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A r c ll I T
der
■athentatilc und PliyiMi
mit besonderer Rücksicht ,
auf die Bedürfnisse der üehrer an hOhern Unterrichtsanstalten.
Herausgegeben
von
Johann August Grunert,
Professor zu Greifswald.
Achtzehnter Theil.
Mit zehn lithographirten Tafelo.
Oreifisurald.
C. A. Koch's Verlagshandiung Th. Kanike.
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Inhaltsverzeichniss des achtzehnten Theils.
Arithmetik.
^r. der Heft. Seite.
ibhandloDg.
IV. Die Differentiation unter dem Integralzeichen. Von Herrn Oakar Werner, Lehrer der Ma- thematik zu Dresden I. 39
V. Die Umformung der irrationalen gebrochenen Functionen in andere, welche einen rationalen Nenner haben. Von Herrn B. Sommer, zu Coblenz I. 44
Xi. Untersuchung der biquadratischen Formen« Von Herrn Doctor F. Arndt, Lehrer an der höheren Bürgerschule zu Stralsund ... I. * 111
XIV. Ueber die Ausgleichung der Beobachtungsfehler. Von dem Herrn Professor Dr. J. Dienger an der polytechnischen Schule zu Carisruhe • II. 149
XV. Die Auflösung algebraischer Gleichungen. Von Herrn August Weiler, Gymnasinllehramts- Candidaten (Darmstadt.) II. 194
IV
Sr. 4er AMuHiJlug. Heft Seite.
Trigonometrie.
X\XV« Einfiiclier Beweis der Formela für nB(xJ-9}
umi. cot(ar±|r). Voo Herro J. J, Astrand, Priimtlehrer der Xathematik xoGothenbarg io Schwede« IV. 479
jr. «. Mdb Arithmetik ^y. XXX. Heft If. 8. 420.
Geodäsie.
\11, Beetimmoog der ^eog;raphischeD Breite und liMge aas geodätisdien MeMongen. Von dem Herrn Profettor Dr. J. Dienger an der poly- tecbnuchen Schule an Carlsrahe • • . • I, 80
XXXI. £infiicher Beweis für die von Alascheroni ge- gebene Auflösung der Aufgabe : die Länge einer an ihren beiden Endpunkten unzugänglichen geraden Linie zu messen» Von Herrn Dr. J. R« Boyman zu Coblenz IV. 452
XXXV. Zum Winkelkrcuz. Von dem Herausgeber IV. 477
M. f. auch Arithmetik. Nr. XIV. Heft IL Seite 149. Geometrie. Nr. XIL Heft 1. Seite 119.
Mechanik.
h Aufgaben aus dem Attractionscalcul« Von dem
Herausgeber I. l
Vlil. Ueber die Gleichungen der Bewegung, Anwen- dungen derselben. (Nach Jules Vieille in Liou- Tille's Journal , Jnillet 1849.) Von dem Hrn. Professor Dr. J. Di enger an der polytechni- schen Schule zu Carlsruhe 1. 91
XXii. Wann liegt der Schwerpunkt eines ebenen Vier- ecks ausserhalb desselben? Eine Gelegenheits-
Nr. der Abhandlung. Heft. Seite
frage, beantwortet von Herrn Dr« Wilhelm Matzka, Professor der Mathematik an der UniTersität zu Prag HI. 352
O p t i k*
111. Direkter Beweis der Undulationstheorie des Lichts ans der Aberration der Fixsterne. Von Herrn Professor Dr. Riecke an der königl. württembergischen land- und forstwirthschaft- liehen Akademie sa Hohenheim ...•!• 33
VI. Ueber den Winkelspiegel. Von Herrn Doetor Julius Harimann, Gymnasiallehrer zu Rinteln I. 55
Astronomie.
XIII. Ueber die Berechnung der Cometenbahnen. (Erste Fortsetzung der Abhandlung: Neue Me- thode zur Berechnung der Cometenbahnen. Ar- chiv. Tbl. XVU. Nr. IV.). Von dem Heraus- geber n. 121
XXX. Ueber eine gewisse Klasse in der Trigonometrie und Astronomie häufig in Anwendung komm en- derunendlicher Reihen. VondemH er ansgeber IV. 420
Jtf. «. auch Arithmetik, Nr. XIV, Heft 17. Seite 149, Optik, Nr, III, Heft I, Seite 33.
Meteorologie.
XXIV, Die 15 letzten Winter in Berlin, dargestellt und besprochen von Herrn Professor Dr. J. Ph. Wolfers in Berlin IV. 361
VI
Nr. der AblmndHiiig. Heft. Sc
C h e in i e.
IX. Auflösungen der Aufgabe, bei einem Gas- gemenge Ton Tiererlei brennbaren Gasen die unbekannten Glieder p, CXy Cy* und Cy zu bestimmen. Von Herrn Professor Zenneck zu Stuttgart I.
Uebungsaufgabefn fflr Schüler.
X\XIV; Von dem Lehrer der Mathematik Herrn Wer- ner zu Dresden IV.
XXXV. Zu beweisender Lehrsatz. Von Herrn J. J.
o Astrand, Privatlehrer der Mathematik zu
Gothenburg in Schweden IV«
Literarische Berichte*).
LXIX . . ^ I.
LXX IL
; LXXI 111.
LXXn. . IV.
k
*) Ich bemerke hiebei. dass die Literarischen Berichte mit bes deren fortlaufenden Seitenzahlen versehen sind.
I
r 1
Infgraben ans dem Attractionscalcul.
Von
dem Herausgeber.
Unter den vielen ioteressanten Aufeaben, welche der At- nctionscalcnl *) darbietet, haben vorzugiieh zwei, wegen ihrer .iMsen Wichtigkeit ffir die physische Astronomie und die Theo- le der terrestrischen Schwere, die Mathematiker vielfach beschäf- iRty nSmlich die Aufgaben über die Bestimmung der Anziehung slier Kagel und der eines dreiaxigen elliptischen Sphäroids. Es wMiki mir aber wdnschenswerth , dass theils diese Aufgaben PffTBehil, theils früher schon aufgelöste nach neuen Methoden pekuideit werden. Ich will daher in einer Reihe von Abhand- 1, weiche durch die vorliegende eröffnet wird, die Resultate ler mehrjährigen gelegentlichen Beschäftigungen mit diesem ^eustande vorlegen, in der Hoffnung, dass dadurch auch andere Ihematiker mehr als bisher zu dergleichen Untersuchungen und 'leilungen veranlasst und angeregt werden. In der vorliegen- Abhandlung mache ich den Anfang mit einigen leichteren ifgaben^ die aber späteren Untersuchungen theil weise zur Grund • dienen, und an die sich daher einige künf^g noch zu ver- intlichende Abhandlungen zweckmässig anschliesi^en lassen rden. Unter den hier behandelten Aufgaben findet sich übri- IS auch schon das für die physische Astronomie so wichtige iblem von der Anziehung emer Kugel, welches ich hier auf
*) Ich bediene mich dieser zweckmässigen, Toa Herrn Professor ^> Schi öm i Ich in seiner neuerlich erschienenen Schrift: Der At- ictionscalcul. £ine Monographie v on Dr. O. Schlö milch i. w. Halle, 1851.** eingeführten Benennung-.
kil XVIII. 1
«ine von der bisherigen ganz verschiedene Weise aufgelost habe, «ine Auflösung, die sich wegen ihrer Anschaulichkeit vielleidit vorzugsweise ftir Anfänger empfehlen möchte , wenn' ich auch gern zugebe, dass die bekannten allgemeinen Formeln ^ welche u. A, auch Herr Professor Schlömilch a. a. O. mittheilt, kurzer zum Zweck führen.
I.
Wirkung der Anziehung eines Punktes von der, Masse fi auf einen Punkt von der Masse Eins.
In Bezug auf ein beliebiges rechtwinkliges Coordinatensystem seien ;c. y, 3^ die Coordinaten des angezogenen Punktes von der Masse Eins; die Coordinaten des anziehenden Punktes von der Masse fi. seien a:, y, z; die Entfernung der beiden Punkte von einander sei r; so ist die Wirkung des Punktes (J^yz) von der Masse ft auf den Punkt (jcy^) von der Masse Eins, wenn wir wie gewöhnlich die Anziehung gerade der Masse und umgekehrt dem Quadrate der Entfernung von dem anziehenden Punkte propor- tional setzen:
und diese Kraft muss man sich $ils von dem Punkte (fy^) nach dem Punkte (xyz) hin wirkend vorstellen, weil der Punkt .(aj^) auf den Punkt (jcy3') anziehend, nicht abstossend, wirken soU. Legen wir nun durch den Punkt (j:y3) drei den primitiven GottT- dinatenaxen parallele secundäre Coordinatenaxen , zerlegen die Kraft
nach diesen secuüdären Coordinatenaxen, und bezeichnen die ent- sprechenden Composanten durch X, F, Z, die von der als von dem Punkte (jcy^) aus nach dem Punkte (:Kyz) hin (i^ehend gedach- ten geraden Linie r mit den positiven Theilen der drei secundä- ren Coordinatenaxen eingeschlossenen, 180^ nicht übersteigendeB, Winkel aber durch 9, 1/;, xi so ist
-A = ^cos9, F=^costf;, Z=:^cosx.
Bezeichnen wir nun aber die Coordinaten des Punktes, (xgx) ia diem durch den Punkt (jcy^) gelegten secundircn Systeme dovch
.''i
3
«
* ^% y'9 2'; ^ iBt nach de^ Lehre Ton det Vcftwafidiiihg der Codr- dinaten bekanntlich:
m
NoD ist aber aligömeifi
a;'=rcos9, y=rcosif;, 2'=:rcosx; also
ic — jf=''cosg?, ,y — y=rcosi(;, z — J = rcos;(; oder
cos9)== > cosi/;=^ — ? cosx = •
¥olg^ich ist nach dem Obigen:
Bekanntiich ist aber nach den Lehren der analytischen Geometrie
ab«
^_ ' K^^— y)
l (^-ö« + (y-r)* + (x-j)«|ä '
r=
. ft(y-y).
^ - { (*-«« + (y-y)« + («-«^
II.
Wirkung der Anziehung einer geraden Linie auf einen Punkt von. der Masse Eins.
Die GrSsse und Lage, der geraden Linie, deren Anziehung aif einen Pankt von der Masse Eins wir jetzt betrachten wollen.
«ei durch Uire beiden EodpoDlste (abe) und (uibiCg) bestimmt» so dass also
X — -a tr-^Ä x — c
Ol — a >6j— 6 Ci — c
die GleichuDeen dieser geraden Linie sind; ihre Länge wollen frir dnrch li oezeichnen.
Theilen wir nun die gerade Linie in n gleiche Theife, and setzen der Kfirze wegen .
n so wie
Ol— a . -Äi— 6 . C|— c .
__=,., -^=tt. -T-=»«'
SO sind die Goordinaten der beiden Endpunkte der geraden Linie und aller auf derselben liegenden Theilpnnkte von dem Punkte {abc) an nash der Reihe:
a. |
^; |
||
a + i«^ |
*+»». |
c + ic; |
|
a + 2ia. |
6+2«, |
eh^tc; |
|
a-f 3i0, |
6 + 3i», |
c + 3ie; |
|
u. s. w. |
n. s. w. |
u. s. w. |
|
O + «»a= |
'ai> |
6-|-ntft=:6i, |
c + nic = |
Bezeichnen wir die Goordinaten des angezogenen Punktes wie früher durch ;r» y» ); die den Coordinatenaxen parallelen Gompo- santen der Anziehung durch Jf> F, Z; die Dichtigkeit der anzie- henden geraden Linie durch S, ihre Masse also durch dL, sowie die Masse eines jeden der n gleichen Theile, in welche dieselbe getheilt worden, durch il^ und setzen der Kürze wegen:
X — je
y — y
•• «nd nach I. die Composanten X, Y, Z ofenbar die Grfimeirr depen die GrSssen
8kq>^(.a) + ilv^a^U) + ihp^a-^'üm) + .... -{-ilv^ia + {n—\)i^ , ihp^ib) + Shp^Kb^iÜ + «iy^Cft+Si) + .. + ii<p,(« + (n-l)4) ,
•der. weil
n Ol — a Ol— V Cj— c Mit« die GräDzen, denen die Grossen
iL
;rz:^ »• 1 9y(«) + 9>j(ö+*a) + 9>j(fl+2ia) + .... +9y(fl+«ii) I
SL
r— j4{9p(*) + ^^(ft + «*) + 9|^(Ä + %) + + 9>9(Ä+»u) I
8L
mäk nähern, wenn n in^s Unendliche wächst. Weil aber unter dieser Yoraussetzung die Grössen
^iraW^«i)> 6^**9>9(*i)^ ^^»>a<^i)
•Smmtlich der Null nähern» so ist nach dem bekannten Haupt* , ▼on den bestimmten Integralen:
a
oder, wenn wir die Masse unserer geraden Linie, nämlich 6Lf durch I* bezeichnen:
.1 I
«
a
C
1 Wir wollen nun das Integral
/'
zu entwickeln suchen. Weil
ist> und
üi — a^ ^'
v=6+-^ — (07 — a),
c« — c
V *'. Ol— a^ ^
gesetzt werden k$inn; so ist, wenn wir der Kürze wegen
und
a-;f=JFi» *-^y=yi, c-J=?,;
* setzen:
, "^^^"^^ "" 1 0^1 +^i)H (Fl +i3^i)HTH+m)*^r^ •
A.ber dd:=:dori9 also
und folglich 5 weil für ar=a, a:=ai respective ^1=0, cTi^rij — « 'u
oder 5 wenn wir der Kürze wegen
+/5^i)*-K^i + y^i)^r^
a«i '
7
setzen
■__Ji_ /*''
Es ist aber, wie man leicht findet:
A - «/* = a+is^+y') (XiHyiH»i'») - (X, + /Jy, + yJi)«
also /A — ^^, eben so wie / und A, eine positive Grösse. Daher ist es verstattet
ZQ setzen, woraus
also, weil A und /% — g^ positive Grössen sind: folgt. Nach gehöriger Substitution, erhält man:
■od
10
oder
oder
[rf]=(ff&,-6ai)-(ci-ai)y+(6-^i)r, [f3] = (Aci -cbi) - (6-61) J + (« -C| ) y ,
[yj] = - (61— y)c-.(y- ^)ci— (6-6i)j , [Wf] = — (ci -5)0 - ( J-c)c, -(c- c, )x
setzen ;
' (F+G)(«i-fl)-(G+fl)j:, =-(*i-y)[)T]+(f,-5)[JX]; also nach dem Obigen
( ■ (^ -y)ryy1-(Ci^?)W _
Mn[rf]Hbf]^ ) {b-y)[jcy]-(c -j)[vl
\^( a - rt« + (6 - r)a + (c- J)" Es ist aber auch:
(*i-y)^y]-(ci-J)M= (a-«i)! («,-x)H(6,-y)H(ci-y)*!
- («1— rt l (a-ai)(«i -^)+(6-6i)(6i -y)+(c-Ci)(ci-j;
+ («-JC) t(«i-a)(«->:)+(*i-6X6-r)+(ci-c)(c-j) und folglich, wenn wir der Kurze wegen
/» = (a -rt* + (6-y)» + (c-j)* ,
A=(«i-x)H(6i-r)H(Ci-J)*;
ferner
<?=(«,-«) (a-^) + (6,-6)(6-F) + (ci-c)(c-J), <^=(«-«i)(fl,->:) + (6-6i)(6i-)')+(c-c,)(c,-j) setzer^, zugleich mit V^crwechselung der Zeichen:
/-
9
(Xi-t-ar,)Sx, _ V>-ff'-t-(g-*y,)ii
Fährt man nun fSr k «einen ans dem Obigen bekannten Werth elo, so erhält man:
y'* (yi+a;,)3xi _. /— g)Ci -Kg— Ay,)Ji
aod es ist folglich nach dem Obigen:
^ I» \f-m f-m -Kgi-a)(g— *yi),f
Es ist oun
. (q,-fl)«+(6.-6)«-Kct -c)«. abo, wenn wir
C= (fl,-a)):i +(6|-6)y, + (c, -c)Jj . Ä=(a,-a)«+(6,^)« + (c^-c)*
m
«eden:
^ r» Cr - Ä
Führen wir F, Gf H statt /*, ^, A ip den obigen Ausdmck TOB X ein , so erhalten wir nach einigen leichten Verwandlungen :
FH-G*f VF ^ V (iii-Jc)4(Ä|-y)H(ci-««^ '
Es ist aber» wenn wir der Kürze wegen
[ff] =(a-ai) (6-y) - (6-6,) (a-jc) , [FJ] = (*-*,) (c-j) - (e-ci) (b-r) ,
M = (c-«i) (o-rt - («-«i) (c- J) ;
•
1^
Bezeichnen wir die an den Spitzen (abe) und (<r|6|C|) liegen- den Winkel des zutschen den Punkten (abc), (oibiCi), (icyi) lie* senden Dreiecks ^ re^pective durch m und o»x , so ist nach den Lehren der ebenen Trigonometrie:
2LÄcosa)= (a— ai)« + (6-Äi)«+(c— Ci)«
+(a-^jf)*+(ft-y)*+ (<:-«•
- («i-Ö*-(*i-F)*-(ci-J)«,
2LßiCosa>i= (a-ax)«+(6-6i)« + (c-c^)«
+ («i-Ö« + (*i-y)* + (ei-«« -(a-0«-(6-y)«-.(c«j)«;
also, wie man leicht findet: •
LRcoam =— (ai— a) (a-r) - (61—6) (fr-Jf) — (c^— r) (c— 5),
JtÄaCosa)i=:— fa— ai)(fli— !f)— (&— *i)(*i -F)— (<>-Ci) (ci— |) ; d. i. nach dem Obig^en
XrjKcoso) = — Q> LI?iCos(Ox= — Qi; folglich
Z= j£ä I («1— ö) (Ä— *i) + (a— ÖAcosa)+(ai— Öjtcos»i}, F= 3^ { (6i-6)(Ä-Ä,)+(6-r)LcosQ>+(6i-y)ico8a>i } ,
Z= j^a I (^1— c) (Ä— i?i)+(c— 5)Lcosa)+(ci— j)Xco8i»i } .
Weil
. 12 : I2| = sin Q)| : sin 00 »
/Z :L =sinQ)|:sin(Q)-f <0i)> RiiL = smcn: sin(a> -|- %)
ist, so kann man mit den obigen Ausdröcken noch verschiedene einfache Transformationen vornehmen, bei denen wir aber jetzt nicht verweilen wollen. Man kann auch
L= AcosG) -|- /2|Cosfü)|
setzen.
Bezeichnen wir die Resuitirende der drei Kräfte X, F, Z durch 2(9 und die auf gewöhnliche Weise genommenen Winkel»
13
welche deren Richtung mit den drei Cuprdinatenaxen einschliesst, dsrch ^> ^> x; so ist
2Cco8g> = X^ 2(cosif;=r F, 2Ccos%= Z; ilso
Wird femer der an der Spitze Off^) des Dreiecks A liegende Winkel dieses Dreiecks durbh B bezeichnet, so ist
'iÄÄjCose= (o->:)*+(6-r)«+(c-j)«
+ («i->:)H(6i-F)« + (ci-«» _(a-a,)«_(6-6j)«-(c-ci)a,
also, wie man leicht findet:
ÄJ^ co8Ö=(fl-jc) (Ol— rt + (6— y) (*i— y) +(c-J)(ci^) . ' IlaAer ist nach dem Obigen:
— 2Ä(Ä--Äi)co«a)« -f2£iZi cos neos «icosd
— 2iZAx(l — coso»*— coswi*— coswcoswicosö) We'd aber
cosö = — cos(a) + Ol) \st, so ist, wie man leicht findet:
1 — ^os Q)*— cos cox^ — cos ocos o)| cosO = sin cosin co| cosd , mA folglich nach dem Vorhergehenden:
3S«= %^rÄ (Ä«siDa)*+/?i«sinö)i2-2ÄiB,sincasincöiC086) .
Bezeichnen wir nun die in Bezug auf h als Grundlinie ge- iMnmene Höhe des Dreiecks ^ durch H^ so ist
ff = /biini» = /i^isincji ;
u
also ist
Ä^=^Vr4- (1-cosÖ),
oder, weil
ist: *
T-~5S
2sin2 ö2=:l-cosö
und folglich
2A^
Aber LH— 2^, also
Ä=^sin2 d>
Nehmen wir jetzt der Kürze wegen die Ebene des Dreiecks ' ^ als Ebene der xy, den Punkt {abc) als Anfang der (jJdyz), und - die Linie L als den positiven Theil der Axe der :r an ; so ist im . Obigen • ;
a==0, 6.=.0, c=0;
ai=X, 6i=0, Ci=0; ]
zu setzen, und es ist folglich
Jf = -£^2 ( Ä— /?!— Xcosö + (L— j:)cöS(o, I ,
F= — ^TaFCcoscö + coscöi),
Z=0. i'^^
Es ist aber allgemein
;c=Rcosa), L-— jc=X — jRoos(ö=:iF?iCosc«}i , folglich
13
F= — j^ y (cosw + coswi) ,
Nimmt man nun die positiven y von der Seite L des Drei- eeks ^ an nach der dieser Seite gegenüberstehenden Spitze des- selben hin, so ist
also
t
X-
^ä (»»"« — s""«i)>
F= — TAä (COSW + COSG}i) ,
Z=0;, iolgUchy weil LÜ=i2/^ ist:
^= ^(sino) — sinwi) = -;|- in j,- (o— Wi )cosy (w + ©i)
-* |6t U t 1
F=: — 7r^(c0Sa) + C0SWi)= — -^C08cj(a) — Wi)cOS7,(cö + (öi),
Z=zO.
Weil
/2 : ßj = sinwi : sinw und
'. ist, so ist auch:
ft X — (Ä — Rj)co8fo *^= ~ 2Ä R, "" '
Z=0;
16
oder
„ ft R-Ri .
., (i L-j^R—Ri )co8 Ml
*^-~2Ä R '
/
z=o.
Weil nach dem Obigen
Xi^ r z
ist^ 80 ist
1 1
costp = "i »
sinö^
C08^(a)— coi)co8rt (© + G>i )
008%^ 0,
Die Gleichung der Richtung der Resultirendeu in der £b der xy ist:
also
COSt^ / X
"^ ' cosy ^ '^^
1
y — y = — Cr— rt cot 2 (® "" ®i )
oder
y — ßsinco = — (a: — Rco8g>) cot „ (od — ©i) .
Bezeichnen wir die erste Coordinate des DurchscTinitt^pu tes der Richtung der Resultirenden mit der Axe der a:, d. i. der Linie L, durch p, so ist
— RsincD^^— (p — /?cosco)cotij(G) — wj ),
, 17
»raus leichi
cos ä ( 0> + Ol )
/^=* — i —
C0S5(CÖT— «i)
/
gt. Also ist I
r '
cos^Cw +-CöiX £<— p=ftcOSCO -h^lCOSOi — /2 1 — : — " ^ >
^ ■ coscosin(«i sinc^xCos^Cco + a,,)
= /ti < cos ©1 4 — ; "T
f smocos 5 (o — a)|)
COS 5(0 — föi)
• 1/ IX «inQ>i , nn^C^ + Wi) i
SÜlir~f COSgC«-«!)
1 ' ( 1
cos^Cw + Oi) |2sin,^(Q} + ß)i) _?!.5f?L
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1 ' " 1 l
COS 5 (üo + coi ) 2sin5(o) + c}|)cqsö (w — g>i)— slnwi sinco 1 , .
.. COSn(ß) — Wi)
so. weil
sino) + sincji=2sins-(ß> + Gh )coS5- (co — coi )
t:
1 ^ . \ cosir(D) + ai)
L-p = ii^ — j — .
.Weil (ö+wi, und noch mehr der absolute Werth von (o — ©i,
1 1
mec Jsleioer als 180^ ist, so sind cosö(o>+Wi) wnd cos^(ö>--a)i)
\t\\ ^¥111. 2
18
'{^tets positive GrösseD. Also sind auch 21 und L'^p positive Grössen, und weil nun nach dem Vorhergenenden
p\L — p=iRiRi
Ist, so erhellet aus einem bekannten geometrischen Satze » das« die Richtung der Resultirenden den der Seite L des Dreiecks ^ gegenüberstehenden Winkel Q halbirt.
'Weil fi=:öL ist, so kann man die Resultirende 2C auch aaf
folgende Art ausdrücken:
Nun ist aber
1 11
A=z ^ RRi8inO=:RR^ sin 5 6 cos ^y 6
also
Ä =
1 RRiCosn ^
Weil bekanntlich
cos^ö=2V Wt
ist, so ist
RR1CO8 le=lv^RRi{R+Ri+L)(R+Ri -X) ,
folglich
'28L
X =
V^RRi(R+Ri+L) (R+R^^L)
.— >
Bezeichnet man die den Winkel 6 im Dreieck A halbirende Linie durch f(, so ist
l
/?:?/ = siu ( ^ 0 -f (o) : sin 0)
' .1 1
= sin öÖcotco + coSt^ö:!, ' *
m
woraus '
19
1
cot© =: ~
Ä-— WC08 ö S
higt. Ferner ist
ttsin rt ö
^=siiidcot(o-f cosO: 1 ,
woraus sich
C0t(0r=i
Risiwe
ergiebt. Also ist
^""""^"2^ ß-l?,cosö
fcsm^^
/^isind
w&raaDt man leicht
2RRiCos^e=z(R+R^)u
findet. Also ist nach dem Obigen:
28L
Ä=
(R+Ri)u '
Den Fall, wenn der angezogene Punkt in der an2;iehendeii geraden Linie liegt, muss man nun noch besonders betrachten.
Die gpegebene anziehende gerade Linie sei AB=:L, und der angez<»gene Punkt liege in deren Verlängerung, etwa über den Punkt B hinaus. Die EtitT<^rnung des angezogenen Punktes, von dem Punkte B sei e, Theilt mau die Linie AB=:L in n gleiche Theile und setzt
L .
_— =1,
ji '
. so ist X offenbar die Gränze, weicher die Grosse
dt ^ dl dt ■- öl
•ich nähert, wenn n ins Unendliche wächst. Also ist nach der * Theorie der bestimmt!^ Integrale:
1 2*
!20
-» , /»* aar
Für ei'a:=v, Sa:=dc ist
1
e\ X
uls(>
»=^L--;^^=
dL
c e+L c(«+i^) c(c+l/)'
Für ^ß=0, (l h. wenn der angezogene Punkt der Eodpankt D der Einie AB==L selbst ist, wird ä = qc.
Wenn der angezogene Punkt/ in der Linie AB^=^L selbst, d. h. zwischen ihren Endpunkten liegt, so wollen wir die beides Theile dieser Linie, ^ in welche dieselbe durch den ange^ogenett Punkt getheilt wird, durch X und Xi bezeichnen. NeboiiMi vfk dann die positive Richtung der Kräfte mit dem Theile 1 als zu- sammenfallend an, so kann die gesammte Wirkung der Linie L auf den in Rede stehenden Punkt nach dem Vorhefgebeoden offenbar desto genauer , je kleiner € ist, durch
ö(X—b) ^ai— f)
a
th
d. h. durch
■B B X^Xi
dargestellt werden, was augenscheinlich
giebt.
/
Ich erlaube mir bei dieser Gelegenheit eine allgemeine Be- merkung zu machen, deren weitere Prüfung mir angenehm sein irird. Mscü kommt nämlich bei Aufgaben des Attractionscaiculs, überhaupt bei Untersuchuns^en, denen das Attractioqs* oder Gra- vi tätionsgesetz zum Grunde liegt, sehr häufig iu gewissen beson- deren Fällen auf das sogenannte Unendliche. Der Gruml hiervon scheint mir aber in dem analytischen Ausdrucke des Attrattions« gesetzes, oder, wenn man^ will, in diesem Gesetze selbst zu lie- gen. Denn drückt man, wenn im Allgemeinen ft die Masse und
r die Entfernung bezeichnet, die Attracfion durch ^aus, Solist
\
21
wohl klar^ dass dieser Ausdruck in das sogenannte^Uneiidlielie Abergeht ,^ wenn man r verschwinden lasst, und dass dies wohl aoch anifje'de' Untersuchung, der das Attractionsgesetz zum Grunde B^t, ypn Einfluss sein muss, unterliegt gewiss keinem Zweifel. Man bat; wie es mir scheint, diese Bemerkung , über die ich mich übrigens jefzt nicht weiter verbreiten will , bisher bei Untersuchun- gen dieser Art nicht so iieachtet, wie es hätte geschehen sollen. ' Ich mochte wohl wünschen , dass dies kiindtig mehr geschähe, und ^bin wenigstens der Meinung, dass bei Uutersuchun- gen, denen das Attractionsgesetz zum Grunde liegt, mit Rücksicht «af das vorher Gesagte, wenigstens jedenfalls besondere Vorsicht za enipfehlen ist.
III.
Wirkung der Anziehung einer Kreisfläche auf einen P«nlLt von der Masse Eins, welcher in der auf der Kreisfläche in ihrem Mittelpunkte senkrecht stehen- den geraden Linie liegt.
Man nehme die Ebene des gegebeneu Kreises als die Ebene der xy eines rechtwinkligen Coordinatensystems der xnz an, dessen Anfangspunkt der Mittelpunkt des gegebenen Kreises ist, dessen Halbmesser wir durch r bezeichnen , wollen. Der Theil der Axe der x> in welchem der angezogene Punkt (xF$) liegt, werde als der positive Theil dieser Axe angenommen, so dass^ also 5 eine positive Grosse ist. Dies vorausgesetzt, betrachte man ZüvGrderst überhaupt die Anziehung einer auf der Axe der x senkrecht stehenden Sehne des gegebenen Kreises auf den Punkt 07$).. Bezeichnen wir die erste Coordinate des Durchschnitts-
Snkts dieser Sehne mit der Axe der x durch x selbst, so ist ' diese Sehne, mit Rücksicht auf 11., oflfenbar:
a^x, 6=+\^r^^=^, c=0; fii=a:, 6i = — ^r^—x^ , c, =0 ;
Ako ist
Uglich
«
22
Ferner ist
also
Daher sind nach II. die Composanten der Anziehung unsc Sehne:
0, '
\K 4?(r*— ar^) .
öder, weil
ist^ wie man leicht findet:
0, ,
#
Bezeichnen wir nun die Coqaposanten der Anziehung, welche ganze Kreisfläche auf den gegebenen Punkt (xy$) ausübt, du iLi Y, Z; so ist offenbar: *
— r
F=0.
_J6 /^+'- VfäZZjä
Z = —
23
Weikuutt aber offenbar
ist, so ist
X=
0, 0,
F=
Z=-
2d)
V"rä+ja
— r
WO es nuo auf die EntwickeluDg des Integrals
/
5^ + ^^
da;
ankommt, die «ich auf folgende Art bewerkstelligen lässt. < Es ist
also
S.r
Ö^+a;«) V^r^-a;^ t/ V^r« — x^ *
-/^
öo:
-Setzt man nun
äa
V^* + x^
=^ r= M , also
».2
5*+ar^
SO ist, da or und tc gleiche Vorzeichen haben'und bekanntlich $ positiv ist:
X
^u
woraus sich leicht
Sxzn
Vi--i***
^dn
tod
24
ergiebt. Also ist > --
3ar 3«' \ .
und 'folglich nach dera Obigen
X*
I
Setzt man nun
1* |.
- al»o
so wird, weil nach dem Obigen
i8t:
«0*
Nimmt man nun die Bogen zwischen — ^- tt und +« ^5 ^^ >^t
du A . A • äV"»^T?*
= Arcsinv = Arcsin
— r — = Ai'csiiJf; = .irLeiiii -p ..- j
V 1 - 1;^ .r\^)2 ^^a
—77=-=:=: = Arcsmti; = Arcsin — ?
also
. /
/
23
' a , ^g &g = -T— r Arcsm —-7.^==.== — Are sin -- ,.
«od folglicfa
Daher ist Dach dem Obigen:
oder
i_0. l-O. z ^^^^__.
X^O, F=0, Z=—2dn(l tttI
l)»;
V. Vra+J
0'"
oder auch 9 weil «
ft=Jr%, d=
ist:
j:=o, f=o, z=~%Ci — 7-4^V
t
Dass Z negativ herauskommt, entspricht ganz der Najtur der Sache, weil man den Theil der, Axe der z, in. welchem der an-^ sezose\ie Punkt liegt, als den positiven Theii der in Rede ste-' iienden Axe angenommen hat.'
IV.
Wirkung der Anziehung einer Kugel auf einen Punkt
von der Masse Eins.'
Wir wollen 2uerst die Anziehung betrachten , welche ein Kagelsegmeut auf einen Punkt ausübt, der ausserhalb des Kugel- ^ s^uients in der geraden Linie liegt, die durch den Mittelpunkt fo Kugel geht, und auf der Ebene des das Kugelsegment begrän- icnden Kugdkreises, den wir die Grundfläche des Kugelsegmepts ■eonen werden, senkrecht steht.
26
Deti Anfang der Coordinaten legen wir in den -Mittelpunkt der Kugel, und nehmen das von demselben auf dfe tirundfläebe des ' ICugelsegments gefällte Perpendikel als Axe der x an, indem wir zugleich den Theil dieser Axe^ welcher der Richtung von d^r Grundfläche' des Kiigelsegments nach dem angezogenen Poilkle' hin entspricht, als deren positiven Theil annehmen. Die geborig . als positiv oder negativ betrachtete Entfernung des an^ezogenee Punktes von dem Mittelpunkte der Kugel sei e ; die Entfernung der Grundfläche des Kugelsegments von dem Mittelpunkte der Kugel, welche gleichfalls positiv und ^negativ sein kann, sei e.
Denken wir uns nun irgend einen auf der Axe der'a: senk- . recht stehenden Schnitt des Kugelsegments» dessen gehurig als positiv oder negativ betrachtete Entfernung von dem Mittelpunkte . der Kugel durch x bezeichnet werden mag; so föllt sach Dl. die ganze Anziehung, welche der Schnitt auf den gegebenen Punkt ausübt, upd daher oflfenbar auch die ganze Anziehung des Kugel- ^segments auf diesen Punkt, in die Axe der x, und die Wirkung 'der Anziehung des Schnitts auf den gegebenen Punkt ist nach HL, wenn r oen Halbmesser der Kugel bezeichnet, offenbar
( Vr2_a;4-|-<c_a:)«)
woraus sich, wenn wieder 7i die Anziehung des Kugelsegments ^ bezeichnet,' auf der Stelle
— r
ergiebt, und es nun auf die Entwickelung des Integrals
>
. ü
also auf die JEntwickelung des Integrals
e — a:
f
8x ■'•
ankommt. Setzen wir zu dem Ende e'^a:=zuy dxz:z-—ou; so ist
OX r=l , — ■ ■-r==rzr== ex = — '
Wr^-x^^-ie-x)^ ' Vr«— eH2e(e-ar) V^ra-eH2cu*
27
I '
und ireon w\t nun
ra^e*+2^i«=r*^ edu = vdc
■elacii, «o wird
t<dtf
Vi«— e*+2eii
2e^
abo
€*+2eti
^-i^^h'-^^-^'M
r* — 'B^ — eu
3e*
Vr«-T-c*+2cw
V"r*+ e»— 2ea-
Daher ist nach dem Obigen
md folglich
= e+r +
(« + r) (r»— 2c« + er) (r«— 2c«+«£) Vc^+r«— 2e«
3e«
Sc«
r»-2c» (r*— 2c*+«)V"e«+r«— 2ee
=•+-3?-
3e«
iIm
28
Will man- die Anziehung haben, weiche das Kogehtgaiit auf den Mittelpunkt seiner Grundfläche ausQht, so maas naiai=t setzen; 'was nach leichter Rechnung
28n
Ä= - ^ tr» + *»-(r*-t«)\^r«-«,*}
3t*
oder
K = - ^P>- t r«-,^ + t«-(r-e) Vf^C-lS)
^ giebt.
V
Will inan die Anziehung hihen, welche die ganze Kpgel uf einen ausserhalb liegenden Punkt ausübt,, so rouss man fn de» allgemeinen Ausdrucke von 2{, wo e die Entfernung des angelo- genen Punktes von dem Mittelpunkte der Kugel bezeichnet» esrr setzen, was
folglich nach leichter Rechnung
id
Ttr*
^""^ ;ic-^
giebt. Der Inhalt der Kugel ist r^r^^, also, wenn wir ihre Masse durch (i bezeichnen.
|Lt = ;v Ör^TC y
folglich nach dem Obigen
Da dieser Ausdruck von dem Halbmesser der Kugel ganz unalK Ixangig ist, d. h. eigentlich seinen Werth gar nicht ändert, wie i|^ross auch der Halbmesser sein mag,* wenn nur, natiirlich unter Voraussetzung derselben Entfernung e, die Masse ^i ungeandert bleibt, so erhellet, dass die Kugel auf einen ausserhalb Ihr lie* spenden Punkt ganz so wirkt, als wenn ihre ganze Masse in ihrem Mittelpunkte^ concentfirt wäre, und dass dies auch von einer von
\
29 «
'vnrei concentrischen Kugel flächen begränzten Kugelscbale eiit^ er- ^giebt~ sieb bieraus uumittelbar. Dies fiibrt zu dem fo^ehdeii Satze:
Die Anziehung, welche eine'von zwei concentri- sclien Kugeifiächen begränzte Kugelscbale auf einen ausserhalb ilfr befindlichen Punkt ausübt, ist jeder«« teit ganz dieselbe, als wenn die gerammte Masse der Kugelscbale in dem gemeinschaftlichen Mittelpunkte der beiden begränzenden Kugelflächen concentrirt wäre.
• Dieser Satz ist fiir die physische Astronomie oder Mechanik des Himmels wichtig, weil man nach demselben bei der Theorie der Bewegung der Planeten um die Sonne, insofern man deren ' Hassen gegen die Sonnenmasse als unendlich klein betrachtet, *die Masse der Sonne in dem Sonnenmittelpunkte concentrirt an- nehmen kann.
Wir wollen nun auch die Anziehtfng einer Kugel auf einen hä ihrem Innern liegenden Punkt betrachten, dessen als positiv betrachtete Entfernung von dem Mittelpunkte der Kugel durch s beieichnet werden mag. Legen wir durch den angezogenen Punkt einen auf dem durch diesen Punkt gehenden Durchmesser der Enget iKenkrecbt stehenden Kugelkreis, so theilt dieser Kagel- bm die Kugel in zwei Segmente, und n^ch dem Obigen ist die als positiv betrachtete Anauebung des grösseren Kugelsegments •ffenbar
3*a
{ r3 + «3 _(,.2 _ 52) y;a _ j2| ^
nod die gleichfalls als positiv betrachtete Anziehung des kleine- reo Kogelsegments ist
2Ö7t
3£ä
{r8 — £S_ (;•«— £«) y,a __ £2)^
wobei sich nach dem Obigen von selbst versteht, dass die Rich- iBBg der Anziehung in beiden Fällen mit dem durch den angezo« . genen Punkt gehenden Durchmesser der Kugel zusammenfällt. Also ist offenbar die Anziehung der ganzen Kugel:
ILj wie sich hieraus auf der Stelle ergiebt:
30
Rezeichnet wieder jii die Masse der Kagel» so \st
(izzi^Sr^Tt, also 8z=j^; folglich nach dem Vorhergehenden die Anziehung
78-
Denken wir uns eine von zwei concentrischen KugeMScIien begrSnzte Kugelsehale ^ und in deren Hühlune einen Punkt, so ist die Anziehung, welche die Kugelschaie auf diesen Punkt ausfibt, nach dem CNbigeii offenbar
'4 4
5*f^— od6^=0,
und verschwindet also, was zu dem folgenden merkwfirdigeti Satze führt:
Die Anziehung, welche eine von zwei concentri« sch'ien Kugelflächen begränzte homoeeneKugelschale, oder ein,e von zwei concentrischen Kugelflächen' be- gränzte homogene Hohlkugel, auf einen innerhalb Ihrer Höhlung befindlichen Funkt ausübt, verschwin- det jederzeii, und wo sich also auch dieser Punkt innerhalb der Höhlung befinden mag^ sind die auf ihn wirkenden Kräfte unter einander im Gleichgewichte, der Punkt be4*indet sich folglich überall innerhalb der HöhluVig in Ruhe.
Hiermit will ich diesen Aufsatz schliessen, in der Hoffnung jedoch, bald wieder auf den Attractionscalcul zurückzukommen.
31
n/
me Krftnimnni^stheorie der Kegrel- selmltte, elementar ^eometriseh
begründet.
Von
Herrn Planck,
Repetenten an der polyteclinischen Schule zu Stuttgart.
Mittelst einiger Lehrsätze liber Centralprojection lässt sich der folgende , die Krümmungstheorie der Kegelschnitte enthaltende Satz aufstellet]. (Taf. I. Flg. 1.).
„Zw^ Sehneu MP, MQ eines Kegelschnittes, die symme- trisch* zu dessen Hauptaxen liegen, genuren einem Berührungs- kreis des Kegelschnittes im Punkte Jf an.'^ ^ '
Das Projectionscentrum C liege in der Ebene, die man durch den Mittelpunkt O de^ zu projicirenden Kreises senkrecht zur Spur der Kreisebene gelegt hat. Auf dem Schnitt der Kreis- ebene mit der durch C parallel zur Grundebene gelegten Ebene nehme man zwei Punkte A und A* in « gleicher Ent- fernung Yon O, und ziehe an den Kreis die Tangenten AM^ Äff, A'M' s A^N\ Es werden alsdann, wie aus den Sätzen von der Polare folgt, die Geraden 3§N', M'N sich in einem Punkt D der AA' schneiden, der zugleich auf dem zu AA* senkrechten Dorebmesser liegt. Von A' aus ziehe man eine S<^ante, die den Kreis in P und Q schneidet, so bilden die Geraden N'A'/N'P, N'M', N'Q ein System harmonischer Linien, folglich auch die Geraden JlfZ>, MP, MM', MQ, da A'N'P^DMP u. s. w. Es projiciren sich nun A'P und A'M' als parallele Geraden, und symmetrisch gegen die Projection der Tangente AM. Die Seh- ■en MP, MQ aber projiciren sich, da die Projection von D in iniendliche Entfernung fallt, als zwei Sehnen symmetrisch zur
32
I T
Projection von 3/M', Es werden folglich, nie der Winkel der Tangente AUf mit ÄJQ dem Peripheriewinkei MPQ gleich ist, 80 auch die Frojectionen beider \Vinkel einander gleich sein, und hiernach int die Tangente am Kegelschnitt auch Tangente an dem die beiden Sehnen enthaltenden Kreise, mithin ist dieser Kreis Beröhrungskreis.
. Lässt man jetzt beide Sehnen sich um gleichviel drehen, h\& die eine in die Tangente ßillt, so geht der Herührungskreis in den Krümmungskreis über. Die Sehne MR^ nach der dieser deo Kegelschnitt schneidet, ist die Projection von Ä'M, Sie ist dem Durchmesser zugeordnet, der mit dem der Tangente zugeordne- « ten symmetrisch liegt: construirt man den Punkt R des Kegel- schnitts, so lassen sich mittelst dieses Punktes beliehig viele Sehnen, wie il/P, IdQ construiren, da RP und MQ lAch imiBer auf demselben Durchmesser schneiden.
Aus den Gleichungen des Kegelschnittes und des BerQbrinigs* kreises lässt sich der erwiesene Satz auf so einfache Weise' ab* lesen, dass es uns wundern Rollte, wenn er, da er. doch immer interessant genug ist, nicht irgendwo ausgesprochen w&re. Ver- legt man den Coordiuatenursprung in den Funkt Jf , und bezieht den Kegelschnitt auf Axen parallel zu de)i Hauptaxen, so heisst , seine Gleichung
Ax^VCy^^Dx^Ey=:Q (1.)
Die Gleichung der Tangente im Ursprung heisst Dx-\-flg^i folglich die Gleichung der Normale Ex — ßif=^0.
Die Gleichung des Kreises (wenn JT, Fsein Slittelpuokt) heisst:
oder, da £X— /)r=0:
^»+2,*-2JK^?^i^"=0. •(IL)
Durch Verbindung von I. und II. aber erhält man eine Gleichnng von der Form
y^=7n^x^,
eine Gleichung, die zweien dem Kreis und dem Kegelschnitt ge- meinschaftlichen, symniietrischen Sehnen zugehört.
Die obige Construction des Krunimufigsmittelpnnktes Ist ffit die Scheitel der Kegelschnitte nicht brauchbar; da aber fSr/dleM der KFummungshalbmesser gleich der Subnormale Ist, so lassen sich die von dieser bekannten Eigenschaften benützen, wie b. B. dass bei der Hyperbel jeder Punkt dieselbe Subnornmie hat mit dem zu derselben Abscisse gehörigen Punkt der Asymptote, n. dgl.
33
I
III.
■
INrelLter Beweis der Undnlatlons- theorie des Iilelits aus der Aberration
der Fixsterne.
Von
Herrn Professor Bfr. Riecke
in der königl. warttembergischen land- und forstwirthachaftliclien
Akademie zpHohonheini.
0
Die sogenannte Aberration der Fixsterne besteht im Wesent- ficbeo darin, dass, wenn die Erde £ (Taf.« I. Fig. 2.) in ihrer Bahn um die Sonne sich in der Richtung von £ nach A beivegt, MB Stern S dem Auge nicht in der Richtung EtS^ sondern in der Bichtong ES* erscheint. Dabei beträgt der Abweichiingswinkel SES', wenn derselbe seinen grossten Werth erreicht, nahezu ID Sekunden und diese Abweichung findet immer auf der Seite g^en lEA zu Statt.
Wollte man zur Erklärung dieser Erscheinung davon ausge- hcs, da«s das Licht bei seinem Eintritt in die Erdatmosphäre ■eben «einer eigenen Bewegung an der Bewegung der Erde xbeil admeo mfisse , so wfirde sich daraus zwar auch eine Abweichung fM d^r Ric^litang £5 ergeben , aber nach der entscegens^esetztert Ute. Tritt nämlich das Licht bei B (Taf. I. l^ig. 3.) in die Maftoioepbäre und stellt BD den Weg des Lichts in einer Se- bide« JBC (parallel mit£^) die Geschwindigkeit des Erdkörpers W, eo mflsste unter jener Voraussetzung das Licht seinen Weg ■ ier Diagonale il?F des Paralleloci^rannns fortsetzen und» wenn Ci das Auge des Beobachters in £' erreichte , der Stern in der Kchtnng 11' S" erscheinen. Fdr den Fall, den ich hier allein ktrachte, dass SE senkrecht auf EA steht, wäre dann
tt XVIII. . 3
*
34
cSBS" _ IJF _BC _ Gegchwindigkeit der Erde *^* ^ DBF~ 'BB^WD^ Geschwindigkeit des LicEts
beilfinfig = -j^gg =0,0001
lind somit der Abweichangswinkel SBSf, wie bei deF Abemtisi, nahezu =21 Sekunden.
Da die Beobachtung aber lehrt, dass die Abweichang beider Aberration der Fixsterne nach der entgegengesetzten Seite Stilt findet, so folgt daraus, dass die Voraussetzung , wonach das Licht beim Eintritt in die Atmosphäre an der Bewegung der EMe Theil nimmt, unrichtig ist. Man sieht sich somit, nie diess schon Fresnel bemerkt (vergl. Gehler's Wurterbuch, Aftikel UÄI^ S. 338.), zu der Annahme genöthiget, dass der den Weltraun' erRillende Aether, durch dessen Vibrationen die Lichtempin'dlm^ entsteht, im ruhenden Zustande verbleibt, während die Erde sich in ihm und durch ihn bewegt. Diese Annahme setzt freilicfa eine alle Vorstellung übersteigende Porosität des Erdkurpers nod eine ebenso alle Vorstellung libersteigende Feinheit des Aethers Toraus. Indessen erfordert, wie Arago bemerkt (vergl. . Gehler's W^Grterl). Art. Licht S. 339.), auch die Erklärung d^r astrpDomi- sehen Strahlenbrechung die gleiche Annahme, und es stimmt sei- ' ches zugleich mit der bekannten Thatsäche überein, wonach fast alle Bewegungen der Uinimelskürper genau so erfolgen » als eb sich dieselb'en im leeren Räume newegten» ein Widersland des Aethers also bei astronomischen Berechnungen in der Regel ab nicht vorhanden angenommen werden darf.
Etwa^ befriedigender fallt die Erklärung der Aberration aas, wenn man, den Aether als ruhend annehmend, nur die Bewegung des Auges dabei in Betracht zieht. Ist nämlich die Axe des Auges AB (Taf. I. Fig. 4.) in dem Moment gegen den Stern S gerichtet, in welchem der Lichtstrahl SA in das Auge tritt, so wird dieser seine geradlinige Bewegung im Auge fortsetzen, wäh- rend das Auge mit der Erde sich in der Richtung ^C/ertbewegt. Der Lichtstrahl triflft also die Netzhaut nicht in der Mitte n, sondern in dem Punkte B', wenn nämlich das Auge sich mit der Erde in derselben Zeit von A nach A' bewegt hat, in welcher das Licht von A nach B' gelangte. Das Auge erhält somit. dei Eindruck des Sternlichts in dem Punkte B und versetzt dani den Ort des Sterns in die Verlängerung der Linie BfA*. Der Winkel AB'A* oder SB* S' ist hiernach der Abweichungswinkei, und zwar findet hier die Abweichung übereinstimmend mit der Beobachtung nach der Seite hin Statt, nach welcher die Erde sich bewegt. Auch ist hier för den Fall, dass SAC ein Rechte Ist, wie früher,
^-m^^, ^^' Geschwindigkeit der Erde
®' "'AB* "" Geschwindigkeit des Lichte*
I Eine genauere Ciiter.siichung zei<;t irxlci^seii , ilass auch il'rese
§ Eiiliiruiig der Alierration mit den Thatsachen nicht ganz iibercin-
M «timnit, indem eicli eine grriseere Geschtvindiskeit des Lichtes
* im Auff« diiraus ergeben würde, als nach andern unzweiielhaf-
I len Erialiriingen angenommen werden darf. Aus den Verlinsle-
nitigen der Jujiiterstrahanten weiss man iiüinlieh, diisa das Licht
im luftleeren Raum sich mit einer, (ieschwindigkcit von
JJ560 Meilen per Sekunde hetregt"). Diese (leschnindigkeit ver-
iiiinderl sich alier, so wie das Lieht in ein dichteres Mittel tritt,
in demselhcD Verhiiltniss , wie die Sinus der ßrechiineswinkel
Ah.CO (Taf. \. Fifi-5.), da in dem gleichen VerhSltniss sich
rite Breite der Lichtwellen AB, BE vermindert. Da nun der
(ttcl-liun^sexponent heiiri Ucbergang des Lichts aus dem leeren
lljioine in die Feuchtigkeilen des Auges (nahezu wie heim Waa-
''er)^^ 4:3 angenommen wenlen darf {vergl. Gehler's Wörterbuch
IS^. Bd. \. S. S5-2.), so muss die Geschnindigkclt, mit der sich
&A» laicht im Auge hetvegt,
= f. 41560 = 31170 iVIeilen
gesetzt »Verden. Berechnet man dagegen diese (leschnindigkeit durch Division des We-s, Mielchen die Er>le auf ihrer »ah.i um die Sonne durchschnittlieh in der Sekunde zurücklegt, mit der Tangente des Aherrationswiiikels, »n erhiilt tuan nach Struve''*) eine Geschwindigkeit von 41510 Meilen per Sekunde. Diese Diffe- renz von 1034'J IVIeilen ist viel zu groKs, um sie aus Reobuch- inngsCehlern erklfiren zu können, man ninss vielmehr ohtge Er- M^rting der Aberration, wonach die daraus berechnete Licht- ,'.'sch»vindigkeit die Geschwindigkeit desselben im Auge wäre, U unrichtig verwerfen.
Das Fehlerhafte in dieser Erklärung lag offenhar darin, dassdie Alt Mild Weise, wie die (Jritsse des Aberrationswinkels von den As- tronomen gemessen wird, dabei nicht lien'icksicbtigt worden ist. iiwar !-■<(, »ie Uekanat, um die Grösse der Aberration zu bestimmen, «incfp'nsse Zahl der verschiedensten \VJn keim essungen erforderlich, Mts welchen erst durch »eitlnutige Rechnungen der Aberrations- ninkd abgeleitet nird, — indessen kann man doch fflrdengegcn- Mlrtigen Zweck die Saclie einfach so darstellen, dass man zum B4>huf tier Winkelmessung dem Teleskop diejenige Kichtune'gibt, in welcher das Bild des Sterns mit dem Durchschnitt des Faden- kreuxes in der lliihre zusanmienf^llt. Dadurch wird die Sache >fltn Auge selbst und von der Geschwindigkeit des Lichts im Ange unabhängig, und es tritt nun bei der Erklärung der Aberra- li«n das Fernrohr mit seiner Röhre an die Stelle des Auges.
. •) Kadi iIer»i;liol, Vpigl- Fi.ibrr'« >i,lurld.rc. 1840, Ilii iJ i. 19. ••) IJehlcr"« WÜrlerli. 1M5. Sathrcgist. r S. .l.'.:!.
.15
36
Es sei AH <Tar. 1. Fi^. 6.) die Möhre , F das Fadefikrem und ¥C die Richtung, in welcher »ich die UChre zugleich nit der Erde be^vegt. Wollte man nun die Axe des Rohrs in geia- der Linie nach dem Sterne <$ richten, so sieht man leicht, dass Icein Bild desselben im Fernrohr entstehen konnte« Der bei A in die Röhre eintretende Strahl SA bleibt nSnilich in der gela- den Linie SA^ während das Rohr sich gegen C hin ÜHrtbewect» so dass in dem Moment, wo der Strahl nach F gelangen H'Orae, das Fadenkreuz bereits in ¥* sich befindet. Man muss also dem Rohr eine solche Neigung gegen SA geben , dass sich FF si AV (Taf. 1. Fig. 7.) verhält, wie die i^esch windigkeit des Rohrs 2ur Geschwindigkeit des Lichts. Bei dieser Siellang der Röhre wird der Strahl SA^ während er seine geradlinige Bewe*
§ung fortsezt, immer in der Axe des Fernrohrs bleiben und m eu Durchschnitt des Fadenkreuzes in F* treffen. Der Abwei-^ chunsl^swinkel SFS* wird aber auf gleiche Weise, wie oben, von' dem Verhaltniss der Lichtgeschwindigkeit zur Erdgesshwindigkdt abhängig sein.
Nach dieser Erklärung ist die Geschtvindlgkcit des Liclits, wie sie sich aus der Aberration berechnen lässt, seine Geschwin-' digkeit in der Luft^ — während die aus den Verfinsterungen der Jnpiterstrabanten berechnete Lichtgeschwindigkeit die im lee- ren Räume ist. Die Resultate beider Berechnungen fitinraieii auch mit hinreichender Genauigkeit öberein, wenn man erwägb dass das Licht iii . der Luft sich in demselben Verhaltniss lasg- samer bewegt, in welchem der Sintis des Brechungswinkels lu der Luft kleiner ist, als der Sinus des Brechungswiqkels im leerea Räume. Da nämlich Struve die Geschwindigkeit aus der AJi- erration zu 41519 Meilen berechnet hat und der Brecbunesexpa- nent beim Uebergang des Lichts aus Lullt (von mittlerer Dichtig- keit) in den leeren Kaum =1,000294*) iüit, so ergibt sieh daraus die Lichtgeschwindigkeit im leeren Räume
:;= 1,000294. 4I?19=:41531 Meilen."
Dieses Resultat ist nun zwar, da Uerschel die Geschwindigkeit des Lichtes im leeren Raum aus den Verfinsterungen der Ju|)i- tersmonde zu 41560 Meilen berechnet hat, immer noch um !29 Mei- len zu klein. Aber diese Differenz liegt noch ganz innerhalb der, .beiderseitigen Fchlergranzen, welche Struve bei seiner Berech« nung zu 2^ Meilen angibt, und es dd'rfte also in dieser Differeiis kein Grund liegen, die Richtigkeit obiger Erklärung in Z^reifel m- ziehen.**)
*) Poiiillet-MnUers Lehrbuch der Physik, 1845. Kd. 3. S. 890.
*»') , Narh neueren Untersuchungen (vergl. Fischer's Natnriehre Rd. 2. S. S31.) wäre freilich die Difi^ercnz der beiden Kesultate äb^ die Lichtgeschwindigkeit, wie sie sich aus den ßeohachtungen der Jupiters- monde und der Aberration der Fixsterne ergibt, viel bedeutender, näin-
lieh um — - kleiner, d. h. die Geschwindigkeit fände sich
WP^
Hieraus ergibt tiich ima ein direkter Uetveis lur <li« Uiidulu- lions(liP(irie iles Liuhts, u;e^cnQI)cr dtr Neiit«ii'si.'lien Eoiaiittti'ins- thcnrie. Letalere iniiss uümlicb, trio bekutint rar ErklSrnng der nptisdien Er$olieinutiii;et> eine vermehrte Gpsuhwititligljeit des ■ nichts im dichttsrcn Mittel niin«hineii, u-hbreiiil ilie UuilniationK- ilieorie gerade umgekehrt eine Vermiiideruiig der tiesL-hivitidigkeit dabei oraus setzt, indem naeh dieser Theorie hei gleicher Zeit- tlauer die Breite der Lic-hliv^len in gleichem Verhiiltniss, »ia der Sinus des Cewcgungauitikels, nbiritnnit. Diess veranLisslc «choii Arago ku dem Wunsche, mit' Shnliehe Art, nie Whoat- s lo II e die Gesehwiiidigkcit der Elektricitätsben'egnng iii den festen IkSrperii p;eme8sen hat, auch die Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Mitteln messen zu hürinen, um so auC dem Wege iler Erl'ahrun^ einen direkten Beweis Rir die Hiehti.i;keit iler Uiidulatioiistheone zu erhallten. Der von ihm vnrgeschiHgene WrsiK-h*) Ut aber, so viel liekannt ivnrde. bis jetzt iiicht unse- slelll norden. Dagegen bietet nun eine Ver^leichung der Ge- ruch» indigkeit, nie sie sich aus der Aberratio» der Fixsterne er- igibl. mit der Geschwindigkeit, wie sie sich aus den Verfitisterun- ßeii der Ju[^terBlr3l>anlen berechnet, ein solches Mittel aur l'rHfung der tliidubtionslheoria dar. JNach obiger Erklärung der Aherratiou erfajitt mau nünilich auf dem ersten Wege die LtchteeechHindigkeit In der atmosphärischen Ltilt, anl dem anderen Wege dagegen die Lichtgeschwindigkeit im lurtleeren Kannte und es ist, wie es die ündumtionstbeone voraussetzt, wirklich die erster« Geschwin- digkeit geringer als die letztere- Auch ist das Verbällniss beider i-ejschwindigkeilen, wie oben gezeiiit wurde, mit dem Brechungs- - ■.)>onenlen beim Uebergangc des iLichts aus dem leeren Uaume Fl Loft »enigslens nicht iiu Widersjirucb.
In den LelirbOchcrn der Physik wird taat durchaus auf die IHflTerenz in der Lichtgeschwindigkeit, wie sich dieselbe auf den angegebenen 7wei Wegen berechnet, kein Werlh gelegt; beide
niiB der Abcrralinn = 4I.M0 Meilen, ans den JuiiilcriinnndED = 4[T2T iMeileii. Oit>se grosse OilTBrpiii dürfte daEu fiibren, bei der Erblnritng dur Ali- irmliiin nebrn der Hühre aaeb da« Ubjcctiv^laa des Teliilnps, iiiit- Itlnl driivn die Winkt^lmoisUHg gtaiilinli , io Helrnrhl xn xicbcn. UE^ -rn«ae Ilefrnltnr in Unrpnt liiit eine llrennweite Tcin 13,5 Fdm = 163 Znll • Übjorlifs — I.3T Z'ill, »u dur«hläul'[ da«
■ an 162 Zoll mit ciiicj Gnsrlininiligkcit von -— 4I1U Mtileii.
Die« !:ilil für die ganse Slreebc van 163,37 Znll ein« niiltlorf Ge.~ •durindigkcit vnn 4U>1R^ Meilen. iilieruin«liinmend mit nbifimon Slrm u I« thirfiat all« der AlterrutiDn gefundenen I.ichlgeirhniadlglieU.
38
R&sultate werden vielmehr als übereinstimmend*) bezeichnet und der seringe Unterschied den nothyrendigen Unvollkommenheiten der Beobachtunffen und Messungen zur Last gelegt* Indessen ist es schon zum Voraus auffaltend, dass von den verschiedensten Berechnern die aus der Aberration abgeleitete Geschwindigkeit immer kleiner, nie grosser gefunden worden ist, und aus den neuesten sorgfältigsten Berechnungen, bei welcheu zugleich die Fehlergrärize angegeben ist, zeigt sich, dass die Differenz jedeB- falls bedeutender ist, um aus einer Ungenauigkeit der Recnnung sich erklären zu lassen. Dieser Unterschied ist also nicht zuM- lig, er ist vielmehr in dem Umstand wohl begründet, dass die tieschM indigkeit selbst in beiden FäJlen eine andere ist.
Eine vollkommene Uebereinstimmnng 6er Beobachtdng mit den Voraussetzungen der Undulationstheorle hier aacbzuweisen» ist allerdin'gs schwierig, — denn setzt man die Geschwindigkeit des Lichts im Vakuum zu 41560 Meilen und den Brechungsexpo- nenten för Jjuft selbst zu 1,0003 > wonach die Geschwindigkeit de» Lichts in 4^r Luft = 41547 Meilen sein müsste, so beträgt der ganze Unterschied doch nur 13 Meilen,. — also viel weniger aU die Fehlergränzen bei der Rechnung. Zieht pian aber andererseits in Erwägung, dass die Eraissionitheorie eine um so viel grös- sere Geschwindigkeit in der atmosphärischen Luft voraussetzt, so muss mau doch in dem Umstand, dass aus der Aberration jederzeit eine kleinere Geschwindigkeit des Lichts • heret-bnet wird, einen vollen direkten Beweis ffir die Richtigkeit der Undu- lationstheorie anerkennen.
Endlich sei noch bemerkt,, dass nach dieser Darstellung der Aberrationserscheinungen zwar aus der Gleichheit des Aberrations- winkels fdr alle Fixsterne gefolgert werden darf, dass das Lieht aller Sterne in der atmosphärischen Luft gleiche Geschwin- digkeit besitzt, — nicht aber, wie man schon folgern wollte, dass das Licht fiberaJl im Weltall, von welchem nahen oder fer- nen Sterne es auch komme, sich mit derselben Geschwindigkeit bewege. Letzteres darf zwar, unter der Voraussetzung luftleerer Räume, aus der thatsäeblichen Gleichheit seiner Geschwindigkeit in der Luft mit Wahrscheinlichkeit an£;enommen werden, aber ein direkter Erfahrungsbeweis fiir diese Behauptung liegt in der Ab- erration der Fixsterne nicht.
0 Vergl. Rvaüchlc, Kosmos. Bd. l. S. 92.
air
IMe INIfereiitlatlon unter dem Inte-
gvalzelclieii.
Von
Herrn Oskar Werner^
Lehrer der Mathematik zu Dresden»
IVeBD das Integral
f(x, y) dxy
y
dosaen Greazen von y abhängig sind, biit der Forderung gegeben ist, ^•'iiach y einmal zu differentiiren, so hat man dazu bereit» die Formel
gefoDden. Der Umstand nun, dass man diese Differentiation nicht weiter setrieben hat und dass das Gesetz, unter welchem die höheren Differentialquotienten äts obigen Integrales stehen, dnrch geringe Kunstgriffe auf einen einfachen independenten Aus- dmck gebracht werden kann , hat mich zur Redaction der 4'olgeii*
genden kleinen Untersuchung Uestiramt. VennitteM des Satzes
du il(uv) dv
oo? da; dx
crireitem wir zunächst die obige Formel zu folgender:
, I
40'
„ 4/7^, „ ^=/-^>.,
Y Y
dir^ny^y)] d[rfiY,y)] yjdtjYKff) ^ df(r,y)
"^ dy ^y dy ^ ' dy
Um den zweiten Diffeientialquotienten unseres Integrales zu erhalten, diflferentiiren i^ir die Gleichung l) «ach y^ iTodorch wir erhalten!
4.tP[fV(rSy)l rf«[K/(F,y)] '^L'^ '^^ J Addiren wir hierzu die Gleichung
dy dy dy*
, ^d^f{Y,y)
df(x «) welche aus 1) hervorgeht, \venn wir j anstatt f (x , y)
setzen, so erhalten wir
«i»[Fy(Fi,y)] d^r/jY, 9)] «P(F', y) <PA>^ y) ■*" " %» rfy« '^ • rfy* ^'' dy* '
Eine weitere Differentiirung dieser Gleichung gieht uns:
41
M* . M —
welche mit, der aus I7 für — ^i" anstatt /*(ar,y)3sich ergeben- den Gleichung ^ *
durch AdditioD verbunden sogleich zu der Formel
.pC?vi.F,y) fährt.
I
Wie' wir diesen einfachen Calcul weiter fortföhren ' können, ist klar. Betrachten wir aber die Resultate unter 1), 2) und 3) einigermassen mit Aufmerksamkeit, so werden wir zur Vermuthung hingeieitet, dass der nte Differentiaiquotient des Integrales
tlai
Y
von folgender form sein werde :
42*. .
Um die volle Gewissheit dieses vor der Hand noch hypotheti- schen Resultates zu haben, differentüren wir dasselbe nach y» wodurch wir erhalten
+ ^ — -:
Aus 1) leiten wir aber, wenn wir f(a;, y) durch ■ \ j^ ^ er- setzen, leicht die Cileichung ^
d}fj^s dt," "^ J^ ^y»+» «*
ab, welche zn ihrer VorgSngerin addirt, auf die Formel
fuhrt. Oasselbe Resultat gewinnen wir auch, wenn wir in 4) n-|-l für n se^tzen, wodurch das in 4) ausgesprochene Gesetz von je* dem Zweifel frei ist.
In dem Falle Y^=^a, wo a eine Constante bezeichnet, folgt aus Gleichung 4) :
t
43
5) äp^J f(^.y)dx
_ fd-nx.y)^^' d?>{Yf{Y,y)\ d-n y, y)
und, wenn Fsö, aus derselben Gleichung:
r^'^x^l, iH YY( YK },)}_ d'f{ n y)
Wenn endlich gleichzeitig Y^ = a und F=6 gesetzt wird^ so erhalten wir aus 4) die bereits bekannte Formel :
7.
$/V(-,)^=/'-^^-^^-
44
I I
Die llmforniuiigr c|er irratiotaalen ger'^ brochenen Vnnctioneii In andere« i welclie einen rationalen IVenner , ,
hal»en.
Von ' ^
Herrn B. Sommer ,
Sil Coblenz.
*t
L Hat man die gebrochene Function j^» wo der ZShlef ||^
ein ganz beliebiger irrationaler Ausdruck sein mag, deissen em»^2i
zelne Glieder aber keine Separatnenner 'haben spllen, in weichet,
Wurzelwerthe vorkommen, so findet sich in jedem Lehrbuche dcf^'"
Arithmetik dargethan> wie man, sobald iV^ die Form r-f^V« odfl^
^ ' Z . '^fe.
aVa-|-^V/|3 hat, eine Umformung von ^ bewerkstelligt ^ in' ircliiii,
eher ein rationaler Nenner vorhanden ist. ,Man ronitiplicirt nSia- lieh Zähler und Nenner der gegebenen Function resp. mit r — a%^t oder fli/ö~ÄV/3. •
2. Ist Z derselben Bedingung unterworfen, d. h. ist Z eil irrationaler ganzer Ausdruck, so liisst sich auch (ur die ausgc dehnteren Formen von iV, nämlich für r + aVa + ^V/5 und selbi '- r+aVa + 6V/3 + f;Vy woch die verlangte Umformung ausfuhrai^ man geht dann nur successive zu Werke und schafft eine VS^urif'^.^~<i nach der andern fort, indem man sich den gegel>enen Nennerjr'!<- zwei gleich- oder doch möglichst gleichgliedrige Ausdrücke zerlij^ynr denkt, die man dann statt wie im Nenner iV durch Hh 2u verUjW den, substractiv nimmt. -.(^trv
So gibt die Multiplication von "xi
r'jlif .
45
nit dem Factor.
F=(r+|iiv'«)— 6V/3 einen Werth, der nur noch eine Wurzel enthält, so wie fär
mit
als Resultat einen Ausdruck liefert, der nur noch zwei Wurzeln hat.
» ■ _
In diesen Fällen kann man mithin durch fortgesetzte Multiplication zuletzt zu einer Umformung kommen ^ die gar keine Wurzel ent- hält
Den Factor F als Differenz zweier möglichst gleichgliedrigen darzustellen, ist unerlässlich ; hätten wir z. ß. lür
ihn nicht gleichgliedrig gemacht, sondern etwa
F=(r +*aV« + 6 V/3)— rv/y
genommen, dann wurde das Product F, N auch wieder drei Wur- feein enthalten, die ganze Multiplication hätte dann mithin nicht das Geringste gienutzt.
3. Enthält nun aher N als Glieder vier Quadratwurzeln aus- . iV dem rationalen Gliede r oder gar noch mehr als vier Quadrat- [. virzeln, dann iässt sich das Verlahreo , nach welchem man stets
iise Wurzel weniger erhält, nicht mehr anwenden; denn man
hat mr
also
N=:r+aVa + bVß + cv^y + dVS,
F=(r+a1/a+6Vi?)-<cV'y+rfV*) ,
_ « »
Producte F.JN auch wieder vier Quadratwurzeln, indem deren in {r + aVa+bX/ß)'^ und noch eine in (cVy + dVS)^ enthal- sind.' (Wir nehmen nämlich r als von Null verschieden an, wir den allgemeinen Fall betrachten wollen). — Ebenso lässt [■Äh leicht zeigen, dass bei einem 2i}gliedrigen Ausdrucke die Htiplication mit der Differenz der beiden ngüedrigen Werthe "^(inlicirt (und dies ist noch der günstigste Fall) nur fiir 2n = 2 id zi»=4 einen Werth gibt, der weniger als 2« — l Wurz^eln ent- Üt, d.i. weniger Wurzeln als der gegebene 2ngliedrige Ausdruck; —
46
ebenso das« bei einem 2n+l gliedrigen Ausdrucke die Multi|»iicatioa milder Differenz aus einem n- und einem {n + 1) aViedngen nur ftlr 2ii +l==:l, oder 3 dies nocb gibt. — Wir unterlasseo es dct Beweis hier weiter auszuführen, da derselbe sehr leicht ist, so- bald man nur die Anzahl der Combinationen zur zweiten Klasse einföhrt. *
4. Um nun einen Ausdruck ron der Form:
der n Quadratwurzeln enthalten mag, durch Multiplicatioti mit einem noch unbekannten Factor F rational zu machen, wSklei wir F von der Form:'
+ (r,\^y + ZaV"^+....) ^
+ •• •■•
+ ir \cißy...,k*
wo mithin die erste Heihe alle Combinationen der Wurzeln^ ent- hält, die in JY vorkommen, zur ersten Klasüie, jede mit eiDeii noch unbestimmten CoefKicienten multiplicirt, die zweite Reihe die Combinationen zur zweiten Klasse u.s. w. bis zur nteir Klasse. -^ Im Ganzen enthält daher der Factor F
1 I « I ^(^^— ^) I 11
d. i. 2" Glieder.
Bildet man nun das Product F.iV, so werden hierin, wie ntai leicht erkennen wird, nur Wurzeln vorkommen können, die aoch in F vorkommen. Macht man nun die Bedingung, dass alle Coef* licienten dieser sämmtüchen Wurzeln verschwinden sollen, so er- balten wir hierdurch '2" — 1 Gleichungen, die, weil 2" unbekannte Coefßcienten vorhanden sind , noch einen dejselben willkuhrticb anzunehmen gestatten; dies letztere werden wir wohl am geeig- netsten dadurch benutzen, dass wir ()=l annehmen. Der nene rationale Nenner wird nun fiir ^ = 1:
r-\-aaxi + bßx^'i- cya:^ + ',JLvn,
I
wo för die x ihre Werthe aus den 2" — 1 Gleichungen einzusetzen sind. ^
Die o: Werthe sowohl wie diejenigen aller anderen unbekannt angenommenen Coefficienten kunnen aber nicht WurzelausdrOck? enthalten^ da sie sich ja sämmtlich aus Gleichungen vom ersten Grade herleiten, die Constanten aber^ welche ih diesen Gleichungen vorkommen, seihst keine anderen als rationale Grössen ^Ind.
,47 ■ ;
Bei8|piel. Für
ist
F= 1 + oTi V2 + .t^ V3+y V2.a*
also
F.iV;=(3+2a:i +6a-») + (3ari + 1 +6y)V2+(3a:a+2 +2y)v'3
+ (%+^a+2ar,)V6.
Die Coefficieiiteir x^, x^ y ergeben sich daher aas den drei Glei- changen : '
3ar,+l+6y=0 3xa+2+2y=0 3;y +Xa-J- 2x1 == 0.
Die erste dieser Gleichungen, mit 2 multiplicirt, hierzu die 2te addirt und Ton dieser Summe die mit 3 mliltiplicirte dritte subtra* hirt, gibt
4 ond daher aus der ersten und zuheften nun
_n 2
^1— 15 * ^3 — -"15' m dfliss
QQ \q 71
F.iV=3+2a;,+&f.= 3-tg- j^ = j|
•
6. Sind unter den Quadratwurzeln , die in N enthalten sind, •Hdi solche, welche Combinationsfo^men von andern gleichfalls- Torkommenden sind, so kann man diese bei der Aufstellung der Form voo F als gar nicht vorhandeu ansehen; so z. B. hat f6(
ier Factor die gan:| ähnliche Form
fie er auch haben wurde, wenn das Glied cVo^ gar nicht in N Ttrkinie, oder wenn c=Ovd. h. ,wenn
H'llre.
0. Enthftit N nun aber nicht nur Quadratvnirzeln » sondeii auch höhere Wurzeln, so bleibt das Verfahren docb eanz dasselbe, nur wird die Form von F etwas ausgedehnter werden. Sei z.B.
m n p
Dann mflssen wir in der Form von F bei der (3onibioation der
m n
Wurzelwerthe Vf)c, V"/?,... auch stets diejenigen Ausdriicke be- rüclcslchtifi^en, die man ans jeder einzelnen ConüiinatioQsfprm er- halt, wenn man an die Stelle von
m
Va setzt y«*, Va',.... v^«"»-M ebenso tttatt
V^/3 setzt Vß^, VP, V/J«-';
statt
Vy setzt Vy*, Vy', .... V^^ ;
und zwar, wie sich von selbst versteht, ist jeder dieser Ausdriicke mit einem eigenen unbekannten Coeflicienten zu mnitiplictren.
m n '
So sind mithin z. B. in der einen Form V^i.Vß die ForroeD enthalten :
Es wird hiemach der Factor F die Form erhalten:
I
+
49
^ WiV«-vß+y'2Vtt^vß+
• « * •
I \
m n tn n
+ •....
Die Anzahl der verscEiedenen Wurzelwerthe in F phi& dem einen rationalen Gliede, das wir ;Bchou der Einheit gleich gemacht ha- ben, wird daher
1 +[(m-i)+ («-!) + (p-1) + ]
+ [(m-l)(«— 1)-K«^-1)(?,-1)+ ....] +
+X(»t-i)(«-i)(p-i) ] .
Es ist aber dieser Weftb nach der Algebra nichts anderes als:
[1 + («•-!)] [1 + (n-l)] [l + (p-in , ,
d. i.
m « 9t • p
• • •
Der Factor F enthält mithin m.n.p,..^ minus 1 unbekannte Coeffieienten, die >vir ^anf dieselbe Art^ wie in Nr. 4.» durch ebenso Tieie Gleichungen ermitteln.
Das Verfahren in Nr. 4. selbst ist nur ein besonderer Fall ▼OB dem^hen behandelten für m=:7i=/9=...
Die Bemerkung in Nr. 5. lässt sich auch hier leicht" über-
m m
tiagen; kommen hier z. B. Glieder vor wie ya, V<^^9**** uiid.
m n
Combinationen mehrerer Elemente wie V«. Vß^ etc., so be-
achten wir auch nur die Werthe Vci, Vß als Elemente ^ berück- nchtigen aber wohl^ dass fär jedes Element auch seine stellvertre- tenden zu setzen sind.
Beispiel. Für
iV=3— 2V5 wird
und ]yF= (3-2.5Ä'a) + (3ari— 2) V5 + (Ora— 2^i )W>
iaher für
Tbcil XVIII. 4
50
3xi-i=0,Sx2— '2X1=0,
\
/
oder ,
_2 4.
^ o 10.4 13
wird der neue Nenner werden: J — -g-:= "* 9 *
7. Sind nun im Nenner auch Glieder, von der Form
m • ^ .
\f ^
V a-\-yß vorhanden, was wir bis Jetzt als nicht stattfindend angenoihnien , so lassen sich- indessen auch diese wegechaffeD, sobald wir nur dem F eine solche Form geben , das« wir unter
seinen Elementen ausser V ^-{-Vß und dessen stellvertretenden
m m
PotenzenV (a+Vft*» — V («+V/3)*~* auch noch Vß mit seinen
n n
Stellvertretern v/5*j-.Vi3"~* aufnehmen. Man sieht daher hieraus, dass z. B.
m.
N^^r+ay a+Vß + bVß+ci^Y+dVß^ ganz dieselbe Factorfonn bat wie der Nenner
r+
fW
Man behandelt also hier V «-f Vi^ ^ie die Wurzel aus einem rationalen Werthe, nur dass man noch seine innerhalb stehende Wurzel berücksichtigt.
Analog zählt der Ausdruck
m ^
für die drei Elemente:
4 /" ' " PA /" P V
jedes mit seinen Stellvertretern.
51
8. KommiBn Wonieln vor, io denen 6lch die innerhalb stehenden Wurzeln nicht stets bis zu Ende erstrecken, wie z. B. bek
m
V — = — ^
80 gilt 'dieser fflr die dr^i Elemente
-m
l/^~ _ ^ ^ ^
jedes mit den' stellvertretenden Potenzen.
Man sieht hierans und aus der vorigen Nummer, dass während
n
«+6Y ß+cV(Y+d\/ö)
die Elemente vertritt:
V ß+cVY+d\/d\ / ß^cV Y+dWV y\^dvS,V^^
dagegen' der Ausdruck :
a+bV ß+cVy+dVd
die Elemente bedingt:
n
^f ß+cvv-^dv'ö, V
w+ftV ß+cvy+d\/ö, V ß+cVy, Vy, v^-
Hiermit sind alle Fälle vorgesehen, die in irrationalen- Aus- drucken vorkommen können. *— Wenn nun auch die Ausfuhrung in den meisten Fällen eine sehr complicirte ist, da man so viele, freilich nur lineare Gleichungen zu losen hat, so ist es doch nicht ohne Interesse die Möglichkeit anheim gestellt zu haben, die Irra- tionalität gebrochener Functionen ganz allein auf den Zähler zu
4-»
.1
52
werfen, da ja^ bekanntlich bei Brficben der Zflhler viel biegsamer ist als der Nenner.
9. Das Verfahren, weiches wir gezdgt hohen, ist oatürlich auch gültig, wenn man statt der Constanten r, a, 6, . . . er, ß, y Functionen irgend welcher Variablen hat. Um beouem zu rechnen, u*ird man sogar sich diese Functionen durch, solche Buchstaben ersetzen, dann die unbekannten Coeflicrenten ganz auf die gezeigte Art bestimmen und erst dann wieder die gegebenen Functionen einführen. Will man auch hier wieder ^ = 1 annehmen oder will man es gleich dem kleinsten Vielfachen aller Nenner der ermittel- ten Coetucieoten annehmen, um /lämlich diese Coefficienten selbst als ganze und nicht als gebrochene rationale Functionen zu erhalt ten, das bleibt natürlich gleichgültic:; am vortheilhaftesten dürfte es indessen auch hier sein den ^-Werth gleich 1 su wählen.
Es folgt hieraus z. B. för
und f und f* als rationale Function von ar, sobald der Zähler aach nur solche Wurzeln oder deren Combi nationen enthält, dass die comnlicirteste Wurzel im umgeformten Ausdrucke mit ihrem Coefficienten :
^V(a:-a')(a?-VO
sein wird, wo g) und FN rationale Functionen sind Vermittelst der Zerlegung in Pattialbrüche, die wir auf den Coefficienten noch anwenden. künnen, würden wir noch weitere Vereinfachungen vor- nehmen können; es hätte dies Bedeutung für die Integration ge- brochener irrationaler Functionen, wenn es nur erst gelungen wäre, das Integral von
\f(x — «) (x — cc') ....
in endlicher Form zu ermitteln, wenn man mehrals zwei Factoren unter dem Wurzelzeichen hat.
10. Es kann zuweilen geschehen, dass, wenn man die zweite Factorform von Nr. 4. oder diejenii^e von Nr. 6., bei welcher ^=1 ist, benutzt, man för die unbekannten Coefficienten Ausdrücke
von der Form g oder ^ erhalt. Geschieht dies nun auch, so deu- tet dies doch keineswegs dahin, dass ein Factor nicht existirt, sondern nur darauf, dass die angewandte schon reducirte Factor- form (lür Q^l) unter dieser rediicirten Form nicht aufgestellt werden kann. Es ist nämlich die zweite Form von F in Nr. 4.
53
aus der ersten hervorgegangen, indem man q herausnahm jind
schrieb
(>[i + ^v«+^vH J
ond hier nun den (^Werth, als ganz rationalen, nicht mehr berück- sicht^et — Ein solches Herausnehmen von q ist aber nicht zu- lissiff» wenn q selbst verschwindet, wenn also mit anderen Wor- ten &8 ganz rationale Glied des Factors /^gleich Null ist; dann mfissen, wie man dies auch aus dem Ausdrucke
l+?-V« + ^ VIS +.....
schone ersieht, wenn man trotzdem die reducirtt^ Form von F an- gewandt hat, sich die Coefficienten unter Formen wie g oder g er-
1 '
geben, uhd zwar unter tv, wenn sie nicht in Wirklichkeit in ihren
correspondirenden Werthen in der ersten Form von F verschwin- den, dagegen unter a» wenn ilire correspondirenden Werthe ver- schwinden.
Es gibt dies ans daher die Regei:
Nimmt bei^ der /ruber angegebenen Re^el bei der Bestimmung des Factors einer also alle Coefficienten Bruch formen mit dem l^enner Null an, so hat man nur die Factorenform in der Art so modificiren, dass man alle Coefficienten, die unter der Form
Q erscheinen, so wie auch das constante rationale^Glied 1 , vyeg-
lisst, und nun die Rechnung mit einer kleineren Anzahl .von un- bekannten CoefBcienten vorzunehmen. (Einen dieser Coefficienten kann man nun wieder der Einheit gleich annehmen).
. Beispiel. Für
; iV=3— V2-fV7
wurde för
F=l -f a?i V2 -f ar2V7+y Vl4
fiir Xiy x^ und y di6 Form g resultiren ; wir wählen daher
Zur Bestimmung von- x und ^ resultiren die drei Gleichungen :
'I
54
3+7y=:0,
l+3y— a? = 0.
Die zweite von der ersten subtrahirt zeigt schon, weil~sie die mit 3 multiplicirte dritte is^ dass diese drei Gleicbnngeo in Wirk- lichkeit nur zwei unabhängige Gleichungen sind.
A
Wir finden
3 2
3^ = ^— Ä und oc. — m
so dass also
jf'rrV/'i-lw-lvU
wird und
iVF=~2-;;^.7=~4
ist.
Dies Verfahren findet auch seine Anwendung^ wenn statt constanter Coefficienten Functionen verbanden sind, wie dies in der vorigen Nummer berührt wurde.
55
VI.
Veber den UTinkelspieseL
Von
Herrn Doctor Julius Hartmanjn,
Gymnasiallehrer zn Rinteln.
Der Winkelspiegel wird von den' Physikern als ein unwichti- geres Instrument gewöhnlich nicht sonderlich beachtet; daher sich in den meisten Compendien über demselben entweder nur korze specielle Fälle berfinrende, oder gar unrichtige» — well zu allgemein ausgedehnte, — Angaben finden/) Deshalb erlaube
«) Z. B. Müller (Pouillet) 2te Auflage 1844. pag. 356.: »»Betrüge J_ 111
4er Winkel r>ä>-7A ^^^ ganzen Umfange«, so hätte man 6, 8, 10 Bilder
gegeben.''
Gelil^r. WörterBoch. Art. Kaieid o skop , Ten Brandes, 5. Band p. 815» enthält nur den Fall, wo 9 in 360<^ aufgeht. Im Art Spiegel T. Maneke, 8.. Band. pag. 932, ist nur Ton parallelen Spiegeln die
Rede.
Clemens. KSni^sberg 1839: »,l8t der Neigungswinkel n^^ so ist die
. - ^ n-ij 360 , 360 ^ . , , ,360 .
Aasahl der Bilder — — 1, wenn gerade ist. Ist ungerade, 90
#• zip ##
«■tstelsen 1 oder Bilder, jennchdem der Gegenstand gleich
ongleich weit Ton dem Spiegel steht'S Aber wieviel sieht raant Koppe« Essen 1847: pag. 355. „Wenn 9 in 360*^ nicht aufgeht^ •ondern zwischen H und ll-f-l mal darin enthalten ist, können n und n'{-\ Bilder erscheinen, was vom Ort des Gegenstandes abhängt. Wenn • in 360 ^mal aufgeht, so siebtem an den Gegenstand n mal*'*
Mnncke. 1830. p. 558.: „Zwischen einer Neigung von 180^ bis 0» p] liegt also einr der Grosse des Neigungswinkels umgekehrt propor- tionale Menge tob Bildern.'' [??]
56
Ich mir ii» Folgenden einige Bemerkungen darüber, namenUich an zu zeigen, dass in den meisten Fllllen ffir einen be stimmte D' Neigungswinkel der Spiegel, je usich d^m^ Standpunkte des Au- ges, drei verschiedene Anzahlen von Bddern gesehen werden.
Um die Erscheinungen zu sehen, kann man sich sehr leicht einen Winkelspiegel anlertigen. Man befestige die Spiegel*) — etwa- in Form von Rechtecken von 2 und 4 bjs 5 Zoll Seite ge- schnitten — auf Rechtecken von Pappe, die am obem ond vordem Rande**) rahmenartig überstehen können, durch aufgeleimte Pa- pierstreifen; und klebe, die Spiegel mit der spiegelnden Seite aufeinander gelegt, über die Schnittlinie ein Stfick Leinwand, das das Charnier bildet. Den einen Spiegel befestigt*'^*) man nachher auf der Linie MO^ eines eingetheilten Halbkreises, wShrend der andere auf der Einiheilung herhewegt werden kann. Ein Papp* streifchen, rechtwinklig umgebogen, mit einem Schenkel an die Eintheilung sich anschliessend," und mit einem Index versehen, auf dem andern, aufrechtstehenden, eine Oeffhung senkrecht über dem Index tragend, dient, den Ort des Auges zu fixiren.
t
Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass die Spiegel von der Schei- tellinie aus nach drei Seiten unbegrenzt seien. Die in prall no* t'hige Beschränkung, kann, ohne der Allgemeinheit Eintrag zo thun, dadurch unschädlich gemacht werden, dass man nur das Auge nahe genug an die Scheiteliinie und dem eingetheilten Kreise bringt
§ 1.
Aus dem^Reflexionsgesetz: „Der Ausfallswinkel ist dem Ein- fallwinkel gleich u. s. w/^ ergiebt sich bekanntlich:
(1) Dass das Bild At^ifer einem eben en Spiegel so VT ei t. liegt, als der Punkt vor ihm. — Der Ort des Bildes zeigt sich als-'Spitze eines Kegels, dessen Basis die Pupille ist. — Hier soll der Einfachheit wegen bloss die Axe dieses Kegels, mit
Bauiiigartner. 8te Aufl. 1815. p. 550: „D<»8halb geben solche Win1<els|)iegel auch nur «— l Bilder". [V?].
fiiseni ohr. 4tc Aufl. 44. p. 249: „Ut mon der nie Thcil von 360<>, 80 entstehen n—l Bilder' [??].
Lau Ue Schläger. Figurentafcin 1841. V. Fig. 8: „Es erscheinen die Bilder s» oft (weniger ein) niiil vervielfacht, als der Kcignngswin^ ke! in 3600 enthalten ist**- [??J u. s. w.
*) Am hesten mctallne. Gewöhnliche gehen Iceine scharfe Scheitel' linie auch doppelte Bilder; geschwärzte Glasspiegel zu wenig Licht.
**) Der hintere die Scheiteliinie hildcndo und der untere Rand tnas- scn ohne Rahmen sein.
***) Geschieht dies hloss etwa durch 2 ans der Linie MO henrorra- gende Stecltnadelspitzen, welche in die Fapprahmen eindringen , so lässt sich der Spiegel abnehmen, aufklappen lind bequem nnfbcwahrco.
57
vielcher der sehr schlanke Kegel ohne dies fast ganz zasammen- nyit,- in Betracht^gezogen, d. h. das Auge als Punkt betrachtet irerden.
i2) Aoge ii|nd Gegenstand liegen imraer vor, das Aintcr der Spiegelebeue.
§.2.
Bilden zwei Spiegel RM und A31 (Taf. II. Fig 1.) einen Win^ kel (=9?) mit. einander, so sind die vier VVinkelräume zwischen ihnen und ihren Ervveijterungen so unterschieden, dass
I. (ßilf^ vor ßjf und vor A3i II. {AMR") vor - . hinter -
III. (RMA') hinter - - ' vor, -
IV. (R'MA')hinteT - - hinter - liegt.
(37 Auge und Gegenstand müssen daher immer im Raum I. (RMA) zvt'ischen den Spiegeln selbst, die' Bil- der aber inll. III. und IV. liegen.
§. 3. .
Ein Gegenstand. rPunkt) ß (Taf. II. Fig. I. und 2.) zwischen RM und aS^ gibt, im Spiegel RM sich spicc^Ind ., hinter diesem ein ßild 6|. Dies vertritt gleichsam die Stelle eines neuen Ge- genstandes und gibt, in J^yS^ sich spiegelnd, das Bild ß^*) wobei
Bbi senkrecht zu RM steBt und von RM haibirt wird jSaöj - • - AM ' - • AM
§.4.
' * Um den wirklichen Gang der Lichtstralen zu übersehen, ziehe man (Taf. U. Fig. 2.) vom Ange O nach dem letzten Bilde ß,2 die Gerade Oß^, welche AM in "2^ trifft. Von diesem Punk^t muss der letzte Stral ins Auge gelangen. Ferner ziehe man von 2^ nach dem vor)ier<^ehenden Bilde b, die 22^/1, welche RM in 2| trifft, und endlich 2iB, 'so ist B^i^^O der Gang des zweimal reÜectirten Strales. — Es ist leicht zu zeigen, dass dadurch Winkel 2i2a^= 022^4 and 2a2iil/=Ä2i/^ wird.
*y Die Bilder, die sich hinter Ji3f -gebildet hf^ben, sind mit ö (latei- lisch), die durch Spiegelung in A:U entstandenen aber mit ß (griechisch) »ezeichnet. Die angehängten Zahlen gt^beh die Zahl der Ueflexionen an.
58
\ \
§.5.
Das Bild §2 (Taf. II. Fig. 1. und 2.) kann nnn wieder die Stelle ein« Gegenstandes för RM vertreten und hinter diesem ein Fild ^ geben, wenn wieder
ß^b^ senkrecht zu RM steht und von RM halbirt wird.
Der wahre Gang des (dreimal reflectirten Strales ergibt sieb wiede wenn man (Tat*. II. Fig. 2.)
O63 zieht» welche RM in 3^* trifft
Sal^s • •% • 9 • • • • -^^ in 3^ -
3a6i ........ RM in* 3i - und
a^fi zieht.
Er ist ÄSiOaSsO.
Ebenso kann 63 wieder als Gegenstand fSr den Spiegel Ai gelten und hinter diesem ein Bild ß^ geben u. s. w. Der wahr Weg der Lichtstrahlen wäre Biii^^^^^O. u, s. w.
$. 6.
Wie wir hier eine erste Folge von Bildern
bi ßi 63 ß^ ftft.-.. betrachteten» die dadurch entstand» dass wir abwechselnd zuerst blos RM als vorhanden dachten, worin 61
,dann blos AM - - - ' ß^
dann blos RM - - - - 65
sich bildeten» erhalten wir noch eine zweite Folge von Bildern*] die dadurch entsteht» 'dass wir abwechselnd (Taf. II. Fig. 1.)
zuerst blos AM als vorhanden ansehen» worin ßi dann blos RM • - - - 6/1
dann blos /IM - - • - ßm
«
sich bildet.
(4) Die beiden Folgen unterscheiden sich blosduxc den A.nfangsspiegei.
*) Die Bilder der ersten Folo^o sind mit arab is c Ken, die d< zweiten Folge mit römischen Zahlen versehen.
59
§. 7.
>
Alle entAtefienden Bilder lieeen im Umfang eioes [reifes 11118 Jlf vom Radi US MBf indem (Taf. II. Fig. 1.)
MB, und Jf6i, Mbi und Mß^, Mß%=^Mb^ u. s. w.
5^ Hjrpotennsen je - zweier congruenter rechtwinkliger Dreiecke '■^^ 8iod. Ebenso ist
MB=zMßj, Mßi^mu u. s. w.
§.8.
Die in §.5. angedeutete fortgehende Entstehung neuer Bilder l nicht ohne.Ende. Die Fol^e scnliesstsich, sobald ein Bild in oder iBter die .Ebene des Spiegels tritt, in der es sich zunächst iegeln müsste.
Nuir liegen* die lateinischen Bilder, b, hinter RM, also im laome IlL oder IV. Die in JH., welche zugleich vor ^ AM «gen, sehen hinter AM weitere Bilder. Nicht so^ aber die in iif und d^e in dem Räume IV. liegenden. Die griechischen, hinter iM liegend, sind im Raunie II. oder IV. In IL sind sie zugleich [ler RM, pflanzen ^sich ali^o weiter fort ; nicht aber die i n MR'
' dem Räume IV. liegenden.
(6) Das erste Bild einerFolge also, das in den Schei- »Iranm IV.^der Spiegel (die Schenkel desselben mit- terechnet) geräth, ist das letzte (Schluss-) Bild die- ter Folge. ^
^ i
§. 9.
Dass aber von den aufeinanderfolgenden Bildern jeder Folge i8 einmal in den Scheitelranm treten muss, sieht man leich^. die Veibindungsfinien (Taf. IL Fi^r. l.)
Bhx /^s^s ^465 senkrecht zu RM
biß^ b^ß^k Kß% senkrecht zu AM
I, so machen je zwei benachbarte dieser Linien denselben ' (Peripheriewinkel), den RM und AM machen, also tp,
(7) Der Bogen zwischen je zwei alternirendenBil- lr> derselben Folge, wie
bi 6s» *Ä*5 > ^ß^y ßtß^
00
ist also =2^. Von den lateinischen Bildern 6| 6365 z.B. i jdaher eines einmal uni weiiiger als 2q> von R^ abstehen. — dieser Abstand nun z=0, ^(p oder =(p, so liegt das fragliehe selbst im Scheitelraume und ist Schlussbild ; steht es aber w als '9, aber weniger als 2op von R\ ab, no liegt' es um wenige l(p rechts von A* im Kaum« 111; es entsteht dann noch folgende (griechische) Bild^ das aber dann um weniger als Itp von A\ also im Scheitelraum liegt.
Ganz Gleiches gilt von den Bildern der zweitep Folge.
(8) Im ScheitelwinJcelraum (die Sohe^ikel mitger« liet) gibt es daherlmmer zwei Bilder, von jederFo eines.
§. 10.
^ Ist der Gegenstand B von Rfd um den Bogen y entfernt, AM aber um /=:g)->)p, so sind die Bogen für die erste Fe
Rbi^y Rh^2q> + y
Aß^=i3q> + Y
Aß^=z6g) + y u. s. v
für die zweite aber:
Aßi=y
Aßiii—2q) + /
Aßr=i(p-l-y'
Rbij=z<p + y Rbir 5= 39? + y'
Bbf i^=^(p +/ u. s
§. 11.
Was von einem Punkt B gilt, gilt von allen im Bogen . Neben einander liegende Punkte werden sich auch neben einan liegend abbilden, da, wenn y um ^dy zunimmt, die Bogen §. lO. um ^y zu • resp. abnehmen. Es werden sich also die gJ iieihe von R bis A (0^ bis g>^), der ganze Bogen, im Allge neu ebenso wiederholt abbilden, wie der Punkt B, Auch wei die Bilder aller Punkte der Stralen MR und MA in den Str von M nach den Bildern der Punkte R und A liegen, also
61
f
(9) Fäqher (Sectoren) mit der Eiiitheilungzulschcnx \ und ^ eotstebeo.
§. 12.
Betrachten wir der Einfachheit wegen neben' fi nur noch ei- !;D Pankt Ä im Bogen RAy so. entstehen auf Taf. II. die Pigu- ;Da bis 8., Pig.3. und 6. fiir die erste Folge, Fig. 4. und 7. für ia zweite Folge. Man übersieht dabei sogleich , . dass bei jeder »r beiden Folgen
(10) die beiden ersten Fäcjier (das Ote und' Iste, te und Iste) und die beiden letzten an einanderstos* *n , durch eine Spiegeiebenie resp. deren Erweiterung getrennt ad — dazwischen aber
(11) abwechselnd allemal eines leer« das andere it ^iner Bilderreihe erfüllt ist (vergl. §. lO.)» dass aber, eno man beide zusammengehörfge Folgen auf einander gelegt enkt (Taf. IL Fig. 5. und 8.)^ wie es der Wirklichkeit entspricht':
(12) ein Fach« das bei der ersten Folge leer ist, bei Ler 2ten Folge eine Bilderreihe enthält und umge (ehrt; . " /
(13) ferner dass die Ordnung der griechischen Bilder im
Zeigergang*) bei erster Folge: QaßX ,
zweiter Folge Xßaf^
[i«r lateinischen Bilder im Gegengang bei erster Folge rabl
zweiter Folge Ibar
\iAi also die
||tiechischen in der Ordnung (Taf. II. Fig. 5. und 8.)
.0 '. ^ 0 9
[fclatdnischen in der Ordnung
.,.(JK|ri öl 6, (4 |/i/) buaij{rn\r^ a^ 63(^1/1 f)
0 9 0 y
{eil, wobei die eingeklammerten in einen Punkt zusammen faU nd die darunter stehende Gradzahl enthalten, und
") Zeigergang: in demselben Sinne herumgezäbU, wie die "* einer Uhr nmlmifen; Gegengang im umgekehrten Sinne.
62
(14) dass die geradstelligen Bilder bei der ersten Folge im Räume II. nnd IT. QhokB) gitedyMb'
• zweiteo - • III. und IV. (rechts)
die ungeradstelligen aber
bei der ersten Folge in III. and IV. (rechts) lateiliiseb ' • zweiten - - IL • IV. (links) griechisch
sind.
(15) (Ferner wird man bemerken, dass d ie gerad- stelligen Bilder EöeHhilder, die ungeradstelligei Cre^enbilder sind.)
$. 13.
Dabei aber bedarf die Gegend um den Scheitelwidk^lraHi noch einer näheren Betrachtung.
Wenn man 180^= (79^+1?^ nimmt, wo g eine ganze Zahl nai- v^ (p, nicht aber =0 sein £oll^ so hat man von ^ an Jm Gegengang
und von R an im Zeigergang allemal g Fhcher (HanptrScher) (deren erstes allemal das mit 0 bezeichnete zwischen den Spiegdi ist) — die nicht bis an den Scheitelraom, noch weni- ger hineinragen.
Das dann folgende: ,,Endfach^' reicht für r=9 bis an, für V'^tp in den 8cheitelraum hinein. Ist nun '
g gerade (Taf. II. Fig. 3., 4. und 6., (p=70^)% so ist das lefate Hauptfach ungeradsteUig (weil das erste mit 0 besteichnet ist) das lil n d f a c b also geradstellig. Dies liegt also (14) fiSr die
erste Folge hinter AMA\ (auf der linken Seite von AM^fj, ist griechisch und endigt mit kg (g)^) (s. J4. und 13), welches v^ links von A' liegt. — Für v=:'cp stösst es bis an ilfß';.fur v-^tp liegt ßJK' in diesem Fache. — Der Theil des Fachs, (Bo- gens), welcher nach links von ßlR^ liegt, kann sich (als griechisch) noch einmal in 3JR spiegeln, gibt also darin noch ein lateini* nisches „Schlussiach*' (ein ganzes für v^^fp^ ein Stuck för t?<g)), welches sich mit y>+i(0<^) endigt. Letzteres liegt t)^ rechts von JK', also (p — v=^e^ links von A\ — Für die
h
*) Zur leichteren Uebersiclit sind die niit g riech »sehen -Bildero erfüllten Bogen starker, als die lateinischen, die der ersten Folge angehorigen ganz ausgezogen, die der zweiten aber uoterbro-. chen gezeichnet.
63
zweite Folge Ifegt das geradstellige Endfaeh hinter R' (auf der rechten iSeite von RMR')s iBt lateinisch und gt mit Tg (0^, welches £^ links von A' Hegt. — MA^ stusst y:=g> gerade an dies Fach, fiir v^cp liegt es in demselben. —
Theil des Bogen^, welcher noch rechts von M Af liegt, wird iesem Spiegel MA ein griechisches S,cfalussfac6 geben, :hes sicn mit Xg^t (9^) endigt. Dies liegt v^ links von ^'.
hat also
y^gerade: erster Folge griechisches Endfach endigt
mit lg, v^ links von A*
lateinisches Schlussfach endigt mit
**ff+i 9 *^ Hnks von A*
zweiter Folge lateinisches Endfach endigt mit *
Tg, B^ Wnki von A'
griechisches Schlussfach endigt mit
Xg^i , v^ links von A'.
ircii ganz ähnliche Betrachtungen findet sich fSr
07) (7 ungerade (Taf II. Fig. 6., 7., 9-, 9) = 480) nter Folge latein. Endfach endigt mit lg, e^ links von A*
griech. Schlussfach endigtrait^^-l-i, 1;^ . . • . . .
■iüer Folge griech. End fach endigt mit Qg, t;^ . . . ; .
latein. Schlussfach endigt mit /^^-l^i, €^
sich also für beide Fälle, (d. h. für jedes* g>)
08) erster Folge Endfach und zweiter Folge Schluss- kcli; ebenso zweiter Folge Endfach und erster Folge bUussfach aneinander anschliessen.
