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Zweite Reihe.

Siebenter Teil.

Leipzig:.

C. A. Koch's Verlagsbachhandlang,

1889.

tiy<tii05

• •

VI

borrel (Log. Taf.) Sickenberger (Log. 48t.) Mascart u. Joubert (Elek/r.) Mascart (stat. £1.) Thompson (Elektr.) Everett (ph. Einb.) Weinstein (pb. Massbcst) Urbanitzky (Elektr.) Krieg (Zschr. L) Japan Univ. (J. L 4. IL 1. 2. 3) Canad. Inst. (Proc. V.) Smiths« Inst (Kep. 1884. 1885.) Wasb. Phil. Soc. (Bull. X.) Amsterdam (N. Arch. XIV.) Mittag- Lcffler (A. Math. XL) Fotoni^ (Nat. Zschr. IL). New- comb (Am. J. X.) H. Klein (ReT. VII.)

XXVIL F. A. Matler. (Probl. Contin.) Dedekind (Zahl.). Tait (Eigensch. d. Mat.) Bonn (Strncturf.). Simonj (Molee. Tb.) Hob (Elektr.) Kerschbaum (Quadr. d. Kr.) Lolling (Qo. d. Kr.) Samuda (Qn« d. Hjperb.)

XXVIIL Weissenborn (Gerbert) Wohlwill (Jangius) Bierens de Haan (Banst, z. Gesch. d. Math.) Boncompagni (Ball. XX.) Schubert (Gesch. d. Qa. d. Kr.) Sibiriakoff (Eiern.) Nies (Trig.) Spitz (Plan. — Trig. — Anh.) Weidemann (PlMi.) Lembcke (Ar.) Amsterdam (M. Arch. XV.) Tei- xeira (J. VIII.) Touloos« (Ann. IL) Mansion n Neaberg (Math. VIII.) Bur. d. Long. (Ann. 1889).

Berichtigungen im 7. Teile.

S. 99 Z. 1 Y. u. statt Den setze Der

103 7 V. u. „Wir anternchmcn etc." Die ganze Aus-

fQbmng von 14 Zeilen bis

104 7 V. 0. „a,5 « Oj, n s. w.", welche einen Rechen-

fehler enthält, soll wegfallen, dafür gesetzt werden: Beispielsweise folgt G ganz direct ans ' E und F durch Elimination von o^i.

106 20 y. ob. statt -|-es setze (das 2te mal)

— ez

22 „ „ „ acx „ (aex

23 „ „ „ y» „ y«

Berichtigungen im 6. Teile.

s.

438

Z.

22

V.

n.

statt

aus

M

setze

aus

Af'

440

4

V.

0.

•

»

t»

^

5

V.

n.

f^

o, b.

e

M

aS,

Äiy,

et

441

14

V.

0.

n

»»

W

1»

5

V.

u.

n

F^

»^

Fq

twisehtn den drei seiUnhaibirenden Ecktranaverealen eines Dreieeka, 25

Hiorans folgt, da sich aus den droi seitenhalbirendon Eck trans- versalen eines Dreiecks stets ein Dreieck constmiren lässt, welches dieselben als Seiten enthält, dass zwischen ihnen die Bedingungen bestehen:

Im^ + m^ > mj > i», — «ig »»«+»^*i > »'4 > «»8 — «h W| -f-wig > «»3 > r»i — ms

Trägt man ferner anf den seitenhalbirenden Ecktrausversalen von ihrem Durchschnitte 8 aus nach beiden Seiten hin die Länge der betreffenden Transversale ab, so dass also

SG --= SK = AD 8H ^ SL'T^ CF SJ =- SM= BE

und verbindet die Endpunkte dieser Strecken, so erhält man das Sechseck GHJKLM^ dessen Seiten bezüglich gleich und parallel den drei Transversalen des gegebenen Dreiecks sind. Es ist:

HJ ^ AD = ML QH'^^ BE^ KL MG^ CF ^ JK

Demnach erhält man:

-}

also*

Auf dieselbe Weise ergiebt sich:

^BSC^ iC\JSLK /:SCSA'='i[jLSGM

Durch Addition dieser drei Gleichungen resultirt:

^ABC — I GHJKLM

Nun ist aber, wie man sofort übersieht:

GHJKLM ^^^GSH

und:

A GSH - y#(« - «4) (« -m,) (* — m,)

Hithin folgt:

26 Pabsii Minige Beziehungen zwischen den drei Höhen etc.

(30). . . Ai4i?C=4V#(«-iiH)(«— m,)(«-m8)

wobei 8y wie wir oben festgesetzt haben, die Summe der drei seiten- halbirenden Ecktransversalen des Dreiecks ABC bedeutet.

Uebrigens ergiebt sich aus dem Gesagten eine einfache Con- struction des Dreiecks ABC aus seinen drei seitenhalbirenden Eck- transversalen m^y m^f i»3.

Man constmire ^BSN aus SN = ^m^^ BS— §m,, BN= Jmj, ziehe durch S und N die Parallelen bezüglich zu BN und J35, welche sich in C schneiden, verlängere NS ttber S hinaus um SA B SNy so ist C^ABC das verlangte Dreieck.

Guben, Juli 1885.

Sekifjntr: DU ßmAt Kr^iitdkratiUmßaeke. 63

Ein&cher ist es aber, die asymptotische Ebene mit Benatzang der Geraden U zn constmiren. Man hat dann nnr den Schnittpunkt V der Tangente < in /> an ÜC mit OY nnd den Schnittpunkt h der Parallelen zn G' durch ü' mit Gq zu suchen; {hG) ist die asympto- tische Ebene der Erzeugenden G,

Wie Richtungskegel nnd asymptotische Ebene zur Bestimmung der Asymptoten eines ebenen Schnittes und zur Gonstruction der Strictionslinie der Fläche angewendet werden, ist bekannt

Mit den gewonnnenen Resultaten sind Oberhaupt schon so viele Eigenschaften der flachen Kreisschraubenflache hervorgehoben wor- den, dass sie leicht einer constructiven Behandlung unterzogen werden kann.

()4 Zimmermann: JdetrUeke Relationen am Sehnenpiereek,

VI.

Metrische Relationen am Sehnenviereck,

Von

Herra Dr. Otto Zimmermann.

Es sei ABCD ein Sehnenviereck, in welchem AB^ CD and DC > AD ist. AB und CD mögen sich in P, SC und AD in Q schneiden , die Diagonalen AC und J3Z> in K Setzt man ^B -» a, J3C = &, CD — (?, DA = rf, AC=^f^ BD «= ^ und bezeichnet die Diagonale AC* desjenigen Sehnenvierecks ABC D^ welches aus ABCD durch Yertauschung von b und c entsteht, mit A, so gelten bekannt- lich folgende Gleichungen^):

_ {ac + bd){ad+bc) j (flc+M)(a&+cd)

(aÄ4-crf)(arf + M.

Ä»

ar-j-W

ad ah bc dl

ÄN-j, BN~^-^, ^^=X' O^-h'

J=lV(a+b-{-e — tt)(a+b — e+d)(a — b-\-e-\-d)(-a-\4f^e-\-d)

"-V.

(ah+cdXad+bcXac-^-bd) f,g.h

(a+b+€—d)(a'\'b-c+d){a''b+e+d)(-a+b+c+d) 4J

1) Kanses Geom. 2. Aufl., S. S25 f., Baltzors Elem. d. Math. 4. Buch S. 126 f. und Do stör, Fropridtds nou volles etc. iu Gruncrts Archiv XXXXVIIl S. 245.

66 Zimmermann: Meirüehe Relationen <Mm Sehnenviereck,

(ab), (ad), (ac), {d}, {c}, {&}, \a]

bezeichnet.

1) a. Die Lote von A, B, C, D auf b, c, d, a haben die Werte:

(ad)

Daraus ergiebt sich

Ai : A3 « a : c und Äj : A4 = ft : d oder c = o ^ und d = b z-

"1 "«

durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichung

h^ a(ad)

ergiebt sich

oder

folglich

Äg b(ab) h^ b(hih^)

b =a

.A4 ^»(^ h)

und durch Einsetzen der Werte von &, c und rf in A. ■» 7-7; erhält

man unter Berücksichtigung unsrcr symbolischen Schreibweise, nach der wir ä»(ä,Ä3+AiÄJ+^(M4+''i^'2)+^u(Mi+Ä2A8)- A^Cä^Äj+ä^äJ «{Ai(A,A2)} u. s. w. setzen,

= _g^i(W[(M«)]' 2A,(A^a)[(A,A,)]»

"* V{Äi(A,A,)} {Ä,(A^3)1 {AaCAsAJ} {(Ä4(AA)[ ^ ^

2A,rA8A,)[(Vi3)]» _ 2A3(A,A,)[(A8AJ]«

, c —

2A«(A,Ä,)[(Ä4Ä,)J«

R - ?^i7^^^V(A,A.)(AiA4)[Ai*.[(AiA,)]H-A,Ä«CA,A4)]'

IV*

']

b. Ganz entsprechende Formeln gelten für die von B, C, £), A auf ci, a, ^, c gefällten Lote:

76 Zimmermann: Metrische Relationen am Seknenviereek,

V«!-«*»-«».«** —

(ab)(a€l)ijVabcd

_ (tt|Ug)(ti^tt4)4/l/l^t4tt3tt4

also

4(U,U8) (tiiU4)

9) Die VerbinduDgsIinioQ des Schnittpunktes N der Diagonalen mit den Mitten der vier Seiten sind:

also

und es wird durch diese Substitution

_ 1 /(ah) (ad) ,l/" (hh)(hU)

^-V (ac) " ^ r t,t,(a2^«,-H^«4)

setzt man diesen Wert in die Werte fQr t^ und t^ ein und qaadrirt, so gelangt man zu den beiden Gleichungen

4ti%(«,«,)«,<4) - a%[tMh''+U^-h^4(h^+h?)']+2^^4W+U^) At,t^Htih)(hU - 2a%\(t,^+f,^) -l\[trh(h^+U^)-hU{h^+h^']

ans denen dnrch Elimination von l^ hervorgebt

^^•' ('i'«)(M«)

analog

;a-A,i '«M*i'+«»'') - <.«8(t«'+ ««') + 2«,t,(«,«+ 1,*)

~ * • («,««)(«,«4)

Nnn ist

Zimmtrmmmm: Muriitit Atmlmtu% am Stäatmntrtft.

t t

4^-1 ((,-!_f,«_(»_rf>r ,j_{^/ji_(._^)fj

also

^=> WWWM

10) Die TerbindnDgsliiiieii Ton Q and I' mit den Mitteo von a, b, e, d siad

»1 = .2(;^z:^yi\.{ob)f-^-ii{^f-{^-<^f,

also

T4 = ^-di) VaiW^+^c«*)? -(**-«i»)*

c— 0-» d^4 —

durch Einffthmog dieser Werte in r, and r^ ergeben sich fDr A* die beiden Ansdrflcke

.2 T,»(T.«-T,«)^a»-|-4T.«)

■ 2T,«([(T,T,)]H[(t.t4)P)

2a«T,«([(T,T,)f+[(T.T,)]«)-4t, V(T,« - T4»)«

aus denen folgt , _ 4r,»(r,g-T43)'(2[(T,T,)]H--4(tiT4)]ä+[t,«-t,«l«)

4Tj«(V-t4»)«{2[{r,r,)]«+2[(t,T4)]H-[«.!-3»l"l

"(2[(T,t,)]»+2[(i;t4)r'+[t;ä-t,«ji:v-T4«j)(2[(T,T,)i«

+2[(»,T4)]»- W - V]lT,«-T4«J) . ,-(T,« -T4«)»(g[(T.r,)]H-2[(T.T4)P+[r.«-T,']«) . = *'' {3[(T,T,)]«+l(r,T4m[(T,T,)JH-3L('l'*)l") '

analog

»«=•

92 Zimmermann: Metrische Relationen am Sehnenviereek,

Es ist

und nach (I)

u.a_„2 MM

folglich

A (^4-d)8-(a-c)«

B—(a-fc)2--(6 — rf)2 berücksichtigt man nun, dass

c^a— und d^b--

was sich aas den Oleichnngen fflr die n ohne weiteres ergiebt, so wird

^ 5 («i+^s)* V-^i*(^-^4)2

woraus

Setzt man andererseits

c = o — und rf -» fc — ein in A, so folgt

%"» ( ^t »^2^3 4- ^1^4 j

oder mit Benutzung des eben gefundenen Wertes von t

Nun folgt aus

Ä, —

'» {ab){ad){b 4- d+ Ä) "" 2A

weiter:

110 Miseeüen.

MA^MD'^r-, OE=FG=q; OM=:d, FM=rx.

Im Dreieck ADM ist AD* = MA*+MD*'-2,MD.MG, oder

ilD« = 2r« — 2r.(^±rr) IL

Im Dreieck 0DM ist OD*— OAf«+3fD« + 2.3fD.Jl£f; oder

OD«=:f?«+r«4:2r.a: III.

(Die Doppelzeichen, je nachdem F auf den Radios MD oder anf dessen Verlängerung f&llt.)

Da nach I. AD =^ OD^ so ist nun anch

2r« — 2r(e ±x) = ci«+r«q: 2rx Bonn, Juli 1888. Prof. Dr. R. Caspar.

5. Rednetion einiger Integrale.

/dt —r- -=^ hat man: y^ß+ai'+l

««+«e»+l « («»+/?i« + l)(«*+ft/+<,)(<«+ft<+l) wobei ßißißs die Wurzeln der Gleichung

bezeichnen. Setzt man

so wird

dt tU —

cos s" ^^9

=1 ^

[/(l+|Mng>) (l+|^ing>) (l+^ siny) Da nun

2cos? = Vl+8i»y + yi— sing) so folgt weiter

iU=i

MiteeUen. lU

(/(l+ f sin dp) (i+ |-* sin 9) (1+ 2~ "» v)

Wird non

§ = 1+81119 i? = l — sin

gesetzt, so folgt:

f

-/ -■"

Vcn— «)(^— «i)(^— w«)(^— «s)

Seien is ^9 «h« ^1 Gonstanten, Ober die inr nach Belieben ver- f&gen können, nnd setzen wir

BD wird, da

(2-w,) (2-m,) (2-1115) = -"t?

(2-n,)(2-n,)(2 -«3) = ^^

4J^

Va

_l/ « /" ^/

Wendet man nnn die Substitutionen

'1 — 9i — ^

1 - cosd' ■^ w folgt weiter

112 MiiceUen.

^ Pi —/»a 2

, — ^) hat

man:

t/ y*»+«<*+i

(2t <2« 1

y<» +«<*+! «*

)/0'+,^y-(2-«)

setzt man 7 *** ' ^ ^'^

<2( d(

y«8+o«Hi

i/(''+y'-(2-«)

Sabstituiren wir nun « » tg ^, so folgt weiter

dt 2 dq> sin fp

V/« + ««* +1 ,/,^-r^ 1 A . «6-«

oder wenn

y2 + a|/l + 2 g^^cosV + C08V

008 © = « 2 sn — ■■ P

^ 2-J-a '^ gesetzt wird:

<2t 2da;

yt« + a<* + l y2 + aVl + /3a:«+ar* Die weitere Redactiou liegt an der Hand.

Prag, im Juni 1887. W. L&ska.

/dt /^.— _ 5- gibt Richelot, Grelle XXXII.

p. S13.

114

Sckjerninf/: Flächenacharen 4. Gr. mit 16 sing, Punkterij

(2) Vpo(^l'o+^i2o+^2''o) + VffoC^i'o+^l^O +^2^0

+Vro(Q>o+Q9o+^2''o) = 0

and verweist aaf die glcichbedeatcndc rationale Hesse'sche Form (C. J. 49, 301) :

— 2F,3/,4FljF84— 2-Pi2F34i?i3Fi4 = 0

die für folgende Werte der F mit der Kummer'schen Form über- einstimmt:

(4) F,, = 4po 4- ^1% + ^««"o

F» — -ÖPö+^i9o+-Ö2*'o -^18 "• Q'b+^i5o + ^2''o

und eine Folge der Hesse'schen Determinante

^34

i^24 - r<

1^0 0

(ft)

' 0

21

31

'41

^12

0

-^32 ^42

^13

0

^43

^14

^24

^34 0

0

ftr Fa — /ii ist

In die Form einer solchen symmetrischen Determinante ist also die Gleichung der Lemniskate zn bringen; daza mnss man jedoch ihre Doppeltangentcn kennen (in der Determinante sind Fjj » 0 u. 8. w. Gleichungen von Doppeltangentcn der durch sie repräsen- tirten Curve).

Das Problem der Doppeltangentcn an Cnrven vierten Grades, allgemein noch ungelöst, lässt sich jedoch fQr Curven vom Geschlecht 0, bei denen die Coordinaten sich als rationale Functionen eines Para- meters ausdrücken lassen, behandeln. Bei der Lemniskate sind die Ausdrücke für die Coordinaten:

(6)

X

i«— 1

21

y —

;l«

und die Berührungspunkte der Doppeltangenten lassen sich dann nach einem von Schwering (Mathematische Miscellen, Programm, Coesfeld 1881) angegebenen Verfahren bestimmen.

