^(lg£)«_

„ 1+a;

12) x3^(\oxY f *

— y (Ig*)' («^* +«f+* + «H-« + ....)8*

O

= (-.)Mr|lS(p + 1.4)H^l(-)r+l.lr|lÄ(p+2,4)r+t.

Wird nun prrQ, 1,2, 3 gesetzt und werden die nuthigeo Eat- wickeloDgen gemacht, so erhält man sar BestiromoBg des vorlie- gende» Integrals folgende vier Formen:

OtUimttr: Oeber ba$tlmmU TnUfra*'' 4711

/' Y:^^^^a^=(-)M'-I »«(1.4)H-»(_)r+l.lr| IS(2,4)'+»

(->'''''"(^Ti + FP+- (am -2)^+0' M)

(—)»•+». l' I » ^^^, + 5+i + •••• (4m-2)'-+V P ^ 15)

< )'''4r+i('+2r+l + 3r+l + -*--B,H-»''

16)

*" ^1» 1 1 1

(—)''+* 4Ra(* +2H=i +^+i + — • ;S4^i)

Die Ermittelung besonderer Fälle ergibt sich hieraa« feicbt. Mao siebt, dass, wie bemerkt, diese Metbode ein grosses Feld fOr die Anwendung eröffnet. Sie ist eben so einfach, als attgem«in, was sich durch die vorliegenden Resultate verdeutlicht.

§.45.

Eine besondere Gruppe von Integralen erhält man aus den in §. 22. aufgestellten Glefcehungen, wenn man statt p gebrochene Zahlen schreibt. Setzt man p = i In Nr. 5) §.22., so entsteht:

1)

o (I — «) Va

= (-)'-2H^».M »5(1.2)r+l(_)r+12'+l.lr| 1 (1, + glj + gl.,

l

■•■•••• (2m- 1)'-+»^' Th.il XXXCC. 3a

474

Oettinger: üeöer öetUmmte inugraU,

Hieraus ergeben sich für r=l, m=0, \y2^„., folgende Integrale

2)

n

%

/•> Jr'lgg ««40

^ (1— a;)Va:*'* 2 + 9 '

/*' _£!l8£_a _ »' 1036 4 (1— a:)Va:*'*~~ 2 + 225 '

/•« J:«lga; «^

^ (l-a:)Var *"^~~ 2 +

51664 11025'

^ (l-«)V:r^*= - "2 + *'^(2tt - l)«" Eben so erhält ipan nach der frilher angegebenen Methode

3) -a!«)lgar _

/

O

/

o

/

/•

(

-£»)lg£fl _ 3^.76 — ar)»Va:°* — ~ 2 + '9 '

:i-jr)«V« 2 +"i (2tt-l)*'

Ferner ist:

4)

^ (1— «)V« ''^ ^'^ "''2 *'*» ''"^'*' (2u— iW'

woraus sich folgende Integrale ableiten:

S)

^ (l-ar)V«''- *^+*'

./ (1— arTvi ■«« + 9 •

./ (l_a:)Var**-- *" + 225 '

/•» (l+^l!g£. _ c„,. 145024

!!• S. W.

Oeiiinger: Veber öesUmmte lnie§rale. 475

Wird r=2, m=0, 1,2, 3,.... in Nr. I) gesetzt, so entsteht:

■ l ^:^,>' = ^lyv-

/•■ a;»(lga:)« 60432

/•- a>*(lg;c)« 19410176

Hieraas erhält man folgende Integrale:

7)

/ (I-ar)V:r ^* =325(1. 2)» -16.

/•' (l+a:)«(lg»)« _ 1312

J 7lII^)V:r^* =645(1.2)»-- 2^.

/•' (14a;)»(l8ar)« _|orc,i «x, 386432

./ (l-:r)Var ^* =1285(1.2)«-^^,

/■ ^i!;^^-8. = ,6(^-«.,5{1.2).-16^,«a.(<^j-^.

Diese Darstellungen lassen sieh beliebig fortsetzen.

Setzt man p = ^ in Nr. 6) §. 22. , dann 2i?i und 2m -|- 1 statt m, so erhält man folgende zwei Integralformen :

8)

<--)'+^-2^^»''*(^-^i+6ii-"-(-4^i)r+i>'

9)

/' Jl!±!<^^a— (-)r+i.2H-».l'-l »S'(1.2)'+i (1 + X) ^X

476 Oe Hing er: üeöer betUmmte iniepraie.

Setit oian rsszl mkl mts:0,l,i, so leiteo sich hieraas fol- gende Integrale ab:

.r<iSffc«— ^*'('.^)-+?'

^ (H-^)Var^* = -'** <*'2> +TTÖ25' |

u. 8. w. Fflr r=2, m = 0, 1, 2,.... entsteht:'

n)

/•' j;«(tejr)« «» 416

.( (I+*)Var*^~"*" 2-27'

/•> £»(lg^j, _ «• . 524^

J (H-x)V« 2 + 3375 '

/> j«(lg3;)« ^ _ . «■ 17984176

, (H-a:)Va:^*~ ^ 2 ~ 1157625 '

«. B. w. Diese Gruppe tod integralen iSsst sich avf jeden War- zelexponenten ausdehnen. Setst man nSmIicb V statt p in Nr. 7)

und nr. 8) §, 22., so erhält man folgende hieber gehörige allge- meine Integralformen:

^ /" '^>^'a.=(-)'. ^^

O

Hieraas lässt sich , wie früher , eine grosse Reihe besonderer Integrale ableiten, je nachdem die Weithe von i:, p» r and m ge- wählt werden.

(Fortsetntng nftehrtens«)

üfiseeiien, 477

M i 8 c e 1 I e n.

SomiDirnng der Reihen:

a«, (a+cO*, (a+2d)«, (a+3rf)«, ...., (a+«rf)*; a», (a+d)\ (o + 2<C (o+3rf)«, (a + iirf)».

Von dem Heraatgeber.

^ Wenn der Kürze wegen:

o _ (o-f wd)(fl + (n4-l)<0(2fl + (an-f !)€£)

also:

_(o-f(n~l)€0(a+nd)(2a-f(2wl)rf)

gesetzt wird, so Gberzeugt man sieh durch einfache Rechnung auf der Stelle von der Richtigkeit der Relation :

d(a+nt[)*=P,—Pn-i,

und setzt man nun in dieser Reistion für n nach and nach:

0, 1, 2, 3, 4, ...., n;

80 erhilt man die folgende Reihe ven Gleichungen:

rfa» = Po—'*-».

d(«+d)*=l>,-Po.

d(a+2«i)*=P«-Pi, T

u. s. w.

d(a+(n-l)d)« = Pn-l-Pn-*.

d(o+nd)«=P„— P»_i;

also, wenn man addirt und aufhebt, was sich aufbeben lässt:

dto« + (o+rf)»+ (a+2««)"+ •••• + (o+«rf)'l = P«— P-i,

folglich :

o«+{o+<l)»+ («+2d)« + .... + (a-^nd)*

I(a-Htd) (w+(n^•l)<i) (äo + (2n+l)d x 1.2.3 (a— rf)a(2o--<<) ~ 1.2.«

i

478 Misceiien.

» /

oder :

a* + (a+rf)« 4 (a+ 2rf)« +.... + (« + nd)*

_ (a+nd)(a + (h'+l)d) ßa+(2n-\-l)d) — (a—d) a(2a-d) - 6d ~

Ferner erhellet sogleich die Richtigkeit der Gleichung:

^ ,a+(n-l)d a + {n + l)d

**+ 172 = — r^^~~'

also auch der Gleichnog:

^.-.■■^. (o+nrf)(o+(n-l)rf) (a + in+l)d){a+nd), d(a+«d)+ y-^ = j-^ ,

und quadrirt man nun auf beiden Seiten dieser Gleicbong, m erhält man, weil offenbar

d^(a+nd)*+ d(a+nd)* (a+(n — l)d) = d(a+nd)*

ist, die Gleichung;

^/ j. ^. . i,ia + nd)(a+(n-l)d)r_Ui*+in+l)d)(a-\-nd)}'

oder:

oder, wenn wir der Kfirze wegen:

^•=J o S'*""^ ^"-' = ^ 172 i

setzen, die Gleichung:

Wird nun in dieser Gleichung für n nach und nach

Qf 1 y 2y 3, 4, .. .. , n gesetzt, 80 erhält man die Gleichungen:

d(a+d)»=ei — öo»

U. 8. W.

d(a + (n-l)rf)»=e«-i-Qi

i

Miscelien. 479

also» wenn inao addirt und aufhebt, was sich aufbeben läaat:

rf{a»+(a+<0' + (a+2rf)» + .... + (a+»id)»l = Qn-Q^u folglich :

a»+(a + rf)3+ (a+2d)» + .... + (a + nrf)»

__ K r(^+(n+l)d)(a+nrfn ^ ra(a--d)-l»

~d?L o J ~L 1.2 J

oder:

a» + (a+d)»+(a+2d)' + ....+(a+nd)»

_ t(a + (>i + l)rf)(q4-nf0i«-lfl(a— cQl«

Von dem Heraua^eber.

Ueber den vielfach verdienten und beriihroten Astronomen Friedrich Theodor Schubert, den Verfasser des ^»Trait^ d*Astrononiie thöorique. T. I. II. III. St. Petersbourg. 1822. 4." und mehrerer anderer' werth voller Schriften und vieler Abhandlungen sprichl Ernst Moritz Arndt in seinen „Erinne- rungen ans dem äusseren Lehen. Zweite Auflage. Leipzig. 1S40. S. 159." sich auf folgende Art aus:

,yUnter vielen bedeutenden Männern lernte ich'* — (in Pe- tersburg im Jahre 1812) — „auch Schubert den Astronomen, Klinger den Dichter, und den Weltumsegler Krusenstern kennen, alle drei Deutsche, der letzte aus einer schvredischen Familie stammend. An Schubert war ich gewiesen als einen Mann aus meiner Heimath *), Ein hoher, schöner und geistreicher Mann, aber durch Hochmuth verdorben. Er war ein VergjStterer Napoleons, zweifelte an jedem Erfolge gegen ihn **), schierf^ber- haupt Geist und Glück anzubeten, kalter Hohnlächler und Men- schenverächter. Vielleicht hatte er dies hier gelernt; indessen gehurt zu allem irgend eine geborene Anlage. Er gab mir die Lehre: der Mensch ist eine dienstbare und lastbare Bestie; ge- w«)hnen Sie Sich hier recht grob und hoch aufzutreten, dann hält man Sie fSr etwas ***). Solche widerliche Lebensregeln mogten

♦) 80 viel ich weiss, war JF. T. Schubert in Wolgast, in Ncuvor-* ponunem, geboren; £. M. Arndt wnr ans Schoritz anf der Insel Bügen ^hurtig und geboren 1769. G.

**) Man bedenke, dass dies sich auf das Jahr 1812, welches dem Jahre der Erhebung, 1813, Torausging, bezieht.

***) Arndt trat in die Dienste des damals vom Kaiser Alexander nach Petersburg gerufenen Ministers von Stein.

V

1

480 MiMceiiem.

auch anderswo fSr gewisse Karaktere ihre praktische CMUtigIni haben. Ich war ein paar Mal bei diesem hocbfahreoden nsd ysr- nehmen Gelehrten and kam nicht wieder/'

Wie sch5n spricht er sich dagegen fiber den aas einer schwe- dischen Familie stammenden Destschen» den hochberuhmten Krasenstern, aus: ,yKrusenstern — ja das war ein ganz anderer, obgleich im rauhen Norden an Ehstlands Küsten gebo- ren, der menschlichste, anspruchsloseste, liebenswürdigste ManB, bei welchem jeder Seele wohl ward, der nur die schlichte Ein- falt des Seemanns, aber nichts von der Rauhigkeit des rauhes Elements, mit welchem er zu kämpfen hatte, an sich trug.*'

Berichtigung.

In der Abhaodlnog „Ueber die der Ellipse |iariiliele Cerre etc" im Uteo Hefte die«ee Bande« sind vor der ersten Formel auf p. 20. ik folgenden Zeilen cinzasclialtcn :

a«6«— a«(/?«—r«) — *«(««-- r*)

k^.r» + k^.

o«6«

(in.Hczug anf die Veränderliche k) die Gleichung der tsr betrachteten Ellipse parallelen Curve liefert, d.i. die Glei- thnng^ der Curve , deren anf den Normalen der Ellipse gemeaaeaer A^ ütand TiMi dieser Letzteren unTeränderlich und =r ist/'

Als ich im VI. Bande der „Zeitschrift für Mathematik und Pkj- HiW p. 140 f. in der Abhandlung: ^Ueber Dreiecice nnd Tetraeder, welche in Bezug auf CorTen und Obcrflächea zweiter Ordnung aich lelbii conjngirt sind" die Ausdehnung der wichtigsten Resultate jenes Znsatin auf lH^hen zweiter Ordnung vorlegte, behielt ich die entspre^cile Erweiterung des hier wiederh(»lten SchluAssalzes einer besoBderea Ge- legenheit vor. Diese Erweiterung liefert den Satz: Die -Diseriail- nante der Gleichung ....

Man lese ferner p. 80 Zeile 9. t. o. c^a* statt Ca* ,

p. 22 „ 13. T. n. gegeben ,, egeben t p. $17 n 2. T. o. Car?e „ Carreo , p. 34 ,. 1. T. u. DarchmessereadpiMikte atattDorcb*

messerponkle. Chemnitz, 23. Octbr. 1862. Dr. W. Fiedler.

Druckfehler im Literarischen Berichte Kr. CLV. S. 15. Z. 9. ▼. n. far ,,SchOnlein^* s. m. „SchOnbein".

Uierariseher Berieki CLiif.

Literarischer Bericht

cLin.

Am 28. Joli 1862 starb

Dr. Edmund Kfllpi

Professor und Director der höheren Gewerbeschule in Darm Stadt, der sich auch als Schriftsteller im Fache der Mathe- roatik und Physik einen f^eachteten Namen erworben hat.

Geschichte der Mathematik ohd Physik.

Professor Schulz von Strasznitzki als Gelehrter und Mensch. Eine Crinnerang an dessen zehnten Sterbetag (9. Joni 1862.). Wien. Manz&Comp. 1862. 8.

Die warme Pietät für eiwen der verdientesten Lehrer der Hathematik, ausgezeichneten Gelehrten ond treflTlichen Menschen, dessen ausfQhrlicherer Necrolog schon im Liter. Ber. Nr. LXXIV. S. 042. geliefert worden ist, welcher diese Schrift Ausdruck ver* leihet» macht einen ungemein wohlthuenden Eindruck, und zeigt, wie hoch und allgemein wahres wissenschaftliches Verdienst in Oesterreich geschätzt und erkannt wird. Auf 24 Seiten giebt uns der Herr Verfasser einen ziemlich ausfQbrlichen Lebensabriss und eine sehr interessante Charakteristik des trefflichen Mannes als Lehrer, als Gelehrten und Mensch, aus welchem auch in der erfreulichsten Weise deutlich hervorleuchtet, wie aufmerksam auch in Oesterreich von den Unterrichtsbeborden jedes aufkeimende wissenschaftliche Talent beachtet, jedes wissenschaftliche Ver- dienst, ohne es, so lange es sich bewährt» jemals aus dem Auge zu verlieren, gefordert und belohnt wird. Wir machen unsere Leser auf die Schrift, die ihnen gewiss eine angenehme Lecture

Till. XXXIX. Hfl. 1. 1

2 Utfrariuhw Bericht CUIL

gewähren wird, aafmerksani. Ausser den schon in der erwfthnto Nummer des Literarischen Berichts S. 24. verzeichneten Sehriftet bemerken wir poch die folgenden , dort nicht angegebenen, vob Schulz von Strasnitzki veröffentlichten wissenscbaftlichco Arbeiten :

Kennzeichen der Convergenz unendlicher Reihen. 1828. Ueber binomische Reihen und Lambertische Formeln. 1829. Cissoiden der Curven. 1829. Der Enler'scbe Lehrsatz von den Polyedern. 1829.

Neue allgemeine Eigenschaften der Linien zweiter OrdnaBg.

1829.

(Wahrscheinlich finden sich diese Abhandlungen in Terschif- denen Journalen und ähnlichen Sammelwerken, die aber is der vorliegenden Sehrifc nicht aqgegeben find.)

Anleitung zur Rechnung mit Oecinalbröchen. Wien. 1844.

Logarithmen- und andere nOtzliche Tafeln. Wien. 1844.

Die Reise zum Volkstag nach Frankfurt am Main. Wien. 1848.

Stellung der Astronomie im Bereiche der Menschheit Brfion. 1860.

A rithmetik.

Handbuch der Kugelfunctionen von Dr. E* Heise, ordentlichem Professor der Mathematik aa der Usi- versitSt in Halle. Berlin. Reimer. 18öl. 8.

Die Theorie der Kugelfunctionen. Von Dr. Georg Sidler. (Aue dem Programm der Berner KantoassoheU ffir 1861.). Bern. Haller. 186L 4.

Die sogenannten Kugelfunctionen, urspriingllcb hmuptMcblki bearbeitet von La place, ond daher auch Laplace*«ciie FonctiO' nen genannt, finden bekanntlich die vielfachste ond wichtigste Anwendung in der Tjieorie der Anziehung und Abstossung naeb dem umgekehrten Quadrat der Entfernung, besonders danv^ weM die Gestalt der ansiehenden Massen von wesentlichem Belang ist, also weniger in der Theorie der planetariscben Störungen als bei den mehr in das Gebiet der eigentlichen Physik fallenden Pro- blemen, wie wir hier, übrigens natfirlioh nur ganz in der Kfirs«r

Uterarlschtt BeHehl CUIl. %

AdierkMt viH)lleA. Eb^fi 80 W6ll«ft Wft boif gati« til <lte Kifne tihirl erifimei'A, da^ niAn die Ute Kngeirdtl^dti dM, wi« sMh Voti rtb^t ▼«toteM, nur rdll a Abhängenden 0oiifB6}«nteA töti d^ Itt er convergirenden Reihe netittt» in wddie Aiöh die Potert2

titi^r der Voraadäeüttng^ daA« a* < I Ist, nach aufatefgenden Ptf- »nten ton a entwickeln läetat.

Herr Pröresaor H^liie haf ateh jedenfatls ein aetkf Weaettt- chea Verdienet ervTörben, däaa er in aebr grosser Völlatindig- dit alle Arbeiten, welche bia jetzt aber die gettAnnteil ^iehtigen ttttctieHM verOffentücht worden aind^^ nicht ohne 2(itbttn eigener srdienatlicher Cnteratfebaflgei^, als ein syafenMtlachelf Gänse« \ dem obigen Werke mit groaser Sachkenntniaa zuAAiliiiiei^ge- 'ellt, ond neben der reinen aaalytiachen Theorie aach die An- endnngen in eingebender* Weise berücksichtigt bat. Dieses erdienst ist um so grosser, je grosser die Anzahl einzelner Ab- mdinngen ist, in welchen zerstreut die in Rede stehende wicb- ge Theorie sich findet, und je schwieriger diese Abhandlungen, 51 deren Kenntnias man bis zum Jahre 1782 zurückgehen muss, leilweitie zu erhalten sind. Wir schlagen dieses Verdienst sehr 9ch an, verhehlen jedoch nicht, dass das sehr grosse in diesem letVe zusammengebäufte, besonders analytische Material, wenn imentlich der Physiker, welcher diese rein analytischen Theorien si seinen speciellen Untersuchungen zu benutzen beabsichtigt, eh eine klare Uebersicht verachaffen will und diese Uebersicht iter der Misse nicht terlieren s<y||, in dieser Bcfzfehung Schwie- gkeiten herbeiführen tä fc&ni^en Uns scheinen mlichte.

