ARCHIVES NÉERLANDAISES

DES

SCIENCES

EXACTES ET NATURELLES

PUBLIÉES PA K

LA SOCIÉTÉ HOLLANDAISE DES SCIENCES à HARLEM,

ET RÉDIGÉES PAR

J. BOSSCHA,

Secrétaire de la Société ,

AVEC LA COLOBORATION DE

MM. D. Bierens de Haan, C. A. J. A. Oudemans, W. Koster,
C. K. Hoffmann et J. M. van Bemmelen.

TOME XXV

HARLEM,

LES HÉRITIERS LOOSJES.

1892.

AkpÂï) h H.UOltÉïUM.
I! A R V A li D l ' 1 V );: 1; S )

TABLE DES MATIERES.

Programme de la Société Hollandaise des Sciences pour 1 année 1891.

Jan de Vries, Polygones cycliques sur courbes cubiques planes.. Page 1.

Jan de Yries, Sur un groupe de configurations planes régulières
et quelques configurations planes connexes, de points et de
courbes : " 33.

Jan de Yries, Sur une configuration plane de vingt-quatre points

et de dix-huit droites » 57.

J. C. Kluwer, Sur des systèmes de rayons déduits de quatre

droites données dans l’espace » 70.

J. Tii. Cattie, Sur un cas de cohésion et de dialyse dans le
cypripedium barbatum Lindley, var. superbum » 101 .

H. A. 'Lorentz, Sur la théorie moléculaire des dissolutions diluées. // 107.

II. Zwaardemaker Cz ., Sur la norme de l’acuité olfactive (olfactie). » 131.

H. Zwaardemaker Cz., Anosmies d’origine nerveuse » 149.

J. Bossciia, Les équations des nouvelles copies du Mètre des

Archives „ 165.

II

TAULE DES MATIÈRES.

M. W. Beyerinck, La biologie d’une bactérie pigmentaire. ... ..Page 227.

W. C. L. van Schaik, Sur la production des sons dans les tuyaux

à bouche » 281.

E. Giltay et J. H. Aberson, Recherches sur un mode de dénitri-
fication et sur le schizomycète qui la produit // 341.

H. A. Lorentz, La théorie électromagnétique de Maxwell et son
application aux corps mouvants „ 363.

PROGRAMME

DE LA

Société hollandaise des sciences, à Harlem.

ANNÉE 1891.

La Société hollandaise des sciences a tenu, le 16 mai 1891,
sa cent-trente-neuvième assemblée générale.

Le Directeur-Président, Jhr. J. W. M. Schorer, dans son
discours d’ouverture, rend hommage à la mémoire des direc-
teurs D. Visser van Hazerswoude et A. van Stralen, et du
membre J. E. R. van Laer, enlevés à la Société depuis sa
dernière réunion générale ; il souhaite ensuite la bienvenue
au directeur Jhr. J. W. G. Boreel van Hogelanden et aux
membres M. J. de Goeje, K. Martin et M. W. Beyerinck, qui
assistent pour la première fois à une séance de la Société.

Dans l’année écoulée, la Société a publié:

1° Oeuvres complètes de Christiaan Huygens , Tome III; du
Tome IV, en préparation, plus de la moitié des feuilles sont
déjà tirées.

2° Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles ,
Tome XXIV, livraisons 2, 8, 4 et 5, et Tome XXV, livrai-
son 1ère.

Lecture est donnée des rapports de MM. T. Zaayer, W. Koster
et C. K. Hoffmann sur un Mémoire portant la devise : Natura

II

PROGRAMME 1891.

suum cuique donat , et adressé en réponse à la question n° VI
du concours de 1891, conçue en ces termes:

„ Faire une étude anatomique comparative des glandes
sexuelles accessoires chez les mammifères.”

Sur l’avis unanimement favorable de la Commission chargée
d’examiner ce travail, les Directeurs proposent de décerner
à son auteur la médaille d’or. Cette proposition ayant, été
adoptée par l’Assemblée, l’ouverture du billet fait connaître
que le Mémoire couronné est l’œuvre de:

M. le Dr. J. T. Oudemans, agrégé à l'Université d’Amsterdam.
A. M. Zaayer, qui avait proposé la question, est attribuée
la médaille d’argent.

L’Assemblée arrête ensuite quelques nouveaux sujets de
prix, et nomme membres nationaux- de la Société:

MM. P. P. C. Hoek, au Helder,

N. de Roever, à Amsterdam,

L. A. J. Burgersdyk, à Deventer.

QUESTIONS MISES AU CONCOURS.

Jusqu’au 1er janvier 18920

I. Déterminer expérimentalement, pour une ou plusieurs
matières, l’influence que la compression, dans la direction de
la force électromotrice et perpendiculairement à cette direction,
exerce sur le pouvoir inducteur spécifique.

IL Pour une nouvelle réduction des observations stellaires
faites par La Caille au Cap de Bonne-Espérance et consi-
gnées dans son Coelum stelliferum australe , il est nécessaire de
connaître avec précision la forme des micromètres réticulaires
dont il s’est servi. Pour l’un d’eux, la forme a été déterminée
par Fabritius, dans sa dissertation: Untersuchungen uber La
Caille’s reticulus médius , Helsingfors, 1873.

La Société demande : 1° la détermination, aussi exacte que

PROGRAMME 1891.

III

possible, de la forme des antres micromètres réticulaires em-
ployés par la Caille; 2° la détermination, aussi exacte que
possible, des positions que ceux-ci et le reticulus médius avaient
pendant les soirées d’observation, en sorte qu’il soit facile
de dresser des tables permettant de calculer d’une manière
simple, au moyen des observations, les valeurs apparentes de
l’ascension droite et de la déclinaison des corps célestes. A
titre d’exemple, une pareille table devra être donnée pour
chacun des micromètres en question.

On signale à l’attention des concurrents le travail publié
par M. Powalski dans le Report of tlie United States Coast
Survey, 1882, et celui de M. Gould, Astronomical Journal , Vol. IX.

III. Pour le calcul de l’influence que le volume des molé-
cules exerce sur la pression produite par un gaz, M. van der
Waals a donné une formule dont l’exactitude est suffisante
tant que la densité reste assez petite. Il importe de posséder
aussi une semblable formule pour des états de densité plus
grande. La Société voudrait donc voir calculer, dans une forme
rigoureuse et pratiquement utilisable, la pression d’un système
de molécules sphériques égales, parfaitement élastiques, incom-
pressibles et lisses, ayant comparativement à leurs distances
mutuelles une grandeur quelconque, n’agissant les unes sur les
autres que lors du choc, et douées d’une force vive déterminée.

IV. Réunir et discuter, d’une manière aussi complète que
possible, les résultats que l’expérience a fournis au sujet du
rapport existant, chez les corps transparents, entre la densité
et la composition chimique, d’une part, et l’indice de réfraction,
d’autre part.

V. Etudier par la voie expérimentale, pour un métal autre
que le fer, la modification que la magnétisation produit dans
l’état de la lumière réfléchie.

VI. Décrire les méthodes employées pour obtenir et fixer
de nouvelles variétés chez les plantes cultivées dans les champs
et dans les jardins.

VII. Faire des recherches exactes sur le rôle que les bactéries

IV

PROGRAMME 1891.

remplissent dans la filtration des eaux potables à travers une
couche de sable.

Jusqu’au 1er janvier 1893

I. Donner une théorie moléculaire du frottement interne
pour les gaz qui s’écartent de la loi de Boyle, et aussi, s’il
est possible, pour les liquides.

II. Après les recherches de M. Hertz, il est devenu très
important de connaître la durée des vibrations électriques
qui peuvent avoir lieu dans des conducteurs de différentes
formes. La Société demande, en conséquence, que cette durée
soit déduite, pour quelques cas, des équations du mouvement,
ou bien, que les méthodes pouvant conduire à ce but fassent
l’objet d’une étude spéciale.

III. Essayer l’inoculation du Viscum album sur les pommiers
et les poiriers, sur les tilleuls et les peupliers, et chercher
les raisons qui déterminent la préférence de ce parasite pour
certaines espèces d’arbres.

IV. Soumettre à un examen critique les différentes opinions
émises sur la structure et le mode d’accroissement de la paroi
cellulaire, en ayant égard à la continuité, observée dans
quelques cas, du protoplasma de cellules adjacentes.

V. Eclairer, par de nouvelles expériences, la faculté repro-
ductrice des parties de plantes et la polarité qu’on y observe.

VI. Lorsque des flacons contenant des dissolutions de produits
chimiques sont laissés longtemps en repos, il s’y développe fré-
quemment des organismes inférieurs, — d’ordinaire sous la forme
de filaments, — dont la présence, vu la nature de ces dissolu-
tions, peut causer de la surprise. On demande l’étude biologique
de une ou plusieurs espèces vivant dans ces conditions insolites,
étude portant en premier lieu sur leur nutrition et sur la
manière dont elles se comportent vis-à-vis des dissolutions
concentrées de sels, d’acides et d’alcalis.

VII. On demande, au sujet de la signification des peptones
pour la circulation de l’azote dans la plante, un travail com-

PROGRAMME 1891.

Y

prenant à la fois l’exposition raisonnée des résultats déjà
acquis et la relation d’expériences nouvelles.

VIII. Même après les recherches de M. Winogradsky et de
M. Frankland, il reste encore beaucoup d’obscurité au sujet
de l’oxydation que les sels ammoniacaux subissent dans la
terre et d’où résulte leur transformation en nitrates. La Société
désire que les expériences de ces deux savants soient répétées
et qu’on résolve la question de savoir si les microbes décou-
verts par eux existent dans le sol de la Néerlande.

IX. Jusqu’ici, on n’a pas réussi à déceler le gaz des marais
(méthane) comme produit de la vie de bactéries cultivées à
l’état pur. La Société demande des recherches concernant
l’organisme éventuellement impliqué dans la production de ce
gaz, ou concernant les conditions dans lesquelles celui-ci se
forme, s’il était reconnu que la vie n’a qu’une influence in-
directe sur le phénomène. De nouvelles données seront en
outre recueillies sur le dégagement du gaz des marais par le
fumier, dégagement observé par des savants français.

X. Dans l’ensilage des fourrages verts, il est possible d’a-
mener et de maintenir la masse à un degré d’acidification
plus ou moins élevé, ce qui donne lieu à l’ensilage doux et à,
l’ensilage aigre . On demande l’étude bactériologique des mi-
crobes impliqués dans ces phénomènes, et des données exactes
quant aux variations, en rapport avec la température et le
temps, de la proportion de sucre et du degré d’acidité.

XI. La Société demande des recherches sur le développe-
ment des Triclades.

XXII. La Société demande des recherches sur le dévelop-
pement de la rate.

La Société recommande aux concurrents d’abréger autant
que possible leurs mémoires, en omettant tout ce qui n’a pas
un rapport direct avec la question proposée. Elle désire que
la clarté soit unie à la concision, et que les propositions bien

VI

PROGRAMME 1891.

établies soient nettement distinguées de celles qui reposent
sur des fondements moins solides.

Elle rappelle, en outre, qu’aucun mémoire écrit de la main
de l’auteur ne sera admis au concours, et que même, une
médaille eût-elle été adjugée, la remise n’en pourrait avoir
lieu, si la main de l’auteur venait à être reconnue, entre-
temps, dans le travail couronné.

Les plis cachetés des mémoires non couronnés seront détruits
sans avoir été ouverts, à moins que le travail présenté ne soit
qu’une copie d’ouvrages imprimés, auquel cas le nom de
l’auteur sera divulgué.

Tout Membre de la Société a le droit de prendre part au
concours, à condition que son mémoire, ainsi que le pli, soit
marqué de la lettre L.

Le prix offert pour une réponse satisfaisante à chacune des
questions proposées, consiste, au choix de l’auteur, en une
médaille d’or frappée au coin ordinaire de la Société et portant
le nom de l’auteur et le millésime, ou en une somme de
cent- cinquante florins; une prime supplémentaire de cent-cin-
quante florins pourra être accordée si le mémoire en est jugé
digne.

Le concurrent qui remportera le prix ne pourra faire im-
primer le mémoire couronné, soit séparément, soit dans quelque
autre ouvrage, sans en avoir obtenu l’autorisation expresse
de la Société.

Les mémoires, écrits lisiblement, en hollandais , français,
latin, anglais , italien ou allemand (mais non en caractères
allemands), doivent être accompagnés d’un pli cacheté ren-
fermant le nom de l’auteur, et envoyés franco au Secrétaire
de la Société, le professeur J. Bosscha, à Harlem.

TOME XX Y.

lre Livraison.

ARCHIVES NÉERLANDAISES

SCIENCES

EXACTES ET NATURELLES

%

PUBLIÉES PAR

LA SOCIÉTÉ HOLLANDAISE DES SCIENCES A HARLEM,

V ET RÉDIGÉES PAR

J. B O S S C H A,

Secrétaire de la Société ,

AVEC LA COLLABORATION DE

MM. D. Bierens de Haan, C. A. J. A. Oudemans, W. Koster,

C. K. Hoffmann et J. M. van Bemmelen.

HARLEM

LES HÉRITIERS LOOSJES.
189 J .

PARIS

GAUTHIER-VILLARS.

LEIPSIG

G. E. SCHULZE.

'

-

—

,

'

ARCHIVES NÉERLANDAISES

DES

Sciences exactes et naturelles.

POLYGONES CYCLIQUES

SUR

COURBES CUBIQUES PLANES;

PAR

JAN DE VRIES.

Lorsque trois points d’inflexion d’une cubique plane, situés
en ligne droite, sont projetés sur la courbe d’un de ses points
pris pour centre, on obtient trois points qui possèdent cette
propriété, que chaque droite joignant deux de ces points con-
tient le point tangentiel du troisième ').

Dans les pages suivantes, je considère plus généralement
des polygones qui sont inscrits dans une cubique de telle sorte
que chaque côté passe par le point tangentiel du sommet
précédent ; il en résulte que les sommets d’un pareil polygone
cyclique appartiennent à des groupes involutifs connus. Le
second § est consacré à l’étude de polygones cycliques pour
lesquels le point tangentiel du sommet #ème est situé sur la
droite qui joint les sommets ( i -h 2)ième et ( i 4- 3)ième, tandis
que dans le § 3 sont considérés les cas où le point tangen-
tiel se trouve sur le côté opposé, ou, quand le nombre des
côtés est pair, sur l’un des deux côtés opposés.

i ) On trouve une étude détaillée de ces systèmes de trois points dans
l’ouvrage de Durège: Die ebenen Gurven driiter Ordnung (Teubner, 1871) ;
ils y sont nommés Jnflexionstripel, et la première idée en est attribuée à
Küpper (p. 286 etc.)

Archives Néerlandaises, T. XXV.

1

2

JAN DE VRIES.

§ 1.

1. Les coordonnées homogènes de la courbe du troisième
degré, à équation canonique

a:,3 + x23 -(- .z33 = cx} x2 , (1)

peuvent être représentées de la manière suivante par des
fonctions doublement périodiques d’un paramètre réel u '):

qx , —0 j

QX 2 O |

qx 3=:^,

(u — (w— |(2o>+w («-|(2 »-»'))

(u+lwjtf, ^tH-'(2o>+w')^6ll (w+|(2 co— <o') j ^ .(2)
(w)âl (u— -|-co' j<9,(u+-i-co' j

Par suite de cette substitution, les paramètres ui {% = 1
jusqu’à 3 n), qui correspondent aux points d’intersection de
la courbe avec une courbe du degré n, doivent satisfaire à
la congruence 2)

ut -i- u2 + + ... + u^n = 0 (mod. co, co') . . . (3)

Pour les points d’inflexion réels on a donc 3 u — 0 (mod. w),

de sorte qu’ils sont indiqués par les paramètres 0, -i co ,
2

3 ft,‘

Comme je ne veux relier chaque point de la courbe qu’aux
autres points de la même branche, les paramètres ne sont
comparés qu’au module co, de sorte que, dans la courbe à
deux branches, la serpentine seule est considérée ; les résultats
obtenus se laissent facilement étendre aux points de l’ovale.

1) Voir: Bobek, Einleitung in die Théorie der elliptischen Functionen

(Teubner, 1884), p. 249.

2) Comp. Bobek, p. 253, où est démontrée aussi la Réciproque de cette
propriété.

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

S

Le paramètre u' du point tangentiel de u est lié à u par la
congruence

2 u + u = 0 (mod. co) (4)

Comme, en outre, la situation collinéaire des points u , v, w
est exprimée par

u' + v -h w = 0 (mod. co) , . . . . , . . . (5)

la relation

2 u = v -4- w (mod. co) (6)

est la condition qui doit être remplie lorsque les points v et
w sont situés en ligne droite avec le point tangentiel de u.
2. Si maintenant l’on a

(2 ux = u2 + u3
( 2 u2=u3 -h u4,

par conséquent

2 Uj 2u2 = 2 u3 ux + u2 ,

on a aussi

2 u3 = m, -h u2

et les points ux% u2, u3 forment un triangle cyclique.

Des deux premières congruences il suit

3 u 3 nrr 3 u j ,

par conséquent

U3 ~rzz: Ux -h ~g* CC CO (oc — — 1, 2) ,
et la troisième donne ensuite

2

U2 U , H — — a co.

Chaque point u t ne fournit donc qu’un seul triangle cy-
clique réel ; en effet, la substitution de a — 2 à a z=z 1 a
seulement pour résultat que u2 est remplacé par u3.

Pour les paramètres vlf v2) v3 des points qu’on obtient en

1*

4

JAN DE VRIES.

projetant u}, u2, u3 du point d’inflexion u ^5= 0 comme centre,
on a évidemment (« = 2)

1 2

vv =■ — u v2 = — ux — -g- w, s = — u, — y o>;

les trois nouveaux points forment donc également un triangle
cyclique. On a, en outre,

^1+^2 4" TT" w = A} ^2 “i” ^3 d” q_w = A} ^3 d~ #

w, d" ^3 -+* 7TW = fl} ^2 d“ ^ i d“'7TC0;=: 0, U3 -+-

1

1 + 3
2

CO

H=0

-0,

1 2

c’est-à-dire : des points d’inflexion — co et — co comme cen-

O O

très, les points ux, u2, u3 sont projetés successivement en
v2, vs, v, et en ti3, d,, »2 (Küpper; comp. Durège, £.<?.): les
sommets des deux triangles cycliques forment avec les points
d’inflexion une configuration desmique particulière *).

3. Si les paramètres u , , u2yu3)ui satisfont aux congruences :

! 2 uA = u2 H- u3
\ 2 u2 u3 + uk

J 2 u3 == ?,t4

\ 2 uh '==■ -+- n2 ,

(7)

dont la quatrième est une conséquence des autres, parce que
la somme des quatre congruences donne une identité, alors
les quatre points 1, 2, 3, 4, auxquels ces paramètres appar-
tiennent, forment un quadriangle, dont les côtés 12, 23, 34,
41 portent successivement les points tangentiels 4, 1, 2, 3.
Que les quatre congruences doivent former un système lié,
c’est ce qu’on reconnaît de la manière suivante. L’ensemble des

• ) Voir J. de Vries, Over de desmische configurable 93 (Ver si. en Med.,
1. I\, p 175 ou Ueber gewisse der allgemeinen kubischen Curve einge-
schriebene Configurationen (Wiener Sitzungsberichte, T. XCVIII, p.448).

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

5

quatre côtés peut être considéré comme une courbe du qua-
trième degré, et il en est de même pour le système des
tangentes aux sommets ; si maintenant les droites 23, 34 et
41 déterminent les points tangentiels 1', 2' et 3', de sorte
que les deux courbes du quatrième degré ont en commun
onze points de la cubique, ces courbes doivent rencontrer
la cubique au même douzième point; en d’autres termes, le
point tangentiel 4' est situé sur la droite 12.

On démontre de la même manière la propriété générale:
Lorsque n — 1 côtés d’un polygone à n côtés, inscrit dans la
cubique , contiennent chacun le point tangentiel du sommet précé-
dent, il en est de même du dernier côté.

4. Pour résoudre le système (7), je pose

u2 = Mj +

on a alors

u 3 = u , — t
et

tt4 = u , -t-3 t,

de sorte que la troisième congruence devient

2uj — 2 t = 2 4- 3 t.

Il en résulte —aœ (a = 1, 2, 3, 4), et pour u2 on a
donc le choix entre quatre points. Par substitution, on trouve:

4- -=r- a (o
5

u co

4- -=r « co
5

(8)

11 s’agit maintenant de savoir quelle est la signification du
2

point u5=:ul 4- -g- « co. De (8), il suit

a, 4- u 3 = u2 4- = 2 u} 4- — « co = 2 u5)

O

6

JAN DE VRIES.

c’est-à-dire: le point tangentiel de uz est le point d’intersection
des diagonales du quadriangle w, u2 u3 u4.

De u2 ===5 ul -h ^ a œ il suit, en outre, 5 u2j^. 5 ux

en posant 5u1 + r^^O, où r désigne le point commun à la
cubique et à la conique qui a avec elle une osculation du
cinquième ordre, on a aussi 5u2 -p r== 0, de sorte que les
quatre points déterminés par ux sont réunis, avec ce point,
en un groupe osculatoire du second ordre 02. *)

Les cinq points de 02 forment maintenant les quadriangles
cycliques suivants, où V intersection des diagonales coïncide chaque
fois avec le point tangentiel du point restant.

1 4 3 \

-=~ (X) U . -p (û U. -\ p- (O

U,

U J

+ T œ

U,

+ 5 "

u i

+ 5"

ut

ul

2

+ ~5 "

ux

3

H — p- co
5

U i

1

+ T"

U 1

«1

3

+ r

U j

2

Ul

4

H- g-»

ui

ul

4

+ 5“

ux

i

+ T"

u,

2

+ T"

ux

1

+ 5"

ul

3

U1

4

+ T“

u,

2

+ r

....(9)

5. Pour un pentagone cyclique on a:

2w, = w2 + u 3
2 u2=u3
2 = tt4 u5

2 164 = Uf -h u{
2 u5 = ul H- u2

(10)

1 ) Voir J. de Vries, Over vlakke confiyuraties , welke uit de osculatie-
groepen der kubische kromme kunnen gevormd worden. ( Versl . en Med.,
T. YI, p. 236.) ou Wiener Sitzungsberichle l.c.. p. 455.

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

7

En posant, comme ci-dessus, u2=ui t , il vient

u3 = u , — t
U 4 = U | -j- 3 t
ur> =u, — 5 £,

de sorte que la quatrième congruence se transforme en
2 u, 6 £ = 2 Wj — 5 £ ou Il £ = 0 ; par conséquent :

u 2 = u ,

U 4 ■ — U j

EEE U j

+ n«o,
10

+ îï aû>
3

+ Iîac°

6

11

U (O

(11)

Les onze points u, que pour a — 0 jusqu’à « = 10 on

obtient de u, “b « a>, satisfont à la relation 11 u + r = 0;

ils forment donc un groupe osculatoire du quatrième ordre.
De (11), on déduit:

4- u3 = 2 |

(Wi

} 1^13 |

u2 -h ui = 2 |

(“■

( 8 >

1 =2«îi j

u3 + us= 2 |

r- + ïï“wy

|=2k,î|

^4 + U , 2 j

l“> + ïï“"J

( 9 \

1 = 2 ut , |

ur> + u2 = 2 1

1 «i + ff ““J

| = 2 w. 2

c’est-à-dire: les diagonales d’un pentagone cyclique coupent

8

JAN DE VRIES.

la courbe aux points tangentiels d’un second pentagone cy-
clique, qui appartient au même groupe 0,r

La relation entre ces deux pentagones est d’ailleurs réci-
proque, comme le montrent les congruences suivantes:

2

U1 3 + 16 3 5 = 2ttj +g« CO = 2 U2
9

u2 4 u!kl = 2u1 H- yj ^ (o = 2 uz

0

w35 +tt52=2uj = 2w4

W4 j H- 3 EEE 2 U j H- yy" ** O) — ~ 2 U5
«52 + U24 = 2 Ux -I- a co =2ull

Finalement, la connexion des deux pentagones avec le

4

onzième point du groupe 04, savoir u0 =«, ^aco, ressort
nettement de :

U1 3
U2 4
U3 5
«4,

+ w 4 = 2 u , + yy a w = 2 «q

■+■ u> 5 = 2 u j + yy a w = 2 Uq

8

-+-u1=2ul+j^ccco = 2u0^ (14)

g

4~ w 2 == 2 Mj 4~ yy a w 1 2 w q

g

4- u 3 = 2 4- jY « co = 2 u0

Tout groupe osculatoire du quatrième ordre renferme donc onze
couples de pentagones cycliques ; lés deux pentagones de chaque
couple sont en situation perspective par rapport au point tangentiel
du onzième point du groupe et les diagonales de l’un des pentagones
passent par les points tangentiels de Vautre .

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

9

6. Pour un hexagone cyclique, la méthode ci-dessus em-
ployée fournit le système

1 \

■ +2Ï“W

20

2Ï“W

3

u^=u] -h « CO

Uo = U

(15)

16

u5=ul + “ co

11

u6=u 1 -h — a co

Les 21 points u = ux -f-^yaco, (a = 0 jusqu’à 20), forment
évidemment sept triangles cycliques, à sommets

mi+^(|Î+7) «,+^+14)» (|î = 0 jusqu’à 6).

Ils peuvent aussi être rangés en trois groupes fermés de sept
points, savoir

u 1 + gj /co
u i + 2Ï (/ H" "

u i + 21 (/ + ^) w
1

u

' ^ 21
1

21

1

(/ + 9) co (/ = 0, 1, 2) . . . (16)
(y H- 12) co

ui + 21 ^ H" 15^

ui + g! ^ “l~ 18)

10

J AN DE VRIES.

Les points de chacun de ces trois groupes satisfont à la
relation 7 u = 7 ux 4- -4- y co; si l’on pose 7 u + v -h w = 0

O

et s + v h- w = 0, s est le paramètre du centre de l’involution
déterminée, sur la courbe donnée, par les cubiques qui ont
avec elles, en u, une osculation du septième ordre ; pour chaque
valeur de /, le système (16) indique par conséquent un groupe
central du troisième ordre, S3 1 ).

Le groupe de 21 points, ci-dessus trouvé, prend donc nais-
sance lorsqu’on complète les points d’une S3 de manière à

former des triples d’inflexion (comp. la première note de ce
Mémoire).

7. De (15) il suit maintenant:

I o , 12 . 0

\ u{ + ui=2(ul 4- ^«w) = 2u14

, 21

\ 19

/ u2 4- u- = 2 (u , — « co) = 2 u2 (17)

[ u3 4- u6 = 2 (ul « w) == 2 u3 6

Comme on a u36=u2 5 4 — — w , ces trois

O O

points forment un triple d’inflexion, et il en est de même
de leurs points tangentiels, qui sont déterminés par les
diagonales principales de l’hexagone cyclique. Pour « = 3 (5,
toutefois, les points ttJ4, u25, u36 se confondent, à cause

5

des relations itl4 = 4- -y fi œ = u2 s = u3 6, en un

point unique tt0, et les diagonales principales se coupent au
point tangentiel de u0. Le point u0 appartient alors, avec
les sommets de l’hexagone, au groupe central indiqué par u , .

Il y a, par conséquent , deux espèces d’hexagones cycliques : aux
3x7 hexagones à diagonales principales concourantes,
qui peuvent être formés au moyen du groupe de points

>) Voir Ver si. en Meded. 1. c. p. 238 ou Wiener Sitz. ber. l.c. p. 456.

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

11

u = ui -h i ce co (a = 0, 1 jusqu’à 20), je donne le nom

à1 hexagones de la première espèce.

8. De (15) il suit en outre:

U , —J— "L6 3 = 2 (l6 j
u., 4- i64 = 2 (ul

U 3 4~ ^5 =2 (16,

w4 H- u6 =2 (w,

165 -h = 2 (w,

166 -4- 16 2 = 2 (16,

10 \ __ C)

4- gT W W) = 2 U 1 3
2 \ o

4~ a œ)= A u2 4

18 n o i

+ 2Ïaco) — 2

gj «w) = 2mu

+ 2i « “) = 2 «5 1

6 \ __ O

4“ 2J « co) = 2 166 2

(18)

Les six diagonales m w + 2 coupent donc la courbe aux
points tangentiels des points ui, i + 2, qui appartiennent évi-
demment au même groupe et forment à leur tour un hexagone
cyclique. Or, pour ce nouvel hexagone, on a:

«13 + «35=2(W1

u-2 4 4- M46 =2 (i6j

w3 g -h «5 1 =2 (u.1

«4 6 + 2 === 2 1

«si 4- a, 3 = 2 (i6j

«62 "h W24 =2 (l6,

14
21

15
21
13
21

a co)
« co)

17 M
+ 2Ï “

_9_

21

_4

21

4-5î«co)

« co) I

(19)

En appliquant à l’hexagone cyclique, qui vient d’être trouvé,

12

JAN DE VRIES.

le même procédé que ci-dessus, on retombe sur l’hexagone
primitif de (15), et cela dans l’ordre uk u. uQ ux u2 u3.
Pour a = 3(3, le système (18) devient:

Ut 3 =Uj + y p CO = 1

2 3

U 24 + y P U=UB

U3 5 ^1 IJ P*0 Ul

6 = ux + (5 a ) =ul
1 * -

U5 I =tt, + y |5a, = n2

(20)

^6 2 = H- y Pœ = U.

c’est-à-dire: l’hexagone dérivé est identique à l’hexagone
primitif ; il en résulte un nouveau moyen de distinguer
les deux espèces d’hexagones, puisque ceux de la seconde
espèce peuvent être réunis en groupes de trois, de sorte que
les trois figures dépendent cycliquement l’une dè l’autre.

Pour a - r 3 |3 ± 1, on a u2 = ux H- i (1 co ± œ et

« L JL

U.

6 1

V § œ “F Tÿf œ) de sorte que trois sommets consécutifs
( Zl

appartiennent à des S3 différents ; à cause d eui=u1 -h y « eo,
5 4

u-=u2 -+- y « a) et u6 =u3 + y«w, les sommets opposés

sont toujours compris dans le même S3.

Des 20 points différents, qui peuvent être adjoints comme
u2 au point arbitrairement choisi ux, deux (« = 7 et «=14)
déterminent avec ux un triangle cyclique, six autres (« = 3 (?,
(1 = 1 jusqu’à 6) déterminent chacun un hexagone de la
première espèce, les douze restants donnant chacun un hexagone

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

13

de la seconde espèce. En résumé, on a donc l’énoncé suivant :

9. Au moyen du groupe de points qui naît lorsque les points
d'un groupe central du troisième ordre sont complétés de manière
à ce qu'il en résulte des triples d'inflexion , on peut former 21
hexagones cycliques de la première espèce et 42 hexagones cycliques
de la seconde espèce.

D'un hexagone de la première espèce, les sommets appartiennent
au même groupe central et les diagonales principales concourent
au point tangentiel du septième point du groupe, tandis que les
autres diagonales passent par les points tangentiels des sommets.

D'un hexagone de la seconde espèce, les trois couples de points
opposés appartiennent à trois groupes centraux différents et les
diagonales principales passent par les sommets d'un triangle
cyclique . Chaque hexagone de la seconde espèce forme avec deux
hexagones de la même espèce un groupe fermé, dans lequel les
points tangentiels des sommets de chaque hexagone sont situés
sur les diagonales accessoires d'un second hexagone, tandis que
ses diagonales accessoires supportent les sommets du troisième
hexagone.

10. De la congruence 2w, = + u3 il suit

u3 — u2 = ( — 2) {u2 — w,).

Si l’on pose, comme ci-dessus, u2 — ux=t, le système de
congruences qui contient les conditions d’un polygone cyclique
à n sommets fournit successivement:

u3 — u2 — ( — 2) i \

«4 —u, =(— 2 )2 t,i

' (21)

up— i — Up—2 = ( — 2 )?— 3 t \

up — Up—i = ( — 2 )p~2t

Par addition, il en résulte

Up — Ma = [(- 2 )?-?■ - 1] l,

14

JAN DE VRIES.

par conséquent

%=«, +y[l-(- 2)p— i] t (22)

En ayant égard à cette congruence, on déduit de
2 Un — 1 = Un 4- u |

pour t la condition:

2 m, + i-(2-2(-2)*-2)< = 2u, + y (1— (-2)»— 1) <,

ou, après une réduction très simple,

JL(2*_(_1)»)< = 0 (mod. œ) (23)

O

En posant, pour abréger,

i. (2* — ( — 1)*) = g (n) , (24)

on a pour le polygone cyclique à n sommets :

u2 = ui + a co : q (n)
u3 = u | — a œ : o (n)

u 4 =u. -h 3 a co : o (n) I

' (25)

Ui = u{ 4- ( — 1)* q (■ i — 1) a co : q (n) \

vm = u , 4- ( — l)n Q (n— 1) ccco : q (n) I

A l’ensemble des q ( n ) points différents, qui pour a = 0
jusqu’à q (n — 1) sont déterminés par (23), je donne le nom
de groupe cyclique.

11. En vertu de la relation

2 Ui =ui+l 4- Ui 4- 2,
et en posant pour abréger

a co : o (n) — v,

on a

2ux 4- ( -iy.2vo(i — l)=2ul 4-(_l)*+l^)-h(— iy+*vQ{i+l),

POLYGONES CYCLIQUES, ETC. 15

par conséquent:

2 q (i — 1) = q {i -b 1) — q {i) (26)

ce qui est d’ailleurs confirmé par substitution directe.

En général, chaque diagonale d’un polygone cyclique à n
sommets coupe la courbe au point tangentiel d’un point
appartenant au même groupe cyclique. En effet, on a

Ui -h Ui + k = 2 u , (— 1)* v\ q(î -1) -h ( — 1)* Q (i+k — 1) j . . (27)

et par conséquent, en faisant de nouveau usage de la
notation ui H- m+k = 2 uî, »+*,

2ui,i + k = 2uî ±2 p œ : q (w),

où

0 < (3 < q {n).

Cette règle ne souffre d’exception que lorsque le point
ui, i +k coïncide avec son point tangentiel ; en ce cas, on a
ui + m + k -h uiti + k = 0y d’où il suit, sans difficulté, que ut
est congruent avec un multiple d’une partie de œ et appartient
par conséquent à un point pléthorique ; le polygone cyclique
devient alors un polygone tangentiel ').

12. Les points Uij+k, que pour une valeur déterminée de
k on déduit du n-gone cyclique des points ui, forment à leur
tour un semblable polygone. De

2w,vi + * = 2ttj H- (- lYv \q(î— l)+(— l)i<Q(i+k— 1)| . .(28)
il suit, en effet,

2 Ui . i -\-Jc 2 Ui+l} i-\-k -fl = 4 U j -h ( — 1 )*' 4 1 v\ £p(i) — ç(i — 1)J -+*

+ (—■!)* [ç (i H- k) Q (i k — 1 )] j

ou, en ayant égard à (26),

+ 2(— iy + 1® \Q(i — 2) + (— l)kQ(i + k— 2) J ,

1 ) Comp. les Mémoires cités en dernier lieu, et A. Schoenflies, Ueber regel-
mâssige Configurationen n3 auf den Curven dritter Ordmmg ( Gôttinger
Ndchrichten 1889. N°. 12), ou l’on trouvera d’autres indications bibliogra-
phiques relatives à ce sujet.

