ED 7 1 men = j p> JHE i ARCHIVES DU MUSEE TEYLER Serie II, Volume VII. HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1902. PARIS, 2 LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G E SCHULZE. u f Pidy 5 | Fire 4 iu PA 2% ; B >" A F of f | { | H 2 Pf, EE GE me a = | Ld É . vr 5 | i i À | { * | | Kan e he = | a £ = ee | = Er as miter atin A Tei ae = u 7 ry aE u a ii - m wi [D L K) * : + TABLE DES MATIERES. Avis. Fondation de M. P. TEYLER vAN DER Hurst a Haarlem. Programm der Teylerschen Theologischen Gesellschaft für das Jahr 1901. Programma van Teyler’s Tweede Genootschap voor het jaar 1901. akgantiguentrinodale spa wih WMS snoop egal Pag. Sur la loi de diluation chez les electrolytes fortement dissociées, par Vaal EPL ee NN nn AT Signification des mouvements de la mächoire en parlant, par L. P. H. FOR MAINS ne slcactictc) hemstat ee REN ea oe? era icv ofa ee eee La surface de Jacobi d’un système linéaire d’hyperquadriques Q3 dans l’espace #4 à quatre dimensions, par P. H. SCHOUTE............... Etude sur la maniére dont l’eau conduit le courant électrique, par IBY VPACNB oD IS t's VIEN ee inte cage ots stereo steve yore) ee ae Kenne ee Supplément de la bibliograpbie des chimistes hollandais dans la periode denravoisier, par Dr. HE. Bs Me va D5 HORN) v. D. BOS ete Sur lipfluence des corrections à la grandeur b dans l’equation d’etat de M. van der Waals, sur les dates critiques d’un corps simple, par Jo dia WARP IDAVND O6 et NAOR SO ORC La.courbe d’interseetion de deux surfaces cubiques et ses dégénérations, PAS BES CHO DEE re Sur les cellules des glandes de l’estomac qui sécrétent de l’acide chlor- hydrique et celles qui sécrétent de la pepsine, par W. R. H KRANENBURG Les causes probables du phénoméne paléoglaciaire permo-carboniferien dans Jes basses latitudes, par Eu. DUBOIS................+++--+-- 117. 127. 153. 185. 219. 245. 311. L iy GU i - A u À y B Bf x & “ D 1 ow Qi ’ . \ é bia oo wee B it I 13 I « DE ij er dd Yan Pos > hia? BET me . UOTE 191491 aasn UA LACH GIS IV nd SHAIHOUVY STATHJ 4 V On trouve chez les mêmes libraires: Catalogue de la bibliothèque du Musée Teyler, dressé par C. Ekama. Catalogue systèmatique de la collection paléontologique du Musée Teyler, par Dr. T. C. Wınkter, 6 livraisons avec suppléments. Catalogue des estampes gravées d'après P. P. Rugens, avec l’indi- cation des collections où se trouvent les tableaux et les gravures, par ©. G. Vooraezm Scangevoocr, Directeur du Musée Teyler à Harlem, 1873. . Repertorium annuum Literaturae Botanicae periodicae curavit J. A. van BEMMELEN, Custos bibliothecae Societatis Teylerianae, Tomus primus, MDCCCLXXII. Les Archives du Musée Teyler, paraissent en livraisons, qui forment des Volumes; les Volumes I, II, III, IV, V et Série II, Vol. I, II, III, IV V. VI et VII sont publiés. IMPRIMERIE LES HÉRUTIERS LOOSIES À HAARLEM. ARCHIVES DU Musee Teyler. Série IT, Vol. VIT, TEYLER Velume- VII, HAARLEM. LES HERITIERS LOOSJES. 1902. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER: VILLARS G. EO SCHULZE. mb ad SP OO he Pie Ar BRNO L'ENT eee ae ot et (X o J ARCHIVES DU MUSEE TEYLER Serie Il, Volume VIII. HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1904. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G B. SCHULZE. a 0 © KEN, I ARCHIVES DU MUSEE TEYLER LIBRARY NEW YORK BOTANIC AL GARDEN AA . Série II, Volume VII. HAARLEM. — LES HÉRITIERS LOOSJES. 1904. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE. un era à a wow vt ARTEN QUES LEUTE AY LR RN 4 di I Fo LAN Pr > DIL Us TABLE DES MATIERES. LIBRARY NI ign vo BO sw YORK TANIC AL GARDEN- Avis. Fondation de M. P. TEYLER vAN DER Hurst a Haarlem. Programm der Teylerschen Theologischen Gesellschaft fir das Jahr 1902, 1903 u. 1904. Programma van Teyler’s Tweede Genootschap voor het jaar 1902 en 1903. Recherches sur l’excitation électrique des nerfs, par J. L. HooRwEG.. Quelques remarques sur la sirophoide oblique, par M. J. van Uven.. Quelques remarques sur la solution d’un probléme de la ,Geometria SHS, WEP de do WAN WARDS SE EE Se oo coaomasoocooco opvOooc Les causes probables du phénomène paléoglaciaire permo-carboniférien dans les basses latitudes, par Hue. DuBois....................... Sur le transport des liquides par le courant électrique, par E. VAN DER VEN Les mouvements du voile du palais, par L. P. H. Eıskman.......... Note sur les conditions locales dans lesquelles se sont formés les depöts paléoglaciaires permo-carbonifériens dans l’Afrique Australe, Inde BimipAUStraAlion pare HUG.) DUBOIS ren. ernennen La conchoide elliptique et les courbes qui en dérivent, par J. CARDINAAL Sur le transport des liquides par l’electricite, par E. VAN DER VEN... Surfaces algébriques renfermant un nombre fini de droites, par J. DERVRTESC SAN ee 00 0 EEEN Note sur l’excitation électrique des nerfs, par J. L. HooRWEG........ AA bDwehr par Dr PAUL OPPENEHELMe cesse oa 62 evens te sie steve see este Quelques remarques sur la théorie des solutions non-diluées, par J. J. pag. 363. 5 ile „ 18. 5 18% > 98. = PAL a UG peel Gos 109, > DOD: = 280: > 295: a 209: TABLE DES MATIÈRES. Sur le transport des liquides par le courant électrique, par E. VAN DER VEN pag. 363. „ 395. La surface cubique de révolution, par M. J. van UVEN.............. „ 40% Sur les relations entre les diagonales des parallélotopes, par P. H. Scmoure Sur le transport des liquides par le courant électrique, par E. VAN DER VEN , 489. Sur les allures possibles de la courbe de fusion de melanges binaires de substances isomorphes, par J. J. VAN LAAR................... sol Sur l’integration d’une fraction rationnelle, par W. KAPTEYN........ y wek ES A er a on—1 Les nombres Plückeriens de l'intersection C; den — 1 espaces qua- dratiques Q, à m — 1 dimensions de l’espace linéaire EZ, à n dimen- SONS, PATES EL ISCHOUTE Lee ent ee er vere) elle a lereieis\etere ee n | DU MUSEE TEYLER SERIE I. VOL. VIII. PREMIERE PARTIE. HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1902. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE. ARCHIVES DU MUSEE TEYLER SERIE II, VOL. VIII. Pre ma er er partie, HAARLEM, -—- LES HERITIERS LOOSJES. 1902. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE. u Luk a UT APEL: eA DiS wey d AEL ed bored ar B A En ouvrant cette nouvelle série l’Institut scientifique et littéraire de la fondation Teyler a honneur d'informer les lecteurs des Archives, que M. M. les Directeurs ont résolu de lui en confier dorénavant la rédaction, qui, à partir de ce jour, se fera sous sa responsabilité. Les Archives, comme l'indique déjà leur titre, contiendront d’abord la description scientifique des principaux instruments de précision et des diverses collections que la fondation possède, ainsi que les résultats des expériences et des études, qui seront faites par leur moyen, soit que ce travail soit fait par les conservateurs de ces collections, soit par d’autres, auxquels les Directeurs en auront accordé l'usage. En second lieu, et pour tant que l’espace disponible ne sera pas occupé par ces publications obligatoires, les pages des Archives seront ouvertes aux savants, dont les travaux scientifiques ont rapport à une des branches, dont la culture a été recommandée à l’Institut par son fondateur. Pour de plus amples informations à cet égard on est prié de s'adresser au Secrétaire de l’Institut, E. VAN DER VEN. HAARLEM, janvier 1881. MAY 16 1904 ' er ei rh} -* a i ’ * > a £ 7 x 5 Et À 17h de i UTIL IS GR EL a te. f " du: hits = wal ion es unit comerind' e pand tun AIR ree int ob Wisse ton ls ROME TS D «re «HTUE © A EIRE i 19! HOMO 8 L à y } ATEN à = » en 4 3 a a Wlan SAS Ct Brent inst ro eh ot in + OUT 5 AS ' sete ATIE Era Die wei Ask vier die à! yl in i, Wh’ abe wid munt nat ledi a aerate the) aera butt wary et jute Tye SAI te Reni rice ae roy ‘uli UA Wa BAR ana in] AV AGT ow oan toen ladtu tee FUME well! run Jet nl Wun Bom heii MUIL Tae DICO TR) Ha Ur | nv Titi 10 hj Reb en havin hi ze Tat heii mdr TURN wi ud À AIT Le TA Liew AURA oot lie ty Bee Zi eee wa > ee A elie ce Qt re ae Amt Any an wint Hel ne tile Pent) fy, re ar larme nn Ht fe UN MRRNEE Alja re ra NULS Anke AN RR A =. oe ar i E ‘8 ed N ~*~ u 7 » = > i = . el 5 = 7 | ei 7 a= re pee, 7 I ‘ | Pr Kot De { UT Rs mt AE et Ml Ü TA Lil ani y 2 ER u, ® 2 . 5 nz PROGRAMMA VAN TEYLER’S TWEEDE GENOOTSCHAP TE HAARLEM, voor het jaar 1902. Door TkyLEr’s TwEEDE GENOOTSCHAP wordt, voor het jaar 1902, de volgende prijsvraag uitgeschreven: Een geschiedenis van Nederland tijdens de inlijving bij Frankrijk (1810—Nov. 1813), waar bij gebruikt gemaakt is van de over dat tijdvak in het Rijksarchief te ’s-Gravenhage aanwezige papieren (in de eerste plaats de verzameling VAN MAANEN) en van die in de Archives Natio- nales te Parijs. (Vergelijk over de laatste: Brok, Verslag aangaande een voorloopig onderzoek, te Parijs, naar archivalia, belangrijk voor de geschiedenis van Nederland. ’s-Gravenhage, blz. 46 en vgl.) De bewerker behoeft zijn onderzoek niet over het tijdperk der bevrijding, sedert November 1813, uit te strekken. De prijs voor het best en voldoend antwoord bestaat in een gouden eerepenning, op den stempel des Genootschaps geslagen, ter innerlijke waarde van f 400.—, waarbij, als buitengewone toelage, een som van f 300.— zal gevoegd worden, tot tegemoet- koming in de onvermijdelijke kosten, die aan een juiste beant- woording van de vraag verbonden zijn. De antwoorden moeten worden ingezonden vóór of op den Isten April 1904, opdat zij vóór den 1sten Mei 1905 kunnen beoor- deeld worden. De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, Fransch, Engelsch of Hoogduitsch, met eene Latijnsche letter, vooral goed en leesbaar geschreven zijn door eene andere hand, dan die van den opsteller. Ook moeten zij voor den bepaalden tijd in haar geheel worden ingezonden; geene antwoorden, waaraan eenig ge- deelte bij de inlevering ontbreekt, zullen tot het dingen naar den gemelden eereprijs worden toegelaten, Alle ingezonden stukken blijven het eigendom des Genootschaps, dat de bekroonde verhandelingen, met of zonder vertaling, in zijne werken opneemt, zonder dat de schrijvers, anders dan met toestemming der Stichting, die mogen uitgeven. Ook behoudt het Genootschap aan zich het recht cm van de niet bekroonde stukken zoodanig gebruik te maken als het raadzaam zal oordeelen, hetzij zonder of met vermelding van den naam des schrijvers; in het laatste geval echter niet zonder zijne toestemming. Ook worden geene afschriften van de niet bekroonde stukken aan de schrijvers verleend, dan ten hunnen koste. De in te zenden antwoorden moeten, zonder naam en alleen met eene spreuk onderteekend, vergezeld van een verzegeld briefje, dezelfde spreuk ten opschrift voerende en van binnen des schrijvers naam en woonplaats behelzende, gezonden worden aan het Fundatiehwis van wijlen den Heer P. TEYLER VAN DER HULST te Haarlem. me a PROGRAMM DER TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT ZU HAARLEM, flr das Jahr 1202: Bei Directoren der TEYLERSCHEN STIFTUNG ist keine Beantwortung eingeliefert auf die im Jahre 1599 gestellte Preisfrage: Die Gesellschaft verlangt, auf Grund von officiellen Dokumenten, von Volkslektüre und von religiösen und politischen Schriften aus dem Ende des 16ten Jahrhunderts die Antwort auf die Frage: „Galten in unserm Lande die provinzialen Landeskirchen zu jener Zeit als modifizirte Fortsetzungen der römischen mittelalterlichen Kirche oder als neue Stiftungen?” Von den Directoren der TEYLERSCHEN STIFTUNG und den Mit- gliedern der TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT wird als neue Preisfrage gestellt, und zwar für einen zweijährigen Termin, sodass die Antworten vor dem 1 Januar 1904 erwartet werden: „Hat man Grund anzunehmen, dass die Mi- thras-Mysterien in ihrer Verbreitung von Klein- asien nach dem Westen Einfluss geübt haben auf die altchristlichen Legenden, Vorstellungen und Gebräuche? Wird dies verneini, wie hat man dann die Verwandtschaft zu erklären?” Zur Beantwortung vor dem 1 Januar 1903 bleibt die schon im vorigen Jahre gestellte Frage angeboten: „Die Gesellschaft verlangt eine Untersuchung über die verschiedene Bedeutung in der das Wort Moral gebraucht wird in der ethischen Literatur aus früherer und späterer Zeit, sowie eine Erörterung des Zusammenhangs der zwischen jenen verschiedenen Auffassungen besteht.” Der Preis besteht in einer goldenen Medaille von f 400 an innerem Werth. Man kann sich bei der Beantwortung des Holländischen, Latei- nischen, Französischen, Englischen oder Deutschen (nur mit Lateinischer Schrift) bedienen. Auch müssen die Antworten voll- ständig eingesandt werden, da keine unvollständige zur Preis- bewerbung zugelassen werden. Alle eingeschickte Antworten fallen der Gesellschaft als Eigenthum anheim, welche die gekrönte, mit oder ohne Uebersetzung, in ihre Werke aufnimmt, sodass die Verfasser sie nicht ohne Erlaubniss der Stiftung herausgeben dürfen. Auch behält die Gesellschaft sich vor, von den nicht preiswürdigen nach Gutfinden gebrauch zu machen, mit Verschweigung oder Meldung des Namens der Verfasser, doch im letzten Falle nicht ohne ihre Bewilligung. Auch können die Einsender nicht anders Abschriften ihrer Antworten bekommen als auf ihre Kosten. Die Antworten müssen nebst einem versiegelten Namenszettel, mit einem Denkspruch versehen, eingesandt werden an die Adresse: „Fundatiehuis van wijlen den Heer P. TEYLER VAN DER HULST, te Haarlem.” TABLE DES MATIERES. Recherches sur l’excitation électrique des nerfs, par J. L. Hoorwee. !) Quelques remarques sur la strophoide oblique, par M. J. van Uven. Quelques remarques sur la solution d’un problème de la „Geometria situs”, par J. J. VAN LAAR. Les causes probables du phénomène paléoglaciaire permo-carboniférien dans les basses latitudes, par Eua. Dusots. Sur le transport des liquides par le courant électrique, par E. VAN DER VEN. Les mouvements du voile du palais, par L. P. H. ErKMAN. Note sur les conditions locales dans lesquelles se sont formés les dépôts paléoglaciaires permo-carbonifé:iens dans l’Afrique Australe, l’Inde et l’Australie, par Eua@. Dusois. 1) La pagination du Tome VII a été abusivement continuée quant à la communi- cation de M. Hoorwee, Rep, FONDATION DE P. TEYLER VAN DER HULST, A HAARLEM. Directeurs. A. HERDINGH. L. P. ZOCHER, P. LOOSJES. Mr. A. W. THONE. J. J. VAN OORDE. Secrétaire. Mr. A. A. VAN DER MERSCH. Trésorier. P. DROSTE. Conservateur du cabinet de Physique. Dr. E. VAN DER VEN. Conservateur du musée de Paléontologie et de Minéralogie. Prof. Dr. EUG. DUBOIS. Bibliothécaire. G. C. W. BOHNENSIEG. Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures. H. J. SCHOLTEN. Conservateur du cabinet numismatique. A. J. C. VAN GEMUND. MEMBRES DES SOCIÉTÉS TEYLERIENNES. De la premiere Société ou Société de théologie. Prof. Dr. 8. CRAMER. Prof. Dr. I J. DE BUSSY. Dr. J. G. BOEKENOOGEN. Prof. Dr. Deke J. MONEER Dr. A.C) DURER. À Dr. H. J. ELHORST. De la seconde Société. Dr. D. LUBACH. Dr. E. VAN DER VEN. H. J. SCHOLTEN. J°. DE VRIES. JOH. W. STEPHANIK. Prof. Dr. P. L. MULLER. SUITE DES RECHERCHES LEXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS U Era OO R WEG, (Voir les Archives Teyler, Série II, Tome VI.) CHAPITRE VI. Corrections et amplifications. $ 17. M. H. Lewis Jones à Londres a eu la bonté de fixer mon attention sur une omission dans l’explication de la nouvelle méthode d’électro-diagnostique, décrite dans le chapitre IV des Recherches, citées plus haut. Cette omission est la suivante: J'écris, pag. 331, que la nouvelle méthode consiste dans l’applica- tion des décharges de deux condensateurs de capacité connue, tandis que dans les expériences elles-mémes je fais usage, non pas de la decharge, mais de la charge des condensateurs. La premiere expérience est décrite pag. 334 dans les termes suivants : On place le bouton du pachytrope en d et celui du condensateur à 0,2 et on fait mouvoir la manivelle du compteur et en même temps la clef S, jusqu’au moment où la contraction minimale se mani- feste. Eh bien, en suivant le cours de l'électricité pendant le mouvement de la clef S, on voit dans Fig. 16, que dans la posi- tion de repos de la clef S le condensateur est déchargé tandis que dans l'autre position, en pressant 2 sur 1, l'électricité positive de la batterie passe par les électrodes Æ, EH’ et par le corps humain, suivant + cd EE" f 1,2, b, sur l’armature b du condensateur, tandis- que l’armature a reçoit, par la voie — hka, l'électricité néga- tive de la même batterie. Ainsi il est clair que c'est ici la charge du condensateur qui excite le nerf. ARCHIVES VII. 52 364 SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION BLECTRIQUE DES NENFS, J'ai fait exprès ce changement dans la méthode, pour la raison suivante: Aucun condensateur, même fabriqué avec le plus grand soin, n’isole parfaitement. Toujours il y a de petites pertes d’électricité qui sont d’autant plus notables que la tension est plus forte C'est pourquoi on trouve qu’en chargeant le même condensateur toujours par la même batterie, l’effet de la décharge est d'autant plus petite A mesure qu’il écoule un temps plus considérable entre la charge et la décharge. De la résultent des irrégularités dans l’action physiologique des décharges électriques qu'on évite complètement en substituant les charges aux décharges. En employant les charges du condensateur au lieu des décharges les résultats deviennent indépendants de la vitesse avec laquelle la clef S est mize en mouvement. C’est pour cette raison que j'ai déjà proposé en 1892 de faire toujours Vexpérience avec les charges du condensateur. Les résultats devien- nent alors plus constants et plus sürs, tandis que les formules restent sensiblement les mémes. La faute que j'ai commise, c'est done que je n'ai pas mentionné explicitement pag. 333 le changement dans la méthode, indiquée plus haut. Pour embrouiller davantage la description pag. 334, il se trouve dans le second alinéa de la même lte Expérience une faute d’impression: ce n’est pas la clef S, mais la clef S’, sur la quelle il faut appuyer pour lire sur l’instrument de mesure le nombre de Volts P employés. Le bouton du pachytrope se trouvant alors en d’, Vélectricité passe par le chemin + c¢Gd'f, 1’, 2'—. Je regrette beaucoup cette faute dans la description de l’expé- rience et je me réjouis d'être maintenant à même de la corriger. Du reste, il est souvent impraticable d’employer le méme instru- ment tantôt comme voltmétre, tantôt comme galvanomètre. Alors il est beaucoup plus commode de faire usage de deux instruments différents, l’un pour mesurer l'intensité, l’autre pour mesurer la tension. On trouve aujourd’hui dans plusieurs ateliers d’électro- technique de France et d'Allemagne des instruments très simples et peu coûteux, reposant sur le principe du galvanométre Deprez- d'Arsonval, qui sont très propres à cette sorte d’expériences. L’In- stitut électro-technique de Frankfort p.e. offre les deux instru- ments nécessaires au prix de 70 Mark ou 84 francs. On peut alors, en opérant toujours pour le motif indiqué, avec + _ SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. 365 les charges du condensateur, arranger l’expérience comme dans la figure suivante: Z. est le compteur d’éléments de la batterie, S et 5’ sont les deux clefs, C est le condensateur, G le galvanomètre, V le volt- Fie. 22. VONT mètre, R est le rhéostat d'ENGELMANN, décrit dans mon Traité délectrotechnique médicale, publié par ENGELMANN à Leipzic, E et E’ sont les deux électrodes appliquées soit sur les muscles de l’homme, soit sur deux points différents d’un nerf moteur: mn | et hit sont deux pachytropes pour modifier le cours de l'électricité. On commence par poser le bouton du pachytrope kit vers à et celui du pachytrope mnl vers n et en pressant la clef S; Pélectricité positive se dirige par +ikHE nopqdefgh vers l’armature supérieure du condensateur, tandis que l’armature infé- rieure est en même temps par as@r— en rapport avec le pôle negatif de la batterie Ainsi le condensateur se charge par un courant passant par le nerf moteur. On lâche alors la clef S, le contact se fait en c et le condensateur se décharge par la voie hgfedcba. On répéte cette expérience aprés avoir intercalé dans je circuit électrique au moyen du compteur un plus grand nombre d'éléments et on continue la recherche jusqu'au point où la contrac- tion minimale du muscle se manifeste. Alors on place le bouton du 52* 366 SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERES. pachytrope kit vers t, le courant prend le chemin + itVwv — et on lit tout de suite sur le voltmétre la tension P,; c'est la première expérience faite avec le condensateur de capacité C, mF. La seconde expérience est la répétition compléte de la premiére expérience, après avoir changé la capacité C, par la capacité C,; on trouve alors la valeur de P, Le coëfticient « peut alors être calculé par la formule (39a) 1 1 en OF 10 x PSP; Ri Pour trouver le coëfficient /, on place le bouton du pachytrope mnl vers m et celui du pachytrope kit vers 7; ensuite on inter- cale dans le circuit, au moyen du compteur Z, une vingtaine d’éléments et en appuyant sur l’autre clef. S’, on fait passer le courant de la batterie directement par le nerf moteur, par le chemin +ikEE'wGzymnofS'kr. La résistance du rhéostat R étant au commencement de l’expe- rience trop considérable, on n’apercoit aucune contraction On diminue alors graduellement cette résistance R, l'intensité du cou- rant augmente et bientôt, en remuant continuellement la clef S’, on observe la contraction minimale. Le galvanométre @ indique alors l'intensité J, du courant appliqué. Le coëfficient / se calcule alors par la formule: P= GT rise ROSES Les deux coëfficients « et /? sont ainsi trouvés; ils déterminent indubitablement la condition physiologique ou pathologique des nerfs et des muscles et sont entièrement indépendants des instru- ments employés. Pourvu qu’on fasse les expériences toujours avec une électrode différente de surface constante, soit de 1 eM?, les résultats, non seulement de différents jours mais aussi de différents expérimentateurs sont parfaitement comparables entre eux. Une observation faite à Berlin peut être contrôlée à Paris, même plusieurs années plus tard. Sur ce fait repose l'importance extrème que la détermination de ces deux coëfficients possède pour l'étude de l'excitation électrique des nerfs et des muscles Comme dans la plupart des cas l’action condensante du corps humain peut être négligée, il n’est pas nécessaire d'appliquer la formule plus compliquée (39b). SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. 367 $ 18. C'est dans la détermination de ces deux coéfficients « et fB que consiste la principale différence entre ma méthode et celles de M. Dugois à Berne et de M. Zaniorowskr à Cracovie, qui se contentent de chercher soit la quantité, soit l'énergie de l'électricité, nécessaire à provoquer la contraction minimale par moyen de la décharge !) d’un seul condensateur de capacité connue. Cette mode d’expérience ne nous donne qu'une seule équation entre plusieurs variables, car la quantité Q est exprimée par la formule : O= ae hb; et énergie E par: 9 H=b5a2 CR? + 10 ab R + en ee» (dl) Il est vrai que M. Zaniorowsk1, en reconnaissant le fait, décou- vert par moi, que l'énergie nécessaire pour causer la contraction minimale tend pour une certaine valeur de capacité et de tension vers une valeur minimale, a amélioré plus tard considérablement sa méthode en cherchant maintenant par l’expérience cette énergie optime. Dans ce cas l’&quation (41) se réduit à d’où résulte : a= SN eae a es 0e (AD) Le coéfficient « est alors inversement proportionnel à la racine carrée de l'énergie optime et la question semble résolue par usage d’un seul condensateur ?). Mais M. ZanıorowskI croit que cette énergie optime peut être toujours obtenue au moyen d’un condensateur de capacité constante, 1) M. Zanrorowskt évile les irrégularités, produites par Ja raison indiquée plus haute, par l’app ication des décharges, par l’usage d’un commutateur très com- pliqué. qui fait succéder la décharge du condensateur à la charge, toujours dans le même intervalle *) Zeitschritt für Electrotherapie und ärztliche E'ectrotccknik von H. KURELLA, Nov. 1899 und März 1200. 368 SUITE DES RECHERCHES SUR L'EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS, pour laquelle il prend une valeur de 0.02 m I, tandis que d’après notre loi la capacité optime est trouv&e par la formule: 1 Cn = FR ER (43) Ce qui veut dire que cette capacité dépend de la résistance du corps humain, R, qui n'est pas rigoureusement constante. Ainsi on voit aussi M. Zanrorowskr se déclarer tantôt pour la capacité 0.02, tantôt pour celle de 0.03 mF. Pour faire l'expérience sans faute, il faut chercher auparavant pour quelle capacité du conden- sateur dans le cas donné, l’énergie nécessaire pour la contraction minimale est elle-même minimale, et c'est seulement au moyen de l'énergie, trouvée de cette manière, que le coëfficient « peut être calculé correctement. C'est ce que M. WALLER a fait, dans ses expériences décrites dans les: Proceedings Royal Society, Vol. 65, pag. 207. Dans ces recherches faites sur le nerf sciatique de la grenouille, le nerf phrénique du chat et le nerf ulnaire de l’homme, M. WALLER cherche toujours, à l’aide de plusieurs condensateurs de capacité connue, le minimum d'énergie nécessaire pour l’excitation mini- male. Mais partant d’un tout autre point de vue, M. WALLER accepte pour la mesure de l’excitabilité des nerfs, non pas cette énergie optime elle-même, mais ce qu’il nomme: „the rate of impact” de cette énergie Cette ,rate of impact” est posée propor- tionnelle à l’expression : ee ORT expression qui reprösente, comme on sait, la vitesse avec la quelle la tension P accroit ou décroît pendant la charge ou la décharge d’un condensateur. D’aprés la loi trouvée, cette expression devient pour le cas de l'énergie optime, égale à et se trouve done aussi dépendante de la résistance R du corps humain, d'où résulte que „the rate of impact” n’est pas la vraie mesure de l'action physiologique des décharges électriques. De plus la determination de la résistance R, qui est necessaire pour le calcul de cette vitesse, est sujette à des fautes graves, causées par la polarisation des tissus. Tous les nombres pour R donnés SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. 369 par M. Water sont done plus ou moins erronés et toujours plus grands, d'une quantité inconnue, que la résistance vraie; par conséquent la vitesse de variation de la tension est toujours plus petite que celle donnée par M. Warrer Pour toutes ces raisons la méthode de M. Warrer n’est pas recommandable. Toutefois les expériences de M. Waurrer confirment de nouveau les faits que j’ai mentionnés pag. 297 de ces Recherches. Voici une de ces expériences: Capacité Tension Quantité Énergie en en en en mF Volts mC ergs. 0 08 0.09 0.0072 0.00324 0.04 0.09 0.0036 0.00162 0.0080 018 0.00144 0.0013 0.0025 0.36 0.0009 0.00162 0 0010 0.72 0.00072 0.00259 0.0004 1.44 0.000576 0.00415 Avee des capacités décroissantes des condensateurs employés, la tension de l'électricité, qui amène la contraction minimale, aceroit sans cesse, la quantité décroft en même temps et l'énergie décroit jusqu'à la valeur minimale 0.0013 pour accroître plus tard. Ce sont les faits remarquables, énumerés pag. 297 de mes recherches sous a, b et c. Ainsi les expériences de M. WALLER, faites sur divers nerfs, sont des preuves nouvelles de l’exactitude de la formule (3) de pag. 298: Ste m Pour les raisons données plus haut, la méthode de M. Zanto- TOWSKI n'est pas sans fautes, mais en considérant que, d'après les expériences de M. Dusois et les miennes, mentionnées dans le Chapitre III de ces Recherches, la résistance R des nerfs et du corps humain pour les courants de très courte durée est certai- nement plus constante qu’il ne résulte des mesures faites avec le courant constant, il devient vraisemblable que pour divers nerfs la capacité obtenue est à peu près constante et alors la méthode de M. Zanıorowskı peut conduire à des résultats exempts de graves erreurs. Surtout dans les expériences de clinique dans lesquelles on examine toujours avec le même condensateur l’excitabilité électri- 370 SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. que de diverses personnes malades, on peut en effet considérer l’önergie minimale comme une bonne mesure pour l’excitabilité cherchée. Ainsi les résultats trouvés par M. ZANtorowskr dans un grand nombre d’expériences faites pendant onze années consécutives sont d'une grande valeur pour la science !). Ce qui a frappé le plus l'attention de M. Zanrorowskr, c'est la constance, la régularité des résultats obtenus. Les phénoménes, observés un jour se répètent jusque dans les plus moindres détails un autre jour de sorte que la diagnose d’un cas anormal ou pathologique est beaucoup plus facile par cette méthode que par la faradisation ou la galvanisation ordinaire ?) Ainsi la méthode du condensateur se montre toujours un réagent plus délicat et plus sûr que la méthode d’électrodiagnostique ordinaire, ce qu’elle doit certainement a la trés courte durée des courants usités, de sorte que ni la résistance galvanique ni l’&tat électrotonique des tissus ne peut changer perceptiblement pendant la durée de l'expérience De plus la méthode du condensateur est beaucoup moins dou- loureuse que la méthode ancienne et pour cette raison trés recom- mandable quand il s’agit d’enfants et de femmes $ 19. Il me reste encore de mentionner les expériences si ingé- nieuses de M. G. Weiss, décrites dans les Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de 6 Mai 1901 et plus amplement dans les Comptes Rendus de la Société de Biologie de Paris du 15 Mars, 26 Avril, 3 et 10 Mai 1901. M. Werss irrite les nerfs moteurs d'une grenouille pendant un temps trés court et exactement connu, p.e. 0.0001 Seconde, et trouve ainsi, par un grand nombre d'expériences, que la quantité d'électricité, Q, nécessaire à provoquer la contraction minimale dépend du temps, ¢, dans lequel l'électricité passe par le nerf. M. Weiss trouve la relation générale: ODE at Deb on ooi dn el prouvée par les nombres suivants: 1) Wiener Klin. Rundschau de l’année 1899. Wiener Klin Wochenschrift BASS. Lb: 2) Ein Flötenbläser z.B in dessen Krankheits-protocolle normale galvanische und faradische Erregbarkeit eingeschrieben war, zeigte doch bei der Prüfung mit Condensator-entladungen wirkliche Unterschiede im Gebiete der unteren Facialäste, deren Paralyse die Ursache seiaer Beschwerden war. | ; a 8 SUITE DES RECHERCHES SUR L'EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. 371 Durée Quantitée Quantité de l’exeitation trouvée calculée par (44) 40 3760 3747 20 2360 2287 14 1876 1849 12 1728 1703 10 1560 1557 8 1488 1411 Pour les charges et les décharges d’un condensateur le temps t, est donné par l’expression: CR. La formule (44) se change alors en: Oa bek ou parce que Q = CP: a EST + bR, ce qui concorde parfaitement avec la formule (3) de mes recherches. On peut aisément démontrer que la relation (44) est une con- sequence immédiate de la loi générale: ale eae’ ee et : car, en posant = ay? OD trouve par une intégration par parties !) et approximativement: n=aQe 6" ou, parcequ’un courant d'un M. A. donne par seconde une quantité, d'électricité de 103 m ©: ie ATO ne (45) Ce qui donne pour un temps excessivement petit: 1) d’Apres le théorème de la moyenne (voyez GILBERT, Cours d’Analyse, ge Edition, pag. 350) on a: b b | p (x) w (x) dx = p(b — 0) Î y (a) de, Ja et posant: ¢ (t) =e B82 wy (a) =i, —t, a=0 et b—t, on trouve: t Bart a | oak eee [iat=oxe-# ° 5 où Q' est plus petit que Q, mais en diffère d’autant moins que 32 est plus petit. ARCHIVES VII. 53 372 SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ELECTRIQUE DES NERFS. NZ 10° « Q(— Pt) d'où il suit: | Q=10 (7 Et) et Se a a 5 c.-a-d. une formule qui est identique à (44). M. Werss donne pag. 254 des Comptes Rendus de la Société de Biologie du 29 Mars des nombres, dont j'ai déduit le tableau suivant: Durée du passage Voltage en Quantité d'électricité en mC X 10% du courant électrique. Ohms. trouvée, calculée par (46). 0.000154 116 715 715 0.000308 0.64 788 809 0.000462 0.50 924 915 0.000606 0.44 1084 1037 0.000924 0.37 1368 1329 0.001232 0.36 1774 1703 On trouve de ces expériences à l’aide de (46): « = 1552 x 10° = 806; des quantités de méme ordre que celles trouvées dans le chapitre IV. Dans un travail récent (Archives italiennes de Biologie T. 35, 1901) M. Weiss s’efforce de prouver que la formule (44) est vraiment la loi générale et fondamentale que l'on a cherchée si longtemps. La formule (3) de mes recherches n’en serait qu'une conséquence. Pour bien comprendre combien cette opinion est erronée, il suffit d'appliquer la formule de Werss à la galvanisation ordinaire par la fermeture d’un courant constant. Dans ce cas on a Q=it, ainsi la formule (44) devient de sorte que suivant M. Werss l'intensité minimale serait d’autant plus grande que le temps de la fermeture serait plus petit, un résultat tout à fait contraire aux expériences nombreuses faites sur ce sujet. De plus, les résultats trouvés par MM. v. Krırs, v. Frerscur, Pravec et d'autres avec des excitations prolongées (Zeitreize) sont aussi incompatibles avec la formule (44). Il est donc évident que la formule de M. Weiss n'est pas une loi fondamentale mais une formule empirique, uniquement appli- cable aux irritations de très courte durée. en rte er SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. 373 CHAPITRE VII. Sur l’effet physiologique des courants alternatifs. , § 20. Dans le $ 12 de mes Recherches, pag. 330, j'ai mentionné les expériences de Testa et d’Arsonvat, faites avec les courants alternatifs de haute fréquence et me fondant sur la théorie de ces courants, donnée par Lord RAYLEIGH et d’autres j'ai présumé que l’effet physiologique de ces courants doit être nul parce que le mouvement de l'électricité est strictement limité à l’&piderme, organe tout-à-fait dépourvu de nerfs et de muscles. Cependant après la publication de mes recherches il a paru dans l’Archiv für die gesammte Physiologie de PrLüaer, Bd. 82, S. 101 un travail sur ce sujet de M. EıntHoven à Leyde, qui a modifié tout-à-fait mon opinion à cet égard. Avec un appareil très puissant M. EINTHOVEN produisit dans un anneau de cuivre de capacité et d’auto-induction connue, des courants alternatifs de grande intensité et de presque un million d’oscillations par seconde, dont une partie connue fut conduite dans le nerf sciatique d’une grenouille. Il se manifesta des contractions et M. EINTHOvEN prouva par des expériences concluantes qu’en vérité ces contractions ne pouvaient avoir d'autre cause que ces courants alternatifs eux- mêmes. Ici l’on trouve la preuve certaine que les courants alter- natifs de très haute fréquence ne se portent pas seulement sur la surface du nerf, mais qu'ils y pénètrent jusqu’à une certaine pro- fondeur. Mais si done les courants peuvent en effet pénetrer dans la masse d'un nerf, il n'existe aucune raison pour qu'ils ne pénètrent pas aussi bien dans le corps humain, d’oü il suit qu’on ne peut plus s'étonner des diverses influences physiologiques remarquables que MM. d'Arsonvar, Oupin, Doumer et tant d’autres ont observées pendant l’application de ces courants. Le traitement médical au moyen des courants alternatifs perd alors ce qu’il avait de pro- blématique pour tous ceux qui, comme moi, croyaient jusqu'ici au mouvement strictement superficiel de ces courants. Comme je l’ai rappelé plus haut, j'avais conclu l’existence de cette sorte de mouvement de la théorie de Lorp RAyYLEIGH, donnée Phil. Mag. 1886 Série V Vol. 21 pg. 382, dans laquelle est démon- tré que les courants alternatifs pénètrent d'autant moins dans la profondeur d’un conducteur que le temps de vibration est plus 53* 374 SUITE DES RECHERCHES SUR L'EXCITATION ELECTRIQUE DES NERFS, petit ou le nombre des vibrations par seconde est plus grand. Lorp RayzeiGn dit pag 368: „At slow rates of alternation the „distribution of current, being such as to make the resistance a „minimum, is uniform over the section and this distribution since „it involves magnetisation of the outer part of the cylinder, leads „to considerable self-induction. On the other hand, when the rate „of alternation is very rapid, the endeavour is to make the self- „induetion a minimum This object is obtained by concentration ,of the current in the outer layers.” Ainsi, pour les oscillation lentes, une auto-induction maximale et une résistance minimale et pour les oscillations rapides, au con- traire, une auto-induction minimale et une résistance maximale. Lorv Ray teicH calcule la résistance d’un fil conducteur pour les oscillations trés rapides par la formule: Br EPS Fe gouke ae) où: R est la résistance pour le courant constant. u la perméabilité magnétique du fil. ! la longueur du fil. p la période, égale à 2 x N, si N est le nombre d’oscillations par seconde. Comme le nombre de vibrations dans les expériences de Trsi.a montait à plusieurs millions par seconde je concluais de cette for- mule que, dans ce cas, le mouvement électrique était strictement limité & la surface de corps humain et je ne m’ötonnais guére du fait trouvé par M. Trsra qu’on peut allumer à l’aide de ces courants une lampe d incandescence à travers le corps humain sans en sen- tir aucun mal, quoiqu’un courant de 1,5 Ampère, qui est néces- saire pour allumer cette lampe, soit très nuisible dans les cas or- dinaires. Mais, comme M. EINTHOVEN remarque (l.c pag. 131), la profon- deur qu’atteint le courant alternatif dépend pour une grande partie de la résistance spécifique o du conducteur !) et cette grandeur est tellement grande pour tous les tissus organiques, 5 étant égale à 2,35 x 10", que même pour les oscillations très rapides le courant se distribue encore uniformément sur toute la section du nerf. 1) R = an ou J et r représentent la longueur et le rayon du fil conducteur. SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERES. 3875 La justesse de cette remarque se montre clairement, si nous ealeulons la profondeur x jusqu’oü pénètre dans un fil conducteur queleonque un courant alternatif de période donnée Supposez un cylindre creux, ayant pour rayon extérieur celui du fil donné, r, et une épaisseur x de sorte que la résistance ohmique de ce cylindre creux soit égale à la résistance A’ du fil pour les courants alternatifs de période p, tandis que la résistance ohmique du même fil est représentée par R: alors on a d’après la formule (45): d’où résulte, parce que: p= 2a N. deg a2rx—%) 6 OE peti EN rk A Ne AE) x V Nu Ge En négligeant le terme x? et posant « = 1, on trouve approxi- mativement: ou: © = —|/ RE RS ADN CINE VO) d'où il suit que la profondeur désirée est directement proportion- nelle à la racine carrée de 6 et inversement proportionnelle à la racine carrée de N. M. Ernrnoven, se fondant sur les expériences de M. HERMANN de Kénigsberjen, prend 6 = 2,35 x 101, mais on peut demander si ce nombre n’est pas trop élevé. En vé- rité, si l’on observe que la résistance du corps humain pour les courants constants est en moyenne environ 15000 Ohms, tandis que WınscHEıpr et Dupois !) ont trouvé, en évitant autant que possible l’effet de la polarisation, un nombre beaucoup plus petit, savoir de 400 à 900 Ohms, on peut supposer que la résis- tance du nerf est en réalité environ a ou 25 fois plus petite que M. Hermann’ a trouvé à l’aide du courant constant; d'où résulter que le nombre o serait aussi 25 fois plus petit que celui donné ci-dessus. 1) Voyez mes recherches pag. 329. 376 SUITE DES RECHERCHES SUR L’ EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. Mais même en supposant 6 50 fois plus petit, soit 47 x 10°, l’ex- . 0 . . QE pression +; reste pour un nombre d’oscillations d’un million par seconde encore plus grand que l’unité et alors la formule (50) de- vient erronée, comme il suit de l'équation (49) qui possède alors des racines imaginaires. Dans ca cas il faut appliquer une autre formule de Lord RayLEIGH, savoir: m2 ]2' RER PE - qui donne alors pour une valeur de p =2 x x 105, une valeur de x de 0.99996 r. Ainsi on peut prouver que quand même la valeur de 5 serait 50 fois plus petite que celle donnée par M. Hermann, les courants alternatifs d’un million d oscillations par seconde pénètrent encore presque rigoureusement jusqu’à l’axe même du nerf Pour un fil plus épais la pénétration est moindre; en général on trouve x en posant yea, ee er N Pour un doigt humain de deux eM. d’épaisseur, on trouve pour N = 10°, y = 0.996 et alors même la pénétration est presque complète. Il est done certain que les courants alternatifs de 10° oscilla- tions par seconde pénétrent assez bien dans le corps humain pour étre en état de produire les phénoménes de chaleur, etc. qu’ont observés M. d’Arsonvar et tant d’autres. Seulement quand le nombre des vibrations monte à 1010 et au-delà, l'expression = devient plus petite que l'unité, et l’on retombe sur la première formule (46), qui donne pour s = 47 x 108 == 5 eM. de sorte que, dans ce cas, le courant est réellement limité 4 une couche peu épaisse de la peau. Maintenant on sait & peu prés la limite de la fréquence, ot cesse la pénétration profonde des courants alternatifs dans le corps humain. § 21. Cherchons ensuite de quelle maniére varie la force exci- tatrice de ces courants alternatifs avec la fréquence des oscillations. Alors dans notre formule I: «= «ef xi SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. 377 il faut poser: w=Isınpt où: I représente l’intensite maximale ou l'amplitude de l’intensit& et p= 2x N. On trouve alors l’excitation totale, 7, par la formule: w F ; ii = 0 1 | et sinptdt d'où il suit: LB zE ae en + Be Pour les contractions minimales l’excitation totale devient égale à unité; ainsi on trouve pour l’amplitude, J,,, qui provoque la contraction minimale: SD N fiat create Sak ar Ge [44 p L’amptitude 1, accroit done avec la fréquence des oscillations mais cet accroisement est un peu moins rapide que celui de la fréquence elle-méme. En differentiant la formule (53) par rapport à p on trouve: REINE Bb ‘dp? — p> d’oü il suit que J,, prend une valeur minimale pour: PB ou NE gm we eee eee ees ses (54) Ainsi il existe pour chaque nombre de vibrations du courant alternatif une certaine amplitude /,,, qui provoque les contractions minimales, mais pour une certaine fréquence, cette amplitude prend elle-même une valeur minimale que je nomme la fréquence optime des courants alternatifs et que j’indique par ],,. D’aprés la formule (50) on trouve: je EEEN (515) m a L’existence de cet Optimum de fréquence, exigé par la loi I 378 SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION BLECTRIQUE DES NERFS. de pag. 305, est démontrée par les expériences D’ARSONVAL, de v. Kriss et de v. ZEYNEK. D'ARSONVAL !) trouve que l’effet physiologique de l’exeitation avec les courants alternatifs accroit au commencement avec la fréquence des oscillations, atteint une valeur maximale pour 1250 périodes par seconde et décroit ensuite pour des fréquences plus grandes. v. Krırs ?) exprime le résultat de ses recherches dans les mots suivants: „dass die Minimal-Amplitudo (J,,) bei einem „gewissen, gar nicht immer hohen Frequenz ihren geringsten „Werth besitze, namlich bei etwa 100 Perioden pro Secund. Der „Erregungseffect nimmt (alsdann) ab, sowohl wenn die Frequenz „wächst als wenn sie abnimmt.” v. ZEYNEK *) fait ses expériences sur les nerfs sensitifs du doigt et trouve: In pour un courant constant (de periode zéro) . . 70 x 10°” Amp. pour un courant alternatif très lent .....5—6x10° „ pour un courant alternatif plus fréquent 100 — 117 x 10° et pour un courant alternatif de trés haute fréquence I AE Seo Rr ee a fe SDONOS UO? RES Prvosr et Barer?) examinent l’effet des courants alternatifs sur l’action du coeur et trouvent que cet organe est le plus sen- sible pour des oscillations de 150 par seconde. Moi-méme j'ai mésuré maintes fois à l’aide de l’électro-dynamo- mètre de M. Ginray 5) l'intensité moyenne du courant faradique, capable de provoquer la contraction minimale des muscles: je l’ai trouvé égale à 0,1 MA, tandis que pour les mêmes muscles, avec les mêmes électrodes, l'intensité minimale du courant constant mon- tait à 1 MA et plus haut: les nerfs sont done plus sensibles aux courants alternatifs de faible fréquence, que donnent les appa- reils dinduction médicales, que pour les courants constants. Au contraire, pour les courants de très haute fréquence de M. Tesna le corps humain est certainement très peu sensible et ainsi il est 1) Arch. de physiologie normale et pathologique 1893, pag. 401. 2) Berichte der naturf. Geselsch. in Freiburg i. B. Bd. 8. 3) Götting. Nachrichten, Math.-Phys Classe, 1899, S. 95. 4) Journal de physiol. et de pathologie générale, Vol. 2, pag. 255. 5) Recherches, pag. 289. nn PES SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. 379 prouvé encore une fois qu'il existe une fréquence oplime, pour laquelle les nerfs sont le plus sensibles. Fie 23. On peut représen- J-\Axe ter l'ensemble des expériences sur ce su- jet, y compris celles de M.M. ErnrHoven et MoerMAN '), par la eourbe A BC de la figure 23, dans la- quelle les abscisses indiquent la valeur de la période p et’ les ordinates la va- leur de l’amplitude minimale J,, qui provoque l’exeitation minimale. BB’ représente l’amplitude minimale, indiquée par I, tandis que OB’ signifie la fréquence optime; OA est l'intensité du cowrant constant, qui cause la méme excitation minimale. La formule (53) conduit à peu près à la courbe APC et s'y con- fond tout à fait si l’on pose, au lieu de: vt Isınpi i= Asinpt+ Beospt, formule plus générale pour l’intensité d'un courant alternatif, car alors on trouve: ENG qui donne pour p —0, c-a-d. pour le courant constant: Lab, Y= B 1 de sorte que pour le courant constant, I, ne prend pas une valeur infiniment grande comme suivant la formule (53), mais une valeur finie OA. Ainsi la loi I explique entièrement la forme de la courbe ABC, 1) P. A. MoERMAN, Ueber die Methode einen isolirten Nerven durch frequente Wechselströme zu erregen. Leiden, 1901. ARCHIVES VII. 54 380 SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. trouvée par les expériences sur l’action physiologique des courants alternatifs. Si on demande si les nombres trouvés par les différents expé- rimentateurs concordent aussi avec ceux calculés au moyen de la formule (56) on trouve que les valeurs de l’amplitude minimale trouvées par MM. von Krirs et v. ZEYNEK accroissent plus lentement avec le nombre des oscillations que la formule exige, tandis que celles de MM. EınrHnoven et Moerman au contraire accroissent plus rapidement. Voici une série d’observations de M. von Kriss: Nombres | = Amplitude minimale — des oscillations |——— — — par seconde. Observee. Calculéé. 100 9.5 12 200 13 16 300 20 20 400 28 5 28 500 34.5 33.6 600 40 40 700 44 | 46 800 48 52 Tei suit une série d’observations de M. v. ZEYNEK: | Nombres Amplitude minimale des oscillations — - par seconde. Observee. | Calculée. 100 24 15 200 80 24 300 30 30 400 38 46 500 42 57 et MM. ErntHoven et MoerMAN !) ont trouvé que les amplitudes minimales accroissent de 1 à 4.98 — 8.94 si le nombre des oscil- lations monte de 1 à 4.35, tandis que d’après la formule (52) pour cette haute fréquence les amplitudes sont à peu près proportionnelles au nombre des oscillations. Si l’on considère que ces expériences sont d’une extrême délica- tesse, que la température et la polarisation des nerfs et, dans les D AEEC DANS SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERES. 381 expériences de MM. ErnrHoveN et MorrMan, le déeroissement ra- pide des oscillations électriques avec le temps exercent une influ- ence considérable !) et pas toujours exactement connue, sur les résul- tats obtenus, on peut conclure que la loi I a subi la preuve rigou- reuse des chiffres avec un assez grand succés. Au contraire, toute loi qui ne conduit pas, du moins approxima- tivement, à la courbe ABC de la fig. 23 doit être rejetée. C'est le cas avec la formule donnée par M. Hermann ?). M. Hermann accepte encore toujours la vielle loi de pu Bots Reymonp, avec cette différence qu'il ne distingue plus entre l’exeitation élémentaire, «, et l’excitation totale, ». M. Hermann pose: : E=— d h et calcule la valeur maximale de cette expression et c’est cette valeur maximale qu'il indique par e*, qui remplace maintenant l'excitation totale, 7, de pu Bois Rrymonp. En appliquant alors la théorie bien connue des courants d'action, savoir que les parties excitées d’un nerf sont électriquement néga- tives par rapport aux parties non ou moins excitées. M. HERMANN arrive à la formule suivante pour l’action excitatrice des courants alternatifs de la période p: EA ap? E kp? w? + (h—p? k)? Pour la sensation minimale. «* étant égal à l’unité, on obtient pour l’amplitude minimale, J,,. RR Lp? w? + p? k)?. GET, ap? w € gies ER N) où: p est la période =2n N w la résistance du circuit h la constante de la polarisation k la constante du courant d’action. La formule (57) remplace maintenant la formule (56) déduite de la loi nouvelle 1. 1) Dans un travail récent M. EINTHÔVEN tâche à prouver que cette dernière influence est peu importante; mais parce que M. EINTHOVEN promet sur ce sujet une étude plus détaillée, qui n’a pas encore paru, je préfère de réserver mes observations jusqu’à ce temps *) PFLÜGERS Archiv., Bd. 83, S. 356. 54* 382 SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. En représentant la relation (57) graphiquement de la méme maniére que la courbe A BC de la figure (23), on obtient deux courbes distinctes, selon que l’on a: w? >2hk où w? <2hk. Fie, 24, A C „ J-|Axe \ NB N ER N i PSE EEE A F oe: | | 0 ew ” | | / | | P-Axe 0 Bi D’ Dans le premier cas, on obtient la courbe A BC de la figure (24), dans l’autre la courbe A’B’DC'. Selon la courbe ABC amplitude minimale, /,, décroit sans cesse, se rapprochant de plus en plus de la valeur finale, = représentée par la droite a EF. La courbe A’ B’ DC indique que /,, pour des valeurs toujours accroissantes de N, déeroît jusqu’à la valeur minimale D D' plus petite que HO, et augmente ensuite, se rapprochant de nouveau oe k ; de la même valeur finale ——, qu'elle ne peut pas surpasser. aw Ces deux courbes’ différent considérablement de la courbe des expériences (fig. 23), trouvée plus haut. Dans la déduction de la formule (57) M. Hermann a considéré la constante, h, de la polarisation comme une constante absolue, tandis que, suivant les recherches de Wien !) et de NEUMANN ?), 1) Wied. Annalen, Bd. 58, S. 37. 2) Wied. Annalen, Bd. 67, S. 500 SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. 383 cette grandeur h est directement proportionnelle a la racine carrée de la période p. En substituant donc à h l’expression h,“p on obtient la formule: D EA um... (58) ap? w Cette formule (58) ne donne plus qu’une seule courbe qui ressemble beaucoup à la courbe A’B’DC de la figure (24). L’amplitude minimale, /,, prend pour p—o, c'est-à-dire pour l’action du courant constant, une valeur infinie, decroit alors rapidement avec l’accroissement des oscillations, coupe pour une certaine valeur de p = OB" la droite HF, descend alors jusqu à une valeur minimale DD’ et s’approche alors pour des valeurs de p toujours accroissantes, de la même droite HF, sans pouvoir la surpasser. Comment expliquer par les courbes de Fig. 24 que, comme M. Ernrnovex l'a trouvé, la sensibilité des nerfs pour le courant constant est environ 16000 fois plus grande que pour les courants alternatifs de très haute fréquence? Ce résultat suffit pour rejeter la formule et la théorie de HERMANN sur l’excitabilité électrique des nerfs. Dans les „Göttinger Nachrichten” de l’année 1899, pag. 104, M. Nernst, le célèbre fondateur de la nouvelle théorie de la pile galvanique, a donné aussi une théorie sur l’excitabilité électrique des nerfs. M. Nernsr s’appuyant sur le fait remarquable trouvé par les expérimentateurs modernes, que le courant électrique dans un conducteur de nature électrolytique, comme quel on peut considérer chaque tissu organique, ne peut occasionner aucun autre effet que le déplacement des ions, présume que tout effet physiologique du courant doit avoir une relation intime avec ce déplacement des ions et par conséquent avec les changements de concentration, qui en résultent, Il faut done que l'excitation électrique des nerfs soit proportionnelle au changement de concentration cause par le courant. La formule, que Nernst lui-méme donne, est de la forme suivante: Rn DENDE (59) ce qui signifie que l'amplitude minimale [,, doit être directement I, = constant x 1” D. 384 SUITE DES RECHERCHES SUR L EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. proportionnelle à la racine carrée de la fréquence, p=2 aN. Cette relation est représentée dans la figure (24) par la courbe OC" et Von voit que la dissemblance de cette courbe et de la courbe ABC de la figure (23) est trop grande pour qu’on puisse accepter cette formule. J’ai cherché & modifier la déduction de M. WarBure !) sur laquelle repose la formule de Nernst (55) de telle manière qu'il en résulterait une formule moins simple, s’appro- chant davantage de la courbe des expériences. Mais jusqu’ici je n'ai pas réussi à trouver une formule convenable qui indiquät par exemple l’existence d’une fréquence optime OB' (fig, 23). Ce résultat me confirme dans l’opinion, exprimée pag. 351 de mes recherches, que ce qu’on nomme l'excitation des nerfs n’existe pas. „Lout changement que le nerf subit consiste dans un change- „ment électrique et le rôle des nerfs est limité à celui d’un simple ,conducteur à noyau.” CHAPITRE VIII. Sur la généralité de la loi trouvée. § 22. Dans les premières expériences que j'ai faites en 1891 avec les charges d’un condensateur j'ai trouvé que la loi I, savoir: tente représente aussi bien les résultats des expériences faites sur le nerf optique que de celles faites sur les nerfs moteurs. La seule diffé- rence entre ces deux sortes de nerfs existe dans les valeurs diffé- rentes que prennent les deux coéfficients @ et /?. Sur ce fait j'ai fondé alors l’hypothèse que cette loi serait une loi générale qui vaudrait aussi bien pour toutes sortes de nerfs que pour toute manière d’exciter; ainsi non seulement pour l’action de l’élec- tricité mais aussi pour des actions thermiques, mécaniques, chi- miques. Il suffit alors de remplacer la grandeur électrique, à, par la grandeur correspondante des autres modes d’exeitation ?). Cette hypothèse a acquis une plus grande importance par les recherches de MM. von Frey et Kırsow *) sur le sens du toucher. 1) Wied. Ann., Bd. 67, S. 495. 2) Deutsche Archiv. f. klin-medicin., Bd. 51, S. 194. 5) Abhandl. der Kg. Sachs Gesellsch. der Wissenschaften, 1896; Zeitschrift für Psych. und Phys. der Sinnesorgane, Bd. 20. SUITE DES RECHERCHES SUR L/EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. 385 Ces recherches, faites avec le plus grand soin, avec des instru- ments fort ingénieux, expressement composés pour ce but, donnent pour les diflerentes parties de la peau humaine, ce que les auteurs nomment: „die Belastungschwelle”, ¢.a.d. la pousse mécanique minimale, qui excite encore sensiblement les corpuscules du toucher. On y trouve aussi la maniére dont cette sensation minimale varie avec la vitesse de la pousse et la grandeur de la surface frappée. De ces recherches minutieuses il résulte que pour un corpuscule donné l’excitation dépend de la variation de la pression, creée au point de la peau, où le corpuscule se trouve; c.ä.d. de l’ex- dp pression Er où p est la pression momentande et r la distance du corpuscule de la surface de la peau. Ainsi la loi fondamentale prend ici la forme suivante: Co a en en 3.4 (60): De plus les recherches de M. von Frey démontrent que la pousse subie dans la profondité de la peau diminue graduellement de la surface de la peau jusque dans la couche des corpuscules du toucher, avec une vitesse qui est d’autant plus grande que la surface frappée, s, est plus petite; d’où il suit que l’on peut expri- mer la pression p dans la couche susdite par la formule suivante: ar (Dee a ES CAR Tyo ASIE A apt D AE hee CN ou P est la pression exercée à la surface de la peau, r la profondité de la couche des corpuscules, s la surface de la peau frappée, e la base de la système Nepérienne des logarithmes. En substituant (61) à (60) on trouve: EZ — EN Diez Ge Str 3) s Si maintenant, comme dans les expériences citées, la pression ? sur la surface de la peau accroit réguliérement dans un temps très petit, T, de zéro à la valeur P_, avee une vitesse, v, l’exeitation totale, 7, devient: aa Us Ue lest re xvfte dt r o ce qui se réduit à: 386 SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. N Bde Pe TZ 8/ où Z est la fonction de temps trouvée et décrite pag. 309 de mes recherches. Pour les excitations minimales 7 devient égale à l’unité, de sorte que la limite minimale de la pression, die Belastungsschwelle, P,, se trouve par la formule suivante: > 12 er : We Var RS EEN d'où résulte que P,, dépend aussi bien de la surface frappée que de la fonction de temps Z. En différentiant la formule (62) par rapport à s on trouve: 2 = Cen 5 ( 12007 2 OET wi? CAO TA d’où il suit qu’il existe une valeur minimale de P,, pour Gl Il existe done une surface optime pour laquelle la pression minimale atteint elle-même une valeur minimale. Fie. 25. B’0.5 mM? tmM? SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. 387 Ce résultat de la loi posée est confirmé par les recherches de MM. von Frey et Kırsow, comme on peut voir dans la figure 2 de leurs recherches !), reproduite dans fig. 25. On voit ici un minimum assez prononcé, B B’, savoir une pression minimale de 0.035 atmosphéres pour une surface, s, de 0.45 mM?. Prenant, par une approximation permise, ehr | a TT on obtient: eN Ee Bn IE ’ aa ce qui signifie que P,, accroît à peu près proportionnellement au temps T que la poussée a duré. Cette deuxième conséquence de la loi / est confirmée encore par les expériences de M. von Frey, représentées graphiquement par la courbe (fig. 6) des „Abhandlungen” ?). On y voit claire- ment comment les valeurs de P, accroissent en même temps que les valeurs de 7. Comme M. von Frey lui-même remarque *), les résultats des expériences sur le sens du toucher concordent sur ce point avec les expériences de M. von Krirs *) faites sur l’exeitation des nerfs moteurs d’une grenouille par le courant électrique. Mais pour les expériences de M von Keres j'ai prouvé pag. 308 de mes recherches qu’elles s’accordent très bien avec la loi J; on ne peut done s'étonner que les expériences de M. von Frey arrivent au même résultat. Je puis done constater que la loi trouvée est aussi applicable au sens du tact. $ 23. Maintenant je tächerai d’appliquer la méme loi au sens de louie et de la vision mais auparavant je veux modifier un peu la forme de la formule. Jusqu'ici j'ai supposé que dans la formule ex=aie êt le produit (« e—**) indique la manière dont la sensibilité de l’organe décroit avec le temps; mais avec le méme droit on peut écrire 1) Zeitschrift l.c., S. 147. 2) L.c., S. 199. 3) Zeitschrift l.c., S. 129. “) Arch. f. Phys., 1884, S. 337. ARCHIVES VII. 5D 388 suITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERES. (ei) xe ?! ce qui signifié une excitation («i), s’öteignant graduel- lement avec le temps suivant l’expression e °! et alors la loi veut dire que chaque excitation élémentaire se continue encore un certain temps aprés que l’irritation a cessé. Il est vraisemblable que les deux phénomènes indiquées se montrent en réalité tous les deux en méme temps et pour cette raison nous pouvons écrire: ede Bot) x (deit) ou B=fB, +7. y indique maintenant la vitesse plus ou moins grande avec la quelle chaque excitation élémentaire s’öteint avec le temps. C'est, comme on sait, le coëflicient 7 qui joue un grande rôle dans la perception de la lumière. Dans cette hypothèse chaque irritation momentanée donne l’exci- tation élémentaire: et excitation totale devient: a u = = ve Pot dt. 4 o ) raga] 2 1 a1 à 1 | ] er L’expression — vient maintenant à la place de « dans la formule / plus simple (1), usitée jusqu'ici. Dans cette formule à doit être maintenant l’intensité du mouve. ment périodique, soit de l'air, soit de l’éther lumineux, de sorte que nous pouvons poser: 4=Asin2na Nt ot A reprösente l’amplitude vibratoire et N le nombre de vibra- tions par seconde. Ainsi on trouve pour l’exeitation totale: a 2x NA : en) La sensation de l’ouie et de la vue dépend done des trois ) coëfficients, «, /?, et y, variables d’un organe à l’autre et des SUITE DES RECHERCHES SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. 389 quantités N et A, qui représentent la période et l'intensité du mouvement oscillatoire. En différentiant 7 par rapport à N on peut demontrer aisément que lexcitation devient maximale pour: PEN d'où résulte qu'il existe un nombre optime, N, des vibrations auquel l’organe est le plus sensible. Ce résultat du caleul est en parfaite concordance avec les obser- vations, car aussi bien pour l’organe de la vue que pour celui de Vouie on trouve des limites de N, variables d'une personne à l’autre pour lesquelles la perception cesse. Comme on sait, on a pour l’oeil les limites suivantes: Nrouge = 440 Billion vibrations par seconde. N violet = 760 Billion 5 a ® et pour l’ouie Ngrave= 20 vibrations par seconde. N haut = 40000 2 5 > Les expériences récentes de MM. Konia et Dirrerict !) donnant la courbe de la perceptibilité pour la lumière de différentes couleurs, confirment le résultat trouvé plus haut. Si l’on suppose maintenant que la rétine possède trois sortes de nerfs distinctes, qui différent l’une de l’autre par une autre valeur de /,, la fréquence optime des oscillations lumineuses, N,,, obtient aussi une valeur différente et l’irritation simultanée de ces trois sortes de nerfs causera un effet composé, tout à fait identique à celui que donne la théorie bien connue de la conception des couleurs inventée par Young et défendue avec beaucoup d'énergie par HermHoLrz, jusque dans les derniers jours de son activité scientifique. Mais la formule (63) ne peut pas encore être la loi générale. Car j'ai toujours déclaré que la loi: «= «ie ?', n’est applicable qu'aux excitations minimales et que, pour les irritations plus fortes, l'excitation n’est plus proportionnelle à l'intensité de lirritation. Dans la figure (14) pag. 318 de mes recherches on voit aussi 1) Hezmxozrz, Handbuch der physiol. Optik. 1896. 8, 358. 55* 390 SUITE DES RECHERCHES SUR L'EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS, que l'excitation n'aceroît pas avec l'intensité du courant suivant une ligne droite, comme la loi J l’exige, mais que la courbe de l'excitation se rapproche de plus en plus de l’axe des abscisses et montre une grande ressemblance avec la courbe, donnée par Hecmnorrz dans la première édition de son „Handbuch”, 5. 318, et aussi avec celle trouvée par MM. PırkemA et LAAN !) pour la variation de l’acuité de la vue avec l'intensité de la lumière. La même courbe se retrouve dans les expériences de MM. CyBurskt et Zanrorowski 2) sur l’aceroissement de la contraction musculaire avec l’intensité du courant appliqué. Fig. 26. Y 0 EX La forme de cette courbe est celle de la courbe logarithmique: log) reproduite dans la fig. 26. Déjà en 1892 j'ai cherché la cause de cet écart de la loi simple, dans les phénomènes découverts par M. Pritcer et décrits par ce savant d’une manière admirable dans son livre classique sur Pélectrotone *). De ces recherches il résulte que l’état physiologiste d’un nerf est modifié par le passage d'un courant électrique et d'autant plus fortement que ce courant est plus fort En général la sensibilité du nerf décroit avec l'intensité du courant et par un courant trop fort le nerf est tué et perd pour toujours ses propriétés ordinaires. J'ai indiqué aussi la cause probable de cette altération physiologi- que; je la trouve dans le transport des liquides par le courant lui- même et dans la direction du courant: le phénomène décrit par 1) SNELLEN, Bowman, Lecture 1896. 2) Bulletin de l’Acad. des Sciences de Cracovie, 1892. 5) Untersuch. über die Physiologie des Electrotonus. Berlin 1859. SUITE DES RECHERCHES SUR L’ EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. 391 pu Boıs-Reymonp sous le nom de Kataphorèse et nommé plus tard l’endosmose électrique. Ce transport cause une dessiccation à l'endroit de l’anode, qui entraîne un décroissement de l’action physiologique du nerf Mais quelle que soit la cause de cette altération de sensibilité du nerf par le courant, il est certain qu'elle existe et quil faut modifier pour cette cause la formule pour les irritations non- minimales. Nous posons done log (1 + A) au lieu de À parce que toutes les expériences indiquent la forme logarithmique comme approchant le plus de la réalité et parce qu’en second lieu l’expression log (1 + À) étant égale 4: À — } 4? + 4 45 etc. se réduit pour des valeurs faibles à À. L’exeitation totale se trouve ainsi exprimée par la formule plus générale : a 2a N y Br + An? N° formule que est dès lors applicable A chaque valeur de A, grande ou petite. Cette formule (64) concorde avec la loi bien connue de FECHNER, que ce savant a développée en 1858 dans un mémoire célèbre, intitulé: Ueber ein wichtiges psycho-physisches Gesetz !). Cette loi dit que d’egales differences de sensation sont repro- duites par des irritations très différentes, toutes les fois que la diffé- rence de l'irritation forme la même partie de l’irritation elle-même. Dans les peintures et les dessins, qui montrent des parties d’ombre de tres différente intensité, on distingue toutes les par- ticularités aussi bien quand ils sont éclairés par la lumière faible d’une chandelle qu’en plain jour. x log (le A). antr (GE) De la même manière la difference de hauteur de deux sons nous parait égale quand le quotient des nombres de vibrations est ögal. E. H. Weser ?) a trouvé la même loi pour la perception de différences de sensation, occasionnées par le soulèvement d’un poids. Soit qu'on fasse les expériences avec des grammes ou bien avec des hectogrammes, le résultat reste le même, car il ne dépend pas de la grandeur absolue des poids mais seulement de ce que le surpoids soit toujours la méme partie du poids employé. 1) Abh. Sachs. Gesellsch. Math.-Phys. Classe, Bd. 4, S 457. 2) Waaner’s Handwörterb, der Physiologie, Bd. 3, Abth. 2, S. 559. 392 SUITE DES RECHERCHES SUR L EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. Werer dit: „dans la musique nous percevons la relation des „sons sans en connaître le nombre de vibrations, dans l’architec- „ture la relation des dimensions sans en avoir mesuré la grandeur, „et de la même manière nous percevons la force musculaire „dans le soulèvement de poids sans en connaître le poids absolu”. On peut done en conclure que la loi de Frecuner se retrouve dans toutes sortes de sensations. Si 7 est la sensation occasionée par une excitation d’intensité A, on peut écrire cette loi dans la formule suivante: d A A d'où il suit: n = G log À + C' dins CX formule qui ne diffère de la nôtre que par la substitution de log (1 + A) pour log A. Cette difference est dans la plupart des cas si petit, qu'il est impossible de trouver par l’expérience laquelle des deux formules est la vraie; et parce que Hermnorrz !) a observé que pour des intensités de lumière très faibles la sensation est proportionnelle à cette intensité, je préfère la formule (64), qui donne alors: log (1+ À) = A. Mais je n’accepte pas le nom de: loi psycho-physique, car je n'y vois que Vinfluence électrotonique, que le courant électrique exerce sur le nerf qu’il traverse. 1) Handbuch der Phys. Optik. 1896, S. 394. nn QUELQUES REMARQUES SUR LA STROPHOIDE OBLIQUE PAR M. J. VAN UVEN. $ 1. Trois points queleonques A, D, et D, étant donnés, nous voulons étudier le lieu des points P, pour lesquels ona 4 D, PA= BAP D,. Par la suite nous appellerons la droite D, D, l'axe. Si A P coupe Vaxe en x, P x est la bissectrice de l’angle D, P D, ; si l’autre bissec- trice coupe l'axe en z'!, x et x! sont divisés harmoniquement par D, et D,. En ce cas le point P est situé sur le cerele, qui a xx! pour diamètre. La ligne Az! coupe ce cercle en P'; AP! estla bissectrice de langle supplé- mentaire de ALD EP pe Asi chaque couple de points zz!, qui sont divisésharmonique- ment par D, et D,, donne deux points, P et P1, tels que AP et AP! sont les bissectrices des angles D, PD, et D, PT Dy. Le complexe des couples xx! forme sur l’axe une involution quadratique ayant D, et D, pour points doubles. Tous les cereles ayant une ligne x x! pour diamètre forment un ARCHIVES VIII. 1 2, QUELQUES REMARQUES SUR LA STROPIIOIDE OBLIQUE. faisceau de cercles dont la perpendiculaire au milieu de D, D, est l’axe radical En coupant un cercle (xx!) du faisceau par un couple A x, A xt de l’involution de rayons, qui projette de A l’involution de points, nous obtenons, outre les deux points x et =!, deux points Pet P1, tels que: 7, Dr PAS AP D ei, ZN, PLAS LAPD L’involution de rayons A (xx!) engendre avec le faisceau de cercles (xx!) une courbe du quatrième degré; cette courbe con- tient 1° les points x et x!, tous situés sur l’axe, 2° les points P et P!, qui par conséquent se trouvent sur une courbe du troisième degré. Le lieu cherché des points P (et P!) est done une courbe du troisième degré A est aussi un point de cette courbe (C,); car il y a un cercle du faisceau qui passe par A et donne pour point de la C, le point A lui-même. Chaque ligne passant par À ne donne qu’un seul point de la C, hors de a; il faut done que A soit un point double de la cubique. $ 2. Tout cercle du faisceau fournit deux points, P et P!. Ainsi les lignes PP! passeront par un même point fixe O,. le point opposé du faisceau. Il en résulte que nous pouvons aussi considérer la courbe comme produite par un faisceau de cercles et un fais- ceau de rayons par O,, homographique à celui-là. Les points de base du faisceau de cercles doivent être de même situés sur la C,; ces quatre points sont tous imaginaires; deux d’entre eux sont les points circulaires; ceux-ci appartiennent done à la C,, qui par conséquent est une courbe circulaire. Les deux autres points de base se trouvent sur l’axe radical. Ainsi la C, rencontre l’axe radical en deux points imaginaires et puis en un point réel. Le cercle dégénéré qui consiste de l’axe radical et de la ligne A l'infini, coupe l’axe en C (voyez la figure), et en le point à l'infini sur l'axe. Or la ligne AC rencontre la C, en son point réel FY à l'infini. La droite qui joint A avec le point à l'infini sur l’axe, et qui est done parallèle à l’axe, coupe l’axe radical en un point F}', aussi situé sur la C,. F,! est le seul point réel d’intersection de l'axe radical avec la courbe. Fy et F,! se trouvent sur le même QUELQUES REMARQUES SUR LA STROPHOIDE OBLIQUE. 3 cerele du faisceau; la ligne qui les joint, c’est-ä-dire la ligne qui, en passant par /’,!, est parallèle à 4 C, doit contenir par conséquent le point tangentiel O,. Le cercle du faisceau qui passe par A, rencontre l’axe en à et ö!, La droite Ad coupe le cercle encore en A, et de cette manière elle joint A avec soi-méme, de sorte que AÒ est tangente en le point double. De méme 40! coupe le cercle une seconde fois en 4; pour cette raison AO! est la seconde tangente en le point double. Les deux tangentes en le point double sont par consöquent rectangulaires. Le cercle, passant par 4, fournit deux fois le point 4; la ligne qui joint ces deux points A, en coincidence sur le cercle, passera done par O,, ou bien: la tangente en A au cercle contient O,. Ainsi nous avons trouvé deux droites, faciles 4 construire, qui doivent passer par le point O,; O, est done déterminé. Naturelle- ment nous aurions pu trouver OQ, aussi comme point d’intersection de deux rayons quelconques PP!, QQ!. Cependant en ce cas O, ne serait pas déterminé trés exactement, parce que la construction de PP! et QQ! est assez embarrassante. D, et D, sont les deux cercles limites du faisceau. Les points d’intersection 0, et 0,', d, et 0,! avec l’axe sont aussi mis en coincidence en D, et D,; Ad, et Ad,! donnant toutes deux le point D,; Ad, et Ad,' donnant toutes deux le point D,, D, O, et D, O, sont évidemment tangentes en D, et D, à la Cy. Donc D, et D, sont conjugués sur la C,. Si de A nous abaissons la perpendiculaire sur l’axe et que celle-ci coupe l’axe en w,, nous pouvons mener par ce point un cercle, appartenant au faisceau; ce cercle rencontre l’axe une seconde fois en w,!. Les seconds points d’intersection de Aw, et Aw,! avec ce cercle sont des points de la C;. Or Aw, coupe ce cercle en O0, =w,, car Aw, est tangente au cercle, Aw, étant perpendiculaire à l’axe. Le pied O, de la perpendiculaire abaissée de A sur l’axe est done le troisième point d’intersection de la C, avec l’axe. Il est facile de constater, que O, et O, sont conjugués sur la C,, en considérant l’ensemble suivant de neuf points 1* 4 QUELQUES REMARQUES SUR LA STROPHOIDE OBLIQUE. Dans cette matrice chaque colonne et chaque ligne désigne trois points collinéaires. On en conclut que O, est situé sur la tangente en O,, aussi bien que sur celle en O, et que, par conséquent, O, est le point tangentiel de O, et O, tous les deux. O, et O, sont done conjugués. Le cercle de faisceau passant par O, coupe l’axe en w, et o,’. La ligne Aw, rencontre ce cercle au même point Oj. La droite Aw,’ rencontre le cercle en Oy, car la ligne qui passe par les points d’intersection O, et O, passe par O,, et est done tangente en O, à la C,. La droite qui contient O, et O, est évidemment tangente en OF ma lanG:: Le cercle du faisceau qui passe par O, coupe la droite O, O, en son second point d’interseetion avec la C;. O,' est done conjugué à O,, ce que l’on reconnaît en considé- rant la matrice 02.0.2207 ORO Oost § 3. De l’asymptote. Quant à la construction de l’asymptote, dont rien que la direction n’est encore connu, nous remarquons, qu’elle est aussi tangente en F? à la conique polaire de F{. Étant connus cing points de cette conique, l'asymptote est évidemment définie aussi. Deux de ces cing points sont FT et A. La conique polaire de Fy passe par les milieux de toutes les cordes, que la C, détermine sur les droites passant par Fy. Une de ces droites est O, #;" FT; le milieu K de O, F,’ est done un point de la conique polaire de FY. Il s'agit maintenant de trouver encore deux points, ou, ce qui revient au méme, les troisiémes points d’intersection avec la C, de deux droites, qui passent par I’; et chacune par un point connu de la C,. En choisissant pour ces deux points connus les points D, et D,, il sera trés simple de fixer la position du troisieme point intersection. Si D, G, Ff sont en ligne droite, comme aussi D, G, Fy, AG, est perpendiculaire à AD,, et AG, à AD,, conclusion, facile de déduire du raisonnement suivant. QUELQUES REMARQUES SUR LA STROPHOIDE OBLIQUE, 5 La condition à laquelle G, doit satisfaire est: Z D, G,A= — LAG, D,, et DG,!!aC. Si AC coupe la droite G, D, en $, on a G,S=S8D,; RD GA = DG A = eG. RS, ainsi G,S=AS; par con- séquent AS=SD, et / SADs= LS DJA. Si nous menons ST paralléle à A G,, ble done STAD et G, A 1 AD,: ainsi la normale en A sur AD, rencontre D, Fy en G,. De même la normale en A sur AD, coupe D, Fy en Gy. Fie. 2. G, et G, étant déterminés de cette maniére, les milieux L de D, G, et M de D, G, le sont aussi. De la conique polaire de Fy on connaît à présent les cing points Fy, a, K, L et M. La tangente en FY A cette conique est facile à construire, soit par le théorème de Pascar, soit en faisant usage de la manière dont la conique peut étre engendrée par deux faisceaux homo- graphiques avec A et Fy pour centres. Le point d'intersection F, de G, D, avec G, D, est conjugué Peas Le tableau DEG OF N EDER RG, De DD DR 2 montre que F, est situé sur la C,. F, est conjugué à FT, car on a FGDs By Dee pneus Si @, est le point d'intersection de G, O, avec la C,, et celui de D, G, avec O, Fy, @ se trouve sur la C,, car on a Le) 6 QUELQUES REMARQUES SUR LA STROPHOIDE OBLIQUE. DIGKO D, Gane OO O0: Si F,' est le point d’intersection de F,O, avec la C, et R celui de @, G, avec Q F,', À est aussi un point de la C,, car on a G,G,R | G,D,Q Oy Faker Le point intersection F, de RO, avec l'asymptote est aussi situé sur la C,, car on a | G,@,R | PiDRON Fe F? Fy | F, est done le point tangentiel de F comme aussi de /’,. Ainsi F, F, est la tangente en F, à la C.. Nous aurions pu également faire usage de la propriété bien connue suivant laquelle les couples conjugués sur la C, forment une involution, à laquelle la série des points tangentiels est pro- jective En projetant de A les couples conjugués, nous obtenons une involution de rayons, dont les tangentes 40 et 40’ sont les rayons doubles; ceux-ci sont en angle droit; ainsi chaque couple de rayons fait des angles égaux avec AÒ et avec Ad. Nous aurions done pu trouver F, en considérant que 2 F, Ad = ADE Alors F, serait également connu, parce que A F,, comme rayon du faisceau, qui projette de A les points tangentiels, est homologue au couple A F,, A FT de l’involution de rayons. Cependant la construction d’un rayon du faisceau, correspon- dant à un couple donné d’une involution de rayons, projective à ce faisceau, n’est pas si facile qu’elle semble. En effet il faut d’abord représenter l’involution sur une conique menée par A; les droites passant par des points correspondants forment alors un faisceau, projectif au faisceau, qui projette les points tangentiels. Puis il faut chercher le rayon du dernier faisceau, qui est con- jugué à un rayon donné du premier faisceau, ce qui est assez Tr QUELQUES REMARQUES SUR LA STROPHOIDE OBLIQUE. id embarrassant. Surtout cette méthode est plus longue, parce que nous n’avons encore obtenu que les rayons Al, et A F,, et que les poins F, et F, doivent encore être fixés sur eux. $ 4. Du point d’inflexion. Quand un rayon du faisceau, qui projette les points tangentiels, coincide avec un rayon du couple correspondant de l’involution, qui projette de A les couples conjugués, ce rayon contient un point d’inflexion de la C,. Nous verrons, qu’il n’y a ici qu’une seule coincidence réelle, et qu'il n'y a par consequent qu’un seul point d’inflexion réel. Au rayon double 40 de Vinvolution correspond le rayon A 0’ du faisceau, et au rayon double Ao’ le rayon Ad. Les points d’intersection de ses deux systèmes avec l'axe forment 1°. une involution de points, qui a à et 0’ pour points doubles, et 2°. une série de points, dont à est homologue au point double à et à au point double 0. En prenant 0 comme origine et en désignant par a la longueur 00’, l'équation de l’involution sera WG END NON nck ar tak ey a sche nL) et celle de la série de points SL EEE os ch ne) En cas de coincidence on a x = &, ou, puisque £= akg 1+A q a À q y= =. 1l+Aq En substituant cette valeur en (1), il vient q? a? 13 + a? = 0, ou AB = — En q~ Deux coincidences sont done imaginaires; il en résulte que nous ne pouvons pas déterminer la coincidence réelle par la con- struction; elle est ineffectuable. étant du troisième degré. La coincidence réelle doit done étre déterminée approximati- vement. Cela se réduit à la recherche du quatrième point d’intersection de deux coniques, qui ont de commun un point réel connu et deux points imaginaires. 8 QUELQUES REMARQUES SUR LA STROPHOIDE OBLIQUE. En effet, si nous menons un cercle y, par A, nous pouvons représenter sur lui involution des points conjugués. Alors les droites passant par les points homologues sur 7, forment un faisceau de rayons homographique au faisceau, qui projette de A les points tangentiels; ces deux faisceaux engen- dront une conique y,, qui passe aussi par A. Les points de rencontre de y, et y, projettent de A sur y, un point d'in- flexion. Or nous savons d’avance, que deux points d'inflexion sont imaginaires; y, et y, se rencontrent donc seulement en deux points réels. L’un est A, l’autre donne le point d’inflexion. Main- tenant il s’agit de construire approximativement ce second point d'intersection réel. Dans la figure le résultat de cette approximation est désigné: T, est le point d’inflexion. Conjugué à I, est le point sextactique T,, qui done est déter- miné aussi par ZI, AO= ZI, Ad. La ligne 7, A est évidemment la polaire harmonique de 1, La ligne J, I, est tangente en J, à la C,, car 1, =J,. § 5. Maintenant que J, est trouvé, soit-il approximativement, la tangente d’inflexion est parfaitement déterminée. Elle est conju- guée à 1,1, dans l’involution de rayons, qui projette de J, les points conjugués. Si P, est un point de la C,, P, A est un des rayons doubles de l’involution, qui projette de P, les points conjugués Un couple de cette involution est formé par les rayons P, D, et P, D,, qui font des angles égaux avec P,A. Tous les cou- ples jouissant de la même propriété, les angles Z P, P) A= =LAP,P,, que les tangentes P, P, et P, P, font avec P, A, sont égaux. Il s’ensuit que la ligne A J, est la bissectrice de langle, que la tangente d’inflexion et la ligne J, I, font entre elles. Cette réflexion nous fournit le moyen de construire la tangente d’inflexion, 7, étant connu. En méme temps il est évident, que chaque couple de points conjugués peut prendre les röles de D, et D, dans l’engendrement de la courbe; en effet un point P est par définition situé sur la CH. and RD IMPR = EN: Vu que pour chaque couple de points conjugués Q, et Q, on QUELQUES REMARQUES SUR LA STROPHOIDE OBLIQUE. 9 a £Q,PA=LQ, PA, D, et D, ne se distinguent du tout des autres couples conjugués. D'ailleurs il en résulte, que 1° Le pied de la perpendiculaire de A sur la ligne qui passe par deux points conjugués (que j’appellerai bref corde cotangentielle) est aussi un point de la C,. En vérité ce résultat nous l’aurions pu obtenir ainsi: Un des rayons doubles de l’involution, qui projette des couples conjugués d’un point de la C,, est la ligne PA; l’autre rayon double doit être perpendiculaire à P A, Mais ce second rayon double implique, que # doit être en ligne droite avec deux points conjugués, puisque seulement en ce cas-là PQ, coïncide avec P Q,. Partant inversement de la droite Q, PQ, nous constatons, que PA doit nécessairement être perpendiculaire à elle. (Voyez dans la figure: AO, 1 D,0,D, ; A0', ı 0,0',0,.) Aussi AJ, 47,7, I,; ainsi la polaire harmonique est perpendi- culaire à la tangente en le point sextactique. 2°. Chaque corde cotangentielle est divisée en son milieu par la droite AF? =AC. AC est done en certain sens un diamétre. Par conséquent, nous pouvons obtenir la courbe discutée aussi en partant d’un faisceau de cercles, ayant une corde cotangen- tielle quelconque pour axe et les cercles limites en les points conjugés, et en mettant celui-ci en projectivité avec un faisceau dont le point tangentiel est le centre. § 6. A l’aide du théorème, suivant lequel la ligne qui passe par P et A est perpendiculaire à la corde cotangentielle passant par P, nous pouvons trouver encore de nouveaux couples con- jugués. Il va sans dire, que ces couples ne doivent pas être réels. Ainsi nous trouvons que, parce que AF’, 1 F , C, les deux points d’intersection imaginaires de la C, avec l’axe radical sont conju- gués; leur point tangentiel est conjugué à /,!. La droite, qui est perpendiculaire en #7 à A #7 est la ligne à Vinfini. Elle rencontre done la C, encore en deux points conjugués : il s’ensuit que les deux points circulaires sont conjugués; leur point tangentiel devant être conjugué à #7 coincide done avec le point /’,. Tous les points tangentiels de couples conjugués imaginaires sont évidemment situés sur la branche finie; car par un point ARCHIVES VIII. 2 10 QUELQUES REMARQUES SUR LA STROPHOIDE OBLIQUE. de la branche finie on ne peut, à l'exception de la tangente en le point même, mener aucune tangente réelle à la C.. De même que les couples conjugués sont en partie réels et imaginaires, on doit considérer des faisceaux de cercles avec et sans cercles limites. | Un faisceau de cercles sans cercles limites a deux points de base réels. Nous avons vu, que d’un faisceau à cercles limites, les points de base imaginaires (conjugués) sont en ligne droite avec le pied de la normale abaissee de A sur la corde cotangentielle. Cette normale est parallele à une corde cotangentielle, dont l’axe radical coincide avec la première corde cotangentielle. Nous avons évi- demment ici une projectivité de cordes cotangentielles; l’une a des points conjugués réels, l’autre des points conjugués imaginaires. Elles sont rectangulaires. Maintenant il est évident que les points de base réels du faisceau de cercles à cercles limites imaginaires, sont les cercles limites du faisceau. qui a les cercles limites imaginaires du premier pour points de base. Ainsi D, et D, sont les points de base du faisceau, qui a #, et £ pour cercles limites; ce faisceau consiste évidemment d’un système de cercles concentriques avec #, pour centre. Les points F, et Fy sont inversement les points de base du faisceau, qui a les points circulaires pour cercles limites. Tous les cercles de ce faisceau sont dégénérés en des droites par F, et la ligne à l'infini. La tangente Ad du point double est aussi une corde cotangen- tielle; les deux cercles limites du faisceau qui a pour axe cette corde cotangentielle sont coïncidés en A. Tous les cercles de ce faisceau touchent la droite AO. De même tous les cercles du faisceau, qui a Ad’ pour axe, touchent la droite Ad. Ici nous avons donc le changement de cercles limites réels en cercles limites imaginaires, de points de base réels en points de base ima- ginaires. $ 7. Chaque courbe du troisième degré douée d’un point double, qui passe par les points circulaires et dont les tangentes du point double sont rectangulaires, est une C, de l’espece décrite. Supposons que soit donnée une telle courbe ; nous pouvons nous figurer sur elle deux points conjugués imaginaires. La perpendi- culaire (réelle) au milieu de la ligne de ces deux points, coupera QUELQUES REMARQUES SUR LA STROPHOIDE OBLIQUE. 11 les deux tangentes de A (qui sont rectangulaires) en deux points ö et 0°. Le cercle, que nous pouvons mener par les trois points A, à et 0 et dont le centre se trouvera sur la droite 00’ (puisque Ad 1 A0) appartiendra au faisceau, qui a pour points de base les deux points conjugués imaginaires et les deux points circulaires, de sorte que tous les points de base sont situés sur la Cy. Attendu que les deux tangentes du point double rectangulaires sont les rayons doubles de l’involution qui projette de A les couples conjugués, pour chaque couple AP, et AP, de cette involution mma P, Ad AP, Ad et £2 P, Ad = LP, vod. Si Y, et X, sont les cercles limites du faisceau, il existe (parce que Ô et À sont des points conjugués de l’involution, déterminée par le faisceau sur l’axe) la relation X, AÏ—= / X, AD. Les droites 4X, et AX, projettent donc de 4 deux points conjugués. Si À, 4’ est un couple de l’involution placée sur 00’, AA et Ad’ coupent le cercle (22) de nouveau en les points L et L’, qui sont situés sur la C,, dont nous sommes partis. Cela se démontre ainsi: Chaque cercle du faisceau donne deux points P et P’ de la C,. Or les droites AP et AP’ couperont le cercle qui les a produites, chacune en un seul point (x et =) de plus. Le lieu de ces points a et a doit être une droite; car le couple A P et AP rencontre le cercle (PP) en quatre points; l’involution et le faisceau engendrent une courbe du quatriéme degré; de chaque cercle du faisceau deux points de rencontre sont situés sur une C,; ainsi le lieu des autres deux points d’intersection doit être une droite. Cette droite coupera l’axe 00’ du faisceau en un point, ou coincidera avec lui, Cependant dans le cercle limite X, les quatres points P, P’, x et = sont coincidents; la droite, qui contient les points x et x doit done rencontrer l’axe dd en X,; mais pour la même raison cette droite devra couper l'axe en X,; elle lui est done identique. Nous voyons ainsi, que les droites AP et A P rencontrent le cercle (PP) encore en deux points x et =’, situés sur l’axe du faisceau, par conséquent en les deux points d’intersection du cercle (P /”) avec dd. Inversement, si nous joignons ces points d’intersection avec A, les droites A x et Az’ couperont le cercle (az) une seconde fois 2 12 QUELQUES REMARQUES SUR LA STROPHOIDE OBLIQUE. en deux points P et P' situés sur la C, qui nous a servie de point de depart. En ce cas cependant on a2 X¥, PA=LX, PAet LX, PA= =LX,P'a. X, et X, forment aussi un couple conjugué: en effet A À, coupe le cercle limite X, en X,; X, est donc situé sur la C,. De même X, se trouve sur la C.. Nous voyons d’ailleurs, que la courbe que nous avons étudiée dans ce paragraphe peut ¢tre engendrée par un point assujetti à la condition, que Z X, PA=LYX,PA, X, et X, tant un couple de points conjugués quelconque. Done: Chaque cubique circulaire, douée d'un point double à tangentes rectangulaires, peut être engendrée de la même manière que la courbe ci-dessus étudiée. Elle s'appelle strophoide oblique. Archives du Musée Teyler, Serie I Vol. VII. PV. QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS” PAR J. JU. VAN LAAR. Introduction. Dans le cours de l’année 1891 mon attention fut éveillée pour la première fois — par une briève communication de M. P. H. ScHOUTE !) — sur le problème suivant, proposé par M. Lemoine: „De combien de manières peut on replier, sur un seul, une bande de n timbres-poste?”’ De ce problème M. Lucas dit dans son „Théorie des Nombres”’ (Tome I, pag. 120): „Nous ne connaissons aucune solution de ce problème difficile”. Toutefois M. LAısant trouva les valeurs suivantes: pour m= 2 3 À 5 6 7 Nest dn vu 748 0224" .:66, calculées dans la supposition que le premier timbre reste immobile; mais une formule générale pour N ne pouvait pas être trouvée. Ensuite je me suis occupé de ce probléme, et je pouvais compléter le tableau ci-dessus avec les valeurs que voici: pour n= 8 9 10 11 N= 174 504 1406 4210, valeurs, dont les trois premiéres furent trouvées en méme temps par M. ScHouTE ?). 1) Verslagen en Mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen (Section de Physique, 3° Serie, Tome IX). 2) La valeur pour 2 = 11 ne fut trouvée par moi que très récemment (Nov. 1901). ARCHIVES VIII. 3 14 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION Une formule générale ne fut trouvée non plus. Seulement M. SCHOUTE trouva une relation entre quelques-uns des nombres générateurs (voir Chapitre III), et moi je trouva d’autres relations remarquables, mais la solution longuement aspirée ne se présenta pas. Hanté de ce probléme, je tächa plus tard à plusieurs reprises de trouver une solution — mais toujours en vain. Néanmoins il me semble utile de publier maintenant tout que j'ai rassemblé sur ce sujet durant de longues années, afin que tous ces calculs laborieux, et toutes ces relations parfois trés remar- quables ne soient pas tout-ä-fait perdues. Peut-&tre un autre — élucidé par les pages suivantes — trouvera plus tard la solution complète du problème. Comme on le voit facilement, le problême se réduit algébrique- ment au suivant: Trouver le nombre des permutations mutuelles de n nombres, depuis 1 jusquà n, lorsque le 1 reste toujours sur la première place, et lorsque tous les entrecroisements des groupes 12, 34, 56, 78... . et également des groupes 23, 45, 67... . sont exclus. al Une suite comme 135462 sera donc exclue, puisque 56 donne I! Tal un croisement avec 34; de méme 134256, parceque 23 est — croise par 45; etc. En effet, les jonctions 12, 34, etc. se trouvent toujours, chez une figuration quelconque, au même côté, à gauche ou à droite; tandis que les jonctions 23, 45, etc. se trouveront toutes au côté opposé. Et les jonctions, situées à un même côté, évidemment ne pourront pas s’entrecroiser, une figuration comme n'étant pas possible. Partant de ce principe, que des entrecroisements des groupes 12, 34, etc., ou des groupes 23, 45, etc., ne soient pas tolérés j'ai pu construire facilement les tableaux suivants. Par exemple, D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS”. 15 si l’on connait les permutations possibles pour n=5, on n’a que placer le chiffre 6 entre les chiffres diverses de chaque permuta- tion tellement, que les entrecroisements mentionnés sont exclus. IE Voiei maintenant les tableaux des figurations possibles, dont — comme je l’ai déjà remarqué — les resultats pour n =2 jusqu’ä 7 sont déjà trouvés par M. LarsAnr, tandis que les tableaux pour m=8,9,10 sont construits en même temps par M. Scnoure et par moi. Enfin, comme je l’ai observé également, j'y ai ajouté maintenant le nombre des figurations pour le cas n = 11. n= 2 12 Nil DS 132 123 Nl n = 4 1432 |, 1243 | 1342 |-~ 1234 | N, =2 x2 = wi) 15432 | 12543 | , 14532 | 3 12453 | ~ 14325 | pos = A 15234 De 9 12354 | 3 13452 12345 | N, =2x2+72x3=10 n—6 165432 126543 156432 | 3 125643 | 3 154362 125436 146532 |, 124653 |, 145632 124563 | © B 3* 16 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 143265 | > 143256 | ~ A— == = 136542 | 9 135642 | 163452 134652 | 3 134562 | 165234 | 9 156234 | 123654 | 9 123564 | © 126345 | 123465 | 3 123456 | N, =65x2 +4x3=2% 1765432 | 1675432 4 1654732 | 1654327 | 1576432 |, 1567432 | © | 1543762 | à \ 1543672 | RER 1476532 | 9 1467532 | 1745632 | 1457632 4 1456732 \ 1456327 a pis | 1439765 | 3 | 1432675 | | 1376542 | | 1367542 | 3 1365472 57642 | or © 1 = to 13 \ 13 Kg 1473265 | 1276543 | 1267543 | 3 | 1265473 | 1257643 | | 1256743 | 1725436 | | 1254376 \ 1254367 res EA N 3 1247653 | 9 | 1946753 | ~ | 1274563 | 1245763 | 3 | 1245673 | DS 1765234 | | 1675234 | 3 1652347 1576234 | 1567234 | 3 1562374 | Bar. | 1723654 1237654 1236754 1236547 | 1235764 | à 1235674 | © D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS”. 1763452 1 1673452 | 3 1267345 | 1634527 | | 1347652 | , 1234675 \ 1346752 |” | | 1723456 | 1374562 | 1237456 | : 1345762 | 3 1234576 1345672 | 1234567 N, =10x2+10x3+4x4=66 n=8 | 18765432 | 12876543 | 17865432 | h 12786543 | , 17658432 \ 12765843 \ 17654382 | | 12765438 | 16875432 | > 12687543 | 9 16785433 \ ~ | 12678543 | 16548732 | 9 12654873 | 16547832 | 12654783 | EN Yi a | 16543287 | 5 ees 16543278 | 2587643 | à 12578643 en | 15876432 | 5 19856743 | 15786432 | | 19568743 | 2 | 12567843 \ 18567432 | 12567438 | | 15687432 |, : y = 15678432 | z ; a 15674382 | 18725436 | 9 17825436 \ Pz —— 15843762 | 15438762 = —— 12584376 | 12543876 | 3 12543786 | 15437862 | 18543672 | | 12854367 | 15436872 | 3 12543687 | 3 15436782 | | 12543678 18 Lo QUELQUES = 14876532 14786532 14765832 14687532 14678532 14587632 14578632 14856732 14568732 14567832 14563287 | 14563278 nn 14873265 14783265 14328765 14327865 14327658 14326875 14326785 REMARQUES SUR LA SOLUTION KO: 18743256 | 17843256 17438256 14325876 14325786 14328567 14325687 14325678 Ws Wa a 12487653 12478653 | 12476583 12468753 12467853 12458763 12457863 12485673 12456873 12456783 18765234 17865234 17658234 16875234 16785234 16528347 16523487 16523478 SS) — 19 = en U 15876234 15786234 18567234 15687234 15678234 15623874 | 15623784 2 D'UN PROBLEME DE LA ,GEOMETRIA SITUS”. 13876542 | 13786542 13765842 13687542 13678542 | 18365472 | 13654872 13654782 ' 13587642 13578642 —— 13856742 13568742 13567842 = — 18763452 17863452 17634582 16873452 | 16783459 16734859 16345287 16345978 | Lien 18347659 13487652 \ 13478652 13476582 | 13468752 13467852 | Pr > 18723654 | 17823654 | 12387654 12378654 12376584 12368754 | 12367854 | 12836547 12365487 | 12365478 Vi = | 12358764 5 / | 12357864 | 12385674 I 12556874 12356784 ie | 12876345 te | 19786345 | 12763458 12687345 IR 12678345 12673485 ab. 12346875 |, | 12346785 | ~ Wz 19 20 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 18723456 | 9 17823456 | © 13874562 | 5 13784562 | 12387456 | , | 12378456 | — | 13458762 | 5 13457862 | ~ 19345876 | 5 12345786 | © | 18345672 13485672 |, | EE 13456872 \ 19348567 | | 19345678 | N,—=32x2+96x3+8x4—17%4 n =9 | 198765432 | 129876543 189765432 | 128976543 | 7 187695432 5 128769543 | | 187654932 \ | 128765493 187654329 | 127986543 | 9 179865432 | 5 127896543 | 178965432 | ~ 127659843 | 5 176598432 | 5 127658943 | ~ 176589432 | ~ 192765438 | 176543982 | 5 127654398 | 3 176543892 | ~ 197654389 | 169875432 | 9 | 126987543 | à 168975432 | 126897543 | ~ | 196785432 129678543 167985432 | 126798543 | : | 167895432 | 5 126789543 | 167854932 \ . 196785493 167854329 126954873 | 169548732 | 126549873 | 3 165498732 | 3 | 126548973 | | 165489732 | | 129654783 196547832 | 126547983 | 3 165479832 | h 126547893 165478932 . 165478329 ZE Wi D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS”. 169543287 165493287 165432987 165432897 en 196543278 165432798 165432789 159876432 158976432 158769452 —_ 157986432 157896432 198567432 189567432 | | 4 \ DS _— b En 155674932 \ 185674329 156987432 156897432 nn 19 159678432 | 156798452 156789432 | 156743982 156743892 Po 159843762 158943762 154398762 154389762 154387692 = E 154379862 154378962 ARCHIVES VIII. — bo ce Wa m 125987643 125897643 125876943 129856743 128956743 128567493 125698743 125689743 125967843 125679543 125678943 ie en © b Pen w —_— 198725436 | 189725436 187254369 179825436 / 178925436 178254396 | 125984376 125894376 192543376 | 125439876 | 125438976 125438769 125437986 125437896 21 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 198543672 | 189543672 185493672 185436729 Br ge 154369872 | 154368972 | 154396782 | 154367982 154367892 \ 149876532 148976532 | 148769532 m 147986532 147896532 | 194765832 147659832 | 147658932 | | 147658329 146987532 | 146897532 | — 149678532 / 146798532 146789532 \ — rn 198745632 189745632 | , 187456932 | 187456329 | ( 179845632 | 178945632 ( 178459632 \ | 174563982 | 174563892 | 129854367 | 128954367 128549367 | 125436987 | 9 \ \ 125436897 se —— SS =< 192543678 | 125439678 125436798 \ = 125436789 | 124987653 | 124897653 : 3 124876953 124798653 | 9 124789653 129476583 124765983 | 3 124765893 \ 124698753 124689753 | bo 124967853 124679853 3 | 124678953 WE 129874563 128974563 | 3 128745693 | 127984563 | 127894563 127845963 \ 192745638 | 127456398 | 127456389 | D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS”. —= 194587632 | 145987632 / 145897632 145876932 \ 145876329 145798632 145789632 149856732 148956732 145698732 145689732 194567832 145967832 145679832 S S 19 or | 145678932 \ 145678329 | 145693287 145632987 | 145632897 —_ SSS 194563278 145963278 —_— 145632798 \ 145632789 | 148973265 148732695 147983265 147893265 149873265 | u Co 147832965 \ 149328765 143298765 143289765 143287695 143279865 143278965 | 194327658 | 143276598 So == ww | 143976589 \. mm _— mn 129458763 | 124598763 124589763 124587693 124579863 124578963 124985673 124895673 124569873 124568973 129456783 4 4 b 124596783 | 124567983 124567893 198765234 189765234 157695234 \ 187652349 179865234 178965234 176598234 | 176589234 176582394 169875234 | 168975234 196785234 167985234 167895234 167852349 165298347 165289347 169523487 165234987 | 165234897 196523478 165234798 165234789 4* 24 | 143269875 | | 143268975 | QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION in À —— | 138976542 bo 149326785 143296785 143267985 143267895 198743256 189745256 | 3 187432569 179843256 178943256 | 3 178432596 | 174398256 174389256 9 194325876 143259876 |, 143258976 143258769 | 143257986 |, 143357896 | ~ 149328567 | 143298567 | 3 143289567 143256987 | > 143256897 | © 194325678 143259678 ri 143256798 143256789 139876542 | 138769542 138765492 137986542 9 137896542 137659842 | 137658942 | SSS ee 159876234 158976234 158769234 158762394 157986234 | 157896234 | 156237894 —— ee 198567234 189567234 185672349 156987234 156897234. 159678234 156798234 156789234 156782394 156923874 156239874 156238974 | 159623784 156237984 195723654 189723654 187236954 187236549 179823654 178923654 \ 178239654 192387654 123987654 123897654 123876954 123876549 123798654 123789654 123765984 123765894 ~ PS — — —_ = 19 D’UN PROBLEME x ee m ia LE 136987542 136897542 139678542 136798542 136789542 136785492 S —— = 198365472 | 189365472 | 183654729 | 136954879 136549872 136548972 139654782 136547982 136547892 135987642 | 135897642 135876942 135798642 135789642 139856742 138956742 138567492 135698742 135689742 135967842 135679842 | 135678942 — S 123698754 123689754 192367854 123967854 / 123679854 | 123678954 123678549 129836547 128936547 123695487 123654987 123654897 192365478 123965478 123654798 123654789 Y's 123598764 | 123589764 123587694 en — 123579864 123578964 192385674 123985674 123895674 123856749 | 193569874 123568974 123596784 | 125567984 123567894 — — En „GEOMETRIA SITUS’. 26 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 198763452 189763452 187693452 187634529 179865452 178963452 176394582 176345982 176345892 13452 168973452 196783452 167953452 2 | 167893452 ) SS 167834529 167349852 167348952 169345287 163452987 163452897 198347652 189347652 183476529 134987652 134897652 134876952 134798652 134789652 139476582 134765982 134765892 ee = = to 129876345 128976345 128769345 127986345 127896345 192763458 127639458 127634598 127634589 126734985 126734895 ee Wy 129834765 128934765 123498765 123489765 123487695 123479865 123478965 192347658 123947658 123476598 123476589 123469875 | 123468975 | 123496785 123467985 | 123467895 —— — ee = LS D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS”, 27 198723456 | 189723456 3 134698752 | , 187234569 | | 134689752 | bo me 179823456 134967852 | | 178923456 | k | 134679852 | 3 178239456 | | 134678952 | 178234596 Pia F h 139874562 192387456 | 138974562 | 3 123987456 |, 138745692 | 123897456 123874569 137984562 | 137894562 | 3 137845962 | TT 123798456 | 123789456 | 3 ee — — \ 123784596 | | Bo | 192345876 — 134589762 = 123945876 | | 134587699 | 123459876 5 { 134587692 care San | 93458976 | 134579862 | 5 123458769 134578962 | ~ 123457986 | 5 198345672 | 123457896 | | 189345672 | 3 ae | 3456 29834567 | , en: 128934567 | 2 en | 2 193498567 | NA OT 123489567 | z 134569872 | 5 | 134568972 | © oe | 9 23456897 139456782 | : 789 192345678 | Bars | 123945678 / | 134567892 193459678 5 a 123456798 123456789 N, =68x2+64x3+34x4+8x5—=504 Remarque. C’est de ce tableau pour n = 9, que M. ScHoUTE et moi avaient tiré à coup d'oeil les nombres de groupements pour n = 10. Ce n’est que beaucoup plus tard (voir pag. 15) que j'ai construit dans toute sa longueur le tableau suivant pour n = 10, afin d’en pouvoir déterminer les nombres de groupements pour n = 11. QUELQUES 1109876543 2° | 19108765432 19871065432 198765104392 1987654 3102 18109765432 1°8 9°10°7 6°5 4°3 2° to 18761095432 | "8769105 4°3 2 | 1 8°7 6°5 £10°9 32 1°8 765 49°10°3 9° | 1 8°7 65 43 2°10°9 18765432 910" | 171109865439 | 7910865432 | nd 1°10°7 8 9 6°5 43 2° 178109965439 17891065432 17896510432 17896543102 | SE 17106598432 | 1 76 5°10°9 8432 17659108432 | ne 1°10°7 65 8 9 4°3 2° 17658109432 | 1765°8 9°10°43 2 | 176589431092 me 171065439 1765 Hot a zal 176543°10°9 82 | 176543910892 m 1°10°7 6°5 4 el 176543810992 1765438 9°10°2 | ee REMARQUES SUR LA or (er to to to to D bo wr or bo or bo © to tO Ge bo nm = 10 SOLUTION 192109876543 | 12910876543 1298 7106543 129876 5104 an 192987654310) 12810976543 | 1 2°8 91077 6543 | 12876109543 | 192876910543 | 128765 41093 | 128776549103 12710986543 12791086543 ne 1 210°7 8 9 65 43 12781096543 | 12789106543 Te 12789654310 | 12710659843 | 12765109843 12765910843 | 1 2°10°7 658943 12765810943 127653 91043 12765894 310° | —— 1°10°92765438' | 19102765438 | 12710654398 | 12765104398 | 1°2 Zee 12765439108 ae 1 2°10°7 65 43 8 9 [12765438109 12765438 910° 12789651043 \ 2 2 9 3 or to CS to te to & bo 19 & IO & D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS’. 29 16109875432 | 3 12610987543 | 3 eue 5432 3 2 12691087543 |3 2 1'698 710 cae | 5 \ 19698 7103 43 | 4 Mies 810975432 |, 2 | 1268109754 wer 2 1168910752327 3 12689107543 | 3 11096785432 5 | 1271096 78543 4 noise, 3 12 9°10°6 785 4 BE, 3 19678510432 2 12967851043 | 2 19678543102 2 12967854310" 3 16710985432 |, 6 12671098543 |, 5 16791085432| 2 12679108543 | 2 {164107895432 2 12610789543 | 2 | 167810954392 )3 2 12678 109543 | 3 2 1°6 789105 43 2° 6 1 26 78 9°10°5 4 3 | 5 16785410932 |, 3 12678541093 |, 3 1°6 785 4 9°10°3 2° | 5 12678549103 | 4 | eN nn | 16785432109 |, 4 12610954873 |, 3 6785432910 | 4 19691054873) 3 1610954873215 3 ee 4109873 | 4 26910548732 | 3 12654910873 |3 2 12654987103 | 3 1 6°5 4°10°98°7 32 4 1654910°S 732 2 12654810973 |, 2 pe le 4 12654891073 | 4 16548109732 |, 2 12109654783 3 1 6548910732 | 4 12910654783 3 129 LOTS 2 1109654783 2° 4 19965478310) 3 19106547832 |, 3 19651047832 2 (1965 4710983 | 9 4 19654783102 2 12654791083 | 2 16547109832" | 9 5 12654 1107893 | 3 16547910832 | 2 12654781093 } 3 2 1265478910 | 4 165410778932 | 3 ER) ix 16547810932 3 2 fe 1654 el 5 a: 832109 | 9 3 6547832 910 | 4 ARCHIVES VIII. 5 30 Pp, QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 16°10°954328°7 | 169105439287 | 165410939287 | 165491039287 | 1 65 43 2°10°9 8°7 165432910 7 165439298710" 165439281097 | 9 ww 9 1654328 9°10°7 | © ‚141096543278 | 19106543278 | 19651043278 19654310278 1165432 710°9 8° | 16543279108 | 165 #3210789 | 16543278109 | 165432 78 910° | 151098764392 15910876432 15987106432 | 15810976432 | 15°8 9°10°7 6432 | 1°10°58 769 43 2° 158761099439 158769104392 | 15876943102 | 15710986432 | 15791086432 | — 15°10°7896°432 | 15781096432 15789106432 | — ms 3 D A 3 1 25109 8°7 6°43 125 12598710643 | 12581097643 | {12589107 6:43 | 12105876943 125876110943 | | 12587691043 12587694310) 25 12109856743 12910856743 | 1298 5671043 12985674310} | ‘8 9°10°6 43 12810956743 1 2°8 9'105 6 7 43 12895610743 | 12856741093 | 9 12856749108 | 12105698743 | 125610°98°743 12569108743 125698 71043 | 12569874310 | 12568109 743 | 12568910743 | 91087643 |: bo 12571098643 |, 12579108643 | ~ | 125107789643 | 12578109643 | 3 1 7 ww» ww Pa D'UN PROBLEME | 1109856 743 2° t 19108567432 198567104392 198556743102 b b 18109567432 1591056743 2° 189561074392 18567410932 1856749103 2° 1856743 2°10°9 18567432 910° 1110569 | 156109874392 BEE 15698710432 | 15698743109 | 15681097432 | 156891074392 bo | 1510967843 159106 78432 15°6 7°10°9 8°43 2 15679108432 11056 789432 15 6°10°789432 15678109432 15°6 78 910432 156789437102 1567104398 15674 s 10982 | 156743 9°10'8 | 11056743892 15610743892 | 15674381099 1567438 9°10°2 87439 | | to 4 2 DE LA „GEOMETRIA SITUS”, PE = | | | | \ 1201096 Toe: 125 12 5°6 710°9 843 | 12567910843 | 12°10°567894 125610°78943 12567810943 1 25°6 78. 9'104 3 12567894 310° "3 | 110992567438] 191102567438 | 12567104398 | 12567431098 12567439108 | 1210567438 9 12561074389 | 12567438109 1°256743°8 910° me Loi Ke 1910872543 19871025 43°6 ee 18109725436 | g 189107725436 | — 187921054369 I 18'725 43 6°10°9 18725436 910" 17109 82543°6 | 1 7) ill, 17810925436 178 9°10°2 5 4 3°6 17825104396 17825431096 | 17825 439106 | 9 10825436 | 3 & bo bo w 5* 31 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 1 5°10°9 843762 15910843762 | 3 15984371062 158109943762 158910437692 | 3 158943107762 | 151043987692 1543°10°9 8°7 62 154 es 15439871062 iS 9 15438109762 15 43°8 9107 6°2 1°10°5 4387692 154387611092 | 3 15438 769°10°2 15437109862 |, 15437910862 | ~ 15104378962 5407 806 |, 15437 1810962 | 154378 9°10°6 2 1°10°9 854367 2° 19108543672 | 3 1985436 7°10°2 1 8109 5 4 1°8 9°10°5 4° 18954 3672 9 679) 3 3 6°10°7 2 1 8541093672 1°8 5 4 9°10°3 6 7 2° LS] 185423672109 | 18543672910 | 1°10°5 43 698 7 9° 15% 36 10°9 S°7 2 | 7 154 es Ae | 1543°698 7109 15436810972 | 15436891072 | ~ rr nn —_ | 12510984376 | 12591084376 | 3 12598 437106 | 12581094376 19589104376 | 3 12589431076 EE 1109254387 6° | 191025483876 | 10439876 54 3°10°9 876 | 39108 7 6 43987106 . to bo 1 O1 ON cS ee ee to bo on ie 2543810976 2543891076 | | © 1 j' 12105438769 | 1254387610°9 | 12543876910 | w 125437109 8°6 | 1254379108 6 | bo 12510437896 a 1954378109 6 | 1254378 9106 | 12109854367 I 12910854367 129854 are le 1 2°8 9°10°5 43 6 7 ee‘ 54109367 | 12 : q 12854 9410367. 