Deebalb dürfte auth der freilich weit kürzeren, sich auf das Wesentlichste beschr&nkendetr, und einen nicht so umfassenden pfMkrat aflalytfj^her Vorkenntnisse voraussetzenden Schrift des erm Dr. Sidler, neben dem Heine' sehen Werke, Ihr Werth icht abzusprechen sein, weshalb wir einen Jeden, der sich mit cht zu grossem Zeitaufwande eine allgemeine Uebersicht Über e genannte wichtige Thedfie in ihren hauptsächlichsten Resul- ten zu yerschaflen tvünschf, auf dieselbe aufmerksam machen.

Da die Sidler'sche Schrift in einzelne, mit besonderen ebersch rillten versehene Unterabtheilungen nicht getheiK ist, so Basen wir eine genaue Angabe des Inhalts derselben uns ver- gen, geben daher im Folgenden nar den Hauptinhalt der ein- Inen Kapitel des Heine'schen Werkes an:

4 LUerariucher Berichi CLUL

A. Theorie der Kavelfonetlonen. E i d I e i t a n g. Eit- fübruDg der Kugelfunctionen. — Erster Tbeil. Die Kugelfiinc- tionen einer Veränderlichen. 1. Verschiedene Formen der Kugel- functionen. 2. Entvrickelong nach Kagelfunctionen. 3. Die Kugel- functionen zweiter Art 4. Zugeordnete Functionen erster Art 5. Zugeoi;dnete Functionen zweiter Art. 6. Die Kettenbrfiche. — Zweiter T h ei I. Die Kugelfunctionen mehrerer Veränderlicheo.

1. Entwickelung der Kugelfunctionen erster Art nach Laplace.

2. Entwickelung der Kugelfunctionen zweiter Art. 3. Einfuhrang und Eigenschaften der Lamö*schen Functionen. 4. Entwickeluog der Kugelfunctionen nach Lamö'schen Functionen. 5. Dirichlets Beweis, dass Functionen zweier Veränderlichen nach Kagelfone- tionen entwickelt werden können. — B. Anwendlium^ 4er Koffelfiuietioiien* I. Mechanische Quadrataren. IL Anziehung und Wärme. ]. Die Kugel. 2. Das RotatioDt- ellipsoid. 3. Das dreiachsige Ellipsoid.

» •

G e 0 Dl e t,r i e.

Geometrische Untersuchungen Aber Curven höhe- rer Ordnungen und Klassen. Von Dr. Sarres, Lehrer am Friedrichs-Gymnasium in Berlin. Wittenberg. Herrosöe. 1862. 4.

Die in dieser Schrift mitgetbeilten Untersuchungeo wurde» ursprünglich zu dem Zwecke begonnen, die durch analytisdie Hilfsmittel gefundenen Eigenschaften der Curven der 3. und 4.0rdmiDf durch rein geometrische Betrachtungen herzuleiten, und zugleich diese Curven wirklich zu construiren. Die angewandten Mittel zeigten sich aber nicht ausreichend, indem sich jedoch duf der anderes Seite ergab, dass die gebrauchte Methode einer grossen Verall* gemeinerung fähig sei, dass sie sich mit Leichtigkeit auf Curvea höherer Ordnungen anwenden Hess, und dass namentlich die voi Steiner mit so grossem Erfols^e angewandten Strahlbflschel und Geraden nur specicile Fälle sind von vielfachen Strahlbiischeb und Geraden, die bei den Curven höherer Ordnungen dieselbe Rolle spielen, wie jene bei den Kegelschnitten. Die Leichtigkeit, mit welcher nach dieser Methode Bilder von höheren Curven dargestellt werden können,, bewog den Herrn Verfasser, dieselbe weiter zu verfolgen und auf die vollständige Allgemeinheit so verzichten, da es ihm schien, dass nur durch bestimmte Anschau- ungen eine tiefere Einsicht in das Wesen geometrischer Gebilde ermöglicht werde, Anschauungen, die man sich a priori nicht bil-

Uterarischer Bericht CLIII. 5

den kann. In der ersten der beiden Abtheilangen , in welche die Schrift serföllt, wird die Construction der Curven durch rein gra- phische Uiilfsmittel bewirkt, in der zweiten kommt das anharmtf- nische Verhältniss zur Constractiön derselben Corven in Anwen- dung; beide Abtheilungen stehen in inniger Beziehung zu ein- ander, und anch hier waltet das Princip der DualitSt ob.

Wir glauben die Liebhaber der neueren Geometrie auf diese Schrift, welche wir im Vorhergehenden, absichtlich grosstentheils mit den eigenen Worten des Herrn Verfassers, etwas näher zu charakterisiren gesucht haben, aufmerksam machen zu mfissen.

Die Lehre der geometrischen Beleuchtungs-Con- structionen and deren Anwendung auf das technische Zeichnen. Für technische Lehranstiüten und zum Selbstunterrichte verfasst von Franz Tuscher, Haupt- mann im k.k. Genie-Stabe, Professor der darstellenden Geometrie an der k. k. Genie-Academie. Mit einem Atlas von 13 lithographirten Tafeln und einem Far- bendrucke. Wien. 1862. 8.

So weit wir uns bis jetzt mit dieser neuen Darstellung der Lehre ron den Schatten-Constructionen nach grosstentheils dem Herrn Verfasser eigenthOmlichen, besonders auf die mög- lichst leichte praktische Anwendung berechneten Methoden, bekannt gemacht haben, glauben wir dieselbe allerdings den he- theiligten Lehranstalten zur Beachtung empfehlen zu müssen. Nachdem dem Herrn Verfasser — so sagt er in der Vorrede — in der Theorie der darstellenden Geometrie, und, zwar durch ein- fache Constructionen , die directe Losung des Problems gelungen war: an eine gegebene Fläche Berti hrungsebenen zu legen, welche mit einer gegebenen Geraden einen bestimmten Winkel bilden; lag ihm der Versuch nahe, dieses Resultat zur Darstellung der iBtensItStslinien der Flächen anzuwenden und auf Grund bereits bekannter Wahrheiten zu dem Systeme einer „Lehre der Be- leucbtungs-Constructionen^' in der Art auszuarbeiten, dass es den mit den Elementen der darstellenden Geometrie vertrauten Anfänger in die Lage setzt, in jedem gegebenen Falle, bei be- liebig angenommener Richtung der Lichtstrahlen, das wahre Mo- dell flir seine Darstellung direet und einfach selbst construiren zo können. — Damit diese Lehre aber auch dort Nutzen stifte, wo dem Constructeur die nOthige Zeit oder Gewandtheit mangelt, sind die Erklärungs - Figuren in einem grösseren Maassstabe und mit solcher Vollständigkeit dargestellt, dass sie als Vorlagen beim Laviren zweckmässig benutzt werden können. — Dm endlich die

6 Literarischer ßerickt CUIL

iMch d«r angewaDÖten MetlMrde enslelldit Re«ttltat# erskÜtMi z« machen, und zugleich ftfr jene, denen wegen Mangels Am IMMH> gen Vorkenotnieee der Unterricht im Latiren tMieh Veriagtt e^ tbeilt werden mutfs, eine «icbere Grundlage zu bieten, wiid im Herr Verfasser demnächst die meisten, in den ersten <wOlf Tafeli construirten Figuren nebst noch einigen anderen Beispielea* aaf welche häufig im Texte hingewiesen wurde, einzelne jedoch axo- nometrisch dargestellt, in derselben Manier ausrahren lasses, ii welcher die Figuren auf Taf. XIII. und XIV. behandelt O'schrinea, zugleich aber die Einrichtung treffen , dass diese Voiiageo als eigentliche Vorlagen zum Laviren einen besonderen Anhang lo der Lehre der Beleuchtungs-Constructionen bilden.

■ I ■ « I

Physik.

Recherches sur les proprietes magn^tlques du fer. Par T. R. TbaUn. Eztrait des Actes de la Societe Royale des Sciences d'Upsal. S^rie III«. T.IV. Upstl Leffler. 1861. 4<>.

Mit der die schwedischen Mathematiker und NatdtfofsAer auszeichnenden Schärfe und Präcision hat der Herr Verfasser if dieser ungemein lehrreichen Schrift die magnetischen Eigeoschaflai der rerschiedenen Arten des schwedischen Eisens untersucht, sM dabei anschliessend hauptsächlich an die von W. Weber äuge* gebenen Metboden. Keineswegs aber bloss in Bezog aaf diese» speciellen Zweck ist die ausgezeichnete Schrift von WiehtIgUt und grossem Interesse; vielmehr kann dieselbe nach unserer Meinung als efn wahres Muster llSr die Art und Weise, wie soMe Untersuchungen auszufahren sind, betrachtet werden, uord entbill sogleich die treffliebste Anleitung zu deren Anstellong, vreshik wir recht dringend auf dieselbe aufmerksam machen. Nach eher kurzen Einleitung über Zweck und Veranlassung der angesteWn Untersuchungen beschreibt der Herr Verfasser zuerst in L die angewandten Instrumente, und verbreitet sich dann in IL in sehr eingehender Weise über die Methode der Beohachtnagi worauf ferner die nachstehend nach ihren UeberschrifTen von tse angegebenen Abschnitte folgen: III. TH^lice (1^. D^termroatieii de la force electro-magnetique de Thelice sur nn point, sitn^ daie son Interieur. 2^. Determination exp^rimentale de l'intensM rfs eonrant d'induetion prodoit par une force iodnctive <|ni ^mase sueeeeslvement de points diff^reots de l'interienr de {"heiice. 3^- Determination de la valenr dn rayon moyen de Tbeiice.) IV. IM-

LiUrarUcli^r Bericht ClllL 7

terminntion de Ja v^leiir absolut du cbdogemeot d«ns le moment UMgn^tiquQ da barr^ap en Ter, V* Sur l'influencQ de la forme du barrean eq fer isor la graodeur d^ ßoa mom^nt iQagoätiqae. VI. V^ification de la fQrroule de M, NenmanD, ao cas dea cylindrea. VII. I^'influence da la cbaleqr sur la grandeur de rinduction magD^tique du fer. VIII. Determination de la grandeur d'iodnc- tiou magn^tique de diff^rentes espdces du fer.

Schon diese kurze Inbaltsanzeige wird unser obigea Drtbeil bestätigen, dasis jedem, der Untersuchungen dieser Art anzustellen beabsichtigt, in dieser ausgezeichneten Schrift das beste Moater upd die beste Anleitung dazu geboten wird. Oass er darin auch alle nothigen Formeln und Rechnungsmetboden findet, verstellt sich von selbst.

Vermisclite Schriften.

Sitzungsberichte der konigl. bayerischen Akade* ■ie der Wissenschaften zu Mönchen. (Vgl. Literar. Ber. CXLIX. S.8.).

1861. II. Heft III. Robert V. Schlagintweit: (Jeher die Hobenverh&ltnisse Indiens und Hochasiens. S. 261. —-Seidel: Bemerkungen über die IMuglicbkeit mit Hülfe der Photographie die directen Leistungen optischer Apparate in Ansehung der VergrSsserung zu verstärken. S. 290.

1862. I. Heft 1. Jolly; Ueber die Molecularkräfte. S.38. Herr J oll y gab eine vorläufige Nachricht von dem • Resultate seiner Untersuchungen. Er bestimmte fOr 14 verschiedene Salz- anflosungen die Grossen der Contractionen, welche durch allmftli- gMi Znsatz von Wasser eintreten, nnd zeigt, dasa zwei Gesetze sieh begründen lassen:

I) Die Contractionen verhalteo sich unter sonst gleichen Ver- h&ltoisaen wie die Aequivalentzahien der gelosten Korper.

3) Pie Contractionen erfolgen durch einep Zug der auf eia- avder wirkenden Molecule des gelösten nnd des losenden Korpers, und ihr Zug nimmt ab, wie die Quadrate der Entfernungen der auf einander wirkenden Molecule wachsen, und ist verkehrt pro- porüpnal der Summe der auf einander wirkenden Molecule.

Herr Jolly wird diese Untersuchungen selbstständig beraas- geben, und dadurch gewiss alle Physiker zu besonderem Danke Terpflichten.

8 Uterarischer Bericht CUIL

Annali di Materoaticn pnra ed applicata pnbblicati da Barnaba Tortolini e compilati da E. Betti a Pisa, F. BrioAchi a Pavia, A. Genocchi a Torlno, B. Torto- lini a Roma. 4» (S. Liter'ar. Ber. Nr. CXLIX. 8. 11.)

No. 2. tora. IV. 1861. La teorica delle funzioni elittiche, MoDografia dei 8ig. Prof. E. Betti. p. 57. — Intorno la curFa gobba de! quart' ordine per la qnale passa una sola saperficie di secondo grado. Memoria del Prof. C. Crem o na. p. 71. — Jd- torno ad aicuni sistemi di curve plane. Nota di Eugenio Bei- trami. p. 102. — Blvüita blblioir^aflea. O. Hesse: Lezicoi di geometria analitica, articolo del Prof. L. Cremona. p. 109.^ Pubblicazioni recenti p. 112.

No. 3. tom. IV. 1861. Memoire sur la rösolotion de« äquations dont le degrö est one puissance d'an norobre prämier. Par !V1. Emile Matbieu. p. J13. — Snr un Systeme de coarbes et surf^ces dörivöes, et en partioalier sur quelques surfaceis ana- logues aux ellipses de Cassini. Par M.William Roberts, p. 153. — Solution d'un probidme par M.W. Roberts, p. 153. — Sulla determinazione della , Parte Algebrica nell' integra- zione in funzione' finita esplicita. Nota di C. M. Plama. p. 154.

— Blvista blbltoipraflca Quadratura della doppia ellissoide di rivoluzione. Articolo del Prof. B. Tortolini. p. 170. — Ri* sultati di Geometria elementare. Articolo del Prof. B. Tortolini

— Sur la transformation du troisi^me ordre des fonctions elfip- tiques. Lettres de M. Herrn itc k M. Borchardt. p. 176.

Monatsbericht der konigl. preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. (Vrgl. Literar. Ber. Nr. CL. S. 12.)

April 1862. A. v. Besold: Ueber die Natur der oegativeo Stromesschwankungen Im gereizten Muskel, mitgetheilt von Hem du Bois-Reymond. S. 199 — S. 202. — Ebrenberg: Erlio- terung eines neuen wirklichen Passatstaubes aus dem atlantiscbeo Dnnkelmeere vom 29. Oct. 1861. (Mit einer Karte). S. 203- S. 222. — Weber: Ueber die Identität der Angaben too der Dauer des längsten Tages bei den Cbaldäern, Chinesen, Jodet* 8.224.

Mai 1862. Ehren berg: Mittheilung ober den Orkan mit Passatetaub am 27. März bei Lyon. S. 235 — S. 236. — Kro necker: Deber einige neue Eigenschaften der quadratischen For- men mit negativer Determinante. S. 302 — S. 311.

Literarischer BericA4 CUV.

Literarischer Bericht

CLIV.

Wiederum haben die Mathematik und Astronomie den Verlust eines ihrer würdigsten Vertreter zu belclagen. Am 5. September 1862 starb in Lund der ausgezeichnete schwedische Mathema- tiker und Astronom

]>r. J. BL Agardh,

Professor der Astronomie an der Universität in Lund und

Director der dortigen Sternwarte^

im Alter von 49 Jahren 8 Monaten und 14'Tagen^ dorn der Her- ausgeber des Archivs sich zu manchem Danke verpflichtet fühlt. Desto mehr wflnscht derselbe; dass ihm von kundiger Hand recht bald ein INecrolog des trefflichen Mannes zur Publication im Ar~ cTiiv eingesandt werden möge.

Am 29. August starb in Folge einer kurzen aber schnierz- vollen Krankheit im 77sten Lebensjahre der berühmte Director and erste Astronom der Sternwarte zu Mailand

Franz GarUiüi

geboren im Jahre 1785. Seine fbatesreiehe astronomisebe Lauf- babn begann sehr frühzeitig mit der Berechnung des Jahfgangs 1804 der Mailänder Epheroerlden und erstreckte sieb fast durch % Mies Jahrhunderts. Während dieser langen Zelt arbeitete er null vminterbrocbener Thätigkeit für die Fortschritte der Wis- senschaft. Im Jahrgange 1863 der Mailänder Ephemeriden er- scheint noch eine Abhandlung von ihm, und vier Wochen vor seinem Tode hat er noch Elemente für den Cometen H. 1862 be- rechnet

Carlini 's Verdienste sind jedem Astronomen bekannt Er war mit fremden Sprachen und deren Literatur sehr vertraut;

Tlil.XXXIX.Hft.2. 2

2 UierarUeker Berieki CUV.

aüch liebte er» sich mit mechaniflcheo Arbeiten za beechSftigeB. Sein ganzes Wesen war für den« der Ihn genau kannte, sehr Be* benswflrdig; sein moralischer Charakter fleckenlos.

Dass ans auch ein ausführlicher Mecrolog dieses auageseidh neten Mannes eingesandt werde» wünschen wir sehr. Vorstebesdt Notizen sind aus den Astronomischen MachrichteD Nr. 1381. entlehnt» und mitgetheilt von Herrn J. V. Schiaparelii, wobei wir jedoch bemerken wollen» dass nach dem Almanach der kai- serlichen Akademie der Wissenschaften in Wien Carlini an 8ten Januar 1783 in Hailand geboren ist» worüber wir eine wei- tere Aufklärung wünschen mochten.

Unterrichtswesen.

Indem wir Air die uns wiederum gütigst zugesandte:

Anzeige der Vorlesungen an der Grossherzog- lichBadischen PolytechnischenSchuleza Carli- ruhe für das Jahr 1862—1863. Carlsrahe.

verbindlichst danken» bemerken wir, auf die frühere Anzeige m Literar. Bericht Nr. CXVIIL S. 1. uns beziehend» nur» dass aod diesmal der Unterricht auf dieser trefflichen und berfihoiteB Lek- anstalt in jeder wünschenswerthen Vollständigkeit von anerkiaBt ausgezeichneten Lehrern ertheilt wird.

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Geschichte der Mathematik und Physik.

Scritti di Leonardo Pisano» Hatematico del seeeit decirooterzo» pubblicati da Baldassarre Bonconpagai» Socio ordinario delT Accademia Pontificia de* auofi Lincei e Socio corrispondente delT Accademia Reale delle Sciensedi Torino*). Volume IL (LeoDardI PIsaai Practica Geometriae ed opuscoli). Roma. Tlpografia deile sciense matematiche e fisiche. Via Lata Num*- 21 LA. 1862. A^.

*) Aach die Berliner Akademie der WissenschAften hat m unserer giMMB Freude die wichtigen Verdienste, welche der FOnt Boncompagni sich iahr wihrend nm die msthematisdien Wissenschaften erwirbt, durch die Anteter nnter ihre Kurenmitglieder vor Karsem aaerksnnt.