Auf unsere Form der Lemniskatengleichung angewendet, führt dies Verfahren zu den Gleichungen der folgenden vier Doppel- tangenten

welche durch eine Lemniskate gehen.

115

W

ttc

(7)

1) y- 2-0 3) xi-j-0

W tUJ

2) » + 2=0 4) x-^=0

mit deren Hälfe wir folgende Determinante aufstellen können:

(8)

0	tp ff-	10 "2	w «-2
w	0 &+;	y+2
w "-2	117 »+2	0	— «7
	y+2	— w	0

- 0

welche aasgerechnet unsere Lemniskatengleichong (1) ergiebt.

Vergleichen wir die Glieder dieser Determinante mit den /' ans (5), so können wir ans (4) die Werte der ABC für unseren Fall finden. Es wird

(9) A

1, ^, « 0, ^a « Ü, B 1, i^3 = + 1,

^, «. 0, C « 1, C, — 0, C, = 1

Hier muss ich wieder auf Kummer (Berl. Monatsber. 1864, 255) verweisen. Er führt die elf Grössen ßyda'y'd'a*ß"ö''mn durch die elf Gleichungen ein

A^d

d'+«'

(10)

-4^ -■ md-}-/J -öj «= mi'

At — nÄ+ y Bj — nÄ'+ y' C, = nd"

«V + «"/? - /?y = 0 a"y''\' ß"y - «"/J" - 0

und benutzt zu ihrer Berechnung die Holfsgrösso

y u-f"l «' y'

(11) t. — — ^„ also —^ ^ ; u+1 =- ^,

welche sich ans der kubischen Gleichung

(12)

^'

2ttX , uiB— (u+l)^i,	i^g+ttC
uB'{u+l)A^ , — 2(utl)j8i ,	.Bjj— (u+l)q
,.1,+uC , i^,-(u+i)e,,	2Ci
	8*

-0

ttl> Si'ty «•-•»' iu: ä'^UakumKOianm -1. Gr. wut 16 sing. Ihinkten,

iinieu .äs«. I?ie$e knA^&e Gleichang führt uns bei unseren Werten

-,-0

-, = -2

ttt jiltic^fflbOiaeQ führt ein jeder Wert von n zu zwei Werten vfec iuiExät sö^ Gleichungen (10) definirten 11 Grössen, und es er- ^{Krü «eil 4tts den drei Werten von u die sechs verschiedenen V*iJici)ic«r5cfiiJÄnMi. in unserem Fall liefert der Wert m = 0 nur *ÖK<t Wort der 11 Grössen, zb. m = n = 0 und für einzelne der 4k iw jr^ ^ sofort unendliche Werte; dieser Fall soll einer späteren K^SViWorou Botrachtung vorbehalten bleiben. Von den vier noch itV^ifii Schaarou von Flächen fallen ferner je zwei zusammen. Also :

Is ^^Von den sechs verschiedenen Schaaren von Flächen vierten ^Griüh^ mit sechszehu singulären Punkten, welche durch eine Lem- ^tttök;!!^' bindurohgchon, fallen je zwei zusammen.^^

:i. >fKiuo dieser drei Schaaren besitzt zum Teil unendliche Coef-

IVr Wert w — — 2 liefert uns für die 11 Grössen aus (10) Mj^Huk» Ausdrücke:

«♦ = — 1 Jt » n «= 1 i t

ß — '-'i±i y = i±» ^ = —1

Mu UW«^u Wt^eu wird die verlangte Flächengleichung

+ l/r(a"p+r^5^) = 0

%v^ü ttoch

^k*>

^^ IIWt^HftW t'ÄUo

q — «0 + *^

* = Po+^'HZo + wro + eis

V

= — ir + o«

w

(K)

124 Schjerning: Flächtnuharen 4. Gr. mit 16 aing, Punkten,

Tabollo der singalärcn Punkte.

Nr.

1

2

Aus der Schnitt- liuie der Ebenen.

4 5

7 8

10 11 12

13 14

15

16

Nr.

Anfangs- punkt.

7,8 6,8

6,7 9,13

1,6

1,7 1,8

1,9 6,13

7,13

8,13

1,13 6,9

7,9

8,9 Ebenen.

2a+2^~2g 'da-fb

2c

^2(1 3a-fÄ

2ai+2bi+2il

_1_ 3a+&

1 " a+Sb

a+3b I a+3b

unendlich ferner Kreispunkt I der xy ebene. —a—b+a£+bi''2c — a— ^r+ai+Äi— 2^, 1

a -b+2ai+2bi a-b+2al+2b£

—a—b+al+bi^2c\ a+b—ai'-bi-2d a—b^2ai+2bi a- -'b+2ai-\-2bi

a-\-b — ai - bi — 2c - a—b'\-ai-\'bi — 2d a— i+2a/-f2Ä7

a^b^-ai+bi^-2c ~ ci^b—2ai''2bi

— a — b — ai — bi — 2c

a - b-\'2ai'\-2bi 1

a— Ä— 2a*— 26* —a — b — ai — 6*— 2(?

a — b — 2ai — 2bi

a - b^2ai—2bi a-^-h — ai — bi — 2c a— Ä+2a*-f26r —2c

—2a- 26— 2c 3a+6

2c

a 'b-\-2ai-\-'lbi — a — b — ai — bi - 2(1

a—b - 2ai—2bi

o+6+qi+6*— 2<^ a — b — 2ai — 2bi

m

— a —b — ai — bi — 2r/

a — b — 2ai — 2bi a+ÄH-a*+6*— 2J

a— 6+2a*4-2W 1

a— 6-f2a*4-2W 1

a'-b—2ai—2bi 1

a — b — 2ai — 26* 1

a — 6 — 2rt» — 26* 1

a ^6- 2«*— 26* |a— 6— 2a*— 26i a-4-6 — ai — bi — 2d

a— 6+2a*-f-26*

— 2d 0-6

— 2rf

a + 36

— QC*

3a+6

— 2at— 26H-2d a+36

00

a -6+2a*-f 26*

_1_ a — 6

1

3a +6

1_

a+36

unendlich femer Kreispunkt J der xy ebene.

X

I

welche durch eine Lemniakate gehen, 127

sch in einem Punkte schneiden, während das hei den Systemen der ttrigen Gruppen nicht der Fall ist Wir erhalten also 24 Kern- pankte und den Satz:

8a. ,^u8ser 16 mal zu je 6 in den 16 singulären Punkten der „Flächen schneiden sich die 16 singulären Ebenen noch 24 mal zu „je 4 in 24 anderen Punkten, den 24 Kernpunkten der Flächen/'

Die Coordinaten der Kernpunkte, die wir mit «f, Z', /, d,* «i n. B. f. bezeichnen, sind folgende:

-_2c --2d 1

Gruppe Ai (1, 2, 13, 14) « « = ^^_^^ y - 3^^ .- 3^

(3, 4, 15, 16) ß Im Unendlichen. Richtung der y axe.

/*; ß Q ^(^^ 20+26+2^ 2d

(5,6,9,10) y ^ -^^- y = 3M^

1_

^ '^ a +3b

(7 ft 11 19^ A . ~2a-26+2ü • 2d

(7, 8, 11, 12) d X -^:^f^ y - ^^-^

__ 1

a-{-3b

G™«. B: <,, 4. », 8, .. . = "£^*t J

— g ~&— ai >-6<— 2cZ 1

^ "" a— 6-f-2a/+26* ^ "* a— 6+207+26»'

(10, 11, 14, 15) A :r = ^-^^ y - -^ -—

(2, 3, 6, 7) y, « = g y - i , - 0

<»■ ". '». •«' '. ' - =£jÖ^^

— 6-[-a/-|-Ä/-.2if

2

"^ a— 6 -2a/— 26» a— 6— 2a» -26»

Groppe (7: (i, 3, 13, 15) a, ^ = - ^"^ ^"^ ^

y — .1 o, a

a-f 3// ^ a-f36 * a+36

(2, 4, 14, 16) ßf Im Unendlichen. Richtung der x axe.

128 Sehjerning: Fläckmueharen 4. Gr. mü 16 sing. PumkUm,

—2c 2af-f-2W— 2d (6, 7, 9, 11) y, X -3i:p^ V 3a+6

1

— 2<? — 2a»-2W— 2d (6, 8, 10, 12) d, r - 3^^ y = 3^^-^

1 '"" 3a + b

Gruppe 7f : (1, 4, 9, 12) «s « - 7!7f2a;+2W

ai6fot|-/n-2d 1

y '^ a— Af2a»+2^>» * " a— fc+2a»+2ii

.« « .^ ..X /» ai+6»— 2<? — a—*— 2d

(2,3,10,11) ft «»-^T- y=— ^Ä—

1

a— 6

(6, 7, 14, 15) Ys ^ = - ^ y ^ * « - 0

(5, 8, 13, 16) ö^ x^ a^b^2ai^2bi

y a— 6— 2a»— 2Äe a— 6— 2a»-.2«

GrappeJr: (1,6,11,16) «, »° a-l.-2ai-Vbi

a+A — a» — bi — 2rf

y ^ ^ I. o^' oA.« '

a— 6— 2a*— 2W * "" a-Ä— 2a»-26i

(2,5,12,15) /?4 x = ^^3^ y = ^^^^^

1

a-6 (3,8, 9,14) 74 «=^ y i » = 0

/'^ 7 in ION A* a-|-6faH6t~2g

(4,7,10,13) ^4 ^ = ««/,+2a,-+2W

q4-ft4-o*+^'— 2<i 1

y "" a— 6+2ai+2W * "^ a— 6+2a.-+2^

Ig4 Cguber: Die aphärmke Ouhm vkrUr Or^mmg €te.

An der Cnrre mit einem Knotenpunkt sind die beiden in ü.^) unterschiedenen Fälle mit dem Falle m. a) yereinigt ; an der Cure mit isolirtem Doppelpunkt erscheint der Fall IT. fs) zweimal ver- bunden mit III. b); an der Curve mit Rflckkehrpnnkt ist 11. g) mit III. c) combinirt.

„Mit dorn Auftreten von zwei Doppelpunkten zerf&Ut die Gurre „in zwei Kreise. So lange die Doppelpunkte imaginär oder reell „und verschieden sind, gibt es zwei Kegel zweiter Ordnung, welche „durch beide Kreise gehen; sind sie reell und znsammen&llend , so „verschwindet einer der beiden Kegel; in dem Falle endlich, wo einer der Kreise sich auf einen Punkt zusammenzieht und welcher sowol als specielle Form der Curve mit isolirtem Doppelpunkt als „der Curve mit zwei imaginären Doppelpunkten angesehen werden „kann, verschwinden beide Kegel^ (in dem einen) „oder sie fallen zusammen^^ (in dem andern Sinne).

Bei zwei Kreisen mit reellen Schnittpunkten tritt der Fall II. h] (reelle Berührung) zweimal auf; bei zwei Kreisen mit imaginären Schnittpunkten ist der Fall II. h) (ideelle Berflhmng) mit dem letzten Sonderfall von I. verbunden; zwei Kreisen endlich, wovon der eine ein NullkreiSy entspricht der Sonderfall von III. b).

9»

166

Hoppe: ^Dickte der Sehmen von FUkA^m und ehernem GirveM,

Billt9^

(2)

Sei O Anfang der xyz nnd fiOr poaitiYe q X « pcos^cosg); y -» pcos^sin^; dann hat die Polargleicbnng von F die Form

Q = P(^, 9>) Gegenpunkte aaf F mögen die Endpunkte einer Sehne heissen, die durch O geht. Man erhält den Gegenpunkt Po des Punktes P| dessen Goordinaten (2) sind, durch Substitution von — «^ fOr ^ and q>-\-2R für <p. Setzt man also

Po-p(-^t 9 + 2R) so werden die Goordinaten von Pq

xq «- — ^o<^os^cos9>; yo = — pocos^siny; 9^ ■=» — p^sii^^

Beschreibt man einen Kegel, dessen Spitze in P, und der K berührt, so begrenzt dieser auf F das Stück (F)o entsprechend dem Punkte P. Lässt man den Kegel von zwei zu PPq in O und P^ normalen Ebenen schneiden, so ist erstere Schnittfläche (mit Ver- nachlässigung Unendlichkleiner höherer Ordnung) = 2Re', daher letzterer

= 2IU« {^y

Dieser ist als Projection von (P)o

— (P)o cos Quo

wo »o den Winkel zwischen der Sehne und der Flächennormaie be- zeichnet Führt man den hieraus fliessenden Wert von (F)q in Gl. (1) ein, so kommt:

9 + Qo

- -f/m'

d*F

COSI»o

Bezeichnen p, q, r die Richtangscosinns der Fl&cbennonnale in 1\ 80 ist

P«

dq)

Bz_ B<p

	dz dz		dx Bx
; 2*-	dx Bx Bd- Bq>	; W«	B& ^ cy 8y B^t Bgf

Die Quadratsamme gibt:

= {'"+(ii)'}{'-'»+a)l-(ll)'

(3)

Hoppt: DidU€ der Sekmem vom FUeken umd tbtmitn Cmrvtm. lg?

Ferner ist in P

cos CO — ' ^

	I	ar	St
	X	h»	Ofp
1		?r	9»
^	9	h»	99
		a>	&
	z	d»	89

i coB&cosfp — sin^cos^ — cos^sin^ i ^ I cos^sin^ — sin^sin^ cos^^cot^ j sin«^ cosO 0

« .

= --'^C08^ (4)

Macht man von beiden Resultaten Anwendung anf Pq, so ist nnr i^ fttr t nnd Po ^ P zn schreiben. Bekanntlich ist

and zwar mflssen hier, wo O ein innerer Pnnkt ist, ^ nnd 9 alle Richtungen dorchlaofen, d. h. 7 von 0 bis 4R, & von — R bis R varüren. Nach Einsetzung der erhaltenen Werte findet man:

P+PoV^)3^3v

oder

(5)

-B 0

X |/^-+ (&)■+ (äj^J («)

§. 2. Dichte der Sehnen einer ebenen Curve

in einem Punkte.

Die vorstehende Untersuchung ändert sich nur wenig, wenn an die Stelle der Fläche F die geschlossene convexe ebene Curve 8 tritt, welche den Punkt O, Mittelpunkt des Kreises K vom Radius i und Anfang der xy^ umschliesst Sei für den Curvenpunkt P

X ^ QCOBfp] y*— psing)

und die Polargleichung der Curve

9 = 9(9) mithin die Coordinaten des Oegenpunkts Po

170 Hoppe: Dickte der Sehnen von Fiä^n und obeme» CWrvea.

constant ist, innerhalb des letztern vom Mittelpankt nach dem Kiöh hin beständig und ins nnendliche wächst

§. 5. Secantendichte in einem änssern Punkte.

Ist O ein äusserer Punkt, so hat nur Qo die umgekehrte Lsge, in den Formeln (G) (8) tritt also p - ^ an die Stelle von p+ftos doch ist in beiden Fällen die Länge der Sehne dafOr zu setzen. Allein dies hat die wcittro Folge, dass der Radinsvector diesdbes Richtungen (9, (p) zweimal durchläuft, erst fQr p ^ pov <^a ^ P <C Po 1 ^^^ sich demgemäss die Fläche F durch eine Linie p » (o? oder die Curve S durch 2 Punkte g ^ Qo in 2 Teile teilt, deren jeder für sich die den Secanten entsprechenden d- and g> vollständig ergibt. Hiernach bestimmt die Gleichung p -» Po ^^^^ Grenze der Integrale nach & und gp, und zwar genügt es dieselbe nur von der einen Seite (q > Qq) aus zu erreichen, damit die Integrale (6) (8) das einfache D darstellen.

Um eine einheitliche Form der Integrale zu gewinnen, braucht man nur eine Secante zur zAxe in §. 1., resp. zur yAxe in $. 2. za nehmen, erst nach & von — R bis ^, (bestimmt durch q -» ^q), dann nach (p von 0 bis 4R in §. 1 . resp. nach g> von einem Werte q=q^ bis zum andern im §. 2. zu integriren.

Für eine Kugel wird p =-= Po? wenn Vi— ä*cos*^ — 0 ist, da- her hat man:

cos ^1 = . i sin ^j « — 1/ 1 — , j

*i 4R

/^ «4 ßcos&d» / dg>^ 16 R (l — |/l — j[,^

-R 0*

Dies geht stetig in den Wert IGR für innem Punkt über, wenn h bis 1 abnimmt, nimmt aber beständig ab und verschwindet, wenn h ins unendliche wächst.

