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t
ARCfflV
der
MATHEMATIK und PHYSIK
mit besonderer Rücksicht
auf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren
Unterrichtsanstalten.
|
Gegründet von |
|
fortgesetzt von R« Hoppe. |
|
Sechzigster Teil. |
Leipzig.
C. A. Koch's Yerlagsbachhandliing,
J. Sensrbvieli.
1877.
Inhalts-Verzeichniss
des sccksigsten Teilst
JII4ttl¥haadliuig. H«A. 8«iU.
Arithmetik^ Alrebra und reine Analytl« ohne Integralreelinnng.
XIV. Relation d'nn Systeme d'^quations, dont nne est da second degr^, tandis que les antres sonl lin^aires.
Par J. Verslays 11. 128
XV. Untenochangcn ttber algebraische Oleichangen.
Artikel V. Von Alfred Siebcl IL 138
XIX. lieber rationale Warzeln kabischer Gleichuigen in
rationaler Gestalt. Von Eduard Liebrecbt • IL S16 XXI. Ueber aufsteigende KettenbrAche. Von Emannel
Csuber III. 965
XXVIII. Losung einer symmetrischen Exponentialgleichung.
Von B. Hoppe IIL 33«
XXX. Norobres entiers, dont le cube est dgal h la tomoie de trois ou de qnatre cubes enticrs. Par Engine
Rebout IV. 358
XXXVnL Ein Beitrag zur Theorie des Maximum und des
Minimum. Von Josef Gruber IV. 415
XXXIX. Die Lehre Tom GrOssten und Kleinsten, all' Zweig des mathematischen Unterrichts an höheren Schu*
len. Von Heilermann IV. 436
XL. Identit^ remarquable foumie par la quatrlime puissance d'une somme de quatre nombres. Par Georges Dostor IV. 445
XVIII. Deher dos Pfiirachc Problem. Von Hamburger 11. XXVllI. Bemerk ung lur mechnnischcn Quadratur. Von
Ligowaki IIL
XXIX. Beiträge lur Theorie der Bcihcn. Von E. Meli-
sei IV.
fieometrie der Ebene. VI. Zar Theorie dir Symmctnepailkle erster Ordnung.
Von Emil Hain I.
VII. Bniehungcn iwiii^ben Dreieck und Kreis. Von
Emil HoU I.
VIII. Die Hohenichaiuc der Dreiecke aus vier Gernden.
Von Emil Hain I.
IX. üeber isogonal enliprcchende Punkte. Von Emil
Hain I.
X. Eine geometrische Aufgabe. (Schluss.) Von
Eduard Licbrecbt I.
X. D^menslration ^l^mcntuirc de dcux (brmules ioga-
rilhmiqnes. Par P, Mansion L
X. Zar Theorie der Kcgciichniite. Von Max Greincr 1. XII. Uebcr einige Beiiebungeu der elattiscbcn Curvc lU den elliptischen Functiunen , specicll lU dem ellip- tischen Bogen. Von C. Bender II.
XIII. Tb^r^c gifn^ral snr les coaibes nnicarsnles. Par
Paul Appell n.
XVII. Ueber dal KreisTicreck. Vau Mnx Qreiner . . II. XIX. Eine ScbQleraurgabe. Von F rn ni Lnkaa , . , IL XXII. Tb^iisme snr ic* courbee, dont les tnngentes fönt partie d'un complexe de drottca du premicr ordre.
Pur Paul Appell III.
XXIV. BeitrUge lur Theorie des Dreiecke. Vun Emil
Ilnin ni.
XXXVI. Ueber floppelverblltniise. Von Emil Hain. . IV. XXXVII. Znr Tangimng der Eegelscbnilte. Vod Wai-
lerscbicben IV.
X£>. Radin« des Ereisei, der drei gegebene Kreise bc-
rtlhrt Von C. J. Mattlies IV.
XL. Planimetriaeber Lehr«at>. Von E Engclbreeht IV.
IT. Unten nchangen Aber du iph Irische Paicil'iehs ScchKck und dns iphlriscbe Brianchoni-Secbtscit.
Von E. F. T h i e m e
V. Gebmclrische Dcntang Jer KandamentalgrAiKii z weiter Ordnung der Flftrhentheorie. Von B.
Hoppe
XIX. Analoge Eigenichaften der cl>cnrD nnd iphäriichcn
P.rebel. Von B. Mehmke
XXIII. Zweite aiymptotiteb« Linie einer Begelfllcbe. Von
n. Hoppe
XXV. Begriff der Hnrntonikslcbenc einei Punktei in Be-
mg naf ein Tetraeder. Von Emil Hain . , .
XXVI. Bemcrkong Aber Symmetrie puukle de« TetriiciicM.
Von EmilHsin
XXVU. Propositioni aar le« corpt de i^ToIntion de In
giotoitrie lüdmeDtnirc. Par Georges Dostor .
XXXI. Cantirn^lion der RcHexo auf ebenen Spiegel fllcben.
Von Kitrl KOpl
XXXIV. Ueber Pqnkitinicn auf krummen Fitchen. Von
F. Hoi«
XXXV. Haelilrtge lar Currcn- nnd Filchentheorie. Von R Hoppe
Heebnik.
X. Kagel von ex ccn Irischer Majse and centriscber
Trägheit. Von lt. Hoppe
XI. Ueber die osci II alori seilen Bewegnngen einer Walie
mit excentriicher Sehvrerpnnktaaxe. Von C. B e n d c r
XVI. Ueber das Rollen der Fliehen aafcinander. Von
B. Hoppe
XIX. Variation der HaDpItragheitsaxen. Von B. Hoppe
XIX. Axencontlniction der Eltipsc, als Lisiajoni'seher
Schwingnngscurre. Von IL Janusehke . . .
XXXIL MAhode simple et rapide ponr d^terminer les lois
. du pendule h petitcs oseillalioni.
I Dostor I
II. CoiutrucUon der Wellcnflacho bei der Brcchnng eines homoccntriichen Sirahlenbandels nn einer Ebene. Vun A. von Fmnk I. U
X. Elemenurer Beweii eines Satie« au* der Optik.
VoD Fr. Broderien 1. 107
Astronomie.
XXXIII. PropTivtJ trigonomiftriquB du triangle rcetangle, avec apiilicatian en astronomiB Bu ealeul de l'ano* malie vrale en talear de ranomalie axcentriqae. Far OeoreBB Doitor IV. 969
PliIBlk.
I. Simaltane Schwingnngcn zweier Mngncte. Ton
J. Obermann L I
XX. Ucber den Dnrchgnng ilea elektriselien Stromi
dnrch eine Eagelcalaito. Von Wilhelm Wolf III. 995
UtterarlBehe Berleite.
CCXXXVIi: Boncompagni (Bull. IX. 1-6). Friachauf (abi. Geom.).
MitlelBcber (Grdg. d. Krafl). CCXXXVIII. Steinbrink (hCh. DilTq.). Hngel (mag. Sjtt.). Lacaa
(Primi.)- Burnior (»leUu log. B). Schlenaing (Vr).
Naricr (Diff. u. Inl. H.). Brioachi (Ann. VI. VII.). Ca-
talan (N. Corr. II. 1—6.). CCXXXIX. Angoat (Ar.}. HOlir (Ar. U.), Sachis (Ar. n. Alg.).
Gilles (eb. Geom.). Becknagel (eb. Gcum.). Nagel
(geon. Anal.). Hermei (Aufg.), Sainl'Gerniain (Ueb.
Mech.). Harnia CRech. B.). Vega (Log.). Qaeipo (Loß.).
Angust (Log.)- Vcralnya (Log.). B urnfor (Oalcrr. —
knb. Olch). CCXL. Blaai(Trer. Gicb.). Winckler (Diff. Glch.). Hei» (Polycd.).
Pohlke (daral. G.). Krcnsicl (dargt. O.). Ad am (eb. Trig.).
Vymaial (Trig.). Biehrlnger (lehicf. Trig.). Cnveriagt
(Qunt.). Doli (Niv. Inatr.). Delnbnr (Bcleneht.). Schrei-
bcr (bar. Hob. M.)- Veltmann (Olueke). Bierena de Haan
(S. Ärch. l. IL). Catalan (N. Corr. IL 7-.1J.).
vn
«..»'+«-1
Berichtigungen
in Teü LIX.
Seite 77. Zeile 7 v. u. \ ^. 2ä i . uu j * j^ #;« ^
> zu ©iHv^ und dem gleichbedeutenden fuge
» 1 V- ^- ^ den Factor J
2ä „ 2 Y. u. Tor ©in -7- streiche den Factor 2
„ 153. „ 8 V. u. soll es heissen:
„ 158. „ 5 V. o. statt An^2 u. Bn-2 setze i4-.«+2 U. -0-w+2 „ 159. „ 14 V. 0. „ -4r— 1 „ -4 1+1
„ 178. „ 2 V. U. „ -Bn-2 „ -B-w+2
„ 1 V. U. „ -4m-2 ,) -4-14^2
„ 248. „ 13 V. 0. „ 1)1*1 „ pit^t
249. „ 12 V. 0. fehlt . . . (77) in (78) muss t* wegfallen
256. Zeile 5 v. o. statt eg setze "V^g 7 V. 0. fehlt vor der Klammer der Factor t
257. „ 2 V. 0. statt JEJ, F setze --E, —F 5 V. o. „ F „ — E
-gy setze +(|y
8 Y. 0.
51 " '• "• «
»
y« y«
„ 262. „ 5 V. u. „ — „
„ 264. „ 3 Y. u. „ VfliStt „ Vö^Sü ^ 267. „ 8 V. u. „ ß. 16. „ S. 17
„270. „ 2y. 0. „ ^ „ g^
„ 306. in den Formeln (109) fehlt überall im Nenner der Factor 4
im litt. Ber.
Seite 6. Zeile 4 v. u. statt werden setze worden „31. „ 1 Y. 0. „ Annehmen „ Anlehnen
Seite 139. Zeile 7 v.
in Tfäl LX. I. statt (■— 2 setze
Iti. 15:J.
154.
>
= 0, wenn
<
>4
, nenn <4
<6
2 V. 0. liCB r = 3; logp = 0,5508 — 2
5 a. 6 V. 0. statt hgx' setze log^' G V. o. statt z' „ Z'
— a
6 u. 7 V. n.
legi* =0,... „ 156. „ 11 V. 0. statt — 8 setze — eo Tabelle Seite 3. Anmerk., ergänze : Die log<prU) wurden am 10 crh&ht bei r = 3 4 5 6
»<1,50 1,34 1,25 1,26 „ „ 6. Nach Tabelle II''. ei^änze: lu den letzten Zeilen
Würden die y •< 0 um 10 erhöht
öbsrMa>if.: SMuliane 3ch aingungtn tUfeter Magnefk. ' '
I.
Simultane Schwingungen zweier Magnete.
Von
J. Obermann.
Meines Wissens ist das mechanische Problem der gleichzeitigen Schwingungen zweier auf einander wirkender Magnete noch von keiner Seite in Angriff genommen worden. Die sich ergebenden Differential- gleichungen sind in der Tat so beschaffen, dass an eine allgemeine Lösung des Problems bei dem derzeitigen Stande der mathematischen Wissenschaft nicht zu denken ist. In dem Falle aber, als man sich auf unendlich kleine Schwingungen beschränkt, lassen sich die Diffe- rcAtialgleichungen nach bekannten Methoden durch trigonometrische Functionen integriren, und die Darstellung dieses Falles ist der In- halt des folgenden.
Bifferentialgleiehnngen.
Wir denken uns zwei Idealmagnete n a und n! «' um ihre Mittel- punkte in ein und derselben Horizontalebene drehbar und die Mittel- punkte seien* in demselben magnetische Meridiane. In n und « seien die magnetischen Massen +f* ^^^ — f? ^^ ^' und «' +h' ^^^ — f*'. Wir setzen ns = 2r, n'a* = 2r'. Die magnetischen Momente der beiden Magnete sind m = 2fir, m' = 2^'r' n! und s seien die nächsten Pole der beiden Magnete. Ferner sei e die Entfernung der beiden Mag- nete, und wir nehmen an c > r-{-r'. If sei die Horizontalcomponente der erdmagnetischen Kraft auf die magnetische Masseneinheit, fp und q>' die Winkel der magnetischen Axen (die Elongationen) der beiden Magnete mit dem magnetischen Meridian zur Zeit «, K und K' ihre Trägheitsmomente. Man findet als Ausdruck des Drehungsmomentes des Magnetes n'«' auf ns (Vergl. Lamont Magnetismus)
Teü LX. 1
* — (rBinp+r'flinfl>')*+(«— rCOBq»— T-'cOKi^'j*
' -= {räa<p — r'sbnp')*-\-{e — rcosgo+r'coaq)')* = (niatp-i-r'sinqi')* 'i-(e-\- rcoBtp-\- r' coiip'y — (raiaip ~r'BiD^')*-\' (e+rcoaip — r'cOBip')'
itigt man auch die Momente, welche der Erdmagnotls- iden Magnete ausübt, nämlich — m^sin^, — m'ffauip', :h die folgenden DifforentiolgleichnngeD der Bewegung
m/r . au'er . / 1 , 1 1 1 \
-^^Binv— --^-smq).l^^+ =5— =5 - ==-A * " \sn »n n* *< /
■" \#M nn M mV
Itab n'*' m'H . , u^W . , / 1 , 1 1 I \
e^Bin(v-^').(4+ 4+4+ 4) * \»n M tu" nn /
erentialgleichungen gelten noch iallgemein, und man durch Zeichnung leicht, daBs sie ungcändert dieselben ) gegenseitige Lagen auch die beiden Magnote zur Zeit
rir nnn die Elongationen qi und <p' sehr klein an nnd
|
7»' „ sinv' |
|
|
V-v' „ sm(q>-<p') |
|
|
1 „ casip UDd coB9>' |
|
|
■o wird weiter |
|
|
n'» = e—r—r |
|
|
„' =«,_r+r' |
|
|
«' = <+r+r' |
|
|
«„' = e+r-r' |
und wenn mao setzt
-(•+'')(M4??+S=qv?)]} ~''+''H(«+'-f'')'+(fF=ö')J !
2)
IX |(,-,-r')'^(.-H-<-')'^(«-M-r')>
iK' [(,-,-,')«-|-(,-,4,')>-|-(,-f,-fr')>
+ ,-:
r (,+r-ry}
BO erhalten die Differentialgleichangen der beiden Magnetst&be for onendlicb kleine Schwingungea die einfache Gestalt
Diese Glcichnngen kOnaen nnn uacb bekannten Methoden inte- grirt werden. So z. B. genügt die Sabatitotion
einander die der übrigen vernacIllSssigBt irerden liann. Die Aasdnicke far die Constanten oa'hb' gestalten sich dann einfaclier:
5) {
4r(«-r-r')»r " 4i:'(«-r-r'>»
BerQfikjiichtigt man nim, dass «^r-{-r', so sind aa' W positive Grössen, und das Prodnct aa' besteht ans 4 Sammanden j deren letzter ist
f """' V J_ ('-'■)(*-'•')
wfilirend
-[4(,-,_0'J ■JTJf'
BO ist dieser Sammand, und also nmsomehr aa' gröss^ ^ ifi', also aa'— fift' eine positive QrOsse. Ferner ist
(^4^) -(<«»'-*4')-i[{<'-«»')?+'l»']
an sich positiv und daher l* ("g — ) — (*"*' — **') in jBdem Falle
alle 4 Wurzeln der Glch. 4) imaginär. Setzt man daher
Obermann: Simultane Schwingungen zweier Magnete, 5
a4-a' 6) I 9 = |/(^^)*-(««'-M')
wo die Wurzeln absoint zn nehmen sind, so sind die Wurzeln der Gleicfanng 4) -|-il(, — 1*, -\->ii, — *i nnd daher die comploten Inte- grale der Differentialgleichnngen 3) darstellbar in der Form:
7) f",
(?C08A*4-£ 8miU+-D cosKt-^-F sinxt
Die Bewegung beider Magnete ist also eine schwingende und äquivalent der Uebereinanderl^gerong von 4 einfachen Schwingungen. Die Amplituden derselben CD ... sind bestimmt,' wenn man denBe- w^:ang8znstand in irgend einem Momente kennt Es sei für < » 0,
, . , dw ^ dtp rv , .
XE +xF =0 kE'+%F' = 0
Ausserdem liefert die Substitution in die Differentialgleichungen:
(k^—a)E = bE'
d. L mit Rücksicht auf die vorigen Gleichungen
XE+xF^O X(X* — a)^4- «(%» — o)jP « 0
Da X von X verschieden ist, so ist auch die Determinante dieser Gleichungen von 0 verschieden, dah^r muss E ^ E' ^0 sein, woraus dann weiter folgt F = F' =« 0.
Somit ist die einfachste Gestalt der Integralgleichungen:
g. ( ff = C cosXt-^D cosxt
\ tp' =, C cos Xt-^D' cos xt
Für die Amplituden CDCD* erhält man man aus den Anfangs- bedingungen und durch Substitution in die Differentialgleichungen:
unter n and m ganze Zahlen verstanden. Oder es mDsste sein
es müssten also k nnd x ein rationales Verbältniss ktben. Dies ist aber, wie ans den Ansdrflcken für k and * hervorgeht, im Allgemeinen uicht der Fall. Zwar k^hrt derselbe Wert der Elongation nach einer gewissen kleinsten Zeit wieder, aber diese Zeit ist von der laafenden Zeit t abbängig and eine andere bei der Geschwindigkeit und bei der Bescblennignng; and diese Intervalle sind Qberdies auch bei den beiden Magneten verschiedene.
Um nnsere Formeln za verificiren, setzen wir einmal 9' — 0 ftr alle Zeit, dann gehen die Formeln 3} und S) Aber in
isVof
-^ = — «>'; ?)'= Vo'cosVä'f
welche Formeln die Schwingongen des einen Stabes darstellen, wenn der andere mht. Die Schwingungsdaner der beiden SUlbe anter diesen Umständen sind
Uan kann den Gang der Magnete auf graphischem Wege ver- auRchaulichen , wenn man wie in Fig. 1. t als Abacisse betrachtend die Curven y ^ Ccosi* und y ^=— Dcos« constrairt. Die zwischen beiden Curven enthaltenen Ordinateo geben die jeweiligen Ansschlftge des ersten Magneten. Ebenso stellen die zwischen den Cnrven y = C'coa kl and y = — 7>'cos xi entiialtenen Ordinatcn den Gang des zweiten Magnetes dar.
So wflrde Fig. 1. den Gang des Magnetes n» darstellen, wenn
|
OÄ — C, 0B = D, 0. |
A |
0,= |
-.il |
iit. |
||
|
Ebenso würde Fig. |
2. die Bewegung |
dei |
zweiten Magnetes dar- |
|||
|
stellen, wenn OA = C |
03- |
-c. |
0,- |
=V' |
Oß- |
= ^ist In Fig. 1. |
Obermann: Smultane Schwingungen zweier Afe^gnete. Q
9> =■ i^o (cos A*+ cos *t) «= «Po cos -^— <. cos — s"* g>' -= — }9o(co8X< — cosx/) = — «po^in^y-«. sin — g-«
Es kommt also auch der anfänglich ruhende Magnet in Schwin- gangen derselben Art. Die folgenden Figuren 3 und 4 veranschau- lichen die Bewegung der beiden Magnete von t^O bis beiläufig
5»
Nehmen wir ein Beispiel von ungleichen Magneten. Fs sei
m = 138 Millionen, m' =^ 8 MUlionen
K = 133680 MiUionen, ^ =- 130 Millionen, r = 463 / = 116
« = 600, -ff =1-78, qpo « <)Po'='2<» = 0 0349
Es findet sich
|
a= 0-931 |
a' = |
67*974 |
|
6= 0-223 |
*'- |
229-384 |
|
5» = 34-452 |
3 = |
• 34-276 |
|
A= 0-4200 |
% = |
8-2903 |
|
C= 00344 |
C' = - |
- 01164 |
|
Z)= 00005 |
zy = |
0-1513 |
|
y- 14- 9600, |
27t |
0-7579 |
Die Schwingungen des grösseren Magnetes sind also von der Art der Fig. 2., die des kleineren von der Art der Fig. 1.
Sind beide Magnete ziemlich verschieden, wie in dem letzten Beispiele, so kann man die eine Periode als Haupt-, die andere als Nebenperiode des schwingenden Magnetes bezeichnen. Als Haupt- periode muss jene betrachtet werden, zu der die grössere Amplitude gehört So ist in dem letzten Beispiele ftlr den grösseren Magnet
-j- = 14*9 ... die Haupt-, v "^ 0*7 . . die Nebenperiode, während
beim kleineren Magnet das umgekehrte der Fall ist Die Haupt- periode bestimmt den Gang des Magnetes im Grossen und Ganzen, während die Nebenperiode die Abweichung von dem normalen Grange der Schwingungen darstellt. Vernachlässigt man wegen der Kleinheit von D in dem letzten Beispiele die Grösse Dcosxt^ so können die Bewegungsgleichungen in folgende Form gebracht werden:
V
pUtaden CDC'iy keioeo Eiafluss hat.
Wir wollen noch anterguchen , in wiefern die in dem frOheru entwickelten Gesetze der Bewegung sich ändern, wenn man Wider- sUnde berücksichtigt, die der Geschwindigkeit proportional sind. Es Bei e der WiderstandECoeffident bei dem einen Magnete, e' bei dem
andern, so hat man in den Gleicbongen 3) noch die Glieder c -~
and e' —^ hinzuzufügen. Dieae Gleichungen gehen aomit über in die
folgenden:
,d<p'
V -V
Anstatt der Gleichong 4) erbUt man
14) a*+<,'(<:+c') + «»(«+a'+<«')+«(o<:'+.«'c)+(«'-»') -0
deren Wurzeln die Form haben werden
— ^-(ii, —t — vi
Da man den Widerstand als gering, somit e and c' als kleine Grossen voraussetzt, so werden sich die Wurzeln dieser Gleichung sehr wenig ron den Wurzeln der Gleichung 4) unterscheiden. Ea mBssen also it kleine Zahlen, und ftv von dem üHhem Xx sehr wenig Terschieden sein. Die lotegralgleichungeu 7) geben jetzt Aber in
qD = e-''{C cos(i(+£ sinn()+e'"{Ö cob«+jP sinvf)
y'= fl-'f {C'cosni-j-£'8infii)-!-e-''(D'coB**+J"sinrt)
Han kann nun immer setzen
C= Mcosm, D — ^cos«, C = M'cosm', D' ■= Wcos«'
E — Jtf sin m, F ■= iVsin n, E' — M' sin m', F' = itf' sin n'
wodurch sich die vorigen Gleichungen umändern in die folgenden
V. Frank: Consiruction d^r ■WpUeti/Utch* Ui d^ Br$ckwg «le. \\Q
EL
C!onstruction der Wellen|läche bei der Brechung eines homqcentrisqhen SteaWepbündQle »n .einer
Ebene.
Von
A. von Frank.
Um die hier zum erstj&nm^e gegebepe Constniction der Wellen- flftcbe zu begründen, soll eine kurze analjrtiBche Entwicklung voranB- geschickt werden, welche den Yorg^g in ei^er durch den Hanptstrahl gel^^n Ebene*) verfolgt, man erhält dann das ränmliche (Gebilde durch Rotation dieser Ebene um dep HauptstrahL
Es sei in Fig. 1. ^' die brechende Ebene, L der leuchtende Punkt, LP irgend ein einlallender Strahl. Dieser wird bei dem Ein- tritt in ein optisc^i ^^chteres ^ttel etwa in der jBJLChtOjDg f^B ge- brochen.
W&hrend die Wellenbewegung des ungebrochenen Stra.hle8 in einer gewissen Zeit bis Af ' fortgeschritten wäre, erleidet die Aether- bewegung im gebrochenen StraM moht nur eine Ablenkung, son- dern auch eine Verzögerung, und M bezeichne den Punkt bis wohin in derselben Zeit die Welle gekommen ist
Es sei l^P » r, HP « «; femer bezeichne e^ die Geschwindig- keit der LichtbewiSgung im Isten Mittel, c^ diese im 2ten Mittel-, (i und <t die Zeiten welche verfli^ssen , um ^it diesen Geschwindig- keiten die Wege r und 9 zurückzule|[eA, so hat mui die Beziehungen :
*) Diese Ebene i9t hier als Zeiche<^eb,eop ^ngepomipep.
PMT=ß
oder wenn der gebrocheDe Strahl PM über P verl&ngert wird, bis er die Richtang OX des Uauptstrables iu C scfaneidet, auch
OC'P^ ß
Es folgt iminittelbar aus der Figur:
C7'PBillP = r8inii . . 4)
imd hieraus:
C'P— nr 5)
weQ -r—g ■= n ist. (Brecbtmgsgesetz). NcDDt man noch C'P— r', so bat man:
••'-»r ai)
die zweite Bedingungsgleichnng fOr die Constmcüon der Wellenfläcbe.
Erricbtet man im Punkte O' eine Senkrechte AB, wobei der Ponkt 0 dadurch gefunden wird, dass man:
0'0:L0 — n:l
macht, verlängert man ferner den einfallenden Strahl LP aber L hinaus bis zum Darchacbnitt C mit der Senkrechten AB, und be- schreibt vom Paukte P als Mittelpunkt den Kreisbogen CC bis zum Durchschnitt mit der Axe OX, so giebt die Verblödung C'P die Richtung des gebrochenen Strahles. Es 'ist nfimlich aus den beiden ähnlichen Dreiecken LOP und LCO':
LP-.LC— LOiLO' oder auch
(LP+ LC) : LP — (£0+ LO') :L0 daher:
CP:r= O'O-.LO Hit Benützung der früheren Proportion hat man endlich:
C'P = nr
wodurch bewiesen ist, dass C'P der Bedingung (II) entspricht, also die ^htnng des gebrochenen Strahles darstellt
Auf dieio Weise kann man für eine grosBO Anzahl einölender Strahlen höchst einfach and- schnell die Bichtangen der gebrochenen constmiren. (Fig. 2. wnrde so aaagefahrt).
Khäft der, durch die DurcliBcbaitte der gebrochenen Strahlen gebil- deten Breonfläche und der WcUenäftche Gebranch macht
Zn diesem Behnfe wollen wir zunächst die Gleichungen der Brenni^che nnd der Wellentläche aufstellen, oder mindesiona die ana- Ijtiacben Eigenschaften dieser letzteren fttr die zwei hier möglichen FUe aufenchen.
Hennen wir fttr einen bestimmten Strahl
0P= a^rama
die constante Entfernung des Icncbtenden Punktes von der Eheno OL =^ l, so hat man für die Coordinatcn | und «] die unmittelbar ans der Fignr folgenden Ausdrllcke:
| = «COBp 7)
nnd ^
I) = rBino+«sinj3 8)
Dieser letzte Ausdruck wird, weil
sin« = nsinj! ist, auch:
, = („r+.)sinp 9)
Indem wir aus Gleichung (I) den Wert fOr t ziehen, und herück- l sichtigeD, dass, wegen cos« ^ -•
sinß
-ij/rrj
wird, so bekomn^ii wir für die Coordinaton der Wellen&äche die Formeln ;
i-'-^V^-^W^) (-^
'' = {'+'^)V^ m
Die Elimination von r ans diesen beiden Gleichungen würde den Schnitt der Wellcufläche mit der Zeicbnungsebene geben. Da diese Elimination uns zn einer Gleichung führt, ans welcher der Charakter 4er Wellenlinie nicht leicht zu erkennen 'ist, so wollen wir lieber die GIcichang der Brennfläche ermitteln, nus welcher wir dann sofort die ualftischen Eigenschaften der Wollenflftche ersehen werden. TM LI. s
Wir elimiuiren a ftof die folgende Art: Ans 14) folgt:
ii!$ -(""+"•><— »> '«'
Ans Ib) folgt:
^|^j = <.»i{a-y)+a{a»i+m) 17)
Die Gleichang 16) von jener 17) abgezogen giebt:
0 = my + o»fc 18)
>nt welcher folgt:
•=-)/? '"
Die Snbstitation dieses Wertes in Gleicbang 14) amgehen wir dadurch, dass wir die Gleichung 14) mit a multipliciren :
„»;« _ (a-y)Ha'k-^-a«i) 20)
nnd hier uar für a' den Wert ans Gleichnng 19) Bubstitnireu :
_?!?=(„_y)S 21)
Wir erhalten nnn einen zweiten Ansdrack für a, Rämlicb:
-V^
22)
Die beiden Aasdrflcko ßlr a ans den Gleichungen 19) und 22) verbunden, liefern endlich die Gleichung der Bronnlinie;
>-|/?-|/? ^>
die durch eine leicht zu ttbersehende Umformnng auf die Gestalt:
l^-(/5-. (YI)
gebracht werden kann.
im zweiien «aiie, biuu aiese ocuuiHfl AeqniaiBWiiis von riiupbuii.
Es lassen sich ohne Schwierigkelten die Axen anamittdn, da die ExoloteDgleichaDgen sind:
E»«l. i ElHpM: ]/fJ^+V^^, - 1 •
E,.l. d. nrn-M. Vf^lfy,-V^^. - 1
Die Yergleichnng der Tontehenden Ausdrücke mit Gleichung 2i) giebt dann fiör
»>1... <»--■■■ 6— ;lV— 1
Unter dieun Wellenlinien wird anch eine, im ersten Falle die Qrandellipse, im xwciteu die Ornndhyperbel sein. Han findet die- seihe wenn man bemerkt, dass der Abstand der Spitze der Evolute von der zngehOrigen Grundcnrre ansgedrSckt ist, in beiden F&llen
darcb - Ist daher die optische Länge des Strahles fOr den ersten Fall
'(^')
so ist in diesem Angenbtick die ingebOrigc WelleDflftohe ein Ro- ttüonaellipsoid. Für den zweiten Fall mnss
UtioiisflAcbeD von Aeqaidistantcu zd diesen Grundformen.
Da die Brennliaie znr WeUonlinie (den Vorgang im Schnitt tw- Inchtet) in der Beziehnng der Evolute zor Evolvente steht, ao können die DurchBchnittspuiikte je zweier aafeinander folgender gebrochener Strahlen, als die Uittelpankte der mit der Wellenlinie osculirenden Kreise betrachtet werden. Da wir schon frflher die einfache Bestim- mang der Bichtnng der gebrochenen Strahlen kennen gelernt haben, to ergeben sich ganz von selbst die Dnrchschnittspnnkte 1, 2, 3. — Fig. 3. Weil man die L&nge eines jeden einfallenden Strahles als optische Lftnge fttr eine bestimmte Zeit betrachten kann, so ist ea von keiner Schwierigkeit, eine der Wellenlinie sehr genäherto Korb* linie zn sabstitoiren die ans Bögen der oscnlireiiden Kreiso znaammen- gesetzt, von den Pnnkten 1, 2, 3. n. s. w. successive beschrieben wird. Je mehr einfallende Strahlen angenommen werden, desto genauer ist die Conetruction.
Flächen zweiter Ordnung mit einer Symptoaen-Axe.
Von
Gustav von Etcherich.
Als ich durch die Behandlung Steinor's „Allgemeine Betrachtangen über doppolt berahreude KcRelschnitt«" >) aDgerogt, die einander ein- beschriebenen Flächen zweiter Ordnung zu bebandeln versuchte, be- durfte ich bei dem gewählten Gange dor Untcrsachnug verschiedener Sätze Ober jene Lage zweier Flächea zweiter Ordnung, bei welcher sie sich in ebenen Gurren schneiden. Da die hiebei anfgetauchten Fragen meines Wissens nirgends in ' rein geometrischer Weise be- sprochen sind, so habe ich dies in den folgenden Blättern versncbt Zwar dem ersten Anscheine nach dürfte man die Untersachung dieser Lage zweier Flächen zweiter Ordnung fOr eine durch das Frindp der Collineation und durch EinfQhruug etwelcher neuer Begriffe und De- finitionen schon erledigte halten, da ja 4io Lagen -Verhältnisse bei Kugeln zur Genüge erforscht sind. Und allerdings entsprechen nicht nur zwei Kngeln in einem colUnearen Systeme zwei Flächen zweiter Ordnung, die sich in ebenen Curven, von denen aber eine imaginäre sein muss, achneiden, sondern auch umgekehrt: zwei Flächen zweiter Ordnung, welche eine sog. imaginäre ebene Curve gemeinsam haben, kann mau immer zwei Kugeln collinear entsprechen lassen. Man braucht nur zum ersteren Systeme dergestalt ein coUineares zu con- stmiren, daas der sog. imaginären ebenen Curve der beiden Flächen im zweiten der sog. imaginäre unendlich ferne Kreis entspricht
I) Crello'i Jonra«) Bd. 45.
o. Escherich: f^hen zweiter Ordnung mit einer S^ptosen^Äxe 23
Man erhielte also hiedurch doch nur Resultate, die für einen besonderen Fall gelten, und eine strenge geometrische Methode er- forderte^, dass man nun noch untersuche, ob und in wie weit diese Ergebnisse für die übrigen möglichen Fälle Geltung besitzen. Doch auch abgesehen hieven kleben fast immer den Untersuchungen ver- mittelst der CoUineations -Methode die Mängel aller indirecten Me- thoden an, so dass es stets wünschenswert erscheinen wird, selbst die durch sie ableitbaren Eigenschaften auf andere Weise ans Liclit zu fordern. Aber bei dem Vorwurfe dieser Abhandlung vereinigen sich mit dem eben erwähnten Umstände dergestalt alle Mängel der CoUi- neations-Methode, dass selbst eine blos genügende Erörterung durch sie ganz unmöglich wird. Diese gelingt aber durch sehr einfache directe Betrachtungen in umfassender Weise, wie es die vorliegende Arbeit zeigen wird.
Aasgehend von zwei Flächen zweiter Ordnung, welche sich in reellen ebenen Curven schneiden, suche ich zuerst die Kennzeichen der Ebenen dieser Curven. Dieselben dienen dann zu einer aUge- meinen Definition dieser Ebenen, welche unabhängig von dem zufälli- gen Umstände ist, ob sich die Oberflächen in ihnen wirklich schneiden oder nicht. Ebenen mit diesen Kennzeichen nenne ich nach einem von Chasles^) vorgeschlagenem Ausdrucke Syroptosen-Ebenen. Die Dnrchschnittslinie zweier Symptosen-Ebenen besitzt wieder gewisse charakteristische Eigenschaften, welche zu einer allgemeinen Definition dieser Greraden führen. Ich untersuche nun die Lage zweier Flächen zweiter Ordnung, welche eine solche Gerade, die ich Symptosen-Axe nannte, besitzt.
I.
Zwei Flächen zweiter Ordnung durchschneiden sich bekanntlich in einer Raumcurve vierter Ordnung. Diese Ranmcurve kann bei be- sonderer Lage der beiden Flächen in zwei ebenen Curven zweiter Ordnung zerfallen. Es soll zuvörderst dieser Satz in rein syntheti- scher Weise abgeleitet werden.
Liegen fünf Durchschnittspunkte zweier Flächen zweiter Ordnung in einer Ebene, so ist die Curve zweiter Ordnung, welche durch diese fftnf Punkte bestimmt wird, beiden Flächen gemeinsam. Durchschnei- den sich die beiden Flächen ausser in dieser Curve noch in einem
2) Poocelet'0 Gesetz der Continait&t hat nod wol mit Recht nicht allge- mein Eingang in die Geometrie gefunden.
3) Aperen hiitoriqne Note XXVIII.
24 *'• Escherich: Flächen zweiter Ordnung mit einer Symptosen-Axe.
Punkte und berühren sie sich nicht etwa in demselben, so durch- schneiden sie sich noch in unendlich vielen Punkten. Denn auf jeder Ebene, welche durch den Punkt gelegt wird, schneiden die beiden Flächen zwei Cnrven zweiter Ordnung aus, die sich auf der gemein- schaftlichen Durchschnittsebene der beiden Flächen in zwei reellen oder imaginären Punkten durchschneiden: ihr vierter Durchschnittspunkt, der ein Durchschnittspunkt der beiden Flächen sein niuss, ist daher stets reell. Legt man nun durch drei Durchschnittspunkte dieser zweiten Gruppe eine Ebene, so haben die beiden von den Flächen ausgeschnittenen Curven zweiter Ordnung fünf Punkte, von denen zwei imaginär sein können, gemeinschaftlich, decken sich also. Hier- aus folgt, dass die Durchschnittspunkte der zweiten Gruppe ebenfalls in einer Ebene liegen müssen, da sonst die beiden Flächen von jeder Ebene in zwei zusammenfallenden Curven geschnitten würden. Man erhält so den Satz:
Liegen fünf Durchschnittspunkte zweier Flächen zweiter Ordnung in einer Ebene, so durchschneiden sich dieselben in dieser Ebene und ihre übrigen Durch- schnittspunkte liefen in einer zweiten Ebene.
4
Die charakteristische Eigenschaft einer solchen gemeinsamen Durchschnittsebene ist, dass die Polarebenen eines jeden ihrer Punkte bezüglich der beiden Flächen sich auf ihr schneiden. Und umgekehrt kann eine Ebene von dieser Eigenschaft jede der beiden Flächen nur in gemeinschaftlichen Punkten schneiden.
Diese beiden Sätze geben die Möglichkeit und Veranlassung neue Begriffe einzuführen und die Lage solcher Flächen zweiter Ordnung zu untersuchen , welche schlechtweg Ebenen mit der angegebenen Eigenschaft besitzt, ohne zu berücksichtigen, ob die Flächen in diesen Ebenen sich wirklich schneiden oder nicht. Diese Ebenen sollen für die Folge mit einem eigenen Namen belegt werden und „eine Ebene, „welche die Eigenschaft besitzt, dass die Polarebenen eines joden ihrer „Punkte bezüglich zweier Flächen zweiter Ordnung sich auf ihr ,,schneiden, soll eine Symptosen-Ebene der beiden Flächen genannt „werden."
Jeder Punkt der Durchschnittslinie zweier Symptosen-Ebenen be- sitzt somit dieselbe Polarebene bezüglich der beiden Flächen. Diese Eigenschaft veranlasst wieder die folgende allgemeine Definition:
„Eine Gerade, deren jeder Punkt dieselbe Polarebene bezüglich szweier Flächen zweiter Ordnung besitzt, soll eine Symptosen- ijAxe der beiden Flächen heissen."
r. ßgeherich: Flächen zweiter Ordnung mit einer Symptoeen-Axe, 25
Es soll nun im Folgenden die Lage zweier Flächen zweiter Ord- nnng antersacht werden, welche eine Symptosen-Axe besitzen, anbe- kümmert, ob dieselbe der Dorchschnitt zweier Symptosen- Ebenen ist oder nicht.
n.
£s wird angenommen zwei Flächen zweiter Ordnung besässen eine Symptosen-Axe.
Gemäss der Definition der Sjrmptosen-Axe fallen ihre Polaren bezüglich der beiden Flächen zusammen. Daher bilden die Polar- ebenen der Punkte der Symptosen-Axe einen Ebeueubüschel und somit erzeugen die Punkte der Symptosen-Axe mit den Durchschnitts- punkten ihrer Polarebenen und der Symptosen-Axe eine involutori- sche Punktreihe. Jeder Doppelpunkt der Involution besitzt also be- züglich beider Flächen dieselbe Polarebene, welche durch ihn hindurch geht Hieraus folgt der Satz:
„Haben zwei Flächen zweiter Ordnung eine Symptosen-Axe, so wird diese von beiden Flächen in denselben zwei reellen oder ima- ginären Punkten geschnitten.^'
Somit:
„Jede * Ebene, welche durch die Symptosen-Axe gelegt wird, „schneidet beide Flächen in zwei Kegelschnitten, welche auf der „Symptosen-Axe einen doppelten oder imi^nären Contact besitzen.*)"
Legt man eine Ebene durch die Symptosen-Axe so liegen ihre Pole bezüglich der beiden Flächen auf der Polare der Symptosen- Axe. Die Polarebenen aller Punkte der Ebene bezüglich beider Flächen bilden nun zwei projectivische Strahlenbündel um die beiden Pole der Ebene. Da aber die beiden coUinearen Strahlenbündel einen Ebenenbüschel, nämlich die Polarebenen der Punkte der Sym- ptosen-Axe, gemeinschaftlich haben, so erzeugen sie eine Ebene. Diese Ebene geht offenbar durch die Symptosen-Axe, denn in ihr schneiden sich die Polarebenen des Durchschnittspunktes der Ebene mit der Polare der Symptosen-Axe. Also:
„Greht eine Ebene durch die Symptosen-Axe, so liegen alle Punkte
*) Beide S&tzc ergeben sich unmittelbar aas der Anschaunng, wenn die Fl&cheo sich in zwei Ebenen schneiden, welche sich innerhalb der Fl&chen krenzen. Der zweite Sntz folgt übrigens ans der Eigenschaft der Symptosen- Aze bezflglich beider Kegelschnitte.
züglidi brider Fläubou coiijugttt: also bilden diese EbencDpaare eioeii involutori sehen Ebeneubüsebel um die Symptos«u-Axe. Besitzt dieser Büscbol zwei reelto Orduunga- Ebenen, so ist jede derselben eine Symptosen-Ebeno beidor Flächen. Somit:
Verbindet man jeden Punkt und seine bezüglich bei- der Flachen ihm conjngirte Gerade durch Ebenen mit der Symptoseu-Axe, so bilden alle diese Ebeucnpaare einen involntorisL'hen Ebonenbüscbcl, dessen Ordnungs- cbencn Symptosen-Ebenen der beiden Flächen sind.
Haben die beiden Flächen zwei Symptosen-Ebonen, ho kann man diesem Satze auch die folgende Fassung geben;
.J)ie Polarebenen irgend eines Punktes bezüglich der beiden „Fläuhen und eines Symptosen-Ebenenpaares schneiden sich in einer „Geraden,''
ni.
„Ist oasser den Punkten einer Sj^mptoaen-Axe noch ein Punkt „vorbanden, der be/Qglich beider Flächen dieselbe Polarobene besitzt, „so hal, wenn dieser Punkt nicht auf der Polare der Syraptoeen-Aie „liegt, jeder Funkt in der durch ihn und die Symptosen-Axe be- „stimuiten Ebene diese Eigenschaft. Ausserhalb dieser Ebene kann, fahren Pol aasgenommen, kein weiterer derartiger Punkt bestehen."
Die Polarebene des Punktes schneidet die Symptosen-Axo in eiuem Punkte, welcher die durch den Pnnkt nnd die Polare der Symptoseu-Axo bestimmte Ebene be^.Ugticb beider Flächen zur Polar- ebene bat. Die Durchschnittslinie dieser Ebene mit der Polarebene des Punktes ist daher bezüglich beider Flächen die Polare der Ver- bindungslinie di'S Punktes mit dem Durchschnittspuukte seiner Po tar- ebene und der Symptosen-A\c. Jeder Punkt dieser Verbindungslinie bat dieselbe Polarebcne bczflgtich beider Flächen , denn seine beiden
V. Escherick: Flächen zweiter Ordnung mit einer Sffmptosen-Axe, 27
PoIarebeneD habeu eine Gerade, die Polare der Verbindungslinie ge- mdDschaftlich und schneiden nach (IL) die Symptosen-Axe in dem- selben Pnnkto: also ist diese Verbindungslinie ebenfalls eine Sym- ptosen-Axe. Da nun die durch den Punkt und die Symptosen-Axo brummte Ebene denselben Pol bezüglich beider Flächen besitzt, so gehen die beiden Polarebenen jedes beliebigen ihrer Punkte durch diesen Pol und da dieselben jede der beiden Symptosen-Axen in dem- selben Punkte schneiden müssen, so fallen sie zusammen.
Besteht ausser dem vorher angenommenen Punkte und dem Pol der Ebene, welche durch ihn und die Symptosen-Axe bestimmt ist, noch ein Punkt, welcher bezüglich beider Flächen dieselbe Polar- ebene besitzt, so hat die Verbindungslinie der beiden Punkte bezüg- lich beider Flächen dieselbe Gerade zur Polaren. Legt man nun durch diese Verbindungslinie irgend eine Ebene, so liegen ihre Pole die nicht zusammenfallen können — denn sonst besässe jeder Punkt dieselbe Polarebcne bezüglich beider Flächen *), was unmöglich ist — sowol auf der Polare der Verbindungslinie als auch in der Polarebene des Durchschnittspunktes dieser Ebene mit der Symptosen-Axe. So- mit liegt die Polare der Verbindungslinie der beiden Punkte mit jener der Symptosen-Axe, und daher liegen auch die beiden Punkte mit der Symptosen-Axe in einer Ebene. Hieraus folgt der oben be- hauptete Satz.
Aus demselben fliessen einige wichtige Folgerungen.
Da durch eine Symptosen-Axe höchstens zwei Symptosen -Ebenen hindurchgehen können, denn sonst müssten nach (II.) alle durch sie gelegteq Ebenen Symptoseu-Ebenen sein, was unstatthaft ist, so folgt nach dem obigen Satze:
Zwei Flächen zweiter Ordnung können höchstens zwei Symptoseu-Ebenen besitzen.
Es hat sich soeben die Möglichkeit gezeigt, dass zwei Flächen zweiter Ordnung eine Ebene besitzen können, deren jeder Punkt die- selbe Polarebene bezüglich beider Flächen hat. Dann ist offenbar jede Gerade in dieser Ebene eine Symptosen-Axe und die Ebene kann deshalb als zwei auf einander liegende Symptosen-Ebenen auf- gefasst werden. Ans diesem Grunde schneiden sich auch die beiden Polarebenen irgend eines Punktes bezüglich beider Flächen auf dieser Ebene. Daher können die beiden Flächen keinen Punkt ge-
*) Mäh zeigt dies zuerst fttr irgend welche durch einen der beiden Punkte gelegte Ebene, woraus lich dann leicht die Behauptung ergibt.
BesitKea zwei Plächeo zweiter Ordnung eine Ebene, derea jeder Punkt dieselbe Polarcbene bezttglicb beider Flächen hat, so liegen alle ihre gemeiusamon Punkte in dieser Ebene und sie worden in der gemeiuBchaftlichen Curvo von derselben Kegelfläche borQbrt.
Zwei Flächen zweiter Ordnung mit einer solchen Ebene, sollen einander einbesrhricbcn genannt werden. Bei solcher Lage der beiden Flachen sind die beiden möglichen Symplosen-Aieu in die eine Ebene znBammengofallen.
Werden zwei Flächen zweiter Ordnung von einer derartigea Ebene herttbrt, so haben die Flächen im Berahmngspnnkte eine Be- rahmng der dritten Ordnung.
Es wäre jetzt der fraher ausgeschlossene Fall zu nnlerauchen, dass auf der Polare der Symptosen-Axe Punkte liegen, welche die EigeoBchaft der Pnnkto der Symptosen-Aie besitzen. Dieser Fall wird am klarsten durch Untorsuchung der auf der Polare der Sym- ptosen-Axe liegenden Punktreibe erledigt
IT.
Die Punkte der Polare der Symptosen-Aie bilden mit den Durch- achnittspunkton ihrer Polarebencn bezüglich einer jeden der Flächen und der Polare eine involutorische Funktreihc. Diese beiden in- volutorischen Punktreihon werden im Allgemeinen bloss ein Punkte- paar K und K' gemeinsam haben. Diese Punkte sind gomeinlich reell und nur dann imaginär, wenn die Doppelpunkte der beiden In- volutionen reell sind und ihre Strecken teilweise auf einander Hegen.
Sind die Punkte K und K' reell, so besitzt offenbar jeder von ihnen dieselbe Polarcbene bozOglich beider Flächen und jeder liegt in der Polarehene doa anderen. Zieht man daher durch den einen
mit tiaer ^mploien-Axe, 29
ednm ihrer Pankte, K ans- geDODimen, eine (jerado beider lilAcbca coiyagirt nnd alle diese Ge- nden liegen in einer Ebene. DeDQ die beiden EbenenbOschel, welcbe durch die Polarebenen der Punkte gebildet werden, haben zwei ent- tprechende Ebenen, die Folarebenen von K, gemeinschaftlich. Da ana die beiden Polarebeneu des DarchBcbnittspanktcH der Geraden mit der Polarebene von K durch diesen Punkt gehen, bo liegt K in der durch die beiden EbenoubOschel erzeugten Ebene.
Legt man dnrch K irgend cme Ebene £, so haben die beiden eollinearen Strahlen bOndcl, welche dnrch die Polarehenen ihrer Punkte gebildet werden, zwei entsprechende Ebenen, die Polarebene von K nnd die Polarebene des Durch schnittspunktcs der Symptosen-Axe mit E, gemein. Die beiden zu einander projecti vi sehen StrablcnbOüChel, welche von den Bündel in jeder dieser Ebenen ansge schnitten wer- den, li^en offenbar perspectivisch, da in die Verbindungslinie der beiden Pole von E hiemach zwei entsprechende Strahlen zusammon- lallcn. Die entsprechenden Strahlen der Büschel in der Polarebeno Ton K schneiden sich auf der SymptoBen-Aic ; die in der zweiten Ebene erzengen eine Gerade, welche durch JT gehen mnss, da die beiden zur Durchschnittslinio der Ebene E gnd der Polarebcne von K coiungirten Geraden K enthalten. Also schneiden sich , mit Aus* nähme von £, die Polarebenen aller Punkte einer durch K gelegten Ebene auf einer durch £ gehenden Geraden.
Jeder durch K gezogeneu Geraden entspricht auf diese Weise uns bestimmte Ebene, die dnrch Ä'geht, nnd jeder durch £ gelegten Ebene entspricht eiue Gerade, die K enthält. Man erkennt nun leicht, dass sich eine solche Gerade und Ebene wechselseitig entsprechen. Hieraus folgt, dass der Strahletflmndel in K hinsichtlich dieser Ele- mente ein polarer Strahlenhündel ist.
Aus der Constmction der polaren Strahlen bttndel in K nnd K' ergibt sich unmittelbar, dass die Polarebenen eines Pnnktes bezüglich der beiden Flächen und der Strablenhündä sich in einer Geraden schneiden und dass also jede Symptosen-Aie nnd Symptosen-Ebene zweier dieser vier Gebilde*) eine solche bezüglich aller ist. Ans diesen Betrachtungen fliesst der folgende Satz;
Anf der Polare einer Symptosen-Aze zweier Flächen zweiter Ordnung bestehen im Allgemeinen zwei nnd nnr zwei Punkte, [deren jeder dieselbe Polarebone bezüglich
*} Wu nun anter der SympUisen- Ebene der beiden Strablcnbflndel i 'Mntehco hat, lit wo) kot dem ZniuumeDhange k1*r.
rcihea erzeugt ncrd^n, so erhellt', dasB dieselben zwei Piiuktepaaro gemeiuscbaftlicli habeu und somit zuaammenfallcD , so bald Docb ein dritter Punkt auf der Geraden vorhanden ist, welcher bezQglicb beider Flächen dieselbe Polarobcne hat. Da zwei solche involutoriscbe Punktreihen auf jeder Geradou liegen, welche bezüglich beider Fl&chen dieselbe Polare bat, so folgt hieraus der Satz:
„Liegen auf einer Geraden drei Punkte, deren jeder bezüglich „zveier Flächou zweiter Ordnung dieselbe Polarebeue bat, so ist diese „Gerade eine Symptosen-Axe der beiden Fläcbon."
Spociell für die Polare einer Symptosen-A:(e ergibt sich faierans:
„Ist auf der Polaro einer Symptosen-Ase zweier Flächen zweiter „Ordnung ausser den beiden Mittelpunkten der Symptosen-Strahlen- „bündel noch ein Punkt vorhanden, der bezüglich beider Flächen „dieselbe Polarebcne besitzt, so ist diese Gerade selbst eine Sym- „ptosen-Axe."
Da in diesem Falle die eine Symptosen-Axe die Polare der an- dern ist, so mOssen wegen II. auf der einen dieser Symptosen-Aze zwei reelle BerUhrangspunkte der beiden Flächen liegen. Verbindet man jeden dieser Berührungspunkte mit der anderen 8ymptosen-Axe
V, Eteherieh: Flächen zweiter Ordnung mit einer Symptosen-Axe. 31
doreh Ebenen, so sind diese Berttbrnngsebenen an die beiden Flächen Symptosen-Ebenen derselben. Denn die beiden Polarebenen irgend eines Punktes einer solchen Ebene müssen durch ihren Berfihrungs- pnokt gehen und die in der Ebene liegende Symptosen-Axe in dem- selben Punkte' schneiden.
Ausser den beiden Berührungspunkten können die beiden Flächen kismen ^weiteren Punkt gemeinsam haben. Denn jeder solche Punkt besässe bezüglich beider Flächen dieselbe Polarebene, da seine beiden Polarebenen durch ihn hindurchgehen und jede der beiden Symptosen- Axen in demselben Punkte schneiden müssten, also müssten nach nL auch die beiden Symptosen>Axen in derselben Ebene liegen, was offenbar widersinnig ist.
Ans dem Vorstehenden erhält man mit Rücksicht auf III. den Satz:
Zwei Flächen zweiter Ordnung können im Allgemei- nen höchstens eine Symptosen-Axe besitzen; haben sie deren zwei, so müssen dieselben entweder in einer Ebene liegen, dann sind die Flächen einander einbeschrieben, oder die eine muss die Polare der anderen bezüglich beider Flächen sein. In diesem Falle haben die beiden Fl&chen nur zwei Punkte, die auf der einen Symptosen- Axe liegen, gemeinsam und berühren sich in denselben. Die beiden Berührungsebenen in diesen Punkten, welche doreh die zweite Symptosen-Axe hindurchgehen, sind die Symptosen-Ebenen der beiden Flächen.
Durch diesen Satz ist der in III. ausgeschlossene Fall erledigt. Derselbe führt im Verein mit den Sätzen in HI. zu weiteren Fol- gerungen.
Haben zwei Flächen zweiter Ordnung eine Symptosen-Ebene , so schneiden sich die beiden Polarebenen des Durchchnittspunktes der Symptosen-Ebene mit der Verbindungslinie ihrer Pole auf der Sym- ptosen-Ebene. Diese Gerade ist daher die Polare der Verbindungs- linie der Pole der Symptosen-Ebene bezüglich beider Flächen. Da Bun die beiden Polarebenen irgend eines Punktes dieser Polare zu- sammenfallen müssen, so ist dieselbe eine Symptosen-Axe. Also:
,3^itzen zwei Flächen zweiter Ordnung eine Symptosen-Ebene, ))6o haben sie auch eine in derselben liegende Symptosen-Axe, durch 9,welche, wenn die beiden Flächen nicht einander einbeschrieben sind, noch eine zweite Symptosen-Ebene hindurchgehen muss/
((
ptosen-Aie und ist nicht gleicbzeittg aucli die Folare dersetbeii eine solche, so muss jede mUgliclin der boidon Symptoseo-Ebenen dorch dieselbe Axe liindarchgohen. Ist auch die Polare eine SymptoBcn-Axe, so masscu die beiden Symptoseu-Ebenen in der einen dieser Axen sieb schneiden.
VI.
'Mit Hilfe djr bisher entwickelten Sätze ist es noQ mOglich die Frage nach der Realität der Symptosen-Ebenen und Kegel zweier Flächen zweiter Ordunng mit einer Symptosen-Aie za beantworten.
Es ist zunächst der folgende Satz klar;
„Durchschneiden sich zwei Flächen zweiter Ordnnag, welche eine „Symptosen-Axe besitzen, so haben dieselben zwei verschiedene oder „zusammenfallende Symptosen-Ebenen, die durch die Symptosen-Axe „hindurchgehen und in denen alle ihre Durchach nittapnnkte li^en „roflssen."
Verbindet man die Symptosen-Axe mit einem DurchschnittHpunkt der beiden Flachen dnnh eine Ebene, so schneiden sich die Polar- Ebenen dieses Punktes offenbar auf der Ebene. Nimmt man irgend einen zweiten Punkt in der Ebene an, so schneiden seine beiden Polar-Ebenen nach II. die Symptusen-Axe in demselben Punkt, aber überdies auch die Durcbschnittaliuie der Polar-Ebenen des ersten Punktes. Denn die beiden Polaren der Verbindungslinie der beiden Punkte sind die Dnrchachuittslinien der Polar-Ebenen des ersten Punktes mit der einzigen Polar-Ebeuc des Durchschiiittsp unktos dieser Verbindungslinie und der Symptoscn-Axe. Also ist diese Ebene eine Sym pto Ben - Ebene und alle ihre Durchschnittsp unkte mit der einen Fläche sind gemeinsame Punkte der beiden Flächen. Nach V. haben die beiden Flächen noch eine zweite Symptosen-Ebeue nnd in dieser mässen alle anderweitigen Durcbschnittspunkte der beiden Flächen liegen, da sonst wegen I. die Flächen drei Symptosen-Ebenen besässen.
BerOcksichtigt man, dass ein polarer StrahlcnbUndel einen Ord- nnngs-Kegel besitzt, sobald ein Strahl in seiner entsprechenden Ebene liegt, so erhält man:
„Durchschneiden sich zwei Flächen zweiter Ordnung, welche einen „SyroptOBen-Strahlenbündel haben, so besitzen sie auch einen Syroptosen- ,^egel und dieser geht durch alle ihre gemeinsamen Punkte."
die Flächeu gar nicht, dauo sind die Doppelpunkte der bei deu In* Tolndonen in IV., iiämlich die Durch sc linittapunlite der Polare mit den Flächen, imaginär oder sie schneidet nach 11 beide Flächen, dann liegt aber die Strecke der Doppelpunkte der einen Involution innerhalb der anderen. Also sind in diesem Falle die beiden Sym- ptoscu-StrablenbUndel vorhanden nnd ihre Ordnnngs- Kegel sind nach dem vorhergehenden Satze reell. Somit:
Schneiden sich zwei Flächen zweiter Ordnnug in zwei Curven zweiter Ordnung, so sind die Ebenen diescrCur- Ten die beiden mäglichcuSymptoseu-Ebcnen der Flächen QDd die Curven selbst Hegen in den beiden möglichen Symptoseu'Kegeln.
Haben die beiden Flächen blos eine Durch schnittseheue, so besteht Misscr dieser noch eine zweite Symptosen-Ebene. Die beiden Syra- ptosen • Strahl enbtludel sind aber in diesem Falle imaginär, da die Polare der Symp tosen -Axe die beiden Flächen so schneiden mnss, &SS die Durch Schnitts punkte der Polare mit der einen von denen mit der anderen getrennt werden. Also:
Haben zwei Flächen zweiter Ordnung blos eine Curve zweiter Ordnung gemeinsam, uudbcrUhren sie sichnicht etwa in derselben, so besitzen sie nur zwei Symptosen- Ebenen, deren eine die Durchschnitts-Ebene ist.
Schneiden sich drittens zwei Flächen zweiter Ordnung mit einer Symptosen -Ase gar nicht, so müssen sie entweder ganz in oder ganz ans einander liegen. In jedem dieser Fälle können nach IV. die beiden Flächen entweder nur zwei Symptoscu-Ebenen oder nur einen Symptosen- Kegel besitzen. Es lässt sich leicht zeigen, dass stets das eine oder andere dieser beiden Gebilde vorhanden sein mnsa.
In beiden Fällen sind offenbar auf der Polaro der Symptosen- Aie die beiden Funkte K und K' vorhanden d, h. die Flächen be- ätzen die beiden möglichen Symptosen- Strahlenbttndel.
Die Punkte K nnd K' vorbinde man durch zwei Ebenen mit der S;mptosen-Aie der beiden Flächen. Nimmt man nnn einen Punkt dergestalt an, dass er innerhalb des Dreiecks zu liegen kommt, welches auf der durch ihn und die Polare der Symptosen-Aze ge-
|(<;)^CU(;Ut.-U JJIClVkKS BCUUl-lUCU. ifCilU BUU31 lil>;D UÄH EiUUUCUpBBl ,
welches den Punkt und seine conjugirte Gerade mit der Symptosen- Axe verbiudet, innerlmlb des Ebonenpaares, das dnrcli die Symptoscn- Aze und K uud K' beBÜmmt ist. Also liätteu (H) dis beideu Flächen zwei Symptosou-Ebeucn , überdies besÄssen sie aber auch zwei Sym- ptoscu-Kcgel. DcnTi verbindet man den Punkt mit K\ eo lüge auf dieser Geraden der Punkt und der DurchBchntttspunkt derselben mit seiner Polar-Ebene im StralilenbUndel K innerhalb K' und der Polar- Ebcno von K' für den StrahlenbOndel R\ also hätte der Symptosen- Strahlenhflndel K einen Ordnungs-Ecgel. Das Gleiche gilt vom Sym- tosen-StrahlenbQndel K'.
Die beiden Flächen können aber nicht gleichzeitig die beiden Symptosen-Ebenen und einen Symptosen - Kegel besitzen, da sie eich (IV.) in zwei Curven schneiden mUssten: Es muss also der Durch- Bchnittspunkt der erwähnten Ebene mit der dem angenommenen Punkte bezOghch beidiT Flächen conjugirtcn Geraden ausserhalb jenes Dreiecks liegen. Verbindet man nun diesen Durchschnittspnnkt und den angenommenen Punkt mit den Ecken des Dreiecks, so liegen zwei, aber nur zwei dieser Verbind nngslinien innerhalb eines Winkels des Dreiecks. Ist also die Spitze dieses Winkels der Durchschnitts- punkt der Ebene mit der Symptosen -Axe, so besitzen die beiden Flächen zwei Symptosen-Ebenen, ist es A' oder K', so hat der be- treffende polare StrahlenbOndel eiuen Ordnungs-Eegel. Somit:
Habon zwei Flächen zweiter Ordnung eine Symptosen- Aze und durchschneiden sie sich nicht, so besitzen sie immer die beiden möglichen Symptosen-StrahlenbUndel nnd entweder die beiden Symptoson-Eben'en oder einen Symptosen-Eegel.
Es ist wol aberflüssig die Umkehmngen aasdrlkcktich bervor-
VU.
Besitzen zwei Flächen zweiter Ordnung eine Sym- ptosen-Axe, 80 liegen die Pole jeder Ebene bezüglich der beiden Flächen in einer Geradon, welche die Polaro der Symptosen-Axe schneidet. Denn diese Pole liegen in der Polar- Ebene des Durchschnittspunktes der Ebene mit der Symptosen-Axe. Die Ber Satz steht dem in n. riprok gegenüber und bildet den Ans-
V, Eicherich: Flächen zweiter Ordnung mit einer Symptosen-Axe, 35
gangspnnkt einer dem VorhergebendeD reciproken Betrachtung, deren Ergebnisse bier in Kürze angeführt werden sollen.
Nimmt man in der Polare der Symptosen-Axe einen Punkt P an, 80 liegen die Pole aller Ebenen , die man durch diesen Punkt legen kann, in seinen beiden Polar-Ebenen. In denselben bilden die Pole aller dieser Ebenen zwei collineare ebene Systeme, die perspectivisch hegen, da jede Ebene, die man durch P und die Polare der Sym- ptosen-Axe legt, bezüglich beider Flächen denselben auf der Sjrmptosen- Axe liegenden Pol besitzt, also die beiden collinearen ebenen Systeme alle Punkte ihrer Schnittlinien gemeinsam haben. Somit gehen die Geraden, welche die Pole derselben durch P gelegten Ebene verbin- den, durch denselben Punkt P', der auf der Polare der Symptosen- Axe liegen muss, da diese die Pole der durch P und die Symptosen- Axe bestimmten Ebene verbindet.
Diese Punkte P und P' entsprechen sich wechselseitig. Dies wird offenbar bewiesen sein, wenn sich zeigen lässt, dass zu einer durch P' gezogenen Geraden g sich nur eine einzige Ebene findet, deren Pole auf dieser Geraden g liegen. Da sich nun die Polaren von g in demselben Punkte der Symptosen-Axe schneiden müssen, so liegen beide in einer Ebene. Die Pole dieser Ebenen aber liegen auf ^, und dieselbe ist offenbar die einzige derartige Ebene. Es bilden somit die Punkte auf der Polare der Symptosen-Axe in Ansehung dieser Elemente P und P' eine involutorische Punktreihe.
Besitzt die Involution zwei Doppelpunkte XJ und ü\ so liegen die beiden Pole jeder Ebene, welche man durch einen solchen Punkt legt auf einer durch diesen Punkt gehenden Geraden, und jeder Ge- raden, welche man durch diesen Punkt zieht, ist eine durch ihn gehende Ebene bezüglich beider Flächen conjugirt Jeder dieser Strahlenbüudel U und U' ist hinsichtlich dieser Elemente, wie aus dem vorhergehenden klar ist, ein polarer Strahlenbündel. Hieraus ^bt sich der folgende Satz:
Besitzen zwei Flächen zweiter Ordnung eine Sym- pto8en-Axe,so bilden dieDurchschnittspunkte jederEbene und der ihr bezüglich beider Flächen conjugirten Gera- den mit der Polare der Symptosen-Axe eine involutorische Punktreihe. Die etwaigen Ordnungspunkte derselben Bind die Mittelpunkte zweier polarer Strahlenbündel« deren etwaige Ordnungskegcl beide Flächen berühren.
Diese Punkte, Strahlenbündel und Kegel sollen bezüglich Um- ' bilical-Ponkte, Strahlenbündel und Kegel genannt werden.
3*
lieb bcrvorgebt, rcciprok den iSymptoscu-Ebenen, ibren l'olsr-äystcmfln und ihren etwaigen Schuittearveu mit den Flächen.
Ans der reciproken Betrachtung von III. ergibt sich, dass zwei Pl&chen zweiter Ordnung höchstens zwei Umbilical-Punkto besitzen können, und dass dieselben bei den einander einbescbriebcnea Flftcheu in einen einzigen Punkt, den Pol ibrer Symptosen -Ebene zusammen- fiülen.
Die reciproke UnterBncbung von IV. ergibt, dass ansscr in dem Falle, wo die von der Symptosen-Axo an die eine der beiden Flächen gelegten Tangen tial-£bi?iien die an die andere trennen, immer zwei Ebenen k und In' bestehen, welche dnrcb die Symptosen-Axe gehen und bezflglicfa beider Flächen einander conjugirt sind. Es siud dies die Polar-Ebeneu der Mittelpnnkto der beiden Symptoseu-Strahlenbün- del. Jede dieser Ebene, etwa R, bat die folgenden Eigenschaften;
„Legt man durch eine ihrer Geraden Ebenen, so liegen dieVer- „bindungBlinien der beiden Pole jeder dieser Ebenen mit der Polare ^,der Symptosen - Axe 'in einer Ebene und schneiden sich in einem „Punkte der Ebene i."
Jeder Geraden in einer solchen Ebene entspricht also ein be- stimmter Punkt, und dieselben entsprechen sich wechselseitig. Es ist also jede dieser Ebenen binsicbtiicb difser Elemente ein ebenes Polar-System. Beatcheu die Umbüical-Punkto, so ist offenbar jedes dieser polaren Systeme die Projcction der beiden polaren Strahlen- bdndel in den Umbilical-Punktcn. Diese Ausführungen ergeben den folgenden Satz:
Durch die Symptoscn -Aie zweier Flächen zweiter Ordnung gehen imAllgemeiiienzwei und nur zwei Ebenen, welche einander bezüglich beider Flächen conjugirt sind. Jede derselben ist der Träger eines Polar- Systems. Die Pole irgend einer Ebene bezüglich der beiden Flächen und der beiden Polar>Systcme liegen fn derselben Ge- raden, weshalb ein Umbilical-Punkt irgend zweier dieser Gebilde ein solcher fQr beliebige zwei derselben ist*).
Ist die Ordnungscurve eines oder beider Pclar-Systeme reell, so vertritt dieselbe in dem vorstehenden Satze ihr Polar-System. Diese
•) Der Begriff einea Umbilknl-Punktes zweier Tuliir-Sysmnf mit <leT»i-lben SymptoBcn-Axp ist wol rui dem vorhergeh cn<lcn volltifinilig klar.
HabeD zwciFlächen zweiter Ordnung mit einer Sym- ptosen-Äxe eine gomeinsobaftlichc Tangente, so besitzen sie zwei verschiede iie oderzaBammenfatlendeUmbilical* Punkte und jede gemeinscbaftlicheTangeute der beiden Fischen mass liarch irgend einen von ihnen hindurch- gehe a. Alte gern Ginschaft liehen Tangenten, welche durch denselben Umbilical-Punkt gehen, bilden einen Kegel.
,yTede Tangente, welche mau von einem Umbilical-Fnnkt an die „eine zweier Flächen zweit(T Ordnung ziehen kann, berQhrt anch die
„andere."
„Haben zwei Flächen zweiter Ordnung, welche eine Umbilical- „Ebeue besitzen, eine gemeinschafilicbe Tangente, so besitzen sie anch ,,eine Umbilical-Curve und in dieser schneiden alle gcmeinschaftlichea „Tangenten die Umbilical-Ebenc, sowie umgekehrt die Tangenten von „den Punkten einer Umbilical-Curve an die eine Fläche auch die „andere berOhren."
Hieraus folgt ans Umkebmng eines froheren Satzes:
,J>ie Spitzen der beiden Eegcl, welche durch zwei Umbilical- „Cnrven bestimmt wenlen, Sind die Umbilical-Punkte der beiden „Flachen."
ADS der Bestimmung der beiden Umbilical - Ebenen ci^ibt sich, dass ihre Dnrchschnittspunkte mit der Polare der Symptosen -Äse iowol zu den etwaigen Umbilical-Punkten als auch zu den Schnitt- punkten der beiden Flächen mit der Polare der Symptosen-Axe con- jogirt harmonisch sind. Die Umbilical- Ebenen bestehen also immer, veDn nnr die Umbilical-Punkte avei Schnittpunkte einer Fläche mit der Polare der Symptosen-Äxe nicht trennen.
Hieraus erhält man mit Rücksicht auf die früheren Sätze:
^aben zwei Flächen zweiter Ordnung zwei Umbilical-Kegel , so „besitzen sie auch zwei Umbilical-Curvcn."
„Haben zwei Flächen zweiter Ordnung nnr einen Umbilical-Kegel, „so besitzen sie noch einen zweiten Umbilical - Punkt aber keine „Umbilical-Ebene."
,^e besitzen, keinen Umbilical-Kegel , so besitzen sie aie oemen „möglichen Umbilical-Ebenen nail eiae UmbUical-Carre.*'
vm.
Ana den zntetzt entwickelten Sätzen ergibt sieb im ZnsammeD' halt mit denen in VI. die Möglichkeit, daas zwei Flachen zweiter Ordnung gleichzeitig zwei Umbilical- Punkte und zwei Symptosca. Ebenen besitzen köimeu. Es soll nnn die Notwendigkeit dieser Consistenz der Symptosen-Ebenen mit den Um bilical- Punkten nach- gewiesen werden und zwar in einer Weise, die neue wichtige Eigen- schaften dieser Gebilde erkennen Iftsst.
Es l&Bst sich leicht zeigen, dass in dem Falle, als zwei Flachen zweiter Ordnung sowol die beiden Umbilical - Pnnkte als anch Sym- tOBen-Ebenen besitzen, die beiden Flächen perspectivisch Hegen, der- gestalt, dasa jeder Umbilical -Pnukt als Centmm der CoUineation nnd eine beliebige der beiden Symptosen-Ebenen als Coliineations-Ebane angenommen werden darf.
Denn constmirt man zu der einen Fläche eine ihr pcrspectiviscbe, indem man den einen der Umbilical-Punkto als CoUineations-Centrnm, die eine Symptosen- Ebene als Collincations- Ebene und die beiden Folor-Ebencn dieses Umbilical-Punktes als entsprechende annimmt, so muss diese Fläche mit der andorcu gegebenen zusammenfallen. Denn diese beiden Flächen sind einander einbeschrieben, weil ihr Umbilical-Punkt, das Collineations-Centrum, dieselbe Polar-Ebene be- züglich dieser beiden Flächen besitzt, nnd überdies haben sie zwei Symptosen-Ebenen, die Polar-Ebene des CollineationB-Centmms nnd die CollineationB-Ebene.
Diese Bemerkung ffthrt leicht znm Beweise der obigen Behauptnug.
Es mOgen zwei Flächen zweiter Ordnnng einen Umbilical-Pnnkt nnd also auch eine Symptoseu-Axe besitzen. Vom Umbilical-Punkte U ziehe man zwei Gerade, deren eine die beiden Flächen F und F^ durchschneide: A nnd ^, seien zwei dieser Durcbachnittspunktc, die auf verschiedenen Flächen liegen, während die andere die beiden Folarebenen von 17 in B nnd i), treffe. Hierbei mögen die Punkte A und B znm System der Fläche F, A^ nnd B^ zu F, gehören
iCDC in eiuiT oyDipioscn-CDOiie iicgi, anf dieser Ebene. Legt man daher aus eiuer solchen Geradea Be- rühr ungsobunen an die beiden P'lächen, so schneideu sich die Ver- bind angelinien der Borühruugapankte derselben Flächen iu der Sym- ptosen-Ebeue and jeue verschiedenen Flächen geben zu zwei ond zwei dnrch die beidun TJmbilical- Punkte. Da nun die Pole jeder Symptosen- EbeDc auf der Polare der Symptoaou-Aic, also auf der Verbindungs- linie der Umbilical-Pnnkte liegt, so folgt aus dieser Figur und der reciproken Betrachtung:
Die Pole jeder Symptosen- I Die Polar-Ebenen jodos Um- Ebene zweier Flächen zweiter bilical - Punktua zweier Flächen Ordnung liegen zu den beiden | zweiter Ordnung liegen zu den Umbilical-Punkten harmonisch. beiden Symptoaen - Ebenen har-
I moüisch. Ebenso wie die Symptosen -Ebenen und Umbilical- Punkte zweier Flächen zweiter Ordnung gleichzeitig bestehen , tritt auch eio Sym- ptosen-Kegel mit der in der Polar-Ebeuo seiner Spitze gelegenen Umbilical-Curvo und umgekehrt eine Umbilical- Curve mit dem Im Fol ihrer Ebene gelegenen Symptosen- Kegel zugleich anf.
Um diese Behauptung zu erweisen, lege man durch die Polare der Symptosen-Axe dergestalt eine Ebene, dasa sie sowol die beiden Flächen in zwei Kegelschnitten als auch, wenn die Flächen etwa eine Umbilical-Curvo besitzen, die Umbilical -Curve in zwei Punkten schnei- den. Jeder dieser beiden Punkte, deren einer mit O bezeichnet werde, bat als ein Umbilical -Punkt der Flächen die Eigenschaft, dass die Polo jeder durch ihn gezogenen Geraden bezüglich der beiden Kegel- schnitte auf einer Gerarten liegen, welche wieder durch ihn geht, and dass umgekehrt auf jeder etwa durch O gezogeneu Geraden zwei Punkte sich vorfinden, welche die Pole einer durch O gehenden Ge- raden bezüglich der beiden Kugehchuitte sind. Zieht man daher durch O eine Gerade, welche dett einen Kegelschnitt iu A und £, ('en anderen in A' und W schneidet, und legt au die Kegelschniito in diesen Punkten Tangenton, eo liegt der Schnittpunkt der demael-
K^elschnittc cinaDder cnUprcchonde Geraden der beidon Systeme sind. Da nan die Folarell eines Jeden Pauktce der CollineatiooB'Äxe bezüglich der beiden Kegelschnitte sieb anf ihr scbueidcn müssen, so tcbaeiden sich die beiden Polar-Lbenon eiiios jeden ihrer Punkte anf ihr. Bafaor besitzt der Umbilical- Strahlen bandel, welcher sich im Pol der Ebene der betrachteten Umbilical-Curve befindet, einen Strahl, der in seiner zugehörigen Ebene lie^t, somit hat er einen Ordnnngs- KegeL
In entsprechender Weise lasst sich der reciproke Satz erhArtcn.
Nennt man einen Symptosen- Kegel und die in der Polar -Ebene seiner Spitze gelegene Umbilical - Cnrve einander entsprechend, so bann man-das erhaltene Resaltat durch den Satz ausdrücken;
Ein Symptosen-Kegel und seine entsprechende Um- bilical-Curve bedingen sich wechselseitig.
Uit Hilfe dieser Sätze kann man die in VI. und TU. abgeleiteten Terrollständigen. Da aber diese Erg&uznng bloss in einer Zusammen- fassung der gewonnenen Ergebnisse besteht und zu keinen neuen Re- lultaten fuhrt, so Qbergehe ich dieselbe.
IX.
Termittclst der abgeleiteten Sätze liesse sich nun eine grosse Anzahl neuer Sätze über Flächen zweiter Ordnung entwickeln. Da aber derartige Untersuchungen die gesteckten Grenzen dieser Abband* long äberschreitcn , so begnUge ich mich bloss einige dieser Sätze anzufahren.
„Besitzen zwei Flächen zweiler Ordnung mit derselben dritten
„Symptosen -Ebenen, so geben die beiden Paare Symptosen- Ebenen „dnrch dieselbe Ecke des den beiden erstcreii Flächen coujugirten nTetraeders und ihre Durchschnittslinicn sind Strahlen eines von die- „ser Ecke ansgchcudeu Symptoseu-Kegels der beiden ersten Fiäcben. nDie beiden Paaro Uinbilical-P unkte, welche die beidon ersten Flächen -mit der dritten besitzen, liegen in der dieser Ecke gegen Uberstehen- ndcn TetraederSäcbe , und ihre Verbindungslinien sind Tangenten
Untersuchungen über das sphärische Fascalsche Sechseck und das sphärische Brianchons-
Sechsseit.
Von
F. E. Thieme.
S 1. Ein sphäriecber Haaptkreiäbogen nird diircb die an den EDdpnnkten stehenden Bncbataben nach QrCsaa und Ricbtnng be- leichnet; daher ist AB+BA'=0. Welches ancb die Lage eines dritten Pnulites C auf dem Hanptkreisbogen sein mag, immmer ist AB-\-BC— AC^ A£ — CB.
Wenn einfach von Bogen gesprochen wird, so hat man stets dar- unter den Hanptkreisbogen zn verstehen. Der Dnrchachnittapnnkt zweier sphärischen Bogen ist der Natur der Sache nach stets ein Doppelpunkt
§ 2. Bas VerhältnlsB des Sinus der Abschnitte von AB in dem ain-flC * WCB ' ergiebt:
aa(ABO.Kii(BAC) — 1 (1)
m(ASC) ist, in so fem AC und CB innerhalb des zweiten Quadran- len liegen, positiv, wenn C zwischen A und B, negativ, wenn es tngserbalb liegt
Bezeichnen a nnd b zwei sphärische Bogen, so stellt ai> den Win-
Liegt e zwischen a nnd b
BphäriscberPolare, kurz Pol Dnd Polare. Errichtet man in Jü* senkrecht einen Bogen ooi auf AM, bo ist derselbe die Polaro von A als Pol. Man zieht MB und 6i, senkrecht auf MB, so iBt öÄ, = ^ .i43£0 — 180« — ö^, d.h. der Bogen der beiden Polo ergänzt den Win- kel der Polaren za ISO". Die Richtung von AB ist der Rich- tung von od entgegengesetzt, und oi wendet AB die hohle Seite zu.
Hao nehme ausserhalb AB auf der Seite von B den Punkt C au, ziehe MC und ec^ senkrecht darauf, so ist AC — 180° — OjC nnd BC= 180»— V. Daraus folgt zugleich:
Wenn drei Punkte auf einem Kreise liegen, so schnei- den sich ihre dreiPolarentneinemPnnkte nndnmgebehrt
Da AC^AB, so ist ai><^ab, d. h. e liegt zwischen a nnd ft, folglich ist _
i\a{ABC) Bin(a*c) (2).
§ 4. Van verlängere Fig. 2. die Seiten des sphärischen Dreiecks ABC, 80 dass Ab = Sk=CF—W^ und errichte senkrecht in D, E nnd F respective a, £, e, so ist das Dreiseit abe die Polarfigor von A ABC\ die Winkel des Dreiseits ergänzen die entsprechenden Seiten des Dreiecks zu 180". Da a die Polare von A, nnd b von ß, so ist der Schnittpunkt von a nnd b d. i. a.b oder Ci der Pol von .<li); eben so o.c d. i. S, der Pol von -dC und A. von BC, das Dreiseit ABC ist daher auch die Polarfigur von Dreieck A, B^Cy und es ist B, — 180— AC n. s. w.
g 5. Durch die Spitzen A, B nnd C des Dreiecks ABC sind A<4i, f^i, CCi so gezogen, dass sie sich in dem Punkte D schneiden, denn ans
A ÄDCi : sin AC^ — ",^- • 8in.<4I>C,
folgt:
sio AD sin MDC,)
IriamAoni-Stciiieit.
DA,) iDC)
DB,) \DA)'
Bt, 80 erhält man:
+ 1 -...(3).
Du Prodnct ist positiv, weil die Abschnitte dieselbe Richtung haben. Läge der PDokt D ausserhalb des Dreiecks, so würden zwei AbschnittSTerhftltnisse segativ, also das Prodnct immer noch positiv sein. Es ist leicht zu zeigen, dass wenn die drei Bogen nicht durch einen Punkt gehen, die Factorcn auf der rechten Seite sich nicht sofbeben, das Product also nicht gleich I sein kann, worans sich eigiebt:
Wenndiednrch die Spitzen eines Bph&rischenDreiecka gehenden Bogen sich in einem Punkte schneiden, so ist das Prodnct der drei Ab Schnitts Verhältnisse -{-1 nndam* gekehrt
S 6. Man bilde von Fig. 3. die Polarfignr; es seien respective dxoibfCi die Polaren von ABCAiBiC',; dann ist der Pol von AA, = o.oj — M, von BB, = b.b, = N, von CC, = e.c, ■= O. Da AA„ BBi und CC, sich in einem Punkte schneiden, so liegen MN und O Inf einem Kreise; weil AB und C^ auf einem Hanptkreise liegen, u schneiden sich ab and c, in einem Punkte, a. s. w., daher ist (2)
am{ABC,) =—äaiabo,), sin (BCA,) = — Bin (beä,),
iia(CABi) — — Bin(eäÄ,), folglich
äMabe,).Bin(hca,).aÜi{oab,) ^—1.
Es sei ferner a.b — C, b.e — A' und e.a •« B', bo erhält man, "la «, = B'O, e^ = OA' u. S. W. ist:
tin(A'B'0).äa(B'C'M)aia(C'A'N) — — 1 ... (4)
Wenn die Seiten eines Dreiecks von einem Kreise ge- ■ chnitten werden, so ist dasProduct der drei Abschnitts' Tsrhältniaae der Seiten gleich — l and umgekehrt*).
dBCD C^CAD
s\'a(CABt).ma{ADA^).wa{DCCi)= — \ mmmt man das Prodnct der drei GHeicbangen, so ergiebt sieb:
sin (ÄBCt) . sin (BCU,).BiD (CAB,) . sin {303^) . sin {D3Bt) . sin {DAAi) BinM/)^,).Bin(CZ)Ci).ain(i)CCl) =—1. Es ist aber (1)
8in(SDfl,).sin(/)ßi(,) = 1 Hin(D-l^i).siD(-lDX,) = 1 8in(CDCi).Bin{öCC,) — 1 Daher
mi(ABCt).saL(BCAt).sat(CABt) ——1
d. b. (4) Cf A^ nnd ß, liegen anf der Peripherie eines Kreises.
Wenn die Verbindnngsbogon von je zwei entsprechen- den Eckpunkten zweier Dreiecke sieb in einem Pnnkte sckneiden, so liegen die drei Scbnittpnnkte von je zwei gegenüberliegenden Seiten anf einem Kroiso.
Gebt man anf die Polsr^nr Über, so seien rospcctivo ABCA^ByCi die Pole von odcoiiiC,; es sei ferner a.b =- C, b.c = A', e.a — B\ a,.i( — C,', 6|.ci = Ai und «i-oi — Ä,', dann sind C, A\ B\ C^', J,', B/ die Pole von AB, BC, CA, A^B^, B^C\, C^A^.
Da A der Pol von otAi von Oj, so ist a.at der Pol von AA^, eben SD ist b.bi der Pol von BBy nnd endlich e.c, — C'C,; da nun in der nrspr&nglicben Fignr AAi, BB, nnd CC, sich in einem Punkte schnei- den, so mQssen a.a^, b-b^, e.cj d. h. die Schnittpunkte der Paare von Gegenseiten auf einem Kreise liegen.
Von . „ — Ci ist die Polare CC/, von B^iB'By', ton A^-. A'A,'; da nun AiB^Cf auf einem Kreise liegen, so schneiden sieb
Pascalsche Sechseck und das sphärische Brianchons'Sechsseit» 47
ä'A^, B'Bj'y C'Cj\ d. h. die Yerbindangsbogen der Gegenecken der Polardreiecke in einem Punkte d. h.
Wenn die Schnittpunkte von jedem Paare yon Gegen- Seiten zweier sphärischen Dreiecke auf einem Kreise lie- gen, so schneiden sich die Yerbindungsbogen der gegen- überliegenden Ecken in einem Punkte.
§ 8. Um die im vorigen Paragraphen angegebene Lage zu er- kennen, bedarf es eines algebraischen Ausdrucks ; man wende folgende Bezeichnungen an, wobei das Untcreinanderstellen, wie oben, den Schnit^nnkt der Bogen bezeichnet:
G
|
BiCx |
AB |
|
|
Sc |
Sc ABl |
H
CA ^ CA ^ CA ^ ^ =B^ ^ = F ^ =1
Cj^i A^Bi B^C^
In so fem die Seiten des Dreiecks ABC
Ton A^B^ geschnitten werden, ist : sin (ABC^) sin (BCH) sin (CAF) — — 1 n ^iCt n i> V : sin (ABB) sin (BCA^) sin {CAI) — — -1
„ Ci^i „ „ „:8in(ABÖ)sin(2^C7JS;)sin(CMB^= — 1
Mnltiplicirt man die drei Gleichungen, so erhält man:
lin (ABC^) . sin {BCA^) . sin (CAB^) . sin (ABD) . sin (ABG) . sin (BCH) .
sin (BCE) . sin (CAF) . sin (CAI) = — 1.
Da Afy Bf und C^ auf einem Kreise liegen, ist (4) : sin (ABCt) . sin (BCA^) . sin (CAB^) — 1.
Dividirt man das oben erhaltene Product damit, so ergiebt sich: sin (ABD) sin (ABG) sin (BCH) sin (BCE) sin (CAF) sin (CAI) — -f- 1 (5)
Ist Gleichung (5) erfOllt, so schneiden sich die Yerbindungsbogen Ton je zwei Eckpunkten zwei^ Dreiecke in einem Punkte und die drei Schnittpunkte an je zwei entsprechenden Seiten li^en auf einem Hanptkreise, und ist eine dieser Bedingungen erfäUt, so ist es auch die andere , und es gilt Gl. (5).
A,Bt B^Ci C,^, ,. , . „ .
^ -. ^ liegen anf einem Kreise.
ÄiB^ BfCi C\A^
'■ y» "s ßi
Eben so folgt aus {^ AfB-^Ct und ^ A^BgC^-.
A^Bt B^Ct C^, ,. , . ^ .
^ -^ ^ liegen auf einem Kreise.
AgBg B^Cg C^A^
Endlich folgt ans A -^»SjCs und A A^i^^i:
./iga. £>.(-, »,.Ä.
^ A ~ lipgcn anf einem Kreise. A,Bi B^C, C,^,
rt
d. i.
Uan ziehe nun die beiden Dreiecke «itttKj und ßißtßa in Be- tracht, BD ergiebt sich
B.C.
= Q.
C\A^
— C,,
C«
^i^Q d. h. die Schnittpunkte der entsprechenden Seiten dor ^ ijn,«] nnd £^ ßxßtßa liegen auf einem Kreise, folglich schneiden sich "xßi "ißt "ißi ii* einem Punkte. Aber auf ti^Si liegt y^, auf cr,|3, liegt y, und anf a^ß^ liegt }', daher schneiden sich die drei Kreise aißty^^ "tßtyt ^'1 "tßtYi i" cii't^iK Punkte, das hoisst:
.^1 ji^Ci (V*, i^j i(7ci fV^
*) Stelner» Vurlcnngen Aber ifnihetiicbe Oeometri« bearbeitet t Dr. ScbrOdcr. Tbl. S. { 11.
Pascal sehe Sechseck und das s^thärütche BriauchonK-Sechsseii. 49
A^B^ B^C>2 Cj-^j -^^^i -^S^S ^8-^3
A^B^ Bf^C^ C-^A^ A^B^ Rfi^ C^A^
befinden sieb auf drei in eiuem Punkte sich schneidenden Kreisen:
Wenn die Spitzen dreier sphärischen Dreiecke auf drei in einem Punkte sich schneidenden Kreisen liegen, so befinden sich die Schnittpunkte von jedem Paare ent- sprechender Gegenseiten auf drei in eiuem Punkte sich schneidenden Kreisen.
Es ist leicht nachzuweisen dass, wenn man auf die Polarfigur übergeht, man die Umkehrung erhält.
Wenn die Schnittpunkte von jedem der drei Paare entsprechender Seiten dreier sphärischen Dreiecke auf einem Hauptkreise liegen, so.hefinden sich die Spitzen derselben auf drei sphärischen Bogen, welche sich in einem Punkte schneiden.
§ 10. In Fig. 5. sei M der Mittelpunkt einer Kugel, AB ein Nebenkreis auf derselben, deren Pol P, sowie der Gegenpol P', daher VM die Achse. Man ziehe den Halbmesser MA und errichte darauf senkrecht den Kreis AC\ so ist derselbe die Polare von A, Der Bogen vom Pole nach einem Punkte des Nebenkreises (Pj4) heisse der sphärische Halbmesser; es sei ÄC der Durchschnitt der Ebene PMA mit dem Kreise ÄC\ so ist P' Ä = 90 - P^. Durch A' lege man den Parallelkreis ÄB\
Verbindet man einen Punkt D* des Bogens ÄC mit dem Mittel- punkte J/, so bilden MA\ MD' und MP' eine rechtwinklige Ecke, worin A'MP* Kathete, D'MP' Hypotenuse ist, daher Z. D'MP' >
Z. A'MP' ; legt man daher durch P'D' einen Kreis, so ist P^D' > P'A\ woraus folgt, dass Kreis A'C den Nebenkreis A^B' in dem Punkte A' tangirt Dreht man nun den Halbmesser so, dass A längs des Nebenkreises AB sich bewegt, so werden die Polaren stets den Nebenkreis A'B' berühren, so dass daher A'B' die Pölarfigur von AB ist: Die Polarfigur eines Nebenkreises ist wieder ein Mebenkreis, dessen sphärischer Halbmesser den ersten zu 90® ergänzt
Daraus folgt auch, dass die Polare eines Punktes der Hauptkreis ist und umgekehrt.
X%\\ LX. 4
schreibt, die Polarügur eiu Drciseit, Vitraeit oder Secbsseit um den Polarkreis ist.
§ 11. Es stflle Kig. 6. eine Kugel mit der Kugelhaube liCKIi dar, M ist der Mittelpunkt der Kugel, A eiu Punkt der Kugclober- ilücbe, ABC' und ADE siud den Nobenkreis schupidonde Hauptkreise, ATdtT ihn berührende. Durch den Mittulpnnkt JV/und die Hauptkms- bogen lege man Ebenen, welche sich in der Geraden MA schneidou. Die erweiterte Ebeuc dos Nebeukreiscs schueiJe MA in U, sie werde von den Ebenen der Hauptk reisbogen in üDE, UBC und ur ge- BchnitU n.
Aus der Planimetrie ist bekannt, dasa UB.UC= VD.Ut: = UT ist.
_ t;3f. sin CMA BiüMVU.
Da A MUC gleichscbenlilig, so ist
2 ^ AfCU = 18Ü0 - z: CMB oder
^MCÜ=^ 90 — i 21 CMB, daher •
rr— ^■^^-sinC^^.-'l UM^iiAC
" QQsiÖMÜ. cOSi-ÜC'.
Eben so folgt:
UM. Bin Tb
cos ) BC folglich
rrr. ,-^ UM* &iB AB. sin AC
cosiifC« ■ Eben so ist
UAf' Binio-Binii;
UD. UE = '„—— .
COB it>E*
folgUcb
. 8in.^g,sin.ilC emAD^siiijAE cosjic" cos 1 Dt"»
Paxcalscht Sechseck und das sphärische ßrianchoitJs-Sechnxeit. 51
Denkt man sich AC nm A herumgedreht bis zur Coincidenz mit AT, so wird A B =- ÄC '-=' AT nnd HC gleich Null, voraus folgt:
«inAB.üvLAC sinAD.sin-^-fc; . . „^ .^ ^,
co8|i>C-^ cosiZ)£» = ""^^ • • . . (6)*)
Fällt A zwischen B und C so ist sin ^^^sin^^C negativ.
Die Gleichung 6 gilt auch noch für die grössere Kugelhaube.
§ 12. In Fig. 7. stellt ABC ein sphärisches Dreieck dar, welches den Nebenkreis der Kugel in den Punkten DEFGHI schneidet; die Pnnkte D und 7, E und jP, G und H sind durch Hauptkreise ver- bunden und geben A A^B^C-^, Durch Anwendung von Gl. (6)ergiebt8ich:
sin vi Z) . sin -4i; sin ^7. sin ^If ~ cos \ DE* ^ cos i HP
sin BF, sin BG sin BE. sin BD cos iFG*~ "" cosiZ>7i;^
sin CH. sin CI __ sin C G. sin CF cos i TTT« ~~ cos i i^'(^^
Durch Multiplication dieser Gleichungen erhält man
sin AD . sin AE . sin J5F. sin BG . sin CTT. sin C7 = sin AI, sin -^lÄ^. sin BE
• sin7^Z).8in67r'.sinC775
d. i.
8in^7> sin AE sin BF sin BG sin C^ sin C7
8in7>^ ' sin A^i^' siST^^C' sin GC sin //^ 8in7^ "" ' wofür man auch schreiben kann:
sin^i^ D . sin ABE . sin BCF, sin BC G . sin CAH, sin C^ö = 1
Das ist aber Gleichung (5), folglich schneiden sich die Yerbindungs-
bogen der gegenüberliegenden Eckpunkte AA^^ BB^, CC^ in einem Pnnkte, und die Schnittpunkte von jedem Paare von Gegenseiten
•) Schulz: ICUmentaJc Spharlk Tbl. 2. § 54 gicbt für Gl. (6)
X%\TB.tg\AC^ tgiiz>tgiAfc;= tg^AT*. Aas Fij;. 6. lässt sich dicso Gloichunj; loiclit ableiten durch Anwendung von
denn e« ist
ÜA
y. = tglAßtgiic'=tg}^z>.tgi^£j = tgi^r».
UM-^-MA
4'
kreis buBcbriebenes spbäriscbüs Sechseck, welches Pascalsches Sechseck hcisst; daraus folgt:
In einem Pascalschen Sechsecke liegen die Schnitt- punkte vott jedem Paare von Gegeusoiten auf einem Kreise, welcher Pascalscher Kreis heisst.
§ 13. Gfht man auf die Polarfigur von § 7. über, so ist D der Pol einer Tangente d au dem polareu Kebenkreise; ebenso ist die Tangente e die Polare von E, daher der Schnittpunkt der beiden
Tangenten der Pol von der Seite DB; die Polarfigur vom Pascal- schen Sechseck ist daher ein nm den polaren Nebcukreis beschriebe- nes Scchsseit: Brianch ous-SechsHeit.
Da in dem Pascalschen Sechsecke
DE EF FG GH HI ID
auf einem Kreise liegen, so mllssen, wenn man mit , die Verbindungs- bogen der Schnittpunkte und . bezeichnet,
ek ,fi gd ■
sich in einem Punkte schneiden d. h.
In einem Brianchons-Sechsseit schneiden sich die drei Verhindnngsbogen von je zwei gegenüber liegen- den Eckpunkten, Briancbous-Kreise genannt, in einem Punkte: Brianchons-Punkt.
S 14*). Man bezeichne die Spitzen eines Pascalschen Sechsecks mit den Zahlen 123466, und die Folge der Zaiilen bestimme zugleich die Aufeinanderfolge der entsprechenden Ecken. Permutirt man die sediB Zahlen, so erhält man 720 Verbindungen, von welchen jede eiu Pascalscfaes Sechseck giebt; von dioseu sind aber je sechs identisch,
*) Man vergleiche die Beziehung nnS die rolgcml« Entftirkttung; ; Steiner- Schröter Vi>r!c>ungen Thi. 3. g 9B.
Annljtisi'lic Oeomrtiie der Itcp;laehnitte von Georgu Snlnon, frei be- arbeitet von Prüf. I)r. Fiedler Art. SS6 u. IST.
tt'Sechiiml. 53
612345. Von den iB Sechseck 325416 h 12 zu dividiren, isccke ZH erhalten, on sechs auf der uhiodeue Pascal sehe Igen berücksichtigt
Schnittpunkte von ,auf uinem Kreise, :al3che Kreise.
12 ". —
Der Pascalsche Puukt „, d. h. der Schiiittpuukt von 12 nnd 3i,
kommt iu acht Pascalschcn Scchscclion vor, vou deotn aber je zwc htentisch sind:
125346 12C345 120436 126435
216435 2154:« 216345 215346
Daher gehen vier Pascalsche Kreise durch denselben PascaJschen Punkt, die Anzahl der Paacalschcn Punkte ist demnach — ; =45.
Man kann auch noch auf einem andern Wege zu demselben Re- ratlate gelangen. Die sechs Eckpunkte des Pascalschen Sechsecks geben fünfzehn Verbindungsbogtn. Betrachtet man den Verbindungs- bogen 12, so gehen durch die Endpunkte acht Verbiiidungsbogen (13, 14, 15, 16 u. s. w.), foighch für die andern Punkte noch sechs Schnitt- punkte Qbrig, fUr alle fttufxcbu neunzi;;, jedoch fallen je zwei zusammen
(12 56'
\56 12,
j- giebt
45.
Es gicbt fünf und vierzig Pascalsche Punkte.
5 15. Man stelle Briauehn Tis- Sechs seit dar durch I. 11. III. IV.
V. VI. und zwar so, dass t, der Po! von 12 u. a. w. ist.
Da es sechzig Pascalsche Sechsecke giebt, so gicbt es auch sechzig Brian chons- Sechs seile, so wie sechzig Brianchons-Punkte; vier Brian-,' chons-Pnukte liegen auf einem Qrianchons-Kreise , deren es fünf und vierzig gicbt.
§ 16. Jedes Pascalsche Sechseck kann man sich ans zwoi sphä- rischen Dreiecken entstehend denken, wovon je] eine Seite des einen je zwoi Seiten des andern auf der Peripherie dos Nebenkreiscs schneidet;
Nach § 12 suhneiden sich die VcrbinduDgsbogen der gegenüber liegenden Eckpunkte in einem Punkte, das ist:
12 35 \
66 24 J
12 35 (
34 Ifi ( '^'^'* "'''"' '"'^'' '''^ dritten Punkt« ergänzt:
34 16 1 56 24 )
|
12 |
36 |
46 |
|
66 |
24 |
13 |
|
12 |
36 |
46 |
|
34 |
16 |
26 |
56 24 13
Dies sind die Pascalscben Kreise der drei Sechsecke:
124653 164352 134256
■^die sieb in einem Punkte schneiden; dieser Punkt ist ofFenbar kein Pascalscher Punkt, er heisst Steincrscher Punkt. In einem Stcinei'schen Punkte schneiden sich drei Pascal sehe Kreise.
Man bcachtp, dass bei den Sechsecken die ungeraden Punkt« unveränderlich sind, während die geraden bestehen aus 263, 632, 326.
Die Charakteristik des Steinerachen Punktes ist:
Ho zweite und dritt«
RU Pascalscbcn Kreis
andern bestimmt ist,
&o liegt auf einem i'ascalscbeu Kreise nur ein Steinerscher Punkt,
in welchem sich drei Pascatscbe Kreise aebnciden, woraus fol^t: Er
giebt zwauzig Steiiierscne Punkte.
5 17. Jeder Eckpunkt vom BriauchonB-Sccbsseit ist der Pol oiuer Seite des PasealscliCH Sechsecks; der Schuittpunkt von zwei gegen- über liegeuden ?eit«ii des Paacalacbon Sechsecks ist daher der Pol des Verbiudnngsbogens zweier gogeiiÜbiT liegenden Eckpunkte, d. h. ein Pascalseher Punkt ist der Pol eitios Briancboiis- Kreises, daher ist der Brianchous- Punkt der Pol des betrefl'enden Pascalscheu Krei- ses; nnu schneiden sich aber drei Pasealsche Kreise in einani Punkte, dem Steiuerschen Punkte, also liegen drei Briancbons-Purikto auf einem Kreise, Steinerschcr Briancbous-Krois: Auf einem Steinerscheu Briancbons-Kreise liegen drei Briaachons- Ponkte; solcjier Steinersche Brianchons-Krciso giebt es zwanzig.
g 18. Um den Schnittpuukt der beiden Pascalscbeu Kreise
12 a5 46 5Ö 24 13
56 24 13 "'"' 34 15 :iG
zu untersnchen, nehme man drei Pasealsche Kreise, von wcleben jo zwei einen Punkt gemeinschaftlich haben, als Seiten eines sphärischen Dreiecks au und Secbsecksbogen , welche in den drei Kreisen vor- kommen, als Seiteu eines zweiten Dreiecks, daher
12 56 34
12 35 46 ) 56 24 13 ) 34 15 26 | 45 26 13 t 23 15 46 ) 16 24 35 ) "
Diese Schnittpunkt« liegen auf dem Pascalscbcn Kreise
Dies giebt drei EirkmELnnsche und ein Steincrscher Paukt, welche samrotlich auf dem Pascalschen Kreiae liogcn:
Aaf einem PascalschoB Kreise liogcn dreiKirkmanneche und ein SteinerBcher Punkt.