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Ulerarlsclier Berlehl CLIW J

r babe» schon üfter die Freude gehabt, unaereo Lesern vod \ , den ungemein grossen Verdiensten Nachricht zu geben, neldw ^ der Fürst Batdassarre Boncompagni. au« dem reinaten In- , teres«e für unsere Wissenscbari, sich fortwährend nni die Ga- «chicble der Malbemallk ertvirbt, Verdienste, die um so buhet ' «DMiecblagen sind, nenn man bedenkt, wie eifrig und mit wel- ] ebetn Erfolge von den ältesten Zeiten an die Mathematik und I Physik namentlich auch in llalieu von den grussten Mannero, | denen ihre Entdeckungen die Unsterblichkeit sichern, gepflegt 1 worden sind, und wie unvollständig verbältnissmässig die näheren ' Umstände dieser Entdeckungen und Arfieiteu bis jetzt bekannt sind. '

In einem 283 Seilen starken, (irachtvoll ausgestatteten Quart- I binde liegt eine neue Frucht der wichtigen Publicationen dea I

FfirsteuBaldassarre Boncompagni jetzt vor uns. Es ist die« . der iweile Theil der Schriften des Leonardo Pisano aus dem 13tea Jahrhundert, der den Lesern aus früheren Berichten in an- ' serctn Archiv schon bekannt genug ist, und dessen SchrifleB ■ Herr B. Bonrnnipsgni mit Recht zunächst vorzugsweise seine ' Aufmerksamkeit gewidmet hat.

Es besteht dieser zweite Theil der Schriften des Leonardo rou Pisa aus zwei Abtheilungen. ^Hulie erste Abtheilung hat den Titel; \

^Hhia Practica Geometriae di Leonardo Pisano secondo ^^ezione del Codice urbinate d». 292 della BibliotbecA j Vaticaiia.

Der ßaum verstattet uns hier nur, auszusprechen, dass wir diese Schrift für die tieschichte der Geometrie, und Mathematik i SbeTbaupt, für Iiiiclist wichtig halten, und dass Jeder, der sich mit , historischen malhemalischen Studien und ünleTSuchungen be- schäftigt, derselben die sorgfältigste Berücksichtigung schenken . rnnsB, welches allgemeine Urtheil wir durch die nachfdgende An-' ' gäbe der Uebersi-hriften der Hauptabschnitte etwas näher bekräf- ' tigen wollen:

Incipit practica geometriae a Leonarda pisano de filijs bo- naccij anno M*>. CC". X\". p. I —5. ^ Incipit distinctio prima de ninitiplicatione lalitudiunni camporuni quadralorum rectos angulos babentium in eorum longÜudine, in ()tiibus multiplicationibus eorum embada cunünenlur, p. 5—18. ^ Uistinclio secunda. Incipit ca- pltulum de inuenctione radicum. p. 18 — 30. De mulliplicatione radicum p. 25 — 26. De addiclione radicum. p. 26 — 28. De ex- Iractione radicum. p. 28 — 29. De divisione Tadicum. p. 29 — 30, , (Jedenfalls sehr tvichlig auch für die Geschichte der älteren

4 Uter arischer Bericht CUV,

Arithmetik). «— Incipit distinctio tettia in mensuratione omDiimi ctfBporum. p. 30 — 110. Incipit pars prima tertiae distioctioni* de xnensuratione triangulorum. p. fW — 56 (enthält vieles Merl^^rfi^ dige). Incipit pars secunda tertiae distinctionis de mensuratione qtiadrilaterorum. p. 56 — 83. Incipit pars tertia in dimeasioae cdniporuni plura iatera quam quatuor habentium. p,83— 86. In- cipit pars quarjta in dimensione circulorum et eorum partiam. p. 86 «— 107. (Das Verhältniss des Durchmessers zur Peripherie findet Leonardo von Pisa p. 91. = 275:864=1:3,1418). lo- clpit pars quintajn dimensione campomm qai in montlbus iaceot p. 107 — 110. — ■ Explicit distinctio tertia^ incipit qaarta de dioi- sione inter coosortes. p. 110 — 148. (Sehr viele Tbeilungsaufgabeo über Dreiecice!, Vierecke, mehrseitige Figuren und den Kreis» die wir sehr zur Beachtung empfehlen). ■• Explicit distinctio qaartt de diuisione camporum inter consortes. Incipit quinta de radlci- bus cubicis extraheudis« p. 148^158. (Sehr bemerkenswerth ivegeo der Ausziehung der Cubikwurzeln). Incipit distinctio VI^ in di- mensione corporum. p. 158 — 202. (Viele interessante 8tereom^ trische Betrachtungen enthaltend). ■« Incipit septinia distinctio de inuentionc altitudinuni rerum elevatarum et profunditatoD atqne longitudinum planitiertlm. p. 202 — ^207. ■• Incipit distinctio octaua de quibusdam subtilitatibus geometricis. p. 207 — ^216 (vor- züglich reguläre Vielecke im Kreise betreffend). ■» Explicioot questiones geometricales et incipiunt questiones, quorum solotio- nes non sunt terminate« hoc est quod non cadunt ad unum terroinuiD tantum, sed ad plures (also unbestimmte Aufgaben ,,ut est ista in qua proponitur inuenire aliquis quadratus numerus, cui si addatur 5, proueniat inde quadratus numerus et hoc potest fieri moltipli- citer«) p. 216—224

Die zweite* Abtheilung hat den Titel:

Opusicoü di Leonardo Pisano secoado la lezioae di un codice della Bibüotheca Ambrosiana di Milano contrassegnato E.75, Parte Superiore.

Incipit flos Leonardi bigolli pisani super solutionibus qaaran* dam questlonum ad numerum et ad geometriam, nel ad otrumquc pertioentium. p. 227 — 234. De tribus hominibus pecnniam coma* nero habentibns. p. 234—236. De quinqoe numeris reperiendis ex proportionibus datis. p. 236 — 238. De quatuor hominibus et borsa ab eis reperta, questio notalnlis. p. 238 — 239. De eadem re. p. 239—242. De quatuor hominibus bizantios habentibus. p.243— 243. De quatuor hominibus qui inuenerunt bizantios. p.24i3-— S46. Qvestio similis suprascripte de tribus bomioibus. p. 246— 247. -

Uterartncher Bericht CUV, 5

Epittola 8upra0cripti Leonard! ad Magistram Theodomiti phyloso- phomdominilmperatoris. De auibus emendis secundam proportionein datain. p. 247— 248. Item de auibus p. 248— r249. De compoakione pentagonj equilateri in triangulum equicrurum datum. p. 249 — ^250. Modm alla9 8olaendisimilesqaestiotte8p.250— 251. lovestigafio aiide procedat innentio suprascrrpta. p.251— 252.«-« Incipit über qoadra- tomm eompositus a leoaardo pisano. Aoni. M.CG.XXV. p.2d3 — 283.

Wir glauben durch das Vorstehende, so weit es hier der Ramn erfaiBbt, unseren Lesern eine deutiiehe Ansehaoung Ton dem Inhalte dieses für die Gesebichte der Mathematik hoehwichtigvn Werte gegeben zu haben, fOr ^dessen Publication Herrn B. Bon- eompagni Jedenfalls der grusste Dank gebflhrt. O.

Arithmetik.

Factoren-Tafeln für alle Zahlen der siebenten Million, oder genauer von 6000001 bis 7002000, mit den darin vorkommenden Primzahlen. Von Zacharias Dase. Hamburg. Perthes , Besser und Mauke. 1862. Fol.

y^Durch die von mehreren Beförderern der Wissenschaften in Hamburg ihm gewährte Unterstützung wurde Dase vor etwa einem Jahre in den Stand gesetzt, sich ganz der Ausfiibrung des von Gauss ihm angeratbenen Cnternehmens widmen zu können. Bis zu seinem am 11. September d. J. „—(1861) — ** plötzlich erfolgten Tode hatte er die 7te ^Million vollständig und die 8te bis auf einen kleinen Theil berechnet. Von der 9ten und lOten Million hat er, bei Anwendung der Bure kbard fachen Methode, die Factoren- tafeln zu construiren, auch schon einen beträchtlichen Theil der Factoren bestimmt. Die Fortführung des Werks bat Herr Dr. Rosen her g in Hamburg übernommen/'

Die Dase' sehen Tafeln, so wie dieselben jetzt im Druek erscheinen, haben dieselbe Einrichtung wie die Burckhardt'- scben, so dass also jedesmal nur der kleinste Factor, mit Aus- schluss der Factoren 2, 3 und 5 angegeben ist. Es scheint uns daher auch nicht erforderlich, den Gebrauch derselben hier zu erläutern, da solches bereits in den Burckhardt' sehen Tafeln, aLi deren Fortseizuny sie ang^eselien werden Ic&anen geschehen isf

„Auf vollständige Correctfaelt Ist die grOsse Sorgfalt verwendef.^'

6 Uterariicker BerUMi CUV.

Der Druck der Steo Millien wird sogleich nach Heraiisgibe dieser Tteo Million begioneo/'

Hamburg, Im November 1861.

Das Comitd der Dase«Stiftang. O. H. Jacobj, Dr.— W.A.Lepper. — C. C. H. Maschwits. — C. A. F.Peters, Dr. uod Professor. — Ii.M.Seegelmann, Pastor. — L^Steen- feld.

Die trefflicheo Männer» weiche die Herausgabe dieses wich- tigen Werices, dem ein sehr interessanter Brief von Gauss ai Dase Toi^^druclct ist, möglich machten und dessen Fortsetinog sicher stellten, Terdleneo den grussten Dank aller Mathematiker und der ganzen Wissenschaft; näher auf dasselbe einsngeheo, würde Cberflflssig sein, da es als eine Fortsetzung der aUgerndn bekannten Burckbardt'schen Tafeln zu betrachten ist.

Astronomie.

Am 9ten October 1862 wurde auf Veranlassung des Prälaten Too KrerosmClnsl;er, des hochverdienten Astronomen und Meteoro- logen Herrn Reslhuber, an dem Hause Nr. 324 in Linz eine marmorne Gedenktafel eingemauert, welche den Namen Kepler und die Jahreszahlen I6I4 — 1627 trägt. In diesem Hause wohnte der grosse Astronom während seines Aufenthalts In Lins vier- sehn Jahr.

Vermischte Schriften.

Annali di Matematica pura ed applicata pubblicati da Barnaba Tortolini e compilati da E. Betti a Pisa, F. Brioschi a Pavia, A. Genocchi a Torino, B. Torte* lini a Roma. 4<». (S. Literar. Ber. Nr. CLIII. 8. 8.)

N o. 4. t o m. I V. 1861. Ricerca fondamentale per lo, studio di un certa dasse di proprietä delle superficie curve. Memoria del Prof. IV€asorati(Continuazione efine). p.ll7.— LaTeorica deiCoTariaati e de^li invarianti delle forme binarie e le sue prineipali applicasisai Monografia del Prof. F. Brioschi (Continuazione e fine). p.186. -* Sur un Probleme concemant la Thdorie des siirbces <h Ä^ ordre.

lUeraritcher Btricht CUV.

Par M. A. Clebsch. p. 19t). — Proposizioni di geoinetrla, NoU del Prof. V. Jaoni. p. 199. — Rieolazione di Ire dale «qaazioai a tre incogiiite. Nota del Prof. B. Torto lini. p. 202. — Kicerdie ; g«oniclriche aulle funzioni ellJticbe del Prol'. B. Tortolini. p.204.

— Blvlsts blbllogmphlca. Solaxiune generale del probleiua; , Rapprcsentare le parti dl uua superfitie data sopra un' altra sa*

.perfide pariraenli data in guisa che la rappresenlazione riesc*,' nelle 8ue parti inGnileainie una figura simile alla figunt rappresen- | teta di CF.Gauss. TraduEJone di Eugenio Bellrami. p.Sli. J

— Pubblicazioni recenti. p. 232.

Kendiconto delle sesaioni dell' Accademia delle ] ■ ciense dell' Istituto d i Bologna. Anno accadeniii 1861-1862. Bologna 1862.

Der Bericht über die Arbeite» der berChmten Akademie <i Wissenscharien in Bologna für 1860-1801 ist im Lilerar. Beri' Nr. CXLVIII. S. 14. angezeigt Horden, und nir freuen uns, jetxt i auch den Bericht für 18ÖI — 1862 xar Anzeige bringen zu künnea, »o weit der Inhalt in den Kreis des Arcbivit gehört, n-obei wir ] bemerken, dasa die Einrichtung des Berichts ganz dieselbe, ' a. a. O. angegeben , geblieben ist, so dana ausser dem Titel , der gelesenen .\hhandlung immer auch deren wesentlicher In- | balt angegeben worden ist. — p. 20— p. 21. Prof. BespisUi Osservazione del Passaggio di Mercurio sul disco lare nelU mattina del 12 Novembre 1861. Mit dem gros- sen Rerraclor von Steinheil mit 250maliger VergrüaserunK I konnten die Zeiten der inneren und äusseren Beräbntng mit gros- iier Genauigkeit beobachtet werden. — p. 30 — p.31. Prof. L (?i«Btoua legge un sunto d'una sua Memoria aulla Teori« generale delle curve piaee. Steiner bat in der Abhandlung: ' Allgemeine Eigenschaften der algebraischen Currea (Crelle's Journal. Tbl. 47. 1863) viele wichtige Theoreme Aber die algebraischen Curven bekannt gemacht, von denen elo Tbeil neuerlich von Clebsch mittelst der höheren Analyeis und der Theorie der Oovarianten beniesen worden ist. Herr L, Cre- ' mona, von der Ansicht ausgehend, dass Steiner diese Theoreme auf rein geometrischem Wege gefunden hat, bat dagegen eine rein geometrische Theorie der ebenen Curven zu geben vcrsncht, welche nicht nur die von Steiner, Hesse, Clebsch u. A. ge- fandenen Resultate umfasst, sondern ihn auch zu vielen neuen Sitten und interessanten Anwendungen auf die Curven der 3ten and 4tea Ordnung geführt hat. Wir mdsaen uns hier mit die-

8 LU^r arischer Bericht CLIW

ser vorläufigen No ; begnügen, und hoffen auf die interessaole Abhandlung» wenn dieselbe erst ToilstSndig erschienen sein frini, später Euruck xu kommen. — p. ^-^p.54, Prof. %jilriei FUopantl: Solle C(emraiiie« ossia di alcune singoUri relazioul coamiche deile Terra et del Cielo. — p.71— p.73. Prof. HauiiEio Bri^ltenti} Sulla Portata dei tnbi addizionali cilindrici o dtvergentt -^ p. 79 — p.80. Pro£ Cb^lini: De* moti geometriei e loro leggi nello sposU- mento d'una figura di forma invariabile. Die aus reu geometrischen Gesichtspniikten aufgefasste Bewegungslehre hat man bekanntlich mit dem Namen Phoronomie oder Kinematik (von üivbIv bewegen) nach Ampöre belegt, und Euler, Monge, Chasics, Poinsot, Mobius, Giorgini^ Rodrigiies u. A. sind auf geometrischem und analytischem Wege zu merkwürdigei Resultaten in dieser Beziehung gefflhrt worden. Herr CheÜBi hat jedenfalls eine höchst verdienstliche Arbeit unternommei, wenn er versucht hat, alle Gesetze der geometrischen Bewegui^ lehre in einer vollstlindigen möglichst elementaren Theorie zusaa- menzufassen, und wir sind sehr gespannt auf die Publication der betreffenden Abhandlung, die wir, sobald sie zu unserer Kenntnis« gelangt, ausführlich zur Anzeige zu bringen uns beeilen werden. — p.88~p,91. Prof. Ii.Cremonas Intorno alla Irasfor- mazione geometrica di una figura plana in un' altra pur plana, sotto la condizione che ad una retta qualuo* que di ciascuna delle due figure corrisponda nell'altra nna sola retta. Der Zweck dieser Abhandlung, in wekber der Herr Verfasser auf eine frühere Arbeit von Herrn Schiz- parelli Bezug nimmt, ist hierdurch mit hinreichender Deutlich- keit angegeben, und nach den in dem Bericht gemachten weitere! Angaben ist Herr L. Cremona in . ders.Qlben zu sehr merkwürdi- gen und interessanten Resultaten gelangt, die sich hier nur &9li weiter besprechen lassen werden, wenn die vollstfindige Abbaod* lung uns vorliegt. — p. 91 — 97. Prof. ReaplyM: Sulla La- titudine Geografica dell' Osservatorio di Bologna. Die Breite der Sternwarte von Bologna ist schon oft zu verschiedenen Zeiten von verschiedenen Beobachtern mit verschiedenen Instrunen- ten hestinunt worden. Mittelst des berühmten Gnoroons in der Kirche S. P e tr OD i o fand M a n f r e d i 1706 dieses Element = 44^. 29'. 38^, 3 nördlich. Spätere Bestimmungen von demselben Astronomen, von Zanotti, Zach, Caturegii schwanken zwischen 44^. 29'. 52* und 44^. 29'. 54^^. Mit einem Meridiankreise von Ertel hat Ben Prof» Respighi durch eine sehr fleissige Arbeit die Breite neuer- lieb im Mittel zu 44» 29'. 54^ 8 festgeseUt. ^ p. 97— p.lOl Dottor Cllallo Ca«oal: Intorno alle Influenae della Inas

Uterarlicher lierichi CL/W 9

Ulla n«8tra «tmosfera. — p. 101-— 103. Prof. Jjorenzo lella Caaat Sul requivalente nieccanic^ del caJore. ^er Herr Verfaflaer findet das mechanische Aequivaieot der Wärme = 417,76. — p.l06-p.ll1. Prof. m Florlnix Sülle triango- izioDi topografiche, worin auch eine neue Behandlung der othenotschen Aufgabe gegeben wird.

Nova Acta Regiae Societatis scientianini üpsa- e-nsia, Serie! tertiae Vol. 111. Upsaliae. (\ A. Leff- »r. 1861. 40.

Serie! tertiae Vol. II. Fasclculus posterior dieser ichtigen Schriften efner der ersten und >erGhnitesten <ileäell- shaften der WisseDScbaften ist im Literar. Her. Mr.CXLl. S. 15. iD viM angezeigt worden. Der uns vorliegende neue Theil Ser. HI. Vol. 111.) enthält ausser mehreren zoologischen und bo- «bchen Abhandlungen eine Abhandlung physikalischen Inhalts iter dem Titel:

Kecherches sur la condnctibilitö des corps pour la baleur, par A. J. Ängströro. p. 51 — p.72.