Für einen Kreis wird q = qq^ wenn Vi —ä^cob*^ = U ist. Setzt man den einen genügenden Wert 9 = R — ^1, so wird der andre q> = R-{- tp^ , und man hat :

1 smg), = ^

^„2 r—--=t==- -2 /' ^y --

J 1/1 — Ä^cos«^ J Vi — Ä»sin»()P

i/' gg—

<P

176 Bofp»! DiekU dtr rSdU« von FIMcktm mmd afccM« Cmmm.

(24)

daher nach 61. (23) und nach Analogie

Beides durch einander dividirt gibt, mit Beachtung, dasa nach GL (22) die Summe der Z&hlar — 0 ist:

Sei jetzt P mit den Coordinaten ary« ein innerer Punkt des Drä- ccks B^A^C^^^ Pq mit den Coordinaten Ar^y^ der Oegenpunkt, wel- cher innerhalb B^A^C^^ liegen muss. Wir ziehen die TransYersale B^PQ^ wo Q mit den Coordinaten r'y'i* auf i49ils liegt Dann ist:

x*-=ar, +(ac8— asj)«

« = aC|' + {x* — «i)v woraus:

x = fw^i+Ca-g — fiXj)t7 + («3— «,)f*ü (25)

Damit das so bestimmte /' das Dreieck B^A^Cf^ = j erzeugt, hat 14 von 0 bis n und v von 0 bis 1 zu variiren.

Zur Berechnung des Flächenelementes tSudv hat man:

"-[©*+ ■■•][©"+-j-(^i+-)"

und findet:

« — y/„_m*» (26)

wo

m= (art — ^iri)(irj— ir,)+...

gesetzt ist.

Der Oegenpunkt Pq wird bestimmt durch

		X		— X
Us-	-a-i	«4— *1	Aoj+x, 1	«0

Dies gibt:

I a?» «4 «1 1 — — «a — — i I 'a — *! 2:4 — aP| f*ar, (l — v)+r^(l - u)v-\'X^uv | — il{a,fi(l — ») — (a— a,)(l— tt)t? + Ojt«r|

(27)

B9pp§: Dickte der Sehmen com F,iehen und eb^men Ctirvmt.

177

A-

- (1 — tt)t;— f*(l — r) — t; ^1

Deonacb ist die Sehnendichte

1 n

./ J cos Wo

Die Richtangscoainns Ton PP^ sind:

Z Jf z

"■» ~ »

9 9 Q

<Üe der Normale der Ebene A^A^A^ sind constant und verhalten sich vie die Cocfficienten von a-Q, ^oi *o iu der Gleichung

I «'s-»! ^A-^i ^0 -a-i I — 0 deren Qoadratsumme

**-[(*4-^i)*+...l[(^4-^i)*+.-.]-[(^s-^i)('4-ar,) +...]»

iit Daher hat man:

COSiCo — ^ I ar,— ari «4 — ^1 « |

das ist nach GL (27)

COStTo

ghl

nsd die Dichte der Sehnen der ganzen Tetraederflächo in O ist

1

n

D— £^ VlH-m* /'vdv I pil(l+X)«aM

(28)

^eSomme erstreckt sich über die 12 Pare zugeordneter Elementar- ^'eiecite der OberflÄche.

Hier ist Setzt man

Xj =r #, ^« + 2(#, , — *i |i) ^t; + (*, — 2*„ ^ + «1 ^«) f »*

-Wi" «13 — *lf+(*«S — «i — «18 + «J2)«^ ^, = «i— 2#„+#8

^^. 1 Hfttk. 1« FliTt. S. Seih«, T. VII. 1 S

178 H»ppt: Dickte der Sehnen vön Flächen und ebenen Curven.

80 wird

p2 — Zri + 2iW;ut; + iVif«V — N^[(uv'\'M)*'{-L]

Sei nun woraas

ferner

H^v+M+a^^^'^^^'' ^; G^ = L + H*

dann wird 2a, a a Ö* - (a -	-H)*
ond 61. (28) laatet nan :
1 n 1 r* r* ( <	>n^

D - l,zm Vi. — "A /■ {• + ^ o--°.-H^} 'x

i'+l)

da

Führt man die Integration nach o aas, so erhält man:

n

0

wo U die rationale Function von a

^ a "*"i+2ira -<i»"^(X+2//tf— tf«)«

und die V folgende 6 rationale Functionen von v sind:

Die Grenzen von

Hoppe: Dieka dtr tSeknen von Flickon und ebenen Cmrven. 179

tf — «»+ M^ ■/(«» + 3/)«+/.

siod:

Beide irrationale Qnadratworzeln ans Functionen 2. Grades von v lassen sich einieln rational machen , da sie in gesonderten Termen TorikOmmcD. Daher besteht das unbestimmte Integral aus rationalen FiDctioDen von v und je einer jener Quadratwurzeln, ans Logarith- BH^o solcher und aus Functionen von der Form

/ V »««(»

±»)

für welche Ix>gendre Tafeln berechnet hat.

)«♦

IgO GatrtHtri DU /V/arm der olptbraiMckem Ouvem,

XI.

Die Polaren der algebraischen Curven

Von

Rudolf Gaertner.

I. Die geraden Polaren.

§ 1. Logt man durch einen Pol eine Gerade nnd betrachtet den Pol als Nollpuukt derselben, so wird jeder Ponkt der Polgcraden durch seine Polfernc und deren positive oder negative Richtung be- stimmt.

A. Ist ein Punkt der Polgeraden durch seine Polferne r, ge- geben, während in Bezug auf denselben die Lage eines anderen Punktes bestimmt werden soll, so muss dessen Polferne g durch die gegebene Polforne r| ausgedrückt werden. Dies geschieht durch die Gleichung

worin k jede numerische Grösse zwischen 0 nnd ± od bedeutet. Wir sind gewohn die Gleichung

? - k

SO ZU deuten, dass k diejenige Zahl ist, welche angicbt wie oft r, in ß enthalten ist und nennen diese Operation dividiren, d. h. teilen. Diese Teilung wird sich auf der Polgeraden durch die Abst&nde der Punkte sichtbar kennzeichnen.

Wir nennen

^-^k

»•i

eine Teilung nach erster Ordnung.

212 Ehmmmt Dm ^bmm wni dk ylWirilw

JVsSsiinVi^ (6)

Dieter Wert ist nntbliftiigig Tom Badiiu dee ÜBststehenden Ktoml

In ^ COE iit

t:b = 8iii(90>— VfO) : nn OEC

in welcher Formel WkL AOCssip iit, nnd i und ^ die PoIaraM»^ dinaten der Normale sind. Die Oleichnng wird also

tcoB(?^e-^)-5coBVte In einem anderen Punkte der Epii^Uoide ist

/C08 (~^^'- *) - &co8M,e'

Den Schnittpunkt der beiden Normalen findet man, indem man i und if bestimmt.

&co8V,e ^cosVae*

oder

sec * ',Bco8 — gT— B — sec V«B cos <» 8*

secVjBsin— ~— e— secVi^Bin— 2^ 8

Um den Krammungsmittelponkt zu finden, lassen wir die beiden Punkte sich nahern die Epicy kleide entlang, so wird

also

«» - ».co.»v,e«ec«(?^*e_^) =«.cos''V.e(n-(^,tgV^)

oder

'* - (27+1?+ -(2h:&" «"• V.e

226 BigUr: Btimtial «Mcr ell^ptiMckem Wahß,

Z — Ä

und zeigt, da — — pos. ist, dass t sinkt, während h steigt; also Ich betrachte nan h als Function von ( and erhalte

Mao denke sich ein rechtwinkliges Coordinatensygtem Fig. 21. Auf der Abscissenaxe werden die u und auf der Ordinatenaxe die ( abgetragen. Die dritte ränmlichc Coordinate im Pankto (/, u) stelle den Wert des Integranden dar; die Integration nach u erstreckt sich

über einen unendlich schmalen Streifen FG, der im Punkte F anf der Ualbiruagslinio des rechten Winkels beginnt und sich bis in den Horizont erstreckt. Die Integration nach t summirt alle diese Streifen von < » /!} bis ^ » /q) a1s(> ^'on .1 bis fi. Das Doppelintegral dehnt sich also über das Trapez ADKB aus. Zum Zwecke der Umkehrung der Folge der Integration teile ich dieses Trapez in zwei Teile ein. Der erste Teil umfasst das Dreieck ABC und der zweite das Recht- eck BCDE. Intcgriren wir zuerst nach t, so läuft diese Variable im ersten Teile von t^ bis u und im zweiten von t^ bis <oi während die Variable u im ersten Teile von i^ bis t^ und im zweiten von ^ bis 4- OD läuft. Es ist demnach

K= ^i^/AB [f[f iv . (- 1) rf* ) . '^

00 to

r

c

Das erste innere Integral ist / Wdh^ wenn als untere Grenze

Äq derjenige Wert von h genommen wird, für welchen W verschwindet, der also durch die Gleichung

bestimmt wird. Man setze nun

232 BigUr: Pitientkd eimer ^l^piiackm WaiM,

gebt aber nie dnrcb 0 ond kehrt daher, wenn s in seinem eotgegei- gobouten Werte angelangt ist, anf denselben Wert zorQck. Mu bat also

(Weg wie oben)

folglich

F(r) + F(— ») — 2 VAB nL{9)

also

F(0) — ^AB jri W

"9) 9 < 0, d. h. der Punkt (x, y, 0) liegt innerhalb der Ellipse.

Wenn s von einem pos. Werte anf nnll herabsinkt, so sinkt ( anf 0 und t\ t" steigen resp. zu #, J' auf. Der Integrationsweg der

Gleichung

(Weg eine rechtl. Schlinge ans dem Ostp. um t allein) ist zuletst nicht mehr im Stande zwischen 0 und i hindurchzugehen. Bfan er- weitere ihn daher zu einer Schlinge, welche die Realitätsl. nur ein- mal, nämlich zwischen s und 0, durchschreitet und während der ganzen Zeit, wo :: abnehmend durch 0 hindurch geht, fest bleibt, und addire zum neuen Integrale dasjenige l&ngs eines kleinen rfickläufigen Kreises um U allein. Dieses Integral um 0 soll berechnet werden. W ist zwischen Ü und t südlich lateral, kann also durch

— 1- — -- — — dargestellt werden. Von

kommt nur der Torrn - in Betracht „., . wird

'•^(0) '^'~, - .X(0) oder einfacher

zL(n) izL (h)

|/"*+"Gii+ Ä-ö

wird iX(0) und gibt mit - multipl. und integrirt 2?rX(Ü);

23Ö BifUr: Ptumimi mmtr M^dmkm Wmhe.

Weil » bei t beginnt, und beide j ud i tod gleicher Ordning

s

+ tf* sind, 8o sind im Aifiige wewi^steu m und « tob dendki

Oninnng; man kann daher j;^ »cfct entwickeln.

yiA+mHB+m)

Man kann anch -;-— — nicht entwickeil. weil « bei t b^innt. D^

Vu—t

gegen ist

.'+:')*('+.")'-('+«.^-»5+-) (•+*!-»'+-)

-1+ 2u ~ SU« '^~

(• -0~'(' -0"'- (' + 1 :+l^'+->0+ Iv +1?'-)

Wyu y^„_«)t ^»^ ^ ^ -r ' ^

luucriuüb «1er Klammer { | bezeichne man den Coeffidenten von -, :iiit k T, «lauu ist

^ - +1 t'+r+A+B ,"+A+B

•i V " ^^i -»)>(«»— ö ' « (u — «) Vc« — 0 »'.y (« — 0

T

m'(m — «)y(tt — 0

u'V(« — t)

. _^ .10 vurkoiumenden Integranden westlich von t nnr in « und

. uud ^war rational unstetig werden, so kann man den

- von uull schiiessen. Wenn die Schlinge um t recht-

^ u >M— ^ westlich von t in der Realitätslinie sadlich

^ .^ . . „^ uud die geschlossene Carvo um 0 und 9 wird

«. -^ -erfl^t in ttnen kleinen Kreis um null allein und

'■'^t '^'^ " .. uTAun b^e Pole vorkommen. Dw

*i "*■

ilie», »«»»

bnde Pole vorkommen. Die Verwand-

244 BigUr: Föintiai tmer MpÜMckm Wahe.

dF(z) 2nVAB V(B+$) VaB P "/(^T"»! -P'*

• «

^ a-bJ "•

(Weg eine rechtl. Schlinge aas dem Ostp. allein um t and #)

aF(g) 2TyZg i A-^cB jlB r VuH-<») _/^jAl

IWeg wie bei -^ j

Weil nan diese Integrale ohne den Factor % auch f&r ^ = 0 oder i ^ B einen endlichen Wert behalten, so folgt aas diesen Aus- drücken, dass

8F(0) ^tilB y(Jg+*) 8i^(0) 2jrVAB VcZ+^

Sx - ^-B ''Y(T+:i)' 3y " A^B ^VoS+T)

8^0) . ,/-rs n^.„ _ n,A7i; r VP

72

iAB f%äu - ^^fÄBf-f^^äu

Die letzten Ausdrücke für ~^-~ wnd — g — erhält man anch ans

der Formel

jr(0) ^niABL{B)

Liegt der Punkt (a;, y, 0) innerhalb der Grundellipse, so ist B neg.; nähert sich nun % dem Werte 0, so sinkt % auch auf 0 herab, und der Integrationsweg kann in diesem Falle nicht mehr zwischen i und 0 hindurch. Man schalte deshalb in die Schlinge einen kleinen rechtl. Kreis um 0 ein und subtrahire von dem neuen Integrale den Wert längs dieses Kreises. W ist zwischen 0 und «

südlich lateral, kann also durch — > \ ^ ^ A^-^,-' dargestellt werden. Von

P 1 , 1 , 1 1 1

u^ u — « '^u— «" -4-}-tt B-^-u

kommt nur der Term - in Betracht Man erhält

y AB n y(Ä+tt) p' , ■

— JZIbJ ^^ Vn^rl ' PlVVu ^^ ^^^ ®^° kleiner rechti. Kreis

^Bx um null) — aZJb* 'olglich ist auch

248 Big! er: Potential einer eüiptuchen Wake,

e) Darstellung der ersteu Abgeleiteten der Function F(z) dia elliptische Integrale.

Wenn

also

D wenn ferner

also

dann sind für ein pos. z die Abgeleiteten

00

2yAß /

00

dF(z) 2^ AB P^{A+u) %P'du

F(») 2yAB r dy '^A^B'^J

J ii^:^) Fwvu

du

'tiÄsfl

Bz

t

Ans den zwei Gleichungen

g* . y' _ . g* . y* . g* _ 1

J^"*"^.+ * "" ^' A+ t'^B+t'^T "" ^ ergibt sich durch Subtraction die Gleichung

/ x^ y^ ^ ^*

ebenso hat man

(je 1/ \ Ä

Weil nun a;^ ^^ s^ überall durch pos. Werte dividirt sind, so s! auch « - «, s-t'j «"- <" pos. Man hat daher

BigUr: Potential einer elliptischen Walte. 249

t> s> «'> — 5> «"> <"> -A ■pt ^

(H-ftt)- p- ist rational, -^- ist das Differential eines elliptischen

Integrals erster Art. Man bringe zunächst dieses anf die Normal- form. Weil

u t

nnd weil ; — -i von 0 an alle pos. Werte durchl&nft, so kann man nnter Annahme eines nördlich lateralen Argumentes v, das von 0

nach L geht , als algebraischen Modul k = . — setzen. (Diese

Wahl des Moduls gewährt nämlich in der Nachbarschaft der Grund- ollipsc, wo die grössten Schwierigkeiten auftreten, den Vorteil, dass er sehr klein ist.)

und weil also 80 ist

also

du— —2{t—'t')SvCvDvdv zdu 2z dv

OD

/zdu_ R ""

22(

Ä y(e — o

wenn Z — tX

^Fjz) 2^ AB p(^ . B + 8 . B . B+s" , A--B\ du

t

BF(z) 2VÄB /"A , d±f_L^ , ritil' ii— ^\ du

Man hat also nur fünf voUständigo elliptische Integrale dritter Art zu berechnen.

250 BigUr: Potential giner eüiptifchen Walte.

00

Beredmung von / —^;;^ • p- .

Weil u— « — «—«-(/— 05*0 und <— « < /— f < <— t", ist es passend u— « « (t^t')lS*a — S^) zu setzen; dann sind

•/(«-«•) Vc-o y(«-n

alle drei pos. nnd 0 <C « <C ^•

T * I 2« 1 /» d«

Anf dieses Int^ral wende man die bekannte Formel

/Sa Ca Da dx n na

0

an.

(t-t')V(.t-n

and weil

(i4+»)(B+«)« ""^ il + « 5 + « #"" * 80 ist

y'(t -«)(.- <•)(«-<") - « yM+«)(-B+«) somit

(«_t')V(t— <") also

L

2 pSaCttDtt de

Integral - :^====.^y Sii^i^'T

oder also auch

1 ( na \

Integral— ^. . - — [n—^'-2K'Za]

Wenn «'— JT— «, also Sa' «- ^. „ t so ist

252 BifUr: PoUntml miw JiqiHwekM Wabe.

Auf dieses lotcgral wenden wir die Formel

L

PSiy.Diy P^ dv fSJr.Diy Ziy\ »y

,/ iCiy D^iy-k^CHySh)' i'^^ \ iCiy "" i) 2K

0

an. Weil

i Ciy,Diy i — r (t'-^f) V(t—^') ^ V(t—n(t-*')

so ist

2z iCiy.Diy 2s

2

also

2iSr'a 1 /»y , ^_ Ziy\

00

du

/l dti

Weil

und -4 + / > <— «", 80 kann man setzen, wo

«->^*r-£, cd=^iii^, D^-^i^, o<*<ir

Wir wenden nun auf nuser Integral dio Formel

L

/' Co Da dx Ca Da ^ i »JL* _L r 7

au. Weil

t<i>J y(/i4-<')ÜH-«") ~ 'Vä(a—b)

$0 i»l

Bigler: Potential einer elUptiaehen Wahce^ 253

Integral \^', , + , ^ (-«+^+2«-'^)

Wenn 3' — fc — ä, also

y(^ + «') so ist

also

Integral =

(^+ <') VO- 1") a;y^(^ — ^)

CD

T> ,_ /* 1 dl«

Berechnung von # -«tt • ^

WeU /— <"> JB+< > «— *', 80 liegt, wenn

B+u ^ (B+t){l- ii^S^aS^) der Parameter a zwischen K und K-\-L. Nun ist

iSa — , -, Ca = — » — , — , Da =» -7===

Setzt man a « 'S'4~*^ wo 0 < e < K\ so ist

'"+» - ^*~?-^'"^'^ (D»it-k*C*itS*v) nnd

2 «'— t" /» dp

Integral - r • —-——-^J j^^^_y, ^'it sh,

"Weil "

*^ V(B+t) ■ (« - «")?