7 2105436987 25436109 87 | 4 3 6 9°10°8 7 3698710) JE ES rs bo = ts OU Qt = = 12543681097 |, 12543689107 | ~ to to Ge m wu LO La 3 19 & bo io & = PS a D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS” 15104396782 | 2 | 11092543678 | 15431096782 | 3 3 19109543678 | | 15439106 782 | 3 12510439678 15436710982 |, 4 19543109678) 3 (15436791082 | 2 125 239106 78 | 1°10°5 43 67 89 9° n 2543671098 |, 15436107892 |, 2 12543679108 | ~ 15436781092 2 15 a er i 12105436789 dus (sans |, 14109 8°7 6532 4 ee 14910876532 Ik, 2 \ 12543678910 14987106532 | 2 Pi 1498765103 2° 4 12 4°10°9 87653 12491087653 |, 14810976532 |, 2 (2498710653 | 14891076532 | 4 12°498765°103 14876109532 |, 3 12481097653 |, 14876910532 | 3 19248 9107 653 | ~ "14710986532 |, : 3 le ia 4791086532 | 2 [2487691053 | ” 14107896532 3 124 471098653 | 9 I 1181006332 |, 2 es 419108653 | ” 14789106532 3 14 don À 4 12410789653 12478109653 |, 1109476583 2 4 12478910653 wa ee aR 3 12478965103 19476583102 2 12109476583 | 1471065 9832 | 2 | 12910476583 | 3 (°476510°9839)} 3 5 129476358310" | 14765 01083 2 | 2 12471065983 121006589327] 3 (12476510983 | 3 14765810932 le 2 12476591083 1476589103 2° 5 124 AU ale 14765832109 |, 3 12476581093 | 14765832910 | 4 ah orb to w os Ww bo w 34 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 14610987532 14691087532 14698710532 | 14681097532 | 14689107532 | © 141096785532 149106 78532 1496785103 2°) 14671098532 | 14679108532 | 14610789532 14678109532 | 1 4°6 7°8 9°10°5 3 2 1°10°9 8°7 4 19108745632 19871045632 | 19874563102 | cl) 18109745632 | 189107456392 | 18741056932 | 185745610939 1°87 45691039 1574 1'874 5632109 | 5632910 | 1 7°10°9 8°4 à 32 | 17910845632 | 1107894563 2° 17810945632 | 1 7°8 91045632 | 17894563102 | 178% 1784 5109632 | 45 9°10°6 3 2 5 | ES Ow cS Wz 12 4 6°10°9 875 2 a ee 75 1246987 1053 mal 12468109753 | 12468910753 | 12410967853 | 12491067853 | 12496785103 | 12467109853 | 12467910853 | 124 4610778953 | 12467810953 12467891053 | 12°10°9 87 4 5 63 12910874563 | 192987104563 | 12987456310) 192810974563 12°8 9'107 4 5 63 12874105693 L28745 61093 19874569105 | a —— °10°9 84 : 9°10°8 4 5°63 45 6 3 12 12 =] [1 121077894563 12781094563 1278 9°10°4 5°63 127894563°10° 12784510963 | 12784591063 | 3 2 9 bo D'UN PROBLEME 17°10°45°6 3982 17456310982 | 3 17456391082 » | 107456389 2° 1 745 638° 10°92 745638 9102 1°10°9 4 4587632 | 19104 5°87 632 3 ee ao 1°4 5°10°9 8°7 6% 37 | 14591087632 | 3 14598710632 | 14581097632 |, 1°4 5°8 9107 6°3 9° | © 141105876939 145877610939 | 3 14 58 7 6 9103 2° 145876392109 |, 14587632910 | | 14571098632 |, 14579108632 | © 14 5°10°7 89 63 2° 14578109632 | 1 45 7°8 9°10°6 3 2 | 141098567392 14910856732 | 3 1°49 8 5°6 7°10°3 2° | uz 4810956732 14891056732 | 3 14895610732 | 14105698732 145 6°10°9 8732 14 14 & 569°10°S 732 ‘45698 7103 2° era 14568910732 | DE to © Cy to = to w ot or O5 to Orr w bo © to bo Orbs w ow „GEOMETRIA SITUS”. 11092745638 | 5 19°10°274563'8 | 12710456398 12745631098} 3 1974 15639108 | | 2107 > 5 6389 12745638109 | 3 1°2 7 4 a 78 910° | 12°10°9 4 5 8°7 63 129940458763 } 3 12945876: 310° | 1 2°4 5°10°9 8°7 63 12459108763 } 3 124 59871063 | 2458109763 | 9 458910763 | 12410587693 12458761093 | 3 1 24 5°8 7 6 9°10°3 | 12457109863 | 5 12457910863 | ~ 1 9°45°10°7 89 63 12457810963 | 3 124 L578 91063 | 12410985673 12491085673 | 3 1 249 8 5°6 7°10°3 | 124 481095673 | 12489105673 | 3 N 19 Ss 10569873 56109873 |, 2456910873 5°6 9 8 7103 to bo —_—— be je m Ra = bo or or 5 6810973 | 9 6891071901 U 09 i to bo OF bo w mor ot 19 oe IO bo © CS bo LD ho Hm bo © bo Co bo Le QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION [12109456783 129104 5°6 78 3 1294 D 1°10°9 4 5 6 7 83.2 4 1 910% 567839 | 3 192451096783 | 194567 2. 10°2 | 9 19459106 783 | 142510967832 |, 5 12456 7109 83 | 1253100288 3 12456791083 | 14567109832 | , 6 124 ER 93 | 14567910832 |” 2 12456107893 12456781093 | 14105678932 2 1 24 5°6 78 9108 145610778932 | noe B = 1°10°9 8°7 6523 4° 191087659234 198710659234 198765109234 14567810932 14 5°6 7°8 9°10°3 2° 14567832109 |, 3 | 1°45°6 783 2 9°10" | 5 18109765234 1°8 910765 234° orig 19 SS EES Bee ae A 2 | 14561093287 (3 3 14569103 2°87 3 1 8°7 61095234 | | [876 9105234" | 14563 ua 4 114563291087 2 18765210349 we 4 18765234109 > : 187652349710" | | 14563281097 |, 2 5 | 14563289107 | 4 [17409865234 | | 17910865234 | 11094563278 | 3 19104563278 | 3 4 Su 19466310975 | 2 17810965234 17891065234 | 145109639278 |, 4 17896510234 4591063278 | 3 1710659823 4 a el 5 14563279108 | 2 17659108234 | 3 1107 65 8 9 2 3 4° 9 176581109234 5 1765'S 9°10°2 3°4 14 ha 89 thd 145 ARS 10°9 } 3 Pie 78 9°10° 1765823109 4 \ 1765823 910% 19 to ts ot bo r 176510989234 |: D'UN PROBLÈME 1 410°9 8°7 3 2 6°5 149108739265 1498 7°10°3 2°65 14810973265 1 4°8 9°10°7 3 2 6°5 148739 61095 148739 69105 147109 83 2°65 14791083265 141077893965 147810939265 14789103 2°65 147839210965 1478329106 5 147839296510" 14910323765 143 2°10°9 8°7 6°5 143929108765 143929871065 14399876 510 14328109765 143 2°8 9°10°7 65 143287 61095 1 43 987 6 9°10°5 14397109 8°65 143927910865 143 2107 8 9 65 143278110965 143927891065 14327896510 ARCHIVES VIII. | ——— — ——— en — ——_ 3 to = 1 4109 3 2 8°7 65 | 4 19 DE LA „GEOMETRIA SITUS”. 1 6°10°9 8752 34 | | 1108759 3% "6987103234 | | L6S8°10°9 16°S 9°10 15234 75234 | 1°10°9 6 7 85 23 4° | 1 9°10°6 785234 196785102 34 | 1°6 7°10°9 8°5 2 3 4° 167 91085234 16107895234 16781095234 T8 9105934 1°6 16785210349 | 1678523 4°10°9 16 785234 910° | 165921098347 16529108347 16529834 710° 16528 9103 4 | 16528109347 | 7 165289341077 | 161095923487 | 16910523487 16521034987 165234109 87 | 165234 491087 | 16523498 710° 16523481097 | 1652348 9107 | we ww. st te to bo Ww = Ow bo w Ge AW bo Ce OS 19 Ww IO SI 19 = Ps QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 1°10°9 4 4327658 | 1 9°10432765'8 194 31027658 | 14327106598 (432765109 8° 14327659°10°S 4°3 9°10°7 658 9 4327658 10°9 397658 910° 14326109 8°75 14326910°875 1 4°3 2°6 98 7°10°5 143268 10°9 1432689710 I —] > 5 1 4109326 785 149107396785 | 1 4°3 2°10°9 6 7 85 1 432 9°10°6 7°85 14329 6 78 5°10° 1 4326710985 | 143926791085 | 14396107895 | 14326781095 1 43 2°6 78. 9°10°5 | 110°9 8743956 19°10°S 7 4 13256 | 1 98 7°10°4 3 2 5°6 | 1987431025 6 181097439256 | 1°8.9°10°7 43.25 6* | 18743 210569 1 87 4 39 5 6 10°9 18743256 910° = 3 ~ we IS w wur ——$_ —— ———— © 11096523478 tit 1 9°10°6 5 2 3 4 78 196510923478 Ve 165234 71098" | 5 16523479108 | — 16521034789 | 165234107891, 16523 4 7 8°10°9 16523478 910° 1 5°10°9 87 62 34 15910876234 | 15987106234 15810976234 | 15°8 9107 6234 | ~ 110587692334 | 1587610923 4 1 5'877 6 910°2 3°4 158762 3°10°9 4 | 9) 1587623 910% | 15710986234 | 15791086234 | 15107896234 | 15781096234 15789106234 | 11098567234] 19108567234 19856 7102 4 | 18109567234 | 1°8 9°10°5 6 7 2 3 4° 18956107234 | 185679210349 | 18567234109 (8567234 19:10 | = = ko ww D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS” 17109843256 |, 4 11056987934 17910843256 | 2 (sei ex | 15691087234 1107894325 6° 17810943256 | , 178 91043 2 56 17894310256 | 15698 7°10°2 3°4 | | ee lo 15689107234 | to & to Ww 17 843 2 5°10°9 6 1784395 9°10°6 © So Ge 1 5°10°9 6 782 34 | 159106 78234 | to 17104398256 3 15°67 1098221 Ib. 174341098256 )3 3 15679108234 | ~ | 17439108256 | 2 1105 67 89 9 3 4° RE 3 15610789234 |, 17438109256 13 2 15678109234 | 17438910256) 3 156 789109 34 | 11094325877 6° 4 Se Sag: 19104325876 |3 3 3 He a 19431025876 | 2 Er 1056923874 | en 5 15610923874 | 3 14325910876 {3 2 aan | 14325987106 | 2 | 15623109874 | 14395810976 | > 2 15623910874 3 143258914076 | 5 DEEE UE 1 4 3921058769 | 3 Labs My das | 14325876109 '3 3 156°23°89°10°7 4 | 114325876910 4 1510962378% |, 14325710986 |, 3 El ez eres) 14325791086 | 2 | SER 156237109 84 | 9 15623791084 | 1432510789 6° 4 (ASE MRSUIDIIE RS | FE AQ R47 RO 4 14395789106 3 15623107894 15623781094 |, 1562378 910% | Show & bo ww = 40 A QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 141109328567 | 9 149103928567 | 1 4°3 2°10°9 8°5 6 7 14 2008367 3 14328109567 | 14328910567) 3 14328956107 | 14321056987 14325 6°10°9 8°7 | 14325691087 | 14395698 710° | 25681097 |, 25689107 | | 110943256758 | 191043925678 | 3 194 31025678 | 14325109678 |, 143259106 78 | ~ 12332/5:6.710:9182 5 14325679108 | | 143 2105 6789 14325610789 | 143956 78109 1°43 2 5°6 7°8 9°10° Lo 1 3°10°9 8°7 65 4°2 13910876542 13987106542 139876510492 FN 13810976542 | 1 3°8 9°10°7 6°5 138761095492 1 3°8 7 691075 4°2 | <3) 110387654929 138765410992 | 3 13876549102 bo m Ce Æ © Or bo wir © 1109872365 4 191087923654 1987102365 4 Fe 18109723654 | 9 18910723654 | ” 18723610954 | Q 1872369105 4 | ee 18°7 23 6°5 4°10°9 aen 17109823654 | 17910823654 | © 110789238654 17810923654 | 3 1789102 3654 178231109654 17823910654 | 3 17823965 104 | 11092387654 |, 19102387654 | 1°2 3°10°9 8°7 654° 12391087654 1239871065 al 1239876510 | 12381097654 | 12 3°8 91077 6°5 4 | 9 bo 12387610954 | 1°2 38769105 4° | bo 9 12103876549 12387654109 | 3 2387654910) 5 w Qt i & 19 137 137 10986542 91086549 | D'UN PROBLEME © 1 3107896542 1378 balg 137 ( 1376 m — —— 1376 | 1361098754 1369 13°698 7°10°5 4 | 1368 10°9 13 6°8 910° 131096785492 13 9°10°6 37851042 136107895 136781095 13678910 110367954 13789106542 1378965°10°42 10°9 8°5 42 1096542 | 10659842 55109849 | 3 5 9°10°8 49 13107 6589 42 58109429 | 3 13765891042 © ) © 1087542 | 3 19 So 7542 7542 78542 | 3 t mes Q 49 42/3 42 9% 136785410992 | 3 1367854 110983654792 191108365479 1983654 > | 181093654 1°8 9°10° 3 65 B) | 189365 8365472109 | 5472910 | 1'836 1396 1 3°6 7°10°9 8: 13679108542 9°10°2 | 7102 | 2 3 2 | 7 47 *10°7 2 9 Lo DE bo oreo te LA ” GEOMETRIA SITUS”. 123 T10°9 865 4 wey 12 3°10°7 596 5 4° her 1237891065 4 12378965°10°4 280160 1 3 3765-105 195716 5911 | 2310765894 12376581 123765 54 ) S'4 VS 4 yO 4 L123 6109 875 | (2200008735 12 3°698 710° | 12368109754 12368910°754 1°2 3°10°9 6 7 12396785 1236 123610785 (PONT 1°2 3°6 TT 1°2 3°6 7 ‘854 1921036785 "59'104 4 11092367854 1 9°10°2 3°6 7°8 5 4 s5 4° 1239106 7854 "10% )5 > 4 1 2°10°9 8°3 6 5 4 1291085654 12983654 1281093 65 4 5 1 2'S 9103 6 12893654 47 10° ea 7°10°9 8°5 4 12367910°854 4 S109 5 4 78 9'10°5 4 9 1236785 4°10°9 910% 7 7 | | | | = ue to © rw ot bo Os to to ww ot Or mw 8 41 42 U —— QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 13610954872 | 13691054872 | 110365498792 1365 410°9 8°72 | 136549°10°S 792 | 135654987102 13654810972 | 1365 48 91079 | 13109654782 | 13910654782 15965104782 | 35 47°10°9 8°2 | 54791082 | 110336547892" 136 es 899 ts; 1365478 10°92 Ki 1365478 9102 13 5°10°9 87642 | 135 91087642 135 98710642 | 139581097649 | 13 5°8 9107 642 | 1310587694 | 13587610942 13587691042 | 3571098642 | 3579108642 | 78109642 135°10°7 89 64 | 135 13575910 4 a | = | mm ee to to to = ww QUo a = 12361095487 | L2369105 487 | 192103654987 236° 4°10°9 8°7 | 2365491087 | is 2365498 710° 12365481097 |, 1236548 9107 | © 111092365478 | 5 19102365 ATS | 12310965478 19391065478 | 3 : 2396510478 1°2 3°6 5 4 7109 8° | 12365479108 | 19 192103654789 12365 me | osn 12365478 910° Dn 12 3 5°10°9 8°7 64 An 12359108764 re 12358109764 |, 123589107 64 | ~ ae 1235876109 4 1235 enten 12357109864 |, 12357910864 | — O78 964 ee 8°10°9 6 4 39106 4 val TT CH RSC = D'UN PROBLÈME 1 3°10°9 85 6 7 4°2 139108 5 6742 139856710492 13810956742 1389105 6 7 4°2 138956°10°7 42 1103856749 2% | 13556741092 | 13856749102 13105698742 13561098742 13569108742 135698 71049 — "Ss b 13568109742 | 135 68 910°7 4 = 13510967842 | 1359106 7842 | 135 135 T10°9 ane 2 | 79 10°S | 13105 6789 135610778943 13 peasy lores 135°6 7°8 9°10°4 = ie to to rs —— nn 1°10°9 87 634 191087 634 198710634 1987634 510" — = = = 1S to to 19 18109763452 1°8 91076345 2° 1 8°7 61093452 18 76910345 2° 18769341052 157634592109 | 187634529410 | En DE m bo bo Co ve bo bo oF or ro LA SD 4 „GEOMETRIA SITUS”. 11092385674] 4 1910°23°35674 | ~ 1°23°10°99 85674 12391085674 12398567104 a 12381095674 12389105674 1238956107 4 nn 12103856749 12385674109 } 1°23"8 5 6 7 49°10° 123105 69 8 7 4° 123 56°10°9 8°7 4 1235691087 4 1235698 710% 1235681097 4 1235689107 4 3 5°10°9 6 7 8% 359106 7°8 4 12356 7°10°9 8°4 1235679108 4 12310567894 123856107894 12356 781094 1235°6 78 910% u —— © 1210987 6345 129°10°S 763 45 5 En: 71063%& 12987634 5410 m nn 12810976345 12°8 9°10°7 63 4 5 1287691034: 12876109345 | 5 12876934105 | to or RO bo KB 19 bo SI En bow w 9 o Lt QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 171098633 ene 17910863452 | — { 1110789634 en 178109634591, 17891063 4 Aa 17896345109 17631094582 |, 17639104582 | ~ 1 7°10°634598 eae 17634510982 | 3 esse 1°10°7 6°3 4 seta | 3 17634581092 176345891 Dar 16109 8734 1 69108 7 3 4 ee 1698734107 ot ts bo bo a —_— bo | 16810973459 168910773459 | 1109678345 2° 19106 783 4 De) 19678345102 1°6 71098345 2° | 16791083452 | 161077893452 | 16781093452 | 1°6 78910345 2 | 167893410592 167834 52109 | 5 1678345290 | ~ 16710349852 | 16734109852 | | 167 34910852 | | 16107348952 167 3481095 ZE 16734891052 wy | | | | I ze 127°10°986345 | 12791086345 | 121077896345 1278109634 4 12789106345 | 12789634510") 111092763458 |, 19102763458 | - 12763109458" 12763910°45°8 to 12710634598 | 12763451098 | 3 12763459108 | 12°10°7 634589 12763458109 1'276 3°& 5°8 910° en — N | 12691087345 | 12698710345 | 12698734105 = 12681097345 |, 126891077345 12°10°96 78345 12910678345 | 3 12967834510 | 12671098345 | 12679108345 | * 12610789345 | 12678109345 | 1 2°6 78 9°10°3 45 | 12678934105 1 2671034985 12673410°9 85 12673491085 nn — uz 2 6°10°7 en en 5 | 1267348910 | 3 1810934 | 1348109 D’UN PROBLEME DE 16109345287 | 16910345 2°87 16934105287 16°3 45 2°10°9 87 1634599108 7 166345998710 16345981097 1 6345 2°S 9°10°7 11096345278 1 9°10°6 34 BP) Jits) 19634510278 16345271098 163459 79108 8°10°9 RS OOR Ko bo 19 = I = 1°10°99 8 3°4 7 65 2° 19108347652 | 19834710652 19834765102 | 1°8 9°10°3 4 7 65 2° 18934107 652 18347652°10°%9 183476 652910" 1034987659 1 3 4°10°9 8°7 65 2 1349108 7652 13498710652 13°498765°10°2 7652 1 3 48 9°10°7 6°5 2 13487 6°10°9 5 2 1348 769105 2 ARCHIVES VIII. N Ze | | ‘10789 | | | 7652 | ee 3 rn m 19 w LA „GEOMETRIA SITUS’. 1210983476 1291083476 1298347 1065 1 129834769510) 12810934765 | 12891034765 128934107 65 | 12348109765 | 9 3 4°8 91077 65 | 12348761095 | 12328769105 | 4 7°10°9 865 | 47910865 | 12103478965 12341078965 12347810965 12347891065 12347896510 | 191092347658 | 19102 3:47 6 5°8 | 12310947658 | 12391047658 | 9347106: ar 5 3°4765°10°%9 8° 123476 12103476589 12341076589 1934765 8109 1°2 3°4 7 6 5'8 910° 12103498765 | 1934 oe ee 1234910°8765 1234 il 1°23°498765°10' | 5 9°10°8 | or 4 bo © a 45 46 Pr QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 134710986592 | « 13479108652 | 1034789652 | 3 4°10° 0789659 | 3478109652 34 r'sur106 5 2 | 3478965102 | 13109 4 1 3 9°10°4 76582 | 716582 | 134 471065982 | 13476510982 | 143476591089 | 191034765892 134107765892 | 134765810992 | 13°47 6 5°8 9°10°2 | 13461098752 | 1346910875 13469871052 | | 13468109752 | | 13468910752 | 110334967859 1 34109 6 7852 1349106 7852 13496785102 nn { 13 4°6 7°10°9 8°5 2 13467910852 1346107 8952 13467810952 1 34°6 7°8 9°10°5 2 1310987 4 5 62 | 13910874562 ‚13987104562 13810974562 { 1389107745 6°2 11038745692 13874105692 1387 45°6°10°92 1 3°87 45 6 9'10°2 PS = En Wa 12346109875 12346910875 1234698710 | 1234681097 Dll 5 1234 5 | / 6°8 9°10°7 5 12103496785 123841096785 | 12349106785 | 192349678510) 5710985 | 9 794085 | | 12346107895 Ne 12346781095 | 19346 78 9105 (5 Hee es rae 191087923456 he 18109723456 | 1'8 91072345 6° | 9 bo 18721034569 | 18723410569 18723456109 1°8723456910 | 17109823456 | 5 17910823456 | 1107892345 6° 17810923456 | 3 1789102 34 5°6 | 17823109456 | 9 178239104 5°6 | 17823451096 | 9 17823459106 | iS & oo D'UN PROBLÈME DE LA ,GEOMETRIA SITUS”. | 4137109 84562 | 13791084562 | 1 3°:10°7 89 45 6°2 | 13781094562 137°89°10°4 5°6 2 | 13784 | 13784 510962 | 591062 | 1310945 13910458762 | 1 3:4 5°10°9 8°7 6°2 | 13459108762 13459871062 | 13458109762 | 13% 5°8 9°10°7 62 | 11034587692 134105 87692 134587 61092 | 13°45°8 7 6 9°10°2 "10°8 62 | Fa SAONE | 810°9 6 2 eure 11095345672 19105345672 19 834 5°6 71072 15109345672 { 18910345 6 | 18934105672 | 18934561072 | 13457109862 | ae = = 18345672°10°9 | 18345672910) iS So to te En | | | 110992387456] 191022387456 | 12 3°10°9 8°7 45 6° | 12391087456 12 4 56 | 12381097456 | 1°2 3°8 9°10°7 456 3398710 103874569 387210569 | Zi 74 bo bo 387456109 30 5 6 9°10° = = = = ° to bo 1237109 84 5°6 | 12379108456 | 12310789456 | 12378109456 1237 ae 1237851096 | 12378459106 | 1°10°9 9 3 4 5 8°7 6 | 19102345876 | 1°2 3°10°9 4 5 8°7 6° | 12391045876 | 1°2 34 5°10°9 87 6 12345910876 12345987106 | 12345810976 | 1°2 3458 9°10°7 6° | 12103458769 12341058769 iow 5876109 | 1°92 3°4 5°8 7 6 910° 2345710986 | 5791086 | 4510789 6° 12345781096 ee An bo = to & or we bo bo = 19 47 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 1 2°10°9 83 4 a 3 12910834567 13 2 129834 156 710: | 5 12810934567 2 11034985672 3 19391034567 |, 98 el 1 1289341056 7 9 18491085672 | 9 12893456107 | 9 13498567102 | 4 PoE 2 134 481095672 | 2 1234109 85 6 7 3 134891056723 3 12349108567 \ 2 13489561072 | 2 123498 5°6 710° 5 {1034569872 | 3 12848109567 | 9 [ee ris60873| 9 12348 9°10°5 6 7 33 = 134 13 wo 72 | 2 i 13°45°6987°10°2 | 4 12°10°3 456987 2 12341056987 2 13456810979 | à 12345610987 )5 3 13456891072 | ? 3 12345 691087 | 2 12 345698 7°10° | 5 13109456789 |, 3 ; Du 13910156780 |? 4 12345681097 |, 2 123456891077 | 3 13451096782 |, 4 WIR NE 13459106782 | 3 111092345678 | 3 19102 3456 78 | 5 13456710982 |, 5 MAA EAS. 13456791082 | 9 12310945678 |, 4 1239104 5°%6 78 | 4 11034567892 3 CRON Tees i [3105 67899 | 5 123451006781 5 13456107892 5 9 123459106 78 | 3 134567 751002 | 9 h 134 5°6 78 9:10°2 5 2345671098 | , 6 12345679108 | 2 12103456789 | 2 12341056789 | 2 12345610789 (5 2 12345678109 9 1°2 3°4 5°6 7°8 9°10° 6 Ny = 220 x 2 + 186 x 3 + 82 x 4 + 16 x 5 — 1406. Le tableau pour n= 11 a été supprimé, parceque celui-ci oceu- perait un espace presque trois fois plus grand que le tableau pour n=10, et ce dernier avait déjà une étendue fort considérable. D'UN PROBLEME DE LA ,GEOMETRIA SITUS”. 49 Mais en revanche, j’ai indiqué partout par des points la place I du 11*°™° timbre entre les dix timbres précédents. C’est ainsi que j’ai trouvé par un calcul long et laborieux: N,, = 528 x 2 + 488 x 3 + 276 x 4 + 98 x 5 + 16 x 6 = 4210. On remarquera dans tous les tablaux précédents la parfaite symétrie des deux colonnes, à gauche et à droite. Par exemple, on trouve dans le tableau pour n = 5 à gauche les nombres 3 2; à droite les nombres 2 3. Et dans le tableau pour n = 6 on trouve à gauche 322 | 23, et à droite 3 2 | 223. BLT: En résumant maintenant les résultats obtenus, on obtient l’apergu suivant. n=3 IN, = 2 4 IX == 4 5 2x3+ 2x2 — 10 6 XB 6x2 — 10; 7 4X4t+10x3+ 10X2 = GE 8 8x44 26x3-+ 322 = 174 9 8x5+34x4+ 64x3+ 68x22 a= (IV 10 16x5+ 82x 4+ 186 X 3 + 220 x 2 = 1406 11 16x 6+ 98 x 5 + 976 X 4-+ 488 X 3 + 528 x 2 = 4210, ou bien, en écrivant seulement les „nombres générateurs”, indi- quant, combien de figurations chez n=p— 1 donnent 2 figura- tions pour n =p, combien en donnent 3, 4, etc: N= | 4 9 > 2 9 6 4 6 7 4 10 10 8 is) XS} 32 9 8 34 64 68 10 16 82 186 220 11 16098529716 718855528 ey 2 u v Evidemment les nombres générateurs « de la première colonne obéissent à la loi simple: 50 QUELQES REMARQUES SUR LA SOLUTION a EN Eu: 0 (pour n impair) | Quant aux nombres générateurs de la deuxième colonne, indi- qués par y, on voit immédiatement, que l'on a: Yn = (w= 5) ay A) et cela pour n pair et impair. Les nombres z de la troisiéme colonne ne suivent plus une loi tellement simple. Les quatre premiers offrent la régularité suivante, bien remarquable: 2 OS A X 0 zoden OX Bat te OND Zg=1lxy,+3xX2%, +6= 64 210 = 2 x Yıo Ar 1 x Lio m 6 = 186 ou bien, en substituant pour y, les valeurs, tirées de (2): 2, = 1x2, tt 6 3X + 8 7X% + 8 Pe, = il X Bio + 10 Q oo | Il On s’attendrait done pour n= 11 à 21 = 2X Yn + 9x 20 + 6 —282 (ou bien à zij = 17 x vj + 10), mais comme nous l’avons vu déjà plus haut, zj n'est pas = 282, mais seulement 276, et ce nombre est absolument exact, comme je l’ai pu vérifier par diverses manières. On ne sait done à ce moment aucune relation générale, don- nant les nombres générateurs z,, et cela se rapporte également aux nombres w,, v,, ete. Seulement je veux faire remarquer, que l’on a: (| 27 =Y5 +Yr 2 Uy = 27 + Zo — 6 Vu = Ug + Un — 28, où les nombres 2, 6, 28 paraîtront dans un tableau ultérieur. Les nombres générateurs ne permettent done point jusqu'ici de trouver la solution de notre problème. D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS”. 51 Remarque. Il va de soi, que l’on aura identiquement, étant par exemple: N, = 4x, + 3y, + 22, | . ’ et aussi Ni = Ben) la relation: 7 AG it Oy en a Zen Et de méme, comme Ns = 4a, + 3y, + 22, | t Na 1 e Pr To ar Ya 15 Zg =F Ug \ la relation : Ars OU Les To te Nasa Wan mais ces relations identiques ne ménent 4 aucune solution, ni partiale, ni complète EVE On pourrait calculer combien de figurations (p e. chez n= 6) ont le 2 sur la deuxième place (12....), combien sur la troisième place (1 2...), combien sur la quatrième place (1..2..), ete, et alors on trouverait le résultat suivant, remarquable à plus d'un point de vue. 3 il 2 4 . 2 0 2 4 > AS MEATUE 10 6 ORO ER Om ee 24 7 Zin SR ONG 24 66 8 CORE TS OI OOG 174 9 174 14 42 99 99 49 14 174 504 10 504 0 144 0 110 0 144 0. 504 1406 11 1404 81 332 114 172 172 114 332 81 1406 4210 On remarquera aussitöt trois régularités. a) Les nombres sont parfaitement symétriques par rapport aux extrémités de chaque série. b) Chez n pair, les positions 1.2, 1...2, etc. ne se présentent pas. c) Le nombre de positions 12 et letc.2 chez n=p est tou- jours = N,_ı On trouve p.e. 174 pour le nombre de posi- tions 12 chez n=9, et c'est justement le nombre total N, chez n = 8. 52 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION Il sera facile d’expliquer ces régularités. En premier lieu, je fais remarquer, que de chaque figuration comme p. €. SR 22 où le 1 est omis, résulteront simultanément les figurations Eee ou bien Ee EEL OAR On obtient done toujours autant de figurations avec le 2 sur p. e. la troisième place à gauche (le 1 non compris) qu’avec le 2 sur la troisième place à droite. En deuxième lieu, on voit facilement, que n étant pair, il reste- rait toujours, chez p.e. 1...2, entre le 1 et le 2 du moins une place, où un des chiffres des groupes 34, 56, etc. se présenterait isolé, de sorte que l'autre chiffre était en dehors de 1...2, et il y aurait un croisement défendu. Lorsque n est impair, p. e. = 7, le chiffre 7 pourrait se placer sur la place restante, et il n’y aurait aucun eroisement, parceque le 7 n'appartient à aucune des groupes 12, 34, 56. En troisième lieu on remarquera, que la figuration (n = 6) ee se présentera autant de fois que la figuration (8456) By car 4 toute figuration 2.... on peut toujours ajouter le 1. Or, le nombre total des figurations 2 (3456) étant évidemment égal à celui des figurations 1 (2345), c'est-à-dire 4 N,, il est démontré, que le nombre de positions 12.... sera également = N,. Et il en sera de même, d’aprés la symétrie déjà prouvée, avec 1.... 2. Remarque. Les nombres 1, 3, 14, 81 pour les positions 1.2 etc. chez n = 5, 7, 9, 11 semblent étre identiques 4 la moitié des nombres 2, 6, 28, etc. dans un tableau précédent. (Voir la page 50: z, = y; + y, — 2, etc.). V. Une troisième manière de groupement des nombres obtenus con- siste en ceci, que l’on classe les nombres d'après les deux premiers chiffres. On calculera donc les nombres de groupemens, commengants D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS”. 53 par 12, par 13, 14, etc., et on aura le tableau suivant, également interessant. 12 13 14 15 16 ge al 19 110 111 ENE nm — 9 | Nez: ll 3 1 1 2 4 2 I N | 4 5 4 2 9 2 | 10 6 10 ey dede: 24 7 9% 10 10 7 7 Ss 66 8 66 || 0a" DAN Sie Mb ae MA 174 9 174 66 66 49 49 36 36 42 504 10 504 174 174 | 108 108 SS ss | Sí Sl 1406 11 | 1406 | 504 504 | 304 304 | 242 949 | 991 991 | 262 4210 Ici, encore des regularités extrêmement remarquables. En premier lieu, le nombre de groupements, commencants par chen np, el ZN... Nous avons déja démontré cela. En deuxième lieu, le nombre de groupements, commencants par 13 (et de même par 14), se montre, chez n = p, égal à N,_.. En effet, chez toutes les figurations 13 .... le 2 sera placé tout au bout, car chez une position quelconque du 2, p. e 13 — 2, le 4 sera compris entre le 3 et le 2; mais chez 13—4—2 le 5 se placera entre le 3 et le 2; et chez 13—5—4—2, ou chez 13—4—5—2 le 6 se placera encore entre le 3 et le 2, et ainsi de suite, de sorte qu’aucun des chiffres ne paraitra derriére le 2, et ce chiffre 2 sera bien le dernier. (On se rappellera les entrecroisements défendus des groupes 12, 34, 56, etc, et des groupes 23, 45, 67, etc.). Or, le nombre de groupements (p. e. chez n = 6) 113 line 456) 2 sera évidemment égal au nombre de groupements 3(456), c'est-à- dire égal au nombre de groupements 1(234) = V, — N, ». Si les deux premiers chiffres étaient 14, on aurait nécessairement des configurations (p. e. chez n= 8) que voici: |: 6679 3| |2 (5678) = ARCHIVES VIII. 8 54 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION Le nombre de ces groupements sera donc égal a celui des groupements 4(35678), ou bien à celui des configurations 2(13 456). Et se dernier nombre, qui sera identique au nombre de groupe- ments 1 (23456), et =N, = N: Le fait, que le nombre de configurations 1(23456) est égal à celui des groupements 2 (13456), ou 3(12456), etc, lorsque au lieu du 1, le 2 ou le 3 etc. reste immobile sur la premiere place — ce fait est démontré de la maniére suivante. Chaque configuration, comme p.e. | 6 1 3 correspondri à une autre comme OF où le 1 a changé sa place, de l’extrémité gauche à l’extrémité droite. A son tour cette dernière configuration correspondra à bo Et celle-la à 6 Et ainsi de suite, de sorte que l’on aura successivement: | I 1 > [6 |: | 1 l il |: |: il | B 4 3 2 dont le dernier est redevenu identique avec la configuration originale. Les groupements to to S rs w S ES wa wn bo bo Lo — = Fee ot lor) résultent done l’un de l’autre, et cela aura lieu avec toute confi- D'UN PROBLEME DE LA ,GEOMETRIA SITUS”. 55 guration quelconque, de sorte que les nombres N seront totalement indépendants du chiffre, qui reste immobile sur la première place. En troisième lieu, en ce qui concerne le fait, que les nombres de groupements 13 et 14, ou 15 et 16, ou 17 et 18, etc. se trou- vent toujours égaux entre eux — ce n’est pas facilement à expliquer. La comparaison des deux derniers tableaux fait apercevoir encore une autre régularité. C'est que chez n=5, 7, 9, 11, ete. les nom- bres 1, 3, 14, 81, ete — indiquant les nombres de configurations 1.2 — sont égaux aux mêmes nombres, indiquant chez n = 4, 6, 8, 10, etc. les nombres de configurations, commencants par lésou 14, 15 ou 16, 17 ow 18, 19 ou 110, ete. L’explication simple est la suivante. Lorsque n est impair, on ne peut placer chez 1.2 entre 1 et 2 que le chiffre n. Or, la combinaison (p. e. chez n — 7) 172 (3456) se présente autant de fois que la combinaison 72 (3456) ou bien que la configuration 61 (2345) p. 6. 6 E |: 5 4. 18 Mais dans ce cas on pourra toujours replier le 6 vers l’autre extrémité de la bande: Et puisqu’on peut agir de la méme maniére chez toutes les configurations 61 (2345), le nombre de celles-ci sera égal au nombre de configurations 16 (2345), ce qui était 4 démontrer. Il existe encore une régularité entre les nombres I 1222378. 1147495381, 2004... indiquant combien de configurations commencent par In. 8* 56 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION Ces groupements proviennent non seulement des groupements semblables 1 (n — 1) d'une série de nombres précidente, mais aussi de certaines autres groupements de cette série, comme est indiqué dans l’apergu suivant. =) 1 = ST 8 9 10 | 504 174 174 _ 108 108 88 Fute een Se 36 EN ——_ —— 11 1406 504 504 ae 304 249 = 221 ae C'est-à-dire, des 8 combinaisons 17 par exemple, 3 proviennent des 10 groupements 12 chez n=6, 2 des 4 groupements 14, et encore 3 des 3 groupements 16. Dans le tableau suivant ces rela- tions sont mis en relief d’une maniére encore plus claire. D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS”. n= 4 1 > 1 Vig 6. Ss 7 3 2 8 | 3 9 | 14 7 10 | 14 id IE 36 12 | St 2 11 36 31 Torar. 57 Mais ici, comme dans tous les tableaux précédents, aucune loi évidente entre les nombres successifs. Remarque. Les nombres de groupements, commengants par 12, 13, 14, ete, sont parfaitement identiques à ceux des groupements, où le 1 est placé à l'extrimité gauche et le 2, 3, 4, ete. à l’extri- mité droite. Car chaque combinaison 16(234578) p. e. peut étre réduite a 6 (234578) 1, ce qui est identique a 1 (234578) 6. VAR De tout ce qui précède, on peut conclure, qu’il existe une quan- tité de relations entre certains composants — mais que la solution désirée du probléme ne s’est pas présentée. Seulement il est devenu clair, que le rapport entre deux nombres N consécutifs va en augmentant de 2 jusqu’à 3 environ: n= N= 2 4 10 24 66 174 504 1406 | 4210 to = = © Ht ER | to RO 19 Lo 9 = 1 En | 0| 9 | 7 , 9 ’ = = | bo : 1406 — 2,99 | | 58 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION Nop +1 Les rapport entres deux N de la forme sont done: 2p 50 = 975 1200020100 ’ . Na» tandis que ces rapports chez N, , sont: 2p —1 = 210 9 Gd 09 Peut-être ce rapport tend, pour n=o, à une valeur limite, p.e. a N, NS = nep log 2p En effet, ces logarithmes népériens auront pour n=7, 8, 9, 10 et 11 les valeurs suivantes: + = nep log 14 = 2,64 DR ih N — VP log 16 = 2,77 Ny = N, = Wp log 18 = 2,89 gee = up log 20 = 3,00, valeurs, qui s’approchent avec une certaine approximation aux valeurs trouvées 2,64 — 2,90 — 2,79 — 2,99. Le seul moyen effectif de trouver la solution demandée du probiéme serait d’ailleurs la synthése directe. Mais malheureusement cette synthese offre des difficultés de calcul tellement grandes, que déjà pour les nombres inférieurs comme n = 2, 3, 4, 5, où le calcul est encore possible, on ne peut pas entrevoir une loi quelconque. Je veux reproduire cependant cette partie de la synthése, afin que d’autres seront peut-étre si heureux de pouvoir continuer dans la voie indiquée. VAL a) Calculons en premier lieu le nombre des positions possibles de deux timbres 1 et 2, lorsque le 1 reste toujours fixe sur la première place. D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA sITUS”’. 59 On aura successivement (7 quelconque, p.e. = 8): LOEWE SE a Zen: et EOL! done Nie =n—1. Lorsque n = 2, cela devient N, =1. b) Pour trois timbres 1, 2 et 3 on aura: 223717237 WIS ete: Total = n — 2 area y 123 428i ete: , =n—2 PONS seert , =n—2 Et ainsi de suite. On aura done n — 1 rangées de n — 2 nom- bres, de sorte que le résultat sera: Nios = (n — 1) (n — 2). Pour n=3 on obtient done: NE €) Quatre timbres. Ici les entrecroisements de 12 et 34 sont défendus. Ayant égard à ces croisements, on peut dresser les tableaux suivants. (n = 8) 1 2 123 | 12.3 | 12..3 | 120.80 | 02.528) ERE © m m 1934 1943 {194.3 |124..3 |194...3 |194....3 193.4 12.34 112.43 12.4.3 112.4..3 112.4...3 123..4 |12.3.4 |19..34 |12..23 |12..4.3 Bas... 112.3. (19.824 |198...34, UI AS DS LEE 804 | 195.0804 | 49...84)| LE) P,=(n—2)(n—3)=6x5=>0x—1+6x5 Ik 6 % | | Re 1.234 |1.943 [1.24.38 |1.24..3 [1.94...3 5 1.93.4) |1.2.984 |1.2.43 |1.9.4.8 1.0.4..3 ENEN 19.43 1.2.4. 194 4H NAOR Ae PERSEE MG EPR 1E 60 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 134..9 143..2 | 14.3.2 Urs eA Ao EI rene te) 13.4.9 1.34.9 | 1.43.2 1.4.32 | 13..49 1737495 MI SAONE A P,=4x3+n—6)n—7)=4x3+2xl Ne 2 13 Oe setae kasino EEE? We om dln 233 | UN NUS ON ALA ee 22 12174237327 016499359 otro ellae | hoho iso Est 307 0 polio 7193. 24r 97 | 129202 | Era eed) 307.2 294 Ei Mara ATA ADN Ir ler | P,=6x5+(n—8)(n—9)=6x5+0x—1 D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS’’. 61 Nous avons done a additionner (n= 8): Dr EE LAURE ean ca ca Oke EE aes 302 22382 ADS art DÉC SE le) | e-a.-d. = 2 (0x—14+ 1x0+2x1+3x2+4x3+5x4+ 6x5). L’expression entre crochets représente une série de deuxiéme ordre: 0 0 1x2 6 12 20 30 0 1X2 4 6 8 10 1x2 2 2 19 S ayant n — 1 termes, et dont la somme sera: (n — 1) (n — 2) (n — 8) Re | (1 x 2). Nous avons donc: NN 2) 1.2.3 is (n— 1) (n —2)(n — 3). Avec n=4 cela devient: 2 N,=y x6=4. Lorsqu’on n’avait pas compté les entrecroisements défendus de 12 et 34, le nombre total des permutations aurait été (le 1 restant immobile): (n —1) (n— 2) (n— 8), as ‚2 tandis que maintenant ce nombre s’éléve seulement ä 3 de cette NN 3 valeur. Cette fraction 3 est obtenue de l’expression 2 x (1 x 2) 11020 d) Cinq timbres. Le 5 doit être placé tellement, que 23 et 45 ne s’entrecroisent pas. Cela donne (voir les tableaux précédents) pour le nombre des configurations possibles (n = 8): ARCHIVES VIII. 9 62 13.2 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 11 2 12.3 Hors A MoS | fou see 0 i 9 3 4 3 1 2 3 4 Lo 3 9 9 3 4 a) 3 2 3 4 | 3 9 1 0 h Leah 139 1.23 ats Haes res oe EN ñ 0 i 9 3 4 3 1 2 3 ie) 4 3 2 9 3 nl 4 3 2 1 3 |) IT» 1.39 | 1.03 | Teen 23 40 _ | | 4 | 0 1 9 | lp cae aie ee 3 1 2 | 4 3 2 2 | | Lu D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS’. lon 2 (HE ANAL 1839 61.3908 239310 | as | 2 2 3 4 | = ey 0 2 1 3 4 4 Lo | m | 2 1 | 0 4 | | purs | AR AE 2 || 13014900 |) EN ON 23 GEN den | = | | | | | 3 | 2 3 | 4 | = | 3 9 9 3 4 | — | (0) 3 2 1 3 4 el 3 2 | 0 4 | en | ne 2 Hits CINE Shey Dall LR PARC Indl ABE A Cal 32 = | | | | 4 0 | 2 3 4 — | 4 3 1 | 9 3 | 4 Tassen) 4 3 2 2 3 | 4 =e | 4 3 2 | | | 3 4 4 3 2 { | 0 4 Fu) I On voit done que l’on aura en somme: 12 1.2 | 12 DCE CA OX 4 LM | OK SE 41 ><(0) oe A OX—1+4X4 (LS led 9X1 +32 1x0 223 x3 ox SES Xa BX IXA MONA og xo AEB ey EE 0 Ran 9X I B DL ER 4X3 +0X0 Joe 0% ge 64 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 170 | Lote fie eee 2 RR. 2 OX2 +2X1 |ox1 +3X2 |0x0 +4X3 OA 1x3 HAXO “4x9 HEX | LXT LX AMXON PAS Ar SON ee Fe 2x1 L3X9 OX—1+192X4 |3X4 HOX—1|3X3 +1X0 Br Sl IXO H1X3 |OXAHIX4 |4X4 +0X—1/4X3 +1X0 9X1 ORL Le SENDE OXI OKE OSL ONE ou bien: OX—1+5X4 en , 1X0 4X3 > OX==H LINE 2X1 a 1x0 ee 1x0 nn al er a RE er Tee 3x2 +oxi a, 1 Re SE . Z A AS te) ie 2 OA 4X3 0x0 axe Pd 24 OX—1+9X4 5 —1+1X4 SESS Bus 10x10 Ope er els = || 6X (OX — 1) + 5X (1X 0)+4X(2X 1) IX (ZX 2) HX IX EX | |G b44+3424140)44(44342414+0)3483+4241+40)2+ +e+1 O14 0400-0) | Il y a done deux séries de troisième ordre. La première donne: 0 0 I%n—4)=8 6m—5)—18 24 20 0 2 (n — 4) 4 n — 22 6 — 4 Q(m—4) 2n— 14 —4 — 10 — 6 — 6 — 6 dont la somme sera (n — 2 termes) : _ (n—2)(n—3)(n—4) 5 = DE 2(n—4) + all ze, _ 9 (n — 1) (n— 2) (n — 3) (rn — EL iz ) A) ee ae (a) La deuxiéme série nous fournit: D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS”. 65 0 0 3 12 30 60 dont la somme est égale 4 (n — 2) (n — 3) (n — 4) (n — 2) (n — 3) (n — 4) (n —5) 3 _ aap — et Cu (eo NS dis Belle 1) (n — 2) (n — 3) (n — 4) (b) See es Cl NS COR En additionnant (a) et (b), nous trouvons donc: We EN ce qui devient pour n= 5: 5 =—— = 10 NE 12 x 24 — 10. En vertu des entrecroisements défendus de 12 et 34, 23 et 45, le nombre des permutations possibles s’éléve donc seulement à En du nombre normal. J'ai ici à remarquer, que dans l’&valuation de Nios; = 4 il y avait dans ce 4 un nombre de groupements avec le 3 entre le 1 et le 2 (132) également grand qu’avec le 3 en dehors de 12 (123), de sorte que l’on aura: (132) (125) ARE Dans le cas de n=5 nous trouvämes, que le coëfficient du nombre de groupements pour le nouveau élément 5 est pour chacun des deux groupes précédents = 2, quand le 4 se trouve entre le 2 et le 3 (243); et = 3, lorsque le 4 se trouve en dehors de 23 (234 ou 423). Nous pourrons donc écrire: (132) (123) (243) (234) (243) (234) EE) Et nous pourrions continuer avec notre synthèse dans la même 66 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION maniére. Mais il est ä prévoir, que les difficultés s’agrandisseront, sans qu'il soit possible de trouver une loi quelconque pour ces coëfficients 2, 2 + 3, ete., et de trouver ainsi la solution demandée du probleme. D’ailleurs, on pourrait déterminer ces coéfficients au moyen des tableaux, que nous avons donné sur les pages 15—48. Ainsi on trouvera aisément: Wao 4 0 MER = (23/4) (23/4) NE PB) (2 + 3) = Se IO) (84/5) _ (641) RETTEN LAUF + tid —=2x12=24 28) Gis) GU) N, = [{(10 + 3) + (0)! + (6 + 3) + (3 + 3)t] + [id.] = 2 x 33 = 66 ete. Mais du tableau ng 3 ZEN N 2 D 0 2 hax ENS ITE 10 6 3 on ne peut point déduire — comme nous venons de le remar- quer — aucune régularité entre ces nombres composants. VIII. Une autre manière de synthèse directe est la suivante. On calculera (p.e pour n= 6) combien de croisements simples donnent Bh 19-56 34-56 | 93-46. Nous désignerons ce nombre par P,. Ensuite nous évaluerons le nombre de croisements doubles: 12-56 | 34-56 | 19-34 | 12—34 | 12—56 | | = | 2345 | 2345 |? 1 1256| 3456| 34-56 | 23—4 et nous le désignerons par P,. D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS”. 67 Enfin le nombre de croisements triples: 12—34 MTS 1934, | 12—56 | 12—56 1956 34—56 34—56 5 3456 | | 23-45 93-45 | Be Sob P;. Et encore 12—34 19—56 | 34—56 | ’ 2345 | lili Lorsque N, représente alors le nombre des configurations pos- sibles de 6 timbres, le premier timbre restant immobile, nous aurons évidemment: Nel SP HB, Pit. Car lorsque il y a p. e. A, groupements avec | croisement seulement 7:18, hs » 2 croisements N A 3 ” ” 3 ” ” A 4 ” ” 4 ” ” on aura évidemment: 2A, + oA, FAR, simples croisements = P, A,+34A,+64A, doubles 5 = ji A, +44, triples Od | (a). Al quadruples „ SER La grandeur P, —P, +P,—P, sera donc: A,+(2-1)4,+(8—3+1)4A,+4—6+4—1)A,= AC ASC tA et nous obtiendrons le nombre de configurations, dépourvues de croisements, si nous retranchons P, — P, + P, — P, du nombre total des permutations, 5!. C’est ainsi que nous trouvons à l'aide du tableau suivant: ep) CO 123456 132456 123465 132465 1235464 | 132546°+ 123564 132564° 1236457 | 132645°F 123654 132654° | ‘124356 |°134256 ‘124365 |°134265 1245367 | 134526“ 124563 | 134562 "1946357 |'134625° 124653 134652 "125346 |°135246°*+| ‘195364+ |'135264°* | 125436 135426*+ 1254637 | 135462+ "125634 135624° 125643 135642 126345 136945°*+ 1263547 | 136254°° ‘126435 136495*+ 126453+ | 1364524 "126534 136524° 126543 136542 | pour Pr: Croisements 12—34 19256 34— 56 ” ” Total P, =4 x 40 = 160. Pour geo 12—34 | 1256 | — te) 1234 | 5 == At Gi ARR) 1956 | _ 4 (xs 34 er r) Total P, = 48 + 34= 82. °146253° "1463524 142356° 149365° "142536°+ "142563" 142635" 4 °142653° 145236°%+ 145263°° 145326} 1453624 145623: 145632 146235" + 146325*+ 146523" 146532 a droite =40(') = 40 (*) = 40 (+) 19—34 9345 12-56 2345 34—56 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION 152346? 152364*+ "152436* "152463*F 152634* "152643" 153246° 153264° "153426 "153462 153624" 4 "1536494 + 156324" "156342 156423° 156432 162345* 162354*+ *162435* 162453*+ "162534" 162543* 163245°* 163254°*+ |"163495* 163452 "163594°F 1635427 164235°* *1649253°*+ 164325” "164359 164523°+ 1645324 165934 "165243 165324° 165342 165423° 165432 a gauche 23-45 = 40(*) D’UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS’’. 69 Pour P 3: 12— al 12—34 | 19567 = a) loge == ) 34—56 | 93 —45 | a 1256 ve PQ °F) 34-56 | = 4 (” MA 9345 | 23—45 | Moral P, =3+12=20. Et finalement pour P,: 12—34 | 12—56 EN eins 34—56 | RL WE 23—45 Nous avons done (5! = 120): N, = 120 — 160 + 82 — 20 + 2=94. D'une manière tout-à-fait analogue nous trouvons pour n= 5: NEN EN DUP =2x8= 16; P, =2(P, =12—34 023 45,P,— |) done N, =24 —16+2=]V. Et de méme: N= Sl Dis où P,, c.-ä-d. 12—34, = 2, de sorte que nous aurons: IN 6-2 Mr Les nombres P, pour n=4,5 et 6 sont: 1222 2x8 4 x 40, 1 où 2, 8 et 40 sont tous = 3 (n — 1)! Ce résultat serait d’ailleurs à déduire d’une manière tout-à-fait identique à celle des pages 59—65. Les nombres P, seront pour n = 5 et 6: 0+2 3x16+(10 + 14 + 10) 2 l 7 ou 16 =; m—1)! ;2et 10= Tz an js = (n — 1)! ARCHIVES VIII. 10 70 QUELQUES REMARQUES SUR LA SOLUTION I —34| zi 561 suivent done une Z— 90 © 1 Les doubles croisements, tels comme 1 : 12—34 : autre loi que ceux comme ES ie et le nombre de croisements 12— 34 34—5( HED ‘ : | So EE if ayant les chiffres 234 ou 345 en commun, est 2345 | 45 |? & 5 2—56 autre que le nombre de croisements = fe i ayant seulement 25 en commun. 5 A | Quant à P,, ces nombres semblent être IE (n — 1)! chez 12—34 | 1 1234 19-56 |, pee (nr — 1)! chez 12-56 etc. 34—56 | 45 L’&valuation de tous ces nombres parait done également difficile que le calcul des nombres composants chez notre synthèse du $ 7, et nous obtiendrons aucun résultat appréciable. Non plus, si nous caleulons les nombres A,, A,, A, et A, des croisements — simples, doubles, etc. — du tableau précédent, comme le montre le tableau suivant. 0 1 1 0 | l 2 2 1 2 3 2 2 0 I 2 3 2 1 2 2 ) 2 0 1 2 2 ) 1 1 0 2 2 1 1 0 3 3 1 1 2 2 2 0 0 1 1 0 2 2 ! 2 3 0 0 1 2 I 1 4 3 2 2 0 2 Sa Ei 1 | | 1 0 1 1 2 I 2 2 0 0 02 nad 1 0 3 3 0) 1 2 3 LE IE 1 3 2 th ined 1 I 2 1 1 1 2 1 1 1 0 0 0 0 0 D'UN PROBLEME DE LA „GEOMETRIA SITUS’, 71 Nous voyons, que A, = 2, A, — 12, A, = 34, À, = 48, A, = 24. Ces nombres peuvent être déduite aussi des équations (a), qui donnent: AP, = 2 A, =F, AP, = 12 A,=P,—3P,+6P, == 4 A, =P,—2P,+3P,—4P,=48 Mais ces nombres offrent aucune régularité distincte. D’ailleurs, le méthode de cette derniére synthése égale fortement le méthode d'ERATHOSTÈNE, pour trouver les nombres premiers. Nos nombres A,, désignant combien de groupements offrent aucune croisement, sont comparables aux nombres de ces nombres pre- miers: ces groupements restent, lorsque tous les croisements, simples, doubles, triples, etc., sont éliminés 4 l’aide de divers cribles consécutifs, à la manière de ceux d’ERATHOSTENE. Il est done possible, que notre problème des timbres-poste offre une solution non plus que le problème célèbre des nombres pre- miers, et que nous pourrons trouver seulement une loi limite, lorsque n s'approche à oo. Telle est la situation présente de la solution du problème difficile, proposé par M. Lemoine, et dont l’analyse complète sera réservée aux temps futurs. Peut-être que notre Mémoire aura contribué un peu à cette solution finale. 1891— Février 1902. hi It ’ ’ \ ; - tit) B | f : F dn Ts Gi L it ois PALETTE ar A La u u Alii N ‘ TT Uli TEE Ci See h 3 il blah els dl Mi k Uiers ul (kas zat ee, | ; - pP 7 ois) Kak alas enal & TUTA ld Be AUTRE 4 wine N EURE „rn “= avn mall As We vre ar AEK 1 Ai Kur LE wile BAE IED | i ijn ithe wr bir LEN virg airing an En Pearl. ALLAN ITR TLV sh) I I cy MOE: On, tes] QUE AE Un Al { Maud, ı Aliases Er él > See | dan end MONTS MOVE u = ; . chant he A 131 Sl 7 bi Pr Tyo wee LES CAUSES PROBABLES DU PHENOMENE PALEOGLACIAIRE PERMO-CARBONIFERIEN DANS LES BASSES LATITUDES. (Deuxiéme étude). PAR EUG; IDUBOls: Dans une étude antérieure (ces Archives, Serie II, Tome VII, 4m Partie, p. 311—362) j'ai exposé comment l’état glaciaire, dont on a signalé nombre de traces évidentes aux basses latitudes, qui pour la plupart, datent certainement de la fin de l’ère paléozoique, pouvait résulter de deux causes concomitantes. La première de ces causes consistait en une énergie rayonnante du Soleil primitif absorbée dans une mesure de beaucoup plus grande dans les couches supérieures de l’atmosphére, la seconde était l’existence, dans ces zones subtropicales, de massifs montag- neux assez élevés pour provoquer des accumulations de neiges et de glaces. La seconde cause était autant nécessaire que la première. La où elle faisait défaut durant l’époque permo-carboniférienne, comme dans la zone subtropicale de l’Amérique septentrionale, on ne trouve aucune de ces traces paléoglaciaires. Au contraire, les conditions du premier ordre ayant été réalisées — dans notre conception — encore longtemps après cette époque, le phénomène paléoglaciaire pouvait se produire dans des formations moins anciennes que celles de l’ère paléozoïque. Il semble du moins que cela peut, en effet, avoir été le cas avec certaines des formations paléoglaciaires, signalées de l’Australie. Si nous connaissons spécialement de l’époque permo-carboniferienne un grand nombre de traces d'un état gla- ciaire prépleistocène cela est en rapport avec le fait que dans ces régions existait alors un régime continental bien prononcé. ARCHIVES VIII. 11 74 LES CAUSES PROBABLES DU PHENOMENE PALEOGLACIAIRE Faits et considérations sur le caractère de l’énergie rayonnante du Soleil actuel et du Soleil primitif. — Nous avons admis, dans nos recherches sur la cause extérieure au globe, qu’actuellement une grande partie de l’énergie rayonnante du Soleil appartient aux radiations correspondant aux régions des plus courtes longueurs d’onde du spectre visible. Lorsque notre luminant était encore une étoile du premier type spectral, l'énergie de la région ultra-violette doit, dans cette supposition, par le déplacement du maximum de l'énergie, avoir été considérable, et absorbée par les couches supérieures de notre atmosphère, elle doit avoir contribué en grande mesure à élever la température de ces couches. Nous avons supposé que cela pouvait même ammener, pendant le jour!) une inversion de température, dont devraient nécessairement résulter d’abondantes condensations de vapeur d'eau vers le 30% degré de latitude N et S, où il existait un courant d'air descendant; lesquelles condensations auraient produit à leur tour des accumulations de glaces sur les hauteurs suffisam- ment élevées. Il est à noter ici que l'élévation de la température est, pour une même quantité de chaleur, bien plus considérable dans les couches supérieures de l'atmosphère qu’au niveau du sol, de ce chef que lair y est plus rare. En effet à 10 kilomètres d'altitude l'air est déjà si rare que de la même quantité de chaleur absorbée résulterait une augmentation de la température de 3 fois et %, et à l’altitude de 32 kilomètres de plus de 100 fois celle de l'air près de la surface terrestre Toutefois on peut en douter si l'énergie des radiations ultra- violettes se communique bien aux couches supérieures de l’atmos- phère entièrement ou pour la plus grande partie en forme de chaleur, et, de plus, d'après des recherches nouvelles de LANGLEY, dont les résultats n'ont été plubliés que tout récemment, on peut prendre, sur la distribution de l’énergie radiante dans le spectre du Soleil actuel et du Soleil primitif, un point de vue différent de celui que je viens d’enoncer. Dans une communication faite au Nederlandsch Natuur- en Genees- kundig Congres à Rotterdam en Avril 1901 ?), partant des mêmes recherches antérieures de LaNerey sur la distribution de l'énergie 1) Par mégarde les mots cur-ivés ont été omis dans la communication antérieure. 2) Handelingen van het Achtste Natuur- en Geneeskundig Congres te Rotter- dam. Haarlem, 1901, pag. 311— 326. PERMO-CARBONIFERIEN DANS LES BASSES LATITUDES. 75 dans le spectre solaire, j avais attribué aux radiations ultra-violettes du Soleil primitif un effet calorifique pouvant allentir considéra- blement la décroissance de la température avec la hauteur, sans pourtant produire une inversion de température. Une autre partie importante de l'énergie des radiations absorbées servirait à ioniser les couches atmosphériques supérieures et à y produire des noyaux pour la condensation de vapeur d’eau, d’ou pouvaient résulter les précipitations abondantes nécessaires à produire des grands glaciers. Nous verrons dans la suite que la cause des précipitations abondantes que je viens d'indiquer a très probablement joué le rôle principal dans les phénomènes qui nous occupent. Considérons d'abord ce que peuvent nous apprendre les nouvelles recherches de Lancrey. Apres les premiers résultats obtenus par ce savant, qui, par ses recherches sur l'énergie dans le spectre du Soleil, s’est acquis un mérite impérissable, on a longtemps incliné à attribuer une importance trop grande à la perte que cette énergie subit par la réflexion diffuse des radiations de moindres longueurs d’onde et pas assez d’abord à l'énergie dans la région infra-rouge du spectre. En 1881 LanGLey écrivait:...,the heat maximum in a normal spectrum is not in the ultra-red, but is at least as far up the spectrum as the orange near D.... These measures show a certain approximation of the , heat” curve to the ,light” curve, though these are commonly drawn with their maxima in entirely different parts of the spectrum..... the great proportion of all solar heat received at the earth’s surface does not apparently lie in the non-luminous parts of the spectrum. Not only is the heat maximum in the luminous part, but the total sum of non-luminous heat (as far at least as our measures extend) is relatively small, the joint effects of ultra-red and ultra-violet radiations (so far as measured) not making up the sum of those in the visible portion” !). Dans son célèbre rapport ?) de 1884 il attribuait l'énergie maximum dans le spectre solaire pour la limite de l’atmosphère aux radiations d'une longueur 1) S. P. LANGLEY, The Bolometer and Radiant Energy. Pruceedings of the American Academy of Arts and Sciences. New Series, Vol. 8. Whole Series, Vol. 16. (1881), p. 358. 2) S. P. LANGLEY, Researches on Solar Heat and its Absorption by the Earth’s Atmosphere. A Report of the Mount Whitney Expedition. Washington 1884. United States of America, War Departement. Professional Papers of the Signal Service, XV. ie 76 LES CAUSES PROBABLES DU PHENOMENE PALEOGLACIAIRE d'onde de 0, u 5; mais des recherches ultérieures, dont les résultats viennent d’être publiés, ont mené dans la région infra-rouge, à la découverte de nouvelles énergies considérables qui font reculer le maximum de énergie dans le spectre vers cette région. LANGLEY aujourd’hui pense que la région ultra-violette du spectre solaire „really contains much less than one hundredth part of the total solar energy which exists. Beyond it is the visible spectrum, containing perhaps one-fifth of the solar energy”.... „on the right extends the great invisible spectrum in which four-fifths of the solar energies are known to exist” !). Il est vrai que par cela nos conclusions finales, en rapport avec les effets de l'énergie radiante ayant primitivement appartenue dans une plus grande proportion aux radiations ultra-violettes, ne devraient pas nécessairement étre modifiées. Si nous avons pu essayer d’évaluer la température absolue du Soleil primitif et le déplacement de l'énergie maximum dans son spectre d’après l’état actuel. nous avons dû appliquer à la surface radiante du Soleil les lois de Sreran et de Wien, n’ayant proprement trait, qu'aux corps absolument noirs et aux températures relativement basses, tandis que nous avons affaire ici ä des températures de plus de 7000° et à un corps rayonnant qui pourrait ne pas être comparable & un corps idéalement noir. Serait il permis de comparer le rayonnement du Soleil à celui d'un „corps noir’, alors on pourrait, nonobstant les résultats nou- veaux de LANGLEY, soutenir que ses radiations ont eu primitive- ment leur maximum d'énergie dans l’ultra-violet. En effet, d'après des considérations sur certaines raies du magnésium dans le spectre de l’&tincelle électrique, ayant une température de plus de 15000°, qui se comportent d’une maniére toute analogue dans le spectre des étoiles du premier type spectral. SCHEINER ?) conclut que la tempéra- ture de ces étoiles est de 15000° au moins. Si donc on est en droit d’ad- mettre pour la température de l’étincelle électrique 15000° à 20000° l’on peut. avec le savant astro-physicien de Potsdam, attribuer à la 1) S. P. LaANGLEY, The New Spectrum. American Journal of Science, Fourth Series, Vol. XI. New Haven (June 1901), p. 405; Idem, Philosophical Magazine, Sixth Series, Vol. 2. London (July 1901), p. 120—121. 2) J. SCHEINER, Untersuchungen über die Spectra der helleren Sterne nach photographischen Aufnahmen. Naturwissenschaftliche Rundschau, XI, (1896), job, JS PERMO-CARBONIFERIEN DANS LES BASSES LATITUDES, Tr photosphére des étoiles du premier type spectral, et done aussi de notre Soleil dans son état primitif, une température de 15000’, au moins. Si même énergie maximum du Soleil actuel appartient à la longueur d’onde de 0,47, dans le rouge, on trouve, en appliquant la loi de Wien, que l'énergie maximum aurait corres- pondu à une longueur d'onde située loin dans l’ultra-violet. Alors, d’après la loi de Sreran la radiation aurait été plus de vingt fois celle d’aujourd’hui. Toutefois, nous l’avons déjà dit, on peut en douter si cette loi serait applicable à un corps rayonnant tel que le Soleil et à ces hautes températures. En vérité nous ne faisons ici que tätonner dans l'obscurité. Nous savons cependant que les étoiles du premier type spectral ont une atmosphère très épaisse d'hydrogène et dont la température au niveau de la photosphère est de beaucoup plus élevée que la température de la photosphère du Soleil actuel. Nous savons en outre que la chromosphère de notre Soleil avec ses protubérances, constituée surtout par l'hydrogène, est une atmosphère comparable à celle des étoiles du premier type spectral, mais beaucoup moins épaisse et d’une température de beaucoup inférieure à celle qu'ont ces étoiles. Or V. SCHUMANN a démontré que l'hydrogène in- candescent a des émissions ultra-violettes très intensives, même au-delà de la longueur d’onde 0,185, qui est indiquée par la raie extréme de l’aluminium. Les régions bleues et violettes du spectre des &toiles du premier type spectral sont extrömement brilliantes; si leur spectre, comme celui du Soleil, se termine brusquement du côté de l’ultra-violet vers la longueur d’onde d'un peu plus de 0,429 (« Lyrae, d'après Huaarns, vers À = 0, u 297: Soleil, d’après Cornu, vers À = 0, « 293) cela n’est dû qu’à l’inter- ception de la majeure partie du spectre ultra-violet par l’absorp- tion énergique qu’excerce l’atmosphère terrestre sur ces radiations à courte longueur d'onde. Ces faits nous font admettre comme certain que l'énergie rayon- nante des étoiles du premier type spectral appartient en grande partie aux radiations ultra-violettes les plus réfrangibles. Il n’est pas douteux, qu'il a été de même pour le Soleil primitif. Effets de Vionisation de Vair des couches atmosphéri- ques extérieures par les radiations ultra-violettes de très courtes longueurs d’onde. — Cela est de la dernière consé- quence pour la recherche des causes du phénomène qui nous occupe. Bien que nous abordions ici des régions encore peu explorées de 78 LES CAUSES PROBABLES DU PHENOMENE PALEOGLACIAIRE la science (je veux parler des propriétés remarquables des radiations des plus courtes longueurs d’onde), il me semble que nos connais- sances actuelles, surtout celles acquises dans les derniers temps, nous donnent les moyens de voir plus clair dans ce phénomène. J'ai exposé que déjà Cornu avait démontré que dès la longueur d’onde de 0, « 293 les radiations ultra-violettes sont absorbées par les couches supérieures de l’atmosphère suivant une progression extrémement rapide lorsque la longueur d’onde diminue. C’est ainsi que, tandis que les radiations de 0, » 293 ne sont absorbées qu'après avoir parcouru l'épaisseur entière de l’atmosphere, SCHUMANN est arrivé au résultat remarquable que les radiations de longueurs donde plus courtes que 0,170 sont absorbées par une couche d'air (à 760 mm. de pression) de | mm. d’épaisseur. Il paraît être prouvé par les recherches de Lenarp !) que c'est l'énergie des radiations de longueurs d’onde inférieures à 0, 19, absorbée dans les couches supérieures très rares de l’atmosphère, qui y sert à diviser les atomes des gaz de celle-ci en deux morceaux, les ions libres ou électrons, corpuscules électrisés posi- tivement et négativement et se mouvant librement dans l’atmos- phère. Le plus petit, chargé négativement, n’a que le millième de de la masse de l'atome, dont le reste est chargé positivement. Par suite de cette rupture des atomes, la dissociation corpusculaire de J. J. Tuomson, les électrons sont d’abord en nombre égal dans l'air sec. Mais que l’air portant les électrons soit saturé de vapeur d’eau, qu'il s'élève et subit une expansion adiabatique de 1,25 le volume primitif d’après Wırson, ce qui sera le cas quand il s’éléve de 2500 mètres à 19° C. de température, et les ions négatifs servent de ,noyaux” provoquant une déposition en gouttelettes de l’humidité, faisant naître un nuage. Pour causer une seconde condensation, provoquée par les électrons positifs, il faut une expansion plus grande. Les gouttelettes en tombant emportent donc en général les ions négatifs et laissent dans lair un excédant d’ions positifs ?). La Terre est ainsi chargée négativement. 1) P, Lenarp, Ueber Wirkungen des ultravioletten Lichtes auf gasformige Körper. Annalen der Physik, 4te Folge, Bd. I, p. 486-507. Leipzig 1900; Ueber die Eleetrieitätszerstreuung in ultraviolet durchstrahlter Luft, Ibid. Bd. III, (1900), p. 298 —319 2) J. J. Tuouson, Philosoph. Magazine, London 1898, Fifth Series, Vol. 46, p. 528 — 545. C. T. R. Wilson. Philosoph. Transactions, Roy. Soc. Londen, 1900, Series A, Vol. 193, p. 289—308; Nature, Vol. 62, p. 149. PERMO-CARBONIFERIEN DANS LES BASSES LATITUDES. 79 En outre les expériences de J. J. THomson, ZELENY, WILson et autres ont prouvé que les ions négatifs, sous Vinfluence de forces électriques égales ont une vitesse de translation plus grande que les ions positifs plus lourds et plus lents. Par conséquent si lair ionisé passe 4 la surface d’un condueteur isolé non chargé, les ions positifs et négatifs doivent se mouvoir avec des vitesses dif- férentes vers ce conducteur, quoique les attractions dans le champ inducé par leur propre charge soient égales. La masse de l’ion négatif étant plus petite que celle de lion positif, celui-lä parcour- rera en temps égal une distance plus grande vers le conducteur et pourra lui transmettre sa charge, pendant que les ions positifs plus lourds et plus lents à se mouvoir sont emportés par le courant dair. Il s'ensuit qu’un conducteur entouré par de l'air ionisé doit se charger tout seul et négativement jusqu'au point où le champ électrique provoqué par cette charge ira contrebalancer la différence entre la mobilité des ions. Or si l'air passe par l’intérieur d’un conducteur, la charge peut atteindre des valeurs beaucoup plus grandes, parce que pour les points dans l’intérieur l’effet compen- sateur de la charge propre augmentante n’éxiste pas. Erster et GeEITEL !) ont indiqué que de cette facon le globe doit être chargé négativement, surtout là où à sa surface les bois et autres végé- tations donnent lieu à la formation de nombreux creux. Le champ électrique du globe est zéro entre les troncs des arbres et les autres parties des plantes; il peut done s’y faire de l’atmosphère une libre prise d’électricité négative. La charge négative du globe ainsi transmise, répartie à la surface terrestre en équilibre électro- statique, correspond à un déficit de l’atmosphere en ions négatifs, done à un excédent en ions positifs. Ainsi nous avons jusqu’à une certaine hauteur, 3000 mètres d’après plusieurs observateurs, au dessus de cette surface un air très riche en ions positifs. Mais cette charge positive des couches inférieures de l’atmosphère comme la négative de la surface terrestre ne peut surpasser un certain maximum; car bientôt l'attraction, par la charge néga- tive du globe, des ions positifs de l’air va compenser la plus grande vitesse de translation des ions nögatifs. De sorte il ya continuellement neutralisation d’électricité négative de la Terre, dans la plaine nue et surtout aux cimes des montagnes et autres 1) J. Erster und H. Gerrer, Beiträge zur Kenntniss der atmosphärischen Elektricitat. Meteorologische Zeitschrift, Wien, Jahrgang 17, (1900), p. 226 —231. 80 LES CAUSES PROBABLES DU PHÉNOMÈNE PALKOGLACIATRES saillies de la surface terrestre, tandis que d’autre part il y a regénération de la charge négative, surtout dans les bois et en general aux régions couvertes de végétation Déja depuis long- temps on sait, par les recherches de Linss '), que cette charge se renouvelle environ chaque 100 minutes. L'énergie des radiations ultra-violettes de très courtes longueurs d’onde, absorbée dans les couches supérieures trés rares de l’atmos- phére, y sert done ä effectuer une séparation de charges électriques positives et négatives, attachées 4 de minimes particules se mou- vant librement dans l’air. Ces ions engendrés dans les couches supérieures de l’atmosphére suivent les mouvements de lair et parviennent ainsi dans les couches atmosphériques inférieures, où les rayons ultra-violettes 4 trés courte longueur d’onde ne peuvent pénétrer. L'air portant d’abord des ions négatifs et positifs en nombre égal doit ainsi, quand il descend et passe en l’effleurant sur la surface terrestre, perdre de la manière exposée une partie de sa charge négative. Sans doute cette théorie de Erster et Geiten de l’origine de l'électricité de l'air et celle de la surface terrestre est bien fondée. On ne peut cependant pas affirmer que la séparation des ions négatifs et positifs, conséquence de leur mobilité differente et de la plus grande facilité qu’ont les premiers à produire des condensations de vapeur d’eau, soit le seul moyen dont la Terre est chargée négativement. D’apres d’autres recherches, en effet, il semble que la charge négative de la Terre est surtout effectuée dans les régions polaires, où elle se trahit par l’aurore boréale et l'aurore australe. Les causes des aurores polaires et des phenomenes qui les accompagnent. — Grice surtout aux recherches de PAULSEN ?) et de SVANTE ARRHENIUS *) nous commençons à com- prendre la nature et ä voir les causes des aurores polaires. Ce sujet est encore d’assez grande importance pour nous pour en parler un peu plus en détail. PAULSEN, dont je reproduis dans 1) Linss, Ueber einige die Wolken- und Luftelectrieität betreffende Probleme. Meteorologische Zeitschrift, Berlin, 1887, 4ter Jahrgang, p. 354. 2) ApAM PAULSEN, Sur la nature et l’origine de l’aurore boréale. Bulletin de l’Académie des Sciences et des Lettres de Danemark, Copenhague, pour l’année 1894, p. 148—168. 3) Svante ARRHENIUS, Ueber die Ursache der Nordlichter. Physikalische Zeit- schrift, 2ter Jahrgang (1901), p. 81-87 et 97—105. PERMO-CARBONIFÉRIEN DANS LES BASSES LATITUDES. 81 la suite les conclusions principales, étudiant la nature de l'aurore boréale au moyen d'expériences faites en Groenland et au Spitz- berg, est d'abord conduit à considérer ce phénomène comme une lumière fluorescente produite par l’absorption d’une énergie qui se propage par la voie d’un rayonnement dont la source d'émission se trouve dans les régions supérieures de l'atmosphère. Il démontre que les courants électriques sont des effets purement secondaires de l’aurore; ce ne sont pas eux qui produisent celle-ci, mais bien au contraire c’est l'aurore qui produit des courants électriques. Il y a cependant un phénomène électrique présentant, à plusieurs égards, des analogies avec l’activité rayonnante qui produit l'aurore boréale. C’est le rayonnement électrique émis du pôle négatif dans les tubes à air très raréfié, ce sont les rayons cathodiques. Comme lieu d'émission du rayonnant auroral, qui peut être considéré comme n'étant qu'un cas spécial des rayons cathodiques, PAULSEN admet l’existence d’une couche d'électricité négative répandue dans les parties supérieures de l'atmosphère L'électricité étant liée à la matière, sa distribution doit dépendre des mouvements des parties supérieures de l'atmosphère. On sait que la valeur moyenne du potentiel de l'air est le plus petite dans les pays polaires, !) ce qui peut s'expliquer en supposant une accumulation vers les pôles de l'électricité négative des hautes régions de l'atmosphère. Le rayonnement auroral produit une perte d'énergie qui ne peut avoir lieu qu'aux dépens de l'énergie d'une source extérieure qui la donne à la couche électrique. La couche électrique négative, supposée être le lieu d'émission du rayonnement auroral, ne peut pas être produite par des sources existant sur la Terre, puisque la masse correspondante d'électricité positive ne s’y trouve pas Il ne semble pas douteux que l'énergie aurorale soit d’origine solaire C’est ce que prouvent le maximum de l’activité aurorale aux premières heures de la nuit et la diminution bien constatée de l'intensité des phénomènes auroraux pendant la nuit, faits qui montrent que la source de l'énergie à laquelle est due l’aurore, doit &tre renouvelée chaque jour. C’est ce que montre encore la période de 11.1 ans de l'activité du Soleil et de l’aurore boréale; 1) Voir les observations de J. ELSTER au Spitzberg, in Physikalische Zeit schrift, II, p. 113, (1901). Le courant aérien descendant peut contribuer a l’effet observé en enrichant d’electrons les couches inférieures de l’atmosphere. ARCHIVES VIII. 12 82 LES CAUSES PROBABLES DU PHÉNOMÈNE PALÉOGLACIAIRE la coïncidence des périodes de ces aurores et celles des taches solaires étant extrèmement nette et en dehors de toute contestation. Probablement il existe encore des périodes séculaires d’une durée plus longue, de 55.5 ou de 111 ans. dans lesquelles les aurores se montrent plus intenses, comme déjà pe Marran l’avait établi dans sa recherche classique. !) Or, on sait que la radiation du Soleil et plus forte aux années de maximum des taches solaires. 2) Si l'énergie, à laquelle est due l'aurore boréale, provient d’une action des rayons solaires, c’est dans les régions équatoriales que l'effet doit à cet égard être le plus intense. Or, puisque l’aurore n'apparaît que très rarement dans les basses latitudes et que le phénomène apparaît après le coucher du Soleil, le rayonnement auroral doit provenir d’une perte d'énergie emmagasinée. L'énergie aurorale des masses électrisées est done le plus grande dans les régions équatoriales, mais il n'en résulte pas que cette énergie doit aussi s’y perdre. Par suite des mouvements dans les couches supérieures de l’atmosphère, les masses électrisées sont amenées vers les régions polaires et elles y perdent sous forme de rayonnement auroral leur énergie emmagasinée. Probablement les masses qui, par le rayonnement solaire, ont emmagasiné l'énergie boréale, sont portées vers les pôles par des courants atmosphériques, et le courant qui amène les masses électrisées de l'équateur vers les pôles doit nécessairement descendre. C'est par ces courants d'air qu'il peut avoir lieu à d’autres heures du jour et dans des régions qui ne reçoivent que peu ou pas de radiations solaires des accu- mulations d'électricité, et que des décharges avec des rayons catho- diques dans leur suite se produisent. Les rayons cathodiques auroraux naissent dans un air si rare (jusqu'à 200 kilomètres d'altitude, où la pression n’est guère que 10°” mm.), qu'ils n’y produisent pas des phénomènes lumineux; mais ils pénètrent plus loin sans absorption sensible dans l'atmosphère. Or d’après la nature des rayons cathodiques ils ne se propagent en ligne droite dans un champ magnétique, que lorsqu'ils ont la même direction que les lignes de force magnétique. Autrement, autour de cette direction comme axe, ils décrivent des lignes hélicoïdales. Si 1) DE Marran, Traité physique et historique de l'aurore boréale, 2° Edition, p. 179, Paris 1754. 2) SAVELIEFF, Comptes rendus de l’Acad. d Sciences, Paris, T. 118, (1894), p. 62, PERMO-CARBONIFERIEN DANS LES BASSES LATITUDES, 83 l'angle entre les rayons cathodiques et les lignes de force magnétique est petit, ils peuvent pénétrer à une grande profondeur dans l'atmosphère avant que leur énergie se trouve entièrement absorbée par lair. Si, au contraire, l’angle est grand, le rayon suit également une ligne hélicoidale, mais d’un diamétre plus grand; dans ce cas l'absorption se fait en grande partie déjà dans les couches supérieures de l’atmosphére. La situation presque ver- ticale des lignes de force du champ magnétique de la Terre dans les régions arctiques, est cause que les aurores polaires pénétrent dans ces circonstances jusque dans la proximité de la surface terrestre. Aux latitudes moyennes les lignes de force magnétique sont beaucoup plus inclinées; par suite l'énergie sera déjà absorbée dans les couches atmosphériques supérieures et en même temps le phénomène est beaucoup plus étendu. Aux environs de l’équa- teur les lignes de force magnétique sont presque paralléles à la surface terrestre; il s'ensuit que les rayons cathodiques n’y peuvent pénétrer dans les couches atmosphériques inférieures et ne sauraient produire des phénomènes auroraux intenses. Les décharges n’y provoquent qu’une lueur diffuse, faible et très étendue. A mesure qu'elles se distancent de l'équateur les lignes de force magnétique se dressent et par conséquent les rayons cathodiques pénètrent de plus en plus profondément dans l’atmos- phère. Or nous savons des recherches de LENARD, que l’absorption des rayons cathodiques dans l’air est en proportion simple avec la densité de celui-ci, par suite, c'est seulement quand ils arrivent aux couches d’air plus dense (de l’ordre de grandeur de 0.01 mm. de pression) qu'ils sont fortement absorbés et par cette absorption donnent lieu à des phénomènes lumineux plus intenses. Mais parcequ’aux pôles l'énergie électrique communiquée par les radia- tions solaires à l’atmosphère extérieure est peu importante il doit y avoir autour des pôles (et des pôles magnétiques) deux anneaux où les aurores se développent le plus souvent, comme il est en effet le cas. C'est ainsi que ARRHENIUS explique la situation actuelle des zones d’aurores. D'après Pausen elle ne dépen- drait que des mouvements dans les plus hautes régions de l’atmos- phére. Probablement ce dernier facteur joue un röle important dans la délimitation de l’aurore. Il s’ensuit de Vhypothése de PaurseN qu'une grande activité aurorale sous de basses latitudes doit affaiblir l’intensité du phé- nomene dans les pays arctiques. C’est ce que montrent aussi des 12* 84 LES CAUSES PROBABLES DU PHENOMENE PALEOGLACIAIRE faits signalés relativement au contraste de la fréquence de l’aurore sous les basses latitudes et sous les hautes. ARRHENIUS vient d’indiquer laquelle peut être l’origine des masses électriques chargées négativement dont PAULSEN a supposé l’existense dans les parties extérieures de l’atmosphère.!) Regardant les choses du point de vue de la théorie électro-magnétique de la lumière de MAxwerr il conclut, que le côté de la Terre tourné vers le Soleil est parsemé d’une pluie de particules négativement char- gées, émises par le Soleil, plus petites que 1 u, qui restent dans les couches les plus hautes de l’atmosphère, à environ 200 kilomètres d’altitude. En se-déchargeant partiellement, pendant le jour, sous Vinfluence des radiations ultra-violettes, pas trop loin des endroits oü les particules chargées sont tombées, done surtout dans les régions équatoriales, il se produit des rayons cathodiques. Cepen- dant par le moyen des courants aériens des accumulations d’élec- tricité négative peuvent étre transportées 4 grandes distances et produire des rayons cathodiques, loin des lieux qui ont recu Vénergie électrique du Soleil et longtemps après cette insolation. Si Ja conception de ARRHENIUS est juste la quantité de particules négativement chargées expulsées du Soleil doit augmenter avec l'intensité du rayonnement solaire, donc aux époques de maximum des taches solaires. Certainement la charge négative des couches extérieures de l’atmosphère terrestre augmente quand le rayonne- ment solaire devient plus énergique; l'influence de celui-ci sur les rayons cathodiques auroraux est incontestable. Il nous reste à parler d’une propriété très importante des rayons cathodiques auroraux. On connaissait déjà la faculté des rayons cathodiques ordinaires de provoquer des condensations de vapeur d'eau. Or Paursen a démontré que les aurores boréales sont accompagnées par la formation de nuages élevés, consistant en de gouttelettes d’eau ou de cristaux de glace. Dans les années où les aurores boréales sont abondantes les nuages supérieurs sont beau- coup plus nombreux que dans les années où il y a peu d’aurores. ?) D'après BrRKELAND, les aurores polaires seraient produites par de puissants courants électriques, partant des régions polaires, 1) Voir aussi l’article en français, publié par le premier auteur après que ces pages étaient écrites: S. ARRHENIUS, La cause de l’aurore boréale. Revue générale des Sciences pures et appliquées, 13° Année, N°. 2, (30° Janvier 1902), p.65 — 76. 2) ADAM PAULSEN, Wolkenbildung durch das Nordlicht. Meteorologische Zeit- schrift, Jahrgang 12, p. 161— 169, Wien, 1895. PERMO-CARBONIFERIEN DANS LES BASSES LATITUDES. 85 dirigés horizontalement dans les couches aériennes supérieures, lesquelles doivent émettre des rayons cathodiques. Or comme les gaz, quand ils conduisent l'électricité, contiennent des noyaux capables de condenser de la vapeur d’eau, il pense que la forma- tion de nuages supérieurs, cirrus et cirro-stratus, se laisse rattacher d’une façon naturelle à ces courants. !) ARRHENIUS fait remarquer que d’après les observations de Voarn quelque chose d’analogue semble se passer sur Jupiter. Dans les années de beaucoup de taches solaires cette planéte apparait avec une lumière plus blanche, dans les années de peu de taches solaires la lumiére est plus rouge. Comme on est d’accord que Jupiter luit d’autant plus rouge que l’on peut voir plus profonde- ment dans son atmosphére, cela ne peut étre attribué qu’ä ce qu’aux époques de maximum des taches solaires la production de nuages sur Jupiter est plus abondante qu’aux époques de minimum. Sur Jupiter aussi il tombe de la poussiére cosmique négativement chargée emanée du Soleil, il faut done que sur cette planète, dans les couches supérieures de l’atmosphère, il existe des conditions analogues à celles sur la Terre. D'après PauLsEN il faut imputer la formation de nuages par les ayons cathodiques auroraux à la production abondante d'ozone. En effet, si l’on fait passer de l'air, ozonisé par des décharges électriques, à travers un tube, dont la surface intérieure est mouiliée d'eau, il se produit un épais brouillard blanc qui peut rendre le vaisseau au-dessus de l’eau presque opaque. On sait, en outre, que la production d’ozone est très favorisée par des températures basses. Si donc par l’absorption des rayons auroraux il se produit abon- damment d’ozone, l’air à ces altitudes élevées étant très souvent sursaturé de vapeur d'eau, ils doivent s’y former des nuages. Que l’ozone soit ou non l'intermédiaire par lequel les rayons cathodiques font naître des nuages aux altitudes élevées de l’at- mosphère le fait de cette influence est mis hors doute par PAULSEN. Conséquences des faits connus sur l’ionisation de l’at- mosphère et le rayonnement cathodique auroral pour l'interprétation du phénomène paléoglaciaire dans les régions subtropicales. — A present tournons encore nos regards 1) Kr. BIRKELAND, Résultats des recherches magnétiques faites par l’expedition norvégienne de 1899 — 1900 pour l’étude des aurores boréales. Archives des Sciences physiques et naturelles, 106me Année, 4me Période, Tome 12, p.565 —586, Genève 1901. 86 LES CAUSES PROBABLES DU PHENOMENE PALÉOGLACIAIRE vers ces âges lointains où le Soleil était une étoile du premier type spectral. Quel effet aura eu alors l’augmentation considérable des ra- diations de trés courtes longueurs d’onde, dont la réalité n’est pas douteuse, et quel aura été l’effet de l’augmentation, à ces âges, de la charge électrique négative des couches extérieures de l’atmosphère terrestre, dont la réalité, d’après les recherches de PAULSEN et ARRHE- nıus et par analogie avec ce que nous observons aux époques de maximum de taches solaires, est presque également indiscutable? Nous savons que les radiations ultra-violettes de LENARD, cor- respondant à des longueurs d’onde allant de 0,419 à 0,414 et sans doute au deca, sont capables, par l’ionisation de l’atmosphere extérieure, de provoquer la formation de nuages dans un air con- tenant de la vapeur d’eau sursaturée. La méme capacité ont les rayons cathodiques émises par la couche atmosphérique extérieure négativement électrisée. Mais tandis que les ions qui sont engendrés dans l'atmosphère extérieure, entrainés par les courants d’air, arrivent en bon nombre aussi aux couches inférieures de l’atmos- phére, et peuvent y provoquer des condensations de vapeur d’eau, les rayons cathodiques, prenant origine à cette couche atmosphérique ex- térieure négativement chargée, ne peuvent descendre jusqu’aux cou- ches atmosphériques plus proches de la surface terrestre qu’aux régions polaires. Ainsi leur effet condensateur doit généralement trouver sa limite inférieure à la hauteur des cirrus, où la teneur en vapeur d’eau est minime; seulement aux régions polaires il peut se faire valoir dans des couches atmosphériques plus basses. C'est une conséquence des conditions des mouvements généraux de l’atmosphere, dont sont représentées ci-contre en coupe, aux différentes hauteurs dans l’atmosphère, les composantes suivant le méridien. En effet, les masses électriques négatives de la couche extérieure sont emportées par le courant d’air supérieur qui se meut de l'équateur vers les pôles, et bien que dans ce trajet beaucoup de cette énergie soit perdue en rayons cathodiques absorbés dans un air rare et par conséquent sans production de phénomènes lumineux, un part considérable arrive aux régions polaires et, suivant la grande circulation atmosphérique, doit y descendre jusqu’à certaine hauteur. Les rayons cathodiques suivant des voies plus droites et ainsi pénétrant plus profondément dans l’air inférieur plus dense, y produisent des aurores Vers la latitude 30° N et S il y a aussi un mouvement descendant de l’air, mais seulement dans la moitié 87 DANS LES BASSES LATITUDES. PERMO-CARBONIFERIEN ‘UQITPIIOU 9] JUBAINS adnog ‘(aj9[da109) onbripydsowgye uoremnous vl op ounweiserg 88 LES CAUSES PROBABLES DU PHÉNOMÈNE PALÉOGLACIAIRE inférieure de l'atmosphère. Il s'ensuit que, dans l’état actuel des choses, les masses électriques négatives, bornées aux plus hautes couches atmosphériques, n’y peuvent arriver dans ce courant d’air descendant. Que cependant la charge négative de la couche exté- rieure soit suffisamment plus forte, et par conséquent cette couche négativement chargée plus épaisse, comme il paraît bien avoir été le cas aux âges où le rayonnement solaire était beaucoup plus intense et surtout plus riche en radiations ultra-violettes, et le courant d'air descendant y entraîne une partie de ces masses électriques négatives dans des régions beaucoup plus basses de l'atmosphère. La naissance des rayons cathodiques y aurait alors eu lieu à un niveau de beaucoup inférieur à celui d’aujourd’hui, et malgré leur direction en lignes hélicoïdales, par laquelle ils étaient empéchés de pénétrer ailleurs jusqu'aux couches atmosphé- riques inférieures, ils pouvaient bien y pénétrer vers cette latitude. Leur absorption devait done se faire à des hauteurs où la quantité de vapeur d'eau contenue dans l'air peut être considérable. Or l’air à ces altitudes devra nécessairement avoir été extrémement sursaturé de vapeur d’eau, parce que aux environs de l'équateur, en conséquence du fort courant ascendant permanent de l'air, les ions condensateurs de la vapeur d'eau devaient être au minimum. Vers la latitude de 30 N et S lair, ayant absorbé les rayons cathodiques à des altitudes de beaucoup moins élevées qu’ailleurs aux basses latitudes, devait done en descendant se méler à lair sursaturé de vapeur d’eau apporté de l’équateur et à un niveau où la quantité absolue de cette vapeur pouvait être grande. Probablement l'absorption, dans les couches atmosphériques supérieures, des radiations ultra-violettes de plus grandes longueurs d’onde que celles de Lenarp, jusqu’à 0, « 293, contribuait beaucoup à ce dernier effet. Rappelons nous qu’en conséquence de la cir- constance que l'air devient plus rare avec l’altitude dans une progression très rapide, une quantité médiocre de chaleur doit déjà suffire dans ces hautes régions à élever de beaucoup la tem- pérature. Si donc l'absorption de chaleur, augmentant avec l'altitude, y était très importante il devait en résulter sinon inversion de température, du moins ralentissement considérable de la décrois- sance des températures avec l'altitude. Déjà de cette circonstance il s’ensuit qu'à l'équateur, dans le courant d’air ascendant, la vapeur d’eau devait se condenser moins facilement, vers le 30° degré de latitude, au contraire, avec beaucoup moins de difficulté PERMO-CARBONIFERIEN DANS LES BASSES LATITUDES. 89 qu’aujourd’hui. Ainsi la quantité de vapeur d’eau pouvant étre grande, même à des altitudes élevées, les condensations provoquées, dans les zones subtropicales des vents descendants, par les ions négatives et les rayons cathodiques seraient trés abondantes. Une partie de l'énergie électrique de l’atmosphére extérieure étant ainsi déjà consommée sous les basses latitudes, le rayonne- ment cathodique sous les hautes latitudes ne devait pas nécessaire- ment avoir été de beaucoup plus intense qu'il ne l’est aujourd’hui. En effet PAULSEN a déjà remarqué, qu’actuellement une grande activité aurorale sous de basses latitudes affaiblit l’intensité du phénomène dans les pays arctiques. En dehors de ces phénoménes auroraux ou cathodiques, il devait résulter de la plus forte ionisation de la couche supérieure de lair ou de la plus grande épaisseur de cette couche, directement ionisée par absorption des radiations de Lrnarp, que des ions libres entrassent en grande abondance dans le courant d'air descendant à la latitude 30° N et S. Mais en descendant, cet air, extrêmement riche en ions condensateurs de vapeur d’eau, y venait encore en contact et devait se mêler avec l'air apporté de l’öquateur, sur- saturé plusieurs fois de vapeur d’eau, et à des températures pas trop basses pour que sa quantité absolue ne fut grande. De l’une et de l’autre cause devaient donc résulter, à ces latitudes subtropicales, d’abondantes précipitations, à l’état solide, parce que les condensations devaient se faire (par suite de l’absorption des ravons cathodiques se mouvant en lignes hélicoidales et du contact, à une hauteur considérable, de vapeur d’eau sursaturée avec de Pair trés riche en ions condensateurs) à des altitudes encore assez élevées, où régnaient des températures certainement de beaucoup inférieures à 0° C. Et quoique dans ce courant descendant l'air se réchauffe. cette chaleur, résultant de la compression de l'air, devait être rendue inefficace par le froid de l’évaporation et de la liquéfaction d’une partie insignifiante des abondantes masses de glace dont cet air descendant était mélé. Par la voie suivie dans cette étude nous sommes done encore menés à considérer, comme principe du phénomène paléoglaciaire dans les zones subtropicales, l'énergie excessive communiquée par le Soleil primitif aux couches extérieures de l’atmosphère terrestre, renversant complètement les effets climatologiques actuels des vents descendants qui sont le propre de ces zones. HARLEM, janvier 1902. ARCHIVES VIII. 13 APPENDICE. Il vient de paraitre, apres que ces lignes etaient &crites, une importante contribution à la connaissance du phénoméne paléo- glaciaire dans l’Afrique australe, par les membres de la Commission Géologique de la Colonie du Cap !). G. 8. CorsTORPHINE, directeur de cette Commission, donne d’abord une admirable revue des principales recherches sur la nature des conglomérats paléozoiques dans |’ Afrique australe. Puis, en considérant les faits 4 présent connus, il est conduit a la conclusion qu’il faut différencier le conglomérat glaciaire du nord (Prieska, Kimberley, Vereeniging, Vrijheid) du conglomérat du sud ou conglomérat de Dwyka proprement dit (de Matjesfontein à Grahamstown). De ces dépôts, quoiqu’ils sont contemporains, seulement le conglomérat du nord de l’Afrique australe est une moraine profonde, produite, vers la fin de l’ère paléozoïque, par une activité glaciaire de longue durée sur une surface terrestre. Cette surface n’était probablement pas couverte d’une nappe glaciaire continue. car on peut regarder l’absence de continuité du conglomérat en Transvaal comme étant originelle et pas entièrement dûe à la dénudation Le conglomérat du sud, au contraire, est un dépôt formé sous l’eau, probablement d'un grand lac, dans laquelle flottaient les icebergs, naissant à la côte septen- trionale par la rupture continuelle du front des glaciers descendant des massifs montagneux du nord. Ces glaciers transportaient les débris glaciaires et les blocs striés. Lorsque les glaces diminuaient et se retiraient de la côte du lac, des fleuves, alimentés par les eaux de fusion des glaces, charriaient de la boue qui s’accumulait au-dessus du conglomérat mixte sur le fond du lac. C’est ainsi que s’expliquent les différences observées: Le con- glomérat du sud est séparé des couches subjacentes de Witteberg par des schistes à restes végétaux, schistes identiques avec ceux intercalés dans le conglomérat et au-dessus; le conglomérat du 1) Annual Report of the Geological Commission-Department of Agriculture. Cape of Good Hope, 1899, p. 4—29 et 86—97. Cape Town, 1900. 91 nord repose sur des roches plus anciennes que la série de Witte- berg. Le conglomérat du sud est concordant avec les couches au-dessous et au-dessus; le conglomérat du nord offre une discordance de stratification nette avec les couches au-dessous et en quelques endroits, probablement, aussi au-dessus. Le conglomérat du sud est distinctement stratifié; dans le conglomérat du nord la strati- fication est généralement absente. Dans le conglomérat du sud les bloes sont de provenance lointaine, quelques-uns certainement détachés de roches situées au nord, mais leur caractère pétrogra- phique est uniforme, depuis Matjesfontein jusqu à Grahamstown ; dans le conglomérat du nord les bloes sont, généralement, d'origine locale et leur caractère est variable selon les endroits. Par ces faits done CoRSTORPHINE est conduit à la conclusion, très importante pour l'interprétation du phénomène paléoglaciaire dans l’Afrique australe, que les centres de dispersion des glaces doivent avoir été dans le nord de cette région. Dans un rapport spécial (p. 86—97) A. W. Rogers et E. H. L. SCHWARZ donnent encore dss details de leurs recherches sur le conglomérat glacial dans les districts de Hope Town et de Prieska, recherches mentionnées déjà dans notre première étude. ay 7 = I AP yn AG e ri A+ ae PE =; AC AT, a re Abe eu EE | 1 7 7 Er. me. oh Gén UE 4 va ft gt Wed : Bu; re SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR LE COURANT ELECTRIQUE PAR Ea VAN DER VEN. Depuis bientöt un demi-siécle notre connaissance du transport des liquides par le courant électrique est basée sur les recherches de M. G. Wirpemann '), partiellement repetées et sanctionnées vingt-sept ans plus tard par celles de M. ©. Freunn ?). En étudiant ces recherches, j’ai été frapp& de l’absence totale d’une correction des données directes de l’observation, dont la nécessité me semble sauter aux yeux. Je veux parler de la part que la pression hydrostatique doit avoir au transport total, pression qui a son origine dans la diffé- rence, continuellement croissante, entre les poids spécifiques des solutions de sels metalliques, séparées par une cloison poreuse. Tandis que le métal est déposé par le courant ä la cathode, il se reforme du sel à l’anode: et comme les deux solutions ne corres- pondent qu’imparfaitement, le poid spécifique de celle qui remplit le vase poreux, et dans laquelle la cathode est plongée, s’abaisera bientöt au-dessous de celui de la solution qui environne ce vase et dans laquelle se trouve l’anode; cette différence doit aller sans cesse en augmentant. Pour me convaincre de l’importance de l’effet que la pression hydrostatique, résultant de cette différence des poids spécifiques, doit avoir sur le transport total, j’ai entrepris la série d’observa- tions suivante, pour lesquelles je me suis servi d'un appareil en tout conforme à celui dont M. Wiepemann a fait usage et dont on trouve la description dans chaque manuel de quelque importance. 1) G. WIEDEMANN, Pogg. Ann., 163, pag. 321. (1852). 2) C. FREUND, Wied. Ann., 243, pag. 44. (1879). ARCHIVES VIII. 14 94 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES La solution de sulfate de cuivre, dont les deux vases ont été remplis jusqu’au méme niveau, contenait 10 parties de sulfate sur 100 parties d’eau distillée (Poids spéc. 1.064). Le courant était fourni par un accumulateur (// = 2 volts). 17 juin 1901. Temp. Intensité Durée de l'écoulement. Poids du du courant. liquide écoulé. BIO et, Amp: 1° 572 — 2% 12m 1.6562 2 30 45 GOD 50 B 20 3 14 29 2.020 | 17° C. 33 48 050 , 52 A 1350 4 14 29 250.5 Wir Ohe GRS Amp: 33 48 0 18 juin (suite) 13°8C. 1.56 Amp. gp 31e — 9" 46™ à: 2.255 0 51 10 «26 22700 10 14 29 A 34 49 565 , 54 ul 00m 11 14 29 610, 16°4C. 1.48 Amp. 34 49 650 „ Total . . 33.145 gr. Il ressort de ces observations que le poids des quantités écoulées va toujours en augmentant et on pourrait croire que, le transport étant proportionnel à l'intensité du courant, cette augmentation devrait être attribuée à l'élévation de la température et par suite du pouvoir conducteur des solutions, occasionnée par le passage du courant. Mais, comme l'on voit, l’intensité du courant va plutôt en diminuant, une circonstance que nous croyons devoir expliquer par le fait, que le rapport dans lequel la diminution de la densité des solutions nuit à leur pouvoir conducteur l’emporte sur le rapport, dans lequel l’élévation de la température lui est favorable. Nous ferons voir que c'est en effet ia difference continuellement croissante entre les poids spécifiques des deux solutions qui est la PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE 95 cause probable de l’erreur constante dont nos observations sem- blent être affectées. Les observations étant terminées, j'ai déterminé les poids spéci- fiques des deux solutions; j'ai trouvé pour celui de la solution intérieure 1.021 et pour celui de la solution extérieure 1.069. Donc, à la fin des observations c'était comme si les deux vases étaient remplis d’une solution de même poids spécifique (1.021), mais que la hauteur de la solution, qui entourait le vase 106 1021 teur du liquide continu dans ce vase; comme le vase poreux était haut de 15 eM., cette colonne liquide imaginaire serait haute de 1572 cM Supposons maintenant que la différence des poids spécifiques ait varié proportionnellement au temps; alors, à la fin de chacun des quinze quarts d'heure que les observations ont duré, il a du exister à l’extörieur un excès de pression hydrostatique, occasionnée par les différences de poids des colonnes liquides, qui correspon- dait successivement à des hauteurs de 0.048, 0 096, 0.092, etc... 036, 072 eM., pour un poids spécifique commun de 1.021. Si, pendant les quinze quarts d’heure, le niveau extérieur s'était continuellement élevé de 0.36 e.M. au-dessus du niveau intérieur, la pression hydrostatique aurait également contribué au trans- port total. Pour déterminer directement cette quantité, j'ai d’abord rempli poreux, était devenue = 1.048 fois plus grande que la hau- les deux vases, jusqu'au diamètre horizontal du tube d'écoulement, d’une solution de sulfate de cuivre d'un poids spécifique 1.021; puis, après avoir indiqué sur le tube vertical le point, qui était élevé de 10 x 3.6 m M au-dessus du niveau commun, j'ai maintenu le vase extérieur rempli jusqu'à ce point pendant quinze quarts d'heure consécutifs. La quantité de liquide, qui s’est écoulée sous l'influence de la pression hydrostatique seule, atteignait un poids de 84.5 gr.; soit donc 8.45 gr. pour une différence de hauteur de 3.6 c.M. Corrigeons maintenant les poids des quantités, écoulées pendant chacun des quarts de heure, en tenant compte de la partie que la pression hydrostatique y a contribué. Pour le poids de la quantité écoulée pendant le dernier quart d'heure nous avons trouvé 2650 gr. et pour celle écoulée pendant le premier quart d’heure, 1.635; différence: 1.015 gr. Donc, si 14* 96 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES nous supposons que la pression a augmenté proportionnellement au temps, les corrections à apporter aux observations successives seront: 0.068, 0.135, 0.203, etc, 0.947, 1.015 gr. et les quantités successivement transportées par le courant seul: i P 4635 — 0.068 = 1.567 gr. — 10.101 gr. 0.014 .665 135 300." Say else 21 .720 .203 sod Tate <= Sa DIe: 23 2.020 271 TAI, tes DORM, 06 .050 .338 HDs, abe, BOA TE 02 5 „406 AAS COR 03 .250 474 176 rs eu QUAOBN,, 10 „350 54 1809 Ge Metre gs 20 .235 .609 626 , — 042 , 02 „270 „677 gar, ROTE 06 ‚410 „744 666) 4. 0.0028, 00 .865 ‚812 a OL 07 „580 „880 OO shure EZ 01 610 947 63°34 0 1000595 00 .650 1.015 (6500 MES 03338, Ol 95.025 er. > f2..0413 15 — - | — 1.668 gr Done, le transport total par le courant seul a été 25.025 gr. et le transport moyen en quinze minutes: 1.668 gr. avec une erreur probable: + 0.6745 1 = = + 0.015 gr. Il suit de là que le trans- port total par la pression hydrostatique seule à été 33.145 — — 25.025 gr. = 8.12 gr., valeur, qui s'accorde assez bien avec celle trouvée plus haut; surtout si l’on observe que, pendant la nuit qui a interrompu notre série d’observations, le contact des deux solutions a causé une diminution de la différence des poids spé- cifiques et, par conséquent, de la pression hydrostatique Cela résulte d'ailleurs aussi de nos observations, qui font voir que le poids du liquide, écoulé pendant le dernier quart d'heure de la premiére partie, surpasse de 0.115 gr. le poids écoulé pendant le premier quart d’heure de la seconde. PAR LE COURANT ÉLECTRICIQUE. 97 J'ai été fort étonné que ni l’un, ni l’autre des deux auteurs cités n'ait fait mention de l'influence que le phénomène signalé pourrait avoir sur les résultats de leurs recherches. Au contraire, dans le travail de M. WiepeMANN il n'est dit mot de la cause même d'une pression hydrostatique et si M. Freunp fait mention de la différence entre les poids specifiques avant et après les expériences, c'est à un tout autre point de vue. !) Pour déterminer cominent, dans le cas de trois solutions de sulfate de cuivre de densité différente, le poids du liquide trans- porté dépend de l'intensité du courant, M. WIEDEMANN nous donne quelques séries d'observations, dont voici une: ?) m a m — a 148 3.30 gr. 2.23 138 3.005 2.18 118 2.48 „ 2.10 64.5 150% 2.11 moyenne 2.16 Il faut supposer, — quoique l’auteur ne nous en dise rien —, que chacune des valeurs de m est la moyenne des données de plusieurs observations, pendant lesquelles l’intensité du courant a été maintenue constante. Une seule observation, ayant rapport à chaque intensité différente, serait une base trop peu certaine pour y baser une règle générale; surtout si, comme c’est ici le cas, le rapport de trois des quatre valeurs successives ne surpasse presque pas l'unité. Mais, même si notre supposition est conforme à la réalité il reste encore à savoir si ces valeurs moyennes sont corrigées de la part que la pression hydrostatique a prise au transport total. Si, par contre, chacune des quatre valeurs de m est le résultat d'une seule observation, alors leur combinaison en une valeur moyenne perd toute valeur à moins que l’auteur, en changeant l'intensité du courant, n’ait en même temps démonté l’appareil et renouvellé la solution de sulfate. Même en supposant que cette précaution ait été prise, les quatre observations ne sauraient étre réunies en un résultat commun sans étre corrigées de la part 1) C FREUND, ibid, pag. 53. *) G. WIEDEMANN, ibid, pag. 332. 98 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES différente que la pression hydrostatique a prise dans chacune d’elles. En effet, si le rapport des variations des poids spécifiques des solutions extérieures et intérieures, et avec lui les corrections de m, était proportionnel à l’intensité du courant, on pourrait se dispenser de ces corrections, parceque, en les omettant, on ne changerait rien à l'égalité ou a l'inégalité des valeurs “; 3 mais, quoique le dépôt de métal 4 la cathode suive cette proportionnalité, il n’en est pas nécessairement de méme du rapport des densités des deux solutions, séparées par la cloison poreuse. La sobriété que l’auteur observe dans la communication des détails de ses expériences, sobriété qui nuit — peut-étre trop — à notre confiance dans son travail, nous a engagé à le refaire. En voulant m’acquitter d'une promesse, déjà faite dans le cours de l'été passé!), je me propose d’examiner en premier lieu la maniére, dont le transport d’une solution d’un sel métallique d’une densité déterminée depend de l’intensité du courant. Pour celà nous ferons cinq séries d’expériences, chacune de douze observations et pendant chacune desquelles l'intensité du courant sera maintenue constante au moyen d'un rhéostat. Le courant, fourni par des accumulateurs, a été mesuré au moyen d’un galvanomètre selon GAuaarn, dont les indications («) dépendent de la manière suivante de l’intensité du courant. (1) a 7 « sg « 1 4° 0.42 amp. 182 BT amp: 22° 2.41 amp. 5 Da 14 tell 23 0200 6 62 15 15 5 0 ar 24 1000 7 Tam 16 Or 25 185 8 oa.” 5 17 BL; 26 ln 9 are 18 A ee 2e re 304 197102, 197 205 28 ren 11 150) 20 cies 29 a0! 19 MUC ae 21 oom 301 Ar La série d’observations, citée pag. 94, a été corrigée de l’influence de la pression hydrostatique en supposant que cette pression est augmentée proportionnellement au temps. 1) Archives des Sciences Exactes et Naturelles, T. VI, p. 127. (Livre jubilaire). PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 99 Cette supposition, qui résulte de cette autre, que la dite pro- PI , » 4 portionnalité existe entre les différences des poids spécifiques des deux liquides, l’un externe, l’autre interne, et le temps serait q ’ ? ) juste, si le liquide n’écoulait pas du vase poreux et si le volume écoulé n'était pas remplacé par un volume égal d'une densité supérieure Soient, en effet, V et V’ les volumes de liquide, séparés par ? ? ’ la cloison poreuse, v le volume du liquide qui &coule dans ? l'unité de temps, v celui qui le remplace w=v‘), G et G les poids du métal contenu dans les volumes V et V’ avant les 4 G G f expériences, ie — a) et g le poids du métal déposé à la cathode dans l’unité de temps. Alors le poids du métal, qui fait partie du liquide dans le vase poreux aprés la premiére expérience, sera: v J ON as SO Gogo) +p V=6-9+ 759 5 étant le poids moyen du métal qui se dépose à la cathode dans l’unité de temps. De même nous aurons après la 2e, 3°, 4e... ne expérience, en négligeant les puissances supérieures de 7 v | IR) G— 29 + v2) +2.5| Oe Be Olst g V | | I ? ’ ee G v | > il RIM I) + @— 2) + Btw re ry. v A s 0172 Comme la valeur du rapport y croit avec l'intensité du courant | (PES = G— ng + v et que celles de 7 et de n augmentent tous deux avec le rang d’ordre des observations, le dernier terme de cette correction pourra être négligée en tel cas, tandisqu’elle faudra être appliquée en tel autre. 100 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES Quoique l’appareil dont je me suis servi ne diffère pas en principe de celui dont mes dévanceurs ont fait usage, il a pourtant fallu apporter une amélioration dans la maniére dont le niveau du liquide qui entoure la vase poreux est tenu constant pendant le cours des expériences. Sans elle on ne saurait faire concourir a un résultat commun les résultats des diverses séries d'expériences, entreprises avec une intensité de courant différente, parceque sans elle on n’est pas sûr d’avoir constamment fait usage d’un instru- ment absolument identique. En effet ni M. Wırpemann, ni M. Freunp a pris soin de cette particularité; le premier, au contraire, en assurant que, appareil étant rempli, „la différence de pression’? — au-dehors et au-dedans du vase poreux — „est zéro pendant des heures” !) semble oublier que, quoique celà puisse être vrai avant que le courant passe, il ne peut plus valoir pendant les expériences, parceque alors le niveau extérieur s’abaisse par l'écoulement du liquide. L'influence d’un petit abaissement de ce niveau sur la vitesse de l'écoulement nous a paru si grande pendant les expériences, que nous ne relevons qu'avec peine dans la publication des leurs l’absence de tout moyen pour s'assurer un niveau constant. Cette constance était pour nous d’une importance encore autre- ment impérieuse. Car pour avoir le droit de faire concourir les cinq séries d'expériences, respectivement entreprises avec des intensités différentes, à une conclusion générale, il était necessaire que pendant tout le cours de l’examen la position du niveau extérieur par rapport au tube d'écoulement restait invariable. Et comme entre deux séries l'appareil fut démonté, pour nettoyer le vase poreux et les électrodes, il était à craindre que, p.e. par un enfoncement plus profond du bouchon de caoutchouc dans l’em- bouchure du vase poreux, le tube d'écoulement, qui y repose, ne sabaissat avec lui. Pour y pourvoir je me suis fait faire une barre mince de cuivre, doublement recourbée, dont l’une extrémité, étendue à plat et enroulée en forme de cilindre, entourait le tube d écoule- ment, tandisque l'autre se terminait en une pointe très effilée, située dans le plan horizontal, qui passait par l'axe du tube d'écoulement. Avant chaque série le vase extérieur a été rempli jusqu'à ce que cette pointe touchait le niveau et il a été conti- 1) 1. c., pag. 829. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE, 101 nuellement tenu en contact avec lui pendant les expériences par mon aide. Une autre modification de l’appareil, qui en simplifie beaucoup le démontage, fut que le döme de verre, dont le vase poreux était couvert et qui entre chaque couple de séries düt étre décollé et de niveau hermétiquement fixé, fut remplacé par un bouchon de caoutchouc, perforé pour laisser passer le tube d’ascension et les électrodes. Comme ce bouton s’enfongait assez profondement dans la vase poreux, celui-ci (diametre interieur: 6.5 eM.; hauteur: 14.2 cM.; épaisseur: 0.3 cM.) ne contenait que 555 grammes de liquide. Apres cette introduction et aprés encore avoir relev& 1°. que pendant les expériences la température de la cham- bre, non chauffée, n’a presque pas varié (Max. 46° C.; Min. 42° C.), 2°. que la solution de sulfate de cuivre contenait 10 parties de sulfate (CuSO, +5 Aq.) sur 100 parties d'eau distillée, nous croyons être à même d’entrer en matière. I 9 décembre 1901 oo = 0 1= 1.02 amp. En 10 minutes Durée de l’écoulement. : Gouttes. Gouttes. Grammes. ASS ONO 10 DOS AGS DOP EP TOO 10 10.54 „210 IKO me 02212 10 SW 11 .68 „250 10 30 20 28 idl 11.04 .292 20) 28 30 10 Wil | „330 30 10 A 12 Lhd) SUD 40 12 505520 12 .84 „385 50 20 ul =) & 12 12.29 438 ul OG TOM 13 .69 .485 10 21 20 26 13 „90 .509 20726 sa 13 13.10 1933 Sil) 21 40 9 13 .30 ‚556 Total: 141 gouttes. Poids du liquide écoulé: 16.51 er. » d’une goutte: 0.117 gr. ARCHIVES VIII. 15 102 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES En 10 minutes EI: a —14° 10 décembre 1901. I = 1.48 amp. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. HS OO RS aC) AEA): 15 14.75 2 0 40 10 10 15 15.00 AD 10 A'9) 54 15 50 19 51 29 54 16 .92 29 54 39 45 16 16.25 39 45 50 0 17 .58 50 0 DOM 117 AD 59 51 a) all) 5 18 ‚58 3) Al) 5 20 8 18 92 20 8 30 0 18 18.25 30) 0) 39 44 18 50 39 44 49 50 19 ‚83 Total: 202 gouttes. Poids du liquide écoulé: 24.26 gr. d'une goutte: 0.120 gr. ” Grammes. 1.77 „80 „86 ot ‚95 99 2.07 Ad 15 19 .22 .26 En 10 minutes Ill. a=19° {1 décembre 1901. I = 2.05 amp. Durée de l'écoulement. Gouttes. Gouttes. Qh. 40™ 11 — 9h 50" 5* 20 20.20 0) 10° ORI 21 „86 HOMO 10 10 22 21792 (ON 2021 23 22.62 20 2A 30 45 23 23.23 30:15 AQ) 24 24 „76 40 21 5 OMD 24 24,36 bit) le 11 0) 45 25 83 i ORG 10779 25 25.26 0) 201 26 .87 20m? 30 10 26 26.09 30 10 40 2 26 319) Total: 285 gouttes. Poids du liquide écoulé: 33.87 gr. „ d’une goutte: 0.119 gr. Grammes. 2.403 482 .608 .692 .764 827 „899 ‚955 3.006 ‚079 „105 136 PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 103 IV. = 23° 12 décembre 1901. I= 2.52 amp. En 10 minutes. Durée de l’&coulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. ADO 0 = EO SE 24 rl) SS ER ba 3 10 OW 25 25.14. 3.042 dr 0: 0 NO 7 26 N) 110 AO ET. 20) 2A 27 26.40 194 20 21 aid) als) DU 21:10 .279 80 19 40 24 28 .81 .365 40 24 50 13 28 28.51 .450 50) A8 11 Oo O0 29 29.20 Dae ME 0 9 LOI 30 .90 618 AOE JOB A 30 30 51 .692 20 4 aÙ © 31 .98 .149 3077 2 40 10 32 31.58 .829 Total: 337 gouttes. Poids du liquide écoulé: 40 63 gr. » dune goutte: 0.121 gr V e= 27° 13 décembre 1901. TI = 3.04 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. OS CN alge Oss we 30 29.90 = 3.648 10702 107.0 31 31.10 „194 100 2007 33 32.62 .980 ZO, 7 30) 1) 33 33.39 4.074 30 0 40 11 35 34.37 193 40 44 50 2 30 35.53 „335 OOM MOIS 37 36.33 432 Us (0) 4e 10 16 37 37.44 968 OMG 20) 12 39 38.61 „710 202 80: 2 39 39 66 839 20.272 40 13 4 40.36 .923 40 13 50 2 40 .75 972 Total: 430 gouttes. Poids du liquide écoulé: 52.43 gr. » d’une goutte: 0.122 gr. 15* 104 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES Les données directes des observations sont affectées de la part que la pression hydrostatique a prise au transport, selon la for- mule (page. 99) dans laquelle V=335 cM. (page 101). En substituant dans cette formule les différentes valeurs de v et de n, on trouve pour les cing series: T. fe 10168 :855) > = 0.998 1—(1.77:355). a 003 972210 hae 1.993 2 (80 ). a legen 3—( .250 Vas 2.984 3—( .86 ). + 02/0100 4—( .292 jets 3071 Si ). = 23080 DB 280 ). 2 4.953 b=( .95 ) 5 wegen Sl ae ore” eee 6—( .99 ). + 5.899 Hil SED ). = 6.904 iS (207 ). + 6.857 8 —( .438 vo eed dl lu ). + "Tel 9—( .485 ).+ 8.831 9—( .15 ). + Sane 10 —( 509 ). 9.788 10 19 ). 9.691 LIEN ONE; ). 10.739 he, ). 10621 12—( .556 ). 11.684 12 (0.26 ). 11.542 HL VI. 1 — (2.408: 355). 3 = 0.997 1— (2989: 355). + = 0.996 ER ). = 1.986 2 (3,042 ). 5 1988 31.608 ). + 2.967 3—( .119 ). = + 2.960 A SER ee . 1:8:939 4—( .194 ). 5 8.998 De (Ade: ). + 4,908 AZ) ). 7 4885 6.827 ). 5,859 = 865 ). 5 5.829 7—( .899 ). 6 800 (200 ).ig SONG 8 —(. .955 ).$ 7.734 S=( .53 5 West 9 — (3.006 ). 5 8.658 9—( 618 ). 3 8587 10—( 079 ). 9.568 10—( .692 ). 9.480 ID ). 10472 Ag ).7 10.361 12—( .136 ). =. 11865 12 (F822 ). 11.225 PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 105 V. I (2.648355): — 0.995 2—( .794 es 1.979 3 —( .980 ee 2.950 4 — (4.074 ). à 3.909 5—( .193 EN chsh Sl) 285 az 52180 10452 ea UE 8 (0568 je Mn: 9—( .710 Ne 8.463 10 —( .839 es + 9.319 11—( .923 er... 10.161 DE 07 ). 10.992 Ces nombres représentent la maniére dont pendant chaque série d’observations la pression hydrostatique a contribué au transport. Pour trouver la valeur probable de ce tribut pendant la pre- miére dizaine de minutes, il faut diviser la différence des quantités transportées pendant la premiére et la derniére dizaine par la différence des nombres qui s’y rapportent Car si l’on appelle x la quantité contribuée par la pression hydrostatique pendant la première dizaine, m’ le nombre qui se rapporte à la n-ième, a la quantité constante que le courant transporte en 10 minutes, p et q les quantités totales transportées dans la première et la n-ième dizaine, alors on a, de a+n u=q et a+ı=p et cette valeur de x sera d’autant moins affectée par les erreurs de l’observation que la valeur de n’ est grande. Nous avons de cette manière: Ik Il. 1556 INGEN en Tea gn Oer 2.260 — 1.770 T = eo no à UNE 106 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES 0.998 x 0.036 gr. = 0.036 gr. 0.998 x 0.047 gr. = 0.047 gr. 1.993 072 , 1.990 093 , 2.984 On 2.976 140 , 3.971 443; 3.957 BE - 4.953 AT; 4.931 .232 „ 5.930 Ds 5.899 Dike 6.904 ‚248 „ 6.857 323 „ 7.871 283 , 7.810 SOR 8.831 318 , 8.755 412 „ 9.788 352 , 9.691 456 , 10.739 386 , 10.621 499 , 11.684 491 , 11.542 542 , Transp. par la pr. hydr.: 2.757 gr. Transp. par la pr. hydr.: 3.574 gr. LE TY: B = 2403) oe Gas or oe ED OLE 0.997 x 0.070 gr. = 0.070 gr. 0.996 x 0.081 gr. = 0.081 gr. 1.986 39, 1.983 161 2.967 .208 , 2.960 240, 3.939 210", 3.928 318 , 4.903 343 „ 4.885 .396 , 5.859 410 , 5.829 Al 6.800 A16 , 6.762 548 , 7.734 Dal , 7.681 .622 , 8.658 .606 , 8.587 ‚696 , 9.568 .669 , 9.480 1052 10.472 129, 10.361 839 , 11.365 196% 11.225 UT Transp. par la pr. hydr.: 5.263 gr. Transp. par la pr. hydr.: 6.058 gr. Transp. par la pr. hydr.: 9.7¢ Transport total. 