Nachdem Herr Angstrom in der Einleitung zu dieser wich- sen Abhandlung in sehr lehrreicher Weise die Arbeiten seiner orggDger, namentlich auch rücksichtlich der Beziehung der Wärme ad Elektricität zu einander, näher beleuchtet und beurtheilt hat, sseichnet er in §. 1. als einen namentlich noch nicht hinreichend ifgeklärten weseotlichen Punkt in der Theorie der Wärme den ebergang der Wärme von einem Metall zu einem ao- eren, dessen nähere Erörterung der Hauptzweck seiner eben so jharfsinnigen als gründlichen, in dieser ftueh in mathematischer öcksicht interessanten Abhandlung niedergelegten Untersuchun- sn ist. Der weiteren Details undyder, unmittelbar anschliessend 1 die beiden von Poisson in der Theorie de| la chaleur ,254 aufgestellten Gleichungen, experimentell nachgewiesenen esetze wegen müssen wir auf die Abhandlung selbst verweisen, ad wollen nur noch wörtlich anführen, was der Herr Verfasser si Schlass in §. 0. über die erhaltenen Resultate sagt:

jjQuoique nous puissions ainsi regarder les lois, d^termin^es i-dessus pour le. passage de la chaleur d'un metal ä Tautre, 3mme verifi^es par les observations que nous venons d'exposer, oi poorrait n^anmoins supposer qull existe certains cas, oü ces rius cessent d'^tre satisfaites d une maniöre rigoureuse. Eo ad- letlant -r- comme il nous aetible n^cessaire ^ qu'il y a diff^

t.-

10 Liter arischer Bericht CUV,

rentes especes de chaleur thermomötriquey de m^me qoe poar h cbaleur rayonnante» et que tout niätal condoit döslors par prM* rence certaines esp^ces de chaleur, on peot notamment distiogiMr les deux cas suhraots:

1^. La chaleor conserve sa composition d*une mani^re in?i- viable au passage d*un niätal ä i'autre^ tout aussi bien que la In- miöre et la chaieur rayoniiante, tant que celles-cl se mootreot sous la forme d'un roouvement Tibratoire;

2^. La composition de la chaleur se chauge k la sarface m^ae de contact et dopend seulement de la Constitution moMculain du Corps» ainsi qu'on le trouve, quand la chaleur rayonnante m transforme par absorption en chaleur thermom^trique.

8i Ton admet le premier de ces deux cas et qu'on TieniMi supposer que le pouvoir conducteur varie pour les diKrentei esp^ces de chaleur» ce pouvoir d'un seule et ro^me inätal demK 4tre diffärenty seien que la chaleur vient de Tun ou de Taalit conducteur'S

worüber weitere Untersuchungen zu publiciren der Herr Verfasser sich vorbehält.

Ausser dieser wichtigen physikalischen Abhandlung enthllt der vorliegende Band noch:

Resultats des observations möti^orologiqiies faites au nouvel observatoire d'Upsal pendant l'ann^e 1857. Observateurs: BI. fifcbnlB (Janv. — Juin), BI. WoßtibmmrA (Juillet — Dec). Rädacteur : 11. Waekerbartb.

R<$sultats (u. 8. w. wie vorher) pendant Tann^^e 185& Observateur: HI. Vordlimd. Rödacteur: BI. WackerbartlL

Die Beobachtungen sind äusserst vollständig» ganz den neue- ren Ansprüchen der Wissenschaft entsprechend» und die RedactioD ist offenbar im höchsten Grade sorgfältig und genau.

Sitzungsberichte der fcOnigl. böhmischen Gesell- schaft der "Wissenschaften in Prag. Jahrgang 186i Januar— Juni. Mit einer Tafel-Abbildung. Prag. 1862. 80. (Vergl. Literar. Ber. Nr. CL. S. 12.)

S. 1— S. 12. Jahresbericht für 1861 vom Secretär Dr. W. R Weitenweber. -^ 8. 13 — 17. Herr Pierre hielt einen (Uer mitgetheilten) Vortrag über den Einfloss der Biegung des

.*

Liier arischer Bericki CUV. 11

WagebalkeDS auf die Richtigkeit der Wage. — S.27 — S. 31. Herr Weitenweber machte einige Mittheilungen aus einer gruaseren hydrologisch-meteorologischen Studie des Herrn Dr. Nowak über das todte Meer und die Verdunstung. — S. 41 — S. 43. Herr Karlinski hielt einen Vortrag über die schnellste Praxis der Auflösung der Kepler'schen Gleichung Jf=£ — esin£ bei grossen Ezcentricitäten der elliptischen Cometenbahnen. (Herr Karlinski versucht die bekannte G au ss'sche Auflösung fi3r den Fall sehr excentrischer Cometenbahnen zweckroSssig abzuändern und erläutert die Methode durch ein Beispiel, bei dem man aller- dings leicht und sicher zum Zweck gelangt). — S. 57 — 8. 70. Herr Dir. Bu hm demonstrirte einen neuen Zeitbestimroungs- Apparat für populäre Zwecke, den Universal-Gnomon. (Der betreffende Aufsatz ist ausföhrlich mitgetheilt und durch eine Zeichnung erläutert; wir glauben, dass der neue Apparat allerdings weitere Beachtung verdient; er wird von dem Herrn Mechaniker W. Spitra in Prag in der Grosse von 7 Zoll aosgefiBhrt).-^ S. 78 — S. 87. Herr Nowak las eine grossere (in ansffihrlicliea Auszüge roitgetheilte) Abhandlung: Deber die Gewitter. — S. 104— .S. 107. Herr Böhm sprach fiber &n in Prag befindliches OriginaUManuscriptTycho Brahe's: Canon Doctrinae Trian- galorum. Das Manuscript ist dem auf der Prager Universitäts- Bibliothek befindlichen: Canon Doctrinae Trianguloruro. Nunc primum a Georgio Joachime Retico, in lucem editus, cum Privilegio Imperiali. Lipsiae. Ex officina Woifgangi Gunteri. Anno M. D. L. L. beigefügt, nmfasst 20 Blätter und hat folgenden Titel:

- Trianguiorom Planornm et Sphaericorum Praxis Arihmetica. Qua maximus eornm praesertim in Astro- nomicis usus compendiose explicatnr. Tycbo Brahe Calend. Januar. 1591. in Trigono Invenies satagit qnae docta Mathesis Ute aperit, clausum qnicqvid Olympvs habet. A. C. 1595. 13. CaL Xbris.

Nach den Mittheilungen, welche Herr Böhm ans diesem, eine Zusammenstellung der zu jener Zeit bekannten Anflosungs- formeln und eigenthiimliche Beweismethoden, die mit den jetzigen wenig gemein haben, enthaltenden Mannscript macht, scheint dasselbe allerdings von nicht geringem Werthe zu sein, und dfirfte eine volUtändige Publication desselben zu wfinscben sein, wodurch die Königliche GeselUckaft der Wissenschaften gewiss den Dank der Mathematiker erwerben würde. Das Exemplar dieses „Ca- nons'', in dem dieses MsMsrript sich befindet, Ist ans Tyeho's

12 Uierariacker ßericki CUV.

Naohh^sse im Jabre 1642 an das Jesuiten-Coliegium zu Prag und später, nach Aufhebung der Jesuiten, an die ^»Bibliotheca Ma- thematiea^' übergegangen, wjekbe letalere seiner Zeit in die Bibliothek der IcAuigl. Akadeaiie (nun k. k. Uuiversitäts- Bibliothek) einverleibt worden. Auf dem Titel steht unten mit deutlicher Hand gieschriebeo :

„Vide in fine Dogmata Tychonis Brahe ro. p. scripta*'.

Indem ich diese Nummer des Literarischen Berichts schliesse, beeile ich mich die Leser noch aufmerksam au machen auf den mir so eben zugegangenen:

Catalogo di Manoscritti ora posseduti da D. Bai- dassArre B'Oncampagniy coiripilato da Enrico Narduccl Roma. Tipografia delle seiense matematiche e fisiche.

Via Lata. NumO. 211 A. 1862. 8«.

•

Dieser filr die Literatur der Mathematik u. s. w. unbedingt sehr wichtige Catalog ist alphabetisch geordnet und enthält auf 176 Seiten 368 Nummern; er wird dadurch noch wichtiger, dass alle Manuscripte sorgßitig beschrieben sind und ihr Inhalt sehr genau und vollständig angegeben ist Ausserdem ist ein „Ap- pendice'' beigefugt, welcher mehrere auf einzelne Manuscripte be- zGgliche besondere Aufsätze enthält, unter denen' sich auch einer vonHerrnWoepcke befindet. Zweilndices: ,Jndice alfabetico degli autori e traduttori i cui scritti trovansi nei co- dici indicati nel presenle cataioge*' und ,tlndice «Ifaba- tico delle persone menzionate nelle pagine 1 — 176, 179—200 del presente volumine'' beschliessen das litera« risch- historisch wichtige Werk, für dessen Publication wir des Herren Boncompagni und Narducci besonderen Dank aollea; auch die ^Vorrede des Letzteren enthält eine grosse Menge der interessantesten und wichtigsten literarischen Notizen, G.

' '•»

Liier arischer Bericht CLV,

Literarischer Bericht

CLV.

Unter rieh tswesen.

Personal-Stand des kuniglich-brihmischen Poly- technischen Landes-Instituts in Prag und Ordnung der Cffentlichen, ordentlichen und ausserordentlichen Vorlesungen an demselben im Studienjahr IS^/^j. Prag (Gottlieh Uaase Sohne). 1862. 4^

Aus dieser Schrift, für deren Uebersendung wir verbindlichst danken, gewinnt man eine sehr deutliche Anschauung von der Einrichtung des polytechnischen Instituts in Prag*), und wir em- pfehlen dieselbe daher einem Jeden, der die^e ausgezeichnete Lehranstalt näher kennen lernen will. Hier kOnnen wir nur in der Kdne Folgendes bemerken. Wie bei der berCIhmten polytech- nischen Schule in Carlsruhe ist auch hier in sehr zweckmSs* siger Weise ein vorhereitender Jahrgang eingerichtet. Die Vor- lesungen'auf dem eigentlichen polytechnischen Institut betref- fen: Elementar -Mathematik, HChere Mathematik, beschreibende 6eometrie, Ph3r8ik, Naturgeschichte und Waarenkunde, Geograph^, Pialftontologie, Allgemeine Chemie, Praktische Geometrie mit Peld- messfibungen (niedere und höhere €reodäsie), Land-, Wasser- und ÜCrassenbaukunst und Bauökonomie, Mechanische Technologie, Chemischet Technologie , Analytische Chemie und Lothrohrprobir- kanst, Landwirthscbaftslehre , Verwaltuiigskunde der Landgüter, A^rikolturchemie, Forstwissenschaft, Industriestatistik, Böhmische Sprache, Englische Sprache, Französische Sprache, Italienische

*) Höhere teohniache Lehranstalten besitzt Oesterreich in Wicn,Prnf?, Lemberg, Brunn, Ofen and Oratz.

Thl.XXXlX. Hft.8. 3

2 Uter arischer Bericht CLW

Sprache, Russische und Serbische Sprache, Stenographie, teck- nisches ModeUiren. Der vorbereitende Jahrgang umfasst Elf' meDtar-Mathematik, Experimental« Physik, Naturgeschichte alkr drei Reiche» Aufsatziehre , Vorbereitendes technisches ZeidiDCi und Projectionslehre. Für die Physik besteht ein deutscher xai ein böhmischer Cursus, eben so für beschreibende Geometrie nü Industriestatistik, und auch für die Elementarmathematik soll nebei der deutschen noch eine bubmische Abtheilung eingerichtet fre^ den. Reiche Sammlungen, Kabinete und Werkstätten stehen des Institut zu Gebote. — Die statistischen Nachweisungen 6ber die Studirenden zu Anfang des Studienjahres 1861—62 sind ausser ordentlich vollständit;, genau und interessant. Die Gesammtialii derselben betrug 815, einschliesslich 68 Schüler des Vorbeni- tungsjahrgangs. Der grussten Anzahl von Hurern erfreuten siel die Elementar -Mathematik (227) und die Physik (267). Die As- zahl der Lehrer und Beamten ist 40, wovon zur Zeit nar ein Pttr Stellen unbesetzt sind, nämlich die Doccntenstelle fOr Eleiiiei> I tar • Mathematik mit böhmischer Unterrichtssprache und zwei Die- I nerstellen. Beigegeben sind: 1. Disciplinar- Vorschriften f^ d» I Studirenden; 2. Bestimmungen fiber die Aufnahme der Hörer I des polytechnischen Instituts und der Schüler des VorbereitiB|Bi> I Jahrgangs ; 3. Stiftungen am polytechnischen Institut. Man vergL Literar. Ber. Nr. CIX. S. 7. G.

Turin, 12. Novbr. 1862. Die officielle Zeitung enth&it es Decret über die Gründung technischer Lehranstalten In Bergi- mo, Bologna, Brescia, Cagliari, Caltanisetta, Carrars, Catania, Cremona, Messina, Neapel, Palermo, Ports- mauricio und Vigevano. — Man sieht hieraus in der erftw lichsten Weise, vrie kr&ftig und schnell das neue Italien, soivie im gesammten Unterrichts wesen. Insbesondere auch auf dem Gs- biete des technischen Unterrichts vorzuschreiten bemüht ist h Turin selbst, und gewiss auch noch in anderen Städten, bestilt schon längst ein höheres technisches Institut.

Geometrie.

Introduzione ad unaTeoria geometrica delle carte plane. Pel Dr. Luigi Cremona, Professore di Geome- fria Superiore nella R. Universitä di Bologna. Bologsa* Tipi Gamberini e Parmeggiani. 1862. i^.

UUr arischer Bericäi CLY. 3

Es sind in neuerer Zeit so viele Untersacbongen fiber die allgemeinen Eigenschaften der algebraischen Corven angestellt, and so Tiele solcher grusstentheils sehr merkwGrdiger E^en- achaften gefanden worden, dass es fiir den, der sich nicht ausschliesslich oder wenigstens vorfogsweise mit diesem Ge- genstande beschäftigt, ungemein schwer ist und immer schwe- rer wird^ sich mit demselben bekannt an machen, bei dem fast tfiglichen Fortschritt bekannt zu erhalten und die Ceber- •Icht nicht zu verlieren. Dazu kommt noch, dass diese Unter- suchungen bisher keineswegs nach einer einheitlichen Me- thode angestellt worden sind, indem man bei denselben theils den rein geometrischen, theils den analytischen Weg betreten hat Wir halten es daher ftir ein sehr grosses Verdienst um die Wis- aenscbaft, dass Herr L. Creme na eine leicht fibersichtliche sy- stematische Darstellung der genannten Untersuchungen, wenig- stens rucksichtlich der ebenen Cunren, in dem rorliegenden scho- nen Werke geliefert, und sich dabei als einer einheitlichen Me- thode der rein geometrischen Methode bedient hat, wodurch das Interesse nur erhobt wird, da bei diesen so allgemeinen Un- tersuchungen die genannte Methode bei grosser Eleganz jeden- falls besondere Befriedigung gewährt. Ja, man kann sagen, dass Herr L. Cremen a ein wirkliches Elementarwerk über die allge- meinen Eigenschaften der ebenen Curren geliefert hat, zu dessen VerstSndniss kaum mehr als die gewohnlichen Kenntnisse der ebenen Geometrie erforderlich sind. P^och mehr wird das Ver- ständniss des ganzen Werks dadurch erleichtert, dass in der ersten Section die fundamentalen Principicn entwickelt worden sind, welche zwar aus der gewohnlichen sogenannten neueren Geome- trie wenigstens theilweise bekannt sind,* hier aber, mit Rficksicbt auf den rorliegenden speciellen Zweck, auf theils neue W^eise und — wie, um nur eins anzuführen, z. B. die Theorie der Involution nach der G^neralisation de la th^orie de Tinvolution von Jonqui^res — in rerallgenieinerter Gestalt dargestellt wor- den sind. Dass Herr L. Cremona seinen Gegenstand, so wie derselbe In einer grossen Menge einzelner Abhandlungen jetzt vorliegt, sehr nahe erschöpft hat, sieht der Kundige aus der grossen Menge beigefSgter sehr schltzenswerther literarischer Piachweisungen, die zugleich des Hrn. Vfs. «reit ausgebreitete Kenntniss des ganzen betreffenden Feldes und die sorgfaltigste und eifrigste Benutzung aller vorhandenen Quellen auf das Deutlichste bekunden. War achon grosser Scharlsinn und uni^emeiner Fleiss erforderlich, um die grosse Anzahl theilweise nur vereinzelt dastehender Sitze in ein so schönes und wobigegliedertes System zu bringen, wie es

3*

4 Uterariseher Bericht CLV.

hier vorliegt: so konnte es doch auch nicht fehlen» das» te scharfsinnige Herr Verfasser dabei auch auf manche iateress«! und wichtige neue Sätze gefuhrt wurde, die Torzflglich in ki ■weiten Section sich Guden dürften. Sollen wir ona unner DriM in der Kürze noch im Allgemeinen aussprechen, so wfirden Kir dasselbe in den Worten zusammenfassen: dass wir das fsr- liegende schöne Werk für ein vortreffliches, sehr foU- ständiges, in seiner Art jetzt einzig dastehei- des Lehrbuch der rein*geometriscben Theorie der ebenen Curven halten, durch welches ein Jeder ii den Stand gesetzt wird, sich mit Leichtigkeit «H grosser Befriedigung eine vollständige Kenntniss dei betreffenden Gegenstandes zu verschaffen. Der Herr Verfasser verdient för die Poblication dieses Werks jedeaUli den grussten Dank, und wir würden eine sofortige Ueber- Setzung desselben in*s Deutsche für ein äberaos ver- dienstliches Unternehmen und eine wahre Bereickt* rung unserer Literatar halten^). Eine vollständigere Ani^ak des Inhalts, wie wir sie nachstehend geben, scheint ans bei eiaei solchen Werke von selbst geboten:

Prefazione. 8eiBione I« Principii fondanientall L Del rapporto anarmonico. II. Projettivitä delle punteggiatec delle stelle. III. Teoria de* centri armonici. IV. Teoria dell' ii* voluzione. V. Definizioni relative alle linee piane. VI. Puntie tangenti communi a due curve. VII. Numero delle condizioni ck determinano una curva di dato ordine o di data classe. VIIL P** rismi di Chasles e teorema di Carnot. IX. Altri teoreml foD- damentali sulle curve piane. X. Generazione delle linee piaae XI. Costruzione delle curve di second' ordine. XII. Costruzioae della curva di terz' ordine determinata da nove punti. — 8e* sione II. Teoria delle curve polari. XIII. Definizioae e proprieta fondamentali delle curve polari. XIV. Teoreroi reit- tivi ai sistemi di curve. XV. Keti geometricbe. XVI. Formole di Plücker. XVII. Curve generate dalle polari, quando il ptb si muova con legge data. XVIII. Applicazione alle carve di ae- cond' ordine. XIX. Curve descritte da un punto, le indicatiiei

*) Da das Werk in «einer jetzigen Aiisttattnng nur 16 Bogen In grfn Quart umfatHt, so wurde die Herstellung einer Uebertetsnng keiM grossen Kosten erfordern und kein sehr grotfies IJntemehnieii vo« dss buchhindlerischen Standpunkte au« sein, welches wir nar beoMrliCB, ■■ zu einem solchen von uns sehr gewünschten Unieraehn»ca noch zu ermuntern, da wir wohl wissen, dass unsere deutschen vor grossen Unteraehmungen jetzt leicht zurückschrecken.

Uiei arischer lierickt' CLV. 5

»I qoale variino con legge data. XX. Alcune proprietä della inra Hessiana e della Sieineriana. XXI. ProprieUi delle^aecoode oUri. — SesioAe 111. Curve del terz' ordine. XXIi- i'Hessiana e la Cayleyanadi una curva de! terz' ordine. XXIII. 'mscio di curve del terz* ordine aveDti'i^'niedesimi flesal. XXIV. A carva del terz ordine considerata come Heeaiana di tre di- erne reti di cenicbe.

