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ülftllieiiAatUc imd Plty^slk
mit besonderer Rücksicht
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. Ii91iem UKterriclitsaDstatten.
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Hefapisgegebeii
•. ^
von -V
j€tMa»n AugusM Grunerh
Professor zu Greifswdd.
Achtzehnter Theil.
Mit zehn lithographirten Tafeln.
Oreifiüvrald.
C. A..Koch*s Yerlagshandlitng
Th. Kunike.
1853.
V,
162445
i : ■
Inhaltsverzeichniss des achtzehnten Theils.
Aritbmetik.
Xr. der Heft* Seite,
übliawiliiag. >
IV« Die Differeotiatioo unter dem Integralieicheo« Von Herrn Oakar Werner, Lehrer der M%r thematik zu Dresden • . • I. 39
I
V. Die Umformong der irrationalen gebrochenen Fanctionen in andere, welche einen rationalen Nenner haben. Von Herrn B. Sommer, in Coblenz I. 44
\l« UntertQchnng der biqnadratitchen Formen«
Von Herrn Doctor F, Arndt, Lehrer an der
«
höheren Bnrgerachale* zo Stralannd . • • h 111
XIV. Ueber die Anagleichung der Beobachtongtfehler. Von dem Herrn Profeasor Dr. J. Dienger an der polytechniachen Schule zu Carlaruhe • H. 149
W, Die Auflöaoog algebraiacher Gleichungen. Von Herrn August Weiler, Gymnaaiallehramts- Candidaten (Darmstadt.) H. 194
u
Nr. der Abhandlung. Heft. Seite.
XVIII. Erweitemngen der Integralrechnong. Von dem
Heraaageber • • • • IIL 241
XIX. lieber die independente Bettimmnng der Coeffi- cienten onendlicher Reihen und der Fakultäten- coefficienten insbefondere. Von dem Herrn Pro- fesfor Dr. O. Schlö milch zu Dreaden • HI. 306
XX. Combinatoriache Daratelinng der Nähernnga- werthe eines Kettenbrucha. Von Herrn F. Bar- tholomäi zu Jena UI. 328
f XXV. Zor Differenzenrechnung. Von Herrn Profea- ^ aor Dr. O. Schlömilch an der polytechni-
achen Schule zu Dreaden IV. 381
XXVI. lieber die Substitution neuer Variabelen in an- beatimmte und beatimmte Integrale. Von Demselben IV. 391
XXVin. Bemerkungen zu den Elementen der Arith- metik. Von dem Herrn Doctor R. Baltzer, Oberlehrer an der Kreuzschule zu Dreaden . IV. 405
^ XXIX. Bemerkung zur Theorie der Kettenbräche. Von dem Herrn Professor Dr. O.Schi ömilch ^' KU Dreaden IV. 416
XXX« lieber eine gewisse Klasse in der Trigono- metrie und Astronomie hänilg in Anwendung kommender anendiieher Reihen. Von dem Her- ausgeber . , y IV. 420
XXXIU. Heber eine Aufgabe in der Kreistheilung. Von dem Herrn Dr. F. Arndt, Lehrer an der höhe- ren Bürgerschule zu Stralsund IV. 461
Geometrie.
n. Die Krumm nngstheorie der Kegelschnitte, ele- mentar geometrisch begründet. Von Herrn Planck, Repetenten an der polytechnischen Schule SU Stattgart I. il
/
HI
Nr. 4w
Abbaodliing. Heft. Seite.
IL, Problema« loTenire Rhombnin maximnm et minimani, qni in Ellipfin datam (axes =a, df o^ö) intcribi potsit. Aactor Chriatia- nas Fr. Lindman, Lector Strengnesenais I. 109
MI« Sjnthetifche Beweiae der Sätze in Thl. XVI. Nr. Will, nnd Nr. \IX. des ArchiTs. Von Herrn Profesaor Proas za Stuttgart I. 119
XVI, Einfache Berechnnng der Zahl n*. Von Herrn C. Hellwig, Lehrer der Mathematik zu Fnrstenwalde U. 234
XVIL Leichte Bestimninng des Inhalts der dreiseiti- gen Pjramide ans drei in einer Ecke znsani- menstossenden Kanten nnd den eingeschlosse- nen Winkeln. Von dem Heransgeber . • IL 239
XXL Der PascaFsche Lehrsatz in seiner Anwendung auf die geometrische Analysis. Von Herrn
/
Planck, Repetenten an der polytechnischen
Sehnte zn Stuttgart HI. 335
XXnL lieber die ConTerse des Satzes: Im gleich- schenkligen Dreieck sind die die Basiswinkel nach gleichem Verhältniss theilenden Transrer- salen einander gleich. Von Herrn C. Schmidt, Lehrer an der höheren Bürgerschule zu Stolp ^ (jetzt Rector der höheren Burgerschule zu Nenstadt-Eberswalde) IIL 357
XXVII. Die Beziehung der Ellipse auf ihre zwei glei- chen coiyngirten Durchmesser. Von Herrn Doctor Kösters zu Warendorf . • • . i IV. 400
XXXIL Abriss eines Beweises fnr den sogenannten elf- ten Euklidischen Grundsatz. Von dem Studiren- den der Theologie Herrn H. Th. Hörijch aus Schleswig-Holstein zu Bonn ....... IV. 455
IV
Nr. der AbhandloDg. - Heft Seite. •
Trigonometrie.
XXXV. Einfacher Beweis der Formelii fdr •iii(x±f^)
o und co9(xJ^y), Von Herrn J« J. Aatrand,
* PriTadehrer der Mathematik zaGothenhurg
in Schweden IT. 479 ^
Jf. f. oneA Arithmetik Nr. XXX. Heft IF. 8. 490.
Geodäsie.
VII. Bectinmong der geographifchen Breite und Lange ans geodätiachen Messungen. Von dem Herrn ProfeMor Dr. J. Dienger an der polj- technischen Schule an Carlsrohe. • . • I* 80
XXXL Einfacher Beweis für die Ton Mascheroni ge- gebene Auflösung der Aufgabe: die Länge einer an il|ren beiden Endpunkten nnzugänglichea geraden Linie zu messen« Von Herrn Dr. J. R. Boyman zu Coblenz .' IV. 452
XXXV. Zorn Winkelkreuz. Von dem Herausgeber IV. 477
M. «. mteh Arithmetik. Nr. XIV. Heft IL Seite 149. Geometrie. Nr. XIL Heft i. Seite 119.
Mechanik.
I. Aufgaben aus dem Attractionscalcul. Von dem
Herausgeber ' I. 1
\1U. Ueber die Gleichungen der Bewegung, Anwen- dungen derselben. (Nach Jules Vieille in Liou- TÜle's Journal, Jnillet 1S19.) Von dem Um. Professor Dr. J. Dienger an der polytechni- schen Schule zu Carlsruhe I. 91
XXU. Wann liegt der Schwerpunkt eines ebenen Vier- ecks ausserhalb desselben? Eine Crelegenheits-
.Nr. der A%liaadlang. Heft. Seite
frage, betntwortet Ton Herrn Dr. Wilhelm Matzka, Professor der Mathematik an der UBirertität zn Prag ITI. 352
Optik.
in. Direkter Beweit der Undulationstheorie des Lichts aas der Aberration der Fixsterne. Von Herrn Professor Dr. Riecke an der königl. wnrttembergischen land- nnd forstwirthschaft- liehen Akademie »i Hohenheim .... I. 33
VI. Ueber den Winkelspiegel. Von Herrn Doctor Jnline Uarimann, Gjmnasiallehrer lo Rinteln I. 55
Astronomie.
■
XllL Ueber die Berechnung der Cometenbahnen. (Erste Fortsetxong der Abhandlang: Nene Me- thode zor Berechnung der Cometenbahnen. Ar- chiv. Tbl. XVII. Nr. IV.). Von dem Heraus- geber H. 121
XXX. Ueber eine gewisse Klasse in der Trigonometrie nnd Astronomie häufig in Anwendung kommen- der miendlicher Reihen. Von dem Herausgeber IV. 420
* Jf. «. auch Arithmetik, Nr. XIK Heft IL SeÜe 149. Qptik, Nr. IIl. Heft I. Seite 33.
Meteorologie.
XXIV. Die 15 letoten Winter in Berlin, dargestellt and bekprochen von Herrn Professor Dr. J. Ph. Wolfera in Berlin IV. 361
VI
Nr. der Abluuidliuig. Heft. Seitew
Chemie.
IX. Aofloswigeii der Aafgabe, bei einem Gm- gemenge Ton Tiererlei brennbaren Ga«en die unbekannten Glieder y^ CXy Cy' and Cy za bestimmen. Von Herrn Professor Zenneck SU Stattgart I.' 102
Uebungsaufgaben für Schaler.
XXXIV. Von dem Lehrer der Mathematik Herrn Wer- ner sn Dresden • « . • IV. 475
XXXV. Za beweisender Lehrsatz. Von Herrn J. J.
o Ast r and, PriTatlehrer der Mathematik sn
Gothenborg in Schweden IV. i80
Literarische Berichte*).
LXIX I. 881
LXX U. 889
LXXL III. 8©7
LXXn IV. 909
*) Ich bemerke hiebei* dass die Literarischen Berichte mit beson- deren fortlaufenden Seitenzahlen Tersehen sind.
Aufgaben ans dem Attractlonscalcnl.
Von
dem Heraasgeber.
Uoter den Tielen ioteressaoten Aofgaben, welche der At- tractionscalcnl *) darbietet, haben vorzuglich zwei, wegen ihrer grogseo Wichtij^keit för die physische Astronomie und die Theo- ne der terrestrischen Schwere, die Mathematiker vielfach beschäf- H^t, DSmIich die Aufgaben liber die Bestimmung der Anziehung e'uier Kugel and der^ eines dreiaxigeo elliptischen Sphäroids. Es «cbeint mir aber wOnschenswerth , da^s theils diese Aufi^aben vermehrt, theils früher schon aufgelöste nach neuen Methoden behandelt werden. Ich will daher in einer Reihe von Abhand- loi^en, welche durch die vorliegende eröffnet wird, die Resultate meiner mehrjährigen gelegentlichen Beschäftigungen mit diesem Cvegenstande vorlegen , in äer Hoffnung , dass dadurch auch andere Mathematiker mehr als bisher zu dergleichen Untersuchungen und llittheilongen veranlasst und angeregt werden. In der vorliegen- den Abhandlung mache Ich den Anfang mit einigen leichteren Aufgaben, die aber späteren Untersuchungen theil weise zur Grund - \iZt dienen, und an die sich daher einige kiinf^g noch zu ver- «jflentlicliende Abhandlungen zweckmässig anschliessen lassen n erden. Unter den hier behandelten Aufgaben findet sich übri- irens auch schon das für die physische Astronomie so wichtige Problem Ton der Anziehung emer Kugel, welches ich hier auf
«I Ich bediene roirh dieier, zwecbmansigen, tou Herrn Professor Dr. Seh lö tnilch in feiner neuerlich er<ichienrnen Schrift: Der At- lr«ctioB«r.alrul. Eine Monogmiihio vonDr. O. Schlöroilch M. t. w. Halle. 1851.*^ eingeftihrten Bi^nennnng
Tb«^ XVIII. 1
I
• • • •
eine voo der bisherigen ganz verschiedene Weise aufkeliist habe, eine Aufltisan^, die sich wegen ihrer Anschaulichkeit vielleicht vorzugsweise uir Anfönger empfehlen mochte, wenn ich auch gern zugebe, dass die bekannten allgemeinen Formeln, welche u. A. auch Herr Professor Schiomilcb a. a. O. mittheilt, kOrzer zum Zweck fiihren. •
I.
Wirkung der Anziehung eines Punktes von der Masse u auf einen Punkt von der Masse Eins.
In Bezug auf ein beliebiges rechtwinkliges Coordinatensystem seien f:, y, ^ die Coordinaten des angezogenen Punktes von der Masse Eins; die Coordinaten des anziehenden Punktes von der Masse (i seien x, yf z; die Entfernung der beiden Punkte voo einander sei r; so ist die Wirkung des Punktes (jtyi) von der Masse .u auf den Punkt Ocf^) von der Masse Eins, wenn wir wie gewöhnlich die Anziehung gerade der Mas^e und umgekehrt dem Quadrate der Entfernung von dem anziehenden Punkte propor- tional setzen:
Ja'
und diese Kraft muss man sich als von dem Punkte (jry^) nach dem Punkte (xyz) hin wirkend vorsteilen, weil der Punkt (:ryz) auf den Punkt (jcy^) anziehend, nicht abstossend, wirken soll. Legen wir nun durch den Punkt O71) drei den primitiven Coor- dinatenaxen paralleie secundäre Coordinatenaxen , zerlegen die Kraft
nach diesen secundären Coordinatenaxen, und bezeichnen die ent- sprechenden Composanten durch X, F, Z, die von der als von dem Punkte (Vf^) aus nach dem Punkte (^2) hin gehend gedach- ten liceradeD Linie r mit den positiven Theilen der drei secundä- ren Coordinatenaxen eingeschlossenen, ISO'' nicht übersteigenden Winkel aber durch 9, if;, %; so ist
Jf=^cos9, F=^cosi/;, Z=^^cosx.
Bezeichnen wir nun aber die Coordinaten des Punktes (xyi) in dem durch den Punkt (jTf^) gelegten secnndiren Systeme durch
3
j*, j<, z'\ SO ist nach der Lehre von der Verwandiung der Coor- dinaten bekanntlich:
%n ist aher allgemein
ac'rrircoBtp, y'=rco8^, 2'=;rco8%; also
x — jc=zrco8q>9 y — y=zrco8rfß, z^^=zrco8%;
oder
cos9=
, COStl^='^ f COSY =
r ^ r ** r
FolgTieh ist nach dem Obigen:
A= — -^ — » r = — ^g — , -Ä— y, • Bei^nntüch ist aber nach den Lehren der analytischen Geometrie
also
jr=
F=
z=
^^— y)
{ (or-«^ + {y-7f + (i-iyn*
II.
Wirkang der Anziehung einer geraden Linie auf einen Punkt von der Masse Eins.
Die Grösse nnd Lage der geraden Linie, deren Anziehung avf etneo Punkt von der Masse Eins wir jetzt betrachten wollen^
sei durch ihre beiden Eodpimkte (abc) nnd (oi^iCi) bestimmt» so dass also
X — a y — b z— ^
öl — a bi^b Ci — c
die Gleichungen dieser geraden Linie sind; ihre Länge wollen «vir durch 1/ bezeichnen.
Theilen wir nuu die gerade Linie in n gleiche Theile, und setzen der Kfirze wegen
n
so wie
Ol — a . bx — b . C|— c ^ .
n n n
so sind die Coordinaten der beiden Endpunkte der geraden Lidie und aller auf derselben liegenden Theilpunkte Ton dem Punkte {nbc) an nach der Reihe:
a, b, c;
a + ia, A + »*j c + iel
a + 2ia, 6+2i*, c h'iic;
a + 3ia, 6 + 3t6, c + 3ic;
u. 8. w. u. s. w. u. s. w.
Bezeichnen wir die Coordinaten des angezogenen Punktes wie früher durch A y» ^9 ^*® ^®° Coordinatenaxen parallelen Compo- santen der Anziehung durch X, F, Z; die Dichtigkeit der anzie- henden geraden Linie durch d, ihre Masse also durch öL^ so wie die Masse eines jeden der n gleichen Theile, in welche dieselbe getheilt worden, durch dX, und setzen der Kurze wegen:
j;— je
,. y— y. .
, . *:::;:? .
so sind nach 1. die ConiposaDteii Xy ¥, Z qffenbar die Gränzen, denen die Grossen
6ijf^(a) + SXq>^(a+ia) + ÖX(pf(a-t^2ia) + ..., + dlq>Ja + (n-l)^.) ,
dl9,(c) + «A<p3(c+ie) + W9>^(c+2ic) + ... +«Xg)g{c + (n-1^^^^^ •der, weil
^^ dL ÖL . ÖL . ÖL .
» Ol — a öl—o Cj— c
irt, die Gränzen, denen die Grossen ÖL
ÖL . . ^
dl
g^ «*l9^(6) + 9p(6 + u) + 9>9(Ä + 2ib) + + 99(*+»»») 1
mli Dfihem» wenn n in's Unendliche wächst. Weil aber unter dieser Voranssetzang die Grossen
;^„^.«;p,(«i)> k^zib^H^^^ ^Jl^'^a^^i)
mdi sftoimilich der Null nähern, so ist nach dem bekannten Haupt- satz« Ton den bestimmten integralen:
«»der» wenn wir die Masse unserer geraden Linie, nämlich öL, dorcb 1» bezeichnen:
b
e
Wir wollen nun das Integral
a
ZU entwickeln suchen. Weil
0? — je
ist 9 und
■ Ol — a^ ''
v=6+-^ — (ar — a),
2 = c + -^^ — (x^a) Ol — a ^ '^ .
gesetzt werden kann; so ist« wenn wir der Kürze wegen
aj— a "* Ol — a ^ und
a-;r=A. *-y=yi> c-r=:J, ;
setzen :
Aber dx^sdxi, ako
und folglich, weillurar=a, a:=:ai respective 0:1 =0» 0^1=01 — aiiüt: ^ {*_ /*•.--• (yi-f^i)8«ri
oder« wenn wir der Kürze wegen
i
setzen:
Es ist aber» wie man leicht findet:
r+Vi+*x,.=/*=^|i+^^'j
vnd
=(/»xi-yi)»+(m->i)H(/»>i-)ri)".
also fk—^, eben so wie ^ und h, eiae positive Grosse. Daher ist es verstattet
_£±*£l._„ XU setzen» woraus
BOd
i
also, weil k ond /% — jr' positive Grossen sind:
(/'+ 2^^. + Äx.*)l = (^ri0Ä^%l +„»)! folgt. Nach gehöriger Substitution erhält man:
8
also
P_Sh±
_ i _ r udH _ ^— Ay^ P du
Setzen wir nun, co zwischen — s"^ «nd +;T7r nehmend,
ti==tangfi>, so ist
Q So) ^ sinco rv , « I
also, weil cosm positiv ist:
VcoscdV cosa' Daher ist
udu du
folglich
also nach dem Obigen
/^ (ri+^i)a^i
— J_ ^QgQ> (jf— /<y|)sinc?
Weil aber
COSGO = — ^ 5111 (^j ;::: o^ •
VI + tango)« ' VI -f tang«« '
d. i. nach dem Obigen
m
cos« = • 1- ~ , 8inio = -—
ist; 80 ist, nie man leicht findet:
9
Fttrt man nun för tt seinen aus dem Obigen bekannten Werth m, so erhält man:
luul es ist folglich nach dem Obigen:
v_ »* Sf-afi f-!ß\ + (g| -g)(g— Axi )_(
>
Es ist nun
(fli -cjXi + (6, -6)yi + (c, -c)?, ^_ ___ ,
(fl, -g)« 4- (6. -6^a + (c, - c)' . abo, wenn wir
G= (fl,— a)jr, +(6i-6)yi + (c, -c)j, , Ä=(«,-«)»+(A,-6)a+(c,-c)« sdsen:
Fohren wir F, G, U statt /, (7, h in den obigen Ausdruck TOD X ein , so erhalten wir nach einigen leichten Verwandlungen :
T_. >» >F(gi-a)-Gyt jF+G)(ff,-fl)-(G+Ä)icj_, -¥H-&\ VF -V(^^-;F)*+(6,-y)H-(^-lö«^-
Es ist aber, wenn %vir der Kürze wegen
\n\ =(«-«,) (6-f) - (6-6,) («-X) , [yj] =(6-*,) (c-j) - (c-c,) (6-y) , rwcj = <<<R-Cx) (a-x)-(a-«,) (c-J) ;
10
o<
ler
oder
[xyj =(<i&i -/;«,) - («_fl,)jr+(6-ft,))c , [jrj] =(6c, -c6,) — (6-6,)J+ (c-c,))r , [if] = (cai— «c,) — (c-c, )jc + («— «i)» ;
[t] =— («i— x)«-(x— «)6i— (<t-«i)y ,
[yj] = _(6,_y)c-(jr- ^)c,— (6_6j)j , [W] = - (Ci - J)o - (>-c)fl, -<c- c, )y
setzen
FH- G«= tJcy]H [y»]« + [wj» , F(«,-«)-Gy, =_(4_y)[nr] + (c-?)[w]. (F+O (ai_B)_(G+/?)jf| = - (*i-F)[J7] +(c,-»)[J)r] ; also nach dem Obigen
(^-y)[yyl-(ci-?)[y]
■*— ft^Hj.
^(ai-X)»+ (6,-7)« + (c,-J)«|
[jffl'+ErJlHlJX]" i (6-y)rjryl-(c -j)[v]
V(a-jt)a + (6 - 7)« + (c-j)»
Es ist aber auch: '
(Ai-F)[«']-(CI-«[W]= (a-a,)l (fl,-rtH(6i-y)«+(Ci-J)«l -(«,— X)|{fl-fl/)(«i-XH(6-6i)(A,-r)+(c-c,)(c,— j)|,
(6-F)lJ7l-(c- «[JX] = - («1-«) I («-X)"+(6-y)H(c-J)« !
+ (a-rt Kfli_a)(o-x)+(*,-6X&-r)+(<'i-cXc-^)l; und folglich, wenn u-ir der Kfirze wegen
/»=(«-x)«+(ft-r)*+(c-»«, A=(«i-x)H(*i-r)«+(c,-j)«;
femer
Q = (n, -fl) («-X) + (6, -6) (*-7) + («x-c) (o-l) ,
Qi =(«-«,)(ff,-x) + (*-6i)(&i-r)+(c- «i)(c, -J) setzen, zugleich mit Verwechselung der Zeichen:
11
(t aa,-o)P--(a-y)<? (ff-a,)P, -K -y)Qt >
fi7j*+[nFRwp* VP "^ VP, '
r
5? */!> + ^TR ^v
(jyP+TriP+rvl*' VP ^ vPi
Weil nach dem Obigen
[jrf ]= - (fl,-jf)6 - Oc-«)*i-(a-fli)F .
[n] = - (bi-r)c -(r-b)ci-{b-b,)y ,
M = -(ci-))a-(J-c)ai-(c-6i)jr *ul, so sind die absoluten Werthe von
D7J. In]» M
die doppelten Flächenr&ame der Projectionen des zwischen den Puokten (abc), (oi^iCj)» (jiy^) liegenden Dreiecks auf den Ebe: oeo da*
ary, yz, zor;
ond bezeichnen wir also den Flacheninhalt des in Rede stehen* des Dreiecks durch ^^ so ist nach einem bekannten Satze
[jcf]'+[rJ]Hlw]»=4A''.
Bezeichnen i%ir die Entfernungen des Punktes (05) von den Punkten (abc) und (ai6|Cj) respective durch i2 und J?| , so ist
Ä= V(ä^)«T(Ä"-y)* +"(^-30^= VP,
also nach dem Obigen:
Ä= j|5K«i-o)(«-Äi)-(«-X)|-(ff, -f)^^ I' ■ K= jI^I (6,-fi)(Ä-ß.) - (b-y) ^ -(6,-F) ^i|.
12
Bezeichnen wir die an den Spitzen (affc) und (a]6|C|) liegen- den Winkel des zwischen den Punkten («6c), (tfi&iCi), ()7J) iie- ? enden Dreiecks ^ rcj^pective durch a und Oi , so ist nach den iebrcB der ebenen Trigonometrie:
'2Lßcosc()= (a— Ol)* + (6- 6i)*+ (e— cO« + («-X)« + (A-r)*+(c-.j)*
2Lß,cosa)i= (a-a,)a + (6-Äi)« + (c-i?i)*
-(a-rt^-(6-y)*-(c-«^ also, wie man leicht Gndet:
iÄcosco = - (ö4 -rt) (a-r) - (Ai-6) l6-f ) - (c^^c) (c-j) , ißaCos«>i=— ra— <ii)(a| -x)— (*-6i)(6i ~y)— (c— c^) (Ci— 5) ; d. i. nach dem Obigen
LRcoso) = — <?, LHiCOscoi = — Oi ; folglich
^^4A* ^ (^i"^**) (ß-/^i) + (a-X)^cosG)+(ai— rticosw,! , r=j^|(A,-6)(Ä-Ä,)+(6-F)Lcosa)+(Ai-.r)£cosa>il,
' Z= j^a I (ci— c) (ß— /?i)+(c— j)iLcosijH-(Ci— 5)Zk:os(Di | .
Weil
/; : I2i = sin '4)| : sin CO ,
/? :L =:sincO|:sin(co-|-Q>|)> i?i : L = sinoo : sin(flD -f- (k)|)
i<it, so kann man mit den obigen Ausdrücken noch verschiedene einfache Transformationeir vornehmen , bei denen wir aber jetzt nicht verweilen wollen. Man kann auch
L s= i?cosa> -f- Kl cosooi
setzen.
Bezeichnen wir die Resultirende der drei Kräfte A, Y, Z durch 2(, und die auf gewohnliche Weise genommenen Winkel,
13
welche deren Richtung mit den drei Cuordinatenaxen einschliefst, darch 9, ^^^ %; ho ist
2Ccos9) = X, Äcosi/; = Y, Jico8% = Z ;
Wird femer der an der Spitze (jj^) des Dreiecks il liegende ^Vlnkel dieses Dreiecks durch 8 bezeichnet , so ist
2l2ßiCosö= (a— x)* + (Ä— f)2 + (c-J)«
+ (^i-rtH(6i-F)* + (ci-«« -(a-cri)^(6-60*-(e-ri)»,
also» irie man leicht findet:
ÄRi cosd=(a-rt («i-X) + (Ä-y) (Äj-y) + (c-5) (ri-j) . Daher ist nach dem Obigen :
— 2Ä(Ä— Äi)cosiö» f
+ 2/^i(ß— /?,)cosa)x« ^ -f 2A/?iCoso)cosci)|Cosd j
= ^^ l ÄVmw« + Ä| Vinco,« — 2RRi(l — cosw* — cosoi* —coscöcosooicosö) Weil aber
co«ö= — COS(liO + Ol)
ist, so ist, wie man leicht findet:
1 — coscD^ — coswi« — co$a)cosa)|COsd=sina)8ina)^cos^, oiid folglich nach dem Vorhergehenden:
Ä«= ^^ (Ä«sina)«+Ä,Vmö)|«-2Äi?,sinw8inaiiCosd).
Bezeichnen wir nun die in Bezus; auf L als Grundlinie ge- ftoromene Hohe des Dreiecks ^ durch H, so ist
^=:l2sino9 = /?|Sina}i ;
14
also ist
oder, weil
ist:
und folglich
Ä*=^?(l-cosö),
2sinjÖ«=l-cosd
Aber LU-^^, also
Ä=^sinJ-d.
Nehmen wir jetzt der KQrze wegen die Ebene des Dreiecb A als Ebene der xyy den Punkt {nbc) als Anfang der (xyi)9 und die Linie L als den positiven Theil der Axe der :r an; so ist im Obigen
«=0, Ä=.0, c = 0; . ai=I/9 61=0, Ci=0;
zu setzen, und es ist folglich
X-zz ^^ t Ä— i?i— ;rcoso + (L— x)cosc), I , F=--^3 y (cosw + COSWi) ,
Es ist aber allgemein
]c=Rcos()i>, L^j:=zL — iBcosa>=iRiC08(0| , folglich
15
Z=0.
Nimmt man nun die positiven y von der Seite L des Drei- eds ^ an nach der dieser Seite gegenüberstehenden Spitze des- selben hin, so ist
tf = ]^ = ßsin 0) r= i?jsinO| ;
abo
r = — 4XT (CO«» + coswi) , Z=0;, folglich, weil LH=1\ ist:
2^(«»"®-sma)i)= ^ «"2 ^ "*""**>) ^^^2^^ ■*'****^'
Z=0. Weil
/^ : /^j = sinoi : sinoo and
L=^Rco80} f /?|Cosa)f i«t, so ist auch:
„ fi L — (Ä — /Z])C08CII
Z=0;
16
oder
., ,1 ig-/?, .
* -~2\ Ti '
z=o.
Weil nach dem Obigen
X r z
cosq) = j^ , cosi^ = •* , C08X ■=. ^
*ist, ßo ist
cosg)~
l ^1
$MI^(C0 — Öh) COS^( CO + Cö| ) ^ 810^0 ^
<*08t/; = —
cos;(=0.
C06n(c» — 'G>l)<i08ö(ö> + W| )
Dte'GJeiehung der Richtung der Resultirenden in der Ebene der x^ \si:- ." ^
cost/;
y-y=
COS9P
(.r— X),
also
1
y — f:=— (.r-x)cot^(a)-G)i),
oder
1
y — /?8inö) = — (ar — i?co8Q)) cot g ( *» ^ Wi) •
Bezeichnen wir die erste Coordinate des Durchschnittspunk* tes der Richtung der Resultircnden mit der Axe der x, d. i. mit ^ der Lime JL, duich ;:{, so ist
■V.
• — /?sina)=: — - (p — Rcoscd) cot^y (co — Wi ) ,
•i
17
leicht
C08ä(c0"-f «i)
P=Ä— T — ^
C08j|(l»— fD|)
UgL Also ist
C08^(ö+ö),) L— ps=l2cO6C0-f-i?xCO8«»|— /Z — -"Y —
cos a ( G) — «Ol ) ^ ( ^ cosa>sio«» «in«h cos 5 (» + «,) 1 •
= i^i < cos a>| + ;- * -= \
f sincocos^C«»'— o)i)
Ä J ^ cosgCw + coi)
cos 5 (od — »i)
^^ cos^(»+bt) (2sm J(«, + wJ-. j-
, sinc»t
cos 5(0» — ni)
1 11
cos 2 ((» + o>i ) , "2 sin 2 (» + o>i)tios zy («.— a>i)— sinoii
rÄ, = j__ L^ 1
COSo(ft>— «1)
^ Sinn 1
sin» -f- sincD|={tsin3-(a> -f- fl^i )co8 2 (o — »i )
C0Sjr(w + O|)'
COSj(«— Cöi)
Weil o-f-coi» und noch mehr der absolute Werth ron 0»— co«.
1 1
\mmtr kleiner als 180^ ist» so sind cos »(»-t-o)!) and coB^ti^^^ü
Twa xvm.
Ll^^
I
18
stets positive Grössen. Also sind auch v und L-^p. positive Grossen, und weil nun nach dem Vorhergehenden
ist, so erhellet aus einem bekannten geometrischen Satre, dass die Richtung der ReSultirenden den der Seite L des Dreiecks \ gegenüberstehenden Winkel 0 halbirt.
Weil ii:=dL ist, so kann man die Resultirende 2( auch auf folgende Art ausdrücken:
Nun ist aber
l 11
^=2 ^lifisind=ÄÄi sin öÖcosö ^»
also
iL
» =
RRiCosä ^
Weil bekaDDtlicb
I *
cos ist/ so ist<
ßf?,cos2Ö=jVÄÄ,(Ä+ffi+i)(Ä+//i -L) ,
folglich
2SL
» =
VRRi(H+Ri +L)iR+R^—L) '
Bezeichnet man die den Winkel ß. im Dreieck A balbirende 'Linie durch u, so ist
t
A s«u 2 öcot« + cos.tj ö: 1 , ,
woraus
19
1
cotw = -
fo%t Ferner ist
/?— ticoß 5 0
I -
woraus gtch
ergiebt. Also ist
^siußcoito+cosB; 1 ,
, . Ä— ÄjCOSÖ
2 R—RiCosO
. 1 ^ *~ i^tsin^
voraoA man leicht
I
2ÄÄiC0S2Ö=(Ä+Äi)w
findet Also ist nach dem Obigen:
Ä=
(ß+ft,)« •
Den Fall, wenn der angezogene Pun(ct in der anziehenden geraden Linie liegt, muss man nun noch besonders betrachten.
Die gegebene anziehende gerade Linie sei AB= L, und 3er an^ezo^eoe Punkt liege in deren Verlängerung, etwÄ über den Pnnkt B hinaus. Die Entfernung des angezogenen Punktes von dem PmiktC B sei r. Theilt man die Linie AB:==L in n gleiche ' Tkeile uad setzt
«=''
>« ist 2C offenbar die Gränze^ welcher die Guusse e«^(#? + i)«^ (e+2i)2»+-+(6+(«-l)t)«
I
1
dt
^ nfibert, wenn n ins Unendliehe wächst Also ist nach der Theorie der bestimmten Integrale:
2*
20
1 o
Für c + x=p, Bx^do'ist
also
v-^i^ __L^-li^ t
Für e=zO, i\ h. ivenn der aD<;ezojErene Punkt der Eodpaokt ß der Linie AB:=L selbst ist, >vird ä = qc.
Wenn der angezogene Punkt in der' Linie AB=:L selbst, d. h. zwischen ihren Endpunkten liegt, so wollen wir die beiden Theile dieser Linie, in welche dieselbe durch den angezogeneu Punkt getheilt wird, durch X und Xi bezeichnen. Nehmen wir •dann die positive Richtung der Kräfte mit dem Theile X als zu- samnienfallend an, so kann die gesammte Wirkung der Linie L auf den in Rede stehenden Punkt nach dem Vorhergebeodwi oflfenbar desto genauer, je kleiner e ist, durch
S(X^^) S(X,^B)
€X "^ Ml '
d. h. durch
*
V
dargestellt werden, was aagenscheinlich
XXi
giebt. .
Ich erlaube mir bei dieser Gelegenheit eine allgemeine Be- rtierkung zu machen, der^n^ weitere PrOfung mir angenehm sein wird. Man kommt nämlich 'bei Aufgaben oes Attractionscalculs, überhaupt bei Untersuchungen, denen das Attractions- oder Gra* vitationsgesetz zum Grunde liegt, sehr häufig in gewissen beson^ deren Fällen auf das sogenannte Unendliche« Der Grund biervoo scheint mir aber in dem anal^ischen Ausdrucke des Attractions- gesetzes,, oder , wenii man will , in diesem Gesetze selbst zu - lie- gen. Denn drfickt man, wenn im Allgemeinen ^ die Masse ood
r die Cntfernong bezeichnet, die Attraction durch ^aus,' sa M
21
woU klar» dass dieser Aufdruck in das sogenannte Uoendlicli^ ibergeht, wenn man r verselnvinden lässt, und dass dies wohl aadi aaf jede Untersuchung , der das Attractionsgesetz zum Grunde Segt, Ton Eiofhiss sein muss, unterliegt gewiss keinem Zweifel. Maa bat, wie es mir scheint, diese Bemerkung , über die ich mich übrigens jetzt nicht weiter verbreiten will , bisner bei Untersuchung na dieser Art nicht so beachtet, wie es hätte geschehen sollen, leb mochte wohh wünschen , dass dies künftig mehr geschähe, ■nd bin wenigsten« der Meinung, dass bei Uiitersnchun- gc«, denen das Attractionsgesetz zum Grunde liegt, mit Rücksicht a«f das Torher Gesagte, wenigstens jedenfalls besondere Vorsicht n enpfehleo ist
llf.
Wirkang der Anziehung einer Kreisfläche auf einen Paskt von der Masse Eins, welcher in der auf der KuuflSche in ihrem Mittelpunkte senkrecht stehen-
-den geraden Lini,e liegt.
Man nehme die Ebene des ergebenen Kreisen als die E^bene der xjß eines rechtwinkligen Ooordinatensystems der J^jtfz an, dessen Anfangspunkt der MittelpuiTkt des gegebenen Kreises ist, dessen Halbmesser wir durch r bezeichnen wollen. Der Tbeil der Axe der z» in welchem der- angezogene Punkt (jcy^) liegt, wsrde aU der positive Tbeil dieser Axe angenommen , so dass ftbo ) eine positive Grosse ist. Dies vorausgesetzt, betrachte man iav5rderst Oberhaupt die Anziehung einer auf der Axe der a: senkrecht stehenden Sehne des gegebenen Kreises auf den Punkt (FT)). Bezeichnen wir die erste Coordinate des Durchschnitts- MBKts dieser Sehne mit der Axe der .r durch x selbst, so ist m fiese Sehne, mit Rücksicht auf IL, offenbar:
a:=a, 6 = HVr«-a;«. c=0; /ii^or, 6| = — V^r*— a;*, C|=0; jr=:0, y = 0, 5=5.
Abo ist
[5^1=0; MgKch
22
Ferner Isl
Pi=r:ar« + r« — o:* + )2=r2 + J« ;
. ^_' '
Qi = -2 Vi^^^- V^«^^^= - 2(r« -a-*) ; also
])ah)er sind nach II. die Composanten <der Anziehung unserer Sehne: >
0,
4)(r*--^2).
4()«+«'*)'(r*— o:^) ' v^^ä 4,-^ *
oder, weil
ist 9 wie man leicht findet:
0, :
VrH-1«^ 5*+^^"
Bezeichnen wir nun die Composanten der Anziehung, welche die ghnze Kreisfläche auf den gegebenen Punkt Ocy$) ausiibt, durch X, V, Z\ so ist offenhar: ^
F=0,
«
' 23
t
Weil nun aber offenbar
r
)«+.Ta
a«=o
U, so bt "
we ef DOD auf die Entwickelung des Integrals
J ,*+> ^* 1
1
ufofluat, die sieb auf folgende Art bewerkstelligen lässt. ; Es ist
also
/v^z:^ /^ dx r dx
2$e(2t nan nau
X , x^
VF+T»-"' '''"' JM^="''
* _
so ist, da X und « gleiche Vorzeichen haben imit bekannttieh f ptcitiv ist:
woraus sich leicbt
58ii
^= a^«»)^rii5
Md
24
,« ,^ ^ V^i*-(r« + »«)»«*
ergiel^. Also Ist
und folglich nach dem Obigen
Setzt man nan
also
r=:?^VF+5«, «,=2j
80 M ird , \veil nach dem Obigen
ist:
Nimmt man nuo die Bogen zwiacben — .j» und +2 «, s« *»•*
"^^-^ »
--rL= = Arcsini? = Afcsm -7?fiT:i«
/J^^^ = Arcslnic = Are sin ^ ;
also
25
V
/ -rsT— ar&c ^ — zr — ArcsiB — -7:-=»=-- Are »in -- ,
•nd folglicb
Daher ist nach dem Ob^;eD:
oder
Wer aach , weil
itt:
J!C=0, F=0, Z=-^A — 7^^ y
Da» Z negativ herauskoBinit, entspricht ganz der Natur der Saciie, ireil man den Theil der Axe der z, in H'elcheni der an- aeuceue Pnnkt liegt, als den positiven Theil der in Hede ste- kadeo Axe angenommen hat
IV.
Wirkung der Anziehung einer Kugel auf einen Punkt
von der Masse Eins.
« *
Wir wollen zuers| die Anziehung betrachten, welche ein ^ Kogelsegroent aur einen Punkt ansQht, der ausserhalb des Kugel- vtgment« in der geraden Linie liegt, die durch den Mittelpunkt ^ Knkel geht, und auf der Ebene des das Kugelsegment begrän- leaden Augelkrelses, den wir die Grundfläche des Kugelscgments ■eonen werden, senkrecht steht.
26
Den Anfang der Coordinaten legen wir in den Mittelpiiiikt der Kugel, und nehmen das ron demselben auf die Grandfläebe des Kugelsegments gefällte Perpendikel als Axe der x an, indem wir zugleich den Theil dieser Axe, welcher der Richtung von der Grundfläche des Kugelsegments nach dem angezogenea Pankte hin entspricht, als deren positiven Theil annehmen. Die gehörig als positiv oder negativ betrachtete Entfernung des angezogenes Punktes von dem Imttelpunkte der Kugel sei e; die EAtfernong der Grundfläche des Kugelsegments von dem Mittelpunkte der Kugel, welche gleichfalls positiv und negativ setn kann, sei e.
Denken wir uns nun irgend einen auf der Axe der x seot recht stehenden Schnitt des Kugelsegments» dessen, gehörig als positiv oder negativ betrachtete Entfernung von depi Mittelpunkte der Kugel durch x bezeichnet werden mag ; so fiült nach III. die ganze Anziehung, welche der Schnitt auf den gegebenen Punkt ausübt, und daher offenbar auch die ganze Anziehui/g des Kugel- segments auf diesen Punkt, in die Axe der x, und die Wirkung der Anziehung des Schnitts auf den gegebenen Punkt ist nach III., wenn r aen Halbmesser der Kugel bezeichnet, offenbar
e — X
woraus sich, wenn wieder 2( die Anziehung des Kugelsegments bezeichnet, auf der Stelle
ergielft, und es nun auf die Enttvickelang des Integrals
J ^^^\rr^Ja:^^ie^x)^^^'' •
r e-x ^
ssj*— / ^r —ex.
also auf die Entwickelung des Integrals
J V"r«— ar«+(e-^
ankommt. Setzen wir zu dem Ende e— J?=:ti, dar=— Sit; so i^t
X
i
€ — X p g — jg ^ ti8a
V>"-a:«.f(i?-a:)« Vi^-eH2e(e-^) VVa^eHSai**
27
und trenn wir nun
r«— e«+2^ii=r«, edu = vdo
, 99 ^rd
also
/
udu
Vr»— cH2eM
= ^ § C^ - e« + 2«ji)-(r»— e«) j Vr>-e«+2e«.
I
Daber ist nach dem Obigen
= jr*—
3e
tfiid folglich
— r
=«+r +
(e + r) (r«-2e« + er) (r«— 2e«+«)Ve«+r»— 2e«
3c«
3e«
. r»-gc» (r«^2c«-f et) VeHy*— 2ce — e+-T5 3^5 '
3c«
tkn
28
* ■» o* i .I-»— 2«» (t»-2e*+et) V c« -f r«-2<t j .
3*» 3e«
< /
'Will man die Anziehung haben, «reiche das Kugelsegment auf den Mittelpunkt seiner Grundfläche ausübt» so uiuss roanr=€ setzen» was nach leichter Rechnung
^ oder
giebf. ;
WMI man die Anziehung haben» welche die ganze Kugel auf einen ausserhalb liegenden Punkt ausübt» so muss man in dem allgemeinen Ausdrucke von 2C» wo 'e die Entfernung des angexo« genen Punktes von dem Mittelpunkte der Kugel bezeichnet» €=:r setzen» w^a
folglich nach leichter Rechnung.
^ 4d»r'
4
4
giebt. Der Inhalt der Kugel Ist r^r^tCy also »^wenn wir ihre Masne
durch II bezeichnen»
^ss^d/'Sar» folglich nach dem Obigen
Da dieser Ausdruck von dem Halbmesser der Kugel ganz unab^^ hängig ist, d. h. eigentlich seinen Werth gar nicht ändert» wie cröss auch der Halbmesser sein mag» wenn nur» natürlich unter Voraussetzung derselben Entfernung e» die Masse fi ungeändert ^ bleibt» so erhellet» dass die Kugel atlf einen ausserhalb ihr lie^ senden Punkt ganz so wirkt» als wenn ihre ganze Masse in ihrem Mittelpunkte conceutrirt wäre» und dass dies auch_von einer von
29
urd concentrisol^en KiigelflSelieii hegränzten Kogelschale eilt, er- fnelit sich -hieraus unmittelbar. Dies ffihrt zu dem folgenden Satte:
Die Anziehung, welche eine von zwei concentri- scken Kuselflächea begränzte Kugelschale auf einen aDSserbalb ihr befindlichen Punkt ausübt, ist jeder- leitgans dieselbe, als wenn die gesammte Masse der Kogelschal^e in dem gemeinschaftlichen Mittelpunkte der beiden begränzeuden Kugelflächen concentrirt wäre.
Dieser Satz ist filr die physische Astronomie oder Mechanik des Himmels nichtig i weil man nach demselben bei der Theorie der Bewegung der Planeten um die Sonne, insofern man deren MaMen gegen die Sonnenmasse als unendlich klein betrachtet, die Masse der Sonne in dem Sonnenoüttelpunkte, concentrirt an- n^sen kann.
Wir wollen nun auch die Anziehung einer Kugel auf 'einen m Vbvem Innern liegenden Punkt betrachten , dessen als positiv frf^cfttete Entfernung von dem ftlittelpunkte der Kugel durch e •csfichnet werden mag. Legen wir durch den angezogenen Punkt eioeii aaf dem dnr<ih diesen Punkt gehenden Durchmesser der Kii|;el »enkrecht stehenden Kngelkreis, so^heilt dieser Kugel- bets die Kugel iti zwei Segmente, and nach den! Obigen Ist die als positiv betrachtete Anziehung des grdsseren Kugelsegments tfenbar
md die gleichfalls als positiv betrachtete Anziehung des kleine- re» Kof^elsegments ist
wobei sich nach dem Obigen von selbst versteht, dass die Rieh* tvag A^f Anziehung in beiden Fällen mit d^m durch den angeto- feoeo Punkt gehenden Durchmesser der Kugel zusatnmenlällt. Abo ist offenbar die Anziehung der ganzen Kugel :
-^{'•»-«»-(^»— »«)Vr«-t«). i.'y, «rie aich bieraas auf der Stelle ergiebt:
«
30
Beceictinet wieder (i die Masse der Kugel » 00 Jst
ft = ^^r%, also ^ = T-^ ;
I
folglich nach dem Vorhergehenden die Anziehung
Denken wir uns eine von zwei concentriscben KugelflSchen begrSnzte Kugelschale 9 und iu deren Höhlung einen Punkt, so ist die Anziehung, welche die Kngelschaie auf .diesen Punkt ausObt, nach dem Obigen offenbar /
4 4
and verschwindet also, was zu dem folgenden merkwflrdigen Satze ffllirt:
Die Anzieh-ung, wel^che eine von' zwei concentri« sehen Kugelflächen begränzte homogeneKugelschale, oder eine von zwei concentriscben Kugelflächen be^* grenzte *hoihogene HohTkugel, auf ei-nen innerhalb ihrer Höhlung befindlichen Punkt aas'ilbt, verschwin- det jederzeit, und wo sich also auch dieser. Punkt innerhalb der Höhlung befinden mag, sind die auf ihn wirkenden Kräfte unter einander im Gleichgewichte, der Punkt befindet sich folglich ilberali innerhalb der Höhlung in Ruhe.
V Hiermit will ich diesen Aufsatz schliessen; in der Hoffnung jedoch, bald wieder auf den Attractionscaicul zurückzukommen.
• »
31
Die KrlliiiiiiniH^heorle der Kegrel- scbnitte, elementar geometrisch
- Ibegrilndet.
Von
Herrn Planck,
Repetenten an der polytechnischen Sehnte zu Stattgar C.
Mittebt einiger Lehrsätze über Centralprojection Usst sich der foli^ende , die Krammungstheorie der Kegelsconitte enthaltende Satz aufstellen. (Taf* I. Flg. 1.).
^Zwei Sehnen MP^ MQ eines Kegelschnittes, die symme- tmch zu dessen Hauptaxen Jiegen« gehüren einem Beruhrungs- kreis des Kegelschnittes im Punkte ilf an.'*
Das Projecdons<;entrum C lie^e in der Ebene, die man durch deii Mitt^lpnnkt .O des zu projicirenden Kreises senkrecht zur Spvr der Kreisebene gelegt hat. Auf dem Schnitt der Kreis- ebene mit der durch C parallel zur Grundebene gelegten Ebene nehme man zwei Punkte A und A' Jn gleicher Ent- femang von O, und %iehe an den Kreis die Tangenten AM^ ANf JtM' t A'S\ Es werden alsdann, wie aus den Sätzen von« der Polare folgt, die Geraden IliN\ M'N sich in einem Punkt D der AA* schneiden, der zugleich auf dem zu AA* senkrechten Dircbroesser liegt. Von A' aus ziehe man eine Sekante, die den Kreit 10 P and Q schneidet, so bilden die Geraden N'A'^ NjP^ N'M*, N'Q ein System harmonischer Linien, folglich auch die Gmden MD, JUP, MM\ MQ. da AN'P^DMP u. s. w. Es prejiciren sich nun A'P und A'M' als parallele Geraden « und symmetrisch gegen die Projection der Tangente AM* Die Seh« oes MP, MQ Aber 'projiciren sich , da die Projection von D in «»•iidliche Entfernung ßillt, vts zwei Sehnen symmetrisch zur
Projection von MM', Es werden folglich ^ nie der Winkel der Tangente AM mit MQ dem Peripherien inkel MPQ gleich i^t, sa auch die l^rojectionen beider Winkel einander eleich sein , und hiernach ist die Tangente am Kegelschnitt auch Tangente an dem die beiden Sehnen enthaltenden Kreise» mitbin ist dieser Kreis ßerdhrungskreis.
LSsst man jetzt beide Sehnen sich um gleichviel drehen, bis , die eine in die Tangente föllt» so geht der Rerfihrungskreis in den Kriimmungffkreis über. Die Sehne MR^ nach der dieser den Kegelschnitt schneidet, ist die Projection von AM, Sie Ist dem Durchmesser zugeordnet, der mit dem der Tangente zugeordne- ten symmetrisch liegt: construirt man den Punkt R des Kegel- schnitts, so lassen sich mittelst dieses Punktes beliebig viele Sehnen, wie MP^ MQ construiren, da RP und MQ sich ininwff auf demselben Durchmesser schneiden. .
^ " •
Aus den Gleichungen des Kegelschnittes und des Berfihhings- kreises lüsst sich der enviesene Satz auf so^ einfache Weise ab- lesen, dass es uns wundern sollte, wenn et\ da er doch Immer interessant genug ist, nicht irgendwo ausgesprochen wäre. Ver- legt man den Coordinatenursprung in den Punkt iV, und bezieht den Kegelschnitt auf Axen parallet zu den Uauptaxen» so heisst seine Gleichung
Ax^^Cy^^Dx-{'Ey=a (1.)
/ ' Die Gleichung der Tangente im Ursprung heisst Dx-\- Eysii,
folglich die Gleichung der Normale Ex — ßy=zO. ,
Die Gleichung des Kreises (wenn JT, Fseiu Mittelpunkt) heisst: . oder, 4a JEX— Z)F=0:
■
Durch Verbindung von 1. und II. aber erhSlt man eine Gleichunsg -\on der Form
*eine Gleichung , die zweien dem Kreis und dem Kegelschnitt ge- n^inschaftlicben, symmetrischen Sehnen zugehürt.
Die obige Construction des Krflmmungsmittelpunktes ist filt die Scheitel der Kegelschnitte nicht brauchbar ; da aber für diese der Krümmungshalbmesser gleich der Subnorroaie l^t, so lassen sich die von dieser bekannten Eigensehaflen bendtaen, wie s. R. dass bei der Hyperbel jeder Punkt dieselbe Sobnormale hat mit d^ro zu derselben Abscisse gehörigen Punkt der Asymptote, u. 4lgl.
33
iir
Bbrekter Beweis der Undnlations« the»rie des !Li€^ts ans der itberration
der Fixsterne.
Von
Herrn Professor Dr. Riecke
n ifx (onl^l. warUembcrgfsffhen laiid - nnd forttwirthschafllichen
Akademie zu Hohenhelm«
Dtf sogenannte Aberration der Fixsterne besteht im Wesent- Bdleo darin, däss> wenn die Erde £ (Taf. I. Fig. 2.) in ihrer RMin am die Sonne sich in der Richtung von £ nach illieiTegt, ein Stern S dem Auge nicht in der Richtung £5, sondern in der Richtung £5' erscheint Dabei betiflgt der Abweichungswinkel S£iS', wenn derselbe seinen grössten Werth erreicht, nahezu V Seknnden und diese Abweichung findet immer auf der Seite gegen EJL za Statt.
Wollte iBan zur Erklärung dieser Erscheinung davon aosge« he», das« das Licht hei seinem Eintritt in die Erdatmosphäre ■tben seiner eigenen Bewegung an der Bewegung deir Erde Theil ■ihmen mVsse » so werde smfa daraas zwar auch eine Abweichung tm der RieMung £5 ergeben, aber nach d^r ent^egensresetzten Ute. THH nftrolich das Lieht bei B (Taf. I.-Fig. 3.) in die bditeoaphüre and sMIt BD den Weg des Lichts in einer Se^ hnde, BC (parallel miEÄ) die Geschwindigkeit des ErdicSrpers v«r« so mflsste unter jener Voravssetzung das Licht sdnen Weg in der Diagonale BF des Paralleloitramms fortsetzen und, wenn es das Aase des Beobachters in £' erreichte , der Stern in der Kchtong E>'S' erscheinen. För den Fall, den ich hier allein betrachte, dass S£ senkrecht auf EA steht, w&re dann
TheU XVIIl. 8
*r\
U
V
SBS'' _OF _BC _ Geschwipdi'gke'it der Erde DBF^ pD "" BÜ ^ Geschwindigkeit des Lichte
beiläufig =-4^55 =0,0001
iiud somit der Abweichungswinkel SBS", wie bei der Aberration, nahezu s=21 Sekunden.
Da die Beobachtung aber lehrt, dass die Abweichunf^ beider Aberration der Fixsterne nach der entgegengesetzten Seite SUtfr findet, 80 folgt daraus, dass die Voraussetzung, wonach das Licht beim Eintritt in die Atmosphäre an der Beweeun^ der Erde Theil nimmt, unrichtig ist. Man sieBt sich somit, wicdiess schoo Fresnel bemerkt (Vergl. Gehler's Wllrterfoucb, Aftthei Li^ S. 338.), zu der Annahme genuthiget, dass der den Weltraum •rRillende AeHier» durch dessen Vil^ationen die LJchteaipiirahtt|9 entsteht, im ruhenden Zustande verbleibt, während die Erde sich in ihm und durch ihn bewegt. Diese Annahme setzt freilicb eine alle Vorstellung übersteigende Porosität des Erdkorpers and eine ebenso alle Vorstellung fibersteigende Feinheit des Aetliers voraus. Indessen erfordert, wie Arago bemerkt (vergl. Gehler» Wörterb. Art.. Licht S. 339.) , auch die Erklärung der astrononi- sehen Strahlenbrechung die gleiche Annahme , und es stunmt sol* ches zugleich mit der bekannten Thatsache tiberein, wonach fast alle Bewegungen der Himmelskörper genau so erfolgen, ^^'^.^ sich tKeseiben im leeren Räume, oewegten, ein Widerstand des Aetbers also bei astronomischen Berechnungen in der Regel a» nicht vorbanden angenommen werden darf.
. • *
Etwas befriedigender fiillt die Erklärung der Aberratifm w»* wenn man, den Aelher als ruhend annehmend, nur die Bewegung des Auges dabei in Betracht zieht. Ist nämlich die Aze 0^ Auges Ab (Taf. 1. Fig. 4.) in dem Moment gegen deq Steni S genchtet, in welchem der Lichtstrahl SA in das Auge tritt, se wird dieser seine geradlinige Bewegung Im Auge fortsetzen, n'äb- rend das Auge mit der Eroe sich in der Richtung ^C fortbewegt. Der Lichtstrahl trifft also die Netzhaut nicht in der MHte S» sondern in dem Punkte B*^ wenn nämlich dtfs Auge sich mit der Erde in derselben Zeit von A nach A* bewegt hat« in wefcher das Licht von A nach B* gelangte. Das Auge erhält soaiit dt» Eindruck des Sternlichts in dem Punkte B und vernetzt daie den Ort des Sterns in die Verlängerung der Ltuie BfA'. Der Winkel AB*A' oder SB'S' ist hiernach der Abweldhiogswlnkel, ond zwar findet bier die Abweichung äbereinstbamend mit dir Beobachtung nach der Seite hin Statt, nach welcher die Erde sich bewegt. Auch ist hier Rir den Fall, dass SAC ein Rechter ist, wie froher, - ,
tjjtf ^^' — CcBchwiniligltett der Erile . Tg .Alf d -^^. - «eKhwiodigkeit des LüEü*
35 •
ff j-tF*"^ ^*"""^® Onterouchung "zciet indessen, dass auch diese ErfeHnnig der Alierration mit den Thatsachen nicht ganz Gberein- stimmt» indem »ich eine grossere Geschwindigkeit des Lichtes *"* ^.'^JP* ^^^^ ergeben würde, als nach andern nnzweiielhaf- ten Erfahrungen angenommen werden darf. Aus den Verfinste- nngen der Japiterstrabanten weiss man nämlich, dass das Licht im luftleeren Raum sich mit einer Geschwindigkeit von 41080 Meilen per Sekunde bewegt*). Diese Geschwindigkeit ver- nhidert sieb aber, so wie das Licht in ein dichteres Mittel tritt, hl denselben Verhältniss, wie die Sinus der ßrechungswinkel Ah.CD (Taf. L Fig. 5.), da in dem gleichen Verhältniss sich die Breite der Ltehtwellen AB, BE vermindert Da nun der Bretbungsexponent beim CJebergang des IJchts aus dem leeren Raane in die Feuchtigkeiten des Auges (nahezu wie beim Wäs-
Ä=4:3 angenommen werden darf (vergl. Geh ler*s Wörterbuch Bd. L 8. 552.), so mass die Geschwindigkeit, mit der sich dasLIeiit im Auge l»ewegt,
= ? 41660=31170 Meilen
V 4
\
flMttt werden. Berechnet man dagegen diese Geschwindigkeit iHch Division des Wegs,- welchen die Erde auf ihrer Bahn um dfe Senne durchschhittUph in der Sekunde zurficklegt, mit der Taigeote des Aberrätionswinkels, so erhalt man nach Struve**) eine Geschwindigkeit von 41510 Meilen per Sekunde. Diese Diffe- ten vpn 10349 Meilen ist viel sa gross, um sie aus Beobach- bggsfdhlem erklAren zu können, man muss vielmehr obige Er* Uinmg der Aberratio^, wonach die daraus berechnete laicht« geschwlndigl^eit die Geschwiildigkeit desselben im Auge wäre,' als nnriditig Terwerfen.
, Das Fehlerhafte in dieser Erklärung Jag offenbar darin, dass die Art und Weise, wie die.Grosse des Aberrationsvvinkels von den As- Irtooflien gemesse^n wird, dabei nicht berücksichtigt worden ist. Zwar ittt* wie bekannt, um die Grösse der. Aberration zu bestimmen, einsgrosse Zahl der verschiedensten Winkelmessungen erforderlich, Mi welchen erst durch weitläufige Rechnungen der Abcrrations- whikal abgeleitet wird, -* indessen kann man doch fiir den gegen - «Mgen Zweck die Sache einfach so darstellen, dass man zum Bthvf der Winkelmessung dem Teleskop diejenige RichtungVibt, ia welcher das Bild des Sterns mit dem Durchschnitt des Faden« kreazes in der Rubre zusamniennillt. Dadurch wird diö Sache vtt« Aoge selbst und von der Geschwindigkeit des' Lichts i m Alge unabhängig, und es tritt nun hei der Erkifirune der Aberra- tion das Fernrohr mit seiner Rühre an die Stelle des Auges.
*) 5ach 11 er« ehe 1. Vergl. FifcherV Nntnrlchre. IB40. Band 2. 8 3S9.
'*) Gebler't Wörterb. 1845. Sachregister S. 353.
3-
36
Es 861 AB (Taf. 1. Fif;. 6.) die Rohre, t das FudeDkreiiz und FC die Richtung, in welcher sieb die Röhre zugleich mit der Erde bewegt. Wollte man nun die Axe des Rohrs in gera- der Linie nach dem Sterne S richten , 9Q sieht man leicht, dais kein Bild desselben im Fernrohr entsteheji kuiii^te. Der bei A in die Rohre eintretende Strahl SA bleibt nämlich in der gerar den Linie SA^ während das Rohr sich gegen C nin fortbew^^ so dass in dem Moment, wo der Strahl nach F gelangen wfirtle« das Fadenkreuz bereits in F sich befindet. Man muss also den Rohr eine solche iNeigung gegen SA geben, dass sich FF' za AF' (Taf. L Fig. 7.) verhält, wie die ' Geschwindigkeit des Rohrs zur Geschtvindigkeit d^s Lichts. Bei die^r SteUufig der Rühre wird der Strahl SA^ während er seine geradlinige Bewe- gung fortsezt, immer in der Axe des Fernrohrs bleiben und «o den Durchschnitt des Fadenkreuzes in F' treffen. Der Abwei- chnngswinkel SPS' wird aber auf gleidie Weise, wie oben, vou dem Verbal tniss der Lk'htgeschwinfTjgkeit zur Erdgeschwind^keit abhängig sein.
Nach dieser Erklärung ist Aie GescbAvindigkeit des Liebte:, wie sie sich aus der Aberration berechnen lässt, seine Gescbwin- digkeit in der Luft, — während die aus den Verfinsterungen der Jupiterstrabanten berechnete Lichtgeschwindigkeit die im lee- ren IIa u nie ist. 'Die Resultate beider Berechnungen stioiin^ auch mit hinreichender Genauigkeit^ ^herein, wenn man envägi, dass das Licht in der Lull sich in deniselben Verhältniss laop^ samer bewegt, in welchem der Sintis des Brechungsiviukels m der Luft kleiner ist, als der Sinus des Brechungswinkäs im leeren Räume. Da nämlich Struve die Geschwindigkeit aus der Ab- erration zu 41519 Meilen berechnet hat und der Brechnngsexpo- nent beim Uebergang des Lichts aus Lud (von mittlerer Dichtig- keit) in den leeren Raum =: 1,000294^) ist, so ergibt sich daraus die Lichtgeschwindigkeit im leeren Kaume
= 1,000294.41519=41031 Meilen.
Dieses Resultat ist nun zwar, da U ersehet die Geschwindigkeit des Lichtes im leeren Raum aus den Verfinsterungen der Jii|^- tersmonde zu 41560 Meilen berechnet hat, immer noch um ^29 Mei- len zu klein. Aber diese Differenz liegt noch ganz innerhalb der beiderseitigen Fchlergränzen , welche Struve bei c^ner Berecb* nung zu 22 Meilen angibt, und es dürfte also iil dresef Differenz kein Grund liegen, die Richtigkeit obiger Erklärung in Zweifel xu ziehen.**)
*) Pouillet-Muirerf Lehrbach der Phy«lk, 1846. Bd. 2. S. 800.
*0 Nach neneren Untertnchungen (verffl. Fisrher*« i\aCnr(ehre Rd. 2. S. S;U.) wäre freilich die Differenz der beiden Ke«iiltate aber die Liclitgetchwindiglccit, wie sie «ich aus den Beobachtnngcn.der Jnpitert- mondc und der Aberration der Fiitterne ergibt, Tiel tvedeutondcr, a&m-
licb um -~ kleiner, d. li. die Ge«chwindig1ceit Ifinde fich
37
Hiefavs ergibt »ich ooo ein direkter Beweis für iHe Undulä- '^ — Tie de» Lichts, gef^enfiber der teutonischen fimanations* Letztere muss nämlich , vrie 4}ekannt zur Erklärung der •^tischen Erscheinancen eine vermehrte Geschwindigkeit des Lidito im dichteren Mittel annehmen > während die Undafations^ Iheorie gerade umgekehrt eine Verniinderaiig der Geschwindigkeit dabei vomu^aeizit indem nach dieser Theorte bei gleicher Zeit- dMMr die Breite der Licbt%Tellen in gleichem Verhältnisse wie der Sinus *-des Beivegungswinkels , abnimmt. Diess veranlasste odiem Arago xu dem Wunsche, auf ähnliche Art, wie Wheat- st« De die Geschwindigkeit der Elektricitätsbewegung in den festen Körpern gemessen bat« auch die Lichtgeschwindigkeit in verscbiedenen Mitteln messen zu krmnen, um so auf dem Wege der Erfahrung einen direkten Beweis ftfr die Richtigkeit der Uodulatioiistheorie zu erhalten. Der von ihm vorgeschlagene Versocb*) ist aber, so i^iel bekannt wurde, bis jetzt nicht ancre- sirilt worden. Dagegen bietet nun eine Vergleichung der Ge- seltTiniligkeit,'' wie sie sich aus der Aberration der Fixsterne er* gibt, mit der Geschwindigkeit, wie sie sich aus den Verfinstcnin*
C der Jupiterstrabanten nerechnet, ein solches Mittel zur PrOfung Uodalationstheorie dar. Nach obiger Erklärung der Aberration «fUitiDan nämlich auf dem ersten \Vcge die Lichtgeseh windigkeit Ml der atnosphSriscben Luft, auf dem anderen We^e da^^egen db Uchteeschwindi^eit im (uftleerea Räume und es ist, wie. es dte fhrföuitionstbe.one voraussetzt, wirklich die erstere Geschwin* d^leetit geringer als die letztere. Aoch ist das VerhSltniss beider Oescfcwindigkeiten , wie ol^en gezeigt wurde , mit dem Brechungs- •ipooenten beim Uebergange des Lichts aus dem leeren Räume in Lull wenigstens nicht im Widerspruch.
In djrn Lehrbflchcfrn der Physik wird fast durchaus auf die IHferenx in der Liehtgeschwindiskeit, wie sich dieselbe auf den SBgegebenea zwei Wegen berecnnet, kein Werth %f\^i\ beide
so« der Aberratien = 41519 Meilen «
not den JupiterAinonden == 4IT27 Mcilcit.
grosse Differenz dürfte dazu fnhrea,' bei der firklaning der Ab- itiiHi neben Kler Röhre aueh dae Objecti Vftlat de« Teleskops, init- ial«! dessen die Winkelmessung geschah , in ^Retradit sn ziehen. Der Krasse Refraktor in Dorpat hat eine Brenn^reite von 13,&Fii<is = 162 Zoll ffiarait man'nnn die Dicke des 'Olijectivs =: 1,37 Zoll, so durch lauft das SierafBlicht xnerst die Ginsschicht von 1^7 Zoll mit einer Geschwindtg-
M I 'VOT
keil von , «^ =26748 Meilen, sodapn die Lnflsehicbt in der Rohre
41727 %9m l<n Zoll mit* einer Geschwindigkeit von ^ ^>^>^^». =41714 Meilen.
I , IHIU2SI4
Diese gibt far die ganxe Strecke Ton 103,37 Zoll eine mittlere Ge-
sdkwi^lgkeit Ton 41519 Meiljen, nbereinstirtimend niit obiger von Strnve
in Der|Nil aas der Aberration gefundenen Lichtgeschwindigkeit. -
*) Veirgl. Peggendorfs Annalen Bd. 46. S. 28. nnd .Gchler's Wör- tisfcach 1845. SacbrrgUler S^363.
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Resultate werden viekaebr als öbereinstiiuiiiend *) b^z^dmet und der ceringe Unterschied den notbwendigen Unvolltu)ninienheiten der Deobachtunsen ^und Alef>sungeii zur Last gelegt Indessen i8t es schon zum Voraus auffallend, dass von den verschiedensteil Berechnern die aus der Aberration abgeleitete Geschwindigkeit immer kleiner, nie grosser gefunden worden ist» und aus den neuesten sorgfaltigsten Berechnungen, bei welchen zugleich die Feblergränze angegeben ist, zeigt sich, dass die Differenz jedea\ falls bedeutender ist , um aus einer Ungenauigkeit der Rechiiui^ sich erklären zu lassen. Dieser Unterschied ist also nicht zuftl- lig, er ist vielmehr in dem Umstand wohl begründet, dass die Geschwindigkeit selbst in beiden Fällen eine andere ist
Eine vollkommene Uebereinstimmung der Beobachtung nüt den Voraussetzungen der Undulationstheorie hier nachzuweiseB, ist allerdings' schwierig, — denn setzt man die. Geschwindigkeit des Lichts im Vakuum zu 41560 Meilen und den Brechungsexno* nenten ffir Luft selbst zu 1,0003 , wonach^ die Geschwindigkeit des Lichts in der Luft = 41547 Meilen sein mflsste, so beträgt der
fanze Unterschied doch nur 13 Meilen, — abo viel weniger als die ehlergrfinzen bei der Rechnung. Zieht man aber andererseits in Erwägung, dass die Emisslbnstheorie eine um so viel grös- sere Geschwindigkeit in der atmosphärischen Luft voraussetzt, so muss mau doch in dem Umstand, dass aus der Aberration jederzeit eioe kleinere Geschwindigkeit des Lichts berechnet wird, einen vollen direkten Beweis für die Kicbtigkeit der Unda- lationslheorie anerkennen. '. .
Endlich sei^noch bemerkt, dass nach dieser Darstellung der Aberrationserscheinungen zwar aus der Glejchbeit des Aberrations- winkels für alle Fixsterne gefolgert werden darf, dass das Liebt aller Sterne in der atmosphärischen Luft gleiche Geschwin- digkeit besitzt, — nicht aber, wie man schon folgern wollte» dass das Licht überall im Weltall , von welchem nahen oder fer- nen Sterne es auch komme, sich mit derselben Geschwindigkeit bewege. Letzteres darf zwar, uAter der Voraussetzung luftleerer Räume, aus der thatsächliehen Gleichhdt seiner Geschwindigkeit in der Luft mit Wahrscheinlichkeit angenommen werden, aber ein direkter Erfabrungsbeweis fiir diese Behauptung liegt in der Ab- erration der Fixsterne -nicht
*) Vcrgl. [teuschic, Kosmos. Bd. 1.. S. 1^2.
39
Die nUferentlatlon unter dem Inte-
irralzelclien.
Von
Herrn Qskar Werner,
Lehrer der Mathematik zu Dresden.
Weno das Integral
jkMen Grenzen ?on y abhftneig sind, mit der Forderung gegeben ist, es nach y einmal zu differentiircn, so hat man dazu bereits die Formel ' .
gefioden. Der Umstand nun, dass man diese Differentiation aiefat wc^iter 'getrieben hat und dass das Gesetz, unter welchem 4ie höheren Differenüalguotienten des obigen Integrales stehen,
' jh< ~
aicfat wc^iter 'getrieben hat und dass das Gesetz, unter welchem die höheren Differenüalquotienten des obigen Integrales stehen, dtrch gering» Kunstgriffe auf einen einracnen independenten Aus- dmdc gebracht werden kann , hat mich zur Redaction der folgen-
genden kleinen Untersuchung bestimmt. Vermittebt des Satzes ^
du djttv) dv dx tue dx
crwettem nir zunficbst die obige Formel zu folgender :
40
"*" dg dg djf ^ ■ dy ,
t
Um den zweiten . Differentialquotienten unseres' Integrales zu erhalten, differentiiren wir /die Gleichung 1) nach y, ivodurcb
wir erhalten
tP ^
"*■ rfy
.' Addiren vrir hierza diö Gleichung.
'^L'^ dy^ \ '^L'^-^J y,d^fiy\A
"*" . rfy dy df
welche aus 1) hervorgeht, wenn wir J ^ anstatt f(x, y) setzen, so erhalten wir
r Y
Eine weitere Differentiirung dieser Gleichung. giebt uns:
4t
dfF'Any)] if»[^'Ar..v)l T ^ • df
fJPfXx y) wekbe mit der aus 1) füj? — ^.^^ anstatt /(jr.y) sich ergeben- es Gleichung
dorch AddifioD verbunden sogleich zu der Formel
fährt.
Wie wir diesen einfachen CalcOi weiter fortftihren können, ist klar. Betrachten wir aber die Resultate tinter 1), .2) und 3) e«ii|^€iiitessen mit Aufmerksamkeit, so iverden wir zur Vermuthung hk^eleitet» d4ss der nte Differentialquotient des Integrales
A^, y)
dx Y
TM folgeoder Feriu sein werde:
42
4. |L_^'Vc,.,).^=^"^^i*^
. + dy« ~ d^ '~' ' d^ ^ ' dy*
Um die volle G^wissbeit dieses vor der Haod noch hypotheti- schen Resultates zu haben, differentiiren wir dasselbe nach f/, wodurch wir erhalten
. . . ,., ''*~~«^ J
Aus 1) leiten wir aber, wenn wir f{pct y) durch -■ » J, ^' «'• setzen, leicht die Gieichung
+ i^ Ig * •— «y+'
ab. Welche sii ihrer VergSngerin addirt, auf die Formel
rahrt Dasselbe Resultat gewinnen wir auch, wenn wir In 4) fi-f ) ftir n setzen, wodurch das in 4) ausgesprochene Gesetz von je- dem Zweifel frei ist.
In dem Falle Y^^^a^ wo a eine Constante bezeichtiet, folgt aus Gleichung 4):
4S
J rfy" rfy»« ■•". • dy» '
iiad, weun Y^b, a°us derselben Gleichung: - df /*y'
J ^ d^ «(»' rfjr
Weoii encllicb gleichzeitig Y^^=a und F=6 gesetzt %«ird, ao erkalten wtr aus 4) 4te bereits bekaiiiite Formel:
u
^
\
Die Umformungr der Irrationalen se* broelienen Functionen In andere^ welche einen rationalen IVenner
halben.
Von
Herrn B. Sommer,
sn Coblenx.
z
1. Hat man die gebrochene Function ^» iro d^ ZShler Z
ein ganz beliebiger irrationaler • Ausdruck sein mag, dessen ein* zelne Glieder aber keine Separatnenner haben sollen, in welchen Wurzelwerthe vorkommen, so findet sich in jedem Lebrbuche der Arithmetik dargethan, wie man, sobald N die Form H-aV^ oder
aV^-t-bVß hat, eine Umformung von j^ bewerkstelligt, io irel-
eher ein rationaler Nenner vorbanden ist. Man multiplicirt nSm- lich Zähler und Nenner der gegebenen Function xesp« mit r*»ai/a oder aVtx-äVß'
2. Ist Z derselben Bedingung unterworfen, d. h. ist Z ein irrationaler ganzer Ausdruck, so lässt sich auch liir die ausse* dehnteren Formen von N, nämlich (lir r-i-aya + bVß und selbst r+aVo+bVß + cVy noch die verlangte Umfornaung ausföhr^o ; man geht dann nur successive zu Werke und schafft eine Wurzel nach der andern fort, indem man sich den gegebenen Nenner io zwei gleich - oder doch möglichst gleichgliedrige Ausdrdcke zerl^t denkt, die man dann statt wie im Nenner iV durch -f zu verbin- den, substractiv nimmt.
So gibt die^Multiplication von
/
43
■il liefu Factor
«sea Werth» der nur noch eine Wurzel entbMt, so wie für
■*
N^r+aVa + bv^ß+cVy mit -
ik Resultal einen Ausdruck liefert, der nur noch zwei Wurzeln hat.
Indieseo'Fällen kann man mitbin durch fortgesetzte Multiplication ndetzt zu einer Umformung kommen» die gar keine Wurzel ent- kalt .
Den Factor F als Differenz zweier möglichst gleichgliedrigen dwmAellen, ist unerlässlich ; hätten wir z.. B. für
N=r+aVa^bVß+c%^y
ikm aidit gteichgliedrig gemacht , sondern etwa
F=ir + aya + ÄV^/?)— cv^y
genommen, dann wSrde das Product F. iV auch wieder drei Wur* tels enthalten, die ganze Multiplication hfitte dann mithin nicht das Creringste genutzt
3. Enthält nun aber,iV als Glieder vier Quadratwurzeln aus- ser dem rationalen GUede r oder gax nodi mehr als vier Qoadrat- wsrxelB, dann lasst sich'^das Verlahren, nach welchem man stets ebe Warzal weniger erhiiU, nicht mehr anwenden; denn man
iV=r+iiV« + Av^/3 + cv/y + rfW,
*-
also
F=:(r+aV^a+6t/i5)-(cV'y+rfV3) ,
im Prodücle F,N auch wieder vier Quadratwurzeln, indem deren drei in (r + 0^0^+6^/3)* und noch' eine in (cVy+dV^^ enthal- te aiiid. (Wir nehmen nftmlich r als ^on Null verschieden an, * da wir den allgemeinen ^all betrachten wollen)v — Ebenso lä^st •ich leicht zeigen, dass bei einem 2jtgliedrigeD Ausdrucke die ■dttplication mit der Differenz der beiden iij;liedrigen Werthe ■BAfplicirt (und dies ist noch der gfinntigste Fall) nur fiir 2it=2 •ad in =4 einen Werlh gibt, der weniger als 2it— l Wurzßln ent*, UÜ, d.i. weniger Wurzeln als der gegebene 2itgliedrige Ausdruck; —
*
46
ebenso das« hei eipem 2u^l gliedrigtfn Ausdrucke die Maltiplication mit der Differenz aus einem u- und einem (it -|- 1) gliedrigen nur filr 2it+l = |, oder 3 dies noch gibt. — Wir unterlassen es d^u Beweis hier weiter auszufiibren , da derselbe sehr leicht 4st, so- bald man nur die Anzahl der Comblnattonen zur zweiten Klasse einfuhrt.
4, Um nuR einen Ausdruck ron der Form:
der n Quadratwurzeln enthalten mag, durch Multiplication mit einem noch imhekannfen Factor F rational zu machen, wiihlen wir F von der Form :'
F— ^+ (ariV«+«2V/5 •- V^uVl)
+
+ 10 \aßy.,.,kf
wo mithin die erste Kcihe alle Combinationen der Wurzeln ent- hält, die in jY vorkommen, zur ersten Klasse» jede mit eioeai noch unbestimmten CoefGcienten multiplicirt, die zweite Reihe die Combinationen zur zweiten Klasse vl s. w. bis zur nten Klasse. — Im Ganzen enthält daher der Factor F
l + iii — 1-7|— + +lj
d. i. 2« Glieder.
Bildet man nun das Prodnet FJV« so werden hierin, wie man leicht erkennen wird, nur Wurzeln vorkommen kunnen, die aoch in F vorkommen. Macht man nun die Bedingung, das« alle Coef- ticienten dieser sämmtlichen Wurzeln verschwinden sollen, so er- halten wir hierdurch ^2" — 1 Gleichungen, die, weil 2" unbekannte Coeflicienteu vorhanden sind, noch einen derselben willkOhrlich anzunehmen gestatten; dies letztere werden wir wohl am geeig- netsten dadurch benutzen, dass wir ^=1 annehmen. Der neue rationale Nenner wird nun fiir ^=:1:
■
r + acuvi + bßa:2+ cya:^-{- »Jlxuy
.wo fifr'die x ihre Werthe aus den 2* — 1 Gleichungen einzusetzen sind.
Die o: Werthe sowohl wie diejenigen aller anderen i?n bekannt angenommenen Coefficienten können aber nicht W^urzelnusdrilcke enttialten, da sie sich ja sämmtlich aus Gleichungen vom ersten Grade herleiten, die Constanten aber^ welche ili diesen Gleichungen vorkommen, seihst keine anderen als rationale Grossen sind.
47
Beispiel. |
För |
||
iV— 3 + V2 + 2v3 |
|||
kt |
% |
||
1 |
f^s= |
1 + ar, V2+ -TtVS+J V2lJ. |
|
also |
• |
« |
F.iVf=(3+2a-, + 6a-^ + (ar, + 1 +6y)V2+(3a:, + 2 +2y)v'3
+(3y+-»-»+2jr,)V6.
D» Coelficieuten ^r^, x^ y «rgeben-«ich daher ans den drei Gl*i- cbasgen :
f
3ari+l+%=0 3jra+2 + %=0 33y+jra+2a-i = 0. ^ ^
W» erste dieser GleictiangeD» mit 2 muftiplicirt, hierzu die 2te addirt uoA Ton dieser Summe die mit 3 multiplicirte dritte subtra- fcHgibt
nd daher ans der ersten und zweiten nun
1» 2
io dass
F.ZV=3+ar,+&r.= 3+g- j^ = g
- * ■
5. Sind anter den Quadratwurzeln, die in N enthalten sind, aveh solche, welche CombinationsnDrnien von andern gleichfalls- rorkoromenden sind , so^ jcann man diese bei der Aufstellung der Form von F als gar iiicht vorhanden ansehen; so z. B. hat^iQr
der Factor die ganz ähnliche F*orm
fa er aoeb haben würde, wenn das GKed rVo^ gar nicht in iV Tsrhine, oder wenn c=0, d. h. wenn
I
^
■^48
6. EnthSit iV nun aber nicht nur Qaadratirurzeln^ sondern auch höhere Wurzeln, so bleibt das Verfahren doch sans dasselbe, nur wird die Form von F etvvas au«^eddhnter werden. Sei z. B.
Dann mflssen wir in der Form von F bei der Combioation der
Wurzelwerthe V«, Vft... auch stets diejenigen Ausdriieke be^ rdcksichtigen, die man aus jeder emzeintfn (Jombinationsrorm er- hält» wenn man an die Stelle von
m
m
V« «etzt Vß*, V«',.... V«"^*; ebenso statt < '-
statt
VP setzt Vf^, V/5», V/?«-*;,
Vy setzt Vy*, Vy',.... Vj^-*;
^
und zwar, wie sich von selbst versteht, ist jeder dieser Ausdrücke hiit einem eigenen unbekannten CoefBcienten zu multiplicic^o.
n
So sind mithin z. B. in der einen Form V« . VjJ die Fomen enthalten:
m n in n m n
Es wird hiemach der Factor F die Form erhalten:
m IN
F=:l+ Lr'aV«+^'»Va^+.....ar'm-.i^V^«-;^
+
l .
49.
\
9t fv tn ft
^ U',V«-V/J+»/2Va«V/3 +
• •• •
-1^.'', v«.v/s«+y«v«».v'/5«+... +
Die Anzahl der verschiedenen Wurzeltverthe in F plus dem einen nÜonaleD Gliede, das wir schon der Einheit gleich gemacht ha- ken, wird daher
1 +[(»»-») + (»-l)+(p-l)+ ]
+ [(m-l)(«-l)+(m-l)0»-l)+ ....]
+ .-.
+t(f»-l)(n-l)(p-l) ....].
Is i*t aber dieser Wertb nach der Algebra nichts anderes als : [l + (m-l)][l+(i.-l)][l+(,,-l)]. .....
J • • •'
0. h ,
fH^, n • p
i » »
Der Factor F enthSlt mithin m.n.p,**. minus 1 unbekannte Coeffidenten, die wir' auf dieselbe 4rt» ^io in Nv. 4.» durch ebenso 'Tide Gleichungen ermitteln.
Das Verfahren in Nr. 4. selbst ist nur ein besonderer Fall roD dem eben behandelten für m=:7i=/9=. . .
Die Bemerkung in Nr. S. lässt sich auch hier leicht (iber-
f». m
tragen; kommen hier z. B. Glieder vor irie V^» Vo^i**** und
^ m n
CombioationeD mehrerer Elemente i^ie V^* Vß^ etc., so be-
^ m n
ackten wir auch nur die Werthe Va> Vß al? Elemente^ berück- «icktigen aber wohl« das^ ftir jedes Element auch seine stellvertre- teoden zu setzen sind.
Beispiel. F6r
wird
Mwl iVF= C^-2.5a-a) + (iri —2) V5 + (Sj:»— 2jr, yviP,
iAer Tür
TWU XVUl. 4
«
50
oder
wird der neue Nenner werden : 3 g- = -^ jt .
7. Sind nun im Nenner auch Glieder von der Form
ro
V olW^ vorhanden y was wir bis jetzt als nicht stattfindend angenommen, so lassen sich indessen auch diese wegschaffen, soD^ld wir nur dem F eine solche Form geben, dass wir unter
m
seinen Elementen ausser V a\\^^ und dessen stelivertre^nden
m in ,
PoteifzenV (a+V/^)'^ — V («+V/^"'-' auch noch Vß mit Aeiaeti
« n
Stellvertretern Vß^t—Vß'*"^ aufnehmen. Man sieht daher hieraus, dass z. B.
- m
iy=:r+aya + VßhOVß+cVy+dVß^ ganz dieselbe Factor form hat wie der Nenner
m
r+rtV«+Vi3.
Man behandelt also hier V a+Vß wie die Wurzel aus einem rationalen Werlhe, .nur dass man noch seine inaerhalb stehende Wurzel berficksichtigt.
Analog zählt der Ausdruck
m
fiir die drei Elemente :
m
jedes mit seinen Stellvertretern.
51
8. KoimneD Wurzeln vor, in denen «ich die innerhalb stehenden Wirzeln nicht stets bis zu Ende erAtrecken, uie z. B. bei
m
gilt dieser filr die drei Elemente
|/" ii p n J»
V a+bVß+cyy, Vß> Vy jtdes mit den stellvertretenden Potenzen. Man sfeht bieraas and aas der vorigen Nummer, das« während
a+AY /J+cV(r+dV^
die Elemente vertritt:
m I f r
4t^en der Ausdruck:
«+aV /J+cVy+</V^
die Elemente bedingt:
«+ftV /J+cvy+^^W, ▼^ ß\cvy, Vy, y*.
Hiermit jsind alle Fälle vorgesehen, die in irrationalen A^s- tfHicken vorkommen können. — Wenn nun auch die Ausfiihrung h den meisten Fällen eine sehr complicirte iat, da man so viele, Mfeli nnr lineare Gleichungen zu lösen hat, so ist es doch nicht •he Interesse die Mo^rlichkeit anh^im gestellt zu haben, die Irra- i»MKlät gebrochener Functionen gan^ altein auf den Zähler za
4»
62
werfen, da 1a bekanntlich bei Brachen der ZShIer viel biegsamer isl als der Nenner.
9.' Das Verfahren^ welches wir gezeigt haben« ist natffrlicb auch gültig, wenn man statt der Constanten r, a, 6, . . . a, ft y Functionen irgend welcher Variablen hat. Um beauem zu rechnen, wird man sogar sich diese Functionen darch solche BuchstabeR ersetzen, dann die unbekannten Coefßcienten ganz auf die gezeigte Art bestimmen und erst dann wieder die gegebenen FnnctioDen einfuhren. Will man auch hier wieder ^ = 1 annehmen oder will man es gleich dem kleinsten Vielfachen aller Nenner der ermittel- ten Coemcieoten annehmen, um nämlich diese Coefticienten selbst als ganze und nicht als gebrochene rationale Functionen za erhal- ten, das bleibt natürlich gleichgültig; am vortheilhaftesten dOrfle es indessen auch hier sein den q -Werth gleich 1 zu wählen.
Es folgt hieraas. z. B. für
und f und f als rationale Function von x, sobald der Zähler auch nur solche Wurzeln o4«r deren Combinationen enthält, dass die complicirtcste Wurzel im umgeformten Ausdrucke mit, ihrem Coefficienten ;
FN
sein wird , wo q> uni FN rationale Functionen sind. VermiCf eist der Zerlegung in Partialbrüche, die wir auf den GoefEcienten noch anwenden können, würden wir noch weitere Vereinfachungen vor- nehmen können; es hätte dies Bedeutung für die Integration ge- brochener irrationaler Functionen, wenn es nur ^ erst geluogen wäre das Integral von ^
STix — €c)(x — af),.,,
w endlicher Form zu ermitteln, wenn man mehr als zwei Factoren unter dem Wurzelzeichen hat.
10. Es kann zuweilen geschehen, das.s wenn man die zweite Factorform von Nr. 4. oder diejenige von Nr. 6., bei welcher q-=\ ist, benutzt, man für die unbekannten CoefScienten Ausdrucke
von der Form g oder y erhält. Geschieht dies nun auch, so deu- tet dies doch keineswegs dahin, dass ein Factor nicht extstirt, sondern nur darauf, dass die angewandte schon reducirte Factor- form (für q:=1) unter dieser red ucirten .Form nicht aufgestellt werden kann. Es ist nämlich die zweite Form von F m Nr. 4.
53
au der ersten hervorgegangeo» indem man q herausDahm uiid^ «dmeb
p[l + ^Va+^V|J + ]
lad hier nun den ^Werth, als ganz rationalen^ nicht mehr berück- li^figet — Ein solches Herausnehmen von 9 ist aber tiicbt zu- lissic, fi-enn q selbst verschwindet, wenn also mit andren Wor- tto das ganz raüotiaie Glied des Factors F gleich Muli ist; dann B&sen, wie man dies auch aus dem Ausdrucke
•choa ersieht, wenn man trotzdem die reducirto Form yon F an- geirtndt bat» sich die Coefficienten unter Formen wie q oder g er-
S^Wi, nrfd zwar unter g, wenn sieniicht in Wirklichkeit in ihren 'Cioire^Nmdirenden Werthen in der ersten Form von F verschwin- dn, dag^cD unter a » wenp ihre correspondirenden Werthe ver- schwmden.
Es gibt dies ans daher die R^el:
Nimmt bei der früher angegebenen Regel bei der Bestimmung
te Factors einer also^ alle Coefßcienten Bruch formen mit dem
Nenner Null an, so hat man nur die> Factorenform in der Art
n mdtficiren, dass man alle Coefficienten, die unter der Form
0
Q erscheinen, so wie auch das constante rationale Glied 1 , weg-
lisst, und nun die Rechnung mit einer kleineren Anzahl von un- bekannten Coefficienten vorzunehmen. (Einen dieser CoefScienten kian man nun wieder der Einheit gleich annehmen).
Beispiel. Ffir
iV=^3— V2+V7 wirde för
ttr jT], x^ und y die Form a resultiren; wir wählen daher
F»= V2 + :r v^ f^ vl4. Im Bestimmung von x und y resultiren die drei Gleichungen:
/
54
3+7y=0, •Ir— %=:0 , i+3y— a? = 0.
Die zweite von der ersten subtrahlrt zeigt schon, weil sie die mit 3 multiplicirte dritte ist» dass diese drei Gleicbangen io Witk- liebkeit nur zwei unabhängige Gleichungen. sind.
Wir finden
3 , 2
y = — Ä und ar — Ä
80 dass aUo'
F=V2— ^V7— .^Vl4
wird und
\ ;i7r-_ n ^
AF=-2— y.7=-.4
ist
Dies Verfahren findet auch seine Anwendung, ,wenn statt constanter Coeflicienten f^unctionen verbanden sind, wie 'dies in der vorigen Nummer berührt wurde.
^.
55
VI.
Heber den Ifinkelspieiiel.
t
Von
Herrn Doctor Julius Hartinana^
GjrniDasiallelirer za Rinteln.
Der WinkeUpiegel wird Ton den Physikern als ein unv\icliti> geres Instrament gevv5hnlich nicht sonderlich beachtet ; daher «ach iD den meisten Compendien .über denselben entweder nur bnxc specielle Fälle berfinrehde/ oder gar umsichtige , — weil zu atfgenein ausgedehnte, — Angäben finden.^} Deshalb erlaube
*) Z. B. Müller (Ponillet) 2te Aalkige 1844. pag. 356.: „Betrage der Wkliel -, -, rr^ de« ganxcn Umfange«, «o hatte man 6, 8, 10 Bilder
g««cliea.'*
Gebier. Worlerbuclu Art« Kaleido «kop , von Brande«» S.Band p. 8I&, enthält nur den Fall, wo tp m 360® anfgcht. Im Art Spiegel V. Maaeke, 8. Band.'pag. 932, ist nur Ton parallelen Spiegeln die Bed«.
Giemen«. Königsberg 1839: ,J«t der Neigangswinkcl /t®, so ist die
. .. M n.!^ 360 . 360 , , , 360 ,
A«ml der Bilder — — I, wenn gerade ist. l«t ungerade, «o
360 360
f ■t«tehen I oder * — Bilder, jenachdcm der Gcgen«tand gleich
lt 1}
•4«r nagleich weit von dem Spiegel steht* ^ Aber wieviel siel|t man? .
Koppe. Eoscn 1847J pag. 355. „Wenn <f in 360» nicht aufgellt, «wi««bea n nnd n-\'\ mal darin entliaUcn i«t, können n und ^7^1 Bider •recheiBen , wa« %om Ort de« ^egen«tande« abhängt. Wenn f in 360 Ifmal aufgeht, so sieht man den Gegenstand >l mal"'
Maaeke. 1830i p. 568.: „Zwischen einer Neigung Ton 180<> bis O«" (t] Kegl at«o eine der Grösse de« Neigungswinkel« umgekehrt propor- tiaMle Menge toa BUdem.'' [??]
»
56
ich mir im Folgendeo einige Bemerkungen daifiber, namenüicb um zu zeigen, dass Jn den meisten Fällen för einen bestiniiuten Neigungswinkel der Spiegel» je nacb dem Standpunkte des Au- ges^ drei verschiedene Anzahlen von Bildern gesehen u-erden.
Um die Erscheinungen zu sehen , kann man sich sehr leicht einen Winkelspiegel anfertigen. Man * befestige die Sniegel*) — etwa in Form von Rechtecken von 2 und 4 bis 5 Zoll Seite ge- schnitten — auf Rechtecken von Pappe» die am obern und vordem Rande**) rahmenartig überstehen können, durch aufgeleimte Pa- picrstrelfen ; und klebe » die Spiegel mit der spiegeliiden Seite auf einander gelegt, i'iher die Schnittlinie ein Stiirk Leinwand, das das Cbarnier bildet. Den einen Spiegel befestigt*'"*) man nachher auf der Linie M^^ eiiies eingetheilten Halbkreises, während der andere' auf der Einlheilung herbewegt werden kainu Ein Papp- streifchen, rechtwinklig umgebogen , mit einem Schenkel an die , Eintheilung sich anschliessend, und mit einem Index versehen, auf dem andern, aufrechtstehenden, eine Oeffnung senkrecht über dem Index tragend, dient, den Ort des Auges zu fixiren..
> •
Itu Folgenden wird vorausgesetzt, dass die Spiegel von der ^^i* tellinie aus nach drei Seiten unbegrenzt seien, pie in praxi nO- thige Beschränkung, kann, ohne der Allgemeinheit Eintrag zu thuTi, dadurch unschädlich gemacht werden, dass man nur das Auge uiAie genug an die Scheitellinie und dem eingetheilten Kreise bringt
§ L
4
Aus" dem Refiexionsgeset^: „Der Ausfallswinkel ist deniEiu- fallwinkei gleich u. s. w.*' ergiebt sich bekanntlich:
(1) Dass das Bild /i in f er 'einem eben^en Spiegel so weit liegt, als der Punkt vor ihm.,— Der Ort des Bildes zeigt sich als^Spitze eines Kegelsi dessen Basis die Pupille i^t. -^ Hier soll der Einfachheit wegen bloss die Axe dieses Kegels ii"^
Baunigartner. 8te Aofl^ 1845. p. 550 : „ Deshalb geben solche VViiikcU|)iegel auch nur n—\ Bilder''. [??].
Ei senlohr. 4to Aafl. 44. p. 249: „Ist mon der Hit Thcil tod 360<»? 80 entstehen H— 1 Bilder^' [??].
Lauteschlager. Fignreittafeln 1841. V. Fig. 8: „Es erscheineo die Bilder so oft (weniger ein) mal vervielfacht, als der Keigungtv^n- Ccl in 3600 enthalten isf" [??J u. s. w.
"') Am besten mctallne. Gewöhnliche, geben keine scharfe Scheitel- linic ancli doppelte Bilder; geschvärzte Glasspiegel xu- wenig Lrcht«^
**) Der hintere die Scheitelltnie bildende und der untere Kaod niöc- srn ohne Rahmen sein. -* - .
***) Geschieht dies bloss etwQ durch 2 atis der Linie ifO hertorra* gcndo Stecknadelspitzen, welche in die Papprahmen eindringen, so lotst «ich der Spiegel abnehmen, aufklappen und bequem aufbewahren*
57
welcher der sehr schlanke Kegel ohne dies fast ganz zusammen- fallt, inJBetracht^gezogen, ,d. h. das Auge als Punkt betrachtet werdeo.
.-j^).Aage^n)nd'rGe gen stand liegen im Blla hinter der Spiegelebeue.
mer vor., das
§.2.
Bilden zwei Spiegel RM und AM (Tat. II. Fig 1.) eine.n'Win-' kel (^<p) mit einander» so sind die vier Winkelräume zwischen ihoeo und ihren Erweiterungen «o unterschieden , dass
I. {RMjf) vor RM und vor AiH II. {AMR") vor • . hinter - IIL iRMA*) hinter - - vor - IV. {R'MAf)\k\niex - - hinter - liegt.
(3) Auge und Gegenstand niflssen daher immer Im Riani I. (uMA) zwischen den Spiegeln selbst, die Bil- ' der iber in II. IIL und IV. liegen.
(
§. 3.
Ein Gegenstand (Punkt) ß (Taf. II. Fi^. 1. und 2.) zwischen RM und Aßl ^ibt, im Spiegel AiEf sich spieeelnd , hinter diesem eiD Bild 6i. Dies vertritt gleichsam dte Stelle eines neuen Ge- genstandes und gibt» in AM sich spiegelnd, das Bild ß^.*) wobei .
Bbx senkrecht zu RM steht und von RM halbtrt wird f^bi • • AM . ' - • AM
§.4.
Um den wirklichen Gang der Lichtstralen zu übersehen, ziehe man (Taf. II. Fig. 2.) vom Ange O nach dem letzten Bilde ß^ die Gerade Oß^» welche AM in ^ triflft. Von diesem Punkt muss der letzte Stral ins Auge gelangen. ' Ferner ziehe man von 2^ ntch dem vorhersehenden Bilde b, die %bi, welche RM In 2t tnit, und endlich 2iB, so ist BI^^^O der Gang des zweimal rellectirtcn Strales. — Es ist leicht zu zeigen , dass dadurch Winkel 2i2.ilf = 022^ und 'lfi^Mz=zB2lR wird.
•) Die Bilder, die sich hinter RM gebildet haben, sind mit b (latei- ■iscb), die dnreh Spiegelang in AM entstandenen aber mit f (griechisch) >€M)ichAet. Die angehängten Zahlen geben die Zahl der Reflexionen an.
58
.§. 5.
Das Bild ß^ (Taf. II. Fig. 1. and^.) Krann niin niedel die Stelle eines Gegenstandes fiir RJfi vertreten und hinter diesem ein Bild b^ geben, wenn wieder
ß^b^ senkrecht zu RJH steht und von R31 halbirt wird.
Der (lahrc Tüan^ des dreimal reflectirten Strales ergibt sich wieder, ivenn man (Tal. ll. Fig. 2.)
Ob, zieht, welche RM in 3;, triflft 3zß^ ........ AM in 3^ •
3^bi ........ RM in 3i - und ^
3|0 zieht.
Er ist i^3i323sO.
Ebenso kann b% wieder als Gegenstand fiir den Spiegel AM {gelten und hinter diesem ein Bild ß^ geben u. s. w. Der wahre Weg der Lichtstrahlen wäre B4i4^4^i^O. u. s. w.
$.6.
Wie wir hier eine erste Folge von Bildern
^1 h ^s ß* ^5—- betrachteten, die dadurch entstand^ dass wir abwechselnd
zuerst blos RM als vorhanden dachten, worin 6| dann blos AAi - - ' ß%
. dann blos RM •" - - ' b^ ^
sich bildeten, erhalten wir noch eine zweite Folge von Bildern*), die dadurch entsteht, dass wir abwechselnd (Tai*. 11. Fig. 1.)
zuerst blos AM als vorhanden ansehen, worin ßi dann blos RM • - - - 6//
dann blos /IM - • . • ßm
sich bildet.
- (4) Die beiden Folgen unterscheiden sich bloLsdurch den Anfang^spiegel. «
*) Die Bilder der ersten Folge sind mit arabischen, dir der zweiten Folge mit römitchen Zanlen verteilen.
59
8- 7. • .
Alle eatiiteheDdtfB Bilder liegen Im Umfang eines Kreises an« M vom Radios MBy indem (Taf. IL Fig. 1.)
MB und Mbx. Mh{ und Mh» ^9%='Mb^ u. s. w.'
ab Hypotennsen j^ zweier congrnenter rechtwinkliger Dreiecke glekA siad. Ebenso ist
%
MB^Mßiy Mßi^JUön u. s. w.
§. 8.
Die in $.6. angedeutete fortgehende Entstehung neuer Bilder iitMckt ohne Ende. Die Folge scnliesstsich, sohald ein ftild in oder liiattr die Ebene des Spiegels tHtt, in der es sich zunSchst ipiegefn miisste.
Non liegen die lateinischen Bilder, b, hinter RM, also im JUuie HL oder IV. Die in III., ivelche zugleich vor AM Kmn, geben hinter AM weitere Bilder. Nicht so^ aber die In Jf^fonadie in dem Räume IV. liegenden. Die griechischen, hinter JM li^nd, sind im Räume IL oder IV. In IL sind sie zugleich vor RMf pflanzen sich also weiter fort ; nicht aber die i n MRf ■od dem Räume IV. liegenden.
(6) Das erste Bild eToerFolge also, das in den Schei- teirtum IV. der Spiegel (die Schenkel desselben mit- gtrechnet) geräth, ist das letzte (Schlüge-) Bild die- ser Folge. '
§.9.
V
Dass aber von den aufeinanderfolgenden Bildern jeder Folge eines einmal rn den Scheitelraum treten muss, sieht man leicht. Da die Verbindungslinien (Taf. II. Fig. L)
Bbi ß^b^ ßj^s senkrecht iu RM
m
^iß% ^ß* ^iß6 senkrecht zu AM
stellen, so machen je zwei benachbarte dieser Linien denselben Winkel (Peripheriew^nkel), den RM und AM machen, also 9.
(7) Der Bogen zwischen je zwei alternlrende nBil- 4erD derselben Folge, wie
bi 6j, ^lA^-....., Bß^f ßt ß^
60
ist also =2^. Von den lateinischen Bildern 6} b^b^ z.B. moss daher eines einmal um weniger als 2q> von R* abstehen. — Ist dieser Abstand nun =0> <9> oder =9>, so liegt das fragliche Bild selbst im Scheitciraume und ist Schlussbtid ; steht es aber weiter als q>, aber weniger als 2a> von R' ab, no liegt es um wenleer aU ]<p rechts von A' im Räume III; es entsteht dann noch das folgende (griechische) Bild^ das aber dann um weniger «Is l<p links von A\ also im Scheitelraura li^gt.
Qanz Gleiches gilt von den Bildern der zweiten Folge.
(8) Im Scheitelwinkelraum (die Schenkel mitgerech- net) gibt es daher immer zwei Bilde r« vonjederFolge eines.
§. 10.
Ist der Gegenstand 0 von Rjü \\m den Bogen y entfernt, von AM aber um^/^^—y, so sind die Bogen für die erste Folge:
R6^r^iq>+y Aß^=z6q>-i-y u. s. w.;
fSr die zweite aber:
Aßi^y
V
Aßin^2ip + y' Afff^itp-l-y'
Rbii=iq>-{'y*
Rbn = 3g>+y
ßhri^=^^q>-\rY "• « '''•
§. II.
Was. von einem Punkt B gilt, gilt von allen im Bogen AR. Neben einander Uzende Punkte werden sich auch jieben einander- liegend abbilden, da, wenn y um /1y zunimmt, die Bogen de» 6. 10. um /iy zu - resp. abnehmen. Es werden sich also die ganze Keihe von i2 bis A-ifY^ bis 9^), der ganze Bogen, im Allgemei- nen ebenso wiederholt abbilden, wie oer Punkt B, Auch werden die Bilder aller Punkte der Stralen MR und MA in den Strateu voi? 'iKf nach den BUdem der Punkte R und ^ liegen, also
61
(9) Fächer(Sectoren) mit der Eintheilongz^ischen [ /^ und :^ entstehen.
§. 12.
Betfachten wir der Einfachheit w^en neben B nur noch ei- ocB Paoiit A im Bogen RA^ Bb entstehen auf Taf. II. die Figu- reo^ bis 8., Fig. 3. und 6. fiir die erste Folge» Fig. 4. und 7. fiir die iweite Folge. Man übersieht dabfei. sogleich, dass bei jeder Atf beiden Folgen
(10) die beiden ersten Fächer (das Ote und. Iste» Ote und Iste) und die beiden letzten an einanderstos- sen, durch eine Spiegelebene re$p. deren Enreiterung getrennt mA — dazwischen aber
(11) abwechiBelnd allemal eines leer, das andere •it einer Bilderreihe erfsllt ist (vergl. §. 10.), dass aber, voiD man beide zusammengehörige Folgen auf eiuAnder gelegt Md (Taf. II. Fig. 5. und 8.>, wie es der Wirklbhl^eit entspricht:
(12) ein Fach, das bei der ersten Folge leer ist, bei der 2ten Folge eine Bilderreihe cfnthält und umge kehrt;
(13) ferner dass die Ordnung der griechischen Bilder im
Zeigergang*) bei erster Folge: QaßX
zweiter -Folge kßaQ
der lateinischen Bilder im Gegengang bei erster Folge rabl
zweiter Folge War
ist, also die
griechischen in der Ordnung (Taf. IL Pig. 5. und 8.)
*
.... iQ^Qiu) anißin (^///tW ß%^% (ihlQÖ^fßi (^ I -^)- 0 . 9 o 9
die bteinischen in der Ordnung
...(Älri <?! bi(,li\ln)biiait{rn\T^)a^ b^(k\^ir)
o 9> 0 9
Mgen, wobei die Eingeklammerten in einen Punkt zusammenfal- leo und die darunter stehende Gradzahl enthalten, und
*) Zeigergang: in demselben Sinne hernmgeEäblt, wie die Zeiger einer Ulir umluufen; Gegen gang im umgekehrten Sinne.
62
(14) das8 die geradstelligen Bilder
bei der ersten )^olge im Räume II. und IV. (links) griechisch - zweiten - - - III. und IV. (rechts) lateinisch
die unge rad^ste 11 igen aber
bei der ersten Folge in III. und IV. (rechts) lateinisch - zweiten - II. - IV. (links) griechisch
sind.
(15) (Ferner wird man beme/keo, dass die gerad- stelligen Bilder £6eitbilder, die ungeradstelligeo GegenhXMi^x sind.)
$. 13.
V «
Dabei aber bedarf die Gegend um den SeheitelwinkelrauBi noch einer näheren Betrachtung.
Wenn man 180^=<5r9^ -f t?® nimmt» wo g eine ganze Zahl und t'< V'» nicht aber =0 sein £oll^ so hat man von A an im Gegengang
und von /2. an im Zeigergang allemaj ^Fächer (Hauptfach er) (deren erstes allemal das mit ü bezeichnete zwischen den Spiegeln ist) — die nicht bis ah den Scheitefraum» noch .weni- gerhineinragen.