80 ist auch

Bigler: Potential einer elliptischen WdUe» 255

VA

:-^)J

) 2VABy r fVU+s) , VA\ , n f V^-H VA. hy-- Ä^B r\yiB+^)^VB)+K\'yB+i'''^VBP

^ \ yB+s VB *' y-^B^s" »

yA'-B M ZiB'

dF(z)

lz

oder

, yA—B M Z»£\] ^-yB-'y' i )\

ot/ — r 2jr' / g» y« \ ffg ^^^ I VcT^ö V" ^+<' ■" B+/'; - yjB

'^K\yAB^y^^) '^yB^S)'') ^ \yAB ^^yAiÄ-B) ^VßM— Ä) » /J

Sz K Ky^A^B) ^ yU—B) ^ ^ ^J

o i .^, ( Vab,z^ , yB

f) Angenäherte Ausdrüke für ^^, ^\ ?^^ in der Nachbarschaft der Focalellipse.

Man wähle in der Focalellipse einen Punkt (a:oi yoi "0)^ ^0 ^9 yo po8. sein mögen. Ausser der Gleichung

«0* , yo* . genflge er noch der Gleichung

25ß Bigler: PbtemHal tin^r tUipiuehMn Wabe.

Ä+0 ^ B+a wo

__ VA{Ä+ä) Vm^B-c)

und dio Abstände der an die Ellipse und Hyperbel gezogenen Tan- genten vom Mittelpunkte ^t==., /-— sind. Bedeutet

t\ den Winkel, den die nacb aussen gerichtete Normale der Ellipse im Punkte (x„, y^ mit der x Axe bildet, so sind

cosw -» . ■ , sin» «« . — - —

•

Der benachbarte Punkt (a:, y, 2; befinde sich in der durch (t^^ ^ 0) senkrecht zur Tangente der Ellipse gelegten Ebene und sei um r von diesem Punkte entfernt Der kurze Strahl r bilde mit der genannten Normale den Winkel B. Dann ist

a; =- XQ-f-rcosiycosö, y « yoH"*'8io'?cosö, s — rsin6

Die Abstände des Mittelpunktes von den Tangenten der Ellipse und Hyperbel im Punkte (a:o, yo) seien mit p und p" bezeichnet, so dass

Vab „ V(^4-g)(— Ä - <rj

Ferner sei

1 11 1_

~C^ A"^ B (-ff)

Ich stelle einige bekannte Gleichungen und Ergebnisse von Neben- rechnungen voran, damit dio Hauptrechnung weniger unterbrochen werde.

a;©* I yo* _1 ^ocqs^ , yoSinj?_l gpcosi? ypsimg

^8 -t- jj » "=• -2^'' k""*" Ä "■/ ^ + a"T"ir+ff "" "

^cosi; , ypsin^ 1_ cos^iy , sin*^ 1^

—^-2 + ■ -ßi- — pC* ~Ä •" B ^ C

cos*«/ , sin'i; 1

i4+ff^Ä+a (—ff)

Die Differenz 0—9' soll durch Subtraction der zwei Gleichungen

Bigler: P&UntUd einer eüiptiseken Wake, 257

berechnet werden. Man hat

oder

''" ' ^ • \{A-\-9) U+.")"*" (Ä-h ff) (2»+ »••) " (-a,

m

Also ist a — 8" klein ven der Ordnung r' and wenn man sich mit dieser Ordnung begnügt, kann man den Factor a — a' durch

s+

yo* -0

(A+a)*^ (B+o)* {A-\-a){-B—<f) ersetzen and bekommt

Die Differenz s'—t" soll durch Subtraction der zwei Gleichungen

berechnet werden. Man findet:

(«* y* \ «*

M+i^)"(^"-K)"^ {B + o (/'+<") J " r^)

Diese Gleichung zeigt, dass *"— t" von der Ordnung r* ist. Begnttgt

man sich mit dieser Ordnung, so kann der Factor von /'—t^' durch

— 6 r*sin*d

und die rechte Seite durch -; — -r- ersetzt wer-

U+tf)(— J5- a) — "*" ^^ (-<r)

den. Es ergibt sich

^,_,.„(±t^^).,.3i,

sin^d also

Die Grösse « wird durch Subtraction der zwei Gleichungen

			«»	;+	»»
	i* +	J» + »
gefunden.	Es ist
Anh. d. Mttlu «. Phyi.	3. lUUi«, T.	vn.

VI

258 Bigler: PaUntial einer elU^iitdten Walte.

X* y* _ x^ __ y* _ g*— V , y*— yo*

+,.C08»Ö (-/ + -^j = — _ + -

Man mnss nun auch don Factor von s aaf zwei Ordnangen wickeln. Es ist

rQ*-]-2rQCOSri,rcos6+ r^cos^iycos^^ / s , \

_. tfo* + 2yo sin 17 . r cos (9 + r* 8in*iy cos*^ / «^ , \

In tiefster Näherang ist daher

8 — 2prcosö+ . . .

Der Factor ist also -\ mit einem Fohler zweiter Ordnung. Also

S =- 2jprCOSÖ + 7^r*COS*ö+ ...

Zweigliedrige Berechnung von /, t'.

Es gelten die fUnf Gleichangen :

t+i' + r==x^-{-y^+z^'^(A + B),

t",(t-\-t*) + tr==' AB^Bj:^-Ay*-^(A + B)z^, tfl"^ ABz\ 8 + s'' = xHy''-{Ä + B), *«"« AB -Ar«— yli/«

Aus der ersten und vierten ergibt sich

(klein zweiter Ordg.); die dritte gibt

ABz*

tt Tsm —

Ans dem obigen Werte von »"—t" folgt

BigUr: PMtntial emer elUptisehtn WaUe. 259

folglich

Ferner ist

o — f

Weil aber a — t" klein zweiter Ordnnng ist, so kommt -^ — nicht mehr in Betracht. Man hat

«' = — p«r»8in*ö+r».0+ . . . Das vorige gibt

(^^y - p»r«co8«Ö+^%3co&ö+. . .

und wenn man tt' snbtrahirt, so erhält man

('-^y-pM+^r»cosö+...

-g- = P»- + i e <^sö+- • Weil

-^«prCOSÖ+4 c^'"

80 ergeben sich die Gleichungen

i=pr(l+C08Ö) (l + }^+...)

«' pr{\ -COSÖ) (l - jg+ ...)

Berechnung der Parameter.

Zweigliedrige Entwickinngen hat man nur bei den Parametern o, /?, 6\ s nötig; denn y ^^^ schon klein erster Ordnung. Auch k^ braucht man nur eingliedrig zu kennen. Man hat

*"-,-II?«-£^+... 2ir' - log p = log^-^- = ^

Wenn

<Sr — > sin 9» so ist

\1*

ii:iS

Bighr: Potential tinn' efliptixehen H'

X* — X.:'

7\

(

i4(y4-f ")

+ B(B+;j) = '^''"'H'^T •^"•••'('^^+^'

8\r?

+r^COS«fl(^"P + ?yy?)

\\)S9'4" •••

Man muss nun auch den Factor wickeln. Es ist

j-„^-f- 2r„cos rj . r COS^+ r*COS*i/C' _ _^

, .Vo* + *.Vi) sin 17 . r COS <9 -j-r'^s! ■

- 2rA COS

.^sin V COS gp) + .. .

;-sin9C0Scp)+ ...

^•ayC0Si;p4" • ••

/itjcos»/ y/o^ -

In tiofster Näherung ist

,.(l + J^t'(l+2C08fl)+...)

Dor Factor ist also -

r

^„,(l+i^co86+...)

Zweig Es gelten die

^

»

firsinf^

t' 0 * *

Aus der ersten u * ' A+ » + S ) •''*^"^ + - •

(klein zweiter 0

<«•

f

^

Aus dem obige W^

*\ -ff ^

+...)

+ ;)■'«'•»+■

zß-i.

Dng VOD y. Bfli

VT^ II

"1 '^■"

!■-." •+...

V(^+.)(--Bir7) '- (_.JJ '1«»+...

zweiter Ordnniig. img TOD 9".

^+r=^+.+o.r+ ... .1+*'=.*— j»t.(i— «•fl)+ ...

4

»r « A g - (a«-i)\«

X*" 4 S.5-...i2i+l)'^^ Ftr den Torik^endea Zweck dimt

2X:

Weü

also

und weil so ist

Zr = IHsin^coSf 4~ •• Berechnane Ton «.

Da

so ist

/ -/' « 2/ir (i + J^cos6+ ...)

and sei = sin <;p , dann ist

Ö , , prsinö ,

also

«=-« + i- 7— -i. -^sinö-|-...

*Ö + ip(^+l, + ^).'«in»+...

Berechnung von ß.

Vi

Vit - 1'}

Weü

Bigltri Poiential einer eüipHsehen WcUze» 261

«-lir(l + C08Ö)(l + i5 + ...)

ist

blgUch

Sp — coss+sm«. J^^-^^^ f. ... sei — ni^

-*-|»+fa'(5+i + |).ri.a+...

Beieclnug roa 7. Bei

Sir — .- —

Icaiiii maa geraden

•ebea, wo

.W=<^±^'-=--i ,.M^+

alao

i^iit Ueä

260 Bigltri PoUnüal einer elliptischen W<üa€,

2K ••=?> /1.3 ... (2n-l)\«

A=»i-i 2 4 2A >^*" .i 3.5 •... (2^+1)"°^^^

Für den vorliegenden Zweck dient

Weil

also

nnd weil so ist

2/C

x^ — .^ — jA;^8inq)C089-f- ...

E

— sc = 9 — iÄ;* (cp-f- sing) COS g))+ ••.

E{q>) « <p — jÄj*(g)-- sing) COS <p)+ ... & «« JÄ;' sin g) cos y -|- . . .

Berechnung von a. Da

so ist

-,c=.pr(l— cosö/l+i^,(l + 2cosd)+...)

t — t' « 2;pr M + J^C0S6+ ...]

ba «sin2(^l+i^-C08«2+...j-sin^ + co8 2. \-~c~ +

und sei = sin 9 , dann ist

Ö , , prsin^ ,

^"^ 2+*~"C~ +••• also

^ ^ . , P'* sin ö , p^' .

TT O •"" O

Berechnung von ß.

Vt

Weü

J

Bigltri Potential einer elliptischen Walze^ 261

<-l»r(l + C08Ö)(l + ig + ...) t — r = 2pr^ + J^C08d)

80 ist

-~ = C08«| (l+g .8in«|+...) folglich

S/J — C08 2 + 8in 2 . k—Q h • • sei — Bin 9

daher

Berechnung von /. Bei

Sir '^i

kann man geradezu

setzen, wo

«'— «" tf+ ...

also

y ^^ ^-5 ^ . r8inö+ . ..

Zy ist klein zweiter Ordnung. Berechnung von ^.

WeU

^ + «" = i4+tf+0.r+ ...

il + «' = -4— |)r.(l— C08d)+ ... 80 ist

262 Bigler: PoUniial einer eUiptitehen Wake.

8in9> - ^f+-^ (l + if (1-C08«) + ...) Wenn

»na - -y^

so ist

V—a , V—a+iVA+a C08a= ~^, M-log :^

X t;; (1— co8fl)+ ..

d' = — a + i 77-7— ',-— .(1 — cos«) — 4-7=- ^j

JT ' * VX — ff * 'VTZTff)« ^

VB(£+<r) r

Berechnung von t.

i\in x = Sit •

P«x ;4-^(i+if (!-««»)+..•)

Setzt man

■ V-a+V-B—

* = 108 ^

80 ist

wo

* vi:^ jB""* v:r5 'v^^"* vb — «

Also ist

^ = *+* — v5 — ' • —a^^-^^^)+ •••

Bigler: JhUntial einer elliptisehen Walze. 263

» " VB • — tf

Wendet man diese Näherungswerte auf die Berechnung von — Q — an, so ist

h^^+l yB\ VB/ A-B \

n /V B-\-t , VB A n Vß / , » , , A—B , \

- K (v(^ • «+ v:4 ^) - — X • ^ («+^+i -7i^-+-)

VB B /l , 1 , 2\ . ^ ii-J5 ^ ^ ,

X rsinö+ ...

3r VaUb a ,, ^ -ä— JB . ^ ,

K VA X aV(A+B) '

folglich

^!LV^+-4=4(.-.e).rCOSd + -^

Xr.in(»(l-2a^^^)+...

Was innerhalb der grossen Klammer mit 2K' moltiplicirt ist, ist von der Ordnung r, weshalb man eingliedrig rechnen kann.

264 BigUr: Potential einer ellipiiMcken Wake.

z fB + t' A — BX r sine fB ^ A - B\ ^

Zty

—r und zZ^* sind von der zweiten Ordnung und kommen nicht ia

Betracht.

Va J^ 8 V^ (-a)i

Der Factor von 2K^= A\sX also

A^B

^V— (

r8inÖ+ ...

Fasst man die Teile zusammen und moltiplicirt mit "aUb ^) ^ ^

kommt man

aF(a)

%tB 2V/jB r . ^/ . , , 2aV— 0X

WeU

+ (»— d)rCOSÖ

= '^('+Ä*'~'"')

80 geht der Factor n —B von rcosö in -jrzTB — * *'**''• Ferner ii Man hat also

-^i-^ » — 2jj. ^^ — ^ — - -2cos^ rsmOi -4+1 1

+rCOSÖ.(~J:^-d)] WO

Vb{A + ö)

COS jy = T7==5===

ta « log

/V^a+>'V(A+a)\

Ohne neue Rechnung, durch blosse Yertauschung von A mit B^ kann man hieraus -k— bekommen. Nur die Vorzeichen erfordern einigt

Biyltri Potential einer elliptischeu Walze, 265

Yoracht. —c liegt immer zwischen A and -&, welches von beiden Halbazenqoadraten auch das grössere sein mag. Man darf also

— <f =• vi - Ccos*f, vi— B = 0

setzen. Dann ist

VäZIb

cos 2;

und kann auf einem pos. Werte festgehalten werden, während C (ans dem pos. Zustande in den neg.) durch null geht, muss also, wenn man nach geschehenem Durchgange B ftkr A und -^ für -^

schreibt, durch ^-7==r dargestellt und pos. verstanden werden.

2nB'i/A V A+a . , ,

Ana — __' _^ wird also

^^^ A^B ' VA ^ B

2nAVB V — Ä— a

A-^B • Va - fi

und aus y— ^ • VÄzr^ "^^

^A V^B^ö

Dem Ausdrucke — 77 gebe man die Gestalt

Es ist dann gleichgültig, ob man iVA + a durch V— Ä-a oder durch — V— -B- 0 ersetzt, weil

V ist Der Ausdruck geht also in

-fi- ^108 \ VB J

2V_a V— g.{-V— B— ff _ 26V— g

Ober, and man bekommt

2(56 Bigler: Batential einer elliptitchen IFoüm.