Da es 6U Pascalsche Kreise Riebt, auf jedem derselben drei Kirkmannsche Punkte liegen, in welchen sich nieder je drei Pascalsche Kreise schneiden, so erhält man: Es giebt sechzig Kirkmannsche Punkte.
rascaiBc&tiD Kreise, loigiicn scbocidon sieb drei Kiricniaiiiiscno unan- choDB-Kreise und ein Stcmerscher Brian chons-KroiB in einem Bri&n- chotts-Punkte. Auch folgt ans § 18, dasB es sechzig Kirkmannsehe BriänchoDS-Kreiso giebt
S 20. Die drei Pascalscben Kreise :
12 34 66 45 16 23 36 24 15
45 16 23 '"' 36 24 15 '■'^> 12 56 34 '"
schneiden sich in einrm £irkmann sehen PiiDkte. Auf jedem Kreise Dehme man eineu Pascalscben Punkt so an, dase je zwei wieder auf einem Paacalschon Kreise liegen; dadnrch entsteht ein sphärisches Dreieck, dessen Eckpunkte anf den drei Kreisen des KirkroanDschen Punktes liegen:
66
|
J,B, |
66 ~23 |
24 16 |
13 46 |
-4, |
liegt Mf |
|
J>,c, |
24 ~_16 |
15 34 |
36 25 |
B, |
., „ |
|
C,A, |
15 "34 |
23 66 |
46 12 |
Ci |
M If |
Hau bilde die Ergänzangcn von A,B^, BiC, nud C^Af und fitge zur ersten Ergänzung eine Horizoutalcolonnc von a, znr zweiten von ß zor dritten von y hinzu, so erhält man
|
A,B, |
14 "23 |
35 16 |
26 46 |
|
|
B.C. |
35 -24 |
26 15 |
14 36 |
|
|
C^, |
14 — 56 |
26 34 |
35 12 |
|
|
14 |
35 |
26 |
||
|
AS. , |
1. A,. |
23 '56 |
16 34 |
45 12 |
|
14 |
26 |
36 |
Das ist offenbar ein auf dem Kreise o liegender .Kirkmannscher
12 34 56, 13 24 56, 14 23 66, 15 23 46, 16 23 45,
daher giebt es faDfüehn VerbindungeD, welche CharakteristJkeD des Staiaerscben Kreises sind. Es giebt fnnfzebn StciDcrBche Kreise.
§ 22. Der SU'iocrscbe Pnukt ist der Pol eines Steiuerschen Briaucbons Kreise; vier Steinerscbe Punkte liegen auf einem Steiner- Bcben Kreise, folglich mQssen sich vier Steiuerscho BriaDchona Kreise in einem Punkte Steinerseber BriBDchons Pnnkt schneiden.
In einem Steinerscben Brianchons Punkte schneiden sieb vier Steinersche Brlanchona Kreise; es giebt fünf- zehn Stoinersche Brlanchona Punkte.
S 23. Man bilde aus den neun Punkten des Kirkmannschen Pnnkten
12 35 46 34 26 15 56 13 24 12 46 35
drei sphärische Dreiecke, so dass je zwei Ecken je eines Dreiecks auf einem Pascalscbcn Ereiae liegen, also:
|
^1 = |
34' "•-!»• |
c- |
" 12 |
||
|
A,- |
46 13 15' ■°« 26' |
c.- |
24 "35' |
||
|
woraus Dich ergiebt: |
|||||
|
35 24 16 ''•^' - 26 15 34- |
24 13 ^■".-15 46 |
56 23' |
C,4, |
13 ~46 |
26 45 35 12 |
|
A,Bt =■ 34 |
BiC, " 56 |
C,A, |
-12 |
||
|
46 13 25 ''=''' — 15 26 34' |
"•'■• - 26 S5 |
56 14" |
q,A |
24 "'35 |
15 36 46 12 |
Da die drei Bogen
aich in einem Kirtunannscheu Panhte schneiden, so liegen (g 9) die Schnittpankte von jedem Paare von t'iitprechenden Gegenseiten auf drei in einem Punkte sicli schnciUiiiUcn Kreisen, das ist:
|
A,B, 16 A^Ba ~ 34 |
A^u. 25 A,li, ^ 34 |
36 24 16 ''•"' = 26 15 34 ■'<"• 13 46 25 |
|
SjC, 23 BjC, ~ 56 |
BgCj 14 B,C, ~ 56 |
15 46 23 ■°'';' = 24 13 56 "A 35 26 14 |
|
C,A, 45 C,A, - 12 |
C,A, 36 CäAs ' 12 |
26 13 45 ^■'^' _ 35 46 12 ''3'*» 24 15 36 |
|
Der Schnittpunkt der bt'iden ersten Verticalcolonnen ist der Steiner |
||
|
BChe Punict: |
||
|
16 23 |
45 |
|
|
34 56 |
12 |
Durch diesen Steinerschen Punkt geht der Kreis, welcher die drei KirkmauDsche Funkte enthält:
35 24 16 If. 46 23 26 13 45
26 15 34 2i 13 56 35 46 12
13 46 25 35 26 14 24 15 36
24 35 16 46 15 23 13 26 45.
Dieser Kreis, welcher einen Stcinorsclien und drei Kirkmanneche Punkte enthält, ist weder ein Pascalscher noch Steinerscher, er heisso Cayley-Salmonscber Kreis: Auf einem Cayloy-SalmonBChen Kreise liegen ein Steinerscher und drei Kirkmanusche Pnnkte.
Die Charakteristik dieses Kreises ist: 16 23 45 35 24 16 34 56 12 26 15 34 2& 14 36 13 46 25
|
15 |
46 |
23 |
26 |
13 |
45 |
|
24 |
13 |
56 |
35 |
46 |
12 |
|
35 |
26 |
14 |
24 |
15 |
36 |
|
46 |
15 |
23 |
13 |
26 |
45. |
Fascahche Sechseck und das sphärische Brianchotis Sechsseü, ß\
Jeder Kirkmannsche Punkt hat mit dem Steinerschen eine Vertical- colonne gemeinschaftlich. Da von den 60 Kirkmannschen Punkten je drei anf einem Caylej-Salmonschen Kreise liegen, so ergiebt sich: Die Anzahl der Cajley-Salmonschen Kreise ist zwanzig.
§ 24. Da ein Steinerscher und drei Kirkmannsche Punkte auf einem Cayley-Salmonschen Kreise liegen, so müssen sich die Polaren derselben, d. i. ein Steinerscher Brianchons Kreis und drei Kirk- mannsche Brianchons Kreise in einem Punkte, Cayley-Salmouscher Brianchons Punkt, schneiden: lü einem Cayley-Salmonscheu Brianchons Punkte schneiden sich ein Steinerscher Bri- anchons Kreis und drei Kirkmannsche Brianchons Kreise.
§ 25. Es seien folgende vier Cayley-Salmonsche Kreise gegeben :
12 34 56 12 35 46 12 34 56 12 35 46
45 16 23 45 26 13 _ . j^ 45 26 13 45 16 23_ ^ j^
36 25 14 36 15 24 "" * *' 36 15 24 36 25 14 ^ *
12 46 35 12 46 35
12 35 46 12 34 56 - 12 35 46 12 34 56
46 16 23 45 26 13 ^ ^ j^ 45 26 13 45 16 23
36 24 15 36 14 25 ^ *' 36 14 25 36 24 15
^ 12 56 34 12 56 34
S bezeichnet einen Steinerschen, K einen Kirkmannschen Punkt
m
S, und JT, haben gemeinschaftlich den Pascalschen Kreis oa or. -iA
^ ?» '^1 11 « 11 11 yy
45 26 13 36 15 24
45 Diese beiden Kreise gehen durch den Pascalschen Punkt ^j^.
daher ist
45^ S^K^
36 ^i-^i Ebenso:
/Sj und K^ haben gemeinschaftlich «g oa ir.
^ ^ 45 26 13
* " ^* » " 36 14 25
45 Diese beiden Kreise gehen auch durch den Punkt «.^
Durdi diesen Punkt gehen daher
|
45 36 |
||||||||||
|
to |
ässt sich |
eigen |
||||||||
|
12 45 |
S,K,- |
|||||||||
|
36 12 |
«,«1 |
|||||||||
|
t |
uu |
UiüsD ADsdrackE |
||||||||
|
s, |
^1 |
(I) |
S, JT, S, |
m |
•ff« |
s. |
(III)
so kaou mao je drei Vcrticalcolonnen als ein Dreieckspaar nehmen, bei welchen die Verbioduugsbogen der Spitzeu sich in einem Paukte schneiden, daher die Schnittpunkte der entsprechenden Seiten auf einem Ilauptkreise liegen.
Ana den obigen Verbindungen ergiebt sich leicht:
|
SA -S.K, |
-S,K, |
S.K, |
|||
|
S,X, |
S,K, |
S,K, -SA |
s,a, S.K, |
S,K, s.Jf. |
|
|
S,K, |
S,A\ |
_S,K, |
S,K, |
S.K, |
S,K, |
|
S.K, |
-s,«r. |
'S,", |
-S,K, |
~S.K, |
S,K, |
Ana den einzelnen Dreiecken von (I), (II) und (III) ergiebt sieb:
Aufein.Kre.selieg.d,ePnnkte3g.^^.^._g^^^,g^^. . _^,^. ^.^j^^, ^J^
46 S,A', SjAg äjA'g SjÄ^j SA '%f'^4 " " " " " " 3Q' Ssh\' StKf' S,K^'S,A\' K^K^' K,JC^
45 SjAj ^A, SjA; SjA's ,^S, 5,5^ " " " " " " la SjA,* 5,A,' SgA,' S,A,' A,Ä^,' AjATg
Dies ist nur möglich wenn die Bogen
S^A,, SfKt, 5,Ag und iS^A^
sieb in einem Punkt« schneiden.
Pies sind aber vier Cayley-Salmonsche Kreise, woraus folgt:
■ ßr.<li.fÄoiT-S-r/.««
SO Bchueiden gich in sclieu Punkte; solcher
Brianchoiig Punkt der Pol crgiebt sich Dach § 2b.:
Vier Caylcy-Salnionsche iJrianclioiis Punkte liegen auf eioem Cayley-Salmousc hcn BriaDcbons Kreise, wo- von es fnufzchn giebt.
§. 27. Aus § 2b. ergiebt sich aber auch noch, dass die Punkte:
36" K^K^' K^K^
45 S,«j ^S, 36' Ks&'t K,Kt
46 S^S^ S,S^ 12' K,Kt K^Ss
aul drei Kreisen liegen, die sich in dem Cayley-Salmouschen Punkt« schneiden-, die Verbindungen von S geben Stcinersche Kreise, denn SjSf a. B. w. haben eine Vertical- nnd eine Uorizontalcolonne ge- meinschaftlich; dagegen haben Ji,Kt a. s. n. nur dieselbe Vertical- colonne vollet&ndig, daher liegen sie nicht auf einem Pascalschen Kreise.
Dnrch einen Cayley-Salmonscben Punkt gehen drei Kreise mit den Charakteristiken:
E^K^ K^K^ K^Ki K,K^' KtK^,' KiK^
S 28. In § 14 ist nachgewiesen worden, dass es, ohne Rücksicht auf die Ergänzungen sechszig Pascalsche Sechsecke, daher ancfa eben Bo viel Brianchons Sechsseite giebt. BerDcksicht mau aber die Er- gftazoDgen, so ergiebt sich ; Es giebt Sechseke, 123456 als Grundform angenommen:
|
mit keiner Ergänzung: |
1 |
|
|
„ einer |
1 . |
. 12 |
|
„ zwei Ergänzungen: |
3. |
. 12, 23 12, 34 12, 45 |
Boppe: GeoMttrische Jjevtung der Fundamentalgrötsen ttc, ß5
V.
Geometrische Deutung der Fundamentalgrössen zweiter Ordnung der Flächentheorie.
Von
R. Hoppe.
Eine Fläche sei in beliebigen l^rametern w, v bestimmt. Von einem beliebigen Pnnkte derselben P gehen die Parameterlinien (u) and (v) and eine Linie a aus. Auf diesen drei Linien nehmen wir die entsprechenden consecutiven Punkte Pn, P», P« so, dass der letzte bei gleichzeitiger Variation von u und v um dieselben Incremente 9tt, dv entsteht, welche die beiden ersten bestimmen. Entwickelt man die Coordinaten der 3 Punkte bis auf zweite Ordnung, so kommt:
t dx r. , ftc A , d^x dii^ . 9^x ^ ^ . d^x dv^ , dx 8*u
Bx 8*17
wo 3^ 8*r im Sinne einer Variation längs * zu verstehen sind, hier jedoch nicht näher bestimmt zu werden brauchen, weil die 2 letzten Tenne auf das Resultat keinen Einfluss haben.
Die partiellen Differentialquotienten 2. Ordnung kann man nun in Aet Form
Tfil LX. &
auf solche 1. OrdnoDg reducirou, wo p, g, r die Richtungscosinns der Normale, und E, F, G die FDodanientalgrösBeu 2. Ordnung (s. Arcb. LIX. S. 230. S. 5.) bezeichneo. Dann wird
nnd die Coeflidenten haben die Werte:
M = 3ii + i^3K'4-ä*auar+iCar»+ic'u
jtf, = ij-;a«»4-fe«a.+iffai.»
Bezeichnen ferner ^, ^n, ^. die Dreiecke FPuP,, 1'1\P,, PP,P„ >u^ (p)(«)('')i Puquru, piqtr, die Ricblungscosinns ihrer Ebenen oder Normalen, so ist
2^w - 1 LT.T-.1
I %— », .. — y I und DMh EinAhnrng der Werte (1) erhält nuD:
's+'^.ä; + «'.'
L.+ i>E + V
zweiter Ordnung der Flächentheorie.
67
2Jnpu ^^
8u
dv
dti
8t>
2.^f;H
du
du
dv
oder nach Zerlegung der Determinanten
2J(p) ==
KL
\tp+
k I
+
8y
dt«
2^,^« =
AI—K K
tp+
\M —K K jA/g K^K<^\ dz
2Jvp, =
M—L L
tp+
M—L L jyf^ — L^L^
|
h |
8y |
||
|
8i« |
+ |
3fi--^,Äj |
8.;« |
|
hz |
f |
-^ AjfÄig 9^ |
|
|
au»- |
iöt? |
||
|
Sy |
Sy |
||
|
8«« |
+ |
Mj— X^Lj |
%" ( |
|
8^ |
3fj Zjig |
8s |
|
|
du |
e«*" |
WO t du 8t? das Flächenelement ausdrückt Da die Entwickelung nur auf 2 saccessive Ordnungen gtlltig ist, so können die Terme 4. Ord- nung wegfallen, das sind die Producte von je 2 der Grössen JTj, /T^, jL, Xrj, 3/j, M—K und A/i — I/j, und man erhält:
2d(p) =
2Jupi
|
8«« |
Sy 8»« |
||||
|
KL^tp + KL^ |
dz du |
I'jÄi |
8< |
||
|
• |
8«« |
ay 8r« |
|||
|
KiK,-M,)tf |
>+K |
{K,-Mi) |
8z 8«' |
+(A/,-ür,)^, |
8> |
5»
}g9tt+J-3D
Die consecutiveD Pankto anf den Parameterlinieii nach negativer Seite bin, entsprechend den Incrementon — 9w, — 3», seion P», P,'. Diese bilden mit P und bzhw. mit P,, P, zwei neae Dreiecke
PPtPj, PPnP,'
Die Richtnngscosinne ibrer Normalen seien
(l».)(9.)(r.). (/.-)(«.) (r.)
and die Fläcbenwinkel , welche ihre Ebenen mit der des Dreiecks d bilden,
der Fiacbenwinkel zwischen den Ebenen der Dreiecke Ju nnd J„ bezeichnet durch S. Dann findet man, dnrch Vorzeicbenwechael der dtt, 80 die (/>>), (p.), nnd nach Subtraction :
{p)~(;'.)-- -
(3y 5y |\ I
In Arch. LIX. S. 227. g. 1. ist die gcoraetriBcho Deutung der Fundamontalgrösaen 1. Orduung c, f, g gi'gttbcD, nach welcher y«ru und Yg Bv die Paramotcrlinicuelcmcnto auadrUckcu. Die letzten GIcichnngcD cuthallen die Deutuug der Fuudanioiitalgrössen 2. Ord- nnng, die sich in folgender Form am Ubcrsichtlic listen darstellt:
öc tdudv dt, tSadv
8« hudv
Die Kanten der 3 Flächcnwinkel sind die Sehnen der 3 Liniencle- mento der Curven (f), (u) nnd g\ jeder der Winkel ist dnrch das zugehörige Lintenelement zn dividiren, alle daun mit dem FIAchcn- element zo multipliciren, dann die einzelnen hzhw. mit 9u', hc*^ budv zu dividiron, endlich der Greuzwert zu nehmen. Die winkelbilde ndcii Ebenen sind stets durch die 2 consccutiven Punkte der Paramoter- linie zu beiden Seiten der Winkelkanto zu legen.
3a in: Zur Theorie der Symmetriepunkte erster Ordnung 71
VI.
Zur Theorie der Symmetriepunkte erster Ordnung,
V..n
Emii Hain.
I.
Es seien Xa die Ponktcoordinaten eines Punktes P in der Ebene des Fnndamentaldreiecks ABC, Ist nnn
wo <p und ^ constant oder anch symmetrische Fonctionen der Seiten abc sind and ist ausserdem:
xh «=• ^ft-j-i/ic+t/'a Xe = tpc-^-^a-^iph
so heisst P ein Symmetrieponkt erster Qi'dnnng. Ist tp nicht gleich Null, so können die Coordinaten xa durch ^ dividirt werden und es ist dann q>i^ ebenfalis constant oder symmetrisch. Die Form eines Symmetriepunktes erster Ordnung ist also tpa-\-b-\-c. So erhält man far g> =4-1 das Inkreiscentrum, fttr <p =» 0 den Punkt ft+c. Will man den Punkt a d. i. den Grebe'schen Punkt auch mit einbeziehen, so ist in diesem Falle ^=±0^). Die Construction des Punktes ^pa-^-b-^-c ist, wenn tp eine numerische Constante bezeichnet, folgende:
Man zieht die Höhen des Dreiecks. Die Höhe von A auf BC wird über ihren Schnittpunkt Ha um HaA^ = <pa-|-d-|-<? verlängert. Man zieht durch A^ Pandlele zu BC. Sie bilden ein dem Urdreieck ähnliches Dreieck A^B^C^. Die Geraden AA^ treffen sich im Sym- metriepunkt 9a -f- 6 -{-<?.
Ist P^pa ein Symmctriopnnkt des Dreiecks ABC and P' ^ pa derselbe Symmetriepunkt für das Uitteadroiock, so ist:
|
po' = |
•2 |
||
|
wo |
hc |
2 A ABC 2f |
|
|
(Archiv LVin 164). |
|||
|
Für P~<pa+b+c |
hat man: |
||
|
Vi |
. = 2F.-% |
,+!.+, |
■ q>i:a*+2£bc
Die Symmetriepunkte orster Ordnung des Mitton- dreiecks sind Symmetriepunkte vierter Ordnung des Urdreiecks.
Hain: Zur Theorie der Symmetriepunkte ertter Ordnung, 73
Die Punkte (pa-^-b-^-c liegen anf der (Geraden b — c. Sonach liefen auch die Punkte P' auf einer Geraden. Für 9 =--|-l erhält man P' ^ be(b-\-c). Dem Inkreiscentrum entspricht der Spiekersche Punkt Für <p = 0 wird P' = hc{hc-\-Sbc). Die Gerade b—c des Mittendreiecks ist also die Yerhiudungsgerade der Punkte: Äc(ft-f-c), bc{bc-{-I!bc)\ sie ist die Sjrmmctriegerade:
caie-^-a) ca (ca -f- £bc) ab(a+b) abiab'\-£bc)
f c-j-o 2be j^ c-\-a ca \\
= ^ \ a+b £bc "f" a+b ab \ ]
= 0(6 — (?)(2:äc— o«)
Den Abstand d eines Punktes pa von der Geraden ^a^xa » 0 gibt dio Formel:
, ^«1 pa
"" -l^üa^^ — 2i:b^ci cos a wo a = CAB.
Für den Abstand des Punktes bc(b'\-c) von der Geraden b—c hat man also:
bcib-^-c)
b^e, pa^2F,
2abc£a
^'^P'-^ä^a^*'*^''-''^
— 2^6jC]C0so
2ai^^2Za^-22bc
abc
Die Gerade a(&— c)(Äc— a*) ist parallel der ft— c?, also gibt d ihren Abstand.
Der Abstand dcrGeraden allerSymmetriepunkte erster Ordnung eines Dreiecks von derselben Geraden des Mittendreiecks ist gegeben durch die Formel:
F Sa^ib—c)
d =
^^ 'Vabc[;dabc£a^ — ^(d>c£bc-\-£a^(b+c) — £a^2 Die Verbindungsgerade der Punkte P, P' ist die Gerade:
; fpb-\-C'^a ca[/p{c^-\-a*)'\'Ca-^ £bc] 1 ^\b ca(c*-f-a*)
fpc^a-\'b ab[(p(a^'^-b^)+ab + £bc'] \^^ \ c ab(a*+b^)
y b ea{ca-Y£bc) \ c+o m(c*+« ) \ _Lr ' ^ ca{ca-\-£bc) '^^ \\c €ib{ah'\'£hc) +>+* ab{a^+b'^)\] "^|a-fÄ ab{ab+£bc)
Die Eutfeniuuff d zweier Fnukte pa, qa ist dnruh folgende Formel gegeben:
Bezeichnet / das iDkroisccntnim, bo ist fUr * = p», i = ?■:
v«-j-H-c
= 2-F.
tpEa*-\-2Sbc
Snn iet:
Sa.Sa= Sa*-\-2Ebc
62:a — Xa* =■ — (a + c)i;a + 22ic Hieraus folgt:
2F
Wir könnoD also setzen:
wo f und 9 syrametriache Funktionen der a sind und kein tf ent- halten. Demgcmäss ist:
^(^_l)*/-_,j,(^_l)*/=^[(^_l)ip/_(^_l)*/] IHM ftlhrt zur folgenden Relation:
y(^-l)q>j~»(^-l)»P/
Wird die Distanzformel auf die Punkte -\-ip und — <f angewendet, so erhalten wir:
VI.
Die Harmonikale des Ponktes ipa-\-b-\-c ist die Gerade: (^+c+a)(vc+a+W = v»6c+9CS'+c»-|-ai+oc) + C<i+6)(a+r) Ihre GleichnDg ist also:
Hierans folgt durch DiSercntiiniDg:
2tp£bexa+£(b* + c*-i~ab-{-ac)xa = 0
'■ 2£b^^
Die EinfRhniiig dieses Wertes gibt die Gleichung der EinhuUenden :
2ZbcXa £lb*-i-c*-\-ab+ac)xa 1
I ^(6>+c»+a6+a«)a„ 2£(a+b)(a+c)x,
-0
Ans der Form dieser Gleichnng ergibt sich die EinhüIlcDde als ein Kegelschnitt, desBon Tangenten die Geraden bc, (a+6)(o+c) d. i. die Hamionikalen des Grebe'schen Fnokt^s und des Punktes 6+e sind. Will man besümmen, in wolchen Punkten dieser Kegel- Gctmitt mit der Geraden 6*+c*+a6-|-'«' d. i. mit der Umkreispolarea des Punktes b-\-c sich schneidet, so erhält man: •
ler Geraden be ein Pnnkt der Bind. Ea kön- I jene Ponkte |-(iA-t"<'c trifft ler Geraden be
\^ia-\-b-\-c)£a»(b*~c*)^0
Die Geraden bc nnd (a-\-b)ia-\-c} sind also einander parallel. Die Polare i»+c*+oi-|-ac ist ein DorcbmesBer. Die Einlmllende ut ein Centralkegelschnitt.
Die allgemeine Gleichnng eines Kegelschnittes ist:
Hier ist:
j« -= 2flic£a+24V— a«(i»+e»)— 6* — c*— 2<«(i'+«»)
gt, ~ a(b»-\-c»)-i-abc£a
+ o»(6»+ei)_a*_26»(J-o«C6+c)— ic(i»+c»)
loraos:
£g„ = iZget
Wien, Mai 1876.
TO it — a-i-b + C.
Ferner erhalten wir fQr den Cüefficienten von srtrt: bo{8F*~\~2abc£a—aib*+c»—a*)£a\
= 86«(.-iK»-'')(*-» + a) -86«'(.--6)(.-c)
Es ist sonacb die Gleichnug des Inkreises: (Archiv UX Seite 86J.
II.
Die gefundene allgemeine KreisgleichuDg gewinnt in einigen Ffll- Icn eine besondere Einfocbheit. Fßr
d*.{£aa)'-\-abe£aßY — 0 bekommen wir:
£aibY-\-cß)zo*—£a(b* + c' — a^):rtxc - 0
Diese Gleichung ist die eines Kreises, dessen Centmm aßj and dessen Sadins gegeben ist durch:
, y — abo£aßy
E^n anderer Specialfall ist £aßy ^ 0. Dann befindet sieb der Sültelponkt des Kreises auf dem Umkreise des Fnndamentaldreiecks. Vir erballen :
Sa* \S*Zaa — be (6)- +C/S)] i.» + 2»c[2a»Xai< — ao(J»+c* — a»)]a:w, — 0 Setzen wir. hier Xa~be, m folgtt
Hain: Beziehungen zwischen Dreieck und Kreis.
gcc
2ghb hc
s — ab (aß -^-ba) Heut
= 2« — aa(Ä«4-c»— a«)2:a«
Diese Gleichungen ergeben:^
9bb . gcc 2ghe «/ v x«
6«
bc
c'gbb+b^gcs-2b€gbc ^—a%^c*{ZacL)^
£s ist also der Kegelschnitt (gaa-^ gbe) ein Kreis, wenn:
b^gec +c*^ — 2bcgbc = c^gaa + a^gce — 2cagca = a^ghb-^-b^gaa^^abgab = const
81
V.
Nach m. können wir setzen:
a(b^+c*-^a^)a-2b€^ß — 2b^cy « ^fe~^^
-2c^aa + bic^+a^-^b^)ß^2ca*Y « ft(^-.^)
-2ab^a^2aHß + c(a^+b^^c^)Y = t^{^-^£)
Diese drei Gleichungen genügen zur ßestimmung der Coordinaten des Mittelpunktes. Es ist:
gaa gbc a* bc
— 2ÄC«
g-^ +H<^+a^-B^)
2b^c
— 2ca«
gce go^ c* ab
— 2a«&
^bc
+ c(a«+&« — c«)
— 2^»»
ea (cagbb — b^gca) c* -f- a* — b^ — 2a*
Haben die Coefficienten von gaa in Bezug auf a, 6, o die Dimen- Bionen m^ bo ist der Mittelpunkt im Allgemeinen ein Punkt von der Dimension m+lO.
T«a i*x.
6
Ebeuso ist die Radicalaxc des Kreises {g^J, gi,/) in Bezug aof deu Umkreis dip Gerade bcgaa-
Drei Gerade a„ oj, a^ schneiden sich iu einem Punkt, wenn:
1 «,»,<. !
In, fi« Ca 1
nc zweier Deter- ist. Es schoeideu sieb also die Radiealaxcii dreier Kreise in einem Punkte.
Der Kreis (g.,a, gbc) triö't die Gerade BC, für welche xo • den Pnokt^n
n — m + Vgit^ — gbbgcc
Setzen wir während der ßecbuung V gbc" — gug^c = ", so haben die Schnittpoiiktc der bV mit dem Kreise die Coonlinatem
0 — 3tc + o -\-gbb 0 —gbt — a -\-giA
Bezeichaeii wir die Mitte dieser beiden Pankto mit ^,, so mUssen wir zunächst die Seiten normalen der ersteren berechnen, um die Coor- dinaten von A^ anzugeben. Die Seiten normalen sind den Coordinaten proportloDal, sie sind also:
0 (-fftc + l'U ff»* ' 0 {—?« — «)*• swf 2F
— igiie-\-ba-\-egbb
— ^gbc — hu-^cgu, Sonach ist:
Sno ist:
i(- (Re+a) + *»(~fftc — o) = hgbc^ — cghcgbb— bti^ = gai
10 0 a' 1 —ea 0 1
I 0 -ab 0 10 o' 1
Die weitere Delerminanteiirechuung gibt:
WO
«' " apijiciapa+bpi) (apa-i- cpc)
Werden diese Werte in die Gleichang
pt'g/A+pc'gcc-i'ipbpcgtK = 0
eingesetzt, so bekommen wir:
2g^ = -p„[bpi(Y'+f'-ß-)+>:p.(«':^ß'-Y')']
Der Kreis, der dnrcb die Fasspnnkle der Transversalen dos Punktes J'^Pa geht, hat also die Gleichnng;
£apipc(ß'+ r'— *')'■"*— ■^pa[*I'»f >■'+«'— i'O+tJ'cCB'+lS' —)-')>**■« = 0
Ist pu ein Punkt von der /Jimcneion n, so sind die Coefficiciiten ^oa von der Dimension 6n~)-4. Der Mittelpunkt des TraDsversalkroises ist somit nach V. im Allgemeinen ein Punkt von der Dimension
Trifft die Seitennormalc eines Punktes P die Seiten BC des Fnndam^taldr^ecks in Af, so ist:
Ap^O pi,-i-paCOaY pc-\~paCOSß
Für einen Punkt Q erhalten wir:
^ = 0 qi, + qaCOSy 9. + goC0S)J
Die Paukte Af, A^ liegen auf einem Kegelschnitte:
^jM^a'+a^Kni* " 0
Setzen wir die Coordinateuwerte fOr Ap, Aj ein, so bekommen wir:
(?» +po cos J-j's» -f {pc -f pa cos P)*ff« + 2{p> + paC0SJ'){pe+poC0S^)jtc =0
— ( !/l'±PaCOS ßXge + gaCOBp)
Ipb +pa COS y) iqc + q« COS ß) ■+■ (pc +pa COB |J) (^1 + 5« COS J-)
Für qa = ptpc wird der Zälcr nach a und c, der Bonner nach £ uud c symmetrisch. Es ist dano:
gii»_ —pb ipc +?'n cos ß) {p«.-\'pc cosjS)
2g»« ~pt{;)6+p«C0S)')(p« + ;>cCOS^) + ;ic(pc + p«C0S(SKj'«+I"'C0HJ-)
Die Ap. Aq liegen also auf dem KcgeUcbnitt:
gm = — i'n(pl+il<;C08a)(pc+pfcC0S«) 2i7(« — p6(p6+pnCOSy)(j(«+pcCOHß)+;)cfpc+pnC03^)(pn+plCOS)')
Dieser Kegelschnitt ist ein Kreis, wenn:
c*Stc+''Ve — 26cj7tc = const. Hier wird:
c*pb (pt +ji<i cos ß) (pn +pc coa (3) + ft V (ra +P* cos j-jfpi+pa cos j-) +bcpi,{pb+p.,Co»y)lpa +PcCo&ß) +bcpc(pc-\-p^cosß)(pa +p»cosj') = cpi,l.p«-\-p<:C(>9ß)lc(pc+}>«cosß)-\-b{pb+p^casr}'} + bpdpa +pi cos j") [p ( pt +;)a cos y) + c (pc +pa cos ß)}
= ['T&(pa + peCOS(J} + ijT*(p„+p6C03)')].Xojt,, ^ Sapapc . 2!apft
Die Fusspniikte der Seitcnnormalen der Punkte pn und pi,pc liegen also auf einem Kreise. (Fiedler- Salin on Kegelschnitte 3. AnH.
S. 202).
Treffen die Geraden PA, QA die BC in /'o, Qa; so liegen die Pnnkto /'a, Qn auf einem Kegelschnitt. Unter welcher Bedingung wird derselbe ein Kreis?
Ist P=pfl, Q = 5ai so ist der Kegelschnitt (jna, 3*^) bestiniDit durch
3m = pipcqiqi:, gbc = — Pn5a{p69r4-;'t9»')
(Archiv LIX Seite 85).
|
9 |
+ '2b<:{pbqeA'-p,:qb)'\ |
|
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nngeii: |
||
|
'2öcpnp,) = M |
||
|
der der Dctcrniinaote etzt wird: |
||
|
1 ü ep,ct bp„bt ■" |
||
|
I cphe„ 0 aptac |
||
|
1 bpcb« apcat • 0 |
||
|
1 c;)act bpahc |
||
|
365e = |
1 ' 0 opK»* 1 ap,ati 0 |
|
|
— «(ipnptdlAc |
f Cp„Pfc1tC6— Op6f |
eOtlc) |
Setzen wir noch api,pe = a', so erhalten wir;
So entspricht also jedem Punkte ein zweiter, dessen l'raiisversalfuBS- poDkte mit deaen des ersten auf demselben Kreise licgou. Für
a» = 3 = oc, apipe = 7- = — » = "'
8, = ic(.'+c'-i>)(o'+J'-.')
= COS/! cos/.
Dem Scbnorpunkt entspricht also der HOhenpnnkt, die Fusspnukte ihrer Transversalen liegen anf dem Feuerbacb sehen Kreise.
Wien, Jnni 1876.
Eine Gorade schneide die Seitab BC des Dreiecks ABC in A,. Ihre Gieicbnng in trimotriscben Ponktcoordinaten bezogen auf dieses Dreieck sei:
«liro+ftiiTi+Ciri =0
Es ist also:
+«,
Bezeichnen vir die Uöbenschnittn der Dreiecke B^(\A mit V, 80 schneiden sich in "Hl die Normalen von £, nnd C, auf hzhw. AB and ^C.
Nun ist die Gleichnng der Senkrechten, welche vom Pnnkt« UUlc unf die Gerade
geftllt wird:
a'xa-\-b'xh-\-e'xt — 0 lEa fa Ua
n & «» =0
wo Wo = a'—b\o»y — c'cos|3, i taldreiecks bezeichnet werden.
1 mit Q die Winkel des Fnndamen-
-öl« ^ l Xi 0 — COBA
I«. +a, +1 I
Die CoordioateD der B,a sind die Unterdetermituuiteii der *a; Moacli erhalten wir:
H^OiCOS«, c,-=-o,coBß, e,coaa
Eine TcrtaaschaDg gibt:
C|Ä ^ % cos a, fi, cos o, 6j — Oj cos y
Somit ist 9 der Pnnkt: oo, a», ad wo
^ [ <H — ai<^Bß CiCOS« I j bjCOSa 6, — ojGOS^ I
I CfCOBa (i,cofler [ °^ I bi—ajcoay a,C08<i |
^[ «iCOS« Ci— OiCOBjS j I OjCOSCI £,COB(( 1
Igt H^ coB^coH}' der HäheoBcbnitt des Drdreiecks, so ist:
j I 1c Oa \ I '^ "^1
I COS« cosj- I' ^1 coe|! cos« |
Die Bechnnng gibt:
I 1« Oc I
COB « a •»
I cosy cos/i I j I Ojcasy+e^coa« — fij a,C0B|3-(-(, cos« — Cj I **»"'" I cosy 008^ I
,1 e,C08a — b, &C0B« — e, 1 ^ I COB}- • meß I
^o,C0B(i*[ci(C08aC0B/J+C0By) — JiCcOBOCOSy+WSj')]
Ist r der UmkroisradiuB des Fandamentaldreiecks, so ist:
2rC08«-t-2rCOS^COH)' = —
-"""I COSJ- C08/S I - fcr"'"""" ^•^-"^f
Ferner ist:
'^"^''l cos« eosy ' =CÖB(J(o<;C08)' — ft,C08o)
Worden die Werte für oa und ae eingesetzt, so folgt:
ncCOSJ' = C08ft(o,6jCOSoCOSJ' + a,*COS/Jc08)' — OjCiCOS)-)
flaCOSn = C08o(6,C, — (i,i,COsß — a,e,C08/ + a,'coa()cO8)' — &,c,COSf(')
dcCOS)' — OaCOS« = *,COBn[(l,{COB(3-|-C08CCOS)') — c,Bin*n]
Nun ist:
C0S(J+CO8CreOBy=:— ,1 Sin*« — ; — •^ ' ' rb her
Wir erhalten also:
I ff« Oa I r
I ctna cosy | rbc ' r i i i/
Aebnlich erhalten wir:
' I cosp C08O I rbc ( 1 -1 '
Die Gorade ÜH bat al8o die Form:
-^(iiCostt*{6c, — rfi)
F -T-6jCOB«COBj3(ea, — ac,)
F
-T-(r,CO8BC0S)'{a4, — bOj)
Indem wir den gemeinsamen Factor Fco8e:r6c ausscheiden,' er- gibt sieb nns Ä/f als die Gerade a,C08B{Ac, — c6,). Somit fallen, wie bekannt, die "RH zusammen. Die Punlite 81 liegen mit H in einer Geraden.
Ist (I, eine Symmetrieger^e , so ist diese Gerade der UOh n- schnitte die Symmetriegerade Oi(6ej — cAi)co8n. So crbält man z.B. far o, = 1 die Gerade {b — e)cos(i. Sie trifft die h—c im Pankte:
-a)cos^ [a — b)<Miy
: = (c-a)Ca-fi)(*-c) = 6-fc-
Die Gerade a^ trifft die a^{hci — (^Jcosv im Pankte:
üaini Die Böhenschnitte der Dreiecke aus vier Geraden. 91
<
i ftj ^i{<^i — aci) COS ß 1 Cj Cj (o^i — ba^) COS y
Ist pa ciD Symmetriepunkt von der Dimension n, so ist seine Harmonikale von der Dimension 2h und die Gerade der Höhen- schnitte iu Bezug anf die Harmonikale von pa trifft dieselbe in einem Punkte, dessen Dimension im Allgemeinen 6n-f-4 ist
Wien, Juni 1876.
92 Hain: üeber isogonal entsprechende Punkte des preiecks.
IX.
üeber isogonal entsprechende Punkte des Dreiecks.
Von
Emil Hain.
Ist P^pa ein Symmetriepunkt des Dreiecks ABC and /dessen Inkreiscentram; so fallen im Allgemeinen AP and AI nicht zusam- men, sondern bilden einen Winkel o', so dass PAl^ a'. Auf der andern Seite der AI kann eine Gerade denselben Winkel a! mit AI bilden. Sie treffe die BC in Q«, so dass QaAI^ o'. Für diesen Fall gilt nan der Satz, dass sich die AQa in einem Pankte treffen. (Salmon- Fiedler, Kegelschnitte, Seite 63.) Dieser Pnnkt ist der Symmetriepankt Q ^ phpe- Schendel nennt die Pankte P, Q einander isogonal entsprechend. (Schendel, Elemente der analytischen Geometrie, Seite 45). Man kann sie auch wegen der Form ihrer Coordinaten reciproke Pankte nennen.
Um diesen Satz zn beweisen, verlängern wir PA, bis die BC in Pa getroffen wird. Ziehen wir von Pa die Senkrechten anf AC and AB^ so sind die Seitonnormalen von Pai
0 ^Pasin (g+«') ^Pa sin (|- «') wo CAB — a.
Ebenso sind die Seitennormalen von Qai
Also ist:
0 ^Qa8in(^-a') ^Qa8in(|+a')
Ha im Utbtr isogonal entsprechende lenkte des Dreiecks, 93
|
Pa |
^0 -^^^Ö"^"') 8in(?-.«') |
1 |
|
Qa |
= 0 1 |
sin(?+«') sing-«') |
|
Es ist aber auch: |
||
|
Pa = 0 ph |
Pc |
|
|
Sonach ist: |
= 0 ?^ |
1 |
|
^^(i+«') __ |
^ |
|
|
Bind-«') |
pc |
|
|
Qa = 0 1 |
pc |
|
|
SO Pc |
Ph |
|
|
^ 0 papc |
papb • |
Die AQa treffen sich also im Punkte Q^phpe. Ist also P^p« gegeben, so kann dnrch einfache Zeichnung der Punkt Q^phpe be- stimmt werden. So entspricht dem Schwerpunkte S^beder Grebe'sche Punkt 6^ ^ o, dem Höhensphnitt H^cosßcoBy das Umkreiscentrum
ü^ COSflf-
Die reciproken Punkte der Symmetriepunkte erster Dimension sind zweiter Dimension. So ist:
P= fpa^b-^e
Q ^ (g)i+<?-(-a)(y<?-f"ö+*)
Man bat identisch:
£(b'-e)(q>a'\'b+e) =- 0
Somit liegen die Punkte P auf der Geraden b — c. Femer ist:
n{q>a+b+e)£(b''e)(ipa+b+e) — 2:(ft — €?).(9>a4-ft+<?)(g^c+a-(-*).(^a+Ä+ü)(9)6+ö+ö) —0
Eis liegen also die Punkte Q auf dem Kegelschnitt:
£(b — c)XhXe = 0
welcher dem Fundamentaldreieck umschrieben ist und dnrch das In«
94
Hain: Uebtr isogonal entsprechende I^nlie des Dreiecks.
krciscentrum desselben geht. Nun ist aber / ein innerer Punkt Es kann der Kegelschnitt also nur eine Hyperbel sein.
ist:
Die Form der Polare des Punktes ^ in Bezug auf den Kegelschnitt
£gbcrbXe =» 0
a&
== 9ca^c-\'gab^b
In unserem Falle hat die Gerade die Form:
0
(a— *)|6 — (a — c)?c Also ist die Gerade 6— c Tangente in /. Setzen wir
(a — b)^b — (a ~ c) ^c = a so ist la der Mittelpunkt und man findet
Er ist also ein innerer Punkt des Dreiecks.
Die Tangenten dieses Kegelschnittes in den Ecken des Dreiecks
haben die Formen:
0 a — b c — a
a — b 0 b — c
c — a b—c 0
Das Dreieck dieser Tangenten hat den Flächeninhalt:
abcF/1^
wo
^ =
|
^a |
Ah^e |
h |
|
|
0 |
a—b |
c — a |
|
|
a—b |
0 |
b - c |
= 2ri(Ä~r) |
|
e — a |
b—c |
0 |
|
|
a — * |
0 |
b — c |
|
|
c — a |
b — c |
0 |
= 2a (b—c)* |
|
a |
b |
c |
• |
Die Tangenten des Reciprocalkegelschnittes aller Symmetriepuukt^ erster Dimension in den Ecken des Fundamentaldreiecks bilden ein Dreieck, dessen Fläche die Hälfte der des Fundamentaldreiecks beträgt.
Der Umkreis des Fundamentaldreiecks, dessen Gleichung
trifft die Hyperbel
Za^bXe == 0
Hain: Uther isogonal entsprechende Punkte den JJreieckt. 95
£{b — c)rbXc «= 0
ausser in den Punkten A noch in einem vierten Pnnkte ia. Dani^ ist:
Die Elimination von ^a gibt:
ea'\-cb — a* — 6* ab-^-ae — h* — c* bc-]-ba — c* — a* a&-|~^*^ — ** — ^
Der reciproko Punkt von |a liegt im Unendlichen, da
wie überhaupt alle reciproken Punkte des Umkreises auf der Geraden a liegen.
Die Gerade pa ist die Harmonikale des Isogonalpunktes von pa^ FOr welchen Punkt ist die Gerade pa senkrecht auf der pbpe^
Die Bedingung der Orthogoualität zweier Geraden «4, o^ ist:
Zcij^Of «= £(biC2'\'h^i)cosa
Für o, — p«, ojj = p^pe erhalten wir:
Spapb pc = ^pa (pb* +l>c*) COS «
Der Ort aller Punkte^ deren Harmonikaien senkrecht stehen auf den Harmonikaien ihrer Isogonalpunkte ist die Curve:
£xa {atb^-^-Xc^) COS O — dxaXbXe = 0
Zwei Gerade oj, a^ sind parallel, wenn:
£a (&iCj — b^Ci) =a 0
Der Ort aller Punkte, deren Harmonikaien parallel sind den Harmonikaien ihrer Isogonalpunkte ist also:
£axa(xb^ — Xe^) =« 0
eine Corve dritten Grades, welche durch die Ecken des Dreiecks und sein Inkreiscentrum hindurchgeht.
Trifft FA die Gerade BC in Pa, und setzen wu* BPa «= «6, CPa = flc; 80 gibt die Figur:
96 Hain: (Jeher utoynnnl entsprechende Punkte des Dreiecks.
Pa^O oesiny ah%mß Verschiebeo wir o» and a«, so dass:
BQa' =- CPa =ac
CQa' = BPa = Ob
80 ist:
Qa'^0 absiny acSinß
Es ist aber auch:
Somit ist:
|
Pa = 0 |
ac e ab b * |
1 |
|
= 0 |
pb Pc |
1 |
|
Oc ab |
bpb epe 1 |
bpb b cpe C |
|
= 0 |
C^pc |
b^b |
^ 0 a^c^ePa a^b^papb
Die AQa' treffen sich in Q' ^b^c^pbpc Die Punkte pa und b^e^pbpe stehen also, wie die Punkte pa and p^^c, in einfacher gegen- seitiger Beziehung und werden für ein anderes Coordinatensystem auch reciprok. (Hoppe, Archiv LVII Seite 422) für P^pbpe wird
Construirt man also für die Punkte einer Geraden die Isogonal- punkte in Bezug auf die Winkelhalbirenden und von diesen die Punkte der gleichen Seitenabschnitte, so liegen die letzteren auf einer Geraden.
Steiner hat in Crelle's Journal Band n. folgenden Satz über das Dreieck aufgestellt:
Fällt man aus einem willkürlichen Punkte P in der Ebene eines Dreiecks ABC auf die Seiten die Lote PAp^ nimmt in diesen drei Loten drei beliebige Punkte A^ als Ecken eines anderen Dreiecks AiB^Ci an und fällt auf dessen Seiten aus den Ecken des gegebenen Dreiecks Lote, so treffen sich diese in einem Punkte Q.
Wir wollen die Form dieses Punktes Q für den Fall PA^ » A^Ap untersuchen. Es ist dann:
P ^ pe pb Pc
Ap^O pb-^-paCOSy Pc+^aCOSjJ
_pa paC08jHh2£6 paC0sß-\'2pc
A — 2 2 2
tiain: Ueber Uogonat entsprechende Punkte des Dreiecks,
91
Sonach ist:
B^ ^ pheosY-^2pa pb p6Cosa-f-2pr
C, ==ptC08^-|-2pa peC0Sa-\-2pc pc
Die Gleichung der B^C^ sei:
Und zwar ist:
aa
ah =
Oc =
Pb pcC0%a-\'2pb
Pb COS a-^-ipe Pc
pb COS Y-\'2pa Pc COS j3-f-2pa
p6COS«+2pe pc
P6 COS y+2pa PcCos^-i-2pfl
pb
Die Rechnung gibt:
aa= — [3p6pc4-p6pcC08a*-|-2cosa(p6*4"l'f*)]
^ =* Pe (pbCOSaCOSß — p6C08y4"2pcCOSjJ)4-2pa(p6C08a-j-pc)
^ =» P6 (pc cos« cos y —pc COS jJ -|- 2 p6 cos y) + 2pa {pe cos a-j-pö) Die Senkrechte vom Punkte |a auf die Gerade a^ hat die Gleichung:
Xa |a Ua I
Xb Ifc t<6 ' = 0
JTc Ic Uc
Mfl « Oj — Äicosy — c, cosi? für die Nonnale von A auf B^C^ ist:
la - 1, |6 « 0 - Ic
«1 =* «a, *l = ^*i ^1 = ^c
Die Gleichung lautet also:
wo
Xa 1 tia Xb 0 ub
Xc 0 Uc
__ «6 Xc __ ^
Mft ttc
wo
Die wreitere Aufiftthrung gibt:
Ub »» 2pc CO, tic B> 2pfr 09
® *=• pa(l — coBa*)-f-p6(co8acos/J+cosy)-j-l'c(cosacosy4-cos/J) Die Gleichung der Normalen von ^ auf B^C^ ist also:
T»flLX. 7
i.^^M
r I
98 Ilain'. Ueber isogonal entsprechende Punkte des Dreiecks.
Xb Stc itb __ J^ ^
pc pb pafc papb
Diese Normalen schneiden sich also im Punkt Q ^ pbpc. Es ist hiemit eine andere Construction des reciproken Punktes von Fa =pa gegeben:
Man fälle von P auf die BC Lote, welche iu Ap treffen und halbire PAp in A^. Die Normalen von A auf B^C^ treffen sich in Q == pbpc.
Der ümkreispol der Geraden
a^Xa-^-l^iXb-^-CiXc = 0
ist der Punkt: a(ii,-|-cci — aai).
(Archiv LVIII Seite 89).
Trifft die Gerade a^ die Seiten BC in -4', so liegen die Mitten der AA^ in einer Geraden, der Gaussischen Geraden der a^. Ihre Form ist:
(Archiv LIX Seite 384)
Für o, = pipct «1 — pa werden .dio Geraden «2 und a^ die Har- monikaien von P und Q. Sonach gilt der Satz:
Die Gaussische GoraJo der Harnionikalen eines Punktes und der Umkreispol der Harmonikaien des reciproken Punktes haben die- selbe Form.
Wien, Juli 1876.
MUctÜm. 99
X.
Miscellen,
1.
Eine greometiische Aufgrabe.
(Fortsetzung von N. XXX. 1. im vorigen Teile.) Ferner bedürfen wir der Wertbestimmung von cos (mj — i*,) cos (wj -\- uj) und sin (u^ -f~ '^i)^ nämlich cos {u^ — m^) = 1 — 2sin* ,y
-j^ > cos («*, + «^) = cos* ^2 ""^'" 2 ^
(rco8<y + q)^— r^sinV . / , , « . "i + «*« Wj+Uj, sin(wi4-w8) = 2sm-Hi; — ^ cos
2r sin g> (r cos <p -|~ «)
Durch Einsetzung dieser Werte in Gl. (3) erhält man nun nach Beseitigung des Nenners N und Anordnung der Glieder nach den Unbekannten cos<p, wobei die mit cosV Q^^d cosV multiplicirten Glieder sich tilgen:
(7) «cos <p (a» — r» + 2rQ) ==r^^r^g — r {2q^ + a^) ± a^g
und _
4:p — r a* — r*-}-2r^ COSOP = -3 ä -,- o ^*
Hieraus ergiebt sich
a) das Ilauptresultat, dass unter der Voraussetzung: a* — r* + 2rg = 0 der Wert von q> beliebig ist.
b) dass für a^—r^^2rQ'^0 cosqp = =-^^ » welcher Wert
too
geometrisi
a>p+r {wodurch zngleich o > g — r) oder p — r ■< a ■< p+r, d. b. weun die Kreise entweder ganz gctreoDt liegen oder einander schneiden. Unbranchbar aber ist das Ergebniss b) fflro<;r — p (wodurch zugleich a<^r-\-if), d. b. wenn der eine Kreis ganz im anderen liegt und keinen Punkt mit ihm gemein bat, — natOrlich
nnt«r der immer noch geltenden Annahme, dass o* — r* ip 2rp ^ 0
Für a= p±r, also fUr (&uBEerlich oder innerlich) berahrende Kreise ist v «^ 0.
Endlich sei bemerkt, dase — abgesehen von der Annahme o*— r*^2rp=0 — die Coordinaten des Punktes A
geometrisch leicht darzustellen sind.
Berlin. £d. LiebrecbL
Kn^el Ton exeentrlscher Masse nnd eentrlBcher Trägheit.
Die gegebene Masse M soll in einer gegebenen Kngel vom RadiDB c so verteilt werden, dass sie einen gegebenen Schwerpunkt und für alle Axen, die durch den Mittelpunkt gehen, ein gleiches ge- gebenes Trägheitsmoment J hat.
Der Mittelpunkt sei Anfang der xyz , die : Axe gehe mit ihrem positiven Anne durch den Schwerpunkt Sei femer
X = pcos^cosqi-, .V — pcos^sinq); a= psintf
also das Volnm
0 -K 0
und e der Abstand des Schwerpunkts vom Mittelpunkt
Um nun die Aufgabe in grässter Allgemeinfacit zu lösen, setzen wir die gesuchte Dichtigkeit
. * •
Miscellen. 101
WO q willkürliche Function von p, ^, <p ist, während q' die sämmt- hchen Bedingungen speciell auf einfachste Weise erfüllen soll. Sei
5'= a-j-Oi C082gp-|-a,8in2<p + (^ + «4 cos cp + aj sin gp)co8^ + («6 ~f~ «7 cos <)P -|- og sin <p) sin ^ -|- «9 p
dann wird bei Integration über die ganze Kugel
/g'8.=.^(2a+Äa3+|ae)
Jxq dv == — ^ «4 fyq^^ —3— «6
fxx^dv
R(^ R
5 2
TT Ol
fxyqdv^-^^a^
Setzt man also zur Abkürzung
f qdv = m\ f xqdv •= X\ fyqBv'= F; f zqdv => Z f {y^-\-3^)qdv = A\ fyzqdv= — D f{z^-\-x^)qdv = B] fzxqdv = — E f{x^+y*)qBv =- C; fxyqdv = — F
10 erhält man die 10 Bedingungsgleichungen:
4/2 (T* 3c
M^m-\ ^(2a+-ß«3+*2^»'
|
SRc^ |
|
|
9 |
«9 |
|
9 |
«9 |
■•■»• • ••»••»«
102 MUceütn.
, „ , ÄcVl6 ,4 , 57? \ ,
0 = -F+^3a,
Hierdurch werden 6 von den 10 eonstanten Coefficieuten direct ein- zeln bestimmt, während die 4 übrigen, <j, Oj, 03, og, aus 4 linearen Gleichungen gefunden werden. Setzt man die so erhaltenen Werte in q ein, so wird die gesuchte Dichtigkeit , (1)
Q = 5+ ;^5 [^ lg- + 3 — g- C08 2qp + jF8m2(p
, A'\'B — 2C ^ , ^ ßco8<)P+D8ing> . ^ ^^+J54-C— 37 \ + ~Ä ^^^^+^ Ä 8in^~3-^^^^ pj
3 /5 \
+ 2^4 1 (3/— m)( ^c— 3p 1 + iV/esin^— (Jf cos<p4- ^sin q>) cos^— ^sin^ }
In Betreff des anomal gewählten Terms a^g ist folgendes zu be- merken. Stellt man den Ausdruck
9 (^ ..Ä + B+C-^J\ ^ ^ "" 2Re^ V '"^ 12^^ /
entwickelt dar, so reducirt sich der Factor in der Klammer auf A-^-B-^-C—^J
M — m -|- 5
12c^
= /*(l-|^')(»*ap//"(/'cos^8^8qp
Wäre nun q unabhängig von p, so zerfiele das Integral zur Rechten in 2 Factorcn, und der erste ist dann null. Demnach wäre M be- stimmt durch m, J^ A^ B^ C und Hesse sich nicht einer beliebigen Grösse gleich machen. Folglich musste, um der Aufgabe zu genügen, mindestens ein Term g enthalten.
Die einfachste Lösung entspricht offenbar 5^0, wofür zugleich A^ B^ C, Z>, E^ F, m verschwinden. Es bleibt:
Aftseellen, 103
Setzt man
J=l{l + l)Me' (3)
so wird
3*/ /ff , 1— ff , . „\
SoU also die Dichtigkeit in allen Punkten positiv sein, so erhält man die 2 BedinguDgen:
0<(T<1; 0<e<^-=^c
Offenbar gilt der letzte Ausdruck von Q nicht allein für 5 = 0, sondern für jedes 5, das die Form von q' für beliebige Coefficienten a hat, weil es dann mit g' verschmilzt. Um also andere Grenzbe- dingungen zu erhalten, muss man in der Wahl von q die Form von q überschreiten. Dass überhaupt die Grenzen eines positiven Q er- weitert werden können, mag an einem Beispiel gezeigt werden.
Sei q == bg^; dann wird
m =
A =. B ^ C =
21 die übrigen Integrale verschwinden, und man erhält:
oder, wenn man
3f =- 4ÄÄcöf* setzt,
Benutzen wir diesen Ausdruck zuerst für positives ^, so ist bei Hnbeschränkter Variation von q und ^ der kleinste Wert:
Dieser wird in 2 Fällen nicht erreicht Erstens wenn
24 = ^ ^'*-35>^
104 Miac^Üen.
ist, 80 ist dor kleinste Wert:
Zweitens wenn
= 11
ist, das Minimum also ausserhalb der Kugel liegt, so ist der kleinste Wert:
In allen 3 Fällen moss
f+|(i-«)j«>o
sein, damit Q positiv wird.
Im ersten Falle, bedingt dnrch
11 . .24
hat, bei anbeschränkter Variation von (ii, Q, seinen grössten Wert fOr
±<^t^-^ (^>0; ±(T>0) (7)
und dieser liegt ftlr beide Vorzeichen inn^halb der Grenzen des Falles. Entsprechend den 2 Vorzeichen wird
«.-»-•li-(!±)/¥)£-:!
positiv für
4y5l4-9 ^ ^4y51— 9
^ <^< 7 ^
(8)
■<l-(l±|/¥)ffi <±->»
Die beiden andern Fälle schränken die Intervalle für a und e bei günstigster Bestimmung von fi enger ein als der erste, kommen da- her nicht in Betracht Dasselbe gilt von der Anwendung negativer b. Setzen wir den Wert (7) von fi ein, so hat sich gezeigt, dass die Dichtigkeit
«-4-i.{±-^>(!)'+».(.T»v/a+3V±^'n
+ ^! (9)
Mscelttm. 105
wemi 0 und e in den Intervalle (8), d. i. in Decimalen gMchridien
— 5,3664 ... < tf < 2,7950 ...
"«ii
0,25—3,13050 (tf>0) 25+l,6305tf (tf<0)
Hegen, in allen Pmnkten der Kngel positiv ist, und die Kngel die Masse AT, for alle diametralen Axen das Trägheitsmoment J (3) nnd einen Schwerqnnkt im Abstand «-« vom Mittelpunkt hat. Die Grenzen von ö sind viel weiter als für & » 0; die änsserste Grenze von e ist ^ geblieben. Ihr entspricht nnr tf = 0, d. i.
o qät
J-gAfc«; Q-^(l + sin(^)
Wie mit der Kngel, kann man offenbar mit jedem Körper ver- fahren und den Schwerpunkt und das Tr&gheitecentram in 2 belie- bige Punkte legen. R. Hoppe.
3.
IMmottfltratlon ^l^entaire de deux formules logarithmlques«
1. Formule logarithmique. Consldörons une hyperbole ^mlat^re xy=:l^ et la tangente YAX^ au sommet A, qui rencontre les axes de coordonn^es en des point X^ r, tels que OX^ 0F»2.
Seit M un point de Thyperbole dont Tabscisse OP=OB'\'BP==' 1-\'Z est comprise entre celle du sommet A^ savoir OB = \ et OX = 2. Supposons que Tordonnöe PMt de ce point rencontre la tangente JTF en 7, et une parallMe AN ä Taxe des a;, en N.
On aura
TP=1— «, PAf=7~i— , PN
aire byperbolique AMPB -* lognat(l-f-^)
aire du rectangle ANPB >==- ABy^BP^n
{AB^TP)BP (1+1— z> a«
aire du trapeze ATPB = ' ^^ '^ "^ — = "'"2"
aire du trapeze AMPB = "^^ ^ «i(l + j^p^ j » =
2(1+«) ^ '■"2+2(1+«) <* ^ 2 + 2
106 MUctelUn,
L'aire hyperbolique 6tant comprise entre le rectanglc et lo premier trap^ze, ou entre les deux trap^zes, on a
log(l+«)-«-y. 0<Ö<1 (1)
log(l + .) = »~^2 + ^'?' 0<Ö'<1 (2)
2. Formule antilogarithmique. Posons log(l + 3) = u, l-|-a( « c" ^ ic. La formule (1) pourra s'^crire
M =- » — g-, » = t*+^ ;
d'oü, en 616yant au carr^ et remarquant qne u est une partie ff'z de s,
AM AV
u««,«— 03» -1-^ ou a»=w»-|-Ö«»— ^ (1')
,« = u^j\^e^tu-\-~- ou »« - tt»4-döV-f — - d")
La formule (2) devient, en ajoutant Tunit^ aux deux membres et transposant quelques tcrmes:
Bemplagons a* par sa valeur tir^e des 6quations (1') (1"), il viendra:
. . . «^ . «V^ ^# ''^ \
On a 6videmment
i+u+^+'^X^^'-^'+T*)'
Donc
n est facile de faire disparaitre z du second membre. On a
, * ßz^ z^
D'oü, en resolyant par rapport k z
»== 1 — ■/5P^^2t?
Mücellen. 107
Si Ton romplace dans le second membre par u', on trouve une valoor plus grande, donc
Donc enfin, en substituant cette valoor de 0, dans Texpression de x^e**
Natarellement, dans cette formale, on ne peut pas supposer 2u sü- p^rieur ä 1. P. Mansion.
4.
Elementarer Beweis eines Saties aus der Optik.
Der Satz lautet: Ein Lichtstral gebranclit, um voq einem Punkte eines Medinms bis zu einem Punkte eines andern Mediums zu ge- langen, ein Minimum der Zeit, wenn es einen solchen Weg zurück- legt, das» das Verhältniss des Sinus des Einfallswinkels zum Sinus des Brechungswinkels gleich dem Verhältniss der Lichtgeschwindig- keiten in beiden Medien ist.
Es sei angenommen (s. d. Fig.), dass das Verhältniss
sin./ c
sin » Cj
^eich dem Verhältniss der beiden Geschwindigkeiten sei. Es ist nach- zuweisen, dass die auf dem Wege abc verbrauchte Zeit kleiner ist als die auf jedem andern Wege ac'b verbrauchte, dass also
{?<-)- !v+?!<»
Ist dies filr einen Punkt b der Fall, so folgt es auch für jeden nähern Punkt b' auf eA, da bb'^ e'b — c'6' ist. Man braucht es daher nur für einen unendlich fernen Punkt zu beweisen. Dann wird die Dif- ferenz der im zweiten Medium zurückgelegten Wege durch cZ»' dar- gestellt, wo e'L' das Lot auf eb ist. Da nun, wenn aL das Lot auf gg' bezeichnet,
cZ/'= e^'sinl = sin»(-Lc' — Le) = a/^sin(tg«/j — tgJ)
aL , aLt
a^ = ,: ae, « 7
COSJ' COS^i
108 Mücellm,
i6t, SO geht (Ua zu beweisende UogieicbaDg nach Division durch aL, welches positiv sein muss, über in
1/1 1 \ , sin^,^ ^ * ,x ^A
ein Ausdruck, der sich nach Einsetzung des Wertes von — reducirt
auf
cos(J— J,) — 1<0
was, sofern Ji nicht «= J ist, offenbar stattfindet
Hier ist vorausgesetzt, dass Winkel beg spitz ist; wäre es ein rechter, » » «/» 0, so wäre das Ergebniss selbstverständlich.
Kiel, d. 24. Juni 1875. Fr. Brodersen, cand. phil.
5.
Zur Theorie der Kegelsohnitte.
Zieht man von einem Punkte der Ebene Tangenten an einen gegebenen Kegelschnitt und verbindet den Mittelpunkt desselben mit den Berührungspunkten der Tangenten, so entsteht ein Viereck, das zur einen Diagonale die Polare des Punktes bezüglich des gegebenen Kegelschnittes, zur andern die Verbindungslinie des Punktes mit dem Kegelschnittsmittelpunkte hat
Es soll nun zunächst der Inhalt (Heses Viereckes bestimmt wer- den, wenn die Coordinaten x^y y^ des Punktes und die Gleichung:
des Kegelschnittes gegeben sind.
Denke man sich der gegebene Kegelschnitt sei Ellipse, m ihr Mittelpunkt, P die Polare des Punktes 0;'^, ^j die Längen der Senk- rechten, die von den Punkten m und 0 auf die Polaro P gefUlt sind, und d sei die Länge des vom Kegelschnitte ausgeschnittenen Stückes der Polaren ; so ergibt sich für den Inhalt des oben genannten Vier- eckes :
Setzt man nun:
misCtll^H.
109
do ergibt sich für die Gleicbung von P:
ai)**o+yo<>o+«^o ^
oder auch: somit ist:
«.
da
ist Femer ist:
a!otiw4-yo*'«»4~"''i»
« — —
vv+v
worin ttm, vm, t^m die Werte Yon u, o, u^ bedeuten, wenn man darin statt X and y die Coordinaten des Äfittelpnnktes m einsetzt. Nun sind aber:
wenn nämlich:
^ =
Es wird also:
«00 «Ol ^« «10 ^1 «1« «so «*1 ö«
Ä» —
z^'
«00 «Ol «10 «11
Fflr die Länge d der Berührsehne P ergibt sich aber der bekannte Ansdmck:
<i — «oo^'o* — 2aeitiot?o+«ii«*o
2
«00 «Ol «0« *^
«10 «11 «1« %
«so «M «M ««^0
t*o Vo t^o 0
Durch Umformung geht der im Nenner stehende Ausdruck über in J% — -^, und die Determinante in — -4/oi so dass:
wird. Es ist denmach: oder:
ilO Misceiien,
J
J'
«/* = - -ir.fo
oder:
1
k
worin k den Transformationsfactor bedeutet. (LVII. Teil. 4. Heft XXU).
J' = rJo
Setzt man also statt der variablen Coordinaten diejenigen irgend eines Punktes der Ebene in die, in der Normalform gegebe- nen, Kegelscbnittsgleicbung ein, so stellt der biedurch crbaltcne Wort das Quadrat des Inhaltes desjenigen Viereckes dar, welcbes bestimmt ist durcb die vom angenommenen Punkte an den Kegelschnitt laufen- den Tangenten und die Durchmesser ihrer Berührpunkte.
Handelt es sich nun um den geometrischen Ort aller jener Punkte 0, denen lauter gleichgrosse Vierecke zukommen, so hat man hiefür
die Gleichung t/^ => const.
Diese Bedingungsgleichung stellt aber als Ort des Punktes O einen Kegelschnitt vor, der mit dem gegebenen ähnlich, ähnlichliegend und concentrisch ist.
Da aber die sämmtlichen einem Kegelschnitte umschriebenen Parallelogramme inhaltsgleich sind, so müssen ihre Ecken auf einem dem gegebeneu Kegelschnitte ähnlichen, ähnlichliegenden und concen- trischen Kegelschnitte liegen. Diesem gehören aber auch insbesondere die Schnittpunkte der Scheiteltangenten an, welche mit den Halbaxen o und b ein Rechteck vom Inhalte a, ^ bilden, so dass die Gleichung des Ortes für die Schnittpunkte aller coiyugirten Tangenten des ge- gebenen Kegelschnittes Tf = a^^ wird-, oder da
a^^ = j^ und K=: -r
(LVII. Teil 4. Heft. XXU..) so hat man hiefÜr:
Aus Obigen geht zugleich folgender Satz hervor:
Beschreibt man einem Dreiecke einen Kegelschnitt ein, der den Schwerpunkt zum Mittelpunkte hat und verbindet diesen mit den Be- rührungspunkten der Dreiecksseite, so entstehen drei Vierecke von gleichem Inhalte.
80 sind:
MiseeiUn. 111
Denn, legt man durch die Eeken des Dreiecks einen Kegelschnitt der ebenfalls den Schnittpunkt zum Mittelpunkt hat, so ist dieser be- kanntlich mit dem einbeschriebenen Kegelschnitte ähnlich, ähnlich- li^end and concentrisch.
Es soll nun die Gleichung desjenigen Kegelschnittes aufgestellt werden, der durch den Punkt 0 und die Schnittpunkte von P mit dem Kegelschnitte geht und die Mitte s der Linie mO zum Mittelpunkte hat.
Seine Gleichung hat die Form: / — i*(«a;+/5y4"y) =• 0, worin a, ßy Y noch zu bestimmende Grössen sind.
Dififerentürt man diese Gleichung nach x und nach y, so erhält man zwei Gleichungen zwischen den Coordinaten xa und y« des Mit- telpunktes:
2Us—aFs — uo{axs+ßy9-\-Y) = 0
2Vs—ßP» — Vo{ctx» + ßy, + y) - 0 da aber
a^o+*« yo + y»*
xa = —2 — y» = — 2~
Pg = XQUs+y^Vs-\-Wt = iyo+jf]
Obige Gleichungen gehen somit über in:
«(-P« + H^a) + ß^^s +ywo ^ «*o
da genannter Kegelschnitt auch den Punkt 0 enthalten soll und
iat, so folgt:
Aus den drei letzten Gleichungen für a, ß, y, ergeben sich:
o«0, /3«0, y = l Also ist die Gleichung des gesuchten Kegelschnittes:
dieser Kegelschnitt enthält von selbst den Mittelpunkt m und hat mO zur Hauptaxe.-
Da das Aehnlichsein zweier Kegelschnitte blos abhängt von den Coefficienten von x^ o^, y* ihrer Gleichungen, so folgt, dass alle Kegel-
llg kiS€ell<
€H
Bchnitte /— P» 0 Älr alle tränkte 0 der Ebene einander ähnlich and zugleich ähnlich dem gegebenen Kegelschnitte sind.
Es soll nun noch der geometrische Ort jener Punkte 0 bestimmt werden, für welche die Mittelpunkte » der Kegelschnitte
auf den gegebenen Kegelschnitt selbst zu liegen kommen. Alsdann muss:
sein, oder:
sct ut'\'y$v9'\'W9 =0
2 u
oder:
1^
A
Da aber um » 0 t^m = 0 ti^m » ^ ist, so folgt als Gleichung der
gesachten Ortscurve: /o+'j/ = 0^ welche also ein mit dem Gregebe- nen ähnlicher, ähnlichliegender und concentrischer Kegelschnitt ist, der notwendig doppelt so grosse Axen and folglich einen viermal so grossen Inhalt als der gegebene Kegelschnitt hat.
Regensburg, den 6. Januar 1876.
Max Greiner,
Lehrer der Mathematik und Physik
an der Kreisgewerbeschule da.
Bfnder: Veber die osciUatorischen Bewegungen eitier Walzt etc, US
XI.
Ueber die osciUatorischen Bewegungen einer Walze mit excentrischer Schwerpunktsacbse.
Von
C. Bender.
Eine Walze mit kreisförmigem Querschnitt befinde sich anf hori- zontaler Ebene und werde ein wenig ans ihrer Gleichgewichtslage gebracht, alsdann sich selbst überlassen. Es ist die Bcwegungs- gleichung dieses Apparates festzustellen.
Der Abstand des Schwerpunkts von der Achse sei = r, der Ba- dina des Querschnitts » R. An der Walze sei das Achsensystem der xyz fest; die z Achse sei die Achse der Walze, der positive Arm der y Achse gehe durch den Schwerpunkt. Die Einfachheit der zu Grunde gelegten Verhältnisse lässt uns ein zweitos bewegliches Achscnsystom entbehrlich erscheinen. Hierdurch und durch die weitgehende An- wendbarkeit der elliptischen Functionen unterscheidet sich die vor- liegende Aufgabe von der viel allgemeineren, welche in den classischen Untei^uchungen von Bessel*) ausgeführt ist.
Es sei «p der Winkel, um welchen sich die Scheibe gedreht hat, wenn sie aus der Gleichgewichtsstellung in eine Nachbarstellung durch Rollbewegung längs der positiven X Achse übergegangen ist. ' Dieser Winkel qp, welcher besser definirt wird, als der Winkel, welchen die Verbindungslinie von Schwerpunkt und Mittelpunkt der Scheibe für die erwähnte Stellung des Apparates mit der Y Achse bildet, werde.
*) Abbandlangcn der Berliner Akademie 1826.
Ttil LZ. 8
114 B ander: (Jeher die itsrUlatorUchen Bercegungen f.'mer Wahe
was hier bequemer ist, in der Richtung der Bewegung der Urzeiger [)ositiv augenoninien. Die Gleichung der Bahn des Schwerpunktes ist nunmehr, wenn wir mit -x^ und y^ die Coordinateu des Schwerpunktes bezeichnen
iTg = K^ — rsin(]p
R — rcOS<p (
Bezeichnen wir mit M das Trägheitsmoment der Walze in Bezug auf eine durch den Schwerpunkt gehende Achse, mit m ihre Masse, so ist die Differentialgleichung der Bewegung:
r+m(^-cos(p ^ 2 \(it ) \^^— ^-^'•^•o«<P+' + ^ )
Hier bodeut<?t g die Beschleunigung der Erdschwere, F eine Con-
stante. Diese Constaute können wir auch dadurch ausdrücken, dass
wir mit «p« den Winkel bezeichnen, bei welchem das aus der Gloich-
wichtslage gebrachte System seine Bewegung beginnt. In diesem
tlfp Augenblick ist =0 und wir erhalten daher:
m^r (cos <p — cos <Pü) = iT { 3; ) 1^* — 2/?rcos(p4"^^+ "" / • • 1- Wir geben dieser Differentialgleichung zunächst die Form:
V-
^ _^ 1 / 2rg (cos <p — ^2?^ol
dt ~ 1/ ■ M
R^ — 27?rco8a? +r^H —
woraus:
^tg| l+tg^|l / 4r<;(8in2|^- cos^f tg^|)
dt ■" 2
W -
f (R-r
,„_,,.+^+ {,„+„.+ jj^.|
II.
und setzen
iß ^ = tß-^ cos coinnu
für einen Modul A;, der die Bedingung zu erfüll s hat:
M
a)
„ , (Ä-r)*+
^ cot» ^
M 2
m
wenn k' den conjugirten Modul bezeichnet. Hieraus ergiebt sich der Wert:
mit exrentrischer Schw^rfnirtkfnarfi.<f. 115
M
k = siu
g)(, ■ / ' ' ' ni
2 1/ .3/
Nach dieser Substitution geht die Differentialgleichung über in
008 o 1 /
Da der Cooflicient von k^m\-amu stets <^ 1 ist, so kann man setze«
4/?r
1 / '*'
^ (Ä+rJ
M
m
woraus:
cos omo »= 1/ —
^ r {u
/lama ^-= 1/ —
?/i
+ r^ — 2/^r COS (jPo -f- ' ~
Wenn man jetzt Zi aus der Gleichung entwickelt^ so kommt:
cos rtj» a /l.am a (^
dt
= ■' V,
du
Bezeicbnet also 77 das elliptische Integral 3. Gattung:
/* A-^ sin rtm« cos rtma/^«w ff sin^rtwiM
WO
t^i a| 2 7t
SO wird nach Integration
^ 1 /R i cos am a d ama , „ )
f g \ sinnm« ' j
-^l/5{..w+ii..|^!
116 Bender: Uebtr die osciüatorischen Bewegungen einer Walze etc. WO
Während einer vollen Oscillation variirt g) Ton — tpQ bis 4-<Po ^'^d wieder zurück, gleichzeitig u von — JT bis K und von iT bis 3ir, u»
Ä 3 JT
im ganzen von — ^ ^^'^ "ö"- Demnach ist die Oscillationsdauer
r-4«j/|z(a,)
In besonderer RQcksicht auf kleine Elongationen ^o- deren höhere als 2. Potenzen vernachlässigt werden mögen, setzen wir, von GL (II) ausgehend,
dann kommt:
dv
dt "
tg 2 = ^ 2 ^^^^
y,^co8|»(l + t«»f8in««)
j/(Ä-r)«+^+ {<i^+r)*+ ^} t««| Sin«.
das ist entwickelt:
M
' rg
und giebt integrirt von v ^ 0 bis 2n:
27r [/
'^--)'+?,,, («+-)'+"..., " t +(«_.,.+«■«<
Der Apparat geht in einfaches Pendel über, wenn man die ganze Masse in einen äussern Punkt verlegt und den Radius der Walze verschwinden l&sst, so dass nur ihre Achse übrig bleibt, die dann unbeweglich ist Dann wird
Bender: lieber einige Beziehungen etc. ^ 117
Ä — 0; J/— 0
and man findet:
in Ucbercinstimmung mit dem bekannten Werte.
XIL
Ueber einige Beziehungen der elastischen Curve zu den elliptischen Functionen, speciell zu dem
elliptischen Bogen.
Von
C. Bender.
Auf eine elastische Linie oä, welche zunächst in der X Achse eines bestimmten Coordinatensystems ausgestreckt liegen möge, wirke eine bestimmte Kraft, in dem Punkte a eingreifend in der Richtung oÄ und eine ebenso grosse Kraft in b angreifend in der Richtung ha. Unter dem Einfluss beider Kräfte wird eine Biegung der elastischen Linie eintreten, welche in der XY Ebene des Coordinatensystems stattfinden möge. Die Gleichung der elastischen Curve lässt sich dann aas der Bemerkung ableiten, dass für jeden Punkt der Curve der Krfimmungsradius q umgekehrt proportional ist dem statischen Mo- ment einer der Kräfte, welche in a und b angreifen. Wir drücken dieses ans durch die Gleichung:
wob«] c eine Constante bedeutet, welche von dem Bieguugswiderstando und der Spannung der Linie abhängig ist. Durch Einführung des
, nach erfolgter Integration:
K^+dy
worana dki Gleichnug der flastischeu Linie iu Gestalt eines ellipti-
Bchcu Integrals resultirt:
- = /s
{f-C)d!, -C-'-\-2Cy*-y')i
in welchen Gluicliuui;eD die weitere Conätantc C noch iiähcr zu be- stimmen ist.
Wir geben nnnmebr der Gleichung 1) dureh EluföUraag von
wobei C and c jedocb nicht mehr dieselben sind wie in Gleichung' 1 ) von welcher wsitcr kein Gcbraui^h gemacht wird. Wie die Anschau-
ung der T'viW 1) ergibt wächst -^ mit g, den beiden Constanten C
und c kommen daher positive Werte zu.
Wir haben nun, da j- = ^ 1 4- -j-^ Für y = 0 erhalten wir:
3-) * = vr-e.
dx
■r- ist aber iu diesem Falle (j ^ 0) der Sinus desjenigen Winkels,
welchen die Tangente im AufangB|iuukto der Curve mit der X Achse bildet Nennen wir diesen Winkel <fi so zeigt 3', dasa
Durch Einführung von 4) in :i) entsteht:
eliiptUcheti FutH-tionen^ tiptfiell zu dnu clh'ptUchi ti Bo(/en 11!^
•
2cos^ ^^
Setzen wir nun:
(p\/2
6 ) ^ ^ = sin . 1/ - . Ä
in 5) ein, so entstellt:
dz <Pl A' 1 / CP
7) . . . -^^.^coslJ^g- J^(l-.=')(H-tg^J.^)
Aus der Theorie der .elliptischen Functionen wissen wir nun, dass dieser Differentialgleichung für z der Wert entspricht:
8) . . . z ^= co%am{8y ^^-\-r)\ Modulus = sin ( 2 )
wobei r eine noch zu bestimmende Constante bedeutet. Hieraus erhalten wir:
gp 1 /2 1 A , <P
9) • .-y === sin 2 |/ - ^os ^wi (* ^ ö"'"'^^' ^^*^* "^ ^^" 2
Für
erhalt y einen maximalen Wert. Wir können nun das Coordiuateu- system jederzeit so wählen, dass dieser maximale Wert für
« =- 0
eintritt. In diesem Falle, welcher auch in der Fig. 1) aufgezeichnet ist, wird
9*) r=o
und die Y Achse teilt die Cur\'e in zwei symmetrische Teile.
Die Constante c lässt sich auf zweierlei Weise ausdrücken. Ein- mal ist da r= 0 in Gleichung 9) für « = 0
oder glei^ih der grössten Erhebung des Bogcns der elastischen Curve aber die X Achse. Also:
2
ä') "--»-
weiter ist in Gleichung 9) für * = S ■= dem halben Bogen der Cnrre
uud also wodurch
-> c-.f;
Unter BerUtksichliguug der Werte 9*) 9^) 9*) erhaltan wir dud aas 9) fUr y folgende zwei Gleichungen, welche nur scheinbar sich von einander untcrachoiden:
g — Hmanm (jySing ); Mod. =
y = T>Sm-;;C08(im » ö! »Od. =
Intercssautcr sind die Resultat«, welche man durch Vorgleichung von 9*) mit 9«) orhält. Diese ergiebt
oder
" B . V
Bing
Bedenkon wir non, dass q> bei gegebener olastischer Cnrve eine ganz bestimmte Grösse ist, weiter, dass sin ^ den Uodalus k vor- stollt und K durch die Relation
*'=y'r=rii
el^^ituehe» fSmetiontfi, 9peäell tu dem elUptUditm Bogen* 121
m
mit shä- -» ^ verbanden ist, so ersehen wir, dass die rechte Seite
II^ eine constante Grösse ist
Wir erhalten daher ans n. nnd II*. folgende interessante Sätze:
Die Länge des halben Bogens einer ebenen elastischen Corve ist gleich dem Prodnete ans K in die grösste Er- hebung des Bogens über die x Achse dividirt dnrch den Sinns des halben Winkels, welchen Tangente nnd a; Achse im Anfangspunkte (Fasspunkte) der Carye mit einander bilden. Das Verhältniss des halben Bogens zur grössten Erhebung einer elastischen Curve ist für alle elastischen Cnrven constant, welche mit dem gleichen Winkel <p auf- steigen.
Wir kehren zur Differentialgleichung 2) zurück und setzen den Wert fttr y, wie ihn die zweite Gleichung II. liefert, unter" Berück- sichtigung von 9^) in diese Differentialgleichung. Wir erhalten so:
~ = C0ST-1-2sm-2-C08*awl-^ j
oder nach eine^ leichten Umformung:
dx ds
Da
so ist
nnd also
hieraus
- 1 + 2 (l - sin»|«in»ai» 'jj
sin»! = k*
1 — sin* 2 sin* an» -;=^ = J'aml-^ J
iJC
s
10) . . . ..A =./-*+¥ A-«('D<^('#)
0 0 0
£s ist nun nach der Theorie der elliptischen Functionen:
11) fJ^amvdv -= E,
gleich dem elliptischen Bogen über der Abscisse
X «« sin am V
122 Bender: Ueber einitfe, Beziehungen dvr elastischen Curve zu den
weun die halbe grosso Achse der Ellipse --= 1 und deren Excentri- cität = k ist.
Die Gleichung 10) liefert durch bitegralion
sK 0
I
Da sich siuciwtl v) aus einfer der beiden Gleiehnngen II) ermit- teln lässt und zwar
13) sinam(^'^)===)/l-|^2=i|^^'--y'
gefunden wird, so erhalten wir aus der Verbindung der Bemerkung 11) mit 12) und 13)
III. Der über der Absei sse | = 7vV^'* — y^ steifende Bog eu
einer Ellipse, deren halbe grosse Achse = 1 und deren
w Exceutricität = sin s"' ist gleich dem bis zur Ordinate .v
gehenden Bogen einer olasti-schon Curve, welche mitdcm Winkel<p aufsteigt, vermehrt um die der Ordinate y ent-
sprechende Abscisse x^ diese Summe multiplicirt mit ^^
sin oder was dasselbe ist mit 2
2H
Wird X == X gleich der halben Spannweite der elastischen Curve, so geht 8 über in
8 = S
gleich dem halben Bogen dieser Curve. Hierbei geht S über in
1-1 gleich der halben grossen Achse der Elsipse.
Der elliptische Quadrant einer Ellipse deren halbe
grosse Achse = 1 und deren Excentricität = sin^ ist da- her gleich:
(X+S)sin^
111» K = ~
2H
fUiptLsthen Functionen^ npeciell zu dem eiii/itiu.-hen Jioye.n. 123
i n welchom Ausdruck JST die halbe Spannweite, Ä den halben Bogen und // die g rösste Erhebung ein er elastischeuCurve bedeulitt, welche mit dem Winkel qp aufsteigt.
Der Ausdruck III». lässt sich verwenden bei der Berechnung des Winkels, welclien die Tangenten in a) und b) mit einander bilden für den Fall, dass beide Punkte in densellien Punkt der X Achse TQsarnnieiistossen. Wir haben alsdann in III». zu setzen:
q> -= cp,, (Fig. 2.)
Da jedoch der elliptische Quadrant K auch von q> abhängig ist, so wählen wir für K die aus den elliptischen Functionen bekannte Form;
' E = (1 '-/.M)Ä"^
wobei A die converg(»nt4i Reihe:
vorst^Alt und K die schon oben angegebene Bedeutung hat. Wir er- halteu demgemäss die Gleichung:
IW {i-kKi)K^ = ^^ . . sin^j'
in welcher Ä-, A, K Functionen des Winkels cpo sind, und welche folglich <po annähernd berechnen lässt. Der gesuchte Winkel « ist alsdann : ^^
« = 2(q5o — 90^)
Kutfernen sich nun die beiden Kräfte von einander, indem sie in dem zu Anfang gegebenen Sinne weiter vorwärts gehen, so entsteht eine Schleife. Die Grösse -V, welche auch hier wieder den halben Ahstand der Punkte a) und b) bedeutet, ist in III* negativ oinzu- führoii, 80 dass wir erhalten:
(S—X)sm^ V K= -
2//
Für S ^ X ist die Excentricität = 1 und es geht die Ellipse in eine gerade Linie tlbcr, ebenso die elastische Linie.
Nicht uninteressant möchte es erscheinen den Bogen «j zu be-. stimmen ftir denjenigen Punkt der K Achse, in. welchem sich die Cur- venäste schneiden. Man hat hierbei auf Gleichung 12) zurückzugehen und darin
Das sehen Fl
ten und eiue convei^onte Form mit dem Argument -V> welche ge- «Oimiich mit ■(^) bezcichuet wird, so dasB also:
/-»(•#)"C#)=l(''/)+-('-#) ■
wobei B wie seither dou ellipÜBchen Quadranteu oincr Ellipse bedeutet, deren halbe grosse Achse ~ 1 und deren Excentricität —sin ^ ist. Durch Einführung und Yergleichnng entsteht die in Bezug auf », aufzule- sende transccDdente Gleichung
" ^=¥+-(f)
welche jedoch wenig InteresBO darbietet
Die in Vorstehendem entwickelten Lehrsätze sind in hohem Grade interessant. Sie erhoben jidocb vorläufig keinen Ausprauh auf , bcBondere Wichtigkeit
Appell: Thiorhme giniral sur les courbes unicursaUs. J25
xm.
Theoreme g^n^ral sur les courbes unicursales.
Par
Paul Appell,
Doctonr ha scicnces, Agr6g6 de rUnircrsit^, Ancicn ^^ve de TEeoIc Normale
sup^rieare de Paris.
Soit une coarbe aDicursale et an faisceau de courbes alg6brique8 tel qu* uue des courbes da faisceau soit d6terinin6e par2n points et coupe la courbe unicursaleen 2n-t-l points variables, Cy a 2n4-l courbes du faisceau oscnlatrices k la propos^e, c'est ä dire la coupant en 2i»-f-l points confondus, et les 27i4~l points de contact Bont sur une courbe du faisceau.
£n effet, si Ton choisit arbitrairement sur la courbe unicursale 2r points pour faire passer par ces 2n points une courbe du fais- ceau, cette courbe coupera la courbe unicursale en un (2n +!)*"• point parfaitement d^termin6; aussi les courbes du faisceau d6termi- nent sur la courbe unicursale des groupes de 2n-{-l points tels que 2n points d'un groupe 6tant cboisis arbitrairement, le (2n-|-l)^°*® est connu. Soit X le param^tre en fonction du quel sont ezprim^es leB coordonn^ de la courbe unicursale et soicnt A^i^ ... isn-fi les 2»-hl valeurs de ce param^tre correspondant aux 2n + l points d'un des groupes: d'apr^s ce qui pr^c^de, lorsque 2n de ces valeurs sont cboisis arbitrairement la (2n 4-1)^™® 98t d^termin^e; il doit donc y avoir entre ces (2n-|-l) valeurs une relaüon du premier degr6 par rapport k chacune d'^es; de plus cette relation est ^videmment sym^trique par rapport k ces 2n-|-l valeurs. Elle est donc de la fonoe
126 Appell: yii^oihfit- fj^.m'ral sttr h .f rnurf^s un>(Ufsaf'*s,
Sk designant les somiiio des produitb /.• A / dos 2w-f-l valciirs
AjA^ ... A2n + 1.
Si Ton considere une courbe du iaisceaw osculatrk^o k la courbe unicursalc cn uii poiut dont le parainetro est A, les 2?/-f-l vah'urs du ])aram^tre entrant dans la relation (i) soiit efcales entro dies (*t egales ä A. Cette valeur k veritie doui requatiou
C'p3i»'+i (lesiguaut le nombre de combinaißons de 2h -{-l objets /> ä />.
L'6quation (2) 6tant de degr6 2// + !, on sait qu' il y a 2«-|--l eourbes du faisceau osculatrices ä la courbe unicursale: les racines do eette equatiou sont les valcurs du paraiuetre correspoudant aux 271 -\-l poiuts de eontact.
Pour demoutrer que ces 2u-\-l points de eontiiet sont sur une courbe du faisceau, il suffit de faire voir que les 2«-|-l racines do Tequation (2) satisfont a la relation (1).
Dcsi^nons par £p la bomme des produits p a p des racines d«i Tequation (2): je vais d(imontrer que Ton a
Ap £•>„ + 1 -p -f" ^^ -« H - p ^^p ^= ^ ^ En offet
-S2n + 1 -p = ( - l)*-^*' + l P 6'2„+l-;.^" » ' ^^'" ^
■P
i:p^{-i)pcp^-^^^'
et comme OD a bien
-^p Ļi + l-p-f-^2n+l-p'^p =-" 0
On a donc aossi
Car, d'apres ce qui pr6cedc, la soinme de 2 termes egalement distant des extremes est nulle. Le th^or^me general que nous avons euonce est donc d6montr6.
Applications.
D6dnisons d'abord du tb6or^nic general nn tbeor^me bien connu. Consid^rons une courbe unicursale du 3" ordre et coupons la par les droites du plan. Une droite coupe la courbe eu 3 points et est
Appell: Theoreme g€n€ral nur le.s courbes unicursales. 127
determin^e par 2 points: on est doDc bien daus les couditions de Fi^noncc. Le tlieoremo iudique alors que la courbe a 3 points d'in- flexion, et qoe cos 3 points sont en ligne droite.
Voici maintement un autre tbeor^mc qui me semble nouveau. Considerons unc droite fixe et coupons la par des courbes du 3*^ ordre passant par 7 points fixes.
Ces courbes coupent la droite en 3 points variables, et une d'entre elles est determinee par 2 de ces points. Donc par 7 points donn^s ou peut mener3 courbes du 3*^ ordre osculatrices äune droite, c'est k dire ayant cette droite pour tangonte d'inflexion; les 3 points de contact do ces 3 courbes sont sur une courbe du 3^ ordre pas- sant par les 7 points.
Ces 2 exemples suffisent pour donuer une idee de la föconditö dn th^or^me ^nonce.
Ajoutous encore que le mßrae th^or^me s'applique aux cour- bes gauches unicursales coup^es par un faisceau de surfaces algcbriques.
Pour cxemple si Ton consid^re une cubique gauche, c'est ä diro une courbe gauche unicursale du 3^ ordre, cette courbe est coupöe en B points variables par des plaus passant par un point fixe ; et un de ces plans est d^terrain^ par 2 points. Donc d'un point on peut mener 3 plans osculateurs h une cubique gauche et les 3 points de contact se trouvent sur un plan passant par le point.
XIV.
R^olution d'un Systeme d'^quatioivi, dont une
est du second degr^ tandis que les autres sont
lin^ires.
Monsieur J. VersluyS,
Profciieiir d« iBBlh<!miili(|nM k GrOningrn.
I de»
Soit doDDÖ le BfEtömß
ot y:i pM- leeqnels cea 4qiiatioii8
et d^terminoQS Icsrapports x-.y, x sont aaüsfaitOB. Soit
le d^terminant qa' on obtient en bordant le diBcriminant de l'^qnatioo du Bccond degr6 dos coefficionts do l'^qnatiou lioeairo.
Le d^termlDaiit b. äläments räciproques corrogpondant an d^ter- mioant X soit
A H G P \
H B F <i\ O F C R \
est du s€cond degri tandU que les autres sont Unfaires.
129
(1)
On a (Yoir Gtlntlier Kap. II, § 12)
pP+qQ+rR = X
pG+qF+rC-=^0
pH-\'qB+rF^O
pA+qH-\'rO — 0
§ 2. L'^uation donn6e du secoad degr6 est identique au der- ider d^tenninant bord6 des inconnues et 6gaI6 k z6ro:
A H G P X
F Q y
C R R
H G P
B F
Q
y
z
z
= 0
(2)
Ponr Y^rifier cette identit6 il suffit de remarquer que le coefQcieut de a:* dans la dermi^re ^qnation est (Yoir Günther Kap. III, § 4)
Q R
= aX^, etc.
B F F C
Q R
§ 3. On pent donc remplacer Täquation donn6e da second degrö
la premi^ ^qnation du paragraphe pr6c^dent Pour Flimmer »
de r^quation (2) et de
|M5-f-gy-f-r« ■» 0
ajoatons la premi^re ligne da d6terminant (2) mnltipli^ par p, et la deuxi^me multipli^ par ^ ä la troisi^me ligne multipli^e par r. £n appliqnant les identit^ (1) on trouve
A H G P
B F Q
0 0 JT
Q R
y »
Des deox 416ments z Tun reste. Ponr dliminer celni-ci mnlti- pliooa la premi^re colonne du dernier d^terminant par p, la denzi^me par q et ajoatons ces produits aa produit de la troisi^me colonne par r. X«e r^soltat est
0 P m
0 Q y
OHO
H
0
H 0 P
X
y
0
0
A H 0 P
H B 0 Q
y
= 0, oa
Tia LX*
est du second degr€ tandis que les auirts sont liniaireit.
131
racises sont imaginaireB, quand X est n^gatif. Qnand X«»0, les raeines sont
x'.yiz^ AiHiG^ H'.BiF^ G:F:C=^ P:Q:R
% 6. Application ä la g^om^trie analytiqne. Qoand les ^quations doonees repr^scutent une conique et uno droite cu coordonu^es trili- n^aires, les rdsultats prec^deuts nous dounent les points d'intersection de la conique et de la droite.
Ponr obtenir les points d'intersection d'ane conique et d'une droite, dont les 6quations sont donn^es en coordonn^es cart^siennes, nous posons « = 1, ce qui donne
0
|
ax^^2kxi/+by* + 2gx+2fy+e - |
||
|
pa?+2y+r — 0 |
||
|
A |
G X |
|
|
G |
C 1 |
«0 ou Cb«— 26?«+^ |
|
X |
1 |
|
|
B |
F y |
|
|
F |
C 1 |
«0 OU Cy« — 2Fy+B |
|
y |
1 |
|
|
X =« |
G-\-q^/X A |
|
|
C '^G±q^X |
||
|
«/ •'—' |
F±p^X B |
= 0
y
FippV^
Qoand Jf = 0, la droite est tangente ä la conique et les coor- donn^es du point de contact sont
« = 7^
|
A H G P |
B F H Q |
|
G^ F^ C^ R |
^'^ F'~ C^ G^ R |
Trois ^qnatloBs k tr^is inconuBCs.
§ 7. Soit donn6 le systdme d'^quations
+2i)ad+25/36+2ryd
9*
0
Le d^tenninant & 614ment8 rfeciproques soit N M P At At \
i 8. L'^quatioD donnSe do second dogr6 peat se mettre i
N M P Ai
M L C R
C, 1
Ajoutons aa prodait de la quatri^me ligue par d^ la premiöre ligna mnltipti^e par a,, la deoxi^me mnltiplite par fr, et la troiaiöme mnl- Upli^e par e^
^a,+JVi,+JWc, +Prf, — 0 iVa,-f.S6, + Xc, + Q(/, — 0
touB les ^l^ments de la quatriöme ligne, la cinqaigme pxept£, devien- neot z^ro. De la m^oio maniöre on peut rondre z^ro tona les 416- ments de la quatri^mQ colonne h. l'exeptiou du ciDqai^me äl6meat. L'^qoatiou da Becoud degr^ pent donc kXcz remplac^e par CGtte antre
est du second degri Umdis que Its au fr es sorU Uniairts.
133
|
A |
N |
M A^ a |
|
N |
B |
L B, ß |
|
M |
L |
C C, y |
|
^ |
B, |
c» |
|
a |
ß |
y |
0
qm ne contient pas d,
S 9. Pour ^limiDer y, de
dMoisons r^qnation snivante sans d
Dans le dernier d^terminant noos mnltiplions la premiSre ligne par (a,dj — 02^)1 1* deuxiöme ligne par (bid^ — b^ti^) et nous ajou- tons ces prodnits k la troisi^me ligne multipli^e par (c^d^ — Cid^)- An lien du terme / de la troisi^me ligne on obtient z6ro. Le premier terme de cette ligne devient
« (Aa^+Nb^+Mci)fl2 — (Aa^+Nbi+Mc^di
De cette maniöre on montre qne tous las termes de la troisi^me ligne, ^ rexception du qaatri^me, deviennent z^ro. De la m^me mani^re on pent rendre z6ro tous les termes de la troisiöme colonne i l'exception du qoatri^me. L'^quation devient donc
A N a
N a
OQ
B ß ß Ba^'-2Naß+Aß^ — 0
De la demi^re 6qnation s'ensnit
ß-
Or
|
N±y(N^—AB) __ |
|
|
^ B '^ |
|
|
er c^ Cf |
|
|
da . db |
r d d^ d^ <?i d^ |
|
C2 d^ |
da . db/
B
— ""i
d^
, donc
Sit
on troDV
Ren
quo les
i i:
poinU d socond (
e la BQ
est du second degri tandU que let autres sont Unfaires.
135
|
QT |
V- |
-X |
B |
||||
|
D |
Q± |
-x |
|||||
|
R± |
«1 a« |
V- |
-X |
c |
|||
|
D |
RT |
«1 <H |
V- |
-X |
Qaand X « 0 la droite est tangente ä la surface et les coor- doim^es da point de contact sont
^i-jy^ Vx-Jy et z, = ^.
Q D
R
La CMrke iPiitersectioii d^nne surface dn second degr^ et ifwm filan.
§ 12. L'eqnaüon d'une surface du second degr6 seit aa;«+ft2<«+C3«+2/y«+2mÄr + 2na?y+2pa:+2gy+2r«-(-d = 0 et r^uation d'un plan
£n ^liminant sc de la memo mani^re que dans le paragraphe 3 on troave pour la projection de la conrbe dMntersection sur le plan
des y%
B L Q y
L C R z
Q R D 1
y z 1
De meine pour les autres projections.
^Mtre ^latioM k qutre inconnies. S 13. Soient donn^es
aa^^bß^ + Cy«+d6«+ e£« + 2lßy+2mya+ 2naß + 2i)«^ + 2qßÖ
+ 2ryd + 2«ae + 2<i5« + 2uy £ + 2v6b « 0
h ", dl A, «^ d, 6a <* <*i
L'^qnaUon dn second degr6 pent se mettre boub 1a forme
N B L Q T Bi
■B. ß
Kliminuit y, d et t comme dans les SS 8 et 9 on tronve A Na •
NBß —0 OD BB*—iNvß'{-Aß* = 0 « /) I
?■" S ~ B
da.M"
«1 d, e, «^ <^ «I
<^ d» «,
«j d. «1 =» «^ «B
I <H <*1 «1 I C, «^ «1
I c» rf» «s I
est dm 9€cond degr€ tandü qu« Ua aulres sont liniatrea.
137
N±
Ci dl e^
^» 'h H <i <*» ^
VX
a
ß B
De m&me ponr les oatres inconnnes.
On pent continuer ainsi ponr an nombre qnelconqne d'^qnations lin^rä-es. Les formales qn'on obtiout sont ä la fois tr^s-simples et trös-ma^moiiiqaes. Ponr n ^qnations lin^aires on a
VJr(~l)-i
|
^1 ^ "* |
|
|
ß-if± |
• • • • |
|
Cn |
|
|
1 JaiUet 11 |
B76. |
XV. Untersuchungen über algebraische Gleichungen.
Alfred SIebol.
'arlutiut T«n XI. in T. LTIU.
Artikel T. (8 W-%U.)
Hiorau eine FignTeoUfel und drei TabelleQ.
Ualfsberechnnogeii zur Trennang.
A.
BerechQDDg von s,.r und a,.r-
S 18.
I. Es bändelt sich bei der Xretumng nach äem vorigen Artikel in gewisson Fällen um die BeBtimmang eines Näherungawertes der positiven Worzel oiuor Gloichang der folgenden Form (siehe % 15 (3) und S 16 (D)
— 3ir»— & — 1 =:0 oder (was dasselbe) dei:jenigen Wurzel von
(1)0 M(x) - f.i'r-l)>.0{x) = r(r-l)(»-l)V-a-«9r(«) - 0 welche >■ 1 ist, wo
Vr(«) = (r- Dxr-r.x'-i + l,
Sieb eh Untersuchungen über {tigebraisehe Gleichungen. 139
9 und r ganze Zahlen sind and
2<e<r.
m
Bezeichnen wir jene Wurzel statt wie früher mit zt,r im Folgen- den kürzer mit m, so dass
m m =- »«,r,
10 ist
,,=:|/_W >l-i).