16

.TAN DE VRIES.

par conséquent, d’après (28),

Ui, i -+- Je "4" VjI -+- 1, i Je -\~ \ = 2 Ui — 1} i Je — 1»

Il est à remarquer que le nouveau polygone peut posséder
un nombre de côtés qui soit un diviseur de n, et que pour
des valeurs paires de n la possibilité existe que toutes les
diagonales principales passent par un même point de la courbe.

13. Lorsque n est le produit de deux nombres premiers,
p et q, le groupe cyclique ux + a œ : q(ïi) doit comprendre
aussi les sommets de p-gones cycliques et de ^-gones cycliques ;
en d’autres termes, Q(n) doit être divisible par les nombres ç(p)
et Q(q), qui tous les deux, pour la même raison, doivent être
des nombres premiers. Ainsi l’on a, par exemple:

Q (15) = 10923 = 3 x 11 x 311 = 331 q (3) q (5).

Pour

a — fi q [n) : o (p)

il vient alors

u2=nx + (5 œ : q (p),
par conséquent, voir (25),

up-hi = ul + (— 1 )P+l p œ,

c’est-à-dire, que les points ux à up forment un polygone cy-
clique à n sommets.

Si, en outre, a =r (3 ç(p) Q(q) et q (n) = q(p) q (q) r, on a
u2~ul -+- (5 œ : r et le n-gone indiqué par u2 appartient à
un groupe fermé de r points, conformément à la congruence

ru = ntr

Pour rzzzSs — 1, il y a un point à paramètre v, de sorte
que (3 s — 1) u H- v = 3 ; le groupe en question est alors un
groupe osculatoire de l’ordre s.

Pour r = 3 s — 2 et (3 s — 2) u + x + y = 0, les courbes
du degré s, qui en u ont avec la courbe donnée une oscu-
lation de l’ordre (3 s — 2), déterminent une involution centrale
à couples de points x, y; si t est le paramètre du centre de

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

17

rinvolution, et par conséquent x -{-y H- t = 0, les points du
groupe en question ont, à cause de (3 s — 2) u = t, le point t
commun, et forment un groupe central de l’ordre s !).

De ce qui précède, il suit que r doit être plus grand que
n ; cela est vrai aussi pour le produit Q{p)Q[q)\ en effet, si
l’on pose oc = (3 (r), de sorte que u1=ul -+- $ co : q (p) q ( q ), il
faut que u2 fournisse un w-gone proprement dit, ce qui n’est
possible que si q (i) peut prendre au moins n — 1 valeurs
différentes, incongruentes suivant le module q (p) q (q).

Le groupe cyclique renfermera donc, puisque r diffère tou-
jours de 1, trois sortes de n-gones cycliques, savoir : des n-gones
dont les sommets appartiennent à un groupe de r points ; des
n-gones à sommets faisant partie d’un groupe de o(p) ç(q) points,
déterminé dans le groupe cyclique lorsque chaque point d’un
groupe correspondant à un p-gone est complété de manière à
former un groupe appartenant à un ^-gone (ou réciproque-
ment) ; enfin, des w-gones qui ne sont pas compris entièrement
dans l’un de ces groupes.

14. Un cas intéressant est celui où Q(n) contient le carré de
de ( )(p ) et où p est un facteur simple de n. Si l’on pose
g(n) — cQi) 2(p) et a = c, on a u2 = ux + (5 œ : g2(p), et le point
u2 détermine un n-gone dont les sommets appartiennent à un
groupe de o2(j?) points, composé de ç(p) groupes cycliques;
on s’en assure en remplaçant par / Q {p) + è, ce qui donne
u2=ux -h y co : q(p) + S co : ç2(p), où y = 1 jusqu’à ç(p) et de
même ô = 1 jusqu’à q (p). Pour une valeur déterminée de è
on obtient alors, par les différentes valeurs de /, un groupe
cyclique appartenant au polygone à n sommets.

Pour faire voir que le cas en question se présente réelle-
ment, j’intercale ici la démonstration d’une propriété générale
de la théorie des nombres.

i) Ce qui est dit ici du groupe de r points s’applique naturellement
aussi aux groupes de o(^) et de y(q) points.

Archives Néerlandaises, T. XXV.

2

18

JAN DE VRIES.

Si p est un nombre premier > 2, on a :

p — 1

aP-\- bv— {a 4- b)P — pab{aP~2+ br-%) p a2b1(aP—4'+bP-4')

p — 1 p — 1

• • • - (refcr))” ’ * !<“+h

ou, puisque tous les coefficients binomiaux sont divisibles par^?,
av + bp = (a -h b)p — pz{a -\-b) (29)

Lorsque a -p b est divisible par p, ap + bp peut évidemment
être divisé par p2. Plus généralement:

Lorsque a -\ -b est un multiple de pk, ap -h bP a pour divi-
seur pk+1.

A cause de 25 4- 1 =3 x 11, (25)1 1 + 1 pourra donc être

divisé par 112; à cause de o( 55) = — (2" 5 -h 1), il y a par

o

conséquent des 55-gones cycliques dont les sommets appar-
tiennent à un groupe formé de onze 0,t.

Pareillement, de 2 2 +1 = 5 il suit que (22)5 +1, et par

conséquent aussi ^(20)=~ (22 0 — 1), possède un facteur 25.

O

Finalement, on a 2 3 + 1 = 32, d’oû il résulte que

?(3*) = i j(2’)3* Vlj
peut être divisé par 3L

Il y a donc, en particulier, des ennéagones cycliques, dont
les sommets sont formés par trois triples d’inflexion. Cela

ressort facilement aussi de ui=ul + on trouve, en

y

effet, u , -h uA = 2 u7, uK H- u7 = 2 ulf u7 + ut = 2 u4.

Par extension, il suit encore, de ce qui précède, que :
Lorsque a -h b est un multiple de pk ,

contient (h + l) facteurs p .

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

19

15. La droite qui joint les points tti+i.et ui+m+ 1 d’un
2 m-gone cyclique rencontre la courbe en un point w, pour
lequel

«=— 2«,+ (2i— (— 1»+ (~13)i+- (2«+»-(— iy+»K

oc œ : q (w)), ou, après une réduction simple,

2 1

w=— 2m, — - «c»:ç(2m)-i- Q-( -l)*+™2*'(2™-+-( — l)^)«co:^(2m)..(30)

O O

Vu que p(2 m) = (2«*+ ( — l)m) ç(m), on n’aura qu’à prendre
pour a un multiple de ç(m), pour rendre le membre droit de
la congruence indépendant de la valeur de i ; en d’autres
termes: dans tout groupe cyclique correspondant à un 2m-gone
il y a des polygones dont les diagonales principales se coupent en
un point de la courbe.

Lorsque les diagonales principales d’un 2 m-gone ne con-
vergent pas vers un même point, elles passent par les sommets
d’un m-gone cyclique si m est un nombre premier, ou, dans
le cas contraire, si « et ç(m) sont premiers entre eux ; quand,
par exemple, m est un multiple de q, et ç(m) par conséquent
un multiple de q(q), on peut toujours choisir pour a des valeurs
telles que les diagonales principales déterminent un polygone
cyclique à q sommets.

16. Chaque point de la courbe fait partie , comme sommet , de

(— i)»))

n-gones cycliques différents, et forme avec leurs sommets un groupe
involutif, qui est ou bien un groupe osculatoire, ou bien un groupe
central , ou bien composé de pareils groupes .

Il y a autant d’especes de polygones cycliques à n sommets que

le nombre ^ (2n — ( — l)n) possède de facteurs différents.

i) <p est la fonction d’Euler, c’est-à-dire, la quantité des nombres plus
petits que l’argument et premiers avec lui.M. Sylvester l’appelle le totient.

2*

20

JAN DE VRIES.

Pour des polygones d’un nombre pair de côtes , ces especes se
distinguent le plus facilement par le caractère des figures que les
diagonales principales déterminent sur la courbe.

17. Les points d’une configuration régulière (3 n) 3 , inscrite
dans la cubique, avec les droites ai bi c«+i , bi a ai+i et
ci ai bi+ 1 , forment toujours trois polygones cycliques à n
sommets, qui, en particulier, peuvent être aussi des w-gones

tangentiels. En effet, le tableau

ai

bi

Ci+1

\

ai

1

Ci

bi+i

1 «.•

Oi+ 1 Oi-f-2

(où chaque ligne et chaque colonne contient les points d’une
droite), montre que le point tangentiel ai de en est situé sur
la droite en + î ai + 2.

Une configuration de l’espèce en question pourra donc être
construite en joignant les sommet d’un n-gone cyclique aux
sommets d’un second n-gone cyclique, et en choississant, parmi
les n2 intersections de ces droites avec la courbe, n points,
qui déterminent un troisième n-gone cyclique. En effet, si
u , v , w sont les paramètres de trois points de la courbe situés
en ligne droite, il faut que, pour chaque groupe de trois
sommets en ligne droite, les nombres a, (3, y satisfassent à
la congruence

(u + aœ : Q (n)) H- (v H- œ : q (n)) H- (w -j- y œ : q (n)) = 0 . . (31)

§ 2.

18. On est naturellement conduit à considérer des polygones
reposant de telle sorte sur la courbe que le point tangentiel
du sommet m soit situé sur le côté ui + 2 Ui + 3. Des quadran-
gles ainsi constitués ne diffèrent évidemment pas des qua-
drangles cycliques du § précédent.

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

21

Pour un pentagone cyclique du second ordre (c’est ainsi que
je l’appellerai, pour le distinguer des pentagones cycliques
dont il a été question jusqu’ici), on a le système de congru-
ences suivant:

où chaque congruence est de nouveau la conséquence néces-
saire des quatre autres, conformément à la règle générale
donnée au N°. 3.

On en déduit facilement

de quatre manières différentes (« = 1 jusqu’à 4) à la forma-
tion d’un pentagone cyclique du second ordre. Le côtéw3
étant toutefois opposé au sommetw,, ces quatre arrangements
des cinq points fourniront deux à deux le même polygone.
Cela ressort aussi du schéma suivant, où les points m sont

’ chaque fois remplacés par le facteur i œ.

o

(32)

1

de sorte qu’un groupe osculatoirè du second ordre donne lieu

0, 1, 2, 3,

0, 2, 4, 1,

0, 3, 1, 4,

0, 4, 3, 2,

(33)

19. Le système

2 ux = uz +

2 u1 = w4 -b w5

2 u

3

= w5+m6

(34)

2 Un— 1 = U, + M,
2 un =u2 + u 3

0 Ute'i'UM

22

JAN DE VE1ES.

renferme les conditions d’un n-gone cyclique du second ordre.
De la première de ces congruences, il suit

ui ~ui =— ("3 — u\),

de la seconde

u5 — ul = 2 (w 2 — u{) — (w4 - ttj.

Si, pour abréger, on pose

u2 = ux H- t j

= u, -h v S

il vient

(35)

Ui=Ul V I

u5=ui + 2 t -f- v 1

(36)

Le double de la seconde congruence de (34) étant retranché
du double de la première, on trouve

Uq + 4w2=#5 H- 4 ux.

On a donc, en général

U4>+k -t- 4 ujc = m +1 +4 ui ....... (37)

par conséquent,

m+k — W4+/ = ( — 4) (uk — ui)

et

U4p+k — U4p+l = ( — 4 )P (Uk — Ul).

Si maintenant l est remplacé par 1, et k successivement par
2, 3, 4, 5, il en résulte, eu égard aux abréviations introduites
plus haut,

U4p-\-2 === U4p-\-\ + ( — 4 )P t

U4p+% = U4p+l + (— 4)P V I

U4p-\-4 = U4p-\-\ — ( — k)P V i

U4p-\-§ == U4p-\-\ -J- ( — 4)P (2 t v)

(38)

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

23

La dernière de ces congruences fournit évidemment
iHp+i = u\ ~ [(— 4 )P — 1] (2 t + v).

A l’aide de la notation

*(!») = 4 [4*-(-l)i>] (39)

on a donc

mP.+i = u\ — (— 1)2> g {p) (2 t H- v) (40)

20. Pour le 4p-gone cyclique du second ordre on a
= u\) donc, d’après (40)

o(p)(2t + v)=0 (41)

En outre, on a alors U4P+2 = U2] par conséquent, eu égard
à (38) et (35),

(— 4 )P t = t (mod. co),

d’où

t = a œ : 5 g (p) (42)

Mais (41) donne

2 t -\- v = p œ : g ( p ),

de sorte qu’il vient

t> = (5/5 — 2 a) œ : 5 a (p) (43)

Pour un 4p-gone cyclique du second on a donc:

U2 = u\ + « co : 5 a (p) \

us = ui -h (5/5 — 2 a) co : 5 g ( p)

U4< = u\ — (5/5 — 2 a) co : 5 g ( p)
us = u\ -H /5 œ : a ( p)

um+1 = ui — ( — 1)A (i (Æ) /5 co : g (p)
uu+2 = n\ 4- [(— 4)* a — 5 (— 1)* a (k) /5] œ : 5 (T (p)
U4k+z = ul + [( — 4) ^ (5/5 — 2 a) — 5( — l)k g (k) p'] co : 5 g (p)
M4,Æ+4 = wi — [( — 4)Æ (5/5 — 2a) 4- 5 (— l)*(j (Æ) /5] : 5 <r ( _p)

24

JAN DE VK1ES.

21. Pour un (4p 4- l)-gone cyclique on a U4#+2 = u\ et
mp+s = U2, et par conséquent, d’après (38) et (40),

— -i ((— 4)? — 1) (2 t + v) + (- 4)p t = 0; ,

( . . (45)

— ((- 4 )p — 1) (2 t + v) + (— 4 )pv = t. \

Si ces deux congruences sont successivement multipliées

par les nombres ^-(4 P+l — ( — l)i,+1) et ~ (4p — ( — 1)^),
5 o

premiers entre eux, v disparaît par soustraction et l’on trouve :

~ (24p+i + (— 1)P . 22?+i + 1) < = 0 (46)

Le groupe cyclique est donc composé de

r (p) = -=- (2 4P+1 4- (— 1 )P . 22/'+1 4- 1)

D

points, tandis que

m = u\ + « co : r (p) )

W3 = wi 4- (4p 4- ( — 1)?) oc (o : t (p) 4- 0 co : 4i> . j

De ces valeurs, les arguments des autres sommets se dé-
duisent sans peine.

22. Les conditions u&p+z = u\ et «%+ 4 — M4/?+3 = £, qui
doivent être remplies pour le (4p 4- 2)-gone cyclique, donnent

— 4 (4*— (— l)f)(2* + ») + 4?® = o)

— 2 (— 4)?a; = r

d’où il suit facilement:

-g- (4?v+l 4- 1) v = 0,

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

25

p4r conséquent

u2 = Wj H- ( — 1)?+1 2^+1 a co : (43/,+1 + 1) )

° -.(49)

u3=u1 + a a» : -i (4^+x -h 1) j

Le groupe cyclique du (4 p H- 2)-gone est donc formé

de -h 1) points,

o

23. Pour le (4 p 3)-gone cyclique on a finalement

Uép-i-é = W j et U4<p-{-5 — U4p-\-4 = U 2 — U j ,
par conséquent:

i- ((— 4)p— 1) (2 t + p) + (— 4)? v = 0 )

5 • • ' • (50)

(— 4)p (2 < + 2 v) = < ]

Ces deux congruences étant successivement multipliées par

2( — 4)p et i (6( — 4)^ — 1), on obtient par soustraction
o

~ (2^+3 + (— 4)P+1 + 1) t = 0

O

et par suite :

m2 = w, -+- «co: i- (24?+3 + (— 4)/h-i + 1) j

«,-==«, — (22p+l + (—1)^+1) «» : \ ... . (51)

L (24?+3 + (- 4)p+1 -+- i)2 2p+i+pa>: 2%’+1 ]

Il est à remarquer que le (4 p + 2)-gone cyclique du second
ordre, après le choix d’un des sommets, ne dépend plus, tout
comme les polygones du premier ordre, que d ’un seul para-
mètre a, tandis que pour la détermination des autres poly-
gones du second ordre on peut encore disposer, à volonté, du
facteur (t.

26

JAN DE VRIES.

24. Aux polygones cycliques du second ordre s’appliquent,
en ce qui concerne leur division en espèces, les remarques
faites plus haut, à propos des polygones du premier ordre.

Lorsque, par exemple, le polygone a un nombre de côtés
égal à un nombre divisible, son groupe cyclique renferme les
groupes cycliques correspondant aux diviseurs de ce nombre.
C’est ainsi que le groupe du dodécagone, dont le nombre des
points s’élève à

(T (3) = 4* — (— l)3 = 65 = 5 x 13,

est composé de 5 groupes cycliques pour l’hexagone, mais
aussi de 13 groupes pour le tétragone; le facteur 3 ne compte
pas, vu l’impossibilité de l’existence de triangles cycliques du
second ordre.

Les fonctions ci-dessus trouvées pour le nombre de points
des groupes cycliques peuvent toutes être exprimées au moyen
de la fonction <r. On a alors cette règle:

25. Pour les 'polygones cycliques du second ordre} le nombre
des points qui forment le groupe cyclique est représenté par:

5 g (p) = Ap — ( — Ï)P pour le 4 p-gone,

2 (T (2 p) h- ( — 1 )p . 2 <T (p) -j- 1 pour le (4 p -j- l)-gone,

4 (T (2 p) q- 1 pour le (4 p -f- 2 )-gone,

2 (7 (2 p -h ]) + ( — l)v + 1.iî(p + l) pour le (4p -h 3 )-gone.

§ 3.

26. La complication des résultats obtenus pour les polygones
cycliques du second ordre ne présage rien de bon quant à
l’étude des polygones cycliques d’ordre i supérieur ; déjà pour
i = 3, je n’ai plus réussi à trouver des expressions générales
pour le nombre des points du groupe cyclique. Par contre,
lorsque chaque sommet d’un polygone à côtés en nombre
impair a son point tangentiel situé sur le côté opposé, ou

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

27

lorsque ce point, dans un polygone d’un nombre pair de
côtés, se trouve sur un côté limité par le sommet opposé,
ces deux cas peuvent être traités d’une manière tout à fait
générale ; je désignerai ces polygones sous le nom à’ antipoly-
gones cycliques.

27. Lorsque, dans un (2 n -b l)-gone, le côté m m + i porte
le point tangentiel de ui—n, il est satisfait au système:

Pose-t-on un + \ = ux+tJ ia première de ces congruences
donne

Un -f- 2 — — — U j 1^

la (n -j- 2)ième congruence

2 ux
2 u2

(52)

U2=2 Un + 2 — U , = U , — 2 t,
la 2ième congruence

Un + 3 = 2 u2 — Un + 2 = U , — 3 t,

la (n -b 3)ième

U 2 2 Un + 3 — U 2 = U j — 4 t J

par conséquent, en général, pour k<n,

Un H- k == u } — (2 h— 3) t )
Uk = u l — (2 k — 2) t i

On trouve donc:

U2n = u , — (2 n — 3) t et uu = ui—(2n~2) t.
De la dernière congruence de (52), il suit alors
2 U2n -p 1 = 2 w, — (2n— 3) t ,

et de la ^ième

28

JAN DE VRIES

par conséquent

2 u , — (2 n— 3) t = 2 u , — (4 n — 2) t,

c’est-à-dire

et

donc, en général,

(2 n -h 1) t = 0 (mod. co)

£ = a oo : (2 n + 1),

uk = ul — (2 k — 2) a œ : (2 n -p 1) . (53)

On a maintenant

-+- i = 4 n oc co : (2 n + 1) = w, + 2 « w : (2 n + 1).

On trouve le même polygone, parcouru en sens opposé,
au moyen du facteur p, pour lequel

u j 2 a œ : (2 7i -p 1) = u j -p |î co i (2 ïi -p l)j
de sorte que

p = 2 a (mod. 2 n -p 1).

Le nombre des différents (2 n -p l)-gones proprement dits
(car, dans le cas où 2 n -p 1 est divisible, le groupe cyclique
fournit aussi des polygones d’un nombre de côtés moindre)
s’élève donc, pour chaque point du groupe, à ^qp(2n-pl).

Chaque point de la courbe appartient à j (p (2 n -P 1) différents
(2 n -P 1 )-gones cycliques , dans lesquels le point tangentiel de chaque
sommet se trouve toujours sur le côté opposé.

28. Pour que, dans un polygone à 2 n côtés, le côté
Un + i — 1 Un + i passe par le point tangentiel de Ui , il faut
qu’il soit satisfait au système:

2 -U , =Un + Un + 1 \

2 U2 =Un + 1 -h Un + 2 j

2 Un + 1 = U2n -p U{ (54)

2Un+ 2 = Ul -p U 2 l

2u2n =Un—\ + Un

I

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

29

Si Ton pose Un + i = w, t, la première congruence de ce
système fournit:

Un ... U |

la (n -h l)ième

U2n = ux -h 2 t ,

la 2 wième

_ i = w , H- 5 < ,

la nième

W2 » — 1 = w , — 4 t ,

la (2 n — l)ième

Un — 2 = UX — 13 t ,

la (n — 1 jième

U2n—2 = Ul -+- 14 t.

Eu égard à la série de différences :

U2n

— Un

= 3 1

U2n—\

— Un-

- 1 = — 9 t

U2n — 2

— Un -

-2= 27 1,

il y a lieu de supposer:

Un — k = U { -|- Ÿ (1 *+* ( — 3)* + ■*) t )

U2n— Je = U , + | (1 — ( — 3)* + 1) t \

En substituant ces expressions dans la (2 n — Æ)ième et la
(n — &)ième congruence, on obtient :

Un — Je — 1 == U j -J- ^ (1 + ( — 3)^ + 2) t I

««-i-is#, + i(i — (— 2)*+2>< r

ce qui prouve la légitimité de l’hypothèse.

Si l’on prend les expressions correspondantes pour u.z et
Un + 2, et qu’on les substitue dans la {n + 2)ième congruence,

il vient, après réduction:

i (1 + (— 3)») t = 0 (mod. c o) (55)

En posant, pour abréger,

-P(— '!)») = Z (n) (56)

30

JAN DE VRIES.

on déduit, de ce qui précède,

«*■ = «. + (— 1)B — * + 1 X (» — i + 1) au>-x(n)l /g7)

M» + ; = «, H-[( — 1)* — ! / (n — i + 1) + 1 ]«(o : ]((n) i

(où -i = 1 jusqu’à n).

29. Pour que le groupe cyclique d’un anti-2 w-gone fournisse
aussi des anti-2 v-gones, il faut que le côté uv uv + 1 du 2 v-gone
puisse être considéré comme le côté d’un #-gone parcouru
m fois ; on doit par conséquent avoir v -h m . 2 v = n, ou
ü = n:(2m + l). Le groupe de l’anti-octogone ne comprend
donc pas de tétragones; on en rencontre, au contraire, dans
le groupe du dodécagone.

30. Si, dans le groupe cyclique, ui,n + i est le paramètre
du point dont le point tangentiel se trouve sur la diagonale
principale m un + i d’un anti-2 w-gone, on a, d’après (57) :

2 ui,n + i = 2 u t -h a œ : / (n) ( 58)

c’est-à-dire : les diagonales principales concourent en un point
de la courbe.

31. De même que pour les polygones cycliques du premier
ordre, on prouve aisément pour les antipolygones la propriété
que les diagonales m m + k passent par les points tangentiels
des sommets d’un nouveau polygone, appartenant au même
groupe* L’intersection des diagonales principales du polygone
dérivé est le point tangentiel du point v pour lequel

tandis que

2 V = U\} 1 H- k H- Un + 1, n + 1 + K

et

2 m, i + * = wi -h u\ + k

2 Un + 1, n + 1 + k = Un + 1 + Un -|- 1 + Æ,

de sorte que :

4 V = (u , -h Un + l) {u\ + lf. 4- Un : -f- 1 + l) \
et par conséquent, d’après (58)

2 v = 2 u j -+- a co : % (n)

(59)

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

31

Ainsi: Tous les polygones dérives , au moyen des diagonales ,
d'un antipolygone d’un nombre pair de côtês} ont en commun
avec le polygone primitif le point d’intersection des diagonales
principales.

32. Pour l’anti-octogone on a m5=w, + a œ : 41. Si de
l’octogone correspondant à une valeur déterminée de a on en
déduit un second à l’aide des diagonales m m + 2, puis de ce
second, de la même manière, un troisième polygone, et ainsi
de suite, il se trouve que l’octogone ainsi obtenu au moyen
du cinquième est identique au premier. En désignant les
sommets de ces octogones par les coefficients de a œ : 41 dans
l’expression de leurs paramètres, le groupe fermé des cinq
anti-octogones en question est représenté par le tableau suivant :

0

23

13

12

16

28

34

10

24

9

5

3

11

20

25

40

27

38

35

6

1

19

29

30

26

14

8

32

18

33

37

39

31

22

17

2

15

4

7

36

Le 41ième point du groupe u , + — a œ est le point anti-

tangentiel de l’intersection commune des 20 diagonales
principales.

33. Que les antigroupes cycliques ne fournissent pas tous
un semblable système de polygones à point d’intersection
commun pour les diagonales, c’est ce dont on s’assure de la
manière suivante.

Si p est un nombre premier, le théorème de Fermât donne :
Sp~ 1 = 1 (mod. p),

d’où résulte

l (p) =5 1 (mod. p).

32

POLYGONES CYCLIQUES, ETC.

Lorsque n est une puissance de 2, en sorte que q>(n) — i n,
de = 1 (mod. n ) il suit de nouveau

X (n) = 1 (mod. n).

En tout autre cas, on a, ou bien y(2n) = \ (S2/l — 1) -{- 1, ou
bien y^+\) = | (32^+1 — 3) H- 1, et en outre, respectivement,
3? (2 n) -=z 1 (mod. 2 n) ou 3t(2« +!) = 1 (mod. 2 w + 1). Mais
alors cp (2 n) n’est pas un diviseur de 2 n, ni q> (2 n + 1) un
diviseur de 2 n + 1, de sorte que y, d’après le module 2 n
ou 2 n 4- 1, est incongruent avec 1. CJn groupe fermé de po-
lygones, tel que celui trouvé ci-dessus pour l’octogone, n’est
donc possible que dans le cas où n est un nombre premier
ou une puissance de 2.

34. Chaque point de la courbe appartient à qp(|(3w+ ( — 1)^))
anti-2n-gones différents; les diagonales principales de chacun de
ces polygones se coupent en un seul et même point de la courbe.

SUR UN GROUPE DE

CONFIGURATIONS PLANES RÉGULIÈRES

ET

QUELQUES CONFIGURATIONS
PLANES CONNEXES, 1)E POINTS ET DE COURBES.

PAR

JAN DE VRIES.

§ 1.

1. Trois couples de points 12,(12); 13,(13); 14,(14), placés
sur trois rayons qui convergent vers le point 1, déterminent
quatre couples de triangles perspectifs :

12, 13, 14 à (121, (13), (14)

(12), 13 , 14 à 12 , (13), (14)

12 , (13), 14 à (12), 13 , (14)

12 , 13 , (14) à (12), (13), 14.

Si l’on désigne par i k le point d’intersection des droites
lik = Q% 1 k) et i k (1) = ((1 i), (1 Je)), et par (i k) le point
d’intersection des droites 1 i (k) = (1 i, (1 Je)) et 1 k (i) = (1 k, (li)),
les quatre axes de perspectivité contiennent successivement
les points:

34, 42, 23
34 , (42), (23)

(34), 42 , (23)

(34), (42), 23.

La figure contient maintenant, outre le point 1 et ses trois
rayons, 6 points i k et 6 points (i k ), qui sont situés de telle

Archives Néerlandaises, T. XXV. 3

34

JAN DE VRIES.

sorte sur 16 droites (12 côtés de triangles et 4 axes) que,
ou bien les points ik, il, Ici, ou bien les points ik, (U), {kl)
se trouvent en ligne droite; les 4 droites de la première
espèce seront désignées par i kl, les 12 droites de la seconde
espèce par ik(l). Les 12 points et les 16 droites en question
forment la configuration représentée par le tableau suivant.

Droites.

Points.

123

12

13

23

12(3)

12

(13)

(23)

13(2)

(12)

13

(23)

2 3(1)

(12)

(13)

23

124

12

14

24

12(4)

12

(14)

(24)

14(2)

(12)

14

(24)

2 4(1)

(12)

(14)

24

1 34

13

14

34

1 3(4)

13

(14)

(34)

14(3)

(13)

14

(34)

3 4(1)

(13)

(14)

34

234

23

24

34

2 3(4)

23

(24)

(34)

2 4(3)

(23)

24

(34)

3 4(2)

(23)

(24)

34.

Il est facile de voir que cette configuration est identique
avec celle, (124, 163) A, que j’ai considérée dans mes articles
V0ver vlakke configuraties ” ( Versl . en Med., T. V, p. 105,
tableaux A et B) et „ Ueber gewisse ebene Conügurationen ”
{Acta mathematica , T. XII, p. 63). Evidemment, chaque (12 4, 16 3)
A peut être construite comme ci-dessus, parce que ses 18

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC.

35

diagonales concourent, trois à trois, aux 12 points de la. con-

figuration associée ( l . c .).

2. Lorsque n — 1 rayons menés par un point 1 portent
successivement les n — 1 couples de points 1 i, (1 i), où
i = 2, 3, 4 . . . n, la considération analogue des couples de

de triangles 1 iJc, i k (1), li(Æ), 1 Jc(i) forment alors, avec les
2 (n — 1) points 1 i, (1 i) et les ( n — 1) ( n — 2) points ik, (ik),
une configuration

En effet, par chacun des points 1 i, (1 i) passent 2 ( n — 2)
droites se rendant aux autres points collinéaires avec le point
1, tandis que chacun des points i k et (i k) (où i z=z 2 jusqu’à,
n, k~ 3 jusqu’à n) est situé sur deux de ces droites de jonc-
tion et sur n — 3 couples d’axes de perspectivité, correspondant
aux n — 3 configurations (12 4 , 163)^1 auxquelles ce point
appartient. Je représenterai la nouvelle configuration par le
signe On ; comme le montre sa notation, elle est régulière et
doit donc, outre le point 1, posséder encore d’autres points
diagonaux multiples, de l’ordre n — 1. Or, les points 1, i k, (ik)
sont les sommets accessoires du quadriangle complet à sommets
1 i, 1 k, (1 i), (1 k) ; la diagonale de cf. 1 i . (1 i) est donc coupée
par la diagonale de cf. i k . (i k) en un point i, que le point
1 sépare harmoniquement des points 1 i , (1 i). Cela étant vrai
pour chaque valeur de k qui diffère de 1 et de i, le point i
supporte, tout comme 1, n — 1 diagonales de cf., et peut par
conséquent, dans la construction de on, prendre la place de 1.

3*

36

JAN DE YRTES.

3. Si les centres de similitude de deux cercles à .centres
i, k sont représentés par i k et (i k), et les axes de similitude
de trois cercles i, k, l par i kl ou i k{l) suivant qu’ils contien-
nent 3 centres de similitude extérieurs (i k) ou un point i k
avec deux centres de similitude intérieurs (i k) alors, ces
points et ces droites, pour n cercles situés dans un plan,
forment évidemment une configuration dont les n centres
sont les n points diagonaux multiples de l’ordre n — i.
Réciproquement, toute an peut être considérée comme le
complexe des centres de similitude et des axes de simili-
tude de n cercles. En effet, si des points 1, 2. . . n comme
centres on décrit des cercles avec des rayons r,,r2. . . rn,
tels qu’on ait r, : = (1 . 1 i) : (i . 1 i), les points 1 i, (1 i) sont
les centres de similitude déterminés par les cercles 1 et i, et
comme la configuration an peut être construite sans équivoque
au moyen de ces 2 (n — 1) points, elle est identique à la con-
figuration qui correspond aux n cercles.

4. Dans la configuration an est naturellement comprise toute
dp pour laquelle la notation des éléments exige p des nombres
1 à n. Pour la configuration <r4 =(124, 163) A, qui est repré-
sentée à l’aide des nombres i, j, k , l, quatre points de la
associée (points diagonaux triples) sont situés aux points
i , jf k , ly points diagonaux multiples de l’ordre n — 1 de la
configuration an\ celle-ci a donc, eu égard aux huit autres

points diagonaux triples de chacune des configurations

<t4 qu’elle comprend, 8 points diagonaux triples.

Toute configuration

n (n — 1)2» — 4, n (n — 1) ( n — 2) 3 ^ ,

dont les 'points peuvent être représentes par les signes i k, (i k) et
les droites par les signes i kl et ik{l ), de telle sorte que la droite
i k l porte les points i k, i ly k l et la droite i k(l) les points i k ,

(il) y (kl), possède 8 points diagonaux triples et n points

SUE UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC.

37

diagonaux multiples de F ordre n — 1; ces derniers sont les centres
de n cercles , dont le rapport des rayons est donné par la configu-
ration, et dont les centres de similitude et les axes de similitude
coïncident avec les éléments de cette configuration.

5. Le point 1 étant déterminé par deux données simples,
chacun des n — 1 rayons issus de 1 Tétant par une seule
donnée, et chacun des 2 (n— 1) points de la <r» situés sur ces
droites également par une donnée, on peut, pour construire
la configuration, prendre arbitrairement 3 n — 1 données ; pour
les valeurs paires de n, elle pourra donc être déterminée par
l (3 n — 2) points choisis à volonté et par un point situé sur
la droite joignant deux de ces points; pour les valeurs im-
paires de n, on peut prendre arbitrairement \ (3 n — 1) points
de la <T n. A la suite de M. Burmester 1 ), je désignerai un
pareil groupe de points, par lequel la configuration est déter-
minée sans équivoque, sous le nom de constellation.

Pour le quadrilatère complet a 3 , la constellation consiste en
deux couples de sommets opposés, par exemple 12, (12);
13, (13). Si à ces quatre points on ajoute les points 14, (15),
45, les sept points déterminent une <r5 ; en efîet, les droites
12 (12) et 13 (13) se rencontrent au point 1, qui avec les points
45, 14, (15) donne naissance au quadrilatère dont les points
15 et (14) sont le troisième couple de sommets opposés. De
la même manière, l’adjonction de 16, (17), 67 donne en même
temps les points (16), 17, et par conséquent une <r7.