1.168 gr. .210 .250 .292 .330 „315 „385 „438 485 509 533 „556 „ PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. Di V. 4.972 — 3.648 __ 10.992 — 0.995 8: — 0.995 x 0.132 gr. = 0.131 gr. 1.979 2.950 3.909 4.852 5.780 6.694 7.588 8.463 9.319 10.161 10.992 „261 „389 ‚516 „640 „763 Conelusion. ” 0.132 gr. Is I= 1.02 amp. Transport Transport f par la pression. par le courant. 0.036 gr. 1.132 gr. — 0.016 1072, .138 — 10 .107 .143 — 05 .143 | Se = 152 + 04 Da DSR on Er VO 248 , ASPE eN Sone ode BE LOY BEEN Vy loft Ze 19 382, Ao ar eG 386 > A. 01 AL, U, Transport par le courant: 13.770 gr. Moyenne en 10 min... 1.148 gr. Erreur probable: 0.6745 OE 0.002 gr. 12.11 107 108 Transport total. Lei et: SS ur „86 gi OD > .99 2.07 al HN 19 ‚22 26 „ Erreur Transport total. 2.403 gr. FAS ROOS ME 092 NOAR EO à .399 ,, 955 , 3.006 „ re Oo „136 I= 1.48 amp. IT: Transport par la pression. 0.047 gr. .093 „140 186 277 ‚323 "SON 412 , „456 „199 „542 Moyenne en 10 min . 0.001667 probable: 0.6745 Ee RBE T=2.05 amp. Transport par la pression. 0.070 gr. .139 208 , Dr SAS AMD A16, A 606, 669, 7200 De SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES Transport par le courant: 20.707 er. 1.726 gr. Transport par le courant. 2.339 gr. CON 400 , AGE 421 „ Ape EVE 414, 400 , AOL , eine > .340 Transport par le courant: 28.684 gr. WW Moyenne en 10 min.: Erreur probable: 0.6745 2 2.390 gr. 012506 It ++++ ++ Transport f par le courant. 1.723 gr. — 0.03 107 , — 1 OUR 06 A25 =O 118 — 08 JNB „— ia AAT tl 143 real 188 „ al 134 , + 08 dE) ae JIS , — 03 = + 0.003 gr. 14 -= + 0.008 gr. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. JA I ='2.52 amp. Transport Transport Transport if total. pär la pression. par le courant. 2989 gr. 0.081 gr. 2.908 gr. + 0.016 3.042 „ AG OSU , — 11 EO 240 , SOR — 22 194 , sle) py SOON -— 16 2796 , 396 „ REN, 2709 305, „ 4120 893 „ au 01 450 , ‚48 „ JU + 10 ooo! ,, 1022 Ode + 19 1618 ., (EO 022 , + 30 1002 .168 , 924° ., + 32 AO, 8892, Er ae 08 1822 „ OUR” Obi a + 45 Transport par le courant... 34.785 gr. 492 ZZZ Moyenne en 10 min........ 2.892 gr. f) i= Erreur probable: 0.6745 / ET — + 0.004 er. V. I = 3.04 amp. Transport Transport Transport f total. par la pression. par le courant. 3.648 er. 0.131 gr. Sh gr. — 0.044 or 194 , 2640 Dos — 20 1060: DOS OMe, + 30s 4.074 „ pod Gere Sn — Ose “199 = 640 „ 008 5 u OS; 300 MOS > EDI + AA 432 „ 884 , D48 „ — ASE ‚568 , A OND Eer Innos u 05 „ MO: MG DJS + 32 Sooo 2307... GOOR + 48 , DD, 34 , OSZ + i aes re 451 , zen: — 40, Transport par le courant... 42.733 gr. 12 Moyenne en 10 min........ 3.561 gr. Erreur probable: 0 6745 V —_ = + 0.006 gr. ARCHIVES VIII. 16 109 110 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES Done il parait que d’une solution de sulfate de cuivre de la densité donnée le courant seul a transporté en dix minutes: Selonla série Ti. ee = 1.126 gr. par ampère. 1725 » » „ II Sie icp #5 1.48 — 1.166 ” » ” 2.390 ” ” » IT eet fos (> 205 05 Tr ul 166 ” »” ” 2.892 » » ” IM es 252 — 1.148 » » » 3 561 » ” » V Si Sh paie el DO 1: HE ” ” ” SU ee moyenne 1.156 gr. et que, par conséquent, Vintensité du transport par le courant électrique seul à été proportionnelle a celle de ce courant. Les valeurs des corrections, que nous avons appliquées, ne dépendent que de celles des quantités de métal déposées à la kathode, c. a. d. de l’intensit@ du courant; elles sont indépendantes de la densité des solutions par lesquelles le courant passe. Done pour juger de l’applicabilité générale de la méthode de correction, j'ai répeté les observations précédentes en me servant d’une solution contenant 20 parties de sel sur 100 parties d’eau distillée. Si, dans le but d'éliminer l'influence constante, que la densité de la solution pourrait avoir sur le transport, on a soin de régler le niveau de maniére, que le poids de la quantité transportée dans la premiere dizaine de minutes soit égal a celui, transporté pendant la premiere observation de la série précédente, il en devra étre de méme des poids des quantités totales, transportées pendant toute la durée des deux séries. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE, En 10 minutes 1. 2103 7 janvier 1902. i — 1.02: amp. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. 9 40™ Ge — 92 50™ 49° 11 10 27 iy 50) 49 10 O0 14 10 62 107707714 107 17 11 .95 OW Th 207 2 11 11.28 20722 30719 12 .67 30 19 40 18 12 12.02 40 18 50 4 12 29 50 4 120827 13 52 das 0: :27 107 13 .80 103 20029 13 13.18 20° 29 SOM) 13 45 30 9 40 21 14 13 Total: 145 gouttes. Poids du liquide écoulé: 17.10 ST. „ d'une goutte: 0.118 gr. Grammes. — 11 21? .252 292 .331 all 418 „450 ATT .510 „555 „587 „620 En 10 minutes IT. @— 14? 8 janvier 1902. T= 1.48 amp. Durée de l'écoulement. Gouttes. Gouttes. SOON 92 40 12> 15 14.72 40 12 50 4 15 15.20 50 4 IOO Ie 16 .74 10 Oma: OW v4: 16 16.27 KO a! 20 10 Ik 83 20 10 308 29 18 17.44 30 29 407 29 18 18.00 40 29 50 14 18 46 50 14 11 OMG 19 .94 Il 36 10 l 19 19.45 10 | 20, 4 ‚20 .90 20 4 SUB 21 20.37 Total: 212 gouttes. Poids du liquide écoulé: 25.60 gr. „ d’une goutte: 0.12 gr. Grammes. == el 839 „904 „969 2.036 AO) .178 234 .292 ‚308 408 465 16* 112 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES III. Ag, 9 janvier 1902. I= 2.05 amp. En 10 minutes Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. JESUS ORO MGE: 20 KoRn Se 2396 40 6 HUM 21 20.49 .458 50) 24 Ds = @) 17 2 91.14 537 AO BO Alt 1023 29 21.78 „614 102293 20 0 22 29,45 „694 > 7 a) 23 23410 .778 30) © 40 9 24 23.76 .851 40 9 a) 30) 24 94.37 „924 U) 14 OM 25 24.96 .995 11 0 1 10 10 26 25.63 3.074 10 10 20 4 26 26.26 Aa 20 4 30 6 27 .91 .299 Total: 281 gouttes. Poids du liquide écoulé: 33.72 gr. „ d’une goutte: 0.12 gr. NE o=23° 10 janvier 1902. I = 2.52 amp. En 10 minutes Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. 9 40™ 05 — 92 50% 6% 25 24.15 In 50 6 107 7018 26 25.50 3.060 AD OF ke) 10740 26 26.35 162 10 10 20 10 27 27.00 „240 20 10 30 all 28 27.94. "353 80 44 4049 29 28.64 437 40 19 50 10 29 29.46 .b35 50 10 AA One Sey 30 30.25 . 630 14 O5 10 45) 31 31.00 „120 1025 AD all) 32 31875 .810 20 10 3020 33 32.55 .906 30) 0 ADD 34 33.30 4.002 Total: 350. gouttes. Poids du liquide &coul&: 42.04 gr. „ dune goutte: 0.120 gr, PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. LS V. er AIS 11 janvier 1902. [= 3.04 amp. Kn 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. Qt 5O™ 6 —A10% Om 5s — 30 SOE) it HOR 0-5 10 - 0 31 31.26 „720 100 20 9 33 32.51 869 20 9 30 0 33 33.50 .987 30 0 40 4 35 TMC RES 40 4 50 8 36 35.76 255 50 7.8 Spe ON 37 36.82 382 HO" 44 10:0 37 37.69 485 10 0 20 9 39 38.42 5TA 20 9 305, 2 39 39 46 696 Ai 40 0 40 40.15 178 40 0 50 1 4 40.93 „871 Total: 431 gouttes. Poids du liquide écoulé: 51.00 gr. » d’une goutte: 0.119 gr. Corrections selon la formule: Vv N“ a V ern IE II. 1 (1.212:355). + = 0.998 Niesje — 0.995 20952 ). = 1.993 Fae @ 839 ). + 1.990 Be 292 ). z 2.987 3—( .904 ). = 2.981 4—( 331 RES Pes) 4—( .969 Vey a) 8-056 5—( .377 ).F 4,951 b= (2.0386 ). 7 4,928 6—( 418 5 5.027 Sl A) ). + 5.893 (0150 ). = 6.900 7—=( 178 ). + 6.850 8—( .477 Ye 1667 Sl EEE ). 5 7.799 9—( .510 ).5 8.828 9—( .292 yee <8:742 = (555 ). 9.781 10—( .353 ). 5 9.669 (587 ). 5 10.730 11—( 408 ). > 10.590 12 —( .620 ).7 11.671 12 (465 ). 11.500 114 1 — (2.396: 35 ). = = 0.997 ). = 1.989 ). + 2978 Janet - 9.951 jee 4,928 ). 7 5.886 ). 5 6.835 Vit. 27770 en AS ). 9.627 )- 2 10.569 ). 11.452 V. er 2020 ve 3 —( .869 Ve 4—( 987 Ne 5 (44198 ). Sl ES ye el SD Ne 8—( 485 Ne Det sii Me 10 —( .696 ve il iS je Sri je SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES 1.620 — 1.212 2—( 458 3 DST NSV! 5—( .694 6 6.2778 mA HSS 8—( .924 9 —( 995 10 — (3.074 ei ia 809 T — 11671 — 0999 3° = 0.038 gr. 1— (2.970 : 255). a ( 3 — ( N sil EE Et Zi dal NO 11—( 12—( 25 IS col wi mofo vof nol 19] 2 rol 2 frm le fe Denn mo 5 a = Im 3.060 .162 .240 .303 437 „535 „650 „720 ‚810 „906 4.002 0.995 1.979 2.951 3.910 4.855 5.784 6.698 7.596 8.462 9.331 10.186 11.012 2.465 — 1.781 IV. IE “= 11.500 — 0.998 . ln le . . . . . . = . N a 1/2 wo] vol no] $2 ol eol poco vole colts to woe [=S role bo > = 0996 1.983 2.960 3.927 4.882 5.826 6.756 7.673 8.576 9.463 10.334 11.188 gr. = 0.065 gr. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 115 0.998 x 0.038 gr. — 0.038 gr. 0.998 x 0.065 gr. — 0.065 gr. 1.993 076 , 1.990 129 , 2,987 ah 2.981 .194 , 3.970 er 3.956 257 , 4.951 188 , 4.928 320 , 5.927 295 , 5.893 383 , 6.900 .262 , 6.850 445 , 7.867 299 , 7.799 .507 , 8.828 335 , 8.742 568 , 9.781 Bi es 91689 630 , 10.738 408 , 10.590 688 , 11.671 AAA , 11.500 748) , Transp. par la pr. hydr.: 2.912 gr. Transp. par la pr. hydr.: 4.934 gr. IT EV 3.229 — 2.596 rr. = 0.080 gr. © = 71.452 — 0.997 © EN air 0.997 x 0.080 gr. = 0.080 er. 0.996 x 0.101 gr. = 0.101 er. 1.989 159 , 1.983 200 , 2.973 238 , 2.960 299 , 3.951 316 , 3.997 Son. 4.923 394 , 4.882 493 , 5.886 ATL, 5.826 588 , 6.835 HAT. 6.756 682 , 7.779 622 , 7.673 be. 8.713 697 , 8.576 866 , 9.627 770 , 9.463 956 , 10.569 846 , 10.334 1.044 , 11.452 916 , 11.188 Aso! , Transp. par la pr. hydr. : 6.056 gr. Transp. par la pr. hydr.: 7.531 gr. 116 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES V. 4.871 — 3.577 11.012 — 0.995 0.995 x 0.129 gr. = 0.128 gr. v= gr. = 0.129 gr. 1.978 9255 , 2.951 ‘Sailer 3.910 504 , 4.855 626 , 5.784 ‚746 , 6.698 864 , 7.596 980 , 8.462 1.092 , 9.331 2040 10.186 314, 11.012 491 Transp. par la pr. hydr.: 9.515 er. Conclusion. I: TOAD: Transport Transport Transport if total. par la pression. par le courant. 1.212 gr. 0.038 gr. 4.174 gr. — 0.007 gr. AS} OO, AAO en 9 05 292 , AMA, ATS SUN 334 , 10 430. , —" Oia MINES 188 , ISO OS MB , 295 , 193 , + oe 450 , 262 , 488°. = ON SOU 299 , A78 , — Nase Sul) BOD à 175 „ — Oom 555 , BID „ 183, + 008 el = 408 , 179 , — 02 620 , ANA, 176 , — Ey Transport par le courant: 14.169 gr. 1 Moyenne en 10 min... 1.181 gr. 0.000419 Erreur probable: 0.6745 gr. = + 0.002 gr. ATEN PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. Lai 108, I=1.48 amp. Transport Transport Transport / total. par la pression. par le courant. WS ler: 0.065 gr. 1.716 gr. — 0.004 gr. Sa) AL Omer NON nd ON 904 , SOA POS 2,5 PRD .969 , PAB ep 2% MOSS. 2.036 „ 320 =; LOS — 042, EN) A) WV eee OI ABUS 445 „ Js H aje 284 , BU DAT ee oat ON IR, ‚568 „ Say at 04 , 03 5 ABU) 123. + 02 408 , OSS TRAD NS 00e 465 , 148 , ANT an USE Transport par le courant: 20.635 gr. 12 : : Moyenne en 10 min... {,720 gr. Erreur probable: 0.6745 jp = + 0.002 gr. III. I = 2.05 amp. Transport Transport Transport f total. par la pression. par le courant. 2.396 gr. 0.080 gr. 2.316 gr. + 0.012 gr. 458 , ADOBE DO b= ROTEN, DO 238 „ DOME OD ONZ OG Ben NTI ‚694 „ 394 , 300: 4, == OA NIS me Al , 307 „ + 03 , Sal, .b4T , ‚304 „ 00, 3924 , .0220 5 302.0, 7— 4.02 OD à 1007 208 , — 1106, 3.074 „ Ale 304 „ 00, OI 846 „ OOR = Ol 2229 EN mn als, = 095 Transport par le courant: 27.643 gr. 12 er Moyenne en 10 min.:... 2,304 gr. Erreur probable: 0.6745 en gr. = + 0.002 gr. ARCHIVES VIII. 17 118 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES IV. I=2.52 amp. Transport Transport Transport if total. par la pression. par le courant. 2.970 gr. 0.101 gr. 2.869 gr. + 0.011 gr: 3.060 „ PANO) 5, 3860 „++ 0022 HIBA + DO) » 563 , + MOSES 240) 5 BOU 843 , — Wie 53 5 493 , ‚860 , + MOR 437 , 588 „ 849 , — ll 035 „ 682 „ 853 , — om „680 , Ds 4, 255, — MOA 20% 866 „ 854 , — 04 , SU Bes ey 854 , — 04 , 906 „ 1.044 , 862 , + "04 4,002 = LEONE 812 , + MER Transport par le courant: 34.294 gr. 12 Moyenne en 10 min.: ... 2.858 gr. Erreur probable: 0.6745 coe gr. = + 0.002 er. 12.11 V I = 3.04 amp. Transport Transport Transport if total. par la pression. par le courant. 3.577 gr. 0.128 gr. 3.449 gr. — 0.035 gr. 20) 0 265 , 465 la 869 , Sele 488 „= oa OST) pe 504 , 485 =O AMES > 626 , 512 , + os 5D TAG 509 5. Aton OS 864 , RENE TIEN A85 , 980 , 505 ; + An BT; 1.092 , ATB == MOED 696 , 204 , 492 eN Be out ee AA , = 1090 ules AQ , 450 , =) SA Transport par la courant: 43.813 gr. WD Moyenne en 10 min.:... 3.484 gr. _0.006313 Erreur probable: 0.6745 = Ae hie 0.007 gr. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 119 Done le transport par le courant seul a été cette fois en dix minutes: 18 selon la série I .. nn gr. = 1.158 gr. par ampère. 1.720 ‘ » ” ” De. 1.48 Dh „162 » ” » 2 304 » ” ” INU 9 05 ” — .124 » » » 2 858 » » ” IV x CC 9252 Di Ta „130 ” ” » ; a ee ” ” V 304 9 .146 ” » » 5.720 gr. 5 et — a 1.144 gr.; de sorte qu’il ne diffère du résultat des cinq séries précédentes (1.156 gr.) que d’une quantité située entre les limites des erreurs, dont les observations de ce genre sont naturellement affectées. Et cette différence disparaît presque entièrement, si l’on compare les poids des quantités des deux solutions de densité différente, qu'un courant d’une intensité d’un ampère a transportées pendant tout le cours des observations, c-a-d. en dix heures. Solution de 20 parties de Cu SO, +5 Aq. sur 100 parties d’eau distillée. Solution de 10 parties de Cu SO, +5 Ag. sur 100 parties d’eau distillée. E a er. = 13.93 gr. L _ gr. = 13.50 gr. mo „sien, IL. nn on ida ae US = IIL. =e usa IV. roc IV. eS FE 580. V. ae wage v. Si „1400 , 69.38 = 6925 gr. HAARLEM, Maart 1902. > = d Lui Timah ee i- N ivy fe!) ’ aaria er a winte ta ta ane rt Aldie Sarde LA pee it. riet ae 8 sy : N 1151 ir Ie A ' 8 +5 wen der „er «Bi CR y ? ¥ ER dal ihr de KAS 3 en Vil Oh. A iv f 213 ye ef VE ei j Wire F af Jul Hald j P wd +. F4 a Dan u LL 4 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS PAR L. P. H. EIJKMAN. Si l'étude de la position du voile du palais, comme facteur servant à déterminer le caractère des sons de la parole, a été tant négligée jusqu’à présent, ce n'est pas parce que les phoné- ticiens en méconnaissent l’importance, mais plutôt parce que les recherches dans cette direction offrent des difficultés exceptionnelles. L’abbé Rousseror, dans ses Principes de phonétique expérimentale, p. 267 (1897), dit au sujet du vélum: „Il est done du plus haut intérêt d'en étudier avec attention tous les mouvements”. A la page 95 il dit qu'il s'est lui même contenté jusqu'ici de la méthode indirecte inaugurée par M. le Dr. RosaPpezcy, c-à-d., qu'il juge des mouvements du voile du palais d’après la quantité d’air qui sort par le nez. Il décrit aussi les expériences faites par: 1°. M. Weers (p. 94), qui introduisit dans sa bouche un style formé de deux fils d’aluminium „qui sont d’abord tordus ensemble, puis s’écartent pour renfermer entre eux la langue, et enfin se rejoignent pour s’attacher à un petit bouton de plâtre qui se colle au-dessus de la luette”. L’autre extrémité du style était fixée à une barre formant le levier d’un tympan Marry, tenu verti- calement en face de la bouche par une tige soudée à un cercle de fer entourant la téte. 2°. M. Aten (p. 94), qui introduisit dans le nez une tige dont une extrémité recevait les impulsions du voile du palais tandis que l’autre, pointue, les tracait sur un cylindre vertical. 3°. CZERMAK (p. 267), qui introduisit par le nez un fil de fer et montra expérimentalement que le voile du palais suit une progression croissante pour les voyelles a, é, 0, ou, à (Signes pho- DELIQUEB 2 Gis, ei, 08,205, a). 1) Dans le présent article je me sers de l’alphabet de /’ Association Phonétique. ARCHIVES VIII. 18 122 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. Parmi d’autres écrivains, qui ont traité le méme sujet, je nomme M. H.-W. Arkınson, qui introduisit un fil de nickel dans sa bouche. Il est impossible de décrire briévement sa méthode; c'est pourquoi je dois me contenter de renvoyer le lecteur ä son article, Methods of Mouth-Mapping, dans la Revue Die neueren Sprachen, Novembre et Décembre 1898. Quelques auteurs ont été mentionnés aussi dans la Physiologie des Rachens!) du Prof. Dr. W. Ernraoven, dont les articles sur les mouvements du voile du palais peuvent être consultés avec fruit, bien que ceux que j'ai lus se rapportent à des cas d’opération. Toutes ces méthodes peuvent être classées sous deux rubriques, savoir: celles qui prennent l’objet d’investigation, le voile du palais, du côté antérieur, c'est à dire par la bouche et celles qui le font du côté postérieur, c’est à dire par le nez. Il est évident que ce sont celles-ci qu’il faut préférer, parce qu elles n’exercent point d’influence sur la prononciation naturelle à l’expérimentateur et lui permettent, dans le cours de ses recher- ches, de prononcer, selon son désir, de simples voyelles ou con- sonnes, des groupes de sons, des mots séparés ou des phrases entières. La seule objection, qu'on puisse faire à ce sujet, c'est que la forme de la surface postérieure du palais mou n'est pas nécessairement identique à celle de la forme antérieure et que la contraction d'un ou de plusieurs muscles sur la surface postérieure pourrait en faire enfler une partie, tandis que la surface antérieure reste complètent égale Les seuls muscles qui puissent produire cet effet sont: 1. le palato-staphylin ou muscle azygos, 2. le péristaphylin interne, 3. le péristaphylin externe, 4. le pharyngo-staphylin Le premier de ces muscles peut être négligé, parce qu’une tige introduite dans la cavité du nez et s'appuyant sur le palais mou, laisserait le muscle azygos intact. On peut négliger de même le péristaphylin externe, parce qu’il se termine sur une aponévrose ?). 1) Handbuch der Laryngologie und Rhinologie, par le Dr. PAUL HEYMANN. 2) Le péristaphylin externe est placé entre le ptérogoïdien interne et l'aile in- terne de l’apophyse ptérygoide. Il s’insère en haut, suivant SAPPEY, à une petite surface allongée, située à la base de l’apophyse pterygoide et sur le tiers supérieur de la portion fibreuse de la trompe. Les fibres musculaires qui en partent forment un petit faisceau aplati, qui se termine.... sur une aponévrose intra- LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 123 Done, le péristaphylin interne et le pharyngo-staphylin seraient les seuls muscles dont l’épaississement résultant de leur contrac- tion pourrait influencer les excursions d’une tige, reposant avec une de ses extrémités sur le palais mou. Il est douteux cependant que ce facteur doive ¢tre pris en considération dans les résultats publiés ci-dessous, 1°. parce que la tige avec laquelle j’ai expérimenté ne dépassait le septum choanorum !) que de 9 millimètres (voir p. 127), et 2°. parce que ces deux muscles sont trés ténus. Toutes ces considérations ont amené M. le Prof. Dr. ZWAARDE- MAKER, de l’Universitö d’Utrecht, à modifier la méthode de DEBROU- ÜZERMAK et à construire un mécanisme qui, combiné à l’appareil pour l'étude des mouvements des mächoires, des lèvres et des muscles extrinsèques de la langue (Archives Teyler, Série II, T. VII, 2ime partie 2) permettrait de tracer les mouvements du vélum sur un tambour tournant. Ce procédé aurait d’ailleurs avantage de noter les mouvements de ces organes tous à la fois. Le mécanisme en question consiste en un fil d'argent assez épais (2 millimètres), ayant la forme d’une sonde de l’oreille Irarp, longue de 12% centimétres et pourvue d’un petit crochet mobile. Fie. 1. A défaut d'un point fixe de support sur la tablette d'aluminium protégeant le coussinet des lévres (Cf. Arch. Teyler, Série II, T. VII, 2° partie *)), cette tablette a été remplacée par une tige musculaire... …; elle (Paponévrose musculaire) s’élargit.... à Ja facon d’un éventail et contribue en grande partie à former l'aponévrose du voile (Dr. ©. CHAUVEAU, Le Pharynx, p. 197). 1) CHAUVEAU, p. 191: „Sa longueur (du vélum) est de trois à quatre centimétres, en dehors de la luette. Sur la ligne médiane cette longueur atteint de quatre centimètres à quatre centimètres et demi, grace a l’étendue propre à ce pro- longement.” 2) Dans l’article cité j’ai parfois employé le terme muscle lingual où j'aurais dû dire muscles extrinsèques de la langue. 3) C'est A cet article-la que je renvoie chaque fois que je cite Teyler dans cette étude. 18* 124 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. de métal, fixée 4 un dilatateur des narines système FELDBAUSCH (Fig. 2). Après que l'appareil ZwAARDEMAKER a été fixé de la manière habituelle, on introduit le dilata- Fre. 2, teur dans les narines et la tige de métal, appuyé fortement contre le septum du nez, est tenue en position par les deux fils de plomb qui, autre- ment, soutiennent le coussinet des lèvres. La tige-levier, dûment désinfectée dans une flamme de gaz de Bunsen, est introduite alors dans une des narines et un crochet (Fig. 2) soudé à une tige mobile glisse facilement sur la tige-levier et est posée dans un des crans d’une piéce en métal (Fig. 1), soudée à la tige-levier pour l’empecher de se renverser. Alors le crochet de la tige-levier (Fig. 1) est mis en contact avec un coussinet à air cylindrique (Fig. 3), communiquant par des tubes en caoutchouc avec un tambour inseripteur Marry. Le coussinet à air est fixé au cercle s’adaptant à la tête !). Pour donner plus de fixité à l’appareil on passe sur une poulie un cordon attaché au cercle de la tête et à l’autre bout du cordon on pend un contrepoids. Pour l'introduction et l’ajustement de la tige- levier, ainsi que dans tout le cours de mes expé- rimentations, j’ai eu le précieux avantage d’étre assisté par M. le Prof. ZwAARDEMAKER. La première fois l'opération cause une sensation légèrement désagréable, mais sans douleur; cependant l’ajus- tement du morceau de fil de coton au crochet de la tige et du coussinet à air demande quelque précaution. Plus d’une fois j'ai expérimenté pen- dant deux heures consécutives et davantage, sans avoir dû retirer de mon nez la sonde. Afin de trouver l'échelle servant à déterminer le rapport entre 1) Pour la manière dont je m’y suis pris cf. Nederlandsch Tijdschrift voor Geneeskunde, 1901, 2° p, n°. 9, page 466. Cependant je me suis servi de deux coussinets à air cylindriques de la même dimension. LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 125 les excursions du levier inscripteur et l’extr&mit& C de la tige-levier, (Fig. 3) appuyant contre le voile du palais, nous nous sommes servis du même instrument que j'avais employé autrefois pour mesurer les distances des mächoires (voir Arch. Teyler, p. 107). Apres l’avoir attaché au cerele de la téte, nous avons joint sa tige horizontale inférieure D a la tige du vélum au moyen d’un fil de coton. La jonction se faisait au point 4 entre le support A et le crochet au bout de la tige, 4 20 m.m. de distance du premier. Les bras du levier, étant done de 96 m.m. et de 20 m.m., chaque fois qu’on faisait descendre D d’un millimétre B en descendait 1 et C en montait 4,8. La descente du point B raréfiait l'air dans le coussinet à air et dans le tambour Marry et par conséquent le levier inscripteur descendait. L’élévation du point B avait, tout naturellement, l’effet contraire. Après cette explication il suffira de quelques indications pour comprendre o Fic. 3. la manière de composer l'échelle. 126 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. Il faut d’abord fermer la bouche (les mächoires serr&es) de maniére que le voile du palais ait la position la plus basse. Cette position de repos est notée sur la feuille noircie par une courte ligne de repère. Ensuite il faut baisser la tige D jusqu’à ce que le fil de coton BD soit tout à fait tendu et alors le nombre désigné par l'indicateur de l’instrument mesureur est inscrit à côté de la ligne de repère. Puis il faut baisser encore un peu la tige D, ce qui fera descendre le levier inscripteur. La nouvelle position de ce levier sera de nouveau indiquée sur la feuille par une courte ligne et le nombre désigné alors par l'indicateur sera inscrit comme la première fois. On répète l'expérience jusqu’à ce qu’un nombre de distances suffisant pour former une échelle (5 ou 6) ait été inscrit. Il y a trois observations à faire au sujet de la méthode que jexpose. La première, c’est que le point B décrit une courbe tandis que le point D se meut en ligne droite. Mais comme le déplacement du point B ne dépasse jamais 4.5 m.m., la difference est si minime qu’on ne risque rien en la nögligeant. D’ailleurs — et c'est la seconde observation à faire — je considére les résultats obtenus comme représentant les mouvements verticaux du palais mou, ne tenant pas compte de ce que le point C décrit une courbe. Car je trouve, en calculant la différence, qu’elle est tout au plus de 0.15 m.m. et que par conséquent elle peut étre négligée. La troisième observation que je désirerais faire a rapport à Vinstrument mesureur même: c'est qu'il est très difficile, comme on sait, de faire en sorte que les dents d’un petit pignon s’adaptent avec précision à celles d’une petite roue; mais, ainsi qu'on le verra plus bas, pourvu que le nombre de distances dont on prend la moyenne soit assez grand, il est possible de trouver une échelle à laquelle on peut se fier. Le Tableau I fait voir que j'ai écrit neuf feuilles, avee une échelle sur chacune des feuilles I, VIII et IX, et avec deux échelles sur chacune des autres (l'une au commencement et l’autre à la fin). Le côté gauche du Tableau montre, exprimées en milli- mètres, les distances des échelles sur le papier noirci; le côté droit représente les abaissements correspondants du point B du levier du vélum, tels que les inscrit l'indicateur de l’instrument mesureur. La plus grande distance dans la partie à gauche étant de 57.5 m.m., une division en 5 groupes de 12 m.m s’est naturellement imposée. La somme des valeurs dans chaque groupe divisée par leur nombre Per LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 11247 représente la moyenne correspondant avec celle de la partie droite du Tableau, obtenue de la même manière, de sorte qu'une distance de 8.50 m.m. sur la feuille noircie représente un abaissement de 0.56 mm. du point B. Ainsi qu'il a été dit p. 125, ce nombre mul- tiplié par 4.8 indiquera l’ascension correspondante du point C du levier du velum et, par conséquent, du voile du palais: 0.56 m.m. x 4.8 = 2.688 m.m., ou en nombre rond 2.75 m.m. Le point précis où le bout de la tige-levier appuie sur le vélum peut facilement être déterminé par la méthode Hopmanw'). J'ai trouvé que la distance du fond de ma narine au septum choanorum est de 87 millimètres et que celle du septum choanorum au fond du pharynx est de 15 millimètres. L’appui étant très près du fond de ma narine, il en résulte que l’extrémité de la tige-levier dépas- sait le septum choanorum d’un peu moins de 96 m.m. — 87mm. ou 9 millimètres. De la manière décrite ci-dessus je trouve pour les autres moyen- nes: 1.21 m.m. x 48 = 5.75 mm. 1:94 m.m.x48—9.25 m.m., 2.58 m.m. x 4.8 = 12.50 m.m., 3.47 mm. x 4.8 = 16.75 m.m., qui correspondent successivement à 18.75 m.m., 30.25 m.m., 41 m.m. et 54 m.m. de l’échelle sur la feuille noircie. Au moyen de ces nombres la courbe graphique pour ie mesurage de toutes mes courbes du vélum pourrait étre construite comme je vais l’indiquer. 1) Archiv für Laryngologie und Rhinologie, Band I, p. 38. 128 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. Dans la colonne verticale de gauche sont marquées en millimétres les moyennes de la feuille noircie; sur la ligne supérieure, en millimétres également, les moyennes correspondantes représentant les relövements actuels du point C du levier du vélum; ces der- niéres multipliées par 4, afin de faciliter le mesurage de quarts de millimètres. Il n’y a rien à faire qu’à poser cette échelle sur la courbe de la feuille noircie de telle sorte, que la ligne supérieure couvre la ligne de repère de la feuille. Pour donner un exemple: si l’ampli- tude de la courbe est de 45 m.m., suivez l’horizontale de 45 jusqu’a ce qu’elle coupe la courbe graphique et, du point où ces deux lignes se coupent, suivez la verticale jusqu’à la ligne supérieure. où le relövement actuel est inscrit comme étant de 13.75 millimétres. La ligne supérieure de l’&chelle a été un peu allongée aux deux bouts, parce quil n’y a pas de continuité entre les lignes de repére sur les feuilles noircies. Quoiqu’on puisse suffisamment se fier ä la courbe graphique obtenue de la maniére que je viens de décrire, puisqu’elle est, pour ainsi dire, une ligne droite, je l’ai construite d'une autre manière en vue du troisième point nommé page 126, afin d’étre plus sür encore de l’exactitude du calcul. Prenant devant moi la moitié de droite du Tableau I, j'ai posé l'indicateur de mon instrument de mesurage sur 0.2 et, au moyen d’une régle ordinaire, j’ai trouvé que la distance entre les deux tiges horizontales était de 0.25 m.m. Ensuite j’ai posé l'indicateur sur 0.7 (le second nombre du Tableau I) et j'ai trouvé que celui-ci correspondait à une distance de 0.5 m.m. entre les tiges horizontales. J’ai remesuré de cette maniére toutes les distances en quarts de millimétre et j’ai additionné les mémes groupes qu'auparavant et obtenu les résultats suivants: 4.25 m.m. > 8 = 0. mm.; 23mm): 20S Em.m.; 280mm 15 = 1.75 m.m.;58.5 m.m. 2242.5 mm.; 475 m.m.; 14 SS 00m ou, multiplié par 4.8, la proportion des bras du levier du vélum: 2.5 mm. 5 m.m.; 85 m.m sel m.m.; 16.75 m.m. Si nous comparons à ces chiffres les moyennes obtenues aupa- ravant, il sera facile de voir que le résultat est, pratiquement, le même. Ayant terminé.la description de la méthode, je vais maintenant m’occuper des tracés, Dans le choix des mots-clefs je m’en suis naturellement tenu a ceux dont je me suis servi dans l’&tude des distances des machoires LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 129 (Cf. Arch. Teyler p. 110), savoir: boet, boor, bot, boot, pot, bout, bat, kastje, beur, put, buit, baat, bepalen, bijt, bet, beer, beet, bit, biet, buut, beut. J’y ai ajouté boem, boen, boent, bam, ban, bant, bang, baan, baant, bwint, byn, ben, beng, bim, bin, bint, bingt, afin de déterminer la position du vélum dans les consonnes nasales. Il est évident que la collection de matériaux à employer devait être moins nombreuse que pour l'étude des mouvements de la mächoire; en effet, chacun des mots-clefs n’a été prononcé que trois fois. Un traitement détaillé de chacune des courbes demanderait trop de place; je me bornerai done à celle qui est reproduite dans la fig. 5. Il s'agit du premier mot bit de la page 141. FIG. 5. velum mächoire Temps: 1 m.M. = 3/00 sec. A la suite du prösent article on trouvera des reproductions photographiques de quelques courbes ä l’öchelle de 3:5. Bien que les courbes de la lévre supérieure et des mouvements des muscles extrinséques de la langue aient été tracées dans chaque cas, elles ont été omises ici et ailleurs, parce que ces orga- nes n’ont qu'un rapport lointain avec mon sujet. Les courbes ci-dessus, de méme que celles qui se trouvent a la ARCHIVES VIII. 19 130 LFS MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. « suite du présent article doivent être lues de gauche à droite en partant de Pare!) marqué 0. La courbe du vélum a été marquée (—), parce que le relèvement du voile est représenté par un abaissement dans le tracé. La courbe de la mâchoire a été mar- quée (+), parce que son point inférieur répond à la position la plus basse de la mâchoire. Les points synchroniques dans les deux courbes peuvent être trouvés de la manière ordinaire, au moyen d’une règle divisée en millimètres. Pour faciliter les recherches du lecteur, les principaux points synchroniques sont indiqués dans la figure. Au point 1, e-à-d. au moment où je commençai à parler, la bouche était close, les mâchoires étant posées l’une sur l’autre. Il est done évident qu'il y a un très petit intervalle entre le moment où le vélum se relève et celui où les mâchoires se séparent. S'il m'est permis de risquer une conjecture, je dirais que cet intervalle est nécessaire pour permettre à l’air d’entrer dans la bouche par les fosses nasales; car, ou la langue remplit entièrement la cavité buccale, ou celle-ci forme presque un vide. L’admission de lair produit done l’équilibre de l'air à l’intérieur et à l'extérieur de la bouche au moment où la mâchoire commence à se mouvoir et en facilite le mouvement descendant. Au moment où le voile du palais ferme l’ouverture de la cavité du nez, les lèvres sont ouvertes et prolongent l'équilibre ?). Le mot ayant été prononcé, le vélum, comme l'indique le point 6, a repris sa position de repos quelque temps (7/10 de seconde) avant que les mächoires soient refermées. Il n’y a lä rien d’éton- nant, car au. point 5 le voile du palais a terminé sa tâche, tandis que la machoire inférieure, pour accentuer l’explosion du t, descend lentement avant de remonter pour se serrer contre la mächoire supérieure. Nul doute que l’abaissement rapide du point 1 au point 2 dans la courbe du vélum représente l'élévation du vélum, laquelle est nécessaire pour que la fosse nasale puisse se fermer. D’ailleurs, je me suis assuré par une série spéciale d’expériences que le point 2 est l’endroit où commence l’explosion du b L’espace me manque 1) Sur le Tableau V l’are marqué O se trouve au bout des traces. 2) Quelque chose de pareil a lieu lors de la mastication. Pendant mes expérimen- tations j’ai eu l’occasion de tracer les mouvements du vélum pendant que je machais un morceau de pain et j’ai constaté que le vélum montait quand la machoire inférieure descendait, et vice versa. LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 131 pour décrire ici en détail toutes ces expériences: elles seront traitées plus amplement dans un article à part sur la durée des sons de la parole. Je me bornerai maintenant & dire que j’ai profité de ce que j’ai perdu une de mes dents de devant pour introduire dans cette bréche un petit tube de bois, communiquant par un tube de caoutchouc avec un tambour Marry. La courbe obtenue de cette facon indique avec précision le point où commence Pexplosion de l’initiale bh. Pour des raisons pratiques je prends le point 2, le moment de explosion, comme étant celui où commence la voyelle, de sorte que je considére le son transitoire après b comme faisant partie de la voyelle. Je me propose de traiter de la même manière le son transitoire devant t, de manière à pouvoir dire que la voyelle finit au moment où le bout de la langue touche les gencives et arrête ainsi le courant d’air venant de la bouche. Ce point a été déterminé aussi au moyen du tube inséré dans la bréche de mes dents; c'est le point 4 dans mes courbes. Du point 4 jusqu’à 5 la mächoire reste immobile; c'est le moment d’arrêt avant l’explosion du t, qui correspond, comme on le verra, avec un léger abaissement du vélum. Done, la voyelle (avec les sons transitoires) s’étend depuis 2 jusqu'à 4. Quant au point 3, qui représente la position la plus basse de la mâchoire, je propose de le nommer le centre de la voyelle, quoiqu'il ne se trouve pas toujours précisément au milieu. Il est facile de mesurer la durée de chaque son, puisque 3": millimètres représentent ‘io de seconde, et la courbe graphique à la page 127 nous met à même de trouver les différentes positions du vélum comme suit: à b au moment de l’explosion: 12.75 m.m., au centre de la voyelle i: 12.75 m.m, à t au moment de l'explosion: 12 m.m Les tracés du Tableau II, dont je vais m'occuper maintenant, ont été obtenus au moyen d’une réduction des courbes originales à leurs valeurs réelles. Une petite ligne dans chaque courbe marque le centre de la voyelle. Pour calculer la durée de chaque mot, il faut observer qu'un millimètre représente 0.1 seconde. De même que ci-dessus toutes les courbes doivent être lues de gauche à droite et dans un sens négatif, c.-à-d. que les vallées et les collines correspondent respectivement à des relèvements et à des abaissements du vélum. 19* 182 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. boet. — Le premier groupe à traiter est celui de bu:t !) Le tableau ci-dessous indique la hauteur du vélum en milli- mötres aux trois points auxquels il a été référé, savoir: le b, le centre de la voyelle et le ¢ au moment de l’explosion. En outre, dans ce tableau et dans tous les tableaux suivants il a été ajouté une colonne représentant les distances des mächoires au centre des voyelles, mais elles n’ont pas été réduites ä leur valeur absolue. Cette colonne a été ajoutée surtout pour montrer que si les dis- tances des mâchoires varient dans la prononciation de la même voyelle, il n’en résultent pas nécessairement des positions différentes du vélum; en d’autres termes: qu'il n’y a pas de relation appa- rente entre les différentes distances des mächoires et les différentes positions du vélum dans une méme voyelle. Il est à peine nécessaire de dire que les mots formant un groupe n'ont pas été prononcés successivement. | Dist. mach. non b oe t | réduite. Centre voyelle. Nombre de la Courbe. | | | | I 11.75. | 11.25.(1.50) 18. 3. II 12.75 |12.50(11.50) | 1250 | 7.50 III 17600 19 ae use an 1 —— 2 = | | Moyenne | 12. |12. (1150)| 1250 | 63 On voit que dans chaque cas la voyelle est représentée par deux nombres. I] en est ainsi parce que, aprés le centre, le vélum continue à s’abaisser légèrement avant de se relever pour produire la consonne finale. Ces deux nombres indiquent donc respective- ment la position du vélum au centre de la voyelle et sa plus basse position pour la voyelle, Les courbes et les moyennes dans le tableau ci-dessus indiquent que le voile du palais a une tendance à s’abaisser légérement en produisant le son u: entre les deux explosives b et t, ce qui nous permet de conclure que la concavité du voile du palais diminue; car 1) Quoique les deux points après un son-voyelle indiquent que la voyelle est longue, ils ne se rapportent pas & la longueur dans cet article. La durée des sons devant étre le sujet d’un article & part, je m’abstiens d’en parler ici, excepté dans un petit nombre de cas oü la voyelle est suivie de r, puisque alors il n’y a pas de doute sous ce rapport. LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 155 il est difficile d'admettre que la masse entière du vélum s’abaisse. Il faut remarquer en passant, quoique cette remarque ne tombe pas strictement dans les limites de cet article, que l'avancement des lèvres n’atteint pas son maximum au centre de la voyelle u:, mais qu'il augmente considérablement jusqu’au point où com- mence le ¢ et même un peu au delà. Cependant la voyelle ne fait pas à l'oreille l’impression d’une diphtongue. boei. — Le groupe bu: ne donne lieu pour le moment à aucune observation, sauf que la ligne pointillée de la troisième courbe indique que le cylindre noirei s'était arrêté avant que le levier inscripteur fût revenu à la ligne de repère. Le tableau ci-dessous a été composé sur le même plan que celui du groupe boet. Fer | Dist. a. mach. non Nombre | I | E | éduit de la Courbe. | . KOL GOES: | | Centre voyelle. ND ED II 14. Bets 6. II Jeet 13508 12,508 NN .50 Moyenne | 13 | 6.75 boer. — Au sujet de bu:r il est intéressant de noter que les deux premières fois ce mot a éte prononcé avec un r uvulaire et la 3° fois, par accident, avec un r lingual. Cette circonstance pourrait expliquer le léger relövement du vélum dans le dernier cas. Cette voyelle devant r est toujours longue en hollandais. Le tableau ci-joint contient les positions du voile du palais dans b,oe,r (avant que le vélum descende pour de bon) et les distances des machoires comme les tableaux précédents. | Dist. mach. non Nombre b Ser de la Courbe. 0e | 1 | réduite. | Centre voyelle. if me Ale al [> 12:50 | 7.50 iA Semel | a ee MR ll Tey) SRG ei Moyenne | 15. 15.25 14. 7.25 134 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. boor. — Dans le groupe bo:r on remarque la tendance du vélum — ä devenir un peu moins concave aprés que le b a été prononcé. La voyelle est longue et ne se présente que devant r. Aprés ce qui a été dit des tableaux précédents, celui qu’on trouve ci-dessous n’a pas besoin d'explication. | | Dist. mach. non Noe b 00 | r réduite ae Ja :Dourbe, | | Centre voyelle. | : Te 0.1385, INAS Dar Dn pe II 15. | 13.50 13 | 10. Ergon MB | 12.50 | 12.50 9. Moyenne | 13.75 | 13. 12.75 8.75 bot. — Les courbes du groupe bot présentent une variété trés remarquable qu’il est difficile d’expliquer, à moins qu’il ne faille Vattribuer à ce qu'il n’y a pas de type fixe du son o dans ma prononciation, comme je l'ai observé aussi dans mon article sur les distances des mächoires (Arch. Teyler, p. 114). Quoiqu’il en soit, la concavité du vélum diminue à mesure que j’approche du milieu de la voyelle. Dans III la descente est trés considérable, de méme que le relèvement qui suit pour la consonne finale, lequel est trés minime dans II. Des courbes on déduit comme auparavant le tableau suivant. NODES | Dist mach. non | b | 0 | t réduite. Ge TRAGERE, | | | Centre voyelle. maen Ozn pel en st ten II 14. 183502) 00530 | u. III | len 9. 12.50 10.50 = |. ——— —— - —— — — — _— Moyenne | 12.75 | 10.75 | 1250 9 25 boot. — D’après mes courbes l’avancement des lèvres dans la voy- elle de bo:t augmente jusqu’à ce que le ¢ soit atteint et, si je puis me fier 4 mon oreille, la voyelle o: a quelque légére ressemblance LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 135 avec une diphtongue ') e.-ä-d. qu’elle passe graduellement au son u (high-back-rounded). Le tableau suivant n’a pas besoin de commentaires. abs | | | Dist. mach. nou b | 00 | t réduite. de la Courbe. | Centre voyelle. I 9.25 | 9.50 | 9.25 8.50 ar 13. | 18: 13. | 12. III 10.75 10.50 | 10.75 | 11. Moyenne 11. I: 11. | 10.50 booit. — La voyelle de bo:jt est une diphtongue: après o on tire légèrement en arrière les commissures des lèvres, changeant ainsi la rondeur intérieure en une extérieure, et la langue s’avance graduellement jusqu'à la position d'un son moyen-palatal. Pour déterminer la nature du second élément il se présente une petite difficulté. La voyelle fermée-palatale-arrondie (avec la langue dans la position de e:) s’entend dans des mots comme guur, Utrecht, mais aucun Hollandais ne l’identifierait avec le deuxième élément de ooi, ce qui me fait décider à nommer cette lettre un j arrondi (Cf. hoei). Le tableau suivant contient les mesurages nécessaires. Dist. mach. non Nombre b ooi t réduite, de la Courbe. | Centre voyelle. LRE A Ze CE bees) 1260) ik 13:50. 2060 Tee ilies 1350 | 1475 | 9.50 Moyenne | 13. | 1250 | 1475 | 9.50 | | pot. — La variété qui se présente dans les distances des mâchoires pour le groupe pot (Cf. Arch. Teyler, Tabl. V) semble se présenter 1) Cf. aussi P. Roorpa, De klankleer en hare practische toepassing, 2e édition, p- 27, Note. 136 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. aussi dans les mouvements du vélum ; il est évident du moins que les trois courbes reproduites font voir une diversité trés curieuse. Elles montrent aussi que la voyelle se prononce avec beaucoup moins de tension du vélum que les consonnes et méme que cette tension diminue légérement au-delä du centre de la voyelle (Voir aussi les courbes de boet, bat, kastje, baat, bijt, bet). De lä les nombres entre parenthéses dans le tableau ci-dessous. Nombre p = IE ; ; à Dist. mâch. non | | | t réduite. de Conte ares | Centre voyelle. BROEDEN ee MN Baan Si 7 62) | 1115 | 1450 en gan NET VR Moyenne | 1150 | 9. (850) | 10.75 | 1275 bat. — Quoiqu'il y ait une grande régularité dans le b du groupe bat, on aperçoit quelques divergences dans les autres parties des courbes. La dépression importante du palais après le b se prolonge dans deux des trois cas au-delà du centre de la voyelle. De là les nombres entre parenthèses dans le tableau. Nombre | Dist. mäch. non t réduite. nz Centre voyelle. I 1125 | 850 (8) | . 9 10.50 II reno Gre) | on ee Tia) WE ae 975 | 12.50 Moyenne | 11 | 7. (6.50) 975 | 1125 4 C’est le premier cas où pour la voyelle le vélum s’abaisse d’au- tant plus que la distance des mächoires est plus grande. Les autres cas sont kastje, beer et biet. kastje. — Le mot kast (en caract. phonét. kast) a le même son-voyelle que bat du groupe précédent, mais son diminutif kastje, dont je prononce stj comme un seul son (/ avec arrondis- LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 137 sement des lévres) a une voyelle qui se forme un peu plus en avant, et l’ouverture des mächoires a un peu plus de largeur. La représentation phonétique devrait done être: ka Ta La plus grande dépression du vélum coincide avec le point le plus élevé dans la courbe de la mâchoire, c'est à dire là où se prononce le /; ce n’est donc pas une continuation de la voyelle comme dans hoet, pot et bat. Ceci prouve que le vélum est três bas au moment où l'on prononce /. Après la dépression que je viens de nommer le vélum s’éléve très considérablement pour 2; dans deux cas bien au delà de la position pour ar. Les autres particularités concernant ce groupe se trouvent dans le tableau ci-joint. | enr aS | Dist. mäch. non k a st} (LM réduite. | Centre voyelle. Nombre de la Courbe. RE I | 9 7:38 Ge. HME ego 750 II WET ar pO idee 114 te III | 12 | 950 | 850 | 11.75 | 13.50 | 9.50 Moyenne | 10. | 7.75) 6.75 10. | 13.75 | 9.25 bout. — Sweer !) dit que l’o dans pot (= slot) et celui de bout (= koud) sont quelquefois vélaires-moyennes-arrondies, et quel- quefois vélaires-ouvertes-arrondies ; il semble done qu'il les considère comme identiques, du moins il ne dit pas qu'il est possible qu’une seule et même personne prononce pot avec la voyelle vélaire- moyenne et bout avec la voyelle vélaire-ouverte. Roorda ?) au contraire nomme les deux voyelles vélaires-ouvertes-arrondies. Dans ma prononciation l’o de pot est vélaire-moyenne et celui de bout vélaire ouverte (Cf. Arch. Teyler, et comparer le tableau ci-dessous avec celui de la p. 136). Il y a une grande différence aussi dans la tension du vélum, comme l’indiquent les mêmes tableaux. 1) Handbook of Phon., pp. 139—141. 2) De klankleer, ete., p. 25. ARCHIVES VIII. 20 138 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. Dist. mäch. non Nombre | mac de la Courbe. | b ou | t réduite. i | | Centre voyelle. I LD et anal NN 18:50 Il 12500 711.50. 13200 te III 13:25.) \\ 12:50) 9) 14. 14. Moyenne 13.50 | 12. esr | 16.50 baat; bepalen. — En hollandais on n’écrit qu'un seul a au lieu de deux dans les syllabes ouvertes; en transeription phonétique les deux mots que nous traitons s’écriraient ba:t et bapa:la (n ne se pronongant pas). Tout Hollandais considérerait les deux voyelles comme identiques; en effet, pratiquement elles le sont; mais on voit tout de suite qu’il y a une différence. Il a été montré à une autre occasion (Voir Tableau IV dans Arch. Teyler) que les moyennes des distances des mächoires pour a: dans baat et bepalen étaient respectivement 8.50 (559.50 : 67) et 10 (209.50 : 21), et une différence analogue paraît dans les tableaux ci-dessous. Je ne puis trouver que deux raisons possibles pour ce phénomène. La première, c’est que l’a: de bepalen aurait été prononcé avec plus de force que la voyelle de baat, ce qui est peu probable; la seconde, c'est que dans baat les mächoires étaient fermées au commencement, tandis que dans bepalen la mâchoire inférieure était déjà baissée pour a, lorsque j’ai commencé de prononcer pa:. Si telle est la véritable raison, la grande différence de position du vélum peut s'expliquer de la même manière; car le tableau de la p. 137 fait voir que l’a (= e) est caractérisé par une concavite assez marquée du vélum (10 mm.), et dans le tableau donné ci- dessous elle atteint même 1450 mm dans la syllabe initiale et 11.50 dans la syllabe finale. Pour les raisons précitées il me semble désirable de traiter sépa- rément les mots baat et bepalen et d’avoir par conséquent deux tableaux. Nombre de la Courbe. MT i Moyenne | Nombre | de la Courbe. | I II III Moyenne LES MOUVEMENTS DU VOILE le p a | | 14. |1450| 10. 14. 14.50) 10. | 15.50 15.50) 10. 14.50 14.75 10. | 139 DU PALAIS Dist. mäch. non b aa t réduite. Centre voyelle. 10.50 7.(5.) 10. 13 100 7:05:50 CEE 8. | 4(3.50) 9.50 15. 9.50 5.50 (4.75) 9.75 1033 25) | | Dist. mäch. non 1 | e(n) réduite. Centre a. 12.50 | 18. 12.50 | 19. 950} 15.50 11.50 177450 Les colonnes de b et de 1 sont restées en blanc, parce qu'il m’a été impossible de döterminer au moyen des courbes la position exacte de ces sons. het. — Le groupe bet, quoique un peu irrégulier, ne requiert pas d’attention spéciale, sauf la remarque que dans la premiere des trois la tension du vélum diminue au delà du centre de la voyelle. es : | Dist. mach. non de aed b e t | réduite. | Centre voyelle. D ne Perio ank MTS: Il 13.50 | 12.50 | tee We les III 11.50 | 11.50 ZAC 14.50 Moyenne 12:50% 125° (CART) pe 225 15. bijt. — Le Dr. J. D. Boerke écrit dans ses Mikroskopische 20% 140 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. Phonogrammstudien (Archiv für die ges. Physiologie, Bd. 76): „Unser Vocal (la voyelle hollandaise) ij, der gewöhnlich als Diphthong äufgefasst wird und in offenen Silben in der That aus den aufeinander folgenden Vocalen è und à gebildet erscheint, zeigt in geschlossenen Silben, wie pijl, rijm, wijf, Perioden, die von der ersten bis zur letzten einander genau ähnlich sind. was also auf einen einfachen Vocal zu deuten scheint.” SwEET et Roorpa nomment tous deux la voyelle dont il est question une diphtongue et, si je m’en rapporte 4 mon oreille, je ne doute nul- lement qu’ils n’aient raison. Seulement, à en juger par mes courbes, il me semble que ls de la diphtongue dans beit est un peu plus ouvert que la voyelle de bet; car dans le Tableau IV (Arch. Teyler), je trouve pour les distances des mächoires dans ces voyelles res- pectivement 9. (305 25:34) et 8.25 et pareille différence se montre dans les tableaux du présent article (Cf. ia dernière colonne du tableau de bet et celle de bijt ci-dessous). C'est un fait intéressant, d’ailleurs, que les trois courbes de bijt indiquent une légére diminution de la concavité du vélum dans le second élément de la diphtongue, quoique 7 soit caractérisé par une plus haute position du vélum que e. Ei Nomhre | re | Dist. mäch. non Sr : : d bn Wea rel oe ae ants 11.25 16.50 PU NS ee I vel 1425. NE ONE NE | Moyenne | 13.25 11.75 12. - | Te beer. — Le x» dans le groupe ber est uvulaire; il est indiqué dans les courbes par une descente de l'aiguille inscriptrice, cor- respondant à une plus forte tension du vélum. Il ne m’est pas possible d'expliquer la cause de cette différence entre le x de be:r et celui de bu:r et de borer. Il faudrait une série distincte d'expériences pour arriver à quelque certitude dans cette matière. La voyelle de beer est longue, et ne s'entend que suivie de r. LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 141 Dist. mäch. non | Nombre | | RCE | b ee | r | réduite. | de la courbe. | Centre voyelle I | 12.25 | 10.75 RER 8.25 | 1 Il | 1450 | 11.25 | 12.25 | 10. Ill | 1650 | 10.50 | 11 8. Moyenne | 14.50 | 10.75 | 11.70 | 8.75 | | beet. — Swerr (Handbook, p. 139) remarque que (er) devient dans certaines prononciations la diphtongue (eri), mais jamais devant (rr). Ceux qui ne changent pas cette voyelle en diphtongue la relâchent devant (rr). Dans ma prononciation cette voyelle est relâchée devant r et a cependant une légère diphtongaison quand elle est suivie d’une autre consonne, tandis que ee final est une diphtongue complète (ei). Ceci correspond avec ce que Roorpa (p. 27, note) dit à ce sujet. Mes courbes du vélum ne procurent aucune information, qui puisse décider cette question. Nombre | | Sate | b ee | t réduite. | | Centre voyelle. | I 1475 | 13 | 15.50 9.50 ee 12.50 Tee eee ee urn Mayenne. | 14,70: 013.25. sa Dim bit. — Le groupe bit ne donne lieu à aucune remarque spéciale; de sorte que le tableau ordinaire peut suffire. Dist. mach. non Nombre |, i t réduite. de la courbe. | | | I inte doses Tot las) dar. a, a!) eon 4050 er ea een Se hos Poe MIE Moyenne |'43. | 1275 | 1250 | 10. 142 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. biet. — On peut en dire autant du groupe bi:t; car la seule question intéressante, à savoir: si ie a le caractère d’une diphtongue, ne peut pas étre décidée au moyen des courbes du vélum. SwEET et Roorpa le considérent comme une voyelle simple. | | Dist. mach. non Nombre | | E | t ee Fe ) 3 | | réduite. de la courbe. A | | Centre voyelle. I 15.75 | 14. 15.50 8. ler a eee 9.50 I 1425 | 14 | 1450 | 8 Moyenne 14.50 | 14. 15. 8.50 beut. — Le groupe bo:t contient une voyelle palatale-arrondie (e: arrondi, avec la langue dans la position de «) qui, d’après les courbes des lèvres, à légèrement le caractère d’une diphtongue; car arrondissement des lèvres augmente graduellement jusqu’à la fin du mot, de telle sorte que le ¢ même est arrondi (Cf. Sweet et ROORDA). | Dist. mach. non | | ge Ie Courbe | : | + | à | a, I 13.50 | 1350 | 1350 | 9. TT EE ee tir 4550 | 45 dT || Te © Moyenne | 1425 | 1375 | 14.95 | 925 beur. — La voyelle dans b0:r est longue et arrondie; elle ne s’entend que devant r. On peut voir que le voile du palais devient de moins en moins concave pendant que la voyelle se prononce et que, par contre, le r (qui est uvulaire) montre une certaine tendance à augmenter la concavité, ainsi que dans beer. LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 143 | | Dist. mäch. non Nombre N : | aha de la Courbe. | , | u | ; | tes M | | Centre voyelle. I 15,75. TS (AA 14.75 7.50 IT | 45.50 | 13,50 (43.25) | 13.75 8. III | 44.75. | 42. 19 10 6 50 Moyenne | 15.25 | 13.50 (13.) | 119218 7.25 buut. — La voyelle du groupe by:t (i: arrondi, la langue étant dans la position de e:) est suivie de wr, excepté dans un petit nombre de mots comme Utrecht !), nu, u, ruzie, dans lesquels elle est plus bréve que devant r. Je ne posséde point de courbes de la diphtongue uw (yu). 7 DEE mac ee Nonbre | | | | Dist. mäch. non Ba Courbe. | b | uu | t | 2 réduite. | | | | Centre voyelle. | I 1114508 den ME 2 TOE 15 ns: III | 4450 | 4450 | 45.25 | 7: Moyenne | 13.75 | 4350 | 14925 | 7.75 buit. — D’après mes tracés des lèvres, confirmés par mon oreille, le ui du groupe huit (bæyt) est une diphtongue. Le premier élément est presque non arrondi, tandis que le second a à peu près le même arrondissement des lèvres que le y: de by:t. Dist. mâch. non Nombre | | 3 Seen noue : | hr : | “in I 12.50 12.50 121500 15 25 ii er I | 1050 | 44. | 4250 | 1050 ES ne ren. Een PRO ONE EC Moyenne | 12.25 | 1225 | 1350 | 13.7 1) Dans une syllabe fermée on écrit un en Hollandais. 144 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS put; bus. — Mon dernier groupe contient deux mots difiörents ayant la méme voyelle: püt, büs. Dist. mach. non | | | Centre voyelle. I 13 75 | 43.75 | 13.75 | it HE 1495) =| i425 (4475; | 9500 I. EON ey Banks ee 1 feu [46.50 | 4600) 04678) ES II Pee ag, FEAR, : fie | anis) EEE Moyenne | 13.25 | 14.25 | 13.50 | 13.50|45.25| 8. Ce tableau ne eorrobore point les résultats obtenus par CZERMAK |), tendant à prouver qu’en général le vélum est un peu plus élevé pour les plosives soufflées que pour les vocaliques. En comparant avec le tableau de kastje on observe une différence notable dans la position du vélum pour s et /. Cette différence est due probablement 4 ce que pour le son s lair doit être chassé avec beaucoup de force par un canal trés étroit. Le canal de la voix est celui qui va du larynx à l'air extérieur. Si nous ne comptons pas la cavité du nez, puisque le voile du palais en ferme l'entrée pendant la prononciation de mes mots- clefs, nous voyons que le canal de la voix se compose des chambres communicantes suivantes: 1°. le pharynx, qui s’étend des cordes vocales jusqu'aux fauces (la region des arcs et de la luette); 2°. la cavité buccale, s'étendant de la gorge jusqu'aux lèvres. Il serait superflu de nous occuper ici de la première de ces chambres, vu que le vélum se trouve dans la cavité buccale et fait partie de sa paroi supérieure. Quand nous chuchotons les différentes voyelles — car c'est des — 1) Jon. N Czermax, Gesammelte Schriften, 1897, cité par le Prof. EINTHOVEN LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 145 voyelles chuchotées !) que je désire m’occuper exclusivement — la cavité buceale prend des formes différentes et produit ainsi des sons variés ayant chacun sa hauteur. Cette hauteur dépend: 1°. du volume de la chambre de résonance, qui peut étre modifié par la position de la mächoire, de la langue, des joues et du palais mou; car, plus la chambre de résonance est grande, moins il y a de hauteur dans le son, et vice versa (HELMHoLz). 2°. de la largeur de ses deux ouvertures. TRAUTMANN *) remarque que le moindre changement de dimension des ouvertures a pour résultat de modifier la hauteur et le timbre (Héhe und Farbe) d’un son. L’expérience facile suivante suffit pour montrer que la dimension des ouvertures influe sur la hauteur du son. Mettez une cheminée de lampe horizontalement sur un support, couvrez la moitié de chacune des ouvertures d’un morceau de carton et chassez au moyen d’une pompe un courant d’air ä travers le tube. Si vous enlevez un des cartons la hauteur du son diminuera à peu près d’un demi-ton, et l'enlèvement de l’autre carton fera diminuer la hauteur encore d’un demi-ton. Pour les voyelles vélaires la bouche forme une seule chambre de résonance, et la largeur de son ouverture d’arriére dépend de la conformation du palais mou, de la position de l'arrière de la langue et de la largeur des arcs à l'entrée de la gorge 5). La tension du palais mou élargit l’ouverture et augmente ainsi la hauteur de la voyelle tandis que sa relaxation a l’effet contraire. Pour les voyelles mixtes l’ouverture d’arriere est formée par la gorge et le palais mou devient la paroi supérieure d’arriére de la cavite buccale. Les mouvements du vélum ont maintenant un effet contraire, car si on le baisse, la chambre de résonance deviendra plus petite et par conséquent la hauteur de la voyelle augmentera; si on l'élève, le contraire aura lieu, pourvu, naturel- lement, qu'il n’y ait pas d'autre changement dans la conformation et le volume de la cavité buccale. Pour les voyelles palataies les circonstances sont toutes différentes. La partie de la langue derriére la pointe est levée et divise la 1) Des expériences m’ont démontré clairement que la position du vélum est la méme pour le parler ordinaire et pour le chuchotement. Il s’éléve un peu plus pour le fausset et c’est quand on crie qu’il atteint le maximum d’elevation. 2) Kleine Lautlehre, Bonn, 1901, § 10. 3) Cf. Die neuern Sprachen, IV Band, 10, Schlussheft, Beiblatt, Febr. 1897. ARCHIVES VIII. 21 146 LES MOUVEMENTS Du VOILE DU PALAIS. bouche en deux chambres de résonance communicantes. Dans celle d'arrière se trouve le vélum. Quoiqu’on puisse dire que la hauteur des voyelles palatales dépend surtout de la conformation et du volume de la cavité d’avant (entre les lèvres ou les dents et la créte transversale de la langue) et de ses deux ouvertures, il est hors de doute que la chambre entre la créte de la langue et la gorge n’est pas sans influence à ce sujet, sans cela il ny aurait pas tant de variété dans la tension du palais mou. La solution de cette question demanderait des recherches spéciales et ne tombe pas dans le domaine du présent article. Les voyelles hollandaises qui ressemblent le plus, pour la hauteur et l’artieulation, à celles des autres langues européennes, sont les voyelles primaires (LLoyD, TRAUTMANN). Mes recherches au sujet de celles-ci pouvant être considérées comme se rapportant à la nature des voyelles en général, je traiterai celles-ci d’abord. Ce sont: 1. la série des labio-vélaires: oe (w:), oo (0:), 0 (9), a (a); 2. la série des palatales: ie (ú:), ee (e:), e (+), aa (a:); 3. la série des labio-palatales: un (y:), eu (0:) '). 1° Série. | Dist. mach, Mot-clef. | b(p) Voyelle. N reelle. boet | 12. | 12. (11.50) | 12.50 | 2.25 hoot |11. | 11. 1450) 5.25 pot | 1150) 9. (8.50)| 10.75 | 5.50 bat U. 7. (6.50) | 9.75 | 7.25 2° Serie. © Dist. mach. Mot-clef. b Voyelle. t | reelle. Centre voyelle. biet | 14.50 | 14. 15. 3.95 heet | 1475 | 13.25 | 14.75 5.75 bet 12.75 | 12 (11.75) | 12.25 8.50 baat | 950 | 5.50(4.75)| 9.75 | 8.75 | 1) Le son eu («:) du mot francais leur, faisant partie de la 3° série de TRAUTMANN, n’existe pas en hollandais. LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 147 Les nombres après chaque mot indiquent en millimètres les moyennes des positions du vélum pour les consonnes et la voyelle, telles qu’elles se trouvent dans les tableaux ci-dessus. Afin de faciliter la comparaison, j'ai ajouté dans la dernière colonne la distance réelle des mâchoires pour chaque voyelle tirée de mon article dans Teyler. La distance des mâchoires pour boot a été déduite du Tableau IV du même article. Première série. — La hauteur des sons-voyelles augmentant et la mâchoire descendant graduellement dans l’ordre de 0e, 00, 0, a (u:, 0:, 9, a), le tableau ci-dessus amène à la conclusion suivante: I. — Plus la hauteur est considérable, ow plus la mâchoire descend, plus le voile du palais est bas, et vice versa. Considérant qu’en général la contraction de la langue diminue dans le même ordre, rendant la chambre de résonance moins spacieuse qu'elle ne le serait sans cela par suite de l’abaissement de la mâchoire, il est évident que le changement de hauteur dépend surtout du degré d'ouverture des lèvres, car le vélum suit le mouvement de l'arrière de la langue, ce qui fait que l’ouverture d’arrière reste à peu près de la même largeur. Deuxième série. — Pour les voyelles de la 2° série la conclusion doit être formulée d’une autre manière, parce que la hauteur et la mâchoire s'élèvent graduellement dans l’ordre de aa, e, ee, ie (ame, td). II. Plus la hauteur est considérable et plus la mächoire monte, plus le voile du palais s'élève, et vice versa. En comparant les deux tableaux on voit que les voyelles de la deuxième série ont un vélum plus élevé que les voyelles corres- pondantes de la première, à l’exception du aa dans baat; mais si nous considérons que cette voyelle est en réalité une voyelle vélaire, nous faciliterons les choses en nous servant des termes voyelles palatales et voyelles vélaires. Ma conclusion peut alors être exprimée comme suit: III. Les voyelles palatales ont un vélum plus élevé que les vélaires. Pour plus de clarté j'ajoute ici un tableau des distances des mâchoires en chiffres ronds et des positions du vélum pour les voyelles dont il est question. 21* 148 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. Dist. réelle | ovale | Voyelle des mäch. vélaire. palatale. wu | 2 u: 12. (11.50) | Ur ‘ An 123 14. Ser, | EN | su i = CRE NS er | EEE | Rrra = a. 5 | a. Er nr 9 [x 5. (4.75) Je 12. (11.75) L’ordre dans lequel la tension augmente est done: a:, a, 9, 0:, u:, &, e, à, ce qui diffère un peu de l’observation faite par Oy > aan ip y € CzERMAK (voir page 121). Consonnes. -- IV.— Une consonme plosive devant ow après une voyelle a un velum plus élevé que la voyelle méme (CF. aussi kastje, p. 137). Les seules exceptions sont le b et le t de boot. V. Plus le vélum est élevé pour une voyelle, plus il est élevé pour la consonne plosive qui précède ou suit. Les seules exceptions sont le b de boot et de beet. Troisième série. — La troisième série, comme nous l’avons dit, n’est représentée en hollandais que par deux voyelles, savoir: Dist. réelle Mot-clef. b Voyelle. t mach. centre de | | | la voyelle. buut Som 1545 ON AA 5 oe beut 14.25 | BRT ISS 4. Les différences sont si minimes que je ne me hasarderai pas à en déduire aucune conclusion par rapport ä ces mots, mais les règles données ci-dessus pour les consonnes sont valables aussi pour cette série. LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 149 Diphtongues. — Les mots-clefs renfermant une diphtongue se trouvent au côté droit du tableau ci-dessous. réelle mach. centre voyelle. Dist. Voyelle. b Ce © = o el 5 a 12. 187 13. 5 5) 13. bij 2 4.50 13. 18 boei 8.25 bout bent ‚DU buit >) © =! 3 >. ei Ne, Meh ie Bde Te Gt Sl 2 NER ) Wea = = le ©) a Lie) le) = 5 A a | © | © Yen} (=) te) = SSD N eae GN en | | = — — — — CSS ES EZ ISS S) © ~ 1 10 a 5 = ie a = = = © — ~~ z NN — © —! = — Se 2 = NN — == ne — — = — © > + cs) seo 5 + > S = =] © = = 2 =~ =| 150 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. Au côté gauche j'ai ajouté pour la comparaison des mots dont la voyelle est identique ou semblable au premier élément de la diphtongue. Les distances des mächoires pour boet, boei, boot et booit ont été déduites de Teyler, Tableau 1V; les autres se trouvent dans le tableau de la page 113 du méme article. Les diphtongues dans beut et buit n’ont pas de voyelles simples correspondantes, et ont seulement été ajoutées pour que la liste des diphtongues soit compléte Il est utile d’observer aussi que les voyelles dans hoet et boot ne sont pas des voyelles strictement simples. Du tableau précédent nous pouvons déduire cette régle: VI. Les voyelles simples ont un vélwm plus abaissé que leurs diph- tongues correspondantes !). Les seules exceptions sont het et bijt. L'exemple le plus frappant est bout, car sa voyelle o étant ouverte-vélaire, et l’o dans pot étant moyenne-vélaire, la première doit avoir un vélum plus bas que la seconde (I) et c'est le con- traire qui à lieu. IV et V, comme on le verra, s'appliquent aussi aux consonnes de ce groupe: La seule exception est le b dans hoei. Voyelles tendues. Les voyelles tendues dans mes mots-clefs sont contenues dans le tableau suivant: 1) Il est à observer que dans toutes mes diphtongues le second élément est une voyelle fermée-palatale ou une voyelle fermée-vélaire. LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 151 © | no | a8 | alae SES 885$ D'or io © D 85 ; ace ON vn Bl CO sd Bose] oo ~ 2's p AS as \ ators ; 1Q 10 | a + 1Q he) | + a > o CAN iad | HH a rm wi et han! y et et 4 [an =) 6 R 2 S=) Ve) = = © 5 a a © OO GO = > = — = =) © | | > o Sn ee NT I = ~- & a. ET. ale > co ON LE où + = mr lan - EK fe = un de > = | 8 oO + + les = =e = et | © = > | 9, | | = — D D | PSE ae lo & S | © T8 @ ! Ste |) Wey Sy ie SUS Sia ey Ney SS | oe a I ol ai > DD Boe] A x W = PE Se Go 15 Toc |Ag © |A & | EN : are = u | > © | 1D 1Q © zen 1 10 > DEREN a | NN — | 1d HA jo rt — vi = han) Lan & = ; — $$ | — — — A D © | LD > & = | S be = 5 5 : \ > A N > Zi = N © 4 | =H GO) GU | © re hann! me re — — INES N | re EE TL : © ee > * . . PR) . . - = Ana 4 HH ci T4 — vi rd Len re WARS aa clin TER = Fe | ee 5 3 | D = D = + D © + © : © | 38 Ss © € 6 dh cay ES | = = 2% = = 2 2 Dans l’ordre suivi pour placer les mots la distance des mâchoires augmente, et la hauteur s’éléve de plus en plus pour les vélaires et les mixtes et baisse progressivement pour les palatales. D'après VI les diphtongues dans buit et beut auraient un völum plus bas si elles &taient des voyelles simples. Il semblerait done que le tableau me donne le droit d'établir la règle suivante pour mes voyelles tendues. VII. — Plus la mâchoire s’abaisse pour les voyelles tendues, plus 152 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. le vélum est bas. La tension du vélum augmente pour les voyelles selon qu'elles sont successivement vélaires, mixtes ou palatales arrondies, el palatales non arrondies. La seule exception est la voyelle dans boot, mais c'est peut-être parce que cette voyelle a le caractère d’une diphtongue (voir page 135). Pour buut et beut cf. p. 148. Les consonnes de ce groupe suivent les régles IV et V. Voyelles relachées. Les voyelles relâchées de mes mots-clefs se trouvent dans les tableaux suivants, oü j’ai omis kastje parce que l’a n’est pas un son indépendant. Voyelle vélaire. | Dist. réelle Mot-clef. b (p) Voyelle. lr (t) | mach. centre | | | voyelle. boer | 15. | 15. | 14. 1.75 boor | 13.75 | 13. | 12.75 A. pot |11.50 | 9. (8.50)| 10.75 5.50 bout | 13.50 | 12. | 13.50 | 8.25 bat 11 | 271-4.(6.50). 908 7.25 baat 9.50 | 5.50 (4.75)| 9.75 | 8.75 | Voyelle palatale. Dist. réelle Mot-clef. b Voyelle. r (t) | mach. centre | | voyelle. bit 13. | 1275 12:50. 5086 beer | 14.50 | 10.75 | 11.75 5.75 beur | 15.25 | 13.50 (13.)| 13.75 | 2.25 En ne tenant pas compte du mot bout, on voit qu’en général les voyelles relächees et les plosives qui les accompagnent suivent les règles !) données ci-dessus et que les palatales (bit, heer) ont un velum 1) Par rapport à I et II il est bon d’observer que la hauteur de mes voyelles relachées augmente graduellement depuis hoer jusqu'à bat de haut en bas et puis de bas en haut jusqu’à bit (baat, beer, bit). La voyelle dans beur forme un cas à part, car arrondissement des lèvres qu’elle comporte fait diminuer légèrement la hauteur. LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 153 plus élevé que la vélaire (pot) avec une égale distance des mâchovres. Cette conclusion est mise en &vidence par le tableau suivant. Voyelle palatale Dist. reelle — mach. centre voyelle. Voyelle vélaire. | non arrondie. arrondie. | l | 2 u: 15. 0: 13.50 (13.) 0: 15. 5 9 9.(8 50) r 12.75 6 e: 10.75 7 a 7.650) | … à - 9 a: 5.50 (4.75) On verra que le r final a à pew près la même tension que la voyelle qui le précède; ce n'est qu'avec une vélaire que le x a un vélum un peu plus bas, tandis qu'avec une palatale c'est le contraire qui a lieu Voyelles tendues et relâchées. Il est très intéressant de comparer les voyelles tendues et leurs correspondantes reläch&es. Elles se trouvent dans la liste ci-dessous. EERE Tendue | Relachée | Dist. réelle mach. | Dist. réelle nach Mot-clef. | Voyelle. Mot-clef. Voyelle. Si boete | 12, (11.50) 5 é 2 boot 11. 5 25 boor 13: | 4. ale Haste ENS UM Br = beet 19099 5.189 beer 10.75 5.15 | bent 13.75 4. beur 113.50 (13.)| 2.25 Sweet (p. 141) nomme la voyelle oe dans boer tendue et sous ce rapport il diffère un peu de Roorpa (p 25), qui la nomme relachée, mais ajoute un point d'interrogation. Considérant qu’une voyelle vélaire est relachée ou tendue selon que la distance entre ARCHIVES VII. 22 154 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. Varriére de la langue et le vélum est plus ou moins grande, je n’hösite pas & nommer cette voyelle relachée en considérant la manière dont je la prononce dans ce mot, car laissant de côté la question de savoir si l'arrière de la langue est relâchée ou non !), il est &vident que pour boer le palais mou est beaucoup plus élevé que pour boet, ce qui augmente la distance entre les organes employés pour l’articulation de ces mots. D’ailleurs, en conséquence de la différence dans les distances des mächoires *) la chambre de résonance pour boer est un peu plus petite que pour boet. L’ouverture d’arriére étant plus grande (l’ouverture des lévres est la méme dans les deux mots) et la chambre de résonance étant plus petite, ces deux circonstances doivent nécessairement donner une plus grande hauteur à boer, ce qui est le cas en effet. D'ailleurs, je trouve quelque appui pour mon opinion dans la maniére dont beaucoup de Hollandais prononcent bonjour dans la conversation ordinaire. Il y en a qui vont jusqu’ä faire de la voyelle ou une palatale arrondie. Le son oo dans boot a aussi une hauteur moindre que celle du oo dans boor, ce qui, encore une fois, n’a rien d’étonnant, vu que dans le premier mot la langue est tendue (bunched up), le vélum moins tendu, l'ouverture des lèvres un peu moindre et la mâchoire un peu plus basse. Le oo de boot a donc une chambre de résonance plus spacieuse et les ouvertures d’avant et d’arriére sont plus petites. Ces circonstances tendent toutes deux à diminuer la hauteur. Les mots bot et pot ont été omis dans ce tableau parce que leurs voyelles peuvent à peine être considérées comme correspon- dantes. La première en effet est tendue et la seconde reläch&e, et elles diffèrent aussi sous tous les autres rapports, tels que: distance des mächoires (4.50 et 5.50 respectivement), tension du vélum (10,75 et 9 ou 8,50 respectivement), et ouverture des lèvres (pour bot elle est beaucoup moindre que pour pot). C'est pour une raison analogue que j'ai omis bat et baat. Ils n'ont rien de commun; sauf que les voyelles sont l’une et l’autre relâchées. Il est vrai que selon Roorpa l’a de bat est une vélaire ouverte tendue tandis que la voyelle dans baat serait une vélaire 1) „Il n’est pas si aisé de distinguer les vélaires tendues des vélaires relä- chées”. Sweet, A Primer of Phon., p. 18). 2) Les nombres 2.25 et 1.75 dans mon tableau ont été pris dans Teyler, Tableau IV. —— LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. 155 ouverte relâchée, mais Sweer (Handbook p. 139) nomme a dans bat relâché, et il ajoute: „(a) varies: sometimes it is raised, to (a), sometimes narrowed to (»)”. N'éprouvant aucune tension de la langue en pronongant cette voyelle, je suis enclin 4 la nommer relichée. Le son aa, dans ma maniére de prononcer baat a une ouverture des mâchoires plus basse, effectivement la plus basse, et la langue est plus avancée, presque à la position mixte. L'ou- verture des lévres est ä peu pres égale pour les deux voyelles. Selon Swrer et Roorpa la voyelle dans beet est tendue, celle de beer relâchée. Ma prononciation concorde avec cette définition, car mes ouvertures des lévres et mes distances des mächoires (5.75) sont les mémes dans les deux mots; mais la langue étant tendue pour le premier de ces mots, la chambre de résonance est plus petite, ce qui explique la plus grande hauteur du son. Le eu de beut et celui de beur sont respectivement palatale moyenne tendue et palatale moyenne relâchée (Swrer et Roorpa). Dans ma prononciation normale la hauteur de la voyelle dans beut n’est que légérement supérieure (pas plus d’un demi-ton) 4 celle dans beur. Il faut sans doute attribuer cela 4 la tension de la langue, car beut a une plus grande distance des mächoires, et ouverture des lèvres est à peu près la même dans les deux cas. Ces remarques faites, je déduis du tableau ci-dessus les conclu- sions suivantes: VIII. — Les voyelles relichées ont une distance des mächovres moindre que lewrs correspondantes tendues. Cette conclusion est confirmée par les valeurs relatives que jai trouvées pour les distances des mächoires dans le cours de mes expérimentations dont il est question dans le présent article, ainsi que l’indique la table suivante: boet 6.25 boer 7.25 boot 10.50 boor 8.75 beet 11. beer 8.75 beut 9.25 beur 7.25 Les mots boet et boer font exception, mais ceci doit étre &vi- demment attribué à ce que dans un des trois cas, le premier mot ne présente que 3 mm. de distance (Voir p. 132). IX. — Pour les voyelles vélaires relichées le voile du palais est plus haut que pour les correspondantes tendues; dans les voyelles palatales c'est précisément le contraire qui a lieu. 225 156 LES MOUVEMENTS DU VOILE DU PALAIS. La voyelle qui reste (e dans kastje et dans bepalen) est une voyelle obscure dans le sens de Lloyd (§ 77), qui n’a pas de constriction particuliére, comme l’indique la grande variété de distances des mächoires et de positions du vélum. Consonnes nasales. — Afin de voir leffet que produit une con- sonne nasale sur la voyelle qui la précéde, j’ai choisi quelques groupes de lettres dans lesquels se trouvait une des trois nasales m, n et 7. Le résultat est indiqué dans les courbes du Tableau III: les petits tirets indiquent le centre de la voyelle. (Dans bim II] ce signe manque parce que la courbe de la machoire n’est pas lisible sur le papier noirei). Dans tous les cas, excepté peut-étre boen I et boen II, le centre de la voyelle déjà est nasalisé, quoique je ne fasse pas du tout, d’aprés ce qu’on m’a assuré, Vimpression de parler par le nez. Dans 10 cas seulement le voile du palais, qui s’abaisse pour former la consonne nasale, n’a pas descendu jusqu’ä mi-chemin dans le centre de la voyelle, tandis que dans 40 cas il a descendu plus bas. Dans 9 de ces derniers cas le vélum a m&me atteint le point le plus bas dans le centre de la voyelle. Quant aux consonnes initiales de ces mots, il n’y a entre elles et celles des mots qui ne se terminent pas par une consonne nasale, aucune difference qui vaille la peine d’étre mentionnée; mais le t final aprés une consonne nasale a un vélum plus élevé qu’aprés un son non-nasal. Je ne puis terminer cet article sans exprimer mes sentiments de reconnaissance envers M. le Professeur Dr. H. ZwAARDEMAKER Cz., de l'Université d’Utrecht et M. le Professeur Dr. T. Prace de l’Université d'Amsterdam, qui ont bien voulu m'assister de leurs lumières dans mes recherches et je les remercie sincèrement de l’obligeance avec laquelle ils ont mis à ma disposition les res- sources de leurs laboratoires. eee = = = I | Ife] 115 |1IT@| 1116| IVa) IVb) Va | Vb | Vie| VIb VIJd VII VIII IX 0.2 | | 0.7 | 0.5 0.5 I | 8 = 0.56 | 04 | 04 | 0.6 I) 0.9 | 0.7! 0.6 | 09 | D um 0.7 | LEU | 09 | 09 1 | IN ee | | | 1.5 | = 95.5 : 21 — 1.21 1.4! ey | | 1.5} | 1.6 | | | | | 1.2 1.6 | 1.5 I 1.3 14 | 19 [2 | | | | | 1.2 | | | 67 : A| ea | | NEC | | B ema | 94 =291:5=194 | = bo 1.8 2.3 | | 1.9 1.9 24 24 18 | | 2.7 124 = 2.58 | Tra | 115 (IITe/IITo/IVe) IVd| Val Vo) Vie! VID VIIaVIId VII IX I | La} II (IIIa) IIIb) IVa) Tvs) Va| Vb | VIa) VIG VIIa VIIG VIII IX © er = 67:8 = 8.50 ° "Tut G | =391:21 =18,75 | ) = 48.6 : 14 = 3,47 3.9 | cu Cours valeurs réels. 1) Boo Te I IL HI I HH ET Il L II HI Ta Ia a 1 HE Ht : 1 FELLER: T + EE EEEN HH HE H HEE H +H rt Æ FF HN ise TT 7 Archives du Musée Teyler, Serie II Vol. VIII P.I ©] 5 > 5 x , Candt des mouvements du volun zedıules cu Cours valeurs réelles. ( IVGots sans son naval) Goet Boer Goerz Goor Bor en pn — —’., ———— I LI DI I IE IT IL I IL HI I IL HI HE EE RE B SH EERE EE Ee rf oH FH + 7 5 zs +t THE 33 en + + Tit r + I T t + + EHER + FH VE HE HE = HH H + HE BHE + HE HE Ei prt : tH Boot boot pot Bat Rastye — — — —I. I u HI IE IL Ti JE u UI IL TL I We HIL A 7 TEE £ te : t hed nd H IT + + + ¥ ih ae 5 : GEE ENE: : HERE Ë H HEEE : A HEEE HEEREN à ERE F Heten HIER : IE = BIER HERREN TE ER : HN FH HEEE HEE HEBEN H + H pi Gout Gaal benalen ee — "à — I IL HI 11 IL Tit If IL HEAR EHEER HEH tH petite EHER RER HEBE TRE: + its 4 HE HH et a: H HEE HE + HEEE H + 1 HE HH = HH Beer Geet Bil — —_—_— u re 1 It TH il I TL 1G IL H TREE T Fi EE HANNAH RH HE + RH HART EHE EHE HE EE ee SR BE THE + FF er TENTE a + + EEE B i EE Geur Buut Guuit ee, ee I IT Ti I IT HI if IL tt ea teu: 7 T TS ET r Hr HERA EHH HER seu + E HET nr AE + EEE HEE H 2 RME FE HE HH FREH RTE HE EEE THE f EEEN EER ZEE HEE is tt HE TH HAT d HH FE LE HE i HE : + H HTH EEE + Tenıps JO mITG= J sec I un valeurs téclles. I nasal ) . ! bang 6 eng | a A { I IL Tit Ae IT HI i F 4 + } t EEH za HE | H = À H ! EH ? EEE ze - 4 + au 8 1 II TIL IT Ii AT i IT IT Be Ht HE BE FH m 4 HH = EE HE : ne Bas + FH 23 F EH . Archives du Musée Teyler. Serie II Vol .NIL PT III © AV 3 A = m) 5 2 Courbes des mouvements du vélum zeduiles à leurs valeurs réelles ( Gots sans son nasal ) . N 2 > boom kam bang Beng. —— — “—_ —_ m To I HI Ln IT UI TETE EHH # EEND HEHE HE HEHE EERE RARE HE H H FH É HEEE HE EHE: Ht ite HEE EE HEER EE HR Hit HE HEE ET TR 7 RTS FRE HEEE LEE BEHEER HRH LEET EEE boen HIL HEEE TEE ERE HT boent — 10 II HE HHHH + HH zaan JE cases + + + HE EH HEEM a3 FAVE EE HEEE VEE EEE FAR : His HEHE + HEHEH: HH HEEN HEERE HH HE + HH EHEN HE BEELEN Tempo: 30 m NB — J sec machoure: photog ra) fie 3/5 6 eel vel um. Pr TS ON Se oe maicltoure - pee | N oan x L = 740. cect), sn photographie 3/5 Archives du Musée Teyler, Serie I Vol. VIL P.I = 0 mächorze: Jeurpo 10 mm =Y%o vee. } photogras Rie 3/5 beet Pre | ‘3 w Nye ST EE EPS EG mâcltouxe - Temps 10 ın ML = Yo sec = rho log zaphie 3/5 Boot boem fut Rastje bot buut Bout Bijt Benafen. beer ul Gijn Bun. ANION IT = = Ns boze. de zou fin Bin Bk Boi Baant Gant. Roer, Piet beck N. a rase AL =1 2 vee foe PR a 3/5 Archives du Musee Teyler, Serie II Vol.VIL PI Bingt hoot bus bint Geng, Loent Bim Lam ‘Boot Goem ol Rastje Bot: buut bout bijt bepalen Boor put Gin bew , it a ea. Annan Wem Tempo: 10 m= 14 Z vec. Protograjıhie % Laan Loen Lan foe Lit buit Bang Abox ber Bin Bunt ben baant Lant Loew Biet beet zalen VEE Te PP, Vie 3/ Tenıps: 10 mA =1% vee 3 Rotogreyltte Y5 NOTE SUR LES CONDITIONS LOCALES DANS LESQUELLES SE SONT FORMES LES DEPOTS PALEOGLACIAIRES PERMO-CARBONIFERIENS DANS L'AFRIQUE AUSTRALE, LINDE ET L'AUSTRALIE PAR EVIG. DUBOUS. Nouvelles données sur le phenomene paléoglaciaire dans PAfrique australe. — Les importantes conclusions où est con- duit CorsTORPHINE en considérant les faits connus concernant _ l’époque paléoglaciaire de l’Afrique australe !) et que j'ai mention- nées dans un appendice de ma deuxième étude sur ce phénomène viennent d'être confirmées pour le Natal par W. ANDERSON, le géologue du gouvernement de cette colonie *). Par l’obligeance de M. James Gæikie j'ai eu l’occasion de prendre connaissance du premier rapport de ce géologue, rapport orné de belles planches photographiques représentant le conglomérat paléoglaciaire et des roches polies et striées au Natal. Ce conglomérat affleure à l’est et à l’ouest dans la partie orientale de la colonie entre 28° et 29° 30 de latitude S. Des surfaces striées sont signalées en sept endroits, situés entre 29°16’ et 29°31’ lat. S et 31° 5° et 31° 20 long. E, où les stries ont en général une direction de l’ouest vers l’est. Rappelons nous que dans le district Vrijheid du Transvaal, 1) Voir aussi: The Scottish Geographical Magazine. Vol. 17, (1901), p. 57—74. 2) First Report of the Geological Survey of Natal and Zululand by WILLIAM ANDERSON, Government Geologist, p. 88—91. Pietermaritzburg 1901. ARCHIVES VIII. 23 158 NOTE SUR LES CONDITIONS LOGALES DANS LESQUELLES SE SONT à une centaine de kilométres au nord de ces localités, MOLENGRAAFF avait signalé une direction probablement dans le sens de SE au N W, peut-être dans le sens invers. Le conglomérat glaciaire au Natal repose en discordance sur les grés paléozoiques anciens; correspondant ici au conglomerat glaciaire du nord de la colonie du Cap et du Transvaal il est dû à des glaciers terrestres. Dépots glaciaires stratifiés et non-stratifiés. — Tandis que dans le conglomérat du nord de l’Afrique australe (de Prieska à Vrijheid et Natal) la stratification est généralement absente, celui du sud (de Matjesfontein à Grahamstown), au contraire, est nettement stratifié, — fait important sur lequel ÜoRSTORPHINE a insisté. Il est vrai, que dans le conglomérat du nord des parties stratifiées alternent avec des parties non-stratifiées; mais il a été trés bien mis en lumière par MOoLENGRAAFF que les premières sont des dépôts analogues aux cailloutis Auvio-glaciaires et autres produits du remaniement des matériaux de la moraine par les eaux pro- yenant de la fonte des glaces. MOLENGRAAFF insiste aussi sur la parfaite identité, quant à sa composition, de la matière des couches d’Ecca avec le ciment du conglomérat de Dwyka, celui-ci passant graduellement dans celles-la, identité déjà observée par GRIESBACH et SUTHERLAND. Seulement les couches d’Ecca sont entièrement stratifiées et généralement dépourvues de blocaux. Déposées durant la période de recul et de fusion des glaciers, elles ne sont que de la boue (dureie aujourd’hui), comme elle a été déposée, soit dans les lacs qui caractérisent le paysage morainique, soit dans le champ d'inondation de cours d’eau torrentiels, pendant la période de recul des glaciers pléistocènes !). Rogers et SCHWARZ ont trouvé à ces conglomérats glaciaires dans le nord de la Colonie du Cap (districts de Prieska et Hope Town) en certains endroits aucun signe de stratification ; en d’autres endroits, au moins 48 kilomètres vers le sud des premiers, les blocs étaient enfermés dans un ciment schisteux, nettement stratifié, comme si des glaces, flottant dans l’eau ayant un fond de boue, les v avaient laissé tomber. Encore 300 kilomètres de plus vers le sud dans la Colonie du 1) G. A. F. MOLENGRAAFF, On the glacial origin of the Dwyka conglomerate. Transactions of the Geological Society of South Africa, Vol. 4, Part 5, N°. 1. Johannesburg 1898 et: Géologie de la République Sud-Africaine du Transvaal. Bulletin de la Societé Géologique de France, (4), Tome I, (1901), p. 67 sqq. FORMES LES DEPOTS PALÉOGLACIAIRES PERMO-CARBONIFÉRIENS, ETC. 159 Cap les conglomérats sont partout nettement stratifiés et reposent en concordance sur les couches plus anciennes. Dans l’Inde les couches de Talchir'), composées en général de schistes de boue fine et de grés fins, sont toujours nettement stratifiées. Au sein de ces schistes et grés à grains fins sont irré- guliérement répandus des cailloux et des bloes, surtout vers la base de la série, mais très fréquemment aussi à quelques centaines de pieds au-dessus de la base. Ces cailloux et blocs, de toute dimension, sont toujours roulés et ordinairement arrondis. Leur distribution locale est très irrégulière; en certaines régions, dans les couches de Talchir, on n’en trouve aucun sur beaucoup de kilomètres, mais en général il y en a quelques’uns de distance en distance, parfois ils sont nombreux dans un espace circonscrit. Ils ne sont que trés rarement rayés et dans beaucoup de cas ils sont certainement de provenance lointaine. L’épaisseur des Talchirs est de 240 mètres, au maximum. D’après les géologues de l’Inde anglaise la formation de ces dépôts ne peut s’expliquer qu'en admettant que les blocs fussent d’abord arrondis par des torrents, puis transportés par la glace dans leur situation finale, au milieu de la boue fine et plus ou moins gréseuse du fond d'un lac ou d’une rivière à cours lent. Seulement à Pokaran dans le Rajputana et près de Chanda au centre de l’Inde les Talchir beds contiennent de nom- breux fragments rayés et elles reposent sur des surfaces polies et striées. Les cailloux et blocs rayés sont encore plus communs au Salt Range, ot ils sont, en outre, si remarquablement facettés. L’argile durcie à blocaux, épaisse de 12 à 47 mètres, d’après Norriine et Wywne, y est non-stratifiée. A part ce caractère spécial des cailloux rayés et la dureté du ciment, il existe quant à la structure et à la composition une analogie parfaite entre ce dépôt au Salt Range et l’argile à blocaux septentrionale de l’époque pléistocène. Au Salt Range, et à ces endroits rares dans l’Inde où l’on trouve beaucoup de cailloux rayés et aussi des roches polies et striées, nous avons affaire à de vraies moraines; généralement les Talchir beds en diffè- rent considérablement, et pour elles un mode de formation comme se le sont figuré les géologues de l’Inde est bien probable. Il ne peut pas être douteux qu’elles se sont formées sous l’eau douce. Enfin en Australie les dépôts paléoglaciaires paraissent pour la plupart avec une stratification nette. Ce ne sont pas seulement ces 1) Manual of the Geology of India, Second Edition, p. 157—160. Calcutta, 1893. 23* 160 NOTE SUR LES CONDITIONS LOCALES DANS LESQUELLES SE SONT dépôts à facies marin, aux environs de Newcastle dans la Nouvelle- Galles du Sud et à la Tasmanie, qui par ce caractère trahissent leur formation sous l’eau, mais surtout les d&pöts glaciaires de Bacchus Marsh et de méme ceux de Hallets Cove et de Wild Duck Creek sont stratifiés. Dans le profil, que EpGEWoRTH Davip') a donné des dépôts paléoglaciaires de Bacchus Marsh, non moins de douze couches d’argile durcie à blocaux, dont les moins dures présentent elles-mêmes une stratification, sont figurées, en alternance avec des grés et des conglomérats parfaitement stratifiés. I] n’est pas douteux qu'elles ont été déposées sous l’eau douce. Cause de la prépondérance des dépôts glaciaires strati- fiés de l’époque permo-carboniférienne. — Les dépôts paléo- glaciaires de l'Afrique australe, de l'Inde et de l’Australie sont donc pour la plupart stratifiés. Voilà un fait qui doit être de la plus haute importance dans tout essai pour expliquer le mode de leur formation Il semble d’abord inévitable d’admettre que la structure et la composition de ces dépôts glaciaires stratifiés ne se laissent expli- quer qu’en supposant qu'ils aient été formés dans des grands lacs, où descendaient des glaciers portant les cailloux et les bloes. Ces lacs ne pouvaient étre des lacs morainiques, devant leur origine aux anciennes moraines formant barrage ä travers des vallées, ou occupant des dépressions dans le terrain morainique, et situés dans la zone périférique de la région glaciaire, zone ot se sont fait sentir principalement les effets de transport et de dépôt, paysage morainique. En effet, ce terrain morainique n’existe pas dans les régions occupées par les dépôts glaciaires stratifiés. Ils ne pouvaient non plus être des lacs à fond de roche (rock-basins, Felsbecken ou Felswannen) de la zone centrale, engendrés par Vérosion glaciaire, zone ot la glace a surtout agi par érosion, zone des polis glaciaires, paysage à roches moutonnées; puisque les régions qu’ils occupaient étaient à de très grandes distances de cette zone centrale et des centres primitifs de dispersion. C’est ce qu'il s’ensuit de la provenance lointaine des bloes dans le con- glomérat du sud de l’Afrique australe, de la rareté de ces blocs dans les Talchir beds de l’Inde, qui, en outre, n’y sont que très rarement rayés. 1) Quarterly Journal of the Geological Society of London, Vol. 52, (1896), Pl XII, p. 300. FORMES LES DÉPÔTS PALÉOGLACIAIRES PERMO-CARBONIFERIENS, ETC. 161 Il ne semble pas douteux qu’il faut chercher ici une autre cause qui a pu engendrer des lacs glaciaires. En effet, pour l’époque pléis- tocène, l’on a indiqué encore un troisième moyen par lequel des cavités lacustres, et des plus grandes, peuvent avoir été formées, savoir par des mouvements du sol sous la glace. Les faits observés en Scandinavie, où les graviers de plages des temps glaciaires, avec coquilles marines franchement arctiques, sont aujourd’hui soulevés à des hauteurs progressivement croissantes vers l’intérieur, c'est à dire vers le centre de l’ancienne nappe glaciaire, où ils atteignent environ 200 métres, ont prouvé à DE Geer que l’invasion des glaces y a dû déprimer le sol. On sait, de même, qu'avant les invasions des glaces boréales dans la région des Grands Lacs de l'Amérique septentrionale cette région ne formait qu'un ensemble de vallées, la série actuelle de ces mers intérieures devant surtout son existence à des déformations en masse du sol canadien. Durant les invasions des glaces, toute la contrée a subi une dépression, évaluée par Spencer à 500 mètres, et elle était alors noyée sous les eaux douces. Cette déformation se trouve attestée par la situa- tion d'anciennes plages marines, dont la différence avec les plages actuelles croît constamment du sud vers le nord, de New Haven à Montréal. JAMIESON, WARREN Upuam, Horst et autres ont supposé que le sol se fût affaissé sous le poids de la glace. Mais aussi d’après l'hypothèse thermique, bien plausible, de E. pe Drycarskr !) le sol couvert de glace devait s’affaisser. En effet, sa température ne pouvant s'élever au-dessus de zéro, cette glace refroidit le sol sous-jacent en y refoulant les isogéothermes et faisant régner, jusqu'à une certaine profondeur, la température de zéro. C’est au moins de 5 à 10 degrés que la surface en Norvège et au Canada s'était ainsi refroidie. Nécessairement un tel changement thermique devait avoir pour conséquence une certaine contraction du sol et l’on a montré, que la cause était adéquate à l’effet; la contrac- tion de la surface courbée a dû se traduire par un abaissement de plusieurs centaines de mètres Or le changement thermique, qui a eu lieu dans le sol de certaines contrées de l’Afrique australe, l’Inde et l’Australie, lors de son revêtement par les glaces de l’époque permo-carboniférienne, ayant 1) E. von DryGaLski, Ueber Bewegungen der Kontinenten zur Eiszeit. Ver- handlungen des VIII Deutschen Geographentages, p. 162. Berlin, 1889. 162 NOTE SUR LES CONDITIONS LOCALES DANS LESQUELLES SE SONT probablement été de 3 4 5 fois plus considérable que celui produit par cette invasion des glaces boréales, de plus, l’écorce terrestre étant encore moins épaisse et par conséquent les isogéothermes plus serrées, cet effet devait étre de beaucoup plus important. En tout cas, il semble hautement vraisemblable que occupation de ces contrées par les glaces ait eu pour conséquence, soit par leur température, soit par leur poids, des affaissements considé- rables du sol. Si done sur ces terres un régime hydrographique défini s’avait établi avant l’occupation par les glaces, celle-ci allait le renverser ; Vabaissement, de quelques centaines de mötres, des régions couvertes par les glaces devait engendrer pres de leurs bords des nappes lacustres, dont l'étendue était énorme, bien plus grande que celle, en général, des lacs glaciaires de l’&poque pléistocéne. Dans ces lacs ou mers intérieures, où se clarifiaient les eaux de fusion de la glace, des icebergs se détachaient aux extrémités libres des glaciers qui y descendaient, disséminant dans la boue du fond les bloes qu'ils charriaient. La rareté relative de ces blocs et leur accumulation circonserite s’expliquent aisément. Pour expliquer cependant leur transport par les icebergs nous rappellerons que des blocs et cailloux, du gravier et de la boue peuvent avoir été incorporés en vraies couches dans la base des glaciers, comme il est actuellement le cas dans beaucoup de glaciers au Groénland, jusqu’à trente mètres au-dessus de leur fond. On peut comprendre aussi de quelle fagon les bloes dans les Talchirs de l'Inde ont été roulés et arrondis, si l’on admet que les glaciers n’y fussent que relativement faiblement alimentés, en conséquence de l'altitude des massifs montagneux, d'où ils descen- daient, inférieure en comparaison de celle dans |’ Afrique australe. Dans cette condition les extrémités libres des glaciers devaient subir, dans le milieu chaud où ils arrivaient, des reculs rapides, par le déplacement, avec les saisons, des zones de précipitations abondantes Les glaciers pendant les saisons sèches n'arrivant plus aux lacs, les gorges qu'ils avaient alors abandonnées seraient occupées par des torrents (dont l’ancienne existence a déjà été supposée par les géologues de l’Inde) capables de rouler et d’arrondir les cailloux et les bloes y apportés par les glaciers pendant les saisons humides !). 1) Une explication analogue à été donnée déjà par W. T. BLANFoRD. (Records Geological Survey of India, Vol. 20, (1887), p. 49). FORMES LES DÉPÔTS PALÉOGLACIAIRES PERMO-CARBONIFÉRIENS, ETC. 165 Cependant des oscillations réelles dans le sol de la contrée, par lesquelles l'écorce terrestre dans l'Afrique australe descendait en bloc, mouvement analogue à l’aflaissement réel du sol dans la région scandinave, finlandaise et russe de l’époque postglaciaire pléistocène, semble avoir été une des causes du recul final des glaces et de la formation des couches d'Ecca. L'autre cause de ce recul a probablement été la diminution progressive de l'énergie des radiations des plus courtes longueurs d'onde (celles qui, justement, ont mis en jeu le phénomène paléo- glaciaire), s’ayant sans doute fait sentir en premier lieu et long- temps avant que les températures sur le globe subissaient une influence sensible de l’affaiblissement général du rayonnement solaire. ARCHIVES MUSEE TEYLER SERIE II, VOL. VIII. DEUXIEME PARTIE. HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1902. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E SCHULZE. ARCHIVES DU MUSÉE TEYLER SERIE II, VOL. VII. Deuxieme partie. HAARLEM, -— LES HERITIERS LOOSJES. 1902. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE. ri kkk, { VAR See 1e i 11:64 iy Ad p =| mt 13 Aw See Anse sooo u 5 | 8 u | eur A = Mee. 4 ep if eig u a 3 = u Al ot 5 u ni 9 pe x AVIS. En ouvrant cette nouvelle série l’Institut scientifique et littéraire de la fondation Teyler a l’honneur d’informer les lecteurs des Archives, que M. M. les Directeurs ont résolu de lui en confier dorénavant la rédaction, qui, & partir de ce jour, se fera sous sa responsabilité. Les Archives, comme l’indique déja leur titre, contiendront d’abord la description scientifique des principaux instruments de précision et des diverses collections que la fondation posséde, ainsi que les résultats des expériences et des études, qui seront faites par leur moyen, soit que ce travail soit fait par les conservateurs de ces collections, soit par d’autres, auxquels les Directeurs en auront accordé l'usage. En second lieu, et pour tant que l’espace disponible ne sera pas occupé par ces publications obligatoires, les pages des Archives seront ouvertes aux savants, dont les travaux scientifiques ont rapport à une des branches, dont la culture a été recommandée à l’Institut par son fondateur. Pour de plus amples informations à cet égard on est prié de s'adresser au Secrétaire de l’Institut, E. VAN DER VEN. HAARLEM, janvier 1881. li a? < wien, ne) wine a (tait vit} a _ al wi ur jen Van) MUG OY ie | ve 7 Mi Je ‘4 Paal erp aie oh i LAGER ten BAT IL I LITE Oe lee mj a ARLES (a SANT CO ALAT EDA Prt, wh 5 zitbank Flake BT i lt ae PROGRAMM DER TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT ZU HAARLEM, fe. das Jam ose Die Direktoren der TEYLERSCHEN STIFTUNG und die Mitglieder der TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT haben in ihrer Sitzung vom 22 October 1902 das folgende Urteil abgegeben über die zwei vor dem 1 Januar desselben Jahres bei ihnen einge- gangenen Abhandlungen über Komposition und Ursprung des vierten Evangeliums. IE Die holländische Antwort unter dem Motto: 6 £yw rotro didour ist gut gemeint, kann aber nicht als gut gelungen bezeichnet werden. Der Verfasser ist allem nach mehr an homiletische als an streng wissenschaftliche Arbeit gewöhnt. Die Weise, wie er die Frage behandelt, muss als naiv und oberflächlich bezeichnet werden. Keine Spur von einem tiefern Eindringen oder einem wirklichen Erfassen der eigentlichen Probleme. Der Verfasser kennt nicht einmal die neuere Literatur und ahnt nicht, um was es sich bei dieser Preisfrage eigentlich handelt. Welchen Nutzen er sich von seiner Arbeit verspricht, ist nicht einzusehen. Denn sie steht weit unter dem Niveau der zahlreichen Arbeiten, die wir über das vierte Evangelium schon besitzen. Da auch Stil und Logik in dieser Arbeit viel zu wünschen übrig lassen, konnte sie für den Preis in keiner Weise in Betracht kommen. DR Die deutsche Arbeit unter dem Motto: „Könnte ich einst ete.” zeichnet sich jedenfalls aus durch eine gewisse Originalität. Ihr Verfasser hat die Absicht, in welcher die Krage gestellt wurde, begriffen und einen Versuch gemacht, um durch Unterscheidung von zweierlei Bestandteilen innerhalb des vierten Evangeliums die Entstehung desselben zu erklären. Dabei ist er indessen sonder- barerweise der Meinung, der Entdecker dieses Weges zu sein, während sowohl früher als noch in der letzten Zeit bereits viele denselben betreten haben. Eigentümlich ist bei unserem Verfasser nur das Mittel, mit welchem er jene Unterscheidung zu begründen sucht. Er findet im vierten Evangelium einesteils Kennzeichen von grammatikalischer und syntaktischer Art (vornehmlich Gebrauch und Nicht-Gebrauch des Artikels vor den Namen) andernteils Kennzeichen der Tendenz, der Composition, der Kunstform, die nach seiner Meinung die Unterscheidung von zwei verschiedenen Bestandteilen im vierten Evangelium nothwendig machen. Gibt man nun auch gerne zu, dass das, was er hier vorbringt, nicht unin- teressant und wohl auch nicht ganz werthlos ist, so liefern diese Argumente unseres Verfassers doch eine viel zu schwache und unsichere Basis für das Gebäude, das er darüber errichtet, nämlich für die Theorie von zwei Quellen, wovon A von einem Anhänger der judaisirenden Gnosis ungefähr in den Jahren 100—120 ge- schrieben sein soll, während S einem Anhänger der hellenistischen Gnosis in den Jahren 130— 150 seine Entstehung zu danken haben soll. Um die Quellenscheidung hinreichend zu rechtfertigen, hätte der Verfasser viel tiefer in das literarische und vornehmlich auch in das von ihm sehr vernachlässigte theologische Problem des Johannesevangeliums eindringen müssen. Noch ungünstiger muss über den übrigen Teil der Arbeit geurteilt werden. Statt einer ruhigen, nüchternen Untersuchung bekommen wir hier eine Reihe phantastischer Spielereien, deren Zügellosig- keit besonders aus des Verfassers Behauptungen über den Schluss des Petrusevangeliums und aus seinen gematrischen Berechnungen erhellt. Kann der erste Teil der Arbeit, auch ohne dass er befriedigt, noch auf eine gewisse Anerkenning Anspruch machen, so können solche Extravaganzen nicht stark genug verurteilt werden. Es konnte darum auch dieser Arbeit, zumal da sie auch in metho- discher Hinsicht nicht einwandsfrei ist, der Preis nicht zuerkannt werden. Zur Beantwortung vor dem 1 Januar 1904 bleibt die schon im vorigen Jahre gestellte Frage angeboten : „Hat man Grundanzunehmen, dass die Mithras- Mysterien in ihrer Verbreitung von Kleinasien nach dem Westen Einfluss geübt haben auf die altchristlichen Legenden, Vorstellungen und Gebräuche? Wird dies verneint, wie hat man dann die Verwandtschaft zu erklären?” Als neue Preisfragen werden angeboten: 1. um beantwortet zu werden vor dem 1 Januar 1904: „Die Gesellschaft verlangt eine Untersuchung über die Absolutheit des Christentums in Zu- sammenhang mit seinem historischen Charak- ter, speciell mit Rücksicht auf die durch Tröltsch angerechte Discussion.” 2. um beantwortet zu werden vor dem 1 Januar 1905: „Die Gesellschaft verlangt eine Antwort auf die Frage: Welche Rolle hat das Luthertum gespielt im Niederländischen Protestantismus vor 1618; welchen Einfluss haben Luther und die deutsche Reformation auf die Niederlande und auf Niederländer geübt und wie ist es zu erklären, dass diese Richtung gegenüber anderen in den Hintergrund getreten ist?” Der Preis besteht in einer goldenen Medaille von f 400 an innerem Werth. Man kann sich bei der Beantwortung des Holländischen, Latei- nischen, Französischen, Englischen oder Deutschen (nur mit Lateinischer Schrift) bedienen. Auch müssen die Antworten voll- ständig eingesandt werden, da keine unvollständige zur Preis- bewerbung zugelassen werden. Alle eingeschickte Antworten fallen der Gesellschaft als Eigenthum anheim, welche die gekrönte, mit oder ohne Uebersetzung, in ihre Werke aufnimmt, sodass die Verfasser sie nicht ohne Erlaubniss der Stiftung herausgeben dürfen. Auch behält die Gesellschaft sich vor, von den nicht preiswürdigen nach Gutfinden gebrauch zu machen, mit Ver- schweigung oder Meldung des Namens der Verfasser, doch im letzten Falle nicht ohne ihre Bewilligung. Auch können die Einsender nicht anders Abschriften ihrer Antworten bekommen als auf ihre Kosten. Die Antworten müssen nebst einem versie- gelten Namenszettel, mit einem Denkspruch versehen, eingesandt werden an die Adresse: „Fundatiehuis van wijlen den Heer P. TEYLER VAN DER HULST, te Haarlem.” TABLE DES MATIERES. La conchoide elliptique et les courbes qui en derivent, par J. CARDINAAL. Sur le transport des liquides par l’electrieite, par E. VAN DER VEN. Surfaces algebriques renfermant un nombre fini de droites, par J. DE VRIES. Note sur l’excitation électrique des nerfs, par J. L. HooRwEG. Zur Abwehr, par Dr. PAuL OPPENHEIM. | | nie > Fe 3313) TAM.23G ZJHAT: TE af a i Re RIM Ba SUE TER il E ti MALE Sn Ai ital ol u in Ur ud eu? EN NA a fa / i Io {ier MN: HAY , 5 x a + Fun 7 | i D t = 7 ' FONDATION DE P. TEYLER VAN DER HULST, A HAARLEM. Directeurs. A. HERDINGH. L. Pi ZOCHER P. LOOSJES. Mr. A. W. THONE. Jade WENN OORDE: Secrétaire. Mr. A. A. VAN DER MERSCH. Trésorier. P. DROSTE. Conservateur du cabinet de Physique. Dr. E. VAN DER VEN. Conservateur du musée de Paléontologie et de Minéralogie. Prof. Dr. EUG. DUBOIS. Bibliothécaire. G. C. W. BOHNENSIEG. Conservatenr des Collections de tableaux, de dessins et de gravures. H. J. SCHOLTEN. Conservateur du cabinet numismatique. A. J. C. VAN GEMUND. MEMBRES DES SOCIETES TEYLERIENNES. De la première Société ou Société de théologie. Prof. Dr. 8. CRAMER. Prof. Dr. I J. DE BUSSY. Dr. J. G. BOEKENOOGEN. Prof. Dr. D. E. J. VOLTER. Dr. A. C. DUKER. Dr. H. J. ELHORST. De la seconde Sociéte. Dr. E. VAN DER VEN. H. J. SCHOLTEN. J°. DE VRIES. JOH. W. STEPHANIK. Prof. Dr. P. L. MULLER. Prof. Dr. HUGO DE VRIES. LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES COURBES QUI EN DERIVENT PAR J. CARDINAAL. Premiöre partie. CoNSIDERATIONS GÉNÉRALES. 1. Parmi les propriétés des courbes planes, celles qui se rap- portent aux points singuliers occupent une place importante. Dans les traités qui s’occupent principalement des courbes d’un ordre supérieur, comme ceux de SALMON et de ÜLEBsCH-LINDEMANN, on montre comment, à l’aide de l’équation de la courbe, on peut déterminer le nombre et le caractére de ces points. Mais la variété des formes dont ces points sont susceptibles augmente 4 mesure que l’ordre s’éléve. On le voit déjà dans le point double qui peut, comme on le sait, prendre la forme d’un point erunodal, d’un point isolé ou d’un point de rebroussement. Le point triple est susceptible d’un plus grand nombre de formes encore, formes résultant toutes de changements dans |’équation de la courbe. Mais il est souvent difficile de tracer l’origine d’un point singulier compliqué et de bien s’en représenter la forme. Un moyen d’y parvenir est donné par la combinaison de la méthode cinématique avec la méthode géométrique ou analytique; c’est pourquoi je me propose de donner l’analyse de quelques-uns de ces points en appliquant cette combinaison des méthodes. 2. Choisissons, comme premier exemple, une courbe qu’on peut définir comme une extension du limacon de Pascan. On l’obtient en prenant sur une conique un point O; une droite passant par ARCHIVES VIII. 24 166 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES O coupe la courbe en un second point A; portons sur OA, à partir de A, des deux côtés, la distance AB, = AB, = 1 et sup- posons le rayon OA mobile. Le point B=(B,, B,) décrira un lieu géométrique qui sera précisément la courbe en question. Pour en étudier la forme, donnons à O une position particulière; par exemple, faisons coincider O avec un des sommets, et nous aurons l’avantage d’une figure symétrique, sans que la généralité des considérations en soit entamée. Supposons enfin, pour fixer les idées, que la conique soit une ellipse et que le point O coincide avec l’extrémité du petit axe. 3. Commencons par un examen préalable de la forme de la courbe. Soit, à cet effet, la longueur AB, (l), supérieure à la plus grande corde de l’ellipse qu’on puisse mener de O, c.-ä-d. supérieure à la longueur des normales issues de O. La courbe obtenue (Fig. 1) sera située entièrement à l'extérieur de l’ellipse; au premier abord Fie. 1. elle n’a pas l’air d’avoir un point singulier; il est clair, cependant, que, comme chez le limacon de Pascat, le point O sera singulier. Pour en saisir la nature, il faudra choisir pour / des valeurs inférieures à la précédente. Il est évident que la longueur des normales issues de O jouera un rôle dans le problème; c'est COURBES QUI EN DÉRIVENT. 167 pourquoi quelques considörations sur ces normales en précéderont la discussion. 