(19) Dadurch enthält der Scheitelraum gerade zwei
rilständige Bilderreihen von 0^ bis qg^; jede theülweise latei*
' und theilweise griechisch , aus dem Schlussfach ' und einem
seines Endfaches bestehend, um t;, resp. um e, gleichsam
unengefultet und auf einander gelegt.
i' ^^9 gerade griechischft;®(t^f l)..y^|g)*^..(£+l)£^|ariechisch \ lateinischÄvO lO^lO^i «^lateinisch.
r^ ungerade lateinisch 4£"(6:fl)..g)*^|g)ö((gp—l)...v^^ lateinisch , griechisch A^^ I OH 0^1 v^ Ag<'iechisch.
l QI))(Von ilf nach X und nach q {q>^ und 0^) entsteht kl allemal ein'e Fachlinie (Radius).
u
Will man j«tzt bestimmen» vrjeviel Bilder (deu unBipriiii|;Udiei Gegenstand mitgerechnet) entstehen können, so braucht nai nur nachzusehen, wie viel mal ein bestimmter Grad th den t» ^chiedenen Fächern zusammen genommen vorkommt.
*
Zuerst sieht man sogleich » dass ein Hauptfach ■ jeden Punkt zwischen 0 und 97 enthält. Hauptföcher sind es aber 2g — l=i Im Scheitelraum kommt jeder Gradpunkt zweimal Tor. — . tSt die beiden ausserhalb des Scheltelrauraes liegenden ' Stficke der
Endfächer aber muss man unterscheiden, ob i;=s ist*)
Ist v^s (wenn q> in 369^ eine ungerade Anzahl. von Malei aufgeht), so erhalten die beiden EndfachstOcke zusammen gerade einmal die ganze Gradreihe von 0^ bis 9^.
Ist t;<€, so fehlt ihnen zusammen das StSck von v bis i (Taf. IL Fig. IL, 9=80»).
Ist t;>e, so enthalten sie zusammen eine ganze (Gradreifae, mi ausserdem noch die zwischen e und v liegenden. (Taf. iL Fis. 9. und 10).
(21) Zählen wir nnn zwei zusammenfallende gleichlautende Bilder nur einmal, so entstehen, wenn
1) t;<s ist (cp in 360 zwischen einer geraden und die folgende ungerade Anzahl von Malen enthalten ist s. (Taf. IL Fig. lf.)voi Punkten : ^
zwischen 0 und i;{ z witschen s und (p\
Af 3 Bilder
oder: zwischen 0^ und ^^
n + 2 Bilder
g> — ä und q>\
zwischen v und s J . ^ »^.. .
, II J/^ + 2 Bider
von c und e selbst \ '
Q
Ä + 3
zwischen^ und <p — X von I und g>— 5]
n + l Bilder
von 0 und cp selbst —^(=^+1) Bilder von 0 und 9 ^+1
*) In der angehängten Tabelle sind für die yerschi^deiteo 9 der S^ V und £ zur bequemen Uebersicht angegeben, ebenso noch' die n um& g aus der Relation : 360= «9? -}"(>? -" wo für w=2^, qz=2v~; für «=^-fl aber p=2ü— 9 ist.
63 '
2j v=s ist, (ip 111^360 eine ungerade Ansaht von Malen aufgeht) fon Punkten
zwischen 0 und t oder vi
zHischen f oder t; und g>l * + ^ ^•'•'«''
ti + 1 Bilder
roii^ oder c ..... Ä+2 Bilder
- : von ij . . . . n Bilder
von 0 und ^ . .... -^ — Bilder '
«+1 OM
von 0 und g) . . . . —^Bilder;
t\ v>£ ist, (g) in 360 zwischen einer ungeraden und der folgenden , geraden Anzahl von Malen enthalten ist) von Punkten
zwischen 0 und €|
: . ■ 1 ( h+o Bilder
|. zniseben v und g>f '
oder zwischen 0 und ' ^ -j
>n-fl Bilder
zwischen q und y'
zwischen € und i; A 4- 4 Bilder
zwischen ^^ und 2±5 „^g Bilder
e and ti A 4- 3 Bilder
von ö und 5^-? «+ . Bilder
N 0 md 9> ^^ Bilder
' »von 0 und <p —5— Bilder;
J^*^<P9 (=0, (qp in 360 eine gerade Anzahl von Malen aufgeht) Too. Punkten
keil XVIII
• ,
N
66
zniachen 0 nnd 9 A-f 3 oder n Bilder von 0 und q> —5 — od^r a Bilder.
§. I».
' Haben wir rni Vorhergeheoden gesehen» welche Bilder sich überhaupt bilden kOnnen, so kommt es doch eigentlich darauf an, welche von ihnen man von einer bestimmten Stelle aas (för einen* | bestimmten Oft des Auges) auf einmal ilbersleht. — Von dei auf einander fallenden lateinischen und griechischen Bildend de« Scheitelranmes wird das Auge allemal nur eines sehen, aber welche, bedarf noch der näheren Untersuchung.
Damit das Auge ein Bild sehen kllnne» muss die Grade vom fraglichen Bild nach dem Auge den Spiegel treffen^ in welchem sich das Bild zuletzt gespiegelt hat> nach unseren Figuren sind deshalb die - 1 a t e i n rs c h e n Bilder nur sichtbar , wenn die Ver- bindungslinien derselben mit dem Auge den Spiegel MR; die griechischen nur» wenn sie den Spiegel ^.ii trelen.
Denkt man sich durchs Auge und den Scheitelpunkt fagentüch 1 Scheiteln nie) M eine Gerade (Ebene), welche den Bitdf^rbcfen des Scheitel winkeis in 5 trifft, so treffen alle Linien von Punkten auf der rechten Seite von S nach irgend welchen ImSpiegeh^umL liegenden Punkten der gedachten Linie (Ebene) (als Orten des Ab- ges; den^piegel RM, von Punkten links von 5 den Spiegel ^Jf.
(22) Wenn der Winkel a, den die gedachte Linie (Ebene) mit df m Spiegel RM macht, sich Snderf, und das Aui^e sich in der Richtung von R nach ^ bewegt, so ändert sich auch der Ort Sf mithin wechseln im Scheitelraum die sichtbaren Bilder.
Dagegen macht es keinen Unterschied^ ob das Auge in jener Linie (Ebene) bei unverändertem a, sich bewegt, und dem Schei- tel 9t näher oder ferner steht.
§. 16.
Sehen wir nun, welche Bogentheile sichtbar sind, so kommefl zn den h ganzen Hauptföchern noch die piit dem Winkel « ver- änderlichen Stucke der beiden End- und Schlussföcher hinzu. Dariiber hat man z. B. folgende Uebersicht:
67
1) fflr g gerade: z. B. 9=70«, 5^=2, v=4l^, €«=30o (Taf. II.
CD
II II K>-
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I
09
I
1 I I II II f
S8ä I I I I I^
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1 1 ll 1 1 1 f
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1 |
1 H 1 i^ |
S|f |
J |
* • • |
|
•^ |
I Der dem Punkt M nächste Bogen im Sctieitelvrinkel eRthtilt 4i« wo 5 sirli befindet, wenn das'Aiige in den ^gleicbnamigen Pnnkten — Rechts von den betreffenden Punkten (die also gewisser* n die Orte des Ang^es reprasentiren) «ind daher die dann jj^ezeich - (lateinischen), links die starkgezetchneten (griechi* i) Bilder zn nehmen.
In den allg'emeinen Ausdrucken die Differenzen nur herab bis 0<^, mmen nur hinauf bis q>^.
Für a^=9 bat man Ton t bis «p - a=y — 9 hat man Ton t-|-o bis <f
also S-=tp'^a n. s. w.
68
(23) f«r n angerade: z. B. 9> = 48o, gznZy v (Taf. II. Fig. 10.)
II II II
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— ^ QO
cn 09
Wie man sieht, so bt^schränkt sich der Unterschied zwisct den Ffillen, wo g gerade und ungerade ist, darauf, dass lal nische und griechische Bilder und cp^a und o ihre Hol tauschen.
§. 19.
Solche üebersichten für andere cp knnnen'wir leichter dui eine Art graphischer Darstellung, d. h. durch Figuren gewinn die dasselbe Gesetz befolgen , aber leichter zu cönstruiren i abzulesen sind. .
69.
Zeichnefen wir nämlich für jedes der 4 Fächer (die zwei End- nndzweiSchlussfacher) je elii.Quudrat von der Seite =9>,(Taf.Il..Fig. 12. bis 15 und IG bis-l9)*)v nähmen auf der Grundlinie gleichsanv zu Abscissen die Winke! a, zu Ordinaten aber die für das frag- liche a sichtbaren Bogenstücke (Orte der sichtbaren Gegenstände), so bekämen wir eine Reihe von Ordinate» für die- auf einander folgenden Abszissen, die gezeichnet eine schralBtte Stelle des Quadrats ge- ben. Fällt dann die Kreuzungslinie von aujid einem Winkel / (den^ der Gegenstand mit dem Spiegel RM macht), in eine schraffirte Stelle, so ist der Gegenstand sii^htbar, sonst nicht Legt man nun diese vier Quadrate auf einander, so erhält man Taf. II. Fig. :£Q. und 21. (für g gerade und g ungerade), die die Bilder in den vier Fächern zusammen repräsentirt.
^25) Es zeigen sich darin in 2 Ecken I-, in d'en beiden anderen/ 3, iii der Mitte 2 schraffirte Stellen auf einander liegend.
Der Unterschied zwischen diesen ^ zusammengesetzten Qua- draten für g gerade und ungerade ist der, dass v un'd b, nicht aber die Gradbezeicbnung umgekehrt ist.
5> 20.
Mittels eines solchen Quadrats (natürlich mit Weglassung der nun unno'thi^en Schraffirung) (Tat. II. Fig. 22.) beantworten «ch dann sehr leicht die beiden Fragen:
4
1> Wenn das Auge [für g>=.70 z. B.] in einem bestimmten Grade steht, z. ß. ()4^ (von RM entfernt), in welchen Bo- gentheilen niuss der Gegenstand stehen^ wenn man in jenen vier Fächern 1, 2 oder 3 Bilder sehen will?
Die Dreiecke a 64 40, so wie 6 64' 30' sind gleich- ^ schenklig» dah^r
64.« = 64. 40=24 Grade
&.64'=64'30'=34 -
,Steht also der Gegenstand B
zwischen tf^ und 24^ (von RW) so gibt es 1 Bild**)
240 unii 360 36» und 700
2 Bilder
3 Bilder.
2) Wenn der Gegenstand in einem bestimmten Grade steht s. B. yr=]3, wo sieht das Auge I.. 2... 3 Bilder?
*) Die Figuren enUpreehen Nr. (23) nnd (24) nach den glcicblaii^ teiiei Buchstaben, (ß) {ö) n. s, m. **) S. Nr. (2T) nml (28).
TO
Es i8t
13 «1=13 40^=27 Grade
M 13'=13'3(r=17 Grade.
al«o sieht das Auge
zwischen 0<> und 27<> (von RM), 3 Bilder
'270 und 530 - • ... 2 Bilder 530 und 7(K^ - - - - I Bild.
(^) Zu diesen 1,2 oder 3 Bildern kommen nun a.lle- mal noch die h Bilder in den Hauptfächern (den Ge- genstand B mitgezählt) hinzu, so dass man fir alle sichtbaren Bilder A-f I» A+2 oder h\Z zu nebmc^n hat.
Hiervon machen jedoch die Punkte 0^ und fff^ (ab Gegenstand angesehen) eine Ausnahme. Wenn man diese Punkte an der Grenze der Haupt- und End- Fächer, (wo sie in (23) und (24) — bei den Quadraten mitberucksichtigt werden) nicht mitBählt, so kommt jeder derselben in den Hanptföchern nur {g — l)mal vor, weil immer je zwei zusammenfallen.
(27) Für die Gegenstände 0^ und tp^ hat man also statt h blos g—X zu lesen.
Einer besonderen Beachtung bedürfen auch noch bei unsem Quadraten die Grenzfälle, wo die Kreuzungslinien in die Ecken oder Grenzlinien des äussern Quadrats ooer inneren vRechteclcs fallen. Man sieht nämlich bald (am leichsten an Taf. II. Fig. 9. und 10.)
(82) dass, wenn der Kreuzungspunkt fallt
1) in die Ecken, oder die obere und untere Grenzlinie des äussern Quadrats, man, wo 3 Bilder angegeben sind, nur 2 zu nehmen [weil von den Punkten 0 und 9) zwei gleichlautende zusammenfallen] ;
2) in den Ecken des Rechtecks (resp. inneren Quadrats)
immer 2 zu lesen; [weil für das Auge Jn 0 oder 9 2 Punkte v oderc; für das Auge in*£ oder v 2 Punkte 0 oder ^ zusammenfallen]
3) in den Grenzlinien des Rechtecks resp. inneren Quadrats die gross te der zu beiden Seiten angegebenen Zahlen zu nehmen hat.
In praxi modificirt sich dies sogar noch weiter, weil die hier mitgezänlten Bilder, welche dem Auge gerade in der Scheitellinie der Spiegel zu stehen scheinen, wegen Unvollkotnmenheit des Apparates nicht leicht wirklich zu sehen sind. Dann hat man also in den Grenzlinien und Ecken das Rechtecks z. B. immer die kleinste Zahl zu nehmen.
71
§.,21.
DeD'Uebergang ^dieser Verhältnisse bei fliessendein 9 über* ieht man ans der Tabelle, noch besser aber durch eine Reih« ^adrate (Taf. II. Fig. 23.) '
Bei 180^ hat man eine nach links oben gerichtete Diagonale. ei abnehmendem q> .kommen an den Enden derselben zwei Eck- "eiecke cum Vorschein; die Diagonale verbreitert sich zu einem ecfatecke. — Dl^ Eckdreiecke werden grösser, das Rechteck eifer, die früheren Dreiecke kleiner bis bei 120^ das Rechteck m Quadrate geworden. In demselben Sinne geht es fort, s Quadrat wird wieder zum Rechteck, dessen Längenrichtung er jetzt nach rechts oben geht; bis bei 90 die früheren Drei- ke fpuiz verdrängt, das Rechtecki zur Diagonale zusamroenge- hmolaen und die neuen Eckdreiecke den ganzen Raum einge- "* Domien haben u« s. w.
5.22.
Ä.Is Resultate kann man also znsaniinenstellen : Wenn q> ip D^ -n ganze Male mit oder ohne Rest enthalten ist und
)) «4st =2, 4, e, 8...,(=4r— 2) und ^^=0;
fO
iO
9=100, 90, 60, 4ö u. s. w. .
> sieht das Auge^ O an jedem Ort, vom Gegenstand B an jeg- liem Ort, ausser in 0^ und 9}^, nur eine Anzahl' von Bildern, näm« :b », s. (27);
(30) n Ut =3, 5, 7, 9...(= 4z Tl) "«<! ^=0
9=120<>, 72«, 51? 40.... und t;=E
> sieht man
a) wenn das Auge der Mitte, des Bogens näher ist, als der Gegenstand dem nächsten Spiegel, 7i(==A-|-2) Bilder;
6) wenn aber umgekehrt der Gegenstand B dem nächsten Spiegel näher ist als das Auge O der Mitte des Bogens, falls
a) fi ungerade, also ■ ,
it=:42-l; <p=:120, öl^, 32^j..24.
y
\
>
72
I
und
1) Auge und Gegenstand in derselben Hälfte des Bogens sich betinden n-l (=H1) Bilder;
2) Auge und Gegenstand in' eot^egenge- setzten Hälften ' der Bogen sioa n-fl
(=:Ä + 3) Bilder;
ß) 9 g^rftde, also
und
1) Auge und Gegenstand in dernelftieil Hälfte sind: n + l(=A+3) Bilder*»)
2) Auge und Gegenstand in /der entgegenge- setzten Hälllte «— 1(=A + 1). '
Als specieller Fall von a)Jiebt sich heraus:
Steht das Auge in der Mitte desBogens, so sieht fOr jeden Ort des Gegenstandes und
Ist der Gegenstand in der Mitte des Bogeos, so siebt das . Auge an jedem Ort n Bilder.
(31) (p lässt in 360 einen Rest.
2
a) g ist ungerade, 7i=i42__2, q> zwischen 180*^ und
900, fVOo und 45o, 36» und 30^,
1) ^, ^ . j| zwischen Ou.e ^ Gegenstand)
und B näher an O^i
als O an £» ( „_i^^|i
Auge I zwischen v { Bilder
^ Gegenstand i ""d g>
und^ näher an q>^ als O an v^
*) Die erste Anzahl, wenn n gerade =49—2; die zweite (die der ersten gleich ist) wenn 71 ungerade =^% — 1 ist.
**) Um die grösstc Anzalil \oti Bildern zu selten, wird mau also im Allgemeinen: für y gerade Auge und Gegenstand nur nahe genug an dasselbe Ende; — für y ungerade aber Auge und Gegenstand nur nahe genug an entgegengesetzte Enden des Bogens bringen dürfen.
/
I
73
^ Auge J . , Ott. vv
O) ^. . , f Z\VI8CI1CII . l'
' Gegenstand' {cu.g?)
und j? gleich nahe oder näherf n -f ^ an 90 als O an w« . f —ä+I
1^ ^"^® } .«.1«^!.^« *«-9^ l Bilder
^> Gegenstand }*^'^'*^" Ou.it
und B gleich nahe «der näher | an 0« als O an 6« /
In den Gegensätzen dieserV n-y-X '4 Fällte« d.h. 9,wenn i^ ehcnsof' 71 weit oder weiter von 0*^ah-(=A+2 steht etc. ' Bilder
?) y gerade, w=42T|» 9 zwischen 90^ und 60^;
50 ^ 450 und 360; 300 „„d 25^ ähnlich wie fiir g unge- rade , nur c und v verwechselt. (Vorige Seite**) • (32) üeher die Grenzfölle s. §. 20. Nr. (27) und (28).
Uebrigens kdnnen (29) und (30). als Bpecielle Fälle von (31) angesehen werden; in (30) ist t;=€=^, in (29) v=g>, «=0, in heid^ ^=0.
N » « '■
Diese Resultate lassen sich jedeiifaHs anders^ symmetrischer oder kurzer zusammenstellen, schwerlich aber wohl die einfache Uebersicht gewährend wie die Reihe der Quadrate Taf. IL Fig. 2^.
/
Einiges Interess^ bieten vielleicht noch die Winkel dar, unter denen der vom Gegenstand ausgehende Stral die Spiegel abwechselnd trifft, um endlich ans A^ige zu gelangen.
Fällt ein Stral J^i (Taf. II. Fig. 24.) unter ddm Anfangs- Winkel iS6i /2=6| ein, so der reflectirte 6162 unter dem Winkel ,
der hier reflectirte StraL öb^ö^ trifft den Spiegel /Silf Wieder un^ ter dem Winkel
■ - *
u. s. w. d. h.
74
(33) die ReflexiouBwIiikel eines niehrmiils gebro- chenen Strales wachsen bei jeder neuen Reflexion an q>. — Ist der Wjnkel dadurch grosser als 90^ geworden» so kann man auch statt seiner die Ergänzung zu 180^ uehroen, — n-obet fiur Ein- und Ai^sfailsstral verwechselt wird, — dann bimhit von da an jeder Reflexionswinkel uro q> ab. Vom letzten, End- Winkel, an gerechnet, aber auch allemal um q> zu. — 8o lan^e deir Win- kel unter 90^ bleibt, nähert sich der Stral dem Scheitel Jf , wird er grosser, so entfernt er sich wieder.
Fdr die Wlnkelfolge desselben Strales bat man also nur n5thlg den Anfangs- oder End-Winkel zu kennen:
§. '24.
Suchen wir die Endwinkel n». Zuerst (iSr den Fall, da«8 G^enstand und Auge gl eich weit von M entfernt sind.
Da bn ßn^ (Taf. II. Fig. 25.) senkrecht m RR' (resp. ßn b^^i senkrecht zu AU') steht, so Ist der Endwinkel
34) iii=90»— 06,,/»..-i=W»~5Bog«i Ofri-».
Die Werthe dieser Boiren stellen sich aher so dar: Sei der frühere Bogen iSI2=y, OK^=a, so hat man, wenn zur Ahkfir-
zoog gleich d f&r -^^3^ und < für -^^ geschrieben wird, fir die erste Fo^:
^ OBßt=V^^
^) • ist» wenn wie in Taf. II. Fig. 2. B mit/?,,/?« atff entgegeageMUter Seite von 0 liegt, uegativ. i>er Gleichförmigkeit ia (36) wegea i«t kier
^B negativ tlekon geiaMrn.
75
t
äObfSs3«p-^s u. «. w.
/
- S«niit werden die Eodwinkel:
(3^ I, = Ol|Ä=90-( + rf)
2,= OV^=90-(+«)
3,= O3,Ä=90-(9) + «Q
4^= 04^=90 -(g> +»)
5,= 06,iZ = 90 - (29-f-<2)
6^=O(5,^=90-(29>+«)
8,=O^^=«0-(39>+»)
I
II. 8. W. '
Für die zweite Folge setze niao
iytwKat, beilSnfig bemerkt, t' = 9> — « nnd «2'= — </ folgt); so werden die Bogen
(37) \oB = \d!
\oß,=j
2 Oöii=ip+d'
^lOßni^ip ^ $*
,j06if^=2g) + rf'
\oßv^2q>^$f
u. s. w.
und die End Winkel
76
(38) - /i = 0/(^ = 1)0 — (+ tl')
Hn=:OUnR=W—s'
/ F/f = 0/F/rÄ= 90-(9) + »0 riri— O VlfiR = äO - Chp + «0
I
II. s. \v.
§. 25.
Daraus erjs^eben sich auch leicht die End-EntfcrnaDgen*) des Mittelpunkts 71/ vomScbeitel der Enduiiikol
(39) Es ist nämlich (Taf. II. Fig. 25.)
lUOsinlUOon 2 »
flu Qin lÜnön ~" sinitM.
altso z. 13. namentlich (»IS und 36) :
I
(40) ^Wl.=r.— ^ jy,,= r.__^,
^ cos('2g>frf) cosC2g> + rf')
i^ß cos(3<3o -\^(l) _____ cos(3g) + rf')
M% — T. T/J— .--f MVIyiz=zr. — 7.^ . /'
^ tos(29?+*) '' cosC^qp-fs')
') EOi^cntlirh deren Projrelioncn auf di«: Kbi^iic dcf fingeüiciltfi Ki'cisfs.
//
• \
§. 26. ^
Aus dieseo Endentfernuajp^en folgen , weiter leicht die vorher- enden Entfernungen der Mitte M von den Durchschnitten des und her geworfenen Strales mit den betreffenden Spiegeln: 9 man liat z. B
Mn.Bmnn '••c««2^*'' »'•««»gO*»
(41) Mn.-,=^^^^_^
ISO
SinTln-i
]
sin(wn+gO
r.cos^ Obn
. w.^ also namentlich z. B. (35),' (36)
2) M% = r . co8(ßg) + d) sec(29 + s)
^¥65 =iir . cos(2g> + «)sec (2^ + lO >
M6.=
»
C*)
sec(g>+*) ^#64 = |
1 \ |
8ec(g) + rf), |
secs . il/58=: |
0 |
r seco? |
sec(g>— *) iRf5a = |
c |
sec(g) — d). |
sec(2g>--«) |
c |
sec(2g)— d). |
8ec(39— «). |
V |
^ |
ilf64=: C
J[f6s= IC J!f6,= C
Üf6i= C
MA^^=zr cos(2q() + rfj 8ec(g> + «)
ilüSa = rcos(g> + f)sec(97 + d) ,
43= V Msecs
i8f3a= C"' , secrf,
Mi^= C" sec(^— »)
Jf3i= C" sec(g)-£/),
il[f4i=: . C . sec(29-Ä;.
i *) Der in der ganzen Folge vnrkoraroentle Factor, rco8(39 4. tff) =^ tetzt. Aclinliches gilt aucli für die anderen Folgen.
^
78
M2i= a^ 8ec(y-j).
ilf li =rco8«8eeil
(4S) Für die zweite Folge laaton die entepredbende» Lftige» wertlie ganz ebenso ninr mit i' statt i und df statt«' li.
(44) Diese Auftrittsentfernungen lassen sidi, da sie sich wii eine Folge von Secanten verhalten» aach durch (Taf. n. Fig. %,) darstellen.
§. 27.
Wenn endlich Auge und Gegenstand nicht gleich weit m M abstehen z. B. M(yz=,R, mB^^t ist, bo hat man ans dM Dreieck MO'hn (Taf. IL Fig. 25) wegen
und
tg2(f*-v)=BS^*^ä^^
tg2(M+^) = tg(90-5O*^)
d.en Anfangswinlcel n'n=0'n'nK
(45) n',=« + i; = a+(90 ^ OÄ„)-arctg f^^cotgjoft«], was für Rr=zr in die friiheren Formen übergeht.
^^^^ T it l> e 1 ■ |
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: 36 : 42 48 |
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36 39 4-2 |
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3 |
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40 39 38 37 |
20 21 28 32 |
20 15 10 |
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7 |
9 0 : y : 18 : 27 |
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80
VI*.
B<;stiiniiiiiliir der seographis^^en Breite nndXäni^e ans greodätlsehen
llessnnseii.
Von
Herrn Professor Dr. J. Dienger
I
an der polytcrliniscbcn Schale za Cnrisrulie.
,'
Nehmen wir die Erd^ als ein Rotationsellipsoid an, in dem« der Halbmesser des Aequators, b die halbe Rotationsaxe, neh- men wir ferner die letztere zur Axe der ar; die Axen der y und 2 in der Aequatorebene , so ist die Cüicichung der Crdoberfläclie (mathematisch gesprochen) :
(1)
Die geodätische Linie auf dem Erdsphäroid ist aber eine kürzeste Linie, daher ist ihre Gleichung, neben (1):
•^-'-Y '(©'+
dx «^ d.v
(ly-
(2) . ;
worin c eine Konstante.
Heissen wir Breite eines Ortes auf der (mathematischen* Erdoberfläche den Winkel, den die Normale in diesem Punkt! mit der Aequatorebene macht, so ist, wenn sie durch B bezeicK net wird:
81
8ini?=
a*j?
V6*(yH*^+a*^*'
TS
wobei £ von 0 bis ^ auf der nördlichen Erdhälfte» von 0 bis
— Q &uf ^^^ sudlichen gezählt wird. Die Länge eines Ortes
fat der Winkel, den die Ebene des durch ihn gehenden Meri- dians (d. h. die Ebene durch jenen Ort und die Erdaxe) mit der Ebene irgend eines bestimmten ersten Meridians macht. Wir zählen die Länge von 0 bis 360^ von West gen Ost, wie wir auch die Richtung von der positiven Axe der z zur positiven Axe der ' in derselben Weise zählen, und die Axe der % in die Ebene es ersten Meridians verlegen. Ist X die Länge, so ist:
i
y
«V'-S
C08il=
Vy«+**
«v^'
19nn ist aber, wie man leicht findet:
ar=
cr(l — e^)siag V"!— €'^sin*i? '
6«=
a«—6«
.2
also ist
y
V- a:* . - asinlcos^ 6* VI— /»«iaiTi2Ä
V, j;* , acosXcosA 1 — -rs • <^OSA = , — - ==• •
testimmt man ß so, dass
tg^=Vl-e^tgÄ=-tgÄ,
tao ergiebt sich:
ar=6sinj5,
y = acosj?sinX,j
z = acos|3cosA.
w
(3)
lell XTin.
Ir
6
82
Führt roan nun die nenen Verfioderlicheo l und ß (die redt« zirte Breite des Ortes) in die Formel (2) ein, so ist dieselbe:
a*co8*/3
Y 6«cos«/J+a«8in2/J+Ä»co«vfö)*
= c.
woraus man als GleichiiDg der geodätischen Linie Eieht:
\dßj "" a«cos«i3(a«co8«/J— c«)*
(5)
ß
Die Länge dieser Linie zwischen zwei Punkten, denen die reduzirten Breiten ßi und ß^ (/?t>|?i) zugehSren, ist also:
/Yh(|)%(E)'(|)°^
Die Konstante c, die in diesen Formeln vorkommt, wird dank die anföngiiche Richtung der geodätischen Linie bestimmt, weidM Richtung bekanntlich bei dem uns vorliegenden Problem imneii als bekannt angenommen werden darf.
Ist diese anfängliche Richtung die des Meridians, so ist an* (anglich 5]b=0, d.h. man hat c=0, und also ist die Gleichang(!)!
v^o & eine Konstante. In diesem Falle ist also die geodätiscke Linie eine ebene, und der Meridian selbst. Was die Länge as*! belangt, so i$t in diesem Falle aus (6) dieselbe:
r^^ Vb^cos^ß +ö2sin2j38/3=a J * V" 1— e^cos«/? Bß
ß^ ßi
^'ß
= a /^ V"l — e^sxu^ßdß
71
-ß^
=o [£(| - ft,c) - E (|-/?«.c) ].
83
altgemeln
/*''Vl— iPsin*g)89>= JB(g)i ,k)
Id jedem anderen Falle ist die geodätische Linie von dop KTrfimQiaog.
Sei iP^J^i^ der Anfangspunkt der geodätischen Linie (5)» so die Gleichungen der durch diesen Punkt gehenden Meri-
. »*'-V=o, 8!^+j'=i.
^ nun a der Winkel» den die Meridiankurve und die geodäti- Linie machen» so findet man leicht:
84
on
^
Q^! Q5
Q3| CO
H
Id
85
Föfart man hier die Winkeikoordinaten (4) ein» so ergiebt sich:
sin^a
a«cos«/s(|)«
6«cos«j3 + a«8in«/3 + a'cos V (jk)
koist
acos|38ina=
oW^g^
5XV*
Y 6«cos2/J+a«8in«/?+a«coö«/j(|^)
Vergleicht man dies mit dem Früheren > so ist:
acosj3sina=::c.
(8)
Ist also ß die redozirte Breite eines Punktes der Erdoberfläche, Winkel, den die durch ihn (gehende geodätische Linie mit Meridian macht, so ist die 6russe cosj^sincK für alle in die* geodätischen Linie liegenden Punkte konstant.
Kennt man also den Winkel «i , den die geodätische L«nie jArem Anfangspunkt mit dem durch jenen Punkt gehenden Me- li macht (ihr Azimuth) und ist pi die reduzirte Breite die- Anfangspunktes, so ist
c=ocos|?isin€r| .
(9)
§. 3.
Nachdem nun c bestimmt ist, bietet die Berechnung der Länge geodätischen Linie keine Schwierigkeit dar. Aus Formel ^) DQomehr :
Imm
J yf cos^/S'— cos*PiSin%| ^ ^
s
b^+u^eH\n^ß
— -cos^jSisin^aj — sin*^
.— «V, cosjSd/?
sinjS = cosy V^l — cos*/5iSin*'ai ,
86
was immer mSglich ist, dm 1— -co8*/^sioV|>0» so ist:
<1
1 (1— cos*ft8m'ai)sin*9 ^ "^^
=-r^^ Vi« + a«e«(l-cos«A8iii^i) — aV(l— cosVisin"«!)«!
SP»
worin 9^ , ip^ bestimmt sind durch
sinj^i^os^i . V 1— cos*ftsin*«| ,
sioß^ = CO892 •Vi — cos^ftsin^i . Nun Ist
6«+aV(l -co8«/3i8iD%|)=6>+aV— aVcos^AsiiAii
= a*(l— «•cos^ftsio««!) *
Bestimmt man also 7 und yi so, dass
cosy =: cos/?i sinai , cosyi =: ecos/?i sincr^ ; <
so ist
Vi— C08%sinX = siny, V6*+ aV(l -cos«/5i8in««|) = osiiq
und 9i, 92 's^>^d bestimmt aus
siD/?|i= siny.cos^i » sin/?2=sin}f.cos9a , 0
so dass endlich
= »in„[^(...|i^)-£(^,|g)]. m
Dadurch ist nun unsere Aufgabe gelöst. Hat man Tafeln elliptischen Funktionen, so entnimmt man ihnen unmittelb
87
Die Eotwic&luDff der Näherungsformeln ist hier Bichf unsere kofgabe, auch ist dieselbe , nach den mitgetfaeilten genauen For- Mb leicht. Man wird die MäheruDg nicht ober die \rierte Po- f. (treiben.
$. 4.
In der Regel liegt in der Geodäsie die Aufgabe nicht so, rielmehr teont man die geographische Länge und Breite eines Ortes, den l^nkel a^, den die geodätische Linie von diesem Punkte aus an iben andern mit dem Meridian des ersten macht, so wie die hr geodätischen Linie zwischen beiden, und soll daraus Länge ■d Breite des zweiten Ortes linden.
In Formel (12) dürfen also als bekannt angenommen werden $ ■d ffi neben den jedenfalls bekannten GrOssen e^ y, y|. Daraus Rgiebt sich :
£(^,, ») =£(^,, ») ?_. . (13)
Tafeln der elliptischen Funktionen vorausgesetzt, entnimmt man t den hieraus folgenden Werth des Argumentes 9«^, woraus (11) sich /?2 una dann nach (3) B^ ergiebt.
Man sieht, wie buchst einfach die Sache sich gestaltet, wenn Tafeln der elliptischen Funktionen besitzt, und irfinscbenswerth eben desshalb auch in diesem Betreff solche Id sind.
Die Entwicklung der Näherungsforniel für 9)2» ^enn man die die vierte hinausgehenden Potenzen von e vernachlässigt, Eegt aus (13) keiner {Schwierigkeit. Wir kommen vielleicht f später zurück und bemerken hier nur noch, dass man dazu
Lagrange'schen Umkehrungstheorems keineswegs bedarf, wie gewöhnlich geschieht» sondern mit dem Taylor'schen Satze »mmen ausreicht.
$. 5.
Eine zweite Frage ist nun die nach der geographischen Länge des zweiten Ortes. Die Formel (5) giebt:
•_ a*cos»ft sin»tfi(6^cos»j3 + g^sin^P _ cos^(6^ + fl*e^sinV) ' "• a«cos«/J(a«cos2/3— a«cos«ftsin«a,)"" a«cos*/3 (sin*y— sin V) '
88
«
^ aj T siii*y — sid'p cosp • * ^
/*»
worin das obere Zeichen gilt» wenn is>A], das untere« wei A2XA] .
Setzt man wieder, wie in $. 3«:
sin/3=8iD/co89,
so ist das in (14) vorkommende Integral:
cogy />y.^ , 8y
a ^/ ' / ^ 1— sin^osV
cosy /*y»
&^H- g'e^sin^y — «*e^in*ysin*y
==8(
(cos^-f sin*ysin^) V^6* + a* Ain*/— a^c^sln^ysio^y
Nun ist
^2 ^ a«62sin«y = a^sinVi . also ist obiges Integral:
c*s1n*y .
BezeicfiDcn wir allgemein
/^^■i■ ^f^i /2>7 ^"'^^ ^(9>, w, ^), (15;
t/^ (1 + wsin^g?) V l — A-^sin^g) so ist
^9 sin^cpdcp
r
(1 + n sin^g?) V^l — k^ sin« 9
"" »»t/ (1 + ye sin^g)) V"! — yt« sin^^ '«</ (l+wsinVV"l-ifc«sin
= -F(9, A')-- il(9> w. ^-).
Darnach ist obiges Integral :
a»
c*co8*y
Ut
1— e«cos2/3isin2ai + e«cos%sin2a, 1
ist endlich:
(16)
lit nun unsere Aufgabe gelöst ist
Die genauesten Werthe von a und b, die in diesen Formeln lomnien, sind bekanntlich:
0 = 3272077,14 Toisen,
6 = 3261139,33 Toisen.
Die Formel (13) setzt voraus, dass ß^^^ßi^ Ist aber unige- rt ßi<ßi, so erhält man statt (12):
.=-«sW,[£(^.,«)_£(^,/^);], (12').
I statt (13 :
£(^..,??!^)=*^(^.-£?üy:) + _^, (13,)
90:
während die Fonnel (16) allgemeiD gilt, wenn man in ihr das
apezialisirt» wie es die Differenz i^ — li erhsiseht
Doppeizeichen so
Die Formel (16) lost auch zugleich die AufgaKe, dieieni^en Punkte auf der Erdoberfläche zu bestimmen, durch welcne eine bestimmte geodätische Linie hindurchgeht. Diese Linie schnei- det nämlich den mit dem Aequator parallelen Kreisschnitt, des- sen reduzirte Breite ß' ist, in einem Punkte, dessen Länge l* bestimmt ist durch:
(17) * . cosysioy^ Lf ^^** ^'» sinyi^ ^^' ° ' siny/)
worin 9' bestimmt ist durch die Gleichung:
?
smß' = sinycos^' • 'S
u
i
91
Velber die Oleichnngren der Bewe- griinfp. Anwendnngren derselben.
(Nach Jules Vieille in Liouville's Journai, Juillet 1840.)
Von dem
Herrn Professor Dr. J. Dienger,
an der polytechnischen Schule zn Carlerahe.
Sind X9 y, Zy x\ die 3ii KoordioateD der n zusammeDse-
jen Punkte eines Systems in Bewegung , X^ Y, Z,.... die lieselben wirkenden bewegenden KriSe, so ist die Gleichung Bewegung:
m die Masse des Punktes (x, y^ 2), ix^ dv, dz gewisse ideningen der Koordinaten x, y, z sind und aas Zeichen 2 Inf alle Punkte erstreckt (Poisson, Mechanik. $. 531).
Angenommen nun, es bestehen zwischen den 3it Koordinaten
3^2, x',^.. die i Gleichungen
I.=0, M=Os N=0,
bnn man mittelst dieser Gleichungen die Grossen j?, y, ... Funktionen von 3n — t derselben oder anderer Veränderlichen Irocken, und wenn 6, g>, flf,.„. diese 3n — i unabhängigen Ver- licben» i die Zeit ist, so wird* man allgemein setzen können:
iw. Ist nun« zur Abkürzung»
92
so u'ird man also haben:
da:
=« + aö' + Oitp' + , dx= ade + iij iy + .... ,
dt
^:^ß+bd' + b,tp' + öy = bde+b^öq>+...„ \ (2)
worin a, ß, y die partiellen DiferenEialquotienten von x, y, z m Bezug auf t bedeuten, während a, b, c, .... Funktionen von t, 6, ff, ... sind.
Da man hat
SO wird die Gleichung (1) sein:
'-S(Xdx+Ydy + Zdt)=0 (3)
Man setze nun in diese Gleichung die Werthe ans (3), so muss man schliesslich die Koeffizienten von öO, S(p, ... Null seteen. Da aber diese Veränderlichen offenbar in derselben Weise in die Gleichung (3) eintreten, so wird es genügen, den Koeffizienten von S6 zu berechnen.
Man findet leicht:
my*m'<s')hh''^*''^*o-^ ■■■■■•
wo
a^+ß^ + Y^=G, aa+ßb^yc = H; a^ + b^ + c^=P,
93
Hieraus folgt:
+ (ff + P6'+ Q(p'+ . . .)*fl'+- . ..
Setzt man dies in (3), so verschwinden 'die mit öd* behafte- 1 Glieder und man hat als KoeflSzienten von 6$:
kt Dun T die] halbe Summe der lebendigen Kräfte des Sy- tos, so ist
•=i^"((fe)+@r+S)>-(i +«-+<+ ••■•)
wird (4) zu
Was das Glied
'•\de' J dT
dt de'
i:{XSa;+rSy-\-Zit)
lugt, so sei
2{Xdx+Ydy + Zdz) = 3 V,
in der Regel wird aDgeDommen werden kOonen , und man hat
dv
2(XSx + Ydif + Zdt) =sr=-^de-i
im der Koeffizient von 66 in (3) ist:
^•\W) ST 8V
St
da de '
Man sieht hieraus, dass (3) sich in folgende 3n — i Glei'
r
94
^'Vdd') BT 8V
dt ~'M~ s$-^
<^)
^_sr_Q \ (5)
dt dq> dg>
<w)
dt 8t Sip
Wenn T die Zeit t nicht entwickelt enthSit, so findet ma
aus diesen Gleichungen, wenn man sie bezüglich mit 80, d^i 8^«... muitiplizirt;
T— F=Const (8)
bekanntlich das Prinzip der lebendigen KrSfte aussprechend.
Von diesen Sätzen sollen nun im Folgenden einige Anwea- dungen gemacht werden.
1. Aufgabe.
Man soll die Bewegung einer schweren geradei Linie bestimmen, die sich, frei im Räume nm eine* festen Punkt in ihr drehen kann.
Sei (Taf.I.Fig.8.)0(der feste Punkt) der Anfangspunkt der KM^ dinaten, die Axe der z vertikal im Sinne der Schwere, ^A die Stange. Die Veränderlichen, die den Znstand der Bewegung bestimmeoi sind nur zwei an der Zahl, nän\lich der Winkel 0, den ^1^ mit der Axe der i macht, und der Winkel A'OX:=:z^f, den ihre HorizoD* talprojektion mit der Axe der x macht.
Sei M die Masse der Stange (ihr Gewicht, dividirt durch die beschleunigende Kraft der Schwere), a die Entfernung ihres Schwerpunktes von O, r die Entfernung Om eines Punktes m von O, r' die Horizontalprojektion OP von r. Man hat ofleDber
F=üffl^.cosö.
== ^ (ö'« + sin«Ö. if/-«) Jlf (a« + 1»),
wenn MK^ das Trägheitsmoment der Stange in Bezug auf eine Axe ist, die, senkrecht auf ihrer Richtung', durch ihren Schwc^ punkt geht. (Poisson, Mechanik. §. 156.). Die Gleichung (6) giebt also
e^ + sin «Ö.if;'* = C + -^ cos 6 .
' a
05
Setzt man eine der Geichnngen (5) hinzu» so wird die Auf- ibe gelöst sein. Da T und V die tf; nicht enthalten , so ähle man
ie giebt
dt dil> d^
\B^')=zO.
.b.
dt
8^'
sin«Ö.i(;' = 6' (8)
Die Gleichungen (7) und (8) losen die Aufgabe. WSre die Itange ein blosser Punkte dessen Entfernung von O gleich / wäre» 0 wSre K:=zO, a=:l, d. h. die Stange bewegt sich wie ein ein-
iches Pendel von der Länge /=a-| •
Ans (7) und (8) folgt : (;.. dt sin 6
Y (C + -|^cosÖ)sln2d— e«
Sf _c^
8d"— ./ ^ '
sin ö Y C+ -|^ cos e) sin H—C^
le Formeln auf elliptische Funktionen zurückgeführt wer- konnen.
um die Konstanten C und C zu bestimmen» sei (Taf.I.Fig.9.) Anfangswerth des Winkels 6^ CD die Richtung des Stosses, len die Stange anfänglich erhalten» die man senkrecht auf ÄO imen darf. Die Stange wird anfänglich in der Ebene OCD gen zu drehen, welche Ebene man als die von zwei Hanpt- der Stange in Bezug auf den Punkt O betrachten kann Min» Mechanik 6 380» 389). Ist o die Winkelffesehwindigkeit
An&ng, ii,v die Intensität des Stosses» f-^OC, so hat man
Wo» Mechanik § 386) :
(^vf
" — ill(a* + i:*)'
Die Anfangsgeschwindigkeit 9 eines Punktes m der Stange
wo 810
96
iüt ra. Ersetzt man also in der Gleichung (7) das erste Glie4 -^ darch afl, so ist
a)2=C + ^cosa, (9)
wodarch C bestimint ist. Nach (8) hat mau
10 a f -wj- j die Anfangsgeschvvindigkeit der HorizoDlalpnh
jektion dds Punktes der Stange ist, dessen Entfernang von 0 gleich 1; ist e der Winkel der Richtung CD mit einer Senbeck- ten auf der Ebene zOA^ so ist also
sinaf-^j =G)C0SS5 C=:cDC0SS8ina. (W)
Wir stellen nun die Frage, wie muss m beschaffen sein, di- mit die Stange einen geraden Kegel um Oz beschreibe?
In diesem Falle ist beständig O^za, also g^^Onnd somit
sin«« fc + ^f cos a) - C« = 0 .
Diese Gleichung drückt aber nur aus^ dass -kt=0 ist ßr ö = a, d. h. im Anfange der Bewegung. Soll es allgemein statt haben, so muss man die Gleichung '?v''g# ^=^ damit verbinden. Diese giebt
ff c^l
cos a sin^a
8in*a
Diese zwei Gleichungen geben €=0, Gy^=zg-i $ d. h. der
Stoss muss senkrecht auf der Vertikalebene sein , die durch di0 Stange geht. Aus der Gleichung (8) folgt « dass der Kegel mit
CO '
gleichförmiger Geschwindigkeit = . g beschrieben wird, fr
setzt man {o durch seinen Werth , so ist dieselbe V — S. — •
V /cosa
Zur vollständigen Lösung der Aufgabe bleibt nun noch ^ Berechnung des Druckes auf O übrig. Zu dem Ende denken wir uns in O eine Kraft angebracht, die dem Drucke P direkt ent- ^n wirkt; alsdann können wir die Stange als frei betrachten. Sind Aj, Fl, Zj die Komposanten von P; a:^ y^, ii, die Koordinaten des Schwerpunktes derStange, so werden die verlornen Kräfte seio:
97
M^'» M^> iu(^^ „\
i nun die verlornen KrSfte und der Druck sich im Gleich- it halten , so hat man (Poisson, Mechanik. §. 261 .) :
r^ + M ^=0, [ (11)
Xirszasin Oco8 ij/f yi=zasin6s\nilf, . . . . (11*) Zi=:a cos 6.
e Gleichungen (II) bestimmen JITi, Yi, Zi, da 6 und ^ als ouen von t bekannt sind. Fiir den Fall der Bewegung auf
geraden Kegel ist il/zn-. h%, ö=a, wenn -^/o der an-
:he Werth von ^ ist. Man findet alsdann
itfffcb*
-r- — cos
8m a
\sina ■ ^"/ * sina Vsina ^V ^
2te Aufgabe.
lan soll die Bewegung eines biegsamen nnaus- baren Fadens bestimmen, der an einem festen te 0(Tar.I.Fig.lO.) aufgehängt und mit zwei schwe- 'unkten m und m* beladen ist. lülan setzt voraus, zu Anfang der Bewegung die zwei schweren :te von der Vertikalen entfernt worden sind, ohne •ie aus einer durch O gehenden Vertikalebene 18 getreten wären, und dass sie sodann sich it überlassen wurden ohne Anfan gsgeschwin- \\t
Ke schwingende Bewe&rung eines jeden Punktes hat oflfen- I der Vertikalebene yÖx Statt, die durch die anföngliche des Fadens geht. Sei Om:=2a, mm'zzzb^ mOy:=z6y m'my ireon my' parallel der Vertikalen Oy.
lan hat fiir m:
ar=asind,
t.
y=aco8 6; XVlIf.
98
ff'zi^acoaÖ+bcoQtp; also
F=:(m + mf)gacoa6 + m'gbcosq>,
r = 2 [(»ii+m')a«ö'*+iii'6V* + 2/ii'fl6co«(9- 6).e'(p
Also erhält man aus (5): (m + mO a -g^ +m'6cos(9— ö) ^ -m'ftsin(9— Ö) gf \^ g^ — gj
6g^ + acos(<p-e)g^-a8in((p-Ö)^(^g^- -g^J
dB /dq>\^ + asin (g) - ^)'si\JSiJ +^s»^9>=
Man konnte die Gleichnne (6) in Anwendung bringe nar vom ersten Grade ist» allein obige Gleichungen entsi unserm Zwecke mehr.
Angenommen, die Schwankungen seien sehr klein , s man die Quadrate von 6, q>, -ät y ^ und die Produkte dies änderlichen vernachlässigen können » und findet dann:
(m+mOa-g^+m'Ä g^ + (m +»iO ^0=0 .8^9). 8^0^ ^
Durch Verbindung beider findet man:
8«ö ma -g^ +flr(m + mO Ö— 5rmV=0j
8*0 . , 8«g> . ft
(
Man findet als Integrale: ö=-4i00s<V^ri+J2Cos<Vr^ + ^isin<V^ri+-B2SiniVVi 9===2lif4iCos<V"ri+^fi2Cos^V^ra+^ifAisin<V^ri+Ä2|it2S*>n'Vl
Als A^s Bi9 Bq sind wilikührliche Kontanieu; r^, r^ sind re positiv; die Wurzeln der Gleichung
\(m + mf)g'^ mar] (g — bv) — m'agr=zO
fft|, (A^ sind die entsprechenden Werthe, die aus der Gleicl
99
OT
im Da för <=0,-^ = -g^ =0, so ist Äi = Äa=0. Sind fer- X, /? die Anfangswerthe von 6 und g), so ist
US 2^1 9 A^ folgen, so dass nun
6 =^1 cos ^ V^Ti + A^ cos * V^, 9=^1 jitiCos^V^ +-^2f*aCos < V^r2
(17)
Man konnte die Fräse aufwerfen, welche Bedingung erfüllt mfisse, damit jeder Punkt wie ein einfaches Pendel schwingt,
. damit z. B. ^2^=^« ^^ diesem Falle ist ^|=a, f»i = -^
aus (16)
r =-^-,
diess in (15) gesetzt^ giebt als gesuchte Bedingung :
(wt +iiiO aa*+(«i + mf) (b^ä) aß -m'6/S«=0. (18)
Ffir a=/3 ist diese Gleichung unmöglich, da alsdann ffi6=:0 I sollte. Sei z. B. a= b, so tolgt aus (18)
b Allgemeinen, wenn die ^Bedingung (18) erfiUlt ist, hat man
Ö=acos<V^rJ', 9=/3co8iV^ri, bis die Schwingungsdauer beider Punkte gleich ist
Zie Aufgabe*
kreisrundes Rad (Taf. I. Fig. 11.) hat an seinem
einen ringförmigen Kanal, in dem sich eine
le Kuff el m befindet, deren Durchmesser gleich
des Kanals; dieses Rad stützt sich in B auf die
ontale Ebene AOB und in seinem Mittelpunkt S
Jie Vertikale SO, die mit der Ebene des Rades
Winkel i?50 =« macht. Man lässt das Rad «o auf
horizontalen Ebene rollen, dass B einen Kreis
Halbmesser Ojff mit unveränderlicher Geschwin-
ceit beschreibt. Der gerade Kegel, dessen Axe
Lvad dessen halber Winkel an der Spitze a ist>
also nach und nach in allen seinen Urzeugungs-
1*
lin
100
iinien von der Ebene des Rades berührt. Man langt die Bewegung des Mittelpunkts der Kuge abgesehen von der Reibung.
Sei OS die Axe der z, und es gehe die Ebene der a:i < SA, in welcher Linie das Rad den Kegel im Anfange der fi gung berühre. Sei SB die Beruhrungslinie am Ende der U SC die Stellung der Ebene des Rades, die in diesem Ai blicke der anfangliche Radius SA einnimmt; Sifi=:r sei der I messer, der der Kugel zugehört, und
tnSO=:fp, PSx^y\>,
wenn PS die Horizontalprojektion von Sm ist.
Sei CSm=6 und es bedeute K die bekannte Geschwi keit, mit der der Winkel AOB beschrieben wurde, so ist a =zKif und da arc, AB =^axc,BC, so ist
BSC=Kt. 8in a, inSÄ=(9 — ATisin«.
Bezeichnen wir also mSB durch <o, so ist
m zs: 6 "^Kt sin €L (1
Aus der körperlichen Ecke SOmB ergibt sich
cos 9 = cos ff cos CD. {
Ist SB" die Horizontalprojektion von SB, so ist
^=zPSB' + B'Sa:r=PSB'+BOA=PSB'+ Kt;
aber PSB' ist in der genannten Ecke der Flächenwinke SO, also ist
tePSB'= ♦^"
Sin a
und endlich
^=Ji:e + arc(tg=|,^), C
Man bedarf also jetzt nur noch einer der Gleichungen (5), d sich bloss um die Bestimmung von ca handelt. Man findet
F= mgr cos g? = mgr cos a cos co ,
-=i»(©v(i;+(D')
oder wenn man aus (19) und (20) substituirt :
T= 2Wir2(Q)'2+ 2sin aATco' + (l - cos %eos«(ö) K^] •
101
Vendet man nun die dritte der Gleichungen (5) an und in t^ nachdem man mit 2 ^ multiplicirt hat; so erhält man:
r
IS
/3o\ .
V 'Bt)^"' Ä*rcos%cos2a) — S^cosacos w -f- C=0, (21)
=/
" m
als besonderer Fall, im Anfange
, was dasselbe ist.
ö=0, gr =iPsin a.
Statt haben wird, wenn die Kugel anfänglich in A ist, und I sie dort eine Geschwindigkeit erhält gleich der, mit der den Anfang des Rades durchläuft.
Alsdann giebt (21):
C= 2g cos « — A'*r* cos ^a
(22)
t^S/rJ V'(i -cos w) [ÄVcosaa(l + cos w) - 2r^ cos «] *
it man hier tg ^<»=ii, Ä^cos*« — «/cosa=a, <ycosa=Ä, so et flieh
I
C'€ '^ = 1
tg^fl)
tetzt man hier, um c' zu bestimmen, 1=0, co=0, so ist jt und tg n CO ist also fortwährend Null. In diesem Falle
k würde die Kugel die Horizontalebene nie verlassen und sie Heden Kreis um O mit der Geschwindigkeit Jarsin er beschreiben. M allgemeinen Falle wird t (22) durch die Quadraturen ge- pi werden.
103
AnflSsungreii der Anfi^abe, bei einei Oasgemenf^e von viererlei brennbare 6a9en die unbeliannten Olieder p, Cü €)y' nnd Cg zu bestimmen.
Von
Herrn Professor Zenneck
zfi Stuttgart.
Es sei das Gasge in|en ge = M bestehend dem Volamen im aus Wasserstoffgas = y ,
Kohlenoxydgas = C2;> Einfachkohlenwasserstoffgas =^Cy' und Doppeltkohlenwasser- stoffgas z=z Cy ; so erhält man durch Detonation mit Sauerstofigas =0 i Eudiometer : '
1) Kohlensaures Gas aus Cx und aus dem Kohlenstoff i Cy* und Cy mit einem Theil von O;
2) Wassergas im Augenblick des Verbrennungsprocesses ai y und einem anderen Theil von O, das aber bei einer Ter peratur unter 80^ R. sich alsbald in liquides Was«. verwandelt;
3) einen Rückstand von dem zur Detonation hinreichend | nommenen Sauertsoffgas = O'.
Nach Erhaltung dieser dreierlei Gase {=K+W+ O')*)
*) ^= Volumen des kohlensauren Gases. ^
\Vz=z Volumen des bei 80® R. besiehenden Wassergases, ö'rs: Volumen des von der Detonation des 31 mit 0 zurfickgebT
benen Sauerstoffgases.
^ 103
^^Beter durch diese DetnriaHun als ein Voluniea = li" kann ^^^fea die Voluminu der vier in JfJ ^pgebenen unbekannten ^^Hi (r=y -|- Cc + Cy' + Ci/) unter ge» issen Bedingongen auf ^^Bb 'Weise bestimmen und zwar :
^^) Wenn I) das Detonalionsprodukt (==72*') im Endiometer bei der Temperatur ^80" lt. erhalten worden ist, so dass man li" mit dem Wasser^as ( IF) messen kann; 2) das koldenisaure Gas (A') mit Aeztau^e absorbirt und den Rück- stand*) (R°-K=W+ 0-) miset; und 3) das Wassergas durch Erniedrigimg der Temperatur verschwinden lässt, so dass nur der messbare Saue rc^toffrest (O') übrig bleibt. B) Wenn sich 1} M+0, das seinem Gewicht nach =11" ist, wSgen lässt; 3} das nach Verschnindung von W ent- stehende ruckständige Volumen =: R gemessen wird bei L'iwend einer Teni))eratur; 3) die Kohlensäure' K absor- fbirtwird, so dass nur 0' = K' (letzter ItÜ-^kstand) zu- f rikkbleibt.
[iWeim man I) das lloppeltkohlenwasserstolT^as Ca mit r ^lorgas »bsarbirt, che man jV detnnirt hat; dann 2) den [ l{üciiatiini\itJ'=y-i-CxfCff- mit 0 Uetonirt; 3) den Riick- I stand R nach seinem Volumen misst und 4) die Kohlen- \ BÜBre K absorbirt u. s.w. ivie bei It).
■ estimmangen der
vier unbekannten Gase nach fahren liei A).
I eine Einrichtung, bei welcher der Endiometer in Ipem Wasser steht, so dass das entstehende Wassergas r Detonation noch in seinem Gaszustand'*^), bis man ge- lbat, Meibt, so: ^etonirt man ßl mit O.
Misst den Rückstand***) 7^" nath seinem Volumen. ' Isst diesen Rückstand erkalten, so dass das Wassergas ~l verdichtet nnd mau dann einen zweiten Rückstand I erhalt. I dieses R unter Bemerkunj; seiner Temperatur, pluorbirt hierauf in li die Kohlensäure K mit Aezkali, I Anas nur noch 0'=: 3lr Rückstand ^ ß' übrig bleibt, gemessen wird , und der verbrauchte , SnuerstofT
-R'
■lt.
nOf^ dieser fünf Operationen nnd ihrer Produkte erbält I äie vier Gleichungen -{-):
=K+W-t-0- Ut, Kn i.t li"-~ A'=\i'-i-o:
Thrrmnmeter l><^»l.a>Jitrt werden kimncn, [I<-Meii i 6Rramet«r«tnnil luv Reiluuliiin des Gaatalumens auf iei " i O« Th. und 28" tlnr. xu ilitnen bnt.
r vielmehr da« veränderte ReHulInt der Oetnnatinn. I Uam «nr BUdiiHE ihrer PniduklE mit 0 furdern i P'Hnlbr, O' da» Doiniirlte ii»il Cy das Orrirnili,- ilii-.
und aus diesen durch Elimination und Substitution die vier n bestimmenden Gasvolumina:
.V=r2*/ + 40'')— (4« + 3fy)oder=:(2ilf+40) — (3Ä0 + fi), Ca: = (2Ä+lf)-20''. . oder=(ÄO +fi)— 20, Cy=(5Ä+5>F) - (2IU+60") oder=(5ÄO + Ä0 - (2ilf +60), C^==(^+4O'0-(3if+3H0oder=(ü/+4O)-(Ä« + Ä0;
wenn man sie nach den Grossen JU und O, sowie nach den Ruck* ständen R^, R und R' bestimmen uill, wahrend Pogi^endorff bei seinen Formeln zur Auflosung dieser Aufgabe in seinen Ad- naien der Physik (Bd. XLVL p. 622) zum Theil nur mit an- dern Zeichen*) die ersten Gleichungen aufgestellt hat. Da luu aber (nach dem angegebenen Verfahren 2.^ den Rflckstand der Detonation R^ nothwendig seinem Volumen nach messen**) muss, wie die nachherigen Rflckstände RundR' (nach 3— 5), w sind die zweiten Gleichungen, welche die nach diesen RückstSi- den bezeichneten Grössen enthalten, zu den Bestimmungen ros y, Cx u. s. w. tauglicher.
Cx nnd Cff' gehen mit 0 ein ihnen g'leicbes, Cy nhvr ein doppelte! Toi. kohlen«. Gnses; y liefert mit 0 ein ihm gleiches, Cff' und Cy aber dai doppelte Vol. Wassergas ihres Volumens.
*) Poggendorff bezeichnet p mit A,
Cx - d,
cy - C,
II. Cy - rf,
31 mit m u. 0" - S und
giebt die Gleichungen ;
rt=2/7i+4& — 4Ä — air,
d=z — 25 + 2A-fIF
C=— 2/// — 65+5Ä'+r>ir,
</ = ;/i+45— IM — 3ir.
*'^) Pogjsfendorff sn^^t bei den zur Anaivse erfordert ichea 0|ie- rationen nur, das4 der UückstRnd der Detonation zu messen sei, bd der sich der Wasserdampf bilde und wieder verdichte, so dass miB das dadurch Vemchwundene hU Wusserdampf anzusehen habe, akcr nicht, dass dieser WusKcrdampf noch vor seinem Verschwindei mit den andern Gasen (K n. 0*) des Ruekstands gemessen werden bim« noch, wie dieser Kiickstand zu messen sei, dass dieses nehmlirh catwe- der unmittelbar (bei der oben auj^ei^ehenen Einrirhtun,? des Eudiometrn) oder miltelhar (nach II. vermittelst Wägung) dem Volumen nach aiw- lu führen sei.
nngen der vier unbckanntei dem Verfahren liei U).
Grüssen nach
Dar«:]! die Detnnulion von M mit O entsteht z»ur eine Ver- dernng der darin enthaltenen Gase naih denk Volumen*), T nicht nach dem Gewicht, so luni^e das Wuseergns sich noch lit zu Wasser verdichtet und mit dem Suerrirusser vemiiacht - und unter dieser Bedingung ist daher dem Guivicht ituch f O=Ar+0'+ IK=K"; wenn mim daher ^/+ O wfigt*»), so init man damit auch das abtiolute Gewicht vun R'»=M-\^0. Wird nun (nach der Geuidilsbestiuimuiig von J!f + O)
M mit 0 detonirt ; F der liiickstand tt nach dein Verschwinden de« W hei irgend püner gegebenen Tem[>eratur dem Volumen nach gemessen; Y mit Aexkali alisnrtdrt und der Kflckstand /f' gemessen; _> geben diese Messungen (2. u. 3.)_ die Volumina von Kund O, und also, da man die spec. Geirichte dieser beiden "a»B k^nnt, durch Miiltiplicatinn ihrer erhaltenen Volnminu it ihrem üpecif. Gewichte auch ihre absoluten Gewi ch t e. iebt man nun von dem absni. Gewichte des l^"=Jlf 4 ^ ) Summe der absol. Gewichte von K und O' ab; so i^t rRest dieser Sublraction {M -\- O) ~ {K -\- O') = absol. ,ieht des ir, dessen Volumen venniticist Division _is übs. Gewichts***) durch sein specif. Gewicht (bei r gegebenen Temperatur) erhalten wird- kra man daher (nach 2 — 3) die Votumina von£, O" und W, die zusammen = W* sind, und die Volumina von V^'und Bt wie die von M und O bestimmt bat, so kann man, da W.=:0~R' ist (I. 5.), die vier unbekannten Griissen nach |ea obigen (I.) ersten oder zweiten Gleichungen bestimmen.
unbekannten Grössen Iren bei C).
lEiitlialt das Gaegemenge unter seinen viererlei Gasen Dop- Iniliuhlen wasserstofi'gas, so ISsst sich dieses bekanntlich rIi Chlurgas, welches damit das sogenannte Chloröhl bildet, Hirliiten, und da dieses Produkt sich nur bei erhöhter Teni-
Bnlbüll, 811 fordert k» mil liofurt mit didaem lanmioeo 9 Vol., wäli<
I aeinera Voloiiif
*) Das Valiimen veriaindcrt sich durch die Dtlonnlion; dcan " ~ 8olc:lier Gase tiiii .ji; (jclcicbei inn (nflch 1.) eiii (7" = 6 Vv giä Vol. nnd «in A'=:4 Volumina ^'0" 10 Voluniinii betrogen. ' Oder, da man diii abo»!. Gen H. Qewicht Iieatimmen Itann , nur .V allein (eine licliebige Vot- *a) Hch Giiy-Luaaai''s Mclhoitc io einer lubulirten Glaakugel. tF, Jahrli. W. p. 239.) t >|>ecir Gewicht dea WaaBergaae* {W) i«t (dio aUnnaph. nl) 0,G233 nuch Gay -l.uwac. nder: 1. rf. CkK. Wouergna %.. gr., »der 1000. Clikeenlini. dcaaclbeii wÜ^'en ::=0,8ua36 (8. Hl. t>br«ik. ehemiscUcs Hulf^buch p. VA — i^.)
106
peratur als Gas darstellt, so kann man jenes Gasglte^ ivetiti man in das (iusgenienge =? M nach seiner K lan^e Chlurgas elnstrümen Ussl, aU noch eine Verniiitderunj Volaniens von M bemerkt wird, und wenn man nun das rfickstSJ Gasgemenge -^M' gleichfalls geraessen hat, so ist das Gaa Cy (Doppel tkoblenwasserstoffgas) =M — M' und M'=v-{-Cx\ dessen (frei Glieder sich vermittelst Detonation des M' mit e 2 — Sfachen O und nach der Messung des ßSclcstandes 1 durch Absorption der Kohlensaure mit Aeicicali, welche j zweiten Rückstand =^R' liefert, ohne llerücksichtigung des' stehenden Wasserdtimpres, durch folgende drei Gleichung«^ stimmen lassen :
1) jtf' ist =y-^Cx-\-Cy';
2) R =«'+0--|- 3?
3) R' =M'-YO-
-ä-^ — 3C;/', tudem dieElimiq
2»)Cx.
und Substitution auf 1*) ^
~ 3
sei z. B. M=UO. M id also Cv=lÜ Vol.
und 3*) Cif':
30— (Jtf^SiP)
ßil
aber = 100 Vol. gefunden I
_ , - - - -I sei M' mit 0 = 300 Vol.J
nirt, ßr=253 Vol. und nach der Absorption des kohleng. G] R durch Aezlauge /^' = 17S Vol. gefunden worden; sd
1) ß-Ä' = 80 Vol., also »,= 100-80=20 Vol.
jtf'+3«_8&3 20-fi'_775 , ^ ^„„ ^
^' ^^ 3 *
=^-,alsoGc=2f
3)
20— (J7'+2fl') COO— 450^150
3
H-,aIsoC5'=
-1=50 V^
Würde man übrigens bei einem solchen Gemenge aus! Gasgliedern nur wissen, dnss es solche brennbare Gasflj f halten kann, aber nicht, ob es nur 1, oder je 2 davou, I j alle 3 Arten enthalte, so hat man doch an den nächsten Dej tions - und Absorptionsjirodukteu die mltbigen I nach denen man linden kann , was fiir ein fall von den i möglichen Fällen bei dem Gemenge statt tindet: deun'
1) Ist nach der Detonation keine Kohlens.^ure (K) a sorbiren, so war in AI' blos v vorhauden, und wede^ noch C./'.
2) Beweist aber die Absorption (mit Aezlauge) das Daseinj Kohlensäure und zwar ein Volumen K~JH', so enthlH nur kohlenhaltige Gase, da diese all
Bcw< *) Ddc Dclimaliontrerliist ist B) I»t nun A'= l/' = 2(Ä— fl), ,
i«,. ad *i). = M' + 0~H.
1 igt -r—H — O und d^lier inCKl
107
luineD von M* gleiches Volumen Kohlensäure als Rückstand
liefern» und zwar: a) Wenn K—2(R'^0) ist, so ist MT—Cx. h) Wenn K—O-R ist, so ist M'—Cy*. c) Wenn K weder =2(/2 — O), noch = O — ß Ist, so ist
^ Oder zeigt der Absorptionsversuch, dass M* zwar Kohlen- sSure enthält, aber ein Volumen (£), das kleiner als üf' ist, 80 beweist dieses, dass das Gemenge theils Wasser- 8 toff gas (^),theils irgend ein oder beide kohleohaltige Gase enthielt, da bei der Detonation y sowohl für sich, als aus seiner Verbindung mit C in Cy* mit seinem zugehöri- gen Sauerstoff (O) verschwindet«
a) Wenn nun Jf <Jf', M' aber ==2(0-/20 ist , so Jst J!/'=.v -f ßr, da man au welche nur mit der
b) Wenn «< ül', M' aber =20+ ß' — 3Ä ist, so ist M' = V -f Cy'y da man aus jener Gleicbuns eine andere für M' ableiten kann, deren Glieder nur mit der Annahme von M'
■\rCxy da man aus jener Gleichung eine für R* erhälif,
1er Annahme von M'^^y-^-Cx stimmt.
=y-f Cy übereinstimmen.
:=zO'^R, also IT'— --= ---=if'-h(?— Ä, was nnr bei Sl'^Cx
SS m
ftatt findet. \) Iit Az=:0-'R=M'. 80 ist aoch 2J/'=:i^'-|-(? — J?, was nur bei
M' = Cp' statt findet, e) Da beijr=if' dieses =(7jt, oder =ry' oder = Cr -|- Cy' sein muss,
M kann 3f% wenn es weder = Cx, noch = (7^' ist, nur ^zCx-l-Cy* sein.
Beweise ad 3). i) Wenn if'=2 (ö— /?0 i«t, so ist~=ö — Ä% also
3lf + (^—•5 2Cy' ist (nach der obigen Bestimmung III.)
Ja
JlznM' + O'- ^ - 2J/' + *^
2
Ja
y=2(.l/'— Ö+Ä);
imd 2) Cy*=^R — R', da die Differenz der Gleichungen Ton Ä und Ä* =:Cjr' ist. In obiger Gleichung von M* stimmt also das Glied 2(lf'— 0-f A) mit y und das Glied R-^R' mit Ty'.
108
c) stattfinden können, folglich wenn die von a) nnd b) nicht 6tatt finden, c) statt finden muss.
Ausserdem sehen die ohisen Bestimmungen von y=^IU' — (ß— /f*), O.^i^'^m-i'^O^rR')^^, f^^lO-i^±m 3„eh noch
Kennzeichen vom Dasein oder Nichtdasein eines Gasgliedes in M\ an die Hand ; denn da jede dieser Gleichungen aus einem positiven und negativen Theil bestehl, so fehlt in M* diejenige Grosse, deren Gleichung nach Uebersetzung der M% O, R und Rf in ihre Zahlenwerthe =Nuli wird, und diejenigen sind vorhanden, deren Bestimmung einen gewissen Werth angiebt; z. B. M' sei = 100 Vol., O = 200, R = 140, und Ä' =120 gewesen, so ist
ilf'- (Ä— Ä0=10a-.20=80 , also2^ vorhanden ; (^!:i^I^t^^2±J^
520-^520 n I /. r ui ^ a 20-(^^ + 2/g^) 400-340 = ö =ü,also Cor fehlend; und « = g
=20, also Cy* vorhanden.
Hat man etwa über Quecksilber experimentirt , und es zeigt sich auf demselben, oder an der Wandung des Eudiome- ters, kein Tropfen von Wasser, so enthielt M^ kein y, noch Cy\ sondern nur Ca:, da dieses allein kein Wasser liefern kann; zeigt sich aber Wasser, wenn auch nur in noch so geringer Menge, so kann M* entweder y allein, oder Cy* allein, oder beide enthalten haben, worüber dann obige Kennzeichen (1. 2.) ent-^ scheiden. '^
IW
Problem a.
A\ictor
Christianas Fr. Lindman,
Lector Strengnesensis.
Invenire Rhombum maximiim et mioimum, qui in Ulipsin datam (axes=a, by a>6) ioscribi possit
Qaia latera opposita Rhombi inscripti sunt chordae inter se imllelae, diameter quidumEllipsisutrumque in duas partes aeqiia- ksdividat, necesse est. Cetera latera huic diametro parallela Mftt (Euci. 1. 33). quamobrera a diametro conjugato in duas par- Im aeqaales dividuntur. Posito i&^itur diametro, qui sub angulo=a IDo majorem seeet,==2a^ diametro vero conjugato, cujus angulus jh axiu majorem sit=:a^ -=26', et a'>a, aequatio Ellipsis
^Bsbrinatione coordinatarum ex formulis
y=a:Sina-f 2^Sina',a:'=a:Cosa+yCosa' irtatnr in
'^"^ a«'" —a^Sin^a+Ä^CosV ^ ■~"a2SinV+62CosV^*^
latera Rhombi quaesiti axibus parallela sint ab iisque aeaua- seceotur, problema propositum in inveniendis quattuor Elllp- puDctis continetur, quorum omnes coordinatae valore absoluto X se äquales sint. Qui valor facillime invenitur ess^
a'b'
Va'H^'«
110
, qaamobrem latus Rhombi cujosdam inscripti est
2a'b'
V «'«+6'«
et area= F=^^, ^;gSin(a'— c), .... (2)
quia alter anguloram ejus est :=a'— '«^ Si a habetur variabilis in« dependens» invenitnus ez aequ. tg«tga'= — — ,'
SioV=
64Cos«Ä
a4Sin«a+6*Cos«a
-, C08V=
cf^Sin*«
a^Sio^o+AMJos««'
^ -"a«Sin2a+6«Cos»a* qui valores cum valore ipsius a'^ io (2) dueti suppedltaot:
'^ ~ (aHÄ«)(a«Sin««+ 6«Cos^) ' unde differentiatione obtinetur:
rfF_ 4g«6«(flg~6g)«SincCos« 6«Cos«g—a« Sinket
At vero quum fiat ^-=0 et j-2>0 pro «=0 et 5^=0et ■gjäS*'
pro tgg = —> Rhombus pro hoc valore ipsius a maximus est, ft^
ilio minimus. Rhombus maximus construitur coiijungeodis inter 8^ punctis extremis axium principaüum, sed Rhombus minimus, qv* est quadratum^ si puncta extrema diametrorum inter se aequalim^ conjunguntur.
Ilntersnchnns der Mquadratischen
Formen.
Von
Herrn Doctor F. Arndt,
Lehrer am GjrniDasiani zu Stralsund.
Wenn von den beiden biquadratiscben Formen
ttste in die zweite durch die lineare Substitution
x=aX+ßr, y=yX+ir,
., kurz, durch die Substitution a, ßy y, d übergeht, so hängen Coefficienten der zweiten Form von denen der ersten durch Gleichungen [5] ab, in der Abhandlung: „Ein Satz über jilre Formen von beliebigem Grade und Anwendung iiselben aufbiquadratische Formen.'* (Th. XVII. pag. ' f.). Wir hatten die Gleichung
ien, wo A eine rationale Function der Coefficienten der F ist, von welcher die Natur der letztern wesentlich ab* . Für den Werth von A sind verschiedene Ausdrücke ent- it worden , nämlich
112
- 12ö26rfe«— 6fl6«cZ2ß- lS0abc^de + 8lac*e'-'J7ä^d*
+l08b^cde+Uab^ce^^-6U^c^e ,
(•2) A = 81 Ai* + 18/*2^- + 9^^ — V - 27/22 -- 27%« , (3) A = 87/Äi;t + -27/»a* + 9AiÄ««-V-27/i«— 27/^7«; ivo
I/*=:66— ac, £^=:6c— arf, Ä|=cc— 6rf izucd — 6^, k^zdd-^ecy AssSAt-fAg ist, und auch
Eine nothwendige Bedingung für die Aequivalenz von F tu P ist mithin A=A'* Bemerkt man aber, dass zur Bestimmni von a, j?9 y» ^9 die Aequivalenz vorausgesetzt, sechs Fundamel talgleichungen gegeben sind, nämlich die schon angegebenen GIc chungen [5] und die Gleichung {aB—ßy)^-=,i^ so ist ersichtlid dass zwischen den CoefBcienten von Fy P mindestens zwei H lationen statt linden müssen, dass also ausser der Bedingoi A = A' noch eine zweite existiren muss. Diese ausfindig i machen, ist Gegenstand der gegenwärtigen Arbeit. Wir kunm auf mehreren Wegen zum. Ziel gelangen; ich betrete zuerst dei jenigen Weg, der sich mir zuerst dargeboten hat, und werde s< dann einen einfachem zeigen.
f ' I
In der erwähnten Abhandlung habe ich eine Correspondanl von F entdeckt, nämlich
<P=(6/*, 3<7, A,3/, 6A),
welche die Eigenschaft besitzt, dass sie durch die Substituti( «» ßy y> ^9 mittelst welcher F in F* übergeht, sich in die For
verwandelt, wo die accentuirten Buchstaben sich auf die Fori F* beziehen. Bezeichnen wir also die Determinante von der For
(öA 3^> A> 3i, 6A) mit Ai? die von
HS
fö/', 3g', h!y 3i', W) mit Ai% so hat man, beachtend, dass die Determinaote von tp* offenbar
ist,
:rkr2=(««-i5y)»Ai,
(«d-jSy) oder
(5) Ai'=(a^-i3y)**Ai.
Wird nun diese Reiatioii zwischen den Determinanten der Cor- Kspoudanten von F und F* weiter entwickelt, so wird sicli wie- gln eine Relation zwischen den Coefficienten von F und F^ ergeben, welche mit der Bedingung A'= («tf— iSy)^*A nicht iden- tisch sein kann. Weitere Nachforschungen haben ergeben , dass
hei dieser Untersuchung nur auf die Verhältnisse — > ^
le, und die letztern Quadratzahlen sein mOssien. Um sich
rm direct zu überzeugen, berechnet man am einfachsten die
Ai Dach (2), indem man die Grössen /*» ^t ^> h%i is k
andere ersetzt, welche aus 6/*, 3^, A, 3z, 6A; gerade so
^\ sind, wie (% g, A, i, k aus a, 6, c, d, e. Herr Con-
W a s m u n d hieselbst , ein gewandter, mit tüchtigen mathe-
lea Kenntnissen ausgerüsteter, Rechner, hat diese fierech-
tnsgeföhrt; es gelang ihm durch mehrere Umformungen- das
liss -~ wirklich auf die Form eines Quadrats zu bringen, '
ieh behauptet hatte, und zugleich ergab sich ein b^merkens- far Werth von ^, wodurch die Bedingung A' = («^"H^Jf) **i)i in zwei einfachere Bedingungen auflösen Tiess. Da aoer dier ri sehr verwickelt und ermüdend ist, so dürfte es zweckmüs- sein, nun eine einfache Methode zu zeigen, durch welche man tBgedevtttten Resultate auf eine ganz einfache Weis«, erhalten
Ans (3) folgt
^-(3Aj-_/,.^)3 ^ -.27(/tHAi7*-3^,A-/AaA-A,«Aa+Ai');
es findet sich, indem für f, g, Ai, etc. ihre Werthe substitnirt ien,
3Äi — Aa =3c2— 4Ad + ae ;
ich, wenn man zur Abkürzung '
iil XVIII. 8
114
(0) <8etzt:
Berechnen wir nun die Werthe ^i , i2|, in welche ^» A übergehen» wenn man die Form F durch ihre Correspondante
9> = (6A 35r, A, 3i, Oifc)
ersetzt. <-- Es ist also
^1 = 3A«— 'S&igl—fk) = 3(3Ai -Ä^« = 3(3c«-4Ad+iiif)«,
folglich
(7) ?;i=3t;2.
Femer
«1 = - 18^*1 V 54/i« +54^,9«— 36/3Wfe+ A3,
oder, wenn man SA^-f^» hih^^ + fk statt A, ^' setzt,
Äi =64/i«+54A|7* - 162/»iA-54/-AaA-27Ai«A,~9A4 V+Ä»HS7V
=-2A + (3Ai--AJ»;
folglich
(8) Äirsts»»— 2i\=-tf» + 84a«.
Nach (6) ist endlich
woraus durch Substitution der Werthe von '^i, Sli aus (7) mul (8) folgt:
(9) Ai = (54Ä)2A-
Bezeichnet man jetzt die Werthe, welche den Grossen 9, A in Bezug auf die Form F* zukommen, mit ^^ Sl', so ist ebeoio
Ai'=(54Ä0«A';
es war aber
folglich kommt
^^« = («6— /JyPÄ«,
oder
115
eicht man ferner die Relationen eachtet
gt
Zf^^iaS—ßy)^, oder ty'=(a*H'y)V-
^a in dem Werth von Sl' noch das Zeichen unbestimmt ist, t wickele man diese Grösse direct mit Hölfe der Fnndamen- ichungen [5] in der Abhandlung Tbl. XVII. p. 409. tt. Um lechnung abzukürzen, braucht man nur die ulieder wirklich irecbnen, welche in
Ä=a«P+e*a+c»— ace— ^26cd
mmen, indem alles Uebrige sich aufheben muss. Man fin* lann in Sl' das obere Vorzeichen. 'Auf ähnliche Art kann sich Ton der Kichtigkeit der Gleichung
:eugen, wenn man 3c'*— 46'd'+aV berechnet Das Resultat rer bisherigen Betrachtungen ist also Folgendes:
IVenn die biquadratische Form ie biquadratische Form ch die Substitution
r|!;eht, so finden zwischen den Coefficienten bei- Formen folgende Gleichungen statt:
IS = ^c^-Ud +ae, is' =3c'« — Wd' + a'e'y :«(P+e6«+c«— ace-26cd, a'=:o'd'«+e'6'«+ c'3-aVc'-26Vd'
116
Ist; und wenn man
«etit, so folgt noch
Wenn aUo die beiden Formen aequivalent sind« so w die drei Glelchun|ij;en is' = 7S» Ä'=Ä, A' = A «ta** finden deren beiden ersten die dritte folgt.
Hiermit Ist der erste Anfang zu einer Theorie der biqi tischen Formen gemacht. Die weitere Untersnchung der / valeni biquadratim^er Formen gehOrt jsu den schmerigsten , über nächstens ein Mehreres.
Beispiel.
F=a^ + l'la^g^ + 12xg + li^=(i, 0, 2, 3, 5);
er. ß, y, d=— 5, —2, +3, +1, «Ä-/Jy= + t;
F'sCailO, 80B, 309» 118, 45)
A==7. A'r= 2g3T9&IO— 29339550 \
+ 29378880—58922502 j=7. + 29609629 )
^=17,^'= 286443—381371 ,.
I = lim
+94950 '
Noch einlacber als bisher lassen sich die getandeoea f tale entvrickeln, wenn man die Fanctioo F als Prodnct ii Functionen darstellt Za dem Ende bezeichnen wir die VE^i der Cileichang
in* + 4ÄI» + 6ri« + 4<lr + r =0
mit T. r. V. r*. und setzen
Ajr^) = «J^ + 46xV+6rJry + 4dLr5»+«3r« = «(x- Fjr^ v-r- Ff ^ iJr- 7*w^ >- T'y .
Ili«ff;»tt$ fi4drt
«''=««*+4»«v+<«V^+^«7*+<7*=r«- : -
H7
Nun findet sich :
^Iich hat man, wenn zur Abkürzung
(T-TO*=f»> (t-0«=^, (t~0«=»-. (t'-0*=*.
'-5r)«=/n, (r-ro«=^i, (r-r'o*=ri, (7^-.^')«=*,,
setzt ivird:
'.die GruisseA
snbar symmetrische Functionen der Wurzeln t^ x\ rf\ %*** sind, werden sie sich durch die Coefficienten der Gleichung
112* + 4623 + 6«« + 4rfz+c = 0
iooai ausdrucken lassen. Um dies mit Leichtigkeit zu heu-crk* Uigen» benutzen wir die Tabellen zu »JMeier Hirsch, Samm- le von Aufgaben aus der Theorie der algebraischen eichungen. Berlin 1809. In diesen Tabellen findet man
iirthe der Summenausdrücke [ajSyd x], auf welche sich jede
nmetrisdie Function zuröckfönren lässt; ein solcher Ausdruck aber eine Summe von Gliedern , die man findet, wenn man alle mbinationen der Wurzeln der Gleichung zur mten Klasse bil- \^ wo m die Zahl der Buchstaben cf, /?, 7, £,... x, den in jeder lOplexion vorkommenden Wurzeln die Exponenten a, j$, y, ....x jit» und die letztern auf alle möglichen Arten perniutirt. Die I Tabellen zu Grunde liegende Gleichung ist
118
o:"— 4ä*-* + ä««^«- etc.
so das8 H'ir zuletzt
«
-46 +6c -Jrf +£ a a * a * a .
ätatt A, B, C, D zw setzen haben.
Man findet
*
/?tt + ^e + r#=2[22J-2[112J + l2[Illl]=2ÄZ?— 6ilC+24Z> folglich
(11) .... a«(/>a+^+w)=24(3c«— 4Ä€i+ac) = 24jy. Ferner kommt
= 2[44] + 6[224] +I08f2222]— 4[1341 +35[1133]-.24[1223] =2Z?*— 12^Ä«C+18^2C2+48Ä«Z>-144^CD+288Z)»,
folglich
(12) a4(/>«tt«+^*<*+ra5a)=288(3c«— 46d+ac)a=288ö^.
Aus (II) und (12) folgt leicht:
(13) a\pu.qt +pu.rs+gtrs) = lU&c^-Ud+ae)^^, 144^«.
Mit der Berechnung des Products pujfLrs habe ich mich in d Abhandlung: „Ein Satz über binäre Formen etc." (Tbl. XVl Nr. XVll. Heft IV. 8.409.) ausführlich beschäftigt, und es famlil
(14) aHpu.qtrs)=^m^ .
Da nun nach (10) '
o'Hpi «1 + 7i <i + »"i«! ) = «*(/>M + y^ + w) (ad — jjy)4 , a' \pi Ui,qi ti .Vi Ä| ) = a^(pu, f/trs) (ciS—ßy) ^* ist, so folgt nach (II) und (14) ,
^'=^(«5-j3y)4, A' = A(«(5-"/?y)^^ ivie oben gefunden worden. — Hieraus folgt weiter, dass
diejenige kubische Gleichung sein wird, deren Wurzeln /^k« » rs sind, oder
119
ff* ■r^t4fijff* + 1447$^ — 256A =0
e Gleichung y deren Wurzeln a^pu, a^qt, ä^s sind. Folglich Mt 8ich jede symmetrische Function der drei Corobinationen pu, l, rt durch die Grossen ^ und A Ausdrücken.
■
Die Natur einer biquadratischen Form hängt nun von den bei- en Grossen ^^ Sl ab, welche wir die erste und zweite leterminante nennen können, während A=?$'^ — 27.$2^ eine BS beiden abgeleitete Determinante ist.
Stralsund, den 20 September 1851.
(Fortsetzung in einem der nächsten Hefte.)
ithetteche Beweise der Sätze in XTI. UTr. XTIII. und UTr. ILTJL.
des ArcliiYS.
Herrn Professor Pross
zu S tuttgart.
XVIIL Man denke sich inThl. XVI. Taf. IV.Fis.3. an den Durch
ipu
staben H gesetzt, so ist:
Schnittspunkt der Geraden AM und BN den Buch
f
AC'.AD=NP.AP, weil ^ACDco^^ANP =iMN:AB, weil ^MNPoä^ABP;
folglich JlilN=^^~.
XIX. Man denkip sieh In ThL XVI. TafclV. Fic. 5. die Gi Db, De und Db\ Di'!' gezogen, so sind nie Dreiecl nnd b'c'D ähnlich» vreil die.Wttfrkel 6 und A' al fangsvrinkel auf der Sehne AD und die Winkel c , als NeheAwinkel der gleichen Umfangswinkel und Dc'Af gleich sind; es verhalten sich al Hnhen <Keser Dreiecke wie ihre Grundlinien l b*&. (q. e. d.).
Anmerkung. Diese lieiden wichtigen Sätze verdienter Lehrbficher der Geometrie aufjgenommen au v und zwar der erste unter der Form:
„Wenn man in einem Dreieck ABC (Jhl. X> „IV. Fig. 3*) beliebig eine Transversale J/> zieht, yyhält sich die Transversale AD zu der eine „schliesscnden Seite AC wie die andere eins 9,sende Seite AB zu einer Sehne MN des ui »«Dreieck beschriebeiien Kreises, welcher ein Um „winke! entspricht» der dem Winkel ADV glei „unter welchem die Transversale die Gegensei „schneidet.''
Druckfehler.
Theil XVI. Taf. IV. Fig. 5. muss in der zweiten und der drei Figuren, aus denen Fig. 5. besteht, an den zweit< teren) Durchschnittspunkt der beiden Kreise der Buchstabe setzt werden.
121
XIEI.
er die Berechnungr der Cometen-
Ibahnen.
Fortsetzung der AbhandluDg: Neue Methode zur Berech- nung der Cometenbabnen/))
Von
dem Heraushieben
Einleitung.
nSchste Zweck meiner Abhandlung: Neue Methode rechnung der Cometelnbabnen, war allerdings, wiq
dieser Abhandlung bemerkt worden ist» die Mittneilung ilig directen, d. h. hier, gar kein Probireo in Ansprach len Näherungsmethode zur Berechnung der Cometenbah- iese Methode legt aber, wie aus der angefahrten Abband- cannt ist, vier Beobachtungen zu Grunde« da im Gegen* s eigentliche sogenannte Cometenproblem , wie es in der nie gewöhnlich aufgefasst wird, nur drei Beobachtungen ruch nimmt, welche auch in der That hinreichen, um die Res Cometen in der parabolischen Hypothese rollständig len zu können. Mein Zweck bei der oben angefahrten Ab« g war nun aber auch zugleich , durch dieselbe , wenigstens tosten Theile nach, diejenigen Grundlagen zu gewinnen,
zur Auflösung des eigentlichen Cometenproblems , nach gewöhnlichen Auffassung in der Astronomie, erforderlich od ich will nun in der vorliegenden Abhandlung, die der nannten Abhandlung zur Fortsetzung dienen soll, mich mit
ArchiT der Mathematik und Pbysik. Tbl. XVII. Nr IV. inil. 9
1 «■•
122
der Auflösung des eigentlichen Cometcnproblems lieschSftigen, iro* bei ich zugleich . — mich librigcns durchaus nur auf das Nofb- ivendigsto lieschränkond , — einige eigne Ansichten über die Lö- sung dieser so buchst wichtigen Aufgabe den Astronomen nnd Mathematikern zu geneigter Beachtung empfehlen mochte. Die in der früheren Abhandlung gebrauchten Bezeichnungen werde ich auch hier sämmtlich beibehalten, und werde Abänderungen» die in dieser Beziehung etwa getroflfen werden sollten , sorgfältig an- zeigen.
Bevor ich mich zu der Auflösung des Cometenproblems selM wende, will ich vorläufig und ein für alle Mal darauf aufraerksan machen, was die in der früheren Abhandlung gebrauchten Sym- bole Ui9 ii.2> t/3 eigentlich bedeuten, weil, dies zu wissen iral Ktets vor Augen zu haben , für das Folgende von Wichtigkeit ul Nach §. 8. der früheren Abhandlung hat man die Gleichungen:
Zi = — Misin^i', 22=-"%8in/?jj'* 23=— '«sSinA'»
und da nun bekanntlich ßi', ß^ , ß^* die geocentrischen Breitao des Cometen in den Momenten der ersten, zweiten und drttin Beobachtung bezeichnen, so erhellet auf der Stelle, dass tii»i^ t/3 die negativ genommenen £ntfernungen des Cometen vod der Erde zu den Zeiten der ersten, zweiten und dritten Beobach- tung sind. Man könnte leicht die wirklichen Entfernungen des Cometen von der Erde in den drei Beobachtungen in die Rech- nung einführen, was aber eine Erleichterung der Rechnung nicht herbeiführen würde, und daher von mir unterlassen werden soll* um mich desto leichter unmittelbar an die frühere Abhandlonf; anschliessen zu können, wodurch die vorliegende .Abhandlung wesentlich abgekürzt werden wird.
Immer legen wir nun im Folgenden bloss drei Beobachtungen zum Grunde, aus denen wir die ganze Bahn zu bestimmen suchen. Dies vorausgesetzt, werde ich zuerst zeigen, wie das Cometen-
ßroblem ganz im Alh^emeinen, ohne irgend eine Näherung u [ülfe zu nehmen, aufzulösen ist, 'und dann die Näherungen an- geben, welche man sich erlauben darf, und zu denen man Inder That auch meistens seine Zuflucht genommen hat, um sich die Auflösung möglichst zu erleichtern. Dabei wird auch insbesondere von der Auflösung von Olbers die Rede sein, deren man sich jetzt in der Astronomie fast allgemein bei der Berechnung der Cometenbahnen bedient, indem ich wenigstens im Allgemeinen die Hauptmomente angeben werde, auf welche diese Auflösung zurück- kommt, übrigens aber das Studium der in meiner früheren Ab- handlung angeführten wichtigen Abhandlung von Olbers selbst dem eignen Fleisse des Lesers überlasse, da diese Auflösung, nebst den ihr durch Gauss zu Theil gewordenen wichtigen. Ver- vollkommnungen, zu allgemein bekannt ist, als dass ich es zweck- mässig finden könnte, über die bei derselben in Betracht kom- menden Einzelnheiten mich hier schon jetzt weiter zu verbreiten.
12S
I.
um suerat die allgemeiBe Auflösung des Cometenproblems, : dbne eine nur näherungsweise richtige Voraussetzung irgend elMr i Art SU Hfilfe zu nehmen, kennen zu lernen, so haben wir nach " {• 2. der früheren Abhandlung zuvorderst die CSdchoag
wo die CoefBcienten
^ 3fi, »!• «!• a>i, «1, &• ®i
^ wenn man dieselben durch die geocentrischen Längen und Breiten
K des Cometen in den Momenten der drei Beobacfatun|eD ausdrfidct, ^ wie aus der früheren Abhandlung leicht geschlossen wird, wenn ^ man nur bemerkt, dass ui den Zeichen jener Abhandlung
^»
2 s>i =-»!', ei=-Ä, 5i=-Ä. <Bi=fl
i ist, die folgenden Werthe haben:
i
=^ 3li = — Äjßisin (La — ^) «In/Zj ',
; 351= — *8 ßisin(i3 — £i)8in j?2', \ Ci = — Äi BftSinCii — £a)sini53';
■ Ci = «iCos/Ja'cosft' t tangA'siD(aa'-Xi)-tang/^'sln(fl^'-JLi) j , St ==ÄaCosft'cosftM tangA'siD(iii'-I.^— tahgA'sin(«i'--Lj) | ;
(Bi =£ — cosft 'cos/Jj'cos jjj' I tangj^i 'sin(ö2'— ctjO
+ tang/^'sin(o^''r-aiO +tangft'sin(tfi'— «»0
Femer ist nach der früheren Abhandlung:
Ai =— RxüOB^ai — L{)cosßi\
^a= — ÄjCOsCoa'— 1*2) cos/3a',
-4i = — Ä3COs(«i'— jL8)cos/?,';
9*
<. ■ ' • . ■ . I
. I
I ' .11
124
Bi*= Ri*[l- cos(ofj— li)*co«/Ji'« I , B,*=zB,*ll—eoB(a,'—L^*co»ß,'*\
■ ■ ■ k
«nd *
r,=V (A-%)*+.^V
' ■ ■ ■ . .
80 wie
* ■
yi c= — jB^siiiLi — tf|8ii)ai'cosj3|^ z, =-tii8iDft';
^2 = T ^sinX^-* tC98iD(%^Gos/Sa^
a:s=i:— lZsCosX3 — ti3C0803'cosj?3', ^3 = — ßa sinia — Uasinoa'cos/^s',
Bezeichnet man nun die Sehnen der Cometenbahn zwi8< dem .ersten und zweitep» und zvyischen dem zweiten und dri Cometenorte respective durch si^ und 52*3) so ist
,a,3=V (ara-^3)H(ya-2^3)^+(^a-^)* ; oder» wenn man für die Coordinaten
^i> yi» 2:1; ar«, 2(2» ^; ^3» ys» 2:3
ihre obigen Werthe einführt« wie man nach leichter Rechi findet:
125
Jr'iifi,cosC«,'— Z,,)-ßjC08C«,'— /,a)!cusi3i'a, ^„^^ ^^,j^ l-SIfi^cosCcia'— Lj)— Ä,co8(tt,'— Zi)|co8(3i'iia :. i 1 .■,'/ ...rt. f.2|6inßi'siii(Ja' + eos(c;,'— Bj^osft'cosiSa'lMjaa+aiHws*. tjRa*+^3''— 2ßiff3cos(La — Z,j)
p-2t8iii^a'^inA'+co8(aj'— «3')cos^a'cosjJ3'it(ai^+«3''+i(g''.
keictiDen wir nun die FlÜchenräume dei zwischen der Sonne, Ersten und zweiten Cometenorle, und zwischen der Sonne, ■reiten und drilten Cometenorte liegenden Sectoren der als pra hei he trachteten Cnmetenbahn durch €>i,-g und ^,s, den Ifter der Cnmetenbahn aher durch p; so ist nach dem he- JD Lambert'schen Ausdrucke fiir ilen Flächeninhalt parabo- iSectoren*):
Ksw
'12\ 2
■i(r, +ra + s,^;-(7-,+ra-«i.,)'t.
['•a+'"3+*i-3)' — (rj+i-3-ii,3:
ich dem dritten Kepler 'schon Gesetze verhaltea eich die Quä- le iler siderischen Umlaufs Zeiten der Planeten wie die Würfel Ir Imlben grossen Axen ihrer elliptischen Bahnen. So lange f nun die Coineten bahnen als Parabeln betrachtet, kann natür- er Umlaufszeit derselben um die Sonne nicht die Rede io lanßie verliert also auch das dritte Kepler'sche Ge- ■oe Anwendung. Indess kann man doch dieses Gesetz mit Srissea Mndißcation auch auf parabolische Bahnen anwen- e wir jetzt zeigen wollen. Bezeichnet nämlich T die Üm- 1 eines Planeten und a die grosse Halbaxe seiner Bahn ; liach dem dritten Keplerschen Gesetze der Bruch
.1 Planeten ' betiiea vors
L •. Archiv riet Mathem. urri Pbvsili. Tbl. XVI. Nr. XXXIX.
man in der Lnmbcrl'achi'n Glcicbiin;; daa unlere Zeichen 1 hätte, kann hi'i der Itereclinnnf; der Cometenliafanen , die IT anht bei einander lii^g-ende BeiiliBchtDngea benotien, nur
er ConiEtenbahn in Bettai.ht sielien Itnun, nicht vor-
126
•eisen vrolien« let nrni ferner €( ein In der Zeit t von dem Ra- diue Vector dea Planeten beschriebener Seetor seiner Baha, m tat für dieaen Planeten nach dem aweiten Kepler'achen G^
Beize der Bruch -r- eine conatante Grusae» die wir durch l be* seichnen, und daher
aetzen wollen, wobei wir nochmala beaonders darauf hlnweiMi^ daaa X nur f&r jeden einzelnen Planeten conatant, fiir yerachie- dene Planeten veränderlich lat. Bezeichnen wir jetzt den Flidia* Inhalt der ganzen elliptiachen Bahn dea Planeten durch JE, ao iit nach der voratehenden Gleichung
E^sXTf X=^»
alao
0="jf<«
Weil aber, wenn b die kleine Halbaxe der Bahn bezeichnet» b^ kanntlich E=:abn lat, ao iat
e=4^.
und folglich» weil
iat:
T=:xai=:xaV«
Bezeichnet nun p den Parameter der Bahn» ao ist bekanntlich
2^_ A
a "^^ Va
alao nach dem Vorhergehenden:
=V?'
=jVi'-
Dieae Gleichung» iv eiche bloss von dem Parameter abhängt» iil
127
ler olenbar auch auf naraboli»che Bahnen anivendbar. Druckt iD dieselbe nun auf folgende Art aus:
• 1 f
' ergeben sich aus dem Obigen In den Zeichen der früheren Ab- indlung die beiden folgenden Gleichungen:
V ^ •
X ^1^ X
'j-<«=*»'s= ä* /^= iäi' (»'«+»'«+*««8)*— (»■a+»'3-*«.s)M.
)ie Grosse r^ ist eine Constante, welche wir durch fi bezeicb-
leo, also
X
ibeo wollen. Daher Ist nach dem Vorhergeheoden :
r f*
r f*
bi Werth der Constanten
T^
li daher auch den Werth der Constanten
X
■it man aber aus der Theorie der Planetenbewegnng mit gros- t Genauigkeit, so dass man also denselben im Obigen als eine faonte Grosse betrachten kann; es ist nämlich , alle Zeiten in Igen ausgedrückt angenommen :
log|Ä =0,9862673.
In den obigen Gleichungen ist nun offenbar die vollständige iiesuDg des Cometenproblems in der parabolischen Hypothese
128
enthalten. Um dies jedoch noch in etwa« anderer Weise iwkt deutlich zu machen, wollen wir mit der Gleichang
2litti+25iMa + <Eiii8 + lBiWiiia+lBiMaU,+5iUi»i+(5i«ii%i%=0 noch eine kleine VerSndemng vornehmen. Wir wollen nämÜdi
setzen. Dann wird die vorstehende Gleichung:
und folglich» weil im vorliegenden Falle offenbar nicht «^=0 sein kann:
Wir wollen nun setzen , dass man durch irgend ein Verfahm zwei MSberungswerthe der Verhftltnisszahlen v, w gefunden hitiik und nun deren Genauigkeit prüfen wollte; so würde man ans da durch die Beobachtungen und die astronomischen Tafeln gtgAn* nen Grössen nach den obigen Formeln die Grössen
2{i, »1, €i. SDx, ffii, 5i> CBi berechnen, und dann durch Auflösung der Gleichung
die Grösse u^i so wie mittelst der Formeln
die Grössen Ui, tu^y v^ finden. Hat man aber diese Grössen, 'so kann man mittelst der im Obigen gegebenen Formeln auch die Grössen
»"l» »*2> »'s Ußd *l»a» *2»8
finden, und dann, indem man dieselben in die beiden Gleichunget
r f*
(ra+r, -\-H^)i - (ra+rg-W' = ^^= ^
einfuhrt, untersuchen, wie weit diese beiden Gleichungen erfiillt werden. Ergeben sich diese Gleichungen als genau erfüllt, so werden die zum Grunde gelegten Werthe von r, w die richtigen.
129
as Problem also aufgelöst sein, ladem schon In der früheren idlung gezeigt worden ist, wie die Lage der Bahn im Räume imt werden kann, wenn die obigen Grössen sftnmtlieh b#- sind; sollten sieh die beiden in Rede stehenden Gleiehuo- 3eh nicht vollständig erfällt ergeben > so würde man die Nfl- i^swerthe der Grössen v, to, von denen man ausginge weiter Iren müssen, wovon nachher weiter die Rede sein wird. Man i auch von zwei Näherungswerthen von »i, u^ ausgehen, Efs mittelst der Gleichung 0
inen, und hierauf ganz wie vorher verfahren. Uebrigens man aus dieser Darstellung mit vollständiger Deutlichkeit eben, dass durch das Obige das Cometenproblem zu einer imten Aufgabe mit zwei unbekannten Grössen v, io oder Ui, ;emacht worden ist.
;h will nun noch einmal die Formeln aus dem Obigen zu- enstellen, welche, wenn zwei Näherungswerthe der Grössen gegeben sind, zur Berechnung der entsprechenden Beträge »rossen
/•(t^,to) =(ri+rjrHi,a)2 - (ri+ra-5|,a)8— ^ ,
ig r
wandt werden müssen. Diese Formeln sind nach dem Obi- in der Ordnung, wie sie zur Anwendung kommen, die fol- en:
^/?4l?3sln(I^-i3)sinft', — R^Ri8m{L^ — ii)sinj?a', =— IZ|^stn(I/|— Xi2)sin|?3' ;
pl^oosjTi^cosjSa't tangj?2'sin(a|^— //g) — tangj?i'sin(oe2'— Z^) 1 , fcl^cosjJa'cosj^a'i tangft'sin(«i'— Li)- tang/Ja'sInCcfj'— i^i) } , ^t^mß^'co9ßi' { tangjJi'sin(aa'— La) — tangft'sinCai'— L^) | ;
i-^cwßi'cosß^'cosß^' { tangjJi'sin(fi(^'— «aO
+ tangj?a's«n(a8'— «lO }; + tang/3s'sin(cr|' — «aO
l
Iitnriick könnto man auch Ui, u^ oder tt,, U^ lu unbekannte vihlen.
