u 4 EW YORK BOTANICAL CARDEN) | TON ki 1 Hou) MUSÉE TEYLER Série IL, Volume XI. | - | HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1909, | PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE | ) EB. se 5 v ON ARCHIVES DU MUSÉE TEYLER Série Il, Volume XI. : LIBRARY NEW YOR BOTANIC A1 G N. HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1909, PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE. = sata acıe un } EX waite’! OEL es Ce Tg Tasten»). JE EN TABLE DES MATIÈRES. Avis. Fondation de M. P. TEYLER VAN DER Huzsr à Haarlem. Programm der Teylerschen Theologischen Gesellschaft für das Jahr 1908, 1909, Programma van Teylers Tweede Genootschap voor het jaar 1908. Description phonétique des sous de la langue frisonne parlée à Grouw, DR PR PER AN ER RL reden ie ms SOON Les courbes de plissement chez les mélanges binaires de substances normales, et sur le pli longitudinal, par J. J. van Laar Haisceaux de courbes planes, par J. DE VRIES....................... Sur une relation entre les valeurs k des solutions salines, par E. van Dan. VD ed =: «ee eR do OE RER Les vecteurs dans la géométrie différentielle, par J. DE VRIES......... Sur le transport des liquides par le courant électrique, par E. van DRE NE = eee 35. & 0 © Ee eine poeme ee eee = (en ee core eee Sur les configurations combinatoires et sur la multiplication de confi- SUPE. [Pies A BARRE RE re = see eee. inte Théorie générale de l'association de molécules sembables et de la combinaison de molécules différentes, par J. J. van LAAR bo ow ot TE , ‘ " R hia jn AL i: ha | Pit LU MAS" | Sr | on. A ae EL” NC BEN | Var m; Wen | no » To | CRE ij à t | (ay k ae i x ; EN ig | LA | 1 A LOS an ' URL N ee ye | j ean see ew daa SABAM ù nit 7 = | | I, Hi NS EL A Y a a 1 N RE a a een NS ESS ESS u WIE BALS le Ne NEC Ga k VONT , ¢ CIE CO PUR Gem A ES a y “+ IE: . i In ern MORT done mn nr AT a LL mey Vr ae inf A ' Ne lié re zum | * ie (à eH mee i AIS nas af Wm TT ETES ‘RTE QT vs dn CIC RP COS ET HU OT EEE PA in. Ahr our ie SOU OP Pah da asia ik . OCT TA FAP WHO ee GN: I tee l ay Masten! ehm mad 4 | | D ENE Ht à ef LA ere B yoy tap Ay i 7 Le AU Fr COR ru | Ni uf Dur “N ARCHIVES DU MUSÉE TEYLER SERIE TL, VOL. XI. Brentere partie. LIBRARY NEW YORK 717 7 re BOTANIC GARDEN, HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1907. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE. : 111 = cé ; u » A J 22 HET AR © me iva ER; 2 kh ts a 4‘ | À | 2 | LE ee a AS ALERT LIN DA 2 rh. De. | “ra Toul a f 1.1 5 | | Ù , AT,” A MLS; N TE En ouvrant cette nouvelle série l’Institut scientifique et littéraire Gasves de la fondation Teyler a l'honneur d'informer les lecteurs des Archives, que M. M. les Directeurs ont résolu de lui en confier dorénavant la rédaction, qui, à partir de ce jour, se fera sous sa responsabilité. Les Archives, comme l'indique déjà leur titre, contiendront, d’abord la description scientifique des principaux instruments de précision et des diverses collections que la fondation possède, ainsi que les résultats des expériences et des études, qui seront faites par leur moyen, soit que ce travail soit fait par les conservateurs de ces collections, soit par d’autres, auxquels les Directeurs en auront accordé l’usage. En second lieu, et pour tant que l’espace disponible ne sera pas occupé par ces publications obligatoires, les pages des Archives seront ouvertes aux savants, dont les travaux scientifiques ont rapport à une des branches, dont la culture a été recommandée à l’Institut par son fondateur. Pour de plus amples informations à cet égard on est prié de s'adresser au Secrétaire de l’Institut, E. VAN DER VEN. HAARLEM, janvier 1881. 1 4 19, ee LE 8 one 7 Zur mi Lime al Wall = Bu han ape fers tna M Uri, ORNE ate zei cui) en mn a Ca ME TP ab Hew a ra! eu B oo, vs blj an She Biel yh oi, 9 9} Fw rye NL | rl 7 2 N | HR Th Mol kan! a0 POL! KAD SiMe vty CRT ir ABLE = Bali zals, chen iit to) An tyler 1 ORAN > ; : slk or (he ek mah tie hanovatie nee oC MIEL ci ur Moi tai vent Ne: ie Pipe | N. er Pin CI] ETS WOH OL Teg Le er id Wi 4 ys | ile AL i ORR MONDE pot RTE LIL | putts ALL Diet). En al u AO ‘en | ee 5 iryndy ee! 1 u FD gar on iW tf Ar . ii ae eae Ik NAS Ra ANA jh} WA an i LAURE Mi ! (Via ij et x h apel i ieh nll panty a) AeAVOtE / : a dial AVR, ir À i Shah (7722105 Inn. den ' ' zet ret ACTOR CO Vn Lic LL 8 u | ih Lyi ’ rit br ta tin TL EL pui & TU 3 | sinn i + Kran (14 CARRE 7h AN AE RAN ER NT | TABLE DES MATIÈRES. Description phonétique des sons de la langue frisonne parlée à Grouw, par L. P. H. Ersxman. Les courbes de plissement chez les mélanges binaires de substances normales, et sur le pli longitudinal, par J. J. van Laar. Faisceaux de courbes planes, par J. DE VRIEs. Sur une relation entre les valeurs k des solutions salines, par E. VAN DER VEN. 0 fe Ti Tee ee ee a an anal ar unit url (hs rie iy d : Yan A anar ala daa AAA A i var At FRA) TERRE Grad don | on UD li die te Dee en - 2 ee - = eri a? LÀ in near FONDATION DE BE TEAR, VAN DER HULST, À HAARLEM. Directeurs. L. P. ZOCHER. P. LOOSJES. Mr. A. W. THONE. J. J. VAN OORDE. J. A. FONTEIN. Secrétaire. Mr. A. A. VAN DER MERSCH. Trésorier. P. DROSTE. Conservateur du Cabinet de Physique. Dr, E. VAN DER VEN. Conservateur du musée de Paléontologie et de Minéralogie. Prof. Dr. EUG. DUBOIS. Bibliothécaire. J. J. VERWIJNEN. Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures. TENUES Conservateur du cabinet numismatique. MEMBRES DES SOCIÉTÉS TEYLERIENNES. De la première Société ou Société de théologie. Prof. Dr. $. CRAMER. Prof. Dr. I. Je DE BUSSY. Dr. J. G. BOEKENOOGEN. Prof. Dr. D. E. J. VÖLTER. Dr. A. C. DUKER. Prof. Dr HE J. ELHORST: De la seconde Société. Dr. E. VAN DER VEN. J°. DE VRIES. Prof. Dr. HUGO DE VRIES. Prof Den V5 BOK Dr. H. J. DE DOMPIERRE DE CHAUFEPIE. E. W. MOES. DESCRIPTION PHONETIQUE DES SONS DE LA LANGUE FRISONNE PARLÉE À GROUW PAR L. P. H. EWKMAN. Tout bon Frison est d'opinion, me semble-t-il, que c’est dans la région qui l’a vu naître que l’on parle le plus correctement la langue frisonne. Comme je ne puis ni ne veux décider en cette matière, j'ai ajouté au titre de mon essai ,parlée à Grouw”, car ma connaissance de la langue est basée sur des études phonéti- ques que j’ai faites pendant un séjour de quelques semaines dans ce village et sur les informations que j’ai recueillies depuis de la bouche de quelques personnes natives de cet endroit Je laisse done à de plus experts que moi la décision à ce sujet et me borne à communiquer dans les pages suivantes les résultats de mes propres recherches !). CHAPITRE I*. La méthode d’expérimentation. Les matériaux que j'ai recueillis sont de deux sortes, parce qu’ils ont été obtenus, d’une part par la méthode objective et de l'autre par la méthode subjective. Dans mes recherches objectives je me suis servi des appareils du Laboratoire Physiologique d’Utrecht, qu'il suffira de nommer ici puisqu'ils ont été décrits minutieusement autre part ?). Il est 1) Je me fais un devoir d'exprimer ici ma reconnaissance à la Société , Provin- ciaal Utrechtsch Genootschap voor Kunsten en Wetenschappen”, qui a bien voulu m’accorder une subvention en vue de ces études. 2) Onderzoekingen Physiol. Lab. der Utr. Hoogeschool, Série V, N°. 1. — Archives Teyler, Série II, T. VII, 2° partie. ARCHIVES XI. 1 2 DESCRIPTION PHONETIQUE DES SONS DE LA nécessaire cependant de mentionner quelques modifications dans la méthode: 1° Pour mesurer l'écart des mâchoires, au lieu d'employer des moules de cire !),je me suis servi de quelques billots d’ébonite de petite dimension ayant respectivement 1, 2, 4 et 8 mm d’épais- seur, dont un (ou quelques-uns superposés) était mis entre les dents de devant du sujet d’expérimentation. 2° L’enregistrement des mouvements de la lévre supérieure a été amélioré de telle sorte qu'il a été possible de donner des valeurs proportionnelles aux courbes du même sujet d’expérimen- tation pourvu que les circonstances ne subissent pas de modification pendant l'expérience. Au lieu du tambour ordinaire de Marry je me suis servi d’un „volume-recorder” système BRoDIE ?) avec un levier d'aluminium qui, à partir du pivot, avait une longueur de 21 centimètres. La vérification s’effectuait en posant le coussinet rempli d’air dans un petit réservoir d’eau et en comparant les mouvements du ,recorder” avec la quantité d’eau repoussée ou admise. L’échelle obtenue d’après cette méthode était très régulière et donnait par mm. d’ordonnée une différence de volume de 1 : 2 15 em. Le coussinet avait 5,5 cm de longueur. Supposé que la lövre pesät sur le coussinet sur une largeur de 4 cm et d’une hauteur de 14 em — lesquels chiffres sont plutôt trop bas que trop élevés — dans ce cas 1 mm d'ordonnée représenterait un épaississement ou un avancement de la lèvre supérieure de wa! x 1} mg mm. Dans la transmission aérienne des lèvres et des muscles extrin- sèques de la langue la pression a été légèrement augmentée, afin de faciliter l'enregistrement du mouvement rétrograde des lèvres et de l'élévation du fond buccal au-dessus de l’état normal. 3° Non seulement les mouvements de la mâchoire inférieure, des deux lèvres et du fond buccal, mais aussi les vibrations des cordes vocales ont été enregistrées. Cela a été fait selon la méthode E. A. Meyer °); cependant le défaut d’espace dû à l’emploi de la 1) Archives Teyler, Série II, T. VII, 2° partie, page 103. 2) BroDte, Journal of Physiol. Vol. 27, p. 473. Pour l’examen de mes propres sons du hollandais selon cette methode, voir: Onderzoekingen Physiol. Lab. der Utr. Hoogeschool (5) V, page 30, 1905. 3) Die Neueren Sprachen, Bd. VIII, Heft 5. LANGUE FRISONNE PARLÉE À GROUW. 3 bande mandibulaire et du coussinet !) a été cause qu'il a fallu remplacer par un plus petit appareil le disque de bois de Meyer avec son bord vertical en carton. J’ai choisi à cet effet un petit tambour de 32 mm de diamètre et profond de 8 mm, lequel, posé sur le lig. cricothyroide était fixé au moyen d'un cordon entourant le cou, la peau faisant l'office de membrane. Je m'étais d’abord assuré que le chiffre noté d'après cette méthode représentait en effet celui des vibrations des cordes vocales. J’ai obtenu ce résultat en chantonnant quelques notes et en enregistrant au moyen de l'appareil les mouvements du larynx. Le nombre de vibrations par seconde obtenu de cette manière sera comparé ci-dessous avec les chiffres des vibrations des notes musicales que je voulais obtenir. G (sol) 98 97 A (la) 104 109 Be fst), „119,5, ,.122 c (do) 120,5 129 d (ré) 136 145 e (mi) 150,5 162 e’ (do) 260 259. En continuant mes expériences je me suis aperçu que le tambour posé sur la pomme d’Adam inscrivait distinctement les vibrations des cordes vocales causées par la prononciation des sons u:, 0:. 9, t:, y, e:, @ ?) et quil restait presque insensible aux sons a:, a, €. Cette observation s’accordait entièrement avec une expé- rience antérieure d’après laquelle je sens plus distinctement les vibrations au-dessus des cordes vocales 3) en prononcant la première série de sons, et au-dessous, même jusque dans la fossette de la 1) Archives Teyler, Série II, T. VII, 2° partie, page 102. *) Les caractéres phonétiques dont je me sers dans cet article sont ceux de V Association Phonétique. 3) On peut s’en assurer au moyen de l’experience de A. Ziinp Burauer (Neuere Sprachen, Bd. XI, Heft 9, p. 527) qui réussit encore mieux quand on remplace la boite de carton avec bouton par une boite de fer-blanc (p. ex. de poudre dentifrice Odol) contenant une ou deux monnaies d’assez grande dimension, florins ou pennies. Si l’on met cette boîte sur le cou au-dessus de la pomme d'Adam on entendra distinctement bruire les monnaies en prononcant les sons u: etc., tandis qu'on n’entendra rien ou presque rien en prononcant a:, a et €. 1* 4 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA gorge, avec la seconde série. C'est ce qui m’a amené à placer le tambour, comme il a déjà été dit, sur le lig. cricothyroïde en suite de quoi il m'est possible maintenant d’enregistrer les vibra- tions des cordes vocales avec toutes les voyelles. Dans le cours de mes recherches à Grouw je me suis aperçu que pour une catégorie de sujets il est utile d’être pourvu de trois ou quatre tambours dont le bord est plus ou moins creux à cause des différentes formes du cou. 4. Dans certains cas enfin j'ai recueilli dans un phonographe, tout en les enregistrant, les mots-clefs, mais l’appareil employé étant défectueux, cette partie de mes expériences peut être consi- dérée comme plus ou moins avortée. Pourtant je suis convaincu qu'un bon phonographe pourrait rendre d'importants services, ne füt-ce que pour rafraîchir plus tard les impressions reçues quand il s'agirait d'employer les matériaux obtenus par les expériences. Dans des recherches comme celles qui nous occupent il faut absolument profiter de l'assistance d’autres personnes. Aussi est-ce avec reconnaissance que je fais mention ici de l’empressement qu'ont mis les habitants de Grouw à m'aider. J’adresse particu- lièrement mes remerciments au consistoire de l'Eglise Mennonite, qui a eu lobligeance de mettre à ma disposition pour mes expé- riences un local de son temple (fama:ja), ainsi qu'à monsieur B. H. Gorrer, secrétaire communal, sans l’aimable assistance duquel je n’aurais pu faire qu’un travail insuffisant Car c’est lui qui m’a indiqué les mots-clefs et m’a procuré les personnes devant servir aux expériences. J’ai vu plus tard que ces mots avaient été si bien choisis qu'il n'y manquait qu'un ou deux sons. Je n'avais fait, avec intention, aucune étude préalable du frison, parce que je voulais écouter sans prédisposition et ne pas habituer mon oreille à des sons défectueux. J'ai aussi évité soigneusement, en élaborant mes matériaux, de consulter ce que d’autres avaient écrit sur cette matière !). Ce que j'offre ici à ceux qui s'intéressent à ce sujet repose exclusivement sur mes recherches personnelles. Les personnes ayant servi aux expériences, au nombre de 20, appartenaient presque toutes à la classe ouvrière Tous ces sujets, sans exception, sont nés à Grouw, parlent toujours frison et la 1) Le lecteur trouvera une bibliographie sur ce sujet à la page 1527 de la „Geschichte der friesischen Sprache” par THEODORE Siess dans Paul’s Grundriss, Bd. I, Lief. 6. LANGUE FRISONNE PARLÉE À GROUW. 5 plupart ont de la peine à s'exprimer en hollandais. Quelques-uns même ne le savent pas. La plupart d’entre eux n'avaient jamais quitté le village, „jer net fon t plak ‘Pov vest” comme ils le disaient. Les exceptions seront indiquées ci-dessous. Ils étaient cinq femmes ES et quinze hommes, à savoir: I. J. G., homme, 27 ans. XI K. S., homme, 42 ans. II. H. O., homme, 22 ans. XII. 8. S., homme, 30 ans. III. A. M. B, femme, 20ans; XIII. J. D., homme, 17 ans. parle le hollandais. IV. T.S., homme, 31 ans; sait XIV. S.L., homme, 18 ans. le holl. V. B. d. V., homme, 22 ans. XV. G B., femme, 22 ans. VI. U.B., homme, 20 ans. XVI. W.P., homme, 25 ans,dont 10 ans sur mer, revenu il y a 2 ans. VII. F.d. V., femme, 20 ans. XVII. S v.S., femme, 46 ans, a passé 3 ans 4 Amsterdam il y a 25 ans. VIII. D.L., homme, 34 ans; a XVIII. B.H.G., homme, 41 ans, été à Groningue pendant demeure à Grouw depuis 18 mois en 1890 et 791. 1883. IX. S.M., homme, se fait XIX. B v.S., homme, 15 ans. entendre en hiver dans des sociétés frisonnes. X. G.H. femme, 17 ans. XX. S. v. D., homme, 23 ans; depuis 3 ans à Amster- dam, où il parle ordinaire- ment frison. Avant de commencer l'enregistrement j'ai représenté en écriture phonétique, me fiant à mon oreille, la prononciation des mots à écrire, évitant ainsi de prendre connaissance de l'orthographe frisonne usuelle. Pour mettre mes sujets d’expérimentation à leur aise je commençais toujours par leur demander de compter, après quoi M. Gorrer leur disait les mots-clefs. Quand j’eus acquis moi-même quelque aptitude à prononcer, j'ai pu me dispenser de l'aimable assistance de M. GoRrTER. 6 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA L'écart des mâchoires. Parmi mes sujets d’expérimentation il y en avait quatre (XVII—XX) dont j’inscrivais la prononciation seulement suivant louïe. Parmi les autres il y en avait six qui, par timidité ou pour d’autres causes, mouvaient si peu la mâchoire inférieure qu'il était impossible de mesurer l'écart des mâchoires. Chez le reste il y avait une différence notable entre les mouvements des mâchoires: un des hommes (IX), qui dit et chante souvent en public pendant l'hiver, avait une prononciation bien articulée !) et une des femmes (X) pronongait tout aussi distinctement. On peut donc s'attendre à trouver pour ces deux personnes, dans le tableau des écarts des mâchoires, des chiffres différant sensiblement de ceux des autres. La liste suivante comprend les mots dont j’ai examiné les sons selon la méthode objective et la subjective. Pour plus de clarté, j'ai mis à côté de la transcription phonétique l’orthographe frisonne usuelle et la traduction en hollandais telle que me l’a donnée M. Gorrer. Phon. Frison. Phon. Frison. ion ien 1 olva älve 11 wa: twa 2 t6: laf toalf 12 treva trije 3 tretjon tretjin 13 fjouor fjouwer 4 Jictjon fjirtjin 14 ff ff 5 fiftjon fijfjm 16 sais seis 6 sekstjan sechstjin 16 sain saun 7 sontjon santjin 17 at acht 8 axtjan achtjin 18 njdgon njuggen 3 njogantjon njuggentjim 19 tsian tsien 10 twaintax tweintich 20 1) Une chose curieuse à noter, c’est qu'à mon second séjour à Grouw, cet homme, après s’étre fait entendre plusieurs fois en public pendant deux ans, avait conservé, il est vrai, une articulation distincte, mais avec un mouvement très minime des mâchoires. Il y avait aussi fort peu de variation dans les mouvements de ses lèvres. J’ai trouvé p. ex. le même arrondissement des lèvres pour u, 6, à, 6, y, @ et ce; c'était celui que l’on observe d'ordinaire pour % (voir Tableau ITI). LANGUE FRISONNE PARLÉE 4 GROUW. 7 Phon. Frison. Phon. Frison. "jun on twaintex ienentweintich 21 sontax santich 70 triton tritich 30 taxtax tachtich 80 fittax fiirtich 40 njogantas njuggentich 90 Jiftax füftich 50 hondat hondert 100 sekstax sechstich 60 tu: zon tuwzen 1000 Phone Hrıson. Trad. Phones on br sde bwatsja boartsje (tls) jouent. a:mor amer seau. mudika moaike tante. moan moarn matin. kee: rja kuyerje (als) se pro- va: ksja waaxje (ils) gran- menent. dissent. rpoate short ryuchten droit et frjemd Frjemd étrange. sljucht sincère. blvaja bloeije (ils) fleurissent. swann soannen. (les) fils. mula mile bouche. groyt great grand. sndon sneun samedi. atezan’dy:vals 'tis'n c'est une croix ‘krys. duvels kris. du diable. a: ion aeijen œufs. bljou mar bliww mar restez seule- ment. fo: la fôalle poulain. teksal tizel timon. heo hea foin. poy pong bourse. brötson britsen cassé. sjedzja siedsje (ils) sèment. bluad bloéd sang. tsjerko tsjerke église. bre: ga brégge pont. ‘hunakara hounnekarre voiture tirée par un chien. brea brea pain. _ ‘pwatlrad poûtlead crayon. skroan skreaun écrit. kwab kwab lobe. Les écarts des mâchoires pour les voyelles principales de ces mots ont été mesurés et réduits à leur valeur réelle en mm. suivant la méthode que j'ai décrite ailleurs '). Le tableau I. donne un aperçu des valeurs absolues trouvées, exactes à un quart de mm. près, rangées dans l’ordre des voyelles proposé par TRAUTMANN et les moyennes calculées ainsi pour chaque voyelle. Quelques-uns de ces mots ont été écrits plus 1) Archives Teyler, série II, T. VII, 2% partie. 8 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA d’une fois avec le même sujet d’expérimentation ; d’autres n'étaient pas assez distincts pour être mesurés. Au bas de chaque colonne se trouve la moyenne pour tous les sujets de la voyelle à laquelle elle est destinée, et à la fin du tableau il a été ajouté une colonne contenant la moyenne de toutes les voyelles pour chacun des sujets et le chiffre final 5.75 mm. la même moyenne pour la totalité des sujets. Pour faciliter la comparaison, j’ai mis aussi sous les moyennes des voyelles qui correspondent entièrement ou à peu près avec les voyelles hollandaises celles des écarts de mes propres mächoires et lä-dessous les mots-clefs dans lesquels ces sons s'entendent. Si l’on considère qu’à cause de ma profession je me suis habitué à bien articuler en parlant, on peut conclure des derniers chiffres obtenus que les Frisons en général font mouvoir la mâchoire inférieure d'une façon marquante en parlant. On voit aussi que mes sujets d’expérimentation peuvent être divisés sommairement en trois groupes, savoir: I—IV, qui ont en moyenne un écart des mâchoires de 3 à 5 mm. VV HI ” » » » 5 ” 7 » IX—X » ” ” » 7 ” 9 ” ce qui, rattaché au chiffre final déjà nommé (575 mm.) nous permet de considérer le 2nd groupe (V— VIII) comme le type de la prononciation des Frisons de Grouw par rapport à l'écart des mächoires. Ce qui est surtout remarquable c’est l'écart assez considérable avec u comparé à celui avec y, qui est minime. Cela se voit encore plus clairement dans le tableau ci-dessous, dans lequel, prenant les valeurs trouvées comme point de départ, j'ai rangé les voyelles suivant le tableau des voyelles de l'Association Pho- nétique. Il ne faut pas perdre de vue que celui-ci est fondé sur la distance entre la langue et le palais. Ce n’est pas ici qu'il faut considérer en détail la question de savoir s’il faut, en établissant un système de sons, prendre comme point de départ l'écart des mâchoires ou la distance entre la langue et le palais. Mes recherches m'ont amené à adopter la première méthode. En tout cas, en comparant ce premier tableau avec celui de la page 27, on verra que les deux méthodes don- nent des résultats à peu près semblables. Ve) LANGUE FRISONNE PARLEE à GROUW. [==] ot or —1 © aoc U or 19 © Ss Nm a © I ot bo ne ho =a SI Ot 19 ce or to se to 75 (02 € 5 7 je 2 TEE tue ac af : 50 a a 50 La voyelle neutre a a aussi obtenu une place dans ce tableau, Les écarts des mâchoires pour ce son étaient si différents qu'il était inutile de les mesurer. Me fiant à mes oreilles je lui ai donné une place moyenne. Les mouvements de la lèvre supérieure. Cette partie de mes recherches ne m’a pas procuré autant de données que la précédente. Il y avait pour cela trois raisons, savoir: 1° malgré toutes les précautions il arrivait de temps en temps qu'il se produisait une légère fuite pendant l’enregistrement et il s’en suivait naturellement qu'on ne pouvait se fier aux résultats obtenus sur la feuille enduite de suif. 2° il arrivait quelquefois au sujet d'expérimentation d'être ner- veux, de sorte que le style ne restait pas suffisamment en repos ARCHIVES XI. 2 10 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA entre deux mots prononcés. Il en résultait qu’il était impossible en ce cas de mesurer les courbes avec l'exactitude nécessaire. 3° dans la plupart des cas, après avoir écrit la première feuille contenant les chiffres, je me suis aperçu que le coussinet des lèvres n'était pas bien placé, de sorte que même en cas d'épais- sissement de la lèvre le style restait au-dessous de la ligne normale. C'est pourquoi j'ai laissé hors de considération les cour- bes des nombres prononcés, à l'exception de celles de tó: lof et de twaintex pour autant qu'on peut s’y fier. C'est à cause des deux premières raisons que je n'ai pas inscrit les chiffres des sujets d’experimentation III, IX et X. D’ailleurs il me semblait de peu d’importance de fixer d’abord pour chacune des voyelles la moyenne pour chaque sujet d’ex pé- rimentation, comme il a été fait pour les écarts des machoires, et de me servir des résultats ainsi obtenus pour établir la moyenne générale ; car souvent, lorsqu'une page était écrite, mon sujet enle- vait l'appareil pour le remettre en commençant la page suivante, de sorte que seulement les mots écrits sur la même page peuvent être comparés mutuellement. Car il suffit de presser le coussinet d'air avec plus ou moins de force pour obtenir des amplitudes respectivement plus grandes ou plus petites. Beaucoup d'efforts ont déjà été faits pour remédier à cet incon- vénient, mais jusqu'ici ils n’ont produit aucun résultat. De ce qui précède on peut conclure que les chiffres trouvés pour chacun des sujets d’expérimentation ne peuvent pas être comparés avec ceux des autres. J’ai cependant établi la moyenne de toutes les valeurs pour chaque voyelle, et cela pour les raisons suivantes : 1° les mots ont été prononcés dans un ordre des plus irrégu- liers, de sorte qu’on trouve sur la même feuille des mots avec épaississement des lèvres, avec amincissement des lèvres et sans l’un ni l’autre. Avec un si grand nombre de mots on élimine à peu près la faute qui est le résultat de ce que le coussinet a été appuyé avec plus ou moins de force. 2° ce n'est pas mon intention d'établir des mesures absolues comme pour l'écart des mâchoires. Je désire seulement établir au moyen de mes données dans quels sons, en langue frisonne, il y a soit épaississement, soit amincissement des lèvres, ou ni l’un ni l’autre, et lequel de ces trois phénomènes se présente le plus fréquemment, afin d'en tirer, sil est possible, une con- LANGUE FRISONNE PARLÉE À GROUW. 11 clusion concernant l'arrondissement et l'élargissement des lèvres. Le Tableau II donne les différents, résultats à un quart de millimètre près, mesurés au point où l’écart des mâchoires est au maximum pour la voyelle. L’amincissement des lèvres est indiqué par le signe —. Dans la première colonne on trouve indiqué par un chiffre ordinaire après le numéro du sujet d’ex- périmentation celui de chaque feuille. Sous chaque groupe se trouve la movenne pour la voyelle en question, et lä-dessous, pour la comparaison la moyenne !) de mes propres mouvements des lèvres pour la même voyelle en hollandais, si celle-ci se ren- contre aussi en frison. eee BER x Suivant page 2 ces nombres multipliés par > indiquent ä peu près le véritable épaississement ou amincissement horizontal en millimetres. Ce Tableau donne lieu aux observations suivantes: Sujet d’expérimentation I. Le coussinet d’air a été, en général, suffisamment appuyé, comme l’indiquent les nombres pour w (13,50 — 14,50) comparés 4 ma propre moyenne de 13,50. Le maximum d’amincissement des lèvres de la feuille 3 n’est inférieur que de 0,50 à celui des autres feuilles du même sujet, de sorte qu’on peut admettre que pour celle-là aussi le coussinet a été suffisamment appuyé. Sujet d’expérimentation II. Le coussinet a été suffisam- ment appuyé, car le maximum d’amincissement des lévres pour toutes les feuilles est de 2,50 millimétres au moins. La feuille 5 seule fait exception, mais là l’épaississement des lèvres pour u (dans ‘hunakara) surpasse les deux autres (de feuille 4) ensemble. Le léger &paississement des lèvres pour a dans ‘pwatlrod doit naturellement être attribué au w qui précède. Sujet IV. D’après mes annotations j'ai remarqué avant l’ex- périence que cet homme mouvait fort peu les lèvres et ne les avançait point. Ceci correspond entièrement avec les chiffres du Tableau. Sujet d’expérimentation V. Je trouve dans mes anno- 1) Ces chiffres ont été pris dans l’article sur ,De Registratie van de bovenlip- bewegingen bij het spreken” par L. P. H. Erskman. Verhandelingen van het Physiol. Labor. à Utrecht, (5) V, p. 33, 1905. + 12 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA tations que celui-ci à également peu d'action des lèvres, ce qui est confirmé par les chiffres du Tableau. Le peu d’épaississement des lèvres dans la prononciation de la voyelle de bwatsjo, swann, et kwab est di apparemment à l’in- fluence du son qui précède. Sujet d’expérimentation VI. Le maximum de 18 mm d'épaississement et de 5 mm. d’amineissement est une preuve suffisante que le coussinet était bien fixé. Sujet d’expérimentation VII. Mon annotation „articule très bien avec les lèvres” est confirmée par les chiffres assez élevés que donne le Tableau pour les voyelles arrondies. Sujet d’expérimentation VIII. Pour ce dernier sujet aussi le coussinet a été bien fixé comme le prouve le maximum de 5,50 mm. pour l’amincissement des lèvres. Si d’aprés ce qui précéde on peut constater en se fondant sur le Tableau que l’action des lèvres existe à des degrés différents chez les Frisons de Grouw, on verra en comparant avec les chiffres de mes propres voyelles qu'en moyenne leur action est très inférieure à la mienne. Pour un maximum moyen d’épaississement de 9,25 mm. chez les Frisons il y a chez moi un maximum de 13,50 mm. ce qui, multiplié par = selon page 2, donne respectivement 1 mm. et 1,50 mm. Je n’ose pas décider si cette circonstance est due au caractère de ma profession, qui m’oblige, comme je l’ai dit plus haut, à articuler toujours distinctement, mais s’il en est ainsi, Je n’atteins à cette articulation plus distincte que grâce à un mouve- ment plus fort des lèvres, car l'écart de mes mâchoires !) est en général inférieur à la moyenne des Frisons, comme on le voit par le tableau suivant: onen OD Go sO ses St Gam Sons frisons: 0,0055:p0) 96» 6 7,25. 7,50 7,50 6,75.5.25 8,15 5 a2 Les miens: 2,25 1,75 5,25 4 5,50 7,25 8,75 8,50 5,75 3,25 4 3,25 3. Pour obtenir quelque sécurité en cette matière il faudrait expé- rimenter sur une dizaine de Hollandais de la classe aisée parlant une langue entièrement exempte d’influences dialectales. De même qu'avec mes propres voyelles ?) on observe ici deux 1) Archives Teyler, Série II, Tome VII, 2i®me partie. *) Verhandeling van het Physiol. Lab. te Utrecht (5) II, p. 202, 1901. LANGUE FRISONNE PARLÉE à GROUW. 18 sortes d’épaississement ou d’arrondissement des lèvres, savoir: un arrondissement très prononcé avec et un plus faible sans avan- cement des lèvres. Il n’y a que fort peu de variation dans l’amin- cissement ou élargissement des lèvres. Ces phénomènes sont dis- tinctement indiqués dans le tableau ci-dessous, où les décimales ont été négligées dans l'indication des écarts des machoires | 3 8 Voyelle d’arriere. | Voyelle moyenne. Voyelle d'avant. fafa Pl Dr nee | ae ne ci 58 Non-arr. Arrondie. | Arrondie. || Non-arr. Arrondie. A £ arr. 2-3 | | ly 7.50 3—4 | || | à — 0.50 | 4—5 | || ö 4.25 | | | ne MW 9-25) | | a @ 3.75 | 5—6 ou) 318 | u7.50 | E — 1595 ot 5.50 | 6—7 ò 4.756 6.50) ce 1.50 e —1.75 ati) — 1.75! | | 7—8 9 295 | | d-1.50a-1.25 | | | Lors de mon deuxième séjour à Grouw, j'ai déterminé de vue, en tant que mes sujets d’expérimentation étaient disponibles, le mouvement vertical et horizontal et le degré d'avancement des lévres. Le résultat se trouve indiqué dans le tableau ci-dessous. Arrondissement des lèvres. Nature des | Avancement +! == lèvres. | des lèvres. | Voy, d’arriere. Voy. moyenne., Voy. d'avant. | | I épaisses moyen | hor. vert. vert. Il |assez épaisses! assez fort | id. hor. id. V | ordinaires | uul | vert. | vert. id. VI |assez épaisses moyen hor. id. id. VII id. assez fort id. hor. hor. IX id. | presque nul id. id. id. X id. assez fort id. vert. vert. XII id. | presque nul id. hor. hor. XIII id. | nul id. id. | id. XIV épaisses moyen id. id. id. J'ai aussi essayé alors de dessiner de grandeur naturelle l’ouver- ture des lèvres de quelques-uns de mes sujets d’expérimentation pour les voyelles les plus importantes (voir Tableau III). Quoique cette partie de mon examen ait laissé à désirer parce que je n'ai pu y consacrer plus de temps, elle a pourtant montré 14 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA 1° qu'en prononçant les voyelles arrondies les dents inférieures ne se voient pas; 2° qu'avec quelques-unes de ces voyelles les dents supérieures se voient distinctement et rétrécissent souvent assez considérable- ment le lumen de l'ouverture des lèvres; 3° que la grandeur et la forme de l’ouverture des lèvres pour la même voyelle sont très différentes pour les différents individus; 4 que dans l’examen phonétique d’un groupe de personnes il est tout aussi nécessaire de déterminer la grandeur et la forme de l'ouverture des lèvres que les mouvements de la langue, de la mâchoire etc. La seule méthode à laquelle on puisse se fier pour cet examen me paraît être la méthode photographique, au moyen de clichés simultanés en face et en profil. La cliché en profil est nécessaire pour déterminer le degré d'avancement des lèvres. On voit par le tableau ci-dessus que cet avancement est très variable. Ceci est confirmé par mes annotations sur la voyelle dans dyvals et krys: Il. pour dyvals lèvres beaucoup plus avancées que pour krys; V : 2 ” ” ” ” ” 7 ” » ” ? V I: ” » ” ” » ” ” „ ” ; IR i , nullement avancées ainsi „ x A x I I ” ” ” 2? ” » ” „ ” ; X I I I > ” ” ” ” ” ” ” ” ” ; Del DVA EN ne tout aussi a a E S Il est digne de remarque quon seraît tenté en considérant le Tableau II de faire des conclusions tout opposées concernant les mêmes sujets. Cela prouve que l’épaississement et l'avancement des lèvres ne sont pas proportionnels. Durée et vocalisation des sons. La méthode d'enregistrement de la lèvre inférieure et des muscles extrinsèques de la langue n'étant pas encore assez avancée pour qu’on puisse convertir les courbes en valeurs absolues, je ne parlerai pas longuement de ces courbes et les considérerai seulement comme des moyens d’analyser les autres. A la fin de chaque séance je faisais tourner plus rapidement le tambour noirei pendant que le sujet prononçait quelques mots qui LANGUE FRISONNE PARLEE À GROUW. 15 devaient servir à résoudre certains problèmes assez importants pour le jugement précis d’une langue, savoir : 1° olva et ion, pour voir si le Frison a comme le Hollandais ce que Sweet nomme clear beginning !) ou comme l’Anglais ce qu’il nomme gradual beginning. Je regrette de devoir dire que dans les courbes obtenues je n’ai rien trouvé plaidant en faveur d’une de ces hypothéses. L’oreille cependant permet d’entendre distinctement un clear beginning et même le glottal stop chaque fois qu'un mot est prononcé séparément ou avec emphase. 2° pwatlead, kwab, twaintex et treia pour voir si la consonne après une explosive soufflée est entièrement ou partiellement soufilée. 3° pwatlwad et kwab pour examiner si les explosives d et b à la fin d'un mot sont entièrement ou partiellement vocaliques. On sait que l'enregistrement des vibrations des cordes vocales demande de grandes précautions et qu il rate complètement quand le tambour (voir p. 2) ne s'adapte pas hérmétiquement sur le larynx. Considérant que je n’ai eu qu'un seul tambour à ma disposition, il n’est pas étonnant que dans plusieurs cas les vibrations des cordes vocales n’aient pas été inscrites et que par conséquent l'expérience ait raté. Parlons done des cas où elle a réussi. Les deux exemples des pages 16 et 17 peuvent servir à montrer comment on peut déterminer par la combinaison des courbes le commencement et la fin de chaque son. Ce sont des reproductions de mots prononcés par le sujet d’expérimentation II. Les courbes doivent être lues de gauche à droite. L’abaissement de la mâchoire correspond à celui de la courbe; de l’épaississement et de l’amincissement des lèvres résultent respectivement une élévation au-dessus et un abaissement au-dessous de la ligne normale; la tension et le relâchement des muscles du fond buceal se marquent successivement dans la courbe par une élévation au-dessus et un abaissement au-dessous de la ligne normale Les points synchroniques ont été mesurés au compas en direction horizontale à partir de l’are au commencement de chaque courbe. Pour plus de distinction les limites des vibrations des cordes vocales ont été indiquées par de petites lignes pointillées. 1) Sweet’s Primer of Phonetics, 214 Ed., § 117. 16 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA Fig. 1 représente le mot ‘pwatlrd !). En commençant les mâchoires sont fermées. Au point 1 commence la tension de la lèvre supé- rieure pour le p, suivie Fic. 1. ‘pwatled. immédiatement par celle de la lèvre inférieure à 2. machoire. La tension extréme dans les deux lévres est atteinte à 3,et immédiatement après lèvre supérieure. (4) la mâchoire commence à lèvre inférieure. descendre. Le léger rehaus- sement dans la courbe du fond buccal est dû en grande partie à cette descente de la fond buccal. TE nat bmi cordes vocales. AAA AA AA EERENS mâchoire, car le recul de la langue pour le w avec l’a qui le suit se fait par le m. stylo-glosse et n’exerce aucune pression sur la pelote du fond buccal. On peut donc admettre que l'explosion du p a lieu à 4 et que c’est là que commence le w. Le relâchement produit dans les lèvres par cette explosion dure jusqu’à 5, où elles s’épaississent pour la formation du w. Ce n’est qu'à 6 que commencent les vibrations des cordes vocales, de sorte que la premiére partie du w (de 4 jusqu'à 6) est soufflée. A 7 on peut considérer w comme fini et c'est là que commence a, car là les deux courbes des lèvres des- cendent, celle de la lèvre supérieure très subitement même. Près de 8 commence une forte descente dans la courbe du fond buceal, jusqu’au-dessous de la ligne normale. Cette descente était prévue parce que c'est à présent le tour du ¢ et qu'en pronongant ce son, du moins quand il succède à une voyelle d’arriere, le fond buccal se lève entièrement à un léger degré. On peut s'en assurer aisément en appuyant le pouce dessus. La courbe des cordes vocales fournit une autre preuve que { commence à 8, car c'est précisément à ce point là que s'arrêtent les vibrations. Il s'ensuit que a (avec le on-glide) est entièrement vocalique. A 9 se trouvent la fin de t et le commencement de J, car c'est là que la mâchoire recommence à descendre et la courbe du fond buccal à remonter. C’est en même temps le point où les vibrations des cordes vocales recommencent, d’où l’on conelut 1) Ce sujet n’a pas prononcé ‘pwgtlrad, comme les autres. LANGUE FRISONNE PARLEE À GROUW. RF que / est vocalique de prime abord. Ce son se termine a 10, car là commence subitement dans la courbe du fond buccal par suite de la voyelle d’avant E, une tension accompagnée d’un léger abaissement dans la courbe de la mâchoire La limite entre # et d est à 11 dans la courbe du fond buccal, où la tension commence à diminuer. La fin de ce dernier son et par conséquent du mot entier est facile à trouver. car à 12, où s’arrétent les vibrations des cordes vocales, la mâchoire est exactement à la même hauteur qu’à la fin de ¢ (9), et c’est là aussi que les lèvres, de même que le fond buccal, reprennent leur position normale. Fig. 2 donne les différentes courbes pour in. Les limites de chacun des sons sont claire- Fic. 2. ion. ment indiquées dans la machoire. courbe du fond buccal. Le son à amène toujours une lèvre supérieure. tension très forte, sinon la lèvre inférieure. plus forte, du fond buccal. La ot la montée commence dans la courbe (1) le son à commence. La comparaison avec la courbe de la mä- choire montre que le sujet a d’abord ouvert la bouche et n’a commencé à parler RASE que quelque temps après. cordes vocales. C'est à 2 que commence temps %o sec. la voix; on peut donc admettre que le temps entre 1 et 2 a été occupé par le clear beginning ou par le glottal stop, Là où la tension dans le fond buccal a atteint son apogée (3) on peut supposer que la voyelle va perdre le caractère de à, etque la transition régulière au second élément de la diphtongue commence. L’amincissement graduel des lèvres !) joint à une légère élévation de la mâchoire peut amener à conclure que 2 est non-arrondi. Jest à 4, où se montre de nouveau une élévation de la courbe du fond buccal, que commence le n, qui comme son final cause 1) Dans l'original le point 3 des lèvres est plus à gauche. En général cette reproduction n’a pas bien réussi. Pour mesurer les courbes je me suis servi, autant que nécessaire, de photographies agrandies. ARCHIVES XI. 3 18 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA toujours une assez forte tension dans un fond buccal plus ou moins mou, comme l’a déjà observé M. ZWAARDEMAKER |). Les vibrations des cordes vocales s’arrêtent à 5, de sorte que la seconde moitié de n, qui s'arrête à 6 selon la courbe du fond buceal, est soufflée, ou du moins chuchée. C’est de la manière décrite ici qu'ont été recueillies toutes les données pour les représentations graphiques et les tableaux de chiffres (Tableau IV). Les chiffres romains représentent les sujets d’expérimentation. Dans les représentations graphiques soufflé est indiqué par une ligne ordinaire et vocalique par une ligne pointillée. Partout où manque une partie de la représentation graphique il a été impossible de déterminer par les courbes la limite des sons; 1a où la ligne entière fait défaut, l’appareil pour Vinscription des vibrations des cordes vocales a refusé tout service. En cas de besoin l’espace destiné pour un son a été divisé en trois parties égales pour représenter le caractére du son au commencement et à la fin. Pour quelques sons, comme w et 7, la partie du milieu a été dessinée parce que souvent la transition du vocalique au soufflé et vice-versa avait lieu précisément au milieu. Comme je l’ai déjà dit plus haut, je considère comme commen- cement du w dans pwatlead le moment où l'explosion du p commence et comme point final l’endroit où commence l’amineis- sement des lèvres, de sorte que l’off-glide de w est compté avec a. De la même manière tous les off-glides sont joints à la voyelle suivante; ainsi celui qui suit J dans lead, v dans olva, t dans tax de twaintan. Le on-glide aussi est considéré comme appartenant à la voyelle, done à la voyelle a dans pwat, ro dans lead, a dans kwab, > dans olva, ai et a dans twaintax, ia dans ion. Il suffit d'un coup d’eil pour voir qu’ après une explosive w peut être soit entièrement ou en partie vocalique, soit entièrement soufilé. En calculant on obtient le tableau suivant: 1) Onderzoekingen Phys. Lab. te Utrecht, 5° série, 1° partie, p. 108. LANGUE FRISONNE PARLEE 4 GROUW. 19 Mot | Vocalians | 2/3 vocal. | 1/2 vocal. | 1/3 vocal. ‘Souffle Total | | — w dans ‘pwotlrad 3 4 2 3 il 13 w , kwab 4 2 | + | 0 il 11 w , twaintar 6 | 3 | 1 | 2 aay 14 ry treo LS tel ES 4 MNT LL , ‘pwotlned 5 | > | u 0 Ze 10 er Ml oma RR ad ig?) On ne peut donc pas établir de règle générale, mais dans la plupart des cas (35 sur 59) la voix commence avec l’explosion ou immédiatement après Trois fois on a prononcé “potlrad au lieu de ‘pwatlrad, mais cette circonstance est sans influence sur ce qui nous occupe ici Au contraire, on peut s’attendre à ce que. en passant de p. {, k sur une voyelle quelconque dans une syllabe accentuée, la voix commence le plus souvent en même temps que l’explosion ou tout de suite aprés. Mais quand la syllabe n’est pas accentuée, comme tax dans (waintax, la voix commence régulièrement avec l’explosion. Le tableau suivant offre une solution concernant les finales d et b. | | | Mot | Vocalique | 2/3 vocal. | 1/3 vocal. | Soufflé | Total d dans ‘pwatlrod 6 4 0 0 10 b 3, kwob 6 4 1 1 a! | | | 11 Os | ARC SAAN 21 Le b et le d sont donc généralement à la fin d’un mot ou entièrement vocaliques ou soufflés seulement dans leur dernière partie. Cette partie soufflée doit être considérée comme chuchée, du moins si les cordes vocales passent de la voix à la position de repos par celle de chuchotement, comme l’admettent la plu- part des phonétistes. Jonsidérant que, selon le Tableau graphique, ce que nous venons de dire est vrai aussi pour n dans ian, il me semble permis ah 20 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA d'établir comme règle générale qu'une-seule consonne finale vocalique à la fin d’un mot est ou entièrement voca lique ou chuchée seulement dans sa dernière partie. Le n devant ¢ dans twaintax, c.-à-d. une consonne vocalique devant une soufflée, est sans exception entièrement vocalique. A propos de twaintax il est important de remarquer que I, VIII et XI ont prononcé twaindax et que V a chuché le a ou ne l’a pas fait entendre du tout. La voyelle a devant ! dans ‘pwatlrod est régulièrement vocalique jusqu'au moment où l’occlusion se fait. Dans 2 cas seulement sur 12 la voix cesse un peu plus tôt. Le a qui termine olw et treia est vocalique jusqu’à la fin; dans 4 cas seulement sur 18 il est soufflé, ou plutôt chuché à la fin. Les chiffres du Tableau IV donnent lieu aux remarques sui- vantes au sujet de la durée des sons: Dans le tableau de ‘pwatlrad le signe (E) sous II signifie que celui-ci a prononcé led au lieu de lead; de même le signe (2) sous V, Va en VIII signifie que ces trois sujets ont dit pot au lieu de pwat. Pour calculer les moyennes pour tous les sujets d’expérimen- tation, j'ai fait entrer en compte la moyenne des mots prononcés par un seul et même sujet, p.e. sous le p de pwatlrad : 11020 1,0410 — 17.0115: Il a pu arriver qu’en négligeant les millièmes de seconde il est résulté un écart d’un centième de seconde dans le total. Ce qui attire en premier lieu notre attention c’est la grande conformité dans la durée des consonnes: w de ‘pwatlrod a une durée moyenne de 0.08 sec. » … kwab als = 5 ROOS VRD a “ en ROO SR AS ED Ren a N OO SM ds mwatlrad , , = A > KOST, v , ol ae = x » WOE », nm » on EN. in 5 OO le premier t „ ftwaintexr „ , 4 | 5 ODD s le second # , nl N a = OUD de t , tre Bene Mu À = OOS og pr pwailmd > à B EROMAS k „ kwob ME £ uf EO SLS ! „ olva dans le seul cas mesurable dure 0.09 „ LANGUE FRISONNE PARLEÉ à GROUW. 21 Au moyen d’une comparaison enfin on peut trouver la moyenne du b de kwab. En soustrayant 0.15 (durée de a dans ‘pwatlrad) de 0.22 (ab de kwab) on obtient un reste 0.07 pour la durée moyenne de b. Nous pouvons par conséquent admettre que toutes les consonnes nommées ci-dessus, les vocaliques aussi bien’ que les soufflées, durent en moyenne 0.08 à 0.09 seconde Il y a une divergence pour le p et le k, mais la cause apparente en est que ces con- sonnes ne deviennent perceptibles au commencement d'un mot qu’à l'instant de l’explosion, de sorte que celui qui parlait n'avait pas le moyen de controler la durée de l’occlusion. Je traiterai ci-dessous le second ¢ de twaintox. Nous allons maintenant comparer les consonnes qui n’ont pas encore été nommées à celles que nous avons déjà traitées. Le n de twaintox peut être déterminé approximativement en le comparant avec d’autres consonnes. ain de twaintex ont ensemble une durée de 0.23 sec. ab de kwab 6 pl A 5 00T 0,22 gee: at de ‘pwatlrod , i 2 010.00 —0.20Disec. Considérant qu’une diphtongue dans une syllabe fermée doit durer plus longtemps qu'une voyelle brève, il résulte de ces chiffres que le n de ain doit être très bref, plus bref que le b de ab, sinon il ne resterait que 0.01 de sec. pour la seconde partie de la diphtongue ai, en admettant que a a la même durée que a, soit 0.15 sec. Supposons maintenant que dure aussi longtemps que ¢ ou / dans ‘pwatlrad, savoir 0.05 ou 0.04 sec. — et cela ne peut pas être loin de la vérité — il restera pour 7 0.03 ou 0.04 sec. De cette façon il est possible de faire le calcul suivant: durée d’une consonne ordinairement 0.08 à 0.09 sec. „det + U de ‘pwatlrad 0.05 + 004 — 0.09 sec. A „ntt „ twaintox 0.04(0.05) + 0.05 = 0.09 à 0.10 sec. Cela nous mènerait à conclure que deux consonnes consé- cutives formées au même endroit dans la bouche et appartenant à des syllabes différentes durent ensem- ble autant qu'une seule consonne,en ce sens que la durée est également partagée entre elles. 22 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA Il faudrait des expériences spéciales pour décider si cette règle est applicable aussi à d’autres groupes de deux consonnes et à d'autres langues. Il ne faut pas s'étonner d'ailleurs que le x de twaintax soit particulièrement bref, puisque toute la syllabe tax se prononce rapidement. Considérons maintenant la durée moyenne des voyelles. Les mots olva et ion m’embarrassent, parce qu’on n’atteint pas le but pour lequel ces mots ont été choisis. Comme il a déjà été dit plus haut, j'avais espéré de pouvoir déterminer si les voyelles initiales de ces mots ont ,gradual” ou bien „elear beginning”, et maintenant que je ny al pas réussi je pensais pouvoir du moins déduire de mes données quelques conclusions au sujet de leur durée Or, cela peut se faire si l’on considére les mots seulement comme isolés, car alors les voyelles commencent au moment méme de la vibration des cordes vocales, parce que ce n’est qu'à ce moment qu’elles sont perceptibles à l’oreille. Mais le résultat est tout autre quand on les considére comme prononcés dans une phrase, car alors les cordes vocales se mettront à vibrer au moment où la mâchoire descend et non quand elle est arrivée à la position la plus basse pour la voyelle. Pour être exact nous devrons donc, en parlant de la durée des voyelles, faire mention de deux valeurs différentes pour 9 et pour 7, comme nous l’avons fait dans le Tableau IV, l’une se rapportant au mot dans la phrase, l’autre au mot isolé Les tableaux donnent les valeurs suivantes pour la durée moyenne des voyelles et des diphtongues: 9 de olva prononcé isolément . . . . . . . 0.08 à 0.09 sec. RER NEN al dans une phrase .. 0.14 à 015 , Or sg DU OL bead EMER ret. A Een tome RON : @ pr Wob VOTE) ee rr 2 ee UD 5 E) DOTE NARE ILEUS TN, SPER S x a , twain: (wemsp 21). ) 2) 2m. OMD EMO 20 % „ wn prononcé isolément........ 0.20 M a A 7 dans une phrase . . 0 25 = Ee — AEN Er NE UN) 5 La durée de 5 dans olva a été obtenue en diminuant 0 23 sec. et 0.17 sec. (durée de ol) de 0.08 à 0.09 sec, qui est la durée moyenne de toutes les consonnes. Remarquons encore que dans le seul cas LANGUE FRISONNE PARLÉE à GROUW 93 où / était mesurable isolément, le tableau indique une durée de 0.09 seconde. Pour trouver la durée de ro dans ‘pwatlrod j'ai diminué la moyenne, 0.61 sec., de la somme des moyennes 0.12, 0.08, 0.15, 0.05, 0 04 et 0.08 sec On trouve la durée de si dans trsio en soustrayant de 0.55 sec., moyenne du mot entier, 0.16 sec. pour fr et 0.10 sec., durée de a dans olve. Cela correspond assez bien avec la moyenne des valeurs 0.24 sec. et 0.31 sec. qui se trouvent dans le tableau. Si nous distinguons approximativement trois sortes de durée de la manière suivante: a bref, a moyen, a: long, les mots ci-dessus seront représentés de la manière suivante: oluo, ‘pwatlwad, kwab, twaintar, van, treia, tandis que le signe pour les voyelles longues reste disponible pour les cas comme u: dans tu:zam qui seront traités plus tard. Le plus souvent ces signes peuvent être omis si l’on fait précéder un texte phonétique de quelques remarques générales concernant la durée des sons. Pour distinguer p. ex. les sons excessivement brefs, comme Ea dans ‘pwatlrad et a dans twaintex il suffit de remarquer d’une manière générale que dans les syllabes non-accentuées la voyelle devient plus brève. Les données manquent pour le mesurage exact des parties composant une diphtongue. Mais il est évident que a dans ian a une durée moyenne égale à celle des consonnes, c.-à-d. 0.09 sec, en admettant que à cesse au moment où la tension du fond de la bouche commence à diminuer. Le résultat final des observations nommées ci-dessus c’est qu'il y a entre les consonnes et les voyelles les proportions suivantes: Consonnes brèves 0 04 à 0.05 sec = ordinaires 008 à 0.09 „ voyelles brèves 0.15 à diphtongues brèves 019 à 020 , moyennes 0.25 à 0.29 , ” Finalement j'ai fait des recherches pour m/’assurer si h était 24 DESCRIPTION PHONETIQUE DES SONS DE TA vocalique ou non. Dans ce but j'ai fait prononcer à mes sujets d’expérimentation ‘hunakara et da ‘makara, enregistrant comme d'ordinaire au moyen d’un tambour tournant rapidement. Le résultat fut que sans exception h se pronongait sans voix dans ‘hunakara et était vocalique dans da ‘hunakara. Les courbes ci-jointes peuvent servir d’exemple Les courbes des léyres ayant échoué ont été éliminées. Il faut lire de gauche à droite, mais mesurer les points synchroniques en partant des A arcs à droite Les limites des vibrations des cordes vocales sont indiquées comme ci-dessus par des lignes pointillées. Là où e Iles s'arrêtent un moment se trouve naturellement le k. Du reste, les courbes s'expliquent d'elles-mêmes. Avec ‘hunakara le fond de la bouche est déjà tendu, avant que les cordes vocales commencent à vibrer; le mot commence done par un son soufflé, savoir h. Avec da ’hunakara les vibrations des cordes vocales commencent déjà avant que le fond de la bouche soit tendu et elles continuent sans interruption jusqu'à k Il s'ensuit que h est vocalique ‘hunakaro. da ‘fiunakara. mâchoire. fond buceal temps X Sé cordes voca LANGUE FRISONNE PARLÉE à GROOW. 25 Le résultat obtenu correspond entièrement avec celui que Ernst A. Meyer dit avoir obtenu pour l'allemand, le suédois, l'anglais et le hongrois: ,das H zwischen stimmhaften Lauten selbst ist stimmhaft, stimmlos dagegen in absolutem Anlaut und nach stimmlosem Laut '). Je puis ajouter que les expériences que J'ai faites à plusieurs reprises m'ont prouvé que la même règle est valable pour ma propre prononciation du hollandais. CHAPITRE IL. Jusqu'ici je me suis occupé presque exclusivement de décrire les matériaux que j'ai obtenus par mes recherches expérimentales. J'ai maintenant l'intention de mettre les résultats obtenus en rapport avec ce que j'ai noté à la seule audition, et je tächerai de donner une plus ample description des différents sons qui se présentent dans le dialecte frison de Grouw. Base d’articulation ou position de la bouche. A Les organes de la parole sont à l’état normal, sauf quelques déviations individuelles qu'il n’est pas nécessaire de mentionner parce qu’elles se présentent dans chaque peuple. Les mouvements de ces organes sont en général peu énergiques et par conséquent plus ou moins vagues; il s’en suit que les voyelles ont une tendance à dégénérer en diphtongues, parmi lesquelles il y en a une ou deux où l'accent tonique est incertain. Généralement les écarts des mâchoires sont assez larges ; par contre un notable pourcentage des Frisons de Grouw n’ouvrent la bouche que de quelques millimètres. La même incertitude se présente par rapport aux lèvres: la plupart ont une action assez énergique des lèvres, accompagnée d'un avancement bien prononcé, de sorte que les voyelles d’avant arrondies sont dûment développées. D'autre part cette action est assez faible, témoin des mots comme mudiko, où le son w est à peine perceptible et est causé parce que l'écart des lèvres après m commence au milieu et s'étend ensuite peu à peu dans une direction latérale Cet w faible se développe en un son plein p.e. dans mwora (= mur). 1) Ernst A. MEYER, Stimmhaftes H. Neueren Sprachen, Band VIII, Heft 5. ARCHIVES XI. 4 26 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA La langue est couchée plate et large dans la bouche et en prononcant les voyelles d'avant touche les dents inférieures, ce qui fait que la voyelle 2 dans une syllabe non-accentuée ressemble souvent plus ou moins à &. Ici également on observe quelque contra- diction. D'un côté p. e. il est souvent difficile de décider si g et g sont explosifs ou fricatifs, p.e. njogan, bogen Le g a même parfois quelque tendance à disparaître, tandis que simultanément la voyelle précédente se modifie. C’est ainsi qu’au lieu de la prononciation ordinaire njogantax j'ai noté deux fois la prononciation njo.ntax. Une autre conséquence du peu d’activité de la langue se trouve dans la disparition régulière (vocalisation) de r devant s, 2, f, d,n, p.e.: höndat (cent) et dans la vocalisation de n devant s et 7, p.e.: fé:stor (fenêtre), fomü:j0 (remontrance, c.-à-d temple mennonite), jE:s2m (Irnsum). De l’autre côté r devant une voyelle est une roulée bien articulée et se prononce sans exception avec la pointe de la langue. Les consonnes tf, d, n et l se forment à 1 ou 2 millimètres en arrière des dents supérieures et quelquefois tout contre. (Je parlerai plus tard de l’exception que fait n dans un seul cas.) La consonne l est neutre, mais a plus de tendance a être creuse que palatale. Le z et le v ne se présentent pas à la tête d'un mot, / et 5 n'existent qu’individuellement au lieu de sj et de zj, Le j se présente fréquemment et forme toutes sortes de combi- naisons, comme: bj. fj, gj, kj, 4, mj, nj, rj, sj. tj, blj, pri, sky, st, tsj, vrj, etc. Outre les consonnes vocaliques qui peuvent se trouver à la fin des mots dans toute langue (l, m, n, 9 et r) on y trouve aussi b et d. Les consonnes p, t, k ne sont pas aspirées. Le clear beginning ou glottal stop ne s’entend distinctement qu’au commencement d’un mot (ou syllabe) isolé ou prononcé avec emphase dans la phrase. Le frison ne connaît pas de voyelles nasales, excepté là où la consonne n se vocalise. Le système de voyelles est très étendu, avec beaucoup de diphtongues et de triphtongues. On trouve souvent 2 dans les syllabes faibles, et n est souvent syllabique L’assimilation est très fréquente en frison. Ma connaissance de la langue est insuffisante pour pouvoir établir des règles. Les consonnes sont toujours très brèves. L’accentuation est en majeure partie la même qu’en hollandais et en allemand. LANGUE FRISONNE PARLEE À GROUW. 27 Description des sons de la langue. Les sons du dialecte frison de Grouw se trouvent rangés dans le tableau ci-dessous d’après le système de |’ Association phonétique ; done l’&cartement des mâchoires dans la prononciation des voyelles y est négligé. En comparant ce tableau avec celui de la page 9 on verra que de |’élimination de ce facteur résulte principalement une différence par rapport à w, qui se trouve placé un peu plus haut et y qui occupe une place un peu inférieure. | Laryng. | Uvul. Vélaires ‘Palatales Linguales Dentilab. Lab. Plosives.... ? | kg | | td | pb 8 Nasales..... | 7 | | on | | m 5 ‚ Laterales... | | | l = Roulées.... | | | | " | Fricatives... hf xg AN ae | fuv| w Fermées. ... | | 4 Up | (u y) Mi-fermées. . | u ö | | ‚ (u 6) É ce wee te (0 #) B Moyennes . . | | | à 4 be | (à 6) > | | Mi-ouvertes. | | | 2 we € | | (2 ®) Ouvertes... a a | | ua, du, da, di, ou, ai, ari, Ei, ra, ei, ir, ia, by, Pa, wy, wi, Noi, oua, Eia, aria LES VOYELLES. Mouvements des lèvres et des mâchoires. Pour faire suite à l'étude détaillée des mouvements des lèvres dans le Chapitre I nous observerons ici que w et y, quand ils forment la seconde partie d’une diphtongue, ne sont jamais les sons pleins représentés par ces caractères. La langue conserve la position du son précédent, et l'arrondissement des lèvres ne s'accentue que par le relèvement de la mâchoire. Celle-ci n’atteint pas complètement la hauteur normale pour w et y. Exemples: - 4 28 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA kou (= vache), grow (= Grouw), ‘bro:speyt (= pompe à incendie), groyt (= grand). Pour les mouvements des mächoires nous renvoyons au Chapitre I”. Mais il faut ajouter ici que à dans les sons composés di, at, ei, @i est proprement 1, parce que la mâchoire n’atteint pas la hauteur normale pour ce son. Narrow et wide. Afin d'éviter autant que possible les accents signifiant tendu (narrow) et relâché (wide) j'ai choisi par opposition aux voyelles tendues w et e les signes uU et & pour indiquer les voyelles corres- pondantes relâchées. Pour les sons o il m'était impossible d'éviter un accent, de sorte que o ou 6 (tendu) est opposé à à (relâché). Dans le dialecte frison de Grouw sont tendus (ou souvent mi-tendus): u, 0, y, db, à, e et &; relächös: u, 0,9, a, d, 4, @, E et 6. Timbre, durée et accent. Les voyelles simples peuvent être brèves ou longues. Deux de celles-ci ne sont que faiblement plus longues que les premières et peuvent donc en être distinguées en les nommant moyennes. Les voyelles longues qui sont réellement longues de durée sont celles qui se présentent aussi comme brèves ou qui se trouvent devant r. Les diphtongues sont brèves ou longues. La durée des premières surpasse d’un tiers seulement celle des voyelles simples brèves (voir page 23). La durée des dernières, qui sont faiblement plus longues que les premières, surpasse de la moitié environ celle d’une voyelle simple brève. On pourrait par conséquent leur donner le nom de moyennes. Seul ai est ou bref ou réellement long. La partie accentuée d’une diphtongue dure un peu plus long- temps que l’autre partie. Dans les triphtongues la proportion de ava aux autres est égale à celle d’une diphtongue longue à une moyenne. En général toutes les voyelles, lorsqu'elles ne sont pas accen- tuées, perdent une partie, mais une très petite partie de leur durée et de leur timbre LANGUE FRISONNE PARLÉE à GROUW. 29 Dans le dialecte frison de Grouw se trouvent les voyelles, diphtongues et triphtongues suivantes 1): Voyelles brèves. — u — mula (= bouche) etc. 0. — poy (= bourse) etc. 9. — olva (= onze) ete. a. — axt (= huit) etc. €. — tretjan (= treize) etc. E. — sEmar (= été, subst.) etc. à — sin (= son, pron. poss.) etc. krys (= croix) ete 6. — brotsan (= brisé) etc Voyelles moyennes. — 0°. — to'laf (= douze) etc. e. — hel (= entier) etc Voyelles longues. — 0) 9 as. € E a u:. — tu:zan (= mille) etc :. — gabö:ran (= né) etc. :. — son (= sept, sable) ete. — a:mar (= seau) etc. :. — bre:ga (= pont) etc. 2. — E:ran (= oreilles) etc. :. — ti:d (= temps) etc. y:. — dy:val (= diable) etc. ÿ :. — fip:raz (= gai) etc @:. — kerja (= (ils) se proménent) etc Diphtongues brèves — ai. — sais (= six) etc. iB. — fintjan (= quatorze) etc. Diphtongues moyennes. — va. ou. 9. — moan (== matin) etc. ji. — loia (= paresseux) etc. . — grow (= Grouw) etc sd. — vel (= nous) etc. . — hro (= foin) ete . — tei (thé) etc. v. — friozon (= Frisons) etc. . — grbyt (= grand) ete ey. — bluad (= sang) etc. — kou (= vache) etc. — sndan (— samedi) ete à. — staitsja (= (ils) heurtent) ete. — ‘brd:speyt (pompe à incendie) ete. 1) Il se pourrait, quoique ce soit peu probable, que ma liste de sons ne soit pas tout à fait complète. 30 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA Diphtongue longue — a:i. — arion (= œufs) etc. Triphtongues ordinaires. — ui. — muöiko (= tante) etc oud. — fjouor (= quatre) etc. sia — treia (= trois) ete Triphtongue longue. — ma:ia (— mai) De même que wöi (voir p. 25), ir fait exception à la règle que dans les diphtongues et les triphtongues l’accent tonique tombe sur la première partie, vu que dans cette diphtongue l’accent est instable Ces remarques générales faites, les voyelles longues et les moyennes peuvent étre distinguées dans les textes phonétiques par le même signe (:) et des diphtongues et triphtongues il n’y en a que deux, savoir a:i et a:io qui exigent le signe de longueur (:). Une. transition aux diphtongues est formée par les combinaisons avec w, comme: wo. — skwora (= grange), mwora (= mur), brwörn (= frères), !jòpgwòd (= jeunes gens), skwon (= souliers), pluriel de sku:x, spwonn (= copeaux), pluriel de spuan etc. Dans ces mots la majorité prononçait wo. Les autres faisaient entendre uö avec le même accent tonique sur chacune des parties (level stress). wo. — swony (= cygnes) etc. wa. — ‘pwatlrad (= crayon), dwaran (— portes), pluriel de do:r, ete. wa:. — twa: (= deux) etc. we:. — kwe:la (= gazouiller) etc. Voir aussi page 39. Description des voyelles. Bien que pour un phonétiste le caractère des voyelles soit suffisamment déterminé dans la plupart des cas par les caractéres indiqués dans le Tableau des sons, les observations suivantes concernant quelques-uns des sons ne me paraissent pas superllues. u, Ua, où, ou. — Le son relâché u que quelques-uns font entendre diffère très peu du son tendu u. Quelques-uns des sujets d’expé- rimentation prononçaient guad au lieu de guad. Il y en avait deux qui disaient bluja au lieu de bluaya. Le son a de va se forme par le désarrondissement graduel des LANGUE FRISONNE PARLÉE Ä GROUW. 