9r(m) Cn-2
oder wegen (1)**
m
wo
,...-K
€
C)
r(r— l)(m — D^m''^
m
ans welcher Formel sich os,r leicht logarithmisch berech- nen Iftsst, wenn m bekannt ist. (Siehe ni).
, n. Wir beschäftigen uns zunächst mit den Functionen G(x) und M(xs für
aj>l.
Die beiden ersten Abgeleiteten von G{x) sind
r'f \ (r — g)(r— l)(r— 2)
& («) =* ~ . x^ ^ — (r — 2) (r — ö)x^ * — ...
— 4.3a;«— 3.2. a; — 2.1,
— 4.3.2»— 3.2.1 md wegen
1+2+3+ ... +(»-!) = ^--, 1.2+2.3+.. .+(«-2)(»-l)= "("-lH"-2),
1.2.3 + 2.3.4+ ■..+(n-3)(n-2)(»-l) = "^"~^^^"7^^^''~^\
1*
ist spedell
ff(l)-r(r-l)(;-|)<0
C'(l)-r<r-l)(r-2)(i~^)'^0, wenn e^3
ff"{l) = r<r-l)(r-2)(r-3)(^-J). wenn A-^
Bemerken wir noch, dasa die Functionen (?(*), <?'(*), G"(*) zwischen 0 and 4-°° Einmal ihr Zeichen ändern, (r>-3 vorao^e- setzt) Bo können wir nng leicht ein Bild der Curre
machen. Fig. I. stellt diese darfQrr=6, « = 3,1= 20"". Ferner ist
M'(x) = eix-iyO'(x)+G(x).2elx-l)
BpecieU
3/(1) — 0; M'(l) — t), Jira) = 2«ff(l)=.r(r— 1)(2— «)<0. Um JW'(x) nud M"(x) zu entwickeln, gehen wir auf I (1)'' znrfick: «'(*)-. r(r-l)[(«-l)».(.—2)i^-M-*'-S2(ir-l)]-«.r(r-l)i'-»(i-l) -rC--l)(l-l)x'-«l{r-2)(»-l)+2a:-«rj
(1) M'(x) - r(r-l)(i-iy-8(*r-{r-2)) also
(2) Jlf'(!^)-0
M"(m)-T{r-l)x'-*\{r-l)»x:*~(r+,-1l)(r~2)x+{r-3){r~2)] Aas dem Vorstehenden ergiebt sich der Vertauf Ton V - m\x)
wie in Fig. n. (r = 6, e — 3, 1 ^^ 20™).
III. Die Figuren I. und n. lassen erkennen, dass sich die Enler-
Bche N&heninga-Methode mit Vorteil zar Berechnung von m <° x,,r anwenden IftssL Die Annäherung ist eine sehr rasche.
Siebel: ünUrmchungen über algebraische Gleichungen.
141
Man erhält speciell die Näherangswerte
m
»,^ — 2, 414 213 562 log A^^ — 9», 644 473
1^ -= 3, 627 365 085 ,^ = 1, 697 122 616 ,^ = 4, 732 626 153 ,^ — 2, 304 173 146 8^ — 1, 461 722 631
4.5 « 9, 370 546
8.6 « 9, 933 444 5^ « 9, 231 112 4^ — 9, 655 075 8,6 - Ö, 104 269
Wir werden im Folgenden eine zweite Methode zur Be- rechnung von m ableiten, welche sich besonders bei grösserem r rapfiehlt (§ 20).
Man wird sich dabei mit einer weniger genauen Annäherung wie die vorstehende begnügen und eine solche Hülfsberechnung **) auch mitunter ganz umgehen. (Nötig ist letztere überhaupt zur Trennung nicht).
§. 19.
Tabelle über die Anfangsziffern von m.
|
r |
||||||||||||
|
s |
4 5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
1 |
2 3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
2 |
. 1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
4 |
4 |
5 |
5 |
6 |
6 |
7 |
|
3 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
4 |
4 |
4 |
|
|
4 |
• |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
|
|
5 |
■ |
• |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
e |
• |
• |
• |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
7 |
• |
• |
. |
• |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
Es zeigt sich gleich zu Anfang der Berechnung dieser Tabelle, dass die Ziffern nach einem einfachen Bildungsgesetz fortschreiten and nach diesem sind die weiteren Werte eingeschrieben'
Dasselbe lässt sich so formuliren:
▼or.
^) Zur Abkürxung für -. l ^ 0,6 ...
*^) Der Verf. behält sieb die Berechnung von rf,rm und log Ae,r für r<6
iiX-r -f3
142 Siebel: Untersuchungen über algebraische GUichmge».
Ist bei der Division von r durch * = r-« g der grösste Quotient, t der entspr. (kleinste) Rest, so dass
so stimmt jene Anfangsziffer mit der von
r— 2
(1)
überein.
Sie ist — g — 2 == r— 2 wenn « = 1 «2-1
»»
«>1 und «<2
= 5
11 11
« *>2
Zum Beweise dieser auf inductivem Wege gefundenen interessanten Eigenschaft der pos. Wurzel der Gleichung (!)• in S 18 I. formen wir die Function M(x), § 18 L, indem wir zunächst den Ausdruck für ipr(x) substituiren, wie folgt um:
A(a:) — (r — l)».x«— (r+Ä— 2)r.«+r(r — 1)
Setzen wir
wo
r — »
« =
so wird
#.iV(«) = (r-l)(r-8)^-(r+#-2)r(*-"«)+'<^-l>'
N(x) == J {■».(r-D— i.r(r— *)+r(r— *)} 2fl-\ «-l_-^=— ^tspr. 1 = 0
Dm M ( -) > 0, so liegt ^ auf der pos. Seite von m.
Siebet: Untertuckungen über algebraische Gleichungen, 143
r — l
Untenuchen wir, welche Lage zu m hat Es ist
-.+.+(7')^+('r)(^)+-
also auch
> m.
r— 2
Wie zu in Kegt, brauchen wir nicht in vorstehender Weise
ZQ untersuchen, da aus § 18 n (2), siehe auch Fig. n., hervorgeht,
r-2^
<; m.
s ^
Es resultirt hieraus, dass sich m in dem Intervall
/r— 2 r — 1\ (2) < \ ß » )
befindet, dessen Grösse "" " ^ 1 ^©nn *^ 1.
Also wenn
«—1, seist r— 2<;m-<r— 1
«>lund« = 0, «=-- „ «— 1^— ^<m<-Y~<; "■«
Aus Jtf(«) -« «(aj— 1)«6?(«); Jl/'(x) = e(«-l)«6?'(aj)+6?(a;).2«(«— 1)
folgt femer
Af^(a?) _ G^ _2_
Af(a:) ""G^x) "^oj — 1 Für « -. fanden wir M\x) = 0, jif (») < 0, also
|
w |
-2, |
r— 2 |
«=• M |
|
w |
>2, |
r— « |
«< W |
|
(W. I. b.) |
ff'W
Euter) die Wimel tn. Die GrOsse dieses lulervall«, dessen Aofangs- wert mit dem von (2) übereiDstimmt, ist
a — 1 r_2-.^l ~ .
2 2.^. ^
Wir haben aomit ein Stes Kriterinm:
Ist e — 3, so liegt m in dem Intervftil
('+.4-3. l+ä,7^|)'
welches halb so gross ala das nach (2j ist. UntarsDchen wir die gegenseitige Lage von
r— 2
~^- *<»■> «n «11 '" m
mit *i and t^ die Wnrzeln von N(x) '-^ 0 bezeichnet, so dass
"•- 2(r-l) .
and zwir zsn&chBt die Lage von zu «g, dann die von — - —
an Bi, nnd fi, so finden ifir, jene Wurzeln ala reell vorauegesetzt;
!(\ — 21* r— 2 \r — 2
lBt.>'— ^.»-j^<,, <^,<^<ni|-^ „ < , <'^<-.<'n )<■■<"
L - ^-^^^ bedingt r = 4, . — l)
Es eichen sich noch folgende Kriterien, worin
(5)
Sie bei: Untersuchungen über algebraische Gleichungen. J45
r~2
1 Ist «0* — - 0, so hat man für jedes « ^^ «i
J ^~ >
/ «) »1 a? < m < F(a:) oder ß) F(x) < m < a;
Wc Pfeile deaten an, in welchem Sinne F(t) und x sich gleichzeitig tadern; bis sie mit m zusammen fallen (sämmtliche Werte als Ab- scissen gedacht).
Ist«o*— -<0, 80 — 7-<2^o^m
Ist dabei 1) F{z^) < z^, so ferner m < F{zq) < z^ und (6) ( «) m < F(a:) < 0- < 2^ oder /3) x F(x) m z^
• •• •
Ist 2) F(2o) > «0 80 »0 < m und
a) z^ X m F(x) oder ß) zq F(x) m a:
I • • " •«<
§ 20. Mit Hülfe der gewonnenen Kriterien lässt sich die Wurzel
m m = Bs.r
tnn&hernd berechnen. (Siehe § 18. III).
Die hierbei in Anwendung kommenden Formeln sind: M{x) ^x^~^N{x) — e J^{x) = (r — l)«.a;2— (r+« — 2)r.a;+r(r— 1)
'^ " 2(r-.l)*i
Ferner
Teil LX. IQ
Sitbel: Untersuchungen über algebraucke Gleichungen. 147
tbo annäbenid
m « 1,11399.
B.
Berechnung von z.
§ 21.
Eine zweite Hülfsoperation bei der Trennung der reellen Wurzeln algebraischer Gleichungen ist, wie wir gesehen, die Bestimmung eines 2 > 1 so, dass
oder, da logp gegeben — es ist p>0 — (siehe Fig.* IV):
(1) logg)r(«)^log;>.
Je näher z der Wurzel dieser Gleichnis genommen wird, desto zweckmässiger.
Wir haben in § 12. im Allgemeinen angedeutet, wie z bestimmt werden kann, und beschäftigen uns im Folgenden eingehender damit.
Es sei nur von solchen Werten von 2, % ... z\., die Rede, welche > 1 sind.
Zunächst leiten wir einige Kriterien ab.
Ist
l0g<Pr(«,) < l0g;> < l0g(pr(^), 80 «1 < « < «8,
(2)
mit z die Wurzel der Gleichung (1) bezeichnet, also ein brauchbarer Wert
Ist logp sehr klein, so dass // = »— 1 ein sehr kleiner Bruch, so fiiessen aus der Recursionsformel
(pr(z) = (a - 1)«{ 1 +2« + 3a«+ ... (r - l)a»-2} die Näherungsformeln
r(r^l) .
^*. 2~"=^
/Qv 1 genauer
) ^M^C^--!) , r(r~l)(r-2)
j J*\—j-+ 3 ^|=p
\ ,«l-f.j
10*
Sei
Siebel: UntersuehuHgen über algebraische Gleichungen. 149
(r — l)r-l Bin«Ö . C082(»-l) 8 = ^^—~ — (1 — p).
(,._ l)r-l
(1)» ^ p beliebig > 0
X = logpcosd t =r log p sin 0 y = (r — 1)«4"*
80
(2)*
loga = log^3jj + 2(a5— logp) wenn y = y erfüllt ist
b)p>l. Wir schreiben: {(r — 1)»— r{«»'-i «= p— 1.
Da 8 zwischen r und T, also
(r — l)z „ »* M 00 ^®^ 80 können wir setzen
(r — 1)« =3 r.
cos»d '
wo 0 < Ö < 900.
Sobstituirt giebt
sin»g / r y-i 1 ** • cos^ö ' \r — 1 j cos2(»-i)ö = P — 1
Sei
(1)'
(r— l)*-l p2(r-l)
y = iiog — p—
r, flc, e wie oben
y «=■ r.x — t
80 ist (2)^ { loga = log^:;£:^— 2(a;-l0gp)
wenn y ^^ Y
" V2 Id beiden Fällen a) und b) ist einor Gl^chmig von der Form
zn geoflgen, wo x und t in gewissem Zusammenbang stehen. (Ea ist i-ilog{p»-102')).
Zusammengehörige x nnd t liefern die log. trigon. Tabellen.
Wir kommen auf obige Formeln in Kr. 24. Znrllck.
n. Untersnchen wir die Gestalt der Cnrve
y-F(x) = «X-\-ßt
Es ist
.dt de
;.C0tgfl;
dlogsinfl 1 ^ dlogcosg 1
da ~lnlO™* • dd~ d$ " InlO
Snbstituirt giebt;
IF'(x) = a—ß.C0tg*e = a-~ßUfii'~f)
Setzen wir für einen Moment cotg Ö -' u, bo ist die 2. Derivirte
(2) /"(«) hat also das Zeichen von —ß. Im FaU I»), wo « = r— 1, |3 — -|-1 ist:
(1)- F\x)
Im Fall P), wo « = r, )J — — 1,
•) Hi«raaf IILbii sii-h ilic Rcrrchnang der reellen Warieln einer beliebigen dreiglieilrigen Gleichoiig inrOck führen. (Obu»s , Bpilrllge i. Th. d, »Ig. Gl. II. Ahtb., Göttinnen, IS«9.)
Siebel: Untersuchungen über algebraische Gleichungen. 151
^^^ x' W= ^a— 102« ^ *^"1"^«— 102*
Die Fälle a) und b) sind in den Figuren III* und IIP dargestellt; dabei ist q = \0 genommen.
ad a) Für die Grenzwerte von x (siehe die mittl. d. Fig. III*). 1) X = log^ V^~V~ ^®^^P^* ^^^^ = |/^--— ) d- h. 10« —
K'^.
folgt aus (1)*:
F'{x) = 0.
2) X « logp (entspr. 0 = 0) d. h. 10* = g:
F'(X)=— 00.
Zwischen beiden Werten von x ist nach (2) jP"(a;)<0, also die Curve concav. — Die entsprechenden Ordinaten sind
(^_- l)r-l
rlogp+ilog ; und — Gc
Die 3 te der Figuren III* bringt für r = 7 und die Längen-Ein- heit von 1 Meter einen verhältnissmässig kleinen Teil der Curve zur Anschauung, in der Nähe von C.
ad b) Für die Grenzen von x (Fig. IIP).
1) x = — 00 (entspr. Ö = 90«) giebt (3)^:
F'(x) = r.
2) X -= logp (entspr. 6 « 0), also lO^» «= p«:
F'(x) = + OD.
Die zugehörigen Ordinaten sind — od und -|- od. Die Curve ist convex. In Fig. m»» ist r == 3.
Anmerkung. Die Wahl von ^ hat auf die Gestalt der Cnnre keinen Kinflass. Es tritt nur eine ParaWel- Verschiebung ein, wobei der Anfangspunkt 0, de» Achsensystcms A", 0, Y, sich auf einer durch 0 gehenden Geraden (^ = r.ir ad a); y r= (r — 1)x ad b) bewegt. Die Bedeutung von X^O^ Tj ist aus den Figuren ersichtlich.
Anmerk. zn ders.).
EinrichtQDg der Tabelle T.
Dieselbe enthalt für die Werte von « zwiscfaen 1,00001 — zur BaamcrspaniisB mit 1,'*U bezeichnet, analog die folgenden Zahlen — und 100, welche sich iu der Isten Verticalspalt« befinden, die zu- gehörigen Werte von loggjjCz) ... logip^iz) iu der 2t«o ... Spalte, auf 4 Decimalen berechnet.
Ferner wurde in bekannter Weise z. B. 8,4771 sUtt — lO + 8,4771 gesetzt.
Die Intervalle von z konnten bei den weit auseinander liegenden Grenzen nicht einander gleich angenommeD werden. Das Intervall (1,0I)U01; lÜO) wurde durch ! = 1,0001 ; 1,01; 1,1; 2; 11; ÖO in 7 Partical-Intervalle zerlegt und jedes in gleiche Teile geteilt von im VerhältoisB 10:1 wachsender Grösse: 0,00001; 0,00001 ... 10.
Berechnung von • wenn r -• 2,3 ... 6. Ist
1) r=2, SO iprW = («-l)»=p,
, - 1+Vp-
2) r = 3 ... 6,
I berechne z mit Hülfe der Tabelle I :
a) nach § 21., (2).
b) wenn logp sehr klein, so dass die Tabelle nicht aus- reicht, nach S 21, (3).
c) Um genauere Werte zu ermitteln, kann man sich der Sätze § 21. (4) und (5) bedienen.
Siebet: ünlersuchuugen über algebraische GUichungen
153
Beispiel r « 4; log/» — 2,5508.
Nach a) 1,10 ^»< 1,11
8,5508—8,5051
c) a, = 1,10+0,01.
8,5906—8,5051
= 1,10+
0,01.457 855
1,1053>«
^ «- 1,11; logf^4(a') nach der Tabelle = 2,5906; loga'=—i. 0,0398 =
log,' = —0,0199 « 9,9801 ; z' = 0,95521 ; n" =. 1,10507 < n
»^ 1,105 ...
In manchen Fällen wird man sich mit dem direct abgelesenen Werte begnügen.
§ 24.
Bei der Berechnung von » für grössere r legen wir die Formeln in § 22 zn Gmode. Um das Probiren enger zu begrenzen, sind die Tabellen U^ nud IP berechnet Sie leisten insofern nicht unwesent- liche Dienste als die Aufsuchung eines ersten Näherungswertes ohne einen solchen Anhalt zeitraubender sein kann, als die weitere An- näherung.
Einrichtung der Tabellen II« und IP. Die TabeUe n» enthält die Werte (r— l)a:+<
w M ^1 w 11 n ^'^ '
(siehe § 22 I) für r =• 7 . . . 15, p = 10 und eine Reihe von x = log 10. cos 0 aus der 7 stelligen Tafel von Schrön) auf 4 Decimalen. Die Erhöhung der 4ten Stelle ist wie in Tabelle I. durch einen Strich markirt
Half Stabelle. (Siehe § 22, I)
|
r |
^^«r-1 |
1<>K rr |
a-min für den Fall ;><0. |
|
7 |
0, 066 947 |
8, 753 221 |
0, 966 527 |
|
8 |
057 992 |
690 966 |
971004 |
|
9 |
051153 |
636 537 |
974 424 |
|
10 |
045 757 |
588 183 |
977 121 |
|
11 |
041393 |
544 680 |
979 304 |
|
12 |
037 789 |
505 145 |
981 106 |
|
13 |
034 762 |
468 911 |
982 619 |
|
14 |
032 185 |
435 471 |
983 908 |
|
16 |
029 963 |
404 424 |
985 018 |
Sitbal: Untersu^ungen über aUgthraitch* GUiehungen, X$5
yj » 12,6435 : «, — 0,9500095
ys r=r 12,5551 : x^ -> 0,9450012
, m > 0,94984 Diffe. yi— y, 885 Diflz. «j— «, 5
ry Pi—y 30 „ «1—«»— 017
Id der 7 stelligen Tafel (von Scbrön) gehört zn
X — 0,9498487 : t = 0,6571707 Man findet
y - 12,6407111 > y,
um 931 Einh. d. 7. Stelle zu gross. Letzteres x liefert also schon ein branchbares x. Wir wollen a genauer ermittehL
Bezeichnen wir die „Differenzen'^ von a;, ^, y in Einheiten der Tten DecimalstoUe mit
so entspricht
^a? — — 107 : ^< « +^3, also Jy — Udx-^Jt 1911
//y = —931 : Jx ^^ • 931 — — 52;
also annähernd
X - 0,9498435
loga = 0,032185—2(0,9498435 — 1) « 0,132498
» « 1,35674
413 (Der Fehler von « verh< sich zn dem von y wie l;14+jöy> ^- ^•
ca. 1 : 18).
Modificirtcs Verfahren.
Die Gleichung
y « aa?-[-lJ< = y
.nehe § 22. I, zu Ende) nimmt, wenn man setzt:
u — sin*d,
F(u) = alog(l — t») + /Jlogu,
Ä = 2(y-(a + /J)logp), die Gestalt
F(u) — Ä
an and es kann diese Gleichung an die Stelle jener' treten. Die Iste und 2te Derivirte von F(u) sind
Siebel: Untersuchungen über algehraUche Gleichungen. I57
Di« Gleich aog
/{u)^ F{u) — 6^0
]Isst rieh anch wie folgt lösen.
Ist Uq Torl&nfig beliebig,
so
/(«) = «logd- J^.t) + /Jlog(l + £)+/(»o) and wenn
«o ein Nftbeniogswert der Warsei ron J(u) = 0, so dass f sehr klcin^
so ist ann&hemd
InlO./K)
£ ==
ond ein genauerer Näherungswert
«h = (1 + «K n. s. w.
Ist Uq sehr klein^ so gestaltet sich die LOsung noch einfacher, wie folgen- des
Beispiel
teigt Zar Abkürzung bedeute: c\^ „annähernd gleich** Es sei ad a)
WOp<l, a«r — 1, /3 = + l, p = 10:
Y =0, mithin ^ = — 2r, so ist t<„ =: -— g^ ein erster Näherungswert und sehr klein wenn r gross, z. B. = 7,
flu,) -= (r-l)log(l- j^)cV)-j^^^^
(r— 1) r— 1
« = F-7^ T-. =fCV)
»o-y,^,-.»] "^-"-',''
1 1 I r—l
Probe:
-i}iogy.'-:^j—nosyi—^^j-t-ir—i)iir—r.xr-f^
Ob und iD wie weit sich in ähnlicher Weise wie das TrennnngB* Problom (Art. IV, and Art. V.): das Problem der Annäbeniog an die reellen Wurzeln der algebraischen QleichuDgcn behandeln Iftsst, wollen wir im nächsten Artikel nntersDchen.
Hoppe: Ueher das Rotten der Flüchen auf einander, 159
XVI.
Ueber das Rollen der Flächen auf einander,
Von
R. Hoppe.
Das Rollen ebener Curven, Walzen oder beliebiger abwickelbarer Flächen, die sich längs der Erzeugenden berühren, anf einander ist eine Bewegung unter Berührung ohne Gleiten. Beim Rollen belie- biger Flächen, die sich nur in einem Punkte berühren, kommt noch eine Bedingung hinzu: es ist eine Bewegung unter Berührung ohne Gleiten and ohne Rotation um die Normale. Um die 2 letzten Be- dingungen zu definiren, so besteht das Nichtgleiten darin, dass der Berflhrnngspunkt auf beiden Flächen gleich lange Curven beschreibt, das Kichtrotiren darin, dass der Punkt der einen Fläche, welcher die andre soeben berührt hat, sich in normaler Richtung von ihr entfernt Dies normale Aufsteigen lässt sich durch Grössen feststellen. Der vormalige Berührungspunkt P\ welcher vom nachfolgenden Berührungs- punkt P um das beschriebene Linienelement da absteht, hat eine un- endlich kleine Entfernung 2. Ordnung von der Berührungsebene, des- gleichen der entsprechende Punkt P" auf der andern Fläche. Im Fall des normalen Aufsteigens ist der Winkel zwischen P'P" und der Normale in P unendlich klein , folglich die Projection von F^P" auf die Berührungsebene unendlich klein höherer als 2. Ordnung. Folglich stimmen die Projectionen der Curvenelemente PP' = 8« und. PP" « da bis auf 2. Ordnung überein. Folglich haben sie eine gleiche Krümmung in P. Die Krümmung der auf die Berührungsebene pro- jicirten Curve heisst bekanntlich die geodätische Krümmung der auf der Fläche befindlichen Curve. Demnach können wir die Bedingungen des BoUens zweier Flächen auf einander folgendermassen aufstellen:
4) Sie haben gleiche geodätische KrammniiR.
Da nun eine Curve auf eiuer gegebenen Fläche durch AnfaDgs- paukt, AnfaugsrichtuDg und durch ciiie Gleichung zwischen dem Bogen aud der geodätischen KrUinmung bestimmt ist, so folgt, dass die 2 genannten Cnrven sich gegenseitig voUstäudig bestimmen, wenn die Flächen und ihre Lage bei anfänglicher Bcrtthning gegeben sind
Man kann das Rollen zweier, bloss in einem Pnnkte sich berOh- reuder Flächen auf einander anffasaen als ein Rollen bdder auf ihrer gemeiusamen BerUhrungBObeiie längs derselben ebenen Curve. Wir wollen daher im folgenden die Betrachtung dadurch vereinfachen, dass wir eine feste Ebene annehmen, auf der eine beliebige, aber keine Geraden enthaltende Fläche rollt Von den Resultaten lässt sich offenbar Anwendung anf den Fall einer beliebig bewegten BerühnmgB- ebene machen.
Zu untersnchen ist zuerst die Bewegung ohne Rücksicht auf die Zeit, dann als Wirkung von Kräften , welche einen KCrper, begrenzt durch die rollende Fläche, angreifen, also eina geometrische und eine dynamische Frage.
Geometrische Frage.
Seien x, y, > die Coordinateu des Berahmngspnnkts in Bezug auf ein, mit der rollenden Fläche fest verbundenes Aiensystem, x^, y„ (, — 0 die Coordinateu desselben in der Ebene, anf der die Fläche rollt, and die Relationen zwischen ihnen
*i — «11+'« +*y +" Vi — yo+oi" +V-f-«i«
0 — ^+pi< +qs +" dann ist die erste Bedingung erfüllt, wenn p, g, r die Richtnngs- cosinuB der Normale der Fläche sind. Die positive Richtung der Normale sei bestimmt durch
! i i, , ] - 1 (2)
Hoppe: Ueber ffa» Rollen der Flachen auj einnnder.
161
Der dritten BoJingung gemäss muss ä = «, soin, wo s die auf der krummen Fläche, »j die auf der Ebene beschriebene Curve be- zeichnet Mau hat also:
Die zweite Bedingung veriangt, dass Sa?!
^8
dx cy dz
cos T, = rt "ö" + ^ IT + ^ ö"
r« ' ' c^« "^ * 8*
\
N
y
sei. Hierzu kommt noch vermöge der ersten Bedingung:
vx % dz
woraus :
^ = a COS ^1 + «1 sin T, ; ä ^^ * ^^^ ^t "I" ^1 sin ^i
^ = c COS Tj + C\ Sin Tj
(3
(4)
;>'
Differentiirt man die Gl. (1) vollständig, so ergiebt sich vermöge (4) oad (5):
dxQ-^-xda -{-ydb -\-zdc =0 \ 3^0 + arSaj +y dhi +zdci = 0 J
(6)
gültig für Variation längs s.
Zum analytischen Ausdruck der vierten Bedingung gelangen wir auf folgeudem Wege. Zunächst hat man:
da flj p (b />! q de c^ r
a 8a, p I
b 3ä, q = a^ da^ -|- b^ db^ -\- c^ rcj
c dcj r ,
ada-\-bdb-{~cdc = 0
Ü
was sich auch schreiben lässt:
T«il LX.
1 I
Hoppe: Ueber das Rollen der Flächen auf einander.
163
cbeae auf die Berührungsebene , d. i. die geodätische Ki*ümraung der Garve s dar. Ebenso drückt die Deterraiiiaute zur Linken die Krüm-
mimg der Car>'e *i, die Grösse ^, aus. Beide müssen der vierten
Bedingung gemäss einander gleich sein. Dass auch ihre Vorzeichen übereinstimmen, ersieht man, wenn man die Fluche durch Rollen in eine Lage bringt, wo die o-, y, z Axen gleiche Richtung mit den o-j, 3^ Axen und (wie es nach (2) sein muss) der positiven Normale haben, wo daher p ^^^ q = 0\ r = l wird, und beide Determiiuiiiten identisch -werden. Folglich heben sich diese, und es bleibt:
K=^0
(12)
Nach (7) ist jetzt:
|
Sa, 8p 8s=^P-^ 8. |
|
|
db |
8*1 dq 8s ^^'^■' 8s |
|
8ci 8r 8* == ^'•' 8s '- |
= — Ma — iWa^
=^ ^Mb — Ab^
— Mc — A 6'j
(13)
Auch folgt umgekehrt aus (12) gemäss der allgemeingültigen Gl. (11) die ursprüngliche Bedingung
dx d^x dy d'y
"^ ds ds^ I
! dz dh ds ds^
(U)
daher kann man die Gl. (12), d. i.
= 0
(15)
identisch mit dem System (13) und mit der Gl. (14), als Ausdruck der vierten Bedingung aufstellen.
Die Gl. (13) stellen, wie beiläutig bemerkt sein mag, die Ricli- tongen der ar^, y^ Axen und der Normale gegen die r, y, t Aöen in eine solche Beziehung, dass, wenn man die Fläche als fest, die P^bene sds rollend denkt, erstere 3 Axen der Reihe nach die Richtungen der Binormale, Tangente und Hauptnormale einer Curve haben, deren Bogen = *, deren Krümmung = iV^, und deren Torsion =-- — M '^
Ist nun die Fläche gegeben, so sind r, i, x, p, q, r, n, % bekannt in 2 Parametern u, >.-. Ist ferner dio Curve * gegeben, so sind w, e bekannte Functionen von einander, also auch von i, und ebenso die genannten Grössen. Nach (17) ist dann auch k bekannt, noraas die Worte von a, b, c, a,, ij, c, bervorgclicn. Gl. (14) gicbt Tj, und man hat
X, =/cosr,a»i y, =/8inT,ö»
Endlich sind auch x„, y^, ^ bekannt durch (6). Hierjnit ist Curve « und die Bewegung heetimnit bis auf die Integ rat ionscou stauten , di« durch die Änfangslag'.' der Fläche bestimmt werden. Es bedarf in diesem Falle nicht der Auflösung einer Gleichung.
Ist hingegen ausser der Fläcbe die Curve «i, d. i. rj iu » gegeben, und man führt orthogonal geodätische Parameter u, » ein and setzt
wodnrcb die Gleichung
d»^ ^ du*-\-l*()vt (20)
crfDUt wird, so geht die Gl. (14) über in ^
Hoppe: U^hfr das Hollen der Flärhe.n auf einander. \{y^
^1 dji sinf^ dt
ds ~ Bs +'T aT* <^^^
woraus durch zweimalige Differentiation:
BHj a«f dfidlogt , B^ogt , , BHogtsin^u
B? = Bs^+ & StT '^' ^+ "d.?- «^" M cos ^ + -g^g~ -^
a^r, s^fM, /av a^2 \ aio«^ , dfi cHogt^^ , a;^ =ä^+U^'^''*-"a*^^^^^j -ä,r+a7"ä7.^"(^^^^'*-i)
, ^dii. B^loj^t sinjicosfi , a (BHogt\ . ^ , a /a^logA sinV
* CS cucv t ou\touov / ' ^ ' duytouov J t
Eliminirt man w, v zwischen diesen 3 Gleichungen, so bleibt eine Gleichuug 3. Ordnung zwischen p, und s übrig, von deren Integratinn die Lösung abhängt Ist f* in ä gefunden, so ist das Resultat der Elimination von p. und « zwischen Gl. (21), ihrer Derivation und dem Integral die Gleichung der Curve «. Auch kennt man schon vor dieser Elimination w in * aus (19)
Dynamische Frage.
Die anf der Ebene a-, ^, rollende Fläche sei Oberfläche eines Körpers von der Masse m. Die Coordinaten des Elements Bm seien r\ y% z' in Bezug auf die am Körper festen Axen und x/, y/, z^' iu Bezug auf die an der Ebene festen Axen. Dann ist
^i = Ä^o+ö 3c'-\-b y'-\-c z
«/ = «0 +1?^'+ qy'+ rz
und bei Variation längs *, vermöge (6)
3«/== {x'-x)Ba +(y'-.y)db +(z'—z)Bc
^Vi = (ar'— x) a«, 4- (y '— y) Bb^ + {z — z) Bc^ Bz^'={x'-x)Bp^(y'--y)Bq-^(z!^zBT
das ist nach Einsetzung der Werte (13):
BxJ , Bux , \
, -»,') j
(22)
Daher ist die lebendige Kraft des rollenden Körpers
Setzt man
F= UW
BO wird
= 2H';
(!)•
folglicb, wcnu 5 eine beliebige Function von » ist, »'S »"'«4.91,' ''S
Auf den Küqier m wirke nun ein System von Kräften. Ein sol- clios lässt sieb sletK auf 2 Kräfte rcduciren. Vou den 2 Angriffspunkten kann der eine ganz frei gewäliit werden. Ist dies aber gcBcbehen, ao ist durch ibn und das Kräfte System bereits eine Ebene bestimmt, läDf{S welcher die zweite Kraft wirken muss. Mau kaun daher über die I^age des zweiten Angriffspunkts nicht frei verfügen , also auch nicht für jedes gegebene Kr&ftesystem festsetzen, dass beide Krftfle wahrend der HeweguiiK immer auf dieselben 2 Kür|iere!einente wirken Süllen. Vielmehr würde eine solche Annahme eine Specialitül des gegebeneu Kräftesystems bedeuten. Vor der Hand haben wir keinen Anlaas die Natur der Angriffspunkt e nälier zu bestiiimien, indem wif die Krflfte in folgender Form annehmen.
Bezüglich auf die Axou der x, g, z, mag auf den Punkt (x^y^ij cino Kraft mit den Cuniiioncnteu Xia~, im, Zm, auf deu Punkt (x^yi^s) eine Kraft mit dcu Componenten Am', Km', Zm' wirken. Ausserdem wirken auf den Berührungspunkt die Reaction des Druckes , den der Körper auf die Ebene ausübt, das ist die Kraft /Vt in der Richtung dere,, uud der Gieitungs widerstand, das ist die Kraft Qm in der nega- tiven Richtung von S«,. Die Coordiuaten des Schwerpunkts seien ij. iji, 23. Dann sind die Uewegungsgleichungen :
S=«. 1 fh»x' .
Boppei (Jeher das Rollen der Flächen auf einander
167
-/ p dm = x^Y-y^X
■^x^Y'—yf,X'— Q(«iSinTj— yicostj)
Eliminirt man P und Q, so bleiben die 4 Gleichungen :
(23)
- j ■_ p am = (^4— 2/t)-Z— »4 ^+ (i'5— yi )Z —Zf,Y
m.f
8««
am = (X4— ;r,)r— (y4-
yi)x ■y,)X'
i^^ - X- x').^., = (^«- r-r)cosr,
T)ie 3 ersten mit x^ — x^, y^ — ^, z^ — z^ multiplicirt geben die Summe:
, BW
1 r , ^^y.
«4 — H h
8^8
2m =
^4—^5 «"4-^1 -x4--y'
^4—^5 2^4—^1 H-^' «4-^5 2^4 Z-\-Z'
Benmach existiren zwischen den 3 Grössen X-\-X\ Y-\-Y% Z-^-Z' zwei Relationen. Betrachtet mau daher die Bewegung als gegeben, 80 ist eine der genannten 3 Grössen und nur eine willkürlich, folg- lich, wenn durch sie und durch -Y, F, Z das Kräftesystem bestimmt wird, auch immer eine der letztem willkürlich. Daraus folgt, dass entweder
oder
Q = (jr+ jr'-^^)cosr,+ (r+ r-|^»)8inr.
(24)
(,,-x,)l'-(»,-,,)Jr+(x,-r,)l"-(„_,,)jr' (27)
Uoppe: Ceber </a« Rollen der Flächen avj einander. 169
^ ( J/sin Tj — iVcos Tj ) Ä,
= (^-f jr')8mTi — (F+y')co8T^ (28)
Die Gleichung der lebendigen Kraft ist
während P und Q, weil sie auf momentan ruhende Punkte wirken, keine Vermehrung des Potentials hervorbringen. Auf die 2 Angriffs- punkte, sofern sie am Körper fest sind, kann man die fUr jeden Pmikt des Körpers geltenden Differentialformeln (22) anwenden ; dann erhält man:
+ {MX'-\-Nr)z^^\M{x^-x^) + N(y^-y^)\Z'
das ist die Summe der mit M und N multiplicirten Gl. (25) (26).
Das Vorstehende löst die 2 Aufgaben, erstens, wenn die Be- wegung gegeben ist, die Kräfte zu finden, zweitens, wenn die Be- wegung nur geometrisch gegeben ist, und zwischen den Componenten der Kräfte 3 lineare Relationen bestehen, die 6 Componenten und die Geschwindigkeit zu finden. Bei der ersten sind unmittelbar 4 lineare Gleichungen zwischen den 6 Componenten bekannt. Nachdem man über 2 derselben willkürlich, mit der oben angegebenen Aus- wahl, verfügt hat, ergeben sich die übrigen. Bei der zweiten Auf- gabe werden gemäss den 3 gegebenen Relationen die 6 Componenten, also auch die rechten Seiten der Gl. (25) (26) (27) (28), linear in 3 Grössen dargestellt. Daher bleibt nach Elimination derselben eine lineare Differentialgleichung 1. Ordnung zur Bestimmung von W^ die dann zu integriren ist.
Beispiel.
Der rollende Körper sei eine Kugel vom Radius 1. Zur Be- stimmung der Oberfläche nehmen wir das orthogonal geodätische System:
X = sinusin t7; y = sinucost?; z = cosu
dann wird in Gl. (20)
< =^ sin M
^80
daher nach Verglcichnng mit (16):
(R bezeichnet den rechten Winkel), and die Gl. (17) (18) (21) gehen über in
ei dvCOBu (29)
M= 9in((t — i); JV^= — t08((l — i)
8ft dA
T, = f( — i + CODSt.
Die Einführung in die Gl. (4) ei^iebt, dass die Constante = — R ist, also
Ti-=^ — A— R (30)
M^ cost,; A'= sint, (31)
Da der Mittelpunkt der Kugel Anfang der x y s ist, so hat man:
Ist nuu die Curvc «, gegeben , also t, gegebene Function von #. so hängt die Löaung der geometrischen Aufgabe von der lutcgration der Gleichungen:
V ""5" +c<'tMsinfi; -g- -^ cosfi (32)
ab. Eliminirt man u uud setzt die Krümmung
e. -^
so erhalt man:
-gp^+3 cotf. — gp^+g- (2+cotV)+«>t ^ (^1 +cotV + ^,j = 0
Von dieser Gleicbnng braucht man nur eine specielle Lösung zu kennen; denn durch Veränderung des Axensysteins der ri/z werden 2 willkürliche Constanten eingcfuhrl; das allgt meine Integral ent- spricht dann nur einer beliebigen Lage der Curve s. Sei z. B. «, ein Kreis, also k conatant; dann genügt der Gleichung der Wert
Hoppe: lieber dtis Rollen der Flächen auf euiander. 171
cotf» = 0. Hier wird nach (32) du =» 0, also « gleichfalls ein Kreis, femer
daher ist der Radius des Kreises s
sint* =« -
Vl + ib* and der Bogen
V
Die allgemeine Lösnng mnss dann einen Kugolkreis vom selben Ra- dius in beliebiger Lage ergeben. Für ein constantes h bedarf es je- doch nicht der Gleichung 2. Ordnung; denn aus (32) folgt nach Elimination von 8« unmittelbar eine Gleichung, deren Integral ist
sin tt sin X -j- A: cos u = const
woraus nach Elimination von ^ der Wert von
/"tgiuat*
J smu gefonden wird.
Die erste Gl. (32) lässt sich schreiben:
8t j = tg fi 3 log (sin u sin f*) (34)
und giebt so die Specialbetrachtung des Falles
siutt = Ärsin^fA an die Hand, welcher
tj « (n + l)fA
ergiebt Hier wird
P sin»»- lu cos (ti 4- 1) f* 8f*
Vi
y 1— ^•2giJJ2n^
, /*8iu** ^asin(n-\- \)p.da = nk I >
J Vi— Ä'2sin*»»fi
Für rationale n stellen sich demnach die Coordinatcn als Integrale algebraischer Functionen eiues Parameters dar, welcher Kreisfunction eines Vielfachen des Krtimmungswinkels t, ist. Sei z. B. k = 1\ n == 1 ; dann wird
w = ft; r^ = 2u Die Gleichungen der Curven s und «j lauten:
Hoppe: Lieber das Rollen der Flächen aufeinander. 173
H= l-j-J— 2eC08M; //^' = 6Sillt»C08|ii
gesetzt ist. Die beiden ersten lassen sich, wenn man
-X'+ X' = 5cos T, — rsinti ; X' == /S'cosTi — T'sinTj r-f- y = »Ssin Ti + rcos r^ ; 1' ' = 6''sinT, -f T cos t^
setzt, verbinden zu
dW
-^H-^2WH'= 5— Ä'«co8u-f Z'csinucos^ j
2»^^ ^^ = r— r'«co8u—Z'€sinMsin^
and Gl. (36) und (35) geben einzeln:
BW St
-^ sum-\-2W ~^j cos (i = iS'sin fi 4- ^'cos fi
Sei
Ä'=5"+Z'tgttC08|w; T' ^ r"— Z'tgMsin^ d&nn erhält mau durch Elimination:
<S = -g^ (1+«^— «^osM)-|-2Pr(J-K^-|-«8iuusinfi)cot|Li r = 21^(1- ccostt)^
O« eCOSM V8
St,
r" == 2w[\ ^
\ eCOSM/
(37)
(38)
(39)
ist also die Bewegung gegeben, so liefern diese 4 Gleichungen nach beliebiger Bestimmung von Z' die Werte der Componenten der Kräfte. Ist hingegen die Bewegung nur goometrisch gegeben, und überdies eine Relation von der Form
wo -4, -ö, C, Z>, E beliebig von u abhangen können, so hat man obige Werte einzusetzen, und erhält eine lineare Differentialgleichung I. Ord- nung, aus der dann W gefunden wird. Die Widerstände werden
Ist 7* = 0, so vrUrde bei beliebig gegei)ener AbbäDgigkeit zwischen > aud T, die Oeschwindiglieit duII sein-, nur für ^' = 0, das ist, wenn sich die Engol auf gerader Liuie wälzt, ist eiue rollende Be- wegDiig möglich, und zwar bei belivbigor Geschwindigkeit. Zagleich ist dann T" = 0, d. h. die transversale und verticale Componente tlcr auf den Schwerpunkt wirkenden Kraft stehen im Gleichgewicht Die Geschwindigkeit hängt dann von den tangeutialen KrBften S and iS" ab. Da im gegenwärtigen Falle das Integral der Gl. (32)
sinusin^ ^ sinn {constatit) Binucosfi^ cosQsin«
.COSU :=COBtlCOSl
ist, so werden dieselben:
■~ jS = ^i^(l+y— «C0Bnc0B»)-|-2n'ecoattsin» i
Wir wollen znn&chst einen singultLreu Fall betrachten. Es wirke allein die Schwerkraft g = — Z' normal zur Ebono, sei also S -= 2 -= 5'-= jr'= 0, Dann mnss wegen !/'"=0 auch
fftgusinu = — — ^ 0
" ° f^ cos«
also o -^ 0 (oder 2R} sein. FUr diesen Fall wird
d. h. die Engel wälzt sich längs eines Meridians, so dass der Schwer- punkt in derselben Verticalebenc bleibt Wäre also der exsto An- stoSB in anderer Richtung, so würde ein Rollen nicht möglich, die Rotation um die Normale vielmehr nnausbl eiblich sein. Die Be- wegongsglcichungi-n \',i9) werden für ft ^= 0 uufjUltig. Die ursprüng- lichen (37} (38), die alle ausser der ersten von selbst erfüllt sind, rednciren sich auf
Y (I+J^— 2<rco8«)-|-2H'«S!n» = —gesin»
Hoppe: lieber das Rollen der Flächen auf einander. 175
das ist die Dcrivation der lebendigen Kraft-Gleichung:
}r(l -(- •/— 2c cos s) = ge (cos s -f- const) (42)
Aach zur Bestimmung der Widerstände muss man auf die allgemeinen Gl. (24) zurückgehen, welche ergeben:
O nr s
P=r -^ esins-\-2Wecoss'^g i
> (43)
BW i
Q= ^(1 — ecos«) — 2Wßsin« ]
Hieraus kann man noch W eliminircn, doch ist das Resultat nicht einfach.
Wirke wie vorher auf den Schwerpunkt nur die normal gerichtete Schwerkraft, während Kräfte auf den Mittelpunkt wirkend zur Ver- fügung bleiben, sei also <S"=» ^tgwcos^-, 2'"= — ^tgwsinfi; dann werden die 2 letzten Gl. (39):
^sinusmft = -K- C08MsmfA+2 W - -k- j ^sinttsiufi = 2W{ — COS« I -g- i
(44)
woraus nach Subtraction:
oder nach Gl. (34):
-g^sin^ 2W-^ (46)
dW 8 (Sinti sin jü)
W sinusiufi
und andrerseits nach Elimination von -^ zwischen (44):
J—ecosu ^ ^
Beides integrirt giebt:
h^ , J — e cosm ^^ = 2Hir*üii^ = - ? log —-^ (47)
Hiemach ist einerseits die Geschwindigkeit durch
ds h
dt siuMsiufi andrerseits die Curve s durch
bestimmt; duuu aus letsterer Gleicbang geht hi>rvor: hdu
■f.
lu 1/ 2r"'"*-'""
siuu 1/ 2s8in*ulogj—
Die GteicbuDg der Curve «^ ist das Resultat der Etimiuatioa vou i zwiscIieD den 2 tileichangen:
iw
2ffsiu*ulog j33^
welche sich aus (34) (47) ergeben. Znr Bestimmung der Bewegaug ist der Wert TOn l erforderlich, der nach Gl. (29) und (49) lautet:
-h
Um die Bedeutung der Coiistantcu zu erkeiiuen ist zu bearhteu, dasa n den Winkel zwiscbcu clor positivim Taiigenlialricbtung von » und dem Meridian nach der Soite der wachaeuden w hin bezeichnet, selbst positiv für wachsendes ti. Beginnt also die Ileweguug des Punktes (ut>) anf der KtigiJ zur Zdt ( ^ 0, wo auch r, «, t, uull «esetzt werden kOnuen, im Punkte w -= «„ in der lUchtuug ft -^ fi^ , mit der Geschwindigkeit n, so ist nach Gl, (47)
h ^«sini/(,Bin(tn; / ^ {J — <coa«u)c^
wo t die Grundzahl der natürlichen Logarithmen bezeichnet Die untere Intcgralgrenze für i-, t,, • wird u„, wahrend i durch die Gl. (30) bestimmt wird. Für sinao = 0 ist A = 0, also, da W nicht constaut null sein darf, siu^ = 0, d. b. die Kugel walzt sich Iftugg des Meridians, ein Fall den wir vorher betrachtet haben, und für den die gegenwärtigen Formeln nicht passen
Hoppe: Ueber (Jax RolUn der Flächen auf einander. 177
Es bleibt, noch übrig die Kräfte, welclie auf den Mittelpunkt wirken müssen, und die Widerstände zu bestimmen. Vermöge Gl. (45) reduciren sich deren Ausdrücke auf
{dW I
*S = {^{1 — ecosu)+2 W^csiuM I cosfi
y = — ^ (1 — ^ cos w) sin ft
i'=-^c8intt-|-21IVcosw — Z-\-g
Q = 0 das ist nach (46) (47) (48):
(1— ^COSM . f \ I /
J—eCOSu'^ ^J—€COSu) 1/ " .^ . o 1 f
1 —
T =
2gsin^u log -f —
^ ^ J — CCOStt
1 — e COS u eh y 7
./ — ^cos
SM|/' f
1/2 log j '
r *=*./ — ecosw
(C^Sin'^M , ^ , f \ rr
^ L2c cosulog -, -— ) — Z J — e cos u ' ^ J — ß cos uj
Q = O
I>as vorstehende ist eins von den wenigen Beispielen, bei welchen sich die Bewegung vollstündig aus den Kräften berechnen lässt, wenn uilinlich die Bestimmungtu von 5 und T als Bedingungen des Rollens aaffasst, die wegfallen würden, wenn man die Kugel anders zum Bollen zwingen konnte.
TeU LX. 12
XVII. Ueber das Kreisviereck.
Max Greiner.
Sind /■], Pj, is, P^ die Ecküu eines Kreiavici-Pcltes , und ßllt man vom Punkte P, auf dio Seiten iii'3 Drcieckea PiPfP, Perpen- dikel , so liegen die Fussponktc derselben lie):anutlicb auf einer und derselben Geraden tpj. Vcrlübrl mau ebGast> mit den übri){üD Ecken des Kreis Viereckes, so erhält man im Ganzen die vier FosspunkU- geraden «p^, gjj, vj, «p,,
Fig. 1.) Die Fnsspnnkte iV ""d J'i" der Lote des Eckpunktes Pf auf die Seiten P^Pg und J't^t, und die Fusspuukte i'»' und i»" der Lote des Punktes i'j auf die Seiten /',/, und Pjl\ Vio^cu auf einem Kreise, der die Seiti* J',/\ = a zum Dnrcbmt-sscr hat Die Sehnen Pi'Pj" und Pj'i»" sind von gleicher Länge, da ihnen der- selbe Umfangswiukel y zugehört.
Ebenso liegen die Fusspunktc P^' und P^" der Lote des Punktes i'j auf PjP, uud PfP^ und die Fusspunkte P^' und 2\" der Lote des Punktes P^ auf i j/g und P^P^ auf eiiiem Über der Seite P^Pi = c als Durchmesser beschriebenen Kreise.
Die Sehnen P^'P^" und i^T/' sind ebenfalls gleich lang, weil ihnen in dem sinletzt erwähnten Kreise gleiche Umfaiigswiukel a za- gehöron.
Da nun P,'Pi"^ ^s'A", so ist: /'.'A' II iV'^a"
Viereck Pj/V^tA' ist ein Kreisviereck, da die Winkel bei P^ und P,' Rechte sind; folglich ist Wkl. PjPi'Pj'^- y nnd somit:
Grein er: Ueber das Kreisviereck, 179
Viereck P^P^P^'P^" ist ebenfalls ein Kreisviereck und deshalb
Wkl. P»"Ps"i^4 = « und folglich: P ''P '' n P'P',
2*3 II -^»-^a
Es sind also die Seiten der Dreiecke P^'Pt'P^ und P^"P^'P^' paarweise parallel und es schneiden sich somit die Verbindungslinien ^'n 'Psi 9i der entsprechenden Eckpunkte in einem und demselben Punkte Nq. Ebenso Hesse sich der Parallolismus der Seiten der Drei- ecke Pj'Pj'P^' und P^'P^'P^' beweisen, woraus hervorginge, dass asch die Fnsspunktslinien ()p], g^»«, tp^ sich in einem und demselben Punkte treffen.
d. b. Zeichnet man für je einen Eckpunkt des Kreisviereckos bezüglich des aus den drei übrigen Eckpunkten desselben bestehenden Dreieckes die Fusspunktslinie, so schneiden sich die dadurch erhalte- nen vier Fusspunktsgeradcn in einem und demselben Punkte Nq,(\)
Da PjP," senkrecht auf PjP/' und P^P^' senkrecht auf P^P/ so ist der Winkel a-, der von PiP/' und i giV' eingeschlossen wird, 0eich dem Winkel der Geraden i\/V' und PgPi" und dieser ist als toeawinkel des Dreieckes Pj P^p gleich /^ + d
Betrachtet man die Dreiecke P^P^'P^" und PjPj^P^, so findet man, da Wkl. p;'P^P^= i\l\l\ = y und PJ\'P^"= ^iA^4 == ^, dass beide Dreiecke ähnlich sind und somit:
Wkl. PiPr'P^' -= P1P4P3 — «4-l5 ist.
Ebenso ergibt sich aus den ähnlichen Dreiecken P^P^P^' und AV31 dass:
Wkl. P,7V'A' - An^4 = « + 5
Nun hat man für den stumpfen Winkel {<ri<P2) der Geraden <p^ und ?s die Relation:
(<rj<P«) + «4-lÖ0— P,P/'P/-f-180- 7^sjPjj"P2' = 360 folglich (Vi9>2) = P^P^'P^'+P^P^'P^'-x
Verbindet man die Mitte m« der Seite P^P^ = a des Viereckes »it dem Punkte iV^ und fällt von w« auf die durch A',, gehenden Oeraden 9, und gc^s die Perpendikel moin^ und man^ so ist:
12*
Ist r der Ra<liaa <leB dem Vierecke umnchrißbenen Kreises, bo bat mau a ■=' 2rsiDcc
PaSina = rsinaCOB}' pa ^ rCOS J".
Es stellen sicli also die Eutferuuiigea ga, g», Qt, 9d des Punktes A'o von den Mitten der Seiten a, b, c, d des Kreis Viereckes dar, als
Ha = rcosy
Qb =• r cos ä Qt = rfoso Qd — rCOS ß
Ist i'g der MittelpQOkt des dem Tierecke umschriebouoD Kreises, u ist:
Pf,ma ^ rCOSO = pe F^mb ^^ rCOsß -= pd ioWie =" rcos/ = pn P^md = rcosJ — ' pt Da nnn PotOa = J^o"^ = je und Pgm,; = iW^ma ^ pa, 80 ist i'oHhiJVonii
ein ParallelDgramm , also NamdlPoma und folglich Ngmc senkrecht auf PiP^ ebenso N^nta senkrecht auf P^P, u, s. f.
Demnach ergibt sich der Satz:
Zieht man durch die Mitten der Seiten eines Kreisviereckes Senk- rechte auf die Gcgenscil^n , so schneiden sicIi die vier ao erhaltenen Senkrechtcu in einem und demseltien Punkte A'u (2)
Bekanntlich schneiden sich die Verbindungslinien der Mitten der Gegenseiten nuU Diagonalen eines Viereckes in einem und demselben Punkt* Mq, welcher der Schnittpunkt der Diagonalen m„mc und numj des PaTBllelogrammes mamtmc'ad ist.
Grein er: Ueber das Kreisviereck. 181
Es liegt also Punkt Mq in der Mitte der Diagonale mamc und Äüt demnach zusammen mit dem Diagonalenschnittpunkte im Paralle- logramm pQ muNQmc.
d. h. Es liegen die drei Punkte Fq^ M^^ Nq auf einer und der- selben Geraden und zwar so, dass Mq in die Mitte zwischen N^ und Pq zu liegen kömmt (3)
Da die Punkte Pq und ^o "^i* ^^" Mitten zweier Gegenseiten ein Parallelogramm bilden, so müssen sie auch mit den Mitten der beiden Diagonalen ein Parallelogramm ausmachen, weil Mq sowohl von den Mitten der Diagonalen als auch von den Punkten Pq und A'o gleichweit absteht; weshalb sich Sat» (2) in folgender Weise er- weitern lässt:
Zieht man durch die Mitten der Seiten eines Kreisviereckes Senk- rechte auf die Gegenseiten und durch die Mitte einer jeden Diago- nale eine Senkrechte auf die andere Diagonale, so schneiden sich die sechs so erhaltenen Senkrechtau in einem und demselben Punkte ^Vo (4)
Fig. 2). Verbindet man im Dreiecke PiPiP^ die Mitten seiner Seiten, so ist Wkl.w« mcmt = y-j-d. Die Goraden Aom«, A^mö, welche senkrecht auf den Seiten ^3/^4 und P^P^ des Kreisviereckes stehen,
«chüesson unabhängig von der Lage des vierten Eckpunktes -P4 eben-
fialls den Winkel y-f-ö ein; woraus sich ergibt:
Hält man drei Ecken des Kreisviereckes fest, während die vierte Ecke die Peripherie des Kreises durchläuft, so liegen die jeweiligen Punkte iVo, der hiedurch entstehenden Kreisvierecke, auf dem Neun- punktkreisc des aus den drei festen Eckpunkten bestehenden Drei- eckes (5)
Zugleich folgt der Satz:
Die Neunpunktkreise der vier, aus je zwei anstossenden Seiten und einer Diagonale des Kreisviereckes bestehenden, Dreiecke schnei- den sich in einem und demselben Punkte Nq (6)
Bezeichnet man der Ktlrze halber die eben erwähnten vier Drei- ecke /^gP^n, P^P^P^, PiP^Pi und P, An bezüglich mitAi,A«,A3 und {\^ und berücksichtigt ferner, dass jedes dem Kreise Pq einge- schriebene Dreieck zum Neunpuuktkreisradius den halben Radius des Kreises Pq hat, so folgt in Hinblick auf Satz (6):
Die Contra der Neuupunktkreise der Dreiecke ^j, ^2? Asi ^4 liegen auf einem Kreise, der Nq zum Mittelpunkte und den halben fiadius des Kreises Pq zum Radius hat (7)
die Dreiecke mdm/N^ und m,mbNi congruent und dbprdiess noch ähnlirh liegend, weil mjntf |{ m,mi ist.
Da nun die Verbind angslinion mim, und m/n», von zwei Paaren Dutsprccbeuder Ecken dieser congruentcn und ahnlich liegenden Drei- ecke parallel der Viereckseeite l'^J't sind, bo ist auch die Verbin- dungslinie A-jN, des dritWn Paares entaprecheuder Ecken parallel zo
d. b. Die Verbindungslinie der Neunpnnktkreismittelpunkte irgend zweier Dreiecke, welche zwei Ecken des Kreisvierecke» gemeinscbaft- lich haben, ist parallel zur VerbiadungsliniG der dritten Eckpunkte der Dreiecke (8)
Daraus and aus (7) folgt:
Die NcunpuQktkreiscentra der vier Dreiecke ^j, ^, ^j, ^ bilden ein dem gegebenen Kreisvierecke älinliches Viereck, welches mit ihm ähnlich liegt und zu Seiten die Hälften der Seiten des Ge- gebenen bat .... 0)
Da aber die Verbindungslinien homologer Punkte von ähnlichen und ähnlich liegenden Eiguren sich im Aehnlichkeitspnnkte treffen, so ergibt sich der Satz:
Verbindet man je eine Ecke des Kreiaviereckes mit dem Noun- pütiktkreiricontrum des Dreieckes der drei abrigen Eckpunkte, so geben die vier VeTbiudungslinien durch einen und denselben Punkt So (10)
In den ähnlichen und ähnlich liegenden Vierecken /',P,Pj/',=(/l und AjAjAjA\ =- (A) siud /■„ uud A„ homolog« Punkte, deren Ver- bindungslinie durch ihren Ae bnl ich keitsp unkt S„ geht, welcher zufolge des Satzes (9) vom Punkte P„ doppelt so weit als vom Punkte A»
entfernt liegt.
Setzt man die Entfernung A'g/'o — /, so ist M^P^^-, ^^8^ = ^ uud S^Af^ = s uud somit ist das Doppelvi-rbältniss der Pnnkte N^
Grein er: Ueber das Kreisviereck. 183
d. h. Die vier Punkte A';,, »S^, A/^, P„ liegen auf einer und der- selben Geraden und sind harmonisch (11)
Fig. 3.) Verbindet man die Ecken Pj und P^ des Kreisvier- eckes mit der Mitte m der Seite Ps^P^-'^ so liegen auf diesen Ver- biudangslinien bezüglich die Schwerpunkte» S^ und 5, der Dreiecke ZV und Z[Ni und zwar so, dass nicS^ = J/wr/j und mc5, =» Jmc/^g ist, woraus folgt, dass S^5, || /y^g und S^S^ = i^^ A ist.
Verschafft man sich ebenso die Schwerpunkte der beiden andern Dreiecke A3 und ^4^ ßo ergibt sich:
Die Schwerpunkte der vier Dreiecke Ai . A2 > A3 ? A4 eines Kreisviereckes bilden ein diesem ähnliches und ähnlich liegendes Vier- eck (5\ welches zu Seiten -die dritten Teile der Seiten des Gegebe- nen hat (12)
Die Geraden P^Si und P2S2 treffen sich im Aehnlichkeit^punkte der ähnlichen und ähnlich liegenden Vierecke (P) und (S); die Ver- dnnpslinie des Schnittpunktes von P^S^ und P2S2 mit mc muss aber die Seite P^P^ in m« treffen, weil 828^^ || /\Pg ist, und somit liegt der «l^ Aohnlichkeitspunkt der Vierecke (P) und (S) auf mamc und aus ^nz ähnlichen Gründen auch auf mhmc und fällt demnach mit dem Punkte jVq zusammen.
d. h. Verbindet man je einen Eckpunkt des Kreisviereckes mit dem Schwerpunkte des aus den drei übrigen Eckpunkten bestehen- den Dreieckes, so gehen die vier Verbindungslinien durch einen und denselben Punkt und zwar durch Mq (13)
Der Mittelpunkt X des dem Vierecke (S) umschriebenen Kreises ist homolog mit Punkt i\,, weshalb Gerade XPq durch den Achn- hchkeitspunkt 3/^ der Vierecke (S) und (P) gehen muss.
Zufolge des Satzes (12) ist aber MqX = j^M^Pq = J/ und da Pnnkt ATq innerhalb der Strecke P^X zu liegen kömmt und 3/oA=Ä^ ist: so muss der Punkt X zusammen fallen mit dem Punkte Sq.
Es liegen also die Schwerpunkte der Dreiecke Ai? A»> Asi A4 auf einem Kreise, welcher den Punkt S^ zum Mittelpunkte und den dritten Teil vom Radius des Kreises Pq zum Radius hat . . . (14)
Weil nun die Vierecke (S) und (P) und ferner die Vierecke (N) und (P) ähnlich sind , so sind auch die Vierecke (S) und )N) ahn-
fcrut seiD, als davon iV), entfcrut ist.
Die ooiigrucutcn uud fibniich Hegeuden Vieri'ckc {//) uud (/') •babcn aber ihreu Aehulichkeitapmikt in der Mitte dtT Strecke W„/ö und somit füllt dieser mit dem Punkte X^ zusammeu.
Dil! Ilöhenaclmittspunkte Hj, M^, H^, W, der Dreiecke Ai. At- ^si C^i bilden also ein dem gegcbtiiien Kreisviorccke cougruontes Viereck, das sieh mit jenem in ähnlicher Lage so befindet, dass der Punkt Nu AchDlichkeits|iuiikt beider Vieri'cke wird (15)
Setzt mau wieder N^J'^ = l m ist «,1% =- /, N^Sa = J/, Mi'o = '11, S^l'ij = }^l und somit ist das Doppolverhältuias :
d. h. Die Mittelpunkte der drei Kreise, welche die Höben- schuittspnukte , Schwerpunkte und Neuupuuktkreismittcl punkte der DreieebD Ai, ö,f, Ai. A* cntbalten, liegen harmoniscb mit dem Mittelpunkte des dem Kreisvieretke umschriebenen Kreises (16)
Hamburger: Ueber dtM Pfaff'sche Problem. 185
xvm.
Ueber das Pfaff'sche Problem.
I
Vt.n
Herrn Dr. Hamburger.
In der Abhandlung „Ueber totale und partielle Differentialglei- chungen" (Boreh. J. Bd. 58) hat Herr Nataui zuerst gezeigt, wie die Keuntuiss eines zu einem Pfaff*schen Problem gehörigen Systems ge- ^öknlicher Differentialgleichungen für die Integration der Pfaff'sclien totalen Differentialgleichung Vereinfachungen gewährt, ähnlich den- jenigen, welche Jacobi in seiner Abhandlung „Zur Theorie der Variationsrechnung und der Differentialgleichungen" (Borch. J. Bd. 17) ^Ör die partiellen Differentialgleichungen aus der Kenntuiss eines In- t^Wls des entsprechenden Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen aug^eutet hatte, ohne den Beweis und die Art seines Verfahrens mitzateilen.
Die Lösung des Pfaff'schon Problems wird so auf die successive Integration unvollständiger aber iutegrabler Systeme totaler Differen- ^Igleichungen zurückgeführt, derart dass von jedem Systeme nur je eine Lösung erforderlich ist. Gh^ichzeitig fand sich, dass ein dem sogen. Poisson'schen Satz analoges Theorem betreffs zweier bekannter Integrale des erwähnten Pfaff'scben Systems gewöhnlicher Differen- tialgleichungen existirt, welcher fü» das in Rede stehende Problem dieselbe Verwendung findet, wie sie Jacobi für die Integration der partieDen Differentialgleichungen angezeigt hatte.
Inzwischen wurde die .,Nova Methodus" aus dem Nachlasse des berühmten •Mathematikers in Borch. J. Bd. 60 durch Clebsch publi- cirt, welcher darauf im Anschluss an diese Methode in 2 im 60. und
Hamburger: Ueher das Pfaiff^4cht Problem 187
amformen, wo eine der Grössen v eine beliebige Fanetion der Grössen
ist*).
|
). |
U] ., |
•"• u. ■ |
|
|
Denn setzen wir |
(1) i^(**J . . . tt, Vj ... 17») =0
WO n eine willkürliche Fanetion bcdeatet und bestimmen aas dieser Gleichung im Verein mit den folgenden (« — 1) Gleichangen
an bn dn
(2) 8^ = -a^^-'ä,::=^-^^-.-=^'
die Grössen v^ ... vs als Functionen von u^ ... Ufz^ ■ ,, ■, so er- hält man, wenn
gesetzt wird, aas (1) and (2)
also
welches die gesachte ümformang ist. Wegen der Willkürlichkeit von n ist eine der Fnnctionen v eine ganz beliebige Function der Grössen
1 • die Grössen V sind bis auf den gemeinschaftlichen Factor t ebenfalls
Fanctionen dieser Grössen. Die Gleichung
*) Vgl. C. I p. 196-198 wo xu};)ei(h h-wiiscn wird, dass die oben an- gegcbfne Umformung; dio allfr< meinsto lüt, worauf es aber für das Folgende «»«■ht ankommt.
/eileuwcise Zusammeuset/ung der beiden folgcuden Syatoine ä< Colunneu uud n Zciltri
|
ai-, |
a 0, Sit, |
|
i^. |
fe, Sr, |
|
SJ,, |
»6, ?.., |
|
le.. |
a.„ 8,. |
Nach omom bekannten Satze \crBchwindot aber cme aus solchen
bjsU'ineu 7U3aninienf!esctzto Dett rnuijaDte stets »enu 2« <:^ n ist*) Ui aliir l) bei ßeradtm i. im Allgon ei cn lon >mll lerschiodoii ist SU darl, talla mcbt /nisilinn deu A d o n<.dm|;uDg^gliichuug /> = o
titattfiDdit, » Dicbt kleiner als „ sein. Ist n uugeradc, so betrachtcu
wir die Detcrraioante mit di+l)* Elementen:
I U (12) ... (1») JT, I
" ^'1 («]) {n2) ... 0 jr. I
1 — Jf, —Xi ... ~Xn 0 I
^ Billlin. Th™iip .U-r l>sttiiniii«li''ii. 5 If Auflayp S. S7
Hamburger: Ueber das P/aff*Jtche Problem
189
welche für ein ungerades n im Allgemeinen von Null verschieden ist. Vermöge der Gleichungen (3a) und (Sb) setzt sich D' zeilenweise zusammen aus den Systemen:
dUi SUg (htg dus
Bx^ **' SaTj (x^ '" dxi I
I
: dj-n "' dxn dxn ' dxti
0
dui Bug 8 Uj
Bus
1 i l^\
0
|
f\ • •• |
e^i |
Bxi *" &! |
|
Buj^ CXn 0 ^. |
BU8 Bxn 0 - |
81^1 8U, Bxn '" Bxh L\ ... — üs |
deren jede aus 2s Colonnen und «+1 Zeilen besteht. Soll also zwischen den X nicht die Bodingungsgleichung Z>' = 0 stattfinden, so
darf für ein ungerades n s nicht kleiner als
nun in diesem Falle für s die kleinste Zahl
n+1
2 w + 1
sein. Nehmen wir
so ist die Anzahl
der Functionen U und w um 1 grösser als die der Variablen x, folg- lich muss zwischen den U und u eine von den x freie Relation be- stehen, diese muss jedoch eine der Grössen U enthaiteu, weil sonst der Ausdruck ZVBu sich auf einen ähnlichen Ausdruck mit weniger
n-f 1
als — Y' Gliedern wtlrde überführen lassen*).
Es sei
\ 2 2 /
2
Nach dem oben bewiesenen Satze lässt sich ZUBu in einen ähn- lichen Ausdruck £vBv mit einer gleichen Gliederzahl transformiren, worin eine der Grössen v eine beliebige Function der Grössen
2 Un + l 2
2
also, wenn wir für Un fi obigen Wert einsetzen, eine beliebige Func- tion der n Grössen
Wi ... Mn+i t/j ... Un^l 2 2
ist. Dies sind aber n von einander unabhängige Functionen von x. Es kann demnach für eine der Grössen v eine willkürliche Function der X genommen werden.
•) C. I p. 218.
wo von deD in der 2ten Gleicbu&g TorkommeDdea u eine willkOrlich gewählt werden kann.
Wir kehren uunmehr zu den fflr jedes beliebige n nnd « gültigen Relationen (3i) and (3b) zarQck, um aus ihuen weitere Folgongen za ziehen, die unabhängig davon sindn, ob zwischen den X BedingnngB- gleichungen stattßnden oder nicht.
Mao mnitiplicire die beiden Seiten der Gleichung (3ii) mit ixi, nnd addire die 2n hieraas ftlr i =- 1, 2 ... b hervorgehenden Glei- chungen; alsdann erhält man
(3,) £ {;A)ä« = £
Verbindet man hiermit die Gleichung (3.) Xi = £ Ux^
a».
HO crgicbt sich durch Elimination von ^—
k=n
Vt £(ik)din -XiiU, =.
'■=»-' Äa *='Süi
£ Tr{U,äV).— U>.6U,)-U.£l-Sai 1=1 oxi x^i öl,
und durch Division mit U, scblieBsUch:
1 = 1, 2...«
Diese n identischen Gleichungen, welche wir als analytische Folgen ans der vorausgeBetztca Identität (1) erhalten haben, sind die Fundamentalrelationen, aus deneu im Folgenden die Lösung dos Pfaff'schcn Problems in der von Herrn Natani angebeiien Form ber- vorgeben wird.
Hamburger : Ueber </a» Pf äff* sehe Problem. 191
§. 2.
Wir beginuen mit dem Falle einer geraden Anzahl der Variablen ar, gehen also nach dem Vorhergehenden von der identischen Gleichung
ans, indem wir die Determinante D der Grössen {ik) als von Null versehieden voraussetzen. Nach (4) folgen aus (5) die 2n Identitäten:
(»• = 1, 2 ... 2n) Aus diesen folgt zunächst, dass das System (das erste Pfaffsche)
dUn
2:(lk)dxk = JTi
Un
(7;
dUn 2;(2/j, Ä;)da:* = Jf,„
f/„
welches durch Elimination von U„ in ein System von 2n — 1 Diffe- rentialgleichungen zwischen den x allein übergeht, die 2« — 1 Grössen
h\ Un-l
Ün' ~lh '*i'^ •••"**
gleich Constauten gesetzt, zu Integralen hat. Ist ein Integral « »= const. bekannt, so muss a eine Function der vorstehenden Grössen sein; da aber nach dem in §. 1. bewiesenen Satze der Ausdruck
stets in einen ähnlichen Ausdruck
übergeführt werden kann, worin v^ = a ist, so ersieht man, dass un- beschadet der Allgemeinheit, die in der Ausgangsgleichung (5) vor- kommende Grösse u^ gleich const. gesetzt, als das bekannte Integral angesehen werden darf.
Aus (6) folgt femer, dass das System
(8) : : : : ; ■ : ; ; ; ; : ■ ; : : ■
den X alioin übergeht, iutegrabel ist und zwar die 2h — 2 Grösscu
gleich ConstADtcn gesetzt, zu lutegralen hat Ist nun cid von u^ =
coust verschiedenea lutegral des Systems (ö) |S = eonat. bekannt, so
dass p eine Faurtion der Grössen -^ - "— u, ... u« ist, so kauo wiederam nach dem bereits augefuhrteo Satze der Äosdruck
in den ähnlichen
r,ü«,+ ... + isdi-» *
Ubergeflthrt werden, so dass f,= |3 wird. Man kann daher unbeschadet der Allgemuiuhcit die in der Gleichung (1) vorkommende GröSBe u, gleich const.'gcsolzt, als das bekannte Integral dos Systems i8) an- nehmen.
Aus (6) folgt dann, dass das System
£(2.
„«,„.=^.-^+>.»^..(;i)+^|^.(ü)
worin u, und u, bekannte P'unctiencu der x sind, und welches durch Elimination der linear vorkommeudcü GrössGo —;."■ , u„il\ ~\.
Vnd(~\ in ein System von 2« — 3 totalen Dtffereiitialgldchuugen zwischen den x allein Übergeht, int«grabel ist, and zwar die i., — 3 Grössen
Ui Un-l
Un ' ■ r;„ »1 "s - »«
gleich Constauten gesetzt, zn Integralen hat.
Von dem System (9) ist nun eiu von den Integralen u, = const. uj = const. verschiedenes Integral aufzusuchen, als welches uacb dem wiederholt augeführteu Satze % ^= coust. angcsebeu worden kann, and mit Hälfe desselben das bescbrieboue Verfahren fortzusetzen.
Hamburger: Uther das Pjnff*»che. Problem,
193
Nachdem auf diese Weise die Fanctionen % ... m-i ermittelt sind, findet sieb u. durch Integration des Systems
£aA)</^t = ^1 Dir + ^-ä^''ll^) + ••• + ^- -8^''l-f4 j
(10)
welches nach (6) die Grössen
Ih Un-l
Un " Un
tt] ... Un
gleich Constanton gesetzt, zu Integralen hat.
*
Die Systeme (7) (8) (9) (10) .gehen in die Systeme (11) (24) (25)
1 Ur
27) der Natani'schen Abhandlung über , wenn Un^-z -fr = ar gc-
A Un
setzt and beachtet wird, dass (ik) « — (ki) ist.
Jede Function / der^a;, welche gleich einer Coustanten gesetzt ein Int^ral des Systems (10) ist, deren Differential df also vermöge der Gleichnngen (10) identisch Null wird, genügt offenbar folgendem Sjgtem von i linearen partiellen Differentialgleichungen
(11)
(1,2»), X^
(2«,1)
(2n,2n), Jfj„ ■cf
0
Bxfn
0
(11) ... (l,2n).
(11) ... (1,2»), ^^
(2«,1) . . (2«,2»), £
«•
0
0
dui-\
öa-j
9t*,-]
{2n,l) ... (2n,2n), -'-r
OXfn
0
0
welche nur der Ausdruck dafür sind, dass rf/ « 0 eine Folge der Gleichungen (10) ist. Wir bezeichnen diese Gleichungen , nachdem sie durch D dividirt sind, der Reihe nach mit
Teil LX.
13
: (!*■; uer ucKmiiDauic u enisprecBuiiae unter- determinaDte bedeutet,
.■=a» t=Sn J5,i 8/ .^a» t=3" /)« 3,,, ^r
■«^) - .ü .£ i* *a7, = " ft'^' - ,f, .f, VT 8,-; h = "
Diese gehen aber iu die von Clebsch*) an fgc stellten Gleichungen Ober, wenn man bcacbtrt, daaa Da:0= Ha-.R, wo ß die ganze ratio- oalo Function der Grössen (i^) bedeutet, deren Quadrat gleich D ist, und Ra der DifTerrutialquotient von R nach (ik) ist
Man hat demnach zur Änfüudnng der Functionen », ... u. xu- nAchst ein Integral der liiiearen partiellen Diffcreutialgleichnug
aufzusuchen, und liczcichne es mit u, , alsdann suche man eine von u, vcrsehiedenca Integral des Systems simultaner Gleichungen
und bezeichne es mit t^, bilde dann das System simu1t«uer Q-Iei- chnngen
A(n - 0 B,{f} = 0 B,(/) - 0
wovon ein von u, u, verschiedenes gcnicinsarnes Integral zn sncben ist, nenne dies ug und fahre in der nümlicheu Weise fort; sind aaf diesem Wege die Grössen a, ... u>,-i gefunden, so ergiebt sich h. als das von diesen Grössen verschiedene gemeinschaftliche Integral des simultanun Systems
Afn-^O B,{f) -^ 0 -.. Ün-iin - 0
Aus diesen BestimmungeD erhellt, dass die Grössen u, ... un den
— ^T — Gleichungen
(11) ^(11. -0 B,(u,) = <i
geuOgeu, wo > alle Zahlen 1, 2 ... n nnd r die Zahlen 1, 2 ... « — ] zu durchlaufen hat**).
■) c. II p. I«9 ff.
■*) C. II lao. N>di der ilMclbot gcwBhllen Brtviclmnne ii (f) uivl B,{if) mit [u,.if^ ehicbbtäroKna.
Hamburger: Veher <fag P/aff'*8che Problem 195
Man kauu nnu leicht auch direct nachweiseu, dass, wenn die Boüingnugsgleichungen (11) zwischen n Functionen wj ... m« bestehen, der Ausdruck £X6x stets auf die F^drm
gebracht werden kann.
Beachten wir nämlich , dass identisch /^«(w,) =0 und i?«(i*r) == — Briua) ist, so folgt, aus (11), dass das System
A{/) = 0 B^if) = 0 ... Bn-i(f) = 0
dorch jedes der Integrale u^ ... u,, gleichzeitig befriedigt wird. Multi- plidreu wir nun diese Gleichungen mit w beliebigen Grössen ^1^ ... kn and addireu, so erhalten wir
o = XiA{n+k^B^(n+ ... +knBn-^i{n
Die Functionen u^ ... ?<m sind offenbar auch Integrale dieser partiellen Differentialgleichung, folglich gleich Coustanteji gesetzt, auch Integrale des Systems der totalen Differentialgleichungen
(12)
WO ^ eine unendlich kleine Grösse bedeutet. Die n unendlich kleinen Grössen k^t ... A„€ , welche^ nicht selbst genaue Differentiale zu sein brauchen, können in der allgemeinsten Weise von der Form
vorausgesetzt werden, wo die ('Functionen der v bedeuten. Alsdann sind die x vermöge der totalen Differentialgleichungen (12) als Func- tionen der 7^ unabhängigen Grössen ü^ ... vn detinirt Da nun diese Gleichungen nach dem Obigen die n Functionen u^ ... u„ gleich Cou-
13*
Uamburtjer : Utber das Pfaff^sche Problem. ]97
Dod hieraas
0 Kirr Öö —
folglich
(13) ABs(g>) — B,A{q>) Bs(q>) *)
ehenso folgt a^us
-^=^Un'ßsBr(q>h -^--Un^BrB,(g>)
(14) BrB,((p) — BsBri<p) =- 0 *)
Die Gleichungen (13) und (14) liefern die lutcgrabilitätsbedin- gODgcn für das System (10) oder die . simultanen Gleichungen (10»), welche letzteren nach der Clebsch'scbcu Bezeichnung ein completes System bilden, aber kein Jacobi'sches, da nach den Gleichungen (13) ABtif) — BgAif) wol iu Folge der Gleichungen (10a) jedoch nicht identisch verschwindet. Betrachten wir nun das aus 2 Gleichungen bestehende simultane System
A(/)^0 B,(f)^0
M deren Aufstellung die Kenntniss eines Integrals u^ von A{/) = 0 erforderlich ist. Ist noch ein 2tes Integral v von A(/) = 0 bekannt, welches nicht gleichzeitig die 2te Gleichung befriedigt, so folgt aus
(13)
(15) AB^iv) = — B^iv) **)
oder da ött "^ ~7r^, indem BJv) für w gesetzt wird
dBAv)
und hieraus durch Integration
ü„ = ^'W
•) c. n 160.
••) C. I p. 249 Gl. (53).
= const., aleo A
m-"
dcmu&ch 5'-, -, eiu neues Integral von A(/) = 0 ist, also aus 3 inlp- gralcii des creteu Pfaff'scheii Systems (7) die Übrigen Iiitograle des- selben durch blosse Differentiatioueu abgeleitet werden können**). Indcss lassen sich bereits aus 2 Integralen die tlbrigcn in dieser Weise ableituQ, deuu aus (13) folgt, wenn man äi(") für ip setzt
AB,B,(,:)—H,AB,(i-) = — B,Bi(v) uud da nach (15)
AB.iv) //,(..)
(16) AB,li,{v) + 2B,B,(e} = 0
Multipiicirt mau (15) mit '2Jl,B,(v), (Ifi) mit B,(c} und snblrabirt, so erhalt man uavh Division durch (Bt(i>))^
AB,IijM _ 2B^ä,(i,)ABj(v) ^ (B^iv))* ' (B,('.))^" ^
,/^ä^)\
80 dasB -'-.-X ein neues Integral von A(f)^0 oder gleich
const. gesetzt, des ersten Pfaff'schen Systems ist***). Dies von Clebich gefundene Resultat ist das Aualogoii des Poissün'sL-hen Satzes. Man kann dem letzterhalteueu Ausdruck mit Herrn Natani auch die Form geben
ai ^ +)
Was die Auffindung eines Integrals des Systems (10) oder einer gern ein subaftlicben Lösung der simultanen Gleichungen (lOk) bctrlBt,
so bemerken wir, dass nach Elimination der Grössen -y---, (•'„./( -.' 1
*) C. It f. 16S, wubci lur Vorfjk'iuhuni; lu bciacrkrn isl, (Iübg die Gtütsc t dHielbtit mit Uh in .ler Beziehung lo^l/n = l siehl. •-) ib.
•") C. I p. s«
t) Niiinni, Höhere An*Ij«ii Bertin 1S66 f. 3ib.
Hamburger: (Jeher Hau PfajffTxrhe Problem 199
Wl-y.— ) und Auflösung der Gleichungen nach 2n— t der Grössen
dx sich ein System von 2n — t totalen Differentialgleichungen zwischen den x allein ergiebt, deren zugehörige i simultane partielle Difforeutialgleichnngeu aus denen in (10a) erhalten werden, wenn man
der Reihe nach / der Grössen ä"^ g~" • ^ — durch die übrigen
ausdrückt Die so umgeformten Gleichungen bilden stets ein Jacobi- sches System *) und jede derselben enthält nur 2n — i-\-l Veränderliche, nach denen differentiirt wird, während die i—1 übrigen Veränderlichen als Integrale der betroffenden Gleichung angeseh(;n werden können*). Bas Verfahren nun, eine gemeinsame Lösung eines Jacobischen Systems zu ermitteln, dürfen wir nach den Arbeiten Jacobi's selbst und den Vervollkommnungen, welche hierin durch die Arbeiten der Herren Natani, Weiler, Du Bois Reymond, Mayer **) eingeführt sind, als genügend bekannt voraussetzen.
§. 3.
' In gleicher Weise wie der im vorhergehenden Paragraphen unter- suchte Fall lässt sich der Fall behandeln, wo zwischen den X solche Beziehungeif obwalten, dass man
(1) JT^fei-f ... -i-XnSwn = U^6ui+ ... -f- U,6um
wo n gerade oder ungerade « <Cn ist, setzen kann, ohne dass
zwischen den C7, u eine von den x freie Relation statt- findet.
Bezeichnen ct^ttf ... a^g irgend 2s verschiedene Zahlen aus der R<^ihe 1, 2 ... n, so ist die notwendige und hinreichende Bedingung für das Nichtvorhandensein einer derartigen Relation, dass wenigstens eine der Determinanten
♦) Clebsch (II p. 173) und Weiler (Schlömilch's Zeitschrift für Mathe- ontik Jahrg. VIII IS63 p. S64) haben eine allgemeine Methode angegeben, ein liclicbiges completcs System simultaner Gleichungen in ein Jacobi'sches Qmsaformen.
**) Wir Terweisen zur Orientirung auf diesem Gebiete auf die ausführliche Abhandlung des Herrn Mayer „Ueber unbeschränkt intcgrable Systeme von linearen totalen D fferentialgleichungcn und die simultane Integration linearer partieller Dificrentinlglcichungen**. Math. Ann. V p. 448—470. Ein Auszug derielbcn findet sich in dem Werke des Herrn Mansion, Theorie des ^quations anx d^riveci partielles du prcmier ordre, Paris 1875 p. 206 — 220.
vou Null verscbieden ist. Nau folgt aber aus dor Relation dasa die Determiuante
■^dmSux_8Ukdux -1 dxii dfi Stti 8x1
(«.
c')
(O!<0^)
(V2i(I2i)
das Qaadrat der erstereu BetermiuaDto ist Obigo Vorans»etzuiig ist daher darauf zurückgeführt, dase wonigstena fQr eine Combiuation von je 2t Zahlen ans der Reihe 1, 2... n die entsprechende ans ier Determinante D der {ik) gebildete Hauptanterdcterminante 2>t«n Grades von Null verschieden ist.
Wir werden im Folgenden annehmeu, dass die Determinante
(11) ... (1,2*) I
nicht verschwindet.
Aus den Relationen (4) in g. 1., die eine aualjüsche Folge von (1) ist, erkennt man, dass das System von 2« Gleichungen*)
X"(2»,i}rf^t = ^„'^
welches nach Elimination von U, in 2« — 1 totale Differentialglei- chungen zwischen den x allein Übergeht, die 2« — 1 von einander nn- abhängigen Grössen
Hamburger: Ueber das Pfaff*sche Problem.
201
Vi U,
• • •
^1
t*l ... Ug
gleich ConstantcD gesetzt, zu Int^^gralen hat. Da vermöge derselben Fundameutalrelationen aach die n — 2« übrigeu Gleichungen
k—n
iilh
(2.) 2: (2* + ^, k)d^k = A,,+^ -rp (^ = 1, 2 ... n^2«)
darch dieselben Integrale befriedigt werden, so folgt, dass die letzteren eine Folge der Gleichungen (2) sein müssen. Dies führt auf eine Reibe von Bedingungsgleichungen für die X^ welche Herr Natani*) ang^eben hat Sie bestehen darin, dass die Unterdeterminanten von D mit mehr als 2s Elementen sämmtlich verschwinden, was wegen
der Natur der Determinante D die Zahl von
(n — 2«)(n — 2*— 1)
Be-
dingungsgleichungen ergiebt; und dass die n— 2« Determinanten
(11)
... (1, 2«),
^1
(2«, 1) ... (2*, 2«), Xj,
(2*+p,l) ... (2*+p,2«), X2»^^
(q = 1, 2 ... » — 2*)
verschwinden. Es sind also im Ganzen gangsgleichungen von den X zu erfüllen.
(n — 2k)(»— 2^4-1) 2
Bedin-
LOst man die Gleichungen (2) nach den Differentialen da^ ... dr2» anf, was gemäss der Voraussetzung, dass D* von Null verschieden ist, ausführbar ist, so erhält mau, wenn />*,,* die dem Elemente (ik) entsprechende Unterdeterminante von D* bedeutet
(2b)
^*= ^1 A,~ — («,2«-f-l)<^2»+l — ... — (»»rfarn J • ~j^
(Ä =- 1, 2 ... 2«)
Ist /= const, wo f eine Function der x allein bedeutet, ein Integral der Gleichungen (2), so erhellt aus (2b) unmittelbar, dass f eine gemeinsame Lösung der n — 2«4-l simultanen linearen partiellen DifferoDtialgleichungen **)
•) 1. c Gl. (23), («3»). ) C. I p. 208 Gl. (25.)
Hamburtjer: Ueber da% Pfaff^sche Problem. 203
«jaj ... ff«— 1, tt| ... Ug
gleich ConstauUm gesetzt, zu Integralen. Führt man ein so ergiebt sich, dass die simnltanen Gleichnngen
die obigen Grössen zu gemeinsamen Lösungen haben. Ferner tinden sich wegen der Gleichungen
ausser den Relationen (3«) (3^) noch die folgenden
Im Ganzen erhält man s Systeme totaler Düferentialgleichungcn oder der entsprechenden simultanen partiellen Differential ^U'ichungeu. Das ite System der letzteren lautet, wenn
.=2. »=2« £)S^ ^ S(p
Br{^) « 2^ £^ -n^d^^,
gesetzt wird
i((/)=U, A^,{/)==0{9 = l,2.,.n—2s\, i^r(T)=0{r = l,2...*-l}
mit den Beziehungen
AA^(q>) — AqA{(p) = 0, A^Aa(ip) — A0Aq{(p) = 0
Af,Br{cp) - BrA^{q>) = 0, BrBr'(ip) — Br'Br(q>) = 0
ABr{<p)'-BrA{g>) = - Br{g>)
Wir gehen nunmehr iXhvr znm allgemeinen Falle einer ungeraden Anzahl von Variablen.
Nach §. 1. setzen wir
wo eine der Grössen u ganz willkttrlicb ist Vorausgesetzt ist hier, dass die Determinante mit (2n + 2)^ Elementen
■«■grireaae ojsHsm
|
(6) |
|
|
'°|*'(.,4)j,.-A, '^iy = (,„, ^^ j», + &♦, |
'fe"".+ |
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|
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fo,
(71 <=ii>+i n', » »u, .=iii+i ü' , p,,
''«= ,.^ -:^£'^"--"''+ ■+ ,3, 7F-s^ '"•"''"
(A = l, 2... 2f. + l)
+ ^"t' i, -ir ST/""
Gcm&ss den Identitäten (1) and (2) sind die von I/«-ti uml den < freien Integrale von (6) oder (7) die Ün — r+l Grössen
gleich Constautcn gesetzt. Dieselben Functionen sind, wie aus den ■Jn + l eisten Gleichnngeii (7t hönorgclit, die genieiusamcu Losungen der r simultanen linearen partiellen Ditrercntialgleichungen
uieicnnngcu u^J aer iveine iiacn mit ^, A, ... a.r^i and addirt, so erlialt man, mit RUcksidit darauf, dass
fltr jedes i, das von '2a-\-'2 vorBchJcdcii ist,
X,ix,-i-...-\-X^n-nix^+i=U^Su,-^...-\-U^tii„^^i q. e. d.
Dil) Beziehungen zwischou den Operationen Af{tp), Ag{<py erliält man ans den GIcicbuugen (7) iu folgender Weise: Es ist
fUr eino beliebige Functioa ip der Variableu x. liicraus
i\V.tiA^:p)i _^8|K.|i«»)|
U. , i'A.A,(.r> + A^M 'j*'^- - i;. n'Ai.AAv)+A. (»1 -g^^
Aber nach der letzten der Gleichungen (7) iat
Man hat demnach die ßoziohnngen (11) A^At(q>)— A«A^(<p) = MtAf(ip) — MfAa{tp)
WO Mt durch den Qnotieuteu zweier Determinanten detinirt ist
Hamburger', üeher das Pf äff* sehe Problem
a)9
3/t =
dug
• (1,1) ... (1,2«+1), gj^
8ua
1(2»+1,1)... (2n + l,2« + l), ä— ^
I JTj. ... -i^2n+l 0
(1,1) ... (l,2n + l),
-^1 I
(2n + l,l)...(2n+ 1,27^+1), -A2n^l -^1 — ^2n-^l 0
Ist i? eine Lösuug von Ai(f) =» 0 oder, gleich eiuer Constanten gesetzt, ein Integral des Systems gewohulichor Differentialgleichungen (5), welches nicht zugleich die Gleichung A2{f) = 0 befriedigt, so erhält man aus (11) füi* p = 1, <j = 2
Sei ferner «? eine 2te Lösung von A^if) = 0, die nicht zugleich A^{y) = 0 befriedigt, dann wird ebenso
A^A^(w) = — M^Aiiw)
sein. Aus den beiden letzten Gleichungen ergiebt sich
A^(tc) . Aj^A2(v) — A^MA^A^itc) = 0
oder
'.(^.)-«
Demnach ist
A^{v)
ein neues Integral von A^if) =• 0, oder ^
A2(tr) " ""'^ ' '^'' ^' A^iw)
eoDSt. ein neues Integral des Systems (5). Bedenkt man, dass zur Aufstellung des Ausdrucks ^^C/) die Kenntniss des Integrals u^ not- wendig ist, so zeigt der eben erwiesene Satz die Möglichkeit, aus 3 bekannten Integralen des Systems (5) alle übrigen Integrale durch blosse Differentiation abzuleiten.
Ist insbesondere die Function u, so beschaffen, dass 3f j == 0 ist,
dann wird
A^A^iv) = 0
also ist bereits A^iv) == const. ein neues Integral des Systems (5), welches sich demnach schon aus der Kenntniss zweier Integrale er- giebt. Man kann also sagen, dass für das System (5), falls li^ der Bedingung
TeüLX.
14
In diesem Folio zeigt die letzte der Gloichangeii (i), dass U«-t-i = const. zu setzen, und aus der letzten der GleichnDgcn (7) folgt dann, dass auch die u«, welche bei den aufeinander folgenden IntegratiooeD auftreten, der Gleichung JWn = 0 genügen müssen; dio simultauen Gleichungen Ag(/) = 0 bilden daher iu diesem Ptülf eiu Jacobi'sches System. Aber noch eine weitere Vorcinfachuug in den Integratioueu findet hier Statt, ähnlich derjcuigcn, welche in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, in denen die ab- hängige Variable nicht vorkommt, sieb darbietet
Die Gleicbnngon (2) nämlicb, welche für Un\^\ ■= e in
woraus unfi verschwunden ist, übergehen, liefern als rtea System, nachdem u, ... ur gefunden sind, die Gleichungen
(. = 1, 2... 2n+l)
welche hier aasreichen, da dio im allgemeinen Falle noch hinzulcom- mende Gleichung
j:,rfir,+ ... +.X^+l(tr^+l — 0
vermfige der Gleichungen Afo = 0 eine Folge von den obigen ist
Nehmen wir r — 1, so folgt aus (12), dass das erste System rlio 3a — 1 von Ui freien Integrale U^ ... Un-\ u, ... u„ hat, da aber das-
Hamburger: Ueber das Pfaff^sche Problem.
211
selbe nach Elimination von dU^ ans 2n Gleichungen besteht, so muss eine Gleichung eine Folge der übrigen sein. Nun verschwindet bereits die Determinante D der (ik)^ es muss also, wenn wir annehmen, dass die Unterdetenninante Ihn ^\,2h\\ nicht verschwindet, als Folge von
Af.
0
(14)
(1,1)
(l,2n)
(2n,l)
(2n,2n)
(2n+l,l) ... (2n+l,2n+l) .
= 0
JCin +1
sein, and ebenso alsdann in Folge von 3/<j = 0 die Gleichung statt- finden, die aus (14) durch die Substitution von ua für u^ hervorgeht. £s reducirt sich sonach schon das erste System auf 2n Gleichungen, oder nach Elimination von dü-^ auf 2n — 1 Gleichungen. Femer hat man nur w — 1 statt n Systeme zu integriren; denn nachdem ti, ... un gefunden sind, ergiebt sich un^i durch blosse Quadratur
c
in der Voraussetzung, dass unter dem Integralzeichen, vermöge der Gleichungen
ttj =^ Cj ... Un =* Cn
n der X durch die übrigen ausgedrückt, und nach erfolgter Integra- tion, für c^ ... Cn die bezüglichen Functionen u restituirt werden.
Zum Schluss lassen wir noch eine Anwendung des Vorhergehen- den auf die Integration der partiellen Differentialgleichung
qp(Ä, Xi ... XuPi ... pn) = a
folgen, wo pk =
dxk
Die Aufgabe ist identisch mit der Transformation
(15) dz — pi^X^ — Pi^X^ — ... — pn^Xn = r7j6?*i-(" •• 4" U»Suh
unter der Voraussetzung, dass u^ die gegebene Function qp sei. Die Gleichung (15) stimmt mit der Gleichung (1) überein, wenn man statt x^ ... X2n f 1 der Reihe nach x^ ... xnpt ... /?«, a und femer
14*
HambuTijer: (Jeher das Pj'aff'scht Problem 213
gleich Constanten gesetzt sind. Dieselben Functionen sind die Inte- gnüe der linearen partiellen Differentialgleichung
''•^^ = Wi \^x + ^' S^ j + ••• + ^ V8^ + ^" & j Das rte System, nachdem % ... »r gefunden sind, lautet:
» = 1, 2 ... n
(17) «& =2),«^+ ... +1'»»^»
aod die entsprechenden simultanen Gleichungen
(18) A(/) = 0 A^(n = 0 ... ^r(/) = 0 wo
- ^ Va*. + Pi a J - - - a^ \&^ + ^" &7
Ihre gemeinsamen Lösungen sind
Für die Beziehungen der A{(p) hat man aus (17) dtp dtp
nn^ hieraus wie oben
Nach der letzten der Gleichungen (17) ist aher
3 log Uni^l y- 8wA
dax ^ -^ ^-+^ fe"
Wir haben demnach
A^Aa((p)'-'AaA^((p) ==^ J^ Ac((p) — -g^ Ag(<p)
MUcellen, 215
XK.
Miscellen.
1.
Analoge Eigenschaften der ebenen nnd sphärischen Parabel.
Durch die Betrachtung der Projectiouen der regelmässigeo Körper wurde ich zufällig auf folgeuden mir bis dahin unbekanuton Satz geführt:
,4n einem beliebigen Punkt P einer Parabel ist die Tangente p aod eine Parallele PO zur Axe gezogen. Zieht man durch einen veränderlichen Punkt A der Parabel den Durchmesser AB^ welcher p m B schneidet, ferner mit p eine Parallele AC^ welche PO in C schneidet, und wird die Parabel durch die Verbindungslinie von B nnd C in D und E geschnitten, so wird die Strecke BC durch D und E innerlich und äusserlich im Yerhältuiss des sog. goldenen Schnittes geteilt.^
Obgleich ich kaum glauben kann, dass dieser äusserst inter- essante Satz neu sei , so habe ich ihn dennoch in keiner der mir be- kannten Sammlungen von Lehrsätzen über die Kegelschnitte gefunden nnd ich glaube deshalb annehmen zu dtU*fen, dass der genannte Satz wenigstens nicht sehr bekannt ist.
Schliesslich bemerke ich noch, dass merkwürdiger Weise auch f&r die sphärische Parabel ein ähnlicher Satz stattfindet.
Es seien nämlich S und S^ die Scheitel der grossen Axe einer sphärischen Parabel, so dass also
Od ^
BJaifP.BinPC Bin CE . ain KB _ V5 + 1
cos BS ■ cos CS — cos CS ■ coB ÜS ~ '^ ~ 2
Ich füge nocli hinzu, dass beide Sätzo sich auch aaf die äUgc- nieincu ubcDon und Bphärieekcn Kegelschnitte ansdehneo lassCD.
Stuttgart, den 30, ^November 1876.
R. Mehroke, Polytechnikcr.
Veber rationale Wnneln knblsoher Olelobnnsen In rationaler Oeatalt.
Nachstehende Notiz wrfolgt nur den pädagogiactioii Zweck der Aufstellung kubischer Glcichnngen , deren rationale Wurzeln mittels dor cardaniBcheu Formel auch in rationaler Gestalt crBcheiiieii.
Hat nttml ich eine kubische Gleichung nur eine reelle Wurzel, so wird dieselbe, wenn sie auch rational ist, durch die cardauischc For- mel gewöhnlich doch in irrationaler Gestalt geliefert. Daher gcbuu die gebräuchlichsten algebraischen Auf|;abensainmluugcu nur wenige solche Gleichungen, welche durch diese Funnol ihre befriedigi-ntlc LöBuug finden. Der Grund obiger Erscheinung liegt in dem Um- stände, dass ea nicht gelingt, ähnlich wie V^ + V W, so auch
V^l + yji in strenger Weise auf die Form p+ y/q zu bringen. Eiii Versuch dieses Ziel zu erreichen, würde immer nur wieder auf eine neue kubische Gleichung führen,
Beispiel a^+löa: = 72, wo a; — 3; durch directc Auflösung
a = y36+Vl42i-l-V36— 1/1421,
wobei man nur auf tatonnirendem Wege tindct
^ = V(? + ll/29)»+y{i-Jv'29)»=3.
In solchen Fällen bleibt dann nichts Übrig als (incorrecte, weil dop- [leltej Wnrzelansziehung , Keiheuent Wickelung oder Anwendung gonio-
Muicelltn. 217
metrischer Functionen. Dagegen läset sich die Frage stellen und beantworten, ob und wie man kubische Gleichungen finden kann, deren rationale Wurzeln auch in rationaler Gestalt erscheinen.
Aus wo 6*-|-ö*>0 vorausgesetzt wird, ergiobt sich
a .
X = Vft+ Vi^^^-f, etc.
Mit Rücksicht auf die bekannte Form der pythagoräischen Zahlen setzen wir zunächst
also
Damit nun a rational werde, machen wir femer
nod erhalten so:
b »* ^ , a = mn
and
== m — -n.
In der Tat ist w— n die reelle Wurzel der Gleichung
a;*-f-3mna: = m' — n^,
die anderen (imag.) Wurzeln sind s — i — 2 — V^*-
Zu demselben Resultate gelangt man auch auf folgendem Wege: Es sei I»— w die reelle Wurzel der gegebenen Gleichung, so müssen die beiden anderen die Form haben mt — na* und mf* — n«, wo
i und «« = — Jiiys.«.
Die Function Ä^+Soar — 2i ist daher äquivalent mit ^
woraus durch Vergleichung der Coefficienten von x und x^ sofort resultirt a = mn, ft
m^ — n'
Eine kubische Gleichung mit einer reellen, rationalen
Miseellen.
219
Ebenso erhält man auch die Integralwerte
Vermittelst vorstehender Grössen werden bokanntermasscn die Rich- tungscosinus a\ b\ c einer Hauptträghoitsaxe in 3 Gleichungen be- stimmt. Bezeichnet J das Trägheitsmoment fär diese Axe, so lauten dieselben:
{F'ia''{-{B^B'j—J)b'+D'tc'^0 \ (2)
woraus nach Elimination von a', h\ c' :
A+A'b — J F'i
F'e B+B's — J
das ist mit Weglassung der Tenne 2. Ordnung:
Die Wurzeln dieser Gleichung nach J aufgelöst sind die Hauptträg- heitsmomeutc A-\-6a^ B-\-6B^ C-\-6C yon m-f*- Folglich sind die Variationen der Hauptträgheitsmomente entsprechend einer unendlich- kleinen Masseuzunahme:
C+C'e—J
= 0
ÖA =- A'i; SB = jß'«; de = C«
(3)
Sie bestehen mithin in den blossen Trägheitsmomenten des Massen- znwachses, und weder die Verrückung des Schwerpunkts noch die Richtungsänderung der Axen hat darauf einen Einfluss in 1. Ordnung.