4. D’aprés un théoréme bien connu, les pieds des normales abaissées d'un point sur une ellipse passent par les points d’inter- section de l’ellipse avec l’hyperbole d’Apollonius par rapport à ce point En choisissant comme point de concours de ces nor- males l’extrömite O du petit axe, on verra que l’hyperbole d’Apollonius dégénérera en deux droites, savoir le petit axe et une perpendiculaire à cet axe. Le petit axe représente deux normales coincidentes, les deux autres se déterminent par les points d’intersection de la perpendiculaire et de l’ellipse. Exami- nons les conditions de réalité de ces points. Soit l’équation de l’ellipse x? eae a bt 7 et les coordonnées d’un point arbitraire (x,, y,). L’équation de l’hyperbole d’Apollonius est + 2 ec? sy + by, 2 — ads, y=0. Pour l'extrémité du petit axe on ax, =0, y, = — b; il s’ensuit: bs c* ay — b5x = 0 ou SU nez b3 La dernière droite coupera l’ellipse si as b, condition équiva- lente à a? > 2b?. La longueur p des deux normales distinctes issues du sommet O se calcule facilement comme celle du rayon du cercle bitangent à l’ellipse à centre O. Choisissons, à cet effet, comme axes des coordonnées, le petit axe et la tangente à l’extrémité O du petit axe, L’équation du cercle bitangent aura la forme b?x? + a?y? — 2a? by + À (y — q)? = 0, ou 4 = — (a? — b?) =— c? et — 2a? b + 2c? q =0; d'où, enfin, EON gegen Ed eae Remarque. Ce résultat est susceptible d’une représentation géo- métrique. Supposons la développée de l’ellipse construite; cette courbe posséde, comme on le sait, deux couples de points de rebroussement réels dont chaque couple se trouve sur un axe 24* 168 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES de l’ellipse. Les points de rebroussement sur le petit axe peuvent être situés en dehors de l’ellipse, en dedans, ou bien sur cette courbe. Dans le premier cas, les normales distinctes issues de l’extr&mite du petit axe sont réelles; dans le second cas, elles sont imaginaires; dans le troisième cas, elles coincident. A l’aide de l'équation de la développée, on arriverait de même aux résul- tats déjà obtenus. 5. Les considérations précédentes mènent à une classification de la forme des courbes. On distingue d’abord trois groupes. Groupe I. a? > 2b?. Les deux normales distinctes abaissées de Vextrémité O du petit axe de l’ellipse sont réelles. Groupe II. a? < 2b?. Les deux normales sont imaginaires con- juguées. Groupe III. a? =2b?. Les deux normales coincident dans le petit axe. Chaque groupe se sub-divise dans les cas suivants: a. La longueur / qu’on porte sur le rayon mobile, à partir de son point d’intersection avec l’ellipse, est inférieure à celle du petit axe, ainsi | < 25; b. l= 26; c. l est supérieure au petit axe 2b, mais inférieure à la normale Ces eae: a” “g? ainsi 2b <1 a a? th = et a2 >. c L’analyse détaillée de chaque groupe révélera des répétitions dans la forme des courbes; elles se présenteront naturellement. La courbe décrite par B sera appelée dorénavant conchoide ellip- tique, 4 cause de l’analogie de sa génése avec celle de la conchoide. Deuxiéme partie. BASE, ROULANTE ET COURBE BITANGENTIELLE. 6. Les courbes dont les noms sont placés en tête de cette partie jouent un grand rôle dans le mouvement du système plan qu’on simagine lié à la droite mobile. Elles jouissent de la propriété COURBES QUI EN DÄRIVENT. 169 que leur forme est indépendante de la longueur I. Nous ferons précéder leur analyse 4 celle de la conchoide elliptique propre- ment dite. Fixons d’abord notre attention sur le lieu géométrique des pôles appelé la base du mouvement. Construisons, afin de l’obtenir, pour une position OA du rayon mobile, (Fig. 2), le pole P du mouvement, Il se détermine comme point d’intersection de la Fic. 2. DT normale AN en A et de la perpendiculaire élevée en O sur OA. La base est le lieu géométrique de ces pôles, À étant variable. Le degré de la base se détermine de la manière suivante: Soit donnée une droite d. D’un point D, pris sur d abaissons les normales à l’ellipse; soit D,A, une d’elles. Menons la droite OA, et élevons la perpendiculaire de O sur OA,, elle coupera d en un point D,’. Comme D, est le point de concours de quatre normales à l’ellipse, on voit que quatre points Dt, D,", DT, D,'Y correspondent au point D, Procédons maintenant en sens inverse et choisissons par exemple le point D. La droite D;'O étant construite, on élève sur elle la 170 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES perpendiculaire OA, et mène la normale A,N, à l’ellipse en A, ; cette droite coupera d en D,, correspondant à D}. On en déduit qu'à chaque point D; correspond un seul point D,. Quand un des points D coincide avec un des points D', ce point appartient à la base. Il s’ensuit: Les points D et D’ engendrent sur la droite d une correspon- dance (1,4); il y a done cing points coincidents; la base est du cinquiéme degré. Il est, cependant, à remarquer que le petit axe appartient à la base. En effet, soit D, le point d’intersection de d et du petit axe; des quatre normales issues de D, deux coincident dans le petit axe; O est un des pieds de ces deux normales; le rayon correspondant OA, est la tangente en O et la perpendiculaire coincide avec le petit axe; ainsi un des points D," coincide avec D,. Cette vérité subsiste pour chaque position de la droite d. La base est ainsi une courbe du quatrième degré. Le pöle passera quatre fois par le point O, savoir pour les normales de l’ellipse issues de O; comme un de ces points appartient au petit axe qui fait partie de la base, la courbe biquadratique aura un point triple en ©. 7 La construction des tangentes à ce point triple s’effectue facilement. Reprenons la figure 2; prolongeons la droite OP de l’autre côté de P et portons y la longueur PO'= PO; O' sera un point du cercle d’inflexion et PO’ en sera une corde. Pour le point triple P coincide avec O; la droite O'P est done une tangente du cercle d’inflexion et par conséquent de la base. Il s'ensuit: Les perpendiculaires au petit axe et aux deux normales distinctes issues de O sont les tangentes au point triple de la base. Quand a? > 2b?, les tangentes sont toutes trois réelles, quand a? < 2b?, deux des tangentes sont imaginaires. La tangente à un point arbitraire se détermine par la méthode de Bobillier. Supposons encore le pôle P construit d’après la méthode précédente, (Fig. 3), et construisons le centre de courbure des trajectoires de deux points du système. Soit un de ces points, À, situé sur l’ellipse; construisons la tangente en A qui coupe le grand axe en B; soit B le point d’intersection de la normale en A avec le grand axe et C’ celui de BN avec la parallèle B'C' au petit axe. Le centre de courbure C s’obtient comme point d’inter- section de AN avec la perpendiculaire menée de C’ à AN. Choisis- COURBES QUI EN DERIVENT. 171 sons, comme second point, O' situé sur le cercle d’inflexion et construit comme il a été indiqué; le centre de courbure de la trajectoire de O' est à l'infini. Appliquons maintenant la méthode de Bobillier, en menant AO et en construisant le point d’intersection Q de AO’ avec la parallèle.à O'P passant par €. Menant ensuite une droite PQ qui fait avec PO un angle OPQ'=ZQPC, et ayant soin que les angles CPQ et OPQ soient comptés en sens inverse, la droite PQ’ sera la tangente à la base. 8. La forme de la base dépend évidemment de la grandeur relative des axes; nous l’examinerons d’abord pour le cas a? > 2b?. Supposons l’ellipse placée comme précédemment et sa développée construite, le point O est situé à l’intérieur de la développée. 172 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES Faisons maintenant tourner le rayon à partir du petit axe et nous verrons sans peine que, tant que le rayon vecteur n’est pas devenu tangent à la développée, la normale est située à l'extérieur de l’angle formé par ce rayon et le petit axe et, par conséquent, le pôle P à l'extérieur de l’ellipse. Pour la tangente à la déve- loppée la normale de l’ellipse et le rayon vecteur OA coincident, et, quand ce rayon poursuit son mouvement, la normale est située à l’intérieur de l’angle en question et de même le point P. Il s'ensuit: Quand a? > 2b?, le pôle P peut être situé aussi bien à l’inté- rieur qu'à l'extérieur de l’ellipse; le point triple O ayant trois tangentes réelles, la base aura la forme d’un trifolium (Fig. 4). On peut déduire des considérations précédentes la forme de la base pour a? < 25°; en ce cas la normale est toujours située dans l’angle formé par le rayon OA et le petit axe; tous les points de la base se trouvent à l’intérieur de l’ellipse, ou bien, s'ils se trouvent à l'extérieur, c'est dans le voisinage du sommet opposé à O. La forme de la base est celle d’un ovale (Fig. 5). Quand a? = 2b?, la forme de la base ressemble à celle du cas précédent. Mais le caractère du point triple est tout-à-fait différent. Tandis que, pour a? < 2b? ce point était composé d’un point crunodal et de deux points isolés, il se compose maintenant d’un point crunodal et de deux points de rebroussement. 9. L'analyse ne fait que confirmer les résultats géométriques obtenus. L’équation de la base s'obtient de la manière suivante: Soit, comme auparavant, l’ellipse rapportée à des axes, con- sistant en la tangente au point O et le petit axe (Fig. 2). Son équation est b?x? + ary? — 2a°by = 0. L'équation du rayon OA étant y= MX, les coordonnées du point A seront Med 2a*bm _ 2a2bm? — Gm? + br? YS arm? 2e (02 1 L'équation de la normale au point (x,,y,) est da a*(y,—? = ea) Yay ee («—x,), ou bien y—y, = —: rn COURBES QUI EN DERIVENT. 173 Pour le point A cette &quation devient, aprés quelques réductions, 2a um? aM pb? (« 2a*bm _ Y~ Gm? +62 262m am? + ni) ou bien am? —b2 _ a? (2b? — am? + b2} ie VTB "=~ dame tb) L’équation de la droite OP est Ek y= y % L'élimination de m nous fait obtenir l’équation qui devient, après les réductions, (ID). ... (a222 + 62y?)? = 2a2by |(2b? — ax? + b?y?). Cette équation permet d’obtenir les résultats précédents. Qu’il suffise d'en donner deux exemples. Posant x = 0, nous voyons que biy* = 202b3y?, d'où 2a? y° == 0% y= HER: L'origine est done un point triple et la base coupe l’axe des y en un point situé au dessus du sommet supérieur de l’ellipse; ce dernier point est réel quel que soit le rapport des grandeurs a et b. Examinons en second lieu la réalité des tangentes. Posons y = mx et substituons; nous obtiendrons: (a? + b?m?)? x: = 2a?bmx$ (2b? — a? + m?b?); pour une tangente m=0, 2b? — a? + m?b? =0. Vv qr 2b2 5 : Ainsi on voit qu'il y a trois tangentes réelles, ou une seule tangente réelle, selon que a? > 2b? ou a? < 2b?. Quand a? = 2b?, les trois tangentes coincident dans l’axe des x, ce qui s’accorde avec les considérations géométriques. 10. Le mouvement est complétement déterminé quand on con- ARCHIVES VIII. 25 M= + 174 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES nait la base et la roulante; déterminons done cette derniére courbe qui, elle aussi, est indépendante de la grandeur 1. A cet effet, reprenons la figure 2 et concevons qu’on inprime au triangle rectangle AOP une rotation telle que la droite OA coincide avec l’axe OX et ensuite une translation le long de cet axe, qui fait coincider le point A avec l’origine O. OA coincidant avec OX étant la position initiale, les points A, =O, O,, P, déterminent le mouvement rétrograde du triangle AOP, qui lui fait reprendre cette position initiale. P, est done un point de la roulante et ses coordonnées sont 4,0, et O,P,. Il s’agit done, pour obtenir l'équation de la roulante, de calculer ces coordonnées. Comme on le voit, la construction géométrique de la roulante n'offre pas de difficultés; le calcul de l'équation, quoique le principe soit de même assez simple, mène à quelques complica- tions. La figure 4 donne la forme de la base et de la roulante pour le cas a? > 2b?, la figure 5 représente les mêmes formes quand a? <2b?. Il serait superflu d’y ajouter le cas a? = 2b?, puisque les formes qui s’y présentent ne diffèrent pas sensiblement de celles de a? < 2b? (comparez $ 8). 11. La figure 4 montre que la roulante possède des points singuliers; on détermine leur nature à l’aide de l'équation de la courbe; à cet effet, caleulons les côtés OP et OA (Fig. 2) du triangle rectangle AOP. L’équation de l’ellipse étant, comme auparavant, b?x? + a?y? — 2a?by = 0, et celle de la droite OA y= MY, on a ie 2a?bm je _2a?bm? \? _ 4a*b?m?(l + m?), N (Gum aie b2 a2m2 =i a (am? + b2)2 ? l’équation de AP est (I) a?m? — b? Re a?}(2b? — a?) m? + b?} JT bm b(a?m? + b2) et celle de OP COURBES QUI EN DÉRIVENT. 175 Les coordonnées du point P s’obtiennent en substituant 1 ‘ : Dt dans l’équation de OP 2 (+ Gels += a?}(2b2 — a?) m? + b2} b(a?m? + b?) N 120? == a?) le Oy (a?m? + b?)2 4a4b? (Qb? — a?) m? + 2}? (1 + +m?) (am 02): L— — OP? = Posant OA ==, OP=y, on obtient l'équation de la roulante en éliminant m; la dernière équation peut être remplacée par Péquation plus simple Lee m2 (a? m? + b?)? ye Tb — a?) m2 + bei? Posons m?=p et développons la valeur de OA? =x? et la 2 valeur de 5 nous obtiendrons : a (x? — 4b?) p? + 2a?b? (x? — 2a?) p + br? —0 a*y°p? + |2a?b2y2 — (252 — a?) x?} p? + be |b?y? — 2 (2b?—a?) x?!p — bir? = 0. L’addition diminue le dégré de la seconde équation d’une unité. a'y*p? + 2b? (a?y? + 2a?x? — 2b?x? — 2a) p + b? (b2y? — 4b?x? — — da + 4a?x?) = 0. L’élimination de p méne au déterminant x2—4b? 0 y? 0 Qa2b2 (a2 —4a?) a?(x?— 4b?) 2b2(a2y? + 2a2a2 — Wx? — 2u4) ay? b?x? 2a?(x? —2a?) by? - 4b2x? -dai+-4a?x? ay? +2a?x? —2b2x? — 2a}) =0 0 62292 0 by? —4b?2x? —4a®+4a?x? ou bien, en développant, a* (x — 4b?) (by? — 4b?x? — 4a! + 4a?x?) — by? P= (III) 452 (02 — 4b?) (a?y? + 2a2%°?-— 202%? — 2a") — a?y?(x?— 2a?)| x ja? (x? — 2a?) (b?y? -- 42x? — 4a + 4a?x°?) — ber? (a?y? + + 2a?x? — 2b?x? — 2a*)}. L’équation montre que la courbe est du huitième degré. Le développement fait disparaître la constante et, comme x et y 25* 176 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES y paraissent avec des exposants pairs, la courbe possède à l’origine un point, qui sera toujours isolé. En examinant les intersections avec les axes des coordonnées, on trouve: s—=0 a* | — 4b2(b2y? — 4a')|? = 4b? |— 4b2(a2y? — 2a") + 2a y?| ja? x — 2a? (b?y? — 4a*)| 16a'b* (b2y2 — Aa)? = — 16a®b? (b?y2— 4a") (a?y? —2b2y? +4a?b?) by? — Aa =0; b?(b?y? — 4at) = — a?(a?y? — 2b?y? + 4a?b2). La dernière relation revient à y? = 0, le point isolé O. En outre la roulante coupe l’axe des y en deux points symé- ß x | x . 2a? triquement placés par rapport à O, à une distance hee elle est tangente à la base dans un de ces points. Calculons de méme les points d’intersection avec l’axe des X. Posons y = 0, on aura: 16a (2 — 4b2)2 (a2x? — b2x? — a")? — 1652(x2 — 452) (ax? — — bx? — at)? (20202 — ba? — 4a) équation qui donne les solutions x? — 4b? =0; (a?x? — b?x? — a)? =0; a*(x? — 4b?) = b2(2a2a? — b?x? — 4a!) ou enfin ING 2. 2 f= 420+ (+) —. 0: («-%) OD € € La valeur x? =0 montre que le point © est un point double, les valeurs x = + 2b donnent deux points symétriques. (A, et A,, fig. 4) enfin les équations (2 — > ~=0 et (er = =) — 0 donnent les deux points singuliers B, et B, dont on doit examiner la nature. La figure 4, de même que la relation obtenue, montre que les points B, et B, sont doubles. Les particularités d’un de ces points se montrent encore mieux quand on détermine l'intersection de la roulante avec une parallèle à l’axe OY passant par B,. Cette ZAAT > R - a? er opération revient à substituer dans (III) «= + Une première substitution donne COURBES QUI EN DÉRIVENT. ded ost — 452) eb — big Ab? (a? — 4b?) x a2y? — a2y? (x? — 2a?)| fa? (x? — 2a?) x b?y? — — ba? x a2y?| qui se réduit a 16a:b3y* = 4a?b?y?(2a? — 4b?) x a?b?y?(— 24°). 2 2 : 4 a a Il s’ensuit que la droite x= | °UT——— coupe la roulante en quatre points coïncidents. Les points B, et B, sont donc deux couples de deux points doubles réunis ou bien deux points tangen- tiels, dont les tangentes sont parallèles au petit axe de l’ellipse. Quand a? = 2b?, les ovales tangentes à la courbe dans les points B, et B, deviennent des points, quand a? < 2b?, ils disparaissent tout-à-fait. La fig. 5 fait voir la forme de la roulante dans le dernier cas; il est évident que la forme dans le second cas est analogue à celle du dernier. 12. Une troisiéme courbe, enfin, indépendante de la longueur l est le lieu géométrique des points de contact de la tangente double. En effet, la conchoide elliptique posséde des tangentes doubles, et, en vertu de la symétrie de la courbe par rapport au petit axe de l’ellipse, les deux points de contact d’une d’elles sont de méme symétriques par rapport 4 cet axe, ce qui exige que la tangente double soit paralléle au grand axe. La normale correspondante, droite passant par le pöle P, est done parallöle au petit axe. Etant donné le pöle P, on construit done cette normale, en menant de P la paralléle PT au petit axe (Fig. 6); son inter- section avec le rayon vecteur OA sera le point de contact. 13. En supposant la base donnée, on obtient la courbe en question que nous appellerons courbe bitangentielle, de la maniére suivante: Menons par O un rayon qui coupe la base en un point P, et par P une parallèle au petit axe de l’ellipse; cette parallele coupera la perpendiculaire OT & OP en un point T appartenant ä la courbe bitangentielle; celle-ci est entiérement déterminée quand on suppose OP mobile. La courbe peut done se concevoir comme l'intersection des rayons d’un faisceau à centre O et de ceux d'un faisceau de rayons parallèles. Examinons done la correspondance de ces deux faisceaux. Menons un rayon OP,; il n’v aura qu’un seul point d’inter- Wis LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES section P, avec la base; à un rayon OP, correspond donc un seul rayon du second faisceau. Mais en menant une paralléle au petit axe de l’ellipse, on voit qu’il y aura quatre points d’inter- section P,, P,, P,, P, et, par conséquent, quatre rayons OP,, OP,, Fra. 6. OP, OP, correspondants. A chaque rayon OP, etc. correspond une seule perpendiculaire par O. Il s’ensuit: Le faisceau à centre O et le faisceau de paralléles se trouvent dans une correspondance (1, 4); leurs rayons homologues engen- drent done une courbe du cinquéme degré. On voit cependant, sans peine, que le petit axe fait partie de la courbe bitangentielle, elle est done du quatriéme degré et symétrique par rapport au petit axe. 14. L’équation de la courbe en question s’obtient de la manière suivante. Soit l'équation de la base (II) COURBES QUI EN DÉRIVENT 179 (a2x? + b2y?)? = 2a2by }(2b? — a?)x? + b2y?} et celle de la droite OP y NT: On en tire: (a? + b?m?)? __ 2a?bm (2b? — a? + m°b?) as 5 1 A en éliminant m entre cette équation et y =— mo on obtient l'équation de la.courbe bitangentielle. (IV) (a2y2 + b2x2)? + 2a2by }(2b? — a?) y? + b?2x?| = 0. Quand a? > 2b?, la forme de la courbe est celle d’un trifolium comme c'était le cas avec la base; la feuille partagée par l’axe OY en deux parties symétriques est cependant bien moins allongée, et, comme on le verra par la suite, coupe cet axe en un point situé à l’intérieur de l’ellipse. O est un point triple, Fig, 7. Vaxe OX est une des tangentes, les deux autres sont données par les valeurs DEN m a2 — 2b? m= Elles prouvent que les tangentes sont perpendiculaires aux 180 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES tangentes de la base et coincident avec les normales distinctes de Vellipse issues de O (fig. 6). La courbe bitangentielle coupe le petit axe au point dont la 2b(a? — 2b?) i Er mm’) valeur toujours positive quand a2 > 2b? et inférieure 4 2b, ce qui s’accorde avec la remarque précédente. distance 4 O est y = Fi. 8. La ressemblance de la base et de la courbe bitangentielle dis- paraît, quand a? = 2b? ou a? <2b?. En effet, dans le premier cas deux des tangentes coincident dans le petit axe et le point triple retient done deux tangentes distinctes; d’ailleurs la forme de l’&quation (a2y? + b?x2)? = — 2a2d ary montre que la courbe se trouve entiérement dans la partie du plan située du côté de la tangente opposé à celui où se trouve l’ellipse. Le même remarque s'applique au cas où a? < 2b?. La courbe change sa forme mais sa position par rapport à la tangente reste la méme. Les figures 7 et 8 donnent la forme de la courbe dans ces deux derniers cas. COURBES QUI EN DERIVENT. 181 Troisiöme partie. CONCHOIDE ELLIPTIQUE. 15. La trajectoire d’un point arbitraire dans le mouvement considéré est, comme on le sait, une conchoide elliptique. Exami- nons en les différentes formes. Groupe I. a? > 2b’. ( i cd | = zz | en | wea : PD LAON : | | \ | N a \ N | | | | _—+— a BZ l 2 Noe ei A h + N i] Ha ‘ i / ri \ | N { \ SEEN, Er BETTEN | | | / \ / Ne | > EN x i B SS = Sl EN D — BED : a. 1< 2b. Concevons un faisceau de rayons vecteurs issus du point O et portons sur chaque rayon la longueur / des deux côtés du point d’intersection. Les deux points B, et B, décriront la conchoide elliptique. La transition de l'intérieur de l’ellipse et inversement aura lieu pour la corde dont la longueur est = 1, La conchoide aura done un noeud à l'intérieur de l’ellipse; la forme exacte de ce noeud, cependant, ne sera connue que lors- qu’on s’est assuré de la réalité des points de contact de la tangente double situés à l’intérieur de l’ellipse. Ces points de contact seront réels si la conchoide coupe la ARCHIVES VIII. 26 182 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES courbe bitangentielle en des points réels, ce qui exige que son point d’intersection avec le petit axe soit situé à l'intérieur du noeud de la courbe bitangentielle, ou, ce qui revient au méme: 2b ee) a = > 2b— 1, ou bien >= (iS 3 Comme = < 2b quand a? > 2b?, la condition est possible et le noeud aura la forme d’un coeur (Fig. 9). , : Abs 3 On voit, sans peine, que, quand |< zn les points de contact AN 4b3 , seront imaginaires et que, pour I= 5» ils eoïneideront; la con- choide possède alors un point méplat. Fic. 10. En outre, la conchoide possède une tangente double à l’extérieur de l’ellipse. b. 1=2b. Du point O comme centre décrivons un cercle à rayon = 2b; il coupera l’ellipse en deux points, et sera tangent à Vextrémité du petit axe opposé à O. Le point B se trouve COURBES QUI EN DERIVENT. 183 d’abord dans l'intérieur de ellipse, ensuite il passe à l'extérieur. Il s’ensuit: La conchoide elliptique possède à l’intérieur de l’ellipse deux noeuds, le petit axe en est une tangente commune et devient Fig. 11. ET | Fo donc une tangente de rebroussement de la courbe; les deux autres tangentes dans le point O sont les deux cordes de l’ellipse à longueur 2b, OS et OS’. En O il y aura donc trois tangentes dont une est de rebroussement. La tangente double située à l’inté- : : ; 5 4b3 rieur de l’ellipse est toujours réelle, puisque !=2b et 2b > PTE La figure 10 donne la forme de la courbe. a? RR: : ©, BOS FR En décrivant du point O comme centre un cercle à rayon J, on voit qu'il coupe l’ellipse en quatre points réels; la longueur AB qu'on porte toujours sur le rayon vecteur mobile passera quatre fois par le point O; ce point est done quadruple; les quatre tangentes sont les cordes à longueur / passant par O; elles sont done réelles. La courbe possède trois noeuds, dont deux sont situés à l'intérieur de l’ellipse. La figure 11 en donne la forme. d. l=“. En décrivant de O comme centre le cercle à rayon |, ce 26% 184 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES on voit qu'il est tangent en deux points à l’ellipse; la courbe aura done deux tangentes de rebroussement. Le noeud à l’intérieur de l’ellipse a entièrement disparu; il n’y a qu’un noeud à l’exté- x rieur; les deux tangentes de rebroussement sont les cordes à 2 longueur =. passant par O. Il en résulte que la conchoide et la courbe bitangentielle possèdent deux tangentes coincidentes (Fig. 12). Fie. 12. 5 t a? e. Considérons enfin le cas où L > a Nous retrouverons la figure 1 et nous observons que, dans la construction primitive, quatre tangentes passant par O étaient disparues. La conchoide posséde encore deux tangentes doubles réelles puisqu’il y a deux couples de points d’intersection réels avec la courbe bitangentielle; elles sont situées toutes deux hors de l’ellipse. 16. La géométrie analytique fait obtenir l’équation de la con- choide elliptique. Elle s’obtient de la maniére suivante: Soit de nouveau l’&quation de l’ellipse bx? + a?y? — 2a2by = 0 COURBES QUI EN DÉRIVENT, 185 ou bien, en coordonnées polaires 2a°b sin A Var NCP b? cos? Q + a? sin? a ce qui donne l'équation de la conchoide en coordonnées polaires ae 2a?b sin A ~ b? cos? EF + a? sin? 0 El; en coordonnées rectangulaires EEND Katty = Lhe ne D bra? + ary ou bien, en faisant disparaitre les radicaux WD + a? — 2a*by)* (@ + y= Lb Ea), courbe du sixième degré à point quadruple en ©. L'équation nous fait obtenir sans peine les conditions de réalité des tangentes. Posons y = mx; l'équation devient (b?x + a?m?x — 2a?bm)? (1 + m?) = I? (b? + a2m?)?. Les coefficients directeurs m des tangentes sont les racines de Péquation en m: Am (Ue m2)—12(b2 2 02m2)2 ou bien a® (4b? — 12) m! + 2a?b? (2a? — 1?) m2 — Pb" = 0. Soit d’abord ! < 2b. Le premier terme est > 0, le second de même >0; on aura done une valeur positive et une valeur négative pour m?; ce qui donne deux tangentes réelles en U. Quand ? = 2b, il y aura deux valeurs réelles de m, et, à cause de la disparition du terme m’, une valeur de m correspondant au petit axe de l’ellipse. Quand / > 2b, on écrira l’&quation de la manière suivante: a (12 — 4b?) m* — 2a?b? (2a? — 1?) m? + Pb! —0; la condition de l’égalité des racines m? est asb*12 (12 — 4b?) = aïb# (2a? — 1?)?, ce qui donne 186 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES £ a? C’est le cas de deux tangentes de rebroussement; quand I > pe a2 Le deux valeurs de m? sont réelles et positives; ce qui s'accorde avec les considérations géométriques. 17. Groupe II. a? < 2b?. Dans ce groupe, le petit axe est la les deux valeurs de m? deviennent imaginaires, quand / <-— les Fie. 13. plus grande corde qu’on puisse mener de 0; en outre, la courbe bitangentielle est située tout-à-fait à l'extérieur de l’ellipse, ce qui altère la forme de la courbe. Comme auparavant, nous passerons en revue différentes formes. a. 1> 2b. La conchoide possède un noeud à l’intérieur de l’ellipse. La forme de ce noeud diffère de celle du cas a du groupe précé- dent, parcequ’il ne peut admettre de tangente double (voyez la figure 13). Deux des quatre tangentes en O sont réelles, les deux COURBES QUI EN DERIVENT. 187 autres imaginaires conjuguées. Une tangente double se trouve ä l’extérieur de l’ellipse. b. 1=2b. Les deux tangentes du cas précédent se réunissent; une tangente de rebroussement en est la conséquence. Le noeud disparait, deux tangentes sont imaginaires et, comme auparavant, la tangente double se trouve à l'extérieur de l’ellipse (fig. 14). ae a* 18. Dans ce groupe la différence entre les valeurs 2b <1] < Fe ue : ms SERGE et 2> — a moins d’importance, puisqu’il ne passe pas par O de 07 corde plus grande que 2b, la forme de la conchoide se deduit Iie, 14. sans peine des considérations précédentes, et il serait superflu d’analyser et de construire tous les cas; fixons cependant l’atten- tion sur un cas particulier. 188 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES a? a] L nA Ar — Nous avons vu que, dans le groupe précédent, quand 1 = “at la conchoide posséde deux tangentes de rebroussement; supposons maintenant de méme la courbe construite pour la longueur de 9 C= EE: En reprenant l’&quation en m? du groupe précédent et 2 a ; en y remplaçant / par a obtient: 4 » - n : 9 79 D] 2) a : 9 a‘ n a* | 4b? — >) m! + 2a?b? | 2u? — U js = (0) qui devient, aprés quelques réductions, (a? — 2b?)? m! — 2b? (a? — 2b2) m? + bt =0 ou bien (a? — 2b?) m2 — 6212 —0; puisque a? < 2b?, la valeur de m? est négative. On voit par-là que les deux tangentes de rebroussement sont devenues imaginaires conjuguées. Quoiqu’on ait ici un cas distinct, la forme de la courbe ne differe pas essentiellement de celle de la figure 14. On pourrait encore examiner, si l'équation en m? nous fait obtenir les autres cas de la courbe. Cet examen ne serait, cepen- dant, qu’une répétition de celui du groupe précédent. 19. Groupe III. a? = 2b?. Il suffit de s’occuper de trois valeurs de I, 1 < 2b, |= 2b, 1 > 2h; nous les passerons en revue. Soit d’abord 1 < 2b La conchoide possède un noeud à l’intérieur de l’ellipse; la courbe bitangentielle étant située tout-à-fait à l’ex- térieur, le noeud n’aura pas de tangente double; celle-ci se trouve à l'extérieur de l’ellipse; la forme de la courbe rappelle celle de la figure 13. Le cas > 2b n'offre pas de difficultés, mais le cas le plus remarquable est celui où 1= 2b. Alors les quatre tangentes du point quadruple O coincident, et on peut considérer la tangente résultante qui coincide avec le petit axe comme deux tangentes de rebroussement réunies. La forme de la courbe est analogue a celle de la figure 14. L’&quation en m? confirme ce résultat. En effet, en posant 1= 2b, a? —=2b?, les termes en m* et en m? s’&vanouissent et il ne reste que le petit axe comme tangente. COURBES QUI EN DÉRIVENT. 189 20. Résumons enfin les différents cas traités et distinguons les d’aprés la réalité des tangentes au point quadruple. 1. Conchoide elliptique à quatre tangentes réelles en O: Groupe I. ap <1<%, c 2. Conchoide à deux tangentes réelles et deux tangentes imagi- naires en O: Groupe I, II, III. 1 < 2b. 3. Conchoide à quatre tangentes imaginaires en ©: Groupe I, 9 BPS 1>—. 4. Conchoide à deux tangentes réelles et une tangente de rebroussement en O: Groupe I. {= 2b. 5. Conchoide à deux tangentes imaginaires et une tangente de rebroussement en OQ: Groupe IL. !=2b. 6. Conchoide à deux tangentes de rebroussement réelles en O: a? Groupe I. IS 7. Conchoide 4 deux tangentes de rebroussement imaginaires a: en O: Groupe II. l=. 8. Conchoide à une seule tangente de rebroussement en O, comptant double: Groupe III. ? = 2b. On voit done qu'il y a huit cas différents dont quelques-uns appartiennent à plusieurs groupes et quelques autres sont carac- téristiques pour un seul groupe. Quatrième partie. EXTENSION DES CONSIDERATIONS PRÉCÉDENTES 4 L’HYPERBOLE ET À LA PARABOLE. 21. Cette partie contient un apergu des courbes correspondantes ä celles des deux parties précédentes, quand on remplace l’ellipse par une hyperbole ou une parabole. Il va sans dire qu'il serait inutile de répéter toutes les considérations géométriques et tous les cal- euls; maintes fois il suffira d’indiquer le résultat. Passons d’abord à Vhyperbole. 22. En choisissant, comme auparavant, un sommet de l'hyper- bole comme point de concours des différents rayons vecteurs sur ARCHIVES VIII. 27 190 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES lesquels on porte les longueurs AB, = AB, =1, on voit que les cordes croissent indéfiniment à partir de l'axe réel, ce qui fait que l’on n'aura que trois cas à considérer: J > 2b, 1 < 2b, |= 2, 2b étant la longueur de l'axe réel. Enfin, on peut attacher moins d'importance à la division en groupes, mise en avant dans la pre- mière partie de cette étude. Le cas particulier qui mérite d’être étudié est celui de l’hyperbole équilatère. 23. Examinons d’abord la base. Comme les cordes passant par 0 n’admettent pas de longueur maximum, comme c'était le cas de l’ellipse, le point triple O a une tangente réelle et deux tan- gentes imaginaires conjuguées. On voit ensuite, facilement, que la base aura des points à l’infini. En effet, menons par O la parallele à une des asymptotes de l’hyperbole; la normale correspondante sera la droite à l'infini et la perpendiculaire à la direction de l’asymptote indiquera la direction d’un point à l'infini de la base. Reprenons l'équation de la base comme elle a été obtenue (9) (ae be) a OY N On en déduit l'équation de la base, pour le cas de l’hyperbole, de la manière suivante: Qu'on s’imagine l'hyperbole tellement placée que l’axe OX soit tangente en O à un sommet de l’hyperbole et que l’axe imaginaire soit représenté par l'équation y = + b. L’équation de l’hyperbole devient. — bez? — a? y? + 2a? by = 0 Ainsi, on obtiendra les résultats équivalents à ceux de l’ellipse, en remplaçant a? par — a?, ce qui donne, pour l'équation de la base: (VI) (b2 y? — a? 22)? = — 2a? by | (a? + 2b?) a? + db? ya Les termes du quatriéme degré appartiennent exclusivement au premier membre; les quatre points d’intersection avec la droite a Vinfini sont done donnés par l’&quation (82 y? — a? a)? =0 ce qui montre que la droite à l'infini est une tangente double de la base; les perpendiculaires aux asymptotes de l’hyperbole don- nent la direction des points de contact. 24. Après cette remarque, il n’est pas difficile de discuter les propriétés de la roulante, dont on obtient de même l'équation en remplaçant a? par — a?. La figure 15 donne la forme de la base COURBES QUI EN DERIVENT. 191 et de la roulante, comme les donnaient auparavant les figures 4 et 5 pour l’ellipse. On remarquera que l’&quation qui donne les deux points doubles devient les deux points tangentiels deviennent done imaginaires. 25. L’équation de la courbe bitangentielle devient (VIL) (62 22 — a? y?)? — 2a? by | (252? + a?) y* +22 | =0 Elle satisfait aux conditions suivantes: La courbe se trouve entiérement dans la partie du plan qui con- tient la partie positive de l’axe OY; elle est bitangente à la droite à l'infini; la direction des points de contact est donnée par les asymptotes de hyperbole; deux des tangentes du point triple sont imaginaires, OX est la tangente réelle. (fig. 16). 25. Considérons maintenant les trois cas de la longueur / et examinons la forme de la conchoide hyperbolique pour chacun de ces cas. a. 1 > 2b Soit OA la position initiale du rayon mobile (fig. 17), B, et 2, les deux points correspondants de la conchoide. Imprimons au rayon OA une rotation autour du point O; le point B passera par O quand OA devient égal à /. Tant que le point A reste sur la branche opposée au sommet QO, on aura deux points B, et B, situés de part et d'autre de cette branche; ces deux points décri- vent deux branches asymptotiques par rapport à la branche de Vhyperbole. La rotation continue entraine cependant la conséquence que le point A ira se placer sur la branche de l’hyperbole sur laquelle O est situé; la courbe compléte posséde done deux branches de plus qui se croisent au point O; elles sont asymptotiques à la seconde branche. D'après la construction, les quatre tangentes du point O sont réelles; elle montre en même temps que la courbe possède des points singuliers à l'infini En effet, chacune des asymptotes est tangente en deux points à l'infini; la réunion de ces deux points constitue done un couple de deux points doubles coincidents ou bien un point tangentiel La courbe possède done à l'infini deux points tangentiels; comme le point quadruple remplace six points 27* 192 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES A doubles, le nombre total des points singuliers peut être évalué à dix, la courbe est donc unicursale. b. 1<2b. La figure 18 montre la forme de la conchoide, dans ce cas. Ses deux branches qui côtoient la seconde branche de Vhyperbole ne difièrent pas beaucoup de celles du cas précédent; mais une des deux branches qui côtoient la première branche présente un aspect different, puisque le noeud au point O a dis- paru. Deux des tangentes sont devenues imaginaires. c. = 24. Enfin la fig. 19 montre la forme de la conchoide quand deux des tangentes en © restent réelles et que les autres coinci- dent, ce qui fait qu’il y a une combinaison de tangentes multiples et d’une tangente de rebroussement. Elle ne suggére, d’ailleurs, pas d’autres remarques particuliéres 26. En remplaçant a? par — a?, l'équation de la conchoide hyper- bolique devient (VIII) (#222 — a? y? + 2a? by)? (a? + y?) = 12 (62 x? — a? y?)? posant y = mx, on aura (b> %4— a? m?x + 2a? bm)?(1 + m?) = 1? (02 — a? m?)?. Les tangentes en O se déterminent par les valeurs de m tirées de l’equation 1? (62 — a? m?)? — 4a* 6? m? (1 + m?) ou bien a* (12 — 4 62) m* — 2a? 52 (1? + 2a?) m? + 64 1? =0 supposant J > 22. La réalité des deux valeurs de m? exige (U? + 2a2)2 > 12 (12 — 422) ou bien a* + (a? + 62) 12 >0, condition qui est toujours remplie Comme, d’ailleurs, 4? 64 est positif et le coefficient de m? négatif, les deux valeurs de m? sont positives et les quatre valeurs de m sont réelles c.-à-d. les quatre tangentes en O sont réelles | Quand 1 < 24, on écrira l’équation de la manière suivante. ar (462 — 12) m: + 2a2 02 (12 + 2a2) mn? — 412g) équation qui donne pour m? deux valeurs toujours réelles dont COURBES QUI EN DERIVENT. 193 l'une est positive, l’autre négative, ce qui donne deux tangentes réelles et deux imaginaires. L'équation d’une asymptote est =» b CE Js Substituons cette valeur dans l’&quation de la conchoide, nous obtiendrons 2 9 b? 242 2 2 2 (A a2 + HE RS DEN) a EEE a) et nous voyons que l’asymptote a seulement deux points d’inter- section avec la courbe et que quatre points se trouvent à l'infini, comme on devait s’y attendre 27. Remarquons enfin que, si l’hyperbole est équilatère, la con- struction de la courbe n'offre pas de particularités, qui exigent une discussion spéciale. Les équations de toutes les courbes décrites se simplifient. Nous nous bornerons à donner celle de la roulante. On l’obtient en remplaçant dans l'équation connue (III) a? par — a? et b? par a. Elle devient, après la suppression des facteurs superflus : (IX) |(@? — 4a?) (y? — 8x? — 4a!) — x? y?}? =4 f(x? + 2a?) y? — — (a? — 4a?) (y? + 4x? + 2a?)| + + Ia? (y? + 4x? + 2a?) — (x? + 2a?) (y? — 8x? — 4a?)| équation qui se simplifie encore par le développement mais que nous préférons conserver dans cette forme. Les constructions décrites suffiront pour comparer la conchoide de l’hyperbole à celle de l’ellipse. 28. Appliquons maintenant les considérations précédentes à la parabole. Comme auparavant, il est inutile de répéter toutes les constructions de l’ellipse; remarquons cependant que les propriétés de la parabole diffèrent essentiellement de celles de l’ellipse et de celles de l’hyperbole et que la forme de l'équation permet d’obtenir des formules simples pour les diverses courbes. 29. Les courbes qui ne dépendent pas de la longueur / s’obtien- nent sans peine. Soit O le sommet de la parabole et en même temps le point de concours des droites OA,, OA, ete., où la sig- 194 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES nification du point A,, A,... est la même qu'auparavant. Les poles P,, P,.... se déterminent par l'intersection des normales (2) ae En = Re avec les perpendiculaires OP,, OP,.... à OA,, OA, ....; ainsi, la construction de la base s’exécute comme dans le cas de l’ellipse. (6) La base est du troisième degré; car, en répétant le raisonnement du paragraphe 6, on voit que d’un point D, de la droite d on ne peut abaisser que trois normales à la parabole et qu’ainsi la base ne sera que du quatrième degré. En observant, comme auparavant, que l’axe de la parabole fait partie de la base, on arrive à la conclusion que la base est une courbe du troisiéme degré (fig. 20). On a vu, précédemment, que le point © est un point multiple de la base et que les perpendiculaires aux normales issues de O sont les tangentes à ce point; ces deux normales et de même leurs perpendiculaires sont donc imaginaires; il s'ensuit que la base possède en Q un point isolé. L'analyse nous donne sans peine l’équation de la courbe. Soit l'équation de la parabole: y’=2p® et celle de la droite O4: y=me. Les coordonnées du point A seront: 2p _ 2, 2p Dia AN me Ad: : x La substitution m = — m donne 2p 2 2py? een en réduisant > — 2p (x? + 242) —0. Cette &quation confirme les résultats géométriques. COURBES QUI EN DERIVENT. 195 30. La roulante est de méme donnée par la figure 20; son équation s’obtient de la maniére suivante: EN) m‘ m? m* Calculons les coordonnées du point P: L’&quation de la droite OP est X 1 Heer mi et celle de la normale du point A 2x _2p 4p _2p (m? + 2) y+ - y Mm m? m3 ee qui donne pour les coordonnées de P PU eue) im) m? y = m? pm am aed OP? = ms Posant 04?=y?, OP? =? et simplifiant, on aura à éliminer m? entre les deux &quations. vee 4p? >= m?) + 7, ie er 2)? qui peuvent s’écrire y2m* + (4y? — 27) m? + dy? = 0 y? m* —4p* m? — Ap? = 0 d’où l’on tire mai Substituant cette valeur dans la seconde des &quations données, on trouve: Ay (y? +p?) — 4p?(y? p at — 4y? —4p?) —p?(a2—4y?—4p*) =0 et enfin Ay? (y? + p?) =p? x? (x? —4y? — 4p’). 196 LA CONCHOIDE ELLIPTIQUE ET LES La roulante est symétrique par rapport aux axes OY et OY, possede un point isolé 4 l’origine et deux points isolés conjugués imaginaires sur l’axe OX. La courbe consiste en deux branches qui s’étendent à l'infini; une des deux moitiés s’accorde avec le mouvement dans un sens donné, l’autre avec le mouvement en sens inverse. La droite à l'infini coupe la roulante en six points coincidents. (Fig. 20.) 31. Comme la base est du troisième degré, on peut laisser de côté la recherche de la courbe bitangentielle, pour discuter immédia- tement la forme de la conchoide parabolique (fig. 21). On voit tout de suite que, quand on porte sur la droite mobile OA deux points B, et B, tels que la distance AB, = AB, devienne égale à 1, il en résulte une courbe à deux branches qui se croisent au point O et forment par conséquent un point crunodal; elles convergent vers le même point à l'infini que la parabole et les particularités de la courbe sont visiblement indépendantes du rapport entre les longueurs I et p. On arrive facilement à l’équation de la courbe de la manière suivante: Soit l'équation de la parabole y? = 2px. La longueur OB, ou OB, est donnée par la formule: 2p cos p SS = 8 sin? p ; où p est langle de OA avec l’axe de la parabole. Cette formule est en méme temps l’&quation de la courbe en coordonnées polaires. Transformée en coordonnées orthogonales, elle devient: qui devient, aprés la disparition des radicaux, (y? — 2px) (x? + y?) = Py! Cherchons les tangentes au point 0. (m? ©? — 2px) (x? + m? x?) = 1? mi x! (m? a — 2p) (1 + m?) = 12 mt. COURBES QUI EN DERIVENT. 197 Les tangentes s’obtiennent par l’&quation 4p? (1 + m?) — 1?m*=0 ou bien 12 m* — 4p? m? — 4p? = 0. On voit que © est, comme auparavant, un point quadruple. Comme le dernier terme de l’équation est négatif, il y a deux valeurs réelles pour m?, dont l’une est négative et l’autre positive, ce qui donne pour m quatre valeurs dont deux sont réelles et deux imaginaires. Au point quadruple il y a donc deux tangentes réelles et deux tangentes imaginaires. ARCHIVES VIII. x Pil. (AG PO CRIE PT MT } Lak oR. ur Ian a J ‘ ya Pr ; VA‘ : Du, Foe ry ste} i} vi: H 1 ‘ \ 1 548 4 N y i Le k 7 3 ows ; = U ia Yael fie #1 ! À ra B Bi | AE A ir A At A Mes if my. Hb OET ih VEREIN FLY Bis > iz PA Uri, 11 ù SET (MT led Ku BT OF uve » b 1h [A Bie Sy NT rant Bo orb Kots di Ik SEND | ; arty HR tt pin! Pa) a4 ut Rn an zn ‘ | . = el h 1 Pa Mu A PAR want Sal ut ir nd te Mt TURN. Bi | si i Le) i] u à Be 1 al ’ si N L N * 1 7 [2 | | & = ® Wig 4. x WIRT) Fig. 15. Fre. 16. 5 de Fie. 21. /N = a 5 & D | a 4; ij Fie. 20. 5 » 4 7 2 . ee 2 - 1 A OS EEE . F6 5 71 er = an Lf De als a Seen a eee == SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L’ELECTRICITE PAR Bari VAN) DER MEIN: RIE Nous avons vu (Arch. Teyler, T. VIII, p. p. 93—119) que, si Yon veut déterminer de la manière exposée dans le chapitre précé- dent la quantité de liquide, que, dans un temps donné un courant électrique transporte dans la direction de l’anode à la kathode, qu’alors Vobservation directe nous fournit comme telle une quantité, qui est le résultat de l’action de deux forces concourantes. La pression hydrostatique, qui résulte de l’accumulation inégale des ions des deux côtés de la cloison poreuse, agit toujours dans la direction du courant; et ce n’est qu’aprés avoir corrigé le résultat de chaque observation isolée de l’influence variable de cette pression, qu’on pourra faire concourir des séries d’observation 4 des résultats, dont Verreur probable est assez petite pour en déduire une règle générale. C’est en agissant ainsi que nous avons examiné et mis hors de doute aucune, la validité de la règle posée par M. G. WıEDEMANN, selon la quelle l'intensité du transport d'une solution de sulfate de cuivre de densité quelconque est proportionnelle à l’intensité du courant. M. WIEDEMANN a aussi tâché de déterminer la manière dont le transport de solutions salines de densité différente dépend de leur pouvoir conducteur pour le courant électrique; mais il n’a pas réussi à entrevoir une règle générale, qui exprimait le rapport entre ces deux variables !). 1) Pogg. Ann., 163, p. p. 336—338. ARCHIVES VIII. 29 200 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L’ELECTRICITE. „Im Allgemeinen zeigt sich jedoch”, dit l’auteur, „dass „die bei derselben Intensität des Stromes in gleichen Zeiten „fortgeführten Mengen verschiedener Flüssigkeiten um so „grösser sind, je bedeutender die Leitungswiderstiinde derselben „für den galvanischen Strom sind.” Pour le d&montrer, il donne le tableau suivant dont la colonne contient le rapport entre la quantité de liquide transportée et Vintensité du courant, la colonne % les parties pour cent de sulfate de cuivre eristallisé comprises dans les solutions et la co- lonne r leur résistance relative au courant. m m “lo ‘ El re 20.0 26.3 217 825 19.1 26.9 230 855 18.0 97.3 262 960 5.5 31.4 310 987 10.0 37.2 38d 1035 1.3 45.0 501 1113 5 Mm 2 De Comme il paraît de la colonne rae la quantité de liquide trans- portée augmente-t-elle en effet avec la résistance, tandisqu’il suit m ER ‘ de la colonne „j que cette augmentation-là va plus vite que celle-ci. Mais d’un rapport simple entre m et r il ne parait rien dans ce tableau; non plus que d’une série de quatre observations, concernant des solutions de sulfate de zine d’autant de densités différentes, que, dans le but de trouver un tel rapport, M. Freunp a faites 1). Dans son manuel célèbre *) M. WIEDEMANN dit sur ce sujet: „Bei Flüssigkeiten von verschiedener Leitungsfähigkeit ergiebt „sich kein so einfaches Gesetz; indess ist nach meinen Ver- „suchen bei verschieden concentrirten Lösungen von schwe- „felsaurem Kupferoxyd die menge der übergeführten Flüssig- „keit wenigstens nahezu dem Salzgehalte umgekehrt propor- ,tional.” 1) Wien. Ann., T. VII, p. 59, (1852). 2) G. WIEDEMANN, Die Lehre von der Electricität, II, p. 169, (1880). SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. 201 Plus loin encore !), quand il expose la maniére dont on peut déterminer la force qui fait équilibre au transport des liquides par l’ölectrieite, il tâche de déduire cette proportionnalité inverse par raisonnement. „Endlich ist der zur Fortführung gleicher Flüssigkeitsmengen „durch eine poröse Wand erforderliche hydrostatische Druck „ihrer Zähigkeits-constante proportional. „Soll also der Druk der Kraft der eleetrischen Ueberfiihrung „das Gleichgewicht halten, welche dem specifischen Wieder- „stand der Lösungen nahezu entspricht, so müsste der letztere „der Zähigkeit der Lösungen ebenfalls annäherend proportional „sein. Da dieser Wiederstand innerhalb enger Grenzen dem „Saltzgehalt der Lösungen umgekehrt proportional ist, ebenso „wie die Zähigkeit der Lösungen, so stimmt dieser Satz mit „dem oben ausgesprochenem Resultat, dass die Menge der „eleetrisch übergeführten Flüssigkeitsmengen bei Kupfervitriol- „lösungen innerhalb enger Grenzen dem Salzgehalte umge- „kehrt proportional ist.” Je n’ai pu réussir 4 trouver la publication des expériments dont l’auteur semble parler dans les passages cités. Peut-étre aussi a-t-il en vue les résultats compris dans le tableau ci-haut com- ne, 3 m muniqué; et en effet, le rapport direct entre les valeurs de 7 Alge 230) = 262) = 2810727385, 227,501 s’accorde-t-il mieux avec le rapport inverse entre les valeurs %: Dee 228, 3 241 ,: 321, 2745453 990: qu’avec le rapport direct entre les valeurs r: Ze 225° 250 SU Art Mais il ne parait nullement de ces résultats qu’une régle si simple vaudrait généralement; surtout si l’on observe que la dif- ference entre les densités des trois solutions (20, 19.1 et 18%), pour les quelles l’accord laisse le moins à désirer, est assez petite pour faire partiellement coincider les régions des erreurs probables des résultats rélatifs. En effet, dans le cas d’expériments de ce genre, dont les résultats key DE 202 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L’ELECTRICITE. dépendent de nombre de circonstances variables (déplacement des ions, baisse du niveau extérieur pendant les expériments, etc.) on ne peut espérer qu’en combinant des observations isolées, dont chacune n’a rapport qu'à une solution particulière, on déduira une règle qui vaudra pour toutes les solutions à la fois. Méme en prenant le millieu arithmétique de plusieurs observations, ayant rapport à une solution particulière, on n’élimine pas ces erreurs, qui pour leur plus grande partie ne sont pas accidentelles. Il faut en corriger les observations individuelles; et c’est la circonstance heureuse que leur source principale est la variation de la différence de pression des deux côtés de la cloison poreuse, qui permet de soumettre au calcul leur influence sur les termes successifs d’une série d’observations. Contre la maniére dont j’ai apporté cette correction !) on a fait objection, qu’en développant la formule j'ai supposé constante la al à a he hal G G : BE : densité du liquide extérieur. Wi mp en agissant ainsi, j’aurais négligé l’effet de l’acenmulation de sulfate du côté de l’anode sur la densité du liquide qui remplace celui qui s'écoule du côté de la kathode. En effet, cette influence ne se laisse-t-elle pas porter sous une régle générale; pour y remédier j’ai eu soin de limiter le maximum du volume écoulé » de manière, que la supposition v a) = 0 soit sans influence sur les décimales des correc- tions qui sont mises en compte. 5 Pour trouver la règle, selon laquelle l'intensité du transport d’une solution saline par le courant dépend de sa densité ou de son pouvoir conducteur, fonction de cette densité, j’ai entrepris trois séries d’observations, en me servant successivement d’un courant de 1, 2, 3 ampéres. Chacune de ces trois séries est composée de trois autres, de douze observations chacune, se rapportant successivement à des solutions de 30, 20, 10 parties de sulfate de cuivre cristallisé sur 100 parties d’eau distillée. L’appareil dont je me suis servi n’a pas été démonté dans le cours de chacune des trois séries, entreprises avec un courant de méme intensité; seulement, pour changer la solution, les deux 1) Arch. Teyler, T. VIII, p. 99. SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ, 203 2 compartiments séparés par la cloison poreuse ont été vidés au moyen d’un siphon et de nouveau remplis, jusqu'à ce que la pointe de Vaiguille, attachée au tube d’écoulement, touchait à la surface du liquide extérieur. Et ceci a été aussi le cas quand, entre chaque couple de séries sur-nommées, il a fallu démonter l'appareil pour nettoyer les électrodes et le vase poreux. C’est de cette maniére et en ayant soin que pendant les obser- vations le contact de la pointe de l'aiguille avec la surface du liquide fût rétabli aussitôt que, par suite de l’&couiement, elle s'était détachée, j'ai réussi à me débarrasser d’une source d’erreurs, qui a recélé la règle générale à la vue perçante de mon savant dévancier. 18 1, 5 mars 1902. ce 10° 1= 1.02 amp. 30 p. de sel sur 100 p. d’eau. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. 10m. Os — Qh. 920m.51s. 7 6.45 = 0.780 20 51 a) V7 7 aii 812 30 77 40 78 7 99 846 40 78 50 55 7 1.28 Sst 50 55 10012 7 54 912 10220212 10 29 8 .18 941 10.199 20 926 5 8.04 973 20 26 att) 18 5 AS 990 30 13 40 52 9 By 1.007 40 52 50 6 8 .65 .047 50 6 (ON 9 85 071 11 OMG 10 10 9 9.09 .100 Total: 94 gouttes. Poids du liquide écoulé..... 11.39 gr. » dune goutte.......... OA 204 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L’ELECTRICITE, D. 6 mars 1902. GV: [=1.02 amp. 20 p. de sel sur 100 p. d’eau. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes Grammes. Oh. Om. Os. — 9h. 90m. 19s. 10 9,69 = 1.172 90 19 30 9% 10 ‚99 „200 30 24 40 5 10 10.33 „250 40 5 50) 27 11 61 284 50 97 1 @ Se 11 90 319 IO @ 85 10 24 11 11.34 Bye) 10 24 % 4 11 515) „398 20 4 30 15 12 .18 425 30) 15 40 8 12 12.12 467 40 8 50 34 13 .46 ‚508 50 34 11 0 48 13 .10 537 ii SD 48: 10 44 13 13.05 ‚519 Total: 137 gouttes. Poids du liquide écoulé..... 16.63 gr. „ed’unessoutters...e... Da So 7 mars 1902. (op = 40% I = 1.02 amp. 10 p. de sel sur 100 p. d’eau. En 10 minutes. Durée de l’&coulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. 9h. 40m. Os. — Qh. 50m. 168- 18 17.530 NM 506 LOU 18 85 „160 10021 10 15 18 18.18 „200 10 15 20 0 18 .46 234 20 0 Se 19 .18 279 30 7 40 3 19 19.13 ‘LD 40 3 50 20 20 AD „O8 50 920 li @ fl 19 ‚62 374 NON 10 4 20 „90 408 10 4 a al 20 20.10 432 an al 30 30 21 .32 .459 30 30 40 13 20 .62 .495 Total: 230 gouttes. Poids du liquide écoulée... 2783 gr. » dune goutter nn 041215, SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. 205 IE Al a — 19° 10 mars 1902. T=2.05 amp. 30 p. de sel sur 100 p. d’eau. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. 9b. 10m. Qs. — Qh. 20m. Ss. 13 19583) e140), 90278 30 0 * 11183 13.18 ‚582 30 0 40 18 14 .59 631 40 18 50 16 14 14.05 „656 50 16 WW OS 14 26 phil 102207 5 10 921 15 61 153 10 91 90° 19 15 15.05 ‚806 90 19 30 41 16 43 „852 30 41 40 47 16 84 „901 40 47 SO 16 16.27 .952 30) BY i @ alg) 16 49 .979 le) 10 29 ily a 2.006 Total: 179 gouttes. Poids du liquide écoulé..... 21.54 gr. er dkuinersoutten ern 0.1207, 2. a —= 19° 11 mars 1902. T=2.05 amp. 20 p. de sel sur 100 p. d’eau. En 10 minutes Durée de l’&coulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. Qh. 40m. Os — Qh. 50m. 20s. is UD =S 0149 50 20 10 0 96 15 82 „192 10 0 2% 107 18 18.27 247 19 17 20 97 19 „69 „300 20 27 AU O5 19 19.06 344 30 95 40 14 19 „36 311 40 14 50 21 20 ali 432 50 21 RO 20 20.30 .497 IO et, KD ol 91 ‚83 562 10 17 20 13 21 91.14 .600 20 13 30 25 99 on .653 30 95 40 3 91 .S0 .681 Total: 236 gouttes. Poids du liquide écoulé ..... 29512) ier „t une goutle. zals 01237, 206 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L ÉLECTRICITÉ gl I = 2.05 amp. 2. 12 mars 1902. 10 p. de sel sur 10 p. deau. En 10 minutes, Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. 9h. 40m. OS — 9b. 50m. 3s. 3 34.83 OURS 1079710 36 35.58 13 0 10 10 S 36 36.12 10 8 >) 1) 37 DA 2015 30 14 37 37.06 30 14 40 7 37 44 40 7 50 il 38 33.00 HD 7 11 0 1 38 „38 11 0 | 10 7 39 .61 10 7 20 A 39 39.00 Oy BU 15) 40 ‚60 30 13 40 10 40 40.20 Total: 452 gouttes. Poids du liquide écoulé..... 54.24 gr » d’une goutte...... ON OR JUL Il 17 mars 1902. C—O) I = 3.04 amp. Oh. 10 11 Durée de |’écoulement. = 9h. Im. 165: {Om. 20 30 Os. 16 17 10 18 30 10 0 10 ” 17 10 15 9 Grammes, = 4180 .270 ok 20 p. de sel sur 100 p. d’eau, En 10 minutes. Gouttes. re to bo RO LO 19 19 BR GS CC RO LO bo to 2 Dt bo © 27 97 Gouttes. 91.43 Total: 291 gouttes. Poids du liquide &coul& d'une goutte CCC & ne. alle era, en 32.24 gr. Ont. Grammes. == 2309 438 472 520 591 „651 „718 „166 834 .905 .948 .987 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. 207 2. 18 mars 1902. a = 21° I = 3.04 amp. 20 p. de sel sur 100 p. d’eau. En 10 minutes. Durée de l’&coulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. 9h. 40m. Os — Qh. 50m. 105: 29 98.52 = 3.492 50 10 NO OHO) 99 29.00 A480 105.07 10 10 5 99 2% ‚509 10 5 20 7 30 .90 .588 JON 30 > 30 30.20 .624 BU) 3} 40 7 31 .80 .696 40 7 50 9 31 31.26 „751 50 2 11 0 5 32 ‚St .821 (iy OP 5 10 9 ay 32.16 „859 1002 20 7 33 Jl 925 90 7 30 5 33 33.11 .973 307 5 40 10 3% 12 4.046 Total: 373 gouttes. Poids du liquide écoulé ..... 44.89 gr. „ d’une goutte.......... 0.1202, 3% 19 mars 1902. o= 21° I = 3.04 amp. 10 p. de sel sur 100 p. d’eau. En 10 minutes. Durée de écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. Qh 40m. Os — Qh. 50m. GS: 51 5050 = 6.161 506 10 0 5 51 51.09 233 LOR ORD 10 7 59 ‚83 „323 10 7 20 6 52 52.09 355 DOC JOO 53 ‚65 423 30 10 40 6 53 53.36 „510 40 6 50 6 54 : 54.00 588 SONG it) 4 54 .18 610 al es 10 9 55 55 ‚655 10 9 20 1 5% el .677 20 1 30 8 56 55.35 153 30 8 40 0 55 .14 .800 Total: 640 gouttes. Poids du liquide écoulé ..... 78.08 gr. oe diuner SOULE dre OR 2E ARCHIVES VIII. 30 208 Vv WN We . SUR LE TRANSPORT DES Corrections selon les formules: n2 2 1 — (0.780: 355). 2—( .812 Sl 846 A (es 5—( .912 6—( 941 110973 S—( .990 9 — (1.007 10 —( .047 (ui 12—( .100 1 — (1.172 2—( .200 3—( .250 4—( 284 5 —( 319 6—( 30 12398 8—( 425 9—( 467 10 —( .508 1531 12 — ( .579 ). ). ). ) ) Ns ) ) ) ) ) | | | SERS] 5 de es ts) _ EIS] & m8 tol & 5 le ele Sc | B po) | 3} 09 bs © ~ © heli Sl | 5 oo NE NN ne Ne pi vo Al = M | | Im > —— et a= TE. (p. p. 99 et 1 I ie Ovo 11.777 — 0.999 © 0.999 .0.030 gr. = 0.030 gr. 1.995 .060 2.989 „090 3.980 NU 4.968 149 5.952 179 6.932 „208 7.911 237 8.885 .267 9.852 .296 10.818 .325 lS zz „353 2. „— 1579 — 1.172 11 680 — 0.998 © LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. 05). Tr. = 0.030527: r. 0.038702 = 0.998 .0.038 gr. = 0.038 gr. 1.995 2.984 3.971 4.953 5.930 6.904 7.872 8.833 9.788 10.738 11.680 .076 .113 .151 a SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L’ELECTRICITE. 209 3. 2.495 — 2.121 EE ae eon 1 — (2.121:355).4-—= 0.998 . 0.034 gr. = 0.034 gr. 9 == (9.160 ).— 1.988 068, 3 —( .200 )- 2.972 sy 2 4 —( 234 ae 8.954 di „ Dt HE ee 4.921 NAN S 6—( .315 ). 5.883 200 „ 7—( 353 =). 6.838 DB, 8 —( 374 ). 7.186 265 , 9—( 408 ). 8.72 297 , 10—( 432 j. 91658 328 , HE) = M40:581 „360 , 12—( 495 ).Æ 11494 Bode ie 1e MW en gr. — 0.044 gr. 1 — (1.540:355).3-— 0.998. 0.044 gr. = 0.044 gr. 2—( ‚581 ). 1.991 088 , le il ).+ 2.979 dia 4—( 686 ). 3.962 TAN, DTA ). 4940 SR 6—( 153 jos 5.911 260 , 7—( .806 eier 303 , 8—=( 852 ). 1.888 34500 9—( .901 TE 386 | 10—( 952 9). 9.795 428 , 11 —( .979 ). 10.663 469 „ 12 — (2.006 ).; 11.598 510%: 30* 210 SUR LE 1 — (2.142 : 355 2—( 192 3—( .247 »—( .300 5—( .344 6—( 371 7—( .432 8 (497 9—( .562 10 —( .600 11--( .653 12 —( .681 1 — (4.180: 355 2—( .270 3—( .334 4 —( .388 5—( 447 6—( 493 7—( .560 S—( .606 9—( .636 10 —( .680 it 022752 12—( .824 TRANSPORT — . . . . . . . . . . . SN IE OS es a RZ ON Dr TO RRD de DES LIQUIDES PAR L’ELECTRICITE. eol La vl m | Dre poe | | oi pole NS HO | > (el 2. Ne ea Oey t= 1456 = 0997 2 . = 0.052 gr. 0.997 . 0.052 gr. = 0.052 gr. 1.988 03" 5 2.972 155, 3.948 205 , 4.917 256 , 5.880 305 , 6.832 355 , 7.775 AOL 8.708 453 , 9.634 501 , 10.548 549 , 11.456 595 , 3h 4.824 — 4.180 gr. = 0.064 gr. “= 11.021 — 0.994 8 0.994. 0.064 gr. = 0.064 gr. 1.976 126 2.945 188-4 3.901 250 , 4.844 310 , 5.772 369 , 6.686 A28 , 7.585 Use 8.471 542 , 9.348 598 , 10.190 652 , 11.021 HOB es SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. 211 It. 2.987 — 2.379 | == 11.400 — 0.997 8 = DB er. { — (2.379: 355).+-= 0.997.0.058 gr. = 0.058 gr. 9—( .438 ). 1.986 AID 3—( 459 ). 2.969 172, 4—( 481 ). 3.944 229 , 5 (0591 ).2- 4.909 SD, 6 (0 651 je 15.868 ‘BAO! ve Tl ni ). +. 6818 39D 5 S = 2166 ). + 7.751 450 , 9—( .834 EN, EG 503 , 10—( .905 DAMON 556 , 11 —( .948 ).2L 10.498 609 , 12—( 987 ).4* 11.400 661 , 2: 4.064 — 3.422 == 11176 0.996 ST = 0088 er. 1 — (3.422:355).4+-— 0,995 0.063 gr. — 0.063 gr. 2—( .480 ).—- 1.980 495 3—( .509 ). 2.95 ISO 4—( 58). 3.919 Oil 5—( 62 0) 4872 307 , 6 —( .696 eS Neste lal 366 , (nod ). 6.741 427 , Ben ). & 7.656 A82 , 9—( .859 ). 8.560 539 „ 10—( .925 JT 595 , (EOS ). 22 10.323 650 „ 12 — ( 4.064 je 11.176 104 , 212 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. 5), 6.800 — 6.161 =, jo gr. = 0.066 gr. 10.620 — 0.992 1 — (6.161: 355). 5 == 0.992 .0.066 gr. — 0.066 gr. 23 —( 233 ). 1.965 0 3 ( 1323 ).2 29.920 198 4—( 35). 3.857 LEE 5—( 423 + AM lt NS 6—( 510). 2B 667 OT 7—( 588 ).9 6.543 432 „ ek BID ). 7400 488 , 9 = .655 A . 8.240 ey , 10 —( .677 ). 9.060 598 , Se ). 9,849 650 „ 12—( 800 ).5 10.620 ul, Conclusion: iL de I =1.02 amp. 30 parties de sel sur 100 p. d’eau. Transport Transport Transport total. par la pression. par le courant. 0.780 gr. 0.030 gr. 0.750 gr. SA ‚060 „ 520 846 , „090 , 56 , 881 , A49 5 62 , 912 , 149 , Be SENS BIEN 62 973 , 208 „ 65 , 990 , OI 53 1007" 3 267 , 40 , 047 , 296 , Dies 07d we 1325. 7, 46 , 100 18531, 47 , Transpt. par le courant en 2 heures: 9.047 gr. SUR LE TRANSPORT DE LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. LE. 1. 12.05 amp: Transport Transport Transport total. par la pression. par le courant. 1.540 gr. 0.044 gr. 1.496 gr. 082 „ 088 , 94 , 631 , Aalen 000) 5 686 , ame, 198% ll 8 Oil 5 494 , 153 , EN SB) + ‚306 „ 303 ,, DOS es ODA .345 , Or AS 386 „ ily f 952 „ 498 , 172 TON 469 , 10 2.006 „ gail) 5 496 , Transport par le courant en 2 heures: 18.037 gr. III. 1. I= 3.04 amp. Transport Transport Transport total. par la pression. par le courant. 2.379 gr. 0.058 gr. 9.321 er. 438 ,, lS 93 , 472) 5 ot B 6 O0 520 , 2290 PRI oen 0910, 285 , 306 „ GOL .340 , 105 Sa 395 „ 23, 1008 450 „ 162 834 , 503 , BAL AE 905 „ 6 „ Zom 948 , 60957 39, SOS 661 , 26 „ Transport par le courant en 2 heures: 27.835 gr. 214 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. Transport total. 1.172 gr. „200 „250 284 319 372 398, .425 .467 508 537 579 Transport ” ” total. 2.143 gr. 192 247 „300 B44 371 432 497 562 „600 653 „681 I: 9 Ze I— 1.02 amp. 20 parties de sel sur 100 p. d’eau. Transport par la pression. 0.038 gr. .076 .113 .151 .188 .225 .262 297 ” ” Transport par le courant. 1.134 gr. 34 , B 33 „ 3) , Transport par le courant en 2 heures: 13.610 gr. IT 2. T=2.05 amp. Transport par la pression. 0.052 .103 .155 „205 ” ” Transport par le courant. 2.091 „ 109 , 097 , 104 , .086 , Transport par le courant en 2 heures: 25.087 gr. SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. 215 LIT. 2. I = 3.04 amp. Transport Transport Transport total. par la pression. par le courant. 3.492 gr. 0.063 gr. 3.359 gr. 480 „ 125 , 55, 509) ,, 156 93, 588 , SAINS 41 , 0248 307 , IT 16096, .366 , 30 , DU, 497 5 MW „ dell 482, „ DO 600, a) 90 925 „ 595 „ OOR HBN 650 „ PBS ca 4.046 ,, 704 „ 49 , Transport par le courant en 2 heures: 40.003 gr. IB 3. I= 1.02 amp. 10 parties de sel sur 100 p. d’eau. Transport Transport Transport total. par la pression. par le courant. 9.121 gr. 0.034 gr. 2.087 gr. AGO .068 , 092 200, O1 009 234 , 134 „ 100 OI 167 LOSI, 315 „ 2002, ES 353 , 233 , 1205, 374, 265 , 109%, 408 , LAN. 5 slide, 432 , .328 , .104 , 459 , 360 , 8.099 „ 495 , BH 104 , Transport par le courant en 2 heures: 25.245 gr. ARCHIVES VIII. 31 216 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L’ELECTRICITE. 1% 3. T=2.05 amp. Transport Transport Transport total. par la pression. par le courant. 4.180 gr. 0.064 gr. 4.116 gr. DU, 20 144 , .334 , OS 146 , 388 , 250, 138) 5 447 ,, OR BL = 493 , DO. 124 , ‚560 , 428 „ aile 006 484 , Ol 636 , 542 , 094 , .680 , DOS, .082 „ EP 652 „ D .824 , 00 oi) + Transport par le courant en 2 heures: 49.454 gr. JEN Es 3. I = 3.04 amp. Transport Transport Transport total. par la pression. par le courant 6.161 gr. 0.066 gr. 6.095 gr. 233 „ 150 , 103 , O2 EB) ais ASUS 355 „ 255 „ SU) 423 „ 317 „ 106 , ‚510 , SEN 126 .D88 „ 432 , loben 610 „ 488 ,, 12207 .655 , .D44 , SET OZ OSR 02925 153 „ 650 , 103 „ 800 , 101, 2009 Transport par le courant en 2 heures: 73.340 gr. SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ 217 Transport par ampere en 2 heures. 30 p. de sel 20 p. de sel 10 p. de sel sur 100 p. d’eau. sur 100 p. d’eau. sur 100 p. d’eau. ERS: SIEN: PP add. 26rer: LO ZAT: Ul Us SNS SUR, Wo hen. DIS II, 3... 94.19 AIR. 27.916, 11.2722 713.167 , Na PLANS 96.83 gr. 38.66 gr. 8 73.00 gr. 8.94 gr. + 0.06 gr. “ 12.88 gr. + 0.22 gr. 94.23 gr. + 0.14 gr. Ces trois quantités sont en raison de: 1000 : 1441 : 2722. Sur 130, 120, 110 grammes des trois solutions dont nous nous sommes servis il y a 30, 20, 10 grammes de sulfate de cuivre, ou bien, (comme leurs poids spécifiques sont respectivement: 1.183, 1.122, 1,064) sur 109.9, 107.0, 103.4 cM3., équivalant à 27.3, 18.7, 9.7 grammes sur 100 cM*. Les inverses de ces nombres sont en raison de: 10002 4 GOR 2 SAS Done il parait, en ayant égard aux erreurs probables des valeurs comparées, que les poids de solutions de sulfate de cuivre, transportés dans unité de temps par un courant électrique d’inten- sité constante, sont en raison inverse des poids de sulfate contenus dans Punité de volume. Selon M. Kouurauscr !) les pouvoirs conducteurs pour le courant de solutions de sulfate de cuivre, contenant respectivement 15%, 10%, 5%, de sel anhydre (Cu SO,), sont en raison de 395 : 300: 177; comme le sulfate crystallisé, dont nous nous sommes servis, est constitu& pour 64% de sel anhydre, nos solutions en con- tiennent respectivement 19.2, 12.8, 64 gr. sur 130, 120, 110 gr., e-à-d.: 14.77 %, 10.67%, 5.82 %. Leurs pouvoirs conducteurs sont done en raison de 380 : 313 : 197 et les inverses de ces nombres en raison de 1000: 1214" = 1929; de sorte qu’un rapport simple et général entre l’intensit6 du 1) F. KoHLRAUSCH und GROTRIAN, Pogg. Ann., 157, p. 248. 218 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. transport et le pouvoir conducteur du liquide transporté paraît ne pas exister. Le rapport trouvé entre l’intensité du transport des liquides et leur poids spécifique ne peut être sans influence sur la correction, que nous avons à apporter aux données directes de l'observation. Car, si, en commençant nos recherches, nous avons supposé que, pendant leur cours, le déplacement des ions fait augmenter réguliè- rement la pression hydrostatique du liquide extérieur, il nous paraît maintenant que l’effet de cette pression est contrecarré par le fait, que l'intensité du transport par le courant lui-même diminue avec la densité du liquide. Cependant, cette circonstance ne change rien au caractère de la correction à apporter aux observations successives d’une même série, parceque, pour tant que l'intensité du courant est con- stante, l’action des deux causes de variabilité du transport est constante aussi. Elle ne fait que diminuer, d’une manière dépen- dante de l'intensité du courant, le poids d’un liquide de densité donnée qui, dans les séries successives, est transportée dans l'unité de temps par des courants d'intensité différente. Si, dans le but de voir jusqu’à quel point les règles, dont pour les solutions de sulfate de cuivre la valeur a été démontrée par les récherches précédentes, s'étendent sur les solutions de quelque autre sel du même base, l'on choisit comme tel le nitrate de cuivre, on se trouve très borné dans le choix, ét des poids spéci- fiques des solutions à transporter, ét de l'intensité des courants qui les transporteront. Car, tandisque le transport d’une solution d'un poids spécifique quelque-peu élevé est à-peu-près nul, il paraît que si, pour accélérer le transport, on renforce l'intensité du courant, il y surviennent, du coté de la kathode, des actions secondaires, souvent accompagnées d’un développement de gaz, qui fausse les données de l’observation. C'est pour cette raison que dans les trois séries de l’examen suivant je me suis servi successivement d’un courant de 1, 1.5, 2.5 ampères et de solutions, qui ne contiennent respectivement que 10, 7.5, 5 parties de nitrate de cuivre cristallisé (Cu N, O, + 3 Aq.) sur 100 parties d’eau distillée. SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L ÉLECTRICITÉ. 219 10 p. de sel sur 100 p. d’eau. En 10 minutes. Grammes. — (Bye) 242 251 253 „260 „269 274 EO .303 .314 .326 „332 En 10 minutes. Grammes. == 0505 „326 „339 Bol „365 „383 „393 403 421 433 438 11 il: n= (0) 18 Juin 1902. I = 1.02 amp. Durée de ]’écoulement Gouttes. Gouttes. Sh. Om: 03: =S 9h. (0m. 6s. 2 1.98 10 6 200 9 2.02 20 0 30 161 3 .09 30 261 40 230 9 etd 40 230 50 183 9 Salz] 50 183 LOOPS 9 24 10 0118 10 44 2 ‚28 10 44 20 223 3 al 20 223 30 97 9 53 30 97 40 184 3 .62 40 184 502835 9 72 50 25 {ile De 75 3 77 Total: 28 gouttes. Poids du liquide écoulé..... 3.36 gr » d'une poutte 1.0.2 012027 Ze == le 20 juin 1902. I = 1.02 amp. 7.5 p. de sel sur 100 p. d’eau. Durée de l'écoulement. Gouttes. Gouttes. 10%. Om. Qs. — 104. 10m. 1 19s. 3 2.50 10 119 20 193 3 67 20 193 308895 2 .18 30 925 40 51 3 .88 40 51 50 54 3 .99 50 54 u 097 3 3.14 liv N Dj > lO ur 4 $29) 10 172 90 118 3 „30 20 118 30 39 3 AD 30 39 40 116 4 ‚55 40 116 lee 3 .59 50 18 12 OG 4 4 Zi Total: 38 gouttes Poids du liquide écoulé >» dunes goutte Item: 453 220 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L ÉLECTRICITÉ œ— 107 I =1.02 amp. 9. 21 juin 1902 5 p. de sel sur 100 p. d'eau. En 10 minutes, Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Qh. Om. Os. Oh. 10m. 485. 4 3.70 10 48 20.94 4 72 20 94 30 130 4 tT 30 130 40 143 4 92 40 143 50 146 4 98 50 146 10 O 148 4 4.02 10 0 143 10 143 4 aa! 10 143 20 70 4 31 2070 30 16 4 .40 30 16 40 87 5 AT 40 87 50 137 5 .62 50 137 11 0 163 5 .80 Total: 51 goutles. Poids du liquide écoulé..... 5.98 gr d'une gouttBiu nun Onl ls II. le 23 juin 1902. gE, I = 1.48 amp. Durée de l’&coulement. 9h. 30m. 9h. 40m. 46s- 40 50 (0) 0) lis © 505. 46 15 Poids du liquide écoulé 10 11 15 130 54 138 40 83 101 106 102 Grammes. == (NER) ABD 441 458 466 470 493 ‚504 ‚515 523 541 .562 10 p. de sel sur 100 p. d’eau. En 10 minutes. Gouttes. Gouttes. 3 3.02 3 16 4 „36 3 43 % ol 3 199 4 .13 4 ‚88 4 97 4 4.03 4 .15 4. 2 d’une goutte......... 0482, Grammes. — 0550 .373 „396 405 414 424 440 458 468 476 490 504 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. 221 2. a = 14° [=1.48 amp. 7.5 p. de sel sur 100 p. d’eau. En 10 minutes. Durée de l’&coulement. Gouttes. Gouttes. arammes. 9h. Om. Os — Qh. 10m. 185 4 Glo == (U 107 18 Oe 4 4,01 491 SE 30 132 5 „20 017 30 132 40 75 4 .49 543 40 75 50 7 4. Dl DD 50 7 a) 5 D 581 8, (DR) 10 61 5 ‚85 „597 10 61 9053 5 5.07 624 20 53 30 30 5 20 „640 30 30 40 106 6 33 .656 40 106 50 49 5 52 .679 50 49 A OG 6 74 „106 Total: 58 gouttes. Poids du liquide écoulé. .... CAO or: > MINE SOUDE. se 0125 3. 24 juin 1902. 2 == 4 T=1.48 amp. 5 p. de sel sur 100 p. d’eau. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. on. Om. Qs. — Qh. {Qm. 73s. 6 5.35 — 0.631 107.73 el) al 5 47 .645 20721 30 67 6 .58 .658 30 67 40 93 6 .15 .679 40 93 50 0 5 .92 .699 50 0 8} «(Din ME: 7 6.15 „126 3083 10 49 6 .36 .750 10 49 20 0 6 53 771 2050 30 31 7 „66 „186 30 31 40 39 7 .92 .817 40 39 50 29 Tis 1412 .840 50 29 4 0 0 | „36 „868 Total: ' 75 gouttes. Poids du liquide écoulé..... 8.86 gr. „diune-soutte, else 0418 , 22 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L’ELECTRICITE. JOE, 1. 25 juin 1902. n= DE I= 2.52 amp. 10 p. de sel sur 100 p. d’eau. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. Qh. Om. Os — Qh. 10m. 38s. 5 AD == bbe 10 38 20 51 5 89 ‚Han 20 51 30 45 5 5.05 ‚592 30 45 40 13 5 AS 622 40 13 50772 6 46 „644 DON 72 3 IL: VE 6 .85 .684 3) () SR: 10 98 6 .98 „703 10 98 20 84 6 6.14 „125 20 84 30 44 6 43 „159 30 44 40 69 7 12 .193 40 69 HONTE) 7 .92 > old 50 73 4 0 62 7l 7.14 .843 Total: 71 gouttes. Poids du liquide écoulé..... 8.39 gr. ITEM ONCE Ons 4e 26 juin 1902. on I -=2.52 amp. 7.5 p. de sel sur 100 p. d’eau. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om. Os — gh. 10m. 608- 7 6.36 SOD 10 60 % 5 6 64 806 20 5 30 16 7 ‚87 ‚838 30 16 40 % 7 7.14 S871 40 4 50 48 8 45 „909 50 48 102202265 8 „18 „949 D (D (55 10 60 8 8.07 .984 10 60 20 33 8 38 1.022 20 33 30 50 9 19 .068 30 50 40 48 9 9.03 .102 40 48 50 32 9 95 .129 50 32 117207550 10 id 185 Total: 96 gouttes. Poids du liquide écoulée..... LAE. d'une ‚goutter. ern a 022,5 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. 223 3% a = 23° 27 juin 1902. I = 2.52 amp. 5 p. de sel sur 100 p. d’eau. En 10 minutes. Durée de l'écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om. Os — = gh. 10m.63s. 10 9.05 — 1.068 10 63 20 55 9 12 077 20 55 30 33 9 34 102 30 33 40 52 10 .69 143 40 52 50 48 10 10.07 188 50 48 10 O0 91 10 AT 234 10 0 21 10 34 11 77 .270 10 34 20 27 11 11.13 313 20 27 30 47 12 ‚61 .370 30 47 40 47 12 12.00 ALG 40 47 50 297 12 AA A64 50 27 11 038 155 oh 507 Total : 129 gouttes. Poids du liquide écoulé..... 15.22 gr. „ „diune TOUTE: mr 2... 0.188 „ Corrections selon les formules: v n? = NT: —— et e= A. (p. p. 99 et 105). Hi V 2 N n —1 (pp > ) I: 0.332 — 0.238 L æ = : — or. = 0.0086 er. nee à 8} 1 — (0.238 : 425 1). = 1.000 x 0.0086 gr. = 0.009 gr. 2—( .249 j:—+ 1.99 oT; 3 (M5 ). 92.997 „026 „ 4—( .253 ).# 3.994 034 „ 5 —( .260 je 4991 „043 „ 6 —( .269 Je 5988 052 , It 27% ). 6.983 .060 , Se 977 ). "07.975 „069 , 9—( 303 ). 8.966 OT, 10—( 314 9.905 686 , A336 ). 7 10.945 095 „ 12 —( .332 ). 11.934 103 „ 1) Le vase poreux, dont je me suis servi pour ces observations, avait un volume V = 425 cM°. ARCHIVES VIII. 32 224 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L’ELECTRICITE, ‚_ 0.453 — 0.305 _ 2 > 11023 = 1000 r. = 0.0136 gr. 1 — (0.305 : 495). = 1.000 X 0.0136 gr. = 0.014 gr. 2—( 36 ).4 1.999 027 , 3 (1599 ).2- 2.996 040 , 4—( 351 ). 3.993 054 , 5—( 365 ).2 4989 068 , 6 —( 383 ). 5.984 er il SR ). + 6.977 095 , 8—( 403 )- 5 7.970 1082, ("221 ).+ 8.960 SE à 10—( .433 ).. 0 01 119.949 435 = 11 —( .438 ). 2. 10.988 149 „ 12 — ( 453 Jen 14,993 162 , DE Oi N nn ns gr. = 0.012 gr. 1 — (0.433 : 425).4+- = 1.000 X 0.012 gr. = 0.012 gr. 9—( 435 ).- 1.998 04 , 3—( 44 ).—— 2995 036 , 4 —( .458 ). 6) 3.994 101853 5—( .466 ). FL 987 060 , 6—( .470 ME 072 „ 7—( 493 ). 2 6972 084 , 8—( 504 ).-, 17.962 096 , 9—( 515 8.951 107% 10—( .523 yee eRe) ieee 1—( .541 ). 22 10.928 ABLE 12 —( .562 ). 41.905 10. SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRIOITÉ. 295 1 — (0.356: il ail 4— ( A Gl ZN Sai Je WE (pl BT (047: A91 2—( 3 — ( 4 —( if 6 Tl 8—( ET 10 — ( 1 12 — ( 313 „396 405 41% .494 .440 .458 .468 476 .490 504 load 19 95 oI i 0.504 — 0.356 An 915 — il, 000 gr. =) 0136 gr. ). + = 1.000 x 0.0136 gr. — 0.014 gr. ).- 1.998 OUTRE =e 12996 » 041 „ 3.992 054 , ). 4.988 068 , pe 5.884 082 „ 26375 095 ,. je O6 109 , ju 8955 122, ).72 9.944 19512, een {0930 149 , ye ii 11.915 GIN 2. = 0 DAT OM gr ).—L = 0.999 x 0.021 gr. = 0.021 gr. ). 1998 042 , ). 2.995 063 , ). 3.99 084 , ). 4,984 105 , ).& 5.976 200 ).- 6.966 1467, je LOSE GTA )- 28.939 Mas, RS 208 , jee DE 229 , ).5 11.881 250 32* 226 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. 1 — (0.631 2—( .645 3—( .658 À = (02679 5—( .699 6—( .726 re) Bl 9—( .786 LOE Ht S40 1 — (0.555 gn 3—( .592 4—( 622 5—( .644 6—( 684 72-2103 8 —( .725 ge 2759 10 —( .793 10 2817 12—( .843 :495). er) ee et DRE TUE CNT DOME CDS Gree ett NEC En (TES LEE a ee SO Soe PCE AN LS I an at) wlo tom edhe IR el [2 a = rol DE SE po fer o = | rn | De bo Im = e= rel to bo pole re we SS 913 rol QE role so bo loo 2 pen OS» Sr | | = DD i le De wi > —10,999 1.997 2.993 3.987 4.981 5.969 6.957 7.942 8.925 9.904 10.880 11.853 TAT. = 11.858 — 0.999 0.868 — 0.631 11.853 — 0.999 x 0.022 gr. — 0.022 044 „066 ‚088 „110 131 153 .175 LO 218 240 261 0.843 — 0.555 gr. = 0.022 gr. gr. gr. = 0.027 gr. — 0.999 X 0.027 gr. — 0.027 gr. 1.997 2,994 3.988 4.981 5.973 6.959 7.945 8.928 9.907 10.884 11.858 054 O81 „108 135 „162 „189 ‚207 241 .268 .394 .420 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. 227 I 1.185 — 0.776 11.799 — 0.999 8 — 9.038 gr. 1 — (0.776 : 495) .4- — 0.999 X 0.038 gr. = 0.038 gr. 9—( 806 ).- 1.996 (076 3—( .838 ).— 2.991 ler, (SA 8,983 152 „ 5—( .909 4974 sie 6—( .949 ).= 5,960 226 , 7—( .984 ). 6.943 GER 8—(1.02 ).+ 7.998 301 , 9 —( .068 ).= 8.898 EEC 10—( 12). 9.870 374 , 1—( 19 ).22 10,839 M3 , 2—( 15 ). 5 11.799 MMS, 3. 5 —. DI en gr. = 0.041 gr. 1 — (1.068: 425) .-2- = 0.999 x 0.041 gr. — 0.041 gr. 9.071 )-—- 1.995 082, 041% ).&- 2.988 125 0 4—( .143 jee 49978 AGE = 5—( .188 je | 2965, 204 , 6—( 24 0) 5.948 244 , 7 (0270 GE 284 , 30313 = 7.901 326 , 9— ( 370 88 364 , 10 —( .416 ). 9.833 404 , 11 —( .464 ). 10.792 443 , 12 —( .507 Mer 483 , 228 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ, Conclusion. IE ile J=1.02 amp. 10 parties de sel sur 100 p. d’eau. Transport Transport Transport total. par la pression. par le courant. 0.238 gr. 0.009 gr. 0.229 gr. 249 , I, 952 251. 26 , DI 253 „ 34 , 19 260 , 43 „ DES 269 52 5 1e 274 „ 60 „ 14 IAN 5 GONE 08 , 303 „ Ui > 96, ‚314 , 86 , D = 3% , 95 , ae J32, 103 „ 29 „ Transpt. par le courant en 2 heures: 2.668 gr. IT, 1. I = 1.48 amp. Transport Transport Transport total. par la pression. par le courant. 0.356 gr. 0.014 gr. 0.342 gr. 373 „ i 46 , 396 , Ad, B 405 , 54 , Dik 414 „ CS 46 „ 494 , 82 „ 42 , 440 „ CS à 45 „ 458 , AR) & 49 „ 468 , 22. 46 „ 416 „ sn & 4 „ 490 , 49 „ 41", 504 „ 62 „ 42 , Transport par le courant en 2 heures: 4.146 gr. SUR LE TRANSPORT DE LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. Transport total. Transport total. 0.305 „326 339 391 .365 383 393 403 421 433 438 453 gr. ” ” ” III. 112 1= 2.52 amp. Transport par la pression. 0.027 gr. 054 Transport par le courant en 2 heures: 6.228 gr. I. 2. 7102 amp: 7.5 parties de sel sur 100 p. d’eau. Transport par la pression. 0.014 gr. 27 40 54 68 St 95 „108 122 135 149 „162 Transport par le courant en 2 heures: 3.552 gr. ” ” Transport par le courant. 0.528 gr. 23 11 14 23 Transport par le courant. 0.291 gr. 97 99 97 97 92 98 95 99 98 98 91 ” ” ” ” 229 230 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. IL. 2. T= 1.48 amp. Transport Transport Transport total. par la pression. par le courant. 0.477 gr. 0.021 gr. 0.456 gr. 491 „ 42 „ 49 , ol, 63 „ Dl „ .D43 „ 84 , 59 „ DI , 105 „ 50 „ Sl, 25 y 56 „ Oo 46 „ De 624 „ Du DH 640 „ 88 , 52 5 656 , 208 , 180 LOU) 29 50 DO 50 , 56 „ Transport par le courant en 2 heures: 5.438 gr. II: 2. I=2.52 amp. Transport Transport ‘Transport total. par la pression. par le courant. 0.776 gr. 0.038 gr. 0.738 gr. 806 „ OGS 30 5 838, alien JA gel 152) 190 STE) ISO, 905, HAE) & 226 ,, Joe 984 „ DID, 12 1.0925, 301 „ 20 5 068 „ 338 „ a O2 Blk „ 98", 1290 413 , ib 185 „ 448 , 31 „ Transport par le courant en 2 heures: 8.697 gr. SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L’ELEÖTRICITE. Transport total. 0.433 gr. 35 Transport total. 0.631 gr. ARCHIVES VIII. I. 3. 24 36 48 60 72 84 96 „107 19 31 43 I. 3. [=1.48 amp. Transport par la pression, 0.022 gr. 44 61 T=1.02 amp. 5 parties de sel sur 100 p. d’eau. Transport par la pression. 0.012 gr. ” ” ” ” ” ” Transport par le courant. 0.421 gr. 91 05 Transport par le courant en 2 heures: 4.919 Transport par le courant. 0.609 gr. 611 O92 O91 „589 „595 97 „596 „589 599 .600 .607 ” ” ” Transport par le courant en 2 heures: 7.175 gr. 33 231 232 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. III. 3. I = 2.52 amp. Transport Transport Transport total. par la pression. par le courant. 1.065 gr. 0.041 gr. 1.027 gr. (77e .082 , 0.9957, 102 la BHO à 143 „ 164 , 198 MSS 204 , .984 , 234 , 244 , SEID < 270 284 , dl — lo, 326 „ 10870 32108, 364 „ 1.006 „ 416 , 40% , 0127, 464 „ 443 „ 01 507 „ 483 „ „024 Transport par le courant en 2 heures: 11.990 gr. Transport par ampére en 2 heures. 10 p. de sel 7.5 p. de sel 5 p. de sel sur 100 p. d’eau. sur 100 p. d’eau. sur 100 p. d’eau. ESE 5 as MG ee Ie ASD eT, IN oie ag KR ER WI Saro ZH a IT IPN ORO oe Wiss} Boe ES LS 0, ID MT AT NÉE OH ube 5 WW ega ZU 4 14.432 gr. 4.811 gr. + 0.02gr. 7.888 gr. 10.607 gr. 2.629 gr. + 0.06gr. 3 = 3.536 gr. + 0.05 gr. 3 Ces trois quantités sont entre elles, comme 1000 : 1345 : 1830. Sur 110, 107.5, 105 grammes des trois solutions, dont nous nous sommes servis, il y a 10, 7.5, 5 grammes de nitrate de cuivre; c'est-à-dire — comme leurs poids spécifiques sont entre elles comme 1.065 : 1.064 : 1.030 — sur 103.3, 1028, 101.9 cM?., équivalant à 9.09, 6.98, 476 grammes sur 100 cM:. Les inverses de ces nombres sont entre elles comme 10000251323 2719095 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR L'ÉLECTRICITÉ. 232 d’ou il suit, en ayant égard aux erreurs probables des valeurs comparées, que la régle, dont pour le sulfate de cuivre la validité a été prouvée plus haut, vaut aussi pour le nitrate. Comme l'on voit il y a une différence rémarquable entre les quantités de solutions de densité égale des deux sels, transportées dans l’unité de temps par l’unité de courant; d’une solution de sulfate de cuivre, contenant 10 parties de sel sur 100 parties d’eau un courant d’un ampére transporte (pag. 217) en deux heures 2423 grammes, contre 2.65 grammes d’un solution ana- logue de nitrate. J'ai en vain tâché de découvrir la cause de cette difference. D'abord j'ai craint qu’elle devrait être attribuée à ce que je me suis servi pour ces expériences d’un autre vace poreux (voir: la note, pag. 223); celui dont je m'était servi pour les solutions de sulfate de cuivre s'étant cassé. Pour m'en assurer j'ai fait passer un courant de 2 ampères, successivement, pendant deux heures, par une solution de sulfate et de nitrate de cuivre, contenant chacune 5 parties de sel sur 100 parties d’eau. J'ai trouvé alors que le courant seul à trans- porté: de la solution de sulfate de cuivre . . . 105.18 grammes, » » ” ” nitrate » ” = 9.61 ” 0 Ces deux quantités étant en raison de 10.9 à | et celles tantôt nommées en raison de 9.2 à 1, nous retrouvons ici une différence, si non égale, du moins analogue !). De sorte qu'il ne me reste qu'à rechercher, s’il existe une différence de même ordre entre l'intensité du transport des solu- tions d’un sulfate et d’un nitrate d’un autre base métallique que le cuivre. 1) La différence doit être attribuée à ce que le second terme de la correction n'a pu être appliquée à ces observations de contrôle, dont la durée n’a pas été subdivisée en des périodes de dix minutes chacune. HAARLEM, 31 Aug. 1902. y s 12 i i we Ï Fi ij 3 % { 11% f 4 2 Mm nt) j it jui Ai 11 pi iu QE tre vlna # 4] Ä FA , } u I ety TEE TRS) D LR Lire Gal at ‘ iM A gi) MN té 4 wet ie aluran Wee in hor WEEET. ii inp COL al gran 1 Pam 452% er = où «as é ee ir ha’ AY u in ange N ware 4 M De dl Mie eet ail relais hd Rr OP nn. À | NE V0 v a A 4 à à | 4 j té 7 3 rie | A “ ANG til 4 ite CE SA 6 YU 2 = [| pl wahr 5 “A mt À 4 TIME sin ONU ss jen DE PRM { ‘ Av «Vi D ' L 4 7 24 43 « | # 51 j a be 4 a Hal 4 ie GT L u‘ 4 s iu f tre +: k M {1 nl + ik , à MIE il cir #7 (va 3 U: HO Finn SWS # Pee ee 6 . u EFT L 2 Ar ie } TT AT fi ton nF Ki 1 id +h 2, Wr / saf re Ate oe AL INEEN «ol ists = ig IN te LO) FR acelin SiGe hass wire sree db iyi COR sf M à Ltée uf) LA Pt , aq y à iy ai} rt TL" Y = rt je ré, dip TR BE er Mee haps ey Ey ee et tay be e ae gt 9 { = u, f> bet A } Dh War ' La Le u Ge A ur h u wo er | SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT UN NOMBRE FINI DE DROITES PAR J: DEW RIES: Droites multiples. $ 1. Si on désigne par A, une fonction homogène en a, y, du degré k, l’&quation 0 1 0 2 9 I 0 Ar de (rene ale Az + A Az N AE Y -( =< til el! 1 Ce el Ae) reprösente une surface de l’ordre n ayant pour droite multiple d'ordre q l'axe OZ. Le nombre de termes de cette &quation est égal à Gi SE) ae Onl (TEE RE mg Da (nq + 1) (n + 1) + tn — q + 1) (n— q) (n—1) — mg lm an gl) 6 ( — gq + 1) (n? + ng — 2q? + En + q + 6). Or l'équation générale du degré n renferme an + 1) (m + 2) (n + 3) termes. Le nombre de termes qui manquent, est done égal a ARCHIVES VIIL 34 236 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT - l 6 (n 1) (m + 2) (nm +3) 6 (n-—q + 1) (n? + nq — 2q? + 5n + q + 6) == q(q + 1) (Bn — 2q +5). Par conséquent, pour une surface de Vordre n, la condition de renfermer une droite donnée, d'ordre q. équivaut à la condition de 1 passer par q(q + 1) (Bn — 2q + 5) points. $ 2. Supposons qu'une surface S'*”*', de l’ordre (u + » + 1), contienne la droite m, d'ordre «, et la droite n, d'ordre ». Il est clair qu'on peut la faire passer encore par un nombre de points égal à 1 & (4 ie Dar 7) (utv+3)(u+r4+4)—1— Bu + 1) (u + 3» + 8) 1 en (v SF 1) (Bu Oa 8) = Quy + Bu + 3r + 38. Pour » = u, ce nombre se réduit à QU + 64 + 3=(e + 1) (Qa + 2) + Ge + 1). Il en résulte qu'une surface S° *’ peut renfermer deux droites d'ordre u et (u + 1) droites arbitraires. Au lieu de ces droites simples on peut prendre (u + 2) droites arbitraires à condition que deux d’entre elles se coupent. Ou bien on peut faire passer la S’'*' par deux droites «°°° et (« + 2) droites qui forment un (u + 2)-latère gauche. Si l’on a »—u —1, on peut encore prendre arbitrairement uw (Qu + 4) = (2u + 1) (u + 1) + (u — 1) points; done, la surface San peut renfermer, outre les droites multiples, (u + 1) droites simples. De même on trouve qu'une surface S°“_* possédant une droite u" et une droite (u 5)" peut passer par « droites arbitraires. En général, la surface S"*'** peut, si u >, renfermer au moins (v + 2) droites simples. En effet, on a 2uv+3(tv+l)=b+2)(a tr +2) tur Hurt rl), et le nombre u» + u — v? — » — 1 est positif pour u > ». +1 uU + . . temarquons que 8" ' peut contenir un nombre de droites qui surpasse (» + 2) UN NOMBRE FINI DE DROITES. 237 Par exemple, elle renfermera (v + 3) droites si l’on a ~ > uv— y»? — 2 —3 > 0, ou bien 7 —»>3 § 3. Revenons à léquation Ao + (A, 0 n-q nd 0 en A N ANSE (APTE RE AV; qui représente une surface S” avec la droite q"“ OZ. Supposons que l’axe OY soit une droite d’ordre r située sur S", r étant UNE: na 2 n—2 y hr) Y 2, qu 3 ns 2 y @ ) 1 2 ? =) n—r r—1 NAT A N—r y 2 ? Y 2 ) 5 y 2) nord arl m—r—l ır=2 n—r-1 UNE; | 2 DU 2 te uc, oie Ar Le nombre de ces termes est égal à 1+2+3+ ...+(r—2) +(n—q—r- 2) (r —1). En somme, le nombre des termes de l’&quation est diminué de r—- 1) (r — 2) + (Nn —q—r +2) (r —1) + r(n—q +1) = bol ri (1 —q + 1) Qr—1) — ra 1). Done, une surface 8" renfermant une droite d'ordre q et une droite d'ordre r qui se rencontrent, peut passer encore par un nombre de points défini par 1 9 9 = 1 6 mg UN ng 207 ont g 712): 2)(r 1). 34* 238 SURFACES ALGÉBRIQUES RENFERMANT En particulier, si l'on a g +r=n, ce nombre est égal à 1 et + 1) (8qr + 7? + 6q — Ar + 6). $ 4 Supposons maintenant que, de plus, l’axe OX soit une droite multiple d'ordre s, sr 3 la surface peut être menée par trois droites arbitraires c,,c,,c,. Elle serait alors le lieu des coniques tracées par O et Q qui s'appuient sur e,.c, C5. Or, ce lieu est une surface du quatrième degré. En effet, les deux transversales des droites 00,c,,c,,c, constituent avec OQ deux coniques dégénérées, de sorte que OQ est une droite double; par suite, tout plan mené par OQ donne une intersection du quatrième degré, et O, Q sont des points triples. Il en résulte qu’une surface S" à deux points (n — 1)" 0,Q, passant par ¢,,¢,,¢,, se composera d’une S* et de (n — 4) plans ayant en commun la droite OQ. Observons que cette surface S! doit dégénérer en un plan et une S5, si les droites c, et c, ont un point en commun; en effet, le plan mené par ce point et par la droite OQ, contient alors un faisceau de coniques qui vérifient les conditions. UN NOMBRE FINI DE DROITES. 241 $ 8. Considérons maintenant une surface S” aux points (n — 1)" O et Q, contenant les droites arbitraires ce, et c,. L’hyperboloide défini par les droites OQ, ¢, et ¢, marque sur S” un groupe de n droites, parmi lesquelles se trouvent les transver- sales a,, et bo, de c, ıt c, menées par O et Q. Les plans (0, c,) et (0, c,) ont en commun avec S”, outre la droite a, deux groupes de (n — 2) droites a et a”. De même, les plans (Q,c,) et (Q,c,) marquent sur la surface respectivement (n — 2) droites b’ et (n — 2) droites b”. Tandis que chaque droite a’ rencontre une droite hb’, et que chaque droite a” s’appuie sur une droite b’, les droites a,, et b,, sont coupées respectivement par une droite b,, menée par Q et par une droite a, contenant le point O. En résumé, la surface renferme (3n — 4) couples de droites. § 9. Supposons maintenant qu’une surface S” admette le point (n — 1)”® O et la droite (n — 2)"" OZ. Alors elle peut étre définie par une équation de la forme À, (x, y) + Bra (x.y) 2 + CG, 1x, y) + Dna (@,y)2? + E, (x, y)z=09. Les droites que ce monoïde renferme encore, sont déterminées par les relations ASE DIN UN OUR RS 1 n—2 n—l n ou bien par l'équation AE B CE + D C0, v n—2 nl, n-1 n—2 n—2 n-1 qui montre que le nombre des droites, issues de O, est égal à (3n — 4). Puisque l'équation de la surface contient (5n — 2) paramètres arbitraires, il semble que S", pour n > 5. peut être menée encore par quatre droites ¢,,¢,,¢3, ¢,- Or, cette surface se composera d’une S® et d’un groupe de plans ayant en commun la droite multiple J. En effet, considérons le lieu des coniques situées dans les plans menés par l, tracées par O et rencontrées par les droites ¢,,¢,,¢,,¢,. Supposons que la droite ce, s’appuie sur J; alors le plan (lc) renferme un faisceau de coniques tracées par O et s’appuyant sur €,,¢,,¢,. Comme chacune de ces coniques coupe deux fois la droite e,, le plan (le,) appartient deux fois au lieu. 242 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT En écartant ce plan double, on retrouve la surface S* aux points triples © et (l,c,). Il en résulte que le lieu cherché est une surface S5 à droite quadruple / et au point quintuple 0. $ 10. Considérons une surface S" au point (m — 1)" O et à la droite (n — 2)" 1, renfermant les droites arbitraires c,,C,, C3. Parmi les droites situées sur S” se trouve la transversale a, de c, et c,, menée par O; de même les transversales aj; et dog des couples c,, ¢, et c,, ¢, appartiennent à 8”. Le plan (Oc,) marque encore (n — 3) droites a’; de même, les plans (Oc,) et (Oc,) contiennent respectivement (n — 3) droites a’ et (n— 3) droites a”. En somme, nous avons signalé 3 + 3 (n — 3) = (3n -— 6) droites par O, tandis que le calcul antérieur a fourni le nombre (8n — 4). Les deux droites restantes se trouvent visiblement dans les plans qui unissent la droite / aux deux transversales du quadruple Ci) Co, Ca) l. Il va sans dire que chaque plan qui réunit la droite 7 à une droite a marque sur S” une droite simple b. Surfaces particulieres avec une droite multiple. $ 11. Soient données la droite l et In(n +3) droites arbi- traires €. Cherchons l’ordre de la surface formée par les courbes planes C" du n°“ degré, situées dans les plans menés par / et s'appuyant sur les droites c. Cela revient à déterminer le nombre f(n) de courbes C” ren- contrées par 4 (n + 1)(n + 2) droites arbitraires c. D’après le principe de la conservation du nombre, il suffit de considérer le cas spécial où (n + 1) des droites c;(k = 1, 2, 3 n + 1) s'appuient sur l’axe 1. Il est clair que le plan mené par / et une de ces droites c, ? LES renferme une courbe C” qui rencontre c, en n points, tandis qu'elle coupe les autres droites c une fois; elle remplace done n courbes satisfaisant aux conditions. Toute courbe C° qui rencontre les droites ¢,,¢,,...¢,,, sur UN NOMBRE FINI DE DROITES. 243 Ne VER s'appuyant sur les Vaxe U, se décompose en J et une courbe C"~ droites ¢ (p=n+2,n+3,....4(n+ 1) (n + 2)). Le nombre de ces courbes est représenté par f(n — 1). Par suite on a la relation fm) =n (n +1) + f(n—1). De méme, on aura fin—1l)=(n—1)n + f (n —2), GQ. RLS tr fi Puisque f (1) désigne le nombre de droites s’appuyant sur quatre droites l,c,,c,,c3, on arrive à l’&quation 1 f(n)=n.2+n,.4+n,.2= nn + 1) (n+ 2), Par conséquent, on a le théorème: Le lieu des courbes planes du n°“ ordre dont les plans appartien- nent à un faisceau, et qui s'appuient sur 4 n(n + 3) droites arbitraires, est une surface de l'ordre 4 n(n + 1) (n + 2), ayant pour droite multiple d'ordre 4n(n* + 3n — 1) l'axe du faisceau. Convenons de nommer ce lieu une surface axiale. En observant que la correspondance entre les intersections des courbes avec l’axe possède 3 n (n — 1) (n? + 3n — 1) coincidences, on peut énoncer le théorème: La surface engendrée par une courbe plane du n°“ ordre s'appuyant sur $n(n +3)—1 droites et en touchant une autre droite est de l'ordre n(n — 1) (n? + 3n — 1). $ 12. En particulier, on a, pour n= 2, Les coniques qui coupent deux fois la droite donnée | et s'appuient sur les cinq droites arbitraires C,, c,, c,, C,, c,, forment une surface axiale du huitième ordre, avec la droite sextuple I. Cette surface renferme les transversales a, et b,,, des quatre droites c,, c,,c, et Ll. Les plans qui unissent ces transversales à m l’axe 1 marquent sur S* respectivement deux droites que nous désignerons par b eta. np np Il est clair que la surface contient dix couples de droites (A b) et dix couples de droites (b,,,, Gn)» 1) ') Je viens de voir que cette surface a été étudiée par M. STUYVAERT, dans ARCHIVES VIII. 35 944 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT $ 13. La surface axiale de l’ordre f(n) que nous venons de définir, se décomposera si une des directrices, c,, rencontre l’axe L. Car alors le plan (c,!) est coupé par les autres directrices en 1 n(n +3)—1 points, et chaque C” tracée par ces points, repré- sente n courbes du lieu, parce qu’elle rencontre n fois la droite c,. Par suite, le plan (c,l) appartient n fois au lieu. iT On en déduit le théoréme suivant. Les courbes planes du n°“ degré, situées dans les plans d'un fais- ceau à l'axe |, qui rencontrent | en s points fixes et s'appuient sur ‘n(n +3) —s droites arbitraires, forment une surface axiale d'ordre Ln(n + 1) (n + 2) — sn. L'axe | est une droite multiple d'ordre 4n (n? + Bn —1) — sn, et les s points fixes sont des points multiples d'ordre 4 n (n? + 3n — 1) — sn — 1. Pour n =2,s— 1 nous retrouvons la surface axiale du sixième degré avec un point quintuple O, une droite quadruple et quatre directrices ¢,,¢,,¢3,¢, (§ 9). Elle renferme quatorze couples de droites simples, c'est-à-dire huit transversales de ! et de trois directrices, ass, bios; Olios, Din; ds Diss Cosy Dozy, rencontrées respectivement par huit droites b,, a, ; bs, as; Do, Go by, d, passant par O; puis six transversales d’un couple de directrices menées par © qu'on peut désigner par Cos Ay, Uy, Asus Sr, Ay, et qui sont respectivement coupées par les droites bs,, Day, Day, Dia, bis, Di, dont chacune s’appuie sur deux direc- trices et sur l'axe |. Pour n=2,s=2 nous rentombons sur la surface axiale du quatriéme degré avec deux points triples, O et Q, considerée au § 7. Elle contient quatorze droites simples: en premier lieu les transversales a et b des droites J, c,,c, et c,; puis les trans- versales do, ds, da, d'un couple de directrices, menées par O, sur lesquelles s’appuient respectivement les droites b,,b,,b,, et, de même, les droites b,,, bs, Dog, issues de Q et coupées par les droites >, Uy, 1, menées par O. $ 14. Au lieu d’une surface axiale formée par des courbes sa dissertation inaugurale „Etude de quelques surfaces algébriques engendrées par des courbes du second et du troisième ordre,” Gand, 1902, p. 15 —87. On y trouve une représentation de S® sur un plan. UN NOMBRE FINI DE DROITES. 245 générales, considérons la surface engendrée par les courbes (7, situées dans les plans menés par l’axe J, s'appuyant sur 2n droi- tes ec, et ayant un point d’ordre (n — 1) sur la directrice d. Afin de déterminer le degré de cette surface, ce qui revient a chercher le nombre de courbes qui s’appuient sur (2n + 1) droites c, et sur la directrice multiple d, nous supposerons que les droi- tes ¢ rencontrent l’axe |. n+1? La courbe C” qui se trouve dans le plan (cl), y coupe les a a C49) CES Con +1 droites c,,c,,c3,.. co, et passe (n —-1) fois par la trace de la droite d, remplace x courbes vérifiant les conditions du problème. Eu égard aux (n +1) plans (cl), nous arrivons à un nombre de n(n + 1) solutions. Si une courbe C” dégénére de manière qu’elle contient l’axe J, la courbe supplémentaire C" se décompose en (m — 1) droites ¢ qui se croisent sur d. Pour construire une telle figure, nous déter- minons une transversale 4, des droites c,,c,,d et l, et y ajoutons les (n — 2) droites ¢,,¢,,...¢, du plan (tol) qui unissent la trace de d aux traces des droites c;,c,,....0. Il est clair qu’on obtient par ce procédé un nombre de solu- tions égal à n, . 2. En somme, nous avons obtenu (n + 1) n + n(n — 1) = 2n° solutions. D’oü résulte: La surface axiale, engendrée par des courbes d'ordre n, ayant un point d'ordre (n— 1), est du degré 2n?. Elle renferme une directrice d'ordre (n — 1), 2n directrices simples et une droite d'ordre n (2n — 1). Remarquons que, pour n=2, on retombe sur la S$, lieu de coniques. La surface d’ordre 2n? qui vient d’être défini renferme un nombre de courbes C” décomposables. En effet, soit {,, une transversale du quadruple c,,¢,,d,/; dans le plan (tl) on pourra tracer une courbe CO” ayant sur d un point d'ordre (n — 2) et s’appuyant sur les droites ¢,,.. . co. Cette courbe forme avec la droite ¢,, une courbe C” située sur la surface. A A O0 9 n—l . 2 Puis, il y a visiblement 2(n— 1) courbes €” , situées dans des plans du faisceau (l), s'appuyant sur: 2n — 1 droites c et ayant un point d'ordre (n— 2) sur la droite d. Dans le plan d’une telle courbe la jonction des traces de d et de la dernière 35* 246 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT yn — directrice c forme avec €" une courbe décomposable du système. Le nombre de droites simples qui s'appuient sur les droites mül- liples let d, est donc égal à 2n.2(n — 1)? + (2n),.2 ow bien à 2m (2n? — 2n + 1). En particulier, la surface axiale S°, lieu de cubiques à noeud, renferme 78 droites et 78 coniques s'appuyant sur la droite double d et la droite d’ordre quinze l. § 15. Considérons maintenant le lieu des courbes €” dans les plans du faisceau (l) qui ont un point d'ordre k sur la droite d et s'appuient sur In(n + 3) — 4 k(k + 1) droites c. En y ajoutant encore une droite c, afin de déterminer le degré f,(n) de la surface, nous arrivons aux relations suivantes f.(n)=n(n + 1) + f,(n — 1), fn Dn Dn + f, (n— 2), fe + 2) = (k + 2)(k+3) + f, (b+ 1). Or, f,(k +1) désigne le degré de la surface axiale, lieu de courbes C+! douées d’un point d'ordre k. C'est done le nombre ADE En observant que nous avons trouvé f(k+ 1) =4(k+ 1) (b+ 2) (k + 3), et que ce nombre surpasse le nombre f, (k + 1) de 4 (k + 1) k(k—1), nous pouvons énoncer le théorème complémentaire : La surface axiale douée dune directrice d'ordre k est du degré An(n+1l)(n +2) —4(k +1) k(k—1). En particulier, il en résulte qu’une directrice double a l’effet de diminuer le degré de la surface de deux unités. § 16. D’une manière analogue, on peut déterminer l’ordre f,, (n) de la surface axiale avec deux directrices doubles. On obtient alors une suite d’équations terminée par fp (5) = 5 x 6 + f,, (4). Ici f,,(4) représente le nombre de quartiques ayant quatre points en commun avec l’axe /, s’appuyant sur neuf directrices c, et ayant des points doubles sur les droites d, et d,. UN NOMBRE FINI DE DROITES. 247 En supposant de nouveau que les droites c,, ¢,, ¢;, € 4, Ca ren- contrent l’axe 1, il s’agit de considérer des cubiques décomposables ayant des noeuds sur d,, d, et s’appuyant sur ¢,, €,, C3, cs. Or, ces conditions sont vérifiées en premier lieu par toute conique qui rencontre les six droites d,, d,, e,, ¢,, ¢,,¢,, complétée par la jonction de ses intersections avec d,, d,; cela nous fournit huit cubiques dégénérées. Puis, une transversale des droites 1, d,, d, et e, peut être com- binée avec la conique qui la rencontre sur d,, d, et s’appuie sur c,, C, et C5. De cette maniére, on obtient encore huit solutions. Done, au lieu du nombre f (3) = 20, il faut écrire f,, (3) = 16, de sorte que la surface axiale avec deux directrices doubles est de l’ordre 4n(n + 1) (n+ 2) — 4. $ 17. Le nombre des courbes du quatrième ordre dans les plans du faisceau J, ayant des noeuds sur les droites d,, dy, d, et recontrant les droites c,, ¢,, C3, Cy, Cs, C6, ne peut être déter- mine par le procédé employé jusqu'ici. En effet, si les droites c,, c3, ¢,,¢;, €, coupent l’axe J, il s’agit de construire des cubiques à trois points doubles. Or, on obtient une telle figure en combinant une droite double rencontrant J, d,, d, et d,, avec une droite arbitraire qui s’appuie sur cette transversale, sur / et sur c,. Par conséquent, cet arrangement des droites c est trop spéciale, pour qu’on puisse utiliser le principe de la conservation du nombre. Toutefois, une légére modification nous permettra de déterminer le nombre cherché. Supposons que les droites ¢,, c,. c, et d, rencontrent l’axe l. Dans le plan (d,/), considérons le réseau de quartiques passant par les traces de c,, ¢,, C3, C,, Cs, €, et ayant des noeuds sur d,, d,. Le lieu des points où une courbe du réseau a un troisième noeud, est, comme on sait, une courbe du neuvième degré. Par suite, le plan (d,!) contient neuf quartiques ayant un troisième noeud sur d,. Il va sans dire que chacun des plans (ec, ), (cl), (c‚l) renferme une courbe qui représente quatre solutions du problème. Quant aux quartiques décomposables, on aura affaire avec des figures constituées par l’axe / et une cubique dégénérée, menée 248 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT par le point (l,d,), ayant des noeuds sur d,, d, et s'appuyant SUR C HO Ces conditions sont satisfaites d’abord par chacune des six coniques qu’on peut tracer par le point (l,d,) de sorte qu’elles rencontrent les droites d,, d,, C,, €, €, (§ 13), pourvu qu'on y ajoute la jonction de ses intersections avec d,, dy. En second lieu, considérons la transversale de d, et d, menée par le point (l,d,); elle forme une cubique dégénérée avec la conique qu'elle coupe sur d,, d, et qui s'appuie sur c,, ¢,, C3. Enfin on arrive à six nouvelles figures en construisant une transversale des droites 1, d,,d,,c,(k = 1,2,3) et la conique qui passe par le point (l,d,), s'appuie sur les droites c,, ¢, et rencontre la transversale sur d, et d,. En résumé, le nombre de quartiques vérifiant les conditions du problème est égal à 9 + 12 + 6 + 1 + 6 = 34. Il en résulte que la surface axiale avec trois directrices doubles est de l'ordre An(n + 1) (n+ 2) — 6 $ 18. D’une manière analogue, on peut déterminer l'influence de à directrices doubles. Soient données la droite J, 0 droites d et y, =4n(n + 3) — 30 droites c. Pour déterminer le nombre p (n, 0) des courbes C” dont le plan passe par J, qui s’appuient sur (y, + 1) droites c et ont un point double sur chaque droite d, nous supposons que 0, droites d et (n + 1 -— 20,) droites ¢ rencontrent l’axe |. Alors il y a trois groupes de courbes vérifiant les conditions du probléme: (1) courbes dans un plan (ld), (2) courbes dans un plan (le), (3) courbes ©” décomposables contenant la droite 1. (1) Dans un plan (ld,) il y a un réseau de courbes C” passant par les traces des (y, +1) droites c et ayant un noeud dans la trace de chacune de (0 —1) droites d; en effet, on a Or, ce réseau renferme 3(n — 1) courbes ayant un noeud sur d,; par suite le groupe (1) contient 3(n —1)9, courbes satis- faisant aux conditions. (2) Dans un plan (lc,) on peut mener une courbe C” par les traces des y, droites c et deux fois par chaque trace d’une droite UN NOMBRE FINI DE DROITES. 249 d; en effet, on a y, +3d=4n(n+ 3). Remarquons que cette courbe rencontre n fois la droite c,, de sorte qu’elle représente n solutions du problème. (3) Si axe I fait partie d’une €” décomposable, la courbe com- plémentaire passe par 0, points de {, s'appuie sur (y, +1) — (n + 1 — 20,) droites c et a des noeuds sur (0 —0,) droites d. Puisqu’on a 0) +(y, + 1)—(n+1—20))+3(0—0,)=hn(n-+ 1), il y a un nombre fini de ces courbes 0” =" qu’il faut désigner par gm — 1,0 — 0,) — Ò, (n — 1). En effet, le nombre œ(n—1,9—0,) se rapporte au cas où aucune des directrices simples rencontre l’axe /; si une d’elles s'appuie sur /, le degré de la surface axiale est diminué de (n — 1) unités (comparez le $ 13). Par conséquent, nous avons obtenu la relation p(n‚d)=3(n— 1d, +(n +1-—20,)n + p(n—1,0—d,)—(n—1)d,, ou bien pin, 0) =p (n— 1,0 —0,) + n(n + 1) —20,. En appliquant cette formule, on arrivera enfin & un nombre g (p,0) relatif à un groupe de courbes C” sans points doubles; il est clair qu'on peut remplacer p (p,0) par f(p). En comparant la formule de réduction avec la relation fn) =f(m~—1)4+ n(n + 1), relative aux cas des courbes générales, on obtient visiblement Péquation p (n, 0) =f (n) — 20. Par exemple, le degré de la surface axiale engendrée par des quintiques à six noeuds se détermine par la suite suivante: p (5,6) = p (4,3) + 5.6 — 3.2, p (4,3) = p (3,1) + 4.5 — 2.2, p (3,1) = (2,0) + 3.4 — 1.2, p (2,0) = f (2) = 2.3 + 1.2. Il en résulte p (5,6) = f (5) — 6.2 = 58. Nous pouvons maintenant énoncer le théoréme suivant: Le lieu des courbes d'ordre n, situées dans les plans d'un faisceau (1), ayant des points doubles sur Ô droites d et s'appuyant sur sn (m + 3)— 30 droites ec, est une surface axiale d'ordre p (n, 0) = 250 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT In(n +1)(n+2)— 20, avec Ò droites doubles d et une droite multiple I d'ordre p (n,d) — n. $ 19. Supposons qu’une directrice double d rencontre l’axe 1. Alors tout point de d peut être considéré comme un noeud d’une courbe ©" située dans le plan (ld) et vérifiant les conditions addi- tionnelles. Donc, ce plan appartient à la surface axiale, et le lieu des courbes ayant un noeud dans le point d’intersection D des droites d et J, sera une surface d'ordre p (n,d) — 1, ayant en D un point multiple d'ordre @ (n, 0) — (n — 1). Eu égard au théorème du $ 18, on arrive done à l'énoncé suivant: Le lieu des courbes du n°“ degré qui rencontrent la droite L en s points fixes et ont des noeuds en s, points fixes de l, tandis qu’elles s'appuient sur An (mn + 3) — 30 —s —3s, directrices simples et sur 0 directrices doubles, est une surface axiale de l'ordre 4n(n+1)(n +2) — 20 — ns — 8,. § 20. Supposons maintenant qu’une surface axiale soit engen- drée par des courbes d'ordre (u + 7), douées d'un point d'ordre w et d'un point d'ordre », respectivement situés sur les droites m et n; soit «>». Alors le nombre de directrices simples doit étre égal a L (u dv) (u + » + 3) — Lu(u + 1)—y» vl) Sey ACER Afin de döterminer le degr& de la surface, ou, ce qui revient au même, le nombre w (u +»; u,r) des courbes s'appuyant sur m,n et sur (u + 1)(» + 1) droites simples, supposons de nouveau que (u + » + 1) de ces droites rencontrent |. Il est clair que chacune de ces droites est (u + ») fois coupée par l'unique courbe située dans le plan qui l’unit à l’axe L. Outre ces (u + ») (u + » + 1) solutions propres on a les courbes impropres dont fait partie l’axe 1. Puisque la courbe complémentaire d'ordre (u + » — 1) doit avoir un point u?“ et un point »"“, elle se composera d’une droite qui s'appuie sur les directrices multiples m,n et d'une courbe de degré (u +»—2) avec un point (u — 1)”” et un point (7 — 1)". Or, il y a un nombre de y(«a+r—2; u—1,r — 1) courbes c’*"~* qui s'appuient sur les ur directrices que | ne rencontre UN NOMBRE FINI DE DROITES. 251 pas. La droite complömentaire unit les traces de m et n sur le plan de la courbe correspondante. Puis, il peut arriver que cette droite coupe une des «u» direc- trices; le plan qu'elle détermine avec / renferme alors une courbe d'ordre (« +»— 2) passant par les traces des (ur — 1) autres directrices et ayant des points multiples d’ordre (u — 1) et (v — 1) sur m et n. Il est visible qu'il y a 2ur solutions impropres de cette espèce. Done, on a la suite suivante de relations: yur: uy) = (ur) (Hr) Quy 4 y (uty 2; 41,7 —1), wy (uty —2; u—1,y—1)=(u4+y—2) (uv —1)4-2 (u—1)(y—1)+- y(u+v—4; w—2, v2), w (u—v+-4; w—v42,2) = (u—v4-5)(u—4-4) 42 Pte vR) (ev w—v+-1, 1). Or, il est évident que l’on a (§ 14) p (uv jur 41,1) = 2 (uv +2). Le nombre des relations étant (y—1), il en résulte visiblement, pour u—v=e, w (uy; u») = (vr —1)(e? 4138428) 4 (v—1)(v —2) (324-16) +2 (vy —1) (wv 2) (7 3) + INES 2E Pour y= 1, on retrouve naturellement le nombre connu wlut liu, l)= 2u +1). Pour » = 2, on aura y (uw + 2; «, 2) = 3 (u +1) (u+ 2). Pour » = 3, on trouve p(w 35u, 3) = 4 (u +1) (u +3). Supposons qu'on ait en général vlt» - u -Lv-Derala+v-2). Parce que wlm ria) = (utr) (uty +) + yYpla+r-2;u—-1,v — 1, il en résulte la relation wy (Mv; ey) = (M+ 7) (u +1) (v +1). Par conséquent nous avons obtenu le théoréme suivant: ARCHIVES VIII. 36 252 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT La surface axiale engendrée par des cowrbes d’ordre (u + v) avec um point d'ordre u et un point d'ordre v, est du degré (u + ») (u +1) +1). $ 21. Soit maintenant n > u + v, et considérons la surface axiale . le . 