Das dann folgende: ,,Endfach'' reicht fGr r=9> bis an, für o<<p in den Scheitelraufn hinein. Ist nun
g gerade (Taf. IL Fig. 3., 4. und 5., 9=700)*), so ist das letzte Hauj)tfach ungeradstellig (weil das erste mit 0 bezeichnet . ist) das Endfacb also geradsteilig. Dies liegt also (14) för die
erste Folge hinter AMA\ (auf der linken Seite von AMA% ist griechisch und endiet mit Xg{fp^) (s. 14. und 13 ), welches p^ links von A' liegt. — ^ Für v=:tp stösst es bis an MR'\ för r < 9 liegt MR* in diesem Fache. — Der Theil des Fachs, (Bo- gens), welcher nach links von MR* liegt, kann sich (als griecni^cfa) noch einmal in MR spiegeln, gibt also darin noch ein lateini- nisches „Scblussiach*' 'tein ganzes lör o==9>, ein Stiick (ur »<9)» welches sich mit Tg\.i(Q^ endigt. Letzteres liegt u** recht« von R'y also q> — tzzzi^ links von A\ — Für die
*) Zar leichteren Uebertjcht sind die mit g^ricchis eben Bildera erfüllten Beigen stärker, als die lateinischen, die der ersten Folge angeb^igen ganx ansgfczogen^ die der zweiten aber n ut-erb ro- ch e r geseichnet.
68
zweite Folge liegt das geradstell ige Cndfacb hinter ßMil* (auf der rediten iSeite von RMR*), ist lateinisch und eodigt mit rg (0^, welches b^ links von ji' liegt — ^fJi' stusst Ar v—<p geraae an dies Fach> (Qr v-^<p liegt es in demselben. — Der Theil des Boge.ns,^ welcher noch rechts von JU A' liegt, wird in diesem Spiegel ^A ein griechisches Schlussfach geben, welches sicn mit il^fi (q>^) endigt. Dies liegt v^ links von A^ Man hat also -
(16)^gerade: erster Folge griechisches findfach endigt
mit lg9 v^ linlcs von Af
lateinisches Schiassfach endigt mit
Tg^i , «® links von A'
zweiter Folge lateinisches Endfaish eordigt mit
Vgf ^ links von A*
griechisches Seh hissfach endigt mit
kg^i , v^ links yonA\
ütteh ^anz ähnliche Qetrachtungen findet sich fttr
(17) ff ungerade (Taf. II. Fig. 6., 7., 8., g> = 4S^ erster Folge lat^in. Endfach endigt mit ig,/^ links von A'
griech. Seht uss fach endigt mit ^^-l-i., i/^
zireiter Folge griech. Endfach endigt mit Qg, v^ , , . . .
latein. Schlussfach endigt mit /^-l-i, b^
so dass sich also für beide Fälle, (d. h. für jedes (p)
ri8) erster Folge tindfach und zweiter F^olge Schluss- facD; ebenso zweiter Folge Endfach und erster Folge Sehlüssfach aneinander anschliessen.
(19) Dadurch enthält der Scheitelraum gerade zwei vollständigeBilderreihen von 0^ bis (p^; jede theilweise latei- nisch und theil weise griechisch , aus dem Scfiiussfach und einem St&ck seines Endfaches bestehend, um v, resp. um e, gleichsam tosammengefaltet und auf eifiander gelegt.
Fflr o gerade griechischji;^(r+I)..9®l9^.(e+l)E<>fgriechisch
lateinisch^ vo. 100|0ol lateinisch.
N
Für ^r angerade lateinisch 4€'*(e+l)..9^9<>0p—l)...i;<*| lateinisch
griechbcb n^ •.•... 10^ 0^1 i;^ i^riechisch.
(20)(yoa M nach Aund nach q ((p^ und 0^) entsteht sich allemal eine Fachlinie (Radius).
u
§ 14.
Will man jet2t befttimmen, wieviel Bilder (den ursprünglichen Gegenstand mitgerechnet) entstehen können, so braucht man nur nachzusehen» wie viel m^l ein bestimmter Grad in den ver- schiedenen Fächern zusammen genommen vorkommt.
»
' Zuerst sieht man sogleich, dass ein Hauptfach jeden Punkt
zwischen 0 und 9 enthält. Hauptfächer sind es aber 2ff — 1=:A.
Im Scheitelraum kommt jeder Gradpunkt zweimal vor. — FCr
die beiden ausserhalb des Scfaeitelraumes liegenden Stücke der
<
Endfacher aber muss man unterscheiden, ob v^ b ist *)
Ist v=s (wenn ^kJu 360^ eine ungerade Anzahl von Malen aufgeht), 80 erhalten ^ie beiden Cndfachstücke zusammen gerade einmaf die ganze Gradreihe von 0^ bis 9^. ^ ^
» *
Ist t;<f, so fehlt Ihnen zusammen das Stück von r bis c (Taf. IL Fig. 11., 9=800).
Ist t;>(, so enthalten sie zusammen eine ganze Gradreihe, und ausserdem noch die zwischen £ und v liegenden. (Taf. II. Fig. 9. und iO). y
(21) Zählen wir nun zwei zusammenfallende glefchlauteiide Bilder nur einmal, so entstehen, wenn
1) v^B ist (<p in 360 zwischen einer geraden und die folgende ungerade Anzahl von Malen enthalten ist s. (Taf Jl. Fig. 11.) von Punkten : *
ztvischen 0 und v ) . , , «., , zHUchent und 9i{* +5 »''•'«'
oder: zwischen 0^ und %)
[ir+2 Bilder - 9r-|und9]
zwischen v und b J, . r» Tk.ii
j II ^A } A + 2 Bilder
von p und £ selbst \ '
zwischena und 9 — El
>n+l Bilder
A+3
von ^ und 9^""ij
vdii 0 und 9 selbst — ^ — (rzr^r+l) Bilder von 0 und 9 ai-^-
*) In der aDgehangten Tabelle sind für die .verschiedenen fp der ff, V nnd e zur bequemen Ueber«iclit angegeben , ebenso nocli die n and ^ aus der Relation : 3eO=ng>-\-g, — wo für «=2^, (>=:2i'; für l2=2^-fl abei' ^=2i; — tp ist. ,
■ /
65 \
t) v=i Ut, (9^ in 360 eine angerade Anzahl voh Malen aufaeht) von Punkten '
2iri«clien 0 und t oder vi
2wi«clien ü und e oder v{
iirischen i oder t; und 9>{ ^ + ^ ^"^^'^
oder zwischen 0 und %i
\n\\ Bilder
zwischen ^und^)'
von r oder £ . . : . Ä + 2 Bilder
von 2" • . . « Bilder
•
vonOood 9) ^2^? Bi
^
Bilder
von 0 und 9> . . . . 2i- Bilder;
^1» ' * ■
9 v>€ ist, (91 In 360 zwischen einer onseraden und der folgenden geraden Anzahl von Malen enthalten ist) von Punkten
xwiwAen 0 ufid i\
zwischen v und 9)) '^+^ "''^^
oder zwischen 0 und r"^j
'^ U + 1 Bilder zwischen -^ ^ und 9]
zwigehen e und v A 4- 4 Bilder
• " . » # ■•
zwischen ^^ und ^±5 „^.3 Bilder ^«1 f mid V A + 3 Bilder
von . ^Y^ und ^^ w+ . Bilder
j(^3 »pe 0 and 9» — j— Bilder
M+>1
von 0 und ^ -^ Bilder;
4) 9=^9 f=:0, (9) in 360 eine gerade Anzahl von Bfalen aufgeht) To» Punkten -
M XVIII
66
cnbciHSD 0 ond qt A+3 oder n Bilder ?on 0 lind (p -^ oder ^ Bilder.
§15.
• Haben wir im Vorherffeheoden gefiehen , welche Bilder web Oberhaupt bilden können , so kommt es doch eigentlich daraul an. welche von ihnpn man von einer bestimmten Stelle aus (rar einen bestimmten Ort des Auge«) auf einmÄl flbersieht. — J^n den aufeinander fallenden bteinischen und griechischen Bildern de« Scheitelraumes wird das Auge allemal nur eines^ sehen, aber welche, bedarf noch der niiheren üntersuchung.-
Damit das Auge ein Bild sehen könne , muss die Grade vom fraglichen Bild nach dem Auge den Spiegel treffen, in welchem sich das Bild zuletzt gespiegelt hat; nach unsere F«g"fen sind deshalb die lateinJscheji Bilder nur sichtbar, wenn die Ver- bindungslinien derselben mit dem Aiige den Spiegel MK; die V griechischen nur, wenn sie den Spiegel Jf -4 treffen.
Denkt man sich durchs Auge und den Scheitelpunkt (eigentlich Scheiteln nie) JU eine Gerade (Ebene), welche den Bild'^rbogen des Scheitelwinkel« In Ä trifft, so treffen alle Unien von Funkten auf der rechten Seite von S nach irgend welchen im Spiegelraum I. liegenden, Punkten der gedachten Linie (Ebene) (als Orten des Ao- ges; den Spiegel Äilü, von Punliten links von S den Spiegel >^ilf.
(22) Wenn der Winkel- «, den die gedachte Linie (Ebene) mit dem Spiegel RM macht, sich ändert, und das Aua;e sich in der Richtung von ^ nach ^ bewegt, so ändert sich »auch der Ort St mithin wechseln im Scheitelraum die sichtbaren Bilder.
• *
Dagegen macht es keinen Unterschied, ob das Auge in ^ener Linie (Ebene) bei unverändertem er, sich bewegt, und dem Schei- tel ßi nftber oder ferner steht.
5. ig:
Sehen wir nun, welche. Bogentheile sichtbar sind, so kommen zu den h ganzen Hauptfachern noch die mit dem Winkel tt ver- änderlichen Stiicke der beiden End- und S ch I u s« (lieber hinzu. Darfiber hat man z. ß. folgende Uel^ersicht:
y
67
(B) ffir g gerade: z. B. (p==W, ^=2, v=Mfi, i^=3Kfi (Taf, II. Fiit. 9.)
«5 «»»
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^ Der dem Pdnbt J/ njlchttc Bo^n im Srliritalwinkel enthält die Ofl^, wo 5-airli befindet, wenn du« Ange In de» glclrlinftiiiigeii Pnnkten iliftt — Uechtt von den betreffenden Punkten (die nUo gewiaeer- ■MMCB die Orte det Anglet repräcenttren) sind daher die dänngrxeich- ■•t€B (lateinitchen), link« die «tark^eseichneten (griechi- •ckeo) BiMer sn nehmeo«
**) In den allj^ineinen Antdrücken die Diffcrenxen nur herab bi« O®, €tt Samwea aor binaof bit tf^,
***) För «=f hal man Ton t bi« o
" hat man Ton t\o bi« tf
Q. s. .w.
5*
^ '
68
(23) für // ungerade: z. B. 9)=48o, ^=3, v=36<>, t (Taf. II. Fig. 10,) .
=r2«
I
I. II '•
I!
II I I II i 1 1^
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^ I I I I 1 [ i^
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I' I I l I I M f
1 1 11 ri f
♦ 39
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m
5^=^^
5>o
^ MBB
Wie man sieht, so beschränkt sich der Unterschied «wischen den Fällen, wo ff gerad^e und 41 n gerade ist, darauf, dass latei- nische und griechische Bilder und <p^a upd a ihre UoUeo tauschen.
§. 19.
Solche Uebersichten fiir andere <p kcinnen-'wir leichter durch eine Art graphischer Darstellung, d. h. durch Figuren gewinnen, die dasselbe Gesetz befolgen , aber leichter zu construiren und abzulesen sind.
«9
Zeichneten wir nämlich fiir jedes der 4 Fächer (die zwei En^ oftd zwei Schi ussfacher) je eiii.Quudrut von der Seite =9,(Tar.Il. Pig. 11 bis 15 und 10 bis 19)*) nähmen a\if der i^rundlinie gleichsanri zn Abrissen die Winkel a, zu Ordinaten aber die fdr das fcus- ficire a sichtbaren Bo^enstiicke fOrte der sichtbaren Gegenstände), so bekamen wir eine Reihe von Ordinaten ffir die aufeinander folgenden Abscissei, die gezeichnet eine sehrailfirte Stelle des Quadrats ge- bet. FSlIt dann die Kreuzungslinie von a und einem Winkel y (den ier Gegenstand mit dem Spieeei RJIf macht), in eine schraffirte Stdie, se ist der Gegenstand sichtbar^ iionst nicht» Legt man MB diese vier Quadrate auf einander, so erhält man Taf. II. Fi^. :d. uod 21. (für g gerade imd g ungerade), die -die Bilder m dft Tier Fächern zusammen repräsentirt.
(^) Es zeigen sich darin in 2 Ecken l, in den beiden »deren 3, in der Mitte 2 scbraffirte ^telhen auf einander liegend. ^ '
Der Unterschied zwischen diesen zusammengesetzten Qua- itnten (ur g gerade und ungerade ist der, dass v und e, nicht ^ die Gradoezeicbnung umgekehrt ist.
§.20.
Mittels "eines solchen Quadrats ^natürlich mit Weglassung ^ nun unnothigen Schraffirung) (Tat. II. Fig. 22.) beantworten M dami sehr leicht die beiden Fragen:
1) Wenn das Auge [ttir 9=70 z. B.} in einem bestimmten Grade steht, z. B. 04^ (von RJli entfernt), in welchen Bo- ^entheilen nmss der Gegenstand stehen, wenn man in jenen vier Fächern 1, 2 oder 3 Bilder sehen will?
Die Dreiecke a 04 40, so wie ö 64' 30' sind gleich- »cheoklig, daher
64.«r=:ö4. 40=24 Grade
A.64'=04'30'=34 -
Steht ateo der Gegenstand B
tischen 0^ und 24» (von RM) so gibt es I Bild "*) 240 „„,1 36» . . ^. • • 2 Bilder - 360 und 700 - .... 3 Bilder.
2) Wenn der Gegenstand in einem bestimmten Grade steht I. B. y=13, wo sieht das Auge l..,2... 3 Bilder?
*) Die Ficureo entuprerben r^r. (33) and (^V) nnch den gleirhfitu-
ilaclMtabcii, {ay (0) n. «. v. •♦) S. Nr. (27) nnd (28).
70
Es ißt
13 111=13 4(r=27 Grude
«13' =13' 30" = 17 Grade
al«o sieht das Auge
zwischen 0» und 27« (von ÄÄ), 3 Bilder
270 und 530 - - , - - - 2 Bilder - 530 und 70® . - . .1 B'tlcL
(26) Zu diesen 1,2 oder SBildern komm'en nun atle- mal noch die A Bilder in den Hauptfächern (den Ge- genstand B mitgezählt) hinzu, so dass man fqr alle sichtbaren Bilder A-f 1, A-f2 oder h\i zu nehmen hat.
Hiervon machen jedocn die Punkte 0« uud 9^ (als Gegenstantf angesehen) eine Ausnahme. Wenn nian diese Punkte an der Grenze der Haupt- und End -Fächer» (wo sie in (23) und (24) — bei den Quadraten mitberiicksichtigt werden) < nicht mitzählt » so kommt jeder derselben in den Hanptföchern nur {g — l)mal vor» weil immer je zwei zusammenfallen. ' -
(27) Ffii^ die Gegenstände 0« und 9>o hat man also statt h blos g^\ zu lesen./
Einer besonderen Beachtung bedürfen auch poch bei nnsem Quadraten die Grenzfälle» wo die Kreuzungslinien in die Eclren oder Grenzlinien des änsisern Quadrats . ooer inneren liechtecks fallen. Man siebt nämlich bald (am ieichsten anTaf. 11. Fig. 9. und 10.)
(82) dass, wenn der Kreuzungspunkt föllt
1) in die Ecken, oder die obere und untere Grenzlinie des äussern Quadrats, man, wo 3 Bilder angegeben sind» nur 2 zu nehmen [weil von den Punkten 0 und 9 zwei gleichlautende zusammenfallen] ;
2) in den Ecken des Rechtecks (resp. inneren Quadrats)
immer 2 zu lesen; [weil fiir das Auge in 0 oder \p 2 Punkte v ödere; fiir das Auge In e oder v 2 Punkte 0 oder 9 zusammenfullen]
3) in den Grenzlinien des Rechtecks rei^. inneren Quadrats die g r 5 s s t e der zu beFden Seiten angegebenen Zahlen KU nehmen bat.
In praxi modificirt sich dies sogar noch weiter, ireil die hier mitgezänlten Bilder,, welche dem Auge gerade in der Scheitellinie der Spiegel zu stehen scheinen, wegen UnvoUkommenh^ des Apparates nicht leicht wirklich zu sehen sind. Dann hat man also in den Grenzlinien und Ecken das Rechtecks z. B. Immer die kleinste Zahl zu nehmen.
71
§. 21.
Den Uebergaog dieser Verhältnisse bei fliessendem fp über- fUkX ouui ans der Tabelle, noch besser aber durch eine Reihe (Ndrate (Tat II. Fig. 23.)
Bei 180^ hat man eine nach links' oben gerichtete Diagonale. Bei^ abnehmendem q> kommen an den .Enden derselben zwei Eck- dreiecke zum Vorschein; die Diagonale verbreitert sich zu einem Rechtecke. — Die Eckdreiecke werden grosser» das Rechteck Meiter, die froheren Dreiecke kleiner bis bei 120^ das Rechteck na Quadrate geworden. In demselben Sinne geht es fort, das Quadrat wird wieder zum Rechteck, dessen Längenrichtung tber jetzt nach rechts oben geht; bis bei 90 die früheren Drei* ecke ganz verdrfingt, das Rechteck zur Diagonale zusammenge- •diMolzen nnd die neuen Eckdreiecke den ganzen Raum einge- haben u. s. w.
5. 22.
Als Resultate kann man also zusammenstellen: Wenn tp in 310* 11 ganze Male mit oder ohne Rest enthalten ist und
W n ist =2, 4,6, 8.«.(=4z— 2) und ^=0;
ibe
9=180, 90, 60, 49 u. s. w. ^
se «eilt das Auge O an jedem Ort, Vom Gegenstand B an jeg- Idheai Ort, ausser in 0^ und 9^, hur eine Anzahl von Bildern," näm« Rck » , s. (27) ;
(30) 11 ist =3, 5, 7, 9...(= 4z Tl) «"cl ^=0
9=120«, 72P, 51? 40... und t; = f > I
so sieht gian
a) wenn das Auge der Mitte des Bogens näher ist, als
der Gegenstand dem nächsten Spiegel, ti(=A-(-2) Bilder;
- 6) wenn aber umgekehrt -der Gegeiintand B dem nächsten
Spiegel näher ist als das Auge OderJHitte des Bebens,
falls
^) ff ungerade, also
ii=:4z-lr9r=:120, 5l|, 32^j..24.
72
and
1) Auge und Gegenstand in derselben Hälne des Bogens sich befinden n ^ 1 (=A+1) Bilder;
2) Auge und Gegenstand in eot^egjen^e- setzten Hälften der Bogen stna n-f-l (=Ä+ 3) Bilder;
ß) ff gerade, also
fi=:4z+l; g>^72«,40o,27i3»...
und
1) Auge und Gegenstand in derselben UaUÜe sind : 11 -f 1(— A +3) Bilder •♦)
2) Auge und Gegenstand fn der entgegengc-r setzten Hälfte n—l(=A + l). .
*
Als specieller Fall von a) hiebt sich heraus: "^
Steht das Auge in der Mitte des Bogens, so^ebt für jeden Ort des Gegenstandes und
Ist der Gegenstand in der Mitte des Bogeos, so sieht das Auge an jedem Ort n Bilder.
(31) <p läsat in 360 einen Rest.
a) g.iai ungerade, n=42_|, g? zwischen 180^ und 900, WP und 4010, 36« und 30«,
^) Gegenstand h^'^^M"-^ und B näher -an 0^
als Oaneo - k_i^/,^,
^ Auge I zwischen v [ Bilder
^ Gegenstand j «nd 9
und^ näher an opO
s O an v®
#
•) Diö erste AnEaht, wenn n gerade =4»— 2; die «weite (die der ersten* gleich ist) wenn n ungerade =4s~l ist.
♦*). Um die grösste Anzahl von Bildern zu sehen, wiid man alco im Allgemeinen: für ff gerade Auge and Gegenstand nar nahe genug an dat«elbe Ende; — für ff ungerade aber Ange und Gegenstand nur nahe genug an entgegengesetzte £nden des Bogeos bringen dürfen.
73
^. Auge ( . . Oa.l;^
•>) X, _. 1 c zwischen 1
' Cregenstand > %\x,tp\
und B gleich nahe oder näberl n^"! an 9<> aU O an n« f \\\
. Ange l^...L.„i.^„ '«•^'l Bilder
■^^ Gegenstandf*^^*^'"*N)u.t;i
^ uod ß gleich nahe oder näher i an 0® als O |in €® /
In den Gegensatz^ die8er\ Vi-f 1 ' 4 FälHe, d. h. ,,tvenn B eliensof %i ^ weit oder weiter von 0*^ab-(=A+2
^ ' steht iftd. J Bilder
?) y gerade, n=4zT|, 9 zwischen 90*^ und 60®j
so 45« dnd SO«; SO«' und 25 •- ähnlich wie filr g ungo-
rade, mir £ und 1; ?erwechseit (Vorige Seite*^)
rJ2) Ueber die Grenzfälle s. §. 20. Nr. (27) und (28).
. Uebngens kOnnea <29) und (30). als speelelle Fälle von (3J)
aagesehen werden; in (30) ist 1;=«=?, in (29) v=9>, f=0, in Mdeo ^1=0.
Dieie Resultate lassen sich jedenfalls anders, symmetrisdi^r •der kGrzer zosaniniens^ellen, scnwerlich' aber wohl die einfache Udiersicht gewährend wie die Reihe der Quadrate Taf. IL Fig. 23.
\ §.23.
Einiges Interesse bieten vieHetcht noch die Winkel dar, oBter denen der vom Gegenstand ausgehende Stral die Spiegel abwechselnd trifft, um endlich ans Auge zu gelangen.
Füll ein Stral i^, (Taf. II. Fig. 24.) unter .dem Anfangs- Wiakel BX^ A:=6| ein, so der reflectirte 61.62 unter, dem Winkel '
0462^=68=6, +y; f
der 'hier reflectirte Stral ÖJk trifft den Suiegel RM wieder un- ter deb Winkel
«jfis, ß Äftj =£6!, + 9>=6, + 29 , ■• Ä« w. d..Jiw
74
(33) die Reflexiouswinkel eines niehrmal» ^ebro- che Den ^tratles wachsen bei jeder neuen Reflexion um q>> — Ist der Winkel dadurch grösser als 90^ geworden, so kann man auch statt seiner die Ergänzung zu 180^ nehmen, — wöbet nur EUn- und Ausfallsstral verwechselt wird, — dann nimmt von da an jeder Reflexionswinkel um 9 ab. Vero letzten, End -Winkel, an gerechnet, aber auch allemal um 9 zu. — So lange der Win- kel unter 90^ bleibt, nähert sich der Stral dem Scheitel M , wird er grösser, so entfernt er sieb wieder.
FOr die Winkelfolge desselben Strales hat man also nur nöthig den Anfangs- oder End-Winkel zu kennen.
5- ^-
Suchen wir die Endwinkel nw Zuerst för den Fall, dass
Gegenstand und Auge gl eich weit von M entfernt sind.
■*»
Da 6« /%«-^ (Taf.il. Pig. 25.) senkrecht .bu /2iZ' (resp. ^ 6«.^ senkrecht zu A^i*) steht, so ist der Endwinkel
34) nn =90»— 06„j^-i = 90«— j Bogen Oßn^^.
>
Die Werthe dieser Boeen stellen sich aber so dar: Sei der frühere Bogen J?l2=y, Gfi=a, so hat man, wenn zur Abktlr-
soog gleich d filr -^-j^ ^"^ ' ^' "%"" geschrieben wird» fiir die erste Folge:
(35) ^OÄ=+rf»)
1
^ OBß^=4fht-d
loß^:=2ip+d 2 0Ä,=29)+«
•) o Ut, wenn wie in T.f.ll. Pi|t.-9. * mit /i,,S. auf etitiri>M»»..^_< Seite ,o„ 0 liegt, «eg.tiT. üer Ä.Jel.Rr.ui&eft* Sl Äl^Ta^ut^i::
-0/f negativ «tehen geladen.
*
• -^
75
>
^ ObfZ=s3<p -{- 8 u* «• w.
Somit werdeo die Endirinkel: ^ \
(36) ll=:OliÄ=90-( + il)
3,= O3,A=90-(9> f <0
4* =044^=90 -(9»+»)
«h = Oe, // =90— Ciy + «)
7,= 07,Ä=90-(39 + d)
8»=O^^=90-<39> + «)
0. ». W. V
Pfir die zweite Folge ttetze man
(wonaa, beilSnfig bemerkt, s' = tp — « und (^' = — </ (oigt); so nmleii die Bogen
(37) ^0^ = + *
5 Oßi=s'
a Obtl=ipi-d'
.^Oßui^ip + ,'
.jO*if=2^ + rf'
-Jo|Jr=2g)+i'
L #. «r.
aid die Endwinkel
76
//////= Ol II in A = l'O - (9> + «/O
I Vir- Ol VuR = 90-(<p + ^
/
Vr= O VrA = 90— (2<p + rfO
VIfi=^ O VIhR = 90 - (iy + «')
II. S. H".
§. 25.
Daraus Gr<;eben sich auch leicht die End-Entfcrniingeu*) des IVlittelptinkts M vom Scheitel der Enduinkel
(39). Es ist nämlich (Taf. H. Fig. 25.)
1
MOsUiMOfßn _ ' """ 2
r cos ö Obn
Mnn='
also z. ß. iiaiiientlich (35 und 36) : ^
mm» COS« . _,_ COSä'i
I t
iäs% cos(<p+i/) ____ cos(g) + r^).
* cos* cfosj'
cos(<p+.f) cos(9+*0
ill33 = r. 7 r ,v /P////i/i=:r. ;^ — i-j,^ ^
•* COS((p-{-€l) COS(9+rt')
* cos(9 + */ : cos(9)+«0
_ cos(2y-|f) co8(2y + Q
* cos(29fc/) co8(29?-K«')
co8(3<p + fO cos(3y+<0
^ t;os(2<p+*) cos(29 + $')
< *) Kigciitlicli deren Projrclioni'ii auf die Ebene dt?« eiiigcllieilltrn Kreise«.
77
§. m.
AoB diesen EedeDtfermingen folge« weiter leicht die vorher- eebenden EntfemuDgen der Mitte JU von den Durchschnitten des Ein and her geworfenen Strales mit den betreffenden Spiegeln : dem man hat r. B
1 1
141 J /If llfl—i = . — — ; : — = r-7 1 — v->
ebenso
1
r.cos\ Obn
IUnn^*l=^-T
6in(ii« -f 29)
1. 8. w.» also -pamentlicfi z. B. (35), (36) . " '
(42) JW^=:fwco8(39>-|-<0sec(29-|-«)
jVÖft =:ir . co8(29> + t)8ec (2g) + r^ ,
if6i= e*; 8ec(9+*)
MÖ4= C* 8ec(9>-f<^)>
JV04= f" sec«
^5s= C secrf
J|f6Li?=: . C 8ec(y— f)
M6^^ C. 8ec(2g)— *) •
ilf5|= C 8ec(29— d),
il#6|^ C sec (39^«^.
Jl§4^z=ir co8(29 + dfBec(<p -|- 1)
il/3s = rco8(9> -|- <)8ec(9 + d) ,
«
4j=i= ir^ ilfsec*
ill3j= C secd,
ßf4^= er 8ec(9)-*)
' il3i= er 8ec(9-<0»
^4^= C sec(2y— t).
*) Der in deit ganzen Folge vorko'nimende Factor rrot(894.^ = C gftclRt Aehnlichft gilt ^ucli fär d^e anderen Folgert.
78
^ M2i= a^ sec(9-t).
^1i =r cosiaecd.
^43) Für die zweite Folge lauten die entsprechenden Llngen- wertne ganz ebenso nar mit s* statt « und d* statt d.
(44) Diese Auftrittsentfernungen lassen sich, da sie sich wie eipe Folge von Secanten verhalten, auch durch (Taf. 11. Fig. 26.) darstellen.
§•27.
Wenn endlich Auge und Gegenstand nicht gleich weif von M abstehen z. B. JUO^sszR, ilfiB=r ist, so hat man ans dem Dreieclc MO'ön (Taf. IL Fig. 25) wegen
1, , Ä— r ^1„.
« r-
und
tg5(fi + i')=tg(90-2^^)
t •
den Anfangswinkel 91«= OVni^
(46) n'«= « + V = «+ (90 -J Obn) -arctg [s^r ^'^**l^*"] ' was fOr /? = r in die früheren Formen übergeht.
80
Besfiminanff der ireoiri*APl*tocheii Breite und üftnire ans j^eodäUscben
MessnnflTCJn.
Vo» ...
Herrn Professor Dr. 'X Di enger .-
Bii der |ii>l^tccliiiiM^«ii Schide co Carlsrnhe.
§. l.
Nehmen wir die Erde alcr ein Rotationsellipsoid an^ in dem a der Halbmesser dto Aequators, b die halbe Rotationsaxe, neh- men nir femer die letztere zur Axe der xi die Axen der jf and z in der Aeqnatorebene , so ist «fie l»lciciiQng der Erdoberfliche (mathematisch gesprochen) :
(I)
Die geodätische Linie auf dem Erdsphäroid ist aber dne kürzeste Linie, d{|her ist ihre Gk>ichung5 neuen. (1):
2
ii-'%'^ ^ e&y^m- <=>■
worin c eitt^ Konstante. ^
Heissen ^vir Breite eines Ortes auf der (mathematischen) ErdoberflSche den Winkel , den die Normale in diesem Punkte^ mit der Aeqnatorebeoe macht, so ist, wenn sie durch B bezeich- net wird:
81
sinfss
a*ar
wobei B von 0 bis j aaf der nördlichen Erdbälfte, von 0 bis
— n- anf der sadlioben ges&hlt wird. Die LXnge eines Ortes
ist der Winkel, den die Ebene des durch ihn gehenden Meri- dians (d. h. die Ebene durch jenen Ort und die Erdaze) mit der Ebene irgend eines bestimmten ersten Meridians macht. Wir Kahlen die Länge von 0 bis 360^ von West gen Ost, wie wir auch ^m Richtung von der positiven Axe der x zur positiven Axe der « in derselben Weise zählen, und die Axe der s in die Ebene
des ersten Meridians verlegen. Ist A die LSnge, so ist:
*
t
1 ^ ' X..
eoSAc^ ... r ■ ^s ^ M - *
ima ist aber, wie aian {eicht findet:
ist
V- jr* . , asinAcosB
(
V. xr* . acosXcosJB
VT-e«sm«Ä Bestiainit man /) so, dass
; X -.
tg^=Vl-e^tgÄ=^tgÄ, (3)
so ergiebt sich:
I y = acos/3sinX,/ (4)
z=:acos/3cosX.
FfiliTt man nun die neuen Veiünderlichen X und ß (die redu- «irte Breite des Ortes) in die Formel ('2) ein, so ist dieselbe:
a«co8Vgg =c.
Y 6^:os«/J+a«sln»^B»cos^nJ) ' Woraus jumi alu Gkiehang der geoditbcfaen Linie zieht:
\dßj ^ a«cos«i3((i«co8«p-c*) ' ^^^
i)ie Lunge* dieser Linie zwischen zwei Punkten, denen die redazirten Bretten ßi und ß*i (ß^>'ßi) zugehören, ist also:
Die Konstante c, die in diesen Formeln vorkommt, wird durch die anföngliche Richtung der geodätischen Linie bestimmt, welehe Richtung bekanntlich hei dem uns vorliegenden Problem immer als bekannt angenommen werden darf.
Ist diese anfängliche Richtung die des Meridians, so ist an- länglich go=0, d.h. man hat c=dO, und also ist die Gleichung^):
WO & eine Konstante. In diesem Falte Ist also die geodätische Linie eine ebene, und der Meridian selbst Was die Länge an- belangt» so ist in diesem Falle aus (6) dieselbe:
r^^ Vb^co8^ß + a^s\ü^ßdß=aj V i-^e^cos^ß Bß ßi ß^
STi^^iü^ßdß
ü P'
=fl[£;(5-.ft,.)-Ä(f~/j,..)], (7)
83
wceD aUgemeia
J *' Vi— A*«iB Vv = Eifpi . k)
0
ist.
1d jedem anderen Falle ist die geodätische Linie von dop pelter bUnioraog.
5. 2.
» (st'y'sf) der Anfangspunkt der geodfitischen Linie (5), so sind die Glelchongen der durch diesen Punkt gehenden Meri- diaokarve:
*^-^=o. «^+f^=i.
Sei soo a der Winkel » den die Meridiankiirve und die geodäti- sdbe Linie machen» so findet man leicbt:
u
«•
+ '
•1
i
+
.6
+
s3
'i
Q5
8K
+ +
+
+
Ck5
85
Führt man hier dieWinkelkoordiDateQ (4) eia^rso^ •rgiebtsieh:
a*co8*
KD' .
6«cos«/3 + a«sin*j5 + a*cos V l^J also ist .
acospäina= '^
y 6«co8«/3+a%inV+a»co««/3(gjy
Vergleicht mao dies mit dem FrOheren, eo Ut:
acosß sin« ~ c . (8)
bt also ß die redu/Jrte Breite eines Punktes der Erdoberfläche, M jkt Winkel, den die durch ihn sehende geodätische Linie mit ■eioem Meridian macht, so ist dte Urusse cos/3sinor tär alle in die- MT geodätischen LYnie liegenden Punkte konstant.
Kennt man also den Winkel oj , den die geodätische Lmie (■ihrem Anfangspunkt mit dem durch. jenen Punkt gehenden Me- ridian macht (ihr Az'^muth) und ist pi die reduzirte Breite die* MS Anfangspunktes» so ist
* c=:«cos^iSijiirj . (9)
i 3.
Nachdem nun c bestimmt ist, bietet die Berechming der t»ä*ff|a tiner geodätischen Linie keine Schwierigkeit dar. Aus Formel (o) iolgt nunmehr :
Pßr aT bHos*ß -f g'sin«^ J V cos*/5^cos«ftsin«ai ' ^^•^'^ = '
ß
Sei
DOB
sin^ = oo89> V l-^eos'^s'iB^ ,
86
"" c/ ▼ (1— co8*ft8m*ai)sm*9
— cos%«in •«! ö^
=-. /*^* V6« + a«««(l -C08«/Ji8in«a4) — aVa—cosVi«n\ri) 810^89
91
worio 9^ , 9>s bestimint siod durch
8in/?i=:cos9i .V 1— cos^ftsin*«! , sin/Jj = co89g .VI — co»*/Ji8iii'ai . NUD i8t
6^+aV(l - ce8«ft8ioV|)=A»+«V— aVco8»ft8m««i
s= a^I— u>^:08«A8lD««i) •
Bestimmt man also y und }^| 80 » dass
cosy Ä co8/3i8ina| , oesyi = •eosßi 8in«i ; (10)
80 ist
VI — co8«ft8!n«ai = siny, V^6«+ a«e«(l -co8*ft«n*«i) = «»'«nyi »
<H^ 9it 9s *"^ bestimmt aus
sin/?! = siny.cos^x » sin/^^zz siny.cos^t , (1 1)
so dass endlich
«ssosinyt
/9i 4 ri ?sin5TT"a
Dadurch ist nun unsere Aufgabe gelöst. Hat man Tafeln der elliptischen Funktionen, so entnimmt man ihnen unmittelbar i.
87
Die Eotwicfclmie der Näbernomromielii Ut bier nicht unsere Atfgabe, auch ist dieselbe « nach den mitgetbeilten genauen For- BelD leicht. Man wird die Müb^rnng nicht über die vierte Pp- teai von 4 treiben.
In der Regel liegt in der Geodäsie die Aufgabe nicht so. Tief mehr keoot man die geographische f^änre und Brate eides Ortes, den Wmkel CT., den die geodätische Linie von diesem Punkte aus an eioeB andern mit dem Meridian des ersten macht, so nie die öer ceodätischeo Linie zwischen beiden, und soll daraus Länge ■od breite des zweiten Ortes finden.
la Formel (12) dürfen also als bekannt angenommen werden s and fi neben den jedenfaUs bekatonteA Crossen e^ y, yi. Daraus tfpM 9ich :
£(^,, 55!£}') ^E{<p„ ^) ?-. (I3>
Tafeln der elliptischen Funktionen vorausgesetzt, entnlmnit man äiien den hieraus folgenden Werth des Argumentes ^%t woraus Btcb (11) sich ^2 un^ ^^^"^ "^^^ (3) ^2 ergiebt.
Man sieht, wie höchst einfach die Sache sich gestaltet, wenn man Tafeln der elliptischen Funktionen besitzt, und <vie wunschenswerth eben desshalb auch in diesem Betreff solche Tafeln sind.
Die Entwicklung der Näherunffsformet fflr 9>2, wenn man die über die vierte hinausgehenden Potenzen von e vernachlässigtr BQterliegt aus (13) keiner Schwierigkeit. Wir kommen vielleicht darauf später zurück und bemerken hier nur noch , dass man dazu des Lagrangeschen Umkehrungstheorems keineswegs bedarf, wie dies gewShnlich geschieht, sondern mit dem Taylor'schen Satze vallkommen ausreicht.
V 5-
Eine zweite Frage ist nun die nach der geographischen Länge (it) des zweiten Ortes. Die Formel (5) giebt:
/81Y_ fl^os»ftsin«tt|(6»co8»/3 + fl«sin«j3 _ oos»y(6» + ii^e«sinV) W/ "" a*cos«^(a«co8*^a«co8«/Jisin«ef, j "^ a«cos*i5(»in«y— »i»^)'
8B ;^ c^/irY^^^.J^+A,. a4)
aj. ¥ sin*)' — ^8in*p cosp * /*»
worin da8 obere Zeichen gilt, wenn iU>Ai, das untere, weno
Setzt man wieder, wie in {• 3.:
8inj? = sinycos^ , so ist das in (14) vorkommende Integral:
sin^os'g)
9\
6*+a*e^sin*y — o^e^sin^ysin^y > g
^ (cos*y + sin*ysiB*y) V^6* + a*Ain*y — ii*»%iii*ysin*9 9%
Nun ist
b^ + oV8in*y=^a*8in*y| , also ist oUges Integral:
I . « ' «in*<
Bezeichnen wir allgemein
so ist
n9
%J (1 + itsio'i
^^ =F5= durch 71(<p, «, k), (15)
9>) V"l — )t*sin*«p
/S^ sin*y8y (1 + n8inV)V"l— **sin«g)
= 1 /^y (l+nsin»y)8y 1_ / 8g
nj (1 + n sinV) V^l — A* «"n«ip « t/ (I+nsin V V^l-ifcVm^
= ^^(9>, *)-^ ^(9> «. ^).
Darnach ist obiges Integral:
8*
NnUt
> .
1— e*coe%sin*«t-f c«cosViSin*«i 1 .
«kotiteodUcb:
(16)
vMüt Dim oDsere Aufgabe gelost ist
Die genaae8ten Werthe von o und 6» die in diesen Formeln vorkommen, sind bekanntlich:
a = 3272077,14 Toisen.
6 = 3261139,33 Toisen.
Die Formel (13) setzt voratia, dass ßt^ßi- ^^ ^'^^ umge- kehrt i^</?i, so erhält man statt (12):
,=-a.«n [_E(^.. SS)-^X9'.. 5i)] . (12'). abo statt (13 :
E(^^,^^=^'^''-^)-^-^-. (13')
00
während die Formel <16) allgemeio i^llt, wenn man in ihr das Doppelzeichen so speziältelrt, wie es die Differenz l%'^l^ erheischt.
Die Formel (16) lost auch zugleich die Aa&sbe« dieieni^n Punkte auf der Erdoberfläche zu bestimnien, durch welcne eins bestimmte geodätische Linie hindurchgeht. Diese Linie schnei- det nämlich den mit dem Aequator parallelen KreisKchnitt , des- sen rednzirte Breite ß' ist» in einem Punkte » dessen Länge X' bestimmt ist durch:
(17)
worin ip' bestimmt ist durch die Gleichung:
elüß'zs, umycoBtip' .
91
Heber die Olelcbungren der Bewe- SiuDfr« Anwenduiigreii derselben.
(Kacb Jales Vieille io LiouviUe'8 Journal, Juillet 1849.)
Von dem
Herrn Professor Dr. J. Dionger,
ao der polytechnitchen Schale ao CarUralie.
Sind Xsjf, 1, x's die 3h Koordioateo der n zusammenge-
liMrai Pankte eines Systems in Bewegung, X, Y, Z,.... die Mf mietben frirkeudeo bewegenden Krähe, so ist die Gleichung der Bewegung:
z[(jr-m^)«;r+(F-m|^)«y+(z-«,^)&]=0. (1)
wwb m die Masse des Punktes (a?t y» x)» ix, itf, iz gewisse Verindefungen der Koordinaten Xj y, z sind und qas Zeichen S sicli auf alle Punkte erstreckt. (Poisson, Mechanik. $. 531).
Angenommen nun, es bestehen awlechen den 3?t Koordinaten '• y> <> ^»^.. die i Gleichungen
X=0, Ä=0, iV=0,
10 kann man mittelst dieser Gleichungen die Grössen :r, y, ... ab Funktionen von 3n — i derselben oder anderer Veränderlichen aotdrScken, und wenn B, tp^ ^>.... diese 3n — i unabhängigen Ver- iaderlichen, t die Zeit ist so wird man allgemein setzen können:
x-rzf (t, e, q>, ^,....)
«* f. w. Ist nu0| zur Abkürzung,
92
?Ö_fl/ ??_„, Sj?-^. 80 wird man also haben:
dz
worin a, ß, y die partiellen Differeoslalquotienten von a, y, s in Bezug auf i oedeuten, während a, b, c, .... Fnnktionen von U Or 9>, ... sind.
Da man bat
80 wird die Gleichung (I) sein:
Man setze nun in diese Gleichong die Werthe ans (3), so muss man schliesslich die Koeffizienten von 8$, 8q>, ... NaII setzen. Da aber diese Veränderlichen offenbar in derselben Weise in die Gleichung (3) eintreten^ so wird es genflgen, den Koeffizienten von iß zn berechnen.
Man findet leicht:
WO
aa+ßb + yessH, a* + ^* + c*=P, f^i+ßf^i+yci^Qf
. . * 4 •
93
Uieraos folgt:
+ (#+ ^6*+ Qv'+ . . .)«ö'+. . ..
Setzt man dies in (3), tto Terschwinden die mit 8$^ behafte- tm Glieder und man hat als Koeffizienten von 60:
lit ra 7 die halbe Summe der lebendigen Kräfte des S;^-
ibvird (4) za
^\W) ST
Wm du Glied
S(X8x+r8g + Z8x)
»*fhngt, so sei
-r(xar+ray+z&)=aF,
ne k der Regel wird angenommen werden können , und man hat
• da« der Koeffizient Ton i$ in (3) ist:
^'\W) BT dV
ST" 5ö W '
Mao «eht hieraas, dass (3) sich in folgende Sn — t Glei- «nflSst:
94
dt ""■Se~8d~"
dt dg> d(p
'CS)
i
_ST_sr_Q
dt dfff ßMf
Wenn T die Zeit t nicht entwickelt enthält, so findet mai^ aus diesen Gleichungen» wenn man sie bezfiglich mit BS, dg>, 8^^... multiplizirt:
r- F=Const (6)
bekanntlich das Prinaip der lebendigen Kräfte aussprechend.
Von diesen Sätzen sollen nun im Folgenden einige Anwen- dofigen gemacht werden.
1. Aufgabe.
Man soll die Bewegung einer s'^hwereif geraden Linie bestimmen» die sich, frei im Räume am einen festen Punki in ihr drehen kann.
Sei (Taf.I. Fig.8.)0(der feste Punkt) der Anfangspunkt derKMffi dinaten» die Axe der z vertikal im Sinne der Schwere» ^^ die StangCj Die Veränderlichen, die den Zustand cler Bewegung bestiinmeoi sind nur zwei an der Zahl, nämlich der Winkel 6, den AB mit de^ Axe der z macht» und der Winkel A'OX=z^, den ihre Horizont talprojcktion mit der Axe der x macht
Sei M die Masse der Stange (ihr Gewicht» dividirt dnrch di^ beschleunigende Kraft der Sch«y#re)» a die Entfernung ihre^ Schwerpunktes von O» r die Entfernung Om eine« Punktes « von O, r' die Horizontal projektion OP von r. Man hat «feabaj
V=iMag.€0M6y
2-^'"\ W
= ,^(Ö'« + sin«d.^'«)ilf(i^+Ä^
wenn lUK^ das Trägheitsmoment der Stange in Bezug auf ein Axe ist» die» senkrecht auf ihrer Richtung, durch ihren Schw^ punkt geht. (Poisson, Mechanik. §. 156.). Die Gleichung (^ giebt also
Ö^ + 8in«d.tJ;'*=:C+— ^cosö.
95
Setxt nan eioe der GetUhon^M (6) hinzii, so wird die Auf- ftifte gelost sein. Da T und V die Hf nicht enthalten, so vrlhle man
die giebt
8/
ik.
8in«fl.'^'=C' (8)
Ot« Gleichungen (7) und (8) lösen die Aufgabe. Wäre die Singe eb blosser Punict» dessen Entfernung von O gleich / wäre, m wkre £s=0> a=/» d. b. die Stange bewegt steh wie ein ein-
Adei Pendel von der Länge /=a-f — •
Abs (7) und (8) folgt:
dt sin 6
y (C + ^^^cos d)sin«d — e»
8ip C
8ö'
" V "All ' »
sind Y C+-^cosd)sin«Ö— e«
welche Formeln auf elliptische Funktionen zurückgeführt wer- te können.
Um die Konstanten C und (7 zu bestimmen, sei (Taf. I.Pig.Q.) c der Anlangswertb des Winkels 6, CD die Richtung des Stosses. Ickeo die Stange anföngikh erhalten» die m^n senkrecht auf AO lebmen darf. Die Stange wird anfänglich in der Ebene OCD Mgen ZQ dreben, welcl^ Ebene man ids die ton zwei Haupt- m der Stange in Bezug auf den Punkt O betrachten kann Msen, Hecbaaik 6 380, 380). bt o» die Winkelgesehwindigfceit h Ao&ng, fiv die Intensität des Stosses» / = 0C, so hat man §9iamoUs Mechanik $ 386> :
" — il(o*+iC»)" Die Aofangsgeschwindigkeit v eines Punktes m der Stange
96
Ist TCD. Ersetzt mao al«o in der Gleichung (7) das erste Glied "2 durch afl, so ist
««äC + ^cos«, (9)
wodurch C bestimmt ist. Nach (8) hat mau
wo sio <<(~ör} die Anfangsgeschwindigkeit der Horizontalpro- jektion des Punktes der Stange ist, dessen Entfernung von O gleich 1; ist e der Winkel der Richtung CD mit einer Senkrech- ten auf der Ebene zOA, so ist also
r
sinaT-Xl =iocos€, C' = wcosfsina. (M)
Wir stellen nun, die Frage, wie muss (o beschaffen sein, da* mit die Stange einen geraden Kegel um Oz beschreibe?
In diesem Falle ist bestfindig ^=a> also g^^O^o' ^^*^
sin«« (c + ^f cos«) - C« = 0
dd Diese Gleichung drückt aber nur aus» dass -KrrrO ist fiir
6=€t, d. h. im Anfange der Bewegung. Soll es allgemein statt
haben, so muss man die Gleichung 07 '-öi =0 damit verbindeo.
Diese giebt
g _ c"
COS a 'sln^a '
Diese zwei Gleichungen geben e=0, <o^= jy , » d.h, der
Stoss muss senkrecht auf der Vertikalebene sein, die durch tttm Stange geht Aus der Gleichung (8) folgt, ddss der Kegel «bH
gteichfurmiger Geschwindigkeit 5= y-f- beschrieben wird. JEr- setst man m durch seinen Werth , so ist dieselbe V -
cosa
Zur vollständigen Lusunsf der Aufgabe bleibt nun noch die Berechnung des Druckes auf O übrig. Zu dem Ende denken wir uns in O eine Kraft angebracht, die dem Drucke P direkt eot- een wirkt; alsdann können wir die Stange als frei betrachten. Sind A|, Fl, Zi die Komposanten von P; a:|, yi, Zi, die Koordinaten ÖBB 8cnwei|>unktes der Stange, so werden die verlornen Kräfte sein :
97
t
üa nun die verloruen KrSfte und der Druck sich im Gleich' jieiricbt halten, so hat man (Poisson, Mechanik. §. 1261.):
r^ + M ^=0, [ (11)
Xisza8in6co9ilff
jfi = asindsin^, .... (11*)
Z| = d Q08 $•
0» Gleichungen (11) bestimmen Xi, Yi, Z|» da 6 und ^ als FviMneo von e bekannt sind. Für den Kali der Bewegung auf
«MiferadeD Kegel ist ^=-t h%, 6=«, wenn ^o der an-
ftgitto Werth von ^ ist. Man findet alsdann
''=*V^^ = "''V'+T:'8V
•iiAdi
2te Aufgabe,
Man soll die Bewegung eines biegsamen unaus- atbabaren Fadens bestimmen, der an einem festen Piakte O (Taf. I. Fig. 10.) aufgebängt und mit zwei schwe- ift Punkten m und m* beladen ist* Man setzt voraus, its« zu Anfang der Bewegung die zwei schwereu nukte Ton der Vertikalen entfernt worden sind, ohne ^99 sie aus einer durch O gehenden Vertikalebene ■erans getreten wären, unadass sie sodann sich ■«Ibst fiberlassen wurden ohne Anfangsgeschwin- digkeit ^ ,
Di« schwingende Beweffung eines jeden Punktes hat offen- er in der Vertikalebene yÖx Statt, die durch "die anfängliche Un das Fadens geht. Sei Omz=za, mrn'^b^ mOy^zß, m*my =^, wenn mtf' parallel der Vertikalen O^
Mmm hat für nt:
:r=:asin^,
3f=:acos6; fr«':
Twi ivni. 7
98
ff* = acoa O-i-b cos q> ; also
V^iiim-i- mf)ga cos 6 + m'ffö cos 9 ,
r = ,j [(m + m') oV« + m'6 V ' + 2m'a6 cos (9 - ö) . ö'^']. Also erhfilt man aus (5):
s^e d^(p dw/dtp Boy
(m + m')a gp+iii'6cos(9J--Ö)g^ ""^'*®'"(^'^^) ^ V8?'^ä7yj
6g^+flcos(g>-.ö)g^-a8in(9-6)^^-gY"" lij
Man konnte die Gleichnne (6) 10 Anwendung bringen, die nur vom ersten Grade ist« allein obige Gleichungen entsprecboD unserm Zwecke mehr.
Angenommen, die Schwankungen seien sehr klein» so wird man die Quadrate von ^^ 7> '07» ^ ^^ die Produkte dieser Ver- finderlichen vernachlässigen können , und findet dann:
Durch Veriliindung beider findet man:
(13)
(14)
Man findet als Integrale:
9=rJj^cos<V"ri+^fi^cosrt^ra+-ßif*i»'n*V^ri+^2f*«sni£Viil
il], A^t Bif B2 sind wlllbQhrlicheKontanteu; r^, r^ sind reell positiv; die Wurzeln der Gleichung
\(m + mOy — mar] {g — 6r) -^m'agrszO (15)
fii, fi^ sind die entsprechenden Werthe» die aus der Gleichung
99
folgea. Da fflr <=0,^ = ^ =0, so Ist Ä^ = J»a=0. Sind fof- Mf a, ß die Anfangswerthe von 9 und (p^ so Ist
«orans i<|« il^ folgen, so dass nun
d=-4|Cos^V^r7+iltC08<V^j^, i ,,^
Maa konnte die Fram auffferfeti, welche Bedinganf^ erftitt «n müsse, damit jeder Punkt wie ein einfaches Pendel schwingt»
ik damit z. B. At=0. In diesem Falle Ist Ai^a, fh=^ tboiMClS)
■ri &u in (IB) gesetzt, giebt als gesuchte Bedfaigang :
(m+iiiOa«*+0»+«»0(*— fl)«/'-w'*iJ*=0. (18)
Für a=ß ist diese Gleichune unmöglich, da alsdann fnftsiO h aollte. Sei z. B. a=6, so folgt aus (18)
la Allgemeinen, wenn die Bedingung (18) erfllllt Ist, hat man
0=aoos<V^r7, 9=/Jcos<Vfi", M dass die Schwingufigsdauer beider Punkte gleich ist.
Zie Aufgabe*
Ein kreisrundes Rad (Taf. I. Flg; 11.) hat an seinem Dafaoff einen ringförmigen Kanal, In dem sich eine Uelne JCucel m befindet, deren Durchmesser gleich Ua des aanäls; dieses Rad stützt sich in B auf die Urlsontale Ebene AOB und in seinem Mittelpunkt 5 af die Vertikale SO, die mit der Ebene des Rades Um Winkel BSO=m macht Maa lässt das Rad so auf ^tr horizontalen Ebene rollen, dass B einen Kreis voa Halbmesser O^ mit unverSnderlicher Geschwin- Jitkelt beschreibt Der gerade Kegel, dessen A^e OSuad dessen halber Winkel an der Spitze a Ist, *ird also nach und nach in allen seinen Erseugungs-
1*
100
iinien von der Ebene des Rades berührt Man ver* langt die Bewegans des Mittelpunkts der Kugel m, abgesehen von der Reibung.
Sei OS die Axe der z, und es gehe die Ebene der xz durch ISA, in welcher Linie das Rad den Kegel im Anfange der Bewe- ganß berühre. Sei SB die BerChrungslinie am Ende der Zeit if SC die Stellung der Ebene des Rades, die in diesem Augen- blicke der anftngliche Radius SA einnimmt; Sm^zr sei der Halb« messer» der der Kugel zugehört» und
wenn PS die Horizontalprojektion von Sm ist.
Sei CSm=:0 und es bedeute K die bekannte Geschwindie kett» mit der der Winkel AOB beschrieben wurde» so ist ACd ^szKif und da arc.^i?=:arcfiC, so Ist
BSC=iKt.ain a, mSir=^ — ITfsina.
Bezeichnen wir also mSB durch m, so ist
asze—Ktslua. (18).
Aus der körperlichen Ecke SOmB ergiebt sich
cos 9= cos acoscD. (19)
Ist SB' die Horizontalprojektion von SB, so ist
'f(,z=PSB' + B'Sx^PSB'+BOA=zPSB'+ Kt;
aber PSB' ist in der genannten Ecke der FiSchenwInkel to SO, also ist
igPSB'= ^^"^
8vaa
und endlich
♦=ft + arc(tg=^„y. (20)
Man bedarf also jetzt nur noch einer der Gleichungen (5), da es sich bloss um die Bestimmung von oo handelt. Man finaet
V= mgr cos (p=znigr cos a cos o ,
'=l-(©"+(l)V^)')
oder wenn man aus (19) und (20) substituirt :
T= ^mr^(m'^+2ainaKo'+ (l -cos ««cos «w )*:«]•
lOY
•- - ;
■ • • • , 1
• • . . •
' • . • r
Wendet man nan die dritte der Gleichungen (5) an und in ttgriri, nacbdem Qian mit 2 -ät- multiplicirt hat; ao erhält man:
f( -^l' — fiVcoa^aco«*» — 2^cosaco8« + C=0, (21) vomt
> (22)
V2^C08O€08 0) — Ä*rco8*acos*w — C
Sti, ab l>e8onderer Fall» im Anfange ofa, mu daaaelbe tat,
was Statt haben wird, wenn die Kugel anfänglich in A ist» und *w m dort eine Geschwindigkeit erhält gleich der» mit der &l<kfi Anfang des Rades durchläuft
AUaon giebt (21):
C=:2g cos « — Ä'*r' cos^a
■d(22)
'"" \ V V(l-cos(»)lÄV cos «« (1 + cos Co) -2#^cos«] ' ^cdt man hier tg ^m=^u, IlVcos^c— >^cosa=sa» ^co8o=6» so
Met lieh
abo
tg2 w
Setzt man hier, um c' zu bestimmen» f:=0» o):=0» so ist l ^sQ und tg 5- c» ist also fortwährend Null. In diesem Falle
^ wfirde die Kugel die Horizontalebene nie verl.assen und sie ^^Me deo Kreis um O mit der Geschwindigkeit JTr sin er beschreiben. h allgemeinen Falle wird t (22) durch die Quadraturen ge- «itei werden.
• • • • • . , • . •
* • •
^
Anil58iuigen der Auflebe, bei elBem Oasgeni«nff<^ ^on liererlel brennbarea Oa^en die unbekannten €tlieder y, Cx, €flf^ nnd Cjy zu bestimmen.
Herrn Professor Zenneck
zu Sinttf^art.
sei das Gasge mjen ge = JU bestehend dem Volomeo udi
ans Wasser8toffgas=.v*
KoMenozydj^as =0^,
ElnfachkohlenwasserstoSgas =: Cg' und Doppeltkohlenwasser-
stofeas := Cy ; 80 erhUt man darch Detonation mit Sauerstoffgas s=0 im Ettdiometer:
1) Kohlensaures Gas aus Cx und aus dem Kohlenstoff der (^' und Cy mit einem Theii von O;
2) Wassergas im Augenblick des Verbrennongsprocesses aus y und einem anderen Theil von O, das aber bei einer Tem- peratur unter 80^ R. sich alsbald in liquides Wasser verwandelt;
3) «Inen Rückstand von dem sur Detonation hinreichend ge- nommenen Sauertsoffgas = O*.
Nach Erhaltung dieser dreierlei Gase (sJT-f IF+O')*) in
*) Itzn Volaman det koblentanren €ratet.
IF= Volnmen det bei 80« EL bestehenden WMtergmsct. O^zx Volamen de« von der Detonation de« M mit 0 Kuruck^eblie- beoeo Saoerstoflj^ase«.
108
£iidioiiie(cr durch diese Detonation als ein Vokimea ^sz KO kann man dud die Voluraina der vier in Ji gegebenen unbekannten GrSMen (^=^y + Ca: + Cy' + Ct/) unter getvissen Bedingungen auf dreierlei Weise bestimmen und zwar:
A) Wenn 1) das Detonationsprodnkt (=i^) im Eudlometer bei der Temperatur =80^ JR. erhalten worden ist» so dass man R^ mit dem W^assergas (W) messen kann; 2) das kohlensaure Gas (K) mit Aeziauge absorbirt und den KOck- stand*) (R9--K— W+ O') misst; und 3) das Wassergas durch Erniedrigung der Temperatur verschwinden lässt, so dass nur der messbare Sauerstoffrest (O') übrig bleibt.
B) Wenn sich 1) Af-f O, das seinem Gewicht nach =^R9 ist, wägen Ifisst; 2) das nach Verschwindung von W ent- stehende rfickständige Volumen = R gemessen wird bei irgend einer Temperatur; 3) die Kohlensäure K absor- birt wird, so dass nur iy=zR' (letzter RG<;kstand) zu- rückbleibt.
C) Wenn man 1) das Doppeltkohlenwasserstoffgas Cu mit Chlorgas absorbirt, ehe man ^detonirt hat; dann 2) den Rückstand M*=zy+ Cx + Cy' mit O detonirt; 3) den Rück- stand R nach seinem Volumen misst und 4) die Kohlen- säure K absorbirt u. s. w* wie bei B).
L Bestimmungen der vier unbekannten Gase nach
dem Verfahren bei A).
Bat man eine Einrichtung, bei welcher der Eudiorocter in Uckeodem Wasser steht, so dass das entstehende Wasser gas neb der Detonation noch i n seinem Gaszustand*)), bis man ge- ■CMeo hat, bleibt, so:
1) Detonirt man M mit O.
2) Misst den Ruckstand***) R^ nach seinem Volumen.
3) Lässt diesen Riickstand erkalten, so dass das Wassergas sich verdichtet und man dann einen zweiten Ruckstand =/Z erhält.
4) Bliest dieses R unter Bemerkung seiner Temperatur.
5) Absorbirt hierauf in R die Kohlensäure K mit Aezkali, so daFS nur noch 0'=:3tr Rückstand = A' fibrig bleibt, der gemessen wird , und der verbrauchte Sauerstoff O'^O-^R ist.
Vermöge dieser fünf Operationen und ihrer Produkte erhält ■an nun die vier Gleichungen -[-):
•) D« Ä*=ir-f iy+(?' i»t, »« Int y?o-A'=H^-f(?'. **) Z«r gensnern Bettiramung He« Ontvolumeiifl muM in dem WtwTgeflUt ein Thennometer heubachtrt iverden können, dessen Stand •U ^eni Barometerstand tur Rednction des Gasvolumens auf sein Vo- Xwmm bei O« Th. und 28'' Bar. sii dienen hat.
^**) Oder vielmehr das veräaderte Resultat der Detonation, f) Dean sar Bildung ihrer Produkte mit 0 fordern von Oxp und Cr da« Halbe, Clf' das l)o|>|)vlte und Cy das Dreifache ihres Voinraens;
104
M=g+ Cx + €y + Cg^M,
IF=y +2Cy + 2Cy=ÄO-(jr+O0=V-Ä;
und aas diesen durch Elimination und Substitution die vier za bestimmenden Gasvolumina:
.V=f2ilf+ifO'')— (4if + 3?F)oder=(2JI/+40) — (3ÄÖ + Ä), Cr = (2Ä:+If)— 20^^. . oder=(/P> + Ä)— 20, ^ Cy=:(5if +6JF) - (2Af +60''^ oder=:(iSÄ« + Ä') - (2ilf +60), C^=(Af+40^)-(3Ar+3If)oder=(A#+40)— (ßo + ÄO;
wenn man sie nach den Grossen M und O, soiile nach den Rfick- Htänden J?^, A und R' bestimmen mll, whhrend Po^gendorff bei seinen Formein zur Auflosung dieser Aufgabe in seinen An* naien der Physik (Bd. XLVl. p. 622) znm Theil nur mit an- dern Zeichen*) die ersten Gleichungen aufgestellt hat. Da man aber (nach dem angegebenen Verfahren 2."^ den Rückstand der Detonation R^ notliwendig seinem Volumen nach messen**) muss» wie die nachherigen RCIcIcstände /2'und R' (nach 3— 5), »o sind die zweiten Gleichungen, welche die nach diesen Ufidcstän- den bezeichneten Gnlssen enthalten» zu den Bestimmungen von y» Cx u. s. w. tauglicher.
Cx und Cp* gelyin mit 0 ein ihnen fflciche<i, C9 atirr ein d«»|i|ielteii V«l. kohlen«. Gates; y liefert mit 0 ein ihm gleichet» Cy* nad Cy aber dt» doppelte Vol. Wattergat ihres Vohiinens.
*) Poggendorff bexeiehiiet ^ mit >7v <^
Cx - ö,
cy - c, o. Cy ' ä^ -^
^ M mit m u. 0*' - S und 1
giebt die GleicHungen;
I «=2//8 + 4« — 4*^—3 II',
6= — 2Ä + 2Ar+lF C=: — 2/7} — 6«-f 5jr-f 511^,
**) Poggendorff tilgt lioi drn xnr Analyte erforderlichen, Ope- rationen nnr, dast der Rucbttand der Detonation xu meiten tei, liei der tirh der Watserdampf bilde und ivieder verdichte, «o datt man dat dadurch Vertchwnndene als Wasserdampf aaxutehen habe, aber nicht, datt dieter Watterdampf noch Tor teioem V^ertch wiodea mit den andern Gatcn (/T n. (?') det Uückstands gemeaten werden rnnst, noch, wie dieter Rückttand xo messen sei, dasa dietet nehmlich eatwc- der unmittelbar (bei der üben angegebenen Einricbtnni^ det Kadiometerit) oder mittelbar (nach 11. vermitteKt Wngang) dem Volumen naeh aos- xofahren sei.
105
IL Bestimmangeii der vier unbekannten GrOsaen nach
dem Verfahren bei U).
Durch die Detonation von M mit O entsteht zwar eine Ver- iaderung der darin enthaltenen Uaee nach dem Volumen*), aber nicht nach dem Gewicht, »o lange das Wassergas sich noch sidit za Wasser verdichtet und mit dem 8perrwasser vermischt hat; ttod unter dieser Bedingung ist daher dem Gewicht nach if+0=*r+ O^H- W=R^\ wenn man daher M^O wagt**), so erk< man damit auch das absolute Gewicht von A^süZ-f O,
Wird nun (nach der^Gewichtsbestimmui^ von M-^ O)
1) M mit O detonirt ;
i) der Rückstand H nach dem Verschwinden des W bei irgend oner gegebenen Temperatur dem Volumen nach gemessen ;
3) K mit Aezkali absorbirt und der Rückstand R' gemessen; so geben diese Messungen (2. u. 3.) die Volumina von JCand O, und also, da man die spec. Gewichte dieser beiden Gase kennt, durch Multiplication ihrer erhaltenen Volumina wt ihrem specif. Gewichte aucb ihre absolutenGewicbte. Zieht mau nun von dem absol. Gewichte des ß^=silf -f ^ die Summe der absol. Gewichte von K und O' ab;, so ist iwRest dieser 8ubtraction (J/+ O) - (/^-f O") = absol. Gewicht des IF, dessen Volumen vermittelst Division seines abs. Gewichts^**) durch sein specif. Gewicht (bei der gegebenen Temperatur) erhalten wird.
i) lodern^ man daher (nach 2 — 3) die Volumina von K , O* und
' Wf die zusammen = R^ sind, und die Volumina von /2'und
A, wie die von M und O bestimmt hat, so kann man, da
(yz=zO—R' ist (1. 5.), die vier unbekannten Grössen nach
den obigen (1.) ersten oder zweiten Gleichungen bestimmen.
IIL Besiiromungen ^er vier unbekannten Grössen
nach dem Verfahren bei C).
Enth< das Gasgemenge unter seinen viererlei Gasen Dop- peltkohlenwasiierstofrgas, so lässt sich dieses bekanntlich tecfc GhlergaSy welches damit das sogenannte ChlorOhl bildet, " ''en , und da dieses Produkt sich nur bei erhöhter Tem*
*y>^^9M Volum«!! Tcrmindert sich dnrch die Detonation) denn Viks M vier solcher Gute von je gleichein Volomeu enthtlit, «o fordert e« nr Detonmtion (nach 1.) ein ^" = 6 Volnmina nnd liefert mit dieteiu 11^5 Vol. und ein /Ts^ Volomlna, aUo sutammen 9 Vol., wäli- M+0*' \0 Volumina betragen.
^^ Oder, da man dat abioi. Gewicht von 0 ant seinem Volumen «pecif. Gewicht beetimmen kann , nur M allein (eine beliebige l*or- «von) nach Gay - LoMac*t Methode in einer tubalirten Glatkngel. (Il Berberger, Jahrb. IX. p. 239.)
^*^) Das «iieeif. Gewicht de« WaMergaees (IV) iat (die atmotph. Us=l,0 i^eeetst) 0,0235 naeh Gay-Lottac, oder: 1. rf. Cks. Waseergas »^-* :=:0,2205.. gr., oder 1000. Cbkcentim. deeeelben wagen z=z0fif^6 e«. (S.'ro. phytik. ehemiachet Uülfsbuch p. 23—26.)
I
4
kJ
106
peratur als Gaa darstellt, so kann man jenes Gasglieil entfernen, wenn man in das Gasgemenge = M nach seiner Messung 80 lange Chlorgas eiostrumen lässt, als noch eine Verminderung des Völamens von M bemerkt wird, und wenn man nun das rückständige Gasgemenge :=zM' gleichfalls gemessen hat, so ist das Gasglied Cy (Doppeltkohlenwasserstoffgas) zzzlU-^M* und Af'=y+Gr+Cy, dessen arei Glieder sich vermittelst Detonation des M' mit einem 2 — 3fachen O und nach der Messung des Ruckstandes ==£ durch Absorption der Kohlensäure mit Aezkali, welche einen zweiten Rückstand =/2' liefert, ohne Berücksichtigung des ent- stehenden Wasserdampfes» durch folgende drei Gleichungen be- stimmen lassen :
1) JfMst=y+ßp+Cy';
3) R' = ilf' + O— ^ — ^- 3%', indem die Elimination und Sobstitution auf 1*> y=M'^(R'-'R'),
Es sei z. B. M=UO, M' aber =: 100 VoL gefunden wor- den und also Cv= 10 Vol. Nun sei M* mit OssäOO Vol. deto- nirt, R-^ 255 Vol. und nach der Absorption des kohlens. Gases in R durch Aeziange R* = 175 Vol. gefunden worden ; so ist
1) Ä-Ä' = 80 Vol., also 3^=100—80=20 Vol.
2) ^^ Jf, 20--Ä'^m^ ^,^^ Gr=288.5-258,5 =30 Vol.
3)
20— (Üf'+2Ä0 600-450 150 , ^^ 150 ^^ ^, , ^-^ ^ = K — ="ör' also Cy=-Tr- =50 Vol.
Würde man übrigens bei einem solchen Gemenge aus drei GasgUedern nur wissen, dass es solche brennbare Gase ent- halten kann, aber nicht, ob es nur 1^ oder je 2 davon, oder alle 3 Arten enthaltje, so hat man doch an den nächsten Detona- tions- und Absorptionsprodukten die nothigen Kennzeichen, nach denen man finden kann, was für ein Fall von den sieben möglichen Fällen bei dem Gemenge statt findet; denn
1) Ist nach der Detonation keine Kohlensäure (k) zu ab- sorbiren, so war in JU* blos y vorhanden, und weder Cr, noch Cy,
2) Beweist aber die Absorption (mit Aczlauge) das Dasein Ton Kohlensäure und zwar ein Volumen K:==ħ% so enthielt M* nur kohlenhaltige Gase, da diese allein ein dem Vo-
Re weite ad 2). *) Der DetonationtTerlutt lH^M' + O-^A.
a) Ist nun A'=.ir' = 2(Ä— (?), «o ist ~=zll^O und daher auch'— ^'
107
lumm Ton- M' gWdie« Volumen Kohlensäure als Rdekstand
iitfeniy und swar: t) Wenn Jir=2 (i2—0) ist, so ist Jir=3Gr. h) WsBo K^O'-R ist, so ist M':=iC^. c) Wenn iP weder =2(/2 — O), noch ^ O^R ist» so ist
3} Oder zeigt der Absorptionsversuch, dass M' zwar Kohlen- sSure entoält, aber ein Volumen (AO» das Icl einer als Jlf'ist, so beweist dieses, dass das Gemenge theils Wasser- stoffgas(|y^,theils irgend ein oder beide kohleohaltige Gase enthielt, da bei der Detonation y sowohl fBr sich, als ins seiner Verbindung mit C In Cy' mit seinem zugehöri- gen Sauerstoff (O) verschwindet.
t) Wenn nun K<M\ ttC aber =2(0 -Ä^ ist, so Ist Jf=y -FCr» da man aus jener Gleichung eine tut R' erhält, welche nur mit der Annahme von M'=^y-^Cx stimmt*
\) Wenn K<,M\ 1» aber =20 -f R'-riR ist, so ist M' =y -f Cg'f da man aus jener Gleichung eine andere (lir M' tbieiten kann, deren Glieder nur mit der Annahme von Jtt =jf-|- Cy übereinstimmen.
= tf— Ä, aUo JT'— ^= ^' = if'+Ö— Ä, va« nor bei St'r^Cx
■tatt fiadeU
b) kl K^O-^R^zM', so ist aaoh 2J/'=;:ir'-f ^— ^9 ▼»• Qur bei IT rsz CW statt findet.
c) Da.bell'ssJf' diefessCr, oder =(V' oder = rx-|-C^' «ein mae«^ •o kann Jf% wenn es weder = Cr, noch = Cy' itt, nur = Cx-i-Cff' «ein.
Be weite ad 3). •) Wenn if' = 2 ((?— Ä^ itt, to letij=Ö — i?% aUo
b) We» hier J/'=2^+y^— SÄ i«t, «o iet — If' =— 2/7 — y?'4-3V?, ■Im 2¥'— Jf'=2Jf'— 2<?— ä'+3ä, d.h..¥'=2(l^'— Ö + ä)+ä — >?'. Ut ann M'=zy + Cy'f aUo Clf' = .!/'— ^; «o i<t 1) da Ä = J/'
Hh^~-"ö 2^i^' i*t (nach der obigen Beatimniong 111.)
jr=a(¥'-0+Ä);
m4 2) Clt=R-~K', da die Differens der Gleichnn^eo von R and ff' =0^ bu In obiger Gleichanr Ton JV' «tironit nlio da« Glied a(r— 9-f-J?) mit 9 omI da* Gl&d R'-R' mit Cy'.
108
c) stattfinden kOnneD, folglich weno die von a) and b) nicht tftatt finden» c) statt finden rouss.
Ausserdem flehen die obieenBestimmonffenvon v=M' — (R—It),
Kennieichen vom Dasein oder Nichtdaseln eines Gasgliedes in ilf^^an die Hand ; denn da jede dieser Gleichungen aus einem positiven und negativen Theil besteht» so fehlt in M' diejenige Grosse» deren Gleichung nach Uebersetxung der M\ O, Rundlt in ihre Zahlen werthe =Null wird, und diejenigen sind vorhanden« deren BestimniQf|g einen gewissen Werth angiebt; z. B. M' sei = 100 Vol., 0 = 200, Ä = 140, und Ä' = 120 gewesen, so Ist
JU- (Ä-.i2')=10O-20=80 , alsoy vorhanden ; (^^li:^l^t^^2±^
520—520 ^ , - ^^, ^ ^20-(Ä' + 2Ä') 400—340 = g — =U,also Cr fehlend; und s = j
=20, also Cy vorhanden.
Hat man etwa über Quecksilber experimentirt , und es zeigt sich auf demselben, oder an der Wandung des Eudiome- ters, kein Tropf^ von Wasser, so enthielt jf kein y, noch C^', sondern nur Cos, da dieses allein kein Wasser liefern kann; zeigt sich aber Wasser, wenn auch nur in noch so geringer Menge, so kann M' entweder y allein, oder Cy' allein, oder beide enthalten haben, worüber dann obige Kennzeichen (1. 2.) ent- scheiden. *
109
Problem a*
Anctor
Christianus Fr. Lindman,
Lector Sireagneseosit. vß
Invenire Rhombum roaximum et miDimam, qui in Alipsin datam (axes=:a, b, a>6) inscribi possit.
Quia latera oppo^ita Rhombi inscripti sunt chordae inter se PiraJIeUe, dianieter quidum Ellipsis utriimque in duas partes aequa- iet dividat, necesse est. Cetera latera huic dianietro parallela Mmt (Elucl. 1. ^\), quamobrem a dianietro conjugato in duas par- tet tequmles dividuntur. Posito igitur dianietro, qui sub angulo:=:a axiB majorem secet,=2a^ diametro vero conjugato, cujus angulus ia ixiu majorem sit=a^ -=26^ et «'>«, aequatio Ellipsis
tmsformatione coordinatarum ex formulis
y = j:Sina + yS\i\a'^ = orCosor + ^Cosa' ■otatnr in
obi est
6« ^ a%^ ^^_ aH^
tgff^a' ^i»a — aasin«a+6«Co8V ^ — a^SinV+A«CosV^*^
Qvam latera Rborobi quaesiti axibus parallela sint ab iisque aeaua- liier secentur, problema propositum in inveniendis quattuor Ellip- ■ii poDctis cootinetur, quorom omnes coordinatae Talore absoluto se äquales sint. Qui valor facillime invenitur e^^t
110
a'6'
t, qasmobrem latus Rhombi cnjusdam inscripti est
quta alter angnloram ejus est ^c^^-^. Si a habetur variabilis in« dependens, invenimus ex aequ. tgatgo'^ — r^«
TSirü^S+PCosV ^ " a*Sin«a+6*Cos«a*
et / / X a»Sin«tt+A«Cos«g ^^^f-«)=7^4Sin««+64Cos««'
qui valores cum Talore ipsius a*^ in (2) ducti suppeditant:
uode differentiatiooe obtiuetur:
rfr 4a«6«(g«~6ySinftCo8g 6«Cos«c-a»Sin«g
At voro quum fiat 2-=0 et j~i>0 pro ef=0 et j^=Oet -gif <"
pro tga =r'> Rhombus pro hoc valore ipsius a maximas est» pro
illo minimus. Rhombus maximus construltur conjungeDdis inter se punctis extremis axinm priocipalium, sed Rhombus minimus, qui est quadratum, si puncta extrema diametrorum Inter se aeqoaliom conjunguntur.
111
VntersochanflT der biquadraUschen
Formen.
, Von
Herrn Doctor F. Arndt,
Lehrer am Gymnasium zu Stralsund.
Wenn von den beiden biquadratischen Formen F =«t* + Ux^ + 6ac V + ^^^ + «^ = (a,b,c,dfe) , P^a'X^ + 46'JP F+ 6c'-P F« + id'X Y^+e'r^=^ (a'.bW.d^e') die erste in die zweite durch die lineare Substitution
x=aX+ßr, y=yX+8r,
oder, knrsy durch die Substitution a, ß, y» 9 übergeht, so hängen (Be CoefBcienten der zweiten Form von deneo der ersten durch die GleicbuDgen [5] ab, in der Abhandlung: „Ein Satz über btnSre Formen von beliebigem Grade und Anwendung desselben auf bi quadratische Formen/' (Tb. XVII. nag. W. ff.). Wir hatten die Gleichung
cefimdeo, wo ^ eine rationale Function der Coefficienten der ponn F ist, von welcher die Natur der letztern wesentlich ab* hingt. Für den Werth von A ^^^^ verschiedene Ausdrücke ent* «kselt worden , nämlich
112
(1) A= aV-646W— l8a«cV + 3(»«c*d«-.276*e«+l08ii6cd»
- 12o«6rfr«— 6a4«cPe- ISOabc^de -^ Stäche -'17 ahl^
+1086»cde+54<i6*cf«— 54ÄVr ,
(2) A = 81/»i*+»8/»«A-+%iÄ,-V-27/t«-27*^«,
wo
1/*=: 66— ac, ^ = öc—ad , A| =:cc — 6rf iszcd—be, kzsidd'-ec, h=3ki+h^ ist, und &ucb
Eine nothwendige Bedingung fär die Aeauivalenz von F and F" ist mithin A^A'* Beroerict man aber, aass zur Bestimmung von €c^ ß, Y, S, die Aequivalenz vorausgesetzt, sechs Fundamen- talgleicnunffen gegeben sind , nämlich die schon angegebenen Glei- chungen [5] und die Gleichung (a8-'ßy)^=:i\^ so ist ersichtlich, dass zu'ischen den CoefBcienten von jt , P mindestens zwei Re- lationen statt finden müssen, dass also ausser der Bedingung ^z=z\' noch eine zweite existiren muss. Diese ausfindig za , machen , ist Gegenstand der gegenwärtigen Arbeit. Wir können auf mehreren Wegen zum Ziel gelangen; ich betrete zuerst den- jenigen Weg, der sich mir zuerst dargeboten hat, und werde so- dann einen einfachem zeigen.
In der erwähnten Abhandlung habe ich eine Correspondante von F entdeckt, nämlich
«=(6/, 3^, Ä, 3i, 6A),
welche die Eigenschaft besitzt, dass sie durch die Substitution ff» ß» y* ^f mittelst welcher F in JP übergeht, sich in die Form
«'= («J-!.|?y)«<QA V. *'. 3.". 6*0
verwandelt, wo die accentuirten Buchstaben sich auf die Form F beziehen. Bezeichnen wir also die Determinante von der Fonn
(6A3^. A,3i, 6*) mit Ai, die von
118
aSfU 3ff', V, 3.-', 6*0 . taut Ai% »o hat man, beachtend , dass die Determinante von q/ oletibar
_ A.' ■ ■ ■■ ■
(5) Ai'=(«»-^y)**Ai.
WM nim diese Relation zwischen den Determinanten der Cor-
vespMulanteD von F und F' weiter entwiclcelt, so wird sich ,wfe^
dcnni eine Relation zwischen den Coefficienten von F und F*
«ichei, welche, mit der BeiKngung A's=: (cr^/3/)^*i\' nicht iden-
faidk am kann. Weitere Nachforschungen haben ergeben , dass
es ha dieser Untersuchung nur auf die VerhSitnisse —- > ^
ailMifte'y tmd die letztem Quadratzahten sein missen. (Jmsläi hitvon direct zu fiberzengen, berechnet man am einfachsten die Aiwe ^ nach (2), indem man die Grössen fyg%hiih%^i,k kmäk aodcre ersetzt, welche aus 6/*, Zg^ h, 3i, Qk gerade' io. uMIdtt sind 9 wie /*« g^ h, i, k aus a, by c, d, e. Herr Con- imitur W a s m u n d hieselbst , ein gewandter^ "mit tfichtigen mathe- ■BÜselMn Kenntnissen ausgerfisteter , Rechner, hat diese Berech- MBg aosgeßihrt; es gelang ihm durch mehrere Ümfortfungen dlt^
Verhiltnigs ^ wirklich auf die Form eines Quadrats zu bringen,
wie ich b«bauplet hatte j .ud4 znflrlejch ergab sich eio bep[ierkeiis- wertber Werto von \, wodurch die Bedingung A' = («^-"^y) A «ich in zwei einfachere Bedingungen auflösen VieBS* Da aber der Galoil sehr verwickelt und eroidend ist, so dfirlle es zweckmäs- sig sein, Dan eipe einfache Methode zu zeigen , durch welche man 4b ngedeitetett ResoHate auf eine gaaz emfacbe Wei$« eibtiten I. - ' ' .
Ans <3) folgt
nd es findet sicK i|)deBt ßr f> g, A,, etc. ihieWerthe siibstituirt veraco , '
/P +*^*--3/*i*— Ai* - Äi*Aa+ *i*= (arf*+«6*+c»-^rtr«f-Äerf)«,
falglicb, wenn mantzur Abkürzung TheU Hill. 8
114
Berechnen wir nun die Werthe ^« , .^i, \u welche ^, A übergehen 9 wenn man die Form F durch ihre Correspondante
9 = (6A%, /i.3i, 6i)
ersetzt. ^^ Es ist also
^i=3Ä«— 3%i— /X-)=3(3A,-Ä^*=3(3c«--lW+ae)«,
folglich
Fetttef
od(r> weim man 3Ai-f-A|, AiA^-FA s^^t A, j^t setzt,
Ä, =S4/1l*+54iSj« - I62/»iJ6-54/»aft-27Ai«A,-9*, V+*«H27*t'
a=-aA+(3A,-*,)»;
folglich
EJwh. (^ M eiidlkb'
*
woraus durch Sübsfitbtioii der W«rtli« voti •tft, SL aus' ff) md (8) folgt:
(9) Ai=^(MÄ)«il.
Befteidinet man jetat die Werthe, weldie de» Gtfiüeo tf> A in Bezug auf die Form F' zukommen, mit if, Sl', so ist eboMO
Ai'=(54Ä0*A'; es war aber
f•lg^oll kqmrot . oder
1 » •
IM
Vergleicht man btmer 4iB RoUtiotisn' vmd beftchCet
M fo%t
Da In den Werth von A^ noch itm Zeickeo «nbestininit ist, so «ihrickele man diese GrOsse direct mit HOiro der EfcMidnnwi Irif^ekhongen [5] in der Abhandlung Tbl. XVII. jp. 400. C Um Ao Rochnang abxakürzen» braucht man nur die Gli^^^r If irklich n betechnen, welche in
ÄssaiP + eft*+c*— ae« ^26crf '
nriummtn, indem alles Uebrige sich aufheben itinss. Man fin- iii ihnn in Sl* ^ obere VorMicheaü Auf ^nliche Art kann sich yron der Kiditigkeit der Gleichung
fcrz engen, wenn man 3c'^-*ib'dt^mfe' berechnet Das Resultat bisherigen Betrachtungen itit also Folgendes:
. ) t
Wenn die biquadratiscbe Form \m 4ia biquadratiscbe Fof m! dvreii die Sobsiitatioo
iberffeht« so finden swischon den Coefficienten bei- der Formen folgende Gleichungen statt:
a'=:(aa-/Jy)«Ä; wo
116
ist; und wenn man ' )
setzt, 80 folgt ho.eli' :
A' = («*-.iJy)>»A.
Wenn aUo^die beiden Ftfrroenfftequtvaleni sind, so werden die drei Gleichungen ^'=^, ^*z=zSl, A'^A statt finden, aiw deren beiden ersten die dritte folgt
Hiermit bt der erste iiiflMig zu, einer Theorie der biquadra- tischen Formen gemacht. Die weitere Untersuchung der Aeqoi- vwieta blqoadmtiMfcer Foraben gehört sudM sehwierlgeleatlwor- tfbef Mhrfisten4 ehi Mebreres. .
li I
BiBiJipiel.
F=ar4+12a:V + 12ay-t%«=(l, 0, 2. 3, 5);
a,ß, y, «J=^5, ^2, +3, +1, «*-/Jy=+i;
P=(2iro, a08, 309, 118, 46)
A=7, A'= 29379640— 293396S0 \
+ 2937888Ö— 58922592 [=7. + 29W8629 )
tf=17,?f'?= 286443-38137]
+94950 ^'^^ '
* t *
Noch einfacher als bisher lassen sich die gefundenen Resul- tate entwickeln 9 wenn man die Function F al« Predoot lliiefirer Functionen , darstellt Z^ dem Ende bezeichnen wir die Wurzein der Gleichung *
mit T, T, Vy 2^, und setzen
/•(ar,y) = (p^ + 4Ai3^ +6c4:V + ^^*+ ^y* ^aix^Ty){x-'T'yUx-'ry){X'^r'y).
Hieraus folgt
A«A + ^F. yX-VSY) =/"(Jf, F)= a\X—TY)(\-'PY){X—T'Y)(X—TY),
WO
t • ■ I. .
>17
^-i^' ^-^T^' ^-a-i^Y' ' -a-t"'Y uU HvB findet sieb ■ ' ■
t-t'
Mgldi hat man, wenn znr Abkürzung
(,-,0*=p. (»-<)*='?, (T-»"')«=r, (T'-t'0«=*,
(r-rf=pi, (T-T")»=»i, (t—T"T=ri, (,T-T')*=ti,
{T'—T"')*=ti, {T'-T")*=ui
geielzt wird:
(10) ■ ja''7i'i — «*?«(««- l?r)*i
&«efiffu8seB
P« + 9' + «**> |M«.^/+|ii«.n + ^.iv, pu.gLrs
rffeiibar symmetrische Functionen der Wurzeln f| ^« t", t'" «iimI, w werden sie sich durch die Coefficienten der Gleichung
'i
ntiooal aosdrficken lassen. Um dies mit Leichtigkeit zu hewerk* itdfigen» benutzen wir die Tabellen z|i V^Meler Birsch» Samn- laag von AuTgaben aus der Theorie der algebraischen Gleich nngen. Berlltr 1809. In diesen Tabellen findet man Werthe der Sununenausdriicke [a|3/d.....x] , auf welche sich jede fyounetrische Function zurdckmhren Ifisst; ein sotcber Aasdirtiek i«t aber eine Summe von Gliedern« die man findet, wenn man alle Craibinationen der -Wurzeln der Gleichung zur. ntten Klasse bil- det, wo m die Zahl der Buchstaben €t, ß, y, j,...x, den in jeder Ctaplexion vorkommenden Wurzeln die Exponenten er, jS, y, ....» riebt, md die letztern- auf alle mSgllclien Arten peraiutiil Die «CB Tabellen zu Grunde Hegende Gleichung ist
% . '
118
• \ *
« t
80 da88 H'ir zuletzt
o ' a V a * a statt A, B, C, D m setzen M>ea« Man findet ;ni + y< +n=2t22J ^2[II2J+ I2[llll] =t2ÄÄ-;6i<C+241l/ folglich
(11) .... aHpu+qHrs)=z2i(36^--Ud+ae)=:it4z^.
j ... *
Ferner kommt
= 2[44] +6[2-24] -|-K>»[2922]— 4[I34] -f S^»33]— 24[1323] = 2B«— UAB*C+ K4*C* + 48Ä«Z) — 144 J CD + 288£)*
folglich
(12) a^«tt«+^V+rV)=288(3c«— 46rf+ai5)*=288ö*.
Aus (11) und (12) folgt leicht:
(13)..... aVM-?<+F«-w+9tri)=144(3o*--4Äd+a€)*7=:14%«.
Hit der Berechnung des Products pmjgtr§ habe ich mich in der Abhandlung: ,,Ein Satz über binäre Fonnen etc.*' (Tbl. XVIL Nr. XVU. Heft H*. 8.409.) ausfäbrlich beschäftigt, «od es famä sieb
(14) ...... a<s(j)K.^trt>9250A^
l>a nun nach (10^
• -
ß'%PiUv9K^ n«! ) = aPij}ti.qLT$) (cfd— jSy)» Ist^ se folgt nach (11) und (14) ,
«vie ob«« Runden, worden. ^ Hif raos folgt weiter , das«
24ty . U4?j« 256A -
23_ — M_ »S _L -H— g.«— 3^ ■^— ft ' •*'
di^eoige kubische GteiebuDg sein wird, deren Wuraeio pu» gt^ rs sind, oder
iia
- ' . « .
die Gleiding» deren Wumeln. a^, ti^qU o^ mA. Folglich Itat sAA jade «ymmetrisich« IPnaction der 4rei Combinationeii puy ^t ff dnreli die <9rGs«ee ^ uodA.AUEidfaoken. :
Die Nator einer luqffadraViscbßP Form Ji$agt, ano von den bei- dee Gruasen ^, A ab, welche wir die ^raie u,pd xweite^ Determioante nennen können, während A=t^* — 27SI* eine IBS beiden abgeleitete Determinante ist.
f
Strakond» dM 20 September 1851. . ^ '
(Fortaetzuf^ in einem der nSehsten tiefte.)
. /
I .
XII.
I^tlietl8clie Beweise der Sfttze In !fU. XTI. ürr. XTIII. mnd ITr. XIX.
des JLrchiTS. '
-. Vott . . • .,
Herrn Professor Pross
tu S tottgart*
• " ' ^
XVIil. Man denke sich inThLXVI. T8f.lV.Fiff.3. an denDorch scbnittspunkt der Geraden AM und BN den Bach- Stäben P gesetzt, so ist:
AC:AD=NP.AP. weil ^ACDco^ANP = IHN: AB, weil ^MNPoä^ABP;
folglich üfAs^^^^-
19»
XIX. Man d^k« sich in ThiHVi. S^l\. V^ff.S. die Geraden Dli, De und Dö\ De' gezogen, so sind die Dreiecke 6c/> mid^VZ; Mhnlieh, weil die Wiiikiel' 6 oni A" als Um-
> •' fangswinkei auf der SelMie AD und die Winkel c'and
c\ als NebeA^prinkel der gleidien Umfangi^nkel DeA
und Dc'A^^ gleicii sind; es verhalten sich also die
Hnhen df^setr Dreiecke wie ihre Grondlibien 6c'ud(I
' l^e. (q. >. d.):
• 1»
Anmerkung. Diese beiden wichtigen Sfitze verdienten in die Lehrbficher. der Geometrie , aof^nomiMeo äof #6rden und zwar der erste unter der Form:
„Wenn man in einem Dreieck ABC (Thl. XVLTal. »,IV. Fig. 3«) beliebig eine Transversale il2> zieht, sover- „hält sich die Transversale AD zu der einen ein- «,schliessenden Seite AC wie die andere einschlies- „sende Seite AB zu einer Sehne MN des um das „Dreieck beschrieb owen Kreises, welcher ein Umfao^s- „winke! entspricht, der dem Winkel ADC gleich ist, „unter welchem die Transversale die Gegenseite BC
9$
schneidet"
s
Druckfehle rr
Theil XVI. Taf. IV. fi^l 5. moss iil 4er zweiten und dritten der drei Figuren, aus denen Fig. 5. besteht, an den zweiten (un- teren) Durchschnittspunkt der beiden Kreise der Buchstabe D ge- setzt werden.
1 .
1 I
Vw
• . k' .. iii • .
121
Vtber die Berecliniinff der Cometen-
bahnen.
Qbili fortsetzong der Abbandlnng: Neue Methode sar Berech-
Duog der Cometenbahnen,*))
Von
dem Herausgeber.
Einleitung.
I
Der nSchste Zweck roeioer Abhandlung: Neue Methode itr Berechnung der CometCtubahnen, war allerdings, wie •■cb in dieser Abhandlung bemerkt worden ist»' die Mittneiluns^ «iMr Töllig directen , d. h. hier, gar kein Probiren in Anspruch ■chmenden Nihernngsmethode zur Berechnung der Cometenbah- na. Diese Methode legt aber, wie aus der angefl||irten Abband- Ik bekannt ist, vier Beobachtungen zu Grunde , da im Gegen* IhfR das dgentliche sogenannte (Tometenproblem , wie es in der iftronoroie gewuhnlich aufgeßisst wird, nur drei Beobachtungen ia Anspruch nimmt, welche auch in der That hinreichen, um die Bikn eines Coroeten in der parabolischen Hypothese Tollstinilig bettinraien zu können. Mein Zweck bei der ooen angeRihrten Ab« badhrog war nun aber auch zugleich , durch dieselbe, wenigstens itm gr^Mten Theile nach, diejenigen Grundlagen zu gewinnen, welche zur Auflösung des eigentlichen Cometenproblems, nach lehier gewöhnlichen Auffassung in der Astronomie, erforderlich •iad; und ich will nun in der vorliegenden Abhandlung, die der 4pq genannten Abhandlung zur Fortsetzung dienen soll, mich mit
*) Ardilv der MalbenaUk und Pbjsik. Tbl. XVn. Nr IV.
Twu \nn. 9
123
derAnflnsung des eigentlichen Cometenprohlems beschSftif^en, h-o- bei ich zuficleich • — mich übrigens durchaus nur auf das Nolb- wendigste beschränkend, — einige eigne Ansichten über die L<u- sung dieser so höchst nichtigen Aufgabe den Astronomen and Matnematikeni zu geneigter Beachtung empfehlen mochte. Die 10 der froheren Abhandlung gebrauchten Bezeichnungen werde ich auch hier sämmtlich beibehalten, und werde Abänoeniogen , die in dieser Beziehung etwa getroffen werden sollten» sorgfaltig an- zeigen.
Bevor ich mich zu der Auflösung des Cometenprohlems selbiKt wende , will ich vorläufig und ein för alle Mal darauf aufraerki«am machen, was die in der früheren Abhandlung gebrauchten Sym- bole «1, u^9 ti3 eigentlich bedeuten, weil, dies zu wissen und stets vor Augen zu haben, für das Folgende von Wichtigkeit isL Nach §. 8. der früheren Abhandlung hat man die Gleichungen:
Zi=»ifisin/}|', 2j=— «asin^g', 15=— Ujsin/^a';
und da nun bekanntlich ßi', ß^, ß^* die geocentrischen Breiten des Cometen in den Momenten der ersten, zweiten und drtttoi Beobachtung bezeichnen, so erhellet auf der Stelle, dass tf|» n^ tfs die negativ genommenen Entfernungen des Cometen von der Erde zu den Zeiten der ersten, zweiten und dritten Beobach* tung sind. Man könnte leicht die wirklichen Entfernungen des Cometen von der Erde in den drei Beobachtungen in die Rech- nung einführen, was aber eine Erleichterung der Rechnung nicht herbeiführen würde, und daher von mir unterlassen werden soll, um mich desto leichter unmittelbar an die frühere Abhandlung anschliessen zu können, wodurch die vorliegende .Abhandlung wesentlich abgekürzt werden wird»
Immer legen wir nun im Folgenden bloss drei Beobachtungea zum Grunde, aus denen wir die ganze Bahn zu bestimmen suchen. Dies vorausgesetzt, werde ich zuerst zeigen, wie das Cometen*
Eroblem ganz im Allgemeinen, ohne irgend eine Näheran|i( su [Qlfe zu nehmen, aulzulösen ist, *und dann die Näherungen an- sehen j weiche man sich erlauben darf, und zu denen man in der That auch meistens seine Zuflucht genommen hat , um sich die Auflösung möglichst zu erleichtern. Dabei wird auch insbesondere von der Auflösung von Olbers die Rede sein, deren man sich jetzt in ,der Astronomie fast allgemein bei der Berechnung der Cometenbahnen bedient, indem ich wenigstens im Allgemetüen die Hauptmomente angeben werde, auf welche diese Auflösung zurück- kommt, übrigens aber das Studium der in meiner früheren Ab- handlung angeführten wichtigen Abhandlung von Olbers selbst dem eignen Fleisse des Lesers überlasse, da diese Auflösung, nebst den ihr durch Gauss zu Theil gewordenen wichtigen Ver- vollkommnungen, zu allgemein b^annt ist, als dass ich es xweck- mäss^; flnden könnte, über die bei derselben In Betracht kom- menden Einzelnheiten mich hier schon jetzt weiter zu verbreiten.
129
T3m sverat die allgemeine AuflOsoog de« Cometenproblene, B «ine nur näberangsweise richtige Voraossetzahg irgend riaer Art mm Hfilfe zu nehmen, kennen zu lernen» eo haben wir nach f. i. der frfiheren Abhandlong surOrdefst die CUdcboig
w 4to CeeSdenten
%f 2i» <Ci9 ^it Si» Si» (B| dieselben doreb die geocentrincben LSngen mid Brdten
C«Mten in den Momenten der drei Beobachtungen anadrüdst, Vit aai der frOberen Abhandlung leicht geacblosaen wird , wenn bemerkt 9 daas in den Wichen jener Abhandlung
I>i=-Äi'. «i=-Ä, 5i=-it» (Bi=Ä irtf die folgenden Werthe haben :
1,=— Ä,Ä,8in(L,-La)«in^,'. ai=— Ä^ÄjsinCLa- X,)8inp^', <i« - Äiß^in(Li-.Lg)«inft';
»l « Bgeeaft'coeft' I «»«g^>ln(«|'— I^HtMigft'BieC«^
C| = ÄiCo»/J,'co«fc' { tang/?,'8in(ai'-Xi) -tang/^'aln(i«^'-li) ) ,
A=Ä^co»/^'co»ftMtangA'iiln(«r^'-l4HUngA'sl»(«|'-LJ| ^
(B| = — coirft'coa^Jt'cosjJa'l tangA'sin(a^'-i%0 )
+ tangÄ'eiD(V-«iO [• +Ungft'8in(ci'— 1%0 '
Ferner tat nach der frfiheren Abhandlung: i^=— J?iCoa(«f|'— Lj)coajJ|',
4i= - Äacea(ai'- L|)coe/^';
0*
124
^«=Ä,»|l - co»(<ri— 1,)«C08|J,'«|,
B,«=Ä,«|l-C08(V-X/,)«C08|Js'"»
* • *
80 wie
4?!= — Ä|CosZ»| — tticosai'cosft',
,. z, =-t^8lDft';
«i=-tia8in/5,';
y, = * 12^ sinX^ — tt|8ino3'co6i38%
Bezeichnet man nun die Sehnen der Cometenbahn iwisdieii dem ersten und iweiteo, und z^iacfeen dem zweiten und dritteo Cometenorte renpective durch «i^ uiid* 59,9*1 so ist
oder, wenn man fSr die Coordinaten
I
^i>yi«^; ^t> jfi» 2«; ^8, ^, zt
Ihre obigen Werthe elnßihrty wie man nach leichter Bechnnpg findet:
— «|dnj?i'irflift,'+co8(V-«^0'c*«A^so8Ä1«it%+i^H««»*»' + 2 1 l^co«(iii'-i:4)-/^co«K— X,) J cwjS,'«,
Bcieicboen wir nun die FlScbenräume äer zwbcheb der Sonne» im ersten und zweitea Cometenorte, und zwiscnen der Sonne» im zweiten und dritten Cometenorte liegenden Sectoren der als me Parabel betrachteten Cometenbahn durch Sj^ und 02»s» ^en Parmetcr der Coroetenbabo aber durch p; so ist nach dem be- tükmlea Lamberfschen Ausdrucke, Ifir oßn Flächeniahalt parabop Ww Sectoren*):
Nach dem dritten Kepler'schen Gesetzi^ verbalten sidi^ieQua-; fate der siderischen Umlaufszeiten der Planeten wie aie Wfirtet' ki halben grossen Axen ihrer •lliptischen Bahnen. So lange ■an nun die Coroetenbahnen als Parabeln betrachtet» kann natfir- Tidi Ton einer Umlaufszeit derselben um die Sonne nicht die Rede «CID» and so lange verliert also auch das dritte Kepler*scbe Ger setz seine Anwendung. Indess kann man doch dieses Gese^ mit •■er gewissen Modiucation «ucfa auf parabolische Bahnen anwen- den» wie wir jetzt zeigen wollen. Bezeichnet nämlich T die Um- infezat eines Planeten und a die grosse Halbaxe seiner Bahn;. m ist nach dem dritten Keplerscben Gesetze der Bruch
-r öder — ,
fir alle Planeten eine constante Grosse, die wir für den letz- ten der beiden vorstehenden Brüche durcb » bezeichnen» und azher
*) H. K. Archir der Mathcm. und Physik. ThI. XVI. Nr. XXXIX. Ikr Fall, wo man in der Lambcrftchen Gleichnng da« untere Zeichen a »ehwea hätte, kann bei dfr Htrecbnung der Coroetenbahnen, die MflMr nur nahe bei einander li^eadtf Beobachtungen benatsen, nur kkiae TheUe der Cometenbahn in Betracht sieben kann, nicht vor-
190
aetten wollen, bt toim ferner 9 etn In der TMtt t ren ttein Ra- dius Vector des Planeten )>eaeliriebener Setter seiner Väb^, «o Ist fir diesen Planeten nech dem aweiten Kepter'sohea Ge-
setze der Brach -j- eine constante GrSsse« die wir darck l be- seichnen, nnd daher
setzen wollen» wobei wir nochmals besonders darauf hinwebeo» diu(3 k nur für jeden einzelnen Planeten constant » ftir rerschie- dene Planeten ver&nderlieh ist. Bezeichnen wir jetzt den FUebeB- Inhalt der ganzen elliptischen Bahn des Planeten durch £» io ist nach der vorstehenden Gleichung
J5=:Ur, X:=^mt
also
Q^mt
Weil aber, wenn 6 die kleine Halbaxe der Bahn bezeichnet, be- l^nflleh E^abn Ist» so ist
nnd folglich» weil
7*ssM|=sicaVa Ist:
^"^ »Vo '• BeteiebiMt oun p den Ptoameter der Bahn, ao ict bekanntlicb
2^_ ^
a -P' Va
•Im nach dem Vorhergehenden:
=Vl=
;=fV'f'-
Diese Gleichung, welche bloss Ton den Parameter abhängt» ist
137
^er «feohar auch auf DarabolUdi« Bahnen aonrendkar. Orfickt dieselbe nun auf folgende Art aus:
Ä e
— . — j — ,
n ^ p
M ergeben eich aus dem Obigen in den Zeichen der früheren Ab« baodlong die beiden folgenden Gleichungen:
W-k^-H-i = J* ^ = jjjl (»•a+»-«+«t..)M'-»+r,-«„,)l I .
V'5f
Dl«6i9itte f^ tftt eine Coaelaole, wekhe wir durch ^ bezei<^- Mi, abo
«boi «rollen. Daher Ut natcli dem Varhergebeodeii:
(r«+r,-^);-(r,+rs-*i.,)i=^'= ^- Den Werfh der Conatanten
r_
ad daher auch den Werth der Conatanten
baat man aber aua der Theorie der Planetenbewegnng mit gros« •er Genanigkeit, so dass man also denselben im Obicren als eine Mcaonte GriSsse betrachten kann; es ist nämlich , ftlle Zeiten in Tagen ausgedruckt angenommen :
logfi=0,9862673.
Im 4ea obwen Gleichungen ist nun offenbar die vollständige des Cometenproblems in der parabolischen Hypothese
138
enthalten. Um dies jedoeh noch In etwas ani^er Weise recht deutlich za machen, wollen wir mit der Gleichung
noch eine kleine VerSndernng vornehmen. Wir wollen nämlich
setzen. Dann wird die vorstehende Gleichung: 2f|0ics -f ®iui + <C|toii2 + 3Die%* + Uiiwu^^ + 5i ww«t* j _|^
und folglich, well im vorliegenden Falle offenbar nicht «^=0 sein kann:
2Iii> + Äi +CiW+(5Dir+iB|W+5iri©)ifi+VBirt(m,*=0.