Setzt man in den Gl. (2) für J seinen ersten Wert A'\-A's^ so werden sie:
F'ia'+{B-A + {B'—A')(\b'+D'ec'^ 0
Sind, wie wir annelunen müssen, A^ B, C ungleich, so variiren die Axenrichtungen stetig; daher sind b\ c unendlich klein und a'= 1. Hiermit fällt die erste Gleichung weg, die andern geben:
MiscelUn. 221
6' F"
Nach Analogie ist also
___ ly E' F'
and hieraos ergeben sich mittelst der bekannten Relationen
6a 6b 6c
-j = hr—cq', —^cp — ar-y -j ^ aq — bp
6cu 6bt dcj
6a^ 6b^ 6c^
— = b^r — c^', j = c^p — a^r-, - -= «««— ^^jP
die Variationen der Richtungscosinus der Haupttrügheitsaxen.
Aus den Gl. (4) folgt noch die von den ursprünglichen Haupt- tragheitsmomentcu ganz unabhängige Relation:
D' E' F* ^
h — = 0
p g ' r
Die Variationen der Coordinaten des Schwerpunkt sind ans (1) bekannt und lauten nach Reduction auf das System der xyz:
6zq = (a^+f^V+^i) z
TU
die der Hauptträgheitsmomente bleiben
6A ^ A'i-, 6B = B'e-, 6C= C'f (3)
R. Hoppe.
Schwingungsdaucr der (.•rstcii erfolgt, so ist für gleiche Schwingnngs- dauer bei beidcu Scliwingun^cn die resaltirende Bahn des Punktes eine EUipsp, deren cotiJDgirte Durcbmesacr die beiden Amplituden der zwei einfarhcu Scbwinguiigcn slr.d.
Nach dieser Auffassung construirt mau sich in angedcotctfir Weise die Wege, wcicbe der Punkt in Folge jeder der beiden AaregnngeD zurUcklegeu wardc und setzt die gleichen Zeiten entsprechenden Wege nach dcu Gesetzen des Geschwindigkeitsparallelogrammcs zusammen und üudct die Ellipse: Fig. 1.
Wenn der Schwingung des Punktes von A nach p (Fig. 1.) ein Kreisbogen in gleich für miger Bewegung AC, zu dem ein Winkel qg gebore, cuUprifht. so ist (Ür OA = a, OB = B
Op =^ X = acoBip
Zu der compoueutalen Bewegung von O nach g gehört der Bogen KD entsprechend dem Winkel (qp); daher entspricht dem Bogen BD di-r Wiukel (90^ — <p) und es ist
Oq -^ y ^ bsintp. Ans den beiden Gleichungen folgt sofort
Die Gleichung der Ellipse bezogen auf die conjugirten Durctimesser AA'_ und Bli'.
Gehen die beiden Durchmesser in die Äsen über, so stehen sie senkrecht aufeinander, und die angeführte Ellipsenconstructiou ge- staltet sich zn der bekannten Construction mittels zweier Kreise Über die grosse und kleine Axc.
Die Construction wird noch einfacher, wenn man bemerkt, dass die Geraden BA, pq, r« etc. parallel wtlrdeu.
Miscellen. 223
Daran schliesst sich nun die Auffindung der Axen eng an.
Man sucht einen Punkt der Ellipse, der vom Mittelpunkt am weitesten entfernt ist; dies ist der Endpunkt der grossen Axen. Ist zu dem Ende OP =» q und Wkl. AOB = w, so wird:
p* = x^ -|- y*-|- 2xi/ cos w
=» a*C08*<p -\-lf^ sin^g) -\- ^ab sin <p . cos <p . cos w = a2cosV"l~**sin*9-|-aZ>sin2'p.cosM'
Aus der Bedingung für ein Maximum von p, nämlich j- = 0 folgt nun
2abC0Sw tg2qp « -^^
Die Construction dieses Ausdruckes gibt nun die Tangente des dop- pelten Winkels fp , für welchen p ein Maximum , d. h. die grosse Axe wird.
Nun ist Fig. 2.
0J= bCOSw
a« = ADKO und h^ = AFLG
a»— 6«= OGLEDKO
Wird nun EH parallel GD gezogen, so folgt aus der Aehnlichkeit der Dreiecke AHE und AGD, dass Fläche LEMI.^ = MG, GH ist.
Demnach nnd folglich
a2-. &2 =. OK. OH = a. OH
2abcosw = a.2 0J
20J HN ' ^^^--ÖH-ÖH
die weitere Construction ergibt sich von selbst. Man setze nur die den Winkel «jp entsprechenden Elongationen auf den beiden Durch- messern durch das Parallelogramm zusammen, so erhält man durch dessen Diagonale Richtung und Endpunkt der grossen Axe.
Um diese auch für die kleine Axe zu finden, hat man nur die Lage des schwingenden Punktes nach i (Schwingungsdauer zu be- stimmen.
Bemerkt man noch, dass man statt der Yerticalen AD auch ebenso eine Parallele mit BB' anwenden kann, so gestaltet sich die Gesammt- eonstmction wie die Figur (3) zeigt.
H. Januschke.
■Wolf: lieber d. Durchyang d. eleltr Strotms durch eine Kugelcalotte, 225
XX.
Ueber den Durchgang des elektrischen Stroms
durch eine Kugelcalotte.
Von
Wilhelm Wolf
in Leinzij;.
Einleitiinff.
Ö'
Führt man einen constantcn, elektrischen Strom durch irgend eine, etwa aus Metall gefertigte, leitende Fläche, so wird sich die Elcktricitüt in derselben auf bestimmte Weise verteilen, und ein $tr(ymungszustand eintreten, der nach einiger Zeit stationär sein wird. Dieser stationäre Strömungszustand lässt sich für jede Stelle der leitenden Fläche angeben, sobald die an jener Stelle herrschende sogenannte „elektrische Spannung" (das elektrische Potential) bekannt ist. Es handelt sich demgeraäss bei allen derartigen Problemen um die Bestimmung der elektrischen Spannung für alle Stellen des durch- strömten Leiters.
Um diese Spannung zu finden, werden wir zunächst nach Kirchs hoflTs Vorgange eine Spannung supponiren und von dieser rückwärts auf ihre Bedingungen schliessen oder deutlicher : wir werden aus einer supponirteu Spannung Resultate zu gewinnen suchen, die sich mit dem m Wirklichkeit Gegebenen leicht vergleichen lassen*, und durch diesen Vergleich die Mittel zu erhalten uns bestreben die vorerst tingirto Spannung zu bestimmen.
Diesen Grundgedanken verfolgend wird es in der Tat gelingen (wenigstens in specicllen Fällen) zum gewünschton Ziele zu gelangen. Es bedarf hierzu nur eines einzigen, von Kirchhoff (Poggendorff's Annalen für Physik und Chemie, Bd. 64.) abgeleiteten Satzes. Der- selbe lautet:
T«nLX. 15
<Ü durch den Quorscbnitt ids strömeudc EIcktricitÄtemcage durch die Formel dargestellt:
1) M =— KE^.lIgrfl."
Wie schon erwähnt ist man die vermittelst dieser Formel n findenden Bedingungen allgeniciu zu erfüllen nicht im Staude. Wir werden nus daher im Folgenden auf die Kugeloberfläctie boschrBnIioa
I. Hauptabschnitt
LSsnng des StrÖmnngsproltleiits fQr die gewöhnliclie, Ton einem Kreise begrenzte Calotte.
A) BelieUg viele Zul«ltung»tellen.
1) Ableitnng der Bedingungen, welche das elektrische Potential zd erfüllen bat.
Um zu den Bedingungen hinzugelangen, denen das Potential zu genügen hat, wenn an beliebig vielen Zuicituiigsstcllen a,, ir^, . . ., ein Strom durch die Calotte geleitet wird, schlagen wir folgeaden Weg ein. Wir bcrecbnen zunächst den Gewinn au elcktriaclier Materie, den irgend ein Fläcbenelement der Calotte während der Zeit dt erfährt.
Hierzu fuhren wir die bei der Kugel gebräucb lieben Coordinaliui der Parallel- und Meridiankreise ein, so daas ein beliebiges HächeD- olemeut ABCD naturgemäss von den Parallelkreison &, 9-\-d9 und den Meridianen ip, q>-\-d^ begrenzt wird.
Nach unserm allgemciuon Satze ist die durch die Seite AB Siesscnde Elektricität
oder weil, wenn g der Radius der Engel
AD^g6UL9.>lif), AB •= g.c ist, BO wird gegenwärtig:
durch eine Kugtkalotte. ^ 227
1 hu
Ji/ = — Xf —. — ^ • rv .dd'.dt smO c<p
Lässt man hierin g>-^d(p an die Stelle von q> treten, so resultirt offenbar die Menge ü/' der durch CD wieder forttliessenden Elek- tricität Unter gleichzeitiger Benutzung des Taylor*8chen Satzes er- hält man demgemäss mit Beschränkung auf Glieder 2ter Ordnung:
sind' (C(p * 1 dqp^ ' ) Es folgt mithin sehr einfach:
1 y52 TT
et) M — M' = xf . -T- 7. . TT-^ . dd'tlw dt
' ' sm^ 09^ ^
In ganz analoger Weise folgt für die Differenz der durch AD und BC strömenden Elektricität:
öl sm^. K^\ ß) N—N' = %B. ~ — ^^ ~ . d^ilcp dt
Nennen wir jetzt G den Gesammtgewinn, den das Flächenelement ABCD während der Zeit dt erfährt, so ist offenbar:
G == (M— M') + (iV— N ') oder nach ex) and ß)i
y) G^7^t\^\^^u^^^) + ^~^^^]d^d^dt
Gegenwärtig führen wir die wichtige Abkürzung ein:
1 8 / Sf/X 1 d^U
2> ^^=s"i^8^r^^^-'a^j+S^ aT^
80 dass wir statt y) schreiben können:
/) G = -^.öU(g^sm^d^d(p)dt
Dieser Gesammtgewinn nun wird bei eingetretenem stationüren Strömungszustande für alle Flächenelemente ausserhalb der Zuleitungs- stellen oflfenbar gleich Null sein müssen. Hieraus folgt nach y'), wenn Ä' die nach Abscheidung der Elektrodenstellen cr,^ oj, . . . von der Calotto übrig bleibende Fläche ist:
3) öü^O auf r
Innerhalb der Zuleitungsstellen hingegen muss dieser Gewinn für
15*
durch eine Kugelcalotte. 229
7) 2k Ji - 0 Wir haben somit an ü die Anforderungen zu stellen :
( 0 anfß'
8) < {mak " "^
du
g^ä «= 0, U stetig, eindeutig, reell.
Nach sachgemässcr Transformation von öü lässt sich durch Anwendung des 3ten Green'scheu Satzes zeigen, dass durch diese Be- dingungen das Potential U bis auf eine additive Coustanto bestimmt ist £s geschieht dies in bekannter Weise und kann daher hier unterdrückt werden.
Ehe wir an die wirkliche Bestimmung von U herantreten , ver- einfachen wir uns diese Aufgabe ein für alle Mal, indem wir dnrch die Gleichung:
^) U= V—W
zwei neue Functionen einführen, an die wir successive die Bedin- gnngen stellen:
( 0 aufjf'
V stetig, eindeutig, reell
und
11)
W stetig, eindeutig, reell
wodurch die oben unter 8) an U gestellten Forderungen ebenfalls eingelöst sind. .
2) Bestimmung der Function V,
Behufs Auffindung von V transformiren wir zunächst die Diffe- rentialgleichung
oder
12') 8in^.g^^sin^.g^j + g^-A.8in«^
oinc Function von 9 als ncne Variabele ein. Die Snbstitntion derselben in eine der Gleichangen 12) liefert an der betreffenden Stelle zunächst deu Ausdruck :
<l» dt
sin*. -,
Da nun die Gleichung 12') schon eine grosse Äehnlicfakeit mit der analogen DirTereutialgleichnng für den Kreis besitzt, so sncbon wir diese Aeimlichkcit dadurch fast vollkonimcu zu machen, dass wir T der DiffercntialeleichuDg unterwerfen:
- » «^^ aus der nach einfacher Integration folgt:
lgtß2 ^ 'oßt+const oder bei [gehöriger Wahl der Constanton: ö
Gegenwärtig nimmt die Gleichung 13) die Gestalt an: wobei die aus 13) folgenden Relationen:
■i+7
i sin# = ;~r~
13')
cos# =
1+.'
Da die Elektrodonstellcn nj sehr klein vorausgesetzt wurden, so wird im Bereicite von n» ausserordentlich nahe:
(i±^)--c.... = (Lt..y
sein, sofern r«, <pi, die Coordinaten der Ziil ei tungss teile m sind. Jetzt nimmt die Ditfereiitialgleicbung, der t' zu genflgen hat, die Furm an:
durch eine KugelcaloUe. 231
15) { l 0 aufr
i 0 auj
]( 2 y ^
( \1 + T*V X£«* "
Ok
SO dass dio Analogie mit dem entsprechenden Kreisprobleme, wie man ohne Weiteres bemerken wird, eine vollständige geworden ist.
Von nun an fahrt ganz derselbe Gedankengang zum Ziele, wie er b^i erwähntem ebenen Probleme, angewandt wird (Kirchhoflf PoggcndorfTs Annaion für Ph. u. Ch. Bd. 64). Daher dürfen wir uns mit der Angabe des Resultats begnügen. £s findet sich:
I für alle Stellen auf ft'
wo die angedeutete Summation auf sämmtliche Elektrodenstcllen sich bezieht. ^
Anmerkung. Der Wert von V in den Zuleitungsstellen «* selbst ist für unsere Zwecke nicht weiter nötig. Da er überdies eine ziemlich umfängliche Gestalt besitzt, konnte er um so mehr unter- drückt werden.
3) Reihenentwicklung für V, Bestimmung von k— Für Stellen nahe am Rande der Calotte wird immer
sein. Die bekannte Reihenentwicklung:
17) lg|a2+&»— 2aicos(«-i3)} = lga«--2l;M~Vcosn(a — /5)
darf demgemäss unter jener Voraussetzung in der Form Vorwendung finden :
lg{^*+^*^ — 2TTikC0s((p — <pjfc)} ==\gx^'-2E -\-\ cosn(9 — <pjk) Hierdurch wird:
47IXC
j IgT» - 2^ \ (^*ycosn(gp -T») }
zu bi
culüi
artig gircii
durch eine KutjelcalotU, 233
Wie man leicht siebt ist diese Forderung aoqaivalent mit der:
3t 3t
die leicht befriedigt werden kann; denn eine einfache Vorgleichung der Reiben unter 21) und 19) zeigt diese Bedingung erfüllt, wenn
n\tQ/
gcnomm i wird. — Hiermit ist W bis auf eine additive Coustante bestimmt Aus 20) findet man gegenwärCfg:
22) TK-Z»2ä.J^^)"c08n(9-^») + Con8t
Man bemerkt leicht, dass die hierin auftretenden Reihen sämmtlich convergent sind. Dieselben lassen sich tlbrigens bei geeigneter Be- nutzung der Reihenentwicklung 17) summiren. Es wird:
W £ ^-\g*) [ (^y+t«-2r^*C08(9-T*)} +Con8t
oder wenn znr Abkürzung
23) Ti = ^, «»-(j)» gesetzt wird, einfacher:
24) W « Const - £k ^^ ig J Tk^+T«- 2t T» cos(g>- <P*)}
Anmerkung. Die Punkte 7^, (P* liegen, wenn von der Voll- kngel vorläufig abgesehen wird, immer ausserhalb der Calotto und lassen sich leicht construiren. Sie befinden sich mit tkt ^k auf dem- selben Meridiane und Tk ist vierte Proportionale zu den Grössen
Tkj ^0? *0'
5) Bestimmung von U, Curven constanter Spannung.
Die obigen Vorbereitungen führen mit Leichtigkeit zur Bestim- mung des elektrischen Potentials U für alle Stellen auf fX\ Nach 9) ist nämlich:
^) Es bedarf wohl kaum der Erwähnung, da«8 hier, wie auch früher, immer die reellen Teile der Logarithmen verstanden sind.
Fllr cboue Curvcusystcme hat die Bestimmung senkrechter Tra- jectorien wenigstens .insofern keine Schwierigkeit, als ohne Weiteres die DitTerentiiilgleicLung aufgestellt werdcu kaun, die das Problem liist In unserem Falle, wo wir es mit einem sphärischen Curveu- systeme zn tan haben, liegt die Sache etwas anders; doch werden folgende Betrachtungen zum Ziele fuhren.
Denken wir uns in Fignr 1. den allgemeinen Punkt r, tp der Calottc auf die Tangentialebene E geworfen (durch Projcution voa P' aus), so werden zwischen den Coordinalen r, tf des projicirteo Punktes nnd i, q> des nrsprUnglichen offenbar die Relationen bestebeo:
= 2sfgJ=25t
Nun wissen wir, dass bei der stereographiscbcn Projection Win- kel nngeändcrt bleiben, dass somit 2 Curveusystemo, die sich auf der Kugolealott« senkrecht schneiden, auch nach der Projection in der Ebene K senkrecht zn einander sind. Wir küunen demgemäss die Bedingungen für orthogonale Trajectorien von Curvensystemen der Kugelfläche durch dio Bcdingungeu für die senkrechten Trajectorien der entsprechenden ebenen Curven auadrUckeu.
durch eine Kugelcalotte. 235
Bevor wir diesen Gedanken weiter verfolgen, fahren wir in 27),
der Gleichung der Nivcaucurven, neue Coordinaten ein, indem wir
digemein setzen:
29) J^TCOsqp, i; = T8in9
Mit Rücksicht auf 25) lautet dann die Gleichung der Curven con- stanten Potentials:
27') £kJi {lg[(|-|i)»+(,,-i,i)*] + lg[(l-S»)*+(^-«t)^} "-const
Wird hierin:
X « 2gxco^q> = 2p|
y -=2gxmiq> =^2gti
gesetzt, so folgt:
*
27") 2:tJ]k{lg[(a:-;rfc)«-f (y-yk)*] + lg[(a?-Ä)« + (y-n)*]} -COnst
als Gleichung der projicirten Niveaucurven.
Ist nun ^ =» const die Gleichung der senkrechten Trajectorien der letzteren, und wird die linke Seite von 27") kurz mit U bezeich- net, so muss die Relation gelten:
?« dx^'dy * dy Derselben werden die Ansätze:
dx dy By Bx
gerecht, die zulässig sind, weil U der Gleichuug
dx^'^dy^ ^"
genügt, wie man aus 14) nach Einführung der neuen Coordinaten leicht findet.
Gegenwärtig ergiebt sich sehr einfach für W:
30) ^^-^»^»{arctg^^^ + arctg^^l}*^ Es repräsentirt also:
30') £Jk i arctg ^-^=^ + arctg ^^* ) - const t ^y — yjt ' y—Yi)
•) Vergleiche Kirch hoff, Poggendorff*f Annalen, Band 64.
zeitig die Randcurvo, uml die Spannung Ü hat dann nur den Be- dingungen
SU=:fk, U stetig, eindeutig, reelJ zu gcuUgcn. Eine solche Function ist aber nach 16):
U= X*~^lg(T«+««— 2Tr*cos(v-?'t))
Alles Uebrige wie z. B. die BeEtiinmnug der Stromeurven erfolgt wie vorhin.
ßcmcrkung. Die in diesem Abschnitt gelöste Aufgabe hat auch A. Beer in seiner „Eiuleilung in die Elektrostttik ctc" behandelt. Anstatt aber die richtige Differeutialgloichung :
in Anwendung zu bringen, benutzt er die von ihm Seito 359. a. a. O. an ('gestellte, fehlerhafte. Differentialgleichung, die in unserer Bezoich-
nuug lautet:
S»F , „ Öl' , ST ,
e^i + cotg*-e-^+g^^=0
Dcingeniilss sind die Resultate, zu welchen Beer auf Grund dieser Differentialgleichung gelangt, ebenfalls irrtümlich.
B) BMohrinkung der ZulettungHtallen auf zw«l.
Die im vorigen Abschnitt gefundenen Gleichungen sind einer bomerkenswerteu Interpretation nicht fähig. Wir werden daher im ] einen apcciellen Fall genauer discutiren.
Die einfachste und natürlichste Specialieirung ist offenbar dio Annahme von nnr 2 Elektroden oj und n», von denen die eine den Strom zuleitet, dio andere wieder fortführt
durch eine Kugelcalotte. 237
Zunächst folgt wegen* 2"* Ji = 0 und mithin ergeben sich für
1) Das Potential und die Curven constanten Potentials ans 26), mit Rücksicht auf 25), die Formeln :
31)
L = Consta —'- \a k'+Ti^-2TT, cos^rp,} {t«+ r,«-2T T, cos^-qo,!
und
31')
{r*4-Ta* — 2rT2C08g) — «jpjj {t»+ T,^ — 2TrjC08(p— ipg} Fügen wir in 31) auf der rechten Seite die Coustante
additiv hinzu, so finden wir nach leichter Umformung:
J = t/ -h- ^^i lg
' 2n%£ ® Qod für die Niveaucurven :
31") r=C7+s-'-lg .. ' , ' 2nxB ^e^.L^
l/Wx *i-^i
31^") -^-rr = const
wenn ^ und A', die linearen Entfernungen eines beliebigen Punktes Q(t, <p) von den Punkten «iCti, cpi) und A^iT^^ (Pj) sind, und cj und £} analoge Bedeutung haben.
2) Die Gleichung der Stromcnrven
gestaltet sich im jetzigen speciellen Falle ebenfalls einfacher. Zu- nächst ergiebt sich aus 30) als Gleichung der projicirten Stromcnrven :
32) arctg —— ^ + arctg — V - arctg -— f — arctg — -y = const
y — Vi y — ^1 y — y% y — -««
Setzen wir zur Abkürzung:
X """ X* X Xa
arctg ' — arctg =» w
y—yi y — yt
arctg - — :^' — arctg - — y = W
y — ^1 y— ^«
32') IO+ 1^=001181
als Gleichung der projicirteu Stromcurven. Hierbei stellen v und W Winkel dar, die sich leicht interpretireu lasseu. Scieu zu üipscm Zwecke iu Figur 2. a,', f^', A^', A^ die Projectiouen der Pnnklc ftj, ttf A^, Af aaf die Tangen tlalebcue E; dann ist v- der Win- kel , unter dem die Strecke tt^' »t von dem beliebigen Punkte Q aus erscheint. Analoges gilt von W bezüglich der Strecke A, vi,'. Ueberdies findet aicb leicht, dass die in 32') auftretende Wirkelsumme innerhalb des Gebietes 11 in die DiiTerenz Übergeht. Alles dies zn- sammengefasst spricht deugemäsB die Gleichung 3'2') den Satz ans:
„Projicirt man die Stromcurven in der angegebenen Weise auf die Tangentialebono ü, obcnso die Punkte et], Dg, Aj, Ag, BO ist die Summe, respoctive Differenz der Winkel, unter denen von irgend cinemPnnkte einer die- ser Curveu die Strecken «i'otS beziehentlich A,' A, er- scheinen, eine constautc Grösse."
Hieraus ergiebt sich mit Leichtigkeit der betreffende Satz über die wirklichen Stromcurven.
Anmerkung. Liegen aperiell dieEinmündungsstelien der Elek- troden dem Räude der Galotte uueudlich uahe, so verwandeln sieb die Stromcurven iu Kreise, die sämmtlich durch die Einmikndungs- gtollen (I, und «a der Elektroden hindurchgeben.
Zusätze.
Die Gleichung 32) der projicirteu Stromcurven ist einer, wenn auch wenig eleganten, algebraischen Fonn fähig. Aus dieser lassen sich zwei ausgezeichnete Stromcurven erkeuiicu. Die eine ist der durch die 4 Punkte «,', Cj', A^', A^ gdogte Kreis, die andere der projicirto Calottenrand. Die complicirten Rechnungen hindern an dieser Stelle die dirccte Ableitung dieser Sätze; es empfiehlt sieb daher der folgende mehr indirectc Nachweis.
a) Vermittelst der Relationen 28) und mit Rücksiebt auf 23) erfährt man, dass A^ und A^ die sog. Spicgelpunkte von r,' und v4 bezüglich des projicirten Randkreises sind. Man weiss aber, daaa durch 4 solche Funkte stets ein Kreis gelegt werden kanu. Da non auf der Peripherie dieses Kreises die über den Sehnen oi'«,' und Ai Af st«heoden Peripheriewinkel constant sind, so ist es auch ihre Summe resp. Differenz, und mithin gebürt dieser Kreis nach 32'} zb dem System der Stromcurven.
durch eine Kngelcalotte, 239
.b) Um- nachzuweisen, dass der Raudkreis zum System der Strom- cunen gehört, haben wir nur zu zeigen, dass längs der Peripherie dieses Kreises (s. Fig. 3.)
Z. atP*ci^''+ Z. A^'P'A^' == const
Ziehen wir die Hilfslinie PP\ so zerfällt der Winkel a^'P'a^' = w
in 2 Teile^ die trj und w^ heissen mögen. Analog zerfällt W in Wy
und TTj. Nun sind die Dreiecke PP'a^' und FA^¥* ähnlich, da
sie denselben Winkel einschliessen und proportionale Seiten besitzen.
Also:
Z. PP'A^ = Z. Pa^'P'
Femer liefert das Dreieck PP'a^':
Z. «2'P'P+ Z. Pcc^'P' = Tt — P'Poi' oder
,^1 + T^j = TT — z: P'P«/
Analog findet sich
M,jj-f- W2 = TT— ZI P'Pa^'
and durch Addition der beiden letzten Gleichungen folgt schliesslich:
wenn i2 eine leicht verständliche Abkürzung und zwar eine Grösse von.constantemWert bedeutet Es gehört dcmgemäss der Rand- kreis zum System der Stromcurvcn.
Anmerkung. Der Satz, zu dem wir eben gelangt sind, ist gleichzeitig geometrisch nicht ohne Interesse. Er erscheint als Ver- allgemeinerung des bekannten Satzes von den Peripherie- und Centri- wmkeln. Denn lassen wir or^' und a^ an den Randkreis rttcken, so fallen die Spiegelpunkte ^/ und A^' resp. mit otj' und tt^' zusammen, und der vorige Satz spricht sich dann so aus, dass der doppelte Peripheriewinkcl gleich dem Centriwinkel ist.
Die jetzt gefundenen Sätze beziehen sich vorerst nur auf die projicirten Stromcurven. Unter Benutzung bekannter Sätze über die stereographische Projection können wir aber, zu den wirklichen Strom- curven übergehend, sagen:
„Insbesondere repräsentiren der durch die vier Punkte er,, «2» ^1 ^°ci ^2 gelegte Kreis und der Rand- kreis der Calotte stets zwei ausgezeichnete Stromcur- ven."
Tervendong der stereographischen Frojectioo. Strom-
TerzveigDDg in einem excen^tschen Ereisrfnge nnd in der
Ellipse.
A) Ein allgemeiner Sab Ober die itereographiiohe Projeotion.
Ein oft mit bcstcui Etfolg ^u vcrwcDdoiides Mittel für die Lösimg von Stromverzweignagsproblemea hieltet bckauntlich die conforme Ab- bilüuiiü dar. Es ist bczOglich derselben der Satz bcwieseu, dass so- bald für irgend eine Fläche das Verzweigungsproblom gelöst ist, sofort die LüsuDg dieses Problems für ihre conforme Abbildung angegeben werden kann, wenn die* Abbildangen der ursprÜDglichen Zuleitanga- stcllen als neue ZufOhruügsst«lleii dienen (C. Neunianu, Matb. Annalen la Bd. S. &G9. Eirchlioff, Mouatsbericbtc der pieusei sehen Akademie der Wtasenecbaften, JuU 18T5).
Derselbe Satz gilt von der stereographischeu Projcelion, dio ein spccieller Fall eooformer Abbildnng ist
Um vou diesem wichtigeu Satze Nutzen ziehen zu kitnncn, werden wir jetzt das Strdinuiigsproblciu für einige ebene Fiädicn lösen und hieraus dio LOsuug fttr das entsprechende Calottenproblcm herleiteu.
B) Lteung des Stromverzwelgungsproblemi fQr eine ringfdrfflige ebene FMohe, die von excentrlKhen Kreisen begrenzt «rird.
Dio Lösung dieser Aufgabe gestaltet sich ziemlich einfach, sobald oin geeignetes Coordinatensystem zur Verwendung gelangt. Die Wahl desselbeo, das ist uach dem Frübereu unmittelbar klar, geschieht am Besten nach folgenden Priucipien:
a) Dio Bcdingaog dafür, dass ein Punkt längs der Randcono fort wandert, muss sich einfach anssprechcn.
b) Die Differentiation nach der Normale der Raudpunkto darf koiuo Schwierigkeit bieten.
c) Uuas eine bequeme Entwickelung des I^garithmus der Ent- fernung zweier Punkte möglich sein und endlich muss
d) Die Differentialgleichung itU-^v eine müglichst einfache Gc- ttalt annehmen.
durch eine Kvgelcalotte. 241
Den ersten beiden Bedingungen entspricht offenbar das dipolare Coordinatensystem, und wir werden sofort zeigen, dass es auch die übrigen Eigenschaften besitzt.
1) Einführung des dipolaren Coordinatensystems.
Seien in Figur 4. G^ und G^ die Grenzpunkte*) der beiden excentrischen Kreise; ihre Entfernung betrage 2g. Im dipolaren Coordinatensystem sind dann die Coordinaten eines Punktes P:
PG r
Hiemach sind die Curven X =* const Kreise, welche die Strecke G^G^ harmonisch teilen; zu ihnen gehören auch die Randkreise unserer ringförmigen Fläche. Die Curven co « const sind ebenfalls Kreise, die, durch G,^ und G^ gehend, die Kreise des ersten Systems recht- winklig schneiden. Demgemäss erfüllt das dipolare System die ersten beiden gestellten Bedingungen.
Cm gegenwärtig auch die dritte und vierte Eigenschaft als vor- handen nachzuweisen, lesen wir aus Figur 4., in der a:^ die auf 0 bezogenen rechtwinkligen Coordinaten von P sind, folgende Relationen
ab:
(jp — tp* =» (0
ans denen leicht folgt:
und wenn wir
3) e* = A
setzen, so wird noch eleganter:
oder umgekehrt:
2")
Bc — »y '^ g.
V
«^—»y^l^^^-tfa,
*) Durch die bekanntlich Bftnimtliche Kreise gehen, welehe die excentri- schen Kreise orthogonal ichneiden.
TsULZ. 16
dttrek eine KugekahUe. 243
Ist b) di>d also d— 4H negaÜT: 80 ergiebt die Regel der Symmetrie:
!]gEk - lg(^«*»)-ilgiV(^, a)).iV(di, m) — 2? - . e-»^^*-*) . cosn (a> — m) 1 w
Das dipolare Goordinatensystem entspricht also auch der dritten An- forderung.
3) Transformation der Differentialgleichung iü'^O in das dipolare Coordinatensystem.
Im rechtwinkligen Coordinatensystem ist bekanntlich:
iü^^ + Si^
Man ergiebt die gewöhnliche Differentiation:
SU^dU d^ du dm dx *" 3^ ' 3« "■ Siw * 3«
Süd weiter:
d^ü_dW /3d\« 3^ /3q)\* yi^ 3^ 3»
Sh^-^ww) +30)«* v^J +^3^3ai a« * ar
3cr 3^ , 3ü; 3^ + 3^ '3«« +3« Äc«
3«ir
Ganz analog folgt der Wert für 03-9 so dass schliesslich wird:
X Mrr ^^ rn^ I 3*^r-i i o ^'^ /3^ 3w , 3l^ 3a\
, 3cr . ^ , 3r^ .
wenn wir zur vorflbergehenden Abkürzung setzen:
Ans der Substitutionsgleichung 2') ergeben sich weiter die Re- lationen:
3d 3» ??__8?
16*
durch eine KugelcaloUe. 245
Ist daher schliesslich d-^ der Parameter des äussern Randkreises, so findet sich:
^ öua On« l 2 TtKS 1 ^ J
Für den inneren Rand ist ^jk > ^ und es ergiebt sich nach 4') 6'') V « Const — £k H^ ^ - «-»•(**-*) . cos w (w — o>t), WO Const die Bedeutung hat:
Const= ^2^[lg(2ye*»)-ilgiV(^*,a)*)] Hieraus folgt leicht:
wenn ^o ^^^ Parameter des innem Randkreises ist.
*
5) Bestimmung der Function W, Aus der Differentialgleichung 5) lassen sich ohne Weiteres
Cn^li) 6-»(*-'*jk) . cOSn (oö — cot)
tmd
Th^*) c-»*(^jk-^) . cos n ( w — wjk)
als particulare Lösungen erkennen. Daher rechtfertigt sich der An- satz:
7) W= i:k~-£[Cn^^)e-^i^h^ + rn^J^)e-^i^k'^)'\cosn(a>— m)
worin Cffi^ und r„(*) Constante bedeuten. Diese sind so zu bestim- men, dasB der Bedingung
dW_dV dn dn
entsprochen werde. Nun berechnet sich aus 7):
r) 1?" ^[2;*^5n(C„(»..-«(*.-*«
dna Bnal 2n%B ^
— rn(*)c-»(^Jfc-'*i) )COS n (W — OOik)
durch eine Kugeloihtte. 247
6) Smnmation der in W vorkommenden Reihen.
Die in W vorkommenden anendlichen Reihen lassen sich mit Hilfe der Jacohi'schen Transcendenten S nnd H sammiren (Vergl. Jacobi, Fond, fanct eUipt). Diese Reihen haben im Wesentlichen die Typen:
^ ■=' ^^ ISJCOSna und:
Lösen wir in 5, jeden der Brüche -!__ 9^ ^ ei^e unendliche
Reihe auf, so wandelt sich die Reihe S^ in eine unendliche Doppel- reihe um, die nach Yerticalcolonnen summirt die Gestalt annimmt:
-Si == — ilg{(l— 2g«co8«+^)(l— 2^co8«+5«) ..-l Wird gegenwärtig zur Abkürzung gesetzt:
Q-(l-g*)(l-^) ..., 80 ist nach Jacobi:
(1— Vcos«+^)(l— 2^cos»+3«) -
1 1 M- . » * Vo . 3« , )
Vg.siUg '
oder:
=z:^M^')
2Ql/g.sins
2
wo K das ganze elliptische Integral 1. Gattung, die bekannte Jacobi- sche Constante, bed|iatet Es wird demgemäss:
11) Äi=-llg^(^»)-)-llgsin^ + Const. In ganz analoger Weise lässt sich S^ berechnen, und zwar findet man:
12) Äi=: — «(^») + Const
7) Transformation von W. Bestimmung y^ U.
Eine directe Verwendung der Formeln 11) und 12) liefert jetzt aus 8")
durch ein€ Kugelcalott^ 249
System, in welchem ein beliebiger Punkt der Ebene durch die Para- meter zweier confocaler Kegelschnitte bestimmt wird. Leider verträgt es sich nicht sonderlich mit den letzten beiden Bedingungen. Immer- hm aber kann es als Ausgangspunkt dienen, und es wird der Versuch zu machen sein, durch Einführung gewisser Functionen der ellip- tischen Coordinaten, als neuer Coordinaten (so dass die genannten ersten beiden Eigenschaften erhalten l)leiben) auch eine bequeme Logarithmenentwicklung etc. zu ermöglichen. Wir schlagen hierzu folgenden Weg ein:
1) Auffindung und Transformation der Differential- gleichung 60^=0.
Es wäre nicht geschickt die Gleichung jü" <-- 0 aus der für recht- winklige Coordinaten bekannten abzuleiten. Gtegenwärtig ist die directe Ableitung vorzuziehen.
Seien zu diesem Zwecke in Figur 5. A^ und A| die Parameter, welche den Punkt A characterisiren; die ihnen zugehörigen Kegel- schnitte in Verbindung mit denen, die die Parameter l^-^-dX^ und lj-|.dX| besitzen, schliessen das rechtwinklige Flächenelement ABCD ein. Wird der elliptischen Platte ein elektrischer Strom zugeführt, 80 ist das durch AD während der Zeit dt tretende elektrische QDantom:
du
Mr^'-nn-T^.AD.di
Nun ist nach Hesse's Vorlesungen über analytische Geometrie des Baumes (2. Aufl. S. 290.) ein beliebiges Bogenelement ds dar- gesteUt durch:
wenn zur Abktlrzung
gesetzt wird und o, 6 die Parameter der Grundellipse sind. Im Spedellen findet sich demgemäss:
15') ' ^
AD — dy Es wird also:
\/K—h A
and wenn wir il,4-<'<^ <ui die Stelle von 1, tret«n lassen, ergiobt sich fOr die durch BC aastretende Elektricit&t:
i[^B.\
Schliesslich folgt ans «) nnd ß):
In ganz der n&mlichen Wuse resnlürt fOr die in der Figur 5. angedeuteten Mengen N nnd JV':
diidi^dt
Gogenw&rtig berechnet sich mit Leichtigkeit der Oesammt^winii G = (M—M')-^{N—]SI') des Flächenelementa, durch dessen NoU- setzttng die gesuchte Differontialgleichnng:
'"= — äi; — + — hl, — ="
hervorgeht. Da Lf, nnabhUn^g von il|, £j nnabhängig von ito, so kann man dieser Diiferentialgleichnng auch die Form geben:
"' ^- Öl, +^-^^ **
Rttcksichtlich der Bedentangen von Zq nnd i^ bat diese Gleichang keine einfache Form. Wir wollen versnchen ihr durch EiniUimng nener Parameter:
eine bequemere Oestalt zn verBchaften. Denken wir nna diese neura Variabehi snbstitoirt, zunächst etwa ij fOr A^, so wird offenbar:
^^ = ^-^^ KSnnten wir nnn ij — ^0^) so bestimmen, daas:
durdk MPM Kugelcalott$, 251
a) Z,^-.C
wflrde, wo C eine Constante bedeutet, dann erhielte das erste Glied d^ I>ifferentialgleichang 17) eine sehr einfache Gestalt
IMe dnrch die Differentialglcichang a) charakterisirte Function itast sich glflcklicherweise leicht angeben. Es folgt nämlich ans a) mit Rficksidit auf 16) sehr einfach:
7 /*-7===lk== + Const
«rliftlt man für C — — i, Const — ^5
+Ai)(ft+ii)
Kim liegt nach Hesse (a. a. 0. S. 282.) der Wert des Parameters ij immer zwischen — a und — ö und wir dttrfen
setzen. Gegenwärtig lässt sich die Integration leicht ausführen und
2 .8) „_.™^{=±| + Jkj
od^ umgekehrt:
.ofv ( a+A, = (a— 6)cos«iy ^^^ \h+l^ =--(a-Ä)sin»ij
Bei der ganz analogen Bestimmung der Function ^(Xq) üt zu beachten, dass nach Hesse (a. a. 0. S. 282.) A^ immer zwischen —b and OD enthalten ist Es ergeben sich dann die Gleichungen:
10X f «+^-(«-«cos«f(^ ^ \ b+K «— (a— 6)sinW
wo i die imaginäre Einheit bedeutet
Flüiren wir die jetzt gefundenen Coordinaten wirklich ein, so wird die Differentialgleichung 17) in die Normalform:
traimformirt
3) Entwicklung des Logarithmus der Entfernung zweier Punkte im Coordinatensystem der ^ und 17.
Wie wir schon frtther fanden, lässt sich zunächst in rechtwink- ligen Coordinaten die Entfernung der Punkte m^ y und o^, y» dar- stellen durch:
durch eine KugelctUotU. 253
22) <
8? 3) Bestimmung der Function V, Berechnung von g^
Auch gegenwärtig setzen wir:
WO unter Ek die Entfernung eines heliehigen Punktes von der Zu- leitongsstelle au verstanden wird. Behufs späterer Verwendung be-
dV rechnen wir jetzt g^ für ^ = d©, wenn ^o der Parameter der Rand- ellipse ist Für solche Punkte ist ^ >> ^ und mithin die Entwick- loQg 22) verwendbar. Somit wird aus 23):
V^ — E 2^— [ J - e-"* (c»^k -J- er^^i) cosniy COS «i?ä 23') {
+ * - e^"*(c»»*4 — e-*^it) sinniy sinnijik] + Const
Gegenwärtig folgt ohne Mühe:
b) g^ — Ä 2^ [^ ^^ ^" (*•*** + «~"*») COSniy COS ni?»
-|- £ e"""*o («"*» — ö"***») sin niy sin my*]
4) Bestimmung der Function W.
Es ist leicht zu bemerken, dass
{7ö±»»*cosniy und Ci«±«** sinnig
particnläre Lösungen der Differentialgleichung 20) sind. Derselben tot deshalb auch:
24) W^ 2:*2^J&[CH.t(ö"*+«--^)cosniy+rHjk(«"*-«^^^^
Genüge. Dieser Ausdruck erfüllt auch die Stetigkeitsbedingungen, wie G. Neumann im 59. Bande des Crelle'schen Journals (in der Ab- handlung „üeber die Integration etc.") streng nachgewiesen hat.
aus rar aen luma
oder, wie man leicht erkennt:
3W dr
sein mnas. Kna ei^ebt sieb vermittblst 21) leicht:
) +ir.ji.n(i>-.+t—.)^.,-i
wenn irieder 6^ der Parameter des EUipeenrandee isL ElM Ter- gleichnng der BeUieo b) nnd c) ergiebt gegeDW&rtig sehr einjhck;
d) .;
2r~**<i t Bin nigj aJn rnjt
wenn gleichzeitig gewisse EzpoaenUalgrfissen durch bigonometriscfae ersetzt werden. Die Sabstitntion dieser Werte in 34) ergiebt nach einigen leichten Umformimgen :
26) 1 ,^*. 1
6) Transformation von W. Bestimmang des Potentials O.
Wir setzen in 35) den echten Bmch: 26) «-»*. — q
und überzeugen ans dann leicht von der Richtigkeit der Umwaadlang:
l W^i£i^-~\£—-^--^-cosni»i,coAm9c(ßn^kCQB*n
-£?r__^sini»»fttrinntgiinwingin*s
durch eine KugelcaloUe, 255
ans der leicht gefolgert wird:
+?;r(I^)<^-^»]
wenn die beiden Cosinus- resp. Sinasprodukte vorübergehend mit C und 8 bezeichnet werden. Elementare Bechnnngen liefern:
4(C7+iS)=2{c08nt(^+^)c08ii(i24-«?»)+C08n»(^ — ^»)C08n(ij— iy»)}
4(C— 5)=2{c0Bm(^+^)C08n(i;— iy») + C08m(4>— ^)C08n(i;4-^»))
Und wenn jetzt allgemein znr Abkürzung:
27) iy+f^=a), iy— f^=w' gesetzt wird, so folgt weiter:
4(C-|-<S) = C08n(i0-)-f0t) -|-C08n((»'+(0»')+C08n((io — a)»)+C08n((io'— ft)»') iiC—S) = cosn(cD — 00*0 + C08n(a)'— w») + C08n(i»4-»»')-|-C0Sfi( w' — (Hk)
Nach Substitution dieser Ausdrücke besteht W aus 8 Summen, von denen jede einzelne nach 11) und 12) sich leicht summiren lässt Es wird dann schliesslich:
+ige(f(»'+»t)).«(f (»'-»»))]
\ +'^*4^^8S'^"2~ *"^"~T~ ^^ — 2 ^ — 2 H»Mt
Fassen wir im letzten Gliede das Produkt je zweier Sinus zusammen nnd verwandeln es in die Differenz zweier Cosinus, so erhalten wir Bach Bestitution der unter 27) eingeführten Abkürzungen:
«^ ./* , . üi^m . w— CO» . w'+co»' . »'— w»' ^4iü^«**"'""2~"^~2~ ""^ ~2~""'"~2~
^^ - » ~lg{co8(iH-^)— cos(i2k+»^)} {cos(iy-«d)-co8(i|*-»a»)} ih. — F
Unter 8) &nden wir, die LÖBOtig des Problems fltr ringtSrmige Begrenzung betreffend:
ir=£t5^
2»xf I'
f^ll-»«.!!!-»..,}-''"""''''-"""'— "'
8)
Nun ist darch leicbte BeihenentwicUaag
durch eine Kugekahtie. 2ik>1
= «IZm^o.c-wC^-^*). («-2iiJ>,^-|-ß-2«^i [l-f_e"2«(^-^^o)-j- ...]
und analog:
Die Sabstitation dieser Eutwickluugen in 8) verwandelt 8) in eine onendliche Doppelreihe, die nach Verticalcolonne'n angeordnet bei- spielsweise das folgende Glied enthält:
r= le-»»'v*4^*-2'*«).cosn(w — CO*) 1
Wird kurz gesetzt:
80 ist vorerst zu bemerken, dass Si^k<i^o mithin auch*©i,jKC^ ist Demgemäss repräseutirt T nach 4) im Wesentlichen den nega- tiven Logarithmas der Entfernung der Punkte ^, w und öj,*, w*.
Analog verhält es sich mit den übrigen Yerticalreihon der un- endlichen Doppelreihe.
Bezeichnen wir gegenwärtig die Entfernung des Punktes ^, co von den Punkten:
^ 1 ^»-27/1(^1
\
2^0— ^*— 2(m — l)(di — -^oX «ö* kurz durch i5;Vk BO nimmt >r die Form an:
TT = - 2;» ~~ -?« lg ^'„.Ä £"^.i //'mjk H' m.» + Const und es wird mithin: /?) ^"^ -^»2^^ pgEife-f Jm lgi!;'m.jkA'",„.j//V*//"»..ik]+Con8t
Teil LX. 1 7
sagen:
a) Sttmmtliche em.k nnd i]»jt liegen anf dem durch tn, geheDdea, die RaJidkreise orthogonal schneidenden Kreise, mit at anf dereelben Seite der Centrale; denn wie aas u) ersichtlich besitzen sOmmtlidie Punkt« den Parameter tat.
b) Die Punkte « liegen ansscrhalb des änsseren , die Punkte ij innerhalb des inneren Randkreises, denn es ist nach a) sowohl:
2ej-fft+2(i»— !)(#, — *o) als auch ei+2m(*,— *,) stets > *, und sowohl •
2*0— 2(i»— l)(»j — »„) als anch #j— 2m(9, — »o) stets < #0
Beachten wir noch, dass in ß) einzelne der Stromst&rken A wegen ^tJ» =0 negativ werden, so kOnnen wir den gefundenen Satt so aussprechen:
„Treten an den Stellen n einer von excentriachen Kreisen begrenzten ringförmigen Flüche elektrische StrOme ein resp. ans, so Usst sich die resnltircnde elek* trische Spannung ftkr joden Punkt dieser Fl&che all Logaritbmue eines Quotienten von Entfernungen diesei Punktes von gewissen Punktsystemen darstellen. Letz- tere befinden sich anf den durch die ZnloitnngsBtellen n gehenden Orthogonatkroisen mit « immer auf der* selben Seite der Centralen, teils ausserhalb des Süsse- ren, teils innerhalb des inneren Randkreises."
Wie sieb dieser Satz im Falle coucentriscber Kreise modificirt, ist leicht cinzusehcu. Ebenso l&sst sich derselbe leicht anf das eot- sprecheude Calottenproblem übertragen.
2) Ad C.
tn bst wörtlich derselben Weise lässt sich der nntcr 25) für du EUipseuproblem gewonnene Ausdruck in eine anschauliche Form bringen.
Wir dflrfen nns daher mit der Angabe des Resultats begnfigen.
Zu diesem Zwpcke nennen wir die Entfemang des allgemeinen Punktes O, tj der Reihe nach von den Punkten:
r)
durch eine Kugelcalotte. 259
im^+^k, 1?* kurz ^'m.*
(4m+2)^o-^», 1?* « ^W
and erhalten :
«) w^^Z%^~ Zm lg £'«,* £r',^jk H'„,J, U".n.k+ COüBt Demgemftss wird gegenwärtig:
0 ^ = -^* 2^^ lg Kk + -2:* 2™ I lg ^'mjk ^'«^ H'mjk H'*»!,* + Const
Verstehen wir unter ek,m und i^j^^m, analog ¥rie vorhin, die den Entfernungen Emjt und Hm,k entsprechenden Punkte, so lässt sich deren Lage auch hier leicht angehen. Sie liegen:
a) sämmtlich auf der durch ot (Figur 7.) gehenden confocalen Hyperhel; denn sie haben nach y) sämmtlich den Parameter dL^*- Jedoch liegen die ek,m mit ak auf derselben, die rik,m auf der entgegen- gesetzten Seite der Hauptachse, da erstere den Parameter +i?*, letztere den Parameter — iy* besitzen*).
b) sie liegen ohne Ausnahme ausserhalb der Ellipse, wie man aas y) leicht ersieht
Der durch S) ausgedrückte Satz lässt sich hiemach leicht in Worte fassen.
in. Hauptabschnitt
Strömung in einer Ton einer sphärischen Ellipse
begrenzten Calotte.
Ist die Calotte yon einer sphärischen Ellipse (d. h. von dem Schnitte eines centralen Kegels 2ter Ordnung mit der Kugelfläche) begrenzt, so empfehlen sich als Coordinaten vorerst die elliptischen Kogelcoordinaten (cf. Hesse a. a. 0. Seite 315). In diesem System wird iigend ein Punkt der Kugel durch die Parameter X, und X«
*) Die Bedeutung des negativen Parameters t^k folgt leicht aus der geo- inetriBchen Interpretation desselben» nach welcher 17 die sogenannte exccntrische Anomalie ist
Die System
welche mittelst
In ahnlicher Weise hat man far ein Bogeiielemont im BAumc iq elliptischen Ranmcoordiuatcn (Hesso a. a. 0. Seite 313. Formel 49.) den Ausdruck:
4 l(ii-'l.)Ä*"'"('lo-i.)A*"'"(io-ii)A*J ans dem man leicht das Bogenelemont der Engeloberflache in ellip- tischen Kuge|coordinateu fiudet, wenn man lg = const = Kageh^ius setzt und den auf bekannte Weise durchzuführenden Uehergang (Hesse a. a. 0. Seite 3l6 u. f.) von den elliptischen zu den elliptischen Kugel- CO ordinalen vomimrat.
Es findet sich für ein Bogenelement da der Kngeloberflttche:
wo r den Badina der Kngel, il„ Ij elliptische Eugelcoordinalen be- deuten und zur Ahkürzang gesetzt ist:
durch eine Kugelcalotte. 261
Um das sphärische Bogenelement unter 3) in ähnlicher Weise zu vereinfEurhen wie das ebene unter 1) führen wir durch die Glei- chungen:
dX^ 1 , _ dk^ 1 ,
wobei C eine Constante bezeichne, an Stelle Ton A^ und X^ zwei neue Parameter r, o ein. Ist dann <p(t, ci>) eine vorläufig nicht näher anzugebende Function der Parameter r und «o, so nimmt das sphä- rische Bogenelement, wie leicht erkannt wird, die einfache Gestalt an:
6) do^ « 9(t, w) {dt^+dM^\
Lassen wir nun gegenwärtig den Punkten r, ca der Eugeloberfläche Punkte ^, rj der Ebene in der Weise entsprechen, dass
7) <(> = T, iy « w
entsprechende Punkte sind, so ergiebt sich für das Yerhältniss zweier entsprechender Bogenelemente nach 6) und 2):
woraus man erkennt, dass unter Anwendung des Correspondenzgesetzes unter 7) die Punkte der Kugeloberfläche conform in die Ebene abgebildet werden.
Die weitere Untersuchung soll zeigen, dass dasselbe Corrcspondenz- gcsetz die sämmtlichen Punkte einer sphärischen Ellipse in eine ebene Ellipse conform abbildet.
B) Nähere Angabe der neuen Parameter r, ut, Bestimmung ihrer Grenzen
fOr die sphärisolie Ellipse.
Aus der ersten Gleichung unter 5) folgt mit Rücksicht auf 4) unmittelbar:
T = C / , ^ ^ , , + Const
und da l^ immer zwischen — «i und — «g liegt*), so darf
Aj =» — flfj — Aj gesetzt werden, wodurch r die Gestalt annimmt:
T = -C r~, "^^^ , + Const
*) VergL Hesse a. a. O. S. 316.
262 Wolf', (Jeher den Durchgang des eUktrUchen Strömt
wenn Yorttbergehend gesetöt wird:
«0— «f, «=a, a, — flf, = 5, a>ft Die Substitutionen:
9) ^-i-—^ (stets <1) a «0 — ^2 und
Aj'= &8in^^ =» («1 — crs)sinV
bringen schliesslich das Integral auf die Normalform:
9
' 2C
Vi— A;«sin»y
wenn y eine femerweite Constante bezeichnet
Umgekehrt ergiebt sich gegenwärtig:
*
sin 9> » sin am — »' ^
oder wenn für ^löö "* ^ gesetzt und ftlr tp der Parameter A, resti-
tuirt wird:
10) «i+Jli »= — («1 — n^m?amc{x-\-y)
Hierbei sind c und y yorläufig nicht weiter bestimmte Constanten.
Durch beiderseitige Addition von «j — n^ resp. von Oq — o, folgt rttcksichUich 9) hieraus noch leicht:
10'^ ; «1 + ^ = («1 — a«) C08»am<?(T-f y)
(oo — er,) -*i^amc(T-fy)
Eine ganz entsprechende Behandlung ist der zweiten Gleichung unter 5) angemessen. Es ist nur zu beachten, dass Aj zwischen — ff| und — o^ enthalten ist*), worauf die successiven Substitutioneii :
V— K— «t)co8V
11) ^^i^Jin^ (stets <1) «0 — "*■
sehr einfach liefern:
I«o+Aj = («0 — «i) sin» am <;(«-4-/) «j-f-X, « — (a^ — «i) cos* am c(w 4- /) «fj-f-Af — — («Q — a,)^»amc(a) + y')
*) HetM A. a. O. 8. 816.
durch eine Kugtlcalotte 263
WO / eine weitere noch nicht bestimmte Constante ist — Besonders hervorgehoben zu werden verdient, dass nach 9) nnd 11) die Moduhi der elliptischen Functionen der Argumente r und ä> verschieden sind; ihre Quadrate ergänzen sich zur Einheit
Was gegenwärtig die Grenzen der Parameter t, m innerhalb einer sphärischen Ellipse anlangt, so ist zuvörderst zu bemerken, dass f&r die sphärische Ellipse der Parameter k^ zwischen:
der Parameter X^ dagegen innerhalb
X,<>=— «1 und V"*^«^
varilrt *). Heissen daher Xq und r^ die neuen Randparameter, so er- giebt sich aus 10):
( sin*am(?(r0+y) -■ 1
8ili*a«»«(T|-(-y) — —
«1
Kommen wir jetzt ttberein die kleinsten sich hieraus ergebenden Panunetenrerte zn acceptiren, so folgt:
i '> — r
wenn y = gewählt wird, wo K die bekannte Jacobi'sche, und c
c
eine yorläufig unbestimmte Constante bezeichnet; überdies aber zur Abkürzung
/ dtp ovHhV
'J yl— **8mV «i~"**2
k^^^
«0 — a.
0
bedeutet.
In analoger Weise bekommt man aus 12):
sin*ai»o(a)o+y') "" 0 sin*am<?(©i-{-/) ■« 1
wenn a>o und tOi die Bandwerte des neuen Parameters m sind; es folgt hieraus sofort:
»0 = 0
2»
15) (*'« =
*) HesM a. a. 0. S. 316. Formel 61.
264 ^^0 If' Ueber d. Durchgang d, elektr. Stroms durch eine KugelaUoite.
sobald gewählt wird:
C) ZurfiokfOhrung des Strömungsproblems fOr die tphSriscbe Ellipse
auf das der ebenen Ellipse.
Die unter 14) und 15) gefundenen Grenzwerte der Parameter T, G) lassen erkennen, dass die durch das Correspondenzgesetz 7) in der Ebene der gewöhnlichen elliptischen Coordinaten ^, rj (den sämmt- lichen Punkten der sphärischen Ellipse entsprechend) gefundenen Punkte innerhalb einer Ellipse liegen, dass somit racksichtlich 8) die sphärische Ellipse conform abgebildet wird in eine ebene Ellipse.
Mit Rücksicht auf den von Carl Neumann, Math. Annalen Bd. 10. S. 569. bewiesenen allgemeinen Satz (vergl. II. A.) ergiebt sich gegen- wärtig sofort die Lösung des Strömungsprobloms für die sphärische Ellipse, da wir dieselbe für die ebene gefunden haben. Und zwar ergiebt sich für die in irgeBd einem Punkte der sphärischen Ellipse herrschende Spannung r/ der Wert:
+ lg/f (^(Ä' + i^^)) . h(^(SI' - Ä'*))
+ lg ö (I (ß + Ä'o) . ö (f (Ä - Ä'*))
+ lgö (^(Ä' + 51*)) . e (~(Sl' - Ä*) Wconst
wobei zur Abkürzung allgemein gesetzt ist:
a)-\-n == Ä, Q> — ix ^^ SV
und T und o) nach 10) und 12) mit Rücksicht auf die Coustanteu- bestimmuugen durch die Gleichungen:
«0+^1 = («0— a^)^^am^{t—2n)
K
mit den elliptischen Kugelcoordinaten zusammenhängen.
Ausserdem ist K das ganze elliptische Integral Ister Gattung mit dem Q> entsprechenden Modul k', dessen Wert durch 11) dargestellt wird.
Cstifrer: Uelw aufsteigende KeitenhrUche^ 265
XXI.
Ueber aufsteigende Kettenbrüche.
Von
Herrn Emanuel Czuber
in Prag.
Im Jahre 1857 veröffentlichte Prof. Alfred Ennze in Eisenach eine dankenswerte Schrift „über die aufsteigenden Eetten- br flehe'' (Weimar, Böhlan), durch welche er dieselben in den matho- matiscben Elementarunterricht einzuführen beabsichtigte. In der Tat fanden sie nachher in der Aufgabensammlung Ton Dr. E. Heiss, sowie in dem ,, Lehrbuche der allgemeinen Arithmetik" von Dr. C. Spitz einige Beachtung. In neuerer Zeit hat namentlich Dr. S. Gflnther zur Förderung ihrer Theorie beigetragen. (Man vergl. dessen Aufsatz „Ueber aufsteigende Kettenbrücho '' in Schlörailch's Zeitschr. XXI, 3, wo namentlich ihre Darstellung durch Determinanten zur Geltung kommt. Daselbst auch Litteratumachweise.)
In den folgenden Zeilen soll eine directe Entstehungsweise der anfsiteigendeu Eettenbrüche gezeigt werden, aus welcher sich die wesentlichsten Eigenschaften derselben leicht herleiten lassen.
1. Die Logarithmirung des Radicals
Ä = Vßi '*,
Vß,
'n
Vßs - ffllirt zu dem Ausdrucke
y,H
in wclcbcm man aofort einen aiifst«>igendcn Eettenbruch erkennt. Durcb entsprechende Rednction obigen WurzelansdnickeB erhält man aber andererseits
R - VA-."..-.«„,i,-^....a, ... ^_i%jj„ und d&rans
IR ._ "*'*' • • '^^^^ "^ "'''* • °"^»+ ■■ -f «■^Pi'-l + ^
Dnrcb Gleiehsetznng der beiden fllr IH gewonnenen Aosdrflcke ge- langt man zn der Gleichung:
fft + -^ ^ «« _ tttO,-<.,fgi-Ka«-.fl,lp,+.--hU^..-i-Hft.
Setzt nun nnn
Bo ergibt sich nach ^nfacher Rednction die Gleichung
«1 <»t Ol«»«! «i'Vh ... o.
dnrcb welche der anfsteigende Eettenbmch in eine äquivalente Sdhe gewOtinlicher Brüche verwandelt erscheint, deren BUdnngBgesetz leicht zn ttberseben ist; die Zähler der anfeinanderfolgenden Glisdor sind die ParÜalzähler der Kette, die Nenner sind Prodncte der Partial- nenner, jedesmal vom ersten bis zn jenem, dessen Zähler eben be- trachtet wird. Der anfsteigende Eettenbrnch drQckt aUo eine Division der ParÜalzähler dnrch alle anter ihnen befindlichen Partialnenner nnd eine nachherige Snm- mirnng der so erhaltenen Qnotienten ans.
Da die Zahl der Glieder der äquivalenten Reihe mit der Zahl der Kettenglieder übereinstimmt, so wird erstere mit der letzteren zn^eich unendlich und die Untersuchung der Convergeu eines w>-
Cm üben üeber amfateigtnde Kettenbrücht. 267
begrenzten anfsteigeaden Eettenbrnches ist znrückgeftlhrt auf jene einer unendtichen Reihe.
2. Der Wert, welchen r Glieder der Kette vom ersten gezählt geben, wird der rte Näherungswert genannt; er ist ausgedrückt durch die r ersten Glieder der Reihe. Man hat demnach, wenn mit tri vj ... u?r die aufeinanderfolgenden Näherungswerte obigen Ketten- bmches bezeichnet werden, nach Oleich. (1) und (2):
»1
,- «, - - - - ^ 'Am "»
(o; Wr *=
Aus dieser Zusammenstellung ergibt sich leicht die recnrrente Formel
wenn unter ^[^^ — und ^7 zwei aufeinanderfolgende Näherungsbrüche verstanden werden.
Unter der Voraussetzung, dass sämmtliche Glieder der Kette positiv sind, wachsen die Näherungswerte, so dass
w^ <; IT, < «?j ... < t<?,
wobei w den wahren Wert bedeutet Auch erkennt man, dass der Unterschied zwischen dem r— Iten und rten Näherungsbruch
br
0^0(03 ... Of
beträgt, während der Abstand des letzteren vom Totalwert durch die Summe
aoigedrflckt ist, wenn mit dem n>'rten Gliede die Kette schliesst.
268 Ciuher: üeber aufsteigende Kettenbrücke.
3. Setzt man in dem allgemeinen Eettenbruche sämmtlicho Zähler gleich der Einheit, so erhält mau den gewöhnlichen aufsteigenden Eettenbmch und die ihm äquivalente Reihe, nämlich:
1 + -
l+i"^^ °"_l+-i. + ^ + ., + _!_;
letztere ist in diesem Falle eine sogenannte Teilbruchreihe (nach Heis), jedes Glied derselben ist ein aliquoter Teil der vorhergehen- den. Die recurrirende Näherungsbruchformel lautet jetzt
-. Zr __ OrZr-l +1 ^^' Nr OrNr^i
Für den Fall z. B., dass £4 = 1 und die übrigen Partialnenner die nattü-liche Zahlenreihe bilden, ergibt sich:
1 \
i ^ —1^1^1.2^1.2.3^ ••^1.2. 3...n
Setzt man Kette und Reihe in's Unendliche fort, so convergirt letz* tero gegen die Zahl 0, so dass
1 4- - " 1
«»
wodurch die Basis des natürlichen Logarithmeusystems durch einen gewöhnlichen unbegrenzten aufsteigenden Kettenbruch dargestellt er- scheint. Allgemeiner erhält man:
j 1 _e«.
4. Findet bei einem Kettenbruche beständige Wiederholung einer Gruppe von Gliedern statt, so heisst er periodisch und die sich wie- derholende Gruppe wird Periode genannt Beginnt dieselbe mit dem ersten GliedOy so spricht man von einem rein periodischen Ketten- bruch, fängt sie dagegen mit dem r-|-lten Gliede an, so hat die Kette r Yorglieder.
Czuber: Ueher aufsteigende Kettenirüche, 269
Die Ermittelung des Wertes periodischer aufsteigender Ketten- brücho fQbrt, wie sich im Folgenden zeigen wird, auf die Summirnng geometrischer Progressionen.
5. Der eingliedrig-periodische Kettenbruch
^ 4- - «
- • a a
ist äquivalent mit der Reihe:
a^ a^^ a^^ * ^ a^ wird demnach sein Wert mit tr» bezeichnet, so hat man
und nach ausgeführter Summirung der geometr. Progression
b a" — 1
Es erscheint demnach der Wert der Periode - mit dem Bruche
a
~^^^x( i\ BÄ'iitiplicirt, welcher, wenn a>l, unecht ist und bei
wachsendem n an Grösse zunimmt. Setzt man den Eettenbruch in's Uueudliche fort und bezeichnet dann seinen Wert mit w, so ist
1
a —
ir = limirH = - • hm
(7) d. h. w
h 1
a a — 1 a — 1
Für den gewöhnlichen Kettenbruch, wo & » 1, hätte man
1
w
a— 1
Diese Werte sind endlich', sobald a >> 1 , so dass unter dieser Bedingung jeder aufsteigende Kettenbruch von eben betrachteter Form convergent. Es stimmt dies mit der Convergenzbedingung der geome- trischen Progression ttberein, auf welche die Kette zurückgeführt wurde. Man hat also z. B.
des des
Czuben Ueber anf »teigende KeütnhrBche. 271
and schreibt man für* die geometr. Progression den geschlossenen Aosdmck, so wird
(8) «^,»(^ + A_\
(oi^j)*— 1
(ajOg)"-! {c^a^ — 1)
Hätte man 2n-f-l Glieder von der Kette genommen, so wäre hiezn
noch ; rz — hinzuzufügen. Wird die Kette wieder in's Unend-
liehe fortgesetzt, so ist dann ihr Totalwert
(9) «,»lim«^ = (^ + -^).-^^;
Dieser ist offenbar endlich, sobald a^a^ >> 1. Wieder ist der ein- geklammerte Ausdruck der Wert der Periode. Man erhält beispiels- weise
1 -4--^ 1
6. Durch gleichen Vorgang findet man den Wert eines unbe- grenzten f-gliedrig-periodischen Kettenbruches, wenn mitp kurz der W^ der Periode genannt wird,
(10) «?=p. r
und die Convergenz knüpft sich an die Bedingung
a^a^a^ ... Oi ^ 1.
Man erkennt aus dieser Formel, dass bei einem Tielgliedrig-periodi- schen Kettenbruche der Totalwert dem Wert der einfachen Periode sehr nahe kommen kann.
ß R ff
Grehen der j-gliedrigen Periode r Vorglieder—, ~ ... -voran,
bezeichnet wieder p den Wert der Periode und v jenen der Vor- glieder, so findet man
(11) ti? — t>H .p. ^-^-T — 7:
darin ist bekanntlich:
7. Kehl so war der i grosse. Diee wendet werd'
Hat mat
ein nnbcgrei gefuDden wui
Za dem glei Gleichung
Czuher: Ueher au/steifffinde Kettnihruche. 273
m
y—
aV
zn bestiinmen, so würde sich
ay.b ...
, M ...
m
als unbegrenzter, zweigliedrig-periodischer Kettenbruch ergeben, dessen Wert mit ^- + — j — ^^33^ gefunden wurde. Hiemach ist
\m mn/ mn — 1
JaH
und
mn — 1
d.h.
1
R r= (cte"6^mH - 1 mn— 1
derselbe Wert, der sich aus der Gleichung
m
ergeben würde.
T«il LX. 1 g
(Tun eompltxe de droites du pr emier ordre (1) (qt—ry-]ra)dX'\r-(rx—pZ']rh)dy'{-(py—qx-\'C)dsi = 0,
275
et aux deux autres 6quations saivantes, qu'on d^duit par diiT^rentiation de r^quation .1),
(2) (qz — ry-\- a)d^x -f- {rx — pz-\- b)d^y "^{py — qx-^- c)d^z = 0
(3) (qz — ry-\- a)d^x -|- (rx — pz -|- h)d'^y -j- {py — g« -j- c)d^z =
{rdy — qdz)d^x -|- ( pdz — rdx)<^y -|- (qdx — pdy)d^z =» — D
Cela pos6, consid^rons le determinant
1 qz — ry-f-a rx — pz-\-h py — qX'\-c — (op'\-hq-^cr)
10 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
d =
et mnltiplions par le dctcrmiuant J le determinant H ^crit de la maniöre suivaute:
dx dy dz 0 \
c^x d^y dh 0
d^x d^y dh 0
q p r 1
H
En faisant le produit H^l par la r^gle connuo de multiplication et en tenant compte des relations (1), (2), (3), nous avons:
H/1
10 0 -Z) 0
dx d^x d^x p
dy d^y d^y q
dz d^z tl^z r
d'oü
Hd^—D
dx d?-x p
dy d^y g -= — Z)^;
dz d^z T
mais /l et ^gal ä la constante
ap'\-hq'^cr\
donc
ap-\-bq'\-cr
ce qu'il fallait d^montrer.
18*
Zweite ;
und deren I die Strecke ' «, *, e, Xq, 9 deren eine . berührenden Wir de&nirei
und bezeichi häugigen Gr Mit An¥ erklärten Bc aflymptotiBcb
In nnsenn f
Hoppe: Zweite asymptotische Linie einer Regelfläche.
277
F«= ^
Gt =
wo
L =
M
|
■ 8x |
dx |
d»x |
||||
|
du |
dv |
dudv |
||||
|
a a' |
< |
|||||
|
du |
dff do |
dudv |
b h' |
Vo' |
||
|
fe |
dz |
oh |
c c' |
%,' |
||
|
1 du |
dv |
dudv |
||||
|
Bx |
dx |
d^x , |
||||
|
du 1 |
dv |
dv^ 1 1 |
||||
|
du |
dl, dv |
8V |
= L-\-Mu-{-Nu* |
• |
||
|
dz |
dz |
e»z |
||||
|
X)tt |
dv |
dv* |
||||
|
a |
^ |
V a a' |
a" |
|||
|
b |
9o' |
yo"!; ^ = |
h b' |
b" |
||
|
c |
V |
vi 0 c |
e" |
|||
|
a |
a' : |
< |
a a" Xq' i |
|||
|
b |
h' i |
vo" - 1 |
b h" Vo' |
|||
|
c |
c' |
«0 |
c c" |
^' |
= — Ä"
(4)
(5)
gesetzt ist. Die GL (3) zerfällt wegen E = 0 in die beiden:
8w = 0; 2Fdu-\-Gdv = 0
Die erste entspricht der Erzeugenden; die zweite hat in Bezug auf tt die Form:
du L + Mu + Nu^
dv~ 2K
(6)
Von dieser ist bekannt, dass sie sich auf eine lineare Gleichung 2. Ordnung reduciren lässt, ferner dass, wenn eine specielle Lösung u = ti,j vorliegt, das allgemeine Integral mit der willkarlichen Con- stanten k in der Form
r.
~ = »o+r+^
(7)
dargestellt wird. Fahrt man diesen Wert in Gl. (6) ein und erffillt sie unabhängig von k, so ergiebt sich:
278 Hoppe: Zweite asymptotische Linie einer Regelflojche,
also
WO c die Grundzahl der natürlichen Logarithmen bezeichnet.
§. 2. Darstellungr <ier Fläche in asymptotischen Parametern.
Der speciellen Lösung entspricht eine einzelne asymptotische Linie. Wir kehren nun das Problem um, nehmen eine beliebige Curve 8q als Leitlinie der Bewegung der Geraden (1) und bestimmen letztere so, dass *o asymptotische Linie auf der erzeugten Regeltl&che wird. Bekanntlich (s. Flächcnth. Satz 15.) fällt die Schmiegungsebenc einer krummen asymptotischen Linie mit der Bertihrungsebene der Fläche zusammen. Wir haben daher die Erzeugende in die Schmie- gungsebene von «o zu legen. Bildet sie darin mit der Tangente den Winkel <p^ so haben die Gl. (1) die Form
X = a*o + (/oC08 9)+/o'sin<jp)w \
y = yo + (9q cos (p +flFo'si» v) «* > (8)
« = «0 4~ (^0 cos qp+Äo'sin^?) u )
^0 /o? 9o^ h <ii6 Richtungscosinus der Tangente, /i', g^^ ä^' die der Hauptnormale von sq bezeichnen, also v der Krümmuugswinkel von *o ist Der Fall <p = 0, wo die Fläche abwickelbar ist, muss eben- deshalb ausgeschlossen werden. Bezeichnen femer l^y m^^ n^ die Richtungscosinus der Binormale, Oq den Torsionswinkcl von «„, so erhält man durch Differentiation:
dx
g^ == /i cos 9P + /ö' sin <jp ; etc.
g^-^/olV— "(l + 9>')sin(p}4-/o'tt{l + g)')co8g)+io«*Vsi»9>; etc.
Sind p^ g, r die Richtungscosinus der Flächonnormale, so findet man durch Determinanten aus diesen Werten:
pt « /•o"^o'sinV--/b'**^o'wJi^cos<p-f Zq !w(l+9') — *o'si^9^1 (9) etc. Das ist ftlr u = 0:
pi = — l^ Sq' sin q> ; etc.
also mit Beziehung der Vorzeichen:
p«±Zo; q^±^hi »•=±wo; < = =FVsiß<P
Hoppe: Zweite axymptoiUche Linie ebner Regeffläche. 279
Demnach fällt bedingungslos für jedes q> die Schmiegungsebene bei iq in die Berührungsebene, und »q ist asymptotische Linie.
Hieraus folgt, dass ^=^0 die Gl. (6) befriedigen muss. Daher ist Z/ === 0, tio « 0. Die Gleichung lässt sich jetzt nach Division durch it' in der linearen Form
schreiben, und gicbt so unmittelbar, wie auch aus (7) filr lio — 0 erhalten wird:
e,^ « tlJ K- . ^3 « _ j^y ^t^ K (10)
Snbstituirt man diesen Wert Air u in die Flächengleichungeu (8), und schreibt u statt ik, so werden sie:
/•pCOsy+Z'o'siny «^ = ^0+ -^^J^^ 1;,
, g^pcosy+ysiny ^
y = yo+ ;i+^;;^ 1,, ) (ii)
, ÄoCOsg>+V8ing>
Sie stellen dann Air constantes v die erzeugende Gerade, fär con- Btantes u die zweite asymptotische Linie, überhaupt also eine Regel- fläche in asymptotischen Parametern u, v dar. Aus der Herleitnng geht hervor, dass der Ausdruck alle windschiefen Regelflächen in sich begreift
Es bleiben noch die Werte von JT, JW, N anzugeben. Aus (8) findet man:
dx
g^ = /ocos<)p+/'o'sin<jp
8x
g;~/biV— <*(l+<P')8«i<P}+/o'«*(l4-g>')c08<)p4-^ttdo'sing)
ä^ /ö (1 + 9>') sin ip +/o'(l + g>') cos 9 + io ^o'sin g)
+/o'{*o'— «*(l+v')*8Jtt9+tt(p"cosg) — uV'flin^l +2o«*{^o'(l +29') cos v+ Vsin V }
280 Hoppt: Zw
Dies in dio anfänglich)
Fl — — V^o's'nV
icOBip *(,' — «(1
(?( ~ Biii9 u(l
I 0 u&a
Denmach ist Ä=»j,'#5'sin*ip
Jetzt ist nach (9)
oder
Diese Werte sind in t
Wir haben nun z- für asymptotische Para E=Q G = 0. Diff in (6) gefundenen Rcl:
Hoppe: Zweite asymptotische Linie einer Regelfläche*
281
iVsin
^V+
+ /oV8ing>~^-
Budv
-/o'{[(l+9')cosg>+
{u+v^?
3/singp
A)V8in9(^^-)i
Hiemach ist
/"^^ J-/'??'^' . /^S^^' ^'_
8« Sa; 9y 8y j^ 82 83
~~ 8m 8v ' 8?« 8t? ' 8« 8«
)^
/Ol /F r./- 1 /V . . AfCOSOpl «»
+ [(1 + V )* + ^0 *su»V + 4X9+ — -g — J [^,;:^J
+
2K^
Ft = -VVsinV(4*^j.
l*=-eg -p
)*
282 Uappt: Zureite atginplotUc
%. 3. Faü einer linearen Dlffer« lini
Die Untersuchung der Kramau die GleichuDgea
bestimmt Bind, fährt auf die Fragi
Grösse - onablillDgig von » ein Q
voraus, so folgt ans dem ersten \ dasB
)/f-
sein rouss. Entwickelt mau das Qi tificirt -ancli die beiden Qbrigen Tei
und nach Einführung der Werte (1
( \ sin v ^ Die erste Gleichnis giebt integrirt:
-^ =. *i*tg*? . wo *, — e*' ""v Die zweite rodocirt sich nach Division durch 9^' auf
woraus nach zweimaliger lutegratiou erst
(15)
3;7^=-tg(#o+0 (IT)
c(»(#o+t) = »*it«| (18)
Hoppe: Zweite asymptoHfcke Linie einer Regetßä^. 283
WO i and x coAStant. Eliminirt man O^ zwischen beiden Gleichnngen, so kQmmt:
C08«(^0 + 0= «*g^" (19)
Dies nochmals integrirt giebt:
*o = «*tg(^o+0 (20)
Letztere Gleichung ist unabhängig von v und 9, und drückt eine Eigenschaft der Curve sq aus^ die ihr bei jeder Beziehung zwischen Krümmungs- und Torsionswinkel durch Bestimmung der Dimensionen erteilt werden kann. Hierzu kommt die Gl. (17), die durch Bestim- mung von <p zu erfüllen und auf jede Curve «0 anwendbar ist. Daher werden durch Annahme des gegenwärtigen Falles in den Gleichungen der Fläche "nur die Grössen xq^ yo^ ^^ *^4i ^3 ^^^ 9 specialisirt Die 3 ersten erhalten die Werte:
a-ü = »^//b 8 tg (^0 + «) ; etc. Femer gehen die Ausdrücke (12) nach GL (13) (14) (16; (17) (19) jetzt über in
^=-2(l + 9')cot|
N K
1 + COSJB
^0 ^^-
Jetzt ergeben sich unmittelbar aus (10)
1 /cot ? dv
t?4 = > WO g)i =- C»' 2
<Pi8in*2
t?3 « —
Die Differentialgleichung der Krümmungslinien lautet also:
du
f.
fi
<PiUi'f
8»o \ I V
»?
«Vitg»!
284 Hfi^tpei Zweite asyinpfoftsche Linie einer Reyelßäche,
Sic bat gleich wie Gl. (6) die Form
±^~ = L, + M,u+N,u^
sie läset sich algo auf eine lineare Gleichung 2. Ordnung reducircn, und die den einzelnen Zeichen entsprechenden allgemeiunn Losungen, sobald für jede eine Speciallösung w = Wj, u ^ u^ bekannt ist, wie folgt darstellen:
Wenn man also eine Erttmmungslinie von jeder Sojiar kennt, so kann man auch das System der Krümmungslinien finden und die Fläche in Parametern . der Krümmungslinien k , ^ darstellen , indem man die Werte (21) einzeln in die Flächongleichungen einführt und t?, das auch in n^, u^ gegebener Weise steckt, eliminirt. Dagegen lässt sich die Aufgabe nicht umkehren, weil die Fläche schon teilweise be- stimmt ist
§. 4. Asymptotische Wendecurve.
Wir kehren zurück zu den Gl. (8), wo u den Abstand des lau- fenden Punkts längs der Erzeugenden von der Lcitcurve sq andrückt, verlegen aber den Anfang der u in den Drehpunkt der Erzeugenden, d. h. denjenigen Punkt, welcher der Consecutiven am nächsten ist. Bezeichnet R den Drehpunktsabstand, so werden die Gleichungen der Fläche:
X = a-o-|-(/oCOsgp+/o'sin9) (/?+«*); etc. (22)
Für R findet man nach bekannter Formel (Arch. LV. 102. Gl. (74)):
Die Richtungscosinus der Normale sind bereits in Gl. (9) allgemein bestimmt; es ist nur Ä+t*, und da wir bloss die Werte für m = 0 brauchen, nur R für u zu setzen, also im Drehpunkte
p« = /'^jÄ^^,'8inV— /o'^V8in<pcos9>-f/o{^(l + 9')— V8in<?>} oder, für R seinen Wert gesetzt,
, . (/osintp— /"o'cosip,, , f.t... , ,
— 1
Hoppe: Zweite asymptotische Linie einer Repelßäche. 285
Die Qnadratsumme der 3 Analogen giebt:
t p
(/o sin g> — /o'cos 9) (1 + <p') — ^-^o'si» <P p = p ; etc.
das ist
_ 1 9(/oC08<)P+/o'8in(p) _ 18^ . ^■"""P dv Pdudv' ^^'
woraus sofort:
_?^ I 8^y I 8^g _ p
^ Swfiy ' ^ 8w9t? ' 8it3w
Um demnächst G zu finden, sind die Gl. (22) zweimal nach v zu differentiiren. Dies giebt für t* =' 0:
£ ==/oV— l'^-Ä+(/oC089+/o'8in9)i2'
p =/o*o"+/o'*o'- ^ «? -;> {Pny'-pFR'+ (/o cos 9+ ^o'sin g>)Ä" woraus:
jg/sincp — Vcosy^^ , ^,^ ^ {V(l + y')sinyr
•= P |-,7-i+-^.-(l + 2,,)cot9+ p|
Betrachten wir nun den Fall, wo die Curve u == 0, d. i. der Ort der Drftipunkte der Erzeugenden, den wir die Wendecurve der wind- schiefen Regelfläche nennen, eine asymptotische Linie derselben ist, 80 reducirt sich die Bedingung (3) vermöge du =0 auf 6? « 0. Sie ist nach der letzten Gleichung erfüllt, wenn man setzt:
and zwar ist dies die einzige LOsang; denn mit l-^ip' und mit singi verschwindet der Änsdruck nicht.
g. b. Cenide LeltUnte.
Die vorigen Formeln setzen znm grossen Teil einen endlichen KrUmtnungsradins vorans, sind daher für den Fall einer geraden Leit- linie nicht eingerichtet. Indem wir diesen besonders betrachten, nehmen wir die Leitlinie zur Äice der 3, so dass die Flächengioichun- gen sich auf
a, = au; ji = Ä«; z = h + cu (24)
rednciren, wo a, b, e, h Functionen von e, bestimmt wie anfänglich, sind. Sic stimmen mit den Gl. (1) bb anf die Werte xq =^^0, eq — A ttberein. Datier gilt noch Gl. (6), und zwar ist hier, wenn mu
a = I " " I ; J = \b b' b"\ (fö)
setzt,
K=h'S; L = 0; M ^ h"& — h'i'i, N -^ J (26)
OL (6) gebt dann liber in
dos ist nach Multiplication mit -il/* =
und giebt nach Integration: WO
Fahrt man den Wert von u in (24) ein, and schreibt ufärk, so und
'-M^v.' "-.+..' ■-"-^..+..
die Gleichungen der FISche in as/mptotischen Parametern ■•, e
Hoppe: Zweite asymptotuche Liwie einer Regelfläcke, 287
Die Leitlinie ist als Gerade, wie auch aus Z » 0 folgt, asympto- tische Linie. Sie entspricht ^»00.
Die Untersachang der in §. 3. behandelten Frage führt, obgleich der yfeg ein ganz yerschiedener sein muss, ebenfalls znr yoUständigen
Integration der Bedingnngsgleichungen fQr eii^ rationales 1/-* Das
Resultat ist jedoch , dass allein ein Botationsfayperboloid den Bedin- gongen genfigt Da die Frage nnr hiDsichtlich der Krttmmnngslinien Interesse hat, so würde es nutzlos sein, diese keinen neuen Aufschluss bietende Rechnung durchzufahren. Fragt man, auf welchen Umstän- den es beruht, dass das ungleichaxige Hyperboloid, ohne den in Rede stehenden Bedingungen zu genügen, doch die Integration der Gleichung x der Krümmungslinien zulässt, so zeigt sich, dass zwar hier das Ver-
bältniss 1/- nicht rational wird, dass aber darin die Functionen von
« und von v gesondert erscheinen, so dass sich in der Differential- gleichung sofort die beiden Yariabeln scheiden. Der gleiche Fall kann nicht wol bei andern Regelflächen von gerader Leitlinie statt- haben, da durch 3 disponibele Functionen 4 Bedingungsgleichungen zu erfüllen sein würden.
Betrachten wir noch die Wendecurve, so ist zunächst der Dreh- pnnktsabstand der Erzeug^den (24)
u c'Ä' (30)
daher die Gleichungen der Wendecurve:
Damit die Wendecurve asymptotische Linie sei, muss der Wert (30) die Gl. (27) befriedigen. Es muss also sein
oder
2(c'A7=c'd(^y-^c'«Ä' ,X+(2c"+.'^^)ä'-0
Dies integrirt ergiebt:
T
wo
/Jde
Uan kann also die Richtung der Erzeugenden beliebig varüren lassen und h stets so bestimmen, dass die Wendecurve asymptotisch wird. Führt man jetzt für h überall T ein, so wird
28« Boppt. Z,
äde
T---T- VM--^; Vf-'^ also
--~j= T-'.dT
3VaM DDd nach (28)
yr 1
*'*= c'ö ' "" — VT
Die Gleichnng^n der Fläclio in aaymptotisclion Farumotern lauten nun : - r _ & r ' PTdv c T
Die Werte
_ 1— c'
»-«■i «= yr
entsprechen der Leitlinie und der Wendecarvc. Sei za weiterer Reduction
a^sinxsiafi; 6 = 8in«c0Sf»i c = COBX dann findet man:
3=-^'9in»*
d = (x'V' — xV")BinJ(— (2ii'* + ft'*Bin*K)n'co9x
Nun ist zufolge dpr Gl. (2)
1 = Ä'*+f*'*8in** Zerlegt man diese Gleichnng in
, sini
» - «»>'• ' - üvT, BO wird
S ■= — Binxsini; ^ = — 1' — cotxsinl
-i-- =— cotiöA — cotx3ii
folglich nach IntegratioD
7*= ^siiiKSiul iA constant) T dv A3k
i c'* sin^xcos^A
ond die Gleichungen der Fl&che gehen tther iu
A siu w sin f> , A sin x cos ft \
1 — uy^sinKsini' l—ul/Ä&mxsink f
/Scot* , -^COBIt
cösä* "*■ 1— toVZBiniisiuX
Hoppe: Zweite aaymptotische Linie einer Regelfläche, 289
WO
tgAax
J sinx
Die Relation zwischen % und A bleibt so in ihrer Allgemeinheit be- stehen; man kann % oder l, als zweiten Parameter betrachten. Bei Veränderung der Constanten in den Integralen fi und h bleibt sich die Fläche congruent, bei der von A ähnlich.
Die Resultate, um sie zusammen2ustcllen, sind folgende.
1. Für eine gegebene Regclfläche wird die zweite asjrmptotische Linie durch eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung bestimmt, die im allgemein nicht integrabel ist. Gl. (6).
2. Der umfassende Ausdruck aller Regelfiächen in asymptotischen Parametern, ergänzt durch singulüre Bestimmung in speciellem Falle, lässt sich aufstellen, indem man die Erzeugende an einer beliebigen Curve unter beliebigem Winkel gegen deren Tangente in ihrer Schmie- gungsebene gleiten lässt. Gl. (11).
3. Der genannte Winkel und die Dimensiooen der Leitlinie lassen sich, während die inneren Beziehungen der letzteren willkürlich bleiben, so bestimmen, dass die Krümmnugslinien durch eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung ausgedrückt werden. Gl. (18) (20).
4. Durch blosse Bestimmung der Dimensionen der Leitlinie kann man die Wendecurve zur asymptotischen Linie machen. Gl. (23).
5. Für den Fall einer geraden Leitlinie erhalten die bezeichneten Aufgaben ihre besondere Lösung in abweichender Form. Gl. (29) (31).
Teil LX. 19
290 Hain: Beitragt zur Theorie des Dreiecks.
XXIV.
Beiträge zur Theorie des Dreiecks.
Von
Emil Hain.
I.
Wenn von einem Punkte P der Penpherie des dem Dreieck ABC nmschriebenen Kreises auf die BC Senkrechte gefällt werden, welche die BC in Ap treffen; so liegen die Fusspunkte Ap in einer Geraden. Es soll die Gleichung derselben in trimetrischen Coordinatcn ange- geben werden.
Es sei P^pa^ dann ist 2!apbpc = 0.
Ferner gibt die Figur als Seitennormalen von Ap:
Ap^O pb-j-paCO^ y pc+paCOS ß
Bp^^pa'\-'Pb cos y 0 pe-\-pbOOSa
Cp ^ pa'\-'PcCOSß pb -{-pc COS a 0
Setzen wir:
pa-\-pb cos Y = ab, pa -{-pc cos ß = Oe
80 haben wir:
ahaCa-^apbpc = abaCa\c2)b{pa'^pcC0Sß)'\-bpc(pa-\-pbCOSy)']
^= aba Ca(cpb Qc -\- bpc ab) = b cpa bcCb.O-\- capb Ca «c . ba-^-ahpc Cthba.Ca
Folglich liegt wegen Eaj>bpc -= 0 der Punkt ApE^O baCa in der Ge- raden:
b cpa bc cb capb Ca ac abpc ab ba
Sonach liegen die Ap in der Geraden:
b cpa bcCb^b cpa{ pb -{"pe COS «) (pe -\-pb COS a).
Hain: Beiträge zur Theorie des Dreiecks. 291
Die Schnittpaukte der Winkeldreitcilungslinien eines Dreiecks mit dessen Seiten liegen auf einer Ellipse.
Um diesen Satz zn beweisen, bezeichnen wir mit ^b, Ac solche Punkte der BC des Dreiecks ABC^ welche der Reihe nach liegen:
B ^ö Ac C so dass:
Wkl. BAAh^ AhAAc = AeAC-=^^ wo BAC « a.
Ziehen wir hierauf von Ai Senkrechte auf AC und AB^ so sind die Seitennormalen von Ay.
2a «
0 AAh sin -K AAh sin k
Sonach sind die Coordinaten der Punkte Ah^ Ac\
2a a
oder
a 2a
-äc^O sinö sin-«
_ a . -4^ = 0 2co8ö 1
ilc = 0 1 2cos^ Nehmen wir nun an, die AhAc liegen auf dem Kegelschnitt:
Setzen wir die Coordinateuwerto der Ah ein, so erhalten wir:
a* f*
4^66 cos Q- + ^cc + 4^6* COS 2 == 0
o' a
fl'66 + 4^c<?COS g -f- 4^6c cos ö = 0
Die Subtraction beider Gleichungen ergibt: Sonach ist:
19»
292 Hain: Beiträge zur Theorie des Dreiecks,
^" 2C08?
Da die gaa einander gleich sind, so muss gaa eine symmetrische Function der a sein. Wir können also setzen:
a ß y
gaa =« 2C08öCO8öCO8|
2gh€ =» — ( 1 +4 cos* ^ j cos g cos ^
Diese Form des Kegelschnittes wird dnrch Einsetzen der tlbrigen Coordinatenwerte bestätigt, die Bestimmung desselben als Ellipse gibt die Figur.
m.
P sei ein Punkt in der Ebene des Dreiecks ABC. Die PA treffen den Umkreis in A^. Es ist der Flächeninhalt des Dreiecks A^B^Ci zu bestimmen.
|
Wir bezeichnen: |
|
|
■ |
P ^pa pb Pe |
|
A^ ^ taa Soft kae |
|
|
Wegen PA = 0, — ;?c, |
-f-pft und der Umkreisgleichung ZaxhTe —0 |
|
haben wir: |
— pelab-^-pblae «= 0 |
|
Zalablac = 0 |
|
|
Die Elimination gibt: |
|
|
^aa |
apc — aphpc |
|
lab |
bpc-\-cpb pbibpc-^cph) |
|
kaa |
apb — aphpe |
Icu: öpc-\- cpb pc(hpc + C pb)
Ai ^—apbpej -{-pbibpe +C|)6), '\-'Pe{bpc'\'Cph)
Um die Seitennormalen zu finden, muss man die Coordinaten mit L multipliciren, man findet:
2F
An =
pipcib^-^-c^ — a*) + bcipb^-i-pe^)
Nun ist:
Hain: Beiträge zur Theorie des Dreiecks. 293
-rv . , ^ ^ ^ aboIlXa
Dreieck Ä^B^C^ « ^^^
loa lofr iae Iha Im Ihe |ea ieb €«c
Nach Entwicklnng der Determinante bekommen wir:
abcF(2apbpc)^
Demnach liegen alle P, fttr welche ^A^B^Ci = const, auf einer Cnrve 6. Grades.
Für jjfl — a wird
a* * 27 a*
Für i^a =» 1 bekommen wir:
A^i^i =" ~ÖF "" 2^ wo r den Umkreisradins nnd « den halben Umfang bezeichnet.
Eine einfache Umwandlang gibt femer:
ABC , (^aphPc)^
^^^1^^ 4r n(pb^+pe^+2pi,pc COSa)
Für P= ü'^cos« wird:
üapbpe «== £acoBß cosy — —
Pft'+J'c^+^Pfti^cCOSa = C08*j3 +C08*y+227c08a « sin*« = j-j
also A^B^Ci » P, was sich auch leicht anders ergibt; man hat n&mlich:
, „ ^ _ ^ ,,^ -2r*sin2a ^ A-^iQ ■= -^ B^UC^ =- 2 «- P
Für P^ JJ= cos/} cosy erhalten wir ähnlich:
A^i^i = 8Pi7cosa.
P^pa treffe j kalen des Panktoa (
Nach Greiner U Q in Bezog anf das
Ffir nnsern Fall gil in Bezug auf das D\
(pipt(qa'qi'-i~qt'qe-
« '•ptpcqa Spedella Folgerangen dieses Resultates sind z. B.
Die Harmouibale eines Pankteei F bezogen anf das Dreieck der Pa tsat mit der Harmonikalcn von P in Bezug auf das Urdreieck ZDsammen.
Die Hannonikale des Punktes Q in Bezug auf das Dreieck J»JtJe wo J das Inkreiscentruin des Urdreiecks bezeichnet) ist die Gerade ;
Die Hannonikale des Inkreiscentrums in Bezug auf das Hitten- dreieck des Urdreiecks ist die Gerade:
„(fct 4, c» _ 3„ j_j. 2aJ -f. 2ac — 26c)
Trifft P die BC in Pa, so bilden die Harraoulkalen der A in Bezug aof das Dreieck PaPhPc ein Dreieck von der Flächo:
n<2«p„ + ip»+cpt)
Bain: Beiträge zur Theorie des Dreiecks. 295
V.
Gegeben sind die Pnnkte P^pa^ Q ^ qa. Es ist zn constrairen der Punkt:
Pa(—phpc qa'\'PcPa Qb -hPaPb Qc)
Die Harmonikale Ton P in Bezng auf das Urdreieck treffe QPa in A,^, Dann ist:
|
Pa = 0 +pb |
+Pc |
|
QPa = pb qe —pc qb +Peqa |
— Pbqa |
|
Ai 2papbPcqa pbqb' |
—Pcqc |
|
qa — pbpeqa -^-pePaqb |
-^-Papbqt |
|
L4i = 0 —Pcqe' |
+P»S*' |
IXe Gerade AA^ trifft BC in
Äi^O H-P65&' "Vpcqc
Sonach treffen sich die ARa im Punkte B^paqd,
Die Ck>nstruction von R ist also folgende:
Idan Terlängere PA^ bis sie die BC in Pa trifft, und construire die Harmonikale von P in Bezng auf das Dreieck ABC, Diese Ge« rade wird von der QPa in A^ getroffen. Die AA^ schneiden sich in R.
Wenn wir AQ verlangem, bis die BC in Qa getroffen wird, und den zu Q in Bezug auf AQa harmonischen Punkt Qa bestimmen, so treffen sich die PaQa im Punkte
R ^ qa{ — pbpcqa-\-pcpaqb'\'Papbqc)
Es ist nämlich:
Q = -\-qa +g5 +5c
^ 0 +5* +3c
i' ^ — qa "l~3& 4"5c
Pa, Qa ^ Pb qe — pe qjb — qape "H^a pb
VI.
Der Ort der Punkte, deren Umkreispolaren parallel ihren Har- monikaien in Bezug auf da3 Urdreieck sind, ist eine Curve 3. Grades, welche durch die Ecken, Seitenmitten, Schwerpunkt, Grebe'schen Punkt, In- und Umkreiscentrum des Urdreieckes geht.
Die Umkreispolare und die Harmonikale des Punktes xa sind die (geraden: &c^-j~<^^9 ^^c* Sie sind parallel, wenn
Für ABC verscl mitten )iiachcn je zt
Die Coordinaton und 3., die des Scli\ die 1. and 2. Zeile |
Ist P=pa gegi Weise construirt:
AP trifft BC in ache Punkt, Ma die BV. Dvb'ANa sehn
Die Seitennormalen
Es liat also Ma die Somit treffen sich d
Trifft PA die l Ha der zu Pa in B< die TJaPa ein Dreii
Hain: Beiträge zur Theorie des Dreiecks.
297
IßFlIapa
Wir haben:
mßapa — bpb — cpe)
Pa^—pa +Pb -hpe
/7a = 0 +P6 —Pe
naFa=='{'2pbpc -i-pcpa -\-paPb
Das von 3 Geraden % oj «3 gebildete Dreieck hat die Fläche:
abcFJ^
J^J^J^
wo
^ =
Hier ist
«1
^ h ^ <h h ^3
^1
a b c «j Äj Cj
«3 ^3 ^3
^f = i^TIpc?^ ^i = (3a|)a — ft|)6 — C2?c)I7|?a.
IX.
Zwei Gerade Oj «^ treflfen BC'm A^ A^. Die yij Cg, i^g Cj schneiden sich in Punkten A^ der Geraden: % 0,(6^03 +*2<?i)«
Es ist:
^2 = 0 +C, — *,
j?i Cg ^ ^ ^ ^ ^s ^ ^1 B^C^ ^ Ojöj OjÄi OjCj
Die Rechnung zeigt, dass die A^ in der Geraden «i 03(61 Cg+Ägc,) liegen.
X.
PA^ QA treffen die BC in Pa, Qo. Dann schneiden sich die FQa^ QPa in A^ und die -4-4i in
fttr P=|7a, Q = ga. Wir haben:
PQa^phqe—pcqb — paqc -^Paqb Q Pa = JP6 qc —pc qh +pc qa —pb qa
300 Hain: Beiträgt zur Theorie des Dreieckt,
XIV.
Trifft PA die BC in Pa, QPa die i^Pc in A^\ so schneiden sich die AA^ in Q^aqhqc\ wenn
Es ist:
qa =^ phpeqm "^-pcfa qb "{-paphqe P ^ pa, Q^ qa
PbPe = — pbpe "{-PcPa "{-Paph
QPa^pcqb — pb qc — pe qa +P* 5f«
^1 ^ ^Papcqa "{-Pbqe' +^«3*'
AAi = 0 -i-peqb' —pbqe
^0 4~fl«'fl*'Pc — qa'qe'pb-
XV.
Es sind die Coordinaten des zu Z bezüglich der Strecke JTFza- geordneten harmonischen Punktes zu bestimmen.
Gegeben: JT^a-«,, Y^yaj Z^za. T^ta sei der zu bestim- mende Punkt.
Es sei XY durch Z im Verhältnisse m:n geteilt, so dass
XZ: ZY^mm Dann ist:
, ^m(ya) + n(xa)
WO {xa) die Seitennormalen bezeichnen. Setzen wir:
so haben wir femer:
Nun ist:
XT:TY=m:^n
ta fnyaj^ nxgri X (m — n)Ji/
Die Elimination von m und n gibt:
2a{xa 1? + y« |)--2a-aygg
<a —
5(lya+-i?«a) — 2Si?afl
ii
1
Hain: BtUräyt zur Theorie des Dreiecks. 301
XVI.
Trifft eine Gerade die Seiten BC in A^^ so liegen die Mitten der AA^ auf einer Geraden. Durch Projection erhalten wir den allge- meineren Satz:
Trifft eine Gerade die Seiten BC in A^ und liegen auf den AA^ drei Punkte A^ in gerader Linie; so liegen die den A^ bezüglich AA^ harmonisch zugeordneten Punkte auch in einer Geraden.
Es soll die Gleichung derselben gefunden werden, wenn gegeben
ist:
A^Bj^C-i ^ «1 *i Cj
A<gB^C^ ^ €i^ b^ c^ Es ist dann:
A^^O Cj — Äj
AA^ ^0 ^1 <?i
Af ^ b^c^ — b^i f^i — *^x
Wendet man. die Formel des vorhergehenden Paragraphen an, so findet man:
X^A^ Y^Aij Z^ A^y J = ai fi ^=^ bcj^ — cb^ T^ A^^b^c^ — b^i — OgCj -f- '»2*1
Sonach liegen die ^3 in der Geraden:
^(<h *« ^1 "h ^ *i ^Ä — % *i ^i)»
xvn.
Treffen PA , QA die BC in P«, Q«, und wird BC von Fa durch ilo, PalZi von Qa durch iZa harmonisch getrennt; so schneiden sich die AJfa in i? ^ P(?WLft wenn P ^ />«, Q ^ 5«.
Zum Beweis dieses Satzes bedienen wir uns der Formel in XV.