-^ «» ^— ä — 2810 iy r 8in ö I -4+1 — s ^ ]

-rC08d(;^ + ö)] WO

8in J7 — -7=====r 6 « log 77»

dF{z) Bei der Berechnnng von -^ — i8t

^ß(£-|-tf) rCOSÖ ^ ^(— ^— tf) rC086 „4V^-^i:V4j^^2rco8Ö

2^ (j^/J — w) =-2ö.r8ind

= = — r(l + C08Ö)

t'V(t^i') |>r.(l— C0Sd).y— tf

^^ .a:^'^(^+'> ^

VA yZa Aj—B—a) r

yjf^ß' i "" A^B • — tf

«Z/3 kommt nicht in Betracht. Also ist

dF(z) ,VB.xa + VA.yb ^ ^, ^ i ^\ o ^ • /»

-V- -*4-^^ ^, - — 2rC0SÖ(^+l) — 2r6smö

oz Va^B

.o s^r A , , .. gB V(.i+a)+6^V(^ B- 0)\

2r8in6^.<9

Bigler: Pottntial einer ellipiisehen Wahte. 267

Man 8oU Dan -^ dx + -j^ dy + —^ d» integriren, indem man 6 festbAlt und nnr r, B yariiren lässt Man setze

X — r cos ö, t/; = r sin ö

also

e « arctg -

Weil

dx — COS 1? .rf^» ^y ■■ sini? .<ix » ^ & ■=■ d^f so hat man

zn berechnen. Es sei dann noch

so dass Jfc^x-I-'^'^V^ 2a integriren sein wird. In der nnllten Ord- nnng hat man

■" VHS • U-Ä)«

In der ersten Ordnung hat man vorweg ohne Mühe 2%B — 2^(A'\'l) dann

/ VHS VITfi \

4* l^ocos^i, ^^== + h sin«, ^==)

, aBVA-i- c^hAV-^B'-c

(A-B) V_tf nid

Alao

2«Vi<g 2M±U±B)9

268 Bigler: Potential einer elliptüchen Wake,

N

j~ (aVJ^a + 6 V-I=5)

f c . c . Ba\jga\Ah\jgh\ + X. (^-2^-2+4. A--B ) ''^'

20

Dio meisten Terme Md'i^ \ Nd^ können nnmittelbar integrirt wer- den; nur ~2^^(^rfx+X^V') + 2ö(x^/X~'P^V) erfordert die Methode der partiellen Integration. Beachtet man, dass

- 2^ = log ^3^j^3 + logpg, ö - g. log J wenn

dass also das vorliegende Differential

= d.(-2^.XV + fl,(Z« -,^«))_ |.(2,r/; (7+?)

WO

ist, so erkennt man, dass das vorliegende Differential

ist. Integrationsconstante ist der Wert von F(») im Paukte (x^v* der Ellipse. Hier ist aber

F(0) =«yÄÄL(0) = (log(VA+vÄ)- ^ ^

2

yo'

. ^.-ViS

.(iog(v^H.vi»)-l^^^^t^^)..Vii

Endlich ist mit einem Fehler von der Ordnung r'logr die Function

27rVÄB '2AB+U+B)a

y— a • {Ä-B\^

. rCOS^

Biffler: Potential einer elliptischen Wahe. 269

H — ji^ß («tanga-f *tangÄ).rsinö4-r*sin2d(logT3j7^ — 3

Wir machen eine kleine Probe. Wenn a nnd r fest bleiben, aber 0 nm 27r wächst, so nimmt dieser Näherungswert von F(z) nm 2jrr^coB2B zu. Im allgemeinen nimmt aber F{z) nach einem Umlaufe am die Ellipse um

25r VÄB (L (0) —Zr W ) — 271Z*

zu, wenn

Es soll nun untersucht werden, ob für ein kleines r dieser Zuwachs mit seinem vorigen Näherungswerte übereinstimme. Substituirt man

, (A + s){A + 8'') ^ ^B-[-s){-B-^»") * A — B ' ^ ^-i?

80 wird

und

folglich

8Z>(ir) 2iiJg -f (ii -f B)#^^ -K^ + B -f 2*^>

und wenn man nach s entwickelt

dL{8) _ 2AB + (A + B)s" s"

also

£(,) = log (V/Tif VbYs) - , :_B,T^ (^ + Ä + 2*")

«"

Demnach ist

270 Bigler: BtUnluä einer eUtfUiMckem Walte.

#"

Man darf niin <"= a vad

#» — 4— -.r«co8»Ö

— Q

setzen and hat

folglich

2n VÄb{L{0) - L(») ) — 2,r»» «- 2Tr«. (cos«ö - sin^Ö) — 2»r«cos 2ö also wie oben.

g) lieber den Wert der ersten Abgeleiteten der Fnnction F{z) in anendlicher Form.

o') t and s sind beide sehr gross and s > 0.

Weil « sehr gross ist, so mnss aach x^-i-y* sehr gross sein; s hingegen kann endlich oder sehr gross sein. Ich lege der Rechnung das Integral

=/

^ Ä+j»* P'rftt (Weg eine rechtl. Schlinge ans dem Ost- V{A\^uj'J^^^^ punkte am t allein)

zn Grunde. Es ist

J. ^^(A-fuY{B~+u)

also

du X

n«-o

und weil im Integrale nur sehr grosse Werte von u in Betracht kommen, so ist auch

BigUr: J'kUmtial tum- tlUptitehtn Wmim, 271

-/0+'-^^^+- )(.-^+'^t-±«^,..)x

du

oder auch

(Weg ein kleiner recht!. Kreis nm den Pol #) . ^/r. ^. . /*/. X— i ^^ (Weg ein kleiner rechtl. Kreis

_ 2B+r+<^^ /* -i rfi* (Weg ein kieiner rechtl. Kreis

2is J ^ ^^ ' u nm den Pol null).

Nach einem Lehrsatze von Canchy erhält man nun

Die Oleichnng

rechts nach fallenden Potenzen des grossen / entwickelt, gibt

also, wenn nwn

setzt nad sich mit zwei Termen begntigt Diemeidraig

272 Bigliri Potential einer elliptischen WaUe.

ebenso behandelt, gibt

8

also

und demnach

Man ziehe ferner die fttnf streng richtigen Gleichungen

zu Rate. Die erste gibt oder angenähert

demnach ist

Aus der zweiten und fünften Gleichung folgt femer

«/' - i(t'i-t") — (^ + J?)«« + v^Ä - t't" also mit Hülfe von Gleichung drei

oder annähernd

«/' !«'+ <") = M + B)z^ H- ^B . — ™^- + . . . Ferner ist

Man erhält also und endlich ist

TT / jf-B » \

BifUri lUsiUial «ömt •iiipiUtAe» Wabf, 273

Der NäheroDgswert von —^ in dorn Gebiete des Unendlichen, wo 9 und t sehr gross sind, ist demnach

Ebenso findet man

Ist s neg., t und « aber pos. sehr gross, so muss man die Formel

anwenden.

b'. Nar t ist sehr gross.

Die Coordinate z ist sehr gross, s ist endlich und kann pos. oder neg. sein, x^-^-y^ ist endlich. Der Pankt (x, y, ü) liegt also innerhalb der Ellipse oder ausserhalb derselben in endlicher Ent- fernung.

Wenn

^b4-u P* , (Weg eine rechtl. Schlinge aus dem

du

^^J V^^Pt»^*^Vu"" Ostp allein um den Pol i)

so erhält man auf gleiche Weise wie oben

1 P , ^ — \da (Weg ein rechtl. Kreis allein um den Pol

-ij <'-"' -i min)

(Weg ein rechtl. Kreis allein um den Pol null). Nach Cauchy erh&lt man

ArdL d«r lUth. «. Phyt. 2. Baihe, TeU YIL 18

274 BigUr: FbiemUal mjmt eU^UiMcken Walwe^

und mit Httife obiger fünf Relationen zwischen ( nnd den * erl man hieraas

y- ^(2/ + 2 '- + »*+»*)

(1 ^-B . '>*+y'\

Nqh ist

1 «> X«/>

f ...

1 ««^-y«

I 1 3(a.Hy«J ,

demnach

2 2 x«+y»

i^ ^ >s ■ • • • * *

J-B jA—B) 3M-B).(x«+»«)

l^S -- 2«» + 4.»

»Hy* _ g'+y' 3(g«-t-'y«)« jj — «» ~ 2»» "*■•••

somit

und

/2 A-B, \ y-«. ^---2,, +...^

~si~— ~ ^-B'V 2^ "♦"•y

Ebenso findet man

~dy ä:^^ y^ 2»« "•""v

BifUn P9i$mtiai «cmt ttlipitsehtn IFa/bt. 275

Diese Fonneto gelten sanächst nur fEUr ein pos. r Ist • neg., so matt man bei pos. m die Formel

-F(— «) - 2n i~ÄB L{%) — F(«) md bei neg. « die Formel

jr(-«) — 2«(yZÄ Zr(0) — ««) - FW anwenden.

C) Beregnung des DiffererUkUparameUr» zweiter Onlnung

der Funciion F{z),

a) « > 0. Ans der Formel

BF(») Vab /Vi^+i P' .

du

w ^ _ >^ /'ijö-b

Bx ~ A—B.J y^+ü ■ ^TVVtt

(Weg eine Schlinge ans dem Ostp. um ( allein) folgt

a»F(«) i'ÄB

hfl

WeU

80 ist

8« Vi'wy»/ 8« \(^+«)Pwy

s«\yÄ4^ ■ u+u)/'W A—B y«

sc* 1»

Vi^+U zP '

yi+i • PTTVu

Weil nan der Ansdrack unter dem Ableitungszeichen im Ostpunkte verschwindet, so erhält man

IS«

BigUr: BtUmUal wur MptUektn Wolu, 277

JF« = yiB . nL(B)+if(L{u) . ^— + ^ ^ ^t* (Weg eine recbtl. Schlinge ans dem Ostp. nm t nnd « allein) oder _

wenn F{%) obiges Integral bezeichnet. Weil nnn dieses Integral anch für s » 0 seine Bedentnng nicht verliert, so lange als « > 0 ist, so ist nach dem Vorhergehenden die Gleichung

8«>(g) 8«/(«) 3»F(g) _ ^ anch far 2 » 0 gültig, so lange « >> 0 ist. Weil

so ist anch

L'W = 0 folglich

e« "" A—B ' VT+8 nnd weil ferner

so ist auch

d^L{s) _2_ ^^B+s X 1 da

~a^ ^-B ' VJ+i ^+« " ^{^+»)(B+s) ' ^

nnd ebenso

d^L{s) 2 V(a+V) y 1 .8«

8y« ^— Ä'y(i3^,) 5+»y(^+,)(ij^,) 8y

Um addiren zu können, ist nur noch nötig zu wissen, was

X d$ ^^ y 8» -4-1-« * 8» ' B-^-a' dx ist. Die Gleichung

gibt

8» 2p»a; 8« _ 2pV

~dx " J^' 8y "" jtf 4« also

278 BigUr: Fbteniuü einer elUptucKen Waite.

folglich ist

2

-0

yu+*)(Ä+#)

Die Gleichung

d*F(z) d^Fjz) B^Fjz)

ist somit auch f ür 2( —> 0 richtig, so lange als « > 0 ist Der Be* weis kann auch anf folgende Weise geführt werden :

Ist < > 0, so hat man

F(0) ^VAB.nL(i)

also

Femer ist

B*,F(z) _ ^ VT» /^ <^t> (Weg eine Schlinge ans dem Os^. Bz* ^ ^ 'J Wüu um « allein)

und weil dieses Integral auch für « « 0 einen bestimmten Wert be-

B*F(z) hält, so lange als « > 0 ist, so ist anch g \ far s — 0 gleich

noll and somit die Gleichung

S^F(z) , 8»FW . a«F(«) ^

a«« ■♦" V "*■ 3«* "■

auch für s » 0 richtig. Liegt der Punkt (x, y, 0} innerhalb der Focalellipse, so setze man

F(z) - nVÄB L(0)^nz*+i V :fB J" L(u) . j^^+ ^-^ du

(Weg eine rechtl. Schlinge aus dem Ostp. um t und 0 allein) oder

also

BifUr: Pkttntml «Mr Mpiutkm Wmht. 281

F- »yÄß(log(r+«)-.log(r'+«— c))

Wenn z telir gross ist, so kann man e als Differential von « be- trachten nad hat

F-JfyiiÄtfg.l0g(r+5) -^-^;:—

Ist aber z endlich, so hat man

r,« - r»- (2« -««) = r«(l - ^^^^

2«— c« ••'=' 27"

= (r+.-)(l-0

wenn man den Term ^ / i x vemachlÄssigt Es ist somit

7- j^ VZB(log(r+c)-log(r+*)-log(l-?)) - ^—

Ist nur t sehr gross, s also endlich, so folgt ans den Gleichungen

F(z) ^nVÄB [^^' + log4«+ j]

dass

F{z^c) ^ nVAB^~' + \ogA(z^c) + i^

n^ABi

F-« l/lÄ(log4z-log4«(l-^)) - ^

6) Der Bezugspunkt liege auf der obem Omndfläche ausserhalb

der Bandellipse.

0

Wenn t und $ sehr gross sind, so hat man

286 Bigltr: fitUntiat tüier ettiptüehtH Waltt.

Demnach ist

V = -n^/ÄB ^\og(^/A-{-VB)-^~{A + B-\.<ia)) . 2n-^AB iAB + (J+B)a

+-y=i U-B)« — ••■'<»»*

p . (atanga-f-itang&)r,8m0

- rj»8in2« ^^log pjj^, -3+ . a^B J— r,»«co82ö

_ 2«.4.g r2(A+a)(—B—a,) {a—B)*{—c) (A-Bn-a)'\ (-ff) ^Ä

_ 2^4B + M+^ff ^ ,4 + 1+ 2ff^ ^^. ^^.^

f) Der Bezagflpvkt liege innerhalb der Walze in anmittelbarer

NU» dar obem Bandellipse.

Das Potential für einen innem Punkt hat die Form und demnach mnss L{0) entwickelt werden. Nach Seite KO ist

also auch gleich

£(0) - log(Vi«+ V«) - (T^Bp • (^+ ^+ 2ff)

_^_V^^5__ 2M + ff)(— J3— ff) U-Ä)».(-ff) (-ff)

-?^^±^^').r.co.«« mithin ist

288 Bigltr: Potential einer elUptiscken WaU^

ni) Der Bezagspankt liege innerhalb der Walze in nnmittelbarer

Nähe der nntern Randellipse.

Aas den Formeln bei 0 folgt, dass

4 V --aAB -^ THIö" (ötanga-|-6tang6) .r8inö+r*8in2Ö

^^ / ABr* „ , , BatSLUgaA-AbiAngb , ,^ „^

^ r^Fi^' "^ ■•" ^^ — +r'ecos2e

_ 2nAB /2(il + o)(-~^ — g) _ 2AB+(A+B)0

ii) Der Bezagspankt liege aaf der untern Randcllipse. Ans obigen Formeln folgt

QO

+ v.-5/(«=l^fc^-+'.£=ä-.)^

0) Der Bezagspankt liege unterhalb der untern Grandflftche in

unmittelbarer Nähe der Randellipse.

, 2nVÄB 2AB-{-{A+B)o

+ V— ff • — XÄ^^W' • ""^^^

4 -i/ oAB

H ._ p (atanga+Ätang&)r8inö+r*sin2ö

BigUr: Potmiml mmtr Jl^iurhm Wmtm. tSß

c) Die KnftcompoBOiieB der ellipliscbea Walie. o) Der Bemgsponkt liege oberhalb der oben QtmMMMAt. Wir hatten

r—F{«)— /•(«—<?)

Abo

dV^ dF(M) _ dF(M - e)

Sc *** dx 8sr

oder

OD 00

. 00^ 00^

8r 2yifi» r pVm^ _?^^_ pVm^ (»-c).p* i

Begibt sich nan der Bezagspankt in das Gebiet des Unendlichen, wo i nnd « sehr gross sind (s — c kann endlich od. sehr gross sein), so erhält man ans den Formeln anf Seite 273

S^" aj«+y* \ r' rj dVn^AB /j— g *\

t-__.y:r,.(i-!)

Ist nnn « sehr gross, so kana man —e als DUüBrential von z an- sehen; fol^ich ist

— ---c-g- c . -jar- = - « . -;s—

/ r 'öl ' r*

also

294 Bigler: Potential einer eüiptitchen WaU^

hv	n'VABcx	nVABe	, COS (r«)
dx ■"	r» "
dv 8y"	n iAB cy ■" r« ■"	nVABc	COS (ry)
dv 8,"	nVABe»	nVABe	. COS(rs)

Ist hingegen «— «, also aach * endlich, so ist

-;((.-0O+^r-.)

=;{('-9(>+?)-0-:(-i+3)

-l(c«-r«)--l(x«+y*)

(1 - 1,) . (! _,^^._^-J) = ^ _ !(.+ 3))

Man erhält also wieder

dv niABc , , 8r »yjäe , ,

8r niTB e , , 57 = ^ . <50S{r«)

Liegt der Bezugspunkt in dem Gebiete des Unendlichen, wo nnr i sehr gross ist, # also endlich bleibt, so erh&lt man nach den For- meln auf Seite 274

dv n^ÄB X f 1 1\

8r ^ V Jb y / 1 n

5^ "" 2 \(»-^)* W

BisUr: BoUtUkd nmr Mptitehtn Wabe. 297

D) Der Bezngspankt liege aaf der obem Bandellipse.