Wir wollen nun setzen, dass man durch irgefid ein Verfahren zwei Mfiherungswerthe der Verhlknisszahlen v, w gefunden hfttte, und nun deren Genauigkeit prüfen wollte; so würde man aus den durch die Beobachtungen und die astronomischen Tafeln gegebe- nen Grössen nach den obigen Formeln die Grössen
%» 2>|, Ci, JDi, Si, Si» ®i berechnen, und dann durch Auflösung der Gleichung
3it> + ©i + €ifo + (l>ii>+aiito-f^5iWo)i«t+<BiWi«,»=0
die Grösse u^» so wie mittelst der Formeln
die Grössen M| , Us , 1% finden. Hat man aber diese Grössen ,. 'so kann man mittelst der im Obigen gegebenen Formeln auch die
Grössen
j
ri, r«, rj und «|,^, 4^ finden , und dann, indem man dieselben in die beiden Gleichongeo
(r,+r,+»»^l-(r,+r,-.„a)l =^ =Sa,
• t-t t
(r,+r,+*a^)l-(r,+r,-«^}=i^«:= !m
einfährt, untersuchen, wie weit diese beiden Gleichungen erflillt werden. Ergeben sich diese Gleichungen als genau eiiillt, so werden die zum Grunde gelegten Wertbe von e, « die richtigMi^
129
«d das Problem ako aufgelöst sein, iadsn schon In der froheren Abhandlung gezeigt worden ist, wie die Lage der Bahn im Räume Wstimmt werden Kann, wenn die obigen Grossen stUnnitlich he- bnnt sind; sollten sich die beiden in Rede stehenden Gleichno« fea noch nicht vollständig erfäUt ergeben , so würde man die Nä- lienin|^swerthe der Grössen e» to, von denen man ausging » weiter cerrigiren mOssen» wovon nachher welter die Rede sein wird. Man köonte auch von zwei Näherungswerthen von Hi, k^ ausgeben, dann t% mittelst der Gleichung
berechnen, und hierauf ganz wie vorher verfahren. Uebrigens wird^ian aus dieser Darstellung mit vollständiger Deutlichkeit Aersehen, dass durch das Obige das Cometenproblem zu einer bestimmten Aufgabe mit zwei unbekannten Grossen v, w oder ti^» •i*) gemacht worden ist.
kh will nun noch einmal die Formeln aus dem Obigen zu- «newtelleny welche» wenn zwei Näherungswerthe der Grossen 1, 9 i(^eben sind, zur Berechnung der entsprechenden Beträge dirftossen
iDfewandt werden müssen. Diese Formeln sind nach dem Obi- ges in der Ordnung , wie sie zur Anwendung kommen« die fol- geodeo:
Ji =— I7sff,sia(i:^— L3)sinft ' . »i=- fZ,ßisin(£» -ii)sinj?a'» Ci = — Äi Äisin(Li — Iij)siiift ' ;
lbi^B^fBh'eo9h'{iajigh'ßin(ai'^L^ - tang/Ji'sin(ai'— JLj) I . Iti = ÄjCosiJt'cosjJj'J tangft'8in(öi'— £|)- tang/Sa'sln(a3'— /^)) , A = Ägcos/Jj'cosjJ/ {tangft 's!n(fl^'-X2) -^ tang/?a'sln(«i'— £t) I ;
iBi = — co9Pi'coBh'C08ß^' t taogft 'sin(«^'- OsO
4-taiigj32Vm(a,'— iX|0 }; + tang/?j'8ln(«i'— «^9
*) Katnriich könnte man auch f/, , f/, oder t/, , t/t «u unbekannte €iiM«D wählen.
ISO
>|, = — /2gC06(a3'— X^co«^' ;
i?4«=: Äl« 1 1 — C0«(«|' — I^l^CWjft '*!,
Äjj»=:/?j«|l-.coa(aa'-i4)«co8/5^'*|, 2?,»=7?,«tl-co8(a,'-La)«co^'»|;
3C|0+Äi +€iw+(I>ir+ieiir+54tw/«a+(Riww./=0;
ri=V^(^a-ii,)«+^,»;
+ 2 1 i2iC08(or| '— Zi) — ÄaCosC«! '—1^ ) cosft 'tii
+ 2 1 i?5^co8(ai'— ia) — ÄiC08(at'— I-i) I QOBß^'u^
—2 1 8iu/3/8ini3a'+ cos(ai'— «aOcoßft 'co8/3a' | UiU^ + «i* + Mj^,
+ 2 1 üfaCosC«»'— L^ — J?jCos(aa'— £3) ) casßju^ +2 { Ä,co«(a3'— £i) -ÄtC08(a3'— I-a) I c<«ft% - 2 1 sinjJa'öioft'+cos«— OaOcosi^Ä'cosft' | Uitt8+«a*+«j' 5
9(ü,io)=(ri+r,+f8„)i— (ra-pr,— Ig,,)«— ^ •
Ein Uebelsfand bei diefter Art der Auflösung i8t es frelfich, 6w Un durch eine Gleichung des zweiten Grades bestimnit wird, weil sich eine allgemeine analytische Entncbeidung, nelchen der beiden Werthe von u^ nian zu nehmen hat» nicht geben liisst
Ist es gelungen, die genauen Werthe von e, to zu finden, so berechnet man, um eine Probe Rir die Richtigkeit der Rechnung zu haben, noch die Sehne «1,3 zwischen dem ersten und dritten Cometenorte mittelst der Formel
ISl
+2 { Rieo»(ai'—Li) — J^co8(«i'— £,) ) «MJJi'ir» +2 1 J^coa«— £,>- J?iCoa(<^'-L,) \ cMß,'ti,
■ad atenacht, ob die Gleichnng
(n+ri+»i«)»-(ri+r,-na)» ='^'*^*^
trfftllt ist
Den Wertb einer GrOsee von der Form
(r+f+f)l-(i+^f)»
man, wie es mb scheint, xweckmMssig aaf folgende Art bfnehnen. Es ist
(r+H-»)«-(r+^*)«=^(r+H"*)» [»-(^J^)*! ' od bereehnet man nitn den HOMswinke! 9 mittelst der Formel
Jederseit mSglich ist» so ist
we sich Alles mit HMfe der Logarithmen leicht berechnen IXsst konnte ancb den Hfllfsivinlcel ^ mittelst der Formel
^<^y= v"(m^)
bereebnen, und bitte dann
fr+«+*)S— (r+?— f)i=(r+p+i)|cosf«.
Ob wun den ersten oder den zweiten Weg einzuschlagen hat» wird sich immer danach bestimmen» welcher der beiden Winkel
Lud fp mittelst der Tafeb am genanesten berechnet werden
SSorOrderst ist mm die zwedcmSssi^e Methode anzugeben, naeh welcher man» wenn man schon zwei den Grössen e» w nahe Werthe durch Irgend ein Verfahren gefunden iutt» sich und nach zu den genauen Wertben dieser Grossen erheben
1S3
kanD. Da maD aber «cbon. Nfthermgsiwerdie 4^'Qr9$^tn •» m kennt, so kann qian sich immer leicU drßi Syateme
diesen GrOssen nahe kommeniler W^rthe biMen. Für diese drei Systeme berechne man nach der vorher gegebenen Anleitung die Grossen
A'^fta\bO, B'=ip(a\b');
4''==fia'',b'^, B''=q>{u\b'').
Nach den Principien der Differentialrechnung ist aber, wenn die cenauen Werthe der Grossen e, «o duMi diese Symbole seUbst bezeichnet werden, näherungsweise:
/i:r+ar.«+a«,)=A«'.«»)+^^3«'+ ^=^3«. ■
t
9(e+ar,«o+a«>)=9(f .ts)+ ^' ' dt + ^ ^ 8ic ; folglich, weil naeb dem Obigen
sein soll, wenn wir der Kfirze wegen
_ Sv<p(v,w) . dm y (t*,w)
setzen :
/t» +'8r,to + 8io) = ado + /33iü ,
9(r+3c,tc + Bw)=:ydo + dSto . Setzen wir nun successive
■ 4
8p=a' — r, 3to=i' — to;
* «
flr=;a^ — 0, öio^siA*''— 10;,
SD erhaltea wir aus dem Votheiigelieild^ 4ie. boMton fo^imdev Systeme too GleieiHmgen:
133
A s=a(fl — I») + P(A —«>). ^'=«(o' -.«).+ |J(6'-tc), <4"=«(o"-») +/J(6"— lo)
nd
Ä=y(o-p)+Ä(6-«>), Ä'=y(a'-i>)+a(6'— «),
Au diesen Gleichongen erhält man mittelst leichter Rechnung :
Jfß'-JTB = (aÄ-jJy) I ia'-t) (6"-»)-(a"T^) (&'-w)4, , il'B—AB"=:{fxS-Py)[(a"—x)){!b—w) -(a-e)(6"-tc)),
•der
A'B"—A'B'— ifii-ßy) 1 a'6"— o"6'+(6'— 6")o— (o'-o")w I , ArB—AB''sz(u8-ßY) t o"6— oft" + (6"— 6)»— (a"— o)w | ,
JA* — A'B = (Bd-|Jy) t o6'— o'6-f (A-A*)»— (o-aO«» ) •
Milßplidrt man diese Gleichungen nach der Reibe mit a, a", o* HdadtUft sie dann zu einander, so erhält man:
a(A'ß"—A"B') + a'(A"B—A B") + a"(AB' ~A'B) = (ta-ßy)\a{b'-b") + a\bl"—b) + o"(6-6') j i»
•der
ttiA'B'-A'm + a'(A"B-AB") + d'iAB'-A'B) = («d- ßy) I (0-00 (b-b")-(a~a") (b-b') ) .
Mnitiplicirt man dingen die drei obigen Gleichungen nach der Bähe mit 6, b', b" und addirt sie dann zu einander, so erhält man:
b(A'B"—A"B') + b'(A"B—AB") + b"(AB'~A'B) = - (ftd-ßy) l6(o'~o") + bXa"-a) +6"(o-o0 ) w
•der
HA'B"-A"B') + biA"B-AB") + h"{AB'-A'B) =(od— f*7)K«-«')(*-*">— (o— «'0(*~*')J»«
134
Addirt man endlich dicdrd obigen GleiebmigMi unmittelbar» ohne vorher eine VerSoderung mit denselben verzunehmen * zueinander» 80 erhält man:
(A'B''^A"B') + (A^B-^ABO + (AB^A'B) = (A-^AO {B^B") - {A^A'*) (B'-BO
Hieraus» in Verbindung mit dem Torhergeh^iiden » ergeben sieb nun zur Bestimmung der gesuchten Grössen v, w die folgenden Formeln :
a(A'B"-^A"B') + a'(A"B—AB'0+a"(AB'^A'B) ^^ (A-A') (ß^B")'^{A^A'') (B^B^ '
_ K^'B''-A*'B') + b*(A"ß'-AB'0 -f b'XAB'^A'B) ^ - (A^A%B^B*') - (A-^A") iB^B)
oder
_ {a'^a)(A"B*-'AB'') + (n'''-a)(AB'''A'B)
Weil der gemeinschaftliche Nenner der vorhergehenden Brilelie
(«J- ßy) { (a^af) (b^b") - (a-a'O (6-60) ist, so darf nicht
ia-^') (6-6") - («-.a'9(6-6')=0, d. h. nicht
a — fl' « — a"
sein, was bei der Annahme der drei Systeme
a, 6; af, 6'; a", 6"
von NiheruDgswerthen der Gros^n v, «o wohl zu beachten» und daher immer zu vermeiden ist» dass die angenommenen Nftbe- rungs- oder hypothetischen Werthe die Gletcnng
135
«r — a' ö— #i"
erfüllen oder derselben entsprechen*
Wie man sich dieser Methode zur snccessiven Annäherung so bedienen hat» bedarf einer weiteren Erläuterung an diesem Orte nicht.
Ueberblickt man alles Obige nochmals, so wird man. sageben, dass die vorhergehende Methode zur Bestimmung einer Cometen- babn allen Ansprilcben vollkommen genügen wGrde> wenn man aar im Stande wäre, in allen Fällen erste Näherungswerthe der Grossen o, w mit Leichtigkeit zu finden. Wie man aber nach meiner Meinung sich am besten solche erste Näherungswerthe ücser Verhältnisszahlen verschafft, werde ich erst weiter unten anseinandersetzen. Die Grösse u^ wird» wie schon erinnert wer- te ist» freilich durch eine q^uadratische Gleichung bestimmt» und ImI aUo im Allgemeinen zwei Werthe. Hat man nun keine ande* TM Kriterien» mittelst welcher sich entscheiden lässt» welcher fewr beiden Werthe genommen werden muss » so wird sich frei- iicfc our der Wee einschlagen lassen, dass man Hir jeden dieser Mden Werthe due Beträge der Functionen f{v,w) und tp{VyVa) er- »ittelt, und untersucht» ßir %velchen der beiden Werthe von % £• Gleichungen
f{d,w) = 0 , (p(v,w) = 0
■it der grossten Genanigkeit erfOllt sind.
Hehrere der obigen Formeln wdrden durch Einfflhning von Hfilbwinkeln und andere Transformationen sich zur numerischen Rechnung vielleicht noch eti\'as bequemer einrichten lassen, wobei ich iodess jetzt nicht verweilen will , da jedem nur einigermassen gedbten Analytiker und numerischen Rechner dergleichen Abkür- zungen sich immer leicht von selbst ergeben. Es kommt mir fiir jetzt hier besonders nnr darauf an, die Methoden im Allgemeinen n skizziren, und in möglichst deutlicher Darstellung dem Leser for die Augen zn führen, indem ich die weitere Ansflihrung im Einzelnen späteren Aufsätzen vorbehalte.
IL
Man kann das Cometenproblem» welches im Vorhefgebenden als eine Aufgabe mit zuei unbekannten Grossen sich darstellte» in einer Aufsabe mit nur einer unbekannten Grosse machen, wenn man sich bei demselben eine nur näbemngsweise richtige Veraossetzang gestattet» nämlich die Voraussetzung, dass in den ZeickeD der früheren .\bhandlung
136
sei, d. h. indem man annimmt, dass die Beobachtansen so nahe bei einander liegen» dass für die von dem Vector des Cometen zwischen der ersten und zweiten und zwischen der. zweiten und «Iritten Beobachtung beschriebenen Sectoren ohne merklichen Feh- ler die in denselben liegenden geradlinigen Dreiecke » deren Spi- tzen die Sonne und die Oerter des Cometen in seiner Bahn sind, gesetzt werden können. Gestattet man sich nSnilich diese Voraus- setzung» so hat man in den Zeichen der früheren Abhandlung die Formeln s
Osin j? 2 — ^>f I y^i . Ms — -n »
oder auch:
wo
e=:-ÄalTi^Ä,sin(L,-L,)-.ti.,/?isin(Z.i— L»)l;
Ä = — It^i»9ß\cö»ß\ \ tang/J'»sin(a'i - L^ - tangiJ'|Sin(a's- XJ I , KiZ^^R^cosß'^OBß'^ { tang/}',8in(a a— Xf^)- tang/S's^inCo'g— XjJ } » Aa=s-.l?,cosiJ'gCosi?'| I tangjJ'isin(a',--I^-tang/5'3sin(a',--X^| ;
Ä =-Ä4COsiJ'«c<M»/r3 ltiing/5'a»in(«'a-Xi)*-*«««/*'««o(«a-X|)l » »i=~i?»co»/J'»cosjJ',|taÄg^>in(«'a^/i3)-t^og/J>in(a',— i,)};
Ä' = — Ä| cosj?'|Cosj3 2 1 tang/5'2«in(a'i — Li)— tangP'isin(a'2— L|) } , »'i=— Äscos/J'icos/J'a I tang/J'.sinC«', - A)— tang/J'isinC«'»— lg) ) •,:
A = -^ C08/^icos/}'teos/^, { Utngß'i B\m(fi'^-^a'^)
+ tang/5'28ln(a'3— c'i)
+ tang/^',8io(tt'|— «r'«) ist.
IZff
Ninmt man nmu eAtureder ui oder *i/s al« unbekaniil« Orr>8 a«^ na» and keoal acbon einan NäbeningavreHh einer dieaer Gr&Mea , so kann man unterauchen , v?ie nahe diaaer Werth der Wahrheit kommt, wenn man mittelst der obigen Formeln re- apecthra entweder u^, iu oder.ti| , u^ bestimmt» wodurch man also ia beiden Fällen zur Kenntniss von ti| »11.29»^ gelangt; dann die Graasen Ai, A^ und J^^ B^^ mittelst der Formeln
Ai = — l2^cos(a£' — ii)co8ft'
J, = — ' ÄjCosC«,'— £5) cosj^s' ;
Äi« = Äi»( l-co8(ai'-Li)«cosft '«) ,
Ä,» = J^« 1 1— cos(i%'-X3)«cos/Js'»}
bwtiiBiBt; uod hierauf Ti, r^, s^ mittolst der Formeln
n=V(^i-i.,)«+Äi«,
1,^«= Ä,* + Ri^^'lRi ÄaCos(Li - U)
+ 2{ ÄiCOsC«!'— L|) — ÄsCos(«|'— Z^) jcös/?,'«! +2{Ä3Coa(a3'— Lj) — ÄiCosCa,'— Zi) l<so»|Sa'^t — 2 1 sinft 'sinft' + co8(cf/— cfjOcosft 'cosft' ) «itta+tiiHtt»*
aadit Dann kaan man uoteränohen^ wie weit die Cii^icbang
»
tfföUt ist 9 und wird auch auf dem Wege der successiven NShe- tvag mittelat der bekannten Methoden den genatren Werth von Ui oder u^f und dann auch mittelst der obigen Formeln die Werthe vaa «Ea, tf) oder if| , V3 an ermitteln im Stande sein # alaa lur Kaantoiaa von u^ u^, u^ gelangen kunnen.
Berechnet man noch r^, i^^, «^'S <nlttelst der aus d^ni Obi gen bekannten Formeln^ so kann man zur Probt det Iteehnung aach noch anteranchen, wie weit die Gleichungen
(»'a+»'i+«aa)* - (r2+ra-«a,,)«=:^ arfMh sind.
^ Natirlich Icönnte man «ich anch leiclit t*ornieln ür ti» alt un- Wnn|# Orofliefl estwkieln.
iWil XVIII. 10
136
Bringt mim diese Anflifeang aaf Ihre eHrfaehste Form aod tiiaeht ui «iir untoefcaiinten Gmgse, so ist dieselbe «»anx in den iolgeoden Formeln enthalten:
K ==— Äacosft'cos/Ja' ( tangj?a'8in(«i'--I^— tangft'sln(«t'-ii) I , JTj = - Äjcosj^a'cosjja' { taiigfe'sinCo^'-ia)- tangi?a'sin(Ä,'-i:.J J ;
^3 == — Ä3C0«(as'— is)cos/3,'; Ä,«=Ä3«|l-co8(a3'—L3)«cosft '*} = /?,*- ^s«;
#1.3»= Äi«+ßs*-2ÄiffsC0s(A-L,)
+2 { Äicos(«|'--L0— ÄsCos(a/-liÄ) leopft '«i
—2 1 sinft 'sinft' + cosCa/— ojOcosjSj'cosiS,' ) t^ti, + ifi«+ «s*;
Bemerken will ich noch» dsss» vreil
^ «i*+yi*-MiH^Hj3*+*3'-^2(ariar,+|fiy3+JiZ3)
= ri* + rs» — 2(xi:rs + yiyj + ii X3)
ist» das Quadrat der Sehne fi„, wie man leicht findet, Äoch aaf foigendeo Aiisdruclc gebracht werden kann:
*i,t*«n«+r8«-.2ßift,cos(Li-L3)
— 2iZsC08(a|'«-L3)cos/?|'tC| — 2Ä|Cos(a8'— Zi)cos/?a't«8 — 2 |8inft'sinj?3'+cos(ai'-a,')«»«ft'co8/J,' 1 111M9 •
139
üaM Shniiche Ausdrficke anch für die Quadrate der Seboen $if^ Mm f^t»n and im Obigen atatt der dortigen Ausdrucke in Anwen- mn^ gebracht werden können, versteht sich ven selbst. IMaii kann dieselben fiberall statt der oben angegebenen Ausdrücke itobtftifttiren , wenn man es för zweckmässig halten sollte.
Die Frage bei dieser Aafl«>sung bleibt nun zuletzt auf Shniiche Art wie in 1. %vieder die, wie för tii oder »2» jenachdero man d«8 eine oder das andere als unbekannte Grösse annimmt, erste Nä- kranpnerthe gefunden werden krmnen, worauf ich. welter unten urikskonunen werde.
Hl.
Noch etwas vereinfacht wird die vorhergehende Auflösung, «IM man sich, wie wohl zuerst Olbers gethan, und dadurch fc Astronomie mit der Auflösung des Cometeiuproblems he- Mbtiki bat, welche gegenwärtig fast allgemein bei der Berech- ne fo Cometenbahnen in Anwendung gebracht wird, noch eine ivffte nur näherungsweise richtige Voraussetzung gestattet: wenn iMi niulich die 2Seiten ri.2, T2,3 als so klein voraussetzt, dass ach far die von dem Vector der Erde in diesen Zeiten beschrie- koen Sectoren ohne merklichen Fehler die In denselben licgen- fa fceradlinigen Dreiecke gesetzt werden können , deren Spitzen fc Sonne und die Oerter der Erde in ihrer Bahn sind. Unter ^eier Voraussetzung ist, wie aus der frfiheren Abhandlung (§• 6.) neh nuBittelbar ergiebt,
Qod «fie .\uflosung unserer Aufgabe ist dann vollständig In den Mgeoden Formeln enthalten:
f = — R^cosßi 'cosjJa' l tang^'sin(<»i'— I^— tangft 'sin(cf.2'— IJ 1 , Ai=— Äicosftj'cosjJg' { tang/J^VinCoa'— Xti)— tangÄi'siuCaa' -L^) } ;
oder noch kfirzer, weil man im Folgenden bloss das Verbfitlniss^ der Grossen K und Ki gebraucht:
K cosft^ tangi?aVin(«i^— Xa)— tangft Vin(«j|^~I.,) , ^—cosfc^ *tangfc'sin«-.JLj)^tangi?2'slu(a3'— 75'
Ai=s: — Äj co«(a|'— jL|)cos/}t', ii,=-.Ä,cos(«^'-A)cosfc' ;
10*
140
— 2Äi cosCo,'— ii)co»j5a'«,
—21 8inft'8iniJa'+co8(ai' -«aOcofift 'cosft' } Mi«, ;
fri + r» + «„a)J - (?i + r,— #i,i)l = -^ •
Noch woHen wir zu die8en Formeln bemerken, dasg, w«\ nach dem Obigen 6=0, und nach der frflheren Abhandlung
© = — fi« { T| ,tÄj«in(Ii,-La)— x^ Asin(Li— i^ ) • abo
ti^iRj8ln(L,— ij) — ra,sBi8in(Li-*Lx) =^> folgKcb
i8t, im Obigen auch
K Ä, sin (La— A) •^=¥/Bi-8ln(A^it)"»
gesetzt werden kann. Weil nur näherungsweise 6=0 ist, sind natörlich auch alle diese Ausdricke nur näberungsiveise richtig*
Die am Ende der in II. gegebenen Auflösung aufgeworfene Frage sieht natürlich auch bei der hier gegebenen Auflösung ibrer Beantwortung noch entgegen.
Die hier gegebene Auflösung ist in den Principien die Auflösung des Oometenproblems von Oibers. Meine obieen For- meln sind jedoch nicht mit den Formeln von Oibers ioeotiscb; namentlich bringt Oibers statt der wirklichen Entfernungen —tii^ — u^ des Cometen von der Erde in der ersten und dritten Beob^ achtung die entsprechenden sogenannten cortirten Entfernungen desselben von der Erde in Anwendung, worunter man die aufoie Ebene der Erdbahn projickteo wirklichen Entfernungen versteht
141
Uireits tiMleM nidrt» ob ick daKo eeradeza einen besoaderett VMtbeil erkeBnen soll. A«cb bin ic£ selbst nocb sweireibsft, ob ich der durch Einflahrung der zweiton nliheniiigsweisen Vor- aonetiuw allerdings bewirkten 4bkfirznng der Reobnong den CTHsen Werth beilegen seil, den Olbers md Andere dpcroelben anlegen sebeiDeni so dass ick es vielieicbl nicht lieber yorale- ben mucbte, bloss bei der ersten näherungsweisen Voraussetzung, •üdidi bei der in II. gegebenen Auflösung , stehen zu bleiben^ da ■ir der Mehraufwand von Rechnung, den diese Auflosung erfor* <krt, 10 der That nicht so sehr erheblich zu sein scheint, dass idknick darcb denselben geradezu bewogen ßtUeu: sollte^ , d^a pnMere Genauigkeit, welche die Auflösung in II. nothwendig ge- «abreD muss, und wirklich auch gewährt, autzugeben, worüber jedoch Qor durch die aus vielfachen praktischen Anwendungen {Mhupfte Erfahrung sicher entschieden werden kanrf»
IV.
U konnne nun wieder auf die AnflSsnng in L znrfick. Man ^i^tkb erinnern, dass wir dort dabei stehen blieben, dass wir M|teD, dass es nur darauf ankam , zwei erste Näherungswerthe fa beiden unbekannten Grossen 9, to zu kennen, wo bekanntlich
"V. Eine Methode nachzuweisen, wie solche erste Näherungs- vertbe der Verhältoisszahlen d, to gefunden werden können, sind "ir danals noch schuldig geblieben, und wollen jetzt versuchen, <^ Schuld abzutragen.
Bloss aus der Theorie solche erste Näherungswerthe von v, » a entnehmen , scheint uns unmöglich. Man muss dazu ooth- ^csdig Beobachtungen zu Hülfe nehmen. Deshalb wollen wir
ßaanehroen, dass man ausser den drei zur Bestimmung der wibedingt erforderlichen Beobachtungen noch zwei Beobach- toogtn habe, von denen die eine zwischen der ersten und zwei- ^f die andere zwischen der zweiten und dritten jener drei unbe- Aigt erforderlichen Beobarhtnngen liegt ; diese beiden Beobach-. mea wollen wir respective die erste nnd zweite Hfilfsbeobacb* ^r oder die erste und zweite intermediäre tteol>achtung ne-nnen. Ucke iatermediäre Beobachtungen sich zu verschaSen, %vird bei «1 Eifer, mit welchem jetzt jeder neue Comel beobac^et wirdj l^iis niemals Schwierigkeit haben. Die beobachtete geocen- ^Me Länge und Breite des Conieten in den Momenten der *^ «od zweiten intermediären Beobachtung wollen wir re- yfl^e durch n, b und a'> b'; die entsprechenden Langen der VWdircb L, h* bezeichnen; die Zwisdienceiten zwisclien der ^*fc» Hsuptbeobachtnni( und der ersten Hülfsbeobacbtang, nwi« ^^ der ersten Hfilfsueobachtung und der zweiten Hauptbeob-
142
acbtung seien t|^y r^^; ihm) die Zwlscbenxeitea swinclieo der zweiten Hauptbeobachtung und der zweiten Hfilfslieobachtung» zni- sehen der zweiten Hülfsbeobachtung und der dritten Hauptbeobacb- tone seien C'i^, t'%,^. Nehmen wir nun an, dass die drei Haupt* beobaehtungen nur durch massige Zwisekenzeiten rg^» r^^ too ein- ander getrennt sind, so wird man auf die beiden folgenden Systeme:
Erste Hauptbeobachtung, erste Hülfsbeobachtung» zweite Haupt-
beobachtung ;
Zifreite Hauptbeobachtung» zweite Hfilfsbeobachtung» dritte Haupt- beobachtung;
die beiden in Ilt. gebrauchten nur näherungsweise richtigen Vor- aussetzungen anzuwenden berechtigt sein/ und wird daher nacb den aus ill. belcannten Formeln» wenn wir der Kürze wegen
__ cosfe^ tangbsinCcej'— L) — tangfa'g'"(<^-^10 *'^ cosßi* * tang/?|'sin(a— L) — tangb8in(a2' — L)'
cosga^ tangb'siiif(aa^--^L^)-4ang/?j|^sin(ft*— LQ ^^cosj^a' * tangft'8in(ä'— LO— tangb'sin(aj'— L')
setzen» die folgenden Gleichungen haben:
*2'S MnE
Vergleichen wir nun diese Gleichungen mit den Gleichuiigeii so ergiebt sich, dass wir als erste Näherungswerthe
H*»' ' ^'i»a
setzen IcOnnen» und diese ersten Näherungswerthe werden» wenn die Beolmchtun^en nur zweckmässig gewählt sind» meistens schon der Wahrheit ziemlich nahe kommen. Wie man von diesen ersten Nähernngswerthen weiter zu gehen hat» ist aus I. bekannt» nod darüber hier nichts weiter zu sagen.
Mancher wird die Frage aufwerfen» ob es überhaupt einer guten Metiiode entspreche» dergleichen Hülfsbeobachtungen wie vorher in Anwendung zu bringen, d. h. im Allgemeinen mehr Be- obachtungen zu benutzen als zur AuflOsons des Problems unbe- dingt erforderlich sind. Diese Frage würde ich unbedingt mit
Ul
N«inlb6MitworteD, wenn ich oder tiii Anderer «in« »weekiAl^sige U»M (kr Theorie entnoromeoe Melhode z^r Autümdan^ ef«ter K&be* inigtirerthe der obigen VerhultniiM^z^blen ansi^alieoiiu Stande wäre* 8t laMe dies aber nicht mißlich ist, jniiaa ich be« der obigen IMiaoe steheil bleiben. Auch hat roan.jni bedenken r dass ja jeat beiden Hfilfabeobachtungen gar niebt bei der eigentlieben Aofloaung des Problems gebraucht , sondern eben nur zur Ermit-, tehing ereter Mähernngstrerthe der gesui^bten GrOssen benutzt vfrdaa; ist man erat in den Besitz sokber ersten ^iftherungs- werthe sekonnieii , so %verden bei der ferneren Auflösung des Pro** Ucms die beiden Hülfsbeobacbtungen gar nicht in Anspruch ge* Bommen. Dnd um vorläufig nur erste Naherungswerthe zu finden» wird es doch wohl auch verstattet sein, sich vorläufig an nur Bibenmgsweise richtige Voraussetzungen zu halten, wenn dann IV die fernere Auflösung sich bloss völlig streng richtiger Sätze mi Formeln als Hulfsniittel bedient, wie in l, gescheben ist Aldi kaben in der That die meisten Mathematiker, welche Anf- faofen tllr das lyometeiiprohlem gegeben haben, mehr als nur M Beobachtungen benutzt , wobei ich u. A. nur an die nament- fichiD Frankreich sehr beliebte Auflösung von Laplaee za erin* mlraucfae. Olbers fordert freilich nicht mehr als drei Beoh« achti^en , aber er nimmt doch , wie wir gleich naeMier sehen «vrrfen, auch zu einem Resultate der Beobachtung seine Zuflucht, wuja, vom rein theoretischen Standpunkte aus die Sache be- tnchtet, im Grunde doch wohl ganz aasselbe ist wie der oben eii^escbbgene Weg. Freilich haben wir oben noch die Forde- nng gestellt, dans die Zwischenzeiten Ti,^, t^*8 nicht zu gross Kin sollen ; das ist allerdings ein Mangel ; da es aber vorläufig m auf die Ermittelung erster Näherungswerthe ankommt, so wer- te dieselben schon eine ziemliche Grösse erreichen können ; und 4tini wird man, wenn man die Auflösung I. mit den Aufltisuni^en IL, in. vergleicht, zuzugeben nicht abgeneigt sein, dass das Feld der Anwendung der Auiösung 1. mindestens doppelt so gross ist •if das Feld der Auflösungen U., lU., namentlich der die meisten ■« i&herungsweise richtigen Voraussetzungen sich gestattenden Anlosung 111. , was jedenfalls der Auflösung I. auch einen Vorzug ▼or den beiden anderen Auflösuogep sichern dörRe.
V.
Bei den Auflösungen II. und III. kam es, wie man sich noch criooem wird, zuletzt noch darauf an, einen ersten Näherungs- ^•rth von Ui zu findend Dazu weiss ich nun keinen anderen Weg als den von Olbers angegebenen. Diesen Weg will ich jettt hier ans einander setzen , jedoch vorläufig nur seinem allge- Mben Princip nach, ohne nur im fietingsten mir das Ansehen f«bes zu wollen, als hätte ich durch das Folgende die schöne Mhode des genannten hochverdienten und von mir hochverebr* tM Mannes erschöpft, was ich vielmehr späteren Aufsätzen noch ▼wbehalte.
144
W» Samme r|-fr^ der Entfermiageii des Cometon von der Sonne in der eroten und dritten Beobechtviiig , sagt Olber«*), kOiMie nicht kleiner als. t sein, wenn die scheinbaren Entfemun« gen des €k»meten von der Sonne mir grQeser als 30^ sind; t»d a«f der anderen Seite habe die Erfahrung gelehrt, das« die ons siehtbaren Coroeteo, sehr wenige Ausnamneo abgerechnet» iftter*
k^ib der Marsbahn sind, deren grosse Halbaxe 1^ ist, iforaus
sich ergebe, dass r^-f r^ fast Immer kleiner als 3 sein werde. Deshalb sei 2 immer ein genäherter Werth der Summe ri^n. Fohre man nun diesen ersFen Nftherungswerth vat Ti+r^ m die Gfeichuog
fri + rs+Sip2)t-(Xi +r3— #i,3)i = ^
ei|ji, S0 entböte dieselbe nur die unbekannte Grilsse 9gt%* f^ \velcbe sieh daher mittelst der Torher^^ebeaden Gleichung m erster Nhheruns^swerth finden lasse. Habe man ober auf di^ Weise einen ersten Näherungswerth von «|,s ermittelt, so lafse sieb, wenn man die Auflösung 11. anwendet, mittelst der beideu oaub Hl und k, aufsulösenden Gleichungen
_ ©sinft,^;-5l„&tt,
+ 52 { ÄiCos(tf|'— Li)— ÄsCosC«!'— i>») ) cosft'iii + 21 Ä8Cos(a^'— £,)-ÄiCoa(o»'— £i) ) cos^S,'«, ■- 2 1 sinft 'sin/3s'+cos(ffi'-^')cosft'coeft,' } »itis+iii^+t«,« ;
*
wenn man die A«fl5sang Ili. anwendet, mittelst der beiden nach t$i und Uj aifxuUsenden Gleichungen
«•
• 5|,3«= ÄiHÄa*-2Äi/ir,cos(Li-X,)
+ 2 1 Ä|COs(«i'-X,) — Ä3C08(ai'— i,)^ cosft'iii
+ 2t i^COsC«,'-!^) - ÄiC08(«8'-ii) I COSft'tf,
-^ 2 JsiniJ/8in/Ja'+cos(i», '— ufaOcosft 'cos/?,' ) u^ u^+u^Hh^ ; der erste Nftherungswerth von tf| , dessen man bedarf, linden.
Dies ist ihrem allgemeinen Princip nach die von Ol- bers im Astronomischen Jahrbuche. 1S33. S. 251. ange- gebene Methode, auf deren weitere praktische Ausfiibrung, so w^q ihr dieselbe in meisterhaßer Weise vpn ihrem Urheber gege-
wt m PI
•) Man vergl. weiterer Erläuterung wegen die Note auf S. 122« io Thl. XVIl. de« Archir« der Mathematik und Physik.
145
bto worden ist, ich mieh jetzt nicht einlaMe. la fl«i*ilteren Ali* haBdlang Aber die leichteste nn4 bequemste Methode dtc Bahn eines Coniefen zu. berechnen. Weimar 1797. Nene Ausgabe 1847. geht OTbera von ganz willkfihrlichen Voranssetznngen (lir die eine unbelcannte Griisse, auf welche dan ProUeoi Ton ihm zurüclcgebracbt wirdli awn/ wie^ man ahis den dort zur Erläuterung der Methode gerechneten ßeispielen sehen kann.
Weil bei der vorhemhendiDn Methode dlfe Bestimmung der Sehne #|^ aus der Gleichung
fri +r,+#„3){-(ri+r3-n,3)5=^
r
vm Hanntraoment hitdet« so irill ich jetzt noch zeigeg, wie sich fcse Gleichung nach meiner Meinung am besten auflösen iSsst
Weil r|, r,, f,,^ die drei Seiten eines ebenen Dreiecks sind, m ist immer
■KiaNui kann also
I I
Blum = •
' ' I
^ t • 1 ■
I
«tien Dadurch wird die aufzulösende Gleichung
(n +r,+.,„)»-(r, +ra-.,.,)^='iia atf die folgende Form gebracht:
(I+sin«)}-(l-sin«))|= — -?V»-— . Weil aber, wie man mittelst leichter Rechnung lindet:
(cos g- CO dbsin.j o>)?=pc 1 Jisinco i«t, so kann man die obige Gleichung auch auf die Form
(cos p ö+sin ö »)» -(cos 5- c^— sin yi«)» = -. ^\'^ . , ,
•fe, wen» BMm dl» beiden CiAr ituf <far linken Seile de« Gteich* ■mieichens entwickelt, auf die Form
11 i t
Ocoa ST w« sin Äp ö + 2sin V «' i= / ';^ v.
146
bringen. S«tit man nun
ii , . • ' >
cos^a)*^! — »In 5«*, «o >vifd ilie voniteheBde Gleicbang:
6 sin
oder
* '
/- . 1 N» .1
Weil *i»j<»*i+«'8 *«** s^ '^^
und folglich
(ri+r,+i|„)K2i(ri+r,)5.
Also ist um so mehr und daher, weil
yHr,+5i,8)! -(rj+r,— *,„)* = -^
ilit:
oder
^^'' <'l .
2ftV2.(r,+ra)< Daher ist man berechtigt
SU 8et>en> wodurch wir raeb dem Obigen die Gleidiang
147
•der die Gleichung
1 ^» . 1
crtnlten. Nach einer bekaonton goniometrischen Formel ist aber
1 Sil
«in«ö' — i«inoÖ+ 3«ind=:0.
o 4 . o ' 4, / .
Vergleleht mao diese Gleichang mit der vorhergebenden, so er* pAi sich :
. 1
mi nan hat also zur Berechnung von «|,s nach dem Obigen die UI|eideD sehr bequemen Formeln:
'^"^iliVMn+r^i' sin2»=sin3av2, 5i„=:(ri+r,)sin«. Weil aber
cos 5 «*= 1— 2sin 0 0^ = cos s Ö*- sin j S^sscoa a 6 Mt, vroraus sich
sin(0=2sin:ya)C0S5«i=:2v2,sing 6 Y cos ^ 0
triebt, so kann man die Formeln aur BereehooDg vob s^ auch w folgende Art darstellen:
•^^^^fti/iirUr,!? • '•••=2V2. (r,+r,)«n 3 öy cos j 0 • Dan die Gleicining
(ri+r,+*„)i~(r,+r,-,,.,)J = ^
«Bezog auf it,3 aU unbekannte Grösse immer nur eine reelle ptMve Wurzel, die kleiner als Vi-t-r^ ist, haben kann, Iftsstsieh ieidit auf folgende Art aeigeii. Sind nSnilich übei^aupt s und s xvei reelle positive Grössen, die «nter sich ungleich und beide kMttgf als ri-frj sind; so ist» wenn wir s als die grossere dieser Wien Grössen annehmen:
(rt+r,+i)5>(ri+r,+s)J,
148
(rl+r3-#)«<(rl+r3-6)^, aiö'o
(n+r3+i)5- (ri+r3-#)J> (ri+r3+5)i^(n+r,-B)|,
%vorau8 unmittelbar erhellt ^ dass es nicht zitei reelle positive W'erthe von ti^, die kleiner als rj^-l-r^ sind, geben kann, für welche die Grosse
ein und denselben Werth erhält, wodurch ^ie oben ausgespro- chene Behauptung erwiesen ist.
Die eine reelle positive Wurzel der Gleichung •
(»•i+r,t*...)«-(ri+ra-*,«)ä = ^.
welche unter ri-{-r^ dieselbe nach dein Vorhergehenden nur haben kann, erh< man aber, wenn man in den Gleichungen
den Winkel 6 positiv und kleiner als 90® nimmt, was vermöge
der ersten dieser beiden Gleichungen offenbar verstattet ist. Dann
1 2
sind nämlich offenbar auch ^ 6 und % 6 positiv und kleiner als W^,
und die Formel
*i„=2v2.(ri +r,)sin3 öy cosg ö
liefert also, die Quadratwurzeln positiv genommen, fiir Si,^ einen reellen positiven W/erth, 'welches der gesuchte ist
Wie schon oben bemerkt worden ist, habe ich in dieser Ab- handlung anmachst und hauptsächlich den Zweck vor Augen ^ habt, die zweckmässigsten Auflosungen des OeneteoproblemS 'm Allgemeinen zu skizziren und in einer Generaläbersicht dem Leser vor die Augen zu) führen. Die hin und wieder noch nöthige Aus* feilun^ der hetreffenden Formeln, um ihnen zur Anwendung bei numerischen Rechnungen eine möglichst bequeme Gestalt zu geben, werde ich, insofern sich die vorliegende und die frfihere Abhandlung über das so wichtige und wegen seiner Schwierigkeit so höchst interessante Conieteiiproblem des Beifalls der geehrten Leser des Archivs einigermasseii erfreuen soHten, vielleicht noch zum Gegenstande einiger späteren kürzeren Aufsätze machen, wo denn zur besseren Erläuterung auch vollständig ausgerechnete Bei- spiele nicht fehlen sollen , indem diese Beispiele mir zugleich eine passende Gelegenheit darbieten werden» zu zeigen, wie die sämmt- liehen Elemente einer Bahn zu bestimmen i»iod, was freilich, wenig- stens in Bezog auf die Neigung und die Länge des Knoteos, schon aus der früheren Abhandlung mit hinreichender Deutlichkeit erhel- let, und übrigens in seiner weiteren Ausführung keinem mit der wissenschaftlichen Astre^otnie; gehörig vertraten Leser unbekandt sein kann.
149
Heber die Ausgrleichungr der BeolNich-
tungfsfeiiler«
< Methode dpr kleiosUii Quadrate.^
Von dem
Herrn Professor Dr. J. Dienger
an ikr fifljleohiiUclicii Sclialo i« Garlsrafc«. t
Die GrunddUtxe» um die es sich m diesem Aufi^atee baTideU, liod allerdings schoti seit geraamer Zeit fes^esteltt, so dass es tidi jetzt mehr um die Methode der Darsteltung und derBe^veise bandehi wird, als um jene selbst; trotzdem aber scheint es mir, ihsB f^erade die Nachweisuns: eben jener Grundsätze sehr Vieles n wflnscheo fibrig lasse. Ich habe es desshalb im Folgendeu YonMcbt, eine folgerichtig durchgershrte, zusammenhängende Dar- ttdhnig jener Grundsätze und der auf sie gebauten Lehren zu ipeben. Die Grundansicht, von der ich ausgegangen bin, ist die ▼M Hagen» wie sie auch Wittstein in seiner Uebersetzung ▼•0 Naviers Differential- und Integralrechnung befolgt hat. Dass M einem schon mehrfach bearbeiteten Gegenstande nie Lehrsätze nicht neu sind, versteht sich von selbst; es war auch nicht meine Jlbsicbt, dergleichen neue zu erfinden, sondern bloss die vorhan- (Wen in mathematisch i^trenger Weise zu begründen. Die paar Sitze aus der Wahrscheinlichkeitslehre, die angewendet wurden, Uen sich in jedem elementaren Lehrbuch dieses Zweiges d^r mafheroatischen Wissenschaften.
11.
Alle unsere Btobaeht«iigen sind mit Fehlem behaftet ^ und es iit OM gewissemassea anmSglieb, diese Fehler durchaus zu ver-
150
meiden 9 zum mindesten haben wir kein Mittel, dies« zu erkennen, 80 dass wir also jedenfalls auf Fehler rechnen müssen, üte^e Fehler werden mehr oder weniger leicht begangen werden, je nachdem sie kleiner oder grOsser sind. Je mehr ein solcher Feh- ler möglich ist, desto eher wird er begangen werden, desto eher wird man also darauf zählen kOnnen, dass er zum Vorscheia komme; je grösser er ist, d. h. je weniger er, bei euten Be- obachtungen, möglich ist, desto weniger wird man aui ihn zählen dürfen. Üeber eine gewisse Gränze hinaus wird es bei genauen Beobachtungen möglicher Weise keine Fehler mehr geben; eben so wir<i man auch annehmen dürfen , dass ein jeder Fehler po»- tiv oder negativ vorkommen kann, d. h. dass man eben so leicht über den wahren Werth des darch Beobachtung Gesuchten feb* len könne, als unter denselben.
Mai meixt nt^Orlth voraus, dass die Beobachtnnge« sribst mit so viel Sorgfalt als möglich angestellt seien, so dass, mn den wahren VVerfh k einer durch Beobachtung zu bestinmeo- den Grösse zu finden, man zu ihrem durch Beobachtung gefunde- nen WertheA'i nur noch eine sehr 'kleine Grösse A*' ninzufum muss. Diese Bedingung ist durchaus nothwendig; schlechte Be- obachtungen können nicht durch die Methode zu guten gestempelt werden.
Jeder Fehler, der einer Beobaditung anliaflet, kann betrach- tet werden als das Ergebniss einer grossen Anzahl sehr kleiner Fehler, durch deren Zusaramentreflfen er entsteht. Jede Beobacb- tung lässt sich nämlich offenbar zerlegt denken in eine sehr grosse Anzahl Operationen, deren jede mit Fehlern behaftet Ist; die Summe aller dieser einzelnen Fehler ist nun der Beobacbüings- iehler, der begangen wurde. Es wird daher erlaubt sein, im Ali- gemeinen jeden oeobachtungsfehler anzusehen, als entstanden durch Summirung einer unendlich grossen Anzahl unendlich klei- ner gleicher Fehler, die wir Elementar fehler nennen wollen. Jeder dieser Elementarfehler kann positiv otler negativ sein. Diese Voraussetzung zugegeben, entwickelt sich nun die gesammte Theorie leicht
$. 2.
Sei tt der Elementarfehler und sei m die Anzahl der Elemeo- tarfehler, indem wir alle diese Elementarfebler gleich gross voraus- setzen. Jeder dieser m Fehler kann positiv oder negativ sein* Aus der Lehre von den Verbindungen findet man fSr die Anzahl der möglichen Verbindungen:
wenn alle Elementarfebler positiv sind .... 1, und also der ganzS:
Fehler ma;
wenn m^l Eüetienlarfehlef ptMltiv sind, 1 negativ bt..... m, und
ali* der gnnse Fehler (m-^2)9;
151
wenn 11—2 Elemeatarfehler positiv , 2 negativ sind ...- -r-iy — » und
also der ganze Fehler (m — 4)cf;
_ „, ^ , , . . « ^. . < ,w(m — l)(m — 2) fteno m — oElementarrenler positiv , 3 negativ sind ... r-h-« »
und also der ganze Fehler (iii-^)te;
wenn alle negativ sind 1, und also der ganze Fehler ^-mo.
Es ist offenbar erlaubt, fit als gerade Zahl anzusehen und iIm 111 = 2» zu setzen. Nun ist klar, dass ein Fehler in dem Miiss^ möglicher sein wird, als die Anzahl der Verbindungen, 4irdi die er entstehen kann, grosser ist. Heissen «vir aUo aH- mein V den Beobachfungsfehler» x seine relative Alöglichkeit, «•Ulniao folgend«! Uebersicht: \
t = j: =
^ 2ii(2n-l)....0«+l)
" lX.~n '
. o 2iiC2>i~l)... (n+2) **» 1.2 («^1) '
±4«
2n(2ii— 1) (n+3)
1.2,,.-.(n— 2)
2 . . ,
±2ntt 1.
Die Z&hler der zweiten Reihe haben nur insofern eine Bedeu«
liaff, als sie die Verhältnisse der Möglichkeiten der betreffenden
Btobacbtungsfehler ausdrflcken, Ciu Gesamnitfehler 4:2fta, im
Terhlltniss zum Fehler Ö, vrird also möglich sein im Verhältniss
2jt(2n-l)....(«+l) j. . ^ . L j u
»«• l zu f-3 • ' Ermnert man sich , dass n anend-
1,2.... n
ich gross ist» so ist dieses Verhältniss unendlich klein, also ist
imVMtT ±iHa, im VerhMtnSsa zum FeUer 0, so viel alsbnoiGg*
U. Gans bestimmt wird man diess im Allgemeinen aber nur
VM ebem uoendlfch grossen Fehler behaupten dürfen, so dass
vir hui als unendlich grosse Zahl ansehen müssen.
Sei nun So die (absolute) Möglichkeit eines Fehlers 0, $ die ciscs Fehlers v=irtt, t' die eines Fehlers (2/*-^ 2)a, so Ist nach iem Obigen:
. I
152
: 9ii(aii— l).,.,(itfr-fl) 2if(2ii-l).....(ii+r-f2)
s _ 1.2...(n-~r) f^ _ 1.2;...(ia---r--l)
Jö""" t^il(gn-^n[)Z"(n+l) ' 5o"" 2ii(2n~l).'IÖHTr '
Sei nun
90 ist
ij' — r=//r=2c, *' — s=^ds;
Nun i«t aber:
f^-5 i/wz:*" _j\ * 2f+i _^
ex ^ ^
/mV
also
I «0 j^* itJD4-c + -^r' $Av nA^\v At-\-Av'^*
Nun ist zfoy so wie As^^ unemllich klein» ft2f0=2ita anendlich gross« also nAt^ im Allgemeinen endlich und positir» so das«
wir seinen Werth =Tä setzen wollen. Daraus folgt also:
worin c eine willkabriiclie Konstante ist. Für r=0 ist i=io* also endfich:
,=,o.e-*'-V (1)
üiess Ist nun der Ausdr«ck der relatlren Möglichkeit «ioes Fehlers v, in Bezug auf «ineo FcMer 0.
\
Sachen wir nun die Wahrscheinlichkeit, dass gerade ein bestimmter Fehler begangen worden sei. Es ist von vorn herein klar, dass» da eine unendliche Zahl von Fehlem möglich ist» die Wahrscheinlichkeit» dass gerade ein einziger bestimmter
153
dieser ^enge beffangen wofdeti» untedüeb kieki sein wird; dftfiir iber wird das Yerhftltniss der Wabrscheinlichkeites zweier mkk» bestimmter Fehler ein eodliehes und offenbar gleich sein dem Verbältniss ihrer relativen Möglichkeiten. Sei also wq die (unendlich kleine) Wahrscheinlichkeit, dass gerade der Fehler 0 begangen worden, so ist die Wahrscheinlichkeit w, dass gerade der Fehler e begangen wurde:
u)-Wo.e-^^\ (2)
iv»rin riso 19 die Wahrseheinlleiikeit ist» dass e der Fehler der gemachten Beobachtung sei.
Nach den Grundsätzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist
aber die Wahrscheinlichkeit, dass von einer gewissen Anzahl Er-
.agnisse, von deren jedem man die Wahrscheinlichkeit kennt,
irgend eines eintreffe, gleich der Summe der Wahrscheinlichkei-
tei der einzelnen Ereignisse. Daher ist die Wahrscheinlichkeit,
4m irgend ein Beobachtungsfehler begangen worden sei, ZwQe"^*^*,
v«iB das Zeichen £ andeutet, dass man die Summe aller GrOs-
m WoC"^^* nehmen soll fiir alle niuglichen Werthe von v. Nun
iit iber gewiss, dass irgend ein Beobachtungsfebler begangen
•«de. Daher hat man:
hnoB folgt:
_ I _ 8t> 8r
yv
hH^dv
Di aber bekanntlich
— «
w ift alM
nd folglich:
»=:T7=«-*'"*3«>- (*)
n
GrSsse drOckt also die (theoretische) Wahrscheinlichkeit Ml» diss e der Fehler sei, den man in der gemachten Beobach- ^ begangen habe.
TbcU inil. H
154
Nach dem ahgbfiliTteo Satze der WahrscbeifriicIilteitBrecb- nuDg folgt daraus > das« die Wabraeheinltchkeit, daas der bei der ^madiften Beobachtang begangene Fehler zwiscben u und ß {p>a) liege, ist:
r«/'^-'*"^"- ' ^>
Diese Grosse (5) drückt somit auch die Wahrscheinlichkeit aas, dass der gemachte Beobaefatengifebler die Grfinxen «r und./? iüolit überschreite. Daraus folgt, dass die Wabracbeinlicbkeit a: poorb dass bei der gemachten Beobachtung kein Fehler vorkomme, des- Mn absetater Werth a übersteige, ist: '
Vi
0
I
. -'-
§. 4.
'. . -
t t '
Das Integral, das wir so eben gefunden haben, ist fflr unsere Untersuchungen sehr wichtig. Man hat Tafeln dafür, und nament- lich hat Encke in dem Berliner astronomischen Jahrbucfae. vbA 1834 zwei solche gegeben. Setzt man in (6) hv = t, so wird jenes
2 P*
Integral zu -75-- / e-^^dty woftir nun Encke eine Tafel gege-
ben. Eine andere hat er für -^ / e-^hi gegeben, wo
^=0*4769360 (§. 5.}.
Man ersieht aus (|6), dass, je c^osser A' ist, desto unwahr- scheinlicher grSssere Beobachtungs fehler sind. Daraus folgt, dass von zwei Beonachtungsweisen , fSr welche h^ verschieden is^^ die- jenige die bessere ist, für die A^ grösser ist. Daher kommt es, dass man h für das Maass der Genauigkeit der Beobach- tungsweise, der es zugehurt, nimmt Für verschiedene Be- obachtungsarten wird also A^ veränderlich sein, aber konstant für Beobachtungen, die nach derselben Weise gemacht v^erden.
§5.
Vermöge der In €. 4. erwähnten Tafebi wird es leieM seisv a priori ül^r die Wahrscheinlichkeit des Vork««inmis^ bestimm*
ISS
ter Beobachtungsrehler zu entsehdldeti. Z. B. filr rA=M3 giebt die eine Tafel :
2 /*iis
^ o
d. h. die Wabrschein liebkeit, dass der begangene Beobacbtuogs fehler, seinein absoluten Werthe nacb, uicbt dber -^ liege, ist
0*8899707. Offenbar kann man diess auch so erklären, dass man ngt, TOD 10000000 begangenen Beobacbtungsfeblern liegen ^9U707
. . M3 , . ri3
xviscben r— und H — r- •
Der Werth von tf/i, für den obiges Integral ö i^> >st yon be-
Wicbtigkeit Man findet, dass alsdau» o&:==.9*47693W»
««khe Zahl wir im Folgenden mit q bezeichnen «vollen. Ueisaen. wv ^nso r den Werth von ^^ den «tir aus dieser Ql^icbm^^ eiv Ulis, so dass
2
/rh c-»*8*=0S,
m haben wir
rh=Q, (7)
ond f ist nun eine GrOsse, so beschaffen , dass fOr den bestimm« tSD Werth A es eben so viele Fehler geben Y^rä , die twischeii -*r iuhI +r liegen, als ausserhalb dieser Gränaen. Man heisst fcsswegeo r den wahrscheinitcheti Fehler der Beobath^ Ingsnethode, der das Mass der GeniHiigfceit h entspricht. Aus der Gleichung (7) fdgt, dass je grösser letzteres ist, desto kM» wm der wahrscheinliche Fehler sein wird und umgekehrt Man kisnie auch sagen, dass r der Fehler sei, filr den die Wahr^ sAetstichkeit des Bestehens oder ^fichtbestehens deich gross ist. Kssat man r, so ist h leicht daraus bestimmt Weiss man»« B.v dtss bei einer gewissen Beobachtungsmethode ein Fehler von 2*^ •lea so leicht möglich ist, als bei einet anderen ein solcher von K 90 kann man r^t, ir^=zl annehmen und findet ktlif^st:lt% d. h. die zweite Beobachtungsweise ist doppelt so genau Sl« & erste.
Sei F eine Funkfion gewisser Veränderlichen Xß y, t, gegeben durch die Gleichung:
II*
156
F^aa! + by+ez + , (8)
worin a, 6, c, Konstanten sind. Seien ferner x, y, z,
aus Beobachtungen zu bestimmen « und nehmen wir an, man wisse, dass för
a=?ii|, 6:=6i, c=C|,. ...... sei l^=Jlf|,
a=iis9 bzzzbzf c=:|c8, , „ F=J/8,
M'O
CTj , Ol » ^x ' •*■«■» ^%* ^2» C^y •••••• U. S. W.
entweder Konstante« sind, die man zum Voraus kennt, oder die durch die nämlichen Beobachtungen bestimmt sind, durch wekhe jtfi, M^y bestimmt wurden. Man wird somit haben:
aix-\rbiy-\rciz-\r =-*!,
/?aa? + 6s^ + C2Z+ .-.. =1^^»
^3»T + 43^ + ^32+ =^s» (9)
wo es sich um die Bestimmung von x, v, z ....... bandelt Wenii
die Werthe der Grossen n, 6, c, ...... jW durchaus genau wSrea,
so würden von den Gleichungen (9) so viek, als Uobekanate vor- handen sind, genügen zur Bestimmung dieser Unbekannten, and die etwa noch weiter vorhandenen Gleichungen müssten durch die Werthe dieser gefundenen Grössen erfüllt sein. Diese Vorau»^ Setzung ist aber unzulässig (§. 1.). Nun ist klar, dass wir, bei der Unvermetdlichkeit der Beobachtuogsfehler , uns der Wahrheit immer mehr nähern müssen , je mehr genaue Beobachtungen man macht; desshalb wird man in unserm Falle mehr GleicbnageD haben, als zur unmittelbaren Bestimmune von x,y, z, ... gerade nothwendig sind, und es muss also eineUecbnungsweise ge^ncht werden, dSe jede Beobachtung nach dem ihr zukommenden Werthe mit in Anschlag bringt
Wir haben so eben vorausgesetzt, dass die Gleichungen (9) aus einer einzigen Gleichung (8) entspringen. Diese Yoraas- Setzung ist aber keineswegs unerlässlicn ; im Gegentheil ist es gleichgOltig, woher die Gleichungen (9) stammen, und wir werden desshalb nur annehmen, dass man ein System (9) von Gleichun- gen (des ersten Grades) aufzulösen habe, in dem mehr Gleichun- gen als Unbekannte vorhanden sind.
157
Min kann z. B. allgemein anDebmen, das»
Pz^a'x + b'g-i-c'z + ,
F^=:a"x+b''y+&'z + ,
ttod iaas für
*
ii"=aa, 6"=6«, <?"=««, — : iP'=^a, .
mk man erhält so die Gleichungen (9) weit allgenieiner.
Sei nun At dag Mass der Genauigkeit (§. 4.) für die Heob- ütoigsmetbode , aas der die Grossen in der ersten Gleichung (Aimlteii worden; A^ ^^^^ ^^ ^^' ^'^ zweite u. s. t; sei wei- Iv «'o die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers =0 fifr did erste Mode, w"o für die zweite u. s. f., so ist die Wahrscbeinlich- W ciocs Fehlers F' — Jiti=Vi :
fretnen Fehler F"-J!f2=ta:
fo"oe-*.'»«* u. s. f.
Also ist die Wahrscheinlichkeit , dass alle diese Fehler zugleich kiteben:
«r'otr"oto*'o •••• e-(*»*«'«''+*«'«'*H*»'V + >.
Jt lachdeni man man eine Anoabme maeht über die wabveo
Wfrthe der Unbekannten x, y, z, , werden die Werthe von
^f F**, , also auch «der Fehler ti, v^ ..^.., sich findern. Jede
niebe Annahme kann demnach angesehen werden , als eine Ur- iiche, deren Wirkung das Bestehen der bestimmten Fehler r«, 9%*^. ist Da, bei wiHkührlicber Annahme , op, y, z, ....»• alle BSdicheo (reellen) Werthe von — oc bis -h oo haben können, so pm es somit eine Unendlichkeit solcher Annahmen, und nun ist, nach den Grundsätzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die Wtbrscheinlicbkeit, dass eine bestimmte dieser möglichen An- tthnen gerade die rechte sei, ein Bruch, dessen Zähler gleich iit der Wahrscheinlichkeit der Fehler unter der Annahme des
Bestehens jener Werthe tou x, y, z, , und dessen Nenner die
Sanae aller der ähnlichen Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen
^ytleme von x, y, z, ist, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass
sende ein bestimmtes System der x, y, z, .... das rechte sei, ist:
158
£w*qW\w'"q e-(Ai«»i»+Aaar««+Aa«W3a+ )
«ro das Zeichen ^ eine ähnliche Bedeutung wie TrOher hat Die- ser Ausdruck ist auch gleich:
fff
=A8ar8y82...e-(*i*«'i«+*>'«^4»+*a'»»*+ ), (10)
worin h hestinunt Ist dusch die Gleichung
Aus der unendlichen Anzahl aller möglichen Hypothesen Ober die wahren Werthe Ton ^t y> 2,.... wir4 nian nun die auszuwäh- len haben, deren Wahrscheinlichkeit ein Maximum Ist; d. h. man wird das System der x^ y, », auswählen» fl|rda4die Grösse:
«in Maximuni», folglich die Grusse
Äi V+Äa*ö!i*+Ä3%*+- •• • = Ä (12)
ein Minimum ist. Hierin liegt der Grund der gebräuchlichen Be- neiMiung der Methode der kleinsten Quadrate.
Man wird also haben miissen:
gF=°' ^=0' v=®' •-- <*^>
d. h.
180
.fi=Jlfi— F=^i— (aiar+6iy + CiX+ ),
5r=~"»' 1^=-*»' "5F=~<^'
Dabtt nrerdeo die Gleichungen (14):
— ^Äj^Cilfa— a^ar— ia^y— c^z— .•...)a2
— Ai*(ilfi — Oio;— ^y— ri« — )6i j ^
Seilt man nun zur Abkürzung: M erUlt maD die Gleichungen : ,
160
[h*a*]x + [A«fl% + [k*ac]z + = [A«j!fal ,
[A«a6Jx + [A«6«]y f [A«6c> +....., = [A«Jrf6] , [A»ac]« + [A«**;]y + [h^*]z + = [h*JUc]. <16)
aus denen nun or» g, z\ .... zu bestimmen sind. Für den beson- deren (allerdings häufigen) Fall, dass Ai:=As=A3=: , werdeo
die Gleichungen (16) zu:
\
[a«]ar+[a6]y + [ac]«+.....=[*a], [a6]^+ [6% + [6c]» + ..... =\Mb], [ac]x + [6c]^ + [c«]» + ..... = [Mc] , (17)
Seien gi^ g^» ffs* Zahlen, so bestimmt, dass
Äi*:Äa*:Aj*: =^ffi'9%'99' "•-"
so werden die Gleichungen X16) zu :
[ga*]x+ [gab]y+[gac]z+ :=. [Mag],
\jgab]x + [gb^]y + [gbc]z'{' =[Mbg]s
lgM]x + [gbc]g+ [gc^jz + ..... = [Mcg] , (15*)
Sind^i, ^2t ganze Zahlen, was man immer einrichten kann,
so sieht man, dass. das Gleichungssystem (1^ auf das (]7) zu- rilckkommt, wenn man nur bei der Ableitung des Systems (17) aus den Grundgleichungen (9) jede dieser letztern so viel mal zählt, als die ihr entsprechende Zahl g angiebt. Daher röhrt die Benennung: Gewicht einer Beobachtung, die man den Zah- len g beigelegt hat. Da die Gewichte blosse Verhältnisse sind, so ist es weit bequemer, dieselben statt der Genauigkeitsmasae einzufahren. Ist aligemein r der wahrscheinliche Fenler (§. 5.)» der dem Genauigkeitsmass h entspricht, so Ist:
1 1 1
§. 7. t
Wir haben in {. 6. vorausgesetzt, dass die Gnindgleichnngen (9) die lineare Form haben. Jede andere Form kann aber auf« diese zurückgeßibrt werden. Gesetzt es sei:
l \
161
Ps^tp'ixy jf, z, , a, 6, c ),
P'^y^Car, y, », , «,6, c ),.
ni man babe wieder Ür
a^ai, 6=6i, c=fi, , F'=Mi,
» wIHe man it der dadurch zu erhaltenden Gleichungen aus
(«010 » die Anzahl der Uebekannten a^, y, z, int) und be-
RcbeiiUD daraus Werthe ▼önar; y, », Seien Xq, y^, «o*«-
fae Werthe, dro+^, yo+y'» «o+«S aber die wahrscheinlich-
<ei Werthe der Unbekannte», so werden ar', y', i',... , hu Allge« Meo sehr kleine Grössen sein, deren die erste übersteigende Pflieis riemachläsa^t werden kann« Ist also Fi der Wertb von
Pftr;r=:dfo» !f=yo» »=*o»-; ^t eben so der von PTfir diese Wertke, »o ist:
'■='.+^^+>'£+-'t-+
0 vwo. v*o
hna Tolfft, dass man zur Bestimmung von x*, y'p z', .... die For- ■da des 9. 6. hat , .wenn man dort ändert :
üf, a, b, e, , ar, y, a,
r
k(i%kh in:
„ „ aF 8F- ap . , .
"~*^' s^' Wo' ^' """ ' *' *• "•""
«odast man bat:
(21)
r ap SFT^ ^r aF SF-i ,^r sf aF-i ,.
r ap aFn _, . r aF apn ,1 aF aF t . L'2^ ^J"" + bä^ a^J» + b 15-0 S7 I* +
dF
= b^-^^^wJi'
I«3
r 8F 8F-1 f aFöF-l ,^rJVdF~i ■
* • ' t
worin
Fi=9'(^o» yo» «0, ,v, <*»> *i» <^i )»
*^«==9''W)^ yo» 2o,..^., <^« 6li, Ci, .,...) U. S. W, •
i»it und wo ganz wohl q/rsztp",.^^^ sein kann.
Sind noch Bedingongsgleicbungen vorbanden, so ist die Be- handlung wie bekannt.
■ i$. 8.' 'V ^ ,
Angenommen man habe für ^le Gnussien N, ff'f ••*.. Jie wahr- scbeinlicbsten Werthe n» n^....> gatiz unabbängig von ein- ander gefunden» und seien r, r*,,,. die wahrscbeinlicben Fehler dieser wahrscheinlichsten Werthe. Sei nun:
1) Vz=zaN, a eine Konstaute« und man .sucne den wahr* scbeinlicbsten Wertb von V, so wie dessen wahrscbeinlicben Fehler. Sei h so beschaffen , dass hr=s^ (L 5.) und sei iti der wahre Wertb von N, so ist die Wahrscheinlichkeit eines Fenlers iV— n|=o, indem man N einen wülkObrlicben Wertb beileft: too«"**"* (§• 3.). Also wird , nach dem in §. 6. aufgeführten Gruad- satz der Wahrscbeiidicbkeitsrecbnung» - die Wahrscheinlichkeit dieser Annahme für N sein:
<
/v.
■**»• BN
—OD
= A-r-**•'«a^', it /* * e-^^^BNi=z l .
Diese Wahrscheinlichkeit muss ein Maximutb sein, wenn man N seinen wahrscheinlichsten Wertb n beilegt, d. b. man muss haben o=:iV— n (also fiic % den Wertb n wählen), so dass die Wahr* scbeinlichkeit, dass ein gewisser Wertb N der rechte sei, ist A:e-**(^-")» 82V. Was k anbelangt, so findet sich:
— 3B
e-*'(^-«)*aiV=-^, also A=y:^A',
163
«■4 MniC die Wahrtfcfaeinlklikeit, dfts». derbesümmie Werth N der rechte a^i
V
Noa Ut V=iaN, iV=— : also ist diese Wabrscheinüclilceit:
a\ n
v« sogleich auch die Wabrscheinlicfikeit ist, dass ein bestifmn* ter \jVerth V der wahre Wertb dieser Grösse sei. Diese Wahr- sdienilicbkeit ist eio MaximHin fQr Y^tm, , also ist der wahr* •ckeiolichste Werth yod V gleich cm.
Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers v bt
i4i ino leicht nach $. 3. findet. Daher Ist (f. 5.) der w^br- idMolicbe Fehler ri bestimmt durch r| - = ^ 5 d. h. man hat
h^tcTf so dalss.der wahrscheinliche Fehler von F ist or, wenn a der wahrscheinlichste Wierth ton F ist
9) Sei nun V^^N-^- N', und man sucht eben so den wahr- •cheUicbsten Werth von F mit dem wahrscheinlichen Fehler «fieser Bestimmung.
Seien A^ A' bestimmt durch die Gleichungen rh=Q, r'h* = Q, 90 Ist, wie oben, die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Werth S der wahre Werth dieser Gr^se sei :
eWn so, dass N' der wahre Werth dieser zweiten Grösse sei:
V n
Die Wafcrscfaeinlicbkeit also, dass diese ^wei Werthe zugleich die wahren seien.« ist
AA'
4
184
Da iV'=:F-^iV^, «o kann man also auch sagen, die Widnschein* üchkeit, dass iV und V — N die wahren VVerthe seien, sei
Diese Grosse druckt also auch die Wahrscheinlichkeit aus, dass zwei bestimmte Werthe N und V die wahren Werthe dieser Grossen zu gleicher Zeit seien.
Um die Wahrscheinlichkeit zu haben, dass der (bestimmte, aber willktShrlich angenommene) Werth V der wahre sei , «ras auch immer iVsei, muss man die Summe der Werthe ohiget Grösse nehmen , indem ' man N Me Werthe von -^ oo bis -|* oo beilegt. Diese Summe ist
-«
nnd diese Grosse drSckt also die Wahrscheinlichkeit ans, dass der bestimmte Werth V der wahre Werth sei« was auch if sei, d. h. also unabhängig von N. Nun ist aber :
also wird obige Grosse zu:
— aiV'c **+*'* / e Ti^W^ ^9N -
n J
—OD
Vn'^h^^h!^
=e"'*H^ ^2^^
Diese Wahrscheinlichkeit ist ein Maximum ftir V'^^n 4- n* und somit ist der wahrscheinlichste Werth von F gleich n -f n'.
Sei h^ das Mass der Genauigkeit dieses Werthes, so wird man wie in Nro. l. finden » dass die Wahrscheinlichkeit fiir einen beliebigen Werth von F ist / , ,
sin
16$
Nun haben wir aber gefimdeii, dass diese Wahrscheinlichkeit ist
hh! '- -*L*;*(fi-ii-.M-)» ^^
also bat man
hh
Äo =
SThHh*^
Wenn 7ü der wahrscheinliche Fehler von Vzun + n' ist, so ist fjit-(fs also
3) Sei
votond ß Koni»tanten sind. Der wahrscheinlichste Werth von ft^iit Oft (Nro. 1.), von ßN'ißn'; die wahrscheinlichen Fehler ni oT und fir*. Also ist (Nro, 2.) der wahrscheinlichste Werth v« F: on-f-j^'^S mit dem wahrscheinlichen Fehler
4) Sei
M^aN+ßN'+rN'\
Ke wahrscheinlichsten Werthe von «iV, /9iV', yiV'' sind : an , /Jn', 7»* ^ro. 1.), mit den wahrscheinlichen Fehlern ar,' ßr^^ yr'\ Also ist der wahrscheinlichste Werth von aN+ßN'i cm 4* j^' mit ^ wahrscheinlichen Fehler
Vah^ + ßh''^ (Nro. 3.), ^ aach der wahrscheinlichste Werth von
r==(aN+ßN')-{-yN'' gleich an+ßn* + yfi" rt dem wahrscheinlichen Fehler
5) Ffihrt man so fort, so sieht man, dass der wahrschein- Sehite Werth von
V = aN+ ßJS' + yiV" + dN'" +
166
mit dem wabrscbeinlichen Fehler
Wir haben hier F als lineare Fanktion von N, N%...^ ange- nommeil. Im allgemeinen Falle, da also
V=f(N, iV', IV", ),
nltd man Immer '
N=n + JN, J!V'=n'+z/iV', iV"=n"+ z/iV",
annehmen können , und ^abei voraussetzen dürfen , duss JN, dN', .... sehr' klein sind, ist nun
so ist dann:
' 1 1 '
Die wahrscheinlichsten Wertbe Fon JN,JN', sind offenbar
Null, also ist der wahrscheinlichste Werth von V gleich Vi mit dem wahrscheinlichen Fehler
§. ö.
Die bisher bewiesenen Lehrsätze liefern uns pun die. Mittel» die wahrscheinlichen Fehler der durch die Gleichungen des $. 6.
bestimmten Grossen or, ff, z, anzugeben. Seien, ri, r«»*-
die wahrscheinlichen Fehler der Grössen Mi, JUa, , die durch
die Beobachtung unmittelbar gegeben sind, und nehmen. wk fts» dass die Auflösung der Gleichungen (18) oder (lö) des §. 6. ge- geben habe:
»y= A^i +/?a«i+/»8».+ (22)
167
sokt maa» nach dem allgemeinen- Lehrsätze ie» §.8.^ als nrahr^ tckeinlicbeo Fehler von , .
_ f
xiVJp^h von ifiVXß^f von x:V*ß^«J u. «. w.,
wo das Zeichen [a^^J eine Bed^utiiug hat, die in g. 6. erklärt Torde. Wenn man die Gewichte statt der wahrscheinlichen Feh- ler einfahren wollte, »o hätte man nach $. 6.:
' 9i 9t 9%
■d wenn R und (« der wahrscheinliche Fehler und das Gewicht
»«xist:
I J J ^ rt m -j. m
■ kwtoD», also, da ß=V"['«??«]:
&=
I
i
[fj
^^^^ 9
, ' <
^ DitSrIich die Grossen g und G auf dieselhe Einheit des Ge *idites bezogen sind. Eben so ist , in Bezug auf diieselbe Ein- Wt das Gewicht von
11
Gesetst n;iii habe eioel Jineare Funktion
Q=:qoX + qiy + q^z +
<I^6r88sen ar, y, i, , so ist also nach (22):
Q— (?o«i + q\ß\ + q^yi + )^i
+ (^otta + ?ift +9«)^ + )^h
+ ,
j|ko Mch dem allgemeinevi Theorem des gt. 8* der wahrseheiB* •w Fehler von Ö :
•♦ • <
168
yfi
(yo«i +gißi -f 9^1 + )*''i*+ (?o«2+^i/yft+ qtYt + -— )• Vi
/
Wenn alle Beobachtungen» durch die Mi, M^y erhalten
worden sind, von gleicher Genauigkeit wären» so wären dieGros- sen Tif r^,.»: alle gleich» und wenn also r der wahrscheinliche Fehler dieser Beobachtungsniethode wäre» so hätte man (ät die wahrscheinlichen Fehler von x, y, z,.... :
rVT^], rVWh rVWly .... und der wahrscheinliche Fehler von Q wäre:
r VI 9«* M + 2yo9i M + 2yo<ya [«y] +
*••••
Wir wollen nun ein paar besondere Fälle untersuchen.
1) Sei (§.6)
F=:x,
d. h. sei eine Gr5sse a: unmittelbar durch Beobachtung zu bestim men. Man hat also (§. 6.) alle a = l» 6=c= ••=0» also [gä^ = [^] und folglich
wenn nt die Anzahl der Beobachtungen ist. Das Gewicht von \
JL' I
1 1
ist, da^ «r=-2_i
CiL! j?t o..^!. I Sf*
^9i +^a+'—5^«
so Beobachtungen gleich gut, so kann man eine Einheit des Gewichts in Rechnung bringen, also
und hat dann
«
169
I X —
m
nit dem Gewicht m, oder dem wabracheinlichen Fehler \ — .
Vifi
Diess ist die bekannte Regel des arithmetischenMitte 1 s. B«i m gleich senaaen Beobachtungen derselben GrSsse Ist also dis arithmetische Mittel der wahrscheinlichste Werth dieser Grosse. Milch bähen wir hierin eine weitere Bestätigung des In §. 6. MqteAhrteny dass ein Gewicht m, das einer Beobachtung (Be- Awinig) zugelegt wird» bedeutet , die Beobachtung sei gleich tBeobftchtan^en zu rechnen, denen das Gewicht 1 beigelegt wird. B« wahrscheinliche Fehler Ist aber nicht der mte Theil des wahr-
•cynTichen Fdilers jeder Beobachtung, sondern nur der Vmte TML
i) Sei Mtft, wie so eben:
^»•d
iif]
■it dem wahrscheinlichen Fehler:
f^aV ■*'"[^*P + -▼ Ufa«]«
Ffr^i=^=.^. ist r|=r2^..=r, also der wahrscheinliche Feh w fem :r:
3) Sei
F=.ax\hy^ ^ ergiebt sieb :
X
_[^i[^gg]-Hff
\Mhfi\
r««/y]r^6g]-[aM[itfa.9]
*~T«^^n^
loM
170
P»-[tfV)[6*9]-'[«Äi^J[«&yl' • •'
u. s. w.
Wir wollen eine Bemerkung über eine praktische Frage bei- fiigen, da sie sich leicht durch das Gegebene losen lässt. Ange- nommen man messe zwei Linien L und / mittelst desselben Haas- ses k und habe bei jeder Niederlegung der Messstange l einen
wahrscheinlichen Fehler r zu (urchteD. Sei iii = y> so ist also
L=X + A + JL -f .. .. (m mal) , also nach §. 8. der wahrscheinliche Fehler von L:
Vm.= r^f.
eben so der wahrscheinliche Fehler von /: r\ j- , Nehmen wir nun an, man habe bloss l{l'^L) gemessen, mit dem wahrschein- lichen Fehler rV T"' ^^^ ^^^ habe (etwa rermittelst eines geo- dätischen Dreiecks) L berechnet» und gefunden L^pl, so wird jetzt der wahrscheinliche Fehler von L sein (§. 8. Nro. 1.)^
pT\ j, während er im ersten Fall nur
•V"f='Vr^?
war. Misst man also / nur einmal, so ist der wahrscheinliche Fehler dieser Messung rV r-, und also der jeder andern Linie,
171
die aus der ersten geschtoseen uBd pmal 90 gross gefuDden wird^
gleich pry ^. Gesetzt nun» man habe / pmal gemessen und ass den Ergebnissen das arithmetische Mittel genommen, so ist
der wahrscheinliche Fehler dieses Mittels r V -r- » also der gros*
sere Linie L:
p'\fi,='V?-'^-
Daraus ergebt sieb, dftss, wenn man aus einer ^messenen Basis eises Dreiecksnetzes / eine' 79 mal so grosse Seite schliessen will nit derseiben fSenanigheit» als bStte man sie einmal gemessen, iin die Basis pmal messen muss.
§. 10.
Man kann die wahrscheinlichen Fehler der Unbekannten ^, ft;,. — einfacher bestimmen, als diess so eben geschehen ist, *ii in folgender Weise erhellen fvird.
Gesetzt man habe aus den Gleichungen (IS) z. B. gefunden:
_ E [Mag] + fimg] + C[Mcff] ^- .... '- E[acg] + F[6cf] + G[c^ff]+ .... '
«roris Ef Ff G,.«... weder M noch c enthalten. Die Form, die |leo Werthe von z gegeben wurde, ist keineswegs willkährlich, fdtm man weiss, dass, wenn P d«r allen Wartben derUebekann- Im Xf y, z... gemeinschaftlidie Nenner ist, man den Zähler von z erlttlten wird, wenn man überall c mit M vertauscht, und Pkein If enthält (Supplemente zu KIfleels Wurt^buch, zweite Akthlg. S. 53. ff.). ^
WS^-^fatca, se wftM in (18) «ffenhar zsaO« d. h. WHtfk hat
eben so : ^^^^j ^ ^^^^^^ ^ ^^^^^^ + ^. ;^0 !( (23)
E[adg] + F[bdff] + G[cdffi + .... =0.)
bt also P der 'Nenner in dem WerAe von z, so ist der von:
12*
172
V w c Ml gleich jp^i^i +-pbigi+-peigi + ,
also nach §. 0. der wahrscheioliche Fehler von z:
pV {(Eaigi + Fb^yi + Gcigi + )^i^
+ (Ea^^ + Fb^^ + Gctg^^:.S)W + I
= p V f;{£[a«ra^«] + F[a6.7«r*]+ G[acy«r«] + 1
+ F{ £[a6^V] + F[6^V«] + G[6cyV«] + — 1 + G\ E[acgh*^ + F[6c^r«] + C[cV^1 + •••• I
Nun ist» wenn r der wahrscheinliche Fehler einer Beobaehtoog Toni Gewichte 1 ist:
also
demnach obige GrSsse:
T ^
P<E\E[ga*\^flgab] + G|>oc] +....}
• • • • •
d. h. wenn man die Gleichungen (23) beachtet, gteicb rV ^ . Man folgert daraus leicht, dass, wenn man aus (18) sieht:
x=:A'[Mag\-VA"[Mbg\^jr[Mcg\-^^.,
j,=B'[aiaff] + ß"[9lbg]+B^Mcg]-t- (24)
: = C[JUaai\ + OXMbg] + C[Mcg] +
173
mA wenn r dieselbe Bedeutong hat, wieso eben, die wabrscbeifi- licbtn Fehler von or, y. 2,,.,. sind:
rVj"'. vVB'. rVC^, ^ m
WSren alle Beobachtungen gleich genau, si ktinnte man alle ^^=1 scteea and r wäre dann der wahrscheinliche FeUer einer solchen Beobachtung.
Will man die Gewichte von x, y, z,.... kennen, so seien die* lettea Gi, Cr«,^.; also:
iWi so
ikfie Gewichte ron j;, jr> z sind
1 _L JL
A" B" C"
• • •
(26)
I» ganz iholicbvr Weise Icann man den wahracheiolicben Feb- IfetiBer Uoearen Funktion Q derGrSssen x,ji, x,... bestimmen. In bat (*23) (Sr das Quadrat dieses wabrscbeinlicben Feblers «Uleo:
»0 1 9o [«^] + 9i[«ß'*] + ?«[«)»•) + I
+ 9i\qJi<*ß^] + 911^*^«] +9,[/Jyr»] + }
•
••
Uen also A', •^.. B*, u. p, w. dieselbe Bedeutung wie so
<kt, so ist, wie diess aus §. 9. unmittelbar sich ergiebt:
^ns r obige Bedeutung hat Um die Summen [a/Sr*], [«r^*] > • • verhalten, bemerke man, dass:
«1 = A^aiffi + A'^biffi + A'^cigi + >
ß^^Boigi + Ä*6iyi+fi*^Cii9^ + r
4»
174
[aßt*] =t (A'iH+A''bi+A''ei +....){ Ä'«x+Ä**i^-«*Pi+ ..'ht*^!*
+
+ ^"1 »t«*^] + B'[^9*r^] + Ä*[*fiy«r»] + .... I + A''{ß'[acff*r^]+ B''[bcg^r^]+ß'^c^g*r*]-t- .... 1
= r^A'\B'[a^]+B"[abg]+ß''[acg] + |
+ r^A" I Bläbg] + ß'ib^g] + ß^ibcf] + |
+ f^A" t ^-[«0^,] + Ä''[6cflr] + B"'[c^g]+ .... |
wenn maD beachtet , dass nach (23) :
B'la"^] +ß'^abg]+B"'iacg] + =0,
ß'[abg]+Bf[b*g] + ß"[hcg] + = 1 ,
B'iacg] + ß"[bcg] + B"'[e^g] + =^ü.. . .
Man hätte offenbat den Adsdruck für [t^r*} aacb so ordoeo können:
i^ß< I Ala*jfl+ A'[abf]+A?"[9eif] + ,.,. |
+ r*B" I Alabg] + A''[b^g] ^-A'-'lbcg] + .... 1
+ r^B»i A-[acg] + A"[bcg]+A"'[€*if\-h.l |
=r«»'.
da
1 >
A'[a*g] + Ä;'iabg] + 4'"[acg] + ....=1 ,
A'[abg]-t-A''lb^HA"'[f'VH- =0. ^'[«cy] +A''[bcal] + i<"'[c^) + ....=0,
Demnach ist
175
Gaas eben m:
I
*
l«di*]=r»A"~taD', „ A'f=D;
P
[/Jyr«]=:r»ß'"=i:r«C", „ . Ä"'=C"i also cndJich für das Quadrat des wahrscheinlichen Fehlers von
4
\li^qX} f 7iC"+9ie" + )
* *
• . ''
Mao kann diess auch noch in folgender Weise aussprechen:
Denken wir uns an die Stelle von \Mag\t \Mhg\y [iff^l , ....
n den Gleichungen (18) gesetzt q^^ q^y ^2' und man ii^be
aifdann Xj , jyi, Zi , lör x^ y> :?,.... gefunden, so ist:
x^^A^q^\A''q^\A'q^\ ,
yi = Bq^ + B"q^ + Ä-ya + • • .
H = Cq. + C'iy, + C">2+ , •
also ist der wahrscheinliche Fehler von Q :
»'V'?9^i+?i^i + 9a-i + (28)
Ist G das Gewicht von Q, so ist
C= T T V- • (29)
In allen unseren Formeln ist nun noch ein Element, r, das noch oibestimmt ist'^ es ist diess der wahrscheinliche Fehler für eine Beobachtung vom Gewichte I. NatufHch atiefat die Unftestimmf* kcH dieses Elements auch die der wahrscheinlichen Fehler von '* f > Zy-**- mit sich. Die Gewichte Oi» ^i,.. kennen als bekannt asgenommen werden. Wäre s. B. Mx bestimmt durch ifi| gleich
176
gute Beobachtuogen » M^ durch ntt solcher Beobacbtungen u. s. w.,
80 wäre ^|=mi» ^^snt^y (§. 9.)» Uebrif^ens Ist es In der
Regel immer mlsslich, eine Schätzung des Gewichts vocziuieh- men, so dass es vorzuziehen ist, Beobachtungen von gleicher Genauigkeit (also vom Gewichte 1) anzuwenden, so oft die Diu- stände diess erlauben. Eine Schätzung des Gewichts einzelner Beobachtungen gegen einander ist schon darum misslich, weil man sich gar zu gern dem Vorurtheile hingiebt, Beobachtungen als minder genau zu betrachten, deren Ergebniss bedeutend ab- weicht Ton den Gbrigen. Auch ist es bei geodätischen Beobach- tungen z. B. fast unmöglich, den Einfluss der Witterung, Ennu- düng u. s. w. in Rechnung zu bringen.
Der Wertb r ist, wie man aus dem Obigen ersieht, nicht nuthig, wenn man sich bloss damit begnügen will, die Gewichte der gefundenen Grossen zu kennen (immer ^i , ^t » -*•* ^^ bekannt angenommen). Will man aber die wahrscheinlichen Fehler kenDCo, deren Kenntniss noth wendig ist, um ein Urtheil f&llen zu komiea Ober die Genauigkeit der erhaltenen Resultate, so muss r be- stimmt werden. Uiessgeschieht nun aus den gegebenen Beobadi- tungen in folgender Weise.
j. 11.
Seien wieder Ai, k^,...* die Genauigkeitsmaasse ($. 4.), die zu den Beobachtungen geboren , deren Geivichte y^ , g^f .... sind ; A das Genauigkeitsmaass (ür eine Beobachtung vom Gewicht l, so ist (§. 6. und §. 5.) :
Unter der Annahme, dass h einen bestimmten Werth habe, war die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Bestehens der Fehler ^1» e»,..... ($. 6.): ^
also ist die Wahrscheinlichkeit, dass A der uahre Werth dieser Grösse sei, nach dem bereits mehrfach angeführten Grundsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung :
^'^ /* m
-06
wenn k' j P8A=1, Nun ist (§.3.)s
-OD
177
V » y n y n
• *
tO 9 CS ■ p". C»! , tlTu = "Tr— vT«» M> u -^^ ./ — OV^ ....
V JT > V» y Tt
teaes ergiebt sich leicht, das8 die Wahrscheinlichkeit, dass der atenomiaene Werth von A der wahre Werth dieser Grosse sei, kt:
«iH i| bestimmt ist aus der Gleichung
Mm wird also nur denjenigen Werth von A wählen müssen» fOr ^ tb^e Grosse ein Maximam ist. Differenzirt man nach h , so «liebt aicb:
(„,*— i-2A«+Hi^«])e-*«(r^»)=0, lfl=^^, (30)
die Anzahl der Beobachtungen (vielmehr der Grundglei- (9)) bedeutet
Mao pflegt die GrOsse V ^ den mittleren Fehler der
Betbachtung vom Gewichte I zu nennen; bezeichnen wir ihn mit MO Ut
r=«ffV2=(W744897.«. (31)
Wireo die Beobachtnngen von gleicher Genauigkeit, 80 wire A = ag=:..~:=l, und r der wahrscheinliche Fehler einer derBe- «weatiingen. In diesem Falle Ist:
» = \ 13!, A«=.j^, r=0-674484»7.«.
(32)
178
§. 12.
Der Werth von A, den wir so eben gefanden,, ist nur der wahrscheinlichste; ob er der wahre ist, können wir nirht entschei- den. Die Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Werth h war
Sei nun A| die darch die Formeln (^1) bestimmte Grosse» nimlich Ax = — ~; hi+Jh ein Werth von A, so wird mithin die Wahr- scheinlichkeit, dass A|-f '^A der wahre Werth von A sei^ wean Jh willkuhrlich, aber bestimmt i^, sein:
iy(Ai +^A)'"e-(*i+-'A*)(*«'*) .
Die Griisse dh wird man immer sehr Idein annehmen dOrfeo, d^ der wahre Werth von A nicht viel verschieden sein kami von A| ;
ferner ist [^*] = öT;a» *'^® *®* obige Grosse:
Was i; anbelangt, so ist.diease Grosse:
. , d(Jh) d(Jh)
/ Äi^c ^.u ^C*S(^A) A|~c ^^^^^
also die Wahrscheinlichkeit, dass ^A. die wahre Verbessemng von A| ist: , ,
A,V«
Der Ausdruck (33) hat dieselbe Gestalt, wie (4) in §.3.; niiA Jh druckt auch den Fehler aus, den man begeht, wenn man ^
für den wahren Werth von A nimmt. An der Stelle von A io (^)
I — —
ist in (33) :V t-^; woraus nun wie in §.4. folgt, dass der wahr- scheinlichste Werth von ^h Null ist, und der wahrscheinliche
179
Fehler dieser Bestimmung r Ä= ^ — . Man kaim also 1 gegen 1 wetten, dass der Wahre Wertli von h zii^isehen
\ m \ V /M /
4
enthalten ist. Ist also r| der Wertb von r, bestimmt durch die Formeln (31), «o sind dte Gränzen ron r'-
/.^ 9 \ /'.^0-4769360\
ond
V m
< \
^enn man die b»Ii€tn Potenzen von --^ vernacbläs^igt,
V TU
. «. . - i ,' ' §. 13.,
Um den mittlem Fehler c (§« 11.) xa l^timiMD, ikiilssen wir die wahren Werthe der Fehler Vi, v^, .... kennen, u. h. die wahren Werthe der Grossen x, y, z,.... Diese aber kennen wir vielleicht nicht , indem wir ja bloss die wahrscheinlichsten Werthe <ierselben gefunden haben. Wohl sind wir der Ueberzeugung» dass diese wahrEKsheinfichen Werthe von den wahren sehr wenig abweichen 5 aber eerade diese etwaige Abweichung zu bestimmen, fehlen uns die Mittel. Wir werden uns also abermals daraof be- schrfioken müssen, die wahrscheinlichsten Werthe dieser Abwei- dmogen su ontfrsucheiL
Seien also Jx, Jp^Jt,,*,, 4ie Verbesserungen, die den Werthen von x^ y^ z,....> wie sie aus den Gleichungen des §. 6. ^olgeuj und, die \}ir ^it x^, ^q, »o» bezeichnen wollen, zuzu- sehen sind. Alisdann ist
t» = (^o+'^«a:)a + (yo+-^*)*+0o+-^2)^ + — *>
aas welcher Formel die Werthe von ri , r.2, erhalten werden,
^eon man den a, 6, c,...., M die Zeiger 1, 2, beisetzt.
Demnach ist; . .
+ 25Krf^o+%"+<?-o +•... — iW) (a^x + b/ly + cJ^ + .. ..)
+ giadx-^Jy+cJt + ....)* .
180
Nun ist:
+ ^yi^ol^g] +gv[b*g] + ^o[bcg] + ....)
+ J%(x^[acg] +gv[bcg] + *o[c^g] + ....)
: =0,
wenn man beachtet, dass Xo, go, *q,..*> aus den Gletchnngeo (18] bestimmt sind. Demnach ist
[^*] = [^«*J + [9(aJx+bJg-^cJ% + ..•.)«], (34)
worin
[gpo^] = [giaxo + ^o + c»o + ... — Mf] .
Der zweite Theil der zweiten Seite der Gleichung (34), den wir durch Sl bezeichnen wollen, kann in eine Summe zerlegt werden, die quadratische Theile enthält Man habe a. B. nur die vier Korrektionen /Ix, Jg, d». Au, so ist
Sti=z{Axf\_a^g\ + "lAxAglabg^ + Af\f^g'\ + 2JxJ%[acg] •i-2AgJz[bcg]^J*^c^g] + '2JxAu[adg]+2JgJu[bdg] + 2J%A9^cdg] + Au^tPg] .
Setzen wir nun:
T
Ax[a*g\ + Ag[abg] + Azlacg] |- Ju[adg} = ip^ ,
so ist
V_.
worin A^ , Ä^,.,A^ nicht von Ax,.,.Au abh&ogen. Sei eben so:
AiAg-\rA^Az + A^Au^=>fp^, so ist
iiir
*
lad weno
181
Mao steht leicht , dass allgemein , welches auch die Anzahl der blasen jdxt ^^» Jz,.». sei, man setzen kann:
Ä=X:i9)iHAwaH^i<Ps* +
vdo ^9 ^f" lineare Funktionen von Jx, dy^ J%.» sind, und im fpi von allen , g>^ von allen ausser der ersten » 9^ von allen ■Ncr den zwei ersten u. s. w. Da Sl immer positiv ist, was
mAJx, ^y, J%^ seien, und diese Umformung einerein
tehcbe ist, so überzeugt man sich leicht, dass ki» i^s,.^«. po- dpi Grössen sein müssen.
Is bandelt sich also um den wahrscheinlichsten Werth der Amm A, den man erhalten wird, wenn man fiSr 91*, a)^*,
ihre wahrscheinlichsten Werthe setzt Um diese ^eloist
rza finden, bedürfen wir noch einer weiteren Untersuchung.
§.14.
Angenommen, die Wahrscheinlichkeit, dass ein willköhriicher,
ikcr iMtInmter Werth von x der wahre Werth dieser Gr5sse ist, k
m\ -jr=:.e~<^'*&r, worin dx die unendlich kleine (konstante) Zu-
üble von x ist. Suchen wir nun die wahrscheinlichsten Werthe ^ s und x^. Zuerst sieht man, dass zwei Werthe von Xf die ^ckh, aber von verschiedenen Zeichen sind, gleich wahrschein- U find. Daraus folgt ferner, wie in $. 5., dass von m Wer- ft« von X ihrer
2m
0
k k
twitehen —7 und 4-r enthalten sein werden; eben so, dass es
^
^
k K
lAea werde, deren absoluter Werth zwischen -, und j- liegt
i8i
Man irird also folgende Uebersicht baden können, die am so richtiger sein wird^ je grosser m ist (ivenn a unendlich klein):
Zahl der Werthe von a:, deren absoluter Zahlenwerth zwischen 0 und j:
2m /•« . ^. 2m
Zahl der Werthe von j^, deren absoluter Zahlenwerth zTr?scb«n
h ""^ r '
2m /»^« „., ^ 2m .
I. \
Zahl der Werthe von .r, deren absoluter ^ahlenniarth ktilseheii
2a , 3a
r und 7-: hu
2m /*3« ,,^, 2m ^,.
2a
Was die Summe der Werthe jeder einzelnen dieser Abthei- hingen aubdangt» so ist sie offenbar Nvll, da.gl^ei^.viel und gleich grosse positive und negative Werthe darin smd. also ist die 8umme aller m Werthe von x auch Null, folglich auch ihr arithmetisches Mittel , d> h. der wabrscbeinlkhste Werth Ton x (§. 9.) ist Null.
Nicht 80 verhSit es sich mit :r*, da dieses immer |iositiv ist. Man hat nun wieder dieselben Abtheilungen , wie so twti ; in der
ersten Abtheilung ist x^ immer 0, in der zweiten p^iniderdrit-
ten -^2 i m der vierten .^ ,,.. u. s. w. bis oe in der letzten. Also bat man:
AnzshI der Werthe von a!^ zwischen 0 und «^:
2m
-7=u-o«ft, Summe derselben: 0;
V ^
183
Aazabl der Werthe von x^ zwischen p und —i^ •
-7=ic-^*a, Summe derselben: -7=1 x ) er^ a\
. t.
Anzahl der Werthe von a:* zwischen ".^ ond ^-r^ •
-~e-(*«)*a^ Summe derselben: Tp='(j) 6^(*«)'a;
(3a)* (4a)*
Anahl der Werthe von a:* zwischen — r^" und --#2 '
-7=16— (3«)'a, Summe derselben: -7=1 -r I c^^^«)««-
Ihraas folet für die Gesammtsnmme aller Werthe von a:^, wenn ■VI dieselbe gleich durch m dividirt, also das arithmetische Mttel nimmt:
^ [0.e-0*+(la)«^-««+(2a)*6-(*«)»+(3a)«6-(3«)* + ....]
o
2 P»
Ixer-^^dx = — ^ e-'*.
äbo
ßx^e-"*dx= 2 ße-'^dx^jV^; o 0 .
also ist endlich der wahrscheinlichste Werth von ;r*:
aVff i_
184
»
§. 15.
Wir haben in $. 0. gesehen , dass die Wahrscheinlicbkeit des gleichzeitigen Bestehens der Fehler tf , t%,.... (§. 11.) ist
worin c eine Konstante ist. Diese Fehler entsprechen denWerthen
Daraus folgt , dass die Wahrscheinlichkeit, die Werthe dx, dt/f J%f... seien die wahren Verbesserungen von Xq, y^» ^o»*«*^ *^^*
iJT^Z e-^*^^)!bJxdJydJz..
—OD
k rrr l^e'-^*^dJxdJyddx\....:= I .
—OD
f
Führt man fflr Si den in $; 13. gegebenen Werth ein, so hat man das vielfache Integral zuerst umzuformen iiir die neuen Ver- änderlichen q>i, 9>2> 9s > Da diese letzteren durch lineare
Funktionen von Jx^ Jy, z/z,.... gegeben sind, so wird
d dxid /fyd dz .... = cB(pid<p^dip^ •• ,
wo c eine Konstante ist. Daraue folgt , dass die fragliche Wahr- scheinlichkeit ist:
(36)
irr
f(*i9.»+*ty«*i*.fP.«+...)3^3y^8^ ..
wo W bestimmt ist durch
^^^^^ t?e-*'(*i9.«+^9.«+* f..+ "Oa^agj^a^ ..,. =i. (36)
185
Die Grösse (35) drückt also die Wahrscheinlichkeit au«, dasa willkfihrlich gewählte, aber bestimmte Werthe von tpi, f^^fPa* ••*• die wahren Werthe dieser Grossen seien. Will man die Wahr- MbeiaKchkeit haben ^ dass der bestimmte Werth <pi der wahre Wirth dieser Grosse sei, was auch <Pa, ^a»..** seien, so muss man (35) tntegriren nach ^, 9)9... zwischen den Gränzen —od und -Fqd. Also ist diese Wahrscheinlichkeit:
-OD
\iki^ man aber in der Gleichung (36) zuerst nach q>%, ^g» ••- •tfigiebt sich
r
J h\nr
—80
aW
«Im ist endlich die Wahrscheinlichkeit von ^^ :
, 1
mi mithin (§• 14.) der wahrscheinlichste Werth von tpi^ : q>^, « Ekco so erhält mau für die wahrscheinlichsten Werthe von t^^*.
»1»
, .«.•
*ko endlich deu wahrscheinlichsten Werth von St:
J. u_L . J_+ -JL 24» *'2A«+ at?"*" ••~2A«'
^eiB 11 die Anzahl der Grossen x, y, z, Ist. Nun Ist
TM Wfll. 13
186
also hat man:
wodurch oun endlich definitiv der Werth des mittlem Fehlers bestimmt ist. [ffVo^] hat hier die in $. 13. festgestellte Bedeatuo^, m ist die Anzahl der Grundgleichunffen (9) in §. 6., und n Ist die Anzahl der durch die ForroeTa des f. IS. zu besthiunenden Gros- sen a:„ y, z, , insofern als diese Grossen wirklich von einan- der unabhängig sind, so dass, wenn z. B. zwischenden n Unbekannten ^f y» 2,.... noch r Bedbigungsgleichüngen beständen, abo in Wahrseit nur n — r Unbekannte vorbanden wären, anch n~r an die Stelle von n in (37) träte.
Seien tOi, w^, to^,...., Wm die wahren Werthe unbekannter Grössen; Ci, e^, «t»*-*^>n Ihre durch Beobachtungen gegebenen Werthe mit den Gewichten ^i,«r^,.....^, betogen auf eine be- stimmte Einheit. Angenommen ferner, die Grössen tOi,Ws »••••<«" mfissen den Bedingungsgleichungcn
Fi(u>i,tD^, )=0,^
F,(fc,.f«,,.....)=0,t (38)
genügen, die zur Abkflrzang mit Fi, f^,.... bezeichnet werden mögen. Es ist keineswegs erforderlich und wird im Allgeroeineo an<m nicht der Fall setn , däss von den Gleichungen (38) jede Mt Grössen to enthalte. S.etzen wir endlich ncfch voraus , dass die Differenzen tr— e sehr klein seien, was man wohl immer anoeh- men dörfen wird, da wir annehmen, die Beobachtungen seien so genau als möglich, und sollen nun so- ausgeglichen werden, dass die Bedingungsgleichungen (38) erfüllt sind.
Sei nun
80 müssen diese Werthe den Gleichungen (38) genfigen. Beseichnen wir nun die Grössen:
187
Ht w^t durch »i, «i, o^, ;
für io=e ditrch n«» 61» A99....;
so tfhSÜ man aus (38) folgende lineare Gleichungen :
(39)
Da OT], ^r^, x^t....am die Fehler d«r Beobachtungen f&r die Grossen €, d. h. ßir die durch Beobachtung als wahrscheinlichste Wertbe der Grossen w gefundenen Werthe sind , so folgt daraus, dtss (9. 6.) die Summe [jffa:*] ein Minimum sein muss* Man iiat also:
gia:idxi -f-^o^Sar^-f ^3^38^8+ •••-fj^m^mdar» =0. (40)
Bestlnde nun keine Bedingungsgleichung zwischen den GrOssen ^> ^»•••» 80 folgt kieimifB
nie begrelflick Aber die Bediigüngsgleichungen (39) geben :
«
61 3^ + Agär^ + .... + bm^^m =0,
CidXi + 02?^^ +•••. + Cmdxm =0,1
(worin fSglich manche der KoefBzienten Null sein können). Multi- ftliziren wir nun die Gleichungen (4)) mit noch uabestimmten KtefBzienten k^ i'^t.. ., Ar, wo r die Anzahl der Bedinguogs- gloicbungeB (38) ist, und sind ß^, ß^, fi^..,* die Werthe von
dFr dFr dFr f
SO wird man die so multiplizirten Gleichungen^ zu ^40) addiren
mid dann den Koeffizienten von dxi, dx^ oxm Null setzen
Dadurch erhält man
18*
188 ^1^^1 + 01*1+*!*« +....+AAr=o;
(42)
Kennt man die Grossen k, so geben diese Gleichungen die GrS« sen X, Um die A: zu bestimmen, wenden wir die Gleichang« (39) an. Man ziehe nämlich aus (42) die Werthe der Grossen j und setze sie in (39), so erhält man, wenn man zur Abkanao| setzt :
9% ^ 9% ^ 9m \^J 9t 9% 9m L^ J
• I
• I
folgende Gleichungen:
die nun zur Bestimmung der Grossen k gerade hinreichen. Aus (42) folgen dann die Werthf der Grössen x, also endlich die ausgeglichenen Werthe von f^, u^,....
Was die Summe tgx^ anbelangt, so Ist sie sehr leicht zQ bestimmen. Die Gleichungen (42) geben nämlich, wenn man die erste mit .Tj, die zweite mit x^f—» mnitiplizirt, sie addht und die Gleichungen (39) beachtet:
[gx^] = M, Arj +11,*,+ .... + nrkr= [nk] . (44)
(43)
189
§. 17.
•
Es ist klar, dass die uns im Augenblicke beschäftigende Auf"
angesehen werden kann, als hätte man bloss m — r Grclssen
t Beobachtungen zu bestimmen» ireil vermOge der r Giei-
,. n (38) nur m — r Grössen unabhängig bleiben. Darausfolgt
K.), dass der mittlere Fehler c einer Beobachtung vom Ge-
!i£
._y"[^=^s. («,
Der wahrscheinliche Fehler R dieser nämlichen Beobachtung ist ifV?, also der wahrscheinliche Fehler einer Beobaehtung vom
Cewicbte 9'-r7^' (§. 9.).
Gesetzt nun, man solle eine Grösse u aus den Beobachtung m berechnen. Es ist klar , dass man zu derselben auf verschie- icaa Wegen wird gelangen können, je nachdem man eine Verbin- itatder Werthe €| , 62,.... anwendet. Einer dieser Wege wird, iftM Grössen e nicht genau sind, der vortheilhafteste von allen Sei die Verbindung der beobachteten (noch nicht aus- iDcn) Werthe e, welche die vortheilhafteste von allen ist, \i durch
«=*(<?!» <*i >-..)> (46)
wärend eine andere durch
tf=^(ei, e^,....) (47)
bcaridkDet werden mag. Nun sind die wahrscheinlichen Fehler te Grtesen fi, ^t,..., (da ihre Gewichte 1/1, g%,'.. sind) gleich
R R "
_. ist nach S. 8. der wahrscheinliche Fehler von 11 , wenn die VspUadmig (46) angewendet wird :
«fm
(48)
190
Der nahrscheioiicbe Fehler von h\ wenn (47) angewendet wird, ist
4[B
wenn
Nan ist klar, dass, wenn man statt der Grössen e die wahren Werthe to setzen würde, offenbar
g>(wi, w«»...)=^(«'i* toa,....) (50)
sein ttiQsste, da es alsdann offenbar gleith^tig ist, aiifwelcbem Wege ti erhalten wird *- innner muss dasselbe Resultat zum Vorschein kommen. Nicht so ist es freilich, wenn filr die « bloss ihre durch Beobuchtung gefundenen wahrscheinlichsten Werthe e gesetzt werden.