ISO
BJ^'R^ { 1— cos«- L^^co»ß^^\,
Ä,*=/i9«ll — C08(«,'— X3)«C08Ä|'«|;
-f 2 1 i?| cos(cf| '— ii) — /?2Cos(a| '— ia) ) cosjJj '«x + 2 1 /?2Cos(aa'— ia) — ÄiCos(öj'— I#i) I cosß^'u^ —2 { 8iiJi?i'sini?a'+cos(ai'— OjOcosft'cos/Ja' I WiWa+ «1* + ii«*
+ 2 1 /?aCos(aa'— L2)--/?3Cos(aa'— ij) ) cosß^'u^ + 2 { fisCOSCttj'— ig) — l?2Cos(a3'— i«) ) cosß^'u^ — 2 1 sin/?2's»n/?3'+cos(a2'— «aOcosjSa'cosj^a' ) M2t*3+t/2*+tf8* ;
f{v,w) = (ri+r2+*i,2)* — (n +r2— 5i ,2)^ J^* >
Ein Uebelstand bei dieser Art der Auflusun«)^ i^t es freilicli, cl t/2 durch eine Gleichung des zvieiten Grades bestimmt wird, v sich eine allgemeine analytische Entscheidung, welchen beiden Werthe von 2^2 nian zu nehmen hat, nicht geben iässt
Ist es gelungen, die genauen Werthe von v , w zu. findeo« berechnet man, um eine Probe för die Richtigkeit der Rechä zu haben, noch die 8ehne 51,3 zwischen dem ersten und dri Cometenorte mitteist der Formel
ISl
+2 1 ÄiCos(ßji'— Li)— IZjCosCffi'— jPa)) WsA'iTi +2 1 /ZjCosCöi'— ia)— ÄiCoaCo,'— Xi) J cos/Ss'trs
■ I ■ ; '
d untersocht, ob die Gleichung
Mt ist Den Werth einer Grusse von der Form
(r+*+*)l--(r+e~»)>
inn man, wie es mir scheint, xvreckmissig auf folgende Art wedioen. Es ist
(r+p+')«-(»+^')«=(H-H«)* jl-(S^O*f * ■1 kerechnet man nan den Hflifswinkel ip mittelst der Formel
jederzeit mSglicb ist, so ist
sich Alles mit Hatfe der Logarithmen leicht berechnen ISsst. tennte auch den Uülfswinkel ^ mittelst der Formel
•-♦=(^)'= yf^^
, nnd bfttte dann
(r+«+«)i — (r+e— *)i=(r+^+«)lcos^.
lan den ersten oder den zweiten Weg einzuschlagen hat, •ich immer danach bestimmen, welcher der beiden Winkel ' ^ mittelst der Tafeln am genauestten berechnet werden
Znrorderst ist nun die zweckmässi^ste Methode anzugeben, veidier man, wenn man schon zwei den Grossen e, w nahe ade Werthe durch irgend ein Verfahren gefunden hat, sich nd nach zu den genauen Werthen dieser GrOsseo erheben
ISS
kann. Da man aber «chon Mfthemngswarflie derChrSgseo kennt, 8o kann man sieb immer leicht drei Systeme
diesen GrOssen nahe kommender Werthe bilden. Ffir dfes€ Systeme berechne man nach der vorher gegebenen AnieitoDj Grössen
Nach den Principien der Differentialrechnung ist aber, wenr senauen Werthe der Grossen o» w durch diese Symbole «< bezeichnet werden, näherungsweise:
/(t?+3r,io+3io)=/(r,f»)+ g^ ör + '^ — dw,
«
folglich, weil nach dem Obigen sein soll, wenn wir der Kurze wegen
setzen :
/(r +'3«?,M? + 3f<?) = a8ö + ßdw ,
9(t? + dVfW + 8m?) == y8(? + ddw . Setzen wir nun successive
8r=a— r, du>^=b — to; 8ü=a' — I?, 8io = 6' — lu; de^a" — r, dw=^b" — lo;
so erhalten wir aus dem Vorhergehenden die beiden folgei Systeme von Gleichungen:
13S
A Äa(ii — ») + /J(6 — w).
Bd
Ä = y(ii^r)+Ä(6-w),
hs diesen Gleichungen erhält man mittelst leichter Rechnung :
A'Bf'^Ä'B = (««-/?/) l («'— r) (6''-&)— (a''— r) (6'-to) } , il'^B— Ji?"=(a*-/Jy) {(a''— r)(6— w) -(a-i?)(6"-iü)|, JB'— i4'J?=(««-/Jy)|(a-o)(6'--i«>)- (a'-©)(6-w) ) lier
»ridrt mau diese Gleichungen nach der Reihe mit a, af, a^ äddirt sie dann zu einander^ so erhält man:
aiAß''--A"B') + aXA''B—AB")+a"(AB''^A'B) = (ad-ßy) \ a(6'-6") + a'(6"— 6) + o"(6-60 ) v
= («*~ ßy) { (a-öO (6—*") — (fl-a") (*— *') I •
Splicirt man dagegen die drei obigen Gleichungen nach der '^ mit 6 5 b*9 b** und addirt sie dann zu einander» so erhält man:
KA'B'—A'B') + Vi.A'B'-AB") + V^AB'-^AB)
h{AB"'-A'B') + b\A'B-AB") + 6"(^B'-ii'jS) =^(a8--ßy) { (a'-a') (6-6") — (a-a'O (6-6') } w •
136
i sei» d. h. indem man annimmt» dass die Beobachtungen so bei einander liegen, dass für die von dem Vector des Goi zwischen der ersten und zirelten und zwischen der zweiten' dritten Beobachtung beschriebenen Sectoren ohne merklichen ler die in denselben liegenden geradlinigen Dreiecke, deren tzen die Sonne und die Oerter des Cometcn in seiner Bahn m gesetzt werden kunnen. Gestattet man sich nämlich diese Vo setaune, so bat man in den Zeichen der früheren Abhandlang d Formeln:
„2 = — gsiny» 4 Ta,3/gatfi ^
i
■!'>.
oder auch : ü
__ e sin j3^3 + fa ,a»i -f Tg,3&) u^ ;
r ■ 1^
_ ©sin/J'i — (n^K^i -f ra.3&0«a .
fc
wo
© = — i?2 1 Ti,2ß3siD(ia— ij) — Ta,8/?i sin(ii— ia) i ;
Ä = — R^cosß'i CQsß'^ { tangjJ'asin («' j — ia) — tang/S'i sin(a'a— I/^) ) , /ri=— Äjcosjj'acos/J's l tang/?'3sin(a'a— i2)-tang/3'2sin(a'8— ia)),. . Äa=— ßjCosjS'jCos^'i {tang/3'i8in(a'3— ia)— *angj?'3sin(a',— ia)h:.-?
Ä =— ÄiCosj3'aCo»/^'s ltang|3'3sin(a'a— ii)— tangjS'asinCa'g— Zi)| , Äi=— ß3Cos/J'aCos/J'8 { tangj3'8sin(a'a — ia)- tang/?'2sin(«'3— ij) 1 ; -
R' = — /?iCOs/3'iCosj3 a { tangjS a8in(a'i — Li)— tangj3'i8in(a'2— üj) It Ä'i=— Äjcos/S'icos/S'a t tangj3^a8>n(«'i-"^)-"tang/?\sin(a'2 — ^s) ) P'
Sl = — cosj3'iCosj3'aCos/3 3 { tangj?^i 6in(a'2^«'3)
+ tangi3'asin(a'3— «',)
+ tangjS'asinCa'i— a'a) ist.
136
a^a' a-^a"
-füllen oder derselben entsprechen*
Wie man sich dieser Methode znr soccessiven Annäbernng I bedienen bat» bedarf einer weiteren Erläuterung an diesem rte nicht.
Ceberblickt man alles Obige nochmals « so wird man zugeben» ass die vorhergehende Methode zur Bestimmung einer Cometen- aho allen Ansprüchen Tollkonimen genügen würde , wenn man lar im Stande wäre, in allen Fällen erste Näherungswerthe der Srussen Vy w mit Leichtigkeit zu finden. Wie man aber nach ieiner Meinung sich am besten solche erste Näherungswerthe fieser Verhältnisszahlen verschafft, werde ich erst weiter unten luseinand ersetzen. Die Grosse v^ wird, wie schon erinnert wor- den ist, freilich durch eine quadratische Gleichung bestimmt, und hat hUo im Allgemeinen zwei Werthe. Hat man nun keine ande- Kn Kriterien, mittelst welcher sich entscheiden lässt, welcher feser beiden Werthe genommen werden muss, so wird sich frei- leb nur der Weg einschlagen lassen, dass man fär jeden dieser keiden W^erthe die Beträge der Functionen f\v,w) und 9(v,to) er- ittelt, und untersucht» für welchen der beiden Werthe von t^
Gleichungen
f{VyV)) = 0 , g>(p,to) = 0
der grussten Genauigkeit erfüllt sind.
Hehrere der obigen Formeln würden durch Einfähning von
rinkein und andere Transformationen sich zur numerischen
eknang vielleicht noch etwas beauemer einrichten lassen, wobei
iidess jetzt nicht verweilen will , da jedem nur einigermassen
ten Analytiker und numerischen Rechner dergleichen Abkür-
en sich immer leicht von selbst ergeben. Es kommt mir für
kier besonders nur darauf an, die Methoden im Allgemeinen
|düzziren> und in muglichst deutlicher Darstellung dem Leser
die Augen zu führen, indem ich die weitere Ausführung im
Ineo späteren Aufsätzen ^ vorbehalte.
II.
Ihn kann das Cometenproblem, welches im Vorhergehenden ^e Aufgabe mit zwei unbekannten Grossen sich darstellte» [ÖBer Aufgabe mit nur einer unbekannten Grösse machen, man sich bei demselben eine nur näherungsweise richtige eiznng gestattet, nämlich die Voraussetzung, dass in den der irfiberen Abhandlung
136
sei, d. h. indem man annimmt, dass die Beobacbtansen so mIk bei einander liegen, dass für die von dem Vector des Conwtn zwischen der ersten und zireiten und znischen der zweiten uf dritten Beobachtung bescbrielienen Sectoren ohne merklichen Feb ier die in denselben liegenden geradlinigen Dreiecke, deren Spi* tzen die Sonne und die Oerter des Coinetcn in seiner Bahn sind, gesetzt werden können. Gestattet man sich nänilicb diese Vonos* Setzung, so bat man in den Zeichen der frflhereu Abhandlong die Formeln:
.,, _ Ösin/J'j + Ta,3Ä2«i
Uli — —
Qsin/g^fl — Ta,8irM| . Ti^aÄi
oder auch:
««• =
_ «sin/g^t— fa^K\ -f Ta.3&0tca . ^■^ r„a(Ä-Ä//a)
wo
ö= — Äa t ^i»2ß3sin(^a-"^a)~'*^a»8^isin(ii— /^) i ;
Ä = — Äacos/J'i cos/J'a { tang/3'asin(«'i -La) - tang/J'isin(a'a- IJ I ,
/ri=— ßaCosj3'aCO«/5'8 1 tangjS'jsinCa a— ia)-tang/S'2siD(a'8— La))» Äa=— /23Cos/S'3C08^'i{tang/3'i8in(a'8""i2)— ^^ngi^'asinCa'i— La)!;
Ä =— Äicos/S'acos/J's ltang|3'3sin(a'a— Li)— tangj3'asin(a'3— Lj)), Äi=— ßjcos/j'acos/j', { tang/S'38in(a'a — L3)- tang/S'asinCa'j— Ls) 1 ;
R'= — /?iCos/3'iCosj3'a{tang/S'aWn(a'i— Li)— tang/5'i8in(a'a— Li)|, Ä'i=— Ä3Cos/3'xCos/5'2 { tangi3'a8in(a'i— L3)— tang/3'isin(a'a— Li));]
Sl = — cos/S'iCos/S'aCos/S's { tang/^'i sin(a'2— a'3)
+ tangi3'asin(a'8— «',)
+ tangjS'asinCa'i— a'a) i8t.
137
Ninniit man nun entweder ui oder 1/9 aU anbekannte Gros- «*) an, und keimt «chon einen Näherangswerth einer dieser Bitoen, so kann man untersuchen , wie nahe dieser Werth der RTakrheit kommt, wenn man mittelst der obigen Formeln re- fective entweder u^, iu oder Ui , u^ bestimmt , wodurch man also i kctaen Fällen zur Kenntniss von «1, u», t^ gelang; dann ie(irQ0sen Ai, A^ und £i^ B^^ mittelst ii^t Formeln
i, =— J2jCos(ai' — ii)cos/?i' [«i*=Äi»{ 1— COS(tfi'— ii)«cosft'«) ,
' = «,«{ 1— C08«-i3)«COSi?8'^}
timmt; und hierauf r^, r^, 51,3 mittelst der Formeln
i=V(Ja-i£3)« + iV;
,»= Äi^ + JBj«— 2ßiÄ8Cos(ii — £a)
+ 2j ÄiC08(ai'— ii) — fisCOsCflfj' — L^]C0BßiUi + 2 { ßgCOsCfl^i'— £3) — ÄiC08(a3'— ii) Vcos/?3'ti3
— 2 { sinjSi'sinft' + cos(ofx'— «aOcosft 'cosft' I «i Wa+iiiH«»* it Dann kann man untersuchen , wie weit die Gleichung
(ri+r,+»inO»-(»-i+»-3-»i..)»=^
ist, und wird auch auf dem Wege der successiven Mähe- Bitteist der bekannten Methoden den genauen Werth von u^ «1, und dann auch mittelst der obigen Formeln die Werthe ifiy 113 oder »1, «3 zu ermitteln im Stande sein, also zur
liss Ton Uly u^, tts gelangen kunnen.
Beiecbnet man noch r^y s^^y 52,3 mittelst der ans dem Obi kekanniteo Formeln, so kann man zur Probe der Rechnung noch untersuchen, wie weit die Gleichungen
lri+n»+fi^l - (ri+rj-ti,«)i = ^
(r«+r3+i^,8)i - (r2+r3-*a,8)i=
sind.
^ Natürlich könnte man Bich anch leicht Formeln für tt, als nn- ArÖMea ^ntwickela.
xnii.
10
Bringt mhn diese Anfiffsung aof Ihre eififaebste V& macht Ui ssiir ofibefcaiinten GrQsse, so ist dieselbe gan2 folgenden Formeln enthalten:
1
if=-rJ!«cosft'cosi3a;{tangPa's»w(o4'--i2)— tangftyin(i%'--l JK^ = — /ü^cos/^s'cosj^a' { tangP3'sio(a2'— ia)- tang/Ja'sInCofa'— 1
ö= T ^a !ri,2Ä3sin(i2— £a)— T2,8ßj|Sin(Z|— ia)); 6sinj3a'— ^^fl>3^«i .
»•8 — ^ 9
Ti,aA.i
^1 = — RiC08(ai-'Li)casßi, ^3 =— ÄgCosCof,'— i3)cos/?3';
i?i«= Äj»{ 1 — cos(ai'-ii)*co«A '« } = ß,« - ^1« , /?,» = Äj«l l-cos(ai'-i,)«co«jSs'»} = Ä,» - A,^i
r,=\^(^3-«»)»+^;
»i.»*= ^i'+ßs'-'ißißsCosCLi - L,)
+2 { Ä,cos(«i'— Li) — Äjco8(«i'— Xj) ) cotißi'ui
+ 2 { ÄsC0s(«5'— ij)-«Ä,C0S(«3'— i,) ! COS/Ss'«j
— 2 t sinjSi'sin^s' + cos(ai' — a3')cosßi'coBßa' \ «^itj + «l*^
(«•iH- r,+«j.,)l- (ri +r8-i„s)J = ^ • Bemerken will ich noch» dass, weil
=ri2+r3*~2(^xa:3 +2^13(3+2123)
ist, das Quadrat der Sehne ,1,3, wie man leicht findet, ai folgenden Ausdruck gebracht werden kann:
ii,8*=ri2+r32-2ÄiÄ3Cos(jLi-jL3)
— 2Ä3COS(cfi '— L3)C0S|?i 'Ui
— 2ßiCps(a3'—Xi)cosj?3't/3
— 2 tsin/5x'«in/?3'+cos(cfi'—cif3')cosjSi 'cos/53' I UiU
139
üass ähnliche Ausdrücke auch ftir die Quadrate der Sehnen #1,9 I gelten und im Obigen statt der dortigen Ausdrücice in An wen- iBg gebracht werden künnen, versteht sich von selbst, ^an inn dieselben überall statt der oben angegebenen Ausdrücke ibstituiren, ivenn man es ftir zweckmässig halten sollte.
Die Fra«;e bei dieser Auflösung bleibt nun zuletzt auf ähnliche .rt wie in 1. nieder die, wie für Ui oder ui, jenachdem man das ine oder das andere als unbekannte Grosse annimmt ^ erste Nä- Kfunpwerthe gefunden werden können, worauf ich weiter unten Brflckkommen werde.
III.
Noch etwas verernCacht wird die vorhergehende Auflösung, non man sieh, wie wohl zuerst Oibers gethan, und dadurch V Astronomie mit der Auflösung des Sometenproblems be- "^eokt bat> welche gegenwärtig fast allgemein bei der Berech- lg der Coroetenbahnen in Anwendung gebracht wird, noch eine eite nur näherungsweise richtige Voraussetzung gestattet: wenn nämlich die Zeiten T|.2, r^,^ als so klein voraussetzt, dass für die von dem Vector der Erde in diesen Zeiten beschrie- en Sectoren ohne merklichen Fehler die in denselben liegen- geradlinigen Dreiecke gesetzt werden können, deren Spitzen Sonne und die Oerter der Erde in ihrer Bahn sind. Unter f Voraussetzung ist, wie aus der früheren Abhandlung (§.6.) unmittelbar ergiebt,
0 = 0;
die Auflösung unserer Aufgabe ist dann vollständig in den iden Formeln enthalten:
— £2^0^/^! 'cos/?a' t tang/?a'sin(ax'--i*)— tarigjSi'sin(a.2'— X4) ! , 1=— üJaCos/Jjj'cosft' { tang/?3'sin(aa'— X/jj) — tang|Sa'sin(a3' — L^) } *,
noch kürzer, weil man im Folgenden bloss das Verhalüiisj« Grossen K und Ki gebraucht:
K cosßi' tangP2^sin(tfi'— Xfl)— tang<3i'sin(ttj|^— /4t), £i"" eosß^' ' tang/33'sin(ajj'— X^a)— tangjJ^ sin(«3'— Iiji)'
fa»3 fC ^
«3==— -jp «1;
y|| «= — RiCO»(ai — Li)COBßi',
10*
140
— 2/?i 008(03'— 2ii)coff|53'ii8
— 2 { sin A 'sin 183'+ cosC«! ' -«sOcosft 'cosft' | u^Ui ;
in + ra + Äi,3)-- (ri + rj— jr^a)* = ^ •
Noch wollen wir zu diesen Fonncin bemerken , das«, ffd nach dem Obigen &=:0, und nach der früheren Abhandlang
ö = — J^a l Tx ,2ßjsin(L2— ^3)— T2,tÄi8in(Li— ij) j ,
also
Ti^R^s\i\(L^—L^) — 1:2,3 Bisin(L£—L2) =0,
folglich
T2,3 A3 sin(L2 — X3)
Ti,2"~ ii?i ' sin(//i — 7^2)
■
ist, im Obigen auch
— ^ ^ s'" (^a-— A>) "3 — ifi • Äi • sin (Xi— L2) ^'^
gesetzt werden kann. Weil nur näherungsweise 6=0 ist, M natürlich auch alle diese Ausdrücke nur näherungsweise richtig.
Die am Ende der in II. gegebenen Auflösung aufgevrorfeil Frage sieht natürlich auch bei der hier gegebenen x\uflösung ihitt Beantwortung noch entgegen.
Die hier gegebene Auflösung ist in den Principiendil Auflösung des Cometenproblenis von Olbers. Meine obigen For mein sind jedoch nicht mit den Formeln von Olbers identiscki namentlich bringt Olbers statt der wirklichen Entfernungen -Hhi — «3 des Cometen von der Erde in der ersten und dritten Beot achtung die entsprechenden sogenannten curtirten EntfemonM desselben von der Erde in Anwendung, worunter man die aoub Ebene der Erdbahn projicirten wirklichen Entfernungen verstellt
IUI
idettB nicht, ob ich ilurin -^eruJezu einen besonder«!»
ericcMieM soll. Auch bin ich seitist noch zweirelhari,
T dnrch Eiulühriitig iler üiveiten iihherunKsiveiaen V«-
F aUerdiHtta bewirkten Abkürzung der Hechnun!^ de»
^«rth beilege» snil, den Olberäund Aiiitors dtirselhea
Bcheiuen, so dass ich es vielleicht nicht lieber vorsle-
*, bloss beider ersten näherungsir eisen VoraiisseUung,
Bl der in II. gegeliciieiiAuOrisunß, stehe» zu bleiben, da
Jehraufuand von ReclimiDi;, den diese Auflösnni; erfor-
der That nicht so sehr erheblich zu sein scheint, daes
^urch deij selben geradezu betvogou fnhlen sollte, die
enani^keit, welche die Auflösung in II. nothvrendig ^e-
188, und wirklich auch gewährt, aufzugeben, worüber
- durch die aux vielfachen praktischen Auwendungeu
Erfahrung sicher entschieden nerden k&nw.
jntine nun wieder auf die Aulliisung in 1. zurück. Matr .erfniiern, dass wir dort dabei stehen blieben, dass wir dsss es nur daranT ankam, zwei erste INhheruns;swerlhe
uiibckunnteu Grössen r, w zu kennen, wo betuiintlich
Methode nachzuweisen, wie solche erste ISSheruiigs- Verhältnisszahlen c, lo gefunden werden können, sind
. noch schuldig geblieben, und wollen jetitt versuchen,
lld abzutragen.
aus der Theorie solche erste N^herungswerlhe von v, ihmen, scheint uns unniö<{tich. Alan mnss dazu noth- >bacbtungen zu Hülfe nehmen. Deshalb wollen wir imen, dass man ausser den drei zur Kestimnitnig der Hngt erforderlichen Beobachtungen noch zwei Beobach< Bf von denen die eine zwischen der ersten und zwei- dere zwischen der zweiten unil dritten jener drei unlie- lerlichen Beobachtungen liegt; diese beiden Beobach- IMI wir respective die erste und zweite Hülfsbeobacb- |e erste und aweite intermediäre lienbachtung nennen. niMdiäre Beobachtungen sich zu verschaffen, wird bei mit welchem jetzt jeder neue Comet beobachtet wird, paals Schwierigkeit' haben. Die beobachtete geocen- Ig^e "wl Breite des Cnnieten in den Momenten der ' Üiwelten intermediären Beobachtung wollen wir re- rtb A, b und a', b'; die enlsprechenden Lungen Her t L, L* bezeichnen: die Ziv i sc lien seilen -zwischen der itbeobaehtun« und der erst«n Htilfsbeobachtung , swi- ersten Hüirsbcobachtung und der zweiten Ilauptlieob-
142
aefatang seien t|^, f«,); und die Zn'ischenxelten zwl«elien d zweiten Hauptbeobachtung mid der zweiten Hfilfsbeolmchtufig, n «eben der zweiten Hfilfsbeobacbtung und der dritten Hauptbeobif tiine seien l'i^, C's^. Nehmen wir nun an, dafts die drei Uani beobacbtungen nur durch massige Zwischenzeiten T|^y t^b von ei ander getrennt sind , so wird man auf die beiden folgenden System
Erste Hauptbeobachtung y erste Hülfsbeobacbtung, zweite Ilaii|
beobachtung ;
■
Zweite Hauptbeobachtung, zweite Hülfsbeobacbtung, dritte Haa|
beobachtung;
die beiden in III. gebrauchten nur näherungsweise richtigen Vi aussetzungen anzuwenden berechtigt sein/ und wird daher na den aus lll. bekannten Formeln, wenn wir der Kürze wegen
cosfe^ tangbsin(aa'-"L) — tangfe'sinCa— L) * ~" cosft ' ' tang/?i'sin(a— L) — tangb8in(ai'— L)*
cos/gg^ tangb^sin«— l/)--4ang/3aVm(ft^~L0
^ ^ cos/?3' ' tangjSg'sinCft'— L')— tangb'sin(as'— LO
•I
setzen, die folgenden Gleichungen haben:
*2»3 *1>2
%
Vergleichen wir nun diese Gleichungen mit den Gleichungen ^ ft$o ergiebt sicli , dass wir als erste Näherungswerthe c
setzen können, und diese ersten NiHherungswerthe werden, w« die Beobachtungen nur zweckmässig gewählt sind, meistens scb der Wahrheit ziemlich nahe komtiien. Wie man von diesen erat Näherungswerthen weiter zu gehen hat, ist aus I. bekannt, w darüber hier nichts weiter zu sagen.
Mancher wird die Frage aufwerfen, ob es überhaupt elf guten Methode entspreche, dergleichen Hülfsbeobachtungen II- vorher in Anwendung zu bringen, d. h. im Allgemeinen mehrt obachtungen zu benutzen als zur Auflösung des Problems unl dingt cribrderlicli sind. Diese Frage vnirde ich unbedingt h
"IT
untworleo, nenii ich oder eirt Anderer eine xweeliDiässige Khearie eiitdoitimeue Metltude zur Auflinduiig erster ^iilie-
te der obii;eii Verhlillnif-ti/tihlei) anzugcbeniin Stande n'jijrii.
dies alter nicht niüglich ist, niuns ich hei der obigen
Kefaen hleilien. Auch hat man zit hedeuheu, da«s ja n Hi'ilf'elieahuchtungen gar nicht hei der eigentlichen de« Probleniä gebraucht, »oiidern eben nur zur Erniit- )ter Näheningsnerthe der gesuchfeit tirüssen benutxt ist man erst in de» Eesilz solcher ersten Näherungs- komiueii, so werden liei der ferneren Auflösung des Pro- ' beiden HQlletteobachlun^en gar nicht in Anspruch ge- Diiil um vorläufig nur erste Näfaerungsnerthe zu Gndeu, doch ivohl auch verslattet sein, sich vorläutig an nur Bweise richtige Voraussetzungen zu halten , fvenn dann srnere Auflösung sich bloss vüllig streng richtiger Sätze kIu als HüirsHiiltel bedient, wie in I. geschehen ist. «fl in der Tbat die meisten IVIatbeniatiker, welche Auf- fär daa Cometenproblem gegeben haben, mehr als nur baohtungen benutzt, wobei ich u. Ä. nur an die uament- ^r&nkreich sehr belipble Aiillrisung von Laplace zu erin- Dcbe. Ollters fordert freilich nicht mehr als drei Beob- !ten, aller er nimmt doch, wie wir gleich nachher sehen i, auch zu einem Resullate der Beobachtung seine Zuflucht, , vom rein Iheoretischen Standpunkte aus die Sache he- t, im Grunde doch wohl ganz «lasselbe ist wie der oben ^hlagene Weg. Freilich haben wir oben noch die Forde- eslcilt, dass die Zwischenzeiten %t^, t^.s nicht zu gros» Iten ; das ist allerdings eiu IVIangel ; da es aber vorläufig ' die Erniltlelung erster Na herungsiverthe ankommt, so wer- ijben schon eine ziemliche Grosse erreichen hiinnen; und l man, wenn m.in die Auflösung 1. mit den Auflösungen
E leicht, zuitugeben nicht abgeneigt sein, dass das Feld Ung der Auflösung I. niiiidestoiis doppelt so gross ist dd der Auflösungen II., ill., namentlich der die meisten niigsweise richtigen Voraussetzungen sich gestattenden lil. , was jedenfalls der Auflösung I. auch einen Vorzug Biden anderen AulICsungen sichern dürfte.
Anflüsungen II. und III. kam ts, wie man sich noch I, zuletzt noch darauf an, einen ersten Niiherungs- _Ji zu finden. Dazu weiss ich nun keinen anderen den von Olbers angegebenen. Diesen Weg will ich rs einander setzen, jednch vorläufig nur seinem atlge- ein nach, ohne mir im Geringsten mir das Ansehen 'oTlen, als hätte ich durch das Folgende die schöne c jienannten hochverdienten und von mir hochverehr- ersi-'höplt, was ich vielmehr späteren Aufsätzen noch
1
^
1
Die Siinime r, +r3 der Entrerimngen iles Coniefeti ' .Sonne in der ersten und dritten Beobachtung, eagt Olbe bünrie nicht kleiner als l sein, wenn die scheinbaren EatTti gen des Cometen von der Sonne nur grJisser al» 30^ sindf aul der anderen Seite habe die Erfahrun}!; gelehrt, dass die «ichtbaren Comelen, sehr wenige Ausnahmen abgerechnet,
halb der Marsbahn sind, deren grosse llulbaxe 1,^ ist, v
sieb ergebe, dass r^ + r^ fast immer Heiner als 3 sein w
" b sei " ■ ■ ,. .. . <i
Filhre niai (jleicbuDg
:i z immer ein genanorter »erm aer >aumme ti' nun diesen ersten NSherungsiverth von ri+rj lii
ein, so enthalte dieselhe nur die unbekannte Grilsse «|tg. welche sich daher mittelst der Torherjicb enden (jleicbunffi erster JNäherunij^werth finden lasse. Habe man aber auf Weise einen engten Näherungsiverlh von «,.g ermittelt, so sieb, wenn mnn die Auflösung II. anwendet, mittelst der l nach U| und u^ auf'zalOseuden Gleichungen
Wa =
3i'«i
+ 2;ff,cos(«,'— Li)-ff3cos(«,'— i-Ji
+ 21 fl3COs(K3'— Lj)— /v',cos(b3'— Z,,) I
— Slsin^i'fiiopa'+cosfctt'— «a'Jcosj^i'cosjSa'lMiWa+Hi'+ttaj
(renn man die Auflösung [Tl. anwendet, mittelst der beiden »1 und «3 aufzulösenden Gleichungen
+ 2lfilC0s(Ki'-ii)— ffjcosC«!'— i3)lcosft'M, + 2\ R^cosios' —L^) — RiCos{as'—Li) ] cos^j'i/j — 2|sio^,'siüj33'+cos(ni' — a3')cosft 'cos/3,' ImjWs+Ui^+Hj' der erste Naherungstveith von w, , dessen man bedarf, findl
Dies ist ihrem allgemeinen Princip nach die voi^ bers im Astronomischen Jahrbuche. 1S33. S. 35 I. a gelten« Methode, auf deren weitere ]iraktische Ausluhruiif>^i wie ihr dieselbe in meisterhafter Weise von ihrem Crheber \
145
wn worden ist, ich mich jetzt nicht einlasse, in der Ülteren Ab- bmndlaDg Aber die leichteste und bequemste Methode die Bahn eines Goineten zu berechnen. Weimar 1797. Neue Ausgabe 1847. geht Olbers von ganz willkiihrlicben Voraussetsungen filr die eine unbekannte Grösse^ auf welche das Problem von ihm zurückgebracht wird^ aus, wie man aus den iortaur Erläuterung der Methode gerechneten Beispielen sehen kann.
Weil bei der vorhergehenden Methode die Bestimmung der [Uoe $1^ aus der Gleichung
m Hanptmoment bildet, so will ich jetzt noch zeiges, wie sich riese Gleichung nach meiner Meinung am besten auflösen lässt.
Weil Tjy r^, i|,3 die drei Seiten eines ebenen Dreiecks sind, ist immer
'3 '^ ^1+^8»
■d man kann also
sin CO =
'l'3
n + ra
m Dadurch wird die aufzulosende Gleichung
(n +r3+*ji,8)' — (ri+ra— 5|,8)i=:^ die folgende Form gebracht:
eft
s
121
(l+sin»)S-(l-8i„«,)|=-j^-^. Uaber, wie man mitteist leichter Rechnung findet :
(cos 5" G> ± sin ^j cd)* = 1 db sin« 10 kann man die obige Gleichung auch auf die Form
(cos j »+sin 2 a))3 -(cos ^ a>-sin ^ co)« = j^^J^^ »
r, wenn »an die beiden Cubi auf der linken Seite des Gleich* :heii8 entwickelt, auf die Form
. 1
. 1
'^1 >3
feos^M'sing » + 2b\uq<o' = ^^^:^^
bringen.' Setst in«« nun
■ * * i ■ • ■
cos5(o*=l — sin 5 CO*, so nird die vorsteheode Gleichung:
> • ' ••
• I • i . .
siiiö»-— 48inoC»'= . ■ — Ti
oder
(sin 2« J 3
. i
sin £7 CD
V2 -^ 4 • V2 "" 8ffV2.(ri+r3>l ' Weil Xi,s <^i +^8 '*st, 80 ist
und folglich
(ri+r,+x,„)K2Hr,+r,)J.
■
Also ist um so mehr
(ri+r3+xi,s)« - (ri+r3-x„3)J < 21 (n+rg)« , und daher 9 weil
(^4 r3+*i,8)' - (n +»-3— *i »3)* = „
r
ist:
oder * \
Slii ^ 1
2^V2.(r,+r3)l ^^•
Daher ist man berechtigt
2U getzen, wodurch wir nach dem Obigen die Gleichung
1 ^ 1
('"ä"^ 3 *'"•>" 1
147
die Gleichung
1 ^ » . t
n Sin r% (0
N 3 ""'2*" . 1 .
"4"' ^Vl" +4s'"'Ö^0 ten. Nach einer bekannten goniometrischen Formel ist aber
13 1 1
leiclit man diese Gleichung mit der vorhei^eheuden , so er- sieh :
. 1
— ;5 — =sinn0, sin 2 («>=8in öd.VSf
""2" .1. .1 . 1
man hat a1«o zur Berechnung von X|,8 nach dem Obigen die snden sehr bequemen Formeln:
t' 11
I aber
cos 5 (ö*= 1— 2sin ö Ö* = cos s 6*— sing ö*=cofiÄ ö n-orans sich
sina)=:2sin zy g>cos 5 ai=:2 V2.6iH 7| 6 V cos ^ 0
l)t, so kann man die Formeln zur Berechnung von Si^^ auch bigencle Art darstellen:
T 1 4 I 2~
"^=J^ftV2.(r'+r8)S ' *i'3=2v2. (r,+r,)sin 3 öy C0S3 Ö •
I die Gleichung
kxoeauf Xt)3 als unbekannte Grösse immer nur eine reelle ifire Wurzel, die kleiner als Vi-i-r^ ist, haben kann ,• lässt sich h aaf folgende Art zeigen. Sind nämlich überhaupt s und s i reelle positive Grossen , die unter sich ungleich und beide Ikt als Ti-^-r^ sind; so ist, wenn wir s als die grossere dieser
fcn Grossen annehmen:
ii
(r,+»^+*)§>(r,+r,+«)J,
148
in +r3 — *)ä < (»-1 + rj — »)} ; also
(r,+r3+»)S- (r,+r,-»).J > (r,+r3+«)S— (r,+r,-s)S,
woraus unmittelbar erhellt , class es nicht ziTei reelle positive Werthe von Si,^, die kleiner als rj^-f^s sind, geben kann« (Ür welche die Grösse
ein und denselben Werth erhält, wodurch die oben ausgespro- chene Behauptung erwiesen ist.
Die eine reelle positive Wurzel der Gleichung
r
welche unter ri-\-r^ dieselbe nach dem Vorhergehenden nur habea kann, erhält man aber, wenn man in den Gleichungen
den Winkel d positiv und kleiner als 00^ nimmt, was vermuge
der ersten dieser beiden Gleichungen ofifenbar verstattet ist. Dana
1 -2 .
sind nämlich offenbar auch .-» 6 und i^ 6 positiv und kleiner als 90^»
und die Formel
1 aI iT"
*4,3=2v^.(ri H-r3)sin2 0\ cos^j 6
liefert also, die Quadratwurzeln positiv genommen, für ^1,3 ewea reellen positiven Werth, welches der gesuchte ist
Wie schon oben bemerkt worden ist, habe ich in dieser Ab- handlung zunächst und hauptsächlich den Zweck vor Augen ee< habt , die zweckmässigsten Auflösungen des Cometenproblenis la Allgemeinen zu skizziren und in einer Generalübersicht dem Leser vor die Augen zu fuhren. Die hin und wieder noch nöthige Aas* feilung der iietreffenden Formeln, um ihnen zur Anwendung bd numerischen Rechnungen eine möglichst bequeme Gestalt xo geben, werde ich, insofern sich die vorliegende und die frühen Abhandlung über das so wichtige und wegen seiner Schwierigkeit so höchst interessante Cometenproblem des Beifalls der geehrtes Leser des Archivs einigermassen erfreuen sollten, vielleicht noch zum Gegenstande einiger späteren kürzeren Aufsätze machen, wo denn zur besseren Erläuterung auch vollständig ausgerechnete Bei- spiele nicht fehlen sollen , indem diese Beispiele mir zugleich eine passende Gelegenheit darbieten werden, zu zeigen, wie die sämmt- lichen Elemente einer Bahn zu bestimmen sind, was freilieb, wenig- stens in Bezug auf die Neigung und die Länge des Knotens, schoi aus der früheren Abhandlung mit hinreichender Deutlichkeit erbel- let, und übrigens in seiner weiteren Ausführung keinem mit der wissenschafllichen Astronomie gehörig vertrauten Leser unbekannt sein kann.
149
ber die Ausgleichung: der Beobach-
tan^sfehier»
(Methode der kleinsten Quadrate.)-
Von dem
Herrn Professor Dr. J. Dienger
an der polytecliniitchen Schule zu Cnrlsriilie.
Die Grandsfttze, um die es sich in diesem Aufsatze handelt, allerdings schon seit geraumer Zeit festgestellt* so' dass es jetzt mehr um die Methode der Darstellung und dei^ Bevreise lein Tvird, als um jene selbst; trotzdem aber scheint es mir, I gerade die Nachweisung eben jener GrundsKtze sehr Vieles iFflnscheo übrig lasse. Ich habe es desshalb im Folgenden ■cht, eine folgerichtig dnrchgeföhrte, zusammenhängende Dar- lug jener Grundsätze und der auf sie gebauten Lehren zu M. Die Grundansicht, von der ich ausgegangen bin, ist die Hagen, wie sie auch Wittstein ih seiner Uebersetzung Raviefs Differential- und Integralrechnung befolgt hat. Dass .ti&em schon mehrfach bearbeiteten Gegenstande die Lehrsätze
aeasind, versteht sich von selbst; es war auch nicht meine
it, dergleichen neue zu erfinden, sondern bloss die vorhan- |ii in mathematisch strenger Weise zu begründen. Die paar ''aus der Wabrscheinlicnkeitslehre, die angewendet wurden,
aicii in jedem elementaren Lehrbuch dieses Zweiges der
'ifischen Wissenschaften.
§1.
AOenosere Beobachtungen sind mit Fehlem behaftet, und es ttt geirissermassen unm^iglich , diese Fehler durchaus zu ver-
150
meiden, zum mindesten haben wir keiq Mittel, diess xu erkeDnen, 80 dass wir aUo jedenfalls auf Fehler rechnen mfissen. Diese Fehler werden mehr oder weniger leicht begangen werden, je nachdem sie kleiner oder grosser sind. Je mehr ein solcher Fcfi- ler möglich ist, desto eher wird er begangen werden, desto eher wird man also darauf zählen können, dass er zum VorscheiB komme; je grösser er ist, d. h. je weniger er, bei guten Be* obachtungen, mö|;lich ist, desto weniger wird man auf ihn zählen dürfen. Ueber eine gewisse Grunze hinaus wird es bei geoaoen Beobachtungen möglicher Weise keine Fehler mehr geben; ebei so wird man auch annehmen dürfen , dass ein jeder Fehler pon- tiv oder negativ vorkommen kann, d. h. dass man eben so leicht {iber den wahren Werth des durch Beobachtung Gesuchten fdh len könne, als unter denselben.
Man setzt natürlich voraus, dass die Beobachtungen «elliit mit so viel Sorgfalt als möglich angestellt seien, so dass, m den wahren VVerfh k einer durch Beobachtung zu bestimmen- den Grösse zu finden, man zu ihrem durch Beobachtung gefunde- nen Werthe A*| nur noch eine sehr kleine Grösse A:' hinzuiiSsen muss. Diese Bedingung ist durchaus nothwendig; schlechte Be- obachtungen können nicht durch die Methode zu guten gestempelt werden.
Jeder Fehler, der einer Beobachtung anhaftet, kann betrach' tet werden als das Ergeh niss einer grossen Anzahl sehr kleiner Fehler, durch deren Zusammentreffen er entsteht. Jede Beobach- tung lässt sich nämlich offenbar zerlegt denken in eine sehr grosM Anzahl Operationen, deren jede mit Fehlern behaftet ist; die Summe aller dieser ein/einen Fehler ist nun der Beobachtung^' fehler, der begangen wurde. Es wird daher erlaubt sein, im AU* gemeinen jeden Beobachtungsfebh^r anzusehen, als entstanden durch Summirung einer unendlich grossen Anzahl unendlich klei- ner gleicher Fehler, die wir Elementarfehler nennen wollen. Jeder dieser Elementarfehler kann positiv oder negativ sein. Diese Voraussetzung zugegeben, entwickelt sich nun die gesammte Theorie leicht.
S. 2.
Sei tt der Elenientarfehler und sei m die Anzahl der Elemen- tarfehler, indem wir alle diese Elementarfehler gleich gross vorasn- setzen. Jeder dieser m Fehler kann positiv oder negativ sein. Aus der Lehre von den Verbindungen findet man f^r die Anzahl der möglichen Verbindungen:
wenn alle Elementarfehler positiv sind .... 1, und also der ganie
Fehler mct\
wenn m — 1 Elenientarfehler positiv sind, 1 negativ ist .... m, nnd
also der ganze Fehler (m — 2)a;
151
IM— 2 Eiementarfehler positiv , 2 negativ sind ... — j-^ — » "^^
also der ganze Fehler {m—4)tt;
m — 3 Eiementarfehler positiv , 3 negativ sind ...' TWk *
und also der ganze Fehler (m--6)cr;
alle negativ sind 1, und also der ganze Fehler — nuc.
\s ist offenbar erlaubt, m als gerade Zahl anzusehen und r?i=2}t zu setzen. Nun ist klar, dass ein Fehler in dem se möglicher sein wird, als die Anzahl der Verbindungen, I die er entstehen kann, grosser ist. Heissen wir also- alU in V den Beobachtungsfehler, a: seine relative Müglichkeit, it man folgende Uebersicht:
2m(2«-1)....(»i+1)
0
±2«
±ia
1.2 n
2it(2yi-l)....(n-f2) 1.2 (n-l) '
2w(2w— 1) (n+3)
1.2 (n— 2) '
±2n« 1.
Die Zähler der zweiten Reihe haben nur insofern eine Bedeu-
U als sie die Verhältnisse der Möglichkeiten der betreffenden
mchtungsfehler ausdrücken. Ein Gesamnitfehler ±2na, im
tötniss zum Fehler 0, wird also möglich sein im Verhältniss
, 2«(2n-l)....(n+l) ^. ^ -u j j
' ^ ^^ TS Erinnert man sich , dass n unend-
, l.2....n
leross ist, so ist dieses Verhältniss unendlich klein, also ist
tloiier ±2na^ im VerhftJtniss zum Fehler 0, so viel als unmOg-
i Ganz bestimmt wird :man dies» im Allgemeinen aber 'niir
lebem unendlich grossen Fehler behaupten dürfen, so dass
^ als unendlich grosse Zahl ansehen müssen.
Sei nvn Sq die (absolute) Möglichkeit eines Fehlers 0, s die (I Fehlers r=2rcf, r' die eines Fehlers (2/' + 2)a, so ist nach ■ Obigen :
:t5ß
2n(afi— !)....(« fr+l) 2n(2n^l)...,.(n+rj-Ü
9 • £ _ lA..(n— r) g^ • l,2..-.(n-rl.l)
V"^ 2Ä(&i-l)....(n+l) • *o~ 2ii(2n-l)....(«+l)
1.2 n 1 2 91
Sei nun
ü' — u=^r = 2a, *' — s=^//s;
m ist
• |
• |
s'-s ds r |
Nun ist aber: |
• |
• |
5'-S |
't |
' «-^ A-. |
t = 2raz=:rJv^ r =
also
Js s iv + /1v As 2v+Av
Nun ist AVf so wie ^.«^ unendlich klein, nz/<7=2nfi( uneni gross, also nJc^ im Allgemeinen endlich und positir, so
wir seinen Werth = p setzen wollen. Daraus folgt also :
1 ds
worin c eine willkührliche Konstante ist. Für i?=0 ist sz also endlich:
*=:50.C-**«'*. (1)
Diess ist nun der Ausdruck der relativen Möglichkeit e Fehlers v, in Besug auf einen Fehler 0.
S- 3.
Suchen wir nun die Wahrscheinlichkeit, dass gei ein bestimmter Fehler begangen worden sei. Es ist von herein klar, dass» da eine unendtiche Zahl von Fehlem mögl ist, die Wahrscheinlichkeit, dass gerade ein einziger bestimi
153
ami dieser Meng* begangen* worden, iinmidiich: klein-sei» wird; dafiir aber wird das Ver b<niss : der Wahrscbeiniiehiceiten zweier •oleher bestimmter Fehler ein endliches nnd offenbar gleioh sein dem Verhfiltniss ihrer relativen Möglichkeiten. Sei also ioa die (unendlich kleine) Wahrscheinlichkeit, dass gerade der Fehler 0 b^angen worden, so ist die Wahrscheinlichkeit w, dass gerade der Fehler v begangen wurde:
fo^tüQ.e-**»',
(2)
worin also io die Wahrscheinlichkeit ist^ dass v der Fehler der gemachten Beobachtung sei.
• ' ■
Nach den Grundsätzen der Wahrscheinlichkeitsrechnurig ist aber die Wahrscheinlichkeit, dass von einer ge^vissen Anzahl Er- eignisse, von deren jedem man die Wahrscheinlichkeit kennt, irgend eines eintreffe, gleich der Summe der Wahrscbeinlichkei- toi der einzelnen Ereignisse. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, JbbBS irgend ein Beobachtungsfehler begangen worden sei, ütOf^e-^^^*, worin das Zeichen 2 andeutet, dass man die Summe aller GrCs- ■en iOoe~^*** nehmen' soll für alle müglichen Werthe von v. Nun ^\it aber gewiss, dass irgend ein Beohachtungsfehler begangen iwrde. Daher hat man:
■''■
so dj
folgt:
2?Wo«-***'=l. ' ' (3)
• -.1 ■
/OD
h^v^Sv
— OP
?t s=\
eit eil
SS irei
von m «i g I i( estimi
iber bekanntlich
|kk also
Uglich
/V*'^"a.=^,
-ao
tr=-^e-»'«'*ap.
W
GHkise drückt also die (theoretische) Wahrscheinlichkeit dM 9 der Fehler sei, den man in der gemachten Beobach- kgangea habe.
xnii.
11
154
Nacb d«tt' ahgefflbrten Sahie der Wahrsehehüiclikeitoi nang folgt daians, 4ama dieWahrsebeiBlIchkeit, das« der bei genachten BcofaUchtnog begangene Fehler zwiecben a uii (/»>«) liege, iet:
v^.
a
Diese Grösse (5) druckt somit auch die Wahrscheinlichkeit dato der gemsicbte^ Beobachtungsfehler die GrSnsen er und fi i Gberschreite. Daraus folgt, dass die . WabrseheinMchkeit a pi dass bei der gemachten Beobachtung kein Fehler vorkomme» sen absohiter Wertk a übersteige» ist:
Ä /*« ■ 2Ä /*«
'J^ / r-^'^'dü=^J e-^**d9, «>0. (6).
— « 0
5. 4.
Das Integral, das wir so eben gefanden haben, ist fiir un Untersuchungen sehr wichtig. Man hat Tafeln dafür , und nan lieh hat Encke in dem Berliner astronomischen Jabrbuche 1834 zwei solche gegeben. Setzt man in (6) Ar = ^, so wird j«
Integral zu -y-- # e-^^Bt, woßr nun Encke eine Tafel g
2 /*?* ben. Eine andere hat er für -7= / e-^Bt gegeben, wo
V TCtJ e
^=0-4769360 (§. 5.).
Man ersieht aus (6), dass, je srusser A^ ist, desto unw scheinlicher grossere Beobachtungsfenler.sind. Daraus folgt, < von zwei Beobachtungsweisen , für welche A^ verschieden ist, jenige die bessere ist, für die A^ grösser ist. Daher kommi dass man A für das Maass der Genauigkeit der Beob tungsweise, der es zugehört» nimmt. Für verschiedene obachtungsarten wird also A^ Teränderiieb sein, aber kons für Beobachtungen, die nach derselben Weise gemacht wer
§.5.
Verm«^ der in fi. 4. erwähnten Tafeln wird es leicht £ iori über die Wahrscheinlichkeit des Vorkommens besti:
pnori
w
M b adi hin ?s fehler zu entscheiden. » Tafel;
f
^Hdie Wahrscileiiilichiceil B&, seinem absoluten Wi B699707. Offenbar bann mitn diess ai» lEt, von 10000000 besHueenen Beobachti ?__ 1J3 j 113
- -7- und + -7- •
Z. B. filr t.A = M3 giebl
2 /'>i3
3
(lass der begangene Beobachlungs
he naeli, nicht über — r— liege, ist
(iiess auch so erklären, dass man
iigKfeblern liegen 8S9Ü707
ter Werth von cÄ, für den obiges Integral a ist, Ist von he- uiderer Wichtigkeit. Mao findet, dass alsdann d/i = 0-4769360.
telche ZabI wir im Folgenden mit p be r ebenso r den Werlh von g, den »ir ) dass
wollen. Heissea aua dieser Gleichung er-
Vif '"''""="■'■
m
Bist nun eine Grüsae, so beschaS'en, dass für den bestimni-
jVerth A es eben so viele Fehler geben wird, die zwischen
pii -|-r liegen, als ausserhalb dieser Grunzen. Man heiset
^n r den wahrscheinlichen Fehler der Beobacb-
Aode, der das Mass der Genauigkeit A entspricht. Aus
weichung (7) folgt, dass je grösser letzteres ist, desto kiel-
\l wahrscheinliche Fehler sein wird und umgekehrt. Klan
kwcb sagen, dass r der Fehler sei, für den die Wabr-
'^'";«t des Uestehens oder Nichtbestehens gleich gross ist.
, so ist A leicht darnus bestimmt. Weiss man 2. B..
Ü einer gewissen Beobachtiingsmethode ein Fehler von 2"
9 Mcht milglich ist, als bei einer anderen ein solcher von
'Imra man r = *2, r'— 1 annehmen und findet A:A'^1:"J,
n^ ivreite Beobachtungs weise ist doppelt so genau ala
I F eine Funktion gewisser Veränderlichen ,t, j/ na riarch die Gleichung; ' ' i< ' " 1 '
136
FzsaZ'\-bif+et + , (8)
M'orin a, 6, c, Konstanten sind. Seien ferner x, ^, z,
aus Beobachtungen zu bestinunen » und nehmen wir an , man wlsw, das« ttk
u=?ai, 6=6jL, cz=:ci, , sei F=ii\,
a=02* b'='b%9 c=c^, , ,9 F'=']M%^
wo
Ol» bifCi, ; a^f 1^2* ^9 •••— u. s. w.
entweder Konstanten sind» die man zum Voraus kennt, eder A durch die nämlichen Beobachtungen bestimmt sind, durch welche Ml, ilf^, bestimmt wurden. Man wird somit haben:
aiX + biy+CiZ'\- =Miy
a^a: + 63^ + c^z + = M^ , (9)
wo es sieb um die Bestimmung von 07,^,2 handelt Wann
die Werthe der Grössen a, 6, c, , m durchaus genau wären,
so würden von den Gleichungen (9) so viele, als Unbekannte vor- handen sind, genügen zur Bestimmung dieser Unbekannten, adi die etwa noch weiter vorhandenen Gleichungen müssten durch die Werthe dieser gefundenen Grössen erfüllt sein. Diese Voraue- setzung ist aber unzulässig (§. 1.). Nun ist klar, dass wir, bä der Unvermeidlichkeit der Beobachtungsfebler, uns der Wahrheit immer mehr nähern müssen , je mehr genaue Beobachtungen niu macht; desshalb wird man in unserni Falle mehr Gleichaogen haben, als zur unmittelbaren Bestimmung von x, y, z, ... gerade noth wendig sind, und es muss also eine Rech nungs weise gesacht werden, die jede Beobachtung nach dem ihr zukommenden Werthe mit in Anschlag bringt.
Wir haben so eben vorausgesetzt , dass die Gleichungen (9) aus einer einzigen Gleichung (8) entspringen. Diese Voraus- setzung ist aber keineswegs unerlässlicn ; im Gegentheil ist es gleichgültig, woher die Gleichungen (9) stammen, und wir werden desshalb nur annehmen, dass man ein System (9) von Gleichun- gen (des ersten Grades) aufzulösen habe, in dem mehr Gleichun- gen als Unbekannte vorhanden sind.
187
Man kanii z. B. allgemefii annehmen^ -rfas»
F'= o'or + bfy + c*2 + ...... ,
od dass ftir
o"=:fla» 6"=*«» c"=cjj, ...*.. : F"=:üfa,
ind man erhält so die Gleichungen (9) freit allgemeiner.
Sei nun A, das Mass der Genauigkeit (§. 4.) jftlr die B^öb- idituDgsmethode , aus der die Grössen in der ersten Gleichune
Serhalten worden ; h^ eben so fiir die zweite u. s. f. ; sei wei- k/q die Wahrscheinlichkeit ehies Fehlers =0 fÖp* die erste Methode, tr'o ^^^ ^'i^ zweite u. s. f.» so ist die Wahrscheinlich* *"** eines FehlersiiP— il/i=rj :
fc'o«-**'"'* (§. 3.), fc einen Fehler F"-Üf2= «2:
ist die Wahrscheinlichkeit > dass alle diese Fehler zugleieh
len:
fB'^w\w"'o .... e-(*i*«^.*+*2'r2.,+fi,»r,» +.....).
nchdem man nun eine Annahme macht! .üJiier & wahron
der Unbekannten x, y, z^ , werden die Werthe von
'» ^..., also auch der Fehler va^v^ ^.«.ymch äodecn.- Jede Annahme kann demnach angesehen werden , als eine Ur-
\tj^ deren Wirkung das Bestehen der bestimmten Fehler v^p
ist Da, bei wiükührlicber' Annahme, ä:» y, z, alle
(reellen) Werthe von — oo bis + od haben können, so es gomit eine Unendlichkeit solcher Annahmen, und min. ist, den Grundsätzen der W^ahrscheinlichkeitsrechnung, die cheinlichkeit, dass eine bestimmte dieser möglichen An- gerade die rechte sei, ein Bruch, dessen Zänler gleich
der Wahrscheinlichkeit der Fehler unter der Annahme des
»08 jener Werthe von Xy y, 2, , und dessen Nenner die
aller der ähnlichen Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen
kme von x, y, 2, ist, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass
"e ein bestimmtes System der ar, y, z, .... das rechte sei, ist:
e-(A.«»i«+Aa«»i HA j «•»•+ )
wo das Zeichen ^ eine fthnliche BedeutuDg wie früher hat Die 0er Ausdruck ist auch gleich:
fff
e-(*i«»iff>»«»««-f*3»»ft»"»^)83;3y8x.....
zizkdxdtfiz... e-(*i«»i«+*«*«'«*+A3«».«+. — ), (10)
worin t bestimmt ist durch die Gleichung
Aus der unendlichen Anzahl aller möglichen Hypothesen fibe die wahren Werthe von x, y, z,.... wird man nun die auszuwih len haben , deren Wahrschemlichkeit ein Maximum ist ; d. h. mai wird das System der x, y, », auswählen , flirdasdie Grösse
e-(*i*«'i»+»i»»««+AÄ*»i«+ )
ein Maximum» folglich die Grosse
hi%^+luiW + ff5W + = Ä (12)
ein Minimum ist. Hierin liegt der Grund der gebräuchlichen Be- nennung der Methode der kleinsten Quadrate.
Man wird also haben mOssen:
?ß-o ^^-0 ^-0 m^
SJ--0, ^^0, -gr-O, , (13)
d. h.
Ai«ri^+ vt.^+ A.*.;,^+ .:..-o.
* ^
A»«^^+^««^^ + Vi^s^+...^=0,
ist
I:-.
802 8Pa . 8i>a
r werden die Gleichungen (14):
man nun zur Abkürzung: «
Ai«fli*i + Äa«aa62+ Äa'ösft» + = L^*«*] '
Vfli^i +Äa«flaCa+ Aa^^'a^a + =[**««]» (1»)
lält man die Gleichungen:
ÜM
[Ä«<ibj« + [A«6«]y + [A«Ac]i + = [A«Jtf6] .
[A«ac]« + [Äi«6c]y + [Aac«]* + ..... s=[*»iliFc]i (16)
I
aus denen nun 'ikr, jr, r, .... itu bcistimnien'lBihd. - Fflr den besc
deren (allerdings häufigen) FalU dass Ai=As=A3=: , wen)
die Gleichungen (16) zu:
[o']a:+[oi]j+[ac]a+ z=:[Ma],
i »1
[ac]x + [6c]!f + [c«]« + ..... = [Mv] . (17)
1 • » ' •. .«v : ' •■ *. . — .
N t
Seieo gn g^^» g^^ Zahlen, so bestimmt , dass
hy^ih^ih^^i =gi''g%igz'
«0 werden die Gleichungen .(16) *2u : .
|>a«]a:+[^a6]^+[5rac]2 + z=.[Mag\y
lgac\x + [gbc-\y^-[gd^]z + = {Mcg] , (15<)
Sind 4/|, ^2» ganze Zahlen, was man immer einrichten kan
60 sieht mau, ()ass das Gleichungssystem (18) auf das (17) i rückkommt, wenn man nur bei der Ableitung des Systems (1 aus den Grundgleichungen (9) jede dieser letztern so viel n zählt, als die ihr entsprechende Zahl g angiebt. Daher rührt i Benennung: j^^ewicht einer Beobachtung, die man den Zc len g beigelegt hat. Da die Gewichte blosse Verhältnisse tfii so ist es weit bequemer, dieselben statt der Genaui^keitsmae einzufahren. Ist altgemein r der wahrscheinliche Fehler (§. S der dem Genauigkeitsmass h entspricht, so ist:
1 1 1 ,tm
§.7.
Wir haben in §. 6. vorausgesetzt, dass die GrundgleichtingC (9) die lineare Form haben. Jede andere Form kann aber ak diese zurückgeführt werden. Gesetzt es sei:
r'=z(p"(xy y, s, , a, 6, c ),
■ . ■' ■" •
nan habe wie<Uh: (lir
a=ai, Ä=6|, r=:fi, , F'=3/i,
i
y
•
' ähle man n ' der dadurch zu erhaltenden Gleichungen aus 1 n die Anzahl der Uebekannten x^ y, z, ..... ist) und be-
en sehr kleine Grössen sein, deren die erste fibersteigende
itz vernachlässigt werden kann. . ' Ist also F| der- W^& . von
ir .T=aro, y^yoi »=«ü»-5 ^2 ®^®" ^^ der v#n JP'fiirAtse- the, so ist:
'•=Fi+^'s7^+y'7!;r-+*'^+
8^0 c^ * Sx,
■•>
0
• • . ■ I > 1 ■ ■ ' . . " I I :
r » ■ . . t ■ • , 1 ■.
. 1
aus folgt 9 dass man zur Bestimmung von x*y y'ffZ\ ....dieFor- D des f. 6. hat, vrei^n man dort ändert: . ;
Mi,a, b, «?,......, a;, y, V, .
■ .«/.'.••.■•».»■ i. ■
iglich in:
iiil ■■;'.■/■■■..•!'■■•
'^■'■- S.- ■„■ 'dV 'BF SF '.' ',■' , ■.■•• ■■•
*"""' d^o' Wo' ^' ' ''»'9' *"-^i
lits» nMH.faüt:
(21) aF 8F T . r 8F SF -| , , r 8F SF
8F 8F n , . r 8F SF -1 , , r sr öf t , .
8F 8F-
aP SFn , . r 8F 8Fn ,t 8F 8F -| , .
'ä^o ^ J ^ + L'^ Wo ¥o J ^ + b %^ SIT I * +.
163
[aF aF-i , , f SF aFT ^ . r bv dw-t , .
worin
F«=9"(^09 jfo» ^> ' ^39 ^» ^» •••••) a» s* w. •
ist, und wo gans wohl fp'ssg/'.,., aein kann.
Sind noch Bedingongsgleichnngen vorhanden, so ist die Be-^ bandhing wie bekannt.
§.8.
Angenommen man habe für die Grt^ssen iV, N*, •^•. .die wak- scheinlichsten Werthe n, n^...., ganz unabhängig von ell- ander gefunden 9 und seien r, r', .-•• die wahrscheinlichen FeUff dieser wahrscheinlichsten Werthe. Sei nun:
1) V=ttN, c; eine Konstante, und man suche den wak^ scheinlicbsten Werth von V, so wie dessen wahrscheinlichen Fehler. Sei h so beschaffen, dass hr=Q (6. 5.) und sei fii der wahre Werth von N,' so ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlen iV— ni=v, indem man N einen willkührlicben Werth beilegt: «'o^"*^"* (6. 3.)- Also wird, nach dem in §. 6. aufgeführten Grund- satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die Wahrscheinlichkeit dieser Annahme für N sein:
-y^ = Äc-Ä^f^SiV, k I e-**»»8iV= 1 .
—OD
Diese Wahrscheinlichkeit muss ein Maximum sein , wenn man Jf seinen wahrscheinlichsten Werth n belletet, d. h. man muss haben t?=iV— n (also für «^ den Werth n wählen), so dass die Wahr» scheinlichkeit, dass ein gewisser Werth N der rechte sei, ist Ä:ß-**(^-»)" 8iV. Was k anbelangt, so findet sich:
/« Vir h ,«
^^HHN^n)2 SN =Z -^ , also A=y~Ä«
— ac
16S
»mir die Wahrcreiietiilichkeit, das« der beetfinnite Wertb N eilte sei:
' Vir
y
li V=::aN^ iV;=:— ; also ist diese Wahrscheinlichkeit: .
a .
«v »
agleich auch die Wahrscheinlichkeit ist^ dass ein bestimm- erth V der wahre Werth dieser Grosse sei. ^ Diese Wafii;- ilicbkeit ist ein JllazimuQi fQr y=:zan,, also ist der wid^rr luchste Werth von F gleich ««• . . .. .
Tie Wahrscheinlichkeit eines Fehlers e ist
DuiD* leicht nach %. 3. findet. Daher Ist (J. 6.) der wahr-
k' ■ olicbe Fehler r^ bestimmt durch ri-= q , d. h. man hat
rr, so dass der wahrscheinliche Fehler von F ist ar, wenn er wahrscheinlichste Werth von F'isl. ^
I) Sei nun V=iN+ N', und man sucht eben so den wahr- dchsten Werth von F mit dem wahrscheinlichen Fehler t Bestimmung.
Men h, hf bestimmt durch die Gleichunsen rh=iq, r'h'^iQ, t, wie oben 9 die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter % 19 der wahre Werth dieser Grösse sei:
V « fo, dass N' der wahre Werth dieser zweiten Grösse sei:
Wahrscheinlichkeit also, dass diese zwei W^rthe zugleich die n seien« ist
^ ^-Ä*(A-ii)«~*'*(A''-.ii')« dNdN' .
n
184
- Du A'^F-WV/ito icHiinmari also auch «ageh» die Wahndwb lichkeity dass iV und V — iV diti wahren Werthe seien, sei
i"' g-At(A--«)«-A'»(r-.V-ii')«ajV'g2V>.
n
Diese GrSsse druckt also auch die Wahrscheinlichkeit ans, Am zwei bestimmte Werthe N und V die wahren Werthe dieier Grossen zu gleicher Zeit seien.
Um die Wahrscheinlichkeit ?u haben, dass der (bestiBUBtib aber willktihrlich angenoniitietti;) Werth V der wahre sei, «M auch imnfer jY sei, muss ofan die Summe der Werthe obifpR Grösse nehmen, indeAi man jy alle Werthe von -—od bis I-ob beilegt. Diese Summe ist
•
-OD
und diese Grosse druckt also die Wahrscheinlichkeit aus, daü-B der bestimmte Werth V der wfdire Werth sei, was auch S wfk^^ d. h. also unabhängig von iV. Nun ist aber:
Ä«(iV-w)*+A'«(r-iV-*0*=(A^+A'*) (jV-
A'«F+A«ii— *^\>
AH*^
)
also wird obige Grosse zu:
—X
AA'
Vn^Vh'^Vh"^
*f*L(r-«-n')2
Diese Wahrscheinlichkeit ist ein Maximum für Vz=in'\-n' mii somit ist der wahrscheinlichste Wertli von V gleich n + «'.
Sei h^ das Mass der Genauigkeit dieses Werthes, so wird man wie in Nro^ U finden, dass die Wahrscheinlichkeit für eiMt beliebigen Werth von V ist
IM
iB haben wir aber gefiiiiclen , , dass diese Wahrscheinlichkeit ist
lo bat m^n
. . * ■ . "
A,=
VA»+A'ä
enn r% der vrahrscheinliche Fehler von F=sn-|-n' ist, so ist ts=p> also
3) Sei
ra a und ß Konstanten sind. Der wahrscheinlichste Werth von ilf ist an (Nro. 1.), von ßN':ßn*\ die ws^rscheiniichen Fehler W «r und ßr'. Also ist (Nro. 2.) der wahrscheinlichste Werth Nt F: an-{-ßn\ mit dem wahrscheinlichen Fehler
4) Sei
J|!f = aZV+/3A^'+yA^".
wahrscheinlichsteD Werth e von «2V, /^iV', yiV" sind: an, ßn', ^ro. 1.), mit den wahrscheinlichen Fehlern ar, ßr* , yr**, ist der wahrschemlichste Werth von aN-\rßN': an ■\-ßn* mit wahrscheinlichen Fehler
STa^r^ + ßh^ (Nro. 3.), lach der wahrscheinlichste Werth von
F= (aN+ ßN') +7iV" gleich an + ßn' + yn" dem wahrscheinlichen Fehler
5) FShrt man so fort, so sieht man, dass der wahrschein- le Werth von
F = aN+ ßlS' + yA^'' + SN"^ +
IM
mit dem wahrscheinlicheD Fehler
Wir haben hier V als lineare Funktion von N, iV', ......
nommen. Im allgemeinen Falle, da also
r=f{N,]S',N'\ ),
wird maii immer
* _. ■ ■
annehmen können /und dabd voraassetzen dürfen, dluss ^A*, .... sehr klein sind. Ist nun
ri=A«> «'.»". ).
so ist dann:
Die wahrscheinlichsten Werthe von JN,JN', sindoff«
Null, also ist der wahrscheinlichste Werth von V gleich V dem wahrscheinlichen Fehler
my-<m'''<m
§.9.
Die bisher bewiesenen Lehrsätze liefern uns nun die M die wahrscheinlichen Fehler der durch die Gleichungen des
bestimmten Grössen ac, y^ z, anzugeben. Seien r^, i
die wahrscheinlichen Fehler der Grössen Mi, M», , die d
die Beobachtung unmittelbar gegeben sind, und nehmen wi dass die Auflösung der Gleichungen (18) oder (16) des §. 6
geben habe:
-=n^i +ra^2 + y3^3+
167
SO hat nutn« nacli dem aÜgemeinen Lehraatze des §.8., als waht' acheinlichen Fehler von
ar:VlSPj, von yiVpV]. von xcVQ^«] u. s. w.,
ire das Zeichen [ah^] eine Bedeutung hat, die in 6. 6. erklärt wvrde. Wenn man die Gewichte statt der wahrscheinlichen Feh- ler einfahren wollte, so hätte man nach §. 6.:
ri«:r^«:r3«: = — ; — : — :.....,
9i 9% 9t
«d wenn R und G der wahrscheinliche Fehler nnd das Gewicht VM jc ist:
«koiMstantp also, da jB=:V'[a*r«]:
G=
m'
irt natürlich die Grossen g und £? auf dieselbe Einheit des Ge- «iehtes bezogen sind. Eben so ist, in Bezug auf dieselbe' Ein- ^"'^ da^ Gewicht von
'm
von ^•-z::ri^^i
ra
Gesetzt man habe eine lineare Funktion
Q=q(^Vqiy + ya* +
CMtaseil X9 jf, 2, , so ist also nach (22):
■ >
Ö= (qo^i + qißi + %Yi + )^i
H-C^'««« + qiß^ + ^27«+- -O^a
+ («'««a + yifc +^ay» + )^3
+ ,
riiio nacii dem allgemeinen Theorem des §• 8» der wahrschein- Ute Fehler von Q :
%f»
(»t»«! + 9i A + VsTi + •i^-)*'i*+ (7<l «« + 9i A + W« + '•— )^' + (9««» + 9ißt + Wa + ■••)*'•»*+ . '
• + qinP'r*] + 2yi^2[i»y>«} + .... ( (23)
.; .. .\
Wenn alle Beobachtungen , durch die 3/| » 31^9 ^^^^
ivorden sind, von gleicher Genauigkeit wftrHi, so i^ären dieG sen r| , r^j •••• Me gleicfar, «nd wenn also r der wahrscheinli Fehler dieser Beobaehtungsmethode wäre^ so hätte man fiir mahrscheiiiKchen Fehler von ^r» y» x,.... :
rVT^J, rVm> r\r\^], .,... ,
■
lind der «'{üirscIieinUche Fehler von Q'wäre:
r\/|9o*[tt*]+29..9j [«/»]+2?o9a [«)']+•.- \
+ *in^l +2?,y«[M+
+ ya«[y»] +
Wir wollen nun ein paar besondere Fälle untersuchen.
■**:i)':Sei(M)"" ." '-■ ■ ■'"
d. h. sei eine Grosse a: unmittelbar durch Beobachtung zu best nien. Man hat also (§. 6.) alle a=l, b=:ic=:^ - =0, also [5 = [g] und folglich
wenn m die Anzahl der Beobachtungen ist. Das Gewicht voi i«t.da. a=^y
1 1 . ^
Sind also Beobachtungen gleich gut, so kann man eine da mit der Einheit des Gewichts ii\ Kechnung bringen, also set
und hat dann
169
m
mit dem Gewicht m, oder dem wahrscheinlichen Fehler ,
Vm
Diess ist die bekannte Regel des arithmetischen Mittels. Bei m gleich senauen Beobachtungen derselben Grusse ist also das arithmetiscpe Mittel der wahrscheinlichste VVerth dieser Grosse. Zugleich haben wir hierin eine weitere Bestätigung des in §. 6. AoTgefiShrten, dass ein Gewicht nny das einer Beobachtung (Be- stimmung^ zugelegt wird, bedeutet, die Beobachtung sei gleich m Beoba^tunf^eo zu rechnen, denen das Gewicht 1 beigelegt wird. Der wahrscheinliche Fehler ist aber nicht der mte Theil des wahr-
scheinliehen Fehlers jeder Beobachtung, sondern nur der V^te TheiL
2) Sei
so ist, wie so eben
F=oa:,
^t dem wahrscheinlichen Fehler:
»
'1
Ci^«*]
]
Fttr ^1=5^2=.,.. ist r^'=r^'=:,.:=z.r , also der wahrscheinliche Feh« Nr Ton XI
VKl
3) Sei
ecgiebt sich:
f = ax-\rby.
_ [!ib'»][mga\-[abff\[Jllbg] ia^aWb9\-[abg][Ma9\
Iktht Tbeil Xnil.
12
170
[«Va] =
1/3^'] =
P'-[aV][6«^]-l«Ay]l«fty]'
[^aa]«[68gar»]_2[flay][a6y][«6y«r«]+[a^]«[oVi*l
m
För rir=r« =:...• = r ist:
u, s. w.
Wir wollen eine Bemerkung über eine praktische Frage be- fugen, da sie sich leicht durch das Gegebene lösen lässt. ÄDge- nomnien man messe zwei Linien L und / mittelst desselben Maas* ses k und habe bei jeder Niederiegung der Messstange X einen
wahrscheinlichen Fehler r zu fürchten. Sei m^z-y» so ist also
X=A + il + ^+ .. .. (m mal), also nach §. 8. der wahrscheinliche Fehler von L:
]
■t.
rV^m = rV r- >
eben so der wahrscheinliche Fehler von /: r\ y- . Nehmen wii nun an^ man habe bloss 1(1 '^L) gemessen^ mit dem wahrscbeio-
liehen Fehler rV t-» und man habe (etwa vermittelst eines geo- dätischen Dreiecks) L berechnet, und gefunden L = plf so wird jetzt der wahrscheinliche Fehler von L sein (§. 8. Nro. 1.):
pr\ j-, während er im ersten Fall nur
Vf = r\f^-^f
war. Misst man also / nur einmal, so ist der wahrscheinliche Fehler dieser Messung rV r-, und also der jeder andern Linie,
171
dieaos der ersten geschlossen und pmal 90 gross gefunden wird,
^eich pr\ y-. Gesetzt nun» man habe / /? mal gemessen und WS den Ergebnissen das arithmetische Mittel genommen , so ist
kt wahrscheinliche Fehler dieses Mittels rV -y- , also der gros«
sero Linie L :
'-Vis-='V?='VI-
Daraus ergebt sioh^ dASS, wenn man aus einer ^^messenen Basis eines Dreiecksnetzes / eine ;imal so grosse Seite schliessen will mit derselben Geinauigkeit, i^s hätte man sie einmal gemessen, man die Basiis ;»mal messen muss.
§. 10.
Man kann die wahrscheinlichen Fehler der Unbekannten ;r,
)}:, einfacher bestimmen, als diess so eben geschehen ist,
wie in folgender Weise erhellen wird.
Gesetzt man habe aus den Gleichungen (18) z. B. gefunden:
E [Maff] + F[mg] + G[Mcß -f .... ^- E[acg] + F[bcg] + G[c^ff]+ .... '
[■«in £, F, G, weder M noch c enthalten. Die Form, die
m Werthe von z gegeben wurde, ist keineswegs willkührlich. Wen man weiss, dass, wenn P der allen Werthen der Uebekann- ^^»y» z^. geipeinsphaftlielie Nenner ist 9 man den Zähler von z feUten wird, wenn man überall c mit M vertauscht, und Pkeiu leithSlt (Supplemente zuKlugels Wörterbuch, zweite ^thlg. S. 53. ff.).
Wäit Jlfssa, 80 wäre in (18) offenbar 2=0, d. h. man bat
*[«*i73 +^[«^1 + G[iic^] + .... sr 0 \
'^"^ «^ ' Elabg] + F[b^g} + Gl^cg] + .... ;=0:| (23)
E[adg]+F[bdg] + G[cdg] + ..,.=0.]
^^Ut also P der Nenner in dem Werthe von z, so ist der MBrient von:
12*
172
V V c*
Ml gleich pöi^r, + p 615^1 + pCiSTi + ,
also nach §. 9. der wahrscheiDliche Fehler von z:
pV {(£«15^1 +Fbiyi + Gr,^, + )^r^^
+ (Ea^2 + ^^^2 + Gc^2 +»—)^a* + }
= ~ V £ { JE [a^r«^«] + F[a6«7*r«] + G [acg^] + }
+ F{£[a%V] + F[6V*] + G[6c^«/-«] + }
+ G{£[ac(^V] + F[6c^V2j + G[cV^ + ...)
Nun ist, wenn r der wahrscheinliche Fehler einer Beobachtung vom Gewichte 1 ist :
also
demnach obige Grosse:
r
+ F{£[i7a6] + F[^6*] + G[5r6c] + .... }
d. h. wenn man die Gleichungen (23) beachtet^ gleich rV p . Man folgert daraus leicht, dass, wenn man aus (18) zieht:
X = A'[Mag] + A\Mbg\ + Ä"[M€g\ + ... , y=B\Mafj] + B'\Mbg] + JB^'C^I/c/;] +...., (24)
2 = eC^/a^] + e'[ill/6^] + C"[Mcg] +
173
id weon r dieselbe Bedeutung hat, wiesa eben, die wahrschein- :hen Fehler von x^ y^ 2,.... sind:
r\Gf, T^fW, rSfC\ (25)
Wfiren alle Beobachtungen gleich genau, s*) konnte man- alle ^=1 sizen und r wäre dann der wahrscheinliche Fehler einer solchen eobachtung.
Will man die Gewichte von x^ y^ z,.... kennen , so seien die- ilben Gif Cr«,... ; also:
^., L.i r-*
lien so
B"
"»—"»5» "3 — 7w»*"»
h, die Gewichte von x, y, x, .... sind:
111
(26)
lo ganz ähnlicher Weise kann man den wahrscheinlichen Feh- er einer linearen Funktion Q der Grossen J?, iy, z> — bestimmen. Han bat (*23) fiir das Quadrat dieses wahrscheinlichen Fehlers erhalten :
+ ^1 f^oNr*] + qi[^r^] +!72[i^yr2] + ,
n also A\ J8',..... u. r. w. dieselbe Bedeutung wie so
tko, 80 ist« wie diess aus §. 9. unmittelbar sich ergiebt:
[A^}=r^A', [ß^r^^=:r^Bf\ [y«r*]=r2C«',
VMiir obige Bedeutung hat. Um die Summen [aßr^^^ L^;'^^] ' • ••* ■ erkalten, bemerke man, dass:
[ «1 = Aa^gi + A^igi + A^'cigi + ,
ßi = Baig, + B%,gi+B'''cigi+ ,
Yi = Ca^gi + C'fti^r^ + C'cigi + ,
ab»
174
+ il" { Ä'[a6i^] + Ä"[6«y V] + ««[ftf j7«r«] + .... \
+A'"{B'[acg^^]+ B'lbcg^] +B"'[e^gh-^] + ... \ t
= r^A'{B'[a'^]+B"[abg}+B«'[acg] + i
+ r^A" { B'labg] + «"[ö^^p] +Ä"'[6c|?] + |
+ rs^'" { B'[acg] + Ä"[Äc^] + B"'[c^g] + .... 1
wenn man beachtet, dass nach (23):
B'[a^g] +B"[abg] + B"'[acg] + =0,
B'labg]+B"[b^g] + B"'[f>cg] + =1 ,
B'lucg] + B"ibcg] + B'"[c^g] + =0,
Man hätte offenbar den Ausdruck für [cißf^] auch so ord: können :
rW' { A'[a^g] + A''[ab9]+A"-[acg] + ....)
+r^B"{A'labg]+A"[b^g]+A'"[öcff] + .... i
+ r^B^lA'lacg] + A"[bcg]+A"'[c^g]+.... )
=r^B',
da
A' [d'g] + A"[abff] + A"'[acg] + ....= 1 , A'[abg] + A"[b^g] + A"'[bcg] + .. . =0 , A'[acg] +A"[bcg] + A"'[c^j] + ....=0,
Demnach ist
175
I«j»r«] = r»J"=iaÄ' und aaob A"=:B'. anx eb«n so:
[«yr«]=T«^"'=r»C", also A"'=C;
Isu endlich ffir das Quadrat des wahrscheinlichen Fehlers von
<?= Joa? + 9iy + 9«* + — •■
Voi^yo^' + ?i^"+yail'" + ....)
+ %r«(^.Ä' + qiB"+g^B"' + )
+ 9,r«<9„C +^iC" +9aC" + )
I
Man kann diess auch noch in folgender Weise aussprechen:
Denken wir uns an die Stelle von [Mag], [Mbg], [üffigr], ....
B den Gleichungen (18) gesetzt q^, gi, q^^ und man habe
ilfidann x^^ yi, Zi, fär x, y, z,.... gefunden» so ist:
Xi — A'q^ + A''qi+A"'q2 + ,
zi = Cq, + C"q^ + C"'^a+
iboist der wahrscheinliche Fehler von Q:
ryTqoXx +^1^1 + q%H + — . • • (28)
bt G das Gewicht von Q, uo ist
G= T T V- • (29)
In allen unseren Formeln ist nun noch ein Element, r, das noch nbestimmt ist^ es ist diess der wahrscheinliche Fehler für eine Beobachtung vom Gewichte 1. Natürlich ;üelit die Unbestimiiit- kit dieses Elements auch die der wahrscheinlichen Fehler von f j 3f, %,,.,, mit sich. Die Gewichte oi, g^,.. können als bekannt i^eDommen werden. Wäre z. B. il/i bestimmt durch nf| gleich
176
gute Beobachtungen , M^ durch m^ solcher Beobachtungen u. s. w.,
80 wäre g^zizm^, ^a=^a» (§• 9*)- Uebrigens ist es in der
Regel immer misslich, eine Schätzung des Gewichts vorzuneh- men ^ so dass es vorzuziehen ist» Beobachtungen von gleicher Genauigkeit (also vom Gewichte 1) anzuwenden, so oft die Um- stände diess erlauben. Eine Schätzung des Gewichts einzelner Beobachtungen gegen einander ist schon darum missiich, weil man sich gar zu gern, dem Vorurtheile hingiebt» Beobachtungen als minder genau zu betrachten , deren Ergebniss bedeutend ab- weicht von den übrigen. Auch ist es bei geodätischen Beobach- tungen z. B. fast unmöglich, den Einfluss aer Witterung, Ermfi- . düng u. s. w. in Rechnung zu bringen.
Der Werth r ist, wie man aus dem Obigen ersieht, nicht nöthig, wenn man sich bloss damit begnügen will, die Gewichte der gefundenen Grossen zu kennen (immer Oi , ff^y—» als bekannt ] angenommen). Will man aber die wahrscheinlichen Fehler kennen, ■ deren Kenntniss noth wendig ist, um ein Crtheil fallen zu können ■ über die Genauigkeit der erhaltenen Resultate, so muss r be- stimmt werden. Diess geschieht nun aus den gegebenen Beobach- tungen in folgender Weise.
■I
-i §. 11.
Seien wieder A^, h^,-" die Genauigkeitsmaasse (§. 4.), die zu den Beobachtungen gehören , deren Gewichte gi, g^, .... sind ;«s h das Genauigkeitsmaass für eine Beobachtung vom Gewicht I^f«
so ist (§. 6. und §. 5.):
hi^=gih'', h^^gji'^.
Unter der Annahme, dass h einen bestimmten Werth habe, war* die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Bestehens der Fehler
Hi ^a> (S- ö.)'
also ist die Wahrscheinlichkeit, dass h der wahre Werth dieser Grosse sei, nach dem bereits mehrfach angeführten Grundsatze der Wahrscheinlichkeitsrechnung :
SP~^ /»OD
—OB
wenn k' j Pdh=:l. Nun ist (§.3.):
-X
177
•'^ ü = ^y — Sri > ^*'o = 77= 8ra » «'"'o = 77= 3*?8 >
V w V TT y n
1.
V « V « V 7t
aus ergiebt sich leicht, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der eDomraene Werth von h der wahre Werth dieser Grösse sei.
in kl bestimmt ist aus der Gleichung
—OD
Ä«c-*«(«»«)8Ä=l.
in wird also nur denjenigen Werth von h wählen iiiüssen , ' für 1 obige Grosse ein Maximum ist. Differenzirt man nach h , so [iebt sich:
m
Mia m die Anzahl der Beobachtungen (vielmehr der Grundglei- ngen (9)) bedeutet.
i/"ra
Man pflegt die Grösse V ^ — - den mittleren Fehler der
Mbachtung vom Gewichte 1 zu nennen; bezeichnen wir ihn mit 10 ist
r=«jV2 =0^744897,«. (31)
Tfaeo die Beobachtungen von gleicher Genauigkeit, so wäre
ß^=.... r=tly und r der wahrscheinliche Fehler einer der Be- tungen. In diesem Falle ist:
= Y ^, Äa = oV. r=: 0-6744897.«.
(32)
178
§. II
Der Wertb von h, den wir so eben gefanden, ist nur d wahrscheinlichste; ob er der wahre ist, können wir nicht entschi den. Die Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Werth A v
Sei nun A^ die durch die Formeln (31) bestimmte Grosse^ nämln hi=:—~; hi-i-Jh ein Werth von A, so wird mithin die Wal
scheinlichkeit , dass Ai-fz/A der wahre Werth von A sei, wei Jh wiilkührlich, aber bestimmt ist, sein:
ri(hi +^A)'»e-(*i+^Ä«)(r^2) ,
Die Grosse Jh wird man immer sehr klein annehmen dflrfen, i der wahre Werth von A nicht viel verschieden sein kann vonii
m ferner ist [^*]==sira> ^'®® '®* obige Grösse:
Was rj anbelangt, so ist tiiese Grösse:
, ., .„ ?(^A) 8(^A)
/ h^^e ''.e ^Ai 'e(^A) Ai'-e * -^=-
—00
also die Wahrscheiniichkeit, dass ^A die wahre Verbesseno von A| ist:
.e Ä.»' 'a(z/A). (33)
AiVtt
Der Ausdruck (33) hat dieselbe Gestalt, wie (4) in §..3.; w ^h drückt auch den Fehler aus, den man begeht, wenn man für den wahren Werth von A nimmt. An der Stelle von A in I
ist in (33) :Y t-^; woraus nun wie in §.4. folgt, dass derwal scheinlichste Werth von ^A Null ist, und der wahrscheinlic
179
■ Fehler dieser Bestimmung : R =; ^— . Mau kanu also 1 gegen I 1 weiten, dass der wahre Wertb von h zwischen
ghi
'■+Ä='-('+vt)
■d
*i
ghi
l=*-('-^)' •=«
4760360
lesthalten ist. Ist also Vi der Werth von r, bestimmt durch die iFtnoelo (31) > so sind die Gränzen von r'
j+-4=
=,(.,_9=,(.,«^),
V:
771
man die höhern Potenzen von ■ !L= vernachlässigt.
V rn
§. 13.
Dm den mittlem Fehler s (§• 11.) zu bestimmen > müssen wir
wahren Werthe der Fehler Vi, v^, .... kennen, d. h. die
en Werthe der Grössen a:, y, z,.... Diese aber kennen wir
lebt nicht , indem wir ja bloss die wahrscheinlichsten Werthe
Iben gefunden haben. Wohl sind wir der Ueberzeqgune,
diese wahrscheinlichen Werthe von den wahren sehr wenig
ichen, aber gerade diese etwaige Abweichung zu bestimmen,
uns die Mittel. Wir werden uns also abermals darauf be- iken müssen, die wahrscheinlichsten Werthe dieser Abwei-
iD SU untersuchen.
Seien also Jx, Ay^ ^2,.,. . die Verbesserungen, die den "^en von x, y, z,...., wie sie aus den Gleichungen des §. 6.
U-ond die wir mit otq, ^q, fi?o> bezeichnen wollen, zuzu-
D sind. Alsdann ist
» = (^o+^^)« + (9o+-^y)*+(2o+^2:)c + --M,
welcher Formel die Werthe von i?i , t?.^, erhalten werden,
I man den a, 6, c,...., M die Zeiger 1, 2, beisetzt.
uichiBt
gxP' = 5r(a:oO +^0* + »0 « + ..— ^i)^ +2^(<l:r„+6yo+c-o+-— — ^ (a^x^rbAy\cA%-\r .. ..)
+ giaJx-i-bJy-^cJz + ....)*^ •
180
Nun ist:
[g(aa:^ +%d+<»o + ... — M)(ada:+6Jjf^cJz + ....)] = /!lx{xo[a^g\ + y^\abg] + z^[acg\ + ....) + ^yi^olP'bg] +yu[6V] + ^o[bcg\ + ....) + /i%{xo{acg\ +y..[6c<7] + ««[c^^r] + ....)
: =0,
wenn man beachtet, dass Xo^ yo» *0 9**- aus den GleicbuDgeo bestimmt sind. Demnach ist *
[5^0^] = [9K^] + Uf(adx+bJy+cJ% + ...)*] , (3
worin
[^o„a] z= [g(ax^o + %o + cäo + •.. — ^)*] •
Der zweite Theii der zweiten Seite der Gleichung (34), den durch i^^ bezeichnen wollen, kann in eine Summe zerlegt wen die quadratische Theile enthält. Man habe z. B. nur die Korrektionen Jx, Jy, J», Ju, so ist
Slz=(Jx)^[a^g]+2Jx/fy[ab£f]+/1y^[b^g] + 2JxJ%[acg\ +2JyJ9[bcg]+J»%c^g] + IdxJuladg] +2JyJu[bdg] + 2J»Ju[cdg] + ^u^d^g] .
Setzen wir nun:
Jx[a^g\ + ^y[abg] + ^z\acg] ^ Ju[adg] = g?i , so ist
worin ^| , ^2>**^6 »icht von Jx,,..Ju abhängen. Sei eben
AiJi/i-A^^i + A;nJu=(p2, ssio ist
Sl^^-^~=B,Az^+2ß^AzAu + B.,Ja^, für
Ä--F^-T-
181
9i* Vi* <Ps^ _
VI V» 'va fi yf-,«
f?enn
^^"[a^gV A, + B^ + C
Man sieht leicht , dass allgemein , vi elches auch die Anzahl der s«o Jx, ^ty, Jz,,,. seif man setzen kann:
n 9>|y g)^,... lineare Funktionen von z^or, Ay, Az... sind» und ' <pi von allen, g)^ ^^i^ allen ausser der ersten » (p^ von allen er den zwei ersten u. s. w. Da Sl immer positiv ist, was
I dx, ^y, Az seien, und diese Umformung eine rein
&»che ist, so überzeugt man sich leicht, dass ki, k^,*^.. po- e Grossen sein müssen.
Es handelt sich also um den wahrscheinlichsten Werth der me i2, den man erhalten wird, wenn man für q>i*, a>^^, .... ihre wahrscheinlichsten Werthe setzt. Cm diese selbst ' ZQ finden , bedürfen wir noch einer weiteren Untersuchung.
§14.
Angenommen, die Wahrscheinlichkeit, dass ein willköhrlicher, r bestimmter Werth von ac der wahre Werth dieser Grdsse ist, k
77r=:.r-**'*Sa:, worin dx die unendlich kleine (konstante) Zu- V «
■e von X ist. Suchen wir nun die wahrscheinlichsten Werthe jT und j^. Zuerst sieht man, dass zwei Werthe von x» die dl, aber von verschiedenen Zeichen sind, gleich wahrschein- sind. Daraus folgt ferner, wie in §. 5., dass von m Wer- I Ton X ihrer
2m
0
k k
lehen — t und -fr enthalten sein werden; eben so« dass es
2m
k k'
ai werde, deren absoluter Werth zwischen ^ und -r- Hegt.
182
Man wird also folgende Ueber«icht bilden können, die richtiger sein wird, je grösser m ist (wenn tt unendlich kh
Zahl der Werthe von x, deren absoluter Zahlenwerth zv
0 und ^:
0
Zahl der Werthe voii x^ deren absoluter Zahlenwerth zti
a j 2« •r und T- !
2«! C^ ,-. 2ot
Zahl der Werthe von x^ deren absoluter Zahlenwerth zw 2a , 3a A und J-:
.2a
Was die Summe der Werthe jeder einzelnen dieser ^ lungen anbelangt, so ist sie offenbar Null, da gleich vi« gleich grosse positive und negative Werthe darin sind; a die Summe aller m Werthe von ^x auch Null, folglich au arithmetisches Mittel, d. h. der wahrscheinlichste Werth (§. 9.) ist Null.
Nicht so verhält es sich mit a:*, da dieses immer posii Man hat nun wieder dieselben Abtheilungen, wie so eoen;
ersten Abtheilung ist x'^ immer 0, in der zweiten p» in d
ten ■ ,2 j m der vierten v ^ " »«" ^' ®- ^' bis oo m der 1 Also hat man:
Anzahl der Werthe von x^ zwischen 0 und a^:
2m — fr-^'^o^y Summe derselben: 0;
V"
n
183
izahl der Werthe von x^ zwischen t^ und —j^ :
— F=«"-«*a, Summe derselben: -t^I x J c~" a;
nzahl der Werthe von x^ zwischen " äi- und ^^ • — =re-C2«)«a, Summe derselben: T>=(x ) r-(^«)*a;
(3a)® (4a)*
LDzahl der Werthe von x^ zwischen . ^ und ■ ,^ :
—prrie— (3«)'a, Summe derselben: —f^xt) c^^"^*«;
Darans folgt für die Gesammtsumme aller Werthe von x^y wenn ■an dieselbe gleich durch m dividirt, also das arithmetische Kttei nimmt:
— = [0.e-0«+(la)2e-«« +(2a)«ß-(2«)« +(3a)2«-(3«)» \ ....]
O
ist
2 /*•
jxe-^^^x = — o 6-** ,
2
o o
bo ist endlich der wahrscheinlichste Werth von x^^i
2V^ 1
ihWlt'^ 2A*
184
§. 15.
Wir haben in $. 0. gesehen , dass die Wahrscheinlichkeit d gleichzeitigen Bestehens der Fehler r j , «s,.... (§. 11.) Ist
worin c eine Konstante ist. Diese Fehler entsprechen denWertJM
Daraus folgt, dass die W^ahrscheinlichkeit, die Werthe Jx, ij ^e,... seien die wahren Verbesserungen von Xq, y^^ Zq, isl
— 3D
—OD
: r/Y^.'^e--^^^dJxdJ^dJil.,.= l .
Fuhrt man für Sl den in $, 13. gegebenen Werth ein, so bal man das vielfache Integral zuerst umzuformen für die neuen Ver
änderlichen <jp] , (p^, 93» Da diese letzteren durch linean
Funktionen von Jx, Jy, Jz,.,.. gegeben sind, so wird
9 JxS /lyd Az .... = c8g?i ^^>^^% .. ,
wo c eine Konstante ist. Daraus folgt, dass die fragliche Wahr scheinlichkeit ist:
(35)
—OD
wo k bestimmt ist durch
im
Die Grösse (35) drückt also die Wahrscheinlichkeit aus»d«8s illkfihrlich gewählte 5 aber bestimmte Werthe von (pi, q>2y9>af •••« e wahren Werthe dieser Grössen seien. Will man die Wahr- heiniichkeit haben, dass der bestimmte Werth g?] der wahre Wth dieser Grösse seS^ was auch q)^, <Pz9"" seien, so muss an (35) integriren nach q>2 9 9>8*** zwischen den Gränzen — gound OD. Also ist diese Wahrscheinlichkeit:
. -OD
orm
"""OD
itegrirt man aber in der Gleichung (36) zuerst nach tp^, 9)3, .... t ergiebt sich
h^TK
Im ist endlich die Wahrscheinlichkeit von q>i :
mithin (§. 14.) der wahrscheinlichste Werth von (pi^i 'oTaX"* so erhält man für die wahrscheinlichsten Werthe von q>^y
) MM •
1 1
endiieh den wahrscheinlichsten Werth von St:
■ + '
1
n
R die Anzahl der Grossen x, y, z, ist. Nun ist
1
2Ä2
= 6», [gv^]'-mt^;
1 XVIIL
13
■ » '-.
IS6
«Im hat man:
« ■
(X
wodurch nun endlich definitiv der Werth des mittlem Fe bestimmt ist. [j^&o^] hat hier die in $« 13. festgestellte Bedeu m ist die Anzahl der Grundgieichunsen (9) in §. 6., und n U Anzahl der durch die Formeln des |. J8. zu bestimmenden '
sen Xy y, z, , insofern als diese Grossen wirklich von c
der unabbängig sind^ so dass, wenn z. B. zwischenden n Unbekai X» y» 2 9—' noch r Bedingungsgleichängen beständen, aU Wanrseit nur n — r Unbekannte vorhanden wären, auch n — die Stelle von n in (37) träte.
$. 16.
Seien ii^i, w^y toa,...., tom die wahren Werthe unbeka Grossen; 6|» e^, «&,...• 6m ihre durch Beobachtungen gegel Werthe mit den Gewichten 5)r|,ot 5* •^•^m^ bezogen auf ein stimmte Einheit. Abgenommen ferner, die Grossen WifW^f müssen den Bedingungsgieichungcn
Fi(wi,iv^, )=0/
/^aK,trj, )=0,t (38)
genügen, die zur Abkürzung mit Fi, F2,.... bezeichnet w mögen. Es ist keineswegs erforderlich und wird im Allgcm auch nicht der Fall sein , dass von den Gleichungen (38) jed< Grössen w enthalte. Setzen wir endlich noch voraus, das Differenzen to— c sehr klein seien, was man wohl immer a men dürfen wird, da wir annehmen, die Beobachtungen sei genau als möglich, und sollen nun so aussegiichenwc dass die Bedingungsgleichungen (38) erfüllt sind.
Sei nun
so müssen diese Werthe den Gleichungen (38) genügen. Beseichnen wir nun die Grössen:
^ r.SFi dFi
187
wz^e durch Vi, Oi, ast ••••.; oz=ze durch n^y bi, 62 »••••f
2' Bwi\ S^'
ri^lt man aus (38) folgende lineare Gleichungen :
% "l" ^1^1 + ^2^2 "l" ^3^3 +....= 0 , n^ + CiXi +C2ar2 + 03^:8 +....= 0,
(39)
Da Xi, 0:2 9 0:3 , .... oTm die Fehler der Beobachtungen für die ssen ^5 d. h. für die durch Beobachtung als wahrscheinlichste rthe der Grossen w gefundenen Werthe sind, so folgt daraus, t (§. 6.) die Summe [jga;^] ein Minimum sein muss- Man also:
tande nun keine Bedingungsgleichung zwischen den Grossen 0:2, „., so folgt hieraus
begreiflich. 4Jl>er die Bedingungsgleichungen (39) gebep: bidxi + b^dx2 + .... + bm dam = 0 J
C\dXi + 1^80:2 + »•.. + CnSxm =0,1
10 fugÜch manche der Koeffizienten Null sein können). Multi- len wir nun die Gleichungen (41) mit noch unbestinmiten Bbienten ki, Ic^,..., kr, wo r die Anzahl der Bedingungs- liUDgen (38) ist, und sind ßi, ß^» /^s—* ^^^ Werthe von
dFr dFr SFr -..
ÖU>i 01D2 01^3
«"ird man die so multiplizirten Gleichungen zu (40) addiren
dann den Koefüzienten von dar|, 80^2^ oxm Null setzen
iorch erhält man
18»
188
^'a^a+fla^i +M»+ •••• +/^2*r = 0,
Kennt man die^ Grössen k, so geben diese Gleichangen die Gi sen X. Um die k zu bestimmen, wenden wir die 6l^cbmi| (30) an. Man ziehe nämliGh aus (42) die Werthe der Grosses und setzö sie in (39) , so erhält man, wenn man zur AbkQni setzt:
9i 9% 9m 1^9-^
folgende Gleichungen:
[f]*.+[f]*.+[f]*-+-+[CI'^=-'i
&']*>+ 111*.+ [f]*-+ +Cf]*'=-
die nun zur Bestimmung der Grüssen k gerade hinreichen. A (42) folgen dann die Werthe der Grössen Xy also endliche ausgeglichenen Werthe von Wn m^«....
Was die Summe \jgx^'\ anbelangt, so ist sie sehr leicht bestimmen. Die Gleichungen (42) geben nämlich , wenn man < erste mit .r j , die zvreite mit x^,*,,, muitiplizirt, sie addirt und« Gleichungen (39) beachtet:
I ffx^] = ?/, kl^rn2,ff2 + . ... + WrA>= \_nU\ . (44;
(43)
189
§17.
Es ist klar, dass die uns im Augenblicke beschäftigende Auf- be aneresehen werden kann, als hätte man bloss m — r Grössen 8 m Beobachtungen zu bestimmen, weil vermöge der r Glei- ongen (38) nur m — r Grössen unabhängig bleiben. Daraus folgt 15.)» dass der mittlere Fehler £ einer Beobachtung vom Ge- chte 1 ist:
=^M=y[!^. (45)
Der wahrscheinliche Fehler R dieser nämlichen Beobachtung ist (V2^, also der wahrscheinliche Fehler einer Beobachtung vom
iewichte gi'-r^. (§. 9.).
Gesetzt nun, man solle eine ^ Grösse u aus den Beobachtun- i« berechnen. Es ist klar, dass man zu derselben auf verschie- I BCD Wegen wird gelangen können, je nachdem man eine Verbin- kffi der Werthe Cg , e^,.... anwendet. Einer dieser Wege wird, baie Grössen e nicht genau sind, der vortheilhafteste von allen ji^*' Sei die Verbindung der beobachteten (noch nicht aus-
' dienen) Werthe e, welche die vortheilhafteste von allen ist,
fichnet durch
tt=if;(ei, ei,.-..)* (46)
Arend eine andere durch
tt=g)(«i, ^2,....) (47)
^Mlehnet werden mag. Nun sind die wahrscheinlichen Fehler k Grossen ei, e^,.,,, (da ihre Gewichte ^i, ^a,*.. sind) gleich
R R
iit nach 6. 8. der wahrscheinliche Fehler von u, wenn die iifarag (4d) angewendet wird :
R\fm <^
-a
190
Der wahrscheiDÜche Fehler von h, wenn (47) angewendet wird, ist
4m
(49)
wenn
d(p _d(p
Nun ist klar, dass, wenn man statt der Grossen e die wahren Werthe w setzen würde , offenbar
sein mOsste, da es alsdann offenbar gleichgültig ist, auf welchem Wege u erhalten wird — immet muss dasselbe Resultat zun Vorschein kommen. Nicht so ist es freilieh , wenn für die w bloss ihre durch Beobachtung gefundenen wahrscbeinlichsten Werthe e gesetzt worden.
Aus der Gleichung (50) ergiebt sich aber, dass die Differeu
i(;(ei, 62,....)— 9'(^i» ^2>*-) (SO
verschwinden muss, wenn an die Stelle der e die td treten. Ueber die w seihst steht uns gar keine Entscheidung zu Gebot, wir müssen die e+x ($.16.) statt derselben annehmen, da diese leti- teren Grössen ohnehin auch den Bedingungs^leichungen (38) (resp. (39)) genügen. Die Differenz (51) muss also verschwinden, weno an die Stelle der e die e-{-x treten. Diess ist der Fall, wenn diese Differenz die Form
«1 ^1 + ^^2 + ... + ^rFr (52)
hat, worin ai,,„ar noch unbestimmte Koeffizienten sind, und io den Grössen F statt der w die e gesetzt sind. Die Werthe der Grössen F sind also sehr klein. Es ist klar, dass es noch uo- zählig viele Formen, ausser (52), geben wird, die derselben Be- dingung genügen. Ist
eine solche, und bemerkt man, dass die Werthe von F^,... Fr sehr klein sind, so wird sich diese Grösse, nach dem Taylor'schen Satze, offenbar unter die lineare Form (52) stellen lassen, da sie ver- schwinden muss, wenn
Fi = 0, ..., Fr = 0.