51 lèvres et le retour de la langue à sa position neutre. En même temps, la mâchoire, qui, comme nous l’avons vu ci-dessus, est assez abaissée en pronongant u se relève un peu. Pour la seconde partie des diphtongues ow et ow, voir p. 27. Du reste le son u (p.e. tu:zon, mula) concorde !) avec celui qu’on entend dans le français foule, l'allemand Schule, le hollandais koel. Le son u de guad est celui du londonien good, de l'allemand und, du hollandais boer. o:, ou. — En hollandais 0: a souvent, par suite de l’arrondis- sement croissant des lèvres la nature d’une diphtongue. Dans le dialecte frison de Grouw ce n’est pas le cas. Le son 0: (p.e. to:laf) concorde quant à l’acoustique avec celui du hollandais boom. En général ow fait l’effet d'un son plus ou moins plat, parce que la première partie se forme avec la bouche un peu plus ouverte que pour o:, ainsi oTu. Une assez grande minorité pronon- cait kou, now et skout comme ko:, no: et sko:t, c'est à dire avec le même son que dans to:laf. 5 Quand la diphtongue ou est précédée de 7, elle a souvent quelque ressemblance avec öu (voir page 34), de sorte qu’on peut entendre dire dans une boutique tantôt bljou mar (— restez seulement) tantôt bljüu mar ou une des formes intermédiaires. Proprement ce j est un # ou 1 très bref, surtout quand on change o en 6. C’est tout simplement pour des raisons pratiques que j’ai choisi le signe j (Voir page 38). 0, 0:, 09, ot, wor. — La voyelle à a dans ces cinq cas le son de o dans le hollandais et l'allemand geboren. La voyelle à dans des mots comme op (= sur), njògan (= neuf) etc. a un son un peu plus ouvert que mon o dans le hollandais op, qui pour ma sensation et mon ouie est plus fermé que le son o: du hollandais boom. J’ai observé une déviation dans la prononciation de la locution généralement connue rjòzt = sljoxt, où à propos du j on peut faire la même remarque que dans la phrase bljou mar citée plus haut. Trois de mes sujets d’expérimentation prononçaient à peu près ridat & slıöxt, c.-à-d. que le son après r et sl était décidément 1) Dans la comparaison avec d’autres langues il s’agit seulement de la ressemblance acoustique et non de la durée. 32 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA autre que j, et qu'à la voyelle suivante la langue, encore sous influence de 1, n'avait pas tout à fait pris la position à. En prononcant le a de la diphtongue 6a (pe. mon) les lèvres se désarrondissent et la langue quitte la position à pour être portée un peu en avant Pour wi dans muika ete. (Voir page 25.) :, où, 9w. — Il n’y a rien de particulier à mentionner au sujet du son >. Il est semblable à celui du français poche, de l'allemand Ross, du hollandais ros et est done moins ouvert que celui de l’anglais pot. 0, Gs, Gl, 0:0, 10:02: Je traite a et a: en même temps parce , que ces deux sons sont généralement difficiles à distinguer. a est presque toujours at (sans retirer la langue autant que possible), et le son de a: concorde presque toujours avec celui du francais âme et de l’allemand Vater, mais non avec l’a palatal du hollan- dais vader. Plusieurs pronongaient a: comme at: et a comme an. Ceux-là seuls qui savaient bien le hollandais faisaient entendre le a: palatal en parlant frison. Aussi est ce grâce à eux que j'ai pu décider dans des cas difficiles si c'était a: ou a: que j’entendais. La voyelle brève a dans la diphtongue a (p.e. twaintax) est évidemment sous l'influence de 1’; suivant, car elle est un peu plus avancée que l’a: dans amor et aan. E, Ei, iR, ka. — L’E du dialecte de Grouw s'entend e.a. dans l'allemand Ehre et le hollandais leer Pour distinguer ce son relâché du son tendu e qui sera traité ci-dessous. j'ai été obligé de me servir d’un signe spécial. Je n’ai pas choisi I parce que ce signe sert à désigner un son plus fermé que e, celui qu’on entend dans les mots hollandais ik, wil 1), ete. Dans la prononciation de la plupart des habitants de Grouw la voyelle de Ek (= je, aussi) est plus ouverte que celle du mot hollandais 1k (= je). Du reste Ve bref est loin d’être stable : il varie entre I et E. L'accent tonique dans la diphtongue iE est incertain, comme je Vai déjà dit; tantôt on dirait qu'il tombe sur 7, tantôt on simagine l'entendre sur E. Je n’ai observé cette singulière diph- tongue que dans firtjan et firtax. Entre les deux sons de la diphtongue na, on ne fait point entendre 1) Dans ma prononciation du hollandais li de ik est plus fermé que le de eer. LANGUE FRISONNE PARLÉE 4 GROUW. 33 un à ou j comme son intermédiaire (glide). La seule chose qu’on ait à faire c’est de porter la langue en avant pour former E et ensuite de la retirer lentement jusqu’à la position neutre pour 2. e:, ei. — Ces sons concordent entièrement avec ceux que l’on entend dans les mots hollandais heel (== he:l) et zee (— zei), c-à-d. qu’a la fin d’un mot e: devient clairement une diphtongue, tandis qu’en syllabe fermée on n’observe que fort peu ou aucunement le caractère d’une diphtongue dans le son e:. La prononciation de cette voyelle est celle qu’on entend dans l’allemand geben à, i:, 7a. — A la fin d’un mot 1% ne devient point diphtongue. On prononce done jyni (= juin) et non jymij. Dans les syllabes finales non-accentuées on passe rapidement sur % dont on fait presque un ja bref, p. ex.: ‘fro:lio (= femmes), “mendia (= lundi). dy, do, d:, y, y: sont les voyelles arrondies d’avant. — Le son p est celui du francais peu et du hollandais beuk Seulement, dans ma prononciation la voyelle de ce dernier mot a la nature d’une diphtongue : arrondissement des lèvres s’accentue progressivement, de sorte que ¢ finit par se changer en y; je prononce done bóyk. Mais il y a beaucoup de Hollandais qui disent bg:k. Dans le frison de Grouw on entend dy, p.e.: gróyt (= grand) ete. Il y a encore un ¢ qui, se terminant par un désarrondissement des lèvres, devient diphtongue et se prononce da, p.e.: sndon (— samedi). Telle était la prononciation de six de mes sujets d’experimentation. A l’encontre il y a celle de douze autres qui formaient la première partie de la diphtongue un peu plus ouverte, de sorte qu’elle ressemblait plutôt à la voyelle du hollandais deur, ainsi: snétan. C'est pour cette raison que dans les Tableaux ce mot a été inscrit dans deux colonnes. Il en est de même de skrdon (= écrit) et skrétan. La prononciation sndT:n et skrdT:n ne se rencontrait que spora- diquement; sndé:n et skré:n ne s’entendaient jamais. Le son correspondant relâché ¢, qui concorde précisément avec le hollandais dewr, je ne l'ai observé que comme voyelle longue et devant r, p.e.: fld:rox (= gai). Chez quelques-uns le son inter- médiaire de ¢: à r (on-glide) était si distinct qu’ils disaient en réalité da. ARCHIVES XI. 5 34 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA Au sujet de y et y:, il n’y a rien de particulier à observer qui n'ait déjà été mentionné. Les voyelles palatales (mixed de Sweet) dans le dialecte de Grouw sont: &:, wi, ü et a — Le son & ne se rencontre que long et est toujours suivi de r, p.e.: ka:rja (= (ils) se promènent). C’est une voyelle mi-ouverte, un peu arrondie, légèrement tendue (low-mixed-narrow-round), pour laquelle on relève fortement le palais mou. Pour ses qualités acoustiques on peut le comparer à la voyelle de l'anglais fur (fä:) dans le parler londonien. Un de mes sujets prononçait kd:rj9, comme dans le hollandais dewr; un autre disait keiarja, comme dans le hollandais kwieren et il y en avait deux qui pronongaient kaarja. C'est à peu près le même son, également avec le voile du palais sensiblement levé, mais non-arrondi et un peu plus ouvert, que l’on entend dans la combinaison a, p.e.: staitsja (— arrêtent), fleitsja (= sifflent) ete. C'est la même diphtongue que celle qu’on entend dans le hollandais lui (lat), kwieren (kaiara) ete., mais non dans stuiten qui se prononce steyto. Je n'ai entendu ce dernier son à Grouw que dans le mot ‘bro-spayt. 6. — Cette voyelle, p.e. dans brötson (— cassé), est un peu plus ouverte que celle du hollandais put. La mâchoire a à peu près la même position que pour 7; la langue est relâchée, la pointe touche à peine aux dents inférieures, les lèvres sont légèrement arrondies. a. — Cette voyelle ne se rencontre que comme son final de diphtongues ou de triphtongues, ou séparément dans des syllabes atones, p. ex.: ian (= un), hea (= foin), bluaje (= fleurissent), tian (= ton), treia (= trois), maa (= mai), ete. tretjan (= treize), da 9:da (= le vieux), hindat (= cent), to-laf (= douze), twainlox (= vingt). etc. La prononciation diffère beaucoup: on entend p.e toutes sortes de nuances entre ion et wn. Dans les nombres entre 13 et 19 jai hésité entre a d’un côté et e ou E peu accentué de l’autre. Ainsi: treljon. treljen et tretjen. ete. La prononciation prédomi- nante cependant est un son exigeant la configuration suivante de la bouche: mâchoire modérément ouverte, un peu plus que pour i, de sorte que pour la diphtongue 1% l’écartement des mâchoires augmente un peu; langue en position neutre et non tendue; lèvres ni arrondies ni retirées Après une voyelle LANGUE FRISONNE PARLEÉ À GROUW. 35 (avant dans une diphtongue (dan, hea) la langue peut prendre & peu prés la position d’une voyelle d’avant, de sorte qu’on obtient un son tenant le milieu entre a et e ou wr, donc: ien, here 1). Par contre tous mes sujets d’expérimentation disaient: treia, teksol, tsjerka, bwatsjo, mudika, njdgon, a:mor, olva, sjedzja. Il y en avait un qui prononcait le a de trea en arrondissant notable- ment les lèvres. LES CONSONNES. Les consonnes, soit vocaliques soit soufflées, sont toujours relachées. Laryngales. — ? et h. — Pour ? voir pp. 15 et 26; pour À vocalique et h soufflé voir p. 24. Le h soufflé ou, si l’on veut, une aspiration s'entend quelquefois devant un mot commençant par w, r ou j. C’est ainsi que j'ai noté pe: hwana (= coq), hwantsja (= cochet), hwôtsjo (— petit chapeau), hrjiat = sljoxt (= droit et simple), hròpt (= (il) appelle). hrekt (= (il) tend), hjrran (= cheveux), à côté de wana, wantsja, wotsja, rjoxt = sljoxt, ropt, rekt, jeran. Le dernier de ces mots est le seul au sujet duquel j’aie fait des recherches spéciales. Le résultat a été que trois de mes sujets disaient hjrron, et que cinq pronongaient jrran, ne faisant aucune difference entre ce mot et jeran (— années). Plosives. — Les plosives vocaliques aussi bien que les souftlées se trouvent soit au commencement, soit au milieu, soit à la fin ?) d'un mot On les prononce avec peu d’énergie. Seul le ¢ au commencement d’un mot semble faire exception. Je trouve du moins plus d’une fois dans mes notes que le ¢ de taykja (= (je) remercie) et de fu:zan se prononce avec énergie mais sans aspi- ration. D'après la p. 19 le glide après une plosive au commencement d'un mot est vocalique dans la plupart des cas. L’oreille perçoit la voix en même temps que l’explosion. 1) Pour le son a dans va et 6a voir pp. 30 et 82. *) Pour autant que j'ai pu m'en assurer g, g4 ou g n’est jamais consonne finale, à moins que le mot suivant ne commence par une voyelle ou une con- sonne vocalique. De 36 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA La plosive vocalique à la fin d’un mot est d’après p 19 ou | entièrement ou pour les °/; vocalique et presque jamais soufllée. Mais dans la majorité des cas elle fait à l’oreille l'impression d'être ou entièrement ou partiellement soufflée Cependant elle ne dégénère jamais en un tou p soufflé Voici ce que j'ai noté à ce sujet: vocalique soufflée soufflee à la fin. Fremd 10 6 2 kwab l ú 5 bluad 1 1 1 Nasales. — Les nasales se forment de la maniére ordinaire. La lettre n seule donne lieu à quelques remarques, savoir: 1° n se vocalise devant s, r ou j, c-à-d. la pointe de la langue ne ferme pas complètement le passage de l’air sortant de la fosse buccale !). En outre, la voyelle précédente, ou au moins la dernière partie de cette voyelle se nasalise, p.e : vazdia (— mercredi), foma:ja (= temple mennonite), je:sam (— Irnsum), rjoxt 2 sljèt (— droit et simple), ete Dans le mot foma:j2 cependant les circonstances sont un peu différentes: sous l'influence du son j le n s’est changé en N qui s’est vocalisé, comme on s'en aperçoit aisément à la position de la langue. Ce N ne se présente que sporadiquement en consé- quence de son assimilation avec une consonne palatale qui le suit. C’est de la même manière que dans le parler rapide n et m devant une consonne labiodentale se changent en m (— labioden- tale nasale). 2° Quelquefois la vocalisation se fait avant le d, qui alors disparaît Je n'ai observé ce phénomène qu'après » dans bro:spayt (= pompe à incendie) et dans ‘frisl5:/bòpa (— vive la Frise!). 3° Dans le parler rapide n fait souvent office de voyelle, p.e.: tu:zn (= mille), brötsn (— cassé), swann (— fils), spwonp (= copeaux), etc. 4° En prononcant n dans gè:n9 (= florin), rò:na (— rouge), on courbe la pointe de la langue en haut et on l’appuie derrière les gencives contre l’arch (Sweet) de sorte qu'il y a articulation 1) C’est pour cette raison que dans la transcription phonétique je supprime n, que je remplace dans les syllabes accentuées en notant la voyelle comme longue, LANGUE FRISONNE PARLÉE À GROUW 37 LES dorsale. De cette manière on donne à 1’): qui précède un son sourd qui a beaucoup d’analogie avec u. Un seul de mes sujets appuyait la pointe de la langue contre les dents inférieures et articulait par conséquent avec la partie qui se trouve en arrière de la pointe de la langue et que les phonétistes anglais nomment blade. Je n'ai pas observé cette particularité dans d’autres mots. Latérales. — Me référant à ce qui a été dit du / à la page 26, j'ajouterai ici que je n’ai entendu distinctement la palatale que dans le mot bilja (= mugissent) et que pour l'oreille hollandaise le lereux au commencement des mots lEan (= salaire), lrona (= avenue) et pleax (= fléau) est très remarquable. Dans les mots comme loft (= air), Yoxt (= lumière), lay (= long) je n'ai observé rien de particulier au sujet de J. Consonne roulée. — Le son r est toujours vocalique et vibré et ne se prononce jamais autrement qu’avec la pointe de la langue: rjoxt (— droit), brétsan (= cassé), kw:rja (= se promènent), fjouar (= quatre) ete. On le vocalise ou on l’assimile avec la voyelle précédente devant t, d, n, s, 2, p.e.: twa: a:mas (— deux seaux) à côté de a:mar, fintjon (= fjirtjin), hondot (— hondert), bwatsja = boartsje), ma:t (= hollandais: Maart), gjetsjo (— hollandais: Geertje), höd (= hird), pròtos (= protters), moan (= moarn), East (= hollandais: eerst), hindaz ey kei (= hynders en kij), etc. On le supprime aussi quelquefois devant m et b. J’ai noté: dermai (= hollandais: daarmee) et demai, fobei (— hollandais: voorbij), fama:ja (= temple mennonite; hollandais: vermaning), mais harman (= Germain). Le r ne disparaît pas devant un n faisant fonction de voyelle, p.e.: Erp (= oreilles). Entre r et une plosive il n’y a généralement pas de glide clairement perceptible. Je n'ai entendu qu’une fois tsjeraka (— église) au lieu de fsjerko. Pour hr voir p. 35. Fricatives vélaires. — x, 84; t+, g. — Les Frisons de Grouw ne sont pas d’accord en ce qui concerne les fricatives d’arriére. Ils les articulent de deux manières, savoir par le palais mou (x, g+) et un peu plus en avant, à peu près à la limite du palais mou et du palais dur (z+, g). Une recherche spéciale à ce sujet, em- barrassée par l’articulation peu énergique mentionnée p. 25, a produit le résultat suivant: 38 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA njogan 7 fois| 7 fois) 1 fois) fugal Op geal Ota El bre:ga LORS Se rap all Ragan Se a AC da:ga 1. WANN STH fre:gja wh In Fag’ lady alle One | act | 9 riet = slioxt | | 9 | 4 jet | 33 | 8 twain tas | | 10 L'écart dans raga/ledy doit évidemment être attribué à ce que & de rog devient vocalique sous l’influence de la consonne suivante. Le g de fre:gja doit probablement être mis sur le compte de la consonne palatale 7 qui le suit Si on ne fait pas entrer Eag-+lrdy et fre-gja en ligne de compte, la prononciation g se présente 38 fois, g4 19 fois et g 4 fois On peut done admettre comme règle que la fricative d’arrière vocalique est g. Par contre, le tableau montre que la fricative d’arriere soufflée est presque toujours x. Voici les irrégularités que j'ai constatées dans la prononciation de mes sujets: Il y en avait 10 qui pronongaient sekstjon, 3 ” ” sextjan, 4 ” ” sexttjan, 1 , prononçait — sewstjan. 14 pronongaient sekstax, 3 5 SETHLID, 1 prononçait sextox. 11 pronongaient va:ksja ou va:k/2, D . VA:TS9, 2 , NORDEN LANGUE FRISONNE PARLÉE À GROUW. 39 Il y en avait un qui disait zroyt au lieu de gréyt, un autre ou/g-ôsts au lieu de ow/göstos; ce dernier probablement sous l’in- fluence du hollandais. Fricative palatale. — Le j se prononce avec peu d'énergie et approche, surtout après une consonne, le son de i bref. Cependant j'ai préféré la transcription 7 pour ne pas augmenter sans nécessité le nombre, assez grand déjà, des diphtongues et des triphtongues Pour hj voir page 35. Fricatives linguales — s, z — Ces sons se forment ordinairement avec la pointe de la langue à quelques millimètres derrière les ineisives d'en haut. Dans cinq des onze cas que j'ai observés inten- tionnellement, la pointe de la langue se trouvait tout près des dents inférieures ou les touchait. Les sons s et z ne sont pas fortement sifflés, parce que l’ouver- ture entre la langue et les gencives est assez large. C'est pourquoi ils ont souvent, en combinaison avec un 7 qui les suit, la nature de s/ et de 25. C’est ainsi qu’on entend à côté de bwatsja, sjrdzja, Isjerka, ete., la prononciation bwats/a, s/jed259, ts/erka, etc. et même: bwatfo, fedza, tferka, etc. A remarquer que dans ces combinaisons les lèvres sont toujours entièrement désarrondies, comme en anglais. Labiales. — f, v; v; w. — Les consonnes f et v ne donnent lieu à aucune remarque spéciale. Le son représenté par +, pe vot (— quoi) est identique à la labiodentale qu'on entend dans le mot hollandais wind: dans le frison de Grouw cette consonne est régulièrement fricative, par exception elle est plosive. Sauf dans quelques cas sporadiques le v n’est pas précédé d’une autre consonne. Le w (voir p. 30) est bilabial, la langue ayant la position de la voyelle suivante. Excepté lorsque il résulte de hw (p. 35), il se présente toujours précédé d’une autre consonne, p.e.: twa: (= deux), kwab (= lobe), swann (= fils), fwar (= pour), swi:r (= lourd) ete. Exceptionnellement on prononcait v au lieu de w. J’ai entendu dire twa: et tvaintes 3 fois, kvab 1 fois, svanan 4 fois, SVL? 1 fois, kyvrada 1 fois 40 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA CHAPITRE Il. J'ai profité de mon séjour à Grouw pour me faire lire quelques textes en prose et en poésie. Ils fournissent la matière pour le troisième et dernier chapitre de mes recherches. A côté du texte en orthographe ordinaire frisonne se trouve la traduction aussi littérale que possible en français d’après le texte hollandais qui m'a été gracieusement procuré par Monsieur B. H Gorter et Monsieur S van DorsseEn. PHRASES DETACHEES. Transcript. phonétique. Eg ben ga’bo-ran ta’grou. Ek ‘va:j9 ta JE:som. Eg be jer ‘net fon t plak “Pov vest. ‘snéan to ‘medio “twa en twaintag4 ou’ gdstas ‘njoganijan ‘hindat en ‘trea. ‘frisla: ‘bipa ! at Ez ’ö.rl “u:ra “ruajan nar jena’vo:d(a). lai da ‘hola ‘hev(g) gonox ? vet bena mai ys “fi:van. maln) he:r vil 'e:vM vat "fre:gj2. nou sE va ba’guna. vol mo(n)he:r t fe:star "riopnho:da ? Orthographe frisonne. Ik bin geboaren to Grou. Ik wenje to Irnsum. Ik bin hjir net fen 't plak Of west. Snjeun to middei twa en tweintich Augustus njug- gentjin hündert en trije. Fryslän boppe! ’t Is oardel roeijen nei Earne- A ure woude. Lei de holle heech genöch ? Wij binne mei üs fi- ven. Menhear hwat freegje. wol even Nou scille bi- gjinne. Wol menhear ’t fin- ster iepen hälde? wy Traduction française. Je suis né à Grouw. Je demeure à Irnsum. Je n’ai pas quitté cette localité. Samedi après-midi vingt-deux août dix- neuf cent trois. Vive la Frise! Il faut une heure et de- mie pour ramer | d’i- ci] à Earnewoude. La tête était-elle [cou- chée] assez haut? Nous sommes cinq. Monsieur veut de- mander quelque chose. Maintenant nous al- lons commencer. Monsieur veut-il lais- ser la fenêtre ou- verte ? LANGUE FRISONNE PARLÉE à GROUW. Transcript. phonétique. vot lait ar 9 ‘jeld int ‘la:d, mem! ha j t ‘sop ‘op? Ek sel da ‘tei ma ‘seta. gran ma ‘fwot. ‘hart Bz nett) ‘tys. ‘va he(t) tot ‘sain? da ‘skwala giat ‘dan. at ‘hu:z rz ‘grdyt. da ‘mwora ‘stiat ‘brik ‘de "ke:st op ‘rekaja de ‘lait ar, = ‘sait ‘neat. "jo:mgabetsja. ou ‘hait, ‘dow di ’fizr bòpa da ’stjern venas- t(a)! eg ba’taykja dei, dot ek da’he:la “dai dey ‘qguad(h)at ') “prjoua moxt(a). ‘klean ‘piton, ‘rondorviz *) ey go’sont(h)at *), ‘roloz vot mei ‘Issta, vot mei ‘tsje:stog via, halv) Ek ‘hoen. ‘tayka, ‘tanka de(r) fwar, ou “be:sta ‘hait in a “he:mal *)! man rag4’lrdn®) vöda®) En, Orthographe frisonne. Hwat leit er in jild yn ’t laed, mem! Hawwe jo ’t sop op? Ik scil de thé mar sette. Gean mar foart. Heit is net this. Hwa hat dat sein. De skoalle giet oan. 't Hus is great. De mürre stiet bryk. Der kinst op rek- kinje. Der leit er, en seit neat. Joungebetke. O Heit, dû dy fier boppe de stjerren wen- neste! Ik betankje dy, dat ik de hiele dei dyn goedheit prjüwe moch- te. Klean en iten, on- derwys en gesontheit, alles hwet my lêstte, hwet my tsjinstich wier, haw ik hawn. Tanke, tanke der for, 6 beste Heit yn ’e himel! Myn eachlidden wirde swier, en ik moat to 1) A proponcer lentement: ‘guadhait. 2) On proponce aussi: Pdndar’viz. 3) ” LA ” gasònthait. 4) Prononciation hollandisée; devrait être: hrmal. 5) On entend aussi: rogde'lrdn. 6) Aussi: wöro. ARCHIVES XI. 41 Traduction francaise. Que d'argent dans le tiroir, mère! As-tu mangé la soupe? Je vais toujours faire le thé. Va-t'en. Père n'est pas à la maison. Qui a dit cela? La classe commence. La maison est grande. Le mur déverse. Vous pouvez compter là-dessus. Le voilà par terre et il ne dit rien. Prière du soir. 6 Père, toi qui de- meures loin au-dessus des étoiles, je te rends grace d’avoir pu du- rant toute la journée éprouver ta bonté. Vê- tement et nourriture, instruction et santé, tout ce qui me plai- sait, tout ce qui m'était utile, je l’ai eu. Je t’en remercie, à bon Père [qui es| aux cieux! Mes paupières s’alour- 42 Transcript. phonétique. ‚en Ek malt) ta ‘bed. for) kwekja min ‘vürago" bea tr da’swiata ‘sliap, en ‘vekja') fwa(r) min ‘be:d, 92 Ek net vit, dot ek in a ‘vro:d ben; vont ‘(d)ou, ow ‘leava ‘he:ra, ’sjoxst(o) olas, eek do ‘kwrada ‘mis:skan *), oz at’tsjistar ws. “tek “net om at ‘kwea, dot Ek ter "jvad’dian ha; far) jou at met d(m) min ‘sr lox- ‘maitsar, di ’ala’frvada ‘ben ‘bei(h)em ‘ropt, der at novt >) gE(n) *) naxt Pa:man. sun:r !jest(a) olas, vil. yt: riman en teltsjas fan da brwirn * halbats- ma:. fired prentaya. ?yt fon ‘hu:s bei da bu:r. da ‘mwanti:d. at ljoxt “brekt tro da ‘griana ga’ dintsjas. da ‘klok ‘slaxt “jelva ‘fi-van da’ wilda ‘fugals “tj erm- ja ut ‘field. da “wana 1) A proprement parler 2) Ou: 'mé:skan. Orthooraphe frisonne. bed. Forkwikje myn wirge troch de swiete sliep, en weitse lea foar myn béd, as ik net wyt, dat ik yn’e wrald bin; hwent dû, o ljeaven Heare, sjuch- ste alles, hearste alles, ek de kweade minsken as it tsjuster is Tink net om it kwea, dat ik dy hjoed dien haw; forjow it my om myn sillichmeitser, dy alle froede bern by him ropt, der it nea nin nacht wirdt. Amen. 4 Ut: Rimen en Telisjes fen de Broerren HALBERTSMA. Fjirde Printinge. Út-fen-hûs by de boer. De moarntiid. It ljocht brekt troch de griene girdynkes. De klok slacht heal- wei-fiven. fügels De wylde tjirmje oer 't DESCRIPTION PHONETIQUE DES SONS DE LA Traduction frangaise. dissent et je dois me cou- cher. Ranime par le doux sommeil mes membres fa- et veille devant mon lit quand je ne sau- rai pas que je suis au monde; car tu vois tout, 6 Dieu très bon, tu en- tends tout, les méchants aussi quand il fait nuit. Ne pense pas au mal que je t'ai fait aujourd’hui; pardonne-le-moi, pour | l’a- mour de] mon Sauveur, qui appelle à lui tous les enfants sages, la où il tigués ne fait jamais nuit. Amen. Extrait de: Rimes et Contes des Frères HALBERTSMA. 4ieme Edition. En visite chez le fermier. Le matin. La lumière pénètre au travers des petits rideaux verts. L’horloge sonne qua- tre heures et demie. Les oiseaux nocturnes font en- vaitsa, mais cela ne se dit pas à Grouw. 3) A proprement parler pro, mais cela ne se dit pas à Grouw. 4) nen est tombé en désuétude. LANGUE FRISONNE PARLÉE à Transcript. phonétique. ‘krant, en da 'lepkoz ‘liapa in a ‘frna, da ‘protas ‘kwe:lo en "tsjo- tarja op at ‘ulabuad en da ‘skwasjan. da ‘?dta- fa:r *) ‘klapholzot. da ‘ljorkon ‘sjoya ur a ‘skwora, da ‘?0:da “mem et) to ‘klok. ,*’bouk”, ‘sait sa”), „do: möst ar ‘a:koma*), fay ko! = “ri- pa *’hkdo en da ‘faint: doy ken do "ro:d “bu:r jet vot ‘leap bljoua.” „guad', sait *’bouk, z ‘orjout orrz in 9 ‘?E- gan, à ‘strikt ur a“rwada "ro:na ‘wagon. so ‘skout da ‘gikda "bein wr a bets’planka,'klait (h)ar ‘van, ? “ropt *’hedo en da faint. ‘de(rymar Ez ‘alae in t ‘spur. da ‘faint ‘jout da ‘ket ‘wast on ‘lits "jefto ‘hea, en *heda ba’gu:(t) ta “mpoksjan. #beiko, di da ‘he:la’naxt òp da ‘?o:d ‘bu:r sin ‘bru:k ‘lain het, ‘rekt (h)em ‘yt, en do butyz- ‘dû:r ‘Pytgronda, ‘snd- falt ar op ot “hiam om, Orthographe frisonne. fjild. De hoanne kraeit, en de lipkes hepe yn’e finne. De protters kwe- le en tsjotterje op it tile- boerd en de skoarstien. De earebarre klaphal- zet. De ljurken sjonge oer ’eskurre. De âlde mem heart de klok. „Bauk”, seit hja „dü mast er ôf komme, fan- ke! en roppe Hidde en de feint: den kin de äldboer yette hwet liz- zen bljuwe”. „Goed”, seit Bauk, en wrjûwt e'ris yn ’e eagen, en strykt oer ’e reade rou- ne wangen. Hjaskouwt de gledde billen oer ’e bêdsplanke, klaeit hjar oan, en ropt Hidde en de feint. Dermei is alles yn ’t spier. De feint jowt de ky earst in lyts jefte hea, en Hidde begint to mjoksjen. Byke, dy de hiele nacht op de äldboer syn broek laein het, rekt him tit, en de büthüsdoar ütgeande snuffelt er op it hiem om, en siket de on- 1) "jerabora ou 'Eabara est tombé en désuétude, 2) ja ne se dit pas. 3) On dit aussi ‘oukòma. GROUW. 43 Traduction française, tendre des cris plaintifs au-dessus de la campagne. Le coq chante et les van- neaux sautillent dans le pré. Les étourneaux ga- zouillent et gringottentsur le faite du toit et sur lache- minée. La cigogne claquet- te Les alouettes chantent au-dessus de la grange. La vieille mère entend l’horlo- ge, „Bauk”, dit elle. „vous devez vous lever, ma fille! allez appeler Hidde et le valet; alors le vieux fermier pourra rester couché encore quelque temps”.— , Bon”, dit Bauk, se frottant les yeux et passant les mains sur ses joues vermeilles et Ses fesses lisses glissent sur la planche qui borde le lit, elle s’habille et appelle Hidde et le valet. Après cela tout est en mouvement. Le valet don- ne d’abord aux vaches une petite ration de foin et Hid- de se met à brouetter le fu- mier. Byke !), qui a été couché toute la nuit sur le pantalon du fermier, s’éti- re et, sortant par la porte de l’étable, flaire partout sur la propriété, cherchant rondes. 1) — Aide, nom propre donné souvent à des chiens. 6* 44 Transcript. phonétique. & ‘stkat do ‘ropgo:zn op. *’bouk set no: ‘fy: dan, en “heyat a(t) ‘tsja: velar Ur. „ma vet mata ‘PEK wot “out ‘ha,’ ‘sat so, = ‘skout ot ‘ra:m op, 2 ‘smit da fe:stoz ‘iopon, dot sa tsjen 2 mwòro ‘stwitsjo. ‘now stelt sa (h)ar ‘tsje- pa ‘trwa:ja in a loft, ë ‘sjoxt mat am pe:r ‘froanlaka’eragan’eu-r- ol in a ‘bli:do ‘da:ga rom. at ‘ljaxta ‘grion fon a "semer’krita ‘ski- mat tro da ‘tsjòka ‘doua. at ‘jongwod ‘hafalt in a lizn om. da ‘ropaintsjaz ‘vragalja nai ha ‘ta, en ‘lanhalzja om an ‘ha:n- fol’bjena da’?a:da’mem Let at ‘molkan in a ‘tsje- na 'rEna. sa E2 ‘likvol a(n) ‘mÊ:ska fon ‘ssks- tax "ji:r, en ‘dors ‘telt sa da ‘tuna ‘mar ‘op, dot a da ‘lady ‘kniazo, z ‘set om op a ‘tsjena, en let at "molkan (djar ‘ytrena, dot at ‘bru:st. de(r)maï völt) ta ‘spot- skutal (d)ar ‘plain, at "tsj:led ‘fe:stkila, da pôle ‘o:slain da ’?a:da ‘lia ‘bènta vöt fon a ‘sta:l “hela, em ba’ge:(t) Orthographe frisonne. ganzen op. Bauk set nou fjûr oan en hin- get it tsjernwetter oer. „Mar wy matte ek hwet ljocht ha”, seit hja en skouwt it ræm op, en smyt de finsters iepen, dat se tsjin ’e mürre stuitsje. Nou stekt se hjar tsjeppe troanje yn ’e loft, en sjocht mei in pear frjeonlike eagen oeral vn’e blide dage om. It ljochte grien fen’e simmerkrite skimert troch de tsjokke dau- we. It jonggoed haffelt yn’e liezen om. De rop- einkes wraggelje nei hjar ta, en langhalsje om in hânfol beane. De âlde lit it molken yn 'e tsjerne mem rinne. Hja is lykwol in minske fen sekstich jier, en dochs tilt se de tine mei op, dat hjar de hidden knieze, en set him op ’e tsjerne, en lit it molken er útrinne, dat it brûst. Dermei wirdt de spat- skûtel er op lein, it tsjernlid festkile, pols oanslein. De âlde de loaye bûnte wirdt fen DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA Traduction francaise. les délivres. Bauk allume alors le feu et pend la mar- mite contenant l’eau de la baratte. „Mais nous avons aussi besoin de lumière”, dit-elle. Et elle lève la fe- nêtre et ouvre les volets avec tant de force qu'ils heurtent contre la murail- le. Alors elle met sa jolie frimousse dehors et de ses deux yeux doux regarde de tous les côtés dans l’au- rore riante. Le vert clair du ,polder” intérieur est faiblement visible à travers l’épaisse rosée. Les jeunes bestiaux happent çà et la les glaïeuls. Les canards domestiques s’approchent en chancelant et tendent le cou pour avoir une poig- née de fèves. La vieille mè- re verse le lait caillé dans la baratte. C’est une femme de soixante ans et pourtant elle soulève le tonnelet à s'en faire ma laux reins et le pose sur la baratte et laisse couler le lait caillé si fort qu’il en écume. Ensuite on pose la sébilette !) dessus, on fixe lecouvercle avec des coins, on attache le piston. On sort le vieux paresseux brunot de l'écurie et il se met à baratter de telle fa- t) = rabat-créme. LANGUE FRISONNE PARLÉE à GROUW. Transcript. phonétique. ta "tsjz:jon, dot ot “hu-z ‘droynt en da ‘bint ‘krrokja. now at "Poor ‘folk set ta ‘melkon, ba’ge:t de 'ro:d ’bu:r (h)em ‘Ek lo ‘resp. hei ‘stiat op, en ‘klait(hjem ‘oan, = ‘snsit fwar at ‘folk elk an ‘tsjok ‘Pòm- stek ‘brea. oz dot ‘dion Es, ‘fa:gal ar at ‘mes 9:0, = ‘stekt at in 9 ‘skia. hei 'nemt da‘brel yt at ‘festorbayk, em ba’ge:(t) ta ‘ls:2n im a „raiz nar t "he:malso jaryzalam’’. at ‘melkan Ez ‘dion at ‘folk komt ba da ‘hod. da ‘?a:da nemt sin ‘ron ‘bre:t- ska:da "wotsja ’79:9, em ‘bet. da ‘faint ‘gobat axtor da ‘huad vai, ey ‘gi:zjanda tsjem *’bouk, ‘tra:pot ar har òndar- vilns op 9 ‘tjenp, dot sa at ‘laitsjan ‘Pek net ‘Pinho:da ken. ‘elk nemt sin stek ‘brea, ‘lait at op a ‘knebal, en “it ar fon. da “?o:da “mem Ez ‘bay dot at ‘var ford:rja sel, sa het at (h)ar "jös- torjo:n in t "krysstötsn. da '?o:d ’bu:r ‘kla:gat ‘man Orthographe frisonne. ’e stâl helle, en bigint to tsjernjen, dat it hüs droant en de bynten kreakje. Nou it oar folk sit to meltsen, bi- gint de äldboer him ek to rissen. Hy stiet op, en klaeit him oan, en snijt foar it folk elk- mes in tsjok omstik !) brea. As dat dien is, faget er it més 6f, en stekt it yn’e skie. Hy nimt de brul út it fin- sterbank, en begint to lezen yn’e Reis nei it himelsce Jeruzalem. It meltsen is dien. It folk komt by de hird. De äldeman nimt syn roun breedskade hoedke ôf, en bidt. De feint gobbet efter de hoed wei, en gyzjende tsjin Bauk trapet er hjar onderwiles op ’e teannen dat se it lait- sen ek netynhälde kin. Elts nimtsyn stik brea, leit it op ’e knibbel, en yterfen. De äldemem is bang, dat it waer for- oarje scil, sa het it hjar jisterjoune yn ’t krús stitsen. De âldboer kla- get ek oer jichte en de 45 Traduction francaise, con que la maison tremble et que les poutres craquent. Maintenant que les autres domestiques sont occupés à traire, le vieux fermier se met à faire ses prépara- tifs. Il se lève et s’habille et coupe pour chacun de ses gens une grosse tranche de pain. Quand cela est fait, il essuie le couteau et le remet dans le fourreau. Il prend les lunettes sur l'appui de la fenêtre et se met à lire dans le , Voyage à la Jérusalem céleste”. On a fini de traire. Les genss’approchent du foyer. Le vieillard ôte son cha- peau rond à large bord et prie. Le valet, regarde en riant derrière son chapeau, sourit à Bauk en clignant des yeux et lui appuie en même temps son pied sur les orteils, de sorte qu’elle aussi ne peut s'empêcher de rire. Chacun prend son quignon, le pose sur le ge- nou eten mange. La vieille mère a peur que le temps change, à cause de la douleur lancinante qu’elle a sentie hier soir dans sa croupe. Le vieux fermier se 1) Omstik = tranche coupée tout alentour, donc tranche entière; sijdstik — demitranche. 46 Transcript. phonétique. ‘pek ur ‘ject en do ’sle- ma ‘ti:d. hei ba’skröbat at jonfolk, dot sa sa wu: dwe:lsk net ve:za ma- ta, vont (d)ot (h)ar da Erp jet vol ba’ka:ga „oda kena. ‘de(r'mai oz da ‘kopkaz am ‘pontsjoz ‘opbéragan !) bena, ba- ‘re:da da’ fra:lia da’ tsje- na, em ‘bjena da tinn en ‘a:dy yt. da’mo:lia gron von t’sjedridn ov "laik- ja da ‘semardikjaz ‘op da ’70:d’man ‘bljout in a hédz huka om da ‘fu- kan ta ‘la:pjan, em ba- ‘sjoat da ‘kiba mar da ‘brel op a ‘nes. ‘groustar vEagan. ‘rola, ‘rola, ‘vetor- ['vEagan, ‘rola em ‘bru:z om t [ o:da ‘grou! mirv a:daen fwar yz '#2- Con ‘flragan, ‘stouan om yz ['grou. 1) A Grouw on ne dit pas waiböragan. Orthographe frisonne. slimme tiid. Hy bi- skrobbet it jongfolk, dat se sa oerdwealsk net wêze moatte; want dat hjar de earen vette wol bikôge !) wirde kinne. Dermei, as de kopkes en pantsjes wei- berge binne, biredde de frouljue de tsjerne, en bjinne de tinen *) en aden *) út. De manljue geane oan ’t sjeadri- den, of leikje de sim- merdykjes op. De ald- man bljûwt yn ’e hirds- hoeke om de fûken to laepjen, en bisjocht de kobbe mei de brul op 'e noas Ut: Rimen en Tellsjes. Grouster Weagen. Rolje, rolje, wetter- [ weagen! Rolje en brüs om ’t [âlde Grou. Myriaden for us eagen Fleagen, stauwen [om ús Grou. DESCRIPTION PHONETIQUE DES SONS DE LA Traduction francaise. plaint aussi de la goutte et des mauvais temps. Il gron- de les jeunes gens | et leur dit | d’être moins bruyants: car pour eux aussi les mau- vais jours peuvent venir. Puis, quand les tasses et les soucoupes ont été mises de côté, les femmes pré- parent le beurre et net- toient les vases et les bas- sins à lait. vont transporter les carrés Les hommes de gazon, ou hausser les digues d’été. Le vieux reste au coin du fover pour réparer les nasses et regar- de la poche de la nasse, les lunettes sur le nez ... Vagues de Grouw. Roulez, roulez, vagues [d eau, Roulez et écumez autour [du vieux Grouw, Des myriades devant nos [yeux Volaient, s’amoncelaient [autour de notre Grouw. 1) Littéralement: qu’on pourra leur mor- dre les oreilles. 2) Tinen = vases au col étroit. 3) Aden — bassins plats en cuivre. On y verse le lait pour l’écrémer. LANGUE FRISONNE PARLEE à GROUW. Transcript phonétique. ‘rolje, ‘rolja ys fa ber, ‘hida ‘friazan "bljoua [ ved. ‘SEMIATMOIN. À; vot bes(t) tow ‘leaflak, “rizanda ‘sEmarmoan, (a)t Dpgrondo ’sentsja ‘la:kat mei ‘oan. (a)t ‘wantsja kra:it: "kür- [ka’luu ! at ‘douka ropt! "ruku- [‘kuuw ! ‘pek vol “Ek ’sj079 ‘flb-racx fon ‘ton. 2. "rolaz vot ‘lebat ‘dôxt ar nou ‘sinaz bei. ‘fa:ltsjaz ey "kjeltsjas, “hindaz ey ‘kei; ‘qwoskaz di ‘snetarja, ’skjvpkaz di ‘blstarja, ‚lamkaz di ‘spreya, ‘ny:vara "blei 3. (a)t ‘ljorkj(o) in a ‘vdl- | kan, x. Orthographe frisonne. Rolje, rolje us foar- [by! Hirde Friezen bliu- [we wy. Ut: Rumen en Teltsjes Simmermoarn. 1. Hwet bistou ljeaflik, rizende simmer- [moarn ! 't Opgeande sintsje laket my oan. 't Hoantsje kraeit: [koekeloe! 't douke ropt: roe- [koekoe! Ik wol ek sjonge, fleurich fen toan! 2. Alles hwet libbet docht er nou sines [by, Foaltsjes en kealtsjes, hynders en kij; Goeskes dy snetterje, skiepkes dy bletterje, Lamkes dy springe nuvere blij. 3. 't Ljuerkje yn ’e wol- [ken, 47 Traduction française. Roulez, roulez en passant [devant nous! Nous restons des Frisons [endurcis. Matin d'été. 1 Que tu es charmante, Aube du jour d'été, Le soleil levant Me sourit. Le coq chante: [coquerico ! Le pigeon roucoule: [roucoucou! Je veux chanter aussi D'un ton gai. 2. Tout ce qui vit Y ajoute du sien, Poulains et veaux, Chevaux et vaches: Oisons barbotants, Brebis bêlantes, Agneaux bondissants, Excessivement con- [tents. 3. L’alouette dans les [nues, 48 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA Transcript. phonétique. (a)t ‘Painsj(a) in this [zag ‘wat, (a) “moskj(a) en t ['‘sweltsja, 'zelk ‘sjoyt sin ‘hat. d(a) 'Eobarn ‘klaparja, ‘lepkaz ‘vjdk'vaparja, ‘skriaz op a ‘heka ‘ropt: ‘gritow ‘grit. 4, (a)k vua fwar grey | ‘go:na, do ks je(t) ta shapan lai, (a)t vz mei sa ‘noflak Pir op 9 ‘dar. ‘protoz di ‘tsjotorja, d(a) ‘ekstaz di ‘skalarja, ‘robe Es ‘fld:rox, ‘rk ben at ‘mar. (yt: “fri:s ‘liatabukja fwar ‘elkan ian). Orthographe frisonne. t eintsje yn ’t lizich [ wiet, ’t Moskje en 'tswealtsje, elts sjongt syn liet. d’Eabarren klapperje, leapkes wjukwap- [perje, Skries op ’e hikke ropt: grito, griet ! 4. 'k Woe for gjin goune, det ’k yet to sliepen [lei, t Is my so nochlik ier op ‘e dei. Protters dy tsjotterje, deksters dy skat- [terje, Alles is fleurich, ik bin it mei. W. Disxsrra. (út: Frysk Lieteboekje for Eltsenien). Traduction française. le caneton dans [l’eau bordée de [glaïeuls, Le moineau etl’hiron- [delle, Chacun chante sa [chanson. Les cigognes claquet- [tent, Les vanneaux bat- [tent des ailes Le francolin sur la [barrière chante: grito, grite! 4. Jene voudrais pas pour [un florin A - ra être encore couché, J'ai tant de plaisir le matin de bonne [heure. Étourneaux gringot- [tants, Pies jasantes, Tout est gai, je le suis aussi. (Extrait du: Chanson- nier frison pour tout le monde). Transcript. phonétique ‘skEpas saykjo. Ne fo jet ma!) ‘net,oz ‘bola [‘vintsjaz vario, en Ekoan t ru:r min [‘saykja spy ; os 'kru:29 ‘eKagan t ‘gle- [do ‘skep m'a: ; jet ma ‘net. 2; fo'jat ma net, oz mili- l’un ‘stjeran, en t froanlak ‘mwantsya [mei ba'skint, en dou swiot ‘dro:m hest [in a ’se:fto 'fjeron; fout ma ‘net. 3. Jo jet ma net, 92 ‘wre:da | ‘touarflragan mei ‘sleyarja de(r) ‘god [at wol. az Ek 'ompolskjo mai da [dra fwar ‘Kagan ; fajet ma ‘net. 4, fajet ma ‘net, 92 'vre:(d) | da ‘stwarman ‘bilja, en t ‘Inban ‘hryot don (a ‘triat ; oz ver fo'slaın dan Ime:(t)- [tou “rid(a) en 'filja ; fajet ma met. 1) Ou met. ARCHIVES XI. LANGUE FRISONNE PARLÉE Orthographe frisonne. Skippers-sankje. L Forjit my net, as bolle [wyntsjes waeye, En ik oan ’t roer [myn sankje sjong; As kroeze weagen ’t [gledde skip omaeye; Forjit my net. 2. Forjit my net, as mil- [lioenen stjerren, En ’tfrjeonlîk moan- [tsje my biskynt, En dou swiet droam’ [hest yn’e sêfte fearren; Forjit my net 3. Forjit my net, as wrede [touwerfleagen My slingerje der God [it wol. Asik ompolskje meide [dead foar eagen; Forjit my net. 4. Forjit my net, as wreed [de stoarmen bylje, En ’t libben hinget [oan in tried; As wy forslein oan ’t [needtou ride en fylje; Forjit my net. 49 à GROUW. Traduction française. Chanson de marinier. je Ne m'oubliez pas quand souf- [flent les vents bouffis, Et qu’auprés du gouvernail [je chante ma chanson ; Quand des vagues crépues [caressent le glissant bateau, Ne m'oubliez pas. 2. Ne m’oubliez pas quand des [millions d’étoiles et la lune bienveillante [m’éclairent, Et quand dans les plumes mol- [les vous avez de beaux rêves, Ne m’oubliez pas. 3. Ne m'oubliez pas quand de [cruels orages Me lancent où Dieu le veut, Quand j’erre, la mort devant [les yeux, Ne m'oubliez pas. 4, Ne m’oubliez pas quand les [tempêtes cruelles rugissent, Et que ma vie tient à un fil; Quand vaincus nous coupons et [écorchons nos mains à la [corde de sauvetage, Ne m'oubliez pas. 50 DESCRIPTION PHONÉTIQUE DES SONS DE LA, ETC. Transcript. phonétique. Orthographe frisonne. 5. 5. fo'jet ma met o(s) ‘swata Forjit my net,as swarte [‘tomaleragan [tommelweagen utru:zalja ot ‘va:rlvas Oertrtizelje it war- (skep, [leas skip, en ola e:lo'menty ‘tsjen En alle eleminten tsjin [ys ‘teagan ; [us teagen ; fo'jet ma ‘net. Forjit my net. 6. 6. forjet ma met oz v'ain- Forjit my net, as w’ein- [ley ‘jet fa'seyka, [ling yet forsinke, n'le:ra ina ‘djepa ‘sei; En teare yn’e djippe [sé ; vol ‘don mai ‘trjenyp om Wol den mei triennen [(m)a ‘teyka ; [om my tinke; fo'jet ma ‘net. Forjit my net. ut: Rimen en Teltsjes. AMSTERDAM, avril 1906. Traduction francaise. 5. Ne m'oubliez pas quand de [noires vagues roulantes Culbutent sur le bateau sans | défense, Et quand tous les éléments se [liguent contre nous, Ne m'oubliez pas. 6. Ne m’oubliez pas quand enfin [nous coulons à fond, Et chavirons dans la mer [profonde, Veuillez alors penser à nous [avec des larmes; Ne m’oubliez pas. | VIT | 25)! 3501 3.75 II) —|| 4501 2.50 | loyelle = — 3.75 ıollandaise bet koe: rja Moyenne on mulo hòndet, poy Mot-clef rjdxt sljdet sain fo:la alva fiowor det, aatjon toxtox mudike sontjon, sontax. Moyenne kwab IV 7. 7. [450 476) 4,756 |». | 4 — V| 750 han) 1,50[4,50| 4, | 3.50 | 3.95 1560/5.50/2 6 6, 6, 5,00 VI 64.76) 0.75) 5.75)a50 660 | 5, — [5.75|5.75| 0,50 | 7. 716 Vil 550) 6,60 | 5,50 6. 6,60 | 6, 025 6.25 |6.50 5,76 — 4.25 € [10,60 9.26 6.25) 5.25|5.76 1350 | 7,25 6.50 | 776 | KE wan S50 5,60 1.75 hoor hoot 5,60 1176 nan 5,50 1175 2,60 4.50 7.50 4 | 6. 6. [5.25] 4 | 4.75 9.50 | 6. 7.50) 6. | 15. | 576011 925 1 10.25 8,25 576 | 6.25 735 | 6.50 | 835 | 11 7.30 | 9, 5. 625 5.50 7.25 |6.25| 550! 7 860! 7 4 7,25 | 635 | 7.75 9. 7, 5. 9.50 6. | 8. 6. S50 — - 13:75 | 11. | 9.75 1450 7 10, | 9.75 | 950 13. 12,50 14.75 7 1450 725 7,50 16.75] 10.50 8 L1076 12.50 1175 1025| — hoor 5.50 7,50 450 9.25 10, 4.75 10.75 12, 8.50 | — 13, 118.75 14, 11.50 _ Moyenne 750| 8. 11. | 13.25 12. [11,75 8.75 haat Moyenne 7.25 14. trotjan 6. 1576 friemd sjedejo fietjon, fietow 5) 8.50 2.50) 4 8. 1,50) 2,50 0) 1.50 =| < 2 a 7 © Ota Óro 1,50 4.50 2,50 9,50 5,50] — 5125) | | 4. —|150|3 5. 4. 295 4.50]3.50] 4. | 4 5.50 5. ls. [6 3,25) 5.75 — 6,60]6.50]3. | 3. | Le, [2.50] 6. 6.50 8.50 3. bout : EN Wel ee ee IN LINSE MENU | STE Sr Scale ee al en EN RIE : sie PA EE ARE | | | | | | u PEN we, 2 2 g a a € Ee i | eur 6 ö y VAT False Cal El (an ù ù ù À ù da uòi 9 2 a ok @ |, @ a ari a: a ai e: a Er a E E Ea | Eo | eo ia a Ota | Ta ga | da | dy En alien A JH nn nn nn määTmm— m —— nnnmnnnn———————— I, 2 [13.50 1325 8.75 7. 3 2,50 0 =i o | | | | | 4.50 2 4,50 6 gr 5,50 0,50 0 - 0,50 0 0 1.50) — 1.50 0.50 0 0,50 | — 0.25 — 0.50 1.50 1. 1.75! 1.50 || 5,50 | 5.50 4 14. 8.50 —2. |—0,50 — 1.50 | —1. — 2, — 2, 0 N 14,50 — 1.50 | | II, 2 | 9.25 | 9.50 5.50 | 6,50 0 1. 0 —1.50) —1. -3. | —3. | | — 2.50! — 2. 0 1. 4. 3 3 4, 11.50 8.50 - 3. 1. — 0,50 — 3, — 3,50 | — 2, | — 9) — 2.75) — 3, | 0 2.50 | 4. 3 0 | — 1.50 | — 2,50 =e N 5.50 1.50 0 — 2.50 | | — 1.75 4 9 3 — 1.50 — 3.50 7 8, —1. 0 IV, 1 | 5.50 1. 5. 2,50 0 | | ik 9 6.50 8.50 2,50 150 | 1.75 | 5.50 | 3. 0 0 0 0 0 0 0 — 0.50 — 050 0 0 1° 3.75 | 3. 6.25 3 1.25 3.50 . 0 0 0 0 0 0 0 | 3 1.50 Vor 3 | | | | 8 ans | 6. 5.50 5. la. | 2, 3.50 1. | | | | | | 1. | | 15:50! 4 2.50 | 6.75 1. 0.50 0 0 0 0 0 0 0 2.50 9. 5 0 4,50 | 0 = 0 0 0 | 4 7. 6 | 0 0 0.50 | 0 0 0 0 | 0 0 VI, 1 11.50 | 2 | 6.50 (48.50 | 13,50 16. 3,50 6. 5650| 0 | 2 | 450 | 650|| 1.50) 6. |—450|—275| —2, 2,50) — 1. 5. || — 3.95 — 1,50|— 5.50|| —1.50 ||— 4.50] —3. | —92. | —5. ||—650| —3. |—0.75| —2. |—2. || —1.50 || 1. | 4.50/9.50/ 2. || 6.50 || 9.75 |14.50 2 8. — 4,50 | | VII, 1 7 | | | | | | 2 | 10, | 10. 9.15 || 9. 10. 10. 7. 4,50 | 6. 9,50 | 9.50 3,50 | 3. — 3.50) — 0.50 — 1.75) —5. 0 0 0 — 1,50! —3, — 0,50 || — 0.50) Ah, 0 — 9,50 DE 2. 0 | 0 |—0.50 0 6.50 || 8 | 8. 18.50 || 8. 12.50 | 12.50 2 8.75 | —4: | | VIII, 1 1, | | | | | | I) Le 2 7. 1.15 | 9. | | a, 2. 0.75 —2, — 0.50 = 2,50 | 0,75 0.75 | 6.75 8 1. | 9, 8,50 | — 0.25 — 4,50 (= 3.76 —4. I —3. ||—4.50|/— 1.50 | 8.75 5. || 325 10,50 | 11.50 4 10. | —4, |—250 — 3175 — 5,50 AGE | | — 5,50 | | Moyenne 3.75 6.50 | — 1.25 — 1.75 — 1.75 — 1.25 —0.50 1.50, 5.50 3.75 4.25 7.50 Voyelle 5.75 3. 7.75 hollandaise beut put buut III. II V VI IX XII XIII XIV u de mula >, == = N SS —=— <> comme 6 de t6: lof > Ls mulo ea ze N d de njdgon a = nn — Zu) SB ren Le EN | olva 2 de | zou Ee nn an CD comme comme 6 de brotsan aes Ls mula ee ER njdgon comme comme comme comme @ de hee: rjo alva LES mala njogan alva COMME y de dy:vol x LTA gen mulo == = comme comme comme comme # de sngan _ (a \ brötson mula << => njdgon njogan VII VIII IX ze Xa XI XII I 52 x [Total Il | Ila | Il | IV | 0.45 B | 0.73 | 0.08 | 0.07 | 0.55 Fu 008 | 0.07 | 0.56 VII | 0.03 [045 0.04 10.08 | 0.05 [0.64 | | | 0.07 | | | | 0.05 0.07 0.05 à Pp w a tl wo d k w a b a l » 29 | oot I | ++ | BE eet = ++ 4 I HL it | | I | 0,24 (0.16) 0.40 En mini Ia HH 0.20 | 0.06 N (#) 0.05 | 0.07 IL} 0.18 | 0.07 0.12 | 008 | 0.45 IT| 028(0.19) | 0.08 | 0.14 | 0.50 | md HH 0.10 | 0.07 | | Ha | 0.18 | 007 0.20 0.45 Ia | 0,35 (0.16) | 0.13 | 0.14 | 0.62 | | | 9 | III | 0.06 | 0.08 0.17 0,31 | „52 EH — Wii H+ | | | Il | 0.53 | | IV IV | | 0.07 | 0.49 tt = H Vl ++ v | | = | 0.30 | 10.06 | 0.67 Vv | 0.06 0,45 V À a) a L | | hl wis tt LH vI 0.08 | 0.12 | 0.63 VI VI | VI HH | Tzzscch VIT VII 0.05 | 0.53 vil VII Vi — lit lat van tt —— Lel Vite er er tn) I 0.10 | 0. | 0.56 VIIT | 0.10 | 0.05 0.40 VIII | 0.48 0.10 0. | 0.5 x |0. ).07 1.05 | 0.42 x mind ike + IX BE nn Il Ix ut ie le a ays we mw 0.05 | 0.05 | 0.15 | 0.53 | 0.12 | 0.12 x IX mt LEL fare De + x Sun a = if X | | | m x | 0.15 | 0.15 | 0. | | 0.91 XI 2 lan ile Run] a! XI 015 | 012 | 0.1: 0.80 XI | 014 | 009 | 0.05 | 0.08 | 0.39 Xa — HH Hl Wij HH le ale wl die) | XII x Ï } 0.67 XL Hl + vijl ++ | 2 na N Moyenne 10.08 0.15 | 0.05 Moyenne 0.08 Moyenne | 0,23 (0.17) 0.08 010 | 0.48 i t w an, m bt 2 4 t r Et a 1 a n I | I I pa prs Se t w anr n t a x | Total (a 7 Total | T 1 1 D Mn Il Ben eed | | | Ie I | | | 015 | 0.07 0.13 | 0.35 Ha HH Ha À UI | - 4-4 II | (0.08) | | | ae | IT | 0.15 | 0.12 | 0.09 | 0.36 IN nie = Et iz Winn IV Ia | Ha | 0.10 | 0.07 0.52 (0.13) | | = | 7 re Be ee QUE LR ee ei PURE A LES ler TIT | 0.05 | 0.06 | | 045 IIT | 0.05 | 0.06 0.47 III | 0.14 | 0.13 | 0.10 | 0.37 IV tt i ae - V m a u = 2 2 | 2 2 (0.08) | 4 IV | IV | 0.15 | 0.08 0,67 Do | a. SR ES EN vH nn pee VI | Un | | ) Ni | V | 0.09 | 0.09 | | 0.73 V 0.70 7 | VI VI bee EEE 7 | | Au vr {007 Loos | 020 | 0,05 | 0.08 | 0,07 | 0.55 VI 0.48 | | } Tr SE ee LE EP ES 4 | | | VI NUR ese fom cl Vil VII VII | 0.05 | 0.05 | 0.19 | 0.06 | 0,06 | 008 | 0.07 | 0.56 VII a | iet ul... VIII ii te == VII | 0.04 | 0.06 | 0.03 | 0.45 VI vin | | | ! | | XT md nues hk x Ge ee eee ee Ree 4 . ARS) IX | 0.05 | 0.04 IX | 0.05 | 0.09 0.24 0.07 | 0.45 | | À Im [| IN is Kl pa | 2 é : i TX | 0.18 | 0.04 | 0.08 | 0.30 ee med en] elite En ET Re ere! ee X | 0.09 | 0.14 | 0.22 0.06 | 0.08 | 005 | 0.64 X | 0.08 | 0.13 0,31 014 | 0.66 (0.14) | Xa | 0.16 (042 | 025 | XI | 0.67 X | 0.19 | 0.07 | 0.12 | 0.38 = x | | 0.14) | ie Xb | 012 | 0.13 0,23 | XII | 0.08 | 0.06 | 3.43 Lau) Xb HH --- en | | | stan | XI XII | | | | | | | | | | S41 | len EE Se XIII | \ 002 | 0.07 | XIV | | | | | | XI fr SEE T T ; Il mi Ar Moyenne 0.56 Moyenne | 0.08 |o.08 0.55 0.35 XIV zeg LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL PAR J. J. VAN LAAR. $ 1. La possibilité du type III dans le cas x — 0? (« = 0). Dans notre dernier Mémoire dans ces Archives [(2) T. X, Deuxième Partie] nous avons traité déjà deux cas spécials, le cas 5 —0 (b, — b,) et le cas x — 1 (p, —p,). Dans le premier de ces cas les calculs nous ont fait voir, que le Type III est impossible pour les mélanges binaires de substances normales, lorsque /? = b, —b, = 0; quant au deuxiéme cas, nous avons démontré la possibilité du Type III, lorsque n= Tt — 1. Pour des valeurs de Op > 1 1 1 et < 4,44 nous aurons le type normal II; lorsque # se trouve entre 4,44 et 9,90, le type III se présentera, et pour toutes les valeurs de 49,90 on aura le type anomal I. Les figures suivantes donnent une idée de ces transformations successives des trois types différents. Ils sont tracées toutefois pour une valeur de x une peu différente de l’unité, parce que pour a=1 la branche AR,C, coinciderait avec la droite AB (v= b). Avec cette valeur de a(>1) correspond une valeur 9, au lieu de 4,44 pour le point Q, et une valeur 4, au lieu de 9,90 pour le point P. ARCHIVES XI. 8 BINAIRES DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. FA Dans la fies Ta (65> 120) on a encore le type II; dans la fig. 1b (9 — 0,) un point d’inflexion Q se presente dans la courbe de plissement; la fig. le (9 > 0, <0) nous fait voir le type III avec deux points de contact R, et R,’ des lignes spinodales avec la courbe de plissement. Ce type dis- parait, lorsque le point double P se présente pour la valeur 9—6,, où R, et R,’ coincident en P (fig 1d); pour des valeurs de #>9, le type III passe dans le type I (fig. 1e). Nous connaissons done de la courbe, qui sépare le type JI du type III, seulement les points P et Q (voir la fig. 2), et le cours plus précis en est tout-à-fait inconnu jusqu'à présent. C'est pourquoi nous avons indiqué cette courbe préalablement par une ligne dottée. Maintenant nous discuterons un troisième cas, annoncé déjà dans notre Mémoire précédent dans ces Archives (1. c.), c.-à-d. le cas a —0 (a, —a;),. ou bien x — 0". CREER L’équation de la spinodale, viz. ET = + [x (A —x) (av— fB va)? +a(v—b)?], ... (a) devient dans ce cas: 2 RT = — Gh (lo)? a, +a, (v—b)?], 1 La=lra, + xa étant maintenant —=L’a,. Avec PER ON ed =o ; Nw v on aura: b b,+2/ a= Gi Be —w (l + n&), done 2a, à 2 RT— [et onu + (1—0(1+n0)].... (1) 54 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES \ A N N IT AAN N \\ MN N \ PA EA" N b Fig. 2. L’&quation générale de la courbe de plissement en projection U,%, C.-à-d. (av — P ra): [A —2x)v — 3% (1 — x) 2] + LE [3 (av —2 a) (cv—2/2 a) + — (vb) (v—8b) x (1 — 2) mi se transformera en (— Pr a) [A — 2a) v — 3x (1e) 2] + + 3a, (v—b)? (a) (2 a) + “3 re = 2 = |: ou bien DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 55 ie 4 b — ar Brol 1a) 32 (i—2) | + 60% Bi a! et) (st) alla) ang ou encore: ee | 1—22) — 32 (1—x le 6(4 a =) u 0 a (1—a) : : PB b i En substituant maintenant pour tes leurs valeurs, on obtient: n3o3 [(1 — 22) — 3x (1 — x) nw] —6n°w? (1 —w (1 + nx))? — _ (l—o( +n2))(1—30(1+n2)) 9 z(1 —x) ek © Le contact d'une ligne spinodale avec la courbe de plissement sera donné par la condition dy 2 heek ar REL en PE fo ea (c) F'—0 étant l'équation de la courbe de plissement en projection v,x. Car dans un point de plissement on aura: Gr te 8 af F Nous caleulerons done les valeurs de ar et nay, au moyen ; oF de l’equation (2). Pour 3x nous trouverons: = = nos [—2—3(1— 22) no] — 12n%w? (1 — 2) (— on) — 3(1— 2)? (— own) (1 — 32) (1— 2)? (—3wn) TE x(1— x) mar „dealer x? (1 — x)? (E— 23); lorsque nous écrivons pour abrévier: all + NX) = 2. 56 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES Après quelques réductions on trouve donc: DEE deint 6 nw (1—z)? (1—2z) Sr mien [—2—3(1—2x) no +12(1—2)]+- er + (1 —z)* (1— 32) (1 — 2x) x? (1 — x)? - (3) oF Pour Sa nous trouverons: @ PE [—32(1—2)n] + 3no? [1 — 22) — 32 (1 —x) no] — do — 12720? (1 —z) (—(1 + nz)) —12 n?0 (1 —2)? — aloe? (—C +22) (1—3z)__ (1—z2)3 ( ) xv (1 — x) x (1 —x) à ou bien DA en = = 3niu? [A —2x) —4x (1 —x) no} —12n?» (1 —z) (1—22) + ISCH! + ne) (1 —z)* (1 — 22) Aie) = .. a(® Maintenant nous calculerons la valeur de iC zy p,T Pour l’expression générale nous avons trouvé autrefois: te) Zala (v —b)? iS) js Fi RT DE da a Wy lc 2 el, (v FE b)? RT DE Cela devient done pour a — 0: Dries En da =; 2)? c.-à-d. en substituant pour RT sa valeur, donnée par (1): es if Ë re een en i a (1— x) nt? + (1 —2)? ou bien ( dv ) ICT) na] dx x (1 — x) nw? : done (2) Alt + zeen: DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 57 Or, comme w = a nous aurons: dw = by dv dx v? da’ et on obtiendra: aN ek (eee a À 1) N à D 3 13 étant = nw et Bi == v v Nous transformerons maintenant les expressions (3) et (4), en substituant pour 1— 2x sa valeur, tirée de l’&quation de la courbe de plissement (2). Cela donne: 6 (1 Se) En (A — 2)? (1 — 32) 1— = — No nw? a (1 — x) + 3a (1—2) no, ou bien, en posant HSE CE en ee 3. (6) 3 (1 — 2)? (1 — 2a) nw = 6 (1 — 2)? + (1 — 2) (1 — 32) u + une: OF Pour — nous trouvons done: 9% of 1 =2)2 tw il 2— 18 (1— 2)? — 3 (1— 2) (1— 32) u — all er md u 2 +12 (1 | + 6n?do? (1 — 22) u + ee =. pu — 2)? + LH) — 32) us + |. ou bien i nn ned Loe ons | D + 6(1— 92) u + + 6 (1 — 2) 32) u? + (1 — 32)? us | le et (3a) ; ex oF ; L’expression pour = devient, w (1 + nx) étant — 2: @ 3 (1—z)2 4.(1{—z)2 ga [6u—z) (LZS) U + I N dE = do u u — 12 n?w (1 —z) (1 — 22) + 6n? wz (1 — 22) u 58 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES ou bien dF 2 5 Lee 2 Sr —3n?o E BL +(1 —22—21)u |. . . (4a) Enfin nous pouvons écrire pour (5): 0@ A | GE) ne’ (FU). Ofek. vee (OH) La condition (c) devient maintenant: (2 of oF — = YY — D dz/,r do dt c.-à-d. : 9(1—z)? (—8 + 242— 182°) — — rg 6(1— 2z)u + 6(1—z) (1—3)u? + + (1—3z)?u3 =3 (1 +u) Dies) tes: (lest), u ou bien, après réduction: 6 (1 —z)? (— 11 + 182 — 922) — — + 3 (—1— 224+ 327)ut+ u + 3(1— 62 + 722) u? + (1 —32) u? — 0. On peut diviser cette équation, après multiplication par u, par (w + 1)?, et l’on obtiendra alors la relation simple (1 — 3z)?u? + (1 — 67 + 32?)u —6(1—2)2 — 0... . (a) Cette relation, combinée avec l'équation de la courbe de plisse- ment, ¢-a-d. à 3 (1 —2)° (1 — 2%) nw = 6 (1 — 2)? + (1 — 2) (1 —3 2) u + 2) et avec B 39" pole DIE Ee. z=u(l+na), donne la solution de notre probl&me. En posant a. : el aile je (1 — 2) [A — 32) 0 + 3(1 — 2) (2 ee | =? (A on aura: (1 — 2a)? nw? = P2, DE SUBSTANCES NORMALES ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 59 ou bien n'w? — 4x (1 — x) n*0? = P?, e.-à-d 1 — 2)? PAIE Da Mel = ) 5 u done no=— |/ De ie (y) Le signe + ne satisfera pas. Pour x nous aurons en vertu de 1 — 2%) nw — P: ett) EL SEHE BER) Nw La valeur de w peut être calculée de 2—w (1 + nz), donnant: Ee OE AT SERRE C) Et finalement on obtient la valeur de n au moyen de No 7 PE ee Me ne (D) @ Pour chaque valeur de z on peut donc calculer la valeur cor- respondante de u au moyen de l’équation quadratique («). Alors les équations (2), (y), (0), (&) et (p) donneront successivement les valeurs correspondantes de P, nw, x, w et n. [En vertu de la rela- tion (6) la valeur de u ne peut pas être négative |. : f 0 ; Dans notre cas, où x — G?, la relation n = sak deviendra: H 1 Et puisque dans le do- maine du type III la valeur de 4 doit être nécessairement <@,, où 6, représente la valeur de @ dans le point double P, on aura aussi: nn. Fig. 3. Pour le point double nous avons trouvé autre- fois 6, = 2,22, done », ——0,55. Il faut done que la valeur de n soit > — 0,55. ARCHIVES XI. 9 60 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLNAGES BINAIRES Or, le calcul des formules («) jusqu’à (p) donne une allure pour la courbe n = f(z) comme l'indique la figure 3. Et tout comme dans le cas x — 4 (b, —b,), que nous avons discuté dans notre Mémoire précédent, le type III sera done également impos- sible dans le cas x — 4?, que nous venons de discuter. Voici d’ailleurs un résumé des diverses valeurs correspondantes. u > = | hy | No x w n 1 0,500 0 0 0,333 1 0 0,9 0,711 —0,0187|—0,0938| 0,107 | 0,903 | 0,0264 0,8 1,074 + 0,0510 — 0,3893 0,566 1,020 — 0,582 0,7 1,693 \—-0,1408|—0,4822| 0,646 | 1.012 |— 0,477 0,6 2,893 |4-0,2001 —0,5111| 0,696 | 0,956 |— 0,535 0,5 6,000 + 0,1250 | — 0,4270 | 0,646 0,776 |— 0,5502 ; 0,494 | 6,326 |+ 01148 — 0,4184 0,630 | 0,758 — 0,5502 doa 0,49 6,593 | 0.0986 — 0,4093 | 0,620 0,744 |— 0,5502 0,48 7,290 | —- 0,0657 — 0,3908 0,584 0,708 |— 0,5517 0,47 8,120 |+ 0,0248 | — 0,3728| 0,533 0,669 — 0,5574 0,46 9,051 | — 0,0110 | — 0,3592| 0,485 0,634 — 0,5665 0,40 25,15 — 0,8148 — 0,8492| 0,0203 | 0,417 |— 2,035 0,33 ee) — D — 00 0 0,333 — Dans le point double la courbe n= f(z) présente donc un point d’inflexion, et il n'y aura jamais deux valeurs de z pour une même valeur de n, d’où résulte l’impossibilité du type III dans le cas présent. Il parait done, que la ligne dottée de la fig. 2 rencontre la courbe DBAC" dans le point x — 6 = 2,9, et que le type III existe done seulement dans le domaine très restreint entre x — 4 et x —1, lorsque les valeurs de 4 sont supérieures à 2,89, resp. 444 Il faut done, que les deux températures critiques soyent assez différentes entre elles, mais que le rapport "/r, ne dépasse pas la valeur 0, du point double. (Voir la fig. 2). Remarque. Nous insistons encore une fois sur le fait, que les résultats numériques de notre examen subiront une modification, quand 6 n’est plus indépendant de v et de 7, ou bien quand l'une des composantes ou les deux seraient des substances dites „asso- ciatives”. Alors les types III et I se présenteront déjà pour des valeurs de @ plus faibles, les valeurs de x restant les mémes — DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 61 mais qualitativement tout restera le même. Cela est déjà clair par le fait, que l'introduction de la supposition tout-à-fait générale b, = au lieu de la supposition simplifiée b, —b, (voir notre premier Mémoire dans ces Archives) n’a changé rien du tout quant à l'existence d’un point double dans la courbe de plisse- ment pour certaines valeurs correspondantes de 4 et de x; et également par le fait que les calculs pour la limitation du type III (dans le second Mémoire dans ces Archives, l.c) peuvent être effectués dans le même cas général b, by Les phénoménes restent done entiérement identiques pour des couples de valeurs pour b, et 6, très différents, et ne changeront donc essentiellement non plus, quand un couple de valeurs, se rapportant p e. aux cir- constances critiques de l’une des deux composantes, subit des variations, soit par association, soit par d’autres causes, lorsque v ou T varient — de même que p.e. les phénomènes critiques pour une substance simple ne changeront pas essentiellement, quand b n’est plus une constante, mais dépend de v et T, ou bien lorsque cette substance forme des molécules complexes. $ 2. Quelques remarques générales. Maintenant nous tacherons de trouver la solution du problème de contact d’une spinodale avec la courbe de plissement dans le cas le plus général, que x et 9 ont tous les deux des valeurs quelconques. Mais auparavant quelques remarques très générales. Résumons encore les conditions du problème. Le simple contact est donné par les deux équations ER PEO, ee ee BEA UNE LIT F—0 étant l'équation de la courbe de plissement. Puisqu’il y a deux variables v et x, cela implique pour un couple de valeurs de x et 4 une (deux ou trois) valeur distincte de v et une (deux ou trois) valeur correspondante pour x. Mais si l’on pose la question: queiles sont les conditions pour que deux points de contact coincident en un seul point de con- tact Q (point d’inflexion de la courbe de plissement), nous avons encore la condition supplémentaire d?v a. 9* 62 LES COURBES DE PEISSEMENT CHEZ LES MELANGES BINAIRES Cela donne, puisque (Ee) BEDE da sorte OR O0? F(Es + Ee) FE + Eep) 0, NDE ze =) BEN 2) TE EINE NEN pr Zp la relation 1 Mais comme F,: F,—=— p‚ nous aurons aussi: Be ER Ut ie en GR Les trois relations donneront done une relation 4 — f(x), étant la condition pour que se présente le point d’inflexion Q sur la courbe de plissement, c.-à-d. la transition du type Il en III. Dans la figure 2 /— f(x) représente donc le lieu des points Q, indiqué par la ligne dottée. Lorsqu'il y a seulement un seul paramètre, comme dans les cas x — 0, n—=1, x — 0?, ou bien dans le cas que nous supposons constant l’un des deux paramètres, nous pouvons facilement démontrer, que dans la représention graphique de la fig. 3 la courbe n — f(z) aura une tangente horizontale dans le point P, qui correspond avec le point double de la courbe de plissement. Car v et x étant dans ce cas, en vertu de (7), des fonctions de n, lorsque n est le paramètre variable dépendant de x ou de 6, nous aurons — en differentiant l'équation de la courbe de plisse- ment #—0 par rapport à v: OF oF dx oF dn — + — + — av ox dv on dv , puisque n et x sont aussi des fonctions de v. En écrivant maintenant — pF, au lieu de F,, nous obtenons: 5 ‚de ‚dn Fr — opE 0. — + Fo = Ù » dv N dv Mais puisque #,—0 pour le point double, et parceque F, ne sera pas, en général, zéro dans ce cas — il faut nécessairement que nous ayons: dn dn =), rte) dv : dz : lorsque z dépend de v seulement. DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 63 C’est done une propriété générale, et nous pouvons demander si dans le cas x — 4, que nous avons discuté dans notre Mémoire précédent dans ces Archives, il y a vraiment un point d’inflexion Q, avec contact avec la spinodale, dans la courbe de plissement, qui coincide avec le point P. En d’autres termes, on n’a pas de certitude, si le leu des points Q (la ligne dottée dans la fig. 2) rencontre le lieu BPA des points P dans le point x — 0. Pour avoir cette certitude, il faut done substituer les valeurs de v, x et p du point double P dans l’&quation (8), pour examiner si ces valeurs satisfont 4 cette équation. Nous calculerons done les valeurs de F., F,, et F. pour le cas TIC Dans notre deuxième Mémoire dans ces Archives nous avons trouvé pour ce cas: oe ; 5 3w?