Aus der Gleichung (50) ergiebt sich aber, dass die Difereoz
if(ei, «a,... 0—9(^1» ^2>-) (51)
verschwinden muss, wenn an die Stelle der e die tß treten. Uöber die to seihst steht uns gar keine Entscheidung zu Gebot, wir müssen die e-l-a: (S*10.) statt derselben annehmen, da diese letz- teren Grössen ohnehin auch den ßedingungsgleichungen (38) (resp. (39)) genügen. Die Differenz (51) muss Siso Terschwinden, wenn an die Stelle der e die e-i-x treten. Dtess ist der Fall, wenn diese Differenz die Form
«lFi + C2Fa+v. + «rFr (52)
bat, worin ^,...ar noch unbestimmte Koeffizienten sind, uad io den Grossen F ^tatt der to die e gesetzt sind. Die Werthe der Grössen F sind also sehr klein. Es ist klar, dass es noch un- zählig viele Formen, aussea (52), geben wird, die derselben Be- dingung genfigen. Ist
5^(Fi, F^,....Fr)
eine solche, und bemerkt man, dass die Werthe von Fi y„t Fr sehr klein sind, so wird sich diese Grösse, nach dem Taylor*schen Satze, offenbar unter die lineare Form (52) stellen lassen, da sie ver- schwinden muss, wenn
Fi=0, ..., Fr=0.
Also ist die Form (52) allgemein. Daraus folgt nun, dass die vortheilhai>este Verbindung der Grössen e> um u zu erhalten^ aus der bestimmten (if) erhalten wird unter der Form:
191
Danas folgt, wenn die Grössen a, A, r,.... dieselbe BeteatMC baben wie in §. 16.:
iji= ^ + a^a^ + «a^, + ajC, + ... +^rßt •( (54)
Di aber (53) die vortheilhafteste Verbindung darstellt , so ms der ihr zugehörige wahrscheinliche Fehler (43) ein Minimum
Mii, d. h. Ol, 0,9...» Or siod so beschaiffen« dass 1 — 1 ein Mi* ist Man hat also
ik.
l'sr(w+^^<«+-+,^^<w=o
, «reiM nao (54) beachtet, folgt:
(88)
(?]+[?]•. +K>+-+KI
ar=aO
*ifm nen die « %estimni< werden. Daraus erhvtt niaii die L v«raiittel8tf54^, und dann den wahrscheinlichen Fehler der voirtbeil* wetten Verbindung der GrOssen e vermittelst (48).
Wir habea bereits oben bemerkt, dass
9(fi, ^t,...), "fpiei, ej,...) »ciMmeBfalles nfissen» wenn man statt e setzt e-^-x. Nun ist
192
also I da
=^(^1, ejtv.) — («1«! + Äi«« + CiWa + ... + ßitxr)aFi
— («a«i + *a«2 + ^«8 + •••• + ^a«r)^«
>
wenn man die Gleichungen (39) beachtet. Es folgt diess übrigens auch unmittelbar aus (53), da
H&tte man statt der beobachteten Werthe e die ausgegliche- nen e-t-Xf die wir als die wahren anzunehmen gezwunsen sind, angewendet 9 so wäre es ganz gleichgültig gewesen , welchen Weg man zur Bestimmung von u eingeschlagen hätten Halte man aka den bestimmten (47) gewählt , so wäre
u=<p(ei+Xi, e2 + 0-2,..;)= 9(^1 • €%,...)+lia:i+l^x^+^ (57)
Nun erhilt man aus (42), wenn maii di« erste mit — , die zweite mit — ».... multiplizirt und addirt:
und wenn man hier aus (55) die Werthe voa 1 — |> 1 — l»*«*-
einsetzt:
193
Daraus folgt nnn, unter Beachtung der Gleichungen (43):
— ^ — _- _ — — ^ — --_ — _.- -^^ ^ ^ — . — — _ — -- .,-^„
(ilr K giebt, al8 wenn man statt der e die e+x angewendet bitte.
Mao schliesst aas diesen Entwickelungen , dass, wenn man eiae Grosse u berechnen soll, und man dazu irgend einen Weg dascblSgt, dieser gleichgültig ist, vorausgesetzt» dass man die ««geglichenen Beonachtungen e-\-x anwende. Das so erhaltene Besoltat föllt zusammen mit dem, das man erhalten hätte, wenn •an die vortheilbafleste Verbindung der beobachteten Grossen e «fsvendet hätte.
Der wahrscheinliche Fehler des so erhaltenen Resultats ist (48):
"^fm
Damit ist nun die Theorie der Ausgleichung der Beobach- tHisfehler geschlossen.
Bemerkung des Herausgebers.
In diesem Aufsätze haben in den Potenz • Exponenten runde Ehnmern () gesetzt werden mQssen, wo eigentlich eckige [] 10 setzen gewesen wiren , weil in der Druckerei solche eckige Duimern augenblicklich nicht in der erforderlichen Kleinheit vor- haaden waren, und der Abdruck der obigen lehrreichen Abband« hag nicht aufgehalten werden sollte. Es wird aber dies, nach- km es hier besonders bemerkt worden ist, Undeutlichkeit hof- featüch nicht hervorbringen.
194
Die AnflSsangr algrebraischer Olei<
Chancen.
Von
Herrn August Weiler,
G^oiORsiallehramU- Candidateo. (DariiitUdt,)
1. Weuii mehrere Grossen io einer Abhäneiekelt zu einan* der stehen , nach welcher der einen bestimmte Wertbe entspre- chen , nachdem man jeder andern einen solchen l^eigelegt bat, und weiHi es darauf ankommt, jene erstem Werthe herEaleiten, so muss vor Allem die zwischen den Grössen bestehende Ab- hängigkeit in algebraischer Form dargestellt sein. JNacbdem sie in einer Gleichunc ausgedrückt worden, worin die fragliche Grosse mit den a,ndeni darch Addition« Subtraktion« Multiplikation, Di* Vision , Potenzirung, Wurzelausziehen u. s. w, verbunden erscheiot, stellt sich die Algebra die Aufgabe, einen Ausdruck zu besQm* men , welcher an die Stelle der Unbekannten eingesetzt» der Glei- chung identisch genügt; oder dieselbe dergestalt umzuformen, dass die unbekannte Grosse unmittelbar als Zahl hervorgeht, in- dem sie in einfachster Gestalt ohne irgend eine Verbiudong mit andern Grossen die eine Seite der Gleichung einnimmt, während auf der anderen Seite nur Gegebenes vorkommt. — Die Algebra umfasst hiernach ein ausserordentlich weites Feld. Allein man sieht sich genöthigt, dasselbe in verhältnissmässig enge Gränsen einzuschliessen, weil nur in deren Bereiche die erwähnte Absicht mit lohnendem Erfolge erreicht wird. Man betrachtet nämlich nur diejenigen Gleichungen , die^ aus mehren Gliedern bestehen, deren jedes durch eine ganzzahlige Potenz der Unbekannten ge- bildet ist Doch auch diese Gleichungen kOnnen bis jetzt in ihrer Allgemeinheit noch nicht betrachtet werden; der Erfolg zieht die
195
GrSozen Doch en^tr sosamnieD. I« Folgenden will ieh Tersiicben» «aeo inOgUcbet vollständjgeD Ceberblick fiber dieae UulersuchuD- zu geben, insoiveit solche bei Benutzung der algebraischen» ritbmischen und trieonometrischen Funktionen zu einem Re- täte führen. Zqgleico will ich mich bemühen, dass aus der Aufeinanderfolge und Darstellungsweise des Gegenstandes erkannt werde, wie die benutzten HülfsoHttel nichts weiter aufdecken kOn- oen, damit vorliegende Abhandlung den Eindruck eines in sich ibgeschlossenen Ganzen In dem Leser zurücklasse.
2. Zuerst aber mag Einiges über die sogenanaleo irnagmi- reo Grossen vorausgeschickt werden. Es kann nicht geläugnet werden, dass a«s d^r Abhängigkeit swischen mehreren Grössen nter Umständen ftir die eine Grosse kein Werth hervorgeht, sobald man den anderen gewisse Werthe beigelegt hat. Wenn I. B. nach derjenigen Grösse gefragt wird, welche mit sich selbst mnitiplizirt werden muss, damit a entstehe» so sind wir eewiss, dass keine Grosse der Art gefunden wird, sobald man sicn unter a einen negativen Werth denkt. Denn es giebt keine Zahl, de* rfo Quadrat negativ ist. Wenn es nun aber gelingt, aus der Gleichnng, welche eine sofehe Abhängigkeit vorstellt, die frag- iicbe Grösse zu entwickeln , so gilt der gefundene Ausdruck auch Doter den vorerwähnten Bedingungen. Dieser stellt dann aber» weil in der Thal kein wirklicher Werth möglich ist, etwas Un-^ Bogliches oder Imaginäres vor. Die Allgememheit der algebrai*» icben Entwickelungen führt demnach nothwendig auf imaginäre Grössen, von welchen sich die bis dahin vorkommenden mittels
Jes nnmöglichon V — 1 darstellen lassen.
Demnach könnte uns die algebraische Form eines solchen Wcrthes durchaus gleichgültig sein, wenn dieser stets nur in nckter Form verlangt würde, weit ein imaginärer Werth an and ftr sich keine Bedeutung hat Allein gar oft wird eh) solcher In weitere Rechnungen eingeführt, in deren VerUufe das Imaginär» wieder ausfallt, so dass dem letzten Resultate eine wirkliche oder leelle Bedeutong zukommt, während einzelne Theile der Rechnung stier imaginärer Form erscheinen. Aus diesem Gesichtspunkte betrachtet sind die imaeiaären Ausdrücke nicht allein brauchbar, sondern sie sind der Allgemeinheit algebraischer Entwickelungen Mentbehrlich , indem mit ihrer Hülfe verschiedene Resultate, welche in einem natürlichen Zusammenhange stehen , auf einem
Stmeinsaraen Wege erhalten werden; während jedes einzelne ieser Resultate, wenn In der Rechnung das Imaginäre vermie* den werden sollte, auf einem besonderen, oftmals mühseligeren Wege hergeholt, werden müsste, zwischen denen keine andere Verbindung aufgefunden werden kann.
3. Wenn eine Gleichung eine reelle Abhängi^eit zwischen terschiedenen Grössen ausdrückt, obschon Imaginäres in dersel- ben seine Stelle flndet, so muss durch die gehörigen Reduktionen ^ Imaginäre wegfallen. Diese Reduktionen sind keinen Schwie« rigkeiten unterworfen, und man erkennt deshalb leirht, ob sich das Imaginäre in einem vorliegenden Ausdrucke aufhebt. Wenn
V — l als Faktor verschiedener Glieder erscheint, so wird man
196
es als gemeliiaaroeii Faktor aasacheideo; und das Imaginäre wird
nur dann verschwinden, wenn der Faktor von V^^ sich auf Noil zurtickfiihrt.
a:=a*+(6+cV^l)(6— cV-^), auf diese Weise verändert , wandelt sich um in
Eben so geht
x=:log(a+bV~l) + log(Ä— 6V^) oder
über in
a?=log(a* — A*).
Wenn V — 1 als Exponent mehrer Glieder eines Ausdrucks oder in sonst einer andern Zusanimefistellung vorkommt^ welche in ihrer vorliegenden Form nicht gestattet , den geweinsamen
Faktor V^^^ auszuscheiden, so müsste man die betreffenden
Funktionen .in Reihen entwickeln, so dass V — 1 nur als Faktor verschiedener Glieder dieser Reihen auftritt; und die Gleichung wird dann in der That eine reelle Abhängigkeit ausdrücken , wenn
sich wie vorher die Gesammtheit der CoelTizienten von V^— 1 auf Kuli xurflckfuhrt Allein man wird ein weit vortheilhafteres Ver fahren einschlagen, wenn man bemerkt, dass die nach dem Ver- schwinden von V — J zurückbleibenden Reihen auf andere ver- wandte Funktionen zurückführen, für welche wir uns in der Al- gebra kürzerer Zeichen bedienen. Für die logarithmischen und trigonometrischen Funktionen lassen sieh alle hierher gehurigen Reduktionen aus den nachfolgenden einfacheren herleiten.
Es ist
^ 2.3.4 + 2.3.4.Ö ^ '
:= cosy -f V^ — 1 siny .
197
Mao btd also die Beziehung
«yV^ = cosy + V — 1 siny , 1.
niid durch Vertauscheo von y gegen — y eine andere
i'-y^^i = cosy — V"— Isiny , ..
••••••
welche beiden Gleichungen alle vorher erwähnten Reduktionen im sieh einacbliessen. So geht die Gleichung
deren Hülfe über in
2eo8az:^btff
az die Stelle von y vertritt.
Beide Beziehungen lassen sich in einer andern fiir den Ge- branch oft vortheilhaftereo Form darstellen. Man hat nämlich :
Ä + iJV"— 1=V5M^ .«'•'*' *^«, ...1'.
mit den vorigen identisch sind. Denn setzt man
arotg|=y.
«=*«'' V^^"""^' ""'' V^F""'"^'
sa ist
Di« Gleichung
-1
B. geht vregen der letztern Beziehungen fiber in
y=2lglogax. Die« Resultat wlr<l erhalten, irenn man u mit z, ß |pit ff ver<
108
tauscht, sodann io 1'. beiderseits den Exponenten —7=^= , in 2'.
den Exponenten . giebt, und so beide Gleichungen mit
einander multiplizirt.
4. Wenn die Unbekannte z in einer Gleichung auf dem ersten Grade vorkommt, wenn sich also die Gleichung auf die Form 2 4- 0^=0 bringen lässt, so giebt sie der Unbekannten den Werth 2 = — a. Man nennt eine solche Gleichung eine Gleichung des ersten Grades. Allgemein spricht man von einer Gleichung des nten Grades, wenn n die nTichste Potenz, auf welche die Unbekannte % erhoben vorkommt, nachdem alle negativen Poten- zen aus der Gleichung entfernt worden sind. Sie kann dargestellt werden unter der Form:
Führen wir das Produkt
(«-«)(*-W(*-y)--.=o
aus, das aus n Faktoren bestehen soll, so erhalten wir die Gleichung
in deren letztem Gliede das Zeichen J: gilt, jenachdem n gerade oder ungerade ist. Die Vergleichung zeigt die Identität dieses Resultates mit der oben angenlbTten Gleicliung des nten Grades, wenn man folgende n Beziehungen bestehen lässt:
aÄ=db«/'y—«
Das Bestehen dieser n Beziehungen ist aber immer möglich, weil datin die n unbestimmten Grössen a, /3, y... vorkommen; und man kann demnach die allgemeinste Gleichung des nten Grades als das Produkt von n Faktoren z — a, z — ß,., ansehen. Die n Grossen a, j?, y^^ sind zugleich die geauchten Werthe, welche der Gleichung genügen; denn vertauscht man z mit irgend einer unter ihnen, so geht einer jener Faktoren in Null über, und der durch die Multiplikation aller Faktoren entstehenden Gleichung wird identisch genügt Eine Gleichung
glebt also n im Allgemeinen unter sich verschiedene Werthe t, welche i^n die n VVurzeln der Gleichung nennt, und welehe be-
199
luDDt sind, MbaM man 4ie Gleiehiuig in das Produkt von ji Fak- toren aufgelöst hat.
Die eben geführte Betracfatungsvreise giebt uns einen klaren Aofscbloss über die Zahl der Wurzeln einer Gleichung , und fiber die Art des Vorkommens derselben. Sie gestattet uns . ausser- dem, mancherlei Schlüsse zu ziehen in Bezug auf die Beschaffen- heit der Wurzeln. So z. B. schliessen wir , dass imaginäre Wur- zeln nur paarweise vorkommen ktinnen, und zwar nur unter der
Gestalt «±PV — 1, sobald die Glieder «i, a^, a^.— der entspre- chesden Gleichnne alle reell sind. Diönn nur' unter dieser Form kx imaginären Wurzeln giebt das Produkt
#
iei terscbiedenen Potenzen von -z reelle Faktoren. Die AasfQI»- raag giebt nämlich
Wenn alle Wurzeln einer Gleichung bekannf sind, so kann sie Utnacb stets in das Produkt von n Faktoren des ersten und iweiten Grades in Bezug auch z aufgelöst werden , in denen kein k^inlres Glied vorkommt, indem man das Produkt je zweier ■ynnnnten konjugirten Wurzelfaktoren
2-«-/JV^ und z-a+ßV^
wnhrt.
Allein, um die Wurzelwerthe selbst zu erhalten, dazu erscheint BBS diese Betraehtungsweise verhältuissroltssig weniger branchbaf. Denn wollten wir in dieser Absicht die oben gegebenen n Bezt^« hngen benutzen, und daraus eine andere herleiten, in der nur eiaeder Unbekannten «, ß^ /..*. vorkommt, so mfisste man auf die Gleicbung des nten Granes zurOckkommen , weil die Unbekann ten symmetrisch vorkommen, und jede Beziehung, welche man ü$ fär die eine geltend herleitet, ebenso für die andere besteht Wir mdssen vielmehr zu mancherlei Mitteln unsere Zuflucht nelK- ■ea, «un mS^chsl einfacl^ und bestbunt das Zie^ zu erreichen.
5. Die nächsteinfache Gleichung ist
Vertauschen wir darin z + ij g^g^n y» io verwandelt sie sick in
L _
200
«
und indem ivlr beiderseits die Warze! aosziehen, entsteht und daraus
2 = -2^db\ -4 Ol-
Auf dieselbe Weise iSsen wir die allgemebere Gleicbang
Denn durch Vertauschen von z-t — ^ gegen y Terirandelt sich die- selbe in
Um aber die n Wurzeln dieser Gleichung zu erhalten, bietet sich folgendermassen eine Beziehung dar. \ ertauscht man in
f +y vri r= cosydbV^ — Isiny die GrSsse / mit ny, so hat man
i±^rVzi = cosny db V^l sinny .
Erhebt man in der erstem Gleichung beiderseits zur nten Potenz, so entsteht eine andere Form:
rt?y^^ = (cosy db V^shiy)« . Man zieht daraus die erwShnte Beziehung
(cosyi: V'^— Isiny)« = cosny db V^— -Isinny.
Die obige Gleichung lässt sich aber auch anschreiben unter den Formen
y" rr ((-)"— fl») (cos2/jr + V^=Isin2i;r)
201
Dfid
5« = (ir.-(^)"^ (cos(2i+l)«+V-J«iD(2i+ l)n).
jeMebdem ('^ ) '~*^2 positiv oder negativ ist» w^nn wir uns nnter
teioe ganze Zahl denken. Daraus gehen nun unmittelbar die Wnneln
Ar
krror. Denn erhebt man in diesen Beziehungen beiderseits zur itai Potenz, so kehren die vorigen Gleichungen zurück.
Statt t ffetzt man nach und nach die Zahlen I, 2, 3...t ein, I «ifeb jedesmal ein anderer Wurzehverth hervorgerufen wird.
liHt man den Zahlenwerth t noch v^eiter anwachsen, so kehren ' il WorzeKverthe in der n^niHchen Ordnung wieder« und dies je-
'mmI, so oft t um n Einheiten zugenommen hat.
fi Im Allgemeinen bedeutet V«* n verschiedene Werthe, nfim- W die ft Wurzeln der Gleichung 2«»^ft^, Allein in den obigen ^vdrficken wird diese Bedeutung überflüssig; wir denken uns ••nmlcr den einen positiven reellen Wurzelwertb.
bidem wir erwägen» dass
cosy = cos(2;r^7)» sin/= — sin(2»— y),
bven sich die beiden Wurzelausdrflcke för y» weil unter den n *vrfdiiedenen vorkommenden Winkeln je zwei in der erwähnten B^hong zu einander stehen», auch unter folgender Gestalt an- idircibeo:
.=Vl)^(-^±v=-.-.^)
Ml i?ni. u
202
V/oiV/ (2i+l)« . ^r— r . (2»+l)»\
n worin man statt i nach und nach die Werthe I9 2, S....»* ^^
1,2, S...-— n~ zu setzen hat, je nachdem 11 gerade oder unge- rade ist.
Die Faktoren des zweiten Grades» in welche sich die Glei- chung ^=a zerlegen lässt, sind demnach
• a - 2t« . ? i' — 2a*r cos — + a"
oder
* «. .- (21+1)%., ^
je nachdem a positive oder negative Bedeutung hat.
6. Die allgemeine Gleichung des dritten Grades
t* + a^x* +att f «3 =0
erhftit nach dem vorhergehenden Verfahren nur unter der Ite- diugung
(?)■-?=•
ihre LiSsung. Die allgemeine Losung macht ein anderes Terfah- ren nothig. Man hat die Beziehung
cosStt = 4cos'a ~ 3cosa .
Daher
, 3 cosS«
cos'a — j cos = a — 2r~ •
Fflr die kubische Gleichung
gilt daher
, 3
; = COS :r afc cos4 a
203
ab Wonelansdnick. We^n man Hir arcco84a ein y gefunden • so ut arccosla auch gleich Üix-^-y^ worin i irgend eine ganze Zahl Torsteilt, indem allen diesen Bogen der nämliche Coninus ent- spricht Es ist al$o
r = cos — ^ >
ond die drei Wurzeln der Gleichung werden erhalten» wenn man ftatt t nach und nach die Wertbe l, 2, 3 setzt
Der Auflösung der allgemeinen Gleichung
s' + 0|Z* + «22^+03 =0
steht nan weiter kein Hinderniss im Wege. Denn wir ffihren 4iese auf die eben ^elriste Form zuriick, indem, wir z gegen* C|jf-|-c vertauschen. Wir erhalten dadurch
wA die beiden Grossen C| und c bestimmen sich aus den Be- fagnogeo
3c+cri ^ . 3c«+fl,.2c+<7a 3 =ü und — « = — 7-.
Die erstere giebt
c j.
nd dann die andere 4er i^kOrzend
radem wir
•etxen. Endlich folgt
u*
204
0 = — •
oder abkürxeod
<i=
vreDO
'•v^(^)" ■
6=-2(jy+aaf-a,.
Fflr die Gleichung
gilt demnach
1 b
y=co8 i^arccos
oder, nachdem man einen Bogen
n^r
f=SBtCCOB
my
gefunden hat.
Dieser Ausdruck erscheint unter imaginSrer Gestalt, wenn Y j Iroaginfir, wenn also
oder auch, wenn
■m
205
k beiden FlHen geben wir dem IroagiDfiren dt6 Form u+ßV^^ dirdi die nfimliche Umwandlung. Da nämlich
*co« — x—^ =2 cos -j- cos TT — 2si n -^ sm j
=:co8-K-[(cosy + V^— lsiny)i+(cosy — V^--Islny)l] + V- 1 «in ^ [ ( cosy + V^siny)*— (cosy — V— 1 siny)*] ,
U feraer
cosy=
^v^
nd
-■' Y'"*>"* '
•• geht der Ausdruck
fiter io
■=-j+-x[V"l+V(l)"-(l)"
+vi-\ra)-©'"]
+^^"-^m+v'ay-a)"
-v^i-v ©•-©']■
«•raus die drei V?nrseln der allgemeinen Glelehong herrorgehen» *ciB man statt i nach und nach die Zahlen 1» 2, 3 einsetzt Von
206
den WUrsehi ist demnach in einem der oben genannten Fille nur eine reell, nämlich diejenige» weiche man für »==3 erhält. Siel$t
3
7. üra das nämliche Verfahren auf eine Gleichung des nten Grades anwenden zu können, muss vor Allem die Keine belumnt sein, welche cosny durch Cosinus des einfachen Winkels y aus- druckt. Wegen
(cosydtV— -Ijsiny)« = cosn/ i V^ — Isinn/ hat man
*icosny=(cosy+V^l8inyy»+ (cosy — V^lsiny)"
indem mau abkürzend
tt= cosy + V" — 1 siny und
V = cosy — V*— l siny setzt. Da nun
2cosy:=ti-f v#
so wird die in Frage gestellte Reibe bekaiint sein, nachdem die Coeffizienten a, 6, e... der Reihe
(tt+r)» + tf (ufr)«-« + ^i«+ü)"^ + ... + Ku\v) = ti» + r"
so bestimmt worden, dass dieser identisch Genüge geschieht. Da nun wegen tio = l das Glied
(u+r)«=ti»+r«+ii(u"-*+r*-2) + ^ ,^ (m«^+ü"-*)+ ,
so ergeben sich nach und nach jene Coeffizienten, wenn nacb «m^^ geordnet worden» und die Reihe selbst ist:
207
|Bieroach loseo wir die allgemeine Gleichang
diese so beschaffen , dass sie dnreb Vertaoscfaen tod
«1
-i- IT g^gen Jf sieb verwandelt in :
y^* +
6,*n— 3
n 2 *" ""n3
— ^' — 273 y" H— •— * =0,
rin t| und 6 beliebige Grössen. Denn rertauscht man y mit % so gebt die Gleichang über in
"VW
,< m^^m
^
efhJÜt daraus aaf der Stelle:
a;.ss2co8- areoos
2
w
•der, nachdem ein Bogen
yrs arccos rr=-
2'
V5
ufgefonden ist.
T ft n
«d oidlicb
208
«=— — +2V —cos ' •
n 1 n n
Dieser Worzelaiisdruck erscheint uoter imaginärer Gestalt, wenn V ~ imagioSr» ivenn also 6| negativ» oder auch wenn
^VC;')"
>i.
In beiden Fällen bringen wir denselben durch die folgende Rech- nung auf die Form a + /3V^— 1.
Mai} hat
2cos «• =2cos — cos ' 2sin — «in ^
n n n n ft
= cos — I (cosy 4-^^^ slny)" -f(cosy— V^— Isiny)« j + V^— Isln— I (cosy+ V^— I siny)«-(cosy— V^lsiny)« J
Da weiter
cosy=-
'V'C^)-
'"Y"^""'
so verwandelt sich jener Ausdruck
in
;
^\
j
209
/r, . 2t7r = — - -f cos —
V R®*- en
^^^••"'^•m+v©'-(5)'
- V"^ +v'ß)*- m-
vorin man nach und nach statt i die Werthe I, 2» 3...n zusetzen bt, damit alle Wurzelwerthe zum Vorschein kommen. Der erstere Worzeiausdruck giebt nur reelle Wuczeln; der andere nur imagi* rast, mit Ausnahme der einzigen
nm n eine ungerade ZaU ist
Die Formen dieser beiden Auflüsungen mochten im ersten Aif^eoblicke als sehr verschieden erscheinen. Die Aehnlichkeit iwittchen den beiden Auflösungen ist aber augenfällig, wenn wir fe Bedeutung einer Wurzeigrusse festhalten , und darnach
ttter der jener Bedeutung entsprechenderen Gestalt
^anMlen, weil dann in beiden Auflösungen
cos-arccos und «* °^ n
mA einander entsprechen.
Der letztere Wurzelansdruck iSsst sich nach und nach in an- dere Formen bringen» unter denen sich diejenigen durch Einfach- kit aaszeichnen» für welche n irgend eine Potenz Ton 2 ist. Uiese Umwandlung kann nämlich im Allgemeinen ausgedrflckt werden durch die Gleichung:
2t0
9
191
h&l
+
t^\ o*
1^
8 1^
9
+
|>9l
.1*1 »•
»L?
211
[idereo zueiter Theil durch Quadriren des ersten Theils » und dann ilederaiisziehen der zweiten Wurzel hervorgeht. Wenn darin irtrst m=^n, und n eine Potenz von 2, so erhalten wir nach id Dich
8
S. Cm die allgemeine Gleichung des vierten Grades
n ISsen, sehen wir sie als entstanden an durch die Multiplika* «> der Faktoren
^ir betrachten demnach z* als die Unbekannte, fSr welche sich ^beiden Werthe Ciz-l-c und dtz^-d ergeben müssen. Diese bei- ■n Werthe sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung
*^ x' eine noch unbekannte GrCsse vorstellt , weil nämlich das "*tHe Glied a^z — z' die negative Summe» das dritte CHied
^Produkt der Wuneln C|Z-f c und dit+d vorstellt..
212
Man erhält übrigens «lurch AoflSseo
und die Grosse i* bestimmt sich aus der Bediiiffung» dass dh beiden Wurzeln 2' die Gestalt c^z^e und c/ix+a baben rofisseo H-as zutrifft» wenn
(ai s— 2O* — 4(:'+craJ2« — 41I32 -404 oder
ein vollstSndiges Quadrat ist in Bezug auf ft, oder wenn
(fl^«-42'— 4ii2)(i'2-4a4)=K»'+2aB)^.
Aus dieser Bedingung erhält man zur Bestimmung von i* di< Gleichung
2'» + aa2'« + («1 Os— 4a4)2'+ €ri«04-4aaa4 + 03« =0 .
Nachdem man ein 2' bestimmt, und in die obige Glelcbung einge setzt hat» gebt sie» weil dann
^^\{^x^-^'
0^2 +Ö3
^60 -■—
Über in:
oder» Indem man abkürzend setzt, in:
/fl, \ 2' sr*+^»
213
Daraus aber erbalten wir die Tier Wurzdn:
.'_„. $*'+«.
«'—'»> , 2
f
»kbe Ausdrucke keiner Veränderung mehr bedürfen, indem unter iea drei Werthen z' in allen Fällen ein solcher vorkommt» nelcber
mß and positiv macht , so dass unter jenen äuitsern Wurzel- ladien keine imaginäre Grösse vorkommt. Wenn wir nämlich h Gleichung
M Moltiplikation der Faktoren 2*— c^s — c und t?- — rf^t— d ent- iMd ansehen» so ist
*»i daher
V2/ — *-^«= 4 Ciif,= j — .
^1 ti»er stellt die Summe zweier Wurzeln der Gleichung des vier- ^ Grades vor, d^ die Summe der beiden andern Wurzeln; und *K immer diese Wurzeln beschaffen sein mögen, so ist doch in ^ Fällen wenigstens eine Zusammenstellung möglich, welche
^ and dl von V^— 1 frei lässt Die Wurzelgrösse
^ demoacb hi allen Fällen ßr reell gelten.
^^ass die Grosse %' aus einer kubischen GIfichung hervor- ^^ müsse 9 dies konnte vorausgesehen werden. Denn eine Glei- ^""■g des vierten Grades lässt sich auf dreierlei Art in zwei qua-
214
dratische Gleichunsen zerlegen« indem die vierWuRelo o» ß%] öfiUT auf ebenso viele Arten in Gruppen von je zwei vertheiltwej den können. Diese drei Gruppen sind:
aß, yd,
«y, ß5, ad, ßy.
Aus dieser Betrachtungsweise geht hervor, dass die Zerli gung in zwei Paktoren iur Gleichungen, welche den vierten Gra übersteigen, nicht mehr mit Hülfe einer Gleichung von geriiigerei Grade erlangt werden kann. D%nn wollte man z. B. die Gleicboo des sechsten Grades
in die beiden Faktoren
»•— Ca**— CiS — c und a'— £/2^*-"''i* — ^
zerlegen, so wurden wir diese Gleichung anschreiben unter de Form :
wir würden also zwei unbekannte Grossen i' und %" einßibreii damit die Zulässigkeit der Wurzeln
»«=r2««+ri«+c und »'=£/a**+rfi«+rf
entstehe. Allein wollten wir nun die beiden %' und z*^ so bestinl men, dass in der That den beiden Wurzeln »^ die verlangte Fori zukommt« so wOrde man aut Gleichungen des zehnten Grade geführt, weil eine Gleichung des sechsten Grades auf zebofacb Weine in zwei Faktoren des dritten Grades zerlegt werden kan^ Die Vertheilung der sechs Wurzeln a, j3...£ in oen beiden Fal toren würde in Folgendem sich darstellen:
aßy , 8ei, 1. ays , ßS^, 6.
«P* » y«C, 2. €tyi , ß8£, 7.
aßB , ydi, 3. ««« , ftrf , a
^i * yd«. 4. uK , ßyt, 9.
aya , ßiC, 6, «f , ßyS. l(k
215
9l Indem wir die bisherigen Auflueungsweisen mit einander Ferbiodeo» können die Bediosungen, unter welchen die Gleichung des »ten Grades mittels algebraischer, lögarithmiscber und trigo- nometrischer Funktionen aufldsbar ist, noch etVras erweitert wer- deiL Wir bestimmen nämlich die Wurzeln der Gleichungen
»»« f IIlÄ«» + ll2«»« + fl3=0 u. s. w.;
deso, nachdem man die Wurzeln &* dieser Gleichungen aufgefun- <left, bleibt im allgemeinsten Falle die Lösung einer Gleichung
»••=« + pV^Ti.
Diese Gleichung kann aber angeschrieben werden unter
»-==V^«5+^(cos(2m+y)+V^sin0ii»+y)), foriot irgend eine ganze Zahl vorstellt, und y einen Bi^en, dessen CfNuus gleich t^===~, und dessen Sinus gleich --pr===g. Denn «ist
cos(*2t^ + y) == cosy
9\H(2in+y) rrsiny •
Kete Form aber liefert ohne Weiteres die n Wurzelwerthe. Sie sind:
4esB erhebt man beiderseits zur nten Potenz, so kehrt die letz- to Gleichung zurfick, weil
= co8(2ifl? + yi+ V^ sin(2i« + y) .
Die n Wurzelwerthe kommen zum Vorschein , wenn man statt inach and nach die Werthe 1, 3, S.mIi einsetzt»
10. Wir lösen endlich die Gleichungen 2co827ia: -f <i| .2cosim? -f cts = 0, 2cos3iM:-f ai.2cos2iij?-|-a^.3cosiijr-f 09=0, u. s. w.; ^•na die folgenden Abkürzungen vorgenommen sind:
216
icosnx
2cos2nj? -.t, A«*.->a.*'*2«-3^^_4 6.« (2n-4)(2n-5)
2cos3fu?
"• ^* +3n 2 (äSSp 2;i ^-
Denn diese 6feichuDgen vom Grade 2», Sn u. 8. w. verwaDdelo «ich wegen
eos2»^ = Scos^ito: — l ,
cos3njr=4co6'iu;— Seosnor, u. 8« w.
bezüglich io die Gleichungen des zweiten, dritten u.s. w, Grades:
(2cosna:)*+ax.2cosna; + a^ — 2=0,
(2cosnar)' + Gx(2co8n.T)*+(a2 — 3).2co8iM:+fl8 — ^2ai=0.
Nachdem aber die Wurzeln 2co8nj: der letztern Gleichungen be-
stimmt sind , bleibt, da jene im Allgemeinen die Form et-i-ßyf—l haben, eine Gleichung
.iL « . *i* »»—3 . 6i» (n-4)(n-5)
deren Losung nach dem Früheren die Form
«=2V -'^cos(2i:5+— arecos — L. 1
darbietet; und die weitere Aufgabe besteht darin, diesen Warzel- ausdruck in allen Fällen unter die Form A + BS^'^ zu bringen.
In dieser Absicht betrachten wir den Bogen, dessen Cosinus gleich
a + ßV^
4W
217
wt, ab die Summe der Bogen y und 8, uod bestimmen beide Bo geD 80, das« die Gleichung
fardi das Bestehen der beiden Gleichungen
COS}^COsd='
tt
v"©-
siny sin^ = £-
Miedigt ist. Aas diesen erhält man aberiiie neuen:
««
cos^cos*i = — ^M \^ »-- 1.
4 A V
ml
(l-coBfly) (l-co6*i)=-y^ 2.
«idareb deren Subtrahiren eine dritte:
*
co8«y-t-co8»3= "., + -P^., +1, 3.
gAc in Verbindung mit der ersten unmittelbar die quadratische
■KKOqDg
* Bestimmung von 2cos«y und 2eos«* Kefert. Diese Grössen
^xniL
s •
15
218
ß2
'"•"^W'W
4
(^y ' <!)■
I)ar&u8 geben wieder hervor:
"'Y ^^'^^ ^^
weil nämlich die beiden Ausdrücke :
und
219
^iuoder identiscb sind.
Nachdem so die 6og#n y und 8 oKher bekannt geworden, ibd dieselben einzufuhren in den Wurzelausdruck
=»v?-
2iÄ + y+i
cos
n
Kne genauere Betrachtung der obigen AusdrGcke ISsst uns •boneDy dass für ein positives ( J ebensowohl cos^ als
nnter allen Umständen positiv bleibt, dass also cosy und reelle Bedeutung haben; dass aber siu^d stets negativ, ^äb« cos^J nositiv ist, dass also cosd und sind imaginäre Grus- Torstellen. Um dem Ima^inüren die gewünschte Form sn 0, setzen wir, wie schon trüber:
lcos-=(cosd + V^sind)" + (cosd— V^l sini)« ,
ft 1 i
nCigin ^ z=(cosi+V^ sind)«— (cosd— V^^sina)";
^ erkalten somit aus
V fi L n n' n nj
^ gesuchten Wurzelausdruck unter der Form
iin
«cos
^^[S'^MMVl^
^ die Bedeutungen von A und B hervorgehen aus den Be* ■*i^en
15*
220
*V"((IJ+(I)V©T-Kt)'-
^=©'^a)'-(^)' *v"(g;^(i;-c^)T+0"
Wenn jedoch — einen negativen Werth erhält, so erkenn«
wir, dass umgekehrt co8^d und sin^J beide positive Werthe, ab Zugleich reelle Bedeutung annehmen; dass aber sin^ negaf bleibt, während cos^ stets positiv. WeU demsach för ein neg
tives ( ~J der Winkel / eine imaginäre Bedeutung erhält, i
setzeo wir:
2 cos ^ = (cosy + V— Isiny)« +(cosy— V — 1 siny)« und
2V^— i sin — =(cosy+V — Isiny)"— (cosy — V — Isiny)*;
und erhalten aus
oi/^r 2tÄ+^ y . 2iÄ+J . yTj 2=s2\ —1 cos cos'^ sin sin*- 1
den gesuchten Wurzelausdruck unter der Form
* * •
worin Ai und Bi die folgenden Bedeutimgen haben:
221
^=(i)'Hi)'-©'
-v(G)'-(ir(5)>K^)"-
Wenn |5=0, so geht der erstere Worzelausdnick för ein po- •«8 y^j wieder über in
T n n
cos/=
\^©- '
(i)'<(^)--
ik
»eoD
<1.
vW
kt dagegen
° >i.
^^cnrandeit sieh der erstere Wurzelansdntck in
222
+
»'f
1^1 Q
^1»
a|i
I
I
'a
II
A
O OB
IO|Q
tdi»
s
I
DerzweiteWorzelausdrockfar ein negatives (—J aber geht fl /) = 0 in allen Fällen in den letzteren liber.
11. Dies mogte wobi Alles sein» was uns algebraische, log ritbmische und trigononietriscbe Funktionen über die Auflusol algebraischer Gleichungen geben kunnen. Eine allgemeine Lo»m ist darnach nur für die Gleichungen des zweiten, dritten und vir ten Grades möglich : alle hohem Gleichungen aber bleiben uvf^ lost, wenn deren Glieder nicht besondere Bedingungen eingehe Mun mosten aber, was die Auflösung der Gleichungen mit eial Unbekannten betrifft, noch die Untersuchungen angereiht werd^ darfiber, wie man den Grad einer Gleichung vermindert, wei
223
eine Bexiebung zwischen zwei oder mehreren Wurzeln derselben kekanot idt.
Vorerst haben wir dabei die Frage zu beantworten, wie sieh tiflf Wurzel bestimmen läsj^t, welche den beiden Gleichungen
knlgrich Ton nten und ntten Grade gemeinsam ist.
hdero wir beachten , dass t in beiden Gleichungen als die linlicbe Grusse angesehen werden kann» können wir durch EU* ttsation der höchsten Potenzen von z zwei andere Gleichungen ttdeo, welche in Bezug auf das gemeinsame fragliche z von ge- Mgerem Grade sind.
Dm dies deutlicher zu zeigen, nehmen wir beispielweise -f2 an, sodass die obigen Gleichungen dargestellt sind in:
a2»» + ai2»-i + <i22*-* + ... + a«=0 1.
62"+« + 6i2"+» +62Z» + ... + 6n+2=0 2.
Wir maltipliziren die erste mit bs^, die andere mit a, durch Ab- Ueo entsteht dann die Gleichung vom (n-|-1)ten Grade:
(fl^ft— a6i):"+* + («Taft—ati):" + .... — a6ii+2=0 3.
^enn jedoch a und b einen gemeinsamen Faktor haben, so dass t^o'u und 6 = 6V> ^^ multipÜziren wir die obigen Gleichungen ^Helich nur mit 6':* und a', weil wir im andern Falle der neuen Eichung des (7t-|-l)ten Grades den gemeinsamen Faktor fi gäben.
Eine Gleichung vom (n4'l)ten Grade erlangen wir auch durch EiiaiDation von ft^. Diese wäre:
3.
Durch Elimination von d"+^ aus 1. und 3. leiten wir aber eine !ichnDg4. her, in welcher n der höchste Exponent von % ist.
Wenn also zwei Gleichungen vom nten und mten Grade ge- iikii shid, so leiten wir auf dem bezeichneten Wege eine zweite Chiehang vom nten Grade her, so dass nun vorliegen:
o»« + ai»"-»+ <i»^'"*+ •••+«»= 0
224
ttod
et" + CjS^-l + C2««-«+ ... + c«= 0
Diese aber geben, iodem man das einemal ^, das andereroal % eliminirt, ein anderes System Gleichungen vom (it-f])ten Grade
(aiC — aci)»*-*+(a2C— «€2)2**-* + .... .- + 0110— <ic«=0 und
(ac«— a«c)3J«-*+(aiCÄ — a«Ci)i«-^+....+a«-iC»— a«€?i|-i =ö.
Man könnte auch , nachdem die eine Gleichung dieses Systeme gewonnen, sogleich diese mit einer des vorhergehenden Systenu zur Elimination von z^ oder z" verbinden, um die zweite Glei^ chung dieses Systems zu erhalten. Man wird das eine oder du andere Verfahren einschlagen, jenachdem eine kürzere Kecbnunf dieselben empOehlt.
Es ist einleuchtend, dass man, so fortfahrend ^ endlich ein System von Gleichungen erhält, in welchen z nur auf dem er$fen Grade vorkommt. Dasjenige s, welches gleichzeitig den ursprüng- lichen Gleiebunsen vom 11 ten oder mten Grade genügt, genügt zugleich allen Gleichungen, welche aus diesen beiden hergeleitet worden sind. Es genügt daher auch den Gleichungen des letzten Systems vom ersten Grade. Da diese aber überhaupt nur eine ^^'urzel enthalten, so werden sie identisch sein, und jenes : ist durch dieselben bekannt. Wenn die ursprünglichen Gleichungen zwei Wurzeln gemeinsam enthalten, so werden diese identit$el sein mit i\en Wurzeln desjenigen Systems, in welchem z auf deit zweiten Grade vorkommt; und dessen GJeichungen werden dann selbst identisch sein. Aehnliches gilt för eine grossere Anzahl gemeinsamer Wurzeln. Umgekehrt lehrt uns diese Untersuchung, dass in z\yei Gleichungen von höherem Grade eine, zwei u. s.w- Wurzeln gemeinsam sind, wenn die Gleichungen des letzten, vor- letzten u. s. w. Systems identisch sind.
Der Einfachheit halber nehmen wir ein Beispiel vor, in wel- chem die CoeHizienten von z durch Zahlen vertreten sind.
^ Die Gleichungen
z*-z*+4z»— 4z«+4z— 4=0 « 1.
und
■
52^—4iH 122*— 82+4=0 i.
geben durch Elimination von 2^ die Gleichung
2* + 42» + 8z-4 = 0 »3.
225
ond aii9 dem ersten Systeme 1. und 3. erhält man nach einander die beiden Systeme :
32« — 2« + 42 — 2 = Ol
z»+22 = 0>*
2« + 2=0» 22 + 2 = ol •
I Die gemeinsamen Wurzeln sind demnach z=J:V^2.
1 Die Bestimmuns^ einer oder mehrer Wurzeln , welche einer IkÜc^igen Anzahl Gleichungen höheren Grades gemeinsam zukom- bKB, ist hiernach keinen iveitern Schwierigkeiten unterworfen. »etzt nämlich an die Stelle zweier Gleichungen, am vortheil- Mesten der beiden Gleichungen des niedersten Grades, jene an- ,k», welche deren gemeinsame W^irzeln enthält. Diese wieder h Verbindung gebracht mit einer dritten der vorliegenden Glei- dbnf^en lässt sich auf die nämliche Weise behandeln, und man ivniudert »o immer mehr die Anzahl der Gleichungen. Die ge- Amsamen Wurzeln des letzten Gleichungenpaares kommen dann iIkIi allen übrigen Gleichungen zu.
12: Wenn nun eine Beziehung bekannt ist, welche zwei oder I ftiKre Wurzeln einer Gleichung verbindet, so ist man stets im ' iWe eine zweit^ Gleichung herzuleiten, welche mit der ursprüng- Jka eine oder mehre Wurzeln gemein hat, die dann nach dem mergehenden ae^nden werden. Wir betrachten hier mehr bei- Mveise die eimacnste Beziehung, durch welche zwei Grossen ik änander verglichen werden können. Wir nehmen an, dass ' «der mehre Wurzeln der Gleichung
a2»+ai2«-Hoa2""* + -- + «ii=0 1.
lidoB Verbältnisse 1:6 zu einander stehen.
Wenn a eine Wurzel dieser Gleichung, so ist hiernach auch Iteiiie Wurzel; und man hat zur Bestimmung desjenigen x, f)Ir «el^s eine andere Wurzel bz besteht, die zweite Gleichung
a6»2" + ai6"-^2»-* + crj|6«-»2«-*+ .... + a„=0 21
^ean nun die erstere Gleichung p Wurzeln 2- a und q Wur- idi x=6a enthält, so muss die andere q \Yurzeln et entlialten; *td beiden gemeinsam mOssen p oder q Wurzeln 2z=za sein, je- WMera p oder ^ die kleinere Anzahl vorstellt. Man erhält diese ArIi die allmählige Bildung jei(er verschiedenen Systeme. Das Mste System wäre:
^*i-.l),n + ai(6n-i- l)2"-i+cra(*«-a— 1)2»-« +....
.... + a«-i(6-^l)=0.
226
und
.... + o«(6"— 1)=0. Es sei z. B. bekannt, dass die Gleichung
2*f 2» — 22-1-52 + 6 = 0
Wurzeln enthält, welche in dem Verhältnisse 1:2 zu eiaaode stehen. Da nach dem Obigen 6=2, so hat man:
15zH72«— 3z + 5=0.
1182«— 5372-655 = 0. 13b2+692— 62=0^'
1+1=0.
2 + 1 = 0^'
daher komroen die Wurzeln i=*-l und 2=:— <2 ror. Für die Gleichung
2*+62» ~292«+122 + 12=:0 sei 6= — 3 bekannt. Man findet dann die Systeme
602»-422«-582— 12=0^ 54;»— 17422+842 + 80=0^'
3ia_32_2=0
^2-— 02 — x=u> 3:2--32-2=0^*
Die beiden Wurzeln der Gleichung
322_3._2=0
sind demnach mit — 3 zu multipliziren» und man kennt die Tii Wurzeln der obigen Gleichung. I
13. Wenn h in — 1 übergeht« so verdoppelt sich die Anzj der in beiden Gleichungen eines Systems gemeinsamen Wurzeil Denn wenn die Gleichung
02" + fl|2»-* + «jZ*»-* + ..« + O« = 0
p Wurzeln u, und q Wurzeln —a bat» so kommender Gieifbui
a6'»2« + cr,6«-*2»-* + fl^fc^-V-» + .... + a.=0
filr 6= — 1, q Wurzeln a und p Wurzeln — « zu. Gemeioi werden demnach sein p oder ^Wurzeln a, je nachdem p oder< die kleinere Anzahl vorstellt, und eben so viele Wurzeln — 0*
227
Die Gleichung I. B. giebt als erstes System die beiden ideotiscbeB Gleichungen
Wenn alle positive Wurzeln einer Gleichung auch mit dem nega- tifen Zeichen als Wurzeln vorkommen, wenn aUo die Gleichung Dor gerade Potenzen von t enthält, so kann dieselbe nach dem eben eingeschlagenen Verfahren nicht mehr auf einen niederen Grad gebracht werden. Wenn man aber 2* mit y vertauscht, so kommt der Grad der Gleichung auf die Hälfte herab. Auf diese W^e f&hrt man die Gleichung
über in
Wenn 6=1, wenn also gleiche Wurzeln vorhanden sind, so lerdeo die Gleichungen des nächsten Systems in der Form:
•(ft« — l)2»-i + «1 (*«-»— l)i«-« + Oa(6*-« -. l)i«-» + .^...
...... -f a»-i (6 — 1)=0,
•1(6 - 1)(62)»-Hfl2(6* — l)(*l)"-* + «s(6»— 1) (62)«-» +
+ a«(6"— 1)=:0
nsbraachbar, weil durch Einsetzen von 6=1 alle Glieder in Null Sbergeben. Wenn wir aber erwägen, dass
6»— l=(6«-i + 6'«-« + 6»-»+ ....+1)(6-1),
•0 ßhren wir jene Gleichungen, nachdem man aus beiden den Mmeinsamen Faktor 6 — 1 gestrichen hat, über in die folgenden Formen:
IM«»-» + (n— l)fli2«-a + (n-2)crjjZ«-»+ .... + a»-i =0 nd
oii"-^ + 2€r»t»-« + 3tf8t«-' + .... + na»=0.
um nun die obige Betrachtung Gber die Gemeinschaft der in
.Jen beiden Gleiehnogen vorkommenden Wurzeln auch hier in
Anwendung bringen zu können, stellen wir uns vor, irgend ein
228
Verhältniss b zwischen zweien Wurzeln der vorUegendeo Glei- chung sei in die Einheit übergegangen; und wenn viele gleiche Wurzeln vorkommen, so stellen wir uns vor, jede einzelne dieser gleichen Wurzeln sei aus einem andern Verhältnisse zu irgend einer a unter ihnen in das Verhältniss der Einheit fibergegangen. Wenn aber zwei Wurzeln a und ß in einem Verhältnisse 6 zu einander stehen, so dass ccb = ß, wenn zwischen den Wurzeln a und y die Beziehung ab'=:y besteht, zwischen den Wurzeln a und 0 die Beziehung ab^*=Ö u. s. w., so werden die Gleichun- gen eines Systems die Wurzel ß oder y oder d gemeinsam haben^ je nachdem man das Verhältniss b, b* oder b'* gelten lässt. Wenn nun aber die Verhältnisse 6, b'^ b'\„ gleichzeitig in 1 übergehen, und man also wegen der Annahme 6=1 gleichzeitig die Verhält- nisse 6, 6', b" .,. gelten lässt, so müssen die beiden Gleichungen eines der obigen Systeme gleichz^itig die ungleichen Wurzeln ß^ y, d»... in sich aufnehmen. Wenn demnach eine Gleichung m gleiche Wurzeln enthält, so kommen deren m— 1 den Gleichungen
nai^-^ + (n-l)0|X"-« + (n— 2)02:"-^ +.... +aii-i = 0, ,
gemeinschaftlich zu. Es sei z. B.
Man erhält daraas nach und nach die Systeme:
2«— 4i+4=0^'
Da nun die Gleichung
2»— 42+4=0
die Wurzel 2=— 2 zweimal enthält, so kommt diese in der nr- sprünglichen dreimal vor.
14. Wenn unter den Wurzeln der Gleichung
02^+012"-* + 022*"*+ + ««=0
solche vorkommen, welche bezüglich durch 2 und — sich aasdrü- cken, worin b eine bekannte Grosse , so ergeben sich diese milteb einer xweiten Gleichung
220
Kommen p Wurzeln a und q Wurzeln — vor, so kommen jeneu
xwd GleichuDgen jp oder ^ Wurzeln a gemeinsam zu, je nach- dem p oder q die Kleinere Anzahl , und man gelangt endlich zu einem System, welches nur diese Wurzeln enthält. FOr den Fall 6=1 aber sind gemeinsam p oder q Wurzeln a, und ebensoviele
Worzeld — , so dass der Grad der Gleichung, aus welcher sich
diese bestimmen, doppelt so gross ist als vorher. Dasselbe gilt für ^=—1.
Für ist 6= — 1 gegeben, und man erhält hieraus und aus
2*-1228— 423 — 2 + 1 = 0
die nächsten Systeme:
2*+8r» + 1622 + 2«2 = 0|
2-2 = 0/
2-l=0('
224 + 2»-162«+8
52» + 162« --22 -1=0/ 23__22«-162 + 5=:0i'
2« + 32— 1=0j
2«+32-i=or
IKe Wurzeln a und — — ergeben sich also aus
2«+32-l = 0.
Wenn zu jeder Wurzel « einer Gleichung auch eine Wurzel ~ gebort, wenn also die Gleichung ungeändert bleibt, indem man
(brii 2 mit — vertauscht, so vermindern wir den Grad der Glei-
2
cIioDg auf eine andere Weise. Sie erscheint unter der Form :
«2* + «12»-^ + oa««-« + ..« + <ia2^ + ai2 + a= 0,
«od wenn n ungerade, so senügt offenbar als Wurzel 2= — 1. IHffch Dividiren mittels 2+I bleibt also stets eine andere zurück,
•«HO n gerade. Wenn zu jeder Wurzel « eine Wurzel — ge- ^, 80 gilt die nämliche Bemerkung. FOr ein ungerades n l&sst
230
«ich dann aber der Faktor z — 1 abscheiden, weil i=l eine Wur- zel ist , und es bleibt wiederum eine andere Gleichung, worin n gerade. Diese beiden Gleichungen, welche durch Division mitteU z — 1 und z-fl entstanden, krmnen dargestellt werden unter den Formen:
?-i «
a(2*+l)+fliz(z— «±1) + + «« 2« (z*±l) + ai»i^ = 0,
wenn n = 4t, und « eine ungerade Zahl, und unter den Formen:
wenn n = 2t. Da weiter je zwei Wurzeln dieser Gleichungen zun Produkte dkl haben, deren Summe y aber unbekannt ist, so las- sen sich dieselben in Faktoren von der Form
zerlegen; und die Elimination von z mittels
muss auf eine neue Gleichung fuhren , welche in Bezug auf jf
n vom Grade 3- ist. Die Elimination selbst fuhren wir am vortheil*
haftesten aus mit Hülfe der beiden Beziehungen:
(z— a±l)(**±l)=i* + l+(x»-*+l)«* und
(z«-2+l)(z«J:l)=z«±li:(t"-*±l)2*, •
von denen die erstere für n=:4t, die andere fflr n = 2t Geltoog bat Wegen z^J:l = ^z entsteht dann nach und naoh:
z^+l^(y«T2)z«,
So verwandelt sich die Gleichung
6z* + 35z8 + 62z« + 35z + 6 =0 in die Gleichung des zureiten Gr4des
231
%«-2)+35y + ß2=0. Oller in
15. Zur VervolUtändiguns unserer Beträchtuu^en bleibt noch die Be^fimnioTig von zwei und mebr Unbekannten aus eben so vie- len Gleichungen eines höheren Grades. Die Aufgabe, zwei Un- bekannte I und y, die unter einander gemengt in zwei Gleichun- een von huherem Grade vorkommen, so zu liestimmen, dass sie beiden Gleichungen Genüge leisten, lässt sich zurHckfuhrcn auf dir Bestimmung einer Unbekannten aus einer Gleichung. Denn irenD wir die beiden Gleichungen vorstellen durch:
yl2«+^,2«-i + Jaz»-«+....+^„ = 0 1.
und
worin Ay Ai.„B , B|.... verschiedene Potenzen der andern Un- kekannten y enthalten, so können wir durch Elimination der ver- icbiedenen Potenzen von z dieses System nach und nach in andere IbeHtibren, in welchen d<»r Grad von z immer niederer ist. Wir
engen endlich durch Elimination von z aus denjenigen zwei chu^gen , in welchen dieses nur auf dem ersten Grade vor- Wnit, zu einem Verhalten, das frei i^t von z, und welches alle ^ejenigen Werthe y als Wurzeln enthalt, für welche es ein oder aehrere Werthe z giebt, die gleichzeitig mit einem iener y den beiden ursprünglichen Gleichungen genfigen. Man könnte also Dacb und nach diese Wurzeln y in die Gleichungen 1. und 2. ein- ^tzen , und dann diejenigen z bestimmen, welche diesen beiden 60 verwandelten Gleichungen geroeinsam sind. Allein so würden UM nur mancherlei Umwege ans Ziel bringen. Vortheilhafter wer- den' wir nach folgendem Plane die zusammengehörigen Werthe 5 und z erhalten.
Wir scheiden vor Allem den gemeinsamen Faktor der Glieder A^ Ai,.„Bt J^i .... ab. Dioi'enigen y^ welche denselben auf Null bringen, genilgen beiden Ci!leichungen 1. und 2. unabhängig von einem bestimmten z. Die solchen y entsprechenden z bleiben dem- nach ganz willköhrlich. Wenn nur die eine der Gleichungen I. und leinen solchen Faktor hat, so .giebt die andere, wenn man statt y nach und nach die jenen Paktor auf Null bringenden Werthe letzt, die entsprechenden z. Deren Anzahl kommt also dem höch- >ten Exponenten gleich, mit welchem % in der letztem behaftet vorkommt.
Hierauf leiten wir durch Elimination einer Potenz von % eine andere Gleichung ab, ganz so, wie dies geschehen muss, um nach und nach z zu eliminiren, scheiden abpr den gemeinsamen Faktor, welcher nur y enthält, sogleich ab. Da dessen Wurzeln
232
y die letzte Gleichung identisch aaf Null bringen , so schliessen wir, dass durch die nämlichen Werthe y die beiden Gleichungen 1. und 2. identisch sein müssen. Diese geben dann die gleichzei- tig entsprechenden Werthe z. Auf diese Weise fahren wir fort, die durcn Elimination der Terschiedenen Potenzen zon z entste- henden Gleichungen von ihren Faktoren in y zu befreien, wobei dann die solchen y entsprechenden z immer aus denjenigen bei- den Gleichungen hervorgehen, welche die letztere mit jenem Fak- tor von y behaftete Gleichung lieferten, indem diese durch Ein- setzen des bezGglichen v beide identisch werden. Üie letzte Be- ziehung endlich, in welcher kein z mehr vorkommt, giebt dann noch oiejenigen Werthe y, welchen nur ein einziges z gleichzei- tig entspricht, das man aus der Gleichung des letzten Syatemes herleitet, worin z nur auf dem ersten Graoe vorkommt.
L Es seien
2x2 Daraus :
222—^2 + 1=0. i *
2^2-y»-3=0{ (y^ + 3)z-(s(2-l)y=0) ^•
y4_8i/«— 9=0 3.
Aus 3. erhält man die Werthe y, und aus 2. dann die zuge hörigen z.
2. Es seien:
2z«-(%-l)z-2y«+yr=0i .
i^+x^^yz^y^=0 \ *•
Daraus:
(4y + l)za-yz-2ya=0 2.
(16^^2^-1)2 + (8^2_6y-l)y = 0) ,
y(V-iV+3y + l)=0 4.
Die Gleichung 4. giebt die Werth'e y und eine der Gleichungen 3. die zugehörigen z.
2^+(y-3)z+^«-3y + 2=0j ,
^' z«— 2z+y2— y=0 ^' '•
«
Daraus:
(y-l)x-2y+?=0. ' -. 2.
■«.
233
II
rieder 2=2 entspricht
x« + 2(y+l)x + j(2+2y=0, 1.
»»-3(y-2)«2+(3y«-12y+8)5-yH6yMy=0 2.
lebeo
(5^-4)»«-2(y«-7y+4)«+y»-V + 8»=0. 3.
Ii» den Gleichungen 1. und 3. erhalten wir dann
3y(y-l)»+y»+3y«-4y=0 4.
t» gemeiAtamer Faktor $(y— D giebt die Werthe y^O und I, %nd dl» zQgehurigen Werthe « ergeben «Ich dann -besüg-
2«+22=0 und 23-f4z+3=0. htt\ Abscheiden jenes Faktors bleibt aber als Gleichung 4. :
3i+y + 4=0 4'.
tte Verbindung von 4'. und 1. giebt:
iPy + 2)i + 3y« + 6y=0 6.
Aue mit 4'. wieder :
Bk Biaen WeKhe y^^l und y=i:2 finden ihre Werthe z aus 4.
^ Will. 16
L .
234
l^uriMilk^ Bereemrans der Zahl tt,
Ton
Herr»,. C. Hellwig,
4
Lehrer der Mathematik xa Furitcnwalde.
I . . . . \
• I
Man denke sich in und um einen Kreis loK dem Hi^lbmesscr R die regelmässigen Vielecke von n und 2n Seiten bescfariebeo. Die Seiten der emgescbricibenen Vielecke von n und 2it Seiten mugen bezüglich mit Sn und %i, die der umschriebenen entspre- diei»d mit Sn und S^^ und die Loibe vom MitteipuAkt de^^JKxmr ses auf die Seiten i« und s^n ebenso mit r» und r^« bezeichnet werden. Wir wollen Formeln aufzustellen suchen, mittelst deren S2m» Sn und S^n aus 1« berechnet werden können; dadurch mus*
sen wir zu Näherungswerthen von tc gelangen. Indem Wn~' ^^^^
Q-n. Sm fiir i2=:l, um so mehr mit n übereinstimmt, je gros- ser n ist
Aus den in der oben angedeuteten Figur vorhandenen recht- winkligen Dreiecken entnimmt man leicht die folgenden Be- ziehungen :
(1) r^«=i^*-JJ^^
(2) «i«'=(«-r,)« + j*«».
23$
(3) j*,»=Ä»-r.».
Die Elimination von jSn* aus (2)r ud4'(3) (Übrt w^
(4) 4 *!»*= 2 '^^ J * • »•• '
1 I ' t ■ r ,
woraus maik «« V«rl4ofl|iQg luit (I) erb^t:
t • I
) •
^»*=^a^+ 3**'''
»der
(5) r^
1
Wegen Aehulichkeit von Dreiecken der Pigur hat hian ferner die Proportionen :
(6) Sr^lKSn^R^'T^n
t
(7) r«: »555-*« 5 J *" •
» .' ' t r
.1.
Hieran« ergiebt sich:
<o wie
• «...
(9) fi.»^^.* ,
umI ebenso
(im. ^,=^.Ä.
Für Ä = 1 verwandeln »ich die Werthe von r^t , *«« , Ä ^l«* ^ in die folgenden :
.-.• . :ai).
Tptr'il 8+ 2''"'.
1
236
ri2)
(13)
(14)
h,n —
ir^n
Diese Formeln verwenden wir in der Weise zur Berechnung von «, dass wir von einem bestimmten Werthe von r« and sa ausgehen» daraus r^, Sa»» Sa , S^% bestimmen und hieraus wie- derum T^f I4N, S^ linden u. /». f. Nimmt man n=6, geht al^o vom regelmässigen eingeschriebenen Sechseck aus, so bat nan bekanntlich #« = 1 und
=^y^3=o.
8660254.
Mit Ualfe dieser Werthe gelangt man bei Anwendune sieben«td- iiger Logarithmeo zu folgendem Schema für die Berechnung von n:
0,4330127
',5
1
2 *"• 1
5"
rg,« =0,9330127
ri, s=0,96692S4
2)0,4829627 0,5
Ttk'
=0.9829627
r,4 =0,9914447
2)0.4957223 05
r«« =0,9957223
r^ =0,9978689-
2)0,4989295 0,5
Tm* =0.9969295,
rM =0.9994647
2)0.4997323 0.5
log.l =1 — 1
log.r« =0,9375306-1
log.r,«'tl,96M875— 2
2)
log.r« =0,9849437-1 0,30103
0,2869737 log.«,, =0,714(ß63-l
log.r,4'=l,9925370-2
log.rt4 =0,9962685-1 * 0,30103
log.5« =0,0634091
iog.,^,=0,72900826-J
0,2972985 Iog-*t4 =0,4167278-7 logrw*=1.9V813»2-2
logr4«= 0,9990691-1 0,30103
0.3000U9I Iog.«4, =0,1166287—1
log.ra,«=l,9995348-2
log.r<K, =0,9i997674— 1 0,30103
ajumm —
log.SM =03IB83IS-2
log. 544= 0,4204593-
•og-S« =0,1175596 -
log. ^=03160639-3
2»7
r,n«=r0^9»973fö
r,„ =0.9998662
M999331 0,5
rM*=o.gtig939i
tms 0.9990664
2)
0,4999832
r,M»= 0,9999832
r,n =0,9999012 2)
0,4999956 0^5
W=0,9999956
'im =0,999998
2)
0,499999 ^5
W= 0.999999
loff.riM*» l,9998838--2
2)
ioe.r,9t =0,9999419—1 0.30108 0,3009719
|i
Iag.Ä,„ =0,5149f7S-2
log »IM =0,5148594-2
l..g.r~4«=il,9999709— 2
2)
logi-as« =0,9999854—1
0.3010154 'og-^4 =0,2138440-2;iBg.i^ =0,2138586-2
•og^r«' =1.9999924— 2
2) log-»'Me =0,9999962-1 0,30103
n;30lO-li%2 log.Sr«s = 0,9128178—3
log.r,5,4«=l ,9999962-2
2) log^iM =0,9999991-1 0,30103
0,3010291 •og-«i68« =0,6117887
l«g»-80Ti^l 9999996-2 0,30103
0,3010298
log-<Mra =0,3107589
log.5^ =0,9128216-3
Iog.i^„e=d0,6l 17896-3
I
Iog<^on=0.3107591-3
Als DarcbschnittsTrerth folgt aua dieser Berechnung:
'^\ man hierzu
log. 5 =0,3107590 — 3.
log.l536=3. 1863912
•« ergiebt sich
log. n = 0.4971502.
238
Diesem Logarithmus entspricht die Zahl 3,14159, welche in der That den Wetth von 9r . auf . 5 DecimalsteUep richtig angiebt.
Die mitgetheilte Berechiranij; ncheint mir hauptsächlich zwei VorzSge zu oesitzen, nämUeh dass sich einmal die meisten der darip Torkommenden Zahlen einfachen Grenzen immer mehr nähern, indem die Werthe von r^ und r der Einheit und di^ Summe der Radienlogarithmen mit OtSOlOS dem Logarithmus von 2 zustrebep, oder doch wenigstens eine gegenseitige Annäherung zeigen» wie die Werthe von logi und log^, und da^s zweitens das Auf- suchen der vorkommenden Logarithmen , so wie der Zahlen zo denselben sehr bequem geschieht deshalb, weil man ven log-r^^ an kein Blatt in den siebenstelligen Logarithmentafeln mehr um- zuwenden braucht. Dabei ist der Mechanismus der R^cbouiig der einfachste, den es gehen kann, und bietet keinerlei Schwie- rigkeiten dar, weshalb auch jeder mit den nothwendigeo Vor- kenntnissen ausgerüstete Schüler mit Leichtigkeit in den Gang der Rechnung sich hineinfinden wird.
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239
• • 1
iniscellß
■' 1 1 r ■ < I ■
Eine gelegentliche Veranlas$uiig ffibrte mich neulich einmal wieder aaf die Bestimmung des Inhalts der dreiseitigen Pyramide^ vs drei in einer Ecke zusanimenstossenden Kanten und den von' denselben eingeschlossenen Winkeln. Wie leicht diese. AuffMibe <ioTch die sphärische Trigonometrie zu erledigen ist, weiss Jeaer; es kam jedoch auf die- Anwendung der blossen ebenen Trigono- metrie an. und da die Auflnsung, welche ich fand, mir sehr ein- fach scheiht, die Aufgabt sich auch wohl zur Uebung fiir SchQler ei^et, so will ich meine Auflosung hier niittheilen. Taf. IV. Fig. 1. ^rd fär sich verständlich sein » und nur kurzer Andeutungen zti ihrer Erläuterung bedürfen.
Die gegebene Pyramide sei ABCD^P. Die Kttnten ÄD^fty fiÖ=*, Cü=zc und die Winkel
Z.ADC=^«. ^BDC=ß. ^ADBz=y
Wien gegeben. CE sei auf der Ebene ADB, CF und FG seien ^^ AO und BD seokrecbir ^^^ EF, EG, OE. seien * gqzo^en. w setze der Kürze wegen
•0 igt ''
1 1
p=zjCiÄDB CE=Q a6.Cfi.slny.
'^erner ist
240
£F=zeco8€tta,hgip, EF=z DE,B\n<p;
EG=z ccosßtaug^ , EG=: DE.s'in^.
AUo ist
EF C08« tang9 8*1119
EC^ cosß ' tangt/;"^ s\n^f *
woraus
coea CO81// -
COSjS ' COS9) *
also, weil ^ = y ~ 9 ist :
f coaa cos (y — q>) _ cosir
*" C08/3 ' cos<]p cos/3 ^ ' ' ' ^^' '
und hieraus
cosß — cosacosy
taDgo) = — ' . '-
"^ cosasiiiy
folgt. Daher bt nach dem Obigen
C08/9 — cosacosT siiiy
und weil nun hiernach
I ,
ist» so ist 9 wie man sogleich findet:
CE = -^: — V I— cos«*— coÄjP--cosy* + 2cosa cosacosy $ also nach dem Obigen
1 r - .
P^:i^abc\ 1 — cosa^— cos^— cosy^ + 2cosacos/?cosyy
oder nach einer sehr bekannten Tranefeffflafioii der GrOsse natvr dem Wurzelzeichen: ' '
welches die bekannte Formel ist
G.
241
XT^III.
Krweiteriingren der Intefrral
rechnnng^.
Von
dem Herausgeber.
Einleitung.
Ib der Integralrechnung geht man bekanntlich von einer An-
' voD Integralen aus, weiche unmittelbar aus der Differential-
lig entnommen werden, und nichts Anderes sind als die
bningen der in der letzteren Wissenschaft gewonnenen Üiffe*
Iformeln, in der That aber die eigentliche Grundlage der
inten Integralrechnung bilden. Hat man einmal diese Inte-
Ifomeln aufgestellt, so besteht streng genommen die ganze
^ Integralrechnung, insofern sie die Auinndung der Integrale
estwickeit gegebenen Differentiale betrifft, in nichts Weiterem,
11 der ZurGckföhrung der. übrigen zu entwickelnden Integrale
jene unmittelbar aus der Differentialrechnung entnommenen
;rale durch geeignete Transformationen , Substitutionen u. s. w.,
ein Integral kauo jederzeit als gefunden betrachtet werden,
I es sich auf jene rundamental-Integrale zurückführen Iftsst,
freilieb oft mit grossen Schwierigkeiten verbunden sein, und
Aufwand analytisdien Scharfsinns erforden kann. Je mehr
sben Fundamental -Integrale dmb nun ans der Diffe.rential«
lg entnehmen kann : eine desto breitere Grundlage wird der
rechnung geboten, und ein desto grosseres Feld der Auf-
: geeigneter Mittel zur Reduction anderer Integrale auf die
iten Fundaroental^integrale wird dem matheuatiscliea Scharf-
erSffnet. Ich glaube daher, dass man diesen einfachen Weg,
ijhtegnilreclinung zu erweitern und zu vervollkommnen , zu früh
hat, wenn aiieb allerdings manche Veniuebe, denselben
XTin.
17
242
ZU betreten, gemacht H'orden sind, ohne dass man sich Tielleidii stets klar bewusvt gewesen ist, was man eigentlich wollte um eigentlich suchte.
Insbesondere hat, ohne anderer frQherer Versuche jetzt wer ter zu gedenken, Euler versucht, die Bugen der Ellipse, dei Hyperbel und der Parabel in die Integralrechnung einzufilhren; dieselben in ganz ähnlicher Weise, wie man schon lange vor ihm die Kreisbugen gebraucht hatte und bekanntlich auch jetzt oocb gebraucht, zur Darstellung der Werthe gewisser Integrale zu be« nutzen, und auf diese als neue Fundamental-Integrale gewoDne- nen Integrale sodann andere Integrale durch analytische Trans- formationen und Substitutionen zurückzuführen. Die ni vielen Bezie- hungen merkwürdige Abhandkiug Cu,Ler*s, welche ich hierbei iro Sinne habe, findet sich in den Novis Commentariis Acade- niiae sci^ntiarum Imperialis Petropolitanae. Tom. X. pro aiino 17^4. PetropoU. 1766. pag. I. vmd hat den Titel: De reductione formularum integraiium ad rectificatio- nem ellipsis ac hyperbolae. Ich kann nicht unterlassen, die merkwürdigen Worte, mit denen Euler diese Abhandlung einlei- tet, hier anzuführen. Er sagt nämlich: „Egregia omnino sunt,
3uae acutissimi Geametrae Ma,c| aurin et O'Alembert de re uctione formularum integralium ad rectificatlonem Ellipsis et By- perbolae sunt commentati; cum in iis noo solum insignis vis in- genii spectetur, sed etiam haud ezigua spes affulgeat, bis recti- ncationibus in caiculo aeque commode utendi, atque adhuc arcus circulares et logaritbmos adhibere sumus soliti. iNullum enime^t dubium, quin haec investigatio a summis Geometris tarn felici successu suscepta latissime pateat, atque uberrimos fructus ali- quando sit allatura; quamvis enim iam plurimum in hoc negotio Sit praestitvm, minime tamen tötum argumentum quasi exhaustum est censendum. Nam postquam lonee diversa methotio usus eo pervenl, ut tam in Ellipsi quam in nyperbola diversos aross de- unire, potuerim., quarum differentfam geometrtee assignare Ikeat de ouo quidem laudati viri dubitasse ridentur, hine non levis ac- cessio tn tractatione huius argumenti exnectari poterft. Imfrimi» autem hie idoneüs $ig;nandi modus desiaerari vtdetm", cuks ope arcus ellintici aeque commode in calcülo exprimi queant, ac iam logarithrai et arcuS circulates ad insigne Analyseos' incremeotum per idonea sIgna In calculum sunt introducti. Talia signa novam quandam caicull speciem suppeditabuot , culus hie ^asi prima elementa exponere constitui."
Seinen Zneck und den zur Etreichuog desselben einge^ia* gefien Weg wh^ weiter andeute*d, ge^itet v^n der Ansicbt. dass man, eben so wie man bei der EiMährUDg der Kreisboeen in die ' futegralredMung den Halbmeaser des Kreises einen oe- stimmten Constanten Werlh, n&mrich die Einheit, beUege, ein iibn- liebes Ver&hren Mieh bei dem Gehrauche der Bum» der Keg^ schnitte belblg«n müsse, fiihrt dann Eulerlbrt: »»Q^emadmodum autem eimie« arcus eireuiares ad circukim» cuius radinfi otttati aequ^Hs «latultuf , referri solent, ila eliam pro Omnibus «ectioai* hffs cMiicis, nuas in calculum recipere v^iumus» MetMMiram qi^' Arm Ih^sm unital« exprhnendam assiuni «ooveoiet, qufie ad eoi^
243
sped» aaqiie pertineat. Perspicmiin autem eat, hane ineosoram axi trawverso iribni neu posse, cma is inparabola oecessario fiat iainlCas» m hyperbola autem negativnin valorero conaequatar : aeqa* parani axia eoniiigataa ad hoc institotam est aecommoda- tia, quippe irai in paratK>la quoqae fit inftnitoa, at in hyperbola raloma^ aaeo iraaginarlnm adipiackur. Relinquitar igitnr parame- ter, ciii, qaaninas perpetuo valo? fixi» tribni queat, aihil plane •bi^, et ^uoniam pro circulo parameter abit in diametnim, huiua- (|af »emissis imitate exprimi solet, oonstanter in aequentibns pa- waetram btnarlo indicabo, ut eiua aemiMia unitate oxprimator/'
Ich habe auch dieae letzteren Worte Euler's hier angeführt, weit sich im Verfolg dieser Abhandlung zeigen wird, dasa ick den in denselben ausgeaprochenen Anaichten über die An- nalme einer beatimmien GrOaae als Einheit wenigstena nicht un- ' *' ' beiatimmea kann.
Es ist bekannt, dass Euler's so eben besprochene merkwür« ige Abhandlung die haoptsächlichste und näcnste Veranlassung nr Bearbeitung der Theorie der elliptischen Functionen gegeben bt; denn Legend re, der elgentjiche Begründer derselben, sagt 10 seinem Traitä des fodctions elliptiques. Tome I. Pa- ris. 1825. 4. Avettlssement p. VI. Vil. : II ne sera pas inu- fle pour rhistoire de la Science, de faire reroarauer icique cette BOQfelie brauche danalyse k laq|uetle l'Auteur a donnä le nom de Theorie des foncti'ons elliptiques, est fondäe en grande parfle sur les bases stabiles dans le chap. V., concemant la forme la ah» simple de ces fonctions et leur division en trois especes; f to est r^ult^ un Systeme de oomenclature et de notation , propre i repr<^sen(er ces fonctions dans les usaces ordinaires d'analyse, et k faciliter la recherche de leurs propric^t^s. Euler avait pr^vn ^'a taide d'une notation convenable, le caicul des arcs d*eilipse k tatres transcendantes analosnies, pourratt devenrr d'nn usage presque aussi gdn^ral que celui des arcs de cercfe et des loga- riflimes(*); mais si on excepte Landen, qui, par la d^couverte i9 son tn^or^me, aurait pu s'oorrir des routes noureVles, per- soaae ne s^est mis en devoir de realiser hi pr^diction d^Etder, et M peut dh-e aue TAuteur de ce Trait^ est rest^ seol k s*en occtr- fer, depuis Fan 1786 ou il a feit paraitre ses premiöres reoher- <ks sur fes arcs d^elfipse, jusqu'a löpoque actnelle. Cette esp^ce it d^laissement a retardö sans doute les progrds de la Theorie ie« fonctions elliptiques; mais l'Auteur par des efforts renonvel- iH 4 de grands intervaRes de temps , est parvenu cnfin k cem- pWtr presque enfierement cette throne, et a en rendre f'applfr- aöoa iacfle par des tables fort dtendues dont il a ex^tut^ lul- •ÄÄe tons les caiculs."
17»
244
Die grosse Ausbilduog der Tlieorieder eliipli«fiiien Fmetioaco» a -VI elcber dieselbe, ohne imWes entliehen den «rspräncliob von L eg eo- dre in seiner ältesten 8chrtft über diesen Gegenstand; Mi^moire sar les transcendantes elliptiques, ou Ton donne des mö* thodes faciles pour coniparer et eralner ees transcso-^ dantes, qui comprennent te« arcs d*ellipse, et qni se recontrent frequeroment dan^s les applications da cal- cul integral. Lu a la ci-devant Acadeiuie d<is Sciences en avril 1792. Par Adrien-Marie Le Gendre. A Paris. L'an deuxieme de la R^puüiliqne. 4^. vorgeieichneten Weg zu verlas^^en; geführt worden ist, muss Jeden Analytiker mit der grSssten ßewuiiderting erfällen; und es ist diese Theorie zagleich das schönste imd lehrreichste Beispiel der Erforscbnng der Nititr einer iviohtigen analytischen CkOssenforni nach allen möglichen Seiten und Richtungen hin. - Mit besonderer Bezugnahme auf die oben angeführten \Vorte Euler'8 hat sieh mir aber schon »ftere die Frage aufgedräuct» ob sich dem, was£uler» nie esack&Btt eigentlich im Sinne hatte und beabsichtigte , namentlich andi lo Bezug auf den ^/idoneus signandi modus, cuius opear- cus elliptici aeaue commode in calculo exprimi queant, ac iam logarithmi et arcus circulares ad insigne Analyseos incrementum per idonea signa in caiculum sunt introducti. Talia signa novani qu^ndam calculi speciem suppeditabunt» cuius bic quasi prima elementa expooere constitui'' nicht vielleicht auf eine Weise entsprechen liesse, die bei möglichster Einfachheit, dem Verfahren ganz analog wäre, welches mas bei Einfuhrunjr der Kreisbogen in die Integralrechnung befolgt« Wäre dies mughch, so würde man dadurch eine Reihe neuer Funda- mental • Integrale erhalten , auf die man andere Integrale zurück- zuführen sucnen müsste. Wie ich diese Frage zunächst für die Ellipse zu beantworten und möglichst zu erledigen gesucht habe, werde ich in dieser Abhandlung zeigen, indem ich mir vorbehalte, späterhin auf die Hyperbel und die Parabel, la auch noch aof andere Curven zurückzukommen. Die Hyperbel ist (reilich ei|(eat- li^h schon unter der Ellipse enthalten; mdess scheint es mir im vorliegenden Falle besser und angemessener zu sein, so wie der EUrpse, auch der Hyperbel eine besondere Betrachtung zu wid- men. Ich werde lür jetzt aber nur hauptsächlich die Fundamen- tal-Integrale entwickeln, welche sich mir bei dieser Untersuchuog ergeben haben, und erst späterhin» wenn ich wenigstens auch die Hyperbel und die Parabel in ähnlicher Weise wie die Ellipse noiersiicbt haben werde» die fernere Untersuchung der Integrale unternehmen, welche auf jene Fundamental-Integrale sich zurück- führen lassen. Dann wird sich auch erst entscheiden lassen, in wie fern der Titel, welchen ich, ohne übrigens dadurch im Ge- ringsten ein gewisses Aufsehen erregen zu wollen die Absicht zu haben, dieser Abhandlung gegeben habe, gerechtfertigt erscheint, d. h. in wie fern die in derselben entwickelten Integrale wirklich als Erweiterungen der Integralrechnung, deren dieselbe freilich noch sehr bedürftig ist, zu betrachten sind. Daher bitte ich aach schon jetzt um eine nachsichtige Aufnahme und BeurtheiJong der vorliegenden Abhandlung, bis erst weiter forteesetzte Untersuchun- gen einen sicheren Maassstab fSr die Beurtneilung des Wertbes derselben abgeben werden.
US
Erste Abtheilung.
§. I.
Wir Hollen uns zwei beliebige conju^irte Halbmesser einer B6p«e denken, die vrir als positiv betrachten und mit Riicksicht tmaf durch an, bm bezeichnen; die Durchschnittspunkte dieser ^jaeirten Halbmesser mit der Ellipse seien respective An, ßni wi der von denselben eingeschlossene, 180^ uicnt übersteigende Wifikel werde durch ctn bezeichnet. Sind nun, wenn wir an, 6« rii die positiven Theile zweier Coordinatenaxen betrachten, in imm seinen Anfang im Mittelpunkte O der Ellipse haben* fa Coordinatensysteme Xn » yn die Coordinaten eines beliebigen hiktes der Ellipse; so haben wir nach der Theorie dieses Ke- leiscliiiitts bekanntlich die Gleichung
■' ©'+&)'=■■
Denken wir uns nun aber einen Bogen der Ellipse» welcher» bei 4m Pankte An als gemeinschaftlichen Anfangspunkt aller Ellipsen- ^w inCaogend, bei dem durch die Cdordinaten xn, yn bestimm« Im Punkte {xnyn) der Ellipse sich endigt, indem wir diesen Bo- fMinmer als positiv oder als negativ betrachten, {enachdem er ^ An an durch den 180<> nicht Obersteigenden Winkel AnOBn bdorcb nach Bn hin, oder von An an durch den 180^ fiberstei- Mlen Winkel AnOBn hindurch von Bn abwärts genommen wor- *n ist, und bezeichnen mit Rucksicht hierauf diesen Bogen durch
\^\ 80 koDDen wir offenbar die Grossen — » t^ lederzeit als
an bn ^
fndionen dieses Bogens on betraitbten, jnd wollen dieselben
J.L ^ e a e a
l«w unter dieser Voraussetzung respective durch ^no«» SnOOii bezeichnen, also
un On
^^tzeii. ber Buchstabe e ist in diese Symbole deshalb aufge- ''^"UBen worden, um anzudeuten, dass dieselben der Ellipse an- S^voren; dies konnte überflüssig scheinen, wird sich aber als noth- *«Qfig erweisen, wenn es späterhin darauf ankommen wird, die |%ie, Hyperbel und Parabel von einander zu unterscheiden. "> «eten Symbolen haben wir nun nach 1) die Gleichung:
3) (e„w,.)2 + (S„w.)^= 1 .
246
Nehmen wir den Pankt Bn als Anfangspunkt aller Ellipsenbog. an, und bezeichnen einen bei Bn anfangenden, bei aem durc die Coordinaten jr«, yn bestimmten Punkte (^n^ii) der EHifise sir endigenden Ellipsenliogen, Indem wir denselben als positiv od als negativ betrachten , jenachdem er von dem Punkte Bn a durch den 180^ nicht übersteigenden Winkel BmOAn hindurc nach Ah hin , oder von Bn an durch den 180^ übersteigende
Winkel BnOAn hindurch von An abwärts genommen worden i
b
durch (o«; so ist in ganz ähnlicher Bezeichnung wie vorbe offenbar
4) ^=z&n(On. f^ = ^"«*»»>
also nach 2):
ea e b ' e a ^ ^
5) &nCan = SaCOa 9 SnCOn == 0 nCD« ;
folglich nach 3):
6) (©«»„)« + (S„ca„)2=:l.
Ich will nun besonders die Gleichung 3) io's Auge fasseo, mul
«
zuvOrderst die Differentialqnotienten der als Functionen von «H
« a e • a
betrachteten Grossen SnGifi» Snoon in Bezug auf «n als unabbäD* gige veränderliche Grösse entwidkeln.
Weil nach dem vorhergehenden Paragraphen Ist, 80 ist
ea ea ea ea
Nach den Lehren der höheren Geometrie ist aber offenbar in vul liger Allgemeinheit:
und weil nun nach dem Obigen
in
0 ■ e a
:rii =3«<i®»«>M , yH => bnSnCHn ;
t
also . \ I , I
e a e a
ist; so ist \
Nach dem Vorhergehenden ist ferner
e a
^ I
also, wie man nach gehöriger Substitution leicht findet:
(-
ea ea «a«tf
Folglich ist offenbar mit Beziehung der oberen und aoiwtD %Kir eben auf einander:
« a a . 2 ' • , Sii(»n3cDn
y a««(& ^*+*ii^©iiw«)*— 2a»6i.cos#,©„to^
« a a • • 0nOOn9o)ii
3Saahi = =F
y crn*(S«w,)«+ 6i,«(ei, w«)^^2a«i„cos«»ento» 3« w«
wo sich nun fragt » wie in diesen Formeln die Zeichen zu nehmen sind. ^ Mittelst einer sehr einfachen Betrachtung erhellet aber» dass immer
e a « « , dSnOn
^dhi »nd
a
gWche Vorzeichen haben, woraus sich ergiebt, dass man in den obigen Formeln die unteren Zeichen nebnpjBn, und daher
248
8e.:.=- ^•••^
7)
V" e a ^ e « • a e a
a;*(S«»ii)*+ frft^QnoOfi)^— 2a«6«cosaii&ii0t»iiS»o>»
setzen maas.
w. ....... - ' '
^ •
(e.«.)» + (Si,a«)«^l
ist, so ist
=6,» + («,»-6,«) (S.^)« ; ai0o» wean ivtr
8)
*-*= a.« • *•'=-??-"•
'^=-^^1-17^, g^-s^rn?
setzen:
oder
=*»«U + J«"{S.S»)«|
e « « a e a
Folglich ist Dach dem Obigen auch:
t <
249 r
^_
6-V l+t.«C8»^)»-2«»8«,>ri +E,«. e»i.s,«
Y ...'(«.«■j'+fc^e.äi)«— 2«j.ci»«.e-". s.«».
J
249
• a
e a a SfiC9nvQ>N
a.Y 1— e."(©.M»)«-2co««.Vl-e»* • ®««taS««»k
|d8»ttiji=
« « a
6iiy l+f«?(Si.Wi»)*-2i?oscr,, V";l t««*- Ö»o>iS«ö>«
oder:
e m
« « a
SjtCOfidcOfi
bn^ l+e««(S«cSL)«— 2co8a»V^r?l?T©»««iS»cö,
«41 «
&||0>||80}||
a«
,y 1— en^Ce«»»)«— 2co8a« Vi--«** .©ii«» &•»•
9
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e a a SuCDfiCibfi
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*+ a«*efi*(S»iö«)*— ?aii6«co8aa®«w«S«to«
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#f«*— 6ft%*(©nöHi)*— 2a«&«cos««©jiMiiS«w,
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248
* ' 0 « «
7)"
Y a;«(S«w,)«+&«»(4„2hi)*— 2a«6,co8aM©fi2hiS.
setzen maas.
Weil bekanntlich
(e«w«)* + (S|.»«)«:^l
ist» 80 ist
«»«(Si,^)* + 6,.«(diw«)«= o,« -(a«*-«»«)(0n^^^
» |
=6,« + (o.»-6»«)(S«^)«; |
|
id« |
9> wenn wir |
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1 flu* JA« |
'• - 6.« - ' . |
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f;=^l + e.. |
setzen:
oder
=ft.« + «»*e««(S,i,)«.
Folglich ist nach dem Obigen auch:
( I
O.Y !—«■»(©,»,)«— 2MisB,Vl-i;.*.©«oiiS.Mii
lbs.i.= e.111,,8111. ,
' «.y •+i."4ä."».)'-2eo.«.v"iT<?-e,l.s.».
248 .
Y <i;«(S»«.)*+*.»(©"»»)*-2a.VM««©«<a«S.».
+ o-V,«(S.».)«.
249
I
e a a SfiQ)fi9o>ii
ü
o.y 1— «,»(©,^)«-2co8a,V"l-^«.e««taS,4
k
6-V 1+««^Ä«^'')^-2C08«|, Vi +€n«. ©»««SmW«
.4k;
0 « a SftOndoii
*i.V l+f«^S«cSL)«— 2co8a«V'ni?r©»w«&.c^
(
t •
3SaON =
« « a
a«y 1— €««(©«iM„)«— 2cosa« Vi-— ««* .©nw« S«»«
H«r:
86itt«'
e a a Sii(Df|86>fi
V
e a 0 a e «
6«* + a»*efi* (Si,««)*— 2iiii6«co8aa®„a)«S,to,
0 a «
v^
0 • 0 0 0 0
f-=
• I ; 1 1 '
250
/ € a a
^ • SfiCdffdooji
^3e«Q),=—
Y ff,"— *„*f„«(©nn»rt)*— 2««*«COaB,©aO)nS« CO, ' e a a
Y 6i.*+flÄi,«(&w»)«— 2a«*a(*8a^e«*^^
$. 3.
Wjr Yyollep nun
e a e a
t3) T«C»„ä=-j^, <i„aH,= —
a
setzen» wo also
e a e a
14) T«a),.5na)ii=l
ist Dann ist nach den Regc^lo der Differentialreehoung
0 « ©«(»1» S OliG)« 5
8Tw(o» 8a,„ Sooji
to* 1 .1 1 1 ■ >
e a '
3w« (©fiOH.)*.
oder
ea ea •• e a
a e a ' « e a ' ö
da>ii &IIC9II doon (&n(On) dmn Also Ist nach dem vorhergeheodeD Paragraphen
251
t •
<T.- 1
e a
•"» y a»*(&Wfi)*+«««(e«w«)«-2o»6iiC08a,efiWi&ic^
i l, weil
(©iiW,.)*+(S«0n)«=l
ist:
15) — 5—
8(0»
1
(©•»•)* y a««(S«i«)«+6««(e«w«)*-2a,ft«co«ai,e„i. sL
a
oder
16) dinL
dom
(©.€»,>• y an\Sn^)^+bn\enmn)^'-2a^nC0»amenÜ^nSm^
— »
oler aocb
17) afni.
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(©■©n)' any l-e««(©«W«)*— 2c08«nV l-««* . 4JL SnWn
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§.4. Setzt man
ea e a e m e a
M ist
«a «a ea ea
nd diese Differentiale können daher slus §. 2. nimnitelbar ent- MmmeD werden.
Setzt man
e a I e a \
23) ScnCöii= "TV" * 6c«»it = -7-7- 5
»ist
ea ea ea ea
ScjiG)ji=(©ii w«)-* , @Ciiahi=(S«o)«)-* ;
ilso
e a e a
»C»GDfi = ^-7 > <^©CjiO)n=: —^ 3
(©nü)«)« , (SaßHi)*
ab« nach §. 2.
254
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8 ol
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I
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o
OD
a
CA«
a *
8 o
a
8 «
a
5- 8.
Bezeichnen Wir die beiden Halbaxen der Ellipse durch Ho, ^»^ den von denselben eingeschlossenen Winket also durch o^; ^ ist «0=90^, cosao = 0, und die im Vorhergehenden entwickel- ^ Vormeln vereinfachen sich daher in diesem Falle sehr.
256
Es ist:
27)
oder
e 9 9
3Somo=
V«o*(So^))*+V(eo»o)»
9 a a
3^00)0=—: , - - . .
V^«o*(So«
(So«o)*+V(®o«H))*
« a
(©o«o)* Y «'o'(So"o)» + *o»(©o«b)*
e a c •
aU=. ^ ^"»
(So«o)' Y «o*(4%)* + V(eoio)*
e a 0
SoCöo^^Cöo |
||
üfc3V0 IPQ — |
V |
«o*(SoCöo)*+*o^©o«b)* |
e a 8ÄVoO>o=- |
"■ / |
®o«Oo3«o '. = — '.=^ . ' » |
e a
8Scoeoo= -7
'(So«>o)* + *6*(eo«o)«
e a
e a
aecoa^=-^».-7.
*toO>o 8lö<
«0 coo y oo^cso«"!))* + 6«* (e,« J«
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«der
257
28).
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B^mQ=>
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«oV 1 - «ö*(eo»a)*'
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^"0 «n,V j-«o*(e.».)«
29) 8^^= . eo«o8a)o
258
« a 0 |
|
*'^^0'*t) |
*oV 1 + eo«(So^)« |
e a |
a 1 Brno |
(0o«d)* 6oV ' + «oM S„^)* |
|
3loWo=' |
a 1 oft^j |
(So^)* 6„y 1 + Jo«(So»o)' |
|
€ a SSvoWo = |
e a a SqCDoBoDo |
6oV 1 + *o' (So4)* |
|
6 a |
6 a a 1 1-^— ♦ |
e a a
aSco«)o= -^^
— — . r» ^" ^="7
®o«o 6oV 1 + to* (S.».)'
6 0 a
a <
'QWO'
So »4) ÄoY 1 + e««(So«n)*
Fdr den Kreis ist ao=6o» also «0=^0=0, wodurch sichdi obigen Formeln noch mehr vereinfachen» und auf die bekannte goniometrischen Differentiale surdokkommen.
$.6.
Einen bei dem Punkte An anfangenden Bogen der Ellipse dessen im Vorhergehende^ durch das Symbol S« bezeichoel<
259
mction die Grusse x ist, d. h. den Werth ss hat, wollen wir tit durch
a e
ArCfaSii(=:jr)
lehnen, 00 dass also
Sii|ArciÄi(==«)J=ar,
ler, wenn wir
a a .e
(On=^ATCnSn(=^x)
KieD,
6 a
Sjia)«=a?
k: woraus nun aocb Ton selbst die Bedeutung Shnlicher Symbole I Bezo2 auf die Obrigen oben eingeführten Functionen der ellip*
tbea Bogen erhellen wird, was hier nicht weiter erläutert sa "deo braacbt«
$. 7. Setien wir daher
a a €
co«=ArciiSji(=ar),
bist
e a •rs^SnlllHi,
nd folglich nach 7) :
e 0
2r ©««)«
^"» \ an'Hßn wii)*+6ii*(©»wii)*— 2aii6iiC08««©»w« S«w, ^ i<t aber nach den Lehren der Diflerentialrechoung
a 0
260
9
und folglich nach dem Vorhergehenden:
a e
da;
I ■
= "r~i -V afi*(S»Wfi)*+6ii*(©j»c9n)*--2a,,6«co8a»©«i»« S««.,
Weil aber bekanntlich
(0i.ffl«)« + (S.0H)«=;l
ist» «o ist
«8 e a « a
(©«ß)»)«=l — (S«a)„)* = l-a:«, ©«<»»= ± Vi —or«; wo das obere oder untere Zeichen zu nehmen ist, jenachdem
®«a>»=6n{Arc«S»( = a:)l
>
positiv oder negaüv ist Also ist, immer mit derselben Bestiii mung wegen des Vorzeichens:
30) 8ArcaS«(=ar)
V 6n« + (cr„«- 6««)a;« T 2a„6«cos«„ .\rV 1 - ar«
± VT=P ^"
oder
a e
30*) 8Arc„S„(=ar)
. 6«V 1 + e«»ir« T 2cos«» V" I+l«" • « V^H^T^ „
Folglich ist auch umgekehrt:
261
31) ArcS,( = a:)
fe±
ir:
31*) Arc«S«(=a;)
> i I ■ 1 I I
Setzt man x^sBintp, und nimmt» was offenbar immer Teratat- ^9 so» dass CO89 positiT ist» so ist
dx = cos<pdq> , V^l — x^ = cos^ ',
32) ftaSfl(=6in9>)=± / ^q>^^an^Sln<p^^2anbnCoaatlBlU(pcos^+b1flcoa<p^.
Setit man a;=cos^, und nimmt, was offenbar immer verstat- tiit, 9 so» dass sin^^ positiv ist» so ist
ßa?=— sin^Sg), Vi— a7*= siny;
33) ^&(=cos9)=:T/ 89 V€ia^os9^i=2aA6iiCosajisin9>cos^-f 6ii%in9* .
$. 8.
Setzen wir ferner
a a e
o)ii=Arc«©«(=ar),
••ist
262
and folglich nach 7):
dar SiiODii
Nun ist aber nach den Lehren der Differentialrechnang:
also
and folglich nach dem Vorhergehenden:
a 6
8Arc«ew(=«r) 8a:
i*— ^^•.kaaiav^k.artB
1 4 r • « a e a • • « •
•SnCOn
Weil aber bekanntlich
(e«w«)« + (S«««)«=l
ist» so ist
e a e a e a
wo das obere oder untere Zeichen zu nehmen ist, jeoacbdem
S«^=&,{Arce«(=a:))
positiv oder negativ ist. Also ist, bnmer mit derselben Be«tir mung wegen des Vorzeichens:
2«3
34) aArc;©o(=a:)
oder
a e
34*) 3ArCi,e,(=a:)
^ Vi— JT«
Folglich ist auch umgekehrt:
35) Arc^n(=a:)
oder:
o e
35*) . Arc„©«(=ar)
=^v —
Scizt man a:=co8g>, und nimmt, was offenbar immer ver: stattet i«t, 9 «o, dass srntp positiv ist, so ist
ab
36) Arc.e.(=cos9)= ±/89 Va;«sin9»iFticrn6«cosa,sin9COS9+6„2cos^
Setzt man ar=sin<p, und nimmt, was offenbar immer verstat- ^Wt*, 9 80, dass C0S9 positiv ist, so ist
dx = coBfpBfp , Vi -a:* = cos^ ;
264
also
37)
A
5. 9 '
Wir wollen nun
« a e
o>«i=AreiiTf»(=sar)
setzen > so bt
6 a
und folglich nach 15): dx 1
■-^ — • ■ ^ — I — .
8w« (©«(»«)* Y aa*(Snw«)H*«*(©««»)*-2a«6»cos««©«SHÄiJ^
Nun ist aber nach den Lehren der Differentialrechnung:
a a
8 OD» flon 82c _^| '»
« — dx ^ "»" — *
doDn doDn
also
OtOn
und folglieh nach dem Vorhergehenden:
^ |
0^ |
8Arc«T,(=x) 8a: |
= (©•<»«) |
*V a.«(&,ii)»+6»«(©.Sh.)a-2ii |
|
Weil aber |
"X |
265
i=(e.».)»+(s«»»)«=(6»<»»)* HfTV) i'
j = (e.»»)«{ 1 + (Tni«)« ! =(i + ««) (e»».)«
• « I « a 1
ist
ea € a e 9 e a
Sn0m *= ©iiWäTii»» =: JT&nOhiy
« a
'^-'^^ * VT+P" '
pit Beziehung Ich allgemein :
der oberen und unteren Zeichen auf einander } Tolg-
€ a e
nd daher.
^ ist nach dem Obigen:
38)
8ArcT.(=x)=. (Tji^ijvi^ a*'
«i folgBch umgeicehrt:
39)
Arc.T,(= .)=/: — ^H:i^;vlT^5; — ^"-
/
«
266
Darch CoDStrubtioD kann mao das Integral
(1+0:2) srrlt^ ^
auf folgende Art finden, wobei wir annehmen woHen, daas z sitiv sei.
Mit den conjugirten Halbmessern an=^ OAn, bn=^OSn (Taf. Fig. 1.) und dem Coordinatenwinkel an = AnOBn be«schreibe nach einer aus der Lehre von den Kegelschnitten allgemein kannten Aufgabe, für die man scfion melirere elegante AuflOs gen hat, eine Ellipse. Soll dann der elliptische Bogen A einen Werth des obigen Integrals darstellen, so muss, wenn BC mit OBh parallel ziehen,
BC pC^_0 4n BC
^-^OBn' ÖAn~ OBnOC
also
OAn.BC ^j,
sein; d. h. es muss
OC: OAn=BC:x.OBn '
sein. Ziehen wir nun durch An eine Berührende der Ellip« welche bekanntlich mit OBn parallel ist, und die A^nie Ol welche, über B hinaus verlängert, die durch An gezogene Bi rührende der Ellipse in D schneidet; so ist .
OClOAn:=^BClAnD,
also nach dem Obigen
AnD = X. OBn =^ ♦na?. ^
Dies führt unmittelbar zu der folgenden Construction :
Durch den Punkt J» ziehe man eine Berührende der beschriei benen Ellipse, welche mit OBn parallel ist, schneide auf diesei Berührenden von dem Punkte An aus ein iStück
AnD=X.OBn
ab, und ziehe durch den Mittelpunkt Oder Ellipse Und den Punkt D die gerade Linie OD^ welche die Ellipse in dem Punkte B schneidet; so ist der elliptische Bogen AnB, und, wie leicht er hellet, überhaupt leder bei An anfangende und bei B sich endi- gende Bogen der beschriebenen Ellipse ein \Verth des lut^^
>
/
267
Diese Constniction weiter zu Tcrfolgen , ist jetzt nicht meine kicht, and auch hier nicht nothig, da Jeder sogleich selbst be- nfen wird , worauf es bei der«elbeo und bei anaerei ähnlichen mstructioneD ankommt
Setzt man A.=tang99 und nimmt ^ was offenbar immer Ter- Bttet ist> q> SO9 dass cos^ positiv ist ^ so ist
I+Ä*=sec9>*, VT+^=sec9, (l+j:*)V l+a?*=sec9*;
fDer
V^Än* — 2an6narcoscrn + at?jfl = secg) V^Oa^siny* — 2an6fiCosansin9Cos9> + iAosy*
3j:= b=sec©*0©.
cos^ ^ ^
Also ist
40) AiCmTm(zstabg^) = / 8^ V^On^siny*— 2a«6nCOsafi«ing)cos^+6j,^cos9*.
Setzen ivir
anX — ÄnCOSOn .
u>d nehmen wieder , was offenbar ^erstattet ist, (p so, dass cos^ Nti? ist, so ist
:r:== 5;;(cosa. + sina* tang^) = ^;^^ ,
^_qAo8y^ >f- 6w^co8(«i, -- y)* ''" cr«*cos9*
/i _!. ^M — { ffn^osy* -f 6w^os(g„ — y)^H P«Tner ist
268
ako und
also
Oa COS9'
O« CO89'
Folglich ist
= fln*6ii*sin««* .
1 <i««cos9* + 6«^os (a«~9)«|l ' also Dach dem Obigeo
41) ÄrcfJ=^.'^°''^''--^>j
. -^ / flu COS9 i
89)
= ö«*6«'sina«* /. — « «vr-J
t/|aAos9HW
?cos(a„-9;«|l •
Für OA=:90<^ sind, wie schon früher, Qq, 6o die beiden Halb- axen der Ellipse} also unter dieser Voraussetzung:
42)
Wo (= ^ tang9).= «o^^oy^^^»eosy4V,^Dy»)l ' oder
269
43)
I
_^aA2/! ??
_&^ /* 8y
Co« /^ 8ip
Es ist schon oben erinnert worden , dass es in dieser Abband- ; nicbt meine Absiebt ist, micb sehr viel mit Transformationen gefundenen Fundamental - Integrale zu beschäftigen ; deshalb BUD fiir jetzt die vorstehenden Transformationen nur als bei- i»e Bemerkungen zu betrachten.
5. 10.
Wr setzen nun ferner
« « e
a»a=Arcii^«i(=a;)«
iist
e 0
»1 folglich nach 18) :
a
dcoft
1 I
(S«(Oii)» Y a«2(S«w«)«+6«^©«a«)*-2a«Ä„cosa,di»ii;iia^ *^ ist aber nach den Lehren der Differentialrechnung
a a
vCOn 8cö« vX 1
dcOfi dcojg
270
a
und folglich nach dem Vorhergehenden:
a ' e dATCnXn(=x)
da:
= — (S«2h.)«Y an\SnLy^+bnH^nL)^^2anbnCOBau4n^Sn
Weil aber
e a
1 = (e.^n)H(s»»i.)«=(i^)» |H(?T-*y [ .
SnüJto
also
ist 9 80 bt
l = (S.k)2{l+(L^)2|==(l+ar«)(ä.<i,)«
• « 1 e a I
Nun ist
«a eaea e«
also
0 a X
mit Beziehung der oberen und unteren Zeichen aaf einander folglich allgemein
« • • • X
und daher
an^Sn (On)HbnH&i!m)^'- 2a«6,K5osa. &Jam &•»!
_ Ou^ — 2a«fei,a?cosai,-f- &»«a?« ■" 1 + jr»
211
10 ist nach dem Obigen:
I 44)
I
I folglich umgekehrt:
[ ' 45)
— ex.
Arc«^«(=^)=--/ (H^i^vTr
a:«
Setzt man xseoi^, und nimmt, was offenbar immer verstat- lut, 9 so 5 dass sin^ positiv ist, so ist
Ji*=cosecg)*, VT+^=cosecg), (l + o:^ Vl+ar*=co8ec9';
iner
r
= eosecqp V^on^sin^)^ — 2an6«cosaRsin97COS9 -|- &«? cosg»^
Sing)
Usobt
46) « «
Arct,(=a»)=: / 899 V^dn^sin^^ — 2aii6nC0sa9sin9C0S9 -^ lhflco9<p^ • SeticD wir
OnOr— fffiCOSan
Onsmcrn
=cot9>.