Pour les points 12,(12), 13, (13), 14, 34 forment une
constellation; en effet, le point 1, trouvé comme ci-dessus,
projette le point 14, sur la droite qui joint les points (13), 34,
au point manquant (14). Si à cette constellation de six points
on adjoint les points 15, (16), 56, ce qui fait connaître en

i) LJeber die momentané Bcwegung ebener kinematischer Ketten (Givil-
ingenieur, Bd. XXVI, 1880). Les systèmes de centres momentanés, dont
il est question dans ce travail de M. Burmester, appartiennent aux con-
figurations polyédrales planes. Voir mes travaux sur les configurations
combinatoires publiés dans les Math. Annalen , T. XXXIV et XXXV.

38

JAN DE VKLES.

outre, à l’aide de L, les points (15), 16, on obtient la con-
stellation à neuf points de la configuration o6. En général:
La cf. a2}?i est déterminée par la constellation:

12, (12), 13, (13), 14, 34, 15, (16), 56, ... 1 [2 « - 1], (1[2 i]),
[2i — J] [2i] . . . 1 [2m — 1], (1 [2 m]), [2 m— 1] [2m],
la cf. G2m+i par la constellation :

12, (12), 13, (13), 14, (15), 45, ... 1 [2 i], (1 [2i + l]),
[2 i] [2 i + 1],

§ 2.

6. La configuration o4 = (124, 163) A comprend douze
quadrilatères complets; de ceux-ci, quatre sont représentés,
dans la notation ci-dessus indiquée pour la gu, à l’aide de trois
nombres, tandis que les huit autres exigent chacun quatre
nombres ; un quadrilatère de la seconde espèce, compris dans
Gn, n’appartient donc qu’à une <j4, tandis que la f>3, qui est
désignée par les nombres 1, 2, 3, se trouve dans chacune des
n — 3 cf. (7 -j dont la notation contient les nombres 1, 2, 3, i.

teres com -

Dans toute Gn sont compris (2 n — 5) quadrilath

2) de ces quadri-

plets.; chaque point de g% entre dans (2 n — 5) [n -
latéres, chaque droite dans 2 n — 5 d’entre eux.

Parmi les o3 à quatre nombres, il y en a qui possè-

dent uniquement des points i k, et par conséquent unique-
ment des droites ihl , de sorte que leur notation est celle

usitée pour une 7t4 ]); il y en a, ensuite, qui sont

formées de trois points i k situés en ligne droite et de trois

points (i k), tandis que les autres g3 possèdent chacune

deux sommets opposés i k.

i) Comp. mon Mémoire „Oye/* vlakke polyedrale configurât ies ” ( Ver si.
en Med., T. VI, p. 8) ou ,,Ueber polyedrale Gonfigurationen " {Math.
Analen , T. XXXIV, p. 227).

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC.

39

7. Dans <% le point 12 est séparé de (12) et des (n — 2) (n — 3)
points i Je, ( i Je), (où i = 3 jusqu’à n, Je = 4 jusqu’à n), par con-
séquent aussi des droites iJcl, iJe {]), désignées par les nombres
3 à n; en d’autres termes:

Toute (în—2 comprise dans est la figure résiduelle commune
des deux points indiqués par les deux nombres qui n'entrent pas
dans an- 2.

8. Avec les n — 2 droites 12 i de la configuration on et les
points portés par ces droites on peut évidemment former

a) configurations combinatoires tïp. Si dans le tableau

de chacune de ces np on remplace une ou plusieurs droites
12 i par le même nombre de droites 12 (i), — en ayant soin de
remplacer par des points ( i Je) autant de points i Je qu’il est
nécessaire pour que la notation des droites, propre à an, soit
conservée, — on obtient chaque fois une np appartenant à on.
Par conséquent, le point 12 entre dans.

(p-0i1+<^+(V>'"+C’72)

=e=D-

+ ... + 1

2 P-2

configurations np. Comme on renferme n (n— 1) points, et que

chacune des np qu’elle comprend est portée

fois en compte

lorsque la considération ci-dessus est appliquée à tous les points
de la <TW, le nombre des np appartenant à an devient égal à :

n (n — 1) ^ . 2 p~2 : . 2 P~l. On doit prendre

ici p > 4, parce que <y», ainsi qu’on l’a vu plus haut, contient
aussi des quadrilatères, dont la notation ne demande que
trois nombres. Par conséquent:

Toute configuration an contient (;) . 2p— 1 configurations
nr ( p > 4).

9. Au moyen d’une 7t4 on peut construire une <j4 par

40

JAN DE VJEIIES.

l’adjonction de deux points quelconques, situés sur une droite
passant par un point de la 7r4. En effet, (12) et (13) étant
pris sur une droite menée par le point 23, du point d’inter-
section 1 des droites 12 . (12) et 13 . (13) projetons le point
14 sur la droite (12) . 24, et désignons ce nouveau point par
(14). La <t4 qui passe par 12, 13, 14, (12), (13), (14) a alors
en commun avec ?r4 les points 12, 13, 14, 23, 24, et par
conséquent aussi le point 34.

Si (12) et (13) sont choisis arbitrairement sur une droite
passant par le point 23 d’une tts représentée à l’aide des
nombres 1, 2, 3, 4, 5, et qu’on construise le point (14) comme
ci-dessus et le point (15) comme projection, par rapport au
point 1, de 15 sur 12 . (25), la <r5 qui peut être trouvée au
moyen des points 1 i et (1 i) contiendra les quadrilatères
1234 et 123 5, par conséquent aussi le dixième point 4 5
de la 7rs. En général:

Une nn et deux 'points quelconques , situés en ligne droite avec
un de ses points , déterminent complètement une an.

§ 3.

10. Toute G2p possède des groupes de 2 p points séparés
l’un de l’autre, par exemple:

12, 34, 56 , . . [2 i — 1] [2 i], . . . \2p — 1] [2p] ;

(12), (34), (56), . . .([2 i — 1] [2 %]),. . . ([2 p — 1] [2/>]).

Si l’on supprime dans la configuration les 2 p (4 p — 4) droites
qui se rencontrent en ces points, les 2 p(2 p—1) — 2 p autres
points perdent chacun 4p (4p— 4) : 2p (2p — 2) == 4 droites et
forment donc, avec les

9 IA

-g- - 2 /> (2 — 1) (2 p — 2) -4p(2ÿ — 2) = -gp(p— 1) (p— 2)
droites qui restent, une configuration

o «)*-»■ s2(a>

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC.

41

11. Par le signe (123) je représente la g3 qui exige les
nombres 1, 2, 3 pour la notation de ses éléments. Dans la
configuration <j9, les configurations (1 2 3), (4 5 6), (7 8 9) sont
donc évidemment séparées l’une de l’autre. Chacun des 18
points appartenant à ces trois configurations est situé, en
outre des deux droites faisant partie de la g3, sur 12 autres
droites de la g9, et par conséquent collinéaire avec 24 points
de cette dernière configuration. Les 54 autres points de g9
supportent donc chacun 18 x 24 : 54 ” 8 des droites en ques-
tion, par conséquent 6 des autres droites de la g9. Après
suppression des 3 configurations r» 3 , il reste donc une (54 6, 108 3).

Si les nombres de 1 à n p sont rangés en p groupes, chacun
de n nombres, les p configurations désignées par ces groupes
et comprises dans Gnp sont séparées l’une de l’autre. Chaque
point d’une pareille Gn supporte alors, outre les 2 n — 4 droites
appartenant à cette <j», 2n(p—l) droites 1. Les p.n(n — 1).
2 n (p — 1) droites 1 de la Gnp contiennent chacune encore deux
points p de cette configuration ; il en résulte que chacun des
np(np — n) points p est situé sur 2p.n(n — l)2n(p — 1) :np(np — n)
ou 4 n — 4 droites 1, et par suite sur (2 np — 4) — (n — 4) ou
2 n (p — 2) droites ne supportant aucun point de quelque Gn.

En conséquence :

Si d’une configuration Gnp on enlève les éléments de p configu-
rations Gn n’ayant , prises deux à deux, aucun nombre commun
dans leur notation, il reste, après séparation des droites qui con-
vergent vers les points de ces Gn, une configuration

Dans ce résultat est évidemment compris, pour n — 2, le
cas particulier traité au n° 10.

12. En considérant que les deux g4 désignées par 1 2 3 4)
et (1 5 6 7) n’ont aucun élément commun, on reconnaît que,
pour w=3m + l, tout nombre peut être combiné avec m
groupes de trois nombres en autant de configurations <r4 sé-

42

JAN DE VEIES

parées Tune de l’autre; pour qu’il soit possible de trouver

ainsi un tableau de (n — 1) configurations <r4 séparées, il

faut qu’on ait n = 12 k -h 1 ou n — 12 h -b 4. La construction
d’un pareil tableau a lieu de la manière dont j’ai formé, dans
mon Mémoire Ueber polyedrale Configurationen (Math. Ann.,
XXXIV, p. 240), les groupes dits „ groupes principaux” de 7r4.
Je donne ici deux de ces tableaux, pour les valeurs les plus
petites que n peut avoir d’après ce qui précède, à savoir,
pour nzzz 13 et ?ir=16; les quatre nombres de chaque <r4 y
sont placés dans la même colonne verticale.

1

1

1

1

2

2

2

3 3

i

3

i

4

5

10

2

4

6

8

4

5

7

4 ! 5

6

7

6

11

3

5

7

9

6

9

8

8 ! 7

9

9

8

12

10

11

12

13

13

12

11

12 13

11

10

10

13

(2)

I

1

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

5

9

13

2

5

6

7

8

5

6

7

8

5

6

7

8

5

6

7

8

6

10

14

3

9

1011

12

10

9

1211

11

12

9

10

42

11

10

9

7

11

15

14

1

13

14

16

15

16

15

1314

15

1614113

| |

14

13

15

16

8

12

1

16

. . . (3)

Si dans chaque <r4 d’un pareil groupe on supprime un
quadrilatère principal, par exemple dans (1 2 3 4) le quadrila-
tère principal 1 2 3, 14 (2), 24 (3), 34(1), — suppression par

laquelle an perd en tout-^-7i (n — 1) droites séparées l’une de

O

l’autre, dont l’ensemble porte tout les points de la configura-
tion, — il en résulte une configuration aux indices 2 n — 5 et 3.
Enlève-t-on, au contraire, toutes les droites des différentes <r4,
de sorte que chaque point de la a» perde quatre droites, on
obtient une configuration aux indices 2 n — 8 et 3.

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC.

43

Pour n = 1 ou 4 (mod. 12), possède des groupes principaux
de <r4 c’est-à-dire , des groupes de <y4 gm, dam ter ensemble ,
contiennent tous les points de la an. Si dans chaque a4 du groupe
on supprime un quadrilatère principal , ew résulte une confi-

guration

Çn [n — 1)2 w— 5, i w — 1 ) (2 n— 5) 3 ^ ;
enlève-t-on toutes les droites du groupe , ^ reste -am
(n(n— 1)2»— l)(m- 4)3)-

Les considérations ci-dessns peuvent être étendues au cas
où n = 1 (mod. p — 1). En plaçant, derrière chaque nombre,
(n — 1) : (p — 1) groupes différents de p — 1 nombres, on pourra
former un groupe de n (n — 1) : p (p — 1) configurations ap
séparées, si n ( n — 1) est divisible par p (p — 1). Enlève-t-on
alors à chaque ap du groupe les droites de la configuration,
chaque point de an perd 2 p — 4 droites, et reste donc situé
2 2

sur 2n—2p des — n (n — 1) (n— 2) — n (n — 1) (p — 2) autres

o 3

droites.

Pour n — 1 divisible par p — 1 etn (n — 1) divisible par p (p — 1),
$n possède des groupes principaux de ap ; en supprimant toutes les
droites d’un pareil groupe , on arrive à une configuration

fn(n— l){n-p)A ■

§ 4.

13. Si dans le tableau (2) on regarde chaque nombre comme
la notation d’un point, les 13 colonnes donnent la notation
des droites d’une configuration 134, qui, ainsi qu’il est facile
de le voir, ne saurait être entièrement réelle. En effet, par
la suppression d’un de ses points et des quatre droites qui

44

JAN DE VRIES.

s’y rencontrent, on obtient une (12 3J 94), la figure réciproque
de la configuration des points d’inflexion de Hesse, qui
contient tout au plus trois points réels ; si dans cette figure
on omet une droite et les quatre points que celle-ci supporte,
il en résulte la 83 en partie réelle, déjà remarquée par
Cayley (Crelle, XXXVIII, 1848).

14. Incidemment, je montrerai qu’on ne peut trouver non
plus une 144 réelle. Chaque point d’une 144 n’est séparé
que d’un seul point de la configuration; supprime-t-on un
pareil couple de points, ainsi que les huit droites qu’ils sup-
portent, il reste une configuration (12 2, 64), c’est-à-dire, la
configuration qui résulte de la (152, 6-) quand on retire
de celui-ci trois points isolés l’un de l’autre. Dans la
configuration (12 2 , 64) à droites a, 6, c, d , e , /, qui ne con-
tient pas les points ad, b e, cf, le point a b est séparé de cd,
ce, de, df, ef, de sorte que les trois points a b, cd, ef peu-
vent être conçus reliés à un nouveau point x, les trois points
a b, ce, df à un nouveau point y . De cette manière, on trouve
quatre droites pour x et quatre pour y, qui passent chacune
par trois points de la (12 2, 64) et forment avec cette configu-
ration une 14 4. On obtient ainsi le tableau (4), où les points
de la 14 4 sont désignés par les nombres 1 à 14.

1

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

5

6

11

2

4

6

8

4

5

7

4

7

5

9

7

8

12

3

5

7

9

6

9

8

8

9

6

10

10

10

13

10

11

12

jl3

13

12

14

12

11

14

14

13

11

14

Or, les quatre points 2, 4, 6, 13 sont projetés du point 1
dans les points 2, 5, 12, 9, et du point 14 dans les points 2,
9, 5, 12. Si l’on représente par « le rapport anharmonique de 2,
5, 12, 9, le rapport anharmonique de 2, 9, 5, 12 est égal
à (« — 1) : a ; comme de a — (a — 1) : « il résulte a2 — a + l=iO.
les points 2, 5, 9, 12 forment un groupe équianharmonique.

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC.

45

§ 5.

15. A toute configuration <t4 =(124, 16 3) A peut être cir-
conscrite une courbe du troisième degré à deux branches 1 ) ;
si pour chaque o4 appartenant à Gn on construit la courbe corres-

pondante, il en résulte une figure dans laquelle

(i)

cubiques

supportent chacune douze des n ( n — 1) points, de sorte que

/ yi 2 \

chaque point de gu se trouve sur f j de ces courbes et

que les six points d’une g3, comprise dans an et représentée
par trois nombres, sont situés sur n — 8 de ces courbes.
Pour <ï5 on trouve de cette manière la configuration cubique
(20 3 , 5l2) du tableau (5).

K»

Groupes de douze points.

V

12, 13, 14, 23, 24, 34, (12), (13), (14), (23), (24), (34).

IV

12, 13, 15, 23, 25, 35, (12), (13), (15), (23), (25), (35).

III

12, 14, 15, 24, 25, 45, (12), (14), (15), (24), (25), (45).

..(5)

II

13, 14, 15, 34, 35,45, (13), (14), (15), (34), (35), (45).

I

23, 24, 25, 34, 35, 45, (23), (24), (25), (34), (35), (45).

. Les 'points d’une configuration an forment, avec les cubiques à
deux branches qui sont déterminées par les g4 comprises dans
Gn, une configuration :

(n (n— 1)(*_2)> Q)12)-

16. Les points de chaque (92,63)A appartenant à o4 for-
ment, avec trois points de la <r4 associée, une nouvelle o4 2);

1) Comp. mon Mémoire „Over vlakke configuraties ” ( Versl . en Med.,
T. V, p. 112) ou Acta Math., XII l.c.

2) Acta Math., XII p. 72.

46

JA N DE Y RIES.

deux (t4 associées donnent donc lieu à 32 configurations de la
même espèce, qui contiennent chacune neuf points de l’une
des deux configurations et trois points de l’autre. En outre
des deux K 3 appartenant à la primitive, il y a donc
encore 32 cubiques, qui supportent chacune douze points de
la configuration. A l’aide de la notation employée dans le
Mémoire qui vient d’être cité, on trouve pour la configuration
des 24 points et des 32 cubiques le tableau suivant, où chaque
ligne horizontale contient les douze points d’une K3.

1235

y 3' 4' 5'

1" 2" 4" 5"

1235

2' 3' 4' 6'

1" 2" 3" 6"

1236

1' 2' 3' 6'

2" 3" 4" 5"

1236

1' 2' 4' 5'

1" 3" 4" 6"

1245

r 3' 4' 8'

1" 2" 3" 8"

1245

2' 3' 4' 7'

1" 2" 4" 7"

1246

i'2' 3' r

1" 3" 4" 8"

1246

y 2' 4' 8'

2" 3" 4" 7"

134 7

y 2' 3' T

1" 2" 4" 5"

1347

1' 2' 4' 8'

1" 2" 3" 6"

1348

y 3' 4' 8'

2" 3" 4" 5"

13 4 8

2' 3' 4' r

i'' 3" y 6"

2347

y 2' 3' 6'

1" 2" 3" 8"

2 347

1' 2' 4' 5'

y 2" y 7"

2348

y 3' 4' 5'

y y y y

2348

2' 3' 4' 6'

2" 3" y 7"

1567

1' 5' 7' 8'

1" 5" 6" 8"

156 7

2' 6' 7' 8'

2" 5" 6" 7"

1568

3' 6' 7' 8'

3" 5" 6" 8"

1568

4' 5' 7' 8'

4" 5" 6" 7"

2567

y 5' 6' 8'

2" 5" 7" 8"

(6)

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC.

47

2567

2' 5' 6' 7'

1" 6" 7" 8"

25 68

3' 5' 6' 7'

4" 5" 7" 8"

2568

4' 5' 6' 8'

CO

Ci

-q

OO

3578

3' 5' 6' 7'

1" 5" 6" 8 '

357 8

4' 5' 6' 8'

2" 5" 6" 7"

3678

V 5' 6' 8'

3" 5" 6" 8"

3678

21 5' 6' 7'

4" 5" 6" 7"

4678

1' 5' 7' 8'

4'' 5" 7" 8"

4678

21 6' 7' 8'

3" 6" 7" 8"

4578

3' 6' 7' 8'

2" 5" 7" 8"

4578

4' 5' 7' 8'

1" 6" 7" 8"

En ayant encore égard aux deux cubiques déterminées par
les deux <r4 associées, on arrive à la conclusion suivante :

Les points de la configuration harmonique (24 3, 18 4) forment
avec 34 courbes à deux branches du troisième degré unecf( 24, 7, 34, 2),
de laquelle peut naître , par suppression de deux cubiques déter-
minées, une cf. (24, 6, 32 j 2 ).

Les 32 K3 ci-dessus représentées se laissent ranger, comme
le montre le tableau (6), en 16 couples, de manière que les
deux courbes de chaque couple supportent tous les points
de la (243,184). De la configuration cubique (24l6,32l2) on
peut donc déduire des configurations plus simples, en y
supprimant un ou plusieurs couples de courbes.

17. Dans la configuration <r4, la figure résiduelle de la droite
1 1' 1" est composée des droites 2 3' 4", 2 4' 3", 3 4' 2", 3 21 4",
4 21 3", 4 3' 2" (notation du Mémoire cité des Acta Math.); ces
droites forment, dans cet ordre de succession, les côtés d’un
hexagone dont les diagonales principales 22', 4'4, 33' se rencon-
trent au point 1", et elles sont donc tangentes à une conique, qui
peut être représentée par le signe (111). Les 16 droites de la <r4
enveloppent par conséquent, par groupes de six, 16 de sorte
que chaque droite touche 6 Pour la figure réciproque de la

48

JAN DE VRIES.

<t4, c’est-à-dire pour la configuration 2’4=(163j 124) A, on
a donc ce résultat:

Les 'points d’une 2 ,v forment avec seize coniques une configu-
ration conique 16 6.

Le tableau suivant s’applique aux deux cf. 16 G ; la première
colonne contient les 16 coniques, les autres ont rapport ou
bien aux droites de la <r4, ou bien aux points de la

(111)

2 3' 4"

2 4' 3"

3 4' 2"

3 2' 4"

4 2' 3"

4 3' 2"

(12 2)

2 3' 4"

2 4' 3"

3 1' 3"

3 3' 1"

4 4' v

4 1' 4"

(133)

2 y 2"

2 2' 1"

3 2' 4"

3 4' 2"

4 4' 1"

41' 4"

(1 44)

2 y 2 "

2 2’ r

rH

CO

CO

3 1' 3"

4 2' 3"

4 3' 2"

(212)

1 3' 3"

1 4' 4"

3 2' 4"

3 3' 1"

4 2' 3"

4 4' 1"

(2 21)

1 3' 3"

1 4 ' 4"

3 4' 2"

3 y 3"

4 1' 4" ;

4 3' 2"

(2 34)

1 1' 1"

1 2' 2"

3 4' 2"

3 y 3"

4 2' 3" \

4 4' y

(2 4 3)

i y y

1 2' 2"

3 2' 4"

3 3' 1"

4 3' 2"

4 y 4"

(313)

1 2' 2"

1 4' 4"

2 3' 4"

2 2' 1"

4 4' 1"

4 3' 2"

(3 2 4)

i y i"

1 3' 3"

2 4' 3"

2 y 2"

4 3' 2"

4 y y

(3 31)

1 2' 2"

1 4' 4"

2 4' 3"

2 y 2"

4 2' 3"

4 y 4"

(3 42)

1 1' 1"

1 3' 3"

2 3' 4"

2 2’ 1"

4 2' 3"

4 y 4"

(414)

1 21 2"

1 3' 3"

2 4' 3"

2 2' 1"

3 3' 1" :

3 4' 2"

(4 23)

1 V 1"

1 4' 4"

2 3 ' 4"

2 1' 2"

3 3' 1"

3 4' 2"

(4 32)

i r i"

1 4' 4"

2 4' 3"

2 2' 1"

3 2 4"

3 y 3"

(441)

1 2' 2"

1 3' 3"

2 3' 4"

2 1' 2"

3 y 3"

3 21 4"

Puisque chaque droite de la on appartient à n— 3 configu-
rations <ï4, les groupes de seize coniques tangentes, déter-
minés par les ^ ^ ^ cf. <ï4, formeront, avec les 4^^ droites

de la an , une configuration dans laquelle chaque conique est
touchée par six droites, tandis que chaque droite figure 6(n — 8)
fois comme tangente. Pour la figure 2n , réciproque de an ,
on a donc cet énoncé:

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC.

49

Les points d’une Zn donnent lieu à une configuration conique

§ 6.

18. Si 1, 2, 3, 4, 5, 6 sont six points conconiques de la
serpentine d’une cubique à deux branches, la conique K2 qui
contient un point antitangentiel de chacun des points 1, 2, 3, 4, 5
passera par l’un des points antitangentiels de 6, puisque les
points tangentiels de six points conconiques forment à leur
tour des groupes coniques de six points; les 24 points anti-
tangentiels sont donc situés, six à six, sur 4 5 coniques.
Lorsque les six points conconiques appartiennent à une K 3
à une seule branche, de sorte que chacun d’eux ne possède
que deux points antitangentiels réels, il n’y a que 2 s coniques.
Par conséquent:

Les points antitangentiels de six points conconiques de la ser-
pentine d’une cubique forment avec 1024 coniques une configura-
tion (24 2 5 6? 10246).

Lorsque les six points appartiennent à une cubique à une seule
branche , elles donnent lieu à une (12, 6, 32 6) conique.

Cette dernière configuration fait naturellement partie de la
première ; en effet, si dans la courbe à deux branches on fait
abstraction des points de contact situés sur l’ovale, les douze
autres ne détermineront que 32 coniques ; il en sera d’ailleurs
de même si d’un nombre pair de points on prend les points
antitangentiels sur l’ovale, ceux des autres sur la serpentine.
Les configurations ci-dessus trouvées dégénèrent évidemment
en deux cf. <r4, ou deux cf. <i3, dès que la K2 des six points
se réduit à deux droites.

19. En faisant usage d’une propriété que j’ai démontrée
ailleurs, et suivant laquelle la droite, qui joint un point quel-
conque d’un groupe oscillatoire de l’ordre n à un point d’un
groupe de la même espèce, rencontre la cubique en un point

Archives Néerlandaises, T. XXV. 4

50

JAN DE VRIES.

dont le nième point résiduel est situé en ligne droite avec les
points résiduels des groupes en question 1 * * ), on peut construire
des configurations coniques de nature plus compliquée.

Si (12), (34), (56) sont les points où K3 est coupée par
les droites 12, 34, 56, il suit de la situation conconique des
points 1 à 6 que les points (12), (34), (56) sont collinéaires.
Représente-t-on maintenant par in un mème point antirésiduel
de i, c’est-à-dire, un point du groupe oscillatoire de l’ordre
n dont i est le point résiduel, alors, d’après la propriété ci-
dessus rappelée, la droite 1»2 » passe par un des points (12V,
et la droite 3» 4» par un des points (34)» ; de plus, la droite
(12)» (34)» passe par un des points (56)», et par conséquent
la droite (5)» (56)» par un des points 6»; en d’autres termes,
toute conique qui contient un point de chacun des groupes
osculatoires déterminés par 1, 2, 3, 4, 5, passe par un nième
point antirésiduel de 6. Le même raisonnement s’appliquant
aux anticentres , c’est-à-dire aux points des groupes centraux
dont les points 1, 2, 3, 4, 5, 6 sont les centres de l’ordre
m, on a cet énoncé général:

Si, pour six points conconiques d'une cubique à une branche,
on construit les groupes osculatoires de l’ordre n, les points de
ces groupes forment avec un système de coniques une configuration

(6 (3 n— 1)(3»— i)4, (3 n — 1)%).

En déterminant pour chacun de ces six points les groupes centraux
de l’ordre m, on trouve une configuration conique

(6(3 m — 2)(3î»— 2)4, (3 m — 2)%).

Ces considérations s’appliquent aussi à six points conconiques
de la serpentine d’une cubique à deux branches, pourvu que,
pour une valeur impaire de n , un nombre pair des points
conconiques soit pris sur la serpentine ; pour les valeurs

i) V oir ,,Ueber gewisse der allgemeinen kubischen Gurve eingeschriebene

Configurationen” (Wiener Sitz. ber. T. XCVIII, p. 457) ou,, Over vlakke

configurables , welke uit osculatiegroepen der kubische kromme kunnen

gevormd worden ” ( Versl . en Med. T. VI, p. 237).

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC.

51

paires de n, un nombre pair des points conconiques peut
appartenir à l’ovale. (Voir p. 236 du Mémoire cité en dernier
lieu).

20. En représentant, comme ci-dessus, par (iJc) le point
d’intersection de K 3 avec la droite qui joint les points i et Je,
il suit de la situation conconique des points 1, 2, 3, 4, 5, 6
que les points (i Je), ( Im ), (np) se trouvent en ligne droite,
de sorte que les 15 points ( i Je) appartiennent à une configu-
ration 15 3, de même espèce que la 15 3 atrigonique de
M. Martinetti 1 ). Cette configuration possède 6 pentagones
principaux, que je représenterai par a, b, c, d, e, f. Comme
chaque droite de la configuration appartient à deux de ces
pentagones, les 15 droites de la configuration peuvent être
désignées par les combinaisons deux à deux des six lettres
ci-dessus. On arrive ainsi, pour cette 15 3, au tableau
suivant :

Droites. | (ab)

( ef )

(cd)

(df)

(ac)

(be)

(c e)

m

(ad)

(bd)

(ae)

(cf)

(af)

(bc)

(de)

(12)

Points. (34)
(56)

(12)

(35)

(46)

(12)

(36)

(45)

(131

(24)

(56)

(13)

(25)

(46)

(13)

(26)

(45)

(14)

(23)

(56)

(14)

(25)

(36)

(14)

(26)

(35)

m

(23)

(46)

(15)

(24)

(36)

(15)

(26)

(34)

(16)

(23)

(45)

(16)

(24)

(35)

(16)

(25)

(34)

La figure résiduelle de la droite (a b) est une (12 2, 83) A,
avec les droites ( ac ), (ad), (aé), ( af ) et ( bc ), (bd), (be), (bf).
Le point d’intersection des droites (ac) et (bc) étant représenté
par le signe (a b) c, les deux groupes de quatre droites, qui
viennent d’être indiqués, forment la (16 2, 84) A suivante:

J) „Sopra alcune configurazioni piane ” (Annali di Matematica, XIV.
p. 173). La construction de cette configuration, indiquée ci-dessus, m’a
été communiquée en janvier 1889 par M. le Dr Schoenflies, en même
temps que la construction d’une 27, , dont il sera question plus loin.

4*

52

JAN DE VRIES.

(13) (25) (o b) c (46)

\ (26) (14) (35) (ab)d I

f{ab)e (36) (24) (15) \

\ (45) (ab)f (16) (23) !

(9)

(Chaque ligne et chaque colonne de (9) contient les points
d’une droite de la configuration).

Comme les points de cette configuration forment la base
d’un faisceau de courbes du quatrième ordre, et que douze
de ces points sont concubiques, les quatre autres sont situés
sur une droite, que je représente par a b; on a alors

Par rapport à cette droite, les quadrilatères ((a c), (a d ),
(ae), ( af )) et {(b c), {bd), ( be ), ( bf )) se trouvent en situation
linéaire; en conséquence, les six droites qui joignent les
sommets correspondants se rencontrent, trois à trois, en quatre
nouveaux points. Ces six droites de jonction sont évidemment :

Les quatre points en question peuvent être indiqués par
cde = (cd, de, ec) etc. Les 60 points ( ab)c etc. et les 20
points abc etc. forment, avec les 15 droites (a b) etc. et les 15
droites a b etc., une configuration (803, 308), dans laquelle
{a b) c supporte les droites a b, {a c), {b c), et abc les droites
a b, ac, b c; cette configuration est donc l’analogue réci-
proque de la configuration combinatoire <r6.

Les 15 droites et les 60 points accessoires de la 15 3 atrigonique
appartiennent à une configuration ^6. Les 15 nouvelles droites
et les 20 nouveaux points de cette configuration forment la figure
réciproque d’une nG.

21. Si 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sont les points d’intersection

a b = {{a b) c, {a b) d , {a b) e, (a b)f).

cd = ((c d) a, ( c d) b)
c e = ((c e) a, (c e) b)
ef = {{ef)a, ( cf)b )

«/==((«/) a, (ef)b)
df=((df)a, ( df)b )
de = {{d e) a, (d e) b)

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC.

53

d’une courbe du quatrième degré et d’une conique, et qu’on
désigne par (ik)1 et (iJe)2 les points communs à et à la
droite qui joint i et Je, les huit points

(ik),, (, Im )„ (np),, ( qr ), ; {i h)%, (lm)2, ( np)2 , (qr)2

sont également conconiques Les 28 droites i Je déterminent
par conséquent 8 ! : 2 4 . 4 ! = 105 coniques, de sorte que
les 56 points (i Je) appartiennent à une configuration conique
(56, 5, 1058). Pour une Kn, on trouve, de la même manière:
Si un polygone à 2 n angles est inscrit simultanément dans une
courbe du degré n et dans une conique, ses n(2n — 1) côtés déter-
minent, sur la courbe Kn, n (2 n — 1) (n — 2) points, qui forment
avec (2 n) ! : (2 n .n !) courbes du degré n — 2, une configuration
pour laquelle V indice des points est (2 n — 2) ! : (2*— 1 . (n — 1) !)
et V indice des courbes n(n — 2).

Lorsque la conique dégénéré en deux droites, on obtient une
configuration

22. Lorsque les points d’une configuration inscrite dans K,
sont projetés sur cette courbe par rapport à trois de ces points,
1, 2, 3, situés en ligne droite, les neuf projections de chaque
groupe de trois points collinéaires de la configuration forment
une configuration atrigonique (92, 63) avec les droites

Chaque point d’une configuration (3 px, px3) 1 ) fournit
donc par projection trois nouveaux points, qui supportent
chacun 2 x nouvelles droites; les 9 p projections forment par
conséquent, avec les 6 p x droites des p x configurations (92, 6 3),
une configuration (9 p%X) 3pxz).

») Pour p on doit prendre une fraction, quand il s’agit d’une cf. ft3 et
que p n’est pas un multiple de trois.

(■ n 2 (n — 2)(rc_i)!, n\n(n—2)).

(1 i) (2 Je) (3 l)
(1 Je) (2 l) (3 i)
(1 l) (2 i) (3 Je)

(1 i) (2 Z) (3 Je)

(1 Je) (2 i) (3 1).. (10)
(1 l) (2 Je) (3 i)

54

JAN DE VRIES.

Si dans la configuration primitive les points 4, 5, 6 forment
un triangle de cf., de sorte que les côtés 45, 56, 64 contien-
nent successivement les points de cf. 7, 8, 9, la projection
donne lieu, entre autres, aux trois droites (14) (25) (37),
(25) (36) (18), (36) (14) (29) ; en d’autres termes, (14), (25), (36)
sont les sommets d’un triangle de cf. de la nouvelle configu-
ration. Comme les centres de projection 1, 2, 3 admettent
six permutations, chaque triangle de l’ancienne configuration
fournit six triangles dans la nouvelle configuration.

Si les points d’une (3 px, p%3) inscrite dans une Ks, sont
projetés de trois points de la courbe, situés en ligne droite on
trouve une (9 p%x, 6px3), à six fois autant de triangles de cf.
et à px cf. atrigoniques (92, 63) 1 )•

En étendant les considérations précédentes aux courbes du
degré n, on obtient de nouvelles configurations de points et
de courbes.

Lorsque les points d’une (npx, p xn) inscrite dans Kn sont pro-
jetés sur la courbe, de n centres situés en ligne droite sur cette
courbe , il en résulte la configuration suivante, formée de points
et de courbes du degré [n — 2) ;

(ri1 (n— 2) p(n- 1) ! n ! p xn{n~ 2)).

23. Une configuration atrigonique (9 2 , 63) étant inscrite dans
K z, représentons-en les points par les nombres 1 à 9 et les
droites par 123, 456, 789, 147, 258, 369. Si maintenant les
trois points 4, 5, 6 sont projetés, des points 1, 2, 3 comme
centres, sur la courbe Kz, l’une des six droites, qui joignent
les neuf projections trois à trois, coïncide avec 789; trois
autres contiennent chacune l’un des points 7, 8, 9; les deux
dernières contiennent successivement les projections (15), (26),
(34) de 5, 6, 4 par rapport aux centres 1, 2, 3, et les projec-

1 ) Lorsque cette construction est appliquée à un quadrilatère complet,
il en résulte une (18 4, 24 3) à six quadrilatères complets, qui est la réci-
proque de la cf. harmonique (24 3, 18 4). Comp. mon Mémoire: „Over de
harmonische (243, 184)”. (Versl. en Med., V, p. 210) ou ,,Ueber gewisse
eberie Conpgurationeri (Acta Math., T. XII, p. 74).

SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC.

55

tions (16), (24), (35) de 6, 4, 5 par rapport à ces mêmes
centres 1, 2, 3. Chacun des six couples de droites séparées
l’une de l’autre dans la (92, 63) fournit alors deux droites
séparées, qui supportent chacune trois des dix-huit points
d’intersection de la courbe avec les diagonales de la con-
figuration; en d’autres termes, ces nouveaux points forment
avec douze nouvelles droites une configuration (182, 123),
représentée par le tableau suivant:

(15)

(15)

(16)

(16)

(18)

(18)

(19)

(19)

(26)

(29)

(48)

(49)

(26)

(27)

(24)

(37)

(24)

(29)

(27)

(34)

(38)

(35)

(59)

(68)

(34)

(48)

(35)

(49)

(57)

(37)

(38)

(67)

(59)

(68)

(67)

(57)

Essaie-t-on de construire cette configuration, on reconnaît
qu’elle est le complexe de deux (92, 63) entièrement sépa-
rées, qui, à l’aide d’une notation connue, peuvent être re-
présentées par

( (15) (26) (34) j
(27) (38) (19)

( (48) (59) (67) )

( (16) (24) (35) i

et (37) (18) (29)

( (49) (57) (68) )

(12)

ainsi que la (92, 6S) primitive, elles appartiennent à la 27 3 de
Schoenflies, mentionnée ci-dessus (p. 51), qui, outre les 18
droites des trois (9 2 , 63), contient encore les droites:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(59)

(49)

(48)

(29)

(19)

(18)

(26)

(16)

(15)

(68)

(67)

(57)

(38)

(37)

(27)

(35)

(34)

(24)

24. Si pour la configuration atrigonique 15 3 on construit
les points où ses 60 diagonales coupent i£s, chacune des
dix (92, 63) atrigoniques comprises dans 15 3 fournit deux
nouvelles cf. de la même espèce, comprenant chacune neuf

56 JAN DE VRIES. SUR UN GROUPE DE CONFIGURATIONS, ETC,

de ces 60 points; chacun de ces nouveaux points appartient
donc à trois cf. (92, 63). Or, comme chaque droite de ces
20 cf. résulte de deux droites séparées de la 15 3, lesquelles
n’appartiennent à aucune autre (92, 63) comprise dans cette
15 3, les 20 cf. en question fournissent 120 droites différentes,
de sorte qu’elles composent ensemble une cf. (60 6, 120 3).

Cette construction d’une nouvelle configuration, au moyen
des points où K3 est coupée par les diagonales d’une cf.
inscrite dans la courbe, peut être exécutée lorsque la cf. est
régulière et comprend des (92, 63) atrigoniques. Elle peut
être étendue à des configurations inscrites dans des courbes
du degré n, quand ces cf. comprennent des cf. (n22, 2 nn) à
deux polygones principaux de n côtés.

SUR UNE

CONFIGURATION PLANE DE VINGT-QUATRE
POINTS ET DE DIX-HUIT DROITES.

PAR

JAN DE VRIES.

Dans mon mémoire „ Lleber gewisse ebene Configurationen ” ( Acta
Mathematica, T. XII, p. 63) j’ai montré qu’il n’y a que deux
configurations planes de douze points et de seize droites dont
les points forment trois quadruples, de telle sorte que chaque
point d’un quadruple est séparé des trois autres.

L’une de ces configurations (124, 163) est la figure remar-
quable de Hesse, déterminée par les points antitangentiels de
trois points collinéaires d’une cubique plane. Cette cf. a été
traitée par Caporali dans le fragment nSulla figura costituita
dai punti di contatto delle tàngenti condotte a una cubica da tre
suoi punti in linea retta ” ( Memorie di Geometria di Ettore
Caporali , Napoli 1888, p. 338 — 343) 1 ); ce travail contient la
relation réciproque de deux cf. (12 4, 16 3) associées que j’ai
publiée dans le mémoire cité ci-dessus.

C’est en suite de cet article que je me propose de faire con-
naître ici quelques systèmes de courbes intimement liées à la
cf. harmonique (24 3, 18 4) qui est déterminée par deux cf.
(12 4, 1 6 3 ) associées.

!) M. Loria a eu la bonté de m’envoyer une copie de ce travail.

58

JAN DE VRIES.

§ 1.

La cf. (12 4, 16s) de Hesse, que j’indiquerai parn4 1 ), peut
être linéairement construite. Soient a2a3, b2b3) c2c3 trois cou-
ples de points situés sur trois droites qui convergent vers le
point ê'4. Il suffit de construire les sommets accessoires des
quatre quadrangles a2a3b2b3, a2a3c2c3 , b2b3c2c3 pour obte-
nir la cf.

15

a]bicl

161 a2b3ck

17!

a3b /ic2

18

a4 b2c3

25

U 2 b 4 C 3

26 a, b2c2

271

a46jC4

28

a3b3C\

35

a3b2ci

36 a4 bicl

37

a, 63c3

38

a2b}c2

45

a!lb3c2

46 a3bxc3

47

a2b2c]

48

a.b.c,

Dans ce tableau les chiffres dont se compose le symbole i Je
d’une droite, désignent les deux quadruples séparés qui ont
cette droite en commun.

Les dix-huit diagonales de <r4 concourent, trois à trois, en
douze points akfikykàk (k~ 2,3,4) déterminés par

! otk = {aiam, b , bk,cl ck)
] (a, au, bibm, c, cjc)

| yk=z(a1 a,k, b , bk, ci Cm)
; 8k = (ai am, bi bm, ci cm)

(Je, l, m — 2, 3, 4)

Ces points nouveaux appartiennent à la cf. <r4' associée,

représentée par

le tableau suivant:

«1 «3 ^4

fi 2 as v 4

/2 a3 ?4

5 2 «3 «4

«2 fi 3 y 4

fil fis ^4

y 2 fi 3 a4

^2 fis fi 4

ai Y 3 fi 4

fi 2 / 3 a4

/2 /3 ^4

^2/3 /4

«2 ^3 «4

2 ^3 fi 4

/2 ^3

^ 2 ^3 ^4

i) Les cf. désignées par an sont composées des centres de similitude et
des axes de similitude d’un système de n cercles. (Voir mon mémoire
vSur un groupe de conf. etc.” ( Arch . Néerl. T. XXV, p. 33).

SUR UNE CONFIGURATION, ETC.

59

Les vingt- quatre points de ces deux ff4 forment, avec les
dix-huit diagonales, qui leur sont communes, la cf. £ = (24 3, 18 J
que j’ai nommée harmonique, parce que sur chaque droite
deux points de <r4 sont harmoniquement séparés de deux points
de <r'4. La cf. £ est représentée par le tableau suivant:

«1

a2

h

y 2

b 2

«2

/ 2

c.

c2

«2

(*2

«3

a4

«2

b 3

6»

^2

C3

y 2

«2

ai

a3

p*

y 3

6,

63

“3

y 3

C3

«3

P 3

a2

a.

«3

^3

b 2

*4

Pt

^3

c2

C4

y 3

53

ax

«4

l?4

y 4

b,

«4

y 4

C|

«4

?*

a2

«3

«4

*4

b 2

63

1*4

è4

C2

C3

y 4

«4

Si l’on détermine la projectivité des deux faisceaux de co-
niques aux points de base a* et bk (h = 1, 2, 3, 4) en faisant
se correspondre les coniques dégénérées (a, o2,a3o4) et
(b, b„ b3 &4), (a, a„ a3 a4) et ( b , b3, b, b ,), (n, a,, a2 a3)et
(6, 64, 62 63), la quartique i?4 engendrée par ces faisceaux
passe par les vingt points akbkcckfikykdk. Comme les douze
points ai $k y h 8 k sont reliés par une cubique 1 ), tandis que les
quatre points ajc ne se trouvent pas en ligne droite, on ne peut
tracer que une quartique par les seize points ajc akfikykàk.

Or, la quartique que l’on peut construire d’une manière
analogue par les faisceaux de coniques à base aie et ck , con-
tient les vingt points a/e Ck ak @k yk bk ; elle se confond donc avec
la première courbe.

On a donc l’énoncé: 2)

I. La cf. harmonique (24 3, 184) est inscrite dans une courbe
biquadratique.

Le tableau

(4)

1) Voir mon mémoire inséré dans les Acta Math., p. 67.

2) M. Caporali est arrivé à cette courbe d’une maniéré différente.

60

JAN DE VR1ES.

(où chaque ligne et chaque colonne contient les points d’une
droite) représente la cf. (92, 63) atrigonique qui forme avec
les ternes a, bl c, et ô2 Ô3 d4 deux cf. <r4 corrésiduelles *).

Les cubiques du faisceau dont la base est constituée par
les points du bitriple (4), coupent la quartique H 4 aux triples
d’une involution centrale, situés sur les droites d’un faisceau
dont le centre 111 = (a , 6 , c , , â2â3ô4) se trouve sur i?4. 1 2) Donc:

II. La quartique que Von peut tracer par les points de deux
<j4 associées comprend encore les seize points d’ intersection des
couples de droites associées.

Ces seize points complémentaires seront désignés par les in-
dices des points ak bk Ck avec lesquels ils se trouvent en ligne
droite.

Les cubiques dégénérées

{a2 b 3 c4, a3 b4 c2, a4 b2 c?)
(a2 b4 c3, a3 b2 c4, a4 b3 c2 )

du faisceau à base (4) déterminent sur i?4 les triples de points
complémentaires 234, 342, 423 et 243, 324, 432, collinéaires
avec 111. Par conséquent, les seize bitriples de la cf. <r4 don-
nent lieu à huit droites complémentaires , dont chacune supporte
quatre points complémentaires.

c à la

cf. atrigonique (16 2,

111

234

342

423

243

122

414

331

324

441

133

212

432

313

221

144

(5)

(Chaque ligne et chaque colonne de (5) renferme les points
d’une droite).

Chaque point complémentaire étant l’intersection de deux

1) Comp. Acta Math. l.c. p.71.

2) J’ai considéré les involutions sur la quartique dans mon mémoire
„Involutions quadruples sur courbes biquadratiques ” {Arch. Néerl.
T. XXIII, p. 93.)

SUR UNE CONFIGURATION, ETC.

61

diagonales triples de la cf. Ç et de deux droites du biqua-
druple B4 (5), les cf. associées <r4 et <s\ composent avec la
B4 la nouvelle cf. représentée au tableau ci-joint:

Cf. 40 4 .

axblc1

111

a2b3ci

234

a3b^c2

342

a^b2c3

423

axb2c2

122

a2bic3

243

a3b3cx

331

a4blci

414

axb3c3

133

a2byc2

212

a3b^c4

324

a4b4Cy

441

a i 64c4

144

a2b2c{

221

a3b xc3

313

a7lb3c2

432

111

234

342

423

122

243

331

414

133

212

324

441

144

221

313

432

MA

111

«An

234

«slVî

342

«An

423

§2a3ai

122

«2^4/3

243

^3/2/4

331

^ kfilfiz

414

d3cc2a4

133

^ 2 fi 3 fi 4

212

a3 fi 2/4

324

^4/2/3

441

(^4«2«o

144

^2/3/4

221

filfi*

313

a 4^3/2

432

111 243 324

432

122 234 313

441

133 221 342

414

144 212 331

423.

On a donc Ténoncé :

III. Les points et les droites de deux <ï4 associées forment avec
leur points et droites complémentaires une configuration 40 4
inscrite dans une quartique.

Parce que quatre droites séparées de cf4 sont coupées en
points complémentaires par quatre droites séparées de <r'4îon

62

JAN DE VRIES.

peut désigner des groupes de dix droites de 40 4 qui con-
tiennent ensemble les 40 points de la cf.

Le tableau suivant indique deux de ces décuples principaux ,

qui composent une (402, 2Q4) faisant partie de la 404.

a, bx cx

111

a\ ^3 C3

133

a 2 b c 4

234

a2 6, c2

212

a 3 b 4 c 2

342

a3 62 c4

324

«4 bl «3

423

ak b/t cx

441

b 2 a 3 a 4

122

è4 a2 a 3

144

«2 ^4/3

243

^2 /s / 4

221

^3 /2 Y \

331

S3 ^ ^4

313

^4 1^2 1^3

414

«4 1^3 / 2

432

133 212 324

441

111 234

342

423

144 221 313

432

122 243

331

414

En supprimant cette (40 2, 20 4) on arrive

à une

(40 2,

qui diffère de la première, puisqu’elle n’est pas décomposable
en décuples principaux.

Chaque bitriple de <j4 est relié par six points complémen-
taires à un bitriple de a'à. Cette remarque fournit des (242î 124),
telles que celle du tableau suivant:

tt2^3C4

234

CL 2 b c ^

243

“îh'/i

234

“2^4/3

243

a364c2

342

CL 3 b 2 0 4

324

“3P4/2

342

«3^2/4

324 . . (8)

a462c3

423

a4 63c2

432

«siVs

423

**4^3/2

432

Donc:

IV. La 40 4 appartenant à la cf. harmonique peut , de huit
manières, être composée de deux cf. (40 2, 20 4) de construction
différente.

Elle contient encore seize cf. (24 2, 12 4).

§ 2.

Les points d’intersection de la quartique H 4 avec les droites
(a, 6,c, 111), (è4 « 2 a â 144), (a4ô2c3 423), (a4^2|53 432)

SUR UNE CONFIGURATION, ETC.

63

forment la base d’un faisceau de courbes biquadratiques. Or,
les points 6, a2 b2 y2 sont en ligne droite, de même que les
points ç, «3 c 3 ; par conséquent, les huit points ala!l, «4$4,
111, 423, 144, 432 se trouvent sur une conique.

Parce que le biquadruple complémentaire fournit trente-six
quadrangles et que les neuf couples de droites associées peu-
vent être rangées en dix- huit groupes, analogues à a, a4, a4d4,
chacun de ces groupes détermine deux coniques. Donc :

V. Les points de la cf. 40 4 donnent lieu à trente-six coniques ,
qui contiennent chacune quatre points de la cf. harmonique et
quatre points complémentaires.

Le faisceau de cubiques,

indiqué

par le bitriple

122

414

331

441

133

212

313

221

144

coupe la quartique Hfi aux triples linéaires d’une involution
à centre 111. Par conséquent, chacun des triples aibtcl et
S2S3Sif collinéaires avec 111, est placé sur une cubique tracée
par les neuf points (9).

Il y a donc trente-deux cubiques, dont chacune comprend
trois points de Ç et neuf points complémentaires.

De la même manière, il résulte du biquadruple

111 234

243 a 2

324 c4

432 b 3

que les points du bitriple
243
324
! 432

342 423

^4 C3

a3 b2

C 2 «4

(10)

(H)

et les points collinéaires 331, 212, 144 sont concubiques.

64

JAN DE VRIES

Observant que ces douze points sont placés sur deux droites
séparées de <r4 et deux droites séparées de on peut con-
clure qu’il y a 96 cubiques à six points complémentaires et
six points d’une des cf. a4 associées.

Le bitriple

appartenant au biquadruple (10), détermine une involution à
centre a4, qui comprend le triple «, (?4 ; il s’ensuit que

ces points sont reliés avec les neuf points (12) par une cubique.

Par les cinq points complémentaires d’entre eux il passe
encore une cubique de la même espèce, comprenant les sept
points a 2 fi /4a3d4a2a3. En ayant égard aux 144 quintuples
de points complémentaires, on trouve 288 cubiques, qui, outre
un de ces quintuples, supportent cinq points de l’une des <r4
associées et deux de l’autre.

On arrive à une autre série de cubiques en combinant le
bitriple (11) avec la droite a4 (?2 /3, associée à la droite
a4 &2 c3 qui est séparée de a2 b3 c4 et de a3 &4 c2. Il est évident
que chacun des 32 triples collinéaires de B 4 donne lieu à
six cubiques comprenant six points de l’une des tr4 et trois
de l’autre. Par conséquent, il y a 192 courbes de cette série.

Le biquadruple suivant n’appartient pas à la 40 4.

111 234 342

243 a2 bk

324 c4 a.

(12)

111 234 342 423

(13)

^1 ^3 **3 y 3

C, C4 “s

On en déduit que les cubiques à points de base

111 234 342

a, a.l y%

b , b3

(14)

«3

SUR UNE CONFIGURATION, ETC.

65

coupent Hh dans les triples d’une involution centrale con-
tenant le triple «2 133, qui, par conséquent, est concubique

avec les points (14).

Comme les quatre points 111, 234, 342, 423 appartiennent
encore au biquadruple suivant :

111

234

342

423

».

CC 2

a 3

«4

*3

? 3

b,

b2

V

y 4

C3

et que dans (13) et (15) chaque point de la cf. Ç est le centre
d’une involution triple qui ne fournit que une cubique, on
arrive à 192 cubiques tracées par quatre points de <r4, quatre
points de cf'4 et quatre points complémentaires.

Le tableau suivant résume les cubiques comprenant douze
points de la 40 4 avec les cubiques qui ne contiennent que
des points de £ (des cf. <r4 associées).

Cubiques.

Points de £.

Points complémentaires.

2

12

—

32

9 + 3

32

3

9

96

6

6 (16)

288

5 + 2

5

192

4 + 4

4

i

192

6 + 3

3

VI. Il y a donc 800 cubiques passant chacune par douze points
de la cf. 40 4 .

Archives Néerlandaises, T. XXV.

66

JAN DE YRIES.

§ 3.

Les droites de la cf. <y4 étant désignées par les symboles
i h [i = 1, 2, 3, 4 ; Je = 5, 6, 7, 8), on peut indiquer par
7’ Æ Z le point d’intersection des droites i Je, i l.

Considérons

le biquadruple

ai

h\

ci

125

K

«4

128

C3

127

a 3

b,

126

C4

b.

a2

Puisqu’on peut tracer une cubique par les douze points de
<r4, les quatre points 125, 126, 127, 128 sont placés sur une
droite que je représenterai par 12.

De la même manière, on trouve les onze droites 13, 14,
23, 24, 34; 56, 57, 58, 67, 68, 78, dont checune contient quatre
points accessoires.

On a donc l’énoncé :

VII. Les quarante-huit points accessoires d’une o4 forment
douze quadruples linéaires.

Par rapport à la droite accessoire 12 les triangles (15, 16, 17)
et (25, 26, 27) se trouvent- en situation perspective ; les droites
(156, 256), (157, 257), (167, 267) convergent donc vers un
point qui sera désigné par 567.

Outre ce point nouveau, on arrive à sept autres 568, 578,
678; 123, 124, 134, 234, par une considération analogue.

La figure contient maintenant 56 points i Je l (où i = 1
jusqu’à 8, Je = 2 jusqu’à 8, l = 3 jusqu’à 8) et 28 droites i Je
(i = 1 jusqu’à 8, Je = 2 jusqu’à 8), qui composent ensemble
une cf. combinatoire (56 3, 2 -86) où chaque point i Je l supporte
les droites i Je, il, Jel 1 )• On a donc :

1) J’ai traité des cf. combinatoires dans mes travaux „Ueber polyedrale
Cf." {Math. Ann. T. XXXIV, p. 227) et ,,Ueher eine Gattung regelmâssiger
ebener Cf." {Math. Ann. T. XXXV, p. 401).

SUR UNE CONFIGURATION, ETC.

67

VIII. Les seize droites de <r4 et ses quarante-huit points acces-
soires forment avec douze droites nouvelles et huit points nouveaux
une cf. combinatoire (56 3, 28 6).

Comme les diagonales principales a2 b 2, a3 Z>3, a4 ô4, de
l’hexagone a2 &4 a?t b2 a4 ft3 concourent en c,, les droites du
bitriple

a2 b?t

' C1

«3 «4

sont six tangentes d’une conique.

Or, ces six droites déterminent deux triangles (167, 178,
168) et (235, 245, 345) dont les six sommets sont conconi-
ques. Donc:

IX. Les seize droites de <r4 forment seize sextuples tangents à
une conique. Les quarante-huit points accessoires de <r4 se rangent
en seize sextuples coniques.

Par l’adjonction à (17) de deux droites complémentaires on
arrive au biquintuple suivant:

111

ax

b,

c>

125

423

b2

a 4

128

C Z

342

C2

127

«3

h

234

126

h

a2

X

122

414

331

243

Vingt de ces points étant situés sur la quartique 1?4 , la droite
12 menée par les points 125, 126, 127, 128 comprend encore
le point x.

Cette propriété peut être reliée à l’énoncé VIII moyennant
une notation nouvelle.

Les points 111, 423, 342, 234, placées respectivement sur les
droites 15, 18, 17, 16, seront indiqués par 159, 189, 179, 169,
la droite complémentaire, qui les supporte, par 19, tandis que
les points 122, 414, 331, 243 et leur droite seront représentés

(18)

68

JAN DE VRIES.

par 269, 279, 289, 259 et 29; alors le point x, étant l’inter-
section de 19, 29 et 12, peut être désigné par 129.

La nouvelle notation étant appliquée aux onze biquintuples
que l’on peut former de la même manière, le biquadruple
complémentaire B 4 sera représenté par:

159

169

179

189

259

269

279

289

359

369

379

* 389

459

469

479

489

(20)

Puisque les douze points x sont chacun l’intersection de
deux droites complémentaires et une droite accessoire, ils
forment avec B 4 et la%cf. (563, 28 6) ci-dessus trouvée une -
cf. combinatoire (84 3, 36 7/>, dont les éléments sont indiqués
par les combinaisons, trois à trois et deux à deux, des chiffres
1 à 9. Donc :

X. Les seize droites d’une <r4 forment avec les douze droites
accessoires et les huit droites complementaires une cf. combinatoire
(84 3, 36 7) contenant les quarante-huit points accessoires , les huit
intersections triples des droites accessoires et les vingt-huit inter-
sections des droites complémentaires.

Si l’on désigne la droite auai par Aki, la droite bkbi par
Bu et la droite cm par C/ti, les colonnes du tableau ci-joint
représentent le six groupes de droites séparées de la cf. Ç.

A{ 2

A 1 3

A 1 4

A 1 2

A j 3

Ai 4

A 3 4

■4 2 4

4^2 3

A 3 4

A2 4

^23

B \ 3

£,4

£.2

*.4

B x 2

3

B 2 4

B 2 3

B 34

B 2 3

B 3 4

B 2 b

c14

*12

3

^1 3

ct 4

2

c> 3

^3 4

C2i

^2 4

£2 3

C.4

Ces groupes se rangent en six couples séparés, dont chacun
donne lieu à un bisextuple de droites.

SUR UNE CONFIGURATION, ETC.

69

Le tableau

a,

a2

P 2

y 2

^ 1 2 ^2 3

^,2^4

a3

a,

«2

Ô2

-^3 4 ^2 3

-d 3 4 i? J 4

h

BlACt ,

B 2 4 ^3 4

K

**

y 3

«3

b13c\.

B i 3 4

b 3

A x 3 C , 4

2 4 C,

l?4

«4

^ 1 3^2 3

2 4 ^2 3

C3

«4

A

désigne un de ces bisextuples.

Comme vingt- quatre de ces points sont situés sur la quartique
H 4, on pourra relier les douze points restants par une conique.

Or, les dix-huit droites de £ (diagonales de o4 et de <y'4)
convergent trois à trois aux vingt-quatre points de Ç (des <r4
associées), et deux à deux aux neuf points d’intersection des
cubiques circonscrites aux cf. <?4 associées 1 ) ; pour les 72
intersections restantes on a donc l’énoncé:

XI. Les 72 points accessoires de la cf. harmonique (24 3, 18 4)
forment six groupes de douze points conconiques.

i) Comp. mon mémoire ci+é des Acta Math., p. 76.

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS

DÉDUITS DE QUATRE DROITES DONNÉES DANS L’ESPACE;

PAR

J. C. KLUYVER.

Etant données quatre droites 1, 2, B et 4 dont deux ne
sont pas dans un plan, peut-on construire une cubique gauche
Rz qui touche ces droites? A cette question on serait facile-
ment tenté de répondre par l'affirmative. Une pareille courbe,
en effet, dépend de 12 constantes ; elle peut donc satisfaire en
général à quatre conditions triples.

Cependant, M. Schubert >) et M. Voss * 2) ont montré que
quatre tangentes quelconques d’une R 8 sont toujours liées
entre elles par une relation invariante. En conséquence, ou
bien les droites 1, 2, 3 et 4 ne seront touchées par aucune
courbe ou bien elles le seront par toutes les courbes R 3 d’un
système du premier ordre. L’invariant simultané F des quatre
tangentes, qui dans le second de ces cas devient nul, a été
calculé par M. Voss.

C’est à l’occasion de ces résultats que je veux fixer l’at-
tention, dans les pages suivantes, sur un groupe de systèmes
de rayons covariants et de courbes Rz connexes à ces sys-
tèmes, courbes qui, par la supposition r — 0, deviennent les
courbes tangentes aux droites 1, 2, 3 et 4.

U Kalkül der abzàhlenden Geometrie. p. 166.

2) Mathematische Annalén , XIII, p. 168, ,,Ueber vier Tangenten einer

Raumcurve dritter Ordnung

J. C. KLUYVER. SUR DES SYSTEMES DE RAYONS, ETC. 71

Le traitement analytique de ces figures conduit, en premier
lieu, à une construction qui permet de décider par voie géo-
métrique si quatre droites arbitrairement prises remplissent,
oui ou non, la condition invariante r = 0. En second lieu,
nous déduirons de ce traitement comment les courbes tan-
gentes, au cas où elles existent, pourraient être construites;
finalement, quelques-unes des propriétés de ces courbes feront
encore l’objet d’un examen spécial.

1. La détermination de l’invariant F forme le point de dé-
part naturel des considérations suivantes. Pour cette recherche,
l’emploi des coordonnées homogènes de droites est indiqué.

8ix1} ylf zt, wt et x2, y2, z2, w2 représentent les coor-
données homogènes de deux points donnés, les grandeurs

P — Vi *2— V i 2,, q~zx x2~z2 x ,, r = a?j y2— x2 yt,
s =xx w2 — x2w x, t—yiw2 — y1wl, u — zx w2 — z2wx

désignent, dans la notation de M. Salmon, les coordonnées
homogènes de la droite de jonction. Elles satisfont, comme
on sait, à la relation identique

ps + qt + ru — O.

Lorsque deux droites g et h , aux coordonnées pg, . . . ug et
se coupent, l’invariant

pg Sh 4- p h sg + qg th 4- qhtg -f- rg Uh 4- Th ug

s’annule. Un invariant de cette forme sera indiqué par le
signe {g h) ou (h g).

Tandis que M. Voss, pour une courbe donnée R3, repré-
sente les coordonnées de la tangente par des fonctions biqua-
dratiques d’un paramètre, et à l’aide de cette représentation
démontre qu’il existe une relation invariante entre les coor-
données de quatre tangentes, nous allons, au contraire, con-
sidérer comme données quatre droites 1, 2, 3 et 4, et rechercher
si elles peuvent être touchées simultanément par une courbe
R3. En supposant qu’une semblable courbe ait été trouvée,

72

J. C. KLUYVER.

on pourra construire une surface réglée du second degré,
contenant, outre la courbe, les droites 1 et 2 De même, une
seconde surface réglée est déterminée par la courbe et ses
tangentes 3 et 4. Les deux surfaces se coupent encore suivant
une corde z de i?3, corde qui, puisque 3 touche la surface
(12 2), sera tangente à la surface réglée (321). Pour une raison
toute pareille, les surfaces réglées (234), (314) et (124) auront
également la corde 2 pour tangente.

Réciproquement, il est clair que, si ces quatre systèmes
réglés possèdent une tangente commune z, l’intersection de
deux hyperboloïdes, tels que (12 a) et (34 z), fournira une R 3
tangente à 1, 2, 3 et 4.

Cherchons donc à trouver des droites z qui présentent la
propriété en question. Désignons par y une droite quelconque
du système réglé (321), et remarquons que ses coordonnées
Py, . . . % sont à considérer comme des fonctions linéaires des
coordonnées px, . . . ulf p2, . . . u2 , p3^ . . . us des droites don-
nées, de sorte que nous pouvons toujours admettre six rela-
tions de la forme

Vy = R , P, +R1P2+ R3p3,

ny zr R ^ u , +i^2Wj+ R 3 u3.

En effet, pour toute droite x, pour laquelle on a (1 x) zz 0,
(2 x) = 0, (3 x) — 0, il en résultera (y x) zz 0. Les coefficients
variables R1} R.2 et iü3, qui entrent dans ces équations, doi-
vent toujours remplir la condition

R2 Rz (23) + JR 3 R, (31) + ■Rl R2 (12) = 0,
parce que, entre les coordonnées py, . . . uÿ) il existe la relation
Pv % + h “b ry sy = 0*

Chaque droite 2 coupe deux droites y du système réglé. On
peut en effet, par la résolution des équations

[y 2) z= Rx (1 z) + R2 (2 2) + R 3 (3 2) = 0,

R2 R 3 (23) -h R, R, (31) + Rt R2 (1 z) = 0,
obtenir deux systèmes de valeurs pour Rn R2 et R3.

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC.

73

Ces deux droites ij coïncident lorsque la droite et la conique,
représentées en coordonnées homogènes Rn R2 et B3 parles
équations ci-dessus, viennent à se toucher, ce qui a lieu sous
la condition

1^(23) (lz) + 1/(31) (2 z) + 1/(12) (3 z) = 0 ■).

Les tangentes z communes aux quatre surfaces réglées (234),
(314), (124) et (321) doivent donc satisfaire aux quatre relations
V^(34)(2 z) -h l^(24K3Ï) + l^(23)(4z)==0

1/pXTz) +1/(T4X^)+1/(3ÎK4z)=0 /

) • • (-A-)

Vx'(24)(lz) + Vx(14)(2z) +L/(12)(4z)=0 ^

1^(23)07) + l^(3Îj(2i) + (Ï2)(3z) =0

ce qui ne peut arriver que lorsque le déterminant

0

1/(34)

1/(24)

1/(23)

1/(34)

0

1/(14)

l/(3Ï)

1/(24)

1/(14)

0

1/(12)

1/(23)

l/(3Ï)

1/(12)

0

s’annule.

Far une réduction simple, ce déterminant se laisse mettre

aussi sous

la forme

0

1/(12)

1/(31)

1/(14)

A =

l/(Î2)

0

1/(23)

1/(24)

l/(3Î)

1/(23)

0

1/(34)

1/(14)

1/(23)

1/(34)

0

Posons-y :

a — (23) (14), b ~ (31) (24). c = (12) (34),

st = a + 6 + c, s.2 = bc-hca-hab, s:î = ab c.

i) M. Cayley a donné cette condition sous la forme de déterminant.
Comparez Salmon, Geometry.o\ three dimensions , 4e éd., p. 419.

74

J. C. KLUYVEK.

L’équation A = 0 prend alors la forme

a H- 6 H- c — 2 F^bc — 2 l^ca — 2 V' a 6 = 0,
qui finalement se laisse réduire a

r — (s,2 — 4 $2)2 — 128 s, s3 = 0.

Ainsi est obtenu l’invariant F, dont l’annulation ou la non-
annulation décide de la possibilité de courbes R 3 tangentes
aux droites 1, 2, 3 et 4.

2. Il ressort des équations (A) que dans l’hypothèse F = 0

la droite z est indéterminée, et de ces équations (A) on peut
tirer par résolution, les grandeurs (1 z), (2 z), (3 z) et (4 z . Pour
cela, il faut poser (1 z), (2 z), K (3 z) et (4 z) propor-

tionnels aux premiers mineurs A k,i de A. Il en résulte, vu
que A k,i = A /,* ,

b^(Tz) _ 1^(27) __ 1^(3 7) __ I7 (4z)

^*77 ~ ““ vâT, ’

OU

(1 2) _ (2*) _ (32)

1^(12) (13) (14) _ 1/(21) (23) (24) _ 1/(31) (32) (84) _

(42)

1/(41) (42) (43)’

et plus brièvement

(1 z) _ (22) _ (3 *) _ (4j0

P, P, P3 ' '

Ces équations font voir que les cordes 2 d’une R 3 tangente
à I, 2, 3 et 4 sont situées dans certains complexes linéaires,
qui doivent être considérés comme des figures covariantes des
quatre droites données.

A raison, toutefois, des signes différents qui peuvent être
attribués aux radicaux P, un examen spécial de ces signes
est nécessaire.

3. Remarquons, à cet effet, qu’aussi dans le cas général, où
r diffère de zéro, les systèmes de rayons indiqués par les

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC.

75

équations (B) ont une signification géométrique, dont nous
avons à nous rendre compte.

Considérons, par exemple, l’équation

( 1*) = ±£j (2*),

qui peut aussi être écrite sous la forme

(13)

a z) -y (2*)

V

(31) (24)

(14) )

(! *) — J24) (2 z) j =

0.

I ' ' r (23) (14)

Elle représente deux complexes linéaires, situés dans le fais-
ceau de complexes que déterminent les deux complexes dé-
générés (1 z) = 0, (2 z) = 0. Il résulte en outre, des deux formes
sous lesquelles l’équation peut être écrite, que les complexes
représentés par elle sont conjugués harmoniques dans le
faisceau, tant par rapport aux dégénérations susdites que par
rapport aux deux complexes

(1*>-ü<22) = 0’

(lz)

(14)

(24)

(2*)=0,

qui peuvent être menés par les droites 3 et 4.

D’après les équations (B), nous avons affaire à 12 complexes
de ce genre, pour lesquels nous emploierons la notation
suivante :

K±a==(lz)± (4 *) = <>, K±b = (2 z) ± ^ (4 z) = 0,

■*4 * i

K±c~{ 3*)±£i(4*) = 0,

4

K±ai = { 2*)±{l(8*) = 0, K+6i=(3 z)±^-(1z) = 0,

1 3 1 1

K±Ci = (1 z) ± ^ (2 z) — 0.

Pour avoir une idée nette de la liaison caractéristique qui
existe entre ces complexes, figurons-nous un tétraèdre quel-
conque, à faces 1, 2, 3 et 4. Désignons par a, 6, c les arêtes

76

J. C. KLUYVER.

limitant la face 4, et par a,, 6,, ci les arêtes opposées à
a, b, c.

La forme des équations K±a = 0, . . . K±Cl ~ 0 rappelle
alors les équations qui, en coordonnées tétraédriques homo-
gènes, représentent les plans bissecteurs des douze angles
dièdres sur les arêtes a, b,\..cl , lorsque le tétraèdre en
question est pris pour tétraèdre de référence. Entre la con-
figuration des complexes K et celle des douze plans bissec-
teurs il existe une analogie parfaite, se traduisant par les
correspondances suivantes :

12 plans bissecteurs des dièdres . 12 complexes K ;

16 droites d’intersection des
plans bissecteurs pris trois

à trois 16 congruences, intersections

des complexes K trois à trois ;

8 points d’intersection des
plans bissecteurs six à six
(centres de sphères inscrites

et ex-inscrites) 8 hyperboloïdes R , intersec-

tions des complexes K six à six ;

4 sommets du tétraèdre ... les systèmes directeurs des sys-
tèmes réglés (234), (314), (124)
et (321).