Also ist die Form (52) allgemein. Daraus folgt nun, dass die vortheilhafteste Verbindung der Grössen e, um u zu erhalten, aus der bestimmten (47^) erhalten wird unter der Form:
191
....+ arFr(#'i, Cjt,...). (53)
■ • I - • ■
Daraus folgte wenn die GrOssen a, b, c».... dieselbe Bedeutupg haben wie in §. 16.:
• • ■ •
Da aber (53) die vortheilhafteste Verbindunt; darstellt, so mass der ihr zugehörige wahrscheinliche Fehler (43) ein Minimum
sein 9 d. h. ai, o^,..., «r sind so beschaffen, dass 1 — 1 ein Mi- nimum ist. Man hat also
da d. h.
T[f]=«-4m=» iif]-"
(56)
^j4-(i,)+^J- (L.^+..+ — ^(i»)=0
wotaus, wenn man (54) beachtet, folgt:
woraus nun die a bestimml werden. Daraus erhalt man die L vermittelst (54), und dann den wahrscheinlichen Fehler der vortbeil- baftesten Verbindung der Grössen e vermittelst (48).
Wir haben bereits oben bemerkt, dass
zusammenjfallen müssen, wenn man statt e setzt e-^-a:. Nun ist aber
192
also, da
=9(€l, ea»-) — («1«! + *i«a + <?i«3 + — + Ai«^)*i
— («2«! + *2«2 + Ca«3 + •••• + ßil^)^
= 9 (^1 9 «2» •••) ~" ^1 (^1^1 + ^2^2 + ••••)
— Cf2 (^1^1 + *2^2 + •••)
= 9(^1, e2,....) + «lWi+C<2W2 + «3W3+-- » (^
wenn man die Gleichungen (39) beachtet. Es folgt diess übrigens auch unmittelhar aus (53), da
Hätte man statt der beobachteten Werthe e die ausgegliche- nen e-{-a:, die vrir als die wahren anzunehmen gezwungen sind, angewendet, so wäre es ganz gleichgültig gewesen , welchen Weg man zur Bestimmung von u eingeschlagen hätte. Hätte man also den bestimmten (47) gewählt, so wäre
u = (p(ei+a:i, Ca + a:2,...)=9(^i> ^a »•••) + 'i^i +^2+ ••- (^^ Nun erhält man aus (42), wenn man die erste mit — , die zweite mit -^,.... multiplizirt und addirt:
U^] + [^'] Äi + [ J ^ + .. [^'] kr=0,
und wenn man hier aus (55) die Werthe von I ~" 1' 1 "~ |>'"' einsetzt :
193
}ania5 folgt nun» unter Beachtung der Gleichungen (43):
Lh. die Formel (57) giebt denselben Werth, wie (56). Neben- lei folgt daraus, dass [La:]=:0 ist, so dass die vortb eilhafteste rerbindung der e so bescnaffen ist, dass sie denselben Werth 3r u giebt, als wenn man statt der e die 6-|-^ angewendet
latte.
Man schliesst aus diesen Entwickelungen , dass, wenn man ibe Grösse u berechnen soll, und man dazu irgend einen Weg ebschlägt, dieser gleichgGltig ist, vorausgesetzt 9 dass man die mgeglichenen Beobachtungen e-i-x anwende. Das so erhaltene Resultat föllt zusammen mit dem, das man erhalten hätte, wenn Ban die vortheilhafteste Verbindung der beobachteten Grossen e agewendet hätte.
Der wahrscheinliche Fehler des so erhaltenen Resultats
it (48):
«\^m
Damit ist nun die Theorie der Ausgleichung der Beobach- fehler geschlossen.
Bemerkung des Herausgebers.
h diesem Aufsatze haben in den Potenz • Exponenten runde
Muern () gesetzt werden radssen, wo eigentlich eckige []
[letzen gewesen wären, weil in der Druckerei solche eckige
^nern augenblicklich nicht in der erforderlichen Kleinheit vor-
m waren 9 und der Abdruck der obigen lehrreichen Abhand-
nicht aufgehalten werden sollte^ Es wird aber dies, nach-
H hier besonders bemerkt worden ist, Undeutlichkeit hof-
Dicht hervorbringen.
194
• ■•/■-■■ ■!* 1*
I •
j • » • • » 1 ' • ". : 1 1 ■ ■
Die Anflüsnnf^ alj^ebraisclier Olei*
cliiing^en.
Von
Herrn August Weiler,
G^ninasialiehranits - Candidat^.
(Dariiistadc,) . '
1. Wenn mehrere Grussen in einer Abhängis;keit zu eini der stehen, nach welcher der einen bestimmte Werthe entspi che»; nachdem man jeder andern einen solchen beigelegt n und wenn es darauf* ankommt > jene erstem Werthe herzul^ti so muss vor Allem die zwischen den Grössen bestehende j* hänsigkeit in algebraischer Form dargestellt sein. iNachdem in emer Gleichung ausgedrückt worden^ worin die fragliche GrSii mit den andern durch Addition, Subtraktion^ Multiplikation« j Vision y Potenzirung, Wurzelausziehen u. s. w. verbunden erscbei stellt sich die Algebra die Aufgabe, einen Ausdruck zu besti men, welcher an die Stelle der Unbekannten eingesetzt, der C^ chung identisch genügt; oder dieselbe dergestalt umzufornb dass die unbekannte Grösse unmittelbar als Zahl hervorgeht» dem sie in einfachster Gestalt ohne irgend eine Verbindung andern Grössen die eine Seite der Gleichung einnimmt, währtf auf der anderen Seite nur Gegebenes vorkommt. — Die Alg^ umfasst hiernach ein ausserordentlich weites Feld. Allein n sieht sich genöthigt, dasselbe in verhältnissmässig enge Grän' einzuschliessen, weil nur in deren Bereiche die erwähnte Abs? mit lohnendem Erfolge erreicht wird. Man betrachtet naml nur diejenigen Gleichungen, die aus mehren Gliedern besteks deren jedes durch eine ganzzahlige Potenz der Unbekannten bildet ist. Doch auch diese Gleichungen können bis jetzt in iB Allgeraeinheit noch nicht betrachtet werden; der Erfolg zieht
^r 195
^^^Bcn nach eiiKcr zosamnien. Im Folgenileu will ich versucben, ^^H^,iRugli,cli»t vollst^iidigeo Ueberbltck iilier tlieäe U ot ersuch uu- ^^Heu peben , insoiveit solche bei Ueiiiitzuii^ der algebraischen, ^^^Utbm Ischen und trigonometrischen Funktionen zu einem Ke- ^^^He führen. Zugleich >vill ich mich bemühen, dass ans der ^^Hfnanderfol);« und Darstelliiiigstreise des Gegen s tan il es erkannt ^^He, wie die benutaten HülfsoiUtel nichts weiter aurdecketi kOn- ^^H damit vorlieeende Abhandlung den Eindruck eines in sich ^^^wchlossenen Ganzen iik dem Leser zurücklasse.
^^^p. Zuerst ab«r mag Einiges über die sogenannten imaginS- ^^^nGrOesen vorausgeschickt werden. Es kann nicht gelaugnet ^^Ben, dftss aus der Abhängigkeit z\riachen mehreren Grusseii ^^Br Umständen Tür die eine Grösse kein Werth bervarceht, ^^Hld man den anderen gewisse Werthe beigelegt hat. Wenn ^^^^ nach derjenigen Grosse gefragt wird, welche mit sich selbst ^^^Bplizirt werden muss, damit a entstehe, so sind wir gewiss, ^^^K keine GrSsse der Art gefunden wird, sobald man sich unter ^^Bien negativen Werth denkt. Denn es siebt keine Zahl, de- ^^IrQuadrat negativ ist. Wenn es nun aber gelingt, aux der BBElchiing, welche eine solche Abhängigkeit vorstellt, die frag- ucfae Griisse lu entwickeln, so gilt der gefundene Ausdruck auch unter den vorerwähnten Bedingungen. Dieser sti'llt dann aber, tveil >l< der Tbat kein wirklicher Werth möglich ist, etwas Un* taugliches oder Imaginäres vor. Die Allgemeinheit der algebrai- schen Eü t ni ekel un gen führt demnach nothwendig auf imaginäre Orussen, \nn welchen sieb die bis dahin vorkommenden mittels des uuQiöglichcn T — 1 darstellen lussen.
Demnach kilnnte uns die algebraische Form eines solchen Werthes durchaus gleichgiiltig sein, wenn dieser stets nur in nackter Form verlangt würde, weil ein iniaginJirer Werth an und für sich keine Bedeutung hat Allein gar oft wird ein solcher in vreitere Rechnungen eingeführt, in deren Verlaufe das Imaginäre wieder .ausfällt, so dass dem letzten Resultate eine wirkliche oder reelle Bedeutung /.ukommt, während einzelne Theile der Rechnung unter imaginärer Form erscheinen. Aus diesem Gesichts|iiinkte betrachtet sind die imaginären Ausdrucke nicht allein brauchbar, (loiidcrn sie sind der .lllgenieinbeit algebraischer Eatwickelungen 11 II entbehrlich, indem mit ihrer Hülfe verschiedene Resultate, ivelche in einem naliirlicben Zusammenhange stehen, auf einem gemeinsamen Wege erhalten vTerden; wahrend jedes einzelne dieser Resultate, wenn in der Rechnung das Imaginäre vermie- den werden sollte, auf einem besonderen, oftmals mühseligeren Wege hergeholt werden müsste. zHischen denen keine andere \'crbiiidung aufgefunden werden kann.
3. Wenn eine Gleichung eine reelle AI>hSngigkcit zivischen verschiedenen Grilssen ausdrückt, obschon Imaginäres in dersel- Ijon seine Stelle Ondet, so muss durch die gehörigen Reduktionen •ins ImaginSre wegfallen. Diese Reduktionen sind keinen Schwie- rigkeiten unterworfen, und man erkennt deshalb leicht, ob sich das Imaginäre in einem vorliegenden Ausdrucke auHiebt. Wenn V"— 1 als Faktor verschieclener Glieder erscheint, so wird man
196
es als gemeinsaroeii Faktor aasscheiden; und das IroagiDÜre wird
nur dann verschwinden, wenn der Faktor von V^^ sich aufNnil zuHIckfilhrt.
ar=ra»+(Ä+cV^l)(6— cV^ini) , auf diese Weise verändert, wandelt sich um in
Ehen so geht
o: = log(a+ 6 V^) + log(a-Ä\^:ii) oder
a:=log[(a+6V^)(a- 6\^^)] über in
a:=log(a2-f Ä*).
Wenn V — 1 als Exponent mehrer Glieder eines Ausdrucks oder in sonst einer andern Zusammenstellung vorkommt, welche in ihrer vorliegenden Form nicht gestattet, den gemeinsamen
Faktor V^ — 1 auszuscheiden, so mifsste man die betreffenden Funktionen in Reihen entwickeln, so dass V" — 1 nur als Faktor verschiedener Glieder dieser Reihen auftritt; und die Gleichung wird dann in der That eine reelle Abhängigkeit ausdrücken, wenn
sich wie vorher die Gesammtheit der CoefHizientcn von V"-— 1 auf Kuli zurückführt. Allein man wird ein weit vortheilhafteres Ver fahren einschlagen, wenn man bemerkt, dass die nach dem Ver- schwinden von W^ — J zurückbleibenden Reihen auf andere ver- wandte Funktionen zurückführen, für welche wir uns in der Al- gebra kürzerer Zeichen bedienen. Für die logarithmischen und trigonometrischen Funktionen lassen sich alle hierher gehörigen Reduktionen aus den nachfolgenden einfacheren herleiten.
Es ist
y2 y3
r/^-i = l + y\A-l~|--f3\^-
^ 2.3.4 ^ 2.3.4.5 ^ ^
~^ 2 ^ 2.3.4 ••+^>^ 2.3 + 2.3.4.6 —^^*
= cosy-f V^ — Jsi
smy,
I
107
Mao hat also die Beziehang
€y^^^=cosy+V^8iny, 1.
und durch Vertauschen von y gegen — y eine andere
e-yVzi=cosy — V^— Isiny, 2.
welche beiden Gleichungen alle vorher erwähnten Reduktionen in sich einschliessen. So geht die Gleichung
mit deren Hülfe über in
2cosaz=%,
da hier az die Stelle von y vertritt.
Beide Beziehungen lassen sich in einer andern fiir den Ge- brauch oft vortheilhafteren Form darstellen. Man hat nämlich:
a + ßV^l =V a« + ß^.s^^^ *'" '« « , ...V.
«_^V^=V^+^.5-^i*"'sf, ...2'.
welche mit den vorigen identisch sind. Denn setzt man
arctg| = y.
•o ist
Die Gleichung
1 ~i
%• B. geht wegen der letztern Beziehungen über in
. y
arctg-
oder
3^ = 2tglogai. l>ies Resultat wird erhalten, wenn man a mit z, ß mit y ver-
108
tauscht, sodann in 1'. beiderseits den Exponenten ^1=) in
den Exponenten r,. — giebt, und so beide Gleichungen
2V '" — 1 * ' ■
einander multiplizirt.
4. Wenn die Unbekannte z in einer* Gleichung auf i ersten Grade vorkommt, wenn sich also die Gleichung auf ifffnm ;s + fl:=0 bringen lässt, so giebt sie derUnbekannteo i Werth 2 = — a. Man nennt eine solche Gleichung eSiie Gleich des ersten Grades. Allgemein spricht man von einer Gleich des nten Grades, wenn n die nöQhste Potenz, aufweiche Unbekannte z erhoben vorkommt, nachdem alle negativen Pol zen aus der Gleichung entfernt worden sind. Sie kann- dargesi werden unter der Form:
2» + ai2«-i + flfja««-* + ... + an=0 .
Führen wir das Produkt
aus, das aus n Faktoren bestehen soll, so erhalten wir Gleichung:
in deren letztem Gliede das Zeichen + gilt, jenachdem n gen oder ungerade ist. Die Vergleichung zeigt die Identität die Resultates mit der oben angeführten Grieicfcung des Titen Grad wenn man folgende n Beziehungen bestehen lässt:
ai= — (a + ^ +/ + ..),
ßn^db^j^y»»»«
Das Bestehen dieser n Beziehungen ist aber immer möglich, ^ darin die n unbestimmten Grössen et, ß, y,., vorkommen; i man kann demnach die allgemeinste Gleichung des iiien Gra als das Produkt von 7i Faktoren z — a, z — ß.., ansehen. Di Grössen a. ß, y.... sind zugleich die gesuchten Werthe, wel der Gleichung genügen; denn vertauscht man z mit irgend ei unter ihnen, so geht einer jener Faktoren in Null über, und durch die Multiplikation aller Faktoren entstehenden Gleich wird identisch genügt. Eine Gleichung
giebt also 7i im Allgemeinen unter sich verschiedene Werthi welche man die n Wurzeln der Gleichung nennt, und welche
199
kannt sind-» Mbald.lnaii die: fileiehon^ iodas Produkt von uVMar toren aufgelöst hat.
Die eben geföhrte Betracli tu Ausweise giebt uns einen klaren Aufschluss über die Zahl der Wurzeln einer Gleichung , und über die Art des Vorkommens derselben. Sie gestattet uns tamsS^t- dem, mancherlei Schlösse zu ziehen in Bezug auf die Beschaffen- heit der Wurzeln. So z. B. sehÜessen wir, dass imaginäre Wur- ^ sein nur paarweise vorkommeny kßnnen, und zwar nur unter der
Gestalt ttd:j3V^ — 1, sobald die Glieder Oi, a^» 03.— der entspre- ehenden Gleichung alle reell sind. Denn hur unter dieser Form der imaginären Wurzeln giebt das Produkt
den Terschiedenen Potenzen von 2 reelle Faktoren. Die AusfSb- mng giebt nämlich
I ,
j. Wenn alle Wurzeln einer Gleibhung bekannt sind, so kann sie
^^ ki^roacb stets in das Produkt von n Faktoren des ersten ub^
: zweiten Grades in Bezug auch z aufgelöst werden, in denen keip
rS imaginäres Glied vorkommt, indem man das Produkt je zweier
;~ sogenannten konjugirten Wurzelfaktoren
r „ z-tt-ßV^ und z-«+iJV^' '
ausführt.
Allein» um die Wurzelwerthe selbst zu erhalten, dazu erscheint uns diese Betrachtuilgsweiäe verhältuissmässig weniger brauchbaf. Denn wollten wir in dieser Absicht die oben gegebenen n Bezte- liuDgen benutzen, und daraus eine andere herleiten, in der nur •ine der Unbekannten a, ß, ^,... vorkommt, so müsste man auf die Gleichung des nten Grades zurückkommen, weil die Unbekann ten symmetrisch vorkommen, und jede Beziehung, welche man 4als flir die eine geltend herleitet, ebenso für die andere besteht Wir müssen vielmehr zu mancherlei Mittein unsere Zuflucht neb- MBetk, um mOglicbst einfach und bestimmt das Ziel zu erreichen.
, . . 5. .Pie. n&ehBteAniache Gleichling ist
Vertauschen wir darin z-f -0 S^^o y» so verwandelt sie sieb in
200
und indem wir beideneito die Wurzel aagsiehen, entsteht adn daraus
Auf dieselbe Welse lösen wir die allgemeinere Gleichung
Denn durch Vertauschen von z-f ~ gegen ^ Terwandelt sich die* selbe in
Um aber die n Wurzeln dieser Gleichung zu erhalten, bietet fiick folgendermassen eine Beziehung dar. Vertauscht man in
jfyV^rizscosy+V — Isiny die Grosse y ^^^ ^Y» ^^ hat man
£±nY^rz^ = cosny + V^ — 1 sinjiy .
Erhebt man in der erstem Gleichung beiderseits zur Titen Potenz, so entsteht eine andere Form:
f+nyVzä = (cosy + V^ — Isiny)« . Man zieht daraus die erwähnte Beziehung
(cosy + V^— Isiny)« = cosny + V^— Isinny.
Die obige Gleichung lässt sich aber auch anschreiben unter den Formen
201
id
^=(aa-(j)") (cos(2»+l)«+V-lsin(2i+ 1)«).
■ '..»
nachdem (~ } — o^ positiv oder negativ ist, wenn wir uns unter
eine ganze Zahl denken. Daraus gehen nun unmittelbar die
ifurzelo
n
»=ve)-«^(-¥+^^^'»'^)
der
i\*i
y=M «a- {-) (c«s —^ + V^-1 s.n — ^-J
■
ffrror. Denn erhebt man in diesen Beziehungen beiderseits zur ka Potenz, so kehren die vorigen Gleichungen zurück.
Statt i setzt man nach und nach die Zahlen 1,2, 3...t ein, »•durch jedesmal ein anderer Wurzel werth hervorgerufen wird, ^t man den Zahlenwerth i noch weiter anwachsen, so kehren bWurzelwerthe in der nämlichen Ordnung wieder^ und dies je- Mnal, so o(l i um n Einheiten zugenommen hat.
n
Im Allgemeinen bedeutet V^ w'^ verschiedene Werthe, näm- die n Wurzeln der Gleichung z^^=cfl. Allein in den obigen trocken wird diese Bedeutung überflCissig ; wir denken uns iter den einen positiven reellen Wurzeiwerth.
Indem wir erwägen, dass
cosy = cos(27C — y) , siny = — sin(27r — y) ,
I sich die beiden Wurzelausdrucke für y, weil unter den n Ehiedenen vorkommenden Winkeln je zwei in der erwähnten ehang zu einander stehen, auch unter folgender Gestalt an- Kibeo :
»=V (?)"-"■("' x± ^^-'4')
Wll.
u
202
n worin man statt t nach and nach die Werthe 1» 2, 3.... o"
n+l 1, 2, 3... — ^ SU setzen hat, je nachdem n gerade oder i
rade ist.
Die Faktoren des zweiten Grades, in welche sich die chung y«=:a zerlegen lässt, sind demnach
2* — 2a"zcos — + a"
oder
2«— 2( — a)«2cos ^ — S"^+(""^^" '
je nachdem a positive oder negative Bedeutung hat. 6. Die allgemeine Gleichung des dritten Grades
erhält nach dem vorhergehenden Verfahren nur unter der dingunj
'g
(fj-f-o
ihre Losung. Die allgemeine Losung macht ein anderes Ve ren nothig. Man hat die Beziehung
cos3(t = 4cos^o; — 3cosa . Daher
_ 3 . cos3c^
'COS
a-jCos.3FX"-4-
Fur die kubische Gleichung
8 3
2^ — T 2 = a 4
gilt daher
z = cos TT arc cos4 a
20»
f^orzelaasdrack. Wenn man fiir arccos4a ein / gefunden » so Tcosla auch gleich ^iTt + Vy worin i irgend eine ganze Zahl ?llt, indem allen diesen Bogen der nämliche Comnus ent- it Ea ist also
z = cos — o" >
ie drei Wurzeln der Gleichung werden erhalten , wenn man i nach und nach die Werthe !> 2, 3 setzt.
er Auflösung der allgemeinen Gleichung
2* + QiZ^ + Gg^ + ^la =0
nun weiter kein Hinderniss im AVege. Denn wir fuhren auf die eben eeloste Form zurück, indem wir z gegen c vertauschen. Wir erhalten dadurch
3 3£+_fli «^ 3c^+ffi.2c+q2 c^+oicHo2C+a3 _Q
tie beiden Grossen Ci und c bestimmen sich aus den Be-
Dgen
3c +«1 ^ . 3cHfli.2c+aa 3
=ü und « = — "T"'
Ci Ci» 4
rstere giebt
c 3",
lann die andere
ibk&rzend
iwir
a^
"1 JL
O. Endlich folgt
14*
204
oder abkürzend
2»
V^(^)" '
wenn
* = ""^(^)'+^2^-^^^-
Für die Gleichung
gilt demnach
1 b
y=co8 ^arccos
\f(^r
oder, nachdem man einen Bogen
b
y=:arccos
^V(l')'
gefunden hat»
Dieser Ausdruck erscheint unter imaginärer Gestalt » wen imaginär, wenn also
oder auch, wenn
6
^V(l)
>1
20S
•iden Fällen geben wir dem ImaginlreD die Form «-f/lV'-^ . die nfimliche Umwandlang. Da oämiich
— ^^=2cos-2"Cosrr — 2sin-^sm j
= cos-7r-[(cosy + V^— lsiny)T + (cosy — V— lsiny)i]
+ V*— Isin -TT- [(cosy + V'— lsiny)i — (cosy — V^— Isiny)*]»
ner
^m'
""' Y'~# '
lit der Ausdruck
=-'h4'
bt 2in + y
3 <=°* 3
ID
i>fMQ'-m
3 + cos -5
+v^i-V"ßy-(t)*]
^zi.,.^[^»+yrm.3(|yr
a _
3
-V^I-VCT^I-
M die drei Wurzeln der allgemeinen Gleichung herTorgehen, iBan statt i nach und nach die Zahlen 1, 2, 3 einsetzt Von
i
den .Wurzeln ist demnach in einem der. oben genannten F&ile i eine reell, /lämiich diejenige, welche manfQr t=3 erhält Sie
■=-s'+vi+vGy-(ir
7. Um das nämliche Verfahren auf eine Gleichune des »t Grades anwenden zu können , muss vor Allem die Reine bekao sein , welche cosny durch Cosinus des einfachen Winkeis y ai drückt. Wegen
(cosydbV — Isiny)" = cosny + V— Isinny hat man
*icosny=(cosy+V^— lsiny)"-f- (cosy — V^lsiny)"
indem man abkürzend
M= cosy + V" — 1 siny und
V = cosy — V^— 1 siny
setzt. Da nun
2cosy=M + ü,
so wird die in^Frage gestellte Reihe bekannt sein, nachdem Coeflizienten a, ü, e... der Reihe
(wf r)" + «(m+ü)«-2 ^ ^(M-|-r)'»-4 + ... + k(u\-v) = ü^ + 1?»
so bestimmt worden, dass dieser identisch Genüge geschieht, nun wegen uv = l das Glied
so ergeben sich nach und nach jene Coeffizienten, wenn i um^^m geordnet worden, und die Reihe selbst Ist:
207
(2co8y)* — «(2co8y)"-*
iernach löseo wir die aligemeine Gleichung
ion diese so beschaffen, dass sie durch Vertauschen von i- -^ gegen y sich verwandelt in :
-«ijr-« + — -2- J'"^— ^ 273 3»" «+.".-4=0,
«m bt nod 6 beliebige Grossen. Denn vertanscht man y mit Y — , 80 geht die Gleicbuog Ober in
"m
i man erhält daraus auf der Stelle:
:r:=2cos- arccos n
^¥
s, nachdem ein Bogen
b y = arccos rf==^'
2'
■^'i
gefunden ist^
-.2\/"^ — 2t»+ y
^=:;5W -=-COS — -
I endlich
208
=2— -i-|.2\/ —cos -
n 1 71 n
Dieser Wurzelausdruck erscheint unter imaginärer Ges wenn V -^ Imaginär, wenn al^o 6i negativ, oder auch v
Hm
>i.
In beiden Fällen bringen wir denselben durch die folgende R nung'aufdie Form a + j^V— J»
Man hat
2cos *- = 2cos — cos^ 2sm — sin —
n n n n 7i
= cos — I (cosy +V^— 1 siny)« + (cosy — V^— Isinj + V— -Isin — I (cosy+V^ — J siny)«— (cosy — V^ — Isiny)
Da weiter
cosy=:
4 m '
^"'Y"<&"'
so verwandelt sich jener Ausdruck
2 = --^+2\/ —cos -^
in
99»
V
-i*'"^L\u^m-m- .
n
V Rö)*- C)"]
n
^^"■■'-üfi^^Q'-CiJ
n
- VI + v^ar- (iri
n man nach und nach statt i dieWerthe 1, 2, 3...7t zusetzen damit alle Wurzelwerthe zum Vorschein kommen. Der erstere zelausdruck giebt nur reelle Wurzeln; der andere nur imagi- j mit Ausnahme der einzigen
n
=-S 4MQdHif
n
Q n eine ungerade Zahl ist.
Die Formen dieser beiden Auflösungen mochten im ersten enblicke als sehr verschieden er^chemen. Die Aehnlichkeit M:ben den beiden Auflösungen ist aber augenfällig, wenn wir Bedeutung einer Wurzelgrösse festhalten, und darnach
er der jener Bedeutung entsprechenderen Gestalt
IMellen, weil dann in beiden Aufl^iscingen
1 1 -log
cos -arccos und £" ° n
einander entsprechen.
Der letztere Wurzelausdruck lässt sich nach und nach in an-
Formen bringen , unter denen sich diejenigen durch Einfach-
aoszeichnen, für welche n irgend eine Potenz von 2 ist.
' Umwandlung kann nämlich im Allgemeinen ausgedrückt
n durch die Gleichung:
sto
+
I
1
-k
211
deren zweiter Theil durch Quadriren des ersten Theils , und dann Wiederausziehen der zweiten Wurzel hervorgeht. Wenn darin Torerst «it=n» und n eine Potenz von 2, so erhalten wir nach und nach
vl+V"(l)'-G'7+v^^V(i)-öJ
& Um die allgemeine Gleichung des vierten Grades
'z*+aiz3+ 0222+ 032+04=0
losen, sehen wir sie als entstanden an durch die Multiplika- der Faktoren
(2«— Ci2-C)(2« — rfl2— d).
Vv betrachten demnach z^ als die Unbekannte, für welche sich ie beiden Werthe CiZ-^-c und cLz+d ergeben müssen. Diese bei- fa Werthe sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung
2*+(Ol2-202H(i'+fl2)2« + a3* + «4=0,
Hrin z' eine noch unbekannte Grosse vorstellt, weil nämlich das weite Glied OiZ — z' die negative Summe, das dritte Glied
(2'+aa)»*+a82+a4
Im Produkt der Wurzeln Ciz+c und diz+d vorstellt.
212
Man erhält übrigens durch Auflösen
2«
und die Grosse 2' bestimmt sich aus der Bedingung^, dass < beiden Wurzeln z^ die Gestalt CiZ-{-c und eliz+tl haben niuss« was zutrifft, wenn
oder
ein vollständiges Quadrat ist in Bezug auf i, oder wenn
Aus dieser Bedingung erhält man zur Bestimmung von 2' c Gleichung
2'» + fl22'a+ (difla— 4a4)2'+ ai2a4-4€raa4 + «3* =0 .
Nachdem man ein 2' bestimmt, und in die obige Gleichung eing setzt bat, geht sie, weil dann
:\ j(ax2-
20M2'+^t)l*-ff32-ff4
Über in:
oder, indem man abkürzend
yf(:^y-,-a^=5
setzt, in:
T2;+flr3
^'+(|±*>-^T^^=0.
213
Daraas aber erhalten wir die rier Wurzeln:
V
V
4) |
"^ 4 |
Ol |
26 |
|
1 |
'^ |
, «'-«a |
2 |
:'+«3 |
dche Ansdriicte keiner Veränderung mehr bedürfen, indem unter en drei Werthen z' in allen Fällen ein solcher vorkommt, welcher
G'/--«.
seil und positiv macht, so dass unter jenen äussern Wurzel- eichen keine imaginäre Grösse vorkommt. Wenn wir nämlich ie Gleichung
t*+ 012^ + ^22^+032 + 04=0
urch Multiplikation der Faktoren 2^— Cji — c und 2^ — diz-^d ent- tanden ansehen, so ist
nd daher
V2y — *— ^2= — 4 cirfi =
1^ aber stellt die Summe zweier Wurzeln der Gleichung des vier- ten Grades vor, dt die Summe der beiden andern Wurzeln; und nie immer diese Wurzeln beschaffen sein mögen, so ist doch in iBen Fällen wenigstens eine Zusammenstellung möglich^ welche
^ und dl von V — 1 frei lässt. Die Wurzelgrösse
V^ft-Y-..-..
kann demDach in allen Fällen für reell gelten.
Dass die Grosse z' aus einer kubii^chen Gleichung hervor- gehen müsse, dies konnte vorausgesehen werden. Denn eine Glei< thoDg des vierten Grades lässt sich auf dreierlei Art in zwei qua-
i
214
dratische Gleichungen zerlegen, indem die vierWurzelo «, ß^j, dnur auf ebenso viele Arten in Gruppen von je zwei vertheUtwe^ den können. Diese drei Gruppen sind:
aß, yS, ay, ßS,
a8, ßy.
Aus dieser Betrachtungsweise geht hervor , dass die Zeri^ gung in zwei Faktoren für Gleichungen ^ welche den vierten Grad übersteigen^ nicht mehr mit Hülfe einer Gleichung von geringerem Grade erlangt werden kann. Denn wollte man z. ß. die GleicboDg des sechsten Grades
in die beiden Faktoren
i^— Ca«^— Ci«— c und a^— c/a^^— rfi«— d
%'
zerlegen» so würden wir diese Gleichung anschreiben unter der Form :
wir würden also zwei unbekannte Grössen »' und a" einfübren, damit die Zulässigkelt der Wurzeln
»3—^2^2^^12 + 0 und z^=zd2,'^^i-diZ-l-d
entstehe. Allein wollten wir nun die beiden a' und a" so bestiffl- men, dass in der That den beiden Wurzeln a^ die verlangte Form zukommt, so würde man aut Gleichungen des zehnten Grades geführt 9 weil eine Gleichung des sechsten Grades auf zehnfache Weise in zwei Faktoren des dritten Grades zerlegt werden kann. Die Vertheilung der sechs Wurzeln a, |S...J in den beiden Fak» toren würde in Folgendem sich darstellen :
aßy , 8eS, 1. ays , ßd^, 6.
aßd , ye^y 2. ayl , ßhz, 7.
aßt , y^S, 3. aäa , /JyC, 8.
^ßl 9 7^«« 4. «dS , ßyt, 9.
ayd , ßB^y 6. «ff , ßy8. 10.
215
9. Indem wir die bisherigen AufloAmgeweisen mit eioander trbiodeD, können die B'edingungen, unter welchen die Gleichung »8 fiten Grades mittels algebraischer, logarithmischer und trigo- imetrischer Funktionen auflusbar ist, noch etwas erweitert wer* m. Wir bestimmen nämlich die Wurzeln der Gleichungen
ä2» -f aiÄ" + 02=0,
»3«+aia*» + a2«" f cra=0 u. s. w.;
mn, nachdem man die Wurzeln »" dieser Gleichungen aufgefun- Hk, bleibt im allgemeinsten Falle die Lösung einer Gleichung
(ese Gleichung kann aber angeschrieben werden unter
»«= VaH^(cos(2i«+y)+ V^sin(2w+y)) ,
rorint irgend eine ganze Zahl vorstellt, und y einen Bogen, dessen Wnus gleich 77=====, und dessen Sinus gleich 77:===:^ • Denn ■ ist
cos(2t^ + y) = cosy nd
Kese Form aber liefert ohne Weiteres die n Wurzelwerthe. Re sind:
hn erhebt man beiderseits zur nten Potenz, so kehrt die letz- Ine Gleichang znrfick, weil
=co8(2i7r + y)+V^— 1 sin(2{7C + y) .
i Die n Wurzelwerthe kommen zum Vorschein , wenn man statt (.Bich und nach die Werthe 1, 2, 3...» einsetzt.
10. Wir lusen endlich die Gleichungen 2cos2ita: + cii.2cosnd? + ^a = 0, 2cos!3nx+ai.2co82nX'i-a2'^cosnx-{'as=0, u. s. w.; ■ttin die folgenden Abkürzungen vorgenommen sind:
216
icos2nx
a t « « *i^2w-3 „ ^ 6,3 (2w— 4)(2n— 5) ^ ^, Oi^ +2» 2 (2m)2 2.3 ^•
2cos Sno;
^» +aw 2 (3w;5a 2.3 +
Denn diese Gleichungen vom Grade 2n, Sn u. s. w. verwandeli sieh wegen
co82wa:=:2cos*iia:— l ,
cos3n:r=4cos^wa:— 3cosn:r, u. s* w.
bezüglich !o die Gleichungen des zweiten ^ dritten n. s. w. Grades:
(2cosna:)^+ai.2cosna; + 0^ — 2=0,
(2coswa:)3 + ai(2cosn.T)^+(o2 — 3).2coswa:+03 — 2iri=0.
Nachdem aber die Wurzeln 2cosw:i: der letztern Gleichungen be- stimmt sind, bleibt, da jene im Allgemeinen die Form a-i-ßV-l haben ^ eine Gleichung
^ ^^ ^ n 2 n'- 2.3 " + •-
deren Losung nach dem Früheren die Form
=2i/ -* cos (2i;ri — arc cos — - — 1
darbietet; und die weitere Aufgabe besteht darin, diesen Wurzel- ausdruck in allen Fällen unter die Form Ä-\^B\^ — l zu bringen.
In dieser Absiebt betrachten wir den Bogen, dessen Cosinus gleicli
4'&
%
als die Samme d^r Bog^^n y und. d, und. bestinimen beide Bo- 80, dass die Gleichung '
h das Bestehen der beiden Gleichungen
/
cosycos5=-
■ ' .2
a
sf&y
sinvsinj = \-r . •
vreo"
«digt ist. Aus diesen erhält man aber die neuen t
cos*y.cos^5 = — ^. ;^ 1.
4
m
<l-cos»y)(l-co*«5)=-yg^. ....^.,.... 2.
dorch deren Subtrahiren eine dritte:
cos^ + cos^S=-^ + -^,+l, 3.
^ in Verbindung mit der ersten unmittelbar die quadratische iung
lestimmung von 2cos^7 und 2cos^d liefert. Diese Grössen
\nn. 15
218
"^^W'iW
Vir «• ß^ T** a« '
2cos«J- ,.'^, _ + — tA .
(^y <^)'
Daraus gehen wieder hervor:
■Y
r " I ^ -iT-i- '^ '
weil nämlich die beiden Ausdrücke:
and
219
61 N»
(I)
-ij+
/J'
©)'
ider identisch sind.
Nachdem so die Bogen / und d n.lher bekannt geworden^. ' dieselben einzuführen in den Wurzelausdruck
=^v?-
cos
2i7f-\-y-\-ö'
n
inen
Eine genauere Betrachtung der obigen Ausdrucke lässt uns , dass för ein positives (-^) ebensowohl cos^ als
anter allen Umständen positiv bleibt, dass also cos/ und b/ reelle Bedeutung haben; dass aber siu^ö stets negativ, uäh- |m cos^8 positiv isüt, dass also cosd und sind imaginäre Grus*
vorstellen. Um dem Imaginären die gewünschte Form au
lü, setzen wir, wie schon Irüher:
8 , 1 *
' 2cos-=(cosJ+V---Isind)" + (cosd— V^I sind)«,
I ß 1 1
SV— Isin ^=(cosd+V^ sind)»— (cosd—V^ sind)«;
M erhalten somit aus
2 = 2V — 1 cos cos sin am — I
V n L. H n n nj
ki gesuchten Wurzelausdruck unter der Form
in die Bedeutungen von A und B hervorgehen aus den Be- in
15*
220
+v'((j)"+(i;+©T-e)-- +V((i)-+0y- (!)■;+ Kl)"- ■
Wenn jedoch — einen negativen Werth erhält > so erkeni
wir, dass umgekehrt cos*5 und s\n^ö beide positive Werthe, a zngleich reelle Bedeutung annehmen; dass aber sln^y negi bleiht, während cos^ stets positiv. Weil demoach für ein ne
~ 1 der Winkel y eine imaginäre Bedeutung erhält, Beizen ivir: •
1 1
2 cos *- = (cosy+ V^ — lsiny)*+(cosy— V — 1 siny)"
und
2\^^ sin ^ =(cosy+ V — Isiny)»— (cosy — V — -1 siny )" ;
n und erhalten aus
oi/^r 2i7r+d y , 2m+d . y "1 2=21/ I cos cos^^ sm sm — 1
den gesuchten Wurzelausdruck unter der Form
n n
Z=:COS
.j^tirVV4^+,Vf'+VVr¥-f§]
n
worin Ax und ßj die folgenden Bedeutungen haben:
221
*iV
Wenn /?=0> so geht der erstere Wurzelausdruck ftir ein po- — ) wieder über in
2 = 2V -^-cos ^r
In n
m
a co8y =
v©- ■
0X < m-'
wenn
^V(^)"
<i.
bt dagegen
" >i.
V(^)"
Mrwandelt sich der erstere Wurzelausdruck in
•
222
a
~ ) aber g jS = 0 in allen Fällen in den letzteren über.
11. Dies mögte wohl Alles sein, was uns algebraische rithmische und Irigononietrische Funktionen über die An algebraischer Gleichungen geben können. Eine allgemeine ] ist darnach nur für die Gleichungen des zweiten , dritten ui ten Grades möglich: alle höhern Gleichungen aber bleiber löst, wenn deren Glieder nicht besondere Bedingungen eii Nun müssen aber, was die Auflösung der Gleichungen mi Unbekannten betrifft, noch die Untersuchungen angereiht v darüber, wie man den Grad einer Gleichung vermindert.
223
le Beziehung zwischen zwei oder mehreren Wurzeln derselben kannt int.
Vorerst haben wir dabei die Frage zu beantworten, wie sich Be Wurzel bestimmen iSsj^t, welche den beiden Gleichongen
as" + ai«»-i+ <ia*"~* + • . + a«=0 id
ezflgfick Tom nten und mten Grade gemeinsam ist.
Indem wir beachten , dass z in beiden Gleichungen als die fWiche Grosse angesehen werden kann, können wir durch Eli- ibatioD der höchsten Potenzen von z zwei andere Gleichungen iUen, welche in Bezng auf das gemeinsame fragliche z von ge- pgerem Grade sind.
■
Um dies deutlicher zu zeigen, nehmen wir beispielweise liSfi-f-3 an, sodass die obigen Gleichungen dargestellt sind in:
a«* + iiiz*^*+a2»*~* + -.. + fl«=0 ^ 1.
62H-2 + 6i2«+i-f62z« + ...+ft„+,=0. .^ 2.
mnitipliziren die erste mit bz^, die andere mit a, durch Ab- entoteht dann die Gleichung vom (n-|-l)ten Grade:
(«x6— a6i)2«+* + (cra6— «*2)2'* + -- — «&n+a=0 3.
Fffon jedoch a und b einen gemeinsamen Faktor haben, so dass
"lo'tt lind b=b*n, so multipliziren wir die obigen Gleichungen
flglicb nur mit b'z^ und a\ weil wir im andern JFalle der neuen
mng des (n-|-l)ten Grades den gemeinsamen Faktor fi gäben.
L Eine Gleichung vom (n-f l)ten Grade erlangen wir auch durch DniBafion von ^. Diese wäre:
3.
Dnrcli Elimination von d"+^ aus t. und 3. leiten wir aber eine long 4. her, in welcher n der höchste Exponent von % ist.
Wenn aliso zwei Gleichungen vom nten und tnten Grade ge- rn sind, 80 leiten wir auf dem bezeichneten Wege eine zweite lg vom nten Grade her, so dass nun vorliegen :
o»«+ai»»-i+iia*''"H-..+««=0
I
22«
und-. . .. *■ " ■ . ,. ■..»■,. ,."■. . .'• i!
Diese .«btr geben, Todem man das einemal t^, das anderem; eliminirty ein anderes System Gleichungen vom (n-|-])ten Gr
(«1 c — aci)a»*-^ + {a^c — «02)2""*^ + + OnC — acn = 0
und * . ;
Man könnte aneh,- nachdem die eine Gleichnng diese« Sys' gevfonneh, sogleich diesemit einer des vorhei^hended Sy^ zur Elimination von ^9 oder 2" verbinden, lim: die zi^Vite ^ chung dieses Systems zu erhalten. Man wird das eine oder andere Verfahren einschlagen, jenachdem eine kürzere Rechi dieselben empfiehlt.
Es ist einleuchtend, dass man, so fortfahrend, -endlich
System von Gleichungen erhält, in welchen 2 nur auf dem ei Grade vorkommt* Dasjenige a, welches gleichzeitig den urspi liehen Gleichunjjen vom wten oder mten Grade genügt, ge zugleich allen Gleichungen, welche aus diesen beiden hergel worden sind. Es genügt daher auch den Gleichungen des lel Systems vom ersten Grade. Da diese aber überhaupt nur Vt'urzel enthalten, so werden sie identisch sein, und jenes durch dieselben bekannt. Wenn die ursprünglichen GleicHu zwei Wurzeln gemeinsam enthalten, so werden diese iden sein mit (\en Wurzeln desjenigen Sy4?tenis, in welchem z auf zweiten Grade vorkommt; und dessen Gleichungen werden < selbst identisch sein. Aehnüches gilt für eine grössere Ar gemeinsamer Wurzeln. Umgekehrt lehrt uns diese Untersuch dass in zwei Gleichungen von höherem Grade eine, zwei u. Wurzeln gemeinsam sind, wenn die Gleichungen des letzten, letzten u. s. w. Systems identisch sind.
Der Einfachheit halber nehmen wir ein Beispiel vor, in ehern die Coefüzienten von z durch Zahlen vertreten sind.
Die Gleichungen
20-24 + 423 — 422-1-42 — 4 = 0 1.
und
52^— 42Hl-22-^— 82 + 4=0 2.
geben durch Elimination von 2^ die Gleichung
24+423 + 82-4 = 0 3.
225
und auti dem ersten Systeme 1. und 3. erhält man nach einander die beiden Systeme :
= 0.
22 + 2^0^ 22 + 2=0^ '
Die gemeinsamen Wurzeln sind demnach z=JhV^2,
Die Bestimmunsj einer oder mehrer Wurzeln, welche einer beliebigen Anzahl Gleichungen! boherehGrades gemeinsam zukom- men, ist hiernach keinen weitern Schwierigkeiten unterworfen. Man setzt nämlich an die Stelle zweier Gleichungen, am vortheil- baftesten der beiden Gleichungen des niedersten Grades, jene an- dere, welche deren gemeinsame Wurzeln enthält. Diese wieder III Verbindung gebracht mit einer dritten der vorliegenden Glei- chungen lässt sich auf die nämliche W^eise behandeln, und man vermindert so immer mehr die Anzahl der Gleichungen. Die ge- meinsamen Wurzeln des letzten Gleicbungenpaares kommeo dann auch allen übrigen Gleichungen zu.
12. Wenn nun eine Beziehung bekannt ist, welche zwei oder mehrere Wurzeln einer Gleichung verbindet, so ist man stets im Stande eine zweite (Gleichung herzuleiten, welche mit der ursprüng- lichen eine oder mehre Wurzeln gemein hat, die dann nach dem Vorhergehenden gefunden werden. Wir betrachten hier mehr bei- spielweise die einfachste Beziehung, durch welche zwei Grössen mit einander verglichen werden* können. Wir nehmen an, dass zwei oder mehre Wurzeln der Gleichung
ö2" + Oi2"-i + €r2*""^ + - • +a«=0 1.
ID dem Verhältnisse 1:6 zu einander stehen.
W^enn a eine Wurzel"dieser Gleichung, so ist hiernach auch to 4^1110 Wurzel; und man bat zur Bestimmung desjenigen x, für welches eine andere Wurzel öz besteht, die zweite Gleichung
' a6»i"f c^6«-^2«-* + ffjj6«-V--2+ .... |-€r„=0 2.
fl
Wenn nun die erstere Gleichung p Wurzein 2~ a und y Wur- zeln z=:öa enthält, so mus«; die andere q W'urzeln a enthalten; and beiden gemeinsam müssen /? oder q Wurzeln zzzza sein, je- nacbdern pöder q die kleinere Anzahl vorstellt. Man erhält diese durch die allmählige Bildung jener verschiedenen Systeme. Das nächste System wäre:
226
und
cri(6 - l)6«-i2"-i + #ra(Ä«— 1)6«- V-« + «,(6»— l)*—»««-» +
.... + a«(6»-.l)=:0. Es sei z. B. bekannt, dass die Gleichung
Wurzeln enthält, welche in dem Verhältnisse 1:2 zu einaDder stehen. Ua nach dem Obigen 6=2, so hat man:
1528 + 722—31+5=0.
4,»_62a+352 + 4ö=05'
II82*— 5372—655=0^ 1312« +69s— 62 = 0^'
2+1=0. 2 + 1=0^
daher kommen die Wurzeln 2 = — 1 und 2= — 2 vor. Für die Gleichung
24+62» -292«+ 122+ 12=0 sei 6= — 3 bekannt. Man findet dann die System«
6023-422«-582 — 12=0i 54i3 — 174x2 + 84s + 80 =:= 0 ^ *
32« -32 — 2=03 32«— 32-2 = 0^'
Die beiden Wurzeln der Gleichung
3.2_32_2 = a
sind demnach mit — 3 zu multipliziren, und man kennt die vier Wurzeln der obigen Gleichung.
13. Wenn 6 in — 1 übergeht, so verdoppelt sich die Anzabl* der in beiden Gleichnngen eines Systems gemeinsamen Wurzeln. Denn wenn die Gleichung
02« + OiZ'^-^ + fla:"-« + .... + «r„ = 0
p Wurzeln a, und (j Wurzeln —cc hat^ so kommender GleichuDg
ab^zn + ai6»-i2"-i + aaö"""^^""'^ + •••• + flii=0
für 6= — 1, q W^urzeln a und p Wurzeln — a zu. Gemeinsam werden demnach sein p oder q Wurzeln a , je nachdem p oder f die kleinere Anzahl vorstellt , und eben so viele Wurzein — a.
227
Die Gleichang
I. B. giebt als erstes System die beideo identischen Gleichungen
2x4 + 2« -6=0. 2z4 + sa_6=0.
Wenn alle positive Wurzeln einer Gleichung auch mit dem nega- üven Zeichen als Wurzela vorkommen, vrenn also die Gleichung nur gerade Potenzen von z enthält, so kann dieselbe nach dem eben eingeschlagenen Verfahren nicht mehr auf einen niederen Grad gebracht werden. Wenn man aber z^ mit y vertauscht, so kommt der Grad der Gleichung auf die Hälfte* herab. Auf diese Weise föbrt man die Gleichung
2z4+z«— 6=0
über in
Wenn 6=1, wenn also gleiche Wurzeln vorhanden sind, so werden die Gleichungen des nächsten Systems In der Form :
a{b» - l)z*-i + ai(6«-i— l):«-a + GaC*""^ - 1)*"""' +
+ <i«^i(6-l)=0,
«i(* - 1) (bz)»-^ + a^ib^ — 1) (6z)«-« + a^(b^ — 1) (iz)'«-^ ^
+ a„(6»— 1)=0
nnbranchbar, weil durch Einsetzen von 6=1 alle Glieder in Mull ibergehen. Wenn wir aber erwägen, dass
so flSbren wir jene Gleichungen, nachdem man aus beiden den Mmeinsamen Faktor 6 — 1 gestrichen hat, über in die folgenden Formen:
noz«-* + (n— l)fliZ«-2 + (n-2)fl2Z«-8+ •" + on-i =0 md
öl«"-* + 2iia2"~* + Sagz"-' + .... + «cr„=0.
•Um non die obige Betrachtung über die Gemeinschaft der in diesen beiden Gleichungen vorkommenden Wurzeln auch hier in Anwendang bringen za kunnen, stellen wir uns vor, irgend ein
228
Verhältniss b zwischen zweien Wurzeln Ser vorliegenden Glei- chung sei in die Einheit übergegangen; und wenn viele gleiche Wurzeln vorkommen, so stellen wir uns vor, jede einzelne dieser gleichen Wurzeln sei aus einem andern Verhältnisse zu irgend einer a unter ihnen in das Verhältniss der Einheit übergegangen. - ' Wenn aber zwei Wurzeln a und ß in einem Verhältnisse 6 zu einander stehen, so dass a6 = j3, wenn zwischen den Wurzeln a und y die Beziehung ab*=^y besteht, zwischen den Wurzeln a und 0 die Beziehung «6"=^ u. s. w., so werden die Gleichun- gen eines Systems die Wurzel ß oder y oder 8 gemeinsam haben, je nachdem man das Verhältniss />, b' oder b*' gelten lässt. Wenn nun aber die Verhältnisse 6, b*, b'\,. gleichzeitig in 1 übergehen» und man also wegen der Annahme 6=1 gleichzeitig die Verhält- nisse 6, b', b** .,. gelten lässt, so müssen die beiden Gleichungen eines der obigen iSysteme gleichzeitig die un<;leichen Wurzeln ß,
y, 8 in sich aufnehmen. Wenn demnach eine Gleichung m
gleiche Wurzeln enthält, so kommen deren m— •! den GleichungeD
ai««-* + 2a22«-2^3fl32n-3^ .^, ^ wa„=0
gemeinschaftlich zu. Es sei z. B.
Man erhält daraus nach und nach die Systeme:
22^4z + 4z=:0^*
Da nun die Gleichung
i'^— 4^+4 = 0
die Wurzel 2= — 2 zweimal enthält, so kommt diese in der ur- sprünglichen dreimal vor.
14. Wenn unter den Wurzeln der Gleichung
02« + flri2'»-i + a2-""'^+ + «n= 0
solche vorkommen, welche bezüglich durch z und — sich ausdrü-
cken, worin b eine bekannte Grösse , so ergeben sich diese mittels eiber zweiten Gleichung
229
Kommen p Wurzeln a und 9 Wurzeln — vor, so kommen jenen
xwei Gleichungen p oder q Wurzeln a gemeinsam zu, je nach- dem /> oder q die Kleinere x\nzahl, und man gelangt endlich zu einem System, welches nur diese Wurzeln enthält. Für den Fall 6=1 aber sind gemeinsam /? oder q Wurzeln a, und ebensovieie
Wurzeln — ^ so dass der Grad der Gleichung, aus welcher sich
diese bestimmen, doppelt so gross ist als vorher. Dasselbe gilt für 6=— 1.
Für
ist & = «-l gegeben, und man erhält hieraus und aus
jö _ 1223 _42a__j_|. 1=^0 die nächsten Systeme:
23_222— 16z+5=0r
22 + 32— 1 = 0j 2a + 32-l = 0r
Die Wurzeln a, und — ^~ ergeben sich also aus
2^ + 32-1=0.
1
Wenn zu jeder Wurzel a einer Gleichung auch eine Wurzel -- gehört« wenn also die Gleichung ungeändert bleibt, indem man
darin % mit — vertauscht, so vermindern wir den Grad der Glei-
z
chnng auf eine andere Weise. Sie erscheint unter der Form :
112" + «12»-^ + flra:»-2 _|. _ .^ ^^j2 _j. „jj ^ a-_ 0,
und wenn n ungeradje, so crenögt offenbar als Wurzel 2= — 1. Dorch Dividiren mittels z+1 bleibt also stets eine andere zurück,
irorin n gerade. Wenn zu jeder Wurzel a eine Wurzel ge-
terty so gilt die nämliche Bemerkung. Für ein ungerades n lässt
230
sich dann aber der Faktor x — 1 abscheiden , weil 2=1 eine War- ze! ist« und es bleibt wiederum reine andere Gleichung, worin n gerade. Diese beiden Gleichungen, welche durch Division mittels z — 1 und z-f-1 entstanden, können dargestellt werden unter den Formen:
?-i ?
a(2«+l)+fli2(«»-2dtl) + + «r« 2* (2*±l) + ai.i* = 0,
wenn n = 4{, und i eine ungerade Zahl, und unter den Formen:
**— 1 *
a(2« ± 1) + 012(1"-«+ 1) + ... + o» 2« (22±l)+««2^=0,
5-1 2
wenn n = 2i. Da weiter je zwei Wurzeln dieser Gleichungen zum Produkte ±1 haben, deren Summe y aber unbekannt ist, so las- sen sich dieselben in Faktoren von der Form
zerlegen; und die Elimination von 2 mittels
muss auf eine neue Gleichung ftihren , welche in Bezug auf y vom Grade 0- ist. Die Elimination selbst fuhren wir am vortheii- haßesten aus mit Hülfe der beiden Beziehungen:
^ (2«-2 ± 1) (22 + 1) =2« + 1 + (2"-4 + 1)2«
und
(2«-2 + 1) (22 4- 1) = 2« 4. 1 4- (2«-4 4. 1)^2 ^
von denen die erstere für n=-ii, die andere für n = 2i Geltung hat. Wegen 22+1 = ^2 entsteht dann nach und nach:
24+1 = (3^2 :j:c2)^2,
28+1 =(2^4+^4.9)24,
2W+l = (3^ö + 5^3 + 5^)2Ö U. S. W.
So verwandelt sich die Gleichung
624 + 3523 + 62x2 + 352 + 6 = 0 in die Gleichung des zweiten Grades
«(j»-2) + ;i5y+fi-2=zÜ,
()(,*+ 33^ + 50=0.
15. Zur VervoUstBndigim^ unserer Betrachtungen bleibt tincli ■lie Bestimmung von 'iwei und melir L'nbektinnten aus eben so vie- len Gleichungen eines hiiheren Graden. Die Aufgabe, zwei Un- belcnnnle : und y, die unter einander geniengt in zwei Gleichun- ceii »-on hüherem Grade vorkommen, «o zu bestimmen, dass sie beiden Gleichungen Genfige leisfen , lässt sich zurückluhren auf die Reelimmitng einer Unbekannten aus einer Gleichung. Denn wenn wir die beiden Gleichungen vorstellen durch;
y(:'' + J,i"-» + Jei'-a + .,..+J„=0 ..
ß;'" + iS,:">-> + Äii'"-
.. + ßw. = 0. .
nrin A, Af.B , Bi-... verschiedene Potenzen der andern ün- leUannten y enthalten, so kiinnen wir durch Elimination der ver- '■^cliiedenen Potenuen von i dieses System nach und nach in andere iiiterführen, in welchen der Grad von i immer niederer ist. Wir gelangen endlich durch Elimination von z aus denjenigen zwei Gleichungen , in welchen dieses nur auf dem ersten Grade vor- kommt, zu einem Verhalten, das frei ist von t, und wel{:hes alle diejenigen Werthe y als Wurzeln enthalt, Rir welche es ein oder mehrere Werthe i giebt, die gleichzeitig mit einem jener y den beiden ursprünglichen Gleichungen genügen. Man könnte also nnch und nach diese Wurzeln » in die Gleichungen 1. und 2. ein- setzen , und dann diejenigen : fiestimmen, welche diesen beiden so verwandelten Gleirhnngen gemeinsam sind. Allein so wfirden nns nur mancherlei Cmtvege ans Ziel bringen. Vortheilhafter wpr- Jen wir nach folgendem Plane die zusammen gehörigen Wertht y und t erhalten.
Wir scheiden vor Allem den gemeinsamen Faktor der Glieder A. Af ....B, Bi.... ab. Diejenigen y, welche denselben auf Null bringen, genügen beiden Gleichungen 1. und '2. unabhängig von einem Iiestimmten z. Die solchen y entsprechenden 2 bleiben dem- nach gnnK willktihrlich. Wenn nur die eine der Gleichungen 1. und S. einen solchen Faktor hat, so giebt die andere, wenn man statt nach and nach die jenen Faktor auf Null bringenden Werthe 'tt, die entsprechenden :. Deren Anzahl kommt also dem hrich- &ponenten gleich, mit welchem z in der letztem behaftet
[^Hierauf leiten wir durch Elimination einer Potenz vor ; Gleichung ab, ganz so, »ie dies geschehen nius UDd nach j zu eliminiren, scheiden aber den gemei , welcher nur y enthalt, sogleich ab. Da dessen W
232
y die letzte Gleichung identisch auf Null bringen, so schliessen wir, dass durch die nämlichen VVerihe y die beiden Gleichungen 1. und 2. identisch sein müssen. Diese geben dann die gleichzei- tig entsprechenden Werthe z. Auf diese Weise fahren wir fort, die durch Elimination der verschied'ehen Potenzen zon z entste- henden Gleichungen von ihren Faktoren in y zu befreien, wobei dann die solchen y entsprechenden % immer aus denjenigen bei- den. Gleichungen hervorgehen, welche die letztere mit jenem Fak- tor von y behaftete Gleichung lieferten, indem diese durch Ein* setzen des bezüglichen y beide identisch werden. Pie letzte Be- ziehung endlich, in welcher kein z mehr vorkoöimt, giebt dann noch oiejenigen Werthe y^ welchen nur ein einziges x gleichzei- tig entspricht, das man aus der Gleichung des letzten Systeme« herleitet, worin z nur auf dem ersten Grade vorkommt.
L Es seien Daraus :
|j
(2^^ + 3)z-(3^2-%=0f — ^•
y4_8y2_9^0. 3.
Aus 3. erhält man die Werthe y , und aus 2. dann die zuge hurigen z.
2. Es seien:
2^+2^ — yz — y'^^.i) \
Daraus :
f
(%+l)22_yz — 2^«=0. 2.
(16^2-23,-1): + (8/-63,-l)y = OJ (82,2-6^-1)2 + (%-l)y=0 i '*•
3,(42/3_t2i,2+33, + l)=0 4.
Die Gleichung 4. giel)t die Werthe y und eine der Gleichuagen 3. die zugehörigen z,
22 + (y-3)2+y2_3yH-2=0|
Daraus :
(y-l)z-2y + 2=0 2.
23»
sgen des gemeinsamen Faktors y—l genügt dieser Gteichung and man erhält das zugehörige z aas z^ — ^2z=0. Die Ver* f von 2 —2=0 mit l giebt ;y*— y=0, woraus 9=0» dem 2=2 entspricht.
«« + 2(y+l)i + yH2»=0, 1.
%-4)i«-2(y2-73^+4)»+2^5-6j^« + 8y=0 3.
n Gleichungen 1. und 3. erhalten wir dann
3y(y-l)«--Fy^+V-4y=0 4.
fe6ieiiitani}r Fa^9f^wt^l),«fehi 4*P W#fÜ|0 -yssi» fnd und die zugehori^fen'' \Verthe s ergeben sfcli dann D'ezüg*
s
2«+22=;=0 und 2«+4i + 3=0.
.. . .
Abscheiden jenes Faktors bleibt aber als Gleichung 4. :
32+y + 4=0. 4'.
erbindung von 4'. und 1. giebt:
(5y + 2)2 + 3y« + 6y=:0 5.
mit 4V wieder:
y«-3(-2=0. Mien Werthe y=: — 1 und y=r2 finden ihreWerthe ii atis 4:
' li
r
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"• ■ : . ,
a xviii. 16
234
■••■?'•: 'H.-I . •■ :..- = i
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SUlnfaelie Berecliniuier der Zahl
Ton
Herrn C. Hellwig,
: - Mi .- " "
Lehrer der Mathematik za Furstenwalde.
Man denke sich in dnd um einen Kreis mit dem Halbm R die regelmässigen Vielecke von n und 2n Seiten beschri Die Seiten der eingeschriebenen Vielecke von n und 2n ^5 mögen bezüglich mit Sn und ^2"/ ^^^ ^^^ umschriebenen ent chend mit Sn und S^n, und die Lothe vom Mittelpunkt des ses auf die Seiten Sn und a^» ebenso mit Vn und r2n bezei< werden. Wir wollen Formeln aufzustellen suchen, mittelst < S2n, Sn und S^n aus Sn berechnet werden können; dadurch
sen wir zu Näherungswerthen von 7t gelangen, indem tttt f
qn,Sn für A=l, um so mehr mit n übereinstimmt, je ser n ist.
Aus den in der oben angedeuteten Figur vorhandenen r winkligen Dreiecken entnimmt man leicht die folgenden Ziehungen :
(1) r2„^=/2^-j52„2,
(2) %,* =:(/?-r„)« + |s.^,
235
(3)
j«««=Ä«-r,»
Di« Elimination von -r-*»* aus (2) und (3) fährt su:
(4)
4 1
ij,„*=.yft«— 5-Ä,r„,
woraus man in Verbindung mit ()) erhält:
ra.«=^iP+i^Ä.r,
oder
(5)
»•ji»
=*V2+2 S
Wegeo Aeholichkeit tod Dreiecken der Figur hat man ferner die Proportionen:
(6)
Js» s o 1«=: ß: T^n
■nd
Hleraiu ergiebt sich:
«0 WM
rn'R^^aSni S" An»
***=Ä*'
(9)
ud ebeoM
(10)
rn
»Jf« — -""•1*. »Vi
Für iZ=l verhandeln sich die Werthe von r^n, a-^«, Sn und •SiH in die folgenden:
(11)
r
2U
(12)
(13)
Tn
r(i4)
52n==
_*«« J
r^n
Diese FormelD verwenden wir in der Weise zur Berechnung von n, dass wir von eiiienv bestimmtea • Wcrtiie von r« nnd Jb / ausgehen 9 daraus r2ii> #2«» '^•m '^2» bestimmen und hieraus wie- derum r4}i9 #4119 '$411 finden u. m. f. l^iiamt man n = 6, geht also vom regelmässigen eingesfchttebenen "Sechseck aus, so hat man bekanntlich s^ = l und
re=: 1-^3 = 0.8660254.
Mit Hülfe dieser Werthe gelangt man bei Anwendung siebenstel- liger Logari^thmen zu folgendem Schema für die Berechnung von n:
. ■ . ' ■ ■ ■ • 1 1 . • : ■ ; . . : ■ , • ' . ■ ■ 1 f ■ . ' « ■ '
^re = 0,4330127
2^ =0,6
ria« =0,9330127
ria =09659254
2)0,4829627 0,5
ra4* =0,9829627
r24 =0,9914447
2)0,4957223 0^j5
r^^ =0,9957223
r^ =0,9978589
2)0,4989295 0,6
r^^ r= 0,9989295
r«6 =0,9994647
2)0,4997323 0,5
log.l =1 -1
log.re ==0,9375806-1
log.ria«=l,*Ö8876— 2
2)
Iog.ria =0,9849437-1 0,30103
0,2859737 log.Si2 =0,7140263-1 log-ra^^^l ,9925370-2
2)
log.r24=P 0,9962685-1 0,30103
I
log.5« r=0,0624694
»r
log.Äi2=0.72900826-l
log. Ä24 = 0,4204593-1
0,2972985 log.524 =0,4167278-1
log.r482r-f 1,9981382 -2
2) — '
»og.r48 =0,9990691-1 0,30103
0 3000991 log.A-48 =0!ll66287— 1 |log.iS48 =0,1175596-1
log.r962=l,9995348-2 :
log.roe =0,9997674—1 0,30103
0,3007974 log.*^e =0,8158313-2
log.. Sgö =0,8160639-1
nt
■ /
»997333
■ ■ ' I
4999331 5
5390^1;
099664 4999832
9999912
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,999998
1,499999 ^5
),999999
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lo(^.T^«2*s: 1.9998838rrr?
2)
loe.riM =0,9999419—1 . .; . 0,30103
»,9009719
log Si9a =tiO;514«5Q4~2 1og.rjg4«dfcl^;9d99ro9f^ fog.fsM äO,9999854-I'1 ; 0,3010154 ,
:'»<
I I' ■ i
■ ; # ■ . ■ ■ . ■ .
I . I • • «
I
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I
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Hhi* i?io,2i38440-2 iog:*,M M);i»&858e-^a
'<>8rm*=1.9999924-i-2 '
. : <1\ ■ ' I ■ I H I ■ ■ ■ I ■ I
löfe-»'r68 =^0,9999962-1 0,tM)M» _
fi;3öl02e2 iog.«r68 = 0,9128178-3
.1
log.ri5je»=l,9999982-2
2)
log.riaM =0,9909991-1 0,30103
0,3010291 •»g-»i536 =0,6117887
•<>g-»"80Ta*=l 9*^9996-2 0,30103
0,3010298 '»g'sm =0,3107589
1 i«;
log.Sre8 =0,9128216-3
log.Ä,5,5=0,6ll7896-3
log.i%or«=0,3107691-3
Darchschnittswerth folgt aus dieser Berechnung
ui hierzu
log. 5 =0,3107590 — 3.
log.l536=3, 1863912
)bt sich
log. TS = 0,4971502.
238
Diesem Logarithmus eutspricht die Zahl 3^14159» welche in der That den Werth von n auf 5 Decimalstelieo richtig ; angiebt.
Die mitgetheilte Berechnung scheint mir hauptsächlich zwei . Vorzuge zu oesitzen^ nämlich dass sich einmal die meisten der ' darin vorkommenden Zahlen einfachen Grenzen immer mehr nähern» indem die Werthe von r^ und r der Einheit und die Summe der Radieniogarithmen mit 0,30103 dem Logarithmus von 2 zustreben» oder docb wenigstens eine gegenseitige Annäherung zeigen, wie die Werthe von logf und logiS, und dass zweitens das Auf- suchen der vorkommenden Logarithmen , so wie der Zahlen, zu denselben sehr bequem geschieht deshalb , weil man von log.r^ . ' an kein Blatt in den siebenstelligen Logarithmentafeln mehr um- zuwenden braucht. Dabei ist der Mechanismus der Rechnung der einfachste, den es geben kann, und bietet keinerlei Schwie- rigkeiten dar, weshalb auch jeder mit den noth wendigen Vor- ^• kenntnissen ausgerüstete Schuler mit Leichtigkeit in den Gang der Rechnung sich hineinfinden wird.
'■* -^
239
XVII
Mlscelle
Eine gelegentliche Veranlassung föhrte mich neulich einmal wieder auf die Bestimmung des Inhalts der dreiseitigen Pyramide ans drei in einer Ecke zusammenstossenden Kanten und aen von doiselben eingeschlossenen Winkeln. Wie leicht diese Aufgabe darch die sphärische Trigonometrie zu erledigen ist, weiss Jeder; « kam jedoch auf die Anwendung der blossen , ebenen Trigono- metrie an 9 und da die Auflösung, welche ich fand, mir sehr ein- beh scheint, die Aufgabe sich auch wohl zur Uebung für Schuler ^et, so will ich meine Auflösung hier mittheilen. Taf. I V. Fig. 1. wird für sich verständlich sein» und nur kurzer Andeutungen zu Btfer Erläuterung bedürfen.
Die gegebene Pyramide sei ABCD=^P, Die Kanten ^Z>=«, BD=zb, CD=c und die Winkel
^ADC=a, j^BDC=ß, j^ADBz=iy
Mien gegeben. CE sei auf der Ebene ADB, CF und FG seien u( Aü und BD senkrecht, und EF, EG, DE seien gezogen. Man setze der Kürze wegen
so ist
^FDE—tp, j^GDE=^;
P=: j A^DÄ. C£= J a6.C£. siny
Femer ist
V
£F = ccosaiang9) , £ f'= DE . sin^ ;
£G= ccosjJtangif; , EG= ZiE.sint/; .
Also ist
EF cosa iangq> sin^
I EG cosß ' i&ng'il/ sinif;'
woraus
cos« cosif;
cos/3 * C0S9» '
also, weil i/; = y — g) ist:
■« ">■
CO«« cos (y— y) cos» ... ,
1= ä • — i— = V (cosy + siny tanso) ,
cosp cos(p cosp ^ / • / s>^/ »
und hieraus • ' ^ • . ..
cosß — cosacosy
tango) = — . -
°^ cososmy
folgt. Daher ist nach dem Ohigeii
^ cos5-£^sacosy siny
und weil Dun hiernach
ist, so ist, wie man sogleich findet:
CE = -- ; — V 1— -cosa* — cos/S^ — cosy* + 2cosacos|3cosy , also nach dem Obigen
P'z^.'^abc^X — cosa*— cos/S* — cosy* + 2cosacosjSco8y,
oder nach einer sehr bekannten Transformation der GrGsse ui ' dem Wurzelzeichen :
P=g a6c y sin^^C« + |3+y)sin.2(i3+y-a)sin2(y+a— ^)siD2(a+i5-
welches die bekannte Formel ist.
tu
Erweiternngen der Inte^al ■ recbnungr.
Von
dem Herausgeber.
Einleitung.
B der ItitegralreclinuDg geht man hekanntüeli von einer Ao- Etod Integralen ans, welche anniittelbar aus der Differential- ViDg entnonimeo werden, und nichts Anderem sind als die bbrongen der in der letzteren Wissenschaft eenonneneo Diffe- Uromieln, iu der That aber die eigentliche Grundlage der limten Integralrechnung bilden. Hat man einmal diese Inte- irmeln auCgestellt, so besteht streng genommen die ganze B Integralrechnung, insorern sie di« AuHindung der Integrale ntwickett gegebenen Differentiale betrifft, in nichts Weiterem, t der Zurück Jiihrung der übrigen zu entwickelnden Integrale jene anmtttelbar aus der Differentialrechnung entnommenen tale durch geeignete Transformationen, Subslitutiooen u. 6. w., "" 1 Integral kann jederzeit als gefunden betrachtet werden, _S sich auf jene Fundamental-Integrale zurückführen läset, ^ich oft mit grossen Schwierigkeiten verbunden sein, und ■ Aufwand analytischen Scharfsinns erforden kann. Je mehr liehen Fundamental -Integrale man nun aus der Differential- Ug entnehmen kann: eine desto breitere Grundlage wird der nbechnung geboten, und ein desto grösseres Feld der Auf- bog geeigneter Mittel zur Reduction anderer integrale auf die knten Fundamental-Integrale wird dem mathematischen Scharf- j^erJtffnet. Ich glaube daher, dass man diesen einfachen Weg, fralrecbnung zu erweitern und zu vervollkommnen , zu früh Men hat, wenn auch allerdings manche Versuche, denselben
zu betreten, gemacht ivorden sind, stets klar bewus!<t gewesen ist, eigentlich suchte.
ohne (lass itiiin sich vielletc| iis man eigentlich viollte t
Insbesondere hat, ohne anderer Trüberer Versuche jetzt wm ter zu gedenken, Euler versucht, die B5gen der Ellipse, d Hyperhel und der Parabel in die Integralrechnung einzululhre dieselben in ganz ahnlicher Weise, wie man schon lange rot iU die Kreisbiigen gebraucht hatte und bekanntlich auch jetzt nof gebraucht, zur Uarstellung der Werthe gewisser Integrale zu M nutzen, und auf diese als neue Funilamentul-Intesrale geivonV nen Integrale sodann andere Integrale durch analytische Tran formatioaen und Substitutionen zurückzuführen. Die in vieI?DBeiif hungen merki^ürdige Abhaadliiug Euters, welche ich hierbei fl Sinne habe, findet sich in den Novls Commentariis Acadj iniae scientiarum Ininerialia Petropalitanae pro anno 17S4. Petroiioü. 17fiÖ. p&^. 1. und bat dea Tit^ De reductinne (nrmultvrum iutegraiium ad rectific nem ellipsis ac hyperboUe. Ich kann nicht unlerlas» . merkwürdigen Wnrte,_niit denen Eiiler diese Abhandlung einig tet, hier aniuliihren. Er sa^t nftmlich: „Egregia i
3uae acutissimi Geometrae Maclaurtn et U'Alemberlj uctSnne inrmularuni integralium ad rectificitionem Ellipst perbolae sunt commentali; cum in üs nun solum insigi' genii Sfiectetur, sed etiam haud eiieua spes affulgeat, ficBtionibns in calculo aeque commoae utendi, atque adfatn circulares et logarlthmos adhibere sumus solili. Nullur dubium, quin haec investigatiu a summis Genmetris tarn fe| euccessu suscepta latissime pateat , ntque uherrinios fructas r quando sit allalura; quamvis enim iam plurinium in hoc r Sit praestitum, minime tarnen totum argumentum quasi ex6auatff est censenihim. Nam poslquam lonce diversa methodo
Eerveni, ut tam in Ellipsi quam in Hj-perhola dirersos arcus'iri nire pntuerim, quarum differentiam geometrice ass^ignare tiot de quo quidem laudati viri dubitasse vldentur, hinc na» levlv'll ,^^.r. ;n t^n^t^Hnn- i,.,'.„g argument! expectari poterit. Imprirf
i desiderari videtiir, cuius t I expritni qneant.
1 tractatioi autem hjc idoneus signandt moilu« arcus elliptici aeque commode i
iogarilhmi et arcus circulares ad insigne Analyseos incrementtd per idonea signa in caiculum sunt introducti. Talia signa n quandam caicuti speciem suppeditabunt, cuius hie quasi priil elementa exponere cnnstitui."
Seinen Ziveck und den genen Weg noch weiter a dass man , eben so wie ma in die lntegralrechnun<c de stimmten constanten Werth, liches Verfaheeii auch bei i
schnitte befolgen müsse, labrt dann Enler fort; „^uemadt autem onines arcus circnlares ad circulum, cuius radius onill aaqualis dtatnitiir, reCerri solent, ita eCiani pro omnibus sect'Hf htw coiiicis, (juas in caiculum recipcre volumus. niensuram qfi dam fisam unitate exprimeiidani assumi conveniet, quae ad oid
zur Erreichung desselben i ideutcnd, Beieltet von der Adm 1 bei der Einlührung der Kreisb(L a Halbmesser des Kreises einen | nämlich die Einheit, beilege, t' Gebrauche der Bü^en der i
Rh*«»!
^ le pertineat. Perspiciiutn aurem est , hanp mensnram nsverso tribui non jmsse, cum is in parabola necessano liat ■■'■'irua, in byp«rbola autem iiegativmn valorem coneeqoatur ; ii> parum airs coningatus ad hoc institulum est accommoda- -. ifuippe qai in parabola quoque üt inÜnitus, et in byperbola ..:.<reni adeo imaginarium adipiscilur. KeKnquitiir igilur parame- Bt, cutj qnomiiius perpetuo vator fixiis trthui oneat, nihd plane betat, et quoniam pro circuln parameter abit in diametrum, huius-
- -■ ■■ ■ r in «<i
unitate exprimatDr."
Ich habe auc'j diese letzteren Worte Euler's hier angefahrt. 'tit sich im Verfolg dieser ALbaudlung zeigen wird, dass ^ deo in denselben auscesprocheneii Ansicbten über die An- ■knte einer bealimmten Gtüsse als Einheit wenigstens nicht un- edbigt beistimmen kann.
Es ist bekannt, dass Euler's so eben besprochene merkwfir-
.F' Abhatidinng die hauptsächlichste und nächste Veranlassung
r.carbellung der Theorie der ellitifisnhen Functiinen gegeben
lienn Legendre, der eizcntÜche Begründer derselben, sagt
-inem Traitä des fonctions eüipti q lies. Tome 1. Pa-
'^. 18 "2 3. 4. Avertissemenl p. VI. VII,: II ne sera pas inu-
il" pour rhistnire de la Science, de faire remarquer ici que cefte
i'uielle branche danalyse h laquelle l'Auteur a dnnnB le nom de
riii^orie des fonctions ellipliques, est fondee en grande
lii: stir les böses etnbbes dans le chan. V., conceniant la forme
'Ins simple de ces fonctions et Icur division en trois especes;
■ est resulle un Systeme de nomenclatiire et de notation , propre
(iresenter ces fonctions dans les usages ordinaires d'analyse,
. l'acilitec la recherche de leurs proprietös. Euler avait privU
> I aide d'une notation convenahie, le caicul des arcs d'ellipse
iitrea franscendanfes analo^ues, pourrnit devenir dun usage
!]iie aussi general qne celui des arcs de cetcle et des loga-
|"'i«(*); mais si on excepte Landen, qui, par la d^couverte
™n thi^orime, aurait pu s'ouvrir des routes nouvelles, per-
iii; ne s'est mts en devoir de realiser la prddiction d'Eider, et
r' "I ilire uue l'Aateur de ce Traite est reste seul h s'en occu-
-; [an 17S6 ou il a fait paraitre ses premi^res recher-
'^rcs d'ellipse, jusqu'a I epoque actnelle. Cetfe espece
i<;nt a retarde sans doute les progreij de la Theorie
- ellipliques; mais l'Auteur par des efforts renonvel-
ifjds mCervalles de temps. est parvenu enfin ä com-
■n: entierement cette theorie, et ä en rendre rappli-
par des tables fort «Jtemiues dont il a execute lui-
les calciils."
i Im (laroies d'Euler (Novi (
BmIi BUtoni hie idoneiia si Ir, üdIds »IIP arGii« (tlti|ili< Pf"'"' -
DiegrosscÄusbilduDg der Theorie der elliptisciien Functinnei welcher dieselbe, ohne im \VegentlicheD den ursprünglich van Le, Are inseiner ältesten Schrift überdiesenGegeristandiAIenioiri les tr anscendantes elliptiques, oü l'on donoe des tfaodes r»cile!s pour comparer et evaluer dantes, qui comprennentles arcs d'ellipse, et qui tecontrent frequeniment daus les appiicatio cul integ^ral. Lu ä la ci-decant Acadeiine <li:s en avril 1792. Par Adrien-Marie Le Gendre. A P L'an deuxieme de la R^puliliqae. i". vorgezeiclinelen zu verlassen, geführt Hordeu ist, niuss Jeden Analytiker mi STössten Bewunderung erfüllen; und es ist diese Theorie za~ das schünste und lehrreichste Beispiel der flrliirschuDg der einer wicht^en analytischen Grüssenforni nach allen mDgli Seiten und Richtungen hin. Mit besonderei Bezugnahme ai oben angefahrten Worte Euler's hat sich mir aber schon die Frage aufgedrängt, ob sich dem, wasEuler, trie esscl eigentlich im Sinne natte und beabsichtigte, namentlich tau Bezug auf den „idoneus signandi modus, cuius ope.
cus elliptici aeiiue commode in calculo
queant, ac iam iogarithmi et arcus circul
ntroducti. T
alo
.itabunt.
speciem suppe quasi prima elementa exponere consmui" vielleicht auf eiue Weise entsprechen liesse, die bei mOf, _ Einfachheit dem Verfahren ganz analog näre, vielches lUM Einführung der Kreisbogen in die Integralrechnung befolgt, dies niüdich, so würde man dadurch eine Reihe neuer Fo mental -lutegrale erhalten, auf die man andere Integrale i zuführen suchen müaste. Wie ich diese Frage zunächst fOr Ellipse zu bcanttrorten und möglichst zu erledigen gesucht I werde ich in dieser Abhandlung zeigen, indem ich mir vorbeh spSferhin auf die Hyperbel und die Parabel, ja auch noch andere Curven zuriickzubommen. Die Hyperbel ist freilich ei lieh schon unter der Ellipse enthalten; indess scheint es in vorliegenden Falle besser und angemessener zu sein, so wif Ellipse, auch der Hyperbel eine besondere Betrachtung za men. Ich werde lür jetzt aber nur hauptsächlich die FundA tal-Integrale entwickeln, welche sich mir bei dieser Untersu« ergei)en hüben, und erst späterhin, wenn ich wenigstens die Hj'perhel und die Parabel in ähnlicher Weise wie die Ei untersucht haben werde, die fernere Untersuchung der Inte unternehmen, welche auf jene Fundamental-Integrale sich i führen lassen. Dann wird sich auch erst entscheiden lassen wie fern der Titel, welchen ich, ohne übrigens dadurch in ringsten ein gewisses Aufsehen erregen zu wollen dieAbsicl haben, dieser Abhandlung gegeben habe, gerechtfertigt ersd d. b. in wie fern die in derselben entwickelten Integrale wi( als Erweiterungen der Integralrechnung, deren dieselbe f ' noch sehr bedürftig ist, zu betrachten sind. Daher bitte ich schon Jetzt um eine nachsichtige Aufnahme und Beurtheiluna vorliegenden Abhandlung, bis erst weiter fortgesetzte Untersuc gen einen sicheren Maassstab für die Beurtheilung des Wer derselben abgeben werden.
245
Erste AbtheiluDg'
§1.
Wir wollen uns zwei beliebige coiijuG;irte Halboiesser eioer mipse denken 9 die wir als positiv betrachten und mit Rücksiebt Verenf durch a», bn bezeichnen; die Durchschnittspunkte dieser flonjueirten Halbmesser mit der Ellipse seien respective An, ßni mA der tod denselben ein geschlossene , 180^ nicht übersteigende Winkel werde durch on bezeichnet. Sind nun^ wenn wir an, bn dl die positiven Tbeile zweier Coordinatenaxen betrachten, in iesem seinen Anfang im Mittelpunkte O der Ellipse haben- icD Coordinatensysteme Xn, yn die Coordinaten eines beliebigen hnktes der Ellipse; so haben wir nach der Theorie dieses Ke- jdschnitts bekanntlich die Gleichung
I)
(S)"+(Ö'='
[^ Denken wir uns nun aber einen Bogen der Ellipse , welcher, bei
Pankte An als gemeinschaftlichen Anfangspunkt aller Ellipsen*
anfangend 9 bei dem durch die Coordinaten Xn, yn bestimm-
Pankte (xuyn) der Ellipse sich endigt, indem wir diesen ßo-
immer als positiv oder als negativ betrachten, ]enachdem er
Au an durch den 180^ nicht übersteigenden Winkel AnOBn
:h nach J?« bin, oder von An an durch den 180^ liberstei-
Winkel AnOBn hindurch von Bn abwärts genommen wor-
ist, und bezeichnen mit Rücksicht hierauf diesen Bogen durch
ii 10 können wir offenbar die Grossen -- , ^ lederzeit als
an On **
a
tionen dieses Bogens oon betrachten, and wollen dieselben
e a e a
unter dieser Voraussetzung respective durch ^nfon, Sn(On meu^ also
2)
ar« « « yn « «
■-- = xDnOin 9 mT^^ *^n (On an On
Uer Buchstabe e ist in diese Symbole deshalb aufge-
SD worden, um anzudeuten, dass dieselben der Ellipse an-
m; dies konnte überflüssig scheinen, wird sich aber als noth-
lig erweisen, wenn es späterhin darauf ankommen wird, die
>, Hyperbel und Parabel von einander zu unterscheiden.
ISymbolen haben wir nun nach 1) die Gleichung:
3)
(0»Wn)* + (SnW«)2= 1 .
24«
Nehmen wir den Punkt Bn als Anrangspnnkt aller Ellipsen an» und bezeichnen einen bei Bn anfangenden, bei dem die Coordinaten Xn, yn bestimmten Punkte (jtnyn) der Ellips endigenden Ellipsenliogen , Indem wir denselben als positi^ als negativ betrachten, jenachdem er von dem Punkte durch den 180^ nicht übersteigenden Winkel BnOAn hii nach Ah hin , oder von Bn an durch den J80^ übersteis Winkel BnOAn hindurch von An abwärts genommen word
durch CO«; so ist In ganz ähnlicher Bezeichnung wie offenbar
4) — = ISnC»n, r-=SnWn;
also nach 2):
ea e b e a € b
5) @iiO>ii = SnODii » SnOn = @ii(Om ;
folglich nach 3):
6) (e«Q)n)« + (S„a)„)2=:l.
Ich will nun besonders die Gleichung 3) ins Auge fassec ' zuvörderst die Differentialquotienten der als Functionen v<
e a e a a
betrachteten Grossen &nODnf SnCDn In Bezug auf con als una gige veränderliche Grösse entwickeln.
S- 2.
Weil nach dem vorhergehenden Paragraphen
(e««n)2 + (S„W„)2=l
ist, so ist
e a e a e a e a
©nWn.SßnCö/t -|- SnCöw.ÖS|iCi)n=:0.
Nach den Lehren der höheren Geometrie ist aber offenbar i liger Allgemeinheit:
a
d(x>n^= dxf? + dyt? + 2cosan8a:ii8yM ; und weil nun nach dem Obigen
247
e a
e a
arn=^€hi&nOiny yn==bmSnG)n ;
•Im
e a
e a
dXu=: OjiddnCOft 9 S^n >= lPnSn(On
W; 80 ist
e a
e a
e a e a
dah?=zanHß^n(On)^ + bn^(dSnCS>n)^+ 2a„6„COSa«8ÄnWi,8S«a)i,
Nidi dem Vorhergehenden ist ferner
e a SnOJn
ibo, wie man nach gehöriger Substitution leicht findet:
(861.«^)*=
e a a
(S«Wn)*8c»fi*
e a
e a
e a e a
OnHSn Wi,)'»+6„«(0„Q)„)2— 2an6«cosa„ ©„©n S«(0«
-llolglich ist offenbar mit Beziehung der oberen und unteren Zei- anf einander:
0 c
e a a SnOOndoOfi
f
an^Sn ^)«+6»2(en©n)2— 2fln6nCOSa„0„^ SnW„
e a a ®na)n8a>n
\ On^iSn^
e a e a e a
W«)*+Än^(©»C»n)*-^2a»6«COSa«©nW» Sn Wn
[wo sich nun fragt, wie in diesen Formein die Zeichen zu nehmen iiiid. Mittelst einer sehr einfachen Betrachtung erhellet aber, iiu8 immer
e a « « j SSnOOn
©noo» und
d(On
Vorzeichen haben, woraus sich ergiebt, dass man in den Formeln die unteren Zeichen nehmen , und daher
218
€ a a
^y'e.a e a e a e
M '
aii^(Sti(il>n}^-|-6ii*(&n(Dii)*— 2aa6«C08«tn@aWnSa(«t
7)'
e a a
,a5 " ©i»cö«3c»«
OOiiCOii =
Y on« (S»w«)«+ 6„2<e«2h.)«— 2a«6«cosa«©«w«S»c^
setzen moss.
Weil bekanntlich
(©nW„)« + (S«w«)a=l
ist 9 so ist
a««(S«««)« + bffl (©« w«)« = c„2 -'(a„«-Ä«2)(0„^)«
= 6n* + (cin«-6««)(S„«„)«',
akoy wenn wir
8)
^^=V^rr^2, ?!?=>v^i+i-
2
setzen :
oder
Folglich ist nach dem Obigen auch:
«1
249
e a a
•Y 1— «««(eiiWfi)*— 2co8«»V^l-ep* . e«cä9«S«c»«
€ a l8S|iO«=:
e a a
*«V l+««*(S«»i.)«-2casa,\^l + €„«. e«w«Sn©«
oder:
ic6iiC9ii
e a a SnCOndcO«
6,y i+««*(s«cJL)«— 2cos«« v^i + Bf? .e»«» s*«©L
e a
e a a &ii(Ondoi>ii
■V.-
e a
e a e a
««V 1— e««(e«a)«)*— 2cosa„V^l— 6«2.©«Q)«S«co„
tder:
e «
e a a SnCOnScOn
V
e a
e a e a
*«* + aJ^ei? (Snfl»«)*— 2a«6«COS€fn0ii C0nS«(0n
es a
f
€ m e a e a *
250
/ I e o a
3ei|Cön =
Ve a e a e a
12) "
e a a
J. 3.
Wir wollen dud
e a e a
13) Tna:«=-;^-^> 'inWn=
©nOte SnOn
setzen 9 wo also
e a e a 14) TnG)n.1nGhi=l
ist. Dann ist nach den Regein der Differentialrechnung:
e a e a
« « SSnCOn ^ «S^TiöOn c a vOtiCöii ^ OnCOn —
d TnOn öcön dcOn
a ^~-^ 9
^^n (0„a)„)2
oder
e a € a e a e a
STnOn __ 1 SSnCOn «Sw COn S^nCOn
a e a * a e a ' ä *
8(071 QnCOn dcOn (@7i(0n) 8o)„
Also ist nach dem vorhergehenden Paragraphen
251
e m
8». Y flm*(Sm^)«+6«2(0jIö„)2-.2a«*«co8a«d.^^
(
e «
e«CD,' y a,«(S«w«)''+A»«(enO)«)«-2o«6»coso„e»o»»S,o)«
e a
):
e a
e a
e a B a
d. u, weil
e m B a
(©»««)« +(S„«n)«=1
ist:
15)
e a
ar«©«
doOn
e o (©HO«)*
Y
ea B a b a b a
afi^S«Wn)*+6n*(0„(Oi,)*— 2a«6nCOSa„®«»« Sn COn
oder
16)
B a
a
Scoft
(e.t»»)« Y a««(S„^)«+6ii«(©„»„)«— 2an6
B a B a fiCOSOfiGnOOfi Sn (On
«der auch
17)
e a dTnO»
a 3<0n
(©•»I.)* a«Y l-««*(©nw«)2— 2cosa„V 1~€„« . e,»^ S«^
a 8wn
(©••hl)« *.Y 1+^1.^(8« ^)«-2c08a„\^l + £„* . enWn i.
o (On
252
Weil nach dem Obigen
e a e a e a ^ a
ist, 80 ist
— o = — (T«C»n)-2. ^—
dfOn ddün
oder
sin«« (dnm)^ efnWn. li ^^ 1 — Z — • ZL 9
e a
StOu (Snön)* BoOn
also
e a
lö) J—
ScOii
]
(8n C»«)2 Y rt„«(SftW«)« + 6n2(en^)*-2a„6„COSan®«Wn S„^
oder
19) |
e a |
I |
a doDn |
(SnOn)« y fl„*(S„w„)H6n^(®nW«)*-2a«6„cosa„epWnS„a^ |
|
oder auch |
e a 20) oXnCOn
a 1 San
(S„a)„)2 a„y 1— Cß2(0„a)„)2— 2cosw«\^l— c„2".®n(»n-S„«„
a 1 dcon
(SnCDn)^ 6„Y l + fn2(S^nW„)2— 2c0S«„Vl + fn2.e««nSl
a COn
253
§.4. Setzt man
«a e a ea ea
1) Svna>fi = l — &nOin, ©r«C30ii = l — SafDn ;
0 ist
e a e a e a e a '
2) 9Siriia>fi=--d3ficon, 8®v«c»n=— SSn»«;
od diese Differentiale können daher aus §. 2. unmittelbar ent- ommen werden.
Setzt man
e a 1 e a }
23) Sc«C30ii=:-7-r-, QCnmn =
&fi <0n SfiCOn
[> ist
ea ea ea ea
ScaCOii=(©«a)fi)-^, ©c««n=(S«a)«)-^; ^
bo
oSCaQ})» = ^-^ > d@Cnßhi= JT'a >
(©«««)« (S«ca„)«
ibo nach §. 2.
254
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I-
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CO. a
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2115
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19
Ol A
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8 •
a
8
CA«
a
8 «
a
o
«V»
0^
a
* i
CO« a
8 e
a
8 e
a
§. 5.
^zeichnen wir die beiden Halbaxen der Ellipse durch Oq, e& TOD denselben eingeschlossenen Winkel also durch Oq; o^=:90o, cosaQzzzO, und die im Vorhergehenden entwickel- Ärmeln vereinfachen sich daher in diesem Falle sehr.
256
Es ist:
27)
e a a « « ®oCOo8fl)o
V« a e a
ao»(S,
9So(no=
'(Soob)' + V(eo»o)'
e m m
3'Öo®o=""
y ao*(So<"-^*-^*'*''^-'^^'
►coo)HV(©o«by
8To«ö=
(©0^)* V"o*(SoC^o)* + V(eo^)*
« « 1 8(^0
8to«6=
e a . /
(So»o)* Y
flo'(So«>b)* + V(eo«»o)»
e a «
8SVo CQo =
V«o«(So«o)* + V(®o^)*
e a a
8ÄVo(öo=—
Ve a e a
«ü^(SoWc
.Wo)* + V(®o«o)*
e a
** « ToWo 8q)o
e a e a
-0^0
*(SoWo)* + V(©o«o)^
e a a ^ « _ ?oWo 8ooo .
~ 9
80co(af,=— TU - r j
e a
oder
28).
e a a
0^0(00= ' r- Ja*
« • • ■ . '■■ ..
«4 • . SoWoSob
« • 1 ^^_„ 8«i)
3T6«io=
y ■■ - • ■■ ■■ - -j
ai,4=--T^ ^"^ •■
(»o»o)* OoV t - c„«(eo«o)»
! ■ • !
e a «
dßvQOJiQ'^i
' ffoV^'-'^o*(®o«ü)^
e a • ■ • «
©0% fl„Y l-Co^CSoWo)*
■ I ■ .;.
f .
• »
■ •■ . I ■ : . . . .. ; ■ k •. 1
■' > 1 0 A CS
29)
e Ä a
* " ©o«o3<Oo
>^
*oV l + eo«(So^)»
« xvni. 13
288
e m
BiX^ _^^8^
V l + »o'
*(So^)»
'~~T — • • —. 9
e a a
ÖSVo»o =
bo^ 1 + h* (ßo^T^
e a a
SCvo^^o^""
dSc0Ci}o= ^ ^ • r- =-•>
e a r
e a
1 +eo»(S.a.o)«
e o . a
S®CoWo=
owq — — e
^0 bo\
e a
SoO>0 bo\ 1 +£o*(Soaio)*
Für den Kreis ist ao = 6o9 also «o=^o=0, wodurch sich obigen Formeln noch mehr vereinfachen^ und auf die bekanc goniometrischen Differentiale zurückkommen.
$. 6.
Einen bei dem Punkte An anfangenden Bogen der Elli[ dessen im Vorhergehenden durch das Symbol Sn bezeichn
259
Fonctioii die GrOase x ist» d. Ii. den Werth x hat» wollen wir jeiit dorch
ArCfiSii(=ar)
keieichnen» so dass also
e a e
Sa { ArcmSii (s^)) 3=ar »
•ier» wenn wir
a a e
aHi=ATCii8ji(=ar)
wtieD»
e a
Sfia>«=a?
kt: woraus nun auch von selbst die Bedeutung ähnlicher Symbole ■ Bezug auf die' übrigen oben eingeführten Functionen der ellip- fecben Bogen erhellen wird» was hier nicht weiter erläutert a« werden braucht.
$. 7.
Setzen wir daher
a e
os=ArciJSs(=«)»
ist
6 a X=rSfilDfi,
i ad folglich nach 7):
101 •
9« Olli
Äi y <!•«(& ».)*+6«*(6.w«)*— 2a«6«cosan@«ah. S««» k ist aber nach den Lehren der Differentialrechnung
a a 8<0n 3(0n _8£ -
"T* — 8^''"«"' — *»
don dfi>a
IS*
26a
Scon - 8^ CCOn
•'.. . '.
und folglich nach dem Vorhergehenden:
a e
dx
= ^4-V
e a e a e a e a
an*(SnC0n)*+6n*(^nfl>fi)*— 2an6nCOSa«®n»n SnWn ©nWn
• • r
Weil aber bekanntlich
(©«».)*+ (S,»,)a=s.;,
e a e a
ist, so: ist ■■!..■ •■■ . •
I
WO das obere oder untere Zeichen zu nehmen ist» jenachdem
e a B e e
0„a)n= ®n { ArCnSn ( = a: ) }
positiv oder negaüv ist. Also ist, immer mit derselben Best mung wegen des Vorzeichens :
a e
30) 8Arc„S„(=a:)
oder
a e
30*) 8Arc„S„(=.r)
. 6„V 1 + En^a:^ T 2cosa„ V 1+7^ . xS^C^^^^^ ^
-± vr^^ ^"
Folglich ist auch umgekehrt:
e a
MS
I=(®.0.,)*+
SO ist
I = (e««.)» 1 1 + (f„S,)« 1 =(i + a;») (©„»„)«
ist ' -^ ■ ' ':' ■ ■
e a e a e a e a
f •
e a a:
Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf einander ; folg" allgemein:
. I • . t
daher
e a e a ■ ■. ..eaea.
a»*(Si«(ö«)*+6n*(©nO>i«)*— 2an6nCOSa«0n(ö*iSn(Oit
6n^ — 2anbnXC0SCCn + gw*i?^
loist nach dem Obigen:
38)
oAtg« T« (=a;) = r^ ■ ■' ..—ll:^ — ■ ox,
H folglich umgekehrt:
^■' .. 3Ö)
292
und folglich oach 7):
6 a Bx Sn(On
a
e a e a e a b a
8«« Y «n2(Siia)n)*+6««(ef»Wi.)«-2a«6»cosa,e»©«S«w«
Nun ist aber nach den Lehren der Differentialrechnung:
a a 8(ön 8»ii 8^ I
aUo
8wn I Bx
0(011 und folglich nach dem Vorhergehenden:
8Arcnen(=>r) da;
Weil aber bekanntlich
(0««n)^ + (S„«„)« = l
ist^ SO ist
e a e a e a
WO das obere oder untere Zeichen zu nehmen ist, jenachdem
e a e e e
SnWrt = Sn{Arc„@n( = ^))
positiv oder negativ ist. Also ist^ immer mit derselben Bec mung wegen des Vorzeichens:
34)
ses
dA.Tei^(=x)
V^l-a:*
Sd;
der
34*)
dArc« ®« (=a:)
_ _ g«V 1 -.e««r« T 2 cos«. Vi — e,* . » Vi — «» Folglich ist auch umgekehrt;
35)
Arc«Ön(=a:)
/V «»* — (flii*-6,«)a;«T2«i.6aCOscM.ar V 1 — a:\
ritr;
35*)
Arcn®»(=a:)
— e««a:« T cos«» Vi ~ c«« . jr Vi - afi
STl-a:^
dar.
Seizt man x:=eoaq>9 und nimmt , was offenbar immer rer- st i8t5 q> 80, dass siog) positiv ist» so ist
8j?=s — 8iD9d9>, VI — a:*=sin9 ;
36)
idii(=cos9)=±/89Van^sin9>'=F'iafi6iiCOsansin9Cos9-f6n^cos^^
Setit man ^r^sing), und nimmt , was offenbar immer Terstat- bt» ^ Bo, dass C0S9 positiv ist, so ist
da = cosijpdg) , Vi —x^ = coscjp ;
SM
also
37)
§.9
Wir woUeu nun |
■ |
||
1 |
i • |
* a a e |
|
setzen 9 so ist |
: ■■ '■ ■ • :■::. .;>. |
1 ' ' |
|
e a |
|||
und folglich ^lach |
15): |
' ^ ♦•,..'■ |
c. |
8a; 1 |
• - |
- .1 |
Scou (enwn)* Y a„«(S„w„)H6n*(@nW„)^-2a«6„cosanenü)J Nun ist aber nach den Lehren der Differentialrechnung:
a a 8 CO» dcOn ^X -
""ö" — ^x * "^
Swn 8a)n
also.
=: 1 :
dx « '
dOn
und folglich nach dem Vorhergehenden:
o e
8ArcnTw(=:::r) So:
= (enw»)^y an*(S„'ö„)2+6„2(0„^)2_9a„6„COSaneHW;,S„©^^
Weil aber
MS
l=(e«0),)>+(S,a)„)*=(®„a)„)« J1+(_t4-J ]'
* ®«0)|l
so ist"" ■ ; . .
.1 « '. . ■
1 ist
e a e a e a e a
Snfßn *== &iilOiiTnl»« = xQnCDn,
\ '
Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf einander ; folg I aUgeraein:
I daher
e a e a ■ . , e a € a .
a»*(S«a)»)*+6«*(©«(ön)*— 2an6nCOSa«0n(öiiSnö)it
10 ist nach dem Obigen:
38) ■ ■ • "=' '•■
id fblgiich umgekehrt:
^i: ■ .; . ■ . •■
l .. 39)
! .£i / . _ /* V^6w^2a«6wj:co8jgw4-an^J?? a AtciiTic(:=^ «1=/ ^ > ~ ' c;ir .
206
Durch CoDirtriictioD kann man das . Integral
STSn^—^anbnJtCOSan-^'an^X^
f-
(l+a;2)VHa;«
dx
auf folgende Art finden , wobei wir annehmen wollen, dass x po- sitiv sei.
Mit den eonjugirten Halbmessern an^= OAn» bii=iOB% (TaCIll Fig. 1.) und dem Coordinatenwinkel ctn^-AnOBn beschreibe nun nach einer aus der Lehre von den Kegelschnitten allgemein be* kannten Aufgähe, fiir die man schoii mehrere elegante Aufliisiifi- gen hat, eine Ellipse. Soll dann der elliptische Bogen Aifi einen Werth des obigen Integrals darstellen , so muss» wenn wir BC mit OBn parallel ziehen,
BC OC^_OAj^ BC
^-^ OBn ' OAn~ OBn' OC*
also
OAn . BC_ ^^
I
sein; d. h. es muss
OCi OAn=BC:x.OBu
sein. Ziehen wir nun durch An eine Berührende der Ellipse, welche bekanntlich mit Oßn parallel ist. und die Linie Oft welche, über B hinaus verlänfi;ert, die durch An gezogene Be- rührende der Ellipse in D schneidet; so ist
OCiOAn-BCiAnD,
also nach dem Obigen
AnD = x. OBn = 6«ar.
Dies führt unmittelbar zu der folgenden Construction :
Durch den Punkten ziehe man eine Berührende der beschrie- benen Ellipse, welche mit OBn parallel ist, schneide anf dieser Berührenden von dem Punkte An aus ein Stück
AnD=x,OBn
ab, und ziehe durch den Mittelpunkt Oder Ellipse und den Punkt D die gerade Linie OD, welche die Ellipse in dem Punkte B schneidet; so ist der elliptische Bogen AnB, und» wie leicht er- hellet, überhaupt jeder bei An anfangende und bei B sich eodi- gende Bogen der beschriebenen Ellipse ein Werth des Integrals
Wf
f-
V^bifl^^^iJkit.reo9«h -f «n'Ä* - ■ '
(l + ir*)Vl+ar«
dx.
Diese Constraction weiter zu verfolgen » ist jetzt nicht meine Absicht, und auch hier nicht nothig, da Jeder sogleich selbst be- fireifen wird, worauf e«^* bei derselben und l>ei andeiei ähnlichen Constructionen ankommt.