^Behnen wieder, was offenbar verstattet ist, g> so, dass Bina W«y w4, »0 ist
. ^_a« X X ö« sin («« + y) x= g- (coser« + sin««cot9) = g; • ^^- >
L
272
1 . • ftuHiny* + flu' sin(afn + y)^
Ferner ist
also ) uod
6n 8109^
also
Folglich ist
(l+a:«)V^l+Sä
djT
=— Oii'Äii^iiiaii* .
|6mViD9«+a«»sin(ai.+9)«M * also Dach dem Obigen
47) 1,^.1= ^".5i!!^^^)(
' (6« SID9 I
• *
= flii*6jiVina«* / ., o . — s-j — ^r-7 7— x5TI- •
Für aA==00<> sind, wie schon frfiber« Oo» 6o die beiden BaU axen der Ellipse; also unter dieser Voraussetzung:
273
48)
ArcoXo (= ^ cot9^ = «0**0^ f
d(p
ao*co«9*+ 6o*siD9*)*
,2\1»
oder
49)
^'» ^(= S "^*0 = "«^^^yiao» - («V-6o«)8S^
89)
"" flo t/ (1— eoVmg)*)*
89)
fo^COS^*)* '
»Uo nach 24) :
$.11.
Setzen ^jr |
|
a m e o)ii=ArciiScii(=a;) |
|
so ist |
|
• 0 |
ex
Coa
TwCOn e a
&iia>fi
\ a««(l
r^ •
0 «0 e 0 e a
«(ö«)H*«*(®««»)*— 2a«6fiC08a«©«a)»S«ahi
^ Ut aber nach den Lebren der Differentiabrechnung :
a a
dmn 8(0» 8a; ^^ -
8ohi dcDji
«lio
19
I
274
a
CCOn
und folglich nach dem Vorhergehenden:
a e
8ArctiSc»(=ar)
dx
• a
Weil aber
ScwO)tt=g= ^ g- ist, 80 ist ©«wii=-
und folglich
(S«ö>«)«= 1 - (a„a)«)«= -— ;ä- Also ist
(T.:-)«=(l4=y=*'-i.
folglich
wo man das obere oder untere Zeichen nehmen musn, jeoadiden
f,(DL=T«l Arc«Sc(=a;) )
Sositiv oder negativ ist. Immer mit dieser Bestimmung wegeo es Vorzeichens bt also
€ a Qu«)« , 1
und
275
• a 9 m • a Vo?*— 1
bo
ii«*(S«iö«)«+6«*(®«c»«)>— 2c«ft»coga«©»c()fiS,a)» 6»«+ a„«(j:»— l)T2a«&nCowe«VPni
OJ«
''dglich ist nach dem Obigen:
50) aArc„Sc»(=:r)
===^^ — Ti "ojf.
"^^'x^ilfi-i^ ^'
Dodanigekehrt:
a e
51) ArcnSctt( = sc)
p 1 iTfrn^ + fln^ ( a:^ - 1) T 2Q«&«C08anV^^^ g^
welche Fonnel wir jetzt der Kürze wegen oicht weiter ungestal- teo wollen«
§. 12.
Wir wollen nno ferner
a a •
ah,=:Arc«6c«(=j:)
««*»cii, so ist
« #
^^ folglich Dach 24):
19*
276
• a
• • 1
• e a
e a «a e«ei
dwm Snfon ^ a,,«(S,,a)»)H*«^©«a«)*-5ki«6«co8a,e»oJS,w
Nun ist aber Dach den Lehren der DiffereDtiairechnuDg:
a a
dfl»« dQ>ii
also
• dmn I Bx
COht
und folglich nach dem Vorhergehenden:
a 0
8Arc«©c«(=ar)
• o
= TT^Y inn*(Sna)«)« + &n^0fiWfi)*-2a«6«cosaB0«a)nSn©« ;
'S» Oft
Weil aber
0 a J e a I
®Ciiiö«=::r =-7-; — ist, so ist SnCOii =-
SnflOii
und folglich
e a r a ♦« — J
Also ist
(Lw=(i^y=a^-i,
SnCDn
folglich
e a
wo man das obere oder untere Zeichen nehmen muss, jenachdei*
r-
277
^««»= Xu I AfCnQcn ( = a: ) }
lithr oder negafi? ist. Immer mit dieser Bestimmung wegen iVorseicbens ist also
0 a
U. ^-^^-1
e m e a 9 a V"<^^ i
»
• a «a «aea
o«*(S« a>«)*+6»^©«(»«)*— 2afi6iiCOsaM ©«con Sncon
^«
fl^ ist nach dem Obigen:
52) 8Arc»ec«(=:r)
Wi5zi\ ^i- ^*'
b amgeicebrt:
53) • Arc«0c«(=:ar)
$.13.
Scijctat
• • •
a)fi=ArciiSTii(=j:),
278
also
e a
80 Ist nach 22) uud 7):
e a
^^ Y an^(SnlhOHbn^i&n<On)^^'2äubnCOaank^^
Nun ist aber
« 0 , 8 (Qu dcOn _S^ I
also
dcD» , dx
and folglich nach dem Yorhergehendeo:
a e
8ArCnSvf,(=ar)
S5
SnCOft
Weil aber
in 'Y flfi^S«Wn)*+6ii*(©iiaii)*-2a«6«cosa«e««ii&iö*
e a e m e a
SirmOft=^=l — Gti«»«» also &n(0«=l — ^
ist; so ist
(S„a,)« = l - (e„«i,)«= 1 - (1 - 0-)«= ar(2-:r) ,
und folglich
e a
S«a)« = ±Var(2— o:).
wo das obere oder untere Zeichen genommen werden mowil nachdem
279
Sna«=S«{Arc«Sir„(=jr)l
itir oder negativ ist. Ferner ist
e« •• e a 9 m
fl.*(S«tt>„)*+ 6««(a«a)«)*— 2c«6iiCO8ai,0na)»S«iö»
=a.«x(2-a:) + 6«^l-a:)«T 2a«&«co8«„,(I— ir) V j? (2—0:) .
;Kch
54) aArcSv„(=«)
Vf fl.*ar(2-.ar) +6„«(1 -x)« T 2a«,6«cosa».(l ~x) V^a: ( 2 - jt)
±- , dx ,
Va:(2-a:)
lir ngekebrt :
I 65) ArcMSv„(=j:)
i yrm^) '''
§. 14.
^ endlich
• « •
•i>«=Arc«©Tii(=:a:)^
:r=©v,o)ii.
»t weh 22) and 7):
8L^ &u(On
^ V a»>(&(oL)*4-^^&ii»«)^-2aii6»co«tf» F>«taber
280
• o BcOn B(On dx -
"IT— ^ -"7" — *»
dfiO« d<On
also
a
folglich nach dem V^orhergehenden :
a e 3ArCn®Vn(~£)
dx
OnCOn ^
Weil aber
e a e a e o
0vna)n=a: =1—8*0)«, also Sn(On=l — x
ist; so ist
Qod folglich
&na)n = dtV.T(2— a:), .
wo da«( obere od«r untere Zeichen genommen werden muss, nachdem
• a e a e
• @«G)«=0„lArc«e;v«(=a:)) •
positiv oder negativ ist. Ferner ist
an^Snan)^ + 6«2(enW»)»-2a„6„cosan0„w„S„^ - = bn^x(%^x) + an^(i^x)^T2anbnC08CCn . (1 -or) V«(2 — ;r)» folglich
281
a
66) aArc«©?n(=a:)
6„«ar(2— ar)+fl„2(l -ar)« T 2a«Ä„cosa« . (1-a:) Vx (i— x)
Va:(2 — ar)
«der umgekehrt:
57) Arc«0vn(=a:)
Zweite Abtiieilung.
$. 15.
Es ist schon im Obigen bemerkt worden , dass weitere Eut- wickelungen , Anwendungen und Umformungen der in der vor herge- benden Abtheilung gewonnenen Formeln jetzt nicht zu meinem Zwecke f^eburen. Dagegen würde aber das Vorhergehende sehr unvoll- stSndig sein, wenn es nicht möglich wäre, mr die im Ohigen ein- ^efilhrten Functionen der elliptischen Bugen eine ähnliche Theo- ^e 3Lu entwickeln, wie dieselbe die Mathematik schon seit langer Z^it für die sogenannten goniumetrischen Functionen der Kreis- ^<*'g( n besitzt. Freilich stehen der Entwickelung einer solchen l^hef^rie für die aus dem Obigen bekannten Functionen der ellip- ^s^ben Bogen mancherlei Hindernisse im Wege; indess halte ich 4ie8<\|be nicht fiir unmöglich, und will versuchen, in dieser zwei- ten Abtheilung der vorliegenden Abhandlung die Grundlägen zu ^tw'ickeln, auf denen nach meiner Ansicht aiese Theorie aufge- führt werden muss. So weit auch das Feld neuer mathematischer \}nte^gu(.|imigen mir zu sein scheint, welches durch die im Fol- pi den entwickelten Fundameutalsätze , wobei ich mich absicht- lich ganz elementarer Methoden bedient habe, eröffnet wird, so ^^de ich mich doch, meiner Absicht in dieser ganzen Abband- 'o^^ gemäss, für jetzt eben nur auf jene Fuudaroentalsätze be- "^änken , indem ich die weitere Entwickelung der Theorie, wpT ^r dieselben zur Grundlage dienen sollen, späteren Abhandlun-
1 -v'
282
gen vorbehalte, zugleich aber auch die geehrten Leser des Arc^ilrs ersuche, diesem Gegenstande ihre Aufmerksamkeit za wid Oft. Wenn im Folgenden einiges ganz Bekannte über die Beruhrendea und die Durchmesser der Ellipse vorkommen wird, so bitte ich deshalb um Verzeihung; es ist theils der hier angewandten Me- thode der Entwickelung wegen, theils um den späteren Sätzen eine möglichst leichte Verständlichkeit zu sichern, mit aufgeDommei worden.
§. 16.
Die Gleichung der Ellipse in Bezug auf das System ihrer bei- den Axen ist bekanntlich:
Um nun die Gleichung der die Ellipse in dem in ihr liegenden begebenen Punkte (^o'o) Berührenden zu finden, nehme man io der Ellipse einen zweiten durch die Coordinaten Ä^-t-JX^^ Fo^-^Fo bestimmten Punkt an , und denke sich durch die beiden durch die Coordinaten Xq, Yq und Xq-^JX^, Fq-I-^Fo bestimmten Punkte eine gerade Linie gezogen, deren Gleichung nach den Lehren der analytischen Geometrie bekanntlich
^X,
ist. Weil die durch die Coordinaten JIT^, F^ und Xq -f //JK^, Yq-^JFq bestimmten Punkte beide in der Ellipse liegen, so ha- ben wir nach t) die Gleichungen
Ct-;+o'=
1
und
c^y^e^h'-
durch deren Sabtraction sich die Gleichung also die Gleichung
r
283
tdar die Gleichung
IX^ + /tX^ ' JXo — ~ a«a ' ogiebt. Hieraus folgt
und die Gleichung der durch die beiden Punkte (XoVn) und (Xq^-^Xq, Fo-f^Io) gehenden geraden Linie ist fulglich nach dem Obigen:
L&88t man nun 4^J[^ sich der Null nähern, so wird auch JVq lieb der Null nähern, und die beiden durch die Coordinaten Aq, T^ und XQ-i-JX^t Fo+z/Fo bestimmten Punkte der Ellipse wer- ktn Immer genauer und genauer mit einander zusammenlallen, (Be durch den Punkt (^o'o) gehende Bercihrende der Ellipse wird aber offenbar als die Gränze zu betrachten sein , welcher die dwch die Punkte (X^Yq) und (Xq+JXq, F0+-JF0) gezogenen geraden Linien sich immer mehr und mehr nähern, wenn man ^^0 sich der Null nähern lässt. Also wird die gesuchte Glei- 'diong der Berührenden der Ellipse in dem Punkte (X^Vq) die Gleichung sein, welcher als ihrer Gränzgleichung die Gleichung
yo-r«— -^^a-2Fo + z/F/'*'"""^*^
sich nähert, wenn man sich JXq der Null nähern lässt. Da aber, wenn JXq sich der Null nähert, auch JYo sich der Null nähert, Bo ist die Gränzgleichung der vorstehenden Gleichung offenbar die Gleichung
•
Uq Mo
Y diese Gleichung ist also die gesuchte Gleichung der Berflh- den der Ellipse in dem Punkte (^0^0) derselben.
§. 17.
Durch den Punkt (XqYq) der Ellipse ziehe man jetzt einen urchmesser derselben, so ist der diesem Durchmesser conjii»
284
girte Durchmesser der Ellipss bekanntlich der durch den Pimkt ' {X^ F^) gehenden Berührenden derselben parallel. Diese beiden conjugirteo Durchmesser nehme man jetzt respective als die Axeo der Xn9 yn eines scbiefiTinkligen Coordinatensvsteras der Xnyn ^, welches seinen Anfang im Mittelpunkte der Ellipse hat, wie Clber- haupt alle hier zur l^etrachtung kommenden Coordinatensystene. Sind nun ti, r in dem Systeme der beiden Axen der Ellipse, d. . h. in dem rechtwinkligen Systeme der ^o^o' ^^^ Coordinateo des Fusspunktes der Coordinate yn auf der Axe der Sn ; so ist»
wie sogleich erhellet:
Xn^ = U^+V^,
und, wenn x^, y^ in dem Systeme der beiden Axen demselbeo Punkte der Ellip%:e wie Xn^ yn in dem Systeme der beiden cod- jugirten Durchmesser entsprechen:
Da aber in Bezug auf das System der beiden Axen , wenn wir jetzt Xq, yo ^^^ veränderliche oder laufende Coordinaten betrach- ten« die Gleichungen der beiden conjuglrten Durchmesser offenbar
yo=ji^^o und yo = -;^;^2p;;*o
sind 9 wobei man den vorhergehenden Paragraphen zu vergleichen hat; so haben wir, wenn jetzt Xq, y^ wieder ihre obige Bedeu- tung haben, offenbar die beiden CHeichungen
r=3^ti und .Vo.-«? = -r-2K-(^o— ««)• Aus den Gleichungen
«0 -■ 0
I
ergiebt sich
also
Xü "~ tl^^ /- I ' ., — 9
285
WO wir uns die Quadratwurzel im Nenner positiv oder negativ geoomnien denken wollen. Verbindet man dies mit der Gleicnung
••0 •* 0
10 erhält man
iro man die Quadratwurzel in den Nennern sich positiv oder ne- ptiv genommen zu denken hat, dieselbe aber in neiden Formeln ttets mit demselben Vorzeichen nehmen muss. Ferner folgt aus KQ beiden Gleichungen
Y
|ogleich
V
man sich die Quadratwurzel im Nenner positiv oder neeativ lommen denken kann. Verbindet man dies mit der Gleichung
-*o
lerhSlt man
man die Quadratwurzel in den Nennern sich positiv oder ne* tiv genommen zu denken hat, dieselbe aber in beiden Formeln ts mit demselben Vorzeichen nehmen muss. Weil nun nach m Obigen
286
ist, 80 ist
also
^ ^ £« , ^0 ^py«
öo""flo ■ V JKo« + Fo« ^00*1^0* + VJ^*'
^0 2^ ^« ftoXoy» .
Ao 6ö ' V%5-qn^ ^ao*Fo»+6o*A?'
und folglich, wenn man quadrirt and addirt: also, weil
(S)"-^(Ö'='. ©'-O'--
ist:
Setzen vt-ir nun, die Quadratwurzeln positiv nehmend,
3) fl»=VAoHio*. *•= 3 Vv^V» + 6o**o»;
so wird die vorstehende Gleichung:
'> (s)'+ ©■=■•
287
welches die Gleichune der Ellipse in Bezog auf die beiden con- jflgtrten Durchmesser ist
Ffir ^n=0 ist Xn^^JtOn, und (ÜT arn=0 ist yn^=^Jtfht9 wor- aos man siebt, dass an, 6» die Hälften der beiden conjugirten Durchmesser sind, welche wir als Axen der Xn, yn angenommen kibcn, so dass also die Gleichung der Ellipse in Bezug auf zwei beTiebige conjugirte Durchmesser ganz von derselben Form wie die Gleichung in Bezug auf die beiden Axen ist.
Sind Xny Yn die Cnordinaten eines beliebigen Punktes der Ellipse in Bezug auf die beiden in Rede stehenden conjugirten Darcbmesser alsCoordinatenaxen, so findet man ganz auf dieselbe Art wie in dem vorhergehenden Paragraphen > dass in diesem Systeme
die Gleichung der durch den Punkt {Xn Fn) gehenden Berühren- den der Ellipse ist.
Bezeichnen wir die (Koordinaten des Durchschnittspunkts die- ^ Berfihrenden mit der Axe der Xn durch (arn) , (yn) ; so ist, ^e man mittelst der vorhergehenden Gleichung leicht findet:
f^»^= — s^x; — ' ^">=°'
^ nach 4), weil der Punkt (^»F») in der Ellipse liegt:
(^•y + Q^y^ 1> an^Yn^-\rbn^Xn^ =an%nh
^ nach dem Vorhergehenden :
n ^
6) (ar«.)=jP-, (ya)=0.
§. 18.
In Taf. III. Fig. 2. seien jetzt OAn^üny OBn—bn und 4aj.| = cifl^i, OSn-^i=ön^i zwei Systeme conju^irter Halbmes- ser um den Mittelpunkt O beschriebenen Ellipse. Von den nkten An und Anr\-i m der Ellipse an seien, indem im Folgen- 7 immer die oberen Zeichen dem Falle Fig. 2. a., die unteren ^en dem Falle Fig. 2. b. entsprechen, die elliptischen Bogen
288
a a
abgescbnitlen, wo dann
a a
ist Durch Anfi und Au^^ seien mit OBn die Parallelen J«4|i und An^B'f Qurch ^n-fs sei mit OBn+i die Parallele J»|f0 gezogen. Dann ist
— ~ — = 0n«>«» — T — = Snw»;
Oft On
ÜBT ^ • . An+^B" _S, -
und 4
Qj^ « a a An4-nB* € a a —— = ©ii(ö)«+ a)*+i ) , T = Sn((On + »»+,) .
Zieht man nun noch durch B'' die Parallelen JB''C und B^D r^ spective mit OBh und O^n; so ist
OA+i : OÄ" = OÄ: 0C=: An^iBiB"C;
also nach dem Obigen
e a e a • «
woraus
ea#a #aea
0C= an&fiOn^n-l-i Mn+i , B**C= bwSnmnQn^i Cö«+j
folgt
Bezeichnen wir nun die Coordinaten in dem Systeme der jugirten Halbmesser an, 6n überhaupt durch Xn, ^n; die Cc naten des Punktes An^i in diesem Systeme durch An, I« ist nach 5) die Gleichung der geraden Linie, in welcher de OAn-\^i = an^i conjugirte Halbmesser OBn^i=^bni-i liegt, i> Systeme der a:nyn'
ün^Yn
y» — rw-^..
^
289
Bezeichnen ^ir die Coordinaten der Durchschnittspunkte diener inie mit der Ellipse in dem SyHteme der Xnyn der Kürze wegen arcb Xn$ yn selbst; so hat man zu deren Bestimmung die Glei-
kaugen:
K denen sieb
ko, weil der Punkt (Jf.F.) in der Ellipse liegt, und folglich
st:
OnlnJ OnYn On
n
ergiebt Verbindet man hiermit die Gleichung
y— ""5;?f;^"
■oerhilt man^.mit Beziehung der oberen und unteren Zeichep auf
einander:
On On -
*
. Hi^nach ist offenbar 5 wenn wir Bn4-iE mit OB* parallel
nehen:
*^so nach dem Obigen
an * * Am ^ '
Tk« XVIII. ».
290
e a € a
OE=zanSnmn, Bn'\-lE:=zönQnO>m'
Nan ist
also nach dem ^^orhergehendeo :
e a € a e a
e a e a e a
1 : OnSnOhi : 6fi0ii ß)« = ± Sn+i (Dh-i-i : B"D : An^^D ;
folglich :
e a e a e a « a
B''D:==±anS»€DnSit^imn^l, -^fi+2D = ±61161101^811+1 fili^f^
Es ist aber
OB'=:OC±B''D, J„+2B' = Ä*'C±A+2Ö;
also nach dem Obigen:
e a a e a e a 9 a 9 ü
Oii@ii(0>ii + O>n-f-l) = Crn&nCi)n0frf iCOfif 1 — aiiSiiO>jBSi>4.1(0fl41>
ea a e a e 'a e a € u
bnSu(0>» + ß>ii+l) =6fiS«C0n®«+lC0ji+l + 6n&iiO)iiS»4.iCi>iifi;
folglich
!«a a e a e a eae a
©«(cCä + Q)»f 0 = ©«»»®«+»0>«+l ~" Sj|C»iiSiH-HO»fl> ea 8 e a e a e a e a
Sn(0}n + 0>«+l) = S»COfi0ii+ia)fi+l + &nmnSn^imm^l •
Weil bekanntlich
« a
rS « . " X Sn((0 + CHt-f 1) T«(a)« + Wa+l) = -7— ;i jp'— ,
©«(Wii + fiOÄ+l)
291
e a
iit; 80 ist nach 7)
*«vaVi + ««+i)="rT'^ ^-* p^-7 5 — ,
Sj|(Dfi0ii4.1O>fi4.l -f- GnCOiiSft-f lfl(>N4.1
k, wenn man im Zähler und Nenner des ersten Brach« mit
e a e a
n Z&hler und Nenner des zweiten Bruchs ^it
e a e
SfiOaSn^.} 0)11-1 1
Iridirt:
e a
1 — Tiia>nTii4-lCOn41
€ a e
■5-(ö>« + Oh^)=' e a a a
X« CD« + Xfi-|>i Wji+i
Die Formeln 7) und 8) sind diejenigen Forjneln , auf welche nach
"^er Meinung die Theorie der in dieser Aiihandlune eingefuhr-
FoDctionen der elliptischen Bogen gegründet werden milsste,
Mich» nachdem nun bereits die obigen Grundlagen dieser
>^ gewonnen worden sind, einer wesentlichen Schwierigkeit
it anterliegen darAe, ohne dass för jetzt eine weitere AusRih-
" dieses Gegenstandes meine Absicht ist
20*
292
5 W.
Wir wollen nun zeigen, wie das Vorhergehende sich aofdi^ Rectificatioo der Ellipse anwenden lässt, bemerken aber, wir dabei verschiedene We|^e hätten einschlagen kunneo, des genden Weg jedoch deshalb cewählt haben, um uns so fiel möglich der Methode anzuschfiessen , welche man bei der R( fication des Kreises in Anwendung zu bringen pflegt.
Der Kürze wegen nehmen wir im Folgenden die Grosse^ positiv an. Lassen wir dann den durch
Arc«Ta(=jr)
bezeichneten elfiptischen Bogen den zivischen den SchenkehU Winkels crii liegenden elliptischen Bogen nicht übersteigen, « ist nach L 39) offenbar
A -r / ^^ C'^ V^ft»^-2a,^i,arcosg, -f a^^x^ ^ Arc„T.(=:.)3^^ — 7rT^i)VTT^i ^'-
Wenn nun x kleiner als die Einheit ist, so ist nach dem B'n^ mischen Lehrsatze
^^ . «V . •■ 3 _ . 3.6 - 3.6.7 - .
und folglich nach einem ans der Integralrechnung bekannten Sati immer unter der Voraussetzung, dass x kleiner als die Einheit iil
9) ArCi.T» (= ^) =^ J ar V^Ä««— 2a«6»arcosa«+ ff««j:*
0 0
o
293
Es konrat also hierbei vorsOglich aaf die Eotwtckehmg de»
htegrals
ü, die sich auf verschiedene Arten ausfahren ISsst. Hier wird 88 zu meinem Zwecice genügen, nar auf die folgende Methode UnzQweisen. ^ •
Man setze
•der, wenn noch
11) cotö=i:r— ^ — X
gesetit wird:
ich * *^ * 8in(cfn — ö)
12) tang9= cotö-cota.= ^.„„^^.„^ >
BÜttebt weicher Formeln sich tp leicht berechnen ISsst. Dann ist
x=. — ^ (coton + tang^),
I
lud folglich , vrenn man nur, was offenbar immer verstattet ist,
1 1
f zwischen —5^ und +0^ nimmt, wie man leicht findet:
13) ;r*aa: V^6n^^2c«A«arcosa« + a^x^ feaH^sincnH« (cotfltw + tangy)* ^
"^ ff„*+i * coS9*+* ikrdorch ist das Integral
^bar auf das Integral
cos9>' ^
294
zatfieiEgefiihrt» welches «ich auf folgende Art entiridcelii li«it Nach einer bekannten Reductionsrormel ist:
siny^-^ /i-~l/^8inyA*-g "'Scos^M+a "• 3 J cos9)/"+«^^
sin<p/*""^ ^— 1 /*siny^~^siny*-f cosy*)^
— Scöi^+ä"" 3j cosgjH^» ^^
— Scosy^a"^ 3 J co89/"+»^^"" 3,y cosyH-i^^ _ tangyA*-^ _ ft— l/*tangy.« __ ft— 1 /^tangyA*-*g
also
14)
/^°g^ ;^m - *^"gy^^ _, ^ "^ ^ /"tangyi"-« cosy» ^^ "" (f»+2)co89» f* + V cos9>* ^'
Aas dieser Relation ergiebt sieh;
tÜÜL^ß _tafipy^ t
cosy^ ^ ""30089?^ ~" Scosy* *
oosy' *
/
/tangy^g tangy' 1 /* cosy' ^ 4co8y' 4^J
/tangy'^g _ *5IL8?*_ ? /^^angy cosy' ^ öcosy* 5,/ cosy' ^*
/tangy^ __ tangy» 3 /^tangy* cosy' ^ öcosy' 6^/ cosy' ^*
/tangyg _ tangy^ _ 4 /^tangy> ^ cosy» ^ Tcosy' 7^ cosy^ ^'
u. s. w. so '
dass es also jetzt bloss noch auf die Entwickelung des lotegrd
J cosy*
295
iDkommt Es ist aber bekanntlidi
dg} 8inq> . ^ P S<P
/d(p siny 1 P
coMfp^ "^ 2cos9* "■ 2^
/^=-j''.'"»<i'-ä»)i*.
ibo
»odurch DUO die obigen Integrale vollständig entwickelt sind, und hher
ATCnTn(=a:)
iamer gefunden werden kann , wenn nur x kleiner als die Einheit itt, was hierbei immer Torausgesetzt wird.
Nach L 43) ist auch, wenn i^ir
ArcoTo(=~tang9),
imter der Voraussetzung, dass tang^ positiv ist, nicht grosser als 1^ elliptischen Quadranten nehmen, ,
Ärcofo(=^tang9,)=^y ^j-^^j^^j^ ,
o
vnd weil nun eo^sino^ immer kleiner als die Einheit ist, so ist DMh dem Binomischen Lehrsatze
(1 - Co^ßiny«)-!
1« 3 • • o • 3.5 - , . , 0.5.7 ^ , - ,
^80 nach einem bekannten Satze der IntegralrechnuDg
296
lli) A^Cofo(=^taDg9>)
3.
i.
+ ^6^V ®'""''*?9^ + -|
wo man zur Berechnang vod
/ 6in^dg>
die bekannte Reductionsformel hat:
17)
/, .,, sing)*-kos© . A— 1 /* , . -^ sin^'^og):!: r ^ + —^ I sin9>*-^99 .
Bezeichnen wir jetzt den zwischen den Schenkeln des Winkels a liegenden elliptischen Bogen durch Em » so erhellet ans dem Obigei und aus den bekannten Eigenschaften der cenjagirten Durcknes ser der Ellipse sehr leicht die Richtigkeit der folgenden Zerlegoog
18) £« = Arc«f„( = 1) + ArcaT«(= I) ;
und um also EiTvi berechnen , kommt es auf die Berechnung de beiden Bogen
Arci.f„(=l) und Arc«T«(=l)
an. Wir wollen Moss die Berechnung des ersten zeigen > wddM hinreicht, da die Berechnung dieselbe bleibt, man mag den elfif tischen Bogen von dem Endpunkte An des Halbmessers On ^^ von dem Endpunkte Bu des Halbmessers 6« anfangen lassen, <^ bekanntlich das Erste bei dem durch
Ärc»f,(=l) bezeichneten Bogen, das Zweite bei dem dofcb
Arc,fn(=l) bezeichneten Bogen der Fall ist. Weil nun
2»7
2*^3 3+2
11—11 vu. *"~2"3 '"S'^i
Ut, ao erhellet aus der ersten der beiden obigen Gleichnngen 8) In {. lü. auf der Stelle die lüahligkeit 4er fplgeadea Zerlegungen:
19)
ArcT.(=l) = Arc,f«(=,5) + Ärc„+if«+i ( = J)
oder
20) '
Ärcf «(= 1) = Arcf ,(= g ) + ArCM^^i f»f , ( = 5 ) ,
und die elliptiscben Bogen auf den rechten Seiten der Gleichheits- zeichen in diesen Gleichungen wird man nach 9) mittelst conver- gireoder Reihen berechnen könnnen, wenn man nur Oni-is ^^i» •»4.1 aus den gegebenen On, ön, ein und x berechnen kann, was Uier im folgenden Paragraphen im All^eroeinen gezeigt werden soll.
§.20.
In Taf. III. Fig. 3. sei
« i
alw
A,^iB,OB a„ An+iB "— 6, ' a, - bn' OB '
A^j^ OB OB 1 Ati/? .
» =37 5 = ~" • 7 >
On au On X 0«
ond weil nach der Gleichung der^tllipse in Bezug auf ihre conju' giften Durchmesser bekanntlich
ist, so ist
OB 1 MxB„ _
298
folglich
^*=vTO' ^•+^*=^^»
WeU
und
ist, so ist offenbar
a,+i«=OÄ*+^H-i^+2.0Ä.4«+iB.cos««, also nach dem Vorhergehenden:
. Um* + 2aii6fi:rcosaii + bn^x^
a-+i'= iqrjs '
folgnch
21) '^»= VTT^^ •
Nach §. 18. ist:
also nach dem Obigen &
und weil nun
ist» so ist
. - ftn*— 2a«ftnarcos€rrt + aii*x*
6«+!»=^--- — n^ *
also
\rhn*-'2amöna:co8an+an^x^
22) &»+, =
V^l+a:«
L ^
290
Ans 21) und 2ä) folgt auch sogleich die bekannte Gleichung
2^ a,* + 6,« = 0.+,« + 6»f 1» .
Nach ^. 18. int die Gleichung der geraden Linie, in welcher der coojainrte Halbmesser OBn-H l'^^S^« '^^ ^^^ Systeme der eon- jugirteo Hidbmesser OAn, OBn'
y-r— ^2.j .,u^«*
i L, weil nach dem Obigen
OB On^
An\\ B bnX
iBt:
bn
y«=-— ^«.
Bezeichnen wir also den Winlcel A^OBn^i durch <o, so ist nach den Lehren d«r analytischen Geometrie bekanntlich
bn sino»
ünß^ sin(Ofi — aj* oder
8io(aii— co) . . anx
sino»
=sinaficoto> — cosa« =
wonns
AnCOSOff — OnOP . ftüsinor»
folgt Bezeichnen wir ferner den Winkel AnOAm-^-i durch ü, so ist OB: An^i Bz=:ani bnx = sin(aii— S):sinäl,
abo
sin(cn— ü) . .- Ol.
— -T-= — = SmOsCOtG) — COSOf« =r
sino
und folglich
- an + bmXCOBiXn _ _ Awarsinttw
CO Q~- bmX8\nan * "^ "" am+bnXCQßOu
NoD ist <Xf^.| = «> — ISf also
300
,. . 1 -f- taQgotaogu
TT 9
und folglich nach d^ai Vorhergehenden, wie man mitteist iocbter Kecbaung findet :
24) tanga„+, = (H^^JAn^Hsingn
Man hat daher zur Berechnung von «„.i-, , 6n+i » «»i., ns den gegelienen a«, 6«, «„ und a: die folgenden Formelo:
25)
an4. -' ^^^+^'^^'^^^^^n+ bn^X^
Für n=0 ist «o=W, also
26) Ja.- ^VH-"
a^«
'tang«.=-fe*9ܱ£5.
_ l
Fflr a; = 5 ist z. B. io diesem Falle:
U Stfo^o 5
\6o Ou/
1
Für ^ = 0 ist in demselben Falle
301
L _ 1/ Q«o'+V A _ 4/"f«i±»V.
^ V io«o*o 10
3 Cr--) ■
Id dem Falle, wenn n—O ist, kann das Integral
welches in diesem Falle in
abergeht, auch auf folgende Art berechnet werden. Nach einer bekannten Reductionsformei ist:
u
= ^0« 45?y ^'^*"» + "" * •
O O
jx^dxVö^+^^
o
0
U. 8. W.
302
Setzt mao nun
«o«
V + V^* = V (I + Fä**; = V (l + tang««)
wo
taDgtf= T-ar
00
ge8etzt worden ist» und u zwischen — ö^ und 4-5 ^ genomineo werden soll, so ist
folglich
COSM* 60 Oo COSU*
und
^*(6o* + V^*)5 = -^ • jjijprr» •
Setzen wir nun allgemein
29) [k\x= f'a*ZxS V+ flo'«* '
SO ist nach dem Obigen
Ml _ V 8'"«' ^*«*i«n •
TAI — AL ^^"^^ SVril
L^J'~- Öco' 'cosM«"" 8ao*'-^''
u. s. w.
303
und nach 9) ist: ^
31)
Arcofo(=«) = [0], -5[2]*+|iWx-5^[e3, + ... .
Daas die Grössen
[0]x, [2]„ [4]„ [6]„ ...,
insofern x positiv ist, simmtlich positiv sind, erhellet aus der Form des bestimmten Integrals
\U\x = /* V3a:V6o*+ V^*
Inf der Stelle.
§. 21.
Es ist schon früher erinnert worden » dass es jetzt nicht meine
Ablicht ist» eine vollständige Theorie der Im Obigen durch S«,
JS«, Tn, Xn» u. s. w. bezeichneten Functionen zu liefern > indem U durch diese Abhandlung hauptsächlich nur zu weiteren For- J^aogen über diesen Gegenstand anregen wollte. Indess kann ich nicht unterlassen » zum »Schluss noch Folgendes zu bemerken.
Wenn nämlich
beliebige auf einander folgende Halbmesser. der Ellipse, und wie gewohnlich deren conjugirte Halbmesser
*ind, die respeotive durch
Bnd
bny ftn+l» ^«+«> *«-|-8> •••• *»+"•
Zeichnet werden; so bezeichnen wir in ähnlicher Weise wie früher die elüptiscben Bogen
AnAu-^9 An-\-iAm-^9 •^n-fs^n-fs > "•*• Anlm lAn^m
respective durch
306
lieber die IndepeiideBte llestiBUBUi der Coefttclenten unendlicher Üeilü und der FacaUHtencoefflclenteB
insbesondere.
Herrn prpfeäsor J>r. O. SohTSnircb
I
f
%m |
Dresden.* > • |
• EinleUung« |
Wenn mao darauf ausgeht, ^o^ g<9gebeiie FunlUiop eisM Variabelen in eine Potenzenreihe zu verwandela , also eine Glei- chang von der Form
anfzuatellen» so bieten sich zur Bestimmung der CoefBciepten 4^ Ai 9 A^ etc. zwei Wege dar. Man benutzt nimlich entweder ircew eine Eigenschaft der Funktion f^)* gewöhnlich eine Bexiew»g zwischen ihr und einem ihrer Differentialquotienten , um zaoScb^ eine Recursionsformei fQr {ene CoefBcienten zu erhalten» und vnf^^ dann von dieser aus zu einer independenten Formel zu gelaiipi>> oder man hält sich an das Theorem von Mac L aurin, tbo' zufolge
1 • J.«l.«..
ist» und bestimmt nun Ak dadurch» dass man erst P^(j^) c"^' wickelt und hierin ^=0 nimmt Beide Methoden sind aberiis<>' fem mangelhaft» als sie oft genug in ein Labyrinth von RcdiBao;
J
307
bineiDAhreo, aus welchem die gesuchte independeDte Form der ReihencoefficieDten nicht mehr heraaszofiodeD ist, nnd als besten Beweis dafiir wird man gewiss die bekannte Thatsache gelten las- 6en, dass es uuzählige Keihenentwickelungen glebt, deren CoefB- cieoteo noch gar nicht independent bestimmt sind, obscbon die Fonictionen an sich unter die weniger complicirten geboren» wie X. B.
(Ä) ' LmÖ+^J • Ll(l + a:)J ' ""*^ •^"6'-
•
Der Grund dieser Erscheinung liegt übrigens nicht tief; der Ueber ^g von einer Recursionformef zur mdependenten Formet Ist DiiDlich einerlei mit der Integration einer Gleichung zwischen end* icbeo Differenzen, also mit einer Manipulation» die bekanntlich bmer einige Umstände verursacht, wenn man nicht zu grosseren Kttehi^, wie z. ß. su bestimmten Integralen, greifen will; ver nclit man dagegen die Ausßibrung der successiren Differenzia- tion TOD F(a:), so gebt man zwar einen sehr direkten, aber oft ins«er«< beschwerlichen Weg, weil bcgreiflicberH'else F^'^^ix) ein Terwifikelte^er Aufdruck als das eigentlich gesuchte JR^)(0) sein DUM, und esvbehannt genug ist, dass selbst einlache Funktionen mituBter sehr verwickelte höhere Differenzialquotienten geben« Diese Schwierigkeit lüsst sieb offenbar dadurch vermeiden , dass na» tticht auf die Entviickelung des allgemeinen DiffereBzial* qooüenten F^^)(a:) ausgeht, sondern gleich von vorn herein den speziaiisirten Differenzialauotienten Ft^)(0) zu bekommen socbt; diese ist, da man in Beziehung auf Null nicht differenzi- reo kann, nur möglich, indem man den fraglichen spezialisirten Dilerenzialquotienten auf die gleichfalls spezialisirten Uifferenzial (jQoHeaten anderer und swar einfacherer Funktionen zurückführt, flod dieses Verfahren fortsetzt, bis man auf so einfache Funktio- Ben stusst, dass sieh ilire spezialisirten Differenzialauotienten Qomittelbar entwickeln lassen. AVie leicht dieser Gedante in vie* len Fällen ausltihrbar ist, mögen die nachfolgenden Untersuchun- gen zeigen, die einieen Reichthum an Reihenentwickelungen dar- nieten und zugleich lur verschiedene wichtige Coeflßcienten (z. B. die Facultäten coefficienten nebst ihren Spezialwerthen — ^ Bernoulli'scben Zahlen — u. dergl.) die independente Be- stimmung liefern.
$.1
Entwickelung von
U(«)/ *
Denken wir uns unter <p{at) eine Funktion, die für sich allein Bitteist des Theoremes von Mac Laurin in eine Potenzenreibe ▼erwandelbar sein wtirde, also von der Form x
ai*
308
0
19^9 so hat man identisch
/.J_Y=_l 1
Wo ^
und vrenn nun Oq nicht Null ist, die Funktion a)(j:) aUo Hfr ar=0 nicht verschwindet, so kann man den zweiten Faktor rechter .Hand in eine Reihe verwandeln, die mit der Einheit anfangt und nach Potenzen von x fortschreitet. Da es sich mithin immer nur am eiM& JCotwickelung von der Form
handelt, so dürfen wir ohne Beeinträchtigung der AUgemeiobcit voraussetzen, dass sich in dem Ausdrucke {—. — -j dieFonkfioo ^{x) für or =0 auf ^(0)=:1 reduzire.
Bezeichnen ^ir ^{x) kurz mit y^ so ist mitteist des Binomial- Iheoremes ^
/ 1 \"_ 1 1
U(-r)/- »• ■*'[i+(y-l)P = 1 + (-«)i(y-l)-K-»)4(y - !)• + •... + ( -«)» (sHl)* +(-»)n-i(»-l)*+»+ (-»)*+«(y-l)*+*+ .....
und wenn man sich im zweiten Theile der Reihe fiSr y — 1 seioeo V\^erth a^'[-ci^x'^'{-„„ gesetzt denkt, so Erhält man ein Resultat von der Form
\(p{x)J y"
-= i + ( - n)i(y-l) + (~i02(f-l)* + .... + (-«My-l)*
wo es auf die Werthe der CoelBcienten L, M, N etc. nicht wei- ter ankommt. Die vorstehende Gleichung differenziren wir kvaH In Beziehung auf x und setzen dann x=0; es verschwinden dann 4ie mit L, Af^ N etc. behafteten Glieder Mnd bleibt
I f r, I
309
■
=[/)*tl+(-«),(y-l)+(-«)2(jr-l)H....+(-M)>(y-l)*l](.=o)-
Di« eingeklammerte Reihe ist einer fiir unsere Zwecke wichtigen TtanafoimatloD fUug, Ae darin besteht, dass «rir die Potenaen TOD y— ) auflösen und alle entstehenden Glieder nach den Poten- len Ton if=:q>(x) ordnen. Man findet nun auf der Stelle
1 + (-»)i (9-1) + (-n)a(y-l)» + ... + (-«)* (y-1)*
+(-»)i[l<»y-li]
+ (-«)a[2oy*-2,y+2,] .
+
+ (-»)t[A^ - Ä,»*->+*>y»-» - .... + (- l)»*t]
und darch Vereinigung aller gleichartigen Glieder entsteht tileraiw die neue Gleichung
2) 1 + (-n)i(y-!)+(-nWy-l)H....+(-n)i(y-l)*
= «o+'S,y+Say* + + 5a3(*,
worin irgend einer der mit iS bezeichneten Coefficienten , etwa St, durch folgende Formel ji^timiiit wird:
Si = (-n)iio ^ (-ii)Hi (i+l)i + (-n)^+2(«+2)« -.... ... + (^l)k-i(^n)k(i+'k=T)k^i.
Dieser Ausdruck lässt sich bedeutend zusammenziehen , wenn man die bekannten Gleichungen beachtet:
(— «•)<+! = i-^h ^^i > 0+1)1 = -T- >
(-«)ff« =(-»»)' -Tqrr^ — rj:2 ' (»+^)«— ttS^ '
Man erhält dann fiir St die neue Form: 5i=(— n),- J^l+ -j- + 2^2 + ••••
, (n+0(n+»+l)..»(n+A-l) 1
310
and durch Sommirung der elngeklammerteD Reibe*)
« , , (ll^•t-n)(l^+i^•2).>.(ll^-^)
^<-f"^^' 1.2.3...()k-t) '
oder endlich, indem man durchgängig Bi nomisIcoefBciwikn nt positivem Exponenten henntzt:
♦
Si =(-l)'(n+t-l)i(n+*)*-<.
Die Formel 2) gestaltet sich nun bei umgekehrter Anoednoog der Glieder rechter Hand wie folgt :
i + (-«)l(y- 1) + (-.n),(y ^1)« + ,.,. + (-«)jt (y-I)*
= (-l)*[(n+*-lW«+Ä)oy*-(«+^-2)^-i(»+A'),y*-*
wobei die Reihe soweit fortzusetzen ist» bis sie von seilest abbricht.
Substituiren wir die obige Formel in die Gleichung 1), dife* renziren jedes einzelne Glied und setzen
3) [i5*y*J(o) = tö*^(^)*](o) = Qk ,
80 gelangen wir augenblicklich zu der Formel
• »
*) Bezeichnet tnaa mit Ar den Aatdrock
l.t.8...r '
■o findet man sehr leicht die Beziehung
Für r=0, 1» 2, ..«.. (9 — 1) und durch Addition aller so eatttebcn^eB Gleichuugen ergiebt sich', indem man A^, für l rechnet:
ir-l-| + -y;2~+"+ 1.2...9 '
oder vermöge der Bedeutung von Ar :
^ £(ä+I) .g(g+l)...(g-R-1)
^(Il4-l)(a+g)...(g-f(7) 1.2.....9 '
weiron im Texte für ocs^-fl and gz=Uh^ Gebrauch gemacht trord« iit
J
311
4) fz,» 1 l
' L 9>(^)"J(o)
= (-l)*[(«+*Wn+*-I)*0*-(n+*)i(it+*^2)t-iei-i
+ (*+*),(ii+*-3)*-jÖK-, -....] ,
irdche die Entwickeloog von . v^, aogiebt, sobald man die Dif-
rensialqaotieDten von ^fx^, 9(x)^ etc. oder wenigstens die flir ;r=:0 einlrrBteaden Spezialwerthe derselben finden uann.
Ein passendes Beispiel bierta bildet die Annahme
1 ,
wo die Bedingung igi>(0)sl'erfllllt ist Setst. man nimlich
80 Ist
Ffc=(-l)*[(n+*)o(n+*-l)*Q*-(ii+*)i(it+*-2>-iQ*-x
+ (n+*)2(»+A-3)*-,«»_^- ...]
nod man bat zngleicb
= Js[M*+*i(*-l)» + A«(A-2)» + ...] .
Fdr 11=1 gibe diesa eine independente Bectimraang der B«ni««lli'scbwi Zableu.
5.2. , Entwickeinng von
(*(^)y
Wir setzen hier voraus» dass ^(:r) eine mit jr deicbzeitjg verscbwindende Fnnkftea ist» weldie aiwserd<i$i die Ei^eiisolUSl
besitzt» dass '^ fflr ar=?0 in die Einbeit fibergebt, wie z. B.
wenn ^x) eine Reibe Ton der Form
812
X + o^^f* +i ajo:' +; etc.
bildet. Wenden wir die Forineb^c^s ^vorigen Parapapben auf den' Fall 9>(^)^ ■ bb, H^ «rggiebt sich sogleich
m;--
= (— l)*((n+*)o(»+A-l)*Ofc-^{»+*)i(«H-A-'*a*»»H4iM
+l«+*)»(«+*-3)t-«Q*-r»-~l
• . 1 1
und darin ist Qk durch die Formel bestimmt:
«•=[K^B.,-
Man kann derselben efne andere (Form /geben » welche nordie Differenziation einer Pötehas too tK^)' allein^ verlangt. Es ist o&m* lieh identisch
mithin bei (A-|- Ar) maliger Differenziation, andern man die bekannte Regel für die Differenziation der Producte anwendet,
* t t
... + (A+*)äA(A-1)...2.1D* (^y
= />H-*t/;(j-)A.
> ■•*"■*•'
Für :r=0 verschwinden linker Hand, alle dliedtr.ltoU Am'
nähme des letzten und es bleibt
(A + *)».1.2..A . \j^(^y\^ = [ö»+**(a:)»](o,
oder endlich
I I
L^\, 4: y J(o)- (A + 1)(Ä+2)...(A + A) •
k I I
Der Wertk von Qu erbilt demkuwh fiotgende Gestalt: /
■ t I
5^ O. [PHtt(x)*](0)
2> <^=(i+wÄte^'
■* (
» • I
I ' »
813
Nehmen wir beistiiblw«i& ' . >
*
wodurch die fOr ipix) anges^ebeneD Bedingungen erTtÜItsiud, so ist oacb Nro. 1) jeder Coemcient in der Entwickeiung
n n n
aageDbllckllch bestimmbar, nämlich
4) A=(-i)fi>»(-,?:^)"J^^
=(ri+A)o(n+Ä-l)*Qt-(n+A),(n+il-2)i_,et-i ,; , .
+ (n+A)j(n+Ä-3)t-j(e»-4 ••
I
übd dmn gilt fBr Qu i\e Formel
*'*— (A+l)(ifc+2)...(A+A) ' oder bei AusfBhrang der angedeuteten DUEeneiiztatlon
») Q» = (*+«)(A+2)....(T+Ä)
An <lie Formeln 4) und 5) kndpfee dich einife sehr bemerkens- H'erthe Folgeningen > die wir im nächsten Paragnapfaea au» einai- der setzen wollen.
... $• 3-
,1... »* ^ • ' . • . ,
Die Fttcultätencoefflclenlen und die BerMottliLschein
•' • ' ■ Zahlen.
Fähren wir ffir die sogenannten Facuitäten|soefficienten die folgende Bezeichnung ein: N
1) ar(a:+l)(a?+2)(ar+3)....(Ä+n-l) •
80 ist es sehr leicht eine Recursionsformel für dies^hen ani ent- decken. Indem man nämlich die Facultät des nächst höheren Grades
314
ar(a? + l)(a: + 2) .... (a: + »— l)j[4^ + «)
einerseits Im Gänsen , andererseits als das Produkt aas :r-|-iioBd der frQherep Facultät ansieht, hat man die Gbichuog
=(ar+n)[£iar» + ^ar— ^+,.. + C^x],
und aus dieser fol^t durch Identiflcindig der beiderseits zu a^-^* gehörenden CoefBcienten:
fi4-l u n
2) C»=Ci+iift-,.
Um nun zu einer independenten Bestimmung von Qc zu gelangeo geben wir folgenden Weg.
Bezeichnen wir die Bemoulii'scbeQ Zu\Aesk ^» .^^ ^^ «tc
mit Bi^ B^9 Bi, etc. so gilt bekanntlich filr alle zwischen —23 und 4-2:7 hegenden a: die Gleichung
3) ;.— 1=1-2' ■
dieseihe, aus welcher baplace eint iodep^dentf B^stiauniuig von ßk'-'i (fo gerade) herleitete, indem er die in der Fona/ti ,
postulirte /: fache Integration mittelst eines sehr speziellen, mn eben auf die Funktion a:t(e*^l) f assänden KuMtgiifhi aa^idirte. Denkt man sich beide Seiten oer Gleichung 3) auf die nte Poteoz erhoben» so ergiebt sich ein Resultat von der Form
/ X \* n n n n
5) \e*— l) =^o--4i* + A^^-A^x^+ ,
wo es nun auf die Bestimmung der mit A bezeichneten Coefli- clenten ankommen würde. Um fOr dieselbe zunidist eine Re- cursionsformel zu erhalten, differenziren wir die Gleichung 6), wobei . ,r. ,
315
^?rri)*=»(^i) L?=^l "" (S?]
» (eT-l). (»-«)-« (^i)»fl zu setzen is^, and maltipliziTen darauf mit xi es wird so ■
Linker Hand kann man die Formel 5) zweimal benutzen, einmal geradezu , das andere Mal, indem man n-f-1 an die Stelle von n &etM Ill88t; fiibrt mmn diese kleine Rechnung aus ui^d vorgleickt nachher die CoefBcicienten von ^, so findet man die Recuraioae formet:
n+i • «
6) nAk = (h^k)äk + nAk^i •
Besondere Anfmerksamkeit vetdienen .die n emten Ceefli- denten in Nro. 6), för welche
*=t), 1, t,....(»^l),
also überhaupt kleiner als n ist. Setzt man nämlich (tbr die- sen FaU
so Terwandek sich die Gleichung 0) in die folgende: '
II II
ans deren Vergleichune mit Nr. ^A) die Identität von Tlk und CJ^ folgt. Man liat demnacft die bemerkenswerthe ftlr
2« > a: > - 2»
«
geltende Formel:
■ i
3ie
Will man eine iDdependente/Bestininiunfr 88ainil|icher mit J bezeicbDeteoCoefQctenteDy so ist nach $ro. S(} , unmittelbar
[K«-Ä-))"lo) = (-l)"-*-3 ••*-^».
WO sich linker Hand die Differenziation nach d^n FoVm^ 4) und 5) des vorigen Paragraphen ausfahren lässt. För ^ < it giebt diess die independente Bestimmnng der Facultätencoefücienten , denn
man hat nach Nro.7) und vermöge der Identität von Hk und Chi I />^/.-£._^"^ _ (-1)*1.2.3...A " -
r . )
4L i. ungekehrt bei Benntzung der Symbol« ftir di^ «•elBcienten:
9) a = (n-lW-l)* [^<Ä)"],„, . *<»•
Dagegen ist ffir itssl und ein geiades Uyl nmdb Krö. 4).t i
. » < r
10) Ä*-x«(-i)^-lKA)X,-
r. ■ • ■
Mittelst der Formeln 4) und 5) des vorigen Paragraphen erhüt man nun aus Nrn. 9) folgende independente Bestimmung der Fa- cultätencoefficienten :
11) C?=(«-l)»[(«+A),(«+A-l)tQi-(»i+A),!(ji+A-2)*^,0»-,
+ (n+Ä-)a(n+*—3)t_2Q*-»— ....],
worin Qk nach der Formel bestimmt wird :
Ffir n=:l und ein gerades k folgt daraus Cär die Bfßrnouili* sehen Zahlen die Formel i ; *. ^ "
13) Ä*^ =(-l)i*-» [(A:+l)oet-(X:+l)i Qk^iMHl)^Qt^--l
Wir geben im nSchsten Paragraphen einige Reibenterwandlao- gen 9 bei denen die Facultätencf^ucienten vorkommeb.
. 1
317
§. 4. Entwickelung von
1. Denkt man sich Wide Seiten der ßir l>dr> — 1 gelten- den Gleichung
.1(1 -t-x) = o: — ä ** + ö ^' — •—
auf die mte Potenz erhohen , so entsteht ein Resultat von der Form
1) [1(1 +^)]'"=^o^ - .-Ij^r^+i + A^x^^^ - ... ,
worin noch die mit A bezeichneten Coefficienten zu bestimmen wiren. MtLit gelangt zu diesem Zwecke > indem man die analoge
eieidiänS
W+l n^2 fli^-»
[1(1 +«)iw+i «ioir»^^— ^iar""+a ^ J^^^--
diferenzirt und das Ergebnis^ mit (1-|-^) multipüzirt ; man Gndet hierdurch
(m + l)[l(l+:r)]«
m-|-l m-\^*l »»+3
= (l+^)[('«+l)^a;'»-(m + 2).4ia:«+> + (m+3)^«ar«+«-...].
lodern man linker Hand die Gleichung 1) benutzt, rechts die an- gedeutete Multiplikation ausführt und nachher die Coefficienten Terglekht, erhfilt ni^ die Recursionsformel
(m+Ar+l) Ak -(m+l)Ak + (m+Ä) A-i,
welche mittelst der Substitution
>
m4-k I "^^
(m+l)(iii+2)...(m+>t) in die folgende übergeht: ,
Zk
•1
2) äk = a* + (m+A) Ät-i .
Ans der Vergleichunff derselben mit Nro. 2) des vorigen Para^ gt^^n folgt atrgenhlicklich
31t(
m-flr m-^-k
2ik=Vk,
roithio
-i/=
(m+l)(m+2)...(iii+it)' Substituirt man diess in die Gleichung 1) und beachtet, dass
m
^qZzzI nein rou9s, so bat man rOr l>ar>— 1 die Reihen« entwickelung
3) l,(H-.)]».=:r--3l-+^ + (-^,+?) -+'-.-. oder anoii
Voa diesen Gleichungen kann die erste dienen » um eine nach Potenzen von 1(1 -|-^ i'ortschreitende Reihe in eine andere umzu- setzen, welche nur Potenzen von x enthält* Als Beispiet nehmen wir die Soldner'sche Formel für den Integrallogarithmus von a-fz. Setzt man nämlich dem Taylor'schen Theereme zufol^
5) U(«+i)=li(a) + j^2 + ?JaiH3i<3«» + ....
so ist durch Differenziation
Soldner bestimmt die CoeiBcienten A recursiv; will, man CMiie independente Formel dafür gewinnen, so beachte man, dass der linker Hand stehende Ausdruck
1 1
1 L,
('*d*^'L'('*i)y--
ist, und benutze jetzt die Formel 3)^ indem man ^= — undm=l, 2, 3 etc. setzt. Ordnet man hierauf alle Glieder naob Poteaa^o
319
FOD z Qod vergleicht die so entstehende Reihe mit der unter Nr.6) voritommetiden, so findet man sehr leicht eine independente For- mel filr einen beliebigen Coeflßcienten Ak»
D. Aus der Gleichung 4) ergiebt sich dorch k nmlige Diffe* reoxiation nnd nachherige millificimng von x:
m+k
\J^\ X ^ J(o)-(m+l)(m+2)....(»H-*) *•-'•'*•-*• «ier kOraer ausgedrückt:
I
L V ^ / J(0) (m + Ä)fc Wenn es sich nnn darum handelte den An^druek
(f(T + ir)/ in eine Potenzenreihe zu verwandeln , so wOrde man setzen können :
n « «
ood es ist
i=[Ki(n^)"l,-
Hier iSsst sich das Theorem 4) in §• 1. anvrenden, indem man
1(1 + ^)
fp(x) =
X
#
nimmt; man bat dann
A=t (_l)*[(«+*x,(«+*-.l)»Q»- («+*), (n+ *-2)*-,<?*-,
+ («+*)• (n+*-3)jk^0*_a— -1 .
wobei Qk nach der Formel
«•=n^c-^n
1(0)
2u bestimmen sein wQrde. VermSge der siebenten Formel ist n^i
320
mit|iiiit wenn jnan diesen Werth in die Formel för 4k eumtzt: ^ ^*- (2%, ^^"^ (21^1)* . ^'
und diess ist insofern eine independente Bestimmung von Akt tis • die Facnltätencoefficienten rtunmebr independetit bestffnmt m^. Die Bedingungen, unter welchen die Gleichung 8) richtig bldbt, -i bestimmen sich leicht aus der Bemerkung, dass zvnächst i
11(1+ J ~Lj_ij_ia_t£)j i
gesetzt werden kann, wenn nSmIich die Determination 10) i > 1 _Ül+£) >„t „de, 2> ^-^-^ > 0
HC X
erfällt ist. Denkt man sich weiter in der obigen Reihe
X ~2 3 ^4^
, t
i • ' •
gesetzt, 80 muss die weitere Bedingung
11) l>a:>-.l
statt finden; nach Ausfuhrung der angedeuteten Potenzinrogen wQrde man nun die Reihe ^ wieder erhalten und es gilt Ißtstare daher fOr alle x, welche den Bedingungen 10) und 11) gleichzei- tig genffgen ; hieraus findet man leicht
12) l>ar>— 0,8*
III. Ans der Gleichung 8) Usst sich noch eine auf den In- tegrallogarithmus bezOgliche Formel ableiten, die nicht ganz ohne Interesse Ist Fdr ii=:l Ist nSmIlch
321
l>x>— 0,8 wobei die CoerficienteDbestimmiing durch die Formel
angegeben wird. Multiplizirt man die Gleichung 13) mit dx und iol^rirt, so folgt
Um linker Hand die Integration aoszufOhren, setzen wir
l(l+;r) = 2, mithin
ar=:e* — 1 ond djp:^dz; es wird dann
/iriT^)'^=/^"'**
= li (««»)— li («»> + Canst ; mithin, wenn der Werth von e* wieder eingesetzt wird:
16) li [ (1 + *)«] - li [1 + «] + CoDst
Cm die Constante zu bestimmen, lassen wir j; in Null üb^rg«- hen und haben dann
IT) Limtli[(l+x)*]-li[l+x]H-Const.=0.
Theü \W\\. 22
S22
Der Gränzwerlli auf der linken Seite beotimnit «ich durch An- wendung der Itekannten Foniiel
I !(»«) = 0,5772156 + 1(1«)
II« l(l«)f ,
+1 T +2 rr+"'
man findet nKmlich
li [ (1+ar)»] - li ri+.T]=l [2l(l+ar)] - 1 [1(1 +x)] •2-1 l(l+.T) . 2«-l [1(I+J?)1« , 2»-l [KH-g)]»
I
1.2
172.3
T •••!
WO die rechter Hand vorkommende Differenz kurzer durch 12 av- gedrOckt werden kann. Für :zr=0 geht die rechte Seite in li über, und die Gleichung 17) wird demnach
12 + Const. = 0 ;
mit Nr. 16) verbunden giebt diess
18) n[(i + x)a]-ii[i.+xj
wobei wie froher a zwischen 1 und —0,8 enthalten sein muM.
§.5.
Die Facultätencoefficienten mit negativem
Exponenten.
Versteht man nach Crelle*s vortrefflicher Bezeichnung unter (z , + I)« die Facultät
2(2+l)...(2+n— 1),
so muss man bekanntlich , um nicht inconsequent zu werden, unter dem Symbole (r, + 1)~*' den Ausdruck
323 1 _^
(i-I)(z-2)(t-ä) ... (i-n)
bfgreifeii*); dieser lässt sich offenbar in eioe nach Potenzen von
7 fortschreitende Reihe verwandeln, sobald z>ii tat, und man wird
*
daher entsprechend dein Früheren zu setzen haben:
,, _L_
'^ (z - 1) (2—2) (2— 3;...(2— n)
— n 1 —«1 -"1
= ^ ^ + ''i "jiJTr + ^"^+^ "^ "•
oder Wir 2 = g- , wo nun jJ < — sein muss :
^ i_j
= Ci + C;|S + Ci/J> + t^/J» +
••• •
Diese Gleichung erhält eine zur Bestimmung der Coefficienten C braachbarere Form , wenn man sich zunächst an folgende für ganze positive II und beliebige a geltende Gleichung erinnert:
1.2.3...n
a(a+\)(a+2)(fl+Z)..(a+n)
TOD welcher ich im 9ten Tbeile des Archivs S. 377. (von Formel
1 JO. ab) einen elementaren Beweis gegeben habe. FCIr a=:— -^
geht die vorstehende Gleichung in die folgende 'über:
(l-ft(l-2iJ)(l-.3p)...(l-iiP)
!• 1 . 1 •
= »0— «1 in^ +"• fZ5g+'*»fi3^"" • »
und wenn man die Gleichung 2) zu Hülfe nimmt:
*) Soppleniente sum nathem. Wörterbuch; Artikel FaeuUät.
22*
324
— »
— ito — ni j-^ + ftj j^^ + itaj^^— M..
Der CoefBcientC^ergiebt sich nun» indem man beiderseits (ftii)iBal differenzirt und nachher ^=0 setzt, nämlich man hat:
(-l)»1.2...n.l.2 ..(n + *)a = — Hl. 1.2..(n +*).!»+» + iia.L2..(ii+ A).2"+*— ..• oder
3) C* = ^^~ [-it|I"+* + M,2H-* _ n,3-+» + ... J .
Bei umgekehrter Anordnung der eingeklammerten Reihe ist endlich
^^ ^* = ^ 1.2.3..n •
wobei A: nicht kleiner als n sein kann, wie aus Nro. 1) unraittel- bar hervorgeht.
Die so eben entwickelte Formel weist unmittelbar auf deo Zusammenhang zwischen den FacultälencoelBcienten positiver und negativer Exponenten hin. Schreiben wir A för n> so ist nfiralicb durch Vergleichung mit der Formel 12) in §. 3.:
ft _ l.a-3...A ApAM*— A,(A— 1)»»*+...
^*~(* + l)(it+2)...(*+*)' 1.2~Jk
(A+A)(*+*-lWA+«) ^•~(*+A)»
mithin nach Fonnel II) in (. 3.:
325
AoM den Facultfiteocoefficienten negativer Exponenten, die nach der Formel 4) unmittelbar bestimmt werden, lassen sich also mit- telst der vorstehenden Relation die FacoltäteBCoefficienten positi- ?er Exponenten herleiten.
Wir geben schliesslich noch eine kleine von ii=»*4 bis }i=-f 9 gehende Tabelle der Facaltitencoefficienten , von welcher die Eionchtung unmittelbar klar sein wird :
S26
9i 8=2 |
- IV |
-III |
- n |
— 1 |
• |
r |
|||
q,= |
1 |
1 |
I |
|
Q = |
10 |
6 |
3 |
1 |
■•(7.= |
6S |
25 |
* 7 |
|
^ = |
360 |
90 |
15 |
|
C4 = |
1701 |
301 |
31 |
|
C5 = |
7770 |
966 |
63 |
|
Q = |
3S1Q6 |
3025 |
127 |
|
c^ = |
149750 |
9330 |
255 |
|
<i = |
627B01 |
28501 |
511 |
• |
327
+ 1
+ 11
+111
I
+1V
+ v
+ VI
]
1
3
2 11
10
35
50
; 24
+ VII
+ vin
+ 1X...
1
15
85
225
274
120
21
175
735
1624
1764
720
1
28
322
lt)60
6769
13132
13068
5040
I
36
546
4536
2244i)
67284
105056
10«J584
40320
328
Comblnatorische Darstellangr der ÜVS- IternngTswerthe eines Kettenbrucl»
Von
Herrn F. Bartholomäi
zn J e D B.
I.
Wird ein Kettenbrnch
1
^•=''» + i^I
1H+ 1
;»4+_L_ Pt
nach der gewöhnlichen Art in einen gemeinen Bruch verwandelt, 60 erhält man:
i
PlP2PlPApip6 +PlP2PzP4 + PiP^PmPö + P1P2P5P6 + PlP4P6P6 + PzPiP5P6 + PlP^
+ PiP^+PiPö + PiP^+PnP^ + /^ö^« + 1
PQPzP4PbPt -i-PtPzP^
329
E» ergiebt sich nun so^sleicb, ila^s der Zähler sowohl als der Nenner eine Summe von Produkten aus den Partialnennern ist; (la88 diese Produkte Combinationen aus "den Partialneunern sind, and dass diese Combinationen nach einem bestimmten > Gesetze gebildet werden müssen. Indem wir das Geseta aus onserm Falle empirisch zu Wstinimen suchen, bemerken wir, daäs zur Bildung des Zählers sämmtliche Partialnenner, a^ur Bildung des Nenners Dor die Partialnenner vom zweiten bis sechsten beitragen; wir bemerken ferner, dass der Zähler nur Combinationen der sechsten, vierten und zweiten Klasse, der Nenner nur Combinationen der fünften^ dritten und ersten Klasse hat,^ und dass bei der Bildung der Combinationen beim Furtschreiten zur nächsten Complexion das» nächstfolgende Element übergangen wird. "Wir erhalten dem-* nach Combinationen , in welchen eine Klasse — das Wort im wei- testen Sinne, nämlich auch für die Klassen einer Klasse gebraucht — um die andere übersprungen wird. Nennen wir solche Com- binationen alternirende, so erscheint der Zähler des reducirteo Kettenbrucbs als Inbegriff sänimtlicher alternirenden Combinatio^ nen vom ersten bis sechsten vermehrt um 1, der Nenner als Summe sämmtlicher Combinationen der Partialnenner vom zweiten bis sechsten. Bezeichnen wir also die alternirenden Combinatio- neo der mten Klasse aus den Partialnennern vom rten bis zum
ften durch C, so ist r.r
« 4 «
C + C + C + 1
^6 = 1 ü T
c+ c + c
2.« 2.« 2.6
Hier ist die Symmetrie des Baues im Zähler durch das letzte Glied gestört. Der Fortgang der Klassen führt uns darauf,
l=C zu setzen. Dadurch wird
• 64^0
c + c + c + c
gy 1.6 1.6 ^ 1«6 ^«6
^6 = & 1 i •
c+ c+ c
2.6 2.« 2.6
Wenn wir hiernach die allgemeine Formel aufstellen, so erhal- ten wir
2n an— 2 2n— 4 2 O
C+C^C+...i^C+C
^ l.gw i.2n 1.2ii 1.2» 1.2«
Äl«— 2ii-l aii-8 2ii-ft i l *
6 + C + C + .... ^^ C ^^ C
2.2fi 2.2« 2.2« a.2fi 2.2«
330
30-1-1 Sn~l 2ii~3 3 I
C+C+6+-..+ C + C
»_ — J^•(^w-^l) l.(2n4-l) 1.(211-1-1) 2.(2n41) l.(an-Hv .
^•a^+l— 2n 2n~2 2n~4 2 i» ♦
c + c + c ...+ c + c
«.(««+1) 2.(2fi4.1} «.(an-l-l) 2.(211-1-1) l.(««+l)
o
wobei C= 1 zu setzen ist. Diese Formeln lassen sieb , da ihr Bildunc^ssatz an sieb klar ist, verein facben . wenn wir den InbegrifT sämmtiicber alternirenden Combinationen der Partialnenner vom rten bis zum ften durcb C bezeichnen. Denn dann erbHit man
r.t
^n — y> .... (1) 2.»
Es entsteht nun die Frage, ob diese empirisch gefundene Fonael richtig ist.
II.
Aus dem Begriff der alternirenden Combinationen ergiebl sich, dass dieselben sowohl vom rten bis zum ^ten, als auch vom Üeo bis zum rten Gliede alterniren:
C = C . . . . (2)
r.« t.r
Die Fragen nun, welche uns hier in Bezug auf die alterni- renden Combinationen angehen, sind:
1) wie aus den Combinationen der Elemente vom Qten bis itten die Combinationen aus den Elementen vom Iten bis itteo oder allgemein, wie aus den Combinationen aus den Elementen vom rten bis ^ten die Combinationen vom (r~1)ten bis zum ften abgeleitet werden können;
2) wie aus den Combinationen der Elemente vom Iteo bi« II ten die Combinationen der Elemente vom Iten bis zum (it-f-])ten oder allgemein, wie aus den Combinationen vom rten bis ften Elemente die Combinationen vom rten bis zum (f-|~l)teD Elemente gefunden werden können.
Die Elemente seien i?|, ^2> ^s» ^4— ^n» ^iHhi und die eioxel- nen Combinationen mögen als Produkte, der Complex derBtlben als Summe der Combinationen angesehen werden — was offenbar erlaubt ist, da das Produkt und die Summe immer wieder im all- gemein combinatorischen Sinne genommen werden kann.
Nun wird offenbar Caus Cerhalten, wenn alleaComplexioneo von C
1.« ^" , * «.II
das Element ex vorgesetzt wird und von den Complexionen von C diejenigen beibehalten werden, welche nicht mit e^ anfangen,
2n
d. h. es ist
331
C — ei.C+ C. . . . (3)
t.n %u 3.11
Ebenso ist allgemein
C = er-i . C + C
rr-l).t r.i (rfl).ti
C =:er.C + C ^ ^^^
r,t (r+l).t (r+2).r
welche Formeln, wie leicht ersichtlich» nur dann richtig sind, wenn C^ 1 gesetzt wird.
Hiermit und we^en de» Satzes (3) ist zugleich die andere Frage erledigt Es ist
C = C . f n 4- C • (5)
l.n l.(1^-l) l.(«-2)
c = r.t r |
C . et .(1-1) |
+ c ... |
.... (6) |
||||
Es |
Mi |
nun |
|||||
» |
ß. |
-P.+ |
1 P»+ 1 Pi 4 |
f I P4 + • • • • + |
.(7) 1 |
||
1 |
• |
' |
Ä'- = |
c y1 ... |
, (8 |
p«
2.«
wobei sich C auf den Zeiger pt* P%> Pt» PAf^^^P» bezieht. Uurcb successive Anwendung des Satzes (3) erhalten wir:
C Pi.C+C c
t.« fl.n ».II ^^_^ ^^ 3.n
c c c ,
= 1:^=1:
3.« 1.« 3.« 4.« . 4.n
3.11
S32 C
1.« 1 4**> 1 4-11
= 1:^=1:
C —^' C~"p,.C+C~ C
4.11 S.ll 4.tt 6.11^ . bM
• A + -C-
6.» U. 8. W. ,
uorau8 folgt:
P4+ J
p^ +
nitthin ist B'n=Bn oder die Gleicbang (1) i«t richtig. Zu te- selben Resultat gelaugt mau» wenn mau deo Kettenbrucb «■• nebtet.
111.
Unser Satz bat ein doppeltes Interesse. Einmal nimlich ift es sebr leicbt, mit Hülfe der allemirenden Combinationeu jeden Näberuugswertb des Kettenbrucbs unmittelbar zu finden; zweiteot aber ist die combinatoriscbe Auflosung unserer Aufgabe die or- sprOnglicbe, d. b. unmittelbar, aus der Natur der Verblndvog der Partialnenner abgeleitete. Sie muss also auch die bekaonte dependente Auflosung entbalten.
Sind Bn^i9 Bn, Bn^i drei auf einander folgenden Nähenmgs- wertbe des Kettenbrucbs» und setzen wir
Z«— 1
X»«-! |
-iv^.' |
Bn |
Zn -Nn' |
fffl |
SO ist
333
iV«+i = C = C.p«-f| + C =: iVn.;;„+i +^11-1;
mithin
IV.
Fdr die Benutzung unserer Formel zur wirkliehen Berech nnng der Mäherungswerthe dürfte sieh folgendes SchemA empfeh- len. Es sei z. B.
5+1
6+ 1_ 3+1
2
Nenner 15 4 6 3 2 12 3 4 5 6
334
'
c |
P |
Z |
« |
B, |
|
t = |
123456 |
1.5.4.6.3.2 |
7-20 |
1142 ■ |
|
1234 |
1.5.4.6 |
120 |
|||
[ |
1236 |
1.6.4.2 |
40 |
||
b = |
12S6 |
1.5.3.2 |
30 |
||
] |
1466 |
1.6.3.2 |
36 |
||
[ |
3456 |
4.6.3.2 |
144 |
||
/ 12 |
1.5 |
5 |
|||
1 14 |
1.6 |
6 |
|||
c - |
] 34 |
1.2 4.6 |
2 'i4 |
||
1 36 |
4.2 |
8 |
|||
j;% |
l 56 |
32 |
6 |
||
^ ... |
1 |
1 |
1 |
1142 |
|
^ = |
23456 |
5.4.6.3.2 |
720 |
959 |
969 |
, 234 |
6.4.6 |
120 |
|||
'c = |
J 236 i 256 |
6.4.2 5.3.2 |
40 30 |
||
^ 456 |
6.3.2 |
36 |
|||
« |
2 t |
6 |
5 |
||
1 c = |
' |
6 |
6 |
||
l 6 |
• 2 |
2 |
335
Der Pascarsche l^ehrsatz in seiner Anwendung auf die (reometrlsclie
Analysis*
Von
Herrn Planck,
Repetenten nn der poljrtechnischen Schale zu Stuttgart.
I.
Der Pascal'sche Lehrsatz lässt folgende, seinen Beweis und 8em Verstand niss erleichternde, und zugleich ftir die geometrische Analysis sehr fruchtbare Fassung zu.
Lehrsatz. Wenn AB und A*B' Projectionen einer and derselben Sehne eines Kreises auf eine und die- selbe Gerade Ton zwei Punkten Cund O des Kreises aus sind, so ist von jeder andern Sehne, von welcher in demselben Sinne AB eine Projection ist, auch A^B' eine Projection.
Beweis. Zu der Geraden, auf die projicirt wird, und die ^nr den Grundschnitt nennen, ziehe man Parallelen durch die Endpunkte />, E einer Sebne des Kreises. Diese Parallelen treffen TTaf. IV. Fig. 2.) den Kreis in F, G, und FE, DG treffen oen Grundschnitt in M und N. (st nun Aß eine Pro« jeetion vott DE vom Punkt C des Kreises ans, se sind, well
ACB:= DFE = B3§E=AND, ^ Dreiecke ACB, BME, AND eiHaniler ähnlich, nnd man kai
336
Diese Ausdrucke behalten ihreo Werth, folglich die Punkte itf und iV ihre Lage für jede andere Sehne» von welcher AB als Projection betrachtet werden kann. Somit ist das System der Sehnen, für welche AB gemeinschaftliche Projection ist, kein anderes, als das schon durcd die Punkte M und iV bestimmte System von Sehnen , oder es ist Oberhaupt )e de Projection einer Sehne dieses Systems zugleich eine gemein- schaftliche Projection aller andern Sehnen des Systems.
Eine zweite Erzeugungsart für ein solches System von Seh- nen ergibt sich, wenn man in Taf.IV. Fig. 2. noch AE und BD zieht, die den Kreis in HxmA J schneiden, und bedenkt, dass AB auch eine Projection von CH und CJ ist, dass somit diese ^eb- nen dem System der Sehne DE zugehuren. In der Identitftt die- ser zweiten Erzeugungsart mit der unmittelbar aus dem ausge- sprochenen Satze folgenden liegt auch die Identität dieses Satzes mit dem PascaTscben Lehrsatz.
Zugleich zeigt diese zweite Entstebungsweise eines Systems, wie man, wenn drei Sehnen gegeben sind, die Gerade, die ihnen als Grundschnitt zugehört, finden kann.
Als unmittelbarer Zusatz ergiebt sich noch, dass, wenn eine Sehne eines Systems durch den Pol des Grundschnittes gebt, alle andern Sehnen des Systems durch diesen Pol gehen müssen, weil alsdann nach der Lehre von der Polare die Punkte M und N zusammenfallen.
Auch verdient bemerkt zu werden, dass im allgemeinen Fall, wenn ein Endpunkt der Projection einer Sehne gegeben ist, der andere Endpunkt eine doppelte Lage haben kann, während man fiir eine durch den Pol gehende Sehne nur einen zweiten End- punkt der Projection erhält. Jede Projection einer durch den Pol gehenden Sehne kann als Projection der Sehne von zwei verschie- denen Punkten des Kreises aus betrachtet werden.
IL
«
Erste Hauptaufgabe, Uie gemeinschaftliche Sehne zweier Systeme von Sehnen zii finden, deren jedes durch seinen Grundschi>itt und eine der Projectionen gegeben ist.
Oder: Einem Kreis ein Viereck einzubeschreiben» dessen vier Seiten durch vier gegebene Punkte geben sollen.
Auflösung. Man denke sich die gesuchte Sehne aal die beiden Grundschnitte so projich-t, dass der Schnittpunkt O le^
337
selben ein gemeinachaftlicber Endpunkt der Projectionen ut Die bmdeo andern Endpunkte P und Q (Taf. V. Fig. l.) werden sich dann bestimmen» da das System der gesuchten Sebue in fiezug uf beide Grundschnitte gegeben ist. Schneidet PQ den Kreis in R und S, OR und OS aber in T und IJ, so sind Rü und ST 2wei gemeinschaftliche Sehnen beider Systeme. Als beson- derer Fall erscheint die Aufgabe: Die Sehne eines Systems lu finden» die durch einen gegebenen Punkt gehe. Nach 1. ist uänilich jede Sehne» die durch den geffebenen Punkt geht» von gegebenem System in Bezug auf die Polare des Punk- tes. Eine Auflösung dieser Aufgabe unter der Form : Einem Kreis ein Dreieck einzubeschreiben» dessen Seiten durch drei gegebene Punkte gehen sollen» findet man z. B. in van Swinden.
Bei Auflusong der Aufgabe: die Sehne eines Systems la finden»^ die einer gegebenen Geraden parallel sei, tritt an die Stelle der Polare der zu der gegebenen Geraden senk- rechte Kreisdurchmesser» die Construction oleibt aber wesentlich dieselbe.
Uebrigens lassen sich die beiden letzten Aufgaben unabhän- gig von der Hauptaufgabe ziemlich einfach mittelst Benutzung der rankte M und A* lösen. Namentlich wird man die zum Grund- schnitt para'llele Sehne eines Systems dadurch erhalten, dass man von M oder N Tangenten an den Kreis» und durch deren BerQhrungspunkte Parallelen zum Grundschnitt zieht
III.
Mittelst des Bisherigen ist man im Stande, wenn eine gege- bene Sehne so projicirt werden soll» dass die Projection eine ge- gebene Bedingung erfülle . der gegebenen Sehne eine andere von derofielben System zu substituiren » welche eine fdr die Losung der jedesmaligen Aufgabe bequemere Lage bat.
Hieher geboren folgende Aufgaben:
1) Eine Sehne so zu projiciren, dass die Projection eine gegebene Grösse habe.
Auflosung. Man substituire der gegebenen Sehne die zum Grundschnitt parallele Sehne desselben Systems. Den Punkt des Kreises, von dem ans sich diese Sehne in der verlangten Weise projicirt» wird man erbalten, wenn man ein Stück gleich dem ge- gebenen auf dem Grundschnitt beliebig aufträgt» über dieser Grundlinie ein Dreieck construirt, dessen Seiten durch die End- punkte der Sehne gehen» und durch die Spitze dieses Dreiecks eine Parallele zum Grundschnitt zieht.
ntil imi. 28
338
Eine LCIsang der Aufgabe (ür den Fall , das« es eine tarn Gnindschnitt parallele Sehne des 8y«tems gar nicht gibt, (dieser Fall B'ird eintreten, wenn die beiden Endpunkte der gegebeaen Sehne auf verschiedenen Seiten des Grundschnitts liegen) wird in IV. folgen.
2) Eine Sehne so zu nrojiciren, dass die Pro- jection durch einen gegebenen Punkt des Graod- Schnitts in gegebenem VerhSltniss getheilt wird«
Auflosung. Auch hier ist die beauemste Lage der Sehne diejenige, welche zum Grundschnitt parallel ist. Man wird diese Sehne in dem gegebenen Verhäitni^s theilen, den Theilungsponkt durch eine Gerade mit dem gegebenen Punkt des Grundschnittee verbinden, und vom Schnitt dieser Geraden und des Kreises tos die Sehne projiciren.
Eine zweite Auflosung namentlich för den Fall, dass es keine zum Grundschnitt parallel Sehne des Systems gibt, ist folgeBde:
Man substituire der gegebenen Sehne diejenige, welche durch den gegebenen Punkt des Grundschnittes geht. Es sei (Taf. >. Fig. 2.) DE diese Sehne, F der gegebene Punkt, AB die ge- suchte Projection. Wählt man dann den Punkt G auf DE so, da««
DF:FG-AF;FBs
80 ist BG parallel zu AC, und folglich
GBE=ACE,
demnach der Punkt B leicht zu bestimmen.
Wenn die Entfernung eines Endpunktes der Projection vod einem Punkte des Grundschnittes zur Entfernung des andern End« punktes von einem andern Punkte des Grundschnittes ein gege- neues Verhältniss haben soll, so hat man nur die Entfernung der beiden gegebenen Punkte in dem gegebenen Verhältniss zu tbei- len, um auf die bereits gelöste Aufgabe zurSckzukommen. Sind die beiden Punkte des Grundschnitts diejenigen, in denen der Grundschnitt dem Kreis begegnet (Taf. V. Fig. 3.), so läset sich die Aufgabe folgendermassen fassen:
Es soll eine Gerade gezogen werden, auf welcher vier gegebene, in einem Punkt sich schneidende und hier die Winkel a, ß, y bildende Gerade drei StOcke abschneiden, von welchen das mittlere eine gegebene Grosse habe, während die beiden andern in gegeDenem Verhältniss zu einander stehen.
Von dieser Aufgabe , in etwas anderer Form gefasst, ist vor Kuncem in diesem Archiv eine LOsung gegeben wirden.
339
Es kirne dud die AoTgabe: eine Sehne so za projici- reo» dass das Rechteck aus den beiden Stücken, in welche die Projection durch einen gegebenen Punkt des Groodscbnittes getheilt wird, eineeegebene Grösse habe. Von dieser Aufgabe sind wir mittelst des Bisherigen bloss folgenden besondern Fall zu lösen im Stande.
3) Eine Sehne so zu projiciren, dass die Projection mit einer zweiten gegebenen Sehne auf einem "Kreise liege.
Auflösung* Man suche die Sehne vom System der ersten, welche durch den Schnittpunkt der zweiten und des Grundschuit- tes gebt. Projicirt man die gefundene Sehne so, dass »ie mit ihrer eigenen Projection auf einem Kreise liegt, so liegt diese Projection auch mit der zweiten der gegebenen Sehnen auf einem Kreise y und die Aufgabe ist gelöst. Der Punkt aber, von wel- chem aus alle Sehnen sich so projiciren, dass sie mit ihrer Pro- jection auf einem Kreise liegen, ist der, in dem die Tangente parallel zum Grundschnitt ist
IV.
Die in I. fiir AN und BM gefundenen Ausdrucke behalten ihren Werth nicht nur fiir jede andere Sehne des gegebenen Krei- ses, von welcher ilA als Projection betrachtet werden kann, son- dern sie behalten ihren Werth auch, wenn man ^^ als Projection einer Sehne eines anderen Kreises (von einem Punkte dieses Kreises aus) betrachtet, für weichen die Produkte ADxACf BExBC ihren Werth beibehalten. Die geometrische Bedingung hiervon ist entweder, dass der zweite Kreis aem Grundschnitt in demselben Punkte begegnet, wie der erste, oder dass derAÜttel- ponkt des zweiten Kreises mit dem Mittelpunkt des ersten in einer zum Grundschnitt Senkrechten liegt, und die vom Fuss- pnnkte dieser Senkrechten an die beiden Kreise gezogenen Tan« geoten der Grösse nach gleich sind.
Sonach erweitert sich unser Hauptsatz dahin , dass durch den gegebenen Kreis und den Gnindschnitt ein System von Krei- sen, und durch den Punkt M oder N in Bezug auf jeden die- ser Kreise ein System von Sehnen bestimmt ist, deren jeder ein und dasselbe System von Projectionen zugehört
Hiedurch ist man in den Stand gesetzt, in FSlIen, wo sich in dem gegebenen Kreise keine die Lösung der Auf^^abe wesentlich erleiditernde Lage einer Sehne ermitteln lässt, auf einen anderen Kreis überzugehen , und sich dort die beciuemste Lage der Sehne des Systems herauszusuchen. Dabei werden foljsende zwei Haupt- nittel zur Anwendung kommen. Man wird entweder 1) dem ge- gebenen Kreis denjenigen des Systems sobstituiren , der die in M oder iV errichtete Senkrechte berührt, oder man wird, wenn
SS*
340
diess nicht mS^lich ist, 2) dem gegebenen Kreis denjeoi^eii des Systems substitairen» dessen Mittel pimict im Grandschoitt .Regt Im erstem Falle lässt man an die Stelle der gegebenea Sehne des gegebenen Kreises den zum Grundschnitt juarallelen Durch- messer des neuen Kreises treten, im zweiten Fall einen Dortb- roesser , dessen Lage gegen den Grundschuitt von der Lage des Punktes M (oder N) abhängt.
Als erstes Beispiel kann die Ltisung der Aufgabe 1) in 111. für den schon besprochenen Fall dienen. JMan findet den dem System zugehörigen Durchmesser des neuen Kreises, wie Taf.V. Fig. 4. zeigt. Ist Aß die gesuchte Projection des Durch- messers DE, und O* die Mitte von AB, so sieht man leicht, dass OCO*^=^AOD, dass somit das Dreieck OCCy gegeben ist
Man wird bei dieser Gele<;enheit bemerken, dass Jede Pro« jection des Durchmessers DE als Durchmesser eines Kreises he- trachtet werden kann, der den Kreis O unter dem Winkel AOD schneidet. Ebenso kann die Projection des zum Gmndschnitt pml- lelen Durchmessers eines Kreises als Durchmesser eines Krewe betrachtet werden, der den ersten berührt.
V.
Zweite Hauptauf gäbe. Die gemeinschaftlichePro- jection für zwei gegebene Sehnen zweier Kreise so finden.
Oder: Ein Viereck zu construiren» wenn gegeben eine Diagonale der Lage nach, die ihr gegenüberlie- genden Winkel und vier Punkte, durch welche die vier oeiten gehen sollen.
Auflösung. Nach IV. wird die Aufgabe auf eine der drei folgenden sich zurückführen lassen. Es soll die gemeinschaftliche Projection gefunden werden
1) für die zum Grundschnitt parallelen Durchmesser zweier Kreise ;
2) für den zum Grundsehnitt parallelen Durchmesser eioes Kreises, und einen Durchmesser eines zweiten Kreises, dessen Mittelpunkt im Grundschnitt liegt;
3), iiir zwei Durchmesser zweier Kreise/ deren Mittelpunkt im Grundsehnitt liegt.
Nach der Schlussbemerkung zu IV. aber lassen sich diese Aufgaben folgendermassen fassen:
1) Einen Kreis zu construiren, dessen Mittelpnnkt auf einer gegebenen Geraden (dem Gruodscnnitt) liege, und der zwei gegebene Kreise berühre.
341
S) Einen Kreis %n construiren, der einen gegebe- nen KreiA berühre» einen zweiten unter gegebenem Winkei schneide» und dessen Mittelpunkt auf einem gegebenen Durchmesser des letztern Kreises liege.
3) Einen Kreis zu construiren, der zwei gegebene Kreise anter gegebenen Winkeln schneide, und dessen Mittelpunkt auf dem gemeinschaftlichen Durchmesser beider Kreise liege.
Die elementare Lösung von Aufgabe 1) wird als bekannt vor- aosgesetzt werden dQrfen. Aufgabe 2) wird man mit Leichtigkeit auf den Fall zurfickfiihren » wo der gegebene Winkel ein rechter ist Am meisten Schwierigkeit macht Aufgabe 3). Sie lässtsich auf die Form bringen: auf dem gemeinschafUicnen Durchmesser zweier Kreise einen Punkt zu bestimmen» so dass die Differenz der von ihm an die beiden Kreise gezogenen Tangenten eine gegebene Grösse habe. Sind (Taf. V. Fig. 5.) OP und O'^ die Halbmesser der beiden Kreise, Q der gesuchte Punkt» so schneiden die mit den Halbmessern OQ und O'Q beschriebenen Kreisbögen auf den in P und P* errichteten Scheiteltangenten zwei Stucke P/i^» P'R* &U, gleich den von Q an die beiden Kreise gezogenen Tangenten. Macht man jetzt PSz=iO*P*, iST gleich der Differenz der Tangenten, so ist OR + RT:=OR+ O'R' ^0(y. Man hat sonach über OT als Grundlinie ein Dreieck zu constroiren» dessen Spitze auf der in P errichteten Scheiteltan- gente liegt und dessen beide andere Seiten zusammen gleich OO' sind» eine bekannte Aufgabe der Elementargeemetrie.
Als besonderer Fall unserer Hauptaufgabe erscheint z. B. der folgende: Ein Viereck zu construiren» wenn gegeben eine Diagonale der Lage nach, mit den ihr gegenüber- liegenden Winkeln und Ecken. Man kommt auf diese Auf- gabe» wenn die beiden ursprünglich gegebenen Sehnen dem Grund- schnHt parallel und der Grösse nach gleich sind.
Die Hauptbedeutung unserer Aufgabe wird sich im Folgenden zeigen.
VI.
Wir werden nun die ein System von Projectionen cha- rakterisirende Bedingungsgleichung aufsuchen, und hierbei besonders den Fall berücksichtigen, wo man ein System ▼en Kreisen bat» die den Grundschnitt schneiden.
Es sei (l'af. VI. Fie. 1.) DE die Sehne» welche projicirt wird» und im Uebrigen Alles» wie in I., so hat man
1. Aia ADxAC «, „„ BExBC
1) AN=z—j^—, 2) BM=—XB—
342
Sind 12 und S die Pankte, in welchen der Grandschoitt den Kreis begegnet» so Ist
ADxAC=ARxAS, BExBC=BRxBS ,
und man bat
3) AN-BJU=AB-]aN= ^t^X^S-BRxBS
oder
MNxAB=z ABxAB^ARxAS^BRxBS
= iAR+BR)(AS--BS)''ARxAS+BRxBS ^BRxAS'-ARxBS.
Setzt man Jß=a, BR—ß, BS=y, folglich RS=ß+y» •• hat man
tt-t-ß
woraus
BS+MN _. ß(u+ß+y) _AS AR *' RS—MN- «y —BSBR'
Fflr den Fall , dass die Punkte R und S zwischen M uoi N lie- gen , erhält man ebenso
MJN+RS AS AR JIIN-RS~ ES' BR'
vn.
Die in VI. gefnndcne Bedingungsgieicbung für ein System too Proiectionen enthält nicht nur einen neuen Beweis für alle ■■ Bisnerigen aufgestellten Sätze, sondern sie gibt denselben auch erst ihre wahre Bedeutung. Es ist nemlich das durch die deicknf
AS.AR „
343
ansee^rochene Verbältniss kein anderes» als dasjenige« welches in oer neueren Geometrie unter dem Nam^n eines an barm o- sehen Verhältnisses vorkommt, weil es fiir K=^l zu einem harmonischen Verhältnisse wird. Man wird hiedurch auf eine neoe» vom Kreis unabhängige, rein linfeäreErzeugungs- art eines Systems von Projectionen in dem bisher bespro« chenen Sinn hingewiesen. Dieselbe ist im folgenden Lehrsatz enthalten.
Wenn (Taf. VI. Fij?. 2.) AB die Projection einer be- grenzten Geraden DE, die .verbängert den Grund- Bchnitt in S trifft» von einem Punkte C einer Geraden aus ist» die den Grundschnitt in R trifft, so findet ftlr jede Lage des Punktes C auf dieser Geraden die Glei* chung Statt:
AS,AR_
Der Beweis soll hier ganz, wie in VI., geführt werden. Man ziehe durch D und E Parallelen zum Grundschnitt, die die Ge- rade CR in F und G treffen. FE, DG treffen den Grundschnitt in Jf and iV. Dann Ist» wie leicht zu sehen,
^. .^ ARxAS ^. ^^ BRxBS
oad da non Alles, wie in VI., ist, so wird man aucb die dort gefmdeB« GleicIiuDg
AS AB RS+JUN BS'BR- kS-ÜN
wieder erhalten.
Man kann bei dieser Gelegenheit einen Lehrsatz der neueren Geometrie herleiten, den wir for unsern Beweis hätten benutzen kSnnen. Es ist, wie die Figur zeigt:
_„ DSxEG _-, ESxDF,
*^= ~DE — ' *^= "~i>ir~ '
also
SN_DSEG SM~ ES^EF'
Schneidet CR die Gerade DE In Q, so ist
EG__EQ ßP- DQ'
«d folglich
344
SN _DS DQ JM" ES'EQ'
MuD ist, nie leicht zu sehen,
RJS^SM, SN^l^iRSi^MN), SM=l(RS^MN) und man erhält demnach die Gleichung
DS DQ RS+MN AS,AR E s' EQ — RS'-MJS — BS' BR '
Man vergleiche hierüber die Geometrie von Kunze.
VIII.
Da sich nach VII die Aufgabe, eine begrenzte Gerade tod einer zweiten gegebenen Geraden aus auf den Grundscbnitt sozo projiciren, dass die Projection eine gegebene Bedingung erfullei aui die Aufgabe zuruckliihren lässt, eme Sehne eines Kreises von einem Punkt dieses Kreises aus in der verlangten Weise zu pro- jiciren, so sind, wie man sieht, mit den bisher fGr den Kreis gelüsten Aufgaben eben so viel analoge für den Fall gelöst, wo statt des Kreises und der Senne eine unbe- grenzte und eine begrenzte Gerade gegeben sind.
Besonders bemerkenswerth erscheint hier die Aufgabe, einem Dreieck ein Dreieck einzubeschreiben, dessen Seiten durch drei gegebene Punkte gehen sollen. In Taf. VI« Fig. 3., wo Di Ey F die gegebenen Punkte sind, hiAB sowohl eine Projection von DE, als DF, und folglich mittelst der zwei- ten Hauptaufgabe zu bestimmen.
Es lässt sich aber sogar die allgemeine Aufgabe: Einen neck ein neck einzubeschreiben, dessen Seiten durch n gegebene Punkte gehen sollen, nach den aufgestellten PnQcipien lösen. Da jedoch die Lösung praktisch nicht wohl brauchbar ist, so möge darüber folgende Andeutung genügen.
Wenn AB und BC zwei verschiedenen Systemen angebfi- rende, den Endpunkt B aber gemein habende Projectionen sind, so wird , wie leicht einzusehen , zwischen den Punkten A und C eine Abhängigkeit derselben Art Statt finden , wie zwischen A and B oder B und C, d. h. auch^C wird einem bestimmten System von Projectionen angehören. Um dieses System geometrisch in bestimmen, hätte man zunächst irgend drei Lagen von ACmo zeichnen, und dann die Aufgabe zu lösen» wenn drei Projecb'o- Den von einem System gegeben sind, das System von Kreiseni
345
aaf welches sie sieb besieben » zu finden. Ule LOsang dieser Auf- gabe entbält der Satz» dsss, wenn AB und A'R Projectionen einer und derselben Sebne DE sind, ADA' =^ BEB' ist.
Betracbtet man nun z. B. (TaC VI. Fig. 4.) das Viereck» dessen Seiten durcb die Punkte D, E, F, G geben sollen» so eebOrt AC sowohl zu einem unmittelbar gegebenen System als Projection von DE, als aoeb zu einem mittelbar gegebenen Sy« stem f weil AB und BC gegebenen Systeuien zugeburen. Dem- nach ist man wieder auf die zweite llauptanfeabe zurfickgeliibrty und wird diess ebenso, wenn es sieb um me allgemeine Auf- gabe bandelt
IX.
Wir sind nun mit den Uauptanwendungen zu Ende, und ge- ben nocb zu einigen besonderen über, zunlcbvt llDr den Fall, wo die Punkte A, N, B^ S barmoniscb liegen, oder wo es sieb um die Projection einer durcb den Pol des Grundscbnittes gebenden Sehne bandelt.
Zonäcbst föUt in die Augen, dass mit den bisber gelosten Aufgaben eine Reibe von Aufgaben in Bezug auf die Con- struction eines Systems barmoniscber Linien gelost ist
Eine Reibe neuer Anwendungen aber eröffnet sieb durcb fol- genden
Lebrsatz:
Wenn man alle Projectionen einer durcb den Pol des Grundscbnitts gebenden Sebne von einem will- kfibrlicb angenommenen Punkt aus wieder projicirt auf eine Gerade, die parallel ist zur Verbindungslinie dieses Punktes und des Fusspunktes der vom Pol auf den Grundscbnitt gefällten Senkrecbten, so ist das Verhftitniss der ersten Projection zur zweiten yon constanter GrOsse.
Beweis. Ist P der Fusspunkt der Senkrecbten, folglicb die Bütte von RS, so lässt sieb aie Gleicbung
AS AR , .AS AR
in der Form scbreiben
APyPR _ AP^PR , AP+PR_ PR+BP ffP+PR - PR'-BP ^^®' AP^PR" PR'-BP '
Hieraus erbfilt man unmittelbar
^=^ oder APXBP=PR^.
346
F«v den Falft, dass der Grandschnitt den Kreis nieht trifft, erhUt man lekht auf direotem Wege, indem man die dorch den Pol parallel siira Grundacbnitt gesogene 8ehne projicirt :
APxBP=PT^,
wo PT die von P an den Kreis gezogene Tangente ist«
Ist nun (Taf. VI. Fii^. 5.) O der Punkt, von welchem aas die Projection AB projicirt wird, Q der Schnittpunkt der zn OP Paraliefen und des urundschnitts, ab die Prrijection von AB, und zieht man durch A eine Parallele zu O/^, die den Pro- jectionsstrahl Ob in C trifft, so ist
1) AB=zAC^s 2) ab = AC^ = AC^
und folglich
^ AB _ APxBP ^^ ab — OPxPQ '
ein constanter Ausdruck ^ da das Product APxBP constaot ist
FOr den Fall, dass der Punkt O selbst auf dem Kreise an- senoBimen wird , und O' der zweite Schnittpunkt von OP mit dem Kreise Ist, ist sowohl PR^, als PT^z=zOPxO*P, und die Glei- chung 3) nimmt die Form an
,, AB 0*P
Mit Hilfe dieses Satzes wird man folgende Aufgaben loseo:
1. Durch einen gegebenen Punkt zwei Gerade fo zu legen, dass sie auf zwei gegebenen Geraden zwei Stücke von gegebener Grosse abschneiden.
U. Durch einen gegebenen Punkt zwei Geradezu legen, die mit einander einen gegebenen Winkel machen und auf zwei gegebenen Geraden zwei Stficke von gegebenem Verhältniss abschneiden.
Man wird in beiden Aufgaben den gegebenen Punkt als des Punkt O unseres Lehrsatzes betrachten, die gegebenen Geraden aber als diejenigen, auf welche dort projicirt wird. Den Kreis wird man mittelst der Gleichung 4), die den Punkt O* gibt, cod- struiren. Bei der ersten Aufgabe handelt es sich dann daroin» durch den Pol eine Sehne zu legen , die sich von O aus in eeee- bener GrOsse tfuf den Gnindsehnitt projicirt (Aufgabel) inlu.;* Bei der zweiten Aufgabe wird man, da die ProjectionsstraUen
347.
eben t^ebenen Winkel mit einander machen sollen» durch den Pol eine Sehne von gegebener Grdsse za legen haben.
Eine direktere ond hfibschere Aaflosang von Aufgabe I. ent- hält folgender Lehrsatz.
Lehrsatz.
Wenn der Grunds ohnitt den Kreis im PunktePbe- rShrty und es werden von einem wilikübrlich ange- nommenen Pujnkt O aus alle Projeetionen von einer- lei System auf eine zu OP parallele Gerade projicirt» flo ist diese zweite Projection von constanter Grösse.
Beweis. Die Gleichungen 1) und 2) in I. geben in diesem
FaU
AP^-k-BP^
woraus» da AB=AP+BP,
APxBP
MP^
AB '
NoB ist, wie in IX,
tad sonach hier
. OPXPQ
Der Lehrsatz lässt eine andere Passung zu» wenn O selbst auf dem Kreise liegt. LSsst man nemlich alsdann ab sich fort- bewegen, so werden Oa und Ob lauter Sehnen von einerlei Sy- stem aus dem Kreise ausschneiden
Durch Combination dieses Lehrsatzes mit früheren Aufgaben und Lehrsätzen lässt sich nun noch eine Reihe von Aufgaben lOseo, die wir nicht namentlich aufzuführen brauchen.
Anhang.
Die im VorbeiKehenden bewiesenen Hauptlehrsätze lassen sieb in einen Lehrsatz zusamroenfassen. Wenn man die
348
8ebn« DE eines Kegelschnitts von der Peripherie des Kegelscboitts aus auf eine Gerade projicirt» die dem Kegelschnitt in den Punkten R und S begegnet, so ist die Abhängigkeit zwischen den Endpunkten Af B der Projection durch die Gleichung ausgedrückt:
AS AR_
Um diesen Satz auf dem Wege der nnalytischen Geometrie mög- lichst einfach zu erhalten , nehmen wir zu Coordinatenaxen die Gerade RS und den der Sehne RS zugeordneten Durchmesser. Die Gleichung des Kegelschnitts wird sich dann in der Form anschreiben lassen:
Die Coordinaten der Endpunkte der gegebenen Sehne seien (a,6) und {a\ b*), die Abscissen der Endpunkte der Projection aber Xq und Xi. Um die zwischen Xq und a'i Statt findende Abhan-
§igkeit zu erhalten^ kann man die Bedingung anschreiben, dass ie beiden projicirenden Geraden dem Kegelschnitt in einem und demselben Punkte begegnen. Die Gleichungen dieser Geraden heissen
(a — Xq) (y — ä) t= b(x — a), wobei a* — a*=2/i6 + jr6*,
(a'-a:i)(y— 60=*'(:t— aO, wobei a'«— a«=2p6' + 96'«.
Es seien (X, Y) und (X\ ¥') die Coordinaten für die zweiten Schnittpunkte dieser Geraden und des Kegelschnitts. Dann fin- det man durch eine einfache Rechnung:
■
X X! Wir schreiben jetzt die beiden Gleichungen an -p=-pv »od
F=' P, und erhalten hieraus :
1) 1pbV{x^—x^ (jTo^i + ««)
+6(V— «•)(2a*^i— a'(a:i«+a«))-6'(xi«-a«)(2a%-fl(V+«*))=^'
2) IpbV (oTo — J-i) (oTo + Xx)
woraus durch Elimination von p\
349
-Ä'Ui« — aa)[(aro+ari)(2««;ro— a(V+«*))
- (^«V»^i + «*)(V - 20*6 + «*) 1=0 .
Diese Gleichung reducirt gibt
3) (Xo« - «*; (a?!*— ««) [* [a'fxo - j:i) + a«— ab^rj
— Ä'[a(ari — ;ro) +«* — aroJri]]=0,
und wenn man mit den unbrauchbaren Factoren wegdi?idirt« erhält man endlich
iv ob' + a'b. . , ^
4) XqXi g^j, (aro— ;ri)-a«=0,
•ioe Gietchang, deren geometrische Bedeutung leicht zu erken* oeo ist
Zu bemerken ist noch , dass in der vorausgesetzten Gleichung des Kegelschnittes der Fall nicht enthalten ist, wo die Gerade, anf die man projicirt, parallel zu einer Asymptote ist. Die Be- diognnesgleichung fUr aie Projection wird aber in diesem Fall besonders eiDfacn: namentlich Ist bemerkenswerth , dass die Projection der Sehne einer Hyperbel aufdie Asym-
Stote selbst von constanter Grosse ist Man kann diesen tti leicht aus der in X. bewiesenen Eigenschaft des Kreises durch Centralprojection desselben herleiten.
Die Umkelirung unseres Hauptsatzes ist folgender ^ sehr leicht direkt zu be«veisender Satz. Der geometrische Ort eines Pnoictes, von dem aus eine begrenzte Gerade sich auf eiire zweite Gerade so projicirt, dass die Projectio- neu ein gegebenes System von Projectionen in dem bisherigen Sinne bilden, ist ein Kegelschnitt, von dem die begrenzte Gerade eine Sehne wird. Wird ein auf diese Weise gegebener Kegelschnitt von i. einer dritten Gera- den io den Punkten r und s geschnitten, so gehurt nach dem Hauptsätze jede Projection ab der gegebenen Sehne auf diese Gerade zu einem bestimmten System in Bezug auf die Punkte r, <* Diese Punkte wird man in jedem einzelnen Falle mittelst der zweiten Hauptaulgabe bestimmen k<innen, und sucht man dann weiter eioe Lage von ab, die einem unmittelbar gegebenen Sy« fitem von Projectionen zugehört, so hat man folgende wichtige Aufgabe gelost:
Durch zwei gegebene Punkte zwei Gerade so zu l^gen, dass sie auf zwei gegebenen Geraden zwei Stocke abschneiden, welche gegebenen Systemen von Projectionen zugehören.
Ein besonderer Fall dieser Aufgabe ist b. B. der, wenn ver- ^gt wird, dass die beiden gesuchten Stflcke eine gegebene Grosse bahMi sollen.
350
Zum Schlosse nOge hier noch folgende , mit deo im Vorher- gebendeo behandelten Aufgaben verwandte Aufgabe einen Platt finden.