De cette analogie il ressort, en outre, que les hyperboloïdes
R sont situés deux à deux, avec le système directeur de l’un
des quatre systèmes réglés (234), (314), (124) et (321), dans
les 16 congruences. En effet, dans la figure correspondante,
les centres des sphères inscrites et ex-inscrites sont situés deux
à deux, avec l’un des quatre sommets du tétraèdre, sur 16
droites. Dans chaque congruence les deux hyperboloïdes R
ont donc en commun deux directrices g ' et g" , qui sont en
même temps génératrices de l’un des quatre systèmes réglés
que déterminent trois à trois les quatre droites données.

D’ailleurs, les deux transversales communes /' et /" de 1,

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC.

77

2, 3 et 4 appartiennent aux génératrices de chacun des liyper-
boloïdes 77, parce que ces droites /' et /" font partie de tous
les complexes K.

Les deux tableaux suivants sont destinés à donner un
aperçu de la situation relative de ces huit hyperboloïdes
77,, 772 , ... 77g. Dans le premier tableau on trouve, dans la
colonne à gauche, les hyperboloïdes 77, à la suite desquels sont
inscrits chaque fois les six complexes K qui déterminent la
surface. Dans la première colonne du second tableau sont placés
les systèmes réglés (234), (314), (124), (321); en regard, dans
la seconde colonne, se trouvent quatre couples d’hyperboloïdes
77, dont les directrices communes g' et g" font partie du
système réglé.

Hyp.

Complexes.

H,

K+a

K-i

K-c

K-a,

K+i,

K+c,

H,

K-a

K+i

K-a

K+a,

K-i,

K+c,

K-a

K-/,

K+c

K+a,

K+i,

K-c,

Ht

K+a

K+i

K+c

K-a,

K-i,

K-c,

H,

K-a

K+i

K+c

K-a,

K+i,

K+c,

H .

K+a

K-i

K+c

K+a,

K-i,

K+c,

H 7

K+a

K+i

K-c

K+a,

K+t,

K-c,

K-a

K-i

K-c

K-a,

K-i,

K-c,

Systèmes réglés.

Directrices communes

de:

(234)

1

1 H; |

! ■ j

1 1

He !

H7 !

• h6 i

1 H, I

(314)

K, |

h7 j

H,

1 ^ 1

h7 )

H . 1

1 H 5 !

i He )

(124)

H , 1

H, ,

! Hs |

! Hr‘ 1

#c ;

1 H, 1

1 H , 1

1 H, i

(321)

i

__ !

! !

! Hz |

! Hi 1

H r,

1 He !

1 n7 !

1 77 ’

u 8

78

J. C. KLUYVER.

De ces tableaux on peut déjà inférer que les surfaces //5,
H„ Hr, Ha se distinguent en quelque sorte des autres, et cette
différence ressortira encore mieux par la suite. A Hs corres-
pond, dans la figure analogue, le centre de la sphère inscrite ;

//7 sont conjugués les centres des trois sphères
inscrites dans les „toits”.

4. Il est facile de représenter les hyperboloïdes H par des
équations.

Chaque directrice y d’une pareille surface coupe toutes les
génératrices z et par conséquent aussi les deux transversales
communes /' et /" des droites 1, 2, 3 et 4. Les coordonnées
p y , . « . Uy de y peuvent donc toujours être considérées comme
des fonctions linéaires des coordonnées de 1, 2, 3 et 4, et l’on
peut notamment écrire:

Py = R\V\ + R^Pi + Æ3P3 + RuPt,

Uy= Riu1 H- R2u2 + R3u§ -h R^u^.

Les coëfficients variables Rtf...R4, qui entrent dans ces
équations, doivent satisfaire à la condition

2R2Rz (23) = R 2 R 3 (23) + R?RX (31)'+ RXR% (12) +

+ R XR 4 (14) + R 2 P 4 (24) + R3R ^ (34) zzz 0,

parce qu’on a constamment

Py Sy + qyty + T y Sy = 0.

Mais nous avons en outre (y z) •= 0, d’où il suit, à l’aide de (B),
£ R {P , zz: RlP1 + R2P 2 + R 3 .P 3 + i?4P4 0.

Les six équations

P y = ^ R i P j > * • • uy = ^ R i un
avec les deux conditions

^ R2 R3 (23) = 0, A RlP1 = 0,

dans lesquelles les signes des radicaux P sont à prendre tels
que chaque hyperboloïde H l’exige d’après les tableaux pré-
cédents, doivent être considérées comme la représentation

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC.

79

analytique de ces surfaces. Les coefficients i?4 y font

l’office de paramètres variables.

5, Nous chercherons maintenant une construction géomé-
trique pour les droites g' et g " de l’art. 3 et en déduirons la
construction des hyperboloïdes H. Comme il importe de bien
distinguer l’une de l’autre ces huit surfaces, qui d’ailleurs
doivent être trouvées toutes ensemble, il convient de faire
reposer cette construction sur une base algébrique.

Prenons donc le système réglé (321) et cherchons-y les
droites g ' et g" qui, suivant le tableau de l’art. 3, sont suc-
cessivement communes à //, et H 5, à H2 et Fl Q) à, H 3 et H7,
à Z/4 et FF 8.

Commençons par exprimer les coordonnées de chaque droite
y du système réglé en fonctions linéaires des coordonnées des
droites 1, 2 et 3. On y parvient, d’après l’art. 2, en posant

Py — Pi + RiVi H"

Uy zzr R i u j H- R 2u 2 -H R 3 u 3 ,

R2R3 (23) + R3Rl (31) + RtR% (12) = 0.

A la dernière de ces équations il est satisfait par les coeffi-
cients variables Jf?,, R2 et /?3, si l’on admet la relation

R | R 2 ü3

_ 2'(7-l) (23) “ ^-iy (3T) ~ 20^-1) (12) '

Ces coefficients deviennent ainsi des fonctions quadratiques
d’un seul paramètre y,, et nous avons

Vy = — 2 (y, — 1) (23) p1 + {g2 — 1) (31) p2 -h 2 (g -h 1) (12)p3

uy = - 2 0*— 1) (23) u4 H- (g2— 1) (31) ^ + 2 (g + 1) (12 )u3.

En même temps se trouve alors adjointe à chaque droite
y une valeur unique de g, et réciproquement; aux droites 1,
2 et 3 correspondent respectivement les valeurs — 1, co et
H- 1 du paramètre.

Nous déterminons les deux droites h' et h " du système réglé
qui coupent la droite 4, et posons donc

80

J. C. KLUYVER.

0 = (4 y) = — 2 fa - 1) (23) (14) + (g2 - 1)(31) (24) +

+ 2(^ + 1) (12) (34).

Cette équation, qui suivant la notation de l’art. 1 se laisse
écrire sous la forme

g2 b -f- 2 g ( — ci -b c) (2 a — b -\- 2 c) 0, . . . (C)

fournit les deux valeurs de g adjointes aux droites h' et h".

De la même manière, nous cherchons les valeurs de g qui
correspondent aux droites g' et g" . Posons

0 = (z y) = - 2 (n - 1) (23) (1 z) + (,«’ - 1) (31) (2 z) +

■P -2 fa -f- 1) (12) (3 z),

où l’on a à substituer

(1*) - (2z) _ (3*j

±P, ±P2 ±P3*

Les signes des radicaux P sont réglés d’après le premier
tableau de l’art. 3.

Nous arrivons alors, après division par V^(23)(31)(12), aux
équations

g2 l^b +2g(l/â+^c)+{--2l/a— 1^4-21^0) = 0

P1 1 /b+ 2 l/cl+(_21/â-l/6-21/ô) = 0 / (D

^ â—VÛ)+{+2^l— 1/0-21^5=0 i’ ' '

^2 1/6+2^— 1/â— l/c+)+2l/â— l^6+2W)=0 ,

qui donnent successivement les valeurs de g pour les droites
g ' et g ", communes à H] et Pr>, à P2 et HG, à //3 et H7,
à i?4 et 778.

A l’aide de l’équation (C), on peut déterminer les éléments
V et 1", m' et m", n' et ri' des involutions

(23; h' h”), (31; h' h"), (12; VA").

Le calcul direct apprend qu’aux droites

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC.

81

V et l"

r

m et m'Vcorrespondent les valeurs paramétriques

ri et ri'i

/

+ 1+21A

V _b
K a ± V'c
|l^ a + c

Pour chaque combinaison, prise arbitrairement, de cinq
éléments 1, 2, 3, h' et h", les trois couples d’éléments doubles
V et l", m' et m ", ri et ri' peuvent être groupés en triades qui
forment une involution avec la triade 1, 2 et 3. Effectivement,
on rencontrera ici les involutions (1 V; 2 m'; 3 ri), (11'; 2 m";
3n"), (1 l"; 2 m ; 3 n"), (1 l" ; 2 m"; 3 ri). Pour le reconnaître,
considérons, par exemple, les couples d’éléments il' ,2 m", 3 ri.
A ces couples correspondent, d’après ce qui précède, les trois
formes quadratiques binaires

— 2^W — ( 1^6 + 21^0),

-h 2 (2 -h 2 V^c),

^l^b — 2^a +(21^â— V'ô),

dont le déterminant s’annule, ainsi que cela doit être. De la
même manière, on se convaincra de l’existence des autres
involutions.

Par là se trouvent classés en quatre triades les six éléments
V, V, . . . n".

Considérons maintenant les quatre autres triades
l" m" n ", l m n", V m" ri, 1" m n",

qu’on peut former avec les mêmes éléments, et examinons
les quatre groupes d’involutions suivants :

((11; m" n") é (11 ; m ri') é (11 ; m" ri)

I (22; ri' V) , II (22; ri' V), III (22; ri V),

( (33 ; V m") ( (33 ; ï m) ( (33 î ï m!')

,(11; m ri)

IV (22; ril").

' (32 ; V m)

Archives Néerlandaises, T. XXV.

0

82

J. C. KLUYVER.

On peut démontrer que, n’importe de quelle manière soient
pris les éléments 1. 2, 3, h' et h", les involutions de chaque
groupe ont un couple d’éléments commun. Montrons-le, par
exemple, pour le troisième groupe, et calculons en même
temps les valeurs du paramètre pour ce couple d’éléments.

Les valeurs de (u étant connues pour les éléments V , Z", . . . n'\
nous pouvons assigner les formes binaires qui correspondent
aux couples m" n\ ri Z', Z' m", 11, 22 et 33. On trouve comme
telles

n‘l iybc 4- ^ ab) + 2 lu.(— — 1 ^ c a) 4-j

+(2a+V/6c— 21^— ^aby, pourm'Vetll.

u 2 \^bc - h 2 tu l^bc 4- l^ôc

4u2 b 4- 2 u ( — — 1 ^ab) 4- j

4- (— b— Z^bc+^m + Z^âb)^ pour n' V et 22,
0 . ,u 2 4r 0 . (u 4-

g,2 (y'bc 4- ^ a b) 4- 2 g (— c — ^ ca — 1 ^ab) 4-j

4-(— 2c— ^^4-2^04-^06), | pour V m" et 33.
g2 a6 — 2 g ^ ab 4- ^ ab

En soustrayant, dans chaque couple de formes, la seconde
de la première, on arrive, après une légère simplification, à

g2 1^6 4- 2 fi (—l^â -l sQ) 4- (2 l^â— 1^6— 2 l^c).

D’après les équations (D), les éléments indiqués par cette
forme sont les directrices communes g' et g " des hyperboloïdes
H 3 et H7. Ces droites sont donc les éléments communs des
involutions du groupe III.

On peut, sans beaucoup de peine, étendre cet examen aux
autres groupes et parvenir à la conclusion que les éléments
communs des involutions du

groupe

I \

ii/

111 \

IV

indiquent les directrices g' et g'\
communes aux hyperboloïdes

| H i et i/5
\ H2 et 77 G
I Ho et ti7
\ H n et II 8

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC.

83

Les éléments h ', h", Z', . , . . n", que nous avons rencontrés
clans les considérations précédentes, peuvent être déterminés
par construction géométrique. La recherche des droites g' et
g" se laisse donc également exécuter par la voie graphique.
Si les constructions nécessaires à cet effet sont répétées, mais
cette fois par rapport au système réglé (124), on trouve
quatre directrices de chaque hyperboloïde //; ces surfaces
elles-mêmes sont alors construites.

6. Cherchons maintenant dans quelles circonstances les
deux droites g' et g" d’un couple pourraient se confondre.
Pour cela, calculons les discriminants tant pour les quatre
équations (D) que pour les 12 autres, qui ont une significa-
tion analogue par rapport aux systèmes réglés (234), (314),
(124). Dans le tableau suivant sont consignés les résultats
de ce calcul.

Discriminants.

(234)

(314)

(124)

(321)

a -f- b -f- c — 2 b c — 2 c a — 2 a b

H, H,

H,HS

H, H,

U, H,

a -f- b -f- c 4- 2 b c- f-2 c a — 2 a b

HtH,

HtH,

H.t H ,

a -|- b -f- c -f- 2 L 'b c — 2 c a- f-2 a b

h„h6

HtH6

H,He

ct~\-b -f- c — 2 b c- f-2 c a -f-2 a b

H,HS

h,h5

HtHr,

Les 16 équations en question ne possèdent en tout que
quatre discriminants différents, qui sont inscrits dans la pre-
mière colonne. Dans les colonnes suivantes, on trouve indiqué,
pour chacun des quatre systèmes réglés (234), (314), (124),
(321), à quel couple d’hyperboloïdes H se rapporte le discri-
minant placé en tête de ligne.

Dès l’abord, il saute aux yeux que les quatre discriminants
sont les facteurs de l’invariant F, et que les hyperboloïdes 17,,
H e, H7 et Hs se comportent tout autrement que les autres.
On reconnaît, en effet, que, pour L=0, il y a toujours une

6*

84

J. C. KLUYVER.

de ces quatre surfaces dont les génératrices z toucheront les sjts-
tèmes réglés (234), (314), (124) et (321). Les droites z des hyper-
boloïdes Hn Ii 2, H3 et i?4, au contraire, ne peuvent jamais
être des tangentes communes de ces systèmes réglés. Or, il
est maintenant facile de voir comment on trouvera géométri-
quement si quatre droites données peuvent être tangentes à
une R3. On n’a qu’à chercher les directrices g' et g" qui sont
communes aux hyperboloïdes H et au système réglé (321). Si,
pour un de ces hyperboloïdes, par exemple pour //4 et Hè,
les droites g' et g " coïncident, on achève la construction i/„.
Prend-on ensuite sur Z/8 une génératrice quelconque z, les hyper-
boloïdes (23z) et (14z), (31z) et (24z), (12z) et (34z) se couperont
deux à deux suivant des courbes R*f tangentes à 1,2, 3 et 4.

Le système complet de ces courbes s’obtient en faisant
parcourir à la droite z la surface Hs.

On peut du reste, comme le remarque M. Voss, déduire
de l’une des R 3 tangentes, par une construction assez simple,
toutes les autres.

7. Avant de passer, toutefois, à l’examen du cas particulier
r = 0, nous signalerons une propriété assez intéressante des
hyperboloïdes H. , //6, H7 et //8, qui met encore mieux en
lumière la différence entre ces quatre surfaces et les quatre au-
tres. Les quatre droites données peuvent être disposées par cou-
ples de trois manières différentes. Chacune des combinaisons
ainsi obtenues, par exemple (23 ; 14), détermine, comme nous
le verrons, ce qu’on appelle un système focal d’ordre supérieur.
En parlant de pareils systèmes, nous avons en vue un rapport
par lequel à chaque point est conjugué un plan passant par
ce point, à chaque plan un point situé dans ce plan. Le
système focal est dit du premier ordre lorsque aux points
d’une droite correspondent les plans d’un faisceau et réci-
proquement.

En ce qui concerne maintenant la combinaison (23 ; 24),
observons que par chaque point passe une droite coupant 2
et 3, ainsi qu’une deuxième coupant 1 et 4. Le plan de ces

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC.

85

sécantes peut donc être conjugué, comme focal, au point consi-
déré. Inversement, dans un plan quelconque on rencontre une
droite coupant 2 et 3, ainsi qu’une droite coupant 1 et 4. Le point
d’intersection de ces droites peut être considéré comme le foyer
du plan. On a ainsi un système focal déduit de la combinaison
(23 ; 14). Il est facile de montrer que le foyer parcourt une
courbe gauche R 3 lorsque le plan focal tourne autour d’une
droite, et qu’aux points d’une ponctuelle, correspondent comme
plans focaux, les plans tangents d’une surface développable de
la troisième classe. Les choses deviennent encore plus simples
quand on a affaire à une droite l reposant sur leè deux trans-
versales /' et /" de 1, 2, 3 et 4. Aux points de l sont alors
conjugués les plans passant par une certaine droite x qui
rencontre également /' et /", tandis que, réciproquement, les
plans passant par la droite l sont les plans focaux des points
de la droite x. La correspondance entre l et x a un caractère
involutif. Nous cherchons le lieu géométrique de x dans la
supposition que l décrive un système réglé. Cette droite l
restant constamment appliquée sur /' et on peut, comme
dans l’art. 4, concevoir ses coordonnées déterminées par les six
équations

pi = 2 Ax px , ui ■= 2 A , u u

dont les coefficients variables A1% . . . Aq sont assujettis à la
condition, déjà mentionnée,

2 A2 A3 (23) = 0.

Entre ces coefficients il existe toutefois, vu que l parcourt
un système réglé, une seconde relation, et celle-là linéaire,
qu’on peut écrire

2 n , A t — TT , A , ~~ TT 2 A 2 + 3 A3 + 7r4A4zz:0.

Pour la droite x, conjuguée à l, on peut agir de la même
manière et poser

= SV, pit . . . ux = 2 V, u,,

2 V, V3 (23) = 0.

86

J. C. KLUYYER

Remarquons, en vue de la détermination des coefficients
V,, ... F4, que toute droite qui coupe 1, 4 et l, ou 2, 3 et l,
rencontre aussi x. Cela exige

V , — (J A. J , V 2 = G A 2: V 3 = 6 A 3, V 4 — -4 4 .

La substitution de ces valeurs de F, , . . F4, dans l’équation

2’ V 2 V3 (28) = 0

donne

q2A, Ai(l4) + ea\A3Al (31 ) + At A2 (12) + A2 A, (24) +

-h A3 A4 (34) ] + a*A2A9( 23) = 0,

et de celle-ci, combinée avec

<2 A2 A 3 (23) = 0,

il suit

— ^ A, A, (14) - a A2 A3 (23) j = 0.

Comme, tant que l et x ne coïncident pas, q et a sont
différents, on arrive à la conséquence

q z=z A2 A3 (23), a = At Ah (14),

de sorte que finalement les coordonnées de x sont exprimées
par six équations de la forme

px — A , At A3 (23 )p, + At A, At (14) p2 + A , As At (14 )p3 +

+ AtAtA 4 (23)P) (E)

Les coefficients variables Alf...A4f contenus dans ces
équations, doivent satisfaire aux deux conditions.

2 A2 A3 (23) = 0,2 t r, A , =0.

De tout ce qui précède, on peut conclure que la droite x a
pour lieu géométrique une surface réglée unicursale FG du
sixième degré, sur laquelle les droites données 1, 2, 3 et 4 se
présentent comme génératrices doubles. En considérant que cha-
que génératrice du système réglé (321) rencontre six droites x,
tandis que chaque droite x ne coupe que deux de ces géné-
ratrices, on reconnaît, en outre, que les deux transversales

SUR UES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC.

87

/' et /" sont des droites triples de FG. Cette surface repré-
sente maintenant tant l’enveloppe des plans focaux des points
de l’hyperboloïde décrit par l, que le lieu géométrique des
foyers des plans tangents à cet hyperboloïde.

8. Mais, à côté de la combinaison (23 ; 14) se trouvent les
deux autres (31 ; 24) et (12 ; 34), de sorte qu’à l’hyperboloïde
décrit par l il correspond, non pas une surface FG unique,
mais trois de ces surfaces. On peut se demander s’il est pos-
sible de choisir l’hyperboloïde de telle façon que les trois
surfaces réglées se confondent. Pour répondre à cette question,
considérons les équations (E) et remplaçons-y d’abord 3 par 4,
puis 2 par 3, ce qui fournira la représentation analytique des
deux surfaces réglées auxquelles donnent lieu les combinai-
sons (31 ; 24) et (12 ; 34). On trouve ainsi, parallèlement aux
équations de la première surface réglée,

V* = A, A2 A 3 (23) p, + A, A2 A 4 (14 )p3 4- A, A3 A,t (14)^s +
+ A3 A3 At (23 )pi,

2 A3 As (23) = 0,-£jr, A , =0,
pour la seconde surface :

P* = B 2 B 4 (24)p, + B, B2 B3 (31 )p2 + B% B 3 B 4 (24)^3 +

+ ^1 ^3 ^4

2’ B2 b 3 (23) = 0, 2 tt j Bt = 0,

et pour la troisième :

Px = C3 Ci (34) p { + C2 C3 04 (34 )p2 q- (7, C2 C3 (12)_p3 q-
-h G, C2 C, (12) p„

2 C2 C3 (23) = 0, 717, Ct =0.

Or, pour que ces trois groupes d’équations puissent repré-
senter les coordonnées de la même droite x, il faut que les
coefficients variables A , , . . . A 4 , B , , . . . Bfl , Cj , . . . C4 satisfas-
sent aux relations

88

J. C. KLUYVER.

Bl B 2 B 3 B, .t

A2 (23) (24) - A t (31) (14) “ A4 (14) (24) A3 (23) (31)

Cx _ C2 __ C, _ c4
A, (23) (34) Ak (14) (34) - Ax (12) (14) A2 (23) (12) ‘

Dans cette supposition, en effet, il suit de A A2 A3 (23) ~ 0
que les conditions

^ B2 B 3 (23) 0, 2 C2 C3 (23) = 0

sont également remplies. Quant aux autres relations entre
les coefficients, elles déterminent les quantités encore inconnues
? t1,...7t4. On trouve, en effet,

TU j « «... ^ 2 _ ^ 3 _ TU ^

tt2 (31) (14) — 'fi j (23) (24) — (23) (31) — ?r3 (14) (24) ’

TU ^ TU q TU ^ TU ^

(12) (14) “ tt4 (23) (12) - vr, (23) (34) = n, (14) (34) •

A ces équations il peut être satisfait en posant

TU | TU ^ TU jj

+ l/a2T(13)Ô4) = ± v^(21) (23) (24) = ±ï>(31) (32) (34)==

^4

± 1^(41) (42) (43)*

Les signes des radicaux doivent être choisis de manière
qu’on ait toujours

TT , 7T 3 (24) = -+- 7T2 7T4 (31).

Les radicaux eux-mêmes ont déjà été rencontrés dans l’art. 1,
où nous les avons désignés par les lettres P,, . . . .P4.

Il résulte de tout ce qui précède, que la droite l peut
décrire quatre hyperboloïdes répondant à l’obligation imposée,
hvperboloïdes qui sont représentés par les équations

pi =. Z A , p , , . . . ui =: 2 A , u , ,

2 A2 A3 (23) = 0, 2 A1Pl = 0,

dans la dernière desquelles les signes de P,,...P4 doivent
être pris tels que l’indique le tableau suivant :

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC. 89

P,

P î

P 3

P 4

-h

—

—

-b

i ",

4-

—

4-

—

",

4-

-b

—

—

"7

-b

-b

H-

",

En rapprochant ce résultat de ce qui a été trouvé à Fart. 3,
on reconnaît que les droites l ne sont autre chose que les
directrices des quatre hyperboloïdes i?5, i?6, H 7 et i?8. A
ces hyperboloïdes seuls appartient donc la propriété, que
l’enveloppe des plans focaux de leurs points, ou, ce qui
revient au même, le lieu géométrique des foyers de leurs
plans tangents, est toujours formé par la même surface réglée
P6, quel que soit celui des trois systèmes focaux qui sert
de point de départ. Les coordonnées des génératrices x de
cette surface réglée sont déterminées par les équations

px — ^ Vx pi} . . . ux “ 2 V{ ui3

V 3 (23) = 0, S y~jjr — 0-

Les signes des quantités P,,...P4 se règlent d’après le
tableau ci-dessus.

9. Aux droites 2' de l’un des quatre hyperboloïdes H en
question sont maintenant adjointes, au moyen de l’un des trois
systèmes focaux, par exemple de (12 ; 34), certaines courbes
gauches P3, situées sur la surface P6 qui correspond à H .
Les plans focaux des points de l’une de ces courbes enve-
loppent la droite conjuguée z, la courbe elle-même a les droites
1, 2, 3, 4 et z pour cordes et devient, dans le cas F— 0,
comme la remarque en a déjà été faite à l’art. 6, tangente
à 1, 2, 3 et 4.

90

J. C. KLUYVEK.

Dans le cas général r^O, les quatre couples de points où
R3 coupe les droites 1, 2, 3 et 4 représentent quatre formes
quadratiques binaires flt . . ./4, entre lesquelles il existe des
relations invariantes, que nous allons étudier.

Les quatre formes

fi — a*2> fi — bx2 , f3 = Cx2, /4 = dx 2,
possèdent les invariants communs

4| i rz(aa;2; ^423 ~(èc)2, R.13 "zzz A22A33 A2 2 3,
i?2î4 = (6 c) (b d) ( c d), etc.

En outre, il est toujours satisfait à l’identité

0 = ^234/1 “b i?3 14/2 + ^124/3 + ^321/4-
Admettons que la droite z' détermine sur fi3 un couple
de points représenté par la forme binaire /0 ; on a alors, vu
que les formes /0, /, et f2 , aussi bien que les formes /0, /3
et /4 , sont en involution,

/ 0 — ^234/1 "b Ü314/2 — ^124/3 ^321/44

d’où il suit

^.0 =^2314^I2> ^20=^2 2 3 4 ^.2) ^30=^2 3 2l^

R 2 R

14 1 2 4 3 4 *

En supposant provisoirement qu’il s’agisse de l’hyperboloïde
Jï8, nous avons, d’après les équations (B) de l’art. 2,

(lz) __ (2 z) _ (3 z)

1^(12) (13) (14) ~ 1^(21) (23)"(24) “ 1^(31) (32) (34)

_ . (4 g)

(41) (42) (43)*

Mais les invariants (1 z), (12), etc. doivent évidemment être
pris proportionnels aux résultantes Rl0, R]2> etc., de sorte
qu’on obtient

R

R2

R2

1 2 4

E /?23/?24i?34 l^R3tRl4R37i R 12^14^24

R2

3 2 1

1^R23JR3i/?,

(F)

SUR DES SYSTEMES DE RAYONS, ETC.

91

Pour faire mieux ressortir la signification de cette relation
triple entre quatre formes binaires, il convient de lui chercher
d’abord une autre expression.

De (F) il suit immédiatement

R

3 2 1

fl .) o R ^ i H | 2

__ ^ ~ 2 3 4 ^ 2 3 1 4 ^ 2 1 2 4
^14 ^2 4 ^34

La division par

£4

R

donne

^2 3-^3] 2 ^2 3 ^2 4 -^3 4

R2 R1

R2 n , 11 3 1 4 12 4 I)

3 2 1 n 1 4 ^ n, ri 2 3 *

n 2 3 4

(G)

Il est à remarquer que cette équation reste la même, quand
on part des hyperboloïdes HG ou H7. Le second membre
acquiert au contraire le signe négatif, lorsque la droite z est
prise sur l’un des hyperboloïdes Hx , H2, H3 ou Hk.

L’identité

“^321/4 - ^234/1 +^314/2 + ^124/3

conduit à l’équation

^2 3 2 l^' 4 ^ 2 3 1 4 ^ 1 2 “b R~ j 24^3 ] 2 R 3 j 4 R | 2 4 ! 2 -4. 3 1

^2 3 ^ I 1 b

En combinant celle-ci avec l’équation (G), on obtient

0 = -R* 314**1 24^23+^, 24^2 3 4^3 ,+**„4**

2 -R2 2 3 4 P3 ! 4 Lj 2 4 (A j 2 A3 , A2 3 A J.

D

3I4A12

L’échange cyclique de 1, 2, 3 fournit encore deux autres
équations de la même forme, savoir :

A R 2 R2 R R2 R2 R

U n 314^ 1 24A23 ^ 12V1 2 3 4il3 I

R 2 R 2 R

Xl 2 3 411 3 1 4Xll 2

^ 3 i 4 ^124^234 (^23^12 ^3 l ^22))

0 P2 3 j 4P2 j 2 ,R2 3

R 2 R 2 R

l 2 4Xl 2 3 4 Xl3 1

P*

R2 R

X 1 3 1 4xl l 2

2 P 2 1 2 4 ^2 3 4 ^ 3 1 4 3 1 ^23 ^12 ^33 )•

92

J. C. KLUYVER.

Si, pour abréger, on pose

a“ ^23, ^ |J C — 1 2 >

/ ”= ^12^31 ^ 2 3 ^ I 1 J 9 = ^23^12 ^31^22?

/i ^3 | ^2 3 ^12 "^33*

ces trois équations pourront être remplacées par les suivantes :

0— a R 3 1 4 ^124 ^12 4 ^2 3 4 # ^ 2 3 4 ^314 >

0— ^3 14 ^|24 +^^124 34 / ^ 2 3 4 ^3l4)

^ = 9 ^ 2 \ i ^124 /^1 24 ^2 3 4 + C ^2 2 4 ^34 4*

Or, ces dernières équations ne peuvent subsister simulta-
nément, à moins qu’on n’ait
a — h — g

A' = — à 6 — / =a6c — a/2 — 6#2 — cà2 — 2/#à === 0 . . . (H)

-*-/ « I

Par là, les relations (F) entre les quatre formes sont fina-
lement ramenées à quatre conditions de la forme A' = 0, dans
lesquelles il n’en entre chaque fois que trois. Ces quatre con-
ditions n’équivalent, bien entendu, qu’à trois relations indé-
pendantes. Il est facile d’indiquer des formes spéciales qui y
satisfont; par exemple, en partant de la supposition

f = g = h.

Veut-on, dans ce cas, avoir des formes réellement différen-
tes, dont les discriminants ne s’annulent pas, et dont il n’y
en ait pas trois en involution, il faut prendre a = — 2,
2

f = -i-— on arrive alors aux quatre formes dites du cube *),

O

dont le produit est représenté par

x y ( x 6 — 8 a?3 y3 — 8 ?/6),
et qui satisfont aux relations identiques

/, +/, +/3 +/« =0, / ,2 +U +/** = o.

i ) Gordan-Kerschensteiner, Vorlesungen über lnvariantentheorie, II, p.16'1 ,

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC.

93

10. Jusqu’ici, toutefois, la signification géométrique des con-
ditions invariantes (F) ou (H) n’est pas encore trouvée.

Pour simplifier la figure à étudier, prenons, sur la courbe
R 3 considérée dans l’article précédent, un point quelconque,
et de ce point comme centre projetons sur un plan quelconque
la courbe et ses quatre cordes 1, 2, 3 et 4. Par cette opération,
on obtient une conique C2, avec quatre de ses sécantes 1, 2,
3 et 4. Les couples de points où 1, 2 et 3 rencontrent la
conique déterminent de nouveau trois formes quadratiques
binaires, entre lesquelles existe encore la relation (H). Il s’agit
de savoir quelle est, en vertu de la condition (H), la situation
particulière des trois droites relativement à C2.

Admettons que, par rapport à un triangle de référence
X Y Z, la conique C 2 ait pour équation

X Y— Z2 = 0 .

Les coordonnées des points de cette courbe seront exprimées
de la manière habituelle, en fonction d’un paramètre sui-
vant les équations

x^_ _r __

f»2 _ i fi '

En supposant que les trois formes binaires, ci-dessus men-
tionnées, soient

Ii = ao P2 + 2a, /t -H «2,

fi +2 bt p + b2J

fi — co .u2 + 2 c, [a, 4- c2,

nous trouvons pour les équations des droites 1, 2 et 3, par
ordre successif,

0 — x — a q X -f- a 2 Y -h 2 a t Z,

0 = y=zb0X-{-b2 F+26, Z,

0 z^ z zz: ç 0 X -f- c 2 F H- 2 c, Z ,

d’où l’on déduit

94

J. 0. KLUYVER.

x y z

X y z

x y z

II

a, 6, c,

, Y — 2 j a0 b0 Cq

, 2 =

CL 2 b 2 C 2

CL 2 b 2 C 2

a, bx c,

a0 &o co

L’équation de la conique C 2 par rapport au triangle de
référence ayant pour côtés les droites 1, 2 et 3, s’obtient en
substituant ces valeurs dans

X Y — Z2 =0.

Comme résultat de cette substitution, on trouve, après quel-
ques réductions

a x2 -h b y2 + cz2 H- 2 fy z + 2 g zx 2 lix y = 0,

où les coefficients a, b, c, /, g et h ont la signification que nous
leur avons attribuée dans l’article précédent.

Ce résultat étant rapproché de la condition (H), la traduc-
tion géométrique de la relation invariante A' — 0 ne présente
plus de difficulté. Un théorème connu ') nous apprend, en
effet, que dans le cas

A ' -=.ab c — a f1 — b g2 — ch2 — 2 fg h — 0,

les six droites, menées des sommets du triangle de référence
aux points d’intersection de la conique C 2 avec les côtés
opposés, passent trois à trois par deux points.

Les courbes B3} qui, au moyen des systèmes focaux con-
sidérés dans l’art. 7, sont conjuguées aux génératrices z des
hyperboloïdes H. , HG) Hn et , ont donc par rapport à leurs
quatre cordes 1, 2, 3 et 4 une situation particulière, carac-
térisée par la propriété suivante :

Si l’on considère la conique et le quadrilatère obtenus en
projetant une semblable courbe B3 et ses quatre cordes 1, 2, 3
et 4, d’un de ses points comme centre, sur un plan quelconque,
alors, dans chacun des quatre triangles du quadrilatère en

J) Salmon, Conic sections , 6e éd., p. 408, ex. 13.

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC. 95

question, les six droites menées des sommets aux points
d’intersection de la conique avec les côtés opposés passeront
trois à trois par deux points.

11. L’étude précédente a donc fait voir comment on peut
distinguer par une construction géométrique les cas r = 0,

-T>" 0, et comment se trouvent les différentes figures cova-
riantes qui, dans le premier cas, engendrent les courbes R3
tangentes aux droites 1, 2, 3 et 4. Peut-être y a-t-il quelque
intérêt à nous arrêter encore un instant au cas r = 0.