1 formée par des courbes d’ordre n ayant un point «"" et un point". On arrive d’abord aux relations v(n;u»)=n(n + 1) + y(n—1; u, v), v(atv+luv)=(utv+1l)u+Vv+2)+yYlut v; 0, v), qui ont la même forme que les relations correspondantes de la fonction f(n). Donc, on aura WN u) = (u +5 1,9) + f(n) —f(u +»). Or, on a fü dy) = y(utv;u,v) =1(uty)(uty+1)(uty+t 2) =(utv)(u+Fl)Vv+l= =f (uty) (u2 — mvv? - ])=4 (u? — u) +403 = i), Par suite, on trouve finalement ps) = $n (w+ 1) (m+ 2) He De (e+ IJ He Ie +1). En comparant cette relation avec la formule du $ 15, on voit que les corrections dues aux deux droites multiples sont mutu- ellement indépendantes. $ 22. Examinons encore l'influence d’une directrice cuspidale. Soit donné un faisceau de courbes d'ordre n ayant des noeuds en un point N. Les couples de tangentes en N forment une invo- lution dont les rayons doubles représentent les tangentes à deux courbes qui ont un point de rebroussement en N. Donc, un faisceau de courbes (”, avec 4(n? + 3n—8) points de base simples et un point de base double, renferme deux courbes avec un point de rebroussement. Si, pour n=3, quatre points de base sont placés sur une droite, chaque courbe se compose de deux droites fixes et une droite variable. Done, les rayons doubles de l’involution coincident, et il y a une cubique, formée par une droite simple et une droite double; cette cubique remplace deux courbes 4 point de rebrous- sement. UN NOMBRE FINT DE DROITES. 253 Cela posé, cherchons le degré du lieu des courbes ©” dans les ’ 5 plans menés par J, ayant des points de rebroussement sur la droite r et rencontrant 4 (n°? + 3n — 8) droites c. En y ajoutant encore une droite c, et en suppossant que (n + 1) des droites c s’appuient sur l’axe /, on voit en premier lieu, que chaque plan (le) contient deux courbes ©” qui représentent 27 solu- tions du problème. puisqu’elles rencontrent Pune des droites ¢ en n points. Les autres courbes vérifiant les conditions, doivent dégénérer en ’ o n—1 s . i let en une C" avec un point de rebroussement sur r en rencon- trant 1 (n — 1) (n + 2) —3 droites fixes. Par suite, on obtient la relation suivante: F(n)=2n(n+1) + F(n—1). En l’appliquant à plusieurs reprises, on arrive finalement aux formules F(4)=2.4.5+ F(8), F(3)=2.3 4% F(2). Ici F(2) désigne deux fois le nombre des droites qui s'appuient sur J, r et deux autres droites; c’est done 4. Maintenant on trouve facilement F(n)=2n(n + 1) (n + 2) — 12. Évidemment, chaque directrice c est un droite double de la surface et la directrice r est doublement cuspidale. Finalement, l’axe / est une droite multiple d’ordre F(n) — 2 n. § 23. Revenons à la surface axiale d'ordre f(n). Soit G” une courbe gauche quelconque, d’ordre p, c, une directrice de la surface. Il est clair que pf(n) courbes C” dont les plans passent par l’axe 1, sont rencontrées par G” et par les in (n + 3) directrices c. Considérons maintenant la surface engendrée par les courbes C" qui s'appuient sur G’ et sur Ln (mn + 3) — 1 droites c; ce sera visiblement une surface d’ordre p f (n). Puisque tout plan, mené par /, contient p courbes C”, l’axe | sera une droite multiple d'ordre pf (n) — pn, tandis que chaque directrice ¢ est une droite pl". Il est visible qu'on peut, de la même manière, remplacer une 36* 254 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT des directrices ce de la nouvelle surface par une courbe gauche @". En continuant d'appliquer ce procédé, on arrive finalement à une surface d'ordre f (n) 41 p,, [k=1 jusqu’à k= } n(n + 3)], formée de courbes C” qui s'appuient sur In (n + 3) courbes gauches d'or- dre p, et rencontrent n fois l'axe I. Il va sans dire que cette nouvelle surface axiale se decomposera si les directrices ont des points en commun. En retournant à la surface axiale avec une directrice courbe G”, nous supposons que cette courbe rencontre (p — 1) fois l’axe; alors tout plan, mené par J, renferme une courbe €”. Parce que la courbe @” rencontre la surface axiale d'ordre f(n) en p f (n) — — (p—1)[f(n)-n] points situés hors de l’axe J, la nouvelle surface axiale sera d’ordre f(n) + (p — 1) n. Si la directrice @” a un point en commun avec une droite €, le plan qui unit ce point à l'axe renferme un faisceau de courbes C". Ces courbes n’appartiennent pas à la surface, puisqu'elles ne rencontrent pas les directrices c et G” en deux points différents; par suite, le degré de la surface axiale est diminué d’une unité. Surfaces d’ordre n avec une droite multiple d'ordre (n— 2). $ 24. Si la surface S” renferme la droite multiple / d'ordre (n—2), tout plan, mené par J, contient une conique, située dans S”. Cherchons le degré de la courbe formée par les centres de ces coniques. Cela revient à déterminer le nombre des intersections de cette courbe avec le plan à l'infini, ou bien le nombre des paraboles du système. L’intersection de S” avec le plan à l'infini est une courbe CO", avec un point (x — 2)" L,, donc une courbe de la classe n(n — 1) — (n -— 2) (n — 3) =4n — 6. Elle possède un nombre de tangentes issues de L,, représenté par (4n — 6) — 2(n — 2). om? UN NOMBRE FINI DE DROITES. 255 Puisque chacune de ces tangentes détermine avee / un plan qui rencontre S” en une parabole, le lieu des centres des coniques sera une courbe gauche d'ordre 2 (n— 1). Comme tout plan mené par / contient une conique, l’axe | est une sécante multiple d’ordre (2n — 3). Parce que la courbe des centres rencontre $ (2n — 3) (n — 2) fois sur J et (2n-—2) fois à Vinfini, il ya n(2n — 2) — (2n — 3) (n — 2) — (2n — 2)=3n — 4 coniques dont le centre se trouve dans S”, hors de /, done sur la conique même. Puisqu’une telle conique se compose de deux droites, on a le théoréme bien connu: Une surface d’ordre n avec une droite (1 — 2)" contient (Bn — 4) couples de droites simples s'appuyant sur la droite multiple. § 25. Cherchons encore le nombre d’hyperboles équilatères du systöme. Parce que les points à l’infini d’une telle hyperbole sont conju- gués par rapport au cercle de l'infini, J, nous déterminerons le degré de la courbe, lieu des points Q, qui, sur les droites issues de L,, sont, par rapport au cercle I “, conjugués aux points P, où une telle droite coupe la surface S”. La polaire du point L, par rapport à 1° rencontre ©” en n points P, dont les conjugués Q, coincident avec L,. Le lieu cherché a done un point n°“ en L,. D'ailleurs, toute droite à l'infini, menée par L,, porte deux points Q,; par suite, les points Q, forment une courbe d’ordre (n + 2). Cette courbe rencontre 0” n(n —2) fois en L,, et 2n fois sur 1° ; en effet, si un point P, se trouve sur le cercle de l'infini, il coincide avec son conjugué Q,. Les intersections restantes, au nombre de nn + 2)— n(n — 2) — — 2n = ?2n, forment visiblement n couples de points conjugués par rapport à 1°; par conséquent elles appartiennent à n hyperboles équilatères. Nous pouvons maintenant énoncer le théorème suivant: Une surface d'ordre n avec une droite (n — 2)" renferme n hyper- boles équilatères, (2n — 2) paraboles et Bn — 4) coniques dégénérées en un couple de droites. 256 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT Remarquons encore qu'il y a (2n — 3) coniques dont le centre se trouve sur la droite multiple. a vr 5 ler Si, en particulier, S” renferme une droite double d rencon- trant la droite (n — 2)” 1, la courbe 0", sera de la classe (4n — 8) et le lieu des centres devient une courbe d’ordre (2n — 4). Puisque la droite double d représente une conique du système, un de ses points doit étre situé sur la courbe des centres. Il en résulte que celle-ci rencontre S" en n(2n — 4) — (2n — 5) (n — 2)—2— —(2n — 4) = 3n — 8 points. Par conséquent, une droite double s'appuyant sur la droite (n — Dee remplace quatre couples de drovtes. § 27. Il résulte du $ 1 que l’on peut faire passer une 8”, avec une droite (n— 2)" donnée, par cing droites arbitraires qui ne s’appuient pas sur la droite multiple, à condition que n > 6. D’autre part, on déduit du § 12 que cette surface doit se com- poser de la surface axiale S°, engendrée par des coniques, et d’un nombre de plans. Par conséquent une surface axiale S”, avec une droite (n — 2)”, renferme tout au plus quatre droites €, si l’on a n > 8. Pour démontrer l'existence d’une telle S”, revenons aux remar- ques faites au § 28. Soit G” une courbe gauche qui rencontre (p—1) fois l’axe 1 d’une surface axiale SS, à cinq directrices droites c. Supposons, de plus, que @” s’appuie respectivement en Y,, 72, Y3, 7, points sur les droites c,, €,, C,, C‚. Alors le nombre d’intersections de G” et SS, hors des droites l et c, est égal à 8p—6(p —1) — 2,7. Par suite, on a le théoréme suivant: Le liew des coniques qui rencontrent deux fois la droite | et s’ap- puient en des points différents sur quatre droites c et sur une courbe gauche d'ordre p, qui rencontre l,c,, 05, Cu, Cà en (p— 1), 15 Yar Yan Ya points, est une surface axiale d'ordre (2p + 6) — (y, +73 +73 +71): L’axe | est une droite d'ordre (2p + 4) — +y. En posant y,=0, le degré de la surface devient (2p + 6); pour lyp Yi = 0, on! trouve pH 5) poizilordre: Par conséquent, on peut construire une surface d’ordre 2m, avec une droite d'ordre (2m — 2), si l’on prend pour directrices une UN NOMBRE FINI DE DROITES. 25 courbe gauche d'ordre (m — 3), avec une sécante (m — 4)?" l et quatre droites arbitraires c. Pour construire une surface d’ordre (2m — 1), il suffit de placer l'une des droites ¢ de manière qu’elle a un point en commun avec la directrice courbe. § 28. Considérons la surface axiale S” qui vient d’être définie. Elle renferme visiblement les deux transversales «a, et a’. des 123 123 droites 1, ¢,, €, €3; les plans (la) et (la) marquent sur la surface les droites b, et b’, qui s’appuient sur c,, Get L De même, on a les couples de droites (a, 05), (da, Y's), (iss, da), (@'s545 63), (Goze, 1), (da, Br): L’hyperboloide déterminé par les droites J, c,,c, est coupé par la directrice G”~° en (m— 2) points situées hors de ces trois droites; par chacun de ces points il passe une transversale de I l,c,,c, qui appartient à la surface. | 2 ie : k Désignons ces droites par he ot k=1,2,...(m — 2). Le plan k : . (la, ) contient une nouvelle droite de S convenons de l'indiquer par bY. 2m qui s’appuie sur ¢,, ¢,, 1; De même, on trouve cing nouveaux groupes de (m — 2) couples, en combinant G” ° avec un autre couple de droites c. En somme, nous avons trouvé 4 x 2 + 6 (m — 2) = 6m — 4 cou- ples de droites, ce qui s’accorde avec le théoréme du § 24. La configuration des droites simples de la surface peut étre représentée de la manière suivante: Cy Co Cy Cy os dos Lo | b, | Ge | Wo ios | b 4 oy SEN b, Gog | | Ooa Oo b', Lio, | EN b, | du Ass Up b', | d'os d'os b, Ay, | os og | b', Wons U oss Us SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT C 1 C 2 C 3 Cc h (1) (1) (1) a) Gig 12 bs, by, (m—2) (m—2) (m—2) .1.(m—2) 12 12 b,, Du | (1) (1) (1) (1) 13 b,, a. bo, | (m—2) (m—2) (m—2) (m—2) 5 b a b. 13 24 3 24 (1) (1) (1) () 14 bss bss ds | OÙ AT ete . . . (m—2) (m—2) (m—2) (m—2) b b 14 23 23 14 | 1) (1) (1) (1) | OF As ds bu DD (m—2) (m—2) peen 2) 14 23 23 14 (1) (1) A) (1) | be 24 bis do, ACE (m—2) ee) (m—2) 13 24 13 24 1) (1) (1) A) | Os bis Qs. 3 | pr pon) (m—2) (m—2) 12 12 34 34 Avec une légère modification, le raisonnement précédent s’appli- que à la surface axiale 8°” " avec la directrice d’ordre (m — 3), ayant un point en commun avec la directrice c,. Il est clair que chacun des hyperboloides (le, e,), (le, ¢,), (Le, ¢,) fournit mainte- nant (m — 3) droites a, parce que l’intersection de c, et @”" ne se trouve pas sur une droite a. Par conséquent, il suffit d’écarter du tableau de la configuration m2) (m-2) (m=2) a ., (m—2) (m—2) (m-—2) A sa et leurs associées bs. Ho les droites a, § 29. En combinant la surface axiale d’ordre (2p + 6), douée d’une directrice gauche G” et des directrices droites c,, ¢,, C3, Cy, avec une courbe gauche G”, ayant pour sécante d'ordre (q — 1) axe | de la surface, on obtient le théorème suivant: UN NOMBRE FINI DE DROITES. 259 Le lieu des coniques, situées dans les plans d'un faisceau avec Vaxe l, qui s'appuient sur trois droites c,, c,, €, et sur deux courbes gauches G", G', ayant pour sécantes d'ordre (p — 1), (q —1) la droite l, est une surface du degré 2(p + q + 2) avec une droite multiple d'ordre 2 (p + q + 1). D'après le $ 24, cette surface renferme (6p + 6q + 8) couples de droites s'appuyant sur la droite multiple 2 Examinons leurs relations avec les directrices. En cherchant le nombre des génératrices de l'hyperboloïde (le, ¢,) rencontrées par G” en des points hors des directrices droites, on arrive à un nombre de (p + 1) droites situées dans la surface. Ce nombre indique, en même temps, le degré de la surface réglée définie par les directrices 1, c,, @”. Parce que l est visible- ment une droite p”” de cette surface, le nombre des transversales de |, c,, G’, G est égal à (p + 1)qg— pq — 1) =p+gq; il est évident que ces droites appartiennent à la surface axiale. En résumé, cette surface renferme 3 (p + q) droites rencontrées par une directrice ¢ et par les directrices courbes; 3 (p + |!) + 3 (q + 1) droites s'appuyant sur deux directrices ¢ et sur l’une des directrices courbes; finalement deux droites coupées par ¢,, ¢,, ¢,. Avec leurs droites associées, elles forment (6p + 6q + 8) couples. En combinant la surface axiale d'ordre 2 (p + q + 2) avec une courbe gauche G qui rencontre (r — 1) fois l’axe 1, on arrive à une surface d'ordre 2(p + q + r + 1) avec deux directrices droites C;, Cy et trois directrices courbes GP, G“, G’. De la même manière, on obtient une surface d'ordre 2 (p + q +r+s) avec une seule directrice droite, et une surface d’ordre 2(p+q+r+s+t- 1) avec cinq directrices courbes d’ordres P, 47, 8, b § 30 Revenons ä la surface axiale du huitiéme degré, engendrée par des coniques qui rencontrent cing droites c. Supposons que les droites c,,c,,¢,,¢, et J, aient une trans- versale d,55,. Alors le plan (las) contient une infinité de coniques appar- tenant au lieu, toutes composées de la droite a, et d’un rayon passant par la trace de c;. Par conséquent, la surface S5 dégénérera en un plan et une S7, avec la droite quintuple J. Comme la transversale dj, remplace les droites A, doi, Qs, ARCHIVES VIII. 37 260 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT et do, (§ 12), le nombre de couples de droites, rencontrées par J, est diminué de trois unités, ce qui s’accorde avec le nombre fourni par l’expression (3n — 4). En posant les droites c de maniére qu’elles possödent un nombre convenable de transversales «a,,,,, on peut évidemment obtenir des surfaces d’ordre 6, 5, 4 et 3. Si l’on prend les cinq droites c de manière qu'elles s appuient sur une droite do; qui rencontre l’axe /, cette transversale rem- place les dix droites a,,,, de sorte que la surface renferme d’ail- jr? leurs seulement dix couples (b,,,, A): Puisque la droite a,.,,, peut être considérée comme la coincidence de deux transversales 4, et @j.;, la surface axiale se décomposera en un plan double et une S*, ayant pour droite double la trans- versale Qyos45- Cela s’accorde avec le nombre dix des couples de droites que yon obtient en posant n=6 dans l'expression (3n — 8). Il en résulte qu’une surface S”, avec une droite (n — 2)" 1 et une droite double d qui la rencontre, ne peut renfermer que quatre droites ¢ arbitraires, s’appuyant sur d. Pour construire une telle surface d'ordre n == 2m, il suffit d’ima- giner une directrice courbe d’ordre (m — 2) qui rencontre (m — 3) fois l’axe J et une fois la droite double d. Si l’on a n=2m— 1, on obtient la surface analogue en choi- sissant les droites c de manière que deux d'elles se coupent. $ 31. Supposons qu’une surface S” admette les points (n — 1)" O et Q. Alors chaque plan mené par OQ = |, rencontre S” en une conique et en la droite (n — 2)?" 1. Nous avons démontré qu'une telle surface peut renfermer deux droites arbitraires c,, ¢,. Or, il est facile de construire une surface analogue. Il suffit d'ajouter aux directrices c,, c, une directrice courbe d'ordre (m -- 1), ayant pour sécante (m — 2)" l'axe L. En effet, soit e, une droite arbitraire. La surface quartique, ayant des points triples en O et Q, placés sur J, et pour direc- trices de ses coniques les droites c,, c,, c;, renferme visiblement 4 (m — 1) — 2 (m — 2) = 2m coniques qui s'appuient sur la courbe UN NOMBRE FINI DE DROITES. 261 @""", Par suite, le lieu des coniques menées par 0, Q et rencon- trées par @""', c, et c,, sera une surface axiale d'ordre 2m, avec des points (2m — 1)" O et Q. En supposant que c, coupe la courbe G@”"", on trouve évidem- ment une surface analogue du degré (2m — 1). Il est clair qu’on obtient aussi une surface d’ordre (2m — 1) en prenant deux droites c,,c, qui se coupent. § 32. Puisque la surface S’” que nous venons de construire, admet une droite d'ordre (2m — 2), sur laquelle sont placés deux points d'ordre (2m — 1), il est nécessaire qu’elle renferme (2m— 2) coniques décomposables dont chacune contient l’axe /. Or, il est facile de le vérifier. En effet, la surface réglée qua- dratique définie par J, c,, c,, rencontre la directrice @" ' en 2 (m—1)—(m —2) =m points. Par chacun de ces points il passe une transversale de I, 6, c, et @”' qui forme avec l une conique dégénérée. Un plan, mené par / et par la tangente de @” * en une de ses intersections avec /, contient visiblement un couple de droites, formé par / et la transversale de c,, c,, tracée par le point de contact de cette tangente. En résumé, nous avons trouvé m + (m — 2) ou (2m — 2) cou- ples de droites contenant la droite 1. Observons que le cöne qui a pour sommet le point O et pour directrice la courbe @” ', fournit (m — 1) transversales de c,, G” ’ et / passant par 0. En remplaçant c, par c,, et O par Q, on obtient de cette manière 4 (m — 1) couples de droites situées dans la surface. En y ajoutant les transversales de c, et c,, menées par O et Q, ainsi que leurs droites associées, on a, eu égard aux couples dont l fait partie, le nombre de (6m — 4) couples, ce qui s’accorde avec le $ 24. Le lieu des centres des coniques, situées dans 8°”, est une courbe d'ordre (4m — 2), ayant (4m — 3) points en commun avec !. Parmi ces points se trouvent les (2 m — 2) centres des coniques dégénérées dont Vaxe fait partie; par suite, le milieu du segment OQ sera le centre de (2m — 1) coniques; c'est done un point multiple d’ordre (2m — 1) de la courbe des centres. 262 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT Surfaces du degré (« + > + 1) avec une droite d’ordre „et une droite d'ordre ». ‚+1 N 33. Supposons qu’une surface S“t"* d'ordre u, et la droite n, d'ordre ». admette la droite m, Soit C“*”** une courbe plane située dans la surface. Considérons la surface reglée, ayant pour directrices C, m et n. L’hyperboloide déterminé par m, n et la droite arbitraire p, rencontre la courbe C, hors de ses points multiples d'ordre «, » en (u + v+2) points. Par conséquent la surface réglée (C, m, n) est de l’ordre (u + v + 2). Tandis que C est une courbe simple de cette surface, m et n sont des droites d’ordres (u + 1) et ( + 1). En effet, le plan qui unit un point quelconque de m à la droite n, rencontre C, hors de son point ”°, en (u + 1) points. Cherchons maintenant le nombre d’intersections de la surface uier +] (C, m, n) avec une nouvelle courbe plan D , située dans la surface S“*"*' en écartant les points que D a en commun avec les directrices C, m en n. Comme (uvt 1) (u Hv +2) — (u HV + 1) — ve (u +l)— vb +1) = =2uv+u+y+1=uv+(u+1)("+1), nous pouvons énoncer le théorème suivant: Une surface d'ordre (u + v + 1), douée d'une droite multiple d'ordre uw et dune droite multiple d'ordre », renferme wy + (u + 1) ( + 1) droites simples, s'appuyant sur les droites multiples. Si la surface contient une droite multiple d'ordre À qui rencontre les autres droites multiples, le nombre des droites simples est diminué de i? umités. En effet, une telle droite est aussi une droite multiple d’ordre 1 de la surface réglée (C, m, n). § 34. Il a été démontré que la surface 8" *”"' peut renfermer (u + 1) droites simples c qui ne s'appuient pas sur m et n, pourvu qu'on ait u > v ($ 2). Afin de déterminer la configuration formée par les (2uv-+u+v+1) droites a et les (w + 1) droites c, cherchons le nombre de droites a qui rencontrent m, n et c;. UN NOMBRE FINI DE DROITES. 263 L’hyperboloide ayant ces trois droites pour directrices, a en commun avec la surface encore un lieu du degré («+v+ 1) qui, visiblement, se compose de (u + v + 1) droites; en effet, la généra- trice de (m,n,c,) menée par un point de ce lieu, doit étre située dans S. Parmi ces (u + » + 1) droites se trouvent les couples de droites s'appuyant sur m, n,c,,C,. Donc, le nombre de droites a qui rencontrent seulement une droite c, est égal à (u + + 1) — 2u—v —u +]. Puisque ce nombre ne saurait être négatif, on doit avoir «=» ou =» + I. Alors, on a (u+1)x droites a dont chacune rencontre deux droites c et (u + 1) (» — u + 1) droites a qui ne s'appuient que sur une droites c. Par suite, il y a uv droites a qui ne rencontrent aucune droite c. En particulier, soit » = «. Alors la surface S“ ** peut renfermer un multilatère gauche formé par (u + 2) droites c. Deux droites ce qui ont un point en commun sont rencontrées par une seule droite a; car la transversale de m et n, menée par leur point d’intersection, n'appartient pas à la surface. Par suite, le nombre de droites a qui s'appuient sur une seule droite c, est égal à (2u + 1) —2(u—1)—2=1. La surface S° *' renferme alors (3 SSP) (a sed se AS “(u + 2) droites a qui s'appuient sur deux droites c, (x + 2) droites a qui ne rencontrent qu'une droite ¢ et (u? — u — 1) droites a qui ne coupent aucune droite c. Supposons qu'on puisse faire passer la surface S'"""" par un multilatère gauche composé de (u + 2) droites c. Le nombre de droites a rencontrées par une des droites c, est alors égal à (u +» +1) — 2(u—l) - 2—»—u+1; on a donc la condition u — »< 1. Si elle est vérifiée, le nombre des droites a, qui s’appuient sur 2,1 ou 0 droites c, est respectivement égal à u (u + 2), (v —u + 1) (u + 2) et (ur —v»—1). Le dernier nombre est égal à (v2 — 1), si l’on à u —» = 1. On obtient la même condition, en observant qu'un (u + 2)-latère dépend de (u+2)(u+»+1) des Zur + 3(u +» + 1) paramètres dont on peut encore disposer, si les droites multiples m et n sont fixées. 264 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT Surfaces d'ordre (4 + « + 7) admettant trois droites multiples, d'ordre 2, «, ». $ 35. Considérons une surface S’*""*" renfermant les droites multiples /, m,n, respectivement d'ordre 4, u,v. Il va sans dire que la surface S* "" "" renferme toujours (A + u + ») droites rencontrant les droites multiples. En eftet le lieu que la surface a en commun avec hyperboloïde (1, m, n) se décompose en (À + u +7) droites. Le nombre des paramétres disponibles est visiblement égal à Luder (Au dv +3) —1— = A(A + DAEB B Dj u (u + DGB + u +3» + 5)—- Lo +1)(31+3u+r+5)=(+ 1) (u +) + Id. Si l’on a A=u=rv, ce nombre est égal à MENE (Nee ING dee es a, ee Puisque le nombre (A? —A— 1) est positif, il en résulte qu’une surface S°", admettant trois droites d'ordre À, peut encore contenir (A + 1) droites arbitraires. On peut la faire passer par (A + 2) droites formant un multilatère gauche. En effet, on a A? +322 +31—{(1+2)32+21(1?—2); , comme A> 1, (4? — 2) est positif. Toutefois, il y a encore une condition qui doit être vérifiée. Puisque la surface contient les couples de transversales de chaque quaterne, formé par une des dioites simples et les droites doubles, et que le nombre total des droites qui s'appuient sur les droites doubles, est égal à (4 + u +»), il faut avoir or UAH) SA. En particulier, si l'on a A=u4=r, cette condition se réduit a A24. Supposons maintenant qu’on ait A>u>r. Afin que la surface d'ordre (A+ u +») renfermant les droites multiples l, m,n, puisse passer par (v + 1) droites arbitraires, le nombre Q + 1u + Iv HI) lv + IA a u dr + Idar + lu —r —v—1 doit être positif. UN NOMBRE FINI DE DROITES. 265 Cela exige qu’on ait kAu>v ? et cette condition est évidemment vérifiée. En observant qu'on a Av u, puisque À u, on peut affirmer que la surface S°*"*" admet toujours (x + 1) droites arbitraires. Désignons par y le nombre de droites c situées dans la surface d'ordre (4 + u + v) et ne rencontrant pas les droites multiples. Alors la surface renferme visiblement les 27 droites a qui s'appuient sur les droites J, m, n et sur une des droites c. Ces droites appartiennent à l’hyperboloïde, déterminé par les directrices J, m,n et ayant en commun avec s?*"*" encore un nombre de droites défini par (A + u + » — 27). Or ce nombre n’est pas négatif si l’on pose y=" + 1, puisque » est au moins égal à deux. § 36. Supposons qu'une surface de dégré 3 À, avec trois droites multiples d'ordre À, contienne encore une quatrième droite d'ordre 2. Alors le nombre de paramètres disponibles serait égal à (#3 +322 +39) AAI (7445) = 14 [22 — (A3) = =14[6 + @ + ITA Done, pour A< 8, la surface Se peut avoir quatre droites mul- tiples d'ordre A. Elle peut passer encore par une droite arbitraire, pourvu qu’on ait À < 5. En effet, le nombre de paramètres disponibles est alors égal à 4 (— 2? + 622 + 132) — (BÀ +1) =d [À (A —1) (5 —A)—6]; il n’est pas négatif, si A est < 5. Si la surface S’"possöde quatre droites 2° 1,,1,, 24, 1,, Yhyper- boloïde aux directrices /,,/,, 1, rencontre la surface encore en 34 droites a, parmi lesquelles se trouvent les deux transversales des quatre droites 1. En somme, on a done 4(3 4 — 2) +2=1241 — 6 droites simples. Sil y a encore une droite c, les droites a se rangent en trois groupes: d’abord on a la deux transversales de 1,, J,, 1, et 1,; puis quatre couples de droites, chaque couple s’appuyant sur la droite c et trois droites /; finalement, il y a quatre groupes de droites qui rencontrent seulement trois des droites /, chaque groupe contenant (3 À — 4) droites. 266 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT Surfaces du quatrième degré avec une droite double. § 37. Nous avons vu que le lieu des coniques situées dans les plans d’un faisceau (/) et rencontrées par cing droites c,, est une surface du huitiéme ordre. Considérons les cas dans lesquels les droites ¢ sont placées de maniére que cette surface axiale dégénére en quatre plans et une surface du quatrième ordre avec une droite double /. Or, si les droites 1, c,, ¢,, ¢;, ¢, s’appuient sur une droite a, il faut écarter le plan (la). Si les droites c, et c, ont un point 1234 P,, en commun, il faut supprimer le plan (Pl). Supposons, en premier lieu, que l’axe / soit rencontrée par les quatre transver- sales dons Lay Cois Uig, dont chacune s’appuie sur quatre droites c. En observant que a remplace les quatre transversales a 1284 193? Gy Lay Ion, COUPEeS par 1, on vérifie facilement que les huit cou- ples de droites que la surface doit contenir, forment avec les droites e une configaration représentée par le tableau suivant; on y a écrit à coté de chaque droite c les droites a et b quelle rencontre. 6 Loy Og 35 Doss, a, 345 do ds ds LT Co a 1234 en 235 Go 45 b, do Ove Daag Die 6, em a, 255 b, a, 345 Dass dis Doss Dns 6, Boxy b, Go 45 Dots, b 45, bs a, 4 Daas 5 b, Bross dass Uus DE DE bs ds $ 38. Nous n’avons pas besoin d’examiner le cas où il y a les transversales @ ,., bias Goys Gows puisqu’alors les droites J, c,, c, C3 appartiennent à un hyperboloïde, faisant partie du lieu, de sorte que la surface S* doit dégénérer. Supposons maintenant qu'il y a les transversales a 1935? 12457 a a 1934” 71985) 1245) et que deux des droites ce ont un point en commun Il est clair qu'il faut rejeter la supposition que deux des droites c,, cj, ¢,, se coupent; de même, il faut rejeter les cas où c, et c, coupent une des droites ¢,, c,. Puisque c,, ¢,. ¢; sont équivalentes, il suffit de supposer que les droites c, et c, se croissent en un point Ps. Alors la surface contiendra seulement une des transversales de iG 1% k? 45 vant. 39. Si l’on a les droites a... 123 UN NOMBRE FINI DE DROITES. 267 Ci, ¢,; en effet la transversale des droites / et c, menée par n’a que quatre points en commun avec S*, La configuration des droites est représentée par le tableau sui- Pie dos a, 2 Gos, Lo b, 315 Doss De Dogs, Chr { et a, les couples de droites Cia Ci Co Cosy Cau Cy, Sont équivalentes. Il en résulte que, pour obtenir une surface axiale $*, on peut supposer l’existence des points P,, P;, ou bien celle des points P;,, P,, ou encore des points PP. A ces trois cas appartiennent les trois tableaux suivants. ie} = © is) © 29 fey AR & ar ARCHIVES VIII. Ps, et Py. as bs 245) Ass ds bs Der Us bs dos 2. ehr. Dog Us; Vox Qos bs. Das Dog ba, bs. Cos 268 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT Bebe Gi Un As ds dis Does ONU bo 6, dou As Us b,, bs ds Bois Dis 6; Qos Boss bi, dis bas As bs dass oi | W924 b, 34 Bis, gs bs Oy, Gt Er b, ee Os Diss igs Aass $ 40. En considérant deux transversales a, et boy, on ne trouve qu’une seule espèce de surface S', renfermant la configu- ration suivante. PD weine 6, Dos be dis Qs by bs bo Us Co Doss Oe b 24 bas Ugs, ds be do 6, Doss be a 135 Den Rs; be U; Das 6, Dory Dia b,, a, 45 by ds dass Bu: 6, b, a, ds Ugs Ass Ass Oss be § 41. Sil existe une transversale de J, c,, cj, c3, et c,, tandis que l'on a trois points P,,, la surface S* correspondante appar- tient à une des quatre espèces, représentées par les tableaux qui vont suivre. Pos ? P ’ Ps : 6 os Gy og Gog Ass b, > ios a, 35 Digs Co a, 234 a, 23 Dos b,, a, 34 As boy oF Ca Boss Dog DE Ass y b,, QUE bs 6, Bern O45 Dio, wen Ass bs, b,, Das, cz b, bs bs b,, bs Ais As Oss Ps ? Ee ? Ei x c 1 A954 Dros, 134 135 Digs bs by, bis Co a, 234 a, 25 25 24 bas Us, As Ay; C. Bony Ds, 134 a, 35 bs As Ass b, 3 C 4 | 0 oss bos wen boy a, 5 Us, Dy a, 15 C | 5 b, ios by, a 35 a, 5 b Ass Aass UN NOMBRE FINI DE DROITES. ss dix DE A 134 Ass 134 by, bo, dis as b, 1 Dog ss bas a, 35 Ass b 14 "as Ass 269 $ 42. Considérons, en dernier lieu, les surfaces axiales 5" con- tenant quatre points d’intersection P,,. I n’y a aucune difficulté de vérifier l’existence des espéces suivantes. 124 124 Mog 124 b ds Lio Ding bs, Os; Pur Py, P 95 bis Us biss 34 Uig 34 Uy diss Dios 347 45 dis Diss b,. > As Ass be dis bu b,, As P.. Us; Oss by, Ds Ass bas b,, Aus ds Lys 270 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT D D Piss dee a mate C, dis Ds bis Us Ass u bo Us 6, b,, ds Ay; Dr Dios 235 ie bs € 3 | Us Oi Dis Us b,, 235 Aziz DE C, by, Uy dis 245 b,, 14 A; dy 6, 135 be a, 245 bass Gos a, 35 Us Dy 45, Pras Pos, Pu, Bis i Us Des Qo, Qos Us, Us Du Dis Co Oy, do, Dog A b,, bas Us Daas Cs ds De b, 5 bs, dias bas Ass bs Ce, b,, ay, As bs, Gay Aus by, Dy 45 cs As Diss bs Dios b,. Us ss 245 $ 43. Si une surface du quatrième degré, avec une droite double, ne contient que quatre droites c, elle donne lieu à la configura- tion suivante. Fi Los es Gio Bog Ass bs b, a Co QUES bos Gio Bs b, a, Ass Boss Ca Bio bos b, a, Asa bios Ass bass on | b, 2 Dog Bog Gis by Ass bss On peut obtenir une surface de cette espèce en partant d’une cubique gauche G* et de cinq de ses bisécantes |, c‚, ¢,, C3, Cy. D'après le § 27 le lieu des coniques du faisceau (J), rencontrées par Ci, Co; Ca, ©, et par G3, est une surface axiale d'ordre quatre. § 44. Si S* renferme seulement trois droites c, on trouve, en considérant les hyperboloides (lc, ¢,), le tableau suivant. C 123 123 do 12 13 bi; 1 a, Co 193 13 y bis > 2 os b,, Cz Log 123 b, a, Us Gis ds 23 N 201 A > 4 > Alors les droites b, et a,, marquées sur $* par les plans (la,,,) et (lb), ne s’appuient sur aucune droite c. UN NOMBRE FINI DE DROITES. Dita $ 45. Supposons qu’une surface du quatrième degré possède, outre la droite double J, quatre droites c qui appartiennent à un hyperboloide. Alors l’axe / est rencontré par deux transversales Ay, eb 0 du quadruple c. L’hyperboloide (lc, c,) contient encore deux droites, a,, et b,,, de la surface S*, et les plans qui unissent ces droites à l’axe /, marquent sur S* deux nouvelles droites b,, et Mes) tableau suivant. appartenant à l’hyperboloide (lc, c¢,). Par suite, on a le € | Goss Cree a, À bn Us b, 3 a, 4 b, { Co | os 71934 do b,, Bg dy b, ds Cs | Goa, Der bs, Gs, ds bs bs dos C, | Doss b, 234 Bon ss b,, a 24. a, { b, 4 Il va sans dire que cette S* renferme encore deux droites b, et A, Situées dans les plans qui unissent a, et b,,., à l’axe l. t 4 $ 46. Si la surface 8" contient une droite a, qui s’appuie sur l, Ci, Co, C4, €, un raisonnement analogue fournit le tableau sui- vant; la seizième droite de la surface, b, se trouve visiblement dans le plan (La) et ne rencontre aucune droite c. 1234 1 | Gos 123 124 134 1 12 13 14 Co | Loy 123 124 b, d, 34 do bi b, € | Loy 123 b 3 Us, As 34 a, 3 by. €, | Bony b, Gog Gog ss 34 by, Oy Surfaces du quatrième ordre avec deux droites doubles ayant un point en commun. § 47. Considérons la surface axiale, engendrée par les coniques, dans les plans du faisceau (7), qui s’appuient sur cing droites c, en supposant que les six droites / et c sont rencontrées par une droite a, tandis que c, et c, se coupent en By ebt commun le point P,.. A ont en Di SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT On démontre facilement que cette surface contient seulement quatre couples de droites s’appuyant sur J, savoir (a b,,), (u Da), (Ay O44), (Cop Dig), tandis que le plan (la) rencontre 145? St en une conique décomposable dont les droites sont confondues SH pee Il en résulte que le nombre de couples ne peut pas étre déduit de l’expression (Bn — 4); au contraire l’&quation 3n — 8 =4 fournit n=4, de sorte que a, est une deuxième droite double de la surface qui parait être du quatrième ordre. Il en suit que cette surface renferme quatre couples de droites rencontrées par @,,5,,; on pourrait les désigner par c,, Ca; C3, Cy} Onn Ca Ob Bs Ene § 48. Désignons maintenant les droites doubles par / et A; soient (a, 4,) les quatre couples de droites qui s’appuient sur J; soient («,, /?,) les couples rencontrés par 1. On peut choisir la notation de maniére que les droites rencon- trées par «, s’appellent a,, a,, 43, a. L’hyperboloide (Xa, a,) contient la droite double / et la droite simple «,; il renferme encore une droite de S* qui sera désignée par «,. Cette droite ne peut couper ni a,, ni a,; en effet, si a, sappuyait sur a,, Phyperboloïde (le, «,) aurait en commun avec Si deux fois les droites J, A et encore les cing droites @,,@,,4,,45,@3, ce qui est impossible !). Par suite, la droite «, rencontre les quatre droites a,, a, ds, by. D'une manière analogue, on démontre que l’hyperboloide (Aa,«a,) marque sur S* une droite «,, s'appuyant sur b,, b,, et que Vhyperboloide (Aa,a,) fournit encore la droite «,, rencontrée par 6, et 4,. Maintenant on peut dresser le tableau provisoire suivant: ay a, &, a a, CAN San Ws 2 bs b, ce a, Qs b, b, ay a, a, b, bs 1) En général, on peut affirmer qu’il est impossible que trois droites du systeme (a, b) soient rencontrées par deux droites du systeme («, ß). UN NOMBRE FINI DE DROITES. 273 $ 49. Puisque a, s'appuie sur @,, «, et ne saurait rencontrer les droites «,, @,, elle doit couper les droites /?, et /7,. De même, «a, doit rencontrer encore les droites A,, P,; a, Bappuie sur /7,, As: b, rencontre /7,, ,; bz coupe 5, Ps; 4, s'appuie sur /?,, /3,. Finalement, 6, doit rencontrer les quatre droites /. Maintenant, nous pouvons construire le tableau définitif de la configuration, formée par les droites (a, 4) et («, /?). Nous l’arrangerons en échiquier; le signe x indiquera que la droite a (ou 4) qui se trouve dans la méme ligne verticale, est rencontrée par la droite « (ou /) placée dans la même ligne horizontale. Notons que ce tableau n'indique pas que les droites a,, «, rencontrent respectivement les droites 4,, /?,. $ 50. Les droites a,, a,, a, n’ont aucun point en commun avec le triple a,, 4,, /?,. Puisque 6, rencontre a, et /?,, tandis que ces deux droites ne se coupent pas, il y a visiblement deux espèces de quadruples de droites qui ne se rencontrent pas. Un quaterne de la première espèce appartient à un quintuple de droites qui ne se rencontrent pas; par exemple «,,a,,a,,a,,/?,. Un quadruple de la deuxième espèce ne fait pas partie d’un tel quintuple; par exemple a,, a,, a3, b,- 214 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT En observant que les droites a@,,@,,@, s’appuient sur «,, les droites a,,a,,b, s'appuient sur «,, les droites a,,a,,b, s’appuient sur @,, les droites a,,@,,), S’appuient sur /,, on peut former le biquadruple suivant, où chaque droite qui figure dans la premiére ligne, rencontre chaque droite de la deuxiéme ligne qui ne se trouve pas dans la méme colonne. | a, a, a; b, | | Dee) On vérifie facilement que les huit droites restantes se rangent en un biquadruple complémentaire, savoir | b, bo b, a, | a, (23 Py Py D’une maniére analogue, on trouve encore les couples de biqua- druples complémentaires qui vont suivre. | a, b, bs b, | (ME ce lb Wie Glee iy, | | a Pa PsP, | | a, a, Pa | | a, be a, 73 | (ob een! a Da | | aa, &Pı, | | a, ba Pa PP, | Ge Oe On Ba ab aide “| On voit aisément que ces quatre types sont les seuls possibles, et qu’ils répresentent respectivement 3, 1, 3, 3 couples de biqua- druples. Par suite, les seize droites se rangent en 10 couples de biquadruples. $ 51. En remplaçant maintenant 2 i ay Pi Pi | qi D Da ay | ge ar ar | bs | P Ps as P q3 b, N Py Cr, qu \ \ | a by 775 a, | Tie Go | Tos / 9 Tog ) par par tc as T 35 Ps | | Tag dy | Tg Pa | | Tag UN NOMBRE FINI DE DROITES. 275 on obtient la notation suivante des quatre types en | | | Vie Is Qs Ti | | P, Ps Ps Ps | ze | Ti Tos Toe Ti | RE a DCR MOE ee en) La nouvelle notation fait voir que la configuration formée par les seize droites est équivalente à Ja configuration qu’on obtient en écartant, du système des vingt-sept droites d’une surface cubique, une droite r,, et les cinq couples de droites (p,,q,), (pj, 4s); (nes Tan) (rn 7); Ga r,,) qui s'appuient sur elle. Remarquons encore que la surface S*, à deux droites doubles let À. renferme quatre paraboles dont les plans passent par 1 et quatre paraboles dont les plans contiennent À, tandis que chacune de ces deux droites est un diamètre pour trois coniques. Surfaces du cinquième degré avec une droite triple. $ 52. Une surface S5 avec la droite triple / contient tout au plus cinq droites simples ¢ qui ne la rencontrent pas; puisque les droites ¢ coupent toute conique qu’un plan mené par | mar- que sur 5°, elles ne peuvent pas être prises arbitrairement; en effet, la surface axiale S° qu’elles déterminent, doit être composée d'une S5 et de trois plans contenant l’axe l. Supposons, en premier lieu, que les cinq droites c admettent LU 1 ia LU ? 7 hd trois transversales a, 45, @,,, S'appuyant sur L. 1234? Alors les droites ¢ forment avec les onze couples de droites (a, b) qui rencontrent l’axe /, une configuration représentée par le tableau suivant. ARCHIVES VIII. 39 276 SURFAGES ALGEBRIQUES RENFERMANT 6, oss Ugs Doss, diss As Ds 45 b, > by, bs bo G5 G | Goss Up 35 Doss bs, b,, b, a, 34 Ass Days, Oe do ©; a, 234 a, 235 b, a, 34 a, 35 Oe Ass Ass bis dass Das C, | a, 234 b, dos 5 di 4 b,, Ass Ass b, 4 Gy; As bays G b, Ah 935 Dogs, b,. As Ass b,; Ass is ass Days ur 53. Si l’on a les transversales a, et a, il est nécessaire que deux droites c se coupent. Or, il est évident que les couples 12, 13, 23 doivent être rejetés et que les couples 14, 24, 34, 15, 25, 35 sont équivalents; par suite, il suffit de considérer les cas où il y a un des points Fe , 2; 5 JF 85° gi Oos os io wee Mei! CT Ce | Co ions os io PO PRO PU. 6; hen es u Ur Dog Ag Lou Dis La Tiss 4 Aros, Vs Oss Oy “Ole, Gis Oren Oly) a Ue G b, ehe LT lin. Cee Bi | ala Gia! Ugh aa acu bi eh, ae 6, | Bross Bros, A Cie Dr by a sO €; | Gist es da Oe Con Lan on Orne Cy | 1234 9 een ene tr aas Lass Cains Oos Us Um Ds is us Vis Go Tos Tos A ces deux espèces de surfaces il faut ajouter la surface qu'on obtient en choisissant les droites c de manière qu'elles ont les transversales a,,.,, bo, Sappuyant sur J, et que c, rencontre une des droites restantes, par exemple c,. Dit 6, W034 be do > QUES de Ass Di dy bis b 6, 1234 Des do as De Gy, Os: Ass Dee Oss De 6, 1234 bee bs, da, a, 35 b, 35 De Ass Das OF Ir Ci Aass Oi ba, da, bo, de, as by, dis Boys, dass G b, a, Dros be a, 35 De Oss Ass boys Ass B45, 277 UN NOMBRE FINI DE DROITES, $ 54. En supposant qu’il y a la transversale a, et deux points P, on obtient quatre espéces de surfaces représentées par les tableaux qui vont suivre. Ps et Br Finalement, on trouve trois espèces de surfaces où les droites e déterminent trois intersections P. 39* 278 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT Voici les tableaux correspondants. Pas ue Poy: Gr dos Diss Bo biss As b, 5 as by, Gy, bis bo Co og Dies Oh 95, Diss b,, D4 bas Us bos SET bis Cs Los Des bs, Gs, As biss by, Ugs boss bi; Ass GE by ZB bs, da, b,, Ln an bu Gig oss os Fe b,; Ge Lis Bios Ass be Gus y br us us Ps Ps Pu 2 | Dog Us Lr “gs Diss EN: Digs bi, bs dis bo | Co Qing os Vo bo, dy by, ds or Cos bs bo Cs bs; ba, du Liss Diss bs Og ngs bis Gig Ay N Gog bs, Ass b,, du Aus biss by, Qos bs As C bs Us b,, Ass bis Oss Diss ss dy boss Gy; Dias Pos; Ds: a U Us Is Bis, Us be Cis bis du bis bys Co DU b,, I, b, ds b; Bog, Los us b 2 0, bs; bs, Gray Os QUES bis bo Ooy Tog bi dass Gie vra b,, diss Diss b,, Gy Ay Lo by, Boys Days 5 bs Tos b,, Gy, ds Diss Oss b Oos Aus Teis $ 56. Si les droites c,, c,, C3, €, €, et l ont une transversale Gy, On aura une surface axiale du sixième degré avec la droite double 4=a,,.,, (§ 30). Supposons qu'il existe encore la transversale a, de c,, ¢,, C3, 1234 c,, I; alors la surface sera du cinqième ordre et renfermera la configuration suivante. S5 avec une droite 13 et une droite 22. a a, 25 ds UE bis Di bo Dog Co a, 25 b,, bs Aass Ass 12 dass Cs bit a, 35 b, 3 b, 3 Ass Ass Œioss % bs, b,, Digs Dos bi, (2 315 dass 4 os a, 35 un 45 Days, Ass Gy; b, UN NOMBRE FINI DE DROITES. 279 On obtient encore une S® avec une droite /° et une droite 22 (qui se rencontrent), si l’on suppose que ec, et c, ont un point en commun. SE avec. (She, Br. 6, | Gos Dios x EN dis Us b,, Ce LU 3 Do a, 25 b, b,, bs a, MM 6 3 Ass b 30 b,, 134 Us; De Dy, 34 A by: 124 bs, 134 b,, Digs Aass Ce | bys bs, Aios bo. a, 35 ds ) bs $ 57. Si les droites J, c, ont deux transversales @,,.,., b,,.,.) la sur- face axiale correspondante sera du quatrième degré et aura deux droites doubles qui ne se rencontrent pas; donc, se sera une surface réglée. Il en résulte qu’une surface S° admettant une droite triple / et deux droites doubles m et n qui s’appuient sur J, ne peut renfer- mer que quatre droites c. Il va sans dire que ces droites rencontrent les droites doubles m et n. Du reste, il résulte du théorème du $ 33 qu’une surface 5° avec les droites doubles m et n auxquelles s'appuie une droite triple, possède quatre droites rencontrant m et n. Considérons l’hyperboloïde déterminé par /, c,, c,, et contenant, par suite, les droites m, n; il aura en commun avec S® encore une droite a,,. De même, l’hyperboloïde (lc, c,) renferme une droite b,, qui visiblement s'appuie sur a. Par conséquent, on aura le tableau suivant. 85 avec 13, m?, n?. Gi a 12 Us dis Co a 12 b,, b,; Ca ba, dis b, © | bi, b,, ds Le lieu des centres des coniques situées dans les plans du fais- ceau (/) est évidemment une courbe du quatrième degré (§ 26) 280 SURFACES ALGÉBRIQUES RENFERMANT qui coupe m et n; il en suit de nouveau que / est rencontrée par trois couples de droites. Surfaces du einquieme degré avec deux droites doubles. § 58. D’après le $ 33 une surface S5, avec les droites doubles m et n, renferme treize droites a s’appuyant sur elles. Puisque chaque droite double absorbe 16 paramétres, on peut faire passer 5° par 23 points arbitraires. Par suite, on pourrait croire qu’une telle surface puisse renfer- mer quatre droites c,, ¢,, C3, ¢,, à condition que c, etc, se coupent. Or, S® contiendrait alors six droites s’appuyant sur c,, m et n, savoir les transversales de c¢,, ¢,, m, n; mais alors S®* aurait en commun avec l’hyperboloide (c,,m,n) un lieu du onzième degré, ce qui est impossible. Supposons que S° renferme un quadrilatére gauche formé par les drovtes i), Gs, Go, Ch; En observant que deux droites ¢ qui ont un point en commun, déterminent avec m et n une seule transversale située dans S°, et que l’hyperboloïde (c,, m, n) contient encore cinq droites de la surface, on obtient facilement le tableau suivant qui représente la configuration formée par les droites a et c. Lis 1 Res En: 6, 12 a, As Dr a, Co Lo Ags de, Dy d, 63 ds 34 a; b, 3 a; C, | de, dy do, by a, Done, la treizième droite a ne rencontre aucune des droites c. Il y a encore une configuration qui correspond à quatre points P, savoir UN NOMBRE FINI DE DROITES. 281 > > D B, PE I 13? Pa: 6 Go As Uy Dy, a, Co 12 oz oy b 24 a, a, Ds 65 ds dog Oy 3 2 G, Gy bi, A, b,, Qs, § 59. En supposant qu'il y a trois points d’intersection de droites c, on arrive aux tableaux suivants. JEE Do Pa: 6 | 12 a. a ee ie Gas din Dr a, C; | 23 34 ds bs a, ZN 34 Gp OR > Pin Ep Dei | 180 Cia Da Dien he G | Ao br ds Ds ou | G | Oe ee en le Gs, | €, | dy y Gy U, b, En supposant qu'il y a deux points P on obtient seulement une configuration; elle est indiqu&e par le tableau suivant: P 12? 12 34° | 6, | do As bs a, be 6, | WE Gy, dy Gy Vu 6; Qs bs A, bs KEN 6, ds bii d, Oy. de, $ 60. Considérons la surface S5 admettant deux droites doubles et trois droites c. La configuration correspondante est représentée par le tableau: Gi Go Le Us Dis a Co Go di Oms Vos a, C, Aios Des i Gigs al a. > 282 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT Il y a visiblement quatre droites a qui ne rencontrent aucune droite c. Si c, et c, ont un point en commun, la droite b,, sera remplacée par deux droites b, et bs. $ 61. Supposons maintenant que les droites doubles m et n soient rencontrées par une troisiéme droite double p; alors il ya encore neuf droites a s’appuyant sur m et n. Puisqu’une droite double absorbe 16 paramötres, tandis que deux droites doubles qui se rencontrent, absorbent 27 paramétres, la surface S® renfermant les droites doubles m, p, n, peut passer encore par 17 points. Supposons donc que S° renferme encore quatre droites c,, €,, €,, €, qui s’appuient sur p. Alors l’hyperboloide (m, n, c,) rencontre 5° en c, et deux fois en chacune des droites m, n, p; par suite, il a en commun avec S5 encore trois droites qui s’appuient sur m et n. Il est clair que ce sont les transversales a,,, 4, 4, que Cy, ¢,, ¢, déterminent respectivement avec m, n, ¢,. Par conséquent, on a le tableau: a do dis dy pP Co 12 23 Un Pp Ce ds ds GER he Ce ds Wo u Ie Il y a trois droites a qui s’appuient sur m, n et ne rencontrent aucune droite c. D’ailleurs la surface contient encore deux droites simples r et s situées respectivement dans les plans (p, m) et (p, n). § 62. Supposons maintenant que la surface 5°, avec les droites doubles m, n, p, passe par trois droites ¢,, €,, €, qui ne rencontrent aucune des droites doubles; il en résulte qu’elles doivent s’appuyer sur les droites r et s que #5 a en commun avec les plans (p, m) et (p,n). Cela revient à dire que c, et c, sont tout-à-fait arbitraires, tandis que c, doit couper les droites 7, s qui sont déterminées par c, et c,. On arrive facilement ä ce tableau UN NOMBRE FINI DE DROITES. 283 Gi 12 ba As bi, ca G 12 b, 2 Dy. b, a, C, a, Or Ol b a Surfaces du cinquième degré avec quatre droites doubles. § 63. Soient m, p, n, q les côtés d’un quadrilatère gauche. Une surface SS ayant ces côtés pour droites doubles, peut passer encore par onze points arbitraires, ou bien par une droite arbitraire c Puisque les droites doubles m, n sont rencontrées par les droites doubles p, q, il n’y a que cinq droites a s’appuyant sur m,n; de méme il y a cing droites b qui rencontrent les droites doubles p, q. L’hyperboloide déterminé par les directrices m, n, b, renferme les droites doubles p, q; par conséquent il ne contient qu’une seule droite a,. Done, chaque droite a coupe une droite b. L’hyperboloide (m,n, c) a en commun avec 5° un lieu du einqui- éme degré, qui visiblement se compose de cing droites a. De méme, la droite e s’appuie sur les cinq droites b. Finalement, la droite ¢ rencontre les quatre droites de S° qui se trouvent dans les plans (m, p), (p, n), (n, q) et (q, m). Surfaces du sixième degré avec une droite quadruple. § 64. En partant de nouveau de la surface axiale S*, lieu des coniques qui s’appuient sur cing droites c et, deux fois, sur l’axe l, on arrive, en supposant des positions particulières des droites €, aux types suivants de surfaces Sf, avec la droite quadruple /. Transversales a... dias: 6 rer os Loy Aios Ass Ass Aus bi, > b,; by, b, 3 ds bo do Co Gogg Dogs KOEN Gos b,; by, bas dz Ass Us; Oss b 245 be do 6; ern Dons, De b 34 Az a 135 b, 3 Dy, 3 a 234 Ass bis a, 3 a, 345 b, 45 C, a, 234 b, Gog b 34 diss b 24 Tiss Die Dy, #4 bi, Ay; Dois dass Dr Ge b, Goss, bs Aios bs, a, 5 Digs, by, > b,; Oos Rs bass Aass b 45 ARCHIVES VIII. 40 z SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT 284 Transversales a, Dia: ge Boss ’ Li oss ’ Er 2 Ba: PP. UN NOMBRE FINI DE DROITES. 285 Droite double a 12345 * 6 Chey A Urs Gn TLN bi on ie D: Cy Cire ey, Che = EL CE c, DD lpg a. KO A CNT €, Dr Von b,, 34 b,, di sos b,, Ay; dus dE DR Dis Vos LE dis Ugs DE dogs ds Lys $ 65. Si une 8%, avec une droite quadruple /, renferme deux droites doubles d,, d, qui s'appuient sur /, la surface contient tout au plus quatre droites c, rencontrant d, et d,. En effet, d’après le théorème du $ 26, l’axe / doit être rencontré par six couples de droites a, b. Sil y avait cinq droites c, une droite de chaque couple devrait s'appuyer sur trois droites €, ce qui est impossible, puisque les droites /, ¢,, €,, €, sont rencontreés par d, et d.. Eu égard au $ 3, on peut faire passer la surface S° contenant les droites multiples J, d, et d,, encore par quatre droites c qui coupent les droites doubles. Parce que l’hyperboloïde (lc, c,) a en commun avec S°, outre les droites doubles d,, d,, encore deux droites a, ,,, on peut dresser le tableau suivant: Gi d, d, do bis ds bre ds by, Co d, d, Us b, 2 by, da, ba; ds Cs d, d, bs, U dis bis b, As 2 d, d, bs, da, b,, do, a by, § 66. Supposons maintenant que S® renferme trois droites dou- bles d,, d,, d,, s'appuyant sur la droite quadruple J. Il est clair que l’hyperboloïde défini par d,, d,, d, marque sur la surface S° encore deux droites simples c,, ¢,. D’après le $ 26, S® doit contenir deux couples de droites (a,, b,) et (a,,b,) qui rencontrent la droite quadruple. Il va sans dire qu'aucune de ces quatre droites peut couper €, etc, à la fois. Or, puisque la droite c, ne s’appuie pas sur J, il faut qu’elle rencontre ou a, ou b,. Done, on peut dresser le tableau suivant C, a, a, d, d, d, C, b, b, d, d, d, 40* 286 SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT Observons que le leu des centres des coniques que les plans du faisceau (l) marquent sur S5, est une courbe du quatrième degré, avec la sécante triple /, qui rencontre les trois droites d,, d,, d.. Surfaces du sixieme degré avec une droite triple et une droite double. § 67. D’aprös le § 2, une surface S5 avec la droite triple m et le droite double peut renfermer encore quatre droites ¢ qui ne s'appuient pas sur m et n. Il est clair que les transversales a,, et b,, des quatre droites m, n, c,, ¢, doivent être situées dans la surface. ? k L’hyperboloide défini par les droites m, n, ¢, aura en commun avec S® encore un lieu du sixième degré; il est évident qu'il se b compose des droites a, b,; dip Digi @ dir Puisque 5° contient 18 droites simples rencontrées par m et n, il y a 6 droites d d’entre elles qui ne s'appuient sur aucune des droites c. (Comparez $ 34). Or, on peut dresser le tableau suivant de la configuration for- mée par les droites de Sf. RENE 12 DE ds bis di, by, As by do, b,, U, bs, d, d, d, d, d, d, “ 12 b,, As bs a, 14 Co do bo 23 23 My, b,, €; a, 3 UE 23 Des 34 b 31 7 a 14 b 14 Ay Os, 34 bs, $ 68. Supposons que la surface S* contienne, outre les droites multiples m et n, un quinquélatère formé par les droites ¢,, cj, cs (§ 34). On vérifie aisément que les 18 droites rencontrées par m et n 3) C 4» forment avec le sdroites c la configuration représentée par le tableau suivant. UN NOMBRE FINI DE DROITES. 287 m,n | A By Dis By Diy Us Yos My b, As By, My Un Ds Gus A 4, a, 6, 12 dis bis Ai by, a, C, 2 ENG One One b,. Gs Gh b,, ds dy Age De 6, di bu, ds b,, da, Us C, dis As Dos A Dos 4, Surfaces du sixième degré possédant trois ou quatre droites doubles. & 69. Si S® contient les droites doubles J, m, n et les droites arbitraires c,, Cc, €, ($ 35), elle renferme encore six droites simples qui s'appuient su les droites doubles et forment l'intersection complémentaire de 5° avec lhyperboloide (l, m, n). La surface donne lieu à la configuration suivante: l,m,” | a, b, a, b, a, b, Gr a, 1 Ge a, b, c a. b § 70. Il résulte du $ 36 qu’on peut définir une surface du sixième degré contenant quatre droites doubles 1,, l,, l,, I, et une droite simple ¢ qui ne les rencontre pas. Cette surface renferme encore les deux transversales t,, t, des droites 1; puis les quatre couples de transversales de tout quaterne formé de c et trois des droites 1. En considérant les hyperboloides définis par trois droites /, on trouve encore huit droites simples. La configuration, formée par toutes ces droites, est représentée par le tableau qui va suivre. os fe an = SURFACES ALGEBRIQUES RENFERMANT UN NOMBRE FINI DE DROITES, > bo Komal bo te m OS Lo we to bo NOTE SUR L'EXCITATION FLECTRIQUE DES NERFS. PAR J, L. HOORWEG. Dans un article que j’ai publi& dans les Archives italiennes de Biologie, Tome 37, Fase. 3, pag. 457, j'ai fait quelques remarques sur le mémoire de M. Weiss, publié dans les mêmes Archives !) et déjà mentionné à la page 18 de mon second article dans les Archives Teyler. La réponse de M. Werss ne me semble pas très probante quant à la manière dont il défend l’impartialité de son aperçu historique. Mais c’est une chose de peu d'importance à laquelle je ne veux plus m’arröter. Ce qui est plus important c'est que M. Weiss est revenu de l’idée que sa formule serait une loi fondamentale et qu'il la place maintenant au même rang que ma formule empirique : P=AR+? C C'est tout ce que je puis désirer, car je l’ai dit maintes fois, les deux formules: et 2 AR iG) sten nal zede (2) sont toutes deux des formules empiriques dont la premiere est la plus générale, applicable à toute sorte d’excitation de très courte durée. 1) Tome 35, pag. 413. ARCHIVES VIII. 41 290 NOTE SUR L’EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS, Mais ce qui est tout aussi vrai, quoique M. Weiss ne lait jamais reconnu, c'est que ces deux formules empiriques sont toutes deux une conséquence immédiate de ma loi fondamentale: patie OO COR. ©. C’est pour cela que je regrette tant qu’un savant aussi perspi- cace que M. Werss ne puisse pas se décider à accepter cette loi, à laquelle il a apporté lui-même un si puissant appui par sa formule (1). Ce regret est d'autant plus grand que M. Werss dans ses com- munications antérieures avait exprimé une tout autre et plus bien- veillante opinion, en ces termes: ,Je ferai encore remarquer que „mes résultats concordent parfaitement avec l’hypothèse de M. »Hoorwee, d'après laquelle l’excitation des nerfs dépend de l’in- „tensité du courant et d’un décrement” !). Voyons si vraiment, comme M. Weiss le prétend aujourd’hui, expérience nous force de rejeter la loi fondamentale (3). M. Weiss a fait des expériences sur l’effet de deux décharges électriques en sens contraire qui se suivent à un intervalle très court. Dans toutes les expériences publiées jusqu'ici *) M. Werss régla les deux décharges inverses de façon à ce qu’une seule de ces deux se trouvait au seuil de i’excitation tandis que l’autre était au-dessous. J'ai déjà fait observer que cette manière d’expérimenter ne peut pas donner de résultat sérieux. La décharge qui est au dessous du seuil de l'excitation n’agissant point, toutes ces expériences donnent le même résultat que si la décharge la plus forte avait agi toute seule *). Telle est la vraie explication du fait communiqué par M. Weiss dans les mots suivants: „Si une onde électrique, portée sur un nerf ou un muscle, est „juste suffisante pour donner la réponse minima, une autre onde „moins efficace de sens inverse n’ajoute rien ni ne retranche rien 1) Comptes-rendus des séances de le Société de Biologie de Paris, 27 avril 1901, page 441. 2) Arch. ital. de biologie, Tome 35, pag. 27. 3) La même erreur se retrouve dans les recherches sur l’influence réciproque de deux excitations portées sur deux points differents d’un nerf, publiées dans les Comptes-rendus de la Société de Biologie de Paris, 24 janvier 1902, pag. 42, NOTE SUR L EXCITATION ÉLECTRIQUE DES NERFS. 291 „a Veffet obtenu, qu'elle précède la première onde ou qu’elle la „suive” !) Alors j'ai invité M. Weiss à répéter ces expériences avec deux décharges inverses dont chacune fit efficace. M. Weiss a eu la bonté de me communiquer le résultat de cette expérience, qui seule peut décider la question, dans sa lettre du 12 juin 1902 dans les termes suivants: „Une onde de longueur 20 se comporte comme une onde de „longueur unique 17—17.5 quand l’onde 20 est suivie par une „onde inverse, quelle que soit la durée de cette onde inverse, „pourvu que cette durée soit elle-même inférieure à 20.” „Une onde 10 — n équivaut à une onde unique de 8.3 environ; „une onde 5—n à une onde unique de 4 environ”. Quand les deux ondes sont toutes les deux efficaces, on trouve done un tout autre résultat. C’est en effet un affaiblissement de 17 % environ que M. Weiss a constaté quand l'onde observée est suivie par une autre onde inverse et plus faible, mais toutefois efficace et ce résultat est parfaitement en accord avec la loi fon- damentale (3). Mais je cherche en vain où peut se trouver l’expérience n — 20, n—10, n —5 que M. Weiss annonce dans les mots suivants ?). „Prenons alors la même décharge descendante et faisons la „preceder d'une décharge inverse plus faible. D’après le raisonne- „ment de M. Hoorwra c’est la décharge inverse qui l’emportera „ou au moins la décharge descendante se trouvera considérable- „ment affaiblie. Or, il n'en est rien, l'expérience donne 17 % comme „dans le premier cas” Ainsi M. Weiss croit avoir prouvé que, si nous fixons l'attention sur la décharge précédente, cette décharge, qui est par elle seule parfaitement en état de provoquer une contraction, — car cette contion est absolument inévitable —, perdrait cette propriété quand une autre décharge inverse et plus forte la suivrait, l’effet de l'onde précedente se réduisant alors à un affaiblissement de 17 % de l’effet de la décharge plus grande qui la suit. M. Weiss admet done que l'effet d’une certaine action puisse se modifier par l'influence d’une autre action qui n'est pas encore commencée au moment où la premiere est déjà finie. 1) Comptes rendus de l’Académie des Sciences 1901. 22 juillet, pag. 251. 2) Arch. ital. de Biologie, Tome 38, Fasc. I. 41* 292 NOTE SUR L’EXCITATION ELECTRIQUE DES NERFS. J'avoue que je ne comprends pas! Aussil’&quivaleneede J ” | je IR | k 10 20 | pour deux ondes efficaces, n’est prouvée nulle part. Les seules expé- riences sur lesquelles se fonde cette équivalence sont mentionnées dans une lettre de M. Werss que j'ai reçue le 26 mars 1902 et dans laquelle sont récapitulées les expériences de juin 1901. Voici un extrait de cette communication: 11 juin 1901. a a ey PE „Eike 65 10 | 10 ld ar 63 10 63 c’est done la premiere onde qui l’emporte toujours. 6 juin 1901 a z a 84 ri 84 20 20 dees 81 | 20 Ke 40 c'est donc la deuxième onde qui l’emporte toujours.” Mais on voit directement que ces expériences appartiennent a la même série qui a conduit M. Weiss à dire: „que la plus faible ,des deux ondes n’ajoute rien ni ne retranche rien.” Aussi M. Werss le dit expressément: „dans toutes ces expériences la décharge la plus faible était toujours aw dessous du seuil de Vexcitation.” Il est done évident que des expériences de cette sorte ne prouvent rien. UTRECHT, 1 octobre, 1902. APPENDIGE: Dans une lettre du 17 mars 1902 M. Werss me fait observer que dans les Comptes-rendus de la société de Biologie du 4 mai 1901, pag. 468 il a déjà prévu ma remarque !) sur l’action exci- tatrice de la fermeture d’un courant constant, limitant l’action excitatrice à la période latente pendant laquelle le muscle se prépare A réagir. Cette période latente est assez constante pour expliquer pourquoi dans ce cas l'intensité minimale reste assez constante pour le même individu. Dans un mémoire paru dans le Journal de physiologie et de pathologie générale, Tome 4, Sept. 1902, fig. 825, M. Weıss explique un peu plus clairement sa manière de voir. De la formule: Q =a + dt il déduit Tt=a+ bt à a et ensuite = Te et calcule alors à l’aide des constantes a et b le temps t que l'intensité I doit agir pour causer la contraction minimale. De cette manière la variable indépendante t, qui dans les expériences de M. Weiss détermine évidemment lintensité de l’exeitation de très courte durée, se change en une variable dépendante, calculée au moyen d'expériences d’un tout autre genre. Je ne puis pas accepter ce changement dans la signification de t. Mais ce qui est plus fort, M. Weiss défend encore la validité de la formule : a Das DER 0 B 5 par l’observation que 7 est négligeable vis-à-vis de b, tandis qu'il est clair qu’autant que a n’est pas absolument égal à zéro, cette 1) Arch. Teyler, Serie II, Tome 8, pag. 78. 294 APPENDICE. formule donne toujours une plus petite intensité minimale pour un temps plus grand; ce qui est contraire 4 toutes les expériences connues, qui prouvent toutes, sans exception, que l’effet excitant de la fermeture d’un courant constant est d’autant plus grand que le temps de la fermeture est plus court. Dans le même mémoire !) M. Weiss donne un aperçu de ses expériences sur l’effet excitateur de deux ondes électriques contraires et de trés courte durée, dans lequel je trouve l’expression suivante: „Je me mets au seuil de l’exeitation pour une onde unique” d’oü il suit avec certitude que la seconde onde était toujours au dessous du seuil de l'excitation, de sorte que mon objection que de telles expériences ne prouvent rien, subsiste aussi pour les expériences récentes communiquées dans ce journal: les ondes 10, 10—n et n—10 donnent le méme rösultat, pour cette raison seule que l’onde n niagit point du tout. Il est vrai que M. Weiss trouve encore un affaiblissement faible mais distinct, tandis que selon mon avis le résultat ne peut être que sensiblement égal. Mais M. Weiss explique aussi dans cet article la nature de cet affaiblissement, en démontrant que les ondes 102 Os =) 108 produisent sensiblement le même effet: „c'est done seulement au „moment de inversion que se produit l’effet de soustraction”. L'affaiblissement que M. Weiss a découvert n’a done rien de commun avec le phénoméne qui nous occupe: c’est seulement une petite perturbation produite par le changement brusque des résistances dans le pont de Wheatstone au moment où les fils sont coupés par la balle du pistolet. 1) Journ de physiol. et de patholugie générale, sept. 1902, pag. 826. Utrecut, 7 Nov. 1902. ZUR ABWEHR! von Dr. PAUL OPPENHEIM IN CHARLOTTENBURG BEI BERLIN. Im Laufe dieses Jahres erwarb ich einen Aufsatz von FERNAND Mevunter über die Insecten des Mesozoicum, welcher, wie es sich dann herausstellte, ein Separat-abdruck aus den Archives du Musée Teyler zu Haarlem war. !) Naturgemaess und wie ich erwarten konnte, beschaeftigt sich die Autor in dieser Arbeit vielfach mit früheren Publikationen meinerseits; auf diese theils abweichenden theils auch zustimmenden Ansichten einzugehen, haette für mich augenblicklich keine Veranlassung vorgelegen. Er tritt aber auch meiner Person zu nahe. Nachdem er fast bei jedem meiner in dem palaeontologischen Museum zu München befindlichen Origi- nale hinzugefügt hat, dass diese mit Blei „retouchiert” seien, steigert er sich auf p. 109 bei der Besprechung des Galerucites carinatus OPPENH. zu dem Ausspruche „Ce fossile paraît avoir subi des retouches frauduleuses de la part de l’auteur”. Dieser Satz kann, wie mein Sprachgefühl mir sogleich zeigte und wie Nachforschungen in verschiedenen Woerterbüchern und bei zweien meiner franzoesischen Freunde, den Herren CossMANN und Cazior, bestätigten, nur so verstanden werden, dass ich betrü- gerisch, d. h. mit der Absicht zu faelschen, den betreffenden Fossilrest retouchiert haette. Es ist dies ein Angriff, so dreist und ungeheu- erlich, dass er schwer hält, ihm gegenüber die parlamentarische Form zu wahren; er geht aus von einem Manne, der mich früher in merkwürdigen Unkenntnis der Thatsachen, als den ,éminent paléontologue de Stuttgart” oeffentlich gefeiert und mir als solchem ein Dipterengenus Oppenheimiella gewidmet hat, ?) der mich mit 1) Ser. II, Vol. 6. P. II. 1898, p. 89 ff. 2) Of. Bull. de la soc. zoologique de France. 1893, p. 232: „Cependant nous proposons de la nommer „Oppenheimiella baltica”, afin de rendre hommage a ARCHIVES VIII. 42 296 ZUR ABWEHR! seinen entomologischen Publikationen früher überschwemmt und meine Unterstützung nachgesucht hat, um Materialien des berliner Museums zu erlangen. Die Persoenlichkeit des Verfassers, seine wissenschaftlichen und politischen Grundsätze und Grundlagen, wie sie sowohl aus der Einleitung als besonders aus dem Schlusse seines Aufsatzes hervortreten, laesst mir jede weitere Discussion mit ihm aussichtlos erscheinen. Für weitere Kreise, die, wenn nicht meine Person, so doch mein Schaffen kennen oder kennen lernen koennen, bleibt mir nur übrig, den Angriff des Verfassers, den die Hinzufügung des Wortes „parait” für mich nicht mildert sondern nur doppelt unbegreiflich erscheinen laesst, niedriger zu haengen! — Dass die Zeichner die leidige Gewohnheit haben, die Abgren- zung der Fossiliön, Streifen, Rippen, Muskeleindrücke u. dergl. sich durch Bleistifteontouren zu verdeutlichen, dürfte allgemein bekannt sein. Ich habe noch keinen Herren beschaeftigt, der dies nicht gethan haette. Es ist ja schliesslich auch kein Unglück, da sich derartige Striche mit Wasser sofort entfernen lassen. Doppelt begreiflich ist ein derartiges Vorgehen den Insecten-Steinkernen des lithographischen Schiefers gegenüber, wo das subjective Ele- ment in der Deutung wohl kaum je ganz auszumerzen sein wird, und wo nach der Lage des einfallenden Lichtes die Contouren mit groesserer oder geringerer Deutlichkeit hervortreten. Ich kann heute nach 16 Jahren natürlich nicht mehr mit Bestimmtheit angeben, ob ich nicht in einzelnen und schwierigen Fällen selbst dem Zeichner gegenüber zu diesem Mittel meine Zuflucht ergriffen habe; dass dies hingegen nur Ausnahmen gewesen sein koennen, kann ich getrost versichern, ebenso wie ich nie auf den Gedanken gekommen wäre, dass einer meiner Nachfolger derartige „Hilfs- linien” des Zeichners als „Retouchierungen” bezeichnen koennte. Das die meiner Publikation beigegebenen Tafeln annähernd genau sind und jedenfalls nicht mehr an Subjeetivem enthalten als dies Péminent naturaliste de Stuttgart bien connu par ses belles recherches sur les empreintes d’Insectes provenant des ardoises lithographiques de Bavière”. So schrieb der Herr MEUNIER 1893, aehnlich schreibt er 1894 in der gleichen erst- klassigen Zeitschrift XIX, p. 14 und vier Jahre spaeter hat er den traurigen Muth, demselben Autor, der — nota bene — sich nur einmal in seinem Leben bisher einige Tage in der Hauptstadt Würtembergs aufgehalten hat, des retouches frauduleuses vorzuwerfen! ZUR ABWEHR]! 297 eine palaeontologische Zeichnung leicht besitzt, ergiebt und ergab mir ein genauer Vergleich mit den von MEUNIER seinem Aufsatze beigegebenen Phototypien. Auf Differenzen in der Auffassung und Klassifikation naeher einzugehen, habe ich in diesem Zeilen, die lediglich zur Abwehr gegen eine ganz unerhoerte und leider in eine wissenschaftliche Zeitschrift vom Range der , Archives” über- gegangene Beschimpfung bestimmt sind, keine Veranlassung. ÜHARLOTTENBURG, im October 1902. Dr. PAUL OPPENHEIM. El A u Kinda sutton He bed dn MURES ola th Ny t 2 I f i ernten, “ink “i ate bef We EU BALL) 4 CYR } wt KOMO Oral U DNR el ol : 4 I Vu 1010 5 LUI TN NI f werd Bis ‘th Vitti BTL nr QT i es | Ae hie re | u es ee AR Allan tof heb NO ® ¢ woh 7; taal jig ind) i 4 effi ste RI TE ae eke A AS AT 2 in SY Ar pea tee as ies ah A VN EZ a ' Ae pr DT) (ee ae Ty? Rte az cebit ee Sn “> A = …6 A Bes > a Bisa oe re u tA TES. à =i att pe ee ee zus ie :: pads yk EN Be ee a de Ar ‘ 5 s u 5 es u ur | CN ARCHIVES MUSEE TEYLER SERIE II, VOL. VII. TROISIEME PARTIR. HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1903. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E SCHULZE. iy £ ARCHIVES DU MUSEE TEYLER SERIE II, VOL. VII. (ORS Re mies DAME HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1903. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E SCHULZE, a Du i a a SS ee ee he u { hs CO LEE ets is SERT LER AGE a Pi j yj { a 10 eta’ = tray LI OC batt % u A ; ‘ ER = de | oe er S Pr ä ry 2.4222 p vin u En 7 U Ae Vi IS. En ouvrant cette nouvelle série l’Institut scientifique et littéraire de la fondation Teyler a honneur d’informer les lecteurs des Archives, que M. M. les Directeurs ont résolu de lui en confier dorénavant la rédaction, qui, à partir de ce jour, se fera sous sa responsabilité. Les Archives, comme l’indique déjà leur titre, contiendront d’abord la description scientifique des principaux instruments de précision et des diverses collections que la fondation possede, ainsi que les résultats des expériences et des études, qui seront faites par leur moyen, soit que ce travail soit fait par les conservateurs de ces collections, soit par d’autres, auxquels les Directeurs en auront accordé l’usage En second lieu, et pour tant que l’espace disponible ne sera pas occupé par ces publications obligatoires, les pages des Archives seront ouvertes aux savants, dont les travaux scientifiques ont rapport 4 une des branches, dont la culture a été recommandée à l’Institut par son fondateur. Pour de plus amples informations à cet égard on est prié de s'adresser au Secrétaire de l’Institut, E. VAN DER VEN. HAARLEM, janvier 1881. a 7 0 MOT @ Th vka tt se 8 CE à IT ARE DE UT ), un it hi uw ku maT it Rf Ati 4A Perdehai fie Se 4 « Loi ah # PER IN CET ie un TM RS A A. PROGRAMMA VAN TEYLER’S TWEEDE GENOOTSCHAP TE HAARLEM, voor het Jaar 1903 Door DrRECTEUREN VAN TEYLER’S STICHTING EN DE LEDEN VAN TEYLER’S TWEEDE GENOOTSCHAP wordt, voor het jaar 1903, de volgende prijsvraag uitgeschreven: Een zoo volledig mogelijke, alphabetisch ge- rangschikte naamlijst van Noord-Nederlandsche kunstschilders, zoowel hier te lande als elders geboren, van den vroegsten tijd tot het einde der zeventiende eeuw, met opgaaf van plaats, jaartal en zoo mogelijk datum van geboorte en overlijden van de vermelde kunstenaars. Deze naamlijst moet tevens een beknopte levensbeschrijving van elken kunstenaar bevat- ten, waarin ieder belangrijk feit dat eene bjj- drage tot zijne levensgeschiedenis oplevert, dient te worden vermeld. Eene opgave van een of meerdere zijner voornaamste werken, van de verschillende wijzen, waarop die geteekend zijn en van de plaats, waar die zich bevinden, mag hierbij niet ontbreken. Ookis het gewenscht dat, voor het biogra- phisch gedeelte, de bronnen worden aangege- ven, waaruitis geput. Sedert in 1842: Leven en Werken der Hollandsche en Vlaamsche Kunstschilders, Beeldhouwers, Graveurs en Bowwmeesters, door J. IMMERZEEL JR. in ’t licht kwam, waarop, in de jaren 1857—1864 een meer uitgebreid en verbeterd vervolg door C. Kramm werd geleverd, zijn door latere meer nauwkeurige navorschingen in de gemeente- en gildearchieven, vele belangrijke ontdekkingen op dit gebied der kunstgeschiedenis gedaan. De resultaten dezer navorschingen zijn meerendeels opgenomen in verschillende kunst- en letterlievende tijdschriften, zooals in OBREENs Archief voor Kunstgeschiedenis, Oud-Holland, e. a. Daarvan is bij enkele latere edities van kunstcatalogen met vrucht gebruik gemaakt; maar een alphabetisch gerangschikte naamlijst, waarbij dit het geval is, ontbreekt nog. De prijs voor het best en voldoend antwoord bestaat in een gouden eerepenning, op den stempel des Genootschaps geslagen, ter innerlijke waarde van f 400. De antwoorden moeten worden ingezonden vóór of op den Isten April 1905, opdat zij voor den Isten Mei 1906 kunnen be- oordeeld worden. De verhandelingen moeten in het Nederlandsch, met eene Latijnsche letter, vooral goed en leesbaar geschreven zijn door eene andere hand, dan die van den opsteller. Ook moeten zij vóór den bepaalden tijd in haar geheel worden ingezonden: geene ant- woorden, waaraan eenig gedeelte bij de inlevering ontbreekt, zullen tot het dingen naar den gemelden eereprijs worden toegelaten. Alle ingezonden stukken blijven het eigendom des Genoot- schaps, dat de bekroonde verhandelingen, met of zonder ver- taling, in zijne werken opneemt, zonder dat de schrijvers, anders dan met toestemming der Stichting, die mogen uitgeven. Ook behoudt het Genootschap aan zich het recht om van de niet bekroonde stukken zoodanig gebruik te maken als het raadzaam zal oordeelen, hetzij zonder of met vermelding van den naam des schrijvers; in het laatste geval echter niet zonder zijne toe- stemming. Ook worden geene afschriften van de niet bekroonde stukken aan de schrijvers verleend, dan ten hunnen koste. De in te zenden antwoorden moeten, zonder naam en alleen met eene spreuk onderteekend, vergezeld van een verzegeld briefje, dezelfde spreuk ten opschrift voerende en van binnen des schrijvers naam en woonplaats behelzende, gezonden worden aan het Fundatiehuis van wijlen den Heer P. TEYLER VAN DER HULST te Haarlem. TABLE DES MATIERES. Quelques remarques sur la theorie des solutions non-diluées, par J. J. vAN LAAR. Sur un problème d’astronomie, par W. Kaprnyn. Sur le transport des liquides par le courant électrique, par E. VAN DER VEN. FONDATION DE P. TEYLER VAN DER HULST, A HAARLEM. Directeurs. A. HERDINGH. L. P. ZOCHER. P. LOOSJES. Mr. A. W. THÔNE. J. J. VAN OORDE. Secrétaire. Mr. A. A. VAN DER MERSCH. Trésorier. P. DROSTE Conservateur du Cabinet de Physique. Dr. B. VAN DER VEN. Conservateur du musée de Paléontologie et de Minéralogie. Prof. Dr. EUG. DUBOIS. Bibliothécaire. G. C. W. BOHNENSIEG. Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures. H. J. SCHOLTEN. Conservateur du cabinet numismatique. A J.C. VAN GEMUND. MEMBRES DES SOCIETES TEYLERIENNES. De la première Société ou Société de théologie. Prof. Dr. 8. CRAMER. Prof. Dr. I. J. DE BUSSY. Dr. J. G. BOEKENOOGEN. Prof. Dr. D. E. J. VOLTER. Dr. A. C. DUKER. Dr. H. J. ELHORST. De la seconde Société. Dr. E. VAN DER VEN. H. J. SCHOLTEN. Je DE VRIES: JOH. W. STEPHANIK. Prof. Dr. P. L. MULLER. Prof. Dr. HUGO DE VRIES QUELQUES REMARQUES SUR LA THEORIE DES SOLUTIONS NON-DILUEES. PAR J. J. VAN LAAR. En 1894 je publiai pour la premier, fois une théorie simple et générale des solutions non-diluées !). En fondant mes déductions sur la théorie du potentiel thermodynamique de GIBBs et DuHEM, je donnai une quantité de formules tout-ä-fait nouvelles pour la pression osmotique, pour les déplacements du point de congélation et du point d’ébullition, pour la tension de la vapeur émise, etc. etc. Toutes ces formules se rapportaient au cas de solutions quel- conques, non-diluées. Presque en même temps M. P. Dunem publia ses Mémoires connus sur les „Dissolutions et Mélanges” (1893 et 1894), mais ses déductions — se fondant d’ailleurs sur les mémes principes thermodynamiques — étaient un peu longues, et l'appareil mathé- matique était souvent lourd et peu transparent. Aussi il ne se rendit pas compte de l'état de la substance dissolue, ni de l’état du dissolvant. Toutefois M. Dunem était, après M. Gress, un des premiers, qui appliquaient les lois de la Thermodynamique aux équilibres, qui se présentent chez les solutions et les mélanges de concentration quelconque. Plus tard, en 1898, je donnai un aperçu de ma théorie — élargie 1) Zeitschrift für physikalische Chemie, XV, 457—497 (1894); XVIII, 245 —282 (1895). [„Ueber die genauen Formeln, u.s. w.”]. ARCHIVES VIII. 43 300 QUELQUES REMARQUES SUR LA THEORIE et simplifiée encore dans ses détails — dans les Archives Teyler '), et en 1901 apparût mon Traité de chimie mathématique ?), où la theorie füt élaborée et &tendue sur toutes les équilibres possibles dans les systèmes homogénes et hétérogènes. En Allemagne c'était déjà en 1887 M. Max PLANCK, qui donnait une théorie générale des équilibres physiques et chimiques, fondée sur la Thermodynamique *). Il se contenta cependant de l’applica- tion de ses formules aux systémes dilues, mais donna ainsi une base purement thermodynamique aux recherches géniales, antérieures de M. van ’r Horr sur les solutions diluées (1884 et 1885). Pourtant beaucoup de chimistes allemands rejettent encore le traitement mathématique et thermodynamique des problèmes d’équilibre physique ou chimique, et se contentent de considéra- tions superficielles et vagues. Méme ä ce point, que des savants comme Nernst et ARRHENIUS, auxquels la chimie théorique doit si beaucoup, ne craignent pas se compromettre en condamnant et en désapprouvant l’usage des méthodes mathématiques et ther- modynamiques. Le potentiel thermodynamique ne trouve pas grâce dans l'esprit de M. Nernst *), et M. ARRHENIUS >) croit toujours que le traitement mathématique du sujet „n’a point contribué dans un degré appréciable à l’augmentation de notre connaissance positive”. Il parle avec mépris des déductions ther- modynamiques de M. Max Pranck et „d'autres mathématiciens”, et il espere „que cette tendance doit étre regardée comme un phénomène très passager’’. Convertir des aveugles, c’est trés difficile, et nous procéderons sur le chemin sûr de la Thermodunamique, sans faire attention aux invectives périodiques des M. M. Nernst, ARRHENIUS et d’autres encore contre les „mathématiciens” et contre la belle théorie de la Thermodynamique, si sûrement fondée par CLAUSIUS et Gisps. Les protestations de ces chimistes allemands 5) sont 1) Série II, T. VI, Premiére partie, 64 pages. 2) Lehrbuch der mathematischen Chemie; Leipzig. A. Barth. 3) Ueber die Vermehrung der Entropie, Wied. Ann. XXX, 562; XXXI, 189; XXXII, 462; (1887) XXXIV, 139 (1888). 4) Voir p. e. Z. f. Ph. Ch. XXXVIII, 497. 5) ibid. XXXVI 40. 6) Il va sans dire, qu’il faut faire exception du grand chimiste W. OstwALp, le traducteur des , Etudes thermodynamiques” de W. Gipss; et aussi de H JAHN, qui a également publié depuis peu une théorie des solutions non-diluées, en se fondant entièrement sur la méthode thermodynamique de M. Max PLANCK. M. DES SOLUTIONS NON-DILUÉES. 301 d’ailleurs un peu inactuelles, et appartiendraient mieux à une période antérieure, d'il y a une centaine d’années. Aie Dans le cours de l’année 1901 M. Nernst donna lui-même une théorie des solutions non-diluées 1). Mais — ce qui est une méthode bien curieuse — il parta pour cela de la théorie des solutions diluées! En introduisant des termes correctifs, purement empiriques, il donna ainsi une théorie, manquant toute signification physique. Lui, le grand-inquisiteur contre toute théorie mathématique ou physique qui opère avec des fonctions, dites symboliques ou fictifs, comme l’Entropie, le Potentiel thermodynamique, etc. — il donne lui même une théorie purement mathématique, manquant de tout sens physique, voir même de signification sensible. Comment serait-il possible de tracer une théorie admissible des solutions non-diluées, en partant des solutions diluées? Jamais on a pu déduire du cours de la tangente le cours de la courbe, et M. NERNST sait très bien, qu'une seule tangente (lois des solutions diluées) peut appartenir à des milliers de courbes (lois des solutions non-diluées). La voie unique de parvenir à une théorie exacte des solutions non-diluées est l’usage du potentiel thermodynamique, ou d'autres fonctions thermiques équivalents (Energie libre, etc.). C’est seule- ment cette fonction, combinée avec une équation d'état, qui pourra donner la solution exacte du problème. L'introduction de la pression osmotique ne peut pas avoir du succès, parce que cette pression est une grandeur secondaire, qui elle même n’est connue que lorsque le potentiel thermodynamique est connu. Et c’est seulement dans le cas de solutions extrèmement diluées, qu’on peut trouver une expression simple pour cette pression osmotique (van ’t Horr). N'oublions jamais, que cette soi-disante pression osmotique n’est pas moins une grandeur fictive ou symbolique, une grandeur opérative, que c’est p. e. le potentiel thermody- namique, tant méconnu par M M. Nernsr c.s. La pression osmotique est une pure abstraction et n'existe non plus dans une dissolution isolée, que les potentiels thermiques ou électri- H. JAHN proteste dans son Mémoire (Z. f. Ph. Ch. XLI, 257—301) contre les affirmations fades de M. Nernst et de son école. 1) Z. f. Ph. Ch. XXXVII, 487-500. 43* 302 QUELQUES REMARQUES SUR LA THEORIE ques. !) Ce sont toutes des grandeurs purement opératives, à l’aide desquels on peut parvenir avec facilité et avec certitude au but proposé. Ces grandeurs sont fondées sur des notions physiques et sensibles, elles y sont dédwites, mais elles-mêmes n'ont plus de signification physique directe. Mais quand on fait usage de ces grandeurs opératives, il ne faut pas préférer une grandeur secondaire, comme la pression osmotique, à la grandeur primaire, c'est-à-dire le potentiel thermodynamique. III. La pression osmotique. Maintenant je veux reproduire quelques déductions de mes Mé- moires déjà cités, et montrer avec quelle facilité on peut trouver des expression générales pour la pression osmotique, l’abaissement du point de fusion, etc., qui se rapportent à des solutions quelcon- ques, non-diluées — en faisant usage du potentiel thermodyna- mique. Commengons avec la déduction de la pression osmotique de M. van ’r Horr. On doit se figurer une solution aqeuse quel- conque de concentration € [c'est-à-dire qu'il y a Po EN c=0 ¢ Gr. mol. de la substance dissolue sur 1 Gr. mol. du dissolvant, eau p.e.], séparée du dis- Ho solvant pur par une membrane semi-perméa- p | substance | ¢ ble (fictive ou non). Il y a libre contact entre dissoute l’eau pur et l’eau de la solution, mais la substance dissolue ne peut pas passer la mem- brane, et l’&quilibre sera introduit, lorsque le potentiel moléculaire de l’eau pur sera égal à celui de l’eau dans la solution. Or comme cela ne peut pas se réaliser tant que les concentrations soient différentes (les pressions extérieures supposées égales), on verra l’eau pur pénétrer dans la solution par la membrane séparative, 1) Seulement lorsque deux solutions de concentration différentes sont en contact l’une avec l’autre, séparées par une membrane sémi-perméable, une certaine pression prend naissance, mais l'existence de cette pression dans la solution isolée est une abstraction pure, tout-a-fait comparable à l’abstraction de l’exis- tence d’un potentiel électrique dans un corps isolé. Récemment (Mémoire cité) M. H. Jan s’est également prononcé sur le caractère fictif de cette pression osmotique, qui n’a aucune existence réelle dans une solution isolée. C’est ce que j'ai dit déjà il y a huit années. DES SOLUTIONS NON-DILUÉES. 303 jusqu’il s'est formé une seule dissolution de concentration moy- enne. [Si l’on avait eu primitivement deux solutions de concen- trations c, et c,, autant d’eau pur de la solution la plus diluée (p.e. ¢,) serait entré dans la solution la moins diluée (c,), que les deux solutions auraient obtenu la même concentration c,.] Mais quand on veut, que l’eau pur n’entre pas dans la solution de concentration c, il faudra arréter cet eau par une pression, exercée sur cette solution (ou sur la solution la moins diluée), de sorte que la pression p sur la solution sera plus grande que celle p, sur l’eau pur (ou que la pression p, sur la solution la moins diluée sera plus forte que celle p, sur la solution la plus diluée.) Or, c'est cette différence s=p—p, que M. van ’r Horr a nommé la pression osmotique „de la dissolution”. On voit bien, comme nous l’avons déjà remarqué plus haut, que cette pression n’entre en jeu, que lorsque deux phases liquides sont mis en contact: c'est simplement une pression extérieure, qu'il faut mettre en oeuvre pour empécher le dissolvant pur d’entrer dans la solution par la mem- brane séparante. Mais cette pression n’existe pas dans la dissolution isolée, et lorsque M. van ’r Horr parle néanmoins de la pression osmotique d’une solution isolée, il introduit dans la théorie des solutions — et c’est son droit — une grandeur opérative, mais tout-à-fait abstracte, ainsi que l’on peut parler également du poten- tiel électrique d’un corps quelconque. Caleulons maintenant la valeur de cette pression osmotique. Evidemment on aura dans le cas d’équilibre: u U Re All) ou wy, est le potentiel (de M. Pranck) moléculaire (c.-ä-d. de 18 Gr.) de l’eau pur sous la pression p,, et y, celui de l’eau dans la dissolution de concentration ce !) sous la pression p. Mais on peut écrire: d Ve u =S dp, 0; Po 0,P dp COME ; 1) =, ol m est le nombre de Gr. mol. de la substance dissoute, n le nombre de Gr. mol. du dissolvant. Mais en caleulant ces nombres, on fait abstrac. tion de l’état moléculaire des deux components, et l'on suppose les molécules normales, p. e. Na Cl = 58,5, H,0 = 18, etc. — la dissociation électrolytique, ou l’as- sociation des molécules n’entrant pas en considération chez le calcul pratique de la ,concentration” c. 304 QUELQUES REMARQUES SUR LA THÉORIE où d’après une propriété bien connue: , étant le volume de 18 Gr. H,O sous la pression p, de sorte que l’on aura: v p Vo Hom Woe ae | T dp Po En supposant maintenant le volume v, indépendant de la pres- sion p, ce qui sera sensiblement le cas, nous aurons: Vo Yo, po — Won + = (DE P,): L’équation (1) devient donc: v 0 ; > ‚een Yon a en (p LE Py) wi Ye ? d'où résulte : 5 nie Do) (2) Telle est l’expression presque rigoureuse pour la pression osmo- tique — dans la supposition toutefois, que v, soit invariable entre les limites p, et p de l’integration. Comme cette pression osmotique se montre done sensiblement proportionale à la difference w, — y,, on pourra opérer avec elle, comme la fait M. van ’r Horr et beaucoup d’autres, pour déduire des relations diverses. Mais, comme nous l’avons remarqué plus haut, il reste préférable d’opérer avec la grandeur primaire w, et non avec la grandeur secundaire x, d’autant plus que la relation n’est pas tout-à-fait rigoureusement exacte. 1) Remarque. Nous aurions aussi pu écrire successivement: p Pp d (DR Ve Vv. ' = wy — 7 = uy — -— À = Ÿ — — — 7) Yop Von t dp PT Von ; AP = % », a 2 Pon Do Po de sorte que (l) devient: — Ye N A Yo, po = Wo, po Te er Do) ’ donc r en Ot ne ne c et cette relation sera tout-à-fait identique à la relation (2). On pourra choisir. DES SOLUTIONS NON-DILUÉES. 305 Dans ce qui suit, nous écrirons toujours: Wo Ba Yo = Rf, R étant la constante moléculaire des gaz parfaits, et nous pourrons écrire simplement: (2%) dit Pour déterminer la valeur exacte du quotient différentiel de? nous partons de la relation w, pe = Van OU bien c,p? mn ne 0: 0, Po En différentiant totalement par rapport à p, nous obtenons (w, = reste invariable): (He) +) Eee ce = const. p = const. done dp _ (2 vin) & Pr) de — de ; dp 2 p = const. c == const. ou, comme dw ) vy. sp. CD; ; dp c= const, 5 aussi : dp ANT (Ge ea ate aCe GP p = const. Mais RENDENT ze dee de cw, dc de ae done dr Rr df, de de I Et cl) v, étant le volume moléculaire de l’eau dans la solution de concen- a . f dy ; : tration c. [c-à-d. v = FR V &tant le volume total de la solution et n le nombre de molécules (supposées normales) du dissolvant]. 306 QUELQUES REMARQUES SUR LA THEORIE IV: Evaluation de la fonction f= y, — vw, Il nous reste maintenant à déduire une expression pour cette fonction f, fonction qui entre dans nos formules précédantes, et qui entrera dans toutes les relations, que nous irons déduire dans les Chapitres suivantes. La connaissance exacte de cette fonction importante donne immédiatement la clef pour la théorie des solutions non-diluées. Mais malheureusement nous pouvons seule- ment donner une expression exacte dans le cas d’une solution extrêmement diluée. Dans le cas d’une dissolution quelconque il nous faut la connaissance précise de l’état moléculaire, non seulement de la matière dissoute mais aussi du dissolvant. Et cette connais- sance précise, nous ne la possédons pas. En outre il nous faudra la connaissance exacte de l'équation d'élat, à la quelle obéissent les solutions liquides non-diluées. Et encore, nous sommes loin de cette connaissance. L’équation d’état de M. van DER WAALS p.e n'est qu'une approximation grossière pour les phases liquides. Enfin, même en se contentant de cette approximation, nous ne connaîtrions pas les grandeurs a, @,, &,,; b,, b,, b,,; grandeurs, qui se multiplient, lorsque la matière dissoute, ou le dissolvant, ou toutes les deux sont composées de molécules de genre divers: molécules neutrales, Tones; molécules simples, molécules doubles. En connaissant même toutes ces choses, l’expression exacte pour yw — W, deviendrait tellement compliquée, qu’elle n'aurait aucune 12? 19 ? valeur pratique. C'est pourquoi nous suivrons une autre méthode: celle du devoloppement en série. Or, nous pourrons toujours écrire, d’après la série de Mac Laurin: LG ) fee ( d'y > = U + | —— = (ac)? | —— Fr ee) Ce dorer “> d(ic)? Jo x 6 de sorte que notre problème se reduit à la connaissance des quotients différentiels divers (ee) SU ne dic J)’ \d(ic)? Jo’ CS L’argument de notre série est ic, et non c seulement, parce que dans le cas d’une substance dissoute, qui est électrolytique- ment dissociée, on aura affaire avec un nombre de molécules im DES SOLUTIONS DILUÉES. 307 au lieu de m, à étant le nombre de molécules, provenant de 1 molécule normale. (chez une électrolyte binaire à = 1 + «, « étant le degré de dissociation). : nekt 3 dw Caleulons en premier lieu la grandeur importante a 4 0 Supposons que les n Gr. mol. normales du dissolvant sont en réalité en nombre de an, et de méme les m Gr. mol. normales de la substance dissoute en nombre de bm. Le potentiel total peut étre écrit alors approximativement: P=ny, + mw, —an R log EER log UT : 2 an + bm ; R étant la constante des gaz parfaits pour une quantité molécu- laire normale (H, O = 18 Gr., etc.). On aura done pour le potentiel moléculaire du dissolvant y,: — d v2 _— r R l AN, + a a? Nn abm 2 an a [« °F am + bm an+bn an + bm’ ou bien log '+aRl (ya = — = — = y — ih I in bm"! 09 an J° En développant le logarithme népérien en série, nous aurons done en premiére approximation: m . Plat 2 Comme ame b=i, on peut écrire par conséquent, en sup- primant l'indice 1, et en écrivant y, au lieu de w: We Riot, où la fonction y’ ne contiendra que les puissances supérieures de la concentration c. Pour ce = 0 nous aurons done: Wo = Wo, et l'on obtient pour la différence y,— y, = Rf: Rf=y,— ¥, = Ric +... En comparant ce résultat avec la série générale ARCHIVES VIII. 44 308 QUELQUES REMARQUES SUR LA THEORIE 1 N) = | a copa 4 nous voyons aussitöt que ( die Signalons le fait remarquable, que le facteur a ne figure pas dans ce premier quotient différentiel. L’état moléculaire du dissol- vant n’a done aucune influence sur le premier terme de f. Seulement l’état moléculaire de la matière dissoute, représentée par le facteur i, entre dans ce terme, et nous pourrons écrire comme première approximation : f=. t EN BER d?y MS : Quant au quotient différentiel NE celui ci contiendra et le facteur a et le facteur b (=), mais l’é olution théorique de cette grandeur exigerait une connaissance exacte de l’état molécu- laire des deux components, et de l’&quation d’état, à la quelle obéit le mélange. C’est pour quoi que nous désignerons ce quotient différentiel, et tous les suivants, par des symboles: LT Ge eee al EER > (gaat i= Ro; 5 za ete., de sorte que nous pouvons écrire: f= ie + 9 (ic)? + w (ic)* dele a Au lieu de déterminer expérimentalement les grandeurs a,, 4a; etc, b,, b,, b, ete., nous déterminerons les grandeurs 6, w, 12? Lo etc., ce qui a la même chose. Toutefois avec cette différence, qu'il y a un nombre fini de grandeurs a et b, et un nombre infini de grandeurs 9, w, etc. Mais, comme nous ne considérons jamais plus que deux, tout au plus trois termes de la série précédente, notre méthode n'offre aucune objection. Au contraire — ce sera toujours plus simple et plus facile de déterminer un ou deux coéfficients 9 ou », qu'une douzaine de coéfficients a et b. Les coëfficients 9, , etc. consistent d’une combinaison fort compli- quée de ces diverses grandeurs a et b, et nous ne faisons autre chose, que déterminer la combinaison demandée, au lieu des éléments, non demandées. On pourra toujours regarder ces grandeurs 9, w, DES SOLUTIONS NON-DILUÉES 309 ete. comme des nouvelles constantes physiques !). remplaçant les anciens grandeurs a et b. Mais, parce qu'il y a un nombre fini de grandeurs a et b, il y aura autant de grandeurs 9, w, etc. indé- pendantes l’une de l’autre; tandis que toutes les suivantes (que nous ne regardons pas, puisque nous regardons seulement une on deux des grandeurs indépendantes) dépendront de celles là Je fais remar- quer encore, que la série (4) pour la grandeur f est convergente seulement, lorsque c n’est pas trop élevé; c'est-à-dire notre méthode de développement en série ne peut servir, que lorsque les solutions n’ont pas une concentration trop forte. La théorie tout-à-fait générale et exacte des solutions non-diluées attend toujours la connaissance exacte de l’état moléculaire des components et de l’&quation d’état des mélanges liquides. Revenant à la pression osmotique, la formule (2°) pourra sécrire maintenant (en supprimant l’index p): Rr Vo qs == Bo or, et nous voyons, que la formule approximative de M. van "r Horr, n’est valable que dans le cas limite de solutions extrémement diluees. (C’est seulement pour ces dernières solutions que M. van 'r Horr a déduit sa formule célébre). Comme nous le voyons tout de suite, la pression osmotique d’une pareille solution obéit aux lois des gaz parfaits. C’est comme si les molécules de la matière dissoute se pourraient mouvoir librement dans l’espace, occupé par le dissolvant pur, sans que celui-ci serait présent. 1) Constantes physiques, puisque ces grandeurs ne sont que des quotients différentiels d’une fonction w tout-à fait déterminée, ayant une signification physique, directe ou indirecte, comme l'Entropie, ete. Ces grandeurs 6, w, etc. seront toutefois des fonctions de r et de p. 44* 310 QUELQUES REMARQUES SUR LA THEORIE V. Abaissement du point de congélation. Quand il y a équilibre entre le dissolvant congélé (glace) et le dissolvant dans la solution, nous pouvons écrire (r étant le point de congélation de l’eau dans la solution): (me rde bat ea SAN (5) y, étant le potentiel moléculaire (18 Gr.) de la glace. Cette rela- tion, mise dans la forme: (— Wy at y), — 0, peut aussi s’écrire (ry étant la température de congélation du dis- solvant pur): pala +) nt, + =0. To Or, comme d’après un theor&me bien connu S, étant la chaleur de fusion moléculaire (18 Gr.) de la glace dans la solution, nous aurons aussi: T S, Cove TE dr o To En supposant maintenant S, constant entre les limites de l’inté- gration — supposition, qui cependant ne sera jamais exacte — nous obtenons : ou bien, comme évidemment (équilibre entre la glace et le dis- solvant pur) Ne) To — U see 0 rr aussi (w‚— Wo), —S$ es 0, DES SOLUTIONS NON-DILUÉES. 311 d'où l'on tire pour Uabaissement r, — r (grandeur toujours positive) : CT. R TT en = (Wgh ee (6) Cc G La grandeur S, peut être représentée par FIR 1 S, = 85 ae En Np où L, représente la chaleur de dilution moléculaire de la solution de concentration c, et S, la chaleur de fusion moléculaire de la glace dans l'eau pur. Or, comme ces deux grandeurs 5) et L, seront toutes les deux des fonctions de r, la chaleur S, ne peut pas être rigoureusement supposé invariable entre r, et r, et la supposition de la constance de 8, sera tellement inexacte, que la formule (6) donnera toujours une mauvaise approximation dans le cas de solutions non-diluées. En substituant pour f, sa valeur d’aprés (4), nous aurons aussi: Ren de =—* [ie + oo? +] PRES) lo € Seulement dans le cas de solutions extrêmement diluées, on parvient à la formule de M. van ’r Horr, c’est-à-dire: 9 ère Ar= ie, So formule, qui nous permet de déterminer la grandeur à de l’abais- sement 4r du point de congélation du dissolvant dans la solution. On aurait aussi pu déduire cette grandeur à de la relation Kir, a a=, tw, mais la détermination directe des pressions osmoti- 0 ques — pressions énormes — offre de trés grandes difficultés dans la pratique. Si l'on veut déterminer la tangente à la courbe des points de congélation, on n’a que différentier la relation (Sn ae) =U totalement par rapport 4 7. On obtient ainsi: 1) Voir p.e. J. J. van LAAR, Lehrbuch der mathematischen Chemie, p. 135. 312 QUELQUES REMARQUES SUR LA THÉORIE d(— y; + w), d(— w, + w,), de ( dr ) = ( me ) dr UE c = const. t = const. done RG de =) = He par conséquent de cue De nt de S de dy, d puisque (voir plus haut) do —R EL, Vit Elévation du point d’ebullition. D’une manière tout-à-fait analogue à celle de V nous trouverons: (42), = (y). Aten AT nee CREER (8) y, étant le potentiel moléculaire (18 Gr.) de la vapeur du dissol- vant, et 7 la température d’ébullition de l’eau dans la solution; puis, 7, étant la température d’ébullition de l’eau pur: | nd (u + y) À «if (— Puit Ba) dr =0 To (— Y + Wo où W est la chaleur de ie Neale moléculaire de l’eau dans la solution. En supposant encore W, invariable pendant l'intégration, nous obtiendrons: Or, comme (— y, + y,) = 0 (equilibre entre la vapeur et le dissolvant pur), cette dernière relation peut s’écrire: DES SOLUTIONS NON-DILUÉES 313 — (y, — Wo) Sr W, — Fo = (0) lo To d’où nous trouvons pour l'élévation r — r,, qui sera toujours positive: ET Re ile =F == = (y — y ) = —, 0 f Re (9) 0 V 0 | W ¢ ro Wer c EEN ET RUE DREDD EE LE EEE ACE ED La grandeur W, obéira à la relation suivante: T — 1 W.=W, —L,!) où W, sera la chaleur de vaporisation moléculaire de l’eau pur, et L, comme chez S, la chaleur de dilution moléculaire Et puisque W, et L, seront tous les deux des fonctions de r, l’équation (9) Al, » 3, Q . 24, Ze x ne peut être qu’approximative, W, étant supposé constant entre les limites 7, et r. En substituant pour f sa valeur de (4), nous pouvons écrire encore: WET 2 ‘ Au = = Wt (ie + 0 (ic)? Se te ond Gr (0%) Fo AUS REN at STEEF EEN Dans le eas d’une solution gxtrêmement dilueé, cette formule se transforme en Res Af? == ine ac, 0 formule de M. van ’r Horr, qui nous permet encore de déterminer la grandeur à de l'élévation du point d’ébullition du dissolvant dans la solution. La variation différentielle de la temperature d’ébullition avee la concentration ¢ sera exprimeé par la formule suivante: CG nn ght re df, 10 Gi OW Glee Pe es Shs ene ) CL La déduetion de cette relation est tout-A-fait identique à celle de la relation correspondante de V. VIT. Abaissement de la tension de la vapeur. Supposons maintenant, que la pression varie, et non la tempé- rature. On aura alors: (wa), = (w), ate D ue ace MI 1) Ouvrage cité, page 106. 314 QUELQUES REMARQUES SUR LA THEORIE Lorsque la vapeur peut étre considérée comme un gas parfait — ce qui sera toujours sensiblement le cas, quand la température est assez basse, on peut écrire: R Po (v2), = ln), + log À, y étant le coëfficient d’association des molécules de la vapeur. (Pour la vapeur d’eau y sera = 1). La relation (1) se transforme maintenant en R oh — (op + Oral + tog Be = 0, ou bien, comme (— y, + wy) > 0 (équilibre enter la vapeur et le dissolvant pur), en La log Po — Ware, SU = (12) 7 5 = ec 4: en identifiant (w,), à Co), ce qui est permis, parce que la pression n'aura qu'une influence minime et négligeable sur la grandeur w chez les phases liquides. % Au lieu de (12) nous pouvons écrire: log D = ie + 0 (ie)* + |) 4 La formule (12%) se prête par excellence pour la détermination de la grandeur 7 dans les solution fort diluées. Or, cette formule devient alors (y suppose = 1): De log Ts 10; ou bien, comme Po Do = PDE ( 4dp\ _ Ap log “= =—lo log (1 == Jp Po 5 Po simplement 72 = 6, Po encore une formule remarquable, due à M. van ’r Horr. En déterminant l’abaissement de la tension de la vapeur, nous n'avons pas à craindre des inexactitudes comme chez les formules (6°) ou (9), causées là par la variabilité des grandeurs #' et W ‚sup- posées invariables. DES SOLUTIONS NON-DILUÉES. 315 se a ; dip A Quant à la variation différentielle In on aura évidemment: 16 EN PETE a TEEN a), où y sera encore une fonction de p. VIII. La chaleur de dilution moléculaire 1). La formule générale PAC L, eg zi (Wy, — Wo), pourra s’écrire avec notre notation: df, Lio Er a El) ou bien, en substituant pour f sa valeur f = ic + @ (ic)? +...: — 2 > di 2 di) a L,=Rr £ 7 | (149) On voit, que chez les non-électrolytes, où à = 1, on aura simplement: de L == 02 TE 3 dr done la chaleur de dilution proportionale à c? Chez les électrolytes la chaleur de dilution sera donné approxi- mativement par , at L=eRr da Remarque. La chaleur L, et de même la même chaleur L,, figu- rant dans les expression pour S, et W (voir plus haut), ne sera pas la chaleur de dilution intégrale, mais la chaleur différentielle, c’est- à-dire celle, absorbée lorsque ou ajoute à une solution de concen- tration c, dn Gr. mol. du dissolvant (eau), et cette chaleur divisée par dn. 1) Comparer J. J. van LAAR, Lehrbuch der math. Chemie, pag. 81. ARCHIVES VIII. 45 316 QUELQUES REMARQUES SUR LA THÉORIE IX. De tout ce qui précède, il s’en suit done, que la détermination de la grandeur à dans le cas de solutions non-diluées n’est possible, que lorsque la fonction f (c'est-à-dire les grandeurs 9, », etc.) est entièrement connue. Inversément on pourrait déduire cette grandeur f, si les gran- deurs i étaient exactement connues pour chaque concentration c. Mais malheureusement les valeurs de à = 1 + «, tirées de déter- minations du pouvoir conducteur moléculaire des électrolytes, ne Lich sont pas exactes, parce que probablement le quotient „ne répré- 0 sente pas rigoureusement le degré de dissociation «. Nous nous trouvons done dans une situation trés difficile, et c’est seulement par approximation, que nous pourrons savoir quel- que chose de la grandeur f. Seulement dans le cas de non-élec- trolytes (le sucre de canne p. e.) on peut déduire exactement la valeur de cette fonction. Mais dans tous les cas il faudra partir de déterminations fort précises de l’abaissement de la tension du vapeur, et non de déterminations de la variation des points de congélation et d'ébul- lition, puisque pour les solutions non-diluées les formules 6" et 9“ ne sont pas exactes à cause de S et W,, grandeurs variables avec r, ue nous avous supposé invariables pendant |’intégration. q En se servant de la formule pour log En (seulement approximative- Ap ment = ): il faut être sûr de la grandeur p,, la tension de 0 la vapeur de l’eau pur. Toutefois une erreur dans cette valeur aura presque la méme influence dans le cas d’une solution non-diluée que dans le ‘cas d’une solution diluée, ce qui n’est pas le cas avec les inexactitudes des formules 6° et 9°, où les déviations de- viendront de plus en plus considérables avec l’accroissement de la concentration c. Et une correction des valeurs de S et W pour la chaleur de dilution n’entre point en considération, puisque toutes les déterminations de cette chaleur sont encore trop inexactes. Il nous reste done les expériments de M. Dirrericr !) et de 1) Wied. Ann. XLII, 513 (1893); LXII, 616 (1897), LXVII (1899). DES SOLUTIONS DILUÉES. 317 M. Smirs !) sur l’abaissement de la tension de la vapeur d’eau chez O° C. Surtout les expériences du dernier avec le microma- nométre sont d’une grande exactitude. Les déterminations de 9 M. Raouzr ?) de l’abaissement du point de congélation nous I 8 pourront servir alors de contröle utile. x Sucre de canne. a) Experiments antérieurs. *) | 4 m= Gr. mol. c= Gr. mol. sur | sur 1000 Gr. H,O 1 Gr. mol. H,O oP | log. =f x 106 —— I m— 0,02138 0,000385 0,00178 0000385 | 0 0,04630 0,000834 | 0,00388 0,0008 40 6 0,08488 0,001528 0,0005 | 0,001527 — 1 0,17287 | 0,003113 0,01440 | 000812 | :9 0,2830 | 0,005103 | 0,02366 0,0051 34 31 0,77912 | 001099 | O0,06485 | 0014136 | 107 1,8821 | 0033889 | 0,17453 0,038509 | 4620 | | Comme les grandeurs m furent calculées avec sucre de canne — 342(H=1), tandis qu'avec H=1,0076 le poids moléculaire s'élève à 342,17, les nombres m sont tous multipliés par HT x ae , pour calculer les nombres c. Les différences f—c, qui devraient être, d’après (4), proportionales à c?, ne suivent aucune loi distincte. Comme nous le verrons aussitöt, les 1) Expériences avec le micromanométre, Arch. Neerl. (2) I (1897); Versl. K. A. v. W. Amsterdam, 1899, p. 88; 1901, p. 163 et 500; Z. f. Ph. Ch. XXXIX, 385 (1902). 2) Z. f. Ph. Ch. XXVII, 638 (1898). 3) V. K. A. v. W. 1899, p. 90. Le degré d’exactitude de 4p étant de 2.5.10 * m.M. environ, une ligne dottée sépare les chiffres certains des chiffres incertains. 4) Pour p, M. Smits accepta la valeur 4,62 (m.M. mercure), trouvée par DIETERICI. On sait que REGNAULT trouva Po = 4,569. Puisque log. > sera sensiblement AP Po sorte qu’une détermination très exacte de cette valeur p, parait fort désirable. 45* égal a , cette valeur de p, influence considérablement les valeurs de f, de 318 QUELQUES REMARQUES SUR LA THÉORIE résultats, obtenus avec un manométre legérement amélioré, donnent pour cette différence f—c une marche beaucoup plus régulière, qui sera en outre en concordance avec les valeurs, calculées des expériments de M. RaouLr. b) Expériments postérieurs. 1) m L € sed 1p | log Pe f= eal f= 2 || GE ee | = ARE | X 106) ch | x 105 | x 108 | | Bee 0,02602 | 0,000468 | 0,00219 | 0,000474 | 6 | 0,6 | 10,12] 0,219 0,17225 | 0,003102 | 0,01479 | 0,003207 | 105 | 0,61 | 172,8 | 9,622 0,45413 | 0,008177 | 0,03972 | 0,008635 | 458 0,619 739,4 | 66,86 1,0089 0,018166 | 0,09074 | 0,019836 | 1670 | 0,682 2449 330,0 Ce qui frappe, c'est que f-—c parait sensiblement proportional « © . EN 3 non à c?, mais à c/?, La grandeur f peut done être représentée par une série de la forme f=e+ Ac: + oc? + ...=c+058c!2+ 0,5 e?, comme l'indique le tableau suivant. id, 0,58 ce" Naar ae ie x 108 ie | Se Oe trouvé al | Soden? | 5,9 0,1 6 6 ol Os |, sage 100,2 4,8 105 105 | Or u, 0.03% 428,9 33,4 | 462 458 A, 005% 1420 165 | 15:85 1670 | —85 | 04% L’accord est absolu. Cette puissance c*/: est fort remarquable, et ce résultat n’est nullement 4 prévoir théoriquement. A la fin de notre étude nous reviendrons sur cette question. Nous donnerons maintenant le calcul des expériences déja citées de M. Rao ULT. D’aprés la formule (6) on a ” lo En admettant S = 8, = 80 x 18,015 Gr kal., R= 1,9926 Gr. kal., shanks 0,003661, cela devient: To A VERES FACE VeVi SO noir DES SOLUTIONS NON-DILUÉES. 319 AT f = 2,6480 > c) Expériences de Raourr. Gr. sur | | ji 4): | f IE | fs 1000 Gr. I, 0. | | x 106 | ch oo 9,729 | 0,000512 | 0,0532 0,000516 | 4 0,3 99,311 | 0,001175 | 0,1230 0,001193 18 | 0,45 42,756 0,002251 | 0,2372 | 0,002301 | 50 | 0,47 85,50 0,004502 | 0,4806 | 0,004667 166 | 0,548 172,99 0,009104 | 0,9892 0,009624 520 0,599 345,65 0,018199 | 2,0897 | 0,020414 | 2215 | 0,902 [6 : sensible- Tandis que les expériences de M. Surrs donnent fs 7 Gg !? ment = 0,6, ce quotient varie ici depuis 0,3 jusqu'à 0,9. Mais il ne faut pas oublier, que la valeur de S, = 80 n’est nullement cer- taine, et que S, n’est pas = S, ?); aussi et surtout: cette grandeur ne reste pas invariable pendant l’intégration (voir plus haut) entre To et 7, puisque S est fonction de la température. Néanmains l’accord entre les valeurs de f et f—c, tirées des expériences de M. Raourr, et celles, tirées des observations (2° serie) de M. Sirs (toutes les deux chez 0° C.) est manifeste et satisfaisante. Le petit tableau suivant donne une idée de cet accord. @ | 7x108 | us tne S 000068 | 474 6 R 0000512 | 516 4 ; 000M. 1 1193 |, 18 , 0,002251 2301 50 S 0,003102 3207 | 105 R 0,004502 | 4667 | 166 S 0008177 | 8635 458 R 000904 | 9624 520 S 0013166 | 19836 | 1670 R 0,018199 20414 | 9915 1) Voir pag. 653 du mémoire cité. Degré d’exactitude 2° X lom: (rt OS 10 5. >) La différence entre S, et S, (c.