Muge dem von uns hochgeachteten Verfasser Anerkennung n reichlichsten Maasse und In der weitesten Ausdehnvng fl!r ieses so verdienstliche Werk zu Theil werden! G.

Sulla trasfor niazione geometrica delle figure, ed A particolare sulla trasformazione iperbolica, di Cl« '• Schiaparelli. Torino. Stamperia Reale. 1862. A^.

Herr Schiaparelli^ der Nachfolger des vor Kurzem ver- torbenen berühmten Carlini in der Direction der Sternwarte zu lailand, welcher mit gleichem Eifer und gleichem Geschick seine [rSfle der Astronomie und der Geometrie widmet^ hat so eben ie Wiftsenschaft mit der obigen interessanten» in das Gebiet der naiytischen Geometrie gehörenden Schrift bereichert« welche wir nseren Lesern recht sehr zur Beachtung empfehlen, und mit wel* ber wir dieselben im Folgenden etwas näher bekannt machen ollen. Mach einer interessanten historischen Einleitung cbarak- ^iMrt Herr Schiaparelli auf S.S. ff. seinen Zweck ganz im Jlgemeineu auf folgende Art.

Wenn F{x, ^) = 0 die Gleichung einer Gurre in der Ebene ;t, und zwischen den Coordinaten x, y und den neuen Coordi- aten £, if\ zwei Gleichungen von der allgemeinen Form

/'(^, y. l i?) = 0. A^» .V. S. i?) = 0 . . . (1)

egeben sind; so werden sich mittelst dieser Gleichungen sowohl , y durch §, 17, als auch umgekehrt 1, 17 durch x^ y ausdrucken issen. und die Punkte {xy) und ($17) können einander entspre- [lende Punkte genannt werden. Fuhrt man aber die Ausdrucke DU Xy y durch ^, 77 jn die Gleichung F(x,y) = 0 ein, so erhält lan eine Gleichung zwischen £, tj von der allgemeinen Form ^(^, i})=:0, durch welche eine neue Curve cbarakterisirt wird, ie als die stetige Folge der den Punkten (xy) entsprechenden «nkte (I17) zu betrachten ist. Von den beiden in der Torber- abenden Beziehung zu einander stehenden Curven wird die durch ie Gleichung F(x,y)=iO charakterisirte die primitive, die nrcb die Gleichung <P(|, fi)^=sO charakterisirte die transfor-

6 Uierariicher Bericht CLY.

mirte genannt. Ist die primitive Carve eine Curve im Rbbm^ 80 müssen natOrlich zwischen den Coordinaten x^ jf» z und &^t drei Gleichungen wie* (1) gegeben sein; das Verfahren bleibt tki im Allgemeinen und Wesentlichen ganz dasselbe. Die Gleiekn- gen (1) können natClrlich nach sehr verschiedenen Cresetsen ge- bildet werden; als Grundlage fruchtbarer Untersachungeo «i dii- nen, werden sie aber nur geeignet sein^ wenn ihre Aof lusang ii bestimmter und allgemeiner Weise mOglich ist. Der Herr Ve^ fasser betrachtet nun vorzugsweise die drei folgenden FfiUe:

i.

Ii.

'^- Qi + Rfi + S' ^- Qi+Rfi + S •

111.

und nennt diese drei Transformationen nach der Reihe die lineare, die homographische und die conische. Alles dieses wird späterhin anch auf den Raum überhaupt ausgedehnt, und dieit drei Transformationen werden ausföhrlich untersucht. Rflcksickt* lieh der conischen Transformation namentlich zeigt der Herr Ver- fasser, dass dieselbe drei wesentlich verschiedene Fälle notcr sich begreift, die nach gewissen Transformationen in der einfach- sten Form durch die Formeln:

X .^ T = — , V^^ I ^^ fc •

dargestellt, und nach der Reihe die cyclische, hyperbolische und parabolische Transformation genannt werden. Die Leeer werden aus diesen wenigen Bemerkungen wenigstens die allge- meine Grundlage der Untersuchungen des Herrn Verfassers er- kennen; auf weitere Einzelnheiten einzugehen, gestattet die Natir dieser literarischen Berichte nicht. Wir können im AllgemeiDee nur noch bemerken, dass die in Rede stehenden Transformatiooeii

Liter arischer Bericht CLV. 7

nogemein, frachtbar an den interesaaDtesten Folgerungen sind, und SU einer sehr grossen Anzahl der merkwfirdigsten, theils schon bekannter, tbeils unbekannter geometrischer Slltze führen, wobei auch noch besonders hervorgehoben werden roass, dass der Herr Verfasser gezeigt hat, wie mehrere der in der Einleitung bespro- ebenen älteren besonderen geometrischen Transformationen unter diesen allgemeinen Transformationen als besondere Fälle enthalten sind. Wir halten daher diese Schrift in jeder Beziehung fOr eine sehr interessante und wichtige Erscheinung auf dem Gebiete der neueren mathematischen Literatur, und wönschen sehr, dass derselben auch in Deutschland ganz die Beachtung gewidmet werde, welche sie in so hohem Grade verdient, wobei wir nur bedauern müssen, dass der Raum uns hier nicht erlaubt hat, noch weiter auf dieselbe einzugehen. Ein Jeder wird sie mit besonderem In- teresse lesen, und mit hoher Achtung vor dem Herrn Verfasser von ihr scheiden. G.

Tetraedrometrie von Dr. Gustav Junghann. Erster Theil: Die Goniometrie dreier Dimensionen; mit 9 lithographirten Tafeln. Gotha« Thieuemann 1862. XVI und 142. S. 8. •

Der Aufforderung des geehrten Herrn Herausgebers des Ar- chivs, in demselben eine kurze Anzeige des vorliegenden Buches SU geben, komme ich desto lieber nach, als ich den Verfasser desselben vor mehr als 30 Jahren zu meinen Zuhörern gezählt zu haben mir zur Ehre rechne. Die Schrift gehört nämlich, mei- ner innigen Ueberzeugung nach, sowohl wegen des schonen und fruchtbaren ihr zu Grunde liegenden Gedankens, als wegen der Sorgfalt und Treue, mit welcher derselbe verfolgt und aus- gebeutet worden ist, zu den beachtenswerthesten der neueren Zeit, und die hier begonnenen Untersuchungen werden, da sie ein neues Element in die geometrische Rechnung einführen, wenn mich nicht Alles täuscht, bald auch von Andern aufgenommen werden. Ich will nun, so kurz als möglich, angeben, um was es sich handelt. Der Verfasser ging von der Bemerkung aus, dass von den fünf verschiedenen Grundformen räumlicher Ausdehnung: Linie, Fläche, Korper, Winkel und Ecke, die letzte bis jetzt noch nicht als selbständiges Element in den Bereich der rechnenden Geometrie gezogen worden ist. Um aber die Ecke als selbständiges Gebilde in die Rechnung einfuhren zu kHnnen, kam es darauf an, Functionen aufzuflnden, die zu den Ecken in ähnlicher Beziehung stehen, und durch welche die Ecken in der- selben Weise fOr die Rechnung reprasentirt werden, wie die Win*

8 Liter ariucher Berichi CLW

kA durch Ihre trigonosietrischen FuDctiooen. £ine addie FuqcImii, nämlich den flxponeyten des Verhältnisses der von den (dreisei- tigen) Eckenraam durch eine Ebene gleichschenklig abgeschiei- senen Pyramide zu der rechtwinkligen gleichschenkligen Pyramide yon derselben Seitenkante> nennt der Verfasser den Eckensions, und im ersten Capitel werden nun die verschiedenen Arten auf- gestellt» wie derselbe durch je drei ßestimroengsstilcke der drei* seitigen Ecke ausdrückbar ist. •— Wenn nun aber so den Kanteo einer dreiseitigen Ecke ein vierter vom Scheitelpunkt aasgeheader Strahl tritt, der mit je zwei Kanten eine neue Ecke hestimnit, oder wenn die drei Ebenen einer Ecke von einer vierten ge- schnitten werden, die mit je sweien derselben neue Ecken bildet, so treten Systeme auf, deren Elemente die Ecken sind, und in den drei folgenden Capiteln werden nun die Gleichung«) aufgestellt, welche für diese vierstrahligen und vierebenigea Eckes- Systeme stattfinden. In diesen Gleichungen tritt uns eogleich eint auffallende Analogie mit den Gleichungen für die gewöhnlichen Winkelfunctionen, also mit denen für sin («4: /3)u. s.w. entgegen. - Das 5te und 6te Capitel behandelt dann auf gleiche Weise die fÜnfstrahligen und die fünfebenig'en Eckensysteme, und diese Glei- chungen entsprechen dann wieder denen, welche fSr die Win- kelsysteme von vier in einer Ebene liegenden Strahlen, so wie für das vollständige Vierseit aufzustellen sind. Das 7te und 8te Capitel betrachtet endlich noch andere Functionen ausser den Eckensious, und zeigt, in welchem Zusammenhange unter eioin- der und mit den Eckensinus sie stehen.

Eine ausführlichere Angabe des reichen Inhaltes der Schrift dürfte wohl kaum ohne tieferes Eingehen in die Bezeichnungs* weise möglich sein. Dass bei einer so neuen Untersuchung eine grosse Menge neuer Resultate zu Tage kommen, wird sich jeder Einsichtige selbst sagen; aber roai) ist doch auch anderseits er- fVeut, auf diesem neuen Wege auf Resultate zu stossen, zu denes andere Mathematiker bereits früher, zum grossen Theil auf gros- sen Umwegen gelangt waren, auf Umwegen, weil sie eben die Ecken nicht als Grundform räumlicher Ausdehnung betrachteten, sondern die bestimmenden Elemente derselben, die Winkel, erst einführen und dann wieder eliminiren mussten. So z. B. findet der Verfasser mehrere von Feuerbach in seinem „Grnndriss zu analytischen Untersuchungen über die dreiseitige Pyramide'*, von Carnot in dem „Memoire sur la relation, qui existe entre les dimensions respectives de cinq points pris dans Tespace^^ n. A. zum Theil als Curollarien allgemeinerer Sätze. — Hiernach glaabe ich annehmen zu dürfen, dass Jeder, der diese Schrift studirt, mit

uterarischer berichl CLV. g

r dem Erscheinen des zweiten Theiles mit Begierde entgegen' hen wird. Bremen. H. F. Scherk.

Astrooomie.

Kalender für alle Stände. 1863. Herausgegeben

»n Karl von Littrou-, Director der k. k. Sternwarte in

len. Mit einer Sternkarte. Wien. Carl Gerold. 8^.

Wir haben Liebhabern der Astronomie diesen Kalender in iseren Anzeigen der früheren Jahrgänge (Literar. Ber. Nr. CXL. 9,und Nr.CXLVili. S.7.) als ein für ihre Zwecke sehr brauchbares »puläres astronomisches Jahrbuch empfohlen, welches sie mit len bemerkenswertben Himmelserscheinungen, auf welche sie in \m betreffenden Jahre ihre Aufmerksamkeit zu richten haben, ^kannt macht. Auch die Ephemeride der Sonne, des Mondes id der Planeten reicht für den in Rede stehenden Zweck sehr ohi aus^ und kann selbst Lehrern an Schulen empfohlen werden, lies dieses gilt auch von dem vorliegenden Jahrgange, welcher 1 Ganzen völlig dieselbe Einrichtung wie seine Vorgänger hat, » dass wir uns also in dieser Rficksicht auf unsere früheren nzeigen beziehen können. Rdcksichtlich der äusseren Einricb- ng bemerken wir nur, dass der vorliegende Jahrgang mit Papier irchschossen ist, und daher zugleich die Stelle eines Notizbuchs ^rtreten kann. • Die Uebersicht des Planetensystems ist wieder

der musterhaftesten Vollständigkeit gegeben, wie man sie sbwerlich fiberhaupt anderwärts finden dürfte; und gleich voll- Ändige Nachrichten über die neueren Entdeckungen fehlen auch , diesem Jahrgange keinestvegs. Ausserdem enthält derselbe pvei interessante Aufsätze: „Geschichte der beobachtenden .etronomie nach Grant (Fortsetzung und Schluss zum aalender 1861)*' und „Galilei' eine ziemlich vollständige »ebensbeschreibung des berühmten Mannes nach A.v. Reu mont, essen Untersuchungen zu manchen von den bisherigen Erzählun- en abweichenden Resultaten geführt haben, weshalb dieser Auf- itz jedenfalls besonderes Interesse iür sich in Anspruch zu neb- len geeignet ist. S. 118. heisst es z. B.: „Die drastischen Er- äblangen, die spätere Schriftsteller von Galilei's Leidensgeschichte aben, entbehren alles Grundes; Galilei hatte eben so wenig 'orturen auszustehen, als er wenigstens öffentlich unwandelbar 38t hielt an der von ihm erkannten Wahrheit Die Worte: e pure i muove, mit denen man ihn zu einem Typus des wissenschaft- chen Märtyrthums machte, sind unverbürgt. Auch nach gefäll-

10 Uierariseker Bericht CLY.

tem Urtheii hatte er kein eigentliches Geftngnu» sa erdoldei» und wenn er gleich bis zu seinem Ende gewisse, allerdings ii die Länge peinigende Beschränkungen seiner persönlichen Frei* heit sich gefallen lassen niusste, so muss man doch derMäs- sigung seiner Richter desto mehr Gerechtigkeit wi- derfahren lassen^ je mehr die Zeit» in der sie wirkten, sich jeder Apologie entzieht" Die Inquisition mag es als« hiernaeh doch nicht so schlimm gemacht haben, wie gewohnlick erzählt wird. — Wir wfinschen sehr, dass das vorliegende Bfich- lein, welches in seiner Anspruchslosigkeit doch recht Yiei Nilti- liches f&r die oben angegebenen Zwecke, auch für Lehrer aa Schulen, und manche interressante nnd lehrreiche MittheilvngM enthält, sich immer mehr Freunde erwerben m5ge. 6.

Nautik.

Reise der österreichischen Fregatte Novara am die Erde in den Jahren 1857, 1858, 1859 unter den Befall- len des Gommodore B. von Wiillerstorf*Urbair. Nai- tisch-physikalischer Theil. I. Abtheilung. Geogra- phische Ortsbestimmungen und Fluthbeobachtangeo. Mit drei beigegebenen Curskärtchen und einerBeilage von sieben lithographirten Plänen. Mittheilangen der hydrographischen Anstalt der k. k. Marine. L Band, 1. Heft. Wien. Aus der k. k. Hof- und Staatsdruckerei. 1862. 40. In Commission bei Carl Gerold's Sohn.

Von der k. L hydrographischen Anstalt in Triest, die von Herrn Professor Dr. Schau b dortselbst dirigirt wird, einer An- stalt, wie man sie jeder Marine-Verwaltung wfinschen mochte^ nnd die wohl jetzt in ihrer Art und der ihr gegebenen Ansdek* nang einzig dasteht, ist schon im Literar. Ber. Nr. CXLVIil. S. 10. ausführlicher Nachricht gegeben worden. Eine neue Po- blication dieser grossartigen Anstalt liegt jetzt vor uns. Es ist dies ^ie Berechnung der auf der roerkwördigen Reise der Novara gemachten geographischen Ortsbestimmungen und Fluthbeobadh tungen. Die Längenbestimmungen sind in überwiegender Mehr- zahl durch Chronometer gemacht, zu welchem Behuf die Novata sieben Box- Chronometer und zwei Taschen-Chronometer an Bord hatte, von denen die zwei letzteren sich jedoch in ihren Gängen so unverlässlich zeigten, dass sie verworfen werden roussten. Za den Breitenbestimmungen diente u. A. (s. S. 15.) ein ausgezeichne- ter Pistor*scher Theodolit. Unter den bestimmten Punkten werden Hauptstationen (St. Paul, Saoui, Condul, Singapors,

Uurartsckfr Btricht CLV.

tl

Cavite, HongLotig, Shanghai, Aucbland, I'apiele, Valparaiso) und INebenstalionen (Komios-Biicht, Movara-Bucht, Hafen Nong- covri, Galathcahui'lit, \nst\ Guani, Haien KoanKiddi, Simpson- Inseln, KiffBradley, Goner-Insel, SteivarU Inseln, loael Sla-Anna, Avon-Itiseln, Riff Bainplon-t>hoal) unterschieden. Die Berechnung ist augenscheinlich mit f^rnsser Sorgfalt, Genauigkeit und umsich- tiger Kritik angestellt, auch ist überall auf ältere Bestimmungen geböri^K Hücicsicht getiomtnen »orden. — Zur Anstellung derFloth- beobacfa tunken diente ein auf S. 51. beschriebener beaoiideret Flutbmesser;BehrsorgralliirenndausgedehnleBeobachlungea dieser Art sind angestellt worden in St. -Paul, Carnicobar (Saoui-Bucht) Tahiti. Graphische Darstellungen, welche von dem Comnianitan- len der t^xpedition, Herrn vou Wüllerstorf-U rbair, mit gros- ser Sorgfalt ausgeführt worden sind, sind überall beigegeben und erhüben das Interesse dieser Beobachtungen wesentlich. — Uie Beobachtungen und Rechnungen für die Ortf-beslimniungen sind Ton dem Hydrographen Herrn Robert Müller unter Mitwirkung lies Seecadetlen Herrn .\lcxander Kalm.ir ausgefiibri, die FlothbeobacbtungeD sind von dem Seecadelen Herrn Andreas Graf Borelli angesteht. Die Kilstenaufnabmen, auf denen die beiliegenden sehr schönen und nichtigen sieben Karten (Insel 8t. Paul, Bucht von Saoui auf Carnicobar, Generalkarte der Ni- cobaren, KomiuK- (ArrofT-) Bucht auf Carnicobar, Insel Tillang- scbalig, Nangcovrt-Hafen, St. GeorgS'Canal, sämmilich im indi- schen Ocean) beruhen, sind hauptsächlich von den Offizieren Herrn Eugen Kronuwetter und Herrn Gustav Baltlogg ge- macht worden. Auch die drei Curskärtchen sind eine sehr dan kenswerihe Beitage. Zwei weitere Abiheilungen dieses trefflichen ■nd (iir ?taulik und Geographie nichtigen, auch äusserlich in schwer KU übertreffender Weise ausgestalteten Werks, welches ebenso wie die ganze Nnvara-Expedition dem üsterreic bischen Kaiserslaale und all<>n dnbei beiheiligten Personen zur grüssten Ehre gereicht, .-tehen wir mit grossem Verlangen entgegen; die- selben werden die magnetischen und meteorologischen Beobach- Igen der Niiv/ira-P.xpedilJon enthalten. (i.

Phy

s II

ntersuchuMgen über das Sonn enspectrum und die Iren der chemischen Elemente von G. Kirchboff nderer Abdruck aus den Abhandlungen der Alca- e der Wissenschaften iu Berlin. Zweite, durch

12 Uierarhcher ßerickl CLV.

einen Anhang vermehrte Ausgabe. Mit drei TafeU. Berlin. Dfimmler's Verlagehandlung. 1862. 4^.