(1 —w)* Ce go) wy (1- w)*(1- 30) (1 2%), ie ay ae | oF 6 y (1—o)? (1 — 2 w) me Ce) Te ai | Nous avons par conséquent : MF 6y(l—) (1—3u) 6 y? (1 —w)? (1—3w) (1 —2x) LE DETTES SI ae ee wt zo): zul: 2 ye doe dh 1—2 2%)? (a x? (1 —x2)? a3 (A—x)i Ze d2F A 6 w? ; 5 aie 9 a a AT | — 2 (1 —w) — 2 (1 —w) (1—20)| = — à ES 1 (2—3 l ONU) + aa) (MN DEE rin a re mera (b) ek a 18 y° CES (1 —2.) Bee colo) ze) 5 6 y° Ma)? (1—2 w) ) (1— 2%) za (lo): tl) 2 es b, " La grandeur » représente ici =a tandis que y = a va —p+x, où p désigne — L, 64 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES dv Enfin la grandeur y = est donné par (Ces Archives, lc.) os dw yo (1 —w)? (=) = ee ee (d) Pour le point double P nous avons trouvé autrefois (voir notre premier Mémoire dans ces Archives) pour le cas 7—@6: oe NENDE AAD ISEEN a EE) yp? == 9/4(2 +13) ; zl) == ALB) ; w= 1/o—' 4-6 —1- 2), done 1 — 2% =! (6 — 2) = 1/2 ~2(—14+ V3) ; ae ver Pour ya? on obtient par suite, en substituant: DER 2y (1 —w) (1 —30) 3y(1— 2x) y? ov? x (1 —x) [s— | æ(1—x) Ter te ee Dee ln æ? (1 — 2 as Peters lkr 3, (2 +13) [3 — 41” 6 (1 +173)21 “D+ Tees) +?4(2+173) (2 v3): | = OT aes 21-6 (1 +13) (LB)? Pete EU + 5/2 (6 + 31/3) + 6 (2 + v3) — = — !1312(1 3—1)2[3— 31 3—9+ Pot ol 3 +12+617 3] = = — 8g 2 (2—1°8) (2 + Pla 3) = —— 412 (2—1°3) 9+ 51-3) =— 41-2 (3 +13) = "= — 41-6(1 4+ V3). 2 à Pour yor en trouve: ek 2 w? : Sel —6y[1 + ae (1 —w) (2—30) | = k(+178) 1h (—A + 3) = 3} ı 6A +1-8)[1 + ds Der DE SUBSTACES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL 65 a Gilet) eh] 5 4 = = —3/o6 (A+L alt: 15 =o 6(7+31°3). 9 oF La grandeur ere devient : Ree) 3 w?(1—w)(1— 2w) nn er de mines mA = 94 (2 + 3) 1 — 3/3 8) ( [13 — 611173) 14 a i Sen i axe — Th 6 (1418). 9/4(2+1 8) (A! el B) — "Js S| in 144173) ei 173— 92 Zi il) [1 a u Say 31-84 +8) (2+ EESTE Sr Te (1 3)? ri = —6(1— 1/3173) [4 —3 +1/3(1 + 1-3)] = = — 6(14— 1/3 3) (1 +13) = =—413. à dw Finalement nous calculons pour la grandeur re : pT à ee ier 6 (À + 173). Isl 3 (1 —/s Aa) ee dx Is A + 1/3) EMILIA (13)? à = Lh bate a La relation (8) devient done: —416(1 +3) + 4/312 (— 413) + So. Pe ~6(7+ 313) —0, ou bien —41-6— 121-2 — 64, 1/6 + "sr 6 + 121/2—0, et nous voyons, que la condition (8) est vérifiée en effet par les données du point double P, et que la courbe QP (voir fig. 2) rencontre la courbe BPA dans le point P. Car cette courbe BPA est donnée par les équations : F F—0 ; ee, 5 dE = RES BERT 4 € (a) ox 66 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES tandis que la courbe QP est donnée par dF oF 92 F Sei EF +9. =0 ; “2 +295 rel, (5) F=0 = : ox dw ox 2 900m dw? Et nous avons vu que les trois équations («) sont compatibles avec les trois équations (3), lorsque x — 4. 2 5 eat MOE > à Remarque. Dans le point double, où se =0, ——0, l'équation n Cw oF oa ‘ ENNE : 5 an —() se trouve toujours vérifiée identiquement, mais € w il n’en faut pas conclure, que la spinodale touche la courbe de plissement dans le point double. Car = — — ; — prend alors la forme indéterminée °/o. Il en est de même avec le point d’inflexion. Car (= 5) VDD i er Be ok | of 5 mi Dj 3 SS da? pT | 2 AL dw P 2 prend alors également la forme indéterminée "no. Nous savons maintenant, que la courbe QP rencontre la courbe BPA dans le point P, où x —4 Lorsquil y a intersection, il existe encore un domaine du type III à la droite du point P, e-à-d. un domaine, appartenant au type I. où la spinodale touche- rait deux fois la branche ©, C, (voir fig. te) de la courbe de plisse- ment. Mais alors la fig. 3 présenterait un minimum à la droite de P. Il se pourrait cependant, que la courbe QP touche la ligne BPA, mais cela n'est pas vraisemblable, car alors nous aurions trouvé pour le cas a — 4? dans la fig 3 un maximum à la gauche du point P, correspondant à un point d’inflexion Q dans la courbe de plissement. s 3. La possibilité du Type III dans le cas général ROO. L’équation #—0 de la courbe de plissement peut s’écrire [voir notre premier Mémoire dans ces Archives, équation (a) ]: = (1g)? | (122) — 30 (1—2) 20] + 3 (pi? 1-9) (129) + teste: PA em BAS ep) ae Sea 0:22) où g—yno et p—(l+nz)o. DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 67 oF 5 P - Pour =; nous avons trouvé [voir Le le premier membre de l'équation (b)]: IF À ke ae Agt Ap) 12029 9°) 9% —3(1—p)|—(—p)(A— A —2q) + ay D D a) U 9 +24—q)1—29)q+(1—p)(8—49 9] +3 (1—p) [d- p)(1—3p) — 24 — 2p) (1 —q)q]u + +3 (4 — p)3 (4 — 3p) (4 —2q) u? + (1 —p)? (1 — 3p)? u? où eee See ED TE dF A 3 w(1 Pour 7. nous trouvons Ne premier membre de (€) x ee : w RE er U dw w 142 TT +p(l—g)(1—29)| — —[(—p)(—3pg—21—2ppA—0| u|, ou bien oF Sp == — q)° | El [UO apt + an + oF] —| (c) ad pa + ale]! . . . GERT da Maintenant il faut déduire la valeur générale de = ) Dans notre deuxiéme Mémoire nous avons trouvé déja: ee _ BRT—2a1/a( —p)’ dae) +r RT—2,1—p? ’ a zb | b ==) pue. lt"; Mais en vertu de l'équation (a) du $ 1 (voir plus haut) on a: 2 ( 2 R = a n(e—# A + a (1 —p}] ; ARCHIVES xed 10 68 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES done 2 ie [ea a? (55°) +a Tk [eraa EE GER 1 Late (oe Pie i +a(1—p)? je af, (1 — p}2 Or, Fant no a ee nn par conséquent: ae No [FO —2)(1l—no y)? ve Ne ze > “7 ne o : i Bae GG) (4), x (1 —a) (Ll —now)? Mais comme on aura: de) tw [2 (12) g+ Na Den D 2 (1 —z)(l—q)? ou bien ee N; nor (L— 2) (=) y (lp) CR VE x (1 — x) (1 — g)? done When) (3 )=- afro, l—q Ik c.-à-d dw So |) w? : (1 —p)? I ei. y = lg I ou bien d m) eS == a(t =p) it Sr MERE (d) La condition d’un contact de la ligne spinodale avec la courbe de plissement, c.-à-d. DE pT ae ° Io ; devient done: DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 69 Après réduction convenable de l’équation (b) on peut donc écrire: A—15q? +8qÿ)—6p(1—q—6q? +4q°) + 3p? (1— 9q? + 6q*) — u p) [A — 2q + 29?) — — 4p (1 — q + 9?) +3p?]u+ 3 (1 —p) (1 — 3p) (1 — 2q) uw? + + (1 — p)? (1 — 3p)? ui | — 34 p) (A —p) u — a) (She or saga — [p? (4—q) — 2p (A + q) +q|u|=o. La seconde partie du premier membre de cette équation devient: 3 (t1— p) (1—9)? q° u — 3 (1 —p)? (1 — q)° q— | —6(1—p)? | p—3q+q?) +4? | w+ 6(I—p)q [p—3q+q*) +9? |— —3(1—p)q [pr 4—q)—2p(t+q) +a] ut +3(1—>p)? |p? (4—q)—2p(1 +9) +4q| u? ou bien a Se 3(1 ae PL Bla [(1—2q—q?)—p (8 —8q + 3q2)| — ANNE SONT EE ETS (2—10q+3q*)| w+ =o (lp)? (pe (4g) 2p (1-9) +qlu?. L’&quation entière devient donc: [A — 3q — 99° + 119?) — 3p (2— 6q — 2q? + 6q*) + + 3p? (1—3g—q? +3q°)| ee Pr g?:)+p2:(5—10g+3g?|u+ + 3(1—p)|(1 —2q—q?)—2p(3— 6q +3(1—p)? [(1—q) — 2p (8 — 3g) + p? (7-79) | w+ + (1 —p)? (l— 3p)? u? —0, ou bien (1 — 9) [ (1 —2q—11q?) —6p (1 —2q—3q*) + 3p? (1— 24 —3q?)] — 6 (1 —p)(1—q)?q? 2 m. 09 +3 (1—p)? | (I—2q—q?)—p(5—l0q +39?) Jut + 3(1—p)? (lL—q)(l—6p + Tp?)u? + (1—p)* (1— 3p)? us =0. . (e) 10* 70 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MELANGES BINATRES Avant de procéder plus loin, nous examinerons si cette dernière équation devient identique aux équations, que nous avons déduit dans les cas spécials x = 6 (q —0) et x — 1 (p= q) Lorsque g — 0, l'équation (e) devient: (1—6p + 3p?) + 3(1—p)? (l— 5 p) u + 3(1— p)? (l— 6p + Tp*)u? + (Lp)? (l— DE U c.-à-d. avec u’ = (1 —p)u: (1— 6p +3p*) + 3(1—p)(1l— 5p) uw’ +3 (1L— 6p +7 p?)u/?+ (1l—3p)? v3, A tout-à-fait identique à l'équation sur le page 43 de notre deuxième Mémoire dans ces Archives. Cette équation était divisible par (u + D} Avec p —q l'équation (e) devient, après division par (1 — p)*: en CODES = De (L—6p — 9p?) — ar NE 3(1—6p +3p°)u + +3(1—6p +7p?)u? +(l— 3p)? ui —0, x)? et encore identique à l’équation, que nous avons déduit sur le page 48 du Mémoire cité, et qui était divisible par (u 1)2. Nous présumons donc que l'équation (e) est peut-être divisible par (1—pju + (1—g), ou bien par [(l —p)u + (1—4q)]?. Posons (1—pju =", alors la relation (e) devient, après multiplication par w’: (1— 3p)? wW* +3(1—q)(1—6p + 7p?) w3 (ISD) G — p(— 109 +3q?) |w? +(1—q)| (l1—2q— 11g?) — 6p(1 — 2g —39?) + + 3p? (1— 2qg—3q?)|u’—6(1 —p)?(l—q)*q?7=0. Cette équation est en effet divisible par u’ + (1 —q), et donne: (L—3p)* ws + 2(1—q)(l— 6p + 6p?) uw? + rer —6p(l—2q—q?)+3p? WSE) wu’ —6(1—p)? (l—q)q? =0. Mais cette derniére équation est divisible encore une fois par w + (1 —q), et le resultat sera: (1 3p)? uw? + (1—q)(1—6p + 3p?) u’—6(1—p)? q?=9, . (1) DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. gal étant la condition la plus générale de contact d’une spinodale avec la courbe de plissement. La grandeur w y est donnée par ren UNE ve x(l—x) 1—q u La relation (l) se transforme en (L— 3p)? u’+(1— 6p + 3p°)—0, uw? lorsque g=0 et W= A (1 —p)?. (Ces Archives, L c. p. 43). Et pour p=g on peut diviser (1) par w + (1 — p), et l’on obtient: (1 — 3p)? wu —6(1—p)p? —0, ou bien (l— 3p)? u— 6p? =0, / U Kas y? re lp mlm lorsqu'on introduit u — Nous transformerons maintenant l'équation #— 0, ¢ -à-d. l’&qua- tion (a) de ce paragraphe. Après multiplication par y celle-là devient: (L—q)> | w(L—2a)—3qu(1—zx)] + 3y?(lL—p)? (l—q)(l—2q)+ pr) (3p) _ x (1—z) = ’ donc avec x (1—x) = — v2 (Lp)? f ag: | #22) 39, m ] +3 y20—p2 (20+ + yp? (l—p)(1—3p)(l— gw’ = 0, ou bien 12 eg a—q?| a rat On y tire: Er Do ON De EDER =p 29) +0 — py — Sp’ um Ld a9): done 72 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES nn Nr bes ih Val =, op ne ED ya 3q = — 3(1— 29) Ag): De: u lorsqu'on remplace w par (1 — p) u. Mais de a 2 wd) 1— 79 il s'ensuit: 2 sl—a) u p lp ) Sg de sorte que nous obtenons: Pin DES sb) Lg en an = Er =p 3 (1— 2q)u—(l1— 3p) U | = 1 ee (A—2qu—(1—3pu=N, .... (2) on peut résoudre: u UE = Tp? DD OS do 00 (3) 4u + G = 2 at ce qui donne: x 1 ae (4) — 9 — == — v2 U) ei Pour y on trouvera: y Se (5) DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 73 Et par conséquent pour = y — x: QQ = — > + = SC SAT (6) 2 RA en 1 1— 9 En posant aes — «, nous avons done le système d’équations suivant: (1 — 3p)? u? + LA —6p + 3p?)u—6q? =0 N=*9/,,—3(1—29)u—(1 — 3) u? 4 (Ed) 1 u, a a@2N 1 Ils «2 N | = — == eene Writer 5 ee P 2 4aeutatN? ° 2 “4au+ at N? On peut done, lorsque p et q sont donnés, trouver u de l’équa- tion quadratique en u; ensuite la grandeur N sera connue, et a enfin les deux grandeurs Pe et x. Nous fesons remarquer (comparer le premier Mémoire dans ces Archives, p. 14 et 15), que l’on a: dahin: ppl nr, done b x fp 1 ï gee Et parceque 0 0 1 ae m ; rrd En ; on aura aussi: mir 1/ \? EON EL + A Sa = SE) ’ = (1 + n)? ERROL sity AP Quand on connait done n au moyen du second équation (8), on aura également les valeurs de 9 et de x, qui correspondent aux valeurs choisies de p et q. Inversément on a donc aussi, pour un couple de valeurs quel- conque de @ et x, les valeurs de x et w (ou de p=), qui cor- 74 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MELANGES BINAIRES respondront au point (points) de contact de la spinodale avec la courbe de plissement. Le probléme a ainsi trouvé sa solution théorique, et il nous reste encore d'introduire la condition (8) du § 2 pour le point dinflexion de la courbe de plissement, pour obtenir la relation cherchée 9— fx) e-à-d. le lieu des points Q (voir fig. 2), qui sépare le domaine du type IT de celui du type III. On pourra également parvenir a ce résultat, en déduisant la valeur de <= au moyen des équations précédentes, et en posant d : À alors ap — 0. Mais les calculs deviennent tellement compliqués, que nous nous abstiendrons de ces évaluations sans résultat sensible. | Nous savons donc seulement jusqu'à présent, que le lieu des points Q rencontre le lieu des points doubles P dans le point z — 0 (b, =b,); d’ailleurs les données du point Q pour n—1 nous sont connues. $ 4. Le pli longitudinal. J'ai démontré dans des Memoires antérieurs, qu'il peut se pré- senter — aussi bien dans le cas du type I dans la courbe C,C,, que dans le cas du type II dans la courbe (A près de C, — une température de plissement minimale, et qu’il commence done à se former à une température déterminée 7, (la température de plissement dans le point (,), en partant de C,, un pli séparé, lorsqu'on abaisse la température. Ce pli se réunira plus tard (à la température de plissement minimale) avec le pli principal (ou bien avec son pli latéral) dans un point double homogène. Il s'ensuit, que — par exemple chez le type I — à des températures plus basses le pli principal sera toujours ouvert du côté des volumes petits, de sorte qu’il ne sera plus possible de rendre homogène par une pression, quelque grande qu’elle soit, les deux phases séparées. Considérons cependant spécialement le cas du type II. Ici la marche ordinaire est la suivante À une température déterminée, allant de températures plus élevées à des températures plus basses, une spinodale touche en R, la branche AC, de la courbe de plis- sement. Il commence à se former de la façon connue à l’intérieur de la connodale proprement dite une nouvelle ligne connodale DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 75 fermée, laquelle à une température plus basse commence à émerger de la connodale proprement dite, et donne naissance à un nouvel pli (látéral), et en même temps à un équilibre entre trois phases (voir les figg. 4a et 4b). Ce pli latéral s’est présenté déjà en beaucoup de cas avant que le pli séparé commence à se développer autour du point C,. Les deux plis coincideront plus tard (à la température minimale en D), et formeront à partir de ce moment un pli latéral continu (fig. 4c) !). Fig. Aa, Or, le point D sera situé dans le cas particulier b,=b, toujours dans le voisinage immédiat de C,. Lorsqu’on a par it | Pn, exemple dans ce cas m: pi, T, sera = 0,99, lorsque 7, désigne la température dans le minimum en D. Le pli longitu- 1) Dans ces figures et dans quelques-unes des suivantes les lignes spinodales ont Pair de se toucher dans le point double homogène D au lieu de s’entrecouper, comme il faut. ARCHIVES XI. 11 76 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES dinal proprement dit autour de C, n'existe alors que chez des pressions très élevées (fig. 4b), tandis que le pli ouvert de la fig. 4e peut être désigné difficilement comme un pli longitudinal ; plutot c’est le pli latéral du pli transversal, qui s'est réuni avec le pli longitudinal original. Une élévation de la pression amène ici toujours un rapprochement des 7 deux phases liquides coéxistantes; seulement chez des pressions fort élevées ces phases commencent à se diverger. Le calcul nous apprend, que re dans le cas tout-à-fait général bb, le point D peut s'approcher À Co B LT LE re Fig. 4b. Fig. 4c. beaucoup plus du point R,, et aussi que la température dans le point de plissement C, peut étre relativement haute, de sorte que le pli longitudinal, contrairement à ce qui est représenté dans la fig. 4a, sera déja présent autour de CO, longtemps avant qu'il commence à se former un équilibre entre trois phases en M. (voir DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. AT les figg. 5a et 5b). Le coincidence de ce pli longitudinal, qui aura déjà une étendue considérable, avec le pli latéral se présentera par suite beaucoup plus dans le voisinage du côté 1,2 du triangle de trois phases; de sorte qu’aprés la réunion le pli prendra l'allure désignée dans la fig. 5c, et elle conservera assez pur le caractère du pli longitudinal proprement dit. D'abord une élévation de la pression amènera un rapprochement des deux phases (cette partie Fig. 5a. Fig. 5b. peut être fort restreinte, mais elle existera toujours); puis une élévation plus avancée de la pression fera diverger les phases 1 et 2, jusqu’à ce que les valeurs de x, et x, tendent pour p= à des valeurs limites, sans que le pli longitudinal — comme on le croyait autrefois [voir e.a. van DER Waats, Cont. II, p 190 (1900)] se renferme jamais. Car en vertu du minimum en D le pli longitudinal entoure toujours le point C,. Seulement à des températures plus hautes que T,, où le pli longitudinal n'existe pas encore, on aura un domaine de homogénéité chez des pres- sions élevées. Mais alors le point de plissement P appartient au pli latéral du pli transversal, et non au pli longitudinal. Cela est 11* 78 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MELANGES BINAIRES représenté e.a. dans la fig. da. après que la connodale fermée est émergée en M de la connodale proprement dite du pli transversal ; ou bien dans la fig. 4b, avant que le pli longitudinal s'est déve- loppé autour de (,. Il va de soi, que le cas peut se présenter, que le pli autour de C, coincide avec le pli latéral sur le moment même que celui-ci apparait avec son point de plissement en dehors du pli latéral, comme nous le voyons dans la fig. 6a; mais cela implique nécessairement une relation entre 9 et x, et c'est donc toujours un cas très particulier. La PB naissance du pli latéral aurait lieu alors dans le minimum en D. Après la coincidence le pli présente- ra l’allure, désignée dans la fig 6b. Maintenant une élé- vation de la pression fera diverger les deux phases 1 et 2 dès le commencement. Mais il peut arriver éga- lement, que le pli longi- tudinal autour de C, ren- contre la connodale du pli transversal avant que la connodale fermée est émergé de ce pli (fig. 7a). Alors l'équilibre entre trois pha- ses ne se développe, comme Fig. be. dans les figg. 4a et 4b, au pli transversal (duquel un pli latéral prend naissance), mais au pli longitudinal autour de C,. Celui-ci se perce alors plus en avant dans le pli transversal, jusqu'à ce qu’il rencontre en D la connodale isolée fermée (fig. 7b), après quoi aura lieu la réunion avec cette connodale dans le domaine irréalisable (fig. 7c). Ce pli sera maintenant le pli longitudinal proprement dit, qui se présente dans la plupart des cas chez les mélanges de sub- stances partiellement miscibles. Mais il ne faut pas oublier, qu'il peut se présenter aussi bien le cas des figg.5, avec celui des figg. 6 comme cas de transition. 79 DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL, A U Fig. 6a. —G === i N Fig. 7b. Fig. 7a, 80 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES Le caleul (voir le $ 5 fera voir, que le cas de transition se présente, lorsque le rapport 9 des températures critiques des deux composantes est dans le voisinage de Punité, pendant que le rap- port des pressions critiques est en même temps assez grand. Les figg. 8 et 8a donnent également une idée claire de ces relations différentes. (La température de ©, y est supposée plus basse que celle de R,, mais cette température peut être aussi plus haute). Les points de plissement p’ de la partie R,A au Fig. 8. dessous du point de rebroussement #, sont les points de plisse- ment irréalisables (voir aussi les figg. 4—7); c’en est également le cas avec les points de plissement p de la partie R,M au dessous de M (alors la connodale isolée fermée n'a pas encore émergé de la connodale proprement dite); tandis que les points de plissement P au dessus de M sont toutes réalisables. Nous concluons donc de ce qui précède, que dans tous les cas, où se présente un véritable pli longitudinal de l'allure de la fig. 5e ou Te (lorsque le minimum D est dans le voisinage de R,), DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 81 le point de miscibilité critique M des trois phases ne se trouvera pas nécessairement sur le pli longitudinal (voir fig. 5a); et aussi, que le pli longitudinal avec son point de plissement P ne coïn- cidera pas toujours avec le pli transversal lui-même, mais qu'il peut coincider également avec le pli latéral de ce dernier pli; de sorte qu'il n'y aura pas d'équilibre entre trois phases sur ce moment, e-à-d. qu'il n’y aura pas de phase gazeuse (voir fig. 5c). Seulement les deux phases liquides coincideront dans ce cas. Le cas, désigné par les figg. 6a et 6b sera — il va sans dire — toujours fort exceptionnel; et l’on pourra en calculer les condi- tions. On trouvera ce calcul, et celui qui donne la position des points R,, D et M dans le paragraphe suivant. Il ne sera pas superflu peut-être de faire remarquer, que la composition x, de la phase gazeuse, aussi bien dans la fig. 4a que dans les figg. 5a, 6a ou Ta, ne soit nullement identique à la com- position des deux phases liquides coincidentes 2,2, comme M. van DER Lee le croit avoir démontré dans sa Dissertation (1898) | voir les pages 66—69, 73—74 et Thèse III; aussi van pen WAALS, Cont. II, p. 181 (1900)|. Nous savons maintenant, que lorsque x, se trouve entre z, et x, à de basses températures, cela ne conti- nuera pas jusqu'à la coincidence de x, et x,. Ce serait en effet très accidentel; en général l’un des deux maxima, p.e. dans la courbe p,x, situés entre x, et z, dans le domaine labile, sera sorti en dehors avant que x, et x, seront coïncidés. Voir les figg. 12—19b dans mon Mémoire dans ces Archives (2) 8, 1904, et aussi les fige. 12a—12f dans les Versl. K Akad. v. Wet. du 5 Avril 1905 et le § 8, p. 669—670, avec la Note sur le page 665. Déja dans une publication antérieure. (Versl. K. Akad. v. Wet. du 27 Juin 1903) j'avais démontré cela amplement, et M. KuENEN parvenait indépendamment un peu plus tard (Versl. K. Akad. v. Wet. du 31 Oct. 1903) à la même conclusion '). De plus, en 1900 M. SCHREINEMAKERS avait déjà démontré expérimentalement ce phé- nomène (Z. f Ph. Ch. 35, p. 462—470), exactement pour le même mélange (phenole et eau), pour lequel M. van per Lee croyait pouvoir démontrer théoriquement, que x, serait — 22 ?). 1) Voir aussi KuENEN, Theorie der Verdampfung und Verflüssigung von Gemi- schen, Leipsick 1906, p. 170, Note. ?) La supposition ©, —x,, dans le point M mene d’ailleurs, comme les calculs nous apprennent, 10n seulement à des résultats singuliers, mais aussi à des conséquences très absurdes. 82 LES COURBES DE PLISSEMENT CHES LES MÉLANGES BINAIRES Enfin je veux encore remarquer, qu'on trouve peut-être dans allure particulière de la représentation p,T de la courbe de plisse- ment (fig. 8) dans le voisinage du point D l'explication d’un phénomène fort énigmatique et inexpliqué jusqu’à présent, observé par M. Gururie et par M. Roramunp [Z f Ph. Ch. 26, p. 446 (1898)| ') chez leurs expériments; ¢ -à-d. l'apparition, suivi par la disparition d’un opalescence manifeste, en ¢lévant la température au dessus de la ,température de miscibilité critique”. Cet opales- cence pouvait être observé souvent jusqu’à 10 degrés au dessus de la température critique. Dans la fig 9 on voit clairement, comment il est possible, que dès qu’on a atteint le point critique M, la homo- généité des deux phases liquides n’est que temporaire: lorsque la substance est renfermée dans un tube fermé, de sorte que la pression peut atteindre des valeurs relativement hautes, il peut arriver qu'on rentre en A dans le domaine de hétérogénéité, et qu’on atteindra seulement en B de nouveau le domaine de homogénéité, pour y demeurer à jamais. Mais pour cela il faudra nécessairement, que la phase gazeuse disparaisse depuis M; la phase liquide doit donc remplir presque entièrement le volume du tube. Nous répétons, que l’explication précédente n’est qu’une suppo- sition plus ou moins vraisemblable, trouvant son appui dans l’allure de la courbe DMAB dans le voisinage du minimum D. Mais il se pourra très bien, que d'autres facteurs, encore inconnus, entrent ici en jeu, ou accompagnent le facteur, que nous venons de décrire. $ 5. Détermination du minimum 2. Nous déterminerons le point D comme le point double homogène de la courbe spinodale, correspondant à la température 7% Or, nous aurons pour ce problème les équations suivantes: 1) Voir aussi FRIEDLÄNDER, Ueber merkwürdige Erscheinungen in der Umge- bung des kritischen Punktes. Z. f. Ph. Ch. 38, p. 385 (1903). DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 83 0 TE sts ee) A de sorte que les valeurs de 7, x et v seront toutes les trois com- plétement déterminées Alors la valeur de p peut étre calculée de Péquation d’état L’équation de la spinodale est la suivante : RT = À [x (1 —2) (av — Bra)? + a (v—b)?], ou bien avec Galea, a ; le a a v v Da? 2 2 AN m) |= v va u? v ne [2 Ae) (Ina (p-+2))? + (pto)? (I—(1+n2)o)? |,. . (1) c.-à-d avec les notations connues: RTG nw [2 (1 —a«)(l— gq)? + (p + x)? (À en D] rae Cla) oi 9% (1 — 2x) (1 — q)? — 2a (1 — 2x) (1 — g)no + 2 (p + x) (1 — p)? — — 2 (p + x)? (1—p)nw = 0, — 0 donnera maintenant: ou bien avec nw = Er p + x 2x (1 —% Att ADL + D —p} — — 2(p + x)(1—p)q —0 . . (2) à A Br. 0 donne ensuite: dw a (1 —a) MM —20(1 —q)n(p +2)| +(p + 2)? \(t—p)? — == ol —p}(l + nat) (M © (1 — x) |(1—q)? —2q(1—q)| + (p + x)? ne — p)? —92p(1 — p)| ie ou bien a (1 — 2) (1 — q) (1 — 30) + (9 + 2)2 (1 —p)(1 — 3p) =0. . (3) ARCHIVES XI. 12 84 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MELANGES BINAIRES L’équation derniére nous fournit: 1— p) (1 — 3p x (1 — x) =—(p + x)? = su Beds Kote (a) tandis que (2) donnera: ml — SRO ee) (en ++, Man a—g?: FH = 1 — Ir = ou bien, avec («): een NN Pig 2 (1 — 4)? e.-à-d. 1— 25 | —2(y+2)(1—p)? + 2(p+2)\ pali) |: de or een en en CSP em 3 ae gg) = (2) Il s’ensuit des équations (a) et (/): 1 a er za Say (Ll — 34)? 4(p +2)! l—p) (1—q)* (1-39)? Apres simplification de l’expression entre | |, et en rangeant suivant les puissances ascendantes de 4, cela deviendra: = [ ap [a— 391-9] 2_(1-3p)(1-9)3 (1-39) | APE DUSS pi, 9 : Lae gna? (3—p)—6p9(1 +p) + +39? (1 +5p + 2p?)—4q3 (2 + 3p) + 6q* |; ou bien 4(p+x)? (1 —p) (q — p)? (69? — 8q +(8—p)). G4) 29 On trouve done pour ~ + x: (en: deze: | EC) (e+ i= AAD (p— 4)? Ou? — 84 + Ep) — DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 85 Et en vertu de («) on aura ensuite: D en NE) U ee AS Ba Ou Ep (6q? — 89 + B —D)) fi La valeur de RT, peut être calculée maintenant au moyen de l'équation (la): _ 2e? en 20) ACTA) on B no | AG 9) Neg 59 "(3 —p)) (al BE (bop) | | a) (ee) ou bien En (1 — q)* (1 — 39) Ba Lee De Een (6g? — 84 + opt ae idd Mais comme l'expression entre [ ] sera —2(p—g), on aura finalement : «2 (1—q)* (1 — 39) ie ER a) \ Bandar nl tra 16 b, (p—4q) (6g* —8q + (8 pP) RD = : 2 “puisque n= -——: b, / I] nous reste encore à déterminer la valeur de la pression dans je point D. Or, Péquation d’état de M. van per Waats donne: pn BES ne SPAN RE Lu Ge vb ve v(1—?h) v2 a? donc FR a? P= v(l =p) © (p +7)? , L Dre ou bien, DT étant =o: RT. © a? P= —=— DT in B EF b Avec (4) et (6) cela devient: Gia Be 2. (psg) be (= END 8 + (8 —#)) w? (p tee. Gt EE en il De 86 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES c.-à-d P, — a? De : den) (1 — 39) 1—3q | THS Ap) (69 —8q + Bp) | Ap) ou enfin pel PES EN Nr: 4 (1 —p) (p—q)? (69? — 8q + (B—p)) Lorsqu’on introduit maintenant la pression critique P, =a , 1 a, nous trouverons avec 7 = p?: Ba Linnea eg) Py Te ND (6q? — 89 + (3—p)) | ou bien en fesant usage de (4): P; (p+a)? 4p—1—q = — — 2 w2 — = > = . - . . . . . De | PR 1 — 3q a Les équations (4), (5), (6) et (7a) déterminent maintenant les valeurs inconnues de a, w, T et P, quand les valeurs de 4 et a sont données. Car avec un couple arbitraire de valeurs pour p et q on peut calculer p + x de (4) et x de (5); nous aurons donc aussi la valeur de p. Les valeurs de w et n sont données ensuite par 1 q mes U2), (p+2)—% — w(p+0) f : ee els We we | et on aura RT, de (6), puisque a Cie TD RTE Enfin P, sera donné par (7a) On peut calculer ensuite les valeurs de 9 et x, celles de p et n étant connues. Inversément on pourrait partir de 6 et x et déterminer les valeurs correspondantes de toutes les autres grandeurs. a) Dans le cas x — 1, c-à-d. p — q, on aura: EES Pa ma er ND = 27 Ue = re) P, ye donc toujours négatif. La valeur de w se réduit avec p=q à w =p ne , de sorte P+ TL que nous aurons: DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 87 ner (2) Sear puisque dans le cas x —1 on a v—b pour la branche entière de la courbe de plissement C,A. | Mais lorsque p = q, l'équation (@) devient: x (1 == — (p + 2)?, et ils n’extistent point des valeurs réelles pour p et x, qui satis- feront à cette équation; résultat évident, parce qu’en vertu de allure rectiligne de C,A il n'existe pas de pli longitudinal dans le cas nr — 1. b) Dans le cas x — 6, c.-à-d. b, = b, , g=0, nous aurons: TREND 2 5 = 27 w? (p ae GR le, done toujours positif, parceque po sera >!/,, par suite 4p — 1 positif. On aura donc dans ce cas une coincidence du pli longitudinal avec le pli latéral du pli transversal, comme dans la fig. 4c. Comme nous l’avons déjà remarqué, le point D se trouvera alors dans le voisinage immédiat du point critique Cy, et le pli longi- tudinal existera seulement chez des pressions fort élevées. Pour contrôler les résultats obtenus pour le cas 7 — 6, nous verrons, si ces résultats mènent à l’expression 2 Te D ne à de (a) 1 —t, trouvée dans un Mémoire antérieur (V. K A. v W. 7 Juin 1905, p.23). La grandeur 7 est ici la relation Ir, où 1, représente la température du point C;. Lorsque g — 0, p —w, les formules (4), (5) et (6) deviendront: COE) a ee a a) ge dl 1 a? mn J sae ; RT, = 2 b, ; parce qu'on aura p=o=1 et x—!}, pour T—T,, de sorte que 2 n 1 = l’equation (1%) se transformera avec q —0 et Bir Kan 1 : N d ep, NOUS trouvons done pour 7: 88 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAJRES Ta 2 REC << | 7/0, ee) done, en supprimant Vindice d: el ; en ONE ng 12 T comme autrefois (1. c.). 2 T 5 Pour TEE: nous trouverons maintenant: LE 4 N 1 Cee RL 1—7 19 (1 — w) (3— o) 7 3—o L'équation (a) sera done équivalent à il Ar Teen) me doo a’ (b) et se sera cette relations, que nous voulons vérifier. Or, on aura: 1 1 a en a aS Bo D’ailleurs nous trouvons pour (1 — 2a)? — 1 — 4% (1 — x): A tee ST, EE c.-à-d. Le): 1 DUR Ale en [42] | CNET SZ ET CM 5 a Pour p on obtient donc: 1 1 1 (l—o)? parame 4-4 V. ou bien pot ale; otter, done (2 — w)? il (2—w)? — (1—w) (3—w) PME Tea, 17 AEN e -a-d. 1 Wa TT IG =a et c'est bien la relation (b) DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 89 § 6. Détermination du point de miscibilité critique M. Nous avons vu, que le point D est donné par les équations of af RE aie ares Sa Duce ae dr ane) RT =f étant l'équation de la spinodale. Comme l’équation de la courbe de plissement en projection wv, x est donnée par 1 = an + IK 4) = (i) dv dv \da/ yr à le point double de la spinodale, déterminé par («) sera toujours un point de la courbe de plissement. Nous pouvons démontrer encore, que dans la représentation p,T la courbe de plissement aura un tangent verticale dans le point D (voir fig. 8 et 8“). En effet, de RTS mee But, = RC" at) il s’ensuit: dp/n 28 \èp/n Av \ap ge of 9 Or, dans le point double D on a = —0 et = =O, de sorte : ox ov que dans ce point dT Ip a= ‚pP pl Le point M, où commence l’équilibre entre trois phases, sera donné par les quatre équations (4° se rapporte à la phase gazeuse; les indices a et b aux deux composantes): Ds NE MM HEAO (2) Les deux premières équations déterminent seulement la coëxis- tence d'une phase gazeuse avec une phase liquide. Le fait, que cette dernière phase est une phase critique x,,, est représenté par la troisième et la quatrième équation, qui déterminent la courbe de plissement. Comme nous avons vu déjà dans le $ 5, les trois équations (@) détermineront les trois grandeurs inconnues x, v et T dans le point D (la pression p sera donnée par l'équation d'état). De même les quatre équations (?) détermineront les quatres grandeurs in- connues p, T, x et +’, tandis que les deux volumes wv et v’ seront donnés par deux équations d'état. 90 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES Pour u, et «, nous pouvons écrire: 2.02 Ha = Op On x =) + RT log (1 — 2) | | à (2 Tr Ci, — (2 sie (1 — %) —) + RT log un C, et ©, étant des fonctions de la température seulement, tandis que (2 est donné par q OS | pdv — pv. Les relations u, =’, et wy —w, donnent done: ie 73 - 3/7 2€ ‚2 | RT log Se (eee 7) | | x HN je 5 2.0 „| RT log = (a2) td A) 5) et on trouvera par substraction: x 1—x af 930 WIT pa ae Cette derniére équation, combinée avec une des deux précédentes, sera done équivalente au système u, — u, 1, — Wy. Or, avec l’équation d’etat a RT Da 2 wine nous trouvons pour 42: ORT log wb) + — —p», done 9.2 RT (22 a, a ov 1 da WW Aal Den Non arr v2 ox on de 4 ane on bien 2.02 RIT 1 da ENT EE Leg cise av . . ? a parce que les termes avec == disparaissent en vertu de l'équation € d'état. Avec da db € en . DE oef AJ dx mer 5 dx = nous obtenons done: 9.02 Za Va a ) N ei ke B. — — a ar Ox V ! ys DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL, 91 De même on trouvera: Les grandeurs a et a’ sont différentes entre elles pour la phase liquide et la phase gazeuse, puisque x et x’ sont différents. La relation (2) donne donc: a 1—7 La Een = Zl RT log BEET —2a 3 ß = ek 2 ou bien, quand on peut négliger la densité '/ de la vapeur à côté de celle '/, de la phase liquide: x = la > a RT log 7 Et Eg qe? e.=à-d BT x 1—r 2a ß ao log ae, == es — u PR AI AU (2a) D'ailleurs la première des équations (1) donnera: RT log == 5= (= Mg yr a an 2a 2p ne N i) reper’ (Sf) ape. En négligeant de nouveau la densité de la vapeur, cela devient: 1—x p a ( 2a AN RT log 7 „= =p RD an a ee LU, —p(v—v)—pr étant — RT, tandis que les termes avec pf A 2 ee ® , . euvent être négligés également. Pour -;--; nous avons écrit © v—b RTE 1) P OPE = p CA alpa ? finalement : ml) an oy fo (Eu 2) Les équations (la) et (2a) nous fourniront x’ et p, lorsque T et æ sont connus, 4/» étant sensiblement = 4/5 et @/y2 = 4/p2. Mais pour le problème, que nous étudions, la connaissance de 2’ nous est totalement indifférente, et quant à p — cette grandeur aura dans la plupart des cas une valeur tellement faible dans le ARCHIVES XI. 13 RT vo” —b’=v étant = Ta . Nous obtenons donc 92 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES point critique M, que nous pourvons écrire p —0. Le point M sera déterminé alors seulement par les équations RT—f et F—0. La coincidence des deux points M et D sera déterminée par (a) et (>) combinés, c.-ä-d. par les équations De DE A m g Ma Mask RTS or ot =) 5) Alors on aura aussi #— 0. Ce sont done cinq équations pour a, af, p et T (v et v’ seront donnés par deux équations d'état), de sorte qu’il y aura une relation entre les deux paramètres 0 et x, comme nous l'avons déjà remarqué dans le § 4. Dans le paragraphe suivant nous chercherons cette relation, en supposant p= -à-d. nous transformerons les équations déjà obtenues .dans le $ 5, en introduisant cette valeur spéciale de p. La courbe 4 — f(x), que nous trouverons ainsi, formera donc sensiblement la séparation des deux domaines, c.-à-d. de celui où p est positif, et celui où p est négatif. Dans le premier cas on aura un pli longitudinal, qui rencontre le pli latéral du pli transversal; dans le second cas on aura le véritable pli longitu- dinal, qui rencontre le pli transversal lui-même. $ 7. La relation /— f(x) pour p — 0. Il s’ensuit de l’équation (7) du $ 5, que la pression P de- vient = 0, lorsque q=4p—1. Nous aurons donc, q étant = nw (g + x) =(l+72)o: er ifs done n(p + 2%) p=(l + na) (4p— 1), ou bien Ap "= 0(p—3a) +a. On aura aussi: 1—gq=—2(1—2p) ; 1—3q—4(1—3p) ; p—q=1—3zp, et les équations (4), (5) et (6) du paragraphe 5 deviendront: 64 (2p — 1)" 8(2p—1)_ (Lp) 6p? —Blp +17 3 DT ge Bip +17 (p. + 2)? = DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 93 a+ NME ae b, ° Wp? —81p +17 RE, — 64 Mais puisque (voir $ 5) Cee ae 21 DES git ke, où T, est la température critique la plus basse, ou aura aussi: BEG m = 216 5 me ni 27 RT,, — | On peut done écrire, 9—no (p+) étant —4p—1, donc w — en) : 8 (2p— 1)3 _ @+»? 2p—1 Ol Aer ip eit : D 1-p 4p—l p(g—32) +2 (= Hg ’ = pip—3%) + x ya (1) N (DEE)? na, Ca | (EEM à SEP D mal te Tord ha Pour une valeur donnée de p on trouve donc successivement 2%, P+X, 9, n, w, Ty, 6 et 7; par conséquent, 9 étant —f, (p), az — f, (p), nous aurons aussi la relation 4 — f(x). Calculons encore, pour compléter les données, la valeur de T,, c.-ä-d. de la temperature dans le point critique C,. Alors ®/,—=p—1, et l'équation de la courbe de plissement se réduit à (1 — 2x) — 32 (1 — x) no — 0, N 1 8 c-à-d., parce que (1 + nx)» — 1, done w — EE ar us 7 n ONE gn (1 — 2x) — 3a (1 — x) er On y tire: Pca) 2 a 5 D’ailleurs l'équation de la spinodale (voir $ 5) donne pour p = 1: 9 2 RT, = nor — x) (1 —4)?, / 13* 94 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES donc a = 2 t { ave = == Gg = DUC ‚avec, b, etd — ne 2) — TT (p + 2) 2a? 4 2 Ro ocr emer recy (ee zo) (1 pe (pta) Avec 22 4 27 Be Bean cela devient: I A | a N DE AS ep? ASE) nan (p+) … On Au moyen des équations (1), (2) et (3) on peut construire mainte- nant le tableau suivant. —— = — nee Ne pe p \v(l—e) a (p +2)? | q | n | o | Im/T, 0 | TT | | ze [= os 1 | 0,250 0,500 | ®=20 1 w=V9.0-"2) 0=3//20'2| 1,000 |0= 27/8 Ò| 1,000 | 1,000 095 | 0218 | 0,321 | 314 | 528 0,633 | 0,790 | 0,150 | 0,871 | 0,534 0,90 | 0,187 | 0,49 |120 | 3,21 1,06 | 0,710 | 0,278 0,835 | 0,404 0,80 | 0,124 | 0,145 | 298 | 158 | 907 10616 | 0,497 | 0,867 0,281 0.70, 0,070 | 0,076 | 0,747 | 0,788 | 385 | 0,541 | 0,659 | 1,06 | 0,219 0,60 | 0,022 | 0,022 | 00864 | 0272 | 959 |o497| 0,783 | 9,07 | 0,195 0,55 | 0,0054 | 00054 | 0,0096 | 0,093 95,3 0482 | 0824 | 498 | 0,189 0,50 |0 = 160° |0 = 160° 0—2560"| 0 — 1602 2=1/s0 2 0,500 | 0,844 œ=1/320 ?| 0,250 | | Pour x, et 70/7, nous trouvons: ni 0,95 0,90 0,80 0,70 0,60 0,55 0,50 00 0,327 0,264 0,174 0,106 0,048 0,020 0— 40? Zul 02/0 0,164 0,352 0,788 1,52 348 825 copes Lorsque p — 1 — 0, on obtient pour (p + x)? la valeur 1 1 Sn Ò La valeur de » devient n — 5 zE = O; celui de w tend à p—1. 18 27 PE r al OÙ — 150. Pour T, on trouvera 3 “50 Je : Zu er La valeur de 7° deviendra = — — — (1—nœp)?. Or np=3, 1 4 p? 4 In D al ; 0 3 : = = AT 27 | 2 D) 4 done T, Me ge lg DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 95 Quant à la limite p= '/, (1 + d), on trouvera les valeurs suivantes. (p + x)? = 1603 x 8x ij, — 2560" : =" |s 0- Pret i RES = a Un: T, = Go — Ugo — "ln — 0,844 | 1 8 Zu (x) ‘Bo — 3292 led (Ip ): ae =}. Pour x, nous trouvons %, = (1 + fn) — (1 + lon) — 4/on = 402, de sorte que nx, devient = 1}. E On aura done pour ;,°: T, T _ 27 1 48 LE Ders (ti (1682+492)) — a = dn Nous dressons maintenant le tableau suivant, déduit de celui que nous venons d’évaluer. p= J» | 0 | = Inte 1-2, | 1m | Tot, | Tir, | | An thd | son be | 0,50 0,50 0 0 095 | 1,15 | . 1,87 1,63 0,33 0,32 0,16 0,15 0,90 | 1,20 2,48 2,06 | 0,26 0,25 0,35 0,28 ne 115 | 358 307 | 017 | 0,14° 0,79 0,50 0,70 | 0,94 457 | 485 | o11 | 0,076 1,52 0,66 060 | 048 | 513 | 106 0,048 | 0,022 3,48 0,78 055 | 019 | 4,98 | 963 0,020 0,0054 | 8,25 0,82 Gee OTIS Se Nl Meg Darling ONT by 0,84 | | Nous avons échangé entre eux T, et T,, p, et p,, b, et b,, de sorte que les valeurs de 4 et de x sont les valeurs réciproques de celles du tableau précédent. Maintenant toutes les valeurs de x sont devenues positives, c.-à-d nous avons déterminé la partie EFGH de la courbe 4 = f (x), et non la partie HF’ G’ H’ (voir la fig. 10). Au lieu de a, et x, nous avons maintenant 1—x, et 1—%,. 96 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES ns P sera done positif (le pli longitudinal rencontre le pli latéral du pli transversal) pour des valeurs de 4, supérieures à celles du tableau précédent (x > 1), et négatif (le pli longitudinal rencontre le pli transversal lui-même), lorsque les valeurs de 9 sont infé- rieures à ces valeurs. Quand x < 1, on aura le contraire. (voir fig. 10). Si l’on suppose toujours x => 1, le véritable pli longitudinal se présentera donc, lorsque @ est <1 ou ne dépasse pas par beau- coup la valeur 1. (1,20 tout au plus). Dans la théorie ordinaire x, et T,, sont souvent confondus avec To et T,; nous voyons que la différence peut être assez forte. Pour p — bl, = 0,6 le cas de transition, où les points D et M coincident, donne p. e. (7, et T, comme dans le premier tableau) : EAS = Da — 01022 Tol Ti 3,9 = OCR La fig. 11 représente alors l'allure de la branche supérieure de DE SUBSTANCES NORMALES, ET SUR LE PLI LONGITUDINAL. 97 la courbe de plissement, et la fig. 12 donne les valeurs de T pour les points de cette courbe. La tem- 2:0 cd) pérature critique 7, n'est pas seu- lement supérieure à T,, mais même à T,; le pli longitudinal sera donc déjà présent sur la surface y à des températures relativement fort élevées. En abaissant conti- nuellement la température, le pli s’étendra de plus en plus sur la surface w, et atteindra à une température un peu au dessous de T, le pli transversal. (point critique de miscibilité) Pour réaliser ce cas il faut done, que T, soit environ 2-fois T,, tandis que p, ne soit que le ‘/; de p,. Alors le point D (M) sera situé sur la droite dj» = 0,6. Pour p, — 0,8 la différence entre x, et x, n’est pas si grande (0,17 et 0,145). To/r, sera alors — 0,79, Tm/r, —0,50, et le pli longitudinal commence à se former à une température plus basse que T,. La valeur de @ sera alors = 0,87, celle de x — 0,28; la température 7, sera done aussi inférieure à 1. Nous terminerons ici notre examen des conditions d'existence du pli longitudinal; ce que nous venons de discuter suffira pour se former du moins une idée de ces conditions; le traitement tout-à-fait général serait presque impossible par la longueur des calculs. Le résultat principal est ceci: le pli longitudinal peut se présenter chez les mélanges de substances normales; il n’est pas nécessaire 98 LES COURBES DE PLISSEMENT CHEZ LES MÉLANGES BINAIRES que ces substances (ou l’une des deux) soyent anomales, comme on le croyait autrefois. Il dépend seulement des valeurs de 0 = T:/r, et x — P2/p,, quelle sera l’allure partculiére du pli longitudinal. Mais que ce pli existe toujours — du moins dans le cas du Type II (et III) — cela nest plus douteux. 1906—1907. 73). Note. (voir p. 72 Nous avons écrit: Or, lorsque nous écrivons: sa PARTS ae (lx) a ? M= Na, les équations (7) se transformeront en (1— 3 p}? @2v2 + (1— 6p + 3 p?)v—6q? —0 M=3q—3(1—2q) «2v—(1— 3p) a3? fr deli? Vin à dy 4 dl Hm! ih (oO) Er ee) Et on pourra écrire pour y—g + x et «(1 —x): v v OET OAN EEE we 7 FAISCEAUX DE COURBES PLANES PAR Je DEV RIES: Dans le travail actuel, j’ai réuni les résultats des recherches de différents géométres sur les faisceaux ponctuels de courbes du a n° degré à n? points de base distincts. Polaire d’un point par rapport à un faisceau. § 1. Considérons le lieu & des points de contact des tangentes menées par un point quelconque P aux courbes c” d’un faisceau (c’). Sur une droite d issue de P, le faisceau détermine une involu- tion du n° degré; il est clair que les 2(n—1) coincidences sont les points de contact de d avec 2(n—1) courbes c”. Par P il passe une courbe c'; soit d, la droite qui la touche en P. Il est évident que sur d, une des coincidences de l’involution se confond avec P. Par suite, le lieu cherché est une courbe du degré (2n — 1) que je nomme la polaire de P. ') Soit A un des n°? points de base de (c"). Sur la droite PA, les groupes de l’involution définie par le faisceau se composent du point A et de (n—1) points variables. En écartant le point fixe, A on a affaire à une involution du degré (n— 1), à 2 (n — 2) coïn- 1) On la trouve déjà chez STEINER (Journal für Mathematik, 1854, t. 47, § 21). Il l'appelle „äussere Panpolare”. Emit Weyr (Sitzungsberichte der Akademie, Wien, 1870, t. 61, p. 82) l'a définie de nouveau. Une étude systématique se trouve dans un mémoire de M. Guccra (Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 1894, t. 9, p. 1). ARCHIVES XI. 14 100 FAISCEAUX DE COURBES PLANES. cidences. Il en suit que la droite PA touche la polaire dp en A. Soient P et Q deux points quelconques. Les polaires Pp et By auront en commun les n? points de base et les 2(n — 1) coinci- dences de Vinvolution marquée sur la droite PQ. Il est clair que les intersections restantes se trouveront dans les points doubles du faisceau. !) Donc, il y a, dans le faisceau, 3 (n — 1)? courbes à point double *) $ 2. Aux points de la droite PQ il correspond un faisceau de polaires dont les pôles sont situés sur PQ. Supposons que la polaire #, ait un point double D. Les polaires du faisceau dont les pôles se trouvent sur DS, seront touchées en D par cette droite. L’involution marquée sur DS aura un point triple en S, de sorte que la courbe c* menée par S aura en S un point d’inflexion. Réciproquement, chaque point d’inflexion d’une c” se confond avec un point double d’une polaire. Par suite, le röseau des polaires ne contient qu’un système simplement infini de courbes à point double. Donc, la polaire $, est, en général, une courbe de la classe (2n — 1) (2n — 2). Du pôle P on peut mener à æ,, à l'exception des n? droites PA, 3n (n — 2) tangentes. Donc les tangentes d'inflexion d'un faisceau du n° degré enveloppent une courbe de classe Bn (n — 2). 3) Considérons la polaire D, du point de base A. Puisque l’invo- lution définie sur une droite ménée par A ne fournit que 2n —4 points de ®,, cette courbe aura un point triple en A. Il en résulte que trois courbes c* ont un point d'inflevion en A. De plus, on en déduit que par A on peut mener 3n (n — 2) —9 tangentes à &.. Donc, chaque point de base est situé sur 3 (m — 3) (n + 1) tangentes d’inflexion. 1) Comp. WEyR Le. *) STEINER (Journal f. Math. 1853). Un faisceau de courbes de genre p à o points de base, à tangentes variables, possède (6 + 4 p — 1) courbes à point double (CAPORALI). 3) WEYR, |. c. FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 101 Satellite d'une courbe polaire. Enveloppe des bitangentes. § 3. Soit C le point de contact d’une courbe c* avec une droite d issue du point P. Considérons le groupe de (n— 2) points S que d a encore en commun avec cette courbe. Si Pon fait pivoter la droite autour du pôle P, de sorte que le point C engendre la polaire dp, les points S décriront une courbe sp que je nomme la satellite de Pp.!) Cette courbe passe (n — 2) (n + 1) fois par P; en effet, si d se confond avec une des tangentes menées par P à la c” qui passe par P, un des points S coïncide avec ?. Puisqu’une droite arbi- traire d contient, à l'exception de P, 2 (n — 1) (n — 2) points S, la satellite est une courbe du degré (n — 2) (Bn — 1). Soit A un point de base de (c"). Parce que la droite PA est touchée, hors du point A, par 2(n—2) courbes c", la satellite doit passer autant de fois par À. Donc chaque point de base est un point multiple d'ordre 2(m— 2) sur op. Puisque la polaire @p est touchée en A par la droite PA, la satellite op aura cette droite pour tangente multiple d'ordre (n— 2). Les intersections des courbes D» et op se rangent en quatre groupes. D'abord, (n—2)(n +1) d’entre elles sont confondues en P. Puis, en chaque point de base, il y a 2 (n — 2) intersections. Un troisième groupe est formé par les points d’inflexion dont la tangente passe par P; il est clair qu’en un tel point, les deux courbes se touchent. Ce groupe représente done 6n (n — 2) inter- sections. Finalement, dp et sp se coupent en les points de contact de chaque bitangente qui passe par P. Or, on a (2n —1) (n — 2) (Bn — 1) —(n—2) (n + 1) —2 (n—2) n? — — bn (n — 2) = 4n (n— 3) (n— 2). Par suite, les bitangentes dw faisceaw enveloppent une courbe de classe 2n (n — 2) (n — 3). °) § 4 Soient C, et C, les points de contact d’une bitangente issue de P, S,(k—1,2,...,n—4) ses intersections avec la courbe 1) J. DE Vries, Versl. K. A. v. W. Amsterdam, 1905, t. 13, p. 749. 2) J. DE VRIES, l.c. p. 750. 14* 102 FAISCEAUX DE COURBES PLANES. ec" correspondante. Puisque le groupe S, appartient aux deux points C, et ©, de la polaire, la satellite aura les points S; pour points doubles. D'une manière analogue, on voit que les (n— 3) points S qui correspondent à un point d’inflexion dont la tangente passe par P, sont des points de rebroussement de la satellite La courbe satellite possède 2m (n — 2) (n — 3) (n —4) points doubles, 3n (n— 2) (n— 3) points de rebroussement, n°? points multiples d'ordre 2(n— 2) et un point multiple d'ordre (n — 2) (n +1). Done, op est de la classe (n — 2) (3n —1) (Bn? — Tn + 1) — 4n(n — 2) (n — 3) (n — 4) — —9n(n—2)(n—3)—2n? (n—2)(2n—5)—(n—2) (n +1) (n? —n—3)= = (n — 2) (Bn? — In + 2) = (n— 2) (n—1) (5n—2). Pour le vérifier, considérons les tangentes de sp issues de P. Ce sont les 2n(n—2)(n—3) bitangentes et les 3n (n— 2) tangentes d’inflexion qui se croisent en P, tandisque les n° droites PA sont des tangentes d'ordre (n—2) pour op. Or, le nombre 4n(n—2) (n—3) + + 3n (n — 2) + n? (n — 2) = (n — 2) (in? —9n) s'accorde avec le nombre des tangentes menées par le point multiple ?; en effet, on a (n — 2) (ön? — In) + 2 (n — 2) (n + 1) = (n — 2) (in? — Tn + 2). La satellite est, en général, une courbe de la classe (n — 2) (n — 1) (bn — 2). $ 5. Considérons maintenant la satellite de la polaire d’un point de base, A. Chaque droite issue de A porte 2 (n — 2) points de contact C et, par suite, 2 (n — 2) (n — 5) points S. Il s’agit de’trouver combien de fois un de ces points S se confond avec A. Considérons, avec Emm Wryr (le), le lieu des intersections d'une courbe c” avec la droite qui la touche en A. Il est clair que c’est une courbe du degré (n + 1) ayant un point triple en À, puisqu'elle a (n —2) points en commun avec une droite quelconque menée par A. Je la nomme la courbe tangentielle de A. Par le point triple A, on peut tirer (n + 1)n—12 tangentes a cette courbe Done, il y a (n +4) (n — 3) bitangentes de courbes ec" qui ont un de leurs points de contact en À. | On en déduit encore que le lieu (S) passe (n + 4)(n — 3) fois FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 103 par À, de sorte que le degré de la satellite 54 est 2(n— 2) (n— 3) + + (n + 4) (n — 3) = In (Nn —3). $ 6. Considérons les intersections de la satellite 5, avec la polaire D,. Il est évident que le point A en absorbe 3 (n +4) (n — 3), tandis que chacun des autres points de base B en contient 2 (n— 3). En effet, la droite AB est touchée par 2 (n — 3) courbes ce”; à chaque point de contact il correspond un point S qui se confond avec le point de base B. Les courbes 5, et d, se touchent évidemment aux 3 (n— 3) (n +1) points d’inflexion dont les tangentes concourent en A. Les intersections restantes des deux courbes sont situées en couples sur les bitangentes issues de A. Or, on a 3n (n— 3) (2n —1) —3 (n + 4) (n—3) —2 (n— 3) (n? —1) — — 6 (n—3) (n +1) =4 (n— 8) (n—-4) (n + 1). Chaque point de base est situé sur 2 (n—3)(n—4)(n +1) bitan- gentes. Nous avons vu que, par un point quelconque, on peut tirer Qn (n—2)(n—3) bitangentes. Il en résulte que les (n—3) (n + 4) bitangentes dont un des points de contact se trouve en A, touchent l'enveloppe des bitangentes en ce point de base. Les points de base sont des points multiples d'ordre (n + 4) (n—3) pour l'enveloppe des bitangentes. *) § 7. Sur chaque bitangente issue de A, la courbe 5, a (n—5) points doubles, tandis que chaque tangente d’inflexion passant par À porte (n—4) points de rebroussement. Donc: La satellite d'un point de base est une courbe du degré 3n (n— 3) et de la classe (n—3)(5n?—7n—6). Elle possède 2 (n +1) (n —3) (n— 4) (n —5) points doubles, 3 (n + 1) (n — 3) (n — 4) points de rebrous- sement, (n?—1) points multiples d'ordre 2 n— 3) et un point multiple d'ordre (n + 4)(n — 3). Par le point multiple A on peut tirer à 5, un nombre de tan- gentes égal à (n — 3) (5n? — In — 6) — 2 (n — 3) (n— 4) =(n + 1) (n—3)(5n—14) Elles sont représentées par 2(n + 1)(n—3) (n—4) 1) J. DE Vries, l.c. p. 751. 104 FAISCEAUX DE COURBES PLANES. bitangentes, 3(n+ 1)(n—3) tangentes simples (tangentes d’in- flexion de courbes c”) et (x? —1) tangentes multiples d’orde (n — 3). La courbe des inflexions. § 8. Le lieu des points d’inflexion, J, du faisceau (c”) passe trois fois par chaque point de base. Parce qu’une c” générale possède 3n(n— 2) inflexions, elle aura en commun avec le lieu (I) 3n (n — 2) + 3n? points. Done, le lieu (7) est une courbe du degré 6(n—1), douée de n? points triples Les 3(n—1)* points doubles du faisceau sont aussi des points doubles de (1). Puisqu’en un tel point se confondent six intersec- tions des courbes c” et (I), elles y ont les mêmes tangentes. Il va sans dire que (7) ne saurait avoir d’autres points doubles. Afin de démontrer qu'elle ne possède pas de points de rebrousse- ments, on peut déterminer son genre en faisant usage d’une relation bien connue, due à M. ZEUTHEN. !) Supposons qu’il existe entre les points de deux courbes c et c' une correspondance où chaque point P de ¢ correspond à /” points P' de «, tandis que chaque point P’ détermine /? points P. Sup- posons, de plus, qu'il arrive 7’ fois que deux points P’ coincident et y fois que deux points P se confondent. Alors les genres p et p’ des deux courbes sont liés par la relation 2 (p—1)— 22 (p'—1) =y— 7. / Soit P’ le point d’intersection d’une droite quelconque c' avec la tangente d'une €” en un point de base. Considérons la corres- pondance entre P’ et les 3n(n— 2) points d’inflexion P de la c’. Alors on a P = 3n (n — 2), i =U BRU p'—=0, et, par suite, y =2(p—1) + 6n (n — 2). Il s’agit maintenant de déterminer le nombre 7. Si une c* possède un point d’undulation, de sorte qu’elle ya un contact quadriponctuel avec sa tangente, on a affaire à deux points P confondus. 1) Math. Annalen, 1870, t. 3, p. 150. FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 105 Puis, chaque point double de (1) absorbe un certain nombre de points P confondus. On peut le déterminer en considérant un faisceau de cubiques. En effet, puisqu’un point de rebroussement de (J) ne saurait pro- venir que de la coincidence de deux inflexions, ce qui ne peut pas avoir lieu sur une cubique, la courbe des inflexions d’un faisceau (ce?) possède un nombre de points singuliers qui équivaut à 9 x 3+ + 12—39. Donc, elle est du genre p—4x11x10—39= 16, Par conséquent, on a y=2x15+6x3=48. Il en résulte que chaque point double d’un faisceau absorbe quatre couples con- fondus de la correspondance. $ 9. Afin de déterminer le nombre des points d’undulation, il nous faut considérer une courbe auxiliaire, lieu des groupes de 3n (n — 2)(n— 3) points V que les courbes c” ont en commun avec leurs tangentes d’inflexion. Parce qu'en un point de base il se croisent 3(n +1) (n—3) tan- gentes d’inflexion, le lieu (V) passe autant de fois par les points de base. Par suite, il a en commun avec une c” du faisceau Bn (n — 2) (n — 3) + 3n? (n + 1) (n — 3) points. Donc: La courbe résiduelle (V) est du degré 3 (n — 3) (n? + 2n — 2); elle possède n° points multiples d'ordre 3 (n + 1) (n — 3) !). Si lon fait se correspondre les points J et V d’une même tan- gente d’inflexion, les rayons OJ et OV d’un faisceau de droites, à centre O, se rangent en une correspondance avec les nombres caractéristiques 6 (n — 1) (n — 3) et 3 (n — 3) (n? + 2n — 2), Chacune des 3n (n — 2) tangentes d’inflexion issues de O repré- sente (n — 3) coincidences de cette correspondance. Les coincidences restantes, au nombre de 6(n—1)(n—3) + 3 (n—3)(n? + 2n — 2) — — 3n (n — 2) (n — 3) = 6 (n — 3) (Bn — 2), proviennent d’autant de coincidences [= V. Dans un faisceau (c") il y a 6 (n — 3) (Bn — 2) courbes douées d'une EN tangente à contact quadriponctuel ?). $ 10. Comme on a vu, chaque point double du lieu (J) contient quatre couples coïncidants de points P correspondant à un point P' de la droite auxiliaire c’. Done, on a y —6(n— 3) an — 2) + De. DE VRIES, 1. C. p. 752. *) J DE Vries, Versl. K. A. v. W. Amsterdam, 1906, t. 14, p. 844. 106 FAISCEAUX DE COURBES PLANES. + 12 (n — 1)? = 30n? — 90n + 48, de sorte qu’on trouve pour le genre de (1) p = 12n? — 39n + 25. Maintenant on peut affirmer que la courbe (1) ne possède d’au- tres points singuliers que les n? points triples A et les 3(n — 1)? points doubles qui coincident avec les points doubles du faisceau. En effet, on a 4 (6n — 7) (6n — 8) — 3n? — 3 (n — 1)? = = 12n? — 39n + 25. En resumé, nous avons trouvé: La courbe des inflexions est du degré 6(n—1) et de la classe 6 (n — 2) (An — 3). Elle possède 3 (n — 1)? points doubles et n° points triples. § 11. En faisant se correspondre les points tangentiels d’un même point d’inflexion, on obtient dans un faisceau de droites, à centre O, une correspondance symétrique, à nombre caractéristique 3 (n — 3) (n — 4) (n? + 2n — 2). Puisque chaque tangente d’inflexion menée par O, en absorbe (n — 3) (n — 4) coincidences, le nombre de coin- cidences provenant d’une coïncidence VV’ est égal à 6 (n — 3) (n — 4) (n? + In — 2) — 8n (n — 2) (n — 3) (n — 4) = 3 (n — 3) (n — 4) (n? + On — 4). Le faisceau (c") contient 3(n—3)(n — 4) (n? + 6n — 4) courbes douées dune bitangente dont un des points de contact est un point d’inflexion. !) Il est clair que les courbes (1) et (V) se touchent en les 6 (n — 3) (3n—2) points d’undulation. Outre ces points et les intersec- tions absorbées par les n? points de base, elles ont en commun 18(n—1) (n—3) (Nn? + 2n— 2) — In? (n + 1) (n—3) — 12 (n—3)(3n—2) points. Il en resulte: Tl y a 3(n —8) (Bn + 3n? — 36n + 20) points d'inflexion qui sont en même temps un des points tangentiels d'un autre point d'inflexion. La courbe bitangentielle. § 12. Considérons maintenant le lieu des points de contact, T te T’, des tangentes doubles du faisceau. Pour abréger, je le nomme la courbe bitangentielle (T). Comme on a vu, chaque point de base est point de contact de 1) J. DE VRIES, |. c. t. 14, p. 844. FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 107 (n — 3) (n + 4) bitangentes. Parce qu’une c” générale possède 1 yr m — 2) (n? — 9) tangentes doubles, le lieu (7) a en commun avec une c* quelconque n° (n — 3) (n + 4) + n (n—2) (n? —9) points. Par conséquent, la courbe bitangentielle est du degré (n—3) (2n? + En — 6). !) Les points doubles D du faisceau sont en même temps des points multiples de la courbe (7). En effet, par un tel point on peut tirer (n? — n — 6) tangentes à la courbe c” qui y passe; puisqu’une telle droite est une bitan- gente impropre, les points D sont des points multiples d'ordre (n — 3) (n + 2). A l'exception de leurs intersections situées en les points doubles D et les points de base A, les courbes (T).et (J) ont en commun 6 (n — 1) (n — 3) (2n? + 5n — 6) — 6 (n — 1)? (n — 3) (n + 2) — 3n? (n + 4) (n — 3) = (n — 3) (3n° + 6n? — 48n + 24) points. On peut le vérifier en observant que les deux courbes se touchent aux points d’undulation, tandis qu’elles se coupent en les inflexions dont la tangente touche la c” correspondante ailleurs. En effet, on a 12 (n — 3) (8n — 2) + 3 (n — 3) (n — 4) (n? + 6n — 4) = = (n—3) (8n3 + 6n? — 48n + 24). § 13. Considérons le lieu des points W qu’une c” a encore en commun avec ses bitangentes. Parce qu’un point de base porte 2 (n —4) (n—3) (n +1) bitan- gentes, la courbe (W) passe autant de fois par les points de base. Le nombre de ses intersections avec une c” du faisceau égale done 2n? (n — 4) (n — 3) (n + 1) + +n (n—2) (n? — 9) (n — 4). La cowrbe résiduelle (W) est du degré 5 (n—4) (n — 3) (5n? + 5n — 6). ?) Par la correspondance entre les points T et W d’une même bitangente, les droites du faisceau O se rangent en une correspon- dance avec les nombres caractéristiques (n— 4) (n — 3) (2n? + 5n—6) 1) P. H. ScHouTE, Wiskundige Opgaven, 1886, t. 2, p. 307. 2) J. DE VRIES, l.c. t. 13, p. 751. ARCHIVES XI. 15 108 FAISCEAUX DE COURBES PLANES. et (n—4)(n—3)(5n? +5n—6). Toute bitangente issue de O représente 2(n—4) coincidences. Les coincidences restantes pro- viennent des coincidences T= W. On retrouve de cette manière le nombre des bitangentes qui sont en méme temps des tangentes d’inflexion (tangentes #3). Considérons maintenant la correspondance entre les rayons OW, OW’. C'est un système symétrique à nombre caractéristique 4 > (n — 4) (n — 3) (Dn? + 5n—6) (n— 5). Chaque bitangente menée de O en absorbe (n — 4) (n — 5) coincidences. Donc, le nombre des coincidences W=W’ est égal à (n— 3) (n—4) (n—5) (Bn? + 5n—6) — 2n(n—2) (n— 3) (n—4) (n—5)— = 3 (n — 3) (n — 4) (n — 5) (n? + 3n — 2). A Si deux points W coincident, on a affaire à une tritangente. ? Puisqu’une telle droite représente trois bitangentes, de sorte qu’elle 8 , 1 porte trois coincidences W = W’, nous venons de trouver: Un faisceau (c") contient (n — 5) (n — 4) (n — 3) (n°? + In tritangentes. *) 2) $ 14 On peut établir une correspondance entre les points P’ d'une droite ec’ et les groupes de n (n — 2) (n? — 9) points T= P de la courbe bitangentielle, de maniére que chaque groupe contient les points de contact d’une c" avec ses bitangentes. Dans la formule 2% (p— 1) — 2 P(p —1) =y —y’ on a alors 3 =n (n— 2) (n° —9), ff =1, y =0, pf =0. Done y = 2 (p—1) + 2n (n — 2) (n? — 9). Soit n= 4. Les coincidences de deux points P sont fournies par les points d’undulations et par les points de contact des bitangentes impropres. En effet, on vérifie aisément que chacune des (n — 3) (n + 2) tangentes issues d’un point double D remplace deux bitangentes de la courbe générale. Les 27 points D d’un (c*) fournissent 27 x 6 x 2 = 324 coincidences. Parce qu’il y a 60 points d’undulation, on trouve y = 384. Par suite 384 —92 (p— 1) + 112, d'où p= 137. Puisque la courbe bitangentielle est du 46° degré, il faut qu'elle possède un nombre de points singuliers qui équivaut à 1) J. DE VRIES, l.c. t. 14, p. 844. FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 109 = 45 x 44 — 137 = 853. Il est clair qu'ils sont représentés par les 16 points octuples A et les 27 points sextuples D. Par consé- quent, la courbe (T) ne peut avoir d’autres points singuliers. $ 15. Soit n—5. Alors on a encore affaire aux points de contact des 306 tangentes ts, ($ 11). En effet, une telle tangente a un contact simple et un contact triponctuel; donc, eller emplace au moins deux bitangentes. Eu égard aux points multiples que la courbe (T) possède en les points A et D, on trouve 2p — 137 x 136 — 25 x 18 x 17 — 48 x 14 x 13 —=2246. Parce que ?=240, on a y —2(p—1) + 2% —=2724. Les points D et les points d’undulation donnent 48 x 28 + 156 = 1500 coincidences. Il en résulte que les 306 tan- gentes fs; fournissent 1224 coincidences; par suite, une telle tangente en fournit quatre. Si l’on a n>5, les tritangentes donnent lieu à un nouvel groupe de coïncidences. On trouve 2p = (2n3 —n? — 21n + 17) (2n5 — n? — Zn + 16) — —n?