OD

dV 2irByA(A+ö) _ 2VAb P J'BÄ^ P'

& " (^^5)« A ^bJ '^ ^X+u. ' PW,^/u ^~

00

dV 2%A^B(^ B-c) 2^ AB P VM^ ?L^ a

i

00

gf - -^|(«y:H:i+jy^+„+2yifi/^d»

r) Der Bezogspankt liege auf der obern Grandfläche innerhalb der

Randellipse.

also

F— /•(<?)— »VilÄZrW

00

dv 2nxB 2Vab r V^+t* i"

— ' ' xe , . ^„, ^ , du

dV %ixB 2yAB . /» dx *" A-B A^BJ

oo

ar 2nyA y 2Vab r Va+u P' ^

* du

2nyA , 2y AB P

-jirB^j^B' J y'

W A-B^A'-B ' J ^"^ -yfB+i^' PWoVu

00 _00

'^'^ÄBfl^äu-2VÄBj'fäu

f) Der Bezngspnnkt liege ausserhalb der Walze auf einer zwischen

den beiden Omndfiächen hindurch gehenden und mit denselben

I Ebene. Es ist

V=F(M) + F(e — z)'-'2«VABL(s} also

00

dV 4tnxVAB Vb+s 2i AB p V^+t» P' ,

Xt . . — r • nwF M j *M*

8* A-B yx+i ^-i/ v yjHh»*-p»»'oVti

00

2iAB /•, , , yjB-ft» P* ^

cm

308 Bigltri FöUnM eintr ßWpiittheH Wmlts.

Ich will hier noch zeigen, dass durch die Einfahmng der Fonctioo

statt L{u) die auftretenden Formeln eine solche Gestalt erhalten, dass der Uehergang zum Kreiscylinder unmittelbar, also ohne Grenz- process yollzogen werden kann. Weil

so ist

.00

VABf[M(u).^-^^+'J)äu

OD

Vi''" t

- ^^"^ j^y pw

Nun war

285 P'%

^ "8u " FW^u also

OD 00 00

i t t

und somit

also

00 ^

I V=rF(M)^Fiz -c) - ^Äßf[M(u).~'^-^ + '^) du

_Q0

A/r« ri.^i V (« — c)P' , {z-c)WA^

Weil nun

i^(.)=iog(v:^«+v5+i)+/i--(i-^)

310 Bigler: Potential einer elUpOedken Wabe.

00

«1

= 2VZgy^^.__ .-^ ..=^ . ^^T-du

^0

00

— ^VabC

»(« — c) P'

au

Aach in dieser Formel kann man sogleich A^^ B setzen, um entsprechenden Ausdruck ftür den Ereiscylinder zu erhalten.

Bern, den 22. Febr. 1884.

318 BigUr: üeb€r CasBinisehe Citrven,

ist für 2 «=» 0 auch t« = 1, und.für « = « ist t» =■ z-i~~r In dem Intervalle 0 < « < ä ist &l>6i* &nch du beständig neg. , wenn dz pos.

ist L&nft also z von null bis ö, so sinkt u von 1 an fortwährend

2Vl bis anf jj-. herab. Die Länge des Bogens, der von z = 0 bis

2 = - reicht, ist demnach

1 1

13) * = ö/, / 7 rZT-T+ö

!/i^.

2

2VZ

Lässt man s; von ^ ^^s iT wachsen, so ist dt beständig neg.; t nimmt

also von null ans fortwährend ab and erreicht schliesslich den Wert

~1. Anders ist es mit u. Der Punkt e = ä ist für u ein Minimum,

K 2Vl

und während z von ^ auf K steigt, nimmt auch u von j—p-, bis anf

1 fortwährend zu. Die Länge des Bogens, der vom Punkte » bis

zum Punkte h reicht, ist also

1 1

hP di k r_ du

0 ' 2y/

1-f/ Aus 13) und 14) folgt nun

15) ,+,'-Ä:JS:(j/^^)

somit der Umfang der Curve, den ich mit U bezeichnen ¥rill,

16) o = 2*i:(j/^^)

Ist nun a^k sehr klein, so folgt ans 16) 16') V^ 2 (1) »

also gleich dem Umfange eines Krdses, dessen Radius 5 ist.

..) y J/<.-.,(,-!±?..)

330 BifUri UAtr

K

< = 2 ^^t^eo, md die Msitiplication aüt 2 gibt 6tam ToUeii lobth. Bezefchne ich denselbes nit y, bo ist 20) J'^E^PK

Ans deo Fonnelo

-l('-Fd^(i*)-)

erkennt man leicht, dass

^-«=f?,-Äi(T*)'''

ifty also fflr ein kleines h oder a hat man

ao») •^=*(0'

Zn der Formel 20) kann man anch anf folgendem Wege gelsugc«. — ^ ist der Inhalt eines infinitesimalen Sectors, der seine Spitze iai Urspmnge hat Also

folglich

21) ®=iy "'&*=— r-y d+ifc.»)» - -^

0 0

Ich setze nnn also

ib(l +ik) (1 - 23«-H:«^} /2(1+A:)« 2(1 + 1:)« \

—2 (l+ihS*? *V~"7 ? +*li+*)^

Femer ist

8 logp kSCD

* Sz - p d/k8CD\ d /kSCDy ' 8 / (1+ib)« , 2(1 +t)«

-((i+*)+*)+iSy)

2(l+ife)« 2(1 +Ä:)«

folgUch

322 Bigler: UOer OoMmitdu OMrvM.

Wird der Strahl nach dem Pankte K—z mitr" bezeichnet, so folgt aus 26), dass

^' VA Vi^^fcsS

und für den Strahl r" nach dem Pankte '—o ^h&lt man

folglich

27) »^^ = ^ = *""*

Um das Cnryenelement zu erhalten, gehe ich von der Formel

x + <y = c(f-e) ans. Es ist

somit

dx-{-idy = dC (I -*) = 'S (I -«)( I> (j -*) «b d(«+i«^)(rf*-»dy) = - s(^ +*) D (I -^) Ä (|-*)

folglich ist

28) dszzzrdz

Ans dieser Formel folgt nun sogleich

0

also der ganze Umfang

K

Vi4-ifc /»Vi— ifc5«

0

oder nach frQherem

30)

"=u(y'-^

Ist a sehr gross, so folgt ans dieser Formel 30') ü=2Van

BigUr: üeher Ccuiinitche Cvrven. 328

^mid der Winkel, den der Leitstrahl r mit der Abscissenaxe bildet, ndt ^ bezeichnet nnd der Inhalt eines Sectors der Fläche mit ®, 10 ist

somit

M

81) ^^^l^^%^£az

0

Ans der Formel

x+iy—C (2—«)

erkennt man sofort, dass

SzDz

ist, somit

a« " 1 — k^s^

folgUch

1 — 2ik«iS«+Ä;" S*

0

Ich setze nnn wieder somit

1--2^5«+ä:«S* 2(1+ Ar)« 2(1+^)* ^^+*> (l+ifcS«)i iS^ p + (1+^)

Femer ist

3 /ifc5CZ)\ 2(1 +Ä:)» 2(1 + Ar)» , ,

folglich

0

^> ®=2Ä(r+^+^H

Um den ToUen Inhalt zn erhalten, mass z = K gesetzt nnd mit 4 mnltiplidrt werden; also

2E 85) J--^

. ^ dz steht mit der Gleichung des Pe-

0 riodenverhfiltnisses in Znsammenhang.

2l»

324 BigUr: Utktr CaawäMdu Cwrven,

.'-(1+*)., ir- - (i+fc)ji:', z'-.l±*x, s' = ^±^ i±^(r+D'») = (-iq^j-,((i-*)(i+fes»)»+(i+*)(i-fcs»)»)

folglich ist

0 0

Fflr den Zweck der Integration ist damit aber nichts gewonnen denn um E* am («') in den auf k nnd n bezflglichen Functionen ans zudrücken, muss man doch dieselbe Rechnung vornehmen, die wi oben durchlaufen haben.

ha K^geisekmU'BüsdklH und Scharon. 329

^Mschel ist die unendlich ferne Gerade fiOr diese Corve eine Dop- ^tangente/'

Der letzte Satz worde, jedoch nnr fOr Kegelschnitthüschel, loch Ton M. Trehitscher anf einem anderen Wege gefanden ^).

Linz, im Fehmar 1887.

1) SitiQiigsberiehte der k. k. Akad. d. WiMenicb. in Wien. LXXXI. Btnd. II. Abth. Seite 1080 n. f.

Veigleiche ferner J. Heller: KegebchnittbÜschel und Kegelscbnittscbaren. lin 1887. SelbstTorlag.

342 Oekinghauti Die Lemnukafe.

§2. Die Lcmniskato and die Gerade.

Die Gerade habe gegen die Achse die Neignng t and vom Cen- tram den Abstand h. Vermöge der Formeln

erhält man durch Elimination von r

14) tg 9* (Ä« + 2c* cos T«) — 2c«sin 2t tg g)» + 2 (Ä« — c* cos 2r) tg qp»

+ 2c*sin2ttg9+Ä« -2(?«8inT« « 0

Die nachfolgende Untersnchang derselben gründet sich aaf die in § 12. nnserer Abhandlang: Trig. Aafl. biqaadr. Gleichangen ge- gebenen Formeln.

Die Gleichnng hat die Gestalt

Wir berechnen zunächst

tg(Vi+9>t+98+<r4) - i^B+D and finden

15) g'i+9t + gP8+9>4 = 2T+3600

d. »i.

Die Summe der Winkel, welche die Radien nach den Schnitt- punkten von Gerade und Lemniskate mit der Achse bilden, ist gleich dem doppelten Neigungswinkel der Geraden -f-^^-

Für parallele Geraden bleibt demnach die Summe constant.

Die Cosinusresolvente ist:

/2ä* \ 2A*

16) cos (»• — ( "T + cos 2r J cos co* -j — ^ =0

deren Wurzeln

17) cog « 9>i — 9>8+ q>^ — q>i

«3 =9l— 9^8 — 9s + V4

sind.

Um die geometrische Bedeutung derselben zu gewinnen , wollen ir die kubische Gleichung auf anderem Wege darstellen.

344 Oekinghaus: Die Lemniskate,

23) r- 3g) — 900

womit das Tangentenproblem seine Lösung erhält.

Wir halten es für nützlich, nachzusehen, ob die oben abgelei- teten Resultate auch ftlr die Cassinischen Linien gültig sind.

Die Gleichungen ändern sich dann um in

24) X*— 4Äcosdaj»-|-2(Ä«+2iE«cosd«-c»cos2(a-d))a;»

— 4Ä(Ä*cosd — c*C08(a — a))a; + Ä*-2c«Ä*cos2a-|-c*— g*=0

25) /2*-Ä*c« — c^^^ + 4^4 cos(2(p-d)cos2g> -3d)

^4co8d« " ^, cos 2(a— d) ± j/l- ^ cos d^

^^^ c» ^ 2CÖ86«

27) Ä« - 22*(2ä« - (^ cos 2«)+ H (2Ä« — c« cos 2a)«+g* — c*)i2«

4

Diese Gleichung ist bikubisch. Da R als Mittellinie nach 6 Se- cantenteilen oder Sehnen gezogen werden kann, so entsprechen sich auch hier 2 Sehnen derart, dass ihre Mitten vom Mittelpunkt 0 gleiche Entfernung haben, wodurch das vorhin Gesagte verallgemei- nert ist.

Kehren wir nun wieder zu unserer Lemniskate zurück und be- zeichnen wir mit o den Winkel zwischen R und der Normalen A, wodurch 72 cos co « Ji

so führt die Substitution von R — in die Gleichunff 21) auf

cos w o /

die folgende:

cos 00* — C "x + cos2r j cos w* -J — ^ «0

welche mit der frühern identisch ist. Mithin sind ihre Wurzeln

»1 = 9'i+9'2 — 9^8 — ^4

28) «2 = 9i — 9^2+ 9^3 -~ <P4

'^a ■='9^1 — 9^2 —<P3 + <P4

geometrisch detinirt.

346 Oekinghaus: Die LemniskeUe,

§3. Wir fanden oben für R die Oleichang

^ - 2^^* (^^^ ^("^ "'^ ± ^^^ ^^

Die Strecke 22 halbirt die Sehne der Lomniskate nud bildet mit ihr den Winkel d, Daher existiren für 2 parallele Sehnen 2 Werte, R und R\ welche denselben Polarwinkel a haben, und welche darch die Relationen

Ä«+i2'««^^cog2(«-d) 30)

c«

vorbanden sind.

Ä« — Ä't « «sin 6

cos 0*

Wir erwähnen hier, dass auch die allgemeinen Formeln der Gassinischen Cnrven auf analoge Beziehungen führen.

Die Wurzeln der Hauptgleichung lassen sich wegen x^'\'X^^=r^O

S leicht combiniren und so wird, wenn wir statt x jetzt ' *=* o ^^^^^9

folgendes System bestehen:

	«8+#4 « 4i2cosd
	11 4(Ä»cos5 -c«co8(2a-d)) «,+ *^ Ä(Ä« — a>cos2a)
31)	8*8^8^ « 12* (a« cos 2a — Ä«)
also

cos 2a — -ü COS ö*= 4- sin Ä ar —

iZ^cosd(a»co8 2tt— R') '«'* ^ c»cos(2o-d) -Ä'cosd

Die den Strecken RR' bezüglichen Sehnen seien SSi, dann folgen aus den letzten Formeln

ffl^ C08(2«-d)_^,

4 coso

also

^g Otkinyhaun: DU Lemniskate,

vor, führen sio auch in den übrigen Functionen durch and ziehen noch die Resolvcuie für den Typus

nämlich

64) y» — V + (a<?— 4<Z)y — (aV-4W+c«) = 0

in den Bereich dieser Variationen, indem wir also statt x den Wert y-^h setzen und die Gonstanteu ah cd derogcmäss aus der trans- formirten Gleichung zu berücksichtigen haben.

Der Ausdruck von h und demnach die Relation 62) soll jetzt mit der vorletzten Resolvente verknüpft werden mit der Bestimmung A = 0. Es wird eine Gleichung 4. Grades hervorgehen , welche auf eine quadratische reducirt werden kann. Man hat schliesslich fol- gendes Resultat:

Mit jeder biquadratischen Gleichung ist eine Relation

64) y(ari -Ä)(a^-Ä)+(ir3-.ÄyOc4-Ä)

+ V(^i - Ä) (a^3 - Ä)+ (a^i - h) (fl-4-A)

+ V(a:i-Ä)(«4-Ä) + (a:,-A)(rr3-Ä) = 0

verknüpft, deren h aus der quadratischen Gleichung

Ä« — I Ä + I ± |VP'-3ac+12rf c= 0 hervorgehen.

Analog findet man

65) VK+a-,-2Ä:)(a:s+x4-2Ä?; + ^/ {x,+x^'-'2k){x^-\-x^ -2Ar)

V(a-|+fl^4— 2Ä:)(a:,+ir8-2^•) = 0

ifc«-^A;+|±| y6«-3ac? + 12rf - 0

u. a. m. Die Gleichung der Geraden durch den Brennpunkt ist

«* — 4ca;*-j-4c'cosric — c* «« Ü oder auch

y* — 4cC0STy'+^*y*~"^* « 0

worin t die Neigung der Geraden gegen die Achse ist

Man findet folgende Relationen

362 Oek iny haus: Die Lemniskate.

lg9 "=* tg<3PC08Ä— 1

Da nun

r 8iü-4

WO A der Wiukel zwischen der Sehne von rr^ und r ist, so folgt

2 sin -^ sin (<jp - ^'+ -4)

^ 8in{^V+^^T~

woraus

cos-44-8ini4cot(g> - (p'-\-A) -« 2siDil cot/S Da ferner

r»

r

7^= sin-4*+8ini4*cot(9)— <jp'+-4)^

80 kann q>'-fp*'\-A aus den letzten Gleichungen elimiuirt werden, wodurch man erhält

^^« 1— 28in2i4cotiS+48in^«cot5« cos 29>' '

oder da

1 — tgO)'*

cos 2q>* — ^ . . — o

und tg9>' bekannt ist, so f&hrt das Schlnssresultat auf die Formel

73) ^ — J5« 900—29»

worin B den andern Winkel an der Basis 2r' des Leniniskatendrei- ecks bedeutet. Für einen zweiten Punkt erhält mau

Aus der Subtractlon resultirt der Satz:

Der Centriwinkel ist gleich der halben Summe der Periphorio- wiukel nach den Endpunkten eines Durchmessers.

Eine Verallgemeinerung dieses Satzes haben wir für die Cassini- sehen Curveo schon früher nachgewiesen. S. Geom. Unters, etc

Da

cos5=cosU + i^) = 'y+^?, ^ ' ^ cos (9 — tp)

ist und auch

_. tgy — cos5

^^ tgy'cos/S— 1 tp - }(900— ^ + Ä)==i(900— 5+2B) so gewinnen wir eine Gleichung für tgfiS, nämlich

364 Otkinghaus: Die Lemntrkale,

§8.

Die Lomniskate und der Kreis.

Wie schon ans der Geometrie der Geraden geschlossen werden kann, wird die Verbindung von Lemniskate und Kreis nicht weniger reich sein an bemerkenswerten Sätzen und Gleichungen, womit wir uns im folgenden beschäftigen wollen.

Aus der Formel

sin {(fi + rpg) __ _ sinCyg+yJ cos (9, — (pft) cos {<ps —94)

folgt noch nach 70)

COSS ■« — COSiS'

78)

woraus ein schon früher abgeleiteter Satz von neuem bewahrheitet wird, nämlich:

Die Mitten correspondircndcr Sehnen sind vom Mittelpunkt der Lemniskate gleich weit entfernt.