Setzt man a=tang9), und nimmt» was offenbar immer ver- «tattet ist, 9 so, dass C0S9 positiv ist, so ist
l+a:*=secg)*, VTf^=:secg), (l+a:*)V 1+a;* =secg)'; femer
^bf? — 2on6iiarcosofii+öii^j:*
= sec^ V'ofi^sing)^ — 2an6«cosansin9)Cos9) + An^os^^ und
dx = 2 = secgj^y .
CV9Ur
Also ist
ff •
40)
AresTff(=tang9) = / 89 V"a«*sin9)*— 2iin6iiCOSoiisin^cosg)+6«*cos9*.
Setzen wir
ünX — AnCOSOffi
und nehmen wieder, was offenbar verstattet ist, q> so, dass cosg) positiv ist, so ist
bn, , .^ X x *» cos (Cfn— y)
x^ - (cos«« + smorn tang9) = ^^^^— ,
1 . « ffn^COSy^ -I- 6n^C0S(«n — 9?)'
^ +^ = a„^089>* '
(i + ar»;t - -- on'cosys
Femer ist
also
und
öa? = ^-— : — • n »
an cosg}^
also
« Ar-r-A—ri — i : 5— 0 Afi^sinan* ÖCP
O^V bf?-'2anbnXC0BCLn-\-a»^X^=: ITTZTs '
an COS9}'
da;
Folglich ist
(l+a;2)\^l+^
also nach dem Obigen
41) ArcfJ = *" -«(«'• -'^)
an COS9}
8(p
= "-'''"^^^''""'^ fw,Hos9^V>
bn^cos(an—q))^\i
Für ^0=90^ sind, wie schon froher, Oq, Öq die beiden Hai axen der Ellipse; also unter dieser Voraussetzung:
42) oder
43) Are. i(= ^ tang,p) = aM.^f.-^-^-ß^^-^
m
— a 2A 9/_ £?
~ " "J 1 6«'-' + (a„«- 6„»)cos9)*h" _*1 /* 8y
6 . J (1 + ««
*cos9)*)i
2U •
r. ;
Es ist schon oben erinnert worden , dass es in dieser Abhand« hig nicht, meine Absicht ist, mich sehr viel mit Transformationen ier gefundenen Fundamental - Integrale zu beschäftigen ; deshalb bkt man für jetzt 4^ vorstehenden Transformationen nur als bei- kofige Bemerkungen zu betrachten.
§. 10.
Wir setzen nun /ferner
(Oa = Are A^tn ( = Or) •
liist
e a
l< folglieh nach 18) :
dx:
■' .. I
a 8(0«
■' <■' ■ ''
(S«»»)« y tf„2(8nWn)* + 6a*(®n(ön).*~2an6„COSa„0a«„SnJlh.
';..■■■>'.■. i ' , •■ . . --
ist aber nach den Lehren der Differentialrechnung
a a
8(0« Sön Sa: -
ScOii dcOn
S70
a
da« , 8.r
- ^»M I • -
und folglich nach dem Vorhergehenden:
a e 8ArCn^n(==ar)
da;
= — (S„S)n)*V a«*(S«^)*+6*«(e««n)^--2an6«cosa„6«On S„ JL
Weit aber
1 == (0,».)«+(S«».O*=(S.««)« J1+(t^"J j .
also
ist, so ist
l = (Snk)«{l + (L^)«) = (l + a:«)(Sn(^)«
(Snlnd^^Y+J^. S„^=±yX+P*
Nun ist
e a e a e a e a
also
®»»»=±V7T^'
mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf einan« folglich allgemein
e a e a
X
und daher
e a e a e a e a
fln^CSn ö)«)^+6n^(®nWn)^— 2an6nCOSan ©nCön S«a>„
__ an^j--2an6n*rcosan+6n^^*
271
AIm ist nach dem Obigen:
44}
oArciiXii(=^)=: r öa:.
nd folgfieb umgekehrt :
Are«X«(=ar)
=-/-
45) (1 + x^)S\ +0:«
da:.
Setzt man drsaeetg), und nimmt» was offenbar immer ?erstat- fkt ist» 9 so, data ain9> positiv ist, so ist
|I-|-d^=co8ec9^, Vl+j:*=co8ec9, (l+a:*)Vl+Ä=eosec9';
■
ffBroer
=r coaec^V^ai^in^'— SanfrüCosttitsin^cos^ -|- 6«^ cos9^
8ar = —
8
8y ing)^'
ist
46)
i%i(=dr} = / 89 V^aa^sing)^ — 2aii6iiCosaii8in9COS9> + ^^099^ •
wir
6iia?— gnCOscTn
ffaSlDan
=cot9.
nehmen wieder, was offenbar verstattet ist, 9 so, dass sing) iat> so iat
fl« , , . , V c« sin («„ + g))
' «= T- (cOSOfn + SIDtffi cotg)) = T- lü,— — ^ »
On Oft singj
, bjhintp* + a«^8in(i»i. -f y)* • ,, . -,. |6,«8iny«+a.»8iii(tt« + y)«!'
Ferner ist
, ., .
»In* — 2aji6fiJ:cosart + 6n*a:* = (bno: — CnCos««)* +anVnian''
:. . ■ ! . ' . ■
also
^
. f ! . ! j • '. . . : I . . .
und
8j? = i . — H 9
__ rrnSincxn 09
An ' 8109?*
also
I ■ .■.
SxSf On^-'^anbnaco^ccn -f- bn^a:^= ^ — 7- • ^^3 '
Folslich ist
'o
X^ttn^ — 2anön:rcosan + bn'^X^ r,
2/ 2 • 2 _ -^
also nach dem Obigen
47) Arc„Lh«-».?^^^^?^)j
^ ( 6n Sing) I
2A 2 • 2 /^ 5y
Für «0=90^ sind, wie schon früher, Qq, b^ die beiden F axen der Ellipse; also unter dieser Voraussetzung:
ArcoXo l = ^ cotg>) =
273
48)
Sy
oder
49)
Are. "5o^^= ^ cot,»^ = ao^6^y [a,^-(a„i-b,^)ainv*]l
dtp
^/ (1 — Co*sing)*)i
6^
«0
Bq>
fo*cosg)«)i '
Setzen wir
ist
ibo nach 24) :
k
e a
6 a
^
§.11.
a a e
a)n = ArciiSc«( = x)
e a X=SCn(0n9
e a e a e a e a
afi*(Sna)«)*+6n^@naJn)*— 2an6nC08an©nC3DnSnfi)ii
bt aber nach den Lehren der Differentialrechnung:
a a S<On ScOii Bx -
• "~ Sät * « "" *
dcOn doOn
itai XVIll.
19
274
OCDn
und folglich nach dem Vorhergehenden:
a e
8ArcitScii(=£) dx
9 m
P5_(n_4 / e a e a e a e a
= tVV fl«*(Sn«)„)«+6„2(©„con)*— 2a„6«cosa„e«a)«S„G)„
Tmco» Weil aber
e a I e a \
Scncpn = a:r=-^-j- ist, so ist ®na)n= —
QnCDit
und folglich
e o e a 'i;^ 1
(S„i»«)«= 1 - (3,0),)«= — Tä-
Also ist
e a
folglich
e a
vro mau das obere oder untere Zeichen nehmen muss, jenach«
e a e e e
TnCi>« = Tn( ArC„SCn( = ^) (
positiv oder negativ ist. Immer mit dieser Bestimmung we des Vorzeichens ist also
e a
= +
und
275
e a e a e a ^ rjfl \
S«Q>n= ®«C0RT«(O|i=db Z *
X
also
an*(Safi>«)*+6«*(©„cöfi)*— 2a«6«cosa«©n(öfiSnO}«
Polglicb ist nach dem Obigen:
50) aArc„Sc5„(=ar)
ud umgekehrt:
a e
^±/arV^är
öl) ArcnScn( = x)
V'br? + üf? {x^-l) T2an6neosgnV^^^^ p^
'Welche Formel wir jetzt der Kürze wegen nicht weiter umgestal- ten wollen.
§. 12.
Wir wollen nun ferner
Mtzen^ 80 ist
a a e (On = ArCjiGCfi (= x)
e a X = QcnfOn ,
;vid folglich nach 24):
r
19*
276
« a
doh, S„ ©„ Y a„«(SnW«)H»ii*(©««i«)*-2a«6„cosa,ei.^i
Nun ist aber nach den Lehren der Differentialrechnung:
a m
don dcofi dx .
a g^ * a
also
a
dcDn « da: -7;— =1:
CO}»
und folglich nach dem Vorhergehenden:
a e
8ArcnCcn(=>r)
3a:
e a
8
Weil aber
^«W« ▲ / e m e a e a e a
TIT" Y ffn*(Snfi)n)* + 6ii*(®na)n)*-2an6nCOSa»0„a)„ S„C3
®CM(ön=a: =— 7-5 ist, so ist SnWn =-:
und folglich
e a e a ^2 \
®„G)„=:1 — (SnCOn)^ = — -2— '
X'
Also ist
e a
•SnWn
folglich
c c
wo man das obere oder untere Zeichen nehmen muss, jenachi
277
%n€Dn= Xn \ ArC«0C« ( = O? ) j
mUit oder negaliv ist Immer mit dieser Bestimmung wegen «8 Vorseichens ist also
0 a
= ±
e a e • e a V"^^ ^~ i
iko
OnHSn a>«)*+6«*(0na)n)*— 2a«6nCOSan ©nWn S„Wn
an*+6n?(?^l)T2a„6„co8a„V^a^
^;2 ^ .1.. •
X
Felglidi ist nach dem Obigen:
62)
a e
3Arc«©Cn(=a:)
Hmgekebrt:
53)
a e
Arcn0en(=ar)
=.:ffl_JL_\raifl+bnH^^-l) T 2an&i»costf« V ar« - 1 g^
$. 13.
Sei jetzt
« a « fiOn = ArCnS Vn(= J?) ^
278
also
SO ist nach 22) und 7):
« a OX SnGhi
8«« Y ««^ (^« o)n)2+ ön«(0na)«)2— 2a„6„cosa„@„a>n sjan
Nun ist aber
a a doOn SoOn Sx -
ScOn 9cOn
also
a
OOÜn
und folglich nach dem Vorhergehenden:
a e
SArCn Svn(=a:)
So:
^V
ea ea e a e a
~r~i 'V an^(SnO)n)^+bn%^nO)n)^—2anbnCOSan^n(On S/i CO,
SnCOn
Weil aber
« a e a e a
SvnCOn=^=l — ©nCOn, also @n(ön=l — ^
ist; so ist
(Snw„)2= 1 - (0„wn)2= 1 - (l^a^)^= a:(2-.r) ,
und folglich
e a
wo das obere oder untere Zeichen genommen werden muss, nachdem
270
e a • a e
positi? oder negativ ist. Ferner Ist
ea ea e a e a
«ii*(SnCOfi)^+ 6fi*(S>nü)ii)* — 2anÖnC0San®nCi)nSna)n
folglich
54) 8Arc„Sv„(=;r)
\faf?x{t^x) +6«*(1 -x)^ T 2an«6neosa„.(l - j:) V^a: ( 2 - x) .4.1 ^.^^^^_,,,^ g^
ler umgekehrt:
a e
55) ArciiSvn(=a:)
/^y^a„*a:(2-a:)+6„2(l— a:)«T2ci„6„cosan.(l-:r
-:r)V"a(2-a:)
8j:.
§. 14.
Sei endlich
• a e
COn = Arcn© Vn ( = a:) ^
•0
e a
B ist nach 22) und 7) :
8x ®nCOn
■^i« ^ Ml^ ^ ,
'•• Y a««(S«CO«)2+6n*(@nWn)*-2a„6aCOSan0«(öiiSnWn
kn ist aber
280
a a
also
a dcOn t Sx
0(0n
folglich nach dem Vorhergehenden:
a e SArc«©Vn(=£)
dx
— __ 4 r e a e a e a e a
"" *;." V On*(Sii(ön)* + 6»*(«3«a)rt)*— 2a«6«COSa„©nO»SnG)n
Weil aber
e a e a e a
®V||CO«=a:=l — SnfiOii» also SnC)n = l — a:
ist; 60 ist
(0n w«)2 = 1 - (S„«„)2= 1 - (1 - a:)2 = o: (2-0:) , und folglich
e a
0nG)n = ±Vo:(2— .r),
WO das obere oder untere Zeichen genommen werden muss^ nachdem
e a e a e
©„Q)„=z: 0„{ Arc„ev„( = o:) i
positiv oder negativ ist. Ferner ist
e a e a e a e a
ün^SnCün)^ + ^«^(SnWri)^— 2«n^/»COS0f/i@nCö«SnCan
folglich
281
66) dArG«®v.(=:r)
tder umgekehrt:
f 57) Arc«0v„( = a:)
_ ry/ 6i.%(2— a:) + a«2(l— a:)2 + 2an6„cosa« . (1— a?)Vi(2^
Zweite Abtheiluiig.
$. 15.
•
Es ist schon im Ohigen bemerkt worden , dass weitere Ent- rickelungen , Anwendungen und Umformungen der in der vorherge- lenden Abtheilung gewonnenen Formeln jetzt nicht zu meinem Zwecke gehören. Dagegen würde aber das Vorhergehende sehr unvoli- ständig sein , wenn es nicht mügiich wäre , für die im Obigen ein- eeführten Functionen der elliptischen Bogen eine ähnliche Theo- rie zu entwickeln 9 wie dieselbe die Mathematik schon seit langer ^it för die sogenannten goniumetrischen Functionen der Kreis- bogen besitzt. Freilich stehen der E^twickelung einer solchen Theorie für die aus dem Obigen bekannten Functionen der ellip- tischen Bogen mancherlei Hindernisse im Wege; indess halte ich dieselbe nicht för unmöglich , und will versuchen, in dieser zwei- ten Abtheilung der Torliesenden Abhandlung die Grundlagen zu fBtwickein, auf denen nach meiner Ansicht aiese Theorie aufge- führt werden muss. So weit auch das Feld neuer mathematischer Untersuchungen mir zu sein scheint, welches durch die im Fol- genden entwickelten Fundamentalsätze, wobei ich mich absicht- fich ganz elementarer Methoden bedient habe , eröffnet wird , so werde ich mich doch, meiner Absicht in dieser ganzen Abhand- hing gemäss, für jetzt eben nur auf jene Fundamentalsätze be- schränken, indem ich die weitere Entwickelung der. Theorie, wel- cher dieselben zur Grundlage dienen sollen, späteren Abhandlun-
282
gen vorbehalte, zugleich aber auch die geehrten Leser des Arcl ersuche, diesem Gegenstande ihre Aufmerksamkeit zu widn Wenn ira Folgenden einiges ganz Bekannte über die Berühren und die Durchmesser der Ellipse vorkommen wird, so bitte deshalb um Verzeihung; es ist theils der hier angewandten . thode der Entuickelung wegen, theils um den späteren Sätzen < mögliehst leichte Verständlichkeit zu sichern, mit aufgenomi worden.
§. 16.
Die Gleichung der Ellipse in Bezug auf das System ihrer 1 den Axen ist bekanntlich :
■) (2)'+(2;--
Mo
• Um nun die Gleichung der die Ellipse in dem in ihr liegen« gegebenen Punkte (X^Vfi) Berührenden zu finden, nehme man der Ellipse einen zweiten durch die Coordinaten Äq^JXq, F(,-fz bestimmten Punkt an, und denke sich durch die beiden durch Coordinaten Äq, Yq und ÄQ-^■JX^y, Yiy+JYQ bestimmten Pun eine gerade Linie gezogen, deren Gleichung nach den Lehren analytischen Geometrie bekanntlich
?/o — F,) = jj^ (Xe — Xq)
ist. Weil die durch die Coordinaten A^, Yq und A'^j + J Fo + ^lo bestimmten Punkte beide in der Ellipse liegen, so ben wir nach 1) die Gleichungen
und
durch deren Subtraction sich die Gleichung
also die Gleichung
iX„JXo-\-JXo^- «..«'
283
ifcr die GleidiaDg •giebi Hierans folgt
nd die Gleichung der durcli die beiden Punl<te {X^Y^ und {X^-{JXq, Yff\-JY,i) gehenden geraden Linie ist fulglich nuch dem Obigen;
LSsst man nun jdX^ sich der Null nähern, so wird auch /lY^ eich der Null nähern , und die beiden durch die Coordinaten JTo» Tq und Xq-^JILq^ Yq+JYq bestimmten Punkte der Ellipse wer- den immer genauer und genauer mit einander zusammenfallen, die durch den Punkt (^0^0) stehende ßertihrende der Ellipse wird aber offenbar als die Gränze zu betrachten sein , welcher die dnrch die Punkte (XjYq) und (X^y+ JXq, Yq+JYq) gezogenen geraden Linien sich immer mehr und mehr nähern, wenn man JXq sich der Null nähern lässt. Also wird die gesuchte Glei- chung der Berührenden der Ellipse in dem Punkte (XqYq) die Gleichung sein, welcher als ihrer Gränzgleichung die Gieichang
^ Äo^ 2X0 + JX„
lieh nSherf , wenn man sich JXq der Null nähern lässt. Da aber, wenn ^Xq sich der Null nähert, auch JY^ sich der Null nähert, 80 ist die Gränzgleichung der vorstehenden Gleichung offenbar die Gleichung
b,,'^Xo
Wo •« ü
" I
imd diese Gleichung ist also die gesuchte Gleichung der Berüh- renden der Ellipse in dem Punkte (XqYq) derselben.
§. 17.
Durch den Punkt (X^^Yq) der Ellipse ziehe man jetzt einen Dorchmesser derselben, so ist der diesem Durchmesser conju-
284
^rte Durchmesser der Ellipse bekanntlich der durch den Punkf ^ (^Fq) gehenden Berührenden derselben parallel. Diese beideo " conjugirten Durchmesser nehme man jetzt respective als die Axeo der Wn, yn eines schiefwinkligen Coordinatensystems der Xnyn m, welches seinen Anfang im Mittelpunkte der Ellipse hat^ wie über- i haupt alle hier zur Betrachtung kommenden Goordinatensysteme. | Sina nun Uy v in dem Systeme der beiden Axen der Ellipse, d. i h. in dem rechtwinkligen Systeme der ^o^o' ^^^ Coordinateo ^ des Fusspunktes der Coordinate yn auf der Axe der orn; so ist» wie sogleich erheilet:
und , wenn a:^ , y^ in dem Systeme der beiden Axen demselbeä | Punkte der Ellipse wie Xm yn in dem Systeme der beiden coo* j| jugirten Durchmesser entsprechen: v
Da aber In Bezug auf das System der beiden Axen, wenn wir ; jetzt Xqj Vq als veränderliche oder laufende Coordinaten betrach-. ' ten^ die Gleichungen der beiden conjugirten Durchmesser offenbtf f
yo = Y" ^O Wnd ^o = — ~2V~ ^o
■A
sind, wobei man den vorhergehenden Paragraphen zu vergleichen * hat; so haben wir, wenn jetzt xq, i/q wieder ihre obige Bedeu- tung haben, offenbar die beiden Gleichungen
v=Y-u und ?yo-i? = -7-2F-(a:o— w).
^0 "0 ^o
Aus den Gleichungen
b ^X
"0 ^0
ergiebt sich
yn^ = jl+ -^yA (^0 -W)^= ^~4F;;2 ('^0— m)*.
also
____«0^'o.yn
285
'' WO wir mis die Quadratwurzel im Nenner positiv oder negativ fesemmeD denken woUen. Verbindet man dies mit der Gleicnung
SO erhält man
^o
—U=-7=^^i
Viio*Ko«+ 60*2:0*'
yo-^=—
bo^Xf^f
VV^o^ + Äo^Ac*^'
I «ro man die Quadratwurzel in den Nennern sich positiv oder ne- gativ genommen zu denken hat, dieselbe aber in beiden Formeln stets mit demselben Vorzeichen nehmen muss. Ferner folgt aus den beiden Gleichungen
y
sogleich
*-*=^*+¥«i«*=
-*0
also
= >
wo man fsich die Quadratwurzel im Nenner positiv oder nesativ genominen denken kann. Verbindet man dies mit der Gleichung
^^0
io erhält man
X^t
V^Z?+Fo» '
YqXh
v =
srÄoHYo"'
wo man die Quadratwurzel in den Nennern sich positiv oder ne- giÜv genommen zu denken hat, dieselbe aber in beiden Formeln ,il^ mit demselben Vorzeichen nehmen muss. Weil nun nach I dem Obigen
286
ist 9 80 ist
^O^n bo^Xoyn
also
2o ^ ^w , Oq Yo?ln
und folglich 9 wenn man quadrirt und addirt:
also, weil ist:
= 1.
Setzen wir nun, die Quadratwurzeln positiv nehmend.
3) c/„=VAo^+ Fo^ 6„= --^ VVFo2 +VAo^;
so wird die vorstehende Gleichung:
287
(reiches die Gleichuns der Ellipse in Bezug auf die beiden con- ogirten Durcfamesser ist.
Für yn=0 ist a:n = db«n, und für arn = 0 ist yn^iJibn, wor- [is man sieht, dass an, bn die Hälften der beiden conjugirten 'orchmesser sind, welche wir als Axen der Xn, yn angenommen iben, so dass also die Gleichung der Ellipse in Bezug auf zwei iliebige conjugirte Durchmesser ganz von derselben Form wie e Gleichung In Bezug auf die beiden Axen ist.
Sind Xny Tn die Coordinaten eines beliebigen Punktes der liipse in Bezug auf die beiden in Rede stehenden conjugirten urchmesser alsCoordinatenaxen, so findet man ganz auf dieselbe rt wie in dem vorhergehenden Paragraphen, dass in diesem fsteme
ie Gleichung der durch den Punkt (XtFn) gehenden Berühren- en der Ellipse ist.
Bezeichnen wir die Coordinaten des Durchschnittspunkts die- er Berührenden mit der Axe der Xn durch {xi^, (yn); so ist, ie man mittelst der vorhergehenden Gleichung leicht findet:
<^->= b^Xn ' ^"^=^'
her nach 4), weil der Punkt (XiFn) in der Ellipse liegt:
ibo nach dem Vorhergehenden:
6) (ar„)=-£^, (^n)=0.
§.18.
In Taf. HI. Fig. 2. seien jetzt 0A=««,^ OBn^bn und
.,=:af^fi, OÄn-f-i == An-i-i zwei Systeme conju^irter Halbmes-
ler um den Mittelpunkt O beschriebenen Ellipse. Von den
ikten An und An^\ in der Ellipse an seien, indem im Folgen-
immer die oberen Zeichen dem Falle Fig. 2. a., die unteren
len dem Falle Fig. 2. b. entsprechen, die elliptischen Bogen
^ |
AnA„^l = m, |
+ 4B+iAfa = « |
'.fi |
1 |
abgeschnitten . |
. wo dann |
= l»nH Wnfi |
1 |
|
ist. Durch ^„j, und ^„fj seien mit Oß„ die und A«^B'. durch A„^, sei mit Oß„+i die gezogen. Dann ist |
r'arslUlen ^, Purallele A^ 1 |
|||
^ |
OB ' ' |
, --t^=L:. |
i |
ma
Zieht man nun noch durch B" die Parallelen f'C und B'L spective mit OBa und OAni so ist
04h-i;0ä"= OB.OC^A^iBtB'C;
abo nach dsm Obigen
folgt
Bezeichnen nir nun die Coordinaten in dem Systeme der i jugirten Halbmesser a», bn Oberhaupt durch xn, y-,; die Ooc naten des Punktes An^i in diesem Systeme durch Xn, Y^; ist nach 5) die Gleichung der geraden Linie, ia welcher det OAn-^i=an^x coDJugirte Halbmesser OBn^i-=s,bn-\-i liegt, in i Systeme der x»^:
289
Bezeichoeo wir die Coordinaten der Durchschnittsjpunkte dieser Uoie mit der Ellipse in dem Systeme der ;rtt9n der Kfirze wegen imeh Xn, yn selbst; so hat mad zu deren Bestimmung die Glei- efcBBgen:
denen sich
x,-\» , 6,ajf,a ra?«-^« a,2F„a+6««J:„2ra:V
«»«r»«
CfJ='^
,al6o, weil der Punkt (XnYn) in der Ellipse liegt, und folglich
ist:
M.rnJ-^' ^ = ±''^" = ±^'''-
anYj-
bn
pebt. Verbindet man hiermit die Gleichung
Xn9
erhält man, mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen auf Inder:
JBiemach ist offenbar, wenn wir Bn-\-iE mit OBn parallel ' 'len:
OEz=T-»An + lB, Bn-\-lEz=. — 'OB\
On ^ an
nach dem Obigen
On
e a
OE=T-»bnSn<Ou, Bn-^lE=
bn ^ ^
-- • ün^nOhi ; On
MJlLVin.
20
290
Nun ist
also nach dem VorhergehendeD :
e m € a e a
e a 6 « e a
1 : anSnGDfi : ^nSnOOn = + Sn+KOn-l-i : B"D l An^^D ;
folglich :
e a e a . e a e a
B"D = + anSfiGOn8n-|.10i)f|.f 1 , Anr^^D = J: bn^nfXhJ^n^ltOn^l^
Es ist aber
also nach dem Obigen:
e a a e a e a e a e a
ttn0n(Wn+ Oln4-l) = «rn07i(ön®n4-iein+l — anSnWnSji-j-iWn+l,
ea a e a e 'a e a e a
bnSn{(On + Wn+l) =6nS„C)n0n+lCön-|-l + ÖnSnWnSn+lWTi+i;
folglich
!e a a e a e a e a e a
©tt(ß>n + (W« l-l) = ©nWnSn+lWn+l — SnWnSji-f-iOOn+l, ea a ea6 a eaea
Sn((ön + Wn+l) =Siiain@n+lG)n+l + ©nWnSn+lCOn+l •
Weil bekanntlich
e a a
^ « « S„(a) + a)„+i)
T„(a}n+Wrt+l)=:-— -
a @n(a}/t + <»n+l)
2»1
e a
SnicOn + ß)n+l)
; so ist nach 7)
e a e a e a e
e a
T«(coi«+i«B+i)=
SnOJii@n-t-lfi)n4- 1 + @nM>tSn-|-iCJh-t-l
_,^ ■ ■ ■
e a e a e a e a
®nß^i®n+ia>n+l — Siifi)A8n-|^lfi)ti+l
SnWnSn+lWfi+l + CnOOnSn+lCOn+l
>, wenn man im Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit
e a e a ®nG)ii&n4-l(anfl,
Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit
e a e a SnOOnSft+lOn-fl
dirt:
T„(C0» + a)n+l)= ^-^^ i y
1 — TfiOnTn^-KOiiil
e a e a
f «t» (CO« + ©n+i) =—^-5 ; 5
Die Formeln 7) und 8) sind diejenigen Formeln . auf welche nach »er Meinung die Theorie der in dieser Abhandlung eingeführ- I Functionen der elliptischen Bogen gegründet werden miisste, IS aach, nachdem nun bereits die obigen Grundlagen dieser ieorie gewonnen woitien sind, einer wesentlichen Schwierigkeit ix anterliegen durfte, ohne dass für jetzt eine weitere Ausfüh- % dieses Gegenstandes meine Absiciit ist.
20*
292
§. 19.
Wir wollen nun zeigen » wie das Vorhergehende sich auf Rectification der Ellipse anwenden lässt, bemerken aber« d wir dabei verschiedene We|i:e hätten einschlagen können« den genden Weg jedoch deshalb gewählt haben, um uns so viel möglich der Methode anzuschliessen, welche man bei der Rc fication des Kreises in Anwendung zu bringen pflegt.
Der Kürze wegen nehmen wir im Folgenden die Gross« positiv an. Lassen wir dann den durch
e
ArCnTn(=a:)
bezeichneten elliptischen Bogen den z (irischen den Schenkeln Winkels ccn liegenden elliptischen Bogen nicht übersteigen, ist nach I. 39) offenbar
e p:
A -T / N /^^ V/^n^— 2qi»6narC0SCfn + ün^X^ ^
ArcjiTn(=:a:) = / ex .
(l + x^)VT+^
Wenn nun x kleiner als die Einheit ist, so ist nach dem Bi mischen Lehrsatze
«. , , 3 « 3.5 . 3.5.7 ^ (1 + a:2)-2 = 1-2^^ + 2.4^ •^23:6'^ +••'
und folglich nach einem aus der Integralrechnung bekannten Sal immer unter der Voraussetzung, dass x kleiner als die Einheit!
9) Arc„T„(=ar) = ß dx Vön^^2anbna:cos a„ + ä^^
o
Q /^x
— ^ / x^dxV^bn^—^anbnXCosan-i-an^x^
3.5 px
0 — 9~4~ß / X^OX^bj? — 2anbnXQOSan-\-aT?3fi
0
293
Es kommt also hierbei vorzüglich auf die Entwickelang des
■, die sich auf verschiedene Arten ausfuhren ISsst. Hier wird • zu meinem Zwecke genügen , nur auf die folgende Methode inznweisen.
Man setze
,^. ^ anX — bnCOSda On .
10) tansop = — 7 — : = 7 — ; or«— cotcfn*
' ®^ OnSman OnSinOn
ier, wenn noch
11) cotd=7 — i — X
psetzt wird:
lox * ^a * sin(cfn — ^)
12) tang9=cotd-cotan= ^,^^^^,^q^
I
pttdst welcher Formeln sich 9 leicht berechnen lässt. Dann ist
Änsino« ... V 0?= — (cot«n + tang^),
Ufl
folglich 5 wenn man nur, was offenbar immer verstattet ist, iwischen —5^ und +0^ nimmt, wie man leicht findet:
13) ;r*8a: V6n^^2a„6„arcosa„ + af?x^ ^n*^-^incifnH* (cotctn + taugy)* ^
"~ fln*"l"* * COS^' ^
6iiH-«sinof«2 sin(aq + y)* ^
«»*+* cosqp*+^ ^'
rch ist das Integral
/ x^dxyTbt?' — 'iOfiÄnarcosan + On^ar*
auf das Integral
' tangg)/*
3 ^9 cosqp' ^
294
zurückgeffihrt, welches sich auf folgende Art entwickeln lässt. Nach einer bekannten Reductionsformel ist:
siny/*""* fi— 1 /*siny/^^ p.
sincp^'
•* |ii— 1 /*sinyA^~^(siny^-4-cosy^) ^
3cosqp'*+*
siny-"-^ ft—l /^ siny/^ ^ fi — 1 /*sinyA*-^
— 3cös^+^ 3J ^;S^^8^^^ 3,y ^^^1^^
__ tangyM-i |ii-l /^tangy.« _ f^— 1 i^tangy/^-^ 3cos9}^ 3 ^/ C0S9)' ^ 3 ^/ cosqp' ^*
also
14)
/tang^^ tangyM— 1 jit — 1 /^tangg)A*-2
cosg)' ^ "" (f*+2)cos9)' it* + 2^ cosg)* ^'
Aus dieser Relation ergiebt sich:
/tansjq? ^ _ tanijcp^ 1 cosqp^ ^ Seosgo^ ~~ Scosy^
/tangg?^^ __ tangg?^ 1 P dg) cosg)^ ^ 4cosqp^ 4^ cos(p^ *
/tangy3 ^ tangy-^ 2 Ptangq) cosg)^ ^ 5cosg)^ 5^ cosqp^ ^ '
/tangy^ ^ _ tangy^_^ 3 /*tang^ cosg)^ '^ 6cosqp3 Ö^/ cosg?'*^'
/tangqpö tangy* 4 /*tan^9^ «
11. s. w.
U. S. W.
SO dass es also jetzt bloss noch auf die Entwickelung des Inte
/
COS(p'
295
Diommt Es ist aber bekanntlich
/dtp _ siny ,[ P COS9» "" 2casg)« + 2j
0
lurch nun die obigen Integrale vollständig entwickelt sind^ und ler
Arci.fn(=a:)
ner gefunden werden kann, wenn nur x kleiner als die Einheit , was hierbei immer vorausgesetzt wird.
Nach I. 43) ist auch, wenn wir
ArcoTo(=--tang9),
ier der Voraussetzung, dass tangg? positiv ist, nicht grosser als I elliptischen Quadranten nehmen.
d weil nun «o^sinoo^ immer kleiner als die Einheit ist, so ist ch dem Binomischen Lehrsatze
(1 — Co*sing)*)-i
•t • " • • 9 • "•" A • Am 3.5,7 Ä • « •
= 1+5 eö*sm9* + 2;j ^o*»»n9>* + cjjg «o smg?» + ..-., » nach einem bekannten Satze der Integralrechnung
296
1») Arcofo(=^tang9))
«0
^3.5.7 .P9. ^^ , I
wo man zur Berechnung von
/ Bmcp^d^
die bekannte Reductionsformel hat:
17)
/, siny'^-^cosy A— 1 /* . . ^
Bezeichnen wir jetzt den zwischen den Schenkeln des Winkel liegenden elliptischen Bogen durch Em so erhellet aus dem Obi| lind aus den bekannten Eigenschaften der conjugirten Durchn ser der Ellipse sehr leicht die Richtigkeit der folgenden Zerlegu
18) £„ = Arcnf „(=1) + Arc„T„(=l) ;
und um also En zu berechnen , kommt es auf die Berechnung beiden Bogen
Arc„f„(=l) und Arcnf„(=l)
an. Wir wollen bloss die Berechnung des ersten zeigen , welc hinreicht, da die Berechnung dieselbe bleibt, man mag den el tischon Bogen von dem Endpunkte An des Halbmessers an o von dem Endpunkte Bn des Halbmessers bn anfangen lassen, bekanntlich das Erste bei dem durch
Arc„fn(=l) bezeichneten Bogen, das Zweite bei dem durch
Arc„f„( = l) bezeichneten Bogen der Fall ist. Weil nun
297
_2 *^3 3+2
* 2 3 * 3a
t, so erhellet aus der ersten der beiden obigen Gleichungen 8) in 18. auf der Stelle die Richtigkeit der folgenden Zerlegungen:
19) Arc»T«(= 1) = Are„f« (= ^ ) + Arc„+iT„+i ( = ^ )
er
20)
Arcnf„(=l) = Arc„f„(=g) + Arc„+if n+i ( =^2 ) >
d die elliptischen Bogen auf den rechten Seiten der Gleichheits- ichen in diesen Gleichungen wird man nach 9) mittelst conver- ender Reihen berechnen könnnen, wenn man nur On^i, An-fi» i.i aus den gegebenen an, ön, ccn und a: berechnen kann, was Der im folgenden Paragraphen im Allgemeinen gezeigt werden soll.
§. 20.
In Taf. III. Fig. 3. sei
bo
An^xB ^ OB On An^iB
bn On bn OB
An^xB OB OB 1 Ari^xB.
z=zx
On
9 — • 7 >
On X Qu
nd weil nach der Gleichung der Ellipse in Bezug auf ihre conju- irten Durchmesser bekanntlich
t, 80 ist
OB 1 An^xB oc_ ,
298
folglich
0Ä=-7i^. A.^,B= '""'
a
Weil und
^ AnOBn = «n
ist, so ist offenbar
anH^= 0^»+ A+iÄ«+2-OÄi4«+iÄ.cos««, also nach dem Vorhergehenden : .
2 . ^ ,
««+1 - iq:^
folglich
Van*+ 2an6i»a;cosaii + Ä»*a:* 21) «"+t= y^=^^ .
Nach §. 18. ist:
also nach dem Obigen:
und weil nun ist, so ist
also
22) 6«+,
V^l+^2
299
Ans 21) und 2!2) folgt auch sogleich die bekannte Gleichung
23) a«« + 6»2= a«+i2 + 6„+x».
Nach $, 18. ist die Gleichung der geraden Linie > in welcher der conjugirte Halbmesser OBn^i liegt, in dem Systeme der con- jugirten Halbmesser OAn, OBni
Xn,
d. i., weil nach dem Obigen
OB an_
An\\B bnPC
ist:
_ bn
Bezeichnen wir also den Winkel AnOBn-\-x durch oi, so ist nach den Lehren der analytischen Geometrie bekanntlich
bn sinca
•der
anß> sin(an — o^ '
sin(«ji— a>) . , anx
- =SinanC0tG9 — cosorn = —
smco
bn'
woraus
cotcD =
ftnCOSOfn — OnOS . bnSmUn
7 — i , tangoo = 7
6||SinO|| ° OnCOSffn — anX
Mgi Bezeichnen wir ferner den Winkel AuOAn^i durch q, so ist
ibo
OB : An^i B=an: bnx = sin(ait -~ q) : sino ,
sin(aii— Q) , ^_ an
r-^= = smanCOtG) — COSOTji =r 7 ,
SinO OnX
ad folglich coto
^ g« + &itJ?COSttn bnX&lTi€tn
tangd) =
6n^sinan
an -f bnXCOSOn
Nim ist tt^| = a> — o, also
300
tangoo — tangS tangan+i = i ^ tangG)taDgo '
und folglich nach dem Vorhergehenden, wie man mittelst leicht Rechnung findet:
Q,. (l+a:^)anMincgn
lA) tanga«+i — anbncoson— (aj?—bT?)x — UnbuX^oBOn '
Man hat daher zur Berechnung von On+i , bn^i , «n-f i ^^ den gegebenen an, bn, an und a: die folgenden Formeln:
__ V^(Zn^+2tinbnXC0San+ b-^X^
(l+a?^)fln6«sim>g»
tanga„+i — ö„6„cosa«— (a«*— 6»2)a?— an6«a:*cosa« '
Für n=0 ist «o=W)^, also
^^ VI \x^
26) ) , VV±«Z^
* V^l+^2
Für ar = 5 ist z. B. in diesem Falle:
27) { 5«o6o 5^
l ' \6o «0/
Für a; = ö 'st in demselben Falle:
301
i«i = V — ior— 6i -\ ^lö"— '
1
^) ) lOao^o 10
\6o Co/
In dem Falle» wenn n^O ist, kann das Integral
^Teiches in diesem Falle in
P' x^dx'^bo^-Va^^x'^
abergeht, auch auf folgende Art berechnet werden. Nach einer bekannten Reductionsformel ist:
o
;«_a
6i7o
o
— lOflo«
u. s. w.
302
•Setzt man nun
wo
M n
=:6o*secK*=: — ^-5- »
gesetzt worden ist> und u zwischen — ^^ und -^-q ^ genomi werden soll, so ist
folglich
S" ^0^1,. Q^«.*o ^" .
COSM* Oq Oq COStt*
und
Setzen wir nun allgemein
29) [k]x =r''xkd.x\rb^+^^ ,
a
so ist nach dem Obigen
r9i — -^ sinz^ iVrni
^^J^"-4c/o3'cosm4 4ao^'-"Jx,
u. s. w.
303
und nach 9) ist:
Arcofo(=a:)
31) [0],-|[2],+ |^[4]:
3.5.7
Dass die Grossen
[0]x, [2]x, [4]x, [6]:r, ...,
insofern x positiv ist, sämmtlich positiv sind> erhellet aus der Form des bestimmten Integrals
[k]jc= fx^dx^fbo^^^uo^x^
anf der Stell^.
§.21.
Es ist schon früher erinnert worden > dass es jetzt nicht meine
e
Absicht ist, eine vollständige Theorie der im Obigen durch Sn,
• e e
S«» T«, %n9 u. s. w. bezeichneten Functionen zu liefern, indem Ich durch diese Abhandlung hauptsächlich nur zu weiteren For- Mhnngen über diesen Gegenstand anregen wollte. Indess kann ieh nicht unterlassen , zum jSchluss noch Folgendes zu bemerken.
Wenn nämlich
Miebige aufeinander folgende Halbmesser der Ellipse, und wie gewöhnlich deren cenjugirte Halbmesser
OÄ«, OÄ+i, OÄ4^, .... 0&4^
■
ttnd, die respective durch
«d
On» öii+i > ön-|-2> flii+a» •••• ön-fm
bn» An+l > ^«+2» A«4-3, .... On-fm
Ikieichnet vFcrden; so bezeichnen wir in ähnlicher Weise wie [hber die elliptischen Bogen
AmAn^lf An-^-iAn-^^» ^ii-fa^n-|-3> •••. ^n-fm— i ^«-l-m
ittpective durch
304
a a a a a
Dann ist, wie man leicht durch Miiltiplication findet:
e a e a . e a e a
(©nWn + SnCOn.V — 1) (0n+i(On+i + Sn+i (ön+i .V — 1)
e a e a e a e a
coe a e a e a /— —
+ (»SnWfiSn+i (On+i +®nCO«SB4.i(iOn+i)V — i) ,
also nach §. IS. 7):
e a e a
(@nC3i)n+S|tCön . V^~l)(®«+ia)n4-i+Sn+i(öiH-i. V^ — 1)
CO a e « « •
= &n((Xin + Wn+i) + Sn (Wn + On+i) . V— -1 . f
Set/t man nun diese Multiplication imaginärer Factoren we fort, so erhalt man auf ganz ähnliche Art wie bei dem Bewc der nach Moivre benannten Formeln in der Goniometrie die gende Gleichung:
e a e a
32) (®«ß}„+S„a)«.V-l)
e a e a
X(0n+i Gta+i ± Sn+i üOn+i • V — t)
c a e a
X (0n+2Cön-|-2 + Sn+2 ^«+2 V —1)
e ä e a
X (071+3 »n+3 ± «^«+3 «ö«+3 • ▼ -" ' )
U. S. W.
X(0n+m-iG}n4-m-i + Sn+ni-i Wn+m-i »V^— 1) e a a a a
— ®n(ö}n+Wn+i + Wn-f2+— +«»n+w-l)
€ a a a a
+ ^«(ß>n + WÄ+l + «n+2+— +<»n+m-i).V — 1.
Hätte man die elUptischen Bogen
a a a a a
tön, Cönj-ij t3/2-|-2 » W/i J-3 , .... Cön-f-m— 1
SO bestimmt, dass
e a e a e a e a
071 Wn= 071+1 0)«+! = (2„42^n+2= ••• = ©w+m-i Wn+m— 1
wäre, was, wie sogleich erhellen wird, durch eine einfache g metrische Construction möglich ist, so würde wegen der G chung I. 3) auch
305
SfiaHi=S«+i tOK^i := S84^a)A44 = ... == Sn-f m-i eon-f-m-i
«ein, und die obige Gleichung 32) würde sieh daher unter dieser Voraussetzung in die folgende verwandeln:
e a
e a
33) (e«w„ ± SnW« . V-l)"»
B a a a a
= &ii(0)m + (On+i + (ÖH+a + ••• + eOn+m-i)
e a a a a
±S«(a)«+a)B+i + «»f« + - + Wü+in-i). V — 1 •
Man kSnnte sich hier noch eine Menge anderer Fragen vor- legen 5 wie z. B. die Entwickelung der buberen Differentialquo- fienten von
ea e o e a e a
SnCOs, &fiC9fi5 TnCOn» $iiGOn> U. 6. W.
a
in Bezug auf On als unabhSngige veränderliche Grosse mittelst Aer in der ersten Abtbeilung gefundenen ersten Differen- tialquotienten dieser Functionen, wodurch dann zugleich mittelst ks Maciaurin'schen Theorems die Entwickelung der obigen Functi-
a
tuen in nach Potenzen von con fortschreitende Reihen gegeben sein wfirde, von denen die bekannten cyclometriscben Reihen beson- lere Fälle sein mfisisten, u. dergl. Aber alle diese Untersuchun- len mass ich späteren Arbeiten aufbehalten , und wurde mich BT jetzt nur freuen, wenn ich durch das Obige vielleicht auch ittderen Mathematikern Veranlassung geben sollte, diesem Gegen- ibnde ihre Aufoierksamkeit zu widmen.
Tkeil 1VI1I.
21
3oa
Heber die independente Bestimmiui der Coefttcleiiteii unendlicher Reihe und der Facultätencoefflcienten
insbesondere.
Von dem
Herrn Professor Dr. O. S c hl o milch
za Dresden.
Einleitung.
Wenn man darauf ausgeht eine gegebene Funktion eim Variabelen in eine Potenzenreihe zu verwandeln , also eine Gl< chung von der Form
F(x)=zAo+Aia: + A2X^+A:iX^+,
aufzustellen, so bieten sich zur Bestimmung der CoefBcienten i! Ai , A^ etc. zwei Wege dar. Man benutzt nämlich entweder irgei eine Eigenschaft der Funlction F(x), gewöhnlich eine Beziehui zwischen ihr und einem ihrer Differentialquotienten, um zunäcli eine Recursionsformel für jene Coefficienten zu erhalten, und suc dann von dieser aus zu einer independenten Formel zu gelange oder man hält sich an das Theorem von Mac L aurin, ae zufolge
Fi^O) Ak =
1.2.3....>fc
ist, und bestimmt nun Ak dadurch, dass man erst F(^)(x) e wickelt und hierin 07 = 0 nimmt. Beide Methoden sind aber m fern mangelhaft, als sie oft genug in ein Labyrinth von Rechnu
ineioliibreD, aus welchem die gesuchte iiidejien deute Form der ieilieDcoefücienten Dicht mehr herauszulinden ist, und als besten i-:»*!« dafür wird mau gewiss die bekannte Thatsac he gelten las- L'ii, dass es unzählige Keihenentwickelungen giebt, deren CnefG- lenten noch gar nicht independcnt bestimmt sind, obschon die u[iktionen an sich unter die weniger comidicirten gehüren,
(i£n) ■ [i +](!+»)] ' Ltot^T- "'' ■'"'s'-
!'< r Grund dieser Erscheinung liegt übrigens nicht tief; der Ueber- 11^' von einer llecursianrormef zur in<Iependenten Formel ist iiilich einerlei mit der Integratiim einer Gleichung zwischen end- lieri Differenzen, also mit einer Manipulation, die bekanntlich 'iiiLT «inige Umstände verursacht, vienn man nicht zu grüsnereu iiKdn, n'ie z. B. zu bestimmten Integralen, greifen will; ver- <iit man dagegen die Ausführung der successiveti Differenzia- li von F(3r), so geht man zwar einen sehr direliten, aber oft ?;^erst beschnerlichen Weg, weil begreiHichern'eise /'Wfa:) ein mickellerer Auisdruck als das eigentlich gesuchte f^^l(ü) sein I luss, und es bekannt genug ist, dass selbst einlache Funktionen jlltunter sehr verwickelte hühere Differenzialquotieiiten geben. B Schwierigkeit Iftsst sich offenbar dadurch vemieiilen, dass ^«icht nuf die Entwickelung des alleemeinen Differeozial- Renten F^^Hx) ausgebt] sondern gleich von vorn herein den plalisirten Differenzialiiuotienten fl*){0) zu bekommen diess ist, da man in Ueziehung auf Null nicht differenzi- mn, nur müglich, indem man den fraglichen siiezialisirten enxialquotienlen auf die gleichfalls spezialisirten DifferenziaU «rten anderer und «war eiot'acherer Funktionen zurückführt, Bieses Verfahren fortsetzt, bis man auf so einfache Funktio- %l5sst, dass sich ihre spezialisirten Differenzialiiuotienten Jetbai entwickeln lassen. Wie leicht dieser Gedanke in vie- nllen ausführbar ist, niügen die nachfolgenden Untersuchun- Hlgen, die einigen Reichthum an Reihenentwickelungen dar- 1 and zugleich für verschiedene nichtige Coellicienten (z. B. (■Cultätencoefficienten nebst ihren Spezialwerlhen — nntli'schen Zahlen — u. dergl.) die mdepen deute Be- nig liefern.
U(^)/ "
fir uns unter cp(j:) eine Funktion, die für sich allein t des Theoremes von I\Iac Laurin in eine Potenzenreifae
308
ist, 80 hat man identisch
und wenn nun Oq nicht Null ist, die Funktion 9)(a^ also für a;= nicht verschwindet, so kann man den zweiten Faktor rechter Hu in eine Reihe verirandeln, die mit der Einheit anfängt und dm Potenzen von x fortschreitet. Da es sich mithin immer nur t eine £ntwickelung von der Form
handelt, so dürfen wir ohne Beeinträchtigung der Allgemeinlic voraussetzen, dass sich in dem Ausdrucke (—7 — r) dieFuolA (p(x) für x =0 auf 9(0) =1 reduzire.
Bezeichnen wir q>(x) kurz mit y, so ist mittelst des Biooaii theoremes
(-L-Y- ± i
= l + (-w)i('/-l)+(-n)-2(2^-l)''+ ..•• + (-«)t(2^-l)' + (-»)H-iCy-l)*+'+ (-«)Ha(y-l)*+*+
und wenn man sich im zweiten Theile der Reihe für « — t seil Werth a^x-i-a^x^-i-.... gesetzt denlct, so erhält man ein Kesiil von der Form
\9(^)/ 2/" - 1 + ( - n)i(y-}) + (^n)^(y-\)^ + .... + (^n)k(y-l)'
wo es auf die Werthe der Coefficienten L, 3J, N etc. nichts ter ankommt. Die vorstehende (ileichun<^ difTerenziren wir k in Beziehung auf :r und setzen dann a:=0; es verschwindend die mit L, ßl, IS etc. behafteten Glieder und bleibt
309
[Dt 1 1+ (-«), (1,-1) +(_„)2(y _ 1)H.... + (-«)t(y-l)*! ] (;,=0) .
Die eingeklammerte Reihe ist einer für unsere Zwecke wichtigen nsformation fähig, die darin besteht, dass wir die Potenzen y — ] auflösen und alle entstehenden Glieder nach den Poten- von y^fpix) ordnen. Man findet nun auf der Stelle
l+(-»)i(y-l)+(-n)a(3r-l)«+...+(-«)t(y-l)»
= 1
+(-«)i[l«y-li] +(-«)« [2oy»-2iy +2«]
+(-»)8[3oy*— 3iy*+3ay— 3,] +
+ (-«)t[Äa»* - *iy*-*+%*-* - .".+ (- l)**t]
id dnrch Vereinigung aller gleichartigen Glieder entsteht hieraus e neue Gleichung
2) 1 + (-«)j(y_t)+(-n)a(y-I)H....+(-«)»(»-l)*
orin irgend einer der mit S bezeichneten Coefficienten, etwa i, durch folgende Formel bestimmt wird:
Si = (-n),-^ — (-«)ff 1 (i+l)x + (— n),+a(i+2)a — .... ... + (-l)»-.(_n)t(t+Ä=Öi^f .
Keser Ausdruck lässt sich bedeutend zusammenziehen, wenn lu die bekannten Gleichungen beachtet:
(-»)i+i = (-»)i ^^^. (»-+1)1 = *4-^ .
/ ^ (-")-»• (-n)-»-l ,..„. _ (»•+2J(»+1)
an erhält dann für St die neue Form: 5i=(— n)i 11+ -j- + Yä, ■•" '■■■
(n f t)(n+t+l) .... (n-f ^— 1)~1 ••+ 1,2....(Ä— J) I
310
and durch Snmmirung der eingeklammerten Reihe*)
(»+i41)(n-t-»+2)...(n+A) * = ^~^'* 1.2.3..(A-0 '
oder endlich, indem man durchgängig Binomialcoefficienten positivem Exponenten benutzt:
& = (« l)f («+t-l)£ (n+ A:)*-.£ .
Die Formel 2) gestaltet sich nun bei umgekehrter Anordnung Glieder rechter Hand wie folgt :
1 + (-w)i(y-l) + (-n)2(y~l)* + •... + (-«)*(y-l)*
= (-!)* [(n+k^i)k(n+k)oy^ - (n+k'-2)k-i (n + k\y^'^
wobei die Reihe soweit fortzusetzen ist, bis sie von se abbricht.
Substituiren wir die obige Formel in die Gleichung 1), d renziren jedes einzelne Glied und setzen
3) [/>yj(o) = [ö*g)(a:)»](o) = Öä,
so gelangen wir augenblicklich zu der Formel
*) Bezeichnet idrii mit Ar den Ausdruck
1.2.3... r '
60 findet man sehr leicht die Beziehung
_ «(«+!) (g+2)...(fl4-r)
Ar^^-Ar- 1.2 3....(r+l) "
Für r=0, 1, 2, {q — I) und durch Addition aller so entstehe
Gleichungen ergiebt sich, indem man A^ für 1 rechnet:
,_g , a(<t+l). .«(«4-l)...(g-|-y— 1)
^'-*— i+^:5-+-+ ix::^^ »
oder vermöge der Bedeutung von Ar :
m"*" 1.2 "''*•■*' 1.2.3.. ..(7
_(g+l)(flr+2)...(g+y) 1.2 q
wovon im Texte für a=^n-\-i und ^=Ar — i Gebrauch gemacht wordci
311
4)
L 9>(^)"J(o)
= (-l)*[(»t+*)o(it+*-l)*Öt-(n+*)i(n+A-2)*-i<?k-,
+ (n+A)2(n+*-3)*-aQt-^ - ,.. .] ,
weiche die Entwickelung von
1
aogiebt, sobald man dieDif-
lenzljalqiiotieDten von g>(j:), g>(^r ^^^- ^^^^ wenisstens die ftir jp=0 eintretenden Spezialwerthe derselben finden kann.
Ein passendes Beispiel hierzu bildet die Annahme
9>(a:)=2(e' + l), wo die Bedingung 9(0)sl erfcUlt ist Setzt man nämlich
w tet
Ft=(-1)* [(«+Ä)o(«+A-l)te*-(n+A)i(«+*-2)*_, Qk-^
+ (n+Ä)a(«+A-3)»_,et-,— ...]
■d man bat zugleich
= ^[M*+Ai(A-l)» + A,(A-2)* +...].
Ffir n=:l gäbe diess eine independente Bestimmung der BcnooUi'schea Zahlen.
§2.
Entwickelung von
\^(:x:))
Wir setzen hier voraus ^ dass ^(^) eine mit ^ gleichzeitls verschwindende Funktion ist, welche ausserdem die Eigenschaft
kvilzt, dasa ^^ ftir ar = 0 in die Einheit übergeht, wie z. B. ^«) eine Reihe von der Form
312
bildet. Wenden wir die Formeln des vorigen Paragraphen aul
den Fall 9(^)= ■ an, so ergiebt sich sogleich
»1/
und darin ist Qh durch die Formel bestimmt:
*=W=^)l.,-
Man kann derselben eine andere iForm geben , welche nur die Differenziation einer Potenz von i/^(a;) aliein verlangt. £s ist näm« lieh identisch
mithin bei (A-f^)roal*iger Differenziation, indem man die bekannte Regel für die Differenziation der Producte anwendet,
... + (A+Ä')äA(ä-1)...2.1.Z>^ (^0
Für :r=0 verschwinden linker Hand alle Glieder mit Auje nähme des letzten und es bleibt
(A + ä)ä.1.2..A. [-Ö*(^^)*J,) =[D*+»^(a:)*](o) oder endlich
Vr\ X ) Jm~ (A + i)(Ä+2)....(Ä+Ä) •
Der Werth von Qh erhält demnach folgende Gestalt:
[Z)Hti/,(^)ft](o) -'' '^* — (Ä+1) (/fc+2)...()t+A) ■
313
Nehmen wir beispielweis
^(a:) = c' — 1,
wodurch die für i(/(a;) angegebenen Bedingungen erfällt sind, ist nach Nro. 1) jeder Coei'ücient in der Entwickelung
so
3)
\e'-\J
n
nun u
— ^o 1 ^ + 1.2'*' 1.2.3^ ^
'(0)
augenblicklich bestimmbar, nämlich
4) Ä=(-I)*[Z><-,^)-]^
=(n+k)o(n+k-l)kQk-(n+k)i (n+k-2)k-i Qk-i
+ (n+ *)a(«+A— 3)t_a Qt-,
md darin gilt iiSr Qh die Formel
*'*- (Ä+1)(*+2)...(A+A) ' mIct bei Ausfährang der angedeuteten Differenziatioa
5) ÖA =
Ad die Formeln 4) und 5) knüpfen sich einige sehr bemerkens- wertbe Folgerungen, die wir im nächsten Paragraphen aus einan- der setzen wollen.
$.3.
Die Facaltätencoefficienten und die Bernoulli'schen
Zahlen.
Ffihren wir fflr die sogenannten Facultätencoefficienten die lUgende Bezeichnung ein:
1)
a:(x+l) (ar+2)(a:+3) .... {x+ii-l)
to ist es sehr leicht eine Recursionsforinel liir dieselben zu ent- l'eekeD. Indem man nämlich die Facultät des nächst hühercii lindes
zu
ar(a: + !)(« + 2).... (« +n— 1)(« + n)
r
einerseits im Ganzen , andererseits als das Produkt aus a?-fnui der früheren Facaltät ansieht, hat man die Gleicbang
1+1 n+l «+1 n-fl
und aus dieser fol^t durch Identifieirung der beiderseits zu 3^^ gehörenden Coefficienten:
n-fl n n
2) Ck—Ck+nCic^.
n
Um nun zu einer independenten Bestimmung von Ck zu gebaf« geben wir folgenden Weg.
Bezeichnen wir die BernouUi'schen Zahlen ^ » t^, tqi ete
mit Bi, B^s B^ etc. so gilt bekanntlich ßlr alle zwischen -ii und -|-2n; hegenden x die Gleichung
a 1
+ 1.2^ 1,2.3.4^+ 1.2....6^ •"'
dieselbe 9 aus welcher Laplace eine independente Bestimmu von Bk-i (k gerade) herleitete, indem er die in der Formel
postulirte /: fache Integration mittelst eines sehr speziellen, i eben auf die Funktion x:{e^ — L) passenden Kunstgriffes ausfubi Denkt man sich beide Seiten der Gleichung 3) auf dientePot« erhoben, so ergiebt sich ein Resultat von der Form
(/*. \n n n n n ^—^) =Ao-A^x^ A^x^-A^x^+ ,
wo es nun auf die Bestimmung der mit A bezeichneten Coc cienten ankommen würde. Um für dieselben zunächst eine 1 cursionsformel zu erhalten, differenziren wir die Gleichung wobei
315
^e* -i)~*^\e*-l) Le'— 1 "" ( e'-l)« J
= « (c* - 1)« <^ -*)-« (e*-l)»+i lu setsen ist, und multipliziren darauf mit x', es wird so
»(Ä)<-)-»(irl-,r
= — 1 JiX + 2 JaT*— 3^3^:8+4^43:*— ... .
Linker Hand kann man die Formel 5) zweimal benutzen, einmal geradezu 5 das andere Mal, indem man n + l an die Stelle von n treten lässt; föhrt man diese kleine Rechnung aus und vergleicht uchher die Coefficicienten von a:^, so findet man die Recursions- fonuel:
6)
n Jjk=(n— /:)2<jb + nJ*-i .
Besondere Aufmerksamkeit verdienen die n ersten Coeffi- denten in Nro. 6), för welche
k=0, 1, 2,....(m— 1),
iko überhaupt kleiner als n ist. Setzt man nämlich fär die- FaU
T)
Ak=
1
n
Tlky
(«-A:)(«-Ä+l)(n— /:+2)...(w— 1) w verwandelt sich die Gleichung 6) in die folgende :
«4-1 n «
n n
deren Vergleichuns mit Nr. '.{) die Identität von 7lk und Cib Man hat demnach die bemerkenswerthe fttr
2« > o: > — 2j;r geltende Formel:
8)
(Ä)-
gfbßj.
(\
a? +
Q
7t
,. , (-1)"-'G.-i .„_.
-.!•" "^ (n-l)(«-2)'" '•• ^ (w-l)(n— 2) ....2.1 + (— l)"[Jl„a:«-^2<n+ia:'«+i+ J„+2a:«+2 ~....J.
316
Will man eine independente Bestiaimun^ sämmtlicher mi bezeichneten Coefficienten « so ist nach Nro. ö) unmittelbar
WO sich linker Hand die Differenziation nach den Formeln 4) i 5) des vorigen Paragraphen ausfuhren lässt. Für /: < n giebt di die independente Bestimmung der Facultätencoellßcienten , d«
n
man hat nach Nro. 7) und vermöge der Identität von Hk und
f nkC ^ VI (-1)M.2.3...A- "
L^Ke"- 1) J(o) ~ (»»-1) («-2)...(n-*) ^*'
d. i. umgekehrt bei Benutzung der Symbole ^r die Binom coefBcienten:
9)
^*=<«-^w-»)*[KÄn«)' *<"•
Dagegen ist für n=l und ein gerades /:>! nach Nro. 4):
.10) Bu-.^(-A)^-^\_D^(^;)\-
Mittelst der Formeln 4) und 5) des vorigen Paragraphen erl man nun aus Nro. 9) folgende independente Bestimmung der cultätencoefficienten :
11) C^= (w-l)*[(n+A-)o(w+^'-l)iteit-(w+A-)i (?i+A'-2);t-i Q
worin Qh nach der Formel bestimmt wird :
12) Qä=
(A'+l)(A-+2)...(A'+/0
Für n = l und ein gerades k folgt daraus für die Bernoi sehen Zahlen die Formel
13) ßk-i =(-1)^^-^ [(Hl)oQk-(k+}), öit-i+(A+l)2«it-t2-
VVir geben im nächsten Paragraphen einige Reihenverwaiid gen 5 bei denen die Facultätencoefücienten vorkommen.
317
§. 4. Ent Wickelung von
fid + .)]". und [j^%-Ji
I. Denkt man sich beide Seiten der fiir l>:r> — 1 gelten- den Gleichung
1(1 -j-x) = x — z^x^ +7^a;^ — ....
auf die mte Potenz erhoben , so entsteht ein Resultat von der Form.
1)
m
m-l-l m-f2
[1(1 +a?)]'"=^o^'" — -4ia:"»+i h Ä^x"^^^ — ... ,
worin noch die mit A bezeichneten Coefücienten zu bestimmen WSren. Man gelangt zu diesem Zwecke > indem man die analoge deichuDg
m-|-l m-|-2 m-f- 3
[1(1 +ar)]"H-i -. ^^n,+i_ jja:'»+« + A^x^^^ - ...
Aferenzirt und das Ergebniss mit {l-i-x) multiplizirt ; man tindet hierdurch
(m + l)[ 1(1+0:)]'»
wi-f-l wi-fa «n+3
=(1 +a:) [(/II+ Oi^o^n» -(m + 2)^ia:"« +1 + (wi + 3)^2^«+^ — ...] .
Indem man linker Hand die Gleichung 1) benutzt, rechts die an- gedeutete Multiplikation ausführt und nachher die Coeflicienten vergleicht, erhält man die Recursionsformel
(m+A+l) Ak =(iw+l) A + (m+*) A-, , weiche mittelst der Substitution
m-\-k
t=-,-
1
(/M + l)(»i+'2)...(m+it) ■ die folgende fibergeht:
Ak
2)
2lfc = 2lfc + (m+A-) ;?U_i .
I
iin der Tergleicbung derselben mit Nro. 2) des vorigen Para- ^phen folgt augenblicklich
mithin
31K
m-tk
(iM+l)(m+2)... (?»+/:)* Substituirt man diess in die Gleichung 1) und beachtet,
m
^=1 sein rauss, so hat man für l>a;>-— 1 die Re enti^ickelung
m4-l m4-2
3) 11(1+^)]-= o:»-,^, ^-.+» + ^-^^j~^) ^^-- .. oder auch
^ L ^ J mfl ' (m+l)(//i+2)
Von diesen Gleichungen kann die erste dienen , um eine Potenzen von 1(1 -|-^ fortschreitende Reihe in eine andere i: setzen, welche nur Potenzen von x enthält* Als Beispiel nel wir die Sold ner'sche Formel fdr den Integrallogarithmus von Setzt man nämlich dem Taylor'schen Theoreme zufolge
5) li («+i)= li(a) + j ^iz + ^ A^zH \ A^z^ + ....
so i$t durch Differenziation
^^ 1(0+^ = ^1 + ^2- + ^32^ + • •
Soldn er bestimmt die Coefticienten A recursiv; will man independente Formel dafür gewinnen, so beachte man, dass linker Hand stehende x\usdruck
_ 1 1
' \a
ist, und benutze letzt die Formel 3), indem man ar=:"undr 2, 3 etc. setzt. Ordnet man hierauf alle Glieder nach Pot(
319
OD z and vergleicht die so entstehende Reihe mit der unter Nr.6) orkommenden, so findet man sehr leicht eine independente For- lel för einen beliebigen Coefficienten Aic
n. Aus der Gleichung 4) ergiebt sich durch A; malige DifTe- enziation und nachherige l^^llificirung von xi
m-fXr
(-1)* c*
(m+l)(in+2)....(m+Ä)
■1 »£»tß»»»»K f
der kilrzer ausgedruckt:
t^enn es sich nnn darum handelte den Ausdruck
/ X \n
im eine Potenzenreihe zu verwandeln , so wurde man setzen können :
(l(l+«V
n n n
!l + y a;+ j-2 xH 1723 ^' +
ides Wt
^=[Km-+-i))l.,-
lässt sich das Theorem 4) in §. 1. anwenden, indem man
l(l + a:)
<p(x) =
X
it; man hat dann
:(-l)*[(n+*)o(n+*-l)*e*- (n+A-)i (n+k--2)k^iQk^i
+ (n+kh (n+Ä:-3)*-ae*-a
Qh nach der Formel
-— «..J f
(0)
bestimineD sein würde. Vermöge der siebenten Formel ist nun
320
a
mithin, wenn man diesen Wertb in die Formel fSr Ak einsefa
^' "*"- (24)7 *'* (2Ä:r[)* *-*
(«+*)a(»i+*-3)t_a2*7«
(2A-2)t
Ck-
•••• }
und diess ist insofern eine independente Bestimmung von Ak, a die FacnltStencoeflficienten nunmehr independeiit bestimmt sin Die Bedingungen, unter welchen die Gleichung 8) richtig bleil bestimmen sich leicht aus der Bemerkung, dass zunächst
__£_{ "_ r 1 T
Hl + X)^ ~Lj_jj_l(l_t£)j J
gesetzt werden kann, wenn nämlich die Determination 10) 1 > 1 _'il±£> >_i „der 2> ^+-^> > 0
t
erfällt ist. Denkt man sich weiter in der obigen Reihe
X 2 '3 4
gesetzt, so muss die weitere Bedingung
11) 1>^S-1
statt finden; nach Ausführung der angedeuteten Potenzirun»! würde man nun die Reihe 8) wieder erhalten und es gilt letzte daher für alle x, welche den Bedingungen 10) und 11) gleichze tig genügen; hieraus findet man leicht
12) l>.r>— 0,8,
111. Aus der Gleichung 8) lösst sich noch eine auf den I tegrallogarithmus bezügliche Formel ableiten, die nicht ganz oIh Interesse ist. Für 7?=:1 ist nämlich
321
13)
JTT^=^ + Y ^+ ß^*+ ra **+ "
l>a:>— 0,8
irobd die CoeUßcientenbestimiunng durch die Formel
ugegeben wird. Multiplizirt man die Gleichung 13) mit da: und bt^irty so folgt
15)
J 1(1 + ^)
dx
—X h j^o?« + i^/ga:» + j^4 a:«+
Dm linker Hand die Integration auszuführen» setzen wir
nthin
l(l+a:) = 2.
a:=:e* — 1 und dx=zdz;
ei wird dann
= li (««») — li (c») + Const. ; lin, wenn der Werth von e' wieder eingesetzt wird:
Iß) li [(X + x)^] -.Ii[l +0:] + Const.
— -.4. 4L^a 4. -^^3 4. __^?_ ^4-L
Dm die Constante zu bestimmen, lassen wir j; in Null uberge- und haben dann
;17) Lim{li[(l+ar)»]— li[l+a:]| + Con8t.^0.
iTheU mil. 22
322
Der Grlnzwerth auf der linken Seite bestimmt sich durch Wendung der bekannten Formet
li(«)= 0,5772156 + 1(1«)
l]tt^l(lM)«
+i 1 +2 O
man findet fiSmlich
li [ (Hx)^ ~\\\1 +x] = I [21(1 +ar)] - 1 [1(1 +a:) ]
•2-1 1(1 +a:) . 2«-l [1(1 +a;)]» . 2^ [l(l+a:)]»
"T 1 +~2~ 1.2 + 3 1.2.3 +••"
wo die rechter Hand vorkommende Differenz IcQrzer durch 12 s gedrficlct werden kann. Für a;=^0 geht die rechte Seite in über, und die Gleichung 17) wird demnach
12 + Const. = 0 ;
mit Nr. 16) verbondeo giebt diess
18) \xl{V\ xf\-\^W^' x\
""'"^ J + 1.2^ + J.2.3^ ^•••' wobei wie früher x zwischen 1 und —0,8 enthalten sein muss
§.5.
Die Facultätencoefficienten mit negativem
Exponenten.
Versteht man nach Cr eile's vortrefflicher Bezeichnung un (r, +1)« die Facultät
z(z + l)...(2+n — 1),
so muss man bekanntlich ^ um nicht inconsequent zu werde unter dem Symbole (r, + 1)~" den Ausdruck
323
(z— 1) (z— 2)(t^) ... (2— «)
begreifeii*); dieser lässt sich offenbar in eine nach Potenzen von -- fortschreitende Reihe verwandeln, sobald 2>n ist, und man wird daher entsprechend dem Früheren zu setzen haben:
1)
]
(5-I) (z— 2) (z— 3;...(2— w) — « 1 -« 1 -»1
£•
Z»+«
j«+2
ider f&r 2 = ]7 , wo nun /? < — sein muss :
2)
(l-^)(l-2/S)(l -3/J)...(l-M|S)
•*. •
LDitse Gleichung Erhält eine zur Bestimmung der Coefficienten C jkaochbarere Form , wenn man sich zunächst an folgende fiir ganze psitive n und beliebige a geltende Gleichung erinnert:
1.2.3...71
5.1 a(o+l)(a+2)(a+3)..(a+n)
^a ö+l^«+2 a+3^-'
m welcher ich im Qten Theile des Archivs S. 377. (von Formel
1
flLab) ein^n elementaren Beweis gegeben habe. Für a= — ^ "it die vorstehende Gleichung in die folgende über:
(*-l)»l.2.3...n.Ä»
(l-.ft(l-2ß)(l-3«...ii-ni5)
= no — ni
r
+ »a
+ »s
1_ ^ -r '•« i^2ß ^ '•» 1—3/? •
•• >
wenn man die Gleichung 2) zu Hülfe nimmt:
') Sopplefliente lom mathem. Wörterbach; Artikel Facultät.
22*
324
Der GoefBcient Ci^ereiebt sich nun, indem man beiderseits (niijni differenzirt und nachner ^=0 setzt, nämlich man hat:
(-.l)»1.2...n.l.2-(n+*)a = — «i.l.2..(« +*).!»+* + ifa.l.2..(«+*).2"+*-... oder
3) C*=:t^^^ [-nxl»+*+nÄ2H-*-.nj3«+* + ...J.
1 • ^ ••••II
Bei umgekehrter Anordnung der eingeklammerten Reihe ist endl'
4) ci.= ro':::^! '
wobei £ nicht kleiner als n sein kann, wie aus Nro. 1) unmit bar hervorgeht.
Die so eben entwickelte Formel weist unmittelbar auf Zusammenhang zwischen den Facultätencoefficienten positiver negativer Exponenten hin. Schreiben wir h für n, so ist näiD durch Vergleichung mit der Formel 12) in §. 3.:
^* - (;fc + 1) (k+'2) ..,(k+h) * 1.2...Ä
1.2 •..Ä 7* 1 -Ä
(k+hXk+h-lUH}) ^'-(^+A)a
mithin nach Formel 11) in §. 3.:
32$
8)
ß=
(•
(2Ä-2>
Ao8 den Facuitätencoefficienten negativer Exponenten, die nach 1er Formel 4) unmittelbar bestimmt werden, lassen sich also mit- teist der vorstehenden Relation die Facultfttencoefficienten positi- rer Exponenten herleiten.
Wir geben schliesslich noch eine kleine von n==— «4 bis [ts-f 9 gehende Tabelle der FacnltfttencoefBcienten, von welcher ife Einnchtung unmittelbar klar sein wird:
'^#**:
. ^. |
|||||
» = |
- rv |
- 111 |
- 11 |
- 1 |
|
c = |
. |
1 |
1 |
||
c,= |
10 |
H |
3 |
||
c, = |
63 |
25 |
7 |
||
f, = |
350 |
00 |
15 |
||
c.= |
1701 |
301 |
31 |
||
c.= |
7770 |
806 |
63 |
||
tl = |
39105 |
3025 |
127 |
||
c = |
149750 |
9330 |
255 |
||
c,= |
627501 |
28501 |
511 |
317
+n
l+UI
+IV+V
85 2-25
21 |
■28 |
175 |
323 |
735 |
1900 |
16-24 |
0769 |
17« |
13133 |
720 |
13068 |
5010 |
546 4536 2244U 67284 105066 100584 40330
|fc'»!iM,-.»^lfili.|-.l I t . ■*
CTttpibfnatorische Darstellung der : IkMuMri^erthe eines Kettenbrucli
Herrn F. Bartholomäi
Wild eiQ Ketteubrnch
nach der genOfaDlicheD Art in einen gemeinen Bruch renn BO erhält man :
t PlPiPiPi}HP6^■PlPiPtPi + P\PxPiP6 1 ■ß«= <A-PiPiPtp6^ PiP^PbPi^^ PiPiP&Pf\rPiPi \
(+Pi;'4+PiPe+p3P*+;'3P6+;'fiPa + i )
iPiPiPiPbPii^ PiP^P* \
+ PaPaPfi + PiPbPt V PtPuPa l ■ + P» + P4-fP«l )
329
Kb er^iebt sich nun sogleich , dass der Zähler sowohl als der Nenner eine Summe von Produkten aus den Partialnennern ist, dass diese Produkte Combinationen aus den Partialnennern sind, und dass diese Combinationen nach einem bestimmten Gesetze gebildet werden müssen. Indem wir das Gesetz aus unserm Falle empirisch zu bestimmen suchen , bemerken wir, dass zur Bildung des Zählers sämmtliche Partialuenner, zur Bildung des Nenners BOT die Partialnenner vom zweiten bis sechsten beitragen; wir bemerken, ferner, dass der Zähler nur Combinationen der sechsten, vierten und zweiten Klasse, der Nenner nur Combinationen der fünften, dritten und ersten Klasse hat, und dass bei der Bildung der Combinationen beim Fortschreiten zur nächsten Complexion das nächstfolgende Element übergangen wird. Wir erhalten dem- Bach Combinationen, in welchen eine Klasse — das Wort im wei- testen Sinne, nämlich auch für die Klassen einer Klasse gebraucht -* um die andere übersprungen wird. Nennen wir solche Com- Kaationen alternirende, so erscheint der Zähler des reducirte^ Kittenbnichs als Inbegriff sämmtlicher alternirenden Combinatio- aea vom ersten bis sechsten vermehrt um 1, der Nenner als Samme sämmtlicher Combinationen der Partialnenner vom zweiten Mb sechsten. Bezeichnen wir also die alternirenden Combinatio- laeo der ntten Klasse aus den Partialnennern vom rten bis zum
ittea durch C, so ist
r.t
fi 4 2
c + C + C + 1
«, 1.5 T^'fi 1*6
^6 = 1 iJ T
c+ c + c
^6 2*6 2.6
ist die Symmetrie des Baues im Zähler durch das letzte gestört. Der Fortgang der Klassen führt uns darauf,
|1=C zu setzen. Dadurch wird 1.«
0
Ä =
« 4 a o
c + c+ c+ c
1,6 1.6 1'6 ^'6
A 3 1
c+ c + c
2.6 2.6 2.6
feoD ffir hiemach die allgemeine Formel aufstellen, so wir
erhal-
A.=
2n 2n— 2 2n—4 2 O
C+C+C+... + C+C
1.2n 1.2« 1.2n 1.2n 1.2w
2n— 1 2fi— 3 2n— 6
1—1 2fi— 3 2n— 6 3
c+ c+ c + .... + c +
I A^ A A^ A A. A «»^
a.2A 2.211 2.2n
2r
r C
2.2n 2.2/1
330
I
«»4-1 an-1 2jf-J 3 1
C+C+6+... + C + C
j;j l.(2ii4-l) l(gn-fl) l.(2n-fl) 2.(2n+l) 1.(2»+!^ ^
/%n+i — 2» 2»-2 2n- 4 2 o >
c+c+c... + c+c
«.(2n+l) 2.(2ii4-l) 2.(2m+1) «.(2n+l) l.(«ii+l)
wobei C=l zu setzen Ist. Diese Formeln lassen sich, di Bildungssatz an sich klar ist, verein fachen., wenn wir den Inbc s&mmtlicher aiternirenden Combi nationen der Partialnenner rten bis zum tten durch C bezeichnen. Denn dann erhält m;
T.t
■t^n — y^ .... (1)
2.1»
Es entsteht nun die Frage, ob diese empirisch gefundene Fo: richtig ist.
II.
Aus dem Begriff der aiternirenden Combinationen ergiebt i dass dieselben sowohl vom rten bis zum ^ten, als auch vom bis zum rten Gliede alterniren:
C = C . . . . (2)
T.t t.r
Die Fragen nun, welche uns hier in Bezug auf die alte renden Combinationen angeben, sind:
1) wie aus den Combinationen der Elemente vom 2ten 72ten die Combinationen aus den Elementen vom Iten bis i oder allgemein, wie aus den Combinationen aus den Elemei vom rten bis tten die Combinationen vom (r— l)ten bis zum i abgeleitet werden können;
2) wie aus den Combinationen der Elemente vom Iten nten die Combinationen der Elemente vom Jten bis zum (w-(-l oder allgemein, wie aus den Combinationen vom rten bis i Elemente die Combinationen vom rten bis zum (<-|-l)ten Elem< gefunden werden können.
Die Elemente seien (?i, c>2, e^, e^....en, Cn-^i und die ein nen Combinationen niös^en als Produkte, der Complex dersel als Summe der Co)nbinationen angesehen werden — was oflfer erlaubt ist, da das Produkt und die Summe immer wieder im gemein combinatoriscben Sinne genommen werden kann.
Nun wird offenbar C aus Cerhalten, wenn allen Complexionen vc
i.u 2.n
das Element ei vorgesetzt wird und von den Com]>lexionen C diejenigen beibehalten werden, welche nicht n)it Cn anl'anj
2 n
d. h. es ist
33t
C = ei.C + C (3)
l.fi 2.11 3.11
SO ist allgemein
C = Cr-i . C + C
rr-l).f r.t (r+l).tj
C = er. C + C
r.t (r+l).f (r+2).f
(4)
le Formeln, wie leicht ersichtlich, nur dann richtig sind, wenn 1 gesetzt wird.
liermit und wegen des Satzes (2) ist zugleich die andere i erledigt Es ist
C/ SS O • Cn i" ^ •••••• \y)
l.n l.(ii~l) l.(ii«>t)
C= C . et + C (6)
r.t r.(C-l) r.(f-2)
ei nun
1 (7)
Ä,=p, +
P* +
+
1
C
B'n = -^ (8)
i sich C auf den Zeiger pi, p^, p^, p±,....p% bezieht. Durch «sive Anwendung des Satzes (3) erhalteD wir:
C pi.C-k-C c
2 n %n 2.11
c c c .
3.11 2.fi 3.11 4.n , 4.n
3.ra
332
C
1.«
4.n
— 1. p — 1.
3.«
4.11
4.n ö.a
ft +
c c
0.n
U. 8. W. ,
woraus folgt:
^«=Pi+^-+l
(9)
Ä+ 1
/>4.+
mithin ist B'n=Bn oder die Gleichung (I) ist richtig. Zaiei«|| selben Resultat gelangt man» wenn man den Kettenbmcli ^ richtet.
III.
Unser Satz hat ein doppeltes Interesse. Einmal nSmücli iit es sehr leicht, mit Hfilfe der alternirenden Combinationen jedei Näherungswerth des Kettenbruchs unmittelbar zu finden; zweitetf aber ist die combinatorische Auflösung unserer Aufgabe die ur- sprüngliche, d. h. unmittelbar aus der Natur der .VerbindoDg der Partialnenner abgeleitete. Sie muss also auch die bekannte dependente Auflösung enthalten.
Sind Bn-\9 Bn, Bn^i drei auf einander folgenden Näherung»- uerthe des Kettenbruchs, und setzen wir
-ßn— 1 =
Bn =
Zn
so i«»t
333
1.(11+1) 1.» l.(«-l)
2v»+i =s c = c.pfi4.| + c = iVn.^M+i-f a;-i;
«.(«+1) «.»• «.(«-1)
ithio
IV,
Für die BenutzuDg unserer Formel zur wirklichen Berech Bg der Näherangswerthe dfirfte sich folgendes Schema empfeh- I. Es sei z. B.
4 +_!_ 6+ 1_ 3+1 2
Nenner 15 4 6 3 2 12 3 4 5 6
334
335
Der PascaFscbe üelirsatz in seiner Anwendung auf die f^eometriscbe
Analysis«
Von
Herrn Planck,
Repetenten an der polytechnischen Schule zu Stuttgart.
1.
^ Der Pascal'sche Lehrsatz lässt folgende » seinen Beweis und "^ Verstand niss erleichternde, und zugleich för die geometrische lysis sehr fruchtbare Fassung zu.
Lehrsatz. Wenn AB und A'B^ Projectionen einer [nd derselben Sehne eines Kreises auf eine und die- lelbe Gerade von zwei Punkten Cund O des Kreises liBsind^ so ist von jeder andern Sehne^ von welcher iidemselben Sinne AB eine Projection ist, auch A'B' line Projection.
Beweis. Zu der Geraden^ auf die projicirt wird^ und die den Grundschnitt nennen^ ziehe man Parallelen durch die inkte Df E einer Sehne des Kreises. Diese Parallelen [en (Taf. IV. Fig. 2.) den Kreis in F, G, und FE, DG "m den Grundschnitt in M und N, Ist nun AB eine Pro- ton DE vom Punkt C des Kreises aus, so sind, weil
ACB=zDFE = B3IE=AND, Dreiecke ACB, BUIE, AND einander ähnlich, und man hat
l)
AB
AB
Diese AuRilrtickc behalten ibren Wertli, fulglicli die 1 und N ihre Lage fiir jede andeie Sehne, fod irelchei Projection betruthtet werden kann. Somit ist das Systet Sehnen, ffir nelche AB gemeinschaftliche ProjecKon ist, anderes, als das echon durch die Punkte M und IS besti System von Sehnen, oder es ist überbau {it^edeProje einer Sehne dieses Systems zugleich eine gen Bchaftliche Projection aller andern Sehnen Systeme.
Eine zweite Erzeugungsart für ein solches System tob neu ergibt sich, wenn man in Taf.lV. Fig. 2. no^b AE und zieht, die den Kreis in H und J achneiden , und bedenkt, das auch eine Projection von CH und CJ ist, dass somit diese nen dem System der Sehne DE zugebüren. In der Idenlitä eer zweiten Erzeugungsart mit der unmittelbar aus dem i sprochenen Satze Tolseiiden liegt auch die Identität dieses ! mit dem Pascal'schen Lehrsatz.
Zugleich zeigt diese zH*elte Entätehungsweise eines Syi wie man, irenti drei Sehnen gegeben sind, die Gerade, di« als Urundschnltt zugehört, finden kann.
Als unmittelbarer Zusatz ergiebt sich noch, dass, wen: Sehne eines Systems durch den Pol des Grundschnittes alle andern Sehnen des Systems durch diesen P*l geben m\ weil alsdann nach der Lehre von der Polare die Punkte i N zusammenfallen.
Auch verdient bemerkt zu werden, dass im allgemeinen wenn ein Endpunkt der Projection einer Sehne gegeben ist, andere Endpunkt eine doppelle Lage haben kann, während Tflr eine durch den Pol gehende Sehne nur einen zweiten punkt der Projection erhält. Jede Projection einer durch de
Sehenden Sehne kann als Projection der Sehne von zwei enen Punkten des Kreises aus betrachtet werden.
II.
Ertte Httupta-ufgabe. Die gemeinschaftliches zweier .Systeme von Sehnen zu finden, deren j durch seinen Grundschnitt und eine der Projecli gegeben ist
Oder: Einem Kreis ein Viereck einzubesc dessen vier .Seiten durch vier gegebene Punkte g sollen.
Aufliisung. Man denke sich die eesnchle Sehne al Ljwtden Grundschnitte so projicirl, dass der Schnittpunkt Ö
337
1!iii geineiiisoliartlioher Emlpunkt der Prujecliorien ist iJie loderu Endpunkte P unil (i (Taf. V. Fijf. l.) werde» sich istimmeii, da das Sysleni der gesuchten Sehne in Bezug le Grund schnitte s;e^e))e[i ist. Schneidet PQ den Krein id S, OK und ÖS al.er in T und V, so uind RV und :1 gemeinschaltli(.'he Sehnen beider Systeme. Als beson- all erscheint die Aufgabe: Die Sehne eines Systems den. die durch eine« gesehenen Punkt üShe. iät nämlich jede Sehne, die durch den gegebenen Punkt . .11 fiegehenem System in Bezng auf die Polare des Punk- ts. EineAufliiaung dieser Au fu'abe nnter der Form: Einem Kreis in Dreieck einzubeschreihen, dessen Seiten durch drei egehene Punkte gehen sollen, lindet man z. li. in van
I!et Auflösung der Anfgabe: die Sehne eines Systems II finden, die einer gegebenen Geraden paraHel sei, ilt an die Stelle der Polare der zu der gegebenen (ieraden eenk- •ihte Kreisdurchmesser, die Construction bleibt aber »vesentllch leselbe.
Uebrigens lassen sich die beiden letzten Aufgaben unabhän-
ig von der Hauptaufgabe ziemlich einfach mittelst Eienutzuog der
unkte M und jV lüsen. Namentlich wird man die zum Grund-
i'bnitt parallele Sehne eines Systems dadurch erhatten,
- man von M oder A' Tangenten an den Kreis, und durch
i.n Berührungspunkte Parallelen zum Grundschnitt zieht-
iMlttelst des Bisherigen ist man im Stande, wenn eine gege- ■Ai Sehne so projicirt werden soll, dass die Projeclion eine ge- iiLne Bedingung erfülle, der gegebenen Sehne eine andere von ii^elben Sysleni zu snhstituiren , welche eine für die Lösung < jedesmaligen Aufgabe bequemere Lage hat.
Ilieber gehören folgende Aufgaben :
ll Eine Sehne so zu projiciren, dass die Projection '"". gegebene Grösse habe.
Auflösung. Alan substitnire der gegebenen Sehne die zum schnitt parallele Sehne dessellien Systems. Den Punkt des ■ . i j. . _ ..--i-^„ .„ j — verlangter **'"■"-
ich diese Sehn«
, wird mau erhalten, wenn man ein Stück gleich dem ge- ilten auf dem Grundscbnitt beliebig auftragt, über dieser iiiiiltinie «in Dreieck construirt, dessen Seiten durch die End- i>k<e der Sehne gehen, und durch die Spitze dieiieB Dreiecks ■ ^ Parallele zum Grundschnitt zieht.
I Will.
l^
1
338
£i»e LüBung der Auifjabe für ütsit Fall, Hass es ^'^^b I Qrundscbniit {tiirullele Sehne des üysteme ^r nicht j;ibt, (d r Sali wird eiDlreleo, wenn die beiden Enduunlite der gegel rS«hne auf verecbie denen Seiten des Grundscbnitte liegen) ' S IV. foigen.
Iren, das» di« Punkt dea Gr'
:s getheilt wird.
£) Eine Sehne so zu proji
rJ6ction durch einen gegebene
Schnitts in gegebenem Verbal tn
Auflüsnng. AncU hier ist die bequemste Lage der iS
dieienige, welche zum Grundacbnitt parallel ist. Man wird
Senne in d*m gegebenen VerhällniRs IhpÜen, den TheilungH
I durch eine Gerade mit dem gegebenen Punht des Grundscti_
l rerbinden, und vom Schnitt dieser Geraden imd des Kreiset
fäle Sehne projiciren.
Eine zweite Auflösung namentlich fiir den Fall, dasa es liram Grundschnilt |iarallele Sehne des Systems gibt, ist folg)
Man Bubstituire der gegebenen Sehne diejenige, welche den gegebenen Punkt des Grundschnittea geht. Es sei (Ti Fig. 2.) DE diese Sehne. F der gegebene Punkt, Aß die suchte Pro jectiou. Wählt man dann den Punkt Gauri>£sD,
DF:FG=AF:FB,
so ist BG parallel zu AC, und folglich
GBE = ACF,
demnach der Punkt B leicht zu bestimmen.
Wenn die Entfernung eines Endpunktes der Projection Grundschnittes zur Entfernung des andern
einem Punkte di
puiiktes
indem Punkte des Grundschnittes ein benes Verbältniss haben soll, so hat man nur die EntferDun; beiden gegebenen Punkte in dem gegebenen Verbältniss za len, um auf die bereits gelüste Aufgabe zuriickztikouimen. die beiden Punkte des Grundschnitts diejenigen, in denei Grundacbnitl dem Kreis begegnet (Taf. V.' Fig. 3.), so ISasI die Aufgabe Ibigendermassen fassen :
ahs_ Grüsae hab Verhültnis'
s soll eine Ge 3if*'winkel a.
ogen
n Punkt sich f b1 u, ß, Y bildende Gera OD welchen das mittler- fihrend die beiden andei einander stehen.
auf wel leidend drei St ne gege n gegel) c
r Aufgabe, in etwas anderer Fomi gefasst, icra Archiv eine Liisung gegeben w irden.
käme nun die Aufgabe: eine Sehne eo
^dass das Rechteck a
tiden Stücken,
cbe die Projection durch einen gegehei
es Grundschnittes geth übe. Von di«ser Aufgabi Igeoden besondern Fall i
,. ebene Gn'lssa irir mitteilst des £ish er igen bloss 1 im Stande,
3) Eine Sehne
gegebenen Sehne auf eir
Auflösung. Man suche die Sehne vom System der ersten,
'aa durch den Schnittpunkt der zweiten und des Grundschnit-
.i. L^cht. Pntjicirt man die gefundene Sehne so, dass Me mit
lier eigenen Projection auf einem Kreise liegt, so liegt diese
fojection auch mit der zfveiten der gegebenen Sehnen auf einem
!rei9e> urd die Aufgabe ist gelöst. Der Punkt aber, von wel-
K~m ans alle Sehnen sich so projiciren, dass sie mit ihrer Pro-
'^in auf einem Kreise liegen, ist der, in dem die Tangente
:ilel zum Grundschnitt ist.
Die in 1. für AN und BM gefundenen Ausdrücke behalten n Werth nicht nur für iede andere Sehne des gegebenen Krei- , lon fve\eheT AB als Projection betrachtet tvcrden kann, sou- n sie behalten ihren Werth auch, vi'enn man ^ß aU Projection r fiehne eines anderen Kreises (von einem Punkte dieses is) betrachtet, für welchen die Produkte AD>cAC, [Ex£C ihren Werth beibehalten. Die geometrische Bedingung entweder, dasH der zneite Kreis dem GrundschnitI in eeltien Punkte begegnet, wie der erste, oder dass derlUitlel- pt des zweiten Kreises mit dem Mittelpunkt des ersten in rnodschnitt Senkrechten liegt, und die vom Fuss- ta dieser Senkrechten an die beiden Kreise gezogenen Tan- a der Grüäse nach gleich sind.
•nach enveitert sich nnser Hauptsatz dahin, dass durch den wen Kreis und den Gnindschnitt ein System von Krei- ifiiHid durch den Punkt M oder iV in Bezug auf jeden die- i ein System von Sehneu bestimmt ist, deren jeder d dasselbe System von Projectionen zugehört.
Inrcli ist man in den Stand gesetzt, in Füllen, wo sich in
gebenen Kreise keine die Lös~ung der Aufgabe wesentlich
rode Lage einer Sehne ermitteln liisst, auf einen anderen
^ Gberzugeben, und sich dort die bequemste Lage der Sehne
kSysleius herauszusuchen. Dabei »erden folgende zwei Haupt-
dnir Anwendung kommen. Man wird entweder 1) dem ge-
I Kreis^ denjenigen des Systems isubstituiren , der die in
T iV errichtete Senkrechte berührt, oder man wird, wenn
23*
340
diess nicht möglich ist, 2) dem s^egebenen Kreis denjenigen Systems substituiren , dessen Mittelpunkt im Grundschnitt \n Im erstem Falle lässt man an die Stelle der gegebenen Sei des gegebenen Kreises den zum Grundschnitt parallelen Dur messer des neuen Kreises treten, im zweiten Fall einen Dur messer, dessen Lage gegen den Grundschnitt von der Lage i Punktes M (oder N) abhängt.
Als erstes Beispiel kann die Losung der Aufgabe in 111. fiir den schon besprochenen Fall dienen. Man findet i dem System zugehörigen Durchmesser des neuen Kreises^ y Taf.V. Fig. 4. zeigt. Ist AB die gesuchte Projection des Dur messers VE, und O' die Mitte von AB, so sieht man leic dass OCO^^=AOD , dass somit das Dreieck OCO' gegeben
Man wird bei dieser Gelei^enheit bemerken, dass jede P jection des Durchmessers DE als Durchniesser eines Kreises 1 trachtet' werden kann, der den Kreis O unter dem Winkel AC schneidet. Ebenso kann die Projection des zum Grundschnitt par lelen Durchmessers eines Kreises als Durchniesser eines Kreii betrachtet werden, der den ersten berührt.
V.
Zweite Hauptauf gäbe. Die gemeinschaftliche Pr jection für zwei gegebene Sehnen zweier Kreise i finden.
Oder: Ein Viereck zu construiren, wenn gegeb« eine Diagonale der Lage nach, die ihr gegenüberli genden Winkel und vier Punkte, durch welche die vi Seiten gehen sollen.
Auflösung. Nach IV. wird die Aufgabe auf eine der di folgenden sich zurückführen lassen. Es soll die gemeinschaftlidl Projection gefunden werden
1) für die zum Grundschnitt parallelen Durchmesser zwei Kreise;
2) für den zum Grundschnitt parallelen Durchmesser ein« Kreises, und einen Durchniesser eines zweiten Kreises, dess< Mittelpunkt im Grundschnitt liegt;
3) für zwei Durchmesser zweier Kreise, deren Mittelpun im Grundschnitt lieut.
Nach der Schlussbemerkung zu IV. aber lassen sich die Aufgaben folgendorniassen fassen:
1) Einen Kreis zu construiren, dessen Mittelpnii auf einer gegebenen Geraden (dem Grundschni^ liege, und der zwei gegebene Kreise berühre.
341
2) Einen Kreis zu construiren^ der einen gei^ebe- ,en Kreis berflhre» einen zweiten unter gegebenem Kinkel schneide, und dessen Mittelpunict auf einem (cgebenen Durchmesser des letztern iCreises liege.
3) Einen Kreis zu construiren, der zwei gegebene Kreise unter gegebenen Winiceln schneide, und dessen Mittelpunkt auf dem gemeinschaftlichen Durchmesser keider Kreise liege.
Die elementare Lösung von Aufgabe 1) wird als bekannt vor-
ssetzt werden dürfen. Aufgahe 2) wird man mit Leichtigkeit
den Fall zurückfähren, wo der gegebene Winkel ein rechter
Am meisten Schwierigkeit macht Aufgabe 3). Sie lässt sich
die Form bringen: auf dem gemeinschaftlichen Durchmesser
(r Kreise einen Punkt zu bestimmen, so dass die Differenz
TOD ihm an die beiden Kreise gezogenen Tangenten eine
lene Grösse habe. Sind (Taf. V. Fig. 5.) OP und O'P
Halbmesser der beiden Kreise, Q der gesuchte Punkt, so
leiden die mit den Halbmessern OQ und O'Q beschriebenen
sbugen auf den in P und P' errichteten Scheiteltangenten
rei Stöcke Pi?, P'R' ah, gleich den von Q an die beiden Kreise
[enen Tangenten. Macht man jetzt PS=:0'P^, ST gleich
Vifferenz der Tangenten, so ist OR + RT= 0R+ O'R'
:00'. Man hat sonach über OT als Grundlinie ein Dreieck zu
liren, dessen Spitze auf der in P errichteten Scheiteltan-
liegt und dessen beide andere Seiten zusammen gleich 00'
eine bekannte Aufgabe der Eleraentargeometrie.
Als besonderer Fall unserer Hauptaufgabe erscheint z. B. der ade: Ein Viereck zu construiren, wenn gegeben Diagonale der Lage nach, mit den ihr gegenüber- [eodeo Winkeln und Ecken. Man kommt auf diese Au f- !, wenn die beiden ursprünglich gegebenen Sehnen dem Grund- parallel und der Grösse nach gleich sind.
Die Haaptbedeatung unserer Aufgabe wird sich im Folgenden
9l
il
VI.
Wirwerden nun die ein System von Projectionen cha- ^erisirende Bedingungsgleichung aufsuchen, und fM besonders den Fall berücksichtigen, wo man ein System {Kreisen hat, die den Grundschnitt schneiden.
•ei (Taf. VL Fig. 1.) DE die Sehne, welche projicirt md im Uebrigen Alles, wie in I., so hat man
1) AN=i
ADxAC AB
2) B3I=
BE><BC ~~ÄB~'
342
» .
Sind JZ und jS die Punkte» in welchen der Grandschnittdem Krak begegnet, so Ist '
ADxACzuARxAS, BExBC=:BRxBS , ^
und man hat '
Qx AKT DUM Ai> wii^ ARxAS'-BRxBS 3) AN-^BM^z AB'—lUN^ ^fg '
oder
MjNxAB= ABxAB-ARxAS+BRxBS
= (AR+BR) (AS'-BS)-ARxAS+BRxBS siBRxAS'-ARxBS. I
Setzt man AR^a, BR=:ß, BS=:y» MgWch ÄS=:j5+y hat man
«+p Äs-ürjv=2^;
woraus
RS+MN ß(a+ß+y) AS, AR *^ RS—MN^ ay ^ BS' BR'
Für den Fall , dass die Punkte R und S zwischen M und N gen , erhält man ebenso
MJN + RS AS . AR MN-RS-' BS' BR'
VII.
Die in VI. gefundene Bedingungsgleichung für ein System fÄ Projectionen enthält nicht nur einen neuen Beweis für alle N Bisherigen aufgestellten Sätze, sondern sie gibt denselben aaCS erst ihre wahre Bedeutung. Es ist nemlich das durch die Gleichofl
AS AR _ BS'BR — ^
343
aumenproGfaene Verhältniss kein anderes » als dasjenige, welches in der neueren Geometrie unter dem Namen eines an härm o- schen Verhältnisses vorkommt, weil es fiir K=l zu einem I ' harmonischen Verhältnisse wird. Man wird hiedureh auf eine t Dene,TomKreis unabhängige, rein linjeäreErzeugungs- I art eines Systems von Projectionen in dem bisher bespro- chenen Sinn ningewiesen. Dieselbe ist im folgenden Lehrsatz enthalten.
• Wenn (Taf. VI. Fig. 2.) AB die Projection einer be- grenzten Geraden DE, die «verliängert den Grund- schnitt in jS trifft, von einem Punkte C einer Geraden ans ist» die den Grundschnitt in R trifft, so findet für jede Lage des Punktes C auf dieser Geraden die Glei- chung Statt:
AS AR_ BS' BR—^^
Der Beweis soll hier ganz, wie in VI., geführt werden. Man liehe durch D und E Paralielen zum Grundschnitt, die die Ge- rade CA in F und G treffen. FE, DG treffen den Grundschnitt in M und iV. Dann ist» wie leicht zu sehen,
n Ai^ ARXAS ^^ ^,,_BRxBS
■nd da nun Alles, wie in VI., bt, so wird man auch die dort gefimdene Gleichung
AS AR RS + MN BS'BR-^ ÄÄ-üfiV
wieder erhalten.
Hjn kann bei dieser Gelegenheit einen Lehrsatz der neueren Geometrie herleiten, den wir für unsern Beweis hätten benutzen binnen. Es ist, wie die Figur zeigt:
ilso
^^ DSxEG ^^ ESxDF
SNDS EG SM" ES^ DP'
Schneidet CR die Gerade DE \n Q, so ist
EG_EQ DP-^ DQ'
I
nd fbtglicli
344
SM" ES'EQ'
MuD ist, wie icirht zu sehen,
UN^SiV, SX=l(RS+3iy), SM=l{RS^MA^
und man erhält demnach die Gleichung
IJS DQ KS+MN AS AR E S' EQ-^ RS'-MIS'^ BS' BR '
Man vergleiche hierüber die Geometrie von Kunze.
vni.
Da sich nach VII die Aufgabe , eine begrenzte Gerade voo einer zweiten gegebenen Geraden aus auf den Grundschnitt son projiciren, dass die Projection eine gegebene Bedingung erf&He^ auf die Aufgabe zurückltihren lässt, eine Sehne eines Kreises veo einem Punkt dieses Kreises aus in der verlangten Weise zu pro* jiciren, so sind, wie man sieht, mit den bisher für den Kreis gelösten Aufgaben eben so viel analoge für den Fall gelöst, wo statt des Kreises und der Sehne eine uube grenzte und eine begrenzte Gerade gegeben sind.
Besonders bemcrkenswerth erscheint hier die Aufgabe, einem Dreieck ein Dreieck ein zu beschreiben, dessen Seiten durch drei gegebene Punkte geben sollen. In Taf. VI Fig. 3., wo JJ, E, F die gegebenen Punkte sind, ist ^i? sowohl eine Projection von DE, als DF, und folglich mittelst der zwei* ten Hauptaufgabe zu bestimmen.
Es lü'sst sich aber sogar die allgemeine Aufgabe: Einem neck ein weck einzul) c schreiben, dessen Seiten durch n gegebene Punkte gehen sollen, nach den aufgestellten Principien lösen. Da jedoch die Lösung praktisch nicht wohl brauchbar ist, so möge darüber folgende x\ndeutung genügen.
Wenn AB und BC zwei verschiedenen Systemen angehö- rende, den Endpunkt B aber gemein habende Projectionen sind, so wird, wie leicht einzusehen, zwischen den Punkten A und C eine Abhängigkeit derselben Art Statt finden, wie zwischen ^-l und B oder B und C, d. h. auch AC wird einem bestinnnten System von Projectionen angehören. Um dieses System geometrisch zu bestimmen, hätte man zunächst irgend drei Lagen von AC zn zeichnen, und dann die Aufgabe zu lösen, wenn drei Projectio- nen von einem System gegeben sind, das System von Kreisen,
345
\i welches sie sich beziehen , zu findeo. Die Lusang dieser Auf- ibe enthält der Satz» dass, wenn AB und J'B' Projectionen ner und derselben Sehne DE sind, ADA':=iBEB' ist.
Betrachtet man nun z. B. (Taf. VI. V\^. 4.) das Viereck, essen Seiten durch die Punkte Dj E, F, G gehen sollen, so ehurt AC sowohl zu einem unmittelbar gegebenen System als rojection von Z>£, als auch zu einem mittelbar gegebenen Sy* tem, weil AB und BC gegebenen Systemen zugehoren. Dem- ach ist man wieder auf die zweite ftauptanfgabe zurOckgeführt, nd wird diess ebenso, wenn es sich um die allgemeine Anf- abe handelt.
IX.