Admettons qu’aux génératrices z de l’hyperboloïde H% , dans
chacun des trois systèmes focaux, soient adjointes des cour-
bes tangentes à 1, 2, 3 et 4. Ces courbes forment, comme
on l’a vu à l’art 9, une surface réglée unicursale FG , qui a
les droites 1, 2, 3 et 4 pour génératrices doubles, et leurs
deux transversales f' et /" pour droites triples. Mais ici,
à cause de f = 0, la surface FQ présente une particularité
nouvelle: les génératrices doubles sont devenues des arêtes
de rebroussement.

En effet, dans la droite 1, par exemple, deux nappes de la
surface se rencontrent, et chacune des courbes R3 doit, au
point où elle touche cette droite, pouvoir passer de l’une des
nappes sur l’autre. Cela exige qu’en ce point les plans tan-
gents aux deux nappes coïncident avec le plan osculateur
de la courbe, d’ou résulte que la droite 1 devient effective-
ment arête de rebroussement.

En outre, les droites /' et / " sont, par rapport à chaque
courbe P3, des polaires conjuguées, de sorte que chaque
génératrice z de FG doit être considérée, pour toutes les
courbes, comme un rayon d’osculation.

Le plan osculateur en un point quelconque de l’une des
courbes contient donc toujours une génératrice et est par
suite, au point considéré, tangent à F 6. De là vient que,
suivant la remarque de M. Voss, les courbes R3 forment les
courbes asymptotiques de la surface F6 .

06

J. C. KLUYVER.

Si Ton fait décrire par la courbe R3 la surface F c, les
quatre points de contact de 1, 2, 3 et 4 parcourront évi-
demment des ponctuelles homographiques, droites dont les
intersections avec les transversales /' et f" formeront deux
groupes de quatre points homologues.

Par des considérations de ce genre, on est conduit à regarder
deux courbes R 3 et R 3 comme des figures homologues dans
deux systèmes collinéaires, dans lesquels la congruence (/' f")
se correspond à elle-même. Une transformation homograpliique
répétée suffit donc pour déduire de l’une des courbes R3
toutes les autres.

Cette déduction peut toutefois, si l’on veut, se faire encore
par une voie différente.

Tient-on compte, en effet, de la circonstance que tous les
complexes linéaires adjoints aux courbes R3 contiennent la
congruence (/' /"), on peut démontrer que, dans le faisceau
de complexes ainsi déterminé, il existe toujours un complexe
K , par rapport auquel deux courbes R 3 et R' 3 sont des figures
réciproques, de telle sorte qu’à un point de l’une des courbes,
comme foyer, correspond un plan osculateur de l’autre,
comme plan focal.

Or, en partant d’une semblable correspondance, il est facile
de prouver que pour la surface réglée F 4 du quatrième degré,
décrite par celles des cordes de R3 qui appartiennent au
complexe K , la courbe R'3 forme l’arête de rebroussement
de la surface développable bitangente qui peut être construite
autour de Fk .

12. De tout ce qui vient d’être dit il ressort suffisamment
que, pour toutes les courbes R 3 de F 6, le rapport anharmo-
nique des quatre tangentes 1, 2, 3 et 4 est le même. Nous
allons faire voir encore comment ce rapport anharmonique
l dépend des biquotients analogues V et l" , auxquels donnent
lieu les deux groupes de quatre points d’intersection qu’on
trouve sur les deux transversales communes / et /". A cet
effet, nous représentons, ainsi que l’a fait M. Voss, les coor-

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC.

97

données des tangentes d’une R 3 par des fonctions biquadra-
tiques d’un paramètre variable Supposons que pour 1, 2, 3
et 4 ce paramètre prenne les valeurs p,,. ..p4. Il en résulte
immédiatement que les invariants (23), (31), etc. doivent être
pris proportionnels aux quantités (^ — ^3)4, (ju3 — ^,)4 etc.
Pour le rapport anharmonique l on a donc:

j 4 _/,»|— ,«-2 . mA 4 _ (12) (34) _c

-\r-rr’n-rJ (31) (24) 6 •

Rapprochons ce résultat de l’équation

P2 b H- 2 ^ ( — a + c) + (2d-6 + 2c) = 0,... (C)
qui a été établie à l’art. 5. Cette équation fournit les valeurs
paramétriques fi' et fi’', appartenant aux deux droites h1 et
h " du système réglé (321) qui sont coupées par 4, dans la
supposition qu’à 1, 2 et 3 reviennent les valeurs paramétri-
ques — 1 , oo , H- 1.

Pour V on a, par conséquent,

v — 1 — oo fi' — oo 1 — /a'

“ - 1—1 :u^-T~~2

De même, pour P',

de sorte que, d’après (C),

= )(!-*•") = -J-.

Entre les trois rapports anharmoniques considérés, il existe
donc la relation très simple

W = VX",

qui nous apprend que, pour quatre tangentes quelconques
d’une R 3, la quatrième puissance du rapport anharmonique
est égale au produit des deux rapports analogues appartenant
aux deux groupes de quatre points d’intersection qu’on ren-
Archives Néerlandaises, T. XXV. 7

98

J. C. KLUYVER.

contre sur les deux transversales communes de ces quatre
tangentes.

13. Finalement, nous déterminerons encore, pour le système
des courbes tangentes R 3, les nombres caractéristiques les
plus simples. Comme tels, sont immédiatement connus les
nombres v et v , qui dans la notation de M. Schubert 1 )
indiquent combien de courbes du système coupent une droite
donnée ou font passer un plan osculateur par une droite
donnée. D’après ce qui précède, on a v = v = 6.

Nous avons déjà remarqué que la surface réglée F6 est
unicursale, et par conséquent du rang 10. Chaque tangente
de F6 est toutefois rayon d’osculation de la courbe R3 qui
passe par le point de contact, et les rayons d’osculation
forment donc un complexe du degré a — 10.

Pour décider combien de courbes sont touchées par un
plan donné, il faut considérer que les points où le plan est
coupé par les courbes forment une involution cubique, située
sur une courbe unicursale, intersection du plan et de la
surface F6 .

Une pareille involution possède quatre points doubles, et
il y a par conséquent q = 4 courbes qui touchent un plan
donné. Mais alors il y en a un nombre égal qui font passer
une tangente par un point donné; donc, q =4.

Il reste à déterminer le degré (5 du complexe formé par
les cordes des courbes F3. Pour cela, nous adjoindrons à
chaque point p de l’une des courbes tout autre point q de
la même courbe, et au système ainsi construit, — système
du troisième ordre de couples de points p, q, à droite de
jonction g , — nous appliquerons la formule de coïncidence * 2)

egp^zp3 -h q3 -h g» .

Les signes p3 et q3, qui impliquent la condition que les

i ) l. c., p. 163.

2) Schubert, l. c.. p. 44, forrn. 3.

SUR DES SYSTÈMES DE RAYONS, ETC. 99

points p et q soient donnés, ont ici la valeur zéro. Le signe
tgï o indique la condition que p et q coïncident et que la
droite g passe par un point donné. D’après ce qui précède,
il y a quatre courbes dont une tangente passe par un point
donné. Mais, en outre, les transversales f et f" forment
deux dégênérations, pour lesquelles les intersections avec
1, 2, 3 et 4 doivent être considérées comme des ^sommets.”
Les droites menées du point donné à ces huit sommets sont
censées remplir la condition tgp.

On a donc egp = 12. Enfin, gs est le signe de la condition
qui exprime que la droite g fait partie d’un faisceau donné.
Or, chaque faisceau contient p cordes g , sur lesquelles se
trouvent deux points de la courbe ; chacun de ces deux points
peut être le point p , de sorte que pour gs on aurait à écrire
la valeur 2fi. Mais, celles des droites du faisceau qui coupent
f et f" satisfont chacune trois fois à la condition gs : nous
avons donc gs = 2 fi -f 6. Dès lors, la formule donne = 3,
résultat qu’il est facile de vérifier dans le cas particulier où
l’on fait passer le plan du faisceau par l’une des droites/ et
f". Ajoutons qu’on a la même valeur pour le degré / du
complexe que déterminent les axes (intersections mutuelles
des plans osculateurs) des courbes R 3.

En résumé, dans l’hypothèse de r = 0, on a, suivant la
notation de M. Schubert,

T4 v — T4 / = 6 , T* z T4 Q' = 4, T4 <r = 10 ,
T4 (5 = T4 / = 3,

T .oi

■

.

'

■

.

!

.

-

PREMIÈRE LIVRAISON.

Jan de Vries, PolygODes cycliques sur, courbes cubiques planes -Pag- 1*

Jan de Vries, Sur un groupe de configurations planes régulières et quelques configurations
planes connexes, de points et de courbes - » 33.

Jan de Vries, Sur une configuration plane de vingt-quatre points et de dix-buit droites .. * 57.

J. C- Kluyver, Sur des systèmes de rayons déduits de quatre droites données dans l’espace . * 70.

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Les Archives Néerlandaises des sciences exactes

«

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hollandaise des Sciences à Harlem.

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ARCHIVES NÉERLANDAISES

II

SCIENCES

EXACTES ET NATURELLES

PUBLIÉES PAR

»

LA SOCIÉTÉ HOLLANDAISE DES SCIENCES À HARLEM,

ET RÉDIGÉES PAR

J, B O S S C H A,

Secrétaire de la Société ,

AVEC LA COLLABORATION DE

MM. D. Bierens de Haan, C. A. J. A. Oudemans, W. Koster,
C. K. Hoffmann et J. M. van Bemmelen.

HARLEM

LES HÉRITIERS LOOSJES.

1893.

PARIS LEIPSIG

GA CJTHIERS-VILLARS. G. E. SCHULZE.

ARCHIVES NÉERLANDAISES

DES

Sciences exactes et naturelles.

SUR UN

CAS 1)E COHÉSION ET DE DIALYSE DANS LE CYPRIPEDIÜM
BARBATUM lindley, yar. SIIPERBUM

PAR

le Dr. J. Th. CATTIE.

Par Tintermédiaire bienveillant de M. J. J. Duyvené de Wit,
de Velp, à qui je dois des remercîments bien sincères, je
reçus de M. van Eck, jardinier en chef du Jardin des Plantes
d’Arnhem, une fleur de C. barbatum superbum , dont la struc-
ture anomale me paraît assez remarquable pour mériter une
description détaillée.

Dans ces dernières années, la Tératologie des plantes a
tenu une grande place dans les sciences exactes, parce que,
en plusieurs cas, elle nous apprend beaucoup sur la structure
et les caractères d’un genre et nous offre mainte occasion de
nous renseigner sur la place et l’arrangement des divers ver-
ticilles d’une fleur.

Il est connu que le genre Cypripedium appartient à la section
des Diandrae des Orchidées, les étamines étant au nombre de
deux. Théoriquement, on suppose que dans la famille deux verti-
cilles d’étamines peuvent être présents. Dans le genre Cypripe-
dium., les deux étamines paires (latérales) du verticille intérieur
sont développées et fertiles ; l’étamine impaire du verticille exté-
rieur est stérile et pétaloïde (staminode). Ces trois organes sont
soudés avec le style et forment avec le disque stigmatifère
le gynostème.

Archives Néerlandaises, T. XXV.

8

104

Dr. J. TH. CATTIE.

Non moins remarquable est la déformation du gynostème.

Dans les figures 1 et 3 nous avons figuré, vu de profil et
vu de dos, le gynostème du Oypripedium barbatum dans l’état
normal.

Les figures 2 et 4 représentent, vu de la même manière,
le gynostème dans l’état anomal.

Un simple coup d’œil sur les figures 1 et 2, comparées avec
les fig. 3 et 4, suffit pour nous faire comprendre que le
staminode n’est pas développé dans la fleur anomale et que
l'étamine droite (vue de face) de la fleur normale est absente
dans la fleur anomale. Il est clair aussi que l’étamine
unique de notre fleur anomale est implantée plus haut sur
le gynostème. Ensuite, le petit filet de cette étamine, bien
distinct dans la fleur normale, s’est réduit à un tronçon
d’une telle petitesse que cette étamine pourrait être dite sessile.

Résumons les altérations dans la position des diverses parties
d’un verticille de notre fleur. Nous obtiendrons alors:

0

P 3 P 2

0

Les deux schèmes comparés l’un à l’autre, nous appren-
nent que dans la fleur anomale le verticille extérieur a perdu s,
et que s2 et s3 sont libres (cas de dialyse). Du verticille in-
térieur, p2 et p3 sont soudés (cas de cohésion). Le staminode
est supprimé et l’étamine droite (vue de face) a également
avorté.

Dans la famille des Apostaciaceæ, si voisine des Orchidées
et n’en différant que par l’ovaire 3- loculaire et la placen-
tation centrale, il y a le genre Adactylus Endl., qui se rapproche
de notre fleur anomale par la suppression du staminode ;
mais il a deux étamines.

SUR UN CAS DE COHESION ET DE DIALYSE, ETC. 105

En vain j’ai tâché de trouver dans la littérature botanique
un cas analogue au nôtre Masters ') nous donne plusieurs
exemples, mais tous différents.

Dans le Gardeners Chronicle du 4 Sept 1886, nous trouvons
décrite superficiellement et schématisée une fleur de la même
espèce,, dans laquelle les sépales et les pétales ressemblent
parfaitement à ceux de la nôtre; mais l’auteur (M. le Dr. Masters)
fait mention d’une seule étamine, qui est considérée par lui
comme étant homologue à l’étamine impaire du verticille ex-
térieur des étamines, donc au staminode de la fleur en état
normal. La figure jointe à cette communication nous fait voir
une étamine assise sur le devant du gynostème, toutes les
autres ayant avorté.

Je me suis posé la question de savoir si ce cas sê rap-
proche du nôtre, de sorte que, par une torsion du sommet
du gynostème, l’étamine aurait été transportée à droite.
Pfitzer * 2) a observé que la torsion de l’ovaire inférieur s’était
propagée sur le gynostème dans le Mormodes colossus , Rchb.
fil. et le M. pardina Lindley.

Je crois que ce rapprochement est invraisemblable, parce
qu’il n’y a pas un seul indice qui nous puisse faire supposer
une telle torsion. Au contraire, la partie supérieure du gynos-
tème est bien distinctement aplatie, dorso- ventrale, et la place
de l’étamine est marquée positivement à droite.

Donc, à côté d’une dialyse et d’une cohésion, respectivement
dans les verticilles extérieur et intérieur du périanthe, il y a
suppression du sépale impair, du staminode et de l’étamine
droite du verticille intérieur.

Arnhem, Janvier 1891.

• ) Pflanzen Tératologie von Maxwel. T. Masters; Deutsche Uebersetzung
von Udo Dam mer, p. 111,

2) Pfitzer, Morphologische Studien uber die Orchideenblüthe, p. 121.

106 Dr. J. TH. CATTIE, SUR UN CAS DE COHESION, ETC.

Explication des figures.

(PI. I).

Dans toutes les figures, A est une étamine, B le stigmate ou disque
stigmatifère, C le staminode, D l’ovaire ou la tige à laquelle la fleur est
fixée. S2 et S3 sont les sépales latéraux (folioles externes du périanthe),
-P2 4-3 es^ P^ale homologue aux deux pétales latéraux de la fleur
normale. L est le labelle (coupé).

Fig. 1. Le gynostème de la fleur normale du Gypripedium barbatum ,
vu de profil.

Fig. 2. Le gynostème de la fleur anomale, également vu de profil.

Fig. 3. Le gynostème de la fleur normale, vu de dos.

Fig. 4. Le gynostème de la fleur anomale, également vu de dos.

Fig. 5. La fleur anomale du Gypripedium barbatum superbum , vue de

face (le labelle coupé).

Toutes les figures sont dessinées d’après nature. Dans les figures 1 — 4,
grossissement 3/2.

SUR LA

THÉORIE MOLÉCULAIRE DES DISSOLUTIONS

DILUÉES,

PAR

H. A. L O R E N T Z.

Les lois relatives à la pression osmotique d’une solution
étendue, ainsi qu’à divers phénomènes qui s’y rattachent,
sont si simples, qu’on est naturellement conduit à essayer de
les déduire directement de la théorie cinétique sans se servir
de la thermodynamique. Les résultats d’une étude entreprise
dans cette direction offriront peut-être quelque intérêt quoique
je n’aie pas atteint complètement le but proposé.

I. L’influence de forces extérieures sur la
concentration.

§ 1. Dès que la pression osmotique est connue pour différents
degrés de concentration, on peut, au moyen de la seconde loi
de la thermodynamique, calculer les différences de concen-
tration produites par des forces extérieures, telles que la
pesanteur. Je commencerai par faire ce calcul ’), après quoi
je rechercherai jusqu’à quel point la théorie moléculaire peut,
à elle seule, expliquer les résultats obtenus.

i ) Le résultat auquel nous -parviendrons n’est pas nouveau ; on le trouve,
par exemple, quoique sous une autre forme, dans le Mémoire de M. van
der Waals sur la ,, Théorie moléculaire d’une substance composée de deux
matières différentes” (ces Archives, T. XXIV, p. 1 (1890)).

108

H. A. LORENTZ.

Pour simplifier, j’admettrai que les forces extérieures sont
dirigées verticalement, de haut en bas, et qu’elles ont la même
intensité en tous les points d’un plan horizontal. Nous sup-
poserons d’ailleurs qu’elles varient avec la hauteur et que,
pour l’unité de masse du dissolvant et l’unité de masse du
corps dissous, elles ont des intensités différentes. Désignons
par A le dissolvant ou le „liquide”, par B le corps dissous,
le corps „ étranger”.

Soit maintenant un vase à parois très minces et „ semi-
perméables”, rempli de la dissolution très diluée qu’on a en
vue, et complètement immergé dans une masse du dissolvant
pur. Ce système étant maintenu à une température constante,
il s’établit, comme nous l’apprend la seconde loi de la ther-
modynamique, un état d’équilibre que nous allons examiner.

§ 2. Donnons au vase la forme d’un cylindre à axe vertical
et à base de grandeur 1, et appelons:

p et p' les pressions existant dans le liquide extérieur, au
niveau des bases inférieure et supérieure du cylindre:

P et P' les valeurs de la pression osmotique à considérer
en ces points, valeurs qui seront différentes aussitôt que la
concentration changera dans le sens vertical ;

F1 la force extérieure totale qui agit sur le contenu du
cylindre; F2 la force extérieure pour la portion du liquide
ambiant qui est contenue dans un espace cylindrique de même
grandeur que le vase et compris entre les mêmes plans
horizontaux.

Les conditions de l’équilibre sont alors: pour le liquide
extérieur

P — P' = F2,

et pour la dissolution dans laquelle la pression, en bas et
en haut, doit avoir les valeurs p + P et p' + P',

(P + P)-(P' + P') = F,.

De ces deux équations il s’ensuit:

P — P' — F, —F2.

SUR LA THEORIE MOLECULAIRE, ETC.

109

J’admets que les liquides en question sont incompressibles.
A la température choisie, le vase pourrait alors contenir une
quantité parfaitement déterminée, M, du dissolvant pur. S’il
est rempli de la solution, il contient une quantité moindre,
M', du dissolvant, et l’on peut se représenter la dissolution
comme résultant de ce que le corps étranger est venu prendre
la place de la quantité M — M' du liquide. Cette quantité sera
dite la quantité „ déplacée” du dissolvant. Si maintenant la
force extérieure qui agirait sur cette quantité est /2, et que les
molécules du corps dissous contenues dans le cylindre soient
soumises à la force extérieure totale /, , on aura évidemment

de sorte que la condition d’équilibre devient

p- p' =/,-/, a)

§ 3. M. van ’t HofF a montré que la pression osmotique
d’une solution diluée est égale à la pression exercée, à la
même température, par un gaz dont le nombre des molécules,
dans l’unité de volume, est égal à celui du corps dissous, à la
concentration qu’il a dans le liquide. Pour abréger, je nom-
merai cette pression la „pression gazeuse”; à chaque degré
de concentration correspond une valeur déterminée de cette
pression, et, si G et G' sont les valeurs relatives à la couche
inférieure et à la couche supérieure de la solution contenue
dans notre cylindre, on a, en vertu de (1),

G ~ G' =/, (2)

On comprend facilement que cette équation reste encore
applicable lorsqu’il n’y a aucune paroi semi-perméable et
que la solution occupe un espace de grandeur et de forme
quelconques. A l’état d’équilibre, la concentration a la même
valeur en tous les points d’un plan horizontal, et la différence de
ses valeurs en deux pareils plans est déterminée par la formule.
G et G' sont alors les pressions gazeuses qui correspondent
aux concentrations dans ces plans, et par il faut entendre

110

H. A. LORENTZ.

la force qui agit sur la quantité du corps J5, qui se trouve dans
un cylindre C compris entre les deux plans et ayant une base
égale à 1. D’autre part, /, est la force qui agirait sur le liquide
qui a été déplacé par la quantité nommée.

Ce qu’exprime l’équation (2) sera maintenant regardé comme
un „fait”, dont l’explication doit être cherchée dans la théorie
moléculaire. Dans cette explication, il ne sera plus question
de parois semi-perméables.

§ 4. Soit S, au sein de la solution, une surface fermée
quelconque. Je dirai qu’une molécule appartient à l’espace
circonscrit par dès que son centre de gravité s’y trouve;
cela posé, la surface renfermera à chaque instant un nombre
parfaitement déterminé des molécules de B. A l’état d’équi-
libre, ce nombre restera constant, bien qu’il y ait continuelle-
ment des molécules qui sortent de l’espace et d’autres qui y
entrent. Une seconde condition d’équilibre consiste en ce que,
au total, les molécules B contenues dans la surface ne possè-
dent, ni dans un sens ni dans l’autre, une quantité de mou-
vement résultante. Or, la quantité de mouvement qui existe à
l’intérieur de S, — il ne s’agit toujours que des molécules
B , — pourrait varier, d’abord parce que les centres de gravité
d’un certain nombre de molécules franchissent la surface, et
ensuite par l’action de forces d’origines différentes. La somme
algébrique de toutes les variations devra être nulle.

§ 5. Supposons d’abord une solution affranchie de toute
action de forces extérieures et par conséquent homogène.
Un plan quelconque ayant l’unité de surface est traversé
dans l’unité de temps par un certain nombre de molécules
de la substance dissoute Æ, dont les unes se meuvent dans
un sens, — disons du côté négatif vers le côté positif, —
les autres, en nombre égal, dans le sens contraire. Les pre-
mières possèdent ensemble une quantité de mouvement a,
normale à la surface et dirigée vers le côté positif; les se-
condes une quantité égale, mais dirigée en sens opposé. En
somme, la quantité de mouvement s’accroît donc, au côté po-

SUR LA THEORIE MOLECULAIRE, ETC.

111

sitif, de 2 a. Comme le même changement se produirait si
aucune particule matérielle ne traversait le plan, mais qu’une
pression 2 a agît sur la matière B au côté positif, je donnerai
à cette quantité 2 « le nom de „ pression cinétique” du corps
dissous. Sa valeur K est toujours les deux tiers de l’énergie
cinétique que les molécules B contenues dans l’unité de vo-
lume possèdent en vertu du mouvement de leurs centres de
gravité. J) A vitesse moyenne constante, K est donc propor-
tionnelle à la concentration.

i) La démonstration suivante fera ressortir la généralité de ce théorème
connu.

Dans un espace très étendu, menons un grand nombre de droites pa-
rallèles et égales, dont les points de départ sont distribués uniformément,
et demandons-nous combien de ces droites sont coupées par une portion
d’un certain plan, de la grandeur 1.

Soient n le nombre des points de départ dans l’unité de volume, l
la longueur des droites, y l’angle aigu qu’elles font avec la normale au
plan choisi. Ce plan étant rencontré par toutes les droites dont les points
de départ se trouvent dans un cylindre oblique du volume l cos y, le
nombre cherché est n l cos cp.

Que l’on se représente maintenant l’ensemble des chemins parcourus, dans
un temps infiniment petit dt , par les centres de gravité des molécules du
corps dissous. En tant que ces éléments sont coupés par un plan tel que
celui dont il vient d’être parlé, les molécules en question contribuent à la
pression cinétique K perpendiculaireà ce plan.

De tous ces éléments de trajectoires je ne considère d’abord qu’un seul
groupe, à savoir, celui des éléments décrits dans une direction déterminée
et avec une vitesse déterminée v.

Ce groupe présente avec le plan des intersections, au nombre de
nv cos cpdt , et donne pour la pression cinétique lé terme nmv 2 cos
si l’on représente par m la masse d’une molécule et par n le nombre des
molécules qui se trouvent dans l’unité de volume et qui appartiennent au
groupe considéré.

En prenant la somme pour tous les groupes analogues, on a K = 2 nmv2
cos- expression qu’on peut aussi écrire K = S m v2 cos 2q>, si l’on indique
par S une somme à laquelle chacune des molécules contenues dans
l’unité de volume fournit un terme. Supposons l’axe des x normal au
plan considéré et les deux autres axes situés dans ce plan et perpendicu-

112

H. A. LORENTZ.

§ 6. Revenons maintenant à la dissolution soumise à l’influ-
ence de forces extérieures, et prenons pour la surface S (§ 4)
la surface du cylindre C dont il a été question préalablement (§ 3).
On voit immédiatement que le mouvement moléculaire près de
la surface cylindrique n’apporte aucun changement à la
quantité de mouvement en direction verticale. Quant à l’in-

laires entre eux. Alors, si vx, vtjl v2 sont les composantes (le la vitesse v
il vient K=Smv\ Mais, puisque la dissolution possède dans toutes les
directions les mêmes propriétés.

S m v1 = S m v* = S m v1 :

x y z

chacune de ces expressions est donc égale au tiers de leur somme, de sorte
qu’on obtient K = £ Smv', ce qu’il fallait démontrer.

Le théorème peut d’ailleurs être étendu à des mélanges de plusieurs
matières. Toujours, la partie de la pression cinétique qui dépend d’un
seul des corps constituants est égale aux deux tiers de l’énergie cinétique
que possèdent, en vertu du mouvement de leurs centres de gravité, les
molécules de ce corps qui sont contenues dans l’unité de volume.

Ce théorème est depuis longtemps établi dans la théorie cinétique des
gaz. Il est toutefois indépendant de l’hypothèse que les molécules se meu-
vent en lignes droites, et peut être appliqué à tous les états d’aggrégation.
Dans la démonstration donnée, les trajectoires peuvent être des courbes
quelconques. Il est vrai qu’il n’y a pas été question de changements brus-
ques de direction durant le temps dt\ mais la possibilité en peut être
admise, sans que le résultat se trouve modifié.

Pour vérifier ce qui précède, je citerai un exemple simple. Imaginons
une masse gazeuse dans laquelle sont plongés un grand nombre de corps
solides immobiles, dont les dimensions et les distances mutuelles sont très
considérables par rapport aux dimensions moléculaires du gaz et qui
n’agissent sur les particules gazeuses qu’au contact immédiat.

Si l’unité de longueur est prise beaucoup plus grande que la distance
mutuelle des corps solides, la pression cinétique du gaz, pour une portion
de surface de la grandeur 1, peut être déterminée par le théorème trouvé;
elle doit donc avoir le valeur Z7, si U est l’énergie cinétique du gaz
dans l’unité de volume. On arrive un même résultat par le raisonnement
suivant. Si << est la fraction de l’unité de volume }ui est occupée par les
corps solides immobiles, l'espace réellement rempli de gaz contient une

énergie cinétique qui, calculée pour l’unité de volume, s’élève à

La pression cinétique pour une surface plane de la grandeur w, située tout

SUR LA THÉORIE MOLECULAIRE, ETC.

113

fluence des molécules B qui franchissent les bases inférieure
et supérieure, elle se laisse représenter, tout comme dans une
solution homogène, au moyen de la pression cinétique : seu-
lement, il faut ici donner à cette pression, pour les deux bases,
des valeurs différentes, K et K. La différence K — K ' fait
connaître de combien s’accroîtrait, dans l’unité de temps, la
quantité de mouvement des molécules B comprises à l’intérieur
du cylindre, la direction de bas en haut étant prise pour di-
rection positive.

Si maintenant/, est de nouveau la force extérieure agissant
de haut en bas sur la substance dissoute contenue dans le cy-
lindre, et Q la force exercée sur cette substance, dans la
même direction, par les autres molécules du système, /' H- Q
sera la quantité de mouvement produite par les forces dans
l’unité de temps, et on aura pour condition d’équilibre :

A — K — / , q- Q. (3)

§ 7. La force Q se compose des forces Y et Z , qui provien-
nent respectivement des molécules B environnant le cylindre
et du dissolvant, et dont chacune peut encore être décom-
posée d’une manière connue. En ce qui concerne d’abord
la force Y, il est à remarquer que les molécules B situées à
l’intérieur du cylindre peuvent être attirées par les molécules
de même espèce qui l’environnent, et qu’en outre quelques-
uns des chocs entre deux molécules B auront lieu de façon
que l’une ait son centre de gravité en dedans du cylindre,
l’autre en dehors. Les répulsions qui sont en jeu dans de

2 u

entière dans le gaz, a par conséquent la valeur • D’un autre

O 1 jfl

côté une surface de la grandeur 1 traverse un grand nombre des corps immergés ;
si la somme des intersections est r, il n’y a plus qu’une portion 1 — v qui
reste accessible aux molécules du gaz. Il en résulte, pour la pression

cinétique sur l’unité de surface entière, la valeur

1 —

T —

U, ce qui

revient à U ; en effet on démontre facilement que u — v.

114

H. A. LORENTZ.

pareils chocs devraient entrer en ligne de compte dans le
calcul de la force Y.

La question se simplifie quand il s’agit de solutions très
étendues. L’attraction entre les molécules du corps dissous
qui se trouvent de part et d’autre d’un plan quelconque est
proportionnelle au carré de la concentration; il en est de
même du nombre des collisions mutuelles. Les deux parties
de la force Y peuvent donc être négligées si la concentration
est regardée comme infiniment petite; on peut même ajouter
que la force Y devient une quantité du second ordre quelle
que soit la nature des actions réciproques.

Par conséquent la formule (3) devient:

K - K = /, -h

ce qui conduit à l’équation (2) quand on fait les hypothèses
suivantes :

a) Une molécule du corps dissous possède, en moyenne,
une énergie cinétique égale à celle que possède à la même
température une molécule d’un gaz. D’après cette hypothèse,
la pression cinétique devient, quelle que soit la concentration,
égale à la „ pression gazeuse” (§ 3), de sorte que K = G, K = G'.

b) On a Z = — /2, c’est-à-dire, la partie considérée de la
matière dissoute éprouve, de la part du dissolvant, une force
égale et opposée à la force extérieure qui agirait sur la quantité
déplacée du liquide.1)

i) Suivant cette proposition, on doit avoir Z = 0 quand aucune force
extérieure n’agit sur le dissolvant. C’est ce que confirmera une légère mo-
dification de l’exemple donné à la fin de la Note du § 5. Supposons, en
effet, que les corps solides immergés dans la masse gazeuse, considérés
dans cet exemple, — corps qui représenteront le dissolvant, — soient mo-
biles, mais que leur masse soit infiniment grande. Si aucune force exté-
rieure n’agit sur ces corps, ils ne pourront, une fois au repos, jamais
entrer en mouvement. Admettons que le gaz, au contraire, est soumis à
l’action de la pesanteur.

Considérons un cylindre de hauteur h et de base 1, dont les dimensions
soient beaucoup plus grandes que les intervalles entre les corps solides.

SUR LA THEORIE MOLÉCULAIRE, ETC. 115

Si ces hypothèses, dont la seconde rappelle la loi d’Archi-
mède, pouvaient être déduites des principes de la mécanique,
la loi des différences de concentration serait expliquée parla
théorie moléculaire. Dans l’état actuel de la théorie on peut
regarder les propositions a) et b) comme des conséquences de
la seconde loi de la thermodynamique, ou, plus exactement,
l’une de ces propositions découle de cette loi dès que l’autre
est admise. Dans ce qui va suivre les deux propositions
seront appliquées toutes les deux.

II. La tension de vapeur des dissolutions
diluées. •

§ 8. La règle qui détermine la tension de vapeur d’une
dissolution étendue, et qu’on peut obtenir au moyen de
la thermodynamique,, peut être mise sous la forme sui-
vante :

L’abaissement de la tension de vapeur, produit par l’in-
troduction dans un liquide d’un corps qui s’y dissout — mais
ne s’évapore pas lui-même, — est à la pression osmotique de
la dissolution, — ou à la pression cinétique du corps dissous, —

Dans l’espace réellement occupé par le gaz, la pression obéit aux lois
ordinaires de l’hydrostatique. Pour deux éléments plans égaux o>, situés
l’un à la base inférieure du cylindre, l’autre à la base supérieure, et qui
se trouvent tous les deux entièrement en dehors des corps solides la
différence des pressions cinétiques est donc égale au poids d’une masse
gazeuse qui serait contenue dans un cylindre de hauteur h et de base w,
en admettant que ce cylindre ne renferme pas d’autres corps. Il suit de
là que la différence des pressions cinétiques à la base inférieure et à la
base supérieure du grand cylindre, — bases de chacune desquelles il n’y a
à considérer qu’une portion 1 — *>, — est égale au poids d’une masse
gazeuse du volume h (1 — v ). Or, à cause de l’égalité v = («, c’est là pré-
cisément le poids des molécules de gaz qui se trouvent réellement dans
le grand cylindre. Celles-ci ne sont donc pas soutenues par les corps
solides, c’est-à-dire qu’on a Z = 0.

116

H. A. LORENTZ.

dans le même rapport que le volume spécifique du liquide
au volume spécifique de la vapeur saturée.

Dans cet énoncé il n’est aucunement question d’une attrac-
tion moléculaire; au contraire, l’abaissement de la tension
de vapeur est mis en relation avec le mouvement des molé-
cules. Je vais démontrer que la règle s’accorde cependant
avec la conception ordinaire, suivant laquelle le corps étranger
retient les particules du liquide et tend ainsi à empêcher
l’évaporation.

Dans les raisonnements qui vont suivre je me servirai
d’une t^pothèse, non conforme, il est vrai, à la réalité, mais
contribuant à simplifier l’analyse des phénomènes, sans trop
changer leur véritable caractère. Elle consiste à regarder
la distance la plus grande, à laquelle deux molécules du dis-
solvant agissent encore l’une sur l’autre, comme très petite
par rapport à la distance jusqu’à laquelle reste sensible
l’attraction de molécules d’espèces différentes. On a ainsi
l’avantage de pouvoir regarder comme parfaitement tranchée
la délimitation du liquide et de la vapeur. L’épaisseur de la
couche qui en réalité forme la transition de l’un à l’autre,
est, en effet, du même ordre de grandeur que le rayon de
la sphère d’activité des particules du liquide ; la question de
savoir si cette épaisseur est négligeable ou non, dépend seu-
lement des longueurs qui jouent un rôle dans les problèmes
dont on s’occupe.