{(n? +n—12)(n? +n—13)—3 (n—1)? (n? —n—6) (n° —n—7), d’ou p = 8n> —19n! + 14n? + 120 n? — 240 n + 73. Done, on a y = 6n> — 36n' + 24n? + 222n? — 444n + 144. Les 3(n—1)? points D fournissent 6 (n—1)? (n —3) (n + 2) coincidences. Puis, 6 (n — 3) (3n — 2) coincidences proviennent des points d’undulation et 12 (n—3) (n— 4) (n° + 6n—4) des tangentes b3. Les coincidences restantes proviennent des (n—5) (n— 4) (n — 3) (n? + 3n — 2) tritangentes; chacune d’elles en fournit six. Les courbes tangentielles d’un point de base. § 16. Nous avons vu que la courbe tangentielle d’un point de base A est du (n +1) degré ayant un point triple en A, où elle est touchée par les tangentes aux trois courbes c” sur lesquelles A est un point d’inflexion. Soit A’ un des points qu'une courbe €" a en commun avec la droite qui la touche en A (point tangentiel de A); soit, de plus, 15* 110 FAISCEAUX DE COURBES PLANES. A” un des points tangentiels de A’ (point tangentiel du second ordre). Sur chaque c* il y a (n— 2)? points A”: convenons de nommer courbe tangentielle du second ordre le lieu des groupes de (n — 2)? points A” appartenant aux courbes du faisceau. En général, considérons le lieu, (A”) des groupes de (n — 2)” points tangentiels du m‘ ordre d’un point de base. $ 17. Soit r, le degré de cette m’ courbe tangentielle. Désignons par @,, et par /?,, le nombre de branches de cette courbe passant par le point de base A et par chacun des autres points de base B. La courbe (A”~) du point A a en commun avec la polaire ®, les points tangentiels A”), du (m—1) ordre, dont un des points tangentiels coincide avec A. Ces points sont au nombre de (@„— 3); en effet, parmi les courbes c” pour lesquelles A se confond avec un de ses points tangentiels du m’ ordre on trouve les trois ©” qui ont un point d’inflexion en A. Les courbes (A”~') et & y sont touchées par les trois tangentes d’inflexion; par suite, elles y ont en commun 3«, ; +3 points. Parce que les autres points de base, B, sont des points simples de la polaire @,, nous aurons la relation CNT) t= En ones + (mn EEn Considérons maintenant les intersections de la courbe (4-1) avec la polaire ;. Elles ont en commun les /,, points A”V dont un des points tangentiels 4” coincide avec le point de base B. Il est clair que 3/5, intersections sont réunies en B, tandis que le nombre des intersections situées en À et en chacun des points de base restants est représenté par «,_, et par /» 1. Par suite nous aurons (Zn — 1) Bal fam + Omi ae (n? = 1) es he linke (2) En observant que la courbe (A”) contient les (n — 2)” points tangentiels A” d’une courbe c”, on arrive à la relation Nin, — En En: —41) 8, (NI) 2 ECM) § 18. Afin de trouver une équation aux différences finies qui ne contient que la fonction r,,, il nous faut éliminer les fonctions Er EL Dr. En remplaçant, dans (3), «, et /?, par les expressions tirées des des équations (1) et (2), nous aurons FAISCEAUX DE COURBES PLANES. 111 NT», = n> (2n a 4) Emi (n° + 2) Ami + (n? a 1) Pt | ne (n a 2)” . Eu égard à la relation (3), on peut remplacer @,,_; + (n?—1) Pu-ı par nr„_1— (n— 2)" 1. Par suite, on a Em = (n? —n — 2) vn + (Nn +I) mn — 23" ..... (4) Eu combinant cette équation avec la relation analogue Tm = (n? — 2 —2) ma + (n + 1) (n — 2)” ?, on trouve l'équation homogène Tm — (Nn — 2) (n + 2) mat n — 2)? (n +1) T-2= 9... (5) Soit 7, —%" une solution particulière. Par substitution, on trouve x? —(n—2)(n + 2)4 + (n—2yP (n +1)=0, d’où 2—=n?—n—2 ou ı=n—2. Done, la solution générale a la forme Im Cy N — Rn 2 6, (B — 2)". En remplaçant, dans (4), m par 2 et 7, par n + 1, on trouve T, =(n +1)(n? —4). Donc les constantes c, et c, vérifient les relations (n + 41) (n? + 4) =c, (n? —n — 2)? + ¢, (n—2)?, n+1=c, n—n—2)+c,n—2), Finalement, on trouve pour le degré de la courbe (A”) m+ 1)"—1 Tm == (n + 1) (n — 2)” D Puce ae ae (6) Des équations (1) et (2) on déduit Gm — [Pm = — 2 (@m_1— [Pm-1) » Par suite, on a ENTF P)E- in... (7) En faisant usage des relations (3) et (6), on trouve ny (mn — "tn + APH + A(n? — 1) (— 9)", . (8) n°? Am (n — ON | (n + m Hl — In + 1 + (— Q\m (9) «(wen Sele ane 112 FAISCEAUX DE COURBES PLANES. Lieu des points sextactiques. $ 19. Supposons qu'une courbe c” ait en A un contact du 4° ordre avec une conique c?, de sorte que 5 de leurs intersections sont confondues dans À. Elles auront encore en commun (2n —5) points R. Désignons par e le degré de la courbe (2), lieu des groupes de (2n—5) points R situés sur les courbes c” du faisceau. Soient a et /? les multiplicités des points de base A et B. Considérons la relation entre la courbe (R) et la courbe tangen- tielle du point A. De leurs intersections /? sont réunies en chaque point B et (Ba +3) en A. En effet, la courbe (R) est touchée en A par les trois tangentes d’inflexion dont le point de contact coincide avec A, et il est évident qu’une telle tangente doit étre considérée comme une droite double, de sorte qu’un des points R se confond avec A. Les (n— 3) points R, que cette tangente d’inflexion a encore en commun avec la €” correspondante seront des points singuliers de la courbe (R). Désignons par « la multiplicité d’un point #, parmi les inter- sections des courbes (2) et (A’), de sorte que u de ces intersections sont réunies en #,. Alors on aura la relation (n + 1)e—=3(a +1) + (n?—1) +3 (Nn —3) un... . (10) En considérant les intersections de la courbe (R) avec une c” du faisceau, on obtient l'équation no — a + (m? —1)P+Q@—5)........ (11) Il est évident que les coniques c? qui, en A, ont cinq points en commun avec les courbes c", forment un système à index /; en effet, il arrive /? fois qu'un point R coincide avec un point de base B. Parce que ce système est en relation homographique avec le faisceau (c”), les intersections Q, Q’ d’une droite avec les couples de courbes homologues se rangent en une correspondance (2,n/). En effet, par un point Q il passe une c”, et la conique correspondante coupe la droite en deux points Q’. Un point Q’ est situé sur /? coniques, et les courbes c” homologues déterminent nf? points Q. Chaque coincidence étant un point R, on obtient la relation DER AD" OR eee ley FAISCEAUX DE COURBES PLANES. bis Des relations (10), (14) et (12) on déduit, par l’élimination de » et a, l'équation (n — 2) 5 =n (Bu — 2) —(9u — 16), 1 12 — 3u d'où P=3u—2+ AE ON Puisque /? est un entier, il en résulte «= 4, Cela veut dire que par chaque point R, passent deux branches de la courbe (R) ayant la même tangente qui y touche encore la courbe tangen- tielle. Maintenant on trouve p—10_¢—15 et o—10 7 F2, § 20. Parce que « — 15, chaque point de base se confond 12 fois avec un des points R. Done, le lieu des points sextactiques passe douze fois par chaque point de base. Comme une courbe générale du n° degré possède 3n (4n — 9) points sextactiques 1), le lieu de ces points aura 3n (An — 9) + 12n? points en commun avec une e” du faisceau. Donc: Le lieu des points sextactiques est une courbe du degré 3 (8n — 9) avec n? points multiples du douzième ordre. 5) Cayrey, Phil. Trans., 1865, t. 155. gente Late 1 MTL D NÉ vod outs EDS sah ET Teen er a DU de ER mw 4 ve upper, fin os RTC bat to git at pyege Tay ST A es eau OPE re" my), leer jé A num Lit NET 4 iy he Cle warn PT vo a TUE TV bi ht pe ab ati de! i? Me re ir tit Meran « re at a Etat ae Me shaky Sepals al A A N Nett? DR, a | kin Pen tt er Te N ues [TTL à iu pan 8 « mm 4 ds pére PEUR APE nl weit, MN we dE | at bart tes 5 at He fm dan ru AE > sted i Far kde Wty AO antic oot M den cn ga en | Capitaine sine | wer Van sut puis ar d ME nt Le ui lee toll Alape RR" ne er SADE ad nain EE ie ner aa nee anne re), erh tre ee er MERAN MR il u Ces gen i: Meat j nn ze 7 en HET Baer) At vrat u A À Es in mit, hee see 2 r me SE De ind | Al A | oe 0 ro ia d cing Alger r At A ser ff u it AR 2 tel oS Qi u ö um ive) Gite FR BM Mi i Be a bbs van Pi 4 à fus aapt (RNA oan iy ny Oo Mer PT we i? Pon eer ola TP D > a Cut Ach Bun N ven = i HAER EI Vu MAN bei CA De IN ® Tr, Hevea Bean: nit a « aD En sa ca Pili A He SUR UNE RELATION ENTRE LES VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES- PAR E. VAN DER VEN. Dans ma derniére étude ') je fus frappé par une relation particulière, que je croyais observer entre les pouvoirs conducteurs pour l’électricité des différentes solutions salines, selon laquelle le pouvoir des solutions de huit sulfates serait surpassé par celui des azotates, qui lui-ménte serait subordonné à celui des chlorures et des chlorides. Pourtant, comme alors je ne fis cette observation qu’en chemin faisant et que l’examen, dont il résultait, ne me semblait pas étre entouré de toutes les garanties auxquelles le sujet avait droit quand il se presentait comme cause principale, je promettais alors le reprendre; et c’est dans cette étude que je présente le résultat et les détails de cette nouvelle recherche. Comme on se rappelera j’ai déduit le rapport des valeurs k de celui des valeurs !/;, auxquelles se réduisent celles de la différence , d sib. He potentielle 7V = En des parois intérieure et extérieure des vases poreuses, données par l’experience, si pendant tout l’examen on se sert d’un courant d’une intensité constante et qu’on réduit les valeurs d et m, de manière qu’il est si toutes les vases ont une même épaisseur et une porosité égale. D'où il suit que l’exacti- tude des valeurs ‘/; dépend en premier lieu de celle des valeurs trouvées AV, en second lieu de celle des valeurs d et m. Quant aux premières, elles sont déterminées dans mon étude citée ?) au moyen de deux lames de cuivre, fixées parallelement, 1) Archives du Musée Teyler, S. II, T. X, p. 85. *) Ibid, p. 96. ARCHIVES XI. 16 116 SUR UNE RELATION ENTRE LES june vis à vis de l’autre, dans un petit bloe d’ébonite; en faisant ce bloc glisser sur le bord de la vase les deux lames glissaient, en faisant ressort, l’une sur sa parois intérieure, l’autre sur celle extérieure. Ces lames étaient conductivement réliées aux électrodes d’un multiplicateur, dont j’observais les indications en six posi- tions différentes, croyant éliminer, en prenant la moyenne des valeurs observées, l’effet de l'épaisseur et de la porosité différentes des parties de la parois. Comme il yavait raison de craindre, et que cette manière de faire ne me ferait pas connaître la valeur exacte de ZW, et que le déplacement continuel des lames devait nuire à leur serrement invariable contre les parois, je me suis servi dans la présente étude de deux cilindres métalliques très minces, percés d’un grand nombre de trous, qui s’appliquaient, l’un contre la surface intérieure, l’autre contre celle extérieure. Ces cilindres sont encastrés dans un anneau d’ébonite, qui repose sur le bord de la vase; ils sont construits du métal qui fait partie de la composition du sel en solution; en les construisant de cuivre je craignais que leur contact nuirait à la pureté des solutions. Aussi je me suis assuré avant chaque observation si le passage du courant principal n’avait occasionné une différence de potentiel entre les cilindres eux-mêmes, dont l'effet ’s ajouterait à celui de la différence des deux parois; et s’il y en avait j'en ai corrigé les indications du multiplicateur. La détermination de m s’est fait au moyen de la formule de £7 Qd B M. PorseuiLLe: m=)/ 2e dans laquelle Q représente le poids e de la quantité d’eau distillée, qui, dans un temps donné, s'est écoulée de la vase poreuse, sous la pression latérale s. Pendant mes recherches ci-dessus citées !) je me suis souvent successive- ment servi d’une même vase pour l'examen de solutions de com- position différente ; mais, comme je me suis aperçu que le nettoyment de la vase, qui, en agissant ainsi, était nécessaire entre deux emplois successifs, faisait varier la quantité Q, je me suis servi pour mes recherches actuelles d’un assemblage de trois vases particulières pour chacune des solutions. J’obtenais ainsi trois valeurs indépendantes de 4V; en réduisant chacune d’elles aux mêmes valeurs de d et de m, pour lesquelles j'ai pris d—=4mM., m — 0.400 mM., je me suis procuré trois valeurs, qui, en devant 1) Archives du Musée Teyler, S. IL, T. X, p. 436. VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES. Te être égales, me faisaient connaître l’erreur probable du résultat de mes recherches Quant à la température, qui est d’une si grande influence, aussi bien sur la résistance des solutions que sur la vitesse de leur écoulement, j'ai tâché la maintenir entre des limites resserées, en n’operant qu'avec des fluides dont la température égalait celle de l’air ambiant, maintenue à + 64° F. Cette température a du être choisie, parcequ’en voulant trouver au moyen du rapport des valeurs '/, celles des coëfficients %, il fallut prendre pour base la valeur de k, trouvée pour une quelconque de nos solutions au moyen d’une méthode directe; et les déterminations de ce genre ont été pour la plupart faites à la température 18° C. Ajoutons encore que dans cette étude je ne me suis pas borné, comme dans la précédente, à chercher les valeurs '/;, qui ont rapport à une seule concentration: 5 grammes de sel crystallisé sur 105 grammes de solution. J’y ai ajouté les solutions contenant 7.5 gr. et 10 gr. sur 100 gr. d’eau, en exceptant seulement celles du chlorure de cuivre et du chlorure de zinc, pour lesquelles la concentration 7.5 % a été oumise. La résistance des solutions de ces sels est assez petite pour faire tomber les limites des erreurs probables, qui ont rapport à cette concentration, dans la domaine de celles des deux autres. Les résultats de ces recherches sont rassemblés dans le tableau suivant; les deux appendices, que je fais suivre, en contiennent les détails, la première (pag. 122) pour ce qui regarde la détermi- nation de d et de m, la seconde (pag. 124) pour ce qui regarde celle de JV. De ce tableau la premiére colonne donne les noms des sels crystalisés en solution, la deuxième le poids de sel anhydre res- pectivement contenu dans 105, 107.5, 110 gr. des solutions. Quand aux poids atomiques, au moyen des quels ces poids ont été cal- culés, il sont pris du Chemiker kalender de M. Rupour BIEDERMAN, pour 1905. La sixième colonne, enfin, contient les valeurs de k pour une concentration de 5 grammes de sel anhydre sur 100 cM*. de solution. Elles sont calculées au moyen des valeurs !/, dans la cinquième colonne, en prenant pour unité celle trouvée par M. Lone pour une solution de chlorure de zine de 5°/.. Ce calcul, assez embarassant, je me le suis imposé pour faciliter la 16* contenues 118 SUR UNE RELATION ENTRE LES comparaison des valeurs k, aussi bien entre elles qu’à celles directement trouvées par des autres opérateurs; comparaison qui ne se fait pas facilement au moyen des données de la cinquième colonne, à cause de l’inégalité des poids de sel anhydre, contenus dans les solutions de chaque sel en particulier. En exécutant le dit calcul je n’ai porté en ligne de compte que la deuxième déci- male, les erreurs probables des valeurs 4V affectant en général les centièmes de volt d’une unité. Noms des sels en 2. Poids du sel 3. Poids | specif. des | 4. 5. | Pa Sel anhydre | Rapport !/x des 6. | IX Ken pout | 5 gr. de sel anh. « solution. anhydre y compris. | solutions, | SU" 100 cM?. Sélenrs AT sur 100 cM?. Cu SO, +5 Ag. En | 5 gr. sur 105 gr. | 959 % 5 gr. =3.20gr. 1.0310 3.14 gr. | 1.823 + 0.003 | 1:5: 5 107.5 7.5 480 , 468 4.67 , 305) 0017/59 WO oh AN 1095 6,40 „ 637 6:19! 5 „036 „012 Zn SO, +7 Aq. ies | 5 gr. sur 105 gr. = X 5 gr. = 2.82 gr 1.0280 2.74 gr 2.341 + 0.011 | TD ur ATEN AMEN, 45 407 , | 1.657.013 152 WY ey LO 107; 5.64 „ 552 5.31 , .282 .010 Fe SO; + 7 Aq. + 5 gr. sur 105 gr. TR & gr 2.10 gr 1.0267 2.64 gr 9.290 + 0.028 | UD SN, HUE, TES 4.05 387 SL, 1.689 .015 167 10 110 10 5.40 , 538 B „190 O11 2 Fe3S0; +9 Aq. ED 5 gr. sur 105 gr. 563 X 5 gun =3.56gr | 1.0352 3.91 gi 1.965 + 0.022 US We 7.5 , 5.34 , 525 5.23 | .478 .020 | 136 (Mt) 5 OS 1025, zele 725 6.94 , .036 .023 Ni SO, + 7 Aq. "te 5 gr. sur 105 gr. ET x gr. = 2.76 gr 1.0295 9.71 gr 3.340 + 0.018 1s MOTS 15 4.14 429 POV OR Ci} 100 LORE OE, 107 5.52 , 567 5.30 „ 1.950 .007 Cu N, Og + 6 Aq. 1 5 gr. sur 105 gr. „05 (rye = Ed 1.0246 3.10 gt 0.863 + 0.006 15 Corse |e 75 217, 367 163% |. 630 08 354 10 > 110700 10 6.36 , 495 6.06 | 485 07 Zn Ns Os +6 Aq. en | 5 gr. sur 105 gr. 308 X 5 gr. = 3.02 gr. 1.0273 2,96 gr. | 1.051 + 0.003 HD, OE IE 7.5 4.53 „ | 404 4.39 | 0.784 .007 345 Da, 110 10 , 6.04, 549 5.79 | 557.008 | - | | VALEURS £ DES SOLUTIONS SALINES. 119 de 2. 3. 4, | FF 6. ; | If 5 Noms des sels en | Poids du sel mine Sel anhydre Rapport lk | 10°X kygo o, pour luti hyd x | specif. des 400 cM? des 5 gr. de sel anh. Bester SIE RE VUE solutions. |°U! cM’. valeurs AV. sur 100 cM. Pb N, 0, ar | | 5 gr. sur 105 gr. aar X 5 gr. =5.00gr. 1.0431 4.97 gr. | 0.992 + 0.007 | DE 10725: „ Thee, TED 653 Tas .162 .004 | 212 (DEN = 110 … ; 10 , 10.00 , 901 9.91 , 567 .004 2 Fe 3(N: 05) + 18 Ag. | poy | | 5 gr. sur 105 gr. 808 X 5 gr. = 3.00 gr. 1.0235 2.91 gr. 0.922 + 0.007 mies, 1075 ; 75, 450, MU 407239 a 139° 014 324 Be, 110 , ‘i; 600°, 457 | 5.70, | .543 008 | Ni N, O6 +6 Aq. Hen | 5 gr. sur 105 gr. 993 x5 gr. =3.14gr. 1.0255 3.07 gr. | 1.580 + 0.020 UD RME Toren Ait > 382 455 , 173 .006 202 mer ste LAO, ise 10; 6.28 „ 519 209, 0.832 .009 Cu Cl, +2 Ag. 134,5 5 gr. sur 105 gr. 1705 * 5 gr. = 394gr. 1.0352 3.80 gr. | 0.561 + 0.013 LD 107.5... TDs, 5.91 „ LIN 518 = 495 fee 110 „ (OP ee 670 mon 0.351 + 0.011 Zn Cl. 136 5 gr. sur 105 gr. 136 * 5 gr. = 5 gr. 1.0395 4.95 gr. 0.465 + 0.004 ben 1075 ,, UD % 75 , 613 7.40 , — 452 DO. 110 …, (DR 1007 842 Here 0.285 + 0.004 Ni Cl, + 6 Ag. An 5 gr. sur 105 gr. | gg X5 gr. = 2.73 er 1.0251 | 2.67 gr. | 1.229+0.005 | Don 1075. 1 AO 353.7. |, (3169), 0.890 .009 | 295 OR 110, ,, to 5.46 „ 439 5:21 „ .685 .006 Fe, Cl. 395 | 5 gr. sur 105 gr. 395 or ob ye 1.0235 4.87 gr. | 0.583 + 0.008 ie LOTS :, IBD 15 , 344 DE 415.003 368 Beer, 110 , 10022 CLO oe 462 gl, 296 .006 Si, pour faciliter une comparaison, de k de la manière suivante: Cu SO, 159 N,0, 354 Cl, 495 Zn Fe 152 167 345 324 452 368 il paraît que la règle, Ni 2Fe3S0, PbN, 100 136 902 912 295 nous arrangeons les valeurs 0; 120 SUR UNE RELATION ENTRE LES le pouvoir conducteur des solutions de chlorures surpasse celui des solutions d’azotates, qui lui-même surpasse celui des sulfates, que dans une étude antérieure !) nous croyions pouvoir déduire de recherches, institutées dans un autre but, est trop générale. Ce sont les solutions de chlorure de nickel qui seules y font excep- tion, parceque leur valeur de & est inférieure à celles des solutions des azotates de cuivre, de zine et de fer; comme l’on voit, les solutions des sels de nickel se distinguent en général par leur grande résistance au passage du courant. L'examen actuel, spécialement institué dans le but de contrôler une règle, ,trouvée” comme nous l’avons dit, „par un chemin détourné”, conduit, du moins pour les solutions examinées, à cette réstrietion : „des solutions de sels, qui ont une même compo- sante electropositive”, le pouvoir conducteur des solutions de chlorures surpasse celui des solutions dazotates, qui lui-même surpasse celui des solutions de sulfates. Nous espérons bientôt étendre ces recherches pour voir, si cette règle vaut encore pour les solutions d'une autre constitution que celle des sels jusqu'ici examinés. Comme l’on voit, j'ai déterminé les valeurs de '/, pour trois concentrations différentes; en ayant égard au but que je m'étais proposé en commençant cette étude cela n’aurait pas été nécessaire. Mais j'étais désireux de savoir de quelle manière les pouvoirs con- ducteurs de solutions de concentration différente se rapportent entre eux; et ce sont les valeurs de '/, qui nous apprennent ce rapport. Tandisqu’en général le rapport des poids du sel anhydre en solution ne différe que peu de 1:1.5:2, il parait que celui des pouvoirs conducteurs est toujours inférieur à ce rapport. En effet nous trouvions: CuSO; ME SINR OMIC HIN OS EME ST EMA (CCl. sE Zn SO,... 12 13180) Zn No Og. 1213842189. Zn CL — 1568 He SOs. dE: A BORMEOSMELBEND Oo 5 MMS OEM END OL Psalter Rl) 9 Fe8SOr... 1: 4381590 2Fe3(N, Os) 1:1.25:1.70 Fe; CI 1: 1.40): 1-97 NAS Ore AM OGEMETINENTEN OG 1 5E 90! L'on voit que le rapport des pouvoies conducteurs est, en 1) Archives du Musée Teyler, S. I, Vol. X, p. 458. VALEURS / DES SOLUTIONS SALINES. 121 moyenne, comme 1:3.3:1.8; les chlorides de cuivre et de zine seuls, qui à leur grand pouvoir absolu joignent un petit pouvoir relatif, font exception sur cette règle. Entre les sels que j'ai examinés il n’y a qu’un petit nombre, dont les solutions de concentration relative égale à celle des nôtres ont fait le sujet d’une publication. Il n’y a que celle de M. F. KoxLrAUSCH pour le CS Oren SE PE EP I LOR er 3005E1appoert: 14-197 et le Zn SO, ns 179 301 5 lB TE de M. Freunp POUR 0 SOR 220 1 On 20 Wrap porti 6 et le Zn SO, 5% 116 10°, 183 5 VE: de M. Lone pour le CuN, O0; ... 5°, . 341 LORD RTP Ports 1:7 et le Zn Cl, - 452 5 630 5 es Elles se comportent assez bien avec les resultats par nous obtenus, aussi bien en général qu’en ayant égard à la petite valeur du rapport des deux solutions de chlorure de zinc. Que l'accroissement de k n’est pas proportionnel à celui de la concentration des solutions salines, nous conduit à une conside- ration, qui peut nous éclaircir de plus près sur le caractère de la charge de contact entre ces solutions et une paroi poreuse. Pourtant, dans le cours de ces recherches nous avons démontré à plusieurs reprises !) que, du moins quant aux solutions exami- nées, les poids T, qui dans un temps donné sont transportés par un courant donné, sont les réciproques de la concentration des solulions transportées. Si done à présent il paraît, que dans 4V = u la valeur de k n'est pas proportionnelle à la concentration, il ensuit que dans Péquation *) A 5 ’ S dans laquelle Q reste constant, la charge E varie avec la con- centration d’une solution saline. Nous espérons qu'il nous sera donné d’examiner encore ce en aussi. Haartem, Mai 1907. 1) Archives du musée Teyler, S. Il, V. VIII, pp. 217—233, pp. 372—392, pp. 502—515; V. IX. pp. 118—130, pp. 232—247, pp. 581—604. “Tha SIT, VEND 92: 122 Diamétre à niveau d'eau. A à mi-hauteur... En AU TONG. en. Epaisseur moyenne....... Pression latérale......... sous laq. il efflue en 1 h. Porosité relative......... Int. Ext. Diamètre à niveau d’eau. 68.5 77 mM. 5 à mi-hauteur.. . 67.0 1 = au LONG ates ee ee 66.0 Ja, 201.5 220 8 — 3 — 67.2 75.3 mM. Epaisseur moyenne.... .. d= %(75.3--67.2)=4.05 mM. Pression laterale......... sous lag. il efflue en 1 h. Porosite relative Diamètre à niveau d'eau. à mi-hauteur.. je anton dere re Epaisseur moyenne Pression latérale......... sous lag. il efflue en 1 h. Porosité relative SUR UNE RELATION ENTRE LES Appendice Examen Hauteur de l’eau distillée dans toutes les vases : VASE N°. 1. Int. Ext. 68 78 mM. 68 Was + 67 76 5 203 231 5 8 B 67.7 77.0 mM. d = % (77.0—67.7) = 4.65 mM. S = n. 1422, 33,85 = 2143 gr. Q = 20.66 gr. M DA = 2 = 0476 mM. VASE N°. 4. S = 1.1422. 33.6 = 2127 gr. Q = 22.31 gr. m= ed = 0.453 mM. WEA SENS 7s Int. Ext. 69.0 77.0 mM. 67.5 TADS ae 67.0 TED. 203.5 9975. 3 — 67.8 75.8 mM. d= % (75.8—67.8) = 4 mM. S= 7.1422. 33,9 = 2146 er. Q = 17.475 gr. Zu = Ee a = 0,424 mM. 18 des vases. 142 mM. VASE N°, 2. VASE No, 3. Int Ext. Int. Ext. 67.5 76.5 mM: 68 78.0 mM 68.0 ii 68 76:5 67.0 740 „ 67 75:5 902.5 9355 … 203 230 5 == 3 er — 67.5 75.2 mM. 67.7 76.7 mM. d= % (75.2 —67.5) = 3.85 mM. S = n.142?. 33,75 = 2137 gr. Q = 23.50 gr. Slee = = 0.445 mM. VASE N°. 5 Int. Ext. 69 77.5 mM. 68 16.0 „ 67 145 5 204 228 = 3 res 68 76 d= % (76—68) = 4 mM. S = n.142?2. 34 = 2153 gr. Q = 31,5 gr. m =~ en = 0.490 mM. VASE N°. 8 Int. Ext. 69.0 78.0 mM. 68.0 72.0 5 67.5 198, > 204.5 930.5 „ 3 — = 68.2 76.8 mM. d = % (76 8—68.2) = 4.3 mM. S= 7.1427. 34,1 = 2159 gr. Q = 18.3 gr. 9. m = ©: 2 0.436 mM. d= % (16.7—67.7)=4.5 mM. S =n,142°. 33,85 = 2143 gr, Q = 9.98 gr. map = À _ 0.374 mM. VASE N°. 6. Int. Ext. 69.5 77.5 mM. 68.0 76.0 „ 67.0 750 , 2045 2985 , 3 3 68.2 76.2 mM. = % (76.2—68.2) = 4 mM. S = 2. 1497, 34,1 = 2159 gr. Q = 26.325 gr. = _ d = 0.473 mM. VASE N°, 9. Int. Ext. 69.0 77.0 mM. 67.5 11.05 67.0 15.5 5 203.5 229,5. 3 Er 67.8 76.5 mM. d= % (16.5—67.8) =4.35 mM. S= x.149?. 33,9 = 2146 gr. Q = 21.075 gr. m= see = 0.452 mM. _ Diamètre à niveau d'eau. | " à mi-hauteur... ne BY LONG en ee Épaisseur moyenne....... Pression latérale......... sous lag. il efflue en 1 h. Porosité relative......... Diamètre à niveau d’eau. = a mi-hauteur.. - 5 UMO ree N 4 Porosité velative.. rare … Diamètre à niveau d’eau. 4 à mi-hauteur... 3 & ALONG. 2... ‘Epaisseur moyenne Pression latérale......... sous laq. il efflue en I h. Porosité relative......... L Diamètre à niveau d’eau a à mi-hauteur. . A ANE TON Cer. dere eee sous lag. il efflue en 1 h. VALEURS À DES SOLUTIONS SALINES. VASE N°. 10. Int. Ext. 69.0 77.0 mM. 67.5 FES 66.5 13:0), 203.0 997.5 67.7 75,8 mM. d= %4 (75.8—67.7) =4.05 mM. S=7. 142? .33,85=2143 gr. Q = 19.4 gr. mn 2 = 0.438 mM. VASE N°. 13. Int. Ext. 68 78.5 mM. 67 755 „ 66 750%, 201 999 3 —— == + 67 76.3 mM. d= % (16.3 — 67) = 4.65 mM. S=7. 1422. 33,5 =2121 gr. Q = 28.9 gr. 0 m=P Le = 0.502 mM. VASE N°. 16. Int. Ext. 69.00 77.5 mM. 67.25 79:50, 67.00 15.00, 203.25 228 „ 3 Pe —— 67.75 76 mM. d= % (76—67.75)= 4.125 mM. S= 7.142? 33,875 = 2145 gr. Q = 19.72 gr. m= = = 0.442 mM. VASE N°. 19. Int. Ext. 68.5 77.00 mM. 67,5 76.50 , 66.0 74.15 „ 202.0 9383775 67.6 76.08 mM. ARCHIVES XI. VASE N°. 11. Int. Ext. 69.0 77.0 mM. 67.5 165°, 67.0 16.07 ., 203.5 33957 , BEN rer 67.8 76.5 mM d= 4 (16.5—67.8)=4.35mM. S— n .142° .33.9=2146 gr. Q=135gr. (0 we = = 0.412 mM. VASE N°. 14. Int. Ext. 68.5 78 mM. 67.0 1 66.5 13 & 202 231 „ 67.3 77 mM. d= % (77 —67.3) = 4.85 mM. S=7.142? . 33,65 = 2130gr. Q = 31.07 gr. O.d m= Yr = sis 0,513 mM. VASE N°, 17. Int. Ext. 69.25 77.0 mM. 67.00 16.08, 66.50 13:06 , 902.75 SEN 5 3 — 3 —— 67.58 76 mM. d= \% (76—67.58) = 4.21 mM. S= x . 142% .33,79 = 2140gr. Q = 14.55 gr. me = 0.410 mM. VASE N°. 20. Int. Ext. 68.50 77.25 mM. 66.50 75.25 » 66.25 75.50 , 201.25 228.00 „ 3 - 3 — 67.08 76.00 mM. 123 VASE N°. 12. Int. Ext. 69.5 79.0 mM. 68.0 HO 67.5 150 « 205.0 231.5 „ ==, 43 68.3 77.2 mM. d= (77.2—68.3)=4.45 mM. Sn . 142? .34,15=2162 gr. Q = 25.8 gr. wee = = 0.480 mM. VASE N°. 15. Tot. Ext. 69.5 77.5 mM. 68.0 10:00 67.5 155 , 205 MID Ge eure 68.3 76.3 mM. d= 4 (76.3 — 68.3) =4 mM. S=n.142? . 34,15 = 2162gr. Q = 28.05 gr. VASE N°. 18. Int. Ext. 69.00 78.5 mM 67.25 Hie: se 66.50 16:0) , 202.75 B39) = 3 — 3 —— 67.58 77.3 mM. d=\4(71.3—67.58)= 4.86 mM. S= 7.1422, 33,79 =2140gr. Q = 93.75 gr. O m = edn 0.480 mM. Ss VASE N°. 21. Int. Ext. 69.375 77.000 m.M 68.000 76.000 . 67.750 75.375 „ 905.125 28375 - 3 —— Bu 68.375 76.125 mM. ligg 124 SUR UNE RELATION ENTRE LES Epaisseur moyenne..... = 1 (76.08— 67.66)=4.21mM.d=% (76.0—67.08)=4.46 mM. d=1/o(76.125—68.375)=3.875mM. Pression latérale. ....... jr = 7.142? 33,71 =243tgr. S=n.142?.33,54=212igr. S=7.14922.34,19 =2165er. sous laq. il efflue en 1 h. Q = 18.71 gr. Q=164 gr. Q = 16.20 gr. Porosité relative. ...... m= ae =0436mM. m= B ZE = 0.430 mM. m = Le = 0.413 mM. VASE N°, 22. VASE N°. 23. VASE N°. 24. Int. Ext. Int. Ext. Int. Ext. Diamètre à niveau d'eau 70.5 78.75 mM. 1175 79.00 mM. 69.0 78.00 „ à mi-hauteur. . 67.5 THAD 2 68.00 77.00 ih 67.5 11,500 au LONG -7 65.0 76.00 , 66.00 16:00 66.0 76.75 „ 203. 0 931.75 * 205.75 232.0 , 202. 5 232.25 , Bm 3 — - 8 — 3 3 ae 67. 7 77.25 mM. 68.58 77.33 mM. 67.5 77.42 mM. Epaisseur moyenne. .... d= % (77.25—67.7)=4.77 mM. d= % (77.33—68.58) =4.375mM. d= %(77.49— 67.5) = 4.96mM. Pression latérale. ....... S=7x,1492.33,85 = 2143gr. S=x.1492.34,99—918tgr. S=n.1422.33,15 = 2137 gr. sous lag. il efflue en 1 h. Q = 18,55 gr. Q = 18.7 gr. Q = 25.725 gr. id: e cE d = Q.d 2 d Porosite relative. ...... m = D —— =0450mM. m= Spas 0.440 mM. m=W% ——— =0.484 mM. VASE N°. 95. VASE N°. 96. VASE N°. 27. Int. Ext. Int. Ext. Int. Ext. Diamètre à niveau d'eau 69 77.25 mM. 69.5 78.0 mM. 69.0 77.0 mM. = a mi-hauteur.. 65 106.900, 67.5 15:0'7%, 67.0 76:0. "5 = AUNIONT Eee 67 76.00 , 67.0 15:07 66.0 16.0 204.0 999. 50 , 204.0 998. 0 = 202.0 22905 3 — 3 —— 3 3 — 3 —— 3 —— 68.0 76.50 mM. 68.0 76.0 mM. 67.33 76.33 mM. Epaisseur moyenne. .... d=% (76.50—68.0)=4.25m.M. d= % (76.0 — 68) =40mM. d= % (76.33 —67.33)=4.5 mM. Pression latérale........ S=7.142?.34,0=21538¢er. S=n. ee 34,0 =2158 er. S = x 142? . 33.66 = 2131 gr. sous lag. il efflue en 1 h. Q = 19.07 gr. = 16.7 gr. Q = 16.865 gr. Porosité relative........ m = ee = 0444mM. m= od =0.436mM. m =P —— = q = 0.431 mM. Vase N°. 98. Vase N°. 99. Vase N°. 30. Int. Ext. Int. Ext. Int. Ext. Diamètre à niveau d’eau 68.00 77 mM. 69.00 Hi mM. 69.00 77.00 mM. à mi-hauteur. . 65.50 76 = 68.00 77 8 67.00 7550 „ 5 autonde nee 65.50 76 2 66.75 75 5 66.50 79.1000, 199.00 299 à 203. 75 229 je 202. 50 228.25 5 - — 3 — 3 3 —— 3 —— 3 —— 66.33 76.33 mM. 67. 92 76. 33 mM. 67. 50 76.08 mM. Epaisseur moyenne ..... d = 4 (16.33 — 66.33) = 5 mM. d= 4 (76.33 —67.92)=4.2 mM. d= 4 (76.08—67.50) =4.29 mM, Pression latérale........ S=a. 1422 .33.165 = 2100 gr. S=a. 142? . 33.96 =2150 gr. S=a. 142? .33.75 = 2137 gr. sous lag. il efflue en 1 h. Q = 30.5 gr. Q = 29.17 gr. Q = 30.55 gr. eof 2 O.d Q.d 9 .d Porosité relative........ m = Se 0.520 mM. m= WW ey 0.490 mM. m= se = 0.500 mM. VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES. 125 Vase N°. 31 Vase N°. 32. Vase N°. 33 Int. Ext. Int. Ext. Int. Ext. Diamètre à niveau d’eau 69.00 79.00 mM. 69.50 79.25 mM. 69.375 77.75 mM. 5 à mi-hauteur. . 67.00 TUI AE 67.25 711.500 , 67.500 Lone 3 anslonde...... 66.50 15.152, 67.00 76.50 „ 67.125 76.00 , 202.50 232.50 „ 203.75 233.25 ñ 204.00 231.00 „ 3 = = —— 3 = 67.50 77.50 mM. 67.92 77.75 mM. 68.00 77.00 mM. - Épaisseur moyenne..... d= % (77.50—67.50)= 5.0 mM. d=%(17.75—67.92)=4.92mM. d= % (77—68) = 4.5 mM. Pression latérale........ S=7. 142? . 33.75 = 2137 gr. S=a. 142? .33.96 = 2150 gr. S=. 142? . 34.00 = 2153 gr. - sous lag. il efflue en th. Q = 18.90 gr. Q = 9.075 gr. Q = 11.65 gr. a Q. » Porosité relative........ = ad = 0.503 mM. m= tte = 0.394 mM. m= pp of = 0.395 mM. | Vase N°. 34. Vase N°. 35. Vase N°. 36 | Int. Ext. Int. Ext. Int. Ext. Diamötre ä niveau d’eau 69.00 78.25 mM. 69.25 77.50 mM. 68.50 77.375 mM. “| à mi-hauteur. . 68.00 THA) Se 67.00 LOO a 67.00 75.750 „ nu 67.75 76.50 , 67.00 76.00 , 67.00 75500 , 204.75 231.75 „ 203.25 230.50 ,, 202.50 298.625 , 3 3 - — 3 —— 3 - 2 68.25 1125 25 mM. 67.75 76.83 mM. 67.50 76.20 mM. Épaisseur moyenne ..... d= %(77.25—68.25)= 4.5 mM. 4 = %4(76.83— 67.75)=4.54mM. d= % (76.20—67.50)= 4.35 mM. Pression latérale. ....... S= 7.142? .34.125 = 2110 gr. S=n.1492 . 33.875 = 2M45gr. S=n. et 33.75 = 2137 gr. | sous lag. il efflue en 1 h. Q=19.15 gr. Q = 18.3 gr. ) = 18.885 gr. i Q 3 . Porosité relative........ m= a = 0.450 mM. m=W oe = 0444 mM. m=“ 9.8 _ = 0.445 mM. Vase N°. 37. Vase N°. 38. Vase N°. 39. Int. Ext. Int. Ext. Int. Ext. Diamètre à niveau d'eau 71.00 78.00 mM. 72 78.50 mM. 69.00 77 mM. 2 à mi-hauteur. . 68.00 76.00 „ 69 76.50 „ 68.00 77 > 4 AUVÉONd, ce... 67.25 75.50 „ 67 75. BOR 66.75 75 5 206. 25 299.50 , 208 230. 25 5 203.75 999 n — 8 —— 3 —— 3 = 68.75 76.50 mM. 69. 33 76.75 mM. 67.92 76.33 mM. - Épaisseur moyenne..... d@ =}/.(76.50—68.75) =3.875 mM. d = 15 (76.75—69.33)=3.71 mM. d = % (76.83—67.92)=4.20 mM. … Pression latérale........ S=7. ee . 34.375 = 2176 gr. S=n. 142? .34.665=2195 er. S=7. 1422 . 33.96 = 2150 gr. | sous lag. il efflue en 1 h. = 9.56 gr, Q = 12.96 gr. Q = 17.40 gr. | Porosité relative........ m=V - oa Q = = 0.387 mM. m= B Ne 0.430 mM. Vase N°. 40. Vase N°. 41 Vase N°. 42. Int. Ext. Int. Ext. Int. Ext. Diamètre à niveau d’eau 69.0 77.50 mM. 69 77.5 mM. 69.50 77.5 mM. à mi-hauteur, . 67.0 TOON 68 76.0 68.50 76.0 5 h ä au fond. ...... 66.75 76.00 „ 67 JA 67.25 Thies | 202. 75 230.50 , 204 998 . 205.25 998.5 = 3 = 3 ——— 3 — 3 3 — a === t 67. 58 76. 83 mM. 68 76 mM. 68.4 76.2 mM. Epaisseur moyenne ..... d=% (16.83 — 67.58)=46mM. d= 4 (76—68)=4mM. d= % (76.2—68.4)=3.9mM. Pression latérale. ....... S=7.1492?.33.79 = 2139 gr. S=7, 149? 04 —=9153gr. S=7,.149?.34.2=2159 er. sous lag. il efflue en 1 h. Q = 18.975 gr. = 26.9 gr. Q = 29.80 gr. 1 =, 5 Q.d4 9.4 Q.d 5 Porosité relative........ m = ~~ = 0.452 mM. m = TS — = 0.473 mM. m=, 5 = 0.455 mM. 17% 126 SUR UNE RELATION ENTRE LES 17: Détermination de JV. d.... epaisseur moyenne. m... porosité relative. a. indie, du multiplicateur. Cu SO, + 5 Aq. 5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 1. VASE N22; VASE N°. 3. d = 4.65 mM. d = 3.85 mM. d=45 mM. m = 0.476 „ m = 0.445 , m = 0.374 „ Œ: 09100... 0 00298 PAT œs 1600)... 0:00287PA; mn. AUD Ge 0.00426 A. Résistance introduite: 500 Ohm. 0.00298 x 500 = 1.490 V. 0.00287 x 500 = 1.435 V. 0.00426 X 500 = 2.130 V. Réduction à d=4 mM., m = 0.400 mM. 4 476 \ ? u 4 445 \? 4 374 \2 IDR ES MES ue = 9, = res m) EET ae) Teer (con) .. = 1,490 X 1.22 = 1.815 Volt. = 1.435 X 1.27 = 1.827 Volt. ..=2.130 x 0.86 = 1.828 Volt. TE 1.815 — 0.008... 0.000064 8274+ 4 16 898+ 5 25 5.470 > f2=0.000105 3 319) ER 3.2 AV= 1.823 Volt. 0.000018 rf? = + 0.003 V. 0.6745 17 39 7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. Eek dL A757. 0100228 A ie... 30°.4... 0100220) A. a... 41°... 0.00349 A. 0.00228 X 500 = 1.140 V. 0.00220 X 500 = 1.100 V. 0.00349 X 500 = 1.745 V. 1.140 X 1.22 = 1.391 Volt. 1.100 X 1.27 = 1.397 Volt. 1.745 X 0.86 = 1.396 Volt. 12 1.391 — 0.004. . 0.000016 397+ 2 4 396+ 1 1 4.184 x f2=0.000021 ge 32 = AV = 1,395 Volt. 0.0000035 = f2 0.6745 17 zu = + 0.001 V. 10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. 1... 25°.5... 0.00174 A. a. 24,3... 0.00163 A. a... 320.8... 0.00245 A. 0.00174 X 500 = 0.870 V. 0.00163 X 500 = 0.815 V. 0.00245 X 500 = 1.225 V. 0,870 X 1.22 = 1.044 Volt. 0.815 X 1.27 = 1.011 Volt. 1.225 X 0,86 = 1.054 Volt. VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES. 127 a 1.044 + 0.008... 0.000064 O11— 3 625 0544+ 18 324 3.109 > f2=0.001013 we ga, a AV = 1.036 Volt. 0.000170 0.671451 = + 0.009 v. 3.2 Zn SO, + 7 Aq. 5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau. VASE N°. 4. VASE N°. 5. VASE N°. 6. d =4.05 mM. d= 4.00 mM. d= 4.00 mM. m=0.453 „ m = 0.490 „ m=0.473 , ts. CU eae 000243 AE 2... Sosa 0.002724 a... 40°... 0.00333 A. Résistance introduite: 500 Ohm. 0.00333 X 500 = 1.665 V. 0.00272 X 500 = 1.360 V. 0.00333 X 500 = 1.665 V. Réduction à d= 4 mM.. m = 0.400 mM. 5 2 i N 2 A 6 1.665 x —* x (sm) = 1.360 x x (oo) = 1.665 x X (400) = 405 ~~ \ 400 4 400 4 400 .. = 1.665 X 1.36 = 2.274 Volt. = 1.360 X 1.5 = 2.343 Volt. = 1.665 X 1.4 = 2.324 Volt. f? 2,274 —0.040... 0.001600 343+ 99 84 3244+ 10 100 6.941 h > f?=0.002541 3 - ‘D> AV = 2.314 Volt. 0.004235 =f? 0.6745 Ley = + 0.014 V. 7.5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau. a... 31°.3... 0.00256 A. a... 30°.5... 0.00221 A. a... 31°.5... 0.00231 A. 0.00256 X 500 = 1.280 V. 0.00221 X 500 = 1.105 V. 0.00231 X 500 = 1.155 V. 1.280 X 1.36 = 1.690 Volt. 1.105 X 1.5 = 1.660 Volt. 1.155 X 1.4 = 1.620 Volt, f? 1.690 + 0.035... 0.001089 -660 + 3 9 .620— 37 1369 4.970 © f*=0.002467 3 BNS = AV = 1.657 Volt. 0.000411 > f2 0.6745 ~~ = - = + 0.014 V. 10 grammes de sel sur 100 gr. d'eau. a. 26°.5... 0.00184 A. a... 252.7... 0.00176 A. œ... 2607... 000185 Ar 0.00184 X 500 = 0.920 V. 0.00176 X 500 = 0.880 V. 0.00185 X 500 = 0.925 V. 0,920 X 1.36 = 1,249 Volt. 0.880 X 1.5 = 1.320 Volt. 0,925 X 1.4 = 1.297 Volt. 128 SUR UNE RELATION ENTRE LES if 2 1.249 — 0.040... 0.001600 3204+ 31. 961 Sy ele 64 3.866 5f*=0,00225 B OB AV = 1.989 Volt. 0.0004375 > F2 0.6151 Zl = + 0018 V. He SO, 0.40: 5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau. VASE N°. 7. VASE N°. 8. VASE N°. 9. d=415 mM. d = 4,30 mM. d=435 mM. m = 0.430 „ m = 0.436 , m=0.452 „ a... 45°,.. 0.004926 A. nv... 440,5... 0.00416 A. a... 42°.5... 0.00376 A. Résistance introduite: 500 Ohm. 0.00426 X 500 = 2.130 V. 0.00416 X 500 = 2.080 V. 0.00376 X 500 = 1.880 V. Réduction à d = 4.00 mM., m = 0.400 mM. ; 3032 N 36 \ 2 ; : 2130 x — x (mo = 2,080 X zo“ (FZ) EX —* x (30) a BAB 400 4.30 400 4,35 400 ..—=92,130 X 1.11 = 2.364 Volt. — 2.080 X 1.1 = 2.288 Volt. = 1.880 X 1.18 = 2.218 Volt. fe 2,364+- 0.074... 0.005476 LOG EC 4 HONTE 5184 6.870 > f2=0.010664 AV =2.290 Volt. 0.001777 sf? 0.6745 sos = + 0.028 V. 75 grammes de sel sur 100 gr. d'eau. a... 382.5... 0.00311 A. a... 37°.6.., 0.00297 A. a... 362.5... 0.00287 A. 0.00311 X 500 = 1.555 V. 0.00297 X 500 = 1.485 V. 0.00287 X 500 = 1.435 V. 1.555 X 1.11 = 1.726 Volt. 1.485 X 1.1 = 1.648 Volt. 1.435 X 1.18 = 1.694 Volt. fi 1.726 + 0.037... 0.001369 is 41... 1681 6944+ 5... 95 5.068 > f2=0.003075 De WO AV = 1.689 Volt. 0.00050 2 0.6745 15 = + 0.015 V. 129 VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES. 10 grammes de sel sur 100 gr. d'eau. a... 30°... 0.00215 A. Care 299200021 1EAR Gn I 10/00206 2A. 0.00215 X 500 = 1.075 V. 0.00211 x 500 = 1.055 V. 0.00206 X 500 = 1.030 V. 1.075 X 1.11 = 1.193 Volt. 1.055 x 1.1 = 1.161 Volt. 1.030 x 1.18 = 1.215 Volt. Ff? 1.193 + 0.003... 0.000009 dei - ar 84 45+ 3 625 3.569 > f2=0.001475 Jim De AV = 1.190 Volt. 0.000246 0.6745 Le = + 0.011 V 2 Fe 3 SO, + 9 Aq. 5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau. VASE N°. 10. VASE N°. 11. d= 4.05 mM. d=435 mM. m=0.438 „ m=0.412 „ Ee. 89.25... 0.00322 A. x AA ODD AI Resistance introdnite: 500 Ohm. 0.00416 X 500 = 2.080 V. 0.00322 X 500 = 1.610 V. VASE N°. 12. d=445 mM. m = 0.480 „ w... 38°... 0.003804 A. 0.003804 X 500 = 1.520 V. Réduction à d=4mM., m = 0.400 mM. 438 \? } 4 1.010 rs X (jo = 9.080 x ad HAN? 400 4 58 en 4 1520 x 4 x ( ZO TD © ..= 1.610 X 1.18 =1.900 Volt. = 2.080 X 0.975= 2.050 Volt. = 1.520 X 1.3 = 1.976 Volt. he 1.900 — 0.065. . 0.004225 2.050+ 55... 3025 BEE ff... 121 5.896 > f2=0.007371 3 re AV = 1.965 Volt. 0.001228 E Sens 0.6745 1 5 = + 0.022 V. 7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 10. a... 84°... 0.00259 A. 0.00259 X 500 = 1.295 V. 1.295 X 1.18 = 1.528 Volt. VASE N°. 11. uw... 38°... 0.00304 A. 0.00304 X 500 = 1,520 V. 1.520 X 0.975 = 1.482 Volt. f? 1.528 40.050... 0.002500 482 + Cod 16 424 — 54... 2916 4.434 > f?=0.005432 AV = 1.478 Volt. > f? 0.6745 0.000905 = + 0.020 V. VASE N°. 12. a... 90°,3... 0.00219 A. 0.00219 X 500 = 1.095 V. 1.095 X 1.3 = 1.424 Volt. SUR UNE RELATION ENTRE LES 10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 10. a... 242,75... 0.00167 A, 0.00167 X 500 = 0.835 V. 0.835 X 1.15 = 0.985 Volt. VASE N°. 11. 0 oe) ol. 10 00220VA% 0.00226 X 500 = 1.130 V. 1.130 X 0.975 = 1.102 Volt. VASE N°. 12. a... 23°5... 0.00157 A. 0.00157 X 500 = 0.785 V. 0.785 X 1.3 = 1.021 Volt. f? 0.955 — 0.051... 0.002601 1102 + 66... 4356 021— 15... 225 3.108 2 f*=0.007182 39, Lt 0.0012 AV = 1.036 Volt. 5 f2 0.6745 1 oe = + 0.093 V. Ni SO, +7 Ag. 5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau. VASE N°. 13. d= 4.65 mM. m = 0.502 „ a... 41°.5... 0.003857 A. Résistance introduite: 700 Ohm. 0.00357 X 700 = 2.499 V. VASE N°. 14. d= 4.85 mM. m=0.513 „ a... 41°.25... 0.003853 A. 0.00353 X 700 = 2.471 V. VASE N°. 15. d= 4.00 mM. m = 0.480 , a... 39.5... 0.00326 A. 0.00326 X 700 = 2.282 V. Réduction à d=4mM., m = 0.400 mM. 502 \? = ( 0) Bei Beet TEER ANT 4 (ge 2 4 ( = 94 4 22 |) = 09 = à LAX Les X zo) 82x — x ASO x00) ~*° .. = 2.499 X 1.35 = 3.374 Volt. =2.471 X 1.36 = 3.359 Volt. = 2,982 x 1.44 = 3.286 Volt. ip 3.374 +0.034... 0.001156 3594 19... 361 286— 5h... 2916 10.019 > f?=0.004433 3 sa me: AV = 3.340 Volt. 0.000739 LL aS, liz ©} 0.6745 1 SE = + 0.018 V. 7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 13. a... 36°.3... 0.002854 A. 0.00284 X 700 = 1.988 V. 1.988 X 1.35 = 2.693 Volt. VASE N°. 14. a... 350,6... 0.00276 A. 0.00276 X 700 = 1.933 V. 1.933 X 1.36 = 2.698 Volt. f 2 9.693 + 0.032... 0.001024 98— 33... 1089 61 — Mans 0 7.982 > f?=0.002113 CHENE So AV = 9,661 Volt. 0.000352 af 0.6745 L~ Sg = + 0.013 V. VASE N°. 15. a... 84°5... 0.00206 A. 0.00206 X 700 = 1.848 V. 1.848 X 1.44 — 2.661 Volt. VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES. 131 10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°, 13. VASE N°. 14. VASE N°. 15. a... 29°... 0.00206 A. a... 28°.5... 0.00201 A. a... 27°.5... 0.00192 A. 0.00206 X 700 = 1.442 V. 0.00201 X 700 = 1.427 V. 0.00192 X 700 = 1.344 V. 1.442 X 1.35 = 1.947 Volt. 1.427 X 1.36 = 1.968 Volt. 1.344 X 1.44 = 1.935 Volt. 1.947 — 0.003... 0.000009 .968 + 18... 324 935 — 15... 295 5.850 > f*=0.000558 3 —— 3.2 — — AV = 1.950 Volt. 0.000093 0.674517 zE = + 0.007 V. Cu N, O, + 6 Ag. 5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau. VASE N°. 16. VASE N°. 17. VASE N°. 18. d=4.125 mM. d=421 mM. d= 4.86 mM. m = 0.442 „ m =0.410 „ m=0485 „ a... 33°... 0.00248 A. a... 35°... 0.00270 A. a... 33°... 0,00248 A. Résistance introduite: 300 Ohm. 0,00248 X 300 = 0.744 V. 0.00270 X 300 = 0.810 V. 0.00248 X 300 = 0.744 V. Réduction à d = 4. mM., m = 0.400 mM. 9x2 2 2 0,744 X rs *( = 0.810 X zr * (466) 0.774 X u x (Fo) =. 4.125 400 491 400 4.86 400 = 0.744 X 1.184 = 0.881 Volt. 0.810 X 1.05 = 0.851 Volt. = 0.774 X 1.15 = 0.856 Volt. | dog 0.881 +- 0.018... 0.000324 Sate Aare 144 EE en 49 2.588 = f?=0.000517 gie BEE 3.2 ———___— AV = 0.863 Volt. 0.00086 rf: 0.6745 L~ = + 0.006 V. 7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 16. VASE N°, 17. VASE N°, 18, a... 26°... 0.00178 A. a... 28°.5... 0.00201 A. a... 26°5... 0.00180 A. 0.00178 X 300 = 0.534 V. 0.00201 X 300 = 0.603 V. 0.00180 X 300 = 0,540 V. 0,534 X 1.184 = 0.632 Volt. 0.603 X 1.05 = 0.633 Volt. 0.540 X 1.15 = 0.626 Volt. f? 0.632 + 0.002... 0.000004 633 + Bir 9 626 — As: 16 1.891 > f?=0.000029 DE Ii AV = 0.630 Volt. 0.000005 rf 2 0.6745 vas = + 0.002 V. ARCHIVES XI. 18 132 SUR UNE RELATION ENTRE LES 10 grammes de sel sur 100 gr. d'eau. VASE N°. 16. VASE N°. 17. VASE N°, 18. . 20°.5... 0.00136 A, a... 23°... 0.00154 A. a... 21°.2... 0.00141 A. 0.00136 X 300 = 0.408 V. 0.00154 X 300 = 0.462 V. 0.00141 X 300 = 0.493 V. 0.408 X 1.184 = 0.483 Volt. 0.462 X 1.05 = 0.485 Volt. 0.423 X 1.15 = 0.486 Volt. f? 0.483 — 0.002... 0.000004 .485 Dor 0 .486 lene 1 1.454 > jk =0.000005 3 DN AV = 0.485 Volt. 0. 000001 Ef? 0.6745 ET ra = + 0.001 V. Zn N,0, + 6 Ag. 5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau. VASE N°. 19. VASE N°. 20. VASE N°, 21, d= 4.35 mM. d= 4.46 mM. d = 3.375 mM. m=0.436 „ m = 0.430 „ m=0413 „ . 37°.25... 0.00294 A. a... 40°... 0.00334 A. a... 39°... 0.00319 A. Résistance introduite: 300 Ohm. 0.00294 X 300 = 0.882 V. 0.00334 X 300 = 1.002 V. 0.00319 X 300 = 0.957 V. Réduction a = =4mM., m = 0.400 mM. 436 430 13 Scere = SS a: x x (Goo) re m x ( 0) es 55 ‘i G a 7) =. .. = 0.882 X 1.2 =1.059 Volt. = 1.002 X 1.04 = 1.042 Volt. = 0.957 X 1.1 = 1.052 Volt. fr 1.059 +-0.008. . 0.000064 .042 — Ons St 052 Ir 1 3.153 ard. 000146 3 — PO — Ave = 1. 1.051 volt. 0. 000025 0.6745 17 21 = 4.0.0033 V. 7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE Ne, 19. VASE N°. 20. VASE N°. 21. moon Aa RU ODISSEAS 0.30% OL OOR GEAN a... 29°.5... 0.00212 A. 0.00188 X 300 = 0.564 V. 0.00216 X 300 = 0.648 V. 0.00212 X 300 = 0.636 V. 0.564 X 1.2 = 0.678 Volt. 0.648 X 1.04 = 0.674 Volt. 0.636 X 1.1 = 0.699 Volt. ij 0.678 — 0.006... 0.000036 ON 10: 100 699+ 15... 995 2.051 > f?=0.000361 AV = 0.684 Volt. 0.0006 0.6745 L7 a. En = + 0.005 V. VALEURS Á DES SOLUTIONS SALINES. 10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 19. i) 0.00143 X 300 = 0.429 V. 0.429 X 1.2 = 0.515 Volt. 0.515 + 0.008... .502 — 21°.5... 0,00143 A, Ct 0.00161 X 300 = 0.453 V. 0.483 X 1.04 = 0,502 Volt. VASE N°. 20. f? 0.000064 Omer 25 505 — De 4 3 AV = 0.6745 17 5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 22. d=4#27 mM. m = 0.450 „ a... 38°... 0.00304 A. 0.00304 X 300 = 0.912 V. 0.507 Volt. Wiis 982 mt. Résistance introduite: 300 Ohm. 0.00304 x 300 = 0.912 V. > f2=0.000093 32 0.000016 2 _ = + 0.008 V. y PA 3.2 PbN, Os. VASE N°. 93. d = 4.375 mM. m = 0.440 „ 0.00304 A. 24°... 0.00161 A. ele 0.00153 X 300 = 0.459 V. 0.459 X 1.1 = 0.505 Volt. Meee VASE N°, 21. 23°... 0.00153 A. VASE N°. 24. d = 4.96 mM. m = 0.494 , 35°... 0.00270 A. 0.00270 X 300 = 0.810 V. Réduction à 4 — 4 mM., m = 0.400 mM. 4 450 \ ? 440 4 2 0.912 X pare X (5) 0.810 x 4 v 494 \? _ 4.96 (5 i. .. = 0,912 X 1.07 =0.976 Volt. = 0.912 X 1.11 = 1.012 Volt. =0.810 x 1.22 = 0.988 Volt. [> 0.976 — 0.016... 0.000256 1.012+ 20 400 0.988— 4 16 2.976 > f*=0.000672 3 —— 3.2, —______ AV= 0,992 Volt. 0.000112 s f2 0.6745 L” = + 0.007 V. 7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 22. a... 32°... 0.00237 A. 0.00237 X 300 = 0.711 V. 0.711 X 1.07 = 0.761 Volt. VASE N°. 23. 1918176 .. 1000281 A, 0.00234 X 300 = 0.702 V. 0.702 X 1.11 = 0.772 Volt. he 0.761 — 0.001... 0.000001 112+ 10 100 J54— 8 64 2.987 > f2=0.000165 AV = 0.162 Volt. 0.0000275 > f2 0.6745 L” = = + 0.004 V. VASE N°. 24. a... 29°... 0.00206 A. 0.00206 X 300 = 0.618 V. 0.618 X 1.22 = 0.754 Volt. 134 SUR UNE RELATION ENTRE LES 10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 22. VASE N°. 93. VASE N°. 24. 2262. 00017 SPAN ce 250. .10 00169 A. a... 230,95... 0.00155 ‘A. 0.00178 X 300 = 0.534 V. 0.00169 X 300 — 0.507 V. 0.00155 X 300 = 0.465 V. 0.534 X 1.07 = 0.571 Volt. 0.507 X 1.11 = 0.563 Volt. 0.465 X 1.22 — 0.567 Volt. f2 0.571 + 0.004... 0.000016 HAE 16 567 0e: 0 1.701 = f*=0.000032 — 3.2 —— AV = 0.567 Volt. 0.000005 0.6785 105,6 = + 0.0015 V. 2 Fe3(N, O,). 5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 95. VASE N°. 26. VASE N°. 27. d = 4.25 mM. d= 4.00 mM. d=45 mM. m=0444 „ m = 0.426 „ m=0.431 „ a... 35°... 0.00270 A. a... 340,5... 0.00264 A. a... 912:... 1000298 PAN Résistance introduite: 300 Ohm. 0.00270 X 300 = 0.810 V. 0.00264 X 300 = 0.792 V. 0 00298 X 300 = 0.894 V. Réduction à d=4mM., m = 0.400 mM. 4 444 \ 2 4 426 \ ? 4 431 \* 2 a ef 4 : = 0,810 X x ( ) 0.792 XX Ge) 0.894 X 75% m ) pi 425 © \ 400 .. = 0.810 X 1.16 = 0.940 Volt. = 0.792 x 1.13 = 0.905 Volt. = 0.894 X 1.03 = 0.921 Volt. ft 0.940 + 0.018... 0.000324 905— 17 289 CHA 1 2,766 > f2=0.000614 — 10 — AV = 0.922 Volt. 0.000102 Sf? 0.615135 = + 0.007 V. 7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. a... 30°... 0.00221 A. ann 299.5), ..) 0100211. Ar «a... 32°... 0.00237 A. 0.00221 X 300 = 0.663 V. 0.00211 X 300 = 0.633 V. 0.00257 X 300 = 0.711 V. 0.663 X 1.16 = 0.769 Volt. 0.633 X 1.13 = 0.715 Volt. 0.711 X 1.03 = 0.732 Volt, f? 0.769 + 0.080... 0.000900 .115— 24 576 .132 — 7 49 2.216 2 f* =0.001525 3 3.2 — AV = 0.739 Volt. 0.00025, sf? EL Sg = + 0.011 V. VALEURS Æ DES SOLUTIONS SALINES. 135 10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau, nm... 24°... 0.00161 A. (nee 0.00 161 X 300 = 0.483 V. 0.483 X 1.16 = 0.560 Volt. 0.560 + 0.017... 319 — 24 „550 + 7 1.629 3 AV = 0.543 Volt. 23e. 0.00153 X 300 = 0.459 V. 0.459 X 1.13 = 1.519 Volt. 0.00153 A. a... 26°... 0:00178 A. 0.00178 X 300 = 0,534 V. 0.534 X 1.03 = 0,550 Volt. f? 0.000289 576 49 yp? =0. 000914 3.2 0.000152 Sf 2 0.6745 ı 5 = + 0.008 V. Ni N,O, + 6 Aq. 5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 98. VASE N°. 29 VASE N°. 30 d= 5 mM. d=4 mM. d=429 mM. m = 0.520 „ m = 0.490 „ m = 0.500 „ . 252.5... 0.00173 A. . 23°.5... 0.00156 A. wm... 23°... 0.00152 A. Résistance introduite: 700 Ohm. 0.00173 X 700 = 1.211 V. 0.00156 X 700 = 1.092 V. 0.00152 X 700 = 1.064 V. Réduction à d= F6 mM., m = 0.400 mM. LUX — ne) à 1.092 x — ch 1.064 X is x (55) ae ..—1.211 X te = 1.636 Volt. = 1.092 x ates = 1.562 Volt. = 1.064 x 1.45 = 1.541 Volt. 1.636 + 0.056... 182% 39... .562 — 541 — 4.739 PES AV = 1.580 Volt. > £2 0.6745 1 =f BE f? 0.005136 324 1521 sf? =0, 004951 0.00083 = + 0.02 V. 1.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 98. a... 18°.8... 000123 A. ar 0.00123 X 700 = 0.861 V. 0.861 X 1.35 = 1.162 Volt. 1.162 — 0.011... 191 + HOTU?) GES 3.520 AV = 1.173 Volt. 0.6745 L~ En VASE N°. 18°.2... 0.00119 x 700 = 0.833 V. 0.833 X 1.43 = 1.191 Volt. ore 29. VASE N°. 30. 0.00119 A. Daos WED OMME AN, 0.00115 X 700 = 0.805 V. 0.805 X 1.45 = 1.167 Volt. f? 0.000121 324 36 > f:=0.000481 0. 00008 = + 0.006 V. 136 SUR UNE RELATION ENTRE LES 10 grammes de sel sur 100 gr. d'eau. a... 14°... 0.00090 A. a... 129.5... 0.00080 A. eee 0.00090 X 700 = 0.630 V. 0.00080 X 700 = 0,560 V. 0.630 X 1.35 = 0.847 Volt. 0.560 X 1.43 = 0.801 Volt. 12°.75... 0.000851 A. 0.00081 X 700 = 0.567 V. 0.567 X 1.45 = 0.818 Volt. f: 0.847 + 0.025. .. 0.000625 80i— 21... 444 818 — An. 16 2.466 > f =0! 001082 3 = 3.2 AV = 0.822 Volt. 0.000361 Spe = é ga = + 0.009 V. 0.6745 [7 -: Cu Cl, + 2 Aq. VASE N°. 31. VASE N°. 32. VASE N°. 33. d=5 mM. d =4.92 mM. d=45 mM. m = 0.503 „ m=0.391 „ m = 0.395 „ Coe Seen 0 OO SPAN . 249,5... 0.00165 A. a... 249... 0.00161 A. Resistance introduite: 400 Ohm. 0.00118 X 400 = 0.472 V. 0.00165 X 400 = 0.660 V. Réduction à d= 4 mM., 0.00161 X 400 = 0.644 V. m = 0.400 ve Me sa 4 391 395 042% = X (Ga) 0.660 rop X a7) 0.664 x (FP = 0.472 X 1.26 = 0.595 Volt. = 0.660 X 0.8 = 0.528 Volt. = ae x 0.87 = 0.560 Volt. f? 0.595 + 0.034... 0.001156 528— 33... 1089 560— 1 1 1.683 AV= 0. 361. Volt. f? =0.002246 0.000374 Fz 0.6745 |“ (at = + 0.018 V. 10 grammes de sel sur 100 gr. VASE N°. 32. 0.00104 A. RE 0.00104 X 400 = 0.416 V. 0.416 x 0.8 = 0.333 Volt. VASE N°. 31. @... 12°... 0:00076 A; ela 0.00076 X 400 = 0.304 V. 0.304 X 1.26 = 0.383 Volt. Go 0.383 + 0.032... .333— 18... 338 — 13 1.054 3 AV = 0.351 Volt. 0.675, — =f 32 d'eau. VASE NC. 33. 15°. . 0.00097 A. 0.00997 X 400 = 0.388 V. 0.388 X 0.87 = 0.388 Volt. f: 0.001024 324 169 sf=0. 001517 3.2 0.000253 = + 0.011 V. VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES. 1837 Zn Cl. 5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 34. VASE N°. 35, VASE N°, 36 d=45 mM. d = 4,54 mM. d= 4.35 mM. m = 0.450 „ m = 0.444 „ m = 0.445 „ nde 0001117 a... 16°.5... 0.00108 A. a... 16°... 0.00104 A. Résistance introduite: 400 Ohm. 0.00111 X 400 = 0.444 V. 0.00108 x 400 = 0.432 V. 0.00104 X 400 = 0.416 V. Réduction a ar =4mM., m = 0.400 mM. 4 450 MAN? 445 \2 2 Terz x (Gn) er = x (6) N) = 0.444 X 1.02 = 0.453 Volt. = 0.432 X 1.08 = 0.467 Volt. — 0.416 X 1.140.474 Volt. ne 0.453 — 0.012... 0.000144 MI 9... 4 AL. 9... st 1.394 Ef? = 0.000229 3 Sogn AV = 0.465 Volt. 0.000038 =f? 0.6745 Kar; = + 0.004 V. 10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 34. VASE N°. 35. VASE N°. 36. a... 10°.5... 0.00067 A. a... 10°.5... 0.00067 A. @... 10°... 0.00064 A. 0.00067 X 400 = 0.268 V. 0.00067 x 400 = 0.268 V. 0.00064 X 400 = 0.256 V. 0.268 X 1.02 = 0.275 Volt. 0.268 X 1.08 = 0.289 Volt. 0.256 x 1.14 = 0.292 Volt. f? 0.273 — 0.012... 0.000144 285 Br 28: 16 Kn 49 0.854 Sf? = 0.000209 3 ae ar) TRES AV = 0.285 Volt. 0.000035 2 f? Ni Cl, + 6 Ag. VASE N°. 37. VASE N°. 38. VASE No, 39. d=39 mM. d=3.7 mM. d=42 mM. m = 0.360 „ m = 0.387 „ m = 0.430 „ We 31°... 0.00292 A. a... 34°... 0.00259 A. a... 31°... 0.00296 A. Résistance introduite: 500 Ohm. 0.00292 x 500 = 1.460 V. 0.00259 X 500 = 1.295 V. 0.00226 x 500 = 1.130 V. Réduction à d=4mM., m = 0.406 me 4 360 \ ? 4 387 430 140% Ri) 1.295 x Fr x (Gen) 1.130 x — as xn) = ..— 1.460 X 0.84 = 1.226 Volt. = 1.295 X 0.94 =1.217 Volt. = 1.130 x 1.1 = 1.243 Volt. 138 SUR UNE RELATION ENTRE LES f? 1.226 — 0.003... 0.000009 217 — 1a. 144 243 + 14... 196 3.686 > f* = 0.000349 AV = 1.229 Volt. 0.000058 Sie 0.6745 rer + 0.005 V. 7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 37. VASE N°. 38. VASE N°. 39. a... 29°... 0.00206 A. Coe ler OON AN. a... 249,5... 0.00465 A. 0.00206 X 500 = 1.030 V. 0.00191 X 500 = 0.955 V. 0.00165 X 500 = 0.825 V. 1.030 X 0.84 = 0.865 Volt. 0.955 X 0.94 = 0.898 Volt. 0.825 X 1.1 = 0.908 Volt. hie 0.865 — 0.025... 0.000625 Boels): 64 908+ 18... 324 2.671 5 f?=0.001013 = aS AV = 0.890 Volt. 0.00017 » f2 0.6745 1/ = = + 0.009 V. 10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 37. VASE N°. 38. VASE N°. 39. a... 23°... 0.00153 A. a... 22°... 0.00146 A. a... 20°... 0.00132 A. 0.001538 X 500 = 0.765 V. 0.00146 X 500 = 0.730 V. 0.00132 X 500 = 0660 V. 0.765 X 0.84 = 0.643 Volt. 0.730 X 0.94 = 0.686 Volt. 0.660 X 1.1 = 0.726 Volt. f? 0.643 — 0.042... 0.001764 .686 + loos 1 726+ 41... 1681 2,055 > f? =0.003446 3 IN AV = 0.685 Volt. 0.000574 0.6745 L/ LE. = + 0.016 V. 2 Fe3 (Cl). 5 grammes de sel sur 100 gr. d'eau. VASE N°. 40. VASE N°. 41. VASE N°. 42. d=4.6 mM. d=4.0 mM. d=39 mM. m = 0.452 „ m = 0.473 „ m = 0.485 „ COS OLOOLOL BAS 6: 1825. 000087 À a... 12°... 0.00076 A. Resistance introduite: 500 Ohm. 0.00104 X 500 = 0.520 V. 0.00087 x 500 = 0.435 V. 0.00076 X 500 = 0.380 V. VALEURS k DES SOLUTIONS SALINES. 139 Réduction à d=4 mM., m = 0.400 mM. 452 \2 4 (413 4 485 0.520% Fe x (Gop) 0435 x x (Gop) 880 x 35% (m .. = 0.590 x = 0.572 Volt. = 0.435 X 1.4 = 0.609 Volt. = 0.380 X 1.5 = 0.570 Volt, f? 0.572— 0.011... 0.000121 6094 95... 625 aoe stal 169 1.751 5 f?=0.000915 3 FT ER eas AV = 0.583 Volt. 0.0001525 0.6745 L/ tle = + 0.008 V. 7.5 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 40. VASE N°. 41. VASE N°. 42 . 12°... 0.00075 A. a... 9°,5... 0.00061 A. a... 82,5... 0.00055 A. 0.00075 X 500 = 0.375 V. 0.00061 X 500 = 0.305 V. 0.00055 X 500 = 0.275 V. 0.375 X 1.1 = 0.410 Volt. 0,305 X 1.4 = 0.426 Volt. 0.275 X 1.5 = 0.411 Volt. f: 0.410 — 0.006... 0.000036 496+ 10... 100 i ete a 95 1.247 > f?=0.000161 gs heeg AV = 0.6 Volt. 0.000027 0.6751 SL = + 0.003 V. 3.2 10 grammes de sel sur 100 gr. d’eau. VASE N°. 40. VASE N°. 41. VASE N°. 42. a... 8°... 0.00052 A. aw... 62.5... 0.00044 A. a... 6°... 0.00040 A. 0.00052 X 500 = 0.260 V. 0.00044 X 500 = 0.220 V. 0.00040 X 500 = 0.200 V. 0.260 X 1.1 = 0.280 Volt. 0.220 X 1.4 = 0.308 Volt. 0.200 X 1.5 = 0.300 Volt. f? 0.280 — 0.016... 0.000256 308+ 12... 144 Se 16 0.888 5 f?=0.000516 er ge AV = 0.296 Volt. 0.000086 > £2 0.6745 1“ 1 = + 0.006 V. ARCHIVES Xi. 19 AREAS “ ic A é Me ee Jr DE jr oie ae. Ke se map Lo ovale GON OPRA oe var wens de [2 EN à Ans RE ; Ne ae gn Mer ee i d a = | Ohi = Lan AMER ae "Yat i i 7 Daten. OF iva LA (ae kf | Pr OER En sr aard Yule an a er bide Water A wi ‚al men de) > eu act (a Su men nest © Nr + à [M Nae D ci. KSA IN AAO BER TIE ee nn bete aA EL, vr A = VV AB De OY GUN ga ea vod eg LY Toe me D Dh (hire RPM SU EM Me Kel x ttle Wii EURE | à 4 un: Fr Je u ul re | | ; = Hu, led fin = = gk nz 4 u HALLE ; wih =~ Ub | Mes en per ee = | (NET € vu 5 | mrd SE rare oe | {raven Sfar tu 0 =" | 8‘ BA th, Ÿ. “ra L » RP TR bi a = ee ae dram PRIME VON aye GBA > 00 Far bb HE ANS | AGM UE So OR Holey. ee dd. FOUR |, FAT . AE = DU Xe IT i jb on Wk se PAGET, Wy 4 Oet = OM Wr 7 HON fei th = LD St GORE Gale! GE: +b OR Ha’! Woe LU ee = unt j | BL? 2 al a WS ; 3 28 he so iP) CRE a} hae 3. Wet Ml. vbs MN: HE 1 = ei 5 aera.) JOS MEE = Thy GA Walid n= = spart 8 ZAR iw D Ep re x 2 a afd B en ——— ‘= oy h € de = Ca ! Cr Nr: . LUS j # Lara A = = = de sive 5 i à ©) ue tac: .r rae Oe haere By 2 % Atay ak à + 1 35 | al ad un Ei | ) | EC: 7 \ Bi: +3 Las a EN Hie : BR ARCHIVES DU MUSÉE TEYLER SÉRIE II, VOL. XI. Deuxième partie. LIBRAR i as NEW Jk DE HAARLEM. — LES HÉRITIERS LOOSJES. 1908. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE. AL MR Oe Amt | NE 2 | re k d 7 | je d | Ex à L VIOREL N | PEAT HeUM ) D J = a R EN At 7 : * el | EA, wl 5 L 0 Per u U a a | u u Kn E : | 7 : ) | | CH | gs ö d | ‘ab | A RENDEN IL SIE INS HN TAT Pu 1708 OUT: nis \, 4 aves UM re Ye fj ie Mii ware } I u STB i Trey ih 7 INDIA MIT iil ei bah) cite v= . Mii) ENT eo ñ Gr Wai? TO vil PON API Ina Et 14 A hat oe ia TE a N "UNS Ir] vite Alma UY ee HeLa Pen bein ka AU" halt iront WAY Rb Tae NAN LR ie a NES OL LU ete ie TA MOET TAL ADN TE aa Wah ETET wae’ t NO LL ONE LL py ; fi GEEN | nage Hua | ir À OAN j ATT is , «ii art TOUT U digg NAN A TA DURANT AY PA buf rat um | m uhren TE FE | B N I Torte u a Nid PAIN. AT A 1! ? Ù nin u KETTE CEA DM I EU A | fi ni | Ag jp ; f TABLE DES MATIÈRES. Les vecteurs dans la géométrie différentielle, par J. DE VRIES. Sur le transport des liquides par le courant électrique, par E. van DER VEN. > . Br‘ Fe Ve Te a | LUE a. { u Oi En | , BIAHTAM 830 BEAT d Ibeln MOAI sore « del acini thema Tuba of amg golly) vof hai! of Wie St Paid ‘ } Haj ñ FONDATION DE P. TEYLER VAN DER HULST, À HAARLEM. Directeurs. L. P. ZOCHER. P. LOOSJES. Mr. A. W. THÔNE. J. J. VAN OORDE. J. A. FONTEIN. Secrétaire. Mr. A. A. VAN DER MERSCH. Tresorier. P. DROSTE. Conservateur du Cabinet de Physique. Dr. B. VAN DER VEN. Conservateur du musée de Paléontologie et de Minéralogie. Prof. Dr. EUG. DUBOIS. Bibliothécaire. J. J. VERWIJNEN. Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures. JEE Conservateur du cabinet numismatique. eere We Wle CET 0) Cr Of np eel laa ee MEMBRES DES SOCIÉTÉS TEYLERIENNES. De la première Société ou Société de théologie. Prof. Dr. 8. CRAMER. Prof. Dr. 1. J. DE BUSSY. Dr. J. G. BOEKENOOGEN. Prof. Dr. D. E. J. VOLTER. Dr. A. C. DUKER. Prof. Dr. H. J. ELHORST. De la seconde Société. Dr. E. VAN DER VEN. Je DE VRIES. Prof. Dr. HUGO DE VRIES. Profs Wik, IES ds BEORT Dr. H. J. DE DOMPIERRE DE CHAUFEPIE. E. W. MOES, LES VECTEURS DANS LA GEOMETRIE DIFFÉRENTIELLE PAR JDE VRIES. INTRODUCTION. $ 1. Dans les pages suivantes je me propose de donner quel- ques applications du calcul vectoriel à la géométrie différentielle élémentaire. Convenons de désigner par A, B, &.... des vecteurs (droites de grandeur et direction données). Soit A, un vecteur unité ayant la même direction que N. En écrivant A — A %,, nommons le facteur A le module ou le tenseur de U. Désignons par A + VB le vecteur qu'on obtient par la construc- tion bien connue de la résultante de deux vitesses. Il en résulte que tout vecteur % peut s'exprimer, à l’aide de deux vecteurs donnés A et B, par une formule F=aU+PB, où « et /? sont des nombres (grandeurs scalaires). Cela revient à dire que trois vecteurs complanaires vérifient une relation de la forme. a +558 +yC—0. Soient A,, B, et ©, trois vecteurs unité rectangulaires, issus du point O. Un vecteur quelconque %, également issu de O, peut être représenté par la relation S —=2A, +yB, +26, où x, y, z sont les coordonnées de l'extrémité de %. Supposons que x, y, z soient des functions d’un paramètre t, de sorte que % est un vecteur variable. Convenons d'écrire srl). ARCHIVES XI. 20 142 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. Il est clair que l'expression im PU a) el) (A t = 0) ARE ds définit un nouvel vecteur que nous désignerons par } ou par Fre § 2. Nommons produit scalaire des vecteurs U et B la quantité scalaire définie par OS) =A Beos (CB), où A et B sont les modules des deux vecteurs. Il est évident qu’ on aura (A B) = (B Y), et que la relation (3 6) = 0 exprime que les vecteurs § et G sont rectangulaires. Puisque la somme algébrique des projections orthogonales des côtés d'un polygone fermé sur un axe quelconque est nulle, on déduit de la définition du produit scalaire l'identité UFS... NU) (AG). ..+ AR). Soient A et B des fonctions d'un paramètre { Evidemment, on aura (CB 2034 HUB). En particulier, il résulte de la relation (CITE EN qu’ on a A, A) —0. Done, la dérivée d'un vecteur unité variable est un vecteur perpendiculaire au premier vecteur. $ 3. Nommons produit vectoriel [UB], de deux vecteurs Wet 5, un vecteur © dont le module est égal à AB sin (A, B). tandis que sa direction est normale au plan mené par NW et B (ou paral- léle à ces vecteurs). et que, vu de l'extrémité de ©, le vecteur A doit tourner dans le sens opposé au mouvement des aiguilles d’une montre afin de coincider avec le vecteur Ÿ. De cette définition, il résulte [ABJ [BA]. LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 143 Soient #,, G,, 9, des vecteurs unité orientés de sorte que Alors, on aura évidemment encore %,=[(6,9,] et G6,=[9, 51] Soit D — 5 + C. Alors on a PED] — fl B] + PS). Pour le démontrer, observons en premier lieu que le tenseur d’un produit vectoriel peut être représenté par l’aire du parallé- logramme défini par les deux vecteurs. Par suite, les tenseurs des trois produits vectoriels sont propor- tionnels aux hauteurs b, c, d des parallélogrammes correspondants, le vecteur A étant considéré comme la base. Il est visible que d est la diagonale d’un parallélogramme dont b et c sont deux côtés adjacents. Or il suffit de faire tourner ce parallélogramme autour de l’axe U, de manière que tout point décrit un quart de cercle, pour obtenir trois vecteurs proportionnels aux vecteurs LD], [AB] et [UG]. Donc, on aura [4,8 + ©] = [AB] + [AC]. S'il s’agit de vecteurs variables, nous aurons visiblement DS RSI PET § 4 Considérons encore le produit scalaire défini par S=(A[BE)). Posons [BE] =D. Alors on a D = B C'sin (B, 6), S= A D cos (A, D). Or, A cos (A, D) représente la hauteur du parallélipipède défini par les vecteurs U, B, ©. Par suite, la quantité scalaire S repré- sente le volume de cette figure. En particulier, la relation ( [BC]) — 0 exprime que les trois vecteurs sont complanaires. Donc, elle est équivalente à la relation aU +58B+yC—0. 