Man soll ein Viereck construiren, in dem sowohl die Seiten, als die Diagonalen gegebene Winkel mit einander machen.
Bei der Auflösung sind zwei Hauptfölle zu unterschetden.
I. Einer der Winkel des Vierecks ist ein überstnmpfer, oder einspringender.
Es sei (Taf. VI. Fi^. 6.) ABED das gesuchte Viereck, des- sen Seiten AD, BE sich in C, und dessen Diagonalen AE^ BD sich in O schneiden. DE und AB schneiden sich in F. Das Dreieckil AD betrachte man als Parallelpro jection eines zweiten Drei ecks, mit dem es die Grundlinie ^figemein hat, die drei Transversalen AG, BC, DF aber als die Projectionen der drei Höhen des lelx* tern Dreiecks. IVlan wird dieses Dreieck zeichnen können, indem man durch C und G Parallelen zu DF zieht, die die Grundlinie in c und a treffen, und die Schnittpunkte der in c und a errich- teten Senkrechten mit dem (iber Ad beschriebenen Halbkreis coo- struirt. Heissen diese Schnittpunkte O und 6r', und schneiden AC, BG' sich in D\ BC und AG' in £', so ist das Dreieck ABD mit seinen Transversalen eine Parallelprojection des Drei- ecks^ AD' mit seinen Hohen, und demnach GG* parallel zu CC Die Aufgabe wird daher sein, das Viereck ABGG* zu constrni« ren, in welchem ausser der Seite AB die Winkel AG'B, AGB und die Richtung von GG* gegeben sind, und in dem fiberdiess G'g zu Gg sich verhalten soll, wie Oc zu Cc. Ein diesem Vie^ eck ähnliches wird man bekommen, wenn man ein Viereck AB'CC construirt, in welchem ^'^^'=191., und A'CB'-AGB ist. Folglich ist die Aufgabe keine andere, als die am Scblass zu V. erwähnte und mit der zweiten Hauptaufgabe gelöste, für welche man jedoch in diesem speciellen Falle noch eine eiofii- chere Lösung erhält, wenn man sich för das durch die Gleichung
AcXcB = Cc^
bestimmte System von Projectionen nach IX. einen durch deo Punkt C gehenden Kreis verschafft, und dann eine Sehne vom System sucht, die sich von C aus unter dem Winkel AGB pfojicirt.
II. Die Winkel des Vierecks sind alle kleiner als ivra Rechte. Die Auflösung wird in diesem einfacher scheinendes Falle leider complicirter.
Es sei ABED wieder das gesuchte Viereck (Taf.VlI. Fig.l.) und die Bezeichnungen, wie vorher, so wird man auch jetzt das Drei- eck ABD als Parallelprojection eines Dreiecks ABD' betrachteo, und DF als Projection der Höhe />'F, aber nicht mehr AG vni BC als Projectionen der beiden andern Höben. Dennoch Ueiö^
S51
die Construction im Wesentlichen dieselbe, wie im Torigen Fall. WShIt man nemlich den Punkt C wieder 80, das«
Cd^^ AcxBe,
se wird auch
&g^=AgxBg
werden, well alsdann das Viereck ABEiy ein Kreiisviereck ist
(BEF = BCc = BAiy)
und somit
BG*g=^BD'F=BAG\
Es wird sich also das Viereck ABG*G durch eine der vorigen ganz analoge Construction zeichnen lassen. Zu bemerken ist noch , dass die Aufgabe sich in folgender merkwürdigen Form fas- scn lässt. Ein Parallelogramm zu construiren, dessen fier Ecken auf vier in einem Punkt sich schneidenden Geraden aufliegen, und dessen Seiten gegebene Wlo« kel mit einander machen.
Macht man nemlich (Taf. VII. Fig. 2 ) AF, AG parallel und gleich den Seiten CB, CD des Vierecks ABCD, so ist FBDG ein Parallelogramm, weil FB gleich und parallel GD ist.
Interessant fiir die beschreibende Geometrie ist der Fall, wo dieses Parallelogramm ein Rechleck ist Zieht man alsdann durch den Schnittpunkt der vier Geraden eine Gerade parallel zu einer der Seiten des Rechtecks, so wird man diese Gerade als Spur mer Ebene betrachten kunnen. In der zwei Gerade lieffen, von welchen das eine Paar der gegebenen, (das der Spur näher Hegende), die Projection, and das andere die Umklappung in die Grund* ebene vorstellt Man hat somit die Aufgabe gelost: Die Ebene zweier iu der Grundebene sich schneidender Geraden la finden, wenn gegeben ist 1) die Projection der Ge- raden und 2) ihre Umkiappung.
352
'Wann lleirt der Schwerpunkt eines ebenen Viereckes ausserhaib des- selben?
Eine Crelegenheitsfrage
beantwortet von
Dr. Wilhelm Matzka,
Prof. der Math, an der Prager Universität.
1. Sei in einem Viereck i4AC/>rTaf.VlLrig.3.) eine innere(da«- selbe zertheilende) Diagonale JC gezogen, und seien in den entste- henden Theildreieeken AHC, ACD die Scbwerponkte F, G dadorck
beatimmt, daaa man EA^EC, EF==^EB nnd EG =2 ^ ED
machte. Dann ist bekanntlich die Strecke FG eine sogenannte Sehiverlinie und wird durch den Schwerpunkt M des ganzen Viereckes zertheilt. Soll nun dieser Schwerpunkt ausser des Viereckes Fläche fallen, so muss diess schon mit einem Theile dieser Schiverlinie FG der Fall sein; was aber nur geschehen kann, wenn das Viereck an einem Grenzpunkte der zer- tbeilenden Diagonale AC, etwa an C, einen eingeben* den Winkel hat.
2. Man ziehe auch die Äussere Diagonale BD, und verlän- gere bis zu Ihr noch die hinere Diagonale AC, welche sofort auch die Schwerlinie FG in H schneiden muss. Damit Jü in Aussen Winkel BCD liege, muss auch schon H darin liegen, folglich
EH^EC
3$3
sein. So wie oon
EF^^ tjrEB f
ist aoch
. . - V .
EH=lEJ=^^^i
daher soll sein
^^±^>EC,
> I
also
CJ ^ 2J5;C d. i. CJ ^ C^ .
Der Schwerpunkt f ä 1 1 1 demnach nur dann ausserhalb des Vierecks, wenn die Verl^i^^eruDg seiner inneren Diagonale bis an die äussere mindestens so lang als die innere selbst ist.
3. Man bestimme nun auch die Schwerpunkte der Dreiecke ABD, CBD, deren Unterschied das^ Viereck ABCD ist. Biesu siebt man aus der Mitte O von BD die Transversalen OA, OC and macht ^
. »>. 1
wonach P, Q 4^e verli^ngten Schwerpunkte find. Die durch sie gehende neue Schiwerlinie PQ d^sv Viereckes muss sofort die frfi- nere Schwerlinie FG in dem verlangten Schwerpunkte M schneiden.
i
4. Nun ist PQWAC, folglich, so wie OP=:^OA. auch ON
= ^0J. daher JN=toJi femer wegen FG\\BD ist HM ^jy. Es ist jedoch anter der Voraussetzung, dass
BJ^JD
sei, die
.OJ = BO-Bj4BD^BJ^^^:^^ßJ^'-S^,
daher ^ ^
Thml XTIII. 24
354
AUein
jJD = HG und ^JB = HF,
folglich
und endiicb
aM= HG— HF.
GM = HF,
was eine hScbst einfache Bestimmung des Schwer- punktes JK auf der Schweriinie FG darbietet
5. Damit jetzt M in den Winkel JCD falle, muss
HM — HL
werden. Allein
HL:JD=üCH:CJ
und
femer
CH=EH-BC.
und
EC-ICA;
daher ist
CH=l(CJ-CA)
und siiHBil
„, JD CJ-CA
9S»
Verbifldet oiao dies nU dem oben gefiiodeneo 80 erfolgt
HM.UL^
~JS CJ
Soll nao
^ JB ^ CA
HM^LHL
aoafkUeo, so inuss
JB^ CA JD= Cl
sm; d, b. damit des Viereckes Schwerpunkt ausser selbes -^ in den Aussenwinkel seines eingebenden Winkels — falle, muss zwischen den Abschnitten JB^ JD und CA, CJ seiner beiden Diagonalen die Bedindungsver- gleicbung bestehen;
JD= CJ'
6. Diese Bedinffong, von der sich leicht ersehen Ifisst, dass •ie Hir die gestellte Forderung zureicht , lässt sieb noch auf man- cberlei brauchbarere Weisen ausdrücken. Z. B. wenn man die Punkte A, C, J, B feststellt, 8o kann man leicht JD* so construiren, dass
JB CA JD-^ CJ
sei; etwa indem man AA'#JB macht und J'C bis ly in der rerlängerten BJ föbrt Dann verwandelt sich obige Bedingung in <lie einfache
JD^ JI>.
Da ferner auch
JD^JB
«ein soll, so rouss, wenn man JB*=JB abtrfigt, die noch inangelnde Spitze Z> des Viereckes nothwendlg auf nnd innerbaln der Strecke B*!)* irewäblt werden.
7. Soll insbesondere der Schwerpunkt M in der^S^ite CD liegen, muss HM.^^HL werden» also JD=-JD' oder
JDaB^CJxCA
sein, mithin D in D' liegen. — Damit er auf die verlSngerte Diagonale C/ fälble , n^uss^/filf^O, also
JDz=JB=^JB' *
«
sein, folglich D in iSMiegen. — Soll er endlich aufdie Spitze C fallen, muss auch noch €^=0, folglich CJ^r^CA sein; wie in Taf. VII. Fig. 4.
8. Eine andere bequeme Construction eines sol- chen Viereckes möchte wohl die folgende leicht erklärbare sein. Man wählt FG (Taf. VII. Fig. 5.), auf ihr den Punkt if und ausser ihr E. Auf den verlängerten EF, EG macht man FB^räEF und GD=zlEG\ dann auf FG\die FH=GM, und zieht die JVf. — Fiihrt man nun die DM bis sie HE in O trifft, und schneidet man EA'=:EO ab; so liegt des Viereckes ^'^CZ> Schwerpunkt J!f in der ^eite OD. , — Wählt man aber C zwischen E und C, utid schneidet \E/1 = £C ab; sb He^t der ' Schwerpunkt M ies Viereckes ABCD ausserhalb desselben. — Ist m die Mitte d^r FG, 80 fällt B auf ihn; daher wählt man C im Allgemeinen zwischen E und H, wonach des Viereckes Schwerpunkt auf seiner inneren Diagonale liegen wird.— Verlegt man jedoch insbesondere C nach i£ oder Itf selbst, so fällt er auf die Spitze des eingehenden Viereckswinkels. (Taf. VII. Ffg. 4.).
Wf'
it
■I
. (»■
x:sLiii.
■. >— > 4
reber die Converse des Satzes: Im Sletehscliehkliseii iüreiecke sind die üasiswinkel nac^.b gleieliem Verhalle nlss (heilenden Transversalen einan- der erieicli.
Von
Herrn C. Schmidt,
Lehrer «n der höheren BurgersV.hdIe zn Stolfite.
-Wr
Im Archiv ThI. XVI. S. 201. ff. finden sich zwei Beweise för deo Satz: Sind die Transversalen, welche zwei Dreieckswinkel nach gleichem VerhMitniss theilen, einander gleich, so ist das Dreieck gleichschenklig. Da dort auf eine y^Aufforderune'' in einem frfilieren Theile des Archcrs ktagewksen ist, so will ich. aoch einen Beweis des angeführten Satzes mittheilen. Derselbe tioterscheidet sich von jenen beiden dadurch, dass er nicht andere, der Scbnigeometrie fremde Sätze voraasschickt.
Ml
Lehrsatz, Werden in eliieiu Dreieck zwei Winkel durch'Transversaien nach demselben Verbältniss ge- theilt und sind diese Transversalen einander gleich, ^0 ist das Dreieck g|0iohschejik,l.ig.
In Bezug auf Taf. IV. Fig^.3. i^t. , . • "^ « « '
366l
worin — einen echten Bruch darstellt fi
Thes. AB — AC.
Beweis. Man trage ^/? als ^BCF in Can BC, made CF=BE nnd ziehe BF. Nun ist
^BCF^^CBE,
und wegen der Voraussetzung BD=^ BF, Man verbinde D und F, so ist ^BDF gleicbscbewlig und
Z.BDF=Z.BFD=t.
Angenommen« /? sei >y9 also ^=^4-^9 worin i posittr.
Nach der gemachten Annahme drucken wir nun die Winkel CDF und CFu durch dieselben Stiicke aus, um eine Terglei- cbung derselben möglich zu machen.
Im ^CDB ist
also nach unserer Annahme
= 2/2— y y «J — c.
Im A CFB ist
^CFZ>=2Ä-/!-^y-f, also nach der nämlichen Annahme
=:2/2 — y — J y— «.
Durch Subtraction der zweiten Wertbe finden wir den Unterschied der Winkel CDF und CFD, nämlich
^CDF--^CFD::zd^'^».
n
Da d positiv und — ein echter Bruch ist« so ergiebt sich '
^CDF^^CFD,
358
foigficb iD dem A CDF CF>CD, folglich in den beiden Drei- edkta CBF und VBD, in denen zwei Seifteapeare gleich» dae dritte aber ongleich :
^CBF>^CBD,
•der
ibo 7>|}» vrae unserer Annibme ^>y geradeiu widerspricht. Ebenso wenig kann y>/? angenommen werden, weil daraus fol- geo würde: /3>y. Es Ist also ^=y» das Dreieck ABC also gleidischenklich.
Anmerkung 1. Der Satz gilt auch, wenn die Transfer- lalen die Verlängerungen der Seiten treffen » wobei dann
— ein unechter Bruch wird. Der Beweis bleibt wesentlich
derselbe.
Anmerkung 2. Den einfachsten Fall erhalten wir, wenn die Transversalen die Winkel halb Iren. Im Beweise erscheint
dann „ an der Stelle von — •
SSO
1 '
BerichtigiiDgeii > zu der Abhaftdiufig TliL XYIIL Nr. XVIII. in diesem Hefte. >
\
1 I
S.. 263. Z. 8. Statt o"^ setze man a»^. S. 264. Z. 4. V. u. Statt %m setze man $..
e €
S. 271. Z. 6. V. u. Statt Are« '^(=07) setze man besser
e e
ArCffXn ( = CQt^> , obgieich vorher • :r ex eot^ ' gesetzt worden.
Berichtigungen zu Thefl XVII.
S. 324. Z. 13. und S. 324. Z. 15. so wie S. 325. Z. 7. setze man statt
überall
ü'-r
S. 363. Z. 6. setze man ytcosB für x^cosB.
Berichtigung zu Theil XVL
S. 220. und S. 221. muss man ab und a'b' Gberall in bc und b'f umändern, nämlich im zweiten Absätze auf S. 220. und in den beiden ersten Absätzen auf S. 22L
Oben in diesem Hefte (TU. XIII. Heft III.) Seite 352. muss die Nummer des Aufsatzes nicht XXI. sondern XXH. sein.
361
XX IT".
' .J Die tS letaten UTinter in Berlin,
dargestellt and befiprochen Herrn Professor Dr. J. Ph. Wolfers
in Berlia. (Za titatm Anfiati« gehfirm Taf. Vni. und Taf. IX.)
BereiU vor ISnger als 4 Jahren habe ich Im zehnten Theile oieser Zeitschrift «inen kleinen Aufsatz über strenge und gelinde Winter abdrucken latisen, t^eildem aber mich ferner mit diesem Geganetunile bescbäRict. Damals lagen 11 Winter zur üutersu- chung Vor, jetzt ist deren Anzahl auf 15 festlegen, aber auch ■nuerdem babe ich die Grundlagen dieser Untersuchnngen gegen damals zu vervollkoniinnen gesucht. Während ich fräber die Tenc
Eeratur-CuTven vom lö. November bis zum 15. M atte, erstrecken sie sich jetzt vom 1. Novbr. bis in den Schaltjahren bis zum 30. Alärz, so dass räum von laÜ Tagen umfassen. Aus einem in d Aufsätze angegebenen Grunde hatte ich damals die Titunen eingezeichnet, nübrend ich jetzt die mittle eines jeden Tages aufgetragen habe, so wie sie in biegen dei hietiigen KüniKlichen Sternwarte ab) Uieiltei habe ich mir eine Ideine Inconsequenz zu meo lasseo, welcher ich ahec negeii Anlage dieS'
5eu nicht qusvieicheu konnte. Vnm 1. November 1. December 1840 habe ich nämlich das Mittel at senden Stunden abgelesenen Tbermomelerständen, hingegen vom Ljaouar 1841 an das Mittel aus dem maximum und minimum an jeden Tage benutzt Weseolliche Unterschiede nerdea aus die- ser lacwgrueDz nicht hervorgehen.
Die hauptsächliche Emeiterung dieser Unlerauchungen scheint mir aber im Folgenden za bestehen. Frflher hatte ich nur
362
aus der Betrachtung^ der Formen der Curveu Schlüsse zu ziehen versucht. Diess wird auch jetzt geschehen, indessen werde ich dabei die Zahlen werthe, aus welchen jene Gurren her- vorgegangen sind, benutzen, um mittelst derselben fester zu be- gründen, ob ein einzelner vorliegender Winter zu den strengen oder den nicht strengen gezählt werden muss. Hierbei war nun zunächst zu überlegen , auf welche Weise diese Zahlen zu benut- zen wären, da ich jetzt eben so wenig wie in meinem frühem Aufsatze die mittlere Temperatur des ganzen * Winters als Grund- lage annehmen, sondern wiederum die Menge der ununterbrochen stattgefundenen hohen oder niedrigen Temperatur im Aug^ behal- ten wollte. Es schien mir daher am angemessensten , die einzel- nen Stticfc^ der Carve zu qnadriren, weiche Arbeit nicht schwie- rig sein konnte und wodurch ich ein Resultat erhalten musste, welches, wenn auch weniger anschaulich, die Stelle der Curve ver- treten konnte. Diese sogenannten Thermometercurven sind keine geometrische Curven, sondern gebrochene Linien, die Linie des Gefrierpunktes ist die Abscissenaxe, welche nach den Tagen in gleiche Intervalle getheilt ist, so dass man es bei dieser Quadri- rung nur mit Trapezen von gleichen Höben und einzelnen Drei- ecken zu tbun hat. Auf diese Weise sind die Zahlen ermittelt worden, welche dem Inhalt der durch die Curve und die Abscis- senaxe begrenzten Flächen proportional sind , und welche ich in den folgenden Tabellen unter der Ueberschrift Summe derTem- peratur aufgeführt habe. Die Bedeutung der algebraischen Zei- chen ist von selbst klar, das jedem Flächeninhalt entsprechende Zeitintervall ist stets in Tagen tiinzugefügt , so dass es leicht ist, die einem einzelnen Tage im Mittel entsprechende Temperatur- roenge zu ermitteln. Hierbei habe ich es vermieden, Bruchtheile des Tages einzuführen , vielmehr nach dem Augenmaasse eine bestimmte Anzahl ganzer Tage angesetzt, wobei die in dieser Hinsicht begangenen Fehler ganz unbedeutend sind.
Wenn ich nun sogleich eine Zusammenstellung der auf diese Weise für die einzelnen Winter erhaltenen Resultate in ihrer Reihefolge gebe, worauf die weitem Untersuchungen begründet werden sollen, so möge man sich nicht darüber wundem, dass mitunter ganz unbedeutende Zahlen von einem oder einigen Zehn- theilen aufgeführt sind. Diese waren einerseits von Wichtigkeit in Bezug auf die zu ziehenden Schlüsse, andererseits sind sie nach dem Verzeichnis» der Beobachtungen nicht als zufällige unbedeutende Grössen anzusehen, sondern es finden nm diese Zeit mehrere Ablesungen in diesem Sinne statt, deren mittleres Resultat nur in Folge von Ablesungen im entgegengesetzten Sinne so klein ausfällt. In dieser Bedeutung bitte ich es zu verstehen, wena ich mich später des Ausdracks eines entschiedenen Plus oder Minus bedienen werde. Ehe ich nun die Tabelle A« folgen lasse, deren Bedeutung nach den vorangehenden Bemei^ kungen klar ist, will ich nocn erwähnen, dass ich der Kürze wegen jeden einzelnen Winter nach der Jahreszahl des in den- seinen uillenden Januars bezeichnet habe.
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1837 |
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1 |
13 |
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11 |
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1 |
0.1 |
1 |
53,7 |
19 |
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12.8 |
3 |
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4 |
263 |
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96 |
03 |
3 |
03 |
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473 |
9 |
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2 |
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133 |
9 |
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13 |
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»3 |
1 |
13 |
2 |
||||||
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6 |
03 1 |
73 |
5 |
|||||||
4« |
3 |
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36 |
83 |
3 |
||||||
0.8 |
1 |
33 |
2 |
23 |
2 |
||||||
23 |
2 |
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4 |
23 |
3 |
||||||
16.0 |
10 |
2.0 |
1 |
0.1 |
1 |
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14 |
503 |
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30,4 |
12 |
||||||
45,7 |
17 |
283 |
12 |
31.« 14 |
|||||||
33 |
5 |
13 |
2 |
J |
1,7 |
2 |
|||||
0,1 |
1 |
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19 |
U.« 8 |
|||||||
4.3 |
4 |
73 |
5 |
||||||||
36,7 |
U |
11,7 |
6 |
03 |
2 |
133 |
7 |
||||
0.4 |
6 1, |
03 |
1 |
1.» 39^0 o.t |
2 10 1 TB |
03 0,1 |
1 1 |
||||
i'-^iAimUMii |
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1 |
100.3 |
27 |
0.5 |
1 |
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3 |
15.9 |
7 |
1,4 |
2 |
1.1 |
I |
0.4 |
I |
MB
.Tskell« a>.
36»
Tabelle A*
der Tempe- rator
liamme m,im M MW\ f^mjA
T«belle A.
368
Aus den Resultaten dieser Tabelle, welche fihnlich wie die Curren eine üebereicht der Vertheilune der Temperatur Aber d«a ganzen Winter darbiet< erjribt sieb die Reihen^lge der eiozel- nen Winter, welche wir vorftofig über die oben Irwäfanteo ISO läge ausdehnen.
Takelle B.
Winter.
1846
1851
1849
1842
1844
1843
1837
1839
1840
1848
1850
1847
1841
1838
1845
lieber« chats derTemperac.
+ 421,4 + -260,9 + 223,1 + 223,0 + 219,9 + 190,0 + 149.5 + 118,1 + 115,8 + 63,4
— 36,8
- 43.1
- 47,0
— 148,8 -250,4
im Mittel für ITag.
+2.81
+ 1,80
+ M9
+ 1.49
+ 1.47
+ 1.31
+ 1,00
+0,79
+0,77
+0,42
—0,25
-0.29
-0,31
—0,99
-1,67
Wollte ich diese Discnssion der vorhandenen und berechne* ten Beobachtungen beibehalten, und daraus Schlüsse ziehen, so Ä^k*?*? ""Lipit Recht einwerfen können, dass ich einen ganz willkäbrlichen Zeitraum als Dauer des Winters angenon^roen hätte. Aul der andern Seite erschien es mir, nach den graphfech und in /.ahlen vorliegenden Resultaten, noch weniger als zHeckmässie, mich auf die gewöhnlich zum Winter gezählten drei Monate De- cember, Januar und Februar zu beschränken. Auf diese Weise rfr '«'»namHch gezwungen gewesen, &st in allen Jahren einen bedeutenden TheiT der Betrachtung zu entziehen; ich habe es daher vorgezogen , die Dauer jedes einzelnen Winters so zu ver- stehen, dass er sich vom ersten bis zum letzten entschiedenen * rosttaoe erstrecken soll. Natürlich wird auf diese Weise die uauer der einzelnen Winter von einander verschieden, allein wir' werden so eine feste Anschauung von ihrem wirklichen Verlauf gewinnen. Indem ich nun nach dem Verzeichniss der Beobach- tungen diejenicen Frosttage hinzufüge, welche ausserhalb des I. Novbr. und 31, März liegen, nämlich
1837 bis zum 10. April
1838 „ „
1839 „
1.
9» 3.
»»
>>
36B
K40 vom 29. October an 18S0 bis zum 1. AprU, erholten wir folgende Zusammenstellung der einzelnen Winter:
7 a k e 1 1 e C.
rat. |
Ueber- |
Dauer |
m Miilel |
r«- |
•chDM |
■.T.- |
KrlTae |
K« |
d.Teaip. |
'" |
|
36 |
+176,7 |
143 |
+1,23 |
C |
+126,0 |
125 |
+ 1.01 |
47 |
+ «ä,4 |
115 |
+0,83 |
52 |
+1W6 |
138 |
+0,76 |
66 |
+n5;s |
155 |
+0,76 |
K |
+ 40,6 |
69 |
+0JS9 |
3! |
+ 27,7 |
96 |
+0,29 |
58 |
+ 31,4 |
134 |
+0,23 |
19 |
+ »,5 |
101 |
+0,23 |
78 |
-139,0 |
132 |
-1,05 |
77 |
—178,6 |
116 |
-1,64 |
57 |
-210,2 |
84 |
-2,50 |
69 |
-333,0 |
111 |
-3,00 |
100 |
-380,2 |
114 |
-3,34 |
78 |
-320,9 |
«6 |
-3,38 |
Die Winter aind hier nacb dem, einem eiDieln< Mittel lokommenden, Ueberschu^s der Temperatur g diese Discussion die richtige sei. trage ich nicht zu otshl aber dürtte fiie eich der Wahrheit mehr nähern, Vergehende, aus nelcher Tabelle B. ab^pleitet Mordc icb nun über die eioEeliien Winter Betrachtungen ansli ich mir, folgende Bemerkung voranzuschicken. B< imiDeT geringen Anzahl der vorliegenden Winter bi nicht lur ziveckmSssis, aus den Zahlen der I Sabrik io Tabelle C. die mittlem Werthe herzuleiten; »erde für jetzt unter einem strengen Winter einen solchen * Btehen, in welchem die Werthe dieser Rubriken neptiv sind, also der Frost fibem legend stattfmdet, hingegen diejenigen Winter
mdern
nicht strenge n^nen, in welchen die
ihlcR positiv sind.
In der Tabelle B. erschien der Winter von 1849 als ein nicht «treueer, wogegen ein Blick auf die Curve oder auf die Tabelle A, lehrt, dass er durchaus zu den strengen zu zählen Bei, wie «ich diese auch in der Tabelle C. zeigt.
^Ile ein; dies« rQbrt aber nur von seiner auffallend kvrzeo Dauer ker, wie man auM der 7. Rabiik ersieht- Bestimmt. man aus den
370
9 ersten Werthen dieser Kabrik cKe mittiere Dauer fäoes nkfat strengen Winters, so tindet man dieselbe gleich 120 Tagen; mit- hin ist der Winter von 1846 um 51 Tage kfirzer. Fügt man zu dem hier anfgefiihrten Ueberscbuss der, Temperatur +40,6 deo Werth» welcher nach Tabelle B. den fehlenden 51 Tagen xnkon- men wfirde; so würde man für 120 Tage den Ueberscbuss 4-1^2,9, also im Mittel fär 1 Tag +1,50 erhalten.
So wie in der Tabelle C. der eben besprochene Winter tod 1846 sich wegen seiner auffallend kurzen Dauer nicht so gelinde darstellt, als er wirklich war; wurde umgekehrt der Winter von 1849 als ein weit strengerer hervortreten, wenn die drei letzten unbedeutenden Frostperioden nicht eingetreten, also seine Dauer, nach der oben aufgestellten Erldärung, geringer gewesen wSre. Betrachtet man nämlich den Verlauf dieses Winters in der Ta- belle A., so sieht man, dass die erste Kälteperiode ununterbrochen 27 Tage gewährt hat, und dass die Summe der dieser Periode entsprechenden negativen Temperatur 150,6 beträgt, eine zusam- menhängende Menge, wie wir sie nur in den strengen Wintern finden. Ziehen wir einmal nur die beiden ersten Kälteperioden diesem Winters, nebst der zwischen ihnen liegenden Wärmeperiode In Betracht, so erhalten wir folgende, der Tabelle €• entspre- chende Darstellung:
Win- ter
1849
Summe d. Temperat
+
49,7
ITa-
16
155,8
Ta- 32
lieber, •chast der Temperat.
—106,1
Dauer in Ta- gen
48
im Mittel fär 1 Tag
-2,21
In diesem Sinne habe ich In meinem frffheni Aufsatze unter strengen Wintern solche verstehen wollen, in denen eine K$Jte- perioae von längerer Dauer stattfände, ohne RQcksicht auf die absolute mittlere Temperatur des ganzen Winters. Wir werden unten sehen, dass diess in der Regel auch in strengen Wintern stattfinden wird, da es aber bis jetzt noch schwierig sein würde, das Maass einer Kälteperiode anzugeben, wonach ein Winter als ein strenger oder nicht strenger betrachtet werden müsste; so gehe ich von meiner damaligen Erklärung ab, und werde viel- mehr, wie oben bereits geschehen, die ganze Summe der Tem- peratur in Betracht ziehen. Ehe ich diesen Gegenstand verlasse, will ich noch bemerken , dass der unmittelbar vorhergehende Win- ter von 184^ einen ganz ähnlichen Verlauf wie der oben bespro- chene, jedoch in grösserem Maassstabe gehabt hat. Wir finden nämlich die Kälte fast sanz in eine Periode von 51 Tagen ver- eint , und zwar beträgt aeren Summe nach Tabelle A. 290,2. Auch an den beiden Curven nimmt man sogleich diese AehnlicbkeSt wahr.
Wir haben oben aus den 9 nicht strengen Wintern die mitt- lere Dauer eines einzelnen gleich 120 Tagen gefunden, eben so erhalten wir ans den 6 letzten nach Tabelle C. die mittlere Daaer eines strengen Winters glekh 149 Tagen. So wobi onter de»
371
•tteiMmiy als mler «Uen 15 hier anfbefttrten Wintern ist der ▼on 1845 seinem Gange nach der anffailendste» wesbaib ich hoffe» dass eine besondere JBesprechnng desselben Entschuldigung fin- den werde. Während in den 5 übrigen strengen Wintern der Januar stets sehr kalt war, fällt in diesem eine bedeu- tende Kfiiteperiode in den December, eine zweite weit he- trachtlichere in den Februar und März, wogegen der Januar so gelinde war, wie man ihn sonst kaum in einem nicht strengen Winter findet Dieser Winter ergibt ferner sowohl die grtisste Summe der negativen Temperatur Oberhaupt, als auch den grüss- ten Ueberschuss der negativen über die positive und er erscheint nur desshalb in der Tabelle C. nicht als der strengste, weil eben die Kälte in zwei weit von einander getrennte Perioden fiel und 00 seine Dauer eine grössere wurde. In meinem frühem Aufsatze bezeichnete ich, bloss nach der Ansicht der Curve, diesen Win- ter als eine, mittelst des gelinden Januars zusammenhängende, Verbindung zweier strengen Winter. Nimmt man diese Zerlegung des Winters in zwei Theile nach dem Princip vor, wonach die Tabelle C. gebildet worden ist, so erhält man folgende Darstellung dieser Theile, jener Tabelle entsprechend:
Winter jSamme^d.Teniperat.
Ta
g«
1845 I. 12,9 13 120,930 II.I 1,7 2 273AI70
Ta- ge
13 2
Ueber- schuss der Tempera t.
-108,0 —272,2
Dauer In Ta- gen
43 72
im Mittel fär 1 Tag
-2,70 —^64
Der erste Theil wurde daher unter den strengen Wintern in Tabelle G. die vierte Stelle einnehmen, der zweite hingegen den strengsten Winter darstellen.
Nachdem wir nun die 15 Winter in der Tabelle C nach ihrer Strenge in einer bestimmten Reihenfolge geordnet haben, wollen wir folgende zwei Fragen zu beantworten versuchen:
1. Unterscheiden sich die strengen Winter charakteristisch von den nicht strengen?
2. Sind diese Unterschiede bereits am ersten Theile der Curven , oder der den letztern in der Tabelle A. entspre- chenden Zahlen werthe zu erkennen?
Die erste Frage wird zum Theil schon durch die in der Ta* belle C. enthaltenen Resultate bejahend beimtwortet, ausserdem zeigt sich auch der bereits erwälinte Umstand , dass in den stren- ges Wintern die niedrige Temperatur mehr zusammengedrängt ist, also ohne Unterbrechung stattnndet, während in den nicht stren« gen Wintern in der Regel mehr ehizelne Käiteperioden von kfir- lerer Dauer und geringerer Summe der negativen Temperatur vor- komme. Uro diese durch Zahlen su erläutern , führe ich Air die einselnen Wmter die Zahl der tülheperioden , die grdsste dersel*
372
ben 10 Tagen n^d «Re der leUlerrt ent^proelMode iSmanie dtr niedrigen Temperatuf aut *
Tabelle
Winter |
Anzahl der |
Dauer der |
Samme der |
KäUefcrio- |
gcMiten in |
Temperatur |
|
dvt |
Tageh |
||
1843 |
11 |
7 |
— 20A |
1842 |
8 |
27 |
100,'l |
1851 |
13 |
8 |
17,8 |
1837 |
11 |
14 |
47,8 |
1840 |
13 , |
13 |
86,8 |
1846 |
8 ., |
4 |
20,9 |
1849 |
5 |
27 |
150,6 |
183» |
12 |
11 |
38.9 |
1844 |
11 |
9 |
41.8 |
im Mittel |
to |
13 28 |
— 58.4 |
1850 |
9 |
— 162,3 |
|
1847 |
6 |
33 |
143,9 |
1848 |
4 |
51 |
290.2 |
1838 |
8 |
36 |
283,2 |
1845 |
5 |
55 |
257,9 |
1841 |
6 |
25 |
133»6 |
im Mittel |
6 |
38 |
1 -211.» |
Unter den ersten nicht strengen Wintern heGnden. sich die zwei von 1842 und ]849, deren Charakter weniger entschieden ist, da in beiden Perioden vorkommen, welche der Daitet und Inten- sität nach den strengen Wintern entsprechen. Wenn wir diese als Ausnahmefälle fortlassen wollten, so wurden die erhaltenen Mittelzahlen noch verschiedener ausfallen; indessen mögen diese iur jetzt so stehen bleiben^ soweit die geringe Anzahl der'vor- liegenden Winter zur Ableitung eines bestimmten Resultats ge- nügt, dürfte die erste Frage hiermit bejahend beantwortet 6ein.
Wir gehen nun zur zweiten Frage über, welche als die wic|i- tigere anzusehen ist; denn wenn sie mit Entschiedenheit bejahend beantwortet werden kann, wird man im Stande selb, aus dem ersten Theile eines Winters auf seinen weitern Verlauf am schlies- sen. Zur Beantwortung dieser Frage darf ich nun eine in mei- nem frühern Aufsatze aufgestellte Regel nur ein wenig modifici- ren, und sie lautet alsdann folgendermaassen :
^ In den nicht strengen Wintern pflegen auf die ersten Kälte* perioden eine oder mehrere Wäfmeperioden zu i'olgen» w^bei die nuhere Temperatur der Dauer und Summe naeit überwiegend ist* In den stren^^en Wintern tritt auch nach der ersinn Kältepertode eine Krisis ein, während deren Dauer die Temperatur weät^tlich und in der Regel über Null sieigt; allein diese wärme^en Fetiedee
373
sind v^m kimer Dauer and die ihnen entsprechende Sarome der hohem Temperatnr ist gering > im Vergleich mit der Summe der, der vorhergehenden Kälteperiode entsprechenden , niedrigen Tem- peratnr.
Wir wollen nun die einseinen Curven und die Tabelle A. be* tnehteo« um zu sehen, wie weit diese Regeln bei ihnen zu* treffen ; wir beginnen mit den nicht strengen Wintern.
Im 'Winter von 1843 trat der erste Frost am 5. Novhr. ein und es felgten
auf 7 Tage mit -20,4, 5 Ta^e mit f 15,6 I Tag „ 1,0, 3 „ „ 2,6
5 Tage „ 10,7, 12 „ „ 20,7.
Stechen wir hier am 7. December ab, so Onden sich
13 Tage mit —32,1 gegen 20 Tage mit +38,8;
die letztere also der GrOsse und Dauer nach fiberwiegend. Es m&ge'hier segteich der Winter von 1851 A)lgen, in 'welchem der erste Frost am 17. Novbr. eintrat und
auf 3 Tage mit —2,2, 10 Tage mit -f42,8 « 0 »f ff —4,3 6 „ „ +14,6
folgten. Brechen wir hier am 11. Decbr. ab, so kommen
gegen 9 Tage mit —6,5, 16 Tage mit +57,4.
Bereits einige Tage frflher, am 7 Decbr., war ich yeranlasst, mich über den verlaiu dieses Winters auszusprechen und ich er- Uarte^, dass er dem von 1843 wahrscheinlich ähnlich und daher ein nicht strenger sein wärde. Ein Blick auf die Tabelle C. zeigt, dass ich das Glück hatte, mich in meiner Verrouthung nicht* zu täuschen.
Im Winter von 1842 trat der erste Frost am 18. November ein, und es folgten
auf 1 Tag mit — 0,8 42 Tage mit +130,4
dann 27 tage mit —100,2; '
gegen 28 Tage mit — 101,0 kamen 42 Tage mit +130,4.
374
Da die letzte Periode am 28. Janoar eadet» ao kann amn BMr eiii- werfen» daas ich erst nach dem Verlauf des grSaatenTheilea dea Wn- tera meine Verrnntbong hätte auaaprechen kOonen, Hiecaiaf erwi* dere ich, dass ein Schluss bereits nach der ersten kleincA alK» entschiedenen KSiteperiode^ möglich, jedoch gewagt gewesen wäre, ich im AH^emeiaen aher diesen Winter lu den Auanabmeo zähle» was aadi in meinem frühem Aufsatze berdta der Fall war, nad worüher ich oben schon einiges bemerkt habe.
Im Winter von 1837 trat der erste Frost am 33. Noyeoiber ein, und ohne dass hier die Zahlen der Tabelle A. zu HQlfe ge* rufen werden dürfen, zeigt ein Blick auf die Curve, dass bereits im ersten Drittbeile des Decembers seine nicht strenge Beschaffen- heit nach der hier aufgestellten Regel entschieden war.
In dem Winter von 1840 kamen die bereits am 28. und 31* October stattgefundenen, wenn auch nur eintägigen und gerioeen, doch entschiedenen Kälteperiodeu zu Statten, um die ebentalla nur geringe eintägige ^ Periode am 1. December zur Geltung zu bringen. Ganz entschieden zeigte sich die nicht strenge Natur dieses Winters in der Otägigen Periode hoher Temperatur Tom 22. bis zum 31. December.
ta dem schoa oben, seiner auffaUenden Kflrze weaea be- sptocheoen Winter von 1846 trat die erste Kälte am 13. Decaai- ber ein, und es folgten .
auf 3 Tage mit —6,8 2 Tage mit -f 2/2
l „ „ -0,5 15 „ „ +37,2,
also gegen 4 Tage mit —7,0 17 Tage mit +29^1.
Die letzte Periode endet am 3. Januar, indessen ersiebt man aus der Curve, dass bereits am 25. Decbr. seine nicht strenge Beschaffenheit entschieden war.
Der Winter von 1849 gehurt zu den Ausnahmen, ich babo oben bereits erwähnt, in wiefern er zu den strengen gezählt wer* •den kann' und werde später zeigen, dass er auch das charakte- ristische Merkmal eines solchen in seinem ersten Theile enthält
In dem Winter von 1839 trat die erste Kälte am 19« Novem- ber ein, und es folgten
auf 11 Tage mit —38,9 19 Tage mit -t53,7j
am 18. December war daher entschieden, dasa er ein |iicbt stren- ger sein werde.
In dem Winter von 1844 trat die erste Kälte am 11. Decem- ber ein, und es folgten
375
auf 2 Tage mit —0/» 22 Tage mit +65,0.
Da es gewagt gewesen seiu wflrde, diese kurze Kdlteperlode, und eben so die eintägige am 5. Januar gelten zu lassen; so trat der Entscheidungstag erst am 18. Januar ein, ,wo die grusste und xwar 9tägige Käfteperiode dieses Winters bereits zu Ende ging.
Indem ich nun die zwei Winter von 1842 un4 1849 aus den angegebenen Grflnden zur Seite lasse, ergeben die 7 übrigen nicht strengen Winter folgende übersichtliche Alomente:
Winter.
1843 1851
1837 1840 1846 1839 1844
Erste Kälte.
Novbr. 5
„ 17 „ SB Octbr. 29 Decbr. 13 Novbr. 11» Decbr. 11
Tag der Ent- •cbeidong.
Decbr. 7 „ 11
,; 3
„ 31
,. 25
„ 18
Jan. 18
Letzte Kalte.
März
99
April Mära Febr. April März
28 11 10 28 19 3 24
Wir haben nun die strengen Winter zu betrachten, und zwar trat im Winter- 1850. die erste Kälte am 20. November ein; es folgten
auf I Tag mit — 0,1 1 Tag mit + 0,1
„ 9 Tage „ -97,7 1 ,. „ 00
gegen 10 Tage mit — 27,8 kommen 2 Tage mit -f 0,1.
Am 2. December trug ich hiernach kein Bedenken, mich fOr die strenge Natur desselben auszusprechen.
Im Winter von 1847 trat die erste Kälte vom 17. November (in, es folgten
auf 1 Tag mit — 0,7 13 Tage mit +44,2 „ 20 Tage „ --59,5 3 „ „ + 4,4;
gegen 21 Tage mit —60,2 16 Tage mit -|-48^6.
Am 24. December war seine strenge Natur entschieden.
Im Winter von 1848 trat der erste Frost am 15. December ein, und es folgte sogleich eine Periode
376
voo 51 Tagen mit --290,2.
Die Krisis fand am 23. und 24. December statt, wo die Tempe- ratur aber nur bis —2^ stieg, wesshalb in diesem Falle die Carre allein darüber Auskunft geben konnte, dass man am 24. Decem« ber den Winter als einen strengen anzusehen habe.
Im Winter von 1838 trat die erste Kälte am 11. December ein, und es folgten zunächst mehrere wechselnde Periode, nämlich: ^
auf 2 Tage mit — 1,5 1 Tag mit -|-0,1
„ 4 „ „ 7,9 3 „ „ 8,5
„ 3 „ „ lOfi 3 „ „ 7,0
gegen 0 Tage mit ^19,4 kommen 7 Tage mit +15,^9
und am 27. December konnte man die strenge Natur als entschie- den ansehen.
Im Winter von 1845 trat die erste Kälte am 29. November ein und es folgten
auf 18 Tage mit —84,8 2 Tage mit +2,3.
Die letztern sah ich schon .damals als die kritischen an , and nach ihrem Verlauf schloss ich am 20. December auf einen strengen Winter, der dann auch, wte oben, besprochen i im Februar und M^rz *sich einstellte.
4 '
In dem Winter von 1841 trat die erste Kälte am 1. Decem* ber ein, es folgten
auf I Tag mit - 0,2 5 Tage mit +8,9,
dann 25 Tage mit — 133,6.
Während der letzten Kälteperiode fand die Krisis am 20. und 21. December statt, wo jedoch die Temperatur nur bis an — V stieg, und am 22. December konnte man die strenge Natur als entschieden ansehen.
Die 6 strengen Winter ergeben nun folgende, der obigen ent- sprechende Uebersicht:
377
Winter.
1850 1847 1848 1838 1845 1841
Ente Kälte.
NoTbr. 20
„ 17 Decbr. 15
» II
Novbr. 29
Decbr. 1
Tag der Ent- •cneidnng.
Decbr. 2 24 24
27 20 22
ff 9» 99
99
Leute Kälte.
April 1 März 13
AprU l März 23
»
6
1d dem Winter von 1849 trat die erste Kälte am 20. Dcbr. eis^ and es folgte eine Periode
von 27 Tagen mit —150,6.
•
Am 23. and 24., so wie am 26. und 27. Decbr., stieg die Tero- perator bis an und über — 2^, und diese beiden Erscheinungen mu85ten als entscheidend für die strenge Natur dieses Winters gelten. In wie weit man diesen Winter wirklieb als einen stren- ge» betrachten kann, ist oben besprochen worden, wesshalb ich, om Wiederholungen zu vermeiden, abbreche und nur noch be- merke, daKS die zwei Winter von 1842 und 1849 hier als Aus- nahmen angesehen worden sind.
Ehe ich diesen Aufsatz schliesse, erlaube ich mir, noch einige kurze Bemerkungen zu machen. Sein Inhalt ist eine wei- tere Ausführung der in meinem frühern Aufsatze angestellten Be- trachtungen, und jetzt wie damals betrachte ich sie als einen Versuch, die Erscheinungen auf eine neue und wo möglich frucht- bringende Weise zu deuten.
Femer habe ich hervorzuheben, dass eben so, wie allein in Berlin angestellte Beobachtungen zu Grunde liegen, auch meine Schlüsse nur für Berlin gelten sollen. Für andere Orte müssten ähnliche Untersuchungen der dortigen Beobachtungen angestellt werden , um fiir sie Schlüsse zu ziehen, und sollte diess in Folge der Mittheilung meiner Untersuchungen geschehen; so würde es mir zur grossen Freude gereichen.
Tbeil XVIH.
26
378
Nachtrag.
Der vorstehende Aufsatz war bereits vor dem AnfaDge des letzten Winters beschrieben , sein Abdruck ist aber bis jetzt ?er- zögert worden; daher dQrfte es nicht unangemessen sein, die Be- trachtung dieses buchst interessanten Winters hier nachträglich folgen zu lassen. Die erste Kälte trat am 18. November ein und bis zum 6. December schien der Winter eher den Charakter eines strengen, als eines nicht strengen annehmen zu wollen, bis die vom 6. bis 16. December stattgefundene hohe Temperatur die Entscheidung ftir einen Winter der letzten Art herbeiführte. Die Zahlenangaben, der obigen Tafel ^. entsprechend, sind die fol- genden :
1852
Summe der Tempe- ratur
I s:e
^
omme
A2 3,8
44,9 2,0 2,5 4,3
71.0 0,2
61,2 1,4 0.1 9.8
26,0 9,5
16
7
10
o
4»
3 3
24 1
21 1 1 4
12 3
IT.-
1S,2
3.8 0.4
1,7 3,6
0,1 0,1 0,1 5,3 0,4 12,8 2,4 0,1
9 3 2 3 4 1 1 1 7 1 6 3 1
as^lioe
46,01 42
379
Hiernach nimmt dieser Winter, wenn man die 150 Tage vom 1. November bis zum 30. Milrz in Betracht zieht» in der Tafel B. die dritte SteUe ein, indem wir haben:
Winter. Ueberschuss der Temperator. Im Mittel tat 1 Tag. 1852 +223,9 +1,49.
Rechnen wir hingegen wie oben die Dauer des Winters vom ersten bis zum letzten entschiedenen Frosttage, so nimmt derselbe in der Tafel C. die oberste Stelle ein, indem wir nämlich haben:
Winter
1852
Samme der Tempe- ratur
+
217,2
Ta-
89
— ITb- 46,01 ^42
Ueberichnst
der Tempe-
ratar
+ 171.2
Dnner in Tagen
131
im Mittel für 1 Tag
+ U1
Wir wollen hier bemerken, dass er unter allen 16 betrachteten Wintern die kleinste Summe der negativen Temperatur enthält, and da er für die Tafel D. die folgenden Werthe hat :
Winter
1852
Anzahl der Kälteperio- den
13
Dauer der
grö«sten ia
Tagen
Summe der Temperatur
— 15,2
80 nimmt er auch in Bezug auf die Angabe der letzten Rubrik die oberste Stelle unter den nicht strengen Wintern ein.
Ueber seinen Charakter hatte ich mich am 20« December ent* schieden ausgesprochen nach folgenden Daten:
Auf 9 Tage mit —15,2 folgten 7 Tage mit + ifi
„ 3
ff
ff
ff
»» ff
3,8 0,4
»9
»
10
» »
>»
99
44,9 2,0
demnach kamen gegen 14 Tage mit —19,4, 19 Tage mit
+ 80,7.
SS*
380
Vier Tage früher am 16. December hatte sich der Charakter des Winters auch schon entschieden herausgestellt, da ich aber erst am 20. die Beobachtungen eintrug, sprach ich mich auch erst an diesem Tage aus.
Zum Schluss folgen hier noch die, der obigen Znsammen« Stellung entsprechenden, Werthe dieses Winters:
Erste Kälte Tag der Entscheidung Letzte K<e
Nov. 18. Dec. 16. März 27.
Berlin, April 9. 1862.
381
Zur INfferenzenreclmaniir.
Von
Herrn Professor Dr. O. Schlomilch
•0 der poljrlechiMtchen Schale su Dresden.
Man bat sich iSngst schon mit dem Zusammenhange zwischen den Differenzen und den Differentialquotienten derselben Funktio- nen beschäftigt , namentlich die Fragen erörtert, ob sich nicht ^f[x) durch fix), fix), f"(x) etc., oder umgekehrt f^^){x) durch f{x) , ^f(x) , ^f{x) etc. ausdrOcken liesse , aber man kennt, «oTiel ich weiss, keine Methode, mittelst welcher sich derartige Beziehungen rasch entdecken lassen; ich theile hier ein solches Verfahren mit , welches gleichförmig auf jede Art des Zusammen- banges zwischen Differentialquotienten oder Integralen einerseits, und Differenzen oder Aufstufungen andererseits passt, mithin all- gemein genug ist. Um aber auch seine Schattenseite nicht zu verhehlen , will ich gleich bemerken , dass es die GOltigkeitsgrin- <en der entwickelten Formeln unmittelbar nicht angiebt, das« ^0 z. B. die Convergenz der vorkommenden Reihen in jedem speziellen Falle a posteriori zu bestimmen sein würde.
Wenn ^{u) eine beliebige Funktion von ti, und x eine wlU- «dirliche Constante bezeichnet» so ist der Werth des bestimm- ten Integrales
/
e*^(p(u)du
^ine Funktion von x\ setzen wir also
382
a
SO folgt jetzt durch beiderseitige nmalige DiBerenziation in Be« Ziehung auf x\
a
Andererseits hat man» Jx immer =1 gesetzt,
e('^^)^(p(u)du — / e'^(p(u)du—f(x+l)-f(x) = J/Xx),
a a
d. i. bei Zusamroenziehung der Integrale:
»6
/'
(e«— 1 )e^''<p(u)du =^\jdf(x) ,
und wenn man dasselbe Verfahren des Differenzenbildens nmal wiederholt :
3) r (c«— I)«c'«9(u)dti=^»A^)-
Aus der Vergleich uns der Formeln 2) und 3) ergiebt sich nun folgende Bemerkung : Hat man irgend eine analytische Beziehung» in welcher einerseits u oder verschiedene Potenzen von u, ande- rerseits e^ — l oder Potenzen dieses Ausdruckes vorkommen , fin- det also eine Gleichung von der Form
4) ^0 + -^i« + A»«^ + ^3«' + —
= Po + A(<:"-1) + Ä,(c«-1)« + ...
statt, so braucht mau beiderseits nur mit e^*q>{u)du zu multipli- ziren und zwischen den Gränzen u^=a und u=b zu integrireo, um sogleich ein Resultat von der Form
-Aof^x) + A^Df(x) + A^D^fix) +
= B^{x) + B,Af{x) + Rt^ßfix) +....;
also eine Beziehung zwischen Differentialquotienten und Diffe- renzen zu erhalten. Wir wollen diess an einigen Beispielen zeigen.
r
383
I. Entwickelung von A^f{x).
Da sieb e* in eine Reihe von Potenzen entwickeln lässt, so mois dasselbe mit €**-^l und (e**— 1)* der Fall sein; setzen wir, l.i3«..A; immer mit W bezeicbnend,
80 ist nach dem Theoreme von Mac Laorin
A=[D*(c«-l)«](«=o)
npd wenn man den Binomischen Lehrsatz anwendet, so findet sich bei wirklieber Dtfferenziation
6) Ak=^ f»oi»* — tni (m— 1)* + iiia(m— 2)*— .... ,
womit die CoefBzienten A bestimmt sind. Aas der Gleichung 5) ergiebt sich jetzt durch Multiplikation mit e**q>{n)du und Inte- gration
Damit ist die Aufgabe gelost, irgend eine, Differenz durch Diffe- reotialquotienten auszudräcken.
U. Entwickelung von D^f(x),, Dass eine Gleichung von der Form
bestehen mflsse, erkennt man leicht mittelst der Substitution «*— l:=v oder ti=l(i-|-o); denn es ist dann
Dicbts Anderes als das Resultat einer Potenzirung von der be- kannten Gleichung
• 1(1+©) :=u — öt>*+öt^* — 4»* + ....
384
Irgend ein CoefBzieot Bk wäre
Diese Dlffereaziation läast sich mittelst des Tbeoremes aosAihieD
9) I>»f{\x)
= ^ [ hfHix)- Q/-(»-')(ix)+ q/<"-«'(tr)- ].
worin C die Fakultätencoeflizienten von {z, -f-l)" bezeicLDen, also aus der Gielchung
10) (x,+l)« = x(2 + l)(z+2)....(r + n"-l)
bestimmt werden können. Hiernach findet man fiir u=^, /(y)==y" unter der Rücksicht, dass k^^m ist:
k
JBt=(— 1)*-«1 .2.3....m. G-«. Die Gleichung 8) lautet jetzt
und nach dem beschriebenen Verfahren folgt augenblicklich ans derselben
Diess ist die Umkehrung der Formel 7). Förftt=l hat mao einfacher
12) Df(x) = ]jf(x) - l J^/(x) + |^y(^)-... ;
für fft=2 kann man dem Resultate die Form geben:
s.
»85
m ...A„=i^>-(|+>)^)
Diess Alles ist sehr bekannt, ivenn auch auf anderem Wege und zwar von Laplace mittelst symbolischer Formeln bewiesen wor- den. Neu dagegen dürfte das Folgende sein.
/»OD
III. Entwickelung von / e^^f(X'\-i)dt.
o
Setzen wir ähnlich wie früher
a
woraus die folgenden Formeln hervorgehen:
15) / v:^e''^(p{u)du—{r'\Yiy'f{x)y
a
16) I ( I — c-")«e-«»9(ti)rfii = ( - lYJ^fioc) ;
a
80 lässt sich nach Nro. 14) auch f(x\-t) durch ein Integral aus- drflcken und es ist dann «
. « ■ « a
/b /»OD
^ a <*
/* 1
e'-'^(p(u)du YjfTii •
a
Man übersieht nun leicht, dass eine Reihenverwandlung von der Form
17) Yf7,=i+r<*-''"''>+^^*-*""^'+-
0)
386
möglich seiD muss; denn Air 1, — c^^zv^ abo u=-*l'(l— -v) e^ giebt sich
^^ 1— 1(1 _„) = * + r« + 2' »* + •••••'
was offenbar ganz in der Ordnung ist. Mittelst der Gleichung 17) wird nan unter Benutzung der Formel (6)
o
Um noch die {CoefSzienten A zu bestimmen, setzen wir in Nro. 18) o = — z, und haben
folglich
Die AusfQhrung dieser Differenziation mittelst der Formel 9) giebt
^*=(-l)t [Cyt* - Ci(A-iy + 4(*-2)' - -.•] .
Bezeichnen wir wie folgt
20) Jt=A'Ci-.(*-lVCi + (A-2)'Ci— ....,
so ist Ak'={ — l)^Jk, und mithin geht die Formel 19) in die fol- gende fiber:
+ ^»^V(x) +
Will man Jx nicht =1, «ondern =A setzen, so findet man eot> sprechend
22) J*''e-*f{x+kt)dt=f{x)+^ Jfix) + pJ^ix)
0
387
l^ählt man f(x) so, dass sich die linker Hand postulirte Integra- tioD, sowie die rechts vorkommenden Differenzen , ausföhren lässt, 80 gelangt man anmittelbar zu neuen Theoremen» wie z. B. ffir f(x)=Bmx, f(s)=cosx u. dergl.
/OD fix + t)costdt.
o
Zufolge der Formel 14) erhält man znnichst
o • a
er-^(p(u)du j e^^^cosidt
a 0
/» U
a
ond wenn hier eine Reihenverwandlung von der Form
^ i:pi?=^(i-e-)+#(i-e-)«+....
an8gef&hrt wird, so geht die vorige Gleichung in die folgende
über:
^) f^ f(x-\^()c(mtdi = - j} Jf{x) + ^z/2/ra:)—
o
Dm jene Reihenentwicklung näher zu untersncben, setzen wir 1— r-»=: — 2; es ist dann
1(1+0 ^ ^ fi» .. i+[i(i+j)]'~ »' 'i* "*■""
nod mithin bestimmen sich die CoefBzienten A nach der Formel Nehmen wir in Formel 9)
388
uod beachten, dass in diesem Falle
f^'^^^ - "(IH-yajiW')*" CO» [ ("» + 1 ) Arctau - ] wird, 80 Gndet sich bei umgekehrter Anordnung der Glieder:
25) A=rC*-i-3'C»_,+5'Ct-»-
Nimmt man in Formel 24) Jx=h, so ist allgemeiner
2«) y*7(« + A0cos<d<=- pJf(x) + pJ^f{x)— pj*f[x)+.u..
O
Eiu Beispiel hierza bildet die Annahme
man erhftlt nämlich, wenn In den Differenzen schliesslich x=0 gesetzt wird:
1 \a
0
und hieraus ergiebt sich för e^^^zizq, also — h^=^\q: /^_ e 4 =T^(l-y) +^(l-2»+9*)
+ g!?(l-37+V-9')+"'
worin, wie sich von selbst versteht, q ein positiver achter Brach «ein muss.
389
/OD f{x + Osi
()%\vkidi.
Unter Benutzung der Formel 14) findet sich
Q 0 a
/h pct>
e-*« <p{u) du I e-^^sinidt
a o
/* 1
Setzen wir eine Reihenentwicklung von der Form
«
voreos, so geht die obige Gleichung in die folgende Ober: 27) r*f{x+08tntdt-f(x) -^Jf(x)i- ^?- d*fix) - ... .
O
Ffir 1 — e^*=: — z nimmt jene Ueihenentwickelung die nach- stehende Form an:
l ^__ I ^i^ , -"a 2
l+[l(I+i)]« - *— !• * + -i' » ••"•
und es ist mithin
Erinnert man sich, das« ßr
1
/'(y)=
l+y«
<iie bekannte Formel
390
f{m)^y) ^ ^ ^y2)i(m^ir Bin [ ( w» + 1 ) Arctaii ^ ]
statt findet, so kann man jetzt das onter Nro. 9) yerzeichoete Theorem in Anwendung bringen; bei umgekehrter Anordnung der Glieder findet sich
Den Coeffizienten A^ giebt diese Formel nicht geradezu; man er- sieht aber aus der Keihenentwickeluog unmittelbar sehr leicht, dass ^1=0 ist.
Allgemeiner iiSr z/ar=A hat man aus Nro. 27) 29) /*7(^+Ä<)sin<d<=/(jr)+ ^^/(j-) — ^ d^f{x) + ...,
wo nun Ax^=h ist Auch hier kann man leicht zu allerhand Reihenentwickelungen gelangen, wenn man die Funktion f%o wählt, dass sowohl die Integration linker Hand als die Differenzen rech- ter Hand vollständig ausführbar sind.
391
Veber die ISubsUtiiUoii neuer Taria- belen in unbestimmte und bestimmte
Intei^ale.
Von
Herrn Professor Dr. Oskar Schlömilch,
an der polytechnisclien Schole za Dreaden«
Die meisten Transformationen unbestimmter Integrale gesche- ben bekanntlich dadurch , dass man an die Stelle der ursprünglich Torhandenen Variabelen eine neue Veränderliche einfährt, welche mit der ersten durch eine Gleichung verbunden \bt Handelt es sich z. ß. um das Integral
/
f[(p(w)]dxy
80 kann man g>(x)^=y setzen» muss nunmehr die vorstehende Gleichung nach x auflösen, was ein Resultat von der Form x==ip(y), mitbin dx=^*(y)d^ giebt, und hat jetzt
J'fW{x)]dx^ ff{yW(^)dy.
Findet sich nun auf irgend eine Weise der Werth des rechter Rand verzeichneten Integrales, er heisse etwa F{y)y so muss man schliesslich noch ffir y seinen Werth ip{x) einsetzen, und ge- Itogt so zu der Endformel
/
/•[9(«)]Är= fltpixy] +Const.
392
So allgemein bekannt dieses Verfahren ist» so scheint man doch einen Umstand dabei übersehen zu haben, der nicht ohne Wich- tigkeit ist und namentlich bei bestimmten IntejO^alen ganz beson- ders erwogen sein will; es kann nämlich vorkommen, dass die nach X aufzulösende Gleichung ac^ztpiy) mehrere Wurzeln be- sitzt, wie es schon bei einer m Beziehung auf x quadratischen Gleichung der Fall sein wurde, und es entsteht dann von selbst die Frage, welche von diesen verschiedenen Wurzeln (ur die weitere Rechnung zu nehmen ist. Handelt es sich z. B. um den Werth des Integrales
Jv^F^^^^-''
so kann man setzen
V2rx—x^=y,
und hieraus folgen für x und dx die Doppeiwerthe : entweder
a:=r + Vi^nZp, mithin Ar = — -7^==^»
V r* — y^
oder
a:=r-Vi?^^ „ dx - + ^^^
Im ersten Falle geht das obige Integral in das folgende über: ri,r...J^)^ ^ Arcsin^+ Const
und man hat dann
A
<ir = — Aresin 1_!3 ± ^ Const.
V2rx — x^ Im zweiten Falle erhält man auf gleiche Weise
A
^^^J== Ar= + Arc.in^^ir£_£' +Co„st.
Welche von beiden Formeln die richtige ist, entscheidet sich sehr leicht durch üifferenziation , und man wird finden, dass jede der beiden gefundenen Formeln gebraucht werden kann, nämlich die erste, wenn man
\rr^-2rx + x^=X'-r
393
and die zweite» wenn man dieselbe Wurzel =r — or setzt In der Aoweodung auf bestimmte Probleme wird man aber aus der Natur des Gegenstandes jederzeit wissen, ob jene Wurzel =a; — r oder =r— o: zu setzen ist, und dann bleibt auch keine Wahl mehr zwischen den beiden erhaltenen Integralformeln. So kann man in jedem Falle durch Differenziation einerseits und durch genaue Erurterung seines Problemes andererseits sich vollständig ort- entiren.
Ganz anders wird die Sach^ bei bestimmten Integralen; hier gehen die Substkotionen hekanntlich nie rückwärts (von y nach :r) sondern immer nur vorwärts, indem man zugleich die verän- derongen anmerkt, welche die Integrationsgränzen erleiden, und eine Probe durch Differenziation ist am Ende gewöhnlich gar nicht ausfahrbar, weil man ^s in den meisten Fällen mit solchen Diffe« renzialfomieln zu thun hat, die sich unbestimmt nicht integriren lassen. Um die hier entstehende kleine Schwierigkeit an einem recht frappanten Beispiele zu zeigen, betrachte ich das Integral
r 'f(x^ + 2rx)da:.
Setzt man a^-^^rx^ry^ so folgt
x=^rJiVi^y,
mitbin
ist ferner x gleich der unteren Integrationsgränze ~3r geworden, «0 hat ly den Werth 9r*— 6r2=3r* erhalten, und ebenso entspricht der oberen Integrationsgränze x= + r die obere Gränze
man hätte demnach
P'fi^^ + irs)<Lt = dt 5 f^%f) Tr^=- '
•^ar ''^ar' V »^ + »
Der Werth eines zwischen gleichen Gränzen genommenen Inte- srales ist aber im Allgemeinen die Null, und so gelangt man zu dem offenbar widersinnigen Resultate, datss för jede beliebige Funktion / das fragliche Integral der Null gleich 8ei. — Um ein richtiges Ergebniss zu erhalten, muss man hier folgendermassen schliessen. Wenn x das Intervall — 3r bis +r durchläuft, so tedert sich der Ausdruck y=:x*+2rx in dei^ Weise, dass er
Theil Will. 27
394
während des Intervalls — «Ir bis — r abnimmt, (lir jr= — r am Minimum erreicht und darauf a:=—r bis a:=-|-''^^ä<^h8t; dabei wird
far a:=— 3r „ y= + 3r«,'
» a:=+r ., y=+3r*.
Sieht man w als Abscisse, y als Ordinate an, so kommt jede zwischen • — r^ und -|-3*^ liegende individuelle Ordinate zweimal vor 9 einmal als sehurig zu einer zwischen — 3r und — r liegen- den kleineren una dann entsprechend einer zwischen — r und +r enthaltenen grosseren Abscisse; eine Ausnahme hiervon macht nur die Ordinate +t^, die blos einmal vorkommt Zerlegen wir jetzt das Integral Nro. 1) in folgende Integrale:
2) ß f(x^ + irx)dx + r /][a:H2ra:)dLr ,
-8»- -r
80 enthält das erste Integral alle vorhin als kleinere bezeichneten X, und das zweite Integral lediglich die grosseren a:\ hieraus folgt 9 dasSy wenn in beiden Integralen j;*-f2ra:=:^ gesetzt wird« umgekehrt ffir das erste Integral in Nro. 2) nur die kleinere Wur- zel a:=r—VrM-y und für das zweite nur die grossere Wurzel ap=r+V^r*+v zu gebrauchen ist Nach dieser Bemerkung ver- wandelt sich aie Gleichung 2) in die folgende:
Kehrt man im ersten Integrale die Intesrationsgränzen um» giebt ihm also das entgegengesetzte Vorzeichen, so lassen sich nun- mehr beide Integrale zu einem einzigen zusammenziehen, nämlich
und dieses Ist die richtige Transformation von Nro. 1).
Das so eben auseinandergesetzte Verfahren dient gleichför- mig auch zur Umwandlung des allgemeinen Integrales
/
ß
man hat nämlich vorerst zu untersuchen, wieviel Maxima und Mi-
395
nima d«r Funkfloo yssq>(x) zwiBciien die Integrationsgrftnzen a und ß fallen; treten diese Mazinia und Minima fflr :r=^y ^r^sfit» etc. ein, so ordne man die Grossen fii » fi^ etc. nach ihrer GrOsse« 80 dass fif<fii <^....</} ist. zerlege das gegebene Integral in eiDC Reihe anderer Integrale , welche die Integrationsgränzen x=sux bi8ar=:fii, x=:fii bis j;=|U2 etc. umfassen, und substituire in den einzelnen Integralen diejenigen Umkehrungen der Funktion v=(p(a:)f welche den zugehörigen Intervallen entsprechen. •» Wir geben hierzu einige Beispiele von möglichst allgemeinen Formen.
L Es sei zunüchst das dem vorigen ziemlich ähnlidM Integral
J= lf{xH^x)dx,
za transformiren, so hat man zunächst
J— f /•(^*+2ra:)ite + y */'(a:«+2rar)Ar
—OD — r
aod vermöge derselben Substitutionen wie vorhin
'=-ä/"«»)^^+äjni»)v^
=/
=y>.vÄr-
Setzt man noch y^zrh, so erhält man darch Vergleichnsg der verschiedenen Formen des J
4) /V + 2rx)d. = r7^*^^.
>
Will man das Wurzelzeichen rechter Hand vermeiden, so kann man z = tt^ — 1 setzen, und hat dann
5) r^f(x^+2rx)dx = ^r^f\r^u^-Xi\du .
Aas den gefundenen Gleichungen lassen sich leicht allgemeinere Formeln dadurch herleiten, dass man mehrmals in Beziehung auf die willkührliche Constante r differenzirt; da die Ausföhrune die- ser Operation nach den von Herrn Dr. Hoppe und mir gleich-
2T«
3d6
zeitig bekannt gemachten Formeln nicht die mindeste Schwierig- keit hat» 80 kann ich sie ftiglich übergehen.
II. Das zu transformirende Integral sei
f(cx+-)da:.
Da y=ca:+— für ar=V — sein Maximum y3=2V^oc erreicht, so zerlegen wir wie folgt:
/T « a /** a
f(.cx^+l)ds+J f(ex + ^)dx.
VI
Ans y^cx + — ergeben sich umgekehrt fiir x die Werthe
X
y-Vy^-4^ y+Vy^:^,
durch deren Substitution man erhält:
Kehrt man im ersten Integrale die Inte^ationsgrSnzen um und vereinigt dann beide Integrale» so wird emfacher
Eine noch bessere Gestalt erhält das Integral, wenn man
Vy* — ^<^c = z '
setzt; es wird nämlich schliesslich
397
Diese Formel läset sich wiederum durch mehrfache Differenzia- tiooen in Beziehung auf a oder c verallgemeiuern , womit wir uns jdzt nicht aufhalten wollen.
Nimmt man in Nro. 6) z. B. •0 ergieht sich
O 0
Eine andere Supposition wftre sie giebt
o 0
was ich schon frflher einmal bekannt gemacht habe, m. Als drittes Beispiel diene das Integral
J= I f(co8x + tan^.sinj:)cLr, 0
wenn d einen constanten Bogen des ersten Quadranten beseich- oen m5ge. Wollen wir
coso: 4- tan^.sina:=:y
setzen » no ist zunächst zu erinnern , dass die Gleichung
^=:— shu?+tan^.cosa:=0,
d. h.
tanorsstan^
zwei Wurzeln besitzt, welche in das Integrationsinterrall 0 bis in fillen; diese Wurzeln sind x=s^ und j; = ff-|-^; die erste macht ff zu einem Maximum nämlich sec^, die aweite giebt das Mini- mum «-sec^. Wir zerlegen nun wie folgt:
398
«/= / f(coBm+Utn^.8lnx)dx + 1 f{cosx + \»xi^jAux)dx 0 ^
/(coar -|- tan^^iiurjcLr .
Aus der Gleichong
cosjr -|~ tan^ . sIdo: =^ fliesst weiter durch Multiplikation mit cos^:
cos(^ — x) =ycos^ ,
und wenn wir unter Arccosz denjenigen positiven spitzen Bo- gen verstehen, dessen Cosinus =2 ist, so sind die positiven Wo^ zeln der obigen Gleichung:
O — ar = Arccos (ycos^)
= 2;r— i Arcco8(ycos^) =:2;r -|- Arcco5(ycos0) = 4» — Arccos(ycos^) u. s« w.
von welchen wir nur die drei ersten brauchen. Man erhält ans ihnen (lir dx die drei Werthe:
rfy.cos^ rfy.cos^ dy.cos^
Vl-y«cos«^ ' '"V'C-y^cos^' VT^^os^*
mittelst deren sich J folgendermassen gestaltet:
J ^ ^^ vT^«ci^
Da das letzte Integral von — sec^ bis -f 1 und das erste von +1 bis -|-sc<^ geht, so könnea ^iese beiden Integrale in das eine
/
399
zosammeogezogen werden; dieses ist mit dem zweiten Integrale einerlei, wenn man in letzterem dieGränzen yertauscht; demnach wird sehr einfach
=1 f-^^fd,) ^ä^^
j
Eine bessere Form erhSit das Integral mittelst der weiteren Sob- stitntion ycos^=cosiy woraus cif;y«co8^=^-sinz& folgt; es ist jetzt
J= — 2 / f(Bec9.coaz)d2 .
Kehrt man die IntegrationsgrSnzen um und vergleicht die bei- den Formen des J, so nat man die Transformation
/tcosor-f tan^4iin:r)c2j?=2 / /"(sec^.cosz)«!!. 6 0
Wir setzen hier weitertand=~ und bezeichüen Oberhaupt f(') mit F(u) ; es wird so
9) ß F(acoBX'\-ß8\nx)dx=2 ßF(Va* + ß*. co8z)dx.
0 0
Auch diese durch eine gewisse Eleganz ausgezeichnete Formel fiesse sich durch successive Diierenziationen m Beziehung auf a oder fi leicht verallgemeinern.
400
Die Beztelmnir der Ellipse auf ihre zwei i^leielieii coiUni^irteii Durch- messer.
Von
Herrn Doctor Kosters
sa Waren dorf.
Unter den verschiedenen metrischen Relationen zur Bestim- mung eines Kegelschnittes gibt es auch eibe, welche in sehr ein- facher Weise die Ellipse und Hyperbel auf zwei gerade Linien be- zieht. Sind nämlich zwei gerade Linien L und L. , welche sich unter einem Winkel (29:)) schneiden , der Lage nach gegeben, so ist der Ort des Punktes, dessen Abstände cv und ß von den i^tx gegebenen Geraden im Quadrate eine konstante Summe oder Diffe- renz p^ geben , nämlich :
eine Ellipse oder gleichseitige Hyperbel. ^
Betrachtet man nun den Fall, in dem
so ist der Ort eine Ellipse, für welcher durch einfache Coo- struction sich die einzelnen Punkte , so wie die Achsen nun leicht bestimmen lassen. Es ist:
der Halbmesser der gleichen conjugirten Durchmesser
r =
6in29 '
401
die grosse Halbachse
V2.8ID9
die kleine Halbachse
6=-^
V2.COS9 *
die Ezcentrixitfit
sin2<p ^
der Parameter
^" = v^«^ • *''"«'' = ****"«'' '
die Leitstrahlen
m 4- n = , — = - — ; *• •
' 6109 s>>^9
Dieser Beziehung der Ellipse als Ortslinie anf awei feste Geraden entspricht folgende Betrachtung.
Eine Ellipse wird gebildet durch die Peripherie eine» Krei- ses, indem sich alle auf einem Durchmesser senkrechte Sehnett in ihrem Fusspunkte um einen gleichen \Vinkel drehen.
Sind (Taf. X. Fig. 1.) AB und Ci Di zwei senkrechte Durch- messer des Kreises lU, und dreht sich jede auf Aß senkrechte Sehne, z.B. PEi, wie JUCi, in ihrem Fusspunkte um den Win« kel g>, so bilden die so verschobenen Punkte der Peripherie des Kreises in Ihrer neuen Lage, 2. B. E und C, die Ellipse,
Dieses lässt sich auch also nachweisen.
Die Coordinaten (a*, y\ des Punktes £ fär die Coordinaten- achsen MA und MC sind gleich den Coordinaten (Xi, yi) des Punktes Et dei Kreises für die rechtwinkligen Coordinatenachsen MA und JnCi. Ist nun r der Radius des Kreises M, so ist seine Gleichung bezugs der Coordinatenachsen MA und MCi :
folglich die Gleichung der Ellipse bezugs der Coordinatenachsen MA und MC:
^* + y* = »^«
Füllt man nun von einem beliebigen Punkte (x, y) der Ellipse
402
Senkrechten tt und ß auf MA und JUC, so Ist , wenn der Win- kel All^C=:2fp gesetzt wird:
a* + /5* = r*8in*29> .
Dieses ist die Gleichung, von der wir ausgegangen, wenn man nur
r%in^g?=/>*
setzt. Bei dieser Darstellung der Ellipse lassen sich leicht ans den Eigenschaften des Kreises entsprechende für die Ellipse ab- leiten, z. B. :
Jede zwei senkrechte Durchmesser des Kreises werden zwei conjugirte Durchmesser der Ellipse.
Wie im Kreise jede zu einem von zwei senkrechten Durch- messern parallele Senne vom andern halbirt wird, so wird auch in der Ellipse jede zu einem von zwei conjugirten Durchmessern parallele Sehne vom andern halbirt.
Wie beim Kreise jede im Endpunkte eines von zwei senk- rechten Durchmessern zum andern parallele Gerade Tangente des Kreises ist, so ist bei der Ellipse jede im Endpunkte eines voo xwei conjugirten Durchmessern zum andern parallele Gerade Tan- gente der Ellipse.
, Es gibt ffir jeden Winkel (i/;) der Drehung der Sehne eine bestimmte Ellipse über AB und CJ) , als den zwei gleichen coih
7t
jugirten Durchmessern. Wächst derWinkeli/; von 0 bis a » so geht
die Ellipse alle Gestalten durch v^m Kreise bis zur geraden Linie ak Gränze, deren Länge =2rV^2.
Im zweiten Quadranten, d. h. wenn der Winkel ^ von ^r bis «
wächst, dehnt sich die Ellipse wieder bis zur Peripherie des Kreises.
Bei der Drehung der ^ AB senkrechten Sehnen des Krei- ses (Grundkreises) beschreibt jeder Punkt seiner Peripherie einen Kreis, und ist in jeder Lage ein Punkt einer Ellipse; somit lie* gen also die entsprechenden Punkte sämmtlicher Ellipsen in be- stimmten Kreisen. Die Scheitel jeder zwei conjugirten Durch- messer bewegen sich bei Aenderung des Winkels ^ in zwei Krei- sen, welche sich in dem festen Durchmesser AB berühren, und fOr deren Radien q und ^i rafan die Gleichung hat:
Ffir die Scheitel der Achsen ist noch ausserdem
403
Ferner die Tangenten der entsprechenden Ponkte sfimmtHcber Ellipsen (ans dem Gmndlcreise M) drehen sich nm einen festen PoDlct in dem Durchmesser Aß, und daher sind , wie die Ordi- Diten, a«eh die Sobtangenten s der entsprechenden Ponkte unter sieh gleich «nd zwar Ist:
X
A gleichen conjogirten Durchmesser der Lage II p oder ein Punkt der Ellipse oder eine Tan«
Wenn die zwei nach und ausserdem ^
gente gegeben sind « ' so ist die Ellipse bestim'mt und der Mach- weis ihrer Eigenschaften, sowie die Constructioneo» zeichnen sich liier durch Einfachheit aus.
Sind L und X^ der Lage nach gegeben und ausserdem ein Punkt E der Ellipse, so findet man leicht den Gnindkreis« Man liehe die Ordinate EP, und PEi(=PE) senkrecht au( AB, be« schreibe dann aus M mit JdEi euien Kreis, so ist dieser der Grandkreis der Ellipse. Zieht man ferner den Durchmesser Af//^ ibdann HxO'^AB, und OH(=:OHi) parallel zu DC, und dann MH, so sind MH und ME die Halbmesser zweier conjugirter Durchmesser. Durch die Verbindung der durch den Grunokreis bestimmten Scheitel der zwei gleichen coniugirten Durchmesser erhält man ein Rechteck, welches der Ort des Punktes ist, des- sen Abstände er und ß von den zwei conjugirten Durchmessern (Diagonalen) die constante Summe p geben , nämlich :
Ihrer Einfachheit wegen mugen die folgenden zwei Aufgaben getöst werden.
1. Sind L und In und ein Punkt E der Ellipse gegeben, in £ eine Tangente an die Ellipse zu ziehen.
Man ziehe £P#Ii und PEi(=PE) senkrecht auf L, ziehe MEt, und EiG^MEi, verbinde G mit E, so ist GE Tangente der Ellipse.
2. Sind L und Li und ausserdem eine Tangente Q der Ellipse gegeben, den BerOhrungspunkt in Q zu finden; oder: den Punkt m Q zu finden, für den die Summe der Quadrate der Entfernungen a und ß von L und X|, nämlich
eio MiDimum ist.
404
Man ziehe ilfFi(=:ilfF) senkrecht auf L, verbinde F| mit G, fölle MEi-lGYi, und £i/>u.£, ziehe PE parallel zu Li, 60 bt £ der verlangte Punkt.
Vergleicht man den Grundkreis' der Ellipse noch mit den beiden über den zwei Achsen beschriebenen Kreisen , so ist jener der Ort des Punktes , der zu den beiden letzten Kreisen gleiche Po- tenz hat
Anmerkung. Beschreibt man aus dem Halbirungspunkte der Gentrallinie (=2m) zweier Kreise» deren Radien R und r sind, einen dritten Kreis mit dem Radius
,=v
— s tnr»
so ist dieser der Ort des Punktes, der zu den beiden ersten Kreisen gleiche Potenz hat.
405
Bemerkunireii zn den Elementen der
Arithmetik.
Von dem
Herrn Doctor R. Baltzer,
Oberlehrer an der Krensachule so Dresden.
1. Za den Wurzeln.
Die Elementarlehre von den Wurzeln Tereinfacht sich ein ^eaig, wenn man von der Wurzel aus einer Potenz ausgeht, ^nso wie man in der Lehre von den Quotienten besser die Division der Producte an die Spitze stellt. Die Gleichungen
n 11, m
Vo« = ( V^d)"»= a»
erweist man durch Potenzirung mit n, und zwar die letztere zn- Däcbst unter der Voraussetzung > dass nt durch n theilbar. Die Gleichungen
m n _
flMI A / ^ A I ^
^^che durch Potenzirung mit mit bewiesen werden, und aus ^«Den (abgesehen von den Vorzeichen , als welche man die Wur*. <«ln aus f betrachten kann)
MM ^^^ n
406
folsrt. fto wie die Entwickeluog von ^ab ond V^aib, bestitigeo dann 9 dass
1 m
n n
adäquate Aosdrficke für Vo^ und V^a*" sind.
Was das Vorzeichen anlanet, so ist In übrigens sorgfältigen Darstellungen noch zu finden, dass dabei die Entstehung desRa* dicanden in Betracht komme, dass also
V(a^«=a— 6 (nicht 6— o) eindeutig, dagegen
Va«— 2a6 + 6« = ±(a-6)
zweideutig sei. Z.B. Heis Sammlung $. 48. Dagegen muss be- merkt werden, dass so lange der Radicandus denselben Wettk hat, auch die Wurzel dieselbe ist, und zwar n deutig wie jede nte Wurzel. Nun ist über die Identität von (a— 6)**und von a^ — 2fi6-|-6^ ein Zweifel nicht möglich, folglich haben beide For- meln dieselbe Quadratwurzel, welche eben so gut negativ als po- sitiv genommen werden kann. Dass überhaupt, wenn a eine po- sitive Zahl und a^=za, man
n u
n
zu setzen habe, wobei Vi wie ein Vorzeichen erscheint, ist von der kritischenSchule hinreichend besprochen , und sollte aacfa von den elementaren Darstellungen nicht ganz mit Stillschweigen fibergangen werden.
11. Zu den Logarithmen.
Der Mangel eines bequemen Ausdrucks (är die Zahl, mit welcher k potenzirt die Zahl a giebt, ist oft genug beim Unter richte empfunden worden, wie verschiedene \ ersuche anzeigen. Am gebräuchlichsten ist der Ausdruck „Logarithmus von a zur Basis A" und die Bezeichnung eine der folgenden:
k k^
loga, loga, log(it)a.
Nach der bei Functionen mit einem Parameter üblichen Schreib- art konnte man das Zeichen
407
log(*, a)
gebrauchen, welches Jedoch mit deo vorigen Zeichen die unbe- queme Lfinge in Schrift und Rede zum Theil gemein hat, obgleich esdem Druck mehr zusagt. Der in J. H. T. Mdller's Arithme- tik S. 287« angenommene Ausdruck ^.Hochzahl von a durch A ezponentiirt" ist zwar zur Bildung von Lehrsätzen nicht oogeschmeidig , allein die Bezeichnung dafür
a
wird schwerlich Eingang 6nden, weil sie den bereits feststehen- den Zeichen loger , \a für den gemeinen und natörlichen Logarith- roeo von a sich nicht anschliesst.
Von jeder Bezeichnung verlangt man billig» dass sie nicht nor iiir Schrift und namentlich für Druck leicht ausfährbar» son- dern dass sie auch in der Rede leicht wiederzugeben d. h. les- bar sei. Diesen Forderungen entspricht die erste Bezeichnung, sobald man k nicht über log, sondern links oben an log stellt:
*loga*)
und „A:-Logarithmu8 von a** ausspricht (etwa wie nte Wurzel aus a). Die Zeichen
^^loga , log.vulg.a , loga
sind als gleichgeltend zu geben, sowie
«loga, log.nata, Ina« la.
Dabei vermisse ich in den elementaren Lehrbüchern die Bemer- kung, dass «loga, und nicht ^^oga, natürlich heisst, weil er allem eine unmittelbare Berechnung zulässt, während andere (künstliche) Logarithmen nur durch Probiren aus Wurzeln der Basis oder durch natürliche Logarithmen bestimmbar sind.
Ferner gehört auch in ein Elementarbuch die Anmerkung, dass die Logarithmen vieldeutig sind wie die Wurzeln , nur unendlieh- deotig, dass wenn a eine positive Zahl und k^=ia, vermOge der Formel für Hogab man
*loga=a + *logl,
*logA=l+*logl,
Mog(-a)=a+*log(-l)
*) Diese Bexeichnunj^, die ich Hm. Prof. Seh lö milch mitgethcilt, i*t Ton demselben bereiU mit der Aufnahme in dessen nene Ausgabe ^«r algebraischen Aualysi« (S. 8.) beehrt worden.
408
ZU setzen habe, dass aber Mo^l einen andern reellen l^erth als Null nicht zulässt • während ^log( — 1) durchaus imaginär ist. Solche Aussichten ermuntern zu weiterem Studium.
Aus der Definition wQrde ich zunächst ableiten , dass
indem
a = Ä*iog« , b = A*iog» , folglich jede der beiden Potenzen
Ferner
indem
Dann folgen die auf den Numerus bezOgiicben Formeln för
''logab, *logg., ^loga», denen noch beizugeben' sind
*log(a+Ä) =*loga + *log (l + *)>
*log(a-6) =*Ioga-'^log— ^ [a^b],
a
nm zu dem Gebrauch der Gauss'schen Hölfetafeln anzuleiten, welche nach der neuen Einrichtung (wie sie bereits 1844 too l H. T. Müller in den höchst zweckmässigen vierstelligen Tafeln gegeben worden) bei dem Argument loga— log6 die zur Erhui- gung von log(a + 6) und log(o - 6) nöthigen Correctionen
log (l + -J und log — ^
1-*
darbieten. Vergl. die vortrefBichen Beispiele in Heis Sammlung. §.59., welche übrigens noch die ältere Einrichtung berOcksicbtigeo.
409
in. Zu dea VerhSltniss«!! und Proportionen.
I I
1. Das Verhältniss einer GrSsse A zn einer' gleichartigen 6r5sse ß ist — es ist fabelhaft, mit wie verschiedenen Wendun- gen verschiedene Schrift^teliet fortfahren, denen man zum Theii nicht undeutlich ein gewisses Unbehagen bei diesem Definitlons- eeschSft anmerkt. Ich will die Leser des Archivs nicht mit An- lobrungen behelligen, jeder findet in seiner Bibliothek Beispiele. Die Quälereien haben einen doppelten Ursprung; beim Vater Eu- klide s darin, dass die Irrationalzahlen noch kein Bürgerrecht unter den Zahlen hatten, bei den Neueren darin, dass man angefangen hatte von arithmetischen Verhältnissen im Gegensatz zu geome- trischen zu reden und dass man nun ein Abstractum aus zwei insserst verschiedenartigen Begriffen bildete. Warum hurte man nicht auf Euler? In der Algebra I. §. 380. steht geschrieben: „Ein arithmetisches Verhältniss ist nichts anders als die Differenz xtyischen zwei Zahlen. Welches letztere Wort föglicher gebraucht wird, so dass das Wort Vg^rhältniss nur allein bei den s(^euann- ten geometrischen Verhältnissen beibehalten wird.'* Und 0. 440. : J)as geometrische Verhältniss zwischen zwei Zahlen enthält die Antwort auf die Frage, wievielmal die eine Zahl grusser sei als die andere, und wird gefunden, wenn man die eine durch die andere dividirt, da dann der Quotient die Benennung des Ver- hältnisses anzeigt/' Es ist also deutlich zu lesen, woran ausser- halb der Elementarbucher doch Niemand mehr zweifelt: das Verhältniss zweier Grossen ist eine Zahl. Euklides scheute sich freiPich in diesen Satz einzustimmen, denn er konnte diese Zahl nicht in allen Fällen vollkommen angeben; wir kdmiea das auch nicht, haben uns aber mit der Begrenzung derselben heenagen f^elernt. Schade, dass der tödtliche streich, den Eni er aar „das arithmetische Verhältniss" geführt, nicht auch dessen Genos- sen „die Benennung des geometrischen Verhältnisses'* (Name, An- zeiger, Exponent) getroffen hat; denn alle Quälerei hat ein Ende, wenn man statt dieser Ausdrücke keinen andern als eben „Ver- hältniss" selbst braucht. (Wenn Ich nicht irre, ist in franzdsi- schen Büchern hier und da :t als le rapport de la circonf^rence an diametre bezeichnet). In der That sind die Differenz von zwei f>ro8sen und ihr Verhältniss himmelweit verschieden , denn erstere ist eine Grosse, letzteres eine reine (abstracte) Zahl, so rein als ein Multiplicator nur sein kann. Aus zwei solchen Begriffen einen gemeinsamen huhern herauszupressen, ist undankbare Mühe.
2. Auf die Erklärung des Quotienten hat nach meiner Mel- DQO{^ in den Elementen 1) der Nachweis desselben flQr die ver- schiedenen Fälle durch Bildung der Brüche, 2) die Bedeutuns; desselben zur folgen. Die besseren Lehrbücher sagen , das Divl- diren habe hei benannten Zahlen (GrOssen) eine von zwei Bedeu- ^Bgen, Messen oder Theilen. Auch abgesehen von Anwendun- gen kaDo gesagt werden : der Quotient bedeutet
The« XVIll. 96
410
entweder den sovielten Tbeil des Dividendas, aU der DiTiaor angiebt;
oder das Verhältniss des Dividendns sum Divisor., d» h. die Zahl, welche angiebt» wievielmal der Divisor im Dh videndus enthalten , oder das Wievielfache der Divi- , dendos vom Divisor ist
Wenn nun von zwei Grossen A und ß die erste a solche Tbeile hat» deren die andere b bat» so ist
A B
folglich
A=%B.
d. h. das Verbfiltniss von ^ zu £ ist t-» A verhält sich zu B wie axb u. s. w*).
3. Die Unklarheiten im Betriff „Vertiältniss'' zeigen sich nicht sehen bei DeGnitionen der Mechanik und Physik. So steht Pouillet-Mdller Physik 1. §.84. »»Das VerhSltnis9 zwischen Raum und Zeit heisst die Gesch windigkjeit der gleichfunni*
gen Bewegung.'' Brettoer Physik §.33. »»Geschwindigkeit der lewegnng ist das VerhSltniss des Raumes» den ein Korper durch« läuft» zu der Zeit» die er dazu nothig hat/' Lam^ cours de
1>hysique §. 21. »»On donne le nom de vitesse au rapport de 'espace parcouru divis^ par le temps employ^" u. s. w. Gleich- wohl zweifelt im Ernst r^iemand daran» dass (ausser tm Witz) vom Verhältniss ungleichartiger Grossen nicht gesprochen werden könne. Die Geschwindigkeit einer Bewegung ist gar nicht ein Verhältniss» sondern ein fheil der durchlauienen Bahnstrecke, wie anderwärts oft genug richtig gesa«;t ist. Gleichartig mit Geschwindig- keit ist die Beschleunigung einer Bewegung» welche gewuhnlidb niit dem unpassenden Namen neschleunigender Kraft belegt wird. Nur die Geschwindigkeit (des Wachsthums) einer Fun- ction» welche mit der Variablen gleichartig ist, kann ein Ver- hältniss genannt werden» nämlich das Verhältniss ihrer Aende- derung zur zugehörigen Aenderung der Variablen, welches behn Verschwinden dieser Aenderungen sich ergiebt (Flüxion» Deriva* tion» Differentialverhältniss). Ist die Function ungleichartig^ mit der Variablen » so kann unter ihrer Geschwindigkeit nur ein Tbeil von der Aenderung der Function verstanden werden» und die
*1 Die hier entwickelten Ansichten habe ich einer kleinen Schrift: Rechenbuch f&r den Standpunkt der Mittelschule. 1050. SU Grunde gelegt.
411
GesdiinDdigkeit bt ja^hartig mit der FoDctioD» irie die Bewe- gongs-Geschwindigkeit mit der durchlaufnen Bahnstrecke.
Dichtigkeit und specifisches Gewicht werden ge- wöhnlich relativ verstanden als die Verhältnisse von Masse und Gewicht eines Körpers zu Masse und Gewicht eines bestimmten Korpers von gleichem Volum. Beide sind dadurch von individuel- len Mastteinheiten frei und für einerlei Materie gleich , weil das Gewicht der Masse proportional. Man kann indessen Dichtigkeit and specifisches Gewicht eines Körpers auch als Masse und Ge- wicht seiner Volunieinheit darstellen. Dieselbe Bewandtnis» hat es mit Wärmecapacität und speciffscher Wärme und mit vielen anderen Begriffen, welche ursprünglich allerdings Verhält- nisse sind, wie Atomgewicht» Luftfeuchtigkeit, Bre« chungsverhältniss, Empfindlichkeit einer Wage, Ah- plattunfif der Erde, Excentricität einer Ellipse, Wahr- scheinlichkeit u. s. w., deren De&niCionen in den LehrbOchern zum Theil noch mehr Schärfung erhalten können.
4. Das, was man bisweilen „Masszahl einer Gr^lsse'* nennt, ist nichts anderes als „das Verhältniss der Grosse zur Masseinheit^, wdfTlr man abkörzend ,>Grösse'' sagt. Z. B. in der Regel „Das Parallelogramm ist das Product aus Grundlinie und Höhe'S steht Parallelogramm statt Verhältniss seiner Fläche zur Qoadrateinbeit, Grundiroie statt deren Verhältniss zur Längen^ einheit u. s. w. In der Regel „Fläche und Umfang sphärischer Polarfiguren ergänzen sich zu 4^ steht Fl&che statt Verhältniss derselben zum sphärischen Octanten, Umfang statt Verhältniss desselben zum Hauptkreisquadranten. Die Masszablen der Grös- sen sind also bei richtigem Gebrauch des Wortes Verhältniss eine überflOssige Erfindung.
Das Reciproke einer Grösse d. b. das Verhältniss der Masseinheit zur GrOsse kann die Kleinheit desselben genannt werden. In der That ist die Kleinheit einer verschwindenden Grosse :=oq> einer unendlichen Grosse =0. Die Kleinheit des|Abstandes zweier Punkte heisst ihre „Nähe" (ti ersehet on light, art. 247. spricht von der Brenn-Nähe einer Linse. Z. B. die Krümmung einer Curve ist der Kleinheit des Krümmungs- radius oder der Nähe ihres Krümmungsmittelpunkts, die Massen- anziehung dem Quadrat ihrer Nähe proportional q. s. w«
6. Die Bemerkungen, dass^:^s=l, je nachdem il=S (die
< <
Ausdrücke „steigendes und fallendes Verhältniss" sind aufzuge-
ben); dass AiC=zB : C, je nachdem A^B, und umgekehrt;
dass AiB, wenn es weder eine ganze Zahl noch ein Bruch ist, doch zwischen — und falle, für eine beliebige ganze ZaU n,
so dass auch m eine ganze Zahl ist; — eröffnen die allgemeine Proportionenlehre, deren weitere Entfaltung vorzüglich auf dem Lehrsatz beruht:
28*
413
Zwei VerhSitnisse sind gleich» wenn sie diesel- ben NSheruneswerthe haben (— und för beliebiges
^ n n
n, und ein dazu gehöriges m).
Beweis. Es sei
n n
n ^ ^ n '
Ko ist
n it
folglich
iA;B)--iC;D)<^!^^(C:D)<"'^^ "*
n ^ ' ^ n n*
Diese Differenz moss Null sein, denn von Null verschieden wäre sie nioht kleiner als -- bei beliebigem n. Also ist
A:ß=:C:D.
Diese Schlnssweise fährt auf allgemeine JSStze der Geometrie über das Verhältniss von Strecken» Flächen» Räumen, Winkeln, Krümmungen, wobei auflncommansürabilität dieser Grossen Rück- sicht zu nehmen ist
6. Aus dem Lehrsatze folgt zunächst die Zusammen- setzung der Verhältnisse
A:B^{A:C):(B:C).
Beweis. E^ sei
n ^ n '
so ist
^(fi:0<^:C<!??±i(Ä:0,
folglich u. s. w.
Nun ist
1:(Ä:0=C:B,
413
also auch ,
AiB=(A:C)(C:B). Wenn z. B.
A:C-P:Q, C:B=R:S,
80 ist
Ä:B-(P;Q)(R:S).
Von f]erZablengleichung^«-=:^ eotlehot mau die kürzere Schreibart PR.QS statt (P:Q)(R:S), und erhfilt
A:B=zAC:BC,
oder in dem gegebenen Beispiel
A:B=zPR:QS.
An sieb nSmIicb ist ein GrSssenproduct bedeutungslos ^ weil der Multiplicator nur eine Zahl sein kann; wodurch nicht ausgeschlos- ftoii Ist, dass in bestimmtem Sinne eine Grosse als Product von Grossen dargestellt werden kann« (Vergl. 4.).
7. Hierauf grQnden sieb, die bekannten Eigenschaften der eiofachen Proportion (Gleichung von zwei Verbältnfssen)
A:B=:C:D.
Schreibt man däfOr
(A:B)(D:C)=1 oder AD:BC=:l,
80 ergiebt sich
AD=BC,
*
was mit dem GrHssenproduct zugleich Bedeutung gewinnt. Ande- rerseits folgt aus der gegebenen Gleichung
(^:J5)(B:C) = (Ä;0(f7:D),
d. b. nach dem Obigen (6) :
A:C=:B:D.
Diese Proportion hat dann Sinn» wenn C gleichartig mit A oder <^De Zahl ist; jedoch hurt sie im zweiten Falle auf, eine Propor- tion im eigentlichen Wortsinne zu sein, dh A:C dann nicht mehr ein VerhäTtoiss, sondern einen Theil von A bedeutet.
414
Die Gleichung
il ^= jR 1» Oder -jY
bedarf nach dem Begriffe des Verhältnisses keines Beweises, sondern ist Ergebniss der Definition. (Vergl. T-6 = a).
8. Nicht hinreichend scheint mir in den meisten Lehrbilcberp, deren Propoitionenlehre einen starken Beischroack von Scholastik hat» die vielfache Proportion gewfirdigt. Welche Elegtox dieselbe dem Caicul zu verleiben im Stande ist, kann man be- sonders aus Mubius Werken ersehen.
Wenn nSmIich AiB^F\G, ß:C=G:H, so ist (6) AiC s=F:H. Man vereinigt diese Proportionen In der Gleichung
A:B:C=:F:G:H,
wofiir auch (nach 7)
geschrieben werden kannte. Die Hanptefgenschaften der vielfa- chen Proportion
A:B.C:=zF.G.U
sind folgende, a. Es ist
ALiBLiCL^F:G:H.
b. Es Ist
ALiBMi CN=FL:GM:BJS.
c. Wenn noch L:M:N^:zP:Q:R, also auch
FL:GM:HN:=:FPiGQ:HR,
80 ist
AL:BM:CN=FPiGQ:HR.
Daher insbesondere
/<«:«*: C*=F>;G«:Ä« u. s. w.
d. Es Ist
Ax+B^+Cz:Ap+Bg-l^Cr=Fx+G^^Hz:Fp+Gq^Br.
415
Dies ereiebt sich am einfachsten » wenn man Ax mit FiA, Bif mit G:JS, o. s. w. niultiplicirt
Wenn also z. B. F+G=H, so ist ^+^=C. Oder wenn Ax+ßv+Cz=0, 80 \8t&nchFx+Gy-\Hz=:0. Und umgekehrt, trenn ÄL + BM+CN=^0, so kann man «
ALiBMiCN^^'-viliv-l,
setzen, wobei — v das durch die gegebene Gleicfaang unbestimmt gelassene VerbSitnIss ALiBM bedeutet
9. Während ich so eben meine Verehrung fiOr die Proportion bei unbestimmten Gleichungen zu erkennen gegeben, kann ich nicht umhin meine Einstimmung mit denen zu versichern, welche Inder sogenannten Regel de tri die Proportionen nicht leiden mögen. Wenn m Pfund a Thaier kosten, so schliesst man leicht
genug, dass 1 Pfund — Thaler und n Pfund — Thaler kosten. , fn m
Die altherkömmliche Regel de tri antwortet dagegen auf die vor- gelegte Frage: n Pfond kosten x Thaler, biuM die Gleichung x:a=n:m lind löst dieselbe auf. Wenn eine so directe Methode wie die erste zum Ziele fßhrt, so ist die indirecte algebraische Methode mindestens QberflOssig. Dass aber die directe Methode nibig ist auch in den zusammengesetzten Fällen allen Ansprüchen to genügen, kann von dem, der sie versucht hat, nicht in Zweifel gezogen werden. Den nähern Nachweis davon findet man z. B. in meinem oben erwähnten Rechenbuche.
416
Bemerkungr znr Theorie der KetteB«
brfiche.
Von dem
s
Herrn Professor Dr. Schlomilch
za Dresden.
Enthält ein Kettenbruch nur positive Glieder, so besitzen die MSherungsbrüche desselben die folgenden sehr bekannten Eigeo- Schäften :
1) Jeder N&herungsbruch ungerader Ordnung ist grosser und jeder Näherungsbruch gerader Ordnung kleiner« als alle folgenden Näherungsbrüche;
2) die NäherungsbrQche ungerader Ordnung werden immer kleiner« und die' gerader Ordnung immer grösser;
>
und es folgt hieraus, dass bei unendlichen Kettenbrflehen der obigen Art sowohl die Näherungsbrflche ungerader als die gera- der Ordnung sich bestimmten Gränzen nähern mflssen. Beieich« nen wir also den Näherungsbruch
6i
P^
mit ^^, so finden die Gleichungen statt:
417
1) Lim^!^ = C, und JLita^^iCt,
worin Gl and G^ c^in paar endliche positive Zahlen bedeuten. Fflr Gi=G^ heisst der unendliche Kettenbruch ein conver gen- ter, Rir Gi^G^ ein diyergetoter» und man kann nur im ersten
Falle sagen, dass der Kettenbruch einen bestimmten Werth babe, wwvend er im «fveitqn Falle eine symbolische. Üarstdbing zwei er Grossen ist. Jedenfalls wäre es nun interessant, entscfaie- 4m divergente Kettenbrflche kennen zu lernen, und zugleich die beiden Gränzen 6\ und G% a priori zu bestimmen. Man kann bierzu o. A. auf folgendem sehr einfachen Wege gelangen..
Nach einem bekannten Satze, dessen Beweis man in §. 80. der zweiten Auflage meiner algebraisdien Analysis findet« gilt ibigeode Gleichung:
to + ^
'»—«0+ ((^«
m «reicher ^, ti, t^, etc. vSlKg beliebige Kahlen bedeuten; nun leitet hierans leicht die noch etwas bequemere Forrael ab:
-' Uq U, ' Kg ^ Um
_ 'O
^ ^ , ror>fWir
rou,-r,i«o+ " . r.r3(«a)»
"*'"»"'«"' + r,fi,-r,tt, 4- , r.^ar,(«— i)«
Tm—iUm — TmUm — i
l)a diese Formel fQr jedes m gilt, so kann man m auch ins Unendliche wachsen lassen, ohiie irgend einen Irrthuni besorgen za roQssen; denn bezeichnet mau die Summe der m ersten CHie- der der Reihe mit Sm und den mten Näherungsbruch des Ketten-
bmches mit — , so ist nach No. 2) immer gm
3) 5. = ^"",
418
und €8 flndet abo swischen dem Kettenbrvche und der Reihe eine fortwährende Ueberein.stiniroon^ statt, wie weit roao auch gehen möge. Divergirt nun die Reihe, so muss anch der Ketten- brucb divergireo, und hier ist besonders der Fall fiir unseren Zweck brauch bar y wo man die Reihenglieder
tio Ui »2 '
zwar fortwährend abnehmend wählt, ohne sie jedoch unendlich kl^n werden zu lassen, denn es gehört dann die Reihe in die Klasse derer, welche zwei verschiedene Summen besitzen, je nachdem man eine gerade oder ungerade Gliederzahl vereinigt. Diese betden ver- schiedenen Summen der unendlichen Reihe sind dann die Grin- zen Gl und Cr^.
So z. B. hat man nach Mo. 2)
^) r-2+3-- + <-^>"-" m
1, 3-^'
' + 1+ . (»-fix«-!)'
.... -f- 1
und hier lässt sich die links stehende Sunune Sm auf folgende Weise schreiben:
+(-l)"^Hl+^)>
woraus sieb fSr ein ungerades m ergiebt:
««.-1=1 + (i —2 + 3 - •• +5»^l} •
• •t*.
mithin ffir unendlich wachsende n
Limi$sii-i=3l + 1"" 2^^ ä*" =1 + 12
und diess ist nach Mo. 3) zugleich der Gräuzwerth von ^^' oder Gl» Dagegen hat man ffir ein gerades m:
419
liliDiSyiSS: *"x5 +•••• = 12
imd diess bt zugleich Lim^ = (?f ^^' unendliche Ket tenbrach
>+ 63»
1 +
1 + etc.
dlvergirt also in der Weise, dass sieb seine Nftbe« mogsbrüche oneerader Ordnung der Gränze 1+12 Qod die gerader Ordnung der Gränze 12 nähern.
Behält man nur den Theil des Ketteuhruches bei, welcher nach einem und demselben Gesetze fortschreitet, so würde f&r den Kettenbruch
3.1» ^+, 6.3»
1+
1 + etc.
2 2
Cfi = T5— 1 und Cr^ss i4.i»2""^ ^^^^'
Nach demselben Verrahren lassen sich unzählige KettenbrOebe
2 4 obiger Art entwickeln (z. B. wenn man von der Reihe 1 — * 4
-f 3— ete. ausgeht); einen besondem wissenschaftlichen Werth
bat dasselbe natOrlicb nicht, nur höchstens in so fem, als es immer wfinscheoswerth ist, von einer blos logischen Uistinktion (ent- weder Cri^Cr^ oder Cij ^ Gl) die empirische Realität nachzu- weisen.
420
• .. ' ' ' '
Ueber eine gewisse Klasse in der Tri- gonometrie und Astronomie taäufls in ABweBdunir iiommender uneBdllcher
Reihen.