Sie gibt:
Ha ^ 0 pb — pc
Ea^O ph\c pe^qj»
^ 0 pi?qcqa pe\ltqa
Somit schneiden sich die ARa in P ^ pa^qiqe» Ist P das Inkreis- centrum, 80 ist R^qiqcy der rociproke Punkt von Q==5a, und AP halbirt den Winkel QaAiRa» Ist P der Schwerpunkt, so ist R^ bh\hqc und Pa ist dann* Halbirungspuukt der Strecke QaRa^ Beide Fälle, welche bekannte Sätze geben, liefern durch Projection den so eben
bewiesenen LehrBatz. Nennen ciprokalpnnkt von 1' b(?zQglic Beziehungen ;
Ist R der Reciprokalpunk ciprokalpunkt von P bezUglic zflglicb des Inkrcisccntiiims is von P(= pa) bezüglich seines Fnnkt pa*. Bezeichnen wir m bezüglich Q mit R(P,Q), so
wenn S, J, G Schwerpunkt, inKreiscentrnm, urebo'scben fuuKt aes Urdroiecka bezeichnen,
Ä(P,S) = aV = ^l- R(^^,G)=pa'^ = P,
S(G,S) =a' Ä[ÄlP,Q), Ä{Q,P)]=poVV* R[0, R{J, Pt] = d'pa 7i[Ä(P,5). ÄU, P) — o'p-'- Wien, Jan. 1877.
Begriff der Harmonikaiebene eines Punktes in Bezug auf ein Tetraeder.
Von
Emil Hain.
ABCD seien die Ecken des Fundamcntaltetracders; kpa bezeichne die Normale eines Punktes P auf die Ebene BCD, so dasa kSIiCD.pa^ ^K, wenn f das Volumen des Tetraeders ist. Mit Pa wollen wir den Punkt der Ebene BCD bezeichnen, i diese von der APa getroffen wird.
Hain: Begrtff' der Barmonikalebene eines Punktes etc.
303
Die Figur gibt für den Punkt Pai
Xh Ste Td pb pe pd
80 dass die Coordinaten von Pa sind:
APa
AP
Pa ^ 0, 7)6, pc^ pd
Die Ebene, welche durch die Punkte PbPcPd geht, hat die Gleichung:
|
Xa |
Ta |
Pa |
Pa |
|
iTh |
0 |
Pb |
Pb |
|
Te |
pc |
0 |
Pc |
|
Xd |
Pd |
Pd |
0 |
|
Pa |
1 |
1 |
1 |
|
Xb Pb |
0 |
1 |
1 |
|
pe |
1 |
0 |
1 |
= 0
STd Pd
110
Somit ist die Gleichung der PbPePdi
^2 I ^^ I ^g I ^d
Pa "^ pb"^ Pc Pd'
Die PbPePd trifft die BCD in der Geraden:
0
Pb'^pe'^ Pd
0
Diese ist aber die Harmonikale von Pa in Bezug auf das Dreieck BCD.
Es ist nämlich ersichtlich, dass für alle Punkte und Gerade der Ebene BCD xa =- 0. Bezeichnen wir mit X irgend einen Punkt dieser Ebene, mit f 6jcjrf die Normalen von X auf die Seiten des Drei- ecks ßCD\ seien ferner pfrpcp<i die Normalen von Pa auf die Seiten desselben Dreiecks: dann ist:
Xb = IbSm(BCD.ACD)
SCb
Pb
pb
302 Hain: Begriff der Harmonikahhene eines Punktes etc.
Wir können also in der Ebene BCD in diesem Falle mit den Tetra- edercoordinaten so rechnen, als wenn sie trimetrische Coordinaten bezogen auf das Fundamentaldreieck BCD wären.
Die Harmonikale des Punktes Pa'^i^bpcpd in Bezag auf das Dreieck BCD hat die Gleichung:
'-^ + ^-^ + ^^ = 0
Ph ^ Pc ^ Pd
Die Geraden:
pb pc Pd
liegen demnach in der Ebene
L 1 L i
pa pb Pc pd
Die Harmonikaiebene des Punktes pa ist somit die Ebene papcpd. Wir haben also den bekannten Satz:
Ist P ein Punkt im Räume des Tetraeders ABCD^ trifft AT' die Ebene BCD in P«; so schneiden die PbPcPd die BCD in vior Ge- raden, welche in einer Ebene liegen und die Harmonikaleu von Pa in Bezug auf die Dreiecke BCD siud.
Wien, December 1876.
XXVI.
Bemerkung über Symmetriepunkte des Tetraeders«
Von
Emil Hain.
ABCD seien die Ecken eines Tetraeders. Das Gegendreieck von A habe die Fläche -4 = a*. P sei ein Punkt im Räume, pa der Nor- male von A auf die Ebene BCD proportional. Dann hcisst /* ein Symmetriepunkt des Tetraeders, wenn pa eine nach &, c, d synimetri-
/
Hain: Bemerkung über Si/mmetriepuukfe des Tetraeders,
305
sehe Function der A ist und phpcp*^ durch cyklische Vertauschung ans />rt hervorgehen. So ist das Inkugelcentrum des Tetraeders der Punkt 1, der Schwerpunkt der Punkt BCD. Analog den Verhält- nissen des ebenen Dreieckes kann man also den Punkt (pA**-\-B*^'\-C^ -{-D** einen Punkt wter Dimension nennen.
Die Verbindungsgerade zweier Syrametriepunkte taU' wird sonach eine Symmetriegerade des Tetraeders sein. Sie hat die Form:
(fu^a -\- (IbXb -f" ^k^c
0
0
0
0
wo
!^,
ai =-•
Clc
9d ?6 I
So ist z. B. für die Punkte <pA-\-B-\-C'{-D, A:
ab =
' qiC-{-D+A-\-B. cpD-\-A + B-\-C
C
D
==(A-{-B + C+D)
f6 Ic
1 1 C D
VC
^C-^D
Die Gerade C—D ist also die Verbindungslinie aller Symmetrie- punkte 1. Dimension.
Die Ebene, welche 3 Punkte ^ah/^-a' enthält, hat die Gleichung;
j Xn §a ta ?a
j Xc ?c ^c' h" 1 Xd ^d ^d Irf '
= 0
Sin«i die fa Symmetriepunkte, so kann diese Ebene kurz bo. zeichnet werden als die Symmetrieebene:
Ih kl' y
?C tC tC
Id k/ $d"
So hat z. B. die Ebene, welche den Schwerpunkt und die Symmetrie- punkte 1. Dimension enthält, die Form:
Teil LX. 20
306
Hain: Bemerkung über Symmelriepunkte des Tetraeder*.
|
I>^ |
1 |
B B^ |
|
|
^' - |
1 "*■ BCD |
1 |
C C^ |
|
in> - |
1 |
D n^ ' |
C^ = A{B^C)(C'-'D){D — ß)
Ein Beispiel dcsr üobertragung aus der Theorie der Symmetrie- punkte des ebenen Dreiecks ist der Punkt gleicher Trausversal- flächen. Legen wir nämlich durch den Punkt X^xa eine Ebene parallel zu BCD, so begrenzt das Tetraeder von derselben eine Fläche gleich A\ 80 dass für K als das Volumen des Tetraeders:
Vi-
3K __ _SK
A "^""ZAa^a
A
n
. ^Axa =» Bxh'\'Cvc'\'Dxd
Für den Fall, dass die Ä einander gleich seien, setzen wir -A' = m-. Dann ist:
(J^nsca -f- lr{u — a)x}i -(- c\u — a)xc 4" d^\^ — o)xd = 0
Zur Bestimmung von n hat man:
\u u — a u — a u — a'
u — b u u — /> u — b >
u — c u — c u u — c\
u — *-/ u — d u — d u
Die Subtraction der Colonnen ergibt:
3abcd SrJa
u
Nun ist:
abc •■\-bcd']- Cfia -{- dab £ bcd
a Za^xa
ra
a — a
X = b^c^d^ (abc+acd+abd ■ - 2 bcd)
Suchen wir deiyenigen Punkt X ^ xnj für welchen die Quadratsamme der Normalen auf die BCD ein Minimum ist. Wir haben dann:
r--cm'
Sonach ist xa^ A der Grebe'sche Punkt des Tetraeders. Wien, December 1876.
Dos ton Propositions sur lex corps de r^olution etc 307
XXVII.
Propositions sur les corps de r^volution de la G^om^trie ^lementaire.
Pur
Georges Doetor.
Les questioDS snivantcs uc seraient pas deplacees dans on Cours de Geometrie ^l^meutaire ; beaucoup d'entre elles appartiennent de droit k la partie th^orique du Cours, les autres se classent dans les probldmes et exercices. Nous avons raarqu6 d'un ast^risque les pro- positioDS que nous croyons ignorecs, pcu conuues ou imparfaitement repandues.
I. Mesure da cyliudre.
1. Th^oröme L La surface totale S d'un cylindre est 6gale ä la surface laterale d*un second cylindre, qui a meme baso que le Premier et dont la hauteur est egale ^ Celle H du premier cylindre, augmentee de son rayon de base Ä; ou
/S = 27rÄ(//+i2).
2. Theoreme II. Le volume V du cylindre est 6gal ä la sur- face laterale s multipli^e par la moiti6 du rayon de base; ou
3. Th6or^meIII. Le volume du cylindre est 6gal ä la sur- face laterale multipli^e par le tiers du rayon de base, plus le c5ne de mSme base et de meme hauteur que le cylindre; ou
80*
308 Dos tor : Propositions sur les cor/ts de r^volutlou
4. Theoreme IV. Le volumc du cylindre est egal ä la sur- face laterale multipli^c pur lo tiers de la distance x d'un poiut qucl- conque P de Taxe ä la geueratrice, plus la somrae ou la diffe- ronce des deux cöues qui ont pour bases Celles du cyliudre et pour sommet commun le point 7% suivaiit que ce point est Interieur ou exterieur au cylindre.
* 5. Theoreme V. Le volume du cylindre est egal ä la sur- face totale multipliee par la moyenue harmoiiique entre le nayon de base et la bauteur du cylindre; ou
2
(i+s)
6. Theoreme VI. Le volume du cyliudre est 6gal ä la sur- face du rectangle gen^rateur, multipliee par la circonfereuce qne decrit autour de Taxe le point de coucours des diagonales de ce rectangle (Tbeoreme de Pappus, retrouve par Guldiu); ou
•
* 7. Theoreme VIL Lorsque le volume d'un cylindre est exprim^ par le meme nombre que la surface laterale, ou a /^ = 2, quelle que soit la bauteur; et, lorsque ce volume est exprimd par le meme nombre que la surface totale, on a
11 1 /?+//"' 2
*8. Tb^or6meVIII. Le volume V du cylindre, la surface laterale s et la surface totale ^ sont lies entre eux par la relation
9. Tb6or6me IX. De tous les cylindres de meme surface totale, le cylindre equi lateral comprend le plus petit volume.
10. Theoreme X. Lorsque deux cylindres ont meme surface laterale, leurs volumes sont entre eux comme les rayons de leurs bases ; et , s'ils ont meme volume , leurs surfaces laterales sont cn raison inverse des rayons de leurs bases.
11. Tb^or^meXI. Lorsqu'un rectangle tourne successivemeiit autour de ses deux cot^s , il engendre deux cylindres , dont les sur- faces laterales sont egales et dont les surfaces totales sont ciitrc oW^'^^ comme les volumes.
de ia G€om^hie d^mentaire. 309
VI. Th^or^meXII. Lorsqu'uu rectauglc, tournaiit successi- vrment aiitoar do sps donx cotes, engeudre los volumes na^ et nb^^
Ics cütes de eo rectanele sont et -
" ab
13. Probleme I. La siirface du rectangle g^n^ratenr d*un cyliiitlrc est egale a a*, calculer la surface laterale. — On trouve » = 'lna^\ pour a^ == 3125 on a « = 19625.
14. Probleme IL Conuaissant la surface laterale s et la sur- face totale S d*uu cylindre, calculer le rayou de base R et la hauteur
^. — On a /? = [/' 7 * H= -. -*-rr^^ Pour s = 11781 et
^ 2;r V27t(>S-«)
5 = 15708, ou trouve Jl = 25, H = 75.
15. Probleme II L Connaissant la surface laterale «et Ic volnme V d*un cylindre, determiner le rayon de base R et la hauteur
Ä — On a R = ^^^ H= / -, Pour «=4712,40 et F= 35343,
ü vient /^ = 15, H =^ 50.
ir». Probleme IV. Calculer le diara^tre 2R d'un cylindre, couiiaissaut la hauteur II et la surface totale na^. — On trouve
2R^V^H^^^2(i'^'-2ir- Si //=2,35 et «=»3,24, on aura 2Ä = 2,80.
II. Le cylindre iuserit dans un e^ne donn^.
17. Theoröme I. Lorsqu'un cylindre est inscrit dans un c6no le rayon de base r et la hauteur h du cylindre sont lies avec le rayou de base R et la hauteur H du cöne par la relation
r h R^H
18. Theoreme IL De tous les cylindres inscrits dans un cöne doimc celui, qui divise en deux parties Egales la hauteur du cone, a la plus grande surface laterale.
19 Thdor^mellL De tous les cylindres inscrits dans un couo donue, celui qui est termine par la plus grande surface totale, a la somme du rayon de base et de la hauteur 6gale k la demi-
TJ
hauteur du cöne, ou r-\-h = ,.
20. Theoreme IV. De tous les cylindres inscrits dans un cone donue, celui, qui comprend le plus grand volume, a pour hauteur le tiers de la hauteur du cöne.
III. U Cjlindn
21. Theoreme I. : lo cylindre äqQÜatäral a la est la moiti^ de la surfacc
22. Thöoröme II.
do rayon K, cclni, qni est lermine par ja pms granae suriaco loiaie, a
poor rayon de basc et pour haoteur.
23. Tli^or^me III. De tons Ics cylindres ioscrits daos la Bph^e, celui , dont le diam^tre de bas« est k la hautcnr commo V3 est k 1, reuferme le plus grand volumc.
lY. Mesure dn cAne.
24. Tb^or^mo I. La surfaco totale 5 d'un c6ao est ^gale ik la Bnrfaco laterale d'un socond cöno, qui a ni6me baae que le premier et dout le cöt^ est £gal ä celui C du premier ctae augmeut^ de gob rayon do baso R; on
S= nR(C-\-R).
25. Tb^or^mc II. Lc volurae V du cöuc s'obticot cn mntti- pJiant la surface totale par lc ticra du rayon r de la aphfiro inscrit«; on
* 26. Theoreme III. Le volume dn cüdo s'obticDt anssi, en divisant lc carr6 de la surface laterale s yar 'i fois la eirconf^rcoce 2«Ä d'un grand cercio do la sphöre circonscritc; ou
27. Th^orfemo IV. Le volumc du cdne s'obtient encore, cn multipliant la surface latdralo par le ticrs de la distancc d du centrc do la base au coli du cönc; on
28. Thöor^me V. Lc volumc du cönc s'obtieut ausei, en multipliant la surfaco du trianglc g^nfiratenr par la eirconferoncc Zn«, qne d^crit lo poiut do coucours des medianes autour do l'aic (Tbeo- r^mo de Pappas); on
V= iRH.2nm.
de la G€om€trie €l^entaire. 311
* 29. Thöor^me VI. Le voIume du cöne 6gale encore la snrface laterale * raultipliee par le tiers de la distance x du cöte ä Q)i iMHiit quclcüiique P do l*axi', plus la base multipliee par le tiers de la distance y do cettc base au meme point F de Taxe; ou
On prendra la distance i/ positivement ou negativement, snivant que le point P sera situ^ au-dessus ou au-dessous de la base du oöne ; et Ton regardera la perpendiculaire x commo po- sitive ou negative, suivant qu'elle rencontrera le c6t6 C du cöne en-de^a ou au-delä du sommet.
*30. Th^ordmeVII. Lorsque le volume du cdne est ex- prim6 par le meme nombre que la surface laterale, on a
et lorsque ce volume est exprim6 par le meme nombre quo la sur- face totale, on a
3 2 _1
* 31. Th^or^me VIII. Le volume V du cöne, la surface laterale s et la surface totale S sont li6s entre eux par la relation
On en conclut que la surface totale d'un cöne, plus grande que la surface laterale, est toujours moindre que le double do cette sur- face latdrale.
32. Probleme I. Calculer la surface laterale « d'un cöne, dont on donne la surface totale S et le volume V. — On trouve que
s = iS±^VSiS^-277tV^),
48
*33. Probleme IL De tous les cönes, qui ont meme surface laterale «, quel est celui qui renferme le plus grand volume? — Les trois cöt^s du trianglo rectangle, qui engeudre le cöne maximum, sont entre eux comme les trois nombres yi, y2 et y3, et le vo- lume maximum sera
V = /- V27ts\/3.
* 34. Probleme III. De tous les cönes, qui ont memo sur- face totale S, quel est* celui qui renferme le plus grand volume? — Les trois cöt^s du triangle rectangle, qui engendre le cöne de volume
312 Lfostor: Propositions sur les rorps de r Evolution
maximum, sont entre eux comme les trois uombres 1, 2y2 et 3; la surface laterale de ce cöne est les trois quarts de la surface totale et 8on volurae est
35. Probleme IV. Sur un grand cercle d'une spb^re de rayon R coustruire un cöne, dont le volume soit equivalent ä celui de la Sphäre. — On trouvc que H = 4i?, C=R^ll, s = nR^^ 17, 5= TcR"^ (l -\~ y 17) '^ le rayon de la spb^rc circouscrite au cöne est R = y72 et r = |7?(yi7 — 1) est le rayon de la sph^re inscrite.
* 36. Problömo V. On sait que le volume d'un cöne s'obtient en multipliant la surface totale par le buiti^me de la bauteur, calculer, en valeur du rayon de base R, la surface laterale *, la sur- face totale S et le volume V. — On trouvo que C = ^R, H = iji?, 8 ^ ^TtR^y S = |7rJ?2, V = ^nR^-^ le rayon de la spbere circonsrite au cöne est R = i^R et le rayon de la spbere inscrite est la moitie du rayon de base R du cöne.
37. Probleme VI. Les cötes du triangle g^n^ratcur d*un cone sont entre eux comme les trois nombres entiers consecutifs 3, 4 et 5, calculer, en valeur du rayon de base 7?, la surface laterale «, la sur- face totale S et le volume r. — Si Ton suppose que le rayon de base est proportionnel au norabrc 3, on obtiendra les memes valeurs que dans le probl^me pr^c6dent; s'il est proportionnel au nombre 4, on trouvera que H^ J72, C= J72, s = Jtc/?^ S = InR^, r= fn;M
* 38. Probleme VII. Dans un rectangle ABCD (fig. 1.) ou m^ne la diagonale AC\ A quel point E de cette diagonale faut-il joindre le sommet D du rectangle, pour que les trois triauglcs ABC\ ADE^ CDE eugendrent des volumes 6gaux pendaut la r^volution du rectangle ABCD autour du cöt^ AB. — Le point E divisc la diago- nale AC en moyenne et extreme raison ä partir du point ^.■
39. Probleme VIII. Dans une spbere donn^e O (fig. 2.) de rayon R^ on m^ne un plan ACB et le diametre SCD perpendiculaire ä, ce plan; puis on construit deux cönes ayant pour base commune le cercle de section et pour sommets respectifs les extr^mites 5 et /> du diametre. Calculer les §urfaces laterales «, s \ les surfaces totak*s 5, S' et les volumes r, V de ces deux cönes, sacbant que le plan est mene ä une distance x du centre de la sph^rc. — On trouve que
8 r= 7i(R—x)V2R(R-\-x), 8 =- n{R-\-x)\^2RCR^x),
5= n(R—x) [Ä+x+y 2^ii?+;i-)], S' ^ 7t{R-]-x)[R-^-\-Y2R(R-^)l K« ^n(R—x)^{R-\-x\ F'= ^n{R-\-xf (R—x),
de la Giomitrie €limtntairt. 313
40. Probleme IX. Mwier dans une Sphäre de rang R (fig. 2.) an plaa de mani^re que Uis surfaccs laterales «, «' des deux cöncs du problöme prec6dent soient entre elles dans le rapport de m ä n. —
On trouve que x = -g-r- — ^R. Si n *= 3 et m = 1 le plan s6cant
devra diviser lo diam^tro SD daiis le rapport do 1 ä 9 et Ton aura x = iR.
41. Probleme X. lia surface laterale d'un cöne est egal au ccrde qui a pour rayon la. distance du sommet au centre de la spb^re inscrite; calculer, ou valeur du rayon r de cette sphöre, le rayon de base iJ, la hauteur H et le cöte C du cöne, ainsi que la surface laterale s, la surface totale S et lo volume V. — On trouve que
Ä-rVT+72, //=rV2(l+y2), C'=ry(l + y2)»;
*-;rr2(l + y2)^ 8-= nr^^2{\ + i/2)\ F = ^Ttr^ y 2 (1 + V 2)«.
La surface laterale et la surface totale sout entre elles commc 1 est ä V2.
Y. Le c6ne eireonserit ä une sphdre doun^e.
42. Theoreme L Lorsqu'un cone est eireonserit ä une sph^ro donuee, le rayon de base R et la hauteur H du cöne sont lies avcc Ic rayon r de la sph^ro par la relation.
1_J _ 2
r* i22 — rH'
Si la hauteur H du cöne est 6gal au double diametre 4r de la sphcre, lo rayon de baso R du cöne scra egal au cöte r y 2 du carr6 inscrit dans un grand cerclo de la Sphäre.
En g6n6ral, si ^ = nr, on aura R
"V^
43. Th^or^me IL Lorsque le rayon de base d'un cöne est egal au diam^tre 2r de la sphcre inscrite, on a
* 44. Th^oröme II I. Lorsque la hauteur d'un cöne, eir- eonserit h une Sphäre donn^e, est double du diam^tre de cette sph^rc, la surface totale du cöne ainsi que son volume sont aussi doubles, Tone de la surface et Tautre du volume de la sphcre.
On trouve que Ä = ry2, e=3ry2, « = 67rr^ S = 2Anr^, et V=2,inr\
314 Dosior: Proposi/ions sur lex corps de r Evolution
45. Probleme I. A unc spMre donnee, de rayon r, circon- scrire un cone, dont la surface laterale soit ögalp ati cerclo ayant pour rayon la distancc dn centre de la Sphäre au soramet du cöne. —
On trouve que l^ = r(2+V2), /? = rVi + y^, C = rl/7+572,
et «==;rr2(l + V2)^ /S= 7ir»(l + V2) (2 + V2), K«i;n^(4-f-3y2).
♦46. Probleme II. Circouscire k une sphöre de rayon r on cöne dont la surface laterale soit 6gale k n fois la surface de la Sphäre. — La distance du sommet du cöne au centre de la sph^rc
est ^(4n — l±V(4n -3)« — 8).
Si » = 59 0^ trouve pour cette distance les deux valeurs 2r et 3r. Ainsi
Les deux cönes circonscrits ä une Sphäre donnee, dont les hao- teurs sont l'une triple et Tautro quadruple du rayon de la sph^re, ont memo surface laterale; et cette surface est k celle de la sphere corame 3 est k 2.
On a pour ces deux cönes /f=3r, JK = rV3, C = 2r-y/\\ ir =- 67rr^ >S=9?rr«, F=37rr«;
47. Cöne de surface laterale minima circonscrit i une Sphäre donn6e. Ilse d6duit de la question pr^cedente.
De tous les cönes circonscrits k une sphdre donnee, celui, qui a la plus petite surface laterale, mesure, du sommet au centre de la Sphäre, une distance 6galo au rayon du cercle äquivalent k cette sur- face laterale.
* 48. Probleme III. Circonscrire k une sphöre de rayon r un cöne, dont la surface totale soit 6gale k n fois la surface de la Sphäre. — Les hauteurs des deux cönes satisfaisant k la qoestiou
sont 2r(n±^ 'n{n—2)).
49. Cöne de surface totale minima, circonscrit k une Sphäre donnöe. Ce cöne s'obtient par le probl^me pr^c6dent.
De tous les cones circonscrits k une sphere donnee, celui, qui a la plus petite surface totale, a pour hanteur le double diam^tre de la Sphäre.
Cette surface est aussi double de la surface de la Sphäre.
50. Probleme IV. Circonscrire k une Sphäre de rayon r an cöne dont le volume soit 6gar k n fois le volume de la Sphäre. — Deux
cönes satisfont ä la question; ils ont pour hauteur 2r (n + V »(« — 2)).
de la G^om€trte €Umentaire, 315
51. Coue de volume miüimum, circonscrit k une sphere donnee. II est dvidemment Ic memo que colui, dont la sorface totale est minima.
De toas les c6nes circonscrits ä une sphere, celui, qni a le plus petit Tolame, a pour hauteur le double diam^tre de la Sphäre.
52. Probleme V. A une Sphäre doun^e, de rayon r, circon- scirc no cöne dont le plan de contact se trouvo k une distancc x da centre de la Sphäre. — On trouvc que
X f r — X ' X f r — X
nr^{r'\-x) nr'^(r-\' x^ nr^(r-\-x)'^
x(r — x) ' xi^r — x) ' 3a; (r — x)
Le plan de contact s^pare de ce c6ne un petit c6ne sup^rienr, ayant meme sommet quo le premier et pour base Ic cerclo de con- tact de celui-ci. Les 616ments de ce c6ne sont
jc je
' - -^(H-«)(r-*), S - , V 3^—
YI. Le edne inscrit dnns une sphdre donn6e.
53. Relation ontre le rayou R d'une Sphäre, le rayon de base R et la hauteur H d'un c6ne inscrit dans cette spb^re:
2RH^ H^ + RK
54. Probleme I. Dans une spb^re donnee, de rayon R^ in- scrire le cdne dont la surfacc laterale soit maxima.
La base de ce c6ne est situ^e k une distanco du centre ^gale au ticrs du rayon de la Sphäre. On a d'ailleurs
55. Probleme II. Dans une sphere do rayon R inscrire le cone dont la surfaco totale soit maxima. -- Si Ton d^signe par x la distanco du centre de la sphörc au c6t6 du cöne, on trouve quo la valeur de a;, qui correspond au cone de plus grande surface totale, est donnee par T^quation
316 Dostor: Pro/Hjuitions sur les corps de rcvolulion
d'oü on tire x = ^R[l-\-yil) pour la valeur de cettc distancc. La surfaco totale du cone etaiit
^ 4:7tx(R — x){R-\-xY^ , r, ^„ . -. .
il vieiit
S = jj^TtRHlOl +bl V 17)
pour la surfaco totale maxima des coiies iuscrits dans la sphere.
56. Probleme III. Daus uue sphere de rayon R iuscrire Ic coue de volume maximum. — Le volume de co coue est äquivalent ä uno Sphäre, dont le rayon est les deux tiors du rayon de la Sphäre donnee; sa surface laterale est aussi maxima (54).
TU. Le eöne eircouserit k un eylindre donnee.
57. Probleme I. A un eylindre donne circonscrire le coue dont la surface laterale söit minima. -— La question conduit ä uuc equation du troisi^me degr^.
58. Probleme II. A un eylindre donne, circonscrire le cone dont la surface totale soit minima. — La question m^ne aussi ä une Equation du troisi^me degr6.
59. Probleme III. A un eylindre donn6, circonscrire le cöne dont lo volume soit maximum. — La hauteur du c6ne est triplc de la hauteur du eylindre; et le volume du c6no est k celui du eylindre comme 9 est ä 4.
Till. Mesure du trouc de cöne convexe.
&). Th^or^me I. La surface laterale s du tronc de coue est
egale k la somme des surfaces laterales de deux cönes, qui ont meine
cötc C que le tronc, et qui ont pour bases le premicr la base in-
ferieure de rayon R du tronc de cone et le second la base sup6rieure
de ravon r; ou
s = 7cRC+ nrC.
*61. Th^or^mell. La surface totale 5 du trorc de cone est 6gale k la somme des surfaces totales de dewi cönes, qui ont menie cote que le tronc et pour bases, le premier la base inferieore et le second la base sup6rieure du tronc de cone; ou
S= 7cR(C+R) + 7tr(C+r).
de la G€om€trie iUmeutaire 317
* 62. Th^or^me III. Le tronc do cöue V est äquivalent ü la s^omrne d'un cyliudre et d'uu cone, avaut meme hauteur H que le troDC et pour rayous de bases, le cylindre la demi-somme et le cöuo la demi-difference des deux rayons de bases du trouc de cone; ou
K=.«(^+')+i.«("-')'
* 63. Theoreme IV. Le tronc de c6ne est egal a la diff6- ronce d*un cylindre et d'un cone ayant meme hauteur que le tronc, la baso du cylindre etant la domi-somme des bases du tronc, et la baso du c6uo etant le demi-cercle qui a pour rayou la difference des rayous de ba.ses du trouc de cone; ou
w
* 64. Theoreme V. Le volume du tronc de cöne egale la surface laterale multipli^e par le tiers de la distance ö du cöt6 C h na point quelconque P de Taxe, plus deux cöues ayant pour bases edles du trouc, et pour hauteurs re&pectives les distances D et d de ces deux bases au meme point P\ ou
Les distances d, D ot d devront etre prises positivement ou negativement, suivant la position du point P par rapport aux deux bases et au cöt6.
La distance ö sera positive ou negative, suivant que cette perpendiculaire rencontrera le c6te en-de^a ou au-delä du sommet du cone auqucl appartient le trouc.
La distance D sera positive ou negative, suivant que le point P sera situ^ au-dessua ou au-dessous de la base inf^rieure du tronc.
La distance d sera positive ou negative, suivant que le point 7^ sera 8itu6 au-dessus ou au-dessous de la base sup6rieure.
IX. Mesure du tronc de e^ne de seeonde csp^ee.
* 65. Theoreme L La surface laterale du trouc de cone e trän gl e est 6gale ^ la somme des bases multipliee par le rapport du cöte a la somme des rayous des deux bases; ou
Ji + r'
318 Doator: Propositions sur les corps de r Evolution
* 66, Th6oröme IL La surface totale du tronc de cöne ^tran^^ est 6gale k la snrface laterale d'an second tronc de cöne 6trangle, qui a mSme bases que le premier, et dont le cöte est ^ au c6t6 du premier tronc de cöne augment^ des rayons de ces deux bases; ou
C+Ä + r
S^ n;(Ä!»+r^).
R'\-r
67. Th^oröme IIL Le volumc du tronc de cone ^trangle est ^gal 4 l'exc^s de la somme de deux cönes sur un troisi^me, qai ont mßme hauteur que le tronc et pour basos, le premier la base in- f^rieure, le second la base sup6rieure et le troisiöme une moyenne proportionnoUe entro ces deux bases; ou
X. <)uestion8 sur le tronc de cdne eonTexe.
68. Probleme L On connait la hauteur H^ le rayon Äde l'une des bases et le volume V d'un tronc de cöne; calculer le rayon X de Tautre base. — On trouve que
. = Jä[-1 + 1/3(^4-i)].
Pour H = 3, Ä = 5, r -= 39;r, on a r = 2.
69. Probleme IL On douue la hauteur H et le volime V d'un tronc de cöne, et Ton connait le rapport de la surface laterale
k la diff6rence des bases ; d^terrainer les rayons x ^Xy des deux bases, aussi que le c6t^ z. — On obtient
nH
X =
+ *r Tri/ 3(m2 — n«V
_ mH
70. Probleme in. Les rayons des deux bases d'uu tronc de cöne sont entre eux comme m est ä «; le rayon de la section faite ä 6gales distanccs des bases est a\ calculer le volume I' du tronc de cöne, sachaut que la hauteur est H, — On trouve que
na^H m* — n*
de la Geomitrie iUmentaire. 319
Ce volume sera äquivalent h la sphere de rayon a, si Ton a
71. Probleme IV. On conuait les rayons /?, r des deux bases d'un tronc de cone et la hauteur H du tronc; mener un plau paral- lele aox deux bases, qui d^compose le solide en deux troncs de cöne semblables, dont on demande les volumes V et F". — Le rayon de
la section est ^ Rr et Ton a
72. Probleme V. Determiuer sur Taxe d'un tronc de cöne an point P tel que le volume du tronc seit 6gal ä la surface laterale maltipli^e par le tiers de la distance de ce point P an cöt6. — Les distances du point P aux deux bases sont
Rt _ ^2 y iit _ ^t
XI. Trones de edn^ assujettls ä des eonditions donne^s.
73. Theoreme I. Lorsque la hauteur d'un tronc de cöne convexe est ^gale ä quatre fois la difference des rayons R^ r des deux bases, le tronc de cöne est ^gal ä la difference des deux sph^res construltes avec ces rayons.
74. Theoreme IL Lorsque la hauteur d'un tronc de cöne Strang 16 est ^gale k quatre fois la somme des rayons des deux bases, le tronc de cöue est 6gal ä la somme des deux spb^res con- strultes avec ces rayons.
75. Probleme I. Calculer les rayons R et r des deux bases d'un tronc de cöne, dont le cöte connu C fait un angle de 60* avec le plan de la base inf^rieur, sachant que le tronc est äquivalent ä la Sphäre qui a ce cöte C pour diam^tre. — On trouve que
76. Probleme II. Dans un tronc de cöne, le rayon r de la base sup^rieure, la hauteur H et le rajron R de la base inf^rieure sont entre eux comme les trois prcmiers nombres impairs 1, 3, 5^ calculer la surface laterale «, la surface totale iS et le volume V en fonction du rayon r de la base sup^rieure. — On trouve que «=»30;rr*> S = 567ir2 et F=3l7rr3.
320 Dos ton Proposittons sur Us corps de rfvohttion
77. Probleme III. Qucl doit etre le c6t6 C d'un tronc de Cüiie dont on doune les doux rayous 72, r de bases, pour que le volumc 8*obtieiiiie eu multipliaut la surfacc totale par la n^"*® partie de la bauteur? Ou trouve que
^ » — 3 , ,, , , , 6 — « Rr Rr
Pour n = 3, Oü a C = wirr"^ ^^ ^^^^ w = 0 il vient C = R-\-r.
78. Probleme IV. U» cylindre et un troiic de cöne ont uoe base commuue nR'^ et meme bauteurs //, calculer le rayon n de la secoude base du trouc de cone pour que le voIume du cylindre soit k celui du cöne dans la rapport de m ä 7i. — Ou trouve que
Pour m = 12 et 71 =: 7 , ou a: = jj ; si Ton a on meine temps li = V, le tronc de cöne sera äquivalent h la spbere de rayon R.
79. Probleme V. Calculer le rayon de base x du cylindre qui a meme bauteur H et meme volume V que le trouc de cöne dont les rayous de base sont i^ et r. — Ou trouve que
Pour J? = 11 et r — 3 on a JB = 7.
XII. Le tronc de cöne eircoiiscriptible.
*80. Tb^oreme I. Lorsqu'uu tronc de cöne est circon- scriptible ä une spbere;
1® le rayon de cette sphöre est moyenne proportionnelle eutre les rayons et des deux bases du tronc;
«
2^ la surface laterale du tronc est öquivalent au corcle qui a pour rayon le cöt6 du trouc;
3*^ le volume du tronc s'obtient, en multipliaut la surfacc totale par le sixi^me de la bauteur.
81. Th6orörae IL Lorsque la demi-liauteur d*un tronc de cöne est moyenne proportionnelle entre les rayous des deux bases, la surface laterale du trouc est ^gale au cercle qui a le cöt^ pour rayon.
de ta G^mitrie ilimenUUre, 321
82. Thdorlme III. Lorsque le c6t6 d'un tronc de c6iic est ^e k la somme des rayons des deux bases, le volume da tronc est 6gal ä la sorface totale multipli^e par le sixi^me de la hauteur.
83. Probleme I. Calculcr les rayons x (^i y dos deux bases d*un tronc de cöne, qui est circouscrit ä une Sphäre de rayon /?, pour qn'il seit 6gal b, n fois cette spb^ro. — On trouve que
Le volume du tronc sera double de celui de la sph^e pour
ir = jÄ(l/5 + l) et y==iÄ(V5-l).
La sorface laterale de ce tronc sera hnR^^ et 8;rÄ* en sera la snr- &ce totale.
84. Probleme II. Dans un tronc de cöne circonscriptible & la Sphäre de rayon R^ la surface totale est 6gale ä. n fois la snrface de cette sph^re, calculer les rayons a; et ^ des deux bases, la surface laterale # et le volume V du tronc. -— On trouve pour or et y les mimer valeurs que pr6c6demment; de plus on a
8 = 71/2« (2n+ 1), V= inR^
R Pour n = Vi on a jc = 2Ä, y = -^, « =- y tcä*, S — V^^^
r== l7tR\
85. Probleme III. ün trap^zc birectangle ABCD (fig. 3.) est circonscrit ä un cercle O de rayon r ; on co nnait le c6t^ lateral oblique AD = 2a. Calculer les deui bases AB = B^ CD = ^ du ^pdze, pnis la surface laterale «, la surface totale ^S et le volume V da tronc de cöne qu'engeudre la r^volution du trap^ze ABCD autour du c6t^ lateral droit BC, -— On trouve que
B — a + r+Vi^^=^, b = a+r— Vi«^^; #=r47ta(a+r), S = 8;ra(o+r), V^ 4;rr(r+a)(r+2a).
La surface totale du tronc est double de la surface laterale, et le volume s'obtient en multipliant la surface laterale par le le tiers
de ±±^. a
86. Probleme IV. Dans un demi-ccrcle ACB (fig. 4.) on inscrit un rectangle DEFG et Ton construit le triangle isoc^le CEf^
TaD LX. 21
Oa demaudß qao le rer.tungle soit tel que, si )'od fait toornor It figure autour du diamötrc AB, Ics volumes eogondr^B par Ic rectangle soieut eutre eux comme m est & n. — La haatenr du rectangle scra
2(2.
r-fs^ö'^"*"^''^^'"'^"'"*'*"'^-
Pour m = 3 et tt = 4, od trouve x = JÄ; si r
Xm. La sone et 1* calotte spb6iiqae.
87. Th6or4me I. La surface de la calotte sphäriiinc {zono h une baso) est ägatc ä celtc d'uu ccrclo, qni a pour rayou ta corilc du l'arc gäuörateur de la calotte.
88. Tb^or^me IL Lorsquo la base d'nuo calotte aphiriqBe est la n*"* partiti da la sorface de cette calotte, la hanteur de li calotte est £gale a n— 1 fois la n™* partie du diain^tre de la spbire.
89. Thäoröme IIL Si l'on divise uue demi-circonnreuce ei trois partics Egales et qu'on la fasse tourner autour de son dismitn,
1" la Zone engeudrdc par Taxe du milieu est ^gale k la souuse des deux zones d^crites par los arcs extrSmes;
2** la surface eugcudree par la cordc de l'arc du milien est ausii ägalo k la somrae des surfaces engeudr^os par les cordes extrSmes.
90. Probleme I. Conper une sph^re par nn plan tel qne Ib cercie de la soctioo soit ^gal k la differeDce des deux zoacs dans lesquelleB le plan diviae la surfaco de la sph^re. — Le plan sicoal divise le diam^tre do la Sphäre en moyciino et oxtrgmd raiBon.
91. Probleme IL S^parcr d'une spbäro uiic calott«, qui soit double de la surface laterale du cöue inscrit dans la calotte et ajun m6mo basc qn'cllo. — L'arc gdneratcnr do la calotte est le tien de la drcouf^reuce d'uu graiid cercle de la Sphäre, et la aurface de la calotte est lea troia quarts do la surface de la sphäre.
92. Probleme III. S^parer d'uue spb^re ano calotte, qui soit la moitiä do la surface latärale du cöue circonscrit k la calotte et ayant memc base qu'elle. — La hauteur de la calotte est les deo tiers du rayon do la sphöre.
93. ProbUme IV. Säparer d'une spböre une calotte, qni soil ägale k la surface laterale du cöue , qui a meme base que la colotU et pODT Bomraet le ccntrc de la apböre. — La bauteur de la calotU
de la Giomitrie HimeAtaire. 323
est le cinqui^me da diam^tre de 1a sphdro, et la surface de la calotte est aossi le ciuqui^me de la surface de la sph^re.
94. ProbUme V. S^parer d*uno sphöre une calotte, qai seit ^e ä la surface laterale du c6ue, qui a meiiie base que la calotte et poor sommet Textr^mit^ oppos6e du diam^tre perpeudiculaire ä cette base. — La demi-cordc de Tarc g^n^rateur de la calotte est ^gale au plus grand segment du rayon divis^ en moyeune et extreme raison.
95. Probleme VI. S6parer d'uue sphöre une calotte, qui augment^ de son cercle de base, seit äquivalente ä la moiti^ de la surface de la sph^rc. — La hautenr de la calotte est ^gale ä Texcös du diam^tre sur le c6t6 du carr^ inscrit dans un grand cercle de la sphöre.
XIT. QaestioBs sur la Sphäre.
96. Tb6orämeL Pour que le volume d'une Sphäre soit ex- prim6 par le memo nombre que la surface, 11 faut et il suffit que le rayon soit 6gal k 3.
97. Th^or^melL Le volume. compris entre deux sph^res concentriques de rayons R ei r est 6gal k celui d'un tronc de cdne, qoi a pour bases Ics grands cercles de ces sph^res et pour hauteur la quadruple distance des deux surfaces sph^riques, ou
K= «(Ä«-f.i2r-f-r2)+i(Ä— r).
•98. Th6or^me in. Si Ton divise une droite AB^2R (fig. 5.) en deux parties quelconques AC = 2r et CB = 2r', et que ron d^crive sur les trois droites AB^ AC et BC comme diam^tres, et d'un mdme cöt6, trois demi-cercles APB^ AMC et CNB^ la figure comprise entre ces trois demi-cercles engendre, en toumant autour de AB^ un volume qui a pour mesure ^nRrr'.
•99. Th^or^mo VL Sur le diam^tre ACB (fig. 6.) d'un demi-cercle ADB on construit un triangle isoc^le SAB^ dont le som- met S soit situ6 au-dessus du demi-cercle et dont les c6t^s SA et SB rencontrent en K et /' la tangente ELF parallele au diam^tre. On forme ainsi le trap^ze isoc^le AEFB qu'on fait toumer autour du diam^tre AB.
1^ Si le cot^ SA du triangle isoc^le SAB est 6gal au diam^tre AB^ la ligne briset AE-^-EF-^-FB engendre une surface qui est ^gale ä Celle de la Sphäre ayant AB pour diamötre.
2^ Si au contraire la hauteur SDC du triangle isocdle SAB es^
21*
324 Jjostor: Proposihons sur les coi-jis de r^colutton
6gale au diamötre AB^ le trapöze AEFB engcndre un volume, qui est ^gal ä eelui de la spb^re ayaut AB pour diam^tre.
100. Probleme I. On constrait un cylindre ou un cdne sur un grand cercle de la sphöro; quelle devra dtre la hautour H du cylindre ou du cöne, pour que sou volumo soit 6gal ä cclui de la Sphäre? — On trouve H^j^R ou H = IR.
101. Probleme II. ün cylindre est circonscrit ä deux spWres egales de rayon iZ, dont les centres sont s^par^s par une distance D\ calculer lo volume Tcompris entrc les dcux sph^res, qui est tcrmlD^ par le cylindre. — On trouve que
Si les deux sphöres sont tangentes, ce volume sera
F= inR^.
* 102. Th^orlme VII. Lorsque le volume d'un cone est 6gal au produit de la surface totale par le huiti^me de la hautcur, le cöne est le tiers de la sph^ro qui a memo rayon que la base du c5De.
* 103. Th^or^me VIII. Lorsque la hauteur d'un cöne dr consent k une sph^re est double du diamdtre de cette Sphäre, la surface totale et le volume du cöne sont aussi doubles de la snr&ce et du volume de la Sphäre.
104. Probleme III. Un cöne a son sommet au ccntre d'une Sphäre, de rayon R^ et son plan de base tangcnt k la surface de cette Sphäre; d^terminer le rayon x de la base du cöne, pour que la surface totale du cöne soit äquivalente k la surface de la Sphäre. — On trouve x = |-K.
105. Probleme IV. Etant donn6s le rayon AC ^ R de la base d'un cöne et sa hauteur SD = H (fig. 7.) , h quelle distance SD = ar du sommet faut-il mener un plan DEF parallöie k la base, pour que la volume du tronc de cöne r6sultant ABFE soit 6gal ä « fois celui de la Sphäre qui a x pour diam^tre. — On trouve que
x^ Hy
2R^
2Ä*+n^«
Pour n — 2, on Vk x = Hy ■^'
106. Th6or ferne IX. Sur le diamfetrc AB (fig. 8.) d'un dcmi- cercle on construit un rectanglo AB CD circonscrit au demi-ccrcle,
de la Giomilrit. ^^mentaire. 325
et Ton y m^ne la diagonale AC. Si l'on fait toarnor toate la figaro aulour du diam^tre AB^ lo triangle ABC, Ic dcini-cercle AMB et le rcctangle ABCD engendrent trois volumes, qui sont entrc eux cojnme les trois premiers nombres entiers 1, 2 et 3.
107. Theoreme X. Du sommet O d'un carre OACB (fig.9.), avec le c6t6 OA pour rayon, on decrit le quadraut AMB et Ton m^ne la diagonale AA, Si Ton fait touruer toutc la figure autour du rayon OA comme axe, le triangle rectauglc OAB^ le segmcnt circulaire ABMA et le triangle mixtiligue AMBC engendrent des volumes 6gaux.
108. Theoreme XL D'un point A (fig. 10.), pris hors d'uü cercle O, on m^ne loa deux tangentcs AB et AC, le diamötre de contact BOD de l'une d'elles AB et la porpeudiculaire CE abaiss^e 8ur ce diam^tre dn point de contact C de l'autre AC. Si l'on fait toumer tonte la figure autour de BD^ le triangle mixtiligue AB MC engendre un solide qui est äquivalent au c6ne engendr^ par le tri- angle ABE.
109. Probleme V. A un demi-cercle BMCD (fig. 10.), de rayon Ä, on m^ne deux tangentcs AB et AC^ dont la premi^re AB ^ perpendicnlaire ä Textr^mite B du diamötre BD, Determiner la tangente AB^ de mani^re que la somme des surfaces engendr^es par les deux tahgentes dans leur r^volution autour du diam^tre BD soit 6gale ä n fois la surface spb6rique engendr^e par la demi-circon- ference. — On trouve quo
AB^ = Ä» (n — 1 -f V^qil). Pour n = J, on a AB = R.
108. Probleme VI. Couper un demi-cercle, de rayon Ä, en deux parties par une corde parallele au diamötre, de mani^re qu'en touruant autour de ce diam^trc elles engendrent des volumes 6qui-
Talents. — La longneur de la corde est 6gale ä Äy4.
109. Probleme VIL Dans une Sphäre de rayon R inscrire le parall616pip6de rectangle de volume maximum. — On obtient le cübe ayant |Äy3 pour c6t6.
110. Probleme VII L Dans une Sphäre donn6e inscrire le prisme triangulaire regulier dont le volume soit maximum. — Le plus grand prisme regulier, que Ton puisse inscrire dans une spb^re, est 6gal au cube du rayon de la Sphäre; la base a pour cöt6 celui du carr6 inscrit dans un grand cercle de la sphere, et la hauteur du prisme est 6gale aux deux tiers du triangle ^quilat^ral inscrit dans le mSme grand cercle.
326 Dostor: Proposüions sur les corpx de rivolution
XY. 8eirineiit sphMque«
111. Th^or^meL Le segment spberique k une base est equi- valent au cylindre, qui a pour rayon de baso la bautcnr H du segment et ponr hautenr Texc^s du rayon i2 de la Sphäre Bur le ti^rs de la bautcnr du segment; du
F= nH^
i-D
112. Probleme I. D'une sphöre de rayon R on s^pare un segment par un plan men6 ä une distanco x du ccntre; calculer le Yolume V du segment, le volurao r' du cöne circouscrit qui touchc la spb^re suivant le cerclc de base du segment et le volume V" da cöne inscrit qui a m^me base que le segment — On trouve qae
__V^ _ _V _V^ (R^x)^
113. Probleme II. Calculer la hauteur d'un cylindre inscrit dans une sph^re de rayon R^ dont le volume est ^al ä la somme des deux segments spb6riques ä une base, qui s'appuient ext^rieore- ment sur les deux bases du cylindre. — La hauteur du cylindre, augment6 du rayon de la sph^re, est ^gole au c6t^ du triangle ^oi- lat&*al inscrit dans un grand ccrcle de la sph^re.
114. Probleme III. S^paror d'une sphere un segment k une base, qui seit double du c6ne inscrit daus Ic segment et ayant m^me base que lui. — Le segment n'est autre que la demi-sphere.
115. Probleme IV. S^parer d'unc sphfere un segment, k une base qui seit la moitie du cöne circouscrit au segment et ayant mSme base que lui. — La distance de la base du segment k rextrtoitd oppos6e du diametre perpendiculaire k cette base est ^gale au cöt6 du carr6 inscrit dans un grand cercle de la sphere.
116. Probleme V. S6parer d'une sphere un segment k une base, qui seit ^gal au cone de memo base et ayant son sommet au centre de la sphere. — La hauteur du segment est 6gale k la plus petite partie du rayon de la sphere divis^ en moyenne et extrÄme raison.
117. Probleme VI. Separer d'une sphere un segment k une base, qui seit ^gal au cone de m^me base et ayant pour sommet l'extr^mit^ oppos^e du diametre perpendiculaire k cette base. — La hauteur du segment est egale ä ^Ä(7 — VIT).
118. Probleme VII. Separer d'une sphere un segment i
de la G€om€tne dimentaire, 327
ODe base, qni soit moyen proportionncl entre les deox cönos, Tun inscrit et Taiitre circonscrit, qni ont memo base que Icu. — La base dn sogment divise le rayon en moyeune et extreme raison, h, partir du centre de la sphere. Le segment est en meme tcmps la diff^rence entre les deux cönes, Tun circonscrit et I'aatre inscrit.
. 119. Tb^or^me IL Lorsque la bauteur d'un segment spb6ri- qne ä une base est les trois cinqni^mes dn rayon de la Sphäre, le segment est ^qnivalcnt k la spberc ayant cette hautenr pour rayon.
120. Theoreme II L De toutes les calottes spb6riques de mSmc snrface, la demi-spbere enveloppe le plus grand segment spb^riqae.
♦ 121. Theoreme IV. Le carr6 du rayon q de la section 6qaidistante des deux bases d'un segment spb^rique ^gale la dcmi- somme des carr^s des rayons r et r' de ces bases, plus le carr^ de
la demi-hauteur ö du segment; ou
P 2^4
122. Th6oremeV. Le segment spb^rique ä deux bases 6gale le cylindre qui a m§me hautenr h que le segment et pour base la section ng^ öquidistante des deux bases, moins la demi-spbere qui a pour diametre la bauteur du segment, ou
♦ 123. Theoreme VL Le segment sb^rique ä deux bases egale le cylindre qui a pour base un grand cerclo nR^ de la spbere et pour bauteur celle H du segment, moins le tronc de cöno qui a meme bauteur H que le segment et pour rayons de bases les distan- ces d et c2' du centre de la sphere aux deux bases du segment; ou
124. Probleme VII I. Calculer le volume du segment spb^ri- que k deux bases, en le consid6raut corame la differcuce entre deux Segments sph^riques k une base.
♦ 125. Theoreme VII. Le segment sph6rique k deux bases JTÄ* et jrr*, qui s'appuie sur un grand cerclc nR^ de la sphere, est äquivalent k la somme de trois cöues, qui ont meme bauteur H que le segment et pour bases, Tune la base inferieure nR'^ et les deux aotrcs la base sup6rieure nr^ du segment ; ou
328 Dos ton Proposüion« sur les corps de r€üolution
126. Theoreme VIII. Dans nn segment spherique, si la distance il de l'ane des bases an centro de la sphere est ^galo au rayon r' de Tautro base, r^ciproquement la distance rf' de cette sc- Gonde base au centre de la sphere est 6galo au rayon r de la pre- miere base.
Dans ce cas la hauteur H du segment est egale ä la somme ou k la diffdrence des rayon r et r des deux bases du segment, suivaut
que le centre de la sphere est Interieur ou ext^rieur au segment
«
R^ciproquement, si la hauteur d*un segment spherique est egale k la somme ou a la diff^r^nce des rayons des deux bases da segment, la distance de chaquc base au centre de la sphere est ^galo au rayon de l'autre base.
127. Theoreme IX. Lorsque la hauteur H d*un segment spherique est 6galo k la somme ou k la diff^rcnce des rayons r et r' des deux bases du segment, lo segment 6gale la demi-sphere qui a cette hauteur pour rayon, moins ou plus lo cylindre qui a meme hauteur que le segment et pour rayon de base la moyenne propor- tionnelle entre les rayons des deux bases du segment; ou
suivant que H^ r±ir\
Le segment, dont les deux bases out ^R et | pour rayons est les W^ ou les ^^ de la sphere, suivant que le segment contient on non le centre de la Sphäre.
* 128. ProblömelX. Connaissant les rayons -4Ä«r, CD^^ (fig. 11.) de deux sections paralleles faites dans une sphere et la distance K de ces deux sections, calculer le rayon R de cette sphere. — On trouve que
129. Thdoräme X. Sur la meme sphere, de tous les segments sphdriques de meme hauteur, le segment sym^trique a le plus grand volume.
130. Probleme X. ün cöne est circonscrit k deux spheres de rayons R et r, dont les centres sont s6par6s par une distance Z), calculer le volume compris entre les deux spheres, qui est termln^ par le cöne. — On trouve que
3D7= 7r(Ä«+i2r+r«)(Z)-fÄ — r)(Z)-fr — Ä) — 2;ri?3(/>+r— Ä)
— 27rr8(/)+i?— r).
Si les deux spheres sont tangeutes, on aura
^-^"^R+r
de la Giom€tii€ iUinentaire. 329
XYI. Solide en^ndr^ iMur 1» r^rolutlon d^an segrment eirculalre.
131. Th Porome I. Le volumo engendr^ par lar6volution d'un segmeot circulaire autour du diam^tro passant par Tune de ces ox- tr^mit^s, a poor mcsure la zonc qui Tcnveloppe multipli^ par le sixi^me de la hautear de cette zone.
Ge volame est anssi equivalcnt au cune pui a pour rayon de base la hautear du segmeut et pour hauteur le rayou de la Sphäre.
132. Theoreme II. Le volume engendr^, par la r^Tolutiou autour du diamätre AC (tig. 12.), du triangle mixtiligne ABMC\ form^ par le diaro^tre AB^ uue corde AC issue de son extr6mlt6 et Tarc eompris BMC^ est äquivalent k deux cönes, qui ont pour hauteur le rayon E de la sphöre ot pour rayons de base, Tun la corde BC qui sous-tend Tarc et l'autrc la projection BD de cette corde sur le diam^tre AB.
133. Th6or6me III. Si Ton divise une dcmi-circonf6reucc ÄECB (fig. 12.) en trois parties Egales en C et JS et que Ton m^ue les Cordes AE et AC\ le triangle mixtiligne AECy dans sa revolution autour du diam^tre AB, engendre un solide äquivalent k la moiti^ de la Sphäre.
134. Probleme I. Dans un demi-cercle AMCNB (fig. 13.) on m^ne la corde AC faisant un angle a avec le diam^tre AB. On de- mande de calculer les volumes engendr^s par la revolution des deux Segments circulaires AMCAy CNBC autour du diam^tre AB. — On trouve que
vol. AMCA = f 7f ä3 cos*a, vol BNCB = ^nRHm^a.
Pour « =» 60^, on a
yo\.AMCA vol. BNCB sphöre^ö 1 ^ 9 "" 16
135. Probleme II.- D'un point C pris sur une demi-circon- f^rence ACB (fig. 13.), on ra^ne les cordes CA et CB aux extr6mit6s ^ et B du diam^tre AB et Ton tire la droite CD perpendiculaire k ce diamötre. Quelle doit §tre la distance AD = a?, pourqu'en faisant toumer la figure autour du diam^tro AB^ le segmcnt circulaire AMCA engendre un volume egal k la moitit^ du c6ne engendr^ par le tri- angle BCD. — On obtient la valeur x en retranchant du diam^tre Aß le double du cot^ du d^cagoue regulier ihscrit.
136. Probleme II I. Par rextr6mit6 B d'un quart de cerde MB (fig. 14.) on m^ne la droite BD parallele et 6gale k la moiti6
330 Dostor: Propoailions sur les corptt de r^oolution
du rayon oppose^ AO^ et Ton tire la droite AD^ qoi coupe Tarc en C. Calcaler les volomes qu'engendreDt le segment circolaire AMCA et le triangle mixtiligne BCD^ d'abord en tournaot autour du rayon AO "" Rf puis aatour du rayon BO. — On trouve
l\ ^oVAMCA autour de ^O =» s- . i^R\
2 2^. vol. AMCA autour de jöO = g- . f »Ä»,
30. vol. -ÖGD autour de ^O = g- . inR\
7 4P. vol. BOD autour de ^^ -= inö * ^"^^'
xni. Corps de r^Tolation engendr^s par des triaBfles«
137. Th^or^me I. Lorsqu'un triangle, toumant successivcment autour de ses trois cöt^s engendre les volumes A^ B, (7, on a, entre ces six quantit^s, les relations
aA^bB=^ cC^
JL^ _^ J^ , 1 2 cos« ^si — ^t + c^ — ßc
A ^'B +c yW'
oü a exprime l'angle qui, dans le triangle, est oppos^ au c6t6 a.
Si Tangle a est droit, les deux demi^res de ces relations de- viennent
A^'^ B^'^C^' A'^ B^ C'
138. Probleme I. D^terminer la relation, qui doit exister
entre los trois cöt^s a^ l^ c pour que le volume A^ eu^ndr6 par la
r^volution du triangle autour du cdt^ a, seit ^gal k la somme des
volumes ^ et C qu'engendre le triangle, en toumant autour des dem
bc c6t68 i et c. — On doit avoir a « in — •
139. Probleme IL Calculer les trois cöt^s a, i, c d'un tri- angle, connaissant les volumes A, B^ C qu'engendre ce triangle, cn toumant saccessivement autour de ces trois cöt^s. — On trouve qae
de la Geom^frie €l€in€n(aire, 331
Si l'angle oppos^ an c6t^ a est droit, on aura
na^A^ = 3J52C«.
140. Th^oröme IL Lorsqn'uu triangle ^qoilat^rali ayant a pour c6t^, tonme autour d'un axo exterleur, men^ par an sommet et inclin^ d'nn angle a sur la hanteur issae de ce sommet, il engendre an volame ^gal ä ^Tra^sino.
* 141. Th^or^me II I. Lorsque, dans un triaagle ABC^ od m^ne ane parallele DE k la base BC^ ä mi-distance du sommet A^ et qu'ou £asse toarner le triangle ABC aatoar de cette base, le vo- lame engendr^ par le petit triangle ADE est la moitie du volame engendr6 par le grand triangle ABC,
142. Th6or6me IV. Dans un losange ABCD clrconscrit autour d*un cercle de rayon iZ, la diagonale BD est ^gale au c6t^ AB. Si les deux domi-losanges ABC et BAD touruent autour des diagonales respectives AC et BD^ ils engendrent les volumes ^nR^ et V^ĻV3.
Si le losange est un carr6, les deux volumes engendr^s seront ^ux chacun ä j^nR^-^2,
143. Th^or^meV. Un triangle rectangle est inscrit dans un demi-cercle de rayon 12, et Tun des deux angles aigus est ^gal ä ct. Si le triangle tourne autour de l'hypot^nuse, il engendre le volume
V « |7iÄ3sin»2of.
Pour a = 150, on a K = ^nR\ „ a = 3(y>, „ V^inR\ tt = 45«, „ r = \nR\
1?
144. Th^oröme VI. Lorsqu'un triangle tourne d'abord autour d*an de ses cöt^s, puis autour d'une droite parallMe, meu6e ext^rieure- ment k une distance d de ce c6t^, il engendre deux volumes dont la difif^rence est 6gale au produit de la surface du triangle par la circon- f^rence 2nd,
145. Probleme III. Calculer la base x et le c6t6 y d'un triangle isoc^e, connaissant le c6t6 a du carr6 äquivalent et le rayon r de la Sphäre qui a m§me surface quo le solide engendr6 par la r^volution du triangle isoc^le autour de sa base x. — On trouve que
r^x « a*, 4a*rV = 16r»»+a«
332 Do stör: Propositioits &«r les corps de r^volution
146. Th^orömc VII. Un triangle ABC est iiiscrit dans un demi-cercle de rayou R\ les rayous AO^ BO et CO soiit iüclin^s sur le diani^tre des angles rcspectifs a, /5 et y; si le demi-cercle toorne autour de son diam^tre, le triaugle ABC eugeudre un volume F, qoi a pour expression
F= ^nR^[ß,m{ß — y)(8iii/J + siny)+Bin(y — r )(smy-|-8i"^)
-|- sin (a — ß) (sin a + sin j3)].
147. Th^or^mc VIII. Dans un demi-cercle de rayon R (fig. 15.) on m^ue une corde CD parallele au diam^tre AB par le milieu C du quadrant AE et Ton tire les droites AC et AD. Si Ic triangle ACD tourne autour du diam^tre AB^ il engendre un solide äquivalent ä une Sphäre, qui a CD pour diam^tre; ce volume est
XYUI. Corps de r^volution en^endr^s par des quadrilat^res.
* 148. Thdor^mel. Ann cercle de rayon r on circonscrit un trap^ze birectangle (fig. 3.), dont la droite men^e ä, Egales distances des bases est 6gale ä Ä ; si le trap^zo tourne autour du cöt6 perpen- diculaire aux bases, il engendre le volume
^7ri?r(2Ä--r).
Ce volume sera egal k n fois la sphere de rayon r pour
Ä = Jr(l + T/l + 8n).
5r Pour n = 10, on a ä==ö-; los rayons des deux bases du
tronc seront
Ott?'* sera la surface laterale et 24;rr* la surface totale du tronc de cöne.
Pour n = 15, on aura iE ^ 3r; les rayons des deux bases du
tronc seront
r(3 + V3), r(3-V3);
167tr* sera la surface laterale et 40;ir* la surface totale.
* 149. Theoreme IL Lorsqu'un losange tourne autour d'une droite menee par un soramet paralleleraent k la diagonale opposee, les deux triangles isoceles qui s'appuient sur cctte diagonale engcndrent des solides dont Tun est double de Tautre, et le solide total eugeudr^ par le losange a pour mcsure F== \Tta%^ a ot b 6taut les deux dia- gonales, Tune perpendiculaire et l'autre parallele k Taxe.
de la Giomitrie €l6nentaire. 333
Le Tolume engendr^ par Ic triangle inf§rieur, celui d^erit par le triauglc sup^rieur et le volurae produit par le losango sont eutre eux comme les nombres 1, 2, 3.
Si la diagonale a, perpendicalaire k Taxe, est ^gale au c6t6 du losange, on a ay3=»Ä, et par suite V=^nh^. Dans ce cas le Yolume engendr^ est äquivalent ä la sphere qui a pour diametre la grande diagonale du losange.
* 150. Probleme I. Auu dcmi-cercle AIB (lig. 16.) de rayon R on circonscrit un trapezc isocele CEFD et Ton fait tourner toute la figure autour du diametre AB. Quelle doit etre la demi-base in- ferieure CO du trapeze, pour qu*il engendro un volume qui soit dans le rapport de m ä n ä cclui de la sphere engeudr^e par le demi- cercle. — On trouve quo
27? CO = -g-- (3m ±y4m«— 5w*) ;
la demi-base sup^rieurc du trapeze sera
EI = £ (2m ± >'4m2 — 5h«).
Pour m = 3 et n = 2, on a CO =- Ä, £/— R, et CO = V^» £/= \R.
* 151. Theoreme III. Lorsqu'un carrd, construit surlecöt^
a, tourne autour d'une droite ext^rieure, men^e par un sommet et
iDclin^e d'un angle o sur le c6t^ adjacent, il engendre un solide qui
a pour expression
7ra^(sina-{-cos«).
Ce valeur se r^duit k na\ si Taxe est perpeudiculaire ä la dia- gonale aboutissante.
* 152. Theoreme IV. Los deux c6t6s AB et AD d'un rec- taiiglo ABCD sont a et ä; sa diagonale -4C' = c fait un angle (p avec une droite men^e ext^ricurement par son extr6mit6 C, Si lo rectangle tourne autour de cette droite, il engendre un solide qui a pour expression nabc sin cp,
Si Taxe est perpeudiculaire sur la diagonale aboutissante, cette valeur se r6duit ä nabc.
Dans ce cas les volumes engendr6s par les quatre triangles qui s'appuient sur les diagonales du rectangle sont fournis par les ^galit^s
vol. ABC _ vol. BCD _ vol. CDA _ vol. DAß na Ä(i«+c*)"" ö? '~ b(c^ + a^)'~ (3ä — a)c«"°3<?'
334 Öostor: Propositions sur lex corps de r^oolutiori
Si an lieu de rinclinaison (p de la diagonale sar Taxe, on donne
l'angle « que fait le c6t6 adjaceut b avec cet axe, le volume cngcndr6
sera
nctb (a cos a -|- Ä sin a).
* 153. Thöorömo V. Lorsqu'un trapeze tourne successivemcut autour de ses denx bases B et &, il engendre deux solides, dont les volamcs sout
oü ff designe la haatear du trap^ze.
XIX. Solides engendr^s par la r^rolution des polygones Hfalien.
* 154. Theoreme I. Lorsqu'un polygone regulier de n cöt^ fait une r6volution eutiere autour de Tun c de ses cöt^s, il engeudre un solide V äquivalent au cylindre, qui a pour base le cercle %r* inscrit dans le polygone regulier et pour hauteur le p6riinetre ne du polygone; ou
* 155. Theoreme IL Lorsque la moiti6 d'un polygone r^ gulier, d'un nombre pair 2n de cöt^s, tourue autour du diametre extreme 2R du cercle circonscrit, eile engeudre uu solide äquivalent au cöne, qui a pour base le cercle inscrit nr^ et pour hauteur le double diametre ^li du cercle circonscrit; ou
* 166. Theoreme III. Lorsque la moiti6 d*un polygone regulier, d'un nombre pair 2n de c6t^s, tourne autour du diametre extreme du cercle inscrit, eile engendre un solide V äquivalent k la demi-somme des cönes, ayant pour bases les cerclcs inscrit et cir- conscrit, et pour hauteur commune le double diametre du cercle inscrit; ou
* 157. Theoreme IV. Lorsque la moiti^ d'un polygone r6- gtilier, d'un nombre impair 2«-f'l de cöt^s, tourne autour de la droite qui Joint son sommet extreme au milieu du c6t^ oppos^, eile engendre un solide r, qui est äquivalent au cöne dont le rayon do base est la demi-somme des rayons r et jR des cercles inscrit et circonscrit, et dont la hauteur est le double diametre du cercle inscrit; ou
de Id G^mitrie €limentair€. 335
♦ 158. Th6or^me V. Lorsqu'on inscrit et que Ton circon- scriTe an demi-cercle k un demi-polygone regulier, d'un nombre pair de cöt^s, et que Ton fasse toorner la figore autoor du diamätre comman,
1® la sarface S, engendr^e par le demi-polygone regulier, est moyenne proportionnelle entre les surfaces des deux sph^res, Tune inscrite et Tautre drconscrite pou
2^ le carr^ du volume engendr6 par le demi-polygone regulier est au carr6 de la sphere inscrite , comme la spbere circonscrite est au cori)s engendrö par le demi-polygone regulier; ou
336 Mtscetlen.
XXVIII.
Miscellen,
1.
Bemerkunfp zur mechanfsehen Quadratur.
Entsprechen den Functionswerten
yoi Vi^ yai ys
die Argumente
aco=^ — kh, a-, = 2"-^^i «^2 = 2"^^' «'s "^^ 2"'"'** 80 ergiebt sich mit Hülfe der Interpolationsformel von Lagrange:
r\ h (l-12^g)(yo+y3)-~(l-m»)(y,+y,)
,/y^^ = 24 P^V
0
h
Zur Lösung setze man x — ö "^ *• Das Integral ist genau, wenn
ist
Kiel, Juli 1875. Ligowski.
2. Auflösung einer symmetrischen Exponentialgleichung.
Bekanntlich haben die Zahlen 2 und 4 die EigentQmlichkcit, dass sie der Gleichung
xff ^y^
genügen. Es ist aber leicht den allgemeinen Ausdruck für x und y
1 zu finden. Potenzirt man mit dem Exponenten - und dividirt dann
durch ar, so kommt:
X
Setzt man jetzt y = t»«, so erhält man nach Potcnzirung mit -— r
(wofern u nicht =- 1):
1 f*
X = t4**~^ ; y =* w**"^
WO u willkürlich variabel bleibt. Geht u stetig in 1 über, so wird
<r = y = c, während allgemein « = y genügt.
R. Hoppe.
M eis sei: Beiträge zur Theorie der Reihen. 337
XXIX.
Beiträge zur Theorie der Reihen.
Von
E. Mel88el.
Abdrnek tos dem Programm der Bealacbule In Kiel 1875.
Seit Euler sind in der Behandlung der Reihenlehre bedeutende Fortschritte gemacht, und man pflegt heut nicht mehr unendlichen Reihen Beweiskraft beizulegen, ohne von deren Convergenz sich über* zeugt zu haben oder halbconvergente Reihen ohne Eingrenzung ihres Restgliedes bei numerischen Bestimmungen anzuwenden. Nichtsdesto- weniger gehört die Lehre von den Reihen immer noch zu denjenigen Teilen der Analysis, welche hinsichtlich des Stoflfs und seiner Be- gründung der Ausdehnung und Vertiefung dringend bedürfen.
Die angenäherte Darstellung einer Grösse durch eine geschlossene Anzahl von Gliedern, wie bei den lutcrpolations- und Quadraturformeln ist z. B. ohne Fehlereingrenzung ziemlich wertlos, da man hier auf jeden empirischen Anhalt, welche an sich convergento Reihen ge- währen, verzichten muss. Diese Bemerkung, welche Lejeune-Dirichlet mir einst gesprächsweise machte, veranlasste mich zur Untersuchung des allgemeinen Restausdrucks der parabolischen Interpolationsformel von La^range, den ich in meinem Lehrbuch der Differentialrechnung, pag, 316, Berlin 1854, H. Peters, zuerst mitgeteilt habe. — üeber die vielfachen Lücken der Lehre von den Reihen und ihren Miss- brauch klagt schon Abel *) in einem an Professor Holmboe in
*) Cf. Oeuvres complUcs, tome sccond, p. 266. Ten LI. 8S
338 MetKsel: Beiträge zur Theorie der Reihen
Christiania gerichteten Schreiben: „Enfin mes yeux sout dcssilies d'uae maniöre frappante, car k Texception des cas les plus simples, par cxemple les s^ries g^om^triques , il ne se trouve dans les math^ma- tiques presqoe aucune sörio infinie dout la somme est d6tennin6e d'une maui^rc rigoureuse, c'est-ä-dire , la partie la plus essentielle des mathematiques est sans fondement Pour la plus graude partie les rösultats sont justes, il est vrai, mais c'est lä une chose bien Strange. Je m'occupe k en chercher la raison, problöme tr^s iut^r- ossant pp."
Je seltener aber die Fälle sind, in denen aus der Anwendung divergenter Reihen falsche Resultate entspringen, um so grösseres Gewicht ist denselben für die Reihenlehre beizulegen, namentlich wenn sie einen hinreichenden Grad von Allgemeinheit besitzen und das wahre Resultat auf exactem Wege gefunden werden kann.
In der folgenden Arbeit werde ich zunächst eine besondere Classe von Reihen behandeln, deren Summe mit Hilfe divergenter Reihen in gewissen Fällen richtig, in andern fehlerhaft dargestellt wird, und die Ursache des Fehlers, sowie seinen Betrag in einem speciellen Falle feststellen.
Es sei für die Folge stets Iln « / x'^e-'^dx und die Reibe ge- geben »
® (— a)»*(a-f- *»)**" */^(^+«fl)
= a^ n
0 "w
Entwickelt man jedes Glied derselben nach aufsteigenden Po- tenzen von a, so findet man mit üülfe der Gleichung
(m+l)"-!— jm^-i-f-j-^ (w— l)"-i y;2~S ^^ -2)"-^ f ..=0
welche der Gleichung der Differenzen-Rechnung
entspricht, dass die Entwickelung von ^S die Form annimmt welche die Function /(x — aa) nach Potenzen von a entwickelt Würde
Mets gel: Beiträfje zur Thtorie der Reihen. 339
man nun der ersten Entwickeluiig bindcude Beweiskraft beilegen, so mösste man erhalten:
(2) fix — att) =fx—aaf ix-j-a)-j- jj^ — — ...
Diese Gleichung ist stets richtig, so lauge f(x) eine rationale ganze Function von x bedeutet.
In unzähligen anderen Fällen gilt sie gleichfalls innerhalb ge- wisser Einschränkungen der Grössen a-, a und er.
Setzt man z. B. und multiplicirt mit c*, so ergiebt sich
(3) e«« = l + «-^y +«(« + 2)1-^2' +773 +•••
Die rechte Seite dieser Keihe convergirt zwar für alle reellen Werte von « und für alle reellen "Werte von a, welche mit Eiuschluss der Gleichheit grösser als
a = — 0. 2784 6454 2761
#
d. 1. die Wurzel der Gleichung 1 + acH« = 0 sind; indessen drückt die liuke Seite nur so lange die Summe der Reihe aus, als a die Grenze Eins nicht überschreitet. Uebrigcus ist es leicht, die Relation (3) aus der ümkehruugsformel von Lagrango herzuleiten.
Jü einer Menge von Fällen ist die Gleichung (2) allgemein un- richtig. Setzen wir z. B. fx = -, so würde folgen für a = 1
X
1 ff a(a-\-2y , «v(ff + 3)2
«.H~/^_L1^2+ r^ _L*y\iJ I /^_i_Qa + —
oder
^*^ x{x-a) {x+ 1)^^ (x-\-2y^ ^ (x + 3)^^ (x + 4t)^ ^ '"
Diese Reihe convergirt für alle reellen Werte von x und a mit Ausnahme der negativen ganzen Zahlen für x. Von der Unrichtig- keit der Summe tiberzeugt man sich schon, indem man y = cf setzt
340 MeiHsel: Beiträge zur Theorie der Reihen.
Um nun den wahren Summenwert za bilden, benatze man die Gleichung (3)
und mache
ze~' = ttc""
ßo lässt sich für jeden positiven Wert von z immer ein Wert von n innerhalb der Grenzen
auffinden, welcher dieser Gleichung genügt. Die wahre Summe der obigen Reihe ist dann stets
Die beiden Werte von z und u sind einander gleich, so lange z die Einheit nicht überschreitet, und lassen sich, wenn « > 1 ist, mit Hülfe einer dritten Veränderlichen explicirt darstellen.
Es sei nämlich
z = ueP, p^O
so folgt aus der Gleichung ze-' = ne"*'
und daher
Nach diesen Vorbereitungen multipliciren wir die Gleichung
1
*"-=^+«^ Iln
mit e-**dz und integriren innerhalb def Grenzen 0 _^ « ^oo, so er- giebt sich
(5a) A.«-„d. = -V«l?^i^
Die linke Seite zerlegt sich in
1 «
/ «(«-«^«da-(- / ««••-»« £&
0 1
u
1 i
M eis sei: Beiträge zur Theorie der Reihen, 341
Das erste Integral wird
X — a
Das zweite lässt sich durch Anbringung der vorhergehenden Sub- stitution zunächst verwandeln in
00 00
x — a /
= / e 1-9"^ dp
X — a x — cL ./ '^
nnd wenn man p — — logt? setzt, in
!-(«-«) a /* a-l ^
/ V .r*
a: — o X — a ,/
X— «
Hieraus ergiebt sich fdr die linke Seite von (5a)
1 a P a-X 5=
X — « X — a /
ar— o
•dt?
und es wird
1 « /* a-l f^ 1 ^(n + a)n-l
— a x — a.f X ' 1 (n + a!)»»+i
oder:
... g^Cn+cr)"-! 1 1 P a-1 f=^-
(5) f (n+xr+1 " iö^i::^- ^z:^^ ^ -^^
<it;
<ft?
= / t?«-l/t;«-o — t;^~M \ aJ — « /
Um den Betrag der Abweichung der unrichtigen Summe (4) von der wahren Summe (5) in Greuzen einzuschliessen , bemerke man, dass fOr jeden Wert von v innerhalb der Grenzen 0 und 1 die Gleichung stattfindet
1 14w
342 Mets sei: Beiträge zur Theorie der Reihen
wenn cd innerhalb der Grenzen 0 und 1 liegt. Daher ist 1 1
r t?""^rf=^rft; = e-(*-«) /*t?"~^
«i4iL+"*5<'-«^
2 ,dv
2c-(«-a)
und
x-\-a-{'b3(x'\~a)
«(«-J-a)»«-l 1 2e-f'-«)
WO
1 (n+a:)»»^l »(x — a) (x — ajjar+a+wCx — o)}
4 -cü 0
Hieraus ersieht man, dass der Fehler der Summe (4) mit wachsendem (x — a) sehr bald unmerklich wird.
Dasselbe falsche Resultat wie in (4) würde sich ergeben haben, wenn man die Summe
e«« = 1 + « ^ — ' — Yf
' 1 lln
für alle Werte von z zwischen Null und Unendlich als richtig vor ausgesetzt hätte und nach erfolgter Multiplication mit c-'^ . dz inner- halb der Grenzen co ^ z ^ 0 die Inte^ation vollzogen haben
würde. — Die Fehlerquelle aber ist das erste Mal in der Anwendung divergenter Reihen, das zweite Mal in der unbeschränkten Benutzung eines Suramenausdrucks zu suchen, welcher nur innerhalb gewisser Grenzen statthaft bleibt. Ueberraschend bleibt es immer, dass beide so verschiedenartige Fehlerquellen denselben Betrag des Fehlers ergeben.
Aus dem Vorstehenden ist ferner klar, dass man von einer stets convergenten Reihe die Summe auch noch rticksichtlich der Grenzen zu untersuchen hat, innerhalb welcher dieselbe gültig ist. — Die in (5) gegebene Reihe kann nun zur Berechnung des seltsamen Integrals
f X ß-lXl-i
1 Ä {n + ß)n'l
dx = — j— :5 — a 2»
«+.^ 7 (n + «+|3)«il
dienen. Dieselbe mag in dem Falle a =» 2, /5 = — 1 durchgeffthrt werden.
Alsdann bat man:
Met 8 sei: Beiträge zur Theorie der Reihen, 343
» 1-.
0
Der Ausdruck g^, i im4^i ^^^^ ^^"® Entwickeluug nach niederstei- genden Potenzen von n in folgender Form zu
* (n-fl)nH — n^-Tn^-Tnß'^nS'T'- WO: (6a) < 7 247 2327
7451 "^^ 200475' ®^^-
and man kann beweisen, dass für wachsende Zeiger m der Wert von
bis zur Grenze 1 langsam abnimmt und stets innerhalb der Zahlen- grenzen 1,52 und 1 liegt.
Hieraus folgt, dass die Entwickeluug (6a) für n^ 1 stets con- vergent ist.
Nun bilde man
(6b) 1 /"* 7 f^rii == 0. 3348 1598 4609 0
1 (n+i;'»+*
und verschaffe sich den Summen-Rest mit Hülfe von (6a)
^^^ fi (H=Ty~>i - e^ Ti n^ "^ e^ 21 n* ^ '"
Wegen der häufigen Anwendbarkeit der Summen-Reste auf der rechten Seite habe ich eine Tafel construirt, welche die Werte
. -Ä«(«>i)
81 n«
für eine Reihe ganzer und gebrochener a enthält Aus derselben teile ich hier die gebräuchlichsten Reste auf 25 Decimalen mit, näm- lich:
Ä, « 0. 04877 08229 35203 11983 05363
R^ == 0. 00118 90612 01157 32729 67131
Ee -^ 0. OOCXK) 0055O 77218 38465 19173 Ä, -- 0. 00000 00022 36260 20890 90136 R^ =11.000000000093373 1313130173 Rg ~.0. 00000 00000 03979 15957 10684 R^a " 0- 00000 00000 00172 27739 27400 H,, = 0. 00000 00000 00007 54657 75325
Hit Hülfe dieser Tafel gevrinnt man aua {6c)
• («— D" _ Q Qpgg ^j2Jg ^g^J g
= 0. 3414 1814 2280 8
|
11 |
(.+l)-t. |
|
(6b) |
|
|
f |
(n-D— > |
Demnach ist
/^
'-'<fx = 0. 3171 6371 5438 (4)
Die gewöhnlichen Qaadraturformeln mit Eiuachlnss derer too Gauss gehen in diesem Falle nur ungenaue Resultate, weil die FnnctioD unter dem Integralzeichen den Voraussetzungen wenig entspricht, welche an die Verwendbarkeit dieser Formeln zu stcUcu sind.
Insbesondere hat mich die Darstellung von Restausdrüchen oiner Classe divergenter Reihen beschäftigt, welche aus den Differential- gleichungen
hergeleitet werden. Ich unterscheide die beiden Fälle, auf «elcbe sich jeder Fall mrackfuhren lässt
1) « = 1
2) 1>«>0.
M eissei: BeUrSgt zur Theorie der Reihen, 345
Erster Fall.
Das allgemeine Integral der Differentialgleichang ist
(8)
=-/
wo C and ^ Constanten bedeuten, welche von einander abhängig sind.
Nimmt man ferner an, dass die Function q>{x) der Differential- gleichung (7) genügt, so kann die Function ^{n-^^x)^ in welcher n eine positive ganze 2iahl, x^O ist, folgendermassen entwickelt werden:
/Q^ , . ^ 1 , gl , n(n~2) il(n~l)
wo Jß» von a; und n abhängig ist. Wie sich aus der Gleichung
ersehen lässt, muss Rn der Differentialgleichung genügen:
(10) 1=,^+^
n-f-x ' dx
deren Integral sich in geschlossener Form folgendermassen darstellen lässt:
(11)
^--(-q-/(^]
Die Grösse r» ist die Integrations-Constante, welche nur von n ab- hängig ist .
Man setze nun in (9) an die Stelle von n, n-j-l and mache «« 0, so wird erhalten:
846 Met SS eh Beiträge zur Theorie der Reihen,
(12) ,,(n + l) = --l-^ + ^-|L.^
n(n — l) nn
weil nach (11) Äh = r« wird, wenn man ar = 0 setzt. Ferner setze man in (9) ar = 1, so ergiebt sich
(13) <»'(n+l) = ;rFl+öiflP+ö^» + -
,TI(n-2in{n-l)
+ (»+i)»-i -r^W T^^li)-.-
wo
/ i\"r r
iZ«(l) = «
■'■^ä'h/R)-]
0
deijenige Wert ist, welchen J?« flir a; =» 1 annimmt
Die Vergleichung von (12) nnd (13) führt jetzt zu der Beziehung zwischen den Constanten rn+i nnd rni
(14) 1+^ = Ä»(1) = *-
■<■*=>■[-/(%■]
ans welcher man r» nach niedersteigenden Potenzen von n entwickeln kann. Man bedient sich hierzu der Gleichung
('+9"
«^ . X* «•
gx^g 2m"'' 8m* i»«"*""'
und nimmt für r» eine Reihe von der Form an
(15a) r. = a+^ + 3+3+...
Sind nun die Entwickelungen und Integrationen in (14) aus- geführt, so erhält man durch Vergleichung der Coefficienten die er- forderlichen Bestimmungsgleichungen der Werte „a" und gewinnt so für rni
2 4 ri 2 4 ]
(15) rn= 3 + 135 [;;+2i;i«-- 63^3— •••]
Meiaaeli Beiträge zur Theorie der Reihen. 347
Die auf anderem Wege gefundenen wahren Werte von r« sind:
rj — 0. 697 174 8 (8) r, — 0. 681 930 8 (4) r^ =- 0. 676 781 4 (0)
Aus (15) würde man mit Benutzung der ersten Tier Glieder er- halten hahen:
ri « 0. 697 236 9
rg « 0. 681 951 8
rg — 0. 676 787 1
Die Uebereinstimmung ist bei der Kleinheit von n eine sehr über- raschende.
Jetzt lässt sich aus (11) Rn gleichfalls nach niedersteigenden Po- tenzen von n entwickeln; indessen ist es bequemer, sich hierzu der Gleichung (10) zu bedienen.
Setzt man nämlich:
(16a) Ä»=P+^+5+-.-
WO die „p" nur Functionen von x sind, so ergeben sich die Glei- chungen :
2 = 1» S^ ^^' S=''*'-^»*5 "*^-
aus denen man in Berttcksichtigung des Umstandes, dass für a; = 0 Rn in (fn übergeht, nach und nach gewinnt:
P =■ 3+«
^ . 4 äc* aJ*
(16) < |,,= 135"" 3""" T
_ _1_ 2x«^. 2 30.^4 i5! ^« ~ 2835 135 "'"9'^ "^3^ "^ 15
etc.
Zu bemerken ist nun noch, dass die Entwickelung (8) von y gleich der in (9) delinirten Function g>(ar) ist, wenn die Constante A gleich der Stirling'scben Constante
jkf = 0. 5772 1566 4901 5 gesetzt wird, wodurch die Constante C den Wert erhält :
fi = 0. 3725 0741 0776 2
(17) ^^'f^ - VW - «-[jM-+Iogx+« + ^-2 + ...]
Den Beweis habe ich auf die Theorie der Gamma -Functionen gestatzt; indeasca gestattet der Bamn nicht, aaf dengelbeu hier näher einzngeheo.
Zweiter Fall. Die Function
gentigt der Differentialgleichnng
, d<p 1
Ferner Iftsst sich zeigen, dass folgende Entwickclbng stattfiodet
(20) n(.-i),(.+.,.)-^i=^+j_l^+...
n(,+'.-2) n(i+.-i)
wo der ReBtfactor Pn der Differentialgleichung genügt:
Das Integral derselben lautet: (22) p._,-.(x + 5)*j-,.+J^-^j
itioDBCODstaote «h eioe nur von winnt man hier die Beziehung :
und es drilclit die IntegratioDscoostante «h eine nur von u und m abhängige Gr5sae ans.
Wie im ersten Fall gewinnt man hier die Beziehung :
Meiateli Beiträge zw Theorie der Reihen, 349
aas welcher sich p« nach niedersteigendeu Potenzen von n entwickeln lässt, nachdem man die Möglichkeit dieser Entwickelang ans (21) bewiesen hat.
Zwischen den beiden Restfaetoren P» und Rh findet ein sonderbarer Zusammenhang statt, der sich auf fol- gende Weise herleiten lässt
Die beiden Differentialgleichungen (10) und (11) lassen sich auf einander zurückführen, wenn man in (10) statt n, n-f« und statt x^ x—a setzt. . Dann ergiebt sich
1 +-^i2,+.(,,~«)
dieselbe Form, welche (21) besitzt Deshalb muss sein:
(24) Pnix) - Rnia(x—a)+fn{a)e-' (l +^y "
wo /»(er) Yon X unabhängig ist
Nun hat man aus der Eigentümlichkeit der Restfactoren
und allgemoiner
ferner
P„(rr)-l + ^PHfi(x-l)
Daher durch Subtraction und mit Benutzung von (24)
fn («) = e (n+ a)/«+i («) ^^ ■ ^^H-fi-fa ^der ^f^(a)n{n + a-l) .- n(n+a)
Also:
wo d(n) nnr von a abhängt
Bie Gleichnng (24) geht deshalb Ober in:
350 Metasel: Beiträge 2ur Theorie der Reihen.
. Da nun für wachsende n Pnx und i?KX gegen endliche Grenzen convergiron und
80 folgt
nnd man erhält
(26a) PHix)^Rn^a(x—ti)
oder wenn man x == a setzt und die Reihe (15a) berücksichtigt
(26) p^(a) = Qn^a = a + -^ +-^-, + „.
Durch (26a) wird der allgemeine Restausdruck P«(a-) auf den in (16a) definirten besonderen Restausdruck „Ä** znrttckgeführt
Schliesslich mag noch bemerkt werden, dass die entsprechenden Restfactoren der divergenten Reihen, durch welche die Differential-
di/ 1 .
gleichung y — ^=:— integrirt wird, schon auf ziemlich elementarem Wege gefunden werden können.
In ähnlicher Weise lässt sich das allgemeine Integral
qj(x) = (^ jfxe-^dx
behandeln, in welchem f{x) eine Function von x bezeichnet, die nach niedorsteigenden Potenzen von x mit ganzen oder gebrochenen Ex- ponenten entwickelbar ist. Die Reihe
g>(n+x)^/{n+x)+/'(n+x)+/\n+x)+.,.-^/^-Hn+x)+RnJ'^^^^
ist in den ersten Gliedern convergent und wird später divergent; auch lässt »ich, wenn der Zahl wert von f^(n-\-x) kleiner als die Zahlwerte von /^-"^(n+a?) und f^^^(n-\-x) ist, stets der in der Nähe von i liegende Factor /?»» mit einem beliebigen Grade von Genauigkeit ent- wickeln. Zu diesen Untersuchungen gelangte ich durch Behandlung der Differentialgleichung
in welcher p, q^ r Functionen von x sind.
Dieselbe lässt sich auf eine Gleichung von der Form
(27) (g)*= y»+2/(x)
M eis sei: Beiträge zur Ifieorie der Reihen 351
leicht rcduciren, deren lutegral folgende Entwickelung gestattet:
' zu
wo A die Integrationsconstante ist und
00
r
X
Z^ ^90
u. s. w.
Vorausgesetzt wird bei dieser Entwickelang, dass für wachsende z der Ausdruck
gegen Null convergirt
Ist der Wert, welchen y für rr = 0 annimmt, yo sehr gross, so kaun mau aus (28) leicht die Constaute A in folgender Form finden :
ff^{x)t'^dx
(29) A^ « yo*+2//^a:c-2x,to_ 0 ...
Nach Bestimmung des Wertes von A liefert die Reihe (28) fttr alle Werte von x das Integral y der Differentialgleichung (27).
Handelt es sich z. B. um die Gleichung
(30) @) = .«+.»
in welcher y^^Z gesetzt ist und es sollte yio berechnet werden , so würde nach dem Vorhergehenden zu bilden sein:
(31) y^A^ -^^^ W{Ä^Y' •••
Hieraus würde man gewinnen, wenn y^^ a gesetzt wird:
. . 1 11 , 3619
8a 1024a» ^1990656a6*"
Setzt man hier a = 3, so ergiebt sich
^ = 3. 041 276 Daher
yio = 66988. 58
352 MetMtel: Beiträge zur Theorit der Reihen,
Ich will hinzufflgcn, dass dieses Verfahren der nume- rischen Integration von Differentialgleichungen auf eine unzählige Menge von allgemeineren Fällen sich ausdehnen lässt.
Zu diesen gehört die Gleichung
in welcher g> eine in y und y' homogene Function ist. Kiel, im Januar 1875.
Reh out: Nombres entUvs^ donl U atht est €gal a la somme etc. 353
XXX.
• *
Nombres entiers, dont le cube est ögal ä la somme de trois ou de quatre ciibea entiers,
Par
M. Eugene Rebout,
Professenr anx Ecoles d'aduUes de la ville de Paris.
1. Trouver quatre nombres entiers consecutifs tels quo le cube de Tun seit £»gal h la somme des cubes des trois antres.
Ropresentons par x le plus petit de ces quatre nombres entiors, les trois autres seront a:+l, ir-|-2 et ar+3, de sorte qu'on a T^quation
a-3-f (ir+l)3+(a: + 2)3 = (ar + 3)3,
qui, aprds calculs eflfectu6s et r^ductions faites, devient
«3 — 64: — 9 =0.
Gette 6quation peut s'ecrire
x3— 9a; + 3a;— 9 = 0, ou encore
x(a:2-9)+3(a; — 3) =0; et, comme
ic(a;« — 9) = x(x + 3) (x ^3) = («»-f 3a;)(a: — 3),
on voit qu'elle revient ä
(a:«+3a;+3)(a; — 3) «0.
Celle-ci est satisfaite par les valeurs qui vdrifient les deux ^qua-
tions
rc« + 3x + 3«0, ic— 3 = 0.
T«il LI. 23
354 Reh out: Nombrejt entien^ dont le cuhe est igal
Les ra:incs de la premiere sont imaginaires, par snite la yalcur X ^ S satisfait seule ä, la question.
Les qaatre nombres dcmand^s sont donc 3, 4, 5 et 6.
On a en effet 33+4»+5» = 6», car 27+64+125 =- 216.
2. On peut meme tronver facilement des nombres entiers, dont le cube est 6gal k la somme de qaatre cubes eutiers.
En effet, on a identiqnement^
(1) (a+ft+c)» « a»+ft»+c3+6a*c
+ 3o«Ä+3a«c+3i»c+3i«a+3c«a+3<Ä;
changeant dans cette 6galit6 successivement le signe de a, celui de 6, et le signe de c^ on en d^duit les trois nouvelles identit^s,
(2) (Ä+c — a)3 = — a3+i3+c3— 6aÄc
+ 3a^ + 3a«c + Sb^c — 3Ä«a — 3c*a+ 3c«^,
(3) (c+a — Ä)8 = a» — Ä^+c»— 6aic
— 3a»Ä + Sa^c + 3Ä«c+ 3Ä«a + 3c«a — 3c%
(4) (a+ft—c)» = a3+58 — c»— 6a5c
+ 3o% — 3a«c — 3Ä«c+ 3i«a+3c«a+3<?*Ä.
Si nous ajoutons ces trois demieres ^galit^, nous trouvons qoe leor somme est 6gale k
+ 3a«^+ 3a»c+3Ä«c + 3Ä«a+3c2a+3c*ft; cette somme est par snite 6gale k (a+&+e)^ — 2iabc. On est ainsi condnit k Tidentit^
(5) (a+ft + c)»= (6+c — a)»+(c+a — Ä)» + (a + ft — c)»+24fl6<?.
Si Ton donne aux lettres a, 6 et c des yaleurs enti^res telles, que le produit Sabc soit an cabe, on ponrra former an cabe entier, qai se d^compose en qaatre cabes ontiers.
3. Exemples. 1^ Posons a==3, ^ = 4, c = 6; noas aarons 24a^— 24.3.4.6 ««2«.33 = 123 et a+ft + c = 13, Ä + c — a-7, c+a — b =* 5, a+6 — c = 1; donc il vient
133 « 73^53^13^123.
2®. Faisons encore a = 18, 6 = 20, c = 25 ; il noas viendra
2Aabc =» 24.18.20.25 = (23.3) (2.3*) (22.5) (5«) = 2^.33.53 = (2*.3.5)3 - 60*;
et a'\'b + c=' 63, Ä+c — a =- 27, c + a.— b = 23, a+*— c« 13;
de Sorte qa'on a
63« = 27»+ 233+ 133+603.
a la somme dt trois ou de qvatre cubea entUrs, 355
Si dans cette ^galit^ on remplace 13^ par la valeur ci-dessus, on vcrra que
63» = l»+58+7»+125+233-f-27»+60».
4 L'un des trois cubes peut qnelquefois etre nal.
Aiusi, pour a = 1, 6 = 8, <? = 9, ou a 2iahc = 25.3.1.28.3« = (2».3)3=12» et a + &+c«18, Ä+tf — a = 16, £?+« — *== 2, ö+Ä — c = 0; il vient par suite
18» «16» +2» +12», 00, en divisant par 2^
93 =.8» 4-13+ 6«.
23*
356 Köpl: Consti-uctton der Reflexe auf ebenen Spiegdflächtn,
XXXI.
Construction der Reflexe auf ebenen
Spiegelflächen.
Von
Herrn Karl Köpl,
ord. HOrer an der k. k. techn. Hochschule in Wien.
In perspectivischen Darstellnngen ist bekanntlich das Bild des Reflexes eines Punktes identisch mit dem des Spiegelbildes desselben Punktes, dt# Reflex und Spiegelbild in einem Sehstrabi liegen*)- Diese Eigenschaft ermöglicht eine einfachere Construction der Spiegel- bilder als diejenige ist, welche durch üebertragung der senkrechten Abstände der einzelnen Punkte von der Spiegelebene hinter dieselbe zum Resultate gelangt. (Siehe: Prof. R. Niemtschik, ,^eue Con- structionen der auf ebenen und krummen Flächen erscheinenden Reflexe etc." Sitzungsberichte d k. k. Akademie der Wissenschaften in Wien. 1866. 53. Band.)
Diese Eigenschaft benutzt auch die im folgenden zu behandelnde Construction. Sie besteht im Wesentlichen darin, dass man das Spiegelbild eines Punktes mit Hilfe einer Geraden, welche den Punkt enthält und deren Spiegelbild oder Reflex leicht ermittelt werden kann, bestimmt. Die Gerade, welche dieser Bedingung am besten entspricht, ist eine horizontale, welche durch den gegebenen und
*) Im folgenden sollen dcshnlb die Ausdrücke Reflex und Spiegelbild als gleichwertig gebraucht werden.
Köpl: Construction der Reflexe auf ebenen Spiegelflächen. 357
einen Punkt der Senkrecliten aus dem Aago zur Grandebene gebt; denn der Reflex des letzteren Pnuktes kann sebr leicbt bestimmt werden, und einen zweiten Punkt des Reflexes der horizontalen bat man in ibrem Durcbstosspnnke mit der Spiegelebene.
Im folgenden soll nun die Construction bei versebiedenen Lagen der spiegelnden Ebene erläutert werden. Besonders cinfacb stellt sieb die Construction bei zur Grundebene scnkrecbteu Spiegelebenen heraus, ancb ist hier das Princip derselben am deutlicbsten ersiebt- Ucb, wesbalb diese Lage des Spiegels zunäcbst bebandelt wird.
I« Die Spiegelebene fftllt mit der Bildebene zasamraen.
Es sei A das Auge , A" seine ortbogonale Projection auf die Bildebene oder der Augpunkt und A^ seine borizontale Projection oder der Fusspunkt (Fig. 1.). Der Punkt a, dessen Spiegelbild zu bestimmen ist, wurde der Einfacbbeit wegen in der Grundebene an- genommen, ap ist sein perspectiviscbes Bild.
Verbindet man den gegebenen Punkt a mit dem Fusspunkto A' durch eine Gerade, so entspricht diese der oben aufgestellten Be- dingung-, denn sie liegt in der Grundebenc, ist also horizontal, und geht durch den Fusspunkt A\ enthält demnach einen Punkt der Senkrechten vom Auge A zur Grundebene. Das perspectivische Bild dieser Geraden A'a erscheint als eine Senkrechte ops zur Grundlinie aas dem Bilde op, da ihre projicirende Ebene senkrecht zur Grund- ebene steht.
Der Punkt », in welchem die Gerade A^a die Spiegolebene trifft, ist sein eigenes Spiegelbild, gehört demnach auch dem Spiegelbilde der Geraden an, als zweiten Punkt desselben bestimmen wir das Spiegelbild des Fusspunktes A' in .4'j, dessen perspectivischeg Bild Ä, wie aus dem Dreiecke AA'Ai — in welchem die Seite A'A\=2A'm ist — erhellt, mit dem Halbirungspunkt der senkrechten Entfernung des Augpunktes von der Grundlinie zusammen fällt. Es ist somit das Spiegelbild oder der Reflex der Geraden A's. In diesem muss das Spiegelbild a des Punktes a liegen, es muss aber auch dem Spiegelbilde A"ap des durch a gehenden Sehstrahles Aap angehören, somit im Durchschnitte beider, in a, sich ergeben.
Aus dem bisherigen ergibt sich für die Construction der Spiegel- bilder zanächst von Punkten der Grundebene die Regel:
Man fällt vom gegebenen Punkte a (Fig. 2.) eine Senk- rechte zur Grundlinie und verbindet den Punkt «, in
358 Köpl: Construction der Reflexe auf ebenen Spiegelflächen.
welchem diese Senkrechte die Grundlinie (die Grund- flächtrase der Spiegelebene) schneidet, mit dem Hai. birnngspnnkte R der Strecke A"m (dem Reflex des Fnss- pnnktes). Die Gerade A'a (Verbindungslinie des Flucht- punktes der Normalen zur Spiegelebene mit dem ge- gebenen Punkte a) trifft die frühere Rs im gesuchton Spiegelbilde tt von a.
Hat man (Fig. 2.) das Spiegelbild ß eines Punktes b^m Räume zu bestimmen, so lässt sich diese Aufgabe einfach auf die vorher- gehende zurückführen, wenn man durch den Punkt b im Räume eine horizontale Ebene legt und diese nunmehr als Grundebene betrachtet Die horizontale Bildflächtra^e G^G^ dieser Ebene geht durch die orthogonale Yerticalprojection b" des Punktes b und übernimmt die Function der Grundlinie GG,
Nun wiederholt sich das frühere Verfahren vollständig. Man hat wieder die Strecke miA" zu halbiren um den Reflex R^ des Fnss- punktes in der neuen Grundebene zu erhalten, diesen mit dem Schnitt- punkte «X ^^^ neuen Grundlinie und dem Perpendikel aus b zu ver- binden und die so erhaltene Gerade mit d^r Vefbindungslinic des Augpunktes und des gegebenen Punktes im Punkte ß zum Schuitte zu bringen; ß ist nach dem Vorhergehenden der Reflex von b.
Man kann übrigens ß auch in der Weise bestimmen, dass man zuerst das Spiegelbild ß' der Grundflächenprojection b* von b ermittelt Das Spiegelbild des Perpendikels b^b geht durch ß' und ist parallel zu b'b^ da b'b selbst parallel zur Spiegelebene ist ß liegt nun im Spiegelbilde von b'b und in der Normalen zur Spiegelfl&che aus dem Punkte 6, somit im Durchschnitte der beiden Geraden ßß' und A"b,
Ist der Punkt b durch sein Bild b und seine orthogonale Vertical- projection b" gegeben, so wird man nicht erst seine Grundflächpro- jection suchen und mit Hilfe dieser das Spiegelbild ß ermitteln, son- dern gleich das erstere Verfahren in Anwendung bringen; doch kann die eine Construction zur Controlle der anderen dienen, wenn sich ungünstige Schnitte ergeben.