20* 144 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. Courbes gauches. $ 5. Une courbe de l'espace est le lieu des points P dont les coordonnées cartésiennes %, y, z sont des fonctions continues d’une variable ti; nous supposerons ces fonctions développables par la formule de TayLor aux environs de toute valeur ¢ comprise dans un certain intervalle, sauf de certaines valeurs isolées. Soient, de nouveau, X,, B,, ©, des vecteurs unité ayant la direction des axes OXY, OY, OZ de sorte que ©, = [2, 3, ]. Soit % le vecteur OP. Alors on a . SM ty, 20. Joignons le point P à un point voisin P*, pris sur la courbe, défini par la valeur {+ h du paramètre ¢. Soit ©, un vecteur unité avant la direction PP*. On aura d'où l’on trouve NT — s . G lim eG, lm (=0) h (h=0) fb Puisque le quotient G:h tend vers la dérivée de l’arc s, on obtient ov d Ay 5 ds 2) dr dt = " dt / Le vecteur % a visiblement la direction de la tangente en P. En particulier, si le paramètre t est l’arc de la courbe, le vecteur unité de la tangente est défini par ds ata ae oo ee Sy, Ÿ Soit 9 le vecteur OQ d'un point Q (&,n,5) de la tangente; on aura Cela revient à (E23 x) MN, + (nyy) B, + C—z2—Az) ©, —0, équation qu’on ne peut vérifier qu’en posant E—x— x — 0, n—y—Ày =), EG == (0), LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 145 Par suite, on trouve ee le à Le 9 - 7 EI REN (2) Ce sont les équations de la tangente. $ 6. Menons un plan par la tangente en P et le point P*, correspondant au paramètre ¢ + h. Soit Q un point quelconque de ce plan. Représentons par © et 9 les vecteurs PP* et PQ. Puisque la tangente en P a la direction du vecteur %, on aura (6 [3 GT) — 0. Il est visible qu’on peut poser GF Eh + EWG +t eG’ +i HR Done, on obtient CS" GI = À [SSI HEFT + à AS [FE] HER] Parce que (9 C3’ 31) — 0, on trouve, en écartant le facteur ! h?, (OHS) + sh OL ED + gl? (S [3 R]) — 0. Lorsque le point P* tend vers P, le plan PP*Q tend vers une position limite, celle du plan defini par l’équation (9 [3 |) = 0. C’est le plan osculateur en P. Nous venons de trouver que le plan osculateur est déterminé par les deux vecteurs 3 et 3”. Il est clair qu’on peut écrire DiN +08", équation qui entraine les trois relations Evi +ux, nt et, Cz +uz. On en déduit l’équation du plan osculateur: (a 1% x’ a’ 1E | =O eat (3) Ere wees, we’ 146 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. § 7. Le plan osculateur sera indéterminé si les vecteurs 4%” et ÿ” ont même direction. Alors on aura 3’ =A’, et par suite (© [3 3”]) =4 (9 [3 FI) — 0. En appliquant de nouveau la formule de Taylor, on arrive maintenant à l’équation (9 [8° FI) == 0. Il est visible que la condition 3/—=A} définit un point où la tangente a trois points consécutifs en commun avec la courbe. Convenons de dire que la courbe y a une inflewion linéaire. Puisque la condition F”— 2%’ équivaut aux équations // DD UN ED A ne Eee en 0 aM!) une courbe gauche ne possède, en général, pas d’inflexions li- néaires. Supposons que P* soit un point d’interseetion de la courbe avec le plan osculateur en P. En appliquant de nouveau la formule de Taylor, on pourra remplacer l'équation (© [FH] —0 par celle-ci BAND + LAR HD —0. Si l’on a 18 8 Dalutalrse ante ab MG) on trouve h= 0. Alors le plan osculateur de P aura quatre points consécutifs en commun avec la courbe. Convenons de dire qu’elle y a une inflexion planaire. Les inflexions planaires d’une courbe sont définies par la con- dition À Bi Hud +ı = 0, ce qui revient à / y’ 2 DU. 2 ONDES Ee dl (0) m ZZ att y 2 $ 8. Dans ce qui suit, nous prendrons pour variable indépen- LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 147 dante l’are s de la courbe Alors on a, en premier lieu, pour le vecteur unité de la tangente RULES, / OS FF ds. Parce que la dérivée d’un vecteur unité est perpendiculaire à ce vecteur, le vecteur 5,” est perpendiculaire à la tangente. Mais nous savons que le vecteur #7 appartient au plan osculateur; donc, il a la direction de l'intersection du plan osculateur avec le plan normal. Par suite, la normale principale est définie par le vecteur %,”. Posons % —PY.. En vue d'obtenir la valeur du facteur P, considérons l’indica- trice des tangentes, c. à. d. la courbe sphérique, lieu de l'extrémité du vecteur variable T, transféré de manière que son origine coincide avec O. Il est clair que le vecteur #.”, étant la dérivée de Z,, aura la direction de la tangente à l’indicatrice. Done, on aura où s désigne l’are de l'indicatrice, ou, ce qui revient au même, l'angle que la tangente fait avec une direction fixe. On sait que le quotient ¢ = ds: do est appelé le rayon de courbure. Maintenant nous pouvons écrire 1 : ee Oe § 9. Introduisons le vecteur unité défini par Be oe) C’est un vecteur perpendiculaire au plan osculateur de sorte qu'il a la direction de la binormale. En vertu de la relation B, Ti) —0, on aura d’abord (B, EM) zin (B, di) = 0. Done, en tenant compte de la relation BT) BIN, nous aurons 148 LIES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. Puisque le vecteur B’, est perpendiculaire aux vecteurs T, et B, il doit être proportionnel au vecteur ®B;- 13 prop 1 En considérant l’indicatrice des binormales, on trouve facilement RECON: CAS 3 que le module du vecteur B’, est égal à a où /? désigne l’arc de ds l'indicatrice ou bien l'angle de deux binormales consécutives. : ds ; Appelons, comme il est d'usage, 7 — 18 le rayon de torsion. Alors ( if) nous avons la relation dB 1 1 NEER (5) § 10. En différentiant l’&quation Pi Eni Er Dull nous trouvons D = C2 B] + (2, dl ou, tenant compte des équations (7) et (9), A/ 1 fi l (ed a Pi 7 Bus = Li An: On en déduit finalement la relation de 1 1 a a LI Si l’on introduit les cosinus des angles que font la tangente, la binormale et la normale principale avec les axes d’un système cartésien, on tire des formules fondamentales (7), (9) et (10) les formules bien connues de Frenet. Surfaces. Plans tangents. $ 11. Si, dans la formule BA, +y¥S, +26,, on suppose que x, y, z dépendent de deux paramètres u et v, le vecteur % définit une surface. On peut, d’une infinité de manières, établir entre w et v une dépendance propre à définir une courbe, et cela de telle façon qu’ à un certain couple (w,v) il correspond toujours le même point P de la surface. LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 149 Posons u=gp(), v— w(t). La tangente à la courbe correspondante est déterminée par le vecteur IG: Sp dut cent Alb à dé maw Zien rn + Sy Il résulte de cette relation que toutes les tangentes A la sur- face en un point P sont situées dans le plan défini par les vecteurs Su et ¥, (plan tangent). Ces vecteurs ont visiblement la direction des tangentes en P aux courbes u — const. et v = const. Soit Q un point quelconque du plan tangent, $ — OQ son vec- teur. On aura DFA Fu + 4 Bo, équation dont on déduit facilement l'équation du plan tangent, savoir Surfaces réglées. Développables. $ 12. Supposons que les vecteurs G et 9, dépendent d’une variable v. Alors le vecteur % défini par la relation représente une surface réglée, ayant pour directrice la courbe © — g (v). En donnant à v une valeur fixe, on obtient les vecteurs des points d'une génératrice. Le paramètre u mesure le segment qu’il faut porter sur la génératrice, à partir du point de la directrice, pour obtenir le point correspondant P. Le plan tangent en P est déterminé par les vecteurs : 9% ù _ ren er CT zn en I us. 2 2 Supposons que le point P décrive la génératrice correspondante ARCHIVES XI. 21 150 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. à une certaine valeur de wv, de sorte que les dérivées (’ et 9,’ sont constantes. Alors le plan tangent tournera, en général, autour de la génératrice. $ 13. Cherchons en quels cas ce plan reste invariable, si le point de contact décrit une génératrice. D'abord, si l’on a &—0, le vecteur %, aura la direction du vecteur 9,’, de sorte que les plans tangents de tous les points d’une génératrice coincident. C’est le cas d’une surface conique dont le sommet est déterminé par © = const. Si 9,’=0, le plan tangent est déterminé par les vecteurs $ et 9,. Parce que 9, a une direction constante, on a affaire à une surface cylindrique, ayant pour directrice la courbe ©. Finalement, il nous faut considérer le cas où les vecteurs 6, 9, et 5,” sont complanaires, de sorte que le plan tangent, étant déterminé par les vecteurs 9, et ,’, est indépendant du valeur de u. Soit alors HAN, Tue OR) où A et u seront des fonctions de ®. En différentiant l’équation (12) %=6+uS, par rapport à la variable v, on obtient D — © +uÿ,’. ou, en tenant compte de (13), DO FUN: Considérons maintenant, sur la surface, la courbe définie par la condition u+u—= 0. Pour ses points P, on a 5 eel QC OR en Done, au lieu de déterminer le plan tangent par les vecteurs 9, et 9,,, on peut le définir par les vecteurs %,’ et %,”. Cela revient à dire que le plan tangent coincide avec le plan oscula- teur de la courbe qui est le lieu des points Py. Par suite, toute surface réglée dont le plan tangent reste inva- LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 151 riable si le point de contact parcourt une génératrice, peut être engendrée par les tangentes d’une certaine courbe gauche (aréte de rebroussement). C’est une surface développable. Soit donnée la courbe gauche définie par ¥ — f (s). Il est visible que la surface réglée, lieu de ses tangentes, est déterminée par 5 uf. Le plan tangent de cette surface contient les vecteurs 3° + u” et ®’. Done, c'est le plan osculateur. $ 14. Considérons le produit $/ 4 os / SCHOOL ar (dE) S'il est nul, la surface réglée sera développable; s'il ne s’éva- nouit pas, on aura une surface gauche. Examinons le lieu les binormales de la courbe %—f (s). Cette surface est définie par Minnie Lee, auto hbase (15) On aura DE EB B |= Done, le lieu des binormales est une swrface gauche. De même, les normales principales d'une courbe gauche engen- drent une surface gauche. En effet, puisque cette surface est définie par on trouve CHEN 5) EB) + 1 1 LÉ (TT j= ee Surface polaire. § 15. Soit M un point queleonque dans le plan normal de la courbe 4 = f(s), M le vecteur O M. En exprimant que le vecteur PM est perpendiculaire à la tangente, on aura la relation KOE 0. ss (17) 152 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. Représentons ce produit scalaire par p (s). Si M est un point de l'intersection du plan normal de P avec le plan normal du point voisin, défini par la valeur s + h de are, le vecteur M vérifie les équations p (s) —0 et Psa ie) EU En faisant tendre vers zéro l’accroissement h, on arrive aux équations p (s) =0 et DRS: Done, le vecteur d’un point M de la caractéristique du plan normal, ou droite polaire, doit satisfaire à l’&quation qu’on obtient en différentiant, par rapport à s, la relation (15). On trouve 1 eres i et : Cie 5) B) (7) EN; ou (RPB). posters te HIE De cette équation, il résulte que la projection orthogonale du vecteur PM sur la normale principale est égale à oe, de sorte que la droite polaire est perpendiculaire à la normale principale; donc, elle est parallèle à la binormale. La surface réglée engendrée par les droites polaires est done définie par MY + OD PUB une erkers order AO) Il va sans dire que cette surface polaire est développable. Pour le vérifier, appliquons (14). On aura + B 0 OG =F + oP +e, =} = ie +e B, kl 0 N of 0 S=— (B, —£3,) BBI) EBV) — or BD) = 0 Donc, les droites polaires sont les tangentes d’une certaine courbe, l’arête de rebroussement de la développable. Parce qu’on a 0 0 MM inne: B, Ho B, + ud,’ Se a (a on obtient l’aréte de rebroussement en posant u — — 9’ 7 (comp. avec $ 15). LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE, 153 . Done, cette courbe est déterminée par A=F+oB, —0rB,......... = (20) Il est clair qu’elle est en même temps le lieu des centres des sphères osculatrices de la courbe %- § 16. La tangente à cette courbe est définie par v=, + a : D: B, VB m ee à Tamm — (1 B, — oe Bs, ou bien pme 78 (21 Ne: (g y 1 \ ) Cette expression montre, de nouveau, que la tangente est parallèle à la binormale. Si la dérivée W est constamment nulle, le lieu des sphères osculatrices se réduit à un point. Done, les courbes sphériques sont caractérisées par la relation ARE) ORE RENE à Fee castes (22) Désignons par s* l'arc, par T,*, B,*, B,* les vecteurs fonda- mentaux de la courbe A. Tenant compte de la relation SR RE ds LE 2 on déduit de (21) ds* | 9 PEN ge ar di: ER 4 (28) pourvu qu’on pose Sian = B, re ie) el cà ee ie te . . . . . . (24) Si, pour abréger, nous écrivons ds* dam“) nous aurons, en vue de (7), Posons 154 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. Alors, il résulte de (25) Puis, il suit de DT, *]—=— DB: 5,] qu'il faut écrire == C En appliquant (9), on trouve a — bo OC LEZ : : IS zie 5 oy SE RE Een (29) ds* 6 ds 50 et, par suite, Courbes sur une surface. Notations. § 17. Considérons, sur la surface § =f (u,v), la courbe définie par u= Œ(t), v— y (2). Il est clair qu’on aura dy d$ )=(4) dt dt dt En désignant par | WA | le tenseur du vecteur A, nous pourrons écrire ds a8]? |< fe 2 is 792 C AN | 2 / —-)—|-0 | = |" ,r2 x lee en | d | dew +}, y | du | U + Fu) wv +| Be Vv Pour abréger, posons Alors nous aurons la forme fondamentale dede +2 F dwdd Gide? ze. (33) Parce qu’on obtient, par différentiation, Du = Lu Jr ne D PO +2, C1, Bolt Yoon ae eo Oa, LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 155 les quantités scalaires H, F, G vérifient les relations RE rt E > L,, re Y, a u ? DM PERS ner SCO CPE Bere. | Pour les lignes coordonnées v — const. et u — const. on aura 9 9 9 zj ds, = Edw et ds, — G d . En prenant s, et s, pour nouvelles variables, on aura la relation ds = POE FG derde +48... MU. (35) où E, F, G sont maintenant des fonctions de s, et s,. Il s'ensuit que les lignes coordonnées formeront un réseau orthogonal si l’on a pe=0til eerbaar mur. 10, % (36) Considérons deux courbes tracées sur la surface, définies par & =f (s) et S—p(s5), où s et o réprésentent les ares de ces lignes. Soit enfin 4 langle qu’elles font entre elles. On aura visiblement ds oes ds. DE CETTE ou ds ds cos 0 = E du du + F (du dv + dv du) + G dv dv . . (37) ou bien $ 18. Pour définir la normale à la surface on peut considérer le produit vectoriel On aura N= fa, Ui + B, +2 CA, + y DB, +6), ou bien N = (tu Yo — Lo Yu) ©, + (Yu 20 — Yo Zu) U, + (Eu Lo — % Lu) Do On en déduit (=S GR EUR —e x.) (Ea) — (Saur)? = EG — F?. 156 LS VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. Donc, si l’on pose on aura Si l’on différentie les relations (N, a) =) et (ler À ») == 0, on trouve (i Buu) Sr (Mi Du) == 0, | Qù D uv) ar (Qu D) — 0, | (MN, Sur) zie OÙ Vu) —— 0, | (MN, À vv) =r (MN, v D) = 0. | Posons, pour abréger, ela Buu) = I, (N, Vu 7) — M, (MN, Do a == N STONE (41) Alors on aura encore Qhs Ou) = L, | Qu Do) = —< NM, | (49 MF) =— M, | RS. bb NS Remarquons encore la transformation suivante. On a L= Gb Bu) =p (ER Fu) =e (Bin [Bu Fe). Or, on peut écrire (Sun [Bu ®ve) => (Gun A, Sr Yuu B, air Zum &,) (Yu Zo) A, ah (Zu Ly) B, Be zh (x Yr) &,)) ri Guu (Yu 2) ar Yuu (Zu Xp) + Suu (Lu Yi). Par suite, on obtient | Uuu Vy Vy L= | Yuu Yu Yo | 5 Tal MOTOS DTA CT (43) Zuu Zu Zo | D'une manière analogue, on arrive aux relations | Lun Vy Vy Too Vy Vy M= | Yur Yu Yo |: AA) el N — | Aan Ui, tn RH ERA) Zuv Zu Zy ey v Zu Zo | | § 19. Parce que les vecteurs N,, et Jt, sont perpendiculaires à N,, de sorte qu'ils appartiennent au plan tangent, on pourra poser LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 157 Nau —À Bu + u D ot Nip = 0 But 6 Vo, où À, u, oe, « sont des fonctions de u et v. De la première de ces relations, on déduit, par multiplication scalaire avec %, et %,, le couple (My u Fu) = | Bu E + u (Fu RR | (Ni Fo) =M( Eu Do) + | De |?- | Donc on a le système Ku — À Ou ru we ’ —L—=AE +uF, —M=AF +uG. En éliminant À et «, on trouve facilement H? Ny, = (FM — GL), + (FL—EM)%,..... (46) D'une manière analogue, on aura HW, = (FN — GM) §, + (FM— EN)¥, .... (47) Courbure des lignes tracées sur une surface. § 20. Considérons une courbe définie par les relations u— (s), v= y (s), où s désigne l’arc. Soit @ langle que fait la normale principale à la courbe avec la normale à la surface. On aura visiblement cos 0 = (MN, B) =o (M, Ty’) =e Ì, 37). Or, on a ey = Bun? + 2 Bw WV + FrV? + HU" + Hr”. ds? Puisque (Ny Su) =0 et (N, Br) = 9, on trouve cosO =o (Lw?+2Muw'v'+ Nv’), ou bien cos 6 _ Ldu? + 2M du dv + N dv? 0 Edu? +2Fdudv+ Gd? ARCHIVES XI. 29 158 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. D’après cette formule bien connue, il suffit d'étudier les rayons de courbure des sections de la surface avec les plans menés par la normale (sections normales). § 21. Considérons une telle section normale. On a d’abord Or, on trouve, en différentiant l'équation (x, = a. la relation , ay AN, d$} gp. WE à) 1 (x, de J * ( ds ds me Par suite, on obtient ge (ene à EN. (50) ds ds Soit w un paramètre dont dépend la position du plan mené par la normale, de sorte que 9 — f (w). S Il est clair que X, ne dépend pas de w. Done, on aura oh = 0 d? N, ens et nt ln Od ies athe keet A (51) Pour un maximum ou minimum de oe on aura s aa 0 =) rat En tenant compte de (50) on peut remplacer cette condition par AN, dF (2 d2$ dsdw ds ds ds dw Eu régard à (51), on aura done pour les valeurs extrömes de ¢ En Ee DE DRE ee La AT (52) En différentiant, on tire de ds]? ds LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 159 encore les relations dj d? = 3 5 ee et Sb (53) et d? = a (a, IE Ne (54) dont la seconde exprime que le vecteur = 4 appartient au plan tangent. Finalement, il résulte des équations (52) et (53) que les vecteurs AN, dy "Hae a es sont placés le long de la méme tangente. On a done AN, d$} Mon Er ERE, (55) et, en vertu de (50), da = —u ds E = — NT NTM EE 5 Par suite les valeurs extrêmes de » sont caractérisées par la relation § 22. L’équation (56) peut s'écrire dans la forme Du du + Br do = — 0 (M, du + NR, dv). En effectuant la multiplication scalaire avec les vecteurs %, et 3, on trouve le couple E du + F dv — o (L du + M dv), | F du + Gdv=e(Mdu + N dy). \ En éliminant v, on obtient la relation E du + F dv, L du + M dv en Fdu + Gdv . M du + N dv OU qui fait connaître les directions des tangentes dans les sections normales où ¢ est maximum ou minimum (sections principales). 22* 160 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. En éliminant du : dv, on parvient à l'équation quadratique qui fournit les valeurs extrêmes de ». we Pe, En na SOS ei Neem Parce qu'on a 2 Ren TE (EM + FL)? HO REA a m f(0)=EG—F?>0 et ne ee) les racines de (58) sont toujours reelles. En les désignant par o, et o,, on a AN, _ 1 dé & se day ds, o, ds, fas; 0, ds, On en déduit facilement la relation Er an aoe ad 9 Si l’on prend pour paramètres, au lieu de u et v, les arcs s, et s, des sections principales, les deux produits scalaires du premier membre auront la même valeur, parce qu’ils représen- tent tous les deux la nouvelle valeur de 47. Donc les vecteurs d : BY ds font entre eux un angle droit. ds, © em, Les valeurs extrêmes du rayon de courbure se trouvent donc dans deux plans rectangulaires (plans principaux). § 23. Maintenant on a, en vertu de (50), Tan À asin as: as, ds os, ds/ \ds, ds ‘os, ds Or, on a. en vue de (56), RE nde as, 0 As, On en déduit la relation en B) B (EEE ii ès, 28; 98, D'une manière analogue, on trouve (ee a8 en os) 0s, j LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE, 161 Done, l'équation (59) peut être remplacée par = (SG) + (Qe): ou encore par la formule bien connue ET CUP, (60) = SS nn Oo DP na Soe LO 9 0 95 En effet, on a ds’ — ds + ds,, de sorte qu’on peut poser li cos et dn sin p. ds ds | 2 Par l'introduction des paramètres s, et s, l’&quation (57) se change en E*ds, , L*ds, + M*ds, | G*ds, , M*ds, + N*ds, | er Or, parce qu’elle doit fournit les directions principales repré- sentées par ds, —0 et ds, —0, il faut qu’on ait wii Cela équivaut à la relation RES or... ae (61) 08, AS, LOS, 0985 ou bien à do =/\ oe an 2 ON) 98, IS, Ose. O85 Il va sans dire que À et « sont des fonctions de s, et ss. Lignes de courbure. $ 24. Considérons, sur la surface 5 — f (u, v), une courbe définie par u—œp(s), v= w (s). Les normales menées à la surface en tous les points de cette courbe forment une surface réglée THUN. Elle sera une développable si les trois vecteurs %.,, N, et N,, sont complanaires. 162 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. Puisque les vecteurs %, et N,. sont perpendiculaires à %,, cette condition peut être remplacée par d$} AN, m klad (CG) ds ds Parce que cette relation a la même forme que l’&quation (56), on en déduit que les valeurs du rapport du : dv auxquelles correspondent les développables engendrées par les normales à la surface, sont définies par l’&quation (57). Cela veut dire que les courbes homologues enveloppent les tangentes principales. Elles se nomment les lignes de courbure de la surface, tandis que les développables qu'elles déterminent, sont appelées leurs normales. En tenant compte des résultats obtenus dans le $ 28, on peut caractériser les lignes de courbure par la relation Oe re pourvu que ces courbes soient prises pour lignes coordonnées. En effet, on retombe alors sur la condition HEC? Il va sans dire que les lignes de courbure sont définies par la relation (57). § 25. Considérons maintenant deux surfaces et supposons que leur intersection soit ligne de courbure sur chacune d'elles. On aura les relations | dt —_ „dt ds ads ds ds — Parce que la relation évidente entraîne celle-ci LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 163 De même, on trouve Par suite, on a (N/A, = const. Cela signifie que les deux surfaces se coupent sous un angle constant tout le long de leur intersection (Joachimsthal). Réciproquement, si deux surfaces se coupent sous le méme angle en tous les points de leur intersection et si cette courbe est ligne de courbure pour l’une des surfaces, elle l’est aussi pour l’autre. En effet. on a d’abord (Mt, N,*) = const. a he (nr) — à et, par suite. Or, de la relation on déduit (a, - 434 1) == 1 N as =. ds u ds CEE Parce qu’on a en outre (a, Bh") 0, (x,» 28) —0 ot (x, 98) =0, ds Done, on aura les deux vecteurs ds ah. ds Fi ds sont perpendiculaires aux vecteurs JU et ot. Par suite, on a ives à AN,“ ds TRE ce qui démontre la proposition. 164 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. $ 26. Considérons un système triple orthogonal de surfaces. Soit & =f (u, v, w). Supposons que les surfaces que l’on obtient en donnant succes- sivement à u, v et w des valeurs constantes, se coupent à angle droit tout le long de leurs courbes communes. Alors on a visiblement (Su dr) — 0, (8: Ow! = 0, (Bw Du | = 0. On en déduit, par différentiation, le système d’équations (Bu Bow) a (Fo du) == 0, (Ye Bun) Ir (Sw Sw) = 0, \ (du dur) “x (Fu Dre) 0 ] Il en résulte qu’on a (Gu Bou) — 0, (Fe du) — 0, (Sw Fur) = 0. Or, les trois relations (Bw Fw) =9, (Sw Fu) =9, (Sw Fe) = 0 montrent que les vecteurs Bw» du et Do sont complanaires. En conséquence, les intersections de deux surfaces u — const., v =const. avec une surface w — const. sont des lignes de courbure de la dernière surface. Done, les surfaces d’un systéme triple orthogonal se coupent suivant leurs lignes de courbure (Dupin). Réseaux conjuguées. § 27. Supposons que le réseau des lignes coordonnées u = const. x et v — const. satisfasse à la condition ee a (65) Elle fait voir que, tout le long d’une courbe u = const., les vecteurs G = Dus O, = Suv et Br sont complanaires. LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 165 Cela revient à dire que la surface F+ wG (u — const.) est développable. Les génératrices de cette développable sont visiblement les tangentes menées aux courbes v = const. en leurs intersections avec la directrice u — const. D'une manière analogue, la relation (65) entraîne que la déve- loppable circonscrite à la surface § le long d’une courbe v — const. est engendrée par les tangentes aux courbes u — const. Il y a donc réciprocité entre la direction de la tangente à la courbe de contact d’une développable circonscrite et la direction de la caractéristique du plan tangent à cette développable. On l’exprime en énonçant que les courbes w — const. et v= const. constituent un réseau conjugué. En particulier, un tel réseau consiste dans les lignes de cour- bure. puisqu’elles sont définies par les conditions Bur = À Du LA u Dr et (Fu Dr) == 0 Il est visible que c’est le seul réseau conjugué orthogonal + $ 28. Nous venons de voir qu'un réseau conjugué est caractérisé par la relation (65). Il est clair qu'elle peut être remplacée par CAE ERA Me eG) En vertu de cette équation, si l’on différentie les relations AR), (GR) =O, on obtient le couple d’équations CE) ORNE Na) = ron) Maintenant, soit la surface rapportée à un système quelconque de lignes coordonnées « — const. et /? = const. Alors la première des relations (67) peut s’écrire sous la forme Ee da Ee Any ey Cs da 4 om ze 0 da du op du va d 7 ap dv Tai; ou bien ps om, da Oa + es NR, da òf + ee A, d> Òa + da da da OP 0/2 rs) SE. 2 NA ee) oe) © di FU : ARCHIVES XI. 23 166 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. ou encore Ldada + M(dadf + da) + Ndf0/3—0 . .. (68) Il est visible que cette relation permet de définir, par une équation différentielle, le système de courbes qui est conjugué à un système donné. Lignes asymptotiques. § 29. Eu égard à l'équation (66), la relation Lu 2 Mid dei N du =O), ae Oo) définit, sur la surface À — f (u,v), deux systèmes de courbes qui sont caractérisées par la propriété que leurs tangentes engendrent une développable circonscrite à la surface. En d’autres termes, en tout point de ces courbes, nommées lignes asymptotiques, le plan osculateur se confond avec le plan tangent à la surface. Parce qu'on a maintenant, en vue de (67), IE ee a ( 7/0)" on obtient, en différentiant l'équation u), 0, le couple de relations (x, EN | (x, ay) = (0, 0.) a ds? d’où il résulte, de nouveau, que le plan osculateur touche à la surface. Réciproquement, si le plan osculateur d’une courbe de la sur- face se confond avec le plan tangent, de sorte que les relations (71) sont vérifiées, la relation (70) est également vérifiée. Par suite, les tangentes de la courbe engendrent une développable circonscrite à la surface. Si l’on prend les lignes asymptotiques pour courbes coor- données u = const., v—const., on aura, en vue de (69), L—0 et N — 0, ou bien (=o à (x, HE) 0 NBA ey 1 ou? av? Cela s'accorde visiblement avec (71). LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 167 Courbes géodésiques. § 30. Considérons, sur la surface ¥ — f (u, v), une courbe dont le plan osculateur contient la normale de la surface. Cette propriété s'exprime visiblement par une relation de la forme ee de She DU es ae Ts (73) En désignant par w, u/ et vw’, v” les dérivées du premier et du second ordre, par rapport à {, on peut remplacer cette relation par NM, —/|) (Fu w + Do v) Sr (Fun uw? + Fun wy + ov yr + Vu Whe a= À v”). Par la multiplication scalaire avec les vecteurs #, et #,, on en déduit le couple d'équations O—A(Eu + Fv’) Hu Bud) Ww? + 2 (Fo B) WU + (Doo DV? + Eu” + Fe", | De (Fu ie tv’) u Bau 3) w2+9 (Fu 5) a + (Bar 3,)v? ne Gut. | (74) Or, en différentiant les équations Gus) =L, Hi) = par rapport à w et v, on trouve LEE) BB) + Ge Bu) = Fo LED) | gs 2 (Gun Fa) — Le, Swe) + (Gu Fu) = Fy 2 Fw F)—=G | À Finalement, on déduit des équations (74) et (75), l'équation ) q ) | Qu’ + Fy’, Eu’+Fv'+1E,u?+E, uv + (FF, —bG.)v? : à ; — 01016 Fw + Gov’, Fu’ + Go’ +(F,,— tH, w? + Gu’ + 1G, ef? ini?) En prenant pour variable indépendante le paramètre w, cette yg £ i dv d?v +1. équation donne une relation entre m et due: Donc, elle définit L Mu un systéme doublement infini de courbes On les nomme les géodésiques de la surface. § 31. Afin que les courbes v—const. soient des géodésiques 2 1 , il faut que (76) soit vérifiée en posant u’—1, w”—0, v’—0, v’ —0. Par suite, on obtient la condition EF EE — EF =0. Si l’on suppose, de plus, que les courbes w= const. soient les 23* 168 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. trajectoires orthogonales des géodésiques v — const., de sorte que He 0 on aura E;—0Met ds? = E (u) du? + G (u,v) dv?. En posant E’ du = dw, on trouve finalement dede GW, Vaduz zu) Il est clair que w désigne l’arc 5 de la géodésique v = const. Parce ne dépend pas de v, deux trajectoires orthogonales w= const. déterminent sur les géodésiques v= const. des arcs égaux. Surfaces gauches. § 32. Soit donnée la surface réglée gauche 5 (u,v) = G (v) + u ÿ, (v). La perpendiculaire commune à deux génératrices voisines est caractérisée par un vecteur A} vérifiant les relations (9, Ay) — 0 et ((9, + AH,)As) — 0. Donc, ce vecteur satisfait encore à la relation Quand l’une des deux génératrices tend vers l’autre, la perpen- diculaire tendra vers une position limite. Le point où elle rencontre alors la génératrice s'appelle le point central. La courbe lieu des points centraux se nomme la ligne de stric- tion de la surface réglée. Elle peut être représentée par une relation u — ¢ (w). Si l’on prend pour variable indépendante le paramètre v, l’&qua- tion (78) donne pour la ligne de striction la relation ee i GS \ ae 0 dv dv 4 qui, en vertu de dj d6 du « a san B rd LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE, 169 peut être remplacée par (GS 3 FeO SG. 2200520 (19) C’est l'équation de la ligne de striction. Si l’on a Oe ur Ce ie (80) DAA, +4 D, +7G,,! où & 7, 6, À, w » sont des fonctions de v, (79) peut s’écrire sous la forme EN Anw Oo) (ME + 2 +?) u=0.... (81) § 33. Soit 0 la distance de deux génératrices voisines, M, un vecteur unité avant la direction de leur perpendiculaire commune. Alors on a AXE: Parce que M, est perpendiculaire aux vecteurs 5, et 9, + 49,, on aura [9,,9, HADJ MN, sine, e étant l’angle des deux génératrices. De là résulte, AV sin € 4 B ù [ GE Er A la limite, on trouve donc TT NT ER (82) où Pete € s'appelle le paramètre de distribution. En vue des équations (80) on peut remplacer (82) par (+ Vutdaw) MN, +(n+uu+uu) D, + (6 +ru +vru)C, = er OND + (he =H) Gh, où les accents désignent des dérivées par rapport à v. Cette équation entraîne visiblement les relations E— (ur )k+Vu+aiuw = 0, | n —(vh)k+uwu+uw—=0,, 5 (hu) k +r'u +vruw —=0. 170 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. On en déduit, par élimination de w et w’, E — (u NME GRAS y=), uw, w | =O. (Aw), ,v En résolvant cette équation par rapport à k, on obtient a (uv) NA 10 —— CONTANT & yv Vv (Au) y” v Puisque, d’après une transformation bien connue, X (uv)? = 2 4’? on aura finalement EN § 34. En prenant pour directrice la ligne de striction, on aura, en vue de (79), (8 9, =0. Il en suit que le vecteur 9,’ est perpendiculaire au plan des vecteurs W’ et 9,, c’est à dire au plan central (plan tangent au point central). Le plan tangent en un point P quelconque de la génératrice p contient les vecteurs ©’, 5, et uw,’ Soit y langle entre © et 9,, 8, un vecteur unité perpendi- culaire 4 9, et 9,’. Remplacons © par les vecteurs |S’ cosy|9, et |©’ sin y | &,. Soit M — |G siny|K, +uH,’. Il est visible que le plan tangent en P est défini par le vecteur M et par la génératrice p. Done Pangle p qu'il fait avec le plan central est égal à langle entre M et K,. Par suite, on a . (84) § 35. Le cône directeur de la surface réglée © + wH, est repré- senté par w,. Le plan tangent à ce cône est fixé par les vec- teurs 9,’ et 9,, tandis que le plan tangent à la surface réglée : ler, 5 est défini par les vecteurs — ©’ +9,’ et 9, u LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 171 Ces deux plans sont parallèles si l’on a w=. Cela veut dire que le plan asymplotique d’une génératrice g est parallèle au plan tangent 7, du cône directeur le long de la génératrice paral- lèle à g. Cherchons le point de g, où le plan tangent /' est perpendicu- laire à 7',. Parce que /’ contient les vecteurs 9, et ©’ +u,’, tandis que J’, est déterminé par 9, et 9,’, il faut que 9,7 soit perpendiculaire à & + u,’. Or, il résulte de (9 + 09,7) 9,/)=0 la rélation (&'5,) + ul 8,1? =0, qui d’après (79) définit le point central. Done le plan central est perpendiculaire au plan asymptotique. Lieu des centres de courbure principaux. § 36. Considérons la surface I, lieu des centres de courbure principaux. Il est clair qu’elle est constituée par les arêtes de rebroussement des deux familles de normalies. Elle se compose, en général, de deux nappes '). Supposons que les lignes de courbure soient prises pour courbes coordonnées. Une de ces nappes peut être représentée par Me — + ¢, N: Soit N" le vecteur défini par le produit vectoriel Re mo à me) | dU AV Parce qu'on a am, __ 38 EKE: 2 a et AS TER EE OU ou + Er) d on obtient Ya) a IR ) à am Ee € AY ms e, € MN, at € 9 1 es 901 SE aU Ò U ù U uae Sty mie SMrA) ech eo CSU Se ee EK ee —e OS | doi vv VM Lau i) ot EX 0, dv ar U 1) Dans le cas des surfaces de révolution l’une des nappes est remplacée par l’axe. 102 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. et, par suite, SHOP Jig [ x, =] (80) Done, le vecteur N® est collinéaire avec le vecteur #,. Cela revient à dire que la normale à la nappe /'" est parallele à la tangente de la ligne de courbure correspondante. § 37. Considérons [expression Mo — (a ae) | du av En differentiant à M 90, Dr 7 on trouve 32 DO do, „de an, ak eg woh on; ae dudv wv | Au AV vum! 0, dW AV A (1) . D'après (85), N, est proportionnel à %,. Parce que &, est perpendiculaire à N, et à $,, on obtient 92 MM eer) ee OU EMO: En conséquence, les courbes le long desquelles une nappe de T est touchée par deux normalies de différentes familles, sont conjugées. § 38. Pour le carré de l'élément linéaire de 7, on a 5 a PEM 2 à Mi IM aM 2 En Cue een =) du dv + | == a ) dso” == S = dv?, ou Ò Uu dv 02 ou bien ay? Djek he 00, do, MDN Op —2n Nocera ee ds —( 1) du? + 2—1—1 Qu dv + || —1 ) + AL) 18. [2 dv?, ow du ov I\ av 0, | x ou encore 9 9 — = ds = de + (204) Gr. ....... (86) 0 En vue de l’équation (77), il en résulte que, sur la nappe J”, les courbes v — const. sont des géodésiques, tandis que leurs trajec- toires orthogonales sont réprésentées par v, (w, v) = const. LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 173 Congruences de droites. $ 39. Un ensemble de droites dépendant de deux paramètres peut être représenté par G+uH,, pourvu que les vecteurs © et 9, soient des fonctions de deux variables, v et w. On l’appelle congruence de droites. La surface G = ¢ (v, w) est nommée le support de la congruence. Il peut arriver que © ne dépend que d’un seul paramètre; le support est alors une courbe, et les droites de la congruence passant par un point du support constituent un cône. Enfin, si G se réduit à une constante, on obtient l’ensemble des droites menées par un point. Si l’on établit une relation entre v et w, on a affaire à un système simplement infini de droites de la congruence qui consti- tuent une surface réglée. $ 40. Considérons toutes les surfaces réglées passant par une droite de la congruence. Leurs points centraux sont déterminés par la relation d® d$, Ge: Fe: “dt dé Je: 2 7) me où ¢ est la variable dont dépendent v et w. On peut la remplacer par (GC dv | dw Se dv 28, dw ) av dt ow dt av dt dw dt é 9, dv _ aH, dw? av dt aw dt U — - 9 ou encore par (G, 91) dv? + [(Gyw Div) + (Gy Do) ] dv dw + (Sw Oro) dw? ve Oude? + 20, bu) do (jaer (O0 En posant ee (6, nee oy (91 Di = F, a Se (88) | ue > (Hin)? = G, \ (©, Dix) — ’ ARCHIVES XI. 24 174 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. on aura la formule __ ed? + (f + f’) du dw + g dw? ¥ E dv? +2 Fdvdw+ Gdw °° °° (eo) Posons encore dw 7 RME 4 EAST 2. Ae (90) Nous aurons alors ee an id Me (91) 7 E+2Fg +Go? § 41. Introduisons, au lieu de v et w, les paramètres « et /? définis par Gie (Ua) ei — Gal.) Nous allons montrer qu'on peut les choisir de manière que la formule (91) obtienne la forme où g, désigne le rapport df? : de. Il est clair qu'on a 918 = Dw VB + Din WB. \ Op == 6, Va Ge Wi, \ Dye = Dry Vy + One Wa, | Gg 6,08 + 6, we Po Afin qu’on ait ici OF et | i, — 0 il faut que les deux relations ((G, Vu + Ow (Ore Vs + Di ws)) + ((G, Ug + G&G, wg) (io Ve + Diw Wa) —\ |). (Or V, + Diw w ) (Div vg Ar Die We)) =0 soient vérifiées En posant W, : 0, Yi et We : Ve — Go) on peut les écrire sous la forme e+f* (qi + 42) +919: =9, | E+F(q, +gq2:) + Gq19: —0.) Puisqu’on peut satisfaire à ce couple de conditions, il est pos- sible de réduire l’&quation (89) à e, da? +g, df? EtG 82. FIG SEE RON De U= — LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 175 Pour A — const. et pour « — const. on trouve AG Ui =—+> et Ua = : En remplaçant, dans (94), e, et g, par —H, wu, et —G, Us, on obtient E, wu, da? + Gy u, d/?? Hy dat +\G, dp? U Ici le dénominateur représente le carré de l’&lement linéaire de l’indicatrice de la surface réglée. L’angle de deux indicatrices mesure donc l'angle des plans centraux aux surfaces réglées correspondantes. Dösignons par w langle entre une indicatrice - quelconque et l'indicatrice /? — const. Alors on a Gy dp? En, dai Go df E, da? Bade ade À va COS? © = Par suite, on trouve la formule de HAMILTON 1 Ur 6082 0 + Ma siemens ee (9D) On nomme points limites les points centraux definis par w, et w,. Les surfaces réglées qui y correspondent sont appelées surfaces principales. $ 42. Considérons de nouveau l’ensemble des surfaces réglées menées par une droite de la congruence. Nous allons montrer qu'il y a, sur la droite, deux points où toutes les surfaces réglées ont le même plan tangent. Parce que le plan tangent est déterminé par les vecteurs 9, et G,+u:, ou bien par 9, et (6, + q ©) + u (9, +49), 1a position du plan tangent sera indépendante du rapport q si les trois vecteurs 9,, ©, + uw, et G, + u ÿ,, sont complanaires. Alors il existe une relation de la forme À (G, + U Dix) ue u (Gu aia (tl Dix) = Dr ER uch 02 E20 (96) En effectuant la multiplication scalaire par $,, et par 9, on trouve, en vue des notations (88) A(e + Eu) + «(f+ Fu) —0, | A (f + Fu) + u (g + Gu) — 0. | =) 24 176 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. On en déduit l’&quation Eur Ci OU | ae Fu+f, Gut+g Ses racines définissent deux points qu’on nomme les points focaux de la droite, tandis que les plans tangents fixes correspon- dants s’appellent les plans focaux. § 43. Cherchons si l’on peut arranger les droites de la con- gruence de façon à obtenir des surfaces développables. Exprimons que les vecteurs 9,, (Qi + q Dw) et (©, + q Gy) soient complanaires. Cela revient à écrire NOG el DE ON ME Do (99) La multiplication scalaire par 9, et par 9, donne les relations A(e +F)V+u(E+F)=0,| Dr MORTE (100) 1(f + gg) +u(F + Gq) =0. | Par suite, l'équation différentielle edv + fdw, Edv + Fdw | __ doi Pe (101) fdv+gdw, Fdv + Gdw définit deux familles de développables. Il est évident que par chaque droite de la congruence passent deux développables. Cherchons les points de contact de cette droite avec les arêtes de rebroussement de ces développables. On a, en vertu de (100), e+fq E+ Fg Vega) FANG En désignant par m la valeur commune de ces deux fractions, nous pouvons écrire, au lieu de (89), TENEN (m+ q) (F + Gq) En conséquence, on aura ri EE el Gm Gan Teena tes (102) et, par suite, (Eu + e) + q (Fu + f)=9, | (Fut f’) + q (Gu + g) =0. | LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 177 En éliminant g, on obtient finalement la relation Eu+e,Fu+f da Fu +f", Gu+g ’ qui fait voir que les points de contact de la droite avec les deux arêtes de rebroussement coincident avec les points focaux. $ 44. Le lieu des points focaux sera, en général, une surface à deux nappes. Si la congruence a pour support une courbe, de sorte que ses droites constituent un systeme simplement infini de cönes ayant leurs sommets sur le support, cette courbe fait partie du lieu des points focaux et s’appelle courbe focale. Il est clair que le lieu des points focaux peut encore se composer de deux courbes focales. Si l’on prend pour support une des nappes de la surface focale, l’&quation (96) est vérifiée par w— 0. On a donc NO re OO Il en résulte que le vecteur 9, appartient au plan tangent du support. Par suite, les droites de la congruence sont tangentes au lieu des points focaux. En substituant w —0 dans (102), on vérifie aisément que les équations (100) donnent u — 0, de sorte que (99) devient AG, +196, = §,. EN On en déduit que le plan tangent à une surface focale est en même temps le plan focal correspondant au point de contact. § 45. Supposons que les droites d’une congruence soient nor- males à une certaine surface § =f (v, w). Parce que 9, doit être perpendiculaire aux vecteurs %, et Fw, on a les relations E 2 Don (G, +uö + 550) 0,)=0, (Ge + u Div ar op 91) 9.) =O, ou bien > du : = U 5, | — = Om == ==()), 2 a+ (G, 9,) + = 0 et (&9,)+ = 0 (104) 178 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. Ces équations entraînent la condition suivante 2 de ah (Goi) ae... dos) aw Vv Cette équation équivaut à (, Dw) Zs (Ge 55 iv) ou à AB APR NE Re CRT IDE) On peut écrire cette condition sous une autre forme, Soit « langle que la tangente à la courbe w — const. fait avec le vecteur 9,. Alors on a (G, 9,) =| G, | cos «. D'une manière analogue on aura (8, 91) =| ©, | cos 3. Soit E, dv? +2 F, dv dw + G, dw? le carré de l’élément linéaire du support © = y (v, w), de sorte que |G, |? = E, et None Cn Maintenant il est clair que la condition (105) peut être rem- placée par à E,? cos «) = Se (GS cos ß) PORT) oe Parce qu’on a f=’, une congruence de normales est caractérisée par la propriété que les points limites coincident avec les points focaux. Donc les plans focaux d’une droite sont rectangulaires Si la condition (106) est vérifiée, les relations (104) font connaître un système simplement infini de surfaces parallèles ayant en commun les normales. § 46 Soit donnée une surface © — p(v,w) rapportée à un réseau de lignes coordonnées orthogonales, de façon qu'on a ds? = A? dv? + C? dw?. Considérons la congruence formée par les tangentes aux courbes w — const. La surface donnée fait alors partie du lieu des points focaux. Posons G,— AY, eb. Ot ONO ee (NOS) LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 179 On aura visiblement Oris Done on obtient IS (G, U) == 0, == (OM U) = C (6, U), = (G, A.) = 0, 0) == (G,, A.) iC (C, An): En vertu de (98), le deuxième point focal d’une droite est défini par En vue de (101) les courbes déterminées sur la surface & par les développables du second système répondent à la relation (fF—gkH)dv+(fG—gF)dw=0...... (110) ou | (6, U) (WU Ue) = (G, Ww) (AU)? | dv + ate | (G: U) (A)? =; (6, 2 1w) (U, A.) | dw = 0 CES (111) Soient y et y les angles que le vecteur ©, fait avec les vec- teurs A, et An. Alors l’angle des vecteurs WU, et U, est égal à +(y— 7), puisque les trois vecteurs ©,, %, et A, étant per- pendiculaires au vecteur %,, sont situés en un plan. L’équation (111) se transforme en | 21, | (cos y cos (y — y) — cos y) dv + + | Ue | (cos p= COS y COS (y — 1)) dw — 0, ou bien en feinismu de An [sin glu 0 2. 222. (112) Parce que le vecteur N, est complanaire avec ©,, U, et A, on à sin y — cos (Ni, A) et sim y — cos (Rı U). Done, l'équation (112) peut être remplacée par CON) dE AC, du 0.202000 Re! (113) Or, on a L=-(6,R)= (AH + A My) RN) = A oi), et NO OS Dt, Par suite on peut remplacer (113) par L dv + M dw — 0, 180 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. ce qui démontre que le système de courbes que nous avons en vue, est conjugué aux courbes w = const. Done, sur les nappes de la surface focale, les deux familles de développables de la congruence déterminent deux réseaux de courbes conjuguees. § 47. Afin que les deux points focaux de toute droite coinci- dent, la relation CN ORNE een eg doit être vérifiée. Cela revient à (C1 Wir) Qe Wie) = (Gi Yin) An), ou bien à COS w COS (y — 4) = COS y. On satisfait à cette relation en posant sinyp—0 ou sin(p—yz)—0. Pour sin (y — y) =O on aurait %,,—+%,,, et, par suite, + FG. Alors la congruence serait représentée sur la sphère de rayon unité de manière que le carré de l'élément linéaire aurait la forme do? — Ed (u + v)?. En posant u + v — 0, on aurait 5— const. ce qui est impossible. Done on doit poser sin y — 0. Cela signifie que les vecteurs ©, et A, sont collinéaires. On peut écrire alors PEN CAR LE Par suite, on peut remplacer la relation (Gr PR ae be ee ee lei par celle-ci Grea wll a BAC verster Vs RO Or, les vecteurs G,, et A, — 6,: A déterminent le plan oscula- teur à la courbe w= const de sorte que cette condition exprime que le plan osculateur se confond avec le plan tangent à la surface focale. Donc, si sur chaque droite d’une congruence, les points focaux coincident, la congruence est constituée par les tangentes à un système de lignes asymptotiques de la surface focale. Cela s'accorde avec la propriété démontrée dans le $ 46, puisque LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 181 les asymptotiques doivent être considérées comme une famille de courbes qui se confond avec la famille conjuguée. $ 48. La congruence se compose des normales à une surface, a on a f—/*, ou bien (Gy Un) == 0 ALES eter a Nel eel valle oe (1 18) x Alors le vecteur U, étant perpendiculaire à ©, et à U,, sera collinéaire avec N,. En vue de (116) le plan osculateur, défini par ©, et A,, contient la normale de la surface focale. Done, une congruence de normales se compose des tangentes à une famille de géodésiques de la surface focale. § 49. Considérons la congruence G(v) + uH, (v, w). Parce que ©, — 0, on a f=0 et g—0, de sorte qu’en vue de (98) les points focaux du second système sont définis par (EGER Sf BG om ss se = (LI) Done, sur toute droite, les deux points focaux se confondent, si Von a ou bien (6, 91) (Dre)? = (©, Die) (Div Our), ou encore co (Gp, Dr) cos (Gy 5 Din) coe (Diss Dia): )- 02). (121) Jela veut dire que le plan (,,%,,,) est orthogonal au plan (Dir, Du). Par suite, la normale H, du second plan appartient au plan (©, , Six). Or, le cône formé par les droites de la congruence qui se croisent en un point P de la courbe G, est touché par le plan (ou, Bin). Afin que tous les plans tangents du cône passent par la tangente (§,, il faut que ce cône dégénère en un faisceau de plans ayant pour axe cette tangente. Supposons que v représente l’arc de la courbe ©. En désignant par T,, ®, et B, des vecteurs unité ayant la direction de la tangente, de la binormale et de la normale prin- ARCHIVES XI. 25 182 LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. cipale à la courbe focale, on peut représenter la congruence par G+uÎT, cos w + (PD, +q BV) sin wl, où p et q sont des fonctions de v. Afin que les relations v=9(), w=y(t) définissent une développable, il faut que l’équation dre 89, CLP A ER ( dt L°1 di }) > (v O, [9 (Qu v Ir One w’)]) = 0) ou bien soit vérifiée On trouve en premier lieu v’=0, ou v= const., et, par suite, le faisceau de droites dont le plan x contient la tangente G,. Puis, on obtient, en employant les formules (7), (9), (10), p £ ke S S (=. [ cos w + PD, sin w + qB, sin w) ce COS W + p a sin w— Vrt Die ah ke q — sin w —q— sin w tp D, sin w + q À, sin w) v + T / 0 S + (—T, sinw+ pS, cosw + qh, cos w) w) | ) Or lee) On peut réduire cette relation à la forme Bad IE POE Parce qu'il en suit À — 0, il suffit de considérer dans le produit vectoriel de (122) les produits [B, $,]=®, et BB, 3,] =— J. On trouve alors ou sin w = 0, D D? + q? Noa: j ou L cosw + EE pq gp) sin wl, T d’où, parce p? + q? — 1, DE 2 ig HE = SiGe 2 Siete: (123) Il est clair que sin w —0 correspond à la développable formée par les tangentes de la courbe focale. L’&quation (123) définit visiblement la développable qui est l’enveloppe des plans x. LES VECTEURS DANS LA GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. 183 $ 50. Afin que | G(v) + uQ, ww) représentente une congruence de normales, il faut que, d’aprés (105), la condition a ow soit vérifiée, ou bien la relation (OLED ARCS RAS (124) Cela veut dire que les droites de la congruence se rangent en cônes de révolution. En effet, pour v= const., on trouve que l'angle entre la droite de la congruence et la tangente de la courbe focale est constant. Considérons, en particulier, la congruence où cet angle est droit, de sorte que la congruence se compose des normales d'une courbe donnée. Elle peut étre représentée par G (v) + u(B, sinw + YP, cosw), où v désigne de nouveau l’arc de la courbe. Alors on aura 3 sin w cos W COS W == 9 D DUR D. Ge —- T Q Z Diw = B, cosw— JY, sinw, et, par suite, puisque ©, = %,, Gn (G, Du) =a = 2, a = (G, Dir) == 0, ij a (G, Gino) = 0, g == (OF Ore) == 0, E=(9.) = k gee 2s pk tt 1 , ae TE 0” T En vue de l’&quation (119) on obtient pour les points focaux du deuxième système 0 S COS U Done, la surface focale est définie par OPOE ig Wa re 17 (125) A Dans tout plan normal à la courbe focale, les points focaux sont donc placés sur une droite parallèle à la binormale, et pas- sant par le centre de courbure. 25* 184 LES VECTEURS DANS LA GEOMETRIE DIFFERENTIELLE. Par suite, la surface focale est la surface polaire de la courbe focale. Les développables sont définies par Fdv + Gdw = 0, ou bien par ou encore par w= |“ + const. ste oe pr ER § 51. Considérons la congruence définie par les deux courbes focales © — g(v) et 5 — À (w). En posant v= (t) et w — w(t), on obtient une surface réglée & (wu, t) =uG+ (1—u) H. Le plan tangent à cette surface est déterminé par les vecteurs Had et Feud, + (1—u) H, w’. Afin que la surface soit développable, il faut que la position du plan tangent soit indépendante de w, ou bien que les vecteurs 6—9, Gr —H,w et ©, w’ soient complanaires. Done, on a la condition vw ((6 — 9) [G, 91) = En posant v —0 ou wW=0, on trouve les cônes qui ont leurs sommets sur l'une des courbes focales et passent par l’autre. La relation (@ — 9) [6, 8,1) =0 exprime que les tangentes aux courbes focales en les points d'appui de la génératrice sont complanaires. Par suite, on trouve la surface développable ayant pour direc- trices les deux courbes focales. SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE PAR E. VAN DER VEN. MEY Dans la mode, dont les liquides sont transportés par le courant électrique, il ne restait jusqu'ici qu'un détail non suffisamment éclairci. En effet, si les poids de solutions d’un même sel de concen- tration différente, transportées dans un même temps, seront les réciproques du degré de concentration et que Id M=? km? ) représente la force transportante, alors — si J, d et m ont une valeur constante — le coefficient de conductibilité k devra être proportionnel à la concentration. Et nous savons que ceci n’est nullement le cas: qu'au contraire, quand la concentration augmente, la valeur augmenter d’une manière loin de proportionnelle. A la fin de notre dernière étude *) nous espérions pouvoir expliquer cette contradiction en supposant dans l'expression 1} EAV——.S' q ) 1) Archives du Musée Teyler, S. IL, T. VILL, p.p. 93—110, 199—233, 363 —390, 498-515. S. II, T. IX, p.p. 97-130, 218 —253, 572 — 604. 2) Archives du Musée Teyler, S. II, T. X, p. 86. 8) ” » “ » „ „Xl, „ 121. ©) n n ” n ” ” X, n 92. ARCHIVES XT. 26 186 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES la valeur de Æ variable avec la concentration. Mais cette suppo- S Q de la viscosité des fluides de concentration différente, dont nous sition implique cette autre, que la valeur de — soit indépendante savons qu'elle augmente avec celle-ci. L'examen, dont les résultats sont publiés dans les pages suivantes, nous a appris que la contradiction citée n’est qu’apparente ; qu’elle s'explique par le fait que pour chaque degré de concentration l'influence de la viscosité sur la quantité T, transportée par le courant, ne diffère pas de celle exercée sur la quantité Q, expulsée par la pression S du fluide sur la paroi de la vase poreuse; en d'autres mots, que c'est la force ces S qui elle-même est propor- Q tionnelle à 4V et par conséquent la réciproque de k. D où il suit que la valeur de la charge E est constante pour toutes les concentrations; du moins pour celles dont nous nous sommes servis pour nos recherches. Ce sont done les quantités 7 affectées de la viscosité c.-à-d. celles dont nous observons le transport, qui sont les réciproques du poids de sel anhydre continu dans l'unité de volume. Ces quantités ne sont pas proportionnelles à 4V, elles ne sont, par conséquent, pas les réciproques de la conductibilité k des solutions transportées; elles diminuent, par lors, plus rapidement qu'il ne serait le cas si l’influence de la viscosité, croissante avec la concentration, n’obstruait pas de plus en plus le transport. Si cette influence était constante, les quantités transportées de solutions de concentration différente seraient les réci- proques de leur conductibilité individuelle; elles diminue- raient moins rapidement qu'à présent. Un examen spécial de la mode dont la viscosité obstrue l’écou- lement des quantités Q, expulsées par la pression S, fait la base de ses recherches. Il comprend deux séries, chacune de six vases poreuses et se rapporte à trois solutions de deux sels, le sulfate de cuivre et le sulfate de zine, contenant respectivement 2%, 5, 7% grammes de sel anhydre, équivalent quant au sel de cuivre à 3.91, 7.82, 11.72 grammes, quant au sel de zine à 4.09, 8.19, 12.28 grammes de sel erystallise. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 187 Les dimensions des vases, savoir: leur rayon moyen (r), épais- seur moyenne (d) de leur paroi, (d) sa porosité relative (m), déter- 3 ul. Ss BEER ; minée selon la formule: Q=—7 de M. Poiseuille, !a pression (S) exercée sur la paroi par une colonne d’eau distillée de 142 mM. de hauteur et le poids (Q) de l'eau, expulsée par cette pres- sion en une heure, sont rasemblés dans le tableau suivant '). Vase | r | d | m Ss | Q il 33.4 mM. 4.35 mM. 0.485 mM. 2.115 gr. 26.36 gr. 2 31 „ hr ae A85 ', 0% , 25.45 , BA eS 2 … DES ABT 090 , 20.90 „ a ER GB ba a; 03 93.84 , 5 BEM BO Ann MH 20.10 „ 6 32.75 , 5.95 „ 467 , .058 , 18.40 , 7 330 Le 5.00 , 492, 090 „ 24.35 „ 8 CERA A854 467 , Sens 23.15 „ 9 33.5 „ Cure: HO, AA … 93.74 , thn 336% 40 , 400 , MIT 3 12.31 , il aes ea 0"; 490, A Re 24.60 „ 12 33.0 Dee ODER, 450 , .090 , 17.45 , En commençant par la solution la moins concentrée les trois solutions furent successivement poussées, pendant une heure, par la paroi de chacune des vases d’une série au moyen de leur pression latérale; en ayant soin toutefois que pendant chaque écoulement la température de la solution était comprise entre des limites réserrees. Les parties de cet examen, trois pour chaque vase, se succédèrent immédiatement, mais non sans que je m'étais assuré par la com- paraison des poids spécifiques des quantités successivement écoulées, que les parois ne contenaient plus rien de la solution, qui les avait tout à l'heure rempli. Quant aux valeurs des différences potentielle (/V), elles sont été déterminées de la manière, indiquée dans mon étude antérieure. Pour borner les déclinaisons de l'aiguille astatique, intercalée dans le fil qui réliait les bornes des deux cilindres métalliques, 1) Une appendice (pag. 198) contient les détails des observations. 188 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES il m'a fallu introduire une résistance de 600 ohm. Comme dans cette étude je n'avais affaire qu'à la proportion des valeurs 4V et que la résistance introduite était la même pour chaque obser- vation individuelle, je n'avais pas à craindre que l’introduction d’un facteur si considérable fit passer l'erreur probable des ampères observés considérablement agrandie dans la valeur des volts; comme cela aurait été le cas si j'avais eu en vue de déterminer les valeurs absolues des différences potentielles. Cu SO,. 71,, gr. de sel anhydre équivalent à 11.73 gr. de sel erystallise. 5 ” nn ” ” ” 7.82 ” » ” ’ 2 4 | 2 ” ” ” ” ” ” 3 u 9 l ” ” ” ” ’ sur 100 grammes d’eau distillee. 111.73 gr. de la fe solution (poids spéc. 1.0752) ont une vol. de 103.92 cM*, ROSE RE 5 5 5 “DY Aat en ep Uae: LOSS 5, os Be : ÿ 5 leid . de sorte que 100 eM3. des solutions successives comprennent respectivement: 7.217 gr., 4.855 gr., 2.467 gr. de sel anhydre, et ces nombres sont entre elles, comme 2.93 8) Use; SB HE Les poids transportés en une heure, par un courant d'un ampere, sont: Tij“. 5% 21,9], Vase Ne. lc [6:82,27 10.25 gr. 21.40 gr. RER D ER SIDE 12.40 , 24.10 „ ON 32.021000 15.04 , DOGO es ant MIE OD 10.60 „ 19.81 , Dieter. COLD: 2 10.40 „ 19/00 us ON LUNDI 14.35 , 98.50, Les inverses de ces nombers sont entre elles comme: pl 10 | 3008: 4595 1 OS NOM aly) | OO MEET AS 1 PB a et) 1 SL 205 1 ou, en moyenne, comme: Oi: | PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 189 S Les pressions latérales sont: 71/5 Plo 5 %o 21/2 °lo Vase’ N°, 1... 2274 gr. 2216 gr. 2168 gr. a nr 54 , 2196 „ 49 , MOOD Aïe 90m 49 , Se ee once 40 , 83 „ 35 , en AN Gi 2210, 62 Le lOc 36 , PATTIES > 26 , Q. Les poids, expulsés en une heure, par la pression latérale des solutions sont: 71/2 lo 5 lo « 21h lo Vase N°. 1. 20.45 gr. 23.50 gr. 25.80 gr. = ss 17.65 , 20.58 , 23.50 „ = nd. 14.76 , 18.50 , 19.80 , 2 a A 16.35 , 19.60%, 25.12) 5 a med: 11.85 „ 13.61 „ 15.50 , AE. 14.20 , 16.716, 17.90 , 5 st K=-—.S Q A Les forces transportantes sont: 71a lo : BREI A ets LL a Vase ‚NS, bs 5 30 45 9974 gr. = 758 gi 8.02 9 eS 9954 — A a » 2... 765 2954 , 1024 , 10.03 = D Seen SL ae — 15280, 14.76 2947 1528 6.64 Au ee a) == 910 eier. OO 6.70 DE 7 = 128 ” ” 11.85 2267 ” 1286 9 et. ws, = 1504, 190 Vase N°. d'où il suit: ou, en moyenne, SUR ake" LE TRANSPORT 5 Po 10.25 _ 23.50 12.40 OD 10 60 TD = 10.40 DES LIQUIDES . 2916 gr. de „2210, 13.61 14.35 NBG) > 242 lo 21.40 RED 94.10 9350) a 29,60 19.81 4 as 9125 4... 93.10 : Ma = 19.60 9 Be 1167 >: 15.50 2 ORF 6. 28.50 2196. 19:90 7% — 75 9 Sol 102471328: 1928571873 == 310: 21180 —11290 IBE = 1594 : 2197 : : 1800 2919 3129 : 1840 2749 3385 fe = ed ei bei B g GT ant 290215: 1180 , 1693 , DOM) 1500 er 2212 „ 3129 , 1840 , 2742 , 33855 , 1.27 PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 191 AV Les rapports des différences potentielles sont: Molo 5%o Ll Po VaSe NL TETE 7 OMS 0 95 ni er 3961219 ape ae ADs 150: 9662) 504.1 28:20:07 le ii 192: 984 : .584 — 1 JA: UI nd OON son: FIT 05 PET IS saris} ees ile 267 eile! Bas m6 98: 206: 908 = 1 92:09 La moyenne de ces rapports est comme 1 : 130 : 2.09. K Am ae Tp “Io 5% 21,9% Vase N°.1. E' nn — 07 Br = a= — 1014 EB” = == — 1158 7 = = = 2 a Sem ne = 1423 en = ET UMS ae — 1907 = raat — NU à Ste ti) oS == 955 LE = 1014 Bo = = =r Ee — 1585 = ze — 1534 AL aie — 4736. BE == — 1764 = = — 1774 Pour les charges moyennes, qu'une vase obtient par Je contact des trois solutions de concentration différente, on a done successivement: 1442 + 99.8 ; 1433 + 107.9 ; 1446 + 99.2 de sorte que ces charges sont ostensiblement égales. Zn SO,. 11, gr. de sel anhydre, équivalant à 12.28 gr. de sel erystallise. DUR | co „ 5 WEI. our à Ula on à 5 BML CNE ; sur 100 grammes d'eau distillee. 192 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES 112.28 gr. de la 1° solution (poids spee. 1.0772) = 104.65 eM°. ACEI IE gy a YE 5 (CO 5 MOT) =S MDI 102/09 Ne : (oui 4 264) — 101.40 , de sorte que 100 cM’. des solutions successives contiennent respectivement 7.166 gr., 4.851 gr., 2.464 gr. de sel anhydre nombres qui sont entre elles comme 2.91 : 1.97 GA] I Les poids transportes en une heure, par un courant d’un ampere, sont: 7p “lo 5 %o Zi, Vo Vase N°: 72... 16:80) gr. 10.36 gr. 19.90 gr. Seen 18:40, 1220 25.47, UT OT Ce Uy at 15.250, 31.35 , eee ID ER SIDE 19106 23.30 „ DAS Mees) 3 MS 15.38 5 31.46 , Mh SAO; 25-80 904, 17.34 , Les inverses de ces nombres sont entre elles comme: 903-2192 SLA 2:07 3.04 : 206 SOME Sal ON 204 III = — à ou, en moyenne, comme: 3.01 : 1.99 : 1 S. Les pressions latérales sont: 71) lo 5 “lo 21/3 Vo Vase N°. 7.... 2242 pr. 2194 gr. 2145 gr. a NO ee 69 , 2220. le nn ORE UD > % „ Tims =o ap MO 82 „ oo) 0 83 „ aegis lee 66 , je 68, 5 sae Al, DER 44 PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 193 Q ~~? Les poids, expulsés en une heure par la pression latérale des solutions, sont: 71, fo 5 Po 21, lo VaseëN? dm 1812007: 20.47 gr. 24.55 gr. en. di 102007. 17.53 , Al Mer co 100 16.84 , 20.63 , Cl IRRE 10.35 , lan € ank eis 10:25 eee 20.84 , 22.27, > SADE, 1548 , 1730 Les forces transportantes sont: Vase aN tek . 2978 , — 1195 , Vase N°. 7.... Gage . 2194 gr. = 1110 gr. Tes - 2220 , — 1558 „ 9 nor. 2296 , = 2017 , OC SA — 2602) 9, ao dsl. ess Olt Ty 1 — 1924... 19... +. 2192 , — 1984 , ARCHIVES XI. Patt 194 d'où il suit: I BAGS 8 ou, KCR SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES en moyenne, comme: 21), Lo Vise NON TE Le AD or GAT er: 25.47 5 \ 9 _ ae CR dcr AMI — : NE a be pr De. 23.30 10.20 ‚9183 "= 4899 RATE ie soo i SU LORIN Lee, 914% „ — 2144, LS le ge De AG 213675200 = 1195 : 1558 : 2660 — 1 : 1.30 : 2.20 =De Vil 3 SRN) =i BEN BDT = 1949 : 2602 : 4329 =1 : 1.34 : 9.99 = 1415 : 1924 : 3063 — 1 : 1.35 : 2.16 == Wig Wg EL SEEN ee Kk": K"=1:1.88: 2.16. AV. Les rapports des différences potentielles sont: Ty lo Bo 21h Plo Vase N°. ” ” ” Ze 8. 9! 10. Wile 12. AWE? AVES AV 08716 — | 0 Dene So——ales 966: .356 : 2.094 — 1 : LS LOG EME DS le: 199 Dot 3641 918.7 2256.2 SI: IE: 990): 929602100411 ou, en moyenne, comme: 1 : 1.33 : 2.04. 7 7: Of, 5 Vo = N Bene in = = on =. =, een = m om 1.32: 1.40: 1.31 1.39: 1.35 1.31 2.04 1.97 : 2.08 2.11 : 1.99 : 2.02 21}; Jo u — 90% on — 1950 = — 1734 oe = 4831 5 — 1674 2144 _ 970 PAR LE COURANT ÉLËCTRIQUE. a 195 Pour les charges moyennes, qu'une vase obtient par la contact des trois solutions de concentration différente, on a done: | 1303 + 105 , 1319 + 103 , 1404 + 109, de sorte que, en ayant égard aux erreurs probables, ces charges sont osten- siblement égales. Il paraît de ces tableaux: 1°. que les poids des solutions salines de concentration différente, transportés dans le même temps par un cou- rant d'intensité constante, sont — à cause de la viscosité différente de ces solutions — les réciproques des poids du sel, contenu dans l'unité de volume; 2°. que les valeurs des forces transportantes (k) sont directement proportionnelles à celles des différences potentielles (4V) et, par cela, les réciproques des coeffi- cients de conductibilité des solutions; 3°. que les vases poreuses, au moyen desquelles te transport s’est fait, sont d'une nature très différente, les poids (Q) expulsés par des forces à peu près égales, variant pe. entre 27.55 gr. (vase N°. 7) et 11.75 gr. (vase N°. 10) pour une solution contenant 2% °% de sulfate de zine et entre 25.80 gr. (vase N°. 1) et 15.50 gr. (vase N°. 5) pour une qui contient 24% de sulfate de cuivre; 4. que la différence des résistances, qu'une vase oppose à l'écoulement d’une solution contenant 72% de sel et à celui d'une solution qui en contient 2% % est loin d’être égale pour chaque vase; elle varie pour les solutions de sulfate de zine entre 6.02 et 2.25 gr. et pour les solutions de sulfate de cuivre entre 6.77 et 3.07 gr.; 5°. que des environ deux cent valeurs de la charge libre, qu'entre les limites de l’erreur probable une vase peut obtenir quand elle vient en contact avec une des solutions de concen- tration différente, il y a quant aux solutions de sulfate de zinc 193 et quant à celles de sulfate de cuivre 113 qui coincident, ce qui, en ayant à la grande difficulté des recherches de ce genre, ne nous fait pas douter à l’égalité des trois charges. Il nous reste encore à examiner, surtout dans le but de véri- fier ces recherches, jusqu’à quel point le rapport des valeurs 1/; qui en resultent, est en concordance avec celui trouvé dans mon DT 196 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES étude „sur une relation entre les valeurs k des solutions salines.” *) Il faut pour cela réduire les valeurs observées 4V, au moyen Id de Péquation 4V = ] lesquelles nous prenons d = 4.00 mM. et m = In v = à une même valeur de d et de m, pour 0.400 mM. Le tableau cité plus haut (pag. 192) nous fournira les données, dont nous avons besoin pour cette réduction. En faisant ainsi nous trouvons: VaserNO mi 2 Cu SO, T2 Plo 4 ‚400 235 0.708 X 435 X 160 _400 _ 235 .750 X 175 x 160 400 _ 218 792 X 475 > 160 900 X u x ze : 492 © 160 ‚400 207 S34 X 450 X 160 400 2185 918 X 595 X 160 6 ou, en moyenne: Il 1.062. 0.928. 1.911. 1.050. 0.959. 0.944. 5.884 0.981 + 0.063. Zn SO,. Ti, Lo 400 242 400 — 218 Vase N°. 7... 0.876 > 500 x 160 = 1.060. .966 X 185 X 160 = 0.963. 400 _ 221 NS X 460 X 160 = ‚936. 