Die das Sonnenspectrum betreffenden berühmten Eotdeckungeo von Buosen und Kirch hoff sind zwar bereits bekannt geoi^, indess wird die vorliegende Schrift, in welcher K i r c h b o f f sieb weiter Ober dieselben, namentlich auch über die Art, wie die Versache anzustellen sind, und über das dazu erforderliehe Instrament» ver- breitet, jedenfalls mit besonderem Danke aufzunehmen sein, b dem kurzen Vorwort sagt der Herr Verfasser: „Einer von den Zwecken, welche die Abhandlung verfolgt, ist der, den Weg an- zugeben, auf welchem die chemische Beschaffenheit eines Thettet der Sonne» ihrer Atmosphäre nämlich, untersucht werden kaoo, nnd die Existenz einiger irdischen Elemente in derselben nadi- zuweisen". Demzufolge werden in dem ersten Abschnitt, welcher „das Sonnenspectrum'' fiberschrieben ist, die Linien Im All- gemeinen beschrieben, welche in dem durch ein Fernrohr be- trachteten Sonnenspectrum sich zeigen, auch Huf Taf. 1. and Taf.D- (mit Rucksicht auf den zweiten Abschnitt) sehr schöne und genane Zeichnungen davon geliefert, über welche eine in Millimeter ge- theilte Scaia gesetzt ist, welche zunächst dazu dient, eine jede der gezeichneten Linien mit Leichtigkeit zu bezeichnen. Zugleicb ist das zu den Beobachtungen erforderliche, von Steinheil in ausgezeichneter Weise angefertigte Instrument und sein Gebrauch sehr deutlich beschrieben und auf Taf. 111. abgebildet. Der zweite Abschnitt ist (iberschrieben : „Die Spectrcn der chemischen Elemente", virorin die Resultate der die Darstellung dieser Spectren betreffenden Versuche, die auch näher beschrieben werden, und worauf sich, wie schon bemerkt, auch die Zeichnoa- gen auf Taf. 1. und Taf. II. beziehen, in höchst lehrreicher und interessanter Weise, jedoch meistens nur mehr im Altgemeieea, dargelegt Verden. In dem dritten, die Ueberschrift „(Jmkehrang der Flanimenspectren*^ tragenden Abschnitte werden sehr merkwürdige Erscheinungen beschrieben und zu erklären versucht, auf die wir hier aber nicht weiter eingehen kOniien. Hervorheben miisseri wir aber, dass der Herr Verfasser S. 11. sagt: „Nadi diesen Thatsachen liegt die Annahme nahe, dass jedes glühende Gas ausschliesslich /iie Strahlen von der Brechbarkeit derer, die es selbst aussendet, durch Absorption schwächt, mit anderen Worten die Annahme, dass das Spectrum eines jeden glübendeo Gases umgekehrt werden mnss, wenn durch dasselbe Strahlen einer Lichtquelle treten, die hinreichend hell ist und ao sich eia ooDtinuirliches Spec^trum giebt^'. Einen sicheren AufschluM da* rüber, in wie weit diese Annahme richtig ist, findet der Herr Ver-

Uleiariseher BericDI (7,1'. 13

fswer in Rtnem Iheoretiecheii Satze, welcfaer im Anhange g. 3. S. 24. auf Toli^ende Art aasgeeprochen mrd: „Übs Verhält- flies sH'scheii ileni Etiiioxionsvermutren und dem Alt- aor]ilionsv«rinuge i ist für alle Körper bei derselben Temperatur dasselbe. Für diesen Satx fvird in dem Anhange, durch welchen aich tue zweite AuMage voi iler ersten austeichiiel, ein aiil' gewisse, in j. I. klar ausgespntchene Annahmen j^egrün- deter raatheniatiücher Beweis gegeben. Die beiden letzten Ab- »chntlle endlich sind ilberschriebeii : „Chemische Bescbaf- ■ feiiheil der Sunnenalmosphäre" und „Physische Be- schaffen heil der Sunne". [n dem ersten dieser beiden Ab- schnitte sagt der Herr Verlussei auf S. 13: „Die Beobachtungen des Sonnensiieclrunis scheinen mir hiernach die Gegenwart von EtaendSni|ifen in der Sonnenatniosphäre mit einer so grossen Sicherheit xu beweisen, iils sie bei den Naturwissenschaften über- haupt erreichbar ist", und späterhin aut f^. 14. wird erwähnt, (läse auch das Vorhandensein von Nickel in der Sonnen atmosphSre «ehr H.itirscbeinlich ist; über Kobalt hält der Herr Verfasser sein Urtbeil zurück; dagegen sind tiold, Silber, Quecksilber. Alumi- nium, Cadmiiim, Zinn, Blei, Antimon, Arsen, Strontium und Li tfaiitm in der Sonnenairnosphäre nicht sichtbar. Ein Theil der dunkeln Linien des Spectrums rührt nach dem Herrn Verfasser von einer Absorption in der Sonnenalmosphüre her. In dem zwei- - ten der beiden oben erwähnten Abschnitte sagt der Uerr Ver- faasei: „Cm die dunkeln Linien des Sonncnspectrums zu ertclären, inuss man annehmen, das« die Sonnenatmosphäre einen leucb* lenden Körper umhüllt, der für sich allein ein Spectrum ohne dunkle Linien und von einer Lichtstärke gieht, die eine gewisse Grenze übersteigt. Die wahrscheinlichste Annahme, die man inacbeo kann, ist die. dass die Sonne aus einem festen oder trupl- bar flüssigen in der höchsten Glühhitze beiindüchen Kern besteht, der umgeben ist von einer Atmosphäre von etwas niedrigerer Temperatur" eine Hypothese, die, mit ganz besonderer Rücksiebt auf die Sonnenflecken, des Weiteren in sehr lehrreicher Weise besprochen wird, woraus man sieht, wie wichtig dieser ganze Get;enstand namentlich anch für die .Astronojnie ist. — Je schwie- riger es ist, von einer so inhaltsreichen und w-icblii'eii Schrift g»nz in der Kürze eine auch nur nBberungsweise richtige An- schounng zu geben; desto dringender müssen wir unsere Le«er anf die Schrift selbst vetweiäen, mit der Versicherung, d:iss sie dieselbe mit hohem Interesse lesen und mit i^rosser Befriedigung von ihr scheiden «erden.

14 Wtraritcher Bericht CLV,

Vermischte Schrifteo.

Upsala ÜDiversitets Ärsskrift 1861. Upsala, Iryckt ho8 Edquist & K. 1861. 8^.

So wie einige andere, auch deutsche, Universitlten, giebt auch die berühmte Universität zu Upsala in sehr nachi^hnioog»- würdiger \Veise Universitätsschriften heraus, deren Jahrgang 1801 in einem schön gedruckten, im Ganzen 916 Seiten arofassendeo Bände vor uns liegt. Nach den Facultäten ist dieser Jahrgang in flof Abtheilungen getheilt, nämlich: i. Theologie. II. Rechts und Staats- Wissenschaften. 111. Medicin. IV. Philosophische Facultät ond zwar: 1. Philosophie, Sprachwissenschaft und historische Wisseo- Schäften. 2. Mathematik und Naturwissenschaft. Uns Jcann hier nur die letzte Abtheilung interessiren, welche mehrere sehr wertb- volle Abhandlungen im Fache der Mathematik und Astrononie enthält, mit deren Titelangabe wir uns hier leider begnfigen roOsseo. Zuerstenthältdiese Abtheilung eine in das Gebiet der höheren Geome- trie gehörende Abhandlu ng:UndersukningafnägracorrespoD- deranda Curvor, af H.T.Pany» auf welche wir unsere Leser recht sehr aufmerksam machen. Hierauf folgt eine astronomlsck Abhandlung: Ephemerider for Asteroiden Alexandra (54) 1862, af H« SchnltB, welche nicht bloss eine sehr geoan berechnete Ephemeride des genannten Asteroiden enthält, aooden auch eine vollständige Darlegung der angewandten analytische§ Formeln und Rechnungsvorschriften liefert, wodurch dieselbe aock im Allgemeinen für die Ausfuhrung aller Rechnungen dieser Art sehr lehrreich und werthvoll ist. Den Bcschluss macht C. A. r. Steinheils justeringsmethod für parallaktiska instra- roent af egen construction. Bearbetning af M.SekMltei welche gleichfalls sehr instructive und werthvolle Abhandlung die vou Steinheil in den Gelehrten Anzeigen der Mlffa- chen erAkademie. 2. April 1860 angegebene Methode betrilt

Beigegeben ist diesen Universitäts- Schriften die Chronik der Universität für 18^oi (Programm für Rectors-ombytet 1861 af F. F.Carlaon), worin auch genauere Nachrichten Ober die reichen Sammlungen und Institute der Universität gegeben eind,iart0r denen uns vorzOgüch die sehr werthvollen, ziemlich aosRlhrlichei Nachrichten über die trefflich ausgestattete Universitäts-Stemwart» auf S. 12 — S. 14 (am Ende) interessirt haben, wo auf S. 13 aacb einer reichen Schenkung des verstorbenen verdienstvollen Profes- sors der Astronomie B red man gedacht wird. Den Schloss de« Buchs macht das Verzeichniss der öffentlichen Vorlesungen fUr 1861.

UterariBCker BericlU CLV. 15

Wir wQ«sten nicht , dass ein ao reich ausgestatteter and jbu- gleich 80 ausgedehnter Jahrgang von Cniversitätsschriften von anderen/ namentlich deutschen Universitäten uns schon vorgekom- men wäre, so verdienstlich diese Schriften auch sind^ und so dankbar wir dieselben jederzeit aufgenommen haben. Besonderer Dank fiir die Puhlication dieser, wie schon gesagt, in einem star* keo, schön ausgestatteten Bande uns vorliegenden Universitäts- schriften, von denen die einzelnen Abtheilungen aber auch abge- sondert zu haben sind, gebührt gewiss auch der Universität in Upsala. G.

Sitzungsberichte der kunigl. bayerischen Akade- mie der Wissenschaften zu München. (Vergl. Literar. Ber. CLIll. S. 7.)

1862. I. Heft II. Lamont: Ueber die tägliche Oscillation des Barometers. (Diese ausführliche Abhandlung zur Erklärung des vielbesprochenen Gegenstandes füllt nebst den ihr beigegebe- nen Tafeln das ganze vorliegende Heft. Wir gestehen, dass wir dieselbe mit besonderem Interesse gelesep haben. Jedenfalls ge- bShrt der in ihr gegebenen Erklärung vor den meisten sonstigen Erklärungsversuchen der wesentliche Vorzug, dass dieselbe, aus- gehend wie jede strenge Erklärung einer Naturerscheinung von gewissen bestimmten Voraussetzungen, die man wohl zuzugeben geneigt sein kann, einer strengeren mathematischen Fassung und Darstellung ßhig' ist und an vielfache Beobachtungen sich an- schliesst, also nicht besteht in einem blossen vagen, wenn auch zuweilen in gewisser Beziehung, wenn man so sagen darf, gans geistreichen, oder wenigstens geistreich klingen sollenden, Gerede, Mrie man es leider auf dem Felde der Meteorologie noch häufig genug antrifft, worauf sich aber Herr Lamont nie einläset, was uns bei seinen meteorologischen Untersuchungen immer besonders angesprochen hat. Dies ist auch bei der vorliegenden Abhand- lung der Fall, welche wir daher unseren für Meteorologie sieh interessirenden Lesern recht sehr zur Beachtung empfehlen.)

1 862. L H e f t I II. S c h ö n i e i n . Fortsetzung der Beiträge sor näheren Kenntniss des Sauerstoffs. S. 165. -^ v. Kobell: Ueber Asterismus und die Brewster*schen Lichtfiguren (mit drei Tafeln). S. 199. (Zwei interessante, wenn auch nicht unmittel- bar in das Gebiet des Archivs gehurende Abhandlungen, beson- ders die letztere, welche einen wichtigen mineralogischen oder Inystallographischen Gegenstand bespricht).

1862. L Heft IV. Pettenkofer: Die Bewegung des Grandwassers in München vom März 1856 bis März 1862 (mit

16 Wer arischer Bericht CLV.

einer Tafel). 8. 272. ( loteres8ante ao 4^ später 6 Braonen ii Mönchen angestellte Beobachtungen, wobei aacb eine lehrrack Anleitung zur Anstellung solcher Beobachtungeo gegebeo wird. Eine graphische Darstellung der Beobachtungen ist beigegeben.) — Nägeli:';Beobaebtungen über das Verhalten des polarisirteo Lichts gegen pflanzliche Organisation (mit einer Tafel). S. 2MI

1862. 11. Heft 1. Pettenkofer: Ueber die Besttmnaiig des Wassers bei der Respiration und Perspiratioo. S. 56.

Monatsbericht der kunigl. preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. (Vergl. Literar. Ber. Nr. CLIII. S. 8.)

Juni 1862. Hagen: Ueber das Verhalten der Meereswelleo beim Auflaufen auf Untiefen und auf den Strand. iS. 313^-^. 316. — Riess: Ueber die Abhängigkeit elektrischer Str5me voa dar Form ihrer Schliessungen. S.343 — S.362. — Dove: Eine neae Methode die Intensität der Interferenzfarbeii su besümmeo. S.362 — S.363. — Kronecker: Ueber die compleze Mnitiplicatiiii der elliptischen Functionen. S. 263 — S.372. -— Da Bois-Rey* mond: Ueber den zeitlichen Verlauf voltaelektrischer Indactioiif- ströme. S. 372 — S.404. — Kummer: Ueber ein Modell der Krua- mnngsmittelpunktsfläche des dreiaxigen Ellipsoids. S. 426^438.

Juli 1862. Quincke: Experimentelle Untersachung der optischen Strahlen bündel, mitgetheilt von Herrn Kammer. S. 498— S. 509. — Encke: Die Tafeln der Melpomene. S.536- S.537. — Dove: Ueber die Unterschiede der bei sehr feuchten Scirocco und heftigen Niederschlägen erfolgenden Staubftlle und den trockenen Staubviinden der afrikanischen Kfiste. S. 542. (Ab- handlung nicht mitgetheilt).

August 1862. Du Bois-Reymond: Ueber die vugleieht Stärke des Stromes je nach der Richtung in der er dareh to Elektrodenpaar geht. S. 560. (Abhandlung nicht mitgetheilt). •* Magnus: Ueber die Absorption der Wärme durch LoftsebiditM von verschiedener Dicke. S.569 — S.572. — Magnus; Geber dis Absorption der Wärme durch feuchte Luft. S.572— S. 574.

I

Uter arischer Bericht CLVL

Literarischer Bericht

CLVI.

Arithmetik.

Grondriss der Differeotiai- und Integral-Rechnung mit Anwendungen. I. Theil. Differential-Rechnung mit 09 Figuren im Texte von M. Stegemann. Hannover. HeU wing'ftche Hof-Buchhandlung. 1862. 8^

In dieser Schrift tritt bei der Darstellung der Differential- Rechnung dem in den Geist der neueren strengen Analysis wahr* haft eingeweihten Leser ein Gemisch der älteren, jetzt als anti- quirt Bu betrachtenden (sogenannten) Begrün dungs weise, wo die alte Reihenentwickelung nach der Methode der unbestimmten CoefHcienten in der nngenirtesten Weise in A'nwendung gebracht wird, mit an ^ie neuere strenge Begründung erinnernden» und derselben entlehnten, freilich oft in wenig genügender Form an> gestellten Betrachtungen entgegen. Dass aber gerade bei diesen Dingen eine solche Vermischung nur zur Unklarheit führt und den Anftnger in Widersprüche verwickeln muss, giebt wohl jeder Kenner der neueren Analysis ohne Weiteres zu. Auf eine ein- gehendere Kritik uns einzulassen, halten wir nicht für nuthig und iSsst auch der beschränkte Kaum unserer literarischen Berichte l>ei Schriften dieser Art nicht zu. Will man daher das obige Prtheil, weil wir es hier nicht ausführlicher begründen iiönnen, für ein blosses subjectives erklären: so müssen wir uns das schon gefallen lassen.

Expose de la th^orie, des propri^t^s, des formules de transformation et des m^thodes d'ävaluation des In-

Thl. XXXIX. Hfl. 4. 4

2 Uter arischer Bericht CLVU

t^grales döfinies par D. Bierens de Haan. Publice p»t TAcadämie Royale des sciences ä Amsterdam. Amster- dam,, C. G. van der Post. 1862. 4«.

Herr Bierens de Haan hat dem sehr grossen Verdienst welches er sich schon durch die Publication seiner schonen, ia Literar. Her. Nr. CXXVI. S. 1. angezeigten Tafeln der bestimii- ten Integrale erworben hat» ein neues nicht minder grosses Ver- dienst hinzugefügt durch die Herausgabe des obigen, 702 Seitti in gr. Quart umfassenden Werks. Wie der Titel besagt, ist das- selbe lediglich der Theorie der bestimmten Integrale gewidniet» und steht jedenfalls gegenwärtig in seiner Art einzig da, da die mathematische Literatur kein Werk besitzt, welches sich des ▼erliegenden gleichstellen könnte, was namentlich Vollständigkeit und Strenge der Darstellung betrifft, in welcher letzteren Besie- hung besonders hervorzuheben ist, dass das Werk ganz den ?w der neueren Analysis gestellten Anforderungen entspricht. Die bisher zur Entwickelung der bestimmten Integrale angewandtet Methoden treten in sehr grosser Mannigfaltigkeit auf und stehei meistens sehr vereinzelt da, so dass es gewiss nicht geringe Schwierigkeiten hatte, diese Methoden unter gewisse allgemeiae Gesichtspunkte zu bringen, welche aber, wie es uns scheint, yon dem Herrn Verfasser so glucklich überwunden i>rorden sind wie es bei dem gegenwärtigen Standpunkte der Wissenschaft überhaupt möglich sein dürfte. Um diese Methoden aber alle kennen zu lernen und zu sammeln, war eine von uns lebhaft bewunderte Literaturkenntniss nothig, wie sie schwerlich viele Mathematiker in gleichem Maasse wie der Herr Verfasser be sitzen dürften. In der ausgedehntesten Weise sind nun aber auch (in der dritten 504 Seiten umfassenden Abtheilung) die all« gemeinen Methoden überall zu der Entwickelung besonderer be* stimmter Integrale in Anwendung gebracht worden, wodurch dieae Theorie zugleich der beste Commentar zu den „Tafeln" wiri auch zu mehrfachen Verbesserungen derselben Gelegenheit gege- ben hat, und neben denselben gar nicht entbehrt werden kano; dass aber in der Hand eines so geschickten Mathematikers, «le Herr Bierens de Haan ist, diese Anwendungen der all|eao'* nen Methoden auch zu einer grossen Anzahl neuer Resultate Rbieo mussten, braucht wohl kaum noch besonders bemerkt zu werdea; nach der eigenen Angabe des Herrn Verfassers wurden ungefibr 1260 schon in den Tafeln enthaltene bestimmte Integrale und 2190 neue Formeln erhalten, wodurch sich also auch schon von seibat die Nothwendigkeit einer baldigen neuen Ausgabe der Tafela herausstellt. Wegen der schon gerühmten grossen Strenge ond der

Uter arischer Berichi CLYI. 3

ganz im Sinne der neueren Analysis gehaltenen Darstellung^ die uns ganz besonders in der ersten, der Entwickelung der allge- meinen Principien der Theorie der bestimmten Integrale gewidme- ten Abtheilung in der lebhaftesten Weise angesprochen hat, kann dieses Werk namentlich auch jüngeren Mathematikern zum eifrig- sten Studium nicht dringend genug empfohlen werden, die darin reiche Früchte zu ihrer tüchtigen Ausbildung und Befähigung zu eigenen wahrhaft strengen, neueren Ansprüchen genügenden Un- tersuchungen schripfen werden. Schliesslich gestattet uns der Raum nur noch die folgende Angabe der Hauptabschnitte des Inhalts: Preface. ^ Partie premiire. Principes de la th^orie des integrales definies. —■ Partie deaxiime» Formules de transfor;nation g^n^rales. ^ Partie trol- sl^iiie. Evaluation des integrales definies. Consid^ra- tions pröliminaires. — Section 1. iVläthodes directes. — Section 2. Mdthodes qui ram^nent ä des integrales definies. — Section 3. Möthodes, qui raqienent a des integrales däfinies doubles. — Se- ction 4. Methodes qui ram^nent ä Aeii s^ries. — Section 5. IVI^- thodes, qui rani^nent a des ^quations differentielles. — Section 6. Methodes pour deduire d'uiie integrale definie connue d'autres integrales definies. — Section 7. Methodes particulieres. (Eni- ploi des integrales de Fourier. Methode de Cauchy, calcul des r^sidus. Methodes diverses indirectes. Par des considerations de geometrie). — Additions et corrections.