Das Spiegelbild y einer Geraden g (Fig. 3.) wird am besten da- durch erhalten, dass man ihren Durchstosspunkt d mit der Spiegel- ebene — hier also mit der Bildebene — und den Reflex tp ihres Fluchtpunktes / ermittelt q> wird analog dem früheren erhalten, indem man zuerst den Reflex cjp' der Grundflächprojection /' des Fluchtpunktes / bestimmt; das Spiegelbild des Perpendikels /'/ er- scheint dann wieder als eine Senkrechte q>'q> zur Grundlinie, deren Schnittpunkt (p mit A"/ das Spiegelbild des Fluch^unktes f der
Köpl: Corutruction der Reflexe auf ebenen Spiegetflächent 359
Geraden g liefert. Da nun d^ der Durchstosspunkt der Geraden g mit der Spiegelebene, sein eigener Reflex ist, so ist q>il das Spiegel- bild der Geraden g.
Zur genaueren Constmction ist es nicht unwesentlich zu be- merken, dass die Strecke -4"<p' gleich sein muss der Entfernung A"f\ was sehr einfach aus der Congruenz der rechtwinkeligen Dreiecke Rms und EA"q>' hervorgeht, in welchen Ä"R = Rm, die Winkel bei R als Scheitelwii\kel und die rechten Winkel einander gleich sind. Ebenso folgt aus der Congruenz der beiden Dreiecke A"/'/ und ^'VVi iii welchen die Seiten A"/' und A"(p\ die beiden rechten Winkel und die Winkel bei A" als Sdieitelwinkcl einander gleich sind, die Gleichheit der Stücke (p'g> und/'/, dann A"q> und -4'/ Man braucht daher, um das Spiegelbild des Fluchtpunktes der Ge- raden g zu finden, nur die Strecke A*'/* in entgegengesetzter Richtung Ton A" aus nach rp' aufzutragen, in <p' eine Yerticale zu errichten und wieder im entgegengesetzten Sinne zu /'/ die Länge /'/ von q>* nach <p abzuschneiden; oder einfacher A"(p = A"f zu machen.
Es ist einleuchtend , dass es nicht selten vorteilhaft sein wird, das Spiegelbild a eines Punktes a derart zu bestimmen, dass man durch a eine Gerade g legt, deren Reflex y eimittelt und diesen mit der Geraden -4"a im verlangten Punkte o durchschneidet; denn man kann immer die Gerade g so wählen , dass ihr Spiegelbild y mit A^'a einen möglichst günstigen Schnitt liefert.
n« Die Spiegelebene steht senkreeht zur Gmndebene und Ist
geneigt gegen die Blldflftehe.
Bei der Annahme dieser Stellung der spiegelnden Ebene ändern sich die Verhältnisse insofern, als das Spiegelbild im Räume nicht mit seinem perspectivischen Bilde indentisch ist, wie dies beim vor- hergehenden Falle statt fand.
In Fig. 4. stellt MNO die Spiegelebene vor, welche der oben angenommenen Bedingung entspricht; die Bezeichnung der übrigen in Betracht kommenden Elemente ist dieselbe, wie in Fig. 1.
Man ermittelt wieder zunächst den Reflex r des Fusspünktes A\ indem man aus dem letzteren und aus 4em Auge A Normale zur Spiegelfläche fällt, welche sie in den Punkten m und n treffen. Macht man nun nA^ = nA und A\m = m-4' und verbindet A\ mit A und A^ mit A\ so erhält man im Schnitte r dieser beiden Geraden den Reflex des Fusspünktes A\ Der Punkt r muss auch in der Geraden mn liegen, welche die Duixhschnittslinie der Ebene des Spiegels mit derjenigen Ebene ist, welche die Punkte A^ A\ A\^ A^ enthält; da
f-
3t)0 Köpl: Construction der Reflexe auf ebenen Spiegelflächen,
die letztere Ebene senkrecht zur Spiegelebene geführt wwde und wie diese senkrecht zur Grundebeue steht, so muss auch mn vertical sein, r ist nun wieder, wie in dem unter I. behandelten Falle, der IM- birungspunkt der Strecke m»i, was unmittelbar aus der Figur erhellt; ebenso geschieht die Ermittlung des Spiegelbildes a des Punktes a der Grundebeue in derselben Weise, wie wir dies bei Fig. 1. gesehen haben.
Im Räume ändern sich also die Verhältnisse nicht; auders jedoch gestalten sich die Dinge, wenn die perspectivischen Bilder in Betracht kommen.
Das perspectivische Bild* np von u erscheint als Fluchtpunkt der Normalen zur Spiegelebone, das des Punktes m als Schnittpunkt der Grundflächtrace MpN (die Perspective von MN) mit dem perspecti- vischen Bilde nptnp der zur Bildebene parallelen VerticAlen mn in i»^ also im Schnitte der Grundflächtrace der Spiegelebene mit der Senk- rechten aus dem Fluchtpunkte der Normalen zur Spiegelebene auf die Grundlinie. Die Perspective R von r liegt in der Geraden n^m^ dem Bilde von nw. Aus der Aehnlichkeit der Dreiecke npAmp und nAm^ in welchen nm\\ nptnp und mr = rn ist, folgt, dass auch nipR = Rnp ist, das heisst, dass R der Ualbiningspunkt der Strecke mpnp ist.
Um das Spiegelbild a des Punktes a der Grundebene zu bestim- men, wurde a mit dem Fusspunkte A' verbunden; diese Gerade trifft die Spiegelebene im Punkte «, es ist somit rs der Reflex von A's. Um nicht a^ bestimmen zu mtlssen, wurde sr durch die Gerade aA^ — welche mit a^A in einer Ebene und symmetrisch in Bezug auf den Spiegel li?gt — im Spiegelbilde « durchschnitten.
Das perspectivische Bild der Geraden A^s erscheint, wie schon vorhin erörtert wurde, als eine Senkrechte aus ap, der Perspective von a, zur Grundlinie, folglich e als Schnitt sp derselben mit der Grundflächtrace MpN des Spiegels. Die Bilder der Geraden r« und A^a sind demnach Rsp und npap\ sie schneiden sich im gesuchten Bilde €tp von a, dos Reflexes von a.
Die Construction ist also auch hier sehr einfach. Man hat (Fig. 5.) den Fluchtpunkt n der Normalen zur Spiegelebene MNO zu bestim- men (Dn-^FD) und von n eine Senkrechte zur Grundlinie zu föllen, welche die Grundflächtrace MN dos Spiegels im Punkte m trifft; der Halbimngspunkt R der Entfernung mn liefert den Reflex des Fuss- punktes.
Das Spiegelbild o' des Punktes a' in der Grundebene wird nun erhalten, wenn man a' — das Bild des gegebenen Punktes — mit w
Köpl: Congtruetion der R^Uxt ai^f Serien Spifgelftäcken. 361
— dem Fluchtpunkte der zum Spiegel Normalen — verbindet und diese Gerade im gesuchten Reflexe «' durch die Gerade »J? durch- schneidet, welche den Schnittpunkt s der Senkrechten aus a' zur Grundlinie mit dem Reflex R des Fusspunktes verbindet
Ist a' die Grundflächprojection eines Punktes a im Räume, so liegt das Spiegelbild dieses Punktes einerseits im Spiegelbilde o'a des Perpendikels aa und anderseits in der Normalen an aus a zur Spiegelebene, also im Schnitte beider in a. Das Spiegelbild a'a von aa muss paraUel sein zu aa^ weil das Perpendikel a'a parallel zur Ebene des Spiegels ist, und durch a', den Reflex von a' gehen.
Man gelangt zu demselben Resultate, wenn mau durch den Punkt a im Räume eine horizontale Ebene legt, diese als neue Grundebene betrachtet und fttr diese die neue Grundflächtrace der Spiegelebene und den Reflex R^ des Fusspunktes in der neuen Grundebene ermittelt und im übrigen genau so verfährt, wie bei der Bestimmung von a'.
Die Bestimmung des Reflexes einer Geraden unterliegt nun weiter keiner Schwierigkeit. Das Spiegelbild q> des Fluchtpunktes/ der Geraden g (Fig. 6.) wurde in derselben Weise erhalten, wie o in Fig. 5., indem zunächst <p' der Reflex von /' — eines Punktes der Grundebene — und dann g> als Durchschnittspunkt der Normalen nf aus / zum Spiegel mit dem Reflex (p'tp von /'/ bestimmt wurde. Die Verbindungslinie von <p mit dem Durchstosspunkt d der Geraden g und der Spiegelebene liefert den Reflex y der Geraden g.
Steht die Spiegelebene senkrecht zur Grund- und Bildebene, so bleibt die Consthiction mit einiger Modiflcation die- selbe. Bei dieser Lage der spiegelnden Ebene fällt der Fluchtpunkt F der Grundflächtrace des Spiegels mit dem Augpunkt A" zusammen; demgemäss liegt der Fluchtpunkt der Normalen zum Spiegel, folglich auch der Reflex des Fusspunktes in unendlicher Entfernung. Die Richtung in welcher der Fluchtpunkt der zum Spiegel Normalen liegt, ist horizontal, die des Reflexes des Fusspunktes erhält man, wenn man in irgend einem Punkte des Horizontes eine Senkrechte auf den- selben errichtet und das Stück derselben, welches zwischen Horizont und der Grundflächtrace des Spiegels gelegen ist, halbirt; die Ver- bindungslinie des Halbirungspunktes mit dem Augpunkte gibt die ver- langte Richtung an. Aus den bei dieser Bestimmungsart auftretenden Dreiecken kann man auch die sonst für diese Stellung des Spiegels gebräuchliche Construction herleiten.
362 Köpl: Construction ilcr Reflexe auf ebenen Spitgeyiächen.
HL Die Spiegelebene Ist geneigt gegen Omnd- nnd
Bildebene.
Auch bei dieser Lage des Spiegels kann man die bisher erörterte Constractionsmethode mit Vorteil in Anwendung bringen.
Es handelt sich hier vornehmlich um die Bestimmung des Re- flexes des Fusspunktes, welche am bequemsten durch Yermittlang seiner orthogonalen Projection geschieht
Zu dem Ende zieht man (Fig. 7.) durch N die orthogonale Hori- zontaltrace MqN der Spiegelebene MNO parallel zu FZ>, dem um- gelegten Fluchtstrahl der Grundflächtrace, und ermittelt nun ortho- gonal den Reflex des Fusspunktes, dessen verticale Projection F ist, indem man aus diesem und dem Auge, dessen orthogonale Projee- tionen A" und A' {FA'^^Ä'D) sind, Senkrechte zur Spiegelebene fällt und auf diesen die Entfernungen der genannten Punkte Tom Spiegel hinter demselben aufträgt. Man erhält so die Punkte A{ und Fj, welche mit den Punkten Ä' und F kreuzweise zu verbinden wären, um im Durchschnitte der beiden so entstandenen Geraden die orthogonale Verticalprojection r des Reflexes des Fusspunktes zu liefern. Da aber r in der Spiogelebcne und in der durch den Fuss- punkt und das Auge zu dieser senkrecht geführten Ebene liegen moss, so braucht man nur -4,"F, die eine der Geraden, mit der Durch- schnittslinie v*'h" der beiden eben erwähnten Ebenen zum Schnitte zu bringen um r zu erhalten.
Die horizontalen Projectionen der Punkte -4/', F^ und r li^n in der Senkrechten aus A^ zur orthogonalen Horizontaltrace üi^» das perspectivische Bild R des Rcllexes von F findet sich also im Schnitte der Verticalen aus v' mit der Geraden Ä'r, Die Gerade A"r muss übrigens durch den (in der Figur nicht eingetragenen) Punkt Fj — die orthogonale Verticalprojection des Spiegelbildes des Fusspunktes — gehen, was insofern von Wesenheit ist, als man bei Benützung dieses Punktes die Gerade Ä'R genauer ziehen und somit auch R genauer bestimmen kann.
Den Verschwindungspunkt V der Normalen zur Spiegelebene er- hält man als Durchschnittspunkt der Senkrechten aus dem Angpnnkt -4" zur Bildflächtra«e NO des Spiegels und der Verticalen aus v.
Der Reflex « des Punktes a in der Grundebene ergibt sich nun ganz so wie in den früher behandelten Fällen als Schnittpunkt der Normalen aus a zum Spiegel mit der Geraden Rs^ welche den Schnitt- punkt B der verticalen aus a mit der Grundflächtrace MN des Spie- gels und den Reflex R des Fusspunktes verbindet.
KBpl: Conatruction der Reflexe auf ebenen Spiegelflächen, 363
Handelt es sich (Fig. 8.) um die Bestimmang des Spiegelbildes eines Punktes a im Raame, so führt man diesen Fall auf den eben behandelten zurück, wenn man durch den Punkt a im Räume eine horizontale Ebene legt und diese als neue Grundebene betrachtet. Die neue Grundlinie geht durch die orthogonale Yerticalprojection a" von a und trifft die Bildflächtrace NO des Spiegels in N^ einem Punkte der neuen Grundflächtrace, welche in F ihren Yerschwiudungs- ponkt hat. Die weitere Construction unterscheidet sich durch nichts Ton der in Fig. 7. zur Anschauung gebrachten.
Man kann auch hier den Reflex eines Punktes a im Räume derart bestimmen, dass man durch den Punkt a eine zur Grundebene senkrechte Gerade fahrt und den Reflex dieser mit der Kormalen aos a zur Spiegelebene durchschneidet.
Das Spiegelbild y der verticalen Geraden g (Fig. 9.) wird wieder am einfachsten dadurch bestimmt, dass man den Durchstosspunkt d der Geraden mit der Spiegelebene und den Reflex ihres Fluchtpunktes sucht Um den letzteren zu finden verfahren wir ganz so, wie bei der Bestimmung des Spiegelbildes irgend eines Punktes.
Wir legen also durch den Fluchtpunkt eine horizontale Ebene. Sic liegt im Unendlichen, ihre Bildflächtrace — die neue Grund- linie — wird somit auch die Verticallinie in einem unendlich fernen Punkte — der orthogonalen Verti6alprojection F des neuen Fuss- punktes — treffen. Man erhält demnach die orthogonale Yertical- projection r des Reflexes des in unendlicher Entfernung gelegenen Fusspunktes in der neuen Grundebene, wenn man die Durchschnitts- lioie v"h" mit der Geraden zum Schnitte bringt, welche durch A^" parallel zur Verticallinie gezogen wird. -R ist die Perspective von r , somit das Bild des Reflexes des unendlich fernen Fusspunktes und zugleich der Fluchtpunkt der Spiegelbilder von zur Grundebene senk- rechten Geraden.
Ed ist also der Reflex y der Verticalen ^, und daher « der Schnitt der aus dem gegebenen Punkte a zur Spiegelebene gefällten Senk- rechten a F mit y das Spiegelbild des Punktes a.
Es ist klar, dasä man das Spiegelbild eines Punktes auch dadurch erhalten kann, dass man durch den Punkt zwei Gerade legt und deren Reflex bestimmt. In Fig. 10. wurde a in der Weise ermittelt, dass man durch den gegebenen Punkt a der Grundebene eine verticale Gerade g und eine horizontale g^ deren Bild parallel zur Grundfläch- trace MN der Spiegelebenc ist, führte.
Der Reflex y der verticalen Geraden g wurde wie in Fig. 9. be-
364 Köpl: Construction der Reflexe auf ebenen Spiegelflächen.
Stammt; y^ — das Spiegelbild der horizontalen Geraden — wurde erhalten, indem das Spiegelbild q> des Fluchtpunktes / von g^ ermittelt und durch diesen zu gi eine Parallele gezogen wurde, denn gi trifft, da sie parallel zu MN ist, die Grundflächtrace erst im Unendlichen (im Räume in einem Punkte der Gegen-, Verschwindungs- oder Grenz- ebene). Die beiden Reflexe y und y^ schneiden sich im verlangten Spiegelbilde a von a. Die Richtigkeit des Resultates dieser Con- struction kann man durch die Gerade aV — die Normale aus o zum Spiegel, in welcher das Spiegelbiki a von a gleichfalls liegen mnss, controlliren.
In Fig. 11. wurde schliesslich das Spiegelbild y einer Geraden g im Räume, welche gegen Grund- und Bildebene geneigt ist, bestimmt Um den Reflex <p des Fluchtpunktes / der Geraden g zu erhalteo, lege man wieder durch den unendlich fernen Punkt der Geraden im Räume eine horizontale Ebene. Ihre Bildflächtraco — die neue Grund- linie - wird die Verticallinie und die ^üdflächtrace NO des Spiegels in unendlich fernen Punkten treffen ; der letztere mit F, dem Flucht- punkt der Grundflächtrace, verbunden, liefert die auf die neue Grund- ebene bezogene Grundflächtrace des Spiegels, sie ist also parallel zu NO und fällt mit der Fluchtlinie der Spiegelebenc zusammen. Der Reflex des neuen Fusspunktes wird — wie in Fig. 9. — im Punkte R erhalten. Damit ist die Aufgabe gelöst, denn nun hat man, wie gewöhnlich, aus / eine Senkrechte zur Grundlinie zu fällen, bis sie die neue Grundflächtrace — hier also die Fluchtlinie — der Spiegel- ebene im Punkte s trifft und diesen mit R zu verbinden. Im Schnitte dieser Geraden mit der Verbindungslinie der Punkte / une V erhält man das Spiegelbild q> des Fluchtpunktes f. Ein zweiter Punkt des Reflexes der Geradon g ist ihr Durchstosspunkt d mit der Spiegel- * ebene, somit d(p das Spiegelbild y der Geraden g im Räume.
Auf dieselbe Weise wie hier hätte man auch in Fig. 10. den Reflex <p des Fluchtpunktes / ermitteln können, so dass man mit dem Puokte R allein sein Auskommen gefunden hätte; überdies würde der Schnitt bei q> ein besserer geworden sein.
Bei Spiegelebenen, welche senkrecht zur Bildebene stehen, kann man ganz dasselbe Verfahren in Anwendung bringen, wie bei beliebig geneigten Spiegelebenen, nur erhält man hier statt des Fluchtpunktes der Normalen zum Spiegel und der Reflexe der jeweiligen Fusspunkte Richtungslinien, da die genannten Punkte sämmtlich ins Unendhche fallen. Aus der Aehnlichkeit der dabei auftretenden Dreiecke resultirt jene gewöhnliche Construction, welche z. B. Guido Schreiber in seiner „Schattenlehre'' 1868. Seite 156. und H. Weisshaupt in seiner „Per- spective" 1868. Fig. 156. vorführen.
Köpl: Con^truction der B^fiext auf ebenen Spiegelflächen. oQh
Wie man die Constniction der Spiegelbilder mit Vorteil zum Zeichnen symmetrisch gelegener Figuren- und Körperteile, besonders der symmetrischen Hälfte der Contour von Rotationsflächen benützen kann, wenn man die Symmetrieebene als Spiegelebene betrachtet, hat Herr Prof. R Niemtschik in der eingangs citirten und in der Ab- handlung: „Directe Constructionen der Contouren von Rotationsflächen in orthogonalen und perspectivischen Darstellungen^^ (Sitzungsber. der k. k. Akad. d. Wissenschaften in Wien. 1865. 52. Band) gezeigt.
Wien; im Mai 1875.
36l> Dostor: Methode simple et rapide pour diterminer les lois
xxxn.
Methode simple et rapide pour d^terminer les lois du mouvement du pendule ä petites
oscillations.
Par
Georges Dostor.
1. Soient O le point de Suspension et OF » 2 la longnenr d*aii pendule. Si on T^carte de la direction verticale OF d*un angle tres petit AOP^ a, il retombe vers la verticale OP, la d^passe (fun angle A*OP^ a, pour retomber encore, et faire autour du centre fixe O une suite ind6finie d'oscillations, dont Tamplitude est ^e, pour la premiöre, ä Tarc de cerclo AOA\
Supposons qu'au bout du temps <, le pendule alt d6crit Tarc AM^ et qu'en ce moment le fil OM fasse avec la verticale OF un angle MOF = ö.
Menons on M la tangente MT ä Tarc AMF^ ainsi que la per- pendiculaire MB sur OF.
Si m d^signe la masse du pendule et g Tintensit^ de la pesan- teur, la forco motrice, qui est verticale, aura pour expression la quantitd mg.
Or cetto force motrice f ait avec la tangente MT un angle qui est le compldment de Tangle ^; la composante tangentieUe de la force motrice mg sera donc m^sind, ou encore mgB^ attendu quo Tangle 6 ^tant tres petit, on peut le substituer ä son sinus sin^.
du mouvement du penduU a petttes oscillations. 367
Appclons 8 Tarc MP, qui s^pare le pendule M de sa position
s verticale P; nous avons a = W, d'oü ö = ^•
La composante taugcntielle de la force motrice peut donc etre
repr^sent^e par y-. puisqu'elle tend ä diminner l'arc s. Mais
cette composante a pour expression g^n6rale le prodnit de m par la d^T^e seconde ^ de Tarc «, prise par rapport au temps t. On a par Buite T^galite
m
poor r^quation diff6rentielle du moavement.
2. Appelons v la vitesse du pendule au bout du temps t^ c'est-
ä-dire en M. Puisque
dt
""^^di il yient
dv d^s
d^^'^d?' et, en multipliant membre ä membre,
vdv th d^8 dsdl^e
"dt^^di '^d^^dtdt'^
d^8
Multipliant cette 6galit6 par 2dt^ et rempla^ant ^ par sa valeur — 7-, on obtient l'^quation diff^rentielle
/
2vdv «=» — y28d8y
v*=.-?f+C,
qui donne par Tint^gration
l
puis, en remplagant a par son äquivalent W,
v* = — gW^+C.
On d6termine la valeur de la constante C, en observant que pour ö = a on a ü = 0. On a donc pour le carr6 de la vitesse v,
(2) t;2 = ^Z(«»~ö»).
. 3. Extrayons la racine carr^e, en remarquant que la vitesse if augmente lorsque l'angle 6 diminue; nous obtenons T^galit^
3G8 Dostor: Mۆiode simpU et rapide pour d^teroUuer lea lois etc.
^ :^ dS Idß
d'oü nous tiroDS
lut^grant et se rappelant que pour ö =• a on a ^ =» 0, on trouve que
(3)
= 1/ -. arclcos =~)
Cette formale fournit le temps que met le pendulo k se rapprocber de la verticale d'un angle 6gal k ö — «.
4. Si dans cette expression ou remplace ß par — a, on aura le
temps que met le pendule k parcourir Tamplitude APA'. Pnisque ß
le cosiuus - devient dans ce cas 6gal k — 1, le plus petit arc cor- respondant est n^ nous aurons
(4) ^==^K^
pour la dur^e d'une oscillation entiere.
5. Si, dans les formules pr^c^dentes (2) et (3), on remplace g
par sa valenr y,^, tir6e de cette derni^re 6galit6, ces formales de- viendront
(5) v^'^v^y^^'^
(6) «=^arc(^cos=-j
(7) ö = «cos^
Dostor: Proprium trigonomitrique du tnangle redangUf avec ttc 369
XXXIII.
Propri^t^ trigonom^trique du triangle rectangle,
avec application en astronomie au calcul de
Tanomalie vraie en valeiu* de ranoinalie
excentrique.
Par
Georges Dostor.
1. Theoreme. Dans tout triangle ABC, rectangle en vi, ou a
tang»iC' = „^4-
oü a designe Thypot^nuse et b la cöt6 de Tangle droit qui est adjacont ä i'augle C,
Nous avons ^videinmeut
2 _ 28in*iC 1 — cos C a — acosC,
or OD sait quo
aC08C= h]
donc il vient
(I) tang*jC' = ^
2. Corollalre. Nous pouvons multiplier par a-\-b les deux termcs de la fraction pr^c^dcute, ce qui donue
donc on a aussi
T«il IX 24
370 Dostor: Propri€t€ trigonoindtrique du triangle rtclangle, arec etc
ai) tangiC=^.
3. Soient maintemout AA' le graudc axe, C le centre et O Ic foyer de droite d'une ellipse plauetaire. Supposons que le centre du soleil occupe le foyer O.
PrenoDs ce point O ponr pole et poor axe polaire une droito 0-y, qui fait avec le grand axe de Tellipse et au-dessous du sominet de droite A un angle egal k co.
Admettous que la plauote, au beut d*uri temps /, occupe la Posi- tion M sur son orbite elliptique. Du point 3/ abaissous sur le grand axe AA' la perpeudiculaire MI\ qui rencontre cet axe eu P et coupe eu N la circonf^rence decrite sur le grand axe corame diametre.
Si nous tirous les deux droites 03/ et CN, Tangle MOA sera ranomalie vraie de la plauete, et Tangle ^VC'.4 sera Tanomalie excentrique de .la positiou 3/, anomalie que nous re^r^senterons par u.
Posous le rayon vecteur GM = r, Taugle polaire MOX = Ö,
CO
Tabscisse CP = a-, le grand axe AA' = 2a et rexcentricite r^- = e,
de Sorte que CO = e. CA = ae.
II s*agit de calculer 6 — w en valeur de Tanomalie excentrique «.
Les deux triaugles rectangles CJSP et OMP nous douneut
CN~CP a — x tang-U6'^ = ^,^^:^^^,= ^^:;^-
MO—OP r—T-\-ae tang^^ 3/0.4 = Tr7rT~>i /'^ = — i
Mai& on sait que
par cons^quent on a
a — ex;
a — X
tang-|?t = — ,—
° ^ a-\-x
'>i/z. \ a — ex — x-]rac (q— jr)(l -f-e)
taug" 1(0— cö) = , = /— i~T7i ,
^ ^ ' a — (xr-f-x — ae {a-j-u){l — e)
donc il vient
tang2^(ö — ro) = - -'— tang^^w,.
X e
et par suite
(in) tangi(0— w) = |/ j^tangi«,
ce qu'il fallait etablir.
Paris 27 F^vrier 1877.
Hoza: Ueber Punküinien auf krummen Flächen» 371
XXXIV.
üeber Punktlinien auf krummen Flächen.
Von
F. Hoza
in Königgräz.
Dnpin untersuchte diö Gestalt jener Schnittcurve, welche entsteht, wenn man eine krumme Fläche durch eine zur Berühruugsebene parallele nnd ihr unendlich nahe Ebene schneidet, und nannte sie „lüdicatricc." Unter diesem Namen wird noch eine andere Curve verstanden, welche auf einer Kugelfläche liegt, die mit dem Radius 1 ans dem Coordinatenceutrum beschrieben wird. Indicatrix einer auf gegebener Fläche liegenden Curve heisst nämlich jene Linie der Kugelfläche, deren Radien parallel sind zu den entsprechenden Flächen- normalen der gegebenen Curve. (Siehe d. Zeitschr. 59. Teil. 3. Heft. Seite 238 ff. Hoppe „Principien der Flächentheorie"). Um nun jeden Doppelsinn zu vermeiden soll die zuerst genannte Schnittcurve „Punktlinie" heissen, um anzudeuten, dass dieselbe wenigstens in allen Fällen, wo sie geschlossen erscheint, unendlich klein gedacht werden muss.
Es sei eine Fläche gegeben in rechtwinkligen Coordinaten ar, y, z als Functionen zweier unabhängiger Parameter w, v. Jedem Punkte m der Fläche entsprechen bestimmte Werte von «*, v, und jeder durch diesen Punkt gezogenen Curve entspricht ein bestimmter Wert des
Verhältnisses
, dv a; = K-- ou
Seien A^, h^ solche Werte dieses Verhältnisses, welche den Haupt- schnitten zukommen, in denen ein Maximum und Minimum der Krüm- mung stattfindet. Ferner seien p, pj, q^ die entsprechenden Werte der Krümmungsradien eines Kormalschnittes und beider Hauptschnitte.
24»
372 Hoza: Uthcr PunlctUnien auf krummen Flächen.
Bezeichnet nun O den^ Winkel zwischen den Richtungen i\ i*,, 80 lautet der Euler'sche Satz
1 cos*^ sin^^
Wenn ?« das in der Richtung k genommene Bogenelement mm' des Kornialschnittes s bedeutet, so muss
S«2 = edu^+2fdudv+gdv-, (2)
wo c, /", g Fundamen talgrössen 1. Ordnung sind.
Neliracn wir die Tangenten der Hauptschnitto il-j, k^ zu Goor- diuatenaxeu, und heissen S, ?/ Abscisse und Ordinate von m', so tnuss
^« = 8*2 cos^^,
Auch ist bekanntlich
1 _ Edu^+ 2Fdudv+Gdv^ {) eduT\-2fdudv-\-gdv^
wo E^ F, G Fundamentalgrössen 2. Ordnung bedeuten. Durch Sub- stitution der Werte aus den Gl. (2), (3) und (4) in die Gl. (1) kommt
wo
d = E du^ 4- 2Fvu cv + G dv^. (6)
Bedeutet ßr den Convergenzwinkel des Bogeuelementes 8», so bekommen wir aus den Gl. (2), (4) und (6)
1 d und weil
a*
so muss
d = Bsdr. (S)
Das Product st stellt die doppelte Länge eines Krcisevolventen-
bogens dar, welcher durch Abwickelung des Bogens *, dem ein Ceutri-
winkel t zugehört, entsteht. Daher bedeutet ö zu Folge der GL (8)
die doppelte Entfernung des Punktes m' von der Berührungsebenc
in m. Setzen wir Ö constant, so liegen alle Punkte m' in einer ebouen
Curve J\ die er! alten wird, wenn man die gegebene Flüche parallel
ö zur Berührungsebene in der Entfernung ^ schneidet. Folglich stellt
die Gl. (5) die gesuchte Punktlinie dar, und es gilt der Satz: Die Punktlinie ist eine Linie vom 2. Grade.
Iloza: Ueber Punktiinien auf krummen Flächen. 373
Zu demselben Ri»sultato gelangte Dupin auf einem wesentlich verschiedenen Woge. Während Dupin die Gleichung seiner Indicatrice aus der Taylor*schen Reihe ableitete, betrachten wir die Punktlinie, wie sie die Gl. (5) darstellt, als blosse Interpretation des Eulor'schen Satzes.
Wir wollen noch untersuchen, wann diese Linie ein Kreis, eine Ellipse, Hyperbel oder ein System von 2 Geraden ist.
Yor allem bemerkt man, dass sie niemals eine Parabel sein kann, d. h. die Punktlinie hat stets ein Centrum und das ist der Berührungspunkt m.
Ihre Axen sind _
woraus ,
--^ (9)
Die Quadrate ihrer Axen verhalten sich wie die ent- sprechenden Ilauptkrttmmungsradien.
Die Excentricität c ist bestimmt durch
a) Soll die Punktliuie ein Kreis sein, so muss
|
daher entweder |
c ö |
= 0, = 0 |
oder |
|
Qt |
'— P2- |
||
|
Hrstcro Bedingung gibt nach Gl. |
(4) |
||
|
1 Q |
-0, |
d- b. m ist der gemeinsame Inflexionspunkt allerNormal- sch nitte.
Diese Bedingung ist für jeden Punkt einer Ebene erfüllt, daher bat jede Ebene nur Kreispunkte.
Der zweiten Bedingung entspricht jeder Nabelpunkt, daher ist jeder Nabelpunkt einer Fläche ein Kreispunkt. Damit m
E F G 1
ein Nabelpunkt sei, muss bekanntlich ^ = =. — = -
b) Soll die Puuktliuie eine Ellipse sein, so müssen pj, pj, ö das- selbe Vorzeichen haben. Nun lehrt aber die Gl. (7), dass d stets im
Vorzeichen mit g überein Vorzeichen haben, was je
Statt fiDdct. Da —
darstellt, so gilt der Satz
Die Fankttinie ie fendon Pnnkte die F
c) Betrachten wir ni Fläche, wenn nämlich @, sei z. B. Qj positiv und Deutlichkeit wegen letztci
Nun kann S positiv odei ebene entweder aaf der e rnngsebene fuhren.
Ist S positiv, ao mus Cnrve il nur solche Pt sprechenden Normalschnif
Setzen wir jedoch 6 negativ, so nimmt Gt. (5) die Form an
welche nnr solche Funkte m' rcpräsontirt, die anf ihrem Nonnal- scbnitte eine negative Krümmung haben.
Bei negativer Krümmung der Fläche sind also 2Fankt- Mnien mCglich; beide sind Hyperbeln mit gcmeinscbaft- licheu Asymptoten und Axen, liegen jedoch in verachiedcDen Winkeln dieser Asymptoten.
Heissen 9^ und 9^ die Neigungswinkel dieser Asymptoten zur muss
rin*fr, — Bin'Ö, — -
Hoza: Ueher Punktlinien auf krummen Flächen. 375
Substituirt man diese Werte in die Gl. (1)
1 _ cos-0- _ sin^^
Q~ Qi " Q2 ' so kommt
- = 0, p = co, d.h.
Die Asymptoten beider Puuktliuicn bezeichnen dieRich- tungen, in denen der Krümmungsradius unendlich gross ist.
Die Asymptotonricbtungen treuneu die Punkte mit positiver Nor- malschnittkrümmuug von jenen negativer Krümmung. *
Zu Folge der Gl. (6) und (7) muss für die Asymptotenrichtuugen
d) Die Punktlinie geht über in ein System von 2 sich schneiden- den Geraden, wenn ^ = 0; ihre Gleichungen sind hernach
also tibereinstimmend mit den Asymptoteurichtungen.
Die Schnittebene ist nun identisch mit der Berüh- rungsebene und enthält in 2 Richtungen, deren Winkel ^1, ^2 früher bestimmt wurden, 2 Gerade, welche die Fläche osculiren.
Enthält eine Fläche 2 durch m gehende Gerade, so bilden diese die Punktlinie von m.
e) Endlich kann die Punktlinie aus 2 parallelen Geraden bestehen. Dieser Fall tritt ein, wenn entweder
p^ = Qo , wo dann r/ = ± ^«5^21 oder
?ä = ^ , ,1 11 ^ == ± V^Qi die beiden Geraden darstellt.
Wenn also einer der Hauptschnitte im Punkte m einen Inflexionspunkt besitzt, so geht die Punktlinie über in 2 mit der Tangente dieses Hauptschnittes parallele Ge- rade.
Dasselbe findet Statt in jedem Punkte einer in der Fläche lie- genden Goraden.
Königgräz, am 18. März 1877.
376 Hoppe: Nachträge zur Curven- und FUchentheon'e,
XXXV.
Nachträge zur Curven- und Flächentheorie.
Von
R. Hoppe.
A.
Bewegung der drei begleitenden Ebenen und der
Spiralen basisebene.
In meiner Curventheorie (T. LVI. p. 45.) habe ich die Bewegung der Normalebene zur Herleitung der Bestimmnngsstücke der Curven, dann besonders (p. 68.) die der Binormale und Hauptnormale berech- net, die der übrigen begleitenden Ebenen hingegen tibergangen, weil die Methode hinreichend erörtert war, und nur anderweit bekannte Elemente daraus gefunden werden. Um einiger Beobachtungen willen gehe ich noch einmal auf die Bewegung jener 3 Ebenen ein und nehme überdies eine vierte hinzu, durch deren Betrachtung ein ge- wisses geschlossenes System erst ergänzt wird.
Durch T, ^, ff, A, * waren, wie auch hier geschehen soll, der Krttmmungs- und Torsionswinkel, der Torsionsbogeu, die Krümmungs- breite und der Bogen, und es war die Differentiation nach r durch Striche bezeichnet; femer bedeuteten
/, g, Ä, die Richtungscosinus der Tangente, /', g\ h! „ „ „ Hauptnormalc,
l^ w»-, n „ „ „ Binormale
gegen die Axen der sc, y, «, in dem Sinuc, wo die Determinauto des 80 geordneten Systems == + 1 ist. Von den auf die 3 Axen bezttg-
Hoppe: Nachträtje zur Curveu' uitd Flächenthtori% 377
liehen Grössen war und ist es meist nur nötig eine anzugeben, so dass eine auf die x Axe bezügliche Gleichung immer 3 Gleichungen vertritt. Statt der in Anwendung kommenden Formeln kann die Be- rechnung der Bewegung der Normalebene vorausgeschickt werden, in welcher mau die eingeführten Buchstaben zu weiterer Anwendung nur als allgemeine Grössenzeichen zu betrachten braucht, die in jedem neuen Falle ihre neue Bedeutung erhalten.
1. Bewegung der Normalebene. Man suche zuerst den Drehungswinkel
T = J'yB/^ + dg^+dh^ (1)
dann die Richtungscosinus der Coincidenzlinie oder momentanen Rotationsaxe
i =
1 9a
* Fr
(2)
and die Coordinaten ihres Ausgangspunkts dann den Drehungswinkel der Coincidenzlinie
Pdldr
8/
uud ihren Drehpunktsabstand vom Punkte (a*o^o^)
dl Bxq -|- dm Bf/Q -{- dn Bzq
w
r =
3/9^0+ ^9^1/0 + 8^ 9^
(5)
dxdd' Die Coordinaten des Coincidenzpunkts werden
Dieser ist zugleich Ausgangspunkt der momentanen Rotationsaxe der Coincidenzlinie, deren Richtungscosinus /*, g^ h sind.
Hiermit sind die Formeln für die Bewegung jeder Ebene aufge- stellt Bei der Normalebene treten /, ^, A, /, m, n, t, ^ in ihre be- kannte Bedeutung, und man hat:
378 Hoppe: Nachträge zur Curveti' und Flächentheorie.
XQ^x+s'r-, r = gj (7)
^i = ^+*7+|J^ (8)
Die Normalebene rotirt also momentan um die Krümmungsaxe, und deren Coincidenzpunkt begrenzt auf ihr vom Elrümmungsmittelpankt aus eine Strecke gleich der Derivation des Krümmungsradius nach dem Torsionswinkel.
2. Bewegung der Schmiegungsebene.
Ihre Richtungscosinus sind /, m, n, deren Differentiale
dl = /'8^
daher ^ ihr Drehungswinkel,
= /
in g n A'
die Richtungscosinus der Coincidenzlinie,
. ds dl
die Coordinaten ihres Ausgangspunkts, also die Tangente selbst Coin- cidenzlinie. Hiermit sind die weiteren Fragen erledigt.
Die Schmiegungsebene rotirt momentan um die Tangente, deren Coincidenzpunkt der läufende Punkt der Curve ist.
3. Bewegung der rectificirenden Ebene. Ihre Richtungscosinus sind /', g\ h\ deren Differentiale
3/'== (Zsini— /•cosA)a<y (9)
daher ist 6 ihr Drehungswinkel,
g^ msinil— ^cosA, A' nsinil — Äcosil
=/sinA+^cosil (10)
die Richtungscosinus der Coincidenzlinie,
' + I % if'f+9'9-\-h'h) = X
die Coordinaten ihres Ausgangspunkts. Die Differentiale jener Rich- tnngscosinus sind:
d{f2mk+lco%k) « (/cosA— /8inA)aA (11)
Hoppe: Nachträge zur Curveri' und Flächentheorie. 379
daher ist k der Drehungswinkel der Coincidenzlinio. Ihr Drehpunkts- abstand vom Ausgangspunkte ist
didi ^ "" 8i ^^^^
also die Coordinaten des Drehpunkts
o:, ^ x—KTCOSk{fBink-\-lcosX) (13)
Demnach rotirt die rectificirende Ebene momentan um eine Ge- rade, die durch den laufenden Punkt der Curve geht und mit der Binormale nacJi der Tangente hin einen Winkel gleich der Bjüm- mungsbreite bildet, und deren Coincideuzpunkt begrenzt auf ihr eine Strecke gleich dem negativen Differcntialquotienten des Bogens nach der Krümmungsbreito multiplicirt mit deren Cosinus.
Die so bestimmte momentane Rotati onsaxe der rectificirenden Ebene heisst die rectificirende Gerade. Sie hat gleiche Richtung mit der Spiralenaxe. Es kommen ihr Eigenschaften zu, die sie den 3 begleitenden Axen als coordinirt erscheinen lassen. Ebenso wollen wir nun die auf ihr normal durch den Punkt (a-ys) gehende Spiralen- basisebene als coordinirt den 3 begleitenden Ebenen betrachten.
4. Bewegung der Spiralenbasisobene.
Ihre Richtungscosinus (10) und deren Differentiale (11) sind aus dem Vorigen bekannt, es folgt, dass k ihr Drohungswinkel ist. Die Richtungscosinus der Coincidenzlinie sind
^sinA-f-mcosA gcosk — msink AsinA+n cosA äcosA — nsiuA
/'
die Coordinaten ihres Ausgangspunkts
da X -}- öt(/"cos k — /sin A){(/8in A-f-icos A)/-f- (g sin A+mcos A)^
ds -{-(A8inA-f-ncosA)Ä} =-= a:+^rsinA(/'cosA — Isink) (14)
Die Differentiale ihrer Richtungscosinus sind aus (9) bekannt, dem- zufolge a ihr Drehungswinkel ist. Die Differentiale der Coordinaten des Ausgangspunkts sind
fd (*+gT sinAcosA j — Id (^sin* A J +/' öt sinA daher wird der Drehpunktsabstand vom Ausgangspunkte
380 Hoppe: Nachträge zur Cvrven- und Flarhenfheorie*
^+da{dl)'''
2 /T cos A+ ^ 1 r^7 I sin X
(15)
und die Coordinaten des Coincidenzpuukts
(ax ^'°'^) ,,
Xi «= a+K^sinAC/cosA — ZsinA)-j ^^-kk ^/' (1^)
Die Spiralcnbasisebcne rotirt also momentan um eine Groradc, die in der Richtung der Hauptnorraalo durch den Punict (14) geht. Von diesem aus schneidet deren Coincidcnzpunkt die Strecke (15) ab.
Es hat sich ergeben, dass t, ^, a, k in ihrer Reihenfolge die Drehungswinkel der 4 betrachteten Ebenen, ^, t, A, a die ihrer Coin- cidenzllnien darstellen. Dieser Umstand zeigt eine Reciprocität , die zwischen der rectificirenden und Spiralcnbasisebeue ebenso stattfindet, wie zwischen der Normal- und Schmiegungsebenc, eine Reciprocität jedoch, die mit der Beziehung der bewegten Ebenen zur Curve nichts zu tun hat, vielmehr aus der allgemeinen Kinematik der Ebene her- vorgeht, wie aus den unter 1. aufgeführten Formeln ersichtlich ist, die zeigen, dass die momentane Rotatiousaxe der momentanen Rota- tionsaxe die Richtung der Normale der ursprünglichen Ebene, folglich auch gleichen Drehungswinkel hat. Die Beobachtungen, auf die es hier ankam, sind: 1) dass die genannten 4 Grössen, der Krümmungs- und Torsionswinkel, der Torsionsbogeu und die Krümmungsbreite, Grössen auf welche die Untersuchung der allgemeinen Natur der Curven notwendig gleich anfangs geführt wird, die aber anfänglich in verschiedener Weise auftreten, eine cooordinirt entsprechende geo- metrische Bedeutung, sämmtlich als Drehungswinkel, haben; 2) dass die 3 Hauptrichtungen, der Tangente, Binormale und Ilauptuormale, durch eine vierte, die der Spiralenaxe oder rectificirenden Geraden, zu einem geschlossenen System ergänzt werden.
B.
Begleitende Curven.
Auch die in §. 11. der Curventheorie behandelte Aufgabe finde ich Anlass noch einmal aufzunehmen, teils um eine grössere Ueber- sichtlichkeit in dem maunich faltigen Stoffe herzustellen, teils um einige neue Betrachtungen damit zu verbinden.
Hoppe: Nachtrage zur Curven- und Flächentheorie, 381
Eine die Curve s begleitende Curve 8^ wird erzeugt durch eiucn Punkt {x^t/iz^) beatiDimt durch
^1 = ^+p/+qi+rr (1)
wo /), Qy r von der Stellung der Coordinateuaxon unabhängig sind. Die gleichnamigen Bestimmungsgrössen beider Curven sollen mit den- selben Buchstaben bezeichnet und die der Curve s^ durch den Index 1 unterschieden werden.
Wir knüpfen die Betrachtung an die Stellung der Tangente der Begleitenden an, der wir nur die im Vorigen ermittelten 4 Haupt- richtungen erteilen. Um ihre Lage ganz zu bestimmen, seien y, ,« die Polarcoordinaten ihres Ausgangspunkts {.toyo^o) io ^^r normal zu ihr durch den Punkt {xi/z) gelegten Ebene, letztern als Centrum, die Biuormale der Begleitenden als Anfangsrichtung der ft betrachtet, so
dass
a-o == a: + ^ (^ cos fi 4-/i'sin fi) (2)
wird. Dieser Ausgangspunkt hat dann die Bedingung zu erfüllen, dass die durch ihn bestimmte Gerade einen Coincideuzpunkt hat, aus- gedrückt durch
Differentiirt man Gl. (-), so kommt:
3a-0 = fis — /i 9 sin /LI Stj +Zj { 3 (p cos /*) -|- ^ sin \i 9^^ }
+//|9(psin|*)— pcosfiö^ij
Führt man diesen Wert ein und bezeichnet durch v den Winkel zwischen der Tangente der ürcurve und der Binormalo der Beglei- tenden, so dass
cos V = /"/i + gm^ 4~ '*^i (^)
wird, so erhält man:
co8v9«-f-13(^cos|iÄ) + p8inf4 8^j} — 0 (4)
und nach Integration:
p = — e-^*&"^^""^ ') / cos V 9« c ^*ff."ö(^j-/u) (5)
wo e die Grundzahl der natürlichen Logarithmen bezeichnet. Dem- nach kann die Bedingung der Einhüllbarkeit der bewegten Geraden immer durch den Radiusvector p erfüllt werden, dessen Wert über- dies eine willkürliche Constaute enthält
Der Abstand des Ooincidenzpunkts {x^yx^\) vom Ausgangspunkt (^0^0^) ist
382 Hoppe: Nachträge zur Curven- und Fiächentheorie.
- - g- C08X + g^^ (6)
wo
C08x = /y/+(7i7/+AÄ/ (7)
tgtt
gesetzt ist. Multiplicirt man die Gl. (4) mit ^ — und addirt sie zu (6), so kommt:
n =. ^^ (cos vtg^- cosx)+ -- — a;^ (8)
und der laufende Punkt der Begleitenden «, hat nun die Coordinaten:
a-j = «+ 7t /i + p (;, cos ft +/i'8in jii) (9)
* Die Identificirung derselben mit (1) lässt sich leichter in jedem Falle einzeln vollziehen. Um der häufigen Anwendung willen notiren wir noch die durch Differentiation von (1) hervorgehende Gleichung:
f^ds^ = f(is-\-dp — rdx)-\-l{dq'{'rd^)+f\dr-]-j>dx—qdd) (10)
Wird nachher /i linear in /; Z, /' dargestellt, so müssen die Coeffi- cienton der 3 Grössen auf beiden Seiten gleich sein. Da alsdann zwischen />, 5, r, «, nur 3 Relationen bestehen, so bleibt eine der 4 Grössen unbestimmt. Ist dies p^ q oder r, so vertritt sie die Stelle der disponibeln Grösse ju. Statt dessen kann man auch «, als dispo- nibel betrachten, und es zeigt sich, dass die Wahl der Dimensionen der Begleitenden einerseits, und die Wahl der Richtung, nach welcher man ihre Tangente verschiebt, andrerseits einander vertreten können.
1. Tangential begleitende Curven.
Hat die Tangente der Begleitenden die Richtung der Tangente der Urcurve, so sind die Grössen r, ^, <;, A, /",/', /, überhaupt alle dimensionslosen Stücke, beiden Curxen gemeinsam, mithin nur die durch 8« repräsentirten Dimensionen abweichend.
Hier verschwinden cosv und cosx, der Integral -Factor von g geht in eine Constante c über, und man findet:
p = ccngiuö(/i-^) „^-^^J^!^ (11)
^ ' cos fi OT ^ '
Die Gleichung der Begleitenden, die wir für diesen Fall tangential begleitend nennen, ist also:
Hoppe: Nachträge zitr Curven^ und Flächentheorie» 383
Ihre Differentialgleichuug (10) wird erfüllt durch
0=ag+ra^ ) (13)
woraus :
und in YergleichuDg mit (12):
. tgfi= — -H?; p = -^ (17)
^^ 9^ ' ^ cos fi ^ '
/) = 7i; 5 = pcosfi; r = psiüfi (18) daher
* ' cos jlA ÖT J
(19)
Zwei Fälle bieten sich der Specialbetrachtung dar: wo |w propor- tional ^^ und wo g ganze Function von 9 ist. Sei zuerst
1:1 = o^ (20)
dann wird
(I = c(cosa^)i-«; n; = c(l — a)(cosa^)-«^' (21)
also
«j = «+<?(! --ö)^'(cosa^)-«—(; /'(cosa^)i-«8ino^ST \
, /^'(l — a) + cos»aW4-/"tga^) [ (22)
* ' (cosa^)« ^
Sei ferner
q = (p(^) ganze Function Arten Grades. (23)
Dann wird
*i = ^+^'{(p(^) + <p-(^)} +/(p'(^)ar . ) ^2
Xi==x+/^'{(p(^) + g>"(^)}+Z<p(^)-/V(^) ) ^ ^
Da nun ^ einen willkürlichen Anfang hat, mithin '^+« dafür ge- schrieben werden kann, so stellen die Gleichungen eine stetige Schar
384 Hoppe: ^chträge zur Curven- und Fläch eniheortt.
Begleiteuder von s dar. Durch Substitution von ^-j-« für ^ gehe die Curve «j lu die Curve «^ über. Setzt man dann
g'oW = <p(*+«)-<pW (25)
so wird
und zwar ist <Po(^) (^ — l)ten Grades. Nennt mau also die Curve für q = (p(^) eine tangential bi^gleiteudo A-ter Ordnung, so ergiebt sieh, dass die zur selben Schar Arter Ordnung gehörigen Curven unter sich tangential begleitende (^• — l)ter Ordnung sind.
Einfachste Fälle.
a) Parallele CurTen.
Der einfachste Fall der Annahme (20) ist a ■= 1 ; hier wird
11^^', ^ = c; 7r = 0 (27)
8^ = s--cfsm^Sz (28)
Xi = x-\-c(l cos ^+/ ' sin ^) (29)
Wegen n= 0 ist die Ebene der g^i zugleich Normalebene beider Curven, folglich g ihr normaler Abstand. Sofern dieser constant ist, heissen die Curven parallel.
b) Tangcutial-beg] eilende 0. Ordnung*.
Sei q = b constant; dann gehen die Gl. (15) (16) über in
s^ = «+Äd' • (30)
., = .+.(/+/»') = ^+''^'^^ (31)
Der laufende Punkt der Begleitenden liegt also auf der rectificirenden Geraden, und zwar ist er deren Durchschnitt mit einer Parallele der Tangente im Abstand b von letzterer. Nach (17) ist hier ^ = 0 ; g = b,
c) Tangreutial-bci^Ieitendc 1. Ordnung.
Sei q = b&\ dann wird
S^^S+b{T+^') \
Hoppe : Nachtrage zur Curven* und Fiächentheorie. 385
Die Gurven, welche hieraus hei variirendem Anfang der ^ herror- gehen, stehen unter sich in der Relation h).
Die tangential hegleitenden Curven hieten offenbar keine Frage der Inversion dar, da ihre Beziehung zur Urcurve eine gegenseitige ist.
2. Binormal begleitende Curven.
Hat die Tangente der Begleitenden die Richtung der Binormale der Urcurve, so sind die inneren Beziehungen:
Demnach wird hier nach (3) (7)
cosv = l; cosx = 0 und man findet:
p= /a*COSuC/*«/^ÖT
^ COSfi •' ^
}
woraus:
(33)
(34)
D€r laufende Punkt der Begleitenden hat die Coordinaten:
x^ « a; — /pC0Sfi + ^^+/"p8l^^ (35)
Dies verglichen mit (1) giebt:
p= — pcosfi; 5 = w; r = p8inft (36)
Die Differentialgleichung (10) wird erfüllt durch
8«, - a^+ra^ J (37)
(38)
(39)
(40)
und um den Bogen auch in fi darzustellen:
,j » 9c-|-/psinfid^ (41)
Teil LX. 25
396 Hoppe: Nachträge tur Curven» und FlächentkeorU.
Die Inversion ist bei den innern Beziehungen (33) unmittelbar vorliegend; abgesehen von den Yorzeichen sind sie reciprok. In Betreff der Dimensionen hängt sie davon ab, ob und wie s ia p ent- halten isU Betrachten wir nur die Fälle, wo p und wo «+P Func- tion von r ist, so ist im ersten die Gl. (39) in der Form
oder, nach ^ = — r^ differentiirt, in der Form
8V j^ , , d^ dp dp dp
zu integriren. Dies giebt:
s'=:ccos^Y~-^) — y+cos^f{8^'sm&d^—pcos&dt)
— sin^/(«/co8^a<>+psin^aT) (42)
oder, ganz auf «^ bezogen:
dn 8* = CCOS(Ti+y) — oT -f-COSTj /(«/sinT^ÖTj — pCOSTj?^,)
— sinTi/(«i'cosTi8Ti-f-psinTiS^i) (43) und die Gleichung der inversen Cnrve lautet:
Im zweiten Falle hat man unmittelbar:
, — ,,^'+?!(^+-?^4-,+p+/^'a(.4-p)
oder
« = ^+-a^~i-+«+p+^y -^p- (45)
und nach Einsetzung in (40):
Im ersten Falle enthält 8* zwei willkürliche Constante c, y. Be- trachtet man eine Curve «oi ^*^ welche c = cq, y = 0 ist, als Beglei- tende von «, 80 ergiebt sich:
Boppe: Nachträge zur Curveri' und FlachentheorU, 387
«o' = *'+ ^0 COS ^ — c COS (y — ^)
Xf^ = a:+Z{co8in^-J-<;8iu(y — d)}+/"{cco8(y — ^) — CoCOi^}
Setzt man
Cq — ccosy => asina; csmy = acosa so wird
Xq = ar4-o^C08(^— a) + a/'8m(^ — «)
niid es zeigt sich nach (29), dass die Curven s und sq einander parallel sind. Dies Resultat ist allein dadurch bedingt, dass p unabhängig Ton 8 ist Da nun p den Abstand des Punkts {xyz) von der Schmie- gnngsebene der Curve s^ ausdrückt, so lässt sich der Satz aufstellen:
Alle Curven, welche dieselbe Binormal -begleitende haben, sind einander parallel, wenn der Abstand ihres laufenden Punkts von der Schmiegnngsebene jener Begleitenden von den Dimensionen unab- hängig ist
Einfachste F&lle.
a) Einhilllende der Krflmmungsaxe.
Sei |) = Oj dann wird
x,-« + l^ + /V (48)
t
Der Ausgangspunkt der eingehüllten Geraden ist hier der Erümmnngs- mittelpunkt, sie selbst also die Krümmuugsaxe. Die Inversion ergiebt:
«'»= ccos(Ti-f-y)+cosTi/»/8inTj8ri — sinT^/^i'cosTiÖTi
das ist eine doppelt unendliche Schar paralleler Curven, binormal be- gleitende von «j.
b) Beeiproke Binomal-hegleltende 0. Ordnung.
Sei /)+» = 0; dann wird
s
a?, = « — [f+ ^) « « «— (/sinA+ZcosX)^
(50)
(51)
85»
388 Hoppe: Nachträge zur Curven- und Fiächeutheorie.
uud umgekehrt nach (45) (46) s^^. (52)
« = «i-(/i+^)*i (53)
Die Beziehung beider Curven ist also, abgesehen von gewissen Vor- zeichen, reciprok. Diese Begleitende ist leicht zu construiren. Man schneide auf der negativen Seite der Tangente vom Berührungspunkt aus den Bogen ab und errichte im Endpunkt ein Lot auf der Tan- gente, welches dann die rectificirende Gerade im laufenden Punkte der Begleitenden schneidet.
Da der Bogen einen willkürlichen Anfang hat, so stellt die Glei- chung der Begleitenden eine stetige Schar von Curven dar. Ist dann 8^ eine zweite aus der Schar, die man durch Substitution von «4-a für s erhält, so ist
arg = X, ~a (/+ ^) =- ^i+«(^+/i V)
Dies verglichen mit (31) zeigt, dass die verschiedenen reciproken Binormal -begleitenden 0. Ordnung unter sich Tangential -begleitende 0. Ordnung sind.
c) Reelproke Binormal-begleitende 1. Ordnung«
Sei P+« = CT] dann wird
'* "" ^ ö^ ^'
(54)
X, « x+(cx^8) (^/+^)+c/' (55)
und umgekehrt
, = 0^^-^ + ^ (56)
x = x,-(cr,+s,){f,+^)-eA' (57)
Die Beziehung ist reciprok. Die 2 willkürlichen Constanten in s und t verschmelzen zu einer, bei deren Variation Curven entstehen, unter sich in derselben Beziehung wie beim vorigen Falle.
Die Reciprocität würde aufhören, wenn />+* höhere Potenzen von r enthielte.
Hoppe: NcuJtträge zur Curven- und Ftächentheorte. 389
d) Parallele mit der Elnhüllendeii der KrflBunangrsaxe.
Sei p = c cos T ; dann wird
8^
— efemxdd^ +/*'a^ (58)
x^ = a;+c/cosT-J-Zg^+/'(«'— csini) (59)
üDd umgekehrt
,' = cco8(ri + y) +C08r| /(*i'4-c8in^i) sinriÖTi
— sin Tj / («i'+ c sin ^j) cos Tj 8t, (60)
8«' a; == a-i + /i g^ + c^i 008^1 —/iV—csin^,) (61)
Schreibt man Gl. (59) wie folgt
arj = ar, -|- c (/cos T — /' sin r)
8
«
/
SO ist die Gurve s^ die Einhüllende der Erümmungsaxe von «, daher so dass
Xi « Xj — c(Z2C08^8+/8'8in^2)
eine Parallele mit s^ darstellt. Demnach ist s^ eine Parallele mit der Einhüllenden der Krümmungsaxe von ».
e) Parallele mit der Blnormal-begrleltenden 0. Ordnung.
Sei |>4"* = ccosr; dann wird
«i=-^-c/8inT8^ (62)
xj = aj+/(ccosr — s) — ^f — c/'sinr (63)
(64)
und umgekehrt
«, — c/8ind8Tj
4-c/,'8m^, (65)
Schreibt man 61. (63) wie folgt
390 Hoppe: Nachträge zur Curven- und Ftächentheom.
Xx «=* a^ + ^ (/cos T — /' sin t)
so zeigt sich, dass «^ eine Parallele mit der reciproken Binormal- begleitenden 0. Ordnung «^ von 8 ist.
3. Hanptnormal begleitende Cnrven.
Hat die Tangente der Begleitenden die Richtung der Haupt- normale der ürcurve, so sind die inneren Beziehungen:
Ti = ^; <^l = ^, 8iT, = Va(T«+ax^ u^K-^i \ (66)
/i =/'; ^1 ^ /cosA-f/sinX; //= Zsinil— /cosA
und umgekehrt:
3t = Stj cos ^1 ; 8^ «=» ÖTj sin ^j ; 0 / = ii sin ^1 — /i'cos^i ; i = ^ cos^
(67)
Die Binormale der Begleitenden hat also die Richtung der Spindenaxe der ürcurve, ihre Hauptnormale ist das Lot auf dieser in der recti- ficirenden Ebene, ihr Erümmungs- und Torsionswinkel sind Torsions- bogen und Krümmungsbreite der Urcurve.
Da hier nach (3) (7)
cosv = sinA; cosx = — cosA
ist, so gehen die 61. (5) (8) über in
A =r — — /sinAcosi48*.c/*«A'W
^ COSfi •' ^
da cos(A— |ii) ' p 8(A — f4)
(68)
8<y cos^ "^coSfA 8<y
Die Gleichung der Begleitenden wird
xi «a?+p{/8in(A — fi)-fZcos(A— ^)}+w/' (69)
Dies verglichen mit (1) giebt:
j> = psin(A — fi); g = pcos(A — fc); r 3= ti (70)
Die Differentialgleichung (10) wird erfüllt durch
0 «- 8«+ 8p — rix
0 = 8g -fr 8^ } (71)
8*j « 8r-|-i>8T — g8^
Hoppe: Nachträge zur Curven- und Flächentheorü. 391
woraas:
.=_|; .=-.-/^ (72)
»'. = -('^ + |^)8^-('+/^>r (73)
.. = «-(,+/^)/+«^-|/' (74)
und iB fi, p, fr dargestellt
«1 = « — /psinfidtf (75)
Die Inversion ergiebt, wofern q unabhängig von s ist:
/t Sa } (76)
'"^'^■'"saV gf +^{(«+/cot^i8g)sin^i— gcosdj
|
Einfachste Fälle. |
|
|
a) EYclvente. |
|
|
Sei 3 "= 0; dann wird |
|
|
*i «• — /#3t |
(77) |
|
Xj ■=» X — »/ |
(78) |
|
^«X+R; ^ =• »; « — 0 |
|
|
nnd umgekehrt |
|
|
cosd, |
(79) |
|
« =. «l+«l'(— 'ltg*J+/l') |
(80) |
Der laufende Punkt der Begleitenden begrenzt auf dem negativen Arme der Tangente eine Strecke gleich dem Bogen, erzeugt daher die Evolvente der Urcurve. Die inverte Begleitende (80) ist dann die Evolute.
Wegen des willkürlichen Anfangs von s repräsentirt (78) eine stetige Schar von Evolventen. Ist «« ^^^^ zweite Evolvente ent- sprechend der Substitution von s-{-a für «, so ist
x^ «B x^ — a/« », — a(^8in^i— /i'oos^i)
das ist die Gleichung einer Parallele mit «^ ; alle Evolventen derselben Curve sind also einander parallel.
894 Hopp^i Nachträge zur Curven- und FlSchentheorU,
Einfachste Fälle.
a) EinlitUleMde der reetitflelrenden Gerades«
Sei r = 0; dann wird zunächst (fCOBfi => 0, also nach (4) auch ^sinfi = 0, folglich p = 0, fi bedeutungslos. Jetzt ist nach (96)
J»«=^— grCOSil (97)
daher
p = — gysinXcosil; q = — grcosU (98)
und die Gleichungen der Begleitenden sind:
«1 =- — gTC0sil + /sinl8f (99)
da xj — « — gTCOsA(/sinil-|-ico8A) (100)
Zur Inversion ist erst Gl. (99) zu integriren. Differentürt man sie vorher so kommt:
ds-t d^8 de
g^=-gpCosA + 2g^sinA
~ cos kdk\di^^^^)
woraus:
gr cosU « — / COS A8*i oder
dr und die Gleichung der inversen durve wird:
' ^ '*^"" cos^-^^^^^i^*^ ^^^^
Da p » 0, so geht die Tangente von «^ durch den Punkt (xyz)^ folglich ist «] die Einhflllende der rectificirenden Geraden.
Die Gleichung der Inversen (102) stellt, rücksichtlich des Integrals eine stetige Schar von Curven dar. Ist *o ^^^^ Curve aus dieser Schar, in welcher das Integral das constante Increment a hat, so ist
"^ "" ''-ä^ "^ a.-a(/tgA+0 (103)
Hiernach sind die verschiedenen Urcurven zu derselben Einhüllenden der rectificirenden Geraden unter sich tangential-begleitende 0. Ord- nung, wie die Vergleichung mit (31) zeigt
Boppt: Nachtrüge gur Curvtn- und /Itfc^lAaorM. 395
b) TuigeiitUil-beflrleitende 0. OrAamgr 4er EtnhWendeB 4er
reetUetreBden OeradeB«
Sei r « c constant; dann wird nach (92)
Setzt man demgemäes
^"»tisini; ^-"ticosil (104)
80 geht 61. (94) Aber in
woran«:
edo—coskds ^^^^^
u ^ (105)
and die Gleichung der Begleitenden wird
a5j «. aj-| gv (/8inA+Zco8^)4-<?/ (106)
Femer erhält man nach Einsetzung der Werte (104) in (91):
;r == u; ^sinfi^O, also
and der Bogen der Begleitenden wird nach (95) (105)
*, — ^ [-/sin 18* (107)
Dies aufgelöst nach s giebt nach Analogie von (101) s
woraus :
^ »ca/-«g;^cosT, « c*/'^^^/cosr,a(c^i'— O
--/(costj 3#j — csinr, 8dj)
cos Demnach wird die Gleichung der Inyersen:
f
(109)
Im Anschluss an diese Ausdrucksform lässt sich nach 2 teilweisen Integrationen der Bogen auch schreiben:
* •« tgri/(csinfi3^i — cosTi8»i)4-/(«co8^i3^i+fiii>^^i3^i) (HO)
396 Hoppei Nachträge zur Curven- und FlächeMtheorie,
Die verschiedenen Urcurven zu einer Begleitenden, welche constanten Incrementen des Integrals entsprechen, stehen unter sich in derselben Beziehung (103) wie im Falle a).
Zerlegt man 61. (106) in
«1 •= arj-f c l g^ (/sinX + Zcos A)+/" J
ds iCj = a; — g7 COS X(/ sin il + 'cos X)
so zeigt sich, dass «g die Einhtlllende der rectificirenden Geraden von 8 ist. Jetzt kann man demzufolge die erste Gleichung auch schreiben
wodurch sich «^ als Tangential-begleitende 0. Ordnung von «^ erweist
5. Verdreht begleitende Curven.
Es bleibt übrig der Tangente der Begleitenden eine beliebige der rectificirenden Ebene parallele Richtung unter constanter Neigung a gegen die Tangente der Urcurve zu geben. Die inneren Beziehun- gen sind dann :
di = ^cosa+Tsina; Tj= — ^ina+^^osa; tfi = tf; Ajss^-f"** t nii^ /i^/cosa-j-isin«; Zi«=— /sina-fcoso; /'i'=/'' ^
Die Inversion macht nur — a aus a.
Die Differentialgleichung (10) wird erfüllt durch
8«! cos« = ds^Sp — rdr »
8*1 sin« =85— r 8^ ( (112)
0 =.8r+(;)C08A — g8inA)8tf '
HiteTolute.
Der einfachste Fall ist r «= 0. Hier ergeben sich leicht die Wert«:
«sinasinA «sinacosA
^ ^ cos(;i+«) ' ^ "" cos(i+«)
'^""C08(i+a) ^^^^'
und die Gleichung der Begleitenden lautet:
Hoppe: Ncichträge zur Curven^ und Flächentheorie. 397
. /sinA+^cosA X, = x+ssma —^-(j^:f-^ (114)
Ihr laufender Punkt liegt also auf der rectificirenden Geraden der ürcurve. Drückt man /, / in /j, ^ aus, so geht die Gleichung über in
a-i =ar4-«sin«{/itg(A+a)+^} (115)
Dies verglichen mit (9) zeigt, dass
fi « 0; p = «sincf; js = «sinatg(il+«)
ist Demnach liegt der Ausgangspunkt der von s^ eingehüllten Ge- raden in der Binormale von g^^ und schneidet auf dieser eine Strecke — «sino ab.
Die Curvenrelation (114) ist diejenige, welche nach (81) zwischen den verschiedenen Evoluten derselben Curve statt findet Man kann daher die Verdreht-begleitende für den Fall, (114) die Mitevolute nennen. Die Mitevoluten zeichnen sich durch die einfache Relation (113) aus, nach welcher das Product des Bogens und des Cosinus der Krümmuugsbrcite für .alle Mitevoluten dieselbe Grösse ist
Auch bei unverändertem Verdrehungswinkel a varürt die Mit- evolute noch mit dem Anfang des Bogens «. Geht, bei Substitution von «-{-a für «, *| in s^ über, so ist infolge von (113) (115)
g^ = »i + <*(co8o + 8i^**^^) a-, = a-,+a8in«(/itgAi + /i)
und «2 erweist sich als Tangential-begleitende 0. Ordnung von «j.
Bemerkung.
Durch die Inversion haben ausser den 4 Hauptrichtungen noch 2 andere Bedeutung gewonnen, die jedoch nur bis auf eine willkür- liche Constante bestimmt sind. Die Inverse der Hauptnormal- beglei- tenden hat ihre Tangentialrichtung in der Normalebene in einer Nei- gung gleich dem Torsionswinkel gegen die negative Hauptnormale (oder wenn man will gegen die Binormale, sofern beide Neigungen um die Constante R differiren). Die Inverse der Rectificirend-beglei- tenden hat ihre Tangentialrichtung in der Schmiegungsebene in einer Neigung gleich dem Erümmungswinkel gegen die Hauptnormale (oder gegen die Tangente). Man könnte daher auch die Begleitenden untersuchen, deren Tangenten diese Richtungen haben. Die einfach- sten Fälle sind dann bzhw. die Evolute und die Inverse der Einhül- lenden der rectificirenden Geraden.
398 Hoppt: NaehtrS^ zur Curvtn' und FlächtHtKiorie,
c.
Asymptoten.
Asymptote heisst eine feste Gerade, der die Tangeiite einer Carve unendlich nahe kommt, wenn der Berührungspunkt einen unendlich langen Bogen durchläuft.
£s sollen die Bedingungen der Existenz einer Asymptote einer vorliegenden Curve und ihre Gleichungen aufgestellt werden.
Don Ausgangspunkt der Tangente wollen wir so w&hlen, dass er nicht mit dem Bertthmngspunkt in unendliche Feme rQckt Wir legen ihn deshalb in den Durchschnitt der Tangente mit einer durch den Anfangspunkt der xpz gehenden normalen Ebene. Sind /, g, h die Richtungscosinus der Tangente, so ist die Gleichung dieser Ebene:
/•^o+m+H-0 (1)
und die Coordinateu ihres Durchschaitts mit der Tangente im Punkte
(xyz)
Xq = x—pf; yQ = y—pg; Zq « a— pÄ (2)
wo
p=fx+gy+h»
gesetzt ist Bezeichnet man durch r den Radiusvector des Berdbrangs- punkts und setzt
so wird
woraus:
^«-|.,;«+,^==1; p-r~ (3)
Sr . du ...
1 -/*+l^+A» - (^gj +r* p
oder, wenn
«* d?
gesetzt wird;
Nach EinfUhrnng der Werte (3) (4) geben die 61. (2) Aber in
das ist nach (5)
Hoppe; Nachtrüge zw Curven» und Fiäehentheorie» 999
a;^«„r3g« — r«-p- (6)
woraus:
Die GleichuBgen der Tangente sind
Diese ist einer festen Geraden
unendlich nahe, wenn für jedes t die Differenzen | — lo, i^ — %, il — ib anendlich klein sind, was aher immer und nur dann stattfindet, wenn 'o~*^i yo — ft *o — y?/ — ö» y — *» Ä — c unendlich klein sind. Folg- lich ist jene Gerade (8) Asymptote der Curve «, wenn fdr « = oo
limaJo = «; limyo = i5; lim«o = y (9)
lim/ «= a; lim ^ =^; lim ä = c (10)
ist. Umgekehrt, soll eine Asymptote existiren, so muss entsprechend jedem Punkte der Tangente Utji), d. i. für jedes t, auf einer festen Geraden (8) ein Punkt
I, = «+a(«+t,) = (a+at^)+at', etc.
liegen, der jenem unendlich nahe ist. Es folgt dann wie ohen, dass die 6 Grenzwerte (9) (10) existiren müssen, die wir ohne Rücksicht auf die eingeführten Coordinaten des Ausgangspunkts mit «, /?, y etc. bezeichnen können. Demnach ist die Existenz der 6 Grenzwerte aus- reichende und notwendige Bedingung der Existenz einer Asymptote.
Wegen a*-|-6*+c?* =» 1 können nicht a, ^, c zugleich 0, also nicht/, ^, k sämmtlich unendlich klein sein. Sofern letztere Grenz- werte hahen, ist daher mindestens eins von ihnen aidlich. Folglich wächst die entsprechende der 3 Grössen ^
X
^f/Ss, y^fgds, Z=fhbß
mit i ins unendliche, mithin ist unter allen Umständen r « oo f&r
« = 00.
Nun sind u, t^, w wegen (3), und ar^, y^, zq nach Voraussetzung, sofern sie Grenzwerte haben, nicht unettdlich, folglich ist nach Ol. (7) auch r^€^ Bieht unendlich. Da aber r =>oo, so folgt, dass
und da die 3 Tenne positiT sind, dass
400 HoppBi Nachtrage zur Curven- und FlächtnihtorU,
hm-^- = 0; lim-ö-^-O; lim-ö-=0 OS ^ c« OS
ist. Dies auf die Gl. (4) angewandt giebt:
a =— um -K— ; Ä =» lim "ö— ; c = hm -ä-
und nach Bildung der Quadratsumme:
lim| = l (11)
80 dass die vorigen Gleichungen übergehen in
a — limu; Ä==lim»; c ^ ]imw
Setzt man diese Grenzwerte und die hypothetischen (9) in Gl. (7) ein« so wird
lim(r*g*) = aa-j-^/J+cy
Letztere Grösse ist der Grenzwert von/a;(,+^yo+^)» daher nach (1) «= 0. Demnach verschwindet der erste Term in den Aasdrücken (6), und man erhält nach Uebergang zur Grenze:
limar^ = — lim ( r* -g-p J ; etc.
oder, zufolge (11):
Die Gleichungen der Asymptote lauten jetzt:
S+lim-g^ i/+lim-g^ t+lim-g^^
limu limt? '^ limw ^ '
und die Existenz dieser neuen 6 Grenzwerte ist ausreichende und notwendige Bedingung.
Bemerkung.
Man könnte fragen, warum bei Behandlung von Gurven ausser den Asymptoten nicht auch andre finale Raumgebilde untersucht sa werden pflegen. Zunächst geht aus einer leichten Betrachtung h^ vor, dass es keine finale Gerade oder Ebene geben kann, wo die varürende Gerade oder Ebene mit der Tangente einen endlichen Winkel bilden. Es bleiben daher nur die Schmiegungs- und recta*
Hoppe: Nachträge zttr Cumen- und Flächentheorie* 401
ficireade Ebene, überhaupt solche Ebenen, die durch die Tangente gehen, übrig. Hier lässt sich unmittelbar die Gleichung der finalen Ebene aufstellen:
iWml -f-iylimm -|-{;limfi. = lim(^ 4"^^ -^nz) |üm/'+7;lim/+{;lim/*' « \im(f''x+gy +h'z)
Da hier r nicht mit s ins unendliche zu wachsen braucht, so ist eine Reduction ähnlich der obigen nicht möglich.
D.
Asymptotische Linien auf Flächen zweiten Grades.
In meiner Flächentheorie §. 54. T. LIX. p. 311. ergaben sich die asjonptotischen Linien auf Flächen 2: Grades mittelst des Ad- ditionstheorems der elliptischen Functionen. Es wird nicht über- flüssig sein, dieselben in einfacherer Weise aufzusuchen.
Die Gleichung des Hyperboloids lässt sich zerlegen in
e-')"=^
(2)
y b
Dies sind die Gleichungen einer mit u variirenden Geraden. Dieselbe mag gekreuzt werden von einer Geraden auf der Fläche
| = U- + 5; -=y-+C (3)
WO ß, y, a, C Fnnctionen eines zweiten Parameters v seien. Führt man die We(te in (2) ein, so kommt:
^{l-u(/?+y)}-u(5+C) -
l{H+ß-Y] = u-B-{-C
(4)
nnd nach Elimination von x:
[l-u{ß+Y)\{u-B+C) = {u+ß-Ynu(B + C)-l\
' TM LX. 26
eine Gleichung die unabhi cienten sind:
-B+C+ß-,-0 2+lS+r){B-C)-(ß-y)(S + C) = 0
ß+r+B+c-0
worana durch VerbiDdaDg;
B j.; C (3; l + jj»— ■.s = 0
Die letzte Gleichung kaun man zerlegen in
«)-.(,+ l)-2=i wortOB:
Hiermit sind alle Functionon von v auf a reducirt; setzt man
|
D |
kommt: es in (4) eingeführt gicbt |
1 — w |
Y = |
1 — a 2« |
|
^(' |
-;)■ |
-- |
l-l |
und in Verbindung mit (3) findet man
(5)
Durch Erfüllung aller Bedingungen ist die antUngliche Annahme ge- rechtfertigt, dass zwei einander krcuzeude Scharen von Geraden auf der Fläche existireu. Diese Geraden sind als Linien von NnllkrQmmuiig die asymptotischen Linien der Fläche, Sic werden in (öj dargostcllt, indem mau einzeln v and u constaut setzt. Demnach Sind die Ql. (5) der Ausdruck des Hyperboloids (1) in asymptotischen PanuDctern u, v.
Ebenso kann man die Gleichung des Paraboloids
-"(:+i)i »f=
Hoppe: Nachträge xur Curven- und Flächentheorie, 403
Die kreuzende Gerade sei wieder dargestellt durch (3). Nach Ein- führung der Werte von y und z findet man:
%(/J+y) = 2-u(^+C)
l{u+ß--Y)^C^B
(7)
und nach Elimination von t:
Die Coefficientenvergleichung giebt:
2(^-y) -0; (C'-B){ß+y)+{C+BHß^y) - 2; B+C^O
woraus :
y = (3; C== — B; 2Bß 1
Setzt man noch ß = ^' und - für w, so erhält man:
und nach Einführung in (7) und dann in (3) :
X y z .
a ' Ä ' c? *
als Ausdruck des Paraboloids (6) in asjnmptotischen Parametern u, v.
tfe«'
404 Hain: Utber Doppeluerhältnisse,
XXXVI.
Ueber Doppelverhältnisse,
Von
Emil Haio.
L Gegeben sind die Punkte:
nnd die Beziehung:
{XYZT) = -^/' -^j^Y =» l
Es soll der Punkt T ^ ta bestimmt werden , wjenn man die Coordi- naten den Abständen von den Seiten eines Dreiecks ABC proportional annimmt.
Setzen wir:
XZi ZY = w, XT\ TY ^n dann ist:
, . (arg) + ^ (^a) ,, , (yg) + n (yg)
WO (iEfl) die Seitennormalen sind. Hieraus ergibt sich:
wenn
Wir haben dann femer:
Hain: Ütber Ooppflverhältniase. 405
(ty) A(ay) (xt) {xz)
{ty)+{xt) (xz) + k(zy)
(xz){xy)
(xt)
(ta)
Nun ist;
(xz)'^X(zj/) . Hxa){zy)-\-(ya){xz)
Xa
Also:
r=
IL
P^pa sei elB Punkt in der Ebene eines Dreiecks ABC. PA treffe BC in Pa. Der Punkt Pa' genüge der Relation:
(BCPaPa') « l
Dann gibt und die allgemeine Formel:
jr=^ =0 1 0 Y=C =0 0 1
Z=Pa = 0 pb pe 1 = 6, iy = c, J = ÄjJft+c^c -Pa'^ 0 kpb pc
Die Pa' bilden dann eine Gerade, wenn:
0 Ipb Pc Pa 0 Xpc Ipa Pb 0
-a8+i)npa«o
Ist i » — 1 , so erhalten wir die zu Pa bezüglich BC harmonisch zugeordneten Punkte 17« == 0 pb — pe^ welche in der Geraden pbpe liegen.
Pa' liege auf BC so, dass
{CBPaPa")^l
406 Hain: (Jeher Doppelverhällnisse.
d. i.
(BCPaPa') '^llX
Der Punkt Pa" ist der Punkt Pa nach dem Doppelverhältniss 1 : 1. Es ist sonach Pa"= 0 pb Xpe. Für A — — 1 fallen Pa und Pa" zu- sammen.
Es sei Sa die Mitte von BC^ femer
(BCSaLi) = A = {C^Sal^) Dann ist:
i^ = 0 Ac J, j[^ = 0 c A*.
Die Seitennormalen von X^, J[i8 sind:
ii = 0-r-- 1^=0-,—
* b c ^^ b c
Ihre Mitte ist & ^ 0 c 6. Wir haben den Satz :
Ck)nstmirt man die zur Mitte einer geradlinigen Strecke bezüg- lich derselben zugehörigen Punkte nach zwei zu einander reciproken Doppelverhältnissen, so halbirt die Mitte der beiden so erhaltenen Punkte die Strecke selbst
in.
Nehmen wir an, der Kegelschnitt
gehe durch die 6 Punkte:
' (0 Xph pc\ (0 ph Xpc) Dann ist:
X^ph^gi^-^-pc^ .gce'{-''2lpbpeghc = 0
Ph^gvb + X^pc'^gu'^^Xphpeghe == 0
Die Elimination gibt:
ghb Xpa^pc^
2ghe (^*+ ^)pa^Phpc
gee A^Jq^yt^
2ghc ~~ (X^'\-l)pa^phPc
Die Gleichung des Kegelschnittes ist also:
XSph^pc^Xa^ — (X^']r'^)paphpc^PaXbitc « 0
wie sich durch Einsetzung der Coordinatenwerto der übrigen vier Punkte Pb'Pb" Pc'Pc" bestätigt. Setzen wir
Hain: Ueher Doppeloerhältnisse. 407
60 können wir die ^egelschnittglcichong noch schreiben:
k(A'-kB) =3 B
Differentiiren wir nach iL, so erhalten wir:
A— XB^kB, k^B^ B, il = ± 1
Die Gleichung der Einhüllenden aller Kegelschnitte k ist:
A±2B = 0
Die einhüllende Curve ist also das System der Linien:
A-^2B = 0==A — 2B
Die A-^2B ist die Gerade pbpe, die Hannonikale des Punktes pa. Die A — 2B ist ein Kegelschnitt, welcher die Seiten BC in den Punkten Pa berührt.
IV. Setzen wir
(BCPaPa') = « - (CBPaPa")
(CAPbPb') « i? = (ACPbPb') (ABPc Pc') =y^(BÄ Pc Pc")
so liegen die Pa oder Pa' in einer Geraden, wenn:
= a/3y+l — 0
Setzen wir z. B. — «==6:c, so wird Pa'=0 bpb — cpc. Pa ist dem Punkte Q« ( Q ^ apa) bezüglich BC harmonisch zugeordnet- Q^apa wird demnach auf folgende Weise construirt:
Man bestimmt auf der Geraden AP{P^pa) einen für APa inneren Punkt Ah und äusseren Ac^ so dass PaAh = h^ PaAc = c. Die Geraden BAh^ CAe schneiden sich in Aa. Die Parallele durch Aa zu AP trifft BC in Pa. Qa trennt BC von Pa harmonisch. Die AQa treffen sich in Q ^ apa.
Setzen wir —« = <?:&, so erhalten wir:
Pa"=0 cpb — bpe^O acpb — abpc
Die Pa* liegen dann in der Geraden apbpa der Harmonikaien des Punktes hcp. Für — a^= qjbiqe ist PaAb =^ qb^ PaAc^qc ZU setzen;
|
0 |
a 1 |
0 |
1 a |
|
|
1 |
0 ß |
^^ |
ß |
0 1 |
|
y |
1 0 |
1 |
Y 0 |
408 Hain: üeher Doppelverhältnisse.
die Pa liegen in der Harmonikalen des Punktes paqa- Hiermit ist die Constructiou des Punktes paqara gegeben, wenn P^pa, Q^qa^ R ^ ra^ und zwar auf mehrfache Weise. Mittelst Wiederholung der- selben Zeichnung gelangt man auch zur Construction des Punktes pa^^ wenn n eine ganze Zal bedeutet
V.
PA treffe BC in A. Beiderseits dieses Punktes werden auf I^A zwei solche Punkte ^6 -4c bestimmt, dass PaAb = b\ PaAc = c\ wo Ah ein innerer Punkt von APa und a' symmetrisch nach b^ c sei. Schreiben wir femer Oj statt APa^ so gibt die Figur:
Ah^ h'{bpe'\-cpc) aph(a^ — b*) apdoi — b') Ac^ — c'ibpb-^-cpc) apbia^-^-c') apc(ai+c')
Verbinden wir nun Ah mit B, Ac mit C, so erhalten wir:
BAb = — apc (oi — ^0 0 b'(bph-\-cpc)
CAe ^ aphia^-^c) c'ihph-^-cpe) 0
Diese beiden Geraden treffen sich in
Aa^b'c\bph'\-cpe) — ab'pb(ai'\-c^) -{-ac'peiai — b')
Der unendlich entfernte Punkt von AP hat die Form:
bp-\- cpc — aph — apc
Verbinden wir diesen mit -4«, so erhalten wir die Gerade:
apbpc (*'+ c') c^pc {bph + cpc) b'ph (bph + cpe)
Diese trifft die BC im Punkte 0 b'ph — c'pc- Denselben trennt von BC harmonisch der Punkt Ba^O b'ph c'pe. Die AEa schneiden sich im Punkte a'pa. Derselbe wird also auf folgende Weise constmirt:
PA trifft BC in Pa. Ah sei ein innerer, Ac ein äusserer Punkt von APa. Es sei PaAh^b\ PaAe^c'. Die BAh, CAe schneiden sich in Aa. Die Parallelen durch Aa zu PA treffen die BO in Punkten einer Geraden, deren harmonischer Pol in Bezug auf das Urdreieck der Punkt R =^ a'pa ist.
VI.
Sind Jf^<jp«+*+^» Y^jpa-^-b-^-c Symmetriepunkte erster Ordnung, so ist auch der Punkt T von der Form x^+^H"^» wenn
Hain: üeber DopptherhäUnutst, 409
wo J das Inkreiscentrum des Urdreiecks bezeichnet Die Formel in I. gibt:
r=A(V»~l)(<;pa+Ä + c) — (g)-l)(t/;a+Ä-|-(?)
Sonach ist T von der Form x«+&+<^> wo
^y(tp — l)--t/;(y— 1) 5C== X(i/;-l)-(9~l)
Für A = — 1 wird:
2q>ip — (p — 1/;
Ist ferner g>t/; = 1, so wird x^ — 1 d. h.:
Auf der Geraden 6 — c bilden die Punkte g>a+*+c, a+<p(6-|-(?) eine Involution, deren Doppelpunkte das Inkreiscentrum und der Punkt &+C — a sind.
Ausserdem ergibt sich z. B.
i = («p — !):(!/;-. 1), r=a Wien, Februar 1877.
410 Wasser schieben: Zur Tdngirung der Kegelschnitte.
XXXVII.
Zur Tangirung der Kegelschnitte.
Nach einem Entwürfe des Herrn Oberlehrer Dr. Ad. Hochheim
in Magdeburg.
Vom
Ingeniear-Major von Wasserschieben.
Aufgabe: An einen Kegelschnitt seien von einem Punkte ausser- halb Tangenten gezogen. Gesucht wird die Gleichung des geometri- schen Orts der Berührungspunkte für gegebene Variationen des Kegelschnitts.
Die Achsenrichtungen seien unveränderlich, desgleichen der Scheitel der Parabel und der Mittelpunkt der Ellipse und Hyperbel. Bei der Parabel variirt also nur der Parameter, bei der Ellipse und Hyperbel können beide Achsen variiren; wir betrachten folgende 5 Fälle für die Ellipse: a) wo die kleine Achse, b) wo die grosse Achse, c) wo ihre Differenz, d) wo die Differenz ihrer Quadrate, e) wo ihr Quotient constant ist, nebst den entsprechenden Fällen für die Hyperbel.
Die Gleichung der Tangente ist stets
Hier sind /, m die Coordinaten eines beliebigen Punkts auf der Tan- gente; sie seien daher die des festen Punkts 0. Die Gleichung des geometrischen Orts der Berührungspunkte resultirt dann aus der Elimination der einzig variirenden Grösse zwischen der Curven- and Tangentengleichuug.
Wasserschieben: Zur Tangirung der Kegelschnitte, 411
I. Die Parabel.
Far 4ie Parabel sind beide Gleichungen:
woraus nach Elimination von p:
Der gesachte Ort ist also im allgemeinen eine gleichseitige Hyperbel. Liegt aber 0 auf der x Achse, so geht er in die Gerade x-^m ^ 0 parallel der Scheiteltangente, liegt er auf der y Achse, in die Gerade y = 21 parallel der Achse über.
IT. Die Ellipse und Hyperbel.
Die Gleichungen der Ellipse und ihrer Tangente sind:
a) Sei b constant; eliminirt man a, so kommt:
my^ — Ixy = (m — x)b* (II)
Der gesuchte Ort ist also im allgemeinen eine Hyperbel. Einige Eigenschaften derselben mögen Erwähnung finden. Durch a; = 0, y = ±* wird ihre Gleichung erfüllt; daher geht sie durch die End- punkte der kleinen Axe. Ihre Asymptoten haben der linken Seite zufolge die Gleichungen
y — yo='0-, m(y— yo) — /(« — aro) = 0
WO «Ol yo die Coordinaten ihres Mittelpunkts bezeichnen. Demnach ist die eine Asymptote parallel der x Achse. Femer hat sie ein Maximum und ein Minimum der x. Da nämlich
dx__ Hb^+y^) — 2b^y
dy-"" (b^-ly)^
ist, so entsprechen die fraglichen Werte dem Zähler = 0 gesetzt; die Wurzeln sind:
y-ft ^
Ist femer i = &, so lässt sich die Gl. (II) schreiben
(y — Ä)jm(y+Ä)— Aar} =0
Der Wert y = Ä entspricht hur einem Punkte. Der zweite Bertth- mngspunkt beschreibt eine gerade Linie.
412 Wasser seh leben: Zur Tangirung der KegeUchmtte,
Ist b^l^ 80 wird von der Hyperbel nur je ein isolirtes Stftck der beiden Aeste in Ansprach genommen, und zwar soweit die Acbs^ innerhalb der Parallelen mit ^tr x Achse fallen, welche man sich von den Scheitelpunkten der kleinen Achse gezogen denken kann.
Für i = 0 wird der gesuchte Ort eine Parabel, für m = 0 die
Gerade y "^ -i
b) Yariirt die Ellipse bei constantcm a, so sind alle Result^ analog. Wir brauchen nur o, x, m zu vertauschen mit 6, y, /; dann wird der gesuchte Ort
Ix^ — mxy = {l — y)a^
Um die Resultate auf die Hyperbel anzuwenden, hat man nur — h^ für &* substituiren. Hierbei bleibt die letzte Gleichung angeändert, der in Rede stehende Ort ist also für Ellipse und Hyperbel derselbe.
c) Ist die Diiferenz der Achsen constant, so gehen wir von den Gl. (I) aus und eliminiren zuerst h\ dann a^; beziehungsweise kommt:
g my—lx my-^lx
y — / ' ^ X — m
Ist nun die constante Differenz
a — b = c so giebt die letzte Gleichung:
c* — 2ac+a* = — y
X — tu
woraus nach Einsetzung des Wertes von a^i
8 I ^^y — ^ I my — lx
c^+x j-+y = 2ac
y — t Ä — «*
Dies in 2. Potenz:
/ , , my — lx my — lxY . • my — lx
W+x — y-y ) «= 4c*ar —
\ y — l ' "^ x—m ) y^l
Das Resultat lässt sich leicht symmetrisch umgestalten:
{c*(a;— m)(y — 0 + [y(y — /) — «(«— m)](my — to)}* =«
— 4«y(a!— m)(y — Q(my — &)*
Der gesuchte Ort ist demnach eine Curve 6. Grades.
Die Anwendung auf die Hjrperbel ist leicht, weil b nur im Quadrat vorkommt.
Wassers ekle ben: Zur Tangirung der Kegelschniite, 413
d) Ist die Differenz der Quadrate der Achsen constant, also das STStom von Kegelschnitten confocal ; dann sei für die Ellipse
a«— ^8 « «« Die Gl. (I) ergeben die Werte:
a
« « ^ ^-^^r .— ? — TT : &« = —
«(a; — w) + y(y — Z) ' «(ar — m)-|-y(y — /)
Führt man sie in eine derselben ein, so kommt:
(mj^ — to){ir(ar — m) + y(y — Z)} == e^{x — m){y'-'l)
Der gesacbte Ort ist demnach im allgemeinen eine Curve 3. Grades. Für Z » 0 OThält man :
Hier wird die Curve ein Kreis. Ebenso ergiebt der Fall m = 0 einen Kreis
Mittelpunkte und Radien beider Kreise geben sich zu erkennen, wenn man die Gleichungen schreibt:
Für die Hyperbel sind die Resultate dieselben, nur ist hier die Summe der Quadrate der Halbachsen (statt der Differenz) constant = c* anzunehmen.
e) Das Yerhältniss beider Achsen sei constant, mithin die zum System gehörigen Kegelschnitte einander ähnlich. Setzt man & — to, so werden die Gl. (I) far Ellipse:
b^ « <V+y2. it ^ t*mx + ly woraus :
oder:
Der gesuchte Ort ist also eine dem System ähnliche Ellipse, deren
441 Wasser seh leben: Zur Tangirung der KegeUchnüie,
Mittelpunkt den Badiusvector dos festen Punkts halbirt, und deren Halbachsen gleich
2t ' 2
sind.
Bei der Hyperbel tritt eine wesentliche Aenderung ein, die sich jedoch, wie leicht zu sehen, auf einen blossen Vorzeichen Wechsel von t'^ reducirt. Der gesuchte Ort ist demnach eine ähnliche Hyperbel, die für / = ± tm in 2 Gerade übergeht , und für l^ > und <C A» beziehungsweise eine Hauptachse in der Richtung der Haupt* und Nebeuachse der Hyperbeln des Systems hat.
G ruber: Ein Beitrag zur Theorie des Maximum und Minimum. '415
xxxvin.
Ein Beitrag zur Theorie des Maximum und
Minimum.
Von
Herrn Josef Gruber,
Lehrer an der k. k. Oberrealschale zu Laibach in Krain.
§. 1.
Die Bestimmung deB Maximum und Minimum von Functionen geschieht im allgemeinen mit Hilfe der Taylor'schen Reihe. Diese Bestimmung ist nun nur so lange möglich, als alle Differential- quotienten, welche in derselben vorkommen, endlich bleiben. Es können auch Fälle eintreten, in welchen für gewisse Werte der Ver- änderlichen diese Reihe nicht mehr brauchbar ist, weil die früheren oder späteren Differentialquotienten für diese Werte Null im Nenner bekommen, sie selbst also unendlich gross werden.
Es kann sein, dass für diese speciellen Werte der Veränderlichen die Function selbst uneni^lich gross wird. Z. B. in
f{x) = tp{x)-\-'^{x)\Q%(x — a) wird f ür « = a f{a) « — oo,
wenn man (p{x) und '^(a;) für a; = a endlich und von 0 verschieden voraussetzt.
f{x) «= <p(a-) + /a._,qxm ß®^^ f ür a? = a über in/(a) =- oo,
f(x) =* (p{x)-\'— — verwandelt sich für ap = 0 in ßfi) « oo .
Ebenso wird
f(x) = y(a;)-}-^ . ^^^ — für a; « 1 unendlich gross,
wobei in allen Fällen q>{x) und ^{x) für diese Werte von x endlich
416 Grub tri' Ein Beitrag zur Theorie des Maximum und Minimum.
und von Null verschieden vorausgesetzt werden. Diese Fälle wollen wir nicht weiter untersuchen. Kur jene Functionen sollen Gegenstand unserer Betrachtung sein, welche für bestimmte Werte von x endlich bleiben, deren Differentialquotienten aber unendlich gross werden.
Solche Fälle treten ein, wenn man die Werte, welche die Func- tion zu einem Maximum oder Minimum machen sollen, aus der Glei- chung -^ - = 00 zieht, indem der Nenner in -^- Null wird. Dieser
Nenner erscheint dann auch in den höheren Differentialquotienten, welche für diese bestimmten Werte dann ebenfalls gleich ao werden, und es lässt sich dann nach den gewöhnlichen Methoden keine Ent- scheidung fttr das Vorhandensein eines Maximum oder Minimum föllen.
Aus diesen Fällen können wir wieder einen ausscheiden, nämlich den, wenn die Function die Form
Nl
y = f(x) = Mx) Viax — b}^
hat. ^{x) sei für x = - stetig, endlich und von Null verschieden.
In diesem Falle braucht man nur zu bedenken, dass, wenn y eia Maximum oder Minimum ist, auch ^'^ ein Maximum oder Minimum ist, vorausgesetzt, dass m positiv ist. Wir können daher unsere Function für die Untersuchung folgcndermassen umformen:
und auf die gewöhnliche Weise behandeln. Beispiel.
y = e-'Viax — b)^ y*z=y^^ e-^iax—b)'^
^ = €-8*(ax— *){2a — 3(aa;— 6)}.
b
Dieser Ausdruck wird für ar « - NulL Es ist
a
b d^v 11*
Für a; « - wird ^ — 2a*«" ä. Dieser Ausdruck ist immer positiv,
also ist für a; » - immer ein Minimum vorhanden.
a
Die so genannten Ausnahmsftlle der Taylor'schen Reihe lassen
Grub er: Ein Beitrag zur Theorie des ifcmmum und I/immrum. 417
sich in vier Grnppen zasammcnfassen , in Fnnctioncn, in welchen Wurzelgrössen vorkommen
m
1) y « q>{x) + ^{x) V(ax'' — b)^
in Functionen, in welchen Logarithmen vorkommen und unter dem Logarithmenzeichen eine Wurzel
m
2) y = q>(x) + '^'M log { a ± V (ix»*— c}« }
in Functionen, in welchen die cyklometrischen Functionen aresin, arc cos, arc sec, arc cosec, arc sinvers und arc cosvers enthalten sind.
3) y = (fix) -f- ^M arc (sin = (ox»* — b)')
wo 8 auch ein Bruch sein kann; endlich in Functionen, in welchen » diese drei Fälle combinirt vorkommen.
m m
m
4) y == 9 W + 1/' W arc (sin = (ax*' -j- b/* ) + Vi^ax — ^»)'» oder etwa
m m
y =- q>{x) + 7i;^{x)\og\C+V{äx^by*\iJLTc{cos =- («x-f i»)"}
+ ^2 W Are ( sec = (aar -|- b)** j
u. s. w.
Dabei sind <)p(a-), i['(a:), t/;,(aT), 1^2(3:) endlich und stetig und die Func- tionen tf; auch noch von Null verschieden.
Algrebraisehe Functionen.
§. 2. Es ist zu untersuchen, unter welchen Bedingungen
IN
y ^f{x) = (3p(ar)+i;'(ir)V(ax»- — ^)» ZU einem Maximum oder Minimum wird.
-^ == <p'(x) +!/;'(«) Vc'aa;'^ — i»)"+ - ra«»-! (aa;*" — b)^"
w ^y
Wenn — <! 1 ist, so wird — «=» oo f ür oa:*" — 6 = 0 oder
r
r a Teü LI. 27
418 Grub er: Ein Beitrag zur Hieorie des Maximum und Mittimum.
und ebenso die höheren Differentialquotienten, wenn wir voraussetzen, dass q>(x) und i\){x) für diesen Wert von x endlich und stetig und "^{x) ausserdem noch von Null verschieden sei, damit wir die unbe- stimmte Form - nicht in Betracht zu ziehen haben. Setzen wir in
tion X — 1/ - =» cf,
unserer Function x = 1/ - « w, so kann man auf dem gewöhnlichen
Wege nicht mehr entscheiden, ob ß,x) für x = a ein Maximum oder Minimum wird. Wir verfahren daher auf folgende Weise : wir setzen in die ursprüngliche Function statt x die Grösse a+Ä, wo A eine sehr kleine Aenderung ist, und erhalten:
g>(a-j-/i) und ^((t-\'h) lassen sich zufolge unserer Voraussetzung nach dem Taylor'schen Satze in Reihen nach Potenzen von h ent- wickeln, so dass wir folgendes bekommen:
in
Nun ist
Es ist
daher
aCw + Ä/ — Z» = raa*^-lÄ-}-(naa'-2Ä* + ...
A kann ^ber so klein gewählt werden, dass
rafi» -1 A > f 2) ««•'-^ Ä« + {C\ aa^-^ h^ + ... (I)
daher
a(a-\-hy — b *= raa^'^h
Für X =» a ist ferner /(«) = (p(ct).
Berücksichtigen wir dies alles, so ist:
m
yt«-f A) -/[«) = <p'(a) + (p"(«)^ +...+ [^ia)+ xp\a)h +...] V (raa- U)"
A kann so klein gewählt werden, dass auch noch folgende Bedingung erfüllt ist:
t/<«) > ,/,'(„)Ä + V;»|'+... (U)
Wir erhalten dann:
G ruber: Ein Beitrag zur llteorit </m Maximum und Minietum, 41Ö
Wenn diese Differenz .A'«+^0— /^«) coustant negativ ist, so ist ein Maximnin vorhanden, wenn sie aber constant positiv ist, ein Miuiraum.
Ist m^ n, 80 kann h so klein gewählt werden, dass schon das
m
erste Glied ii>(<r)y(raa»^-^/ty»* den Ausschlag gibt Ist aber w<C«i so muss ^'((t)h noch berücksichtigt werden.
Ist aber q>(x) coustant, so fallen g>'(a) und alle übrigen Glieder weg.
In diesem Falle und für w > n erhalten wir dann :
Wir können folgende Fülle unterscheiden:
m
1) Ist m ungerade, n gerade, so ist y^ {raa^"^ h)** immer positiv. Ist dann i|/(o) negativ, so ist ein Maximum vorhanden, ist i^(a) positiv, so \st/(a) ein Minimum.