1.122 x eo LEO) ‚400 240 POOLS 490 * 160 — 400 — 203 160 .102. .990 X 195 X 160 — 025. ou, en moyenne: 1.018 + 0.053. Done les valeurs '/; des deux solutions de concentration égale sont entre elles comme 0.981 : 1.018 — 1 : 1.04; et dans l’étude que nous venons de citer nous trouvions ?) pour ce rapport: 1.395 : 1.657 = 1 : 1.2. Si nous comparons les valeurs de k, trou- vées par plusieurs savants par des méthodes directes, il paraît qu'entre les limites des erreurs probables le coëfficient de conducti- bilité électrique d’une solution de sulfate de cuivre est égale à celle d’une solution de sulfate de zine de concentration égale. Tandisque selon l’un de ces savants ces solutions-ci sont tant soit peu mieux conductibles, l’autre attribue la priorité à celles-là. Venu à la fin de ces recherches, je veux encore relever qu'elles font voir, comment les deux lois du transport des solutions salines, ; ER: ee ae : que jusqu'ici nous déduisions de l’observation seule. sont le résultat du concours de trois forces: la différence potentielle du courant 1) Archives du Musée Teyler, S. Il, T. XI, pag. 115. 2) Ibid. — pag. 118. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 197 aux deux parois d’une cloison poreuse, l’action de la charge libre du fluide contenu dans ses pores et la résistance opposée au mouvement du fluide par sa viscosité. Il est clair que, ce rapport consol étant trouvé, il n’est plus longtemps nécessaire de limiter la validité de ces lois aux solutions salines seules; qu’elles sont les lois selon lesquelles le cou- rant electrique transporte chaque fluide par une cloison poreuse. HAARLEM, janvier 1908. 198 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES Appendice 1. Examen des vases. Hauteur de l’eau distillée dans toutes les vases: h = 142 mM. VASE N°. 1. WASE Nowe Int. Ext. Int. Ext. Diamètre à niveau d'eau. 68.5 mM. 76.5 mM. 68.5 mM. 77.0 mM. 5 „ mi-hauteur... 67:00 TOM = 660 „ 215.02 aumton dr. 65.0: „ ARO 64.0 … TED) 200.5 226.5 , 198.5 297 0 3 3 — 3 —— 3 66.8 mM. 75.5 mM. 66.2 mM. 75.7 mM. Epaisseur moyenne...... d = % (75.5—66.8) = 4.35 mM. d = 4 (75.7—66.2) = 4.75 mM. Pression laterale......... S=7X142? X334X gr. =2115gr. S= X 142? X33.1X1 gr. = 2096 gr. sous lag. il efflue en 1 h. Q = 26.86 gr. d’eau. Q = 24,45 gr. d'eau. Porosité relative......... m= = = 0.485 mM. m= Ee = 0.485 mM. VASE NC, 3. VASE N°. 4. Int. Ext. Int. Ext. Diamètre à niveau d'eau. 67.5 mM. 76.5 mM. 68.5 mM. 77.0 mM. » mi-hauteur... 65.5 75.0 66.0 15:0) au fond... 65.0 15 00 63.0 . 75.0 198.0 296.5 197.5 227.0 , u 3 - 3 - Zn 66.0 mM. 75.5 m.M. 65.8 mM. 75.7 mM. Epaisseur moyenne....... d = MK (75.5— 66.0) = 4.75 mM. d= % (75.7—65,85) = 4.92 mM. Pression laterale......... S=nX1422X33.0xX1gr.=209%0gr. S=nX1422X32.IX1gr. = 2083gr. sous lag. il efflue en 1 h. Q = 20.90 gr. d’eau. Q = 23.84 gr. d’eau. Porosité relative......... m = af = 0.467 mM. m= À = = 0.487 M. VASE N°. 5. VASEANCAG: Int. Ext. Int. Ext. Diamètre à niveau d'eau. 68.0 mM. 77.5 mM. 67.00 mM. 77.0 mM. » mi-hauteur.. . WD TAO 65.50 „ EN — ET RN gren ome 65.0 , 745 „ 64.00 , 76.0 200.0 2970 , 196.5 298.0, 3 ——— 3 — 3 - 66.7 mM. 75.7 mM. 65.5 mM. 76.0 mM. Epaisseur moyenne...... d= % (75.7 — 66.7) = 4.00 mM. d= % (76.0—65.5) = 5.25 mM. Pression laterale......... S=nX1422%X33.35X1gr.=2109gr. S=nX142? X32 75X1gr.=2058gr. sous lag. il effluait en 1 h. Q = 20.10 gr. d’eau. Q = 18.40 gr. d'eau. A à Q.d =e O.d Porosité relative ........ m= “2 — 0.455 mM. m = À =~ = 0467 mM. S S Diamètre à niveau d'eau. 5 „ mi-hauteur... = au fond... Epaisseur moyenne...... Pression laterale.. ...... sous lag. il effluait en 1 h. Porosité relative......... Diamètre à niveau d'eau en „ mi-hauteur... 5 ALONG tree Épaisseur moyenne..... Pression latérale......... sous lag. il effluait en 1 h. Porosite relative...... .. Diamètre à niveau d'eau. 5 „ mi-hauleur... austond sara nce 20 Epaisseur moyenne...... Pression latérale......... 3 PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE VASE N°. 7. Ext. 77.00 mM. 76.0 mM. (76.0—66.0) = 5.00 mM. 42% X 33.00 X 1 gr. =2090 gr. d'eau. Int. 67.25 mM. 66.25 6450 „ 198.0 „ 3 66.0 mM. = 4 gs 1 Q = 24,35 gr. m= Od = 0.492 mM. VASE N°. 9. Int. 68.25 mM. 67.15 „ 65.00 „ 201.00 EN 67.0 mM. % (76.2—67.0) = 4.6 mM. n X 142? x 33.5 X 1 gr. = 2121 gr. Q = 93.74 gr. d'eau. OF dar = 5 M. VASE N°. 11. Int. Ext. 690 mM. 77.0 mM. 66.0 165 „ 650 , 76.0 200.0 „ 999.5 3 = 66.7 mM. 3 Ext. 77.5 mM. 75.5 , 155, 298,5 . 76.2 mM. 76.5 mM. % (76.5—66.7) = 4.9 mM. S=n X 142? X 33.35 X 1 gr. Q = 24.6 gr. d'eau. Q = — 0,490 mM. m = =9115gr. 199 VASE N°.8 Int. Ext. 68.5 mM. 77.0 mM. 670 , 15.0 „ 65.0 „ AMD. 200.5 , 226.5 3 —— 3 — 66.8 mM. 75.5 mM. d= % (75.5— 66.8) = 4.35 mM. = 142? X 33.4 X 1 gr. = 215 gr. AE = 93.15 gr. d'eau. ONG m= D .4 = 0.476 mM. S VASE N°, 10. Int. Ext. 69.0 mM. 77.0 mM. 67.0 76.0 , 65,5 75.00 201.5 28.0 , 3 - 3 —— 67.2 mM. 76.0 mM. 2 (76.0—67.2) = 4.4 mM. a X 1492 X 33.6 X 1 gr. = 2197 gr. Q = 12.21 gr. Q.d d'eau. = 0.400 mM. VASE N°. 12. Int. Ext. 67.75 mM. 77.25 mM. 66,25 , 75.50 66.00 75.00 „ 198.00 „ 997. 95 7 66.0 mM. 75.9 mM. % (75.9—66.0) = 4.95 mM. S= X 1422 X 33.0 X 1 gr. =2009 gr. Q = 17.45 gr. d’eau. ae m= = a = 0.412 mM. S 200 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES Détermination de She ST Iss OF Of OZ: qe 1% IRRE VE Vv. 11722 Cu SO. Vase N°. 1. 71, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids spécifique de la solution 1.0752. S' = 1.0752 X 2115 gr. = 2274 gr. f= 1 Amp: Transport. gh Om Os — 9h 10m 8s ... 10 gouttes. (OMS 20 16 10 5 20 16 30 22 10 30 22 40 28 10 5 40 28 50 29 10 5 50 29 10h 0 25 10 5 Poids des 60 gouttes: 60 gouttes. = 16:82} er; AV. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 18°, correspondant à une intensité de 0.00118 Amp. AV’ — 600 X 0.00118 — 0.708 Volt. à gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Podis spécifique de la solution: 1.0479. S” = 1.0479 X 2115 gr. = 2216 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: ” — 93.50 gr. T=1 Amp. Transport. gh Om Os — Qh {Om Os ... 16 gouttes. 10 0 20 6 IG 206 30 20 16 $ 30 20 40- 0 15 5 40 0 50 21 16 5 50 21 3h 0 37 16 5 Poids des 95 gouttes: 95 gouttes. 1057er: PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 201: AV. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 23°.5, correspondant à une intensité de 0.00159 Amp. AV" — 0.00159 X 600 = 0.954 Volt. 21}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee. Poids spécifique de la solution: 1.0251. Ss” — 1.0251 X 2115 gr. = 2168 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: 0” = 95.80 gr. TS Amp: Transport. gh Om Os — 9Jh 10m 8s ... 31 gouttes. 1018 20 0 30 = 20 0 30 13 31 5 30 13 40 2 30 N 40 2 50 10 31 h 50 10 102 0 18 ahi. Poids des 184 gouttes: 184 gouttes. 7” — 9140 gr. AV. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 34°, correspondant à une intensité de 0.00259 Amp. AV" — 0.00259 X 600 = 1.554 Volt. MaseeN:s, 2. Cu SO, 7'/, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee. Poids spécifique de la solution: 1.0752. S’ = 1.0752 X 2096 gr. — 2954 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Q’ = 17.65 gr. ARCHIVES XI. 28 202 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES ME mMp: Transport. go Om Os — 9h 10m 355 ... 19 gouttes. 10 #35 20 15 11 A 20 15 30 10 11 à 30 10 40 9 11 A 40 9 50 2 11 a 50 2 10h 0 47 12 4 Poids des 68 gouttes: 68 gouttes. P= 8:02 gr. AV. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 19°, correspondant a une intensité de 0.00125 Amp. AV’ = 600 0.00125 — 0.750 Volt. 5 gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids spécifique de la solution: 10479. Sa 104790209657, 2196er. sous quelle pression il effluait en une heure: Q" = 90.58 gr. TA mp: Transport. gh Om Os — 9h 10m 105 ... 18 gouttes. 10 10 20 6 18 “ 20 6 30 15 18 5 30 15 40 10 18 5 40 10 50 32 19 x 50 32 10h 0 22 18 a Poids des 109 gouttes: 109 gouttes. T” = 12.40 gr. AV. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 24°, correspondant à une intensité de 0.00161 Amp. AV" = 0.00161 X 600 = 0.966 Volt. 21), gr. de sel sur 100 gr. d'eau distillée. Poids spécifique de la solution: 1.0251. Ss” = 1.0251 X 2096 gr. = 2149 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: 9" — 23.50 gr. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 203 IT=1 Amp. Transport. gh Om Os — Qh 10m Ss ... 34 gouttes. 10 8 20 13 34 5 20 13 30 5 34 5 30 5 40 2 34 5 40 2 50 0 34 ge 50 0 10h 0 16 35 5 Poids des 205 gouttes: 205 gouttes. Ti Ie Ar er. AV. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 34°, correspondant à une intensité de 0.00259 Amp. AV!" = 600 0.00259 — 1.554 Volt. Vase N°. 3. Cu SO, 11, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee. Poids spécifique de la solution: 1.0752. S’ = 1.0752 X 2099 gr. = 2247 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Q' — 1476 gr. Amp: Transport. 9h Om Os — Jh 10m 15s ... 15 gouttes. 10 15 20 98 15 = 20 28 30 0 14 = 30 0 40 14 15 5 40 14 50 31 15 = 50 31 10h 0 10 14 5 Poids des 88 gouttes: 88 gouttes. T = 10.00 gr. AV. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 20°, correspondant à une intensité de 0.00132 Amp. AV’ = 600 X 0.00132 = 0.792 Volt. 28* 204 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES 5 gr. de sel sur 100 gr. d’eau distlllee. Poids spécifique de la solution: 1.0479. S” = 1.0479 X 2090 gr. = 2190 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Q” = 18.50 er. I=1 Amp. Transport. 9h Om Os — 9h 10m Is ... 22 gouttes. 101 20 15 23 5 20 15 30 25 23 5 30 25 40 5 22 5 40 5 50 21 23 N; DO 10E 0 0 22 5 Poids des 135 gouttes: 135 gouttes. T” = 15.04 gr. Ay. Resistance introduite : 600 Ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 2495, correspondant à une intensité de 0.00164 Amp. AV" = 600 0.00164 — 0.984 Volt. 2'/, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee. Poids spécifique de la solution: 1.0251. Ss” = 1.0251 X 2190 gr. = 2245 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: QV ==19:80 er: I=1 Amp. Transport. gh Om 05 — 9h 10m Os ... 40 gouttes. 10) 40) 20 4 41 5 % 4 30 8 42 7 SOMS 40 6 42 5 40 6 50 8 ho: (Me, 50 8 1067077 42 5 Poids des 249 goultes: 249 gouttes. T" = 99.60 gr. AV. Résistance introduite : 600 Ohm. Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 34°5, correspondant à une intensité de 0.00264 Amp. 1V'"— 600 0.00264 — 1.584 Volt. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 205 Vase N°. 4. 7! gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids spécifigue de la solution: 1.0752. S’ = 1.0752 X 2083 gr. = 2240 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Q = 10.35 gr. I=1 Amp. Transport. 9h Om Os — 9h 10m 34s ... 13 gouttes. 10 34 JDN 12 ef SOS 30 19 13 5 30), 19 40 27 13 ES 40 27 Om 13 50 31 10h 0 35 13 5 Poids des 77 gouttes. 77 gouttes. 116 Gamers AV. Résistance introduite: 600 Olm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 22°5, correspondant a une intensité de 0.00150 Amp. AV' = 600 0.00150 = 0.900 Volt. 5 gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids spécifique de la solution: 1.0479. S” — 1.0479 X 2.083 gr. = 2183 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Q” — 10.60 gr. d’eau. I=1 Amp. Transport. gh Om Os — 9h 10m 15s ... 19 gouttes. 10 15 20 98 19 4 20 28 30 10 18 5 30 10 40 24 19 = 40 2% 50 8 18 7 50 8 10h O 12 19 a Poids des 112 gouttes: 112 gouttes. TOG: AV. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 29°, correspondant à une intensité de 0.00206 Amp. AV" = 600 0.00206 = 1.236 Volt. 206 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES 21), gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids spécifique de la solution: 1.0251. Ss" = 1.0251 X 2083 gr. = 2135 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: QV =I Aer: I=1 Amp. Transport. gh Om Os — 9h 10m 15s ... 35 gouttes. 10 15 20 3 34 5 20 3 30 10 35 5 30 10 40 4 34 3 40 4 50 13 35 5 50 13 10h 0 9 LUS Poids des 207 gouttes: 207 gouttes. Pe =A Siler: AV. Résistance introduite : 600 Ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 38°, correspondant à une intensité de 0:00304 Amp. AV” — 600 0.00304 — 1.824 Volt. Vase N°. 5. 71), gr. de sel sur 100 gr. d'eau. Poids spècifique de la solution : 1.0752. S’ = 1.0752 X 2109 gr. — 2267 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Q = 11.85 gr. i= A Transport. 9h Om Os — 9b 10m 335 ... 11 gouttes. 10 33 20 36 11 5 20 36 30 45 11 5 30 45 40 35 11 5 40 35 50 28 11 h 50 28 10h 0 17 11 Bs Poids des 66 gouttes: 66 gouttes. 176.70 gr. AV. Resistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l’aiguille avait une declinaison de 21°, correspondant à une intensité de 0.00139 Amp. AV’ = 600 0.00139 — 0.834 Volt. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 207 5 gr. de sel sur 100 grammes d’eau distillée. Poids spécifique de la solution: 1.0479. S” = 1.0479 X 2109 gr. = 2210 gr, sous quelle pression il effluait en une heure: Q” = 13.61 gr. Amp: Transport. 9h Om Os — Ph 10m 55 ... 17 gouttes. 10 5 20 16 17 5 20 16 30 19 17 5 30 19 40 28 17 40 28 50 O 16 A 50 0 10h 0 6 17 4 Poids des 101 gouttes: 101 gouttes. T” = 10.40 gr. AV. Résistance introduite: 600 ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 26°, correspondant à une intensité de 0.00178 Amp. AV” — 600 X 0.00175 — 1.068 Volt. 211, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee. Poids spécifique de la solution: 1.0251. S” = 1.0951 X 2109 gr. = 2162 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: 0" = 15.50 gr. I=1 Amp. Transport. gh Om Os — 9h 10m 55 ... 31 gouttes. 10 5 20 12 31 à 20 12 30 1 30 = 30 1 40 8 31 af 40 8 50 14 31 : 50 14 108 0 5 30 5 Poids des 184 gouttes: 184 gouttes, T'"— 19.60 gr. AV. Resistance introduite: 600 ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 37°5, correspondant à une intensité de 0.00298 Amp. AV" = 600 0.00298 = 1.788 Volt. 208 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES Vase N° 6. 11}, gr. de sel sur 100 gr. d'eau distillee. Poids spécifique de la solution: 1.0752. Ss’ = 1.0752 X 2074 gr. = 2930 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Q' = 14,20 gr. = 1 Amp. Transport. 9h Om 05 — 9h 10m 975 ... 19 gouttes. 10 27 20 4 17 5 20 4 30 0 17 5 30 0 40 37 18 5 40 37 50 32 17 5 50 32 1020) 27 17 5 Poids des 105 gouttes: 105 gouttes. TAM ber: AV. Résistance introduite: 600 Ohm, Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 23°, correspondant à une intensité de 0.00153 Amp. 5 gr. de sel sur 100 gr. d'eau distillée. Poids spécifique de la solution: 1.0479, S” = 1.0479 X 2074 gr. = 2173 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: O6 le! T=1 Amp. Transport. gh Om OS — 9h 10m Ys ... 24 gouttes: 10 2 200 a 24 4 20 7 30 13 24 5 30 13 40 17 94 i 40 17 50 19 24 5 50 19 10h 0 17 24 5 Poids des 144 gouttes: 144 gouttes. T” = 14.35 gr. AV Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 28°5, correspondant à une intensité de 0.00201 Amp. AV" = 600 X 0.00201 = 1.206 Volt. PAR LE COURANT ÉLECTIQUE 209 21}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids spécifique de la solution: 1.0251. Ss" = 1.0251 X 2074 = 2196 er. sous quelle pression il effluait en une heure: 97 0er: IAA mp: Transport. 9h Om Os — 9b 10m Ys ... 47 gouttes. (US 20 5 47 i 20 5 30% 7 47 5 30 7 40 1 46 5 40 1 50 3 47 = 50 3 10h 0 4 47 5 Poids des 281 gouttes: 281 gouttes. T' = 98.50 gr. AV. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 39°, correspondant a une intensité de 0.00318 Amp. AV” — 600 X 0.00318 = 1.908 Volt. Zn SO Mise No 71}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids spécifique de la solution: 1.0772. S’= 1.0772 X 2090 gr. — 2251 gr, sous quelle pression il effluait en une heure: Ver. I=1 Amp. Transport. gh Om Os — Jh 10m Os ... 11 gouttes. 10 0 20 38 11 2 20 38 30 25 11 4 30 25 40 14 10 a 40 14 50 48 11 5 50 48 10» 0 18 10 = Poids des 64 gouttes: 64 gouttes. 71’ = 6.80 gr. AV. Résistance introduite: 600 ohm. Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 22°, correspondant à une intensité de 000146 Amp. AV’ = 600 0.00146 = 0.876 Volt. ARCHIVES XI. 29 210 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES » gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids spécifique de la solution: 1.0497. S" = 1.0497 X 2090 gr. = 2194 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Q" = 93.41 gr. IT=1 Amp. Transport. 9h Om Os — 9h 10m 175 ... 18 gouttes. 1017 20 8 17 5 20 8 30 35 18 : 30 35 40 20 17 = 40 20 DOW eb 17 5 50 5 10h 0 22 18 Poids des 105 gouttes: 105 gouttes T" — 10.36 gr. AW, Résistance introduite: 600 ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 27°.5, cerrespondant a 0.00192 Amp. AV’ = 600 0.00192 = 1.152 Volt. 21}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee. Poids spécifique de la solution: 1.0264. Ss” = 1.0264 X 2090 gr. == 2145 gr, sous quelle pression il effluait en une heure: OMAN DIET I=1 Amp. Transport. gh Om Qs — 9h 10™ 16s ... 34 gouttes. 10 16 20 5 33 > 2075 30 14 34 5 30 14 40 6 33 hd 40 6 50 16 34 o 50 16 10h 0 8 33 à Poids des 201 gouttes: 201 gouttes. hier: AV. Résistance introduite: 600 ohm. Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 37°.5, correspondant à une intensité de 0.00298 Amp. AV" = 600 0.00298 = 1.788 Volt. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 21% Vase N°. 8. 71}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids spécifique de la solution: 1.0772. S= 1.0772 X 2115 gr. = 2278 gr. sous quelle pression il effluait en une heure. Q' = 16.28 gr. T=1 Amp. Transport. 9h Om Os — Qh 10m 945 ... 15 gouttes. 10 24 20 35 14 5 20 35 30 13 14 4 30 13 40 8 14 is 40 8 50 29 15 5 50 29 10h 013 14 Ps Poids des 86 gouttes: 86 gouttes. T" —8.45 gr. AV. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 24°, correspondant 4 0.00161 Amp. 1V” = 600 0.00161 — 0.966 Volt. 5 gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids specifique de la solution: 1.0497, S” = 1.0497 X 2115 gr. = 2290 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Q” = 17.53 gr. I=1 Amp. Transport. 9h Om Os — 9h 10m 135 ... 22 gouttes. 10 13 20 3 21 5 20 3 30 20 29 4 30 20 40 15 21 ñ 40 15 50 8 21 5 50 8 10h 0 93 29 SS] Poids des 129 gouttes: 129 gouttes. T” = 12.30 gr. AV. Resistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une declinaison de 30°.5, correspondant a une intensite de 0.00226 Amp. AV” = 600 0.00226 — 1.356 Volt. 29* Le fear we SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES 21, gr. de sel sur 100 gr. d'eau distillée. Poids specifique de la solution: 1.0264. Ss" = 1.0264 X 2115 gr. = 9171 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: MEER T=1 Amp. Transport. gn Om Os — 9h 10m 15 ... 41 gouttes. (D 20 8 41 5 20 8 30 2 40 9 30 2 40 11 41 > 40 11 50 4 40 3 50 4 je OR 41 Poids des 244 gouttes: 244 gouttes. T" — 95.47 gr. AV. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 41°, correspondant à une intensité de 0.00349 Amp. AV’’ = 600 0.00349 — 2.094 Volt. Vase N°. 9. 71}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee. Poids spécifique de la solution: 1.0772. S’ = 1.0772 X 2121 gr. = 2284 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: 0 = 15.40 gr. I=1 Amp. Transport. gh Om Qs — 9h 10m 98 ... 18 gouttes. 10 2 I 7 18 5 20 7 30 9 18.7 jé 30 9 40 22 18 n 40 22 5013 F7) : 50 3 10h 0 17 LS 5 Poids des 107 gouttes: 107 gouttes. 0.32 Er. AV. Resistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport Vaiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 22°, correspondant à une intensité de 0.00153 Amp. AV = 600 0.00153 = 0.918 Volt. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 213 5 gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids specifique de la solution: 1.0497. S”= 1.0497 X 2121 gr. = 2296er. sous quelle pression il effluait en une heure: Q” — 16.835 gr. I=1 Amp. Transport. 9h Om Os — Qh 10™ 19s ... 26 gouttes. 10 19 20 10 25 = 20 10 30 21 26 5 30 21 40 14 25 40 14 50 9 25 3 50 9 10h 0 5 25 5 Poids des 152 gouttes: 152 gouttes. T” — 15.25 gr. AV. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 28°.5, correspondant a une intensité de 0.00201 Amp. AV” — 600 X 0.00201 Amp. = 1.206 Volt. 21, gr. de sel sur 100 gr. d’eau Poids spécifique de Ja solution: 1.0264. 8" 1.0964 2191 gr. = 2177 gr. sous quelle pression il effluail en une heure: Q’” = 20.625 gr. I=1 Amp. Transport. gh Om Os — 9h 10m Os ... 50 gouttes. 10 0 90" 11 51 5 20) a 30 0 50 a 30. 9 40 9 50 : 40 9 50 8 50 5 50 8 10» 0 8 TDs Poids des 301 gouttes: 301 gouttes. T" — 31.35 gr. ay, Resistauce introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 39°, correspondant à une intensité de 0.00315 Amp. AV" = 600 >< 0.00318 = 1.908 Volt. 214 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES Vase N°. 10. 71}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids spécifique de la solution: 1.0772. S’= 1.0772 X 2127 gr. = 2286 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Q’ = 9.50 gr. I=1 Amp. Transport. gh Om Os — 9h 10™ 965 ... 15 gouttes. 10 26 20 25 14 5 20 25 30 39 14 5 30 39 40 31 14 » 40 31 50 3 15 » 50 3 10h 0 10 14 ; Poids des 84 gouttes: 84 gouttes. TS gr. AV. Resistance introduite: Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 27°, correspondant à 0.00187 Amp. AV’ = 600 0.00187 = 1.122 Volt. 5 gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee. Poids spécifique de la solution: 1.0497. S” = 1.0497 X 2127 = 2233 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Q” = 10.35 gr. I=1 Amp. Transport. gh Om Qs — 9h 10m 165 ... 29 gouttes. 10 16 20 3 91 : 20 3 ann 117 99 5 30 17 40 5 21 à 40 5 50 16 29 a 50 16 10h 0 5 21 5 Poids des 129 gouttes: 129 gouttes. Te 1206 er. AV. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 34°, correspondant à une intensité de 0.00259 Amp. AV” — 600 0.00259 = 1.554 Volt. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 215 21/, gr. de sel sur 100 gr. d'eau distillée. Poids specifique de la solution: 1.0264. S= 1.0264 X 2127 gr. = 2183 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Oven: I= 1 Amp. Transport. gh Om (5 — Qh 10m 5s ... 39 gouttes. LOS FAV) fl 39 7 OD Hi 30 4 39 A 30 4 40 0 39 hs 40 0 50 12 40 a 50 12 LOOR 39 £ Poids des 235 gouttes: 235 gouttes. T" = 93,30 gr. AV. Resistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 43°.5, correspondant à une intensité de 0.00394 Amp. AV" = 600 0.00394 — 2.364 Volt. Vase N° 11. 71, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee. Poids specifique de la solution: 1.0772. S'— 1.0772 X 2115 gr. — 2974 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Q' = 16.25 gr. I=1 Amp. Transport. gh Om Os — 9h 10m 20s ... 17 gouttes. 10 20 20 33 17 5 20 33 30 14 16 = 30 14 40 0 16 » 40 0 50 17 17 5 50 17 10h 0 16 16 5 Poids des 99 gouttes: 99 gouttes. flO over: AV. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 23°, correspondant à une intensité de 0.00153 Amp. AV’ = 600 X. 0.00153 = 0.918 Volt. 216 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES à gr. de sel sur 100 gr. d'eau distillee. Poids spécifique de la solution: 1.0497. S” = 1.0497 X 9115 gr. = 9917 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Q” = 20.84 gr. Tr Amp: Transport. 92 Om Os — 9h 10m {0s 25 gouttes. 10 10 20 10 25 5 20 10 30 10 25 5 30 10 40 8 95 5 40 8 Ke 7 25 2 0 7 10h 0 9 95 3 Poids des 150 gouttes: 150 gouttes. T" — 15.38 gr. AV. Resistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 29°, correspondant à une intensité de 0.00206 Amp. AV” = 600 0.00206 = 1.236 Volt. 21}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids spécifique de la solution: 1.0264. S!" = 1.0264 X 2115 gr. = 2168 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Oer: I=1 Amp. Transport. gh Om 05 — 9h 10m 95 ... 45 gouttes. 10559 20 8 45 5 20 8 30 8 45 ; 30 8 40 9 45 5 40 9 50 45 5 50 8 102 0 11 45 a Poids de 270 gouttes: 270 gouttes. 131.46 er: AV. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l'aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 38°, correspondant à une intensité de 0.00304 Amp. AV!" = 600 0.00304 = 1.824 Volt. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE, 217 Was oa Nota De 7'/, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids spécifique de la solution: 1 0772. S’ = 1.0772 X 2089 gr. = 2250 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Q’ — 13.45 gr. IT=1i Amp. Transport. 9h Om Os — 9h 10™ 15s ... 10 gouttes. 10 15 20 44 10 3 20 44 30 28 10 5 30 28 40 0 9 5 40 0 50 44 10 5 50 44 102 0 19 9 4 Poids des 58 gouttes: 58 gouttes. 10 S0er; AY. Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 24°, correspondant à une intensité de 0.00165 Amp. AV’ = 600 X. 0.00165 — 0.990 Volt. 5 gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillée. Poids spécifique de la solution: 1.0479. S” = 1.0479 X 2089 gr. = 2199 gr., sous quelle pression il effluait en une heure: " — 15.48 gr. Tr Amp: Transport. 9h Om Os — 9h 10m 185 ... 14 gouttes. 10 18 20 36 14 4 20 36 30 19 13 be 30 19 40 14 13 5 40 14 50 10 13 3 50 10 10h 0 9 13 = Poids des 80 gouttes: 80 gouttes. TOL AV. Résistance introduite: 600 ohm. Pendant le transport l’arguille du multiplicateur avait une déclinaison de 30°, correspondant à une intensité de 0.00216 Amp. AV" = 600 X 0.00216 = 1.296 Volt. ARCHIVES XI. 30 218 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES ETC. 21}, gr. de sel sur 100 gr. d’eau distillee. Poids spécifique de la solution: 1.0264. S'” = 1.0964 X 2089 gr. = 2144 gr. sous quelle pression il effluait en une heure: Der I=1 Amp. Transport. gh Om Os — 9h 10m 195 ... 26 gouttes. 10 19 90711 25 : 20 11 30 8 25 5 30 8 40 5 25 5 40 5 50 0 25 2) 50 0 10h 0 20 26 a Poids des 152 gouttes: 152 gouttes. TN Mer: AVE Résistance introduite: 600 Ohm. Pendant le transport l’aiguille du multiplicateur avait une déclinaison de 39°.5, correspondant à une intensité de 0.00334 Amp. AV" = 600 X 0.00334 = 2004 Volt. ARCHIVES DU MUSÉE TEYLER SÉRIE II, VOL. XI. Troisteme partie. LIBRARY NEW YORK BOTANICAL GARDEN HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1909. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E SCHULZE, u } Are | : 7 fy) am : A a a f at) ey | Pr im dis ve | nip j we un $ 4 x, M 7 © ui Pant : 5 ti pal y r IE D D A ri Mn PEPE KE PLY te LM ' un à. k he À. a En : u : wi. , 4 5 PER i ; - as u ijs ï 4 ur u > aie ae ee 1073: ls 0 4 yt 7 arm ? { À an” | NAN 3 4 a 4 we ü { LOIRE (- + i a - Enz sts mi Ira | Arial An IT ER 1 0 1909 APR ANS: Er En ouvrant cette nouvelle série l’Institut scientifique et littéraire de la fondation Teyler a l'honneur d'informer les lecteurs des Archives, que M. M. les Directeurs ont résolu de lui en confier dorénavant la rédaction, qui, à partir de ce jour, se fera sous sa responsabilité. Les Archives, comme l’indique déjà leur titre, contiendront d’abord la description scientifique des principaux instruments de précision et des diverses collections que la fondation possède, ainsi que les résultats des expériences et des études, qui seront faites par leur moyen, soit que ce travail soit fait par les conservateurs de ces collections, soit par d’autres, auxquels les Directeurs en auront accordé l’usage. En second lieu, et pour tant que l’espace disponible ne sera pas occupé par ces publications obligatoires, les pages des Archives seront ouvertes aux savants, dont les travaux scientifiques ont rapport à une des branches, dont la culture a été recommandée à l’Institut par son fondateur. Pour de plus amples informations à cet égard on est prié de s'adresser au Secrétaire de l’Institut, E. VAN DER VEN. HAARLEM, janvier 1881. endAtif tw LUI SQL BASF TONER 273 FALSE ML wii: EE TRE CN © % “ill eut en! ‘OCT Et fi halt Á rund adt a nun MAAT leert More tome ble SW ur, DAN il LA “a sung ished Tian de ih a! tu}, d iy, tee u Hin val el ili lead 460) 7 toile pi GO Tew! Oi ia) yi diet cull aid A tier gj fed cis LOC Pie) erly ie MINE \ IE al ei array) ea) TES ( reed FM) PI wij Hii}! ia “ei sit En une 3 Mi ae OL A Tee 0 OCEAN! 4 wos be wil « ze PL at) Shiba Li kj Du: Fa nu lé (CR) VENS o FM Ur TAA West SEI ILE | MN BEN wat GMT Via MADE iM zendt |. (LORE . u 14114 POULE B aile egel OT 87 Dial, ody Ie olet MATE Be En NEL CONTRE jan! adh u iad er an ay, U A eee rens ei 111 Hide tit aat lv ri se ral MEDD rot WA o WARY nl dur medio mél, S08 / Pie riana Ot HOB Vee Tant al) A oe itd eas ati. di rum rg ik ci LE | ib etats tiu tutti Ÿ CN VARIE. PROGRAMM DER TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT ZU HAARLEM fir das Jahr 1909. Die Direktoren der TEYLERSCHEN Stirrune und die Mitglieder der TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT haben in ihrer Sitzung vom 21 Oktober 1908 ihr Urteil festgestellt über eine in holländischer Sprache verfasste Antwort auf die Frage: „Was ergibt sich aus den Schriften des Eras- mus tiber seine theoretische und praktische Stellung zur Religion?” Die Antwort, die das Motto trägt: Valt den boom ten eersten slach nyet Daervan is clein swaricheit Hij en groyt op eenen dach nyet Die volhert en wint den strijt. (Mey-liet). hat zu grosse Gebrechen, als dass ihr der Preis zugesprochen werden könnte. Sprache und Stil sind sehr mangelhaft. Die Ein- leitung des Stoffs ist wenig glücklich und hat zur Folge, dass der Verfasser umständlich breit wird und fortwährend in Wieder- holungen verfällt. Oft werden Ausspräche von Erasmus, die sich widersprechen, neben einander gestellt, ohne dass versucht würde den Widerspruch zu erklären. Dagegen erkennt die Gesellschaft gerne an, dass die Antwort Fleiss und Ausdauer verrät, das es vornehmlich im zweiten Teil nicht an scharfsinnigen Bemerkungen fehlt und dass der Verfasser sich streng an seine Aufgabe gehalten hat. Darum wurde beschlossen, dem Verfasser, wenn er seinen Namen bekannt macht, eine Summe von fl. 200 zuzuweisen. Doch kann seine Arbeit nicht unter die Werke der Gesellschaft auf- genommen werden. Ausgeschrieben bleiben die folgenden Preisfragen: 1. Zur Beantwortung von 1 Januar 1909: „Die Gesellschaft verlangt eine systematische Auseinandersetzung der sittlichen Gedanken in Boendale’s „Lekenspieghel” und in der gleich- zeitigen niederländischen Literatur.” Zur Beantwortung vor 1 Januar 1910: 2. „Die Gesellschaft verlangt eine Antwort auf die Frage: Welche Rolle hat das Luthertum gespielt im Niederländischen Protestantismus vor 1618; welehen Einfluss haben Luther und die deutsche Reformation auf die Niederlande und auf Niederländer geübt und wieist es zu erklären, dass diese Richtung gegenüber ande- ren in den Hintergrund getreten ist?” 3. „Wie verhält sich der Calvinismus unserer Tage zu dem des 16ten Jahrhunderts hinsicht- lich seiner Lehren?” Als neue Preisfrage, zur Beantwortung vor 1 Januar 1911. wird ausgeschrieben : 4. „Die Gesellschaft verlangt eine Studie über die Religiosität der ländlichen Bevölkerung Frieslands von heutzutage.” Erläuterung: Die Gesellschaft verlangt nicht sowohl eine Be- schreibung der Bevölkerung nach ihrer Zugehörigkeit zu den verschiedenen Kirchen und religiösen Richtungen, als vielmehr eine Untersuchung nach der Religiosität der Individuen in den verschiedenen Kreisen, nach möglicherweise vorhandenen Eigen- tümlichkeiten dieser Religiosität im Vergleich zu derjenigen in andern Gegenden unserer Vaterlandes, sowie eine Erklärung dieser Eigentümlichkeiten aus der Herkunft der Bevölkerung oder aus anderer Ursachen. Der Preis besteht in einer goldenen Medaille von f 400 an innerem Wert, die ausgehändigt wird, sobald die gekrönte Arbeit druckfertig vorliegt. Man kann sich bei der Beantwortung des Holländischen, Latei- nischen, Französischen, Englischen oder Deutschen (nur mit Lateinischer Schrift) bedienen. Auch müssen die Antworten voll- ständig eingesandt werden, da keine unvollständige zur Preis- bewerbung zugelassen wird. Alle eingesandten Antworten fallen der Gesellschaft als Eigenthum anheim, welche die gekrönten, mit oder ohne Uebersetzung, unter ihre Werke aufnimmt, sodass die Verfasser sie nicht ohne Erlaubnis der Stiftung herausgeben dürfen. Auch behält die Gesellschaft sich vor, von den nicht mit den Preis gekrönten nach Gutfinden Gebrauch zu machen, mit oder ohne Vermeldung des Namens der Verfasser, doch im ersteren Falle nicht ohne ihre Bewilligung. Auch können die Einsender nicht anders Abschriften ihrer Antworten bekommen als auf ihre Kosten. Die Antworten müssen nebst einem versiegelten Namens- zettel, mit einem Denkspruch versehen, eingesandt werden an die Adresse: „Fundatiehuis van wijlen den Heer P. TEYLER VAN DER HULST, te Haarlem”. : 5 | Fi | | : u G 3 à . — we es En i u | 7 L : ö 2 7 = pe : En MB ivi > os Ecru Ey ‘hap pat bona ms) pip, | CA ay dires PATATE EU vit. DONG), Deu AUTOS CRIER | Pees "| «ni tune mi iy wer y A das, CU et ori? Ye Si lu 7 mn RE 34 hand me es ie su ims tii ia & avita berta. Ls cité rra ras yeh © ame Hij ee Ka, © irae ui Mama Peintre bell hé oy a ten Ree LPO Es TOR NT ibe oe er Wied DU Pe NOT dre Werchte Nrs te AAM re! | j ne wi E ß in 7 ict E | iy N ea bi leer MH ’ à d { h 4 1 a Hit ‘ i 4 F A iy . 7 À is Lait | ‘ett A, Pia ya ty i 8 if | ' à il : N 1 (l'a u pe ¥ ' 4 i eri j Ra =) | i! MEL: d | dh mat u OU Hi a | 1 { L PAR NT A Nigh py a i 7 DER ay Hi dae iat wr i ute Get TL IT AT LEEN Art ode nas ts, RUE PO (Tu q \# 4 ur i 4 N FAN WU | } Í N (ATR MATT B i Vita a ’ ' ’ ia) i à! ia ee | | , Kk I L # u = 2 TABLE DES MATIÈRES. Sur les configurations combinatoires et sur la multiplication de configurations, par J. A. BARRAU. Théorie générale de l’association de molécules semblables, et de la combinaison de molécules différentes, par J. J. van Laar. Sas AM BSG 3.1AAT At daad beset) i il CLA u end PAI Wa ht lita wel he ede) Be hay CU GET URI mr ais Me amhali Are aff ee ah adds mild, wa MA: cn tan un ehh St ue ir FONDATION DE P. TEYLER VAN DER HULST, À HAARLEM. Directeurs. ies ZOCHER: P. LOOSJES. Mr. A. W. THONE. J. J. VAN OORDE. J. A. FONTEIN. Secrétaire. Mr. W. F. ©. C. PIJNACKER HORDUK. Trésorier. J. J. DOEGLAS. Conservateur du Cabinet de Physique. Dr. E. VAN DER VEN. Conservateur du musée de Paléontologie et de Minéralogie. Prof. Dr, EUG. DUBOIS. Bibliothécaire. J. J. VERWIJNEN. Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures. IE Er EU Conservateur du cabinet numismatique. MEMBRES DES SOCIÉTÉS TEYLERIENNES. De la première Société ou Société de théologie. Prof. Dr. S. CRAMER. Prof. Dr. I. J. DE BUSSY. Dr. J. G. BOEKENOOGEN. Prof. Dr. D. E. J. VOLTER. Dr. A. C. DUKER. Prof. Dr. H. J. ELHORST. De la seconde Société. Dr. E VAN DER VEN. J°. DE VRIES. Prof. Dr. HUGO DE VRIES. JEG Ops Wht, IP, di, IBILION, Dr. H J. DE DOMPIERRE DE CHAUFEPIE. E. W. MOES. SUR LES CONFIGURATIONS COMBINATOIRES ET SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS PAR J. A. BARRAU. $ 1. Definition, détermination analytique. Une Cf. est qualifiée combinatoire, quand il est possible de noter ses points (Æ,) par les combinaisons de p-ième, ses droites (Hij) de! (p + L)-ième, ....... ses E, par les combinaisons de (p +)-iéme classe de N lettres, de sorte qu’un E, est situé dans un E,, chaque fois que les lettres de la notation de l’E, se trouvent parmi celles de la notation de l’Z;. Les Off. réciproques, où la notation des E, comprend (p —x) lettres, sont contenues dans la même définition, parce qu’on peut, sans ambiguité, remplacer toutes les notations par leurs complé- mentaires. Pour la construction des Cff combin., il y a plusieurs méthodes géométriques '), dont on doit regarder comme fondamentale celle de CAYLEY — SCHUBERT — VERONESE; aussi la classe des Cff. combin. est souvent désignée avec les noms de ces géométres. Une méthode analytique qui, pour le cas p —2, détermine les points de la Cf. combin, est obtenue par l’extension d’une con- struction statique de M. Jung ?). En effet, écrivons une matrice de nombres algébriques: a, ee Oki | b b b 1 TS see ele n+1 . N lignes, area : \ 5 a 2) = aie elles Ant | satisfaisant aux conditions: 1) Comp. la Dissertation de l’Auteur (Amsterdam, 1907), p. 57. *) Annali di Matematica, 2° Ser. XII p. 169. ARCHIVES XI. 31 220 SUR LES CONFIGURATIONS COMBINATOIRES ET Oy ae On Seo ay Shy se D Sa == ce soon =, et désignons, dans un espace Æ,, par une combinaison de deux lettres, ch par exemple, un point, dont les coordonnées homogènes sont les sommes des nombres dans chaque colonne, à partir de la ligne c, jusqu’à la ligne Ah, donc: (reason) (Gi TEE er te h (Crt ar di An goo Jr): La notation inverse he donnera le même point, toutes les coor- données ayant changé de signe; et trois points comme ch, hr et re seront situés dans une droite chr, parce que dans la matrice de leurs coordonnées tous les déterminants d’ordre 3 égalent zéro: (ch) + (hr) (re) =O. Pour p> 2 cette méthode, qui n’exige que quelques additions, n’est plus applicable, il faudra alors recourir à la fondamentale: prendre arbitrairement N points dans un LH, et former les équa- tions de tous les E,_, passant par p de ces points, enfin l’inter- section de ces E,_, avee un #,,_,,, donne les points de la Cf. voulue. § 2. Première Extension de la Classe des Cf. combin. Exposons ici une méthode qui, pour p= 2, donne encore les Off. combin. ordinaires, mais qui reste applicable pour p> 2 et définit alors une nouvelle classe de Cff., méritant toujours la qua- lification de „combinatoire”, et comprenant la classe ordinaire com- me le plus simple des cas particuliers. A cette fin, composons un agrégat de nombres: di Ute Ap Tor Ago--+Gap +... Antti Ant? + + + + A+4i,p bi: bio ... bi,» Doa Do, ae be,» OND ord Dr Dn+1,2 GSD bite 21,1 Zia eee Zip 2921 229... Say ce... Tn411 2n41,2 ce. 2nHi,p satisfaisant aux conditions: Co Ar Orr Vin Ar Cie Vi,9 SP domo. Ar Ci» al Oo, 0 + Co Vor An 03,9 Lo, 9 Sr do ao ar Cop Lo, p == 0 er eel 0 (elle edi, ine Lomo OPOE ete) OPO dn PORT 1 : x Y ze Cn41,0 Su Cn+a,1 Uni À Cn41,2 Urost Caen Lat, p — 0 ; où x parcourt toutes les lettres a,b, ....... us SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS. 221 Formons ensuite pour chaque combinaison de p de ces lettres les déterminants d’ordre p dans les (n+ 1) colonnes principales et considérons les valeurs de ces (n + 1) déterminants comme coordonnées homogènes d’un point en Æ,, que nous indiquons par la combinaison choisie. Alors, dans une méme colonne principale, les (p + 1) déterminants contenus dans une combinaison de (p + 1) lettres, satisfont en vertu des conditions imposées à une relation linéaire et cette relation reste la même pour les déterminants cor- respondants dans chaque autre colonne principale. Pour cette raison, dans la matrice des coordonnées des (p + 1) points, tous les déterminants d'ordre p égalent zéro, et les points sont situés dans un seul #,_ı. Pour p= 2, on retrouve les ternes de points comme ab, be, ca, situés dans une droite abe, done les Öff. combin. ordinaires. Pour p—3, quatre points comme abe, abd, acd, bed ne sont plus situés dans une droite (comme dans les Cff. de VERONESE), mais dans un plan abed. Deux plans abcd et abce ont un point abe en commun, ils déterminent done un E, '); le plan abde a ses points abd et abe dans cet E,, les trois plans déterminent un E,; dans cet H; sont situés aussi les plans acde et bede, parce qu’ils y ont trois de leurs points, cet Æ; reçoit donc la notation abcde. En continuant ce raisonnement on trouve des Æ, notés par les combinaisons de 6-ième classe. ensuite des Hy, My .... Em, ou 7, satisfait à la relation récurrente: OPA — ne ta En général, pour p quelconque. on obtient des Cll. combinatoires, réalisées en éléments linéaires, dont les nombres successifs des dimensions forment une suite arithmétique de deuxième ordre ?), définie par les deux termes initiaux : N, = 0 n,=p—l et par la relation récurrente: Ny = 2 Nii — Nz-2 + (p — 2). 1) Un exemple numérique suffit pour prouver qu’ils ne sont pas, générale- ment, contenus dans un £3. ?) Excepté quand p — 2, elle devient alors la suite naturelle. 31* 222 SUR LES CONFIGURATIONS COMBINATOIRES ET Par l'intersection des Öff obtenues avec un Æ, quelconque on peut, ici aussi. abaisser d’une quantité égale la dimensionalité de tous les éléments de la Cf. à la fois. § 3. Notations incomplétes dans les Cff. combin. Dans chaque intervalle entre deux nombres successifs n, ; et n, de dimensions des éléments des Cf. précédentes, on peut inter- caler un nombre », =n, —(p —2), pour lequel il y a des espaces diagonaux '), qui contiennent un nombre fixe d’éléments de moins de dimensions de la Cf. et qui sont contenus en nombre fixe dans des éléments de dimensionalité plus élevée. Pour p—3 par exemple, la notation abcde signifie, comme nous avons vu, un E,, contenant les cing plans abed,.,.., bede, dont chaque paire, comme abcd et abce, détermine un Æ,. Un tel Æ, est indiqué sans ambiguïté par la notation incomplète abc (de), VE, abcde en contient visiblement dix. De même la notation abcd(ef) dénote un E,, déterminé par les deux E, abcde et abcdf; la notation complète abedef, qui représente un Æ, de la Cf. contient 15 de ces incomplètes; et ainsi de suite. Rien n'empêche enfin de considérer aussi des notations comme ab(cde), abc(def),...ab(cdef), abc(defg) ete., avec une signifi- cation analogue, seulement le nombre de dimensions de ces éléments diagonaux pourra être égal à celui d’une sorte d’éléments mêmes, sans équivalence dans la structure de la figure totale, celle-ci de- vient alors une Cf. non-homogène. ?) Dans la Cf. totale on peut toujours, en ne regardant que deux sortes d'éléments (originaux ou diagonaux), isoler un nombre de sub-Cff, nous en signalerons une classe spéciale, caractérisée par une propriété remarquable En effet, isolons les éléments indiqués par une notation complete de (N — 2) lettres, avec ceux indiqués par une notation incomplète du même nombre (N — 2) de lettres avec les 2 autres entre paren- thèses, la dernière notation peut, dans ce cas spécial, être remplacé sans ambiguité par ces 2 lettres seules. Alors, en vertu de la 1) Pour les Cf. p—2 ces E,, sont identiques aux Hy, de la Cf. 2) ,ungleichmässig”, comp. ZINDLER, Wiener Sitz. ber. 98, p. 507. SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS. 223 signification géométrique des notations, un élément de première sorte !) sera contenu dans un de l’autre sorte précisément quand les deux lettres de la notation incomplète ne se trouvent pas toutes les deux parmi les (N — 2) de la complète. Mais dans la Cf. combin. ordinaire 2 lettres indiquent un point, (N—2) lettres un Hy 3 et un point est contenu dans un Ex; quand les 2 lettres se trouvent toutes les deux parmi les (N — 2); le diagramme de cette Cf. est donc parfaitement complémentaire à celui de la Cf. isolée en question. Comme exemple, nous prenons N — 5, on obtient: d’une part la Cf. (10,) plane de DesarGuES avec le diagramme suivant, points ab ac ad ae bc bd be cd ce de abo 7 | NT. JAN | | | abd| I se T | | abe 1 iG: | DA | acd | 1 1 | | | E | er | 7 droites Ace | 1 | i | | | | | 2 ade D Jr | ss | De bed RR | ES PET 7 | bce en | it 7 | | JE hal = Dt NE cde | | | | | J. | N | où I dénote l'incidence d’un point dans une droite; d'autre part la Cf. (10,) de points et d’ E,, située dans un Hs, avec le diagramme complémentaire: 1) Par l'intersection avec un Æ; la dimensionalité de ces éléments peut être abaissée jusqu’à ce qu’ils soient des points. 9294 SUR LES CONFIGURATIONS COMBINATOIRES ET E, abisachiad, ae. D bd lbels icdicemmade ae | |r| z | zu | abd a Rae jel AB abe | df I th) JE | Jh eel sl PT aloe | NS IE) Sa points acel I | JE E E | r | I | Ï ade ENT | Al ea I | | JE | bed a ee) = zj ee uf 5 | ZEN JT bee | | ler) re er PA: bde| I 2 ra NE | id m edey 1 | I AE aie) a | | On peut construire cette Cf. indépendamment en prenant pour six points, dont les notations contiennent une même lettre, les sommets d’un simplexe fondamental en Ws, abe = 100000 acd = 000100 abd = 010000 a ce = 000010 abe= 001000 a de = 000001 Pour les 4 autres points, qui ont à satisfaire aux relations d’in- cidence, le nombre de solutions est encore &°, une de ces solu- tions est: Bed N et bae=0. 74,070 bee=1 0—1 0—1 0 cde= RINDE s 4. Deuxième Extension: Off. combin. imprimitives. Méthodes géométriques spéciales. La première extension ne concernait pas les notations des élé- ments ou la loi de leurs incidences, mais seulement le choix des éléments à représenter par ces notations; nous nous proposons maintenant de donner une extension aux notations aussi, tout en conservant la loi des incidences. 1) Un autre exemple de Cff. complémentaires est donné Nieuw Archief voor Wiskunde. 2° Ser. VIII, p. 196. SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS. 225 A cet effet, nous introduisons, sans nous occuper provisoirement des éléments géométriques qu’elles pourront représenter, des notations imprimitives de mn lettres, divisées en m systémes de n lettres, de sorte qu’on considére comme identiques toutes les formes d’une notation ot les systémes entre eux, aussi bien que les lettres d’un méme systéme, sont permutés d’une maniére quelconque. Aux éléments de l’autre sorte nous donnons des notations où est ajouté, dans un seul des m systèmes des notations précédentes, un nombre fixe » de nouvelles lettres !), et nous considérons comme incidents deux éléments de sorte diverse quand la notation du second élément peut être obtenue de l’autre précisément par la methode définie. I] résulte toujours un schéma de Cf. combin. imprimitive, com- posé par exemple pour m—2. n—=2, » —1, N—6 de 45 nota- tions (ab) (cd) et 60 notations (ab) (cede), la Cf. est une Cf. (45,, 60, ). En effet, (ab) (cd) est incident avec (abe) (cd); (ab) (ede); (abf) (ed); (ab) (edf), (ab) (cde) est incident avec (ab) (cd); (ab) (ce); (ab) (de) En général m—n— 72, » — 1 donne des Cf: | ie (2)! Nt) | m (5)! i dont nous voulons montrer qu'elles peuvent être réalisées en points et droites dans un plan. Il suffit pour cela de noter N points du plan avec les lettres a,b,c... . et de désigner par (ab) (cde) le pôle de la droite ab par rapport à la conique abcde; par (ab) (cd) le lieu des pôles de ab (ou de cd) par rapport aux coniques du faisceau par a, b, cet d, c’est-à-dire une diagonale de abcd. Alors (ab) (ed) et (ab) (cde) sont incidents, donc: les diagonales de tous les quadrangles complets, dont les sommets sont choisis parmi N points donnés, forment une Cf. combin. imprim. Et réciproquement: les points-diagonaux de tous les quadrilatères complets, dont les côtés sont choisis parmi N droites données, forment une Cf. combin. imprim. Pour m= 2, n quelconque, » —=—1 on obtient une Cf. imprim. en prenant N points a, b, c . ... dans un Æ, ; et en construisant les hyperspheres E};_s, passant par tous les groupes de n qu’on peut 1) » est négatif, si les lettres sont supprimées (comp. § 5). 926 SUR LES CONFIGURATIONS COMBINATOIRES ET choisir parmi ces N points. Par la notation imprim. de 2x lettres on désigne alors lH,» linéaire radical des deux hypersphéres indiquées par les deux systèmes d’imprimitivite. La notation composée de n et (n—1) lettres au contraire doit représenter l'E, 3 par lequel passent tous les E,_, radicaux de l’hypersphère fixe par les n points avec les hypersphères du faisceau, déterminé par les (n— 1) points. La loi d'incidence est ainsi satisfaite, la Cf. est réalisée en H,_3 et Eu», dont les dimensions peuvent, par intersection, être abaissées à 0 et 1 resp. ll est à remarquer que la Cf. obtenue est spéciale: elle est inscrite dans une Cf. primitive, parce que ses E,_; sont tous con- tenus dans les Æ, > désignés par les combinaisons de (n—l)-iême classe des N points 1 $ 5. Méthode géométrique générale. La possibilité, en éléments linéaires. de toute Cf. combin im- prim. est assurée par la methode suivante. Indiquons par a, b,c... . des points en nombre N et situés dans un E, (x à choisir convenablement), et désignons par une notation imprimitive (m et n quelconque) le lieu géométrique (toujours linéaire) des points, dont les distances à tous les n points dans chacun des m systèmes, sont égales entre elles, de sorte que, par exemple, (abcd) (efg h) soit le lieu des points P pour lesquels: Pab Be Pd et). Pe— Pi — rg — Fh. La méme signification est attribuée aux notations avec lettres ajoutées ou supprimées, alors on a évidemment satisfait à la loi des incidences d’une Cf. combin., les limites (positive et négative) entre lesquelles il existe encore des éléments qui correspondent aux valeurs de » dépendent des valeurs de x et de N. Les Cff. obtenues par cette méthode ont toutes la propriété spéciale que leurs éléments sont des sections d’éléments d'une Cf. combin. ordinaire, qui sont les lieux des points a distances egales des n ou (n ++) points d’un même système, visiblement ces éléments satisfont entre eux à la loi d'incidence combinatoire. Inversement les éléments des Off. obtenues ont des sections mutuelles qui sont éléments d’une Cf. primitive, de cette manière la notation prim. abedefgh est la section de 35 éléments imprim. (abcd) (efgh), etc. SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS. 227 Pour mettre en évidence que cette propriété est vraiment spéciale, il suffit de comparer à la Cf. (45, , 60,) du § 4, celle qu’on obtient en construisant, pour six points a, b, c, d, e, f de l’espace ordi- naire, les 45 droites (ab) (cd) et les 60 points (ab) (cde) suivant la méthode des distances égales, et en projetant la Cf. dans l’espace sur un plan. Alors les droites comme (ab) (cd); (ac) (bd) et (ad) (bc) passeront par un point abed, la projection du centre de la sphère par a, b, c, et d, et la Cf. possédera 15 de ces points diagonaux. Mais avec la construction du § 4 une telle situation est impossible, (ab) (cd), (ac) (bd) et (ad) (bc) étant les trois diagonales d’un quadrangle complet abed. Par le principe d’intersection on peut, dans la Cf. totale et générale, aprés avoir isolé les éléments de notations voulues, réduire à zéro la dimensionalité inférieure, de sorte que la Cf. isolée commence par des points. En résumant, nous avons: la figure complete des sections des E,_, de bissection orthogonale des distances mutuelles de N points en E,, contient des Off combin. prim. et imprim. de toutes les notations possibles, les dernières pour- tant dans une forme géométrique spéciale. § 6. Méthode par Multiplication de Coordonnées; sa Signification géométrique. Comme premier exemple, nous appliquons cette méthode à la construction de Cff. combin imprim. planes pour m—n—2, v==1 (comp. $ 4), composées de points aux notations (ab) (cd), et de droites notées (ab) (cde). Nous partons d’une Cf. prim. avec points ab et droites abc et dont nous supposons données les coordonnées homogènes des points, par rapport à un système fondamental de situation générale: Lab > Yad » Zab Bars saan (ea ete. Pour déterminer alors un point (ab) (cd), nous lui attribuons les coordonnées qui sont les produits des coordonnées correspon- dantes de ab et cd, done: Cab Cea » Ya b Ye dy fab Zed » tous ces points constitueront la Cf. imprim. voulue. En effet, trois ARCHIVES XI. 32 228 SUR LES CONFIGURATIONS COMBINATOIRES ET points comme (ab) (cd), (ab) (ce), (ab) (de) seront collinéaires, parce que: Cay : Lea Ya vb: Yea Zab- Sea Le à Ye d Zed Lay Lee Ya b + Yee Zab Zee — Lad- Ya b+ Zav: Lee Yee Zee — 0 9 Cay + de Ya be Ya e Zab- de Lae Ya e ?de les points cd, ce, de étant collinéaires dans la Cf. prim. initiale. Mais on voit, que ce procédé est également applicable 4 la construction de Cf. imprim de notation plus compliquée, soit du type du § 1, soit de celui du § 2, la seule restriction étant que les éléments de dimensionalité inférieure soient des points, condition à laquelle, par le principe d’intersection, on peut toujours satisfaire. La méthode subsiste encore quand m>2, les coordonnées de la Cf. à construire sont alors les produits des correspondantes de m points de Vinitiale, indiqués chaque fois par la notation im- primitive, bref: les points d'une Cf. imprim. (m et n quelconques, » positif) peuvent être définis par la multiplication des coordonnées des points d'une Cf. prim. *) La multiplication des coordonnées correspondantes de deux points a une signification géométrique très simple: une collinéation qui laisse invariants les sommets du simplexe fondamental, et trans- forme le point-unité dans le point P (ou Q), transforme aussi le point Q (resp. P) dans le point PQ, le ,produit” de P et Q. De méme la collinéation qui transforme le point-unité en P (ou Q, R, PQ, PR, QR), transforme QR (resp. PR, PQ, P, Q, P) en PQR et ainsi de suite. Pour obtenir une Cf. imprim. on n’a done qu’ à former les „produits” de tous les m-uples de points étrangers dans une Cf. prim., c’est-à-dire de points dont les notations n’ont, deux par deux, aucune lettre en commun. 1) Quand le système fondamental par rapport auquel on exprime les coordon- nées est de situation générale envers la Cf. les Cff. obtenues sont générales aussi. Un système fondamental spécial pourra nuire à cette généralité ; par exemple, si on emprunte les coordonnées de la Cf. initiale aux méthodes des $ 1 ou § 2, les Cff. inprim. (m—n—2) montreront la même propriété spéciale que nous avons rencontrée dans le § 5, savoir que les éléments (ab) (cd), (ac) (bd), (ad) (bc) sont linéairement dépendants, sans que la loi des incidences l’exige. SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS. 229 $ 7. Multiplication de Configurations. Dans ce $ nous supprimons la condition que les CF dont nous traitons soient combinatoires, les seules restrictions maintenues sont: que les éléments d’une sorte soient des points; que les éléments de l’autre sorte soient des variétés algébriques Ei, de degré g et de dimensionalité d quelconques; que chaque Æ contienne un nombre fixe de points de la Cf; et, réciproquement, que chaque point soit incident avec un nombre fixe des E. !) Supposons maintenant données deux Öff. de points et d’ E, no- tées resp. par T= jA,, Bap et W=jA% „Bil, c'est-à-dire composées de A (resp. A’) points et de B (resp. B’) éléments E (de même sorte pour les deux Cff.), chaque point étant situé dans b (resp. b’) des E, chaque E contenant a points. ?) Quand alors on „multiplie” tous les points de J par tous les points de ZI, on obtient un nombre AA’ de points, situés a para dans des variétés E du même type projectif avec les E des Off. facteurs. En effet, cette multiplication étant une collinéation, les E en nombre B de J deviennent, multipliés par les A’ points de II, des E en nombre A’B; de même les E de II deviennent AB’ des mémes variétés, la figure résultante en contient (A’B + A’B). Chaque point de cette figure est situé dans b des E du premier, b’ du second système, nous avons donc obtenu une CE (AA iy , (AB + AB). On voit pourquoi les nombres a ont été pris égaux pour les deux Cff., sans cela la Cf résultante serait devenue non-homo- gène (§ 3). 1) On pourrait encore supprimer quelques restrictions, sans que la méthode ne deviendrait inapplicable, quoique son caractère devrait se modifier selon le cas, mais pour la présente étude nous ne visons pas à cette généralité extrème. (comp. Dissert. § 1). 2) Des classifications systématiques de Cff de points et droites dans le plan, de points et plans dans l’espace, ont été entreprises par M. M. KANTOR, SCHROE- TER, MARTINETTI, DE VRIES, DAUBLEBSKY VON STERNECK (chercher sous Q 4 a dans la Revue Semestrielle des Publications Mathématiques). 32% 230 SUR LES CONFIGURATIONS COMBINATOIRES ET Le produit de deux Öff. une fois défini, rien n’empéche de mul- tiplier un nombre quelconque de Off., le résultat est alors une CL (AAG IAC Hr Ha ABA IB): L’application de cette méthode nous fournit, en partant de quelques Cff. „indecomposables” initiales de types connus, un nombre illimité de Cff plus compliquées, dont: 1°. le mode de composition est parfaitement déterminé, 29. l’existence (resp. la réalité) géométrique est assurée, quand elle l’est pour les facteurs. Signalons encore le cas, où les facteurs sont des Cf. du même type, mais de position géométrique diverse, leur produit devient alors une , puissance” avec la notation: Of ABA CN), DAB) Remarquons enfin que la méthode est en quelque sorte la réci- proque de la multiplication polaire '), qui repose sur les theorèmes suivants: les variétés polaires premières d'un point par rapport à un système linéaire d’E;_; en Æ, forment un système linéaire d’E,..ı et: les variétés polaires premières de tous les points d’un Æ par rap- port à un seul Z%_, forment un système du degré y, composé de CNT Pour obtenir le produit polaire de deux Of. TAB Ne —— PAG bal, composées de points et d’Æ', on choisit un E,_, de situation gé- nérale et construit les E,_, polaires de tous les points de J par rapport à cet EH} ,, ensuite les £’,_, polaires de tous les points de II par rapport à tous les Æ;, obtenus. Le nombre de ces HE’, est AA’, en suite des théorèmes énoncés ils ont entre eux les mêmes dépendances qui valent pour les points des Cf. J et IT, ils forment donc avec (AB’ + A’B) variétés E _, ; de classe 7 une a (an EE) c'est-à-dire précisément la réciproque du produit des Off. I et II par la méthode de ce $. 1) Comp. Dissert. p. 46. SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS. 231 Dans celle-ci on opère avec un système configurant de colliné- ations, comme dans l’autre avec un système analogue de pola- rités. $ 8 Produits intérieurs d’une Cf. En traitant (§ 7) de la p-iéme , puissance” d’un type de Cf, nous avons imposé la condition que les facteurs soient de position diverse, sans quoi la formule générale ne serait plus applicable. Examinons maintenant le cas, où les Of. facteurs sont identi- ques quant à leur position aussi; quand p= 2, les points d’une Cf.}A,,B.{ sont done multipliés par ces points mêmes. Les points résultants doivent étre divisés en trois classes: 1° les produits PP d'un point par soi-même, en nombre À; 2°. les produits P, P, de deux points d'un même E, en nom- bre $b(a— 1) À; 3°. les produits PQ de deux points qui ne sont pas situés dans un même E, en nombre !}A —b(a—1) —1} A. Chaque E de la Cf. initiale est multiplié par tous les A points, le nombre des E résultants est done AB, contenant chacun a points. Mais les points résultants ne sont plus équivalents, ceux de notation PP portant, comme on le vérifiera aisément, b des E, ceux de notation P, P, ou PQ au contraire 2b. La figure totale devient ainsi une Cf. non-homogène : Of. Al + 13 A (4 — Dim, $4 Bla | Il reste à examiner, s’il est possible d'isoler dans cette figure des éléments des deux sortes, constituant ensemble une Cf. ho- mogene. A cette fin, il convient de rappeler ce qu’on entend par le reste d'un point d'une Cf. Quand on supprime dans une Cf. un point donné et tous les E qui le contiennent, l’ensemble des points et des Æ restants est le premier reste de ce point. Quand on supprime encore les points de la Cf, situés dans les E déja supprimés, on obtient le second reste et ainsi de suite. Or la Cf. non-homogéne totale contient assurément des Cf. ho- mogénes bien déterminées, quand les restes de tous les points (soit 232 SUR LES CONFIGURATION COMBINATOIRES ET premiers, soit seconds, ou d'ordre élevé) sont eux-mêmes des Off., de la même notation pour tous les points !). Dans le cas des premiers restes, cette Cf. homogène, le produit intérieur premier de Vinitiale, contient les 4A (A—1) points de classes P,P, et PQ; dans le cas des seconds restes le produit intérieur second contient les 4 {A— b(a—1)—1} À points PQ; dans les deux cas la composition ultérieure de la Cf. dépend de la structure de ces restes. Comme un exemple de produit intérieur premier, prenons la Cf. initiale (10, , 15,) de points et plans dans l’espace ordinaire, dont les points sont notés par les combinaisons de deuxième classe de cinq lettres et dont la structure (non-combinatoire!) est donné par le diagramme ?) : points: ab ac ad) ae NEC (bd) bes vide Tice cd (If ab | ae | | bd | | cd (2) RE | | be ce (3) || ad N be ea (4)| ab | ad | be de (5) | ab | ae | be | ce plans: (7) | | | | bd | be | ce cd (9) | | bc | bd | | \de || ‘ce (13) Waa | ae bd | be (15) | | ac | ad | be bd | 1) C'est-à dire composés des mêmes nombres d’éléments avec les mêmes nom- bres d’incidences. Dans nos exemples ils sont aussi du même type, les Cf. ini- tiales choisies étant toutes régulières. 2) Comp. Nieuw Archief voor Wiskunde 2° Ser. VIII, p. 198. SUR LA MULTIPLICATION DE CONFIGURATIONS. 233 Le reste de chaque point (comme le diagramme le montre im- médiatement pour le point ab) est une Cf. (9,), identique au N°. I de la classification de Marrinerti!), le produit intérieur premier est done une Cf. (45, , 90,) de points et de plans. En effet, le point (ab) (ac) est situé dans les plans: (ac) (3); (ao) (4): (ad): (ae) (6); (ab) (11); (ab) (12); (ab) (14); (ab) (15). Comme exemples de produits intérieurs seconds, partons des C#. planes (16,, 12,) A et B*), dont les restes seconds sont les deux types A et B de Cff. (6,, 9,). Les seconds produits devien- nent deux types de Cff. régulières: (48, , 144,) A et B. Mais une série entière d’exemples est donnée par les Cff. combin. imprim. (m—2), comme obtenues par la méthode du § 6. En effet, le second reste d’un point ab est la Cf. des (N — 2) lettres restantes; la Cf des points (ab) (cd), de classe PQ, est le produit intérieur second de la Cf. primitive. Des considérations parfaitement analogues, bien que de plus en plus compliquées, sont applicables pour p>2; pour p—3, par exemple, la figure totale contiendra des points des classes PPP, ren, banken POMP IDs et: BOR. Ici encore nous pouvons citer les Cff. combin. imprim., un point comme (ab) (cd) (ef), produit de trois points mutuellement étrangers, étant de la classe PQR, la Cf. de tous ces points est un produit intérieur troisiéme de la Cf. primitive. 