Von
dem Herausgeben
lo der ebenen nnd sphärischen Trisooometrie und in der Astronomie wird häufiger Gebrauch, gemacht von gewissen tmeod- liehen Reihen, von denen Encke in den Act troddroi sehen Machrichten. Nr. 562. eine gute Zusammenstellung geliefert bst Diese Reihen sind msprüngikh von Lagrange, I>e^am• bre und Legend re gefunaen worden, worüber man ausser einer Abhandlung von Lagrange tn den Memoires de Berlin. 1776. vorzfielich dieMethodes analytiques pour ladöter- mination nun arc du m^ridten, par J. B. J. Delarabre. Paris. An Vil. 4. p. 64. Observations sur quelques en- droits du Memoire du cit. Delambre. Pat A. M. Le- gendre (im vorstehenden Werke) p. 3. und Exercices de oaicul integral par A. M. Legendre. IV U. Pariü« 1817. 4. p. 238. nachsehen kann. Einige dieser Reinen sind als Fundamentalreihen zu betrachten, aus denen die übrigen dordi geeignete Transformationen und Substitutionen mit Leichtigkeit abgeleitet werden können; und nur von diesen Fundamentalreibeo soll im Folgenden die Rede sein, weil die Ableitung der ubrigeo Reihen aus denselben, wie gesagt, einer Schwierigkeit gar nicht unterliegt, und als hinreichend bekannt vorausgesetzt wer- den kann.
421
Was aua dte Eaiwicfcelung jener FundamentalrelBeo betrifft, 80 pflegt manAich dabei vorzugsiveise vier ventcbiedener Metbo* den zo bedienen » nämlicb entweder der Methode der nnbestimm- ten Coefficienten , oder der bekannten imaginüren Ausdrücke der Sioos und Cosinus dunsh die entsprechesden ßogeu, oder des Taylor sehen, vielmehr Maclaurin'sooen, Satzes, oder endlich der Integr&ttsn, ja auch wohl der Differentiation gewisser unendlicher ReMn, deren Summen anderweitig schon bekannt sind Die An* Wendung der Methode der unbestimmten Coefficienten ist bekannt* Heb immer sehr misslich, und giebl uns fast nie Aufscbliiss über die Coovergenz oder Divergenz der betreffenden Reihen, weshalb sie auch von den, der neueren s^engeren ßegrändung der Ana- lysis huU%endeo Mathematikern meistens gemieden, <Kler wenig* fltens nur mit grosser Vorsicht angewandt wird. Von der Anwen« dong der imaginären Ausdrücke der Sinus und Cosinus durch ihre Bogen gilt Im Ganzen dasselbe wie vorher, und ausserdem sekeinl die Eimntschung des Imaginären bei einem an sich so elementaren Gegenstande , der sonst gar nichts mit dem Imaginä« ren zo thiin hat, einer guten Methode nicht eben sehr zu eo4« sprechen. Gvegen die Anwendung der Integralrechnung ist an sich nichts zn erinnern, wenn man sich nur vorher von der Cenver* geoz der unendlichen Reihen, welche man, nachdem man sie mit einem gewii^sen Differentiale multiplicirt hat, integrirt, gehörig rersichert hat, ein Umstand, der freilich nur zn oft noch ganz unbeachtet gelassen wird , was jedenfalls sehr zu tadeln ist. Die Anwendung der Differentiation unendlicher Reihen ist im Allge- meinen verwerflich, da es jetzt wohl von gründlichen Analytiker^ allgemein anerkannt ist; dass die Differentiation unendlicher Rei- ben auch selbst dann, wenn dieselben cönrergent sind, keines- wegs immer zu einem gültigen Resultate ftibrt. Und somit bleibt also, wenn man sich nicht etwa noch anderer specielter Metho- den bedienen will , über die ich mich aber jetzt hier nicht weiter verbreiten kann, jour noch die Anwendung des Taylor'schen oder vielmehr Maciaurin'schen Theorems übrig. Aber auch hierbei werden noch viele Verstösse gegen eine gute und strenge Metbode gemacht, und viele ScbriRsteller scheinen das Maclau- rin^scbe Theorem in der ihm hauptsächlich durch Cauchy gege- benen strengen Fassung noch ^ar nicht zu kennen, oder absicnt- Pich zu ignoriren , oder hi seiner Anwendung auf einzelne Fälle sieb noch gar nicht versucht zu haben. Denn nur allein durch eine sorgfältige Discussion des sogenannten Restes der Maclau- nn'schen Reihe , welcher Rest, machte ich fast sagen, deneigent- licben Wendepunkt zwischen der älteren und neueren Reinen- Analysis bildet, wird es möglich, über die G^ränzen der Gültig- keit eines mittetst der Anwendung des Maclanrin'schen Satzes gewonnenen Resultats ein sicheres Urtheii zu tollen , und Wer bei nergleichen fJntersnchungen die sorgföltige Betrachtung ' des Re- stes unterlässt oder gar nir unnSthig liält , stellt sich bei dem ge- genwärtigen Zustande der Analysis dadurch selbst ein Zeugniss analytischer Ignoranz aus. Freilich macht die Beurtheilung des Restes nicht selten besondere Schwierigkeiten, schon deshalb, weil^ sie die Kenntniss des allgemeinen Ausdrucks des ntefi Diffe- i^tiaiqnotieoten der zu entwickelnden Function voraussetzt, in-
422
dem man bei der ADwendong des Madauriii^scheD SaiEes in der älteren Wei^e sich mit der Renntoiss der speciellea Werthe der üifferentialquotienten der zu entwiclcelndeo Functioo begnfl^o durfte, welche dieselben erhalten, wenn man die anabiäogtee veränderliche Grßsse verschwinden lässt Aber eben desbuo, weil man die allgemeinen Werthe der Differentialquotienten ken- nen muss, ist die Anwendung des Maclaurin*scliien Satzes in sei« ner neueren Form schon eine Quelle vieler interessanter allge* meiner Untersuchungen über die höheren Differentialqnotiei&n geworden, welche wesentlich zur Erweiterung der ENffereolial« rechnung beigetragen haben , so dass man auch schon deshalb in methodischer Rficbsicht sich der genauen Untersuchung des Be- stes in keinem Falle entschlagen, ja derselben vietmehr sich eifrigst hingeben sollte» wo sie ireend sich als notliwendig dtr- bietet Endlich ist auch die Anzahl der Beispiele, welche nuui namentlich Anföngem in der Differentialrechnung ftir die Anwen- dung des Restes bei der Beurtheilunc der Convergenz der be- trefl&nden Reihen vorigen kann , nocn keineswegs «ehr gross, und es kann daher auch aus diesem Grunde sorgmlttgen Unter« suchungen über die Anwendung des Restes der Maclaurtn*schea Reihe ein wohl begründeter Werth nicht abgesprochen werden.
Veranlassung zu diesen und ähnlichen Betrachtungen , so oft ich dieselben auch früher schon angestellt hatte, gab mir neuer- lich wieder ein kürzlich erschienenes, wenn es auch namentlich in Rücksicht auf genetischen, der so überaus^ lehrreichen Ge- schichte der herrlicnen Wissenschaft muglichst sich anschliessen- den Entwickelungsgang, wenigstens fdr mich. Vieles« zu wün- schen übrig lässt, doch in mehreren Beziehungen, wie ich gero anzuerkennen bereit bin, verdienstliches astronomisches Lehr buch, nämlich das Lehrbuch der sphärischen^ Astrlo- nomie von Dr. F. Brünnow. Berlin. 185]. 8., wo ich S. 19. -7-S. 25. die für die Astronomie sehr wichtigen Reihen , mit denen sich die vorliegende Abhandlunff beschäftigen wird, nach Metbo- den entwickelt finde, die von den neueren Fortschritten der ana- lytischen Wissenschaft auch nicht das Geringste ahnen, und we« gen der Convereenz und Divergenz der betreffenden Reiben den Leser ganz in Üngewitssheit lassen. Ja auf S. 25. dieses Buchs wird soear in geeenwärtig als veraltet zu betrachtender Weise der TayTor'schen Reibe ihre völlig allgemeine Anwendbarkeit voo Neuem vindicirt, wenn dieselbe nicht etwa, wie Lacroix, Frao- coeur und andere französische Mathematiker sich häufig auszu- drücken beliebten, in gewissen ganz specielleu Fällen, Sbei die aber voo jenen Mathematikern nur wenig allgemein Genflgendes beigebracht wurde, „en döfaut'* sei, so wie sich denn z.B. in dem Cours complet de Mathämatiques pures par Fran- coeur. Troisieme edition. T. II. Paris. 1828. p. 287. nocb ein eigner Abschnitt findet, welcher überschrieben ist: „Des cas oü la S^rie de Taylor est en d^faut'S der aber über alles Dasjenige, worauf es hier eigentlich ankommt, wahrlich so gut wie gar keinen Aufschluss giebt Um die völlige Nichtigkeit der von oem Herrn Verfasser des obigen astronomischen Lehrbuchs auf S. 25. den Jüngern der Wissenschaft einzureden versuchten Bebaoptoog über die, mit Ausnahme gewisser ganz bestimmterFälle, völlig allge-
423
meine Gfilfigkeit des Tavjor'aoben Satzes in's Licht za setzen, braucht man, freiter abseits Hegende Fälle für jetzt bei Seite las- send, nur an die allgemein bekannte Reihe
Arctang;r=x-J:r» + J*»- 5x^+
sn erinnern. Denn entn-ickejt man diese Reihe mittelst des Mac- harinschen Satzes in älterer Weise ohne gehörige ßerdcksich- tiguDg des Restes, so hindert in der That nichts» die Reihe als naz allgemein gültig anzunehmen, und dennoch zeigt eine sorg- laltige Uiscussion des Restes derselben , dass sie nur ?on ar=:-~l bis x=:+l gflitig ist. Solche allgemeine, auf keiner sicheren Basis ruhende, und vor dem Richterstuhle strenger Wissenschaft- fichkelt jetfit. irfebt mehr Stich haltende Aussprüche, wie wir aol S. 85. des genanblen Bvcbs finden , sind daher namentlich für mit den FortscM-ittesi der Wissenschaft nur noch wenig Tertraute An* ftiiger höchst geftihrlich, und sollten deshalb, namentlich in für An* länger bestimmten Büchern, sorgftUtigst und gänzlich vermieden werden.
Die im Obigen mehr erwähnten, insbesondere ßir die Astro- nomie sehr wicntigen Reihen will ich nun im Folffenden mittelst des Mac!aurhi*schen Satzes in volliser Strenge, auf eine den neu- eren Ansprüchen der Wissenschaft gehörig genügende Weise zu Mtwickein soeben , und beabsichtige dadurch zugleich einige na- mentlich für AnfÜnger in der Differentialrechnung lehrreiche Bei* Stiele der strengen Anwendung des Restes der Maclaurin'schen eihe zu liefern, ausserdem aber dem strengen Vortrage der Leh- ren der Astronomie einigermassen ft^derlich zu werden. Indem ich die Bemerkung nicht unterdrücken kann, dass man sich ia dieser herrlichen Wissenschaft bei den in derselben hiofig vorkommenden Retfaenentwickelungen Immer noch gerade am Wenigsten mit den neueren strengeren Methoden zu befassen und dieselben zu kennen scheint. Bevor Ich aber zu den In Rede atehenden Entwickelungen sellist übergehe, halte ich es in die- sem Falle ftlr nöthig, die verschiedenen Formen, unter denen man jetzt das MacTaurin^sche Theorem darzustellen pflegt, im Nachstehenden anzugeben , indem ich wegen der Beweise mir auf meinen Leitfaden für den ersten Unterricht in der ho- hem Analysls. Leipzie. 1838. zn verweisen erlaube. Man kann nämlich das Maclaurin sehe Theorem auf die folgenden ver- achiedenen Arten ausdrücken:
L Wenn äl€ Functionen
A^), A^)» n^)» n^). ^.. /^-)(;r)
von «=0 bis a=:x sämmtlich stetig sind, und q eine gewisse positive die Einheit nicht übersteigende CrOsse bezeichnet; so Ist Immer
424
II. Wenn die Fanction flau) nebst ihren sfirmrotli- cben Differentialquotienten von ar=0 bis jc^x stetig ist, and, indem q eine g^evvisse positive die Einheit nicht übersteigende GrOsse bezeichnet, die Grosse
A»*»«M
sich» wenn n wächst, der Null Immer mehr und mehr nähert, und derselbe beliebig nahe gebracht werden kann, wenn man nur n gross ^enoganftittimt; so ist Immer
a:* «..^. . ar*
fix) = AO) + j- AO) + f72 A0)+ 1^3^(0) +
III. Wenn die Function f{x) nebst ihren sämrotli- chen Differentialquotienten von ;r=0 bis x'=.x stetig ist, und, indem ^ eine gewisse positive die Einheit nicht übersteigende Grosse bezeichnet, der absolute Werth vqn ß^Kgx), wie weit man auch n wachsen las- sen mag, doch niemals eine gewisse bestimmte eiid- liehe positive Grosse übersteigt; so ist Immer
/(*)=Ap)+f AO) +^ A0)+ j^no)+...~
IV. Wenn die Function f(x) nebst ihren sämmtli- eben DIfferentialqüotienten von x=0 bis x^^x stetig ist, und, indem q eine gewisse positive die Einheit nicht übersteigende Grosse bezeichnet, die Grosse
(1—«)— »;^ .^, .
sich, wenn n wächst, der Null immer ^ehr und mehr nälpert, und derselben beliebig nahe gebracht werden kann, wenn man nur n gross genug nimmt; so ist Immer
/•(x) ::= AO) + f AO) + f 2 r(0) + 1X3 /•«^ + • •
Welehen dieser vim Sfttie' man bei EntwMieliiiigeii der Functi- onen in Reiben am Zweclimlissigsten in Auvreodunff za bringen hat» mass in jedem einzelnen Falle besonders beurtbeilt werden.
HierDach wollen wir bud zu dem eigQntlicben Gegenstande dieser Abhandlung übergehen, und bemerken nur noch» dass man die im Folgenden entwickelten Resultate wenigstens theilweise allerdrogs auch noch auf anderem Wege in völliger Strenge eriial' ten kann, wie aus unserer Abhandlung Tbl. VIU. Nr. XXV. über flas allgemeine Binomialtbeorem zu ersehen ist; aber die An- wendung des Restes der Maclaurin'scben Reihe zu zeigen > indem besonders auch astronomischen Schriftstellern die Anwendung des Maclaurin'schen Satzes, weni^tens in Siterer Weise, sehr geläu- ig zu sein, und in dieser Wisi^nschaft sich besonderen Beifalls zu erfreuen scheint» war mit ein Hauptzweck der vorliegenden Abhandlung, aus welchem Gesichtspunkte man daher dieselbe hauptsächlich zu beurtheilen haben , und dies zu thun gewiss auch gern geneigt sein wird.
§. 2. Zuerst wollen wir uns die Aufgabe stellen, wenn
1) tang«/ = 5
ist, den Bogen y in eine nach den mit positiven ganzen Elxpo- nenten behafteten Potenzen von x fortschreitende Ueibe zu ent- wickeln, wollen jedoch bei der allgemeinen Entwickelung der Diffe- rentialquotienten des Bogeos y uaeh der veränderlichen Grosse x die allgemeinere Gleichung
-^. ^ a f 6arsina
betrachten, von der die Gleichung 1) ein besonderer Fall ist.
Setzt man
3) 6sina=:rsinfi, fr^cosa-^rcos/i;
80 erhält nmn zur Bestimmung der Grössen r und (i die bekann- ten Gleichungen:
4) r =V 6*sina« + 6'^osa* und
ö) sinfi = — sin«, cosfi ~ — cosa^ tangfi =: t; tanga. Thcil XVIII. S9
426
Hat man aber anf diese Weise r und f* bestimmt» so Iftsst sich die Gleichung 2) auf die Form
ßv . o + rarsinfi
bringen, unter welcher Form wir dieselbe mm nach x differeo- tiiren wollen.
Zuerst erhält man nach den bekannten Regeln der Differee- tialrediDung auf der Stelle:
dtaogy _ r(a^sipft — tfcosft) hx "" (a! + r:rcos^)*
Bekanntlich ist aber
atangy _ atangy % _ cosir-«^ ,
also
1= -^^^.
und folglich nach dem Vorhergehenden:
8y r(q*8in|ii — flcosft)cosy*
Bx (o' + rxcosfi)^
Aus der Gleichung 6) ergiebt sich aber
a'sinj^ — acos^=r jrfsinficosy — cosfisiny) ,
d. i.
o'siny — niSosy = rjrsin(fi— ^) ,
folglich
fl^siny — flcosy
^ "" rsin(j»— y) '
nnd daher, wie man leicht findet:
(a^sinii — acosii)sinv '^ sin(f(— yX
also
427
(a + rarsiD^)« + (a' + r j-cos^)« = gl^^j^Z^yT^ • Nach 6) ist nun
secar - 1 + tangy — ^^, ^ rjrcosfi)«
tiso wegen der uomittelbar vorhergebenden Gleichung:
cosy* 8in(ft— y)*
(a' + rorcosfi)*"" (a'sinfi — acosj*)* '
folglich nach dem Obigen:
Also ist
8) (a'sinfi— acosfi) ^ = r8in(f4— y)*, uad folglich dnrch fernere Differentiation:
(aVmfi — acosfi) rt = — 2r8in(fi— y)co8(f* "" y)^ *
d. i. , wenn man filr den ersten Differentialqaotienf en von y sei neo obigen Werth einfährt:
(a'sinfA — acosfA)' ^ = — 2rVm(^-y)5cos(f4— y) , oder
9) (a'sinfi— acosf*)« g^=— l.r«sin(|Ä— y)«sln2{f*-y) . Differentiirt man nun wieder, so erhält man:
(a'sin/Ä — ocosf*)* g^, = 1.2r«sin(f*— 3f)cos(f*-y)sin2{fi— y) ^
+ 1 .2rVin(f4-y)«cos2(f» -y)^ =:1.8r«8in(f*— y) | sin2(fi-y)co8(f*— y) + cos2(|Ä-^)«hi(^— y) I ^ 5= 1.2rVin(f4— y)8in3(|Ä— y) ^ ,
29*
42»
also, weon man fiirden ersten Differentialquotienten von ff seinen obigen Werth einfährt:
10) (a'sinfi — acosfi)' g-^ = l,2r*sin(fi— 3f)Vm3(ja— y) . Die fernere Differentiation giebt:
(a'sin|x — acosfA)' t^
= ^1.2.3rVm(/i -y)«cos(fi-y)slD3(^^ jr) |*
-1.2.3r*sin(,*-^)3cos3(f4-y>^
= — 1.2.3r»öin(fi— y)«tsln3(f*— ^)cos(fi— y)+co83(^i— ^)«lo(f*-y)}
= - 1.2.3r»sin(fi-y)«sin4(fi--y)^ ,
und, wenn man nun för den ersten Differentialquotienten von jf seinen obigen Werth einführt:
1 1) (a'sin^A— aeosff)* g^ = — 1 .2.3r*siD(fi— y) Vm4('f4— ^) . Eben so ergiebt sich weiter:
(a'sinfi— ^o»(ip g^ r= 1 .2.3.4r^sin(|ii — ^)'cos(fi — ^)sin4(fi — y)^ + 1.2.3.4i48in(f»-y)4cos4(^-y)^ = 1 .2.3^r^sin(fi — y)» | sin4(^i— y)cos(^-y) + cos4(f4— y)8in(/ii-^) 1 , = 1.2^.4r*sin(fi-y)»sin5(ft -Jf)^ •
und , wenn man wieder ffir den ersten DifferentialqaeHenten seinen obigen Werth eisAifart:
12) (o'sin/* - acosfi)* g^ = 1.2.3Jr^iB(fA-y)»«in6(|i-y) .
Wie man auf diese Art weiter gehen kann, unterliegt keiaesi Zweifel, und es ist abo:
429
(a^'sioft— aco8fi)>^=:— I.AloCf*— y)Vm2(fi-^) »
(o'siDfi^acosfA)' gj^ = I.2r*siu(fA-y)38ln30ft-^) ,
(a'sinf*— acosf»)*^ =— 1.2.3r%4D(fi— y)Vm4(fi-y) , (o'siDfft— ncosfA)^ p{ = I.2.3.4r^iD(fft— y)*äiii5(fi -r-y) ,
u. 8. w.
Hieraus ergiebt sich, dass» wenn
13) y=f(x) gereist wird,
1*; /W= (a'«inf»-«ea«f4)i ' und fttr jedes die Einheit fibersteigende n
15) /t«)(^)=(-l)«-i. ^'^'^"^^"/J^"'^^^ -^ ^ ^^ ^ ^ (o'siDfft^acosfA)»
ist
Von jetzt an wollen wir den durch die Gleiefcnng 2) bestimm- ten Bogen y immer zwischen — x% und -f ö^ nehmen.
Ffir a:=0 ist nach 2)
*»»W = ^»
also
y=Arctang^,,
und setzen wir nun, indem wir u zwischen — ^ nt und + Rn nehmen.
430
a 16) M=ArctaDg-7>
I
SO ist nach 14) und 15):
_ rsiD(^ — u)sinl(^-tt) ' ^ ' (a'sinfi — acosfi)*
und für jedes die Einheit übersteigende n:
/Tn)rO)-r-l)n-i l>^>3..(ii-l)r>sin(fi^>'sipn(ft-«) r\^}—K a; . (a'sin^— acosfi)«
Weil aber
tangi«^-7, a=ii^tangi«
ist» so ist
a'sinu — acosii = a* — ^- \
^ ^ COStt
also
f'(fi) = -7 cosiisinl (f4 — tt) ,
und fiir jedes die Einheit übersteigende n :
/t«)(0)=(— I)«-».1.2.3-(n— 1) (^ cosi<)«sinn(|Ä— tt) .
Bezeichnen wir den Wertb, welchen y=zf\x) erhält, weoii^ indem q wie gewöhnlich eine gewisse positive die Einheit nicbt übersteigende Gr5sse bezeichnet» (^x für x gesetzt wird, darc^ o; ^ ist nach d^m Obigen.
/t-)roa;)=r-i)«-^ L2Ä,^^^-i)i^i^
' "^y ' ^ ^ ' (a'sinft — ocosfi)«
oder
/t«)rpar)=f-l)— I 1 2.3..(it-l)i*60sii''sin(fi~p)«sinn(<^-p)
Folglich Ut
^/t«>(^:r)=(-l)-t. [r^ostisin(ft-t,)| - sinnUi:-^) , 1.....II' ^^ ' ^ ^ a'sin(fA— u) \ n
und aus dem Satze §. 1. I. ergiebt sich daher, immer unter der Voraussetzung, dass
431
a+bxsiüa
Ist, und der Bogen y, eo wie auch der Bogen k, zwischen — ö^ und 4-0^ geoommen wird, die Gieiciiiing:
i'T\ . rco«t<.siol(tt— ti) ar 17) 3f=t<+ s-jT^s:^ — ^Y
r%;o8tt^iD2(fi — tt) J?* 7i^ T
r*coett*siD3(^t — it) x^ + i^» ^
r^osii*6in4(^i^-tt) x^
U. 8. W.
i*"^;o8ti»-^in(n — 1) (^ — K) ^g"-* - 1 jy^g^costisinCfft — p)j » sion(^*— -p)
Für
arsin«
jrcosir
ist
a=0, «i'sl; 6=1, Ä'=-l. Also ist in diesem Falle
r=Vb^B\n€fl+ 6'«cosa«s=l . Wdl ferner
sinfic:— sina=sina, cosfi = — cosa= ^ cosa
ist, so ist offenbar
|ii=9r — et
xa setsen; und da
Q
u = Arctang -7 = Arctang 0
402
ist und zwischen — ^n und -f o'^ geiiomnien werden muss, so i8t tt=:0. Also ist nach 17) in diesem Falle:
*P a?* x^ x^
JÖ) .V=|-8inla + •^din2a + -y^tliSi» + -y «n4a+
•»»»
••«••
n— -1 ( sina ' -»
Weil bekanntlich in dem vorliegenden Falle
tansD = ^ —
* ° I — ^orcosa
zu setzen ist, so ist
. , . sm(* + r) tan^o
tanga + tangt? = — ^ = -= = ,
" coscrcoso 1 — Qxcosa
und folglich
arsin(a-t-g) oreosr
sino I— ^:rcosa
Nun ist nach dem Vorhergehenden ^
cosr« = ^ - O—Qxcosa)^ .
1 + tango^ . . (^;rsina)« + (l — ^arcos«)* '
nehmen wir aher Cernerhin an, dass
ist, 80 ist die GrOsse 1 — ^:rcosa offenbar positiv; cosr ist auch positiv, weil v nach dem Obigen zwischen -A und +1« liegt; also ist ' • f
1 — pjrcosa . ,
cosr = , — ^^ , '
V (qxsina)^ + (l — gx cos«)' folglich
cosr 1
r^ 9
1— e^cos« V ((fxsma)^ + (1-parcos«)*
und der Rest
a?sin(« + v) i « sinn(c+o) sin« i ' ft
der Reihe 18) kann daher aof den folgenden Ausdruck gebracht werden :
X \ " 8inw(a+ü)
i X I " 8inw(o
f V(paröina)» + (1 — ^j:coscO*^ **
Nach ^. I. IT. kann man aber diesen Rest ^ie leicht aus dem Vorhergehenden erhellen wird, auch auf folgende Art ausdrucken:
, (1 — p)x ) "-^ ^ ar8init(tt-|^r)
}V^(^8ina)* + (1 — ^orcosa)* V^(^«ina)* + (1 — parcos«)*
bt n«n orcostt B^ativ» so erbellet aus der Porm
£ \ * sinyi(«-fr)
V (parsina)« + (1 — ^otos«)» » ' «
des Restes auf der dfeHe, dass derselbe unter dem gemachten Voraussetzungen sich der Mull bis zu jedem beliebigen Grade nfthert, wenn man n in's UnendUche wachsen lässt
bt dagegen xcosa positi?» so Ist
pd^costt ^ p »
also
1 — pxcoscrr^ 1 — p ;
uiid da nun offenbar*
V^(|i.rsina)* + (1— ^arcoso)* ^1 — f^x cosa ist» 80 ist •
V (pa'sin«)*+() — porcosa)* ^ l — p> also, weil
-l<4?<+i
ist^ die Ctösae
V (pxsina)*-f (i ~pa:cosa)*
grosser als der absolute Werth von (1 — ^x , wobei man zu he« achten hat, dass dia GrSsse
V^(pa:simi^*+ (l^-f«:tos«r)^ niemals verschwinden kann» weil, wenn dies der Fal)i wILre»
434
also
^*ar*(8in«* + cos«*) = ^*d:*= 1
sein würde, was nicht muglich ist, weil der absolute Werth von X kleiner als die Einheit ist. Hieraus ergiebt sich, dass der ab- solute Werth von
i!
V^(p:rsina)* + (J — ^a?cosa)
sich der Null bis an jedem beliebigen Grade nähert, wenn manfi in*s Unendliche wachsen lässt. Weil aber
VTp5sin^^+'(i — ^arcoBor)' niemals verschwinden kann, so kann oSenbar
:rslnn(a-f-t')
V^(^sina)* + ( 1 — ^orcosa)*
nicht in s Unendliche wachsen, wenn n in's Unendliche wichst. Man kann auch leicht den kleinsten Werth, welchen die Crosse
(parsina)* + (1 — pa7C0sa)*= 1 — 2pj:cosa-f Q^^^
Oberhaupt annehmen kann, bestimmen. Denn setzt man px=tottod
W= 1 — ^Qxcosa + Q^x^ = l *-«2toco8a + «e*,
so Ist
-g— = 2(cr— coso)
und
wo also der zweite Differentialquotient stets positiv ist. Soll der erste Differentialquotient verschwinden, so muss
CT— cosa=0, to=cosa
sein, welchem Werthe von to^zQX das Miniraom
1 — 2cosa*-|-cos«^==l*-*oos«*=ssina*
unserer Function
435
entspricht Da der absolute Werth von u>=sqx unter den ee- inacDten Voraussetzungen immer kleiner als die Einheit ist, so ist die Gleichnne te=cosa nur statthaft, wenn nicht cosa=-tl9 &lso nicht sina=0 ist, so dass also, wenigstens wenn nicht slna=0 ist, der kleinste Werth des Nenners
V^(^xsina)*+ (1 — ^xcosa)^
des Bruchs
xsitm(a^v) V (^a:sma)' + (I — ^jrcosa)*
der nicht verschwindende absolute Werth von sina Ist. Hieraus sieht man nun , wenigstens wenn man für's Erste den Fall sina=4) ausschliesst, dass der Rest
^ (1 — Q)x I "-^ a»inn(«-fp)
' V (^arsina)*+(l — ^orcosa)*) V(^sin«)* + (1 — ^cosa)*
sich der Null bis su jedem beliebigen Grade nähert, 'wenn man ft in's Unendliche wacnsen lässt.
Wenn also
ist, und der Fall sina=0 för*s Erste ausgeschlossen wird, so nähert sich der Rest der Reihe 18) immer der Null bis zu jedem beliebigen Grade, wenn n in's Unendliche wächst. Daher ist in einer hinreichend bekannten Bezeichnung:
19) y= jsinlc + ^sin^« + ^sin3« + ^shi4a +
|-l<a:<+l|.
Dass aber diese Gleichune auch für sinicsO gilt, erhellet auf der St4ll6, weil wegen der Gleicmuig
:rsina
xrcosa
der Bogen y verschwindet^ wenn sina=0 ist, ein Resultat, was sich flir sina=0 auch aus der Gleichung 19) ersieht, da, wenn sina verschwindet*, auch die Sinus der sämmtlichen Vielfachen von a verschwinden.
436
§.1
Wir wollen jetzt die beiden Gleicbungen
^ j :rsina=usiny, ' 1 1 — arcosa = ticosy
in Bezug auf u und y als unbekannte Grössen , unter der Bedin- gung, dass u eine positive Grosse sein soll, durch Reihen aaf- zulösen suchen, i^'obei wir immer annehmen werden, dass
sei.
Durch Division erhält man aus den beiden Gleichungen 20) auf der Stelle:
^ ^y 1— orcosa'
und wenn man diese Gleichungen quadrirt und dann zu einander addirt, so erhält man, beachtend, dass u positiv sein soll,
22) ti=V^(:rsina)* + (1 — arcos«)* oder
23) ti=V^l— 2arcosa + a:«.
Setzt man in der Gleichung 2) des vorhergehenden Paragraphen
a=0, 6=1; o'=l, A' = -l;
so ist nach 3) und 4)
r=l; sinfi=sina, cosft=— cosa;
also (i=zn " a, und daher wegen der Gleichung 21) nacb 14) und 15):
24) sino gl = sin(a + y)« und
25) sio«"g~= 1.2.3 .. («— l)8in(« +y)«sinn(a+y) . Nun ist nach 20)
437
fiinof cos«
also» wie man hieraus leicht findet:
sioa
26) U = -;— 7 ; — v »
' sin( « + y)
wo wir immer annehmen kutraen, dass y mittelst der Gleichungen
«•ny = '-ir » cosy = jj — , tang2^=p^
JTCOSOf '
WO u den Werth 22) oder 23) hat, so bestimmt sei, dass u po- sitiv ist, weil man in den folgenden Fällen:
orsina positiv, }— orcosa positiv;
xsina positiv, 1— jrcosa negativ;
jraina negativ, 1— jrcos« positiv;
orsina negativ, 1 — :rcosa negativ
respective y nur so zu nehmen braucht, dass
I
1
ist.
Dies vorausgesetzt, ist nun
3lti ^ 3lw 8i« l dtc
§^ SiT ' St ti ' ftr *
Aber nach 26)
g^= - sincsin(a+y)-2cos(K + y; g^ ,
d. i. nach 24)
du §J«r-.CQ8(<r+y)
438
und daher nach dem Vorhergehenden:
31« _ _ Bin(a + y)co8(a + y) ' '^ 9\na
oder
28) sina ^ = - «"(« + jr)co8(c + y) • Hieraus ergiebt sieh durch fernere Differentiation:
»in« g^ = 8"n(a + y)8in(a+y) ^
- co8(« + ^)co8(a+y) ^ ,
d. i. nach 24):
sino« ^ = -sin(a +y)* t co8(o + 5)co8(« +y) — sin(c-|Hy)8in(a+3f) I
folglich
29) sina« g^ = — l.sin(« +y)>cos2(« + y)
Differentiirt man nun wieder, so erhält man:
sina'g^ = 1.28in(a+y)Vm2(«+y) ^
— 1.2siD(a-|^)cos(a-|^)co82(o4^jf)^, d. i. nach 24):
5)81
8ina»g^=— 1.2sln(a+y)»lcos(a+y)cos2(a+y)— sin(c+j^)8in2(«+y)|, folglich
30) sin«»g'i"=-.1.28in(a+y)»cos3(a+y). Die fernere Differentiation giebt:
*""«'S= 1.2.3sln(a+y)Vm3(«+y)§
- 1.2.3sia(a+y)«co8(a+y)co83(a+y)^,
439
d. i. nach 24):
=— 1.2.38lo(a+y)4| cos(a +y)co83(«+y)— 8in(a+y)8in3(c+y) ( , folglich
31) 8io«*^ = — 1.2.38ln(«+y)*co84(a + y).
Wie man auf diese Art weiter gehen kann, erhellet hier schon mit völliger Deutlichkeit, und es ist also:
sina g^ = — »>n(« +y)co8(a + y) ,
in«« Ä-^ = - J^in(a + jf)«co82(a + y) ,
sino'
8iMa»gp =— 1.28in(a+y)»co83(«+y), sin«*^== -L2.38in(a + y)*cos4(« + y),
U. 8. W.
Mm sioa*K-;^ =— 1 .2 3...(ti— l)sin(«+y)^C08«(c+y) ,
U. 8. W.
Fflr
32) fXa:)=zlu ist
8in(a+y)co8(g-fy)
33) , _,
und f&r n > ] :
34) /-(»(^g) = _^>g>3..(n-l)8in(a+y)"co8n(«4y) ,
Für j:=0 ist 1— j:co8a=l und folglich positiv; also ist y^=0 för x=:0, und folglich
/•(0)=0, nO)=— cosa. Ffir n>l ist
440
/•(»)(0)= -1.2.3..(n— l)co8ita.
Bezeichnet man den Werth von ff:=if{x) , welchen diese Grusle erhält, wenn man qx (ür x setzt, durcn v; so ist fiir n>l:
^, ., ^ 1.2.3...(n— l)sin(a+t?)''co8n(a+t?)
» Also ist nach ,$. 1. {. ^ <
35) lursl Vfa:8iDa)H(l— ^«8<?)* = 1 V"l-2a^08a + -r«
:=— |-C08 1« — V cos2a -i- V cos3a — 2" cos4«— .... ^
a;«-i , ,, (a:sin(a+c)i*' cosM(a + r) n —1 ^ ' ? sina ( n
Dass aber itlr
der Rest
1 j!:sin(a -f v) i « coßn(a+©) ^ sina ^ ' n
sieh bis zu jedem lieliebigen Grade der Null nähert, H*enn n in'^ Unendliche wachst, kann auf ganz ähnliche Art gezeigt werden, wie in § 2. Dasselbe von dem dortigen Reste
!£sin(cr+ r)) " 8inii(a + p) sina ( ' n *
was wir daher hier nicht wiederholen wollen, nnd fiiglich dem Leser überlassen können.
Also ist 36) \u = I V(a:sina)*+(1— ;rco8a)«=IV^l~2arcosa+ar*
X Xj ^ x^
=1 — |-cosla— s-cos2a ^cos3a ^ -jCos4a —
Weil, nach <Wm Obigf n
orsina
>^cosa ist, 80 ist nach dem vorhergehenden Paragraphen:
441
X x^ »r' sc^
37) jf=|-8mla + -^sivSa + -^alnSa + -jsinia-^ ....
wodurch man jedoch nur den zwischen — 5 tp und -f 0 ^ " liegen- den Werth von y erhält , welcher der Gleichung
tangJT = I
genilgt. Hieraus aber in allen Fällen den wahren Werth von y abzuleiten, welchem ein positiver Werth von u entspricht, hat nach den im Obigen ffir die Bestimmung von' y gegebenen Rer geln nicht die geringste Schwierigkeit, und bedarf hier keiner weiteren Erläuterung.
Auf diese Art sind nun die beiden Gleichungen
:rsiua=tisiny, 1 — d;co8a = iicosy liir — 1 < j: < -f 1 vollständig durch Reihen aufgelöst.
§. 4.
Hat man die Gleichung
38) tang^yssortang^«.
•o setze man
, I sin« ' 39) Ung«=-^f^j ;
dann ist, weil
I ' tang^a + tang«
ti^ng(5« + «)= 1
1-^ang 2 «tang«
ist, wie man leicht findet:
Baad XTIIL ao
442
j taug 2 a+ ^xi («*^ "• costttang g «)
tang(a« + «)= ^i 1
1 ^j (cosa + sinotang ^ «)
d. I.
also
1 . *+ar±l 1
taog(5a + ti)= ^^tangg«.
taDg ( 2 «+m) = dbafUng j o ,
und folglich nach 38):
40) taDg2y = dbtaDg(2«-|-ti).
Wie man sich dieser Formeln, in Verbindung mit §. 1., zur Eot- Wickelung von y in nach den Potenzen von —j^n fortschreitende
Reihen bedienen kann, will ich hier nicht weiter erläutern, da diemer Gegenstand aus der ebenen und sphärischen Trigonometriei und aus der Astronomie, bekannt genug ist.
Bemerken will ich mdess noch, dass man, wenn {Iberbaopt die Gleichung
41) tangy=a-f^rtanga
gej^eben ist, allgemeine Ausdrücke der Differentialquotienten von
?f in Bezug auf x als unabhängige veränderliche Grosse leicht auf bigende Art finden kann.
Es ist nämlich
also
42) cot« g^ = cosy' . Folglich Ist
443
=: — 2taogacosy fsiD^ = — itLUgacosyHinijf ,
also
43) cota* g^= — l.cosy'sio2y . Hieraos ergiebt sich ferner:
cota*g-^= — ].2cos^^082y g^ + 1.2cos^sin^5in2y 7p
folglich
:= — ].2taDgaco8^'(cosyco8i&y — 8iny8in2y) = — I.2tang«cosy'co83y,
a=-i.i
44) cot«'g-*5 =s — 1.2co8y'co83^ DifereDtiirt man von Neuem , 80 erhält man:
-f ].2^C08^^siDyC083^!
= 1.2,3tangaco8y^(co8y8in3y -|- siDycosSy) = 1.2.3taDgaco8y^8iD4y,
folglich
45) cota«^ = 1.2.3co8y«8in4y. Eben «o ergiebt sich ferner: ,
cot««^= 1.2.3,4cosy«cos4^g|
— 1.2,3.4co8yVm^sin43f 3^
= ].2.3.4tangaco8y^co8yco84;y — 8iny8in4jf) = 1.2.3.4taogaco8y^co85y »
80*
444
also
46) CO to^ A ^sc 1 .2^4cosy ^;o8Öy
Wie man auf diese Art weiter gehen kann, unterliegt nicht dem geringsten Zweifel» und es ist daher:
47) cota ^ = cos^cosy ,
cota* g^ = — l.cosy'sin2y ,
cot«* g-^ = — 1.2co.«y*cos3y ,
cot«* rt = ].2.3cosy^sin4yy
cotc*K^ x= 1 .2.3.4co8i/^cos5y ,
u. s. w. cot««* g^ = (— l)".l .2.3... (2n— l)cosy»"sin2ny ,
cot««M-i^^,= (-l)M.2.3....2ncosy«M-icos(2n + I)y ,
u. s. w.
9.5.
Sei jetzt
48) tangy = tanga + x, «•> Ist
aliM>
49) ^= cosycosy .
443
Folglich ist
^= - 2co8ysioyg* = - 2co»y»«iDy
g^ = -1.2co8y«tos2yg^
+ i.2co8ffa\oy8\ik29K'
ox
=:— L2cos^'(co8|rco«^ — sinjrsin^)
= — 1.2cosir'co83^ ,
^= 1.2.3c«8y»8lB3yg
+ 1.2.3cosif*»iDyco«?|r g-
s l.2.3co8^cosjr8in3^ -f sinifcosS^) = 1 .2.3co8y^sio4^ y
d^ff dp
g^= l.2A4co8|f«co84|fg^
— ].2.3.4co8lf'8iD^8in4^ g~
= 1 .2.3.4co8ir^(co8^co84|f — 8inl^8iD4y) = L2J!i.4co9lf^oa6p,
u. 8. w. Sctxen wir also
60) y=A^).
80 i8t
51)
Z«' (a:) = — l.co8y^in2^ , /*" (a:)=— 1.2co8|r'co83jf , f^(x)^ 1.2.3co8y^8iD4y , f ^(a:)= 1.2^.4co8|r*co8{^ ,
U. 8. W.
44e
f^){x) = (— I)».I.2.3..(2n— l)cosy*'»ln2nff , /l«»+i)(ar) = (-l)«J.2.3...2jico8y««+V:os(2»+l)lf ,
u. s. w.
Für a:=0 ist y=a, und bezeichnen wir den Werth von y, welchen diese Grosse erhält , wenn man qx für x setzt, durch V, so ist
/t2«)(^a:) = (— l)«.1.2.3..(2ji--l)cosr«»8in2n»j , /•(««+1) (^ar) = (-l)M.2.3.5iicoso«M-icos(2ii+l)r ; also
|;2|;;^/^(«-)(ea:) = (-l)«^co8i,«-8in2«r.
welche Grossen sich unter der Voraussetzung , dass der absolute ^^erth von x nicht grosser als die Einheit ist« offenbar der Kall bis zu jedem beliebigen Grade nähern , wenn man n in's Unend- liche wachsen lässt. Ist also der absolute Werth von x nicht gros- ser als die Einheit, so ist offenbar nach $. 1. II. :
X
X
52) y = a -f |- cosacosa
— ^coea*sin2a
x^ — V coso'cos3a
x^ + -jCosa^sin4a
x^ + -g- coso^cosSa
Eine ähnliche Reihe kann man fär
53) coty=cota-|-;r
entwickeln, was wir dem Leser auszuführen überlassen. Stellt man aber die vorstehende Gleichung unter der Form
tang ( g »-y)= tangCg » - «) + a:
447
dar, BO ergiebt sich die eesocbte Reihe ainnitteibar aas 52) , in- dem man oämlich auf diese Weise, immer unter der Voraus- setzung, dass der absolute Werth ran a: nicht gcDssef als die Eiobeit Ut, leicht erhält:
54) ^=:a— - |-sinasina
+ -o- sina'siD2a
— "Y »ina'sinS«
x^ + "x sina^in4«
— jT- sino^inSa +
filr
$. 6. Weil die Reihe
14* ttfm <**8 T^ f*A
bekanntlich convergirt, so conrergirt unter derselben Voraus- setzung Mr jedes o» auch die Reihe
1, xco&fOf £^82(0, or'cosSo)» ...^.
und hat daher eine gewisse Summe, welche wir durch f((o) be- zeichnen, also
/*(a>) = 1 + arcos» + a:*co82a> + or'cosSo + ^
setzen wollen. Daher ist nach einem bekannten Satze derintegrat- rechnung*), immer unter der Voraussetzung, dass
*) M. t. ineiBe Elemeote der Differential- aod Integral- reehnoDg. Tbl. IL Leipiig. 1837* $. 8. Diener SaCi, welcher röckeichtllch eefner greeecn witeenfobaftlioheii Bedeatoog dein Tajior-
448
Ut und » einen beliebigen Bogen bezeichnet:
•eben and Maclaurio'schen Satze an die Seite getetit werden niQM , iit nänilicb folgender:
Wenn die Gröasenfio, Ui, tl,» ft»» tt4, Functionen tob
X eind, nnd für zwei gewisse Gränzen a, ö tod X die Gleichang
f =::tl, -f «1 -f «a -f t^3 -f fl4 ^ .....
« =x< öl
( < <
stattfindet; so ist immer nach
/* /»* /»jr /»x /»*
< < )
Rücksieb tlich der Anwendung dieses Satzes oben im Texte hat maa fest zu halten, dass die Gleicbung
f((o')z=zl-\'Xcosat •{rX*tot2(u-\- X^cotSm-^-.,.: 9
wenn nur die Bedingung
erfüllt ist, für jedes o gilt» so dass also anch nach nnserem obigsa Satze die Gleichung
f{m)bto = / d» + x I costfdo» -irX^I cosSo^da»
O O 0 0
cosdoidof -{rX^f co84c9dtti
o o
+
furjedes to gilt, d. h. die Integration zwischen den Grftnzen 0 und a fnr jedes or Tcrstattet ist, wenn nur die Bedingung
erfBIU ist Dass aueh die in allen solchen Fillen nie bei Seite zu set- zende Bedingung der Stetiglteit aller Torltommenden Grössen zwlscba den betreiTenden GrSnien emUll aein mnaa, Teraleht sich Ton selbst*
449
• o o 0
-f^'l cosSoodfl» -f*^ / cosiodfl»
+ .
d. i.
/« ^ 1.1 1
0
Nach 19) ist aber, wenn wir
Arctang 5 —
-jrcoso zwischen —^^ und +0^^ nehmen:
I
Arctang j^;^;^ = | ;r8tno> + 5 j:^in2o)-f 3 or'ainS» + ...
Alao ist nach dem Vorhergehenden:
/'■' ^ jrsinoo
/(••)a«= » + Arctang j3^^^ . o
Differentiirt man nun aof beiden Seiten nach oo, so erhält man:
^. - - . 9 . , ;rsine9
A«»)=l +3-« Arctang j:^^^^.
Mittelst leichter Rechnung erhält man aber
3 ^ :rsinfl» ^^ j?cosa>~j?*
g^ Arctang j.^^^,^ — 1— iarcos» + x«'
Also ist nach dem Vorhergehenden, wie man leicht findet:
1 — xconm
nnd weil nun
^(n) s= 1 -f jTCOse» -|- dr^os2n4 «'cosSo -f
t-l<a;< + l|
ist, so Ist
450
^ 1 — 2xco8co + a:^ = I + :rcosGi)4-^^o62o9 + a;'cos3« + ....^ {-l<a?<+l}.
Multiplicirt man auf beiden Seiten dieser Gleichung mit 2, and zieht dann auf beiden Seiten die Einheit ab, so erhält man:
1 — j;*
56) "^
1 — 2ircosü> + j;* =: l + 2arcosQ)4'2j?*cos2co4'2:i?'co63io4-
§.7. Weil die Reihe
1* t** ^' 1"^ *ll*9
fOr
bekanntlich convergirt, so convergirt unter derselben Vorans- setzang für jedes co auch die Reihe
arsinoD, a:Hin2<0f arVinSoo, a^sinio}, ....
und bat daher eine gewisse Summe, die wir durch /(») bezeicb* nen, also
/(o9)=:rsinfii>-f'^^>n2Q> -|-^^sin3Q>4-^sin4o» + •..-
setzen wollen. Also ist nach dem im vorhergehenden Paragra- phen angewandten Satze aus der Integralrechnung, immer unter der Voraussetzung, dass
ist und OD einen beliebigen Bogen bezeichnet:
/'(q)) d(a=: ic j sincodo) -{-x^ j sin2codo>
sinScodoD^-^^ / sin4fii)9a>
0
+ .
451
d« i.
/
f(m)dm
0
=— j xcoam — rt ar^osSo) — aor'cosS»— | a:*cos4a> —
+ 1« +5^* +3^' +4^ "•"
Nach 35) Ut aber
1 V^l— 2a?cosfl) + «* = — I a:co80i — a a:^co82o> — r ;r'co83» — j a:*cos4a> — .... ,
und, weDD mao 00=: 0 setzt:
lV(l-:r)«=l(l-ar) - *^ '^ 1^ *^~
Also ist
d. L
o
folgUch, wenn man auf beiden Seiteo nach 0» diSereotiirt:
^ .^__ fl^ I 1 — ^ ^
Weil nun aber« H-ie man leicht findet:
3 1 — X arsinoD
5» VI— 2x0080) + ar* l-2a:cos» + ««
ist, so ist
3?sinitt —/y \ l-2a:cosa)+:r«-^^"'^'
also nach dem Obigen:
452
j^*. arsiDci)
' 1 — 2zcos(o + x^
|-l<:r< + l|
oder
58) (1— 22rco«o> + a^-i
= 1 + !!!!2i?^ ^ ?«B?.%» + «4=^ ^+ ......
sinco ' sinco ' sioo» '
l-I<a:<+J).
Dies möchten etwa die wichtigsten hi der Triffooometrie und sphärischen Astronomie vorkommenden Reihen sem» die ich hier mit völliger Strense zu entwickeln versucht habe, um sogleich ein Beispiel fQr die Anwendung des Maclaurin'schen Satm in seiner neueren Gestalt zu geben.
Einfaclier Beweis für die toh Hasche- roni segclbcne AnflSsungr der Auffalle: die Iiänge einer an Ihren beiden X!nd- punkten unzusänffUclien geraden U-
nie zu messen.
Von
Herrn Dr. J. R. Poyman
za Coblenz.
Von dem vielfach bewährten mathematischen Lehrbuche des Herrn Herausgebers dieses Archivs ist so eben der ersten Ab- theilung zweiter Theil (Lehrbuch der Mathematik für die
453
mittlem Klassen höherer Lehranstalten von Joh. Aug. Gronert IL Theil. Ebene Geometrie. Brandenburg. 185 1.) in vierter Ausgabe erschienen « welche wiederum mit meh* reren Zusätzen, oamentlich über die Theorie der Transversalen und deren Anwendung, bereiehert ist und vor andern ähnlichen Lehrbüchern sich dadurch wesentlich auszeichnet , dass in dersel- ben auf das Praktische gebührend Rücksicht genommen und ins- besondere der Gebrauch des Winkelkreuzes gelehrt worden ist
Um die Anwendung dieses für die elementare Feldmesskunst ebenso brauchbaren , als in seiner Construction einfachen Instru- mentes zu zeigen 9 ist in dem Anhange S. 254. des genannten Lehrbuches unter andern von der Aufgabe: »»Die Länge einer an ihren beiden Endpunkten unzugänglichen geraden Linie zu mes- sen" mit Hülfe des Winkelkreuzes eine eleeante Auflösung gege- ben. Herr Professor Grunert erwähnt zugleich» dass die gege- bene Auflosung der Schrift: „Solutions peu connues de diffi^rens probl^mes de G^om^trie pratique» pour servir de Supplement aux Trait^s connus de cette science; recueillies par F. J. Servois. A. Metz. An XII. p. 75.'' entlehnt sei und dass Servois selbst sage» dass diese Auflösung schon von Mascheroni in der Schrift: Pro- blemi per gli Agrimensori con varie Soluzioni. Pavia 1793. Probl. IlL Soluz. 13.*' gegeben worden sei; bemerkt aber, dass der für diese Aufltisung beigefllgte Beweis von ihm selbst herrühre.
Indem ich nachstehend die Auflösung der genannten Aufgabe mit denselben Worten des Herrn Professor Grunert folgen lasse^ ^e ich einen andern Beweis» welcher, wenn auch keinen andern Vorzug» doch den der grossem Einfachheit und Kürze haben wird
Auflösung. Wenn MN (Taf.X. Fig. I.) die zu messende Linie ist» so suche man auf dem Terrain drei Punkte A^ B, C von solcher Lage auf» dass die Winkel MAN, MBN, MCN, unter denen in diesen Punkten die zu messende Linie erscheint« dem Winkel des Winkelkreuzes und daher natürlich auch unter einander gleich sind. Dann messe man die Linien AB^ ACt und suche mit dem Winkelkreuze in der Linie BC den Punkt D auf» welcher in der Linie BC eine solche Lage hat» dass der Winkel ADC gleich- Uls dem Winkel des Winkelkreuzes» also auch den drei Wln- kebi MAN, MBN, MCN gleich ist Misst man hierauf noch die Linie AD, so ist
_--- AB,AC
Beweis. Die Richtigkeit der vorstehenden Formel ergibt sich einfoch durch folgende Betrachtung. Da die Winkel MAN, MBN, MCN einander gleich sind» so liegen die Punkte M, N, ^9 B, Cauf einer Kreislinie; daher ist
/!iMNFoj/!iBAFy
voraus folgt:
n
454
MNiAB=FM:BF 1)
Auch siod als Peripberlewinkel aof demselbeo Bogen die Winkel ACBy AMB einander gleich» und da nach der Constniction auch die Winkel ADC, MBN gleich sind, so kt
^ACDco^FMB,
daher
AC:AD=FM:BF . ... 2) Aus der Verbindung von I) und 2) erhält man nun:
M1S:AB-AC:AD, woraus unsere zu beweisende Formel sich sofort ergibt» nimlich:
AB.AC
MN=
AD
DaM Herr Doctor Boy in an in Coblenz bei AbfaMong de« obigea Anftateet von den in Tbl. Will. Heft I. abgedruckten Bemerkaai^ des Herrn ProfeMor Prost in Stuttgart durchaus keine Kenntnits haben konnte, halte ich für meine Pflicht hier an besengen. Datt ich aber Herrn Dr. Bojman für die obige Mittheilnng za beeondereoi Dankt ▼erpflicIUet bin, nnd anbedingt anerkenn», datt der obige Reweie Tor dem von mir a. a. 0* gegebenen Beweite dareh gröttere Einfachbeh tich ansieichnet, wird mir Jeder, der meine Sinnetart kennt, auch ohae meine Vertichernng glaoben.
Der Heraoagabar«
455
Ahriss eines Beweis«» fOr den sogre- nannten elften Kaklidlsclien
Grundsatz.
Von dem
Studirenden der Theologie Herrn H. Tk Horlycli
an« Schleswig -Holstein xn Bonn.
Alle diejenigen Erkläruogeo, Lehrsätze» Aufgaben o. s. w.. die onabhSngig sind von dem sogenannten 11. Axiom des Euklid und in den meisten Ausgaben der Planimetrie schon vor diesem dargestellt werden , setzen wir hier als vollkommen be^rOndet ▼oraus, indem es uns hier allein darauf ankommt, die Entbehr- lichkeit dieses sogenannten Grundsatzes nachzuweisen» ohne uns Mf die allgemeinere Frage einzulassen , ob Grundsätze Oberhaupt zulässig und unentbehrlich sind in der Mathematik.
Ertter Satz. In einem Dreieck ist die Summe der Winkel nicht
Beweis. In dem Dreieck ABC (Taf.X. Fig. 2.) sei
BC>AC>AB
und folglich
Z,BAC> Z,ABC> j^ACB;
(da Construction und Beweis fflr die beiden andern mOgliehett f'älle, dass zwei oder drei Seiten und folglich auch zwei oder alle
456
drei Winkel gleich siod, mit einer kleinen, sich ans der Sache selbst ergebenden Veränderung folgt). Dann soll gezeigt wer- den, dass
ist Zn dem Ende balbire man AB in J, ziehe CJ, verlängere diese bis DJ=sCJ ist und ziehe DA^ in dem so entstandenen /^DAC balbire man AC in K, ziehe DK, verlängere diese bis KE^DK, ziehe AE, Im ^DAE balbire man dann DA in L, ziehe LE, mache LF=LE und ziehe FA u. s. w., indem mao von den beiden fraglichen Seiten eines durch solche Constructioa entstandenen Dreiecks immer die nicht zuletzt entstandene Seite halbirt
Aus der Construction folgt nun durch einen einfachen Scbluss:
iiBJC^^DAJ, i^AEK^iiDKC, u, s. w.;
die Winkelsumme in A DAJ -\- \AJC = der Winkelsumme in ^BJC-t- iiAJC, und 2/2 auf beiden Seiten abgezogen: Win- kelsumme in \DAC= der in ^AßC, in ^DAE /^AEF d. 8. w. Bezeichnen wir diese Winkelsnmme im ersten Dreieck durch 5, im zweiten durch S' u. s.w., so ist also j$=r5'=:5^ u. s. w. Dem- gemäss sollen A, A\ A" o. s. w. den bei A liegenden Winkel der verschiedenen Dreiecke und Z, Z', Z" u. s. w. die Summe der beiden übrigen bezeichnen. Es ist dann
A'=iA-{-jilABC, A^^A'^jiLDCA u. s. w.
A + Zz:zA'+Z'^A''+Z'' u. 8. w. =Ä,
Z'=:Z-^ABC, Z''=zZ'^^DCA u. s. w. Nach der Annahme ist
^ABO^ACB, und aus der Construction folgt:
^DCA>^CDA u. s. w.;
Z > 2Z', Z' > 2Z^ Z" > ^Z"' u. »• w. ;
Z>2Z'>iZ''>6Z"' u. s. w.;
Z'^lz, Z'<\z, Z'^^^Z, Z^r^^z, u. s.w.
Es ist hieraus klar, dass Z durch lange genug fortgesetite Construction kleiner gemacht werden kann als jede bestimmt ange- gebene WinkelgrCsse. Wäre nun S etwa um ar grösser als2i2, so setze man die Coastniction so lange fort, bis ar>Z(") ist; da nun ilC'^-f 2^'^ M=z$ ist, so wäre
457
J(") = 2Ä + (jc— Z(")),
da doch A als Winkel eines Dreiecks immer <2jB ist Also ist S nicht >2I2» w. z. b. w.^
Folgerungea
1. Der Aussenwinkel ist nicht kleiner als die Summe der beiden inneren ihm gegenüberstehenden Winkel eines Dreiecks.
2. Zwei Winkel eines Dreieckes sind zusammen <2IZ.
3. Die Summe der Widkei eines Viereckes ist nicht >4I2.
4. Zwei gerade Linien in einer Ebene, die von einer dritten so geschnitten werden» dass die Summe zweier innerer Winkel an einer Seite =2/2 ist» schneiden sich nach beiden Seiten bin Terlängert nie.
Zweiter Satx.
Sind drei gerade Linien in einer Ebene gegeben, die sich nie schneiden, so schneidet die mittlere jede Linie, welche man sich gezogen denkt zwischen zwei beliebigen Punkten der beiden äussern.
Beweis, Wenn ich zwei gerade Linien AB und CD (Taf. X. Fig. 3.) habe, die sich nie schneiden, so ist klar, dass eine dritte EF, die keine von beiden schneidet, entweder zwischen diesen beiden lie- gen muss oder ausserhalb und zwar entweder nach der Seite von CD hin: dann i^t CD die mittlere; oder nach der Seite von AB hin: dann ist AB die mittlere; auf jeden Fall also lieet unter drei sich nie schneidenden Geraden in einer Ebene, eme von ihnen zwischen den beiden andern; in unserm Falle sei EF die mittlere zwischen AB und CD. Von einem beliebigen Punkte L in AB ziehe man nach einem beliebigen Punkte K in CD eine Gerade KL, dann soll bewiesen werden, dass EF die KL schneidet
Von einem beliebigen Punkte O in EF ziehe man nach den Punkten H in AB und G in CD gerade Linien, wo B und G allerdings beliebig aneenoromen sein sollen, aber so, dass sie auf derselben Seite von KL liegen wie O. Da nun OH ganz auf einer Seite von EF liegt, weil zwei Gerade sich nur einmal schneiden kon* Den, und ebenso OG, so folgt, weil B und G nach der Voraus- Setzung auf verscbii^denen Seiten von EF liegen, dass auch die Linien OH und OG auf verschiedenen Seiten von EF liegen. Durch diese Coostruction erhalten wir also das geschlossene Fünfeck
Theil XVin. 31
I
458
OHLKG, iD welchem, als id eiDem bestiminteii endlicheD FOnfeck, kein Punkt von O uDendlich entfernt sein kann; verlängert man also EF nach der Seite von LK hin» so muss EF, weil jede Gerade sich bis ins Unendliche verlfingem lässt, einmal eine Seite des Ffinfecks schneiden; OH und OG kann £F nicht schneiden, denn die schneiden sich in O, HL und GK schneidet EF nach der Voraussetzung nich^ also schneidet EP die fönfte Seite LK, w. z. b. w.
Dritter Satz,
In einem Viereck, In welchem an der Grundlinie zwei rechte Winkel sind, die von der Grundlinie und zwei einander gleichen Seiten eingeschlossen wer* den, sind alle Winkel =/?, also die Summe =:4i2.
Beweis. In dem Viereck ^ii?C/> (Taf.X. Flg. 4.) sei AB dk Grundlinie angenommen,
^DAB=^ABC=:R uüd AD:=BC;
es folgt leicht, dass dann
^ADC=jLDCB
ist; man soll beweisen, dasa
^ADC=:^DCBr=R
Ist. Da sie nun nach dem Vorigen nicht grosser als 12 sein kön- nen, so nehmen wir an» sie seien </2, etwa :=R — :r.
Man verlängere AB über B beliebig weit hinaus und schneide von ß an auf der Verlängerung die Stücke BE:=zEG = GJ u. s. w. z=iAB ab; errichte durch IS, G, J vl s. w. Per- pendikel EF=zGB==JK u. s. w. =:AD=zBC, dann folgt leicht
DB^CE^FG u. 8. w.
Dann ergänze man den ^ ADC, der nach der Annahme =zR^x ist, SU einem Rechten durch die Linie DT, die man sich hinlänf^ lieh weit gezogen denke. Verlängert man DC über C, Cr über F u. s. w. hinaus, so folgt leicht, dass DC von DF nach dieser Seite hin nicht geschnitten werden kaim, weH DT die DC in D schneidet; aus der Beschaffenheit der Winkel hei C Mit, dass CF zwischen AB (wir denken uns alle Gerade bis ins (In* endliche verlängert) und DC, FH zwischen AB und CF q. s. w. nach dieser Seite bin liegt Da DT nun nicht DC nach dies^ Seite hin schneidet, so schneidet es um so weniger CF, FH, UK, u. 8. w. nach dieser Seite; der Kürze halber nennen wir die eben besprochene Seite rechts, die entgegengesetzte links. Verlängert
459
mao Qon CF, FH, HK u. s. w. nach links über C» F, H u.s. w. HO folgt ans unserer Annahme alsdann
Z.BCD'^ Z,BCF^^EFC+ ^EFff n. s. w. =r2Ä-.2ar;
daraus folet, dass die Verlängerungen Ton Cf\ FH u. s. w. nach rechts und links um einen Winkel =2j? von DC und FB u. s. w. abweichen , diese also mit den Perpendikeln BC, EF u. s. w. einen Winkel ^R-^-x bilden, also nach keiner Seite hin AB schneiden, nach dem ersten Satze. Da die Linien CF, FB u. s. w. nun auch DT nach rechts nicht schneiden, so bleiben also nur die beiden Fälle möglich, erstens, dass CF, DT und AB, FH, DTmd AB u. s. w. sich nie schneiden, oder zweitens CF und DT, FB und DT schneiden sich nach links hin. Im ersten Fall ist AB jedenfalls nach der Gonstruction nicht die mittlere zwiscbea CF und DT, also ist entweder DT oder CF die mittlere. Ist DT die mittlere, so muss sie CB zwischen C und B schneiden aacbdem zw eiten Satze, dann läge aber DT zwischen AB und DC aacb rechts hin, welches geeen die Gonstruction ist. Wäre aber CF die mittlere, so mflsste sie AD zwischen^ und D schneiden, dana machte ihre Verlängerung mit BC einen Winkel , der kleiner als R-'X wärOy obgleich wir aus unserer Annahme und der Gon- struction nachgewiesen haben « dass dieser nsR+x ist Es bleibt demnach nur der zweite Fall übrig, dass CF nach links DT schneidet, und folglieh FH, HK u. s. w. ebenso. Man verlän- gere demnach diese, bis sie DT beziehangsweise m P, Q, R «. s. w. schneiden, dann erhält man die Dreiecke DCP, PFQ, QHR u. s. w. Es wäre dann
^PDC^x, ^DCP=z%x\
aber
^PDC+j^DCP+^CPDt=z oder <2Ä
lach dem ersten Satze, also ä2r<2JZ; ferner im ^FPQ, ^FPQ als Aussenwinkel vom /S.PDC— oder >3x, Z.PFQ=z2x, also Si;<2/2» So erhält man nach und nach &r, dar, 7x, U«, l\x u. «. w. <2/2, also
.22222
X ^7i9 Si fy 9 Q* ||> ^* S. W. K,
woraus erhellet, dass ar< als jede noch so kleine bestimmt aoge- ^ebene Grusse ist. x hat demnach gar keine Grosse, sondern ist gleich 0 und R — x=R, also
jLADC^^DCB^R,
^» z. b. w.
31*
460
A Diner kang.
Wir haben in TOTstehenden Sätzen der KOrze halber nur den Gang des Beweises im AllgenieiDen gegeben und diesen so weit ausgeführt, dass ^ir hoffen konnten, der Kundige werde das Uebrige mit Sicherheit ergänzen können. Vermittelst des letztei Satzes nun in Verbindung mit dem ersten und dessen unmittel* baren Folgen schreitet man mit Leichtigkeit bis zum Beweise des sogenannten elften Axioms des Euklid vor.
Vermittelst Ergänzung zum Rechteck beweist man, dass die Summe der Winkel im rechtwinkligen Dreieck :=z2R ist; durch Zerlegung in zwei rechtwinklige Dreiecke beweist man, dass die Summe iii jedem Dreieck '=:2/2 ist, und durch Zerlegungen zwei Drei* ecke beweist man, dass io jedem Viereck die Summe der Wm* kel =4/2 ist. -Und hieraus wird jeder teicht die gleichmässige Annäherung um gleich viel, auf gleich grosse Entfernung solcher zwei Linien, wie unser sogenanntes Axiom dieselben voraussetzt, be* weisen können, woraus wieder mit Nothwendigkeit folgt, dass sie sich entweder treffen oder schneiden mössen. Wir erlaabea uns nur noch darauf aufmerksam zu machen, dass der eigen tlicbe Knoten des Beweises, wenn wir so sagen dörfen, nach unserer Meinung nicht so sehr im dritten Satze liegt, obgleich dies^ schwerer ist, als im zweiten, indem hier gerade das Schneiden zH^eier Linien unter bestimmten Bedingungen bewiesen wird, und alle Versuche, die Schwierigkeit dieses sogenannten Axioms zu I5sen, immer und immer wieder daran scheitern, dass das Schnei- den der zum Behuf der L&sung betrachteten Linien nicht streng nachzuweisen ist
Nachschrift *des Herausgebers.
Ich bin cwar kein Freund neuer Parallelentheo^ien, und habe schon mehrere mir zugesandte Versuche dieser Art nicht in das Archiv aufgenommen. Bei dem voi'stehenden Aufsatze glaubte ich aber, da er mir manches Eigenthamliche zu enthalten scheint, um so mehr eine Ausnahme machen zu müssen , weil der Herr Verfasser mir schreibt, dass zwei competente Richter» Herr Pro- fessor Heine und Herr Doctor Beer in Bonn, sich günstig Sber denselben ausgesprochen haben. Eine Kritik von meiner Seite an diesem Orte ist unzulässig und unangemessen, und ich rouss dieselbe daher ganz den Lesern überlassen, bitte aber dabei nicht zu vergessen, dass der sehr bescheidene Herr Verfasser seinea Aufsatz nur einen „Abriss'' eines Beweises des eilften Euklidi* sehen Grundsatzes genannt hat.
461
XXXIII.
Heber eine Aufgabe in der Kreis<
theiianiT*
Von
Herrn Doctor F. Arndts
Lehrer ^an der Realschule so Straltund.
Gavs8 xeigt in der siebenten Section der Disq. Arithm., das« fiir jede positive ungerade Primzahl n das Polynom
sich auf die Form
FF— n(-l)l(»->)ZZ
Wogen iSssty wo Y und Z ganze Funktionen von x vom
(1— l\ten "-ö^J Grade sind. Die Kreistheilnng selbst liefert nur eine
derartige Zerlegung; wir wollen hier untersuchen, ob diese Zer- legung auf mehrere Arten gemacht werden kann?
Eisenstein sagt, dass die Beantwortung dieser Frage wich- % sei iiir den Beweis des Fermat'scben Satzes, von welchem Elller und Dirichlet specielle Fälle behandelt haben. (Grelle Journal. Band 27. p. &8.).
Die Kreistheilung geht bei dieser Zerlegung von den Wer- ken der beiden Perioden
462
aus» wo r eioe beliebige Wurzel der Gleichaog Xz=0 ist, das erste Sununenzeicheo sich über alle Wertbe von R^ welche qua- dratische Reste von n , das andere sich über alle Wertbe von N, welche quadratische Nicht-Reste von n sind» erstreckt Für
g(2-l)=iii, (-l)«=f
ist ' bekanntlich
p+p'=— 1, pp'=i(l — «0-
Sind nun
jf" =0:"»+ ftio:«-* -f ... +6m-ia: -f 6m = 0
die Gleichungen, deren Wurzeln resp. die Glieder in p, p' sind, so dass also Xz=zX'X'* sein muss, so lassen sich die Coefficien* ten aXf bx bekanntlich folgendermassen ausdrücken:
6A=2tA+»Ap' + €y>; wo Hxt 9^A9 €a ganze Zahlen sind, und es kommt
wo
JA = aA + ÄA=23(A— ®A-€a,
Ist Mim ist
^X^iX'X'-\x' + JC'O* - (-X'— -X^)«, folglich
wo
Z = ar«-*+ B^x^^^ ^Bm
ist. Es sei nun umgekehrt
463
4^=FF— mZZ, 111=1 (wl)^ f=(— 1)-;
wo die Coefficieoten in T, Z ganze Zahlen sein sollen. Die Holtiplication zeigt zunächst» dass
[1] J(^«-Jiti?„«)=i
ist. Es ergiebt sich ferner
^=(2 + 2" ^'0 (r^ 2 ^""O '
[2J .... A=(ar«+aiar»»-»+...+ a»,)X(a:«+6i«*»-H...+6ii»)> wo
oder
1 1
^bx = j (i^o-^A— W J?o i^A)— j (JoÄA— Äo^A) Vcn =/a— ^A V«t ;
[4] Ax=zAofx+BnB^x, Bx=Aogx + Bofx.
Die Wurzeln der Gleichung
ar« + Äi jr«-* + .... + am=0
sind nach [*2] Wurzeln der Gleichung X=:0, lassen sich also durch Potenzen einer beliebigen Wurzel r der Gleichung XzizO
ausdrücken; man bezeichne diese Wurzeln mit r^s r^«»..*.r ■"und aaf ibaltche Weise bezeichne man die Wurzeln der Gleichung
mit ?^t, j^i, ..,.„ r^"», nnd setze
P=i^i+r^. + +r^
[8]
4«4
feroer sei, wie oben,
wo Rit R^.,MZ die qoadratisclien Reste für den Hodiil n ; 2V^, iV'^ ....iVfli die Nichtreste bedeuten. Es ist also
/>+P'=:-2A=-l, A = ,J; folglich
IP' = — 5 +^1 V«i ; und nach dem Obigen :
WO die Zeichen sich auf einander beziehen, aber nnbestimnit sind« Hieraus folgt
oder
[6] P-P'±2^iPf 2flrip'=0.
Setzen wir nun in den Ausdrücken von P, P*, p, p', x statt r und bezeichnen die resultirenden Funktionen von x nut Px* Ps» Pm$ p'm$ so verschwindet die Funktion
9s=Px-Ps±2gtpx^2gip's
(dt :r=:r ([6]), ist folglich durch x — r theilbar, ebenso wie X folglich muss das grusste gemeinschaftliche Maass von op« und Jf eine Funktion von x sein , die höchstens vom (n— *2)ten Grade seio wird, da (px durch x tbeilbar ist, und X fär ar=0 nicht verschwindet
Dieses grOsste gemeinschaftliche Maass hat nun noth wendig rationale CoefBcienten , wie sich aus der gewöhnlichen Methode seiner Bestimmung ergiebt, folglich ist X chirch eine algebraische Funktion von niederem Grade als X selbst mit rationalen Coefi- cienten theilbar; dies ist aber nicht möglich, ausser wenn (pi
405
0
identisch d«r Noil gleich ist (Gauss Disq. Aritb. Sect. VIL art. 341.). Da aber die nämUcbe Potenz Ton x nicbt su- gleicb in p«, n'g als Glied voricommt, so ist ersicbtiicb, 4ass 4px Dicht identiscn =0 sein Icann» wenn nicht 2$r| = dkl» <^'
entweder Px—P*s+ps—p's oder P^^P^g^pg+j/g
identisch =0.
unter der ersten Voraussetznos müssen die Glieder von P'x simnitlich Glieder der Summe rxi-Px sein, aber P^s hat mit Pr kein Glied f^emein , wie leicht erneltt, folglich ist P's mit pxf ebe.JS0 Px mit p'« identisch, also auch P^mitp^Pmitp' identisch« In der andern Voraussetzung findet man auf Ähnliche Art; dass P mit p, P' mit p* identisch Ist, d. h. wenn man sich X in die Factoren
so zerfftllt denkt, dass die Coefficienten aA» 6a allge* nein unter der Form
oA=:/a+^AV<R» 6a=A— «lV«i erscheinen, so ist nothwendig
d. h. man findet die durch die Kreistheilung selbst ge- gebenene Zerlegung von X
Setzt man nun |
aA+6A=AA, \7^„ =Ba;
jF=2a:«" + Ä^i + AtÄ"-* + .... + A», \ Z, = j:«—» + B^a:«-* + ^... + B« ;
«0 ist r4jr=:FF— CiiZZ die durch die Kreistheilnng gefundene Ztrlegung. Aber nach [3]
1 (p'-p)Ba. •ibstHairt nun diese Werthe too fx, gx in [4], so erhilt naa.
406
beachteiid, das« f^ — p=:db V^ bt:
[8] .
1 1
wo die Zeichen sich auf einander beziehen» und wo A^y B^voi die Gleichung
A^-tnB^=i gebunden sind.
Es Iftsst sieb ferner zeigen, dass Ax^ Sx in allen ^FMlIeo
ganze Zahlen sind. ^ In der Tbat erhellt sogleich, dass J^'^o elde gerade, oder beide ungerade sein mfissen; sodann war
Aa=22(a— ©A— €a, Bx=€a-©a,
folglich
Ax + BA=2(3tA— »A),
also Aa> Ba ebeoCftUs zugleich gerade, oder zugleich ungerade. Hieraus folgt aber unmittelbar, dass die durch [8] bestmunten Werthe von Ax, Bx ganze Zahlen sind.
Umgekehrt soll erwiesen werden, dass sein inuss, wenn man
setzt, und die CoefBcienten Ax* Bx nach [8] bestimmt — Isder That folgt aus [7J in Verbindung mit [8]:
r^\A^Y±\mB^Z,
L J . j j
Z'= 2^oYJ;:^AqZ;
und hiernach findet sich
rr— «jiZ'Z'=J(i<o*-«tÄo*) (FK-«tZZ)=:4X,
407
Das EDdresaltat aoserer bisherigen Uotersnchaog ist also fol- gendes :
Wenn
4jr=FF— mZZ
die durch die Kreistheilung gegebene Zerlegung des Polynoms iX Ist, so findet man alle möglichen Zerle- gungen dieses Polyooms, nämlich
4Jr=s FF— «iZ'Z',
▼ermittelst der Formeln [9], oder auch die Coefficien- ten Ai, Bx der allgemeinen Zerlegung und dieCoeffi- cient^en Ax» Ba der besondern Zerlegung (welche die Kreistheilung giebt) mit Hülfe der Formeln [S\, in- dem ilo» Bo beliebige Werthe der Gleichung
bedeuten.
Die Gleichung
hat mit Ausnahme Ton n=3 nur die Wurzeln Aq=s2, iSo:=0 (offenbar genügt es, Aq, Bq als positiv zu betrachten), folglich nach [9] r'=Y, Z'=±Z, daher die Zerlegung in dem Falle 11=3 (mod. 4.) nur auf eine Art möglich ist. — Für n=3 aber kann man Jo=2» Bq^zO; 4o=1> Bq^sI setzen, und erhält nach [9]
r'=\rTlz. z'=lr±lz;
die KreistheUung giebt F=:2x-f 1, Z==l, folglich F=x-*1, Z's:r-fl> wieBerr Eisenstein richtig bemerkt, aber auch noch r=ar + 2, Z'=ar.
' In dem Falle n==l (med. 4.), wo e=l, genügen der Gleichung
uoendlich yiele Systeme ganzer Zahlen, weshalb die in Rede itehende Zerlegung alsdann auf unendlich viele Arten mSgUch ist
In Bezup: auf die Zerlegung von iX in YY^mZZ mit Hülfe w Kreieth^lnng sind noch einige Bemerkungen übrig, um die- sen Gegenstand vollständig zu erledigen.
MS
l Es sei
die Gleichung» deren Wurzeln r*«, r**, r*«,....r » sind, die Potenzsumroen dieser Wurzeln bezeichne man mit S.m, S,v^, S.is^, etc» Es ist also S.m^=p; ferner
S,a)^=r^*t +r^^ + +r •,
folglich S.€i^^=p oder =J9^ jenachdem l auadratischer Rest ?oo n, oder Nichtrest von n, oder jenachdem Ind. l (mod. n) gerade oder ungerade ist
Mit Hilfe der Relationen
ist es nun sehr leicht» die Coefficienten ai» a^,..:am durch die Newton'schen Gleichungen zu berechnen. Bringt man ex auf die Form
so folgt
wo Ax, Bx die allgemeinen CoelBcienten in den Polynomen Y und Z sind«
n. Man braucht diese CoefScienten nur bis zur HSifte zo berechnen. Um dies nachzuweisen» werde ein allgemeiner Sati ifber die Perioden bewiesen» welchen Gauss bloss andeutet (Disq. Arithm. art 349.).
Es sei n— l^:«/*»
(f. ^) = W + [i^] + [^] + ... + [^"'^'h
wo a eine primitive Wurzel für den Modul n» das Zeichen [p] die Potenz rf* bedeutet; femer sei
^+«i^"H«t«f-« + ....(— ly. 1=0»)
') Bedeutet P das Prodakt der Wanefai dieter Gleichung, •• iit der letzte Coefficlent
469
i\e Gleicliaiig, dei^n Warseln die Glieder in (f, A) sind. Ist nun P. /gerade, so ist allgemein
a^(if+^)e=a^(.i-i)y*«s-a^ (mod. it),
folglich kommt in der Periode (f, l) jede Wurzel mit ihrer reci- proken zugleich vor» aiso hat die Torhergeheode Gleichung die- selben Wurzeln wie die folgende:
xf-ir uf^^af^^ + .^. + «|X + 1=0,
daher
oder die ersten Coefficienten sind den letzten io umgekehrter Ord- nung gleich.
2®. Ist / ungerade, so sei
(9) af + «1^;/-^ — + a/-iar— 1=0
die Gleichung, deren Wurzeln die Glieder in (/, iL), (9') .. .. ^-ffto/-* + .,.. + /?r-iar— 1=0 die Gleichung, deren Wurzeln die Glieder io (/, —iL).
Die Wurzeln der Gleichung (^*) sind die reciproken Werthe der Wurzeln der Gleichung ^9), also werden (9) und die folgende Gleichung
jf/ — ßf^^xf^^ — .... — ftar— 1=0
die nfimlicheo Werthe haben , folglich
Da man nun die Coefficienten ß 6ndet, wenn man in den Aus* drOcken für die Coefficienten a, welche bekanntlich auf die Form
gebracht werden können, überall (f, — p) statt (f, ^) setzt, so pndet man die letzten Coefficienten der Gleichung (9), wenn man io den Werthen der ersten Coefficienten die vorhergehende Sub* •titution macht, und die Zeichen verändert
.,=(-,)/;>, ;.=r*-ü=y'> = r*-^..
'•igrich«^=(-.i)/.
470
Wenden irir diese Bemerkungen an aof die obige GMchinig
af^ + «10?»-^ + a«=0 ,
60 findet sich fSr ein gerades m:
9
d. i.
[10] All = Am—fA » -Bß = Bm^/i ; woraus folgt, dass man nar die CoefBcienten
A2 9 A^ , *ai * • * • ' **** ^m
zu berechnen braucht.
Für ein ungerades m erhält man
a/i=31iu+©/iP + €/i4>S am-./i=— 21/*— ©^'— €^;
bfA=:T{fs + ©//p' + €/ip , 6«-/i = — 21;»— 8&a4>— €mp';
folglich
[11] i</i=— i<»-^, B/i=zBm^n; woraus folgt, dass man nur die Coefficienten
A2» -^B» ••••'^l(ai-i) B^» Bi "l(m— 1)
% 2
zu berechnen braucht
ni. Der Coefficient ax ist =(— l)^ax, wo ai die Summe aller Combinationen der Glieder in
p=rÄ.+rÄ»+ +r*
zur Aten Klasse bedeutet) vollständig entwickelt gedacht enthält er also
m(m— 1) (m — A-t-1)
'"^^ 1.2 m
Glieder; setzt man nun
1
471
60 muBS
2Ia+ ©im + €31111= mA «ein» da die Aggregate p und p' je m Glieder eotbaltea; folglich
22(a+(ii-1)(»A+£a) =2iiiA, 23lA-lBA-€A=2mA-»i(OA+€A). d. i.
A=(-l)^2mA (mod. n),
wie Legendre zuerst bemerkt, aber, wie ich glaube, nichtetreng oacbgewiesen bat. (Tbäorie des Nombres. Tom. IL p. 194.). Wenn Legendre aber ferner behauptet, dass man, um die ^Ia bu bestimmen, in der vorhergebenden Congruenz statt 2mA den klein«
steo Rest dieser Zahl nach dem Modul n (unter 511 liegend) set«
zen müsse, so ist dies unrichtig. Es trifft diese Behauptung frei- lich zu bis 9»s37, aber für grössere Werthe von n verhält es sich anders, wie man aus der nachfolgenden Tabelle ersehen wird.
Man findet in dieser Tabelle die CoefBdenten a|, a%,a^ etc.; A^, A*^ etc. ; Jh, B* etc. Tonn=31 bis it=79 berechnet, wo der Zeiger nach 11.
1 1
die Zahl 5 (m— 1) oder qm nicht zu übersteigen braucht Die
Coefßcienten 6a findet man sogleich aus den Coefficienten oa» in diesen p'mit p' verwechselnd. Legendr es Tabelle reicht
472
Tabelle
der Coeff icienten ax in der Gleichung
«ind der Coefficienten Ax» Bx der Polynome Y, Z in der
Zerlegung
4Jr= FF- (—l)«nZZ;
berecboet nach der Kreietheilung, von n=31 bis
n = 79.
n=31
fli \ A^\B<i
I?-4 p — 5
2p+2
4
--j>— 2
p— 2
•7 II 2 8 • 3 -5
1 — 1
—2 0 1
— 1
n=37
— p
5
-2ö— 3
p+8
— 3&>-4
— 2;»-5
-2^-3
10
- 4
15
- 5 17 -8 II •4
0 2 -1 3 ■l 2 1
n=:41
-P
— ;»+ -2p+ 7
-4/»+ 5 — 3o+13 —4» +13 —6»+ 8 —40-1-16 — 4»+15 -flp+7
11 16 14
29 30 22 36 34 20
1
2 4
3 4 6 4 4 6
n=43
ffi \A,\B^
— P
5
-2p+ 7 ■2» -11
- p-l-13 -3ö— 9 3p— 2
P+ 8
10
6
16
■20
• 4 27 -15
• 7 17
0
-2
2
2
—4
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3
-3
1
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9 |
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10 |
|
89 |
-7 |
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-62 |
12 |
|
8» |
-10 |
|
— iip-ao |
-89 |
11 |
-ifcts |
-81 |
-II 13 |
gp- 3-14- -Bp+32 69 —5p— 47— 89 B 14|>+12 10-14 -8^+49: 106' 8
474
n=:73
ii=:79
*»' 1^
/>+ 9
• 4p+ 12
7p+ 27
• 12;»+ 47
- 2(to-f 69 2^+112
- 4Ö»-t-141 50p-f 196
■ 64»-f 240
78p+287
8<& 4-347
14»-f 3821
11304-435
12404-463
1310+491
13^+515
19 1
28 4
61 7
106 12
158 20
251 27
322 40
442 50
544 64
652 78
783 89
888104
983113
1060124
1113131
1164134
^13(^+50911156138
B
«L
P
.-MM
»-13
+15
j»+34
ek— 2
-32
7p +13
•t^+3S
110—39
90—68
170+49
r+79
-IS^— 39
70 — 65
ia&+50
-140+48
140—83
18^9-66
- 19
- 29 24 69
■ 4
64
19
75
67
■125
81
166
■60
■137
187
110
152
■1481
1
■3
■ 6
1
8
0
-7
S
II
• 9
17
8
18
-7
-13
14
14
18
475
Vebungs - Auffraben.
1)
Von dem Lehrer der Mathematik Herrn Werner sa Dretdea. Folgeodes ist zn beweisen:
•-1 fi i-i
SS %
2»
4 „
= (a+2V^a6.co8f4-6)(V^a + 2 VaÄlcosä+ 1^6)^...
s* m
2)
^'^•"'"■2=^ _ «4.102,,
*"-* »" a«-i a«— 2a6.cos29> + 6*
2>KV^a- 2 V7iÄ.co»|^i+ V*)
2(«+2V55.co.9+6) 2»(Va+2\^.cos|+V6)
•"_
V"o6.slns:;.-T + +- ^
woTtiis fSr 0=6=1 die bekannten Formeln
476
SIDO 0)0)0 W
3) ^ = cos j- cos J. cos g- cos ^ ,
loo Icplcplo) I9)
erhalten werden > welche, wenn man n ins UnbegrSnzte wachsen lässt, in die folgenden übergehen;
sing) q> q> fp
O) =C085-« COSjT* COS j|-. •,♦,,...
1 1 #n 1 o) 1 ffl
6) __cot9)=2tg|+^tgj+gtgg+
Ferner ist zu beweisen , dass innerhalb der Grenzen der Con- vergena
8)
^ 'Z'* ^^^ __ (2«~|a«)yw»(4>-^ft«)vw>..^ .
wobei in den Formeln 7) und 9) f\x) die Eigenschaft A-*^)=A^) und in den Formeln 8) und 1^ f{x) die Eigenschaft A~^)='~A<^) besitzen muss'. Die erste Forderung erfüllt inan» wenn fix) =9(ar)+9(— ar), nnd die zweite, wenn /(a:) = 9(j:)— 9(— ^) gesetzt wird.
477
iscellea^
Zain Winkelkreus.
Ton dem Kersotgeher.
WW mw mit dfm ÜBtlsobao Wiobrikreius» d«M6ii Winkel o M, dap FUcheDiQMt eines Dreiedra ABC (Taf. X. Fig. 50 be^iquo^ni so stelle man das Winkelkreus in einer Seite BC des Preie^ks ^JSC se auf» dass die eine Visirlinie in die Rieb* tiing der Seite BC (%llt, und die andere genau nacli der 3pitie ilgeriGiitet ist Ist dann /> der Punkt der Seile BC, In welchem» nni dies an bewirken, das Winkelkreus aufgestellt werdien niuss« se dass alsa etwa ^ AOCass ist , und bezeichnet A den Flächen* inhidt des Dreiecks ABCi ao ist
= ^(^Z>-f CZ>M/>.sino= ^ J}C.i4Z>.sln«. Misst man also BC^=sia und AD^^d^ so ist
^ ssxmlslno,
nach welcher Formel sich ^ bereehnen lllsst, wenn man ACund AD gemessen hat und den Winkel o des Winkelkrenzes kennt.
478
Die Kenntniss dieses Winicels ist duo von ginz besonderer Wicbtigiceit» und nm zn derselben zu gelangen , scbeint folgendes Verfahren das zweckmässigste zu sein. Man messe die drei Seiten
BC—a, CAzizb, ABssc
des Dreiecks ABC mit aller nur möglichen Genauigkeit mit Ilaass- stäben* und eben so die Linie AD=^d, wobei es zugleidi dar- auf ankommt, das Dreieck ABC auf einem voUig ebenen höriioo- talen Boden anzunehmen. Wird dann der KOrse wegen wie ge- wöhnlich
a + b-i-e^ziM gesetzt, so ist bekanntlich
also nach dem Obigsn
\adana=z V'iCf-aXf-ÄXt-c) ,
folglich
sino=
_2V^i(f-o)(j-6)(f-c).
S3
mittelst welcher Formel sin« berechnet werden kann. Stellt nun das Winkelkreuz in den drei Seiten des Dreiecks ABC auf und wiederholt das obige Verfahren, so kann man sina auf drei var schiedene Arten bestimmen« und nimmt dann zwischen den drei flir sIna gefundenen , jedenfalls immer einigermassen von dsander verschiedenen Werthen auf gewöhnliche Weise das arithmetische Mittel, welches man als definitiven Werth von sino betrachtet, wenn nicht durch noch Öfter wiederholte Bestimmungen dieses Sinus ^ne Aenderung des in Rede stehenden Werths bedingt wird. Hat man aber auf diese Weise sina so genau als mOgKch be- stimmt, so kann man nun sina als einen constanten Factor be- trachten, den wir durch 2^ bezeichnen wollea; dimn hat maa zor Berechnung des Flicheninhalts A in ^^^ Fällen nach den Obi- gen die Formel
bt o wenig von 90^ verschieden, so ist 2^ wenig von der Ein- heit verschieden, und setzen wir also 8|i=:l — St, wo f immer eine sehr kleine GrOsse ist, so ist
479
WO s,ad die sehr kleioe Correction lat, welche von ä^d abgezo- gen werden mnaa, um den richtigen Flächeninhalt ^ au erhalten.
Natflrlich kann man mittelst der Formel
ad
Mcfa den Winkel a selbst bestimmen; nur ist dabei immer eioe besondere Bestimmung nothie, ob a spitz oder stumpf ist» was darch deo Sinns nicht uDmittelbar entschieden wird; durch eio- bche praktische Verfahrungsarten , die wir hier nicht zu erläutern brauchen, wird man darüber immer leicht eine Entscheidung geben kSnnen. G.
Herr J. J. Ästrand, Privatlehrer der Mathematik zu Go- thenbnrg in Schweden, den die Leser des Archivs schon aus TU. XIL S. 420. und Tbl. XIII. S. 398. kennen, hat mir folgen* den höchst einfachen Beweis der bekannten Formeln flirsin(jr^y) vod coa(xJzff) mitzutbeilen die Güte gehabt.
In dem Dreiecke ABC (Taf. X. Fig. 6.) ziehe man BD •enkrecht auf AC, CE senkrecht auf AB, EG senkrecht auf BD, EF senkrecht auf AC\ so ist
s /^. »X- ' n ^^ BG+EF sin(2l+ B) =smC= ^gjp= — j^ —
EB . BlnA -f EC. coaA
_ SC.coaB8\nA+BCMinBeo8A — ~BC
= sin^co&fi + cosilsinB ,
480
EB.eonA — ECMnA
= äC
BCcogBcbBA—BCünBainA
BC
SS coaAcoaB— sinAslnB,
I
woraus dic$ Fonfteln fOr Bin(A^B) und co8(i4^J9f) leicht drbjiRett werden. C im Obigen bedeutet den Ausfleuvt^inkel des Dr^ecl» ABC bei dem Punkte C.
Ausserdem bat Herr J. J. Astrand mir noch folgendeii Sais mitzutheilen die Güte gehabt:
Wenn die Zahl D ein Divisor der Zahl a:y— 1 uod der einen von 'den beiden Zahlen
«»•+dy""*+ +*y+«
ist, so ist D immer auch ein Divisor d«r anderen die* ser beiden Zableo« G.
Draekfählör.
8. 401. Z. 16. setze man Taf. X. Hg. l^ statt Tat X. Pig. 1. S. 441. Z. 5. setze matt tangy stdtt tangx.
881
ülterarlselier IBerieUt*
Systeme, liehr- und Vl^Srterbilelier.
Die Lehren Her votl8(äiid1g«D, reinen Mathematilc rar den Selbstunterricht zuMammengestellt Ton V. Vieth. ZweiTheile. Wien. 18S3. 8. 6 Thlr.
D«r Herr Verrajiser dieses sich Ober die f^sammte sogenaants rnne Mathematik bis zur Differential-, Integral- und Variadons- recbnung verbreitenden Werks hef^iiint die Vorrede mit denWor- ten: „leb habe mir di« AnTgahe ffeatelt, ewen aufmerksainen Leser in den Stand zu setzen, die reine Mathematik in ifaret vollütiodigen jetzigen Entwicklung richtig zu benr- tbeiien aad zu verstehen." Leider mOssen wir non aber, hierauf erwidern, dass der letztere Zweck durch das Torliegende' Werk auch nicht im Entferntesten erreicht wird.' Dasselbe steht auf einen) Kauz veralteten Standpunkte, und der Leser bekommt iladuTch nicht im Geringsten einen nur einigeFmasSen richtigen Be-
Siff von dem gegen ifttrti gen Zustande der reinen Malhemaak nacf^ eUmde, Form und inbolf. D| aUergeivühnlicbeteD Dinge, vielfi jetit als abgetban uiuTantiquir w«M die bkuüg eingestreuten l fso betrifft, so machen dieselb de« Eindruck, dara der Herr ^ Studium irgend einer Partie i Qoelien nirjJckgeaangeD ist^ wi dende Phrase i «Difl eigentlich . tbeawtik kau» also, da sie in ei da dtwe Koim nichts ao sieh BrM Will. 69
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oder weniger Zuftlliges» durch sefichichtliche Thatsachen Beding- tes ist, durchaus nur richtig erfasnt und heurtheilt werden, wenn man den geschichtlichen Lntwiclilnngsgang in Berflcksicbti^ng zieht* ' — nicht in besonderem Einiclange steht Vor diesen histo- rischen Expectorationen des Herrn Verfassers mOchten wir auch namentlich Anfänger , denen das Buch vielleicht in die Hände fal- len sollte, warnen, da dieselben mehrfacher Berichtigung la be- dfirfeu scheinen. Das hier ausj^esprochene allgemeine Grtheil über dieses Buch zu beweisen, fehlt uns hier der Raum, wenigsten« ist die Bedeutung dieses freilich sehr umfangreichen Werkes nicht gross genu^, oass wir einem solchen Beweise einen grosseren Kaum zu widmen uns veranlasst fühlen sollten; wir müssen un- sere geehrten Leser daher bitten, ein Urtheil sich selbst za bil den, und hoffen, dass dasselbe im Wesentlichen mit dem unsri« ffen fibereinstiuimen wird. Nicht selten nimmt der Herr Verfasser aas Ansehen an, dass er die Mathematik von einem philoso* phi sehen Standpunkte aus anschaue. Dagegen haben wir, mit aller A<shtmig vor der Philosophie, an sich gar nichts eiMRi- wendcMl ^ süid' idier doch auch der Meinung , dass eine Milclie f U losophische Anschauung oft nur sehr wenig dem entspricht, was man in der Mathematik ftStrenffe** nennt; wenigstens haben wir namentlich in neuerer Zeit schon öfters die Erfahrung gemacht, dass manche Schriftsteller ein blosses vages philosophisches Gerede an die Stelle wahrer mathematischer Strenge zu setzoi trachten» und sich einbilden, dadurch das Wahre in der Mathe- matik erlasst zuhabeiL— Schliesslich zweifeln wir sehr, dass das vorliegende 6 Thlr. kostende Buch sich einer hesonderen Verbrei- tung erfreuen werde.
Arithmetik«
Annalen der k. k. Sternwarte in Wien. Nach dem Befehle Seiner k. k. Maiestüt auf 5frentliche Kosten herausgegeben von 0. L. von Littrow, Director der Sternwarte, o. 5. Professor der Astronomie u. s. w. Vier und dreissigster Tbeil. NeuerFolge VierzehnterBand. Wien. 183L 4
Dieser Band der Annalen der fc. k. Sternwarte zu Wien brinet in seiner ersten Atitheilung ein allen Freunden der Matheniatw höchst werthvoltes und zueleich hOchst merkwürdiges Geschenk. Wir lassen den sclion so vielfach verdienten Herausgeber, Herrn von Littrow, selbst reden: „Das erste Heft des votli^endea Bandes enthält eine Arbeit von Herrn Zacharias Dase: eine Tafel der natürlichen Logarithmen in derselben Ans* dehiiung wie Tega's Tafel der Brigg'schen Logarith* men. Ich glaubte mese Tafel, da es, so viel mir bekannt, bis* her keine solche glebt und dieselbe in gewissen Füllen von Nutzen ist, dann aber auch desshalb bekanttt machen zu solleii, um vob
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ijeBmm bimuiififlfiiiig8fi'0rdig#fi ZiSefr^cbner, dtnaeti gMcb^.es Nie gegeben und dem aeeb unsere Anstalt bereit« greci&t unmm- rische Arbeiten verdankt , in der Wl»«em»cbaft f4n LkMknial zn erbalten.'' Allerdinga beeitaen wir noch keuie Tafel. der natfiril- chen Logarithmen in solcher Vi*Uatliiidig^eit wie die verliefeeBde; «ad von %relclier tro«aen ÜVichtigkeit. £eaelbe daher für ciie ge* aanrote Mathematik, iuBbe^iondere aber fiir die lotegmlreehneBg^^ ao Hie auch fOr viele Theile der Phy^^ik iat» braiieet hier niebl njiher am» einander geaetit au werden* Üi0 Tafel reiebt von 1 bie lOßüOO, und hat ganz uad gar die Einrichtung der Vega*achem Tafel «ler BHggVchenLogaBitameM, wediircb wir >vöHig fiiN^rbobeo werden» Ober dieaelbe hier etwa^ Weiteres zu berichten. Herr Oaae sai^t in der Einleitung: ».Üieae Tafel wurde mit der grösa- ten Horgfult gerechnet bia auf 10 Stellen,* um aoeb hier die sie- bente Stelle korrekt zu- haben. Die Korrektar habe ich selbst be- soigty den fertigen Abdruck nocbniala durchgerechnet and dabei folgende 6 Druckfehler entdeckt y,'^ (die nun angegebea werden, hier aber von keinem Interesse für die Leser sein bönnen , wes- halb wir auf daa Buch selbst verweisen) — ** uiiid glanbe nach dieser Verbesseriing die Tafel als vollkommen korrekt erküren z0 können." — Dass Herr Uase sein be%runderungswfirdiges Ta- lent zur Berechnung dieser schien Tafel ange^vamlt hat, verdient die grilsate Anerkennung: gansi besonderer Dank gebührt aber «ach der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, da, so viel wir wissen, sie ea ist, die, gewiss ganz in Ueber- einstimmung mit der kaisertieh Österreichischen Regierung , Herrn i^ase die Mittel dargeboten bat, sein ungemeines Talent mit Hube der Flirderuns^ der Wissenschalt widmen zo klianen; inid der venliente Herr Herausgeber der Annalen d^r k. k. ^ternwarti^ hat durch die Publication der Tafel in den Annalen seiner Stern- warte zur mtiglichst schnellen Verbreitane derselben, die atifdem Wege des gewöhnlichen Buchhandels in gleicher Weise wM sehweriich zu erreichen geivesen sein machte, jedenfalls wesent^ lieh beigetragen , also auch dadurch sich gerechte AnspHkhe auf den wärmsten Dank der Mathematiker erworben. M5ge Herr üase sein Talent noch zur Herstellung recht vieler solchet Ar- beiten , wie sie die Mathematik noch Vielfach bedarf (worauf wir rieReicht einmal spftterhin zurückkommen) anwenden , und dbbei fortwährende Unterstützung finden , ohne H^che solche Arbeiten natürlich gar nicht nuszuAlhren sind. So viel wir aus der filnlei^ fang (S. Hl.) entnehmen, ist die Tafel aocb in besonderen Ab* drücken, die daher gewiss auch mit besonderem Titel versehen' werden, zu haben, worauf wir die Mathematiker aufmerksam in machen nicht unierlassen können, da gewiss Jeder sich gern so bald als möglich in den Besitz eines so wichtigen Werkes set- zen wird.
Das zweite Heft dieses Bandes der Annalen ist astronomi- schen Inhalts, und liefert eine wichti<^e Vervollständigung der in unseren früheren Berichten angezeigten, nan vollendeten Piaaai- «chen Storia Celeste, durch deren Herausgabe sich Herr von Littrow um die Astronomie insbesondere gleichfalls so sehr ver* dient gemacht hat, nämlich: HBlf$miitel zur Redueiion von Piatzfs Sioria Celesiei und zwar: I. Bestimmung der
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Fäd^ntntervalle an Pl^&stf^ Mlttafsrobre von Ihr. A, KmneM, -^ II. Ermittelanff der ReCraotiona-Constante» für Pal<ermo ans PiazEva Be«baektiingen» von Carl Hf^rntt^in (eine scbTin«, f\k die Theorie der Refraction melH** faoh wiehtige and aHgeinein intereeeaate Arbeit , die wir aar Be* j'chtong besonders emprehlefi>. — - III. Tafet aar Rednetian der van Piaszi In den Corai beoliachteten Stemorte auf mittler« fdr den Anfang ^^m betreffenden Jalireiu Nach den Tabatie Regiemontaaie berechnet von Carl UörtiMtein* — IV. Die Lftnge von Palermo aas nevn
ti^t^rnbedeckongen berechnet voa Dr. F. 8chaab.
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Verbaibdeling over de Methode Aet kleioftte Qua* dratea. Berate. Afdeeling. Eerate Gedeelle. Door G. J. Verdan^^ Hoogleeraar aan de Dniveraiteit te Lei« den. Groningen. 1850« 4.
In dieaem grossen und ausgezeichneten Werke , dessen erste Abtbeiiung von 214 eng gedruckten Quartaeiten uns vorliegt, be- absichtigt Herr Professor V er dam eiie aasfährliche Darj^telkiqg der Mefinode der kleinsten Quadrate au geben» und dieselbe aua^ üubrltch durch Anivendungen zu erläutern. Jedenfalls ist dieses Werk das grOf^ste und ausitibrUcbste über die in Rede stehende wichtige ReobuuDKBBiethode» was wir bis jetzt besitzen» undmuaa der Beachtung aller derer, die der^faolläudiscben Sprache biarei* eh^nd mächtig sind und sich mit der Methode der kleinsten Qua« drate und ihren Anwendungen vollständig bekannt machen wollen» dciogend ^mpfobUn werden. In der vorliegenden - eratea Abthei» long bat der Herr Verf. ganz Tcrzdglicfa Aueh auf ^\e Anwendung der genannten Methode bei der Berechnung geodätiacher Messun- pm Rückaioht geiiommeo » und ausserdem niuss noch besonders bervorgehtben. werden,^ da^^s diese« treffliche Werk sich nicht bloss &«f die Mettiade der klaiustea Quadrate einschränkt, son- dern eigentlich auch fast alle älteren und neueren Methoden in Betrachtung zieht, ivelche zur vortheilbafleaten und zweckmässig* aten Berechnung der Resultate, die sich aus angestellten Beob- acbtungen ziehen lassen, in Vofschiag gebracht worden sind. Hier müaaen wir una leider darauf beiM^bränken» den Hauptinhalt der vorliegenden ersten Abtheilengaazugeben, und werden nicht säu- men, auch den Inkalt der Fdrtsetxung unseren Lesern niitauthei- len« sobald dieselbe erschienen und uns zugegangen sein wird. Der Haii^inbalt der ersten Abtheilung ist aber folgender:
Eerste Afdeeling. Vterklaring van het doel, van het begrip , en van de t)eginseln der methode. Ont- wikkeling der rekenwijzen, der voorschriflen of der regeis , welke de methode bevat of aan de band gee(t AanwijtiBg, door vorbeeiden ^ van het gebruik dior vwsemrifteÄ en regeis, -^ ent.
Eerate Heofdstuk. Besebeuviiagea tat inleiding. — Twjsed.e Uoofdatub. Over. den regel, gegrond op hat begtn*
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mI Tin ile metk^rib der hleiMUe qifai^r*leii> err ^Mienile ^in de «!i,nd%'«rf(«Hjkln;teii, tor btfpftttng rao waarneltikilijke Maardeti van mbektfnAe elementen: te Torttien uü eene redks, van KfMiilre ver^ cc4l)lchigeti » opgeiimakt door m&ddelder uitkomsten van gelijfcsoor*^ ng^ waarnemlngen , aan w<elke »en «elftf» fi^ad Tän iHiao^*lre»- Tiglieid wordt t^^eekend. Toef absingen rah deten reg«( tfi u,^ raNen, In welke nhscihtii een element onbekem) is; -^ voribeelden thl^toe betrekkelijk , eins. -^ Derde Heordstnk. Algemeeee «plo^ng der eindvergelijkingen , volgens den hoefdregel vtin de inetbode der kleitiete qnadraten gevermd. BepaUng van algenieene Mnnu^m of uitdrnkkiugen ^ • door welke de «om van de tweede ina^Hi der f»verblijvende feilen kao berekend n-ordevi. •*- VI erde fienfdatuk. Ontbindlng van eenige vooratellen, en olitvrikIceHng ▼an berekeningen, tot toepaaskig der gronden-, rtß^ls en formalen. In deTOergaandehoofdatbkkenbeiiaald, ontvoutrd ol^fg^leid.-^ V i jfde Hedfdahik. Orer de rekeriirijse, vrelke gevolgd meed worden^ om den hooMregel van de nietbode der kleinste qnadraten te kwn« nen toepuf«en, Indi^ de gegebene funetl^n niet algebrabch tijn, nf ook nIet llnealr, ten »{»zlgte van de te be|ia&n elementen. Voorbeelden tot opbeldering, ena. -^ 2e«de iioofdstuk. Over de Tekemvijze , bij het toepa^nen den boofdregels van de metbode der kleinste quadraten te volgeni bij«ldi#n er voonvaarden be «tarnt of geefeld %ijn, man weme, met di» getalwaardetf van groe^ heden^ die men zal bepalen,, atriktelijk nioet vioitlen valdaani Regeis van Gauss eu van Hansen. Voorbeelden, enz.