Wir sind nun mit den Hauptan Wendungen zu Ende, und ge- len noch zu einieen besonderen über, zunäch^it fiir den Fall, wo 5e Punkte A^ N, B^ S harmonisch liegen, oder wo es sich um ie Projection einer durch den Pol des Grundschnittes gehenden lehne nandelt.
Zunächst fallt in die Augen, dass mit den bisher gelosten Lv^aben eine Reihe von Aufgaben in Bezug auf die Con- Iruction eines Systems harmonischer Linien gelost ist.
Eine Reihe neuer Anwendungen aber eröffnet sich durch fol- [enden
Lehrsatz:
Wenn man alle Projectionen einer durch den Pol ffs Grundschnitts gehenden Sehne von einem will- Ihrlich angenommenen Punkt aus wieder projicirt tfeine Gerade, die parallel ist zur Verbindungslinie les Punktes und des Fusspunktes der vom Pol auf !■ Grundschnitt gefällten Senkrechten, so ist das Ferbältniss der ersten Projection zur zweiten von instanter Grosse.
Beweis. Ist P der Fusspunkt der Senkrechten, folglich die von RSg so lässt sich die Gleichung
AS AR_^ , AS_AR BS'BR-^^' ^^®'' BS-^BR
1er Fonn schreiben
AP±PR _ AP-PR , AP+PR_ PR+BP SP+PR "• PR—BP ^"^^"^ AP--PR "PR'-BP'
erhält man unmittelbar
^=^ oder APxBP=PR^.
346
Fffr den Fall, dass der Grandschnitt den Kreui nicht trifl» 9M man leicht aaf directem Wege, indem man die durch den N parallel zum Grandschnitt gesogene Sehne projicirt:
APxBP=zP'n,
wo FT die von P an den Kreis gezogene Tangente ist
Ist nun (Taf. VI. Fis^. 5.) O der Punkt, von welchem in die Projection AB projicirt wird, Q der Schnittpunkt der zaOP Parailefen und des urundschnitts, ab die Projection ?oo ABt und zieht man durch A eine Parallele za OP, die den Pr^ jectionsstrahl Ob in C trifft, so ist
1) AB=AC^. 2) ab = AC^ = AC^p
und folglich
^ AB _ APxBP ^^ ab -^ OPxPQ'
ein constanter Ausdruck, da das Product APxBP coDstaatitf
Für den Fall, dass der Punkt O selbst auf dem Kreise»
fenommen wird, und O' der zweite Schnittpunkt von OP mit den Teise ist, ist sowohl PR^, als P'n=:OPxO'JP, unddieGle)' chung 3) nimmt die Form an
., AB O'P
^) l[b==PQ"
Mit Hilfe dieses Satzes wird man folgende Aufgaben luseo:
I. Durch einen gegebenen Punkt zwei Gerade s^ zu legen, dass sie auf zwei gegebenen Geraden zwei Stücke von gegebener Grösse abschneiden.
II. Durch einen gegebenen Punkt zwei Geraden legen, die mit einander einen gegebenen Winkel machen und auf zwei gegebenen Geraden zwei Stucke von gegebenem Verhältniss abschneiden.
Man wird in beiden Aufgaben den gegebenen Punkt ab dea
struiren. Bei der ersten Aufgabe handelt es sich dann danA durch den Pol eine Sebne zu legen, die sich von O aus ingese-j hener Grösse auf den Grundschnitt projicirt (Aufgabel) in IHh Bei der zweiten Aufgabe wirci man, äa die Projectionsstrabki'
$1
I
347
einen gegebenen Winkel mit einander machen sollen» dorch den Pol eine Sehne von gegebener GrSssje za legen haben.
Eine direktere and hfibschere AaflSsung von Aufgabe I. ent- hält folgender Lehrsats.
X.
I Lehrsatz.
Wenn der Grundschnitt den Kreis im PunkteP be- rührt, und es werden von einem willkübrlich ange- nommenen Punkt O aus alle Projectionen von einer- I lei System auf eine zu OP parallele Gerade projicirt» 80 ist diese zweite Projection von constanter Grösse*
^ Beweis« Die Gleichungen 1) und 2) in I. geben in diesem
Fall
Arr+B1U=AB'^2MP= Jg^ ,
woraus, da AB=:AP^BPy
APxBP
MP=z
AB
Non ist, wie in IX,
md sonach hier
t ^,^Of>xPQ
MP
Der Lehrsatz lässt eine andere Fassung zu, wenn O selbst p aof dem Kreise liegt. Lässt man nemüch alsdann ab sich fort- j bewegen, so werden Oa und Ob lauter Sehnen von einerlei Sy- I stem ans dem Kreise ausschneiden
Durch Comblnation dieses Lehrsatzes mit früheren Aufgaben nnd Lehrsätzen lässt sich nun noch eine Reihe von Aufgaben IfiseOt die wir nicht namentlich aufzufahren brauchen.
Anhang.
(. ^ Die im Vorhergehenden bewiesenen Hauptlehrsätze lassen sich in einen Lehrsatz zusammenfassen. Wenn man die
x=
F =
Ä(V-0 ^^ 6'(a:i2_-«2)
^'"" '2pö'^cc^-2a\
'2pö + a^'--2aa:^y+:r^y^ ' "" 2/)6'+a2--2a'a:i+:ri2
Wir schreiben jetzt die beiden Gleichunijen an -y^= -y> und Y=r P, und erb alten hieraus :
1) 2/y66'Cro-.ri)(^o^i+«2)
2) 2/?Ä»/>' (.To — o-, ) (xo + a:i ) woraus durch Elimination von /; :
348
Sehne DE eineg Kegelschnitts von der Peripherie des Kegelschnitts aus auf eine Gerade projicirt, die dem Kegelschnitt in den Punkten R und iS begegnet, so ist die Abhängigkeit zwischen den Endpunkten J, i?der Projection durch die Gleichung ausgedrückt:
AS ,AR_ ßS' BR'^'^'
Um diesen Satz auf dem Wege der analytischen Geometrie mug- liehst einfach zu erhalten, nehmen wir zu Coordinatenaxen die Gerade RS und den der »Sehne RS zugeordneten Durchmesser. Die Gleichung des Kegelschnitts wird sich dann in der Form anschreiben las^ien:
Die Coordinaten der Endpunkte der gegebenen Sehne seien (a,ft) und (a*, t*)y die Abscissen der Endpunkte der Projection aber Xq und Xi, Um die zwischen Xq und Xi Statt findende AbhSih gigkeit zu erhalten, kann man die Bedingung anschreiben » dass die beiden projiclrenden Geraden dem Kegelschnitt in einem und demselben Punkte begegnen. Die Gleichungen dieser Geradei neissen
(a — x^ (y — b) = b{x — o) , wobei a* — o* = 2p6 + ^6* ,
(«'--^i)(y— 60=Ä»'(a— o'), wobei a'2— a«=2/?6' + ^&'a.
Es seien (A', l') und {X\ P) die Ceordinaten für die zweiten Schnittpunkte di(?ser Geraden und des Kegelschnitts. Dann fin- det man durch eine einfache Rechnung:
I
319
^ro«-««)[(aro+:r,)(2a«jr4-«'(a:,2+aa))-(j:oa:i+a«)(.Ti«-2ii'jri+a^
- (.ryari + a«)(aro2 - 2a^o + «*) ] =0 . Diese Gleichung reducirt gibt
— 6'[«(^i — OTo) + «2 — a-o^i] J =0,.
und wenn man mit den unbrauchbaren Factoren wegdividlrt, erhfilt man endlich
4) XqXi j^^^, (a:o— ^i)-tt2=0,
eine Gleichung, deren geometrische Bedeutung leicht za erken- nen ist.
Zn bemerken ist noch , dass in der vorausgesetzten Gleichung des Kegelschnittes der Fall nicht enthalten ist, wo die Gerade, auf die man projicirt, parallel zu einer Asymptote ist. Die Be- dingunjgsgleichung fiir die Projection uird aber in diesem Fall besonders einfacn: namentlich ist bemerkenswerth , dass die Projection der Sehne einer Hyperbel auf die Asym-
Stote selbst von constanter Grosse ist. Man kann diesen atz leicht aas der in X. bewiesenen Eigenschaft des Kreises durch Centralprojection desselben herleiten.
Die Um kehrune unseres Hauptsatzes ist folgender, sehr leicht direkt zu beweisender Satz. Der geometrische Ort eines Punktes, von dem aus eine begrenzte Gerade sich auf eine zweite Gerade so projicirt, dass die Projectio* nen ein gegebenes System von Projectionen in dem bisherigen Sinne bilden, ist ein Kegelschnitt, von dem die begrenzte Gerade eine Sehne wird. Wird ein auf diese Weise gegebener Kegelschnitt von einer dritten Gera- den in den Punkten r und s geschnitten, so gehurt nach dem Hauptsatze jede Projection ab der gegebenen Sehne auf diese Gerade zu emem bestimmten Svsteni in Bezug auf die Punkte r, s. Diese Punkte wird man in jedem einzelnen Falle mittelst der zweiten Hauptaufgabe bestimmen können, und sucht man dann weiter eine Lage von ab, die einem unmittelbar gegebenen Sy- stem von Projectionen zugehört, so hat man folgende wichtige Aufgabe gelöst:
Durch zwei gegebene Punkte zwei Gerade so zu legen, dass sie auf zwei gegebenen Cveraden zwei Stficke abschneiden, welche gegebenen Systemen von Projectionen zugehören.
Ein besonderer Fall dieser Aufgabe ist z. B. der, wenn ver- langt wird, dass die beiden gesuchten Stücke eine gegebene Grösse haoen sollen.
Zum Schlüsse miige hier noch foli^einle, mit den im Vorhe sehenden behandelten Aufgaben verwandte Aufgabe ei ™
Man aoll ein e Seiten, als lander mache
Viereck construiren, in dem sovolip die Diagonaf en gegebene Winkel mlf
Bei der Aiiflüsung sind zwei Maupffdlle zu unterschddea
I. Einet der Winkel des Vierecks ist ein übers tum p fei, odei einspringender.
Es sei (Taf. VI. Fig. 6.) ABED das gesuchte Viereck, des- sen Seiten AO, HE sich in C, und dessen Diagonalen AR, BD eich in G schneiden. DE und AB schneiden sich in F. Uu Dreieck<4fi/> betrachte man aUParalleliirojectlan eines ziveltenUrd ecks, mit dem es dieGrundlinie.^figemeinliat,die drei Transversa'"' AG, bC, HF aber als die Prnjeclionen der drei Hrihen des l< (ein Dreiecks. Man nird dieses Dreieck zeichnen kiinoen
man durch C und G Parallelen zn DF zieht, die die Gl _^
in c und n treffen, und die Schnittpunkte der in c und g erridi- teten Senkrechten mit dem Alter ^Zf beschriebenen Ualbkrels con- strulrt. Heissen diese Schnittpunkte C und G', und schneldeo AO, BG' sich in D% BC und AG' in £', so ist das Dreieck ÄBD mit seinen Transversalen eine Paratlelprojeclian des Drei- ecks ABiy mit seinen Hüben , nnd dernuach GG' parallel zu CG. Die Aufgabe wird daher sein, das Viereck ABGG' zn conslrei- ren. in Hekhem ausser der Seite AB die Wii|kel AGB, AGB und die Richtung ven GG' gegeben sind, und In dem überdies« G'g zu Gg sich verhalten soll, wie Oc za Ce. Ein diesem Viel- eck ähnliches wird man bekommen, wenn man ein VlerMl: A'B'CO construirt, in welchem A'CB-=^\m.. und A'CH'^AGB ist. Kolgllch ist die Aufgabe keine andere, als die am Schlun zu V. erwähnte und mit der zweiten Hauptaufj^abe gelöste, filr welche man jedoch in diesem speciellen Falle, noch eine eleCf chere Lüsung erhält, wenn man sich fQr das durch die Gleichnnj
AcXcB=Cc''
bestimmte System von Projectlonen nach IX. einen durch it\ Punkt C gehenden KreU verschafft, und dann eine Sehne «< System sucht, die sich von C aas unter dem Winkel Ai projicirt.
II. Die Winkel des Vierecks sind alle kleiner als i»e! ' Rechte. Uie Autliisung wird in diesem einfacher scbeioeDdeti Falle leider compllcirter.
Es sei ABEli wieder das gesuchte Viereck (Taf.VII. Fic-ll und die Bezeichnungen, wie vorher, so wird II ....
eck ABD als Parallelprojection eines Dreie und DF als Projection der Hr.he D'F, aber nicht mehr AG w\ BC als Projectionen der beiden andern Hüben. Dennoch bleil^
351
e Construction im Wesentlichen dieselbe, wie im vorigen Fall. ^Sblt man nemlich den Punkt C wieder so, dass
» wird anch
G'g^^AgxBg erden, weil alsdann das Viereck ABEiy ein Kreisviereck ist
{BE'F = BCc = BAD') id somit
BCg^BDr^BAG*.
g wird sich also das Viereck ABG*G durch eine der Torigen ms analoge Construction zeichnen lassen. Zu bemerken ist »cb« dass die Aufgabe sich in folgender merkwürdigen Form fas- » Ifisst Ein Parallelogramm zu construiren, dessen leT Ecken auf vier in einem Punkt sich schneidenden eradeo aufliegen, und dessen Seiten gegebene Win- b1 mit einander machen.
Macht man nemlich (Taf. VII. Fig. 2 ) AF, AG parallel und eich den Seiten CB, CD des Vierecks AB CD, so ist FBDG n Parallelogramm, weil FB gleich und parallel GD ist.
Interessant fiir die beschreibende Geometrie ist der Fall, wo eaea Parallelogramm ein Rechteck ist. Zieht man alsdann durch sn Schnittpunkt der vier Geraden eine Gerade parallel zu einer BT Seiten des Rechtecks, so wird man diese Gerade als Spur iaer Ebene betrachten kCnnen, in der zwei Gerade liegen, von «Ichen daa eine Paar der gegebenen, (das der Spur näher Regende), ia Projection, und das andere die Umklappung in die Grund* bene vorstellt Man hat somit die Aufgabe gelöst: Die Ebene weier in der Grundebene sich schneidender Geraden V finden, wenn gegeben ist 1) die Projection der Ge- aden und 2) ihre Ümklappung.
352
"Wann liegl; der (ichwerpnnkl; eii ebenen Viereckes ausserhallb des
selben?
Eine Gelegenheitsfriage
beantwortet Ton
Dr. Wilhelm Matzka,
Prof. der Math, an der Prag^er UniTcrsItät.
1. Sei in einem Viereck .4^C/>(Taf.VlI.Fig.3.) eine innere!
selbe zertheilende) Diagonalere gezogen, undselen indenen
henden Theildreiecken ABC, ACD die Schwerpunkte F, G dad
1 1
bestimmt, dass man EA^^EC, EF=^EB und EG =: ir
machte. Dann ist bekanntlich die Strecke FG eine sogena Schwerlinie und wird durch den Schwerpunkt M des ga Viereckes zertheilt. Soll nun dieser Schwerpunkt ausser Viereckes Fläche fallen, so muss diess schon mit einem Tl dieser Schwerlinie FG der Fall sein; was aber nur gesch< kann, wenn das Viereck an einem Grenzpunkte der theilenden Diagonale AC, etwa an C, einen eingel den Winkel hat.
2. Man ziehe auch die äussere Diasfonale ^Z), und ve gere bis zu ihr noch die innere Diagonale AC, welche s auch die Schwerlinie FG in H schneiden muss. Damit 3 Aussen Winkel BCD liege, muss auch schon H darin lie folglich
EH^EC
353
Bein. So wie qoq
EF-^EB,
ist auch
daher soll sein
^^f^>£;c.
ilso
CJ — WC d. L CJ^CA
Der Schwerpunkt f ä 1 1 1 demnach nur dann ausserhalb des Vierecks, wenn die Verlängerung seiner inneren Diagonale bis an die äussere mindestens so lang als die innere selbst ist.
3. Man bestimme nun auch die Schwerpunkte der Dreiecke ABB, CBD, deren Unterschied das Viereck ABCD ist. Hiezu seht man aus der Mitte O von BB die Transversalen OA, OC ■nd macht
:h P, Q die verlangten Schwerpunkte sind. Die durch sie .de neue Schwerlinie PQ des Viereckes mnss sofort die frü- Schwerlinie FG in dem verlangten Schwerpunkte M schneiden.
4 Nun ist PQWAQ folglich, so wie OP=jOA, auch ON
^jPJ, daher JN=z^OJ; ferner wegen FG\\BB ist HM JN, Es ist jedoch unter der Voranseetzung , dass
BJ^JB
U die
if
her
id XTm. 24
m:
AlMn
folgiieii
imd endlich
1 ;tflii ^h* i?J^
ijDzsHG md IjB^HF,
I ■
amzsHG^HF,
1 4
was eiM hSchsf einfacli« Bostimnvu- das Sebi pnokte« M anf du Achwerlinie JPC diiM^tat
B. Daidt jrtrt jr in dm WljdGd /Cl> ifiyi«» mim
' «i f t »i; : i" ■ . ■ - . f . . ;
wflfd#n« AlMn
"*>C» ,».M n*^! ?■:'.. ffr.»: -1 j *ji'' <\ *A f;f>V C» f^Mii' . 'i !, jj.:
nnd
/emer
CH-EH-^EC,
EH=:\eJ=\{CJ-\^ CE)=\{CJ ^\cä)
und
£C=5C4;
daher ist
CH=\(CJ-CA)
uod somit
„, JD CJ—CA
355
ndet man dies qkit dem oben gefuDdeneii Folgt
_^ JB . CA
lun
[en, so muss.
JB^ CA JD= CJ
d. h. damit des Viereckes Schwerpunkt ausser >s — in den Aussenwinkel seines eingehenden Winkels — , muss zwischen den Abschnitten JB , JD und CA, meiner beiden Diagonalen die Bedindungsver- ;huog bestehen;.
JB^CA JD— CJ*
. Diese Bedingung , von der sich leicht ersehen lässt, dass ir die gestellte Forderung zureicht^ lässt sich noch auf man- M brauchbarere Weisen ausdrücken. Z. B. wenn man die Punkte , J, B feststellt, so kann man leicht JD* so construiren, dass
JB CA JD^ CJ
etwa indem man AA' -^JB macht und .^'C bis />' in der is^erten BJ führt. Dann verwandelt sich obige Bedingung in infachc
JD ^ JD\
)a ferner auch
JD^JB
soll, so muss, wenn man JB'=^JB abträgt, die noch relnde Spitze D des Viereckes nothwendig auf innerhall) der Strecke B'D* gewählt werden.
f
336
7. Soll insbesondere iler Schiverpunkt M in der Seil CD liegen, niuss HM=Hh werden, also JD=JD' oder
JD.JB = CJ:CA I Mb, mitbin D \a D" lltgeii. — Dutit «r «nf dU T«rtt»gkrt
-■■' J/>=y» = >*'''^^'-''''
Hin, folgUch iJls^S^.Wn.,^ 9aa«r eedHch »ardUSpiti C f4ll«D, nuiM »öbH Meh £«=0. lUJÄck CJt^CA Mia;«! in T»r. Vü. Flg. 4. ■ ; i>
8. Eine andere liequeme Gonstruction eines so chen Viereckes inijchte ivohl die folgende leicht erkiärbai sein. Man wnhit FG (Taf. VII. Fig. 5^, auf ihr den l'unkt d und ansserihr£. Aufdenverl.inaerlen £i^£Gmachtnian FB^dfi und CD^iEC; dann auf Fft die Fff=GM. und zieht dieifi — Fiilirt man nun die J)V bis sie //£ in C trifft, und :9chneidl man EA'^EC ab; so liegt des Viereckes A'BC/J SchwenttiA ßlm der Seite CD. — Wälilt man alter C zwischen E und C und seiineidet EA^EC ab; so liegt der Scbireruunkt Mit Viereckes ABCO ausserhalb desselben. — Ist M die Milti der FG, so fällt // auf ihn; daher wählt man C im Allgemein«! zwischen E und //, ivonach des Viereckes Schtrerpunkt aol seiner inneren Diagonale liegenwird.— Verl«gt man jeilmi insbesondere C nach // oder Ja selbst, so fällt er auf dit Spitze des eingehenden Vierecksvvinkels, 09f. VII Flg. 4.). *«v-V^-^
357
eber die CoyTerse des Satzes: Im leichscbenkliKen Dreiecke sind die le Basiswinkel nach i^leiclieni Ver- äitniss theilenden TransTcrsalen ein- ander gleich.
Vun
Herrn C. Schmidt,
Lehrelr an der höheren Rürgperschnle zu Stolpe.
Im Archiv Tbl. XVI. S. 201. fl finden sich zwei Beweise für len Satz: 8ind die Transversalen, welche zwei Dreiecks winke! lub gleichem Verhhitniss theilen, einander gleich, so ist das Dreieck gleichschenklig. Da dort auf eine „Aufforderung'^ in cbem früheren Theile des Archivs hingewiesen ist, so will ich nch einen Beweis des angeführten Satzes mittheilen. Derselbe «iterscheidet sich von jenen beiden dadurch, dass er nicht andere, jkt Schnlgeometrie fremde Sätze vorausschickt
Lehrsatz, Werden in einem Dreieck zwei Winkel
Iiirch Transversalen nach demselben Verhältniss ge- keilt und sind diese Transversalen einander gleich, • ist das Dreieck gleichschenklig.
In Bezug auf Taf. IV. Fig. 3. ist
^ ^ V 11 *
358
worin — eineD echten Bruch darstellt, n
Thes. AB = AC.
Beweis. Man trage ^ß als ^BCF in C an BC, ma CF=BE und ziehe BF. Nun ist
i\BCF^/>^CBE,
und wegen der Voraussetzung BD= BF. Man verbinde Z> F, so ist i\BDF gleichschenklig und
jilBDF=z^BFD=e,
Angenonimenj ß sei > y, also ß=^-\- ö, worin ö positiv.
Nach der gemachten Annahme drücken wir nun die Wir CDF und CFD durch dieselben Stücke aus, um eine Verg chung derselben möglich zu machen.
Im ^CDB ist
also nach unserer Annahme
= 2Jt — y y n — £.
Im ^ VFB ist
^CFD=:2R — ß-^'^y--s,
^ n '
also nach der nämlichen Annahme
= 2Ä-y^5--y-.£. ' n*
Durch Subtraction der zweiten Werthe finden wir den ünterschi der Winkel CDF und CFD, nämlich
^ CDF- A CFD = d - '^ d.
n
111 Da 6 positiv und - ein echter Bruch ist, so ergiebt sich
ACDF'^Z.CFD,
350
folglich in dem A CDF CF'>CD, folglich in den beiden Drei- ec&n CBF und CBD, in denen zwei Seitenpaare gleich, das dritte aber ungleich:
CBF^^CBD,
oder
also y>/3» was unserer Annahme /3>y geradezu widerspricht. Ebenso wenig kann y>/3 angenommen werden, weil daraus fol- gen würde: |?>y. Es ist also /3=y, das Dreieck ABC also gloichscbenklich.
Anmerkung 1. Der Satz gilt auch, wenn die Transver- [Wlen die Verlängerungen der Seiten treffen, wobei dann
'■mm
[— ein unechter Bruch wird. Der Beweis bleibt wesentlich Ifanelbe.
Anmerkung 2. Den einfachsten Fall erhalten wir^ wenn |die Transversalen die Winkel halbiren. Im Beweise erscheint
[dann a an der Stelle von — • 25 n
380
BfflrichtigoDgen za der Abhandlung ThL XV lU Nr. XVm. in diesem Hefte.
S. 203. Z. S. Statt «v^ setze man a^^.
S. 264. Z. 4. V. u. Statt %n setze man in-
S. 371. Z. 6. V. u. Statt AxcnXt,i=x) setze niBii bee
AicBXii(=cot9'), obgleich vorher x=cotqD gesi woideo.
^
1
Berichtigungen zu Theil XVII.
8. 324.
I
a—T
S. 363. Z. & setie man ygCooJS für x^omB.
Berichtigong zu Theil XVI.
8. 230. nnd 8. 221. moss man ab vaA a'V (tbenJI in bc und : nmindern, nämlich im sweiten Absätze .auf S. S nnd in den btiden ersten Absätzen auf 8. 221.
Oben in diesem Hefte (ThI. XIII. Heft II Seite 352. muss die Nummer des Aufsatzes nicht X} sondern XXH. sein.
361
Die 15 letzten ITInter in Berlin,
dargestellt und besprochen
von
Herrn Professor Dr. J. Ph. Wolf er s
in Berlin. (Za diesem AaCsatze gehören Taf. VIII. and Taf. IX.)
Bereits vor länger als 4 Jahren habe ich im zehnten Theile dieser Zeitschrift einen kleinen Aufsatz über strenge und gelinde Winter abdrucken lassen, seitdem aber mich ferner mit diesem Gegenstande beschäftigt. Damals lagen 11 Winter zur Untersu- chung Vor, jetzt ist deren Anzahl auf 15 eestiegen, aber auch ausserdem habe ich die Grundlagen dieser Untersuchungen gegen damals zu vervollkommnen gesucht. Während ich früher die Tem- peratur-Curven vom 15. November bis zum 15. März ausgedehnt Aatte. erstrecken sie sich jetzt vom 1. Novbr. bis zum ßL März, in den Schaltjahren bis zum 30. März, so dass sie einen Zeit- raum von 150 Tagen umfassen. Aus einem in dem erwähnten Aufsatze angegebenen Grunde hatte ich damals die Mitfagstenipe- lituren eingezeichnet, während ich jetzt die mittlere Temperatur eines jeden Tages aufgetragen habe , so wie sie in den Beobach- tongen der hiesigen Königlichen Sternwarte abgedruckt sind. Hierbei habe ich mir eine kleine Inconsequenz zu Schulden kom- neu lassen, welcher ich aber wegen Anlage dieser Beobachtun-
5en nicht ausweichen konnte. Vom 1. November 1836 bis zum I. December 1840 habe ich nämlich das Mittel aus drei zu pas- ■•nden Stunden abgelesenen Thermometerständen, hingegen vom IL Januar 1841 an ^as Mittel aus dem maximum und minimum an jedem Tage benutzt. Wesentliche Unterschiede werden aus die- ser loeoDgruenz nicht hervorgehen.
Die hauptsächliche Erweiterung dieser Untersuchungen scheint Bir aber im Folgenden zu bestehen. Früher hatte ich nur
Tkeil XVIII.
25
3M
T«k«lle A.
1810 |
1841 |
1 |
1812 |
|||||||||
jninme Jer Tempe- |
||||||||||||
«tur |
raiur |
ralur |
||||||||||
+ T.-| _ |
Ta- |
+ |
T.« |
- |T.- |
+ IT" |
_ |
Tl |
|||||
yg |
iL |
\JS1_ |
lil |
|||||||||
97,7 |
21 |
0,2 |
1 |
U5,2 |
3C |
0,ä |
1 |
75,1 |
18 |
0,8 |
||
30.0 |
10 |
29,7 |
11 |
8,9 |
6 |
133,6 |
25 |
130,4 |
42 |
100.2 |
2 |
|
1,S |
2 |
26,1 |
6 |
0,2 |
1 |
3!,7 |
12 |
0.2 |
0,5 |
|||
3-2,1 |
S,B |
3 |
10,2 |
6 |
28,4 |
[ |
0,2 |
2,6 |
||||
0,8 |
86,8 |
13 |
0,4 |
1 |
119.8 |
19 |
1,5 |
15,9 |
||||
S5,4 |
14 |
0.1 |
1 |
11,5 |
6 |
32,4 |
12 |
10,7 |
1,4 |
1 |
||
44,9 |
17 |
16,8 |
( |
128,7 |
25 |
42,2 |
14 |
W |
, |
|||
0,1 |
4,6 |
4 |
63,7 |
16 |
0,4 |
1 |
||||||
0,1 |
2,2 |
2 |
21,9 |
7 |
||||||||
2,5 |
2 |
0,6 |
1 |
|||||||||
10,0 |
G |
1,6 |
2 |
|||||||||
11,0 |
6 |
0,5 |
r |
|||||||||
3,7 |
5 |
2,5 |
3 |
|||||||||
3,2 |
2 |
|||||||||||
».inn..: |
sn |
"35 |
TFFJ |
"53 |
il^.i |
TT |
EI |
"^r |
313:51 |
w |
i53!! |
T |
Tabelle A.
1843 |
1844 |
184S |
||||||||||
SuiDlne der Tempe- ralur |
Samme der TeiDpe- rstnr |
Summe derTompe- |
||||||||||
+ |
T.- |
_ |
T» |
+ iTe- |
_- |
T«- |
+ |
T.- |
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ans der Betrachtung; der Formen der Curven Schlüsse al ziehen versucht. Diess «ird auch jetzt eeechehen, "mdessM werde ich dabei die Zahlenwerthe, aus "clcben jene Curven her- vorgegangen sind, benutzen, um niittebt derselben fester zu be- f;ründen, ob ein einzelner vorliegender Winter zu den fitrengeo oder den nicht strengen gezählt werden musn. Hierbei »ar nun zunächst zu ülierleEen , auf welche Weise diese Zahlen zu benut- zen wären, da ich jetzt eben so wenig wie in meinem früliern Aufsatze die mittlere Temperatur des ganzen Winters als Grund' läge annehmen, sondern wiederum dielMenge der ununterbrochen stattgefundenen hohen oder niedrigen Temperatur im Auge behid- ten wallte. Es schien mir daher am angemessensten, die einzel- nen Stfiebe der Corve in qnadriren, welcbe Arbeit nicht scbwic rig sein konnte und wodurch ich ein Resultat erhalten ntuBstt, welches, wenn auch weniger anschaulich, die Stelle der Curve ver- treten konnte. Diese sogenannten Thermometercurven sind keine geometrische Curven, sondern gebrochene Linien, die Linie du Gefrierpunktes ist die Abscissenaxe, ivelcfae nach dea Tagen ra gleiche Intervalle gethellt ist, so dass man es hei dieser Quadri- Tung nur mit Trapezen von gleichen Höhen und einzelnen Drei> ecken zu thun hat. Auf diese Weise sind die Zahlen worden, welche dem Inhalt der durch die Curve und die Abscif- Fenaze begrenzten Flächen proportional sind, und welche ich in den folgenden Tabellen unter der Ueherschrift Sum me derT«a-, peratur aufgeführt habe. Die Bedeutung der algebraischen Zd| chen ist von selbst klar, das jedem Flächeninhalt entsprechen^ Zeitintervall ist stets in Tagen hinzugefügt, so dass es leicht iä die einem einzelnen Tage im Mittel entsprechende TemperRlB menge zu ermitteln. Hierbei habe ich es vermieden, Bruchthffll des Tages einzuliibren , vielmehr nach dem Augen maasse eintl bestimmte Anzahl ganzer Tage angesetzt, wobei die in dieser | Hinsicht begangenen Fehler ganz unbedeutend sind.
Wenn ich nun sogleich eine Zusammenstellung der auf die« | Weise für die einzelnen Winter erhaltenen Resultate Reihefolge gebe, worauf die weitern Untersuchungen begründet J werden sollen, so m< ige man sich nicht darüber wundei '^ mitunter ganz unbedeutende Zahlen von einem oder eini^enZ theilen aufgeführt sind. Diese waren einerseits von \^ichti^ in Uezug auf die zu ziehenden Schlüsse, Andererseits . nach dem Verzeichniss der Beobachtungen nicht als znfSItfH unbedeutende Grlissen anzusehen, sondern es finden Zeit mehrere Ablesungen in diesem Sinne statt, deren mitl Resultat nur in Folge von Ablesungen im entgegengesetzten Sitti so klein ausßllt. In dieser Bedeutung bitte ich es zu versteh^ wenn ich mich spSter des Ausdrucks eines cntschi Plus oder Minus bedienen werde. Ehe ich- nun die Tabelle i folgen lasse, deren Bedeutung nach den vorangehenden Beffle| kungcn klar ist, »vill ich noch erwähnen, dass ich der KBr wegen jeden einzelnen Winter nach der Jahreszahl des bi d«^ selben fklleaden Januars bezeichnet habe.
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Wollte ich diese Discassion der Torbandenen und bere ten Beobachtangen beibehalten, und daraus Schlüsse eiehei würde man mir mit Recht einwerfen kGnnen, dass ich einer wiJIkflhrlicheo Zeitraum ais Dauer des Winters angenommen Auf der andern Seite erschien es mir, nach den graphisch v Zahlen Fortlegenden Resultaten, noch weniger als zweckm mich auf die genühnlich zum Winter gezählten drei Monati cember, Januar und Februar eu beschränken. Auf diese 1 wäre ich nämlich gezwungen gewesen, fast in allen Jahren bedeutenden TheiT der Betrachtung zu entziehen; ich ba daher vorgezogen, die Dauer jedes einzelnen Winters so zi stehen. daH er sich vom ersten bis zum letzten entschie Frosttage erstrecken soll. Natürlich wird auf diese Weis Dauer der einzelnen Winter von einander verschieden , alle werden so eine feste Anschauung von ihrem wirklichen V gewinnen- Indem ich nan nach ilem Verzeichniss der Bec tungen diejenigen Frostlage hinzufüge, welche ausserhall 1. Novbr. und 31. März liegen, nSmUch
1837 bis zum 10. April
1838 ,. „ 1. „
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]«40 vom 29. October an 1850 bis zum I. April, ir fo|r;cnde Zusammenstellung der einzelnen Winter:
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+o.'jy
+0,23 +0,23 —1,05 -1,54 -2,50 -3,00 —3,34
Winter sind hier nach dem, einem einzelnen Ta^e im ommenden, Uelierschu^^s der Temperatur geordnet. Ob lussion die richtige sei, wage ich nicht zu behaupten, dififle sie sich der Wahrheit mehr nähern, als die vor- B. aus welcher Tabelle B. abgeleitet norden ist. Ehe die einzelnen Winter Betrachtuneen anstelle, erlaube folj^ende Bemerkung voranzuschicken. Bei der noch :ii]gen Anzahl der vorliegenden Winter halte ich es stvecbmäs&Ig , aus den Zahlen der 6. oder S. I TaheUe G. die mittlem Wertlie herznieiteii; sondern jetst unter einem strengen Winter einen solchen ver- L .welchem die Wertbe dieser Rubriken negativ sind, also .iiberiviegciid statihnilet, hincesen diejenigen Winter Ige nennen, in welchen diese Manien po^iitiv sind.
r Tabelle B. erschien der Winter von 1848 als ein nicht wogegen ein Blick auf die Curve oder auf die Tabelle dasB er durchaus zu den strengen zu zählen sei, nie auch in der Tabelle C. zeigt.
in der Tabelle B. an der Spitze der nicht strengen sfe-
Winter von J846 nimmt in der Tabelle C. erst die 6le
~ i; diess rührt aber nur von seiner auffallead kurzen Dauer
man aus der 7. Kubrik erfü^ht. Bestimmt man aus den
370
9 ersten Wertheii dieser Kulirik die mittlere Dauer eines streuen Winters, so lindet man dieselbe gleich l'iO Tagend hin ist der Winter von 1840 um St Tuge kürzer. Fügt in dem hier aufgeführten üelierschuss der Temperatur -jf-'U), Werth, welcher nach Tabelle B. den fehlenden 51 Tagen i men würde ; so würde man fiir 120 Tage den Ueberschuss + aläo im Mittel für 1 Tag +1,50 erhalten.
So wie in der Tabelle C. der eben besprochene Wintt 1846 sich wegen seiner auffallend kurzen Dauer nicht so g darstellt, als er wirklich war; würde umgekehrt der Wint« 1849 als ein weit strengerer hervortreten, wenn die drei l unbedeutenden Frostperioden nicht eingetreten, also seine 1 nach der oben aufgestellten Erklärung, geringer geweser Betrachtet man nämlich den Verlauf diesex Winters in de belle A., so sieht man, dass die erste Kälteperiode ununterbr ^ Tage gewährt bat, und dass die Summe der dieser P< entsprechenden negativen Temperatur 150.6 beträgt, ei menhSngende Menge, wie wir sie nur in den strengen W linden. Ziehen wir einmal nur die beiden ersten Kältepei dieses Winters, nebst der zwischen ihnen liegenden Wärraep« in Betracht, so erhalten wir folgende, der Tabelle C. < chende Darstellung:
1S49| i
).7l 16 155,8 32
—106,1
48
-2,21
In diesem Sinne habe ich in meinem frübern Anfsatsp Mrengen Wintern snlche verstehen wollen, in denen eine
5' eriode von lüngerer Dauer stattfände, ohne Rücksicht 1 bsolute mittlere Temperatur des ganzen Winters. Wir *< inten sehen, dass diess in der Regel auch in strengen ^ itatllinden wird, da es aber bis jetxt noch schwierig eem ^ \fis Maass einer Kälteperinde anzugeben, wonach ein Wim ^In strenger oder nicht strenger betrachtet werden mfisstt gebe ich von meiner damaligen Erklärung ab, und werde ■vehr, wie oben bereits geschehen, die ganze Summe Aer' i'eratur in Betracht ziehen. Ehe ich diesen Gegenstand veit ill ich noch bemerken , dass der unmittelbar vorhergehende ter von 181^ einen ganz ähnlichen Verlauf wie der oben b , jedoch in grosserem Maassstahe gehabt hat. Wir AÜmlich die Kälte fast ganz in eine Periode von 51 Tage fint, und zwar beträgt deren Summe nach Tabelle A. 2^0,2. an den beiden Curven nimmt man sogleich diese Aehnll
Wir haben oben au9 den 9 nicht strengen Wintern ^ lere Dauer eines einzelnen gleich l'JO Tagen gefunden, ' erhalten wir aus den 6 letzten nach Tabelle Cdie mittli eines strengen Winters gloicb 109 Tagen. So wohl unte
m
8ttenf;eii. als unter alten IS hier aufeelührten Wintern ist der *an 1845 Beinern Gange nach der auffaltendete, weshalb ich befiel daes eine besondere Besprechung desselben Entschuldigung fin- den werde. Während in den 5 übrigen strengen Wintern der Januar stets sehr kalt war, fällt in diesem eine hcden- leode Kälteperiode in den Decemher, eine zweite weit be- tfiithtlichere in den Februar und März, wogegen der Januar so celinde war, nie man ihn sonst kaum in einem nicht strengen Winter findet Dieser Winter ergibt ferner sowohl die grösste Snmme der negativen Temperatur überhaupt, als auch den gtoss- len Ueberschuss der neealiven über die positive und er erscheint niir desfibalb in der Tabelle C. nicht als der strengste, weil eben die Kalte in zwei «eit von einander getrennte Perioden fiel und w seine Dauer eine griissere wurde. In meinem frfihern Aufsätze bezeichnete ich, bloss nach der Ansicht der Curve, diesen Win- ter als eine, mittelat des gelinden Januars zusammenhängende, Verbindung zweier strengen Winter. Nimmt man diese Zerlegung des Winters in zwei Theile nach dem Princip vnr. wonach die Tabelle C. gebildet worden ist, so erhält man folgende Darstellung " iset Theile, jener Tabelle entsprechend:
2
Winler
B d. Temperst.
llcljer- I Dauer
I Mittel
r erste Theil würde daher unter den strengen Wintern in ^lle C. die vierte Stelle einnehmen, der zweite hingegen den Ißaten Winter darstellen.
Btat^hdem wir nun die 15 Winter in der Tabelle C. nach ihrer j in einer bestimmten Reihenfolge geordnet haben, nullen ^pde zwei Fragen zu beantworten versuchen:
Unterscheiden sich die strengen Winter charaiilo ristisch von den nicht strengen?
Sind diese Unterschiede bereits am ersten Theile der Curven, oder der den letztern in der Tabelle A. entspre- chenden Zableiiirerthe zu erkennen?
bin e»te Frage wird zum Theil schnn durch die in der Ta> |C enthaltenen Resultate bejahend beantwortet, ausserdem 'i auch der bereits erwähnte Umstand , dass in den stren- iVintern die niedrige Temperatur mehr kus aromengedrängt ist, I »Uft ohne Unterbrechung stattfindet, während in den nicht stren- gen Wintern in der Kegel mehr einzelne Kälteperioden von kür- :ci Dauer und geringerer Summe der negativen Temperatur vor-
[D, Dm diesB durch Zahlen zu erläutern , führe ich für die In Winter die Zahl der Kälteperioden, die gtüsste dersel-
374
Da die lotste Periode am 28, Janaar endet, eo kann man mir eil* werfen, dasa ich erat nach dem Verlauf des grosatenTheileadegWi» ters meine Vermuthnng hätte auaaprechen kCnnen. Hierauf «mi) dere ich , dass ein Schluss bereits nach der ersten kleinen i\kl| entschiedenen KSlteperiode^muglich, jedoch gewagt gewesen wbi^ ich im Allgemeinen aber diesen Winter zu den Ausnahmen jSUe^ was auch in meinem frühem Aufsatze bereits der Fall war, nJ worüber ich oben schon einiges bemerkt habe.
Im Winter von 1837 trat der erste Frost am 23. Novonk« ein, und ohne dass hier die Zahlen der Tabelle A. zu Hülfe ||e- rufen werden dürfen, zeigt ein ßlick auf die Curve, dass bereib im ersten Drittheile desDecembers seine nicht strenge Beschaffei* heit nach der hier aufgestellten Regel entschieden war.
In dem Winter von 1840 kamen die bereits am 28. und 3L October stattgefuodenen, wenn auch nur eintägigen und gerioees, doch entschiedenen Kälteperioden zu Statten, um die ebenulb nur geringe eintägige Periode am 1. December zur Geltung a bringen. Ganz entschieden zeigte sich die nicht strenge mtv dieses Winters in der Qtägigen Periode hoher Temperatur ?oi 22. bis zum 31. December.
In dem schon oben, seiner auffallenden Kürze wegen!» sprochenen Winter von 1846 trat die erste Kälte am 13. Jiece»| ^ bei ein, und es folgten
f
auf 3 Tage mit —6,5 2 Tage mit + 2/2
1 „ „ -0,5 15 „ „ +27,2,
also gegen 4 Tage mit —7,0 17 Tage mit +29,4.
Die letzte Periode endet am 3. Januar, indessen ersieht mai aus der Curve, dass bereits am 25. Decbr. seine nicht strenge i> Beschaffenheit entschieden war.
Der Winter von 1849 gehört zu den Ausnahmen , ich hata oben bereits erwähnt, in wiefern er zu den strengen gezählt wc^ den kann und werde später zeigen, dass er auch das charakte- ristische Mericmal eines solchen in seinem ersten Theile enthält
In dem Winter von 1839 trat die erste Kälte am 19. Noveu- ber ein, und es folgten
auf 11 Tage mit —38,9 19 Tage mit +53,7;
am 18. December war daher entschieden, dass er ein nicht stren- ger sein werde.
In dem Winter von 1844 trat die erste Kälte am 11. Dcce* ber ein, uüd es folgten
k
375
auf 2 Tage mit —0,0 22 Tage mit +65,0.
It es gewagt gewesen sein würde ^ diese kurze Kälteperiodö, und ben so die eintägige am 5. Januar gelten zu lassen; so trat der niseheidungstag erst am 18. Januar ein, wo die grusste und !rar Otägige Käteperiode dieses Winters bereits zu £nde ging.
Indem ich nun die zwei Winter von 1S42 und 1849 aus den Dgegebenen Grflnden zur Seite lasse, ergeben die 7 übrigen nicht bwngen Winter folgende übersichtliche Hlomente:
Winter.
1843 1851 1837 1840 1846 1839 1844
Erste Kälte.
Novbr. 5 „ 17 „ 23 Octbr. 29 Decbr. 13 Novbr. 19 Decbr. 11
Tag der Ent- scheidung.
Decbr; 7
„ 11
3
„ 31
,. 25
„ 18
Jan. 18
Letzte Kälte.
März
99
April März Febr. April März
28 11 10 28 19 3 24
Wir haben nun die strengen Winter zu betrachten, und zwar frat im Winter 1850 die erste Kälte am 20. November ein; es iMgten
auf 1 Tag mit — 0,1 1 Tag mit + 0,1
„ 9 Tage „ -27,7 1 „ „ 00
gegen 10 Tage mit —27,8 kommen 2 Tage mit +0,1.
Am 2. December trug ich hiernach kein Bedenken, mich f?Ir He strenge Natur dessellien auszusprechen.
Im Winter von 1847 trat die erste Kälte vom 17. November tk, es folgten
anf 1 Tag mit — 0,7 13 Tage mit +44,2 „ 20 Tage „ -59,5 3 „ „ + 4,4;
gegen 21 Tage mit —60,2 16 Tage mit +48,6.
Am 24. December war seine strenge Natur entschieden.
Im Winter von 1848 trat der erste Frost am 15. December IIB} and es folgte sogleich eine Periode
Tfp
voa 51 Tagen mit —200,2. ^^M
B fand am 23. und '24. December statt, n-o die T r tiar bis — 2*' stie|E, wesshalb in diesem Falle die aber Aualfunft geben konnte, düss man am 24. 0 Vinter als einen strengen anzusehen habe.
1838 trat die erste KSlfe am IL Dec in zunächst mehrere ivechGelnde Pef
aaf 2 Tage mit — 1,5 1 Tag mit +0,1
„ 1 „ ,, 7,9 3 „ „ 8,5
„ 3 „ „ inO 3 ., „ 7,0
1 f kommen 7 Tage mit +15
bet inte man die strenge Natur als enl on 1845 trat die erste Kälte am 29. Noti
a e mit —84,8 2 Tage mit +2,3.
Die letztern sah ich schon damals als die kritischen au, und ihrem Verlauf schloss ich am 2Ü, December auf einen str Winter, der dann aacbi wie oben hnprocheiit im Febrna] März aich einstellte. .
In dem Winter von 1S41 trat die erste Kälte am L D' ber eip, es folgten
auf 1 T&e mit - 0,2 B T^e mit +8,9,
dann 25 Tage mit —133,6.
Wahrend dec jetiten Kfilte|>eriade.,fand die Krisis am. 20 21. December statt, wo jedoch die Temperatur nur bis an sti^, und am: 22. December konnte man die clreiige Natu entschieden ansehen.
Die 6 strengen Winter ergeben nun folgende, der ohigei sprechende Uebersicht:
377
Winter.
1850 1847 1848 1838 184Ö 1841
Erste Kälte.
NoTbr. 20
„ 17
Decbr. 15
.. 11 Novbr. 29 Decbi. 1
Tag der Ent- scheidung.
Decbr. 2 24 24 27 20 22
ff
9f
99
ff
ff
Letzte Kälte.
April 1 März 13
April l März 23
ff
In dem Winter von 1849 trat die erste Kälte am 20. Dcbr. in, und es folgte eine Periode
von 27 Tagen mit —150,6.
Am 23. und 24., so wie am 26. und 27. Decbr., stieg die Tem- eratur bis an und über — 2^, und diese beiden Erscheinungen mssten als entscheidend für die strenge Natur dieses Winters elten. In wie weit man diesen Winter wirklich als einen stren- m betrachten kann, ist oben besprochen worden, wesshalb ich, m Wiederholungen zu vermeiden, abbreche und nur noch be- lerke, dass die zwei Winter von 1842 und 1849 hier als Aus- ■hmen angesehen worden sind.
Ehe ich diesen Aufsatz schllesse, erlaube ich mir, noch itnige kurze Bemerkungen zu machen. Sein Inhalt ist eine wei- tere Ausfuhrung der in meinem frühem Aufsatze angestellten ße- trachtungen, und jetzt wie damals betrachte ich sie als einen fersnch, die Erscheinungen auf eine neue und wo möglich frucht- |riDgende Weise zu deuten.
Ferner habe ich hervorzuheben, dass eben so, wie allein in
triin angestellte Beobachtungen zu Grunde liegen, auch meine blusse nur für Berlin gelten sollen. Für andere Orte müssten ftniiche Untersuchungen dejr dortigen Beobachtungen angestellt Verden , um für sie Schlüsse zu ziehen, und sollte diess in Folge der Mittheilung meiner Untersuchungen geschehen ; so würde es Bir zur grossen Freude gereichen.
Theil XVUI.
26
378-
n a c II t r a g.
Der vorstehende Aufsatz war bereits vor dem Anfai letzten Winters ffeschrieben , sein Abdruck ist aber bis je Bügert worden; daher dürße es nicht unangemessen sein, trachlung dieses blichst tnteressaiilen Winters hier nach folgen zu lassen. Die erste KSite trat am 18. November i bis zum 6. December schien der Winter eher denCbaraktf strengen, als eines nicht strengen annehmen zu wollen, Tom 6. bis 16. December statfgefnndene hohe Tenijpera Entscheidung für einen Winter der letzten Art betbeirührt Zahlenangaben, der obigen Tafel A. entsprechend, sind g^nden:
1832 |
||||
Jiimmo iler Temiic- |
||||
ralur |
||||
1 |
+ r.r |
- |
Ts- |
|
r |
«,•2 |
16 |
15,2 |
y |
r |
3,8 |
7 |
3,8 |
3 |
44,9 |
10 |
0,4 |
2 |
|
2,0 |
2 |
1,7 |
||
2,B |
3 |
3,6 |
||
4,3 |
3 |
0,1 |
||
71,0 |
24 |
0,1 |
||
0,2 |
I |
0,1 |
||
61,2 |
21 |
5,3 |
||
1,4 |
1 |
0,4 |
||
O.I |
1 |
12,8 |
6 |
|
9,8 |
4 |
2,4 |
3 |
|
2%0 |
12 |
0,1 |
I |
|
e.5 |
3 |
|||
Summe |
2ea,y |
m |
TW |
15 |
379
Hiernach nhnmt dieser Winter, wenn mau die 150 Tage vom l. November bis zum 30. März in Betracht zieht, in der Tafel B. lie dritte ^Stelle ein, indem wir haben:
Winter. Ueberschuss der Temperatur. Im Mittel für 1 Tag. 1852 +223,9 +1.49.
Rechnen wir hingegen wie oben die Dauer des Winters vom ersten bis zum letzten entschiedenen Frosttage , so nimmt derselbe in der TaCel €• die oberste Stelle ein, indem wir nämlich haben:
Winter
1852
Samme der Tempe- ratur
+
217,2
Ta-
89
— Ta- ge 46,01 42
Ueberschuss der Tempe- ratur
+ 171,2
Dauer in Tagen
131
im Mittel für 1 Tag
+ U1
Wir wollen hier bemerken , dass er unter allen 16 betrachteten Wintern die kleinste Summe der ne(;ativen Temperatur enthält, imd da er fär die Tafel D. die folgenden Werthe hat :
Winter
1852
Anzahl der Kälteperio- den
13
Daner der
gross ten in
Tagen
1
Summe der Temperatur
— 15,2
M nimmt er auch in Bezug auf die Angabe der letzten Rubrik die oberste Stelle unter den nicht strengen Wintern ein.
Ueber seinen Charakter hatte ich mich am 20« December ent« schieden ausgesprochen nach folgenden Daten:
Auf 9 Tage mit — 15,2 folgten 7 Tage mit + 3,8 3 „ „ 3,8 „ lü „ „ 44,y
99
»9
9f >9
0,4
9>
99 99
2,0
demnach kamen gegen 14 Tage mit — 19,4, 19 Tage mit
+ 80,7.
26*
380
Vier Tage friiher am 16. December hatte sich der Charakte des Winters auch schon entschieden herausgestellt, da ich abe erst am 20. die Beobachtungen eintrug , sprach ich mich auch ersi an diesem Tage aus.
Zum Schluss folgen hier noch die, der obigen Zusammen- stellung entsprechenden, Werthe dieses Winters:
Erste Kälte Tag der Entscheidung Letzte Kälte
Nov. 18. Dec. 16. März 27.
Berlin, April 9. 1852.
381
Zur nifferenzenrechnanfüf.
Von
Herrn Professor Dr. O. Schlomilch
sn der polytechnischen Schule su Dresden.
Man hat sich längst schon mit dem Zusammenhange zv^ischen kn Differenzen und den Differentialquotienten derselben Funktio- eo beschäiligt , namentlich die Fragen erörtert^ ob >sich nicht f^f[x) durch /(ar), f'(a;)y fix) etc., oder umgekehrt p^)(x) beb f(a)9 ^f{pc) , ^f{x) etc. ausdrucken Hesse, aber man kennt, OTiel ich weiss, keine Methode, mittelst welcher sich derartige ieziehungen rasch entdecken lassen; ich theile hier ein solches ^erfahren mit, welches gleichfurmig auf jede Art des Zusammen- ftDges zwischen Differentialquotienten oder Integralen einerseits, nd Differenzen oder Aufstufungen andererseits passt, mithin ail- emein genug Ist. 13m aber auch seine Schattenseite nicht zu erbehlen , will ich gleich bemerken , dass es die Gültigkeitsgrän- eo der entwickelten Formeln unmittelbar nicht angiebt, dass ko z. B. die Convergenz der vorkommenden Reiben in jedem peziellen Falle a posteriori zu bestimmen sein würde.
Wenn q>{u) eine beliebige Funktion von u, und x eine will- ftrliche Constante bezeichnet, so ist der Werth des bestimm- 01 Integrales
/
b
Ine Funktion von x ; setzen wir also
f
983
1) / e^^(p{u)du=:f{x).
fio folgt jetzt durch beiderseitige n malige Differenziation Ziehung auf x\
a
Andererseits hat man^ Jx immer =1 gesetzt,
a a
d. i. bei ZnsüÄimenBfehtihg der Integrale:
Jf (e''—\)e'^''(p(u)du=\Jf(x) ,
und wenn man dasselbe Verfahten des Differenzenbildens wiederholt :
a
Aus der Vergleichun^ der Formeln 2) und 3) ergiebt sie folgende Bemerkung: Hat man irgend eine analytische Bezi in welcher einerseits u oder verschiedene Potenzen von u, rerseits e^ — 1 oder Potenzen dieses Ausdruckes vorkomme] det also eine Gleichung von der Form
4) Aq + AiU + A^u^ + A^u^ + ....
= Bo + J5a(£«-1) + ^.i(c«-l)2 4. ....
statt, so braucht man beiderseits nur mit e^^(p(ü)du zu m ziren und zwischen den Gränzen u=:a und u=b zu inte um sogleich ein Resultat von der Form
Aof(x) + A,Df(x) + A.,D'^f(x) +
= Bof(x) + B,Af(,x) + B^J^fix) + ....;
also eine Beziehung zwischen Differentialquotienten und renzen zu erhalten. Wir wollen diess an einigen Beis zeigen.
383
L Entwickelung von ^f{x).
Da sich e* in eine Reihe von Potenzen entwickeln lässt, «o nss dasselbe mit e**— 1 und (e**— 1)"* der Fall sein; setzen wir, lZ^..k imiber mit k^ bezeichnend,
(e»-l)« = ^ «» + ~^^. u^^^ + 7^^ ««+« + .... ^ ' m ' (m + 1) " (m + 2)
) ist nach dem Theoreme von Mac Laurin
*
^fc=[i[>*(c«-l)'»](tt=o)
pd wenn man den Binomischen Lehrsatz anwendet > so findet ich bei wirklicher Differenziation
6) Ah = »iow»* — wij (m— 1)* + ?ii2(»i— 2)*— .... ,
romit die CoefBzienten A bestimmt sind. Aus der Gleichung 5) igiebt sich jetzt durch Multiplikation mit e'^q>{ti)du und inte- [ratioD
boit ist die Aufgabe gelöst, irgend eine Differenz durch Diffe- ■tialquotienten auszaoriicken.
^ II. Entwickelung von D^f{a).^
Dass eine Gleichung von der Form
Iiteb^ mfisse, . erkennt man leicht mitteist der Substitution
frlzzv oder ti=l(]4-f); denn es ist dann
i
m Anderes als das Resultat einer Poienzirung von der he- |M«n Gleichung
l(l+r) = fj-^t«+Jt?8 — jr*+....
t
■ mitod ein CoelUzietit /li, wStd
B,=|0>[1(1+.)]"1,,.„, = | »•(!»■)"} ,„„ Diese üifTereiiiciatioa iässt eich mittelst des Tlieoremes ausfulire« 0) fl'AI»)
= |r [ Vi-icl.«)- 4/''-'i(ii) + eS/i-xw- ].
worin C die Fakulläteocoeffizienlen von (i, -f')" bezeiclinen, abi aus der Gleichung
10) (i. + l)" = ia + 1)Ci + -i)....(: + «-l)
bestimmt werden kiintieii. tiieriiach firnlet man (vir u^zk, /(y)^
unter der Racksichf, Aobb k^m i<jt: |
|
ßt=(-l)*-"1.2.3. |
.m.Ck-^. |
Die (Jleichung 8) lautet jetzt |
|
X |
|
" — ^{^ — IJ— .T (C U + +7 |
»+l)('»+2) |
und jiach dem lieschriebeneii Verfahren folgt augenblicklich a» tleri«eltien
11) fl-/-W=(i4'"/-W -
fUr in=2 kann man dem Resultate die Ferra geben:
385
/f 1 1\^A^)
■*^ Vl■*■2^3/~4~"■~••• >iess Alles ist sehr bekannt» wenn auch auf anderem Wege und iwar von Laplace mittelst symbolisclier Formeln bewiesen Wor- ten. Nen dagegen diirfke das Folgende sein.
/»OD
III. Entwickelung von / e''^f(jx\i)dt.
<»
Setzen wir ähnlieh wie früher
14) f{x)^j e-'»g>(u)cfM,
a
woraus die folgenden Formehi hervorgeben:
15) . / i««c--^9(tt)dM=(— l)«/)«^^:),
a
16) / (I— 6-«»)"e--«'g)(tt)rfM=:(-l)«^YG^)5
«o lässt sich nach Nro. 14) auch f(x\f) durch ein Integral aus- drücken und es ist dann
f^e-*f{x + t)dt = je'* dt j c-(*+')''y(tt)rftt
/h /»OD
a o
/* 1
e-*^g>(u)du j^^ •
a
Man übersieht nun leicht, dass eine Reihenverwandlung von der Form
17) j^=l+ p^(l-e-')+^(l-e-'')'»+ ...
^^" |
38« 1 |
mSRlich sein mus»; deon fOr 1— c~-'=t<, &]so u = -l(l-^ giebt sich ' " ■ |
|
10) |
1— l(l-fl)~ ^I'"T2' ' "^ |
ivus nffenliar c;anx in der Ortliiung ist. mittelst der Gleichung |
|
,9) y |
er-'ax^t)dl = ni:)-'^^nx) + -^'^rt») -.... \ |
> Um iiocb |
i)ie ICoerGzienteD A zu beBtiiiiiucn, setzen wir in Nro. iid baben |
nib)='-t'+r""--. . |
|
folgLich |
1 |
A,-i i)>[ß' ,_,;,+.,],„., ] |
|
= <-')' [«'-r^],„. |
|
Uie Ausfii |
hrung dieser Differenziation mittelst der Formel 9) gie |
A,=(.-\)<'[CJi - C,(*-l)' + IW-V -■••■]• Bezeichoen wir wie folgt
20) ^ A=*'(i-(i-l)'fc, +(i-2)'4— -..
Bo ist ^k=:( — l)Vk> und mithin geht die Formel 19) in die f< gende Aber; .. ,
21) J"',-'f(x+l)dl=f(x) +j^Jm + ^'S^A»)
Will man .ix nicht ^1, aondern =A jaetzen, so findet man ei apiecfaend
22j' 'y'Vv(*+»ot«=nx)+^^/(«)+iz/v<«)
Vfthlt man f(x) so, dass sich die linker Hand postulirte Integra- ion, sowie aie rechts yorkommepden iHfferenzeD , ausfuhren lässt, so gelangt man unmittelbar zu neuen Theoremen > wie z. B. für f(x)=siRX9 f(a:)=co8x u. dergi». '. >■
/OD ■ fix + fjcostdt,
0
Zufolge der Formel 14) erhält man zunächst
/OD /»OD /»*
f(:c+{)co8tdt = I costdt I e-^^-^^>ip{u)du
€r-^<p(u) du I e-^costdt
a 0
/» U
e-'^(p(u)duj^^s
ud wenn hier eine Reihen Verwandlung von der Form
o
insgefuhrt wird, so geht die vorige Gleichung in die folgende
tter:
jene Reihenentwicklung näher zu untersuchen, setzen wir 1—6""= — 2; es ist dann
i+[i(i+j)]a- r '— '£ * +••••
ud mitbin bestimmen sieb die Coeffizienten A Aach der Formel
=<-»>*-*['" I+fer],«.,.
imen wir in Formel 9)
F 388 |
^ II |
i. ..i .^.', .,■, n,i |
|
und beacliteii, dass in diesein Falle |
|
,,„,,.1 ^-""''■^■^-■"'u>.fh |
ri+l)Arot«i.il |
' '^^ (i+s^)ii"H-'> '^ |
|
ivird. so findet sich bei umgekehrter Anordnung der Glieder: |
'26) At=:VCi,-i~3Ct-i+5'Ck-i, —
Niuimt man in Formel 2-i) .4.r=A, eo ist allgemeiner
Ein Beispiel hierzu bildet die Annahme
man erhält nämlidi, nenn in den Differenzen Bchliesälich x= gesetzt wird ;
= - ^(i!-*'-l) + ^(«!-4»'_2e-*'4 1)
+ ^(I-3,+35<-,«)+...
worin , wie sich von selbst versteht, ij ein positiver Seliter Brul sein muss.
389
/OD
.1. .:
Unter Benutzung der Formel 14) findet sich
lf(x+t)smtdt = / ^siBtdt I er}^^f)^(p(u)du
o 0 a ' '
/b . ^^
«-*« (p(u) du I er^ginidt
a o
/* i
»tzeo wir eine Reihenentwicklung von der Form
••• •
108, SO geht die obige Gleichung in die folgende über: ry(a:+i)8\ntdt=f(a;) -^ Jf(x) + ^ ^/(^r) - ... .
Für 1 — 6""" = — z nimmt jene Reihenentvrickelung die nach- mde Form an:
l+[l(l+z)]» es ist mithin
Ai . Ai
T
man sieb, dass för
/(y)=
1+»*
WkuDte Formel
392
So allp;eroein bekannt dieses Verfahren ist^ so scheint man einen Umstand dabei übersehen zu haben , der nicnt ohne ^ tigkeit ist und namentlich bei bestimmten Inte&^raleo ganz h ders erwogen sein will; es kann nämlich vorkommen, da^ nach X aufzulösende Gleichung a:^^q>(y) mehrere Wurzeli sitzt, wie es schon bei einer in Beziehung auf x quadrati Gleichung der Fall sein würde, und es entsteht dann von i die Frage, welche von diesen verschiedenen' Wurzeln (i weitere Rechnung zu nehmen ist. Handelt es sich z. B. un Werth des Integrales
t/V2ra; — a:«^"^'
so kann man setzen
und hieraus folgen für x und dx die Doppelwerthe : entweder
a: = r + V"r»— y*, mithin da? =—-7^=^=:^; oder
Im ersten Falle geht das obige Integral in das folgende übe
ri,(^ -^J) =z - Aresin ^ + Const. und man hat dann
A
dx ~ ^ kxQ,^\i\2—I^ ^ + Const.
^iLrx — x'^ Im zweiten Falle erhält man auf gleiche Weise
f:
aA) 2 ^'^ = + Aresin ^^^-TT^ "^ -1- Const.
V hx — x^ r
Welche von beiden Formeln die richtige ist, entscheidet sicli leicht durch Differenziation, und man wird finden., dass jed beiden gefundenen Formeln gebraucht werden kann, nämÜc erste, wenn man
393
SBddie zweite, wenu man dieselbe Wurzel =r — x setzt. In der Anrendang auf bestimmte Probleme wird man aber aus der Natur liM Gegenstandes jederzeit wissen, ob jene Wurzel =a: — r oder =:r— d? zu setzen ist, und dann bleibt auch keinß Wahl mehr nrischen den beiden erhaltenen Infe^ralformeln. So kann man in
gern Falle durch Differenziation emerseits und durch genaue irteroDg seines Probiemes andererseits sich vollständig ori- entiren.
Ganz anders wird die Sache bei bestimmten Integralen; hier gehen die Substitutionen bekanntlich nie rückwärts (von y nach x) sondern immer nur vorwärts, indem man zugleich die Verän- deronsen anmerkt, welche die Integrationsgränzen erleiden, und eine Probe durch Differenziation ist am Ende gewöhnlich gar nicht aosffihrbar, weil man es in den meisten Fällen mit solchen Diffe« renzialformeln zu thun hat, die sich unbestimmt nicht integriren lassen. Um die hier entstehende kleine Schwierigkeit an einem recht frappanten Beispiele zu zeigen, betrachte ich das Integral
Setzt man x'^'\-2ra:=y, so folgt nithin
ist femer x gleich der unteren Integrationsgränze — 3r geworden, 10 bat y den Werth 9r^— 6r2=3r^ erhalten, und ebenso entspricht der oberen Integrationsgränze x-=-{-r die obere Gränze
y=r2 + 2r«=3r2; ■an hätte demnach
-3' 3'"*
Der Werth eines zwischen gleichen Gränzen genommenen Inte-
ees ist aber im Allgemeinen die Null, und so gelangt man zu i offenbar widersinnigen Resultate, dass für jede beliebige vfonktion f das fragliche Integral der Null gleich sei. — Um em ^ Viielitiges Ergebniss zu erbalten, niuss man hier folgend ermassen ■•cUiessen. Wenn x das Intervall — 3r bis +r durchläuft, so Wert sich der Ausdruck y==a:*+2ra? in der Weise, dass er
Theil XVllI. 2T
394
wfthrend des Intervalls — 3r bis -^r abnimint» för xrs:^-^r m Minimum erreicht und daraufarrss^-r bis a:=-fr wächst; dabei wi
fBr 0?=— 3r „ y= + 3r«.
Sieht man w als Abscisse, j( als Ordinate an, so kommt je zwischen — r^ und -f-3r^ lieeende individuelle Ordinate zweiir vor, einmal als sehörig zu emer zwischen — 3r und i— r liege den kleineren und dann entsprechend einer zwischen — r und -| enthaltenen grosseren Abscisse; eine Ausnahme hiervon mac nur die Ordinate +t'^, die blos einmal vorkommt Zerlegen v jetzt das Integral Nro. 1) in folgende Integrale:
2) ß f(x^ + 2rar) dx -{^ j ^ f(x'^\^tx)dx ,
so enthält das erste Integral alle vorhin als kleinere bezeichnet( Xi und das zweite Integral lediglich die grosseren x\ hierai folgt» dass, wenn in beiden Integralen ar^-f-2rar=^ gesetzt wir umgekehrt für das erste Integral in Nro. 2) nur die kleinere Wi
zel a:=r— V r^ + y und für das zweite nur die grössere Würz
a?=r+V^r* + v zu gebrauchen ist. Nach dieser Bemerkung v€ wandelt sich me Gleichung 2) in die folgende:
Kehrt man im ersten Integrale die Integrationsgrfinzen um, gie ihm. also das entgegengesetzte Vorzeichen, so lassen sieh nu mehr beide Integrale zu einem einzigen zusammenziehen, nämlic
und dieses ist die richtige Transformation von Nro. 1).
Das so eben auseinandergesetzte Verfahren dient gleichfö mig auch zur Umwandlung des allgemeinen Integrales
/
f[g>(x)]dx;
man hat nämlich vorerst zu untersuchen, wieviel Maxima und W
395
nima der Funktion yzgiq>(x) swiscben die Integration^äiizeft a und ß fallen; treten diese Maxima undMioiroft für xts^^^ ^f^==¥s» etc. ein , so ordne man die Grossen fii y (i^ etc. nach ihrer Grosse, so dass c(<^« <fi«....</? ist, zerlege das gegebene Integral in eine Reihe anderer integrale , welche die Integrationsgränzen :r=tt bis a;=fti, x = (ii bis xz^fi^ ^^^' umfassen , und substituire in den einzelnen Integralen diejenigen Umkehrungen der Funktion y=q>(x)f welche den zugehörigen Intervallen entsprechen. — \Vir geben hierzu einige Beispiele von möglichst allgemeinen Formen,
I. Es sei zunächst das dem vorigen ziemlich ähnliche Integral
J= lf{xH'^rx)dx,
— r
zu transformiren» so hat man zunächst
—OD — r
and vermöge derselben Substitutionen wie vorhin
fiv)
dy
V^r« +.V
Setzt man noch yz=.r^Zy so erhält man durch Vergleichung der verschiedenen Formen des J
/^ P^ f[r^z)dz
-OD -1
Will man das Wurzelzeichen rechter Hand vermeiden, so kann man z=ii^— 1 setzen, und hat dann
5) r'^f(x^+2rx)dx = 2r C^firHu^ - l)]cZtt .
A>U8 den gefundenen Crleichungen lassen sich leicht allgemeinere Formeln dadurch herleiten, dass man mehrmals in Beziehung auf die willkuhrliche Constante r differenzirt; da die Ausführung die- ser Operation nach den von Herrn Dr. Hoppe und mir gieich-
2T*
39«
zeitig bekannt gemachten Formeln nicht die mindeste Schwierig- keit hat, 80 kann ich sie füglich übergehen.
II. Das SU transformirende Integral sei
/> a
f(cx+ -)dx.
Da y=:ca:+— für ar=V — sein Maximum y=2V^ac erreicht, so zerlegen wir wie folgt:
/T e a /•• a
Aus y^^cx-i-— ergeben sich umgekehrt fSr x die Werthe
X
durch dereo Substitution man erhält:
I /»aVS «
Kehrt man im ersten Inte.&:rale die Intec^rationsgränzen um und vereinigt dann beide integrale, so wird einfacher'
cj _ '^^ XTv^-^Aac
Eine noch bessere Gestalt erhält das Integral, wenn man
\y^ — Aac = 2 setzt; es wird nämlich schliesslich
6)
ficx+-)dx = -J fiSTi^+t^dz.
r- I
n.
397
Diese Formel lässt sich wiederum durch mehrfache Differenzia- ttonen in Beziehung auf a oder c verallgemeinern, womit wir uns jetzt nicht aufhalten wollen.
Nimmt man in Nro. 6) z. B. 80 ergiebt sich
0 0
Eine andere Supposition wftre
/'(t«)=F(t«a— 2ac); sie giebt
8) /**F(c«a:« + ^)<fo=J^ f^ F (:lac ^ x^)dx ,
0 0
ich schon früher einmal bekannt gemacht habe. IIL Als drittes Beispiel diene das Integral
J^=^ I f(coax + tan^ . sinj:)il^ ,
worrn ^ einen constanten Bogen des ersten Quadranten bezeich- nen mSge. Wollen wir
coso; -f tan^.sin^=^
setzen 9 mo ist zunächst zu erinnern, dass die Gleichung
^=: — sinj?-f tand.cosjr=:0,
d. h.
tana;=tand
svreiWorzeln besitzt, welche in das IntegrationsinterTall 0 bis 2tc fidlen; diese Wurzeln sind x=^^ und xr=zTc+^) die erste macht ■ y sa einem Maximum nämlich secO, die zweite giebt das Mini- iniim — seo^. Wir zerlegen nun wie folgt:
400
Die Bezlehnnip der Ellipse auf ili zwei gleiclien coiUu^rten Durc
messer.
Von
Herrn Doctor Kosters
xa Warendorf.
unter den verschiedenen metrischen Relationen zur Bes mung eines Kej^elschnittes gibt es auch eine, welche in sehr facher Weise die Ellipse und Hyperbel auf zwei gerade Linien zieht. Sind nämlich zwei gerade Linien L und Li , welche , unter einem Winkel (29?) schneiden, der Lage nach gegeben, ist der Ort des Punktes, dessen Abstände a und ß von den 2 gegebenen Geraden im Quadrate eine konstante Summe oder D renz p^ geben, nämlich:
eine Ellipse oder gleichseitige Hyperbel. Betrachtet man nun den Fall, in dem
so ist der Ort eine Ellipse, für welche durch einfache ( struction sich die einzelnen Punkte , so wie die Achsen nun le bestimmen lassen. Es ist:
der Halbmesser der gleichen conjugirten Durchmesser
r
sin2(p '
401
5 grcisse Halbachse
"■" V2.«ing>'
2 kleine Halbachse
6-— £— , V2.cos9>
& Excentrizität
^ = Ä • V'acos'iy ,
it Parameter
**» = vää^ • *•"«'' = ****"«'' '
e Leitstrablen
' sing) * sin9
Dieser Beziehung der Ellipse als Ortslinie auf zwei feste eraden entspricht folgende Betrachtung.
Eine Ellipse wird gebildet durch die Peripherie eines Krei- SS, indem sich alle auf einem Durchmesser senkrechte Sehnen ihrem Fasspunkte um einen gleichen Winkel drehen.
Sind (Taf. X. Fis^. 1,) AB und QZ>| z%vei senkrechte Durch- lesser des Kreises M, und dreht sich jede auf AB senkrechte ehne, z.B. PEi, wie MCi, in ihrem Fusspunkte um den Win* A fp9 so bilden die so verschobenen Punkte der Peripherie des Preises in ihrer neuen Lage » z., B. E und C, die Ellipse.
Dieses iSsst sich auch also nachweisen.
Die Coordinaten (,v, y) des Punktes E für die Coordinaten- ichsen MA und MC sind gleich den Coordinaten (Xu y{) des Penktes £« des Kreises für die rechtwinkligen Coordinatenachsen HA und mCi. Ist nun r der Radius des Kreises My so ist seine Odchang bezugs der Coordinatenachsen MA und MCi :
Mglich die Gleichung der Ellipse bezugs der Coordinatenachsen mA und MCi
Füllt man nun von einem beliebigen Punkte (u:, y) der Ellipse
402
Senkrecbten et und ß anf MA und MC, so ist» wenn der kel AMC=2(p gesetzt wird:
«2 ^. ^ ^ r^siii^q) .
Dieses ist die Gleichung, von der wir ausgegangen» wenn ms
*
sctzi Bei dieser Darstellung der Ellipse lassen steh leich den Eigenschaften des Kreises entsprechende für die Ellips leiten » z. B. :
Jede zwei senkrechte Durchmesser des Kreises werden conjugirte Durchmesser der Ellipse.
Wie im Kreise jede zu einem von zwei senkrechten D messern parallele Sehne vom andern halbirt wird» so wird in der Ellipse jede zu einem von zwei conjugirten Durch me; parallele Sehne vom andern halbirt.
Wie beim Kreise jede im Endpunkte eines von zwei ; rechten Durchmessern zum andern parallele Gerade Tangenti Kreises ist, so ist bei der Ellipse jede im Endpunkte einet zwei conjugirten Durchmessern zum andern parallele Gerade geilte der Ellipse.
Es gibt für jeden Winkel (i/;) der Drehung der Sehne bestimmte Ellipse über AB und CD, als den zwei gleichen
jugirten Durchmessern. Wächst der Winkel ip von Obis ry » so
die Ellipse alle Gestalten durch vom Kreise bis zur geraden J als Gränze, deren Länge =2rV^2 .
Im zweiten Quadranten, d. h. wenn der Winkel if; von ^y b
wächst, dehnt sich die Ellipse wieder bis zur Peripherie Kreises.
Bei der Drehung der auf AB senkrechten Sehnen des 1 ses (Grundkreises) beschreibt jeder Punkt seiner Peripherie i Kreis, und ist in jeder Lage ein Punkt einer Ellipse; sonül gen also die entsprechenden Punkte sämmtlicher Ellipsen ii stimmten Kreisen. Die Scheitel jeder zwei conjugirten Di messer bewegen sich bei Aenderung des Winkels 'ip in zwei J sen, welche sich in dem festen Durchmesser AB berühren, für deren Radien q und Qi man die Gleichung hat:
FCr die Scheitel der Achsen ist noch ausserdem
403
Femer die Tangenten der entsprechenden Punkte sämmtlicher lipsen (aus dem Grundkreise M) drehen sich um einen festen lokt in dem Durchmesser AB, und daher sind, wie die Ordi- ten, aa^h die 8ubtängenten s der entsprechenden Punkte unter ^h gleich nnd zwar ist;
5 — — • X
Wenn die zwei gleichen conjugirten Durchmesser der Lage .ch und ausserdem p oder ein I^unkt der Ellipse oder eine Tan« mte gegeben sind, so ist die Ellipse bestimmt und der Nach- MS inrer Eigenschaften, sowie die Constructionen» zeichnen sich er durch Einfachheit aus.
Sind L und Li der Lage nach gegeben und ausserdem ein nnkt E der Ellipse, so findet man leicht den Gnindkreis. Man ehe die Ordinate EP, und PEi(=PE) senkrecht auf ^^, be- treibe dann aus M mit MEi einen Kreis, so ist dieser der rmdkreis der J&llipse. Zieht man ferner den Durchmesser MHi idlann HxO'^AB^ und OH(=zOHi) parallel zu DC» und dann tH, 80 sind MH und ME die Halbmesser zweier conjugirter torcbmesser. Durch die Verbindung der durch den Grundkreis ^stimmten Scheitel der zwei gleichen coniugirten Durchmesser rhSit man ein Rechteck, welches der Ort des Punktes ist, des- sn Abstände a und ß von den zwei conjugirten Durchmessern iMagonalen) die constante Summe p geben , nämlich :
Ihrer Einfachheit wegen mögen die folgenden zwei Aufgaben el5st ^werden.
1. Sind L und Lt und ein Punkt E der Ellipse gegeben, in S eine Tangente an die Ellipse zu ziehen.
Man ziehe EP^Li und PEi(=zPE) senkrecht auf X, ziehe HEi, and EiG^JuEi, verbinde G mit E, so ist GE Tangente kr Ellipse.
2* Sind L und Li und ausserdem eine Tangente Q der m% gegeben, den Berührungspunkt in Q zu finden; oder: Punkt in Q zu finden, für den die Summe der Quadrate der
fanroogen a und ß von L und Li, nämlich
a^ + ß^s
1<^ Himmam ist.
404
Man ziehe ilfFi(=^F) senkrecht auf ü, verbinde J 6% fölle ME^-^GYi, unä JEiP-^L, ziehe PE parallel a 80 Ist E der verlangte Punkt
Vergleicht man den Grundkreis' der Ellipse noch mit den l über den zwei Achsen beschriebeoen Kreisen, so ist jeni Ort des Punktes , der zu den beiden letzten Kreisen gleicli tenz hat
Anmerkung. Beschreibt man aus dem Halbirungspunkf Centrallinie (=r2ift) zweier Kreise, deren Radien JB und r einen dritten Kreis mit dem Radius
,=v
— 25 wr»
80 Ist dieser der Ort des Punktes > der zu den beiden c Kreisen gleiche Potenz hat
405
merkunsen sn den Elementen der
Arithmetik.
Voo dem
Herrn Doctor R. Baltzer,
Oberlehrer an der Kreuzschule sa Dresden.
I. Zu den Wurzeln.
Vie Elementarlehre von den Wurzeln vereinfacht sich ein l, wenn man von der Wurzel aus einer Potenz ausgeht» o wie man in der Lehre von den Quotienten besser die ion der Producte an die Spitze stellt. Die Gleichungen
n n m
Vo^ = ( V^a)»«== a«
st man durch Potenzining mit n, und zivar die letztere zu- t unter der Voraussetzung, dass m durch n theilbar. Die rangen
ffi n
um A /" " ▲ / m
e durch Poteozirung mit mn bewiesen vi^erden, und aus (abgesehen von den Vorzeichen , als welche man die Wur- ius 1 betrachten kann)
mn
^a^^P = V^aP
406
fol^t. SO wie die Entwickelung von W^äb und V^öTA, bestäl dann 9 dass
1 m
n n
adäquate Ausdrücke für Va^ und V^a*" sind.
Was das Vorzeichen anlangt, so ist in übrigens Sorgfalt Darstellungen noch zu finden» dass dabei die Entstehung des dicanden in ßetracht komme, dass also
^{a-bf'—a'-b (nicht 6— o) eindeutig, dagegen
zweideutig sei. Z.B. Heis Sammlung $. 48. Dagegen muss merkt werden, dass so lange der Radicandus denselben W hat, auch die Wurzel dieselbe ist, und zwar n deutig wie j wte Wurzel. Nun ist über die IdentitSt von (a— ä)^ und a^ — lab -X- b*^ ein Zweifel nicht miiglich, folglich hab^n beide 1 mein dieselbe Quadratwurzel, welche eben so gut negativ als sitiv genommen werden kann. Dass überhfSbpt, wenn a eine sitive Zahl und a^ziza^ man
n n
n
ZU setzen habe, wobei Vi wie ein Vorzeichen erscheint, ist der kritischen Schule hinreichend besprochen , und sollte a von den elementaren Darstellungen nicht ganz mit Stillschwei übergangen werden.
li. Zu den Logarithmen.
Der Mangel eines bequemen Ausdrucks für die Zahl , welcher /•: potenzirt die Zahl a giebt, ist oft genug beim Ür richte empfunden worden, wie verschiedene Versuche anzei; x\ni jcebräuchlichsten ist der Ausdruck „Logarithmus vo zur Basis k" und die Bezeichnung eine der folgenden:
k k^
log«, loga, log(A)a.
Nach der bei Functionen mit einem Parameter üblichen Schi art könnte man das Zeichen
407
log(A:, a)
brauchen, vrelohes -jedoch mit den vorigen Zeichen die unbe- enie Länge in Schrifi und Rede zum Theil geraein hat, obgleich dem Druck mehr £U8agt. Der in J. H. T. Möller's Aritnme* k S. 287« angenommene Ausdruck ,, Hoch zahl von a durch exponentiirt" ist zwar zur Bildung von Lehrsätzen nicht igeschmeidig , allein die Bezeichnung dafür
ird schvrerlich Eingang Gnden, weil sie den bereits feststehen- ;n Zeichen loga , \a für den gemeinen und natürlichen Logarith- en von a sich nicht anschliesst.
Von jeder Bezeichnung verlangt man billig, dass sie nicht nr für Schrift und namentlich für Druck leicht ausführbar, son- ern dass sie auch in der Rede leicht wiederzugeben d. h. les- •r sei. Diesen Forderungen entspricht die erste Bezeichnung, obald man k nicht über log; sondern links oben an log stellt:
*loga*)
tod„£-Logarithmus von a" ausspricht (etwa wie nte Wurzel ■8 a). Die Zeichen *
^^loga, log.vulg.a, ioga
ibd als gleichgeltend zu geben, sowie
«ioga, log.nata, Ina, la.
n Termisse ich in den elementaren Lehrbüchern die Bemer- j, dass *ioga, und nicht ^^logcr, natürlich heisst, weil er m eine unmittelbare Berechnung zulässt, während andere künstliche) Logarithmen nur durch Probiren aus Wurzein der ksis oder durch natürliche Logarithmen bestimmbar sind.
Ferner gebort auch in ein Elementarbuch die Anmerkung, dass k Logarithmen vieldeutig sind wie die Wurzeln , nur unendlich- Irätig, dass wenn a eine positive Zahl und k*-^=^ai vermöge der üsmiel f&r 4oga6 man
*loga=a + *logl,
*logÄ: = l+*Jogl,
*log(-o)=«+*log(-l)
*) Diese Bczeichnunj!;', die ich Hrn. Prof. Schldrailcli mitgctiicilt, It von demselben bereits mit der Aufnahme in dessen neue Ausgabe er algebraischen Analysis (S. 8.) beehrt worden.
408
«u setzen habe, dass aber *Io^l einen andern reellen Werth Null nicht zulä^st , während Mog(— 1) durchaus imaginär ist. Sol Aussichten erniuntetn zn weiterem Studium.
Aus der Definition wurde ich zunächst ableiten , dass
CiWogft=:6*loga,
indem
a = ifc^loga , 6 = A^log* ,
folglich jede der beiden Potenzen
Ferner
Moga
indem
Dann folgen die auf den Numerus bezuglichen Formeln fiir
Mog<i6, *logg, ^logafr, denen noch beizugeben sind
^og(a+ö) =Moga + *Iog (} + '^ >
*log(a — b) =*^loga— *Iog -. [a>6]j
1— - a
um zu dem Gebrauch der Gauss'schen Hülfstafeln anzuleil welche nach der neuen Einrichtung (wie sie bereits 1844 vor H. T. Müller in den buchst zweckmässigen vierstelligen Tal gegeben worden) bei dem Argument loga — log6 die zur Er) gung von log(a-|-6) und log(cr — 6) nuthigen Correctionen
log (l + -j und log j
a
darbieten. Vergl. die vortrefflichen Beispiele in Heis Sanimlu §59., welche übrigens noch die altere Einrichtung berüdvsichtij
4Öd
hlL Zu den Verhältn
nd Fro|iortionen.
Das VerhSltnisB einer Grüsee A zu einer §ileic hart igen ^ tat — es ist fabelhaft, mit wie verschiedenen WencTuo-
^.i verschiedene Schriftslei 1er fortfahren, denen man zum Theil nicht undeutlich ein senisses Unliefiagen bei diesem DeGuitions- eexchäft anmerkt. Ich will die Leser des Archivs nicht mit An- führijngen behelligen, jeder lindet in seiner Bibliothek Beispiele. Die Quälereien haben einen doppelten Ursprung; beim Vater Eu- klid e s darin, dass ilie Irrattonalsahlen noch kein Bargerrecht unter Jen Zahlen halten, bei den Neueren darin, dass man angefangen halle von arithmelischen Verbällni^sen im Gegensatz zu geome- Itischen zu reden und dass man nun ein Abslractum aus zwei Insserst verKchiedenartigen Begriffen bildete. Warum hUite man licht auf Eulerl In der Algebra I. §. 380. steht geschrieben: lEio arithmetisches VcrhitUniss ist nichts anders ah die Differenz tiriscben zwei Zahlen. Welches letztere Wort IQglicher gebraucht rird, so dass das Wort Verhällniss nur allein bei den sogenann- en geometrischen Verhältnissen beibehalten vFird." Und S. 440.: J>as geometrische VerhSlIniss ziiischen znei Zahlen enihalt die LntivDrt auf die Frage, nievielmnl die eine Zahl grosser sei uls He andere, nnd wird gefunden, «enn man die eine durch die udere dividirt, da dann der Quotient die Benennung des Ver- Iftltnisfies arixeigt." Es ist also deutlich zu lesen, woran ausser- latb der Elementar buch er doch Niemand mehr zweifelt: das Verhällniss zweier Griisseu ist eine Zahl. Euklides icheute sich freilich in diesen Satz einzustimmen, denn er konnte tit-Be Zahl nicht in allen Fällen vollkommen angeben; wir künneii - auch nicht, haben uns aber mit der Begrenzung derselben Flügen gelernt. Schade, dass der tildtliche Streich , den Enler .,<l:is arilhmetische Verhällniss" geführt, nicht auch dessen Genos- ,. die Beneimung des geometrischen Verhältnisses" (Name, An- L:<'r, Exponent) gelroffen hat; denn alle Quälerei hat ein Ende, III man stutt dieser Ausdrücke keinen andern als eben „Ver- iiiiss" selbst braucht. (Wenn ich nicht irre, ist in franzDsi- " N Büchern hier und da .-t als le rapport de la circnnf^rence iliametre bezeichnet). In der That sind die Differenz von xvvei -sen und ihr Verhällniss himmelweit verschieden , denn erstere <'iiie Grösse, letzteres eine reine (abstracte) Zahl, so rein als »ultiplicBtnr nur sein kann. Aus zwei solchen Begriffen einen iciosamen höhern herauszupressen, ist undankbare Mühe.
-. Auf die Erklärung des Quotienten hat nach meiner Mei- ..i'l; in den Elenienten 1) der Nachweis desselben filr die ver- .l.iedenen Fälle durch Bildung der Brüche, 2) die Bedeutung i.s^elben zu lolf^en. Die besseren Lehrbücher sagen, das Dtri- Jieu habe bei benannten Zahlen (Grössen) eine von zwei Bedeu- iingen, Messen oder Theilen. Auch abgesehen von Anwendiin- ■rn kann gesagt werden; der Quotient bedeutet ItK'U Will. 2fi
410
entweder den sovielten Theil des Dividendus^ als der Divis angiebt;
oder das Verhältniss des Dividendus zum Divisor., d. h. d Zahl, welche angiebt > wievielmal der Divisor im E videndus enthalten^ oder das Wievielfache der DU dendus vom Divisor ist.
Wenn nun von zwei Grossen A und B die erste a solch Theile hat /deren die andere 6 hat, so ist
A B
folglieh
Ä=^^B,
Q,
d. b. das Verhältniss von ^ zu £ ist t-> A verhält sich zu 1 wie aib u. s. w*).
3. Die Unklarheiten im Besfriff ^^ Verhältniss '^ zeigen sici nicht selten bei Definitionen der Mechanik und Physik. So steh Pouillet-Müller Physik 1. §.84. ,,Das Verhältniss zwiscbei Raum und Zeit heisst die Geschwindigkeit der gleicbfunnt gen Bewegung.*' Brettner Physik §.33. „Geschwindigkeit dei feewegung ist das Verhältniss des Raumes, den ein Körper durch« läuft, zu der Zeit, die er dazu nüthig hat." Lame cours de
f)hysique §. 21. „On donne le nom de vitesse au rapport de 'espace parcouru divise par le temps employe" u. s. w. Gleich- wohl zweifelt im Ernst Niemand daran, dass (ausser im Witz) vom Verhältniss ungleichartiger Grössen nicht gesprochen werden könne. Die Geschwindigkeit einer Bewegung ist gar nicht ein Verhältniss, sondern ein Theil der durchlaufenen Bahnstrecke, wie anderwärts oft genug richtig gesagt ist. Gleichartig mit Geschwindig- keit ist die B e s c h 1 e u n i g u n g einer Bewegung, welche gewöhnlich mit dem unpassenden Namen beschleunigender Kraft belegt wird. Nur die Geschwindigkeit (des Wachsthums) einer Fun- ction, welche mit der Variablen gleichartig ist, kann ein Ver- hältniss genannt werden, nämlich das Verhältniss ihrer Aende- derung zur zugehörigen Aenderung der Variablen, welches beim Verschwinden dieser Aenderungen sich ergiebt (Fluxion , Deriva- tion, Differentialverhältniss). Ist die Function unglelchartifi: xmi der Variablen, so kann unter ihrer Geschwindigkeit nur ein Theil von der Aenderunsr der Function verstanden werden, und die
') Die hier entwickelten Ansiditen habe ich einer kleinen Schrift Rechenbuch für den Standpunkt der Mittelschule. 1850 KU Grunde gelegt.
^windißlieit ist gleichartig mit der FuDction, nie lÜe üciie- ffgS'GescbiFindigkeit mit der durchlaufnen Uahostrecke.
Üicliligkeit und spccifisches Gewicht werden ge- 'tilliidich relativ verstanden als die Verhältnisse von Masse und lieivicht eines Kürpers zu Masse und Geuitht eines bestimmten kiirpers von i;leichem Velum. Beide sind dadurch von iudividuel- l'ii Mast^einheilen frei und Tür einerlei Materie gleich, weil das Gewicht der Masse proportinnal. Müh kann indessen Dichtigkeit ijiul specifixches Gewicht einea Körpers auch als Masse und Ge- 'iiht seiner Volumeinheit darstellen. Dieselbe Bewandtniss hat -^ mit Wärmecapacität und specifischer Wärme und mit lit'len anderen Begriffen, welche ursprünglich allerdings Verhält- nisse sind, wie Atomgewicht, Luftfenchtigkeit , Bre- cliungsverhältniss, Ermpfiiid 11 chkei t einer Wage. Ab- plattung der Erde, Excentricitäl einer Ellipse, Wahr- scheinlichkeit u. s. w., deren Deünitionen in den Lehrbüchern mm Theil Doch mehr Schärfung erbalten können.
4. Das, was man bisweilen „Maeszahl einer Grüsse" iifnnt, iüt nichts anderes als ..daa Verhältniss der Grosse zur ^la.sse inheil", wolUr man abkürzend „Grüsse" sagt. Z. B. in der iLigel „Das Parallelogramm ist das Product aus Grundlinie und 'liiie", steht Parallelogramm ulM Verhällniss seiner Fläche zur ^ladrateinheit, Grundlinie statt deren Verhfiltniss zur Längeti-
''iriheit u. s. w. In der Regel „FIfiche und Umfang sphärischer Pidarfiguren ergänzen sich zu 4" stellt Fläche statt Verhältniss ilcrselben zum sphärischen Octanten, Umfang statt Verhältniss (leaselbep, zum Bauptkreisquadraiiten. Die Mass;eablen der Grüs- Geu sind also bei richligem Gehruuch des Wortes Verhältniss eine überDüssige Erlindung.
Das Reciprnke einer Grösse d. h. das Verhältniss der Mnsseinheit zur Grösse kann die Kleinheit desselben genannt ipiden. iu der Tbat ist die Kleinheit einer verschwindenden iiriisse ^ CO, einer unendlichen Grüsse :=0. Die Kleinheit li «jAbslandes zweier Pliiikle heisst ihre „N&he" (Herschel on lii;ht, art. 247. spricht von der Brenn-Nähe einer Linse. Z. B. iiL- Krümmung einer Curve ist der Kleinheit des Krümniungs- r.idius oder der N.ihe Ihres Krümmungsmitletpunkts, die Massen- '^iiiiebung dem Quadrat ihrer Nähe proportioual u. s. w.
> >
5. Die Bemerkungen, dass.<4:£=l, je nachdem A=:B (die
Ausdrücke „steigendes u benl; dass A:C=B :C, |
d fallendes Verhältniss" s' je nachdem A=B, und |
nd auTzuge- um gekehrt ; |
|||
h,M A |
B, wenj: |
s wed« |
r eine gan |
e Zahl noch ei |
Bruch ist. |
■loch zw |
■sehen — u |
nd ^ falle, für |
eine beliebige g |
nze Zahl n. |
|
froporl L.hrsal |
auch m ei onenlehre , beruht: |
e ganz deren |
e Zahl i.st; weitere En |
— eröffnen die allgemeine Fällung vorzüglich auf dem |
412
Zwei Verhältnisse sind gleich, wenn sie diesel
ben'Näheruneswerthe haben ( — und für beliebig
n, und ein dazu gehörigeiä m).
Beweis.- Es sei
n ^ ^ n
n ^ ^ n '
so ist
folglicli
(A:B)-(C'.D)<^!^-(C:D)<"'+^ *"
n ^ ' ^ » n
Diese Differenz muas Null sein, denn von Null verschieden wäre sie nicht kleiner als — bei beliebigem n. Also ist
A:B = C:D.
Diese Schluss weise führt auf allgemeine Sätze der Geometrie über das Verhältniss von Strecken, Flächen, Räumen, Winkeln, Krümmungen, wobei auf Incommansurabilität dieser Grössen Rück- sieht zu nehmen ist.
6. Aus dem Lehrsatze folgt zunächst die Zusammen- setzung der Verhältnisse
A:B=z(A:C):(B:C).
Beweis« Es sei
n ^ ^ n
so ist
^(ß:Q<^:C<^t2(^.0,
folglich u. s. w.
Nun ist
l:(B:C)=C:B,
413
also auch
A:B=(A:C)(C:B). Wenn z. B.
A:C=P:Q, C:B=R:S,
80 ist
A:B=(P:Q)(R:S)..
Von der Zahlengleichung— •-==-- entlehnt mau die kürzere Schreibart PRiQS statt (P:Q){R:%, und erhält
AiBzuAC'.BC,
Hier in dem gegebenen Beispiel
A:B=PR:QS.
An sich nämlich ist ein GrSssenproduct bedeutungslos , weil der faitiplicator nur eine Zahl sein kann; wodurch nicht ausgeschlos- en ist, das« in bestimmtem Sinne eine Grösse als Product von irussen dargestellt werden kann* (Vergl. 4.).
7. Hierauf gründen sich die bekannten Eigenschaften der infachen Proportion (Gleichung von zwei Verhältnissen)
A:ß=C:D.
khreibt man dafür
iA:B)(D:Q=l oder AD:BC=zl,
M) ergiebt sich
AD=BC,
•ras mit dem Grossenproduct zugleich Bedeutung gewinnt. Ande- rerseits folgt aus der gegebenen Gleichung
{A:B)(B:C) = (B:C){C:D),
ib. Dach dem Obigen (6):
A:C=:B:D.
KMese Proportion hat dann Sinn , wenn C gleichartig mit »Zahl ist; jedoch hört sie im zweiten Falle auf, eine I
Aoder Propor- ia dffentifchen Wortsinne zu sein , da ^: C dann nicht mehr Verwtüiiia, sondern einen Theil von A bedeutet.
M'
*
Die Glelcbong
aagis^ii^"^
bedarf nach dem Begriffe des Verb^ltDiues feines Beweises, soadetD Ist Ergebuisä der Definition. (Verfl. T-A = a).
8. Nicht hinreichend scheint niir in den meisten Lehrbüchern, deren Propoitionenlehre einen starlcen Beischniaclc von Scliolastik | hat, die vielfache Proportion gewürdigt. Welche Eleganz dieselbe dem Caicul zu verleihen im Stande ist, ' itann man iw- ■ Gonders aua Slüliius Werken ersehen,
Wenn nämlich A.B=FG, B:C=G:B. so ist (fi) A:t> = F:H. Man vereini»! diese Proporttoneii in der Gleichung^
A:BxC=F:G:U
'Kotät auch (nach 7)
A:F=li:G=C:
geschrieben werden küiinle. Uie Haupteigenschaften der vte eben Proportion
A.Ii.€=F'.G'.n
sind folgende.
a. Es ist
AL:BL:CL = F:G.H.
b. Es ist
ÄL:BM:CN=FL:GM:BN.
c. Wenn noch L:M.N—P:Q:R, also auch
FL:GMtBIV=FP:GQ:I/B.
so ist
AL-.BM: CN= FP: GQ : IJR. Daher ioäbesondere
A'^.B'^:C^=F^:G-^:IP u. a. w. A. Es ist
Ax^^Bs^Ci:Ap\Bq^^OT=zFx^^Gy^Hz:Fp^Gq^Hr.
\
415
Dies eri^iebt sich am einfachsten, wenn man Aa: mit F:A, / mit GxBy u. 6. w. multiplicirt.
Wenn alsa z. B. F+G=Ii, so ist A+ß=C, Oder wenn t+By + Cz=zO, so istsLUch Fx+ Gy-\- Hz ^=^0. Und umgekehrt, DD aL + BM-\-CN=0, so kann man
ALiBMiCN^-^viliv-l,
tzen, wobei — v das durch die gegebene Gleichung unbestimmt lassene Verhältniss ALiBM bedeutet.
9. Während ich so eben meine Verehrung fiir die Proportion
unbestimmten Gleichungen zu erkennen gegeben, kann ich
ht umhin meine Einstimmung mit denen zu versichern, welche
der sogenannten Regel de tri die Proportionen ni'cht feiden
^en. Wenn m Pfund a Thaler kosten, so schliesst man leicht
lue, dass 1 Pfund — Thaler und n Pfund — Thaler kosten.
) altherkömmliche Regel de tri antwortet dagegen auf die vor- sgte Frage: n Pfuna kosten x Thaler, bildet die Gleichung i=n:m und löst dieselbe auf. Wenn eine so directe Methode die erste zum Ziele fiihrt, so ist die indirecte algebraische thode mindestens liberfliissig. Dass aber die directe Methode g ist auch in den zusammengesetzten Fällen allen Ansprüchen genügen, kann von dem, der sie versucht hat, nicht in Zweifel ogen werden. Den nähern Nachweis davon findet man z. B. neinem oben erwähnten Rechenbuche.
Bemerkung zur Theorie der Hetten^ brüche-
Herrn Professor Dr. Schlümilcli
Enthält ein Kettenbruch nur positive Glieder, so besitzen)]!« , Naherungsbriichc desselben die folgenden sehr bekannten Eigen- schaften :
1) Jeder Naherungsbruch ungerader Ordnung ist grüsser und jeder Nnhernngsbruch gerader Ordnung kleinei alle folgenden ]Näherungsl)rüche ;
2) die Näherungsbröche ungerader Ordnung werden immer kleiner, und die gerader Ordnung immer griiseser;
und es folgt hieraus, dass bei unendlichen Ketlenhrüchen det obigen Art son-obl die NäherungsbrOche ungerader als die gera- der Ordnung sich bestimmten Grunzen nähern niiisseo. Bezeich- nen vi'ir also den Käherungsbruch
bi
mit
I fmden die Gleichungen alatl:
417
1) Lim^5^ = Gi und ,Lim^ = Ca,
worin Gi und G^ ein paar endliche positive Zahlen bedeuten. Für Gi=:G2 heisst der unendliche Ketten bruch ein convergen-
ter, för Gi^G^ ein divergenter, und man kann nur im ersten
l^alie sagen y dass der Kettenbruch einen bestimmten Werth labe, während er im zweiten Falle eine symbolische Darstellung wei er Grossen ist. Jedenfalls wäre es nun interessant, entschie- leo divergente Kettenbruche kennen zu lernen, und zugleich die aideo Gräozen 6\ und (?2 a priori zu bestimmen. Man kann lerzu o. A. auf folgendem sehr einfachen Wege gelangen.
Nach einem bekannten Satze, dessen Beweis man in §. 80. er zweiten Auflage meiner algebraischen Analysis findet, gilt B^ode Gleichung:
H) *1 ^ **"
*.+
(W
a
U-to+-^
tm T *»n — ^1
k welcher t^^ f|, ^, etc. vuHig beliebige Zahlen bedeuten; man hitet hierans leicht die noch etwas bequemere Formel ab:
^ Uq Ui ^ V^ ^ ' Um
To
«6 +
ro«!— ritio+
»•ora(Mi)*
^ ^ * ^ raM3-r3W2+ , rm-ar,«(?<m-i)^
•..~f '
Tm—iUtn — TmUm — i
diese Formel für jedes m gilt, so kann man m auch ins leodlicfte wachsen lassen, ohne irgend einen Irrthum besorgen mfissen; denn bezeichnet man die 8umme der m ersten Glie-
.der Reihe mit Sm und den mten Nnherungsbruch des Ketten-
:he8 mit — , so ist nach No. 2) immer
qm
3) 5. = ^"',
*I8
itiiil ea findet aho »wischen dem Kottenbruclie und der I^ eine fortwäbrende Uebereinstimmun;; statt, wie iveit man
geben m{ige. Divergirt nun die Reihe, ^o niuss auch der Ke mcb divergiren, und hier ist besonders der Fall Itit un: ZWeck brauchbar, tro man die Reihenglieder
i(u Wi
»'2
awar fortwährend abnehmend nählf,
«■erden zu Innseii, denn es gehurt di
welche zwei verschiedene Summen hetiitzen, je nachdi
j^erade oder ungerade Gliederzabl vereinir;t. Diese beidi
ine sie jedoch unendlich I die Reihe in die Klasse il
scbiedei
I der nnendliehen Weibe sind dann die
ind a^.
. B. hat man «ach No. 2)
1
^
s„=(i + j-)-(l + j) + (i + 5-)--..