2) Ist m ungerade und ebenso w, so kann die Wurzelgrösse durch die Wahl von h sowohl positiv als auch negativ gemacht werden; es
m
kann daher t^(a)V(raft'"Wiy'" sowohl positiv als auch negativ gemacht werden, daher ist/t«) weder ein Maximum noch ein Minimum.
3) Ist m gerade, n ungerade, so muss h mit jenem Zeichen ge- wählt werden, welches die Grösse unter dem Wurzelzeichen positiv macht, weil wir nur reelle Werte brauchen können.
Die Wurzelgrösse hat dann zwei Zeichen. Nun kann die Natur der Aufgabe in einem gegebeneu Falle entscheiden, ob die Wurzel- grösse nur positiv oder nur negativ genommen werden darf, und es
M
crgiebt sich dann für rif((t)y(raa^-^hy' ein bestimmtes Zeichen, welches entweder ein Maximum oder ein Minimum anzeigt
Lässt sich über das Zeichen der Wurzelgrösse keine bestimmte Entscheidung treffen, so kann man folgendes sagen: Legt man der
IN
Wurzelgrösse ein solches Zeichen bei, dass t^(«)y(raa*^-^A)»* positiv wird, so ist /(et) von a; =» «r an im Wachsen begriffen , also jXct) ein Minimum, wobei bemerkt werden muss, dass bei negativen Grössen jene die kleinere ist, deren absoluter Wert weiter von Null ent- fernt ist.
27
-♦
420 Grub er: Ein Beitrag zur Theorie des Uaximym und 2Jinimvm,
Legt man aber der Wurzclgrösse ein Zeichen bei, dass dadurch
IN
^(cr)V(raa'^-iÄ)»» negativ wird, so nimmt yt«) von a: = « an ab, und f(a) selbst ist ein Maximum.
4) Sind m und n gerade, dann ist die Wurzelgrösse immer reell, aber mit zwei Zeichen behaftet. Es wird dann für das eine Zeichen ein Maximum, für das andere ein Miuimnm vorhanden sein, weil
^(a)y(rao*^-iÄ)*» für das eine Zeichen, mag h positiv oder negativ sein, constant positiv, für das andere aber constant negativ ist
Beispiele: Es sei y =-ß,x) «= C'\-bx'^{a-'^)\ dabei ist
q>{x) = c und ij*(a:) «= bx
Für « = 7 wird t% == oo . Wir haben zur Entscheidung , ob ein Maximum oder Minimum vorhanden ist, folgende Formel:
m
worin r = 1, a = — 4, m = 5 und n = 2 zu setzen ist, so dass
Nun ist y(— 4A)* immer positiv. Es ist daher /(t) = <? ©in Maxi- mum, wenn ah negativ, ein Minimum, wenn ab positiv ist
Es sei y «=• 2ar + V(« — a)\ Für x ^ a wird y ^ 2a und
-T~2 == -r^ = ... = OO . iliS ist
m
/(a+Ä)— /(«) =. t/i(«)VW" + 9>'(«)Ä+... oder
9'(«) = 2, i;p"(a) == q>'"M - ... = 0. Daher ist:
yt«+Ä)-y(«) - ±yAMi+2Ä-i}
Für ein negatives h wird y ä* imaginär, die Cui've erstrockt sich also nur bis zum Punkte o; = a, y » 2a. Es ist in diesem Falle immer ein Minimum vorhanden, denn nimmt man das obere Zeichen, so ist
j_i
Gruber: Ein Beitrag zur TTieorie des Maximum und Minimum. 421
also immer positiv. Nimmt man das untere Zeichen, so ist
2 h kaun 80 klein gewählt werden, dass -rr > 1 wird, also
( 2 )
— y^^jl — -TT? unter allen Umständen positiv wird.
Es sei /t«) = ^ + 3 }/« — JÖÖ* ^^""^ ^ ?«' ^^""^ "^ ^' Wir erhalten ^\a) « W) = ... « 0 und <p'(a:) = — -fi- Es ist
/(«+;*)—/(«) « yÄ{3— lO.ioo^yÄ}
Es ist hier für ein sehr kleines ä 3 < 10.100"/ii, daher /(a+Ä)— /[«) negativ, fOr ein verschwindendes h aher positiv, also f(a) ein Minimum.
Functionen, in welchen Logaritlimcn vorkommen.
§. 3.
m
y = fix) — (p(x) + (p(x)\og\a±V{bx''--c)^\ Es ist
n _ . . . .. . — 1
, m — rbx^-^ \\)(x) (bx^ — c)**^
-M. ^ g)'(a:) + *'(a:) log { a ± V (Äx*^ — c)« } ± '^
Ist — •< 1 , so wird für «=1/7 = « — ==00.
m ^ ' f h dx
Wenn aher — > 1 ist, so wird erst ein späterer Differential- quotient unendlich gross.
Wir setzen jetzt wieder in die ursprüngliche Function statt x die Grösse u-\-h und erhalten:
in
/(«+Ä) = (p(a-|-Ä)-]-,(;(«-|-A)log{a±V[*(a + Ä/— c]"j
m
/(«+A)=Sp(«H-.^'(«)A+...+[<)p(«)+V'(«)*+-]log{a±y[6(«H-A)'-<']"}
422 Gruber: Ein Beitrag zur Theorie des Maximum und Minimum,
Wir wählen h so, dass rZ»«''-'Ä> (2)*«*'"^^*+...— » dann können wir
setzen. Ferner kann man h auch noch der Bedingung unterwerfen, dass t^(c/) >> t/;'(«)/i-|- V;"(«) ;>f 4-- Dann wird
m
/(«-|-/i) = g)(«)4-()p'(«)Ä+...+ t/;(a)log{rt±y(rÄa''-U)-} Für X = a wird/(a) =• <r(«) + ^(«)loga; daher
und es ist /(«+/')-/(«) = f («)Pog 1« + y (ria- -lA. "J _loga]+9>'{«)A+9>"(«)„-i +...
m
= !/;(«) log{l i- V(r&a'-iÄ)«)+9'(«)A + ... log { 1 ± ~ V(rbar-^ij^\ = ± -■/(rZ^a'-JA)« — ;r^ {l/(rÄ«*-l/i)«}« + ...
Wir unterwerfen jetzt A einer dritten Bedingung, dass nämlich:
1 m 1 '"
Dann können wir setzen, uud wir erhalten:
Ist m^ n oder g)(x) = constans, so gibt das erste Glied den Aus- schlag für ein verschwindendes h, Ist aber w>w, so müssen die auf das ersto folgenden Glieder berücksichtigt werden. Ist nun /X(t-{-h)—j{a) fortwährend negativ, so ist ein Maximum vorhanden, ist aber yt«+Ä) —■/(«) fortwährend positiv, ein Miuiroum.
*) Dabei ist das obere Zeichen zu wählen, >venn die Function log(l -f A) enthält; das untere ober, wenn sie log(l — A) enthält.
Grub er: Ein Beitrag zur Tlieorie des Maximum und Minimuln» 423
Beispiele :
y=f{x) = 2x+31og{l+y(x-2)»}
^ l-|.y(a; — 2)^ Vx — 2{l + y(a;— 2;*j
(Jy
Für Ä = 2 wird ; = oo . In diesem Beispiele ist <p(x) = 2ä-, ^(x) — 3, a = 1, m = 3, n « 2, r = 1 und & = 1.
Um zu entscheiden, ob /T[2) ein Maximum oder Minimum ist, Stelleu wir uns folgende Beziehung auf:
a
h kann so klein gewählt werden, dass 3>2y/i wird; ferner ist
s
l/A* immer positiv, also die Diflferenz /v«+ä)— yi[a) con staut positiv, somit /(«•) für a; = 2 ein Minimum.
Es sei y =^f{x) « 8ina;+^og{2+y(x — «)*}.
Für a; = « wird ~ = oo und ebenso 3-1 == oo . Es ist
ip(x) = sinar, i(^(a;) = 1 etc.
Wir erhalten für das Kennzeichen, ob ein Maximum oder Mini- mum vorhanden ist, folgendes:
5 sin 71!
5
A kann so klein gewählt werden, dass i^h^ den Ausschlag gibt, denn es ist, wenn A < 1 ist,
A8>ä5 und i?A3>T?A5 = A
Wir haben also /(a+Ä)— /t«) =* lyÄ'*^-
Für ein positives A ist die Diflferenz positiv, für ein negatives A aber negativ. Es ist somit in diesem Falle weder ein Maximum, noch ein Minimum vorhanden.
Functionen, in welchen cyklometrische Functionen enthalten sind.
y =y(ir) =» gj(a;)4- '/'Ware (sin =» (az^ — by) y = (;p(a:)-{-^(a;)arc(C08 = {ax^ — b)*) etc.
424 Grub er: Ein Btltrag zur Theorie des Maximum und Minimum.
Ncbmen wir den ersten Fall, so ergiebt sich
Für ox»^ — i = 1 wird - = oo und ebenso die höheren Differcntial-
tlx
quotienten. Setzen wir wieder
r
X = V — ' — = «
m
und substitaircu in f(x) dio Grösse ti-\-h, so erhalten wir:
+ W«)+ '/''(«)Ä+...]arc(sin == {a(«+A)»--6j»)
Es ist a{a-\'hy—b = 1 -|-ra«''~U, wenn h so klein gewählt wird, dass die übrigen Glieder der Reihe vernachlässigt werden können.
Wir erhalten dann: ^
y(« + A) = 9(«)+9)'(a)Ä + ...
+ C'(^(«) + ^'(a)Ä + ...]arc(sin =- (l + raa»'-iÄ)«)
Der letzte Factor entwickelt giebt:
arc(sin -= l+r«aa'-"Vt) = (4u+l) ~ ± V(— 2r«att'-iÄ) + ...
wobei n jede ganze Zahl mit Einschluss der Null bedeuten kann. Dann geht die Reihe über in folgende:
Es ist aber f ür a; = a f(a) =» g>(a)4-'^(«)(4»+l) ö ? somit
()p(a)=/ta)~^(a)(4n + l)| und wir erhalten:
+ [v"(«) + VM (4w + 1) ^] ^ + ...^
Gruben Ein Beitrag zur Theorie des Maximum und Minimum. 425
Das Glied mit yh wird bei verschwindendem ä den Ausschlag geben. Da h nur nach einer Seite Uln variireu kann, die Function y nur entweder für positive oder für negative h reell ist, so existirt bei Ä = 0 immer ein Maximum oder Minimum. Die Entscheidung zwischen beiden hängt zunächst vom Vorzeichen des Factors ^(o), aber für fl>{a) = 0 vom Vorzeichen der Grösse
()p'(«)+(4n + l)|i;/(a) ab. Ganz so gestaltet sich die Ableitung bei
y == <p(a:)4-^(^)arc(cos = (ax*" — b)')
nur erhalten wir ax^—b = 1 und arc(cos = 1) = 2n7r, wo n wieder alle ganzen positiven und negativen Zahlen bedeuten kann. Die Be- handlung Eines Falles der Functionen, in welchen cyklometrischo Functionen vorkommen, mag genügen.
Functionen, in welchen die bisher betrachteten 3 Fälle combinlrt
rorkommen.
§. 5.
Wenn bei dieser Combination für einen bestimmten Wert der Variabein nur Eine der Grössen, welche durch Differentiiren als Wurzel in den Nonner kommt, den Wert Null annimmt, so lässt sieh ein solcher Fall mittelst der vorhergehenden Untersuchung lösen, in- dem man jene Grössen im Nenner, welche für diesen Wert der Va- riablen nicht Null werden, in q)(x) und ^{x) einbeziehen kann, z. B.
m r
f(x) = log {a+V^bx^ — cy^l+V^px — qY arc (sin =- x) Soll untersucht werden, ob für a; = 1 ein Maximum oder Minimum
(f-V
vorhanden ist, so wird y- == oo wegen des in der Function vorkom- menden arc (sin = x).
m r
Man setze daher <p(x) =» log {a+V(6x«— c)»»}, ^(a:) = Vipx—q)* und verfahre nach den schon angegebenen Methoden.
m
426 G ruber: Ein Beitraj zur Theorie dex Maximum und Minimum.
Würe/ix) bezüglich des Maximum oderMiuimum zu nntersachcn
für je = . 80 würden wir wieder -'' = x erhalten, wegen der in
f
f{x) vorkommenden Wurzelgrösse VC;?« — 5/. Man setze daher
f!p(x) = log{a-)-y(ia«— c}»*, i/;(ir) = arc(sin « x) und wende die schon abgeleiteten Kennzeichen an. Es verdienen daher nur jene Fälle noch einer eingehenderen Behandlung, in welchen alle Nenner gleichzeitig für einen bestimmten Wert der Veränderlichen Null wer- den. Es ist wohl selbstverständlich, dass es nicht nötig ist, alle möglichen Combinationen besonders zu behandeln, sondern dass ein paar Fälle in ihrer Behandlung den Weg angeben zur Behand\png der übrigen.
§. 6.
Es sei gegeben
f{x) « 9j(x)-{-^i(a-)arc(sin « - xC) -)- lif^ix) Viox^—b)** +
r
+ '/'«W log |c+y(«a-e— i)» }
Für X = 1/ - = a werden sämmtlichc Wurzeln, welche die Differen- tialquotienten im Nenner enthalten. Null, und die Differential quo tienten selbst unendlich gross. Um eine solche Function bezüglich des Maxi- mum oder Minimum zu untersuchen, verfahren wir auf folgende Weise: wir setzen in die ursprüngliche Function für x die Grösse a-f-A und entwickeln dann qp(«-f-Ä), i^'j(«-|-A), t^^Ca-j-Ä) und t/'a(« + A) nach dem Taylor'schen Satze, was immer möglich ist, weil <p(ac), ^lix), i/^afa") und i^3(x) für » = « endlich und stetig bleiben. Die ^ Func- tionen sollen ausserdem für x » a auch noch von Null verschieden sein.
Unter dieser Voraussetzung erhalten wir: /{a+h) = cp(a + h)+ t^,(a + A)arc(8in = ?(«+Ä)0) +
m r
+ 1^/« + h) y(a(a + A)e— ^)« -f u''3(a + Ä) log { c + V(^(a+Ä)e-^«|
k kann so klein gewählt werden, dass
a(a-j-Ä)C — b = QaaQ^^h und
^(tt-|-Ä)P -= i+p%e-U
Grttber: Ein Beitrag zur Theorh. ih» ^lazimum und Minimum, 427
wird. Ferner ist für ein verschwiadendes h ohne merklichen Fehler
arc(8in - (1+P^ttC-VO) = (4u + l).7 ± |/— 2^^ «C-^A Dann geht/(«+Ä) über in:
-.'
+
J^i '
A kann ferners auch noch folgenden Bedingungen unterworfen werden :
t3(«i > WM h + >:•;'(«) |i + ...
für X = « erhalten wir:
/(«) =. (p(a)-]-(4n+l)2 «/^i(«) + V'3f«)logc daher
TT
Setzen wir diesen Wert von <3p(«) in die Reihe für f(ci-\-h) mit Be- rücksichtigung der vorstehenden Ungleichungen, so erhalten wir nach gehöriger Zusammenziehung für tly^x = 0
f(a 4- A) — /(«) « V'2(«) y (^a«^-M;« + %{a) log {1 + - V (^^Fl/O^}
c
+[«p'(«)+(4»+l)r/ '/''(«)]*+ -
1 '
Entwickeln wir wieder log| 14- -y(paoe—iA/l in eine Reihe nach
C
Potenzen der Wurzelgrösse und nehmen für ein verschwindendes h nur das erste Glied, so ist
log{l+ - V(j.aaC-Vi/}= - V igactO-^hy
C c
und es ergiebt sich schliesslich:
428 Gruber: Ein Beitrag zur Theorie de* Alaximum und Minimum»
+ q>\a)h + ...
Ist m > n oder r > * oder treffen beide Ungleichungen gleich- zeitig ein, so kann das Glied mit h vernachlässigt werden-, ist aber m<Cn nnd r <1 « so nrnss das Glied mit h berücksichtiget werden, die weiteren Glieder haben keinen Einfluss.
Ist nun /(a+Ä)— -/(a) fortwährend negativ, so ist ein Maximum, ist /(a-^-h) — /(a) fortwährend positiv, so ist ein Minimum vorhanden. Beispiel.
Es sei
f(x) « 3x-VH^+log{10- Vh-i!i man untersuche, ob f{x) für x^ — 1 ein Maximum oder Minimum wird.
Es ist hier q>{x) « 3x, tpjCar) = — 1, ^^(x) = 1, <p'(ar) = 3 und ^hi^) = 0. Wir erhalten für das Kennzeichen eines Maximum oder Minimum
h darf hier nicht negativ genommen werden, weil /(x) für Werte welche kleiner als — 1 sind, imaginär wird. Das Glied mit h (in der allgemeinen Formel) können wir ganz vernachlässigen, weil die Wurzel- exponenten in beiden Ausdrücken grösser sind, als die Exponenten der Radikande.
Für ein verschwindendes h ist immer — v^^w^V^ folglich
die Differenz /(«+/*)—/(«) immer negativ, daher ist /(x) für x«« — 1 ein Maximum.
Wir wollen noch den folgenden Fall untersuchen.
^ m r
/(x) = 9(ar) + VWarc(sin =- ^a:?)^ (axC— ö)*" log{c-J-V(aif — b/\.
Q _
Für X = 1/ - =» «f werden sämmtliche Nenner in den Differen- tialquotienten von /(x) Null. Wir setzen wieder in/(x) statt x die Grösse a-\'h und verfahren wie früher
Gruber: Ein Beitrag zur Theorie des Maximttm ttnd Muiimum» 429 /(rt-f Ä) « (p(a-\'h)-\' i/;(a-}-Ä)arc (sin -= (« + /0<'^) V(ä(«TÄ)e^^X
r
Für ein vcrschwindeudcs h können wir arc(8in — T(ß + Ä)c) = arc(siu = (1 + P7«^~*ä)) = (471+1)2
m
y(a(a + h)9 — i)« = V {gauO-^h)*" und
r
V(a(a+h)^ — b)* = "/(paaC-U)» setzen.
Für a; = «f wird /(«) = (p(a) und wenn wir wieder in Reihen entwickeln, ordnen und gehörig zusammenfassen, so erhalten wir:
„m r
/•(a+Ä)— /(«) ^ ^(«)(4ii + l) ^V((»a«e-VO«log{(?+l/(pa«<'- U)»l+
+ 9>'(«)Ä+(p"(«)^ +
£s ist
Bei verschwindendem h wird das erste Glied den Ausschlag geben, so dass wir
r log{c+y(paae-U)»} = logc
setzen dürfen. Dann erhalten wir:
/(a + A)~/(a) == (4« + l) I t(;(a) log c V{pa«e-Vi)« + «p'C«) Ä -f- ...
Ist m>*n, SO genügt zur Entscheidung das erste Glied; ist aber m<^ny SO muss auch noch <p'(a)A berücksichtigt werden.
Findet man /(a+/i)—-/(a) constant negativ; so istfür««« ein Maximum vorhanden; ist diese Differenz aber constant posi- tiv, ein Minimum. Kann jedoch durch die Wahl von h diese Diffe- renz sowohl positiv als auch negativ gemacht werden, so hat /(x) für x «" a weder ein Ma^^imura noch ein Minimum.
Fasst man das Ganze, was über die sogenannten Ausnahmsfillle der Taylor'schen Reihe, in Betracht gezogen wurde, zusammen, s"^
430 Grub er: Ein Beitrag zur Theorie des Maximum und AJinimvm,
ergicbt sich folgendes: man nehme in der gegebenen Function euer- seits jene Ausdrüke zusammen, welche in den Differentialquoticntcfl der Taylor'scbcn Reihe in den Nenner kommen und für eiucu be- stimmten Wert von x = et Null werden , und andererseits jene Aus- drücke, welche für diesen Wort endlich und stetig bleiben. Dann setze man in die ursprüngliche Function überall statt x die Grösse ce-f-A, wo h verschwindend klein zu nehmen ist und entwickle alles nach Potenzen von A, bilde sich den Unterschied /(« -f- A) — f(a) und sehe nach, ob für jedes Zeichen von h diese Differenz entweder con- stant positiv oder constant negativ ist. Im ersten Falle erhält man ein Minimum, im zweiten ein Maximum. Kann aber /(«+A)— /(«) beliebig positiv oder negativ gemacht werden, so ist weder ein Maxi- mum noch ein Minimum vorhanden.
Wenn Untersuchungen über das Maximum oder Minimum einer Function mit einer Variablen gemacht werden, so sind die betreffen-
du
den Werte aus der Gleichung -^ =/'W = 0 zu ziehen, und es muss
die Bedingung erfüllt sein, dass der erste nicht verschwindende Diffe- rentialquotient von gerader Ordnung sei. Diese Bedingung braucht aber bei den Ausnahmsfällen, wie sie hier erörtert worden sind, nicht erfüllt zu sein.
Functionen mit 2 und mehreren Terfinderlichen.
§. 7.
Wenn eine Function z =/(«•, 2/) gegeben ist, so werden bei der Untersuchung, ob z ein Maximum oder Minimum wird, die Werte aus
den Gleichungen
dz oz
rr ^0 und >i = 0 genommen.
Es können aber auch bei gewissen Formen der Fun^tioneu Werte genommen werden, für welche entweder nur der eine oder der andere dieser Differentialquotienten oder beide zugleich unendlich gross wer- den, so dass wir folgende Gleichungen bekommen:
|
^' 0 dx |
': 0 cy |
|
CX ' |
a,=* |
|
dz |
1- |
|
dz 7- — 00, CX |
Sz dff |
Gruber: Ein Beitrag zur Theorie des Maximum und Minimum, 431
Wenn ««=/(ir,y, m) gegeben ist, so können wir aus folgenden Gleichungen Werte ziehen, welche ;; zu einem Maximum oder Miui- mum machen sollen.
|
?^ = o. |
dz |
= 0, |
|
|
^' A |
?* |
yx |
a^ |
|
?.-<>' |
ay |
-0, |
|
|
5' n |
a. |
^^ n |
|
|
8x-0. |
Si> |
« 00, |
|
|
dz |
dz 8y |
-0, |
5^ r. |
|
8» « K =0, |
a^ |
-=Q0, |
dz et* |
|
d. |
=-0, |
dz |
|
|
dz 8x = *' |
a« 3^ |
=-00, |
du |
|
a^ |
«00, |
dz |
Je grösser die Zahl der Veränderlichen wird, desto grösser wird die Anzahl der Gleichungen, ans denen man Werte für ein Maximum oder Minimum ziehen kann. Es muss auch hier bemerkt werden, dass nicht gerade die ersten Differentialquotienten für bestimmte Werte den Veränderlichen unendlich gross werden müssen, sondern es kann dies erst in den späteren Differentialquotienten eintreffen und dass es dann für die Untersuchung ganz gleichgiltig ist, von welcher Ordnung die Differentialquotienten sind. Wenn diese Fälle eintreten, so kann nach der gewöhnlichen Methode nicht mehr entschieden werden, ob fttr die in Betracht gezogenen Werte der Variablen die Function ein Maximum oder Minimum wird, weil die Taylor'sche lieihe nicht mehr anwendbar ist. Die Differentialquotienten werden auch hier nur un- endlich gross werden, wenn in der gegebenen Function ein Logarith- mus, eine Wurzelgrösse oder eine cyklometrischo Function, wie in §. 1. auseinandergesetzt wurde, vorkommen. Auch bei m(^hreren Ver- änderlichen kann das Verfahren eingeschlagen werden, welches wir für Functionen mit einer Variablen gezeigt haben.
Man substitoirt in der gegebenen Function für jene Werte von se^a und y^b^ welche die Differentialquotienten unendlich gr'^
432 Gruber: Ein Dtitrag zur Theorie des ^Jaximum und Minimwn,
machen, Werte, welche von x^^a^ y = h sehr wenig verschieden s'md, entwickelt das Ganze nach Potenzen der sehr kleinen Aendorungen, hringt Alles auf die einfachste Form und sieht ob der Functions* Wert bei dieser Substitution beständig grösser oder kleiner wird als/(a,^, ... )• Im ersten, Falle ist ein Minimum, im zweiten ein Maximum vorhanden. Trift aber keiner der beiden Fälle ein, so ist weder ein Maximum noch ein Minimum vorhanden. Als Wegweiser dieses Verfahren mögen ein paar Fälle hier durchgeführt werden.
m
« = f{x^ y) = ff{^', y) + 1('» y) Vc«^'' — *r
r
Man soll untersuchen, ob für x = 1/ - = er, y =* c, z zu einem Maximum oder Minimum wird.
Für X = a wird >>" = oo, wenn w>> n ist: wenn m<in ist, so
wird erst ein höherer Differentialquotient unendlich gross. «p(ir,jr) und M^^y) seien für « = «, y==c endlich und stetig, t^(a-,y) sei ausserdem von Null verschieden. Wir setzen in die ursprüngliche Function statt x und y die Grössen a+/t und-c-|-/3/t ein, wobei k und ßh beliebig klein vorausgesetzt worden, im übrigen aber gani willkürlich sind. Wir erhalten dann:
m
f{a + h,c + ßh) ^ g,(a-{-h,c+ßh) + il;(ct + k,c + ßh)V{a{a+h)r^br Für ein verschwindendes h ist:
m m
Somit ergiebt sich nach der Taylor'schen Reihe entwickelt:
rt.+»,H«-»(,^,)+p^+^/.}+l,[|>H-2|^JH■S?4'+■
h kann nun so gewählt werden, dass
t^(«, c) >
Für or = er, y = c ist /(o, c) == <)p(a, c) und wir erhalten:
m r»^ n -1
1
Grub er: Ein Beitrag zur* Tfieorte des Maximum und Minimum. 433
m
Ist !»>», SO genügt schon das erste Glied ^(^a^c)V(raa^''^h)**. Wenn aber m <^ n ist , so muss noch das Glied mit h berücksichtiget wer- den, die Glieder höherer Ordnung haben keinen Einfluss mehr. So erhalten wir dann ganz allgemein folgendes Kennzeichen.
f{tt + h,c+ßh)—f(a^c) = t^(«,c?)y(raa*'-lÄ)»* +
Ist diese Diiferenz für jede beliebige Wahl des Zeichens von k negativ, so ist f(a^c) ein Maximum; ist sie aber positiv, so ist /(a,c) ein Minimum.
Beispiel: z^f(x,y) = l + {h-y^)^'\--^{x^ — a)^
Es ist
dz 4a?
cz
Bz dz
Aus ö~ = 0 und 5- = 0 erhalten wir die Werte üx äy
a; = 0 und
{
y = 0 Wir erhalten aber auch Werte aus den Gleichungen
Sä dz
K- = Qo und ^ == 0
ox cy
und zwar:
4- / fy = ^
±yb
Für diese Werte soll untersucht werden, ob f{x, y) ein Maximum oder Minimum wird.
Unser Kennzeichen ist folgendes:
/•(a+/t,c+i3Ä)— /(a,c) = i>;(«, c)V(roa'-lÄ)» Da m>»n ist, genügt dieses Glied. Es ist
9>(«> y) == 1 + (* — 2^^)* ^^^ ^(«» y) = 1> also
3
/•(«+A, e+ßh)-f(tt, c) - i(±2Vah)*.
T«a LZ. S8
434 Gruber: Ein Beitrag zur Theorie des Maximum und JUinimvm,
Diese Wurzel ist unter allen Umständeu positiv, also ist fttr a- = y = 0 die Function ä = 1 + i»^ ein Minimum und ebenso für x = y «= + y ^, ist s = 1 ein Minimum.
Ein zweiter Fall wäre folgender:
n*. 9
rV»,
z « /(ic, y) = (fix, y) + t^i(x, y) V (ox* — Ä » + ^\f^{x, y)^f{ pyi' - qY'
Für
/- -
a: = 1/ - =- « und y = \/- = y werden die partiellen Diffe- rentialquotienten irgend einer Ordnung unendlich gross.
Wir setzen wieder in die ursprüngliche Function statt x und y die Grössen a+Ä und y-^-ßh und erhalten
m
/(«+*), y-flSÄ) = (p(«+*, /+l'*)+'fi(«+A. )•+(**) V(<'(«+*)'-*)"+
^-■„••,(«^-;<, )'+/sA)y(/>()'+<**)»- a)"
f{«-^h)y-^ßh) = (p(cf, y)+
fV 9()D ]
•f\2 »><» pj* T i *
'0^ + ä/^J * + -1 V(p(y +/**)(' -^
7t kann immer so gewählt werden, dass folgende Bedingungen erfitllt sind
fti
m
1/(0(0+ Af—Ä)** = l/(raa»--U)»*
Mit Berücksichtigung vorstehender Bedingungen crgicbt sich
A«+Ä, y+/3Ä) = (p(«, y)+
e« "T" ay ♦'.
A +
av
='+''a«a/+ay«'^j2p
m
I'
+ i|'i(«, )')y(raö-^A)«^-^^J(«, y) VC«) (^A)yC-»r
Grub er: Kln Dettiag zur Theorie des Maximum und Äiinimum, 435
Für Ä = of, y= y ist /"(er, y) === q>{a^ y) uud wir erhalten schliess- lich, weuü wir die Glieder zweiter Ordnung für ein verschwindendes h vernachlässigen
Ml
+
Ist m>« und «>m? so kann das Glied mit h ganz vernachlässigt werden und wir erhalten für das Kennzeichen eines Maximum oder Minimum
m
f{a+h,y+ßfi)--f(a, y) = !/;,(tf, y)^/(raa^-^hy'-\-^\>^{€t,y)^{QpyQ-^^h)~^
Ist diese Differenz beständig negativ, so ist ein Maximum, ist sie beständig positiv, so ist ein Minimum vorhanden. Ist nur Einer der Wurzelexponenten grösser, als der Exponent des Radicaudes, etwa m^ n aber «<Cf^9 so hängt die Entscheidung nur von einem Gliede ab, weil h immer so klein gewählt werden kann, dass das Glied mit dem kleinsten Exponenten von h den Ausschlag giebt. In diesem Falle wäre
li»
/T(«+Ä,y+/3/0— /•(or,y) = i;'2(«,y)y(ra«'-i/0"
Ist aber w <^ n und « <C f* i so muss auch das Glied mit h berück- sichtigt werden.
m 'S
+
9? , ^^ da "^ dy ^
Ist m = n-\-\ und r = ^+1, so ist h gemeinsamer Factor des ganzen Ausdruckes und es ist in diesem Falle, wenn durch die Bedingungen der Aufgabe das Zeichen von h nicht beschränkt ist, weder ein Maxi- mum noch ein Minimum^ vorhanden. Ist m aber um mehr als eine Ein- heit kleiner als n und ebenso * um mehr als eine Einheit kleiner als fi, so ist h die niederste unter den verschiedenen Potenzen von h und
es muss dann natürlich 2 +^~/5 Bcrücksichtiguug finden, und es
ist, wenn h bezüglich des Zeichens boliobig gewählt werden kann, weder ein Maximum noch ein Minimum vorhanden.
Diese zwei Fälle genügen, um als Richtschnur für die Behand- lung anderer Fälje zu dienen.
28*
436 Ueilermann: Die Lehre vom Grßssfen und Kfrinaten^
XXXIX.
Die Lehre vom Grössten und Kleinsten, als Zweig des mathematischen Unterrichts an
höheren Schulen.
Von
Herrn Dr. Heilermann,
Director der Ucnlschulc in Ksscn.
§. 1. Wenn eiue Function f(x) von einer Veränderlichen aus zwei Factoren besteht und der eine ein vollständiges Quadrat eiucr linearen Function der Veränderlichen ist, so ist im Allgemeinen null ein Maximum oder Minimum der Function f(x).
Es sei
1) a^)'-(x--a)^.gix).
Setzt man darin
ac = « — J, so entsteht f((t — ö) = i^.g{a — ä), Ä — a, „ „ /•(«) =- 0.<7(a) = 0,
Wenn man nun die willkürliche Grösse 6 sehr klein annimmt, so sind die drei Argumente a — tf, «, «4-^ und mit denselben auch die drei Functionswerto g((t—ö)^ g{a)^ ^(«+^) nur wenig von einander ver- schieden. Diese Functionswerto sind daher im Allgemeinen entweder alle drei positiv oder alle drei negativ, und nur als Ausnahme ist der Fall in Betracht zu ziehen, dass zwischen denselben ein Zeicben«- Wechsel stattfindet.
Wenn erstens die Werte gia-^ö), g{a)^ gia-j-ö) alle drei negaUy sind, so sind nach den obigen Gleichungen auch von der Function f(x) die Werte /"(«— ^) und A« + ^) beide negativ, und daher ist da*
aU Zweig des mathemaüschen Unterrichts an höheren Schuten, 437
zwischenlicgcndo Fanctionswort /*(«) =» 0 grösser als f(a — 6) und auch grösser als /'(«+ö); d. h. die Function f{x) erreicht bei der Veränderlichen x^a das Maximum /"(a) = 0, wenn g(a) <;0 ist
Wenn zweitens die Werte ^(a— d), ^(«), g{a-\-d) alle drei positiv sind, so sind nach den obigen Gleichungen auch von der Function fix) die Werte /*(« — ö) und A«+^) beide positiv, und daher ist der zwischeuliogoudo Functions wert /*(«) = 0 kleiner als /"(rt — d) und auch kleiner als /"(«-(-d); d. h. die Function f(x) erreicht bei der Veränderlichen x = tt das Minimum /•(«) = 0, wenn ^(«) > 0 ist
Wenn drittens die Functionswerte /;(« — d), <;(«), ^(a+^), ins- besondere g(a — 6) und g(a-]-ö) verschiedene Vorzeichen haben, so geht die Function g(x) entweder wachsend oder abnehmend durch null, wenn ihre Veränderliche x von « — ö bis «-f-d wächst Da aber die Grösse ö beliebig klein gewählt werden kann, so muss die Function g[x) den Wert null gerade bei der Veränderlichen x ^ a annehmen, oder es ist g(a) =» 0, wenn nicht bei dem Werte a; = o die Stetigkeit der Function ^(a*) unterbrochen ist. Der Functions- wert f(a) = 0 ist somit weder ein Maximum noch ein Mi- nimum von /"(ar), wenn </(«) « 0 ist
Auch auf eine Function von allgemeinerer Form
2) f(T) = A«)+(^-c.)./i(«)+i(^-«)^^2(^),
in welcher /i und /i die Zeichen von zwei mit f(x) zusammenhängen- den Functionen sind, und a ein willkürlicher Wert von x ist, können die vorstehenden Schlüsse leicht ausgedehnt werden. Bestimmt man zunächst die Grösse a so, dass dadurch der Gleichung
genügt wird, und setzt diesen Wert oben ein, so ist
ax)^f{a)+i(x--ay.f,{x).
Diese Function aber unterscheidet sich von der obigen Form 1) nur durch den unveränderlichen Summanden f(a)\ daher ist auch hier
f(a) ein Maximum von /*(«), wenn /i(a) = 0 und /iC«) <C 0,
/•(«) „ Minimum „ f(x), „ /i(«) = 0 „ /^(a) > 0,
f(a) weder ein Maximum noch ein Minimum von f(x)y wenn fi(a) => 0 und auch /i(a) =« 0.
Wenn man nun in der obigen Gleichung 2) die Functionswert« /i(«) und ^2(«) als erste und zweite Ableitung des Functions-
438 Jf eiler manu: Die Lfhre vom Grösslen und Khinsterij
wertes f(c() bezeichnet, so erhält man für die Bestimmung des Maximums und Minimums der Function f(x) folgenden Ausdruck.
Von einer Function /V) ist der Functionswert f(a) ein Maximum, wenn die erste Ableitung desselben f^io) gleich null und die zweite /iC«) negativ ist; derselbe Functionswert /*(«) ist ein Minimum von /"(a-), wenn die erste Ableitung desselben /i(a) gleich null und die zweite /^(a) positiv ist; derselbe Functionswert f(n) ist weder ein Maximum noch ein Minimum von /'(x), wenn die erste Ableitung desselben /^((t) gleich null und die zweite /«(a) auch gleich null ist.
§. 2. Da nach dem Vorstehenden für eine Function fix) von der Form 2) leicht entschieden werden kann, ob /"(«) ein Maximum oder ein Miniraum oder aber weder ein Maximum noch ein Minimum ist, so ist für die Functionen von einer Veränderlichen zunächst die Auf- gabe zu lösen, den einfachen Functionen, welche als Glieder einer zusammengesetzton Function in der Elementarmathematik vorkommen können, die Form 2) zu geben.
1) Es sei erstens
f(x) = flo-t-aia:-f-«2^^ + -4~^M^**
eine Function, deren Glieder die Veränderliche x nur als Base von Potenzen mit positiven ganzen Exponenten enthalten. Setzt man darin n-{-(x — cc) statt ac, so ensteht durch die Entwicklung der ein- zelnen Potenzen
a^x = a^a-j-ix — «)aj,
Ogx^ == a^n^-^ix — a)2a2a-}"i(* — w)^- 2*^21
a^x^ = ajn3_|_(j; — cc)3a^a^-\'^(x — a)K[&a^ci'^2a.^(x—a)']^
a^x* = ay-\-{x—€i)ia^a^+i(x'-a)^[12ay-\'Ba^a{x—ct)+2a^(x--a)^,
• « • •
• • • . » • • . . • . •
2 Q ««^"-- + 2 (3) «„«"-3 (^_„) 4. ... 2 Q an(x - a)«-2J.
Durch Summirung dieser Gleichungen erhält man die Function f(x) in der Form
fix) = f{a) + (x-'a).f,(a)+i{x^ay.f,{x), und darin ist
ah Zu>^ig des mathematutchen Unterrichts an höheren Schulen. 439
wenn man zur Abkürzung in der Function f^{x) die Summe der Coef- ficicnten von {x — «), (x — ct)^ u, s. w. mit ^„ l^ u. s. w. bezeichnet.
Man erhält, wie diese Darstellung zeigt, aus dem Func- tionswerte f(a) die erste Ableitung desselben, nämlich /^(a), wenn man vor jedes Glied den Exponenten von a als Coefficienten setzt und den Exponenten als sol-chen um eins vermindert.
Ferner ist
mithin ist diese zweite Ableitung des Functionswertes /"(«) aus der ersten (^{a) eben so gebildet, wie die erste aus dem Functionswerte selbst.
Die vorstehenden Ergebnisse sind auch auf solche Functionen anwendbar, in welchen die Veränderliche nicht ausschliesslich als Base unter ganzen positiven Exponenten gteht, denn die binomische Entwicklung, welche denselben zu Grunde liegt, führt unter der Vor- aussetzung von negativen oder gebrochenen Exponenten zu conver- gireuden Keiheu, da diese nach Potenzen der Differenz (x — «) fort- schreiten und (x — rt) beliebig klein gewählt werden kann. Daher
ist z. B. für die Function
1
von dem Functionswerte g{ct)
1 u
g^{tt) = — maa~"*~^-|" ~ ^«"
--2
g^{a) = m(m + l)a«-'»-2-f - ( 1 j ha*^
die erste und zweite Ableitung.
2) Wie die binomische Reihe zu der für die Unterfindung der grössten und kleinsten Werte einer Function erforderlichen Umfor- mung führt, wenn die Veränderliche in der Function nur als Base von Potenzen unter unveränderlichen Exponenten enthalten ist, so genügen die übrigen Reihen der niederen Analysis für die übrigen Functionen zu demselben Zwecke.
440 He Her manu: Die Lehre vam GrÖssteu und Kleinsf€M^
a) Um die Functiou des natürlichen Logarithmen
f(x) = log 71. a; auf die Form
fix) ^ f(x)+{x^u).aa)+\{x^tiy.Ux)
zu bringen, setze man «-(-(ac— -«) statt x\ dadurch entsteht
logn.ar = logn.(a + (a; — «)) = logn.a^-logn. (l-| |t
also nach Einsetzung der logarithmischeu Reihe
logw-a: == log»a-f-(ar — et), \{x — rf)^.
1 ^2(x— ft) , 2fx--«)»
, 2(x--ct)3 1
"^ 4a* "^ - j
Nun erhält man durch den Vergleich dieser Darstellung mit der vor- hergehenden, dass zu dem Functionswcrte
f{oi) = logw.o die Functionswcrte
und
fM = — «2
als erste und zweite Ableitung angehören.
Zu beachten ist hier, dass die zweite Ableitung ^(n) aus der ersten /*,(«) nach der oben in §. 2. entwickelten Regel gebildet wird.
Bezüglich des gemeinen Logarithmen bedarf es keiner besonderen UntersuchuDg der Ableitungen, da diese sich aus dem bekannten Zu- sammenhange
logv.iT = logv.e.logn.a; und den oben erwähnten Ableitungen sogleich ergeben, b) Auch für die Exponentialfunction
f{x) = c* = e«+(«-«) = c«.6*-« erhält man die Darstellung
m = A«)+(^-«)./;(«)+j(^~«)^^.(x),
die für die Bestimmung der grösstcn und kleinsten Werte verlangt wird, durch Einsetzung der Reihe
ah Zweig des mathematischen Unfrrrichtes an höheren Schulen, 441
nämlich:
Mithin sind
/i(«) = «*" und ^2(tt) = «**
die Ableitungen des Fnuctionswertt^s c« und auch diesem Functions- werte gleich.
Die. Ableitungen der allgemeinen Exponentialfunction a' können hiernach mittels der Umformung
leicht angegeben werden.
c) Von den transccndenten Functionen kommen bei den elemen- taren Aufgaben über grösstc und kleinste Werte die trigonometrischen Functionen eines veränderlichen Winkels vorzugsweise in Betracht. Wenn eine Grösse nur von einer solchen Winkelfunction abhängt, so kann diese selbst als die Veränderliche angesehn und in vielen Fällen auch das Maximum oder Minimum jener Grösse unmittelbar ange- geben werden, weil ja der Gang der Winkelfunction bekannt ist. Wenn dagegen eine Grösse unmittelbar von einem veränderlichen Winkel und auch von einer trigonometrischen Function desselben ab- hängig ist, so sind für die Unterfindung der grössten und kleinsten Werte die Ableitungen der Winkelfunction erforderlich.
Es sei erstens
f{x) = sin« =* sin(a-f-(a; — «)) = sinacos(a' — c5f)4-cosasin(aj — cir);
setzt man darin statt cos (a; — a) und 8iu(a; — rr) die bekannten Reihen, so entsteht
smx = sina. 1 ^-j 1 j^ [-...
[x — a (aj — a)» (« — «)» , 1 + co8«.[-j^ 3! +-5! +-J
== sma-\'{x — a),costt
,„ (x-u (g-tt)» , \-|
und dadurch ist diese Fonction auf die Form
/•{«) = /^(«)+('f-«)-/i(«)+i(*-«)*./i(*)
442 Iletlermann: Die Lehre vom Grönsten und Klein$Un^
gebracht worden. Man sieht sogleich, dass
fiK^) = cos« und
fM ==» — sin « die erste und zweite Ableitung des Fuuctionswertcs sin« sind.
Zweitens sei f(x) = cosa; « C08(a-f-(« — «)) = cosaco8(a: — a) —sin a sin («—«), also entsteht durch Einsetzung der obigen Keihen
arcosof.ll 2l 1 4I — T-N
— sin «.
cos
X — « {x — u)^ {x — a)* 1
= cos« — {x — cir)sina -t(«-a)!.[2coä«(2,-^|!!'+-...)
-^''"•('-ir-^+--)]'
und daher sind
/i(«) = --8ina,
die erste und zweite Ableitung des Fuuctionswertcs coscf.
Das Ergebniss des Vorstehenden lässt sich zusammenfassen in den gemeinsamen Ausdruck: die erste Ableitung von sina ist cosa und die von coso ist — sincr.
Die Ableitungen dar übrigen goniometrischen Functionen können mittels der vorstehenden aus dem Folgenden leicht entnommen werden.
§. 3. Die bisherigen Erörterungen betrafen die einfachen Func- tionen von einer Veränderlichen; und die gewonnenen Ergebnisse können auf die Functionen, welche aus jenen durch Addition oder Subtraction zusammengesetzt sind, unmittelbar angewandt werden. Für die übrigen zusammengesetzten Functionen ergeben sich folgende Regeln.
a) Wenn erstens die Function
f{x) ^ g{x).h{x)
das Product aus zwei einfachen Functionen ist, so kann diese Glei- chung durch die umgeformte
aU Zweig des mnfhematischen Unterrichtefi an höheren Schulen, 443 na) + (x^a) ,f^(a)+i(x - a)K f^(x)
ersetzt werden. Man erhält nun durch Ausführung dieses Prodnctcs sogleich die erste Ableitung
/i(«)-r7i(«).Ä(«)+r7(«)A(«)
und dem entsprechend die Regel» dass die Ableitung eines Functions- wertes, welcher ein Product aus zwei Functionswerten ist, gefunden wird, wenn man jeden Factor mit der Ableitung des anderen multi- plicirt und die Producto summirt. Ebenso erkennt man leicht, dass die zweite Ableitung eines solchen Functionswertes aus der ersten nach dersdben Regel zu bilden ist
Da ferner die vorerwähnte Regel leicht auf Producte aus be- liebig vielen Factoren ausgedehnt werden kann, so zeigt sie auch, wie die Ableitung eines potenzirten Functionswertes gefunden wird. Wenn z. B.
f(x) = ((/(X))«,
so kann man diese Potenz als Product aus n gleichen Factoren be- trachten und erhält demnach
Ebenso, wie oben durch die Entwicklung des Productes aus zwei Functionen die erste Ableitung des Functionswertes gefunden ward, erhält man man auch die Ableitung einer gebrochenen Function
ausserdem führt auch die Behandlung der umgekehrten Function
g(x)^nx).h(x)
zu demselben Ziele. Für diese ist oben gefunden
i7i(«)«A(«).Ä(«)+A«).Ä,(«), und daraus ergibt sich
ff \ _ffi(^)__9M'^iM
Durch dasselbe Verfahren findet man zu der Function
M
f{x) = V^(x)
444 Heilermann: Die Lehre vom Grössten und Kl9insten, etc.
für den Functionswert f(a) die erste Ableitung, nämlich
Schlussbomcrkung. Diese Untersuchungen könnten unschwer auch auf die Functionen von mehren Veränderlichen ausgedehnt wer- den. Ich glaube jedoch, dass das Vorstehende genQgt, um auf die Lehre vom Grössten und Kleinsten als einen leicht zugänglichen Zweig des mathematischen Unterrichtes an höheren Schulen aufmerksam zu machen. Auch eine genügende Auswahl von Aufgaben findet man m der Sammlung von Bodo und Fischer. (Berlin 1860) sowie in meiner Schrift über grösstc und kleinste Werte. (Leipzig 1871).
Essen, den 30. December 1876.
MisceUen, 445
xxxx.
MisceUen.
1.
Ideiitit6 remarquable fournie par la quatiidme palssance d^ane 8omine de quatre nombres.
Quellesquo soiont los quantit^s a, &, c et d, on a tou- jonrs ridcutit^
«= 4 (a» + Ä» + c^+cfi)^ + 16 (ab - cd)^ + 16 (ac — bd)^ + 16 (ad — ic)«.
Cctte ^galit^ 8*^tablit aisimcnt au moyen do la formale facilo ä verifier
(Za)*^ = £a*-\-4:2a^b-{-ßi:a^^+12£a^bc-\-2i£abcd,
Georges Dostor.
2.
Badlus des Kreises, der drei gregrebene Kreise berührt.
Seien a, &, c die Abstände der Mittelpunkte und or, j?, )' die gegebenen Radien, so ist
_ Aa(S'-Ä)+Bß(S-'B)-{-Cy(S—C)T^V^^C ^"" A(S'-A)+B(S—B)+C(S'-C)
worin
C==c« — (« — /?)« 5 «=« i(^+ B+O und J= dem Inhalt des Dreiecks ABC»
446 MisceiUn,
Man bat nemlich (sieho die Figur): (9 + ^)^+(Q + ß)^-c^
COS AOB
^(Q+^)(9 + ß)
1 — COS AOn ==2sin^i AOB =^ i,- , w -7-7; == ö7~~i~7/ V^
(sm^^DOC+sm^iCOA — sin^iAOJi)^
'^^ ism^iBOC.sin'^iCOA'
mithin
U\n^BOC,sm^iCOA.sm^iAOB = 4:mn^iB0C.sin^iC0A
— (sin«i50C+sin« JCO^ - sin* J^O/?;- oder
ABC AB
_ 1 ( A B C \^
woraus nach gehöriger Keduction:
p« (A^ + 2/X-f C» — 2^12? — 2BC— 2CA)
— 2Q[Aa(B+C--A) + Bß(C+A'-'B) + Cy(A + B—C)2 + A^(t^+B'ß^+Cy—2AaBß—2BßCy'-2CYAa'^ABC = 0
welche Qnadratgleichung sich sehr bequem lösen lässt, wenn man nur beachtet, dass
A^+B*+C^'-2AB'-2BC—2CA
« 4[(S— /l)« — 2?C] = 4[(/S— ^)«-C^] =. 4[(5— O^^^jt^j
- - 4[(5- /^) (5— 0 + ^(5— ^)] « — 4[(5~C)(5-^)+i?(5— 1^)]
— — 4[(S— ^)(5— ^)+C(S— O] «.— 2[^(5-^) + Ä(Ä— B) + (7(/S— O].
Das zweideutige Zeichen der Wurzel giebt nicht nur den Radius des . Kreises, der die gegebenen Kreise auswendig, sondern auch inwendig berührt Setzt man a negativ, so hat man den Fall, dass der Kreis A auswendig oder inwendig, die beiden andern B und C dagegen inwendig oder auswendig berührt werden, u. s. w.
Amsterdam, den 29. Januar 1876.
Prof. Dr. C. J. Matthes.
Mitcdlen, 447
3.
Planimetriseher Lehrsatz.
Es sei ABC ein beliebiges Dreieck. Ueber seinen Seiten sind unter sich älinlicbe Dreiecke so hergestellt, dass ihre Spitzen ^„ B^^ C3 nach aussen fallen und dass an anstossenden Ecken gleiche Winkel liegen. Für diese Dreiecke sind die umschriebenen Kreise K^^ A^, K^ bestimmt.
Die Kreise A',, A\ mögen sich in P schneiden, P werde mit sämmtlicheu Ecken verbunden, dann ist in Sehnenvicrecken
Z.CPA = 272 — /3
somit Z. APB •= «+^ und zl AC\B+Z. APB « «+/3 + y — 2/?, folglich liegt P auf K^.
Die drei Kreise ür^, K^^ K^ schneiden sich also in einem Punkt P,
Femer ist
^ APB2 = y
Z^B^PC=n \ je als Peripheriewinkel auf demselben Bogen
zl CPA^ = ß
Zl -4P^, = «+/^+y = 212 d. h. APA^ ist eine gerade Linie; das Nämliche lässt sich analog von BPB^^ CPC^ zeigen.
Durch jenen Punkt P gehen die drei Verbindungs- linien der Spitzen ^„ B^^ C^ mit den gegenüberliegenden Ecken A^ i?, C des Grunddroiecks.
Nach dem Ptolemäischen Lehrsatze hat man
a^.PA^ ^bi.PB+e^.PC
b^.PB^^c^.PC+a^.PA
CQ.PC^^(H,PA+b^.PB Ist nun
OiihiiCi == a^ibfic^ « a^ib^ic^ =■ l:m:n (** 8in€r:8in^:8iny)
so folgt
PA^ = m.Pß+w.PC
m.P^, =» n,PC+ PA
n.PC^ « PA+m.PB oder
448 MUcelien.
AF+FAi = m(BP+PB^) = niCF+PC^) = PA-^-m.PB + n.PC
d. h. 1) AA^ = m.BB^ « n,CCs « P^+m.Pi/+«.PC
Jene drei Verbindungslinien verbaitcn sich umge- kehrt wie diejenigen Seiten eines der drei ähnlichen Dreiecke, von deren Endpunkten sie nicht aasgehen (oder umgekehrt wie die sinus der Winkel au den Spitzen, von denen die Verbindungslinien ausgehen).
Die Beziehungen 1) kann man schreiben
1 _ 1 ^
AAj^ = — Oh = -T— . S
'■ an sin cc
Sn = a„.PA-\-in.PB-\-Cn.PC
2) BBs = — S,. = ^„^S } , n = 1, 2, 3
Cf/ß ==* ~~Sn
5 = Pilsina+PJ5 8in/3+PCsiny
ch sm y
Bemerkenswert ist der Fall, dass jene drei Dreiecke gloich- soitige sind.
Fällt P ausserhalb des Grunddreiecks ABC^ so erleidet der obige Beweis unwesentliche Modiücationen.
Brieg a.O., März 1877. E. Engelbrecht,
cand. niAth.
Litterarutcher Bericht CCXXXVIL 1
Litterarischer Bericht
ccxxxvn.
Geschichte der Mathematik und Physik.
Bulletino di bibliografia e di storia delle scicnze matematiche e flsiche. Pubblicatc da B. Boncompagni. Tomo IX. fasc. 1 — 6. Roma 1876. Tipograiia delle scienzo matematiche e tisiche.
Der Inhalt der ersten Hälfte des 9. Bandes ist folgender. Januar. Federico Napoli: lieber das Leben und Arbeiten des Francesco Maurolico (geb. d. 16. Sept. 1494. in Messina, gestorben d. 21. Juli 1575.) üngedruckte Schriften desselben. Februar. Fortsetzung. März. Eduard Lucas: Ueber ein Theorem der indischen Arithmetik. — A. Favaro: Bericht über „Die römischen Agrimensoren und ihre Stellung in der Geschichte der Feldmesskunst. Eine historisch-mathe- matische Untersuchung von Dr. Moritz Cantor. Leipzig 1875. Teubuer.'* — Moritz Cantor: Bericht über „Die Rechenkunst im sechszehnten Jahrhuudert. Von A. Kuckuck. Berlin 1874. Weid- mann.'* — B. Boncompagni. Ueber ein Lehrbuch der Arithmetik von Johannes Widmaun von Eger (Leipzig 1489. Kacheloffen.) April. Brief des Prof. F. Brioschi an D. B. Boncompagni: Ueber das Problem der Tautochronen. — Sigmund Günther. Note über Johann Andreas von Segner, Begründer der mathematischen Meteoro- logie (geb. d. 9. Oct. 1704. zu Presburg in Ungarn, gestorben d. 5. Oct. 1777.) — Mai. Alfonso Sparagna. Italienische Uebersetzung von Hermann HankeTs „Historische üebersicht des Entwickelungs- ganges der neueren Geometrie'' (Einleitung zu den Elementen der projectivischen Geometrie in synthetischer Behandlung. Leipzig 1875. Tcubner.) — Alfonso Sparagna. Italienische Uebersetzung einer
Ttil LX. Heft 1. i
2 Litterarischer Bericht CCXXXVll
Schrift von Wilhelm von Zahn: „Einiges zum Andenken an Her- mann Hankel." (Clebsch Ann. VII. p. 583.) — Verzeichniss der Arbeiten von Hermann Hankel. — Juni. Paul Mansion. Fran- zösische Uebersetzung von Felix Klein 's Notiz über das Leben und die Arbeiten von jOtto Hesse (Bericht über die k. Polytechnische Schule zu München für das Studienjahr 1874—1875. p. 46.) — Alfonso Sparagna. ^Italienische Uebersetzung eines Artikels aus darPosener Zeitung : „Copernicus in Italien." — AlfonsoSparagna. Italienische Uebersetzung eines Artikels aus der Ermländischen Zeitung: „Coper- nicus in Bologna" von F. H i p 1 e r. — Publicationsverzeichnisse stehen im 2., 4. und 6. Heft.
Besonders herausgegeben sind von den genannten Schriften Favaro's Uebersetzung von Cantor's Schrift über die römischen Agrimensoren, und Brioschi's Bericht über die Tautochroueu. Ausserdem sind an Artikeln aus dem vorigen Baude besondere Ausgaben erschienen von C. E. S^dillot's Briefen über L. Am. S6dillot*s Leben und Arbeiten, und von B^ziaf s Schrift über das Leben und die Arbeiten von Jo- hannes Hevelius. H.
Methode und Principien.
Elemente der absoluten Geometrie. Von Dr. J. Frischauf, Professor a. d. Universität Graz. Leipzig, 1876. VI. B. G. Teubner. 142 S. 80.
In einer nicht sehr lange hinter uns liegenden Periode liebton es mathematische Schriftsteller, deren Schriften in einem gerade schwebenden wissenschaftlichen Streite eine Verständigung anzubahnen bestimmt waren, dem Titel die Worte „zum ewigenJFrieden" oder dgl. beizusetzen. Das vorstehend genannte Buch besitzt keinen solchen Aushängeschild, verfolgt aber nichts destoweniger einen ausgesprochen ireuischen Zweck. Es soll in kurzer möglichst elementarer Form die Gesammtheit der Fragen behandeln, auf weiche seit den letzten achtzig Jahren die das Parallelenaxiom studirenden Forscher sich hingeführt sahen, und solchergestalt eineu Ausgleich zwischen den noch vielfach einauder unvermittelt gegenüberstehendem principiellen Anschauungen wenigstens fördern helfen. Wie sich hieraus ergiebt, steckt sich der Verfasser hier ein bedeutend weiteres Ziel als in seiner 1872 im gleichen Verlage erschienenen Bearbeitung des Bolyai, aber davon abgesehen haben die beiden Werkchen viel Gemeinsames, und alle Vorzüge, welche die klare Darstellungweise des Autors dem letzt- genannten verlieh, findet mau in seinem neuesten Producte wieder, über welches wir nunmehr eingehend referircn wollen.
Litterarischer Bericht CCXXXVIL 3
Das erste Buch (S. 1—20) ist betitelt: „Voraassetzungen uod Gmndgebilde." In einer an das Verfahren der aristotelischen Logik erinnernden Weise werden die Grundbegriffe des Körpers, der Fläche, der Linie und des Punktes gewonnen, an welche sich weiter die Be- griffe der „umkehrbaren" Fläche, der congrueuten und flächengleichen Gebilde anreihen. Zur Eruirung dieser Facta, sowie gewisser ein- facher Sätze, s. z. B. dass die einen zusammenhängenden Körper ein- mal schneidende unbegrenzte Linie diess in einer paaren Anzahl von Punkten tun muss, bedurfte es keiner Axiome oder Hjrpothesen. Nachdem alsdann der Unterschied zwischen „unbegrenzt" und „unend- lich" bestimmt und deutlich formulirt ist, wendet sich der Verf. zur Bestimmung derjenigen Gebilde dritter, zweiter und erster Ordnung? welche in einem philosophisch richtigen Sinne als fundamentale be- zeichnet, d. h. lediglich mit Zuhülfenahme der bereits namhaft ge- machten Voraussetzungen erhalten werden können. Bekanntlich be- trachtet man als solche Kugel, Kugelfläche und Kreisliuie, und aus ihnen müssen sich alsdann die fälschlich als ursprilnglich angesehenen Begriffe der Ebene und Geraden deduciren lassen, eine Idee, welche Herr Frischauf mit sehr anerkennenswerter fides historica auf Leibnitz, der sie zuerst ausgesprochen, zurückführt. Diese Deduction kann nun bekanntlich auf verschiedene Arten vorgenommen werden, wie uns u. a. die Methode Deahua*s und die neuerlich von J. Becker im 20. Jahrgang der Schlömilch'scheu Zeitschrift auseinandergesetzte dar- tun; Frischauf stellt sich, wie diess von dem Verehrer des grossen Ungarn nicht anders erwartet werden durfte, auf den von Bolyai (und auch Lobatchewsky) vertretenen Standpunkt, d. h. er betrachtet zwei unendliche Kugelschaaren und dciinirt die von den Durchschnittslinien je zweier gleicher Individuen dieser Systeme erfüllte Fläche als die Ebene. Durch eine sehr naheliegende kinematische Betrachtung über- zeugt man sich, dass es Linien giebt, welche durch zwei Punkte unveränderlich bestimmt sind: die Geraden. Nunmehr lassen sich die Definitionen Drcick, ebener und Flächeuwiukel (hier Keil genannt) in correcter Form geben, und nicht minder leicht ergiebt sich der Specialfall des rechten Winkels. Nachdem noch einige elementare Lehrsätze betreffs des Senkrechtsteheus von Linien und Ebenen be- wiesen worden sind, erdet das erste Buch.
Es sei uns gestattet, ehe wir in unserem Berichte fortfahren, zu dem Bisherigen einige Bemerkungen nachzutragen. Den Unterschied zwischen Gebilden, welche ohne Ende und denen, welche ohne Grenze sind, einen Unterschied, dessen Vernachlässigung so viele Inconvenien- zen mit sich gebracht hat, deiinirte allerdings erst Riemann unter den Neueren mit der nötigen Präcision, allein es scheint doch schon dem Aristoteles, als er im dritten Buche seiner Physik Untersuchungen
4 Litterartscher Bericht CCXXXVll
über das anuQov anstellte, eine Ahnung des wahren Sachverhalts vor- geschwebt zu sein. — Die Art und Weise, wie Bolyai die Ebene als das zweien Kugelscbaaren Gemeinschaftliche auffasst, ist ohne Zweifel eine höchst geistreiche, allein der Gedanke Deahna*s, welcher lediglich mit einer einzigen Kugel operirt, möchte vielleicht doch zu einwurfs- freieren Resultaten führen, als jeuer erst besprochene. Man wird sich nämlich fragen können und müssen , ob jene Durchschnittscurven eine wirklich continuirliche Reihe bilden oder nicht doch vielleicht in jener Aufeinanderfolge Lücken vorhanden sein könnten*). Dieses Beden- ken wird sich wohl nur durch phoronomische Betrachtungen beseitigcQ lassen, wie solche bei Deahna, Becker und Worpitzky (diese Zeitschr. 55. Band) vorkommen.
Das zweite Buch ist „unendlicher Raum" überschrieben und be- handelt in seinem ersten Abschnitte (S. 21 — 33) „Parallelen-Axiom und euklidische Geometrie." Hier weist der Verf. zunächst nach, wie weit man mit Hülfe der im ersten Buche normirten Principien ge- langen könne, es wird in sehr übersichtlicher Weise gezeigt, dass die Winkeisumme des ebenen Dreiecks 18()^ nicht übersteigt und dass, wenn sie in irgend einem beliebigen Dreiecke diesen Wert genau er- reiche, das Gleiche für ein jedes gelte. Bis hierher bewegt sich die Darstellung, wie mau sieht, gänzlich im alten Geleise. — Nun aber muss naturgemäss die erste — in gewissem Sinne auch einzige — Abweichung erscheinen. Da wir nämlich ohne Einführung eines neuen Grundsatzes planimetrisch nie zu erweisen im Stande sind, dass durch einen bestimmten Punkt nur eine einzige eine gegebene Gerade nicht schneidende gerade Liuie gezogen werden könne, so machen wir die andernfalls einzig übrig bleibende Annahme, es gäbe für einen ge- gebenen Punkt und eine gegebene Gerade drei Sohaaren von Geraden, nämlich nichtschneideude Gorade (der Anzahl nach oc), schneidende Gerade (ftlr die das Nämliche gilt) und (2) parallele Gerade, welche zwichen den ersten beiden Kategorien mitten inne liegen. Eine auf dieser Basis erbaute Geometrie ist widerspruchsfrei in logischem Sinne **) ; es ist die nichteuklidische Geometrie , welche Gauss ahnte.
*) Herr Hoücl in Bordeaax, welchem wir besondere die Hinweisnng auf cn misslichen Fankt der Bolyai'schen Ertwickelung verdanken, hatte die Gftte, uns noch weiter die Mitteilung zu machen, dasB der durch seine Studien auf dem Felde dor abtitracten Raumlehre bckanntej belgische Artillerieoffizier de Tilly seit längerer Zeit damit umgeht, dem Verfahren Bolyai's die ihm noch abgehende Beweiskraft zu erteilen. Es lässt sich wohl die Frage aof«verlen, ob eine derartige Modification auch mit der unumgänglichen Ockonomie d«r Voraussetzungen veitrftglich ^ein werde.
•*) Wir ncnnefi die abstracto Raumlehre mit Absicht widerspruchsfrei in einem bestimmten Sinne, denn dnss sie nicht die allein widcrspruehsfreio tat.
Litterarischer Bericht CCXXXVIl 5
welche Bolyai und Lobatschewsky iu's Leben riefen. Der Verf. zeigt noch mit wenigen Worten, durch welche Auskunftsmittcl die euklidische Geometrie um die Unbeweisbarkeit des Parallelensatzcs herumzukom- men suchte, und entwickelt alsdann die Haupttheöreme jener „abso- luteu" Geometrie. Das zunächst Charakteristische ist hier das, dass der geometrische Ort der von einer Geraden gleichweit abstehenden Punkte eine Curve ist, und dass entsprechend zwei sich nicht schnei- dende Gerade einen kleinsten Abstand haben müssen. Im Anschluss an Flyc St. Marie's Studien wird dann der Nachweis für die schon von Gauss gekannte Tatsache geleistet, dass für das unendlichkleine Dreieck auch in der imaginären Geometrie die Winkelsumme von 180^ bestehe, und weiterhin werden die unendlich entfernten Punkte be- handelt. Hier hat der Verf. mit gutem Tacte den Punkt besonders hervorgehoben, in welchem sich die nichteuklidische Auffassung mit unserer Raumanschauung berührt, näher sogar, als es die consequente Fortbildung des euklidischen Parallelenbegriffes durch Desargues und die Neueren tun kann. Denn jeder wird sich aus seinem Anfangs- studium erinnern, wie wonig ihm der Eine uneigentliche Punkt der Geraden und dessen geometrischer Ort, die unendlich entfernte Gerade, momentan in den Kopf wollte; v. Staudt ermangelte nicht, sich über diesen Gegensatz gegen die übliche Auffassung, welche die unendlich fernen Punkte unwillkürlich auf einem Kreise anordnet, in seinen Vorlesungen über „Geometrie der Lage" ausführlich zu verbreiten. Diese vulgäre Betrachtungweise deckt sich nun völlig mit derjenigen von Bolyai und Lobatschewsky, denn auch hier hat jede Gerade zwei getrennte Punkte im Unendlichen, welche nur einseitig mit einander in Zusammenhang stehen, d. h. nur, solange man sich im Reellen be- wegt. Es hindert nämlich nach Battaglini's verallgemeinernder Formu- lirung nichts, „diese Punkte durch ein ideales Stück einer Linie zu verbinden, deren Punkte vom Anfang der Zählung durch imaginäre Werte bestimmt sind." Was diess für eine Linie sei, wird nicht aus- gesprochen; man wird aber wohl, wenn man aus der von Du Bois- Reymond im 7. Bande der „math. Annalen" angedeuteten Regel nach dem Hankeischen Permanenz -Gesetze consequent weiterschliesst, die
davon lind wir lest überzeugt« wie wir denn anch dieser unserer Ucberzcugung in der Note 14 unserer Schrift „Ziele und Resultate der neueren mathematisch- bistoriscben Forschung*^ bestimmten Ausdruck gegeben haben. Man kann ja, wie dies neiferlich vielfach geschieht, selbst der Theorie Bolyai 's den Vorwurf machen, sie sei noch zu conserrativ, man kann das Axiom der Congruenz fallen lassen u. s. f. der Ausdruck „widerspruchsfrei'*, der jetzt so viel beliebte, ist überhaupt sehr widcrspi'uchsvoU ; man mag wohl von der Geometrie der Alten lagen, sie sei unvollkommen, mangelhaft, aber einen Widersprach hat gewiss noch Niemanden ihr aufzudecken vermocht.
6 Litterarischer Bericht CCXXXV2I.
gerade dafür nehmen müssen. — Die nächstfolgenden Paragraphen bringen eine Reihe storeometrischer Sätze, u. a. den Girard'schen über die Fläche des Kugolfläche, und zwar haben dieselben das Ge- meinsame, vom Parallelenaxiom durchaas anabhängig zu sein. Erst mit Nr. 50 treten wir an einen ganz neuen Begriff heran, denjenigen der Grenzfläche und der mit ihr verbundenen Grenzlinie. Herr Frischauf hat in diesem Capitel die etwas unbeholfenen Bezeichnungen von Bolyai verlassen und sich sehr mit Recht der weit concinneren Ter- minologie Lobatschewsky's angeschlossen.
Die Definition der beiden neu eingeführten Gebilde verweilt auch
ausführlich bei der Verschiedenheit, welche denselben im Lichte der
euklidischen und der nichteuklidischen Geometrie innewohnt, insoferm
sie nämlich für erstere reell, für letztere dagegen Flächen resp.
Linien sind, für welche das anschauliche Substrat fehlt Als Ver-
mittelung dient das Theorem, dass eine Kugel mit immer wachsendem
Radius schliesslich in die Grenzfläche übergeht*) In Paragraph 53
werden die hyperbolischen Functionen eingeführt, deren Bedeutung
sich wenige Seiten weiter durch den Lehrsatz manifestirt, dass die
in einer! bestimmten Distanz p von einer Geraden zu ihr gezogene
Parallele mit der Normale den Winkel
p
k
n(p) = 2arccotc bildet unter k eine gewisse Constante verstanden; denn nun ist
s\nn(p) = @cc|, cos IJip) = S^anö?« Durch Betrachtung der Linien und Flächen gleichen Abstandes
*) Es scheint noch nicht wahrgenommen worden zu sein , dass mit Zq- j;runde]egung dieser Tatsache das Parallclcnaxiom sich direkt erweisen Itsst, und zwar in befriedigenderer Weise, als diess mit Hülfe der von Frischauf auf S. 32 discutirtcn Voraussetzung Bolyai's geschehen kann. Im 11. Bande des von Battaglini in Rom herausgegebenen ,,Giornalc di Matematiche'' hat Referent den hier erwähnten Grundgedanken vollst&ndig durchzuführeo gesocbi, und wenn er auch persönlich davon überzeugt ist , dass jener Versuch noch mit verschiedenen Mängeln behaftet sei, so möchte er denselben doch jenen Mathematikern, welche in der „absoluten** Geometrie wohl eine gleichberech> Mgte jedoch nicht die alleinberechtigte Raumlehre erblicken können, zur Eiq- sichtnahmc empfehlen. Sobald man die beiden Facta zugicbt, dass* die Winkel- summe des Dreicks nur für Ein Individuum fixirt zu werden braucht, sovie dass die Gleichungen der sphärischen Trigonometrie mit dem Parallelcnsatz in keiner Relation btchen, kann man auch sofort den Indentitätsnachwcis dcr ,, Grenzfläche** mit unserer „empirisch gewonnenen'* Ebene liefern, wie an jeDetn Orte gezeigt ward.
Litterarischer Bericht CCXXXVll. 7
gelangt man zn einer wichtigen Verallgemeinerang der nichteuklidischen
Geometrie, welche an sich ebensowohl wie der Parallelismus zam
Aasgangspunkt hätte genommen werden können: Bleibt in einem
recktwinkligen eben Dreieck, dessen spitze Winkel tt und ß sind, eine
cos tt A
Kathete h constant, so ist es auch der Bruch ^r- ^ = ®o§ r, nur dass
der Wert desselben nicht die Einheit ist. — Alsdann schreitet der Verf. zur Trigonometrie fort; er tut dar, wie man aus den für beide Geometrieen gleichlautenden Formeln der sphärischen Trigonometrie diejenigen der ebenen nichteuklidischen dadurch ableitet, dass man den Radius und die drei Seiten a, &, c des Eugeldreiecks durch die Werte
^^' k' k' k
ersetzt. Frischauf lehrt dann die solchergestalt erworbenen Formeln in diejenigen umsetzen, welche bei Lobatschewsky an ihrer Stelle stehen und dadurch einen ehrwürdigen Charakter erhalten haben. Zum Schluss dieses rein theoretischen Abschnittes wird dann noch der früher durch directes Raisonnement erhärtete Satz von der Identität der Geometrieen von Euklides einer- und von Bolyai-Lobat- schewsky andererseits auf trigonometrischem Wege hergeleitet und daran noch eine kurze vergleichende Synopse beider Disciplinen ge- knüpft. — Vwi Seite 68—100 treffen wir auf eine reiche Sammlung von Anwendungen der bisher vorgetragenen Lehren. Diesen Teil betrachten wir als besonders dankenswert, denn wenn uns auch bis- her durch Auszüge und Bearbeitungen Gelegenheit geboten war, die Principien der neuen Raumwissenschaft kennen zn lernen, so war man doch ohne alle Hülfsmittel, wenn man sich praktisch in dieselben einleben wollte. Hier tritt unser Werk fördernd ein, indem es uns in zusammenhängender Darstellung die gesammte Metrik der nicht- euklidischen Geometrie vor Augen stellt. Auf Einzelheiten können wir uns hier natürlich nicht einlassen; für den Liebhaber ähnlicher Untersuchungen aber sei bemerkt» dass die Arbeiten von R6thy im 58. und A. von Frank im 59. Bande dieses Archives noch weiteres Material darbieten.
Im dritten Buche wird abgehandelt: „Endlicher Raum nnd abso- lute Geometrie"' (S. 101—142). Erforderten die beiden ersten Bücher fast ausschliesslich nur ganz elementare Kenntnisse, so kann es hier, wo zu den neuesten und feinsten Forschungen der Neuzeit der Zu- gang eröffnet werden soll, ohne höhere Rechnung natürlich nicht ab- gehen; wer aber auch nur einmal ein Conpendium des Differential- nnd Integralcalculs gelesen hat, wird bei der leicht hinfliessenden Entwickelung des Autors kaum irgendwo Anstoss nehmen können. —
8 Lüterarischer Bericht CCXXXVIL
Derselbe giebt uns zunächst die Hauptsätze der Sphärik, so jedoch, dass der Mittelpunkt der Kugel nicht erwähnt werden darf und die reine Flächeueigcnschaft jener zu Tage trete*). Hierauf folgt die „Planimetrie dos endlichen Raumes", d, h. die Sphärik im Gewände der planimotrischen Terminologie und die in den Artikeln 104, 105 eine allgemein gehaltene Untersuchung über den Begriff „absolute Geometrie." Der Verfasser gelangt bc^treffs des gegenseitigen Verhält- nisses der bisher in's Auge gefassten Wissenschaftsformen zu einem Resultate, welches man sich am besten durch nebenstehendes Schema verdeutlichen kann:
Nichteuklidische Geometrie. Sphärik.
Paramet<jr 7; ^• = 0 . . . bis zu oc. Parameter - ; A; = 0 ... bis zu oc. k kl
Euklidische Geometrie. . Parameter =0.
Obwol sonach scheinbar nichteuklidische und Kugel- Geometrie als coordinirte Discipliuen von identischem Wertvorrat sich gegenüber- zustehen scheinen und obwol F. Klein auf dieses Verhältniss seine Formulirung einer hyperbolischen und elliptischen Geometrie gegrün- det hat, so weist Frischauf doch gleichwol nach, dass in exactem Sinne diese Classification nicht stringent sei, insofern die „hyperbo- lisclie", d. h. nichteuklidische Geometrie ja auch die auf die Kugel- fläche zu basireude Geometrie als speicellen Fall in sich schliesst.
Nachdem dann noch erläutert ist, was man sich unter der Pro- jectivität von Punktreihen und Strahlenbüscheln zu denken habe und dass, wie Klein gezeigt, ProjectivitM und Parallelismus zwei ganz disparate Begriffe seien, wendet sich S. 110 unsere Vorlage zur „Ver- sinnlichung der Geometrie". Es handelt sich nämlich darum, ob nicht ebenso, wie die (imaginäre) Planimetrie des endlichen Raums sich mit der Sphärik deckt, so auch Flächen angegeben werden können, deren Geometrie der nichteuklidischen entspräche. Um hierüber in*8 Klare zu kommen, wird vorerst der Begriff der Flächenbiegung klar- gestellt und durch Rechnung dargetan, dass zwei in entsprechenden Punkten das gleiche Krümmungsmass aufweisende Flächen durch Bie- gung in einander übergeführt werden können. Hiebei hätten wir nur den ein wenig unvermittelt auttretenden Begriff des Krümmungsmasses
*) Vom pädaf^o^ischcn Standpunkte aus sei hiebei auf den hübschen Be- weis für die FlächengleichhiMt »yiünjctiiöchcr Ku<;eMreicckc nufmcrksnm jfe- uiucht, da derselbe uur von den allereinfaeh»tcn Uülfsmittcln Gebrauch macbt.
Lüterarücher Bericht CCXXXVIL 9
etwas motivirt gewünscht, da dem Anftlngor sonst die darauf be- grtindeten Rechnungen nicht recht einleuchten möchten. Weiterhin lehrt ein sehr einfacher Calcul, dass das ebene Dreieck der Bolyai- sehen Geometrie einem aus drei geodätischen Linien einer constant negativ gekrümmten Fläche gebildeten Dreieck durchaus äquivalent sei, und diese Identität wird dann sowol durch Reflexion als durch Analyse noch weiter begründet. Frischauf geht dabei auch über die von ihm zu Grunde gelegten mustergültigen Aufschlüsse Beltrami's in einigen Punkten hinaus, indem er zeigt, wie sich durch unmittel- bare Uebertragung die Figuren, welche man auf der Fläche vom con-
stanten Krümmungsmass I — p) construirt hat, in diejenigen der nichteuklidischen Planimetrie umsetzen.
Don Schluss des Werkes (S. 120—133) bildet eine vereinfachte Darlegung von „Riemann's und Holmholtz's Raumtheorien". Wir er- halten hier zuvörderst eine in verständlichster Sprache gegebene Popularisirung der bekanntermassen sehr unlesbar geschriebenen Habilitationsschrift Riemann's, nachher wendet sich der Verf. zu der nicht minder bekannten Abhandlung von Helmholtz, welche im Gegen- satze zu jener vom Besonderen zum Allgemeinen aufsteigt und aus der Annahme der Bewegungslehre die von Riemann für das Linien- element im allgemeinen Räume hypothetisch angenommene Form als die absolut richtige erschliesst Die hiezu dienlichen analytischen Betrachtungen werden, was nur zu billigen ist, in extenso mitgeteilt. Nachdem demgemäss festgestellt ist, dass die Theorie allgemeiner, räumlicher Mannigfaltigkeiten nur das anschauliche Substrat einer Theorie der homogenen quadratischen Differentialausdrücke erster Ordnung vorstellt, wendet der Verf. die gewonnenen Resultate auf den speciellen Fall der Beltrami'schen (pseudosphärischen) Räume an. Sind zwei Punkte im n-Dimensionen-Raum von constant-negativer
Krümmung (— pj durch ihre Coordinaten x^ . . . a-»® und x . . . j-» gegeben,- so findet sich deren Distanz q durch die Gleichung (a* = 21 xf)
rr oP X*-{-Xi*+ ••• +^H* — XiV — XjXä^— ••• — ^narn^ «.09 7 «" . — : —
^ V(a^ — xj*-^ . . . — x«*)(a*— x,o»— . . . -ar„02)
Diese Relation ist von hoher Bedeutung. Herr Frischauf kommt nämlich, indem er sich fortwährend an Beltrami's Vorarbeit anschliesst, noch einmal auf seine oben bereits erwähnten damals aber blos mit logischen Schlüssen gestützte Behauptung zurück, dass die „in man- chen Kreisen gehegte Ansicht von der Selbstständigkeit der drei For- men der Geometrie'* unrichtig sei. Durch Identificirung des obigen p mit einer (instanten geht nämlich der obige Raum von n Dimensionen
10 Litteratischer Bericht CCXXXVIL
in einen solchen von (n — 1) Dimensionen über, der eben den geome- trischen Ort aller durch jene Annahme festgelegten Punkte reprä- sentirt. Dieser Raum von (n — 1) Dimensionen hat das constante
negative Bj-ümmungsmass ( — r;«) ^^^^ auch, wenn man will, das con- stante positive ( p)» wofern nur k und k^ durch die Relation
k = ÄTySin^
verknüpft sind. Demnach ist offenbar „der Raum constanter positiver Krümmung im Raum constanter negativer Krümmung enthalten'^ und es ist schwer begreiflich, wie F. Klein nach dem auf S. 575 — 579 seines Aufsatzes in den „math. Annalen^' (Band 4) gegebenen Resnm^ seine Ausdrücke „durch Einen Schritt'' in diejenigen Beltrami's über- gehen lassen will. Dieser chevalereske „Schritt*' würde sich im Ver- suchsfalle zu einem ziemlichen salto mortale auswachsen und bleibt deshalb besser ungetan.
Nun noch ein Wort von den sechs Anhängen. Der erste behan- delt kurz die Winkelsumme verschwindender Dreiecke, der zweite giebt eine kurze Uebersicht über die hyperbolischen Functionen, der dritte zeigt einen Weg, von einer Grundformel aus zu allen Theoremen der sphärischen Trigonometrie zu gelangen. Der vierte setzt die be- kannt gewordene Idee Lobatschewsky's auseinander, aus astronomischen Beobachtungen die „Erlaubtheit" der euklidischen Geometrie herzu- leiten. Für diesen Excurs sind wir dem Verf. besonders dankbar; denn so oft von jener extravaganten Idee gesprochen wird, so wenig erfährt man etwas über die Art und Weise ihrer Realisirung, welche durch ihre sonderbare Verquickung des parallaktischen mit dem zum Kriterium ausersehenen Dreieckswinkel brauchbare Aufschlüsse wohl nie liefern kann. An fünfter Stelle finden wir einen analytischen Hülfssatz, an sechster endlich eine Bestimmung der Gleichungen einer Kürzesten im allgemeinen Räume; 'da sich dieselbe der Variations- rechnung bedient, dürfte dieser Passus als der einzige für Anfänger transscendente des ganzen Buches angesehen werden.
Wenn wir über dieses ein Gesammturteil fällen sollen, so mtlssen wir zunächst lobend die Enthaltsamkeit anerkennen, welche sich der Verf. in der Einmischung allgemein -philosophischer Betrachtungen auferlegt hat. Aus diversen Andeutungen lässt sich ja wol abnehmen, dass derselbe ebenfalls ein Anhänger der neueren empiristischen Schule ist, aber in den Vordergrund hat derselbe diese doch immer pereön- liche Ansicht nirgendwo gestellt; er giebt uns lediglich mathematische unwiderledlich feststehende Tatsachen und überlässt es dem Einzelnen,
Litterarischer Bericht CCXXXVIL \\
sich mit denselben vor dem Forum der philosophischen Raumlehre auseinanderzusetzen. Durch diese strenge Scheidung der rein geome- trischen von der metaphysischen Seite wird dem coriciliatorischcn Charakter des Werkes entschiedenster Vorschub geleistet, indem nun auch Leute, die aus den mathematischen Vorlagen nicht die Helmholtz- schen*) Folgerungen zu ziehen geneigt sind, crsteres ohne alle Stö- rung lesen und benützen können. — Femer aber möchten wir das Verdienst des Werkchens — abgesehen von der fliessenden und auf kleinem Räume Viel zusammendrängenden Darstellung ~ hauptsäch- lich in folgenden drei Punkten suchen: I. Die gründliche und um- fassende Beleuchtung all' derjenigen Momente, welche geeignet er- scheinen, die nichteuklidische Geometrie den üblichen Auffassungen und Anschauungen so nahe als möglich zu rücken; II. Die Hervor- hebung und allseitige Begründung des Umstandes, dass jede ideelle Planimetrie in der auf eine bestimmte reelle Fläche zu gründenden Geometrie ihr naturgemässes Analogen findet; III. Die gelungene Popularisirung der allgemeinen Raumtheorieen von Riemann, Helmholtz und Beltrami — Berücksichtigen wir noch, dass auch der geschicht- lichen Eutwickelung gebührend Rechnung getragen und von der ein- schlägigen Fachliteratur ein genügend vollständiger**) Nachweis bei- gebracht ist, so dürfen wir wol das in allen wesentlichen Punkten correcte***) und in der trefflichen Manier der Verlags-Firma ausge- stattete Buch als ein vollkommen zweckentsprechendes bezeichnen und sorgfältiger Beachtung, besonders auch für Lchrerkreise, von ganzem Herzen empfehlen.
*) Wir meinen hier einen Aufeatz des berühmten Physiologen, welchen die kürzlich ausgegebenen ,,popa1. wissensch. Vortrftgi" in ihrem dritten Hefte (S. 21 — 54) bringen. Man wird die Ansichten, welche wir oben berührten nnd welche nicht die nnsrigen sind, nicht leicht irgcndwoanders so vollBt^ndig nnd übersichtlich auseinandergesetzt antreffen.
**) Absolute Vollständigkeit lag nicht im Plane des Autors, der nun zu weiterem Plane anregen will.
***) Es sind durchaus nur kleine nicht sinnstörende Druckfehler zu rer- zeichnen. S. 7, Z. 21 v. u. 1. Uylcnbroek st Uylenbrök; S. 33, Z. 16 v. u. 1. C. F.Gauss St. C. J. Gauss; S. 73, Z. 11 v. o. ist der Factor 4 zu strei- chen; S. 133, Z. 10 ▼. o. fehlt nach ,, Raum * der Zusatz „hIs Ort im Baum"; S. 137, Z. 6 V. u. St. geometrische 1. geocentrische, S. 142, Z. 8 r. u. st. a, 1. a«, Z. 7 T. u. St. J-„« 1. Xn<**. — S. 25, Z. 15 v. u., S. 27, Z. 13 t. o., S. 30, Z. 3 V. o. sind kleine Accent- Verschen zu verbessern.
München. S. Günther.
12 lAtteratischer Bericht CCXXXVIL
Das Grundgesetz der Kraft. Von Carl Mittelacher. St. Petersburg 1875. H. Schmitzdorff. 86 S.
Das Buch lässt sich trotz einiger Eigenschaften, die man ihm zum Vorteil anrechnen kann, doch nur den zahlreichen Erzeugnissen der Neuzeit zuzählen, welche man wol am besten mit dem Namen „kos- mische Phantasien'' kennzeichnet. Untersuchung ist darin nicht ent- halten; es werden nur fremde Lehren ohne Kritik vorgetragen, aus denen sich der Verfasser eine Weltanschauung zusammengesetzt hat. Diese mag ihm in genügenden Connex zu stehen scheinen ; wieviel an exacter Auffassung in den elementarsten Begriffen noch fehlt, ist ihm unbfewusst geblieben. Er spricht von Kräften als Ursache der Bewe- gung, weiss also nichts davon, dass nur die Veränderung der Bewegung, nicht die existirende Bewegung von Kräften bewirkt wird. Dies be- trifft nicht eine einzelne Aeusserung, sondern charaktcrisirt den Stand- punkt mangelhafter Entwickelung, der sich durch die ganze Schrift kund giebt Wie der Grundbegriff, welcher das eigentliche Thema bildet, so bleiben die übrigen im Dunkeln. Was die Schrift vor ihres- gleichen noch etwa auszeichnen möchte, ist der auf vielseitige Grund- legung verwandte Fleiss und das Verweilen bei jedem Punkte, den sie bespricht, Eigenschaften die wol bei weniger principiellen und weitgreifenden Fragen wie die gegenwärtige bessere Leistungen ver- sprochen haben würden. H.
Litterariscker BeAcht CCXXXVlll. l3
Litterarischer Bericht
ccxxxvm.
Arithmetik, Algebra und reine Analysis.
Theoria derivatamm altiorum ordinum. Scripsit Gnstavus Steinbrink, Dr. phil. Berolini 1876. Calvary et C. 4^. 49 S.
Die Schrift steht in engster Beziehung zu den 2 Schriften: R. Hoppe, Theorie der independenten Darstellung der höheren Diffe- rentialqaotienten. Leipzig 1845. und 0. Schlömilch, Zur Theorie der höheren Differentialquotienten. Sitzungsber. d. Egl. Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. 1857. (Zeitschrift für Math. u. Phys. III. 1858.). Sie verwertet die in ersterer vorgefundenen Principien und Methoden und die in letzterer enthaltenen erweiternden Gedanken in vielseitigster Weise und gelangt zu einer wesentlichen Fortbildung der Theorie. Vor jeder näheren Betrachtung ist eine einzeln ste- hende, eclatante Unwahrheit zu berichtigen. Der Verfasser sagt auf erster Seite in einem Relativsatz, als ob es eine Sache ohne Belang wäre, Hoppe habe vergeblich versucht die Coefficienten der Facultäten zu entwickeln. Er hat also das Ute, 13 te, 19 te Capitel der Th. d. indep. Darst. gelesen, wo die bezeichnete Aufgabe, über deren Iden- tität kein Zweifel sein kann, da er sie bei seiner eigenen Behandlung eben so nennt, untersucht wird. Hier ist aber von dieser Aufgabe überall als von einer gelösten die Rede, und die Lösung steht in voll- ständig entwickelter Form, zuerst auf Seite 92. als Summe einer zwei- fachen, dann Seite 99. Gl. (42) einer dreifachen, endlich Seite 140. einer einfachen endlichen Reihe. Es ist daher gar nicht zu verstehen, wie der Verfasser zu seiner Behauptung kommt. Die Darstellung in neuer Form, als Summe einer Doppelreihe, welche er findet, verdient dagegen volle Anerkennung.
T«ilLX. Hefts. 2
14 Litterarischer Bericht CCXXXVUL
Ebenso wie in den citirten Schriften, handelt es sich aoch hier am Bestimmung der Coeffidenten u in der Relation
WO die u nur von der Beziehung zwischen x und y abhängig sind. Ihr stellt der Verfasser (nach Schlömilch's Vorgang) die inverse EntWickelung
8y" k=i Sic*
an die Seite. Er macht darüber die sehr augenfällige Bemerkung, dass die Bestimmung der v nicht wie Schlömilch sie darstellt, eine neue Aufgabe, sondern in ihrer Allgemeinheit genau dieselbe sei wio die der u. ^ Dagegen erweist sich die Beziehung zwischen den u und V, nämlich
*=1 t 1 (f» «= »}
äusserst ergiebig. Der Weg, auf welchem der Yerfassser dazu ge- langt die u auf die v zurückzuführen, so dass also z. B. zur Lösung der Aufgabe für /(log x) nur die gleiche für/(c*) erforderlich ist, hat ohne Zweifel ein genügendes Interesse um ihn hier zu reproduciren. Dies möchte wol um so mehr geboten erscheinen, als der Leser der Urschrift Mühe haben würde den Faden der Deduction dieses beson- dern, aber wichtigsten Resultats zwischen den sich viel weiter aus- dehnenden Transformationen herauszufinden. Im voraus sei bemwkt, dass der Verfasser viele Resultate der citirten Schrift auf verschie- denem Wege wiedergewinnt, die hier aus gemeinsamer Quelle fliessen, dass demnach die bei der Reproduction gebrauchten Citate, welche längere Erklärungen ersparen sollen, von ihm nicht zu Hülfe genom- men sind. Aus der Leibnitz'schen Formel für den nten Differential- quotienten eines Products zweier Factoren geht leicht die allgemeine Gleichung hervor:
Der in Hoppe's Th. d. indep. Darst. d. h. D. Seite 39. 61. (6) ge-
n
gebene Ausdruck von uk lässt sich auf die v angewandt schreiben:
^* " fi ilf)^ <3«
Litierariichgr Bericht CCXXXVlll. 16
WO a? = ^(y) ; X « t(y+i?) — tp(y) gesetzt ist Sei nun X « iy V; dan^ findet man:
(l^U = W»*!(^^;i=r)^ (36)
und die vorige Gleichung wird nach Wechsel der Buchstaben:
Läset man also in Ol. (55) ij verschwinden, so geht sie über in *=« /a»-*y-»\ * (0 (»»<n)
j;(— 1)»-» (-g^s^jo «- - ( 1 (^ . „)
Dies verglichen mit der obigen GL (26) beweist, dass
«•-(«-l)»-.(-ä^-— )^ (69)
ist, da beide Grössen durch dasselbe System linearer Gleichungen be- stimmt äind. Femer ist nach H. Th. d. indep. Darst d. h. D. Seite 162. für f4 — V — 0
Wendet man dies auf s » ^ an, lässt 17 stetig verschwinden, so dass
dx V in if'y » K- übergeht, so erhält man nach Einsetzung in die obige
Gl. (69):
. ^ 'T'.-.)'-'-''-y'-'"(ir(^').
Geht man jetzt gemäss Gl. (36) von ^ zurück auf J[; so findet man nach gehöriger Zusammenerdnung der ganzzahligen Factoren:
«
" wo I.^*=?'■^ , . , (2n-2A:)H->.|.* /8y W* /»-*^^ jr*\
Dies ist die beabsichtigte Formel, welche die höh. Diff. einer zusammen- gesetzten Function /(q>x) auf die der ganzen positiven Potenzen der inversen Function von 9« zurückführt. Für y = log0 z. B. wo
ir=«y(ÄV — 1)
wird, giebt dieselbe:
3*
16 Litterarischer Bericht CCXXXVUL
3*/(l0ffaj) 1 *=" ,
~^ = ^-S^f/(*)0og«r)*(2»-*)» X
Offenbar würde man nach derselben Formel anch leicht den ntcn Diffq. von /(arcsin«) und zwar einfacher als von /'(arctga:) entwickeln können.
Besonders zn erwähnen ist, dass der Verfasser den Ausdruck
* 1 r8* / . S^Ä^^M
k
, £ (•-' ^')L
eigentlich nur specielles Resultat aus allgemeinem Princip, als Grund- formel aufstellt, aus welchem die folgenden Formeln hervorgehen, und die zu bemerkenswerten Transformationen Anlass giebt Den höh. Diffq. der Potenzen der Functionen wird, wie auch in der citirten Schrift geschehen, in §. 10. 11. und 23. eine besondere Betrachtung gewidmet; als Resultate sind bemerkenswert die auf Seite 21. unten auf Seite 22. unten gewonnenen Sätze, in §. 23. die Formel (140).
Im ganzen ist die Arbeit, so viel sie auch Vorgefundenes in sich aufgenommen hat, eine durchaus selbständige, mit viel Geschick und Erfolg durchgeführte zu nennen. H.
Das Problem der magischen Systeme. Von Dr. Theod. Hügel, k. Rectör der Gewerbeschule zu Neustadt a. d. H. Neustadt a. d. H. A. H. Gottschick u. Witter. 1876. VIII. 48 S. 4^ Mit 12 Figu- rentafeln.
Der Verfasser, welcher schon früher eine diesen Gegenstand be- handelnde Schrift hat erscheinen lassen, behandelt hier das Problem der magischen Systeme in seiner grösstmöglichen Allgemeinheit £r betrachtet zuvörderst p*^ Zahlen als gegeben und fordert nun, man solle aus dieser Anzahl eine weitere bestimmte Anzahl von Gruppen zu je p Elementen herausheben, so zwar, dass die Summe dieser Elemente stets eine bestimmte Zahl repräsentire. Ueber die Anzahl der Gruppen lässt sich erst dann eine den fOr die Praxis wichtigen Fällen entsprechende Anordnung treffen, wenn die speciellen Fälle n « 2 und n » 3 abgehandelt sind. Auf diesen ersten Zahlenwert legt sonach der Verf. mit Recht ein Hauptgewicht.
Ist gegeben das Zahlenquadrat
»
LÜterarücher Bericht CCXXXVIIL 17
Oj,! . . . a|,p
Op,, . . . Of.p
80 hebt man ^p Gruppen heraus und verlangt, dass die 4 Gleichnngs-
systeme *)
•
t=l*=p »=l*=p *=1'=P *=1l^P p(pt I 1)
sämmtlich durch ganze Zahlen befiriedigt werden sollen. Diese Zahlen sollen vorläufig noch nur aus dem Systeme 1 . . . p* gewählt werden dürfen.
In §. 3 beginnt die Untersuchung der „Primquadrate^S Um ein solches zu erhalten, bedient sich der Verf. eines Htllfsmittels, welches allerdings schon von De la Hire erfunden, von Sauveur und Leonh. Ealer vielfMtig angewendet wurde, in seiner principiellen Bedeutung jedoch hier erstmalig erkannt und ausgenützt erscheint. Man nehme p Zahlen A^y^ . . . A^^p, welche mit der Zahlenfolge 1 . . . p bezieh- ungsweise identisch sein müssen , sowie p weitere a^,i . . . a^^p , für welche das Gleiche bezüglich der Reihe O.p, l.p^ 2,p , , . (p — l)p gilt, und bilde durch ^ maliges Setzen jedes Einzelgliedes zwei Qua- drate von resp. p* Elementen. Indem man dann homologe Elemente dieser beiden Hülfsquadrate addirt, resultirt das gesuchte magische Quadrat. Es handelt sich also lediglich um die Besetzung der beiden Hülfsquadrate oder um die Besetzung der „grossen'^ und /,kleinen Formel" nach Herrn HugeFs Ausdruck. Da von links nach rechts gerechnet die einzelnen Elemente in cyklischer Anordnung auf ein-
*) Die dritte und vierte der angegebenen Gleichnngsfolgen fasst dai Pro- blem der magiscben Quadrate offenbar allgemeiner, als diess gemeiniglich ge- schieht. Während n&mlich sonst blos von den zwei geometrischen Haupt- diagonalen des Vierecks gefordert wird, dass die ihnen angehdrigcn Zahlen die bewnsste Summe liefern, gilt diess nunmehr fftr alle Serien von Elementen, deren Verbindungslinie einer jener Diagonale parallel läuft und deren Ansahl (auf beiden Seiten einer solchen) in Summe =p ist. Jene Ausnahmsstellung der Diagonalen, zu deren Beseitigung v. Fessl (m. vgl. unsere „Venu. Unter- such, z. Qesch. d. Math. Wiss.," Leipzig 1876, S. 364 ff.) die Ausdehnung des Problems auf den magischen Cylindermantel schuf, sie ist auch bei Hm. Hügel vollständig aufgehoben, so dass dessen rein analytische Verallgemeine- rung sich mit den geometrischen Motiven v. Pessl's deckt — Erreicht war diese Generalisirung halb unbewusst Übrigens schon bei mehreren älteren Me- thoden, so z. B. bei einer derjenigen, welcher wir (im genannten Werke, S. 309) den Namen ihres mutmasslichen Erfinde^, des Byzantiners Moscho- pulos, beilegten.
18 Lüterariseher Bericht CCXXXVUI.
ander folgen müssen, so handelt es sich speciell nnr um den Platz, welchen in jeder einzelnen Horizontalreihe die Elemente Ä^^ nnd a^^i einnehmen müssen. Für Primqnadrate entwickelt and beweist der Verf. eine schöne Begel, welche sich folgendermassen knrz fassen lässt Steht das Element ^2)i ^ ^^^ ersten Zeile in der linken Ed^e, so gebührt ihm in der 9ten der
K+'^)^'^
wenn R den in jenem Bmche steckenden Rest bezeichnet; nnd gilt für das Element a^,! das gleiche, so steht dasselbe in der rten Zeile der kldnen Formel am
^(1+«^')]«»
Platz ^). Die Zahlen a nnd ß werden hier ,,magische Determinan- ten^' genannt; sie müssen ganzzahlig, ungleich nnd ^0, p sein.
— Der Verf. leitet auch die Anzahl der möglichen Lösungen her nnd studirt aufs Einlässlichste die Verändemngon, welche durch Reihen* yertauschung in den Hülfsquadraten für das Resultat sich ergeben.
*) Ein eingehendes Studium dieses Verfahrens hat uns auch nach einer anderen Seite überraschende Aufschlüsse gegeben. In einer Kürzlich erschie- nenen Mitteilung in der SchlÖmilch'schen Zeitschrift (21. Band, S. 62.) sprachen wir unser Bedenken darüber aus, ob sich allgemeinste (Gauss'sche) Quadrate mit Doppelelementen für jede ungerade Zellenzahl (2in-(-l)* herstellen Hessen. Wir halten diess Bodenken jetzt f&r erledigt; für (2m-(-l) als Primzahl geht jene Construction immer an, selbst -mtnix man das Wort Diagonale in dem allgemeinsten (Hugerschen) Sinne fasst, fflr ein anderes (2m-(-l) aber nicht Um ein Beispiel vorzuführen, sei ;i=7, a = 2, ß^i; bestimmt man nach der oben mitgeteilten Vorschrift die grosse und kleine Formel und ersetzt zur besseren Veranschaulichung die a und a durch die Buchstaben des grossen lateinischen und kleinen deutschen Alphabetes, so erh< man beim Zusammen« ziehen das nachstehende Arrangement:
|
Aa |
Bb |
Cc |
Db |
Ee |
Ff |
Gg |
|
Fe |
Ob |
Ae |
Bf |
Cg |
Da |
Eb |
|
De |
Ef |
n |
Qa |
Ab |
Bc |
Cb |
|
Bg |
Ca |
Db |
Ec |
Fb |
Ge |
Af |
|
G^ |
Ac |
Bb |
Ce |
Df |
Eg |
Fa |
|
£b |
Fe |
Gf |
Ag |
Ba |
cb |
De |
|
Cf |
I>8 |
Ea |
Qc |
Fb |
Ab |
Be. |
Dieses Schema genügt den strengsten Anforderungen. Ueber gewisse inter- essante Kebeneigenschaften desselben behalten wir uns einen Bericht für eine andere Stelle vor.