-a-d. la chaleur de dilution) est cependant si faible, que l'influence de cette différence reste toutefois minime. 320 QUELQUES REMARQUES SUR LA THEORIE EX. Na CI. Considérons en deuxième lieu une électrolyte, comme p. e le chloride de soude. Nous calculerons seulement les expériences de M. Smits avec un micromanomètre encore beaucoup amélioré. ') er m c Ap log — = — N deme! 0,0591 0,001065 : 0,00879 0,00190% 1,79 0,0643 | 0,001158 | 0,00939 | 0,002035 1,76 0,1077 0,001940 | 0,01541 | 0,003341 | 1,72 0,4527 0,008155 0,06400 0,01 39 50 1,71 0,4976 | 0,008964 | 0,06987 | 0,015239 1,70 1,0808 0,019470 | 0,15484 | 0,034090 1,75 12521 | 0,022557 0,18014 | 0,039772 1,76 Comme nous avons maintenant: f= Ole, le quotient F désigne donc la grandeur t+ OVe+ Or, la grandeur à = 1 + «, s'abaissant avec la concentration, il y aura nécessairement une valeur minimale pour Zs lorsque @ a une valeur positive assez élevée. Dans notre tableau précédent ce minimum se présente chez la concentration m = 0,5 I = Li): Calculons encore trois expériments antérieurs *) de M. Surrs, où il a effectué des mesures chez des concentrations encore plus fortes. m | C | Ap | log FO = | 2 | | ; | 1,7533 0,031585 | 0,25724 | 0,0572 90 (SSI 2,1927 | 0,039502 | 0,33406 | 0,075055 | 1,90 4,6362 | 0,075521 | 0,78345 | 0,185822 | 9,46 1) lc. 1901, p. 164. 2) l.c. 1899, p. 90. DES SOLUTIONS NON-DILUEES. 321 Nous voyons done, que l'accroissement de la valeur *- continue. Maintenant nous voulons comparer les valeurs, trouvées pour i avec les valeurs de i= 1 + «, calculées des valeurs du pouvoir conducteur électrique, trouvées par M. F. Kontravsch !). Celui-ci a trouvé chez t— 18° C. (u, = 108,99): m | u CT | l+a = À i =i+irc 0,05 95,71 0,878 1,886 1,79 0,1 92,02 0,844 1,852 1,72 0,2 87,13 0,805 1,813 1,71 0,5 80,94 0,743 1,751 1,70 1 "74,35 0,682 1,690 1,75 Les valeurs de «,,, sont calculées dans la supposition, qu'il soit permis de déterminer « à l’aide de la formule simple Puis les valeurs «,, sont déduites des valeurs «,,,, en addition- nant 0,008, ce qui est en concordance avec le coéfficient de la température de la grandeur «, déterminé par M. ARRHENIUS ?). En interpolant à la l’aide de la formule un —- u 1 0 ec lo à SETI, u où Us OSI 926497 = 00083017, les valeurs de « pour les 6 premières concentrations m de M. Smits, nous trouvons le résultat suivant. | | mo | RE (ic) (ic)? X 106 j sn ur Fe “18° Fos Y x 106 | x 106 0,0591 1065 94,86 | 0,870 , 0,878 | 0,001999 = #5 59,4 4,00 0,0643 | 1158 | 94,42 | 0,866 | 0,874 | 0,002169 ||— 134 | 101,2 4,71 0,1077 1940 | 91,59 0,840 | 0,848 | 0,003585 jee 2 44 214,7 12,85 0,4527 | 8155 | SLS | 0,750 | 0,758 | 0,014337 es 387 1717 205,6 0,4976 | 8964 | 81,0 | 0,743 | 0,751 | 0,015696 ||— 4:57 | 1966 | 246,4 | | HJ 1,0808 | 19470 | 73,2 | 0,672 | 0,680 | 0,032710 ||+13:80 5916 | 1070 1) Sitz. ber. der K. Pr. A d. W. zu Berlin XXXVI, S. 665 (1899); id. XLIV, S. 1002 (1900). Js Bh Che eS: 99 322 QUELQUES REMARQUES SUR LA THÉORIE La formule d'interpolation de M. KorrrauscH tient seulement jusqu'à m = 0,1 à 0,2. Pour les trois dernières concentrations (m — 0,45, m = 0,49, m =1,08) nous devions nous contenter d’une interpolation un peu approximative. Les valeurs de f—ic obéissent sensiblement à une formule de la forme f— ie = — 1,98 (ic)? + 14 (io)?, comme le montre le tableau suivant. a | . | D if — 1 | | — 1,98 (ic) | 14 (ic)? | x 105 a ord 106 | 6 | écart Jo def we | 5 eae trouvé = | | — 177| 56 [ie 121 |— :95|— 26) 14% — 200| 66 |— 134 |— 134 10 | 0,0% — 495 | 180 |— 245 — 24 — :1) 00% — 3400 | 2878 |— 522 |— 387 — 1:35 | 1,0% — 3893 | 3450 — 443 — 457 + 14 0,1% — 11714 | 14980 |+3266 +1380 | 1888 | 5,5% L'accord est — ayant égard à diverses sources d'erreur, surtout chez les concentrations fortes — assez satisfaisant. Nous faisons remarquer p. e., que la plus grande déviation, e.-ä-d. 1888 donne sur f= 34090 un écart de seulement 5,5 7%: Or, les expériences de M. Smirs répondent d'une exactitude de #21x10°' m.M. dans les valeurs de ./p, correspondant chez la valeur de f pour la concentration m = 1,08 avec une erreur de seulement + 0,2%. Une influence plus forte peut étre excercée par la valeur p,. En adoptant la valeur de Reanautr 4,57 au lieu de 4,62 de Drerericr, la valeur de f chez m = 1,08 subirait une élé- vation de 1,3% environ Enfin on aura l’influence des valeurs de «. En premier lieu les valeurs «, ne sont pas tout-à-fait certaines chez les concentrations au dessus de m = 0,1; en deuxiéme lieu les valeurs dea, sont calculées à l’aide de la formule simple d'Arrhendus Lm Mo «@,, sont déduites de «.. en additionnant simplement 0,008 à toutes les valeurs de @,,,. Les , ce qui n’est pas permis; en troisiéme lieu, les valeurs par un procédé de grossiére approximation, ‘ ars DENE, . . valeurs de de, (de) *, (ic)? ne sont done que fort approximatives, DES SOLUTIONS NON-DILUÉES. 323 surtout chez les concentrations un peu fortes, et il est plutöt étonnant, que les écarts chez ces derniéres concentrations ne soient pas plus forts encore que seulement de 1%, 0,1%, 5,5 % Quant & cette derniére déviation — 5,5% — il faut aussi faire attention au fait, que dans notre série les termes supérieures à (ic)? ont été supprimés, et que, en assumant une formule f = ie — 1,98 (ic)? + 14 (ic)? + Alice) P+, les déviations chez les fortes a disparaitraient. Et encore, en posant f— ice non = — 1,98 (ic) |: + 14(ic)?, mais p.e. f-u= =— 1,95 (ie) + 15 (ic)?, l'écart chez m = 1,08 devient beaucoup plus faible. Mais en revanche, les écarts chez m = 0,45 et m = 0,49 deviendraient un peu plus considérables : - | 5 I | | = 1,95 (ic)? 13 (ic)? | f-w | id. | 2 x 106 | x 108 | x 108 | trouvé | Scant leder | | | 174 | 52 |— 192 (es le 27) 44°, 197 | 64 |— 186 |— 1184/— : 2] 01% 419 167 |— 252 — 944 — :8| 092% 3348 2672 |— 676 — 387 — 289 | 2,1% 3834 320% 630 | — 457 NEO 11536 13910 |+9374 + 1380 + 994 | 29%, | Caleulons maintenant les expériences de M. Raourr avec le Na Cl. Gr. sur m 1 E (he elle | i 1000Gr.H,0\(Naci=58,)) © | 4! aa a) Ree Nees 1,76 0,03009 | 0, 0005421 0,1098 | 0,001065 | 1,964 ? ? 3,41 0,05829 | 9 0010501 0,2073 | 0,002011 | 1,3157 1579 1,88 6,90 0,1179 | | 0.002124 | 0,4077 | 0,003957 | 1,863 | 1,72 1,84 14,00 0,2393 0,004311 | 0,8211 | 0,007983 | 1,852 | 1,71 1,80 | 4 | 28,59 | 0,4887 0,608504 | 1,6754 | 0,016340 | 1,856 1,70 1,75 58,50 | 1,0000 ı 0,018015 3,4237 | 0,033614 1,866 | 1,75 1,69 Comme nous le voyons aussitöt, une valeur mininale pour J == c = it ai? e+. se présente également ici, chez m = } à 4, tandis que chez les expériences de M. Smirs cette valeur se présente nettement chez m= }. Mais ou voit bien, que les valeurs def et conséquem- ARCHIVES VIII. 46 324 QUELQUES REMARQUES SUR LA THEORIE ment de 2 sont plus élevées que chez M. Smits. Toutefois les va- leurs de M. Raoutr s’approchent — c'est-à-dire chez les concen- trations faibles, comme m = 0,05, 0,1, où l’influence des termes «i? c etc. ne se fait pas encore sentir — beaucoup plus des valeurs de M. KourrauscH que celles de M. Smits. Mais cela ne prouve iE pas, que les valeurs de ae calculées des expériences de M. Raourr, sont plus exactes que celles, tirées des mesures de M. Smits. XL KOH et H,S0,. Pour le ROH M. Surrs 1) trouva: | | ) m | c | Ap | log = =} | | 0,03476 | 0,0006262 0,00470 0,001018 1,62 0.49374 | 0,007634 0,06454 | 0,014068 | 1,84 11912 | 0,021459 | 0,19505 | 0,043136 | 2,01 9,5995 | 0,046821 | 0,48440 | 0110763 | 9,37 Et pour le H, SO, 2): | = (fis | vite tper m Cc Ap | log P =; a =i+ . | p 0,1208 0,002176 | 0,01883 | 0,0040 84 1,88 0,4215 | 0,007593 0,06755 | 0,0147.29 1,94 0,9762 | 0,017587 0,16754 | 0,0369 38 2,10 | | | 0,0951 | 0,001713 | 0,01604 | 0,0034. 78 2,03 | | Nous voyons, que le H, SO, montre la même particularité que le Na Cl, c'est-à-dire qu'il y a un minimum dans les valeurs de on C =i1+..., tandis que chez le KOH nous rencontrons un corps, où dès le commencement les valeurs de À sont croissantes, un fait, également observé chez le Cu 80,. 1) K. A. v. W. 30 Sept 1899, p. 90. 2) Id., p. 91. DES SOLUTIONS NON-DILUEES. 920 Pour continuer le calcul, nous donnerons les valeurs de M. KontrAusch pour le pouvoir conducteur du KOH et du H, SO,, afin d’en tirer les valeurs approximatives de «, ou de i=1 +« chez le KOH et 1=1+ 2a chez le H, SO, WOM (u, = 239) M HS SO lu, — 38) — | — | | m | u Gige m u &jge 0,777 188,4 0,79 0,5265 198,0 0,51 1,612 168,9 0,71 1,088 179,9 | 0,465 2,508 | 150,1 0,63 3,467 | 131,5 0,55 Une autre série de valeurs est tiré du tableau approximatif sur le page 200 de l’ouvrage cité de M. KouLRAUSCH. KOH 1}, H, SO, I m | u | Ago Mm u | & 003 | 222 | 0,98 0,025 | 348? 0,902 005 | 919 | 0,92 0,05 | 3382 | 0,87? BY =, igo! GS | ny a] A 1 pe € pe 1 € 1 — . Nous pourrons done écrire approximativement («,, = @,,.): KOH m a | i |r-iex10s| Gd'hx 108 | (iq? x 108 | | 0,03476 0,93 0.001209 | — 191 42 1,46 0,42374 | 0,84 | 0,014046 | + 99 1665 197 1,1912 | 0,75 0,037553 | + 5583| 7978 1410 2,595 | 0,62 | 0,075850 | + 349:13 | 20889 5753 ou les valeurs de f— ic sont approximativement comprises dans la formule f— ie = — 1,24 (ic)? + 10,5 (ic)?. EEE TE VE EEE EENES 46* 326 QUELQUES REMARQUES SUR LA THEORIE H, 80, m ay | icxX106 | f—icx 108 | (ic)? x 108 | (ic)? x 105 | 0,0951 | 083? | 3134 | 344 | 175 | 19,82 0,1208 | 0,812 | 3939 145. 41090247, „| 1552 0,4215 | 052 | 14542 | 3187 | 1939 | 1332 0,9762 0,47 | 95853 11085 | 4156 | 668.2 Puisque les valeurs de «, sont ici tout-à-fait incertaines, on ne doit pas s’attendre à un cours régulier des valeurs de f— ic. Voici néanmoins une formule tant soit peu approximative: f — ic = 2,40 (ic)? + 1,63 (ie). La premiére formule, celle pour le KOH, donne: = 1,24 (ic) 10,5 (ic)? = re ees er x 105 oe = f—ic x 108| id. trouvé écart denn mmm mmm mmm — 52 15 Be Ln — 2064 2069 +5 |+ 99) — 17 0,1% — 9025 | 14805 57:80 | + 5583 | +197 0,4%, — 25902 | 60407 34505 | +34913 | — 4:08 0,4%, Seulement la concentration la plus faible (avec a = 0,93) donne un écart considérable. Mais cela n’a aucune signification, puisque une erreur possible de 0,00025 dans la valeur de 4 p fait varier la valeur calculée de f — log ee déjà de circa 5°/o. La formule pour le H, SO, donne les valeurs suivantes: “termen ee ee leer Er x 106 x 108 f—ic x 108| id. trouvé écart lo de f | 420 16 436 344 + 92 | 26% 593 | 25 618 145 +473 | 12 % 2974 217 3191 31 87 a4 OON 9974 | 1089 | 11063 | 11085 — 2 ode Attendu l’incertitude parfaite des valeurs de « chez les deux premières concentrations chez le H, SO, l'accord est très satisfaisant !). 1) Remarquons encore, que la dissociation electrolytique du Æ, SO, est proba- blement autre que chez les électrolytes binaires. Les deux atomes H ne se disso- cient par à la fois, mais successivement. bo —] DES SOLUTIONS NON-DILUÉES. XI KNO, Jusque maintenant nous n’avons rencontré que des corps, où le li . . 3 1 = AE « DO uotient -=i + 4% Ia € la + gi? c s’augmente dès la plus faible con- q 5 8 P centration (comme chez le sucre de canne et le KOH), ou bien que ce rapport commence par décroître, pour atteindre une valeur mini- male, et s’accroitre dès ce moment. (comme chez le NaClet le H, SO,). Ajoutons qu'il se présente également un minimum chez le KC/ et le Sr (NO,),. Mais dans le K NO, nous rencontrons un corps — et c'est également le cas chez beaucoup de nitrates (Na NO,, Ba (NO), Ag NO, Pb(NO,),) — où la rapport À est continuellement décrois- sant, sans qu’une valeur minimale est atteinte. Les dates expérimentales pour la K NO, sont les suivantes !). 0,0400 0,000721 0,00611 | 0,0013:21 | 1,83 0,1150 0,002072 0,01504 | 0,0032 61 | 1,57 0,5997 | 0,010804 | 0,06932 | 04015118 1,40 0,9288 | 0,016732 | 0,10071 | 0,092040 | 1,32 i On voit bien, que — est descendante, sans valeur minimale. Cal- culons encore les valeurs de « des tableaux de M. KoHLrAUSCH. Or, on trouve là (x, = 126,50): m u age 0,02 | 115,21 | 0,911 0,05 | 109,86 0,868 0.1 104,79 | 0,828 0,2 98,74 0,781 0,5 89,24 | 0,705 1 80,46 | 0,636 1) K. A. v. W. 28 Sept. 1901, p. 164. 328 QUELQUES REMARQUES SUR LA THEORIE De ce tableau nous tirons pas interpolation : m an, ae ic ic X 108 | (ic) X 105 (ic)? x 108 | | = Ru we 0,0400 0,882 0,001357 | — 36 50,0 | 1,84 0,1150'); 0,821 0,003773 | — 512 | 232 | 14% 0,5997 | 0,680 0,018150 | —3032 | 2445 | 399,4 0,9288 | 0,646 0,027540 | —5500 | 4571 | 758,5 Les valeurs de f —ic se trouvent approximativement comprises dans la formule f— ie = — 0,53 (ic) * — 5,3(ic)?, comme le montre la tableau suivant. = N = linde 106| id. trouvé | écart | 9% def ae ee | aa ee | — A eee | ; 0 0% — 133 | — 75 | — 198 | — 512 + 314 Ne — 1296 | — 1746 | — 3042 | 32 | —10 1%, — 2423 | — 4020 | — 6443 | 55:00, | — 943 + of L’écart est plus grand que chez les autres corps examinés, mais il est &vident que le cours de f se laisse encore exprimer par une série de la forme f= ie + A (ic)? + O(ic)?. XIV. En résumant, nous avous done pour les corps examinés les for- mules suivantes. a) Corps où i est continuellement croissant. Sucre de canne: f= ce + 0,58 c +05 c?. 1) M. Smits écrit 0,1450, ce qui est évidemment une erreur. DES SOLUTIONS NON-DILUEES. 329 KOH: | f=ie — 1,24 (ic) * + 10,5 (ic)?. b) Corps oü À présente un minimum. NaCl: f = ic — 1,98 (ic) * + 14 (ie)?. ESO, : f= ic + 2,40 (ic)? + 1,63 (ie)? c) Corps ow 2 est continuellement décroissant. ENO. : f= ie — 0,53 (ic) * — 5,3 (ic)? On voit donc, que le coéfficient de (ic) 2 (4) peut étre positif ou negatif, sans que cela a aucune influence sur le cours général de la fonction ae . Mais que le coëfficient de (ic)? (9) est seulement négatif — et sela va sans dire — dans le cas, qu’il y a une décroissance continuelle dans les valeurs de a (chez le KNO). Nous faisons encore remarquer, que le rapport de © à 4 est de environ + 9 & 10 chez le sucre de canne, le KOH et le KNO,, tandis que ce rapport est =7 chez le NaCl et =0,7 chez le H, SO, (électrolyte ternaire) '). ip 2 Quant ä la valeur minimale de +, lorsque celle-ci existe, elle peut être calculée de la formule générale: f=ie + 4 (ic)? + @ (ic)?, ou Es =i+ dich + @ite, Nous avons done: aff) di 1, at 1 3/ 1} di Ei un er +11, dire ++ 201-5 c+00= ze > au IT ig En ur =<. [1 Se ell 4ie?+2@icl +[1/, he 1, a zc 1) Voir le note, page 326. 330 QUELQUES REMARQUES SUR LA THEORIE Or, de la formule empirique (pour les électrolytes binaires) — e?=K il s’ensuit: 3 1 (2 ne — - > rs = done de _d__1 el) de de C 3—a OR ned de arne N [1 + 31, 4 ie? +20 ie] + +[1), ai® oe + 082), et cela est = 0, lorsque 1 + 3/, 4 (ic)? + roemen (i dire "+ 9W)= BE 0 70 nie) (11, 4 (ie) + ie). La concentration, où se présentera le minimum, peut donc être déduite de l’équation où (2— Cor I) 41,4 (io (3 — Cote) +1=0, on bien de Q ic (3 + a) + U, À (de) " (3—a@ +2a2) — a (1 —a)=0. ) 1) Cette équation donne p. e. pour le NaCl, où le minimum se présente chez m =0,5 («—0,75 environ): ; 57 «la 27 ee Oic X 16 + 4 (ic) x 16 Ti ou bien 19 © ic + 9 4 (ic)? — 1=0. DES SOLUTIONS NON-DILUÉES. 331 : A ate an 1}, : Or, 1— « étant = — gen (ic) ”, on aura aussi: UN x : Su : 5 ze 5 Oner EON 1248-03 ZN ar 0 vk done finalement: oe n= 1}, A(3— «a + 2 a!) Il i 2 K SZ 08 + a) de Discussion du résultat. 1) Lorsque @ est positif, c.-à-d. que d (+ ) devient positif à la fin, il existe une valeur positive de ic pour laquelle d ( A) — 0! dans le cas que 4 est positif, seulement quand Zal: 4<—— —, a? K (8—a + 2a?) Exemple: H, SO, (électrolyte ternaire). Nous n'avons pas rencontré dans notre examen des électrolytes binaires où 9 et 4 sont + à la fois. Si À est négatif, il y aura toujours une valeur minimale. Exemple: NaCl et KOH. Le KOH doit done présenter un mini- mum chez une concentration inférieure à m — 0,03. La valeur m =0,5 donne c — 0,009, ic — 0,016, (ic)? = 0,126, et nous trouvons: 0,30 6 +-1,18 4 — 1 — 0. Avec 4 — 1,98, cela donne pour 9: 0,3 6 — 3,24, done 6 — 11, tandis que nous trouvämes plus haut la valeur © — 14 à 13. La différence provient principalement du fait que la NaCl n’obéit pas exactement à, la loi “x a ch = K, —n dont nous avons fait usage dans notre déduction. En outre, ce n’est pas absolu- : ER er ; ment certain, que la valeur minimale de et VZ 1,70 environ, correspond exacte- ment avec m— 0,5. ARCHIVES VIII. 47 332 QUELQUES REMARQUES SUR LA THEORIE 2) Lorsque © est negatif, et A positif, il y aura une valeur maat- male, seulement lorsque Ja i? K(3— « PRA) la Aal > Exemple: Point connu. Mais lorsque 4 est négatif, il n’y aura jamais une valeur . f : R maximale, et la fonction ‚Sera décroissante dès le commencement. Exemple: KNO. Remarque. Dans le cas du sucre de canne, la question est tout-a- N . fait différente, puisque ce corps là est une non-électrolyte, c. à.d. à = 1. Nous aurons done simplement: f=c+4c"+0e, done é : I =1+40% +00, (1) REN par conséquent et cela sera = 0, lorsque 20 EE d Seulement quand © et / sont de signe contraire, il y aura une valeur maximale (chez @—) ou une valeur minimale (chez 9 +). XV. La chaleur de dilution. Comme nous l’avons vu plus haut, le sucre de canne obéit sensiblement à la formule f = 0,58 e+ ORE 7 c+ Gee. Et parce que la chaleur de dilution est donné par l’expression DES SOLUTIONS NON-DILUÉES. 333 on voit que dA 3, do L,= Rr? | Ser Pel, dr dr d’où résulte que cette chaleur de dilution doit être trouvé approxi- . : EN Sl, mativement proportional à c *. Examinons maintenant, si c'est effectivement le cas. L'équation Ei qe donne pour la chaleur de dilution intégrale (voir pag. 83 de mon livre cité.) (g 3, Cy & ac” — 1}, ‘ En PEN Blend ta mad Paie ct). c? 2 QG (ot — 1 1 N Avecc, =V, ,c, =V, , où V, et V, sont les volumes de la solution, qui contient 1 Gr. mol. de la matiére dissoute, on ob- tient done: a ' HR zu Le = pV Eu) Cy \ 1 2: Or, les expériences de M. v. STACKELBERG ') donnent p.e. pour le sucre de canne: Dilution de V = 450 jusqu’à V,— 727 1 Chaleur de dilution — 86.1 NIT 725 ” 7 => 1004 | » ” » GS 41,0 1065 + ost ke , 5 — 49,8 D= 1932 ” ” = 3570 | ” » ” ae 42,0 Pour b nous calculons donc: b= — 86,1 : 0,01005 = — 860 b = — 41,0: 0,00558 = — 740 / ir b = — 49,8 : 0,00790 = — 630 , SP Moyen — 730. b = — 42,0 : 0,00601 = — 700 Ayant égard a la grande inexactitude de toutes les déterminations de chaleurs de dilution, le résultat est assez satisfaisant. La diffé- rence entre deux observations avec des dilutions égales était par 1) Zeitschr. f. Ph. Ch. XXVI, 546. a7* 334 QUELQUES REMARQUES SUR LA THEORIE exemple + 17 °%,, savoir -— 45,6 et — 38,4 (en moyen — 42,0, notre quatrième valeur). La valeur L = — 700 possède done une incertitude de + 120 Gr. kal., tandis que le plus grand écart entre notre valeur moyenne et une des quatre valeurs calcul&es s'élève à 130 Gr. kal. Puisque chez les électrolytes f= ic + 4 (ic) * + 9 (ic)?, la chaleur de dilution dépendra principalement de la grandeur i. Pour la chaleur de dilution intégrale on peut écrire, en supprimant les termes subordonnés !): be = (a, — a), Q étant la chaleur de dissociation de l’électrolyte dissoute, Or, @,— a, =(1—«,)—(1—a,) étant proportional à nous retrouvons pour les électrolytes binaires l’expression approxi- mative B ==) MZ 1 pa 2) A Mais parce que dans ce cas le coëfticient 7 de (ie) ne joue aucune röle prépondérante, la détermination des chaleurs de dilution chez les électrolytes ne donne aucune décision sur l’existence d’un terme avec la puissance */,, comme chez le sucre de canne. Nous nous abstiendrons done de calculs dans cette direction. Dans une publication future nous voulons cependant regarder de A Wil plus près le fait remarquable, que la grandeur f= ze "ne s’exprime pas par une serie de la forme = te + O(c)” + ete,, mais d’un serie de la forme f=ic + A (ic)? + 9 (ic)? + ete. Cela entrainera nécessairement une détermination fort exacte de la grandeur 9 — @,, surtout dans le cas d’électrolytes. 21 Nov. 1902. 1) Lehrbuch, pag. 83 SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. PAR WERE A PT Eye 1. Introduction. Dans le troisième Chapitre du Memoire „On the Distribution of Cosmic Velocities” (Publications of the Astronomical Laboratory at Groningue N°. 5) nous (Dr. J. ©. Kapreyn et moi) avons indiqué une nouvelle méthode pour la solution du probleme traité dans les deux premiers Chapitres. Cette solution nous a servi seulement pour obtenir un contröle des valeurs numériques calculées. Dans ce mémoire je me propose de faire voir que cette méthode permet de simplifier considérablement la solution du probléme et possède l’avantage de présenter plusieurs des formules sous une forme plus symétrique. Le problème dont il s'agit est le suivant. Etant donné un nombre de points (=1) distribué dans un plan de telle manière que la densité d’un élément à la distance o d’un point fixe B est exprimée par la formule LT i Eek a us Vs? —o* DES et S étant un point situé A la distance sin À = h du point B (fie. 1), on demande: 1°. Le nombre W” des points P pour lesquels l'angle p = PSB est compris entre les limites 0 et b. 2°. La valeur moyenne « des rayons vecteurs PS des mêmes points. ARCHIVES VII. 48 336 SUR UN PROBLÈME D'ASTRONOMIE. Dans Pénoncé précédent f(s) possède différentes formes selon que s est plus grand ou plus petit que l’unite. On a en effet (M. 60) *) s<1 f(s)=2sP,,38” Oe am s>1 fase les quantités P,, et p,, étant des constantes. Or, il suffit de considérer deux formes particulières de f(s) pour obtenir la solution générale. En effet, d’aprés (M. 50, 51, 61) cette solution dépend des valeurs de Gi, On iG Gons Cn In m m, et ces quantités se déterminent en attribuant à f(s) les deux formes particuliéres el gl ae A ur un, pow m (m OMS) y= » 5 (76 =0 7 onal re 2 ne) 3 gen 2 i D’apres (M. 60, 61) nous aurons, dans les deux cas A B Da 2n alla, D = (2n — 1) b, G=(Cn + 1), G = (2n -— 1) d, on dyes R= (2n — 1) fn Ss I) , S = (2n — 1) m, et par suite, d'après (M. 50, 51) en remarquant que v est égal à sin À 1) Nous citerons les formules du mémoire ,On the Distribution of Cosmic Velocities” en écrivant M suivi du nombre de la formule. SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. Sel 4 B Ww NN IN rc) w' — (20 1) (d, +d,) Due En = I penn is — Mn = D= - ee U, + Cy w b, Ar d, We =(2n +1) ¢, Wr, = en hd, 7 =. In Tr ni My, Pro — Ch Fay T d, On voit done que la valeur de c, et puis celle de 4, seront 27 connues si l’on aura déterminé les quantités W,_, et «; , dans la supposition À. En calculant ensuite les quantités W’ et « dans la même supposition, on trouvera aisément les valeurs de a, et e,. De la même manière on obtiendra les valeurs des constantes d, m, b, et „en remplaçant la supposition A par la supposition B. Soit maintenant dm élément de masse, c'est à dire l’&iement d’aire multiplié par la densité 0, et soit GSH = FSE = b (fig. 1), nous aurons G ja - [27 ? Q ZD NZ E S bp? B H <----- zent eS ee SE EN ree h 1 7 Frie. 1 bes ES w=| dm wi, =| dm GSH FSE | u dm | udm b GSH TT FSE My r = MT) r en: | dm Î dm GSH FSE En comparant ces formules avec les précédentes, on obtient 48* 335 SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. (2n + 1) co, =| dm. = Il dp I" Ö,udu FSE n-b ° b n (2n+1) (an to)=f dm=f dp | dude GSH On+it=f nam= [" dp f ud, PSB n=b o b N (2n + 1) (,—1,) = | u dm =| dp | Onur? du GSH © o et 1 ze (2n — 1) d,= | he = | dp | d',udu PSE n—b “o b D Ond) (bit d,) = | dm = | dp | d',udu GSH le) © TT es (2n — 1) m, =| wdm = | dp | 0, uw? du ESE a —b Lo) b co (2n — 1) (fr — m.) = | udm = / dp i d',u? du GSH Lo Lo} où 5 2n + 1 i wads n= 5 IS TT 0 | S2— 02 et Diks ds Er = 7 0 a Oa WA ps 02 o> 2n—1 Ir ds = GG > 02 | CO M DE, 2. Détermination de a, et c,. En divisant laire GSH en deux parties, la première à l’inté- rieur, la seconde à l'extérieur du semicercle SB, nous aurons SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. 339 (an +1) (a +o)=f def Onder | dof Oude fe) fo} [6] SQ b h cosp = | dp 0, (hosp —V e2—h? sin? p) du fs 5 b heosp + | 1 —h*sin*p Sr | dp | Ò, (heosp + V 02—h? sin? p) du k cos p et hcosp +17 1 — Mesim®p (2n+1).= 4 we | 0, (heosp +V oe? —h? sin? p) du Dans les trois dernières intégrales on a respeetivement u=heosp —V ee sin? p u = h cos p + We? —h? sin? p „=hcosp +t Fe —h? sin? p par suite, en introduisant ¢ au lieu de la variable «, et en sub- stituant x — p au lieu de p dans la valeur de c, 2 & ode 9 7 = | 1 va (2n+1) (ante) | dp Ro Lo? h?sin? De ehe sin: 2 +] 4 ir ON he ade [ane tee en 5 a a à Sue PD) 0? — h? sin? 2D ode b nt e= if» Ò,(— hoosp + We? —h? sin? Da 02—h2sin? p pe On aura done, par soustraction »do Qn + 1a=2f a On == ae hsinp 4 go? — h? sin? p ou, en introduisant la valeur de à, 9 b 0 ed M | Sa ds Ay, = — h cos p di | = > —— LUG PE asinp Vo’ — = (fe sin? Zp e asa 02 Si maintenant nous changeons l’ordre des deux dernières inté- grations (M. 55) la formule précédente prend la forme = a à ds hsinp dot 340 SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. (1) a, =hsinb [1 — lg (h sin b)] : _, hsin b h” sin” b Mn (2) Cn snare [ ae oe | (ale L'introduction de la valeur de 0, dans la formule pour ¢, donne 1 7? t ran as 1 f? ode ds dp a d 0 TT, — = h COS pp dp DE = Le JULIA VW s*— 02 AA „I p?—h? sin? pa Veze 0? 0 En changeant l’ordre des deux dernières intégrations le premier terme de c, se réduit aisément à 1 b On —1 aS = Ss Vst—h?2 ds. TT Le second terme s'écrit ri | 2n—1 Pb oe 1 Sods heosp dp if ds h sin b OON | ee — MORN |S 6 5), —— — — U, ‚Weg? oo Wo?—h? sin? p TS, 0? 5 ou 1 S 1 onl ode h sin b ==) SG Dam are sin — U h h Sim @ 9 Or, a ache: . hsinb h sin b (Fae A ee [us — 0? are sin eg: = ° Vs? — 9? do elo? —h? sin? b ° Vs? — 0? do — À sin b —=bV 82 —h? — h sin b par suite ds mike, 3 „er ee — =e sin? b . Bt © 1 DAT Gay ACH s In— = =e On tgb.V 82 — h? BRO [ s"— are ae Ie Dn ds + | s aretg I — ds. h h hand [png [Ed TT La première de ces intégrales prend des formes différentes suivant les valeurs de n. SUR UN PROBLÈME D’ASTRONOMIR. 341 Si n =0, on aura TI 1 Car) 5 ee ls Vv s* — h i 2 ; ) | za are tg =| tg p are tg 9 dp=Z (M. 66); s ; 8 cos b heosb h | sin=1, 2, 3, 4, on écrira D. sh? a Vs! —h?\1 hcosb f' gl ds ET arc y ———— ds = are tg : =), — er _ : 4 Beni cos b 2n h cos b an“, (82 — h2 sin? b) V s? — h 1 ctg À h”" cos b == re tg - re MON 2n I osb 2n À ) 1 s arct GE arc tg “-—-— | Ss" are tg ds en : h h 9 _* 2n-+1 h? sinbcosb [' "+" ds The Om+l 5 (2 —h? sun? b)V s’— h? tgb Vs? — h® ont tg b aes oa 1 sin b cos b onm _ =5, 1 0 9 (9 Boos) ry crm fo ho An. En résumant, nous avons done obtenu les résultats suivants 1 : ; (3) = | are tg (tg b cos A) — h sin b cos b A, — hsinb. Z gu et pet ane ULE AA Im "CI cosh * In (2n + Ne eee _ 1 Faretg(tgbcosà) hsinb , ctgh (4) a= —| 3. Développement de e, et /,. Des formules b h d 8 RV ode (2n + 1) (e, +1) =i dp | On (heosp— V 9? — h? sin? p)? [= —— x EN Vo? — h?sm?p sin p ali IL ode + | dp) 0,(hcosp+V 0? — h? sm? p} ren © “hsinp Wo? —h* sin” p b 1 ee a ee odo (Qn +1) =| ap | A EE DVE le) h on déduira d’abord 342 SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. b 1 VA wale b 1 — (n+1)e,= == | h? cos? p ap ae ae of a] 4, Vo? —h? sin? p.o de L sinp o hsinp 1 1 1; 0 d 0 b 4 (2n + 1 Vel h? cos? par] 7 I aed neo] A,odeo + + [ol AN 0? —h? sin? p.ede. Puis, en introduisant la valeur de à, dans e, fi In ONE de Q = 2n +] Q d Q [ Gt ds Vee D sa i Gan FI anal —hsmp m I e? — h? sin? p:, Vs? — 9 _m +1 out def ode TUT a zo Par 2 f2 U hsinp hsinp h* sin ps h 1 2n +1 ae ee gen R om ds hsinp et 1 1 gr R Sos os Qn + 1 ~ dad | On Vo? — h? sin? p ede = ——— Vo? —h? sin? p od I? AS TT , Pare sin p hsin p _ 2m + 1 5 ser Ge 7 sin? 0 do UNE CES = = men AE hsinp Asinp L 8? — 0? 2n + 1 3 5 DR: eg srl (52 — h? sin? p) ds hsinp d’où I 1 b — 2 2 =I! s? — h? nm? en =| h? cos? pdp [ne 1 ds + af pe AR h? sin? p) ds. ° hsinp h sin p En remarquant que b RUE 2 cos? p lg (hsinp) dp = ae (b + sin b cos b) lg (h sin b) — == 2 (b + sin b cos b) — i 11 (b) (M. 77) i h* sin? p lg (h sin p) dp = a (b — sin b cos b) lg (h sin b) + h? B k y “er ve (b + sin b cos b) — TE 11 (b) la valeur de e, s'écrit SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. 2 1 5 lie: -(b + 3 sin b cos b) lg (h sin b) + — sin b cos b + h; (5) Eg = + 4e ze (i + A2) + 5 11 (b) n + (2n + 2) h? sh? an 2m + 3 a. ) b Le zi €) (b) — DE [= (b) ze DEED D fan +2 (0) | (M 64). ey e= An (n + 1) Si l’on introduit la valeur de 0,, la formule déterminant 1, prend la forme ode en sn! ds = — 1 b 1 = =f h* cos p dp | Denen ae To h 0° —- SM p Li 32 — p* € b 1 1 gn 1 2 ds — — | h cos p dp | od ole ——= + TT 2 V s? ne / 2 h 9 N ie Say ae EN, ie Seals + — | dpf Wo? — h? sin? p ode u es A Bes CR TT fo} h à I oS oz En changeant l’ordre des intégrations, on aura etn od Ren “ cos“ A Gee NS en = j ua z a , We? — h? sin? pV s* — 0? | 1 are eh h ds. 1 b =S COS “pra, [ Sr unmertg un : 2 h cos p De la méme maniére on obtiendra 2 fe [ je odo — .— 27 — = =} hcospdp] s =) VERT ° h h ¢ 2 1 ne =- h bi sn’ s2—h? ds h et C= DENE = af SE ZED = i wf sl ds [is ge oe _ i sin? p ee ou nb ml ET de + 2% 49 ARCHIVES VIII. 344 SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. 1 b l N me =} + zal | en eg RED ds — ig Vs? — hp? Zeer 5 2 2n—1 == 5 = h? sin? p wf srt are tg m) De ces valeurs on tire 3 Vs? — h? — 28 2 sn 1 SR eT LF ge = | h? sin? p . are tg — TACO ds + ven 2n+1 = do = dp | st are tg — ae 5 h? 1 2 eh? + ER | sl are tg ie 2 dj HAT h cos p 3 ! ae ED h sin 2] ss? — h? ds ou, en posant b Vs? ne , 2n—] € zu | h? sin? p al; arc tg Dep ds— U, 8 Vs? — h? Inl ee HR = | dp IE are tg DEE 2 ds=T, CEN —30 } ft Re h= = In a Str = 3 oF sin ds in ee + 2h? T en kml sn 82 —h? ds. Pour réduire les intégrales doubles, on remarquera que lon a, en posant 1 g2nt+l dz Ae — [sind - u —— 4 N — sin? b)v 2? — 1 Hs VAs sent? en N Ertl aire tg - = — 4 h cos p Qn +2 heosp 4 h cos eo, SP In+2/ (8? — h? sin? p) Vs? — h? h ctgh Hört? cos p OEL — An, 2n+2 I cos p 2n+2 > 1 2 9 == On +2 (4 = pent? An COS p par suite SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. 345 } 1 b T, = ml (Ao — hart? 4,41) cos p dp . Or y ie zende f dp Tr (22 — sin? p) 1 5, sin?" p (1 — sin? p sin? p) par conséquent ft 2 5 fF ON cospdps a1 sf dp 1 + sin b sin p 4 n COS p a sin2"T1 p gs a sin b sin p ‘ sin" ps 1 — sin? psin? p — Si maintenant nous introduisons IT he dp 1 ch sin b sin p O5 1 = u sini p I 1 — sin b sin p on voit que k 1 [ À y cos p dp = Conti 4 2 et Dan BF ants) De la même manière b 1 B u = an h? sin? p (do — I" 4,) cos p dp où ; 5 dp > sin? pcosp dp | A, sin? p cos p dp =| “— Be. 3 , sm" Ps 1-sin? psin? p =; _[” (sin? p sin? p — 1 + 1) cos p dp = RE 1 — sin? p sin? p se réduira à smb D PR MAR ENG he on sin? p sin?"+? p 2 Oan +3) D En substituant ces valeurs dans la formule donnant J,, nous aurons 49% 346 SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIR. jte n + (2n + 2) h? 3 hh? nee [ 2n + 3 ] Q D —= mr: ra = Ogg nd Oo Se eo An(n+1) Mm Di a UC ESC Re où 3 h? sin b > dp BE Gap An Q= > [| PS aie ees „fz Ense |—ahsino | snip’ 52 — h2 ds. on , sin? 9 Sin "T2 p h Or, Q=0; en effet h 1 were op 5 dep [er pe ds = en N a: À À sin?" p et dp OSE 2n | dp J sin" TT (èn + 1) snip Fm + 1) sin” p par suite fe dp cos À la dp sin" p — (Qn + 1) hr cy | sin” p ou me UR 1 P dp [ 5 de Laer re el nep + 2 | sin À fü En considérant à présent /,, nous aurons comme précédemment 1 T,= AL (5: — h? 03) seulement il nous faudra réduire les intégrales doubles EE jp 1 J ap | a are ‘Ih cosp rl ds Vs? — ht =) h? sin? p dp Ves arc tg —} ae d’une autre maniére. Pour y parvenir, écrivons [ra Gr ae | are tg ans Er cig pare ig os ° u dy = — arc tg ae lg Eine + cos p |” lg sin p - 1 — sin? p sin? p i Du sin p d p GOED UG nn 1 sin A1= sin? pain?» SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE, par suite is sin » Poa (2 Ts sin À gi sinbsiny dp h Deine I — sin b sin y „JL rb Det) = |? so i 2 DEP U Shi Wami 1 — sin? p sin? y i u sin p hr =h? [° Isinid ‚| (sin? p sin? g— 1 +1) cos pd p 1 sin?g ov 1 — sin? p sin? y zb sin p a 7, np he | enk ag 4 af oe ye ain sin — h? sin sine gp “ N / 2 sin p 7 1 — sinbsmp‘ Il en résulte 1 — lg ke | ug ‘ LE sin + sin b sin p - = 4 Gl ets J 2 sin p 1—sinb sing ay cd sin p ap2 | = 9 sind 1 + sin b sin p Zi 2 sin? P J 1 — sin bsinp 4 Or Q'=0; en effet n 1 SUP En 2 I sink Vs? — h? Q' = 3h2 sind | er en. SSE TIS See TT tof S ctg* p dp — 3h? sin of 9 ctg* p dp — 0 4 À =3h? sin bf 1 En posant encore "7 sin p 8 =, I sin A, 1+sinbsin p i ee 2sinp I 1—sinbsing er 7. SMP . rz 9 sin À 1 + sin b sin p Sn NE J . D dp 2sin® p 1— sin b sin p nous aurons enfin 347 dp + Q’. 348 SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. 1 (7) 2x ly = (5, — ho) + 2h? 8, — 3h? S n+ (2n + 2) h? 3h? RUE 2n+3 Gar mor en] 4. Détermination de 0, et d.. En posant 3,0 _ 2n — 1 [ ¥ as ER... : gentl re 0? " 2) — 2n — 1 d'u gi gent WZ s? er ° a ! on aura 1) TED ede = D (heosp — Ve? — h? sin? p) Vo hisin® p — ode N D, O (A +V 02 — h? sin? p) ——— > ode +] d d, 2 (heosp + V oe? — h? sin? i of 3 : PD) — h? sin? p (2n —1)d,= =| d [ 0’, (— heosp + V 9? -— h? sin? p) “ede == B 0 — 02 — 5 SS 1 | ib 1 V 02? — h? sin? p ode b BAM 77 DE Br + | ap | 0’, (— heosp + Ve? — h? sin? p) = een ° 1 De ces formules on déduit par substraction de Zn 1) be 2) heospdp| pn ( ) [ so à 02 Ss h2 sın? p ode b © +2] hcospd | dm J P PJ Ve? — h? sin? p ou, si l’on introduit les valeurs de ò’, ® et 0’, 2 ie ode b, = = | h cos p dp Î HT | ¥ o 1 h sin p 2 ze à odo + = N lveosp dp sa | ann as en 02 — h2 sin? pV st — 492 — hi sin? pV 82 — eo? SUR UN PROBLEME D ASTRONOMIE, 349 Li b Es ds Î 0 d 0 ig h cos p dp | EL eek 7 gen + =f o 1 …_… Wo? — h? sin? pV 8? — 0? h sin p en PAD TT Or, la derniére intégrale ayant la valeur 9 » nous aurons h sin b ©) re on En introduisant maintenant les valeurs de à, et 0’, dans la formule donnant d,, on aura 4 1 fa i 2 Va pe a= odo te ds =| ap — hcosp + Vo? — h? sın?p) [-———— ST ee N 1 J ] J l D) L 02 EE h? sin? p a gent LV g2 mane 1 Ik ë 2 ode EL ds + —| d | — h cos p + Wo? — h2 sin? : i = A 4 | P) V o2—h? sin? Py rsr o? Les intégrales par rapport à ¢ et s nf “Saal DR, mr = | Sense 5 ale 82 —o EI 82 — 02 0 pd 0 ad, ds = rn ds an ee = + [ o do Sh a 12 sin? Di a oes ne io S nn] Fe se réduiront, si l’on Zen l’ordre des intégrations à ] I N 0 ed. 0 ae = ds is ode — h cos ——— | — — - Bet. h Vo? — h? sin? Pp Vato? ent) gro? h > 1 h ; ” ds f o do eds | ode SS Se) a Ze ee eee eee or i ne py st tt 82 — 0? ou, à rk NE o do ds en dio rap | —— MERS ee EN OURS , antl. Wo? — h? sin? pls? — 0? vr NEE ıl h ce qui s’écrit aussi D ds za? aks EE Fa — heos p are ig LES Se 2n+1 2n-+1 Se a COS p s Par conséquent b = DE = 40) b oe) = d, = — - | h cos p dp | u arc tg es oie Lf @ EN) LES 4 sont h cos p En intégrant par rapport 4 p et en remarquant que 2 350 SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. eg 5 OE | DENDE | h cos p arc ig" = = a = h sin bare tg di +bV s2—h2—s arctg - Ve É h?tgb à COS p 1 COS D § on obtient 5 pp ae h h sin I b ds en AZ +1 1p ig ae 8 —h?* tgb | ze a 7 In. 1 ce Ss MD ” hcos a Après intégration par parties cette formule se réduit aisément à en sl [x tg(igbeosd) hsmb cigh re h? sincosb ip ds = are tq - = — 2n—1 2n cos b 2n(2n—1) + ste? —h2 sin? b) Vs? — h2 ou à celle-ci AD il ee tg(tgbcos}) hsinb En ctgh sinbcosh V, TT 2n — 1 2n “cosh 2m (2n —1) hr | ar 6s) 5. Développement de f, et m,. D’apres les formules de l'Art. 1, nous avons b h I er ne d (Qn —1) (f,—m) =f dp | d'A 0 (hop — We? hE sin? p)* nt o hsinp Q? "4 h? sin? Pp +f dof Ò, PD (R cos p + 92% — h? sin? p)? — sues hsinp We? — h? sn? p ; 2 = ode + | d D ON TN A EN nn [ pf (h cos p p) VR de 2n — 1)m, = [ af d'O (— heosp + Wo? — h? sin? p = i ae ( 2 ( 3] py? vr an b Ru d + [ dof 0’, (— heosp +V 0? — h? sin? p)? __ ___ À 4 Vo? — h? sen? p De ces valeurs on déduira do 2n — 1) f, = =2[ d Ie DP (h2 cos? p + 0? — h? sin? p B a us | 1 DA 2 ma sin? p b co do ze 2 | Ip | 0',,° (h? cos? p+ 02 — h? sin? ee he J a ae REDT ou, en introduisant les valeurs de 0’, et à", SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE, q 5 ; Rati Oe 0 d 0 e ds m) dp (RE ne DN DT Ko: — RE sin? p gn” 82 — 02 h sin p = odo I ds Tuner b af i dp h? cos? p + 02 —h? sin? p) —— py ¢ : VEN: sin? 2D En changeant l’ordre des deux dernières intégrations on obtient f 2 = ] E ds ik h? cos? p + 0? — h? sin? p 1 S == ap = = — 40 Jn e2nHl 2 Dan 9 Du jem Or hp se 2 ds h? cos? p +0? — h? sin? p Do dp grt , - == al) Vor hr sin? p “320? ou, plus ae h? cos? p + 9? — h? sin? p = 0 d Ons f 2 Î ] fe ds i SG on ne a»! as Vo? —h? sin? p s2—o? hsinp Or, (l ode ab 03 do ms +h sin D —h2sin2p “so? = Lo?2—h?sin?pl/s?—e? 2 2 h sun p 9 h sinp par suite en Eds Mu. s? — h? sin? p je | dp pai h? cos? p + u [0] il ou b+ 3 sin b cos b b (11) n= 5 h? + ——., 8n An — 4 De la méme maniére on aura i i u ode 4 ds = = 0, | h? cos? p + 9? — h? sin? I | = En yp ( P Pp) ro? EZ; h? sin? p : sr 52 ES 02 2 [af nin ar: ap ,c05P odo HL ee ° h 1 ESS 1 b a odo 2 ds + =| dp | (h? cos? p + 9? —h? sin? aD) = —— | — —— HE | 2 — h2sin?p Hl 92 ds (4 b n 00 d | h cos p e a J D s2n+1 Ls? EE 0? =A—B+C—D. En changeant l’ordre des intégrations on a d’abord Qu © ARCHIVES VIII. 352 SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. Dane © ds ip odo == | h cos p dp i o 1 een Ole inden ty C0 D == + h COS p dp | “pont zE | La =; Q 1 ARE ETS par suite gent ZA ST NOUS ke Balz h cos p dp | == | Dar: ei 1 h 2 3 Gls sees = = h sin b | nt Is? — h2 1 En second lieu A ae = ie ds | hi cos? p + 9? — h? sin? p d San ( 0 0 On | ED u‘ Int _ sin? ps2 —o? © C= il a * ds f° h? cos? p + 02 — h? sin? p SS ni = 2: ede TT 5 ; Ss 4 nd h? sin? pb s?—o0?2 et D, Sf” ds fs h? cos?’ p + 0? —h? sem? p Avo] a crt | EE ede. , We? — h? sin? pls? —0? Or, . h* cos? p + 9? — h? sin? DGD =———— = P Be Dee Lo? — h? sin? 82 — 9? 2 — h? sin? p + 2h? cos? L 82 — h?2 P a) are tg ie 2 h cos p par suite h ee ds b s? = ee ey Or meh sind | nf —h? + [a vf a me 2 re tg VE ds, : h cos p | Pour réduire le dernier terme, remarquons que l’on a | st ph? 1 ctgk , hcosp [” s | ri are tg EL 5, vre ig ZERE 2 ij bg ——— ae h cos p n Cos p 2n n-1 (92 — h? sin? p) 1/82 — h2 cig À _ 3 are 1q I COS p | Rent GOSYD 1— sin? p sin? p et SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. 353 2 [ ; _ds ik! À sin” Y dy gan =; (52 — h2 sin? p) “s?—h? hat) 1 — sin? p sin? p 5 Î Avec ces valeurs, le dernier terme de 27 m, prend la forme ® : os p dp Jew ea b cos p d 1 If dp = ze oe 2 ae zl sin?" 2 dp Za D up | 2n— 2 LI 1— sin? psn? ph 1 — sin? p sin? p A 5 ' 1 2 2— 3sim? p) cosp dp je Srl (2 —3 sin? p) cos p dp aS In: f ap] p) Pi + — | sin" dp \ > - Is EE 2n 1— sin? psin? p LEN) J 1—sin* p sim? p Or, on a 2 cos p dp Ban 1 + sin b sin p 1— sin? psin?p 2sin p IT sin b sin p ih sin? p cos p dp sin b tk 1 1 + sin b sin p Q De L DEA ( . 5 1 — sin? p sin? p sin? p 2sin? p I T— sin b sin gp 1 1 + sin b sin p ge =} sin” ply wing OP (M. 111) par conséquent la formule précédente se réduit a i eel 1 2n — 2 le ne Ba | 3 1 5 8 1 Ne RUE D or E (6, — 39, + 3 sin b ctg À) + TE (Bor — Kans + 8 sin b | sin” de) | O ou à n + + (2n— - 2) h° h? sh? 1 3 2n — 3 … Hm Wenn oe ee ee) a ADT An * ann 2n — 2 2 3 sin b + = zie sin"? p dep 2n In WJ 2 sin b ctg À + Si maintenant nous substituons cette valeur au lieu du second terme de 27 m, et en même temps oO 3 sin b — 3h sin | m se—h=— jn À (1 — sin? p) sin" p dp 1 au lieu du premier terme, on obtient 50% 354 SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. : nn 2) sr Sr if = 2n — 3 5 am met) 81 dn tT An nn Aus) + © à où la valeur de Q, en posant &, (A) = | sin? zdz, s'écrit 3sin b 2 5 5 On hr [ 2n fon (A) — (2n — 1) 8-0 (A) + hl cos ‚| =0 (M 75). o 0 La formule pour m, se réduit ainsi à cette forme ont _ m+ (2n—2) hb? | 3h? ial (a _2n-8 | ) (12) 27m = An (n — 1) 1 An ae Mn ra eho! a Aon 6. Réduction des intégrales «.,,, , 5 , 5; aux trans cendantes Z,, 7_,, U. En introduisant dans la formule b ey = 2 | A, cos p dp de l'Art. 3, la valeur de 4, (M 88), on obtient immédiatement T . sin" lb el 5 : (13) or (5, =) (bs AIEE Un nel 0 On —3 AR oo Ar in. sin b | ou b = | sin" p are tg (cos p tg À) dp. o On déduit du même Art. 3 J cos p ale = f of = are = | = par suite (14) 8, = en Enfin le même Art. fait voir que l’on a AR 1 sin P S, =sinb | I sin N sin? Pp SUR UN PROBLÈME D’ASTRONOMIE. 355 LT ( 4d Zels ) U’, = sin b\ eig} gt) + Or, Pe ds Tan UW = Î h? sin? p ap | —arety — h? 0 ie h cos p 1 == ‘ ORD 11% 7 COS Pp _ | dz = | h? sin? p dp | | a — are tg lle: =— Fh? lg h(b—sindcosb) — U, par conséquent (15) S, = sin b (cty À — = ie i) —+ lg h (b — sin b cos b) — au 7. Développement en série de l'intégrale ».,... Pour obtenir cette intégrale indépendamment, nous pouvons : 3 À la développer suivant les puissances ascendantes de ty 5 En effet, en différentiant TT 4 3 dp 1 + sin b sin p Don = db —— sin ** Pp 1 — sin b sin p par rapport à À, on obtient do 1 hk 1 + sin b sin À dd sin™ A I T—sinb sina ou, en posant À — tg 2 = ii gone gn À _ 1 + 12)” | sin b 36 RR sin D b- Lee 7b + | 2 u N ) | sin 3 sin 3 5 sin zsinTb+.. Posons maintenant (DE 2n— C,, In—3 Ch, ee Er (16) Onl = En ; a Pr ae re ar Cur On, 1 LH, 3 3 = = An, 5 = les coéfficients C et a excepté C,, se déterminent aisément. En 356 SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. effet, si nous comparons les coéfficients des mémes puissances de ¢ dans les deux membres de l’&quation 2 fs | (2n ei 1) Ch, an Eed (2n — 3) Ci 2n—3 De nc Al fame al: Uy 1 t + Oy, 3 os + A sin 3b sin 5 b In (2n — — (sind en N= + "+ ” (1 + 2nt? + nz +... + Qn tn? +" nous aurons — 2 2n—2 (2n = 1) Ca p= ET sinb ee 3 sin 3b a Bae 7 (2n == 3) Gr DIN = 3 ae == 3985 er 2n sim b ee sind b. , sin 30 n (2n — 1) KE 5 + 2n 3 = Trou sin b sin(2n —1)b sin(2n—-3 a Tes 1..(n+2) . — 220, 1 =(—1)" E m —2n er. jb and: nhs an | EN sin(2n+1)b … sin(2n - 1)b ‘ast 4 n+D, : Den "Ay z=(—1)""1 ae - ZN Ei le siete (- 1)" - zu = Em at sin | EN Fsin(2n+3)b „ sin(2n+1)b , ae) 2n—1 gen Zans=(l)" DEE ) — ZN 5 ) AT +(—1) 1 TR: ar 1 ‚| Ben sin(2n+5)b sin(2n+3)b paler Dd , 2° ll? | 2n+5 =. ae = ! wel) a 5 ir | Le coöfficient C, s'obtient si l’on pose A=0 dans la formule (13) de Art. précédent: C= = 2 Vi ce 9 — I En (b). L'intégrale 6,,, se détermine aussi au moyen de la formule récurrente 17 nl a cos IE hsin)b DL 4 AT) om = On #1 * On sin™ AI | —hsind n n— Ja) que l’on obtient de la manière suivante TT 3 sin? p + cos? p 1 + sin b sin p He = ante sine” +! p 1— sin b sin p 7 i Pa is ee ( 1 ) = '0>,, 1 —— a COS G SEND oa In! 2 —sinbsing \sin”p SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. 331 TT 1 (2 Pp, 1 + sinbsimp\z = Goni TT: mln ml On \sin”"p 7 1 — sin b sin P 71 à il el 9 sin b cos? p +. 1 + sin b sin | ll le rn — sin p Ig : - de an sin" p L 1 — sin? b sin? p I 1— sinbsin$. 4 7ı 2n — 1 wt cos de EE RS be sin.b Ie (1 — sin? p) dy a(S = TEE “9 = LO I PARENT no Dom Psy, ; n 5 5 Ti 5 \ Ome "EL On sin? À IT—hsinb n sin” p (1 — sin? b sin? w) In — | 1 cosi 1 + h sin b sin b N a OO te SS So Oer + — (4, — A,.). a We On sin” À I ı —hsinb n j ee 8. Développement en série de Vintégrale S.. En différentiant la formule Zi sin p ae 2 annul sin D Sin p = | I sin À lg ser Zaun Ze Fer ; 1 — sinb sine 1 2smP on obtient dS. N 77 if l + sin b sin p . Ge arom ee sing 9 1—sinbsinp = 1 DS ee 4 ee ds, ctg À 1+ sin b sin À ee ene 2 dk 2 sink I I— sin b sin 2 par suite ds, pel dS, 1 cosa i 1 + sin b sin À di? * simkeosk dT 2 sin2?4 I 1—sinb sini À ou, en posant t= tg 5 d2 8, LS rn (are) —9(1—42)2 (sind 3 in3D+.) | Pour trouver une solution particulière de cette équation diffé- rentielle on pourra substituer au lieu de S, t? t° u=d, b+ a, + Ose +. on verra alors que les coëfficients a se déterminent par les con- ditions 358 SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE. a, =2sinb 3a, + 4a, = — (2 m 4sinb) Se 2 5a, +4a,—a, =2 = +4 a + 2 sin b Tara se © et i ee ues a La solution générale de l’&quation différentielle s’écrit done Clgsini+ C+u où C et C’ représentent des constantes arbitraires. Par conséquent la valeur de S, en série sera représentée par cette forme si l’on choisit convenablement les constantes C et C’. Or, d’après la formule (14) on sait zb (SD RES Zi: D) (lg sin 1), = (Leer et d’aprés (M. 96). (Ts), , =o [Py (1 + cosh) + P(b)] ou | b P (b) = | p tg + dp , par suite je BE PE pe C=— 5 [bly (1 + cosb) + P(b)] et enfin EDER ab 1% i? (18) 8, =— gg ly sind lg (1 + cosb) — og P(b) +4, tras gt. 9. Développement en série de Vintégrale S.. De la méme maniére que précédemment nous déduisons de Or ee sf" Pont Lensen, 3 on " l1—sinbsin @ 1 2sin°p SUR UN PROBLEME D’ASTRONOMIE, 359 À À REEN oe =— 5 = 2 [x &, (b) — 21, (b) + 2 ctg sin b| d2S, I dS, _ cosh 1 + sin b sin À di? lsimtcosti di 2sin 19 1 — sin b sini et l'équation différentielle dS, dt? 12 3 215 (1 — t*) +20 (1 #412 Eri | sin b — sin 30 +... Cette équation sera remplie par la série [3 te 6 t® : Rn ie t Ds OS si les coéfficients satisfont aux équations 9 5 = sin b —8 3+ 2b, nn sind b p —2/?+8b, +6b, = 5 2 in b — 2b, +8b, +106, eee u sin 11 b 9 Sin T b sin 3 b — 105, +8b, +18b, = — il ak eee L'intégrale générale étant Clgsini+C+v nous choisirons C et C’ de telle manière que cette valeur coincide avec S,. Pour y parvenir nous déduisons de l’équation (15) co = sin (cg 2), „rg sin b—F-(b —sinbeosb) (Ig sint), _— 0) et de l’équation (M 100) El = | (b — sin b cor b) Ig(1 + cosb) + P (b) — sind + + } (b+ sin bcos b | Avec ces valeurs on trouve aisément ARCHIVES VIII. 51 360 SUR UN PROBLEME D'ASTRONOMIE. =—5%() TT = 7 sinb— & (b + sinb cosb) — 7 (b— sinbeosb) lg (1 + cosb) — + P (b) et par conséquent (19)8,=— 5 «, (b) lgsind — Zsinb— + (b + sinbeosb) — 4 (b—sinb cosb) lg (1 + cosb)- TT 7 ts te Pr tr +b, E+... 10. Nouvelle expression pour /.. Pour quelques valeurs de ? et b la quantité /, peut être calculée d'une manière plus simple que précédemment. En effet, si l’on introduit In? » heosp dans la formule 1 rl Q hy = Ty + 2h? Ta — 3 Un— Bhsinb| PGTI ds h b 1 RER = =| dp | [ + 2h? — 3h? sin p) are tg — — 3 heosp Vs? — "| Balz h de l'Art. 3, on obtient ctg À b Dr pe | cos* p dp [7 (1 + cos? pa?)"-1[(3 + x?)arcigx — 3x]|x dx. fe} Lo] En posant ensuite on aura (3 + x?) are tg x — Brit — 57 + x ag! ne par suite SUR UN PROBLFME D’ASTRONOMIE. 361 tg? 2. tg? À 4q" à COMITE [«; 2 5 + &, —- + ay see +. | où Ek CE Jeng 15! cos’ p 4 ie wp 8 dp ‘ps ae cos? p 35 = _ 4(n— 2 dp = 27 dp eis nt Fo he of cos® p cos? p La formule (20) est encore applicable quand n prend la valeur zêro. oe ab UATE, BONE RI WT NE Fins ds N im ia ‘et 1 Le \ i | OG Papi el iy) il . bai » | wi ur | Fier AA mr, ia, dla on) Dente oe Meany Alpen) ola SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR LE COURANT ELECTRIQUE PAR EVANDER ESN: Ul. ') En voulant exécuter le dessin, exprimé dans ma note préce- dente (Arch. Teyler, S. II, Vol. VIII, p. 233), le dessin nommément de comparer l’intensité du transport des solutions d’un sulfate et d'un nitrate d'un métal autre que le cuivre, j'ai d'abord entrepris deux séries d’expériences concernant le transport des solutions de sulfate et d’azotate de zinc. (Z, SO, et Zu N, O, + 6 Ag) et puis une qui a rapport ä des solutions du chlorure de ce métal. Les particularités, observées pendant ces expériences, sont aussi intéressantes que variées. En premier lieu l’accroissement continuel de la quantité trans- portée, observé pendant l’examen des solutions des deux seis de cuivre, ne se présentait-il pas. Les résultats des observations suecessives ne differaient entre eux que par des quantités variables et de signe contraire, dont l’effet s’élimine de la moyenne arith- métique sans correction précédente. Done il n’était plus question ici d’un effet de pression hydrostatique, occasionnée par une accu- mulation de sel dans les contours de la kathode; un fait qui s'accorde très bien avec une expérience de M pb’ ALMEIDA ?) suivant laquelle dan les solutions de sulfate et de chlorure de zinc, et en se servant d’une kathode de zinc, la quantité de ce métal dissoute à l’anode n'équivaut pas à celle séparée à la kathode et 1) Voir: Arch. Teyler, Serie II, Vol. VIII, p. 93-119 et p. 199 —283. 2) J. CH. D’ALMEIDA, Ann. de Chim et de Phys., [3] 51, p 257. ARCHIVES VIII. 52 364 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES que, par suite, la solution devient acide dans les eontours de Panode par la sécrétion d’acide sulfurique libre. Les conséquences de cette sécrétion se montrérent encore d’une autre maniére. Par suite du transport, une partie de cet acide libre pénétrait dans le vase poreux où il attaquait la kathode; et le développement de gaz hydrogéne, qui en résultait, faisait tort a l’exactitude des observations. Pour y rémédier, j'ai été obligé d’aggrandir le diamètre du tube d’ascension de manière que le gaz développé pit s'échapper libre- ment. Mais en faisant ainsi le diamètre devint à peu près égal à celui du bouchon de caoutchouc dont le vase poreux est bouché, de sorte qu'il n’y avait plus de place pour faire passer le fil conducteur qui mène à la kathode. En donnant à celle-ci la forme d’un cilindre massif, à l’une de ses extrémités perforé et percé, perpendiculairement à son axe, par une baguette de metal, qui se répose sur les bords du tube d’ascension, j'ai subvenu à cet inconvénient d’une manière, qui en outre me permet d’eloigner la kathode du vase poreux et de la nettoyer, sans être obligé de démonter pour celà tout l'appareil. Les expériences concernant les solutions d'azotate de zine don- nèrent un résultat des plus surprenants: le transport se fit dans la direction opposée, c.a. d. du coté de la kathode à celui de Vanode, un fait qui jusqu'ici n'avait été observé que chez les solutions de chromate de potasse neutre et acide par Munck !) et qui fut con- tredit sept ans plus tard par Gore ?). Dans notre cas toute doute est exclue; le transport négatif d'une solution d’azotate de zine est, toutes autres circonstances étant égales, du moins trois fois plus intensif que le transport positif d'une solution d’azotate de cuivre. Du reste le transport des solutions de ce sel était-il aussi peu influencé par le déplacement des ions que celui des solutions de sulfate; influence qui, s’il avait subsisté, devrait avoir été de signe contraire à celui dont le transport des solutions des sels de cuivre est affecté. Il en suit, que les résultats des observations succes- sives ont pu être réduits à leur valeur probable moyenne sans correction préalable Une déscription détaillée de ces observations se trouve dans les ') H. Munck, du Bois und Reichert's Arch., 1873, Heft 3 und 4. *) G. Gore, Proceed. Royal Soc. 1880, 31, p. 253. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 365 pages suivantes. Comme la détermination exacte de l’influence de la pression hydrostatique n'exigeait plus dans ce cas, comme dans celui des sels de cuivre, l'institution de séries étendues d’obser- vations à intensité de courant constante, j'ai arrangé celles con- cernant le sulfate de zine d'une manière en quelque sorte différente de celle, suivie pour les observations qui ont rapport aux sels de cuivre. Mais, comme cette nouvelle manière de faire ne me livrait pas les avantages que j'en avais attendues, je suis revenu pour les solutions d'azotate à la manière précédemment suivie. SO it 30 parties de sel sur 100 parties d’eau. 22 septembre 1902. 1 = 3.04 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om Os — 9h. {Qm. 4s. 21 90:90 7723508 10 4 20 26 99 lon 45 20 26 30 16 21 21.37 64 30 16 40 41 29 91.13 36 86 gouttes. En 40 min. .10.153 gr. = 2.05 amp. 10h. Om. Qs — 10% 10m. Bs. 14 IGE) == nde 10 3 20 16 14 ol 45 20 16 Sn) 14 94 73 30) 19 40 20 14 .99 79 56 gouttes. En 40 min. . 6.669 gr. I=1.02 amp. 10 Om. Qs — 11h: 10m. 618- 8 1D =S Ul 10 61 20 4 6 6.65 „796 20 4 30 39 8 7.56 .907 30 39 40 14 7 1.31 877 29 gouttes. En 40 min. . .3.461 gr. Poids de 171 gouttes.... 20.62 gr. ; dune goutte. 0.12 » pa 366 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES 23 septembre 1902, I = 3.04 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes: Gouttes. Grammes. gh. Om Os — Qh. 10m. 4s. 21 90.5 == AS 10 4 20 5 21 .96 51 20 > 80 5 91 21.00 35 30 5 40 11 21 20.80 13 84 Goutes. En 40 min. . .9.697 gr. I = 2.05 amp. 10h. Om. OS — 10h. 10m. 13% 15 14.18 = 1.645 10 13 40) i) 14 0S 39 20 9 30 36 15 .37 67 30 36 40 34 14 05 30 58 Gouttes. En 40 min. . .6.575 gr. I = 1.02 amp. 11h Om OS — 11h. 10m. 6s. 2 6.90 = 0.804 10 6 20 34 7 7.02 11 20 34 30 12 7 6.91 OL 30 12 4 15 7 97 09 28 gouttes. En 40 min. . .3.225 gr. Poids de 170 gouttes....19.75 gr. a “diuneseoutte!..: >. 02165, 24 septembre 1902. I= 3.04 amp. En 10 minutes, Durée de l’écoulement Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om. Os — Qh. 10m Gs 21 90.68 = 2.357 10 9 902215 91 „79 69 AU) 15) 30 21 21 „19 69 30 21 40 30 21 .68 57 84 gouttes. En 40 min. . .9.452 gr. I=2.05 amp. 10b. Om. Os — 10h. 10m. 6s. 14 13.86 = 1.580 10 6 20 4 14 14,04 „600 20 4 30 31 15 .36 37 si) Bl 40 19 14 .46 28 57 gouttes. En 40 min. . .6.445 gr. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 3 I= 1.02 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. 112 Om Os — {1h 10m. 3s. 7 6.97 == (SN 10 3 20 61 8 7.26 827 20 61 30 41 7 24 14 30 41 40 17 7 .29 31 29 gouttes, En 40 min. . .3.267 gr. Poids de 170 goutes...19.47 gr. d’une goutte .... 0.114 , » 1= 3.04 amp. 1— 2.05 amp. 1— 1.02 amp. p p P 22 septembre. Transp. en 40 min. 10.153 gr. 6.669 gr. 3.461 gr. 23 8 3 FAO RE O 607 ETES 295 , 24 5 5 =. 40° 2, 9.452 , 445 , 261, Transp. en 2 heures: 29.302 gr. 19.689 gr. 9.953 gr. 3.04 —— 2.05 -—__———. 1.02 — Transport par ampère en 2 heures: 9.639 gr. 9.604 gr. 9.758 gr. EE 20 parties de sel sur 100 parties d’eau. 26 septembre 1902. I = 3.04 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. 9. Om (Qs. — 9h. 10m. 135. 34 SB == Sail I@ 183 202 33 62 98 20 2 30 11 34 50 85 30 11 40 4 33 .39 13 134 gouttes. En 40 min. . 14.717 gr. I=2.05 amp. 10h. Om. Qs — 10h. 10m. ats. 23 2292 — 9444 10 21 20 14 22 26 49 20 14 30 4 22 37 61 30 4 40 19 23 43 68 90 gouttes. En 40 min. . .9.822 gr. 368 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES T=1.02 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes {ib Om OS — 11h 10m. 198. 11 KOTS MSS KO 10) D025 11 HT 85 20 95 30 48 11 .60 66 30 48 40 13 10 ‚69 65 43 gouttes. En 40 min. . 4.705 gr. Poids de 267 gouttes...29.35 gr. „ d’une goutte..... 0.116 , 27 septembre 1902. I =3.04 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. Qh. Om OS — Qh. 10m. 4s. 51 30:80) > ==) 3/696 10 4 20 9 31 ib 89 20 9 Bl 65) 31 .69 83 30 15 40 1 30 .19 86 193 gouttes. En 40 min. . 14.754 gr. 1=2.05 amp 10h Om. OS — {Oh 10m. 91s. 21 20.26 = 2431 10731 20 9 20 43 52 20 9 30 8 20 „04 05 30 8 40 93 21 46 55 82 gouttes. En 40 min... 9.743 gr. I =1.02 amp. {bo Om (DB = sb dje FE 10 OS 1.190 10 D 20 5 10 10.00 „200 20 5 30 7 10 9.9 194 30 Zi 40 11 10 9.94 .192 40 gouttes. En 40 min... 4.766 gr. Poids de 245 gouttes .. 29.40 gr „ d’une goutte..... 0122, 30 septembre 1902. I=304 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om. Os — Qh. 10m. 7s. 30 29.64 = 3.646 10 fl 20 4 30 30.16 „710 20 4 30 4 30 30.00 ‚690 30 4 40 10 30 29.69 .632 120 gouttes. En 40 min. . 14.678 gr. PAR LE COURANT ELECTRIQUE. 369 T=2.05 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes, 10h. Om Os — 10h. 10m. 3s. 20 19.90 = 2.448 103 20 23 21 20.29 96 2 93 207 16 20 .25 91 30 16 4) 16 20 .00 60 SI gouttes. En 40 min... 9.895 gr. = 1.02 amp. 11h. Om. Os — {1h 10m. Ms. 10 O58 7s 10 24 20 44 10 .65 87 20 44 30 7 9 .66 87 30 7 40 27 10 .65 87 39 gouttes. En 40 min... 4.739 gr. Poids de 240 gouttes ...29.26 gr. ; 1 „ d’une goutte..... 0123 , [=3.04 amp. 7=2.05 amp. 7=1.02 amp. 26 septembre. Transp. en 40 min. 14.717 gr. 9.822 gr. 4.705 gr. 27 5 AD 1DAx 143 „ 008 30 : x RO: 1678. 895, .739 Transp. en 2 heures: 44.149 gr. 29.460 gr. 14.210 gr. 3.04 - 2.05 1.02 Transp. par ampére en2heures: 14.523 gr. 14.370 gr. 13.942 gr. IE 10 parties de sel sur 100 parties d’eau. 3 octobre 1902, I= 3.04 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. Gh; Om: Os: = Qh. 10m. 5s. 54 53.55 = 6.640 10 5 20 6 54 91 85 20 6 30 1 54 54.45 192 30 | 40 0 54 .09 216 gouttes. En 40 min. . 26.784 gr. 370 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES I = 2.05 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. 10h. Om. Os — 10h. 10m. 8s. 36 35.55 — 4.308 10 8 20 2 36 36.36 .509 20 9 30 4 36 35.68 .449 30 4. 40 7 36 .82 .449 144 gouttes. En 40 min. . 17.708 gr. T=4.02 amp: 11h. Om. Os — 11h 10m. 16s. 19 1851 = 223 10 16 20 7 18 27 76 20 7 30 27 19 .65 313 30 27 40 14 18 AD „282 74 gouttes. En 40 min. . 9.166 gr. Poids de 434 gouttes.... 53.77 grammes. „ d’une goutte...... 0.124 " 4 octobre 1902. I = 3.04 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes Gouttes. Grammes. 9h Om. Os — Qh. (0m. ‚48. 53 5262 = 6578 10 4 20 0 53 53.36 670 20 0 30 9 54 „20 50 30 9 40 9 53 „65 „104 213 gouttes. En 40 min. . 26.602 gr. I= 2.05 amp. 10h. Om. Os. — 10h. 10m. 15s- 36 99:12 = HAN 10 15 An ll 35 25 406 an Le 30 8 39 .18 .398 30 5 40 2 35 5 ‚419 141 gouttes. En 40 min. . 17.613 gr. = 1.02 amp. 11h. Om. Qs. — 11h. 10m. 10s. 18 17.70 — 2.213 10 10 2 A 18 .66 .208 2001 30 10 17 .32 .165 30 «10 40 7 17 .09 .136 70 gouttes. En 40 min. Poids de 424 gouttes.... 54.20 grammes. „ d’une goutte...... 0.125 . 8.729 gr. ” PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 6 octobre 1902. TI = 5.04 amp. on En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. Qh. Om. Os. 92. 10m. Qs. 56 55.17 = 16:69) 10 9 20 6 55 ‚28 3% 20 6 30 3 55 ‚28 3% 30 3 40 8 56 „36 43 922 gouttes. En 40 min. . 26.531 gr. = 2.05 amp. 10h. Om. Os. — 10h. 10m. Os. 37 37.00 = 4.440 10 0 90715 38 ‚08 50 20 15 pi) 110 37 „20 64 SOR 40 13 37 36.94 33 149 gouttes. En 40 min. . 17.787 gr. i—A-02 amp. (peo (Meo Os: e= db. Om EE 19 18.66 = 92,939 TOI 20 16 19 85 62 20 16 EXD) 18 .48 18 8070 40 13 19 .60 32 75 gouttes. En 40 min. . 8.951 gr. I[=3.04 amp. [= 2.05 amp. I — 1.02 amp. 3 octobre. Transp. en 40 min. . . . 26.784 gr. 17.708 gr. 9.166 gr. er 5 „A, .602 „ 613, 8.722 , 6 à à 5 40 > el, kel Sil 5 79.917 gr. 53.108 gr. 26.839 gr. 3.04 —— 9,05- il 26.286 gr. 25.905 gr. 26.313 gr. Transport moyen par ampére en 2 heures d’une 30 p. de sel sur 100 d’eau. 100 d’eau. i if 9.639 gr. — 0.028 gr. 14.523 gr. + 0.248 gr. 20 p. de sel sur T=3.04amp .. le 604, — 63 310 , + .095 , se 158 , + 91, 13.942 , — 333 , 29.001 gr 42.835 gr. 3 ——_— 3 3 Moyenne 9.667gr. Moyenne 14.275 gr. Moyenne DFE 20675] = + 0.031 gr. + O117er. ARCHIVES VIII. solution de: 10 p. de sel sur 100 d’eau. f 26.286 gr. + 0.118 gr. 25.905 , — .263 , 26.313 , + 145 , 78.504 gr. 26.168 gr. 0.088 or. 372 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES Ces nombres se rapportant comme: 40007 7241476 2714: Sur 130, 120, 110 grammes des solutions il y a respectivement 30, 20, 10 grammes de sel, ou — comme 1.145, 1.102, 1 054 sont les poids spécifiques de ces solutions — sur 113.5, 108.9, 104.9 eM®., equivalant ä 26,4 gr, 184 gr, 96 gr. sur 100 eM>. Les inverses de ces nombres se rapportent comme: 10007 222 14557 °,5 2750; de sorte que, entre les limites des erreurs probables, Vintensité du transport de solutions de sulfate de zine est 1°. en raison directe de l’intensité du courant qui les transporte; 2°. en raison inverse des poids de sulfate contenu dans l'unité de volume de la solution transportée. Z,N, 0, +6 Ag. 1 5 parties de sel sur 100 parties d’eau. 22 octobre 1902 T=1.02 amp. En 10 minutes, Durée de j’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om. Os — Qh. 10m. 338. 14 BL == 1.234 (D, 34 90 43 13 12.80 .190 20 43 30 9 12 9 .183 30 9 40 2 13 .93 .202 40 12 50 12 13 13.00 „209 SOI (OD 3 13 20 .298 {10 0 3 RON 13 12.53 193 10 11 20 A 13 „80 „190 20 2 si Zil 13 13.00 „209 SOM 10 35 13 12.70 .181 40 35 50 0 12 74 185 50 0 11 ORS 14 13.19 Oi 156 gouttes. En 2 heures. . 14.431 gr. 1.02 - et === Par ampère en 2 heures... 14.148 gr. Poids de 156 gouttes. .. 14.49 er. „ dune eoutte =. 2. 0093 ” PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 22 octobre 1902. T=2.05 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes Gouttes. Grammes. 9. Om. (Qs — Qh. 10m. 58. 28 ih! = 2.610 10 5 20 7 28 91 24 20 7 30 5 28 .95 97 30 8 40 13 98 sala 10 40 13 50 18 28 SIR 10 50 15 2 0 0 97 ‚St 17 5 "nl 0 10 l 28 95 97 10 | 20 7 98 19, 06 20 fl 30 10 28 „56 19 30 10 40 14 28 ‚Sl 14 40 14 DURS 28 28.05 31 50 13 OLS 28 „00 32 335 gouttes. En 2 heures. . 31.433 gr. — 2.05 Par ampére en 2 heures.. 15.333 gr. Poids de 335 gouttes. . . 44.49 gr. » dune goutter.. .. 0.0947, 23 octobre 1902. I = 3.04 amp. En 10 minutes. Durée de l'écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. Qh. Om. Os — Qh. 10m. 08: 39 39.00 = 3.666 10 0 20 6 40 .60 .122 20 6 30 4 39 11 .678 30 4 40 13 40 Al „105 40 13 50 4 38 38.58 627 50 4 10 0 7 39 ‚Sl 48 LORO 7 10 5 39 39.13 78 10 5 20 4 39 .07 73 20 4 30 8 40 .14 .136 30 8 40 1 39 .46 69 40 1 50 if 40 40.00 60 50 1 LU) 0 40 .07 67 472 gouttes. En 2 heures . . 44.369 gr. ZZ 3.04 Par ampére en 2 heures.. 14.595 gr. Poids de 472 gouttes . . . 4449 gr. „d'une goutterss .. 0.094 „ 53* 374 SUR LE IT: TRANSPORT DES LIQUIDES 10 parties de sel sur 100 parties d’eau. 7 —1.022amp. gh. 10 Durée de l’&coulement. Om. 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 08. gh. 24 octobre 1902. Gouttes. 10m. 615. 7 920 9% 6 30 0 6 40 927 Mi 50 53 a 0 69 7 LOH 6 20 8% 7 30 47 6 40 82 7 EO ul 6 O63) 7 Par ampère en 2 heures. Poids de 79 gouttes. . ” [= 2.05 amp. Qh. 10 Durée de l’écoulement. On. 10 Qs. 39 29 gh. 10 11 25 octobre 1902. 20 Gouttes. 10m. 39s. 14 99 13 16 13 45 14 45 15 48 13 7 19 0 13 20 13 36 13 8 13 30 13 Poids de » d'une goutte En 10 minutes. Gouttes. 6.35 .39 1.82 er. A099 7 79 gouttes. En 2 heures … 1.02 Grammes. 0.635 39 50 7.830 er. 1.676 gr. En 10 minutes. Gouttes. 13.15 29 29 513) „00 12.94 ‚88 13.15 12.60 66 156 ELD En 2 En. 2.05 — 156 gouttes. d’une goutte . . . . 15.54 gr. 0.099 , Par ampère en 2 heures.. 7.579 gr. Grammes. 1.315 22 29 35 00 294 88 .315 „260 66 59 54 . 15.537 er. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 375 27 octobre 1902 [=3 04 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. 9h. Om. Os. — Qh. 10m. 948. 91 SIT 2.019 10 2% DONS 20 tl 37 20 13 30 10 20 .10 10 30 10 40 25 21 .49 49 40 95 50 10 20 51 51 50 10 10 0 4 20 .20 20 10 0 4 KO 21 By) 39 10 2% 20 10 20 Dl Dl 20 10 30 9 20 .03 03 30 9 40 95 21 45 45 40 3 50 20 20 17 17 50 20 11 0 5 20 41 4A 244 gouttes. En 2 heures. . 24.382 gr. 3.04 Par ampére en 2 heures.. 8.020 gr. Poids de 244 gouttes. . . 2437 gr. Fa) Qlunensoutterer...... 0410077; Ill. 15 parties de sel sur 100 parties d’eau. 5 novembre 1902. 41.02 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. One (lm == 9h. 10m. 38s. 4 3.16 — 0414 10 38 20 8 4 Ni 10 20 82 30 24 B) $e „365 30 24 40 61 4 Wal 415 40 61 50 97 4 .18 16 50 97 10707733 3 42 376 TOM 0) 23 10935 4 99 439 10 25 20 45 4 .87 26 20 45 30 40 4 4.03 43 30 40 40 38 4 Ot 41 40 38 50 41 4 3.98 38 50 4 ul Or 4 4 07 48 46 gouttes. En 2 heures. . 5.031 gr. - 1.02 Par ampére en 2 heures.. 4.932 gr. Poids de 46 gouttes. . . 5.07 gr. » d’une goutte. . . . 0.11 ” 376 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES 6 novembre 1902. I = 2.05 amp. En 10 minutes. Durée de l'écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om. Os. — gh. 10m. 315. 8 26. = => 10 31 20 65 8 57 08 2 65 30 9 Zi 12 26 30 9 40 51 8 48 898 40 51 »0 11 7 0 „900 50 11 10 O 31 8 Jb 29 LOO 10 35 8 .95 54 10 35 20 37 8 97 56 20 37 30 20 5 8.20 54 30 20 40 40 8 7.74 29 40 40 50 45 8 .93 52 50 45 U 0 G2 8 18 44 94 gouttes. En 2 heures.. 11.103 gr. a DUS Par ampère en 2 heures.. 5.416 gr Poids de 94 gouttes. . . 11.30 gr. „ dune wouttierc MU 7 novembre 1902. f= 3.04 amp. En 10 minutes. Durée de l’&coulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. Qh. Om. Os. — Qh. 10m. 99s. 12 iss 1.158 10 22 20 6 11 .30 30 20 6 30 30 12 Db 54 30 30 40 35 12 90 90 40 35 50 7 11 Db 54 50 7 ly @ 18 12 S88 88 LOO 10 13 12 12.00 „200 LOTS 20 9 19 92 99 20) 2 BOP 5 13 29 29 A) 3 40 95 12 95 25 40 25 50 21 12 .08 08 50 21 be Oe Cl 12 „00 00 143 gouttes. En 2 heures. . 14.258 gr. 3.04 : Par ampère en 2 heures.. 4.690 gr. Poids de 143 gouttes. . . 14.27 gr. d’une goutte.... 010 , ” —] PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 37 Transport moyen par ampère en 2 heures d’une solution de: 15 p. de sel sur 10 p. de sel sur 5 p. de sel sur 100 d’eau. 100 d’eau. 100 d’eau. T=1.02 amp... 4.93 gr. —0.08gr. 7.68 gr. —0.08gr. 14.15 gr. — 0.54 gr. Nr, ... 5.49 , +04, 58 , —0.18 , 15.33 , + 0.64 , BOL ... 469 , —032, 802 , +026, 1460 , —0.09, 15.04 gr. 93.28 gr. 44.08 gr. 3 — 3 3 Moyenne.. 5.01 gr. Moyenne.. 7.76 gr. Moyenne.. 14.69 gr. SER + 0.6745 at = + 0.15 gr. — = 10:09kpr = (1935) or. Ces nombres se rapportent comme: 10007 751529, 775239322 Sur 115, 110, 105 grammes des solutions il y a respectivement 15, 10, 5 grammes de sel, ou — comme leurs poids spécifiques sont 1 087, 1.059, 1.030 — sur 105.8, 103.9, 101.9 eM®., équivalant à 14.18 gr. 9.62 gr. 4.90 gr. sur 100 eM>. Les inverses de ces nombres se rapportant comme: 1000 : 1474 : 2894; de sorte que, entre les limites des erreurs probables, Pintensité du transport des solutions d’azotate de zine est: 1°. en raison directe de l’intensité du courant qui les transporte; 2°, en raison inverse des poids d’azotate compris dans Punité de volume des solutions transportées: tandisque 3°. ce transport se fait dans la direction opposée à celle du courant, c.-à-d., de la kathode vers anode. Pour le transport par ampère-heure d’une solution de sulfate de cuivre, contenant 10 parties de sel sur 100 parties d’eau, nous avons trouvé plus haut, (pag. 217) 12.115 grammes et pour celui d'une solution analogue d’azotate (pag. 234) | 315 grammes; main- tenant nous trouvons que pour des solutions analogues de sulfate et d'azotate de zinc ces deux quantités sont: 13.084 et 3.365 grammes. Done en effet la difference entre les quantités transportées est elle du méme ordre pour les deux couples de sels; mais tandique pour les deux sels de cuivre le transport est de méme signe, celui des deux sels de zinc est de signe contraire. 378 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES ZC NO; 15 21, parties de sel sur 100 parties d’eau. 29 décembre 1902. 1 = 2.05 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. 9h. Om. Qs. — Qh. 10m. 19s. 94 DEHN = 2.576 10 19 2012 23 27 60 20? 30 12 93 „00 30 BO 119 40 99 93 29.62 488 40 99 50 9 99 ‚49 7% 50 9 107707736 93 97 50 KO) 9) BS 10 5 91 9) ri .395 10 5 20 18 99 ‚53 68 20 18 30 10 21 28 Al 30 10 40 10 21 .00 10 40 10 50 14 91 20.86 .295 50 14 11 0 25 21 .69 76 265 gouttes. Poids de 265 gouttes. . . 24.11 er. >. „duune goulte. 2% 0.1402, 29 décembre 1902. I = 3.04 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. Qh. Om. (js. — Qh. 10m. Qs. 38 ara = 3.931 10 9 20 10 37 36.94 ‚879 20 10 30 9 36 „06 „186 30 9 40 6 35 35.18 .694 40 6 50 0 34 34.34 06 50 0 3 © 9 34 33.50 ‚518 5 0) 9 10 4 32 32.24 „385 10 4 90 10 32 31.68 26 20 10 30 9 31 .05 „260 30 9 40 14 31 30.74 28 40 14 50 5 30 Ab „198 50 5 4 © 3 30 10 61 400 gouttes. Poids de 400 gouttes. . . 42.14 gr. » „d'une gouttens ../ 10405 » PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 30 décembre 1902. [= 4.00 amp En 10 minutes Durée de l’écoulement. Gouttes Gouttes. gh. Om. Qs. — Qh. 10m. 88. 51 50.33 10 5 20 10 50 49.83 20 10 30 7 49 19 30 7 40 11 49 48.68 40 411 50 8 48 24 50 8 10 OMS 48 47.85 MORE Or, 13 10 11 47 16 LOT 20 0 46 46.86 20 0 30 3 46 45.77 30 3 40 10 46 .47 40 10 SOA 45 44.93 DO ali 11 0 3 44 .60 569 gouttes. Poids de 569 gouttes. . . 5964 gr. d’une goutte. . .. 0.105 , ” IE 5 parties de sel sur 100 parties d’eau 2 janvier 1903. Grammes. 5.285 32 zii 11 .065 24 4.952 20 .806 .774 28 ‚683 En 10 minutes. T=2.05 amp. Durée de l’&coulement. Gouttes. Gouttes. 9h. Om. Os. — Qh. 10m. 3s. 12 11.93 10 3 20 46 13 12.03 20 46 30 44 12 .04 30 44 40 9 11 11.83 40 9 50 9 12 ‚86 50 9 10770731 12 „16 LON OP 10 29 12 84 10 99 20 40 12 .18 20 40 30 48 12 ‚St 30 48 40 7 11 ‚Sl 40 7 50 14 12 ‚86 50 14 RO RS 12 .18 143 gouttes Poids de 143 gouttes .. 1442 gr. jodanesgouttetvn 11101101 ARCHIVES VIII. Grammes. 1.312 24 01 04 294 „302 „296 „302 299 „305 „296 54 380 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES 2 janvier 1903. TI = 3.04 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om. Os — Qh. 10m. 198. 19 1849 = 1.984 10 19 20 9 18 al 93 20 9 30 0 18 97 18 30 0 40 921 19 .36 28 40 91 50 24 18 17.91 .881 50 924 3 OM § 17 AT 34 à 0 8 107 17 17 03 10 D) DD 5 17 16.92 ITH 20 5 0) Mil 17 56 39 30 21 40 13 16 .82 03 40 13 50 20 16 15.82 .661 50 920 4 0 39 16 Dl 99 208 gouttes. Poids de 208 gouttes. ... 21.83 gr. „ “duane goutte .... . 0.105 3 janvier 1903. [=4.00 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. 9h. Om Os — Qh. 10m. Js 25 94.88 = 91619 10 3 20 9 25 „15 599 20 9 30 0 94 „37 59 30 0 40 91 95 15 36 40 921 st) BB} 94 93.92 12 50 23 LODO es 23 00 415 10707723 10 8 99 99.56 369 10 8 il 21 21.25 231 20 il 30 4 21 20.90 195 30 4 40 15 21 .62 65 40 15 50 98 21 ‚55 58 50 28 AO 9 20 „30 32 372 gouttes. Poids de 272 gouttes... 28.56 gr. » „ıdiune goutte "101052, PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 381 III 7'/, parties de sel sur 100 parties d’eau. 5 janvier 1903. I=2.05 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om OS — Qh. 10m. 97s. 8 1:66) 066 10 27 20 45 8 „55 53 20 45 30 41 8 8.05 ‚910 30 41 40 97 8 19 35 40 97 50 5 8 B4 49, 50 5 10840859 9 .26 33 10 0 59 10 35 8 33 4A 10 35 90) 22) 8 .05 10 20 22 309 is) 99 39 30 79 40 68 8 21 40 68 50 49 8 24 31 50 49 0 46 8 03 07 98 gouttes. Poids de 98 gouttes. .. 11.06 gr. d’une goutte ... 0.113 , » 5 janvier 1903. I = 3.04 amp. En 10 minutes. Durée de l'écoulement Gouttes. Gouttes. Grammes. Qh. Om Os — Qh. 10m Js. 12 hs = 1 10 9 90 35 11 .07 40 207 95 30 36 11 10.77 06 30 36 40 56 11 ‚68 „196 40 56 50 47 10 N55) 59 50 47 30730 10 29 52 3 0 30 iO) aly 10 99 45 1017 20 5 10 20 42 20 5 30 48 11 26 49 30 48 40 46 10 03 23 40 46 50 51 10 9.92 11 50 51 4 0 61 10 54 02 126 gouttes. Poids de 126 gouttes. .. 14.07 gr. za Kd’uner goutters 202 54* 382 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES 6 janvier 1908. I=:4.00 amp. En 10 minutes. Durée de l'écoulement. Gouttes. Gouttes. xrammes 9h Om Os — gh. 10m. Os. 16 10 00. =S 1.792 10 0 20 16 15.99 83 20 3 80 9 16 .84 74 30 9 40 19 16 .14 63 40 19 50 34 16 .61 48 50 34 10 O0 18 15 41 26 LOIS 10 14 15 „10 „691 10 14 20 921 15 14.86 64 a) | 30735 15 .66 49 Bi) B 40 24 14 Di 95 40 24 50 4 14 47 21 50 4 (MO 311) 15 .38 15 183 gouttes. Poids de 183 gouttes. .. 20.50 gr. „ »diumereoutte. O0 T2 On voit, en comparant ces séries d'expériences, qu'il y a entre elles quelques-unes qui se comportent comme celles qui ont rap- port aux solutions de sulfate et d’azotate de cuivre et d’autres, qui se comportent comme celles qui ont rapport aux solutions de sulfate et d’azotate de zinc. Tandisque entre les résultats des observations individuelles qui constituent celles-ci (5 parties de sel et 7% parties de sel sur 100 parties d’eau; J = 2.05 amp.) les différences sont du genre de celles qui résultatent des erreurs pro- bables, on observe entre les résultats des observations qui consti- tuent celles-l4 une diminution uniformément croissante, qui doit être attribuée à une cause constante, le déplacement des ions. Comme dans le cas, où le transport se fait dans une direction opposée à celle du courant, l’anode se trouve au-dedans du vase poreux, la densité de la solution, que celui-ci contient, surpassera de plus en plus celle de la solution qui l’entoure, le transport par la pression hydrostatique, qui dans le cas des sels de cuivre s'ajoutait au transport par le courant, contrariera ce transport dans le cas actuel. Il en suit, q’on aura à appliquer aux résul- tats directs des observations les corrections formulées dans une note précédente !), mais qu'il faudra les appliquer avec signe 1) Archives du Musée Teyler, Série II, Vol. VIII, p. p. 99 et 105. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 383 contraire, c.-à-d. qu’au lieu de les retrancher il faudra les ajouter à ces résultats. Que cette supposition est conforme aux faits, cela parait aussi quand, aprés les expériences, on compare les densités des solutions intérieure et extérieure entre elles et à la densité originale. Ainsi, par exemple, nous avons trouvé: 24), p. de sel sur 100 p. d’eau, [= 3.04 amp., poids spéc. original : 1.021, > „ intérieur : 1.052, 5 , extérieur : 1.010; 5 p. de sel sur 100 p. d'eau, 7 = 3.04 amp., poids spee. original : 1.042, 5 intérieur 21047, 5 „ extérieur : 1.031; 5 p. de sel sur 100 p. d au, 7=4.00 amp., poids spéc original : 1.042, Fs „ intérieur : 1.075, y , extérieur : 1.026; 7'/, p. de sel sur 100 p. d’eau, J— 4.00 amp, poids spec. original : 1.062, 5 „ intérieur : 1.082, 7 , extérieur : 1048 Done il suivrait de ces recherches que l'expérience plus haut (page 364) citée de M. d'Armrerpa et que nous avons trouvée conforme à ce que nous apprend le transport des solutions de sulfate de zinc, serait en opposition avec la manière dont les solutions du chlorure sont transportées. Pourtant il ne faut pas perdre de vue que cette opposition est loin d’être générale, qu’elle n'existe pas si le transport de solutions assez concen- trées (5 et 7% parties de sel sur 100 p. d’eau) se fait par un courant d’une intensité assez faible (2.05 amp.) et que M. d’ALMEIDA opérait avec des courants d’une intensité plus faible encore. Corrections selon les formules: VE DE rt) oO GOL Ent (p-p- 99 et 105). Yo SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES IL In S eo = 11.031 0997 Er = 0028 gr 1— (2.576: 495). 1 = 0.997 x 0.098 gr. = 0.098 gr. CAE 60 ).— 1.988 56 , Se SD ). 4 2.978 84 , 4 ( .488 \.. 3.953 le 5 ( Th eee TT 39 , 6 ( 50 ee 5.896 66 , 7 (39 ).—= 6.862 94 , Sr 1.330 21e 9 ( 41 en 18.177 48 , 10010 Je 9727 14 , 11 ( .295 ). EE 10.688 300% 195 76 eee dares Ja 2 C= = os gr. = 0.074 gr 1 — (3.931 : 495). + — 0.995 x 0.074 gr. — 0.074 gr. DIES). "PROS 147 , 3241.86 ). 3+ 2960 219 , CEE) ).& 3.930 ES 5 ( .606 ). 4.894 362 , 6 ( 518 ). $ 5851 433 , 7 (335 ). 6.805 501 , 8 ( .326 ). = 7.750 gas 9 ( .260 ).-+ 8.689 1615 10 ( .228 Jee 95620 RTE) i (198 js 210545 80, 12. (9.161 ).E 11.464 818 , to m Ww OU D 1 © NS LS LS SSL TS PAR LE Sees EN RD ENEN ea CEA u EW NN Me er at zo ote ee) die COURANT ÉLECTRIQUE. fen & bo SE lk 5 ro bo = © | x 2 I ea r role vB «2 10 [as 1S = 0.994 1.976 2.945 3.904 4.851 5.782 6.725 7.630 8.542 9.438 10.327 11.207 1 == 1000 1.991 2,980 3.964 4 946 5.922 6.896 7.861 8.834 9.800 10.763 11.724 — 11.724 — 1.000 5.285 — 4.683 11.207 — 0.994 8" 385 = 0.059 gr. x 0.059 gr. = 0.059 gr. 116 74 „230 86 .341 96 .450 .504 57 .609 61 1.934 — 1.629 gr. = 0.029 gr. x 0.029 gr. = 0.029 gr. 57 ” 386 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES 2.612 — 2.132 7 — 71530 0.997 ©" OS 1 — (2.612: 495). +- = 0.997 x 0.045 gr. — 0.045 gr. 2 ( 599 ). = 1,988 90 , SM 1-59 ). + 2.973 134 „ 4 ( 36 0). 38.952 180 SAT OM > 4.926 222 , 6 ( 445 JS 5.898 6605 7 ( 369 ). 4 6.863 SD Ee út ON ). + 1832 531, 9 ( .195 ).+ 8.791 9% , 10 ( 65 eae CUT 439 , it 58 ). EE 10.694 82 „ (DMS? Vo Gee 525 „ III. Pe Gt m en gr. =O OMEN 1 — (1.282:425). = = 0.999 x 0.017 gr. = 0.017 gr. 9 ( 4 ).= 1.994 33 „ 39 (> 406 ). 2.987 50 , 4 ( .196 eae Sve 66 , DIR (7 MC 83 , Gia 52 eae ea 99 , 70 ( 45 Nos 6.934 HG NE SENG 342 Su 7 32 „ 9 ( 49 ). 3 MESI889 48, 10223 ). = 9868 65 , 11 ROMAN ). 7 10.842 silt 12 ( 02 je MALEIS 57e 1 — (1.792 : : PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 83 7% 195 a= Sonelusion. 3. 1.792 — 1.615 en — 0.998 x 0.017 gr. = 0.017 gr. 1.992 9,981 3.967 4,951 5.927 6.903 7.875 8.844 9.809 10.769 11.726 I; 21], parties de sel sur 100 parties d'eau. Transport observé. 9.576 gr. 60 , Eller, 488 , ARCHIVES VIIT, T= 2.05 amp. Transpt. Corrections. 0.028 er. 56 84 , Al ler 39 Go 94 DOI. 48 , Tan SIL 27 Transport reël. 2.604 gr. 33 49 66 82 98 114 30 46 62 16 14 599 613 . 16 589 89 89 ” ” ” ” ” Transpt. en 2 heures: 31.212 grammes. 9.05 - par amp. en 2 heures: 15.215 grammes 55 387 T 11.726 — 0.998 gr. = 0.017 gr. 388 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES [=304 amp. Transport observe. Corrections. Transport reél. 3.931 gr. 0.074 gr. 4.005 gr. 879 „ LATE 200 186 „ 210 05 „ .694 „ Ol 3.985 , .606 „ OA 68:05 IS Add, Dis 38D „ DOM, 86 „ 326 „ ies 900 „ ‚260 „ 643 „ 03 „ DI à ZD à 30 , silts}, 80 , 18 ai S48 , 4.009 , Transpt. en 2 heures: 47.546 grammes. 3.04 Transpt. par amp. en 2 heures: 15.647 grammes. I= 4.00 amp. Transport observé. Corrections. Transport reël. 5.285 gr. 0.059 gr. 5.344 gr. B ahi: = 48 , alli (ee 45 , Wit 230), AI 065 „ 86 „ bi 24 ,, 341 „ 652 4.952 , 96 „ 48 , 9087 450 „ TD) ‚806 „ 504 „ 10 SITES Dill en Bil ISR AOS) à De 683 „ Gi 44 , Transpt. en 2 heures: 64.134 grammes. MU Transpt. par amp. en 2 heures: 16.036 grammes. PAR LE COURANT ELECTRIQUE. 389 II: 5 parties de sel sur 100 parties d’eau. I=2.05 amp. Transport observé, qui dans ce cas, est ea méme temps le transport reél par le courant. 1.312 gr. 23 ” 24 , Ots 04 „ 294 DU .296 .302 „ 09 305 „ „296 Transpt. en 2 heures: 15.658 grammes. 2.05 Transpt. par amp. en 2 heures: 7.635 grammes. 1 = 3 04 amp. Transport observé. Corrections. Transport reël. 1.934 er. 0.029 gr. 1.963 er. 23 „ DH, TD (3, 85 „ 2.003 , JS SES Ale foto 4 , D9 34 , Gol 03 , 03 , I, 00 , WT 224 , 01 BIJ) 51 ., 129908 05 Te) Sn 1661 AT à 68 „ 29 „ 34. Go Transpt. en 2 heures: Transpt. par amp. en 2 heures: 7.830 grammes. 3.04 23.806 grammes. 55* 390 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES TI = 400 amp. Transport observé. Corrections. Transport reël. 9.612 gr. 0.045 gr. 9.657 gr. 599 „ 90 , 89 , 5) (34, 09 BI Sm DL LO DI > 34 „ slay ven bom {iil — 369) „ LU, 19 PRI 58 , 584 „ 195 „ 96 „ 910 165, 439 , 604 , 158 „ 8%, 40 , AD 55 , BIJ . Transpt. en 2 heures: 31.925 grammes. 4.00 oe Transpt. par amp. en 2 heures: 7.981 grammes, INO 71), parties de sel sur 100 parties d’eau. I = 2.05 amp. Transport observé qui, dans ce cas, est en même temps le transport reël par le courant. 0.566 gr. 50 LU 25 42 , 33 Le 10 59 MIN DL One, Transpt. en 2 heures: 10.968 grammes. 2.05 Transpt. par amp. en 2 heures: 5.350 grammes. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 391 = 3.04 amp. Transport observé. Corrections. Transport reël. 1.282 gr. 0.017 gr. 1.299 gr. 40 „ 33 » To 00 DO 56 „ 196 , 66 , 62 , DORE ah 49, „ 52 , 99 , 51 , 45 , al (il 42, 32 „ 74 „ 49%, 48 , OF DE bar 88 , ul, sie 9977, (DATE Om IE Transpt. en 2 ras 15.294 grammes. Transpt. par amp. en 2 heures: 5.071 grammes. [= 4.00 amp. Transport observe. Corrections. Transport reél. 1.792 gr. 0.017 gr. 1.809 gr. 83) 5 BB) à 1677, TAN, 49 „ 23 „ 63 , 66 , 29 „ 48 , SI DUR 20 9825 % , OL ul Ooms 64 „ 30 „ dA, 49 , 46 , 88 , DE 62 , Si, a, 78e 99 , los, 94 , 7009) 5 Transport en 2 heures: 21.713 grammes. 4.00 ——___— Transport par amp. en 2 heures: 5.428 grammes. Transport moyen par ampére en 2 heures d’une solution de: 7!h p. de sel sur 5 p. de sel sur 2!/, p. de sel sur 100 p. d’eau. 100 p. d’eau. 100 p. d’eau. 1=9;05 amp. 5.390 gr. 1.638 gr. 15.230 gr. 30h , 01e .830 , .647 , MAN „ 428 , Isle 16.036 , 15.849 gr. 23.449 gr. 46.913 gr. 3 men 3 — — 3 - - Moyenne: 5.283 gr. Moyenne: 7.816gr. Moyenne: 15.638 gr. + 0.6745 | / 55 + 0.074 gr. + 0.067 gr. + 0.157gr. 392 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES Ces nombres sont entre eux comme: 1000 : ame) 2 N Sur 107.5, 105, 102.5 grammes des trois solutions il y a respec- tivement 7.5, 5.0, 2.5 grammes de sel, ou — leurs poids spéeifi- ques étant 1.062, 1.042, 1.021 — sur 101.2, 100.8, 100.4 e.M3., équivalent à 7.41, 4.96, 2.49 grammes de sel sur 100 ¢.M3. Les inverses de ces nombres étant entre eux comme: 1000 = 1495: 2978 il parait que, entre les limites des erreurs probables, le transport des solutions de chlorure de zinc est 1° directement proportionel à Vint nsité du courant qui les transporte et 2° en proportion inverse aux poids de chlorure com- pris dans l’unité de volume des solutions trans- portées. Le transport de ces solutions se fait dans la direction opposée à celle du courant, c.-à-d. de la kathode vers l’anode. Il suit de nos recherches que, du moins quant aux cinq sel§ sur lesquels elles s'étendent, le nombre de grammes d’une solution contenant D grammes de sel sur 100 cM*., qui est transporté en une heure par un courant d’une intensité J, est donné par Péquation I= Es D ? où ¢ est le nombre de grammes d’une solution contenant 1 gramme sur 100 c.M*., qui est transporté en une heure par un courant d'un ampère. Done, ee qui sous ce rapport caractérise chaque sel en parti- culier est compris dans la valeur de f, pour lui constante; et nous possédons dans les neuf valeurs de t, déterminées plus haut, autant de données pour calculer ces constantes. Nous trouvons alors: PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 393 pour les solutions de sulfate de cuivre... ¢= 120.2 gr. + 0.8 gr. “ 2 8 „ hitrate „ i: Bd I E02 2 Fe 3 HMRC : ZAC rm Val ONE 2 5 - ER LOD te Ae N i à ICHIOTUTE Zie ze jd KB UN pr Nous espérons examiner plus tard de plus près la signification de ces valeurs {; auparavant nous tâcherons de les déterminer pour quelques autres sels et aussi de décider la controverse qui existe pour les solutions de chromate de potasse et que nous avons mentionnée plus haut (pag. 364). HAARLEM, février 1903. ARCHIVES DU MUSHE TEYLER SERIE II, VOL. VIII. QUATRIEME PARTIE. HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1903. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE. E nz Li | 1 a” AL » — 4 u : i As u E à IR ‘ le | ; Las ‚Ee 1e q Ly . > + in : B Ie i — > t ‘ = ke eG NN ; T M AL je | | ; Fe 6 b an 5 RE” Be 5 5 4 jn - | „A wa = Te i 3» A] 5 5 ’ iy = . n L | } i { i ‘ ; | i u | | ; A = ; | : \ N à vie ae ARCHIVES DU MUSEE TEYLER SERIE II, VOL. VII. Quatrième partie. HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1903. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E SCHULZE. CON VE / \ c= Say AT He TUTO Ye LOMAS minr an END ah ee rite NN VELE AE EEE ER Hu) re van - La NUS 2 you AL Ve 1S: En ouvrant cette nouvelle série l’Institut scientifique et littéraire de la fondation Teyler a l'honneur d'informer les lecteurs des Archives, que M. M. les Directeurs ont résolu de lui en confier dorénavant la rédaction, qui, à partir de ce jour, se fera sous sa responsabilité. Les Archives, comme l'indique déjà leur titre, contiendront d’abord la description scientifique des principaux instruments de précision et des diverses collections que la fondation possède, ainsi que les résultats des expériences et des études, qui seront faites par leur moyen, soit que ce travail soit fait par les conservateurs de ces collections, soit par d’autres, auxquels les Directeurs en auront accordé l’usage. En second lieu, et pour tant que l’espace disponible ne sera pas occupé par ces publications obligatoires, les pages des Archives seront ouvertes aux savants, dont les travaux scientifiques ont rapport à une des branches, dont la culture a été recommandée à l’Institut par son fondateur. Pour de plus amples informations à cet égard on est prié de s'adresser au Secrétaire de l’Institut, E. VAN DER VEN. HAARLEM, janvier 1881. fi ; À : u + N Ta i fou ile ur i L + = Tid tae i ik git vat } 2 ceil en 1 fer ial N wan ' LÉ t dı ro ijn I ry) | NTI LEN OOP EAT ELEN LI LEA "+ ii tt naher ate aten ti rie na A mites Fo “ 7 r En si ordt Alma nid ine MONDEO „an sin rivale “ti { 1 i 24 i eed Ot: Tet aa ay a ze N Lulu Pen tot IE. on 1i0P ih Wx SMAL 5 UNE + # . k Late Lo TEL TRE ut) an | fun lim: PE PAT IE LT ON LAK ik bafk 3 u ru felted end gel icy Seo ai) DS il QUE. J + ‘ waved Py): achat), L et an EARLI EATEEER TAR LIL) Gd i ites be pce liar une ANV = Preity Oye, STi. i hin Jia Abner A poe olay nt bant „ange Sil HAM fix At fod Ind 111 = , . * ivi ikl fi Co Tris ie” ROLL mii ila At] Ab MINT À ir Time Ban / 5 a Mov Jitdl AAY A =! Mp PUBL 7 ‘ y ; : PU 6 sn P u ed ee . lag CS ou : A TABLE DES MATIERES. Sur les relations entre les diagonales des parallélotopes, par P. H. SCHoUTE. La surface cubique de révolution, par M. J. van Uven. Sur le transport des liquides par le courant électrique, par E. VAN DER VEN. à ty ETD TIL, u.) LE à kB tit Niele By ark + FONDATION DE P. TEYLER VAN DER HULST, A HAARLEM. Directeurs. A. HERDINGH. lips ZO CHER P. LOOSJES. Mr. A. W. THÔNE. J. J. VAN OORDE. Secrétaire. Mr. A. A. VAN DER MERSCH. Trésorier. P. DROSTE. Conservateur du Cabinet de Physique. Dr. B. VAN DER VEN. Conservateur du musée de Paléontologie et de Minéralogie. Prof. Dr. EUG. DUBOIS. Bibliothécaire. G. C. W. BOHNENSIEG. Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures. H. J. SCHOLTEN. Conservateur du cabinet numismatique. A. J. C. VAN GEMUND. MEMBRES DES SOCIETES TEYLERIENNES. De la premiere Société ou Société de théologie. Prof. Dr. S. CRAMER. Prof. Dr. I. J. DE BUSSY. Dr. J. G. BOEKENOOGEN. Prof. Dr. D. E. J. VOLTER. Dr. A. C. DUKER. Dr. H. J. ELHORST. De la seconde Société. Dr. E. VAN DER VEN. H. J. SCHOLTEN. J°. DE VRIES. JOH. W. STEPHANIK. Prof. Dr. P. L. MULLER. Prof. Dr. HUGO DE VRIES. SUR LES RELATIONS ENTRE LES DIAGONALES DES PARALLELOTOPES PAR Pr Al SCHONE: 1. Qu’est-ce que c’est qu’un parallélotope? Dans le plan deux couples de droites paralléles comprennent entre eux une partie du plan, une aire limit6e par deux couples de segments de droites équipollents, laire du parallélogramme. Dans l’espace trois couples de plans paralléles comprennent entre eux une partie de l’espace, un volume limité par trois couples de parallélogrammes équipollents, le volume du parallelopipede. En continuant cet ordre d’idées on donne ä la partie d’un espace quadridimensional Æ, incluse par quatre couples d’espaces tridi- mensionaux paralléles, volume quadridimensional limité par quatre couples de parallélipipédes équipollents, le nom de parallélotope quadridimensional. Et en continuant de la même manière on désigne comme parallélotope n-dimensional la partie de l'espace #, incluse par n couples d’espaces E,_, parallèles, limitée par n couples de parallélotopes n—1-dimensionaux parallèles; nous le représentons par le symbole P,. Par chaque sommet S de P, il passe un des deux espaces R,_ı des n couples, et les n espaces R,_; par S se coupent n—1 à n—1 suivant n arétes passant par ce point. On voit tout de suite que P, est déterminé, aussitôt qu’on connaît les longueurs de ces arêtes SA,, S4,, .... SA, et les angles qu’elles forment l’une avec l’autre. En d’autres termes, P, est déterminé, quand on connaît la figure dont les n+ 1 points S,4,,4,,.... A, et les droites, les plans, les espaces, etc. qui les unissent deux à deux, trois à trois, quatre à quatre, etc. forment les sommets, les arêtes, ARCHIVES VII. 56 396 SUR LES RELATIONS ENTRE LES les faces, les espaces limitants, etc. Ainsi le nombre des constantes dont dépend P,, terme n-ième de la série indéfinie „segment de droite”, „parallélogramme”, ,parallélipipède”, etc., équivaut au nombre des constantes dont dépend le simplexe S(n + 1), terme n-ième de la série également indéfinie „segment de droite”, ,, triangle”, »tétraèdre”, etc. On en déduit que le nombre des constantes de P,, est 4 (n + 1). 2. En faisant parcourir à tout point d’un parallélotope P, de l’espace E, des segments de droites équipollents dans une direc- tion nouvelle, obtenue en joignant un point de £,, p. e. le sommet S de P,, à un point quelconque T hors de E,, on engendre un parallélotope P,,, de l’espace H,,, déterminé par E, et le point T. Dans cette génération chaque élément limitant P, de P, engendre un élément limitant P,,, de P,,, et se présente lui-même en deux positions différentes, la position originale et la position finale. Done, si n,, représente le nombre des parallélotopes limitants P, de P, on a la relation récurrente Nrg = Ny—1,q + 2M, 4 ’ ce qui fait trouver que le nombre »,, est représenté par (q), 21”, (g), désignant comme d’ordinaire le r-ième coefficient binomial de la puissance q. En remplaçant les n espaces limitants R,_, passant par un sommet S de P, par les autres n espaces limitants R,_; on trouve de nouveau n espaces R,„_, passant par un sommet, le sommet opposé S’ de S. Ainsi les 2” sommets forment 2”"~' couples de sommets opposés. Seulement les 2”! droites joignant deux sommets opposés sont des diagonales de P, qui en traversent le volume n-dimensional et ne se trouvent done pas dans un des 2» espaces limitants R, ;. On voit sans peine que ces diagonales passent par un même point. En effet, les points qui se trouvent à distance égale des deux espaces R,_; d’un couple d’espaces R,_, limitants, sont situés dans un espace R, ; parallèle; done le point d’inter- section des n espaces R, ; bisecteurs des n couples d’espaces R,_ı parallèles est le point milieu commun de toutes les diagonales, le centre du parallélotope. Ici nous entendrons sous ,diagonale” d’un P, exclusivement les droites par le centre joignant deux sommets opposés. Dans cette petite étude nous nous proposons d'aborder la ques- tion des relations de dépendance entre les 2”! diagonales d’un ) DIAGONALES DES PARALLELOTOPES. 397 P,. Pour n > 4 le nombre des diagonales surpasse celui des con- stantes; done ces relations existent. Seulement pour connaitre d’avance le nombre des relations indöpendantes entre elles, il nous faut développer d’abord un théoréme général dont les cas partieuliers les plus simples sont assez connus. 3. Pour le parallélogramme et le parallélipipède on a le théorème: „La somme des carrés des diagonales est égale 4 la somme des carrés des arêtes”. Ce théorème est de rigueur pour tous les P,. Nous le prou- vons à l’aide de la propriété connue de la médiane d’un triangle, toutefois en appliquant la conclusion de q à Vo) q +1. Soit SS’ (Fig. 1) une diagonale ste / d’un des parallélotopes limitants P, à a centre M dun parallélotope P,., à centre O; soient a,,q,,...q, leslon- S M ‚sr Fre. 1. O gueurs des q groupes de 27! arêtes égales de P, et a,,:—2.0M l'arête nouvelle de P,,;. Alors on a SO? + S' 02 = SM? + 8 M2 + Hain; done, en prenant la somme par rapport 4 toutes les diagonales SS’ de P,, on trouve Zeiss =) d? =1.2d2 + Pal, 12 g+1 q où 2d? et +d? désignent les sommes des carrés des diagonales q qt de P, et de P,,;. Done la supposition 2 2 2 Sd? =2-1 (a4, +a,+...4,) q 5 x 5 que le théoréme s’applique 4 P,, améne la relation 2 2 2 Sd =%2(a +a +... +4 za ( 1 2 ati) qui exprime qu'il s'applique tout de même à P,,;. Comme il vaut pour le parallélipipéde, il vaut pour le parallélotope quadridimen- sional, ete. 4. On a encore le théoréme général suivant: „Quand on connait les longueurs des arétes et des diagonales d’un parallélotope, cette figure est déterminée d’une manière univoque.”’ 56* 398 SUR LES RELATIONS ENTRE LES En effet, on démontre tout de suite que la connaissance des arêtes et des diagonales équivaut à la connaissance de toutes les droites de jonction des 2” sommets entre eux. Ainsi, en appliquant le théorème du numéro précédent à tous les parallélogrammes formés par deux arêtes opposées de ?,, on trouve les diagonales de tous les P,_, limitants; alors de chacun des 2n P„-ı on con- nait les arétes et les diagonales, ce qui permet de trouver de la même manière les diagonales de tous les P,,» limitants, etc. 5. Ce qui précéde nous permet de déterminer le nombre des relations indépendantes entre les 2””! diagonales d’un P,. Supposons qu'on connaît les n arêtes a,,a,,...a,; alors P, sera déterminé par In(n+N—n=4in(n—1) autres constantes en rapport avec P,. Done à côté de la relation 2d? = ra? il existe pl 1m(n—1) — 1 relations indépendantes entre les diagonales. Et comme le montre la considération de deux parallélotopes sem- blables, ces relations indépendantes sont nécessairement homogènes dans les d. Donc à côté de la relation »d? = xa?, on trouve pour les va- leurs suivantes de n un nombre p de relations homogènes indiqué par le petit tableau suivant matter A Gut Toast [ne did - p.... 4 | 5 |16 | 42 | 99 |219|466 A Il nous reste à indiquer ces relations homogènes dans les cas les plus simples. 6. Dans le cas n= 4 il s'agit de trouver une relation unique; c'est encore la formule de la médiane qui nous la procure. Soient 4,.4,,..4, (ie) les sommets d’un parallélipi- pède P, à centre O dont les arêtes A, A,, A, Azs AT par A, ont les longueurs ay, &;, @,, et représentons par P le centre d'un parallélotope P, dont P, est un des huit paral- lelipipedes limitants. Divisons les huit sommets de ce P, en deux groupes de quatre points DIAGONALES DES PARALLELOTOPES. 399 (Ay, As, As, 47) et (Az, 43, Ay, Ag) de manière que deux points d’un méme groupe ne se trouvent jamais sur une méme arête. Alors ces deux groupes de sommets non contigus de P, vérifient par rapport au point P la relation PA® + PA? + PA? + PA? = PA) + PA, + PA, + PA,.. 1) En effet, en appliquant la formule de la médiane, on trouve PA’ + PAS = 2PQ’ + 14,4; PAS + PA’ =2PR' + 14,4, 2 (PQ + PR )=4PO + à, 1(4,A+4A,4)=a,+a, Done, eu égard à l'égalité A,A, = 4,4,, l'addition donne PA + PA? + PA} + PA] =4PO" + a, + a, + a). De la même manière on trouve pour le second membre de l’équa- tion 1) la même valeur; done la relation 1) est démontrée. En supposant que le point P est un point quelconque de l’es- pace tridimensional de ?, on trouve chemin faisant le théorème : „Si les sommets de deux tétraédres 7, T’ forment les quadruples de sommets non contigus d'un parallélipipéde, la somme des carrés des distances d’un point quelconque P aux sommets de T équivaut à la somme des carrés des distances de ce même point P aux sommets de 7°. On démontre de la même manière que plus généralement deux tétraèdres T, T’ jouissent déjà de la propriété exprimée par l'équa- tion 1), quand ils ont le même centre de gravité et la même somme des carrés des arêtes. !) Dans le cas général, où P est le centre d’un P, dont le paral- lélipipède aux huit sommets 4; est un des corps limitants, la relation 1) multipliée par quatre nous donne la relation homogène cherchée entre les longueurs des huit diagonales. Nous l’expri- mons dans la forme suivante: „La somme des carrés de quatre diagonales non’ contigues d’un P, est égale à la somme des carrés des quatre autres diagonales”. Dans cet énoncé quatre diagonales non contigues d’un ?, sont 1) Il y a un rapport intime entre les considérations précédentes et quelques théorèmes de STEINER (voir „gesammelte Werke”, tome II, p. 107, annotation). 400 SUR LES RELATIONS ENTRE LES quatre diagonales, deux quelconques desquelles n’aboutissent ja- mais aux extrémités de deux arétes opposées de P,. Le théorème que nous venons d’indiquer est d’une grande im- portance par rapport aux relations entre les diagonales d’un pa- rallélotope à plus de quatre dimensions. En effet, nous verrons tout à l'heure que toutes ces relations se réduisent en dernière analyse à des équations de la forme 1). 7. Passons aux cing relations du cas n=5. Dans ce cas nous avons affaire aux distances doubles d'un point quelconque P de l’espace E, aux 16 sommets A; (Fig. 3) d'un parallélotope qua- As A 5 Fie. 3. dridimensional 4 centre O. Mais avant de nous occuper de ces distances nous vouons quelques mots ä la notation employée pour indiquer ces sommets A; dans les figures précédentes En fig. 2 la notation des huit points A; est en rapport avec le système de coordonnées dont l'origine coincide avec le centre O du parallélipipède, et les axes sont parallèles aux quadruples d'arêtes de ce corps. Ainsi les coordonnées des huit sommets sont (t1a,,+4a,, +4a,) avec toutes les combinaisons des signes. Et ces combinaisons de signes déterminent les indices de la ma- niére suivante DIAGONALES DES PARALLÉLOTOPES. 401 re artan RT ——+...4, —++... À», —+—...4, + — +...4;, er AZ ++—...A,, ———...As. De la méme maniére l’ordre de succession des indices en fig. 3 est ++++...1 ——++... 6 ———+... 12, +++... 92, —+—-4+... 7, ——+-—... 18, +-++...3 —++—... 8 —+——... 14, +t—+...4 +——+...9 +-——-—... 1H, +++—...9,.+-+-...:.10, ——-—... 16. ++—-—...11, Dans les deux figures les sommets opposés se caractérisent par une somme constante 2% + 1 et 2: + 1 des indices. Dans le cas du parallélipipède deux sommets opposés n’appartiennent jamais à un même quadruple de sommets non contigus; au contraire dans le cas du parallélotope quadridimensional deux sommets opposés appartiennent toujours à un même octuple de sommets non contigus. Le parallélotope P, peut être indiqué convenablement par le symbole (16, 32, 24, 8), parce qu'il admet 16 sommets, 32 arêtes, 24 faces et 8 corps limitants. Done les 12 couples de faces oppo- sées font connaitre 12 relations de la forme 1). En indiquant cette dernière relation dans la forme (1, 5, 6, 7)=(2, 3, 4, 8) on trouve dans le cas du P, les douze équations (1, 6,14, 15) =(2,3,11,16)...2,, (2, 9,10,14)=(3,7, 8,15)... 2,, (1, 7,43,15)=(2,4,10,16)...2,, (2, 9,11,13)=(4,6, 8,15)... 25, (1, 8,12,15)=(2,5, 9,16)...2,, (2,10,14,12)= (5,6, 7,15)...2,, (1, 9,13,14)=(3,4, 8,16)...2,, (3, 7,14,13)=(4,6,10,14)... 2, (1,10, 12,14) =(3,5, 7,16)...2,, (3, 8,11,12)—(5,6, 9,14)...2u, (4,41, 12,13) = (4,5, 6,16)...2,, (4, 8,10,12)=(5,7, 9,13)... 2. bo Seulement, ces 12 relations se réduisent 4 4 relations indépendan- tes entre elles. D’abord on a en remplagant 2; par (7) MEO) (4) 4) = 6); FORT) WEINEN HEN ED 0. 2 ce qui prouve que les six équations 2,, 2,, . - . 2, se déduisent des six équations 2,, 2,, . .. 2,. Et ensuite on a encore (1) — @)=(6) - 6) [= 10), (2)— (8) = (4 — (5) [= (12)]. 402 SUR LES RELATIONS ENTRE LES Done le systeme des 12 relations 2, revient ä celui des quatre équations 2,, 2,, 2,, 2, indépendantes entre elles. On trouve, toujours 4 l'aide du théorème de la médiane, la cinquiéme relation cherchée. Les deux groupes (4, Ag, Ar, As, Ao, Ay, Au, 4,6) (45, As, Ay, As, Ais, Ars, Aus 45) ’ de sommets non contigus fournissent immédiatement la relation PA+PA+.. + PA = PA + PAL +... + PA. 15 2° qui se transforme en une relation entre les seize diagonales de P, en la multipliant par quatre. Et cette relation unique doit être indépendante des 12 équations 2;; car dans une équation 2; deux sommets opposés du parallélotope limitant ?, figurent tou- jours en deux membres différents, tandis qu’en 3) ces sommets se trouvent toujours dans le même membre. Remarquons encore que la relation 3) entre les seize diagonales de P,; se déduit aussi de chacun des quatre couples d'équations analogues aux douze équations 2; en rapport avec les quatre cou- ples de parallélipipèdes limitants opposés du ?, considéré. En effet on a dans la notation employée plus haut \ (1,6, 7, 9) = (2,3,4,12) , (8,10,11,16) = (5,13,14,15) , | (1 6, 8,10) = (2,3,5,13) , (7, 9,14,16) = (4,12,14,15) , ha (1,7, 8,11) = (2,4,5,14) , (6, 9,10,16) = (3, 12,413,415) , I 4,9,10,11) = (8,4,5,15) , (6. 7, 8,16) = (2,12,13,14 . | En ajoutant membre 4 membre les deux équations qui se trouvent sur la méme ligne, on retrouve quatre fois de suite la relation 3). Pour combien d’équations indépendantes comptent les huit équa- tions 4)? On voit tout de suite de nouveau que ce nombre ne surpasse pas cing, parce que les quatre couples de relations ont mené au même résultat 3). D’une autre part on trouve qu’elles renferment les douze relations 2;; on fait reparaitre ces douze équations en combinant chacune des quatre équations 4) ä gauche avec les trois équations 4) à droite qui ne se trouvent pas avec elle dans la même ligne. Done les équations 4) équivalent à cing relations indépendantes entre elles; on obtient un tel systéme de cing relations en omettant trois des quatre équations à droite. 8. Considérons encore de plus près le cas n= 6, où il s’agit des distances doubles d’un point quelconque ? de l'espace E, aux DIAGONALES DES PARALLELOTOPES, 403 EN 32 sommets A; (Fig. 4) d'un P, à centre O1). Ce P, est carac- térisé par le symbole (32, 80, 80, 40, 10). Done on peut trouver 40 relations 1), 20 relations 3) et une relation unique en rapport avec les deux groupes (4, 7, 8, 9,40, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 27, 28, 29, 30, 31), (2,3,4,5, 6,417, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 32) de sommets non contigus. Seulement, pour ne pas tirer au long 12 en An ai rn > 2 /\ We 22 16 les d&veloppements, nous nous bornerons aux équations de la forme 1) qu’on peut déduire de tous les parallélotopes P, dont les sommets et les diagonales sont en méme temps des sommets et des diagonales de P,. A cette fin nous nous occupons de 1) Pour ne pas surcharger la figure A,, 4o,... As, a été remplacé par 1,2, ... 32 tout court. ARCHIVES VIII. 57 404 SUR LES RELATIONS ENTRE LES tous les parall&lipipedes dont huit des 32 sommets du /, limitant (Fig. 4) sont les sommets; en effet, les droites, qui joignent les huit sommets de chacun de ces parallélipipèdes au point P, sont les moitiés de huit diagonales de ?, liées par une relation de la forme 1). En indiquant par a, b, c, d, e les directions des arêtes 12, 13, 14, 15, 16 on voit tout de suite qu'à chaque triple abe, abd, .. . cde de ces directions il correspond un quadruple de parallélipipédes, qui fournissent les 40 relations suivantes: A, 7, 8,11) =(2,3,4, 7) | (9,12, 14,27) =(6, 18, 20, 23)| (10, 13, 15, 28)=(6, 19, 21, 24) | (16, 29, 30, 31)=(22, 25, 26, 32) 7, 9,12) = (2, 3,5, 18) | (8, 11, 14, 27) = (4, 17, 20, 23) | (10, 13, 16, 29) =(6, 19, 22, 25) | (15, 28, 30, 31)=(21, 24, 26, 32) (1, 7,10, 13) = (2,3, 6, 19) | (8, 11, 15, 28) = (4, 17, 21, 24) | ( 9,12, 16, 29)=(5, 18, 22, 25) | (14, 27, 30, 31) =(20, 23, 26, 32) | (1, 8, 9,14) =(2,4,5,20) | (7, 11, 12, 27) =(8, 17, 18, 23)| (10,15, 16, 30) =(6, 21, 22, 26) | (13, 28, 29, 31)=(19, 24, 25, 32) (1, 8,10, 15) = (2, 4,6, 21) | (7, 11, 18, 28) = (8, 7,19, 24)| ( 9, 14, 16, 30)=(5, 20, 22, 26) | (12, 27, 29, 31)=(18, 23, 25, 32) (1, 9,10, 16) = (2,5, 6, 22) | (7,12, 13, 29) = (3, 18, 19, 25) | ( 8, 14, 15, 30}—(4, 20, 21, 26) | (11, 27, 28, 31)=(17, 23, 24, 39) (1, 11, 12, 14) = (8, 4,5, 28) | (7, 8, 9,27)=(2,17, 18,20)! (13, 15, 16, 31) =(6, 24, 25, 26) | (10, 28, 29, 30) =(19, 21, 22, 39) (1, 11, 18, 15) = (8,4, 6, 21) | (7, 8, 10, 28) = (2, 17, 19, 21) | (12, 14, 16, 31)=(5, 23, 25, 26) | ( 9, 27, 29, 30)=(18, 20, 22, 3% (1, 12, 18, 16) = (8,5, 6, 25) | (7, 9, 10,29) = (2, 18, 19, 22) | (11, 14, 15, 31)=(4, 23, 24, 26) | ( 8, 27, 28, 30)=(17, 20, 21, 32) (1, 14, 15, 16) = (4, 5, 6, 26) | (8, 9, 10, 80) = (2, 20, 21, 22) | (11, 12, 13, 31)=(8, 28, 24, 25) | ( 7,27, 28, 29)=(17, 18, 19, 32} En ajoutant membre à membre les quatre Sau lu d’une méme ligne on obtient dix fois le méme résultat, qu’on peut exprimer dans la forme suivante: „La somme des carrés de seize diagonales non contigues d’un P, est égale 4 la somme des carrés des seize autres diagonales”. En indiquant par (a, b) la bi" équation de la aï"° colonne on trouve entre les 30 équations des premiéres trois colonnes et la premiere équation de la quatrieme colonne, les rapports suivants: (1,4) + (2,1) = (41,2) + 2,2)=(1,4) + (2,4 LA) BD) ZR EON ZD (A2) te (SEAN (SRI MEO en 20 (1,4) + (3,4) = (1,5) + (3,5) = (1,6) + (3,6 l'AG nl) =D) )=(1, 8)+ (2, 8) )=(1, 9)+(2, 9) ) = (4, 10) + (2, 10) ) = (1, 10) + (8,10) | Done les équations (Ard) 5 (4,2) 6453) De a (1,6), (4, 7), (4,-8), (1, Dre) (2,1), (8,1), (8,2), (8,4), (3,7), Un) forment un système mad indépendantes entre elles. 9. Terminons par quelques idées générales par rapport au cas d'un n quelconque. On trouve sans peine les théorémes suivants: DIAGONALES DES PARALLELOTOPES. 405 „Deux sommets opposés de ?, appartiennent toujours à des systèmes différents de sommets contigus ou bien à un même sys- tème de sommets contigus à mesure que n est impair ou pair”. „La somme des carrés de 2° diagonales non contigues d’un P, est égale à la somme des carrés des 2"? autres diagonales”?. »Les parallélotopes ?, dont les sommets et les diagonales sont en même temps des sommets et des diagonales de ?, se présentent en nombre (n—1), 2‘; ils mènent ensemble à un nombre de (n—1), (2° — 1) + 1 équations entre lesquelles il existe encore [(n—1), — 8] 27 — 4 (n® —9n? + 14n — 18) relations de dépen- dance”. GRONINGUE, 1 mars 1908. ke 2% br ÉTORMETE LM Mar Bi Hulk PING rn Oja de LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. (Mémoire couronné par la faculté des sciences de l'université de Groningue) PAR M. J. VAN UVEN. $ 1. Quelques remarques générales. Une section normale à l’axe de rotation est une courbe du troisième degré, composée d’un cercle et d'une droite. Chaque point de cette droite doit se trouver à la même distance du point où le plan d'intersection coupe l'axe; cette droite est done la ligne à l'infini. La courbe d’intersection avec un plan passant par l'axe (la méridienne) est de même du troisième degré. Il faut que cette courbe soit symétrique par rapport à l’axe, afin qu'elle puisse engendrer la surface en tournant autour de l’axe. De cette position symétrique résultent les particularités suivantes: 1°. Un point double ou de rebroussement doit se trouver sur l’axe de rotation. Il ne peut pas être à l'infini, comme nous le démon- trerons tout à l’heure. Les tangentes du point double font avec l’axe des angles égaux. La tangente de rebroussement doit coineider avec l’axe. 2°. Il faut aussi que les points d’inflexion réels soient symétriques par rapport à l’axe. Deux d’entre eux doivent donc être leur image mutuel par rapport à l’axe et leurs tangentes doivent avoir l’axe pour bissec- trice. Le troisième point d’inflexion ne peut pas être situé sur l’axe, car en ce cas la courbe ne pourrait être symétrique par rapport ARCHIVES VIII. 58 408 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. à l’axe tout près de ce point, vu que la troisième tangente d’in- flexion doit étre normale 4 l’axe et que la courbe coupe cette tangente en le point d’inflexion. Le troisiéme point d’inflexion se trouve done à linfini dans la direction normale à l’axe. La troisiéme tangente d’inflexion est une des trois asymptotes; aussi elle est perpendiculaire à l’axe. 3°. Les deux autres asumptotes doivent se couper sur l’axe et faire avec lui des angles égaux. 4°. Les tangentes des points d'intersection de la courbe avec l'axe sont perpendiculaires à l’axe et passent donc par le point d’inflexion à l’infini. Par conséquent, l’axe est la polaire harmo- nique du point d’inflexion à l'infini et les points de rencontre de la courbe avec l’axe sont des points sextactiques. 5°. Les deux autres polaires harmoniques doivent avoir l’axe pour bissectrice. Pendant la rotation de la courbe méridienne autour de l’axe la troisième point d’inflexion décrit la ligne à l’infini des plans perpendiculaires à l’axe. Chaque plan normal à l’axe coupe done la surface en un cercle et en la ligne à linfini. Les coupes perpendiculaires à l’axe qui passent par les trois points d’intersection de la surface avec axe, sont dégénérées en la ligne à l’infini et en les deux droites isotropes passant par les points de rencontre avec l’axe Si la surface n’est pas réglée, aucune ligne réelle dans l’espace fini ne peut étre située sur elle. En effet, aucune autre ligne, exceptés l’axe et la ligne à l’infini des plans normaux à l’axe, n’est symétrique par rapport à lui. Les seules lignes imaginaires symétriques par rapport à l’axe sont les couples de lignes isotropes perpendiculaires à l’axe qui se coupent sur lui. Il y a trois coupes normales 4 l’axe consistant, outre de la ligne à l'infini, de deux lignes isotropes. Il ne se trouve done sur la surface que six différentes lignes imaginaires. Dans la ligne à l’infini des plans perpendiculaires à l’axe sont situés les deux points circulaires J et J, où les six lignes isotropes de la surface se rencontrent. Evidemment J et J sont des points doubles. Les trois lignes isotropes passant par J se trouvent dans le plan mené par I et l’axe. Les trois autres lignes de la surface qui concourent en J, coincident avec la ligne à l'infini. I et J LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 409 sont done des points biplanaires. Lun des plans n'est pas déter- miné pour le moment. Chacune des six lignes isotropes compte pour trois; la ligne a l'infini joignant les points biplanaires compte pour neuf. Nommons A, B, C les points d’intersection de la surface avec l’axe, alors les six lignes isotropes seront: VAAL AB STRO Suivant la notation de ScHLÄFLI nous pouvons désigner les droites sur la surface ainsi: allo dealt Nd Ord Ald) 5. 