Infolge der Sionsgleichung

sin29*- Asm2g>^+Bsm2(p*+^sm2(p+D'^0

erhält man

2j^ sin 2<p + 2;/ sin 2(p sin 2(p sin 2<p

woraus

l4-sin2y|Sin2()pg sinCyi+y»)*

l-j-sin2g7ssin29>4 ^ sin(g)3-t"94)* Aus diesem Ausdruck folgt nach etlichen Umformungen

cos 2y i cos 2<pg cos (<Pi — g>i)* ^ 8in(<P3 + yi)* cos 293COS 2^)4 ^ cos(9?8 — <3P4)* "" 8in(g)s+94)*

Ferner ist

cos 2^1 cos 2^1 cos 2^9 cos 294 — D' — -4

c

also

cos 2»! cos 2g)o = — ^ ^"0 —

yiv Y-x co8 298COs2<;P4

Führt man hierin für cos 293 cos 2yi den vorhin gefundenen Wert

ein, so folgt

Ä* cos ö Ä* sing

cos 29, cos 29, - -, ^^, -, ^rj^

O« 3ri « r t B « V r Z»4f Timmm up 3'1>>

f-i

Wir legen mn direk ± SräafrraiELir-* ii?r C-?rfcä?a oj: Mittelpunkt der LemibkUc -^Li-ii. ^ttu» ':<ii jübiiL^ ^ i^i i*-iL~::-ta. die bekannte Kreisre!atsp:3 r, '* = iij. -v: j te Ii:'it* .n i£.-/=i- psnkt der Leouiiskate izf -tit Sk'uk t 'jsl

Bemerken

ist, so folgt ans Obu«L

79) *i=^i: = _^i:

For die beiden la&n S:äi>'T3ici£y it?«:^äi: Lir Lu^iir^

4- ** 'j:?» r ond ihr Pn>d«ct f^ikTt uf

^er dis Prodnd der £aq«l 6*7 '^iui*^ Htüs^. v^a'.at»^ ivr\-x 'fvr- sprechende Pnnkae &»* (tttmbl i;niinratf'*at-a uiL ik-i Mj::,^. j»lt r: ^r Cnnre futH^'--** sc ^^ncur

Ans

folgt

also

nnd^ dn nock

r

Wir wfrfien »yj fe 1*^ i^ju^r rLrri.lrjr*-! iVv.vr nuriflr- suchen vnd ^uSjü^ 23 öeii loiUr lir^ u 4 rTitr-.-i-tT V.^* -. ..••z'-» •'i*' Lenniikaie naÄ Kran «i L*i Ittir.-ini i*-:^ ^t-UT'-i ii*.v. 'i.'t ^•.•*^- ^naten Jt«;. Der K^äns kl *. lj^ ? .».u'^v ^u.'Tv v

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368 Oekinghaus: Die Lemniskate.

A « 47? COS 6

B « 2Ä«+4i2Scos5»— 2c*C08 2(9)-J) C «= 4ä» cos 5 — 4<?* Ä cos (2<y> — J) /)« Ä*-'2(?»/2»co8 2(p + c* — 2*

Ans diesen ist c, <2f -'^i 9>) ^ durch ABCD auszadrQcken, wobei also eine dieser Grössen willkürlich genommen werden kann. Wir bilden die kubische Variante und die quadratische Invariante der biquadratischen Gleichung und erhalten

^» — 4^B+8C — 32c8/28inasin2(9 -6) ^«— 3^C+12D = (6ß«— B)«+12(c*-g*)

Vermöge der Relationen von A und D kann man 6 und 2fp elimi- niren, und das Resultat ist

(i4»- 4^5+8C)« - (16i2« — ^»)(64c*— (^»— 4B)*--16Ä«(i4»— 4Ä)

— 64Ä*)

woraus für R^ die kubische Gleichung folgt:

64ä«+4 (3il«— 16Ä)Ä* - ^{A'^B — 4B»+ 16c*)Ä« +44«c*+ii»6'- 4^BC+4C'« « 0

Ferner folgt aus den 4 Hauptgleichungen und da

D^q^-^c*' « 72*— 2c«Ä«cos2<p ist, so folgt auch

Ä* - |Ä«+c»Ä«cos29>4-iiiC« 0

Man bemerke, dass man aus den Gleichungen für R^ diesen Aus- druck eliminiren kann, wodurch man eine Beziehung zwischen den die Gurve bestimmenden Grössen c und q erhält.

Dadurch, dass eine Grösse c oder q willkürlich bleibt, ist eine grosse Verschiedenheit der Gurven möglich, die es gestattet, die für die Construction bequemste auszuwählen.

Den Winkel i erhält man aus

ferner ist und endlich

. A cosd « j^

5* — 372*— JBä*+HC— />+ü*

72*— Z) + c*— 9* cos 29= 2?äS

Of.kintfhausi Dif Lrmnislatf. 371

was nur dann möglich ist, wenn die Socaule zu einer Tan>jeiite in einem Wendepunkt wird.

Selbst der Fall mit 4 gleichen Wurzeln ist durch diese Curve lösbar. Legt man z. B. die Gleichung

x^ — ix^ + ßx^ — Ax + l = 0

zu Grunde, so hat man R* -« I + VK'/"^*)» f«^rn^r ist c* -7^*~1, also 2<?* = 5* oder c = -^'

Bekanntlich hat die Cassinische Linie eine der Ellipse ähnliche Gestalt, wenn c <C ^y und eine eingedrückte Form, wenn c < _J ■

Im Uebergangsfall werden also, wenn die Secante zur Tangente ein Scheitelpunkt der kleinen Achse wird, die 4 Schnittpunkte der er- stem zum Berührungspunkt der letztern zusammenfallen , woraus die Gleichheit aller Wurzeln rcsultirt.

Der letzte Fall c — -,^ hat noch ein weiteres Interesse.

Ziehen wir nämlich von einem Punkte der y- Achse der allge- meinen Curve eine Tangente an sie und bezeichnen den entsi)rechen- dcn Focalwiukel des Berührungspunktes mit ^, mit n die ^-Ordinate, so erhält man nach einigen Entwickelungen die Gleichung

(Z'— c«;tgie^- - (2c«-(z«)tgie3 - "(2c;^-f.,/)tgJÖ4-r«+f/-^ -^U

welche für 2c^ « (^ übergeht in

tgie*-4tgie + 3 = 0

woraus hervorgeht, dass Gleichungen von der Form

mit einer bestimmten Cassinischen Linie in Beziehung gebracht werden können.

W

372 Rogel: LUber eine besondere Art von Reihen.

XIX.

Ueber eine besondere Art von Reihen.

Von

Franz RogeL

Wenn /(«•)-* ai«-f-ajaf*+ ••• aMsc"+ ... eine convergeJ^*^ Potenzroihe ist, und a„ «- (p(n)y so kann von derselben eine n^^i

OD

durch Entwicklung von 2^A»**) nach steigenden Potenzen vo

1

cutstehende Potenzreihe abgeleitet worden. Es ist nämlich:

f(x) = a^x-j^a^2'{'^3^^'h^i^^'{' • • • /(«*) -= flf,«^ "f"«»«*"!" • . •

f(x^) = a,x^ + . . .

fix*) « a,x« + . . .

und d. h. Sunimirung:

£f(x*^) = a,x + ia, + a^)x^ + («i + «ij)^' + («i + «2 + «4)^ + • • '

Jeder Coefficicnt c» ist die Summe von Functionen 2^^(r/), '" welchen c/ alle Divisoren des zugehörigen Exponenten n zu durch- laufen hat; so ist

Es besteht somit jeder Coefficicnt r„ aus so vielen Gliedern, als der ludox 11 Divisoron tt besitzt.

,',74 Roy eil Liher eine biAun<fere Art von Reihen,

HesomleriT Erwähnung verdicut der Fall, io welchem n das Prodoct unendlich hoher Potenzen von unendlich vielen unmittelbar anfeio- ander folgenden Primzahlen 2.3.5.7.11 . .. ist, denn hier ist daun

r. = |+i + i + i + H- ...

gleich der harmonischen Reihe Iter Ordnung, für welcho die Be- ziehung gilt:

lim j(J + l+l + .., + iy\ogn} = K{= 0-57721 . . .)

beiderseits mit x** multiplicirt, kommt

limQ+ ^+ 3 + -.--) a:»*-lim(x~.logn) = limA-.«- da nun

und WmKx** ebenfalls =0 ist, so ist auch

c„x"-lim(J+^+|+...i)x«-0

was zwar nur eine Folge der Convergenz dieser Reihe ist, wegen den schwankenden Werten der Coefficienten aber besonderer Er- wähnung verdient.

Werden die sämtlichen cu betrachtet, welche den zwischen zweien unmittelbar aufeinander folgenden Primzahlen p und p*'^ p liegen- den Zahlen entsprechen, so leuchtet ein, das cp und cp* kleiner sein werden als alle c»^ wenn n zwischen p und ;>' liegt und kleiner als cp^i und rp'+i, weil p—i und p'+l gerade Zahlen sind, somit J in cp^i und v+i &ls Summand enthalten sein muss.

Die Coefticienten c> sind daher Minima, wenn p Primzahl ist; /wischen diesen Minimalwerten , deren grösster c, = 1 -j- 4 ist und welche selbst eine beständig abnehmende Reihe bilden, schwanken — oscillireu die übrigen Werte cn. Die Schwankungen werden mit zunehmenden n immer grösser.

Eine bemerkenswerte Umwandlung erfährt diese Reihe, wenn ^^io nach den Gliedern der harmonischen Reihe |, i, i . . . geordnet wird; es ist dann:

376 Rogtl: Uebtr eint besondere Art von Reihen.

3n*±n

7?(a;) = -lüg|2:(— l)"x ^

Werdon von B{x) die Glieder mit ungeradem Exponenten & einer neuen Reibe

Ä'(x)-iZl0g(i±^^)

vcreiuigt, so lässt sish letztere mit Httlfe der elliptischen Fonctione sunimircn.

Es ist nämlich,

K'

q~e ^

vorausgesetzt,

Ä'(3) » </+(i+i)a»+(i + i)«»+(i-M)a»+a + i+J)fl»+ . . -

= .o.{l/fS.|4S.-|/i^...}

ferner

(Dur^ge, S. 227 (16)), daher

Ä'(3)=logi^

/j- ist der complementäre Modulua — : , i\ , gT m i \ d*' her gilt auch:

+(i+te'+(i+H- !)«"+■■■

Durch letztem Ausdruck wird die Reihe R\q)^ [in welcher die Cocfticienten von den Teilern des zugehörigen Exponenten abhängen, dargestellt durch den Quotienten zweier Potenz-Reihen, deren Ex- ponenten die Quadrate der natürlichen Zahlen sind/

2. Sei äo ist das Product Sm+n^'^n zweier harmouischeu Reihen, geordnet

380 Roijtl: Utber eine btsondere Art von Reikta,

So ist Z. B.

Hier ist

n w

obonso

+ji-r,«-"*V+--

Der Coefficiont von x^ ist in dieser Reihe:

n

»* 1 d^-l ^d

■G). "

WO sich die Summirung wieder auf alle Divisoren d des Ezponontcn n erstreckt.

Salzburg, Juli 1887.

384 Rogtli DU BtMtimmunij der Anzahl Primzahlen^

1) nftmlich in ^(n \ ist für ( Jmal, in der zweiton — (oK •••

in der (r— l)ton (— l)''^'^^^) and in der rten (— l)^fM|^ jmal,im ganzen daher

ontkalion.

DasB die Combinationcn der Primzahlen p^ . . . ;9n, welche hier als Teiler auftreten , nicht grösser als m sein sollen , ist OberflQssig

beionders zu bedingen, da ja in diesem Falle (-J = 0 wird (p>m).

Durch diese successiven Teilungen werden aber die Primzahlen Tif Pt ** • ^M-i, Pn < V^n < pn\\ selbst ausgeschieden; indem man ihre Anzahl n— 1 restituirt, ergiobt sich als Ausdruck fOr die Anzahl aller Primzahlen, welche nicht grösser als m sind:

oder

»j'-— -f(er^+fG-:^)-"ffe)+-

m — 3 kann symbolisch auch in folgende Form gebracht werden:

^] -«-w(.-;j(.-i.)...(.-^yo-J.)

Das eingeklammerte m zeigt an, dass nach vollzogener MultipHcation der Factoronfolge jedes Glied mit [mj noch vor der Rednction zu muUipliciren und dann

^"^^ sCr p \sCr pj

in sotion ist; *(yp bedeutet hier die «te Combination der rten Clasae ohue Wiederholung der Elemente |>i . . • p«.

nie Aehnlichkeit dieses An^mckes 4] mit jenen für die Aszakl

welche nicht rfröftaer ah eine gegebene Zahl »ind. 383

(jr(w) ') aller zu m =^ a".öß ,,. k* .V- relativen Primzablcu ist uu- vcrkennbar; es ist bekanntlich

»<-.=-(.-i)(.-0-('-i)0-i)

Durch Substitution von m«-@ aus 4] in 2] wird

Eine von dieser verschiedene für praktische Zwecke bedeutsame Form für ^Im wird mit Benutzung der Gleichung

G) - (?)

erhalten. In seiner urspranglichen Form ist nämlich

\V%VJ \PiPJ \PiPA/

PtPzpJ PtPzPiJ \P%PzPiPbJ

+ n— 1

Da dio Ordnung der Glieder ohne jeden £influss auf die Grösse von $(m ist, so gilt auch:

\PJ \VtPj \PzPa/ \PtPfkPj

+ n— 1

1) G. T#rjciinc.Dirichlct, Vorlesnng^ii ttbor Zahlcnthoorir. Arrh. dor Ifatli. «. Pkjs. S. R«lk«, T. T0 35

fr^utrr mU eine p^pei^ertf Zahl nttiJ.

3S7

IMe Idditiov mit Hinzofagnug von «—1 = 7 crgiibt "Ä^ = 7:v

Zirbeisen Ueberocbt wnrdeo 5 Colouiieii aufgestellt : es mfinlen lodi zwei, fllr 4~ ^'^ — TollkommeD geD&gen.

Teiler +

:;5^

- +

179

119

71

59

35 !

23

11

51

25 17

11

13 '

32

27

10

16 in

4

13

5 ; 3 ,

2 i

	21	1 10
	7
1	4
		1
	!	1

3

3 1

1 1 1 1

_ I

3 2

1 1 1

Änsammonl +359 i — 50J | -f-263 , -fiH i -|-2

--• (Ui

7J — 1 = 7

«

359

73

it die Zahl m ciue zasammciigcsctzto, etwa von der Form

.« ^.iS

m = ;)2« p.^P . . . 2), C

tct die Kenntniss von g>(m) für dicso Art der roclinoriselion lirang einen kaum nennenswerten Vorteil, da die Teilsiimme

ai*

388 Rogel: Die Dehtmmuny <Ur Anzahl Primzahlen elc,

in 4'] ja ans sämtlichen vorhergehenden Gliedern bestimmt vcrdeo,

die Ermittlang von ( — ) bis ( - ) daher immer vorzunehmen

ist.

Schliesslich sei noch bemerkt, dass dieser Algorithmos der Combinationen mit Wiederholung nicht bedarf.

Da 359 selbst eine Primzahl ist, so kann man sagen, dass es 73 Primzahlen giebt, welche nicht grösser als 359 sind.

Salzbarg im Janaar 1887.

400 Sporen New« über Vier- und Vielecke.

Ist insbcsoudcrc das Viereck derart beschaffeu, dass jeder Punkt Höhenschnitt des Dreiecks der audern ist, so ergicbt sich uns der im Abschnitt IV. entwickelte Satz.

Tritt ein 5ter Punkt hinzu, so können wir dieselben 5 mal zu 4 ordnen und erhalten 10 Punkte Q, welche dem Oauss-Bodermiller- schen Satze über ttber das Fttnfseit entsprechend auf einem Kreise liegen.

Weingarten, (Württ.) im Januar 1886.