Schwerlich würde die Herausgabe zweier so umfangreichen und kostspieligen Werke, wie die „Tab I es" und die „Theorie''" sind, dem verehrten Herrn Verfasser möglich gewesen sein, wenn denselben nicht die Königlich niederländische Aka- demie der Wissenschaften in Amsterdam mit der gross- ten Liberalität Raum in der Sammlung ihrer Schriften, von denen beide Werke einen Theil ausmachen, gestattet hätte, wofür die Wissenschaft dieser hohen gelehrten Körperschaft zu dem grossten und wärmsten Danke verpflichtet ist.

Möge dem Herrn Verfasser Anerkennung seines Strebens^ der Wissenschaft und ihren Jüngern durch so grossartige wissen- schaftliche Arbeiten wahrhaft zu nützen, im reichsten Maasse za Theil werden f G.

Geometrie.

La Fremolre's Sammlung von Lehrsätzen und Auf-

4*

4 Uterariicher Bericht CIYJ.

gaben der ElemeDtar-Georoetrie (Plaoinietrie uod Ste- reometrie). Aus dem Fanzösischen übersetzt vonPro* fessor KauffmanD. Nach dem Tode des Uebersetzers durchgeseben und herausgegeben von Doctor C G. Reuschle, Professor am Gymnasium zu Stuttgart. Mit circa 400 Abbildungen. Stuttgart. Gust. UoffmiDn. Preis Rthlr. 1. 6.

Das französische Original bat bei der neuen Auflage im Jahre 1852 einen neuen Herausgeber, Herrn Catalan, gefundeo» wobei es bedeutend erweitert und umgewandelt worden ist. Herr Ca- talan sagt in seiner Vorrede, er habe eine Menge von Aufgabea und Lehrsätzen, welche in allen geometrischen Lehrbüchern ste- hen, durch andere ersetzt, und überdiess, um die Sammlung si einer eigentlichen Ergänzung der Elementargeometrie zi stempeln, eine Anzahl von Lehren eingeführt, wovon die meisten der sogenannten „neueren Geometrie'* angeboren. Man findet also in dieser Sammlung die Theorie der Transversalen, der Polaren, der harmonischen Theilung, der Potenzlinien, der Aehn- lichkeitspunkte, der Punkte der mittleren Entfernungen, der iso- perimetrischen Figuren, der windschiefen Polygone, der allge- meinen Eigenschaften der Polyeder, der reciproken Punkte und Geraden, der Polar -Ebenen, Potenz -Ebenen, der sphäriscbea Transversalen u. s. w. Besonderer Erwähnung verdienen mehrere interessante Probleme, wie die Construction des regulären Viel- ecks von 17 Seiten, die Transformation der Figuren, über das Volumen des Tetraeders, über die Berübrungskugel von drei ge- gebenen Kugeln.

Der Herausgeber der Uebersetzung, Herr Professor Reo sohle, bemerkt mit Recht, dass man zwar keine systematische Darstel- lung der sogenannten neueren Geometrie erwarten darf, sonderB dass sich vielmehr die neueren Theorien als ungezwungene Ab* hänge altbekannter elementargeometrischer Sätze ergeben, so data man durch dieses Buch in jene schönen Theorien ganz unver- merkt hineinkommt. Auch legt Herr Reuschi e einen beson- det'eo Werth auf die aosfOhrlicbe Berücksichtigung der Stereome- trie, indem unsere gangbaren Aufgabensammlungen sieb meistens « nur auf die Planimetrie einlassen, obgleich die Stereometrie der ungleich reichere Theil der ganzen Wissenschaft ist, mit weicbea dieselbe erst so zu sagen reell und konkret wird. Mit vorstehen- der kurzen Anzeige hat der Unterzeichnete den Zweck, einem in seiner Art gediegenen Werke, welches in deutschen Kreisen, wie es scheint, wenig bekannt ist, ^ipe weitere Verbreitung zu geben.

Dr. O. Boklen.

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Literarischer Herich t CLVl. 5

Praktische Geometrie.

Elemente der Vermessungskunde von Dr. Carl Maxi- milian Bauernfeind, Bauratb und Professor der Inge- nieur-Wissenschaften in München. Zweite Auflage. Erste und zweite Abtheilung. München. Cotta'sche Buchhandlung. 1862. 8^.

Es freut uns sehr, die Richtigkeit des von uns über die 1856 — 1858 erschienene erste Auflage dieses in vielfacher Beziehung em- pfehlenswerthen Buchs im Literar. Ber. Nr. CXXVII. S.2. ausge- sprochenen sehr günstigen Urtheils igsofern bestätigt zu sehen, als schon jetzt eine neue Auflage nothig geworden ist. In der ganzen Anlage ist diese neue Auflage ungeändert geblieben ,wobl aber ist dieselbe eine verbesserte und nicht unbedeutend vermehrte zu nen- nen, und die berühmte Verlagshandlung bat durch etwas kleineren Drack und schwächeres Papier es muglicli gemacht, die früheren zwei Bände in einen au« zwei Abtheilungen bestehenden Band zu vereinigen und den Preis zu vermindern, ohne der Eleganz der Ausstattung im Geringsten Eintrag zu thun. Die Vermehrungen betreffen vorzüglich die instrumentenlehre, in welcher — • um zehn Paragraphen und dreissig Abbildungen vermehrt — alles Neuere von einiger Bedeutung nachgetragen worden ist. Die theoreti- schen Entwickelungen sind, so viel als irgend thunlich, verkürzt nnd vereinfacht worden, um das Buch seiner praktischen Bestim* mong immer näher zu bringen. Die meisten Veränderungen sind der Lehre von dem barometrischen Uobenmessen zu Theil ge* wordeii, wozu dem Herrn Verfasser seine eigenen, diesem Ge- genstande gewidmeten, in einer nachher von uns für sich zu besprechenden besonderen Schrift niedergelegten neueren Unter- suchungen die natürliche Veranlassung gaben. Auch in der Mark- scheidekunst ist insbesondere von den neueren Erfindungen in der Instrumentenlehre Nachricht gegeben worden , ohne dieses Kapitel selbst wesentlich zu verändern, wozu uns in der That auch keine besonder Veranlassung vorzuliegen schien. Besonders danken wir es noch dem Herrn Verfasser, dass er in der Vor- rede zu dieser zweiten Auflage dem Gebrauche des Messtisches mit der Kippregel, wenn dieselbe namentlich zur Distanzmessung ein- gerichtet ist, nachdrücklich das Wort geredet, und zugleich einen nach seiner Angabe in dem berühmten ErtePschen Institute an* gefertigten neuen, wie es uns scheint, sehr zweckentsprechenden Messtischapparat beschrielien hat. Auch wir können die Abnei- gung nicht begreifen , welche die praktischen Geometer vielfach

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gegen dieses^ nach unserer Ueberzeugung »wahrhaft ivissenschtft- liehe Instrument haben ^ welches in der ihm zugevriesenen Sphäre niemals durch ein anderes zu ersetzen sein wird. Den Gelderwerbe mag freilich die auch bei schlechterem Wetter zu gebrauchende Boussole, welche zugleich das Auftragen so Haos« in der Stube gestattet, wohl förderlich sein, gewiss aber nicht ^ex Genauigkeit, besonders bei der Art und Weise, wie diese» Instrument, dessen auf gewisse G ranzen zu beschränkenden Wertb wir übrigens keineswegs verkennen, gewohnlich gebraucht wird. Wir sind überzeugt, dass dieses schöne Werk auch in seiner ueue- ren Gestalt dazu beitragen wird, eine neue bessere Aera in der Vermessungskunde herbeizuführen, und wünschen dem Uerro Ver- fasser aufrichtig Glück zu dessen Vollendung. )m Uebrigen ver- weisen wir auf unsere frühere Anzeige der ersten Auflage«

Beobachtungen und Untersuchungen über die Ge* nauigkeit barometrischer Huhenmessungen und die Ver- änderungen der Temperatur und Feuchtigkeit der At- mosphäre von Dr. Carl Maximilian Bauernfeind. Hit 79 Tabellen, darunter 6 zur Uöhenberechnung, und einer Steinzeichnung. München, J. G. Cotta'sche Bachhand- long. 1862. S«'.

Die Veranlassung zu diesen Untersuchungen fand der Herr Verfasser zunächst in der ausserordentlich grossen Verscbiedeo- beit der Meinungen über den Werth und die Genauigkeit der bi- roroetrischen Uöhenmessungen. Eine zweite Aufforderung dan fand er in dem Umstände , dass man die Aenderungen der Tan* peratur und der Feuchtigkeit der Atmosphäre mit der Hube n wenig kennt, und deshalb bei der Entwickelung der Barometer- formel gezwungen ist, Hypothesen über diese Aenderungen za machen. Besondere mit den Barometerbeobachtungen verbundene Versuche sollten, wenn nicht die Gesetze der Temperatur- and Feuchtigkeitsänderungen selbst, doch den Grad der Zulassigfceit der darüber aufgestellten Hypothesen erkennen lasseu. Eine dritte Veranlassung zu diesen Untersuchungen war die Ueberzeugung, dass die barometrische Constante in Folge der neueren Bestin- mungen über die Dichtigkeit und Ausdehnung der Luft und des Quecksilbers einer Aenderung bedarf, und der Wunsch, Einiges zu deren Feststellung beizutragen. Endlich hoffte der Herr Ver- fasser, eine hinreichend grosse Reihe von Beobachtungen würde einige Anhaltspunkte liefern zur Beurtheilung der von G. 8. Oho im Jahre 1854 aufgestellten Ansicht, dass die auf das Barometer drückende Luftsäule nicht das Gewicht eines Cylindera, sondero

Liier arischer Bericht CLVf, 7

eines ?ertikal stehenden Kegels habe, dessen Spitie im Erdmit- telpunkte liegt.

2° ^iner Entscheidung über alle diese Fragen glaubte der Herr Verfasser auf folgende Art zu gelangen.

Es soll einer der höchsten ^ leicht zugänglichen Berge des bayerischen Hochgebirges, etwa der Miesing oder der Wendel- stein, ron det Thalsohle bis zum Scheitel zweimal auPs Genaueste nifellirt, und seine Hohe in vier nahezu gleiche Theile getbeilt werden. An den hierdurch sich ergebenden fünf Theilungspunk- ten sollen überall Thermometer und Psychrometer, an dem ersten, dritten und fünften aber ausserdem Barometer und Windfahnen aufgestellt, und diese Instrumente von zehn der tüchtigsten Zu- hörer des Herrn Verfassers mindestens acht Tage lang Vor- und Nachmittags in kurzen Zwischenräumen gleichzeitig beobachtet werden. Nach V^ollendung dieser Beobachtungen soll noch durch ein besoncferes Nivellement der Höhenunterschied zwischen der ersten Beobachtungsstation und dem nächst gelegenen Eisenbahn- bofe ermittelt werden, um die Meereshohen der einzelnen Statio- nen aus directen Eisenbahnnivellements, welche einerseits bis an die Nordsee und andererseits bis an das adriatische Meer reichen, ableiten und mit den durch barometrische Messungen gefundenen Muhen vergleichen zu können.

Man muss gestehen, dass man aus dieser ganzen Schrift die Ueberzeugung gewinnt, dass der Herr Verfasser sich der Aus- föbrnng dieses wohl durchdachten Planes, und späterhin der n5- thigen vielen Rechnungen, mit dem grössten Eifer und Fleisse, der grössten Ausdauer und grosser Sachkenntniss gewidmet bat. Die gewonnenen, jedenfalls Vertrauen verdienenden Resultate sind am Ende in 15 Nummern zusammengestellt worden, können aber hier der Beschränktheit des Raums wegen nicht vollständig mit- getheilt werden. Jedoch wollen wir nachstehend bemerken, was in Nr. 6. und Nr. 7. über den barometrischen Coeflficienten ge- sagt wird:

„6. Es ist ungenau, bei barometrischen Höhenmessungen den Druck des Wasserdampfes der atmosphärischen Luft nur nach einem mittleren Werthe (indem man die Constante von 18316'" auf 18336^ erhobt) in Rechnung zu bringen und deshalb vorsuziehen, denselben mit Psychrometern an den beiden Statio- nen wirklich zu messen und das Mittel beider Beobachtungsre- sultate als mittleren Dampfdruck der Luftschichten in die Baro- raeterformel einzusetzen.'*

,,7. Den neueren Bestimmungen des Verhältnisses der Dich-

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tigkeiten von Luft und Quecksilber » so wie des Aosdebniiiigi' coefficienten der Luft gemäss, muss die barometrische ConsUnte ▼on ISSIG"* auf 18405"* erliulit werden. Eine nothwendige Folge hieven ist die Berechnung neuer hypsometrischer Tafelo/'

Bei seinen neuen hypsometrischen Tafeln (S. 37 — 8. 42) hat der Herr Verfasser mit ELecht die Tafeln von Gauss zum Master genommen, aber drei neue Tafeln beigefiigt, welche zur Berech- nung des durch die Psychrometer -Beobachtungen eiogeRlhrteD Factors dienen.

Nach dem Obigen müssen wir dieser Schrift aus Deberseo- gung besondere Wichtigkeit für die Theorie des barometrischen HQhenmesseus beilegen, und wünschen derselben daher die sorg- ßUtigste Beachtung. G.

Mechanik.

Dei moti geometrici e loro leggi nello spostamento di una figura di forma invariabile. Memoria di Dome* nico Chelini, Professore di Meccanica razionale neil* universitä di Bologna. (Estratta dalla Serie iL Vol. I. delle Memorie deli' Accademia delle Scienze dell' Isti- tuto di Bologna). Bologna. Tipografia Gamberini e Parmeggiani. 18ß2. 4»

Die geometrische Bewegungslehre, die nicht selten mit den Namen Kinematik belegt wird, ist, auf dem auch hier von Eu- ler gelegten Grunde weiter bauend, in neuerer Zeit von Chaslesi Poinsot, Gaetano Giorgioi, Olinde Rodrigues, Mubiua und Anderen mit vielen merkwürdigen Sätzen bereichert worden. Aber alle diese Sätze, in vielen Schriften zerstreut, standen bis jetzt ziemlich isolirt da, und waren auch nicht selten ganz ohne Beweis aufgestellt worden, so dass es mit mancherlei Schwierig- keiten verknüpft war, wenn man sich von denselben eine muglichst vollständige Kenntniss verschaffen wollte. Herr Chelini hat nan in der vorliegenden Schrift eine systematische Cntwickelung dieser Sätze» so weit wir sehen können, in grosser Vollständigkeit ge- liefert, mehrere derselben mit eigenen scharfsinnigen, zum Theil ziemlich einfachen Beweisen versehen, und ist auch zu eigenen Resultaten gelangt. Wir halten dies aus den oben angegebenen Gründen für sehr dankenswerth, und würden eine deutsche lieber- Setzung dieser ausgezeichneten Schrift für eine BereicberuDg

Uter arischer ß erteilt CLVI. 0

unserer mathematischen Literatur halten. Nachdem zuerst die all- gemeinen Begriffe festgestellt und einige Fnndamentalsätze bewie- sen worden sind, tbeilt der Herr Verfasser seine Schrift in einen geometrischen und einen analytischen Theil, über die er sich in der voraufgeschickten kurzen Einleitung selbst auf fol- gende Art ausspricht^): ,»Nella parte georoetrica, le leggi de' moti successivi, tanto di traslazione quanto di rotazione, ho pro- curato che divengano chiare e visibili al lume di un solo prin* cipio, ed inoltre le ho rese alquanto piu complete in aicuni punti, per es. in cib che riguarda i rapporti di equivalenza tra un moto elicoidale ed un sistema di due rotazioni successiveJntorno ad assi non situati io' un medesimo piano. Nella parte analitica, ▼alendomi del principio della retta e deli' area risultante, offro nuove ed assai facili dimostrazioni delle formole di Eulero« di Monge**) 9 di Olindo Rodrigues; stabilisco le relazioni fonda- mentali di omografia e di polaritä, che nascono dal considerare la coesistenza di due figure uguali in luoghi diversi ; infine applico le formole di Eulero a vincolare tra loro i punti omologhi delle figure direttamente ed inversamente simili, e poste come si voglia nello spazio le une rispetto alle altre.^' Die Wichtig- keit, welche wir der Schrift beimessen, wird die folgende aus- fuhrlichere Inhaltsangabe rechtfertigen: Preliminari. De* moti di traslazione e di rotazione. — Parte geometiica. Leggi per gli spostamenti successivi di una figura. L Degli spostamenti di una figura piana nel suo piano. 2. Leggi per la Gomposizione delle rotazioni successive in un piano. 3. Degll spostamenti di una figura nello spazio. 4. Proprietä de* punti» delle rette e de* piani che in due figure uguali si corrispondono a due a due. 5. Legge per la composizione delle rotazioni suc- cessive intorno ad assi della medesima origine. 6. Leggi e coo- dizioni di equivalenza tra un moto elicoidale ed un sistema di due rotazioni successive. ^* Parte anaUtica* Moti geome- trici riferiti ad assi coordinati. L Relazioni tra due assi paralleli di rotazione, de' quali sia data la traslazione relativa.

*) Wir bedienen uns der eij^cncn Worte de« Herrn Verfnsser«, om jedem Mi«8verfttändniM8e Torz(i1)eiij;en.

*^) 0er Hcniiisgeher des Arelilv« erlaubt sich, bei dieser Gelegen- heit auf den ei^enthiiiulicbcn Beweis, welchen er Ton den Lul er 'sehen Formeln und den dnrans leicht abzuleitenden Formeln von Monge in den Supplementen zu dem mathematischen Wörterbuche. Erste Abtheilung. Art. Cuordinatcn. Nr. 19 und 20 (S. 474ff.) and in dem Crclle'schen Journal. Thl.VIll. gegeben hat, hinsa- weisen.