Or, dans le problème actuel, la distance à laquelle s’attirent
des molécules d’espèces différentes est une telle longueur; si
elle a une grandeur suffisante, nous pouvons regarder la
limite du liquide et de la vapeur comme une surface ma-
thématique.

Un raisonnement bien connu peut être appliqué à l’attrac-
tion qui existe entre le liquide et une molécule du corps
dissous i?. J’admets, conformément à ce qui précède, que l’attrac-
tion agit encore à une distance dépassant de beaucoup celle qui
sépare les molécules liquides voisines; je suppose, en outre,

SUR LA THÉORIE MOLECULAIRE, ETC.

117

que les particules les plus rapprochées n’ont pas une part
trop prépondérante dans l’attraction totale. Si ces conditions
sont remplies, l’attraction résultante éprouvée par une molécule
B est indépendante de l’arrangement accidentel des molécules
voisines A ; elle est uniquement déterminée par la distance
de la molécule à la surface. Les différentes forces auxquelles
est soumise une molécule B située à l’intérieur de la disso-
lution se détruisent mutuellement; mais les molécules B qui
se trouvent au voisinage de la surface sont soumises à une
force résultante dirigée vers l’interieur du liquide. La concen-
tration diminuera donc près de la surface, et nous admettrons
que cette diminution est assez rapide pour que, à la surface
même, la concentration ait une valeur insensible. On s’ex-
plique alors que les molécules B ne prennent point part
à l’évaporation; si elles se trouvaient encore à la surface,
quelques-unes d’entre elles devraient, à raison de leurs
grandes vitesses, s’élancer dans l’espace occupé par la vapeur.

§ 9. Parallèlement à la surface F, qui sera supposée plane
et horizontale, menons un plan V' par les points les plus élevés
où la concentration ait encore la même valeur qu’à l’intérieur

du liquide. De la „ couche superficielle”
JT„ . c f comprise entre les deux plans, consi-

dérons une portion cylindrique a b c d,
a b à base 1. Soit Z la force totale, —

7 jp (â d f positive lorsqu’elle est dirigée vers
la solution, — avec laquelle le liquide
agit sur les molécules B contenues dans le cylindre. Dans
l’unité de temps cette force donnerait lieu à une quantité de
mouvement Z , si d’autres causes ne s’y opposaient. A cause
de sa faible densité la vapeur n’exerce aucune attraction
sensible et dans le cas des dissolutions très étendues, on peut
négliger toutes les actions réciproques entre les particules du
corps dissous. Si donc K est la pression cinétique à la base
c d, nous obtenons pour condition d’équilibre :

Z — K (4)

Archives Néerlandaises, T. XXV. 9

118

H. A. LORENTZ.

La force Z provient en partie de l’attraction qui est exercée
par le dissolvant et que, pour la quantité totale du corps B
contenue dans le cylindre, je désigne par Z, . En outre, parmi
les chocs survenant entre une molécule B et une molécule A,
il y a à tenir compte de ceux dans lesquels le centre de gra-
vité de la première particule se trouve à l’intérieur du cylindre;
en réunissant les répulsions résultant de tous ces chocs, on
obtient une force Z2 , qui, jointe à Z { , constitue la force entière Z.

Mais, pour les dissolutions très étendues, je vais montrer
que cette force Z2 est négligeable.

§ 10. Sans rien changer au mouvement des molécules, on
peut supprimer dans la pensée l’attraction entre les deux matiè-
res, à condition de faire agir sur chaque molécule une force exté-
rieure, précisément égale à l’attraction résultante qu’elle
éprouve, en réalité, de la part des molécules d’espèce différente.

Supposons, de plus, que l’espace au-dessus de la surface V
soit rempli d’une masse du dissolvant pur. La distribution et le
mouvement de la substance B ne seront pas par cela altérés
si le liquide additionnel est également considéré comme dé-
pourvu d’attraction sur cette substance. Il est vrai que les forces
impliquées dans les chocs sont restées, mais elles ne donnent lieu
à aucune perturbation, vu que la concentration dans le plan
V est infiniment petite et que, par suite, la nouvelle masse
de liquide n’arriye pas en contact avec la substance dissoute.

Cette substance se trouvant maintenant dans une masse
illimitée du liquide, et étant empêchée par des forces extérieures
de se répartir uniformément, la proposition b (§ 7) devient
applicable. A la vérité, les matières dont il s’agit actuellement
ne sont plus telles que la nature les présente, puisque nous
les avons dépouillées de leur attraction mutuelle et ne leur
avons laissé que les forces intervenant dans les chocs; mais
il n’est guère douteux que la proposition rappelée subsiste
pour des corps dépourvus d’attraction moléculaire.

Pour le cylindre considéré dans la section précédente (§ 3),
nous prendrons maintenant l’espace marqué a b c d dans la

SUR LA THÉORIE MOLÉCULAIRE, ETC. 119

figure. Des forces que nous avons désignées précédemment
par Z et /2, la première est alors la force Z2 et la seconde
devient égale à l’attraction que la matière dissoute exerce sur
une quantité de liquide égale à la quantité déplacée. Mais,
si la concentration est infiniment petite, cette quantité l’est
également, de sorte que Z2 devient une grandeur du second
ordre et que, dans la formule (4), on peut entendre par Z
l’attraction du liquide sur les molécules B contenues dans le
cylindre.

§11. Il est facile de voir comment la formule détermine
la quantité de la substance dissoute qui reste dans la couche
superficielle. L’attraction Z, en effet, sera d’autant plus grande que
cette quantité est plus considérable, tandis que la pression
cinétique K est déterminée par la valeur de la concentration
à l’intérieur de la solution. Si la concentration avait cette
même valeur en chaque point de la couche superficielle,
l’attraction Z aurait une certaine valeur Z0, et lorsque cette
grandeur-ci est surpassée par la pression cinétique, un état
d’équilibre, tel que celui que j’ai supposé, ne saurait exister,
puisque un abaissement de la concentration dans la couche
superficielle ne peut augmenter Z. Si, au contraire, Z0 > ÜT,
l’attraction Z peut être amenée à la valeur K par une diminution
convenable de la concentration au voisinage de la surface.
A vrai dire, pour déterminer la distribution et le nombre des
molécules B dans la région superficielle, il faudrait décomposer
celle-ci en couches infiniment minces et appliquer à chacune
d’elles un raisonnement analogue à celui que nous avons fait
pour la couche entière. Mais, pour notre but, cela n’est pas
nécessaire.

§ 12. Ce qui se passe dans l’évaporation est trop compliqué
pour une analyse exacte. Nous pouvons nous contenter,
toutefois, de remarquer que les phénomènes dont il s’agit
s’accomplissent dans une couche dont l’épaisseur, suivant
notre hypothèse (§ 8), est très petite par rapport au rayon
de la sphère d’activité pour l'attraction de molécules d’espèces

9*

120

H. A. LORENTZ.

différentes, et que les molécules B n’ont pas d’influence
sensible sur les mouvements qui s’exécutent dans cette couche.
Pour démontrer ce dernier point, soient qp, et qp2 les attrac-
tions qu’une molécule A, située à la surface, éprouve respecti-
vement de la part des autres molécules A et de la part des
molécules B, et cela, en ce qui concerne qp2, dans le cas où
la concentration a la valeur 1 ; désignons, en outre, par y ,
et q2 les distances les plus grandes auxquelles les deux sortes
d’attractions existent encore. Or, si l’on veut faire passer une
molécule A de l’intérieur de la solution à l’extérieur, il
faudra, pour vaincre les forces avec lesquelles elle est
retenue par le liquide lui-même et par le corps dissous, des
travaux de l’ordre de grandeur qp , , et q2 qp2. Il est naturel
de supposer que ces travaux sont du même ordre. Il en résulte

que qp2 doit être de l’ordre qp,. Par conséquent, si C est

Q 2

la concentration, la force exercée par les molécules B sur une

molécule liquide placée à la surface, sera de l’ordre — qp , . Vis-à-

Q 2

vis de qp,, nous pouvons négliger cette force, non parce que
nous regardons C comme infiniment petite, — car dans toute
cette étude il s’agit de grandeurs de l’ordre C, — mais parce
que, d’après les suppositions faites, la distance ç>, est incom-
parablement plus petite que ç>2.

§ 13. Il ressort de là que le corps dissous n’a pas d’influence
sur ce qui a lieu à la surface du liquide. Il faut donc que
dans l’état d’équilibre la tension de vapeur, immédiatement
à la surface, ait la valeur ttù qui est propre au dissolvant
pur. Cependant les mesures de la tension de vapeur de la
dissolution ne nous donnent pas cette pression à la surface; ce
qu’on mesure, c’est la pression n qui existe un peu plus haut, et
cette pression doit être moindre que nQ. L’attraction du corps
dissous s’étend, en effet, jusqu’à une certaine distance dans
la vapeur même, et par suite, au voisinage de la surface, la

■

SUR LA THEORIE MOLECULAIRE, ETC. 121

pression de la vapeur croîtra à mesure qu’on s’en rapproche,
de même que, sous l’influence de la pesanteur, la pression
atmosphérique est une fonction de la hauteur.

Soit V" (voir la figure) un plan horizontal, situé d’autant
au-dessus de la surface F que le plan VJ est situé au-dessous,
et soit ab/'e une partie, opposée au cylindre abcd , de la
couche de vapeur comprise entre F et F". Comme a c ne
peut être plus petit que le rayon d’activité pour l’attraction
réciproque des molécules A et B , les molécules B ne peuvent
point agir sur la vapeur qui se trouve au-dessus de V". Dans
le plan V" existe donc la pression n qu’on observe. Si alors
z est la force avec laquelle la vapeur occupant le cylindre
a b e f est attirée par le corps dissous, la condition d’équilibre
de cette masse de vapeur devient:

tt 0 — n == z, (5)

§ 14. Entre l’attraction z et la force Z qui entre dans
l’équation (4), il y a une relation simple, à laquelle on ar-
rive par les considérations suivantes.

a. ) Si l’espace supérieur au plan F était rempli du dis-
solvant pur, sans que rien fût changé à la distribution des
matières au-dessous de ce plan, une molécule B, dans le
cylindre abcd , n’éprouverait de la part de la masse entière
du dissolvant qu’une attraction résultante infiniment petite.
La molécule, en effet, serait entourée de tous les côtés par
le liquide, et bien que la densité de celui-ci, à l’intérieur de
la sphère d’activité, ne soit pas tout à fait constante, — vu
qu’elle devient d’autant plus grande que le nombre des mo-
lécules du corps étranger est moindre, — les différences sont
du même ordre de grandeur que la concentration.

b. ) La quantité de la matière dissoute, dans le cylindre
abcd, étant en outre infiniment petite, la force résultante
qui agirait sur toute cette quantité est une grandeur du second
ordre et peut par conséquent être négligée. Il en résulte que
le liquide ajouté au-dessus de F exerce sur les molécules B,

122

H. A. LORENTZ.

contenues dans l’espace a b c d, une attraction égale à celle
du liquide situé au-dessous de F, c’est-à-dire, une attraction Z.

c. ) L’attraction exercée par une quantité de liquide occu-
pant l’espace a b ef sur toutes les molécules du corps B
situées au-dessous de F a la même valeur Z.

d. ) Si l’on se représente d’abord, dans l’espace ab ef\ la masse
liquide dont il vient d’être question, et qu’ensuite on change
sa densité dans le rapport n: 1, l’attraction que le contenu
du cylindre éprouve de la part des molécules B diminue dans
le même rapport. En prenant donc pour n le rapport entre
volumes spécifiques du dissolvant et de la vapeur, on a

Z

c’est-à-dire, en ayant égard aux équations (4) et (5),

K

TV q " 7T ^ ' ' •

n

Or, cette équation contient le théorème que nous avons
énoncé au début de cette section. Il faut remarquer encore
que, dans notre raisonnement la vapeur renfermée dans le
cylindre a b ef a été supposée homogène, ce qui n’est pas
rigoureusement vrai. Toutefois, il n’en résulte pas d’erreur,
car lorsque la concentration est infiniment petite, la variation
de la densité dans le cylindre l’est également, et elle con-
duirait donc, si l’on en tenait compte dans le calcul de l’at-
traction exercée par une masse infiniment petite, à des quan- •
tités du second ordre. Si, du reste, dans notre théorème il
est parlé du volume spécifique de la vapeur saturée, on
peut entendre par là, à volonté, la vapeur qui est en contact
avec le dissolvant pur, ou celle qui est en équilibre avec la
solution.

§ 15. L’explication précédente peut être résumée de la façon
suivante. Bien que la cause immédiate de l’abaissement de la
tension de vapeur doive être cherchée dans l’attraction entre

SUR LA THEORIE MOLECULAIRE, ETC.

123

les molécules A et B, le degré auquel cette attraction s’exerce
est réglé par le mouvement moléculaire de la matière dissoute.
En effet, ce mouvement, ou, à mieux dire, la pression ciné-
tique qui en dépend, détermine la quantité de la matière
dissoute qui reste dans la couche superficielle et qui peut
par conséquent agir sur les molécules de la vapeur. Tandis
que l’attraction tend à retirer de la couche le corps étranger,
le mouvement moléculaire l’y fait pénétrer. S’il était possible,
sans rien changer à l’attraction, d’accélérer le mouvement
moléculaire, le nombre des molécules B croîtrait dans la couche
superficielle ; une plus forte attraction sur la vapeur et un abais-
sement plus prononcé de la tension de vapeur en seraient
les conséquences. De fait, un cas de ce genre nous est offert
par les sels dont les molécules sont dissociées; le dédouble-
ment des molécules augmente, en effet, la pression cinétique,
tandis qu’on peut admettre que les nouvelles molécules sont,
dans leur ensemble, attirées par le dissolvant avec la même
force que les molécules qui ont été décomposées.

III. Le point de congélation des dissolutions

diluées.

§ 16. Quand on cherche à expliquer l’influence d’une sub-
stance dissoute sur le point de congélation on rencontre des
difficultés sérieuses. Il semble difficile d’indiquer la cause
pour laquelle le corps dissous échappe souvent à la solidifi-
cation et c’est précisément dans un tel cas que le point de
congélation obéit à une loi très simple. Une explication,
semblable à celle qu’on trouve dans la section précédente,
est cependant possible pour les dissolutions aqueuses . Je me
permets de l’indiquer ici brièvement, sans vouloir prétendre
qu’elle soit conforme à la réalité.

Figurons-nous qu’au-dessus du plan V de la figure il y ait
de la glace, au-dessous de ce même plan une solution aqueuse

124

H. A. LORENTZ.

d’un corps B , et, reprenant l’hypothèse du N°. 8, regardons de
nouveau comme parfaitement tranchée la limite entre les deux
états d’aggrégation. Une molécule J5, dans la couche superficielle
(F, F) est alors attirée non seulement par le liquide, mais
aussi, en direction opposée, par la glace. Si la première at-
traction a la valeur <p, une masse d’eau, occupant l’espace
au-dessus de F, exercerait également une force qp; en ad-
mettant ensuite que les attractions exercées par l’eau et
par la glace soient proportionnelles aux densités, on aura, pour
l’action entre la masse de glace et la molécule considérée,

v

où v est le volume spécifique de l’eau et V celui

de la glace. L’attraction exercée par l’eau est donc la plus
forte, et les molécules B dans la couche superficielle se
trouvent soumises à une force résultante dirigée vers la
solution. La concentration diminue de nouveau à mesure
qu’on se rapproche du plan F, et si l’on admet que la diffé-
rence des deux attractions suffit pour abaisser la con-
centration, en ce plan même, à une valeur insensible, le fait,
que la solution nous donne de la glace pure, se trouve

expliqué.

En désignant maintenant par Z la force résultante avec
laquelle la glace attire les molécules B restant dans le cy-

V

lindre a b c d, on aura — Z pour l’attraction exercée par l’eau,

et l’équation (4) deva être remplacée par

(t— 1 ) z~ K' <«>

§ 17. Entre la glace et la solution il existe deux sortes de
forces. En premier lieu, toutes les actions qu’exercent entre elles
la glace et la couche liquide superficielle, formée d’eau pure,
se composent en une pression que, pour l’unité de surface,

SUR LA THEORIE MOLECULAIRE, ETC. 125

nous représenterons par p0. En second lieu, il y a attraction
entre la glace et les molécules B . Nous réunissons les deux
forces en une seule

P — Po — Z ,

et remarquons que ce qu’on appelle simplement la pression
de la solution est précisément cette force p, puisque, par pres-
sion d’un liquide, nous entendons la force totale qu’il exerce
sur l’unité de surface d’un autre corps, par exemple, de notre
morceau de glace.

Si maintenant la pression p est donnée et qu’ on demande
le point de congélation de la solution sous cette pression,
c’est-à-dire la température T' à laquelle elle peut être en
équilibre avec la glace, il suffit de considérer que la glace, à
proprement parler, est en contact avec de l’eau pure sous la
pression p H- Z. Le point de congélation cherché est donc le
point de congélation de l’eau sous la pression p Z, et il
est par conséquent plus bas que le point de congélation T de
l’eau sous la pression p.

J’applique maintenant à l’eau la relation connue

dp r

d T ~ ~T JvZ-iïT 9

— où par T il faut entendre la température absolue et par r
la chaleur de fusion, exprimée en unités de travail, — et
j’en déduis

Z r

T — — TJÿZTv) '

En substituant dans cette équation la valeur de Z tirée de (6),
on obtient

T— T’ =

K T v

et c’est là effectivement la formule qui représente les résultats
des observations.

126

H. A. LORENTZ.

IV. Différence des pressions aux deux côtés
d’une paroi semi-perm.éable.

§ 18. La théorie mécanique de la chaleur nous apprend que
la différence de pression qui existe lorsqu’une dissolution est
séparée du dissolvant pur par une paroi semi-perméable est
indépendante des propriétés particulières de la paroi. A quels
mouvements et à quelles forces cette différence est due,
et de quelle façon, à l’un des deux côtés, le liquide et le
corps dissous participent à l’action totale, c’est ce qu’on ne
saurait dire en général, l’imperméabilité de la paroi aux
molécules d’une espèce déterminée pouvant avoir des causes
très différentes. Les phénomènes devraient être analysés dans
chaque cas spécial, et pour cela ils sont ordinairement trop
compliqués. D’après les lois thermodynamiques on peut toutefois
affirmer qu’une hypothèse, capable d’expliquer la semi-permé-
abilité, rendra compte aussi de la différence de pression.

Pour justifier cette assertion je traiterai deux exemples
simples, dont le premier est purement fictif, tandis que le
second se rattache aux considérations des sections précédentes.

§ 19. Supposons que la paroi soit un plan mathématique,
criblé de trous, de telle façon qu’il laisse passer toutes les
molécules du liquide qui se présentent, mais repousse toutes
les molécules B ; admettons, en outre, que la paroi n’agit
sur ces dernières qu’au moment du choc et non à quelque
distance. Les molécules du liquide n’arrivant jamais en èontact
avec la paroi, elles n’exerceront alors aucune pression sur
celle-ci; par contre, des chocs des molécules B il résultera
à l’un . des côtés une pression, qui est évidemment égale à la
pression cinétique de la substance dissoute. La pression ciné-
tique à considérer est d’ailleurs celle qui correspond à la
concentration à l’intérieur de la dissolution. En effet, la paroi
n’ayant pas d’épaisseur, les molécules B sont constamment
entourées de tous les côtés par le liquide. Elles ne sont donc
soumises à aucune force résultante et restent libres dans

SUR LA THÉORIE MOLECULAIRE, ETC. 127

leurs mouvements jusque tout près de la paroi. En consé-
quence, la concentration est aussi grande à la paroi même
qu’au sein de la dissolution.

§ 20. Supposons, en second lieu, que ]a paroi soit un disque
solide; limité, du côté où se trouve la dissolution, par le plan
F de notre figure, de l’autre côté par le plan V" ou par un
plan qui se trouve au dessus de V". Figurons nous que dans
la paroi il y ait des canaux très fins, dont l’ensemble ne
forme qu’une fraction négligeable du volume total. La sub-
stance de la paroi sera supposée ne pas attirer le corps dissous
et n’agir sur les particules du liquide qu’à des distances
très petites par rapport à a c. En suite de cette hypothèse et
de celle faite au No. 8, le liquide aura, jusqu’au voisinage
immédiat de la paroi, sa densité ordinaire. Le corps dissous, au
contraire, ne se trouvera pas, dans la couche (F, F'), au même
degré qu’à l’intérieur. Une molécule de ce corps n’étant
attirée que par le liquide qui se trouve au-dessous de V, —
le liquide situé de l’autre côté de la paroi est trop éloigné,
et on peut faire abstraction de celui qui occupe les pores, —
les molécules seront distribuées dans la couche (F, F') pré-
cisément comme elles l’étaient dans le cas considéré dans la
section II. J’admets de nouveau que. près du plan F la
concentration est sensiblement 0, et j’explique donc l’imper-
méabilité de la paroi aux molécules B par la circonstance
que celles-ci, retenues par le liquide, ne peuvent atteindre la
paroi. Dans l’état d’équilibre, l’équation (4) sera de nouveau
applicable, la quantité Z étant égale à l’attraction qui existerait
entre le corps dissous et une masse de liquide remplissant le
cylindre abef (§ 14).

§ 21. Les molécules B situées dans la couche (F, V') attirent
le liquide qui occupe les pores et le feront passer du côté où
se trouve la dissolution, jusqu’à ce que la pression, dans la
couche du dissolvant contiguë à F, surpasse d’une quantité
déterminée la pression existant à l’autre côté de la paroi.

Lorsque les canaux de la paroi sont suffisamment larges

128

H. A. LORENTZ.

ou peut appliquer les lois ordinaires de l’hydrostatique au
liquide qu’ils contiennent; il est alors facile de calculer la
différence de pression produite par des forces normales à la
paroi. Qu’on se figure, en effet, la paroi percée d’un trou
ayant la forme d’un cylindre droit, à base située dans le plan
V et de grandeur 1. La force qui agirait sur une masse de
liquide remplissant ce trou nous donne la différence cherchée.
J’appliquerai cette même proposition au cas actuel, bien que
les canaux soient peut-être si étroits qu’ils ne puissent con-
tenir qu’un petit nombre de molécules. ') La pression osmo-
tique se trouve alors être égale à l’attraction existant entre
les molécules B et la masse liquide dont il vient d’être parlé.
Si la paroi a précisément l’épaisseur a e, on peut prendre pour
le trou en question le cylindre a b e f, et si la paroi est encore
plus épaisse, cela ne change rien aux choses, puisque a e est
la distance maximum à laquelle l’attraction s’étend. Dans les
deux cas on trouve, par ce qui a été dit à la fin du dernier
numéro, la valeur K pour la pression osmotique. Celle-ci est
donc déterminée encore par le mouvement moléculaire, bien
que nous ayons cherché la cause immédiate dans les forces
attractives.

Pendant la rédaction de ce travail, j’ai eu connaissance
d’un Mémoire récemment paru de M. Boltzmann 1 2), dans
lequel l’auteur cherche à prouver en général que d’après

1) Pour justifier cette application on peut se servir de la proposition,
se rattachant à la seconde loi de la thermodynamique, qu’un système
moléculaire, sous l’action de forces extérieures pour lesquelles il existe
un potentiel, prend un état d’équilibre où chaque élément de volume,
considéré en entier, est en repos. Supposons, en effet, qu’un liquide (le
dissolvant pur), sur lequel agissent des forces extérieures telles que celles
spécifiées au No. 1, soit traversé par un diaphragme horizontal, percé à droite
d’un large canal et à gauche de pores aussi fins qu’on le voudra. L’équilibre
n’est possible que si la différence de pression entre les deux côtés du dia-
phragme a la même valeur à droite et à gauche.

2) Zeitschr. fur physik. Chem., VI, p. 474, 1890.

SUR LA THÉORIE MOLECULAIRE, ETC. 129

la théorie moléculaire la pression osmotique doit être égale
à la pression cinétique du corps dissous. Un des pas de
cette démonstration me paraît toutefois motivé d’une manière
insuffisante.

M. Boltzmann établit d’abord une équation, — l’équation
(7), p. 478, — qui dans ma notation peut être mise sous
la forme

Sf + Sa = K,

et dans laquelle S/ et Sa représentent les forces que les mo-
lécules salines exercent sur le liquide et sur le diaphragme.
Il remarque ensuite que le liquide, dans son ensemble, n’est
poussé ni d’un côté, ni de l’autre. De là il conclut que la
force Df que le liquide éprouve de la part du diaphragme
a la valeur. — Sy; on obtient donc Sf — Fd, si Fd~ — Df
est la force que le liquide exerce sur le diaphragme, et par
suite Fd -h Sd = K , ce qui exprime la proposition à
démontrer.

Mais, lorsqu’il est question de la totalité du liquide et de
la totalité des molécules salines, on ne doit pas perdre de vue
que la dissolution, à gauche, et le dissolvant pur, à droite,
sont limités par les pistons qui ferment le cylindre. Dans
l’équation Sf h- Sd — K, il faut entendre par Sf la force
que le liquide éprouve de la part du sel qui se trouve entre
le diaphragme et le „plan critique”; or, ce n’est pas là la
force exercée sur le liquide par la totalité des molécules salines.
Ce que M. Boltzmann dit d’une molécule de sel située tout
à fait à l’intérieur du liquide est exact, mais les molécules
qui se trouvent tout près du piston gauche attireront le liquide
vers la gauche.

En outre, lorsqu’on veut établir la condition d’équilibre
pour la masse liquide entière, il faut considérer que ce n’est
pas seulement le diaphragme et les molécules de sel qui agis-
sent sur cette masse, mais que les deux pistons le font
également.

130

H A. LORENTZ. SUR LA THÉORIE, ETC.

D’après une communication que M. Boltzmann a eu l’obli-
geance de me faire, il est parvenu à compléter ses raisonne-
ments et à trouver, en partant d’une certaine hypothèse sur
la sphère d’activité et la distance mutuelle des molécules du
sel, une démonstration 1 ) plus générale que la mienne et, à ce
qu’il me semble, à l’abri de toute objection.

i) Zeitschr. fur physik. Chem ., VII, p. 88, 1891.

\

SUR LA

NORME DE L’ACUITÉ OLFACTIVE (OLFACTIE),

PAR

H. Z W AARDEMAKEE Cz.

Les caractères et facultés de l’homme ont-ils une valeur
normale, autour de laquelle les écarts individuels oscillent
régulièrement? C’est une vieille question, qui sans cesse prend
une forme nouvelle, La réponse est très différente, suivant les
conditions qu’on pose. Si par norme on entend le type idéal,
dont chaque personne en particulier reproduirait une image
imparfaite, alors, naturellement, il n’existe pas de norme, car
les hommes varient avec la race, l’âge, l’état social, et il serait
souverainement arbitraire de donner la préférence à l’une de
ces nombreuses variétés et de la regarder comme type. Si,
au contraire, on appelle norme le type à traits larges, mais
peu accentués, auquel répond la grande majorité d’un peuple
à un âge déterminé, et dont l’individu particulier ne peut
s’écarter que suivant les lois des probabilités, dans ce cas,
la notion est de tout point justifiée. Il y a alors, cela va
sans dire, autant de normes qu’on établit de groupes natu-
rels. Dans ce groupement, à la vérité, le danger de former
des combinaisons artificielles ne saurait être entièrement évité.
Mais on peut se laisser guider pas des règles, ainsi que l’a
indiqué, il y a quelques années, l’anatomiste Stieda. *) De cette
manière, le risque en question est réduit autant que possible.

De la „ norme”, telle que nous venons de la définir, il est

1 ) Stieda, Archiv. fur Anthropologie , T. 14, p. 167.

132

H. ZWAARDEMAKER CZ.

journellement tenu compte dans la vie ordinaire Les médecins,
eux aussi, font largement usage de la notion. Lors de la
percussion, nous songeons toujours au volume normal des or-
ganes, lors de la détermination du poids spécifique d’une
urine, aux limites entre lesquelles, normalement, le chiffre
oscille. En anatomie pathologique, nous ne procédons pas
autrement, et, s’il était encore nécessaire d’insister, c’est
d’après la „norme” que nous dosons nos médicaments. Ainsi,
une «norme” se laisse fixer pour toutes les propriétés humaines.
Les règles à suivre en cette matière ont été exposées ration-
nellement, pour la première fois, par Quételet, ') et, assez ré-
cemment encore, M. Thoma 1 2) a de nouveau développé, au
point de vue des besoins médicaux, la doctrine du savant
belge, en l’appuyant d’une riche série d’exemples. Pour M.
Thoma, à la notion de «norme” correspond un chiffre
concret, qui indique la grandeur ou intensité la plus ordinaire.
Ce chiffre tient le milieu entre ceux des variétés individu-
elles. Le plus souvent, il partage en deux parties égales
l’espace entier dans lequel elles se meuvent. Moi-même j’at-
tache à la notion de „ norme” une autre idée, qui me paraît
mieux d’accord avec l’usage ordinaire de la langue. J’ai dé-
veloppé cette manière de voir dans un Mémoire antérieur,
purement anthropométrique, auquel je me contente de ren-
voyer. 3) Ici, je m’en tiendrai entièrement à la terminologie,
généralement reçue, de M. Thoma. La «norme” est la valeur
qu’il y a le plus de probabilité de rencontrer dans l’une ou l’autre
occasion future, tandis que la „moyenne” est la moyenne
arithmétique de toutes les valeurs déjà obtenues dans les cas
antérieurs. Pratiquement, la norme et la moyenne pourraient
être dites identiques, parce que, d’après le calcul des proba-

1 ) Quéletet, Anthropométrie , Bruxelles 1870.

2) R. Thoma, Unters. ür d. Grosse und das Gewicht der anat. Bestand-
theile des menschlichen Kôrpers im gesunden und im kranken Zustande ,
Leipzig, 1882.

3) Militair Geneeskundig Archief , 1885, 2e. cahier.

SUR LA NORME UE L’ACUITE OLFACTIVE (OLFACTIE), 133

bilités, la valeur la plus probable de la norme est précisément
la moyenne arithmétique en question. Il s’agit seulement de
savoir si les lois du calcul des probabilités, que M. Thoma
Appelle à son aide, sont pleinement applicables en cette matière.
Elles ont été établies pour des cas dans lesquels on pouvait
croire réalisées les conditions suivantes :

1°. probabilité égale pour des écarts également grands de
la norme, d’un côté ou de l’autre;

2°. probabilité plus forte pour un petit écart que pour un
grand ;

3°. existence d’une limite supérieure, que la valeur de l’écart
ne peut dépasser.

C’est seulement dans le cas où il est satisfait à ces hypo-
thèses, que les raisonnements de M. Thoma gardent toute
leur validité. Or, en ce qui concerne les propriétés humaines,
il me semble que très souvent la première des trois conditions
n’est pas remplie, et qu’on ne saurait donc, sans autre examen,
regarder la moyenne comme la valeur la plus probable de la
norme. Tant que la question reste en litige, j’estime qu’il
convient de distinguer entre

1° la norme, c’est-à-dire, la valeur qui se présente le plus
fréquemment ;

2° la moyenne 1 ) de toutes les valeurs déjà trouvées.

Nous nous proposons, dans les pages suivantes, de calculer la

!) Qu’il me soit permis d’éclaircir par un exemple ce qui vient d’être
dit. Supposons qu’on veuille déterminer la norme et la moyenne du poids
d’un enfant au second jour de la vie. Admettons que, dans notre pays,
le poids normal d’un fruit venu à terme soit de 3,1 kilogrammes (Quételet)
et que les différences individuelles, en plus et en moins, répondent exac-
tement au calcul des probabilités. Imaginons, en outre, que les fruits dont
le poids dépasse une certaine valeur, exprimée en chiffres, meurent au
moment de la naissance. Dans ces conditions, fictives, il est vrai, mais nulle-
ment inconcevables, il n’est plus question d’identité entre la norme et la
moyenne au second jour après la naissance. Les enfants très grands sont
tous décédés, et la moyenne, cœteris paribus , s’est donc notablement

Archives Néerlandaises, T. XXV. 10

134

H. ZWAARDEMAKER CZ.

norme de l’acuité olfactive. Il n’est pas douteux, en effet,
qu’une norme doive se laisser découvrir pour nos facultés sen-
sitives, comme pour toutes les autres propriétés humaines
qui ont été successivement attirées dans le cercle de l’anthro-
pométrie. Pour l’acuité visuelle, d’ailleurs, cela a déjà eu lieu
depuis longtemps. M. Snellen a établi, il y a plusieurs an-
nées, que la lecture de caractères imprimés, à distance sous
un angle visuel de 5 minutes, est le maximum de ce qu’une
vue normale peut accomplir. C’est ce qu*il a nommé : visus =r 1 .
D’après ce module, M. Vroesom de Haan *) a trouvé pour
l’acuité visuelle, à l’âge de 10 ans, la valeur 1,1, à l’âge de

40 ans la valeur 1,0, et à celui de 80 ans la valeur 0,5. Par

suite de circonstances particulières, je suis amené, en me
fondant sur de très nombreux matériaux statistiques rassem-
blés par mes collègues, de montrer, une fois de plus, que la
grande majorité de notre population mâle possède, dans le
jeune âge, l’acuité visuelle indiquée par M. Snellen. Je crois
qu’il ne sera pas inopportun d’insérer ici ces résultats ré-
cemment obtenus.

Pendant l’été de 1887, l’acuité visuelle a été déterminée,

suivant 1a, méthode de M. Snellen, chez 3826 récrues. Parmi

ces jeunes hommes, dont l’âge variait de 19 à 23 ans et qui
tous, au jugement vulgaire, possédaient de bons yeux, on en
comptait,

ayant des deux côtés visus = 5/s 75%

„ à un œil visus z=z 5/5 13 „

„ aux deux yeux visus diminué 12 „

Le nombre total des yeux examinés était de 7652. Ils se
répartissaient de la manière suivante:

abaissée. La norme, au contraire, continue à occuper parmi les variétés
individuelles la place qu’elle possédait déjà antérieurement. Elle sera, par
exemple, de 3 kilogrammes et surpassera de beaucoup la moyenne,
i) Cité d’après Helmholtz, Physiol. Optik , 2e éd., 1887, p. 264.

SUR LA NORME DE r/ACUITE OLFACTIVE (üLFACTIe). Ï35

yeux à visus = 5/5

n m

»

'/io et moins . . . 0,2 „ 1 )

De nouveau, il a donc été vérifié que la norme du pouvoir
visuel est vz= 1. Parmi les organes visuels qui nous entourent,
il n’y en a qu’un nombre relativement petit qui soient in-
capables de distinguer à distance, sous un angle de 5 minutes,
les caractères imprimés, et ces exceptions s’écartent de la norme
d’un façon assez régulière. Au-dessus de la norme s’élèvent
pareillement nombre de cas, ceux de personnes privilégiées,
à vue plus perçante que la vue ordinaire. Quant à leur fré-
quence, je ne possède pas de données. Sur les cartes sanitaires,
ces cas sont compris parmi ceux à vue normale.