+(-»T-<l+^).
woraus sich FSr ein ungerades m ergiebt:
mithin fGr unendlich wachsende n
LimÄzii-i = l + J ~~ 2"'' 3"~
=1 + 12
and diess ist nach No. 3) zugleich der GrSiizMcrth ^on - G|. Dagegen hat man fSr ein i^erades m:
419
'>«n- u+ ^ - 2 + 3 — •••• 2«' LimjS2n=j— o +.... = 12
Inddiess ist zugleich Lim—^zG^^ Der unendliche Ket leobrach
3 13 1+ —
4.2» 1+
1 +
1 + etc.
ivergirt also in der Weise, dass sich seine Mähe- ongsbrücbe ungerader Ordnung der Gränze 1 -f- 12 nd die gerader Ordnung der Gränze 12 nähern.
Behält man nur den Theil des Kettenbruches bei, welcher ach einem und demselben Gesetze fortschreitet, so würde für en Kettenbruch
3.P
4.23 1+ —
5.3» 1+ —
Ö.43 ^"'■l + etc.
2 2
ri = j5 — 1 und Gg= l'4-i2~"^ ^®**"*
Nach demselben Verfahren lassen sich unzählige Kettenbrüche
2 4 higer Art entwickeln (z. B. wenn man von der Reihe t --' 0
h? — etc. ausgeht); einen besondern wissenschaftlichen Werth
nt dasselbe natürlich nicht, nur höchstens in so fern, als es ■mer wfinschenswerth ist, von einer blos logischen Distinktion (ent- leer Cr^ = G^ oder Gi ^ 62 ) ^^^ empirische Realität nachzu- reiseD.
XXX.
WdM* eine gewisse Klasse in derTil
|||«BMiietrie und Astronomie häufig ii
JUMrendnng kommender unendlichei
Reihen. ""
dem Herausgeber.
1d der ebenen nnd fuhärisclien Trigonometrie und in da Astronomie iiird liätiliger liebraucb gemacht von gewissen nnend liehen R«iben, von denen Eocke in den AstronomiBche; nachricli t etj, Nr. 562. eine sute /usaramen Stellung geliefeii bat. Diese Reihen sind ursprünglich von Lagrange, üelaia bre und Legendre gefunden tvorden, ii'orüber man ausser eiaei Abhandlung von Lagrange in den Memoires de Berlia 1776. vorzii^liuh dieMethodes aiialytiques pour ladete mination d'un arc du nxjridien, par J. B. J. Delambr p. 04. Obiiert^atiuns sur quelques
^1- . An VII,
l'ar A. M. Li
gendre (im vorsiehenden Werke} p. 3. und Exercice de calcul integral par A. M. Legendre. T. II. Pa4 1817. 4. p. 238. nachselien kann. Einige dieser Reihen sind ^ Fu nd amen talreih cn zu betrachten, aus denen die übrigen Amt geeignete Trans rormulionen und Stibstilutionen mit Leichti^kfl abgeleitet werden krmnen; und nur von diesen Fundameatalreih^ soll im Folgenden die Uede sein, weil die Ableitung der übri^ Reihen aus denttelben, wie gesagt, einer Schwierigkeit (^ - Dicht unterliegt, und als hinreichend bekannt vorausgesetst wi den kaon.
■nun die Eiitnickelung jener Fundamentalreifaen betrifft, inan sich dabei rorzugsiveise vier verschiedener Metho' Kdienen, DÜiuIich entiveder der Methode der unheetimm- ttienten , oder der bekannten imaginären Ausdrücke der 1 Cosinus durch die entäprecheoden Bugeti, oder des . vielmehr Maclaurin'scneu, Satzes, oder endlich der Ltinn, ja auch wohl der UiffereDtiation gewisser unendlicher I, deren Summen anderweitig schon bekannt tsind. Die An- ng der Melhode der unbeslimmlen Coefliiiienten ist hebantit- inier sehr misslicb, und giebt uns last nie Aurschluss über Dvergeuz oder üivergen» der betreffenden Reihen, weshalb ;fa von den, der neueren strengeren fiesründung der Ana- luldigenden Mathematikern meistens gemieden, oder wenig- lar mit grosser Vorsicht angewandt wird. Von der Anwen- der imaginüreii Ausdrücke der 8inus und Cosinus durch Dgen gilt im Ganzen dasselbe wie vorher, und ausserdem t die Einmischung des Imaginären bei einem an sich en 1 Gegenstände , der sonst gar nichts mit dem Iraaginä- n bat, einer guten Methode nicht eben sehr zu ent- I .Gegen die Anwendung der Integralrechnung ist ^n sich ^erinnern, wenn man sich nur vorher von der Conver- [nnendlicheti Reiben, welche man, nachdem man sie mit i Differentiale multiplicirt hat, integrirt, gehSrig ein Umstand, der freilich nur zu oft noch ganz I gelassen wird, was jedenfalls sehr zu tadeln ist. Uie > der Differentiation unendlicher Reihen ist im AtJge- werflich, da es jetzt wohl von gründlichen Analytikern Inerkannt ist, dass die Uifferentiation unendlicher Rei- gelbst dann, wenn dieselben convergetit sind, keines- lem gültigen Resultate ftihrt. Und somit bleibt ich nicht etwa noch anderer »ipecieller Metho- ben will, über die ich mich aber jetzt nier nicht weiter Ekann, nur noi^b die Anwendun;r des Taytor'schen oder nHaclaurin'schen Theorems übrit;. Aber auch hierbei lele Verstösse gegen eine gute und strenge :, und viele Schriftsteller scheinen das Maclau- in der ihm hauptsächlich durch Cauchy gege- ben Fassung noch ^ar nicht zu kennen, oder ahsiclbt- in , oder in seiner Anwendung auf einzelne Fälle nicht versucht zu haben. Denn nur allein durch Utige Discussion des sogenannten Restes der Maclau- _ teifae, welcher Rest, möchte ich fast sagen, den eigent- Wendepunkt zwischen der alteren und neueren Reihen- iis bildet, wird es möglich, über die Grunzen der Gültig- lines mittelst der Anwendung des Maclau rin 'sehen Satzes nencn Resultats ein sicheres Ürtheil zu tollen, und wer bei iclien Untersuchungen die sorgfältige Betrachluna; des Re- nterlSsst oder gar iiir unnüthig nält, stellt sich hei dem ge- rli^en Zustande der Analysis dadurch seihst eiu Zeugniss ischer Ignoranz aus. Freilich macht die Beurtheilung des 5 nicht selten besondere Schwierigkeiten, schon deshalb, M die Kenntnis» des allj^emeinen Ausdrucks des nten Diffe- Iquolieoten der zu entwickelnden Function voranssetzt, in-
422
iellen W^
ilem man bei der Aiiwenüuiii; des Maclaurin'scbei alleren Weise sich mit derKeniitniss d«r specielU Uifferentialquotientea der zu enttrickelnden Function bä durfte, welche dieselben erhalten, wenn man die unab] veränderliche Grüsse verscbivinden VaseU Aber oben i vreil man die allgemeinen Werthe der Differenliakjuotienti nen mus». ist die Anwendung des Alaclaurin'sclien Satzed ner neueren Fnrm schon eine Quelle vieler interessanlef meiner Untersuchungen iilier die hnhereti DifferentialitUil geworden, welche wesentlich zur Erweiterung der OiSii rechnun^ beigetragen haben, so dass man auch schon ded methodischer Rücksicht sich der genauen Untersuchung A stes in keinem Falle entschlagen, ja derselben vielmq eifrigst hingeben sollte, wo sie irgend sich aid ncitfawend bietet. Endlich ist auch die Anzahl der Eicispiele , weld namentlieh Anliingern in der Differenlialrechiiutig Itir dl« i düng des Restes bei der Beurtheilung der Ciiuvergenz 1 treSendcn Reihen vorlegen kann , noch keineswegs sebJ und es kann daher auch aus diesem Gnmde sorgndtigfii^ Buchungen über die Anwendung des Restes der Maclanril Reihe ein wühl begründeter Werlh nicht abgesitrochen wed
m lassung i
ind ähnlichen Betrachtungen]!
ich dieselben auch früher schon angestellt hatte, gab mid iicb wieder ein kurzlich erschienenes, wenn es auch nan in Rücksicht auf genetischen, der so überaus lehrreicB schichte der herrlichen AVissenscbaft möglichst sich ansc^ den Enfwickclungsgang, wenigstens für mich. Viele*« a sehen Übrig lässt, doch in mehreren Beziehungen, w!e U anzuerkennen bereit bin, verdienstliches astronomisches buch, nämlich das Lehrbuch der sphärischen 1 nomie von Dr. F. ßrännow. Berlin. 1831. 8., wo lol --8. 25. die für die Astronomie sehr wichligen Reihen, ud sich die vorliegende Abhandlung beschSftigen wird, nachj den entwickelt Gnde, die von den neueren Fortiich ritten d lytischen AVissenschail auch nicht das Geringste ahuen. n gen der Cnnvergenz und Divergenz der betreffenden HeiH Leser ganz in Üngewissheit lassen. Ja auf S. 25. diese« wird sogar in gegenwärtig als veraltet r.u belracbtenderj der TayTor'scben Reihe ihre völlig allgemeine Anwendbarb Keuem vindicirt, wenn dieselbe nicht etwa, wie Lacrotx,] coeuT lind andere franzüsische Mathematiker sich bäuGgo drücken beliebten, in gewissen ganz specielleu Fällen, vi aber von jenen Mathematikern nur wenig allgemein Genq beigebracht wurde, „en ddfaut" sei, so wie sich denu 1 dem Cours complet de Math^matiques pures pari coeor. Troisienie edition. T. II. Paris. I828. p. 28^ ein eigner Abschnitt findet, welcher üherschrieUen Ist: „Da oü la S^rie de Ta ' Dasjenige, worauf e keinen Aufscblut ^. . _
Herrn Verfasser des (i ^ _..^
den Jüngern der Wissenschaft einzureden versuchten Befaq Aber die, mit Ausnahme gewisser ganz bestimmterFälle, voll^
nie edition. X. II. Fans. IBSS. p. 2»^ litt findet, welcher üherschrieUen Ist: „Da Ta;rlor est en delauf, der aber Chi es hier eigentlich ankommt, wahrlich so gut 1 giebt, Xlm die völlige Nichtigkeit der \i des obigen astronomischen Lehrbuchs iu\
M
423
meine GGltigkeit des Tavlor'schen Satzes in's Licht zu setzen, braucht man, vreiter abseits liegende Fälle für jetzt bei Seite las- tend« nur an die allgemein bekannte Reihe
Arctanga?=a: — go:' + 5^*"" f^'^ +
in eriDnem. Denn entviickelt man diese Reihe mittelst des Mac* lanrinschen Satzes in älterer Weise ohne gehurige ßerücksich- tiguDg des Restes, so bindert in der That nichts, die Reihe als
SDZ allgemein gültig anzunehmen, und dennoch zeigt eine sorg- tige Uiscussion des Restes derselben, dass sie nur von a'=— 1 bis x= + l gültig ist. Solche allgemeine, auf keiner sicheren Basis ruhende, und vor dem Richterstuhle strenger Wissenschaft- iidikeit Jetzt nicht mehr Stich haltende Aussprüche, wie wir aut & 26. des genannten Buchs finden , sind daher namentlich für mit den Fortschritten der Wissenschaft nur noch wenig vertraute An- filnger höchst gefährlich, und sollten deshalb, namentlich in für An- fibiger bestimmten Büchern, sorgfaltigst und gänzlich vermieden werden.
Die im Obigen mehr erwähnten, insbesondere für die Astro- nomie sehr wichtigen Reihen will ich nun im Folgenden mittelst ihB Maclaurin*schen Satzes in völliger Strenge, aui* eine den neu- tren Ansprüchen der W^issenschafl gehörig genügende Weise zu etatwickeln suchen, und beabsichtige dadurch zugleich einige na- 'kentlich für Anfänger in der Differentialrechnung lehrreiche Bei- niete der strengen Anwendung des Restes der Maclaurin'schen Flteihe zu liefern, ausserdem aber dem strengen Vortrage der Leh- nten der Astronomie einigermassen forderlicn zu werden, indem kh die Bemerkung nicht unterdrücken kann, dass man sich m dieser herrlichen Wissenschaft bei den in derselben 'liofiff vorkommenden Reihenentwickelungen immer noch gerade •m Wenigsten mit den neueren strengeren Methoden zu befassen lud dieselben zu kennen scheint. Bevor ich aber zu den in Rede [ftehenden Entwickelungen selbst übergehe, halte ich es in die- 'lem Falle für nöthig, die verschiedenen' Formen, unter denen kan jetzt das Maclaurin'sche Theorem darzustellen pflegt, im Nachstehenden anzugeben , indem ich wegen der Beweise mir auf liKinen Leitfaden für den ersten Unterricht in der bu- nkern Analysis. Leipzig. 1838. zu verweisen erlaube. Man ^kann Dämlich das Maclaurin sehe Theorem auf die folgenden ver- lehiedenen Arten ausdrücken:
L Wenn die Functionen
A^). A^). n^)> rv), .... /"^«K^)
ron jr=0 bis x=^x sämmtlich stetig sind, und q eine 'Qwisse positive die Einheit nicht übersteigende rSsse bezeichnet; so ist immer
424
sich» weon n wächst, der Null immer mehr und mehr nähert, und derselbe beliebig nahe gebracht werden kann, wenn man nur n gross genug annimmt; seist immer <
Z'C^) = AO) + j- /'(O) + 172 A0)+ i^rm +
III. Wenn die Function f(x) nebst ihren sämmtli« i chen Differentialquotienten von ar=0 bis x=rx stetig ] ist, und, indem q eine gewisse positive die Einheit j nicht übersteigende Grösse bezeichnet.
der absolute
Werth von f^^Hga:), wie weit man auch n wachsen las- sen mag, doch niemals eine gewisse bestimmte end- liche positive Grösse übersteigt; so ist immer
^ ^. . cc^ ^..«. . x^
fix) = f(0) + j /'(O) + 1^2 /"(O) + JJ3 r'(0) +
•••••
IV. Wenn die Function f(a;) nebst ihren sämmtli- chen Differentialquotienten von a: = 0 bis x-=.x stetig ist, und, indem q eine gewisse positive die Einheit nicht übersteigende Grösse bezeichnet, die Grösse
sich, wenn w wächst, der Null immer mehr und mehr nähert, und derselben beliebig nahe gebracht werden kann, wenn man nur n gross genug nimmt; so ist immer
fix) = /-(O) + \ f'{0) + f 2 /"'(O) + 1^3 rm +
42i>
Welehen dieser vier Sätze man bei Entwickelungen der Fancti- ooen in Reiben am Zweckmiissigsten in Anwendung zu bringen hat, muss in jedem einzelnen Falle besonders beurtneilt werden.
Hiernach wollen wir nun zu dem eigentlichen Gegenstande dieser Abhandlung übergeben, und bemerken nur noch, dass man dia im Folgenden enfwickelten Resultate wenigstens theilweise allerdings auch noch auf anderem Wege in völliger Strenge erhal- ten kann, wie aus unserer Abhandlung Tbl. Vlll. Nr. XXV. Alleres allgemeine Binomialtheorem zu ersehen ist; aber die An- weudang des Restes der Maclaurin'scben Reihe zu zeigen, indem besonders auch astronomiscben Schriftstellern die Anwendung des Maclaurin'scben Satzes, wenigstens in älterer Weise, sehr geläu- fig zu sein, und in dieser Wissenschaft sich besonderen Beifalls SD erfreuen scheint» war mit ein Hauptzweck der vorliegenden Abhandlung, aus welchem Gesichtspunkte man daher dieselbe hanptsächlich zu beurtheilen haben , und dies zu tbun gewiss auch gern geneigt sein wird.
§.•2.
Zuerst wollen wir uns die Aufgabe stellen, wenn
1) tang.y = j^
xcosa
ift, den Bogän y in eine nach den mit positiven ganzen Expo- lenten behafteten Potenzen von x fortschreitende Reibe zu ent- iwickelp, wollen jedoch beider allgemeinen Entwickelung der Diffe- imitialquotienten des ßogens y nach der veränderlichen (vrösse .r iie allgemeinere Gleichung
o\ f _ a\-f)a:sina
' O'' ■" a' -|- b'xcosa
betrachten, von der die Gleichung 1) ein besonderer Fall ist.
Setzt man
3) 6sina=rsin|Lt, 6'cosa = rcosfA;
erhält man zur Bestimmung der Grössen r und fi die bekann- [len Gleichungen:
4) r =V7/^sina2"+~6'^cösa2
d; sid^ = — smoTj cosft= -7 cos«, tang.u =: t-, taug«
heil XVni.
29
^^%t
436
it man aber auf diese Weise r und p. bestimmt, so lässt sii die Gleichung 2) auf die Form
o+rxsinfi
0) tan SV := -j—,
' "•' o' + rvTCO^fi
Zuerst erbält man nach den bekannten Regeln der Differei lialrechnuiig auf der Stelle:
Sj- (n' -f-r^cos^)'
Belcanntlioh ist aber
und ftilglich nach dem Vorhergehenden:
^ r(«'8infi — ocosft)cosy2
Sj: (a' + r^coßfi)*
Aus der Gleichung 6) ergiebt sich aber
a'ainy — aco6f/^rx(»\nfi.eo8y — cosfisin^),
d. i.
a'sin^ — itcosy — r:tsin()i—i/) , folglieh
a-B>uy-acosy |
||
und daher. |
wie ma |
leicht findel: |
fl + r |
(fl'siufi - flC08^)Biny |
(a'sinu — acoBii)co8V a'-i-roKOBu, = ^T-7 !^- . " ;
427
Nach 6) ist nun
^ ' ^^ (a' + rarcosf*)*
also wegen der uomitteLbar vorhergehenden Gleichung:
cosy^
sin(f4— ^)
2
(a' + r^rcosfi)* (a'sinfi — acosfi)^ '
folglich nach dem Obigen:
[Also ist
' dx a'sißfA — ctcosfA '
8) (a'sin^— acosfi) ^ = rsin(|ti-y)«.
folglich durch fernere Differentiation:
(a'sinfi - acosf*) g^ = — 2rsin(fi — y)cos(fi - ») g'^ >
i., wenn man fSr den ersten Differentialquotienten von y sei ~ obigen Werth einfährt:
(a'siofi — acosfA)^ ^ = — 2r*sin(f4-y)3cos(ft— y) ,
9) (a'sin/*— aco8f»)»g^^=— l.r«sin(;i— y)2sin2(fA-y) . Diferentiirt man nun wieder, so erhält man:
(s'aiof» — aco8ft)S gf j = 1.2r'8in((*— y)cos{(*-y)sin2(j*— y) ^
aar»
da;
+ 1 . 2r»sin(^- jf)«cos2(^ -y)f^
dy :L8r%in(fi^-y) { 8in2(jti-y)eos(jti— y) + cos2(fi— y)sin(f*— y) I g^
^y
Urtao(fi^)sin3(f*-.y) gl
29*
4%
[
lÜ) (ii'^mn — noosfi)^ ;p^ = 1.2r'sm(ft — }/)^»\n3(fi— ^) . Die l'ernere Differentiation siebl:
(a's'mp, ~ «cosf»)» ^^
= — 1.2..1r''sin(m—s)ajsin3(^—3f)cos((»—y)+(;ofl3(f.—y)sin(ji -:</)]]
und, wenn man nun für tleii ersten Dtffereiilial()uolienten i seinen obigen Werth pinfiihrt;
1 1) (n-sinfi-acosp.)* ^ =-l.Ü.3T*sm{(i-~y)*d(,i(^-y) .
Ellen so ergiebt sieb neiter:
(fl'sinft— flcos(t)*g^ ^ l.-2,3.4r«siti(fi-j)'cos(^-y)8in4(^-y)||
= I.2.3.4r«sin(ft-y)3ain5(,x-.V)^J.
l'ij (o"«!!!;! — acosn)*g^= 1.2,3.4r*sin((i— y)^inS((i— ^) .
429
i'sinfi— iico«|ia) * g- = rsin (ft— y)sin] (fi—t/) , i'siD/*— flcos|x)«^a=— l.r«8in(|x-3^)«siii2(|x-^) , fsm(Mr--aco8(i)^ g^3 = 1.2r»siii(ft— ^)3siii3(|x— y) ,
iViDfi^ acosfi)^ ö% = 1.2.3.4r*sin(f*— ^)*sin5(|x — y) ,
JaiBfi — acosfA)*g-^j= — 1.2.3.4.5r*sin(fA— ^)^sin6(|x~^) ,
u. s. w.
Hieraius ergiebt sich, dass, wenn
13) y=f(a;) putzt wird,
14) ^(^)=r«Eifp»)!i5i(*^j?).
'' ' ^ -^ (a^sinft — ricosjLi)^
pd ffir jedes die Einheit fibersteigende n
I
I» /T>)fj;)=:( l>>i . l'2.3..(n-l)r''sin(fi-3^)nsinn(/t~,y) I ' ' ^ ^ ^ ' (a'sinf*— acosjM-)»
Von jetzt an wollen wir den durch die Gleichung 2) bestinim- Bogen y immer zwischen — ^n und +0^ nehmen.
Für x^O ist nach 2)
tengy = ^ >
n
.ly = Aretang ^ , setzen wir nun, indem wir u zwischen — 5 tc und + 0 ^
(fj'sin^t — acnsfi)' unil fiir JcilcEj die Eiuheit üb erste igen de »:
,i„,,ih_/ ..,, ■ l.2.3..(»-I)r'Mn(f*-»)'-«ii"'(ft-i.>
Weil iiliei
tnngu= — , fi — «'langH
iisinfi — acosp, r= n - — ;' i
/■'(0) = — coau8iiil(tt— mJ, I
und für jodcs die Einheit Übersteigende n : 1
/T") (0)=(— 1)— >.1.2.3..(n— J) (^ coßi()"sinn{f*— w) .
Bezeiclinea wir den Werth, welchen ^=f{x) erh^t, we indem ^ wie gewübniich eine gewisse positive die Einheit ni fibeTsteigcnde GrOsse bezeichnet, qx iQr x gesetzt wird, da o; so ist nach dem Obigen- '
' ^^ > *■ ' • (a'ainft— acosf»)"
oder
- ., , , ,, . l"2.3.,(ii— l)r"cö»«"sin(ii— p)"sinn(jt — r)
/t.i(»i)=(-i)"-'. „-..i.t^-.).
Folglich ist
)ra;co8nsin((t — p)i " siniUft — v) a'sin((i— ») ! ' Ji
und aus dem Satze §. 1. I. ergieht sich daher, immer unter
Voraussetzung, dass
431
a-\-ba:sioa
®^ a' + 6';rcosa
]Bi, und der Bogen y, so wie auch der Boceii' u, zwischen
1,1 — Ä^ und -f 5^ genommen wird, die Gleichung:
1.^ . rcosMsinl(it— ti) x
17) ar=a+ ^5-*=^— 1
r^co8ti*sin2(ft — u) x^ J2 • 2
a
r*co8ti*sin3(fi — u) x^ + ^ "3
a
i4cosK*sin4(fi — u) x^ a'4 • 4
u. s. w.
i\ -a r"~^costi"~^sin(n — 1) (ft — i^) o:"-^
a
Ffir
a?sintt tangy=j3
xcosa
ist
a=0, a' = l; 6=1, 6'=~l. Also ist in diesem Falle
r=V6«sina2 + 6'«cosa2=l .
Weil ferner
h . . b'
mnfi =: — sma = sina , cosfi = — cosa =
— cos«
nty so ist offenbar
l'n setsen; und da
|x=7r — a
a
M=Arctang-7= Ärctan^O
IP
ist lind zivischen —^71 uiiil -1-:,.-c geuumiiii;» wcrdun muss, e int M=0. Also ist nach 17) in diesem Folie;
nlß + %-8in2a +%svh3B + T^sir]-ia+..
..+^irjsin(w-l)«4 j
:sir.(« + c)| - slim(«+£)
Weil bckaiintlicli in dem varlies-erulen Kalle
zu setzen ist , «o ist
lang« + fangt - iirid fotglicli
io(A + c)_ tan^a
1 — p.ccoaa
Nun ist nach dem Vorhergehenden 1
(I — '^coetc)^
l + tangc" (ßa:sinn)' -f- (^ — ^cnsa)^ ' nehmen wir aber fernerhin ati, dass
ist, so ist die Grüsse 1— o;rco8(i offenbar positiv: cosn ist an positiv, neil v nach dem Obigen zwischen ~ä^ und -f ^nlie|
also ist
' I
folglich
lind der Rest
aBiH(tt + v) 1" sin«(tt+p) Bin« ! ' «
433
der Reihe 18) kaim daher auf den folgenden Ausdruck gebracht werden :
i
X
" sinw(a+t?)
\ " sinyi(o
\ V^(^arsina)* -|- (1 — ^orcosa
Nach §. I. IV. kjänn man aber diesen Rest, wie leicht aus dem Vorhergehenden erhellen wird, auch auf folgende Art ausdrücken:
I
(!-»)*
J ""'•
a:sinw(a + i?)
V^(^a:sina)* + (1 — ^a^cosa)^ V(^arsina)2 + (1 — ^arcosa)^
kt nun a;cos« negativ, so erheilet aus der Form
X P' sin7*(a-f r)
V (^a?sina)2 + (1 — ^arcosa)* '
n
des Restes auf der Steile, dass derselbe unter den gemachten Voraussetzungen sich der Muli bis zu jedem beliebigen Grade nihert, wenn man n in's Unendliche wachsen lässt.
Ist dagegen arcosa positiv, so ist
^ircosa ^ Qi
al8o
1-
pjrcosa,^ 1 — 9;
und da nun offenbar
ist, so ist
V^(j)»rsina)2 -f (l — ^arcosa)* 1 — qx cos«
V^(^a-sin«)*+() — ^arcosa)^ ^ l — 9,
also, weil
lel, die Gosse
-l<.r<+l
V^(9a:sina)* + (1 — ^orcosof)*
|ri>8ser als der absolute Werth von (] — ^Xy wobei man zu be- iKhteo hat, dass die GrOsse
V^(9a:sina)*-{- (1 — ^cosa)^ Memate verschwinden kann, weil, wenn dies der Fall wäre.
134
Hein würde, was niclit niilglich ist, neu der absniute Werth m X kleiner als die Einheit iat. Hieraus ergielit sich, dass der ih solute VVerth von
_(l-(0^
' V (e3*Bina)* -f (I — fxcoBuy
sich der Null bis zu jedem beliebigen tirade nähert, in's Unendliche «'achsen lasst. Weil aber
nieniaU verschwinden kauu, so kann offenbar xsioH(a-{-v)
V ( parsin«)' + ( 1 — ga-coso)*
nicht in's Unendliche wachsen, wenn « in'e Unendliche wächst Mail kann auch leicht den kleinsten Werth, welchen die Gtöm
(e:irsino:)« -f (l — QXCoaa)^=: I — 2pa;coso + p*:c* Oberhaupt annehmen kann , bestimmen. Denn setzt man ga:^^ W=^l — Sjia'cosoH- p*:r* =: I — ''2wcosa + w', so ist
-g^=2(«,~C08«)
wo also der zweite Üifferentialquotient stets positiv ist. Soll in erste Differential<luotient verschwinden, so muss
w — cos((=;0, Hi = cosn
sein, welchem Werthe von w^qx das Minimum
1 — 2co8tt* + cos«*=l— coso'^iiisiiiw^
unserer Function
i
435
W=z (gxsina)^ + (1 — Qxcoea)^
eotspricht. Da der absolute Werth von w=^qx unter den ge- machten Voraussetzungen immer kleiner als die Einheit ist, so ist die Gleichung ti}=co5a nur statthaft , wenn nicht costt^ + l, also nicht sina=D ist, so dass also, wenigstens wenn nicht sina;=0 ist 5 der kleinste Werth des Nenners
V^(9a;sina)*+ (1 — Qxcoaci)^ des Bruchs
:rsinn(tt + 1>) ""
V (^a?sina)* + (1 — ^arcosa)*
der nicht verschwindende absolute Werth von sincx ist. Hieraus sieht man nun, wenigstens wenn man für's Erste den Fall sioa=ü ausschliesst» dass der Rest
i(l— ^)a: ' 1 «-^ a:sinn(a -f v)
V^(^sina)*+(1 — ^a:cosa)*i V(pa:sina)* + (1 — ^.tcos«)*
siqh der Null bis zu jedem beliebigen Grade nähert, 'wenn man n iD*8 Unendliche wachsen iässt.
Wenn also
ist, und der Fall siDa=0 für's Erste ausgeschlossen wird, so nähert sich der Rest der Reihe 18) immer der Null bis zu jedem beliebigen Grade, wenn n in's Unendliche wächst. Daher ist in einer hinreichend bekannten Bezeichnung:
/y X sc SEt
19) y:=Ysinla -|- -^Ai&ti + -^sinSa + -j sin4« +
t-l<a;< + l}.
Dass aber diese Gleichung auch für sina=0 gilt, erhellet auf der Stelle 3 weil wegen der Gleichung
^sina tangy=:j^
orcoso
der Bogen y verschwindet, wenn sina=:0 ist, ein Resultat, was sich für 8ina=:0 auch aus der Gleichung 19) ergiebt, da, wenn sma verschwindet, auch die Sinus der sämmtlichen Vielfachen Ton a verschv^inden.
ir ivolleii ieUl <Ii{' lieiilen Gleichiingf •20)
i 1— ;rCf)St(^ UCO&f/
r anDehmen tverdei
Durch UivUiou erhält man aus den beiden Gleichungea W) Hilf der Stelle:
21) taiig^ =
und wenn man diese Gleichungen quadrirt und dann zu einander addirt, so erhält man, beachtend, daxs u jtOHitiv sein »oll.
22) «-V"(iMnc«)« + a-
23) « =>/'l—-2xcosa + x* . Setzt UI3U in der Gleichung 2) des vorhergehenden Paragraphen
au ist nach 3) und 4)
r— 1; sinf(==sinn, cosfi;=— cosa;
und daher wegen der Gleichung 2]) nach 14)
also fi^ und lä):
24)
ag=.-M.+,jr
25) sin«''|j=I.2.3..(«-l)«in(a>s)"sin«(«+y). Nun ist nach 20)
4S7
sina coscc
also, wie man hieraus leicht findet:
26) u = -
sina
sin( a + y)' wo wir immer annehmen können , dass y mittelst der Gleichungen
siny=:
:rsmcf
' 1 — j:coscr
xsma
u
, cosy =
u
tanff?/=:T
a:cos(x
tro u den Werth 22) oder 23) hat^ so bestimmt sei, dass u po- sitiv ist, weil man in den folgenden Fällen:
o^sina positiv, 1 —:rcosa positiv;
a:sincK positiv, 1 — orcosa negativ ;
jcalna negativ, 1 — oleosa positiv;
^sina negativ, 1 — otcosck negativ
respeelive y nur so zu nehmen braucht, dass
2 n<y<^y
1
1
Ut.
— 2^>2^> —
Dies vorausgesetzt, ist nun
d\u h\u du
n
1 du
Sa: "du dx^n'di
Aber nach 26)
du dx
' du
— sinasin (a + y)-*cos ( « + y ; J-
d. T. nach 24)
du
gJ = -cos(a + y),
4Sg
und daher nach dem Vorhergehenden:
in(« + y}cos(c. + 3,)
■28) sin« ^ = - sin(ri + i/)cos(a+i/) Hieraus Brp;iebt sich durch feraere Differentiatin» :
5u - cos(« + y)coa(a+y) ^ , ,^^
I» ™
;^ = -sin{a +y)«! cos(« + j)cos(k +y) — sin(o+y)9in(o+y;
d. i. nach 24)
,9*1"
folglich
29) sina« ^ = — l-^'nC" + y)»C082(« + j) . Differentiirt man nun wieder, so erhSIt man:
^''"''S^= »•28infa+s)»8in2(«+y)g
— 1.2sin{(r+y)c(i8(o+ff)cos2(K+y)^. d. i. nach 24): 8intt'g^=— 1.2sin(«+y)'tco8(«+y)co«2(«-f^)-s"n(«+y)sin2(B+y
folglich
30) 8in«»5J"=-t.28iD(«4ff)»cos3(»+y). Die fernere Differentiation giebt:
- 1.2,38ia(.+s)'co.(i.+s,)co«3(«+y)|« ,
439
. i. nach 24):
= — 1.2.3sin(a+^)*{ cos(cif +y)cos3(«+^) — 8in(a+y)sin3(a+y) } , »Iglich
31) sio«* ^ = — 1.2.3sin(a + y)*cos4(a + y) .
Wie man auf diese Art weiter gehen kann, erhellet hier schon lit völliger Deutlichkeit, und es ist also:
sina K — = — sin(«+y)cos(a+y),
sina«g^ = — l.sin(a + y)^co82{a + y) ,
BHu
sina»g^ =-— 1.2sin(a+y)»cos3(a+y),
sino^ ^ — "" l-2.3sin(a + y)*cos4(a + y) ,
u. s. w.
sin««^-^ =— 1.2.3...(n— l)sin(«+y)«cosii(«+y) ,
U. 8. W.
Für
32) f(x)=\u
33) f^^a^^^^^'^f^+yl'^^^+yK
' ' ^ ' sma
für n>l: '
34) /Hg) _ ^ -2.3..(n— l)sin(«+y)''cosn(tt-|^) f ' ^ ' sina»«
Für a:=0 ist 1— a:cosa=:] und folglich positiv; also ist y=0 :r=09 und folglich
/•(0)=50, /•'(0)=— cos«.
n>] ist
440
I
/■('')C0) = -i.2.a..(»-i)cc
Bezeichnet man denWerth voay=:/Xa:), welchen diese Gr erhiilt. wenn innti ^.i; Rir .t setzt, irurcti v; so ist für »>!;
/•I'.i(par) ^ _ 1 ■ü.3...(H-^)siN(tt+p)"cosw((.+pJ Also ist nach $. f. I. j
^— -j-coslo: — .)- cusiia — « cosök — t-comk— ... i"-' j.rsin(«+f)/" <.-oB»(tt-fr)
— ;r:ri''"*'f"-i)''— r ainw ( ' ü '
Diiss über t'fir
sich bis KU ]«i\i-.» Irelieliif^en Grude der Null nähert, nenn n ii Unendliche wuchst, kann uuf ganz ähnliche Art <;ezeigt »erdi wie in § 2. Uusselbe von (t«ni dortigen Kcste
I sinn ( ' n '
was wir daher hier nicht wiederholen wollen , und fSglich i Leser iil)erlassen können.
Also ist
36) lu = lV"(a;8intt)a+(l-a:cosa)ä=l'V^l-23rcosof+.T*
=: — s-cosla— (f-cos2o: — -ö-cosSa — ■-.-^084« —
yS^ü, nach dem Obigen
ist, so ist nach dem vorhergehenden Paragraphen:
441
X iX*^ SC^ <i*4
57) ^=:7-8iiila + -^sinSa + -^sinSa + -j siD4a + ....
i^odarch man jedoch nur den zwischen — 5 tt und -F 0 ^ " liegen« den Werth von y erhält , welcher der Gleichung
orsinoc tans:^ =
^ ] — 'Oleosa
genügt. Hieraus aber in allen Fällen den wahren Werth von y abzuleiten, welchem ein positiver Werth von u entspricht, hat nach den im Obigen für die Bestimmung von y gegebenen Re- geln nicht die geringste Schwierigkeit, und bedari hier keiner weiteren Erläuterung.
Auf diese Art sind nun die beiden Gleichungen
a:8iucr=ttsin^> 1 — ;rcosa := ticos^ rSr — l<j;<+l vollständig durch Reihen aufgelöst.
§. 4.
Hat man die Gleichung
38) tang^y^artang^«.
80 setze man
39) tangv== j~j ;
dann ist« weil
I tang^a + tangu
tang(2a + ti)= j
\ 1 — tang 2 atangtt
I
I ist, wie man leicht findet:
1 BuA XVIII, 30
I
1 äTI 1
n + sinatanggo)
tang{-^« + K) =
tang(2<i+ii) = ±atang2Ö,
und folglich nach 3S):
40) taDg2S = +tMg(2ß+w)-
Wie man sich dieser Formeln, in Verbindung mit §. 1., zur Ent- Wickelung von y in nach den Potenzen von -^r-. fortschreitende Reihen bedienen kann, ivlll ich hier nicht »eiter erlnutern, dieser Gegenstand au« der ebenen und sphärischen Trigonomelria i und aus der Ästruuoinie, bekannt genug ist.
Bemerken will ich indess noch, die Gleichung
i man, ivenn überhaupt
41) tang5=(i +a:tangß
gegeben ist, allgemeine Ausdrücke der Differentialquolienten vo» y in Bezug auf x als unabhüogige veränderliche Grüsse leicht auf folgende Art finden kann.
8tangy By -%^l/
42) co|ß.^ = cosy'.
Folglich ist
k
443
=7 •— 2tangaco8y ^iny = — tangaco6^^siD!2^ ,
so
43) cota* g^= — l.cosy*sin2y . leraus ergiebt sich ferner:
cota* §3 = — l.2co8y^cos29f #
+ L2cos^siD^sin2jf K^
= — 1 •2taDgacos^^(cos^cos2^ — ainyain^y) = ' — 1.2taogacofi^'co$3^9
Iglich
44) cota^rp% = — 1.2co6^'cos3^ • UTereDÜirt man von Neuem, so erhält man:
cote»0= 1.2Ä;osy»8iD% ^
+ l,2.3cos^^sinycos3y ?sp^
= 1.2,3tangaeos^(cosysin3y + sin^cosd»^) = 1.2.3tangacos^sin4^9
»Iglicb
4ö) cota* g-^ = 1.2.3cos^6in4^ . Iben so ergiebt sich ferner:
cota*^= 12.3.4cosy4cos4y|j
— 1.2.3.4cosy'sin^sin4y Ä^
= 1.2.3.4tangacos^^(cosjycos4^ — siD^6in4^) = 1.2.3.4taDgacos^^cos5^9
80*
,.?!»
11
4G) cot«'>j5~^=1.2.3.'icosj/*cos%
Wie man auf diese Art weiter cplien kann, unterliegt mchl geringsten Ztveifel , und es ist daher :
in
coltt' g^ = — l.cosy'sin'2j ,
1:01«*^=: l.'2.3coay*ßin4j, cottt'g-^ = l,2.3.4coB)/*cos5y,
colß*"a-j^ =(—])». 1.2. 3...{2n—l)coBy»"sin2wy, eot«»*H=^j^{_I)i<.I,2.3.„.2nco8s*M-icoB{2n+ 1)^,
Sei jetzt
5.5.
48) tangy^tangB-t-i^i
49) j,— =:cosycosy.
443
Iglich ist
= — 1 . cos,^^sin2^ ,
+ 1.2cosjfsin2rsin2sr^ = — 1.2cosi^'(cosycos2y — siiis^sin2if)
cH^ dt/
8^= 1.2.3cosy3sin3yg|
+ 1.2.3cosy*sinycos3yA-
= 1 .2.3cosy*(cosysin3y + sin^co83i^) =: 1 •2.3cos2f ^sin4^ ,
2^5=: 1.2.3.4cos3f4cofl4y^
— 1.2.3.4cosj^^sin^siD4^ g—
=z 1 .2.3.4cos^^co85y » *
U. 8. W.
zen wir also
50) y=A^).
ist
51)
f (x)= cosycosy,
f" {x) = — l.cos^%in2y , /»" {x) = — 1.2cosy 'cos3y , fy{x)^ 1.2.3cosyVm4y, / ^(a:)= 1.2.3.4cosy*cos5y ,
u. 8. w.
ut
1
/ia»)(a;) = (~l)".1.2.3..(2»— IJcosy'-BmSni/, /i^''+'l(.rl = (— l)''.1.2^...2MC0By*H-»cos(2»+l>y,
Ffir ^=0 lat y=o, und hczeichuen wir den Werth n ivelcben diese Gru.sEe erhiilt, neau muii p:z für x setzt, ij i»t ao ist
/■[«"l(ja;)=(— 1)".1.2.3..(2b— l)coBp*'sin2n'),
/■(a^') (p^) = (-I)''.1.-2.3..2«coboS»+1co8(2«+1)b ;
n-elche tirüssen sich anter Her Voraussetzung, dass der alwt Werth von x nicht grüaser als die Einheit ist, offenbar dei I bis zu jedem beliebigen Grade nlihern, vienn man n in's Um liehe ivachsen lasst. Ist also der absolute Werth von ;): oicblf ser als die Einheit, so ist offenbar nach §. 1. 11.:
52) y = «+j
— ^ co8a*8in2a —V cosa^:os3Qt
Eine ähnliche Reihe kann man (St
63) cot^^cotu-fo;
entwickeln, was wir dem Leaer aoBzuführen fiberlassen. man aber die rerstehende Gleichung unter der Form
l
447
dar» 80 ergiebt sich die sesnchte Reihe unmittelbar ans 52) , in- dem man nämlich auf diese Weise , immer unter der Voraus- setzung, dass der absolute Werth Von x nicht grosser als die Einheit ist, leicht erhält:
54) ^=tt — T-sinasina
x^ + o" sina*sin2a
— -«- sina'sinSa
+ -r sina^sin4a
x^ — g~ sina^in5a
+
$. 6. Weil die Reihe
Im* «vS '**9 1*4 <«*A f mU f «Cr f tßf y «fr y tM/ f •••••
liir
-l<ar<+l
Ikkanntiich conTergirt, so convergirt unter derselben VorauS' {Mraog fBx jedes m aach die Reihe
1, XC08CD, x^cos^f», a;^cos3o), ...^.
m hat daher eine gewisse Summe , welche wir durch f(m) be« iMichDen, also
f((o) = 1 + ^cosoo + ar*cos2c» + ^^cosSco +
{~l<a:<+ll
wollen. Daher ist nach einem bekannten Satze der Integral- mong^, immer unter' der Voraussetzung , dass
*) IL a. meioe Elemente der Differential- und Integral- leliBnng. ThI. IL Leipzig. 1837» §.8. Dieser Satz, welcher ' 'iluch seiner greeten wissentchaftlichen Bedeatong dem Taylor-
m |
r |
448 |
n |
1 |
|
ist iKul n eine |
betieblgeii Bogen bcieiehiiet: irin'üchen SiiWf nn din Seite gese tirÖBseii K„, U, , V,, r/, , >/«,— füt zwei gewi.se Grande |
it «erden .. Funcl |
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trhrn unil nämüch Wen X sind Gleicbi |
Mnclu »Igenll n die ><nri |
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Rück.ichllicTi der Anwendung dieses SbIm» oben im Teile tu) fest lu halten, Jass die Gleichung |
|||||
' |
/■(«,) = l + I-^"» |
+j;»eO»Ba.+ «»coi3 |
.+...., |
1-1<I<+1I
nn nnr die Bedingung
rällt Ut, für jedes es gilt, le due bIu tatch nach unaeretn i tze die Gleichung
/»Ol /»(O
■\-X* i co«3<udra-^ir*/ Gp«4B;dEH
erföIU Ut. Deim aneh' die In alleit aolcbea Fällen nie bei Seite i sende Bedingung der SWigkeit aller TOrkomtn enden Gtfiesen iw den betreffenden OrinieD erfüllt eein rnnse, Tcntebt «idi van ael)
44»
/ /(»)3o> = / So +ar / coscodco + ^* / cos2a)8«i>
• 0 0 o
;r' / cosScodeo 4-^ / cosicoda)
+
#
+ •
d. i.
/« , 1.1. 1
0
Nach 19) ist aber, wenn wir
. ^ a;sinoo Arctang -i
zwischen — qTC und +ö^ nehmen:
Arctangi = 5 arsinco + a a:*sin2«»+ « ^r^sinS» + ...
°1 — orcoso 1 2 3
V Also ist nach dem Vorhergehenden:
/^>v VA . * ^ arsino
/(a>)8a>= 0) +Arctang Y3^^^ .
0
JMfferentiirt man nun auf beiden Seiten nach co, so erhält man:
_, ^ , . 8 A X arsinoo
A«)=l+g"^Arctang3^:j^^.
Mittelst leichter Rechnung erhält man aber
8 . a^sinoo ^^ xcoBfo^x^
d^ Arctang j^^^^^^ — l—iarcos© + a:« '
Also ist nach dem Vorhergehenden» wie man leicht findet:
1 — arcoscj
' ^"^ — l-.2a:cosw+ar* '
=«* • und weil nun
/'(»)= l+arcosß> + ir*cos2c»+a:'cos3«» + i,* {-l<a:< + l)
« ist» so ist
» + :c*cos2(o + ^'cosSoj ■)- ..
Multiplic'irt man auf beiilen Seiten dieser Gleichung mit 2 zieht dann auf beiden Seitun die Einheit ab, so erhält man
5«)
bekanntlich convergirt, so convergirt unter derselben Vorai Setzung für jedes u auch die Reibe
xsinio, x'ain2a}, xH'inSca, a!*8mia), ....
und hat daher eine gewisse iSummei die wir durch /{o) bezeii nen, also
|-1<^< + 1)
setzen wollen. Also ist nach dem im vorhergehenden Parag
Shen angewandten Satze aus der Integral recbnung, immer ui er Voraussetzung, da«8
-l<ar<+l
ist und I» einen beliebigen Bogen bezeichnet:
/ f{n)ha= :£ f Binada +x* I sinSiaSio +x' j BinSwSB+j:* / Bin4a>8i»
}
451
d. i.
/
to
f(f»)dm
=— I xco8(o — zy ^*cos2« — ^ot^cosSg) — t ^cos4«» —
+ 1«
Nach 35) ist aber
1
^ — I accoBm
+ 2*
a
1
3
+ 5«»
+ 1^
und, wenn man a=0 setzt:
lV(l-a:)«=l(l-a;) jÄT 2^^ 3'^ 4^
AIbo ist
Jf{m)Sa)=\VT^2xcos(o + o;* - 1(1 -a?).
<Li.
/"'
V^i — 2a?cos(d + a;* folglich» weon man auf beiden Seiten nach oo differeotiirt:
A«>)=-^l
l-a;
Weil nun aber« vrie man leicht findet:
3 .___!=£
orsincQ
1— 2:i:cosa) +^*
itt, 80 ist
xsmta
1 — ^2^C0SQ> -{-x^ ' '^
danach dem Obigen:
452
il~±Ecoaa> + x^)-
= 1 + S7r^' +
l„j,o,.
metrie und
i-l<3:<;+l!.
Dies miichteu etwa die tviditigsten rn der sphärischcQ Astronomie vorkam inenden Reiher mit vilHiiier Strenee zu cntnickelu versucht habe, um zugleich | ein Beispiel für die Aiiiiendung des Maclau rin'scben Satzes in < seiner neueren Gestalt zu geben.
XXXI
Einfacher Beweis für die von Flasche* roni gegebene Auflösung der Anfi^abe die liänge einer an ihren beiden Em punkten unzugänglichen geraden l nie zn messen.
Von
Herrn Dr. J. R. Boyman
EU Cobleni.
Von dem vielfach bewährten mathematischen Lehrbuche deü^ Herrn Uerauggebers dieses Archivs ist so eben der ersten Ab^' theiluDg Eweiter Tbeil (Lehrbuch der Mathematik für dir
1 Klaseeu büherei Letiranetalteii von Job. Aug. t. 11. Tb ei t. Ebene Geometrie. Brandenburg. ) in viertel Ausgabe erscbienen, nelcbe wiederum mit meh- iZusätzen, namentlich über die Tbeorie der Transversaiea Anwendang, bereiubert ist und vor andern äbniiohen 1 sieb dadurcb tvcsentücb auszeichnet, dass in dertsel- ^'•n auf das Praktische gebührend Rifcksicbt genommen und ins- -rindere der Gebrauch des Winkelkreuzes gelehrt worden ist.
Um die Antveüdung dieses fCir die elementare Feldmesskunst ebenso brauchbaren, als in seiner Construction einTuchen Instru- nii^ntes zu zeigen , ist iu dem Anhange S. 2S4. des genannten Lehrbuches unter andern von der Aufgabe: „Die Lßnge einer an ihren beiden Endpunkten unzugänglicnen geraden Linie zu mes- sen" mit Hülfe des Winkelkreuzea eine elegante Anllüsung gege- lien. Herr Professor Grunert erwähnt zugleich, dass die gege- bene Auflösung der Schrift: „Solutions peu connnes de lÜfferens problemes de Göomt^trie pratjque, pour -ervir de Supplement aux Trait^s connus de cette "^ritince; recueillies par F. J. Servois. A. Metz. Ao Ml p. 75." entlehnt sei und dass Servois selbst sage, dass (liesc Auflüsnng schon von Mascheroni in der Schriit: Pro- lilemi per gfi Agrimensori con varie Soluziuni. Pavia IT'.I3. Probl. III. S Ol uz. 13." gesehen worden sei; bemerkt Aet, dass der für diese Auflösung beigefügte Beweis von ihm «elbst berriilire.
Indem ich nachstehend die Äulliisung der genannten Aufgabe ' mit denselben Worten des Herrn Professor Grunert folgen lasse, Kbe ich einen andern Beweis, welcher, wenn auch keinen andern Vflizug, doch den der grossem Einfachheit und Kürze haben wird.
Au flösun g. Wenn JUX (Taf.X. Fig, 1.) die zu messende Linie U. M suche man anf dem Terrain drei Punkte A, B. C von solcher ..:e auf, dass die Winkel MAN, MBN, MOS, unter denen in listen Punkten die zu messende Linie erscheint, dem Winkel '-^ Winkelkreuzes und daher naturlich auch unter einander gleich ■'lud. Dann messe man die Linien AB, AC, und suche mit dem Winkelkreuze in der Linie BC den Punkt D auf, welcher in der l-inic BC eine solche Lai;e hat, dass der Winkel ADC gleicb- liills dem Winkel des Winkelkreuzes, also auch den drei Win- kdii JUAN, JUBN, laCN gleich ist. Misst man hierauf noch >\'\>: Linie AD, so ist
J\IN:
AB.AC
'- AD
Beweis. Die Richtigkeit der vorstehenden Formel ergibt Mrl. einfach durch fulqende Betrachtung. Da die Winkel MAN, "ß.'V. itfCJV einander gleich sind, so liegen die Punkte Jtf. N, '■ R. C auf einer Kreislinie; daher ist
^^fulgt:
i^l&NFo^ii^BAF,
MNiAB=^FM:BF .... l)
Auch sind als Peripherieivinkel anf demselben Dogen die \ ACB . A!3B einander el^i<^li , und da nach der Constmctiai die Winkel ADC, MBN i^leich sind, so ist
\ACD(>ä^_FiVB,
AC:AO=:FM:BF . ... 2) indung von I) und 2) erhält man nun:
M!S:AB = AC.AD, ! ZU beweisende Formel sich sofort ergibt, dSii AB.AC
M^^-
AB
Dau Herr noctor Boymnn in Cnblonz bei Alifassaiijt dea ' AafBBtxes vnn den In Tht. Will. Heft I. nbgedrncklen Bsiiirrl des Herrn Professor l'roHs in Slullgart durcbaui keine Kenntniag konnte, halte ich für meine Pflicht liier in bezengen. Dasa icl Herrn Dr. Bojmnn für die nbige MiClhcilnng- eu besnndFiem verpflichtet bin, nnd nnbedin^t anerkenne, das« der ohig'e Hewe dem TOn mir a. a. O. gegebenen Hewelae durch greasere Einfn sieb auszeichnet, vird mir Jeder, der meine Sinnesart kennt, auci meine Veraichorutig glauben.
He.
el
45d
Jübriss eines Beweises fOr den sof^e- nannten elften Euklidischen
Grundsatz.
Von dem
Stadirenden der Theologie Herrn H. Th. Horlych
aus Schleswig -Holttein zu Bonn.
Alle diejenigen Erklärungen ^ Lehrsätze ^ Aufgaben u. s. w., lue snabbängig sind von dem sogenannten 11. Axiom des Euklid nd in den meisten Ausgaben der Planimetrie schon vor diesem [gestellt werden, setzen wir hier als vollkommen begründet I ImaoSy indem es uns hier allein darauf ankommt, die Entbehr- [Idikeit dieses sogenannten Grundsatzes nachzuweisen, ohne uns Mf die aligemeinere Frage einzulassen, ob Grundsätze überhaupt Niss'q; und unentbehrlich sind in der Mathematik.
Erster Satz. Iq einem Dreieck ist die Summe der Winkel nicht
Beweis. In dem Dreieck ABC (Taf.X. Fig. 2.) sei
BC>AC> AB
^ folglich
j^BAO ^ABC> ^ACB;
VM CoBstmction und Beweis fGr die beiden andern möglichen nile, das8 zwei oder drei Seiten und folglich auch zwei oder alle
Ml VnAti glatflh idid, wA einer Icteinen, sich aus der Sacbt Milwt ergtbmit» Vcrfaiiierung folgt). Dann soll gezeigt wer
^im, dwa
^BAC + jiABC-i-^SCA'^iR
ist. Zn dem Ende halbire man AB in J, ziehe CJ, Terl.'(nger< diese bis DJ:=CJ »t upd üiche /J^, in dem ^a eiitstnndenet ^DAC balbire man AC in K, »iehe DK, verlSn^re diese bii KE = DK, ziehe AE. Im li^DAE halbire man diTun DA in Z siebe LE, mache LF^LE und ziehe FA u. s. «*., indem mai von den beiden fraglichen Neite.n eines durch solche Constructiai entstandenen Dreiecks immer die nicht zuletzt entstandene Seit halbirt.
Aus der Construction folgt nun durch einen einfachen Scbluss l:i,BJC^\DA.T, A,4£Ar^iO/i:C, u. B. IV.;
die Winkelsunime in ^DA.I ^ \AJC = der Winkelsiimne i A B-/C+ A -^^C"- und 2fi auf beiden Seiten abgezoeen: Win kelsumme in Ai'--*C = der \n\ABC, in S,DAE i^AEFu.s. w Bezeichnen wir diese Winkelsnmmc im ersten Dreieck durch S, in zweiten durch S' u. b.w., so ist also S= S'=S" u. s. w. Dem'
SemSss sollen A, A', A" u. s. w. den hei A liegenden Winkd er verschiedenen Dreieike und Z, Z', Z" n. s. w. die Suni» der beiden übrigen bezeichnen. Es ist dann
A'—A-^^ABC. A"=A'+^DCA o. s. w.
A + Z = A'+Z'=A''-\-Z'' u. 8. w. =S,
Z' = Z-^ABC, Z"=:Z—^DCA u. s. w.
Nach der Annahme ist
^ABO^ACB,
und aus der Construction folgt:
^DCA>^CDA u. B. w.;
Z>2Z', Z">2Z", Z">2Z"' u. s. IV.;
Z>2Z'>4Z''>8Z"' u. s. w.;
Z'<,lz. Z"<.^Z, Z"'<yZ, Z"< j^^Z, u.
Es ist hieraus klar, dass Z durch lange genug forlgesetn Construction kleiuer gemacht werden kann als jede bestimmt gebeneWinkcIgrüsse. Wäre nun S etwa um ;c grösser als '27^, so — __ man die Construction so lange fort, bis jz-^Zt") ist; da nun liO^Jil i=iS ist, so wäre M
457
da doch A als Winkel eines Dreiecks immer <2jB ist. Also ist S* nicht >2Ä, w. z. b. w,-
Folgerungen.
1. Der / Aussenwinkel ist nicht kleiner als die Samme der beiden inneren ihm gegenüberstehenden Winkel eines Dreiecks.
2. Zwei Winkel eines Dreieckes sind zusammen <2i2.
3. Die Summe der Winkel eines Viereckes ist nicht >4jB.
4. Zwei gerade Linien in einer Ebene, die von einer dritten 10 geschnitten werden , dass die Summe zweier innerer Winkel u einer Seite =2/2 ist, schneiden sich nach beiden Seiten hin rerlängert nie.
Zweiter Satz.
Sind drei gerade Linien in einer Ebene gegeben, lie sich nie schneiden, so schneidet die mittlere jede jinie, welche man sich gezogen denkt zwischen zwei »eliebigen Punkten der beiden äussern.
Beweis. Wenn ich zwei gerade Linien AB und CD (Taf. X. ilg.d.) habe, die sich nie schneiden, so ist klar, dass eine dritte EF, [ie keine Tön beiden schneidet, entweder zwischen diesen beiden lie- ;en muss oder ausserhalb und zwar entweder nach der Seite von 7Z) hin: dann ist CD die mittlere; oder nach der Seite von ^^ liii: dann ist AB die mittlere; auf jeden Fall also liegt unter Irei sich nie schneidenden Geraden in einer Ebene, eine von bnen zwischen den beiden andern; in unserm Falle sei EF die aittlere zwischen AB und CD. Von einem beliebigen Punkte L n AB ziehe man nach einem beliebigen Punkte A^ in CD eine lerade KL, dann soll bewiesen wenden, dass EF die KL schneidet.
Von einem beliebigen Punkte O in EF ziehe man nach den dankten H in AB und G in CD gerade Linien, wo // und G allerdings leliebig aneenoniinen sein sollen, aber so, dass sie auf derselben leite von KL liegen wie O. Da nun OB ganz auf einer Seite on EF Hegt, weil zwei Gerade sich nur einmal schneiden kon- leo, und ebenso 06r, so folgt, weil H und G nach der Voraus- letsang auf verschiedenen Seiten von EF liegen, dass auch die Linien OH und OG auf verschiedenen Seiten von EF liegen, ftorch diese Coastruction erhalten wir also das geschlossene Fünfeck
Theil XVUI. 31
438
OHLKG, in welchem, als in einem baBtimmfen endlicheaFiinreel^ kein Punkt vnn O iinuiiilllch entTernt sein kann; verlängert um uIbo £F nach iler Seite von LK hin, so mnss EF, weil je* Gerade sif^fa bis ina Unendliche verläncem läset, einmal eineoeill des Filnfecks schneiden; OH un»! OG kann £F nicht schneide denn die schneiden sich in O, HL und OK schneidet EF ua» der Voraus setz anf; nicht, also schneidet EF die Rinfte Seite Li
Dritter Satt.
In einem Viereck, in irelchcni an der Grundtiui zwei rechte Winkel äind, die von der Grundlinie a zivei einander Bleichen Selten eingeschlossen wi den, sind alle Winkel —li, nUo die Summe =4B.
Beweis. In dem Viereck ^ßC/> (Taf. X. Fig. 4.) sei .^ßi Grundlinie angenommen,
* ^DAB—^ABC=R und AD=BC;
es folgt leicht, dass dann
^ADC=^DCB
ist; man soll beweisen, dass
^ADC=j^DCB=:R
ist. Da sie nun nach dem Vorigen nicht grösser als ß seinkdn- nen, so nehmen wir uo, sie seien <ß. etwa ^K — x.
Man verlängere AB über B beliebig weit hinaus uod schneide von B an auf der Verlängerung die Stiicke BE^EG = GJ u. B. w. =AB ab; errichte durch £, G, J u. 9. «. Per- pendikel EF=GIi==JK u. s. w. =AD=BC, dann folgt leicbl
DB^CE^FG u. s. vv.
Dana ergänze man den j^ADC, der nach der Annahme ^fi-i ist, zu einem Rechten durch die Linie 7>/', die man sich hlnlän^ lieh weit gezogen denke. Verlängert man DC über C, Cf fiber F n. s. w. hinaus, so folgt leicht, dass DC von DF nach dieser Seite hin nicht geschnitten werden kann, weil DT die DC in D schneidet; aus der Beschafieuheit der Winkel bei C folfft, daes VF zwischen AB (ivir denken nns alle Gerade bis ins un- endliche verlängert) und DC, FH zwischen AB und CF u. s. u. nach dieser Seite hin liegt Da DT nun nicht Z>C nach dieser Seite hin schneidet, so schneidet es um so weniger CF, FH, HU, u. fi. w. nach dieser Seite; der Kürze halber nennen wir die eben besprochene Seite rechts, die entgegengesetzte links. Verlängert
439
inlis üiicr C, /', // u.8. w.
CBCD + ^BCF=^EFC+j:LEFH u. 8. w. =2A'— är:
maa folgt, dass die Verlan gerungen von CA', FH u. s, w. nach Sifs Tina links um einen Winkel ^^a: toii DC und FII u. s. w. peichen, diese also mit den Perpendikeln BC, EF u. s. w. Winkel =^R-\-x bilden, also nach keiner Seite hin AB jneiden, nachdem ersten Satze. Da die Linien CF, FH u. s. w. jchDT nach rechts nicht schneiden, so bleiben also nur die n Fülle mü^lich, erstens, d!iesCF,DT und AB, FII, DT und . w. sich nie schneiden, oder zweitens CF und J)T, I nnd DT schneiden sich nach links hin. Im ersten Fall ist I jedenralls nach der Consiruction nicht die mittlere zwischen "nnd DT, also ist entweder DT oder CF die mittlere. Ist mittlere, so muss sie CB zwischen C und B schneiden bdem zw ei ten Satze, dann ISge aber DT zwischen AB und DC ^ rechls'hin, welches gegen die Construction ist. Wäre aber CF mittlere, so müsste sie ^ü zwischen^ und D schneiden, dann Ate ihre Verlängerung mit BC einen Winkel, der kleinervals bx wäre, obgleich wir aus unserer Annahme und der Con- pttion nachgewiesen haben, dass dieser :^R-\-x ist. Es bleibt pnach nur der zweite Fall übrig, dass CF nach links DT eidet, und folglich FH, HK u. s. w. ebenso. Man verlän- 'emnach diese, bis sie BT beHehungs weise in P, Q, R : schneiden, dann erhält man die Ureiecke DCP, PFQ, PjR u. 6. w. Es wäre dann
^PDC=x, ^DCP=2.x;
^PDC+^DCP+^CPD= oder <2«
i dem ersten Satze, also 3a7<2ff ; ferner im ^FPQ, ^FPQ Äussenwinkel vom \PDC= oder >3a:, jCPFQ='ix, also fcSA. So erhält man nach nnd nach 3x, Sa:, Ix, 9x, ILc u. <2A, also
2 2 2 2 2^ "^3' 5' 7' Ü II' "^
vv. U,
Bus erhellet, dass x<i als jede noch so kleine bestimmt i ^ne Griisse ist. x hat demnach gar keine Griisse, son [gleich 0 und ll — x~R, also
^ADC=^DCB=R,
Anmerkung.
Wir liaben in vnreteb enden Säticen der Kurze halber nnr am (iang lien Beweise» im All^eiti^inen gegeben und diesen a ftusgefdlirl, dnsa wir hoffen konnten, der Kundiee werde <la» Üelirige mit Sicherheit urgän»eii künnen. Vermittelst des letztn Satzes nun in Verbindung mit dciu ersten und dessen unmittef baren Folgen schreitet man mit Leichtigkeit bis zum Beweise dr~ sogenannten elfte» Axioms des Euklid vor.
Vermittelst Ergünzong 7,0m Rechteck beweist man, dass ä Summe der Winkel im rechtwinkligen Dreieck =2/.' ist; durdl Zerlegung in zwei rechtwinklige Ureiecke betveist man, äass iü Summe in jedem I>reieck=3i£ ist, vnddureh Zerlegung, in zwei Dr^ ecke beweist man, dass in jedem Viereck die Htminte d«r Vi\» licl =iR ist. Und hieraus wird j«dcr leicht die gleich m äs sif;* Annäherung um gleich viel, auf gleich grosse Eiitlernung solcher mfl Linien, wie unser sogenanntes Axiom dieseltien voraussetzt, bs- weisen künncn, woraus wieder mit Nnlhwendigkeit folgt, äial sie sich entweder treffen oder schneiden mSssen. Wir erlaubet ■in» nur noch darauf aufmerksam zu machen, dass der eigentlich KnMen des Beweises, wenn wir so sagen dürfen, nach unsetev Meinung nicht so sehr im dritten Satze liegt, obgleich dipi« schwerer ist, als im zweiten, indem hier gerade das Schneid» zweier Linien unter bestimmten Bedingungen bewiesen wird, ati alle Versuche, die Schwierigkeit dieses sogenannten Axioms u Iflsen, immer und immer wieder daran scheitern, dass das Schnei' den der zum Behuf der Lösung betrachteten Linien nicht streif nachzuweisen ist.
Nachschrift des Herausgebers.
Ich bin zwar kein Freund neuer Parallelen theorien, und babe schon mehrere mir Eugesandte Versuclie dieser Art nicht in du Archiv aufgenommen. Bei dem vorstehenden Aufsatze glaubte ich aber, da er mir manches Eigentbümliche zu enthalten scheint um so mehr eine Ausnahme machen zu müssen, weil der S«t Verfasser mir schreibt, dass zwei comiietente Richter, Herr Pro- fessor fieine und Herr Doctor Beer in Bonn, sich günstig übet denselben ausgesprochen haben. Eine Kritik von meiner Seitt an diesem Orte ist unzulässig und unangemessen, und ich man dieselbe daher ganz den Lesern überlassen, bitte aber dabei nicÜ zu vergessen, dass der sehr l»escheidene Herr Verfasser seinti Aufsatz nur einen „Abri ss" eines Beweises des eilften Euklidi- schen Grundsatzes genannt hat.
X
461
Vetter eine Anigahe in der Kreis-
theiliiiiiir*
Von
Herrn Doctor F. Arndt,
Lehrer an der Realschule zu Stralsund.
Ganss zeigt in der siebenten Seetion der Disq. Arithm., hss für jede positive ungerade Primzahl n das Polynom
ich auf die Form
FF— w(-l)i^»-J)ZZ
iriiigen iSsst, wo F und Z ganze Funktionen von x vom r'är') Grade sind. Die Kreistheilung selbst liefert nur eine
knrtige Zerlegung^; wir wollen hier untersuchen , ob diese Zer- ^mg auf mehrere Arten gemacht werden kann?
Eisenstein sagt^ dass die Beantwortung dieser Frage wich-
J; sei för den Beweis des F er manschen Satzes, von welchem , uler und Dirichlet specieile Fälle behandelt haben. (Grelle lournal. Band 27. p. 8&).
Die Sjreistheilung ^ebt bei dieser Zerlegung von den Wer- te der beiden Perioden
462
aus, wo r eine beliebige Wurzel der Gleichung X=^0 ist eriife Sununen^eichen sich über alle Werihe von ß, welch dralisclie Reste von n, das andere eich über alle Werthe «elclie quadratische Nicht-Roste von n sind, erstrecitt Fi
I
,^(2-l)=m, (-1)-" = ^ ist belianntlich
p+p'=—i, j>p'^^(i — HS) Sind nun
X' =a;'"+ da;"'-* + ... -(- Om-i^ -f «»^0, ^" = a;'"+ M'*-' + "• + 6".-ia; + 6m = 0
die Gleichungen, deren Wurzeln resp. die Glieder in p, p so dass also X^X'X" sein niuss, so lassen sich die Coe; ten a?., bi. bekanntlich folgend ermassen ausdrücken:
a}.=lix-{-^xp^'S.xp', MO ^jl, S&Ä. <£;, ganze Zahlen sind, und es kommt
Mt. Mun ist
./li = W + 6i = 2?Ii — 95i - ei , ai — 6i -. ft.
rolglich
4j:=4X'jr';=(2:'+jr")''-(J:'— ^")».
4Jr= FF-beZZ,
Z = a™->+ßaa:"^*+ + J?™
^i nun umgekehrt
463
wo die Coefficieitten in T, Z ganze Z<ableD sein sollen« Die MnKiplication zeigt zunächst, dass
[1] ...... J(^o*-««^o*)=I
ist. Es ergiebt sich ferner
[21 ...• -X=i(a?«+aia:'»-i+... + am)X(a:'»+6ia?«-^+...+6»)>
wo
«A=
•4er
w
*A= j(ilo^A— enÄoÄA)— j (AoBx'-^BoAx)Vsn=fX'-g}LVsn ; [4] Ja=-4oA+«wBo^a, ÄA=i<ofl'A + J?oA»
|Re WarzelD der Gleichung
a^ + flia:"»-* + .... + am=0
■mI nach [2] Wurzeln der Gleichung Xz=zO, fassen sich also [bdi Potenzen einer beliebigen Wurzel r der Gleichung X=0
icken; man bezeichne diese Wurzeln mit r^i, r^i,.,.,r '"und [frfihnlwhe Weise bezeichne man die Wurzeln der Gleichung
ar» + 6ia*«-H — + 6m= 0
ii», fV«, r^"», und setze
jP =1^1+1^. + + r^«
r I
ferner sei, wie oben,
p=r».+r'>. + ... + /-,
P-H'=-'ih = ~l, /,=.ji
=-|±Jv.
täV«»!
IP— j1-ä
n'o die Zeicben sich auf einander beziehen, aber uiiliestimiut t Hieraus folgt
P~P'=—2giViri, p—p'=±Vm, P~P'=±2gt(p-p-
oder
[6] P-P-±ZgiP=fig,p'=0.
Setzen wir nun in den Ausdrücken vun P, P", p, p', x t T und bezeichnen die residtirenden Funktionen von x mit Px, Pit p'kt BO . verschwindet die Funktion
<f.=P.-P'^^,'ls^p.^1g,p'^
IBr Ä=r ([6]), ist folglich durch x—t theübar, ebenso wi« folglich nius» das grösste gemeinschartliche Maass von «px un eine Funlilion von x sein, die höchstens vom (n — 2)ten Grade wird, da gii durch ^ theitbar ist, und Jf für ^t— Onichtverschwii
Dieses gritsste gemeinschaftliche Maass hat nun nothwe rationale CoefGcienten , wie sich aus der eewObnlicben MetI seiner Bestimmung ergiebt, folglich ist S. durch eine algebraii Funktion von nieclerem Grade als X selbst mit rationalen C( cienten tbeilbar; dies ist aber nicht möglich, ausser wenr
4«5
dentisch der Null gleich ist. (Gauss Disq. Arith. 8ect. IUI. art. 341.). Da aber die pämiiche Potenz von x nicht zu- ^eich in pxy p'x als Glied vorkommt > so ist ersichtlich, dass q>x licht identisch = 0 sein kann, wenn nicht 2^i = ± 1 , oder
entweder Px'-P'x-{^px—p'x oder Px-^P'x—px-i-p'x
identisch =0«
Jnter der ersten Voraussetzung müssen die Glieder von P'x Imrotlich Glieder der Summe Px-i-Px sein, aber P'x hat mit Px ein Glied gemein, wie leicht ernellt, folglich ist Px mit px» be.iSo Px mit p*x identisch, also auch P* m\tp,Pmitp' identisch* In er andern Voraussetzung findet man auf ähnliche Art, dass P it p, P* mit jp' identiscli ist, d. h. wenn man sich X in die actoren
a;~4-aia?»"-^+....+am, a?"»+ fiia?»»- *+.... +6m
»
) zerfällt de'nkt,^ dass die Coefficienten aA> 6a allge- ein unter der Form
rscheinen^ so ist nothwendig
s= (a?— 4^0 (a?-rÄ«) — (ar— r *»»)X(a:— r^i)(a?-r^.) .... (a:-r^») ,
h. man findet die durch die Kreistheiiung selbst ge- ebenene Zerlegung von X
Setzt man nun
ax+bx=AXy / =Ba;
f Y=2x^ + «"»-1 + A^x^-^ + .... + Am , l Z =0:«»-^ + Bg^-« + + Bm ;
ist r4JC=FF— £iiZZ die durch die Kreistheiiung gefundene lg. Aber nach [3]
aA + 6A=2/A, ax—bx=^gxV^ny fx^^Ax,
1 {p'-p)^X.
^^ ""2 Vm ' man diese Werthe von fx» gx io [4], so erhält man.
" |
«8 |
" |
1 |
||
■ beachlend, ilass p'— p = ±v'«t iet: |
1 |
||||
iix |
= .5AÄJ±5nrB.B,. |
:i| |
|||
[8] |
\bi |
= 5 «0*1+ l-^oBJi |
1 |
||
»0 die Zeiche die Gleicbeitg |
n sich anf einander beziehen. |
und |
M, |
||
A^^~inB„'=i |
|||||
gebunde |
njind |
||||
Es ISest sieb fereer zeigen , dass Ax j Bi. ganze Zahlen sind. In der Tbat erbeilt Bogleie beide gerade, oder beide ungerade sein tuüäsen; |
in alle h. da» sodann |
I 1 Ä |
|||
Al=2!tj_Oj-Si, Bj=Sj |
-©;. |
||||
folglich |
Al + Bj=2(3(i-aSj). |
||||
also A( Hieran» Werlbe |
, Hl ebenfalls znsleich gerade, oder zusIeJch ung< folgt aber nnmillelbar, dnis die durch [8] bestin voll Ax, ]ix ganze Zahlen sind. |
Umgekehrt soü erwiesen werden,
iX= TT'—mZ'Z-
■ seinmnss, wenb man
r=4,I-+^,a:"-' + .... + j(.,
Z=B^-icBia:—i-t....+Bm,
Jil'—inBJ'=i
setzt, und die CoelteefenteD Ax, Sx nach [8J' bestimmt. — I Tbat folgt ans [7j in Ve^iiidung mit [3]: .
!r =\A,rilmB,Z, 1 1
Z'=.2«o>'±ä'«oZi
und hiernach findet sich
rr'—tnZ'Z' =J(Jo»- «iJ^o») i¥y~enZZ) = 4X.
407
Das Endresultat unserer bisherigen Untersuchung ist also fol- gendes:
Wenn
42r== YY—znZZ
die durch die Kreistbeilung gegebene Zerlegung des Polynoms ^X ist, so findet man alle möglichen Zerle- gungen dieses Polynoms, nämlich
4Z= FF-£7iZ'Z',
vermittelst der Formeln [9], oder auch die Coefficien- ten AXi ßx der allgemeinen Zerlegung und dieCoeffi- cienten Aa» Ba der besondern Zerlegung (welche die Kreistheilung giebt) mit Hülfe der Formeln [8], in- dem Jq, iffo beliebige Werthe der Gleichung
bedeuten.
Die Gleichung
kat mit Ausnahme von n=3 nur die Wurzeln ^=2, £o=0 [offenbar genOgt es, Aq, ^ als positiv zu betrachten), folglich lach [9] F'=F, Z'==±Z, daher die Zerlegung in dem Falle 1^3 (med. 4.) nur auf eine Art möglich ist. — Fiir n=:3 aber kann man Ao=:2, Bq=:0; ^=1, Bq=sI setzen, und erhält lach [9]
Y^zIytIz, Z=Iy±Iz;
die Kreistheilung giebt Y=2a: + 1, Z=l, folglich Y'^x^h Z'^zx+l, wie Herr Eisenstein richtig bemerkt, aber auch noch r=x+2, Z'=x.
In dem Falle n==1 (mod. 4.)» wo £=1, genügen der Gleichung
^viendlich viele Systeme ganzer Zahlen, weshalb die in Rede .Vkdieade Zerlegung alsdann auf unendlich viele Arten möglich ist
i InBezup auf die Zerlegung von 4X in YYsnZZ mit Hülfe |iM Ii^gtheilang sind noch einige Bemerkungen übrig, um die- len Gegenstand vollständig zu erledigen.
die Gleichung, deren Wurzeln r"-, r"' , r"»,. Potenzsummcn dieser Wurzeln bezeichne elc. Es ist also S.io=p; ferner
I mit S.fo, S.u^, S,
,J=rJ.il, + r'.». + ..
Tolglich S.ti^=p oder ^p', jeiiacbdem i »uadratiscber Rest j«, oder Nic;htrest von n, oder jenachdem Ind. ■ ' ' ' oder ungerade ist.
oder jenachdem Ind. l (niod. 71) gern
Altt Uill'e der Relationen
P + P'=
pp'= j (1— tie), pp= — p~^l—tu)
ist es Dnn sehr leicht, die Coerficleuten n,, a^,....am durch Newton'sthen Gleichuageu zu berechneu. Bringt man auf die Porm
so folgt
bk=7i + fdp',
wo Ax, Bx die allgemeinen CoefSciebten in den Polynomen und Z sind.
il. Man branchf diese Coefficienten nur bis zur Hfilfte iB berechnen. Um dies uachzuiveisen, werde ein allgemeiner Ssllf über die PeTrioden beniesen, «eichen Gauss bfoss audeatt^ (Disq. Aritbm. urt. 34ä.)-
VjS sei n— 1 = 6/",
{f. Ä) - m + [iff^] + [i.?^] + - + [iff ^-^'1 .
das Zeichen [;
L') Bedeniet der letzte CoefGoi<
3:/+«ia^-» + a3a^-^ + ....(— 1);.1=0*)
(et F Am Produkt der Wuraclii
r GIcichtiDg, »a i*l
409
e Gleichung, deren Wurzeln die Glieder in (/*, X) sind.
Ist nun P. f gerade , so ist allgemein
X^(i/+^>«=A#/l(«-i)y^=-A^« (med. n),
ilglich kommt in der Periode (f, X) jede Wurzel mit ihrer reci- roken zugleich vor, also hat die vorhergehende Gleichung die- elben Wurzeln wie die folgende:
a^ + ccf^ionf"^ + .... + ciiX 4-1 = 0,
laber
der die ersten Coefficienten sind den letzten in umgekehrter Ord- ong gleich.
29. Ist f ungerade, so sei
(9) a/f aia?/-H„., + a/-ia:— 1=0
ie Gleichung, deren Wurzeln die Glieder in (/, X),
(90 .. .. a^+ßiof-^ + .... + ßf-io;-^ 1=0
ie Gleichnng, deren Wurzeln die Glieder in (/, —Xy.
Die Wurzeln der Gleichung TQ') sind die reciproken Werthe sr Warzehi der Gleichung (9), also werden (9) und die folgende leichung
a:/— /3/_ia/-»— ....— fta; — 1=0
e nämlichen Werthe haben, folglich
a/-i = — /?!, a/-2= — /52> etc.
a man nun die Coefficienten ß findet, wenn man in den Aus* vcken für die Coefficienten a, welche bekanntlich auf die Form
A + a(f, 1) + ai (/•, g) + .... + a.(/, g^-^)
»bracht werden können, überall (/*, — ft) statt (/*, ft) setzte so idet man die letzten Coefficienten der Gleichung (9), wenn man den Werthen der ersten Coefficienten die vorhergehende Sub- itation macht, und die Zeichen verändert.
„,=(-.y/'./'=/ii5-'^ = r'^« = l.
iglich a^=(— ly.
Wenden wir diese Bemerkungeo an auf die obige Gleicbfl
a;'- + fl,:r"-H + a„=0,
so üodet sJcU für ein gerades m:
" p—p p'-p
i. i.
[10] ^^=/*™-*„ B^ = B,«-,r, woraus folgt, Aass man nur die CoefGcienten
A^, Ai, Ay ; «2, »3 Bi
a" «"
zu berecboen braucbt.
Für ein ungerades m erliall man
p -p '^ '^ v'-v " " J
folglich 1
[II] ^;<=-.i„_p, B;<=B«_^; troraus folgt, dass man nur die CoefGcienten
A» ^» '*>(»-n *«' ^ *l(m-ll
• * ■
zu berecfanen braucbt
III. Der CoefGcient ax ist =(—T)^aXi wo ai dieSumnie alh Cvmbiaationen der Glieder in
p=ri'. + r«.+ +r*
m(m—l) (m — X + 1)
1.2 m
Glieder: setzt man r
4T1
> moss >
ein , da die Aggregale- p mid jp' je m Glieder enthalten ; folglich
271a+(«-1)(»A+€a) =2mA, 22lA-»A-€A=2mA-n(OA+€A), d. i.
-4a^(— iy-2i»A (med. n),
wie Legendre zuerst bemerkt, aber, wie ich glaube , nicht streng nachgewiesen hat. (Theorie des Noinbres. Tom. IL p. 194.). Wenn Legendre aber ferner behauptet, dass man, um die ^ zu bestimmen, in der vorhergehenden Congruenz statt 2mx den klein- sten Rest dieser Zahl nach dem Modul n (unter ^n liegend) set'
Ben müsse, so ist dies unrichtig. Es trifft diese Behauptung frei- lich zu bis nss37, aber fOr grössere Werthe von n verhält es sich ftnders« wie man aus der nachfolgenden Tabelle ersehen wird.
Man findet in dieser Tabelle die Coeflicienten aj, Og^^a^ etc.; A^^A^^ etc.; /?a» B^ •tc. von w==31 bitHn. . .79 berechnet, wo der Zeiger nach iL
die Zahl 5(m—l) oder ^m nicht zu übersteigen braucht. Die
Coefficienten bx findet man sogleich aus den Coefficienten ax, in fiesen p mit p' verwechselnd. Legendr e's Tabelle reicht lis n=§9.
Tabelle
r Coeff icienten ax t
nnd ilerCoefncienten A}., Bi der Polynome Y. Zerlegung
4A'=rr-C-l)"HZZ;
berechnet nach de
". |
A, |
«, |
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Uelranss - Anfgraben.
Von dem Lehrer der Bfathematik Herrn Werner zu Dresden.
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2) 2*-^ aftsinSg?
^(V-a-2 V"a6.cos|iri+4r6) ^ 2(a+2V:Äcosy+6) 2«(^a+2V'a6.cos|+V-6)
2»
^- • # • Va6.sin^-i
• • 2»(v;cr+2Vd>.cos|iz.-i+i^6)
woraus für 41=6= 1 die bekannten Formeln
32*
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3) -— =€08 TT« CO»^. cos ö cos 5L >
erhalten werden, welche» vr4^ man n ins UnbegrSnzte wachsen lässt, in die folgeaAsn fibergehen:
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5) — ^=C085-. COSj. COSg-...
6) __cot9«=2tgf^^tgjM-ytgg.+
Ferner ist zu beweisen, dass innerhalb der Grenzen der Ctn- versenz
1^. V '^ Bif^^^' _ (22~|X^)2/(2^)-(4g--^^)^/(^) .
wobei in den Formein 7) und 9) fix) die Eigenschaft f(—^)'=f(^) und in den Formein 8) und 10) fix) die Eigenschaft f(—x)= — fitt^ besit^Sen muss. Die erste Forderfing erfüllt man. Wenn f{x) =^g>(x)-\-<p('^x), und die zweite, wcmi f(x)=zg>(x)—q)( — x) gesetzt wird.
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iscellen.
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Znm WinkelkreiuP
Von dem Heraoigeiber.
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Will naQ mit dem fitlschen Wlbkelkreiii? dessen Wjpkel a hl, den FlScheninbalt dndl Dreiecks ABC (Taf. X. Fig. 5^ bestimmen I so steile man das Winkelkreuz in einer Seite BC ifiB Dreiecks ABC so auf, dass die eine Visiriinie in die Rich- WBg der Seite BC^tällt, und die andere genau nach der Spitze '.ÄgsÄdsktet bt Ist dann /) der Punkt der Seite BC, in welchem, um Imovma bewirken, das Winkelkreuz aufgestellt werden muss, so eleo etwa ^ ADC=sa ist, und bezeichnet A ^^n Flächen-
It des Dreiecks ABCfso ist
A = ^ADC + ^ADB =:|c/> .ilD.sina + ^BD.AD.Ana
= \ (BD^ CD).AD.sina == ^ BCAD.sina . Miiet qmn also BC=:a und AD^^d, so ist
nach wekher Formel sich ^ berechnen lässt^ wenn man ^Cund AD gemessen hat und den Winkel u des Winkelkreuzes kennt.
Die Kenntniss dieses Winkels Ist dud ypn genakbesonderer Wichtigkeit, and um zu derseObn*ini gelafig9l, seheint fo^ndeg Verfahren das zweclonässigste zu sein. Man messe die drei^WliM
BC—a, CAznb, AB^c
d4A Dreiecks ABC mit aHer nur möglichen Crenauigkeit mit Majyi- stäben, und eben so die Linie AD=d, wobei es zugleich dar- auf ankommt 9 das Dreieck ABC wsoS einem völlig ebenen horizoo- talen Boden «mzunehmei^ Wird dann der Kürze wegen wie ge- wöhnlich ' i . *
§esetzt, so ist bekanntlich m- ■ ^ *■
\-^ siS'-a) (5—6) (5-lf ,
• *
also nach dem Obigien !
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2 odgpa = jkf sis-^a) (5—6) («— c) >
folglich ,sF ^
mitteUit welcher Formel sina berechnet werden kann. Stellt man das Winkeikreuz in den drei Seiten des Dreiecks ABC auf und wiederholt das obige Verfahren, so kann man shicc auf drei ver- schiedene Arten bestimmen, und nimmt dann zwischen den drei ; für sina gefundenen , jedenfalls immer einigermassen von einander > verschiedenen Werthen auf gewöhnliche Weise das arithmetische ; Mittel, welches man als definitiven Werth von sin« betrachtet» J wenn nicht durch noch öfter wiederholte Bestimmungen dieses 4 Sinus eine Aenderung des in Rede stehenden Wertns bedingt^ wird. Hat man aber auf diese Weise sina »so genau als möglich be- stimmt, so kann man nun sina als einen constanten Factor be- trachten, den wir durch 2[i bezeichnen wollen; dann hat man zur Berechnung des Flächeninhalts A in allen Fällen nach dem Obi- gen die Formel
Ist cc wenig von 90^ verschieden, so ist 2fi wenig von der Ein- heit verschieden, und setzen wir also 2(i=zl — 2£, wo f immer eine sehr kleine Grösse ist, so ist
\ = ^xa(l — e, ad ,
Ä * '1
wo i*ad die sehr kMoe (jpnrqptiön ist» welche von ^^d abgezo-
g«iL>feerdte muss, am d^ richtigen Flächeninhalt A zu erhalten.
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Na^rU^h tonn man mittelst der Formel
8ma= ^p- j
^ aa
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i|ch den Winkel a selbst bestimmen; nur ist dabei hnmer eine (SipQdere ^Bestimmung nothig, ob a spitz oder stumpf ist , was brch den Sinus sieht uDmittelbao^entschiedeD wird; durch eio- lehe praktische V|plEiltfungsarteii 5 die wk hier nicht zu erläutert
ßnchei^ wird man daRlber immer leicht eine Entscheidung geben Den. 0 ^ G.
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A
Herr J. J. Äs t r an d , Privatlehrer »der Mathematik zu Go- benlyirs in Schweden / den die Leser des ArchTvs schon aus hl. HL S. 420. und Tbl. XIII. S. 398. kenmn» hat ihir folgen- BD hSchst einfachen Beweis^er Iftkaniiien Rrmeln für sii||^::^) ad co8(j;i:y) mitzuthmlen d9(j|^te gehabt.
In teif Dreiecke ABC (Taf^ X. Fig. 6.) ziehe man« BD odbredht auf ACmCE senkrecht auf AB» EG senkrecht auf ^^, EF senkrecht auf AC; so ist
EB. sinA+EC.cosA
- BC
* _ BOJi^awA + B CsiüBcosA
— ^^ BC
=s sin^ilcosA -f cos^sinJS ^
EB . cns.A — EC.&iaA
^ BC.cwBcosA—BC.maBsmA i ^ ^ BC
ä die Formeln für sin(vi— B) und cos(J-ß) leiohl erl werden. C im Obige» bedeutet den AuseenwJnkel des Dr( ^C hei dem Puiifete C. ^
* * Ausserdom hat Herr J. J. Ästrand n^r noch folgenSeD mitzulheilen die bfite gehabt:
r Zahl ^— i
esr'+(i|"-' + + ''S+o ]
ist, e» ist D immer isuch ein Divisor der ändernd ser beiden'Zahlen. a ^^
Drikdtfehler.
s. 4A.
S. 441. Z.
.ie. setze aa%Taf'. ^-'i^»'- statt TM X. I . 0. setze ma^ 'tanBMir<'tstt tangjr.
fm
^Ko^'^
Litcrariii^clier RerlelLt.
iSysteme, liClir- und IVSrterbüclier.
Uie Lehren <Ier vollgliiii r ileri Sellixtuiiterricht i eilt. Zwei Theile. Wien.
iiceii, reinen Mathematik us»mnie»ge»tellt vnn V. I85i 8. (»Thlr.
Uer Herr VeiTusser dickes «icti illier die ^esammte sügenannle reine Mathematik . Iiis zur l)iffer<:iiliul-, Integral- und Variations- rei^hnunc v er breitend eil Werks iieginnt die Vorrede mit den Wor- \ea: „Ich hulie mir die Anl'gahe gestellt, einen aufinerkfiamen \,e»er \n ilcu Stand zu setzen, die reine Mathematik in ihrer 'iilUtSndigen jetzt ^eii Biitwicklung richtig zu beii Mieilen und ku verstehen." Leider müssen ivir nun ftb^ d )iimnr erwidern, ditss der letzlere Zweck durch das vorliegehda J Werk auch nicht im Entfern testen erreicht wird. Dasselbe stel^ | imI einem ganz vecultetcn .Standpunkte, und der Leser bekommt 1 'l.i'ltirch nielit im Geringsten einen nur einigermassen richtigen B^ i i'lD' ton dem gegenwürtigen Zustande der reinen MalheniatiK nacn | »i'lhode. Form und Inhalt. Dasselbe enthält aberhatipt nur die Iliri^cH'iihalicIisten Dinge, vielfach nach Methoden dargestellt, dioj u\ ale ahgethan und antiquirt betrachtet werden messen; uoi|f 1 i' die häutig eingestreuten historischen Notizen und Einleitung j j^ii betrifft, so machen dieselben gleich auf den ersten Anblick den Eindruck, dass der Herr Verfasser wnhl schwerlich hei derai Studium irgend einer Purlie der reinen Mathematik bis zu den (Quellen eurSckge^angen ist, womit freilieb die auf S. 6. sich fin- dende Phrase: ,.Die eigentlich als Wissenschaft ausgebildete Ma- (heiiiatfk kaim abo, da sie in einer besonderen Form' besteht, und d.i diese Form nichts an sich Nothwendiges , sondern ein mehr
lUinil WIM. m
M82
oder weniger Zufälliges, ilurcli gei>clti(.'lil liebe Thatsai tes ist, (lurclmus nur richtig erlusHt und l)eurtheilt werden man den geechivlitliclien kiitM'icklniig^anji! in lleräckaid zieht" — niciit in lieeo »(lerem Einklänge stellt. Vor diei<:M rischen Expeutoriiliiineii des Herrn Verfassers mftchtea wi naiueiitliclt Aiifiinger, denen diia Uuch vielleicht in die HSl 'Ion sollte, warnen, <Ia diesellien niehrl'iicher Bericfati({uiig dtirl'en suheineii. Uas hier auageeprochene allgemeine urth< diese» BuL-h zu beweisen, fehlt un^ hier der Kaum, we» ist die Uedeutuns dieses freilieh sehr umrani>reichen Werk« gross genug, dass nir einem solchen Beweise einen gri Kaum zu widmen uns veranlasst fühlen »ollten; wir isils« sere geehrten Leser daher bitten, ein Urtbeil sich selbst den, und hoffen, dass dasselbe im Wesentlichen mit de» gen Qbereinstiiiinien wird. Micht selten nimmt der Herr Vt das Ansehen an, dass er die Malbematik von einem phi phischen Stan d |titnb le aus unschaue. Dagegen hiü> mit aller Ächtung vor der Philosoobie, an sich gar nichta wenden, sind aber ducU auch der Meinung, dnas eine mM losopbische Anschauung oll nur sehr wenig dem entsprict man in der Mathematik „Strenf/e" nennt; wenigstens wir namentlich in neuerer Zeit schön ülters die Erfahrung g< dass niuiiche fichriflsleller ein blosses vagen philosopj Gerede an die Stelle wuhrer mii thematisch er Sfreuge zu trachten, nud sich einbilden, dadurch dus Wahre in Aeti matik erfassL zu haben. ~ Scliliesslich ztvei fein wir sehr, dt vorliegende 4) Thir. kostende Buch sich einer besondereji tnig erfrenen werde.
Aritlimctik.
Dieser Band der Aniialen der k. k. Sternwarte zuWienJ in seiner ersten Abtheilung ein alten Freunden der lUaltK blichst werthvulles und zuß;leich buchst merkwürdiges Ge^i Wir lassen den schon so vielfach verdienten Herausgeber von Littrow, eelltst reden: „Das erste Heft des vorfii Bandes enthült eine Arbeit von Herrn Zacfaarjas Daser Tafel der natürlichen Logarithmen in derselben debnung wie Vegas Tafel dor Brigg'acfaen Log: Ich glaubte diese Tafel, da es, so viel mir bekannt her keine soklie giebt und dieselbe in gewissen FSlIen von D ist, dann aber auch desühalb bekannt machen zu sollen,
^^pki heM'iinHeruDi^svTÜrdigen Zifferrecfiiier , ilpissen ^lek-hrn c« P|^T«gel>eri und itent micli iitiüere Anstsilt üereitis -^rnsse num«- "•efe Arbeifeii verdankt, in der WissenKthuf't ein UenlcniuJ zu crhuKen." All«r(I)n<rH Iteüitxeti wir ntich keine Tafel <kr natitrli* (bea Lafjarrfhmeii in solelier Vtdl^tändiskeit vrie die ruHie^enda] iiml von tielrhcr "ro^een Wichtigkeit dieselbe daher für die ge- URimte Mnlhemalik, insbesondere aber f(ir die Intef^ralrechninif, M nie iiiiL-h liir vido Theile der Physik ist, braucl>t hier nicnt n.llier uns einander gesetzt zn werden. Die Tafel reiuht ron 1 üiÄ lOöOOO. nnd hat ganz, und -^nr die Einrichtung der Vega'scben Tal'i^l der Brigg; When Logarithmen, ivadureh »ir viilli<: flberhnbe» werden , Gher dieseüie hier etn.ih Weiteres zu heriebteti. Herr Oase saift in der Einleitung: „Diese Tal'el irurde mit der grüss- ten So^f'ult »erethnet bis auf 10 Stellen, um auch hier die sie- hente Stelle torrekt zu haben. Die Korrektur habe ich selbst be- "Mgt, den fertigen Abdruck nochmals durchgerechnet und dabei Tolgende ü Druckfehler entdeckt „ — (die nun an£e|;eben iverden^ ltii>r ab<>r von keinem Interesse für die Leser sein kiinnei), wes- halb wir auf das Huch selbst venveisen) — " und glaube nacb lieber Verbesserung die Tafel als vullknnimeir korrekt crklSreii ■M kr.ntien." — Du^s Herr Unse selu bewunderungswardiges Ta-, iil y.üt Berechnung dieser schönen Tafel angeivandl hat, verdient| ' uriisste Anerkennung; gnur. beeonderer Dank gebütirt aber li der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, , so viel wir wissen, sie es ist, die, yeniss ganz in Ueber- limmung mit der kaiserlich nsterreichischen Regierung, Herrn -■^e die Mittel durgebiiten bat, sein ungemeines Talent mit I)'.': der Fiirderung der Wissenschaft widmen zu künnen; unJ r vordientc Herr Herausgeber der Aimalen der k. b. äternivarte <|| ilurch die Publication der Tafel in den Aniialen seiner Stern- >.irle zur mi'jglichst schnellen Verbreitnng derselben, die auf dem .\c-ie des gewühnlichen Buchhandels in gleicher Weise wohl i'IiMerltcli zu erreichen gewesen sein müchte, jedenfalls wesent- iili 1>c iget rag eil , also auch dadurch sich gerechte Ansprfiche auf ''■n wSrmslen Dank der Mathematiker erworben. Äxo^e Herr iriKC sein Talent nnch zur Herstellung recht vieler solcher Ar- "itcn, wie sie die Mathematik noch vielfach bedarf (worauf wir lliVicbt ciiimul s|iäterhin zurückkommen) anwenden, und dabei ' i^ihrende Unterstützung finden, ohne welche solche Arbeiten iilich giir nicht ansznfiihren sind. So viel wir aus der Einlei- I- (N. Hl) entnehmen, ist die Tafel auch in besonderen Ab- liGcken, die daher gewiss auch mit besonderem Titel versehen »erden, zu haben, worauf wir die Mathematiker aufmerksam zu inlerlassen können, da gewiss .leder sich gern so ch in den Besitz eines so wichtigen Werkes set-
p; zweite Ueft dieses Bandes der Annaten ist asti'onomi Itibalts, und liefert eine wicbtl^ie Vervollständigung der ii ■ÜrCberen Berichten angezeigten, nun vollendeten Piazzi Celeste, durch deren Herau^-gabe sich Herr voi r um die Astronomie insbesondere gleichfalls so sehr ver Waichtbal, nämlich: tiülfsmitteltnrtfeduction roi ftl Storla Celrsle, und zwar: I. Bestimmun» de
^884
Fiidenintervalle an l'inixi'a Mittnc;! Kune». — II. Kniiittuluns <ler lUrriictMiuä-Cunstaa tilr Palermo uuä Piazafä Ueniiaishtungen, vn llvrntteiic (eine Achline, Kr die Thcnriv 0er ll«rraclii lach ivichtige und allgemein interessante Arlieit, die wir i^chtung besonders «n)|>rehl(tiO. — Hl. Tulel zur R«i der von Pi.izxi in den Corsi üeoliachteten Sterni auf mittlere für den Anfang «les lietr<^rrenden Juhi ^ach «len Tultults Kezi o montan is berechnet vnn < Uormtein. — IV. Uie Länge vun Palermo aus i Sternkedeclfungcn berechnet von Ur. F. Schnuki
Vcrhnndelin^ over do Methode der kleinste! (traten. Cerste Afdeelin^. lüerste GeOeelte. Doi J. Verdam, Hoosleeraar aan de U ni verijiteit te den. Groniniijen. IHSO. 4.
In diesem grossen und aus^exeichneteu Werke, dessen ( Abtheilung von 214 eng gedruckten Quartfeiten uns vorliegt, absichtigt Herr Professor Verdam ei'ie ausRihrllche UarHt^ der Methode der kleinsten Quadrate zu geben, und dieselbe^ l'iihrlich durch Anwendungen zu erläutern. Jedenfalls Tst a Werk Aas grössle unti ausführlichste über Hie in Rede stell wichtige Rechnun^smethode, was wir bis jetzt besitzen, nmtl der Beachtung ulier derer, die der hnlländtschen Siirache M chend mSclitig sind und sich mit der Methode der kleinsten drate und Ihren .\nwGndungen vollständig bekannt niacbeo dringend empfohlen werden. In der vorliegenden ersten At lung hat der Herr Verf. ganz vorziiglicli auch auf die Anwe^ der genannten Metliode bei der Berechnung geodätischer Mei gen Rücksicht genommen, und ausserdem niuss noch besoi nervorgehüben werden, da.is dieses treffliche Werk sieh bloss auf die Methode der kleinsten Quadrate einschränkt, dern eigentlich auch Hist alle .alteren und neueren Methode Betrachtung zieht, welche zur vorlheilbuflesten und zweckfliS sten Berechnung der Resultate, die sich aus angestellten ^ achtungen ziehen lassen, In Vorschlag gebracht worden sin^. müssen wir uns leider darauf beschränken, den Hauptinha^ vorliegenden ersten Abtheilung anzugeben, und werden nicht men, auch den Inhalt der Fortsetzung unseren Lesern mitzD len, sobald dieselbe erschienen und uns zugegangen sein Der Uauptlnhalt der ersten Abtheilung ist aber folgender:
Eerste Afdeeling. Verklaring van het d« van het begrip, en van de beginseln der tnethode. wikkeling der rckenwijzen, der voorschriften of regcls, welke de melhode bevat of aan de band g( Aanwrjzing, door vorbeclden , yao het gebriiik Vorschriften on regcls, — enz.
Eerste Hoofdstuk. Iteschouwingen tot inleiding. Tweedc lloofdstuk. üvcr den rege), gegrond op het b«
I de niclltuile iler kleinste i{iia<lra(en, en ilienende om ilc H{(elijki(iiiitii , ter bepaling vuii uraarsdiijnlijke ivaurden van "~(ie ek-meiiteni te votmepi uit eeno reekä, van Itiieaire ver- ^ny npj^eiuaakt door iiiid'del der uitkomxten van geUjbsoor- iarnenungen , aan irclke (Mn zelfde ^raad van naauwken- -nrofdt Inecekend. Toe|iassin^eii vnn dezen regel op ^«!■ kn, iti vielke aVechU een element onbekenil \s; — vnrbeelden Wertoe lietrekkelijk, enz. - Oerd« Hoofd^ttik. AleenieeiiB i^ilnasini; der eindvergelijkingpii , volt^ens den hmifilregiil van de itiethnde der kleinste quudrateii gevoniid. Bepaliiif; vaii algeiiieene rnmiiilen of tutdtukkiiieen, dnor iielke de som van de tweede wagtm der oTerblijveiiite feilen kan berekcnd worden. — Vierde Hoordstuk. Uiitbindina; van eeiiü^e viorstellen, «n ontirikkeling wn berckenitiiien, tot tae|iafisiiif; der-gronden, reptls en r«rrnulen, in ilevnnrgaandehaofdstnkkenbepanlil, onrvouwd olafpeleid. — Vijfde Hoofdetuk. Over de reketiivijze , welke )>;evol!;d nined worden, niQ den hooldre^el ran de niethode der kleinste qiiadraten te kun- nen tnefiufisen, indicn de gegebene functien ntet algebraisch zijn. iij' onk niet lineair, tcn opziirte van de te bepulen elementen. VooTbeelden tot ophelderin^, eni. — Zeede Hoofdstuk. Uver de rekenwijze, liij het loepa«:sen des tiool'dregels van de melhode der kleinst« qnadraten te vollen, bijaidien er voorwaarden be ttaitii of seslt'ld zijn, aan «velke, met de {jptalwaarden van groot- heden, die nien zai l>epalen , striktelijk moet worden voldaan. ICegels van (jauss en van Hansen. Voorbeelden, enz.
Es würde uns zu (;r(isscr Freude pereichen, wenn es uns ge- :!.!«n sollte, durch die vorhergehende kurze Anzeige die Äuf- :i' rk.samkeit der Mathematiker, Aslrnnonien, (leodäten und Phy< Kiiier auf dieses Werk hinzulenken, welche dasselbe jedenfalls m hobera Grade verdient. Wir haben schon froher «Her einigemal Nif die grosse Gediegenheit der Schriften holländischer Mathema- liker hinzuweisen Gelegenheit genommen, and das vorliegende Werk gleht uns dazu eine neue höchst erfreuliche Veranlassung. I'ii; Erlernung der hnlländischen Sprache ist namentlich für einen t'oMlschen im Ganzen so leicht, daas die geringe darauf ver- wandte Mülie jedenfalls den reichlichsten BrriatK In der vielfachen Kßlehrung lindet, welche man aus Werken wie das obige schüp '•■u kann. Mögen sich daher die Mathematiker dasselbe nochmals [i'i'ht vielmals em]>fohlen sein lassen!
ktisclie Oeometrie und praktisclie nicchanik-
«cbvisches Uilfs- und Handbuch für Gewerbtrei- Von Dr. Julius Schadeberg. Zwei Theile. [4a Auflage. Halle. (Ohne Jahreszahl), ü.