3 CC Ce, LB oe el Et BENEN 05 SO Sy BEE a Td (OH 5 6 6 een; el S03 = Cp Suk HOF SOR SS SG Il n’y a pas de surfaces réglées cubiques engendrées par révo- lution. En effet, si elles existaient, la ligne 4 l'infini des plans normaux à l’axe en devrait être la directrice double. En ce cas une courbe méridienne devrait avoir un point double au lieu où elle aurait un point d’inflexion, ce qui est impossible pour une courbe cubique non dégénérée. Pourtant il y a bien des surfaces réglées cubiques de révolution dégénérées, savoir l’ensemble d’une surface de révolution quadra- tique et d’un plan normal à l’axe. Cette surface de révolution quadratique peut d’ailleurs étre dégénérée en les deux plans qui joignent l’axe avec les points I et J. En ce cas l’axe doit étre interprété comme directrice double et la ligne à l’infini perpendiculaire 4 l’axe comme direc- trice simple. § 2. Choix des systèmes de coördonnées homogènes. En examinant les propriétés géométriques de la surface cubique de révolution, nous nous servirons tour 4 tour de deux équations, toutes deux en coördonnées ponctuelles homogénes. Dans le premier cas le tétraédre de référence a pour sommets les points I et J et deux des trois points d’intersection de la surface avec l’axe. Dans le second cas ce tétraédre de référence a pour sommets les points J et J, un des trois points d’intersection de la surface avec 58* 410 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. Vaxe et le point de rencontre avec l’axe du plan qui est engendré p 1 par la rotation de la tangente du point d’inflexion à linfini. Dorénavant nous nommerons ce plan le plan d'inflevion. En désignant par A, B, C les points d’intersection de la surface avec l’axe et par D le point de rencontre du plan d’inflexion avec l’axe, nous avons dans le premier cas I, J, A, B pour sommets du tétraèdre de référence; dans le second cas: I, J, À, D. Equation de la surface par rapport au premier système de coör- données. Les quatres faces ABJ, ABI, BIJ, ALJ, seront désignés par LU er SS a 0! L'équation du plan CIJ sera donc L’axe a pour équations: 2%, kt. “0 G, =0 La ligne à l'infini a pour équations: (23 =0 (2, — 0 Les six lignes isotropes seront représentées par (2, =0 (z‚=0 |2,=0 t=O (#, =0 |x, =0 =O le, SO le) See, a, 0” x, Oe Le plan AIJ a en commun avec la surface les lignes AI, AJ, IJ, done (ts =0 (%,=0 |x, =0 |, =0’ la, =0’ la, =0° En substituant x, = 0 dans l’équation on obtiendra donc wdn). LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 411 x, = 0 coupe la surface suivant les droites La substitution x, — 0 donne done Ly Ly oy — 0, x, =0 coupe la surface suivant les droites (a, =0 (x, —=0 (x, =0 ONE = ON, kr Ainsi x, =0 donne ve, vy (©; == ka) == (0) x, =0 coupe la surface suivant les droites Donc x, =0 donne encore Da %, (23 Ds) 0. Par conséquent l’&quation de la surface aura la forme suivante: AG) C56, + Bett + at, (ce, —ke,)—O0 ou ©, a, (Ar, Bo,) +o, ©, By key) =O. %, = px, donne trois valeurs coincidantes (v, =0 (a, = 0 lorsque, dans (Ap + B) a, To Uy +p(p—k)x=0, ona Ap + B=0 ou B De TA B Le plan z, en OU Ax; + Bx, =0 a done en commun avec la surface trois fois la ligne à l’infini. Il est clair que 412 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION Ax, + Br, =0 est Péquation du plan d’inflexion. Avant de continuer nos recherches, nous voulons d’abord chercher Péquation de la surface par rapport au second système de référence. Nous désignerons les faces ADJ, ADI, AIJ, DIJ respectivement par =, eV IV: Pour A nous pouvons toujours prendre un point r&el d’inter- section avec l’axe. Alors B et C sont ou tous deux réels ou conju- gués complexes. Soient x= ky x, et 2, = ky wy les équations respectives de BIJ et de CIJ, nous pouvons tirer les conclusions suivantes: i, = 0 ‘donne 22,0 0, —=0 ” w, (es —k, wi) (23 —k,x,)=0, Gy =) 35 a, (v, —k, vo) (5, —k, v,) =O, Go 0 , ins UN Evidemment l'équation de la surface est: AG) 6, ty + te (8, 5,2) — ke 0.) —O ou A bron a, — (kK, +k,)a sx, +k, k, x, =). Nous voyons qu’en ces deux cas le système de coördonnées est tellement choisi, que l’équation consiste de quatre termes, et qu’y figurent seulement trois constantes arbritraires. $ 3. Application du premier système de coördonnées. U= an, (Av, + Bu,) + x, &, (a, — kx,) =O. Posons: DU 0 U 2 U a ete Wi ‚etc; Um = Il vient: LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 413 Un Ar, %; + Br, ay; Cp As ot bay, 9 U, = As, a, + 20,0, — ke, U, = Ba, x, + %, 2h, &,- L’équation de la première surface polaire du point (2,,2,,2,,2,) est: U 20,2, 0,2, 7, Ont a ou %, (Ax, + Bx,)2, +8, (4x, + Ba) 2, + (2x, x, — ka, + Axim)z, + + (x, = Die a ona, tm ee 0 as os) UL) Pour le point J (2, =0, z, =0, z, =0) celà devient æ, (Az, + Bo) =0. La premiére surface polaire de J est done composée de deux plans, savoir le plan joignant J ä l’axe et le plan d’inflexion. Ce sont donc les deux plans tangents du point biplanaire J. Il paraît que l’un des plans, qui n’était pas déterminé auparavant, coincide avec le plan d’inflexion. Un point sur la ligne à l'infini (2, =0, z, =0, 2, =p2,) a pour première surface polaire: (pty + x) (Az; + Bx;) = 0. Cette surface est done composée, outre du plan d’inflexion, du plan x, + px, =0, qui est le conjugué harmonique du plan ET, — pr, =O, où est situé le pôle, par rapport aux plans x, =0 ete — 0! Or, x, =0 et x, =0 sont les plans doubles imaginaires de l’involution orthogonale de plans passant par l’axe. Les plans x, + px, = 0 et x, — px, = 0 sont donc perpendiculaires entre eux. Nous aurions encore pu obtenir ce résultat, d’une manière fort simple. par voie de géométrie. Il ne nous fallüt que considérer, que la première surface polaire coupe la surface donnée suivant la courbe de contact du cône tangent. Il est clair que le cône tangent mené d’un point de la ligne %, = 0, x, = 0 est un cylindre, dont les génératrices sont perpen- diculaires au plan de la courbe de contact. À ce cylindre appar- tient aussi le plan d’inflexion. La première surface polaire du point A(z, =0, z, =0, z a pour équation: 414 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 2 ©, — 2kx, x, + Bx, x, =O. Evidemment elle est une surface quadratique de révolution, qui coupe l’axe en le point A(x, =0, x, =0, x, =0) lui-même et de plus en le point H(z, =0; x, =0, x; = 2ks,). Nous en concluons que, A et E étant harmoniquement conjugués à Bet C, les plans x, =0 et x, =2kx, sont harmoniquement conjugués aux plans x, =0 et x, = ka. La première surface polaire du point B(z, =0, z, =0, 2, =0) a pour équation: 2, 5, — kr, + Ax, x, =0. Elle est de méme une surface quadratique de révolution, et coupe l’axe en les points B(z, =0, x, =0, x, =0) et F (x, =0, k ; er. Ta 0%; = 9%): Or B et F sont harmoniquement conjugués k 8 à A et C, done les plans x, =0 etz,=— x, sont harmonique- ment conjugués aux plans x, =O et x, = kx,. L’&quation de la première surface polaire du point © (2, =0, 2, 022; — ee, ) est: k (2%, %, — ke, + Az, %,) + (@, —2he, 2, + Bu, x.) =0 ou (a, — k? x) + (kA + B)x, x, =0. Cette surface quadratique de révolution coupe l’axe en les points Ce, 0, 2, =O, 2, =) et Ger =O, 7,=0, 2, = ka: C et G sont harmoniquement conjugués ä A et B. Les plans x, = kx, et x, —=—kx, sont par conséquent harmoniquement conjugués aux plans 2, =0 et x, =0; ce que l'on aurait pu reconnaitre immédiatement. L’équation de la surface de Hesse s'écrit: U U» Us Us | U, Us Us Ung | =D. | Us Us; Us Us, Uu Us, U;, Ui Uy=0, Us=A%, + Bx,, U],=Ar,, U„=Bk,, Uy=Ax, ar Bx, > Us=0, Us=Ar, ; U,=Bk, A U,;=Az,, U,=Ar,, U33=22,, U,=2r, —2k%,, Du Bin Uu=Bz,, U,=27,—2kx,, Uu=--2kx,. LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION, 415 L’équation de la surface de Hesse devient done: 0 Ax, + Be, Ag, Ba, | Ar, be, 0 As, Bau, en, Ads Ar, 27, 2%, —2kx, | Bx, Bu, 20, —2kx, — 2ke ; Ce déterminant étant calculé, il vient: 4 (Ax, + Be) | (Av, + Bo) (5 — kx, 2, + kb? x) — — {A (Ak +92B)x, —B(2Ak + Div, |, % | = 0 4) Cette surface biquadratique est composée de deux parties: 1° le plan d’inflexion, 2° la surface cubique de révolution définie par VAAK + 2B)x, — BQ2Ak+ Bel zo Lo — — (Ax; + Bu,) (à, — hw, x, + k? ent KS) En effet, l'équation (Pa, + Qx,)x, % + Rx, ate Sc a, + Lees, x no Us, = 0 représente une surface cubique. qui a les points (x, = 0, x, — 0, Po 0) et (7, — 0 7, =0, x, =0), donc les points circulaires 7 et J, pour points biplanaires; cette surface est done de révolution. Dans la suite nous désignerons cette surface par A,, la surface donnée par O,. H; coupe l’axe | nel N, Are Br, U: 1° en le point 2° en deux autres points, situés dans deux plans dont l’ensemble est représenté par 2, — kr, 2, + k x =0, done dans les plans: Oes NSE EE ln — 0) æ et «? étant les racines cubiques imaginaires de l’unité positive. Si les points A et B sont réels, e-à-d. si 2,=0 et x, =0 3 ARCHIVES VIII. 59 416 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. reprösentent des plans réels, k est aussi réel; en ce cas les plans a, + «kr, =0 et x, + a? kx, =O sont imaginaires. L'équation du plan d’inflexion de H, est A (Ak + 2B)x, —B(2Ak+ B)x, =0. Evidemment ce plan est la seconde surface polaire (done le mr cis f=) ) par rapport à O,. | Az, + Br, =0 En effet, en substituant x, =0, x, =0, Az, + Br, =O dans l'équation (1) de la première surface polaire de (2,, 2,, z,, 2,), on obtient plan polaire) du point D ( À (Ak + 2B)2, — B(?Ak+ B)z, =0. O, a en commun avec H, | 2%, —0 Vek =O 2° une courbe gauche du 8°™ degré composée de quatre cercles (le lieu des huit points d’inflexion finis des méridiens). Les quatre plans, oü se trouvent ces quatre cercles, se présen- tent si nous considérons le faisceau de surfaces cubiques, dont O, et H, sont deux éléments. A ce faisceau appartient l’ensemble d'une surface quadratique de révolution passant par trois des quatre cercles qui avec (x, =0, x, =0) composent la courbe de base, et d’un plan contenant le quatrième cercle et (x, = 0, x, = 0). Nous pouvons done établir l'équation [(Ax, + Ba) (@& - ku, a, + ka) — A(Ak + 2B)x, 2,0, + + B(2 Ak+ B)x, x, u] +A[ Ax, 2,2, + Bx, x, x, +0, 0, — kr, |= =n (es + pt,) (a, + + TE Gi + sc); 1) d'où résulte: 1° la ligne à linfini — A(Ak + 2B) +1 A=u, B(2Ak+ B)+AB=pp, Aug, B—kA + A= tr + pg), k?A—kB—ık=u(s+ pr), Bep: 1) L’équation Ti La + qz5 + rag x, + su —0 représente une surface quadratique de révolution, puisque chaque plan x; = la, normal à la droite (x, —0, xj —0) coupe la surface suivant une conique passant par les points circulaires (x —0, v3 =0, u =0) et (#20, 3 =0, #40), donc suivant un cercle, qui a le centre sur la droite (x, =0, x, — 0). LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 417 En éliminant A, «, q, 7, s nous arrivons à la suivante équation biquadratique en p: A? p* — 4 ABp —6ABkp? — 4AAbk?p+ B?i?=0... (4) Cette équation donne quatre valeurs pour p, done quatre plans x, + px, =0, ot se trouvent les cercles, suivant lesquels H, et O0, se coupent. Plus tard nous traiterons le méme probléme en appliquant le second système de coördonnées; quelques autres cas spéciaux seront alors examinés. Auparavant nous nous occuperons d’un problême dont la solution s’effectue par préférence à l’aide du premier système de coördonnées. Les tangentes des points d’inflexion finis des méridiens décrivent, en tournant autour de l'axe, quatres cônes. Déterminons les sommets de ces cônes. Nous allons considérer seulement la courbe méridienne dans le plan réel x, =a, et prendrons pour triangle de coördonnées le triangle formé par l’axe et par les droites d’intersection avec les plans x, = 0 et x, =0. Que l'équation de l’axe soit =} Par un point de l'axe (x, =0, x, =mx,) nous menons la droite Gi Gi + Ga La +a,%, — 0. Il faut que ma, + a, =0; done la droite est représentée par — % (ma, — %3) L’équation de la courbe méridienne est: 2 2 2 2 Ar cn BR diy EL, % —— ka, 5, = 0. a, (ma, — %;) La substitution x, = En donne 1 am NS (Ale ke A Ds ME a, (ma, — %3)° (Av, + Bx,) + a, 4, %— a, kx, x =0. En posant 59% 418 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. nous obtenons Ay$ + (¢+ B—2mA) y? + (m? A — ck—2m B) y + m? B=0. Afin que la droite a, x, + a,%, + a,%, = 0 soit tangente d’in- flexion, il faut que l’&quation précédente ait trois racines égales. Ainsi on a les conditions c+ B—2mA m* A—ck—2mB _ 3m? B 34 ~ ¢+B—%mA — m? A—ck—2mB De ces équations ¢ doit étre éliminée. On trouve (c + B—2mA)*=3 A (m? A — ck — 2m B) (ce + B—2mA) (m? A — ch—2mB)=9m? AB d’où l’on tire en multipliant: [e+ B—- 2m A]’=27 m? A2 B. (e + B— 2m A) (m? A — ck — 2mB) =9m? AB (m? A— ck — 2m B)’= 3m? B(c+ B— 2m À) par multiplication il vient: (m? A — ck — 2m B)° = 27 m! AB?. On a done ensemble: [e+ B 2mA]’=27m24:B | [m2 A — ck — 2m B]’ = 27 m* AB? | ou ke + Bk — 2m Ak = 3k Pm? A? B — = ita tine dle Nye UE B(k - 2m) + Am(m 2k) = 3k ¥'m? ALB + 3 5m AB? ou [B (k — 2m) + Am (m — 2k)]’ = 27 k? m? A2 B+ 27m! AB? + + 27km? A B[B (k -- 2m) + Am (m — 2k)]. En effectuant le caleul on obtient A®m® — 6 A? (kA + B)m? + 3A (4k? A? — 5 B?) m! — — 2(4 A? ks — 9k? A? B— 9k AB? + 4 B3) m3 + + 3k B (4 B? — 5k? A?) m? — 6h? B? (kA + B)m + kb? B3 =0. Cette équation donne six valeurs pour m. Elle a cependant > ; B 4 : deux racines m= — Zi correspondant à la droite Ax, + Bx, = 0 comptée deux fois, qui est la tangente du point d’inflexion à l'infini. LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 419 En divisant l'équation par (Am + B)?, on arrive à la suivante équation biquadratique en m: Amt — 2 (3k A + 4B) m? + 12k (kA + B) m? — — 2k? (4kA + 3B)m + kh? B=0. Il est clair que cette équation donne les quatre valeurs de m appartenant aux points (x, = 0,2, = 0.x, = mx,) où les tangentes d’inflexion des méridiens coupent l’axe. Si nous posons dans cette équation B B = zm et k= Fh, elle se réduit a mi —2 (3 + 41) n3 +12(1 + Dn? —2(4+ 8ljn + 1=0. Les racines en sont meene ae ee ae a: 0p ane er Gas era . ir. ae RE Ps ny =3+ 491+ Vaas > Le. 5 2 ; ee = GEB) NT ia ae Ge OV wem Vy = mins : 4 |) u nz u Bon + el 6413 + 9612 + 301 — | / 72 ER ri en ee en ae AS +1 GAS +962 + 30 TT 2 UN FEAR = ARRET Ex a: ee B Si, en particulier, k = — Ao Péquation de O, s’écrit: (Ar, Br) (Agia a, oy =O 420 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. La surface est en ce cas dégénérée en le plan d’inflexion et en une surface quadratique de révolution. Puisqu’on a maintenant A B nen Mg les quatre racines sont: te i Al Les quatre valeurs pour m sont par conséquent: B Mi m, „m tat appartenant aux plans Av, + Ba,=0 et Ar, — Br, = 0. Conclusion: Si O, est dégénérée en une surface quadratique de révolution O, et en un plan V normal à l’axe, l’un des plans v3 — mx, = ( coincide avec le plan V et les trois autres avec le plan V', qui coupe l’axe sous un angle droit en un point, qui est le pôle du plan V par rapport à Os. Si nous avions employé l’autre système de coördonnées, l’éli- 5 4 a 5 : mination de c= a2 aurait été beaucoup plus embarrassante: voila 3 pourquoi nous nous sommes servis du premier systéme. $ 4. Application du second système de coördonnées. U = An, %, u + 2%; (ü, — kb, &,) (ts — ha %) =0. Il en suit Oho alah U, = Ax, %, U, = 357 — Ak, + os u + kh, ky Pi, Ui === (kj + kod 2h, kb, 2, wit ALi En: L’équation de la première surface polaire du point (2,,23,23,2,) est Ax, 42, + Aw, %2, + (Baj —2(k, + hy) vz u + hy ha ale, + + \|—(k, +k.) 2+ 2k, k,2,u + Av, vol =0....(l) La surface polaire de J (z, =0, z, =0, z = 0) est représentée par 2,%=0, celle de 1 (2, =0, 2, =0, % =0) par x, %=0. ’ LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 421 La première surface polaire de A (2,=0, z, =0, z,=0) a pour équation: Ax, %,—(k, + by), + 2h, kyo, %=0. Elle est done une surface quadratique de révolution coupant l'axe en les points A (x, =0, x, =0, 2,=0)etE (x, == 0) 2k, ka Vz = oo v4 > RE 2k, ko ds DE Mrs le gués aux plans 7, =k,n et, =k, %. La première surface polaire de B (2, =0, 2, =0, 2, =k, 2) a pour équation : Les plans x, =0 et x, sont harmoniquement conju- 2 2 2 2 Ax, x, + \(2k, —k,) a, —2k x, a, + kk, vi =0. Cette surface quadratique de révolution coupe l’axe en les points Be, —(l) Lo ON de == Ti) et # @ =} Ly = 0; = 4 = ). br = A en I Aa" 2k, —k, Va, À és plans r, — kk, 2, et 2, = De sont harmoniquement Fl 2 a À conjugués aux plans 7, = 0 et x, =k, %. L’équation de la première surface polaire de C(z, = 0,2, = 0, Le.) s'écrit: Ax, 2, + } (2k, —k,) 2, — Wo a + k, Ex, | = 0. Cette surface rencontre l’axe en les points C(x, =0, x, = 0, k, k Ez = Ten ©) et G («, — 0,2, 0% Ba = x.) ; ir k, ka : Les plans x, =k, % et x, = Ih — y, sont harmoniquement Da conjugués aux plans x, =0 et x, = k, x. La première surface polaire de D(z, — 0, z, =0,z, = 0) est repré- 2 2 2 sentée par 3, —2(k, +k), u tk, k, 7, =0; ou T3 Ur - k; a VEE ky, k, + ko Fa 3 Ces deux plans coincident, si ki — k, k, + il) en d’autres termes: 422 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. Pik=-ak,, 2 sik, =— aks. Dans le premier cas le plan a pour équation: Sas sak, (leo), on lds, = ENE —i 3) x ; dans le second cas: k, fa oe Om (3 Sr i 173) Vas L'équation de la seconde surface polaire de (x, =0, 2, =0, x, =0) on, =k, (1 —@?) a, ou 35, — est oz, —(k, +k,)a%&=0 ou 32, =(k, +k) a. 1° Étant k, =— « k,, cette équation devient 3x, = 2 (3-13), ky DR 2° ” k,=— a@k,, ” ” » un. © +43) au. 2 Dans tous deux les cas le plan polaire de (x, =0, x, =0, x, =0) coincide avec la première surface polaire, dégénérée en un seul plan. L'équation de la première surface polaire du point (2, = pz,. 2, ==0, ZU) ss eCrit: vw, + pt.) = 0. Elle se compose, comme nous l'avons déjà démontré plus haut, du plan d’inflexion et du plan passant par l’axe qui est perpen- diculaire au plan x, = px;. L’équation du plan polaire de x, = px, est 24,0) Evidemment tous les points de la ligne à l’infini (x, =0, x, =0) ont en commun la seconde surface polaire. Etudions maintenant la surface de Hesse, UI, 0) UA, Up =Ar,, Ui Or UE, Uy=4Ar,;, Us=0, UO U bt 2 =), U, —=—2(k, +k,)&; +2k, kom , Uu= Ag,, Uu = Ar, , Uu=—2(k, tho) te kent, Uu-=2k,korz. L’équation de la surface de Hesse s’écrit: 44: [ms MI —kık, +) a, —kıkz(k, + hy) ts u + ai + + Ar, 80, (by + hy) a | 0. MP LA SURFACE CUBIQUE DE RÉVOLUTION. 423 La surface est, comme on le voit, composée du plan d’inflexion et de la surface eubique de révolution H, qui a pour équation: Az, 2, 35, — (ky + ko) | + a) (ki — ke, ky + k,)®, — —h, hy (hk, +) u +R Bal f{=0... (3) Le plan d’inflexion de H, est représenté par 3a, —(k, +k,)u=0 ou par Us; = 0. Les points d’intersection de H. avec l’axe se trouvent dans les P 3 plans h ; 103, — 173 ena ke au k,) FA Si k, et k, sont conjuguées complexes, c.-A-d. si O., n’a qu'un seul point réel d’interseetion avec l’axe, la quantité k, + k, est réelle et la quantité k, — k, imaginaire; done l'expression i(k, — k‚) 3 est réelle; k, k, Vest aussi. En ce cas H, a trois points d’inter- section réels avec l’axe. Si les constantes k, et k, sont réelles, c.-à-d. si O, a trois points réels de rencontre avec l’axe, 7, n'a qu'un seul point réel (D) d’intersection avec l'axe. Les quatre cercles que O, et H, ont en commun (outre (@, = 0, % = 0)) se trouvent dans quatre plans Pr, + 2, = 0. Comme plus haut, nous pouvons trouver les quatre valeurs pour P en considérant le faisceau déterminé par O, et H,. Az, sv, — Alk, + b,) 2, 5, m+) (k; —k,k, + k, ) 2, 0 — 2 272 3 — k, ky (ky + kh.) a, 4) + be kee | + 4 A At, u + x. — (k,+kh)uu+k,k,z, x |= =u (Pr, + %) (@, % + qu, DU ty ae st) ; de sorte que SA we =A(k, #%,) +AA=u, Mond (a? — 8b) —ha=uPr+uq, —ab+ib=uPs+u Ts br us, ARCHIVES VIII. 60 424 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. où nous avons posé k, +k, =a et k, k, q, 7, 8, nous arrivons à la suivante équation En éliminant À, u, biquadratique en P: 4(k, +k, GIE a) P — kik U > Ay Les racines en sont: sede es = TE +V Er =, 7 JA ae =e VEE Et a/b MEE eV ar Vr VEEL VEN VA k, ky 2k, a 1 BENE 3/9 (k Bae p= + UT Es 12e ZE 4 ee k, EV Va = (Per k, = 7) Dek, )2 Be eee + VX en FR "on, la en else ae (We oe DI Sous la forme L/Q nous entendrons toujours la racine positive By k, k, de Q. Commengons par supposer que les constantes k, et k, sont toutes deux réelles. Le premier terme de P,, P,, P,, P, est toujours réel. Si la quantité k, k, est positive, celà paraît immédiatement Si la quantité k, k, est négative, nous posons k, = — k Il s'ensuit que la quantité k, k, est positive. Le premier terme devient: Vree kene TES 4 ky ke Or on a (RE SR DE ese 0, LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 425 done kı + k, > 2 et (k, +k)? = k, +k + 2k, k, > 4k, k, de sorte que Qk, teha)? UE: + ki)? 1 a), Ci Pi ; -V m ky ks PRT on Us La forme sous le signe radical est done aussi positive, si k, k, est négative. Le second terme de P, et P, est 2 T/W)! uk): Vi WVE A ee ee a ae 708 (A k 7 / 2k — GR 3 TE EE 3 / 2k, =k, )? | CEE TES TZ VY SE (V | | 1 = SE An WAR] 5 La quantité LQ + L/R est toujours positive. Le second terme de P, et P, est done réel, si k, k, > 0, et imaginaire, sik, k, 0 et imaginaires pour iy ne Le second terme de P, et de P, peut atre écrit: Ir: 1 2 Puisqu’on a toujours (| ae ur = DE AU bs a), on a de même I~Q—WR <0. Il paraît done, que les racines P, et ?, sont réelles, si k, k, <0 et imaginaires, si k, k, > 0. Si k,k,>0, les plans P,x, +2, =0 et P,% + HS 0 sont réels ; l’un d'eux donne avec 0, une intersection réelle, qui est le lieu des points d’inflexion réels finis des méridiens. Il dépend des valeurs relatives de k, et k, lequel des deux plans donnera l'intersection réelle. Supposons maintenant que les constantes k, et k, soient toutes deux imaginaires. En ce cas elles sont conjuguées complexes; soit: kkzatiß, k,—=a-1f. 60* 426 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. Le premier terme de P,, P,, P,, Pı devient Wa sen me Zar 5 2 = za 14 PE 2, -_ 2 +92 a? +? a? +? Cette expression est évidemment toujours réelle. Ecrivons le second terme de P,, comme plus haut: V ah. IL Oe IR, zetrceluiedeap: =: y= Bea | 1 2 alors il parait que, puisque la quantité est toujours ky k, a: + 2 positive, le second terme de P, et de P, est toujours réel, et celui de P, et de P, toujours imaginaire. En effet, on a encore: LVB) VEE) IQ—- I Rm>—k,, soit o>m>k,. En donnant au plan l’équation Px, + w,=0, on a: ; 1 i 1 Soe Oe = = Wedde o> PS; P i, soit SS SS G-ä-d. Dem. 4 Or, puisque 0 < V - 3 +213 <1, P, ne satisfait à aucune des deux conditions, tandisque P, satisfait à la seconde. Le plan Pix; +2,=0 contient done le cergle réel, suivant lequel H, et 0, se coupent. 8 Ici les points d’inflexion réels du méridien sont situés sur la branche qui contient le point d’inflexion à l’infini. Pour le cas en question nous avons montré, comment, ayant décrit auparavant la forme de la surface, on peut trouver lequel des plans P;,«, + x, =0 donne l’intersection réelle. 2°. Maintenant discussions en abrégé le cas k, = 2k,. Ici les plans «, =O et x, =k, x, sont harmoniquement conju- gués à «,=—0 et x, =k, x, (voyez page 414). Nous trouvons: 428 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. gr Paz CE 34204), Pimp Sister), Pm rsi 3203). 32 gol, des =, les plans «,=0 et », =k, x, sont harmoni- quement conjugués à #, =0 et x, =k, «, (voyez page 414). Il vient: 1 5 1252 vi ul, Ze i ox, | 3 + 3+2173), en ae P sys sars), 12 P Te = 3+ Aas +28) , iP 1 > 2 ae En =5-(—'3 à — 3+21/3). eed ( 3 ) 4°. Si k, =o, le plan x, —=k,x, coincide avec x, —0; nous trouvons: P, =P,=P,=P, =0. Tous les plans P,x%, + x, =0 coincident avec le plan d’inflexion. 5°. Si k, =0, le plan x, =k, x, coincide avec x, = 0. En remplaçant P par — = Péquation 6 A(k, +k,) 3 [Pe — P? = L > = JP ETEN = 0 se transforme en 1 kk m* — ae a + 2k, k,m? — =0. k, k, = 5 En substituant k, =0 on trouve 4 m3 (m— — ,) = 0). 3 F2 Trois des quatre plans ont coincidé avec x, = 0. Le quatrième plan a pour équation: x, = LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 429 Puisque k, =0 est l’expression analytique pour l'existence d’un point double conique (comme il sera démontré plus tard), et que la méridienne a done un point double, cette courbe ne contient, outre le point d’inflexion 4 Vinfini, aucun point d’inflexion réel. Ainsi on voit que, les tangentes du point double étant réelles, deux points d’inflexion réels et quatre points imaginaires coincident avec le point double et qu’il y a encore deux points d’inflexion Ns: sone 4 imaginaires situés dans le plan x, = k, Ie» de Se : x, —0 6°. Si le méridien a un point de rebroussement en | ae on D= a (voyez page 441): k, —0 et k, =O; l’&quation 4 k, + ik Ee ke ie EN = 2) 3 Zu Dich ky m? — a N) se réduit A m =: Tous les points d’inflexion, outre celui à l’infini, ont coincidé avec le point de rebroussement. § 5. La courbe de Carrey du méridien et la surface réciproque. La courbe de Cayrry est de la troisième classe; nous en cher- cherons l’&quation en codrdonnées tangentielles. Dans le plan x, =x, nous prenons pour triangle de référence le triangle qu'il a en commun avec le second tétraèdre de référence. L’&quation du méridien en coürdonnées ponctuelles s’écrit U = Ax, Ta + x — (k, +k.) x ©, +h, ko Xs x =i) U,=2 4%; %, U,=3%,—2(k, + ky) %,% +k, kot, U, = Ax —(k, + k,) x. ne EEE La conique polaire du point (z,, 2,, 2,) a pour équation: 2 Aw, 2,2, +30, — 2(k, +k,)2,2, +k, ky As + { Aa’ — (k, + ky) a, + 2k, kan iz, =0. 4 L’équation de la courbe de Hesse est: 430 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. x, |(E—k,k,+k, Je — hk, ky (ky +k) oa, + ike, | + + Ac, [3 x, —(k, + k,) a, | ==(()) L'interseetion de la courbe de Hesse avec la droite x, =0 est composée des trois points: (7, =0 (2, =0 oY (1) In lap, See x In === —— = ’y — “1 — Can , 1 == en . VAE, + hy) VAE, +k) La conique polaire du premier point se compose des deux droites #, =0 et u = 0. L’équation de la conique polaire du deuxième point est k, ky EURE a, + Ax, — (k, + ky) a, + 2h, k,2, % =O. NO x ES Cette conique polaire est évidemment dégénérée en les deux droites a, et a,, représentées par les équations: CRE TITRES Ale) a Miele — TI 4 ———— — 0 Ly). Uy A 3 AH SE He (as) ———g U + Ac, (a) x, +2k,k, T3 0: mM . Alk, a Les deux droites b, et b, dont se compose cette conique sont représentées par nen =O N ne NEN kh 2k, ky ea (B team le La conique polaire du point (z, = 0,2, = 0) est 2 jr i 2 — 3, —2(k, + hy) Lj % + hy x = 0. Les deux composantes, ¢, et ¢,, ont pour équations: 32, | [ 4, +k, WE k, +k |m=0. (e‚). 32, — [Ai + &, dl VA SR hla -0. ve Maintenant choisissons le système de coördonnées tangentielles. € LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 431 En prenant le même triangle nous désignerons ? (2, =0 le point ES par ,=0, il (% — 0 = ” » = ” l., — | ’ (va 0 (2%, =0 a ” ” la, — () ” I, =i) L’axe a pour coördonnées l,=0, 4=0. Vu que la courbe de Carrey est symétrique par rapport à l'axe, son équation ne peut contenir des puissances impaires de J, . L'équation générale de la courbe de la troisième classe est Or I) == Dass L ar Dat I, ah 3 Dus Ie l, Ar 5 Diss Ik, is ae 3 Dt I l, + + 8 bin à à + 8 bou du + 8 bub + 6 bah bu=0. Tei les coëfficients Din ; Diss , bi 9 Diss de ee L Ly L A IR l; Ik sont zéro ; de sorte que l’&quation se réduit à: sss is Sr Daas I, qe 3 Ons I, Is Sr 3 Din m IA =F 3 Das: js Ih + 3 bon Ls I, == Ur Les droites qui composent des coniques dégénérées sont des tangentes à la courbe de Cavyrry (désignée dans la suite par C*) ; leurs coürdonnées doivent done vérifier l'équation de CS. Les droites 2, =0, %=0, a,,a,, b, , b,, ¢,, €, sont toutes tangentes à C*. Il nous faut d’abord transformer les coürdonnées ponctuelles en coördonnées tangentielles. La droite ayant pour équation en coürdonnées ponctuelles AS %, + A,%, + Aim—0 a ses coürdonnées tangentielles liées par la relation En effet 1,2, +l,x, + 42,=0 est la condition qui exprime que la droite (1, , 1, , 4) passe par le point (x, , x, , %). Il est clair que la droite x, =0 a pour coürdonnées tangentielles ARCHIVES VIII. 61 432 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. et que la droite x, — 0 est désignée par 1, =0,1, =0. Les valeurs /,=0, 4 —0 doivent vérifier l'équation de Ci. Cette condition est équivalente à celle, suivant laquelle bi, soit zéro; elle est donc déjà remplie. Les coördonnées 1, =0, Ll, = 0 satisfont de même à l'équation de C3, d'où résulte qu'on a Dial ==), Les équations de a,, a,, b,, b, étant: Azı Alk, +4,)",=0, ky +h, m, 2h, ky Liane. + hy) 0, — An, + VA (A) +k) 23 =0, =" JE. 2k,#, zi Ne A nen les coördonnées tangentielles de ces droites sont données par == En EEE... (a) 4 = = Va a = En i THERE (a) ZR Eee = = Er Ee oe ME (b,) h = gek I LN (b,). PER EE 2kk ie À vAlk + hy) En substituant les coördonnées de a, et de b, dans l’équation de C#, nous arrivons en tous deux les cas à la Godin Alk, + ky) U Alk, + hy) bux + 34? WO A( + by) dus=0, d’où il résulte LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 433 En substituant dans l’öquation de C* les codrdonnées de a, et de b,, nous aurons kıtk, Var “Tey by ee = DA A Dass u V A Pus+ 2 IT A (k, +k,) u a 4 L. Ak? ke +3 Fa — key abst 2 bass — 3 —_ Ln Deas —|(}} A A AVA(k, +ky) ” « D $ k, +k, : En ayant égard à bs = — et bus, on obtient: kak; k, k, We A ke ke a bu + 2 2 Boog — 2— > bay = 0. Alk ate 7 7 bass 2 Tv Ak, + hey) D344 Les &quations de c, et de c, &tant 3, —|k+k, + ki —k, k, +k] a, =0, 3%, —[k, +k, EE — k, ky + ki | a, = 0, les eoördonnées tangentielles de c, et de c, sont données par l. l Ode Is. (¢,), 3 (ley) — ki — ky ky +h €, Ls Sie — en DO (Co), 3 — (hk, +h.) + kh hat Ai ördonnées de €, et de ce, étant substituées dans l’&quation Les coörd i 3 . . de C”, il vient: Tb (A +8) VE ER, +) + Oden (by +4) HI HA) Blik +h + EE, kot B =0 et Br bul Gt) + En, Hr | + 90 (A, + 2,)2?— —2(k, HA) VE de FEAR Rh + HO. En soustrayant ces deux équations, on trouve: = 2.27 br Bh, hy + +2.18bulk, +) Áo + =O, d’où 2 Dası — 3 (k, Sr ky) Dane 61% 434 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. En les additionnant, on trouve 27 bez — 27 bass (hy + hy) + I bau (Fy + fey + 9 dais (HE ek k;) =0, d'où 3 bag 3 (4, + ko) bau + (LA +h, hy +2) dar =O; ou, parceque bay, = ay (#, + ky) bau, 8 dass + [AM + by hy +26) —2(4, + &y)?] bou = 0. Cela se réduit à en. Da == ky ky done DINE hs.) b i ANS EE Daas Par la substitution de cette valeur dans AUX A TEST ZA Ke en a) 122 1 DD = 1548 =0 VCA (hy + hy) a] A 2 A + AG + CG, +h ae cette équation prend la forme: At _ ee AR Re 2 Das EE A 0 V "Ar Alk, a U Alk, 7: 2) 114 rt d'où résulte 2 hk, + Aj bin = 3 AR: a Daas. En résumé nous avons obtenu les relations suivantes: ky tk, 2 K—hjık,+k, = NE nalen bes b = | 1? a bai Obs 54 bass, Or | 3 A = bies _ 2(k, + ky) en de sorte que l’&quation de C* s’écrit: 2k —k,k, +k, k, +k, 5 | Ps BEG ball Bgg A+ ; 2 (k, +k 2) : 3 Je a Bie F3 = k, Dass Ë l, == k, ke k, Dass l, L, — 0 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 455 ou E(k, Zo (le, +h.) 1, +2(k — kb, ko + Ki) 4] — — AL [&, k,l —2(k, +k) 1,1, — 3 Y=. Syn Cette équation en coördonnées tangentielles a le même aspect que celle du méridien en coürdonnées ponctuelles. Du point k,k, (lk, + ko) U; +2(k, — k, k, +k) L = 0 partent trois tangentes coineidantes (l, = 0, ,=0) à C%; par conséquent l'axe est une tangente de rebroussement et le point ke ko (by + ko), LATE +k) b= 0 (avec les codrdonnées ponctuelles données par no) 248 r I Ü —) SS SSS = nm —= - | I R 2 5 k, ky (ky ks) 2 (k,— hk, k, + 3) est un point de rebroussement. La conformité des deux équations devient encore plus grande, si l’on a ky +k, 0, où kiki En ce cas l’öquation du méridien s'écrit: A x, Ta + Dz (x, = k, x) —( ? et celle de (3; 6 37, h — —I)=0. ke, ) Le plan %, =, coupe la ligne IJ (x, =0,%,=0) en un point W, qui se trouve dans le milieu du segment J J. Soit v, la distance du plan %, —x, à J, v, sa distance à J, on Vies 2 cas que leurs projections sur JJ soient de directions inverses. Prenons maintenant un systéme de codrdonnées tétraédriques aura |, = , si le même signe est attribué à v, et à v, en tangentielles, dont le tétraédre de référence coincide avec le second tétraèdre de coördonnées ponctuelles. Desienons! lesisommets J (x, = 0,2; =0; 130); 70, =0; ZN), DI — 0-0, = 0) A (a, ee, Ülzespectiye- mentepar v, — 0; v7, —0; 0, —0,%,—0; le plan 5,4, aura alors pour coürdonnées : 436 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. Uy) v,—0, V4 — 0: et C5, située dans ce plan aura pour équation: 2 2 Vi — V, \? LE A +%,)0, +2 (Pak, + mol) —Av,[h, 4, 9 — 2(k, + 4.) 0, %— 8 0] =, ou 2 Ie [By Uy ts hi) OP NE Ve ne OR ee ( = [( 1 ) ih, = vi] ‘ 2 2 4 (A Sim icy) 3 DES — À v, [v Tae , Vs Bi pa ==) ou (Po, 7 Qv,) (I) An, (v, ats Rv, Oh a Sv,)—0. Nous avons l'intention de démontrer que cette courbe est la section du plan (v, =v,,v, =0,v,=0) avec la surface 23, repré- sentée par (Pu, + Qu,)v, v, + Av, (uv, + Ro, va A0) — 0; Afin de déterminer l’intersection d’un plan (v, =v,,v, =0,%=0) avec une surface donnée par une équation en coürdonnées tan- gentielles, il nous faut effectuer Vopération par laquelle on determine du point (x, =2,,2,=0,% =0) le cône tangent à la surface représentée par la même équation en coördonnées ponctuelles. Une droite dans le plan (v, =v,,v, =0,v4=) a pour équations: v,—a(v, — 2), 6) Va =b(v, — v5). En substituant ces expressions pour v, et v, dans (Pu, + Q,)v, v, + Av, (u, + Rv, vu + Sv,)=0 , on trouve (Pa + Ob)v,v, + Aa (a? + Rab + Sb?) (v, —v,)? =0 ou Aa (a? + Rab + Sb?) v + [(Pa + Qb) — 2Aa(a? + Rab + Sb?)]v,v, + + Aa (a? + Rab + Sb?) v, 0): LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 437 C équati iD as Ree Gores sit ana: Jette équation \ en y.) à deux racines égales, si lon a: 2 [(Pa + Qb) —2Aa (a? + Rab + Sb2)]- 4[Aa (a? + Rab + Sb? J =0, Bred. 1° pour Pa + Qb—0, 2° pour (Pa + Qb) — 4 Aa (a? + Rab + Sb?) = 0. En remplacant a et b par les valeurs originales Er ih ae y on obtient les conditions suivantes: Kar, Qu); SWE 2 y 2 2° (Pv, + Qu,) nd —40, (useR vg Su): Pv, + Qv, =0 est l’&quation du point de rebroussement de la courbe de CAYLEY ; évidemment ce point doit être considéré comme élément dégénéré des sections de la surface (23 avec les plans passant par l'axe. L'autre partie de la section est formée par la courbe plane, qui a pour équation en codrdonnées tétraédriques tangentielles : V, — UN: 2 2 (aS = An, (Oe RONSE: Il paraît que cette équation est celle de la courbe de Caytry appartenant au méridien dans le plan (v, == v,,v, =0,v, = 0). Cette courbe est done l’intersection d’un plan passant par l’axe avec la surface Pv. + W,)v, vs Av. (vi + Rv, v, + Sv) =0 3 4 1 2 3 3 By Al 4 ou ki —k,k, +k, I, + k,)v, +2 —— ie, 2 vy Ju, Og 771 vun 2 A (k, Se k,) 3 9 Ja) || RE Oy OE OD, | SO. is [e+ ke AUCUNE 4 N Nous allons d&montrer que celle-ci est de méme une surface de révolution. Pour cela nous devons prouver qu’un plan passant par (v, = 0, v, =0) a en commun avec {25 trois cercles concentriques (£23 étant du sixième degré), ou bien, que les points / et J sont des points triples de la surface, et que toutes leurs tangentes aux courbes d’intersection des plans normaux à l'axe ont coincidé avec les lignes isotropes de ces plans. 438 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. Les trois droites [ye er ee lil lv, + ER el) Hy Lo) 7 yok, ==) Lo, + by by — TR Te ries De se trouvent sur {2% et s’entrecoupent en v, = 0. I est done un point triple de 23. démontre que J l’est aussi. De la même manière on Une droite dans le plan (v, = 0, vw, =0, v, — qu, = 0) normal à l’axe sera représentée par: | v, za, — qv,) (1) | v, = BW, — qu) ev (oles, Also CRC Cette droite sera tangente, si deux des trois plans tangents passant par elle ont coïncidé. On peut exprimer cette condition en substituant les formules (1) dans (Pv, + Qv,)v, v, + Av, (v, + Rv, v, +) =0 et en cherchant le discriminant de cette équation. Ce diseriminant sera de la forme suivante: Pp a? 3 Zu 7 «2 PP? i ur a p Hoz Oe En substituant dans cette expression les valeurs de « et de /, données par les formules (1), on trouve: pv, v, + v v, (Ws GV) + WU, v0, 0; qu, ) +o, - GU) Um Il est clair que cette équation représente la courbe (w®) d’inter- section de (23 avec le plan (v, = 0,v, =0,v, =qv,) en coördon- nées tétraédriques tangentielles. Elle est de la sixiéme classe. (Remarquez l’analogie avec l’&quation du cône tangent mené à Os du point (2, 0,2, = 0,4, — 97, )) situe sur l'axe) La droite d’intersection d’un plan tangent à w® avec le plan dans lequel se trouve cette courbe sera tangente à w°. Les six tangentes qu’on peut mener de J à w° résultent de la substitution v, =0 dans l’&quation (2); on obtient: vz — qui)$ =O; la droite (v, =0,v, = qu,), c.-à-d. la droite qui joint le point vz =qv, avec I est une tangente sextuple à w°. De la même LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 439 maniere on prouve que la ligne qui joint J au point d’intersec- tion de l’axe avec le plan de w® est une tangente sextuple. Considérant d’ailleurs que J et J sont des points triples de (25, done aussi de wf, on en conclut que la courbe wf est com- posée de trois cercles concentriques, ce qui était à démontrer. Il en résulte que 42? est une surface de révolution ayant pour axe la ligne (wv; = 0,v, =0), c.-à-d. axe de O,. 23 a la même forme en codrdonnées tangentielles que O0, en coürdonnées ponc- tuelles. mesblans (u, = 0)'0, =O; vj = 0) et @, = 0; 0, =0,7; = 0) sont des plans tangents doubles imaginaires. Les trois plans tangents à {2% passant par (v, =0,v, =0) sont | ae uu 0 D= v, =0 ET a ? > anr de Se ai key Ko he : == Wte eS IQ) le, ko el v, =0 PEEL ID 2 HE RQ a k, Va + — os 3 M” = 4 Or. il) BEREN Ceux-ci coupent l’axe en les points eee == (0) oy — read. D dj = ; Ti = ky tk, + Bk, ky +k, Kk aR (Es Ya BE 1% 0 c.-à-d. A, gee ; NED B Che vy elt 77 l 2 EEE oade lil le hk, th, Bk, kh, + Va + ne ae el, IR %1 = GT = 0 cà-d. H, || ” 7 Das rat int: splay An ee ARCHIVES VIII. 62 440 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. L’un des points de rencontre avec l’axe est done le point D, qui se trouve dans le plan d’inflexion. Les trois autres points d’intersection de 2° avec l’axe sont unis dans le point de rebroussement. La droite (v, =U, v, =0) (c.-à-d. l’axe) est entièrement située sur (23. Chaque plan par l’axe est plan tangent; ce qui est en concordance avec la propriété suivant laquelle la première surface polaire de chaque point de (x, =0, x, = 0) est dégénérée en deux plans, dont l’un passe toujours par l’axe. En effet on peut consi- derer la surface réciproque comme l’enveloppe des premières surfaces polaires de O, qui sont dégénérées en des cônes (ou en des couples de plans). Évidemment l’axe est dualistiquement conjugué à la ligne à l'infini. Le point de rebroussement sur l’axe est dualistiquement opposé au plan d’inflexion. Sur la surface réciproque 2° sont situées, tout comme sur O,, 27 droites. Neuf d’entre elles sont unies dans l’axe, 3 dans la ligne (v, =0,v, =0)=DT, 3 dans la ligne (v, =0,v,=0)=DJ, 3 ” » ” HL, 3 ” ” ” HJ, » » » HIT 3 ” ” ” HJ. Si k, + k, =0, Péquation de O, s’écrit: Ax, wo ©, + 2%; (© — k, 2.) == 0), et celle de 023: Ze Ur Us Us Ce v,) = 0. Ici v, =0 est l'équation du point de rebroussement, qui coin- cide donc avec le point A. Aussi A est (A et D étant harmoni- quement conjugués à B et C) le pôle du plan d’inflexion. En ce cas le point de rebroussement et le plan d’inflexion sont conjugués l’un à l’autre non seulement dualistiquement, mais encore polaire- ment. En général la correspondance dualistique est identique à la correspondance polaire, quand les points A, B, ©, D forment un quaterne harmonique. § 6. Points singuliers. La surface O, a un point double conique en À, soit qu’on pose ka Bones 0 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 441 Si k, =0, l’équation devient: AG, 5, + do (x: — kb, vj) = 0. La première surface polaire de A a pour équation: Ag, %, —k, «, =0. Elle est done un cône quadratique de révolution. Ce cone coupe O, trois fois suivant AJ et trois fois suivant AJ. L’équation de H, s'écrit: As £3 (ba, —k, ares 0: Les quatres plans, où se trouvent les intersections de H, avec O.,, sont représentés par Ly — My By, Go = My Day Vz = Ms Xi, Tz Mm, D; si M, Mo, Ms, m, sont les racines de En substituant k, =0, on obtient: 4 m* — 3 bi — (0, de sorte que m, =mnm,—=m,—0, m, = Ce résultat a déjà été déduit page 428. Dans la supposition k, —0 l’équation de 423 devient: MEO Dy Din ce Lior DI Ar yn = U ou A 5 v, Loi % + k, vz (vz + Ih, v,)] = 0. Il paraît que la surface (23 s’est décomposée en le point double À (v, = 0) et en une surface quadratique de révolution. Si le méridien a un point de rebroussement en A, on a bei, Ut Alors l'équation de O, s'écrit: 3 AU: 3 62° 449 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. La premiére surface polaire de A est ici représentée par ©, Lo —0 et est done composée des deux plans isotropes passant par l’axe. Evidemment le point A est biplanaire. Ainsi O, a trois points biplanaires et est pour cette raison de la troisiéme classe. En ce cas la surface de Hesse a pour équation: Ei Der 0; elle est done dégénérée en les quatre faces du tétraédre de coör- données. L'équation de (23 se réduit à Par conséquent {2% est dégénérée en trois points, dont l’un coin- cide avec D et les deux autres avec le point biplanaire A. Vu que la coïncidance de A, B, C'est un cas particulier de la position harmonique de A, B, C, D, la correspondance dualistique est ici identique à la correspondance polaire. $ 7. Faisceaux de surfaces cubiques de révolution. Prenons pour courbe de base la courbe gauche du neuviéme degré qui se compose des sept droites de la surface cubique de révolution, dont la ligne à l'infini des plans normaux à l’axe compte pour trois; en ce cas le faisceau que nous pouvons mener par cette courbe de base, a pour équation: AD Ls oy, Etes EN) (ey en oy) 0! En effet, les équations d’aucune des droites situées sur une surface de ce faisceau ne contiennent la quantité À. Tous les éléments de ce faisceau ont de plus en commun: le plan d’inflexion (x, =0) et l’axe (x, = 0, x, =D). Aussi tous ces éléments coupent-ils l’axe en les mêmes trois points, et bien en | t, =0 Gld |, =0 ur Done N) (x =0 BE as ln Sie LA SURFACE CUBIQUE ,DE RÉVOLUTION. 443 La surface de Hesse appartenant à un seul exemplaire est composée, outre du plan d’inflexion (x, = 0), de la surface cubique de révolution H,, qui a pour équation: Am, wo (8x, —(k, + koi +, [Ik — ko ho + kL) a, — —k,k,(k, + hy) vaa, +k ka ga Évidemment les surfaces H, appartenant aux surfaces O, font aussi partie d’un faisceau, et bien d’un faisceau projectif à celui des surfaces O,. Liintersection d’une surface O, avec la surface correspon- dante H, se compose outre de la ligne à linfini des plans perpen- diculaires à l’axe, de quatre cercles situés dans les quatre plans fee 0, =O Port 0, Pia, +2, — 0, Pa, + 2, = 9, où P,, P,, Ps, P, sont les racines de l’&quation m 6 p? _ Ah, +k aly) ob © k, ky k, k, kk, =() (voyez page 424). Dans cette équation À ne figure pas. Les surfaces 0, coupent done les surfaces H, suivant des cercles, qui se trouvent dans quatre plans fixes. Les quatre plans P, 2, +x, =0 ete. peuvent être considérés comme remplis de toutes les courbes spinodales du faisceau. La surface H, de la surface x, x, x, est représentée par 2, 05.180, — (kb, Fo) = La surface H, de la surface x, (x, — k, x,) (x, — ko) =0 a pour équation: (e+ ky tilk,— ke) 3, _,| 4 | 9 k, ke” 3 | k, + k,—i(k, — kh) 3 |= (y SOLE ih a Da —a| = Comme nous venons de remarquer, la ligne à l’infini des plans perpendiculaires à l’axe, considérée comme partie de la courbe de base, compte pour trois. Vu que tous les éléments de ce faisceau ont en commun le plan d’inflexion, nous devons nous imaginer que la ligne à Vinfini a résulté de la coïncidence de trois lignes du plan d’in- flexion et nullement de la coïncidence de trois lignes qui ne se rencontrent pas, comme c’est le cas dans le faisceau que nous allons traiter à présent. 444 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. Le faisceau en question en est un de surfaces cubiques de révolution, auquel nous donnons l’équation suivante par rapport au premier système de référence: Os + ba, Tet + (a IK)! C'est encore ici que tous les éléments du faisceau ont en commun la courbe gauche du neuvième degré formée des sept droites qui se trouvent sur une surface cubique de révolution. La ligne à l'infini des plans perpendiculaires à l'axe compte encore pour trois. Elle n’a pas dans le cas actuel résulté de trois droites situées dans un méme plan, mais au contraire de trois droites qui ne se rencon- trent pas, car ici le plan d’inflexion Ov; + Ba, =0 est variable. Évidemment les divers plans d’inflexion forment un faisceau projectif au faisceau des surfaces cubiques de r&volution. La surface de Hesse est composée, outre du plan d’inflexion, de la surface H,: (Oz, + Bo) (©, — ka, x, + k, x, )—-0(0k + 2 B)x2,%,2, + +B20k+ B)a, 2,7, =0 (voyez page 415). Cette équation est du second degré en ©. A une seule surface H, appartiennent donc deux surfaces O,. La courbe spinodale (parabolique) d’un élément du faisceau est située dans les quatre plans x, + p, x, — 0 ete, si p, etc. sont les racines de 02 p'—4Bop' -6Bokp?—4Bok*p+ B?k?=0 .. (@) (voyez page 417). La surface lieu de toutes les courbes paraboliques du faisceau est représentée par une équation qui résulte de l’élimination de 9 dans: Or % 0, + Ba 2,2, 307,0, Lg — key) —0 et (9%, + Be) (&, — kr, x, + k? u) — — 9(0k+2B)2,%,%, +BRok+B)2, 2, =. On obtient: x, (Ga — kw) [3 B? x a, —4Bk¢,%,%,%, + 2B, A KR — x, | = Cette surface du sixième degré se compose done des plans LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 445 %, = 0, #3 — kx, =0, et de la surface biquadratique 9, qui a pour équation 2 1 4 Bkz,%2%,2, +2B2, x, x, — x, =). BBE x, Le résultat obtenu aurait pu se déduire de la forme de l’equa- tion (a), étant biquadratique en p et du second degré en @, ce qui montre. qu'une seule valeur de p détermine deux valeurs de 9, ou bien: que dans un seul plan x, + px, =0 sont situées les parties de deux courbes paraboliques, savoir deux cercles et la ligne à Vinfini comptée deux fois. Les deux cercles forment la courbe d’intersection O, avec le plan x, + px, =0; la ligne à Vinfini comptée deux fois résulte des plans %, =0 etz, — ka, =0. Le faisceau de surfaces cubiques de révolution qui peut être représenté par rapport au premier système de coürdonnées par (A Uy + Bix, ) En iy, te a, G, — ut, ae =) contient toutes les surfaces, qui ont en commun 1° quatre des six lignes isotropes, 2° la ligne à l’infini, qui ici compte pour cinq. Trois des cing lignes, dont cette ligne a résulté se trouvaient déjà dans le plan d'inflexion, car c'est un plan commun ä toutes les surfaces du faisceau. Les surfaces cubiques de révolution de ce faisceau coupent évidemment l’axe en un seul point, de situation variable. La première surface polaire du point (¢, =mz,, 2; = 0, 2, = 0) est représentée par (G7 1025) (45, = Bij 0. Cette expression ne contient pas u, de sorte qu'un point de la ligne à l'infini des plans normaux à l’axe a la même première surface polaire par rapport à toutes les surfaces de ce faisceau. Etudions enfin le faisceau syzygétique. *) Le faisceau syzygétique a pour courbe de base la courbe para- bolique. Evidemment il est déterminé par les surfaces O, et H,, et peut donc être représenté par 1) L'étude du faisceau syzygétique a été ajouté au mémoire original à l'avis de M. P.-H. ScHoUTE, professeur à l’université de Groningue. 446 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. A[Aa, 0,20, +4, (k, + k,) x Bier Lo de a, | + + Ag, 8, 82, —(k, thi), (de, —k,k, + i Nae — > € —k, ky (k, + ky) 0,0, + Ka] =0 ou par MON! La surface qui a pour équation N,=(k, +k,)0, + H, =0 est aussi un élément du faisceau. En évaluant la forme symbolique (k, + k,) 0, + H, on obtient pour l’équation N, = 0: N,=342,2%,%, + (hk, + ky) x —3k, ks, a, io Se k, k, te = (0) Dans la suite nous désignerons la surface générale de ce fais- ceau par o,. La surface de Hesse appartenant à 0, est composée du plan d’inflexion de o, et d’une surface cubique, qui sera désignée par h,. La surface h, appartenant à la surface N, est, comme le montre le calcul, identique à la surface O,. On peut aussi représenter le faisceau syzygétique par 0, —Da HO ou 0, = [3 Ar, 2,8%, + (k, +k) —3k, kran +h ko] + + u [Ar oon, +2,—(k, +k.) aa, +h, ky 0, %,]=0. . (1) L’équation de h, correspondant à 0, s’écrit: h, = As, & [{dee + On? (le, ky) + 2 wk, kyl os dt +{— (k, + hey) — Ou? ho k, + Qk hola] + + (30, +um,)[}u2 (ki — ki ko +6) + 3uk, by (kh, +h.) +98, k, tm, — —{urk, ky (kh, +h) +12ek kh + 9(k, +h) Ko kiss + {ur kik, + Suki ke (hk, +k.) + 9k) k |]=0... (2) On voit qu'il y a une correspondance (1,3) entre les surfaces 0, et les surfaces h,. Une seule surface o, détermine une seule surface h,. Une seule surface h, appartient à trois surfaces o,. Dans cette correspondance, il y a quatre coincidences. Il arrive LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 447 done quatre fois, qu'une surface 0, coïncide avec la surface con- juguée h,. En ce cas les coéfticients de 0, =0 doivent être proportionnels à ceux de h, =0, de sorte que nde ern A BA lu? + 3u? (bk, +k) +Ouk, kol u Á poeta Je en = 1) Abu (hj + hy) On hk, 420k, ket d’où ni +4(k, +k,)ud +184, ku2— 27K —0 ... (4) En posant « = nous obtenons : 6 4(k, +k) 3 5 Pi — PP? LEP —=O0 .....¢€ kk, KI EE = Cette équation est identique à l’équation (4) du § 4. Elle donne les quatre valeurs P,, P,, P,, P, dans les expressions P, x, +%, =0 ete. pour les plans contenant la courbe spinodale de O, et de toutes les surfaces du faisceau syzygétique. N e = 8 ts dins ous verrons que u, DR {by EE {ls STE u, = B sont les paramétres des surfaces 0, qui ont coincidé avec leurs conju- guées h,. Ces surfaces seront désignées par (oh). Le plan d’inflexion de o, a pour équation: On ern OM IE (6) Les plans d’inflexion des surfaces (oh) sont donnés par P, %,+x,= 0 etc.; ce sont done les plans de la courbe parabolique, désignés dans la suite par 7,, 7, 7%, 203. Dans une surface (oh) le plan d’inflexion a done eoïneidé avec un plan x. En considérant la méridienne de (oh), nous voyons que la tangente du point d’inflexion à Vinfini passe à la fois par deux autres points d’inflexion, ce qui n’est possible que si la méridienne est composée de cette tangente d’inflexion elle-méme et d’une conique. Par conséquent, les surfaces (oh) sont dégénérées en l’un des plans z et une surface quadratique de révolution. Puisque l'équation (5) (voyez p. 425 et 426) a toujours deux racines ARCHIVES VIII. 63 448 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. réelles et deux imaginaires, deux des surfaces (oh) ont un para- metre réel, les deux autres ont un paramétre imaginaire; ces derniéres surfaces sont done elles-mémes imaginaires. Une surface o, du faisceau syzygétique est dégénérée, si le premier membre de l'équation 0, =0 est divisible par 32, + ux,, done si l’expression Ik, +hy)+uf x, — |3k,k,+u(k, +k,)| o,o, Huk, koos, +h Ha contient le facteur 3x, + uv, Cette condition s’exprime par une équation en « résultant de Pélimination de x, et de x,, et qui s’écrit: us +A(k, +k,)u3 + 18K, k, u? — 27 ke k= OF elle est conforme à l’@quation (4). Il s’ensuit qu'il y a dans le faisceau syzygétique quatre éléments dégénérés, qui sont en outre identiques aux surfaces (oh). Le raisonnement précédent nous a servi à d@montrer que, outre les surfaces (oh), il n’y a pas d’autres éléments dégénérés. Chaque élément du faisceau coupe l’axe en trois points A, B, C. Or les ternes de points A, B, C de toutes les surfaces du faisceau forment &videmment une involution du troisième degré et du premier ordre (1). En représentant un point sur l’axe par le quotient Ben 4 Péquation de l’involution devient: CG, +h,)X3—3k, by X? +k, k,|+u[X3--(k, +k,)X? the, ke, X]=0 0 Les quatre points doubles de cette involution sont situés dans quatre ternes, dont les paramètres sont les racines de l’équation ui +4(k, +k,)u? +18h, kou? — 27k k,==0, qu'on obtient en égalant à zéro le discriminant de (7). C’est encore |’équation (4). Nous voyons que les surfaces ot deux des trois points de rencontre avec l’axe ont coincidé, ou, ce qui revient au même, que les surfaces douées d’un point conique sont identiques aux surfaces (oh). Ainsi les quatre surfaces (oh) jouissent des propriétés suivantes: 1°. Elles sont dégénérées en un plan z et une surface quadra- tique de révolution ; 2°. Elles ont un point conique; 3°. Elles coincident avec leurs surfaces conjuguées h,. LA SURFACE CUBIQUE DE RÉVOLUTION. 449 Nous en concluons qu'il y a deux cas possibles: a) Le point conique se trouve dans la partie plane x, ou en d’autres termes: la surface quadratique de révolution est tangente au plan x; b) Le point conique se trouve hors du plan x, c.-ä-d. que le surface quadratique est un cône de révolution. Nous allons démontrer que seulement le cas b) se présente. Les douze points d’intersection des quatre surfaces (oh) avec l’axe sont donnés par une équation Zj (X) — 0, du douzième degré en X, qu'on obtient en substituant dans l'équation (4) l'expression : (k, +k,)X® Bkk, X2? +h ke TN kk AK NZ i Les quatre points D des surfaces (oh) sont déterminés par une équation A, (X) =0, du quatrième degré en X, qui résulte de la substitution de u=—3X dans l’&quation (4). Puisque les points D de ces surfaces (0h) sont situés sur les surfaces (oh) elles-mêmes, et qu'ils comptent au nombre des douze points mentionnés, la forme =,,(X) doit être divisible par A, (X), de sorte que l’on a La constitution de //, (X) doit apprendre lequel des deux cas a) ou b) est réalisé. Pour le cas a): si le point conique se trouve dans le plan x, l’ex- pression //, (X) doit contenir un facteur A, (A). Pour le cas b): si le point conique se trouve hors du plan x, la forme //, (X) doit être un carré complet. Le calcul montrant que le dernier cas se présente, on en conclut que les surfaces (oh) sont composées d'un plan x et d’un cône quadratique de révolution. Supposons que de l'équation (5) les racines P,, P, soient réelles, P,, P, imaginaires; en ce cas les paramètres «,, «, donnent les surfaces (oh) réelles, les paramètres «,, «, les surfaces (ok) imaginaires. Soit 2, x, +2, =O le plan z,, qui contient la partie réelle p, 63* 450 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. de la courbe parabolique, le plan réel x, contiendra alors une partie imaginaire (p,) de cette courbe. Si le plan d’inflexion coincide avec a,, le cône doit avoir le sommet hors de x, et contenir la partie p, dans le plan x,. Il parait done que le cône est imagi- naire, ayant le sommet réel et la directrice imaginaire. Si le plan d’inflexion coincide avec w,, le sommet du cône se trouvera hors de x,, et le cône contiendra la partie réelle (p,) en z,; il s’ensuit que le cône est réel. Si le plan d’inflexion coincide avec x, (ou avec x,), le sommet du cône se trouve hors de x, (ou de x,); le cône doit contenir la partie réelle p, en x, et la partie imaginaire p, dans le plan réel x,; il ne peut done pas être réel, quoiqu'il passe par un cercle réel (p,) On en con- clut que le sommet du cône doit être imaginaire. On voit que deux des quatre surfaces sont entièrement imagi- naires, que la troisième se compose du plan x, et d’un point isolé, tandis que la quatrième est formée du plan x, et d’un cône quadratique de révolution. Si l’on a k, + k, =0, la surface N, est identique à H,. En ce as HM, est la surface h, de O, et O, la surface h, de N, —H.. Ce résultat autorise à tirer la conclusion suivante: si les trois points d’intersection avec l’axe forment avec le point D un quaterne harmonique, la relation entre les surfaces 0, et h, est réciproque. Les trois points A, B, C de rencontre avec l'axe sont donnés par l’équation (7): LG, + %,)X3— 3k,k,X?+ kh, ko] + u[X3—(h, + k,)X?+ k,k,X]=0. Le point D est déterminé par (6): 3X +u—=0. Les points X=x, X = y sont harmoniquement conjugués aux points X= X=n si w,y,$,n satisfont à — ji Hy — U ME n — y? ou 2 (ay + &n)=(@ + y)(E + n). Supposons maintenant que le point X = x soit un point D, on a la relation Baa =O puis admettons que les points X = y, X = &, X=n forment LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 451 un terne A, B, C de l'involution I, représentée par (7), il s'ensuit: u(k, + ky) + 3k, kp wt (key + key) uk, k, le, ar N BT: eg Va ar M ? En+y(Et+n= Sny= Pour que la position des points A, B, €, D soit harmonique, il faut remplir les conditions simultandes suivantes: au UN, u (ke, nn k,) +3 ar les RT + (k, +k,) i En + y(E +n) ls Sy Ys if) == TE En TE SH a5 Y MS / w+ (ke, + ease 3 — kk, & ae WIT u+(k, +k) 2 2 (En + ay) — (x + y) (E+ 7) = 0. A € En éliminant x, y, &, n, on arrive, après quelques reductions, à u+(k,+k,) ‚u2(k,+k,) > kk, | 0 Bu (ey they) —9uk key „(ke +k,)+9u?k, k,—27k k;| =0 ; Dille, thy) +9k ky ‚9u2k,k,—2Tk;k, , Qu, | Cette équation est du sixième degré en u. Il y a donc six surfaces, dont A, B, C, D forment un quaterne harmonique; d’où il s'ensuit qu'il y a six surfaces qui sont en relation réciproque avec leurs surfaces conjuguées hy. Ainsi on a trois couples o,, w',; ®,, w',; w,, ®',, tels que est la surface h, de o’,, et w', est la surface h, de o,, 1 wv’ / 0 ” ” ” ” ” D 2 ea? ” ” ” ” Mo, ' 0, » ” ” ” ne CY ig sp 3 » ” ” » pn Nous aurions pu obtenir le même résultat par le raisonnement suivant: 452 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION Soit «, le paramètre de w,, w’, celui de w',, on a (comparez avec (3) ): Br (ky + hy) — Ok, hy + 27K KB (u,) RES AE LR ae u k,) + Ou, ie i Ty ) et de même "(u 1 De) Dr Olen (EE) Fr) te PEP) En éliminant «,‚ on trouve cbs 5 D? (u P (u, ras 3 (k, +h) gre + + 9k, ky Pu "| Er +k) Sn 1 D ue et 27 ke ke 9? ou Hy BS (u) +B (ley + key) ey D2 (ey) Pla) + Oe hy oy Blu) Peo) NEA NN: (w,)— 27k, k, PN (44) Oras) Cette équation est du dixiéme degré en u, Cependant elle est vérifiée par les quatre paramétres des sur- faces (oh) parce que la définition de la réciprocité se rapporte aussi à ces surfaces. Pour celles-ci le paramétre satisfait a _ P(e) In) ou CDD AU) UE EE (9) En divisant l'équation (8) par le premier membre de (9), on cl LE arrive à une équation du sixième degré en «, qui donne les six valeurs pour «, appartenant aux surfaces ®,,®,,0,,0,,0,,® Sr , ” Un système de surfaces cubiques de révolution du troisième ordre. Un tel système peut être représenté par rapport au premier tétraèdre de référence par l’équation 0%, Do Ta HALLE, HUL, FM T3 À LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 455 Toutes les surfaces de ce système ont en commun quatre des six lignes isotropes et de plus la ligne à l'infini des plans per- pendiculaires à l’axe. La première surface polaire du point (2,, 2), 24, %,) a pour équation : (ev, ©, + x, %,)2, + (0%, 0, + 1x, %,)2, + + (06%, %, +24, %, +ux,)2, + AG, % +%, + 202, 0,)2, = 0. La seconde surface polaire de (2,,2,,2,,2,) est représentée par (62, 2, FA2,2,)x, + (02, 2, +A2, 2,)%, + + (02, 2, +22, 2, +uz,)%, + (Az, 2 ou a > 4 (22,2, %, + 2, @,) +0 (223% +212 + NÉ D He lei Soa) eur Gen Aa lele Les plans polaires de (2,,2,,2,,2,) par rapport à tous les élé- ments du système forment un système de plans, non pas du troisième, mais du second ordre. En effet les quatre plans Zz, 2, 0; + 2.0, — 0; OP (0 2 > 2232, | | Ot OE 2277 CRE | | > > o,2 mn (8) ia ZT) CAT ID) eae: Ÿ = ||) HS OM, eae Dans l'équation de la gerbe de plans l’un des quatre termes peut done être supprimé, de sorte que nous pouvous l'écrire des quatre manières suivantes : MOA zu T2, 24 Lot 2,25 22) (EEND zz az a ee (z, Gao 2 2, 2,21) — 0, Bez, 217, + 2, %ı) HA, AE an Cy A) + (ze, +22, 4%) =0, 2 02 21%, + 2e i= 02,2, Ly ey Say ten 22 La) F 454 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. Ces gerbes de plans identiques contiennent les plans polaires de (z,, 2,, z,, zi) par rapport à quatre systèmes de surfaces cubi- ques de révolution du second ordre, savoir 9 19.02,%, 2, HAL, 0%, m+ po, 7, =O, ALS MIRNA ER 6) t+ ee, D, — 0 2 2 > ’ to 9 0 x na A = pp mp — ax Om, Ly Ly ar di BE = x, x, 0 co ’ Er IA eee ty UR Le premier systéme renferme des surfaces ayant toutes un point conique eng, — 0,2, ONES: Le deuxième système renferme des surfaces toutes dégénérées en le plan «,=0 et une surface quadratique de révolution. Le troisième système ne contient que des surfaces dégénérées en le plan x, =0 et une surface quadratique de révolution. Le quatriéme systeme enfin contient seulement des surfaces ayant un point conique en (x, =0, 7, =0, x; =0). Le centre de la gerbe de plans susdite est déterminé par (Zao ey — OF Sy =O th — 0) ou par = 5 een Ann ( = 1,n=0,n=0). vo zZ Il parait que tous les points, pour lesquels 1 Vy a a la méme 9 valeur, — qui sont donc situés dans un même plan passant par l’axe — ont le même centre de gerbe de plans polaires. Ce centre se trouve sur la ligne à l'infini des plans normaux à l’axe, et bien dans une direction normale au plan du pôle; il est donc le point de rencontre de toutes les normales au plan du pôle, ou en d’autres termes: les plans de la gerbe se coupent suivant des lignes parallèles, normales au plan mené par le pôle et l’axe. L'équation de la première surface polaire du point (z, = mz,, LS), = 0) est (x, + mx) (6% + Ax) =O. LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 455 Tout comme dans le faisceau représenté par Or, 2 23 + Ba, x, 2, + a, ay (ra — hay) = 0 cette surface est indépendante du paramètre u. § 9. Engendrement des surfaces cubiques de révolution. L’équation d’une surface cubique à deux points biplanaires peut toujours prendre la forme: AG, Gyo, at, (bs kran 92) == 0} Une telle surface cubique peut évidemment étre engendrée par trois faisceaux de plans, liés par une homographie du troisième degré et du second ordre, et dont l’un des axes est rencontré par les deux autres. En effet, en éliminant A et « de Gat fe (Gro 0, — 0) at Ar Os En, NL DOK on trouve AG, D dits (Dari) (Ea Kadi ds Les axes des trois faisceaux de plans sont we 0 Ni [230 EE 0 Il paraît que l’axe (x, = 0, x, —0) est rencontré par l’axe Be 0, Er kv) aussi bien que par Waxen (zj 0), 2,0), et que les points d’intersection sont (x, —0, x, =0, x, =0) et a rel, = 0): Iles deux droites (x, —0,2, =k, x), @, =0,2, —0) — non situées dans un même plan --, que nous avons associées à l’axe (x, =0, x, =0), auraient pu être remplacées par les couples suivants: 554 = | Ns nu el | Ye BORN. = (|) == 0 "1 I | avec Se Ts — Ki Ti | gS) | t, =0 | t, —0 | „sehn | VE «,=0 |’ _ ARCHIVES VIII. 64 456 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. x, =0 | De | Pe LE Je | avec 2 k | , Uz SW Ly | 3 — Ko Vy To = 0 | = | he avec a, =k, &, | , =k, a, | L’engendrement suivant ce principe peut donc s’effectuer de six manières. Sans l'élimination de À et de « des trois équations (1) nous pouvons immédiatement constater par la géométrie que trois fais- ceaux de plans dans cette position particulière engendrent une surface cubique, et cela des deux manières suivantes: a) Chaque plan du faisceau A (x, bye, ) Ra) a en commun avec la figure engendrée 1° la ligne Ge NI 2° le produit des deux faisceaux projectifs de rayons suivant lesquels les deux faisceaux DE ee, NOEL 9 Ar, on) coupent le plan du faisceau VS) ur, — 0} Ce produit est une conique, qui forme avec la ligne (x, =0, x, =0) une courbe du troisiéme degre. Le produit des trois faisceaux de plans est done une surface cubique. [Les deux faisceaux x, + u(x, — k,2,)=0 et x, +A 4x, =0 coupent le plan A, (x, — k,2,) + u, x, =9 suivant deux faisceaux projectifs de rayons, parce que le plan choisi détermine le quotient = = 7 =a. Ainsi le plan a(x; — k, x,) + & = 0 est coupé par les faisceaux 2, + ur, — k,x,) —0 et 2, + au Ax, =0. Tei, a étant fixe, ces deux faisceaux sont projectifs. | b) Les trois faisceaux de plans coupent une droite suivant une homographie de points du 3ème degré et du 2! ordre. Celle-ci a trois points triples; avec une droite le produit des trois faisceaux a done en commun trois points: c'est done une surface cubique. Si nous prenons pour l’un des axes la ligne / à l'infini, et que nous choisissons une droite passant par l'un des deux points LA SURFACE CUBIQUE DE RÉVOLUTION. 457 circulaires (J) de / pour second axe et une droite par l'autre point circulaire (J) de / pour troisiéme axe, le produit des trois faisceaux est une surface cubique de révolution. L’axe de rotation de cette surface coincide avec la normale commune des deux lignes isotropes. Dans les faisceaux de plans Be. lice Cait el, old PP ak el, {oF si 1l’0n 27 Ovet -=0, le plan de B, n'est pas déterminé » À ’ ” » » Br » » ” À / pi „m » HHO, es =) ; 2 4 2 B, 8 i 8 | ET | th $ = 0 » 4 m Ors nm Pm = „ MHC. Le couple de plans | zs er SoBe ne détermine pas le plande B,, lin pe | To — 0 ” B, B ODI n= rade edition alt aa | Ly — 5 B, B me le Sha, B atd nd EDEN B 1 i ee) „Bg 7 i Mati Mana 0 Br B » 2 5 ” | vs == » Be 2 2 2 2 2 2 oe (ioe LT B 4 2 AMAR ADN % iyi th Wipe Nous aurions pu obtenir le méme résultat d’une maniére plus laborieuse en examinant les éléments neutraux de l’homographie tracée sur une droite. Si la surface a un point conique, on a par exemple k, =0; en ce cas la surface est engendrée par les faisceaux de plans: Dy Re) 0) Das AAN 0 Az run, == 64* 458 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. Si nous avions posé k, =0, la surface aurait été engendrée par les faisceaux : vy + uw, = 0, De Ale) À (Ba — ky Dy) TI — 0. Ici les trois axes des trois faisceaux sont tous situés dans le plan passant par les trois points doubles. Si la surface est douée d’un point conique, les axes de deux des six ternes de faisceaux, qui peuvent engendrer la surface, se trouvent dans un seul plan passant par les trois points doubles. Si la surface a, outre les points / et J, un point biplanaire, on ak, =0 et k, =0; alors elle est engendrée par les faisceaux: nn Tu il) la) MER oO. En ce cas aussi les trois axes se trouvent tous dans le plan passant par les trois points doubles. Il en serait de méme, quel des six ternes de faisceaux que nous choisissions pour générateurs. Nous pouvons encore considérer la surface cubique de révolution comme le lieu des courbes de contact des cônes tangents menés d'un point de l’axe à un faisceau de surfaces quadratiques de révolution coaxiales. La surface O, est done le lieu des courbes d’intersection des éléments d’un faisceau de surfaces quadratiques de révolution avec leurs plans polaires par rapport à un point de l’axe de rotation. On peut par exemple donner ä un faisceau de surfaces quadra- tiques de révolution, ayant toutes la droite (x, =0, x, =0) pour axe de rotation, léquation suivante par rapport au premier tétraèdre de référence: 18,8%, +a(@,—1,%,)(%,—l,%,){ +A}x, Dg HDM) —m,x,)|=0..(2) Le plan polaire du point (x, =0, 2, —0, x, =%x,) a pour équation : «[}2k—(l, + 1,){ a, — }kll,+1,)— 21, bil rl + +4 [}2k — (m, +m,){ x, — |k(m, + m,) — 2m, m,}x,]=0...(3) LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 459 En éliminant À des équations (2) et (3), on trouve: dl (relate, +1,)\—/(}2k-(m, HM) Je, Lal, +) 2 bo JP} km, +m,)—2m,m, We, | + + a]! UHU) mg Hm) [el + [lef U, +1,)+ (m, +m,) HAL, mimi ler + (mm, UL) ECU, Lam m, -1,1,(m, +m,)]ies@j+k}=(l, + emma + bom, van») | =0...(4) Afin qu'on puisse réduire cette équation à la forme (Az, + Bu) ©, 2, + x. 0 — lv; el les coöfficients de x, et de x, doivent être zéro: e.-à-d. il faut qu'on ait: L,+1,=0 et m +m, =0, donc lL=—l,=1; mj =—-m,=m. L’équation (4) devient: mmol 2k(a—/?)x,—(l2a—m?/?)x, |+ 2a/3(m?— 1? aa, +2ce/?k(l2—m?)x,2,=0 12 3 4 / 3 304 ) ou Qk (a—/?) m2 ?—l*a | 2 5 TiTo men Ar DE Bm)" ar D, Da — ko, WT 0, de sorte que 2k (a— /?) mla __ i= a on d’où k = Ie GADE EEDE Ainsi nous obtenons la surface (Az, + Bu,)&, 2%, + %3 % (8; -— x,)=0 comme le lieu des courbes de contact des cônes tangents menés du point au faisceau La By + eee (ar, hes EN BEN 3 | 9 a | Len Oy pe [ag +4 Li Do + AB (x, — m? ©) | ms 460 LA SURFACK CUBIQUE DE REVOLUTION. Si nous avions pris le point (@, =0,2, =0,#, =0) pour pôle nous aurions obtenu: %,%, [PA (Mm, +m,)—e(l, + 1,)\ a, +2je ll, — Am, mol mil + + eB Tim, = m,) — (bj tl) z, + 24 lo —m, My) ©, va + + + 1,)mı m, —1, bo (m, + m,)l ss 2] = 0. Cette équation se réduit à (ENDE Een x, xy — ke. 7 — 0! si l’on a m Wi — ae, et qu’on pose (B — a)k Ar al, l,— Bm, m, NEE ge PU) = Pour retourner au premier cas, si dans l’équation de la surface on donne à & la valeur — 1, elle devient (Ag. Ba), tat rat dj 0. Suppos& que dans x, = mx, la constante m soit positive, quand le plan x, = mx, se trouve entre les plans x, = 0 et x, = 0, l’équation du plan à l'infini est De En posant k = — 1 nous déplacons évidemment le pôle (PS OE year ni Ici les plans polaires de ce point, par rapport aux éléments du faisceau de surfaces quadratiques de r&volution. sont les mémes que leurs plans diamétraux perpendiculaires à l’axe. Il y a dans ce faisceau au moins une paraboloide de révolution. Le plan diamétral de cette paraboloide est le plan ä l’infini. Ce plan contient done son propre pöle et pour cette raison il est non seulement tangent à la paraboloide mais encore à la surface cubique engendrée. Par conséquent la surface cubique de révolution, engendrée de cette manière, coupe l’axe à l’infini, ce qu’on voit immédiatement en interprêtant l’équation (ADB NEE ee ar) UP Il est à propos de constater, que presque tous les résultats: obtenus dans les $$ 2—9 se rapportent à la surface cubique douée de deux points biplanaires. LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 461 $ 10. La surface cubique de révolution représentée par son équation en coördonnées rectangulaires. L’axe des z sera pris pour axe de rotation. Cela posé, l'équation s'écrit dans la forme: Az? + Bz (a? + y?) + C(@ + y?) + De? + Ez + F=0. La möridienne dans le plan y =0 a pour équation: Az? + Brie Or? + D2? + Ez + F=0, d'où x = — — BEC L’équation Bz+ C=0 donne la seule valeur de z, qui rend x infini. Il en résulte que Bz + C=O est l'équation du plan d’in- flexion. Pour B=0, on a z=, ce qui veut dire que le plan d’in- I ? flexion se trouve à l’infini. Pour C=0, le plan Bz + C=0 coïncide avec le plan z=0 ) p , ou, en d’autres termes, le plan d’inflexion est identique au plan XOY. Les points de rencontre avec l’axe sont donnés par Az3 + De? + Ez + F=0. Pour F=0, la surface passe par l’origine et le plan XOY est plan tangent. Pour H=0, F = 0, la surface a dans l’origine un point conique. Pour F=0, H=0, D=0, la surface a un point biplanaire coincidant avec l’origine. L’équation du troisième degré en z, qui nous donne les points d’intersection avec l’axe, peut s'écrire: J 5 ; 1 Pour A=0, cette équation a une seule racine — — 0 ou z=o00, 2 ou bien: la surface coupe l’axe une fois à l'infini. 2 N ‘ 1 Pour A=0, D=0, Véquation a deux racines — =0 ouz =o, ce qui veut dire, que la surface a un point conique sur l’axe a Vinfini. 462 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. Pour A=0, D=0, E=0, la surface a un point biplanaire à l'infini. ; ; A Si en Az? + Ber? + Om? + Dz? + Ez + F—0 on a R <0; la méridienne en a commun avec la ligne à l’infini, outre le point d'inflexion, encore deux points réels. : A eee Si l’on a B° 0, la courbe méridienne n’a en commun avec la ligne à l'infini qu’un seul point réel, savoir le point d’inflexion. 5 P ) A 9 : : Pour p —0, ou A=0, la ligne à l'infini est tangente: le mé- ridien coupe l’axe à l’infini. Les directions des asymptotes sont données par Ag? Br 10; Pour À > 0, cette équation représente les droites z=0, zI Ar 2B=0, rd ar SB L’une des trois asymptotes a donc pour équation: z= d= constante. En substituant cette expression dans l’&quation du méridien, nous avons Ad? + Bda? + Cx? + Dd? + Ed + F=0, d’où ee Aaa SD EEE TES TR Bd + 0 Il est évident que x? devient infini, si l’on a Bd + C=0, c.-à-d. d= — =: L’une des asymptotes est donc représentée par ~ Bz + C=0. L'équation de la deuxième asymptote s’écrit: z-A+e-—B+e=0, d’où zit Arte Lier T—=— ou bien: Az?+2ezl A+e WS = en LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 463 En substituant cette valeur de x? dans Véquation de la méri- dienne, on trouve R Ar? +2¢e2'A +e? Az? + (Bz+ C) - pe nn Dz + Kz + F= 0, ou — ABz + (Bz+C)(4z? +2ez' A +e?)— BDz? — BEz— BF =0, ou C AE 2 3D 3H a Bel: ee 0 | a2 7 „2 an @ zZ Z zZ ou Sane zu 2 z Ce? — BE Bex 2Ge kA Be, fi 2Bel A+ AC— BD) 2 1 a La valeur — —0 ou z=o vérifie cette équation; en effet, la droite 217 A+a'! —B+e=0 est parallèle à l’une des asymp- totes, et a done en commun avec la courbe un point à l'infini. Si la droite zl A +xl — B+e—0 est identique à l’asymp- tote, elle a en commun avec la courbe deux points coincidents; l : ee Ne : en ce cas deux valeurs — = 0 doivent satisfaire à l’&quation, de sorte qu'on a BEA AC—BD=0, ou Il s'ensuit que l’&quation de la deuxième asymptote est AAC RE AG 2B A La troisième asymptote est représentée par MTG ee la, BLA et leur ensemble par AC— BD. , (AC— BD)? _ Az? PE Zar a ARCHIVES VIII. 65 464 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION ou 4A? B* 27+ 4AB > x? — 4 AB (AC — BD)z + (AC— BD)? =0. La surface cubique de révolution a un plan tangent, engendré par la rotation de l’asymptote Bz+ C=O autour de l’axe et un cône asymptote, engendré par la rotation des deux autres asymptotes. Il est clair que l'équation du plan d’inflexion ser: B2+0=0 et celle du cöne asymptote 44?B?’2? +4 AB? (x? + y?) — 4 AB(AC — BD)z + (AC — BD)? =0. Le sommet de ce cône se trouve dans l’origine, si l’on a AC — BD. Si "J : 20 1 dans l’&quation du troisiéme degré en — 2 Ce? — BF Bei + 2Cel ABE ABe A+ ACS EDEN 23 22 sr 2. er 0 on a à la fois les relations Biel A+ AC BD=0 et Ber +20 el" AZ PEN) les asymptotes ont en commun avec la méridienne trois points coincidents; elles sont done des tangentes d’inflexion, de sorte que le méridien a trois points d’inflexion à l'infini. Pour en trouver la condition on élimine e des équations simul- tanées. Cela fait, il vient —3 A202 + 2 ACBD + B?D? — 4 AB®E=0. Un cas particulier de cette position est réalisé par la coinci- dance des deux points d’inflexion à Vinfini, et bien en un point double. En effet, on a alors À = 0, D=0, ce qui vérifie l'équa- tion précédente. Dans le point double sont unis deux points d’inflexion réels et quatre points d’inflexion imaginaires. LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 465 $ 11. Les surfaces polaires et la surface de Hesse en coördonnées rectangulaires. BA + Blz? +y*)+ Ce? + y?) + Dz + Ez+ F=0; oU nz —2Bx2+207, aU a Oy =2Byz+2Cy, DU € 9 9 > 9 € u U,= TE —8 Az? + Bax? + By? +2D2+ H; dU 5 > Ui = dr? == Bz 20, (a0 5 Uber, 02 U 02 U — = = — ev Py te DO! B 12 Indy 0 ; Us oy? 2 Bz + 20, Us; by, 02 U s 02 U à d2U : Me... -2Bx ‚ Us ame ‚ Us = 522 =6A2 +2). Avec ces quantités on pourrait construire les équations des sur- faces polaires et de la surface de Hesse (à l’instar par exemple de M. G. SALMON). Une forme plus symötrique cependant se présente, si nous commençons par rendre l’öquation U = 0 homogène. Pour celà nous posons: U=Az? + B2(x? +?) + Ce? +y?)wtDewt+ Ezw? + Fw =0, où, après avoir effectué les opérations, on doit poser w = 1. Les dérivées prendront les formes suivantes: oU U, = —-=2Bxz:+2Cxw z dx 3 neon ware dy Te y? yw, 0 Ai Ber by: 2) ete DN o U n Ven = Ct? + Cy? + Dz?+2Ezw+3Fw?; o2 U Un= 322 =2Bz2+2Cu, 02 U SU US = — (|) Ur = — —9Bz2+2Cw 2 Oad ? oy? ? 466 LA SURFACE GUBIQUE DE REVOLUTION. Uae DU De | Uh = 335,7 2P U, Cantone ver LÉ De —6AZ + 2 Dw, 02 U 02 U 02 U ] IM) Me À 4 = = =2Dz Ui an 20x, Un DEN 2Cy, Us TE 2Dz + 2KEw, T 02 U 1 al Osi = rp Ez + 6 Fw L’équation de la première surface polaire d’un point (x,,y,,2,,w:;) s’écrit (2Bez2+ Caw)z,+(2Byz2+2Cyw)y, + re Geshe Bene NS + (Cx? + Cy? + D2 +2 Ezw + 3 Fw) w, =0, d'où, pour aw; —A, (2Bzz+20Cx)x, +(2Byz+20Cy)y, + tao Ae? + BRa2 -Bya+2D2 Eje + (Ca? Cy + De + 2 he CCS EN Le plan polaire est représenté par (2Bx, 2, +2Cx,)e*+ (2By,2, +2Cy,)y+ ae (342 Sr Ba + By, +2D2, + Le = + (Ca + Cy + De +2Hz,+3F)=0. La surface de Hesse a pour équation: | B2 + Cw, 0 ; Ba Cx 0 , Bz+ Cw, By a Cy Bra = Sey ‚42+Dw, Dz + Ew Cz, Cy , Dr+Ew,E:+35Fu Il > En effectuant le calcul il vient, après avoir posé w = 1, (Bz + C) [(Bz+ 0)}(8 AE —D?)z? +9(AF — DE)z + (3 DF—E)\— — |(B2B— 2BCD + AO?) z+ (BBF —2BCE + C2D)} (x? +y2)] =0. § 12. Propriétés regardant la courbure. Comme c'est le cas de toutes les surfaces de révolution, les lignes de courbure coincident ici avec les parallèles et les méri- diens. La surface développable des normales menées par les points LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 467 d'une parallèle est un cône quadratique de révolution, ayant pour sommet le point de rencontre d’une normale avec l’axe et pour directrice la parallèle elle-même. La surface développable des normales menées par les points d’un méridien coïncide avec le plan du méridien. La courbe de rebroussement n’est autre chose que la développée de la méri- dienne. Le long de la courbe méridienne les normales de la surface coineident avec les normales principales. Les lignes de courbure, étant toutes planes, sont identiques aux lignes géodésiques. Les plans tangents en les points du méridien font tous des angles égaux (droits) avec le plan du méridien. Maintenant examinons lesquels des points sur la surface sont de courbure sphérique ou orthogonale-hyperbolique, ou bien, pour quels points l’indica- zZ trice est un cercle 7 et pour quels points Ze elle est une hyper- EN / bole équilatère. X Nous allons tirer N nos conclusions de \ SS Vétude directe des ea tangentes principa- … ~ X les. & Pour celä nous x chercherons l'équa- Fy tion de intersection Fic. 8. d’un plan tangent avec la surface, Le plan tangent d’un point P (w@,,z,) dans le plan X OZ est représenté par (2Bx,2,+20x,)x+(342+Bx+2D:,+E)2+ (Ca, +Dz +2 Ez 1+3F)=0. Nous voulons introduire un nouveau système de coördonnées (système &, n, £) dont l’origine coïncidera avec P (fig. 3). Prenons pour axe des £ la tangente en P au méridien. ) » » » N „ normale en P au plan du méridien. » » » » EM, » en P à la surface. Soient a, b, ¢ les cosinus directeurs de la normale en P à la 468 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. surface, done de l’axe des £, par rapport au système original; on as Les relations qui se présentent sont cos (52) =c, cos(Sy)=0, cos(E2) =—a, cos(nx) =O, cos (ny) =d cos (12) =0), cos (Cx) =a, cos (Cy)— 0" cos (Cz) =G De l'équation du plan tangent en P on peut déduire MIELE ET 6 N: a 2Ba, 2, + 2%; 8342 + Br +2D, HE CS Les formules transformatrices sont T—T, tal, y—n, = OS, L'équation de la surface par rapport au système &, 7, ¢ s’écrit A(z, +c&—al)?+B}(x, +at)? +77} (2, +cS—al)+C}(@, al)? + 9? + + D(z, +cë—at)? + Elz, +c§—at)+F=0. On obtient l’intersection de la surface avec le plan tangent en P en posant ¢=0, et on trouve Ala, +08)3 + Ben?) (2, +c&) + Oan?) +D(z, +08)?+E (2, +08) +F=0 ou Az — 3 A2 aë+342,a?£2—Aa 5834 Baz, —Ba. aËë+2 Br, c&z, —2Brx, c&?a+ + Bo? &2z,—Be2a83+Bz n?--Ba&n?+ Oe +20x, c&+Cc? E24 +On?+Di— — 2Dz, a&+ Da? &+ Hz, — Ea&+F=0. Puisque le point P est situé sur la surface, on a Al + Ba) 2, + Cx, + Di + Hz, +F=0; eu égard de cette relation, l’&quation précédente devient 3 Azla5+3 Az, a? 82 — Aa? Es Bara5+2 Br, c&,—2Bu,ck?a+ Be? $22, — — Be?a&®+Bz, n?-Ba&n?+20x,c&+(0e?&52+0n?-2Dz, a&+Da?E?-Eas=0. Or on a, suivant (1), pA BE 2 + 2Cz, | 34À + Bu, + 2Dz, +H ? LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 469 ou — 3A a — Br, a —2Dz,a— Ha + 2Bx, z,c+ 20x, c=0. Il en résulte que le coéfficient de & dans l’öquation susdite est zéro, ce qui signifie que la courbe a un point double en P. L’équation de la courbe d’intersection se réduit à (Aa3+Be?a)s3—(3Aa?z,—2Bacx,+Be?z,+Cc?+Da?)§*—(C+ Bz, )n?=0..(2) L’ensemble des deux tangentes du point double est représenté par (3Aa?z, —2Bacx, + Be? z, + Cc? + Da?) 2 +(Bz, + C)n2 =0... (3) Ces tangentes sont à la fois les tangentes en P aux lignes asymptotiques et peuvent en outre étre considérées comme les asymptotes de l’indicatrice. Si celle-ci est un cercle, les tangentes aux asymptotiques sont identiques aux lignes isotropes situées dans le plan tangent et passant par P. En ce cas les coéfficients de §? et de 7? sont égaux, done BAG 2 = Abaca 1 Be 24 1. 6027. DI bet. ou, puisque c? — 1 —a?, 3Aa? 2, — 2Bacz, — Ba? z, — Ca? + Da? =0....... (4) Cette équation est vérifiée a) par a=0. Pour a= 0, l’axe des £ coincide avec l’axe des z. En ce cas le plan tangent est perpendiculaire à l’axe de rotation, de sorte qu’on obtient 1° les points de rencontre avec l’axe, 2° la ligne à Vinfini des plans normaux à l’axe. Par’ conséquent les points d’interseetion avec l’axe sont des ombilics. La ligne à l'infini des plans normaux à l’axe est de même une ligne de courbure sphérique. Ce résultat sera discussié plus tard. b) par 3Aaz, — 2Bex, — Baz, — Ca + Da =0, ce qui veut dire, que les points, pour lesquels on a 2Ba, Nen 2%, (Bz, + ¢) SA — Bz, —C 4D € a + Ba) + 2Dz, + E (voyez (1)), ont pour indicatrice un cercle. 470 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. La courbe dans le plan y =0 qui est représentée par “(3.4 Bz?+ B2x2+4+2BD2+BE)=4(3A Bz2+3A Cz- B222-2BCz-C2+BDz+CD), ou x [B?x? + B22? + (BD+2BC -3AC) 2+ 02 + BE—CD]=0, coupe la méridienne en des points de courbure sphérique. Cette courbe est composée de axe «= 0 (qui donne les ombilics) et de la conique Be? + Ba? + (BD + 2BC — 3 AC)z + (0? + BE — CD) =0. Par la révolution de cette conique autour de l’axe s’engendre la surface B22? + B(x? + y2)+(BD+2B0-3A0)2H0?+BE-CD=0... (5) Cette surface coupe O, suivant une courbe gauche de courbure sphérique du sixième degré, done suivant trois parallèles. On voit, que sur O, sont situés, outre les ombilies, trois cercles de courbure sphérique. Nous aurions encore pu déduire l’équation (5) en partant des deux conditions que M. SALMON impose aux points de courbure sphérique, savoir U, Us U, NZ 2U,U, U; U U, +0, 2U,, U, U, U,+U, U,+ U, 9 9 OF U + Os Oh 2U. U, UE EE: 2 72 = Was (Voyez SALMON, Analytische Geometrie des Raumes II, 3. Auflage, pag. 47). Or on a (voyez page 465) U2=0 et Uy=Uyn=2(42+ 0), done CADRE NON ORN OPS UE UF 2 5 = =2(82+ 0), Use Us ( ) U,, U,+U,, Ui 20,0, Ua Bet C) U; +4y? (Bz +0)? U,-4By?(Be+O)U, U, + U, U,+U, ’ LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 471 U,,U2+U,,U2—2U,,U,U, 4a? (Bz-+ 0)? U,+2(B2+ 0) U2—4Bu?(Bz +0) U, 3 U,+U, i U,+U, Les deux conditions U, U,+ Us. sen 2U,, U, U, U, us + U» Le 2U, ‚U, U, E O° + UF U, +U; et U Ur pue 20, U, U, sé U, (nn U Die 2 Un U, U, Ui + U, U + u: peuvent done étre réduites a 2 (Bz + C) |U; + 2y? (Bz + 0) U, — 4By? U;} pee oO) Is 4 ln aa =2(Bz + C) U;+ U, et — 2 (be +6). 2(Bz + C)\U, + 20? (Bz + C) U, —4Bu* U)! 0e 0; Le plan Bz + C=O, qui est le plan d’inflexion, coupe done O, en une ligne de courbure sphérique. En divisant nos équations par Bz + 0, les deux conditions suivantes nous restent: U; + 2y? (Bz + C) U,,—4By? U, =U, + U,=4y? (Bz + 0)? + U, et U, + 2x? (Bz + 0) U,,—4Bu? U, =U; + U, = 40? (Bz + 0)? + U, Après reduction elles s’&crivent 1 Ay? | > (Bz + 0) Us — BU, — (Bz+0)2|=0 et 1 Agi (Bor ONU Bu (Be 410)? | — 0 Il paraît, que toutes deux les conditions sont remplies par Vaxe (x = 0, y=0): il coupe O, en les ombilics. Du reste les deux conditions sont identiques; elles sont équivalentes à 66 ARCHIVES VIII. 472 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. > (Be + C) Us; — BU, — (Bz + CP? = = (Bz+C) (3Az+ D)— B)3Az? +B (x? +y?)+2Dz2+ El —(Bz+C)? =0 ou Bz? + B(x? + y?) + (BD + 2BC— 3AC)z2+ (C2? + BE—CD)=0. Ainsi nous avons obtenu de nouveau l’&quation (5). Si B=0, c.-à-d. si le plan d’inflexion se trouve à l’infini, la surface quadra- tique de révolution (5) est décomposée en le plan à l’infini et le plan 3 Az + (D—C)=0. (En général, on peut, considérer une surface du m” degré comme une surface du n°” degré (n > m), qui contient (n — m) fois le plan à Vinfini.) Il n’y a en ce cas qu'un seul cercle de courbure sphérique, : C— D situé dans le plan Co La ligne à l'infini des plans normaux à l’axe doit aussi être considérée comme une ligne de courbure sphérique, parce que l’indicatrice d’un point de cette ligne est composée de la ligne à l'infini comptée deux fois, et que pour cette raison elle passe par les deux points circulaires, de sorte qu’elle est à considérer comme une forme dégénérée d’un cercle. Nous verrons bientôt que cette ligne à l'infini remplit encore plus de fonctions. L’équation (3) nous permet aussi de trouver la condition sous laquelle Vindicatrice d’un point est une hyperbole orthogonale. En effet, en ce cas les coéfficients de 52 et de 7? doivent être égaux, mais de signe contraire; de sorte que nous avons 34a?2, —2Bacx, + Bo?z, + Ce? + Da? =— (Bz, + C), ou, puisque ce 3Aa? 2, —2Bacxz, + Be? z,+Cc?+ Da? + Bz, (a? +c?)+ Cia? +c?) =0, ou bien: (3Az, + Bz, + C+ D) a? — 2Bx, ac + 2 (Bz, + Ce? =0, d’où l'on tire LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 473 c 2Bu, + V4B2 a? —8 (Bz, + C) (342, + Bz, + C+ D) Tk EERE Kn nn Ba? +5, V Bt —2(Bz, +0) (342, + Bz, + C+ D) 1 Te OE (Be, Og aoe NOT ET LE DEC + Bu, +2Dz,+ EH 25 (Bes +0) 2 pace. 1 , (suivant (1)), ou (Bz, +C)[ Brite, V B2x?—2( Bz, +C)(34z,+Bz,+C+D)—Ba—3A2—2Dz, —E]=0. .(6) D'abord Bz, + C=0 donne des points dont l’indicatrice est une hyperbole équilatére. La ligne 4 l’infini des plans normaux à l’axe doit done aussi étre considérée comme ligne de courbure orthogonale-hyperbolique, ce qui s'accorde avec l'énoncé, suivant lequel la ligne à l’infini est perpendiculaire 4 chaque ligne et par suite 4 elle-même. En effet, dans cette conception l’indicatrice, qui se compose de la ligne à Vinfini comptée deux fois, a deux asymptotes rectangulaires, Ensuite, l’&quation (6) est aussi vérifiée par a, VB: — (Be, +6) (842, +Bz,+C+D)- 342° —2Dz,-E=0, done par EIB! x, —2(Bz, +0) (342, +Be, +C+D)|- (342)+2De, + E)?=0. La courbe représentée par y—0 et QA? zt Bat +12 ADz>+ (6AB+2B2) x2 2? +(4D2+6AE)22+ + (6AC+4B04+2BD) 2x? 2+(20D+202)x? +4DEx+E? = 0 coupe done la méridienne dans le plan y =0 suivant des points dont l’indicatrice est une hyperbole orthogonale. Par la rotation de cette courbe autour de l’axe on obtient une surface de révo- lution du quatrième degré, qui coupe O, suivant une courbe gauche du douziéme degré, dont les points sont de courbure orthogonale-hyperbolique. Evidemment l’équation de cette surface est 66* 474 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 9A2 24 — B? (x? +y?)?+12ADz23 + (6AB+ 2B?) (x? +y?)2? + + (4D?+6AE)z* + (6AC+4BC+ 2BD) (x? +y?) 24+ +(2CD + 2C?) (22 +y?)+4DHz+ #2? =0....... (7) Nous aurions encore pu obtenir cette surface en substituant les valeurs des dérivées dans la formule suivante, donnée par M. SALMON: ( Uoo-+ Us) UH Uag-+ Ui) UHU Uno) U,—2 U3, U 3 —2UU 3 U, UU, U,=0. (Voyez: SALMON, Analytische Geometrie des Raumes IT, 3. Auflage, pag. 41). La courbe gauche du douziéme degré, suivant laquelle cette surface coupe O,, est composée de six cercles. La ligne à Vinfini des plans normaux à l’axe est de même située sur la surface de Hessr. Par conséquent ses points sont aussi des points paraboliques. L'indicatrice des points de cette ligne est done à la fois un cercle, une hyperbole &quilatere et une conique dégénérée en une ligne double. Cette absurdité apparente provient de la disparition des coëff- cients de £? et de n? dans l'équation (3). En effet, pour le plan d'inflexion on a a=0; le coëfficient de &2 est done c?(Bz, + C) = 0, et celui de 7? Be, +C=0. Par conséquent l’indicatrice n'est pas déterminée. § 13. Equation de la surface cubique de révolution ayant pour axe de rotation la droite += y ==. Nous nous imaginons un système (§, 7, t) dont l’origine coïn- cide avec l’origine du système de coördonnées précédent, et dont l'axe des ¢ coincide axec la droite x = y =z. La position de l’axe des & (qui, une fois donnée, détermine naturellement l’axe des ») ne sera pas fixée. Si une surface cubique de révolution a, par rapport au système (£, 7, ©), pour équation el eu er DES eae l’axe des ¢ en est l’axe de rotation. Afin de trouver de cette surface l'équation par rapport au système (a, %,2), il nous faut appliquer les formules transforma- trices suivantes: LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 475 GSU GU La NIE Pi x + a VE Paz Z, b=y% + yy + vi, avec les relations a+ Pity? th, td ou & +R =1—7? ; a+ fi,+y2=l , ” a+ f,=1—y/? 9 dl ’ ” e+ fly? p eat » ar n=, WN dre Oy \. 0,00 se az ai + Pa By Sr Ji = 0, » a, a, + Da er == ree di gk 506 el tandis que Slet y= Nous aurons EE (ty + 2), B) B? + (a +f) y? + (a + P,)2? + +2(a@,6@,+ PP) ey + 2(e,a; +B, P3)y2+ Inn OENE = (1 — y?) (x? + y? + 22) —2y? (ay+ y2 + 20) IN el PN i PAA er) — 2 (xy + YZ + 2%) = (1—y?)(® + y + 2)? — 2 (xy + yz + 22) Br dez — er Em == (a 2 =g(r+y+z) —2@y + yz + zo), a 5 2 (§2 + 72) C=y(e@+y+z2) [Fery ag + ye + 0] [lr + y +23 — 8 (x + y + 2) (ry + yz + 2x) |, 31.73 ay (etyt2t=sw+y+s, a er : ear y + 2). L’équation de la surface cubique de révolution devient A@+y+2)3+2B[(a+y+23—3(@+y + 2) (ay + yz + 20) + +203 [(x + y +z)? — 3 (wy + yz + 2x)] + + DV8 (x +y+2)? +3E(x+y+z)+3V8F—0... (1) 476 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. Six, y, z sont les trois racines de l’équation u> + pu? + qu+r=0, on a Gby+2=—p, WHY, WEN. L’&quation (1) peut donc aussi être réduite à la forme Ap?+2B(p3—3pq)—2 CX 3(p?—8q) —DV 3p?+3 Ep — SFV 3 =0,.. (2) ou BD = (2 C Se D) 3 p° + 3Hp—3FV3 _ 1 ; 6 (Bp — C13) = f (p).. (3) Étant donnée l'équation CR ae yin Oi == 0) où q, satisfait à la condition =S), les trois racines @,, 4, a, de cette équation seront les coördon- nées d’un point de la surface cubique de révolution représentée par Véquation (2). Ainsi nous obtenons six points de O,, savoir PVR eN TR De A BNA VN Pro dg AU Pa =d Yan, ee), Pe Rn y Ha, EN EN Si nous donnons à p, une valeur arbitraire, la constante q, est déterminée par q, =f(p,); en ce cas on peut choisir r, à volonté. De cette manière on obtient oo? groupes de six points, dont l’ensemble remplit la surface. Les six points P,, P,, P;, P,, Ps, Ps se trouvent tous dans le plan EY HzZ= Di done dans un plan perpendiculaire à l’axe de rotation «= y = 2. De plus ils sont situés sur l’hyperboloïde de révolution DY + y2+ =, LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 477 qui a la droite »=y=z pour axe de rotation. Par conséquent les six points se trouvent sur le cercle que cette hyperboloide de révolution a en commun avec le plan x+y+z2=— p,. Evidemment ce sont les six points suivant lesquels ce cercle est coupé par la surface cubique LY Z—=—T;. § 14. Remarques finales. ') Approchés de la fin de ce mémoire, nous voulons le terminer par quelques remarques sur la représentation univoque de la surface cubique de révolution et sur l’application de la théorie des invariants dans la recherche de ses propriétés. Pour ce qui regarde la représentation univoque, on peut faire valoir les considérations suivantes. Une représentation univoque pourrait se faire par exemple au moyen de lignes droites qui passent toutes par l’un des deux points doubles circulaires et qui ont done en commun avec la surface un seul point variable. Cependant tous les points d’intersection obtenus de cette maniére sont imaginaires; cette représentation ne nous donne done aucune image convenable. On peut en outre représenter la surface 4 l’aide de droites s’appuyant sur deux lignes isotropes qui ne se trouvent pas dans un méme plan; mais ces droites sont aussi imaginaires. Pour le moment aucune représentation réelle de la surface cubique de révolution ne me parait étre effectuable. Quant à l’application de la théorie des invariants, il nous semble que cette méthode d’investigation est assez embarrassante, sans promettre des résultats qu’on ne saurait obtenir de toute autre manière, 1) Cet article a été ajouté en conséquence de la critique donnée sur le mémoire original par M. P. H. ScHouTE, Professeur de l’Université de Groningue. 478 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. APPENDICE. Notre mémoire est accompagné de deux tableaux de modeies de la courbe méridienne. L’équation générale de la méridienne dans le plan y=0 s’écrit Az? + Baz + Ox? + Dz? + Ez + FO. L’axe des Z est représenté par une droite bleue verticale. La plupart des figures sont pourvues de deux axes des X, dont l’un est bleu, l’autre rouge. Nous ferons suivre les équations par rapport au système de coördonnées avec l’axe des X bleu aussi bien que par rapport a celui avec l’axe des X rouge. Les asymptotes y figurent comme des lignes noires interrompues. Les tangentes des deux points d’inflexion situés symétriquement par rapport à l’axe des Z sont des lignes noires interrompues et pointillées. A. Equations par rapport au systéme de référence avec l’axe des X bleu. L’axe des X bleu coincide toujours avec la tangente du point d'inflexion à l'infini; par conséquent le coéfficient C de x? est toujours zéro. L’équation générale par rapport au système avec l’axe bleu est done Ag? ar Bu? 2 4 De? + Bz + F=0. I. Deux des asymptotes sont imaginaires, d’ot A B >0. (Voyez page 462.) La courbe coupe l’axe des Z en trois points réels, ce qui revient à dire que l’&quation Az’ + De? + Hz + F=0 a trois racines réelles. Ici elles sont toutes de même signe. ET. LM. IV. MI. LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 479 LE B : La courbe rencontre l'axe des Z en un seul point réel, de sorte que l’&quation ea Os N) n'a qu’une seule racine réelle. Les trois asymptotes sont toutes réelles, ou bien À ZT BS 0, (Voyez page 462.) La méridienne a en commun avec l’axe des Z trois points réels, qui se trouvent à différents côtés de l’axe des X. Par conséquent l’equation Az + Dz? + Ez + F=0 a trois racines réelles qui ne sont pas toutes de méme signe. A B <0. L'équation nei) n’a qu'une seule racine réelle. La ligne joignant les points d’inflexion finis et le point d’intersection avec l’axe des Z se trouvent à côtés opposés de l’axe des X. A B L’équation << (0), A END ESS el — 10) a trois racines réelles, toutes de méme signe. (Contraste avec III.) A B <0. L’équation Az? + De? + kz + F=0 n’a qu'une seule racine réelle. La ligne joignant les points d’inflexion finis se-trouve du ARCHIVES VIII. 67 480 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. même côté de l’axe des X que le point d’intersection avec l’axe des Z. (Contraste avec IV.) A WAEL B << (0). L’équation Az + De? + kz + F=0 a trois racines réelles, toutes de méme signe. Les points à l’infini sont tous des points d’inflexion, ce qui donne, suivant page 464, la relation 3 A2 02 —2 ACBD — B? D? +4 AB? E=0, ou, puisqu'on a ici C—O 4 AE— D?=0. A VIII. BS 0. Encore on a ici 4 AE — D? =0. L’équation Az? + Dz? + Ez + F=0 n’a qu'une seule racine réelle. IX. La courbe coupe l’axe des Z une fois à l’infini, d’où résulte ll L’équation de la méridienne s’écrit done comme il suit: Bz? 2 + De? + kz + F=0. L’équation Dz? + kz + F=0 a deux racines réelles de méme signe. X. De même ici le coëfficient A de z? s’annulle; l’&quation de la courbe est Ba? z+ De? + Ez + F=0. L’équation Dz? + Hz +F=0 a deux racines imaginaires. LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 481 XI. = > 0: La courbe a un point double fini sur l’axe des Z. (Folium de Descartes, Strophoide droite, etc.) Par conséquent l’&quation Az? + De? + HE: + F=0 a deux racines égales. A XI. jas 0. L’équation Az? + Dz? + H+F—=0 a encore deux racines égales. La troisième racine et les deux racines coincidentes sont de signe contraire. A XIII. ES 0. L’équation ASE Dex + Br 0 a deux racines égales qui sont de méme signe que la troisiéme. XIV. La courbe a un point double fini sur l’axe des Z et ren- contre cet axe de nouveau à l'infini. On a done A= 0: c.-à-d. l'équation de la méridienne s’écrit: Bx? 2 + Dz? + Ez + F=0. Ici l’equation Dz? + Ez + F=0 a deux racines égales, d’où: 4 DF — E? = 0. XV. La courbe a un point double à l'infini sur l’axe des Z. Suivant page 461, cette propriété est représentée par A=) vet Dae: L'équation de la méridienne devient donc Bx? z+ He + F=0. 67* 482 XVI. VAIL XVIII LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. A B La courbe a un point de rebroussement sur l’axe des Z, dot résulte que l’équation AZ De he + fu) a trois racines égales. A Be Ici l’&quation la DEEE N) a de méme trois racines égales. . La courbe a un point de rebroussement à l’infini sur l’axe des Z. On a done suivant page 462 Al DURE 0) de sorte que l’équation de la courbe se réduit à Bx? + F=0. B. Equations par rapport au système de référence avec l’axe des X rouge. L’axe des X rouge coïncide toujours avec la tangente d'un point de rencontre avec l'axe des Z. L'origine est un point de la surface, done on a 1 Ji (0) L’&quation générale par rapport au système avec l’axe rouge est par conséquent Ag? bie 052 Datel: 2 equation Eu Az? + D + E=0 a deux racines réelles. EE LIT. IV. VI. LA SURFACK CUBIQUE DE REVOLUTION. 483 L’équation Az? + Dz + E=0 a deux racines imaginaires. N L’équation Az? + De + E=0 a deux racines réelles de signe contraire. A : nn 8 B 0 L’équation A2= D EE 0 n’a pas de racines réelles. La tangente du point d’inflexion à l'infini se trouve du même côté de l’axe des X, que la ligne joignant les points d’inflexion finis. A m L’équation Az? + Dz + EQ a deux racines réelles de signe contraire. , La tangente du point d’inflexion à l'infini et la ligne joig- nant les points d’inflexion finis se trouvent de côtés opposés de l’axe des X. (Contraste axec III.) A 3 <0. L'équation Az? + De + E=0 n’a pas de racines réelles. La tangente du point d’inflexion à l'infini et la ligne joignant les points d'inflexion finis se trouvent de cötes opposés de l’axe des X. (Contraste avec IV.) 484 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. A WADE B (D) L’équation Az? + De + H=0 a deux racines réelles de signe contraire. Les points à l’infini sont d’inflexion, done 34? 02 — 2A CBD — B? D? + 4AB? H=0. A L'équation Az? + De + E=0 n’a aucune racine réelle. De méme on a ici 3A2 02 —2AC BD — B?2 D? + 4AB? E=0. Ib, ASO. En effet, la courbe coupe l’axe des Z une fois à Vinfini; elle est done représentée par Br? a + On? + Dz? + Hz = 0. A NÜR B > (0) La courbe a un point double en l’origine, done E=(. L’&quation de la méridienne devient Az? + Barz+ Cx? + Dz? =0. A XII. B < 0. Bel), L’équation de la courbe s'écrit Az? Britz + 052 Dz? —0. Le troisiéme point d’intersection avec l’axe des Z se trouve du même côté de l’axe des X que la tangente du point d’inflexion à l’infini, ou bien: 25 D C x F les quantités — 7 et — = sont de méme signe, done LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. 485 DE, AB - D ) tandis que la valeur absolue de — 4 Surpasse celle de — B ce que nou; représenterons par md A Ba A Nn < 0. XIII AS m0. Ici on a DC AB tandis que Zell A Be XIV. La courbe coupe l’axe des Z une fois à l’infini et a un point double en l’origine, done A=ONELNRE—0; L'équation de la méridienne s'écrit Br? z+ Cx? + D?—=0. XV. La courbe a un point double sur l’axe des Z à l’infini, d’où résulte AOR Ch DE) L’équation de la courbe se réduit ä Bx? z + Cr? + kz = 0. A La courbe a un point de rebroussement en l’origine, de sorte que D=0 et E=0. L’équation de la courbe est Az? + Ba? z + Cx? =0. A XVII. B <0) Ici l’équation s'écrit, tout comme dans le cas précédent, Ags baz Cx =0. 486 LA SURFACE CUBIQUE DE REVOLUTION. XIX. La tangente du point d’inflexion à l’infini coincide avec la ligne à l’infini, ce qui donne B); (Voyez page 461.) L’équation de la méridienne s’écrit Ae ht L'équation Age DE HN) n'a pas de racines réelles. XX. En ce cas on a de méme B); done Az? + Cx? + Dz? + Ez =0. L’équation Az? + Dz + E=0 a deux racines réelles de méme signe. XXI. Encore on a Bi: La courbe a un point double en l’origine, d’où E=0. L’équation de la courbe devient Ar? + Cp? + Dz? —N. XXII. La courbe a un point de rebroussement en l’origine et une tangente d’inflexion à l'infini. (Développée de la parabole.) Il s’ensuit B=) WER! L’&quation de la méridienne se réduit à AR 020: TABLE DES MATIERES. PAGES Selm Quelaues remarques générales." Encore 407 § 2. Choix des systèmes de coördonnées homogènes................. 409 § 3. Application du premier système de codrdonnées................ 412 § 4. Application du second système de codrdonnées................- 420 § 5. La courbe de Cayury du méridien et la surface réciproque..... 429 S @ JRO) SE CUNT Can Speciale DOUCET OO DOM le ee seele Oad 440 § 7. Faisceaux de surfaces cubiques de révolution .................. 442 § 8. Un système de surfaces cubiques de révolution du troisième ordre 452 § 9. Engendrement des surfaces cubiques de révolution ............. 455 § 10. La surface cubique de revolution représentée par son équation en coördonnéesbrectanegulaitegn irt ee syste nee en eaten 461 § 11. Les surfaces polaires et la surface de Hesse en coördonnées rectan- DUIAITOD Ne ren eee eee edet eze are eerste olene Ree ela ee 465 SIP Bropristes, Terardantzlaleourbüure.n ver ee leerer ee 466 § 13. Equation de la surface cubique de revolution ayant pour axe de ROMO) NEY, TOINE Zr ee ce 474 Gb Irene) dr IEN NS SEP rdberoosavoorddvbarned drop dao 477 ANEMIC. sedeendaoogddoctsboorooor derden drPPHHAEb Lb Dae 478 ARCHIVES VIII. 68 ERRA PA. Pages Ligmes. Au lien de 408 10 en bas consisiant 412 ER consiste 418 17 en haut [+B 2m A’ BEI Treten ce MW 1627-7167 7. 434 10 sont 427 3 en haut est 1 ae 428 CRETE Pia, v3 iV.). 434 2 bi 32 kj hints „, 1 en bas —3: Ak, ky a dai 437 12 „ » (Pr,10,)9,9%—- Ar; )—0 438 dernière avec 444 16 en haut ( )(zj}—kr,2,-+ Ki Tij 448 15" outre 7 AB, , tangentes principales. an 468 2 en bas ar, I 9 2’ 16P-+ 161+... soient soit i je se ern, 3-ıV 2k- ke BE RE, ball (Pr, Qv,)0, 97,4 Ar, ( )=0 a ()@j—kz, 2,4 kr). excepté tangentes aux lignes asymp- totiques. __ 92, (Be, +0) | SA +. JEN HE, pie I Vol. VIL PIV. Archives du Musée Teyler. Serie I Vol. VIIL PIV PII SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES PAR LE COURANT ELECTRIQUE PAR E VAN DER VEN: IV. ı) L’électrolyse des solutions de sels, dans la composition desquels le plomb entre, se distingue en général par ce quelle est accom- pagnée de réactions secondaires, qui nuisent au transport normal de ces solutions par le courant. Car, si pour celà on se sert d’un courant d'une densité tant-soit-peu considérable, une partie de l’oxygene devenu libre à l’anode, se combine avec le métal de Vélectrode à des oxydes d'un dégré différent d’oxydation, dont une partie s'y dépose en forme de petites plaques, noires et minces, tandisque une autre partie reste suspendue, en forme d'une poudre fine et blanche, dans la solution. Comme ils ne rentrent pas en compisition avec l’acide devenu libre 4 des sels solubles, le transport poursuivi entre des électrodes, construites du métal qui fait partie des sels en solution, ne sera plus le transport d’un liquide, qui pendant le cours des expériences ne change pas de nature. Pour y rémedier autant que possible il faudra avoir soin de se servir de solutions assez concentrées, qu'on fait transporter par des courants assez faibles; et, comme les solutions concentrées ne sont que faiblement transportées, il en suit qu’en général on sera tres borné dans le choix des inten- sités de courant et des densités des solutions qu’on combinera pour l'étude du transport des solutions des sels de plomb. 1) Voir: Arch. Teyler, Série II, Vol. VIII, p. 93—119, p. 199—233 et p. 363 — 3983. ARCHIVES VIII. 69 490 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES Quant aux solutions des deux sels, l’acétate et l’azotate de plomb (P, C, H,O, + 3 Ag. et P,N, O,) du transport desquels l'étude fait l’object de cette notice, celles de lacétate ne font sous ce rapport que peu d’embaras. Elles sont trés réfractaires au passage du courant dont, par suite, elles sont trés facilement transportées; de sorte qu’un courant d’un quart d'ampère trans- porte encore 10 grammes par heure d'une solution contenant 12% parties de sel sur 100 parties d'eau. D'une solution d’azotate, par contre, qui ne contient que 10 parties de sel sur 100 parties d’eau, environ la même quantité est transportée par un courant quatre fois plus intense; et c'est ce faible transport qui m'a empeché de me servir pour ces solu- tions de courants aussi faibles que ceux dont je me suis servi pour le transport des solutions de l’acétate. Pe Oh H,. 0, tn 3 Ag. IE 7'/, parties de sel sur 100 parties d’eau. 5 mars 1903. TMO ramp: En 10 minutes. Durée de l'écoulement. Goultes. Gouttes. Grammes. 9h. Om. Os — Qh. 10m. 4s. 116 115.923, 2191675 10 4 20 0 114 14.76 .624 2 0 30 1 113 12.81 409 SOM 40 0 111 11.19 231 40 0 50 9 111 10.62 „168 50 2 10 0 0 108 8.36 11.920 1000) 10 3 108 7.46 521 (OS 20 4. 107 6.82 .750 90 4 30 3 106 6.18 .680 30 3 40 | 105 5.35 589 40 1 50 3 105 4.62 50S Xi) 11 0 9 104 4.17 .459 1308 gouttes. Poids de 1308 gouttes... 143.88 gr. » : d'une goutte..... OE) ” PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 491 6 mars 1903. [=0.51 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. 9h. (jm. Os — gh. 10m. Qs. 61 60.10 = 6.250 109 20 9 59 59.70 209 20 9 30 9 60 60.00 240 30 2 40 8 61 60.40 ‚282 40 8 50 9 59 59.60 198 50 2 10 0 4 60 59.80 .219 10 0 4 10 O 60 60.40 282 10 O 20 0 61 61.00 344 20 0 30 0 61 61.00 34% 30 0 40 9 Gl 60.50 .323 UN © 50 4 61 61.20 .365 50 % 11 0 4 61 61.00 344 125 gouttes. Poids de 725 gouttes... 75.22 gr. » dune goutte... . 0.104 , 7 mars 1903. [= 0.202 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om. Os — Qh. 10m. 168- 21 UE = 9.495 10 16 20 0 20 DD, - 502 9070 30 if 20 19.77 412 80 7 40 14 20 auld 412 40 14 En 0) 20 .80 .416 50 920 10 OM 20 97 436 10720791 10 91 20 20.00 AM) 10 21 2020 20 .02 442 20 20 30 17 20 10 452 30 17 4) 15 20 07 449 40 15 ail) 18 20 .07 449 50 13 11 0 10 20 ‚10 459 241 gouttes. Poids de 241 gouttes... 29.32 gr. » d’une goutte..... 01227; 69* bo SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES Il. 10 parties de sel sur 100 parties d’eau. 10 mars 1903. I= 1.02 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om. Os — Gh. 10m. Os 78 i) = 9.360 10 O 90° 10 78 .00 „360 20 0 30 5 79 BD 402 SONS 40 0 78 .66 ABI 40 0 50 6 79 an .392 50 6 10 0 1 77 77.65 318 LO Od 107720 77 13 „256 10 0 20 0 77 .00 240 20 0 30 5 77 76.37 164 N) 5 40 4 76 13 .136 40 & 50 1 75 75.38 .046 ED al 11 0 6 76 .37 044 „ dune goutte..... 031207, 11 mars 1903. T=0.51 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om. Qs. — Qh. 10m. IJs 40 SEU) = 4.928 10 9 Ar) 39 .60 50 20 0 30 7 40 54 43 SU 7 40 4 39 .20 00 40 4 50 1 39 20 00 50 10 0 1 39 „00 ‚975 (ORO a 10 14 40 15 93 10 14 20 0 38 38.83 54 90220 30 4 39 714 43 30 4 40 10 39 .61 95 40 10 50 4 38 .38 .798 50 4 11 0 0 38 26 83 468 gouttes. Poids de 468 gouttes... 58.37 gr. „ d’une goutte..... 0.125 ” I= 0.202 amp. gh. 10 PAR LE COURANT ELECTRIQUE. 12 mars 1908. Durée de l’&coulement. Oh. 10m. 368- On. 10 20 Os. 36 10 11 20 33 30 0 40 9 50 6 0 10 10 0 20 926 30 9, 40 31 50 10 0 D Gouttes. 16 15 14 15 15 15 14 15 14 15 15 15 493 En 10 minutes. Goultes. 15.10 24 14.81 95 .90 .90 24 176 gouttes. Poids de 176 gouttes... 21.87 gr. ” d’une goutte..... JUDE 0.124 , 121}, parties de sel sur 100 parties d’eau. 13 mars 1903. T=1.02 amp. Qh. 10 Durée de l’écoulement. 9h. 10m. 3s. On. 10 Os. Poids de 825 gouttes... ” 10 11 20 B) 30 8 40 1 50 2 = i=) OOS Fm Gouttes. 70 70 70 69 69 69 68 68 68 68 65 68 Grammes. 1.872 90 36 54 48 48 .166 83 ‚508 „113 99 Sl En 10 minutes. Gouttes. 69.65 .18 .65 .82 68.89 .18 AG „00 „00 67.89 68.11 .00 825 gouttes. d'une goutte .... 89.87 gr. 0.109 , Grammes. = 7.661 75 61 80 571 65 30 480 su 67 92 80 494 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES I=0.51 amp. Qh. 14 mars Durée de l’écoulement. 9h 10m. 48. On. 10 20 30 Os. iS 10 20 1 30 6 40 8 50 7 0 12 10 9 2 15 30 15 40 10 50 1 0 1 1903. Gouttes. 32 32 32 32 32 32 32 32 31 32 Gouttes. 383 gouttes. En 10 minutes. 