410 Ditfl^r: Sechs Beweise für den die eUi/»it$eh€H Inie^raie

i + Jf 1+^y

Halbmesser des innern Kreises. (Es wird vorteilhaft scio, alle Linienmaassc darch AC za dividiron). Da wir darch diese zwei Werte die Lage des innern Kreises kennen, so denken wir ods die Sehne PQ wieder so gezogen, dass P nnd Q anf entgegen gesetztai Seiten der Mittelpanktsgeraden sich befinden, und bezeichnen die Mitte der Sehne PQ mit M\ Dann ist

Wkl. QMP = 2{q> + x), Wkl. QMAf' = Wkl. M'AfP ^ tp + i

und wenn man

Wkl. QAfA « 2x subtrahirty so ergibt sich

Wkl. A^f^i' = Wkl. ACT=(p — x Also ist

PQ

pQ^(i+i)sm{q>+x\ :^-*a+-^y(v+z)

1 /mc Tangente AC

Weil das constante Verhältniss y jj^ — pQigtrahl ^^^^ AÖ'^^^^

ausgedrückt werden kann, so ist

WeU

so ist

ferner ist

Weil

so hat man

TP QT

-- - sin y . Jq>, ^c "^ ®*" ^ "^^

AM_ 1 + z/y AC -" 2

MC

_ 1 - dy

AC 2

AfM' l + ^Y , , , CT

~Äc = —2~ ^°' (^ + 5t) ' AT' "" ^""^ y

CT MM' , MC , ÄC^'AC+ÄC^'''^'^''^

1 + z^y 1 — z/y cosy = ~2 ^'^^(^ + Z) H "2 ^°®^^ ""X) = C08g>co8x

— ^iy . sin^sin^ Ferner ist

M'T ^ MC. Bin {(f — X) daher

TP 1 i>Q MC . ,

;4C = 2XC->4C'^"(^"-«) das heisst

420 BigUr: Sechs Beweise Jür den die tUiptischen Integrale

ßS^c + ö « 0 und E = R(Sc)

das heisst

ySc = CcDc

Eliminirt man /J aus - ßö = 1 und ß.S»c + ö^O, so ergibt sich

6V ^ k^ S^c.sU^ --{:^'' -t r) + 2 -^-^ Cc iJc .8t.+ J'e

Denkt man sich s, t, folglich auch Sc sehr klein, und vTiiachiashiül die sechste Ordnung des Termes Jc-S-cs^t'^ (indoui

CcDc - 1 - — ~— 5-+ . . .

durch 1 ersetzt wird, vornachläFsi/Jit man ohiifhin dio x'wriv Orfln::ii? neben der zweiten), so muss die Gleichung die Form

nicht die andere

annehmen; also muss

d = — Sij sein. Dann ist

1 ^ CcDc -

P -» ^^ « = — l^Sc, Y = - - - , Ö « — ^r-

endlich ist

Sc.V == - /j^sV. .s-;2-j-.s- + /-+-2r'- /;.••. xr -NV = 0 die verlangte Intogral^ieichunjf.

Weil

/; = , (1 - /.-^^^VaSv-). /•; - ^, Sy

so wird die Gleichung

Dt + E -.= /».x) mit Sc niultii)lioirt, zu

(1 - //-^'-^oSVJA^v/ - Si'Cj'Dx " CclJrS,r

Dsl y ^= c - iT, so hloibt diese Glcichuim bosU^li.'iK >M'nu m.ni r ui.il ?/ mit einandiir vertansclit und x duroh - j- erst/tzt; dann wird

Sr

Sw Cy Dj, + Cx iKv S// 1 - /•'^S^j'S'i/'

Weniger leicht gi.*lan;it man von r -^ 0 aus zu dieser Gleichung. Die in Bezug auf Sx «Sy rationalo Integralgleichung ist uuiulich

trster Gattung betreffenden AdtUtionssatx. 42 1

Soll sie nnn in Bezug anf Sc (was man als die arbiträre Integra- tionsconstante betrachten kann) rational werden, so mnss man beide Seiten derselben mit

mnltipliciren nnd bekommt

Die linke Seite sei mit LS^c — 23XS*c-f--^ identisch. Dann ist

X=:(l--^•«iS«x5«y)^ N={S*x—S^y)^, M=(l+k^S^xSYXS^x+S*y) - 2{i+k^)S^xS^y = S^x (1 - (1 + ^*) S^i/ + k^S*y) + S^l/(l—(l+k^)S^x + k^S*x) = S^xC'yD^i/'\'CxD*xS^i/

Zugleich ist

{SxCyDy)^ - {Cx DxSy)^ = {Sh:--S*y)(l --k^S^xS^y) Also

Ar2 -'LN=z4: (Sx Cy Dy)^ (Cx Dx Sy)^

Man mnss die Lösung

LS^c—M= 2SxCyDy . Cx DxSy wählen und bekommt

(1 — k^S^xS'^)^ S^c = (Sx Cy Dy+ CxDxSy)^ WO man wiederum

{l — k^S^xS^y)Scz=SxCyDy'\'CxDxSy Wählen mnss. Sonst kann man die Gleichung

—(1 ■[■k^^xS^y)S^c+S^x + S^y+2CcDc .SxSy = 0 auch wie folgt behandeln. Weil

S^x-\-S^y = 1 + S^xS^y - C^xC^y ist, so wird die Gleichung zu

C^C'\'lßcS^xS^y'-C^xC^y+2CeDe.SxRy = {)

das ist zu

(Gr4-Z>cÄi?^)2— C^x a^ — 0

und nnn mnss man den Factor

422 IJiyler: Sfchs Beweise /ör den die eUiptixchen integrale

Cc+DcSxSy — CxCy = 0 wählen, bekommt also die bekannte Gleichang

Cc-CxCy-DcSxSy

5^) Beweis von Lagrange. Es sei

^+y=^c, am.« «9, am.y =- x» am.c = y, g>-f-x=p

^ — iL^a

Dann ist

3a) ^ 3y ^

g_^ = —k^SxCx J^•*8in(p4-g)

g^ — — ^•«/Sy Cy «- — JA;« sin (/J — g) also

0^2 « — 1c* sin /) cos 5, K-^ =« — A;* cos/i sin q Ferner ist

dx' dx "^ \8a: / \8j*/

= n^x — D^y = — ik« (sin V — sin*x) — —A;" sin/? sing

Diviilirt man mit dieser dritten Gleichung jede der zwei vorigen, so

bekommt man

8 S;) 8 , 87

^f^__^ cos q dx__^dx cos/1

87 "* sin 7' ?? "* sin p

dx dx

also

cp 87

</log A- = f/ log sin 7, rflogÄ = c^logsinp

Beachtet mau, dass

dp 87

ex *' OiC

o ^ Dx - Dy, rT «= Dx-\'Dy

SO geben diese Gleichungen für y = 0 (also r = <?, x = ^i 9 = X»

f> «7 = y):

dp

dx

-{\-Jy\ ,^^=1 + '

'r

erster Gatfuiiy belrefftmien AdditionssaU, 423

Mau kanu also bei der Integration der zwei letzten Differential- gleichangcn die Intcgratlousconstautcn augeben und hat

dp 1 — ^y . Bq 1 -\- /^y ,

ox siny -^' ox siny ^

Multiplicirt man die linke Scito der crpten Gleichung mit der rechten

Seite der zweiten, und die rechte Seite der ersten mit der linken

.siny , , der zweiten, ausserdem noch nut -^, so hat man

1+^y , , 1 -Jy . . — ' Sinpilp « ö — Sinqdq

das heisst

d I gT"^ cos q-\ ~- COSpj => 0

also

d (Cx Oj — DcSxSi/) = 0

Für y « 0 wird der eingeklammerte Ausdruck zu Cc Also

Cc = CxCy — DcSxßy

Die zwei vorhergehenden Gleichungen, addirt und subtrahirt geben

noch

ScDx — Do Sx Cy'\- Cx Stf ', Sc Dy =» SxCy+DcCxSy

6^.) Beweis aus den Formeln der sphärischen

Trigonometrie.

Wenn r?, ft, c die Seiten, A, /i, C die Winkel eines Kugeldrei- ecks bedeuten, so gelten die Gleichungen:

cos a = cos b cos c + sin i sin c cos A

sin a cos J? = cos i sine — sin ^» cos c cos -4

sin a sin Vi = sin2>sini4

1 ) cos -^1 = — cos B cos 6'-}- sin B sin C'cos a

2) sini4cosÄ « cosÄsin C+sinZ^cosCcosa

Man betrachte A, B, C als die drei unabhängigen Variabein und

*

setze k « -. — : = etc.: l- ist also eine Function von A, Ä, C, Die sin A '

Gleichung 1) gibt, wenn mau A^ B constant setzt:

(cos -ö sin C-t-sin/^cosCcosa)f;6'— sin/ZsinCsinac/a = 0 also

428 MiseeUen.

OY' X OZ' ^^

also unabhäDgig von h ist ; sind also Y und Z zwei mit X zusam- raengebörige Pole, so ist das Product der Abstände YO, ZO von dem Fusspunkte des auf die Polare vom Mittelpunkt gefällten Lotes constant und stets

, (r« - a«)

r'

a

Man kann nun auch die Lage der beiden Ecken Y und Z des Vierecks bestimmen. Nennt man nämlich OY' = c, YY' =. x und y'Z=y, so hat man die beiden Gleichungnn

X i y '^ h'\'C-\-x i Ä-f-c — y und

{x-]^c){y - c) ^ bc

Aus denselben findet sich Nennt man noch

ZZ' ^ z ^ b'\-c — y

80 ergiebt sich

Man hat somit alle drei zwischen den harmonischeu Punkten F, Y\ Z, Z' liegenden Linien ar, y^ z gefunden.

Das Viereck , dessen Diagonalen die Polare von X in F' und Z' schneiden, ist das einzige inboschriebene Viereck der Vierecks- schaar, welche zu den Punkten X, y, Z gehört, dessen Diagonalen gegenseitige Polaren zu einander sind; denn da die Punkte F, Z, F', Z' harmonisch sind, so nähert sich F' dem Z, wenn Z* sich ihm nähert, ebenso entfernt sich F' von Z, wenn sich Z' von ihm entfernt; also kann der Fall nur einmal vorkommen, dass

OY* X OZ* = r« l—^-J ist.

und

b — c

y-<'--rzz+iEry^<= = '''

nnd sucht aus den Formeln

Miscellen. 429

X -= -_ ^, {c + ^ h'c ), ;/ = -j^r-—^, (—c +b c )

X* und y\ indem man für // und c' die Werte in b und c einsetzt, so ergieht sich

iiöricrc Pcio rj; A' siinl, ;(UN^i'.-'a!'g' n v.;in\ «-■:) -.vürlo man als Dia- gonalen dt*s botrctVciidcii Vitrceks AI' und XZ' g( fanden haben.

Es flicht also zwoi inbcschriebiMic Vierecksschr.aren , welche in der x\rt conjugirt sind, dass ■ie. ein«; zu den Punkten A', 1", Z ge- hört, und die Diii^oiiukn ihres lIrini)tviorccK-s dun^h Y* und Z' gehen; während die andere Schaar zu A, r', Z' fiehorl, uiui uu* i/iaj^uiuuen ihres Hauptvierecks durch Y und Z gehen.

Betrachten wir nun die Viorecksschaar, welche zu A', 1', Z ge- hört, näher. Wir setzen dabei voraus, dass O näher an Z als an F liegt. Die Diagonalen eines dieser Vierecke, welche sich in X schneiden, fallen sehr nahe mit A'l' zusammen; dann liegen die Paukt U und V sehr nahe an 1'. Fallen die Diagonalen in AT, so fällt das ganze Viereck in die Linie AT, zwei Seiten werden dabei unendlich klein, sind als Tangenten aufzufassen und schneiden sich in Z. Lassen wir nun die Diagonalen grössere Winkel mit AT bil- den, so rücken die Punkte U und V nach entgegengesetzten Seiten von Y fort. Dabei kommt ^' in die MiU(j zwischen Y und Z, dann liegt Ar parallvd YZ^ und die Sehne wird durch A halbirt. Lassen wir die Winkel dor Diagonalen noch mehr wachsen , so liegen nun V und V auf der zweiten Iliillte von YZ und nähern sich Z. Da- bei kommt zunächst der Fail vor, dass L' und V zu Y' und Z' werden, oder dass

r«

l(i /. IO-- yn /Z'O --^ -,^i,r- ■■ a-) ist.

T)aM:i tritt \\u\'\\ d- r K.-..'. f-i;:. <l.'.-> •' " \\ > läli^ und ondiiv'h fallen heil«,* l)i;j:: >ii«tl«"!i \\\i-\ ijii'ii:.! ,us -^a-i/j^ \'i.i\'cl{ in A'Z. I.)i(^ Punlite y lu.d Z ..iA-M'-w i iu l.;s'.(.r eiüitvri • Uullo von A nicht spielen, weil sie a»i^.^Li'li;u > 'i<s ArciNes iieuen. l-ie beidLrii durch A' gchend<;n Pulareii A / ni.d .\A k.'-nni. n n:inilicli als Diagonalen oder Seiten eines inb< .^i-niicj.. nci Vieri ilis anpe.schen werden, dies ist jedoch he: den PoLu. n -VZ w.\.\ )Z ni.Iit iiiö^g'li'li. weil YZ ganz ausserhalb d«iS Kreise^ lie^^.

436 MUeeüen.

Ich braache wol kaam binznzafflgen, dass a, 6, e gewöhnliche Bedeatung (grosse Halbaxe, kleine Halbaxe und Excentricit&t der Ellipse) haben. Die zum Verständnisse nötige Figur ist leicht her- zustellen.

Waehring, 1888. December.

E. Zelbr.

4. Ueber eine Differentialgleichung«

Sei 9 eine beliebige Function von a?, so lässt sich die Gleichong:

immer integriren. Denn setzt man so folgt

dieses ist aber eine homogene Gleichung. Oder man setze

SO folgt

^t^ z du u

das* X dx"^ x^

m

Diese Gleichung gehört zur Form: deren allgemeines Integral

H

y -= £Akxßk

ist, wobei ßn die verschiedenen Wurzeln der Charakteristik

£ak(ß\k)^0 o

bezeichnen, in welcher

446 Miseeüen,

Indem wir nun die Formel vdv » qdx benntzen, erhalten wir

Vp—Q

vdv -= ö — 9^

Oemäss der barometrischen Höhenformel in ihrer einfachsten Gestalt

X

Po *0

oder

X -o A\og~

geht die Differentialformel über in

X

worin pq nnd b^ sich anf die Erdoberfläche beziehen.

Nehmen wir an , dass die Bewegung in der Höhe H znr Ruhe kommt, wo also T^j — Q ist, so hat man

X

vdv ^ — (pe — Ijgdx nnd integrirt

X

Da nun tür v » 0, x -s ij wird, so ist die Geschwindigkeit des Ballons in der Höhe x durch

V* h^( ' A A\ ^ „

gegeben. Darin ist h^ der Barometerstand fülr B,

Die Anfangsgeschwindigkeit für x = 0 wäre also vermittelst

H

i-M.-.-^-u

bestimmt.

Führen wir noch fär ä~ die Geschwindigkeitshöhe für den freien

A 6|

Fall ein, setzen also e* » 2^A, so ist einfache wegen % = ^

448 MüceUen.

'^y 9h ^ . h, \ßh^

h+VX A

oder nach Einsetzen von

für den Grenzfall x -=. jy, i = J^.

Die Zeit des Steigens bis zum höchsten Ponkt

darin bedeuten Iq nnd h^ beziehungsweise die Barometerstände am nntem nnd am obern Punkte, g die Acceleration der Schwere and -4 = 8000 m.

wird

Entwickelt man für r^ — 1+a: den log (14*^) ui eine Reihe, so

-i+j/i+^f

welche Formel man fttr kleine Werte von x noch weiter verein- fachen kann.

Beispiel. Ist h^ -> 760mm, b^ =690 mm, also JET— 761m, so ist T ca. 73 Secunden.

Gräfrath, den 21. September 1888.

E. Oekinghans.

IMttrariieher Bericht XXV. 13

Btiminang der invariantiven Operationen zwischen 2 Reihen von Variabein, welche sich mit jeder andern Operation derselben Art yertanscheu lassen.

M. Pannelli: lieber die involntorischen vielfachen Transfor- mationen zweier Bänme.

A. del Re: Correlationen, welche die doppelt gekrümmte Curve 4. Grades in die Abwickeibaro ihrer doppelt berührenden Ebenen verwandelt.

F. Amodeo: Ueber einen speciellen Connex (2, 2).

H.

Lüterarüeker Berieki XX VL 26

J. M. Page: Ueber die primitiven Transformationsgruppen im Raame von 4 DimensioneD.

W. G. L. Oorton: Linien-Congraenzen. F. Franklin: Einige Sätze den Schwerpunkt betreffend.

H.

Revne der Fortschritte der Naturwissenschaften. Herausgegeben unter Mitwirkung hervorragender Fachgelehrten von der Redaction der „Graea'^ Dr. Hermann J. Klein. (Fünfzehnter Band.) Neue Folge. Siebenter Band. Nr. 3. Physik. Leipzig 1887. Eduard Heinrich Mayer.

Nr. 1. und 2. sind im 20. litt. Bericht Seite 48 besprochen. Die gegenwärtige Lieferung enthält eine Reihe neuer Beobachtungen und Entdeckungen unter den Titeln: Mechanik, Akustik, Optik, Wärme, Elektricität und Magnetismus. An Stelle der Mechanik findet man vielmehr Zustandsveränderungen von Stoffen. H.

52 Litteraritchtr Bericht XXVllL

das aoz savants les plas illastres sur les Monnaies, la Statistiqae, la Geographie, la Mineralogie, etc., enfin les Notices suiTantes: Sur les quatre sessions de rAssociation g6odesiqae internationale k Paris, Berlin, Nico et Salzboarg; par H. Faye. — Sar la mesore des masses en Astronomie; par F. Tisserand. — Une exp^dition an massif da mont Blanc; par J. Janssen. — Une ascension an pic de T6n6riffe; par Boaqaet de la Grye. — Discoars prononc6 k rinangaration de la statnc d'Ampdre k Lyon, par A. Gorna. — Revae des principanx travaax da Bareaa des Longitndes en 1888; par le Secr^taire. In-18 de IX-830 pagcs, avec 2 Cartes magn6tiqaes. (1 fr. 50 c)

Gaathier-Yillars et fils.

Teiim.

Taf.

I.Pelisei: OrtderAicoimm SchmuStnitmeffiini/en.

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