1) Atti della R. Accademia Peloritana XV. 2) Réciproques des Cf. de Hesse et de DE Vries, comp. Dissert. p. 108, 113. : Lee > [ A a a ich Pee ob rend a Be Henn, (Ah eh eerie wae la Nee gt boa halo abend al to nr Le AAE DATA atas ALITY) Ae ly GU) Be Por reds dey etais: qi Ver (PA Ethuldianl Mile ch Jey {ah he fo Ero bibs, ” ee A gal 4 16) (vip wes ‚x Ds D 2 F ae (i nf. Bu ar (ll is iy) nt IM i "ie i ah, AT 1} (Ab! D cone da DUR CT CRIE CT POL" ee CAR LA Monte Mb der ton U LE IE EDEN we + EI SAN Gite tbe aftanse, ‚va dine ND re Ki orn ie Gigi Ne éd ant GON TIL) ent Le Bi ch ANR SPL AT met. te @) Kidman Ww tiie hy) RONTITT 0 OUPS hen bret' dite Gy ant Gl KE ad ni ul, hant u Tees SIT er, ne (Ek Be Ev] ie bi, TTN, iu ae “i él LE Pip we TETE nt dar ot Ml > tlw My UNE CO TL LIRE LL ESC BE SCOR à F , SUN - LE nb hie Wen mer ui ols Mrt to Pen ll Mee eid Er ass dura ity à mf De 3 AE TIN TA EGT Nan sr ep pate | AA ALU aa ying, 7 i), aru ark ds lili if’ a! Din : ROR VS a OX RL Le TRUST" wiih iu ‚Bin! ais harten I ib wally Son KAT a rary ae, AU, BU "A Auf CERT CUM LE ADN Bes MIT PE SES hy MN 4 WELL ORTES STE ET GE et) AltA ern (1291 x f mo brin bd HRAMT t pS! à LPO Fil A y NE 1 eae. Wed Vas if, „al wo mS SEU BOE foe tae HE Re as oc te eat oh BD eek wie NE il THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES PAR J. J. VAN LAAR. § 1. Association des molécules d’un corps simple. Lorsque deux molécules simples 77,0 s'associent” en une molécule (H,0),, on aura dans le cas d'équilibre entre les deux sortes de molécules: —u, +2u, —=0, où “, représente le potentiel thermodynamique moléculaire des molécules doubles et «, celui des molécules simples. Or, on peut écrire d’après des déductions connues !): à [2 — RT xn, log xn,] + RT log c, | u == & ; on; ’ fi, — (0, — - [2 — RT zn, log En, ] + RT loge, | E 5 ON» | où C, et C, sont seulement des fonctions de la température, données par GE ot D (og Tir Ehle) — T(s1)0 0, EE k, T (log ES 1) ae L(e;)o => T(s2)0 id 1 et où {2 représente: DS [paw — m. 1) Voir e. a. Ces Archives, Série 2, T.X, Première partie: L’expression pour le potentiel moléculaire, etc. (1905). ARCHIVES XI. 33 236 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES Nous supposons connue la signification des grandeurs k,, (e,),, (S,)o, %,; ete, tandis qu'on a: (Gy === == — 2 — a = = (Ds =m Dar PD zn, On aura done: a 0 2’ (— 0, +20,)— |, +2 = In. | + RTC lage, +2 log 0) = 0, lorsqu’on écrit 2’ pour 2 — RT zn, log zn,. Nous voulons introduire maintenant le degré de dissociation /? des molécules doubles en molécules simples. Lorsque f est une fonction quelconque, homogène et du premier degré par rapport aux quantités moléculaires n, et n,, on aura évidemment: af of — =o Le f lon, an, Mais comme n, = 1—/?, n, —2/?, quand on part de 1 molécule double, on peut écrire: ee rs) oF + NE n IN, Or, on aura identiquement: of of dn, of dn, a on, aß on, df?’ done of ih DTE Re 0? nm, mM, Et de (a) et (b) il s'ensuit: af US CHE 9 2. e se —f—-ßB ag 2—_—f + (li) (c) relations, qui permettent de remplacer les deux variables n, et n, par le seul variable /?. En vertu de (b) on peut écrire maintenant: 2 à (2° (—C, +20) — + RT log 0, Mais _ besiB : BEEN 2 me ame par suite SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 237 C, BT. 4/9? ml Sd On aura done finalement: 6 9.02’ log 1 TP — — RT — eR Te te) oe int ete ; a nae et il s’agit de déterminer la grandeur — 2 . Or, pour celà il nous faut une equation d'état, p. e. celle de M. van per WAALS: où b—b, (1— f) + Wb, + 7 (—bd, + 2b) a= (1— fB)? a, + 2(1 — f) 2/8 ao + 4P? a. Mais comme évidemment dy —= "40, ; We fed, on aura: a=(1—/)?4,+2(1—f) fa, + Ata, =a,, de sorte que la grandeur a pour un corps simple, consistant par- tiellement de molécules doubles et de molécules simples, sera indépendante du degré de dissociation P, et toujours égale à a, (e-à-d. lorsqu'on considère une quantité moléculaire double du corps étudié). En écrivant —b, +2b, = 4 b, où Ab représente l'augmentation du volume moléculaire b, lorsque une molécule double se transforme en deux molécules simples, nous aurons donc: a = Const = a, bob. En supposant b, et b, indépendants de v et de 7, nous trouvons par conséquent de LOERT a vb v? pour | p dv expression : 337 238 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES a vw’ [ pdv= (1 +) RT log (v—b) + parceque dans cette intégration la grandeur / doit être supposé constante !). Pour, 07 [p dv — pv — RT xn,: log Yn, nous obtenons done is VE EN | ole) el log : a 3 == 5 — pv, d'où il s’ensuit (a = constant): 0.0! 5, .0—b ce) RL db a ov ov ge rg Sen = FIDL) MeO YOM OF EN L 2 ov Or, en vertu de l'équation d’état (2) tous les termes avec; df disparaîtront, et on obtiendra: a’ RT RUN, Cm ns — À pie) Abn de 406) en remplaçant (1 + /):(v—b) par sa valeur (p +4) hg: La relation (1) devient done: 4 | raj BE (pr 5) a | DU en le —20, PC ce oe p+) 4b |: RP. En posant maintenant: CET 7 en = = + log RT — 1 — log 4 — log K ,..... (4) 1) En effet, y étant l'énergie libre, on aura: Y=Vy = ne = een a]: y Ov : oy : B en 2 Au. Mais comme Cr reste toujours = 0 en vertu de l'équilibre de dissociation, t v nous aurons simplement: v ow v y= Wy + | >) dv = py — | pdw, DENT v\ov Jg Wy „Ps d'où l’on voit, que dans l'intégration [va la grandeur @ peut être supposé constante. Voir aussi Ces Archives, Série 2, T. IX, Troisième partie: Sur quelques phénomènes remarquables chez la miscibilité partielle, etc. (1905), p. 43. SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 239 où K sera par conséquent une fonction de la température seule- ment, nous obtenons: e-à-d. la relation exacte pour la dissociation des molécules doubles, qui tiendra non seulement pour l’état gazeux, mais aussi pour l’état liquide. Avec les valeurs de C, et C,, désignées plus haut, on peut écrire pour log K d’après (4): log K=— — "} a ht y+ Be pp =de , ae + 2(: ah era (52) + log R + log T—1— log 4, done en posant: Sv, ki) PME A = R Ar Bus —k, +2k, TE =Y 5 — (edo + 2(e)o = | | + log R—1— log 4 = loge ? où q, représente la chaleur de dissociation, absorbée par la trans- formation de 1 Gr. mol. double en 2 Gr. mol simples chez T= 0, nous aurons: TN © cies esx (6) Les équations (5) et (6) combinées nous donneront donc la conduite entière d’un corps simple, quant au degré de dissociation de ses molécules doubles, depuis l’état liquide jusqu’à l’état gazeux dilué, et cela pour toutes les pressions et toutes les températures. 4 eh D + al, Dans l'état gazeux parfait p + a =p; d’ailleurs P =: m Ab Ab : (le Par: où gp sera négligeable, de sorte que dans ce cas l’équation (5) deviendra: ri = (ga Para RO oe (5a) mi avec (6) la formule bienconnue de Grrrs. 240 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES $ 2. Influence de la pression. Nous étudierons en premier lieu l'influence de la pression. Lorsque p—0, le volume v sera— dans la phase gazeuse, et la formule (5a) donnera 3 — 1, de sorte que dans l’état gazeux fort dilué toutes les molécules seront simples. Lorsque p—, la formule (5) donnera: BURN ree ee | —( ou wo, selon le signe de 4b Pour les corps. où 4b est négatif, comme chez Veau (la formation de molécules simples est accompagnée 29 . > . 0 EN A d’une contraction du volume moléculaire), im tendra à @ , c.-à-d. à 1. Mais pour les corps, où 4b est positif, cette fraction tendra à 0, donc /? également à 0. Ces relations sont représentées par les figures suivantes. P=1 (t 1. m. sont simples). M ze > 3 — 0 (toutes les mol. sont doubles). Ab négatif (eau). Fig. 1. P=1 (simple). 5 = 0 (double). Ab positif. Fig. 2. SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 241 On voit done, que chez l'eau, où 4b est négatif, une augmen- tation de la pression dans l’état gazeux donnera d’abord une augmentation de l’association. Mais lorsque la pression devient si grande que 4b ne peut plus être négligé auprès de v —b, c.-à-d. quand le volume s'approche à b, comme dans l’état liquide, association atteindra une valeur maximale (dépendant de la teın- pérature), et décroîtra ensuite de plus en plus, pour disparaître entièrement lorsque la pression tend à oo. Dans le premier moment ce sera donc le dénominateur p + 4/»2, qui dominera, en causant une augmentation du système aux molécules doubles n, [en vertu de la relation =) : AD] i quand v diminue; dans le dernier moment, ot v reste sensiblement invariable, ce sera au contraire l'expression exponentielle, qui dominera alors, en causant un décroissement du système mentionné avec la diminution de v, en vertu du fait que le volume d’une molécule simple est plus petit que celui de !/; mol. double. Mais chez les substances, où db est positif, une augmentation de la pression causera toujours une augmentation de l’association, jusqu’aux plus hautes pressions. Je fais remarquer encore, que la valeur de 4b (négative ou positive) deviendra de plus en plus faible à mesure que la pres- sion s'élève. Car dans le cas limite p=», v—b, il n'y aura plus de différence entre le volume d’une molécule double et deux molécules simples. Cela ne modifie pourtant en rien les consé- quences, que nous venons de déduire; seulement l’accroissement ou le décroissement de / en devient relativement plus faible chez les fortes pressions. Pour connaître plus exactement la variabilité de /? avec p, il à > faudra déduire la valeur de ae c En écrivant pour (5): Be UG 1— f2 nous aurons, en différentiant par rapport à p (T—= constant): 2 25 \of a: “aß EE Kind, B 1—f*Jop ap òf op d'où résulte : Lil 2 _ à log | AY (7) op LP (1 — 22) a2 DR. 242 THEORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES 3 ; LA : à log K’ Av puisque en vertu d’un théorème bienconnu a = — - : op RT Nous démontrerons, que dans notre cas cette relation sera effec- tivement vérifiée. Or, pour celà il est nécessaire de connaître d'abord la valeur de 4v. L’équation (eee y—b= p+ Ayr donne, en différentiant par rapport à /> (p et T constant): 2 7) 1 i 1 2a av = pP mae DUT: pt “lv: v3 af a) “ F 4 Mais G ) = Av, e-à-d. l’augmentation du volume, lorsque C 3 pr une molécule double se transforme en deux molécules simples, et nous obtenons: 4 [ 20/3 |= 1 N Ah le prol Lap v—b’ ou bien b Ab + = D AY = ——— u stents) RE DE p Ar Alp? où le dénominateur sera toujours positif, parce qu’un changement de signe est exclu, /v ayant toujours une valeur finie. Chez les gaz parfaits, où b et 7b sont négligeables auprès de v, et fy: auprès de p, cela devient simplement: > (gaz parfaits). . . . . . . . . . (8a) Lorsque le volume s'approche au volume limite, v—b devient —0, lans le cas de et seulement dans ce cas extréme 7 liquides ordinaires on ne peut nullement confondre 4v avec Ab. Car on aura alors: mE RT ARL RT ING 1 ze P v vpt fo?) Aln mall = fi ie ? où T, représente la température critique de la substance. La for- SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 243 mule (8) devient donc, en supposant (p. e. chez l’eau à 20° C) Tr vA 298000 Lise: Tm aen B—!};, tandis que ; Ab+ ld _ « j ER Eee Or, chez l’eau on a az nn — — 0,47 *), de sorte que l'on aura dans ce cas: f° _ (Pas x — 0,47) — 1/99 = — 0,41 — 0,05 — — 0,46, A x A A 4 U LA 2 7 c.-à-d. à peu près la même valeur que celle de En Mais en général il y aura une différence appréciable entre ces deux grandeurs. Il se peut p.e, que 7b soit —0; alors 4v ne disparait nullement, èv an lorsque une molécule double se transforme en deux molécules simples, est du dans ce cas seulement au facteur 1 + 5 auprès de RT dans l’&quation d'état. Dans les cas, où 4b est negatif, comme chez l’eau, la grandeur Av doit done nécessairement changer de signe pour une certaine valeur de v, que nous pouvons calculer de (8). Comme nous pouvons écrire: v — b ink Fre +) 4b +9 — (b, + P Ab) |= _v—b, +4b_v—2(b, —b,) 1+/7 1+/7 , v— b ; car le terme DER subsistera. Le changement de volume 4v— Ab + ce changement de signe aura lieu, lorsque v — 2(b, — b,). 1) Quant au facteur f—9, nous en pouvons déterminer la valeur de la manière suivante, Pour Eon peut écrire ; 2 —1,26 ed ‚parce que a — 443, tandis que Vv 3,18 Vo Va v = 36,06, vo — 11,84 (1. c. dans 2), p. 13), donc v —3,18%. Or, a = RP OU 2 chez l’eau Te, — Te parce qu’à Ja température critique toutes les molécules seront déjà simples. Nous avons par suite a» — 1,26 X 7 RT, —8,8 RT. 2) Ueber die teilweise Association der Flüssigkeitsmolecüle, Z. f. physik. Ch. 31 (Jubelband van ’r Horr), S. 12. (1899). ARCHIVES XI. 34 944 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES Pour l’eau cette valeur de » sera !) = 2 (37,32 — 10,40) = 53,8 ccM. pour 36 Gr., ou 1,5 ceM. pour I Gr. Ce sera done dans l’état liquide à des températures assez hautes Aux températures ordi- naires (ou bien aux températures plus élevées, quand la pression est suffisamment haute) 4v sera déjà négatif comme 4b. Mais lorsque — 4b possède une valeur plus faible, le change- ment de signe ne se présentera que pour des valeurs de ‘/» dans le voisinage de l’unité. ZI u pour effeetuer la vérification, que nous avons annoncé plus haut. On aura, en vertu de (5): ac a [GD le ih re 4 Calculons maintenant la valeur de Mais de (1+)RT a ED il s’ensuit: (22), ge Ee, 2a Oe 2a wv — 5)? DR Ee de sorte que 2a | = 20/43 PE = é 2a p+r ve vb p + “or v—b i 1 ji papel 7 2a v—b CSF Toe WE p+ Au On a done: —b 1) 1. c. p. 18. Avec 2 = 65 X Yo = 3/50 on trouve u Et comme (a 15°,56) v — 18,03 ccM. pour 18,015 Gr: H,O, la grandeur b sera — 16,95 ccM., c.-à-d. 33,90ccM. pour 36 Gr. 4,0. Pour — Ab nous trouvons 46/47 X 8,44 — 8,26 ccM. (pour le facteur #47 voir p. 243) ou bien 16,52 ccM. pour 36 Gr. H,0, de sorte que l’on aura avec 8 — 0,207: =b,+64b=33,90 ; — BAb—3,42, done D; = 37,32 ; bj 10,40 SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFERENTES. 245 RT à log KG 1 ASE p + “hr ms Av DA ART 2a v—b RT’ ane p+ afp: d’après la relation (8). Pour la valeur de ur nous trouvons: he log =) = 1 (ee 2a 30 \ 4b == 2 a ge Ep + «ya vs of REL vi of 2a 1 4b TE Ger + RT Ee [ Pol SIRET 3 p+ 4y2 Nous aurons donc finalement en vertu de (7): ie Ann [ 2 __ 2a (Av)? | | 7e en RIRE epa “(0 à òf : ; ns Le signe de Dar sera par suite déterminé par le signe de — 4 v, op puisque l'expression entre [ ] est essentiellement positive; cette 97 op pas devenir infiniment grand. (c.-à-d. pour les états stables). Ainsi la valeur minimale de / dans la Fig. 1 sera entièrement déterminée par la valeur de p ou de v, pour laquelle 4 v — 0. D’après l'équation (8) cette valeur sera donnée par v— b 14 expression ne peut jamais changer de signe, parce que ne peut — À D, c.-à-d. == Abe — b,), comme nous avons vu plus haut. En substituant cela dans la relation (5) pour /?, celle-ci deviendra, puisque p + @/p2 (+ A) RT v — b 72 IK (a: SHIRT (— Ab) HANS 6 ren 6 à (9) équation, donnant pour /7,,i,, une valeur, qui dépendra seulement de 7’. On peut facilement calculer cette valeur, quand la valeur de /? est connue pour une seule valeur de v dans l’état gazeux parfait. Car alors on aura: 34* 246 THÉORIE GENERALE DE 1, ASSOCIATION DE MOLECULES NEIN IB ET er, ou bien p? ay: TAB) ga RE On aura par suite: 15240 ) wrk CE — A0 = ee) RE A en (9a) Si nous avons trouvé p.e. A —3/ Ab), on aurait : 132 _—21/4 x 0,001 x 2,718 = 0,006116, done Prin = 0,078 — 1/13 Et ainsi de suite. § 3. Influence de la température. Dans le paragraphe précédent la temperature était maintenue constante, tandis que la pression variait. Maintenant nous sup- poserons p= constant, et nous examinerons l'influence de chan- gements de la température sur le degré de dissociation / des molécules doubles. Lorsque T—0, la grandeur Æ deviendra d'apres (6) = 0 xe * —0, quand q, est supposé positif. Dans les cas de me que nous étudions, ce sera toujours le cas. D’ailleurs, dans (5) p + @/v: restera fini, tandis que l’expression exponentielle avee 4b tendra ae”, lorsque 7b est Zunge comme chez l’eau, et à e-”, lorsque 4b est positif. Dans le premier cas il dépendra done du signe de [comparer (5) et (6)] do + (p+ for) Ab—Q +4 Ab, si le second membre de (5) tendra à 0 ou bien à ©. Dans tous les cas, où 7b aura une valeur négative relativement grande, comme p.e. chez l’eau, il se pourra donc, que la grandeur men- tionnée — où (p + @/,2) 7b représente la chaleur absorbée par l’agran- dissement du volume moléculaire en vertu de la transformation dune molécule double en deux molécules simples !) — devient 1) Done (p+ 4}y)(— 46) la chaleur dégagée par la contraction du volume moleculaire. SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 247 négative, et que /? tendra à 1 pour T — 0 au lieu de à 0, comme dans les cas ordinaires. Il y aura alors une valeur de 2 minimale (dépendant de la pression), comme dans le cas de la Fig. 1. Dans le second cas, c-à-d. quand ./b est positif, P sera tou- jours — 0, lorsque T= 0. Examinons en second lieu le cas T—=w. Alors À deviendra d’après (6) = oo x 1=o. Encore p + “/y: = p reste fini, tandis que l’expression exponentielle dans (5) tendra à 1. On aura donc 5 = 1, puisque la second membre de (5) deviendra infiniment grand. Les résultats obtenus sont représentés graphiquement dans les figures suivantes. 6 = 1 (mol. simples) ?= 0 (mol. doubles) Ab négatif, q, + = Ab négatif. Fig. 3. — T =oo,v= oo p=0 Ab positif ou négatif, q, + js Ab positif. 1 Fig. 4. Après cet examen provisoire, nous déduirons l’expression générale d/? 4 7: pour Sr , qui nous donnera tous les détails sur l’allure des courbes, tracées dans les Figg. 3 et 4. 248 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES Des relations (5) et (6), c.-à-d. 2 mile CRT P+ Aye 2B = == C e = RT Ab I — 52 D Sr PE i No) il s’ensuit, en différentiant par rapport à T(p reste constant): oy EE jee dlog K’ dlog K’ af Pile Be) TI DT MENKE donc CE ER Re On CA “|= ae La (10) MATE) op REET parce que nous savons, que à a =n , Où g représente la chaleur totale, absorbée par la transformation d’une molécule double en deux molécules simples. Nous pouvons déterminer cette grandeur q de la méme maniére EE . dv que celle, dont nous avons déduit l'expression pour 4 v = (3) ; 2 7 p,T On aura donc: (= de 5 dE DEP ran où «=e + pv représente l’energie totale de la substance étudiée. Or, cette énergie est donnée par la formule thermodynamique: ù ES le) EG) ba Ie app), + ve où w= fp, de. Pour cette grandeur w nous avons trouvé déjà: w = 2, RT log wb) +» sn ‘ ete e—2[ri(e),]+2(,k,)1T D Le de sorte que e | & ) Be el wb Me sle et Pour q nous trouvons done: Q—=[— (eh + 2(e)o] + —k, +24) T + a (—2+ pv), c.-à-d. SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 249 Pour T—0 cela devient simplement q, + «|»? 7b, expression. que nous avons rencontré déjà dans notre examen provisoire. Il ne sera pas difficile de vérifier maintenant, si en effet nous pouvons écrire (° LE re Or, on déduit de l’expression pour K’ dans la forme: vb, ails Se Ad ’ La has hg 14 == K=-zT a Lae en covet Saf, ne au lieu de p + 4/y2: alog K’\ _ ¥ 1+ dv oT re +o Gr nan) 1 nt v—b dv rene = + ee à à : La grandeur Cr), est trouvé de l'équation d’état (p+ 5) ot + 8) RF, d’où résulte : len) + +) Gr) UHR done ( av (1 + 2) R oT /B 2a v—b Ce a) le (1— v3 p + Ar? Nous trouvons donc, en vertu de (8): d log K’ (1 +)? R = aT ),= ae eae peer c.-à-d. 3 = 1:6 1 : a TAT, le +rar+ (p+) do] = On peut écrire maintenant, comme (voir $ 2) 250 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES (CRE) = 2a (Av) "fre 2a v—b |: of vo RT ve pta TREC EN Mol ee 2a (Av)? 2a v—b | ä ran lsu 0 RT een alt où l’expression entre [ ] ne peut pas devenir négative. Car alors 2. : cette expression changerait de signe et - deviendrait ©, cequi est impossible dans le domaine stable. I ) . . A La grandeur yp aura done toujours le signe de q. où q est donné par (11). Si q aurait une valeur négative en vertu d’une très grande òf H h ay serait négatif pendant l'intervalle, où q est négatif Dans tous les autres cas JE oT La valeur minimale en M (Fig. 3) sera déterminé par g= 0, c.-à-d. : valeur négative de 46, comme dans la Fig. 3, sera toujours positif. qo + YRT + (b+<) Av Mais comme ce cas se présentera seulement pour des valeurs de 4v négatives assez grandes, c.-à-d. dans le domaine des tempé- ratures relativement basses, on pourra écrire approximativement 4v= Ab (comp (8)), et l’on aura: oat yRT Py — db Pour 5, nous trouverons par suite, d'après (5): ee en El 26 ( 1 — 5? » ce i Go 27 Ja RT Ces dernières équations donneront avec l’&quation d'état les valeurs de T, v et B dans le M. Cette valeur dépendra encore dep. do? Q In = T Ge Jusqu'à 140° C, car /} s’accroit depuis 0,17 à 0,55. Il sera donc improbable, qu'à des température inférieures à 0°C. c-à-d. q, changerait d 7 ou de signe, puisque v et b, 4» et 7b sont déjà à peu près identiques, tandis que y aura en général une valeur relativement faible SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTS. 251 Il va sans dire que le raisonnement précédent se rapporte seulement aux pressions ordinaires. Quand la pression est suffi- samment élevée, le signe de q changera nécessairement, quelle que soit la valeur de T. Dans notre Mémoire sur l’association?) nous avons calculé la valeur de q chez l’eau de la relation oe. eget 2 aT RT? PA—P2)' en négligeant le terme - ae Mais comme nous venons de voir, ce terme peut être supprimé seulement lorsque 4 v=-0. Or, chez l’eau ce n’est point du tout le cas, et nous calculerons ici la correction nécessaire en vertu de la grandeur 4 v. Cette correc- tion sera d’après (10a): 2a (Av)? 2a li v3 RT [1— 93 pays v—b Avec = — — 0,47, >: RIVE [20 (voir plus haut) cela devient, en supprimant p: 2 x 20 x 0,221 (1 — 2 x 6/5 x 1/20) — 8,84 x 22/25 = 7,78. 2 On aura done au lieu de BOB)’ BUR) 2 3) (1—1/2 2 (1 — 22) x 7,78) = Bun (080), comme 5 — 0,217 pour T = 20°C, done f (1 — 2?) = 0,207. Au lieu de 1920 Gr. kal. pour la transformation de 18 Gr. (H,0),, ou bien 3840 Gr. kal. pour 36 Gr., on trouve maintenant 3840 x 0,195 = 750 Gr. kal., c.-à-d. une valeur, qui n’est par encore le cinquième de la valeur originelle, calculée sans considérer le DATES 2 P duirait ici de supposer la ,constante” K’ indépendante de /. Comme 7; de x = —9RT, x — 0,47 = — 5150, on aura d’après (11): terme . On voit de cet exemple, quelle erreur on intro- 750 = q) + y RT — 5150, de sorte qu’on trouve pour q, + yR7 la valeur 5900 Gr. kal. La chaleur de dissociation interne sera done (à 20° C) — 5900 LV PAT ARCHIVES XI. 35 252 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES Gr. kal., tandis que la chaleur, due à la contraction, qui accom- pagne la transformation des molécules doubles, s'élève à — 5150 Gr. kal., une valeur considérable. Il n’y reste par conséquent pour la chaleur de dissociation totale que 750 Gr. kal. (à 20° C.). x —k, +2k, 6 Quant à la grandeur y — ER ‚ on sait seulement que k, =6 environ, et que 2k, >k,. Pour une molécule à 6 atomes, comme (H,0),, on peut s’attendre à une valeur k,— 9 à peu près. On aurait par suite y —5%/2. Avec cette valeur on trouve Yo — 5900 — 3 T— 5900 — 880 — 5000 Gr. kal. approximativement. § 4. Association des vapeurs saturées. Lorsque nous voulons étudier le changement de l'association des vapeurs saturées, il faut prendre en considération, que la courbe de saturation s'étend de T—0, p—0(v—æ) jusqu'au point critique, et que par suite la température et la pression s'élèvent toutes les deux. Or, la grandeur /> s’accroit avec la température et décroit avec la pression; de sorte que la possibilité existe, que la dissociation des molécules doubles atteindra une valeur maximale dans quelque point de la courbe de saturation, tandis que /? sera plus faible dans le point critique, et que cette grandeur s'approche à 0 à des températures et des pressions très basses. C’est en effet le cas avec la vapeur de l'acide acétique. En d’autres cas, p.e. chez l’eau, la dissociation s’accroit continuellement dès le point critique jusqu'aux températures basses. Nous voulons examiner maintenant quelles sont les conditions de cette double conduite. Pour | => nous aurons: d fl sat df _ of SANS" GE AA AT oT op Ghat sat Or, d’après les relations (10) et (7) on peut écrire: zi) FA Les | re] Gr). à log K7 d/> est permis quand la vapeur est suffisamment éloignée du point critique (voir (7%) et (10%)). lorsque nous négligeons le terme - dans l’état gazeux, cequi SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES 253 Pour les grandeurs q et 4v nous aurons dans ces conditions d’après (8°) et (11): v Id Le ear = (do +Y RT) + RT =Qy + (y + IRT, le travail externe (et interne) (p + 2) Av se réduisant äpJv—=RT. On aura done: rer en Er =p leer „Cr Ar La grandeur — 3 Au sera représentée par la formule où f— 7 pour les substances normales. Nous avons vu dans le $ 2, que chez l’eau f s'élève à 9; et pour les substances anomales, où la dissociation des molécules doubles n’est pas accompagnée d’une contraction de volume, le facteur f peut atteindre une valeur encore plus élevée, savoir 14 (en supposant qu'à la température critique toutes les molécules sont simples). On peut donc écrire: | a TED (eae = „m la— BAL], ae EZ) où q sera encore une fonction de T, c.-à-d. —q, + (y +1) RT. Lorsque donc Ge RE, si df LA on aura une valeur positive pour (Sey, ce qui signifie que (7 s’accroit avec T dans la partie inférieure de la courbe de saturation. Alors l'influence de la température le gagnera sur celle de la pression. Ce sera le cas chez l'acide acétique. Mais lorsque q reste < RfT,, (2). prendra une valeur néga- tive, et /? décroit avec T dans la partie inférieure de la courbe de saturation. Maintenant c’est la pression, qui aura l’influence la plus grande Ce cas se présentera chez l'eau. On conçoit aisément que dans le cas de l'acide acétique /7 tendra à 0 lorsque T s’approche à 0, c.-à-d. que toutes les molé- cules seront doubles pour T—0; tandis que dans le cas de l’eau 35" 254 THÉORIE GENERALE DE L ASSOCIATION DE MOLECULES /? tendra à 1, de sorte qu’alors toutes les molécules seront simples pour 7=0. En effet, la vapeur d'eau possède déjà aux tempé- ratures ordinaires une densité normale (7 — 1); tandis qu’à 100°C. la densité est trouvée de 2,5 °/, plus grande que celle, calculée de la loi de Boyle. Cette déviation dépasse les déviations ordinaires de cette loi dans les conditions où se trouve la vapeur d'eau à 100° C. Quand on s'approche de la température critique, la valeur de f décroitra dans les deux cas. Car alors T et p ne varient que très faiblement, tandis que v décroit rapidement. Et dans la rela- tion (5), savoir 72 J : Be Ks Eee ou bien = TRI (v—b), So © (5a) à : PB? où le terme exponentiel avec /b est supprimé, ep dépendra principalement de v—b, lorsque T reste sensiblement constant. Chez l’acide acétique il y aura donc une valeur maximale pour /? sur la courbe de saturation dans le voisinage du point critique. Comme la vapeur du paraldéhyde !) présente probablement 1) Ici on a affaire avec la dissociation d’une molécule triple en trois molécules simples. On trouvera facilement que dans ce cas tout restera le même; seule- N 2 ar — ? ga — By PV pa Dat où n—3, et RfT, par m— 1)RfT., Av étant en général = (n — v=. Com- ment il faut remplacer dans (12) le facteur parer BAKHuis RoozEBoom, Over phasenevenwichten in het stelsel acetaldehyd + paraldehyd met en zonder moleculaire transformatie, Versl. K. Akad. v. Wet. Amsterdam 8 Oct. 1902; van DER WAALS, Eenige opmerkingen over den gang der moleculaire transformatie, Ibid. 5 Nov. 1902; vAN DER WAALS—KOHNSTAMM (1908), p. 168—174. — ky + 2k, ee Le dernier est permis, parce qu’il considère seulement Ja branche-vapeur de Ja courbe de saturation, mais il n’est nullement permis de supprimer la grandeur 7. Nous avons vu dans le paragraphe précédent que chez l’eau y sera approxi- mativement — 3/,. Si y serait =O, on aurait d’après (5a), savoir BC D nr = ind pee Li v, VAN DER WAALS néglige dans sa théorie les grandeurs 7 = t ab. 5 oe. IC que pour 7— le second membre s’approche à une valeur-limite, c. à-d. R”: Le gaz ne pourrait donc jamais se dissocier totalement (v supposé constant) et 6 tendrait à une valeur maximale. Nous savons, que c'est seulement le cas SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 255 une telle valeur maximale, sa conduite sera le méme que celle de l’acide acétique. Quant à la brauche-liquide de la courbe de saturation, tout dépendra de T, parce que v—b ne décroitra alors que très peu. La valeur de /? s'approche done ici à 0, lorsque la température s'abaisse de plus en plus. Nous avons vu, que dans le cas de l'acide acétique /? s’approche à O à des températures basses aussi bien sur la branche-liquide que sur la branche-vapeur de la courbe de saturation. On peut se demander si dans ce cas /? (liquide) sera < ou bien > > (vapeur) pour les mêmes températures. Or, cela dépendra d'après (5) et (5a) uniquement du rapport à el dr w-bJe nt? v où l’expression exponentielle est omis auprès de v’ (le volume 4 ADV de la vapeur) en vertu de zou bien de la grandeur D. al Ab ET Te à Mais comme on aura pour la pression de saturation l’expres- sion approximative (/? supposé = 0) Bed | enr RT 1 A Ber J\v—b v2 ey 7? on pourra écrire: / (7 AD == al D be RE aly TRT log On trouve par conséquent pour À: Wy ig Gy Ab afp [1 ed SET Beg art SGT dl pour des substances comme le HI, où chez la dissociation en A, + I, > (vr, kr) et >», sont — 0. Alors la formule de G1BBs-PLANCK tout à fait générale: er dons noce Ep, j _ du où 8 représente >r,, devient I/c, "—=ce FT, indépendant de la pression ou du volume, et dont le second membre s’approche pour T = © ac. [Comp. mon livre: Sechs Vorträge über das thermodynamische Potential (1906), p. 68—74]. Toutefois le résultat de M. VAN DER WAALS est exact; seulement la chaleur de dissociation q ne renferme pas chez lui le terme ;RT. CULES vi > E DE 1, ASSOCIATION DE MOLÉ BRAL GE THÉORIE 256 Lorsque 4b est positif, À sera toujours positif, done >. Et ‘(anbygoe aproe) 7 fy 1 (comme - al, tend à 0). Or, cela est fort Me car chez l’eau, où — 4b As. une 44 Se On peut done dire, que + tous les cas le degré de dissocia- tion / sera plus grand dans la vapeur que dans le liquide, quand la température est la même. L’öquation (5) nous permet de déterminer le point de la courbe de saturation, où la valeur maximale de / se présentera dans le cas q > RfT, (acide AE Hi pes Car de B? ot v — b 1+8 4, il s'ensuit: sr a ed ke = leur Ai Fr GP) 1 +2 m) An ee nl: Ot ate az do +YRT par conséquent: NES LU zn ca AE NE La grandeur a sera donc = 0, Yan = + SE) (Gr =f Ben où q’ représente la chaleur de dissociation interne = q, + y RT, c.-ä-d. sans le travail externe et interne (p + %v:) Av. Dans les figures suivantes, purement schématiques, j'ai repré- senté graphiquement l’allure des „courbes de même dissociation”. Dans le cas de l'acide acétique (Fig. 5) ces courbes intersectent done deux fois la courbe de saturation; ou bien une fois, savoir la courbe qui touche la courbe de saturation dans le point M, où la dissociation est maximale; ou bien elles n’auront point du tout un point d’intersection avec la courbe de saturation. Dans les points divers de cette courbe dernière elles auront néanmoins une allure plus raide que celle des isothermes dans ces mêmes points. Mais dans le cas de l’eau (Fig. 6) toutes les courbes de même dissociation n’intersectent qu'une seule fois la courbe de saturation. Elles auront sur la branche-vapeur une allure beaucoup plus (Fa noue) (1+ 258 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES verticale que dans le cas précédent. Sur la branche-liquide de ie la courbe de saturation elles auront également une allure plus raide que celle des isothermes, lorsque 4b est positif Mais quand Ab négatif, q< Rf T, (eau). SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES 259 cette grandeur est négative, comme chez l’eau, il y aura néces- sairement un volume v = 2(b,—b,) où la dissociation est minimale, lorsque la pression s'élève sur un même isotherme (voir Fig. 1). Les courbes de même dissociation doivent donc toucher les isother- mes dans les points de la droite v= 2(b,—b,). Dans tous les points de la branche-liquide, qui sont aw dessus du point d’inter- section S de cette droite avec la courbe de saturation, les courbes de méme dissociation auront done une allure plus raide que celle des isothermes; dans tous les points, qui sont au dessous de ce point S, elles auront une allure moins raide. 11 faut remarquer encore que dans le cas de l’eau (Fig. 6), où Ab est négatif, la branche liquide de la courbe de saturation aura une tangente verticale dans quelque point M’ dans le voisinage de l’isotherme de 4°C., où le volume liquide est minimale. Le point A de cette courbe, où T = 0, /? — 0 correspondra au volume v—b—b,. Mais comme sur les isothermes les valeurs de / tendront à la valeur 1, lorsque les pressions deviennent de plus en plus hautes, le volume-limite sera alors v — b — 2b,, qui est plus petit que v = b,. [La ligne verticale v—2 (b, — b,) sera toujours à droite de v = b,, parce que 2(b,—b,)—b,—(—b,+2b,)—b, —4b sera >b,, Ab étant négatif chez l’eau | Dans le cas de l'acide acétique (Fig. 5), où nous avons supposé Ab positif, les valeurs de / tendront maintenant sur les isothermes à 0, quand les pressions s’approchent à ©, de sorte que le volume- limite sera —b, pour ces pressions, comme dans le point A. Ici b, sera plus petit que 2b,. Il va de soi, que le fait que 46 est positif ou négatif n’a aucun rapport avec le fait que q est > ou bien < RfT,. Mais pour épargner deux figures, nous avons combiné Ab positif avec q > RfT. (Fig. 5) et Ab négatif avec q < RfT, (Fig. 6). En effet, chez l'eau on trouve combiné ces deux cas derniers. Lorsque 4b est négatif, les isothermes présentent encore des particularités fort remarquables dans le voisinage de v —b, que nous n’avons pas désigné dans la Fig. 6, mais sur lesquelles nous reviendrons dans une publication prochaine. § 5. Les grandeurs critiques. Nous calculerons d’abord, comme dans la théorie ordinaire, la dp ; : valeur de 7 sur un isotherme quelconque. Ensuite la valeur de ARCHIVES XI. 36 260 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES 2 Pr g EI, apres quoi les relations DE, et de 0 donneront les du? dv dv? valeurs de v, T et p dans le point critique. Or, il s’ensuit de l'équation d’état, savoir ae RT ane ae D pat dp à pour 4, la valeur suivante: Jp) ART d/ RI 0G 02a dv (v—b)! (1-4 CEE ET ou bien dp (HART ( v—b\ 0/7 2a das IEP [1— Een | v3’ c.-à-d. dp 2a | ( (1+/5) 4b\ v—b 97? ra dv v? (v—b)? [1— nes, = =| (a) 5 of A Ls Peet Il faut done connaitre la valeur de Sn La relation (5), viz. pe K v—b _ AED av différentiée logarithmiquement, donne: => 2/5 \ 28 1 : He 1 ae Cee oc Ne ine Av hr ni 7892 — 45 Li ab" ee ae 2], ou bien Mn 1 ( (1+) ADN AB __ PA) w ae v — b dv = 5 (1+ en ++ un) Nous pouvons done écrire: A 2 1 (ee FAP) | 1+2 De vb TE) et nous trouverons, en posant (+9) 4b GE bu TAP lede net rus tee abe («) SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 261 1+7% 9 h Lof? (1—f) (1+¢)? Rass Al En combinant maintenant les deux équations (a) et (b), on trouve finalement: dp _2a__(+S)RT Fe BB (1 =f) HR’ | dv vw? (v—b)? 1 + 1/5 (2 (12) (1 + ¥)? ou bien niin 1+9. HR) CRE (B) dp 2a (1+/)kT 1 WIN (14) dv v8 (w—b)? LPA Hp): Cette expression ne se distingue done de l'expression ordinaire (2 =0 ou — 1) que par le facteur 1 + !/o 31 —P) (1 + p)°, qui se réduit à 1 +1, /? (1 — P), lorsque 4 b —0, done g=—0. Maintenant il faut déduire la valeur de sy Mais comme (f est un facteur en lg °p + 4 df Ie rae 7 d dv’ dp ere ! et parce que 7, doit être —0, on aura aussi: d*p Ar SH mr’ de sorte que zp sera identique à il =) Nous pren- drons pour f le dénominateur 1 + 1/, 7 A — /)(1+ 9)”, et nous aurons à différentier par rapport à v: 2a é : 1+/P)RT + maman Ee 4 Cela donne: 9 ae) À (+ 92+ B(L— B) + 0) 40 | ed de ar 6a T 1 2(1+/P)RT a3 — [1+ 220-149)? |+ Te hy C=) pa. an of Wb à 36* 262 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES a? ou bien, en substituant pour = sa valeur de (6): 1+8 Y3(1-2)(1+ 9) 1+/y3(1-)(1+9)2— zap) (LD ON vi el) if BLP (1 + 9) Ab ID fies (u—b)? iB 2(1+ P)RT v — b (1 2(1 + 5) 4b eN —b> L 2(1 +) v—b c.-à-d Gal” N 3 v Ep 1: , ha “A BN PO + of , 2(1 +2 EL 1+ UBA) + p) eem) |+ rd, oe y—b d/ = 1 1 parce que re a?) aia EB (IP) ve +9)" MIE aa ar Al A= 1 BoB) DEP +) (1 + 2p) —=1 +43) (14-9). Comme l’expression, que nous venons de trouver, doit être = 0, nous aurons, en multipliant par N: [era © Trance] |+ v* 3 v 2(4 zen = an [1 +1,PA—P)A + 9) | — ()! Or, il s’ensuit de À — 0, d’après (14): (1+ 2) RT 2a (Wb)? : 98 de sorte que nous aurons: bal ,,, A (1+/)(1+¢) v : a aon en a Ns En re EN 2B) en Za - en OL LOUE) |: ou bien =. = (1 +1} PI—P)(1+ py) (1 +! BA—P)A+P)) —3[ N’—ete.], done SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 263 + "fp 8 (1—B)(1+9)2) (2+ "Io B(L— 2 (L + 9) + + 4/52 (1—/?) (1+/7)(1+¢@) EX 2A) +9] |= —=3[1 +! B (1 — 7) (1 + P)°}°. ; pee Ab Pp Cela se réduit, comme EL et — P(l—P)P(l+Y)= BUL + 0) — BEB) A +9), à — [2+ 2208) 149) + WR? AB) (1+ 0) + + PAP) (1+8)(1-9)(1+9)* | [+ 12 BABI, c.-à-d. Be ge BEN". suas v—0, 2 1+3/,8(1—/)(1+9)+ Ue 2 (1—) (1—822)(1+-¢)3 En posant maintenant, pour abrévier l'écriture: 1+1Lf(1—/f) (1 +p) =m . (A) + 3/42 (1—3) (14+ Pp) + Ys RA—/?)(1— 32?) rs on obtient: Ve _ 8m? BE m? alien arme on eos ol Lorsque %,—=0 ou 1, v, sera — 3b, comme autrefois. Dans le cas Jb=0, c.-à-d. quand la transformation d’une molécule double en deux molécules simples ne sera pas accom- pagnée d’un changement du volume moléculaire, notre équation (15) se réduit avec p=O à L 3 1 — 1}, 5)? : 1—'/, A pes te Ne TEE a ur, Da) parce qu’alors 3m? —2n— (1 + (9)? (1 —*/, P), étant m=(1+ (lof) ; n=(1 + 7)? (1—%s B + Pe 7%). Pour comparer les relations (15) avec les données expérimen- tales, nous écrivons: U dhr, à f sera dne—.— , ob b= b, +8,4b =b, HA. bu +20 où f sera done — ar» et b= by +. = ıtP.—b, +2b;). La valeur de b,, c-à-d. la valeur de b lorsque le volume est très grand, sera évidemment = 2b,, puisque /? sera — | pourv =o. 964 THEORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES Nous aurons donc: Berle +00) Cela devient avec v, BUL p= 3e tf (1—2)),, tandis que la grandeur p deviendra en vertu de («): _(1+f)4b _ +) (—d, + 2b,) Gp v—b vb, +3(—b, + 2b,)) %/b af 3(1—x)) v A Or, pour = on a trouvé presque toujours une valeur dans le De voisinage de 2, de sorte que nous aurons: AEN Ier Pda) L fet fs ; er m? ot fz gn Sea d’après (/?) une fonction de /? et g, c.-à-d. de ? etx. Pour obtenir par conséquent la valeur */; pour f(x+ 2 (1—x)), on peut attribuer à /? et x des valeurs différentes. Si l’on suppose % = 1(4b=0), on trouverait: Mais avec 4b— 0 (9 = din la valeur de f serait d’après (15°): lid Sr Comme nous avons vu déjà, f sera —1 pour /?—0 et Jl. Pour ?=?°/,, f atteint sa valeur minimale °/,. Nous voyons done, qu'avec Ab = 0, la valeur de f ne peut jamais devenir °/;, et nous pourrons énoncer le thèse suivant: Pour expliquer le fait, que duns le point critique v, — 2b,,, il fau- drait admettre que Ab soit différent de zéro. Nous verrons bientôt que / aurait la valeur '/; dans le point critique, de sorte que, même à la température critique, la disso- ciation des molécules doubles ne serait avancé que très peu. Avec cette valeur de /? on peut calculer des équations (c): (B= 0 20) ie 0 1070729; SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 265 Pour 4b nous trouverions par suite une valeur positive. Le vo- lume b, des molécules doubles serait — 0,7 du volume 2b, des molécules simples. Avec les valeurs #—0,20, @—0,29 la valeur de f devient en effet d’après (9), m étant — 1 + 0,08 x (1,29)? — 1133 et m=1 + 0,12 x 1,29 + 0,02 x (1,29)? — 1,193: f= 0,876 ='ls, avec laquelle nous caleulons pour f(x + />? (1 —%x)) avec x — 0,70 la valeur 0,666 —*/,, de sorte que la première relation (c) se trouve vérifiée. Mais il se pourra très bien, que la valeur de 2(b,), dans le point critique est différente de celle de 6. —2(b,), à des températures plus basses et pour des volumes plus Fute de sorte que = = = ne serait pas =F. mais = ob), yi? où 9 <1 lors- qu'on admet (b,).> (b,),, et 9>1 quand ou suppose au contraire (b,).<(b,),. Dans les équations (c) la valeur ?/, devrait être rem- placée alors par °/;9, et la valeur 2 dans le dénominateur de l’expression pour g par 20, de sorte que nous aurions trouvé avec /?='/; pour x et p des valeurs différentes de celles que nous venons de déduire. d à La valeur de RT, peut être calculée de = — 0, ce qui donne (voir (14)): EDIT 22a Ce DRE x m, c.-à-d. 2a il m OE A EEK ou bien, en vertu de (15): SNS ME — an) So 16 RTS b, LE DB Scie he ae) Avec 4b6=0 (9 =0) on aura: ‚ers ee eae le 32)? (leap P) 16 RT. 27 4, a=, sn se (LG) 8 Pour — 0 (16) et (16a) deviennent RT, — 37 5 . Et pour ? = 1 on trouve RT, == = x A Mais comme a=4a,, et b.—=2b, 8,4, gn eh pour / 1, nous aurons encore RT, = a 266 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES Maintenant nous évaluerons la valeur de p.. L’équation d'état donne : 2a a = —, xm x (a. = 0.) — =, v OF € donc A 2 Q Ue am be ZE 2 Après substitution des valeurs de v, et de — 5 — déjà trouvées, on obtient: OP 3 M c.-à-d. 1 a (3m? — 2n)? (4n— 3m Pr ( = neo) ie (17) Pour 4b =0 cela devient, puisque An — 3m = (1 + £2) (1 + B—3/? + Jo 23): 1 a (1+ f—3/? + fo 23) (1 — 24 P)? Pe — 97 m ETES) EN - (17a) Avec /? = 0 on trouve de (17) et (17a) p. = = a , et avec /ÿ =1 ; équations deviennent également a ces équations deviennent également p, — 97 =z = 97 ik Une grandeur importante est certainement le „coëfficient critique” Avec les relations, trouvées plus haut, on déduit facilement: € 2 c ne ey Ari (18) n? u = Cela devient avec 4b—0: 2 la. ne N ak: (1— "8 + Pe 82)? LT (18a) Lorsque /—0, on trouve «= */; comme autrefois. Mais pour 2=1 nous trouvons u —=°,x2. Cependant „=35b,=6b, se rapporte alors a une quantité moléculaire double. Ayant regard à cette circonstance, on obtient encore u’ — "Js. SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 267 x Quand nous rapportons % à une quantité moléculaire simple, comme on le fait toujours, ne se souciant point d’une association possible, on aurait trouvé: 31+ 7 m? (dn — 3m , = u = 8 9 ( u: a ee A (18) ou bien (Jb = 0) EN EEE AE ZL Ie 2 + ls 2)? A ME Le et on aurait obtenu „—=°/,;, pour ?—=1 (molécules simples) et u ==? pour 5 —0 (molécules doubles). Or, le fait qu'on a trouvé toujours pour u la valeur 0,28 au lieu de 0,375 serait une indication certaine, que toutes les substances soient associées partiellement, même dans le point critique. Les valeurs 9 —1}%, p=0,29, m= 1,133, n — 1,193 (voir plus haut) donnent pour le facteur F la valeur _ m?(4n — 3m) I nm Seen de sorte que nous trouvons pour w: u = */, x 0,60 x 1,238 — 3}; x 0,743 — 0,279, savoir la valeur expérimentale. Remarque. La valeur ?='/; fut calculée de l'équation (18), combinée avec (c). Comme nous avons vu plus haut, les valeurs correspondantes de x et p seront resp. = 0,70 et 0,29, tandis que 5, 00 m — oe hy, En résumant, nous pouvons dire, que les différences entre les données critiques expérimentales et les données théoriques dispa- raitront, lorsqu’on admet une association des molécules des corps. Cette association devrait étre encore trés avancée dans le point 1) Pour obtenir une idée de l’influence des valeurs de 8 et p sur celles des facteurs f et =! (1+ 8) F, nous donnerons le petit tableau que voici. B) 1; 1/4 n=O) P=) SOD 10,969 FR = 0,684, | f= 0,942) B= 0,755 un fl 2.05 f= 0,923, F’ — 0,654 f— 0808 20789 ARCHIVES XI. 31 268 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES critique (7 —'};, done 1 — 5 —“};),; elle doit être accompagnée en outre d’une contraction de volume quand les molécules simples s'associent en formant des molécules doubles (x = bi/oy, — 0,70). Alors wv, deviendra = 2b, au lieu de 3b, et «’ (v se rapporte à une quantité moléculaire simple) — 0,28 au lieu de 0,375. § 6. La pression de la vapeur saturée. L'équilibre des deux phases coëxistantes (liquide et vapeur) est donné par la relation (u ve (4) aa. DAS ORR ne Be BI Eh OO 2 (a) où «, de rapporte aux molécules doubles. En vertu de l’équilibre de dissociation — «,+2u, — 0 on aura alors également (ik, ) 1, — (45 )vap.- Or, la valeur de «, sera (voir pag. 235 et 236): 3.02! i Ta ak tial Led OR TERRE (b) où OS Sn, RT log = 2 + = PIPE Weda (c) Soil comme nous avons déduit sur le pag. 238. Nous aurons par suite: 2.07 v—b sn, kT 2a —— — RT log RAT 1 b, + —1, on, en, v—b v 2n,.RT a av ie : parce que ( eb nae ae ou 0 en vertu de l'équation ‘ 9 0a d'état; et a =n? a, + 20, N,A24+N" a,, done — —2n,a, +2n, a — 1 1222 29 on 11 2 1 — (MM, +R,)a, = 2a, , puisque a —=!ha,, n, =1- ff etn, —=2P. On peut écrire pour l'expression dernière: DE D RT 2a hl og = a LO PaO Ne on; zn, a v 9 (27 v —0 + En,.b, étant =v—[ (n, 6, +n, b,)—(n, +n,)b,]= —v + n, (b, —b,). Mais comme = a en ‚ nous aurons: En, 32" pri v — D p + “ln , + 24 RT b Dn, en WEN u Re) Ce de ou bien SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 269 > —b og FOR pu oa ppt ba a a RT log 7 i NE RT, = Dee (4) parce que a—=a, (voir pag. 237) et zn, =1+P. Lorsque /? — 0, l’&quation (d) se réduit à : a on, = RT log (eb) pv + e-à-d. à l'expression (c) pour £2’, cequi est évident, puisqu'il n’y aura alors qu’une seule sorte de molécules, savoir des molécules doubles. or as Avec la valeur de Sr ‚ que nous venons de trouver, la relation um (a) se réduira BEAR en vertu de (b) à v—b’ 1+/ L 1429 À ele ( v v ) RT tog (y b 14," rl, zn Tea) SAN Pre und. (u RB RN —2RT (0, (rn) 0 parce que la fonction de la températur C,, qui est identique pour les deux phases, disparaîtra du résultat. (La phase-vapeur est indiquée par des caractères accentués). Pour c, nous avons écrit —— 5 ' 3 On aura donc finalement: Pe a (11428 11+28\, a De NM ) IT pk ays RT \v 4 +" od + # RT L+/ 1+/ 5, B 2 iA 1+ 6 46 +2(b,—b,) ee JL) + log Ter 5 + (19) Nous étudierons cette équation de plus près pour le cas que la température soit suffisamment éloignée de la température critique, de sorte que nous pourrons négliger le volume v du liquide auprès 1 1 J du volume v de la vapeur, 77 auprès de = et auprès de 1 : : u À Alors (19) devient, puisque p + 4/y2 = «|» et p + hr =p: ALES 4 u. als ‚b,—b, 1—$ 1 + i log p 1+P rrti— 26 Mb + log Cea TE ou bien ae 1+28 aly vl), fes _ 1 1+6 er log p A == B RT ae De + log 1 —ÿ - fe ) 270 THÉORIE GENERALE DE I, ASSOCIATION DE MOLECULES Pour f— 0, f=0 cela se réduit à af: ay lo = 1 | GERD la relation bienconnue pour la pression des phases coëxistantes en fonction de la température. 3’ — 1, la formule (194) donnera également : Lorsque (2 = I, / ao, ue dal, ar Car en vertu de (5) on aura: 4 — f} N p ay? log Von: = log af: RT Ab, Dar afp: DEE af: puisque p + Uy: =p, p +: =4]/y2, et ORT RT 1 Ge An É 3/2: 140’ . — = D’ailleurs 32 en — 1. La relation (194) devient done: af: 3 af v—2b, p Ay: r irre ashi ec eu b étant —2b,, quand 6=—1. Cela se réduit 4(7b = — b, + 2b,): al ,, My » Ab aly2 ale DIE kart? ep; I, ware ou bien à 1]; aly : 3 af, 2 log — = 5 RT Fi — lo RT’ parce que m) M) p + «or : ay k 2 ef als En eT Rn eg no On trouve done: : In en du log E ppt tl c-à-d, parce que a=a, —4a,, v—2v,, où v, se rapporte à une quantité moléculaire simple: dal? pe dao, log - BD ORT ale Il va de soi que nous aurions pu déduire ce résultat directe- ment, si — au lieu de (a) — nous eûmes posé (1) jig. — (43) var. SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 271 Lorsque T s'approche à 0, v s’approche à b, et l’on peut écrire: log = +, > dans les cas où § —0 ou 1. Mais alors 4/52 — 27 p,, 4p ="; RI, et l’on obtient: log —=— +1 — log 27, Ip g ou bien Bu er EN, bog B= = 27, Or, log 27 = 3,296, done lx; (log 27 — 1) = * x 2,296 — 0,68, de sorte que nous obtenons: log L: — ah ( ne — 0,68) L’expériment ayant donné approximativement pour les substances, dites normales : nous pourrons conclure, que — cherchant la cause des écarts divers dans l’association des molécules — les valeurs de 5 et 3’ ne peuvent pas être toutes les deux —0 ou— 1, mais que ces grandeurs auront des valeurs intermédiaires et différentes. Supposons que la valeur de ¢ dans la phase liquide soit dans le voisinage de 0 à des températures basses, et que la valeur de 6’ dans la phase vapeur soit quelconque et variable avec la tem- pérature. Alors la relation (19%) deviendra: afp? _ ao 1—P log 5 Dre Lire done — en négligeant la variabilité minime de » (dans la phase liquide) avec T: 1 dp UP 2 ag WR tro Mais en vertu de (10°) on aura: DB VAE) q 7 ey, RT! 212 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES AV à A : : parce que le terme avec ( Ta disparaîtra, v’ étant très grand. Nous aurons donc: 1 dp San eg DAR MUR UN GE Or, dans la formule générale Bid se Ie log Bef RPM 0) le facteur f sera donné par LE Bap Mn ham! de sorte que l’on aura: f afp + Je ape x bcp + Bq va ER, RT. f a b. 4 Avec DT A.RT, et > — 9 par suite a 7 ou a CES (21) on trouve donc: LA a q > f=f+e EE (SEO LOE MD Le facteur À peut être calculé de la relation (16), c.-à-d. ONE CR n° (3m? —2n) - OME OE ANSE eh. m? Avec B,=!|s, m= 1,133, n — 1,193 (voir $5) cela devient: 8 a BED Bin, = x 1,116, c 1,2 par conséquent : a 27 1,2 Done AG RT, = “Is x 1,075 RT, — 3,628 RT,- Pour À nous trouvons done la valeur 3,628. b 3, Ab La valeur de 9 = be et + 0,2 ci sera — 1,086 v b, b, et AO DE f Ze 1 dee 1 A Perle 6," ian er oe ta ST — — 4 1,43— 043. Nous obtenons done pour f’ — À 0 la valeur 3,628 x 1,086 — 3,94. SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 273 Avec p’=1, q —3 RT, [q est alors f”, cette valeur de f sera relativement très élevée. La valeur de Brok peut être calculée de la relation N NT Er 23 D= aE Sar aes ee a) Le facteur f’, qui entre dans les trois relations (21), (22) et (23), sera donné par (voir p. 272) / 7 = m? ZH U Omi In) Ore nne (24) b. où a= VD 3 Remarque. Lorsque 3,==0, on aura pour RT,, d’après (16): 8 a FU =; Ta Et pour ÿ,— 1 nous aurons: 4a a 21 5,’ où b,, aura en général une valeur différente de b,,. Car b, —b, et b, —2b,. Seulement quand 4b——b, +2b, —0, b, sera =b,,. Si nous supposons done 4b—0, on aura par suite: A Ae 274 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES c.-à-d. la température critique d’un corps où #,— 0 (dans le point critique l'association est encore complète) sera le double de celle d’un corps où ÿ— 1 (dans la point critique toutes les molécules sont déjà simples). Et lorsque & possède une valeur quelconque, nous pourrons écrire en général : 2 n? (8m? —2n) 2 TE an DAAN REN (25) = où 7,, se rapporte à fi —1. 4 a 4 a, 8 8 a, Nous faisons remarquer que RT, AT = 57 IN sera = 57 De où a, et b, se rapportent à une quantité moléculaire simple. (voir p. 265). Mais pour comparer les valeurs de 7°, et T,,, il faut que les grandeurs a et b se rapportent dans les deux cas à une même quantité moléculaire, p.e. une quantité double. § 7. La grandeur a dans le point critique. Il s’ensuit immédiatement de l’&quation d’état Cape. 2 v—b y* la relation suivante: ee IE) EE mls + pay? Sr). ou bien ar), es +; mrt SR (ar). Ik done avec = p (voir p. 260): le (Se). = = poe [1 + +9 (5) |: . (26) Or. dans le point critique on aura: !) 1) Comp. Die Thermodynamik in der Chemie (1893), p. 59. SEMBLABLES, KT DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 275 a Gir), de sorte que nous pouvons écrire: ze). per I nergy (a © UE hen GO [1 En 9) ( JE (26°) d? 2 = La grandeur (<5) peut être calculée de (5) et (6) dans la forme : ae miel en | 1 — p? R 1+/ On obtient, en différentiant Re 2 (GE =o [ Ab ae B(—682)\aT RT? LL v—b aes. -(v —)37 a oe done Pe an) =) RE: | 2 ig : c.-à-d. dp d ; ar), =e (1 — 62) + El) (1 + 9], ou bien, avec 1 + 1; B (1 — 6) (L + p)? =m (voir p. 263): ole x? eB) 608 Gr Te Re ei où gq’ est la chaleur de dissociation interne, c.-à-d. q sans le terme ( rapporte au travail externe (et interne). L’équation (26°) devient maintenant: T dp p + oi 'faBL—P)(1+¢) 9 ar). = (+ ) [1 + m RTI, B Doux (p+% ;) = ep a Dee on trouve facilement de (15) c (p+! ;). nn un! tandis que nous avons, en vertu de (17): 1 a ($m?—2n)’ (dn— 3m) Ai b: m? ARCHIVES IX. 38 et (16): 276 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES On aura donc: et par suite: N en m—1 A g’ 5 N m— 1 en écrivant ia "fe 2 (1 — >) (1 +). Avec m = 1,133, n — 1,193 (comp. p.265) le facteur 4n—3m devient — 0,87. D'ailleurs ed tas deviendra avee p = 0,29 (voir p. 264) — 0,091, de sorte que nous aurons: 1) gn en ( q' = (ar), =4%0,87 (1 + 0,001 in) A q/ =10RT, cela devient 4 x 0,87 x 1,91 = 6,65, c'est-à- dire approximativement la valeur expérimentale. Mais pour des valeurs de q’ inférieures ou supérieures à 10 RT, la valeur de f= 1% dp : Pn Widen! set ee dp En dans le point critique, c.-à-d. la valeur de pr serait différente. Si dans le point critique /?, serait — 1, donc m=1, n=1, la T dp : : ee 5 : valeur de p dT deviendrait — 4 et ne pourrait jamais devenir — 7, quelque grande que serait la valeur de q’. On en conclut, comme nous avons déjà remarqué plus haut, que les grandeurs b, et b, sont des fonctions de la température, et que (sh) contient encore un terme avec a sans compter le Ee terme i). On voit clairement de tout ce qui précéde, que la supposition de l’association partielle des molécules peut expliquer beaucoup de choses, surtout celles qui se rapportent aux données critiques, mais que cette association n’est pas la seule circonstance, qui influence les grandeurs critiques et les phénomènes de saturation, mais qu'il faut considérer aussi d’autres circonstances, surtout la variation de b, et b, avec la température et avec le volume. SEMBLABLES. ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 277 SS. La grandeur ii dans l'état liquide. Il s'ensuit de l'équation d'état a ma (v—b) = (1+ 2) RY, en négligeant p auprès de “oe: <5 Gt la), Gn) = ate Go), done a). -[7+ + (+ Gr HE “3-5 ale) Cette grandeur peut devenir=0, lorsque 4b est négatif. Pour la valeur correspondante de 7 nous trouverons alors: 1 ee en, Chez l’eau on a trouvé expérimentalement pour la température anf weh : of de la densité maximale T= 273 + 4= 277, tandis que i =- € p 0,045 50 —0,00225 (Mémoire cité, p. 4). Nous aurons done: deerd ya bo 217. 000225 160% de sorte que nous trouverons avec /? — 0,181 (Le. p. 4): wy == — 1,604 + 0,847 — 2,45. 5 — À I — d == 4 —A Die = ee. CPE rt eu AD Dee (voir p.242, où «|»: RT sera = 27,5), par suite: ug —<* = 2,45 : 16,6 = 0,148, au lieu de 0,47 que nous avons trouvé autrefois par une méthode différente. Mais nous verrons bientôt (p. 287) que la valeur 0,47 doit étre remplacée par la valeur plus exacte 0,144. 38* 278 THÉORIE GÉNÉRALE DE W ASSOCIATION DE MOLECULES § 9. Association de mélanges de deux substances anomales. Pour déduire les expressions pour les grandeurs / et /> (les degrés de dissociation des molécules doubles des deux substances, pe. de l'eau et de l'alcool éthylique), on peut suivre la même méthode que celle du $ 1. On aura donc successivement, p.e. pour la dissociation des molécules doubles de l’eau: / um, = 0, — DE + RT loge, u, — (u, — > + RT log Co | Pe 7 IN, eal done RGEC = pe > | ern £ - On, aN» Cy Maintenant les nombres des molécules diverses seront données par n,=(1—2) A— Pf) ; n, =A — 2) 27 ; ni =d") ; no—x.2/, lorsque le mélange consiste de 1—x Gr. mol. H,O et x Gr. mol. O,H,OH. (Les grandeurs accentuées se rapporteront toujours à la seconde substance, e.-ä-d. ici à l’alcoöl). Or, comme par conséquent ea 9! on, , 32! on, DAC Vo nous pouvons écrire: I—a\oP/, : Avec OS Ring me wee ern Ri en EOD on trouvera comme dans le $ 1 (a ne dépendra pas de >): v | — San, RT: db =n Doe 2 b — (1 — x) RT — 1 es) = (1 — x) RT log Gay Fe À 5 parce que les termes avec 5 disparaitront de nouveau, tandis que Of?) zn, =A—a) A+ B) + (A +7. SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 279 La grandeur b sera représentée maintenant par b= (1—2) [(1— 4), +280.) +2 LB) + 20H), ou bien b—(1— x) (bd, + D Ab) + x (db + 4b’) = (1 — x) bis + vb, de sorte que nous trouverons pour d /? db Quant à la grandeur a, on concevra facilement que a= (1—2)? aa +alle) Va dio 27a’ 2=[(1—2) a, +x1/a]?, puisque ay» = (1—/)? a, +2(1—/)2/ as +4/f?a, sera con- stamment — a, (voir p. 237) et de même a» — 4. Pour aas a2y nous avons écrit day d'y. Nous aurons donc: 1 ee RE a = ir). de Ve (n+) 4, et par suite: (— 0, +20,)— RT log RT + RT log (p+ 5) + RT+ a a C, +(p+ 2) 4b + RT log —9. % 1 Cela devient, en posant comme autrefois 0, —20 . Ze + log RT — 1 — log 4 — log K, de sorte que la fonction de la température K sera donné par la formule (6), comme dans le cas simple d’une seule substance: Ga IK _2 + te AG —_ —= ——— € RY . 4c, p + “lv: Ici (1— 5) (1 —f) . … (—5:)2P STE zn, MT Sr où Yn, —(1—x)(1 + /) +a4(1+4+ /%), et nous obtiendrons: En 3? 1—ı 4, If (Le) et par conséquent pour la relation 9 —f(p, T, x): 280 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES 22 Le [i+ a ra ey) ee K eter Ab Pp D + aly 2 identique à (5), excepté le facteur entre [ ], qui disparaîtra quand (N. Pour la seconde substance on aura tout-à-fait la même expres- sion; seulement avec cette différence, que x. 7. K et Ab doivent être remplacés par 1—a, /?,/ K’ et 4b, et vice versa. Cela donnera: En de (1 — x) (1 + #7) KE ae et Av =|1+ 5 (i +) ort (30b) : df? d 3 Ine grandeur importante sera (22) et de même („2 ) Une grandeur importante sera \ 7, : t de même TUE) Nous déduirons done premièrement l'expression générale pour dj? dx L'équation (30a) donne immédiatement: OL dair | a d1+/3 PAP?) de [ | ( i+ ff (i—a)? Ir dele 7)— Ab a le ) da RT pty) dev: Pour «=O cela devient: 2 LGN we 2 1 ( pit) d = Bo (1—/ ) da ee RT Aa 1+/,/ dx v? Jo’ parce que [ ] '—1. 2=/,, P=1 (pour z—0 la seconde substance jai et pelo En? sera totalement dissociée) et OÙ Sn da Pour apg? en trouvera, en supposant v — b: pd La db d a d (1 oy gia dx Beis dev? dx = b? i c.-à-d d a ees ao 3 / Tr Dos Lo (— Ma, ap IE a’ 1) — La is bi SF b 12 Ar dp tp SEMBLABLES, El DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTS. 281 Cela devient pour «= 0: EC) = 3 ae nad bi), ra, FI), (— Gi), +(0)5+ +7) )] en Kr a; — (be), a, a, dd a |. (Bo), On aura donc: df? 2 41/(b,»), AEN 2 Cog Nearer au no do) |= 2 Ab 21/a f ? = mm Gye Lode ei Od. ra, J) —b, En auprès de 4b. Pour le terme avee 4b dads le second membre nous pouvons écrire : Ab 21 a, , (bia)o y, La’; (biz), (bi), GTR X b 2 Ze Ta EE ) AT Gg? (up, Oe li Do Ka, on Vo en supprimant le terme = ou bien 1/1), (bro), (bie) Ab [ © pe (bu) ı RT (bio)o (bie), (bio Pe Oo parce que (p, et p”. sont les pressions critiques des deux substances) La, Va, 21 da. 2a, dat Pe == : MEE = bi) U), 20 Db, | pe (bo), étant = (L— (70) ba + 2/00 = 20d'2, et (bi, = (17) db, + 2/9, 0, = 20), puisque 6, — 1 et A, = B (potr;a— Old seconde substance, et pour «= 1 la première substance sera tota- lement dissociée). Et comme aib), Dn 402 [op, == 4/b, T° ENG TOT on trouvera par suite: ave (USE )ı (0%) 12 (bie), ‘es — (py) are OR Ci er hai ¢ 20 0 x ’ EL LBL 7%). 14 Te Con 3 T (bi Jo 282 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES 5 Ib lorsqu’on écrit 0 pour Tens Or, nous avons à 15° C. (les gran- 12/0 deurs non-accentuées se rapportent à l’eau, les grandeurs accen- tuées à l’alcoöl éthylique) : 1+%,=1206 ; P,(1—8B5)—0,98 ; T gg 2215 (VA ‚a . (bz), 92,09: 0,7943 _ SE 1159 ne oe de sorte qu’on aura: 1 190,3 Co (0,5595 — Pel) dj (b’ 9 l 2 ig), = Bo (1) = 40 (ds 52 Ca 1 — 6,1 £ (bi2)o Pour (bio), —v,, e.-à-d. le volume moléculaire (double) de l’alcoül pur, nous avons écrit 92,09: 0,7943, le premier nombre étant le poids moléculaire double de C,H,OH et le second sa densité à 15° ©. De même (bi), —v,, C-à-d. le volume molécu- laire (double) de l’eau pur, sera — 36,03 : 1, où 36,03 est le poids moléculaire double de H,O. Comme (bj), =6, +, Ab, on aura pour (bio): =b,+1.4b=2b,: (dis) 1 — (0x), + (1— 5, ) À b, donc (Dis): ke / > (bis) —1+ (1 — f,)0. De même nous aurons, puisque (bi), = bi + / 4b’, pour (ber basel b ib (b55)o = (bio): + (1 — Pi) 46”, par suite (12) »/ / za =l + (1 — Pf) or CRE On obtient done avec A, = Pi = 0,206: df , 1—190,3(1+0,794 0’) (0,5595 — (1 +0,7940) )d = = 103 12>) 0e ~1—6,140 (1 + 0,7940) 02 ou bien SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 283 dp 1 + 52,99 (1 + 0,7940)(1+1,8030)3 (34 emo lo) ET EO ! parce que 0,5595 — (1 + 0,794 5) = — 0,4405 — 0,794.5 = — 0,4405 (1 + 1,803 9). - 4 ‚af df? Lorsque Ÿ—0, expression dernière se réduit a( ) =/? (1—/?,), 0 où 2, est encore une fonction de la température. Le produit B, (1—/,) atteindra sa valeur maximale pour %,=!h; et à des températures suffisamment hautes, quand /, tend à 1, la : : dj? a valeur de /?, (1 — /?,), done aussi celle de eel , tendra à 0. Les 0 coëfficients 0,794 =1—/?, et 1,803 — (1—/7,) : 0,4405 deviendront de plus en plus faibles lorsque la température s’éléve. Quant aux : 14, Boll, coëfficients 52,99 et 6,14, ceux-ci contiennent ae et en ’ et s’agrandisseront avec T dans le premier moment, de sorte que : df Price nous pouvons dire que la grandeur dz), — qui sera négative 0 par à — prendra d’abord des valeurs négatives plus fortes, pour décroître enfin jusqu’à la valeur 0 quand /?, sera devenu = 1. : à dr Pour déduire l’expression correspondante de ee , on ri 1 n’aura que remplacer les grandeurs non-accentuées par les grandeurs accentuées correspondantes et vice versa, et d'échanger les indices 0 et 1. D'ailleurs 77 n’est pas — 638, mais — 517, de sorte que fie 517 3 (bie), T = 288 = 1,795, tandisque can par sa valeur réciproque. Au lieu du facteur 120,3 on obtient maintenant 9,421. Le facteur 6,140 deviendra 4,976 avec T, — 517 au lieu de 638. Finalement la valeur 0,5595 C2 remplacée par la valeur réciproque 1,787. On obtient donc: — 3,217 doit être remplacé dp’ Ne s(t py 10 +0 1940) (1,787-(1+0,7940')) 0” An), EP) 14976 (1 +.0,794 0) 92 ou bien dp’ 1—7,414 (14 0,7943) (1—1,0099) 9 pay Gas al A) Tao (1+ 0708387 (7) parce que 1,787—(1 + 0,7945/)—0,787—0,7949/—0,787(1—1,009 3). ARCHIVES XI. 39 284 THÉORIE GÉNÉRALE DE 1 ASSOCIATION DE MOLECULES Le signe de l’expression dernière sera positif, parce que 0’ possède SA ‘Auk dr une valeur négative aussibien que à, et la grandeur = TA 1 d/? 5 prendra, comme ars dans le premier moment des valeurs 0 positives plus grandes quand la température s'élève, pour décroître dp’ ie) 4 aura atteint plus tard. Lorsque 9, sera devenu — 1, ( la valeur 0. § 10. Le changement du volume /V de mélanges d’eau et d’alcoöl. L’équation d'état (p+ Je) (v— b) = 2n,. RT donne pour le volume l'expression En RT alyı er en supprimant p auprès de “na. Mais on pourra omettre ici le terme avec RT, lorsqu'on consi- dère exclusivement l’état liquide, suffisamment éloigné du point critique. On aura done v—#, ce qui donne pour 1 —x Gr. mol. H,O + x Gr. mol. 0,H,O avant le mélange: Va (1 — 2) (bio)o + © (bio) à - Et après le mélange: v— (1 —%) bie + rbi, de sorte que l'on trouvera pour le changement de volume AV =v—2,: AV =(1—2)(P— ff) Ab + x (BR — fx) Ab... (82) Puisque cette grandeur a été trouvée négative, on aura contrac- tion du volume. Or, cela n’est pas possible à moins que Jb et Av! soient négatives. d AV Pour — EE on trouvera: dAV dp dx = — (RP — fy) Ab+(F — Pr) Ab’ +(1— x) Ib Ee Ay da done, quand # = 0: dj’ dx ? SEMBLABLES, ET DE IA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES 285 BAP N Va GE 7 dj? 2 UNE). (334) parce que # — /?, et f# — 1 pour #—0. Pour (aim), on trouvera, en parfaite analogie avec (334): Wa), = — Bo) 40+ 40 ai), (33?) Maintenant nous voulons montrer comment on peut déduire dd les valeurs numériques pour en BE # )e i ( ii»), des tableaux qu'on a construit pour la densité de mélanges d’eau et d’alcoül de percentage différent. Soient les quantités des deux substances 100 — p Gr. (eau) et p Gr. (alcoöl). Alors les nombres des molécules en Gr. mol. doubles EN AU : NW seront resp. “36,03 et 92,09 : On aura done pour ne. a Ny + Ny Nr. (ee Pad ); Ne he er um \ eo | 9209/: mad représentant (100 — p) : id et p : id. grammes, dont les volumes seront resp. (0,794 est la densité de l’alcoël à 15°) RSR N RES 00 RUE ceM. Et comme le poids total du mélange sera 100 : id. Gr., on aura pour le volume du mélange: quand D est la densité du mélange, qu’on peut tirer des tableaux. Nous trouvons done pour 4V =v — (vo + v,): eS 100 hd | . (100 —» — ((100 — Eu 0,794 36,03 * 92,09 ) dAV es ; Pour trouver la valeur de na’ nous differentions 39* 286 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES 100 — D SE 100 ( p 14 36108 3 a) = (100 —p) + dog) donnant: 100—p dd Ki ze \= 100 dD 1 er 36,03 a dp Dr our done pour p—0, lorsque D— 1 et 4V—0: (EE) = —0,3603 (0,259 +100 (97). ). dp La grandeur = peut être calculée de 100 —p p BD 36,03 * 92,09) 92,09’ x donnant: 100 iM ee 36,03 92,09/ dp " “dp ~ 92,09 ’ c.