Litterarischer Bericht CCXXXVUL 19
In §§. 14-- 16 wird nntersacht, wie sich die bisherige Methode modiflcirt, wenn die Seitenzahl nicht mehr eine Primzahl, sondern ein Product aus solchen ist. Es findet sich, dass für jede der drei Reibenkategorien diese Methode grundsätzlich erhalten bleibt, nur ist der Wertvorrat der „Determinanten" eingeschränkt Ganz das Gleiche gilt fOr „geradgerade Quadrate^'. Der zwanzigste Paragraph lehrt die bereits in §. 14 behandelte Aufgabe noch aus einem anderen Gesichts- punkte angreifen, indem nämlich das Quadrat (mn)^ in wf Einzel- quadrate von je n* Zellen zerlegt gedacht wird; es wird eben hier das in ein System gebracht, was in Einzelfällen bereits Moschopulos und in neuester Zeit englische Mathematiker (Yerm. Unters. S. 261 ff.) geübt hatten.
In ein neues und zwar besonders interessantes Stadium tritt die Untersuchung mit §. 21 (Ungeradgerade Quadrate). Während nämlich bei der alten engen Fassung des Begriffes „Diagonale'^ auch für diesen Fall das Verfahren De la Hire's ausreichte, ändert sich diess in Folge unserer Definition, wie Herr Hügel durch einen scharfsinnigen indi- recten Beweis dartut. „Wir sind deshalb'^ — sagt derselbe (S. 20) — „genötigt, ein vom bisherigen abweichendes Verfahren einzuschla- gen, nämlich das der Umschreibung. Dasselbe beruht darin, dass man vorerst die zwei äussersten Horizontal- und Verticalreihen unberück- richtigt lässt und zunächst nur das noch übrig bleibende Quadrat nach der früheren Methode magisch ausfüllt, worauf wir erst zur passen- den Ausfallung des Randes schreiten". Diess Verfahren wird ange- geben und damit denn auch der Weg zur Construction allgemeiner Quadrate von (4/)-|-l)* und (4p-t-3)* Elementen gebahnt. Mit einer Reihe netter Aufgaben, welche sich zur Aufnahme in eine — vorläufig allerdings blos wünschenswerte — elementare Aufgabensammlung der Zahlentheorie empfehlen würden, endigt der erste Abschnitt, die Lehre vom magischen Quadrat schlechtweg.
Auf Seite 22 beginnt „der magische WürfeP^ dessen Behandlung natürlich im Wesentlichen auf die nämlichen Principien zurückgeht. Denkt man sich denselben wieder auf das geometrische Bild von />* in Form eines „Raumgitters^*
^I5j»rt <hf^ ' ' • ^5J»U»
20
Lüterarischer Bericht CCXXXVllL
angeordneten Elementen zarttckgeftthrt, so erkennt man leicht, dass dem Analogiegesetze entsprechend nunmehr
3p+3p+j9+3p « IQp
ganzzahlig zu erfüllende Bedingungsgleichnngen vorliegen müssen, wenn der Würfel „ToUständig magisch'^ sein soll. Die Behandlang stützt sich wie oben auf zwei Quadrate so jetzt auf drei Hülfs-Würfel, welche bezüglich mit den Zahlen
|
0, |
p*. |
2p«, |
3p» |
• • • (p- |
-Dp», |
|
0, |
p, |
2p, |
3p |
••• (P- |
-Dp |
|
1, |
2, |
3, |
4 |
. . . p |
ausgefüUt und dann entsprechend zusammengeschoben werden. Für eine Primzahl p werden nun alle irgend beizuziehenden Betrachtungen aufs Erschöpfendste durchgeführt Wir machen besonders aufmerk- sam auf den interessanten apagogischen Beweis für das Kriterium, welchem die „Determinanten" tt^cL\ ß^ß\ y^y^ unterliegen müssen, wenn ein magischer Würfel zu Stande kommen soll. Es muss näm- lich die Ungleichung
a a' 1
ß ß' 1 y y' 1
>
bestehen, wo p das bekannte von Grelle eingeführte Symbol bezeich- net Von §. 31 ab wird die „Permutation des magischen Würfels" gelehrt, d. h. aus einem bereits vorliegenden Würfel durch ge- setzmässige Elementen-Yertauschung ein neuer von gleicher Eigen- schaft abgeleitet. Für Quadrate hat diese Idee erstmalig Sauveur in seiner inhaltsreichen Abhandlung vom Jahr 1710 durchgeführt Zum Schluss wird dann noch nachgewiesen, dass und wie man statt dreier Hülfswürfel deren auch beliebig viele verwenden kann — nur sind dann die neu einzuführenden magischen „Determinanten" nicht mehr unabhängig von einander; für je drei zusammengehörige Determinan- tenpaare dj, d^\ ^2, d^y 's, 's' muss vielmehr
>
sem.
Die letzten Paragraphen der Schrift beschäftigen sich damit, die „magischen Systeme höherer Ordnung" zu studiren, oder, wie wir auch sagen könnten, das Problem der magischen Quadrate auf eine
Ltiterarischer Bericht CCXXXVIIL 21
Mannigfaltigkeit von n Dimensionen auszudehnen. Es ist Herrn Hagel hier gelungen , eine interessante Beziehung zwischen magischen Qua- draten und (wirklichen) Determinannten aufzudecken, indem er als Verallgemeinerung der oben angemerkten Sätze die Wahrheit aus- spricht, dass zum Bestehen eines magischen Systemes vom allgemeinen Tenne «m .«, ... m^ die Nisht-ErfüUung der Congmenz
^'flU **!?« **1j3 • • • ^'liH— 1 1 «2,1 «2,2 «293 • • • «2?n— 1 1 %il ^^ff ^Z^^ • • • %?«— 1 1
«n^i ««58 «WfS • . • «M,n— 1 1
= 0 (modjj)
conditio sine qua non ist, wo jede Reihe der « ein zusammengehöriges System „magischer" Determinanten bedeutet.
Recapituliren wir unsere Au£seichnungen, so gelangen wir zu fol- gendem Urteile. In der Lehre von den magischen Quadraten selbst hat der Verf. durch seine universelle Auffassung des Problemes, durch seine — für diese Aufgabe bisher noch vermisste — grundsätzliche Anwendung der Indices und der Congmenz - Symbolik sowie endlich durch sQine erschöpfende Behandlung des Hauptfalles (p Primzahl) einen vollständigen Abschluss herbeigeführt. Die — bisher nur in schwachen in unserem Buche namhaft gemachten Ansätze vorhandene — Theorie des magischen Würfels hat er nicht minder weit gefiedert und vor Allem hat er auch das gewiss nicht zu vernachlässigende anschauliche Moment durch eine Reihe gut gezeichneter Figuren ge- bührend bedacht. Die Art und Weise, wie hier die einzelnen den Würfel bildenden „Schichten" separat dargestellt werden, ist für ähn- liche Zwecke sehr zu empfehlen. Was endlich die Verallgemeinerung des Problems für den allgemeinen Index n betrifft, so ist dieselbe durchaus neu und offenbar eine Quelle interessanter Detail -Unter- suchungen.
Gewünscht hätten wir nur Zweierlei. Es würde dem Gegenstand mehr Relief gegeben haben, wenn gezeigt worden wäre, wie aus den allgemeinen Formeln durch Specialisirung gewisse Methoden unmit- telbar fliessen, welche ihrer historischen Stellung oder aueh ihrer Eleganz halber von Interesse sind. Und zweitens wäre uns die An- bringung von Ruhepunkten angenehm gewesen; der Galcul des Verf. ist zwar kein schwerfälliger, allein bei einer solchen fortwährend auf Formeln sich stützenden Entwickelung ermüdet der Leser doch leicht, wenn ihm nicht wenigstens wichtige Resultate etwa durch gesperrten Druck gleich signalisirt werden.
22 LiOerarücher Bericht CCXXXVUL
Druck, Figarentafeln und typographische Ausstattung sind glach- mÄssig anerkennenswert. — Wir wtLnschen dem Werkchen, welches einen von Wenigen gekannten Stoff anregend nnd interessant behan- delt, recht viele Freunde.
München. S. Günther.
Snr la th6orie des nombres premiers. Par £duard Lncas, ancien 61öve de Tficole Normale, agr6g6 de Tüniversit^. Turin 1876. Imprimerie Royale. 12 S.
Der Verfasser entwickelt eine Reihe von Sätzen in Betreff der 2 Functionen
a»» — in a — o •
unter a, b die Wurzeln der Gleichung
verstanden, denen zufolge dieselben viele Analogien mit den Func- tionen Sinus und Cosinus zeigen. Für P = 1 , Q =* — 1 erfüllen beide Functionen die recurrente Gleichung
Wn+2 = «*n+l + ttn
welche für uq « 0, u^ « 1 die gewöhnlich nach Lam6 benannte, aber zuerst von Fibonacci definirte Reihe
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
ergiebt. Jene Sätze gestatten dann sehr überraschende Schlüsse auf Zerlegbarkeit in Factoren und den Nachweis von Primzahlen.
H.
Sur le calcul des logarithmes ä nn grand nombre de figures. Par F. Bumier. Bull. Soc. Vaud. Sc. Nat. XI. p. 147—150.
Das Princip der Berechnung vielstelliger Logarithmen, welches in der Zusammensetzung der gegebenen Zahl aus Factoren von der Form 1 ±n.lO-* besteht, erfand, wie hier angegeben, R Flower 1774 Die dazu nötige Tafel findet sich in Briggs Arithmetica logarithmica 1624, doch wandte dieser ein weniger einfaches Verfahren an} Von spätem Schriften, die das Verfahren cultivirt haben, erwähnt der Ver- fasser Hoüel (Tables d cinq d6cimales), und verweist auf dessen Er- klärung« soweit es die Anwendung der Tafeln betrifft Er selbst bat das Verfahren insofern vereinfacht, als er bei der Zerlegung nur ein-
Lüterarü<^ier Bericht CCXXXVUL 23
ziffrige Moltiplicationen vollzieht. Die .damit verknüpften weiteren Vorteile, wie sie in den Tafeln für 30 stellige logaritiimische Rech- nung von R Hoppe (Leipzig 1876. G. A. Koch) dargelegt sind, bleihen anbesprochen, namentlich die Bemerkung, dass man durch Abtren- nung des ersten Terms der logarithmischen Reihe die Anwendung der Tafeln und die damit verbundene Rechnung um die Hälfte kürzen kann. Auch hat der Verfasser eine Einrichtung der Tafeln auf brigg- sche statt auf natürliche Logarithmen im Auge, hat also nicht be- achtet, wieviel überflüssige Mühe die früheren Bearbeiter sich und den Rechnern dadurch aufgebürdet haben (s. Arch. LVHI. 437.). Nach Erwähnung zweier anderen Tafeln ohne unterscheidende Eigen- schaften, deren noch gar manche hätten genannt werden können, be- spricht der Verfasser am Schluss die Tafeln von Steinhauser, welche sehr zum Nachteil der Einfachheit immer 3 Ziffern zusammenfasst, insofern deren Anwendung eine Correction erfordert, die Steinhauser nicht bemerkt hat. H.
Versuch einer näherungsweisen geometrischen Darstellung der y^K (ausgeführt bis auf 6 Decimalstellen). Von R. von Schleu- sing. Berlin 1876. Weidmann. 17 S.
Der Verfasser construirt 2 Ereissehnen nach empirisch gefunde- nen Bestimmungen durch je 2 Punkte, deren Längen von -^n sehr wenig, und zwar entgegengesetzt, differiren, und interpolirt zwischen beiden. H.
Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Von Louis Nävi er, Mitglied der Akademie, Professor an der polytechnischen Schule in Paris, etc. Mit Zusätzen von J. Liouville. Deutsch herausgegeben und mit einer Abhandlung der Methode der kleinsten Quadrate vermehrt von Dr. Theodor Wittstein, Professor. Vierte Auflage. Hannover 1875. Hahn. 754 S.
Sofern das vorliegende zu einem Lehrbuch für den Anfang des Studiums der Differential- und Integralrechnung bestimmt ist, können die an ein solches zu stellenden Anforderungen nicht unbesprochen bleiben. Dass es denselben nicht genügt, ist augenfällig; der Her- ausgeber hat es unterlassen diese Frage in den 4 Vorreden zu be- rühren. Einen so grossen Ruf auch das Buch früher erlangt hat, in den 30 Jahren seit dem Erscheinen der üebersetzung in erster Auf- lage ist doch die Zeit gekommen, wo es immer dringender notwendig wird den alten Schlendrian zu beseitigen; wir haben inzwischen bes- sere Methoden kennen gelernt, und dürfen uns mit einer so mangel-
24 Lüterarischer Bericht CCXXXVIII.
haften Begründung nicht begnügen, wenn wir irgend Sicherheit in der Anwendung der Analysis bei den Anfängern erzielen wollen. Kavier erklärt die unendlich kleinen bloss als kleiner und kleiner werdende
Grössen, ohne zu beachten, dass auch 100-{-- bei wachsendem n
kleiner und kleiner wird, (der Null immer näher kommt,) spricht von da an nicht mehr von ünendlichkleinen, aber sehr oft vom Kleiner- und-kleiner -werden, und weist auch bei GrenzwertbesUramungen immer nur ganz eilig auf letztere Eigenschaft hin. Der Uebersetzer citirt bei einem solchen Falle der Nachlässigkeit (doch wol als Cor- rection) die Camot'sche Erklärung des Unendlichkleinen; doch diese ist ebenso mangelhaft, nur auf der andern Seite, denn sie lässt wieder die Bestimmung als variabel weg. Auf gleicher Stufe stehen die De- ductionen durchweg; ein Massstab strenger Logik lässt sich nirgends anbringen; sie stützen sich auf Sätze, z. B. von unendlichen Reihen, von deren Theorie nirgends die Rede ist, ohne Angabe, wie sie lauten und wo sie bewiesen sind, und wo in der Tat das Angeführte unzu- reichend ist, u. a. m. Dabei ist der Gang der Herleitungen sehr fem vom einfachsten und verrät wenig Geschick. Bei Entwickelung der Diflferentiationsformeln für c*, logx, x»» wird mit der complicirtesten letzten angefangen, während die zweite und dritte leichte Folgen d«* mit einfachem ersten sind, so dass im Grunde der Weg an den 2 späteren Resultaten vorbeiführt, die dann mit Wiederholung der glei- chen Procedur nachträglich gewonnen werden. Bei den Maximis und Minimis und der Curveulehre geschieht die Entwickelung direct bis auf zweite Ordnung, was ganz unnötig eine für Anfänger schwer ver- ständliche Complication mit sich bringt, während bei successivem Auf- steigen zu den höheren Ordnungen jeder Schritt sehr einfach aus- fällt. Von der Integralrechnung brauchen wir nicht besonders zu sprechen ; wo in den Principien der Analysis ein so schlechter Grund gelegt ist, kann von hinreichender Begründung der Integralrechnung nicht die Rede sein. Die Klarheit und Leichtfasslichkeit, welche der Uebcrsctzcr au der Navier'schen Darstellungsweise rühmt, redudrt sich, wie man sich zutreflfender ausdrückt, auf eine bei Vielen be- liebte Oberflächlichkeit. H.
Verschiedene Schriften, Zeitschriften.
Annali di Matematica pura ed applicata. Diretti da F. Brie seh i e L. Cremona, in continuazione di quoUi giä pubblicati dal prot Tortolini. Serie II. Tomo VI. VII. Milano. Die. 1873 - ott 1876. G. Bernardoni.
..■"
Litterarischer Bericht CCXXXVIIL 25
Der Inhalt des 6. Bandes ist: L. Schlaefli: lieber den Gebrauch der Linienl, längs deren der absolute Wert einer Function constant ist — G. As coli: üeber die Fourier'sche Reihe. — Ed. Ovidio: Untersuchung über die projectivische Geometrie. — E. Betti: Ueber die Gleichungen des Gleichgewichts der elastischen festen Körper. — ü. Dini: Ueber die Reihen von Kugelfunctionen. — B. Jgel: Ueber die Darstellung der tcrnären quadratischen Formen durch Quadrate. — J. Bisch off: Auszug aus zwei Briefen an Herrn Cremona. — K B. Christoffel: Arithmetische Beobachtung. — Brill, Gor- dan, Klein, Lüroth, A. Mayer, Nöther, von der Mtthll: Alfred Glebsch und seine wissenschaftlichen Arbeiten (aus den Math. Ann. ins ItaL übers, von E. Beltrami.) — R. Lipschitz: Bestimmung des Druckes im Innern einer incompressibeln Flüssigkeit unter inneren und äusseren Anziehungen. — J. N. Bischoff: Be- weis eines Satzes von Hesse. — E. Beltrami: Ueber das gegen- seitige Potential zweier starreu Systeme, und insbesondere über das elektrodynamische elementare Potential. — E. Fergola: üeber die Stellung der Rotationsaxe der Erde zu ihrer Figuraxe. — J. C. Malet: Zwei Integrationstheoreme. — T. A. Hirst: Ueber die Cor- relation zweier Ebenen.
Der Inhalt des 7. Bandes ist: Aon st: Integrale der Differential- gleichungen der Curven, welche eine gemeinsame Polarfläche haben. — C. M. Piuma: Ueber eine Classe von Integralen, die sich in blossen Logarithmen ausdrücken lassen.* — E. d' Ovidio: Die Com- plexen und die linearen Congruehzcn in der projectivischen Geome- trie. — Brioschi: Ueber einen neuen Punkt der Beziehung zwischen den binären Formen 4. Grades und den ternäron kubischen. — 0. Bonnet: Untersuchung der Flächen, die sich auf einer Ebene darstellen lassen. — Barnaba Tortolini. — Zum Andenken an Jacob Steiner. Vortrag von C. F. Geiser. (Ins Ital. übers, von F. Casorati.) — A. Clebsch: Ueber die Theorie der binären Formen 6. Ordnung und die Trisection der hyperelliptischen Func- tionen. (Ins Ital. übers, von F. Brioschi.) — E. Caporali: Ueber die Flächen 5. Ordnung mit einer Doppelcurve 5. Ordnung. — F. Brioschi: Ueber die Bedingungen der Zerlegung einer temären kubischen Form in drei lineare Factoren. — L. Schlaefli: Berich- tigung zur Abhandlung betitelt: Wann macht sich von einer allgemei- nen Fläche 3. Ordnung ein wieder hineingehendes Stück los? — F. Casorati: Einige Fundamentalformeln zur Untersuchung der Differentialgleichungen 1. Ordnung und 2. Grades zwischen 2 Variabein mit algebraischem allgemeinen Integral. — F. Brioschi: Analyti- sche Untersuchungen über die Curven 4. Ordnung. — R. Sturm:
26 Litterarüeher Bericht CCXXXVUL
lieber die Kräfte im Gleichgewicht. — G. Ascoli: lieber die Reihen
Noavelle Correspondance Math^matiqne, r^dig6e par Eag^ne Catalan, ancien ^l^ve de l'^cole polytechnique, Docteur^s sciences, Professenr k i'aniversit^ de Li^ge, etc. avec collaboratioii de HOL Mansion, Laisant, Brocard, Neuberg et Edoaard Lacas. Tome II. Li^ge 1876. E. Decq.
Von dieser Zeitschrift erscheint jeden Monat 1 Heft, jedes Jahr ein Band. Sie liefert Original-Abhandlnngen, Auszüge, Aufgaben and Lösungen, Besprechungen mathematischer Fragen, keine litterarischen Berichte. Der Inhalt der ersten 6 Hefte an Abhandlungen ist fol- gender. J. Neuberg: lieber die um einen Kegelschnitt beschrie- benen Polygone. — L'e Paige: Kote über PascaFs Essai pour 1^ coniques. — E. Lucas: Trisection des Winkels mittelst des Zirkels.
— P. Mansion: lieber die Theorie der linearen TransformationeD.
— Laisant: lieber ein Problem betreffend ebene Curven. — De Tilly: lieber die Asymptoten der algebraischen Curven. — E. Lu- cas: Note über Pascal's arithmetisches Dreieck und die Lam^'sche Reihe. — E. Catalan: Note über einen geometrischen Ort — E. Lucas: lieber ein Euler'sches Problem betreffend die magischen Quadrate. — P. Mansion: lieber eine, der Leibnitz'schen analoge Formel. — Even: Beweis eines geometrischen Satzes. — Mansion: Die zusammengesetzten Zirkel von Peaucellier, Hart und Kempe. — H. Brocard: Note über verschiedene Eigenschaften des EUipsoids und der Ellipse. — Retsin: Gonstruction der Hyperbel. — P. Man- sion: lieber die magischen Quadrate. — E. Ghysens: lieber die Gonstruction der Normalen einiger Curven und Flächen. — P. Man- sion: lieber 2 Formeln bezüglich auf die Theorie der ebenen Gor- yen. — H. Brocard: Note über die Näherungsmethode der propor- tionalen Teile. — E. Catalan: Einige Sätze^ber die Krümmung der Linien. — E. Catalan: lieber einen arithmetischen Satz. H.
Programm des von der Königlichen Alcademie der Wissenschaften in Turin zu vergebenden Bressa-Preises.
Caesar Alexander Bressa, im Leben Doctor der Medicin and Chirurgie, hat am 4. September 1835 in seinem Testamente Fol- gendes wörtlich verfügt.
Jich erwähle zum Universalerben meiner jetzigen und künftigen „Güter, nach Abzug der verschiedenen Legate, die Königliche Aka- „demie der Wissenschaften zu Turin, welche sich von ihrem bestän- „digen Secretär oder von einem Procurator wird vertreten lassen können, „der zu diesem Zwecke von ihren Mitgliedern zu erwählen wäre.
„Sowie das Recht der Nutzniessung aufhört (welches in dem- „selben Testamente der Frau Claudia Amata Dupech^ zugesprochen „ist), wird die Turiner Akademie die Nachlassenschaft sofort antreten „und befugt sein, die unbeweglichen Güter zu verkaufen, die Kapitale „nach ihrem Ermessen anzulegen, und mit dem Ertrag des Oesammt- „vermögens einen zweijährigen Preis zu stiften, der in folgender Weise „abwechselnd vergeben werden soll.
„Der Reinertrag der ersten beiden Jahre ist als Preis für den- ,genigen Gelehrten bestimmt, der, gleichviel zu welcher Nation er ge- „hören möge, während der letzten vier Jahre die ausgezeichnetste „und nützlichste Entdeckung gemacht haben wird oder der Urheber „war des berühmtesten Werkes, im Bereich der physikalischen und „experimentellen Wissenschaften, der Naturgeschichte, der reinen und „angewandten Mathematik, der Chemie, Physiologie und Pathologie, „mit Einschluss der Geologie,' der Geschichte, Geographie und Sta- „tistik.
„Der Reinertrag der folgenden beiden Jahre wird den\jenigen „Gelehrten zugesprochen werden, welcher, immer nach dem Urteil „derselben Turiner Akademie, in den letzten vier Jahren, bezüglich „einer der oben erwähnten Wissenschaften in Italien die wichtigste „Entdeckung gemacht oder das bedeutendste Werk veröffentlicht haben „wird, und so weiter unter Beobachtung derselben Reihenfolge^.
Obgleich sich die Akademie nicht verhehlt, dass ihr die edel- mütige Schenkung des Doctor Bressa eine schwere Verantwortlich- keit auferlegt, indem sie dazu berufen sein soll, über Geisteserzeug- nisse zu urteilen, welche in irgend einem Teile des weiten Gebietes beinahe sämmtlicher positiven Wissenschaften auftauchen mögen, glaubt sie dennoch dem Vertrauen des freigebigen Erblassers entsprechen zu müssen, indem sie sich anheischig macht, die Bestimmungen seines Testamentes genau zu erfüllen, das von der lobenswerten Absicht ein- gegeben ist, das Gedeihen der Wissenschaft zu befördern.
Das Bressa'sche Yermächtniss ist im Monate Juli 1876 von der Bedingung der Nutzniessung befreit worden. In Folge dessen mass der erste vom Testament bestimmte Zeitraum sich über die Jahre 1877 und 1878 erstrecken.
Der erste Preis wird im Jahre 1879 demjenigen Gelehrten zuer- teilt werden, der, gleichviel welcher Nation er angehören möge, wäh- rend der vorangegangenen vier Jahre, das heisst vom 1. Januar 1875 bis zum letzten December 1878, die bedeutendste und nützlichste Ent- deckung gemacht oder das berühmteste Werk veröffentlicht haben wird, in dem Gebiete der reinen und angewandten Mathematik, der experimentellen Wissenschaften : Physik, Chemie und Physiologie, der Naturgeschichte mit Einschluss der Geologie, der Pathologie, der Ge- schichte, Geographie und Statistik.
Der erste für den vieijährigen Zeitraum, 1875 bis 1878, bestimmte Preis wird zwölftausend italienische Franken betragen.
Im Sinne des Bressa'schen Testamentes wird die Akademie unter den Entdeckungen und veröffentlichten Werken, mögen sie von deren Urhebern eingereicht worden sein oder nicht, das Beste wählen, ohne sich an irgend etwas Anderes zu binden, als an die Grenzen der Zeit, die der Erblasser vorgeschrieben, und an die Rücksicht der Unparteilichkeit, die es verbietet in eigener Sache zu richten.
Kein nationales Mitglied der Akademie, mag es zu den in Turin ansässigen oder nicht ansässigen gehören, wird den Preis davon tragen können.
Im Jahre 1881 wird der zweite Bressa- Preis, für den vier- jährigen Zeitraum 1877 bis 1880, erteilt werden, ganz nach Maass- gabe der obigen Bestimmungen, nur dass, dem Testamente gemäss, dieser zweite Preis nur von einem italienischen Gelehrten gewonnen werden kann.
Und auf dieselbe Weise soll alle vier Jahre einem Gelehrten ohne Rücksicht auf seine Abstammung, und alle vier Jahre einem italienischen Gelehrten der Bressa- Preis zuerkannt werden, so zwar, dass ein Weltpreis und ein vaterländischer regelmässig mit einander abwechseln.
Turin, 7. December 1876.
Der President der Akademie:
FEDERIGO SCL0PI8.
Der Secretär der Klasse Der Secrotär der Klasse för
für physikalische u. mathematische moralische, historische und
Wissenschaften: philologische Wissenschaften:
A8CANI0 SOBBERO. GA»PAR£ GOBRI^IO.
Litterarischer Bericht CCXXXIX, 27
Litterarischer Bericht
CCXXXIX.
Lehrbücher, Sammlungen und Tabellen.
Die Elemente der Arithmetik für die Mittelklassen höherer Schulen und Kor Repetitiou in den oheren Klassen zusammengestellt von F. August, Dr. phil., Oberlehrer am Humboldt- Gymnasium und Lehrer an der Königl. Artillerie- und Ingenieur- Schule zu Berlin. 1875. Winckelmann u. Söhne. 68 S.
Unterscheidend für die Methode des Lehrbuchs und entscheidend für den Lehrgang wenigstens in den erst^Mi Abschnitten ist es, dass dasselbe gleich von Anfang die Zahl in Verbindung mit der algebraischen, beliebig benannten Grösse einführt. Die Principien sind demnach keine rein arithmetischen, sondern aus Arithmetik und Algebra zusammen- gesetzte. Dies ist der Hauptpunkt, in welchem der Verfasser dem Vorgang Worpitzky's (Elemente der Mathematik. Erster Teil. Berlin 1872) folgt. Da wir hinreichenden, nachweisbaren Grund haben, das Vorliegende nicht nach den aus jener Schrift entlehnten Elementen zn beurteilen, so mögen nur die am meisten hervorstechenden dahin gehörigen Punkte in der Kürze vorher besprochen werden. Die Methode führte das formelle Bcdürfniss herbei die Begriffe von Quan- tität und Qualität zu definiren. Dass aus diesen, bloss negativen Bestimmungen die beiden Begriffe nicht erlernt werden, dass erstere überhaupt zur exacten Auffassung nicht hinreichen, wird der Ver- fasser gewiss geni einräumen. Einen exacten allgemeinen Begriff von Qualität besitzen wir nicht, wir kennen nur gewisse Qualitäten, Wir können daher den Grössenbegriff, so lange die Qualität nach daran haften soll, nicht im voraus auf alle Qualitäten einrichten. Für den
TeULX. H»lt3. 3
28 fJüerarischer Bericht CCXXXIX.
Schüler genügt es aber einige wenige Qualitäten zu kennen nm zum Grössenbegriflf mit Abstraction von der Qualität zu gelangen; hierzu bietet die Geometrie das Material, die Algebra die Anweisung. Da die adoptirte Methode diesen naturgemässcn Weg verechmäht, so muss sie über die Grundbegriffe eine Auskunft treffen. Worpitzky legt den höchsten Wert auf die Formulirung, durch die er der Aufgabe vollkommen ideell gerecht zu werden meiut. Im Vorliegenden deutet alles darauf hin, wenn gleich keine Erklärung dem zur Seite steht, dass weniger ein rigoureuser, seitdem der praktische Gesichtspunkt dabei massgebend gewesen ist: die Formulirung ist vereinfacht und der Passus Über die Grundbegriffe als nebensächlich behandelt. Am meisten eingreifend ist noch die von der Worpitzk/schen zwar ab- weichende, aber doch deren Stelle einnehmende, rätselhafte und gänz- lich verfehlte Definition der Null als Qualität ohne Quantität Die Null hat in der gesammten Mathematik die Bedeutung einer Quan- tität, cds solche tritt ßie in jeder Operation auf, dagegen hört die Bedeutung der Qualität gerade bei der Null auf. Dass diese actuetle Stellung geradezu umgekehrt wird, hat etwas Sinnverwirrendes. Ueber- dies fällt bei der Einführung der Null vor allen Operationen selbst die Rechtfertigung durch das Bodürfuiss des Lehrgangs weg; denn die Null ist nicht eher nötig als die negativen Zahlen, welche hier naturgemäss erst nach der Subtraction behandelt werden.
Hierauf und auf einiges weniger wichtige weiter einzugehen ist vor der Hand kein Aulass. Was in der Tat zu Gunsten der Me- thode, die mit der Zahl gleichzeitig die Grösse einführt, spricht, ist erstens der analoge Lehrgang beim Rechenunterricht, sofern dieser die Operationen gleich anfangs mit benannten Zahlen übt, wie es in den untersten Classen zu geschehen pflegt, zweitens die Vermeidung mancher Wiederholungen, welche die reine Arithmetik- bei Erweiterung des Zablbegriffs vollziehen muss. Es werden die Sätze unmittelbar in einer gewissen grossem Allgemeinheit aufgestellt, wie sie gerade für den Umfang der elemeniaren Anwendungen gut passt, daher denn eine so gestaltete Doctrin dem Bedürfuiss der Schüler, die nicht in der Folge Mathematik studiren, am unmittelbarsten entsprechen mag. Wenn der Verfasser in der Vorrede sagt: es schiene ihm unzweifel- haft, dass der Ausgangspunkt vom Grössenbegriff her genommen werden mttsste; wenn Worpitzky, den er hier anführt, sogar behaup- tet, es sei diese die einzig mögliche exacte Methode: so können wir erstere Erklärung als persönliche gegenüber den existirenden Bear- beitungen auf rein arithmetischer Grundlage auf sich beruhen lassen. Letztere Behauptung stützt sich hauptsächlich darauf, dass die frü- heren Lehrbücher in einzelnen Punkten der Strenge nicht Genüge tun. Solche Mängel können verbessert werden ohne die Prlncipien
Lüterarischer Bericht CCXXXIX, 29
ZU wechseln. Ebenso kann man fragen, ob die bestrittenen Paukte der Worpitzky'scheu Methode verbesserlich sind. Im vorliegenden Lehrbuch kauu man, trotz dem dass es nicht im Sinne Worpitzky's geschieht, den Grössenbegriff als bekannton, von den Schülern mit- gebrachten und anderweit erworbenen ansehen, der durch die Schul- doctrin nur die notwendigen Bestimmungen hinzu erhält Dass dies Ziel erreicht wird, dass keine irrigen Vorstellungen aufkommen oder fortbestehen können, und alle Seiten des Begriffs zur Entwickelung gelangen, dafür ist mit Umsicht und logischer Sicherheit, mit einem Verständniss für die Bedürfnisse der Schüler gesorgt, welches das Ungenügende des Ausgangspunkts ganz in den Hintergrund stellt Die 7 algebraischen Operationen werden mit derselben Vollständigkeit ihrer natürlichen successiven Entstehung gemäss aus einander herge- leitet, und die damit verbundenen Erweiterungen des Zahlbegriffs vollzogen, wie es bei reiner Arithmetik geschehen muss. Es werden für jede Operation geschieden nach einander behandelt 1) die Rechen- gesetze enthalten in den Transformationsgleichungen 2) die Resultate ihrem Werte nach 3) die Ausführung d. i. das praktische Verfahren um zu der bezeichneten Resultatform zu gelangen. Ein wesentlicher Fortschritt ist gemacht durch Aufnahme der Theorie der unendlichen Grössen. Es war bekannt, wie mau auf leichtfassliche Weise die un- endlichen Grössen und Grenzwerte erklären und den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung beweisen kann, und dass mittelst des letztern manche Deductionen, die sonst Schwierigkeiten und oft täuschende Auskunftsmitlei veranlassten, streng und leicht vollzogen werden. Den- noch waren bisher Verwendungen der Theorie für die "Schuldoctrin selten, meist unvollständig und nicht in der natürlichen Einfachheit Die gegenwärtige Gestaltung ist frei von diesen Mängeln. Der Haupt- satz nimmt, was gewöhnlich nicht der Fall ist, hier seine richtige Stelle ein und wird da, wo er nötig ist, insbesondere bei den in- commensurablen Grössen mit bestem Erfolg in Anwendung gebracht Die geometrische Darstellung der entgegengesetzten und später der complexen Grössen wird erklärt, sofern sie als begleitende Anschau- ung dient. Im ganzen ist der Vortrag und die Ausdrucksweise äusserst conciun und präcis, man wird darin so wenig eine überflüssige als mangelnde Bestimmung finden; dies gilt ebensowol von der Beschrei- bung des Rechnungsverfahrens, welche in keiner Weise einem schwächeren Auffassungsvermögen zu Hülfe kommt Der Umfang des behandelten Lehrstoffs ergiebt sich aus der Natur der Sache.
H.
Lehrbuch der Arithmetik für üntergymnasien und verwandte Lehranstalten. Von Daniel Höhr. Zweiter Theil. (Für die dritte und vierte Klasse.) Wien 1876. Sallmayer u. Comp. 171 S.
3*
30 Litterarischer Bericht CCXXXIX.
Der erste Teil ist im litt. Ber. 235. S. 26. besprochen. Der zweite führt den Gebrauch der Buchstaben und die negativen Grössen ein und fügt die Potenzen und Wurzeln, die linearen Gleichungen and die Combinationen als neue theoretische Lehrgegenstände hinzu. Das Verfahren ist nicht theoretischer als im ersten Teile. Die Herbei- führung und Formulirung des allgemeinen Satzes aus Beispielen war auch schon dort überall durchgeführt; dass jetzt die Fonnulirong durch Buchstaben geschieht, ist unwesentlich, weil weder die Formel zu Beweisen verwandt, noch ihre Anwendung beim Rechnen erklärt wird. Im Anfang werden die 4 Species in Rücksicht des allgemeinen Zahlenbegriffs noch einmal aufgenommen; hier vermisst man jedoch gänzlich den Begriff des Bruchs und die Bruchrechnung, die, wenn einmal auf die allgemeine Auffassung Wert gelegt ward, noch eine grosse Aufgabe an Erklärungen und Sätzen gestellt hätten. Bei der Potenzrechnung ist die Multiplication bei gleicher Grundzahl vergessen worden; denn die Division wird behandelt und zur Erklärung der Potenzen mit negativen Exponenten gebraucht Die Lehre von den Wurzeln schliesst mit dem begründeten Verfahren der Ausziehung der Quadrat- und Kubikwurzeln. Dann folgen einige bürgerliche Rechnungsweiseu, die auf Zusammensetzung der Verhältnisse beruhen, dann die Lehre von den Gleichungen 1. Grades mit 1 und mehreren Unbekannten, dann einiges aus der Combi uationslehre, schliesslich die Zinseszinsrochuung. Ein Anhang behandelt die Rechnung mit abge- kürzten Decimalbrüchen. Jedem Abschnitt sind einige Uebungsbei- spiele beigefügt. Das Ganze ist nicht sowol ein Lehrbuch der Arith- metik im gewöhnlichen Sinne als vielmehr eine Anweisung zum Rechnen zu nennen. Als solche zeichnet es sich aber durch die sorgfältige Anbahnung der allgemeinen Auffassung und des gründlichen Verständ- nisses, durch correcten und dem wissenschaftlichen Gebrauch adä- quaten Ausdruck aus, so dass es auch als Vorschule zur theoretischen Arithmetik dienen kann. Kürze und Beschränkung auf die notwen. digen Bestimmungen hat sich der Vortrag in Aufstellungen und Be- schreibungen nicht zum Augenmerk genommen, vielmehr sehr häufig dieselbe Sache in verschiedener Form zu grösserer Verdeutlichung wiederholt. H.
Allgemeine Arithmetik und Algebra als III. Theil des ,,Allge- meinen Deutschen Rechenbuches^^ Ein hauptsächlich für den Selbst- unterricht bestimmtes Lehr- und Uebungsbuch zum Gebrauche in den mittleren und oberen Klassen von Gynmasien, Real- und Gewerbe- schulen und an SchuUehrer-Seminarien. Von J. M. J. Sachse, Gc- werbeschullehrer in Goblenz. Coblenz 1875. J. Kölscher. 464 S.
Das Buch giebt eine grosse Menge zusammengeschriebenen Lehr-
LiUerarischer Bericht CCXXXIX. 31
Stoff ohne verbindenden Gedanken und methodische Yerarbeitnng. Von Systematik ist darin keine Spur; die einen Abschnitt füllenden Sätze, Regeln u. s. w. entsprechen sich nicht, bilden keine ausschliessen- den Gregensätze und erschöpfen nichts. Einzeln sind die Aufstellungen nur eben wörtlich zutreffend (ausgenommen etwa die sinnlose Ein- führung des oo als Bruch mit Nenner 0), aber so wenig als möglich geeignet das Wesentliche ans Licht zu stellen, unter einander un- gleichartig, von einer Auffassung zur andern überspringend. Was den äussern Umfang betrifft, so bilden die 7 Operationen, die kubischen Gleichungen, die Progrnssionen , Ketteubrüche und diophantischen Gleichungen, nebst einigem über höhere Gleichungen, endlich die Syutaktik die Grenzen des theoretischen Teils. Hierauf folgt ein praktischer Teil, der in sehr zahlreichen, teils entlehnten, teils neuen Beispielen von den theoretischen Lehren Anwendung macht, und über die darin berührten Wissenszweige an den betreffenden Stellen die nötigen Erklärungen giebt Hierhin gehört namentlich ein Digress über technische Mechanik; auch geht derselbe besonders auf Wahr- scheinlichkeitsrechnung und auf Ealenderrechnung ein. Dieser 2. Teil möchte jedenfalls das Brauchbarste des Buches enthalten. H.
liehrbuch der ebenen Geometrie für höhere Lehranstalten nach der Entwickelungsmethode bearbeitet von J. Gilles, Gymnasiallehrer in Düsseldorf. Heidelberg 1877. Carl Winter. 179 S.
Das Vorliegende ist ein verunglückter Versuch vermeintlichen Mängeln der Unterrichtsmethode abzuhelfen. Der Verfasser tadelt an der gewöhnlichen Methode die lose Verknüpfung der Sätze und das Voranstellen des Satzes vor den Beweis; er setzt ihr die Entwicke- lungsmethode entgegen, welche das Entstehen der Raumgebilde sehen lasse und den Satz erst als gewonnene Einsicht ausspreche. Nur Unerfahrenheit und logische Schwäche machen es erklärlich, dass der Verfasser an der Gestaltung seiner Doctrin nicht gewahr geworden ist, wie weit sie davon entfernt ist> irgend etwas zum Bessern zu führen. Ueberdies ist er in demselben Vorurteil wie Grassmann be- fangen, von dessen, freilich mit viel schärferer Logik durchgeführter Sachverkehmng im litt. Ber. 218. gesprochen worden ist, dem Vor- urteil, dass das unmittelbar deutliche im Allgemeinsten zu suchen sei. Er wird auf die Verkehrtheit nicht einmal aufmerksam, wo er den Kreis aus der Ellipse erklärt, obwol er hier in der Verallgemeinerung Halt machen musste. Sehen wir zu, was aus solchen Principien her- vorgegangen ist, so bietet der Anfang eine philosophische Auseinan- dersetzung, bestehend aus teils unrichtigen, teils halbrichtigen, durch- weg aber bestreitbaren Aufstellungen dar. Im Folgenden sieht man
32 Litterarischer Bericht CCXXXIX,
den ganzen Nexus des geometrischou Lehrgebäudes herzlos bei Seite geworfen, und an dessen Stelle eine, zum Teil willkürliche Disj)ositioü des Lehrstoffes gesetzt, an welche sich dann die Reihe der Lehrsätze anschliesst. Der Verfasser weiss gewiss nicht, wie viele dem Mathe- matiker geläufige, dem Anfänger unbekannte Ausdrücke er unerklärt lässt Von den einzelnen ungenügenden Beweisen zu reden ist in solchem Falle überflüssig. H.
Ebene Geometrie für Schulen. Von Dr. Georg Rccknagel,. Professor für Physik und technische Mechanik, Rektor der k. Indu- strieschule zu Kaiserslautern. Zweite, verbesserte Auflage. München 1876. Theodor Ackermann. 203 S.
Das Buch zeichnet sich zunächst durch eine klare und einfache Darstellungswcise , musterhaft sorgfältige, correcte und allseitige Be- rücksichtigung aller zum Verständniss notwendigen Umstände ohne Umschwcif und Subtilitäten in hohem Grade aus. Eine Folge hier\'on ist, dass es länger als gewöhnlich bei den Anfangsgründen verweilt Eigentümlich ist ihm die Bevorzugung der arithmetischen Methode, die mit der Lehre von der Gleichheit der Flächenstücke beginnt, und in die Lehre von Proportionen und Aehnlichkeit übergeht, ohne doch die Anwendung der geometrischen Schlüsse zu verdrängen. Der Fall der Incommensurabilität wird in aller Strenge berücksichtigt. Dass dies ohne wiederholte Umständlichkeit möglich war, hat eine der systematischen Ordnung eigentlich nicht gemässe Umstellung bewirkt, indem der Abschnitt von der Gleichheit wichtige Proportionssätze über Flächen mit enthält, die dann zum Beweise von Proportionen der Linien dienen. Das Buch scheidet sich in 2 sehr gekennzeichnete Teile: der erste, der mit der Congrueuz abschliesst, lässt den Schüler fast ganz receptiv. Desto reichhaltiger ist der zweite, vom Flächen- inhalt der Figuren, an Elementen, welche ihm zu eigener Tätigkeit Anlass bieten. Die betreffenden Aufgaben sind gesondert Zugaben im Anhang sind isoperimetrische Sätze und das Apollonische Bc- rührungsproblem. Die Beweise sind von Anfang an meist nur ange- deutet Zwei Beweise sind falsch. Der Verfasser sagt, ein auf Grande eingehender Vorwurf gegen die Vollgiltigkeit des Beweises für den Parallonsatz mittelst Winkelebene und Parallelstreifen sei ihm nicht bekannt. Dass er falsch ist, ist bekannt genug, und der Grund augen- fällig: Winkelebeno und Parallelstreifen sind keine Grössen, wenn sie auch in manchen Beziehungen den Grössen, analog sind. Sie als Grössen anzuwenden ist ein logischer Fehler. Femer ist der Beweis für den Satz, dass der Umfang eines regelmässigen Vielecks von unendlich vielen Seiten unendlich wenig vom umschriebeneu Kreise
LitUrarischer Uericht CCXXXIX. 33
differirt, unzureichend ; es ist nur gezeigt, dass die Di£ferenz beständig abnimmt, aber nicht, dass sie jede Kleinheit erreicht Dagegen ist rühmlichst anzuerkennen, 1) dass mit Aufstellung des Satzes der einzig correcto und erfolgreiche Weg für die Kreisberechnung betreten wird, 2) dass es nur einer Modification bedarf, um den Mangel aus- zugleichen. Es Hess sich der Schluss ziehen, dass ein Grenzwert existiren muss; dieser ist durch Definition der Länge der krummen Linie, die bis dahin noch keinen Begriff hat, gleich zu setzen. Der nächste Satz über das umschriebene Vieleck ist überflüssig; Grenzen- einschliessung ist unnötig. Die Terminologie schliesst sich in einigen Punkten einem sehr unpraktischen Gebrauche an. Das Wort „Figur", ursprünglich = „Gebilde", wie es in allen romanischen Sprachen und im Englischen noch jetzt gilt, für den speciellen Sinn „Flächenstück" zu verwenden, ist nicht nur principiell incorrect, sondern hat auch ausser allen jenen Sprachen den heimischen Gebrauch (z. B. Figur an der Tafel) gegen sich, mit dem es oft collidirt „Kreis" statt „Kreisfläche" ist durch blossen Unverstand und nur teilweise auf- gekommen; denn wir sagen: Kreise schneiden sich, einen Kreis ziehen u. s. w. Die Linie enthält das Charakteristische, das Flächenstück wird erst durch sie charakterisirt. „Strecke" ohne Unterscheidung der Richtungen AB und BA zu gebrauchen bringt unnötige Corapli- cationen hervor, wie vielleicht der Verfasser auch empfunden hat. Die vorgenannten Ausstellungen betreffen Punkte, die sich leicht vom Ganzen abtrennen lassen und sollen ohne die Vortrefflichkeit des
»
Buchs zu verringern, als Verbesserungsvorschläge angesehen werden.
H.
Geometrische Analysis. Eine systematische Anleitung zur Auf- lösung von Aufgaben aus der ebenen Geometrie auf reingeometrischem Wege. Von Oberstudienrath Dr. von Nagel. Mit 155 Holzschnitten. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. Ulm 1876. Wohler. 264 S.
Das Buch verfolgt den Zweck die Entwickeluug der Fähigkeit zur Lösung geometrischer Aufgaben, die wegen öfterer Miserfolge leicht als bedingt durch speciflsche Begabung erscheint, zu einer allen Schülern gemeinsamen zu machen und sucht diesen Zweck durch ausführliche Darlegung der Erfordernisse und zu Gebote stehen- den Mittel zu erreichen. Es handelt demgemäss nach einander über die Natur und über die Teile einer Aufgabe, über die geometrische Analysis, dann über die verschiedenen Hauptwege, um zur Auflösung geometrischer Aufgaben zu gelangen; den Schluss bildet die Lehre von den geometrischen Oertern. Ein Anhang giebt noch eine Anzahl von Constructionsaufgaben, welche die zahlreichen in des Verfassers Lehrbuch der ebenen Geometrie enthaltenen vermehren. Die Dar-
34 Litterarischer Bericht CCXXXIX,
legung stützt sich teils aaf allgemeine Begriffe, teils auf Beispiele. Die allgemein gehaltene Unterweisung ist noch ziemlich bcsscruugs- fähig. Sie ist nicht zu jener Einfachheit und Klarheit durchgearbeitet, welche kurz und treffend das Wesentliche vom Accidentellen scheidet Doch ist damit wenigstens ein guter Anfang gemacht, eine eben nicht leichte und bisher noch wenig in Angriff genommene Aufgabe zo bewältigen. Auch dient die Erklärung am Beispiel dazu, das Ter- misste zu ersetzen, und die restirende Undeutlichkeit zu heben.
Elementaraufgabcu aus der Algebra. Von Professor Dr. 0. Her- mes. Berlin 1875. Winckelraann u. Söhne. 140 S.
Diese Aufgaben bestimmt der Verfasser für den Gebrauch beim Unterricht in der Algebra bis zur Stufe von Untersecunda ; sie bilden den ersten Teil der 1874 in dem gleichen Verlage erschienenen „Sammlung von Aufgaben aus der Algebra und niederen Aualysis" desselben (s. litt. Ber. 225. S. 3.). Sie erstrecken sich bis zu den quadratischen Gleichungen, enthalten ausser den einfachsten algebrai- schen Transformationen auch numerische Rechnungen und sind durch- gängig für eine leichte Anwendung eingerichtet H.
Recueil d'exercices sur la mecanique rationnelle h, Tusage des Candidats ä la Licence et ä l'Agr^gation des sciences mathematiques. Par A. de Saint-Germain, Professeur de mecanique k la Facult^ des sciences de Caen. Paris 1877. Gauthior- Villars. 456 S.
Diese Aufgabensammlung schliesst sich einer einfach analytischen Behandlung des Lehrstoffs an und hat überall die Uebuug in analy- tischer Methode im Auge. Jeder Abschnitt besteht aus einer kurzen Zusammenfassung der in Anwendung kommenden Principicn, die nicht erläutert sondern als bekannt und verstanden vorausgesetzt werden, einer Anzahl Aufgaben mit Lösung und einigen Aufgaben ohne Lö- sung, welche bestimmt sind nach Analogie vermehrt zu werden. Die Aufgaben sind ohne Rücksicht auf technische Verwendung so aus- gewählt, dass sie weder zu leicht noch zu schwer sind und durch die Einfachheit des Resultats ein gewisses Interesse bieten. Solche in so grosser Reichhaltigkeit aufzufinden ist offenbar keine geringe Lei- stung. Das Gebiet ist auf die Statik, Cinematik und Dynamik fester Körper begrenzt Reibung ist mit aufgenommen, Elasticität hingegen ausgeschlossen. Den letzten Abschnitt bilden die allgemeinsten Prin- cipien, das der virtuellen Geschwindigkeiten, das Alembert'sche, das Hamilton'sche und Jacobi's Integrationsmethode. H.
Lifterarischer Bericht CCXXXIX, 35
Sammlong von Rechen- und CoDStructionsaufgaben aas der Plani- metrie. Herausgegeben viou Dr. Kurt Scharig, Oberlehrer an der k. Gymnasial- and Rcalschnlanstalt and Lehrer der Mathematik an der k. Baagewerkenschnle za Plauen i. V. Planen 1876. A. Hoh- mann. 98 S.
Diese Aufgaben sollen Ergänzung des Leitfadens „Elemente der Geometrie von Dr. Kurt Schurig'' sein; ihre Anwendbarkeit ist durch diese Beziehung in keiner Weise bedingt Sie bestehen aus Reihen numerischer Data, welche auf vorangestellte Forderungen folgen. Die Fragen zur Rechenübung beziehen sich teils auf doctrinär geo- metrische Figuren, teils auf wirkliche bekannte Gegenstände. Die CoDStructionsaufgaben haben nur Bedeutung, sofern sie mit Lineal, Zirkel und Millimeterstab ausgeführt werden. H.
Rechenbuch für Volksschulen und die unteren Glassen höherer Schulen (der methodisch geordneten Aufgaben 8. Auflage L Theil). Von Chr. Harms, Professor an der Realschule in Oldenburg. Sechste Auflage. Oldenburg 1876. Gerhard StalUng. 283 S.
Rechenbuch für die Oberclassen gehobener Volks- und Fort- bildungsschulen und der mittleren-Classen höherer Schulen (der metho- disch geordneten Aufgaben 8. Auflage 11. Theil). Von Chr. Harms, Professor an der Realschule in Oldenburg. Oldenburg 1876. Ger- hard StaUing. 107 S.
Das erstere Buch unterscheidet sich von der 5. Auflage an durch den üebergang zur allseitigen Decimalrechnung ; es werden demnach die Decimalbrüche früher geübt als die gemeinen Brüche, die über- haupt nur wenig vorkommen. Auch ist die Potenzrechnung und in 6. Auflage die Zinseszinsrechnung hinzugekommen.
Das letztere Buch wird jetzt zum erstenmale gesondert heraus- gegeben. Manche höhere Rechnungsweisen sind aufgenommen. In beiden Büchern nimmt das kaufmännische Rechnen die vorwaltende Stelle ein. - H.
^Georg's Freiherm von Vega logarithmisch-trigonometrisches Hand- buch. Sechszigste Auflage. Neue vollständig durchgesehene und er- weiterte Stereotypausgabe. Bearbeitet von Dr. C. Bremiker. Berlin 1876. Weidmann. 575 S.
Von der 40. Auflage an hat, soviel sich bemerken lässt, keine Aenderung mehr «tattgefunden. Jener vorausgegangen sind dagegen
36 LUterarUcher Bericht CCXXXIX,
wesentliche Vermohratigei]. Die tiigononietrischen Tafelu siod von 10 zu 10 Secunden, im lutervall der ersten 5 Grade durch alle Se- cunden durchgeführt, und die Proportionalteile der Differenzen sind, was fOr die Genauigkeit unenthehrlich war, nicht mehr abgekürzt Unter den Logarithmen der Zahlen steht noch eine Reductionstafel, von der man wünschen möchte, dass der Raum nicht durch sie be- schränkt worden wäre. Infolge dessen sind nun die Ziffern weit kleiner geworden, als sie in früheren Ausgaben waren, was den Gebrauch empfindlich erschwert. Doch mochte dies bei der grösseren Aus- dehnung unvermeidlich sein. Zugaben sind die Tafel zur Verwandlung der brigg. Logarithmen in natürliche und umgekehrt, die Tafel zur Verwandlung der Stcmzeit in mittlere Zeit und umgekehrt, Tafeln der Refraction und eine Anzahl Constanten. H.
Tables de logarithmes ä six d6cimales pour les nombres depuis 1 jusqu* ä 20000 et pour les ligues trigonom6triques, le rayon ^tant pris ^gal ä l'unit^. Suivies de plusieurs autres tables tres-utiles, aTcc uu appendice servant ä trouver sur-le-champ et saus les secours des formuies lo logarithmc d'un nombre, et vice versa, avec vingt chiffres exacts et au dessous. Par M. V. Vazquez Queipo, Menibre des acad^mies royales des sciences et de Thistoire, et du Conseil su- perieur de Tinstruction publique de Madrid. Deuxieme Edition fran- ^ise. Paris 1876. Gauthier- Villars.
Die erste Ausgabe dieser Tafeln ist vor 18 Jahren in spanischer Sprache erschienen, später sind sie zur Verbreitung in Frankreich übersetzt worden. Sie unterscheiden sich nicht wesentlich von unse- ren gewöhnlichen Tafeln. Nur steht hinter jeder Spalte die Differenz angegeben. Die trigonometrischen Tafeln sind durch die Minuten durchgeführt, und die Proportionalteile für die Secunden augegeben. Hierauf folgen eine grössere Anzahl trigonometrischer Formeln und verschiedener kleinen Tafeln. Der Verfasser hat mit der vorliegen- den Bearbeitung den Zweck verfolgt, den Gebrauch der Logarithmen auch den Nichtgelehrteu, namentlich den Handwerkern zugänglich zu machen. Hierzu soll eine ausführliche Darlegung der Theorie der Logarithmen nebst Erklärung der Tafeln, welche denselben vorans- geht, dienen. Diese ist indes ganz umfassend und abstract wissen- schaftlich gehalten, und setzt jedenfalls bei denen, welche daraus lernen sollen, den Willen voraus sich eingehend damit zu beschäftigen, womit auch eine Bemerkung des Verfassers übereinstimmt H.
Vollständige logarithmische und trigonometrische Tafeln. Von Dr. £. F. August. Elfte Auflage (der neuen Stereotyp -Ausgabe
LtUerarischer Bericht CCXXXIX, 37
erste Auflage) besorgt von Dr. F. August, Oberlehrer am Humboldts- Gymnasium und Lehrer an der königl. Artillerie- und Ingenieur-Schule in Berlin. Leipzig 1876. Veit u. Comp. 204 S.
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Diese Tafeln in ihrer ursprünglichen Gestalt sind wol unter den 5 stelligen in Deutschland die am meisten bekannten und als praktisch anerkannten. Mit der jetzt vollzogenen Erneuerung der Platten sind zugleich mannichfache Veränderungen verbunden worden. Das Format ist nach beiden Dimensionen vergrössert, dem entsprechend auch die Ziffern. Hinzugefügt sind vor sdlem die Proportionalteile der Diffe- renzen, was namentlich bei den trigonometrischen Tafeln grosse Er- leichterung gewährt, und zwar für Decimalteilung der Minute, ein, wenn gleich geringer, doch anerkennenswerter Schritt zur vernünf- tigen Kreisteilung, der wol keiner Rechtfertigung bedarf. Femer ist die Tafel fQr die nicht logarithmirten Kreisfunctionen, die vorher nur durch die Grade ging, jetzt durch die Sechstelgrade durchgeführt. Femer sind einige astronomische Angaben hinzugekommen. Die Er- läuterungen erstrecken sich weiter und namentlich mehr auf die Be- urteilung der Genauigkeit Dagegen sind weggelassen zuerst die Gauss'schen Tafeln für die Logarithmen der Summen und Differenzen, welche jedoch gesondert ausgegeben werden, ferner die Factorentafel und die trigonometrischen Formeln. Im übrigen ist die Einrichtung, Anordnung und Ausdehnung, von einer Umstellung abgesehen, un- verändert erhalten worden. H.
Gowone Logarithmen in v^f decimalen der getallen van 1 tot 10000. Door J. Versluys. Groningen 1876. W. Versluys.
Diese 5 stellige Tafel, welche hier ausschliesslich für die brigg- schen Logarithmen der Zahlen ausgegeben wird, hat vollständig die gewöhnliche Einrichtung; die Proportionalteile der Differenzen stehen ohne Abkürzung am Bande. Sie zeichnet sich durch weit getrennte Zeilen, fett gedruckte Hauptzahlen und Einschliessung der zugehörigen Zeilen zwischen Linien, überhaupt durch Deutlichkeit für das Auge aus. Zugabe sind die Logarithmen für Zinsesziusrechnung 7 stellig.
H.
Tables pour calculer la date de la fete de Paques. Par M. F. Burnier. Bull. soc. sc. nat XIV. 75.
Die Berechnung des Osterfestes nach Julianischem und Grego- rianischem Kalender wird hier durch eine Tafel zu einer sehr leichten gemacht. Deren Einrichtung lässt nichts zu wünschen übrig; nur hätte wol durch die gehörigen Weisungen, in welchen Rubriken jedes
38 Lüterarischer Bericht CCXXXIX,
Entree zu suchen ist, das unmittelbare Yerständniss gefördert werden können. Beigefügt sind die Angaben zur Bestimmung des massgeben- den Vollmonds und der abhängigen Feste. Eine Gebrauchsanweisung ist vorausgeschickt, welche in der Eigentümlichkeit bei jeder Sache das zum Yerständniss vor allem Notwendige zu verschweigen wol alles Bisherige ihrer Art übertrifft. Das zu. Erklärende ist indes von so geringem Umfang, dass man durch Combination einiger, ziemlich mangelhaft dargelegten Beispiele, welche auf die Erklärung folgen, die Deutung bald errät. Wird durch die Tafel auch alle Rechnung bis auf die Additionen erspart, so möchte doch die Anwendung der Formel, wie sie Piper in Grelle J. XXII. mitteilt, überall wo es nicht um einzelne Jahre, sondern um eine längere Reihe von Jahren han- delt, schneller und mit grösserer Sicherheit vor Fehlem zum Ziele führen. H.
Resolution des 6quations num^riques du 3« degre. Par F. Bur- nier. Bull. 64. de la Soc. vaudoise des sc. nat., vol. X.
Diese Schrift enthält eine kleine Tafel zur numerischen Auf- lösung kubischer Gleichungen mit vorausgehender theoretischen Er- örterung. Die gleiche Idee ist jedoch bereits 1871 von A. S. Guldbefg (in Vidensk. Selskab. Forhandl. i Christiania, worüber litt. Ber. 220. p. 4.*) in Ausführung gebracht Guldberg hat den Gegenstand weit umfassender, vielseitiger und zur Genüge erschöpfend behandelt und eine weit ausgedehntere Tafel dazu gegeben. Soweit also die Sache an sich von Interesse ist, verdient nicht Bumier's, sondern Guldberg's Schrift Beachtung. H.
*) Bei dieser Gelegenheit möge das im 55. T. d. Arch. begangene Ver- sehen zur Anzeige kommen , dass bei der citirten Schrift der I^ame des Ver> fassers „A. S. Galdberg'' fehlt.
Litlerarischer Bericht CCXL. 39
Litterarischer Bericht
CCXL.
Arithmetik, Algebra und reine Analysis.
II calcolo suUc incognite delle eqaazioni algebraiche. Studi Aha- litici del Dott Giovanni Biasi. 1876. Verona, H. F. Münster. Milano, G. Brigola. 84 S.
Der Untersuchung über die algebraischen Gleichungen vorausge- schickt ist als Grundlage .eine Theorie der symmetrischen Functionen einer beliebigen Anzahl von Elementefi, welche der Verfasser mit An- Wendung partieller Differentiationen zu einem Algorithmus ausgebildet hat. Er nennt Peninvariante eine Function, deren partielle Differeu- tialquotienten eine Summe null haben ; eine solche bleibt unverändert, wenn alle Elemente ein gemeinsames Incremeut bekommen. Es wird dann zuerst die Aufgabe der Transformation der Gleichungen allge- mein behandelt, die darin besteht für die Unbekannte eine neue, mit jener durch eine beliebige algebraische Relation verbundene einzu- führen. Dann folgen die Aufgaben, zu 2 gegebenen Gleichungen eine dritte zu finden, deren Wurzeln die Summe, die Differenz, das Pro- duct, der Quotient der beiderseitigen Wurzeln in allen Combinationen sind; dann die Aufgabe, zu einer gegebenen Gleichung diejenige zu finden,' deren Wurzeln Potenzen der ursprünglichen Wurzeln sind. Letztere ist nur ein besonders einfacher Fall der allgemein behan- delten Transformation, wo die Relation zwischen den Unbekannten nur 2 Glieder hat. Der Verfasser nennt diese Transformation die binomische, und entwickelt eine Reihe von Sätzen über dieselben. Die Methode aller dieser Aufgaben ist diejenige, welche auf Gru^
TeilLX. Heft 4. a
40 Litterarischer BtrklU CCXL.
der oben genannten Principien direct die Coefficientcn boreclinet. Zum Schluss wird gezeigt, wie die Theorie der Transformationen ausreichend ist zur Lösung der Gleichungen 2., 3. und 4. Grades.
H,
Integration der linearen Differentialgleichung, deren Coefficientcn lineare Functionen der unabhängigen Veränderlichen sind. Von Dr. Anton Winckler, wirklichem Mitgliede der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. Wien. Sitz. Ber. LXVII. Jan. 1873. 40 S.
Integration zweier linearen Differentialgleichungen. Von Dr. Anton Winckler, wirklichem Mitgliede der kais. Akademie der Wissenschaften. Wien. Sitz. Ber. Jan. 1875. 28 S.
Ueber die Integration linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung mittelst einfacher Quadraturen. Vergleichende Zusammen- stellung der beztlglich älteren und neueren Resultate und kritische Beleuchtung der angeblichen Entdeckungen des Herrn Prof. Simon Spitzer in Wien. Von Dr. Anton Winckler, Professor der Mathe- matik an der k. k. technischen Hochschule in Wien. Wien 1876. Alfred Holder. 60 S.
Der erste Aufsatz löst die Aufgabe, alle Gleichungen von der Form
wo die Ily iT, L coustant sind, zu iutegriren mit der weitern Forde- rung, dass beide Speciallösungen als einfache bestimmte Integrale dar- gestellt werden. Die Grenzen der Integrale sind meist 0 und oc. Es waren zunächst die 3 Fälle zu unterscheiden, jenachdem H^== Ä^ = 0, oder bloss H^ == 0, oder weder //o noch Äq null ist Ausser- dem mussten manche Constauten verschieden bestimmt werden, je- nachdem die Unabhängige, die als allgemein complex aufgefasst wird, zwischen verschiedenen Grenzen variirt. Soviel auch schon Gleichungen der obigen Form von frühereu Mathematikern behandelt und gelost worden sind, so zeichnet sich die gegenwärtige Behandlung dadurch aus, dass sie das Ganze der Aufgabe ins Auge fasst, eine einheitliche Form der I^ösung aufstellt und eine vollständige Discussion gicbt.
Den Gegenstand des zweiten Aufsatzes bilden die Diffei*ential- gleichungen
Litterarischen Bericht CCXL, 41
Die erste verlaugt die Unterscheidung, jenachdem HQt-\-2H^t'{-H^ ein Quadrat ist oder uiclit. Ist der Coefficient kein Quadrat, so wird die Gleichung bekanntermassen durch die Gauss'sche Function (hyper- georaetrischo Reihe) gelöst, und ist, zuletzt von Jacobi in Grelle J. Bd. 56., genügend erörtert. Es blieb daher nur der erste Fall zu behandeln, was nach gleicher Methode wie bei der ersten Aufgabe und mit gleichem Erfolge geschehen ist. Ebenso bedurfte die zweite, obwol viel behandelte, Riccati'sche Gleichung doch hinsichtlich der anfänglich gestellten Forderungen einer neuen eingehenden Unter- suchung, welche zur Erfüllung aller Bedingungen führte. Von beiden gilt das Obengesagte.
Die dritte Schrift, welche ausschliesslich auf Gegenstände der 2 ersten Bezug nimmt, widerlegt eine ungerechtfertigte Beschuldigung von Seiten Spitzer's und enthüllt eine grössere Anzahl von Irrtümern in dessen „Studien über die Integration linearer Differentialgleichun- gen^S wo häufig die Identität der 2 Speciallösungen nicht erkannt ist. Die darüber hinausgehende Behauptung des Verfassers, Spitzer habe in allen den Gegenstand betreffenden Schriften nur Bekanntes repro- ducirt, ist durch das Vergebrachte nicht erwiesen, und die von dem- selben reichlich angogelenen Quellen, welche er benutzt hat, zeigen, dass er sein Verhältniss zu seinen Vorgängern nicht hat im Dunkeln lassen wollen. In seinen eignen historischen Angaben über die frü- heren Entdeckungen auf dem Gebiete der hier besprochenen Glei- chungen hat der Verfasser Vollständigkeit nicht beansprucht. H.
Geometrie.
Ueber die zugleich gleicheckigen und gleichfiächigen Polyeder. Von Dr. Edmund Hess, Privatdocent an der Universität Marburg. Kassel 1876. Theodor Kay. 95 S.
Da der Verfasser da, wo 05 sich um Erklärung handelt, öfters auf seine früheren Schriften Bezug nimmt, so sei hier auf litt. Ber. 234. S. 11. verwiesen, wo diese Schriften besprochen sind. In den- selben waren die Erklärungen so äusserst mangelhaft, dass es jetzt vor allem am Orte gewesen wäre, das Versäumte nachzuholen und die Gegenstände seiner Betrachtung von Anfang an gehörig zu be- stimmen. Der erste Abschnitt der gegenwärtigen Schrift, betreffend Polyeder erster Art, wo der Gegenstand einfach ist, wird ausführlich und klar behandelt; von da an hört alles Definiren auf, der Verfasser verlangt, dass sich der Leser analoge Begriffe bilden solle, ohne zu sagen welche. So heisst es z.B. Seite 13: „Die analogen Regeln für
4*
42 Litterarischcr Bericht CCXJL
die Bestimmung der Art der sphärischen Polygone und der denselben entsprechenden körperlichen Ecken lassen sich ohne Schwierigkeit aufstelleü". Die Aufstellung mag leicht sein; ob sie aber dem Ge- danken des Verfassers entspricht, bleibt uugcwiss. Je complicirter die Gegenstände, desto eiliger wird über die Bestimmung hinweg ge- gangen. Es werden anfilnglich 2 Methoden der Herleitung bezeich- net; doch statt der Anwendung erfährt man nur die successiven Resal- tate. Letztes Ergebniss ist, dass es 12 zugleich gleichecldgc und gleichflächige, convexc, coutinuirliche Polyeder giebt, die sich zu je zweien polarreciprok entsprechen. Polyeder erster Art, d. i. Poly- eder im gewöhnlichen Sinne, gab es nur eins, ein Tetraeder von cob- gruenten Seiten. H.
Darstellende Geometrie. Von K. Pohlke. Erste Abtheilung. Darstellung der geraden Linien und ebenen Flächen, so wie der aus ihnen zusammengesetzten Gebilde, vermittelst der verschiedenen Pro- jectionsarteu. Xebst einem Heft von zehn Tafeln. Vierte Auflage. Zweite Abtheilung. Darstellung einiger krummen Linien und krummen Flächen. Nebst einem Hefte von zehn Tafeln in 4to. Berlin lö7G. Rudolph Gaertuer. 373 S.
Wenn eine neue Bearbeitung eines bereits so viel behandelten Lehrgegenstandes, wie das Vorwort einräumt, dem Kundigen nichts neues darbietet, so sollte mau doch wenigstens in der Art des Vor- trags einen Fortschritt von ihr erwarten dürfen. Diese ist jedoch so weit entfernt die nächsten Ansprüche zu befriedigen, dass hierin dn Grund zur Erneuerung nicht wol zu ersehen ist. Es handelt sieb hier nur darum eine an sich sehr einfache Sache in entsprechender Einfachheit und guter Ordnung darzulegen. Statt dessen wird der Gegenstand durch unnötig weites Ausholen und viele überflüssige Worte erst zu einem anscheinend weiten Felde ausgedehnt, auf dem nach- her alle ordnenden Gesichtspunkte fehlen. Die geometrischen Vor- kenntnisse in dem in Anwendung kommenden Umfange konnten vor- ausgesetzt oder gesondert erteilt werden; sie bei Beschreibung des technischen Verfahrens nachzuholen ist die unglücklichste Wahl, die getroffen werden konnte. Im Vorliegenden treten theoretische, sowol principiello als speciell den Gegenstand betreffende, Aufstellungen, zur Sache gehörige Aufgaben, Einführungen, Anordnungen und termino- logische Erklärungen so bunt gemischt auf, dass man Mühe hat, den eigentlichen Inhalt daraus zusammenzufinden. Die Methode ist mit Auswahl von verschiedeneu Autoren adoptirt; ihre Wiedergabe zeigt wenig selbständiges Urteil. Die 4 ersten Capitel beschäftigen sicii mit der senkrechten Projection auf 2 normale Ebenen; danu folgt
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LUterarischer Bericht CCXL, 43
die Axonometrie, die schiefe und die centrale Projection. Die zweite Abteilung handelt erst von Linien und Flächen im allgemeinen und von Kreis und Kegelschnitten, dann von speciellcn Flächen.. H.
Lehrbuch der darstellenden Geometrie für Mittelschulen und zum Selbstunterrichte. Bearbeitet von Jrenäus Kreuszel, Professor. Mit 398 in den Text gedruckten Abbildungen. Brunn 1876. Kara- fiat. 4^ 323 S.
Das vorliegende Lehrbuch zeichnet sich durch eine mit guter Ordnung und Klarheit verbundene Ausführlichkeit aus. So sehr die Darstellung auch ins Einzelne geht, so lässt sich doch darin nicht verkennen, dass alle Discussion die Auffassung wirklich fördert und erleichtert und mit Geschick auf diesen Gesichtspunlit begrenzt ist Ausnahmen sind selten; z. B. wird gelehrt, die Projection einer Ge- raden erhielte man, indem man alle Punkte projicirt, und erst man Schluss, dass nur 2 Punkte notwendig sind. Die Methode ist keine neue, aber eine selbständig gehandhabte. Der Projectionslehro ist ein Capitel über Curvenconstruction vorausgeschickt. In 2 Abschnitten wird dann die orthogonale Projection behandelt, ersteres umfassend die Punkte, Gerade, Ebenen und Polyeder, letzteres die krummen Flächen. Hierauf folgt ein Abschnitt über Beleuchtungsconstructionen und einer über Perspective nebst Schattenconstruction. Die Abbil- dungen suid schwarz auf weiss. Das Buch besteht aus 2 Teilen, deren letzter die 2 letztgenannten Abschnitte enthält. H.
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rrigonometrie.
Lehrbuch der ebenen Trigonometrie mit zahlreichen Beispielen und ücbungsaufgaben. Für den Schul- und Selbstunterricht in leicht verständlicher Weise bearbeitet von W. Adam, Königl. Seminarlehrer in Neu-Ruppin. Mit einer Figurentafel. Neu-Ruppin 1876. P. Held. 147 S.
Das Lehrbuch lässt an Reichhaltigkeit und Vollständigkeit, Gründ- lichkeit, Correctheit, vernünftigem, sachgemässem Lehrgang, klarem und leichtfasslichem Vortrag nichts zu wünschen übrig. Zwar kann man in Betreff des Lehrgangs wol fragen, ob nicht statt einer so grossen Ausbreitung eine Concontration auf das Notwendige geeigneter wäre zu einer Beherrschung und Vertrautheit mit der Theorie zu führen, weil sonst der Umfang des zu Erlernenden sich weit grösser darstellt als er wirklich ist Indes liegt es in der Hand des Lehrers ,das Notwendige hervorzuheben, den grossen übrigen Teil als Con-
44 Litferaruchcr Bericht CCXL,
Sequenz und Gegenstand der Einübung erscheinen zu lassen. Dio Goniometrie wird, soweit sie Basis der Dreieckslehre ist, vorher ganz erledigt. Dann folgen der Reihe nach die Fundamentalaufgaben über das rechtwinklige, gleichschenklige, allgemeine Dreieck, mit dem gleich- schenkligen verbunden über die regulären Vielecke. Ausserdem ist aufgenommen die Construction trigonometrischer Formeln und die An- wendung der Goniometrie auf quadratische und kubische Gleichungen. Die Lehre vom allgemeinen Dreieck geht auch auf Uebungsaufgaben in weiterem Kreise ein und enthält auch solche für das Viereck.
H.
Erster Selbstunterricht in der Trigonometrie und der logarilbmi- schen Rechnung. Gemeinverständlich dargestellt von Franz Vymazal. Brunn 1875. Fr. Karafiat. kl. 8^. 105 S.
Unter Voraussetzung der elementaren Mathematik werden die Hauptsätze der ebenen Trigonometrie und ihre Anwendung in erläu- terndem Vortrag entwickelt Letzterer führt zuerst das Gebiet der aus der Geometrie bekannten Dreiccksrelationen vor, erklärt daraus den Zweck der Einführung der Winkelfunctioncu, betrachtet ausführ- lich das rechtwinklige, dann das gleichschenklige Dreieck, leitet 2 Sätze über das allgemeine Dreieck und einen für den Inhalt her und erweitert dann erst die Kenntniss der gouiometrischen Relationen bis zum Umfang des Anwendbarsten. Ein zweiter Abschnitt giebt eine auf den Zweck beschränkte Poteuzlehre, Erklärung der Logarithmen und ihrer Anwendung für trigonometrische Rechnung, zuletzt noci eine 5 stellige Tafel der (nicht logar.) trigonometrischen Functionen von 10 zu 10 Minuten. Das Ganze ist mit viel Geschick und Umsicht für leichtes Verständniss bearbeitet Vermissen kann man die Inter- pretation des Zeichens oo, die hier wol am Orte gewesen wäre.
H.
Ueber schiefe trigonometrische Funktionen und ihrer Anwendung. Von Dr. Biehringer, Professor an der königl. Industrieschule in Nürnberg. Nördlingen 1877. C. H. Beck. 56 S.
Der Verfasser nennt sin, cos, tg, cot, sec, cosec eines Winkels für den Projectionswinkel <p die 6 Quotienten der Seiten eines Drei- ecks mit dem Aussenwinkel <jp, welche in der rechtwinkligen Trigono- metrie die gleichnamige Bedeutung für <p = R haben. Er entwickelt eine Anzahl Relationen dieser Functionen und giebt einige Anwen- dungen auf Geometrie und Mechanik. Er glaubt damit den Beweis geliefert zu haben, dass die neuen Functionen ein Interesse für sich in Anspruch nehmen können, und dass sie auch in andern Zweigen
Litterarischer Bericht CCXL. 45
dor Mathematik eine Bedeutung haben, die einer weiteren Entwickelung fähig zu sein scheine. Jedenfalls ist aber der Beweis nicht gebracht, dass durch diese Theorie die Lösung irgend welcher Aufgaben geför- dert worden wäre. Durch vermehrten Forraelapparat ist der Einblick erschwert, durch Einführung einer Menge identischer Grössen, wo eine ausreicht, und von Functionen zweier Variabeleu, wo wir bereit« Functionen einer Vanabelen besitzen, die Einfachheit beeinträchtigt Wenn es Leute gicbt, die in unbestimmter Hoffnung auf einen noch nicht ersichtlichen zukünftigen Nutzen eine sichtlich im Princip ver- fehlte Arbeit vollziehen wollen, so rauss ihnen das tiberlassen sein; ein Interesse bei Anderen haben sie nicht zu beanspruchen. H.
Theorie der gouioinetrischen und der longimetrischen Quater- nioneu, zugleich als Einführung in die Rechnung mit Punkten und Ve^jtoreu. Von K. W. Unverzagt, Oberlehrer am königlichen Real- gymnasium zu Wiesbaden. Mit 21 Holzschnitten. Wiesbaden 1876. C. W. Kreidel. 312 S.
Von dieser Schrift, die auch in der zuletzt besprochenen schiefen Trigonometrie ihren Ausgang nimmt, gilt dieselbe Bemerkung wie von der vorigen, dass sie eine Arbeit vollzieht, deren Nutzen 'ohne er- sichtlichen Grund von der Zukunft erhofft wird. Dabei legt jedoch die gegenwärtige ein hervorragendes Talent an den Tag. Wenn es darauf ankam der von Hamilton erfundenen Theorie der Quateruionen, dieser heutzutage in England so beliebten Speculation in Wider- sprächen, in Deutschland Eingang und Verbreitung zu verschaffen, so zeigt sich der Verfasser in hohem Grade dazu beßlhigt. Er giebt so klare, wenn auch nicht ausreichende, Rechenschaft über jeden Gegenstand, dass er wol den Schein zu erwecken vermag, als handele es sich um feste, nur der Gewohnheit nicht entsprechende, Begriffe. Wir können uns jede Ucberschreitung sonst geltender Grenzen ge- fallen lassen und dem Verfasser folgen, wenn Addition einen neuen Sinn erhält, bei der Multiplication die Ordnung der Factoren ver- schiedene Bedeutung bedingt, wenn sogar die Gleichheit nur bei glei- cher Richtung den gewöhnlichen, bei ungleicher einen anderen Sinn haben soll. Eins aber müssen wir doch fordern, dass das einmal allgemein Aufgestellte immer gelten muss. Hier dagegen finden wir eine Seite eines beliebigen Dreiecks einer Complexen aus den beiden andern gleichgesetzt, was bei Vertauschung der Seiten sofort einen dreifachen Widerspruch giebt. Solche Einführungen verlassen den Boden der Mathematik und der exacten Begriffe überhaupt, und ohne letztere würde es zwecklos sein auf das Weitere einzugehen. H.
46 LUteranscher Bericht CCXL.
Geodäsie und praktische Geometrie.
Die Nivellirinstrumente und deren Anwendung. Von Dr. M. Doli, Lehrer der praktischen Geometrie am Polytechnikum in Carlsruhe, Mit fünf Tafeln. Stuttgart 1876. Adolf Bonz u. Comp. 30 S.
Es werden 3 kleine Instrumente zum einfachen Nivelliren und 2 grosso Präcisionsinstrumente beschrieben, welche sämmtlich auf d^ Tafeln abgebildet sind, dann das Verfahren bei Untersuchung der Instrumente und beim Nivellircn dargelegt Der Vortrag ist auch ohne besondere Kenntniss für Schüler verständlich. H.
Die Lehre von der Beleuchtung und Schattirung (Schattehlehre) mit einem Anhang: Das Wichtigste aus der Farbenlehre. Von Pro- fessor G. Delabar, Conrector der Kautonsschnle und Vorstand der Fortbildungsschule in St Gallen. Mit 130 Figuren auf 34 lithogra- phirten Farbentafeln und zwei Holzschnitten. Fünftes Heft der An- leitung zum Linearzcichneu, mit besonderer Berücksichtigung des ge- werblichen und technischen Zeichnens. Freiburg i. Br. 1875. Herder. Quer 8<^. 128 S.
Das Werk, welches durch das Gegenwärtige ergänzt wird, ist im 217. litt Bericht besprochen. Auch dieser Abschnitt ist in leicht fasslichem, ohne besondere technische Kenntniss verständlichem Vor- trag behandelt, und wird im allgemeinen den Anforderungen der Schule genügen. H.
Handbuch der barometrischen Höhenmessungen. Anleitung zur Berechnung der Höhen aus barometrischen und hygromctrischen Mes- sungen, sowie zur Anstellung sämmtlicher bei den Höhenmessungen nöthigen Beobachtungen unter besonderer Berücksichtigung der Sur- rogate für das Quecksilberbarometer (Aneroide, Therm obarometcr), für Ingenieure, Forschungsreisende, Meteorologen, Mitglieder der Alpenvereine etc. Von Dr. Paul Schreiber, Lehrer für Physik an den königl. technischen Lehranstalten in Chemnitz, Mitglied des deutschen und österreichischen Alpenvereins. Mit einem Atlas von 18 Grossfoliotafeln, enthaltend zahlreiche Karten und Figuren. Weimar 1877. Bernhard Friedrich Voigt 307 S.
Das Buch ist, dem Titel ganz entsprechend, für einen vielseitigen Gebrauch bearbeitet, umfasst alle bei barometrischen Höhcnmessungen in Betracht kommenden Erfordernisse und lässt an Vollständigkeit nichts zu wünschen Übrig. Alle theoretischen Begründungen sind bei
LitterarUcher Bericht CCXL. 47
Seite geblieben, desto sorgfältiger sind die notwendigen Angaben bcrttcksichtigt , die man alle an der richtigen Stelle findet; auch ist bei Wegfall der Herlcitungen doch der theoretische Zusammenhang in Deutlichkeit erhalten worden. Vortrefflich ist die kurze und ein- fache Beschreibung der Apparate, welche durch directe Darlegung der wesentlichen Punkte einen leichten Einblick gestattet. Ueberhaupt ist der Vortrag ohne Voraussetzung besonderer technischer Kenntniss verständlich und mit seltenem Geschick in bester Ordnung leicht- fasslich gehalten. £s werden nach einander behandelt die Berechnung der Höhendifferenz zweier Orte, die Quecksilberbarometer, die Be- stimmung des Luftdruckes aus der Temperatur des Dampfes des in offenen Gemsen kochenden Wassers, die Aneroido, die Apparate und Methoden zur Bestimmung von Lufttemperatur, Luftfeuchtigkeit und der geographischen Breite; dann folgen die Litteraturberichte, zum Schluss die Formeln der Ausgleichungsrechnungen. Mit besonderer Ausführlichkeit sind die Correctiouen behandelt. Der Atlas enthält zuerst 9 Karten, deren 3 die Isothermen nach Dove, Buchan und Hann, 2 die Verteilung des Dunstdruckes nach Mohn, 3 die Isobaren nach Buchan und Wojeikow und 1 einen momentanen Witterungs- zustand in und um Europa darstellen, dann eine grössere Anzahl von Figurentafeln zur Erläuterung des Vortrags. H.
Mechanik.
üeber die Bewegung einer Glocke. Von W. Veitmann, Real- schullehrer in Düren. Dingler polyt. J. Bd. 220. S. 481—495.
Dieser Aufsatz ist veranlasst durch den Umstand, dass die „Kaiserglocko" im Cölner Dom infolge gleicher Schwingungsdauer mit ihrem Klöppel keinen Anschlag gab, und der Verfasser in Er- fahrung brachte, dass die Anfertigung der Glocken noch fast aller theoretischen Basis entbehrte. Er berechnet zunächst die Bedingung tibereinstimmender Oscillation beider Teile, als Pendel betrachtet, deren Axen parallel und im Gleichgewicht mit den Schwerpunkten
in einer Verticale liegen. Es ergiebt sich ohne Schwierigkeit:
«
o = —
wo a den Abstand der Axen, m, m, die Massen, /, /j die Peudclläugen, Ä, *j die Entfernungen der Schwerpunkte von den respectiven Axen für beide Pendel bezeichnen. Wenn der Verfasser diese Bedingung ausreichend nennt, so ist vergessen, dass noch gleiche Elongatiou
48 TJlterarUcher Bericht CCXL.
und gleichzeitiger Beginn der Oscillation notwendig sind, damit über- haupt eine einfach periodische Schwingung stattfinden kann. Ein solcher Zustand ist im allgemeinen nicht vorhanden, und dass er sich während des Läutens von selbst annähernd herstellte, ist durch nichts begründet. Ferner ist nicht ersichtlich, warum unter den Grössen Z, Zj, «, *i, wie hier gesagt wird, nur die 3 ersten, nicht aber *, durch Beobachtung gefunden werden könne, da sich das statische Moment eines Pendels doch leicht abwägen lässt, und m, m^ als bekannt be- trachtet werden. Der Verfasser lässt es bei dem einen analytischen Resultat bewenden, und ersetzt, indem er zu der weitem Frage über- geht, wie von dem oben bestimmten, zu meidenden Falle an, das Verhältniss der Oscillationszeiten variirt, die Rechnung durch Expe- rimente an einem Doppelpendel. Es wird für eine Reihe verschiedener a das Maximum des Winkels zwischen beiden Pendeln und die Anzahl der Oscillationen bis zu dessen Erreichung ermittelt. Hieran und an das Verhalten verschiedener Glocken, von denen Mitteilung gemacht wird, knüpfen sich die übrigen Betrachtungen, als deren Resultat die Regel aufgestellt wird, die Pendellänge der Glocke beim Aufhängen so klein als möglich zu machen und die des Klöppels so zu bestim- men, dass der Schwingungspunkt in gleicher Höhe mit dem Anschlage- punkte liegt. H.
Vermischte Schriften, Zeitschriften.
Nieuw Arcliief voor Wiskunde. Deel L II. Amsterdam 1875. 1876. Weytingh en Brave.
Diese Zeitschrift wird seit 2 Jahren von dem mathematischen Verein zu Amsterdam, Wiskundig Genootschap onder de zinspreuk; ,,Een onvermoejde arbeid komt alles te boven*' — herausgegeben. Sie erscheint in holländischer Sprache, 2 Hefte jährlich im März und September, die einen „Teil" bilden. Jedes Heft enthält zum grösstcn Teil Abhandlungen ; ausserdem bibliographische Verzeichnisse, manch- mal auch verschiedene bibliographische Nachrichten. Der Inhalt der 2 ersten Teile an Abhandlungen ist fegender.
I. Teil..
II. Onnen. Bemerkung betreffend die Theorie der wesentlichen Gleichungen der ebenen Curven.
J. Versluys. Theorie der Quaternionen.
A. Benthem. Theorie der Functionen variabeler complexer Zahlen.
IJUerarischer Bericht CCXL. 49
J. Korteweg. lieber die Wahrscheinlichkeit verschiedener möglichen Wahlresultate, wobei Wähler von zweierlei Farbe sich nach dem Loos in Abteilungen scheiden.
P. van Gccr. Ucber den Gebrauch der Determinanten bei der Methode der kleinsten Quadrate.
H. J. Rink. lieber die Bewegung eines halbenrechten kreis- förmigen Kegels, der mit seiner Erzeugenden auf einer horizontalen Ebene liegt.
A. Benthcm. Ilcrleitung der Cardanischen Formel im irreduci- belen Falle.
H. A. Lorentz. Auflösung der Preisfrage Nr. 12.
J. W. Tesch. lieber die Stellung der Ebene, welche eine cen- trale Fläche 2. Grades längs einer gleichseitigen Hyperbel schneidet.
G. Schonten. Die Aberration des Lichts.
F. van Wageningen. Krummlinige Bewegung eines Billardballs.
IL Teil.
M. C. Paraira. Einiges über eine Transformation 2. Grades. W. Kapteyn. Betrachtung über symmetrische Functionen.
G. Schonten. Auflösung der Preisfrage Nr. 7.
F. J. Stamkart Ueber die Berechnung einer Prämie für eiuo Lebensversicherung, die n mal im Jahr bezahlt werden soll, statt einer bekannten Jahrcsprämio.
D. Bierens de Haan. Einiges über die „Theorie des fonctions de variables imaginaires, par M. Maximilien Marie".
D. J. Korteweg. Ueber Näherungsformeln für Reihensummen, die aus einer grossen Anzahl von Termen bestehen.
J. H. van Leeuwe n. Teilung des Winkels in 3 gleiche Teile.
F. van Wagoningen. Kreise, welche 3 gegebene Kreise unter gleichen Winkeln schneiden.
A. Benthem. Convergenz von Reihen mit complexen Termen.
H.
Nouvelle Correspondanco mathömatique. Redig^o par Eugöne Catalan, Docteur es sciences, Professcur h Tuniversit^ de Liege; avcc la coUaboration de MM. Mansion, Laisant, Brocard, Neuberg, et Edouard Lucas. Tome deuxi^me. Li^ge 1876. E. Decq.
Der Inhalt der 2. Hälfte des Bandes an Abhandlungen ist fol- gender.
50 Litterariscker BericJu CCXL.
E. Lucas. Ucbcr die AnwenduDg des symbolischen Calculs in der Theorie der recorreuten Reihen.
E. Lucas. Principien der tricircularen und tetrasphärischcH Geometrie.
P. Mansion. Beweis des Reciprocitätsgesetzes der quadrati- schen Reste.
J. W. L. Glaisher. Ueber eine Eigenschaft der Function eV.
Catalau. Ueber ein Product von Sinus.
Brocard. Ueber einen Diophan tischen Satz.
Boset Geometrische Sätze.
Laisant. Ueber eine paradoxale Frage.
H. Brocard. Note tlber einen geometrischen Ort.
Lo Paige. Bemerkung tiber die Note von Glaisher.
Le Paige. Ueber die Enveloppe eines Rotationscylinders.
Le Paige. Ueber eine Gleichung mit endlichen Differenzen.
Tch^bychef. Ueber die Verallgemeinerung einer Formel von Catalan.
P. Mansion. Ueber 2 Fragen infinitesimaler Analysis.
P. Mansion. Ueber die unicursalen Curven als Cissoiden be- trachtet
E. Lucas. Ueber den symbolischen Calcul der Bernonllischen Zahlen.
Gel in. Bemerkenswerter Fall von Ungleichheit zweier Dreiecke.
Laisant Bemerkung über einen arithmetischen Satz.
E. Catalan. Ueber die Transformation der Gleichungen.
P. Mansion. Ueber die vermeintlichen paradoxalen Fragen.
H. Brocard. Rollcnrven der Kegelschnitte.
E. Lucas. Ueber die Anwendung eines neuen Princips der Vor- zeichen in der Geometrie.
Preisaufgaben
der
Fürstlich Jablonowski'schen Gesellschaft
m
Leipzig.
Mathematisoh-naturwissensohaftliohe Seotion.
1. Für das Jahr 1877.
m
Der nach Encko benannte und von diesem Astronomen während des Zeitraumes von 1819 — 1848 sorgfältig untersuchte Comet I, 1819, hat in seiner Bewegung Anomalieen gezeigt, welche zu ihrer Erklä- rung auf die Hypothese eines widerstehenden Mittels geführt haben. Da indessen eine genauere Untersuchung der Bahn nur über einen beschränkten Theil des Zeitraums vorliegt, über welchen die Beob- achtungen (seit 1786) sich erstrecken, so ist eine vollständige Neubearbeitung der Bahn des Encke'schen Cometen um so mehr wünschenswerth , als die bisher untersuchten Bewegungen anderer periodischen Cometen keinen analogen widerstehenden Einfluss ver- rathcn haben. Die Gesellschaft wünscht eine solche vollständige Neu- bearbeitung herbeizuführen, und stellt deshalb die Aufgabe:
die Bewegung des Encke'schon Cometen mit Be- rücksichtigung aller störenden Kräfte, welche von Einfluss sein können, vorläufig wenigstens innerhalb des seit dem Jahre 1848 verflossenen Zeitraums zu untersuchen.
Die ergänzende Bearbeitung für die frühere Zeit behält sich die Gesellschaft vor, eventuell zum Gegenstand einer späteren Preis- bewerbung zu machen. Preis 700 Mark.
2. Für das Jahr 1878.
Dio Entwickcluug des reciproken Wcrthes der Entfernung r zweier Punkte spielt in astronomisehen und physikalischen Problemen eine hervorragende Rolle. In der Theorie der Transformation der elliptischen Functionen wird die zuerst von Cauchy entdeckte Glei- chung bewiesen
= 1 + 2r «•" + 2e~ ~^*"+ 2e~ '«•"+ 2c" '«* " ...
in welcher mit Rücksicht auf die zu erzielende Genauigkeit die posi- tive willkürliche Constante a so gross gewählt werden kann, dass die
77«*
Exponentialgrösse e *^* vernachlässigt werden darf. Alsdann hat man
71 r* 471 r* 97Tr*
^ = 1 +2^ "«• + 2e~ "«•"+ 2ß~ '*'•-}-...
eine Reihenentwickelung von ungemein rascher Convergenz. Es steht zu erwarten, dass eine auf die vorstehende Formel gegrtindete Eut- wickelung der Störuugsfunction in dem Problem der drei Körper sich für die numerische Rechnung als vortheilhaft erweisen werde.
Die Gesellschaft wünscht eine unter dem ange- deuteten Gesichtspunkte ausgeführte Bearbei- tung des Störungsproblems zu erhalten.
Indem sie dem Bearbeiter dio Wahl des besonderen Falles tiber- lässt, in welchem die numerische Anwendbarkeit des Verfahrens ge- zeigt werden soll, setzt sie voraus, dass das gewählte Beispiel hin- länglichen Umfang und Wichtigkeit besitze, um die Tragweite der vorgeschlagenen Methode und ihr Verhältniss zu den bisher ange- wandten hervortreten zu lassen. Preis 700 Mark.
3. Für das Jahr 1879.
Durch die in den Abhandlungen der Kgl. Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften von W. Hankel veröffentlichten Untersuchungen ist nachgewiesen worden, dass die Thermoelektricität nicht nur auf den hemimorphen Krj'stallen auftritt, sondern eine an allen KrystalJeu wahrzunehmende Eigenschaft ist, soweit deren lu-ystallinische Strnctnr un(} materielle Beschaffenheit überhaupt ein Entstehen und Anhäufen der Elcktricität bis zu einer durch unsere Instrumente nachweisbaren
stärke gestatten. Die erwähnten Abbandlungen umfassen ausser den hemimorpben Krystallcn des Boracites und Quarzes die symmetriscb gebildeten Krystalle des Idokrases, Apophyllits, Kalkspathes, Berylls, Topases, Scbwerspathes , Aragonites, Gypses, Diopsids, Orthoklases, Albits und Periklins, und lehren nicht nur die Verthcilung der Elek- tricität auf den in den verschiedenen Formen vollkommen ausgebil- deten, sondern auch auf den durch Anwachsen und sonstige Hinder- nisse in ihrer Entwickelung gehemmten Individuen, sowie auf den durch Bruch oder Anschlagen der Durchgänge künstlich erzeugten Begrenzungsflächen kennen. Es scheinen nun unter allen zwischen der Wärme und der Elektricität beobachteten Beziehungen die thermo- clektrischen Erscheinungen am geeignetsten, eine nähere Kenntniss des Zusammenhanges zwischen den genannten beiden Agentien zu ermöglichen, und es wird daher von der Fürstlich Jablouowski'schen Gesellschaft für das Jahr 1879 als Preisaufgabe gestellt:
Auf streng physikalische Versuche gestützter Nachweis der Entstehung der auf Krystallcn bei steigender und sinkender Temperatur hervor- tretenden Elektricität (iTiermoelektricität, Pyroelek- tricität, Krystallelektricität) und der durch Bildungs- hemmnissc oder äussere Verletzungen derselben in der normalen Verthcilung entstehenden Acn- dcrungen.
Preis 700 Mark.
4. Für das Jahr 1879.
Die hinterlassene Abhandlung Hansen's „Ueber die Störungen der grossen Planeten, insbesondere des Jupiter", abgedruckt im XI. Baude der Abhandlungen der mathematisch -physischen Classe der Kgl. Sachs. Gesellschaft der Wissenschaften, enthält als Anwendung der daselbst gelehrten Methode zur Entwickelung der planetaren Störungen die numerische Berechnung derjenigen Störungsglieder in der Bewegung des Jupiter, welche unter der Berücksichtigung der ersten Glieder ihrer analytischen Entwickelung abgeleitet werden kön- nen. Für die Berechnung der durch den Saturn bewirkten Störungen der Länge und des Radiusvectors dagegen erscheint die angeführte Methode nicht geeignet, und Hansen verweist in dieser Beziehung auf seine früheren Arbeiten aus der Störungstheorie, welche die er- forderlichen Vorschriften enthalten. Ein grosser Theil der numeri- schen Rechnungen findet sich bereits in der im Jahre 1830 von der Berliner Akademie gekrönten Preisschrift „lieber die gegenseitigen Störungen des Jupiters und Saturns" ausgeführt. Es ist jedoch der
Theil der Rechnung, welcher die Glieder höherer Ordnung in Bezug auf die Massen betrifft, nicht vollendet worden. Sofern diese Giioder von Einfluss werden können auf die vollständige Bcrechnang der Säcularänderuugcu, sowohl in Bezug auf die Länge und den Radius- vector, als in Bezug auf die Breite, sind auch die in der nachgelas- senen Abhandlung Hanscn's enthaltenen Wertho dieser Sänüar- glieder nicht als definitiv anzusehen.
In den letzten Jahren ist die Theorie der Jupitersbewegung durch die umfangreichen Arbeiten von Leverrior ihrem Abschlüsse ent- gegengeführt worden. Da jedoch der berühmte französische Astronom sich wesentlich anderer Methoden, wie Hansen, bedient hat, so bleibt es dringend wüuscheuswerth und von hohem wissenschaftlichen Inter- esse, dass die vollständige Berechnung der Jupitcrsstöruugen auf Grund der Hansen'scheu Theorie zu Ende geführt werde. Die Gesellschaft stellt daher
die ergänzende Berechnung der vollständigen Jupitersstörungen nach den von Hansen ange- gebenen Methoden
als Preisaufgabe für den Termin des 30. November 1879. Preis 700 Mark.
Die anonym einzureichenden Bewerbungsschriften sind, wo nicht die Gesellschaft im besonderen Falle ausdrücklich den Gebrauch einer anderen Sprache gestattet, in deutscher, lateiuischcr oder französischer Sprache zu verfassen, müssen deutlich geschrieben und pagin irt, ferner mit einem Motto versehen und von einem versiegelten Couvert begleitet sein, das auf der Aussenseite das Motto der Arbeit trägt, inwendig den Namen und Wohnort des Verfassers augiebt. Die Zeit der Einsendung endet mit dem 30. November des angegebenen Jahres und die Zusendung ist an den SecrotÄr der Gesellschaft (für das Jahr 1877 Geheimer Rath Prof. Dr. Rö- scher) zu richten. Die Resultate der Prüfung der eingegangenen Schriften werden durch die Leipziger Zeitung im März oder April des folgenden Jahres bekannt gemacht.
Die gekrönten Bewerbungsschriften werden Eigenthura der Ge- sellschaft.
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7,0087 0923 1688 2391 3044 3652 4221 4756 5261 5739
7,6193 6626 7038 7433 7811 8175 8524 8860 9185 9498 9801
8,0094 0379 0655 0922 1183 1436 1682 1923 2157
8,2385 2608 2826 3039 3247 3451 3650 3845
7,0852
7,0950 1047 1143 1238 1332 1425 1517 1608 1699 1788
7,1876 2716 3483 4190 4845 5456 6028 6566 7074 7555
7,8012 8447 8863 9261 9642
8,0008 0360 0699 1026 1343
8,1649 1945 2232 2511 2781 3045 3301 3550 3793 4030
8,4261 4487 4708 4924 5135 5341 5544 5742
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2004 |
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2006 |
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|
31 |
7536 |
4235 |
8,0410 |
6300 |
|
32 |
7956 |
4792 |
1105 |
7133 |
|
33 |
8364 |
5333 |
1779 |
7940 |
|
34 |
8759 |
5857 |
2432 |
8722 |
|
35 |
9142 |
6,6365 |
3066 |
9482 |
|
36 |
9515 |
6859 |
3682 |
10,0221 |
|
37 |
9877 |
7340 |
4281 |
093§ |
|
38 |
5,0229 |
7807 |
4865 |
1637 |
|
39 |
0572 |
8263 |
5432 |
2318 |
|
40 |
0906 |
8706 |
8,5986 |
2981 |
|
41 |
1232 |
9139 |
6525 |
3628 |
|
42 |
1550 |
9561 |
7052 |
4259 |
|
43 |
1860 |
9973 |
7566 |
4875 |
|
44 |
2163 |
7,0376 |
8068 |
5477 |
|
45 |
2459 |
0769 |
8559 |
10,6065 |
|
46 |
2749 |
1154 |
9039 |
6640 |
|
47 |
3032 |
1530 |
9508 |
7203 |
|
48 |
3310 |
1899 |
9968 |
7754 |
|
49 |
3581 |
2259 |
9,0418 |
8294 |
|
50 |
5,3847 |
2613 |
0859 |
8822 |
|
60 |
5.6245 |
7,5800 |
9,4837 |
11,3591 |
|
170 |
5,8269 |
7,8492 |
9,8197 |
11,7620 |
|
180 |
6,0021 |
8,0822 |
10,1107 |
12,1109 |
|
:90 |
6,1565 |
8,2876 |
10,3672 |
12.4186 |
|
100 1 1 |
6,2945 |
8,4713 |
10,5966 |
12,6937 |
jj«(l+2a-f 32«-f ...(r— l>r-2), teüs, zu Ende ^. jach der 7-8telligen Tafel von Schrön und wo
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