Es wflrde uns zu grosser Freude gereichen , wenn es uns ge- lingen sollte, durch die vorhergehende kurze Anzeige die Auf* merksamkeit der Mathematiker, Astronomen, Geodäten und Phy* slker auf dieses Werk , binioleekem «reidle dasselbe jedenfalls in hohem Grnde verdient. Wir haben schon frflher Öfter einigemal auf die grosse Gediegenheit der Schriften hollSndischer Mathema- tiker hinzuweisen Gelegenheit genommen, imd das vorliegende Werk glebt un^ dazu eme ncne höchst erfVeuHche Veranlassinig. Die Erlernung der hollftndischen Sprache ist namentlich fflr einen Deutschen im Ganzen so leicht, dass die geringe darauf ver- wandte Müfre jedenfalls den rekhlichsten Er^atss in der vielfachen Belehrung findet, welche man aus Werken wie das obige schrm fen kann. M5gen sich daher die Mathematiker dasselbe nochmals recht vielmals empfohlen sein lassen!
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Praktisch^ (Geometrie iind praktls<^<!)
SleelUMilk.
Technlsehes Hilfs- und Hamd^acb ffir Gewerhtrei- bende. Von Dr. JoUiis Sch«djebterg. ZwelThelle. Zweite AofUge. Hallew (Ohne Jahr eszdri). & .
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Werk entbUl ^eioe ad» grt>«»6 Mtf»|^ Anfmbe«» Ta- jfelii und Uegeln aus der Maaaa*, RtOna* imd Gewidittmtade» •■« iler dirithmetik, ebenen und kOrt^rlichen Geometrie , aua derMe- cbaaik und auch aus der Phyaik» die augleioh In den die Gce- metrie und Jllechapik betreffenden Parlieen, wo ea n^Vthig war* durch fingedrudcte recht gute Uolzachnitte erläutert aind. Dm Werk acheint uua 8o vollatftndig au nein, daas nir wirklich iaet nichta aiisugelien wCaaten» waa der Praktiker in dera«dben ve^ •geblich aucben dfirfle^ wenn.e« auch vielleicht. aweckmfiaaig ge %%egen wfire* noch ein Paar Tabellen zur aueammengeaiäiteB Zinarechaung • der Reutenrechnung u. a. w. heiaufiigen. Gehflrka dieselben auch freilich atreng genonitoeii nickt in dieitea v^csugip weine flSr Gewerbtreibende beattiunite Werk» ao fr^rden aie doch auch niancheni amleren Abnehmer deaaelben angenehm geweaca aein, und die VoHatllndigkeit noch erhrihet haben. Wir aiud dar Meinung» da«ta dieaea Werk allen denen» welebe ia dem FaHt aiud, praktiache Anwendungen der Mathematik au amchen» recht aehr empfohlea eu werden verdient; ja ea hat nnii liesaer gefallea ala manche andere Werke dieaer Art, die bekannter geworden und mehr Eingang gefunden %u haben acbeinen ola daa vorlie sende. Wenigateua iat uns aelbat dieses Werk eben erat Jetat bekannt geworden» und wir wflnachen daher durch dieae Ameiga zu seiner, weiteren Verbreitung» die es uiu^ su verdienen acheinC Einigea beizatragen.
Astronomie.
Die Anzei|i;e des 348ten Theils der Annalen derk.lu Sternwarte m Wien s o. unter der Rubrik »»Aritkmetik«^f
Eben so die Anzeige des Werkes von Herrn Professor Ver« da« über die Methode der kleinsten Quadrate.
Physik.
Over de Balans en het Wegen, door G. A. Venema,
t.rrondisaements-Jjker te Winschoten. Te Grouinseiw 648. 8; ^
Dieses schon im Jahre 1848 erschienene, 347 Seiten starke Werk des Herrn Arrondisseroents Jjker G. A. Venema iat leider erat jetet zu unaerer Kenntnis» gelangt, jedentaUa aber einer nachtnlfi^lichen Anzeige in unaerm literatischen.BericiUe sehr werth. Unstreitig ist dasselte daa ausfiihrlichate Werk über die veraobia-
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denen EinrichtDiigen der Woase , Ober die Theorie derselben. Ober die Terscfaiedeneu MetUodeii des Wß^eiis und Ober die Sicherheit, welche dieselben zu gewühren im Stunde «Ind , wobei von der Metliode der liteinsteii Quadrate vielfach tiebrauch gemacht nor- den ist. Drei sehr scbOn uml suuber ausgefitihrte Kuiirertufelii dienen sehr xur ErlSuterun); der mit jjroMier Sorglalt eMlwickelten Theorie der verschiedenen, die meiste Sicherneit beim WSgeii gBM-fchren den Einrichtungen der Waage. Wenn man bedenkt, dasd,
•uneutlich bei dem jelzige» Zuslartde ' ~
das Hauptinstrument der Chemiker >*(> d ia der Pbysib und in vielen anderen I das geeignete Hüirsmittei sn vielen Teil ftlebt, vrenn man endlich die grosse Bed dd und Wandel flberlset, so njrd man li •olchsD ansftlhrlichen Werks vvie dax ol Mibe namentlich mit so vieler Sorgfalt u UM feriasst ist, ivie das uns vorliege! neaa, aus welchem vielfat.' he Belehrung •slbst mit besonderem Danke erkennen ?latBrforscber iiud alle di^jenij^en, web wigaSKen au {«eschürtigen haben, und Bulben Vorkeniitiiissen, die flbrigeiis i a« frenig ü berat «ige II, ausgerüstet sini liegeiide. jedeofulls sehr au^eieichnete wIlBKhen »ebr, dass dasselbe in dem « Krsiss HO ailgeroein wie müglicb bckau «rli ab sich ?an seibat verstehend aiiiiel Ut jeden Mathematiker an sich, der 1 itHanten sehr viel darbieteL
Ein „Annbsngsel" des Herr» T. J. Sismbart (Math. UsK. et Phil. ^iut. Dnclor, Lid van de Le klas»e van het Koni)clijk Medertandsch Istilot en Ariodissewents Jjekcr te Am8teid«ii), vsa welchem einige Schrlden verwandten luhalts im Liter. Ber. LV. 7IU. mit verdientem Lnb angcrei}-! ivorden sind, enthttlt unter int Titel: „Ondersoek n{ bat ateun)iuat ep de o|ihangpnntea in MM regte lijn zijn gelegen. ~- OixleriDek naar de evenwtjdlgbeid der punten. — Ondcrzoek »aar de gelijkbeid der armen, en nlenwe bepaling der hoeken y door weglng. — Jets over faetdoor- MgM van de evenaars van balanaen (]). 3'JO— 317.)> Ober alle hier lenaonteGegensUnde auch sehr viel Interessantes und Belehrendes
MOge diese kurze Anzeige dazu beitragen, das schöne Werk aes Herrn Venema auch susserhalb Holland in weiterem Kreise wkannt au machen!
Sur le climat de 1a Belgiaue. Quatrtinie partle. rressions et »ndes atmosuh^rlques. Pat A. Uoetelet Braielles. 18SL 4.
Die ersten Theile dieses sowohl ftlr das Klima Belgiens, als I« allgemeiner nieteorologischer Beziehung wichtigen Werkes des bachverdienten Herrn Vfn. sind Traber von nns angezeigt worden. Wige namentlich ancfa dieser Theil die sorgfältigste Beachtung *0B Seileo der Meteorologen finden.
<POO
Bemerkung.
In Bezn^ auf die tm Uter. Ber. Nr. LXVf. S. 8fl& Aber die Maclaarin*8che Kethe, Mt>lche in dem dort tng^dMfsk Btidie des Herrn Professor Franke dem berflfaniten eneliscneh' Hattuh matiker F. Stirline beieele^t wird, gemdcht«« Bemerkttogen M nachzutragen, dass Cauchy in den Le^ons sur le calcnl dif* förentiel. Parts. 1829. 4. p. ^57. saf^t: „M. Peacoek« re- marqud que le thf^or^me, gi^tieraleinent attribn^ an f^ om^tre angtais Maclaurln/ aväU i^t^ donn^, des ITIt, pai' ^on compatriöte Stirliqg, daBS Toüvrage Intitoi^: Ijineae ter.iii ^rdinis Netotonianae.^ Anf diese Bemer^ kung Cauchy's kunnte sich vielleicht die von Herrn Phifa—df Franke gebraticht^ Benennung „^tirlings Reihe'* gründta. Die von Peacock angeführte ochrift Stiriings IrCnnen whr M* der nicht einsehen ; aafltallend bleibt ^s aber Immer, OaW» Siir*' ling in der iveit sn^ter^ii Schrift: ,,Methodtt9 differentimll« et et Lon dilti. 1730.*^ von der er«rShnten Retbe einem beettaiai* ten Gebrauch eigentKch gar nicht macht, wozu gerade diese Schrift ^oht b&tte Gelegenhett darbieten kfhinenr.' Cauchy selMi tiennt (Hirlgens die Reihe, obiger Bemerkung ungeachtet , hi allen seineu »Scliriften stets „Te th^or^me de Maclanrin" imd wie wir glauben ganz mitPecbt, da ^» uns nicht gut 'i^nd immer t^wwB gewagt zii' sein scheitit, solche allgemein recTpfte Bet^|itMilige|i eines wichtigen wisseuschaftlicheo Objects mit einem Mate itt ändern. Jeaenßtlls scheint es" uns aber wünschenswerth, ^lesee hislorisch und literarisch nichtigen Gegenstand votlstindig aufinr' kiSren, wozu die Leset des Archivs, denen noch grossere litefa^ rische HdKsniittel zu Geb6te stehen als ans, aufznrordetiii der nfichste Zweck dieser Zellen ist. O.
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liUerarteclier Serlclit;.
Arltbmetik«
AllgemeineZahlenlehre nach 6tren^wls8^n0chaft« liehen Princlpien bearbeitet, nebst einem Anhange» enthaltend die Elemente des numerischen Rechnens nit einer grossen Anzahl von Beispielen nnd Rech« aiagskunstgriffen, verfasst von Dr. F..A. H. Willing» Lehrer der Mathematik. Berlin. 1851. 8. 3 Thlr. 2i% Sgr.
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Dteses grosse, weitläufige und allerdings vieles EigenthQm- Kche. namentlich eine grosse Anzahl von Reohnungsvort heilen Mithaltende Werk ist nach dem Tode des Verfassers von dem Berrn l>r. G. Eisenstein herausgegeben worden, und muss wegen seiner Eigenthfiinlichkeit und Reichhaltigkeit namentlich in der angedeuteten Beziehung jedenfalls zur Beachtung empfohlen werden, ohne dass wir uns hier auf eine weitere Besprechung desselben einlassen können.
Die algebraische Analysis von Dr. Edmnnd K^llp» Professor der Physik und huheren Mathematik an der »»heren Gewerbeschul-e zu Darmstadt. Als freie Be- Äfbeituncj eines TheiU der höheren Algebra des fflnf- ten Buchs von Francoeurs vollständis^em Lehrcurs der reinen Mathematik. Darmstadt. 1851. 8. 1 Thlr.
Dieses in einer einfachen nnd sehr verstfindlichen Spraebe geschriebene Buch schllesst sich, wie auch der Titel besagt, an
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das bekannte Werk von Francoeur, von welchem bekanntlich der Herr Verfasser eine gute Uebersetzung herausgegeben hat, an, und ist daher auch im Allgemeinen in dem Geiste dieses Werkes verfasst, wenn auch allerdings manchen neueren Theorien, wie z. B. der Convergenz und Divergenz der Reihen, der Coo- vergenz und Divergenz der Producte mit unendlich vielen Facto- ren, u. dergl., Rechnung getragen worden ist. Jedoch ist im All- gemeinen der Geist , in welchem dieses Buch , das z. B. noch sehr vielfach von der Methode der unbestimmten Coefficienten Gebraoch macht, geschrieben ist, ein älterer, was auch der Herr Verfasser mit lobenswerther Offenheit und Bestimmtheit in der Vorrede da- durch erklärt, dass er sagt, dass ihm hauptsächlich Euler*s In- troductio in Analysin inlinitorum als Leitstern gedient habe, weil ihm dessen Klarheit und Einfachheit am Meisten zu- sage; und welchem Mathematiker sollte denn auch dieses för seine Zeit unfibertrefBiche Werk nicht zusagen! wenn freilich die Strenge der neueren Mathematik jetzt andere Ansprüche macht und machen niuss. Dabei hat aber, wie schon erinnert, der Herr Verfasser das Neuere keineswegs vollständig ignorirt, und es nag ja wohl ein solcher Mittelweg, wie der Herr Verfasser ein^e- schlagen hat, tiir Lehranstalten wie die, wie wir wissen, in vie- len Beziehungen ausgezeichnete höhere Gewerbschule in Darm- stadt, welcher der Herr Verfasser seine Kräfte mit Erfolg widmet, unter den jedesmal obwaltenden Verhältnissen zweckmässig sein, wenn nur nicht höhere wissenschaftliche Ansprüche gemacht wer- den , als die durch den jedesmaligen didakti$$chen Zweck gerecht- fertigten, was hier in lobenswerther Weise durchaus nicht geschieht Die allgemeine Theorie der Gleichungen (ebenso die W^ahrschein* lichkeitsrechnung) hat der Herr Verfasser nicht aufgenommen , und verspricht darOber bald eine besondere Schrift Herauszugehen. Diese Theorie ist ja auch fiir vorherrschend praktische Zwedu9 weniger wichtig; was solchen Zwecken besonders zu dienen geeig- net ist, hat der Herr Verfasser in zweckmässiger Anordnung sn- sammengestellt , wobei u. A. auch das für die Anwendung in den Naturwissenschaften so widrige Interpolationsproblem mit Recht nicht fehlt. Dem binomischen und polynomischen Lehrsatze, den Differenzenreihen und hiiheren arithmetischen Reiben, den ima|p- nären Grossen , den Exponentialgrössen und Logarithmen , so vtte auch den trigonometrisctien Reihen , ist besondere AufmerksandKeit gewidmet worden.
Drei Vorlesungen zur Einleitung in die Differen- tial- und Integralrechnung. Gehalten zur Eröffnung der Wintervorlesungen 1850 — ISÖi von Dr. Th. Witt- stein. Hannover. 185L 8. 7Va Sgr.
Drei populär gehaltene recht ansprechende Vorlesungen über die Geschiente der Entwicklung der Differentialrechnung und da« Wesen dieser Wissenschaft und der Integralrechnung im Allge* meinen.
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Geometrie.
Die Geometrie des Euklid und das Wesen dersel- keo, erläutert durch eine damit verbundene systema« tifich i[;eordnete Samrolunpc von mehr als tausend geo* metrischen Aufgaben und die beigefagte Anleitung zu einer einfachen A«uflosun'g derselben. Ein Hand- buch der Geometrie für Alle, die eine gründliche Kenntniss dieser Wissenschaft in kurzer Zeit erwer- ben wollen. Von Dr. E. S. Unger, Professor. Zweite Auflage. Mit 550 eingedruckten Holzschnitten. Leip- zig. 1851. 8. 2 Thir. 15 Sgr.
Dieses Buch ist aus seiner ersten Auflage bekannt Drei Bei- lagen sind in der neuen Aussähe hinzugefiigt worden: »»die har- monischen Proportionalen und ihre Anwendung auf das vollkom- mene Viereck 9 auf die harmonischen Eigenschaften des Kreises und die Lehre von den Transversalen.''
Analytische Geometrie von Dr. L. A. Sohncke, ord. Prof. der Mathematik an derUniv. zuHalle. Mit zwOlf Kupfertafeln. Halle. 185L 8. 2 Thlr.
Der Inhalt dieses recht sehr zu empfehlenden Lehrbuchs der analytischen Geometrie ist folgender: I. Coordinaten. Gerade Linie. II. Kreis. Hl. Kegelschnitte. IV. Linien und Ebenen im Raum. V. Oberflächen der zweiten Ordnung. Randbemerkung (Kurze Andentune über Curven und FiSchen höherer Ordnung). — Ezcurs Aber Projection. — Ezcurs Aber Verwandtschaft oer Figuren. — Das Buch enthlilt auch manche interessante eigen- tbflmliche Bemerkungen, wie s. B. S. 74. Aber die eUiptkcbeo Functionen.
Astronomie.
Das Weltgebäude, die Erde und die Zeiten des Menschen auf der Erde von Dr. Gotthilf Heinrich von Schubert, Hofrath und Professor io Mfinchen. Erlan- gen. 1852. 8. 2 Thlr. 24 Sgr.
Werk des verehrten Herrn Verfassers ist als eine ginzlicbe Umarbeitung seiner bekannten ,, Geschichte der Na-
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toT^' ZU betrachten, und ganz in der bekannten, jedes reine (Se- in üth ansprechenden Weise des Herrn Verfassers verfasst, überall bis zu der neuesten Zeit fortgeführt, und in ähnlicher Weise wie der „Kosmos'' in verschiedenen Anhingen mit vielen literari- schen Nachweisungen ausgestattet, welche die bekannte grosse Gelehrsamkeit des Herrn Verfassers von Neuem bekunden. Wir empfehlen deshalb das Werk den vielen Freunden der *Muse dei$ Herrn Verfassers zu sorgfältigster Beachtung, und sind Oberzeugt» dass Keiner ohne Dank für die vielfache aus dem Werke ge- schupfte Belehrung von demseibeo scheiden wird.
Physik.
Der mechanische Theil der Naturlehre. Von U. C. Oersted. Mit 248 In den Text eingedruckten Holx- schnitten. Braunschweig. 1851. 8. ^ Thir.
Die vorliegende Uebersetzung der mechanischen Natnrlehre des beröhipten dänischen Naturforschers ist von Herrn L. Meyt angefertigt worden, und in jeder Beziehung sehr zu emnfehlen. Das Werk selbst ii^t mit grosser Deutlichkeit verfasst, m einer sehr ausprecheoden Spcache geschriebes, und verschmähet kei- neswegs die Anwendung der Mathematik, ohne über die ersten Elemente der Arithmetik und Geometrie hinauszugehen, selbst mit fast gänzlicher Ausschliessung der Trigonometrie, so dass eigentlich nur die Begriffe der gonioroetrischen Functionen benutzt werden. Das Buch verdient daher alle Empfehlung und der Herr Uebersetzer Dank fiKr dessen Uebertragung auf deutschen Boden. Die Holzschnitte sind sehr schön. Die Lehre von den sogenantt* ten Imponderabilien enthält das Werk nicht, sondern nur de» eigentlich mechanischen Theil der Physik.
Lehrgang der mechanischen Naturlehre fOr höhere Unterrichtsanstalten von Dr. G. Karsten, Professor der Physik au der Universität zu Kiel. Zweite Abthei- lung. Mit 4 Kupfertafeln. Kiel. 185L 8. 2 Thlr. 12 Sgr.
Der erste Theil dieses Werkes ist im Literar. Ber. Nr. LXI. S. 810. angezeigt worden. Der vorliegende zweite Theil enthält: Wärmelehre. Wellenlehre. Akustik. Optik. Eine dritte Abtheilung soll die „Literaturnaeh Weisungen *' enthalten. Die frühere theU- weise Bestimmung des Werkes für den Unterricht an Marinescha- len ßUlt nach der Aufhebung der Marineschule in Kiel jetzt w€^.
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Termischte üchrif ten.
Mittheilungen der naturforschenden Gesellschaft in Bern. Nr. 156 — 218.
(M. vergl. Literar. Ber. Nr. L. S. 691.).
Ueber diese stets vieles Bemerkenswerthe enthaltenden Mit- tbeilangen i^ zuletzt im Liter« Ber. Nr. L. 8. 091. Nachricht ge- geben worden. Wir liefern jetzt eine Anzeige des unsere Leser vorzugsweise interessirenden Inhalts der Nummern 156 bis 218, welche zufällig vernpätet worden Ist» aber immer des Interessan- ten noch genug darbieten wird.
U. Wolf, Versuche zur Vergleichung der Erfahrungswahr- scbeinlichkeit mit der mathematischen Wahrscheinlichkeit. Nr 156-157.
Derselbe: Notizen zur Geschichte der Mathematik und Physik in der Schweiz. Nr 156-157.
C. Brunner» Sohn: Ueber den Einfluss des Magnetismus auf die Cohäsion der FlOssigkeiten. Nr. 156 — 157.
R. Wolf: Sonnenflecken-Beobacbtungen in der ersten Hälfte des Jahres 1849. — Sternschnuppenbeobachtungen vom 8. bis II. August 1849. — Note zur Methode der kleinsten Quadrate. Nr. I6O-7-I6I.
Derselbe: Sternschnuppenbeobacbtnngen vom II. — 13. No- vember 1849. Nr. 166.
H. Brand li: Ueber arithmetisches» geometrisches und har- monisches Mittel. Nr. 166.
(Arithmetisch -geometrisches Mittel ist diejenige irrationale Grosse, der man sich immer mehr und mehr nähert, wenn man. von zwei verschiedenen Zahlen p und </ ausgehend, zuerst das arithmetische, dann das geometrische Mittel berechnet, und aus diesen zwei Gliedern wieder dieselben dlittelgrössen » bis sie zu- sammenfalten.
Hiezu bemerkt Herr Schläfli: Je nachdem p^q oder q'^p bat das arithmetisch -geometrische Mittel den Werth
Vy^9
a
oder
Vy' - p»
Are cos ^
Das arithmetisch -geometrische Mittel ist bekanntlich ron Gauss in die Analysis eingeführt. G.)
R, Wolfs Versuche zur Vergleichung der Erfahrungswahr- msheinlichkeit mit der roathematisclien Wahrscheinlichkeit Dritte Versocbsreibe. Nr. 166.
Derselbe: Sonneuflecken- Beobachtungen in der zweiten Hftifte des Jahres 1840. -* Das Beobachtungsjahr 1849 (auf der Sternwarte in Bern.) Nr. 167 -< 168.
Derselbe: Bestimmung der mittlem Kraft 1a Druck und Zog. Nr. 167—168.
894
G. Valeotin: Einige Bemerkungen über den Wiaterscblaf des StacheligeU. Nr. I74— 175.
(Herr Prof. Sacc in Neuchatel bat entdeckt, dase die in WinterHchlaf verfallenen Murnieltbiere an Korpergeivicbt zuneh- men, bis die von Zeit zu Zeit durcbgreifende Harnentleerung die Scbwere des Tbieres von Neuem berabsetzt. Herr Valentin bat dieses Gesetz aueb beim Stacbelleel vollständig bestätigt gefunden.)
R. Wolf: Notizen zur Geschiebte der Matbematik und PbysiK in der Scbweiz. Nr. 174—175.
Derselbe: Versucbe zur Vergleicbung der Erfabrungswahr- scbeinlicbkeit mit der matbematiscben Wabrscbeinlicbkeit Vierte Versucbsreibe. Nr. 176-177.
F. May von Rued: Die Himmelsnebel. Nr. 178.
R. W r) 1 f : Einige Beobachtungen des Zodiakallichtes ini Früh- jahr 1850. — Beobachtungen von Nebensonnen am 27. Mai 1860. — Höbe der Sternwarte von Bern. Nr. 179,
Derselbe: Sonnenflecken- Beobachtungen in der ersten Hälft« des Jahres 1850. Nr. 180—181.
Persei be: Ueber eine bibliographische Kuriosität. Nr. 180 —" lol.
Derselbe: Der Juli-Auffust-Steroscbnuppenstrom von 1850. Nr. 182. ^
Derselbe: Länge der Sternwarte von Bern. — Verschie- dene Bemerkungen. — Der November -Sternschnuppensch warm von 1850. Nr. 183-184.
Derselbe: Notizen zur Geschichte der Matbematik und Phy- sik in der Schweiz. Nr. 183—184.
U. Wydier: Die Knospenlage der Blätter in libersicbtlicber Zusammenstellung mit einer Tafel. Nr. 185— «187. (Lehrreich und interessant.)
M. Perty: Ueber den geförbten Schnee des St. Gotthard, vom 16. — 17. Febr. 1850. Nr. 188—192. (Sehr interessant)
C. Brunner, Sohn: Aphoristische Bemerkungen über die Productionskraft der Natur. Nr. 188—192.
R. Wolf: Versuche zur Verglbtchung der Erfahrungswahr- scbeinlicbkeit mit der mathematischen Wahrscheinlichkeit* Nach- trag zur vierten Versucbsreibe. Nr. 193—194.
Derselbe: Zusatz zu der Bestimmung der mittlem Kraft in Druck und Zug in Nr. 168. Nr. 193-^194.
Derselbe: Versucbe zur Vergleicbung der Erfahrungswahr* scbeinlicbkeit mit der mathematischen Wabrscbeinlicbkeit Ffinfte Versuchsreihe. Nr. 197 — 199. *
Derselbe: Notizen zur Geschichte der Mathematik und Phy- sik in der Schweiz. (Ein verloren ge<;laubter Brief Lamberts an Johannes Gesner. S. Lamberts deutschen gelehrten BriefwechseL Tbl. II. S. 177.). Nr. 197-199.
Derselbe: Notizen zur Geschichte der Mathematik und Phy- sik in der Schweiz. (Zwei interessante Briefe aus Cristoph Jeziers Correspondenzy die mehrere mathematische Bemerkungen enthal- ten.) Nr. 201-202.
C. Brunn er: Beitrag zur Eudiometrie. (Eine neue endiome* trische Blethodei Nr. m — 202.
R. Wolf: oonnenflecken-Beobachtungen Inder des Jahres 1860. Nr. 206—207.
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Derselbe: Notizen zur Geschichte der Mathematik und Phy- sik in der Schweiz. (Auszug aus Johann II Bernoulli's Reise- joornal vom Jahre 1733. Mehrfach interessant.}. Nr. 206—207.
L. R. von Fellen her g: Darstelluns aschenfreier Filter. Nr. 208-209.
R. Wolf: Notizen zur Geschichte der Mathematik nad Phy- sik in der Schweiz. (Ein Brief Johann 1 Bernoulli an Gesner). Nr. 208-20'.
Derselbe: Ueber die Vertheilung der Fixsterne. (Eine inte- ressante i^ranhische Darstellung der Vertheilune der Fixfsterne.) Nr. 210-211.
C. Fischer • Ooster: Noch Einiges über die Theorie der absoluten Wärme und die Formel ifir die Schneegränse (vergl. 123 -126.). Nr. 210 — 211.
(Die Formel des Herrn C. Fischer-Ooster für die Schnee- grinze ist folgende:
Wenn 5 die Höhe der Schneegrfinze über dem Orte bezeich- net» von dem IV die Summe der absoluten Wärme ausdrückt» und wenn A und h* der Werthe der H5he, bei welcher das Thermo- meter um 1^ (%llt» sowohl unten als bei der Sc^neegränze in Toisen anzeigen» so ist
VTF-I9^A+ä' . _, . *
S=z ^ X~"ö" '" Toisen
and
Ä=(VlF— 19)(A+Ä0 »n Füssen, also
wobei der Werth von A und hf veränderlich ist» und wo der von A'» obgleich unbekannt» doch durch eine vorläufige Berechnung leicht gefunden werden kann, indem man ihn zu 85 Toisen in nurdlicnen und zu 100 Toisen in südlichen Ländern provisorisch annimmt und ihn dann definitiv aus der nachfolgenden kleinen Ta- belle bestimmt» die Herr C. Fisher-Ooster nach Zachs Ta belle, wo nur die Barometerstände angegeben sind» berechnet hat: Die Temperaturabnahme von 1^ erfolgt nämlich in einer abso- luten Hohe von circa:
8244' bei g3»0 Toisen 9500 », 95»0
soo* |
bei 81,4 Toisen i |
|
1822 |
„ 82.8 |
|
2784 |
„ 84,3 |
|
3780 |
„ 86.0 |
|
4820 |
.. 87,7 |
|
5900 |
„ 89.4 |
|
7044 |
„ «1.2 |
10820 „ 97,1
12230 „ 89,3
13716 „ 101.5
15-294 „ 103,8
16974 „ 106,2 „ )
f» 9» $» ff
R. Wolf: Notizen zur Geschichte der Mathematik und Phy- sik iu der Schweiz. (Sehr interessante Notizen Ober Anna Bar- bara Reinhart von Winterthur» welcher gelehrten Dame Daniel Bernoulli das Zeugniss gab» sie sei (Clairaut» £uler oad einige wenige Andere ausgenommen) fast allen mit ihr leben- den Mathematikern vorzuziehen » und die Johannes Bernoulli selbst über die berühmte Chatelet setzte. Sie war geboren den
896
12. Juli 1730 ^nd starb den 5. Januar 1796.). — Fernerer Beitrag zur Kenntnifis alter Schweizer Kalender. ?)r. 210 — 211.
Derselbe: Notizen zur Geschiebte derMathematik und Phy- sik in der Schweiz, (Herr Wolf weiset in diesem interessan- ten Aufsatze nach, dass das schune IVincip, auf welches sich der Planinieter von Wetli (m. s. Liter. Ber. Nr. LVI. S. 774.), näm- lich die Flächenmessung durch Umschreibung, gründet , schon im Jahre 1826durch den damals in Bern befindlichen Thurgauer Johan- nes O pp ikofer aufgefunden worden, und dass der Planimeter von Wetit im Wesentlichen durchaus nicht von dem Oppikofer'schen verschieden sei. Dieser Aufsatz enthält überhaupt mehrere sehr leb^ reiche Bemerkungen Über diese Planimeter, auf die wir die Leser, wel- che diese Instrumente näher kennen lernen wollen, besonders aufmerk- sam machen. Auch die beigefügte Zeichnung dient sehr zur bes- seren Erläuterung der Sache). Nr. 213 — 215.
Derselbe: Ueber eine am 10. August 1850 in Aachen imd Bern gleichzeitig beobachtete Feuerkugel. Nr. 213 — 215.
Derselbe: Ueber das Sehen der Sterne bei Tage aus tiefen Schachten* — (Nach sorgfältigen Nachforschungen bestätigt flen Wolf das, was über diesen öfters zur Sprache gebrachten Gegen- stand A.V.Humboldt im Kosmos Tbl. 111. S. 71. «a^t, näm- flibh, dass die ganze Sache illusorisch sei, vollkommen.). Nr. 213 — 'il5. ■ Derselbe: Sonnenflecken-Beobachtungen Inder ersten Hälfte des Jahres 1851. — Beobachtungen des Zodiakallichts im Früh- jahr 1851. — Beobachtung der (partialen) Sonnenfinsterniss am 28. Juli 1851. — Sternschnuppen- Beobachtungen im August 1851. Nr. 216-218.
Derselbe: Notizen zur Geschichte derMathematik und Phy- sik in der Schweiz. Nr. 216—218.
Ausser den obigen Aufsätzen enthalten diese Mittbeilungeo lioch eine grössere Anzahl, oft recht interessanter Briefe älterer schweizerischer Gelehrten, hauptsächlich Mathematiker undNatu^ forscher, die sämmtlich Herr K. Wolf mitgetheilt hat.
The Cambridge and Dublin mathematical Jonrnal. Edited by W. Thomson, M. A., F. R. S. E. Vergl. Liter. Ber. Nr. 1.x V. S. 847.
Nr. XXVH. On Duplicate Surfaces of the Second Order, ßy JohnY. Rutledge. — On the Conduction of Heat in Crj'stali. By G« G' Stokes. — On the Velocity of Sound in Liquid and Solid Bodies of Limited Diniensions, especially along Prismatic Masses of Liquid. By W. J. Macquorn Ran leine. — On the Connexion of Involute and Evolute in Space. By Professor De Morgan. On a Mechanical Experiment connected with the Ro- tation of the Earth. By Henry Wi Ihr ah am. — On the Index Symbol of Homogeneous Functions. By R. Carmich aek — Ma- thematical Notes: 1. Lettre to the Editor. By G. Boole. — II. Proposed Question in the Theory of Probabilities. By G. Boole. — IlL Solutions of Some Elementary Problem in Gemi»«- try of Three Dimensions. By W.Wal ton. ~ IV. Onthe General Theorv of Associatet Algebraical Forms. By J* J.' Sylvester.
(the Next Number will be Published on the Ist of 'Febnuuy^
897
JLlterarliselier Berlclit.
Simon Lhuilier geh5rt unstreitig zu den ausgezeichnetsten Ma- thematikern der neueren Zeit , scheint aber (wenigstens jetzt) lance nichtso allgemein, wie er immer noch verdient, bekannt zu sein. Mein mir unvergesslicber Lehrer, Johann Friedrich Pfaff, stellte Lhuilier sehr hoch und empfahl das Studium seiner Schriften jOngern Mathematikern angelegentlichst Ich selbst verdanke diesen Schrif- ten sehr viel und creife noch jetzt öfters mit besonderem Wohl- gefallen nach denselben. Dass Lhuilier ein sehr hohes Alter erreicht hatte, war mir bekannt; Ober seine näheren Lebens umstände ist aber wenie bekannt geworden. Desto mehr Freude machte hiir eine von Herrn R. Wolf in Bern in einem der neuesten StOcke der „Mittheilungen der naturforschen* den Gesellschaft in Bern'', welche immer viel Lesenswer- thes enthalten , gelieferte Lebensbeschreibung L h ui I i e r s ; und da die genannten „Mittheilungen'' wohl nicht in die Hände vieler Leser des Archivs kommen möchten, die Lebensbeschrei* hoog eines so ausgezeichneten Mathematikers, wie Lhuilier ^ar, aber allgemein von grossem Interesse sein muss, so erlaube ich mir diese Lebensbeschreibung auf den nachfolgenden Blättern den geehrten Lesern des Archivs roitzutheilen. Seines Lehrers Lesage, der, so viel ich weiss, nichts Mathematisches ver- «(■entlicht hat, gedenkt Lhuilier in fast allen seinen Schriften mit der grössten Achtung und Dankbarkeit; die Leser werden diese Gefühle wärmsten Dankes auch im Folgenden ausgespro- cheo finden, und sich daran gewiss ebenso erfreuen wie ich#
G.
'^iad. XVIII. ri
898
Simon lihuilier.
Unter den schweizerischen Mathematikern neuerer Zeit nimmt der Genfer Simon Lhuilier unstreitig eine der ersten Stelleo fio. Nicht nur hat er sich als elementarer Schriftsteller in den Gebie- ten der Algebra und Geometrie wohlverdienten Ruhm erworben, und als langjähriger Lehrer in seiner Vaterstadt schone Resultate erzielt 9 — seine Arbeiten in der Polygonometrie, Polyedrometrie, Isoperimetrie , Differential- und Integralrechnung, etc. sichern ibm auch in der Geschichte der Wissenschaft eine ehrende Stelle, indem sie derselben theils neue Discinlinen zufügten, tbeils wich- tige Theorien besser begründeten. In den Besitz des grossteo Theiles von L h u i I i e r s handschriftlichem Nachlasse gekommen, halte ich es daher von nicht unbedeutendem Interesse, nach und nach Einzelnes ans demselben, was entweder historischen WerOi hat oder noch jetzt zum Ausbaue der Wissenschaft dienen kann , wei- teren Kreisen vorzulegen. Zur Einleitung mag folgende Noiii über Lhuilier und seine gedruckten Arbeiten dienen«
Simon-Antoine-Jean Lhuilier wurde am 24. April 1750 zu Genf geboren* Schon frühe zeigten sich seine Anlagen för die mathematischen Wissenschaften, und erlaubten ihm nicht auf die Ideen eines Anverwandten einzugehen, der ihm einen Theil seines Vermögens unter der Bedingung den geistlichen Stand zu ergreifen, vermachen wollte. Der vorzilgliche mathematische Un- terricht, welchen damals in Genf Louis B e r t r a n d , der sich durch sein Developpement nouveau de la partie elämentaire des Math^matiques als würdiger Schuler Eulers erwies, wäh- rend langen Jahren ertheilte, war von grosser Wirkung auf den fleissi- gen Jungling, — und umgekehrt war Bertrand, derX h u i I i e r auch nähern Umgang zuTheü werden Hess, über dessen Fortschritte so erfreut, dass er ihn zum Voraus als seinen einstigen Nachfol- ger bezeichnete.' Von noch grosserer Bedeutung für Lhuilier war es, dass er sich die Zuneigung des ihm verwandten berOhniten Naturphilosophen George-Louis Lesage^) erwarb, der ihm sofort mit Rath und Unterricht beistand. In einem Bruchstücke eines grossem Briefes, das ich unter den erwähnten Manuscrip- ten vorfand, erzählt Lhuilier Folgendes:
„Mes relations avec Mr. Lesage datent du mois de Join 1766 J*avais le bonheur de sortir du College k la t^te de roa volee. Mr. Le Sage apprit le triomphe de son jeune parent. Pousse par la g^n^rosit^ de son caractere qui le portait ä ^e rendre utile aux jeunes gens qui connaissaient tout au moins de Tapplication,
') Notice de la vie et de« ecrite de George-Louis Leiage if9 Oe- nive, par P. Pr^vott. Gen^ve. 1805. 8.
899
il 86 rendit (poor la premi^re fois) chez mon p^re pour faire lua conDaiiwance. J'etais absent. Je Ais envoyi^ chez lai. II m*ac- eaeillit avec bont^, et me permit de venir le Toir familiöremeiit.
„Pendant le cours de mes ^tudes de belles-lettres , il m'aida de 068 conseils, et il roe fournit les moyens, par les livres qu'il me mit e6tre les roains, de joindre ä ces ^tudes celle de l'Arith- metique comme preliminaire aux ^tudes math^matiques. II trouva chez nioi de Tapplication et de la (acilitö k acquerir la routine du caIcuL li ni*adoiit aussi ä une le^on particuliöre de Geometrie pratique. Entiu il me prit chez lui pendant trois ou quatre mois detö qa*!! passa k la campagne et ce fut \k ciu'ii consacra une
Sartie de son temps ä m'initier ä letude de TAIgebre, qui me onna beaucoup plus de peine qne ne paraissait annoncer la faci- lit^ avec laquelle j'avais appris TArithroötique. Je m'eflfor^ais de coropenser» bien faiblement» les soins qu'il me donnait en iui servant de copiste.
„De retour k la ville, II contribua k me placer comme pr^- cepteur chez Mr. Rilliet-Plantamour, oü je suis rest^ ä peu pr^s deux ans. Pendant nies ^tudes philosophiques, il s'Hppliqua ä m'aider de ses directions et de ses conseils. II m'admit aux le<;ons de Physiaue qu*il donnait encore pendant une partie des ann^es 1768 et l/öQy et il poussa la complaisance jusqu'it revoir les ex- traits ^tendus que je faisais de son cours.
,^Vous savez, Monsieur, combien il ^tait r^ser?^ k donner des conseils sur les objets qui n'^taient pas imm^diatement litt^raires. Aussi n'a-t-il eu aucune part k ma retraite de T^tat ecciösiastique anquel on me croyait destine. II approuva seulement la Suspen- sion de ma ri^solution pendant 'une annee, que j*eniployai, tou- jours sous ses directions» k poursuivre les etudes philosophiqoes en ro^me temps que je continuai d'assister aux le^ons de Physi- que de Mr. de Saussure (dont j'aurais öte priv^ pendant mes ötudes publiques de philosophie). Pendant cette ann^e il contribua beau- coup ä me faire retirer un parti Incratif des connaissances qu*il m'avait donn^es. II m'adressa des disciples; le bonheur que j*a- T9\ff d'^tre son öl^ve inspirait de la confiance, et je fus charge entr'autres par lui de aonner des le^ons pröparatoires a ses cours sur (es connaissances mathömatiaues qu*ils exigeaient et dont il m*avait donni^ le fableau. Je criis voir pendant cette ann^e qu'il ro'arait donni^ un ^tat, capable de sufGre ä mes besoins et k ceux de ma m^re: c'cst la part indirecte qu'il a eue k ma retraite des etudes publiques.
,, Pendant les annees qui se sont i^coul^es d^s-lors jusqu'a mon d^part de Gen^ve, il m'admit librement aupr^ de lui, meme pendant les heures consacrees ä ses travaux particuliers. Je lui parlais de mes occupations, et il m'aidait par ses directions et par ses secours litteraires qu'il me fournissait.
„Pendant ce temps, il a öte quelquefois question de coop^- rer k la publication de ses ouvrages; je le'desirais vivement et daos le d^but je concevais de l'esp^rance. Je ne tardai pas d'e- proQTer, aiusi que l'ont fait plusreurs de 8e# amis» combien cela
900
serait difBcile. Vons savez combien de fois 11 a Tariö sur ses pians de coroposition et sur les ^poques auxquelles il en commencerait la r^dactioo. Cette vaccillation ne s'accordait pas avec mon im- patience, et je dus ^tre convaincu, quoiqu*avec bien du regret, que je ne pourrais pas contribuer ä lui reodre un service par le* quel seul je pouvais reconnaitre en partie les Obligation» qoe je lui avais. Notre roaniere de vivre etait d*ailleurs si differente qu'elle apportait un grand obstacle k cette communant^ detravail; j'ai toujours .^t^ tres matineux; nia journ^e etait finie pour mes travaux particuliers lorsque la sienne n*ötait pas coromenc^, et le reste de la journee devait ^tre consacrö k mon etat envisage comme ressource pi^cuniaire.
»»Arrivö k Tage oü un jeune homme sans fortune fornie na- tureliement des projets pour se faire un sort, — fati^e d'un senre de vie penible qui ne satisfaisait pas mon impatience: Je lui communiquai le d^sir que j*avais de trouver en dehors quelcjae place qui eut le double avantage d*4tre plus lucrative et moins pi^nible. II s'ep presenta une occasion en 1775. II regut de son ami Pfleider^r les programmes de la commission d^education, et 11 me les communiqua. Je lui fis connaitre mon plan avant de l'envoyer. II eut d^sir^ que j'eusse ^crit sur la Pnysique; mais je ne pou?ais roe persuader que aea principes de Physique gene- rale dussent occuper dans Tenseignement deraande une place assez consid^rable pour que leur d^veloppement eut rendu probable le succdsy et je n'avais pas assez cultivö les parties de la pbysique qui me paraissaient essentielles dans cet enseignement pour que pendant le peu de mois qui restaient encore jusqu*ä la fin du con* coursy je pusse me flatter de faire sur la physique un travail oui me promit le succds. J*envoyai donc mon plan relatif aux Ma- th^matiques, et dans le billet cachet^ je m'inscrivais comme soo disciple.
Eine kleine Arbeit
1) Lettre en reponse aux objections äev^escontre !& K^^j^*
vitation newtonienne [Journ. encyclop. Fevrier 1773J
ausgenommen» debütirteLhuilier mit dieser Preisschrift» die sich
frösstentheils auf allgemeine Arithmetik bezogen zu haben scheint in för ihn glücklicher Umstand war es» dass Christoph Frie* drich Pfleiderer (1736—1821), der von 1763—1766 als Schü- ler und Mitarbeiter bei Lesage in Genf gewesen» und durch ihn 1766 nach Warschau an die vom Könige Stanislas August nea cestiftete Militair - Academie als Professor der Mathematik i^d Physik empfohlen worden war» in der zur Abfassung und Prü- fung von Schulbüchern im Königreich Polen niedergesetzten Com- mission, welche jenen Preis ausschrieb, als eines der thätigsten und einflussreichsten Mitglieder sass. Pfleiderer fand nothwendig an der in Lesag'e's Geist geschriebenen Arbeit ein besonderes Wohlgefallen» — sie wurde gekrönt» erschien als
2) Arithm^tique pour les Ecoles palatinales. Varso^e
901
nnd eieicbzeitig auch in polnischer Uebersetzung^. D^r Kdnig von Polen iiess den jungen Verfasser fflr seine Arbeit beglfick- wfinschen, und der Fürst Ozartorinski lud ihn ein nach Warschau zu kommen, um seinen Sohn, der in späterer Zeit das Haupt der emigrirten Polen werden sollte, zu unterrichten. Lhuilier folgte der Einladung, und die lange Reihe von Jahren, welche er in dem fürstlichen Hanse zubrachte, bildete nicht nur die glück- lichste Epoche seines Lebens, sondern war auch Hir die Wissen* Schaft von reicher Ausbeute. Zunächst erschien 1781 In deofier- Itner- Memoiren sein
3) Memoire sur le minimum de cire des alv^oles des abeil-
les, et en particulier sur un minimum-minimorum rela- tif k cette mati^re,
in welchem er nach dem Urth eile von Professor Maurice diesen Gegenstand vollkommen erschupfle'}. Üann folgte sein grösse- res Werk
4) De relatione mutua capacitatis et terminornm figurarum,
geometrice considerata. Varsoviae. 1782. 4^.
fiber welches mehr als ein halbes Jahrhundert später der compe- tenteste Richter in diesem Gebiete der Mathematik, Herr Profes- sor Steiner in Berlin, noch folgendes Urtbeil fällte^): „Alles, was ^eine Vorgänger auf elementarem Wege über diesen Gegenstand „geleistet, von den uns überlieferten ersten Anlangen der Grie- „chen bis auf die Fortsetzungen und tiefere Begründung durch R. „Simson und Andere, hat Lhuilier mit grosser Umsidit zusam- ,,mengefasst, mit seltenem Scharfsinne verbessert, ergänzt und ,,beträchtlich erweitert. Leider scheint öfter sein Werk citirt, ^Is die darin herrschende Methode richtig verstanden, oder gehö- rig gewürdigt und befolgt worden zu sein ; denn alle seine Nach« folger sind, soviel mir bekannt, mehr oder weniger von seiner ^einfachen natürlichen Betrachtungsweise abgewichen; sie nah- „men zu andern künstlichen Hülf^mitleln Zuflucht, und beschränk- ten sich überdies auf eine viel geringere Zahl von Aufgaben und Sätzen. Dadurch verschwand aber auch immer mehr die schöne Einfachheit der Beweise, der innige Zusammenhang der Sätze nebst dem Bewusstsein der Gründe, durch welche derselbe be- dingt wird.'' Zwei nach Petersburg gesandten Abhandlungen
9*
9P
9» »» 99
5} Sur les pyramides isop^rim^tres [Nova Acta HIJ,
*) Nach Montucia 111. 263. wären anch von ihm verfaMte El^metiU de g^om^trie gekrönt und TerölTentlicht worden. Ueherbaupt Ut es mir nicht gnns klar geworden , wac Alle« in Lhuilier*« Sendung nach Polen enthalten war.
*) Diccouri cur rinitrudion publique par De la Rive. Genire 1840. 8*.
*) Denkechriften der Berliner Akademie 1836.
902
6) Th^or^me sar les centres de gravit^ [NoTa Acta IV]
folgte seine, nach Beurtheilung von einer durch Lagjrangepräsi- dirten Gomission, in Berlin gekrönte Preischrift
7) Exposition ^lementaire des principes des calculs supe- rieurs qui a reniport^ ie prix proposö par i'Acad^mie royale des sciences et helles - iettres pour Fannöe 1786. Berlin. 40.
in welcher er auf d'Alemherts geistreiche Idee der Grenzen ba- sirte, auf welche man auch in der neuesten Zeit wieder allgemein zurückkommt. Nach Mon tue la^) hatte eigentlich die Berliner Aca- demie die Entwicklung der Theorie de rinlini math^matique ver- langt, — aher Lhuilier gerade die gehotene Gelegenheit benutzt, diese Theorie zu bekämpfen und ihr die der Limites zu substl- tuiren. Dann erschienen wieder mehrere kleinere Arbeiten :
8) Examen du memoire sur les poids et mesures, oü Ton se
propose Ie moyen d avoir des ^talons ou modeles de me- sures et de poids qui soient reglet« par des principes certains et invariables [Journ. encycl. Juillet 1785];
9) Theoreme sur les solides piano - superOciels [M^m. de Berlin. A. 1786 et 1787] ;
10) Sur la* d^composition en facteurs de la somme et de la diflference de deux puissances k exposants quelconqnes de la base des logarithmes hyperboliques , dans Ie bat de degager cette däcomposition de toute id^e de Tinfini [Möm. de Berlin. A. 1788 et 1789].
Am Ende seines Aufenthaltes in Polen fasste der unermOdlicbe Lhuilier, dessen Leistungen bereits die Academien in Berlin und Petersburg veranlasst hatten^ ihn zum Correspondenten zu ernen uen, den Plan zu seiner Polygonometrie. Voll von seinem Ent- würfe kam er nach Tubingen zu seinem Freunde Pf leijd er er, der schon 1781 als Professor der Mathematik und Physik in sein Va- terland zurückgekehrt war. Dieser machte ihn auf die betreffen- den Arbeiten LexelTs aufmerksam, die eben in den Petersburger Memoiren «»erschienen waren. Lhui'lier verglich sie aufmerksam mit seiner eigenen Arbeit, Hess aber dennoch nach seiner Ruck- kehr nach Genf sofort die Schrift
11) Polygonometrie, ou de la mesure des figures rectilignes. Et Abr^g^ d'Isop^rimetrie el^mentaire. Gen^ve 178^. 4^.
erscheinen, in der Einleitung das Resultat jener Vergleichun^ * seinen Lesern in folgenden Worten mittheilend: „Je trouvai en „effet queMr.Lexell avait ex^cutö leplanque je meproposais,etquen „particulier ii avait trouve les m^mes propositions londamentales.
») III. 2S2.
903
I^Cependant je vis bientöt qne roon proced^ diff^rait assez du sien, .»8oit par la forme des divisions et eubdivisions, soit par la ma- „ni^re dont j'^tais parvenu ä ces propositions fondamentales, soit ,,par les constractioos que je d^velloppais^ soit par les r^flexions »»cf^om^triques auxquelles ]'^tais amene, pour que le travaii de ,,Mr. Lexell ne düt pas m'engager ä suppnmer le inien. La d^- yytermination de la surface d'une figure rectili&ne dans sei^ c6t^s „et ses angles.. et les applications de la formule Elegante par la* „quelle eile est exprim^e, est une matiere que je crois enti^renieiit „neuve et qui m'est propre.*' Dass Lhuilier seine Arbeit nicht zu hoch über die Lexclls stellte, mag folgendes Urtheil Mon- tucla's^) bezeugen: „ Le cit. Lhuilier soumet k des regles sem- ,,blahles k celle de la trigonometrie, le caicul des cdtes et des »»angles de tout polygone rectiligne; c'est un coin, pour ainsi dire, „da vaste et immense champ de la g^oro^trie , oü Euler et Lexell »»avaient» k la verit^» fait quelques incnrsions» roais oü le cit. .»Lhuilier est entr^ profondement, et dont il a tir^ une ample »,mois$on de verit^s nouvelles et utiles.'' Lhuilier war übrigens» ohne es zu wissen, noch mehr mit Masch eron i als mit Lexell auf diesem Felde zusammengetroffen; doch auch Mas'cheroni aner« kannte sein selbstständiges Verdienst» Indem er in der Vorrede zu sei- nen Problemi per gli agrimensori^ sagt: »,J'a?ais publik, en 1787» »»parmi les additions au cours de mathematiques de Mr. ßossut» »,un petit memoire intitul^: Methode pour la mesure des po- yjygones plans. Deux ans apres» Mr. Lhuilier publia ä Ge« »,neve sa Polygonom^trie. Je reconnus en la «lisant» nou seu- »»lement que mon ouvrage renfermait tous ses probl^mes» mais »»que mes Solutions analytiques m'avaient conduit aux mömes for- »»roules» et que nous avions suivi pas a pas la m^me carri^re. »»Un accord aussi parfait avec ce c^l^bre g^ometre fut pour mol »»d*an ^rand prix» et ia preuve la plus compl^te que mon travaii „pouvait ^tre de quelque utilite. Au reste» l'ouvrage de Mr. Lhui« »Jier ne fait pas seulement honneur k son Erudition ; il Ta enrichi »»de demonstrations gi^ometriques qui lui appartiennent» et de beau« »»coup d'exemples d*un hon choix oui eclaircissent ses mäthodes.^' Der isoperimetrische Anhang ist ein Auszug aus seiner oben be- sprochenen Relatio routua.
Noch sollteLhuilrer kein ruhiger Aufenthalt in seinem Vater- lande vergönnt sein. Bald nach seiner Ruckkehr nach Genf wurde seine Vaterstadt so sehr in die Stürme der französischen Revo- lution verwickelt, dass er es rathsam fand» für einige Jahre zu P fiel derer nach Tübingen zurückzukehren. Er benutzte diese Zeit» in welcher ihn auch die Royal Society of London mit ihrem Di- plome beehrte» zu einer ganz neuen Bearbeitung seiner Berliner Preisschrift» die dann unter dem Titel
12} Principiorum calculi differentialis et integralis expositio elementaris ad normam dissertationis ab Acad. ocient
•) III. 263.
0 Französiiche Ausgabe. Paria 1803. 8^.
904
Reg. Pnissica A« 1786 praeinii hoaore decoratae elabo* rata. Tubiogae 1795. 4k
erschien, uod seinen bereits erworbenen Rubm durch ihre Klar- heit und Strenge nicht wenig steigerte. Maurice glaubte jedoch*) seinem mit Montucia^) übereinstimmenden Lobe beif&gen sa sol- len: ^Mais cette rigueur est accoropagn^e de loneueurs ^u'on ,,aurait pu ^viter, et d^pourvue de cette öl^gance aezposition a ,,laqueiie les ouTrages de Lagrange, surtout» ont accoutume les „g^mötres. **
Lhuilier kehrte 1794 nach Genf zurück, und publicirte zwei kleine Schriften*:
13) Examen du roode d'ölection propos^ ä ia Convention na- tionale de France eu fevrier 1793 et adopte ä Gen^Te. Gen^ve 1794. 8«.
14) Cati^chisme d'Arithmötique destinö aux öcoles primaires
deren letztere mir einzig durch Maurice^ bekanntgeworden Ist, welcher von ihr sagt: „Ce Cat^hisme ^tait une esp^e de tour „de force d*un homme fort habile; roais sa forme, presque Inu* „sitee, en a fait peu k peu abandooner Temploi."
Im Juli 1795, bald nachdem Lhuilier einen Ruf als Prof essor der hohem Mathematik an der Universität Leyden ausgeschlagen hatte, erhielt er die Professur der Mathematik an der Academie zu Genf, — wie es ihm Bertrand, der sich nun zur Ruhe setzte, längst prophezeit hatte. So sehr er sich's aber auch angelegen sein liess, den ihm übertragenen Unterricht aufs Beste zugeben^ so wenig wurde dadurch seine literarische Thätigkeit gestOrt. Zu- nächst begrüsste er die Royal Society of London mit seiner
J5) Mani^re ^Uroentaire d'obtenir les suites par lesquelles s'expriment les quantites ezponentielles et les fonctions trigonom^triques des arcs circulaires [Pbilos. Transact.
dann die Berliner Academie theils mit seiner
16) Solution alg^braique du probl^me suivant: A nn cercle donn^, inscrire un pnlygone dont les c6t^s passent par des points donn^s [M^m. de Berlin 1796] ;
theils in Verbindung mit Pierre Prövost mit zwei Abhandlungen
') In dem schon erwähnten Dicconrt, pag. 6. *) III. 202. ^®) Diiconri, pag. 7.
905
17; Sur les pröbabilit^s [H^m. de Berlin 1796.]
18) Sur lapplication du caicul des probabilitös k la valeur du t^moignage [Mem. de Berlin 1797.]
Zu Lhuilier*8 vorzüglichsten Werken gehOrt unstreitig die
19) Anleitung znr Elementar-Algebra. Zwei Theile. Tfibin- gen 1799-1801.80.,
welche nach dem Verfasser eine neue Bearbeitung seiner zwan- zig Jahre friiher polnisch herausgegebenen Algebra sein^ und dem Gange folgen soll, ivelchen Lesage beim Unterrichte Lhui* liers einschlug; sie wird mit Euler's Algebra die Mehrzahl von Werken dieser Art überdauern. Die in diesem Werke, in Ver- vollkommnung des Euler*8chen Verfahrens, auf die für jeden Werth von m und n erwiesene Richtigkeit der Beziehung
et') = G)© + G!:OG)+ • +G)G)
basirte Ableitung des allgemeinen Binomischen Lehrsatzes^^) ver- dient besondere Beachtung. — Am 1. April 1800 (11 germinal an 8) kamen seine
20) Theoreraes de polyhedrom^trie [Mömoires pr^sentds. Tom. 1.]
vor der Pariser Academie zum Vortrage und fanden eine sehr günstige Aufnahme, da es Lhuilier nicht nur gelungen war, die vor ihm bekannten Eigenschaften der Polyeder zu verallge- meinern, sondern ihnen eine grosse Anzahl neuer Eigenschaften zuzufügen. Manche dieser Eigenschaften entwickelte nald darauf der berühmte Carnot in seiner Geometrie de position^^, sich jedoch mit folgenden Worten verwahrend, Lhuilier's Arbeit be- nutzt zu haben: „Cette partie de mon ouyrage ötalt k Timpres- „sion» lorsque j'appris (]uii existait depuis^ longtemps, sur le m^me sujet, un Mömoire manuscrit de Simon Lhuilier de Gen^ve. Ce Mi^moire, d^pos^ au secri^tariat de i'Institut natio* nal> contient en effet le principe fondamentai ^nonc^ ci-dessus, „ainsi que diverses cons^quences importantes que lauteur en a „döduites avec sa sagacit^ ordinaire. 11 est de la nature des v^- „rit^s math^matiques d'^tre souvent decouvertes k peu pr^s en j,m^me temps par diflfi^rents moyens et par diffi^rentes personoes; „et je ne puls qu'^tre flattö de ro*^tre rencontrö avec le dt.
9>
") Siehe Sats 47— 50 meinet Tatchenbochet für Malhe- natik nnd Phjtik.
>*) Paris 1808. 4<», — w&hreod Lhu liiert Abhaadliug ertt 1805 lan Drucke kam.
71«
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„Lh Ulli er, jnstcmeDt cel^bre par im grand oombre d'cxcelletits „ouvrages." — Eine neue Bearbeitung von Lhuilser's Algebra erschien unter dem Titel
21) Elements raisonn^s d'Algebre. 2 vol. Gen^ve. 1S04 SP,
auf dem er sich unter Anderm als Mitglied der Göttinger Aca- demie und als Professeur honoraire de Mathämatiques sublimes h Tuniversite de Leyde bezeichnet. Während dem Drucke dieses Werkes» am 20. October 1803, starb Lesage, so dass ihm Lbuilier noch in der Vorrede zu demselben ein. kleines Monu- ment errichten konnte, von dem folgender Theil hier aufgenom- men werden mag: „Au moment oü j'ecris ces lignes, quej*arrose „de roes regrets et de mes larmes, ies lettres viennent de perdre „le v^ritable auteur de Touvrage que je publie, G. L. Lesage, „mon parent et mon guide dans mes premieres etudes. II tat le ,, fruit des legons et des directions que j'ai eu le bonheur de re- cevoir de cet habile matheniaticien , aui, ä la profondeur et k r^tendue des connaissances , joignait l'esprit le plus phllosophi- que; aui a consacrö sa longtie vie a la recherche de la verite et ä sonaer Ies mysteres de Ta nature; qui a mörit^ la reconnais- „sance de ses compatriotes par Ies Services litteraires qu'il a rendu a un graod norobre d'entre eux; qui, par ses instructions» par ses directions et par ses conseils, a contribue ä entretenir et ä repandre dans notre patrie le goüt des connaissances utiles „et la .cjulture de la saine philosophie.'^ — Das letzte grossere Werk unseres Lbuilier naren seine
22) Elements d'analyse g^om^trique et d'analyse |alg^brique» apnliqu^es ä la recherche des lieux g^ometriques. Paris
welche er seinem frühern Schüler Czartorinski, damaligem kais. russischem Minister des öffentlichen Unterrichts, widmete. Sie enthalten eine Abhandlung über den Punkt der mittlem Ent- fernungen, eine freie Uebertragung von Simsons Wiederherstel- lung Jer ebenen Oerter des ÄpoÜonius, etc. etc., kurz ein aus- serordentlich reiches Material für den durch den Titel anoedeute- ten Theil der Geometrie. — Bald nachher begann Gergonne seine verdienstliche Herausgabe der Anuales de matheniatiques pures et appliquees, und fand für die drei ersten Bände in Lbui- lier einen seiner fleissigsten Arbeiter. Es wurde zu weit fuhren, alle Probleme mitzutheilen , die Gergonne seinen Lesern vorlegte, und bei deren Lösung sich Lbuilier betbeiligte; es mögen daher nur einige selbstsUindigere Arbeiten dei«selben hier aufgezählt wer* den, die in den Annales erschienen:
23) Analogie entre Ies triangles rectangles, rectilignes et spheriques [Vol. 1.].
24) Recherche du plan de la plus grande prnjection ortho- gonale d*ttn Systeme de surfaces donnees de grandenr sur des plans donnes de position dans Tespace [Vol. ll.J
99 99
99
99 »9
907
25) Df^termiDafion da centre des moyenDea disiances du triangle sph^rique. [Vol. ILJ
20) Lieu aux sections coniques [V^ol. II.]
27} Eclairci^sements sur le troisienie et le sixi^me cas de la trigoDometrie sph^rique. [Vol. 11.]
28) Solution d*uD probl^me de combinaisoos. [Vol. III.]
29) D^monstratioDs diverses du thi^or^me d'Euler sur les poly^dres, et examen des divers cas d'exception aux* quels ce th^or^me est assujetti. [Vol Il(.]
30) Memoire sur la possibilite et la construction des poly^- dres r^guliers. [Vol. III.]
31) Solution d'un probl^me de probabilit^. [Vol. HL]
Warum L h u il ie r mit dem Schlüsse des 1812 erschienenen drit- ten Bandes pjutzlich verstummt;e^^), ist mir unbekannt geblie- ben, — immerhin hatte er seine litterarische Thfitigkeit bis in ein hohes Alter bewahrt. Seine Lehrthätigkeit war noch ausdauern- der, — erst 1823 im Alter von 73 Jahren verlangte er seine Ent- lassung; bis auf diese Zeit erfüllte er seine Pflichten mit so gros- ser Gewissenhaftigkeit, dass er sich sogar bei Gichtanfallen eher in sein Auditorium tragen liess, als seine Lectionen versäumte. Von seinen Schülern (zu denen auch Guizot längere Zeit ge- hurte) zeichneten sich manche in wissenschaftlichen Laufbahnen ao8, — namentlich ist Sturm, schon seit vielen Jahren eine der Zierden der Pariser Academie, zu erwähnen, um den sich L hu i- lier besondere Mühe gab.
Trotz so langer öffentlicher Thätigkeit, war es L hui Her noch versconnt , von einem Sohne und einer Tochter gepflegt, eine längere Keihe von Jahren in verdienter Ruhe zuzubrmgen. Nicht dass er darüber die Wissenschaften vergessen hätte; im Gegen- theile zeigen seine Manuscripte wie Ihn dieselben noch immer be- schäftigten, wie namentlich seine frühern Arbeiten in der Poly- gonoinetrie und Polyedrometrie bis in seine letzten Tage fast be- stlndig vor seiner Seele schwebten , — versuchte er ja noch sogar zu wiederholten Malen seine Gedanken weitern Kreisen vorzu- legen :
32) Expressions de la capacite d'un poly^dre dans ses ^lö- roents ext^rieurs [Bibl. univers. 1828.]
33) Elements de la doctrine gön^rale des polygones et des poly^dres [8 S. in 4^ ohne Titel.]
I') Nach Mittheilung meine« I. Freandet, Herrn Ingenieur Dens- ier in Znrir.h, der die Gute hatte, alle 20 Bände der Annalen für mich ourchxuschen.
908
34) Discusmons geni^rales des doctrines des polygones et des poly^d res , par le jprofesseur L h u i I i e r » plus qa*octog^ naire [3 S. in 4<^ ohne Titel].
Doch verdunkelte sich natCrlich nach und nach sein geistiges Auge, und in einzelnen Augenblicken trat der Unterschied zwi- schen vormals und jetzt trObe vor seine Seele, so dass er ein mal mit zitternder Hand niederschrieb:
Je suis hors de. saison.
On ne veut plus d'un ^tre octogenaire.
^Je suis voisin de perdre la raison,
Je suis un poids qui surcharge la terre.
Er schied von unserer Erde am 28. März 1840, in eineroAUer von beinahe 90 Jahren. Ehre seinem Andenken!
Druckfehler.
In der Ueberschrift des Aufsatzes Nr. XXXIII. in diesem Heße (Tbl. XVIII. S. 357.) in einem Theile der Exemplare mnsa
es statt »,die Basiswinkel" heissen:
,,die die B|a9iswinkel'^
909
LlterartecHer BerlcHt.
t Systeme, liehr- und IV^Srlerbficher.
Unter diese wissenschaftliche Rubrik geh5rt der Vollständig- keit seines Inhalts wegen auch das folgende:
Taschenbuch für Mathematik und Physik. Zum eignen Gebrauche entworfen von Rudolf Wolf. Bern. Ualler'sche Buchdruckerei. 1852. Kleines Taschen- bachforroat.
Wir glauben die Leser des Archivs auf dieses Taschenbuch flfr Mathematik und Physik aufmerksam machen zu müssen» weil es unter den meisten ähnlichen BOchero jedenfalls .einen sehr ehrenvollen Platz einnimmt» und vor denselben sich in mehreren Beziehungen vortheilhaft auszeichnet. Die meisten Bucher dieser Art stellen nur Formeln zusammen, welche bei praktischen und technischen Anwendungen häufig vorkommen» und sind deshalb bei Weitem vorzugsweise nur auf den Gebrauch von Praktikern und Technikern berechnet. Dagegen hat das vorliegende BOch«» lein jedenfelU viel mehr den eigentlichen wissenschaftlichen Ma« tiiematiker und Physiker im Auge» und.dient ihm als Erinnerungs- bueb an die Lehrsätze» Formeln und Aufgaben» welche er bei seinen wissenschaftlichen Untersuchungen am Häufigsten und am Meisten braucht» weshalb es namentlicn auch Lehrern der Mathe* matik und Physik an höheren Unterrichtsanstalten zur Beachtung ^pfohlen zu werden verdient» um so mehr» weil es sich» ßir
Bind xnih 72
910
diesen Gebrauch ganz zweckmässig, för jetzt nur auf die ele- mentaren Theile der beiden auf dem Titel genannten Wissen- schaften erstreckt. Es umfasst in dieser Weise , verhältnissmSs- sig in gleicher Vollständigkeit, die Arithmetik und Algebra, ebene und körperliche Geometrie , die analytische Geometrie, die Kegel- schnitte, Goniometrie, ebene und sphärische Trigonometrie, Poly- gonometrie, Statik und Mechanik fester und flüssiger Korper, Aku- stik, Optik, W^ärmelehre, Magnetismus, Electricität und Galva- nismus, Geodäsie, Projectionslehre (polare, perspectiviscbe, orthogonale und Schatten-Projection) , und in ziemlicher Voltstän- digkeit die Astronomie. Ausserdem sind folgende Tafeln beise-
§eben: Potenztafel, Logarithmentafel, trigonometrische Tafel» ehnentafel, Tafel der Vielfachen von n, luterpolationstafel» Zeittafel, Ortstafel, Refractionstafel , Planeten- und Cometentafel» Sterntafel mit der Präcession. Den Beschluss macht eine histo- risch-literarische Tafel, in welcher die wichtigsten Entdeckungen und literarischen Erscheinungen auf dem Gebiete der Mathematik und Physik chronologisch verzeichnet sind. Das Ganze umfasst nur 152 Seiten und flberschreitei also den Raum eines Tascben- buchs durchaus nieht. Wir wünschen , dass es dem Herrn Ver- fasser gefallen möge , auch für die höhere Mathematik ein ahn- liebes Büchlein zu liefern.
ArttlimeÜfc.
. Saijumlang von Beispielen und Aufgaben ans der Differenalal- und Integralrechnjung mit Vern'aBdlong der Functionen von F. W. Hesselbarth, Dr. pbil. Zweite verbesserte Auflage. Leipzig. Arnold. 1852. 4
Indem wir die$e Schrift aus Ihrer ersten Auflage als hinrei* chend bekannt voraussetzen, wollen wir nur noch bemerken, daca wir in der That, auch bei dem besten Willen, nichts an ihrer Empfehlung zu sagen wissen,
Trassformation und Ausmittelung bestimmter In- tegrale. Abhandlung, welehe bei der Hechverordne- ten phtlesophischen Fakultät der Kaiserlichen Udi« versität zu Dorpat zur £rlang«ng der MagisterwQrde eingereicht hat und üffentlfon vertheidigen wird Dr« Ph. P. tteiroling. Mitau und Leipzig. Reyner. 185L 4.
I
•
Eine sehr gute Gradu^lschrift, die za atigemeiner Beachtung empfohlen und n-eiter, als es bei dergleichen Schriften gewöhn- lich geschieht, Verbreitet zu vrerden terdient. Es beschäftigt sich
»11
dieselbe mit der Entwickelung der Integrale^ ivelche unter der allgemeinen Form
stehen, wobei ein Integral dieser Form der Herr Verf. als gefun- den betrachtet» wenn es auf ein anderes von der Form
e-**dxy oder # c-**3ar, oder / e^^Bx
mrOckgef&hrt ist» und wenn überhaupt bei dem redueirten die me- chanische Quadratur bequemer angewendet werden kann. Haupt* sächlich ist vermittelst der sogenannten Methode der Variation der Constanten die Auswerthung bestimmter Integrale von der Integration vollständiger oder reducirter linearer t)ifferentialglei chungen abhängig gemacht, und dadurch sind viele Integrale auf solche von einfacherer Form und anderen Gränzen zurOcIcgefQhrt worden. Die Schrift enthält einen grossen Reichthum benierkens- werther Formeln, und ist anch Anfängern in der Integralrechnung tur Üebung in dieser Wissenschaft recht sehr und mehr zu em-
fffehlen, ats viele unserer SamnHungen von Beispielen aus der ntegralrechhung. In der Vorrede spricht der Herr Vf. dem Herrn Protessor Min ding seinen Dank Hlr mehrfache ihm von demsel- beo gewordene Belehrung aus, und bemerkt auch, dass das von ihm entwickelte Integral
/
•ehon früher von Herrn CoUegienrath C lausen filr den apexiellen Fall T^^lf ar=l entwickelt worden sei Solche Inaaguralscbrifteii laichte man allen Universitäten , selbst manchen grossen und weit bet fibmtereo , wGnschen. Möge der Herr VerC bald einen seinen Fihigketten entsprechenden Wirkungskreis finden!
Ueber die bestimmten Integrale von der Form
J N
in denen
JV= / + fcos*9 + rsln*^) -i-^mcontpalntp -|-2m'sin^'-t 2iii''cos9
ist. Von A. Wiehert^ Oberlehrer am Gymnaslua ai Konita. (Programm des Gymnasiums au'Konitz voi IsteA August 1S5L). Konila. 18S1. 4
912
Die Integration von / ^ giebt gleichzeitig die Integrale
B\n^(pd<p
/C08(pdq> /^sinySy Pcos'^(pdq> /^sin^y
^costpsmtpdtp
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w
mit deren Entwickelung zwischen den Gränzen 0 und in sieb der Herr Verf. in dieser sehr lesenswerthen und einen guten Beitrag zur Integralrechnung liefernden Schnischrift, die einer weiteren Verbreitung« als dergleichen Schrillen gewöhnlich finden, sehr werth ist, beschäftigt, ffir den Fall nämlich, dass N für keinen reellen Werth von (p verschwindet. Auch giebt der Herr VerC die Mittel an, um aJIgemein
/costy.Sy /•
N" ' J
*cosi(p.dq> /*siniy.8y
SU finden, wenn i und k ganze positive Zahlen sind. Die Me- thode der Losung Ist eine dreifache » da jene Integrale einmal durch Transformation des Nenners iV, dann durch Zerf^lluog desselben io Factoren und durch Reihenentwickeinng gefunden werden kön« nen. Jede dieser Methoden wendet der Herr Vf. an , und weiset die Identität der Resultate nach. Die Transformation des Neih ners In die Form
N=zk +*'sin«t + *^cos«^
schickt der Herr Verf. nach C. G. J. Jacob! in Crelle's Jour- nal. Bd. II. und VIII. voraus. Die Schrift legt von dem analytischen Scharfsinne des Herrn Verfassers ein sehr vortheilhaftes ZeufnlsB ab, und verdient jedenfalls recht sehr, von den Mathematikera altgemeiner beachtet zu werden. Auch vorgeräckteren jungen Ma- thematikern wird sie eine sehr gute Uebung in der Integralrech- nung gewähren. MOgen diese wenigen Worte ihr xm. hinreichen« der Empfehlung dienen!
Geometrie.
Beiträge zu einer systematischen Entwickelung der Geometrie aus der Anschauung. Von CR. Kosack, Lehrer der Mathematik und Physik am Gymnasinm sa
913
Nordhausen. (Programm des Gymnasiums zu Nord- bausen ?oo Ostern 1852.). Nordhausen. 1852. 4.
Ob diese Beitrfige, welche nns mehr einen philosophischen als streng mathematischen Standpunict einzunehmen scheinen» ge^* rade die streng wissenschaftliche Geometrie fördern werden, müs- sen wir dahin gestellt sein lassen. Vielleicht aber IcGnnen Leh- rer bei dem ersten , vorzüglich auf die Anschauung basirten geo- metrischen Unterrichte Gebrauch von denselben machen , und mTigen sie daher in dieser Beziehung immerhin zur Beachtung en»pfohlen werden. Ein strenger euklidischer Geist hat uns nicht aus denselben entgegen eewchet; sich in diesem zu bewegen, war ja aber auch nicht die Absicht des Herrn Vfs.^ da er aus- driicklich die Entwickelung der Geometrie aus der Anschauung als seinen Zweck bezeichnet.
Die Gleichheit und Aehnlichkeit der Figuren und die Aehnlichkeit derselben. Ein Supplement derEle- mentarseometrie von Dr. Richard Baltzer« Oberlehrer an der Kreuzschule zu Dresden. Dresden. G. Schön- feld (C. A. Werner). 1852. S.
Die von Muh ins in die Geometrie eingeftihrte Lehre von den Verwandtschaften der Figuren ist bekanntHcb als eine wesent- liche Erweiterung dieser Wissenschaft zu betrachten. Bisher ist diese Lehre meistens nur von dem Standpunkte und mit Hillfe der analytischen Geometrie behandelt %vorden, und in die Lehr- bücher der synthetischen Geometrie hat dieselbe noch keinen rechten Eingang gefunden, ist überhaupt noch nicht Gemeingut der sogenannten Elemente geworden, wohin sie doch offenbar ge- hört, da sie recht eigentlich in das Wesen der Geometrie ein- greift, und deich beim Eintritt in diese Wissenschaft dem Lehr- Unge 'sich darbietet, da ja schon in der euklidischen Geometrie bekanntlich die Congruenz, die Gleichheit und die Aehnlichkeit der Figuren besonders scharf hervortretende Hauptabschnitte bil- den. Der Herr Verf. der vorliegenden Schrift hat es nun unter- nommen, die Lehre von den Verwandtschaften der Figuren, von einem allgemeineren Standpunkte aus, bloss auf dem Wege der synthetischen oder sogenannten elementaren Geometrie zu behandeln, überhaupt diese Lehre in den Kreis der Elemente zu sieben, und hat dabei mit den beiden Verwandtschaften der Gleichheit und Aehnlichkeit, und der Aehnlichkeit, den Anfang gemacht, wobei er sich keineswegs bloss auf ebene Figuren ein- schränkt, sondern auch die Gebilde des Raums überhaupt, ins- besondere auch sphärische Figuren, in den Kreis seiner Betrach- tungen zieht. Wir halten dieses Unternehmen für ein sehr ver- dienstliches, und wünschen sehr, dass die vorliegende Schrift, aamentlicb auch von den Lehrern der Mathematik, die wohl ver- diente Beachtung finden und bei dem geometrischen Unterrichte benutzt werden möge. Alle Bemühungen, die Resultate aus hubereo Gesichtspunkten unternommener Forschungen so viel als
914
mCgKeh Ib den Kreis der sogenaonteii ElemeDte za siebeo, bth« wir immer fflr aebr verdienstlich gehahen, und wiinscben daher, dass der geehrte Herr Verfasser der vorliegenden Schrift seine Müsse dergleichen Arbeiten auch fernerhin zuwenden mo^, wo- durch er gewiss um die Wissenschaft in methodischer Ruck^ickt sich wesentlich verdient machen wird. Wir sehen der Fortsetzoi^ seiner Arbeiten auf diesem Felde mit Verlangen entgegen.
Ueber Parallel- und Gegentransversalen imgerad» linigen Dreieck, vom Gymnasiallehrer Gandtner. Pro*
framm des Gymnasiums zu Greifswald von Ostern 852. Greifs wald. C. A. Kochs Verlags h. (Th. Kunike). 1852. 4. Preis 9 Ngr.
Wenn von den Endpunkten B und C einer Seite ßC eines ebenen Dreiecks ABC aus, man sich entweder auf der Seite BC selbst, oder auf deren Verlängerungen über B und C hinaus» be- liebige aber gleiche Stucke BD und CE abgeschnitten denkt, etwa durch den Punkt D und die Spitze A des Dreiecks ABC die Ecktransversale AD^ und durch den Punkt E mit derselben eine Parallele EF zieht: so nennt der Herr Verf. des vorliegen- den Programms die Linie EF die zu der Ecktransversale AD gehörige Paralleltransversale; jenachdem der Punkt £, durch welchen EF gezogen ist^ in der Seite AB selbst oder in deren Verlängerung nach der einen oder nach der anderen Seite bin liegt, heisst EF eine innere oder äussere Paralleltrans- versale. Was der Herr Verf. unter Gegentransversalen vcr steht, muss man S. 10. der vorliegenden Schrift selbst nachseheoi da dieser Begriff nur im Fortgange der Untersuchung selbst gewonnen werden kann, und sich daher hier in der Kürze und ohne Figur nicht wohl deutlich machen lässt. Von solchen Parallel- und Gegen- transversalen hat der Herr Verf. in diesem Programm eine Reihe von Sätzen bewiesen, die dem grosseren Theile nach neu und recht beraerkenswerth sind, und von Neuem den Beweis liefern, wie reich an merkwürdigen geometrischen Beziehungen eine so einfache Figur wie das ebene Dreieck ist. Die sämmmchen Sätze stehen in emem inneren Zusammenhange unter einander, und der Herr Verf. hat durch diesen Aufsatz zugleich seinen SchSlem Stoff und Materialien zu geometrischen Uebungen darbieten wol- len, indem er es für zweckmässig hält, den Scbfllern der obem Klassen von Zeit zu Zeit eine kurze geometrische Abhaudlung, welche eine Reihe von Sätzen in systematischer Folge enthält, zum Privatstudium vorzulegen, worin %vir ihm vullig beistimmen, und der Meinung sind, dass dergleichen Uebungen zur Kräftigonf des mathematischen Geistes wenigstens eben so zweckmässig sind wie zur eignen Losung den Schülern* vorgelegte einzelne geome- trische Aulgaben, indem man nach unserer Ueberzeugung und früheren langen Erfahrung in letzterer Beziehung ja nicht zu weit gehen darf, und sich immer auf nur leichtere, die Kräfte der Schüler in keiner Weise übersteigende Aufgaben beschranken muss, deren Losung zugleich so viel als mü<;lich nach einer be- stimmten mathematischen Methode folgerecht mit Leichtigkeit
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auageGSjkit werdea kano, ond nie dem veiftlireriscIieQ GlOck- zu* Oilligen Fiode^s anbeim geistellt bleibt 80 ungemein freigebig man früher mit dem Aufgeben einzelner geometrischer Probleme in den Schulen war» so »cbeinen doch 10 neuerer 2eit, so weit unaere Erfahrung und Kenntniss in diesen Dingen reichen , viele umsichtige Lehrer mit Hecht davon theilweise zurückzukommen, «od öfters Stoff zu geometrischen Uebungen in solchen Arbeiten zu suchen, wie- der Herr Verf. in diesem Programm ihn in recht zweckmässiger Weise darbietet.
Die Bebandlungsvreise des Gegenstandes ist für den zu er- reichen beabsichtigten Zweck mit Recht eine gemischte, theils geometrischei theus trigoiK>metrische ; und so einfach der Gegen* stand auch an sich ist, so sind wir doch überzeugt, dass nament- lich solche Leser des Archivs , welche für das immer bessere Ge« deihen des mathematischen Unterrichts sich interessiren , von dieaer empfehlenswerthen Schulschrift mit eben so vielem Ver-
fnögen wie wir nähere Kenntniss nehmen werden ; miige dieselbe aber deren Beachtung und gewiss erfolgreichen Benutzung beim Unterrichte bestens empfohlen sein. *
Znsätze zu dem Florentiner Problem. Von M. W. Drobtsch, Mitglied der Konigl. Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften. Aus den Abhandlungen der ma- thematisch-physischen Klasse der Königlich Sächsi* sehen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Leipzig. Weidmann. 1852. 8.
Das von Viviani den Geometern seiner Zeit vorgelegte so- genannte Florentiner Problem (Aenigma Florentinum) ver- langte auf der Oberfläche einer Kugel eine Curve zu Gnden, die eine quadrirbare Flfiche entweder einschliesst, oder deren Fläche, von einem angeblichen Theile der Kugelfläche hinweggenommen, einen qnadrlrbaren Rest übrig lässt. Statt der sphärischen Curve selbst Kann man auch deren Projection auf die Ebene eines gross- ten Kreises suchen. Auf diesem Wege hat Eni er gezeigt, dass es unendlich viele Lösungen des Problems giebt. Viviani selbst hatte den geometrischen Satz gefunden, dass ein über der Ebene eines gnWsten Kreises der Kugel errichteter Cy linder, der zur Basis einen liber dem Halbmesser der Ku^el als Durchmesser beschriebenen Kreis hat, die Kugelflache m zwei Ocffnungen durchbricht, deren Fläche, von der sie umschliessenden Halbkugel hinweg genommen, einen Rest übrig lässt, welcher dem Quadrat des Kugeldurchme»sers gleich, also quadrirbar ist. Theils andere geometrische Sätze, theils Erweiterungen der vorhergehenden, haben Montucia, Bossut und Nie. Fuss pefundei^ Den Be* mfihungen dieser Mathematiker schliessen sich nun die Unter- suchungen des Herrn Verfassers der vorliegeilden Abhandlung auf würdige Weise an. Dabei ist es weniger seine Absicht , das Pro? blem in so allgemeiner Weise, wie Euler that, zu fassen, als vielmehr, wie die drei vorher genannten Mathematiker, neue be-
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inerkenswerthe specielle geometrische Beziebotigen zu finden» vnm ihm auch in ausgezeichneter Weise gelungen ist, indem er seine Betrachtungen vorzüglich an die zwar sehr einfache, bisher aber unbeachtet gebliebene Bemerkung anschliesst, dass die sphSri- sche Curve, welche die quadrirbare sphärische Fläche begränzt, auf die Ebenen von drei auf einander senkrecht stehenden grOi»- ien Kteisen der Kugel projicirt werden kann, und daher immer drei der Aufgabe genügende ebene Curven giebt; ist nun eise der letzteren gegeben, so sind es auch die beiden andern, uml es führt daher jede Auflosung des Problems durch eine solche, von dem Herrn Verf. die quadrirende genannte, Curve iitimer zu zwei andern connexen Autlusungen durch quadrirende Curven, die in den bezeichneten beiden andern Ebenen liegen. ]Wir halten diese Abhandlung fQr einen sehr guten Beitrag zur höheren Geometrie , und wünschen sehr, dass sie namentlich auch von jungen Mathematikern zur Uebung in der Anwendung der höheren Analysis auf die Theorie der Krummen Flächen fleismg benutzt werden mDge, wozu sie vortreffliche Materialien enthält
Tabulae curvarum quartae ordinis symmetricarum, asymptotis rectis et linea fundamentali recta praedita- rum, quas delineavit et expositioue illustravit Augo- stus Beer, Phil. Dr. Cum XXaV Tabulis. Bonnae, apad A. Marcum. 1852. 4 2 Thir.
Mit diesen 35 Tafeln hat der Herr Verf. den Mathematikeni ein sehr angenehmes Geschenk gemacht. Die auf denselben ge- lieferten graphischen Darstellungen der auf dem Titel näher be- zeichneten Cfurven des vierten Grades sind äusserst lehrreich und interessant^ und bieten zu weiteren Betrachtungen mannigfaltigen Stoff dar. Je verwickelter diese Curven theilweise sind, und je schwieriger ihre Gestalten bloss aus ihren Gleichungen zu erken- nen sind, desto lehrreicher sind diese Zeichnungen. Die den Tafeln vorangeschickte Einleitung enthält Alles, was zu deren Verständniss nothig ist, und das Werk darf daher den Lesern des Archivs in jeder Beziehung zur Beachtung bestens empfohlen werden.
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AstroBomie.
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Beobachtungen und Wabrnehmungen» weTcfce liei der totalen Sonnenrinsterniss am 2o. Jufi IB^I ge- macht worden sind. Von Ur. Busch, Director der Sternwarte zu Königsberg. Königsberg. Voigt. 1852. 8. 10 Sgr. o e .
Dieser Abdruck eines irt der physikalisch - Okooonüsehefi G6* •ellschalt in Königsberg am 12. November 1851 gehaltenen .Vor* trag« enthält eine sehr gute, für jeden Gebildeten interessante Zusammenstellung aUer an verschiedenen Orte« und von verscbi^ denen Beobachtern bei der vorjährigen grossen Sonnenfinsterniiis gemachten Beobachtuneen von allgemeinem naturwisseDS^h^^tli- eben Interesse , weshalb wir unsere Leser recht sehr auf dieses Schriftchen aufmerksam machen. Auf Mittheilungen aus demsel* beo können wir hier natärlich nicht eingehen, woljen indess Folgendes zu bemerken nicht unterlassen. Bekanntlich ist die Hauptfrage, welche röcksichtlich der totalen Sonnenfinsternisse bei dem jetzigen Stande der Sache zu beantworten ist, folgende: „Gehören die Corona und die sogenannten Protube- ranzen oder Prominen'zen der Sonne oder dem Monde an?*' (Jeher diese Frage spricht der geehrte Herr Verf. S. 25. sich folgendermassen aus: „Es findet zwischen den Pro- tuberanzen und den Sönnenflecken ein unverkennbarer ZusammenhaniC statt, und sowohl die Protuberanzen, wie auch die Corona, gehören der Sonne, und nicht dem Monde an." Ganz in demselben Sinne haben diese Fräse bis jetzt alle vorurtheilsfreien Beobachter, welche zugirich cÜe hier im Welträume nns sich zeigenden Erscheinungen in der un- endlichen Grossartigkeit, in der siegln der Wirklichkeit — d. h« im Welträume selbst — auftreten, aufzufassen im Stande sind, beant^vortet, und nach den verschiedenen eingetretenen und sorg«* Hiltig beobachteten Umständen kann auch über die Beantwortung der in Rede stehenden Frage in obiger Weise in der That ,kein Zweifel mehr sein. Kann es auch hier natürlich nicht der Ort sein, dies näher zu begründen, ~ was au«*h in der That gar nicht nüthig ist, da Jeder, der die verschiedenen erschienenen Berichte sämmtlich mit Aufmerksamkeit und ohne Vorurtheil ge- lesen hat, ganz von selbst zu den obigen Schlössen kommen miisB, — * so will ich doch die Leser bei dieser Gelegenheit na* mentlicb auf einen Bericht eines sehr ausgezeichneten Beobach- ters, des Herrn Hofrath Otto v. Struve In Pulkowa, ober die Beobachtung der vorjährigen grossen Sonnenfinsterniss zu Lomsa in Polen aufmerksam machen , welcher der Akademie der Wissen- schaften in St. Petersburg am 8. Aug. v. J. vorgelegt worden ist, und sich im Bulletin de la Classe Phys.-Math. de TAcad.
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Imp. des sc. de 8t. Petersb. 1851. Nr. 217. findet, auch fai JafiD*s astronomiscbeD Unterhaltungen. 1852. Nr. 19. and Nr. 20.» leider jedoch nur im Auszuge, mitgetbeilt worden ist. In diesem ausgezeichneten Berichte hat Herr Otto voo Struve die obige Frage gleichfalls sorgfältig discutirt, und leitet aus seinen Beobachtungen nrit völliger Bestimmtheit die beiden Folgerungen ab: „1) dass die Prominenzen oder Protube« ranzen dem Sonnenkörper angehurige Theile sind, welchf bei der Bewegung des Mondes vor der Sonnen« Scheibe auf der einen Seite ajlmälig hervortreten und auf der entgegengesetzten entsprechend verschwin- den; 2) dass auch die Corona ein integriretider Theil des Sonnenkörpert und gewrssermassen ,als eine die Photosphäre der Sonne umgebende Atmosphäre an- zusehen ist.'' — Gut auch, dass die Beobachtungen aller vor- nrtheilsfreien Beobachter dies unwiderleglich herausgestellt haben!! Denn kennen die Astronomie und Physik noch irgend HoSnmig haben, fiber die eigentliche Natur unsers Centralkürperä näheren Aufschhiss zu erhalten, so ist dieselbe nach unserer Ueberzeugung allein auf die künftige sorgfältige Beobachtung der bei totalen Sonnenfinsternissen vorkommenden Erächetmingen , und auf die nmsicbtige Uiscussion der bereits vorhandenen Beobachtungen ge* grfindet, wobei man auch noch immer mehr, als bis jetzt sehen
f geschehen, historische Nachforschungen anstellen sollte, ob ähn- iche Erscheinungen nicht schon frClher beobachtet und beschrie- ben worden sind.
Specimen acaderoicum inauguralede solutione pro- hieroatis Keppleriani, anctor Combertas Petrus Bür- ger, Roterodamensis. Lagduni - Batavorum, apad P. Engels. 1851. 4.
Wir haben schon frflber öfters auf die Grandlicbkeit und den erossen Umiang, durch welche sich die auf den holländischen Unifersitäten erscheinenden pissertationeii oft sehr vortheühafl auszeichnen, hingewiesen. Dies ist auch bei der vorliegenden Inauguralschrift der Fall. Der Herr Vf. bat in derselben fast alle ftir das Kepler'scbe Problem gegebenen Auflösungen zusammen- gestellt, beurtheilt und durch numerische Beispiele erläutert. Der meiste Raum ist mit Recht der von Bessel mit Hülfe der Fou- rier*schen Reihen gegebenen Auflösung gewidmet, deren Eigen- thOmlichkeit eben hauptsächlich in der Anwendung dieser wichti- gen und merkwürdigen Reihen auf den speciellen (**all der Kepler'- •cben Aufgabe liegt, und die deshalb auch in unseren Supple- menten zum mathematischen Würterbucbe. Tbl. I. S. 200. Art. Bestimmtes Integral, von uns entwickelt worden bt. Vielleicht ist es fiir den geehrten Herrn Verf. nicht ohne Interesse, wenn wir ihn darauf aufmerksam zu machen uns erlau* hen, dass schon früher in Deutschland eine von ihm nicht gekannt zu sein scheinende Dissertation über das Kepler'scbe Problem ersdiieieB Ist, die den Titel hat: Kepleri Probleroa cele-
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bre. Commentatio qaarn ampl. Ph. ord. cons. ete. p«« blice defendet W. H. Detmoldt Gottingae. 1798. 4 Dieselbe kann sich aber mit der ausgezeichneten Schrift des Herrn Verfs gar nicht messen» nnd dersefhe wfirde tat seines Zweck in ihr nur wenig Ausbeute gefunden haben. Allen denen» welche sich mit der Kepler'schen Aufgabe und deren verschiede* oen Auflösungen ausftihrlich bekannt machen wollen» empfehlen wir die vorliegende Schrift recht sehr zur Beachtung*.
Index Lectionum in Lyceo Regio Hosiano Brnns* bergensl per aestatem anni MÜCCCLII a die XIX Aprilis instituendarum. Praemissa est Dr. Laur. Feldtii com- mentatio de Gaussii formüla Pascbali analytlca. Ad« jectam est tabulae paschalis ab anno 1850 usqae ad anaum 2000 specimen. Brunsbergae. Heyne. A
In diesem sehr verdienstlichen Programm Aat Herr Professor Feldt in Braunsberg einen Beweis der Regel zurBerechnimg des Osterfestes geliefert, die Gauss schon im Jahre 1800 im zweiten Bande S. 121. der Monatl. Correspondenz ohne Beweis mit- theNte, und eine von Ihm berechnete, von 1850 bis 2000 reichende« Ofdertafel beigefOgt, weshalb wir alle, welche an dieser Gaussischen Regel zur Berechnung des Osterfestes das derselben gebührende Interesse nehmen, auf diese lesenswerthe Schrift aufmerksam machen. Bemerken wollen wir nur noch, dass Gauss in der Zeitschrift für Astronomie und verwandte Wissen- schaften. Tbl. I. S. 158. eine Berichtigung seiner Regel be* kannt gemacht hat, auf die er durch den verstorbenen Professor Dr. Tittel aus Er lau zuerst aufmerksam gemacht worden war* Diesen letzteren Gaussl'scben Aufsatz scheint der geehrte Herr Vf. des vorliegenden Programms nicht gekannt zu babeo.
Annalen der k. k. Sternwarte in Wien. Nach dem Befehl Seiner k. k. apost. Majestät auf öffentliche Ko- sten herausgegeben von Carl von Littrow, Directer der Sternwarte u. s. w. Dritter Folge Erster Band. Wien. Gedruckt bei Sommer. 1851. 8.
IMit diesem Bande beginnt der verdienstvolle Director der Wiener Sternwarte, Herr C. von Littrow, die dritte Folge der Annalen des unter seiner Direction stehenden Instituts, wobei zugleich das Format verändert worden Ist, indem die Annalen nicht mehr wie bisher in Quart, und noch früher in Folio, son- dern von jetzt an, nach dem Vorgange anderer ähnlicher Werke» zweck - und zeitgemftss In Octav erscheinen , gedruckt auf sehr schönem starken Papier mit sehr scharfer und deutlicher Schrift. Aus unsern früheren Berichten über diese Annalen kennen die Leser unserer Zeitschrift das grosse Verdienst, welches Herr C.
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v#o Littrow sich dureb die Dan vollendete Beraosgabe d« Piazei'schen Beobacbttuigeo erworLeo hat, uod werden auch.His- aeo, da^a dieses Werk, indem es, z, B. von Herrn Profeasor Peter 8 in Königsberg bei «einen bekannten acboaea Arbeitea fiber die Fixaterne^^ ala Grundlage verachiedener aatroooodscker üoterauöbangen benatzt worden ist, der VVtaaenschaft acboo tnanebe acbOne Fracht getragen hat. Durch die Herausgabe des vorliegenden eiaten Bandes der dritten Folge der Annale« erwirbt sich Herr C. v. Littrow ein neues ähnliches Verdienst um die Wissenschaft, indem er in demselben die erste Hälfte eines von Herrn W. Oeltzen aus den bekannten Argelan der'schen Z<\nen abgeleiteten Stcrncatalogs unter dem folgenden Titel publicirt:
Orad
Argelanders Zonen-Beobachtungen vom 45. bis 80. ^.»de nördlicher Declination, in mittleren Positionen fiir ^842,0 nach gerader Aufsteigung geordnet von Wilhelm Oeltzen, Assistenten der WienerSternwarte. Erste Abtheilung (0& bis 11^.34'").
Ueber die Entstehung dieser Arbeit spricht sich Herr C. voo Littrow in der Vorrede auf folgende Art aus: „der gegenwärtige Band der Annalen, in der vollständigen Reihe der AXjlV., um der folg^de, bereits unter der Presse befindliohe, geben einen ans den ersten Argelander'schen' Zonen abgeleiteten Stero- katalog, dessen Anfertigung sich Herr W. Oeltzen zur rühmli- chen Aufgabe gestellt bat. Als Herr Oeltzen im Spätherbste 1860 in da& Personal des hiesigen Observatoriums trat, hatte er bereits einige Monate sieb mit diesem Gegenstande beschäftigt. Die buchst umsichtige Anlage des Ganzen bestimmte mich sofort, Hin zunächst zur Vollendung dieses Tbeüs weiterer Untersucbun* gen, in denen er begriffen ist, zu ermuntern und ihm hierbei mit allen mir zu Gebote stehenden Mitteln um so mehr zu Hülfe m kommen, als damit eine 'wichtige Vorbereitung för das sch9P froher von unserer Anstalt gefasste und eben angebahnte Vorha- ben ergänzender Zonenbeobachtungen geliefert wird.** — Wir ha- ben diese Worte hier angeführt, weil aus denselben sich ergiebt,' dass das Verdienst der wirklichen Anfertigung dieses Catalogs Herrn W. Oeltzen gebührt. Aber auch Herr C. von Littrow machte die Ansfilhrung der Arbeit in verhältnissmSssig so ka^zer Zeit dadurch möglich, dass er Herrn Oeltzen der Theilnahme an den allgemeinen Geschäften der Sternwarte enthob, und durch die bekannte grosse Liberalität, mit welcher der k. k. österreichi- sche Unterrichtsminister. Herr Leo Graf von Thun, Excelleni, alle wisaenschaftlichen Unternehmungen unterstiitzt, wurde es möglich, Herrn W. Oeltzen för die mechanischen Ausfuhrungeo noch einen Htilfsarbeiter beizugeben, was ein neuer Beweis ist, wie sehr die k. k.osterreicbischeStaatsregierang sich die Förderung der ezacten Wissenschaften nach allen Seiten und Richtungen hin angelegen sein lässt. Ueber die Art der Berechnung, die Einrichtung und den Gebrauch des Cataloes enthält eine demselben vorangeschickte sehr deutlich verfasste Einleitung alles Erforderliche. Wir wun* selben sehr, dass es dem verdienten Herrn Berechner und Her- ausgeber bald gelingen möge, das mathematische und astronomt*
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sehe Publiciiin mit dem zweiten Theile diefier verdienstlichen Ar- beit 20 be«€benken, noran ja auch kein Zweifel sein kann, da derselbe laut der Vorrede schon unter der Presse ist Sobliess« lieh bemerken wir noch, dass es bei der Herausgabe dieses Stern- catalogs keineswegs die Absicht sein konnte» das treffliche Ort- ginaly welches derselbe bearbeitet, gleichsam zu verdrängen, son- dern nur dessen Benutzung zu erleichtern und Qbersichtficher zu machen, %vas auch nach unserer Ucberzeugung durch denselben vollständig erreicht wird, da der Catatog in niriglichst lebendigem Znsararoenhange mit dem ursprOngKchen Werke erhalten wurde, das man natürlich bei dem Gebrauche des Catalogs immer zuiHeieli zur Hand haben wird. Wir müssen uns hier leider mit oiesei» kurzen Andeutungen begnügen, und wünschen schliesslich, dass das verdrenstliche Werk recht bald in den Händen aller Astrono- men beOndlicb sein und häuGg benutzt werden muge, was jeden- falls zu schönen Resultaten führen wird. Den zweiten Theil werden wir nach seinem Erscheinen sogleich anzeigen.
Termlschte Schriften«
Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften zu Wien (S. Literar. Ber. Mr. LXV.
S. 847.).
Jahrgang 1851. VI. Band. 1. Heft. S. 43. Pucher: Nene Methode photographische Bilder auf Glas zu verfertigen. — S. 53. Rochleder: Ueber eine bituminöse Substanz. — ». 58. Scbrutter: Ueber das Aequivalent des Phosphors. — S. 88. Magnetische Declinationsbeobachtungen vom Bergamte am Dürren- berge. •-* 8. 90. Bou^: Drei Wasserhosen im Monat August 18^ auf dem See von Janina In Albanien.
Jahrgang 1851. VL Band. 3. Heft 8 149. B«rg3 Ueier die vom Civil -Ingenieur Kohn angestellten Versuche, den Binlluss wiederholter Torsionen auf den Molecularzustand doB Sdbniedeisens auszumitteln. — S. 152. Spitzer; Ueber die geo* raetriscbe Danstellung eines Systems höherer Zahlengleicbnnicen« — S. 188. Mllitzer: Hilfstafeln der Reduction gemessener Gas« volomina auf die Temperatur 09 und den Luftdruck 760"**". -^ 8. 90S» Doppler: Ueber die Anwendung der Syrene un4 dea
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akustischen Flugr&dcbens zur Bestimmung des SpannuDMgrftdes der Wasserdfimpfe und der comprimirten Luft — ^ S. 214. Sciirit- ter: (Jeher die Bestimmung des Aequivalents des Selens. —
Jahrgang 1851. Vi. Band. 3. Heft S. 253. Stampfer: Comissionsbericbt über die Einfuhrung genauer Alkoholometer. — S« 265. Stampfer: Ueber Versuche, weiche sich auf die Wir- kung der Capillarität bezieben. ^ S. 286. Thomas: Beobachten- £en Über gewisse Erscheinungen» welche sich an den Krystall- «iosen verschiedener Thiere beobachten lassen. — S. 313. Mö- lln: Falsitli di uo esperimento di Matteucci.
Jahrgang 1851. VI. Band. 4. Heft. S. 430. SantiDi: Ueber den Biela'schen Cometen. — S. 461. Gintl: Der traaspor- table Telegraph für Eisenbahnzuge.
Jahrgang 1851. VI. Band. 5. Heft. S. 554. Brücke: Ueber eine von ihm erfundene und zusammengestellte Arbeits- loupe. — S. 555. Stampfer: Ueber einen in der Werkstätte des k. K. polytechnischen Instituts verfertigten Theodoliten für Mark- scheider, der sich auch vorzüglich zum Gebrauche auf wissen- schaftlichen Reihen eignet — S. 557. Natter er: Ueber Gas- verdichtungsversuche. — S. 57]. Pohl: Chemisch-physikalische Notizen. — S. 601. Mayer: Ueber das mechaaische Aequivalent der Wärme.
Jahrgang 1851. VII. Band. I.Heft. S. 3. Kunzek: Uebersichten der Jahres- und Monatsmittel aus den während eines Zeitraumes von 20 Jahren in Lemberg fortgeführten meteo- lologischen Beobachtungen. — S. 160. Doppler: Ueber Decli- nationsbeobächtungen aus älterer Zeit in Freiberg in Sachsen. -- 8. 162. Doppler: Ueber den Einfluss der Bewegung auf dieliH tensität der Töne.
Jabrgans 1851. VH. Band. 2. Heft S. 228. Stattipfer: Ueber die am 28. Juli (1851) bevorstehende Sonnenfinsterniss.
Jahrgang 1851. VII. Band. 3. Heft. S. 38«. Freyer: Ausflug auf den Terglou zur Zeit der Sonnenfinsterni^a am 88. Juli d. J. — S. 389. Haidinger: Das Interferenz -Schachbrett- fmisler und die Farbe der Pelarisationsbüschel. — S. 407. Co- lumbus: Die Sonnenfinsterniss am 28. Juli 1851. — S. 411« Singer: Bestimmungen der elektromotorischen Kraft einer gal« vanisehen Kette. — S. 412. Fritsck: Ueber die Temperato^ Verhältnisse und die Menge des Niederschlages in Bohniea. "^ 8. 449. Weisse: Meteorok>gische Beobachtungen. — ^* t" Bou<$: Ueber die wunderbaren donnerartigen Detonationen* wer ehe Ale heurigen Gewitter nnd ungeheuren Regengüsse zwliebee
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dem 20. und 26. September zu Vöslau mehrmals begleiteteu. — 8. 454. B nicke: Üeber Meyer a optischen Versuch. — 8. 455. Spitzer: Zusätze zu seinen Arbeiten ober höhere Gleichungen. — S. 471. SIcuchersky: Die Theorie der TheiluBgspunkte als Beitrag zur Lehre von der freien Perspective.
Jahrgang 1851. VII. Band. 4. und 5. Heft. S. 563. Bou^: Ueber die Nothwendigkeit die Erdbeben und vulcaniscben Erscheinungen getiauer als bis jetzt beobachten zu lassen. — S. 684. Staropfer: Ueber die kleinen Planeten zwischen Mars und Jupiter. — S. 756. Derselbe Ober denselben Gegenstand* ^ S. 776. Bou^: Ueber das Erdbeben, welches Mittel- Albanien im October d. J. so schrecklich getroffen hat. — 8. 801. Kr eil: Bericht ober die Broschüre: Instruction for taking meteorological observations at the principal foreign statlons of the Royal Engineers.
Mittheilungen der naturforschenden Gesellschaft in Bern. Nr. 219-230.
(M. vergl. Literar. Ber. Nr. LXX. S. 893.)
4 j
L. R. Fellenberg, Analyse des Mineralw*assers von Blu- roenstein. Nr. 219. und 220.
R. V^olf, Simon Lhuilier. Erster Artikel. Nr. 221. bis 223.
C. Brunner, Chemische Notizen (Darstellung von reinem Silber aus Cblorsilber. — Ueber Fällung von metallischem Kupfer und Bereitung von Kupferoxyd). Nr. 225.
G. Brunn er. Sohn» über die wicht«iz;ste Arbeit, welche wir in der Geologie der Alpen besitzen. Nr. 227. und 2S^3.
R. Wolf, Sonnenflecken-Beobacbtungen in der zweiten Hälfte des Jahres 1851. — Beobachtung der totalen Mondfinsterniss am 6. Januar 1852. — Beobachtungen über das Alpenglftben. Nr. 229. nnd 230.
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Preisaufgaben der kaiserlichen Akademie der Wissei-
Schäften zu Wien.
.1.
Was sind Drack- und Wanne - Capacität bei Gasen» die sieh ausserhalb der Nähe der Liqaefaction befinden »^f&r Funcüoneo der Dichte und Temperatur? ^
Termin der Einsendupg: 31. December 1852. Preis: 200 Ducaten.
(S. Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Klasse. 1851. Band VI. Heft 5. S. 683.)
II.
Netie, möglichst genaue und umfassende Bestimmung der Pia- Dcftehmasseu , namentlich der wichtigeren Hauptplaneten.
T.ermrn der Einsendung: 31- December 1853. Preis: 300 Dubaten.
(S. ebendas. S. 685.). >
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