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2. Formole rappresentanti il traslocamento prodotto da una rotasiooe e- traslazione. Formole speciali per la tranforinazione delle coor- dinate. 3. Formole rappresentanti il traslocamento prodotto da tre rotazioni successive intorno ad assi rettangolari. 4. Formole di relazione tra i punti corrispondenti di due fif^ure coiocidibill e la figura media. 5. Formole relative alle rotazione intoroo all* asae centrale preso per aese delle i. 6. Formole di relazione tri un moto elicoidale ed un sistema di dae rotazioni conjugate. Fi* gure polari. 7. Formole risguardanti la 8imilitudine delle fignre, 8ia dirette, sia ioversa. — Nota I. Applicazione delle formole dl rotazione alla ricerca dell* asae e de! centro di equllibrio^ Nota iL Del centro istantaneo delle accelerazioni nei moto di una figura di forma invariabile.

Mochte unser schon ausgesprochener Wunsch eine* Ueber- se^ung dieser Schrift recht bald erföllt werden.

Wir haben diesen Artikel unter die Rubrik Mechanik ge- stellt» hätten ihn aber natürlich mit demselben Rechte aoch der Geometrie zuweisen können. G.

Nautik.

Almanach der cisterreichischen Kriegsmarine für das Jahr 1863. Mit Genehmigung des hohen Marine-Ober- commando*s herausgegeben von der hydrographischen Anstalt der k. k. Marine. Zweiter Jahrgang. Wien. Gerold. S»

Der erste Jahrgang dieses in vieler Beziehung sehr interes* santeu und verdienstlichen Almanachs ist im Literar. Ber. Nr. CXLVIII. S. 10. von uns angezeigt worden. Die Einrichtoog ist In dem vorliegenden zweiten Jahrgange im Wesentlichen gaoi unverändert geblieben, namentlich hat die Einrichtung der Epbe- merlde keine Veränderung erlitten, so class wir uns aUo in dieser Riicksicht auf die Anzeige des ersten Jahrgangs beziehen kunoeii. Einige interessante Aufsätze sind wieder beigegeben. Der erste liefert Notizen über die in den letzten Jahren In Sr. M. Kriegsmarine eingeführten sanitären Massregelo. Voi Dr. Stefan v. Patay, Obersten Marine-Arzt, und zeigt deutlich, wie viel Sorgfalt in der österreichischen Kriegs -Mario« der Erhaltung eines guten Gesundheitszustandes auf den Schifei in jeder Beziehung gewidmet wird, namentlich auch die hellst

Liier arischer Bericht CLVI. 11

sorgfaltige und rficksicbtsvolle Behandlung der Verwundeten oder sonst Beschädigten» für die höchst zweckmässig construirte zer* legbare Tragbahren eingeführt sind. Auch die S. 28. roitgetbeilten beiden Tabellen über die Verpflegung der gesunden Schiffsroann- Schaft unter Segel und im Hafen sind für Jeden, der an der Ent- wickelong des deutschen Seewesens regen Antheil nimmt, sehr interessant und liefern den deutlichen Beweis, wie ausgezeichnet diese Verpflegung sein muss. In zweckmässiger Abwechselung wird zum Frühstück Zwieback (im Hafen auch frisches Brod), Käse, Kakao, Zucker, Sardellen, Essig, Rum, Oel; zum Mittags« mahl Zwieback (im Hafen auch frisches Brod), Puckel- und Schweinefleisch (im Hafen auch frisches Rindfleisch), Reis, Erb- sen, Mehlspeise, Hülsenfrüchte, Essig, Salz und täglich Weini zum Nachtmahl Zwieback (im Hafen auch frisches Brod) und Rum geliefert. Alles in hinreichendem IVlaasse. — Der zweite Aufsatz bat die Ueberschrift: Ueber die Bestimmung der Entfernungen auf der See. Von Dr. F. Schaub. Durch die Einführung von Geschützen, welche mit einer grossen Trag- weite eine grosse Präcision des Treffens verbinden , hat die Be- stimmung der Distanz eines entfernten Objects auf der See eine erhobete Wichtigkeit bekommen. General Sir Howard Dou- glas sagt darüber in seinem berühmten Werke „On Naval Gunnery (fifth edition, London 1860)'': „Wenn zwei Schiffe einander auf grosse Entfernung gegenüberstehen, wird die Wir- kung der Geschütze fast gänzlich von der Geschicklichkeit der Kanoniere abhängen; und dasjenige Schiff, welches die Entfernung von seinem Gegner am richtigsten geschätzt hat, wird unter übri- gens gleichen Umständen den grüssten Schaden anrichten." Man sieht hieraus, wie wichtig auch für die Nautik die Construction eines recht zweckmässigen Distanzmessers sein würde, die immer Doch zu den noch nicht vollkommen gelösten Problemen und from- men Wünschen gehört. Die von General Douglas gegebene Lo- sung unterscheidet von der gewöhnlichen sich gar nicht, indem er gewissermassen den Mast des feindlichen Schiffs als Distanz- latte benutzt, und dabei die aus amtlichen Quellen geschöpften Höhen des Grossmastes verschiedener Gattungen französischer Kriegsschiffe zu Grunde legt, mit denen in den meisten Fällen die Masthöhen der amerikanischen Schiffe übereinstimmen sol- len, wofür er auch Tafeln berechnet hat. Da nun aber bei ver- schiedenen Seemächten, und sogar öfter einer und derselben Seemacht die Höhe der Beniastung von Kriegsschiffen ziemlich verschieden ist, so müssen J>ei der obigen Voraussetzung Feh- ler entstehen, die, wie man aus den betreffenden, sehr leicht zu entwickelnden Formeln sogleich übersieht, unter Umständen

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«ehr gross werden können*). In sinnreicher Weise bat des- halb Herr'Sehaab die Methode der Messung gewissermasseii umgekehrt, indem er derselb.en eine auf dem eigenen Schiffe mit beliebiger Genauigkeit gemessene Höhe als Basis zu Gmode legt. Die zur Berechnung der Entfernung nach dieser Methode erforderlichen Formeln hat Herr Schau b mit Rücksicht auf Kimmtiefe und Refraction mit grosser Sorgfalt und Schärfe entwickelt, und zur Erleichterung der Rechnung drei zieoilicb ausgedehnte, sorgfältig berechnete Tafeln heigeftigt. Da aber hiebei Alles auf ein Instrument zur möglichst genauen Bestim- mung sehr kleiner Winkel ankommt, so hat Herr Schaub seine Aufmerksamkeit namentlich auch auf die Construction eines sol- chen, hier beschriebenen Instruments in sehr verdienstlicher Weise gerichtet, wobei die Objectiv- Mikrometer von S. Piossi in Wien sehr zweckmässige Verwendung gefunden haben. Ausser dieser Methode sind noch andere Methoden der Distanzmessang ange- gegeben worden, wo von der einen gesagt wird, dass Herr Schib- fthnrich Engelmann mittelst derselben zu sehr befriedigenden Resultaten gelangt sei. Man wird hieraus leicht die Wichtigkeit dieses Aufsatzes erkennen, und muss derselbe zu sorgfaltigster Beachtung empfohlen werden. — Professor Ehrenberg's Pas- satstaub. Von Contre-Admiral Bernhard Freiherrn von Wüllepstorf, ist die Ueberschrift des dritten Aufsatzes^ welcher höchst interessante Mittheilungen Ober den vorzüglich häufig in dem west- afrikanischen Dunkelmeere fallenden, mit besonderer Sorgfalt von Ehrenberg untersuchten röthlichen Staub enthält In höchst verdienstlicher Weise fordert nun Herr v. Wfillers* torf seine jüngeren Cameraden in der österreichschen Marine SU sorgföltigen Beobachtungen über solche StaubHllle aaf, und bezeichnet auf S. 89 und S. 90 in bestimmter Weise den dabei einzuschlagenden Weg und die Punkte, auf die es vorzüglich an- kommt. Auch dieser Aufsatz muss zu allgemeinster Beachtung nicht bloss der Seeleute, sondern namentlich auch der Naturibr- scher empfohlen werden. — Die Genealogie des hoben re- gierenden Keiserhauses Oesterreich und der Personal- stand der k. k. Kriegsmarine (October 1862) ist aach diesmal

*) Bei einer Distiins roo 1500 Klaftern nnd einer gesrhatsten Höhe Tnn 30 Klaftern ersengt ein t ehier von I Klafter in der Höhe tcboi •inen Fehler Ton 50^ilaftern in der Dittaai. Die Formel sor Bettim- nivng dec Fehler« ist

JD = ^a. — .

m

wo m die Hohe, D die Dl«tant ist.

Literarischer Bericht CLVL 13

mit dankenswertber Vollständigkeit und Ansfäbrlicbkeit mitge- thellt wordeh. Endlich ist das im vorigen Jahrgange niitgetheilte so sehr verdiensYliche Verzeichniss der Leuchtthfirme im mittelländischen, schwarzen and azowschen Meere dnr<;h die bis Ende September 1862 eingelaufenen neueren Nach» nebten ?er?ollständigt worden.

Wir wünschen diesem interessanten Almanach» fftr dessen Herausgabe die ihre Aufgabe In jeder Weise so treflFlicb lösende hydrographische Anstalt der k. k. Marine den grussten Dank ver^ dienty im Interesse des gesammten Seewesens den ungestörtesten und ununterbrochensten Fortgang. G.

Nautische Hülfstafeln nehst Erläuterungen Aber deren Berechnung und Gebrauch. Bearbeitet von W, V. Freeden, Rector der Grossherzogl. Oldenburgischen Navigationsschule und T. Küster, zweitem Lehrer der- selben. Mit einer Erdkarte. Oldenburg. Schulze'scho Buchhandlung. 1862. 8».

Wir haben an diesen neuen nautischen Tafeln nichts bemerkt« was sie vor anderen Tafeln besonders auszeichnete, und halten daher auch eine ausführliche Angabe des Inhalts fiir überflüssig. Die Anzahl der Tafeln ist 48. Die letzte Tafel liefert auf 96 Sei- ten ein» wie es scheint, sehr vollständiges und verdienstliches Verzeichniss der ,,Breite, Länge, Fluthhuhe und Miss- weisung der wichtigsten Kustenpunkte, Seestädte, Leuchtfeuer, Inseln und Untiefen." Ganz richtig bemer* ken übrigens die Herren Verfasser in der Vorrede, dass die ziem lieh allgemein übliche Verbindung der Tafelq mit den Handbüchern der Schifffahrtskunde oder Steuermannskunst fSr den praktischen Gebrauch sehr unbequem, und dass es daher wünschenswerth ist, eine solche für sich bestehende Sammlung von Hülfstafeln zu haben, wie sie in dem vorliegenden Buche geliefert worden ist. Insofern ist diese Ausgabe-abgesonderter nautischer Tafeln immer- hin verdienstlich, da auch die Verlagsbandlung rücksichtiich des Papiers und Drucks für zweckentsprechende Ausstattung Sorge getragen hat.

Vermischte Schriften.

Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien. (Vergl. Literar. Ber. Nr. CL. S. 10).

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Band XLIV. Heft V. üecember 1861. Haidinger: Da« Meteor von Quenggouk in Pegu, und die Ergebnisse des Fal- les daselbst am 27. December 1857. (Mit 1 Tafel). S. 637. - Fries ach: Geographische und magnetische Beobachtungen Inder westlichen Hemisphäre, angestellt in den Ja4iren 1859» 1860, 1861. S. 643. — Fritsch: TherniL^clie Constanten fSr die BiQthe und Fruchtreife von 889 Pflanzenarten, abgeleitet aus zehnjährigen Beobachtungen Im k. k. botanischen Garten zu Wien. S.711. — Referat der von der kais. Akademie der Wissenschaften zosam- mengesetzten Commission bezüglich des zu errichtenden Ressel- Monumentes. S. 721. (In Tri^st bildete sich am 22. December 1857 ein Coniit^ für Errichtung eines Monuments zu Ehren Jos. ResseTs, des angeblichen ErGnders der Schi flfssch raube. Der Gemeinderath in Triest beschloss, dem Comit^ zur Errichtung des Monuments einen öffentlichen Platz in Triest zur Verfügung stelieo zu wollen, unter der Bedingung, dass die k. Akademie der Wis- senschaften in Wien vorerst den Nachweis für Ressel's Prioritit in Her Anwendung der Schraube auf die Dampfschiffe liefere. Die Akademie ernannte eine aus den Herren A. Ritt. v. Borg, A. Ritt. ▼. Ettingshausen, Karl v. Littrow bestehende Commission, welche den vorliegenden, in vielen Beziehungen sebr interessanten Bericht erstattete. Das Resultat dieses Berichts ist: „Die Commission glaubt die Verdienste Res sei's am die Erfindung und Einführung der Schraube als Schiffspropeller da^ hin richtig stellen zu können, dass ihm die Priorität dieser Erfindung im eigentlichen Sinne des W^orts «eben so wenig» als dem Franzosen Sau vage und dem Engländer Smith, so wie überhaupt, so viel bekannt ist, irgend einem einzelnen Maooe allein zugeschrieben werden könne, dass aber Resael durch seine Bemühungen und praktischen Versuche zur Einführung der Schiffs-Scbraube wesentlich beigetragen habe und seine Verdienste um diesen Fortschritt eine gleiche Anerkennung verdienen dürfleo, wie solche den mehr erwähnten Männern Sauvage, Smith aod Ericsson von ihren Mitbürgern bereits zu Theil wurde." — »»Hiernach sei auch die für das Monument vorgeschlagene h Schrift: ,,Josepho Ressel, Patri^ Austriaco Natione Boheme, Qof Omnium Prior Kotam Cochlidem Pyroscaphis Propellendis Ad- plicuit Anno 1827'S durch eine der Wahrheit mehr entsprechende zu ersetzen).

BandXLV. Heft 1. Jänner 1862. Weiss, Edm.: Deber die Bahn von (59) Elpis. S. 55. — Lippich: Ueber die transver- salen Schwingungen belasteter Stäbe. S. 91. — v. Lang: Orien- tirung der optischen Elasticitätsaxen in den Krystallen des rhons- bischen Systems. HI. Reihe. S. 103. — Weiss, Edm.: Bereeh*

UUrariicker Bericht CLVI. 15

nuDg der totalen Sonnenfinsternis« am 31. Deceniber 1861. (Mit 1 Karte). 8. 124.

Band XLV. Heft II. Februar 1862. v. Littrow: Ein merkwürdiger Rogenbogen. S. 153. — Wertheim: Ueber eine am zusammengesetzten Mikroskope angebrachte Vorrichtung zum Zwecke der Messung in der Tieferichtung und eine hierauf gegrün- dete neue Methode der Krystallbestimung. S. 157. — Knochen- hauer: Ueber den Gebrauch des Luftthermometers. (Dritte Ab- theilung). 8.229. — Un Verdinger: Ueber die einhüllende Corve, welche eine constante Länge zwischen zwei sich schneidenden Ge- raden beschreibt. S. 251. — V.Burg: Ueber die Wirksamkeit der Sicherheitsventile bei Dampfkesseln. — (Mit 3 Tafeln). 8. 285.

Antikritik.

8o eben kommt mir das 6. Heft der 8 chlu milch 'sehen Zeit- sclirift zur Handy indem meine Differential- und Integral- rechnung besprochen ist. Mit seinen bekannten Kraftausdrflcken nennt sie Herr 8 chlu milch „ein wüstes Durcheinander analy- tischer Lehren'% weil ich nicht gleich die Differentialrechnung zuerst fertig gemacht habe und dann darauf die Integralrechnung. So wäre auch Poissons Mechanik ^^ein wüstes Durcheinander*', weil er zuerst ein Stück Statik, dann Dynamik, dann wieder Sta- tik U.S.W, behandelt! Unter dem Abschnitte: Taylor'scher Satz finden sich doch wohl nur Dinge, zu denen man die Reihenent- wicklung mittelst dieses Satzes braucht and das — mit Erlaubniss des Herrn S. — war die Absicht des Verfassers. Es fehlt nur noch, dass er mir vorwirft, ich kenne die Formeln zur Bestiro* mung der Tangenten u. s. w. nicht, weil sie im Buche „reinweg vergessen'' sind. Herr 8. scheint nicht bemerkt zu haben, dass, wie in der ersten, so auch In der zweiten Auflage die Anwen- dungen auf analytische Geometrie gar nicht gegeben werden soll- ten. (Erinnert sich Herr 8. dabei seiner eigenen Aussprüche, deren Unrichtigkeit ich ihm seiner Zeit nachgewiesen?).

Der „Anhang*^ ist bei mir tiberschrieben: Uebungen und Zusätze; als solche dürfte er so ganz verfehlt nicht sein, trotz der Meinung des Herrn 8., dem ich überlassen muss, in seinem Werke den „Jüngern der Wissenschaft" ein besseres Licht dar- zubieten.

„Deutlich", meint der wohlwollende und einsichtsvolle Re-

16 Uteraritcher BerUki CLVL

zensent, sei ich allerdings. Dar begehe ich die Sfiode, Zylioder ond nicht auch Differenzial zo schreiben! Die grosse CnbequoD* lichkeit meines Boches hat S. durch meine eigene Sorgfalt entdeckt, denn er schreibt mir ganz einfach meine Hinvf eisong auf die Stel- len, in denen seine geliebte Theorie der Konvergenz Forkoninf, ab: Ein y,deutlich'' geschriebenes Buch, in dem nicht Alles bubsch bei einander steht, wie es Herr S. gewohnt ist, zu sehen, \$\ desshalb nutzlos!

Was den Vorwurf der Unrichtigkeit meiner Darstellang der Restontersuchung des Taylor'schen Satzes betriffi^, so hat & du eben nicht verstanden. Ich habe nicht zu beweisen , daa die

A"-l-i

Reihe, deren allgemeines Glied • 7— rTT/*+H^ + ^^) i8t,k«i-

1 ....(it-f- 1^

vergent ist, sondern dass | 7-— rT\/^""*'*(^ + ^^) *" Kall wird

mit unendlichem n! Da darf man sicher S wie unveränderiidi behandeln, da es höchstens auf dessen Grenzwerth ankommt Wenn ich mich an ein schlechtes Beispiel hätte halten wollen, wie mir Herr S. freundschaftlichst räth, so hätte ich seine eigene Darstellung gewählt!

Der dritte Band kommt glimpflicher weg. Rfibrt dies eti^a daher, dass sein eignes Werk in diesem Punkte keineswegs „deut- lich^' ist, und ich seiner Zeit in den „Heidelberger Jahr- bflchern'' darGber sagen musste, dass es scheine, der Verfasser sei sich selber nicht klar über die Behandlung der partiellen Differentialgleichungen ?

Herr S. hat bekanntlich eine grosse Fertigkeit im Absprechen; dass er Anlage zur Kunst habe» will ich ihm gerne glauben, ja ich glaube ihm sogar, dass sein eigenes Werk über Differential- rechnung (natfirlich meine ich das bei Vieweg erschienene und nicht das bei Otte angefangene) besser sei, als das meine, und muss nur die Säumigkeit der Käufer bedauern, die trotz des ^Aus- verkaufs'' zu herabgesetztem Preise die erste Auflage von 1853 bis 1862 als das einzig vollendete Werk S. dastehen liesseo. Und so, mein Herr Rezensent^ wollen vrir die Oeffentlichkeit wie* der entscheiden lassen, und wenn mir ihre, meines Wissens noch nicht fertige zweite Auflage zu Gesicht kommt, wird es mich freuen, wenn ich aus ihr Belehrung schöpfen kann, die ich selbst von ihnen, trotz Ihrer Rezension, gerne annehmen werde.

Karlsruhcf, 6. Dezember 1862. Dr. J. Dienger.

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