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Üieses Werk enthält eine selir iirtitise Men^ Ans^alieii. ' fein uml Kepel» aus der Ms.ish-, Mfiiis- und fienkliUkunde, ., iler Arithiiielik, ebenen tiiicl künierlithen fiennietrie , aus der 31 ehnnik unil auch aus der Physik, ilie »ugleich in den (lie V« inelrie und Mechanik betreffenden Parlieen, wn es nuthig i durch eingedruckte recht ^te Holzschnitte erljiiilirt sind. 1 Werk scheint nns cd vollstündi^ xu nein, d;iss Mir wirklich I nichts aiizugetien ivfis«ten, was der Pruktiker in denwellieit i ■tehlich suchen dfirtte, tveim em auch vielleieht zweckniiisMft ' »esen wäre, noch ein Paar Tahetlen atur zu^anint' Zinsrechnung, der Reu t en rech nun g n. e. iv. heJKulägei diesellien auch freilich litreni; genommen nicht in dieiies Tontn( »eise IGt GewerhlreiheM<le liestimmli: Werk, so Hfirdcii sia i auch manchem anderen Abnehmer dentielben ani>enehm gewM sein, und die Vollstündickeit noch erhöhet buhen. Wir siitd i Meinung, dnss dieses Werk allen denen, welche ia dem Fal sind, praktische Anwendungen der Mnfhcinatik zu machen, r sehr empfohlen zu werden verdient; ja es bat unn beaser gefat als nmnclic andere Werke dieser Art, die bekannter gewiti '' und mehr Eingang gefunden zu haben scheinen als das vn gende. Wenigstens ist uns selbst dieses Werk eben erst jti bekannt geworden, und wir wünsrhen daher durch diese Anse)| zu Keiner weiteren Verbreitung, die es ult« zu verdienen sebeq Einiges liei zutragen
Astronomie.
Die Anzeige des 34ston ThelU der Annalen der k. ernwarte in Wien a o. unter der Rubrik „Arithmeti
Eben so die Anzeige des Werkes von Herrn Professor Vi m aber die Methode der kleinsten Quadrate.
Over de Bata Arrondissementf 1848. 8,
Physik.
IS en het Wegen, doo -Jjker te VVinschnlen.
Dieses schon im Jahre 1848 erschienene, 347 Seiten sl Werk des Herrn Arrondisser.ients Jjker (i. A. Veneniu ist teii erst jetut zu unserer Kenntniss gelangt, jedenfalls aber eii nachträglichen Anzeige in unserm literarisclien Berichte sehr wei Unstreitig ist dasselbe das ausführlichst o Werk über die versdili
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1) Efnrfchtuiigen der Waage, über die Theorie derselben, über ilie verschieden eil Methode» des Wagens und über die fiiuherheit, welche dieselben zu «enähren im Stande sind, tvnbei vori der Metbnde der kleinsten tjuudrute vielfach Gebrauch gemacht ivur- ileti ist. Drei sehr schün und siiuber ausgeführte Kujilertufeln ilieneii sehr nur Erläuterung der mit grosser ISorgl'uIt entwickelten Tbenrie der verschiedenen, die meiste Sicherheit beim Wägen ^währenden Einrichtungen der Wauge. Wenn man bedenkt, dass, namentlich hei dem jelzigen Zustande der Chemie, die Waage las Hnnntinstrunient der Chemiker ist, dass die Waage aber auuh lii der Physik und in vielen anderen ISaturnissenschaftcn allein ias geeignete Hüllsmittel zn vielen feineren tJntersuchun«en all riebt, nenn man endlich die grosse Uedeutung derselben fürHau- lel und Wandel überlegt, so nird man leicht die Wichtigkeit eines M^beii utisführlicheii Werks wie du.'« obige erkennen, wenn das- wlbe namenlliih mit su vieler Sorglalt und so grosser Sachkennt- tisB verfasst ist, wie das uns vorliegende Werk des Herrn Ve- ■ ama, aus welchem vielfacbe Belehrung geschiipllt zu haben, wir KJbst mit besonderem Uiinke erkennen Wir machen daher alte Saturfnrscher und alle diejenigen, \telche sich mit i-enauen Ab Übungen zu beschSI'tigen haben, und mit den nDthigen matbe- ii.-schen Vorkenntnissen, die übrigens die sogenannten Elemente : wenig übersteigen, ausgerüstet sind, drnigeiid auf das vor- tuende, jedenfalls sehr ausgezeichnete Werk aufmerksam, und filnsuhen sehr, dass dasselbe in den: vorher nShet bezeichneten El«ise so allgemein wie miiglich bekannt werden nioge, wobei irlr als »ich von selbst verstehend annehmen, dass dasselbe .inch Rlr jeden Mathematiker an sich, der Theorie wegen, des Inte- ressanten sehr viel darbietet.
Ein „Aanhangsel" des Herrn F. J. Stamkart (>lnlh. Ibg. et Phil. Nat. Doctor, Lid van de le klasse van het Koiiiglijk Nederlandsch Istifut eu Arrodissenients Jjeker te Amsterdam), ron welchem einige ächriFten verwandten Inhalts im Liter. Ber. LV, ?ß3. mit verdientem Lob angezeiiit worden sind, enthält unter lern Titel: „Onderzoek of het steunpnnt en de 0|ibangpnnten in Hne regte lijn zijn gelegen. — Onderzoek naar de evenwijdigheid iet punten. — Onderzoek uaar de gelijkheld der armen, en nieuwe hefialing der hoeken y dnnr weging. — Jets overhetdonr- hiigen van de evenaars van halansen (|i. 3^6— 347.), über alle hier lenannte («egenstände auch sehr viel Interessantes und Belehrendes
Müge diese kurze Anzeige da/u beitragen, das schiine Werk les Herrn Venema auch iinsserhnib Holland in weiterem Kreise lekaunt 2U machen !
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r le cli.
at de In Belg
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1851.
Die ersten Theile dieses sowohl für I allgemeiner nietenritlogischer Beziehur och verdienten Herrn Vis. sind früher vo |ba namentlich auch dieser Theil die HUten der Meteorologen linden.
s)iheriques. Par A. Quetelet,
^ wichtigen Werkes des 1 uns angezeigt worden, sorgfältigste Beachtung
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Bemerkung.
In BezuG; auf die im Liter. Ber. Nr. LXVI. S. 856. fibei Maclaurin'sche Reihe« welche in dem dort angezei&^en B d^s Herrn Professor Franke dem berfihmten en&lisctien Mi matiker F. Stirline beigelegt wird, gemachten Bemerkunge nachzutragen, dass Cauchy in den Legons sur le caicui ferentiel. Paris. 1829. 4. p. 257. sagt: ,«M. Peacock a marque que le th^ordme, generalenient attribu^ au ometre anglais Maclaurin, avait et^ donn^, des l' par son compatriote Stiriing, dans fouvrage intit Lineae tcrtii ordinis Newtonianae," Auf diese Be kung Cauchy*s könnte siöh vielleicht die von Herrn Prof« Franke gebrauchte Benennung ,,Stirlings Reihe*' grfin Die von Peacock angeführte ISchtift Stirlings können wii der nicht einsehen; auffallend bleibt es aber immer, dass S ling in der weit späteren Schrift: „Methodus differenti etc. Londini. 1730.*' von der erwähnten Reihe einen best; ten Gebrauch eigentlich gar., nicht mächt, wozu gerade c Schrift wohl hätte Gelegenheit darbieten können. Cauchy s< nennt übrigens die Reihe, obiger Bemerkung ungeachtet, in al seinen Schriften stets „le th^or^me de Maclaurin" und wir glauben ganz mit Recht, da es uns nicht gut und immer e gewagt zu sein scheint, solche allgemein recipirte Bezeichnu eines wichtigen wissenschaftlicheu Objects mit einem Malt iirKJern. Jedenfalls scheint es uns aber wiinschenswcrth , di hislorisch und literarisch wichtigen Gegenstand vollständig a klaren, wozu die Leser des Archivs, denen noch grössere \i risclie Hiilfsmittel zu Gebote stehen als uns, aufzufordern, nächste Zweck dieser Zeilen ist.
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Llterarlsiclier Berielit
Arithmetik.
AlleemeineZablenlehre nach strenswissenschaft* lieb"* ^ *■'">•'>■'>'> •><>»••*>'>:''«<' ^^Uc* a:..«^ A..l....»<>
en ■i ■an,
Lehi My, Sgr.
Dieses grosse, weitläufige und allerdings vieles Eigenthüm- liche, namentlich eine grosse Anzahl von Rechnungsvortheilen nithaltende Werk ist nach dem Tode des Verfassers von dem Herrn Dr. G. Eisenstein herausgegeben vrorden, und muss wegen seiner Eigenthümlichkeit und Reichhaltigkeit namentlich in der angedeuteten Beziehung jedenfalls zur Beachtuns empfohlen werden« ohne dass viir uns hier auf eine weitere Besprechung desselben einlassen können.
Die algebraische Analysis von Dr. Edmund Kiilp, Professor der Physik und höheren Mathematik an der höheren Gewerbeschule zu Darmstadt. Als freie Be- irbeitnng eines Theils der höheren Algebra des fünf- len Buchs von Francoeur's vollständigem Lehrcurs ler reinen Mathematik. Darmstadt. 1851. 8. 1 Thlr.
Dieses in einer einfachen und sehr verständlichen Sprache [eschriebeoe Buch schiiesst sich« wie auch der Titel besagt« an
land XnU. 70
das bekannte Werk von Francoeur, von welchem beki der Herr Verfasset eine jtute Uebersetzung faerauEgegeb an, und ist daher auch im Allgemeinen in dem Geiste Werkes verfasst, wenn auch allerdings manchen neuerenTI wie z, B. der Convergenz und Divergenz der Reihen, dei vergenz und Divergenz der Producte mit unendlich vielen ren, u. dergl., Rechnung getragen uordcn ist Jedoch ist I gemeinen der Geist , in »elchein dieses Buch, das z.B. noc Tiellaub von der Methnde der nnbestimmten Coel'ficienten Gel macht, geschrieben ist, ein Siterer, was auch der Uerr Vei mit lohensHerlher Offenheit und Bestimmtheit in der Vorre durch erklärt, dass er sa^t, dass ihm hauptsächlich Eulei troductio in Analysin iniinitorum als Leitstern^ { habe, weil ihm dessen Klarheit und Einlachheit am Meisl sage; und welchem Mathematiker sollte denn auch diei seine Zeit uniiberlrelllicbe Werk nicht zusagen! vrenn freili Strenge der neueren Mathematik jetzt andere Ansprüche und machen niuss. Dabei hat aber, wie schon erinnert, Ai Verfasser d^aa Neuere keineswegs vollständie; ignoriit, und I ja wohl ein solcher Mittelweg, wie der Herr Verfasset schlagen hat, iür Lehranstalten wie die, wie wir wissen, len Beziehungen ausgezeichnete höhere Gewerbscbule in Stadt, welcher der Herr Verfasser seine Kräfte mit Erfolg v unter den jedesmal obwaltenden Verhältnissen z\veckniässi| wenn nur nicht höhere wissenschaftliche Ansprüche gemacl den, als die durch den jedesmaligen didakliuchen Zweck g fertigten, was hier in lobenswertherWeisedurchaus nicht geB Die allgemeine Theorie der Gleichungen (ebenso die Wahn lic'hkeitsrechnung) hat der Herr Verfasser nicht aufgenomn verspricht darüber bald eine besondere Schrift heraus! Diese Theorie ist ja auch für vorherrschend praktische wenigerwichtig; was solchen Zwecken besonders zu dienen Ret ist, hat der Herr Verfasser in zweckmässiger Anordni sammengestellt, wobei u. A. auch da« für die Anwendung Naturwissenschaften so wichtige Internolationsproblem mit nicht fehlt. Dem binomischen und polynomischen Lehrsata "Differenzen reihen und höheren arilhmetisi-hen Reihen, den nären Gnissen, den Expunentiai grossen und Logarithmen, auch den trigonometrischen Reihen , ist besondere Aufmerlü gewidmet worden.
Drei Vorlesungen zur Einleitung in die Difl tlal- und Integralrechnunc. Gehalten zur Eröf' der Wintervorleaungen 1850-1831 von Dr. Tb. stein. Hannover. 1831. 8. "'/a Sgr.
Drei ^opulSr gehaltene recht ansprechende Vorlesunge die Geschichte der Entwicklung der Differentialrechnung u Wesen dieser Wissenschaft und der Integralrechnung Im meinen.
Cleometrie.
; Geometrie de^ Euklid
I der Geometrie für .
' ni88 dieser Wisseii»
ollen. Von Dr. E. S.
Mit 550 einsedrc
f851. 8. 2 Thir. 15 Si
.s Wesen derael- amit verbundene systema- von mehr als tausend geo' die beigefügte Anleitung ung derselben. Ein Hand- lle, die eine gründliche [^hal't in kurzer Zeit eriver- Unger, Professor. Ztveite ükten Holzschnitten. Le'ip-
Dieses Buch ist aus seiner ersten AnOtfge bekannt. Drei Bei- 1 in der neuen Ausgabe hinzugefügt worden; „die har- Bonischen Proportionalen und ihre Anwendung auf das vullkom- ■ge Viereck, auf die harmonischen Eigenschaften des Kreise»
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■Tnaf ünie. .
naiytische Geometrie (der Mathematik an de >rtafeln. Halle. 1851.
onDr.L. A. Sohncke, ord. Univ. zuHalle. Mit zwülf 8. 2 ThIr.
Inhalt dieses recht sehr zu emp ^alytischen Geometrie ist folgender: I. 11. Kreis. lU. Kegelschnitte. IV. L Biom. V. Oberflächen der zweiten Ordne (ICiirze Andeuluue über Curven und Flächi ■ Excurs Über Projection. — Eki
- Das Buch . liiilicbe Bemerkungen, ^unctionen.
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IKhen au! Rliube
Bhlenden Lehrbuchs Coordinaten. Gerade nien und Ebenen im is. Randbemerkung n hühPrer Ordnung), dtschafi der
(hält auch manche interessante eigen- wie z. B. S. 74. über die elliptlRchen
Astronomie-
;eii. 18
Hofra
Erde und die Zeiten des Erde van Dr. Gotthüf Heinrich von h und Professor in München. Erlan- ThIr. 24 Sgr.
Dieses Werk des verehrten Herrn Verfassers ist als eine ^Hbche Umarbeitung seiner bekannten „Geschichte der
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tur" zu betrachten, und ^anz in der bekannten , jedes reine I müth an Sprech er den Weise des Herrn Verlasse r» verrasst, übq bis ZQ der neuesten Zeit lortgel'ührt, und in bhrilicber Weise 1 der „Kosmos" in verschiedenen Anhängen mit vielen lilen sehen IN ach Weisungen ausp;estattet, tvelche die bekannte gro Gelehrsamkeit des Herrn Verfassers von Neuem bekunden. 1 empfehlen deshalb dos Werk den vielen Freunden der Muse . Herrn Verfassers zu sorefältigsleT Beachtung, und sind überE« dass Keiner ohne Dank für die vielfache aus dem Werke schupfte Belehrung von demselben scheiden wird.
Physik.
Der mechanische Theil der Naturlehre. Von B Oersted. Mit 218 in den Text eingedruckten üi schnitten. BraunschHpig. 1831. 8. "2 Thir.
Die vorliegende Uebersetzung der mechunrschen Naturle des berühmlen dänischen Naturforschers ist von Herrn L. SL angefertigt worden, und in jeder Beziehung sehr zu entufet Das Werk selbst ist mit grosser UeutUchkeit verfasst, in t sehr ansprechenden Sprache geschrieben, und verschmähet nestvegs die Anwendung der Mathematik, ohne über die Elemente der Arithmetik und Geoinelrie hinauszugehen, mit i'ast gfinzlii.'her Ausschliessung der Trigonometrie, si eigentlich nur die Begriffe der goniometrischen Functionen bei werden. Das Buch verdient daher alle Empfehlung und der! Uebersctzer Dank für dessen Uebertragung auf deutschei Die Holzschnitte sind sehr schön. Die Lehre von den sogen ten Imponderabilien enthält das Werk nicht, sondern i eigentlich mechanischen Theil der Physik-
Lehrgang der mechanischen Naturlehre für hObi Unterrichtsanstalten von Dr. G. Karsten, Profesi der Physik an der Universität zu Kiel. Zweite Abthi lung. Mit 4 Kupfertafeln. Kiel, 1831. 8. -2 Thlr.
Der erste Theil dieses Werkes ist im Literar. Ber, Nr. L S. 810. angezeigt worden. Der vorliegende zweite Theil enl Wärmelehre. VVellcnlehre. Akustik. Optik. Eine dritte Abthei soll die „Literaturnachvveisungen" enthalten. Die frühere V weise Bestimmung des Werkes für den Unterricht an Marines len lallt nach der Aufhebung der Marineschule in Kiel jetzt
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Termisclite Schriften*
ittheilunsen der iiaturfarschen ci eii Gesellschaft TD. Nr. 156 — '218.
(M. vergl. Literar. Ber. Nr. L. S. (HU.). Jeber diese stets vieles BernerkeiiRwertlie enthaltenden Mit- .sngen ist zuletzt im Liter. Ber. Nr. L. S. CÖl. Naebricht ge- pn worden. Wir liefern jetzt eine \ti7.eiy;e des unsere Leser ngsweUe ititeressirenden Inhalts der Nmiimern 15ti bis 'il8 Jbe zulallig vempütet worden ist, aber Imniei' des Interessan- inoch jjenug darbieten wird. , K. Wolf, Versuche znr Vergleichuns der Erfahrun^swahr- iclieinlichkeit mit der mathematischen Wahrscheinlichkeit Nr 156-157.
Derselbe: Notizen zur Geschichte der Mathematik und ■ Physik in der Sch>vel/, Nr 156-157.
C. Brunner, Sohn: Ueher den Einfluas des Magnetismus auf die Cnhäsion der Fliissi|>;keiten. Nr. 156—157.
R. Wolf: SonnenUeckeii-Beobachtungen in der ersten Uül/le
des Jahres 1840. — Sternschnunpenbeohachtnnsen vom 8. bis II.
August 184IJ. - Notezur Methode der kleinsten Quadrate. Nr. 160—161.
Derselbe: Slernscbnunpenheobaebtungen vom II. — 13. No-
tember 184!r. Nr. 166.
H. Itründli: Ueber arilhmelisches , geometrisches und har- monisches Mittel. Nr. 166.
(Arithmetisch -^eometrisehes Mittel ist diejenige irrationale Grfisse, der man sich immer mehr und mehr nähert, wenn matt. lim awei verschiedenen Zahlen p und ij ausgehend, zuerst das irithmetische, dann das geometrische mittel berechnet, und aus diesen zwei Gliedern nieder dieselbei ■Timmen fallen.
Uiezu henierkt Herr Schläfli: Je nachdem p^ij/ oder q'^p hat das arithmetisch-gcomelrische Mittel den Werlh
I DlitlelgrüSE
losC
P +\ p'^
I'as arithmetisch -geometrische Mittel ist bekanntlich von Gauäs iu die Arialysts elngeltihrt. G.)
K. Wolf: Versuche zur Vergleichung der Erfabrungs Wahr- scheinlichkeit mit der matbematisclien Wahrscheinlichkeit. Dritte Versuchsreihe. Nr. 166.
Derselber Sonncndecken-Beoliachtungcn in der zweiten Hälfte des Jahres 184'.). — Das Beobachtungsjahr 184« (auf der Sternwarte in Bern.) Nr. 167-168.
Derselbe: Bestimnmug der mittlem Kraft in Druck und Zug. Nr. !67— 168.
G. Valentin: Einige Bemerkungen über den Winterscbl« des Slacheli^els. Nr. 174-175.
(Herr l*rof. Sacc in Neuchatel hat entdeckt, dass die Winterschlaf verfallenen Murmelthiere an Küruerge wicht zuneb men, bis die von Zeit su Zeit durchgreifende Harnentleerung tf' Schwere des Thieres von Neuem herabsetzt. Herr Valentin h dieses Gesetz auch beim Stachelieel vollständig bestätigt gefundea
K. Wolf: Notizen zur Geschichte der iVIathematik und Physl in der Schivei«. Nr. 174—175. ^
Derselbe: Versuche zur Vergleichung der Erfahrungen': schein lieh keit mit der mathematischen Wahrscheinlichkeit. Vierb Versuchsreihe. Nr. 176 - 177.
F. May von Rued: Die Himmelstiebel. Nr. 178.
R. W'ilf: Einige Uenbachtungen des Zu diakul lichtes im I jähr 1850. — Beobachtungen von Nebensonnen am 27. Mai ISC — Höhe der Stermvarle von Bern. Nr. 179.
Derselbe: äonnenflecken-Beobachtungen Inder ersten Hill des Jahres 1850. Nr. 180— 181.
Ueber eine bibliographische Kuriosität. Mr. I
-181.
Derselbe
0er Juli- August-Sternschnuppenstrom Länge dl
Sternwarte von Bern. — VerscWi November -SternüchnuppeDscbvvan
Nr. 182,
Derselb. __.^. dene Bemerkuiin;en. — von 1850. Nr. 18;J — 184.
Derselbe: Notizen zur Geschichte der Mathematik uad sik in der Schneiz. Nr. 183—184.
H. VVydIer: Die Knospenlage der Blätter in libersichlliclM Zusammenstellung mit einer Tafel. Nr. 183 — 187. (Lehrreich m interessant.) ^^
M. Perty: Üeber den geförbten Schnee des St. GotfbaH vom 16. — 17. Febr. 1850. Nr. 188—192. (Sehr interessant.) /^"
C. Brunner, Sohn: Aphoristische Bemerkungen über c Productionskraft der Natur. Nr. 188—192.
R. Wolf: Versuche zur Vergleichung der Erfahrungswal scheinlichkeit mit der matheniatischen Watrscheinlicbkeit. Hat trag zur vierten Versuchsreihe. Nr. 193-194.
Derselbe: Zusatz zu der Bestimmung der mittlem Kraft Druck und Zug in Nr. KW. Nr. 193—194.
Derselbe: Versuche zur ITergleichung der ErfahrungewabF scheinlichkeit mit der mathemat^chen Wahrscheinlichkeit. FänA Versuchsreihe. Nr. 197 — 199.
Derselbe: Notizen zur Geschichte der Mathematik nndPb; sik in der Schweiz. (Ein verloren geglaubter Brief Lamberts I Johannes Gesner. S. Lamberts deutschen gelehrten Briefwechrt Tbl. II, S. 177.). Nr. 197 >- 199.
Derselbe: Notizen zur Geschichte der Mathematik und Phi sik in der Schweiz. (Zwei interessanle Briefe aus Cristnph Jezli Correspondenz, die mehrere mathematische Bemerkungen enthal^^ ten,) Nr. 201-202.
C. Brunner: Beitrag zur Eudionietrie. (Eine neue eudi Irische Methode.). Nr. 2Ö1— 2(B.
R. Wolf; Sonnenflecken-Beobachtuneen Inder des Jahres 1850, Nr. 206—207.
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trselbe: Notizen zur GcEichicbte der Mathematik tinil Phy- der Schiveiz. (Auszug aus Jnhann II Beruoutli's Reise- joörnal vom Jalire 17*5. Mehrfach interessant.)- Nf. 206—207.
Ij. K. von Fellenberg: Darstellung aschenfreier Filter. Nr. 208 — 20«.
lt. Woll: Notizen zur Geschichte der Mathematik uad Phy- sik in der Schweiz. (Ein Brlel' Johann I Hernnulli an Gegner). Nr. -208-20'.
Derselbe: Ueber die Vertheilunp der Fixsterne. (Eine inte- ressante craiihisehe Darstellunt; der Vertheiluni; der Fixsterne.) Nr. yiO--2ll.
C. Fischer- Ooster: Noch Einiges über die Theorie der absoluten Wärme und die Formel fßr die Schneegränze (vergl. 123 — 12ti.). Nr. 210 — -ill.
(Die Formel des Herrn C. Fischer-Ooster für die Seh nee- gräDze ist frtl<ien<le:
Veno S die Hlihe der Schneegränze über dem Orte bezeich- net, von dem II' die Summe der absoluten Wärme ausdrückt, und wenn k und A' der Werthe der H.ihe, bei welcher das Thermo- meter um 1" fällt, sowohl unten als bei der SchneegrSnze in Toisen anzeige», so ist
Vjl— 19 h+h-
S={\^W — K)(h+h-)
wobei der Werth von h und h' veränderlich ist, und wo der vnn /(', obgleich unbekannt, doch durch eine vorläuüge Berechnung leicht t;efunden werden kann, indem man ihn zu SS Toisen in niirdlichen und zu 100 Toisen in südlichen Ländern provisorisch aiHiimmt und ihn dann detinitiv aus der nachfolgenden kleinen Ta- belle bestimmt, die Herr C. Fisher-Ooster nach Zachs Ta belle, »o mit die Barumeterstünde angegeben sind, berechnet bat; Die Temperaturabnahme von 1'^ erfolgt n&mlich in einer abso- luten Höhe von circa:
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bei 81,4 ToLren |
1822 |
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8244' bei 93,0 T 9500 „ 95,1) 10820 „ 97,1 12230 „ 89,3 13716 „ 101,5 15294 „ ltt),8 10974 „ 100,2 |
Bisen |
nd Phy |
I
Biden Mathematikern vorzuziehen, und die Johannes Ber
selbst über die berühmte Chatelet setzte. Sie war geboren den
R. Wolf: Notizen >
liu der Schweiz. (Sehr interessante Notizen über Ann
i Reinhart von Winterlhur, welcher gelehrten Dame
iel Bernoulli das Zeugniss gab, sie sei (Clalraut, Euler
'nige wenige Andere ausgenommen) last allen mit ihr leben-
atfaemati'
12. Juli 1730 UD<1 slarh den 5. Januar I7W.). — Feruerer Beiti zur Kenntniss alter Schweizer Kaientier. Nr. 210 — 211.
Derselbe: Notizen zur Geschichte d erMathematik und PI sik in der Schweiz. (Herr Wolf weiset in diesem interesa ten Aul'satze nach, dass das schöne Princip, auf welches sieb' Planimerer von Wetli (m. s. Liter. Uer. Nr. LVl. S. 774.), nS lieh die Flächeomeasung durch Umschreibung, erfindet, schon Jahre l}42Gdurchden damals in Bern belindlicReuTburgauerJobi. nes O^tpiküfer aufgefuiideu n'orden, und dass der Planimeter v Wetli im Wesentlichen durchaus nicht i'oii dem Oiipikofer'Bcfa verschieden sei. Uieser Aufsatz enthält, überhaupt mehrere sehr lel reiche Bemerkungen über diese l'lunimeter, aiildie wir die Leser, w che diese Instrumente iiüberkenaeii lernen wollen, besonders aufmei sam machen. Auch die beigelügte Zeichnung dient sehr zur b< seren Erläuterung der Sache). Nr. 213— 2J5.
Derselbe; Uelier eine am 10. August 1850 in Aachen u Bern gleichzeitig beobachtete Feuerkugel. Nr. 213 — 215.
D«rselbe: Ueber das Sehen der Sterne bei Tage tma tief Schachten. — (Nach sorglälligen Nachforschungen bestätigt üi Wolf das, was über diesen öfters «ur Sprache gebrachten Gege stand A.V.Humboldt im Kosmos Tbl. 111. i$. 71. sagt. nSl lieh, daes die ganze Sache illusorisch sei, vollkommen.). Nr.213— ä
Derselbe: Soniienflecken- Beobachtungen Inder ersten Bäl lies Jahres 1831. — Beobachtungen des Zoiliakallichts im Ftfi iahr 1851. — Beobachtung der (iiartlalen) Sonnen Unstern las k 28. Juli 1851. — Sternscbouppen-Heobachtungea im August IS Nr. 216-218,
Derselbe: Notizen zur Geschichte der Mathematik und W sik in der Schweiz. Nr. 216— 2JS.
Ausser den obigen Aufsätzen enthalten diese Mittheilungi noch eine grössere Anzahl, oft recht interessanter Briefe ältfl schweizerischer Gelehrten, hauptsächlich Mathematiker und Nati forscher, die sämmtlicb Herr R. Wolf niitgelheilt hat
The Cambridge and Dublin mathemafical Journi Edited bv W. Thomson, M. A., F. K. S. B. Vergl. Lit( Her. Nr. XXV. S. 847.
Nr. XXVII. On Dunücate Surfaces of Ihe Secood Order. I Johu Y. Rutiedge. — On the Cunduclion of Heat in Cryst* By G. G. Stokes. - On the Velocity of Sound in Liquid n Solid Bodies of Limited Diuiensions, especially along Prisiu» Masses of Liquid. By W. J. Macquorn Ranline. — On t Connexion of Invnlute and Evolute in Space. By Professor I Morgan. On a Mechanical Esperiment connected with the F tation of the Barth. By Henry Wilbraham. — On the Ind Symbol of Homogeneous Functions. By B. Carmichael. — M thematical Notes: I. Lettre to the Editor. By O. Buole. II. Proposed (juestion in the Tbeory of Probnbililies. By Booln. — III. Solutions of Some Elementary Problem in Geoi try of Tliree Dimensions. By W.Walton.- IV. OntheGenei Theorv of As>iociatet Algebraical Forma. By J. J. Sylvesf
(l^he Next Number will be Published on the Ist of Februii
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JLlterarlisclLer BerlclLl;.
Simon Lh Ulli er gehurt unstreitig zu den ausgezeichnetsten Ma- thematikern der neueren Zeit, scheint aber (wenigstens jetzt) lange nicht so allgemein, wie er immer noch verdient, bekannt zu sein. Mein jDir unvergesslicher Lehrer, Johann Friedrich Pf äff« stellte Ij h a i 1 i er sehr hoch und empfahl das Studium seiner Schriften jungern Mathematikern angeleseutüchst. Ich selbst verdanke diesen Schrif- ten sehr viel und greife noch jetzt öfters mit besonderem Wohl- l^fallen nach denselben. Dass Lhuilier ein sehr hohes Alter erreicht hatte, war mir bekannt; über seine näheren Lebens iinistände ist aber wenig bekannt geworden. Desto mehr Freude machte mir eine von Herrn R. Wolf in Bern in einem der neuesten Stücke der „Mittheilungen der naturforschen- den Gesellschaft in Bern'', welche immer viel Lesens wer- tbes enthalten, gelieferte Lebensbeschreibung Lhuiliers; und da die genannten „Mittheilungen'' wohl nicht in die Hände vieler Leser des Archivs kommen möchten, die Lebensbeschrei- bung eines so ausgezeichneten Mathematikers, wie Lhuilier war, aber allgemein von grossem Interesse sein muss, so erlaube ich mir diese Lebensbeschreibung auf den nachfolgenden Blättern den geehrten Lesern des Archivs mitzutheilen. iSeines Lehrers Xj^sage, der, so viel ich weiss, nichts Mathematisches ver- öffentlicht hat, gedenkt Lhuilier in fast allen seinen Schriften init der grössteu Achtung und Dankbarkeit; die Leser werden ^iese Gefühle wärmsten Dankes auch im Folgenden ausgespro- csheo 'finden , und sich daran gewiss ebenso erfreuen wie ich.
G.
Sand XVIil. 7]
Simon lihnilier.
unter den seh iv ei zeri sehen IVIathem atikern neuerer Zeit ni der Genfer Simon Lhuilier unstreitig eine der ersten Stellen Nicht nur hat er sich aU elementarer "Schriftsteller in den Ge ten der Algebvu und tieomelrie wohlverdienten Ruhm ei und als lang;iähriger Lehrer in seiner Vaterstadt schüne Resul erzielt, ~~ seine Arbellen in der Palygonomelrie, Polyedrome Isoperimetric, Differential- und Integralrechnung, etc. sichem aucli in der Ueschichte der Wissenschall eine ehrende St indem sie derselben theils neue Uiscinlinen Cufügten, theüs W lise Theorien besser begründeten. In den Besitz des gnlei Theiles von L h u i I i e r s handschriftliehera Nachlasse gekonuneo, t ich es daher von nicht unhedeutendem Interesse, nach und i Einzelnes ans demselben , was entweder historische» Werth oder noch jetzt zum Ausbaue der Wissenschaft dienen kann, « teren Kreisen vorzulegen. Zur Einleitung mag folgende JÜ über Lhuilier und seine gedruckten Arbeiten dienen.
Simon-Antoine-Jean Lhuilier ivurde am 24. April I zu Genf geboren. Schon frühe zeigten sich seine Anlagen die mutheuiati sehen Wissenschaften, und erlaubten ihm nicht die Ideen eines Anverwandten einzugehen, der ihm einf " seines Vermiigena unter der Bedingung den geistlichen Stanl ergreifen, vermachen wollte. Der vorzQglicfae mathematische! terrlcht, welchen damals in Genf Louis Bertrand, der sich äa sein D^veloppement nouveau de la partie eleme des Math^matiques als wGrdigerSchüler Eulers ertvii rend langen Jahren ertheilte, warvnngrusser Wirkung auf den flei gen JQngling, — und umgekehrt war Bert ran d, der Lhuilier ft nähern Umgang zuTheil werden Hess, liber dessen Fortschritt^ erfreut, dass er _iha zum Voraus als seinen einstigen NaJcb ger bezeichnete,! Von noch grosserer Bedeutung fürLhuilien es, dass er sich die Zuneigung des ihm verirandten berSha Naturphilosophen George-Louis Lesage*) envarh, der sofort mit Rath und Unterricht beistand. In einem BrucbstB eines grossem Briefes, das ich unter den erwähnten Maninsci ten vorfand, erzählt Lhuilier Folgendes:
„Mes relations avec Mr. Lesage datent du mois deJuin 17 J'avais le bonheur de sorlir du College ä la töte de ma Tol Mr. Le Sage apprit lo triomphe de snn jeune parent. Pouss^ la g^nörositö de snn caract^re qui le portait ä se rendre t auxjeunes gens qui connaissaient tout au moins de Tapplicat
idit (pour la premiere fois) cbez mon pere pour faire iim
J'etats abseilt. Je fus envoye cliez lui. II m'ac-
bontö, et me perniit de venir "le voir luniÜivremeul.
„Penilant le cours de nies etndes de belles-letlres , il m'aida ( aes conseils, et il nie fouruit Jes moyens, par \es livres qu'il loe mit entce les inains, de joindre ä ces etudos celle de rArilh- nietique comme preliminaire uux etudes matheiiialiques. II (rouva «;bez moi de rapplication et de la faciltte ä acquerir la routine du caIcuL II m'acIniU aussl k une le^on particuliere de Geonielrie
Sratique. Enliri il me pnt chez lui peadant trois du quatre mois '6te qu'il passa tt la campa^iie et ce fiit Ik qu'il consacra uae partie de »on temps k m'mitier k l'^tude de l'Alg^bre, qui me dotina beaucoup plus de pdne qiie iie paraissait annoncer la faci- lite nvec laquelle j'avats appris l'Arithmetique. Je iireflfor^ais de conipeiiser, bien faiblemeat, leu soins qu'il me donnait en lui servant de copiste.
„De retour ä la ville, il vontribua ä me placer conime pre- cepteur thez Mr. Rilliet-Plantamour, oü je suis reste a peu pres deux ans. Pendant nies etudes pbiiosophiques, il s'appliqua ä m'aider de ses dlrections et de sea conseils. II m'admit aux le^ons de Phyäique qu'il donnait encore pendant une partie des annees 1768 et l;ß9, et il poussa la complaisance juaqu'ä reroir les ex- traits etendus que je faisats de aoa cours.
„Vous savez, Monsieur, combien iI citait rtiserv^ ä donnerdes conseils sur les objets qui n'etaient pas imraediatement litteraires. Aussi n'a-t-il eu uucunepart a ma retraite de l'^lat ecciesiastique auquel on me croyait destinä. II approuea seulemeiit la suspeu- aion de ma resoiution pendant une ann^e, que j'emnioyai, toti- jours )ious ses directions, ä poursuivre les eludes philosciphiques «n m^me temps que je continuai d'assister aux le^ons de Physi- i|ue de Mr. de Saussure (donl j'aurais ^te prive pendant nies Stades tiubliques de ^hiloeophie). Pendant cette annee il contribua beau- coup a nie faire retirer un parti lacratif des connaissantes qu'il ni'avait donuees. II m'adressa des disciples; le bonheur que j'a- vaVs d'^lre son el6ve insnirait de la conllance.^t je fus chargd eotr'autres par lui de dooner des leyons preparatoiree ä ses coars sur W connaissances math^maliques qu'its eiiigoaient et dont il m'avait donne le fableau. Je cnis voir pendant cette ann^e qu'il m'avait dnnnö un ätat, capable de sufGre ä mes besoins et a cenx de ma mere; c'est la part inditecte qu'il a eue ä ma retraite des etudes pubüques.
„Pendant les annees qui se sont ecoul^es dds-Inrs jusqu'a inoD depart de Geneve, il m'admit librument aupres de lui, meme pendant les heures consaerees ä ses trnvaux pattieuliers. Je lui parlais de mes occupations, et il m'aidait par ses directions et par ses secours litteraires qu'il me fouriiissait.
„Pendant ce temps, il a ete quelq^uefois question de coope- rer ä la publlcation de ses ouvrages; je le desiraia vlvement et dans le debut je concevais de l'esperance. Je ne tarda! paa d'^-
a l'unt fnit plusieiirs de ses arois, condni
L
Ai
MA
Berait dirSdle. Vous savez c<tmbi«D de fols U n variä snr ees pl: dfl Gnmpn«iU(tn et eur len ä|>oque8 ausqucllea il en cimmencei la rL^lai;tli>n. Cetle vaccillutiun n« «'uccordait pa» avec mon jiatieiicB, et je dun ölro convulncu, ciuoitjunvec bleu liu tc^iti, que je Hfl pourrai« pas contrilmcr k lui remlre uii service pu H quel aeul )c pnuvum rnrcinnaitre en partim Ics nliligattoii« i)ue lul uvuia. ' Piritre niani^ro ile vivru eliiit d'allluura si difl^tn qu'elle apportoit iin gturid ob^lude k cette vommunniit^ de traviil jni luujuura ^l4 tr^a mntiiipux; nia jiiiirii4^e «luit finic pour dw travaux porlicüliers tonque la Mieniie ii't^tait pus t^imintenc^ et I« reate de la joiirn^» HeTnil £tru consacr^ ü luon «tlat ^nvieag comme reaeource pccuniaire.
„ Arriv^ k V&ftti iiii un jeune bommc «utn« fortiine forme ni tuTellcmenl desprojcta pour s« fniro un eort. — ratlc;tiä d'un etm de vie petiibte qui ne tittllt>raiaait paa inim impntienc»: Je li Gommuiiiquai le A^h'it qiic j'uvais de trourer en dehurs qn«!« place qui eut le dniilile avuntage d'^tre pliin lucrutive et am päiiiltle. II e'en pr^senta unc ucca«ioii en 1775. II re^ut de 8« ami Pfleiderer les pro^ruminea de la commiasion d'ediicalion. r iX Ria lea cnmmuniqua, Je liii üa coniiaitre moii ülaii avant i renvcyer, II euf diiuir« quo j>u»ee ecril sm la Phy&ijpie; r"' je iie pouvais nie persiiuder que «es priiicipes de Physique g rale dusAcnt occuperdans retüsei^iienieiit deniand^ nne place lu. conaid^ruble pour nue Ißur dävelomiemetit eut rendu prubabi«! BUcc^s. et je n'avais pas aase« cultive \e» parties de lu phy^A qut ine paraissaient essentielles duiis i;et enselgnement pour qtf pendatit le peu de mois qui restaient encore jusqu'ä la linduö^ CQurs, je puase me flatter de faire sur la physique un trarail i me proniit le äucces. J'envnyai donc nion plan relatif aui H» th^niatiqueH , et dans le billet cachete je lu'iuscrivais cou disciple.
Eiae kleine Arbeit
J) Lettre en reponse aux objections elevees contra la £J vitation nenionieniie [Journ. encyclop. Fevrier lii^
ausgenommen, debQtirte L)i uilier rolt dieser Preisschrift, die »idi grüastentbeils auf allgemeine Arithmetik bezogen zu haben stheinl Ein für ihn dficklicber Umstand irar ea. das» Christoph Frlf drich Pfleiderer (173Ö— 1821), der von 1763—1766 als Se» ler und Mitarbeiter bei Lesage in Genf genesen, und flurch L^ 1766 Tiuch Warschau an die vom Könige Stanislas August an gestiftete Militair-Aeadeinie als Professor der Mathematik vni Physik empfohlen ivorden war, in der zur AbfasRung und Prü- fung von Schulbüchern im Königreich Polen niederi^esetxten Co» tnission, welche jenen Preis ausschrieb, als eines der thiitigi-tti und einllussreichsten Mitglieder sass. Pf lei derer fand iinlbtvenil^ an der in Lesagle's Geist geschriebenen Arbeit ein bcsondert* Wohlgefallen, — sie wurde gekrönt, erschien als
1) Arithmetiqiie ponr les Ecoles palatinales. VarMonc
901
|. gleichzeitig nucb in polnischer Uebersetzung'l. Der Künig
I Holen Hess den jungen Verfasser für seine Arbeit beglQck-
undder FGrst Czartorinski lad ihn ein nach Warschaa
n, um seinen Sohn, Her in epiiterer Zeit das Haupt
E emigrirten Polen werden sollte, zu unterrichten. Lhuilier
i der .Einladung, und die lan^e Reihe von Jahren, welche er
n tfirstlichen Hanse zubrachte, bildete nicht nur die ^liick-
I Epoche seines Lehens, sondern war nach (Sr die Wissen-
von reicher Ausbeute. Zunächst erschien 1781 in den Ber-
r- Memoiren sein
3) Memoire sur le minimum de clre des alvöoles des abeil-
Ics, et en particulier sur un minimum-raininiorum reta- tif ä cette mutiere,
■reichem er nach dem ürth eile von Professor Maurice diesen lenstand Tollkomraen erschöpfte^). Dann folgte sein grösse- fWerk
4) De relatione mntua capacitatis et terminorum figurarum, geometrice considerata. Varsoviae. 1782. 4".
tiches mehr als ein halbes Jahrhundert später der cnmpe- ) Richter in diesem Gebiete der Mathematik, Herr Proles- iiner in Berlin , noch folgendes Urtheil fällte«) : „Alles, was ■ne Vorgänger auf elementarem Wege über diesen Gegenstand «eistet, von den uns überlieferten ersten Anfängen der Grie- pn bis auf die Fortsetzungen und tiefere Begründung durch R. ^soa und Andere, hat Lhuilier mit grosser Umsicht zusam- pngefasst, mit seltenem Scharfsinne verbessert, ergänzt und Tträchtlich erweitert. Leider scheint öfter sein WWk cilirt, f die darin herrschende Methode richtig verstanden, oder gehü- 1 gewürdigt und befolgt worden zu sein; denn alle seine Nack- iger sind, soviel mir bekannt, mehr oder weniger von seiner Ifaehen natürlichen Betrachtungsweise abgewichen; sie nah- kndcrn künstlichen Hülfsmitleln Zuflucht, und beschränk- 1 sich überdies anfeine viel geringere Zahl von Aufgaben und Dadurch verschwand aber auch immer mehr uie schöne pfftchbeit der Beweise, der innige Zusamnieohang der Sätze Mt dem Bewusstsein der Gründe, durch welche derselbe be- Igt wird." Zwei nach Petersburg gesandten Abhandlungen
I , B) Sur les pyramides isop^rimetres [Nova Acta IIIJ,
J*) Kach ninatndn ltl.263. wären ancli rnn ihm verfatsto E lernen ti Kiflm^trie gehiiint und veröfTentlicht worden. IJelierlinu|it iit ei mir ■t gnnz klar gowiirden, wai Alles in Lhuilier'a Sendung' nach Palen
iTn aiir ritiülruciinn pattliqnc par De )a Rtve. Genev«
6) TheoTÖme snr les centres de gravite [Nova Acta IV]
e seine, nach Ucurlheilunc vod einer durch Lagjrangeprl " ' ' ' Berlin gekrönte l'reischrii't
7) Exposition elementaire des priocipes des calcuU si rieurs qui a remporte le prix propnsä par l'Acad^i royale des sciences et belies - lettres uour i'aoDee 1' Berlin. 4».
in welcher er auf d'Alemberls geistreiche Mee der Grenzen sirte, auf welche man auch in der neuesten Zeit nieder allgetni zurüclElcumnit. Nach Montucia') hatte ei|;entlich die Berliner A< demie die Entwicklung; der Theorie de TinUni niathematique v langt, — aber Lbuilicr gerade die gebotene Gelegenheit beoul diese Theorie zu bekämpfen und ihr die der Limites zu a ' tuiren. Dann erschienen wieder mehrere kleinere Arbeiten;
8) Examen du memoire sur lex pnids et mesures, oh ToB . propoee le moyen d'avoir des etalons ou modales de ml eures et de poids qui soient regl certains et in
[Joi
9)
Theoreme sur les solides ulai Berlin. A. 1786 et 1787] ;
redeil par des princii ncycl. Juillet 1783];
'Superficiels [Menj
10) Sur la decomposition en factenrs de la somme et de difference de deux puissances a exposants quelcon«)! de la base des logarilhmes hyperbnliques, dans le i de degager cctte däcomposition de tonte idee de ViH [Mem. de Berlin. A. 1788 et 1789].
Am Ende seines Aurentlialtes in Pulen Tasstc der nnermSdlii Lhuilicr, dcssenLeistungen bercitsdie Academien in Berlin i Petersburg verunlasst hatten, ihn zum Correspondenten zu ern uen, den Plan zu seiner Polygonometrie. Voll von seinem £ würfe kam er nach Tübingen zu seinem Freunde Pfle.ltderor, i schon 1781 als ProfeKSor der Mathematik und Physik in sein ' terland zurückgekehrt war. Dieser machte ihn auf die betreffe den Arbeiten Lexell's aufmerksam, die eben In den Petersbur] Memoiren -«Fächiencn waren. Lhni'licr verglich sie aufmerks mit seiner eigenen Arbeit, lies» aber dennoch nach seiner Rä kehr nach Genf sofort die Schrift
11) Polygonomelrie, ou de la mesitre des (igures rectilien Et Abrege dlsop^rimetrie el^mentaire. Genese 1789.
erscheinen, in der Einleitung das Resultat jener Vergleicbi seinen Lesern in folgenden Worten mittheilend: „Je trouvai „effet quelVIr.Lexellavait execute leplanque je meproposais,etqn „parttculier il avait trouve tes memes propositions londamentah
Iteodunt je vis bieiili^t que mon proceile differait aesez du sie», I par lu forme des diviciions et subdivisions, soit par la nia- ,iiiere dont j'tituis [larvenu ä ces [iropositions l'ondamentalefi, soit spar les cotiRtmctions nue je develloppais, soit par les rellexioüB .^omölnques auxijuelles j'etais amene, pour que le travaü de .Mr. Lexell ne Aüt pas m'engager ä suppnnier le niien. La d^- , iL-rmiaation de la surlace d'une Geure rectili|;ne dans sen cöt^s .iit sea angles. et tes applications de la forniule elegante par la- ,<|i]ellc eile est exprimee, est une matiereque je crois entierenietit .neiive et qui m'eiit prupre.'- Dass Lhuiller seine Arbeit nicht ■n hoch über die Lexell's stellte, mag folgendes Urlheil Moii- ucl.'i's*} bezeugen; „ Le cit. Lhiiilier säumet ä des r^gles seni- , Mahles ä Celle de la trigonometrie, le caicul des etiles et dea ..Btigles de tout polygone reetiligoe ; c'est un coin , pour aiiisi dire, ,4u vaste et immense champ de la göomötrie , oü Euler et Lexell ,BVaieiit, ä la verite, fait quelques incursions, luais oü le cit. „Lhuilier est enlre prornnd^ment, et dont il a tire une ample ,,iiioiss(>n de verlies nouvelles et utiles." Lhuilier war ühri&ens, sline es zu tvissen, noch mehr mit Masch eron i als mit Lexell auf Iteeem Felde zusammengetroffen; doch aueh Mas'cheroni aoer- lianntesein selbstatändiges Verdienst, indem er in der Vorrede zu sei- nen Problem! per gli agrimensorF) sagt; „J'avais publik, eii 1787, uparmi les additions au cniirs de niatbemaliques de Mr. Bossut, „UD pelit iiiemoire intituj^: Mdthode pour la mesure des po- „lygoiies plans. Deux ans apres, Mr. Lhuilier publia ä tie- i.oeve sa Polyganometrie. Je reconnus en la lisant, noii seu- flUment que mon ouvrage renfermait tous ses problemes, mala uqne mes solutions analyliques m'avaient conduit aux mämes for- iimules, et que. nous avions suivi nns ä pas la meme carriere. „Un accord aussi parfait avec ce celebre geometre Tut pour moi i.d'nn ^rand |)rix, et la preuve la plus complete que mon trarail
J>DUvait elre de quelque utilite. Au reste, l'ouvrage de Mr. Lhui- Eer nc fait pas seulement honiieur a son dtuditio» ; il l'a enrichi „iledcimonslrntioiis geometriques qui lui appartientient, et de beau- „Coup d'exemples d'un bon choix qul «daircissent ses m^thudes." I)er isoperimetrische Anhang ist ein Auszug aus seiner oben be- '^(iru eben eil Kelatio rautua.
Noch sollteLhuilier kein ruhiger Aufenthalt in seinem Vater- l:ktitle vergönnt sein. Bald nach seiner Rückkehr nach Genf wurde seine Vaterstadt so sehr in die Stürme der franzüsischen Revo- lution vernickelt, dass er es rathsam fand, lur einige Jahre zu Pflei derer nach Tübingen zurückzukehren. Er benutzte diese Zeit, in welclier ihn auch die Royal Society of London mit ihrem Ui- iilume beehrte, zu einer gimz neuen Bearbeitung seiner Berliner t'reissthrift , die dann unter dem Titel
12) Principiorum catcnli differentialis et integralis eipositio ^' elementaris ad norniani dissertationis ab Acad. acient.
gäbe. Paris IH03. 8",
903
r
904 '
Refi- Prussica Ä. 17S6 praeinii hotiore decorotue 4 rata. Tubiogae 1795. 4'^. •
erschien, und seinen bereits erivorbeneo Ruhm durch ihre' heil und Strenge nicht wenig steigerte. Maurice glaubte jed| seinem mit Aluntucla^) übereinstimmeDden Lobe beifügen si len: „Mab cette rigueur est accumpagn^e de lon$;ueurs
4
I I
„uurait pu äviter, et döuourvuo de cette elegance d'exposi , „laquelle les ourrages de Lagrange, surlout, ont accoutum »g^ometies. "
ick, und publlcirtei
13} Examen du mode d'^lection prnpose ä la conTentioi tionale de France eu levrier 17ir3 et adopte a GtM Geniyel794. 8".
11} Catechisme d'Aritbmetique destine aus ^coles primi
deren letztere mir einjigdurcb Maurice*"} bekannt gewordef welcher von ihr sagt: „Ce Cat^hisme etait une espece de! „de force dun homme fort habiie; mais n& inmie, presquai »sitee, en a fait peu ä peu abaudonner l'emplgi." t
Im Juli 1795, bald nachdem L hui Her einen Rnf als Prol( der hühern Muthematik an der Universitht Lej'den ausgesch^ hatte, erhielt er die Professur der Mathematik an der AcaA EU Genf, — wie es ihm Bertrand, der sivh nun zur Ruhe s« längst prophezeit halte. So sehr er eich's aber auch angel sein liess, den ihm übertragenen Unterricht aufs Beste zu ge so wenig wurde dadurch seine literarische Thätigkelt gestört, nächst begrüsste er die Royal Society of London mit seiner
15} Mani^re ^l^raentaire d'obtenir les suites par lesqu s'expriment les quantites exponentielles et les fonci
dann die Berliner Academie tbeils mit seiner
10} Solution alg^briüqne du prohl^me suivant: A un ci donne, inscrire un nolygone dont les cöt^s passent des points donnes [Mein, de Berlin 1796] ;
theils in Verbindung mit Pierre Prövost mit zwei Abhandlui
'y In dem schon enrälinten Discoura, pag. G. "} in. 262. '•} Dhccm, p,g. 7.
^.
905
17; Sur les probabilites [Mem. de Berlin 1796.]
18) Sur I'application du caicul des probabilitäs ä la valeur du temoignage [Mem. de ßerlio 1797.]
Zu Lhuilier^s vorzüglichsten Werken gehurt unstreitig die
19) Anleitung zur Elementar- Algebra. Zwei Theile. Tübin- gen 1799-1801. 80.,
welche nach dem Verfasser eine neue Bearbeitung seiner zwan- [lig Jahre früher polnisch herausgegebenen Algebra sein^ und dem [Gange folgen soll, welchen Lesage beim Unterrichte Lhui- Hers einschlug; sie wird mit Euler's Algebra die Mehrzahl von Werken dieser Art überdauern. Die in diesem Werke, in Ver- vollkommnung des Euler'schen Verfahrens, auf die für jeden jWerth von m und n erwiesene Richtigkeit der Beziehung
C"r)=GXS) +G!:i)CD+ <oXO
te Ableitung des allgemeinen Binomischen Lehrsatzes^ ^) ver- it besondere Beachtung. — Am 1. April 1800 (11 germinal an kamen seine
80) Theoremes de polvhedromätrie [Memoires prösent^s. Tom. 1.]
der Pariser Academie zum Vortrage und fanden* eine sehr ifige Aufnahme, da es Lhuilier nicht nur gelungen war, vor ihm bekannten Eigenschaften der Polyeder zu verallge- lero, sondern ihnen eine grosse Anzahl neuer Eigenschaften ißgen. Manche dieser Eigenschaften entwickelte bald darauf berühmte Carnot in seiner Geometrie de position^^), sich sh mit folgenden W^ orten verwahrend, Lhuiiier's Arbeit be- t xa haben: „Cette partie de mon ouvrage etait ä i'impres- ion, lorsque j'appris quil existait depuis longtemps, sur le )me Bujet, un Memoire manuscrit de Simon Lhuilier de i^e. Ce Memoire, depose au secr^tariat de i'lnstitnt natio- » contient en effet le principe fondamental enonc^ ci-dessus, 11 qne diverses consequences importantes que i'auteur en a InitM avec sa sagacite ordinaire. 11 est de la nature des v^- M math^matiqnes' d'^tre souvent decouvertes k peu pres en De temps par diff^rents moyens et par differentes personnes; je ne puis qu'etre flatt^ de m'dtre rencontr^ avec Je cit.
'M Siehe Satz 47 — 50 meines Taschenbuches für Mathe- lAtik ond Physik.
'*) Paris 1803. 4®, ^ während Lhuiliers Abhandlang erst 1805 Dracbe koin.
[iistement celebre par nn grand nambre d'extiell« - Eine neue Bearbeitung von LhuUier'e Alg^ unter dem Titel
1\) Eientenls raisonnes d'Algdbre. 2 vol. Geoeve. Iä04. 8".
auf dem er sich nnter Anderm als Mitglied der Güttinger Aca demie und als Profesaeur honoraire de Math^matiuues sublimee ä l'unlveTsltö de Leyde bezeichnet. Während dem Drucke dieses Werkes, am m Uclober 1803, starb Lesage, so dass ihai Lhuilier noch in der Vorrede eu demselben ein kleines MonU' ment ettichtcn konnte, von dem folgender Theil hier aufgenom- ' Hien werden mag: „Au nioment ou j'ecris cee lignes, quej'ariose „de mes regrets et de nies larmes, les lettr«8 viennent de perdie ,,le veritable auteur de rouvrage que je publie, G. L. Lesage, „mon parent et mon guide dans mes preniiereK ((tudes. II est le „fruit des legons et des directions que j'ai eu le hnnliear de re- „cevoir de cet habile inathematicien , qui, ä la profondeur et i „l'ötendue des connaissances , joignait l'esprit le plus philosoplii- „que; oui a coneaur^ sa longue vie a la recherche de la verite et „k sonder les niysterei^ de la nature; qui a m^rite la reconnais- „sance de ses compatriotes par les Services litleraires qu'il & „rendu ä un grand nombre d'enlre eus; qui, par ses instrudioiUt „par ses directions et par ses conseils , a contribne ä enIretenJi „et ä repandre dans natre pntrie le godl des connaihsances dÜIu „et la quiture de la saine philosophie." — Das letKte grüsaere Werk unseres Lhuilier narEii seine
22) Elements d'analyse g^on»!trique et d'analyse [algebrique. appliqu^es a la reclierche des lieus eeometriques. Parii i 1S09. 4«.
welche er seinem frühern Schüler Czartnrinski, damaligen kais. russischem Minister des üffentlichen Unterrichts, ividnietei Sie enthalten eine Abhandlung über den Punkt der mittlem Ent' fernungen, eine freie Uebertragung von Sinisnns Wiederlierste^ lung (Ter ebenen Oerter des Äpollonius, etc. etc., kurz ein AtH serordentlich reiches Material für den durch den Titel anL'edeut<< ten Thcil der Geometrie. — Bald nachher begann GergonnJ seine verdienstliche Herausgabe der Annales de mathematiqad pures et appliquees, und fand für die drei ersten Bande inLhu.1 lier einen seiner fleissigsten Arbeiter. Es würde zu weit ßhreAt alle Probleme mitzutbeilen , die Gcrgonne seinen Lesern vorleete> und bei deren Losung !sii:h Lhuilier betheiligte; es mögen daitel nur einige selbstständigero Arbeiten demselben hier aufgezahlt vef den , die in den Annales erschienen :
23) Analogie entre les triangles rectangles, rectilignes e' spheriques [Vol. I.].
24) Recherche du plan de la plus grande pmjection orthl gonale d'un Systeme de surfaces donnees de gtandei sur des plans donnes de posilion dans Teepace [\'ol. !■•
907
25) Dötermioation du c^ntre dea moyeaDe& distanqes du triaiigle sph^rique. [Vol. If..J
26) Lieu aux sections coniques [Vol. II.]
27) Eclaircissements siir le troisi^me et le sixieme eas de la trigonometrie sph^riqae. [VoK II.]
28) Solution d*un probl^me de corobinaisons. [VoJ. 1I|.]
29) Demonstrations diverses^ du th^or^me d'Euler sur les poly^dresy et examen des divers cas d'exceptioo aux- queis ce th^ordme est assujetti. [Vol HL]
30) Memoire sur la possibilite et la construction des polye- dres r^guliers. [Vol. III.]
31) Solution d'un probl^me de prababUite. [Vol. III.]
Warum L h u i I ie r mit dem Schlüsse des 1812 erschienenen drit- ten Bandes plötzlich verstummtet^), ist mir unbekannt geblie- ben , — immerhin hatte er seine litterarische ThÜtigkeit bis in ein bohes Alter bewahrt. Seine Lehrthätigkeit war noch ausdauern- der, — erst 1823 im Alter von 73 Jahren verlangte er seine Ent-
. lassung; bis auf diese Zeit erfüllte er seine Pflichten mit so gros- ser Gewissenhaftigkeit, dass er sich sogar bei Gichtanfälien eher in sein Auditorium tragen liess, als seine Lectionen versäumte. "Von seinen Schülern (zu denen auch Guizot längere Zeit ge- horte) zeichneten sich manche in wissenschaftlichen Laufbahnen aas, — namentlich ist Sturm, schon seit fielen Jahren einie der
- Zierden der Pariser Academie, zu erwähnen, um den sichLhui- lier besondere Muhe gab.
Trotz so langer öffentlicher Thätigkeit, war es L hui Her ' noch vergönnt, von einem Sohne und einer Tochter gepflegt, eine ' längere Reihe von Jahren in verdienter Ruhe zuzubringen. Nicht dass er darüber die Wissenschaften vergessen hätte; im Gegen- iheile zeigen seine Manuscripte wie ihn dieselben noch immer be- schäftigten, wie namentlich seine frühern Arbeiten in der Poly- l^onometrie und Polyedrometrie bis in seine letzten Tage fast be- . ständig vor seiner Seele schwebten, — versuchte er ja noch sogar ZVL wiederholten Malen seine Gedanken weitern Kreisen vorzu- legen :
32) Expressions de la capäcite d'un polyedre dans ses 414- ments ext^rieurs [Bibl. univers. 1828.]
33) Elements de la doctrine generale des polygones et des polyedres [8 S. in 4« ohne Titel.]
^^) Nach Mittheilung meines I. Freundes, Herrn Ingenieur Denz- 1er in Zürich, der die Gate hatte, alle 20 Bände der Annalen für mich durchzusehen.
Si) DiscuGsions gtintSralns de« doctrines de« polygones et «les |)Dlv^dres, par le urofesecur Lhiiilier, plus qu'ocloge. iiaire [3 S. in 4" ohne TitelJ.
Uoch verdunkelte s'icU natürlicli nach uail nucli sein [;eistif*u Auge, und in einzelnen Aujienbliclien ttut der Unterschied x.m- sehen vunnals und jetzt trabe vor seine Seele, ho das« er ein mul mit xittcroder Hand niederschrieb:
Je snie hors de snison.
Qu tie veut jilus dun ätre octogenaire.
Je suis voisiii de perdre la raison.
Je suis un poids i|ui surcharge la terre.
Kr Mrhicd von unserer Brde am 28. März 1840, in einemAlter vuii 'leinahe !<0 Jnhren. Ehre seinem Andenken!
h
4
Drackfehler.
In der Ucberschrift des Aufsatzes Nr. XXXfIl. in diesem HeRe (ThI. XVIII. 8. ^Ül.) in einem Theile der Exemplare musa es statt „die Basistvinkel" heissen: 2
„die die B.aaisninkel".
[jiterariiselier Bericlit*
Bteme, Iiebr- und l¥8rter1>ücher.
Unter diese wissenschaftliche Ruhrik gehört der Voliständig- Bjseines Inhalts wegCQ auch das folgende:
iTaschenbuch für Mathematik und Physik, Zum ^en Gebrauche entworfen von Rudolf VVolf Bern. be Buchdruckerei. 1832. Kleines Taschen- hformat.
^ir glauben die Leser des Archivs auf dieses Taschenbuch Uatheinatik und Physik aufmerksam machen zu müssen, weil Bnler den meisten ähnlichen Biicbem jedenfalls einen sehr pvollen Platz einnimmt, und vor denselben Sich In mehreren ihungen vortbeilhaft auszeichnet. Die meisten Bücher dieser Hellen nur Formeln zusammen, nelche bei jiraktischen und bischen Anwendungen häufig vorkommen, und sind deshalb JKeitem vorzugsweise nur auf den Gebrauch von Praktikern ■Technikern berechnet. Dagegen hat das vorliegende Buch' ^jedenfalls viel mehr den eigentlichen wissenschaftlichen Ma> ntatiker und Physiker im Auge, und dient ihm als Erinnerunga- :fa an die Lehr.^ätze, Formeln und Aufgaben, welche er bei seinen wissenschaftlichen Untersuchungen am Häufigsten und am Meisten braucht, weshalb es namentlich auch Lehrern der Mathe- matik und Physik an höheren Unterrichtsan stalten zur Beachtung emi>fohlen zu werden verdient, um so mehr, weil es sich, fUr Banrt XVIII r2
910
<liesen Gebrauch p;anz zweckniüssif;, für Jetzt nur anf die de- inentaren Theile der beiden auf dem Titel genannten Wiswi* Schäften erstreckt. Es iimfasst in dieser Weise , verhältnissmii- sig in gleicher Vollständigkeit, die Arithmetik und Algebra, ebeM und körperliche Geometrie , die analytische Geometrie, die Kegel- schnitte, Goniometrie, ebene und sphärische Trigonometrie, Poly- gonometrie, iStatik und Mechanik fester und flüssiger Körper, Ani- stik, Optik, Wärmelehre, Magnetismus, Electricität und Galfi- nismus, Geodäsie, Projectionslehre (polare, perspectiviec]ie,'| orthogonale und Schatten-Projection) , und in ziemlicher VollstSn- digkeit die Astronomie. Ausserdem sind folgende Tafeln beiee- geben: Potenztafel, Logarithmentafel, trigonometrische Taiel, Sehnentafel, ^fafel der Vielfachen von tc, hiterpolationstafel, Zeittafel, Ortstafel, Kefractionstafel , Planeten- und UometenttTel Sterntafel mit der Präcession. Den Beschluss macht eine biBto- risch-literarische Tafel, in welcher die wichtigsten Entdeckongei und literarischen Erscheinungen auf dem Gebiete der Mathenuuk.j und Physik chronologisch verzeichnet sind. Das Gaoze umfuit nur 152 Seiten und fiberschreitet also den Raum eines Taschei* buchs durchaus nicht. Wir wünschen , dass es dem Herm Vc^ fasser gefallen möge , auch für die höhere Mathematik ein lim- liebes Büchlein zu liefern.
%
Arithmetik.
Sammlung von Beispielen und Aufgaben aus der '^ Differen zial- und Intej^ralrechnung mit Verwandlung der Functionen von F. W. Hesselbarth, Dr. phil. Zweite verbesserte Auflage. Leipzig. Arnold. 1852. 4.
Indem wir diese Schrift aus ihrer ersten Auflage als hinrei« chend bekannt voraussetzen, wollen wir nur noch bemerken, das« wir in der That, auch bei dem besten Willen, nichts zu ihrer Empfehlung zu sagen wissen.
Transformation und Ausmittelung bestimmter In- tegrale. Abhandlung, welche bei der Hoch verordne- ten philosophischen Fakultät der Kaiserlichen Uni- versität zu Dorpat zur Erlangung der Magister würde eingereicht hat und üffentüch vertheidigen wird Dr- Ph. P. Helmling. Mitau und Leipzig, lieyber. 185L 4.
Eine sehr gute Gradualschrift, die zu allgemeiner Beachtung empfohlen und weiter, als es bei dergleichen Schriften gewöhn- lich geschieht, verbreitet zu werden verdient. Es beschäftigt sieb
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leielbe mit der Entwickelung der Integrale, ivelche unter der H|gemeinen Form
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e-^\fix).da!
Iriien , wobei ein Integral dieser Form der Herr Verf. als gefun- m betrachtet, wenn es auf ein anderes von der Form
e-^'^dx, oder 1 e-'*dx, oder / e^'^dx
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rtckgeföhrt ist, und wenn überhaupt bei dem reducirten die me- lanische Quadratur bequemer angewendet werden kann. Haupt- (chlich ist yermittelst der sogenannten Methode der Variation ir €onstanten die Auswerthung bestimmter Integrale von der itegration vollständiger oder reducirter linearer t)ifferentialglei langen abhängig gemacht, und dadurch sind viele Integrale auf liebe von einfacherer Form und anderen Gränzen zurückgeführt orden. Die Schrift enthält einen grossen Reichthum bemerkens- brther Formeln, und ist auch Anfangern in der Integralrechnung tr üebung in dieser Wissenschaft recht sehr und mehr zu em- S^hlen, als viele unserer Sammlungen von Beispielen aus der kegralrechnung. In der Vorrede spricht der Herr Vf. dem Herrn hilbssor Minains seinen Dank für mehrfache ihm von demsel- !n gewordene Belehrung aus, und bemerkt auch, dass das von m entwickelte Integral
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hdür firfiber von Herrn Collegienratb C lausen für den speziellen lll r=il, a=l entwickelt worden sei. Solche Inauguralschriften Achte man allen Universitäten , selbst manchen grossen und weit IrfihiBteren, wünschen. Möge der Herr Verf. bald einen seinen lilqfkeiten entsprechenden Wirkungskreis finden!
Ueber die bestimmten Integrale von der Form
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I denen jBr=/+ VcoB^tp + rsinV+2mco89>sin9+2iii'sin<p'+2iii"cosg)
jrt. Von A. Wiehert, Oberlehrer am Gymnasiuoi zu Kkftita. (Programm des Gymnasiums zu Konitz vom Wttfl Anglist 1S51.). Konitz. 1851. 4 <
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mit klaren Ent^ickolung ^«iHclicn den (irfinzen 0 und 2n Mcbdir ilcrr Verf. in dieser sehr leKtiiisivcrlheij und einen ^uten Uellnf Kur Integralrechnung lier^rnden Schutsctirirt , die einer welum VcrlirttilnnK, vHa dergleichen Schrißen ceivühnlich linden, etit werth iot, lieschKltigt , fär den Fall näntlKh, dass N fiir k«MK reellen Werth von rp versclitviniiut. Aut;b giebt der Uen \eÄ die Mittel an, um tillgemdn
/cofiiq>.Scp /'si
xR finden, vrenn i und /r ganze positive Zahlen sind. Die Alt thüde der Lusune ist eine dreifache , du jene Integrale einmal dncdi Transformation des Nenners If , dann durch ZerfaUiing decisellw in Fncloren und durch Reihenentwicketuni; gefniiden werden tä» nen. Jede dieser Methoden wendet der Herr TP. an, nod wsa) die Identität der Uesultate nach. Die Traneforniatioii des N^ ners in die Form
iV = /: 4 jt'sin*ip + A"cos^Tf
schickt der Herr Verf. nach C G. J. Jacohi in Crelle's Jonr nai. ßd, II. und Vlli. voraus. Die Schrift legt von dem analyti seien Sobarfsinue des Herrn Verfassers ein sehr vortheilbaftes Zeugo» ab, und verdient jedenfalls recbt selir, von den Mathematibn allgemeiner beachtet zu werden. Auch vorgerückteren jungen Mf tfaematikern wiTd sie eine sehr gute Uebung in der Integralrech- nung gewähren. Miigeii diese weuigen Worte ihr zu binrelcfKC der Empfehlung dienen!
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Geometrie.
Beitrüge eu einer systematischen Entwickelnlfl Äer Geometrie aus der Anschauung. Von C. ß. KossciJ hrer der Mathematik und Physik am Gymnasii
■bausen. (Programm des Gyrnnasiame zu Nord- - "^ - on Ostern l»3ä.). Nordhauseii. 1852. 4.
; Beitrüge, welche uns mehr einen philosophificberi ^ lathematischen St,in(l))unkt einzunehmen scheinen, ge- i3e die streng ivissenüchafttiche Geometrie fTirdern werden, müs- sen wir dahin gestellt sein lassen. Vielleicht aher können Leh- ret liei dem ersten, vorzüglich auf die Anschauung hasirteu geu- netrisuben Unterrichte Gclira-ich von denselben machen, und mCgen eie daher in dieser Beziehung immerhin zur Beachtung «mpfohlen werden. £iii strenger eulclidiscLer Geist hat uns nicht aus denselben entgegen getvchet; Hch in diesem zu bewegen, 'ir ja aber auch nicht die Absicht des Herrn \fs., da er aus- iii'llich die Entwickehing der Geometrie aus der Anschauung - meinen Zweck bezeichnet.
Die Gleichheit und Aehnliuhkeit der Figuren und ÜL' Aelinliclikeit derselben. Ein Suiiplement derEle-
< utargetimotrie von Dr. Richard Baltzer, Oberlehrer . <ler Kreu?:«chule EU Dresden. Dresden. G. (Jchün- i<l (C. A. Werner). 18Ö2. 8.
Die von Miibius in die Geometrie eingeführte Lehre von I. Nerwundtschuflen der Fii^ren ist bekanntlich als eine wesent- iiM Enieilerung dieser Wissenschaft zu betrachten. Bisher ist
< L' j.ehre meistens nur von dem Standpunkte und mit HütfQ ; analytischen Geometrie behandelt norden, und in die Lehr-
lief der synthetischen Geometrie hat dieselbe noch keinen
lilcii Eingang gefunden, ist überhaupt noch nicht Gemeingut
' sogeiianuten Elemente geworden, (vohin sie doch offenbar ge-
it. da sie recht eigentlich in das Wesen der Geometrie e^m^
ilt. und gleich beim Eintritt in diese Wissenschaft dem Lehr^
ue sich (luTbietet, da ja schon in der euklidischen Genmetrie
■ iimtlich die Üongruenz, die Gleichheit und die Aehnlichkeit
Figuren besonders scharf hervortretende Hauptabscfanttte bil-
ii. Der Herr Verf. der vorliegenden Schrift hat es nun unter-
innien, die Lehic von den Verwandtschaften der Figuren, von
oiMu allgemeineren Standpunkte aus, bloss auf dem
1 je der synthetischen oder sogenannten elementaren Geometrie
livhandeln, überhaupt diese Lehre in den Kreis der Elemente
ziehen, und hat dabei milden beiden Verwandtschaften der
Liihheit und .\ehnlichkeit, und der Aehnlichkeit, den Anfang
ii.iiht, wobei er sich keineswegs bloss auf ebene Figuren ein-
hniikt, sondern auch die Gebilde des Rnnms überhaupt, ins-
..iiilere auch sphärische Figuren, in den Kreis seiner Betrach-
■ ■■cht. Wir halten diejies Unternehmen für ein sehr ver-
und "ünscben sehr, dass die vorliegende Schrift,
.rieb von den Lehrern der Mathematik, die wohl vcr-
... ., .' ■ i>liing finden und hei dem geometrisuhen Unterrichte
t..>.-itlen mr>ge. Alle Bemühungen, die Itesultate atis ^esicbUpunkten unlemommener Forschungen so viel als
In sehen wB Schrift si
lUiigllcIi in den Kreis der Bogenaniiten Elemente zu tünhi ivir immer für sehr verdienstlich gehalten, und wünschen dass der geehrte Herr Verfasser der vorliegenden Schri: Müsse dergleichen Arbeiten auch fernerhin zuwenden niög«^ durch er geivins um die Wissenschaft in methodischer Rückj sich wesentlich verdient machen wird. Wir sehen der Fortseti seiner Arbeilen auf diesem Felde mit Verlang!
Ueher Parallel- und tiegcntr; linigen Dreieck, vom Gym grarain des Gymnasiums 1852. Greifswald. C. A. Ko 1832. 4. Preis 9 Ngr.
;u Greifsvvald »on Ost h's Verlags b. (Th. Kuoi;
Wenn von den Endpunkten B und C einer Seile ßC « ebenen Dreiecks ABC aus, man sich entweder anf der Seits selbst, oder auf deren VerlSngerungen über B und C hinauf liebige aber gleiche Stßcke BD und CE abgeschnitten d etwa durch den Punkt ö und die Spitze A des Dreiecks - die Ecktrnnsversale AD, und dnrch den Punkt E mit t eine Parallele EF zieht: so nennt der Herr Verf. i den Programms die Linie EF die ira der Eck transversale 1
fehiirige Paralleltransversale; jenachdeni der Punkt urch welchen £F gezogen ist, in der Seite AB seihst od« deren Verlängerung nach der einen oder nach der andereii r hin liegt, heisst EF eine innere oder äussere Paratldtf Tersale. Was der Herr Verf. unter Gegentrans verealen steht, muss man S. ]0, der vorliegenden Schrift iselhal r " ' da dieserBegriffnur im Fortgange der Untersuchung selbst werden kann, nnd sich daher hier in der Kürze und ohne f _ wohl deutlich machen lässf. Von solchen Parallel- und Gb transversalen hat der Herr Verf. in diesem Programm e.. _ _ von Sätzen bewiesen, die dem grösseren Tbeile nacli neu' recht bemerkenswerlh sind, und von Neuem den BeHeia litf wie reich an merkwürdigen geometrischen Beziehungen etRi einfache Fi^ur wie das ebene Dreieck ist. Die sämmtlichen S stehen in einem inneren Zusammenhange unter einander, nnt Herr Verf. hat durch diesen Aufsatz zugleich seinen Seht Stoff und Materialien zu geometrischen Uebungen darhieten i len, indem er es für zweckmässig hält, den SchQlern der t" Klassen von Zeit zu Zeit eine kurze geometrische Abbantl welche eine Reihe von Sätzen in systematischer Folge 61)01 zum Privat>itudium vorzulegen, worin wir ihm völlig heistllhli und der Meinung sind, dass dergleichen Uebungen zur Kr&fttJ des mafhemaliscnen Geistes wenigstens eben so zweckmXsst^' wie zur eignen Lösung den Schülern vorgelegte einzelne gtf"^ irische Aufgaben, indem man nach unserer Ueberzengunr' früheren langen Erfahrung in letzterer Beziehung ja nicht »u gehen darf, und sich immer auf nur leichtere, die KrüfEf" Schüler in keiner Weise übersteigende Aulgaben besclirii muss, deren Lösung zugleich so viel als möglich nach eine? stimmten mathematischen Methode folgerecht mit Leichllfj
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^. „-führt werden kann, und nie dem y er (uhcer lachen Glück zu- fiiligen Fiudens anheim gestellt hieibt. Ho ungemein IVeigeliig man irüher mit dem Aufgeben einzefner geometrischer Prableiiie in den Schulen "ar, so scheinen doch tu neuerer Zeil, so neit unsere Erfatining und Kenntniss in diesen Dingen reichen, viele lunsicblige Lehrer mit Itecht davon theilweJse zurückzukommen, und öfters Stoff zu geonietrisctieu Uchungen in eoluben Arbeiten lu suchen, nie der Herr Verf. in diesem Programm ihn in recht Weise darbietet.
Die Üehandlungsn-eise des Uesenelandes ist fßr den zn er- reichen beabsichtigten Zweck mit Recht eine gemischte, theils geometrische, theils trigonometrische; dnd so einfach der Gegen« stand anch an sich ist, so sind wir doch überzeugt, dass nament- lich solche Leser des Archivs, «reiche ffir das immer bessere Ge- deihen des mathematischen Unterrichts sich interessiren , von dieser euipfehlenNwerthcn Schulschrift mit eben so vielem Ver- KRüi^en nie wir nähere Kenntniss nehmen werdeu; müge <)iesp|l>e dnher deren Beachtung und gewiss erfoli;reicben Benutzung heim Uuterritjhte bestens empfohlen sein.
ZnsKtze 7.n dem Florentiner Problem. Von M. W. Drobisch, Mitglied der Königl. Sachs. Gesellschaft iler Wissenschaften. Aus den Abhandlungen der ma- tbeniutiscb-nhvsischen Klasi^eder Kiiniglich Sachsi- «chr-n Gesellschaft der Wissenschaften zn Leipzig. Leifzig. Weidmann. 185'X 8.
Das von Viviani den Geometern seiner Zeit vorsel«sfe sfi-
•enannte Florentiner Problem (Aenigma Florentinnm) ver-
iiiRgte auf der Oberliäcbe einer Kugel eine Curve zu finden, die
nuadrirhure FIftche entweder einscbliesst, oder deren Flfiehei
tnn einem angeblichen Theile der Kugellläche hinwesj-if einen iinadiiritaren Rest übris lässt. Statt der sphärischen Curve h;IIi^I l;:iiin mnn auch deren Projection auf die Ebene eines gross- 1(11 Krcisfs suchen. Auf diei>em Wege hat Enler gezei^, dass n BiifiiiUkh viele Lösungen des Problems giebt. Viviani selbst blt': ileii geometrischen Satz gefunden, dass ein Über der Ebene tines i;rri<^(cn Kreises der Kugel errichteter Cylinder, der zur ilusi.s fitien über dem Halbmesser der Kugel als Durchmesser lii>silirii.-lit'nen Kreis hat, die KugelOäehe in zivei Oeffnnngen <luii'hlirirlit . deren Fläche, von der sie umscbliessenden Hallikngel liin"'-j u''"ommen, einep Rest übrig lässt, «etcher dem Quadrat iW- Kiiiii^Idurchniessers gleich, also quadrirbar ist. Theils andere iMiniiiii~,lie Salze, theils Erweiterungen der vorhergehenden, 11.- M.MifucIa, Bnssut und Nie. Fuss pefunden. Den Be- (iieser Mathematiker schliessen sich nun die unter- wies Elerrn Verfassers der vorliegenden Abhandlung auf '■\ oiiie an. Dabei ist es weniger seine Absicht , das Pro-
.M> allgenieiiier Weise, wie Euler that, zufassen, als
iiBulit, »ie die drei vorher genannten Mathematiker, neue be-
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merketiswe ritte specieHe geometrische Beziehungen zu Gnilen, ihm auch Ui ausgezeichneter Weise gelungen ist, indem er i lietrachtungen vorzüglich an die znar sehr einfache, bisher nnheachtet gebliebene Bemerkung anschliesst, tlass die sp sehe Cnrve, »eiche die tjuadrirbare sphärische Fläche begr auf die Ebenen von drei auf einander senkrecht stehenden f ten Kreisen der Kugel projicirt werden kann, und daher i drei der AuTgalie genügende ebene Curven giebt; ist nnn der letzteren gegeben, so sind es auch die beiden andern, es führt daher jede Auflösung des Problems durch eine so. von dem Herrn Verf. die quadrirende genannte. Curve in zu zivei andern conijesen Auflösungen durch quadrir Curven, die in den bezeichneten beiden andern Ebenen lii Wir halten diese Abhandlung für einen sehr guten Beitra] höheren Geometrie, und n-ünschcn sehr, dass sie namentlich von jungen Mathematikern zur Uebung in der Anwendang höheren Analysis auf die Theorie der jcninini^en FlScben flc benutzt tverden Aiuge, ito:
Tahulae curvarum quartae ordinis „ asymptDtis rectis et linea fundamental recta praec Tum, uuas delineavit et expositione illustravit Al stufi Beer, Phil. Dr. Cum XXXV Tabulis. Bonnae, * A. Marcum. 1852. 4. 2 'f hlr.
Mit diesen 35 Tafeln hat der Herr Verf. den lUathemal ein sehr angenehmes Geschenk gemacht. Die auf denselbe lieferten graphischen Dar.itellungcn der auf dem Titel nähe zeichneten Curven des vierten Grade« sind äusserst lehrreicJl interessant, und bieten zu weiteren Betrachtungen mannigfal Stoff dar. Je vernickelter diese Curven theilweist ' ' schwieriger ihre Gestalten bloss aus ihren Gleichui nen sind, desto lehrreicher sind diese Zeichnun; Tafeln vorangeschickte Einleitung enthält Alles, Verständniss nölhig ist, und das Werk darf dahet
des Archivs In jeder Beziehung z
r Beachtung bestens empfu
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Af^tronomie*
Beobachtungen und Wahr
ftn-arte zu Kunigsberg. Kün ■ Sgr.
rg. Voigt. 185-2.
»er Abdruck eines in der ofayelkalLich - rikonomischen Ge- in Kiinigslierg am l'i. Nuvemiter 1851 gehalteoen Vor- th< eine eehr gute, für jeden Gebildeten interessant« menatelliing aller an vcrschieilenen Orten und von versihie- ■ Beobachtern bei der vorjährii^en i;rns8eii Scinnenßnsterniss * ' Beobachtungen von allgemeinem naturtvissenscbaftli* esse, weshulb wir unsere Lener recht sehr auf dieses ten aufmerksam machen. Auf Mittheilungen aus demeel- wir hier natürlich nicht eingehen, Hollen indeea EU bemerken nicht unterlassen. Bekunulljeh ist dia ^ . welche rilcksithtllch der totalen SoniieoGnsterDisse nletsisen Stande der Sache zu beanttvorten ist, folgende; ■ die Corona und die sogenannten Protube-
er Prominenzen der Sonne oder dem Monde l-'Ueber diese Krage 8|iricbt der geehrte Herr Verf. S. 'J5. mdermassen aus: „Es findet zwischen den Pro- en und den Sonnenflecken ein unverkennbarer inhang statt, und sowohl die Protub eraiize n, die Corona, gehören der Sonne, und nicht ..de an." Ganz in demselben Sinne haben diese Frage alle vörurtheilsfreien Beobachter, welche EUgleich die fVekraume uns sich teigenden Erscheinungen in der un- I Grossartigkeit, in der sie in der Wirklichkeit ~- d. h. ' aie selbst — auftreten, aufzufassen im Stande sind, , und nuch den verschiedenen eingetretenen und sorg- lAbteten Ümständcß kann auch über die Beantwortung " i etehenden Frage in obiger Weise in der That mehr sein. Kann es au'^h hier natfirlieh nicht der läher zu begrfinden, — ivas auih in der That gar , da Jeder, der die verschiedenen erschienenen ich mit Aufmerksamkeit und ohne Vorurtheil ge- ganz von selbst zn den nbigen Schlüssen kommen jo will ich doch die Leser bei dieser Gelegenheit na- I auf einen Bericht eines sehr awsgezeichneten Beubaih- i Herrn Hofrath Otto v. Struve in Pulkowa, über die tong der'vnrjithrigen grossen Sonnenfinsterniss ku Lomsa ff aufmerksam machen, welcher der Akademie der Wissen- " I St- Petersburg am 8. Aug. v, .1. vorgelegt worden ist, I im Bulletin de la Classe Phys.-Math. de l'Acad.
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srsh. 1851. Nr. 217. ündet, auci Untethallungeii. ISr.'i. " und Nr. '20., luider jedoch nur im Auszüge, mitgetbeilt _ iet. In diesem ausge^eithneteii Berichte hat Herr Utto Struve die obige Frage gleichfalls sorgfaltig dlsculirt, und li aus Beinen Beobactitun<ren mit rüHiger Bestimmtheit die ' Folgerungen ab: „1) dass die Prominenzen oder Prt ranzen dem Sannen kör per angehürige T heile »'eiche bei der Bewegung des Monde>« vor der So Bcbeibe auf der einen Seite allniälig hervarlreten tii auf der entgegengesetzten ents|irechcnd verschw den; 2} dass auch die Corona ein integrireilder Thi des Snnnenkörpert und getvis^ermassen aU < Photosphäre der Sonne umgebende Atniosph zusehen ist." — Gut auch, dass die Beoliacbtungen aller nrlheils freien Benhachfer dies uninderlegiich herausgestellt h«ii< Denn können die Astronomie und Physik noch irgend Hör haben, über die eigentliche Natur uneers Central kOrners nä Aulschliiss zu erbalten, so ist dieselbe nach unserer Ueberzeu! allein auf die Uünflige sorgfältige lieobacbtung di Sonnenfinsternissen vorkommenden F.r^cbeinungen , und- umsichtige IMscussion der bereits vorhandenen Beobaa* " gründet, ivobi^i man auch noch immer mehr, als bis Geschehen, historische Nachforschungen anstellen liehe Erscheinungen nicht schon frQher beobachtet uniH ben worden sind.
apnd
Wir haben schon früher öfters auf die Griindücbkeit und ;
Bossen Umfang, durch welche sich die auf den bollandlsc' liivcrsitäten erscheinenden Dissertationen oft sehr vortheill auszeichnen, hingewiesen. Dies ist au<:h bei der vorliegeol Inauguralscbrift der Fall. Der Herr Vf. hat in derselben fast 1 för das Kepler'sche Problem gegebenen Auflösungen zusamji gestellt, lieurtheilt und durch numeriscbe Beispiele erläutert. L meiste Raum ist mit Recht der von Bessel mit Hülfe der C rier'scben Reihen gegebenen Außüsung ijewidmet, deren Eis thümlichkeit eben hauptsächlich in der Anwendung dieser i gen und merkwürdigen Reihen auf den speciellen Fall der K sehen Aufgabe liegt, und die deshalb auch in unseren Sui)p{ menten zum mathematischen W Ürterliuc he. Thl. S. aOO. Art. Bestimmtes Integral, von uns entivickeltivtii ist. Vielleicht ist es für den geehrten Herrn Verf. nicht a Interesse, wenn wir ihn darauf aufmerksam zu machen uns «l.^^— hen, dass schon früher in Deutschland eine von ihm nicht gelov zu sein scheinende Dissertation über das Kepler'sche Prob] erschienen ist, die den Titel bat: Kcpleri Problema ce
uecimen academi |
cumina«güralede«olu |
atis Keppleriani |
anctor Combertus P |
Roferodamensis. |
Lugduni-Batavorum |
Is. 1851. 4. |
Coinmenlatio iinam »mpl. Pb. ord. cans. etc. pu-
ilefendet W. H. Detniolilt. Gottingae. 1798. 4.
teilte kann eich aber mit der ftiisgezei ebneten Schritt des
Verls sar nicht mesnen, und ileTseliie wurde für seinen
jck in ihr nur wenljt Ausbeute gefimden hiiben. Allen denen,
khe sich mit der Kepler'scben Aufgabe und deren verschiede-
I AutJ<i$uni;en ausriihrlich bekannt machen trollen, empfehlen
rdie vorliegende Schrift recht sehr zur Beachtung.
Index Lectionum in Lyceo Reein Hosiano Bruns- ensi per aestatem anni MUCCCLII a die XIX A pri Ms tuendarum. Praemiesa est Ur. Laur. Feldtii cnm- atin de Gaussii formula Paschali analytica. Ad- im e^t tiibulae paschalis ab aono 18S0 ueque ad m ^000 suecimen. lirunsbergac. Heyne. 4^.
[in diesem sehr verdienstlichen Prosiramra hat Herr Professor
, dt in Braunsberg einen Beweis der Hegel zurBerechnung des
jerfestes geliefert, die tianss schon im Jahre 1800 im zweiten
.121. der Monatl. Correspon d enz ohne Beweis mit-
. ind eine von ihm berechnete, von 1850 bis 'JUOO reichende,
wrtafel beigefügt, weshalb wir alle, welche an dieser (iaus«ischeii
' " ' ', des Osterfestes das derselben gebührende
[uf diese lesenswerlbe Schrift aufmerksam
rt'ollen vi'ir nur noch, dass Gauss in der
stronomie und verwandte Wissen-
i. 158. eine Berichtigung seiner Regel be-
luf die er durch den verstorbenen Prolessor
iJr. Titlei aus Erlau zuerst aufmerksam gemauht ivorden war.
letzteren Gaussi'schen Aufsatz scheint der geehrte Herr
^ des vorliegenden Programms nicht gekannt zu haben.
Interesse nehmen, ntarhen. Bemerken Zeltschrirt für scbaften. Tbl. 1. bannt gemacht hat.
h Annalen der k. k. Sternwarte in Wien. Nach dem ehi Seiner k. k. apost. Majestät auf öffentliche Ko- leransgegeben von CarJ von Littrow, Director ternwarte u. s. w. Dritter Folge Erster Band. Gedruckt bei Sommer. 1851. 8.
vMit (tiesem Bande beginnt der verdienstvolle Director der Pner Sternwarte, Herr C. von Littrow, die dritte Folge der Isten des nnter seiner Direction stehenden Instituts, tvoliei leich das Format veründert worden ist, indem die Annalen
ehr wie bisher in (juart, und noch früher in Folio, snn-
n jetzt an, nach dem Vorgange anderer ähnlicher Werke, und zeitgemüss in Octav erscheinen, gedruckt auf sehr
I »itaiken Papier mit sehr scharfer und deutlicher Schrift.
Sern froheren Berichten über diese Annalen kennen die ter unserer Zeitschrift das grosse Verdienst, welches Herr C
vou LIttrow okh durcli die nun vollendete Herausgabe PiaxxiWbeii neoliachtiiii<ien erworlien hat. und wvrili^n aiicli mU aen, Anns diescH Wi-rk, indem e», z. It. vnii lleTm I'tilvMor Peters In Küiii^n ber^r bei Meinen b«l(.iini(eii »iciiüneii ArWiivn Über die plxNterne^, als (irundla^e verschiedener nstroiiniiiisrlifr llnterKudiunften benutzt worden ist, der Wleaeiisühü ll vli»" mimclie eihiitie Pnichl gctruKen hat. Durch die Herunac^iliK ilit vnriioaendcn ersten Bandes 3er dritte» Folge dur AimitlvTi iTi'lrM «ich Herr 0. v. Litlrow ein neues JihnliL'beic Verdienst um Wissenschal't, indem er in demselben die erste Hälfte eiues Herrn W. üellxen ans den bekannten Arselan.lerüihen Zi»i ubgeleileten Stcrncutalug» unter dem rulgenden Titel [lublicirf:
Arj^elanders Zonen. Beobachtutißeit vom 45. bied Grade nördlicher Ueclination, in mittleren Pnsttian] für 184-2,0 nat-h gerader Aurstei^unK geordu«< tl Wilhelm Oeltzen, Aasistenten der Wiene •■ Erste Abtheilung (0* bis II*. 34™).
Ueber die Entstehung dieser Arbeit spricht sich Herr C; IM Littroiv in der Vorrede auf folgende Art aus: ,.der ee«eni Band der Annalen, in der vollittändigen Heihe der A>äV.. der l'nlgende, bereit» unter der Presse belindliube, gehen d awi den ersten Argelander'schen Zonen abgeleiteten SW katalog, dessen Anfertigung sich Herr \V. OellzeB zur Ti' oben Aufgabe gesti^llt bat. Als Herr Ueltüen im Spathi 1^0 in <ias PerHoiiul des hiesigen OI)servat'>riunis trat, ' bereits einige Monate isich mit diesem tiegen&taiide ■ Die buchst umsichtige Anlage des Ganzen be^itinirate « ihn zunächst zur Vollendung dieses Tbeila (reiter^r Vm gen, in denen er begriffen ist, /.v errauiifem und ihm ^1 Blkn mir zu Gebote stebeoden Mitteln um so raebr zu^ ., Icnmmen, als damit eine nichtige Vorbereitung fiir dasi. früher von unserer Anstult gefasste und eben angebahnte Vm ben ergänzender Zonenlteobacbt engen geliefert "ird." — Wit' ben diese Worte hier angeluhrt, neil aus denselben sich trfji dass das Verdienst der «irkliiben Anfertigung die Herrn W. Oettaen gebBhrt. Aber auch Herr C. von LI« machte die Austiihrung der Arbeit in verhaltnissmäs^^BA'l Zeit dadurch nir>glicb, dans er Herrn Oeltsen der 7ft(AliiL an den allgomeineii Gescbliflen der Sternivarte entboli, iinÄ'4 die bekannte grosse Liberalittit, mit «etcher der k. fc. 'S^teiM., »che Unterrichtsminisler. Herr Leo Graf von Thun, ExceU<i alle wissenschaftlichen Unternehmungen unterstützt, viii mnglicb, Herrn \V. Oeltzen für die mechanischen Aiisfii noch einen Hülfsarbeiter beizugeben, nxB ein neuer Beweis i»l. die k-k-üsterreichische Stau tsregierung sieh die Fijrderungd'^i Wissenschaften nach allen Seiten und Kichtungen hin an sein iKsst. Ueber die Art der Berechnung, die Kinrirltln den Gebrauch desCataloes enthält einedeniüelbet) vuranu«: ^ehr deutlich verfasste Einleitung allei« Krforderlirhe. sehen sehr, dnsa es dem verdienteu Herrn Berechner und t ansgeber bald geüjigcn möge, duis mathematische und astrotw
KT
Puklicitni mit dem zweiten Tbeile Jieeer verdienstlichen Ar- beschenken, noraa ja auch kein Zweilel nein knnn, da ribe laut der Vorrede eicnoii uuter der Presse ist. Schliees- temerken wir noch, dtiss ca bei derHerauH^ahe diesesNtern- i^s keitieswega die Absicht sein kannte, das treßliche Ori- welches derselbe bearbeitet, gleichsam ?.u verdrängen, son- dern nur dessen Benutzung zu erleichtern und ilbersichlticher zu mncheti, was auch nach unserer (Jeberzeugun^ durch denselben TnHstündig erreicht wird, da der Catalog in niriglicbst lebemligem Zosatnnien hange mit dem urs|irünglichen Werke erhalten H'urdea ■ das man natürlich bei dem Gebrauche des Catalogs immer zugletcB I Kur Hand haben wird. Wir miiseen uns hier leider mit diessW ] kurzen Andeutungen begnügen, und wünschen schüi das verdienstliche Werk recht bald in den Händen aller Astrono- , ntn beßnillich sein und häutig benutzt werden miSge, was jeder tnlls za schiinen Resultaten führen wird. Den zweiten Thel{' werden wir nach seinem Erscheinen sogleich anzeigen.
tdeni I rhei|(J
Vcrmisclitc Schriften-
ISi ticungsherichte der Kaiserlichen Akademie dei. j Wissenschaften zu Wien (S. Literar. Her. Kr. LXVi 8. 847.). ;; '
Jahrgang IS51. VI. Band. 1. Heft. S. 43. Puchet: Nene Methode {ihutographiscbe Bilder auf Glas zn verfertigen. — | >^. ii3. liochleder: Ueber eine bituminöse Substanz. — S. 58^ , Sobrütter: Ueber das Aeqiiivalent des Phosphors. — S. 88/ Magnetische Ueclinationsbeobachtungen vom Bergamte am Dürren- %eN[e. — S. W. Boue: Drei Wasserhosen im Monat August I ifiSS auf dem See von Janina in Albanien.
Jahrgang 1851. VI. Band. 2. Heft. S 149. Burg: ' < her die vom Civil-lnsenieur Kohn angestellten Versuche, den ■ tiilluss wiederholter Torsionen auf den Moleeularzustand des '^c b mied ei seil s auszumitteln. — S. 152. Spitzer: Ueber die geo- metrische Darstellung eines Systems höherer Zahlen gleich uoeen. ~~ 8. ISS. Militzer: Hilfstalelu der Rediiction gemessener Gaa- I ntlnmina auf die Temperatur 0" und den Luftdruck 760""". —i ^fapAÜ6. Doppler: Ueber die Anwendung der Syrene und des
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aktistischon Flugrlldcb«'ns stur Bestimmung des Spanmin^^adw dAr t\'atie)erilüm[>te unil iler omprimirten Lult. — ■ ^ 214. Schril* ter: Uetier die Ue«timmutj[> ileo Aeiiuivalents des Nelens. —
JahTfcang 1851. VI. Band. 3. Heft S. 253. Stamiifer: ComisaigiiHÜericbt über die Einführung genauer AlkobolomelRr. — S. W&. StAmpfer: UeltKr Veraiicbe, welche sich auf die A^ kung der Caftlllarität beKiehen. — {j. '2^. Tfaonias: Beobachtn-
EMI aber ßenisee Erschein utinen, welche sich au deo Kry«tall- iit«eii verschiedener Tfiiere benbacbten laeseu. >— 8- 313. Mo- Uni FaUilä di uo eaperimento di Matteucui.
Jnhrgaug 1851. VI. Baud. 4. lieft. S. 430. Santini: Ueber de» Biela'scheti Cometen. — S. 461, GintI: Der transp«^ table Telegraph für Eiscnbubnzßge.
Jahrgang 1851. VI. Band. K.Heft. S. 554. Bnl lieber eine von ihm erfundene und lusammengestellte Arbeit!- luupe. — S. 555. Stampfer: Ueber einen in der Werkslältc il« k. k. tiolylechni sehen Instituts verfertigten Theodoliten für Mark- scheider, der sieb auch vorzüglich zum Gebrauche auf H-issen- scbaniicben Reihen eignet. — ä. 557. Natterer: Ueber Gaa- Terdichtungsversuchet — >S. 571. Pohl: Cbemisch-physlkali^ctie Notizen. — S. ßOl. Mayer: Ueber das mechanische Aequivaleul der Wärme.
Jahreang 1851. VII. Band. I.Heft. S.S. Kun Uebersichten der Jahres- und Monalsmiltel aus den wahr«iid eines Zeilranmes von 20 Jahren in Lcmbcrg fortgeführten meltn- Tolagischen Beobachtungen. - S. I6Ü. Doppler: lieber Decli- nalionsbeobacbtungen aus iilterer Zeit in Freiberg in Sachsen.— S. 162. Doppler: Ueber den Einlluss der Beilegung auf dieln- tensität der Tüoe.
Jahrgang 1851. VIl. Band. 2. Heft. S. 228. Stampfet: Ueber die am 23. Juli (1851) bevorsteheode Sonne uGnsterniss.
Jahrgang 1851. VII. Band. 3. Heft. 8.386. Freyer; Ansflug auf den Terglnu zur Zeit der 8nnnenßnsterrii«s am 98. Juli d. J. — 8. 389. Haidinger: Das Interferenz-Schachbrett- muster lind die Farbe der Polarisationsbijschel. — S. 407. Inmbus: Die Sonnenlinsterniss am 28. Juli IS.'tl. — S. 411. Singer: Bestimmungen der elektrumotorischen Kraft einer gal- vanischen Kette. — ». 412. Fritsch: Ueber die Temperata^ verhüllnisse und die IVlenge des Niederschlflges in Böhmen. — S. 449. Weisse: Meteorologische BeabachtiinE>en. — S. 453, Boue: lieber die wunderbaren donnerartigen Detonationen, vä- che die heurigen Gewitter und ungeheuren Regengüsse zwiacben
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20. und 26. September zu VQslan mehrmals begleiteteu. — • 464. Briicke: Deber Meyers optischen Versuch. — 8. 455. Ritzer: Zusätze zu seinen' Arbeiten über höhere Gleichungen.
— S. 471. Skuchersky: Die Theorie der Theilungspunkte als «itrag zur Lehre von der freien Perspective.
Jahrgang 1851. VII. Band. 4. und 5. Heft. S. 563.
ou^: Ueber die Nothwendigkeit die Erdbeben und vulcanischen
onMchiiii^ngeD genauer als bis jetzt beobachten zu lassen. —
« 684. Stampfer: Ueber die kleinen Planeten zwischen Mars
nd Jupiter. — S. 756.- Derselbe über denselben Gegenstand.
— S. 776. Boue: Ueber das Erdbeben, welches Mittel-Albanien Kl October d. J. so schrecklich getroffen hat. — S. 801. Kr eil: »«rieht über die Broschüre: Instruction for taking meteorological bservations at the principal foreign stations of the Royal ■ ngiDeers.
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Mittheilungen der naturforschenden Gesellschaft BiBern. Mr. 219-230.
(M. vergl. Literar. Ber. Nr. LXX. S; 893;)
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L. R« Fellenberg, Analyse des Mineralwassers von Blu- MDstein. Nr. 219. und 220.
R Wolf, Simon Lhuilier. Erster Artikel. Nr. 221. bis 223.
C. Brunn er. Chemische Notizen (Darstellung von reinem '" llber aus Chlorsilber. — Ueber Fällung von metallischem Kupfer vd Bereitung von Kupferoxyd). Nr. 225.
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C. Brunn er, Sohn»; über die wichtigste Arbeit, welche wir s der Geologie der Alpen besitzen. Nr. 227. und 228.
R. Wolf, Sonnenflecken-Beobachtungen in der zweiten Hälfte «s Jahres 1851. — Beobachtung der totalen Mondfinsterniss am m. Januar 1852. — Beobachtungen über das Alpenglilheii. Nr. 229. nd 230. ^ *
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Preisaufgaben der kaiserlichen Akademie der Wis! '' schaflen zu Wien.
Was sind Dnirk- iiiid Wärme - Ca paci tat bei Gasen, die ausserhalb der NSbe dei Litjuefaction befinden, fiir FudcUi der Dichte und Teniperalur ?
Termin der Einsendung: 31. December 1852. Pr SOO Uucalen.
(S. Sitzungshe richte der matbematisch-natiiTwiäsenscbafllii Klasfe. 1851. Band VL Heft 5. ä. 683.)
Nene) mSglichst eenaue und umfassende Bestimmung der neteffmaeseu, namenllicb der nicbHgeren Havptplaneten.
Termin der Einsendung: 31- December [SÖ3. Pt 300 Duc&ten.
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