-à-d. pour z=0, p—0: dx ) 0,3603 _ dp 92,09 Nous trouvons donc: en JE — 92,09 (0, 259 + 100 (7, ’) )=—(23, 85 +9209(7,), ). : dD Or, les formules de M. meenen !) donnent pour (5 la 6 valeur — 0,00188. Nous aurons par suite: ——) = — (23,85 — 17,31) = — 6,54. 0 En comparant ce résultat avec (334), on a done (/?\/="/5): ‘I, av +ab( EL ) Bene ee 0 EENDEN TE TE Pour ( he ry: on trouvera facilement (D — (0,794)? ) : AV 100 dD > — 36,08 (1— 0 an + 0,799: io NE c.-à-d. 1) Voir LANDoLT und BORNSTEIN, 2ieme édit., p. 224. SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 287 d AV Lb ; =e — 9,35 + 5716 ( CE SS Les tableaux cités nous fournissent pour Ga) la valeur + 0,00310, de sorte qu’on aura: _dAV. La comparaison avec es donne immédiatement (9, — |; ): amb Ab + 4b noe Ln (545) Les relations (34) et (341), que nous venons de déduire, nous per- mettent maintenant, en connexion avec les expressions (31) et (31%) : zE) dr ) À Rs AW pour Ä et TE x de calculer les valeurs de db et 10’, pation’ celles: de a RE ir, — 0" Aves (bu), = 36,03 ct 1 (bs), — 92,09 : 0,7943 — — 115,9 (voir p.282) ces relations devien- 2 . . à d /? dront, en écrivant pour abrévier y et y’ au lieu de en et 0 4, x 115,9 0’ + y . 36,030 —— 6,54 | 41, x 36030 + y’- 115,99’ = — 8,37 | ou bien yO + 2,504 0’ —=— 01845) (35) y! 9’ + 0,247 5 = — 0,0722 | Ces deux relations seront satisfaites par les valeurs suivantes: do—= — 014 ; d——0,114, avec lesquelles correspondent d’après (314) et (312) pour y et y’ les valeurs y= 0,764 : 4 — 0,319 = En effet, avec /?,(1— /?,) —0,1636 ou trouvera: 1+ 53,0 x 0,910 x 0,740 D 1 + 35,690 | Een | eu > 17339 | / = 0,1636 — = 497620310877 916367 Fe | done 288 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES SD ve an = 0,1636 ~ 0,887 = = 0,1636 KS 4,668 — — (),764 | NEE En Les équations (35) donneront maintenant avec les valeurs, trou- vées pour y et 7’: — 0,764 0 + 2,554 0’ = — 0,1815 | 0,319 0’ + 0,247 d = — 0,0722 ee ou bien — 0 + 3,040’ — — 0,238 0 + 1,29 0’ — — 0,292 4,63 0’ = — 0,530 do = — 0,114. Pour 0 on aura ensuite: 0 = — 0,292 + 0,148 — — 0,144. Nous trouvons done pour à et 0’ des valeurs beaucoup plus petites que celles que nous avons calculé autrefois (l.c. p.12). En premier lieu nous tirämes alors la valeur de ( TO du tableau sur le pag. 225 (Lanporr und BornsTEIN 2°"° édit.), où les valeurs de p/ sont des procents du volume, tandis que dans le calcul présent cette valeur est tiré du tableau sur le pag. 224, où les valeurs de p sont des procents du poids. Or, la dernière valeur étant — 0,00310, la première devrait être — 0,00310 : 0,794 — 0,00390, tandis que le tableau donne 0,00516, une valeur beaucoup trop grande. Pour le second membre de l’équation dernière sur le page 286 on avait par suite: 1 100 — — 45,38 (— 0,206 + 0,516) — — 45,38 x 0,310 — — 14,07. au lieu de — 8,37, done pour le second membre de (35) la valeur — 14,07: 145,9 = — 0,1214 au lieu de — 0,0722. Mais en second lieu les valeurs de y et y’ &taient simplement 0,1636, tandis que les relations (31) nous ont fourni les valeurs exactes — 0,764 et + 0,319, qui different beaucoup des valeurs approximatives A, (1— /?,) et /%° (1L— Pr) = 0,164. La valeur de SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLKCULES DIFFÉRENTES. 289 y est devenu même négative, en vertu de la valeur négative de ö et de la valeur positive du coéfficient 35,69, due à la valeur négative de l’expression Ve Pers (1 + 4/5 0) = 0,56 —1—*/; 0 = = — 0,44(1 +1,805 0). D’ ne cette valeur positive, savoir 35,7, est excessivement élevée. Ff d/? ae. La valeur négative pour y= = signifie que le degré de 0 dissociation /? des molécules doubles de l’eau ne subit pas un accroissement, quand on ajoute une quantité minime d’alcoöl à l’eau pur, comme dans les cas normaux — mais un décroissement. Il est évident que ce décroissement est dû au décroissement de = le Ab la grandeur exponentielle e ” , puisque “/,» devient de plus en plus petit lorsqu'on remplace l’eau par l'alcoël éthylique, la pression critique de l’alcoël étant moins élevée que celle de l’eau, tandis que — 4b est positif. Le décroissement de /? en vertu de la grandeur @/,: le gagnera dans le premier moment, lorsque x est encore très petit, de l’accroissement de /? en vertu de la dilu- tion par l’aleoöl. La valeur normale de y, c-à-d. 0,16, en est réduit à — 0,76. A l'autre côté (x — 1) la valeur de 7’ subit un agrandissement par l'influence de la grandeur exponentielle mentionnée, savoir de 0,16 à 0,32. Ici la grandeur «/,: deviendra de plus en plus grande, lorsqu'on remplace l’alcoöl par l’eau. Les deux facteurs considérés réunis, c.-à-d. la valeur plus exacte pour Gr), et les valeurs plus exactes pour y et 7’, ont modifié fortement les résultats obtenus. Au lieu de 0 = — 0,47 et 0’ —— 0,045 nous avons trouvé maintenant 0 = — 0,144 — ——1},; et d =—0,A14—=—/, à peu près. La valeur de 0 est devenu trois fois plus petite, et celle de 0’ trois fois plus grande. Nous faisons remarquer encore, que la valeur trouvée pour 0 A s 2 av s'accorde très bien avec celle que nous avons calculé de ar (voir p. 277), c.-à-d. à = — 0,148. Remarque. Dans nos calculs précédents nous avons identifié souvent 4b avec Av. Les grandeurs observées, savoir la contraction du volume de mélanges d’eau et d’alcoöl, donnent toujours dv. 290 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES B à RUN Av Av : C'est pourquoi 0 et 0’ désignent done — et — —. Mais pour cal- Vo Vi euler les valeurs de Ô et 0’ nous avons déterminé les valeurs de y et y. Or, celles-ci ne contiennent pas (voir pag. 280) Av, E v —b de v —b mais 4b + Te: D'après la formule (8) 4b + TE a —b 3 — AV (1 Ben. 5 Ie et l’on calcule facilement que le facteur 1— 2 == aura la valeur 0,912 au côté de l'eau (x— 0) et la valeur 0,895 au côté de l’alcoûl (x —1). Dans les expressions pour y et y” nous aurions done dû remplacer 0 et 0’ par 0,9 0 et 0,9 à. Mais l'influence de cette correction ne sera pas très grande. $ 11. La chaleur de mixtion © L'énergie d'un système quelconque est donné par la formule bienconnue (voir pag. 248): @ ù e— 2 [n,(e,),] + 2(,4,) T+ T? un Cor es Où w =|p dv = (1+/) RT log (v—b) + —, de sorte que nous aurons: ez [n(es)o] + Qu by) T— = + pr, parce que pendant la différentiation par rapport à T tous les nombres moléculaires n,, n,, ete., et par conséquent aussi /? et", restent invariables. On aura done: e= (1 —x) [ (ex), + ke T] + z[(e'i2), + ke 7] — 5 + pv. Tei (edo + bio T = (eo + B (edo + 220) #4, T+ A (Kk, +2) T, ou bien (ex) + kT = (@1)o + hy T + (go + YRT), et une expression semblable pour les grandeurs accentuées. Pour Q—:—((1—x)69+ xe,) nous trouvons done, en écrivant ao pour 4/y— pv: Q=(1 cae) (2 — fo) di + a) On a a a’ - = (ads 5 ar SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 291 où qg; — 4e + yRT et q';—q'o + Y RT représentent les chaleurs de dissociation internes des deux composantes, c.-à-d. sans le travail externe (et interne) (p + 4/v2) Av. (comp. pag. 249). Or. on aura d’après de réductions connues: a ((—a)va, +z1a@,)? Bt VEEN (1 — ©) à “A La? aa KE bis b 12 atte: by à ri Bis ) ’ de sorte que nous obtenons finalement: Pr ET, ZE : VfR’ An a su QA Br u) a a, ) &(1L—x) MAL Te an, 2 (pi (bie), is b Die ï 2 bio bis ‘ ou bien, puisque bis — (bi) = (? — /%) Ib, ete.: Abe ‚gb (ro) a+ 2 (B — B) Hit A—2) (BB) rp + B Dia aaa OZEAN (TZ dee LL EPA) tp ba 1 parts 1). (36) Nous voulons déduire de cette expression pour la chaleur, due à la mixtion de 1 —x Gr. mol. (à 36 Gr.) H,O et x Gr. (à 92 Gr.) C,H,OH, les valeurs de GS), et Gi 7) . Les grandeurs fet />” étant des fonctions de x, on aura évidemment (voir l’ex- pression avant-derniére pour Q): = [re + (1—2) 4 qi + lai + bt di+ + = Cr Cm Wij) Ae ge + sap avg +020 (TE et) ] +2 er aide Pour +=0 cela devient [P= fo, 2’ =1, b = by = (bio): dQ LE dj? 21 / er a 1 (5: Baie iz), uud; Deer (Do ij) + df la, Wa? us — Ab WENN == D Ga)! € =). + ( cs Teed (b + d ce qui se réduit à ARCHIVES XI. 40 292 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES (=) = GD. (a+ Feo >) + 1 — P57)9% + (Bia) Unna PVC. La, mn nn + A 7 — (dis)o (b 12) É c.-à-d. à dj? ( a, ) EN “a = = em ne a a ur (Dio), ; Par Pas); ne (D'i) Way Ee , / a a ((b io —— (b 2)1) (ba? : 12 0 Or, (bid — (bio), = (1 = Bes ) A b’, tandis que a, + = (os dir ig Allg), q bel (Do qi (bo)? q Jo où (q), et (q’), désignent les chaleurs de dissociation totales des deux composantes pour æ— 0. (comparer (11) sur le page 249). Nous trouvons donc: d En ik 2 (Q)o + 4/5 (go + (bo), P,....-. (374) lorsqu’on écrit: > Go a’, oa) = dx 0 / (b 12) 0 (b’ 12) La grandeur (b’:), P représentera la chaleur de mixtion differen- tielle proprement dite; e-à-d. sans les termes avec q et q’ qui se rapportent à la chaleur, due aux changements de la dissociation des molécules doubles des deux composantes. Il est évident que cette grandeur sera toujours positive. : d On concevra facilement que l'expression analogue pour Gas sera : dQ / / Ge rd +45 + Ov)P...-. (87) Maintenant nous pourrons tirer des conclusions sur le signe des deux grandeurs trouvées; mais d’abord il faudra connaître les valeurs numériques de q et q’. La formule (10%) sur le page 250, savoir al q 2 WE TRS RT? = 30555 PU D RT SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 293 donnera pour q une valeur différente de celle que nous avons calculé sur le page 251, puisque la valeur de 0 a été trouvé plus faible que celle trouvée autrefois. Avec la valeur plus exacte nous trouvons (comparer p. 281—282): ruse lag eli (bie), 4a, (bio), Go —= = H ] alle ) nr CO En nn OPA: donc avec %/p, = 7 RT, (supposé qu’à la température critique toutes les molécules seront simples), */; = 1 — 5, — 0,794 et d = — 0,144 (chez l’eau): ot — 14 RT, x 0,886 = 12,4 RT... 0 Pour RT nous trouverons par suite (1 —288 et T, = 638): UT Pour l’aleoöl on aura de même: in 14 RT! x 0,910 = 12,7 RT”., 1 et Klo, pit = 12, is — 19,7 x 1,795 = 29,9. parce que L + */; 0’ =1 — 0,794 x 0,114 — 0,910 et T}/ — 517. D'ailleurs nous aurons: 2 v—b BE m —=2(1+Pß) als done — 2 x 1,206 : 27,5 — 0,088 chez l’eau, et — 2 x 1,206 : 22,9 — — 0,105 chez l’alcoöl. Pour l'expression entre [ | on obtiendra maintenant: 4 — 0,197 x 27,5 x (0,144)? x 0,912 = 1 — 0,102 = 0,898 (eau) 4 — 0,197 x 22,9 x (0,114)? x 0,895 — 1 — 0,052 = 0,948 (alcoöl), B(1— 2?) étant = 0,206 — 0,009 = 0,197, (0,144)? — 0,0207 et (0,114)? = 0,0130. Et comme nous avons trouvons autrefois pour q=q’, en négli- geant le facteur [], la valeur 3840 Gr. kal. pour une quantité moléculaire double, on aura plus exactement: (9). = 3840 x 0,898 — 3450 (9), = 3840 x 0,948 = 3640. 40* 294 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES Pour calculer maintenant les valeurs de (q), et (q’),, il faut connaître les valeurs de q; et qi’. Or, comme nous avons: a a =: + Qo Dti 5 | (bio), (b12)o / / a, / es a, / aan: bi) Sr / Ab ER it 7 ) (4), =4 5) q (ean | nous caleulerons d'abord les valeurs de fi aA ù et vw Tie 4 On trouvera (voir plus haut) avec R— 1,992: hs ) 0 — 12,4 RT, x 0 = — 24,7 x 638 x 0,144 — — 2260 | 12 wey i: 0’ = 12,7 RT/x 0’= — 25,3 x 517 x 0,114 = — 1490 (à 12 par suite: qi = 3450 + 2260 — 5710 |. qi, = 3640 + 1490 — 5130 | Les valeurs de (q), et (q’), seront données par , ne a, a’; 7 Ab (Orik USE Ab— gr Pi), 0’ x Fb’ | 5 7 CRUE , Gti, AD | (Qo =i + UE Ab = qi + Bar ù x zie Ab Pour Zy nous trouvons: diie > „bio __ 0,144 _ 36,03 _ 1,26 AETR 6) me 0114 115,9: 322 — 0,393, de sorte que l’on aura: (9), = 5710 — 1490 x 0,393 — 5710 — 580 — 5130 (4), = 5130 — 2260 : 0,393 = 5130 — 5770 — — 640 Nous pouvons done écrire: (9), = 5710 — 2260 — 3450 | (g'), = 5130 — 5770 = — 640 | (9), =5710 — 580 = 5130 | (q’), = 5130 — 1490 — 3640 | Toutes ces grandeurs sont positives, excepté (q’), — la chaleur de dissociation de l’alcoöl dans un milieu purement aquatique — A ; 3 a qui sera négative en vertu de la valeur trés élevée de Gene b’. 12/0 SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 295 Les expressions (374) et (37?) deviennent maintenant (comp. p. 287): LE — 0,764) x 3450 + 0,794 (— 649) + (Bu); P | dQ | % Ce) 0,319 x 3640 + 0,794 x 5130 + (bis), P | d ou bien, en écrivant pour abrévier (3) =a Qo je A). 1) À 0 Der (b's) P= Me et (bio), == M, 6 We, = — 2630 — 510 + M, =— 3140 + M, Q = 11 où M, et M, seront les chaleurs de mixtion différentielles propre- ment dites, dont les valeurs sont toujours positives (voir p. 292). On voit bien que la chaleur, due au changement des degrés de dissociation des molécules doubles de l’eau et de l’alcoöl, sera . P } dj? négative au côté de l’eau (x — 0), puisque =) =y et (q’), sont 0 tous les deux négatifs. Il s’agit maintenant de déterminer les valeurs de M, et M,. Nous aurons: M, € (Her (B12) 4 ut Ka), 12) El = er War oa Verl: done (voir p. 293 et 294) MART 7 RT |? — |V 15750 x 3,217 — ı 13080 |? = (150670 — 1-13080)?, ou bien M, = (225,1 — 114,4)? = (110,7)? = 12250. Pour M, = (b,), P nous trouverons par suite: (bo (bie), On obtient done finalement: M, = 12250 x — 12250 : 3,217 — 3890. 296 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES Qo = — 3140 + 12250 = 9140 |!) GS EEE Spule tandis que les expériments donnent des valeurs négatives, puisque le mixtion dégage de la chaleur. Le changement de la dissociation des molécules doubles de l’eau et de l’alcoël pendant la mixtion ne suffit done pas pour expliquer le fait que la chaleur de mixtion des deux substances est négative au lieu de positive, et il faudra done nécessairement que p.e. les molécules simples de l'eau se combinent avec les molécules simples de l’aleoöl, pour former un hydrate C,H,OH.H,O avec dégagement de chaleur. Pour calculer la valeur de cette chaleur dernière, nous déter- minerons d’abord les valeurs de @ et Q’, des expériments de M. Bose ?). Quant à Q%, le tableau sur le page 601 Le. donne: x—0 | 0,05 | 010 | 0,15 | 09 mee 148,6 | 237,5 | 265,9 170,33 | 0! 116,7 | 186,8 | 208,3 | On trouvera done par interpolation linéaire: x — 0 | 0,05 | 0,10 | 0,15 | 159 |—0—0) 191,0 193,6 | 216,1, | | valeurs, qui obéissent à la formule d’interpolation — Q = 2893 x — 9350 x? — 220025, donnant pour — @: 1) Le fait que les valeurs trouvées pour Q', et Q' sont sensiblement iden- : a Er : tiques, est purement accidentel. Si, au lieu de m —7RT,, on avait introduit 2 Ay p.e. 5 —6RT, , on aurait trouvé pour Q, et Q des valeurs inégales. 2 2) Zeitschr. f. physik. Chemie 58, p. 601—602 (1907). SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES 297 — 0 — = — 2893 — 18700 x — 66002?, done pour Q, la valeur — 2890. La valeur de Q’; peut être trouvée des données suivantes. 1—z=0 0,05 | 0,10 | 0,15 0° |—Q=0) 26,8 | 45,4 | 61,1 17°,33 | ol 147 | 28,1 | 402 | | Pour 15°C on aura par suite: 0,10 | 0,15 | 304 | 43,0 | Ces valeurs seront comprises dans la formule — Q= 353 (1 — x) — 590 (1 — x)? + 1000 (1 — x)? —Q=0| 16,3 donnant pour — q’: ‚ dQ IST au d’où l’on déduit pour 9, la valeur — 350. En écrivant done H’, et H’, pour les chaleurs de hydratation différentielles, nous trouverons au lieu de (38): RME N en) YY, = 9120 + H,—— 350 | — 353 — 1180 (1 — x) + 3000 (1 — 2)?, de sorte qu’on obtient pour H’, et H’;: H’, = — 12000; HA’, —=— 9470. Il nous reste encore de déduire une formule, exprimant H, done aussi H’, et H’,, en fonction de x, /?, 9’, a (le degré de disso- ciation du hydrate et q, (la chaleur de hydratation pro Gr. mol.). Le nombre des molécules simples H,O sera — (1 —x)2/; et celui des molécules simples C,H,O0H,=«.2/". Lorsque la valeur 298 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES de x est 1), il se formera donc 2.2/2’ Gr. mol. du hydrate, e-à-d. x.2/7 (1— eu) Gr. mol du hydrate non-dissocié. On aura donc: (1 — x) (1 — 2) Gr. mol. doubles H,0 ; (1—x) 2? — 2.2/7 (1—«) Gr. mol. simples H,O Nt 0 , CO, 4,08; 2.28) —2.2 (Le) Gr. mol. simples 0,H,OH &.2/3 (1—«) Gr. mol. C,H,OH.H,0. Et le nombre total des molécules sera: N—=(1—s) (1+ B) rv (Lt B) (Lt). L'équilibre CAH OH... HOC ORE est done donné par la relation [(1 22) 28 —2.27'(1—a)] [ee AO 2 .2/’(1—a) x N Se où Ky, sera une fonction de la température, et (par 4/2) de la composition du mélange x. Quand la valeur de x est très faible, on peut écrire: 22 Xa 2 (1 —a) x (1 + Eje Ku; ou bien CAEN et x ES ÉTÉ ERA RP (40) La chaleur de hydratation peut être représentée (quand on suppose que la grandeur “/» ne subit aucun changement par la formation du hydrate) par le A a) AG A See (41) où q, est la chaleur de formation du hydrate. Cette chaleur sera d negative (dégagement de chaleur) Pour H’%) = > ) on obtient > 0 donc Taf, == 2 (A == ao) (Qu) DO AC MONT MONTS DES (42a) dH De même nous trouverons pour H’, — (ai) ar 1 SEMBLABLES, El DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 299 puisque dans le voisinage de 3— 1 (x ‘/,) l'expression (41) pour H deviendra H = (1—2) 2/5 (1—a) q,, où « sera donné par (40), ¢.-a-d. 1 a bee bes ; N rer Ar K,, tandis que /?, —1. Et comme les valeurs ES B de «oet «,, (qi), et (gr), seront différentes entre elles, on concevra facilement que H’, et H’, auront en général des valeurs également différentes, et que la différence entre H’, = — 12000 et H’, = — 9500 ne renferme aucune contradiction principielle. Cependant nous n’insisterons plus longtemps sur ce sujet encore peu étudié. *) Nous voyons de tout ce qui précède, qu'il reste toujours quelque incertitude quant aux valeurs de (7, 4b, etc.; surtout à des tem- pératures relativement hautes, où les changements de b, et b, avec la température et avec le volume deviennent évidents. On aura à étudier alors la double influence de la variabilité de /? et des grandeurs b, et b,. Mais qualitativement notre théorie est en parfaite concordance avec les résultats des expériences. Par exemple, la chaleur de mixtion de mélanges d’eau et d’alcoöl, qu'on a trouvé négatif à des températures ordinaires, deviendra de plus en plus faible quand la température s'élève. Finalement la valeur de Q changera de signe et deviendra positif. Car en premier lieu le hydrate C,H,OH.H,O se décomposera de plus en plus, de sorte que la grandeur 1—« et avec elle la chaleur de hydratation H tendront rapidement à 0. Et en second lieu, à des températures encore plus élevées, la chaleur due à la dissociation des molécules doubles de l’eau et de l’alcoül, deviendra de plus en plus faible à mesure que les grandeurs / et /? s'approchent de l'unité. Alors on n’aura plus que la chaleur de mixtion simple M, due au changement de la grandeur 4/3. Il y aura alors absorption de chaleur par la mixtion comme dans tous les cas où les composantes sont normales dès le commencement. Dans le cas de mélanges d’eau et d’aleoöl les composantes ne seront tout-à-fait normales qu’à des températures relativement élevées (à 200° C. environ). On remarquera encore que la grandeur @, deviendra positif plus 1) Nous faisons remarquer encore, qu’en vertu de la dimivution du nombre total des molécules du mélange par la formation du hydrate les formules (30% et (30%) sur le page 280, et de même (31% et 31%) sur le page 283 subiront des modifications, et qu’on trouvera par suite des valeurs différentes pour 7, 7’, d et 0’ (comp. p.287). Les valeurs, trouvées pour Q', et Q', dans la formule (38), se modifieront donc également, et avec elles les valeurs de H’, et H’,, calculées de (39). ARCHIVES XI. 41 300 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES vite que @%, cette dernière grandeur étant à 15°C. d’après (39) = — — 2890, tandis que la première est seulement = — 350 Gr. cal., e-à-d. chez les mélanges d’eau et d'alcoöl éthylique. Le lecteur interessé comparera le travail cité de M. Bose, surtout le tableau sur le page 601 et la fig. 3 sur le page 602; aussi les quelques lignes théoriques sur le page 612, où on fera bien de ne prendre trop au sérieux ce que M. Bose a remarqué sur mon Mémoire original sur l’association (déjà cité plusieurs fois).!) La théorie précédente sur la dissociation de mélanges de deux substances anomales peut être appliquée directement sur la disso- ciation électrolytique d’une substance dissoute dans l’eau. Notam- ment les formules (304) et (302) sur le p. 280 donneront complète- ment les degrés de dissociation du sel (/?) et des molécules doubles du dissolvant (7). Lorsque celui-ci est une substance normale, on aura seulement la formule (304). Dans le cas de mélanges de deux sels fondus, les formules (304) et (300) donneront également les degrés de dissociation /> et /2” des deux sels, et l’on pourra étudier l'influence de la présence de l’un des sels sur le degré de dissociation de l’autre, et cela pour des quantités différentes des deux substances. Mais toutes ces questions seront étudiées plus tard dans un Mémoire spécial, où nous considérerons aussi quelques problèmes, liés étroitement à la dissociation des substances dissoutes et à l’asso- ciation des dissolvants; pricipalement les modifications de l'allure des courbes de fusion et de celles d’évaporation par l’anomalité des deux composantes du mélange binaire. DEUXIEME PARTIE. THEORIE DES MELANGES BINAIRES, QUAND UNE COMBINAISON PEUT SE FORMER. § 1. La valeur du potentiel thermodynamique total. Supposons qu'on a 1—x Gr mol. de la première et x Gr. mol. de la seconde composante, et que y Gr. mol. des deux substances 1) Vois aussi Zeitschr. f. physik. Chem. 61, 255—256 (1907), où j’ai repondu aux affirmations de M. Bose. SEMBLABLES ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 301 A et B ont formé la combinaison binaire AB. Alors nous aurons pour le potentiel total Z: Z=(i—a—y)(C,+ RT log c,) + (x —y) (C, + RT log c,) + UC Eloge) > 8 0) où ke u Rig la at LN = = Eje nj And (2) puisque +n, =(1—a—y)+ (@—y)+y=1—-y. Mais en vertu de l'équilibre de dissociation de la combinaison on aura: c.-à-d. (C, + RT logc,) + (C, + RT log c,) —(C,+ RT log c;) —0,. (3) où u, — C, + RTloge,, ete. sont les potentiels moléculaires des trois substances. [Les grandeurs C, ete seront des fonctions de la température (et de la pression) seulement, lorsque nous supposons que les substances se trouvent dans l'état gazeux, ou bien dans l’état de mélanges liquides ou solides idéals, e.-ä-d. qu’il n’y a point d'influence mutuelle des composantes]. L'expression (1) se simplifiera done considérablement, et l’on peut écrire, en remplaçant c, et c, par leurs valeurs, données par (2): Z=(1 —»(0, +RTlog >") bie #(0, +RT log; —), . (la) NE EP EEEN OS EIT ES FETTE TEE | où la grandeur y sera déterminé par (3), c.-à-d. par Gien Cs RT log = C,—C, —C, = RT log K, lorsque K représente la soidisante ,constante” de la dissociation. Cette constante sera donc une fonction de la température (et de la pression) seulement et ne contiendra plus les grandeurs x et y dans le cas de gaz ou de mélanges liquides (ou solides) idéals. L’équation (3) peut done être remplacée par la relation bienconnue Gre 8 u ne a (3) ou bien, en vertu de (2), par (1—2—y) (ry) 7 HE 302 THÉORIE GÉNÉRALE DE 1, ASSOCIATION DE MOLECULES Lorsque la combinaison ne présente aucune dissociation (cas limite purement théorique), la grandeur A’ sera = 0, done C,—C,—C, = ——o. Il s'ensuit immédiatement que C,=—o, puisque C, et C, auront des valeurs finies. Et u, — ©, + RT log e, sera par suite également = — w, c, étant — 1 pour æ— 1}, done RT log c,— 0, quand il n’y a point de dissociation. Nous avons donc le résultat, d’ailleurs évident: Quand le degré de dissociation de la combinaison est absolument — 0, le potentiel moléculaire u, de cette combinaison sera — — ® . C’est cette circonstance cardinale que M. Ruer n'a pas pris en considération dans son Mémoire récent sur les combinaisons bi- naires!), par quoi il a été séduit de représenter l’allure de la fonc- tion Z dans sa figure sur le page 358 d’une manière tout-à-fait erronée (voir notre figure 7). Il en tire la conséquence tout-à-fait absurde quil y aura toujours une démixtion en deux phases de com- position différente, représentées par les points a et b! S'il avait pris en considération Fic. 7 (impossible). Fie. 8. pour un seul moment le fait qu'une démixtion n’est pas possible dans le cas de gaz et de mélanges liquides (ou solides) idéals, M. Rurr aurait supprimé sa figure et sa conclusion déconcertante. L’allure exacte est donné par les figures suivantes, combinées 1) Zeitschr. f. physik. Chem. 64, pag. 357—373. SEMBTABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 303 en une seule figure résumante (Fig. 8), où j'ai représenté la courbe Z— f(x) pour Ko (dissociation complète) et deux valeurs de K intermédiaires (p. e. K=10 et K=1). La représentation dans le cas K—0,1 a été resté inachevée, parce que la valeur de Z pour «='/, est déjà par beaucoup inférieure à celle de A ou de B, tandis que la courbe Z=f(x) dans le cas K=0 coincide avec les axes verticales x — 0 et s—1, la valeur de Z étant = —«. Comme on voit bien, il n’y a maintenant aucune nécessité d'une démixtion quelconque. Une telle démixtion peut se présenter, lorsque le mélange se trouve dans l’état liquide ou solide, mais alors les grandeurs C, Fic. 9. Fre. 10. et C, renfermeront encore des termes avec ax? et « (1—x)?, où æ représente une grandeur, dont la valeur est une mesure pour l'influence mutuelle des deux composantes. Nous reviendrons bientôt sur ce sujet important, nous contentant pour le moment de donner dans les figg 9 et 10 les possibilités que nous discuterons ample- ment dans les paragraphes suivants. Ces deux possibilités — c-à-d qu'il se présente deux domaines de démixtion distinctes a—c, et b—c,, ou bien un seul domaine de démixtion a—b, — auront une condition de transition, que nous déduirons théoriquement dans le $ 5. On ne peut répéter trop souvent, qu’il n'est aucunement permis d'attribuer aux grandeurs déterminantes d'une combinaison des valeurs, 304 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES qui sont indépendantes du degré de dissociation (donné par K) de cette combinaison. Car toutes ces grandeurs sont liées entre elles par des relations diverses, et nous avons vu p.e tout-ä-l'heure, que si K aurait la valeur-limite 0, e-à-d. qu'il n’y aurait aucune trace de disso- ciation, la valeur de u, sera tout-à-fait déterminée par cette cir- constance et sera — ©. Et également dans les cas intermédiaires les valeurs de u, et de Z pour «='/, seront — en vertu de la relation (3) — toujours entièrement déterminées par la valeur de K, quand les valeurs de «, et «, sont données. Avec les valeurs connues de u, et «,, a, et a,, b, et b, pour les deux composantes on pourra donc construire la totalité de la conduite des mélanges différents de ces composantes, depuis x — 0 jusqu'a x= 1,— lorsqu'on connait la valeur de la constante K de la dissociation de la combinaison qui peut se former, et en outre les valeurs de a, et b, de cette combinaison, où a et b sont les grandeurs bienconnues de l'équation d'état. Pour justifier maintenant quelques détails de l’allure des courbes Z— f(x) pour des valeurs différentes de K (Fig. 8), nous déter- minerons en premier lieu la valeur de Z pour x —!}, (le point C). L’équation (la) donnera tout de suite: re Zz, = la (Ci + Oi) + Je RT log N D ou bien d’après (30): Zu =o (Cy + C3) + le RT log KT D'ailleurs (3%) donnera pour #— t/,: Cle c.-à-d. avec y — Jo — 2: y)? = Ky( — y), 12 Ü ; 1 RN nar A . d’où l’on obtient 2? = zj’ Par conséquent: 4 a Ve — la V ai di DU avc lu NT a la K+1 Pour =a on trouvera done: SEMBLABLES, EL DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 305 y VK+i-vVK_ gen Le 1 en = K+1—v kK), Ty wK+1+ı K et l’expression pour Zi, deviendra: Zij, = (0, +0,)+RTlog[i KV K+1—ı K)]... (4) Puisque les équations (14) et (32) sont tout-ä-fait générales, la relation (4) tiendra vrai quelque que soit l’état particulière du mélange (gazeux, liquide ou solide) et quelque que soit l'influence mutuelle des deux composantes, comprise dans les grandeurs C,, C, et K. Lorsque K=0 (aucune dissociation), on aura * K+1—W K=1, done Zy, = {2 (C, + C,) + RT log Ko. (K=0)... (42) Et lorsque K = « (dissociation totale), on trouvera: RI == 77 NEI K+l—ı K= (boss = 1)= “Kx — done BER. ı Kı Kel N=!%, et par suite: Z,—=!1s(C, + C,) + RT log il. (Keo)... (4?) Remarque. Quand il n’y a point d'influence mutuelle des deux composantes, les valeurs de C, et C, seront indépendantes de z, de sorte que ces valeurs seront les mêmes pour #—!} que pour x — 0, resp. x— 1. Le point P dans la figure 8 donnera alors la valeur de 1, (C, + C,) pour = '/., et la distance PC représentera la valeur de Zi, — ‘lo (C, + C,), done de kTlog[ı KV K+1—1/K)]. Cette valeur variera depuis — pour À —0 jusqu'à — AT log 2 pour, K— oo. La valeur — RT log2 pour K=o n’est autre chose que l’abais- sement de la valeur du potentiel total de quantités égales des deux substances après la mixtion, en vertu du soidisant ,,paradoxe de Gibbs”. Car avant le mélange on a Hs »(C, + C,). Et après le mélange Z sera = 1/.(C, + C,) + ae lo + Yo RT log ' = — Ia (C, + C,) + RT log 1. On n’aura dans ce cas que les seules composantes, sans qu'aucune combinaison intervienne. 306 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES En second lieu nous voulons calculer la valeur générale de Si SL exprimée en C,, C,, K, x et y, pour déduire ensuite les ieee VA ; valeurs particulières de 3, pour GO Sith Dre ce calcul nous supposerons K independant de x et y; en d’autres termes, nous supposerons qu'il n’y aura pas d'influence mutuelle des deux composantes. On aura alors, en différentiant (14) d’après x: or (0, +0) — RT log oa + RT log ee = û 1—a—y ù Ty sn RT| (1—2) + log rn ge lag =) ou bien dy a EY Fe IE dy dy dy ae | | RUE Ne || ay 1er te at - | eh =) li Pour l’expression entre [ ] on peut écrire: les x 1—x a 1 dy ( 1—a—y je an u di = x ou (1— 2%) y a (1—a) (1—2y) dy CC aa Il faudra done déterminer la valeur de ae Or, la relation (35), c.-à-d. C2 u) ==), ou bien donnera tout de suite: dyp de ols AREA 1 —2y oes eg vel che lee (5) SEMBLABLES, ET DE JA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 307 Nous aurons par conséquent pour l’expression entre [ ]: (22) Pa a (1 —a) (1— 2) (Cet Ne c.-à-d., en remplaçant (1—#—y)(x«—y) par Ky (1 — y): iS 2s 1 «(1 —x) 1 — 22) Ki=y) ~ Kl Ky (1 — y)? ? ou bien her Ne x (1 — x) K 1—y Kal y(1—7) Mais cela sera — 0 en vertu de (3°), de sorte que nous pouvons er dz écrire pour —: EC HO) RP ogg... (6) Pour «=0(y=0) on aura done: 9 GE). —=(—C, + C,) + RT log (x—y)——,.. (6%) c.-à-d. la courbe Z— f(x) touchera toujours l’axe x — 0 dans le point À (fig. 8), et cela indépendant de la valeur de K. De même cette courbe touchera l’axe x — 1 dans le point B, car pour —=1 (y —0) on aura maintenant: (5). =(— 0, + C,)— RT log (1 — x — y) — +0. 3 (6%) 9% Pour «= '/, on aura Zr Jay — 1, done lo ie = 2 c A ly ) gay I et nous aurons simplement: aS DER Oe sie ky eb sm . (6e) ine c.-à.-d.: Pour x—!}; la tangente dans le point C sera toujours (Fig. 8) parallèle à la droite AB, indépendant de la valeur de K. Les relations (64) et (6°) tiendront vrai également chez les ARCHIVES XI. 42 308 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES mélanges non-idéales. Car lorsque les deux composantes s’influen- cent mutuellement, de sorte qu’il peut se présenter des domai- nes de démixtion, l'expression (6) contiendra encore un terme 2 — 7%) 2 — ie ee an: Car urn (comp. (b) dans la note sur la page 314), où «, et u, sont donnés par les expres- sions (124) et (134) sur la page 313. Or, ce terme étant toujours fini, Bis Ye ai ae ip lan — — o, resp. + oo pour æ—0 et. De même lorsque 4b (p. 313) n’est pas—0, de sorte que les expressions (124) et 134) devraient être remplacées par (12) et (13). Quant à la relation (6°), celle-ci contiendra en général encore un terme avec «, puisque pour æ—!}, les termes avec « dans (12) et (13) disparaîtront dans l'expression — u, + u, seulement dans le cas que 4b—0 et b, —b,. La tangente dans le point C ne sera donc pas exactement parallèle à la droite AB lorsque a n'est pas — 0. § 2. L'expression générale pour la dissociation de la combinaison. Nous voulons déduire maintenant en premier lieu une expres- sion plus précise pour la constante de dissociation A de la com- binaison. Lorsque nous avons en général 1 —«—v,y Gr. mol. de la com- posante A, «—v,y Gr. mol. de la composante B, et y Gr. mol. de la combinaison Ale By. ‚la relation (b) sur la page 236 deviendra: af i inet eee ay oe on, In, Wan, de sorte que nous pourrons écrire, au lieu de l’équation d.0/ 29 a WC, + 7202 — C3) — E ee el? sa =| ats lon, 23n, | on, + RT (v,logc, + v,log ce, — log c,)—=0, l’équation 2.0 C° (10 +720, 0) +5, + BT log 0, BE (a) SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 309 où v a + —— pv. Q/ = zn,.RT log on 5 1 Pour la grandeur a nous aurons: a=(n, La, +m,ıa,+n,1a,)?, si l’on admet les relations de BERTHELOT, c.-ä-d. da —1/4,@, , ds = 1 a,4,, Ag = 4,4. On aura done: a=[i—¢—»,y)va, + er, ya, +yVa,]?, ou bien a—[(1— x) a, + 2a, —y (vba, +,ba, —1/a;)]?. Avec ‚ra, +v,l-a, —la,=—4a cela devient par suite: a= ((1—%) la, +2a, —y 4a)’. En supposant maintenant /a—0, ce qui veut dire qu'il n’y aura point de changement („contraction”) de l’attraction molé- culaire lorsque la combinaison se dissocie, nous pourrons écrire simplement: Cie (LN BE Gia Phas ss aan (7) indépendant de y. La supposition 7a—0 est certainement fort plausible, car les attractions mutuelles de p.e. 2 Gr. mol. de la premiére composante et de 3 Gr. mol. de la seconde composante ne seront pas modifiées quand les molécules de ces deux composantes ne sont plus isolées, mais se trouvent réunies dans la combinaison A,B,. De même nous obtiendrons pour la grandeur b—n,b, +n,b,+n,b;: b—=(1=%)b; Herb, —y 46, nn. (8) où v,0,—v,0, —b,— Ab ne sera pas en général — 0. On peut s'attendre toujours à quelque changement (contraction) du volume moléculaire. / nde ee AE 0 Dans la différentiation on peut done regarder a comme constant par rapport a y, et nous aurons (comp. page 238): 42% 310 THÉORIE GÉNÉRALE DE I ASSOCIATION DE MOLECULES 6 sn, RT TON Te — (7, Sr IRT log — 5 +0, + >—1)RT+ — nn Ab, . (b) : db : puisque sn, —1—(r,+r,—1l)y et Bij 4b, tandis que les ù 5 Px termes avec = disparaîtront. En remplaçant Zu par sa valeur + dlp Ê os la relation (a) peut s’écrire maintenant: Ci Co? RL log 1 en = C,—v,C, + C:) pO I ea — ART —(p + ah) 10 | RES Avec ei Caen Coste 0s = 5 77 RT + 0 log RT — 0 — cela devient: ne wo th, =e aM... (9) Cs (p + v2) tout-à-fait analogue à l’&quation (5) sur la page 239. Pour K’ nous trouverons, en remplaçant les grandeurs C, , C, et C, par leurs valeurs (voir p. 239): do RE CR NN TR Te (10) > Z(v,(s,),) +0 log R —0 | fi é Y= Rr rks) ; Yo = Z(r;(@1)0) ; 9= Er, =, trl Les équations (7) et (8) combinées donnent finalement: uch do ae = TI a Aly + ae) A | Ki.) u ESE Pour l'état gazeux le second membre devient simplement do DD tem tl) a eT!*"e Elp, la formule bienconnue de Gripes. Pour l'état liquide et solide on aura dans le cas particulier que SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 311 4b=0 et a—=1 (la combinaison est AB, et la dissociation n’en- gendre pas de changement de volume), en remplaçant v par b: OS Ue a) a) ant gee LE Bu > rine gld ai (Goe an où K sera par suite encore une fonction de x par les grandeurs a et b. Seulement dans le cas que les pressions critiques des composantes ne diffèrent que très peu, on pourra regarder Ä comme indépen- dant de x. § 3. Les domaines de démixtion, et les relations pour la connodale et la spinodale. Lorsque la phase homogène (liquide ou solide) se partage en deux phases séparées, l'équation de la connodale T=f(x) du domaine de démixtion (du pli sur la surface 7) peut être trouvée des relations suivantes : (ia = (io 5; Mall: Hr. (a) où a et b désignent les deux phases différentes. En vertu des relations Gok, ea nee, 2h 0 2 (0) c.-à-d. des relations pour la dissociation de la combinaison AB (nous supposerons dans la suite », ==», — 1), nous aurons alors également: (#3)a = (#3)0 5 de sorte que les deux composantes et la combinaison se trouveront toutes les trois en équilibre entre les deux phases. Les relations (a) donneront x, et x, en fonction de T, les gran- deurs y, et y, pouvant être éliminées au moyen des relations (0). Il faudra done connaître les expressions exactes pour u, etu,. Pour 2.0’ on, uw, =C,— + RT log e, on trouvera avec l’expression connue pour 2’ (comp. p. 238): p nil ob ded v—b A a UE v—b an, von, zn, #,=C,— [ RT log | +RTlog cı, ot 312 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES C, =—k,T (log T—1) + fe,» —T(8,)]: dv > A 2 = LA Les termes avec = disparaîtront en vertu de l’équation d état. 1 0a ob Et commes— binen — 2 Gala), tonvaurars on, Y Al nt R DAG CARTER lee en Er va, +RTloge,, ou bien 2a b u‚=(0,+RT-RTlogRT)+RTlog 5 + Ge bak a, ) +RTloge,, en remplaçant v par b, tandis que p est omis auprès de “[»:. D'ailleurs nous aurons: a 21 a La pz bs EEn La, Ei (b, ra — 9210 Kan) _ bhra(b,va—2bla,)ta,b a, b, b? 1 OVA iw b, b? b, Or, on peut écrire d’apres (7) et (8): b, ha—bva, = [(1—2)b, ha, + 2b, -a,] —[(1—2)b,a, + +26, Va, —ydb.va,] —=s(b, a, — D, Wa) +yAb.va,. On trouvera done pour u,: [eb ~a,—b, a, )+y4b.~a,]? Y/ m a We f pu DC +RTlog 5 TU a db, [d—2)b,+2b,—y 4b]? +R! loge, (12) où Of = C, + RT— RT log RT — = 1 En supposant /b=0, et en nögligeant la faible variabilité de RT log 43 avec x auprès de celle de + (donnée par le troi- siéme terme du second membre de (12)), nous aurons donc appro- ximativement: SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 313 lorsque C/C + RT log 5 et r= LS bi 1 Avec (bia, —b, Wa)? by on trouvera par suite: gue ax : lay erh: Tr + AT log pag ee (124) Le terme avec «x? possède donc la même forme que dans le cas d’un mélange de deux composantes qui ne se combinent pas. On comprendra que c’est seulement le cas, quand on peut négliger la valeur de 4b. Pour «, nous trouverons de même: a (1—2)(b, a bra) + 1b.1/a, ]° = C/+ RT log 73 ee b, gs, a TE Le REC = . 5 (ES) où Of = C, + RE — RT log RT— gE 2 Cela deviendra avec Jb=0: een, a (1 — x)? 3 Les Ye ee (1 +r) (1 + rz)? os 1—y’ en lorsque C,’ = C + RT log 47; tandis que 1 + r= - . 1 Les relations 5 deviendront maintenant: a lt ee | | (l+rz,)2 (+ Sn ul es ee =) + (14) er a (le)? Ad | ("=") RTi+r| (lar)? (lr)? = se 5 al où la grandeur y sera donnée par 11%, c.-à-d. par de ee u |) TR d’où résulte (comparer (3%) et (3°) ): a (1 — x) SR Er er me Les équations (14) détermineront, en connexion avec (114), les fonctions 314 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES Ne ET) ; Gi = fr (T), c-à-d. l'équation de la ,connodale”. Mais puisque ces fonctions dernières ne pourront jamais s’écrire dans une forme explicite, et parce qu’aussi l’expression pour 5 deviendrait fort compliquée, nous préférerons de déduire l’&qua- tion de la ,spinodale”. Cette courbe dernière touchera la courbe connodale dans les points æ —0 etr—=1(T=0) et dans le point critique, et ne s’éloignera donc jamais beaucoup de la connodale. L’allure et les transformations successives de la spinodale nous fourniront done également une idée assez exacte de l'allure et des transformations de la courbe connodale. La spinodale est donnée par l'équation bienconnue eZ Se EU RE ee Oe PS Cl Cat Oe ete Cie (a) Mais comme VA dZ') ET rar Tay (6) on aura: d?Z A dias da? = — = Be ne Color ae Golo Go € (c) oek Ca ee DREES kern où les différentiations TE désignent des différentiations totales par : rt à oir + eg Car seulement da rapport à æ, savoir — Pon ar & ns ce cas on 1) En effet, nous aurons en général: 2Z OZ 9Z zn dm + 3 Ons ns ml Ev Y) ur HE — ray) tg + Yu, = —_1l— Du Tu . .. @ 07 __dZ On, DIOR nz on ae TE = (Teles OR oe Be (b) = 0Z OZ donc a 3 mld: dZ_ 0% , dy _22 dae oa” onda 7 ox’ A Mais puisque étant ay —0 en vertu de l’équi- libre de dissociation, on aura aussi: az lu az Er ; mEt): SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES 315 peut différentier (b) par rapport à x, puisque cette équation ne tiendra vrai que dans le cas d'équilibre de dissociation. Et cet équilibre passe seulement dans un nouvel état d'équilibre, lorsque la grandeur y varie avec x. Quand nous nous bornons dans la suite au cas dit symétrique, c.-à-d. b, —=b,, de sorte que la grandeur r devient — 0, l’équation (12°) devient simplement: „= Che ‘+ ax? + RT log Zen. Il s’ensuit: die 1 ‚Uy 4 aay tar Rt | —— Bee: aera + dz | 4 x dy —2ax—RT er (1—2—y)(1—y) de Mais nous avons d’apres (5): Ay eae a= 2 dx K+11—2y’ de sorte que l’on obtient: du, 2) RT p 1 1—2x I: meee he 1— 1 —y a rent, 7) d2 Cela donnera done pour veal d?Z il du, Rn 1 1-22 x de? «dx «x ee Le Kal 1-27 Tg 2-05) Cette expression s’annulera quand 2a2(1— 2 —y) in 1 1 1-22 x PR = Sy 1—y Mais en vertu de (3¢) on LES ARR) peut remplacer 7 zi Pa ode et nous obtiendrons: 2a 2 (1— 2 — 7) eee) a y I= ~ A—a2)(A—2y)+y(1—2a) ” 1+ —— 1—a 1—2y IL done RTS ee (Aa) (0 — 2 y); eS (16) ARCHIVES XI. 43 316 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES l'équation cherchée de la spinodale dans le cas 4b —0 et b, =),. Il ne sera pas difficile d'exprimer T tout-à-fait en x. Car il s'ensuit de (3°): \ de sorte que nous obtenons (A = 2): ASE T=ae(1—z2) a] par suite, en posant æ (1 —x) =z: T=az ieee _ Rd ee: (162) - IT R Pata rel ie As L’expression pour TE peut être déduite immédiatement de (164). En effet, la relation Az f &? (: : Ke donne: dT ( 1222 422 1a OET 5) nn BE PN en i : N ea and done 62 in Won Ss Oet oe DRIN 9.3 log K (RES)? nat Mais LRU ALT RT où Q représente la chaleur de dissociation de la combinaison; par suite : ben dT Wiz Ae de FRET: K Que LES en (RS 1) =f: done, en remplaçant d'après (167) T par (1— a : SEMBLABLES, ET DK LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 317 62 ar ER (1 — 22) (me ae dx 4z \ Yo Er Tha TA LAN ar RAR RQ > ( CA) eue “apy eel = dr dr, dz dT fs RA EE Fan 2e). Les formules (16%) et (17) réunies déterminent entièrement allure de la spinodale des domaines de démixtion. $ 4 Discussion de Vallure de la spinodale. Transformations successives des domaines de démixtion.') Lorsque la constante de disso- ciation K est relativement faible, l’allure de la spinodale, c.-à-d du domaine de démixtion, sera re- présentée par la fig. 11. Il y aura deux domaines séparées, l'un entre la composante À et la combinaison AB, l’autre entre B et AB. Les points M, et M, sont les points critiques de miscibilité; ils seront donnés par = — 0, c'est-à-dire d'apres (17) et (16%) par 2% (1 —%) =! (K+1) | I GE NA 1, | Lorsque K=0 [la combinaison ne se dissocie point du tout: cas limite théorique quand dans (114) ce —01]. a. (1 — x.) sera — ‘5, done rx —1, (+14 )—021,(et 0,79), T = "le 1}, —0,09%6,%. ENE WE On voit que 7, deviendra = 0 quand a —0, c.-ä-d. les domaines de démixtion disparaitront en même temps avec l'influence mu- tuelle des deux composantes. Dans la suite nous supposerons toujours « > 0. 1) Le contenu de ce paragraphe a été exposé déjà par moi dans l’assemblée de la section des sciences physiques et médicales de la Société Provinciale d@ Utrecht, le 2 Juin 1908. 43% 318 THEORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES Il ne faut pas s'étonner du fait que pour K=O x, n’est pas — !},, c.-ä-d. que le point critique M, n’est pas situé au milieu de A et AB, car en supposant le cas symétrique (r—=0, b, —b,) par rapport aux composantes A et B, on n'aura pas de symétrie entre A et AB, ou B et AB. Quand la valeur de K devient plus grande, les points #7, et M, s’approcheront de plus en plus de la droite AB, où x = '/., parce que x. (1 — x.) s'accroît d’après (18) avec K. Quant à la valeur de 7, celle-ci s'élèvera également (par z.) avec K. Avec T—0 correspondront toujours les valeurs z — 0 et 1, et zx —!} , quelque que soit la valeur de X. Car en vertu de (16+) T deviendra = 0, quand z—0, donc x — 0 ou 1. Et comme pour T—0 la valeur de X sera toujours — 0, la valeur z='/,, done ; : 4 z— 1}, satisfera également la relation (164), 1 — a étant alors=0. den : : Les valeurs de 5 dans les points A’ et B(T 0 2 Diet) dx resteront finies, la formule (17) donnant alors (2—0, X—0) dT ; dert Quant au point C(T=0, x—!'}), on y aura @—=!lı, = dT : : TU ae ae ‘la, done également fini. Car dans le dénomi- nateur de (17) le facteur I — x “223 Q tendra à 1, puis- 8 ¢ CSN 2 ‚ P ug que K contient d’après (11%) un facteur exponentiel e FT, qui s’approchera plus rapidement de 0 qu’une puissance quelconque ; 62 : de T. D'ailleurs dans le numérateur de (17) 1 — ect deviendra Rn) = =1— */, = — 1/3 tandis que la valeur de ce = „= i=. K+1 où y=r—!h,, sera — + 1 lorsque x s'approche à ‘ du côté de &< 1], et =—1 quand x s'approche à '/, du côté de z > !/5, la valeur de 1—2y étant toujours positive, puisque y est <1}, des deux côtés de x — !),. dT \ Il va de soi que les valeurs calculées pour = dans les points A’, B’ et C resteront les mêmes quelque que soit la valeur de c, parce que dans ces points X est toujours — 0. Dans les figures suivantes on aura done la même direction initiale des branches différentes de la spinodale. SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 319 Quand on fait subir par suite à la combinaison pure (= |: ) une élévation de température depuis T—0 jusqu'à T—o, cette combinaison parcoura la droite AB sans se partager en deux phases séparées — pourvu que les conditions de la fig. 11 soient remplies, c.-à-d. que la valeur de K n’est pas trop grande. Cette combinaison se dissociera dans la phase homogène (liquide ou bien solide) à mesure que la température s'élève. À T— «, la combinaison sera tout-à-fait dissociée. Lorsqu'on opère de même avec une mélange de A et B, où p.e. > 0<1},, on aura effectivement un mélange de A et AB, qui se partagera immédiatement en deux phases de composition différente (p.e A’ et C, a et c,, etc.). Dans ces deux phases dis- tinctes la dissociation de la combinaison s’avancera de plus en plus; à une température suffisamment élevée on aura atteint la connodale du domaine de démixtion, où l’une des deux phases disparaîtra tandis que l’autre subsistera ; et dès lors nous n’aurons qu'une seule phase homogene, dans laquelle la combinaison se dissociera davantage quand la température s'élève. Nous avons suffisamment élucidé maintenant la Fig. 11, et nous pouvons procéder plus loin. Quand la dissociation de la combinaison est plus prononcée depuis les températures basses, c-à-d. quand la valeur de la con- stante c dans (114) est plus grande, ou obtiendra, après avoir par- couru des stades intermédiaires, allure de la Fig. 12 avec deux tangentes verticales en D, et Æ, (resp. D,.et-E,). Il va de soi que ces tangentes verticales sont données par la relation mx 1 a ? Les | AE -% Q 42 \h qui rend = = oo d'après (17). Le facteur (1 Zei) sera toujours positif, parce que z ne peut pas devenir >'/,, la valeur maximale de %(1—x) étant —!/,, tandis que K + 1 sera >1. 320 THÉORIE GÉNÉRALE DE L'ASSOCIATION DE MOLÉCULES Lorsque la valeur de ¢ est encore plus élevée, on aura le cas de transition, représenté par la Fig. 13. Les points D, et D, se seront B rencontrös sur l’axe AB en D), et la spinodale (et également la con- nodale) aura dans ce point un „point double”, c.-à-d. les deux branches de la spinodale s’y entre- coupent, puisqu'il y aura en même temps une tangente verticale, et une tangente horizontale en vertu du facteur 1 — 2x dans le numé- rateur de (17). Avec une valeur de ¢ un peu plus grande, le cas de la Fig. 14 se présentera avec deux tangentes horizontales en P et Q, au lieu de deux tangentes verticales en D, et D, ;il s’est formé dès main- tenant une branche isolée de la Fie. 13. spinodale. Le point P est un point fort remarquable; il n’est autre chose que le point de transition de la combinaison AB. Car lorsqu’on échauffe la combinaison pure, celle-ci parcoura d’abord l'axe CP sans se décomposer visiblement, quoique se dissociant peu à peu Res dans la phase homogène. Mais à la température, qui correspond avec le point P, la combinaison se décomposera tout-d-coup; e.-à-d. elle se partagera en deux phases distinctes a et b, dont l’une consiste principalement de la composante A avec un peu de la combi- naison partiellement dissociée, tandis que l'autre consiste pour la plus grande partie de la composante B, également avec une quantité relativement faible de la combinaison partiellement dissociée. Ce sera donc en apparence comme si la combinaison se soit décomposée en ses composantes pures, ce qui serait en effet le cas (pratiquement) quand A’a et B’b sont très peu éloignés des axes SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLÉCULES DIFFÉRENTES. 921 AA’ et BB’. Mais la propre cause de cette décomposition subite ne sera pas autre que celle-ci: qu’en vertu de la dissociation relativement forte dans la phase homogène les deux composantes ne peuvent plus longtemps rester ensemble dans la phase homogène, puisque la quantité de ces composantes est devenu peu à peu si appréciable, qu’une démixtion doit se présenter. * Aussitôt que cette séparation des deux composantes a eu lieu, la combinaison se dissociera de nouveau, pour rétablir l'équilibre perturbé de la dissociation, et de nouveau les composantes formées se sépareront; et ainsi de suite jusqu’à la disparition totale de la combinaison comme telle. Dès ce moment la combinaison (partiellement dissociée) existera seulement dans les phases homogènes, représentées par a et par b, mélangée avec l’une de ses composantes, À ou B. Dans le point Q les deux phases séparées n'auront pas encore la même composition en vertu de l'allure particulière de la spinodale (et de la connodale correspondante) avec ses deux maxima en M, et M, et son minimum en Q, mais ces phases se combineront néanmoins dans le point Q en une seule phase homogene — la combinaison pure déjà relativement fort dissociée, qui se disso- ciera de plus en plus à mesure que la température s'élève. Le point Q sera dès maintenant le point critique de miscibilité proprement dite du domaine de démixtion élargi entre P et Q. “A des températures supérieures à celle de P on n’aura done qu’un seul domaine de démixtion, où la combinaison pure (partiellement dissociée) ne peut pas exister; à des tempèratures inférieures à celle de P nous aurons deux domaines de démixtion distinctes, où la 4 AB B combinaison pure partiellement Q dissociée est réalisable sans qu’elle se sépare en deux phases de diffé- rente composition. Quand la valeur de cest devenu encore plus grande, les trois points M,, M, et Q coincideront en un seul point critique de démix- tion @, dont la température tendra à une valeur limite, lorsque c tend 40, comme nous le verrons 4’ IB’ bientöt. Au contraire, le point P Fie. 15. 322 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES s'abaissera de plus en plus à mesure que la grandeur e prend des valeurs plus élevées; ce qui veut dire que la température de „transition’’ de la combinaison deviendra de plus en plus basse, de sorte que la combinaison pure peut exister seulement, sans se décomposer, à des températures relativement inférieures. $ 5. Considérations analytiques sur le cas de transition de la Fig. 13. Le point double D dans le cas de transition (Fig. 13) est donné, comme nous le savons, par les conditions analytiques af of quand f— 0 représente l'équation de la spinodale. On aura done d’après (17), puisque en vertu des deux relations premières ar prend la forme dx Oi he, a Gti ER. Ne ee RES EEE Ge meer Il y aura alors une tangente horizontale et une tangente ver- ticale, c.-à-d. un point double, où les deux branches de la spino- dale d’intersectent. L À 3 li Nous nous souviendrons que le facteur € — Kyi) ne peut jamais devenir — 0, tandis que 1 —- 62 0 7 Kaj ® se rapporte aux points M, et M,. Avec x—1};, 2—1/,, la seconde équation donne: a (Æ+1) (1 a etat K* Kx NME K (K +1)? ou bien Get) (19) RR aS Beet RCE L’&quation de la spinodale (16) deviendra avec z — 1}, : PAL a = raza! TER N IN SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 323 Ce sont les deux relations (19) et (20), combinées avec (114), savoir Yo —1 r Y+1 - [4 re (e.) 1 qui détermineront entièrement le point D. Il s'ensuit des équations (19) et (20): HU nD IK == ar he Ten TT Mi. res (21) done ee a a? 2 ou bien LER a 1 0 ae AO TE On aura par conséquent: Ainsi, avec des valeurs données de Q et «, les valeurs de T et K dans le point D seront connues. Quand nous supposons, pour simplifier, les facteurs T’*'! et BB 1% Pp N é Pr 3 (3) dans la formule pour K sensiblement indépendants de 7, nous pouvons écrire, en identifiant q, avec Q(R— 2): Cela donnera donc d’après (21): of Kem Ket, où K est déterminé par (22). La relation sable ea | 207 alle 1 + ai a? 1+V 144% (24) sera par suite la condition, qui devra étre rempli pour que le cas de la Fig. 13 peuve se présenter Lorsque ¢’>c,, on aura le cas des Figg. 14 ou 15, et quand e’ {jh 1/3, la valeur de dz sera positif à la gauche de D, c.-à-d. les maxima M, et M, auront déjà disparu avant que le cas de transition se présente. La valeur de K sera devenu alors déjà trop élevée pour qu’une . . . OAD “ valeur de z<'/, puisse satisfaire la condition 1 re et la spinodale présentera un point de rebroussement R, au lieu des 1) Q et @ doivent être exprimés en Gr. Kal., parce que nous avons exprimé également R en Gr. Kal. (R = 2). SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 325 points M, et D, à tangente horizontale, resp. verticale, lorsque la valeur de c’ aura atteinte une certaine valeur assez élevée. La Fig. 16 indiquera maintenant l'allure de la spinodale dans B’ gee ee Fie. 16. Fre. 17. Fre. 18. le cas de la Fig. 12, tandis que les Figg. 17 et 18 indiqueront le cas de transition, correspondant avec la Fig. 13, et le cas que la branche isolée CH,PH, s'est déjà formé (comp. Fig. 14). Dans le cas de la Fig 17 les „pointes” en R, et R, commencent à s’arrondir, puisque en vertu du facteur 1 — 2x dans l’expression (17) pour = cette grandeur dernière deviendra — 0. Nous pouvons démontrer facilement que les relations (22) et (24) pour le cas de transition de la Fig. 13 ne subiront aucune modi- fication, quant à la Fig. 17, bien que la rencontre des deux parties du domaine de démixtion se fait maintenant d’une manière un peu différente. Car les points P et Q, où l’axe z—=!/, rencontre la spinodale, seront donnés par l'équation (16%) de cette spinodale, combinée avec æ— 1}, C-à-d. z=a2(1—-2)='/,, done par l'équation (20), savoir K nl = TES Ket: Quand les courbes OL, OL, et OL, (Fig. 19) représentent done le second membre de cette équation en fonction de T pour trois = @ valeurs différentes de & (K=c’e 2”), il sera évident que l’on aura 0, 1 ou 2 valeurs de T qui satisferont l’&quation mentionnée A4 326 THÉORIE GENERALE DE L'ASSOCIATION DE MOLECULES — c.-à-d. 0, 1 ou 2 points d’intersection de la droite C—AB avec la spinodale (Figg. 16, 17 et 18; 12, 13 et 14) — à mesure que la courbe OL aura 0, 1 ou 2 points en commun avec la droite OS, Fra. 19. la bisectrice de l’angle droit TOM. Car alors le second membre sera — T. Or, comme la valeur de Ä est exponentiellement = 0 pour T=0, tandis qu’elle tendra à oo pour 7/’=o (en vertu du facteur supprimé 7°*' dans la formule 114 pour X), la valeur de Vins tendra pour T=0, resp. T = oo asymptotiquement aux valeurs 0, resp. 1 (comp. fig. 19), ou bien !/ Ia | 24 a resp. !/;@. C'est pourquoi il y aura foujours une valeur de cf, pour laquelle la courbe OL touche (OL,) ou (OL,) intersecte (deux fois) la bisectrice OS. Et nous voyons tout de suite que la condition pour le point R(D) sera: K op he Ei id Car alors la direction de la courbe OL sera la même que celle de la droite OL (tg p= 1). On trouve donc: Ja a | d'A VE Er K+1 : à log K RS ou bien avec = = + Q: '/, a? Kel (en vertu de (20)): ı K Q = ? Be Remy eet RUE DE par conséquent: SEMBLABLES, ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 327 LV KD, comme autrefois (comp. (19)). Nous reconnaissons immédiatement de la Fig. 19, que les points P et Q s’approcheront de plus en plus aux points O et N à mesure que la valeur de c’ s'élève. Les valeurs limites pour c’ — oo (K—o à toutes les températures) seront donc: Tee de (Ga a ay oe oa (26) Mais pour des valeurs de c’ relativement élevées la valeur de T sera déjà très peu éloignée de !/, a. Quant aux valeurs exactes de Tp et T,, on pourra les calculer de AT K pa Lt — = —— !: — PAU a K+1 ’ K=ce y donnant: F Er 16 T?: a? si de OT ou bien avec =. — 0} EN: a a MSpace ©? ce a AP 92 ñ c.-à-d. 4 log {—62 Ar 6 = log GR Avec p.e. a = 2000, Q — 1600 (voir p. 324), c’-=10 on trouvera (€ > 7,96, la valeur de oe done deux points d’intersection P et Q), puisque «= 1,6: on oe log eo: © = 2,30, d’où résulte: VAR Or —072, donc 209) 8 lee (point de transition) (point critique de miscibilité) Car on aura avec ces valeurs de 9: log 0,202 + 3,90 — 2,30 ; log 1,076 + 2,222 — 2,30, ou bien — 1,60 + 3,90 —2,30 ; 0,073 + 2,222 — 2,30. 328 THÉORIE GÉNÉRALE DE L ASSOCIATION DE MOLECULES En résumant,nous aurons par suite [ comp. (24),(18),(22),(26) et(25)]: PRE de 1, ce qui est impossible. Et à une température dans le voisinage de 360° (le calcul sur p. 327 donna aussi 560°), où 42 devient de nouveau <1, on aura le point ®. Les valeurs de z, que l’on trouve pendant une courte intervalle au dessus de 360°, correspondront aux points entre Q et 47;, resp. M, (voir Fig. 14). Le plus grand écart entre CP et CE, P se trouve à T= 150° environ, où 42 = 0,954, done (1—-2x)? — 0,046, 1 —2x— 0,214, 2 = 0,39. Seulement avec une valeur de « beaucoup plus élevée par rapport à celle de @ le cas de la Fig. 20 pourrait être réalisé. Comme nous avons remarqué déjà sur le page 315, nous nous sommes bornés au cas dit symétrique, ce -à-d. le cas que les volumes moléculaires b, et b, des deux composantes sont égaux. Le calcul se simplifie alors considérablement; notamment l’équation de la spinodale (16) ou (16a) devient très simple, et la discussion facile. Les deux parties des figures diverses seront identiques, et les points P et Q à tangente horizontale se trouvent sur l'axe C—AB. 330 THÉORIE GÉNÉRALE DE I ASSOCIATION DE MOLECULES Mais lorsque b, u cette symötrie disparait, et la discussion deviendra plus difficile. Mais du reste toutes les particularités des domaines de démixtion que nous venons de déduire resteront debout — du moins qualitativement. Nous nous abstiendrons d'élaborer plus loin ce problème, puisque les considérations des pages précédentes suffiront sans doute pour se former une idée assez exacte de la déformation du domaine de démixtion, lorsqu'une combinaison intervient, soit que cette combinaison posséde la composition simple et symetrique AB, ou bien qu'elle aie une composition différente. Hilversum, 1902 et 1908 ERRATA ET APPENDICES. Page 235, lire zn,.log sn, , au lieu de zn, log En,. 243, ligne 2. La valeur !/, doit être remplacée par la valeur plus exacte 1: (voir p. 293), et la valeur — 0,47 (ligne 4) par — 0,144 (voir p. 287). Les valeurs, don- nées sur la page 244, ligne 1, subiront une modification correspondante. 248, ligne 4 et 10 d'en bas, lire n,, au lieu de »,. 250, ligne 6 d’en bas, lire Ces valeurs etc., au lieu de Cette valeur etc. „ 251, ligne 9 d’en bas, lire pas encore, au lieu de par encore. Le calcul sur les pages 251—252 subira une modification en vertu de la valeur corrigée de 4v (comp. p. 287 et 293). „ 253, ligne 10 et 13. Quant aux valeurs 9 et 14, comp. p- 273 et 293. 276, ligne 10, lire Avec q’, au lieu de A qe » 277, ligne 9 d’en bas. Dans le calcul suivant la valeur 1,37 ” AD ae pour y 2 est pas exact. Nous aurons plus exactement (comparer (8) sur la p. 242): — Ab 1 = ( ee DEP Eas A So ee done SEMBLABLES ET DE LA COMBINAISON DE MOLECULES DIFFÉRENTES. 331 — dv ehe à = DANSE SE D v — b 1 — 2 —— v — b v Or (comp. p. 293) v 1 ah 27,46 rise ee par suite ey 1,604 1,604 __ u DT neo puisque 1—2 = = 1 — 0,0878 — 0,912. Nous faisons remarquer, qu’en général les valeurs numériques de notre problème (c-à-d. de la première partie de ce Mémoire, pp. 235—300) ne peuvent pas encore être calculées avec l’exactitude désirée; il faudra se contenter provisoirement avec des approximations plus ou moins satisfaisantes. Page 290, ligne 2 d'en bas, lire 9° — 9’, au lieu de #”’ — Ph. ARCHIVES XI. 45 7 ij hd inh Hi | me t . m LT } u er 5 m fi B N A 7 iy. M | LEY) 2 | i lado } 70 ies Ae mm? u (4 f « " ih Pré Fi rép CT wahl k 1 hk 5 7 i à mure DT “9 à hee AN URL a ALLA, TA | RAR ane MY Eee hr The Ir wa LUS VOD ‘io ares FO be A 2 en 1 A A 5 7 men 4 ra A RAs TUA UJ ed A Le | font vins LME dad rn PW val 1 j tants finial (lit A f De a Bern ah ube ts ers Aldor ET ME MAR u eae ' é bal y 17 AN atl ‘M (RAI fe Km et iid i ack 7? MALY ‚LEENE | i ei) VAL i ie Al CIE hh eN 8 | By reser ni Ina L QAR Aw nil ju fh bale Ja SUN > 7 ela FY 2: y 8 | er “= ~ Beal waren Pas re Alb Get View. dans! \ à Pile Lt b B : : 7 > ef i Î 0 7 > | : -%) i ? Um” 2 ‚AA E 4 Á i } Me! 16 I ui 2 À vu ij A at (HAER rh u nl Get: Ce ne rw ‚ LM NAT {a QU FA ij à. s AAA sc We, Has a On trouve chez les mêmes libraires: Catalogue de la bibliothèque du Musée Teyler, dressé par ©. EKAMA. Catalogue systématique de la collection paléontologique du Musée Teyler, par Dr. T. ©. WinkLer, 6 livraisons avec suppléments. Catalogue des estampes gravées d'après P. P. Rupens, avec l'indi- cation des collections où se trouvent les tableaux et les gravures, par ©. G. VOORHELM SCHNEEVOOGT, Directeur du Musée Teyler à Harlem, 1873. Catalogue raisonné des dessins des écoles française et hollandaise, par H. J. ScHOLTEN. Catalogue de la bibliothèque, dressé par G. C. W. BOHNENSIEG. Tome III. Repertorium annuum Literaturae Botanicae periodicae curavit J. A. van BEMMELEN, Custos bibliothecae Societatis Teylerianae, Tomus primus, MDCCCLXXII. Les Archives du Musée Teyler, paraissent en livraisons, qui forment des Volumes; les Volumes I, II, III, IV, V et Série II, Vol. I, Il, Ill, IV, V, VI, VIL, VIII, IX, X et XI sont publiés. / OT OOO IMPRIMERIE LES HERITIERS LOOSJES à HAARLEM. Pt u PE hh EE 274 3720