31.79 32.16 31.73 89 32.05 31.73 32.16 31.69 32.00 27 31.46 32.00 Poids de 383 gouttes... 45.37 gr. ” [= 0.202 amp. Oh. 10 d'une goutte..... 16 mars Durée de l’écoulement. Oh. 10m. 14s. On. 10 20 05. 14 34 ” 10 11 20 34 30 18 40 5 50 18 0 5 10 18 20 30 30 2 40 12 50 20 0 33 1903. Goultes. 13 13 12 12 15 12 13 13 12 13 13 13 0.118 Gouttes. 152 gouttes. Poids de 152 gouttes... 17.46 gr. d’une goutte 0.115 ” Grammes. = TOI 95 En 10 minutes. 12.70 ” Grammes. = 1.461 43 21 13 38 40 61 64 54 69 74 61 PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 495 Entre ces séries d’expériences il existe la même différence qu’entre celles, qui se rapportent aux solutions de chlorure de zine: tandisque entre les nombres des séries qui ont rapport 4 des courants d’une intensité de 1.02 amp. il y a une diminution systématique de quelque importance, qui indique l’action d’une force constammant croissante, les différences entre les quantités, transportées pendant les périodes successives de 10 minutes par les courants d'une intensité de 0.51 et de 0.202 amp., sont où très petites, où de la nature des erreurs accidentelles. Ce sont done aussi celles-li qui seules sont corrigées de l'action de la pression hydrostatique; en accord avec le fait que le trans- port se fit dans la direction opposée à celle du courant cette correc- tion est positive. Corrections selon les formules: Vv nm = 2 CMa mE et [= ae (Vol. VIII, p. p. 99 et 105). IL ile WUD) <= 9090 — 0.9858" — 0.141 gr. 1 — (12.675 : 425). 5 — 0.985 x 0.141 gr. = 0.138 gr. 2 ( 62% ).4 1.938 OT 3 ( .409 ).— 2.864 404 , 4 ae 7.231 ). 3.761 530 „ Bere 168 ).2 4.699 652 , 6 (11.920 5.497 mn Tame: 2821 ). 6.294 SST 8 ( .750 ).= 7.081 998 „ SEE 2680 ea ek 1.106 , 10 ¢ .589 ). 8.588 Az 11 ( .508 ). 9.304 312, 12 ( .459 ). 4 9.990 409 „ 496 12 a 2 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES 9.360 : 495 ). .360 .402 439 5 — 0.989 x 0.033 gr. = 0.033 gr. ).-g- 1.956 065 _, Pe ED 096, Ne 16 3.822 126 , TAT 1510 ) NS 615 1850 ). 6.466 18. , ). 7.30% 2 , ee] 268 , ). 10 8.995 25, es 9712 330 , ), 10.468 345 , LIT. ll abe Uso eel esn ). 4 = 0.991 x 0.019 gr. — 0 019 gr. ). 1.964 Sie er) bb ). 8.853 18% ). Sam Sirs ). = 5.680 108 , ). 6.566 25 , ).& 7.435 AL , ).- 8,283 BW ) 2029009120 73 , y. PE 9.934 89 , ). 10.733 204 , I: Le 9.360 — 9.044 Has 0.0892" = 0.033 gr. = 0.019 gr. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. Conclusion. 71}, parties de sel sur 100 parties d’eau. 1= 1.02 amp. Transport observé. 12.675 gr. .624 , 409 , 231 168 11.920, 821 , .750 „ 680 , 589 „ .508 , 459 , I= 0.51 amp. Corrections. Transport reël. 1.02 Transport par amp. en 2 heures: 150.51 g Transport observé qui, dans ce cas, est en même temps le transport reël par le courant. Transpt. en 2 heures: 0.51 Transpt. par amp. en 2 heures: 147.84 grammes. ARCHIVES VIII. 6.250 er. 09 40 82 198 219 15.400 grammes. 0.135 gr. 12.813 gr. 273 , 97 , 404 , 192 530 , no 652 „ 820) 172. 692 , dese) Se 1085, 998 , 194. 1.106 , 86 , PAIL 6 06 3120, 820 , 409 , 68 „ Transport en 2 heures: 153.522 gr 497 498 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES I =0.202 amp. Transport observé qui, dans ce cas, est en méme temps le transport reél par le courant. 2.495 er. „502 412). LH NN ZAR lb, Transpt. en 2 heures: 29.357 grammes. 0.202 —— Transpt. par amp. en 2 heures: 145.33 grammes. IL. 10 parties de sel sur 100 parties d’eau. TI = 1.02 amp. Transport observé. Corrections. Transport reël. 9.360 gr. 0.033 gr. 9.395 gr. 360 „ 65 , 495 „ 402 , Sone 498 „ 409 , HAD 5 ‚65 , Bes BIJ 549 „ 318 „ 85 , 503 , 256, Phils) 469 „ 240 , 4 „ 481 , 164 „ 68 „ 432 , 136 „ ED 431 , 046 „ BED De 044 ,, 45 , BREL - Transport en 2 heures: 113.513 grammes. 1.02 ——— Transport par amp. en 2 heures: 111.28 grammes. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 499 T=0.51 amp. Transport observé qui, dans ce cas, est en même temps le transport reël par le courant. 4.928 gr. 50 43 „ 00ER 00 „ Se Eee 93 54 „ RR 95 .798 , Sa, Transpt. en 2 heures: 52.492 grammes. 0.51 — — Transpt. par amp. en 2 heures: 114.69 grammes. I = 0.202 amp. Transport observé qui, dans ce cas, est en même temps le transport reël par le courant 1.872 gr. 90 SOM 54 , 48 48 , „766 83 508 173 99 Die Transpt. en 2 heures: 21.825 grammes. 0.202 — — Transpt. par amp. en 0 heures: 108.06 grammes. 500 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES HIT. 121}, parties de sel sur 100 parties d’eau. f= 1,02-amip. Transport observe. Corrections. Transport reël. 7.661 gr. 0.019 gr. 7.680 gr. IDs BIJ à U — 61 , 55 , WB > 80 , TES 53 , DIT: Il, 648 , OH). 108 ,, 18) — 30 , 25 , 55 , 480 , 41 , DH 80 , 57 , DI bu: 1 5 40 , DE B) sy 110 80 „ 204 , QUES Transport en 2 heures: 92.110 gr. 1.02 2 — Transport par amp. en 2 heures: 91.87 gr. T= 0.51 amp. Transport observe qui, dans ce cas, est en méme temps le transport reél par le courant. 3.751 gr. 95 Ah ,, 63 , 32% Transpt. en 2 heures: 45.185 grammes. 0.51 — Transpt. par amp. en 2 heures: 88.59 grammes. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 501 T= 0.202 amp. Transport observé qui, dans ce eas, est en méme temps le transport reél par le courant. 1.461 gr. 43 , DIN | 3 ” dn Gt, Transpt. en 2 heures: 17.399 grammes. 0.202 — - Transpt. par amp. en 2 heures: 86.14 grammes. Transport moyen par amp. en I heure d’un solution de: 121}, p. de sel sur 10 p. de sel sur 1:}) p. de sel sur 100 p. d’eau. 100 p. d’eau. 100 p. d’eau. I=1.020 amp. 45.94 gr. 55.64 gr. 15.26 gr. 701510, 44.30 , 57.35 „ 19392 1=0,202..; 43.07 , 54.03 , DPS 133.31 gr. 167.02 gr. 291.85 gr. 3 —— a} = — Dn Moyenne: 44,44 gr. Moyenne: 55.67 gr. Moyenne: 73.95 gr. + 0.6745 Wat = N — + 0.64 gr. =O Mer Ces nombres sont entre eux comme: 1000 : 1253 : 1664. Sur 112.5, 110, 107.5 grammes des trois solutions il y a respec- tivement 12.5, 10, 7.5 grammes de sel, ou — leurs poids spéci- fiques étant 1.075, 1.061, 1.046 — sur 104.7, 103.7, 102.8 cM3., équivalant à 11.94, 9.64, 7.29 grammes de sel sur 100 cM?3. Les inverses de ces nombres étant entre eux comme: 1000/33, 1239) 1638 il parait que, entre les limites des erreurs probables, 502 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES le transport des solutions d’acétate de plomb est: 1°. directement proportionnel à Vintensité du courant qui les transporte et 2°, en proportion inverse des poids d’acétate, compris dans l’unité de volume des solutions transportées. Le transport de ces solutions se fait dans la direc- tion opposée à celle du courant, c.-ä-d. de la kathode vers anode. P, N, Os. 10 parties de sel sur 100 parties d'eau. 23 mars 1903. 02 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om Os — Qh. 10m. 198. 15 14.71 1.618 10 12 20 20 15 .80 98 20 20 30 97 15 .82 30 80 27 40 4. 14 56 02 40 4 DOG 15 .71 18 50 16 10 O5 15 Db 599 LOM O25 10 18 14 Al 85 1) 20 9 14 38 82 20 9 30 920 15 52 97 30 90 40 0 14 .48 93 40 0 50 25 15 .40 84 50 95 11 OI 14 .33 76 Poids de 175 gouttes . . . . 19.28 grammes. ; 2 5 » dune goutte..... 0.110 5 PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 503 24 mars 1903. f= 1.48 amp. En 10 minutes. Durée de l’&eoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om. Os — Qh. 10m. 148: 21 20.52 2.298 10 14 20 29 21 48 94 20 29 307 17 20 AO 85 80 17 40 zi 20 3% 78 40 7 50 3 20 13 55 50 3 10 0 0 20 10 51 107% 0 lor 27 21 „10 51 10721 20 18 20 2% 67 20 18 30 7 20 pul St 30 7 40 5 20 07 48 40 5 50 5 20 „00 94 50 5 11 0 0 20 ail 59 243 gouttes. Poids de 243 gouttes . . . . 27.30 grammes. > „ diunes SOUDE ks - on. 0.112 5 25 mars 1903. 1= 2.06 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. Ghia Om: Qs. — Oh. 10m. fs. 99 98,94 3.241 10 1 20 3 99 „90 37 20 3 30 10 29 .67 11 SONO 40 0 98 AT .189 40 0 DORIS 99 „39 80 50 13 Kk) © 8 28 23 62 10770 8 10 5 98 19 51 10 5 20 5 28 .00 36 20 5 30 3 98 09 46 30 3 40 9 98 .05 49 40 2 50 0 28 ‚09 46 50 0 11 0 3 98 27.86 20 340 gouttes. Poids de 340 gouttes . . . . 37.94 grammes. » d'une goutte..." 0112 ” 504 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES IT. 15 parties de sel sur 100 parties d’eau. 26 mars 1903. i—A02 amp: En 10 minutes. Durée de l’ecoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om. 05 — Ih. 10m. 968. 9 8.69 1.060 10 6 20 56 9 01 46 20 56 30 14 8 .60 49 30 14 40 49 9 ‚50 37 40 49 50 7 8 ‚60 49 50 7 10 0 35 9 .60 49 10 0 35 10 64 9 ‚DS 47 10 64 20 99 8 .50 37 20 99 30 1 8 „39 24 30 1 40 50 9 „32 15 40 50 50 30 S .28 10 50 30 il) 6 8 33 16 102 gouttes. Poids de 102 gouttes .... 12.52 grammes. d'une goutte..... 0.122 A ” 27 mars 1903. I:=1.48 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om Os — Gh. 10m. 968. 15 14.38 1.582 10 26 20 15 14 26 69 20 15 30 14 19 61 30 7 40 1 14 14 55 40 1 50 36 15 17 59 50 36 10 Om 33 14 „07 48 10 0 33 TDR 14 14 55 10027 JO 14 14 55 90° Ol 30° 29 14 13.82 20 30 929 40 37 14 82 20 40 37 50 39 14 94 33 50 39 0 0 13 .90 29 169 gouttes. Poids de 169 gouttes . . . . 18.57 grammes. d’une goutte , . ... 0.110 ® ” PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 505 28 mars 1903. I=2.05 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om. Os — Qh. 10m. 16. 21 20.44 9.208 10 16 20 5 20 sy 00 20 5 30 27 21 92 184 30 27 40 2 20 sil 74 40 93 50 22 20 .03 63 50 22 10 0 2% 20 19.87 46 10 O0 2% 10 0 19 86 45 10 0 20 3 20 „90 50 20 3 30 6 20 .90 50 30 6 40 13 20 aii 35 40 13 50 95 20 .61 17 50 95 11 0 8 19 ‚55 11 240 gouttes. Poids de 240 gouttes... 25.92 grammes. d'une goutte..... 0.108 5 ” II. 20 parties de sel sur 100 parties d’eau. 30 mars 1903. I= 1.02 amp. En 10 minutes. Durée de l’écoulement. Gouttes. Gouttes. Grammes. gh. Om. Os — Qh. 10m. Os 8 8.60 0.840 10.10 20 3 8 7.96 36 90 3 30 6 8 .96 36 30 6 40 8 8 .93 33 40 8 50 14 8 02 32 50 14 10 05220 8 .92 32 10 O 20 10 29 8 .88 97 10 29 20 24 8 93 33 20 24 30 8 91 31 30 41 40 51 8 .84 93 40 51 SD. 7 .68 06 50 0 11 Di 8 „80 19 95 gouttes. Poids de 95 gouttes... 9.98 grammes. „ d’une goutte.... 0.105 > ARCHIVES VIII. {al 506 I=1.48 amp. Durée de l’ecoulement. Gouttes. Ohm. 70372 — 9h 10m. 308- 12 10 30 20 9 11 A1). 3 30 42 12 30 42 40 929 11 40 22 5010 11 50 10 10 0 52 12 10770752 10 45 11 10 45 20 48 11 20 48 30 47 11 30 47 40 45 11 40 45 50 49 11 50 49 11 0 48 11 131 gouttes. Poids de 131 gouttes... 14.30 grammes. „ dune goutte. 0.106 1 avril 1903. I=2.05 amp. Durée de l’écoulement. Gouttes. Qh. Om. Qs. — 9h 10m. 165. 16 10 16 20 2% 16 20 926 30 8 15 30 8 40 28 16 40 28 50 14 15 50 14 10 @ 15 1 OF (D 10) 27 16 10 97 D0 7 15 20 17 30 4 15 30 4 40 33 16 40 33 50 93 15 50 23 11 0 1 15 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES 31 mars 1903. Poids de 185 gouttes... 20.34 grammes. » dune goutte En 10 minutes. Gouttes. 11.43 .40 „JS „38 99 1 10.91 11.02 .03 10.93 11.02 ” Grammes. 1.216 08 06 06 „190 89 18 56 68 69 59 68 En 10 minutes. Gouttes. 15.58 14 .46 48 „36 „36 31 .26 .32 .26 .24 31 > 185 gouttes. 0.110 ” Grammes. 1.714 31 01 03 .690 90 PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 507 L’erreur constante, dont ces séries d’observations sont indivi- duellement affectées, est en général petite; pourtant j'ai corrigé celles, qui ont rapport à des solutions de 10 et de 15%, de cette erreur, tandisque de celles, qui se rapportent à une solution de 20%, la difference du transport pendant les périodes successives de dix minutes est assez petite pour l’attribuer aux erreurs probables. En accord avec le fait que le transport des solutions d’azotate de plomb se fait dans la direction opposte à celle du cowrant, la correction à apporter est positive. Corrections. If 115 1 —( 1.618:425). 5 — 0.998 x 0.004 gr. — 0.004 gr. OE Ja 1993 Sans (30 ).— 2.983 12% (Er) 16. BEI — 108 ). 3 4.953 20, GRE :599 ). 2 5.930 24 , 35 ). = 6.908 28 , 8 ( 82 »).= 7.881 Je OND (B 97 ).+ 8.848 35) 10 ( 98 )- A 9,818 39.4, ml 8% 210.775 43 , LD NIUE es 757 AT. 5 1.618 — 1.576 2 757 DEE Ten le 508 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES oR 1 —( 2.298 : 495 ).-} — 0.997 x 0.0038 gr. —0 0038 gr. Dun M 76 , 3 eaters ).— 2.976 113 „ ke © 78 ). = 3957 150 , Bigs 55 ).+ 4934 18709 GR (NEA ).- 5.905 29% , NN OR ).# 6.870 261 , SRO ). 7.829 298 „ a Si ). 8.783 334 „ 10 ( 38). 9.736 370 , aa ). 1 10.683 406 , 19° MU 59 ). 11617 AA „ 9 998 — 9.95 LE EE oe gr. = 0.0008 gr. 3% 1—( 3.241:425).-4-— 0.996 x 0.0116 gr. — 0.012 gr. 2 0 37 0 ). 1985 23 , 3 a 11 ). 2.966 341, 4 (0180 ). = 3.940 46, Boake 580 ). es 4.907 Dies 6 ( 62 ). 5.866 68 , za | ee Ke 79 , BS \ 36 ). 7.768 90 , ONCE ).# 8.700 sl (DAT y. 2 2791680 (ann NT 6 esse 10.552 22 , 12 ( 20 ). 11474 33 „ 3.241 — 3.120 nat 0.996 & Pb er. PAR LE COURANT ELECTRIQUE. I ile 1—( 1.060: 425). 5 — 0.999» 2 ( 46 ). 1.995 B (| 49 ).— 2.989 4 ( 37 . 2 3981 5 ( 49 ).2 4,969 6 ( 49 ). 5 9.956 le MM ). 6.940 S.C <97 Jee 1.999 9 ( 24 ).4 8.902 005 jag 9.880 MN 10 jes 101856 12 ( 16 ).5 11.828 1.060 — 1.016 = 11.828 — 0.999 8" m2 Se 169 u 1.993 9 SR eef Nome CNE RS 55 3.371 5 ( 59 ).+ 4954 6 ( 48 ). = 5.934 7 ( 55 ). | 6.910 SNL) ).4 1.883 9 (20 ). 8.855 0a) (19.821 like (Ge EE 10.182 12 ( 29 Jee 1a 1.582 — 1.529 0.004 gr. — 0.004 gr. r. = 0.004 gr. Te 40 10 509 510 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES 3. 1—( 2.208 : 495). 7 — 0.997 x 0.009 gr. = 0.009 gr. 2 ( 00 ).— 1990 ia 3.1 184 ).— 2.975 Or EN ). 3.959 36 , 5 ( 63 ).+ 4937 Ah , 6 ( 46 En 5809 53 „ Vn OE) =S 6876 62 8 ( 50 ). 7.838 10, 9-0 250 ). 8.795 zo 10,100 +35 Jess BLO GS a 110 ee 17 === 110,699 % , oe lt ). 4 11.645 US, 2.208 — 2.111 = nr Taas gr. = 0.009 er. 11.645 — 0.997 ® 5 Conclusion. IE 10 parties de sel sur 100 parties d’eau. [= 1.02 amp. Transport observe. Corrections. Transport reél. 1.618 gr. + 0.004 gr. 1.622 gr. 28 , 08 , 32, 30 „ 12% 42 , 02 , 16 {Sa 18% 20 , Se 599 , 24 , 23 , 85 , 28 , 1547 82 , 32 „ 14 , Kir 35, CRE 93 Us 39 „ st 84 , 43 , oT, 1687 47 , 23 „ Transport en 2 heures: 19.526 gr. 1.02 Transport par amp. en 2 heures: 19.144 gr. Transport 2.298 94 Transport 3.241 37 11 .189 80 62 51 36 46 49 46 20 PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 511 I = 1.43 amp. observé. Corrections. Transport reël. gr. —- 0.004 gr. 2.302 gr. = 08 , 02 , 3 ir 206 L {5 93 , 19 , 7 À 22 „ 190, 5 AD à In . 30 „ af ee a 2 314 „ . Elie 285 „ Bs 4 , 265 „ 44 ,, 304 „ Transport en 2 heures: 27.482 gr. 1.48 ——— Transport par amp. en 2 heures: 18.570 gr. I == 2.05 amp. observe. Corrections. Transport reél. gr. + 0.012 gr. 3.253 gr. 5 23 „ 60 , N 34 , 44 , 5 46 „ 35 „ a EE Bi » 68 , 30 , ” TR) 30 „ 5 OU UD 4 1015, 41 , 5 12 „ 54 , ” 22 , 68 , 5 33 y 53 , Transport en 2 heures: 38.937 grammes. 2.05 Transport par amp. en 2 heures: 18.994 grammes. SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES IT. 15 parties de sel sur 100 parties d’eau. I= 1.02 amp. Transport observé. Corrections. Transport reël. 1.060 gr. -+ 0.004 gr. 1.064 gr. 46 „ SR, 54 , 49 , 12%, OI Sh 5 UD 53 , 49 „ 20 69 , 49) 24 , 7B) 5 41 , 28 , 10, 37 , 32 , 69 , 34 , 36 , 60 , 25 , 40 , 65 , A) 43 , 63 , 16 47 , 63 , Transport en 2 heures: 12.769 gr. 1.02 —— Transport par amp. en 2 heures: 12.519 gr. I1= 1.48 amp. Transport observé. Corrections. Transport reël. 1.582 gr. + 0.005 gr. 1.587 gr. 69 , 100% 19 Ol 15 & TS à 55 à 90, omer BY) & DD 84 „ 48 , 30 „ 18e bo, DD, 90 , DD, SON 94 „ 20 , 4h , 64 „ 908 49 „ 60 BB) © 54 , ST OR) BE) 88 „ Transport en 2 heures: 18.971 gr. 1.48 —— Transport par amp. en 2 heures: 12.818 gr. PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. 513 I= 2.05 amp. Transport observé. Corrections. Transport reël. 2.208 gr. + 0.009 gr. 2.217 gr. 005: US © 188 184 , Die: ily 74 „ 36 , 102; 63 „ 45 , OT 46 , 58 „ 199 45 , GR 207 50 , TAL Dr N & 78) 29 „ 35 , Soe Do lij > Oom IB LUS 104 , 15 Transport en 2 heures: 26.570 gr. 2.05 Transport par amp. en 2 heures: 12.960 gr. LE 20 parties de sel sur 100 parties d’eau. I= 0.105 amp. Transport observé qui, dans ce cas, est en même temps le transport reël. 0.840 gr. 36 , 36 , 33 » 32) 4 32 y is 33 » ole 23 , IB 19 Transpt. en 2 heures: 10.048 grammes. 1.02 Transpt. par amp. en 2 heures: 9.850 grammes. ARCHIVES VIII. 2 514 SUR LE TRANSPORT DES LIQUIDES I=1.48 amp. Transport observé qui, dans ce cas, est en même temps le transport reél. 1.216 gr. 08 06 06 190 , 89 18 56 , OSM 69 59 68 Transpt. en 2 heures: 14.213 grammes. pig Transpt. par amp. en 2 heures: 9.600 grammes. I= 2.05 amp. Transport observé qui, dans ce cas, est en même temps le transport reël. logit $4 Transpt. en 2 heures: 20.316 grammes. 2.05 Transpt. par amp. en 2 heures: 9.914 grammes. Qt PAR LE COURANT ÉLECTRIQUE. bl: Transport moyen par ampère en 1 heure d’un solution de: 20 p. de sel sur 15 p. de sel sur 10 p. de sel sur 100 p. d'eau. 100 p. d’eau. 100 p. d’eau. I— 1.02 amp. 4.877 gr. — 0.001 6.260 gr. — 0.123 9 572 gr.-0.121 T=148 , 800%, — 78 409, + 926 285 , — .166 I=2.05 , 05, 79 AS) 97 TE AG 14.634 er. 19.149 gr. 28.354 gr a ee B) zm Moyenne: 4.878 gr. Moyenne: 6.383 gr. Moyenne: 9.451 gr. + 0.6245 W = —+0.030 gr. = + 0.044 gr. = + 0.058 gr. Ces nombres se rapportent comme: 1000 : 1309 : 1938. Sur 120, 115, 110 gr. des solutions il y a 20, 15, 10 gr. de sel ou, leurs poids spécifiques étant respectivement 1.161, 1.122, 1.082, sur 103.4, 102.5, 101.7 cM? , équivalant à 1934 gr. , 1463 gr. sur 100 cM?. ‘ Les inverses de ces nombres se rapportent comme: 10007 13222 21967 5, G83 ET. Done il parait: que Vintensité du transport des solutions d’azotate de plomb est: 1°. directement proportionel à Vintensité du courant transportant, 2°. la réciproque des poids d’azotate, compris dans Punite de volume des solutions transportées, et que ce trans- port se fait dans la direction opposée a celle du courant, c.-à-d. de la kathode vers Vanode. HAARLEM, mai 1903. 7 Le PATES 7 u I in. ‘. dU TOR Ade BEATTIE ART AE ar un er lan wer Fine # « 0 ha aat: al ba Low a ik OM He L'ANPE US vers OUT wee ioe) ‘ en UND 77 WIS DELLE TRIP > ELLE QUE | ei fuit A LL er use ee ae it t- Ar oul = ALIM EEL A COR hamme in} er Sima A Tina al © 7 + ® mR UM Fars aop : zu 5 pen) i one 5 | mea: BE ai KAN | vo Li 01 = . a frech, Joao ite a ada Bee ahh a 3 En Tr AM al Forges Biber pr Ar ay vti rer, oh AT “ail al Ve A = u suena of urn i fri Moet dea Ins # ri gehen nel aan Stele Wael Hib por EN " PARE rap Th Ama a in Pos wily smarten = | tb Alles & opogda ee neut AL oe K U bau zur able ah. I @ . œ 7 Dr 5 2 LI 4 NA Vi wie 7 d u id PAR u: = ARCHIVES DU MUSEE TEYLER SERIE II, VOL. VIII. CINQUIEME PARTIE. HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1904. PARIS, LEIPSIC, AN GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE. © a ARCHIVES DU MUSEE TEYLE SERIE II, VOL. VIII Cinque mes DT LGE HAARLEM. — LES HERITIERS LOOSJES. 1904. PARIS, LEIPSIC, GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZE. > (ASR! AMA IH 3772 71% 2 PAL: 8 | A MATE ANRT EL AV IS: En ouvrant cette nouvelle série l’Institut scientifique et littéraire de la fondation Teyler a l’honneur d’informer les lecteurs des Archives, que M. M. les Directeurs ont résolu de lui en confier dorénavant la rédaction, qui, à partir de ce jour, se fera sous sa responsabilité. Les Archives, comme l’indique déjà leur titre, contiendront d’abord la description scientifique des principaux instruments de précision et des diverses collections que la fondation posséde, ainsi que les résultats des expériences et des études, qui seront faites par leur moyen, soit que ce travail soit fait par les conservateurs de ces collections, soit par d’autres, auxquels les Directeurs en auront accordé l'usage. En second lieu, et pour tant que l’espace disponible ne sera pas occupé par ces publications obligatoires, les pages des Archives seront ouvertes aux savants, dont les travaux scientifiques ont rapport à une des branches, dont la culture a été recommandée à l’Institut par son fondateur. Pour de plus amples informations à cet égard on est prié de s'adresser au Secrétaire de l’Institut, E. VAN DER VEN. HAARLEM, janvier 1881. 4 sn E “nil nf TL 7 Ht Jin AN 4 D : 4 AIT ITR IT LILI" iy Fl were ien sek + Sue Te u ef) “ia OEY hr “entero i u L Wha’ Stay A Ye RHONE D PI) ie? TAR Perea het po EN rie dag ine UD RORY UG B: ga JL EEK LA IDD dT OTA U MB mu sank ae nee STU ral hii ELIET Va praal hopend wi de ose eer Ty Sorge Zur tie \ oly A Aboot nae td 2 oe PROGRAMM DER TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT ZU HAARLEM, für das Jahr 1904. Die Direktoren der TEYLERSCHEN STIFTUNG und die Mitglieder der TEYLERSCHEN THEOLOGISCHEN GESELLSCHAFT haben auf die vor dem 1. Januar 1903 zu beantwortende Preisfrage keine Einsendung erhalten. Zur Beantwortung vor dem 1. Januar 1904 stehen noch die beiden folgenden Fragen aus: 1. „Hat man Grund anzunehmen, dass die Mithras-Mysterien in ihrer Verbreitung von Kleinasiön nach dem Westen Einfluss geübt haben auf die altchristlichen Legenden, Vor- stellungen und Gebräuche? Wird dies verneint, wie hat man dann die Verwandtschaft zu erklären?” 2. „Die Gesellschaft verlangt eine Untersu- chung über die Absolutheit des Christentumsin Zusammenhang mit seinem historischen Cha- rakter, speciell mit Rücksicht auf die durch Tröltsch angeregte Discussion.” Die im letzten Jahr ausgeschriebene Preisfrage, deren Beant- wortung vor dem 1. Januar 1905 erwartet wird, lautet: „Die Gesellschaft verlangt eine Antwort auf die Frage: Welche Rolle hat das Luthertum ge- spielt im Niederländischen Protestantismus vor 1618; welchen Einfluss haben Luther und die deutsche Reformation auf die Niederlande und auf Niederländer geübt und wie ist es zu erklären, dass diese Richtung gegenüber anderen in den Hintergrund getreten ist?” Als neue, ebenfalls vor dem 1. Januar 1905 zu beantwortende Preisfrage wird hinzugefügt: „Die Gesellschaft verlangt eine Abhandlung über die Entstehung der jüdischen Synagoge und ihre Geschichte bis zur Zeit von Akiba.” Der Preis besteht in einer goldenen Medaille von f 400 an innerem Werth, die ausgehändigt wird, sobald die gekrönte Arbeit druckfertig vorliegt. Man kann sich bei der Beantwortung des Holländischen, Latei- nischen, Französischen, Englischen oder Deutschen (nur mit Lateini- scher Schrift) bedienen. Auch müssen die Antworten vollständig eingesandt werden, da keine unvollständige zur Preisbewerbung zugelassen wird. Alle eingesandten Antworten fallen der Gesell- schaft als Eigentum anheim, welche die gekrönten, mit oder ohne Uebersetzung, unter ihre Werke aufnimmt, sodass die Ver- fasser sie nicht ohne Erlaubnis der Stiftung herausgeben dürfen. Auch behält die Gesellschaft sich vor, von den nicht mit dem Preis gekrönten nach Gutfinden Gebrauch zu machen, mit oder ohne Vermeldung des Namens der Verfasser, doch im ersteren Falle nicht ohne ihre Bewilligung. Auch können die Einsender nicht anders Abschriften ihrer Antworten bekommen als auf ihre Kosten. Die Antworten müssen nebst einem versiegelten Namens- zettel, mit einem Denkspruch versehen, eingesandt werden an die Adresse: „Fundatiehuis van wijlen den Heer P. TEYLER VAN DER HULST, te Haarlem.” TABLE DES MATIERES. Sur les allures possibles de la courbe de fusion de mélanges binaires de substances isomorphes, par J. J. VAN LAAR. Sur l'intégration d’une fraction rationnelle, par W. KAPTEYN. . se & on—1 Les nombres Plückeriens de l'intersection C, de n — 1 espaces quadratiques Gs à n — 1 dimensions de l’espace linéaire EZ, à n dimensions, par P. H. ScHOUTE. - = ki PS + = 7+ = u > Ku. gr u 0 LE N “a { = ny : Sei TAM AIO, LRAT 7 en + i relia) RT, gD eg TON) TN lea itt A x ‘ps HF. a 7 } Ce (his ‘ Mia Ne ARR JL ? a My un‘ \ ) h { A run | À 4 é 5 "4 . he UND RAT bi ty RUN dn asf ers k ER ia NO ye) UM um Pu ne | i “1. eau A _ 1 PNR note: hla, bid ay METER EL N sid dale à = wy nares Boerderie ie) NE TO) Pan a A WAT: | si ’ L en Aol Le tr Val pe er ; i Le rie wR i > i . : ER. ia, at i's sitet. f 7 ie 4 à PRE Cu (ni : : 3 On : : d me irl ja ee 1 ns 27: eit Aar (ions = ia ne 1} le di ia a die bal ue 7 ut ry an oy à ET PS 0 ’  i AE ht FR A 1407 ie AG COEUR augen al dou : ar alt PPT 7 re ee tui cote eere} (kr Voie Jet Pie Le OVEN WAPENEN Maur a F IULIT re, a ie 7 7 q FONDATION DE P. TEYLER VAN DER HULST, A HAARLEM. Directeurs. A. HERDINGH. L. P. ZOCHER. P. LOOSJES. Mr. A. W. THÖNE. J. J. VAN OORDE. . Secrétaire. Mr. A. A. VAN DER MERSCH. Trésorier. P. DROSTE. Conservateur du Cabinet de Physique. Dr. E. VAN DER VEN. Conservateur du musée de Paléontologie et de Mineralogie. Prof. Dr. EUG. DUBOIS. Bibliothécaire. G. €. W. BOHNENSIEG. Conservateur des Collections de tableaux, de dessins et de gravures. H. J. SCHOLTEN. Conservateur du cabinet numismatique. A. J. C. VAN GEMUND. MEMBRES DES SOCIETES TEYLERIENNES. De la première Société ou Société de théologie. Prof. Dr. S. CRAMER. Prof. Dr. I. J. DE BUSSY. Dr. J. G. BOEKENOOGEN. Prof. Dr. D. E. J. VOLTER. Dr. A. C. DUKER. Dr. H. J. ELHORST. De la seconde Société. Dr. B. VAN DER VEN. H. J. SCHOLTEN. J°. DE VRIES. JOH. W. STEPHANIK. Prof. Dr. P. L. MULLER. Prof. Dr. HUGO DE VRIES. SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION DE MELANGES BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES ') PAR J. J. VAN LAAR. Déjà plusieurs fois on s’est demandé, si existence de soidisants „points eutectiques” chez les courbes de fusion soit conciliable avec la supposition d’isomorphie complète des deux components solides et de leurs mélanges. L’interruption de la série de mixtion solide, comme dans la fig. 1, se présenterait seulement chez les substances isodimorphes; dans le cas de substances isomorphes la série de mixtion serait nécessairement interrompu, comme dans la fig. 2. Or, M. STORTENBEKER ?) se pronongant dernièrement dans un sens analogue, c'était pour moi un engagement de soumettre cette question à un examen plus approfondi. Dans les pages suivantes J'espère démontrer que la discontinuité dans la série de mixtion peut se présenter également chez les substances complètement isomor- phes. En effet, on n’a que remarquer que — spécialement dans la phase solide — des états labiles peuvent se présenter, et qu'il est possible dans tous les cas de prolonger la courbe de fusion d'une manière continue au delà du point eutectique. Seulement, ce ne sont que les états stabiles, situés presque toujours au dessus du point eutectique, qui soient réalisables, de manière que la série de mixtion se trouve interrompu seulement pratiquement. 1) Un extrait de ce Mémoire par ût déjà dans les Versl. K. A. v. W. 21 Juli 1903. 2) Ueber Lücken in der Mischungsreihe bei isomorphen Substanzen, Zeitschrift für Ph. Ch. XLIII, 629 (1903). Voir aussi Z. f. Ph. Ch. XXXIV, 115 (1900). ARCHIVES VII. 15 518 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION L'idée du prolongement de la courbe de fusion est déjà prononcé Brel: 2 à Er antérieurement par M. BakHuis RoozrBooMm; mais le cours de cette courbe au delà du point eutectique était entièrement inconnu !). II. Déjà antérieurement ?) je déduisis — partant de l'équation d’etat de M. van per Waars — les expressions suivantes pour les potentiels thermodynamiques moléculaires des deux components d’un mélange liquide: ae CDR) I lag, IE > + RT log (1—2) ee = ee a, (1 — : M) =e, —c, T—(k, + R) TlogT + ae 2 LRT loge | 1) Comp. un Mémoire antérieur de M. STORTENBERER. [Ueber die Löslichkeit von hydratierten Mischkrystallen, Z. f. Ph. Ch. XVII, 645 (1895)]. 2) Versl. K. A. v. W. 11 Febr. 1903, p. 579. [De smeltlijnen van amalgamen en legeeringen (2e mededeeling)]. DE MELANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES 519 ou les grandeurs différentes possédent la signification connue. (voir le Mémoire cité). : 5 ; : —b, +b, Or, dans les pages suivantes je poserai toujours r [= —>—* ) =0 ? oO ‘ ‘ b ? 1 5 A A ; de sorte qu’ögalement les grandeurs «, mae et a, =F 72 Où 1 I, OF A=a,b;,—2a.b,b, + a,b, deviennent identiques. On suppose 1% 102 a Vs 1 done les volumes moléculaires des deux components comme très peu différents, ce qui est justifi@ suffisamment, puisque les termes > t a,(1— x)? a 5 e = oa == (rx)? (ET) l'influence mutuelle des deux components dans le mélange. représentent seulement approximativement En second leu je supposerai, que les expressions précédentes se rapportent aussi à l’état solide. Dans le cas que nous regardons, e.-à-d. chez les cristaux mixtes ou les solutions solides '), offrant dans plusieurs rapports la plus grande analogie aux solutions liquides, cette supposition sera certainement exacte comme premiere approximation. Posons encore chez la phase solide la grandeur r' également sensiblement = 0, alors — en indicant dans cette phase toutes les grandeurs avec des accents — nous pourrons écrire: Pour la phase liquide : | On Cr el te RD log Hat? + RT log ET) u =e, —c, T—(k, +R) Tlog T + «(1—x)? + RT log x | Pour la phase solide: =e,;—¢, T—(k,+ R)T log T+ ex’? + RT log (1 — 2’) | wd Ca T—(k,+R)T log T + a’ (1—2x’)? + RT log 2’ | ch) / Or, les deux components se trouvent en équilibre dans les deux phases, lorsque — / . a My Si A | de sorte que nous obtenons (les termes avec T log T disparaissent) : é,—¢, f+ a2? + RT log (1 —x)=eıi-chT+e'x+RTlog(l x) e, —¢, T+ a(1—2)? +RT loge = e', — T+! (la)? +RT log a’! ? 1) Les cristaux mixtes seront toujours traités ici comme des solutions solides, quoique récemment des objections ont été faites a ce sujet. Voir e. a. STORTEN- BEKER, |. ¢., p. 633. (3* 520 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION ou bien, avec Eye =4q;; €, jl Ci — O1 Yan ON OR à : > 7 1 = a” hl ra 2, VERS ; KT log =@, YıT+ (ee? — aa?) | ; aD 2: ri à RT log mg Ve Tr jet) ot | Considérant, que pour «=0, #/=0 la grandeur T devra être égale à T,, et pour ©,=1, @%=1 de même T=T, (les tempéra tures de fusion des components purs), il s'ensuit que | RQ Jeo Kal ip ain le née to et nous pourrons écrire: rm qi = Ed / yl 2 Mee + Rlog EEn — 0 (Ce: CARE) | r(2 + R log =) =q, + el 22 1 ou bien, avec en a MIS DR aq, a=q,f: ee ns [AA —2)2— La)? Pr er WON LA) Telles sont les deux équations fondamentales, d’où on peut calculer pour chaque valeur de x les valeurs correspondantes de © et T, et qui donneront — du moins théoriquement — une allure complètement continue de la courbe de fusion. On voit aisément, que dans l'absence de cristaux mixtes, la grandeur a restera toujours = 0, et qu'il nous restera la seule équation IP 1 — = ' log (1 — x) 1 la même que j'ai déduit dans un Mémoire précedent 1). Or, même 1) Versl. K. A. v. W. 8 Jan. 1903, p. 483. (Over het verloop der smeltlijnen van vaste legeeringen of amalgamen); id. 11 Febr. 1903, p. 581. [De smeltlijnen van amalgamen en legeeringen (2° mededeeling)]. DE MELANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES, 521 dans ce cas extréme nous supposerons dans cette étude, que le rapport de mixtion dans lequel un des deux components est contenu dans la phase solide, peut être bien extrémement petit (pratiquement = 0), mais ne peut devenir en général jamais absolument égal à zéro. Ainsi est sauvé la continwité dans nos considérations, et nous pourrons az aux grandeurs / et /> toutes les valeurs possibles — quant à 9’, depuis 0 jusqu’à oo. Je fais remarquer déjà ici, que la grandeur, qui domine entiè- rement le sujet étudié par nous, est la grandeur /*” dans la phase solide. Tant que cette grandeur possède une valeur élevée, la phase solide ne contiendra qu'une quantité extrêmement faible de l’un de deux components, et seulement lorsque la valeur de cette grandeur devient comparable à celle de /# dans la phase liquide, le cas de la fig. 2 pourra se présenter. C’est pourquoi qu'il est du plus grand intérêt de connäitre la signification exacte de ces grandeurs /? et (3, ou bien des grandeurs & = q, /? et «=q,". Or, il s'ensuit des déductions précédentes, que «x? n’est autre chose que la chaleur de mixtion, absorbée pro Gr. mol., lorsque une quantité infiniment petite de l'un des deux components se mélange avec la solution, où le rapport de mixtion de ce com- ponent est égal à 1—x. De même «(1—x)? sera la chaleur de mixtion de l’autre component dans cette solution. La grandeur « elle même représente done la chaleur de mixtion du premier com- ponent pour æ—1; c.-à-d. lorsque celui-ci se mélange avec une solution, consistant entièrement du second component — ou bien la chaleur de mixtion du second component pour # = 0; c.-à-d. quand celui-là se mélange avec une solution, consistant entière- ment du premier component. Le fait que ces deux chaleurs de mixtion sont égales entre elles, est une conséquence de notre sup- : à A A 5 position b, =b,, qui entràine «a, =; = «, —=-—;.. Enréalitéces bi b, by deux grandeurs ne seront pas toujours identiques. La signification des grandeurs ex? et «(1—#x)?, que nous venons d’exposer, se justifie, quand nous considérons les numerateurs de l’équation (2), lesquels — multipliés resp. par q, et q, — repré- sentent les chaleurs de fusion totales w, et w,, c.-à-d.: ORO EI i — 902) ae — en | 9 ar Ja u [AA — p’ (1—2’)2] =q, He (1-2)? a! (1—2’)?| 522 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION Ces chaleurs de fusion totales sont done composées des chaleurs de fusion pures, augmentées des chaleurs de mixtion dans la phase liquide, diminuées de celles dans la phase solide. Une valeur élevée de « (ou />) indique done une forte chaleur de mixtion, et quand nous verrons tout-à-l’heure, qu'une valeur élevée de 5” entraine des valeurs extrêmement faibles pour x’ ou 1 —2’, nous pourrons traduire ceci comme il suit: Si le transport des components solides dans la solution solide exige beaucoup d énergie, cette solution solide (ou cristaux mixtes) ne contiendra qu'une quantité fort minime de l’un des deux com- ponents. IM. Maintenant nous discuterons les &quations fondamentales (2). jk ‘ are af dt sat Déterminons en premier lieu Jes grandeurs dz tg Par diffe- rentiation totale des conditions d’équilibre — u, + u; ==) & — u, + u, =0 par rapport à T. Des équations (1) il s'ensuit: a en le 3 (RER), Tor: | nn Le + (k,+R)T+a’x°] done SE: 1 ANR 4d = +ag—ax?)=——, relation bienconnue. De même on trouve: O — u, Sr u ) 4 A ; P Me ( ST 2 = — (9 SP (2 (1 — x) — a A—x))=—7. Nous obtenons done, en effectuant la différentiation des condi- tions d'équilibre: CE du’, dx’ Ò u, dx CE du’, da’ du dx TJ ar tear re Oe aT on Or £ étant le potentiel total, on aura: DE MELANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 523 od S=(l— vu, OH); Se ml il done si dc PER» dE et ME EU à et Ou 02% Ou 26 RE gp tae de sorte que nous pouvous écrire: CR Owe Clay ea Chay a 0 FLT AT mar | 020 da’ 026 da f SO) aan © yO Ces deux équations donnent ensuite: OG GENE dr er dT m: = SS] — HN —— — = 5 4 dx (—%)o, +xo, ” de EE peons, des expression bienconnues, déduites déjà plusieurs fois '), e. a. , ja P par M. van DER Waars pour l'équilibre analogue entre des phases liquides et gazeuses. Les équations (4) nous permettent de déterminer (=) , C.-à-d. / 0 la direction initielle de la courbe de fusion. Comme Ope ER Te on aura: SU ane eee ol ns > A DOs, Jene: et par conséquent pour z = 0, T=T, ce :) Bg OE en 1) Voir e. a. mon Lehrbuch der math. Chemie, p. 118 et 123—124. (Leipzig, J. A. Barth, 1901). 524 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION si nous désignons x = 0 par x,. D’ailleurs pour « =0 on a éga- lement x =0 (puisque le troisième membre de (2) peut devenir / CR N > ; alors = 27, log 7 étant indéfini), de sorte que le dénominateur de = devient = (w,), =q,. Nous obtenons done: RAI Bo Ho)! ae I RE dx s qd: ; ou bien En en (1 —"*) Fr ER (5) dT ae 5 La valeur de (G) ne peut done être positive — q, supposé 2 0 / ; ap, © : 2 : toujours positif — que lorsque + serait > 1. Déterminons donc la 0 7 de: 7 5 À : (| valeur limite de a . Des équations (2) on tire pour T= T,,x=0, 0 gel 1 en (3 — 8 Nes Uy = 1 BI Zi 1: 0 done Qu > / A Bm 4 os En A ( Pen 4 7 TR La valeur de 5 ° reste done < 1, tant que 0 7 qo vn tt ) a pred (m NE (5°) : so 3 ar : Lorsque cette inégalité est remplie, on aura (=). négatif, et la courbe de fusion commence par descendre. Supposons dans la suite toujours T, > T,, c.-à- T, 7, La condition (5°) sera donc remplie d’autant plus que 3’ (dans DE MÉLANGE BINAIRES DE SUBSTANGCES [SOMORPHES. 525 la phase solide) aura une valeur positive plus élevée. Or, la grandeur ? a presque toujours une valeur positive très faible, tandis que ?’ a une valeur positive plus ou moins élevée, de sorte que la condition (5°) se trouvera presque toujours satisfaite. Si /? serait = 0, on aurait simplement: / / T ee, 2 / 0 5 x LE A et on aura toujours ~~ < 1, lorsque 9’ (ou «’) est positif, c.-à-d. ei) quand il y a de la chaleur absorbée par la mixtion dans la phase solide. La courbe de fusion commence done toujours par descendre à la côté de la température de fusion la plus élevée. Une élevation initiale est done presque entierement exclue, et par consöquent le fait qu’une temperature de fusion maximale se présente. Seulement dans le cas exceptionnel et presque inconce- vable, que 9’ aurait une valeur positive beaucoup plus faible que P — ou même une valeur négative — la possibilité d’une tempé- rature maximale subsiste. Si nous déterminons d’une manière tout-à-fait analogue la valeur de 5) à la côté de la température la plus basse, on gl trouve, en posant 1 — x =y: de) ar 7 — = (ee ene eG dx Jos VE Yo (6) ou Jon late eo) I | Pat oN me de sorte que nn reste < 1, lorsque J0 17 N See i Behe ee MA BR (6 ) Or, le deuxiéme membre étant négatif, cette condition se trouvera seulement remplie, lorsque /> a une valeur positive élevée. Deux cas peuvent donc se présenter, à mesure que /> soit plus ou moins grand. Dans le premier cas, la courbe de fusion commence égale- ment à descendre chez 7,, et une valeur minimale de la tempé- rature de fusion peut se présenter (fig. 2). Dans le second cas la ARCHIVES VIII. 74 526 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION courbe de fusion commence à s’élever, et cette courbe descendra d’une manière continue de 7', jusqu’à 7',, sans valeur minimale (fig. 3). Dans le cas, où T,=7,, les conditions (5°) et (6°) se trans- forment en Pp <0, condition qui sera remplie tant que 97 > ? — ce qui sera toujours le cas. Fie. 3. Fre. 4. Il existe done toujours une valeur minimale pour la température de fusion, lorsque 7, = 7’, (fig. 4). dT’ é i à Pour Gey on aura naturellement tout-à-fait les mémes consi- 0 dérations. Dans tout ce qui précéde on a supposé tacitement, que dans DE MÉLANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 527 aucune des deux phases sont contenus des components anomales, de sorte que la formation de molécules complexes, ou une disso- ciation quelconque, ont été toujours exelues de nos discussions. De méme dans les discussions suivantes des components anomales resteront toujours hors de considération. Nous procéderons maintenant à discuter les équations (2) pour des valeurs différentes de %° — à commencer avec des valeurs fort élevées. INZ Nous supposerons dans la suite toujours /? (dans la phase liquide) = 0, ce qui donne des simplifications considérables dans les calculs, sans que les résultats soient modifiés qualitativement. Les équations (2) deviennent alors: m = 11,7 ND no paye ne nee) KT, zij 12709 a = (7) Admettons encore, pour effectuer les calculs nwmériquement, les valeurs suivantes: T, = 1200 q, — 2400 Gr. cal. i= 500 ga 2000 On obtient alors: we Doll ae) SIN res Ny CE ee 1] — x 1 © loge = 1+5 9 Ara Supposons en premier lieu (9 très élevé, p.e. = 5, c-à-d, a étant = q,/>, la chaleur de mixtion du premier component pour «=1 (ou bien pour le second pour «=0) cing fois plus grande que la chaleur de fusion du premier component. Des équations On OR) (7 — 1] x n nous pouvons calculer maintenant la température 7 pour une 74* 528 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION valeur quelconque de x. Comme la grandeur x’ sera extrémement faible, ces deux équations peuvent être remplacées par l'équation unique 1200 en tandis que la grandeur x’ peut être calculée de 1 25... Vld 345! — tog 1 — 2), 1— 6(1 — 2’)? se rétrécissant en À —6=-—- 5. Le tableau suivant donne un apercu des valeurs correspondantes dez, « et. 7. a | 1—tog(i—zx) T og = = x 408 a’ X 105 0 1 1200 6.166 91 0 0.1 1.1054 1086 6.604 1% 14 0.2 1.2232 981 7.096 | 83 17 0.3 1.3567 884 7.652 4.8 14 0.4 1.5108 794 8.256 9,6 | 10 0.5 1.6932 709 9.052 12 6 0.6 1.9163 626 9.982 0.46 3 0.7 2.2040 545 11.182 0.14 yal 0.8 2.6095 460 12.874 0.026 209 0.9 3.3026 363 15.760 0.0014 0.01 0.95 3.9957 300 18.649 05% Ost: 0.97 4.5066 266 20.778 0% 0 0.99 5.6052 914 95.355 0e OS 1.0 cro) 0 ee) 0 0 Cette courbe (fig. 5) représente done la branche AA’ (7’ =f (a)) de la courbe de fusion, partant de 7, = 1200°. AB’ est la courbe correspondante T=f(x‘). Si l’on pose 1—x=y et 1 —x —y, on peut déterminer de 500 5 = Oye _ 1200 Gat Ey) / tg Ty a: ) = u a er DE MELANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 529 une nouvelle série de valeurs correspondantes de x, « et T, ce qui donne la branche BB’ de la courbe de fusion, partant de T, =500°. (BA’ est encore la courbe 7’=f («’)). Comme mainte- nant y’ est très faible, on calcule 7 de ise ta POON ~ 1—0,5 log (1 — y)’ et y’ de y° 48 1 + log 7 =— 5 10519 (1 — y)]. 530 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION Les valeurs calculées se trouvent dans le tableau suivant. ae = Ho 1) ee log X “ x10s | y’Xx107 0e | 500 10.6 95 0 0.1 | 1.0597 475 11.11 15 15 02 | 1.1116 450 11.67 8.6 17 0.3 1.1784 494 19.31 4.5 14 0.4 1.2554 398 13.10 2.0 8 0.5 1.3466 371 13.93 0.89 4 06 | 1.4582 343 | 15.00 0.31 2 0.7 1.6020 | 319 16.38 0.078 0.5 0.8 1.8048 277 18.33 0.011 0.09 0.9 9.1513 939 21.65 0.00040 | 0.006 0.95 2.4979 200 94.98 D. 0 0.97 2.7533 185 97.43 0... On 0.99 3.3026 151 39.71 D D 1.0 Co) 0 oro) 0 0 Les valeurs, trouvées pour y’, sont encore plus minimes que celles de « chez la première branche. On voit distinctement se pré- senter une valeur maximale dans les courbes 7’= f(x’) chez les deux branches, d’où x (ou y’) ne s’accroit plus, mais retombe à 0. La valeur de ce maximum peut étre aisément trouvé de la relation générale (4) pour dar: Comme la tangente est alors verticale, le dénominateur (1 —x)o, + zo, doit être = 0, par conséquent d'après (3) avec 2 =0: (l—a)q,(1—/' x?) +2q, (1 — B'(1- x)? ) = 0, 2 En négligeant x’, ceci devient: (1—2)q, + 2g, (1— )=0, 2 done qi Cy = > TT ae Ee nel ek echte 8 meen (0 > Avec nos valeurs de q, et g, et avec /> =5 cela donne: = 2 =e S1 ur DE MBLANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 531 Avec cette valeur correspond 1200 (4) Mr 9912; = 0,00087 aan 2. Ne done Em — 0,0001 G en parfaite concordance avec la valeur, trouvée dans le premier tableau pour la premiere branche. Pour la seconde branche nous trouvons d'une manière tout-à- fait identique: Yn = — Sb ZA REN (8) correspondant avec 4 500 au 4) T= +993 SL ( ‘7 ),= 01000010, donnant Ym = 0,0000017, ce qui s’accorde encore avec la valeur, trouvée dans le second tableau. Le point eutectique C est déterminé en général — x’, et z', étant les rapports de mixtion des deux phases solides, coëxistant dans ce point avec la phase liquide — par la solution d’une double système d’équations (7), c.-à-d. avec +, et x,, viz: ip ji (— pi: x) 1 al 3 (1— ay De ee 4+ RI, be 1+ Ar, a qi 1— x VE ue 2 di or / T, (1 — fx") T, (1-43 (1—2’,)?) ER ae Te = RT, Te ae io RS (9) lay ee irl gi er 2 ou bien avec nos valeurs de 7, ete.: 532 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION (a) (b) (c) 12001 52) 500 (1— Ee PINS) rea 1 Ton eye au nr en: RN en Edo Ten (d) 500 (4 -— 6 (1 — a’)? Sen Cie = an. à (9°) 1+ 5 log £ De ces quatre équations on peut déduire les valeurs de LO Wert Son Dans le cas que x’, et 1—x’, sont négligeables (x, =0, 2’, =1), on obtient simplement T= (a) = (d), ¢.-a-d.: es 1200 * 500 ~ 41 — log (1—a) 1. , I == 5 log x d'où résulte = O80GF MADD es valeur correspondantes de x’ e ou de & — % L l espondantes de « et y’ dex eta = peuvent étre calculées ensuite comme nous l’avons fait plus haut; c.-à-d. ©, de (a) =(b), ou (x, =0) de il on 25 1+ 5 log =— 2 (1 — tog (i—ay), et x, de (c)=(@), on @, =1) de 1—v, _ 48 1 ) 1+ log der M 5 € 5 log x . On pourrait consulter aussi les tableaux précédents chez 108 (y= 02). Lorsqu’on considére les équations (7) un peu de plus prés (voir aussi la fig. 5), on voit bientöt, qu’il existe encore - hors des branches que nous venons de calculer — une troisième branche, qui peut étre régardé dans un certain sens comme la courbe d’union des deux autres. Cette branche est cependant située complétement dans la région des températures absolues négatives, et aura donc seulement un sens mathématique, pour la continuité de la courbe de fusion. La courbe T= f(x), viz A’ DB’ forme la connexion entre AA’ et B’B. La courbe EDF est la courbe correspondante T = f(a’), tou- chant A’ DB’ dans le minimum communal D, ou x = #. omnes Or Ww w DE MELANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. a) Ce point D est done déterminé par les équations PA 12°) =T, (1 -- 5 rd —2)?),. (10) ou avec nos valeurs: == 200 — on?) = 00 E01 92), = 2 (107) donnant b) Le point Æ représente encore une valeur de x’, correspondant avec le point A’ de la courbe T=f(x), où x = 1, mais maintenant T=— 0’. Ce point E est donc déterminé évidemment par la relation een 2 B’ (1— x)? =0 (done w, =0), ..... (11) ou bien 3 DORA SOM een (115) donnant x = 0,592. Les équations (7?) deviennent alors: AUD SE — 67 500 x — 0 (= nn ee _ + © + b a ER: 1 Car 1— 5%? devient négatif =— a, et 1 + 5 log x’ prend une ye ae 1 —2’ à valeur positive = + b. D'ailleurs 1 + log =, devient +o à cause de x=—1, et 1—6 (1 — x’)? tend à — 0 d’après (11°), parce que x (voir la fig. 5) est < 0,592 entre D et E. L’&quation (7) se trouve done vérifiée par la relation (11). c) Le point F représente une valeur de x’, correspondant avec le point B’ de la courbe T = f(x), où a =0, T= — 0°. Maintenant on a: (rd tar 0 (Concha). ra, (12) ou LD On ener eelde eee (122) d’où résulte: oe = 0,447. Les équations (7°) prendront avec cette valeur la forme D 1200%—0 _ 500x—5 aa +a se ool va et par conséquent se trouvent vérifiées. ARCHIVES VIII. 75 534 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION d) Nous avons encore calculé les valeurs de x et T pour x = (),47 entre F et D, et pour x = 0,54 entre D et E. Les équations (7°) deviennent avec a = 0,47: — 125,4 ae = (61 lg =a) ? donnant comme solution: DO MO ARE REN Avec # = 0,54 on obtient: — 549,6 — 134,8 Are er nj fh | ae ; , ’ UE) 96919 — 4 toga et la solution de ces deux équations sera: T= O30" T= — 186°. La courbe T= f(x) a done obtenu une allure continue, passant par A’ et B’, tandis que la courbe T = f(x’) fait chez B’ un saut de B’ à I, et chez A’ de A’ à F, pour avoir ensuite un cours continu de # par D à F. (Dans la fig. 5, j'ai arcé le champ entre A’D et ED, pour indiquer que ED correspond avec A’D; de même FD correspondra avec B’D). e) On pourrait demander, quand le point # coincidra avec A’, et le point F avec B’, de manière que le saut de B’ à Het de A’a F dans la courbe T= f(x) devient le plus grand possible. Evi- demment ce sera le cas lorsque # =». Car alors w, peut s’an- meneren nuler pour # = 1, et w, pour a = 0 (voir (11) et (12)). Les courbes A’D et ED coincident alors dans leur cours entier avec l’axe x= |, tandis que les courbes 5’D et FD coïncideront avec l’axe x = 0. Le point D se trouve maintenant à l'infini, de fait chez p= == +0 23= 0,44, comme il suit de 1200 (1 — A a?) = 500 ( 1-2 7” (1—a)*), cette équation donnant: 22? (lo) = 5%; =0, done = — 1 + 17 2, Les valeurs de a’ et y’ dans AB’ et BA’ seront maintenant constam- DE MÉLANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES, 535 ment = 0, parce que d’après (7%) 1 + 5 log = = 5 (1 — 1,2) (1 — log (1 — x)) = -». /ÿ = représente donc le cas, que la phase old ne possède qu’un seul component. Mais comme — nous le remarquämes déjà plus haut — la grandeur /> peut très bien posséder une valeur excessivement élevée, mais jamais une valeur infiniment grande, les valeurs de « et y” peuvent être extrémement faibles, mais jamais tout-à-fait zero. La phase solide contient done toujours du moins une trace — quelque minime quelle soit — de l'autre des deux components. f) Outre que les courbes A’DB et EDF tombent entièrement dans la région des températures absolues négatives, elles sont situées aussi entièrement dans la région des états labiles. a) En premier lieu nous avons pour la courbe T= f(x) (voir plus haut) : aaa SDs pape Heel ee re 0%" (1 —x) s(l — x)’ a=q,/? étant supposé = 0. Or, cette expression passe de + oo (pour T=0 et x=0 ou s=1) à — om (pour T = — 0°), et reste négative pour toutes les valeurs négatives de T. ean pourel—= 0, zl 2 U(4); _ =R Lim — EE la première des équations (7°) donnant dans ce cas: NEE ~ 4— log (1 — x) ~ — log (1 — x) ? de sorte que 7’ tend à zéro d’un ordre inférieur que 1 — x. pour — 0,70, =S (B); — — Lim ‘= CO, PUIS que la seconde des équations (7°) pour x = 0, x =1 devient: IDEE Re 1 | — log x d'où résulte qu’encore T tend à 0 d’un ordre inférieur que x. Cependant, pour T = — 0, x= 1, x =0,59(A’) nous aurons d’après (7?): 120 Se = 7 iz EE Mn Ie) ar LOUE TES ; ate de sorte que maintenant 32 devient — a. 75* 536 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION De même, pour le point T=—0, «=0, x = 0,45 (B’) on aura T= 500 (1—6 (1 = æ#)2) —b Dre me à 297 ! D 020 par conséquent encore DT /?) En second lieu, quant à la courbe T= f(x’), nous avons: ren der RT NEE ne are ES Or, pour 20 te ONB conse, m_ 5004-6) _ — 5000 _ 5000 TEN Or ee demon 1 +5 logs’ u J 020 done ’ le point D, où 5 = 7%, correspondra à T1 = 0. Evidemment cette valeur sera donnée, d’après (7), par les deux équations OR Pre) TP, Gr) (05) Ya donnant dated ar, 91 done 1— ie ees / 95 Ei qi’ d’où résulte: ] / q 2 = —___——_-_ ;: r=(1+ f 2% ws r 91 538 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION Avec nos valeurs de q, et q, cela devient: v= — 1,058; w= (1+) 2) = 3,609 (4) =) La courbe entière HDF ou T=f(x) est donc rétrécie en um seul point D (x = 0,523), tandis que la courbe A’DB’ ou T= f(x) est devenu une droite, dont toutes les points coincident avec cette valeur unique de x (fig. 6). Fra. 6 En effet, les équations (7") deviennent dans ce cas: 0 0 et EUR De je 27 0g done T identiquement = 0, tandis qu'avec la valeur a’ = 0,523 peuvent correspondre toutes les valeurs de x, depuis 0 jusqu’a 1. DE MÉLANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 539 IJ 2 ’ ES + Le point D représente encore un état labile, ya? étant néga- OR = ; DEAN = tif. Quant à A’DB’, dans toute sa longueur = 0, même dans 0% les points A’ et B’. Car T ne tend pas à zéro près de ces points, m Ane sera toujours = 0. La droite A’DB’ sépare done la région stable pour T=f(x) de la région labile. mais cette grandeur est continuellement = 0, de sorte que m d À ‘ La valeur de dz Sera également partout =0, aussi dans les points A’ et 5’. Car d’après (7°) on peut écrire pour les grandeurs w, et w, (qui sont toutes les deux =0, en vertu de (13)) ‘ ER ig el ( Sa pen ae il = log 5 5) ; 92 — 500 1+ 2 log x ) 4 de sorte que l'expression (4) pour En deviendra : | yy R dT (© —%) Free > Saree hee ae ¢ (+! 7 a) B (+ tog “y+ Ae (1+ jlo) ce qui sera toujours = 0, en vertu du facteur 7, quelles que soient les valeurs de x. 2 Quant à la valeur de = dans le point D, celle-ci dépendra de la valeur de x dans la droite A’DB’. En effet, expression pour dT : Ir devient: RR : WT @ er fa re if Dee AS ate Ae (1+ 50092 ) Et cela sera seulement = 0, lorsque =". Pour # =0 nous obtenons (x? = |, d’après (13)): dT —%q; À a sh WAZOO siren: 1200 8 da’ A+ log({—x) «(+lgd—z))’ TE 071) i expression négative, comme nous l'avons également trouvé pour 540 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION le point F («=0) dans le chäpitre IV (fig. 5) Pour =1 on obtient (# (1 — x)? = = d’apres 13): aT _ PRÉ = 500 ft (ae 500 i, (1 +5 toga’) LEE + Loge se | ga’) et ce sera positif, comme chez le point E de la fig. 5 Nous nous rappelons, que le seul point D remplace ici toutes les points de la courbe HDF du cas précédent, de sorte que = doit avoir toute une série de valeurs, correspondant avec les diver- ses valeurs de x dans la courbe T = f(x). Les valeurs maximales dans les courbes AB’ et BA’ sont don- nées par (8) et (8%). On trouve avec /?’ = 3,66: 6 5 ETET ee Vi me Avec ces valeurs correspondent: 1200 500 = — DO + — _ — 0 In tan = 9229 rer, ee / tandis que (re: (4) À peuvent être calculés de rf = 4,39) : 4 / +5 log ~. = — 3,39 x 2 (1 — tog (1 — 09); / 4 / 1 + log = — 2,66 x = € me (1—y)) d’où résulte in RE Nele ee (2), = 00034 ; (a ), = 0,00026, done 2m = 0,00088 ; % = 0,000062. La valeur maximale de x’ est done augmentée en raison de 5 : I, comparée avec celle chez /’=5, tandis que la valeur maximale de y se trouve augmentée en raison de 36 : 1 Le maximum pour y” est maintenant situé aw dessous du point eutectique (7 = 452°); il se présentera précisément chez ce dernier point, lorsque DE MELANGE BINAIRES DE SUBSTANGES ISOMORPHES. 541 c.-à-d., quand DIRES 92 | reden Gi He Par conséquent, avec nos valeurs de q,, qs et y, (0,19), lors- que /? = 4,55. BEE A [autre côté le maximum ne viendra au dessous du point eutectique, que pour une valeur de / beaucoup plus inférieure (On doit y songer, que pour le calcul précis de cette valeur de >", il n’est plus permis d’employer la relation (8), x n’&tant plus négligeable). Les deux branches principales, c-à-d. AA’ et BB’ avec leur point d’intersection C, n’ont subi aucun changement appréciable, x et y’ étant encore négligeables, de sorte que pour le calcul de ces deux courbes on peut toujours employer les équation simples 1200 500 a eae Tea mee d hen VI. Aussitôt que /’ devient inférieur à (1 VE). ou chez 1 x nous < 3,66, la droite A’ DB’ commence à se tourner en haut, et on obtient une allure comme dans la fig. 7, p.e. pour > = 2,5. Le point D est déterminé par (10), c.-ä-d. par 12(1— 2% w?) = 5 (1 — 3 (1 — x)?), donnant: Pour E on a d’aprés (11): 1— 3(l1— 2)? =0, d’où résulte: x = 0,423. oo Te meer st Sn LES ARCHIVES VIII. 76 542 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION Le point F est donné par l’équation (12), e-à-d. l= 2 220, donnant: a =O Fie. 7. On voit done, que la partie droite de T=f(«‘), c.-à-d. DE correspond avee la partie gauche de T— f(x), c-à-d. DA'—et vice versa. Dans la fig. 7 j'ai encore une fois arcé la région entre DE et DA’ pour indiquer la correspondance de ces deux courbes La courbe ADB est située maintenant complètement dans la ne À région stable de T = f(x), parce que = EN os sera désor- mais toujours positif Dans les points A’ et B cette grandeur prendra la valeur +o, 7 étant zéro d’un ordre inférieur que % ou 1 — 7%, La courbe EDF se trouve cependant entièrement dans la région DE MÉLANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 543 I) ser : 0°; labilede T = f(x), puisque dans Wet F, Sri — 0 - 12000, et dans Se 02€ 2x 223 de - 0,57 x 0,43 valeur négative. Toutefois cela ne sera pas permanent; pour des le point 2, 12000; done toujours une forte valeurs de /> plus faibles il peut se passer que dans un certain / 1 9 #/ 5 ore : point de DEF la grandeur yr devient = 0, et ce sera alors une OR ee condition pour une déformation nouvelle de la courbe de fusion. Mais cela dans un Chapitre suivant. Quant à la direction des tangentes dans les points Æ et F’, nous avons en premier lieu dans le point E(T=0, «=1, x = 0,42): 11 1 4 ee dx ©, IE Je | 500 A où ;, done positif et fini, de 0, 7 9, (1 —3(1—2’)?) en 1+ 1% log x sorte que = devient positif. Mais quand le point E s’approche de plus en plus du point B’ avec des valeurs décroissantes de /? P m la grandeur 1 + %logx’ deviendra négative, et TEE prendra également une valeur négative. Entre les points Det E il se trou- vera alors un point, oü la tangente aura un cours vertical, comme chez les courbes AB’ et BA”. La transition aura lieu, lorsque | + % log x =0, c.-à-d. lorsque 2) = Z Le ? 6 49 a =e *. Et comme le point £ est déterminé par | — 5 PAL —2’)?=0, une tangente verticale dans le point E se présentera dès que Ee Mie ß devient = @ ie aa he En second lieu, nous aurons dans le oe MILAN du 0638 dl — 0 ‚63 fe ea eo) EN = TO! 2000) © = O » i At, — i — —_ — a 1200 Zu t ER all 2eme ar Veran : die Me 1 + log (1 — x) = | — 1,003, on voit que da vient d’etre positif. Un moment plus töt dE était encore négatif. 76° 544 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION Pour caleuler chez quelle valeur, de /> la grandeur 1 + log A—x’) deviendra = 0, lorsque le point F's’approche de plus en plus du point A’, on n’a que combiner a’ = 1 — e~! avec 1 — /> x? =0. On trouve 1 donc /?' = Em 2,503. Lorsque /’ est inférieur à cette va- ih ae : leur, dj Sera positif dans F et il se trouvera entre les points D et F également un point où la tangente est verticale. Les valeurs maximales de x et y' dans les deux branches prin- cipales de T=f(x), viz AB et BA’, seront encore déterminées — x ety’ étant toujours négligeables — par les simples rela- tions (8) et (8°): 6 5 ma Im ree Avec ces valeurs correspondent: 1200 Et SOOP Ont eme tandis que des équations (& = 3) 2 | ] ’ | i+ lg — =—2x ae log (1 —2)) : 12 | Hee log, =— 14x; € — log (4 ~y)) il s'ensuit: >) — 0,0117 ; (2) — 0,0045, T/m Y /m donnant : mn = 0,0044 ; %Y = 0,0016. La valeur maximale de x, comparée avec celle chez /> = 3,66, est encore augmentée en raison de 5:1. tandis que le maximum pour y se trouve augmenté en raison de circa 26:1. Peu à peu ces valeurs commencent 4 être mesurables pratiquement. Toutefois, comme les valeurs de x et y seront encore négli- geables, les courbes AA’ et BB et leur point d’intersection C sont toujours données par les mémes valeurs correspondantes de T et x que dans les cas précédents. Les cas différents, traités jusqu’ici sont tous caractérisés par le fait, qu'ils peuvent être considérés pratiquement comme des cas, DE MELANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 545 oü des cristaux mixtes ne se prösentent point: tellement restent faible les valeurs de x et y. Les deux courbes de fusion AC et BC paraissent indépendantes l’une de l’autre, et s’entrecoupent dans le soi-disant point eutectique. Mais en réalité il y a continuite Fia. 8. au dessous de (©, et il existent — quelque faibles que soient les valeurs de æ et y’ — deux courbes T=f(x) au dessus de C (fig. 8). Toutes les deux présentent des valeurs maximales de x et y. Tandis que celle de x reste préalablement au dessus de C, de manière que x ne croît pas continuellement avec x, celle de y’ est déjà tombée au dessous de C chez /> = 4,55, de sorte que y croit constamment avec x. VII. Maintenant nous procéderons à décrire l’évolution des parties de la courbe de fusion, qui sont situées au dessous du point C. 546 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION A mesure que la courbe A’DB’ monte de plus en plus, quand fB décroit, cette courbe touchera enfin la courbe BB’, p. e. dans P (fig. 9). Mais comme alors dans ce point P les valeurs de x et T des deux courbes coincideront, les valeurs de x’ seront égale- ment identiques — c.-ä-d. les courbes BA’ et HDF se rencon- tront en même temps, p. e. en Q. Dans ce point on aura cepen- yer Le72 dant ——0, puisque P peut être régardé comme un point de UE rebroussement dans la courbe continue AA'DPB. Quand on dessine PO done dans la figure 9 le lieu en = 0, c.-à-d. Lod } / = 1545 la courbe T= ea (a) el) étant une coutbe parabolique, symétrique à chaque côté de Pordonné v=», et dont le sommet s’abaissera de plus en plus, à mesure que /?” décroit — alors les courbes BA’ et EDF rencontroht cette 2 2 - = 0 en même temps en Q. courbe — ù x'? DE MELANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 547 Toutefois il s’ensuit immédiatement de la direction de cette courbe dans le point Q, que la direction des deux courbes BA’ et EDF ne peut pas étre horizontale dans ce point. Or, dans les expres- 7 i ( sions pour 7, de ces deux courbes, non seulement les nominateurs D 1 . ; 07¢ 5 5 5 disparaîtront en vertu du facteur 5, Mais également les dénomi- Ov nateurs (1 — x) w, + vw. En d’autres termes: les deux courbes se ren- contront toutes les deux dans les points des maxima de x et 1 — +, Fie. 10. là où un moment plus tôt les courbes possédèrent encore une tangente : : dE. 2 en verticale. Les expressions pour 7, deviennent par conséquent indé- finies, et la direction véritable des parties BQ et A’Q, DQ et FQ doit être trouvé d’une autre manière. La fig. 10 indique la situation des diverses courbes un moment plus tard. La valeur de >’ est un peu plus faible que dans la fig. 9. On 548 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION voit distinctement le délacement, qui s’est installé. Les branches inférieures B’ P’ B’ et A’ Q’ F méneront dès à présent une existence isolée, et disparaitront de plus en plus en bas avec le décroisse- ment des valeurs de />. On pourra les regarder comme des rudi- ments de la courbe de fusion originale. Les parties supérieures formeront désormais la courbe de fusion proprement dite, ¢.-a-d. AA’DPB, étant la courbe T=f(x), et AB’EDOQB, étant la courbe correspondante T=f(x’). Dans les points Q et Q les A B= 1,102 Fre. 11. courbes 7’ = f(x) sont maintenant horizontales, en vertu de det Cr raîtront plus longtemps en même temps. Les points dans les deux courbes, où cela se présentait dans les cas précédents (on pourrait se figurer ces points entre Q et Q’) ont disparu dès main- tenant. Ces points Q et @ des courbes T= f(x’) correspondent = 0, parce que les dénominateurs (| — 2)», + x», ne dispa- DE MELANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES, 549 aux deux points de rebroussement P et P’ dans les courbes T =f (x). Le procedé de délacement, que nous venons de décrire, avait lieu à la côté de À — c.-à-d. de la température la plus élevée — mais il sera évident, que lorsque la valeur de a diminué encore plus, le même procédé se répétera à la côté de B, comme on peut le voir dans les fig. 11 et 12. Fie. 12. Le second délacement a lieu chez R et S, après lequel se pré- sentent en bas deux nouveaux rudiments de la courbe de fusion originale. La courbe de fusion proprement dite est maintenant ARDPB, c.-à-d. T=f(x), et ASDQB, c-à-d. T= f(x). Les deux points S et S’, où les courbes T = f(x’) sont horizontales en vertu GERS ro ment R et R dans les courbes T'= f(x). Naturellement il est important de savoir, chez quelles valeurs ARCHIVES VIII. 17 0, correspondent aux nouveaux points de rebrousse- (i 550 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION de /?’ les deux délacements, que nous venons de décrire, se pré- senteront. Dans le point Q (fig. 9) on aura en premier lieu: 0? 5 Ver? / a our MES GND al er) EEN (a) Mais on aura aussi (1 — x), + %w, =0, done i.e (15) En substituant ces valeurs de x et 1 — x, les équations (7°) se transforment en 1200 1— 7?) 500 (1—1,2 3” (1—2’)®) - (6) T= — wo o, ie 4 nn 1 + log (1—2’) Ne 1+ > logs’ u Et en combinant les deux équations (a) et (b), on trouve, ayant égard à (3): 1200 (1 — (3 a’) : 6 (1 — Pa? Le bog (1 — 2) [gE Gia u 500 (1— 1,2 3 (1 — 2’)2) ua ; 567 (1 — 4) 1+ 5 log [' BU 747) ME - = 92400 x (1—x)... (16) De ces deux équations transcendantes les grandeurs « et /? ne peuvent être trouvées que par approximation successive. Ainsi on trouve pour le premier délacement : : = 1,545 Cm 22 ? x’ = 0,9108 (Q) et avec ces valeurs les valeurs suivantes de x et T correspondent: 0200 18012 Les valeurs trouvées pour + et /7, substituées dans (16), don- nent notamment: ns 1200 x — 0,2817 500 x 0,9852 | an = x 1,6902 49969 \ LM 1 + log 0,0892 € — ete = log 0, 9108 (1 — =7,6902 e. à-d. DE MELANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 551 ne. — 338,0 492,6 Bs TA + log (0,0892 x 1,3431) — _ ET an Ben. #5 log (0,9108 x 3,9145) Or, log 0,1198 étant =— 2,1219 et log 3,5653 = 1,2713, il vient: — 338,0 92 p= 3380 _ 492,6 TT 16856 = 2012, ou finalement: TESO — 301.9 — 3012, d'où il est évident, que les valeurs données pour a et / sont w | exactes. La valeur de x est calculée de x =! = In O, — wy 3,9145 = (0,2555. Chez cette approximation on peut avec succes faire usage de la circonstance, que le premier des trois termes de (16) est excessi- vement sensible pour une faible variation de /’, en vertu du fac- teur 1 /’x?. Une augmentation de 0,001 dans la valeur de /% cause une augmentation de 1° dans la valeur de T. De même le troisième terme sera très sensible pour une variation légère de 2’. Une élévation de 0,001 dans la valeur de + cause une diminua- tion de 3° dans la valeur de 7. Pour le second délacement on trouve, également par approxi- mation successive : a =0,1149 (S) ; #’=1,1020, valeurs, auxquelles correspondent: %=0,9705 (R) ; T=268°,9. Substitution de ces valeurs dans l’&quation (16) donne: 1200 x 0,9855 500 x — 0,0360 SE ee = gy =268,9 5,9130 1 ( 0,1799 9, ou Pe 1182,6 un else ~ 1 + log (0,885. x 33,87) 1 + 4 log (0,1149 x 1,0304) Avee log 29,98 = 3,4005 et log 0,1184 = — 2,1337 cela devient: 1182,64 1799 7 4,4005 — — 0,06685 — 268,9. m = 265.95 552 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION done T = 268,8 = 269,1 = 268,9. On voit que les valeurs de + et 7’ vérifient (16). La valeur de w, 1 z est encore ealeulee de ¢=— "= 0,9108. x est encore calculée de x er 1,0304 0,9705 Chez cette derniöre approximation c’est surtout le deuxieme terme de (16), qui est fort sensible pour des variations de (7. Une augmentation de / de 0,001 donne une élévation de circa 8° dans la valeur de T. C’est le facteur 1 — 1,29’ (1 —2’)?, qui Fre. 13. cause cette sensibilité particulière Une augmentation de x de / 0,001 donne maintenant, en vertu du facteur x’ (1 — x’), une élévation de + 2° dans la valeur de T. ams DE MELANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 553 VII. Les figures 9—12 ne sont que schématiques. Pour nous con- vaincre, que l’allure des courbes différentes est en effet tel que nous l’avons décrit, et que les délacements ont leu de la maniére indiquée, je calculai une quantité des points de la Suse lest a courbes, donnée par l’&quation (7°), dans la supposition 3” = 1, 1, nenn done immédiatement après le second delacement. ( = 1,1020). Dans la fig. suivante (fig. 13) on retrouvera entiérement la fig. 12; seulement les courbes BCP et BODS ont une allure assez hori- zontale, de sorte qu'à l’échelle de la figure les points Q, D, P, étant presque coincidents, ne sont pas distincts. Les équations (7%) deviennent avec /> =1,1: = 1200(1—1,17?) _ 500(1 0 ee ei eo oe Approximation successive donne en premier lieu pour la branche principale ARDPB, c-à-d. T=f (x), correspondant à ASDOB ou T= f(x"), les valeurs suivantes de x, a et T. GD x TA (A). 0 1200 0.477 | 0.05 749 0.882 | 0.1 391 (R) 0.958 | 0.127 (S) 292 0.929 0.2 335 0.886 0.3 | 384 0.846 0.4 | 419 0.810 | 0.5 449 0.780 | 0.6 454 0.756 0.7 4583 (D) 0.749 | 0.749 45862 (P) 0.748 | 0.776 (0) | _ 4586 0.749 0.8 461 0.795 0.9 465 0.867 0.95 476 0.911 0.97 484 0.967 | 0.99 | 494 (B) 1 | | 500 Comme on le voit bien, les points D, P et Q coincident sensi- blement, et la courbe 7—f(x) se montre horizontale sur une LA COURBE DE FUSION ALLURES POSSIBLES DE SUR LES 554 assez grande étendue. C’est pourquoi j’ai donné dans la fig. 14 une représentation agrandie de cette partie de la courbe de fusion. Représentation agrandie d’une partie de la fig. 13 dans le voisinage du point D. AS DE MELANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 555 Dans la branche principale de la courbe de fusion que nous venons d’évaluer, il se présentent cing points remarquables. Premièrement le point D, où «=<2’, et où la courbe T=f (a) touche la courbe T= f(x) dans le maximum. Ce point est déter- mine par (10), ¢.-a-d. T=4200 (A — A, 12?) — 500 (1 — 1,32 (1 — #’)?), d'où résulte : Pt OA TAI Ensuite les points P et Q; R et S. On les détermine de la circonstance, que dans Q,~—, —= 0, ou bien T=q, Pr (1—x)=— = 2640 x’ (1 — x’). Pour calculer done les valeurs de 2’, x et T A pour ces points, nous avons à résoudre les équations 1200 (1 — 1,1 x’? QD NÉ = AE Ee 1+ 5 log. Ces équations donnent comme première solution : pO MEMO) ET ON (PD) 45860" On voit que la différence entre la température de P et Q et la temperature de D est bien faible. Cette difference est seulement 0°,02. Les équations (17) nous fournissent comme deuxième solution: ti OZON EN DOUG) 5 E23: Toutes les valeurs précédentes se rapportaient à la branche principale. Evaluons maintenant le rudiment A’R’A’ (T=f()) et la courbe correspondante BSE (T= f(a’). Les équations (7°) donnent encore par approximation successive : (4) 1 0 (B) 0 0.995 | 0.05 193 (R) 0.981 | 0.104 (S') | 245 0 995 0.120 | 193 (hea 0.130 Œ) | 0 556 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION Le point E est déterminé par (11), done ici par 1+ 182 (1 2)? =0, d’où ay SOMOS a mel T0; Les points S’ et R’ sont encore calculés de (17). Or, ces équa- tions nous fournissent comme troisième solution: a = 0,1035 (S’) ; æ—0,9808(R) ; T=245°0. Les valeurs de x, correspondant avec x = 0,05 et # = 0,120, ne different que très peu; la première est exactement = 0,994740; la seconde —0,994734. C’est pourquoi dans notre figure 13 la courbe A’R’A’ est presque une seule courbe. Toutefois la partie gauche correspond à la partie droite de B’S’E, c-à-d. à B's", tandis que la partie droite de A’R’A’ correspond avec S’ E. Finalement nous déterminerons le rudiment B’PB° (T = f(x)), correspondant à A@F(T=f(«)). On trouvera des équations (7°): x | zi eee (B’) 0 1 | 0 | panes 0.9997 16° (EP) ent 0.990 (Q') 25° ene 0.970 16° | (B) 0 0.954 (F) 0 Le point # est déterminé de (12), c.-à-d. de b= 1,122 = 0, donnant 2 =10:9535 = 000. Enfin P’ et Q’ sont calculées de (17), équation donnant comme quatrième solution: nd ON (CNES ee Pen = Encore une fois les valeurs de x, correspondant à a = 0,9997 et x = 0,970, sont presque égales entre elles. Mais on voit que A’Q correspond à la partie droite de B’P’B’, et vice versa. DE MÉLANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 557 Puisque les valeurs de x sont si extrémement faibles, la courbe B’P’B’ est représenté dans la figure (13) par une seule ligne droite, eoineidant avec l'axe «= 0. Un autre point très remarquable c'est le point ewtectique C. La détermination exacte de ce point est, quand a n’est plus négligeable, fort difficile. Or, les quatre grandeurs T, x, x, ct x’, doivent être calculées dans ce cas des 4 équations (T°): (a) (b) 1200 11,127) _ 500 (1 —1,32(1- #2) _ Mr og 1+ Log (c) (d) 1200 (1—1,1%7) | 500 (1 —1,32 (1 — a’)? iE cal w= ea (18) 1 + log mn 120g > 1—7x 29% Il sera le plus facile de calculer x et 7’ des équations (a) et (b) avec une valeur acceptée de x’ ,; de calculer ensuite x et 7' des équations (c) et (d) avec une valeur acceptée de x’,; et de varier alors ©’, et x’, si longtemps que les deux systèmes de valeurs, trouvées pour x et T, deviennent identiques. Ainsi on trouvera: 5 = 0,80672 ; 7’'= 466,41 ; x, = 0,08893: ; x’, = 0,91107. Nous nous souvenons que nous trouvämes plus haut, avec des valeurs de /’ plus élevées, de sorte que x’ et 1 — x’ pouvaient être négligés, les valeurs x= 0,809 ; 7 = 452. La température du point eutectique a done subi une légère elevation, en vertu de l’allure plus horizontale de la courbe BP, tandis que la valeur de x, en vertu de l’allure assez raide de la courbe AR, n’est pas modifiée sensiblement. Pour nous convaincre, que les valeurs trouvées satisfont en effet aux équations (18), nous les substituerons. Avec log 0,08893* = — 2,41986 ; log 0,91107 = — 0,09314 log 0,80672 = — 0,21478 ; log 0,19328 = — 1,64360 nous trouvons: pe 11896 _ — 47,827 _ 104,35 __ 494,78 — 255046 —0,10254 0,22374 — 1,06082’ ou T = 466,42 = 466,43 = 466,38 = 466,41. ARCHIVES VIII. 78 558 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION Il est bien remarquable, que nous trouvons pour x, une valeur, qui est exactement =1—2’, On pourra démontrer facilement, que ce sera une conséquence immediate des équations (7°). Tou- tefois, si notre supposition simplifiante r= 0, c.-à-d. b’, =b’, et a, =a’,, ne se trouve plus vérifiée, la valeur de x’, ne sera plus longtemps = 1 — a’, chez le point eutectique. Par conséquent: Si la chaleur de mixtion du premier component chez x = 1 («’,) est égale à celle du second component chez x = 0 («’,), les compositions des deux phases solides chez le point eutectique seront complémentaires. Démonstration. Ecrivons dans ce but les équations (18) dans la forme plus générale: (a ae ai) Lis (1 a YA oc" se a Ben = ey Zj Qi 1— x Yo x IN — Tr, 1—P'x}) il = Ag! (bes 2») RT, 1 — = = Ihr, Zn ie 7, log 7 2 og ©? Nous résolvons maintenant log (1 — x) et log x de ces quatre équations: TE CRE loge log — Fi a en Ei (lr)? EN ern 7) + ee! pe EN ra a / log x = log x’, +2 + ~+) + Rr? (1 —«’,)? d'où il s’ensuit par égalisation : re Un Mi a 2 fog = SERT nil Ge) la 1 Or, ces équations dernières seront satisfaites par LP ee puisque toutes les deux se transformeront alors en tent [A a)? CS DE MELANGES BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 559 Il va sans dire, que réciproquement le fait, que cette composition complémentaire chez le point ewtectique sera vérifiée ow non, sera um critérium précis, s'il est permis de poser a, = «, ow non. Remarques. a) La valeur de +, pourrait être trouvée exactement comme il suit. En vertu de (18) ou (7°) on peut écrire: 1200 A Be (lea je 7 0 mel tie Or, l'équation (19) donnant af — 2% - 2% pai Le ES Eh ba aw. >... (19?) Rk 1%, l-%, ? i, a (og B. 14 il vient après substitution de cette valeur dans la relation (l— 2%) +e=1: = 1,1%? 1 — 1,82 (1 — x)? 7 l ale 1—x,)\ Hazen 12% Ne ae Be al) Ze, 1 Cette équation, ne contenant que la seule variable z’,, celle-ci peut done être évaluée si exactement que l'on voudra. La valeur de T se trouve alors de (19%, et la valeur de x de la première des équations (18) ou (7°). b) La relation (19) ou (19) peut servir à déterminer 5’, lors- qu’on connait exactement les valeurs de T et x’, chez le point eutectique. On a en effet: le} M — an 1 s y= qi en ; ce qui se transforme pour de très faibles valeurs de x, en Soit p. e. T=500° , q, — 2400 , x’, — 0,01, alors on trouvera: 5 3” = jg log 100 = 1,92. 78* 560 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION IX Maintenant nous aborderons la question, comment les deux pans avec leurs points de rebroussement Pet /# disparaitront peu à peu. Dans les figures suivantes on peut suivre les transformations suc- cessives de pas en pas Fie, 15. Dans la fig. 15 le point de rebroussement P de la courbe T = f(x), . qui se trouvait jusque maintenant aw dedans de la courbe cy ad a2 é 3: =, est venu sur cette courbe, de maniére que le point Q de la courbe T—f(x) coincide avec P, de même que le maxi- mum D, étant situé entre P et Q. Les courbes T= f(x) et 7’=f(x’) sont done toutes les deux horizontales dans le point P, et dés maintenant la courbe T= f(x) ne touchera plus la branche RP (dans le point D), mais elle touchera la branhe PB (dans un mi- 561 DE MÉLANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES nimum) Le bee chez le point P se tournera désormais, après l’al- lure horizontale de la fig. 15, en haut au lieu d’en bas. Cette transition est &videmment déterminée par les relations c.-ä.d. par les équations En mu 0 -9)2)=q,Pelıa).. (21) 2 Nil T, T, — . En posant 9,” =« , =a , —=b, cela devient: qi Ir PT dart bill Sa (lS 7), .. (2) d’où résulte: 3% T, LE OM 45 Bl —a)?+all—a)' 1 — — = =; FT ax? + “(Ll — x) Nous obtenons donc: Pa) do ct, 20e 0, d'où nous déduisons: el) 2 eT, LUE —T,)? +4abT, T, (21°) = = =a) es nr Avec nos valeurs de T,, 7’,, etc. cela devient (a=> = conte ge 7): l un De l'équation (21%) on tire encore: mn 1 79 étant = 8,8882. de sorte que nous aurons: EES) ab : donnant: T2(1— ab) — T(T, + T,) + T, T,=0, par suite: L(T,—-T,)?+4abT,T, 2 (1 — ab) NET.) 562 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION En substituant les valeurs numöriques, nous trouvons: JO I= 7 (IT — HT) = 4635. L’équation quadratique pour @ est moins simple. De (21% il s’ensuit en premier lieu: fh ! ie (1— a)x? — x + ia ; 1 —b)2? —(1—2b)x + ee —b)=0. x Elimination de « donne, aprés quelques réductions: «’ab(1—ab) -—« [2ab(l - ab) (q, +9.) —(a + b —2ab)(T,+T,)|— Ze UE i), d’où résulte après des réductions convenables : / » atb 2 ab 1 Oh STA Oe IE 7 er LL) +, Ty)? +4067, T, |.. (219 Avec nos valeurs de T,, etc. on obtiendra done: « = 2400 > — (9 + 4 179), ou bien u) SE 4179 PR 40 — O06 ke Cette valeur de /> n’est que légèrement plus faible que la va- leur /> = 1,1, pour laquelle la fig. 13 était calculée. En effet, le a (ei peu prés sur la courbe I =0. La va- x point P est situé là a leur trouvée pour la température, c -à-d. 463°,5 est convenablement plus faible que celle du point eutectique, pour lequel nous trou- vämes avec %’ = 1,1 la valeur 466°,4 (voir plus haut). X. Les figg. 16 et 17 montrent une nouvelle particularité dans la serie de transformations successives. Le point de rebroussement P est venu à la même hauteur que le point ©, de sorte que le point Q est venu également a cette méme hauteur. Pour la première fois quatre valeurs de x’ correspondront done mainte- Er DE MELANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 563 nant à la température du point eutectique C, c.-ä-d. a’, et %’,, correspondant à C, et les points coineidents x’, et a,, corres- pondant à P. Ces deux derniers points représentent encore des états labiles. Un moment plus tard le point P est venu au dessus de C, et les deux points coincidents #7, et x’, se sont séparés (fig. 17). Les points x’, et x, correspondent toujours à C; x, et x, à deux Fra. 16. autres points de la courbe T=f(x). x’, représente un état labile, x, un état métastabile. La transition de la fig. 16 est déterminée par les équations (7) pour a’, et #, (correspondant à z,), pour x’, (correspondant à %,), ND ef s ? en connexion avec T=q, /?, 2%, 1—r,), Jar etant = 0 pour lepoint 2 ==): 564 SUR LES ALLURES POSSIBLES DR LA COURBE DE FUSION On aura done: _12001- fa?) | een x2)) a ae ern = 7 1 + log jn nn 1 + log = 2 -; 500 (1 — 1,2 Jou (1 — #',)) a 12 0 (1 zs x?) pi if or 2 a 1 + log 5 ge B 2 ey ur 2 2 er 500 (1 1529: (1 5 % 3) ) — 2400 3’ x’, (1 + 220 (22) 1 Cie Ne, log = p Fie. 17. De ces sept équations on peut calculer les sept grandeurs T, 2, Ams Lin By, Bs, P. [On se souviendra que 2, iN (voir chapitre VIII)]. Mais nous laisserons cette évaluation volon- tierement aux lecteurs bienvaillants de ce Mémoire. DE MELANGE BINAIRWS DE SUBSTANCKS ISOMORPHES, 565 XT. Dans les figg. 18 et 19 on trouve représenté un cas de transfor- mation fort important. La branche Af, entrecoupant toujours jusque maintenant la branche BP à gauche du maximum (ou mi- nimum) D dans le point eutectique C, passe exactement par ce point D. Il résulte de cela, que le point x’, est coïncidé avec a, dans Fie. 18. C (tous les deux = x), et que ce point x’, représente dès main- tenant un état stable. Désormais (voir fig 19) le minimum D se montre @ gauche du point eutectique C, de manière que la partie réalisable de la courbe de fusion obtient une allure toute différente, c.-à-d avec un minimum (fig. 19°). Le point x’,, étant jadis à gauche de C, se trouve désormais à droite de ce point Par contre le point «#, est venu maintenant à gauche de C, et correspond à un point de la courbe T = f(x) entre B et D. ARCHIVES VIII. 79 566 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION Je fais remarquer ici, que le cas de la fig 19° se montre dans un certain sens chez des mélanges de Ag NO, et Na NO,, étudiés par Hissink (fig. 19°) La différence consiste en ceci, que le mi- nimum D dans la courbe T=f(x) dans le cas de fig. 19° se mon- 4 Fie 19. tre au delà de x=1, et que ce minimum a donc déjà disparu, tandis que le minimum dans notre cas (fig. 19") est supposé de disparaitre dans un stade postérieur. On peut calculer la transformation de la fig. 18 à l'aide des équa- tions (7°) pour x, et x’,, ayant égard à l'égalité x=’, tandis quem outrew, (=2,)—=l- Ze On aura donc: 120005752 1921117012 A N es if 1 #8; 1 1, aw’ ea 5 > 09 0%, — 500 (1 — 1,29 (1 — 2,2), . .. 0 oo BD DE MÉLANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES, 567 Fra. 19a. Fra. 19. (A c.-à-d. quatre équations pour évaluer les grandeurs 7, x,, 7, = et P”. 79* 568 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION Si lon écrit à, =1—2’, =1—z2, x, =a, ces équations se simplifient en (a) (b) (c) 12001 — (1-2) 5 _ 1922 Ns P ( x 2) ) = 0 x 5 ) == 1200 (1752) (d) = 500 (1127 (lS) ee 7 ee (23°) De ces @quations on en peut omettre une, puisque on a intro- duiten nil Or, en résolvant 9’ dé T=(a)=(e), et 127’ de T=(b)=(d), on obtient: log nn bg = He I 5 Kin — % 9 v ¢ 2 mew q 1 he en remplaçant les coëfficients 1,2, 1 ets par leurs valeurs origi- q, RT, RT, nales > ==, : 93 qi 9 Les équations précédentes donnent: ge = eds = 2 SENS di on (a ere NO © en RI (L— 22) (1— x)? log de CRT 2 x) ou bien Mi dd A ie Ek b 091, RAR AN, x? qo — (1 — x)? V4 Jia; Dei je Li © (23°) et c'est là l'équation de laquelle on peut déterminer par approxi- mation la valeur de x. Avec nos valeurs de 7,, etc. (23°) devient: x 7(2%—1) eae = rate d’où Von trouve: t=, =x), =0;8060 (le point O0); 7%, =1 - x, — 019408 Eu substituant (23°) dans l’expression pour /, on trouve après quelques réductions: rr OBR DE MÉLANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 569 Avec les valeurs numériques de T,, ete cela devient: 2 = ‘log 2e ‘le I D) a? + 2x — 1’ done avec x = 0,8060: La valeur de 7 se trouve facilement de T = 1200 (1 — /’ 22), donnant: T = 1200 (1 — 0,6007) = 479° 1. L'expression générale pour T sera ee EN, [ 4 1 N? =| ) qi qs ( ) da ou bien l= TT, a? q2 == (ila qi a (23°) qi Yo 2 Tan (1--2)2 Dy VE Q2 Les valeurs de x’, et x, peuvent être calculées ensuite de (7°). XII. Finalement on trouve représenté dans les figg. 20 et 21 la trans- formation la plus importante. Les points Q et S coincident maintenant dans le sommet de la Dee courbe 52 — 0, et par conséquent les points P et R coïncident 0% - également dans U. Les pans de la courbe de fusion ont disparu dès maintenant définitivement par delà du point eutectique. Les points %’,, 2, et x, coincident dans le point d'inflexion Q,S à tangente horizontale. Évidemment ce point Q,S se trouve chez 2 =%, puisque en vertu de notre supposition «, =a’, la ND +7 € = a, Mr / SR 2 courbe DTS 0 ou T=g, (x (1— 2’) est complètement symé- OU trique aux deux côtés du sommet chez © = Wo. 570 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION On ne peut dire que maintenant, que la courbe de fusion a obtenu l’allure complètement normale, ayant un parcours continu sans point de rebroussement aucun de A jusqu’A B, avee un minimum dans le point D, où « =.’ (fig. 21). Le point d’inflexion à tangente horizontale est devenu un point d’inflexion ordinaire à tangente oblique, qui peut disparaître chez des valeurs de /> Fie. 20. encore plus faibles. Enfin le minimum D disparaitra de la courbe de fusion, de sorte que dès lors l’allure sera continuellement ascendante depuis B jusqu’à A. Il va sans dire, qu'il est possible que le minimum a disparu déjà plus tôt, dont nous vimes un exemple dans la fig. 1%. La transition de la fig. 20 est déterminée par les équations (7°) 5 je 02% pour # A, =%, =%3) =", en connection avec ia = 0 ou T= 1), q, P’. Cela donne: Pt, in ri DE MELANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. 571 On en tire: done, comme (1 — x) +x—1: = ees Les 9 1 ue qs 5 aly eel [ee er], a (241) qz Avec nos valeurs de 7, etc. cela devient: ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION 572 SUR LES SE LAK 5 _ Us ae WP donnant: 2’ = 0,8226: ETE Et avec cette valeur de 5” nous trouvons: ge 08030 LSA (TE SH I) Les points x’, et x, sont à calculer ensuite de (7%) XIII. Maintenant nous discuterons la question: chez quelle valeur de « le minimum D se présentera, /?’ étant donné. Les équations à résoudre seront (x = x’): FA = a)2). NE TEEN ee (1 — = On en tire l’équation quadratique: 5 i. m — T, ent, VE VE Yo 91 / x qi donnant: EC PANIER ER ay T, — ne do gi 7 oer GF? UP ees) Gi % Evidemment le minimum disparaitra, lorsqu’il se présente exactement chez x =1. Cela donne la condition oe À Cette condition pourrait aussi étre déduite de notre équation (6°). En effet, avec 2 = 0 celle-là donne J tT, =f, —f<77—-1 ou ff> +, IE Es 1 pour la condition qu’il existe un minimum. Par conséquent, la DE MÉLANGE BINAIRES DR SUBSTANCES ISOMORPHES. 5 73 condition qu’il n’existe point de minimum sera exprimée par (26). Dans notre cas le minimum disparaitra donc, lorsque on aura: = = = 0,5823. Cette valeur de /2” sera toujours plus faible que celle, trouvée de (23°) et (23°) pour la condition que le point eutectique C coincide avec le minimum D. Car l’équation (23°) nous fournira toujours une valeur de x reëlle, comprise entre 0 et 1, puisque log ,—— peut avoir toutes les valeurs possibles depuis — © jusqu’ä Tr Pp Jusq +o. Et de (23°) il s'ensuit, que / sera plus faible pour la valeur d 2’ %=1 que pour une valeur de x < 1, parce que = sera toujours negatif, comme on pourra aisöment le vérifier. Cependant la valeur de >”, pour laquelle le minimum disparaîtra, n'est pas toujours inférieure à la valeur de /, donnée par (24"), pour laquelle la partie réalisable de la courbe T= f(x) devient continue. qs a ; En posant i= Pi, a =, , 1: =, l'équation (24%) de- l 2 1 viendra : -2[7-z0+m] [40+] e + € ==?) et nous ferons voir, que la valeur de /> pour laquelle le minimum disparaîtra, peut très bien satisfaire à cette équation dernière. En Tril —2 donne: effet, 2’ = T, Ty 1 | Sr 1 ] lr zat U en - + +9) I: en) Eon ES 5 — 9 e En indroduisant encore ( p Pr AL, done loog Dj, 1 1 cela devient : al a] -2[2 4, - log ® = Or, le point P’ coincidera avec B’, et Q’ avec A’, lorsque les valeurs T=0, x —=0, x’ =1 satisferont à ces équations. Celles-ci deviennent alors: 9 / r = N log A — x’) 1 =: log x done 7 = 2 (1 — a’) log (1 — x). Et puisque le second membre s'approche à 0 pour + =1, il faut que /> soit=1. Donc Y= RES DE MÉLANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES. BL D'ailleurs le point R’ coincidera avec A’, S’ avec B’, lorsque T=0, «=1, x =0 verifieront les équations précédentes Celles-la deviennent alors: A di 500 (1 — Ls) RN 1200 Go Vp! 0 — men 00 — log 1 — x) EIN ae 9 log x’ de sorte que qi pi 3 Go ek ‘ log x’ pee eee 5 Wire Bi 5 9 Le second membre, s’approchant encore à 0, on aura done: Dans notre cas cette valeur devient: p= =0,8338: XV. Récapitulons. Dans les transformations successives de la courbe de fusion nous avons étudié les points suivants de transi- tion remarquables. a) La phase solide ne contient que l’un des deux components. NV — PR. b) La courbe d’union des deux branches principales de T = f(x) coincide avec T= 0. (fig. 6). rt an c) Le premier délacement de la courbe T =f (x) se présente. (fig. 9). Equat. (16): PA: d) Le second délacement a lieu. (fig. 11). Equat. (16) : a 1,10. 578 SUR LES ALLURES POSSIBLES DE LA COURBE DE FUSION DE e) Le point de rebroussement P vient sur la courbe 572 — 0. (fig. 15). Equat. (214): ("= 1,06. f) Ce point correspond à la température du point eutectique C. (fig. 16). Equat. (22): AUD g) Le minimum D coincide avec le point eutectique C. (fig. 18). Equat. (23°) et (23°) : od = 0,92. h) Les points de rebroussement P et Q disparaissent. (fig. 20). T, — Le) T, A\IV Equat. (24°): B2=0,82. (# peut être i) Le minimum D coincide avec x =1 et disparaît. En outre: «) Le premier rudiment disparait. Hd ?) Le second rudiment disparait. Comme nous lavons déjà remarqué dans le Chapitre XIII, la valeur de />, correspondant à la transformation à) sera toujours plus faible que celle de la transformation (g), mais la valeur de „de la transformation (h) peut être très bien inférieure à celle de à). XVI On verra facilement, que les résultats de l'étude précédente restent qualitativement inaltérés, lorsqu'on n'avait pas négligé la grandeur r dans le terme avec ax?, et lorsqu'on avait pris en considération à côté de /> la grandeur correspondante /? (presque toujours négligeable auprès de 9’) de la phase liquide. Toutes les valeurs calculées de /7’,x,x et T avaient seulement subi dans ce DE MÉLANGE BINAIRES DE SUBSTANCES ISOMORPHES, 579 cas une modification légère numérique, mais les transformations et transitions étudiées s'étaient présentées dans la même succes- sion, et complètement de la même manière de celle des pages précédentes. Nous voyons done, que l’installation d’un point d’eutexie, et la discontinuité apparente de la série de mixtion solide, causée par cela, est une suite nécessaire de la théorie, représentée par les équations (2) ou (7°). Celles-là nous apprennent que de grands valeurs de 7 (ou «’), ¢.-a-d. de la chaleur de mixtion dans la phase solide, feront naître des états labiles En réalité il existe de la continuité, comme les figg. différentes nous font voir, mais dans la pluspart des cas, seulement une partie de la courbe de fusion continue sera réalisable. Et c’est seulement cette partie-la que les expériments nous feront voir. Finalement je veux exprimer ici mes remerciements à M Bax- HUIS ROOZEBOOM, qui m'a encouragé à entreprendre l'étude, dont les pages précédentes renferment les résultats principaux. Juin 1903. ' L ; A 1 Dé NE RL > iP LE TL pepe ER Tr. : wl etam “mec un SUR L'INTEGRATION D'UNE FRACTION RATIONNELLE. PAR WV ADEN 1. On sait que le calcul de l’intégrale F(x) As oet Aben Anet mi ij to Ems (a ce bx + cx?)" où n représente un nombre entier positif et A, A,... As 1, à, b, ¢ des valeurs données, se fait ordinairement par la réduction des intégrales dx x da met Jr ] Jr rg SD = Tr dx 5 dx ; : 5 à Vintégrale |; au moyen de relations récurrentes (voir Schlö- Lr milch Uebungsbuch zum Studium der Höheren Analysis II p. 8). Je me propose la détermination de cette intégrale d’apres une méthode directe en cherchant séparément la partie algébrique et la partie logarithmique. Soient f(x) = (e—a’)" (c—b’)? el); où a, ?,...4 représentent des nombres entiers positifs a’, b’... I’ des quantités données, et # (x) un polynôme d’un dégré moins élevé que celui de f (x), alors il résulte immédiatement de la dé- composition des fractions rationnelles F(a) _ d Ee SR ee OS f(a) ~ da (a— ee AC bf ern (aa!) (w—b’). .(2—l’) les numérateurs P et Q des fractions dans le second membre étant ARCHIVES VIII. 81 582 SUR L’INTEGRATION DUNE FRACTION RATIONNELLE. des polynömes d’un dégré inférieur à celui de leurs dénominateurs respectifs. Dans le cas qui nous occupe l’@quation precédente prend la forme ale gl er Q eae zn ou “OU (1) F(x) = 71 SEE dT y Jn (n—1) P ae OMS Si l'on introduit dans cette équation re) = A" Ar A, e+e A, U + de An- ‚gnl | P=a, #0 34022 4... dan „une | Q=b, Ei a l’ögalisation des coéfficients des mêmes puissances de x donnera 2n équations pour déterminer les 2n coéfficients inconnus des polynömes P et Q. Pour y arriver prenons la dérivée ki” de l’&quation (2) et N stituons «=o dans cette dérivée. Som DS = on aura dla [BEF (x) =k! A, [D (ra je — fi DH P+kDT. Deep ( 1) par. Dr 2] 0 =(k+ Dia. Oa + k. k!b. dy De NE An [> (57) = [pr D: P+%kD2 T. DO P| da 5 = blb.a; +2k(k—1)le.a,4 BETON, LOD TD DE SE = db, [D(P"- Do + kb, [DE (PI = =b, k! A, + kb, (kl)! Ar par suite k!A,=(k+1)la.an + k.klb.a, + k(k—1) (k—1)!¢. ar 1 — — (n—1)[k!b.a, +2k(k—-1)le.a,4] + + k!bo A, + k(k—1)!b, Are ou Ay, = (hk +4) @. Qyys + (K—n +1) da, +(k—2n+1)c.a;:+ + by Arn + b, Ari En attribuant à & les valeurs 0, 1, 2,..(2n— 1) dans cette équa- tion, on obtient le système suivant SUR W INTEGRATION D’UNE FRACTION RATIONNELLE. 583 A,= aa, —(n—1)ba, +b, A, A, =2aa, — (n—2)ba, — (2n — 2) ca, + b, A, +B, Ay A, =3aa, — (n— 3)ba, — (2n— 3) ca, +b, A, +5, A, An-ı = (2n—3) a ans + (n — 8) bay — BEA 5 + Dy Am-ı + (2) + Dy A, AE (n — 2) b dong — 2cay-ı + bo Aon-3 + + 0, Aya A — — COon-3 + by Am-2 + nr An-ı = b, Ayo La dernière de ces équations donne immédiatement b,; pour déterminer b, nous ajoutons les 2n — 1 premières équations après les avoir multipliées respectivement avec des facteurs 1,4, À, ... ln tellement choisis que dans la somme les coefficients des inconnues a, d, .. G3 Se réduisent à zéro. On obtient ainsi (3) b= (Nb, [Ay + 4, 4, A, A, + Ama Mono] + 0, [Ay A FA, 4, teer =F hon 3 dm] = Ag + Ay A; Ag À + oan + Amel. Quand on aura déterminé b, de la dernière équation, on déduira successivement tous les inconnues 4y,_3, dm-4,:-. 45, d;,d, des équations (2). 2. Les facteurs À que nous avons introduits sont determinés par les &quations suivantes —(n—1)b —(2n—2)cd,=0 a — (n— 2)b4, — (Qn— 3) cd, =0 Zak, — (n— 3) bd, — (2n — 4) cd, = 0 3a4, —(n — 4)bA, — (2n — 5) cd, =0 | (2n = 5) a nes Ar (n = 4) b Mops — 3¢ Ania —)0 (2n —— 4) a DEE Ar (n = 3) b en — 26 onen = 0 (2n — 3) a hors + (n — 2) b ms — Chon. = 0 Ce système de 2n—2 équations se réduit aisément à un sys- tème de n équations. En effet le système donnée se déduit de 81* 584 SUR L’INTEGRATION D’UNE FRACTION RATIONNELLE. (6) ka (nk bd (2n—k—2) ch, =0(k=0,1,2,.2n—3) en observant que Si maintenant on pose k=n—1, cette équation donne (ODA En posant k=n—2et k=n on obtient les deux équations (n — 2) @Ay-3—b Ara ned, 1 = 0 na Àn— + 6A, —(n— 2) 6 Ani, = 0 d’où, ayant égard à l’équation (7), on déduira (8)ta ee De la même manière les deux équations pour k=n—3 et k= n + 1, donnent (9) (12 Jd =c Ante et ainsi de suite. En résumant on aura | ad, 2=cA, aan — a? on 3 qr} = crt #1. 2n—2 * C’est ainsi qui le système donné (5) se réduit au système plus simple de n —1 équations — (n—1)b—(2n—2)c1, =0 a—(n—2)b4,—(2n—3) ci, =0 (11) 2ad,—(n—3) bi, —(2n—4) ch, =0 (n— 3) @A,4—2 bd, 3—(n+1) cd, 2= (n— 2) @4,_3—bdy2—ne4,_, = 0 dont on déduit aisément 2ac+(n—2) b? 2 (2n— 3) c? = SUR L INTEGRATION D'UNE FRACTION RATIONNELLE. 585 D Gact(n—3)0 | B ne _ 120? c2 + 12 (n—3) ab? ¢ + (n—3) (n - 4) b* 22 (Qn —3) (2n—5) c* 60a? c? + 20 (n -- 4) ab?e + (n—4) (n — 5) b OF, - 98 (Qn — 3) (2n—5) c5 _ 12003 c3 + 180 (n — 4) a? b? c + 30 (n — 4) (n —5) ab* c + (n —4) (n —5) (n — 6) b® 23 (2n — 3) (2n — 5) (2n — 7) c® ete. Comme on ne voit pas bien la construction des coéflicients dans les numérateurs il ne sera pas sans intérêt d’étudier ces coëfficients. Posons, pour y arriver Oy) Lea CC Cr (de k-1 JE EC ed P+P, RE, P?+...+Py._, 7 a —— per 2% (Qn — 3) (2n — NC TE) +1) tt : nel a + pe uae + Pe a"? 92 +..+ Pion a — Bn 8) (2n — 5)... Ana) LL En introduisant ces valeurs dans l’équation (6) (2k — Na do 2 — (n— 2k) b Ag, 1 — (2n— 2k — 1) chy, =O on obtient ph =2 (1) PY, ay ; 2 (1) Ln =9 (2k — 1) Pi, „+ m — WU) Po, (12) ne „+ (n — 2) PS, PP =9 (2k—1) Pe on, pe? = ma) Pu, De la même manière l’&quation (6) (n— 2h + 1) by, 2 — (2n — 2K) Chg, =O (2h — 2) ah donne 586 SUR L INTEGRATION D'UNE FRACTION RATIONNELLE (n —k) PY), = (mn — 2k +1) PD + (2k —2) (m — WU +1) PP, (n—h) PS), =(n—2k +1) PY, + (24 —2) (Qn —2k +1) PY, (13) (nl, =(n — 2h +1) PY, + (2h —2) (2n —2k +1) PO 2k —3 ere 2k+1) Pe. De la premiére des équations (12) je déduis Pi? (keh) PS (1) ns Por —2— 2 (2k —3) ee. 4 PP — 9 4 3 pb 4 2 po=9 par suite AA) Po =O eB RO) nm 1 . \ 1 Quant au coëfficient 2° e remarque que l’hypothése P} = 5 2k —1 q yP 2k—1 al , oy , . B . =! P/) s'accorde avec la première des équations (13). Ainsi Oe ej La seconde des équations (12) conduit a Pine PP=2.3P”+2m—-4)1.3=2.1.3m—2+n—4] PP=2.5 PP +2" (n—6)1.3.5=2°.1.3.5[2(n 3) Fr PO =2.7 PP +2 (n—8)1.3.5.7=2°.1.3.5.7[8(n —4) +n—8] POST 1.3.5... (2k —1) kl (nk) En 2}] ou (16) Pd) el Les équations (14) et (16) conduisent à l’hypothèse k(k—1) 21 An) 2-2 75.72 Gr) (n —k — 1) (n—k —2) (18) = 2° .7.9.. Okt) FED ED up 1) (n—k-2) (n—h—3) ete., dont on déduira aisément SUR I/INTÉGRATION DUNE FRACTION RATIONNELLE. 587 (19) PO =O"? 5.7... (2k —1) (k—1)(n—k-—1) (k—4) (k—2) 9! (n—k—1) (n— k—2) en) P =" .71.9..(26&—1) 1 etc. qui s’accordent parfaitement avec toutes les équations (12) et (13). 3. Examinons maintenant les quantités A,. On a d’abord EI CS = [Dr tes =a [DH (IR), + (b+ BED (Ty), + gerne], ensuite on aura [D**' (TD, =[LD* D(T”)], = [DF {n (b + Zee) TA, = = nb [DE (PT, + 2nc[D* (a TT, = = nb [D*(T"7')], + 2nke [DE (T7). En comparant ces deux résultats on obtiendra (ante "+ Fo 2 JD (EDT + (nb — (k+1)5) | 2* Zr 4], — == @ (DRE EA ou, en introduisant Pre nel (21) (Qn—k—1)cA,_,+(n—k—1)bA, —(k — 1)a4;,.,=0. Si, dans cette équation on remplace A, par 1} On — 2) Pn— 3) = =. An pl) p! celle-ci se réduit & l’&quation (6) ka (ak = (n — k — 1) b dy Ee (2n —k— 2) C diet = 0. ar» — 1 cP À, Or, le calcul direct donne Ni) A= (n— lar bb, AS —=(n— 1) a" = | ae + Zh | b 2ac + (n — 2) b? A, = — —— N ee 1 2c ia ihe 2 (2n — 3) c? ce qui s’accorde avec la relation que nous avons établie entre A, et 4,. Par suite on aura „(an 2) (Qn — 3) . . . (Qn —k—1) CM aba a D ea ka, 588 SUR L’INTEGRATION DUNE FRACIION RATIONNELLE. Remarquons encore que de la relation (10) GT rn mp N) il résulte une relation analogue entre les quantités A (23) c? Srl À, NE — a? oil Ar MER 4. Revenons maintenant aux équations (2) qui déterminent les coëfficients a; En posant A;— by A;—b, A; 4 = B; (4 = 1, 2, oy 07 O's 2n — 2) ces équations, en omettant la premiére et la derniére, s’écrivent Bs, 2 — — Clans Ba, == (m 5] 2) bas, —8 — Zea — 4 | Boy, 4 = (2n — 3) aaa, _3 + (n — 3) baan —4 — 3CAam —5 (2) Bon —5 = (Qn — 4) Ada, 4 + (n — 4) bas, _5 — 4c» 6 | B, =4aa, — (n — 4) ba, — (2n — 4) ca, oa Saa, — (n — 3) ba, — (2n — 3) ca, B, =2aa, — (n — 2) ba, — (2n — 2) ca, On obtiendra done successivement Bs, = Ian —3 TTT c Ba, — ¢ Gis oe n —2)5 — Bon -0 Boye ee 10 _2(2n —3)ac + (n —2)(n—3)b? Aan —5 = — mecs ur (n =. 5) 6c? Boy 37 6c3 B», — 2 etc. En général un coëfficient quelconque prendra la forme (25) Te En Hi B,,. nt] oe tise B,, —h+2 - Ti pe B, —2 où . i ae Ro — (n — k+ 2) b 2 (k—2)(k—3)e? po _(k—3)(2n— k+2)ac + (n--k+3)(n— k+2)b? A (k — 2) (k—3)(k — 4e? gokt 3) [(2k-T)n -(k-2) (k-4)]abe+(n- k+4)(n-k+3)(n-k+2)b> = ce (k —2) (k-3)(k-4) (b-5) c# SUR INTEGRATION D’UNE FRACTION RATIONNELLE. 589 La loi des dénominateurs est évidente, mais celle des numéra- teurs est trés compliquée. C’est pourquoi nous allons déterminer ces numérateurs en forme de déterminants. Remarquons, pour y arriver, que le systöme (24) est équivalent à (26) Bonn = (2n — k Ar 2) A Aon +2 ar (n => le Ar 2) b Asn kl — a (k Bee 2) C Aon où h=34 2 et nat. En introduisant dans cette équation les valeurs de a», ;, ao, jn, m-r+2 d’après la formule (25), on obtiendra le système (k —2)c¢ RK” = | (k —2)¢ RY =(n —k+9)b RE (k —2)c RY ={n — k +2) b RY” + (On — k + 2) a RŸ? Dek =(m— b+ 2b RY + Qn k+2aR (k —2)cR?,=(n—h + 2)0R) + Qn—k + 2)a Re? k—5 Men) = (1 — bk HRE (Ak 2ar el k—2 k—3 k—4 ou, généralement EDER" p (n—k + 2) b He + (QM — k +92)a B p=1,2,...k 2;ilest bien évident que pour p=1 et p=2 cette relation prend une forme plus simple. Si, dans l’&quation (27) on écrit pe (A aint p i = = (28) Deore) pe celle-ci se réduit enfin à (29) T=(n—k+2)bT + (% -3)(2n—k+2) ac TT, qui donne la relation entre les numérateurs successifs. En posant n—k+2—=p(k), (k —3)(2n — k +2) = w(k) Péquation précédente donne ARCHIVES VIII. 82 590 SUR L'INTÉGRATION D'UNE FRACTION RATIONNELLE. TY SOQ) STI? + Dae Te? nn = + y(k-1)ac Ts ee pe + w(k -2)a0e TO? (SO Beaten te tion ET OE De ep 7 A TS? + w(k—p+4)acT* PF? =p (k—p+3)b a —n +2) ir y (k—p +3) ac TES = p(k—p +2) b. d’où résulte p(k)b, w(k)ac, 0 0 0 0 0 0 0 1 , p(k-1)b, y(k-A)a, 0 0 0 0 0 0 0 10 ,20(k-2)b, Sen 2)ac 0 0 0 0 0 0 0 -1 , p(k- 3), | 0 0 0 0 0 (81) 7 =| 0 0 0 al 0 0 0 Ore SO 0 0 0 0 ..— 1, P(k-p+4) b, w(k-p+4 ac, 0 0 0 0 Oi 0 -1, p(k-p+3)b, w(k-p+8)ac 0 0 0 N) 0 -1, p(k-p+2)b Le second membre de cette équation est un déterminant d’ordre p— 1 dont le développement prendra la forme sine Do = Caio i=0 ou i=251 ier ai ci pp 2-1 i=0 selon que p est un nombre pair ou impair, les coéfticient Ci étant indépendants de ac et b. Ajoutons encore que (p — 2i) (p—2 +1)... (p—i—1) a) est le nombre des termes dont se compose le coéfficient C, On calculera done les coefficients as, _, d'après la formule (25) ~ k + . où les valeurs de Re se détermineront au moyen des équations (28) et (31). ee u SUR T INTEGRATION D'UNE FRACTION RATIONNELLE, 591 5. Apres avoir déterminé les coéfficients b, et b, du polynöme Q et a, @,.. G,-3 du polynôme P, l'intégrale demandée ne présente plus aucune difficulté. En effet F (x) iB Qdx | Tr da = Tr — 1] m (0) a CS Oe ed on TEI ow be + ca? b b,b Or, by +b, a= 5, (+20) +, par suite Pte re (oe) fr où on n’aura qu'à introduire la valeur connue de la dernière intégrale da 1 b+2 a — Ib? — Lac Tb? —4ac ’b+2w+ib? —4ac (b2 —4ac> 0) ou an 2 b+2e DE Ze (2 Aa), == == nn are t SSS T 4ac—b? IT Fac— Remarquons encore que la discussion précédente donne les con- ditions nécessaires et suffisantes pour que la partie logarithmique de l'intégrale proposée se réduise A zéro. D'après les formules (3) et (4) ces conditions s’écrivent Am —1=0 et Ay +A, A, +... Am-a An-2=). ! tre, à No { 1 10 ein FOIE LE | h 7 2 TR hel i yy A 2 A ood Eat van a I { nn mi | { i] 9 X Den du u es 4 Fi if y " | u ibd 3 4 on y 4 i oye ff =| À! = - Zil PN i Seb; ee eds L Bi [ 18 . PR ur mY) ‘4 ans i a . Be vy (RAS - a ein Peet rf aaa . à - = i 7) À INTERN EIER ny C T Let Ma (ME ‘a i NLT BET ai 4 KAHN UHRZEIT A nie ¥ nn Vi FE j ANY BAR nat i= 4 CU LA TE : NN : | 7 ae LE 7 x CUS re. : 5 hi ’ ati i kh cred as aoe i ee Pe ie n ART TE D) J am 7 | ' zu. U ie tre | 4 | n—1 Les nombres Plückeriens de l'intersection C; de » —1 espaces quadratiques Q; à n —1 dimensions de l'espace linéaire X, à n dimensions PAR PH. SCHOUTE. I. Rappelons d’abord les résultats d’une petite note récente, communiquée à l’Académie des sciences d'Amsterdam (Verslagen, Janvier, 1904): „Si Von représente par o et ¢ l’ordre et la classe d’une eourbe » On Située en Z, mais pas encore dans un Æ,_;, par b et a les „nombres de ses points stationnaires et de ses espaces À, _; station- „Baires, par %,, Us,--, Un_o 8e8 rangs, par (or, Cr, De, tes Tar tx) „les nombres Plückeriens !) des — 1 courbes planes 0)” qui d’après „M. G. VERONESE (Math. Annalen, t. XIX, p. 161—234) font „connaître les 3 (nm — 1) relations entre les 3n quantités caracté- „ristiques ou nombres Plückeriens de C,, et si de plus on remplace, „pour augmenter la régularité des formules, la série (b, 0, u,, Me Unen 610) par (3556); 82: 833.0 8 ty Say Sai) (ON trouve Or =S , Cr — Sx+1 ‚ TR Sk 9 Uh FF She «ee (1). „Ainsi les formules de PLückER On, SS (Oe (ox — 1) — 2p; — 37% | Ox = Cr (op — 1) — 2b, — 3%, te — Tx = 3 (Cx — 0x) | Var) 2) 1) Ici pr, tk, Tk, x Se rapportent respectivement aux points doubles tangentes doubles, rebroussements et inflexions de la courbe Cp. ARCHIVES VIII. 83 594 LES NOMBRES PLÜCKERIENS DE L INTERSECTION, ETC. Je) „pour les n — 1 courbes 0‘ se transforment en 2p. — & (ss. == 1) — 8741 — 3-1 Qty = Sy +1 (Si +1 — 1) — Sr == 38} + 2 One Dico (3), Sp 42 — Sri = 3 (Sx+1 — 8x) Bi Bie Rial) „les équations de Prücker, étendues à l’espace L,,. „En arrangeant les 3n nombres de Prücker de C, en trois „groupes, le groupe des n + 2 nombres de rang s, le groupe des „n — 1 nombres doubles ponctuels p et le groupe des n — 1 nombres „doubles tangentiels t, on trouve donc la série des nombres s à „aide des n — 1 équations de la troisième ligne de (3) aussitôt „qu'on en connaît trois nombres consécutifs '), tandis que les „deux groupes de n — 1 équations de la première et de la deuxième „ligne de (3) donnent les valeurs des nombres p et t, si les nombres „s sont connus. „Le genre g de (BR est représenté par l’&quation 29 = (0x — 1) (ox — 2) — 2 (px + rx), „qui se réduit a 29 = Si 25; cs; 2 © OM Paro 0 (4). ,Donc la relation récurrente entre quatre s consécutives permet . . B k de vérifier immédiatement que toutes les courbes C!” ont le ” „même genre”. 2. Dans le cas en question de l'intersection Ce de n—1 espaces Q on a s,=0, s, =2""!1. Comment détermine-t-on le nombre s, des tangentes de cette courbe rencontrant un E,_» quelconque donné? Soit Z une droite quelconque de E,. Imagi- © a 4a 7 ye (x) 0 1 nons les espaces polaires HK, d’un point quelconque P de l par rapport aux n— 1 espaces quadratiques Q° et les intersections n (Kk) E, — à ke Bert , en - l, les espaces E, ar décrivent en E,_, des faisceaux, projectifs à de ces espaces polaires avec Æ,_:. Si P parcourt la droite 1) Done on a, eu égard à la relation entre quatre s consécutives : Su + (81 — 38) € Sa — 38 380) ©? ; { + (8 0 cit 1 + 380 = 80-81 LHS 2-53 v3... Sn410"t1-+ ete, ra LES NOMBRES PLÜCKERIENS DE 1 INTERSEOTION, ETC, 595 la ponetuelle (P) sur / et done aussi projectifs entre eux. Soit q le nombre de fois que n—1 espaces homologues WH, passent par un même point; en d’autres termes soit q l’ordre du lieu Lj du point P dont la droite polaire par rapport au systéme linéaire, déterminé par les n — 1 espaces On rencontre E,_s. Aussitôt que P se trouve sur OA la droite polaire de P devient la tangente en P à cette courbe. Done s, égale le nombre des points d’inter- section du lieu L* avec Cc ‚ou bien Sqn lea noustreRie done à déterminer q. Or, n— 2 des n — 1 faisceaux projectifs engendrent une courbe rationnelle Cre en E,_,. Eu égard à sa génération, cette courbe porte une ponctuelle (P,), projective aux faisceaux générateurs; de plus elle est coupée par les espaces »-3 du faisceau, ne participant pas à sa génération, en une A involution (1), > de l'ordre n — 2, projective à cette ponctuelle. Parce que (P,) et (1),_: admettent 1 + n—2=n—1 points de coïncidence, on trouve g=n—1. Donc on a s, = (n — 1) 271, Les valeurs [0, 2*-1, (n— 1)2"-1] de (s,, s,, 8,) font trouver pour la serie des nombres s Da) 271,3 (n=2) 277,2 (In-7)2r7,5 (2n=b) 2... (ml) 2) 2 ou, en forme plus réguliére et condensée, 8 = k[k (n—3) — n—5)]2"”........ (5). A l’aide de 4) on en déduit Ei) EE BE Bab (0) Ainsi l’on trouve pour n =4 le systême (Gig SE Sn 335. 0 AC EU SEI) (D1, Po, Pa) = (16, 240, 1052), (t,, to, #5) = (200, 996, 2956), =D: Donc les valeurs (8, 32) trouvées pour (s,, s,) par VERONESE (l.c., p. 204 tout en bas) sont à rejeter. 3. Dans le mémoire cité M. Veronese pose la question inté- ressante: „Quelle est la position des 120 espaces stationnaires de la 8e „eourbe 0, ?” 596 LES NOMBRES PLÜCKERIENS DE L'INTERSECTION, ETC. Les espaces quadratiques Q, passant par C, forment un réseau. Considérons-en le simplexe autopolaire commun $(5). Chacun des cing espaces limitants de ce simplexe coupe (€, en huit points, x où l’espace osculateur A C, contient six points consécutifs de cette courbe. Done ces espaces, passant par les sommets opposés du simplexe, font connaître 40 x des 120 espaces stationnaires, si x indique le nombre d'espaces stationnaires équivalant à un espace par six points consécutifs. Les autres espaces stationnaires, sil y en a, se présentent en nombre 16y; car, si Sa %; = 0 est 1 l'équation d’un espace stationnaire, le simplexe 8S (5) figurant comme simplexe des coordonnées, l'équation > +a,%,=0 en 1 représente seize. Done on a 40 x + 16 y = 120, il: Ainsi l’on trouve «= 3, y =0. En d’autres termes, chacun des 3 40 espaces indiqués, contenant six points consécutifs de U, compte pour trois espaces stationnaires. Dans le cas général d’une n quelconque on trouve que le sim- plexe autopolaire commun S(n + 1) conduit à (n + 1) 2" ! espaces stationnaires E,_,, chacun desquels doit être compté I (n — 1) (n— 2) fois. Ainsi ces (n + 1) 2"! espaces Æ, ; représentent, à eux seuls, tous les (n? — 1) (n — 2) 2" ! espaces stationnaires E, :. On trouve chez les memes libraires: Catalogue de la bibliothèque du Musée Teyler, dressé par ©. Ekama. Catalogue systématique de la collection paléontologique du Musée Teyler, par Dr. T. C. Winkrer, 6 livraisons avec suppléments. Catalogue des estampes gravées d'après P. P. Rupens, avec l’indi- cation des collections où se trouvent les tableaux et les gravures, par ©. G. VOORHELM SCHNEEVOOGT, Directeur du Musée Teyler ä Harlem, 1873. Repertorium annuum Literaturae Botanicae periodicae curavit J. A. van BEMMELEN, Custos bibliothecae Societatis Teylerianae, Tomus primus, MDCCCLXXII. Les Archives du Musée Teyler, paraissent en livraisons, qui forment des Volumes; les Volumes I, II, III, IV, V et Série II, Vol. I, II, III, IV, V, VI, VII et VIII sont publiés. IMPRIMERIE LES HÉRITIERS LOOSJES À HAARLEM. a 5185 00274 3696 FRA CRE RS ETS ner vun