Dans les derniers temps, des mensurations analogues ont
aussi été exécutées pour l’ouïe, et cela avec la mesure auditive
rationnelle, employée dans l’otiatrie moderne. Ce que l’imprimé
est pour l’œil, la parole l’est pour l’oreille. Dans notre vie
sociale, recueillir et comprendre le mot parlé est devenu peu
à peu la fonction la plus importante de l’ouïe. C’est d’après
cela, évidemment, qu’on évalue le pouvoir de l’organe sensitif.
Il nous est passablement indifférent de savoir où se trouve,
pour un sourd, le minimum perceptible (la Reizschwelle des
Allemands) des sons simples, tandis que nous attachons au
contraire du prix à pouvoir juger jusqu’à quel point il est en état
de débrouiller et d’entendre les sons complexes du langage 2).

1) Statistique des cartes sanitaires, dressée par moi, sur l’ordre du
Général-Major Inspecteur du service de santé de l’armée.

2) Ce n’est que dans les cas où il s’agit d’apprécier avec beaucoup
d’exactitude la progression ou la guérison d’une surdité, qu’on a besoin
de recourir encore à d’autres moyens. Pour plus de détails, voir, dans le

10*

136

H. ZWAARDEMAKER CZ.

Or la voix chuchotante est le reflet de la voix parlée, dont
elle contient tous les bruits et sons caractéristiques, mais avec
une intensité beaucoup plus uniforme. C’est donc de la voix
chuchotante qu’on se sert de préférence comme critérium de
l’acuité auditive. La mesure directe de celle-ci est donnée par
la distance à laquelle des mots sans liaison, prononcés en
chuchotant, sont encore compris.

M. Von Bezold a examiné par cette méthode 1918 écoliers
de Munich. Des 3836 organes auditifs, 79 pour cent en-
tendaient à plus de 8 mètres d’éloignement la voix chuchotée.
C’est donc au-delà de cette distance que la norme doit se trouver. 1 )

La vue et l’ouïe sont les sens dont il doit être fait un usage
continuel dans la vie sociale, non seulement pour saisir une
impression sensitive simple, mais aussi, et surtout, pour la
perception d’impressions très complexes. Celles-ci doivent, en
premier heu, être décomposées par l’organe du sens. Suivant
les énergies spécifiques qui sont mises en jeu, suivant les
signes locaux dont l’impression était pourvue, la sensation
initiale sera différente. Mais, avec son appréciation comme
telle, la perception n’est pas accomplie. Un grand nombre de
semblables sensations particulières, qui se succèdent lorsqu’on
écoute, qui se présentent juxtaposées quand on regarde, doivent,
par la pensée, être associées, comparées et liées à des notions.
Par là, seulement, entendre devient comprendre, voir devient
lire. Ce qu’on désigne sous le nom d’acuité visuelle ou d’acuité
auditive est donc une faculté très complexe, à laquelle on ne
saurait assimiler le fonctionnement relativement simple des
autres sens. En admettant même que, pour ces derniers aussi,
plusieurs énergies spécifiques coopèrent à une sensation unique,
— chose assez probable, — il n’en reste pas moins que chacune
de ces sensations a une existence indépendante et que très

Militait' Geneeskundig Archief , 1889, cah. 3, mes ,,Klinische demonstraties”
faites, en ma qualité de professeur de pathologie militaire, à l’hôpital d’Utrecht.

») Von Bezold, Zeitschr. f. Ohrenheilkunde , T. 14 et 15, anal, dans
Archiv. f. Ohrenheilkunde , T. 23, p. 51; 1885.

SUR LA NORME DE L’ACUITÉ OLFACTIVE (OLFACTIE). 137

rarement plusieurs d’entre elles s’enchaînent en séries. Lorsque
cela arrive, tout se borne à de simples actions de contraste
ou à l’association de deux ou trois impressions.

Ce qui pour le sens de l’odorat s’appelle „acuité” de la fa-
culté sensitive, c’est le degré de netteté avec lequel se font
valoir des excitations très faibles et de petites différences d’in-
tensité. L’aptitude à distinguer entre elles les différentes sortes
d’excitants prend ici le nom de „finesse” du sens. !) Pouvons-
nous, pour l’acuité olfactive ainsi définie, fixer une norme?

Très souvent on entend manifester des doutes à cet égard.
C’est une croyance assez générale, que l’air renfermé de nos
appartements, et surtout la fumée de tabac, doivent exercer
une action délétère sur l’organe de l’odorat.

On oublie, toutefois, que des influences nocives analogues
affectent aussi les autres sens. La mauvaise lumière artificielle
et la poussière des villes et des grands chemins ne sont pas
moins nuisibles à la rétine et à la conjonctive, que la chaleur
et la fumée ne le sont à la muqueuse nasale. En outre, l’or-
gane de l’odorat n’ést pas aussi dénué de protection qu’on
l’admet habituellement. Le sens proprement dit a son siège
dans la partie supérieure des fosses nasales, laquelle est sous-
traite à l’action du courant respiratoire ordinaire. L’air qui
pénètre dans les méats entre chaque fois en quantité si petite^
et si lentement, qu’il ne peut être question de refroidissement.
De plus, il est largement pourvu de vapeur d’eau par la
muqueuse des voies respiratoires nasales, et complètement dé-
barrassé des grains de poussière un peu gros. On retrouve
ces particules grossières dans le mucus qui s’élimine par les
narines. Ce qui vient finalement en contact avec la mu-
queuse olfactive est donc de l’air exempt de poussière et
à un degré constant de température et d’humidité ; cela
est encore le cas même quand l’air aspiré par le nez

i) Von Vintschgau, Geruchsinn , dans Hermann, Handbuch der Phy-
siologie, T. III 2, p. 270.

138

H. ZWAAKDEMAKER CZ.

était primitivement froid, sec et chargé de poussières. Ces
conditions ne sauraient donc faire grand tort à notre sens
de l’odorat. Si l’on s’en exagère ordinairement l’importance,
cela tient à ce qu’on est vivement pénétré du préjudice que
le froid, la poussière et les micro-organismes causent aux voies
respiratoires proprement dites; préjudice qui se rélève presque
journellement dans ses conséquences : gonflements des cornets
nasaux, hypertrophie de la luette et des amygdales, catarrhe
du larynx et des bronches. Sans doute, ces troubles patholo-
giques affectent quelquefois par continuité la région olfactive
et produisent des anosmies essentielles ; mais il reste à savoir
si, parmi la masse des hommes, ce cas se présente assez fré-
quemment pour mettre quelque poids dans la balance statistique.
Dans les idées courantes, la protection du sens par un appareil
conducteur ne donnant accès qu’à l’agent spécifique est trop
perdue de vue, tandis que trop d’attention est accordée aux
nombreuses perturbations de la respiration nasale; il en résulte
que les expressions „ mauvais nez” et „ mauvais odorat” sont
regardées, comme synonymes. Cela peut s’excuser dans le
langage ordinaire; dans les considérations scientifiques, c’est
par trop incorrect. Maint malade affecté de rhinopharyn-
gite chronique, avec végétations adénoïdes fortement déve-
loppées, se trouve posséder un pouvoir olfactif passable,
après que le nez a été débarrassé des masses de mucus sura-
bondant.

Nous sommes donc fondés à croire que l’immense majorité
des hommes est encore douée d’un odorat normal, si inférieur
qu’il puisse être à celui de beaucoup d’animaux et de quelques
tribus sauvages ; celles-ci, selon toute probabilité, n’acquièrent
leur grande acuité sensitive, qui reste bornée aux impressions
d’une espèce déterminée, qu’ à la suite d’un long excercice.

Il y a deux ans,1) j’ai fait à l’Hôpital militaire, dans ma
clinique, une longue série de déterminations de l’acuité olfactive,

i) Anosmie , dans Tijdschrift voor Geneeskunde , 1889, T. I., p. 18.
Anosmie essentielle, à la suite de rhinite chronique.

SUR LA NORME DE L’ ACUITE OLFACTIVE (OLFACTIE) . 139

tant sur des hommes normaux que sur des anosmiques, tous
âgés de 18 à 23 ans. Les cas ne furent pas choisis, mais
chaque malade qui quittait la section interne était examiné,
une couple de jours auparavant, en tant qu’il s’agissait
d’un odorat normal ou à peu près normal, au moyen d’un
olfactomètre de caoutchouc 1 ), qui me procurait à moi-même
un minimum d’impression lorsque le cylindre olfactomé-
trique était avancé de 1 centimètre. Une partie moindre
du cylindre ne me donnait aucune sensation d’odeur, une
plus grande donnait une impression plus forte. La sti-
mulation la plus faible que je pusse encore percevoir se pro-
duisait tout juste avec une longueur de cylindre de 1 cm.
Tel était du moins le cas à la température modérée des ma-
tinées de l’été de 1888, pendant lesquelles ces déterminations
eurent lieu. Outre l’acuité olfactive, on examina chez tous
les sujets, au moyen des taches de buée formées par l’haleine, 2 )
la perméabilité du nez à l’air respiratoire, et tous aussi furent
soumis à un examen rhinoscopique complet. Des organes ol-
factifs examinés, 34 présentaient une image rhinoscopique
entièrement normale et des taches respiratoires parfaites. Je
me crois donc autorisé à regarder les organes en question
comme exempts de troubles pathologiques. Us l’étaient cer-
tainement en ce qui concerne l’appareil conducteur, et pro-
bablement aussi quant au sens proprement dit.3) Les résultats
de mes mesures sont réunis dans le tableau suivant. La première
colonne contient le numéro des sujets, dans l’ordre où ils
furent examinés. Dans la troisième colonne sont consignées
les longueurs de cylindre donnant le minimum perceptible;
quand les deux organes étaient normaux, le chiffre supérieur

i ) Over het melen van den reukzin bij het clinisch onderzoek , dans
Tijdschrift voor Geneeskunde , 1888, T. II, pag. 109, et Berliner klinische
Wochenschrift , 1888, n°. 47.

2) Ademaanslag als diagnosticum der nasale stenose, dans Tijdschrift
voor Geneeskunde , 1889, T. I, p. 297.

3) Comparez ; Anosmie , dans Tijdschrift voor Geneeskunde , 1889, T. I, p. 1.

140

H. ZWAARDEMAKER CZ.

correspond à l’organe droit. Lorsqu’un seul organe olfactif
était normal, la dernière colonne fait connaître le degré de
l’anosmie existant de l’autre côté.

Les 4e, 5e et 6e colonnes servent au calcul de l’erreur pro-
bable suivant la méthode des moindres carrés, et peuvent donc
être négligées par le lecteur; je ne les ai insérées que pour
ne rien omettre et faciliter le contrôle du calcul.

Minimum perceptible à l’olfactomètre
de caoutchouc.

N°.

Indication
du nom.

Longueur
de cylindre
en cm.

— X.

-t-x.

X 2.

Observations.

1

Ar.

0,5

0,5

0,25

Autre côté: g. amm. —

2

Rt.

2,0

1,0

1-

g. percha 1

2,0

1,0

1-

3

An.

2,0

1,0

1,-

2,5

1,5

2,25

4

Rr.

0,1

0,9

0,81

0,1

0,9

0,81

5

Rk.

0,5

0,5

0,25

0,5

0,5

0,25

6

V.D.

1,5

0,5

0,25

1,2

0,2

0,04

7

Ba.

1,0

Autre côté: caoutch. 3

8

As.

1,0

Autre côté:caoutch.l0

9

K.

0,5

0,5

0,25

1,0

10

V.

0,5

0,5

0,25

Autre côté: g. amm. —

11

T. M.

3,0

2,0

4-

g. percha 0,5

3,0

2,0

4, —

12

V. B.

0,7

0,3

0,09

0,7

0,3

0,09

à

reporter

24,3

i

4,9

9,2

16,59

SUR LA NORME DE L’ACUITE OLFACTIVE (OLFACTIE). 141

N°.

Indication
du nom.

Longueur
de cylindre
en cm.

— X.

-\-x.

xî.

Observations .

report.

24,5

4,9

9,2

16,59

13

Bs.

0,7

0,3

0,09

0,7

0,3

0,09

14

H.

1,0

1,0

15

S.

0,5

0,5

0,25

Autre côté : caoutch. 6

16

V. D. V.

0,7

0,3

0,09

0,7

0,3

0,09

17

V. D. V.

0,3

0,7

0,49

0,5

0,5

0,25

18

V. D. Vn.

0,7

0,3

0,09

0,7

0,3

0,09

19

D. G.

0,7

0,3

0,09

Autre côté: cautch.2,5

20

Be.

0,7

0,3

0,09

Autre côté: caoutch. 7

21

V. D.K.

0,5

0,5

0,25

Autre côté: caout. 1,5

Somme

33,7

9,5

9,2

18,55

Nous trouvons donc pour la moyenne de 34 observations,
dont les résultats sont compris entre les extrêmes 0cm,l et 3cm,
une valeur = lcm,9. L’erreur probable de cette moyenne
s’élève à:

v = 0,6745 =0,5,

c’est-à-dire, que la moitié des organes olfactifs intacts ont une
acuité sensitive correspondant à un minimum perceptible qui
oscille entre 0cm,5 et lcm,5 du cylindre olfactométrique,

Les résultats de nos 34 mensurations se laissent toutefois
utiliser encore d’une autre manière. On peut les grouper
d’après leur fréquence, ainsi qu’il suit:

142

H. ZWAARDEMAKER CZ.

Mininimum perceptible trouvé à
0,1 du cylindre olfactométrique : 2 fois

„ „

0,5 „

0,7 „

1,0 ■

1,2 „

2,5 „ „

3,0 „

Le minimum perceptible rencontré le plus fréquemment
est donc = 0,7.

D’après la définition de M. Thoma, c’est donc cette valeur
qui -doit être prise pour norme.

Le défaut de concordance entre la norme et la moyenne
saute immédiatement aux yeux. On sera peut-être tenté de
chercher l’explication de ce phénomène dans la fréquence
relativement assez grande des cas où le minimum perceptible
ne fut atteint qu’à 2 — 3 cm du cylindre olfactométrique. Parmi
les 34 organes du sens, il n’y en eut pas moins de 6 qui
offrirent une „Reizschwelle” relativement aussi élevée. Si ces cas
sont déclarés anomaux, et qu’on n’en tienne pas compte dans
le calcul de la moyenne, celle-ci s’abaisse notablement. Elle
devient alors 0cm,7, tout comme la norme, et un accord par-
fait est obtenu entre les deux valeurs. Inutile de rappeler,
toutefois, que de pareilles pratiques sont absolument interdites.
Le groupement, qui sert de base à une statistique, doit être
déterminé par des raisons prises en dehors de cette statistique ;
et après coup, quand les chiffres ont été obtenus, il n’est plus
permis de faire des modifications à ce groupement. Dans
l’occurrence présente, une fois admis les cas à „ minimum per-
ceptible élevé”, nous ne pouvons plus, si tentant que cela soit,
les considérer comme pathologiques ; d’autant moins que, sui-
vant les remarques déjà faites plus haut;

SUR LA NORME DE L’ACUITÉ OLFACTIVE (OLFACTIE). 143

1° l’aspect rhinoscopique était normal;

2° les taches produites par l’haleine étaient symétriques et
de grandeur ordinaire;

3° l’anamnèse ne mentionnait aucune rhinopathie, ni n’in-
diquait une affection nerveuse à laquelle aurait pu être attribuée
une anosmie intracrânienne ou essentielle.

Pour l’olfactomètre à caoutchouc, qui avait servi à cet
examen, la norme était donc de 0cm,7 du cylindre olfactomé-
trique. Ma propre acuité olfactive reste par conséquent un
peu au-dessous de la norme, sans être toutefois anormale,
puisque, comme on l’a vu plus haut, la moitié des organes
olfactifs intacts tombent entre les valeurs 0cm,5 et lcm,5.

Le stimulus olfactif qui correspond au minimum perceptible
normal peut être pris pour unité servant à exprimer toutes
les autres excitations olfactives de la même espèce. Il est même
la mesure physiologique naturelle de ces impressions, à côté
de laquelle une mesure physique pourrait seule être jugée ra-
tionnelle. Malheureusement, cette dernière nous manque jus-
qu’ici pour l’odorat, de sorte que nous devons bien nous con-
tenter de l’unité physiologique, avec tout le cortège des défauts
qui, de sa nature, lui sont inhérents. A cette unité physiolo-
gique, déjà employée itérativement par M. Wundt pour différents
sens, j’ai proposé de donner le nom à' olfactie. Par rapport au
cylindre olfactométrique dont il est question dans ce Mémoire
on a donc :

minimum perceptible normal = olfactie = 0cm,7.

Il va sans dire que, pour d’autres olfactomètres, la valeur
numérique de l’olfactie sera différente. Sa valeur réelle, toutefois,
reste constante; ce qui change, c’est seulement l’appareil ser-
vant à la mesurer.

Le clinicien qui veut déterminer au moyen de l’olfacto-
mètre l’acuité de l’odorat chez ses malades névropathes, le
spécialiste qui cherche à découvrir les causes locales d’une
anosmie, ont l’un et l’autre intérêt à connaître la norme de
leurs cylindres olfactométriques. Ce n’est qu’en comparant les

144

H. ZWAARDEMAKER CZ.

résultats individuels avec cette valeur normale qu’on peut
apprécier le degré exact de la déviation. Ainsi que je l’ai
montré dans une occasion antérieure 1 ), ce degré s’exprime le
mieux par une fraction. Soient o et o' les acuités olfactives à
comparer, l et V les longueurs de cylindre trouvées respective-
ment pour ces deux cas; on a alors, vu qu’entre ces données
il existe une proportion inverse:

l_

o V *

Si o est l’acuité olfactive normale et l la longueur corres-
pondante du cylindre olfactométrique, on obtient, en posant
o = l:

Au moyen de la notion d 'olfactie, ci-dessus introduite, les
choses deviennent encore beaucoup plus simples. On a, en effet:
minimum perceptible normal = olfactie = l ~ 1.

Il en résulte que, si la fraction dont il s’agit a été réduite
de manière que son numérateur soit =r 1, le dénominateur
indique immédiatement de combien d’olfacties le minimum
perceptible se compose dans un cas pathologique donné. Une
personne d’acuité olfactive (olfactus) = 1, a son minimum
perceptible à 1 olfactie ; une personne d’acuité olfactive
(olfactus) — | a ce minimum à 2 olfacties ; une personne
d’acuité (olfactus) = j l’a à 3 olfacties, etc.

Il n’y a aucun inconvénient, et même il y avantage, à dis-
poser l’echelle de l’olfactomètre en conformité de ce qui vient
d’être dit. Au lieu de centimètres, on peut y marquer les
olfacties. L’acuité de l’odorat se lit alors directement : le chiffre
de l’échelle est aussi le chiffre de l’acuité olfactive, en ce sens
qu’un minimum perceptibfe = n indique une acuité olfac-

.. 1
tive = —

n

J) Over het meten van den reukzin bij het hlinisch onderzoeh , dans:
Tijdschrift voor Geneeskunde , 1888, T. II, p.U4.

SUR LA NORME DE l’ACUTTE OLFACTIVE (OLFACTIE). 145

Un pareil olfactomètre doit toutefois être composé d’une
matière ayant un pouvoir odorant constant. La constance
absolue, sous ce rapport, n’existe chez aucune substance; la
quantité des particules odorantes cédées, dans un temps donné,
à l’air qui passe sur la substance, varie plus ou moins avec
la température 1 ). Pour certaines matières odorantes solides
les différences sont très sensibles, même entre les limites de
la température ordinaire de nos appartements. Abstraction
faite de cette influence, une diminution lente du pouvoir odo-
rant aura lieu à la longue. Il est vrai que dans les cylindres
olfactom étriqués, grâce à la disposition fortuitement adoptée,
les matières restent conservées à l’abri du contact de l’air ;
mais néanmoins, à l'orifice antérieur de l’appareil et pendant
l’emploi, elles sont exposées à une légère évaporation et des-
siccation. Le pouvoir odorant doit donc nécessairement s’affai-
blir peu à peu. Il en résulte que l’échelle des olfacties se
déplace plus ou moins, de la même manière que l’échelle
d’un thermomètre se déplace par suite des changements mo-
léculaires du verre dont l’instrument est construit. Pour l’usage
clinique, on devra, bien entendu, se servir exclusivement
d’ olfactom êtres faits de matières qui ne soient sujettes à ces
variations que dans une faible mesure. Telles sont le caout-
chouc vulcanisé et le mélange de gomme ammoniaque et de
gutta-percha que j’ai indiqué antérieurement pour cet emploi.
Aux olfactomètres construits avec ces matières on pourra adapter,
en toute confiance, une échelle d’olfacties. Seulement, au bout
de quelques mois, il faudra contrôler l’instrument, comme on
est obligé de le faire aussi pour les thermomètres, les galva-
nomètres, etc. Dans les olfactomètres en ma possession, les
variations révélées par ce contrôle étaient des plus insignifi-
antes. Sur l’appareil en caoutchouc, l’échelle devra être divisée

i) Feestbundel Donders- Jubileum, p.183. Il est probable que les diffé-
rences de l’état hygroscopique de l’air déterminent des variations analogues
(. Procesverbaal der Sectie-vcrgadering van het Provinciaal Utrechtsch Ge-
nootschaj), 25 Juni 1889, p.14.).

146

H. ZWAARDEMAKER CZ.

en olfacties, sur celui en gomme ammoniaque — gutta-percha,
en centaines d’olfacties, parce que de cette manière la lecture
devient le plus facile, les traits de la division s’espaçant alors
d’environ 1 centimètre (un peu plus ou un peu moins, sui-
vant l’espèce de caoutchouc ou le mode de préparation du
mélange gomme ammoniaque — gutta-percha).

Si, pour l’examen clinique, la disposition dont nous venons
de parler peut être dite pleinement satisfaisante, on doit exiger
davantage quand il s’agit de recherches rigoureusement scien-
tifiques sur la physiologie de l’odorat. L’olfactomètre clinique
est à peu près constant; complètement invariable pendant
des mois et des années, il ne l’est pas. Mais on peut, sous
ce rapport, donner à l’appareil toute l’exactitude désirable en
le modifiant de la manière suivante.

Le cylindre olfactométrique ordinaire (consistant, comme on
le sait, en une matière odorante solide, entourée extérieure-
ment d’une enveloppe de verre) sera remplacé par un cylindre
de terre cuite poreuse. Celui-ci doit naturellement avoir
les mêmes dimensions que les cylindres ordinaires, afin de
s’adapter exactement sur le tube olfactif et, ramené en arrière ?
de le recouvrir en entier. La maison ’t Hooft et Labouchère,
de Delft, a eu l’extrême obligeance de faire fabriquer pour
moi des cylindres de ce genre, avec les matières premières
de la belle porcelaine qui a valu à sa fabrique un renom
universel *). Ils sont en pâte kaolinique poreuse, qui, par
elle-même, ne donne presque aucune odeur. La faible senteur
de terre cuite, qu’on perçoit encore à l’origine, se perd com-
plètement lorsque les cylindres séjournent une couple de jours
dans une eau courante. Aux deux extrémités, coupées à angle
droit, ils ont reçu une couverte vitreuse. Quant aux faces
interne et externe, elles sont restées dans leur état primitif,
c’est-à-dire, blanches et poreuses, facilement pénétrables aux
liquides. Ces cylindres remplissent maintenant, dans mes

i) Pour le service ainsi rendu, j’adresse à la maison, ainsi qu’à son
ingénieur, M. Grundel, mes sincères remercîments.

SUR LA NORME DE L’ACUITE OLFACTIVE (OLFACTIE). 147

appareils destinés aux recherches physiologiques’ le rôle de
cylindres olfactométriques. Avant l’expérience, je les plonge
dans un flacon à l’émeri , rempli du liquide dont l’odeur doit
^tre employée dans l’expérience. Ce liquide peut être, par
exemple, une solution d’acide valérianique. La teneur en élé-
ment odorant a été préalablement déterminée avec soin par voie
acidim étriqué. Dans le flacon bouché à l’émeri les cylindres poreux
sont laissés pendant plusieurs heures, de sorte qu’on peut
admettre que le liquide a entièrement rempli les pores de la
porcelaine, du moins dans les couches les plus voisines des
surfaces intérieure et extérieure. Après avoir été retirés du
liquide odorant, les cylindres sont essuyés en dedans et en
dehors, puis placés sur l’olfactomètre. La détermination de
l’acuité olfactive n’offre alors aucune difficulté et l’on est par-
faitement sûr — en se servant du même cylindre — d’obtenir
toujours, avec une même concentration du liquide imprégnant,
le même chiffre pour la longueur de cylindre qui correspond
au minimum perceptible. De plus, ce minimum perceptible
est exprimé en données purement physiques, qui se laissent
mesurer avec précision. Ces données sont:

1°. la longeur dont le cylindre olfactométrique a été retiré,

2°. la concentration de la matière chimique employée comme
source d’odeur.

Il y a constance complète de tous les autres éléments, tels
que: les dimensions du tube olfactif, la distance à laquelle
la source d’odeur se trouve de l’organe sensitif, les dimensions
du cylindre poreux imbibé de matière odorante, la porosité
de ce cylindre, qui ne doit être mis en contact qu’avec des
substances entièrement solubles.

Ce qu’il y a de variable dans l’olfactomètre clinique est
éliminé du nouvel appareil. On n’y trouve plus que des don-
nées fixes, pouvant être rétablies indéfiniment. A l’unité
physiologique de l’acuité olfactive, une base physique a été
fournie.

1 48 H. zwaardemaker cz. sur la norme de l’acuite, etc.

Le lecteur s’attendra peut-être à voir suivre cette commu-
nication d’une série de nombres donnant la valeur de l’olfactie
en mesure physique, pour différentes matières odorantes solu-
bles et chimiquement définissables J’ai effectivement déjà
travaillé, depuis environ un an, à rassembler de pareils chiffres. 1 )
Mais, autant l’olfactomètre, avec ses trois parties constituantes:
cylindre, tube olfactif et planchette, paraît un instrument
simple, autant il exige d’études pour son emploi fructueux.
Exécuter des déterminations approchées, n’est guère dif-
ficile ; mais les mesures exactes demandent toute une série
d’opérations préparatoires. Le pouvoir odorant de cylindres
imbibés du même liquide, mais inégalement poreux ; l’affai-
blissement de l’odeur par suite de l’évaporation du liquide
odorant dans les couches superficielles; l’adhésion que les
particules odorantes dégagées contractent avec la paroi du tube
olfactif en verre, dans différentes conditions de température,
d’humidité, de propreté; tous ces points doivent être con-
trôlés et imposent des corrections. Ce que je pourrais donner
ici, ce serait simplement les chiffres bruts, auxquels les
corrections n’ont pas encore été appliquées. Ces résultats bruts
n’ayant pas grande valeur, je m’abstiens de les faire connaître
et me borne à insister sur les conclusions suivantes:

1°. La norme est une acuité d’odorat correspondant à une
olfactie; autour de cette valeur oscillent les acuités olfactives
qui, en clinique, peuvent être considérées comme normales;

2°. l’olfactie peut être exprimée en données physiques;

3°. cette expression est devenue possible par l’emploi d’un
cylindre olfactométrique poreux, imbibé d’une solution odo-
rante chimiquement définissable.

i) Voir, sur une application: Compensation von Geruche , dans Fort-
schrxtte der Medicin , 1889, n°. 19.

ANOSMIES D’ORIGINE NERVEUSE,

PAR

H. ZWAARDEMAKER Cz.

S’il était donné à l’homme de se rendre compte du cercle
d’idées d’un des animaux supérieurs que Broca désigne sous
le nom de mammifères osmatiques, nous y rencontrerions in-
dubitablement des représentations mentales d’un tout autre
ordre que celui où se meut notre propre entendement. Les re-
présentations auditives extrêmement complexes dans lesquelles
nous ressentons toute la puissance du langage, elles manquent
presque complètement chez ces êtres, et à leur place apparaît
un monde merveilleux de représentations olfactives, plus riche
et plus varié que nous ne pouvons l’imaginer. Elles régissent
probablement l’âme animale, de la même manière que le font
chez nous les impressions reçues par l’œil et par l’oreille. Et
à cela il n’y a rien d’étonnant, car elles sont intimement liées
aux deux choses en lesquelles tout se résume pour l’animal :
la nourriture et la sexualité.

Qu’à l’odorat soit réellement départi un rôle si considé-
rable dans l’esprit de la très grande majorité des mammifères,
c’est ce qui ressort avec évidence de l’anatomie comparée,
notamment du grand volume que possède, pour ce sens,
l’organe nerveux central. Le bulbe olfactif et le tractus olfactif
forment chez eux une section cérébrale particulière, dite le
lobe olfactif, et le gyrus de l’hippocampe ainsi que la corne
d’Ammon présentent aussi un développement de beaucoup

Archives Néerlandaises, T. XXV. 11

150

H. ZWAARDEMAKER C Z.

supérieur à celui des formes humaines. Comparé à cet état,
notre appareil olfactif est un organe rudimentaire. Si le centre
y est exigu, si le bulbe olfactif y est caché sous les grands
lobes frontaux, la portion périphérique est également insigni-
fiante. Elle est contenue dans un ethmoïde petit, étroit, rac-
courci. Des rangées de plis olfactifs il n’est resté que la médiane,
et même, dans cette série, les 5 cornets typiques sont réduits
à deux. Tandis que la station verticale émancipait les extré-
mités antérieures, les transformait en organes appropriés à
des services multiples, tandis que le perfectionnement du
langage rendait nécessaire une extension considérable de la
surface cérébrale, et qu’en conséquence les lobes frontaux se
développaient fortement, le centre olfactif diminuait manifes-
tement en volume. La vue et l’ouïe devinrent les sens car-
dinaux, l’odorat se dégrada, et si son étude forme encore un
chapitre important de la physiologie de l’homme, c’est uni-
quement parce qu’aucun autre sens ne montre une connexion
aussi directe entre la nature de la matière et la sensation
qu’elle provoque.

La pathologie, toutefois, tire souvent profit et instruction de
choses qui pour la vie normale sont d’intérêt secondaire. C’est
ainsi que les troubles de l’odorat constituent parfois des sym-
ptômes caractéristiques d’une affection nerveuse. Et cela se
comprend, puisque l’olfactif est un nerf cérébral par excellence.
Comme expansion primaire du lobe antérieur du cerveau, le
bulbe olfactif se place sur la même ligne que la rétine, organe
avec lequel il présente une grande analogie sous le rapport
de la structure microscopique. L’appareil conducteur des sti-
mulants olfactifs est d’un examen très facile, ce qui donne
une netteté peu commune à notre diagnose de la nature des
perturbations. Grâce à ces diverses circonstances, l’anosmie
devient un signe précieux pour la détermination du foyer
morbide. Mais, à part même toute localisation, l’importance
du trouble olfactif nerveux n’est pas médiocre, car, comme
organe rudimentaire, le sens en question est tout particulière-

ANOSMIES D ORIGINE NERVEUSE.

151

ment exposé à des déviations pathologiques, soit congénitales
soit acquises. En pareil cas, nous avons besoin en premier
lieu d’une bonne méthode de recherche

Partout où la mesure et le nombre font leur entrée, notre
observation gagne en précision, notre jugement en exactitude.
Je me suis donc proposé de trouver une méthode quantitative,
et je crois y être parvenu au moyen de l’olfactomètre que
j’ai décrit précédemment. Pour les recherches cliniques, c’est
un appareil extrêmement simple, dont on peut se servir avec
fruit presque sans préparation spéciale. En outre, il est pro-
visoirement tout à fait indifférent de choisir pour le cylindre
de l’appareil telle ou telle matière odorante solide, l’expérience
ayant appris que la grande majorité des anosmies portent
également sur toutes les sortes d’odeurs. Tel est le cas no-
tamment pour les anosmies qui proviennent de sténose nasale
ou d’altérations pathologiques dans la muqueuse olfactive. La
seule précaution à observer dans l’olfactométrie clinique, c’est
d’éviter les stimulants énergiques, vu que ceux-ci fatiguent le sens
et l’émoussent pour longtemps. En outre, avec ces odeurs trop
fortes, on est exposé à parfumer tous les objets qu’on touche
et même le local tout entier dans lequel on opère. L’emploi
de matières à émanations trop vives, acide acétique, ammo-
niaque liquide, huiles essentielles et autres substances qu’on
trouve indiquées dans les Traités, notamment dans ceux de
Eichhorst et de Strümpell, est le défaut capital de la méthode
antérieure. Par cela seul déjà, on s’est enlevé toute chance
d’arriver à une connaissance exacte de l’anosmie.

A l’aide d’olfactomètres convenablement construits, il n’est
pas difficile de mesurer l’acuité de l’odorat. Le malade ayant
introduit dans la partie antérieure de l’une des narines l’ex-
trémité bien nettoyée de l’instrument, on l’invite à y flairer,
sans qu’il soit nécessaire de boucher l’autre narine. Le petit
écran dont l’olfactomètre est pourvu garantit suffisamment, si
l’on s’est abstenu de toucher le bois avec des doigts imprégnés
d’odeur. J’ai l’habitude de laisser le malade prendre d’abord

11*

152

H. ZWA ARDEMAKER OZ.

connaissance de l’odenr qu’il devra observer, en lui faisant
sentir un instant, mais un instant très court et très fugitif, le
cylindre olfactométrique détaché. Ensuite, je cherche le mi-
nimum perceptible, en passant alternativement d’excitations
trop fortes à d’autres un peu trop faibles, et d’excitations trop
faibles à d’autres légèrement plus fortes. L’observation doit
surtout avoir lieu sans que le sujet y apporte beaucoup de
contention; il doit sentir rapidement et simplement, comme
on le fait aussi dans la vie ordinaire. Quelques personnes ont
une tendance à aspirer de toutes leurs forces, d’une manière
très peu naturelle, et le seul résultat qu’elles obtiennent ainsi
est une excessive raréfaction de la matière odorante dans une
très grande quantité d’air. Lorsque, toutefois, on aspire tran-
quillement, naturellement, 5 ou 6 observations suffisent pour
fixer la limite entre sentir et ne pas sentir l). La détermina-
tion acquiert une exactitude extrême si de temps en temps
on compare la sensation douteuse avec la sensation d’ino-
dorité qui se produit lorsque l’olfactomètre est porté dans la
partie postérieure de la narine. L’acuité olfactive s’exprime
finalement par une fraction:

olfactus = —

v fl

où le numérateur représente le minimum perceptible de lon-
gueur de cylindre pour une personne normale, le dénominateur
la longueur de cylindre trouvée.

L’expérience m’a appris que les anosmies respiratoires et
essentielles sont extrêmement fréquentes. Si donc on ne veut
pas tomber dans des méprises grossières, on doit, lors de
l’examen de névropathes, savoir exclure ces anosmies. Il va
sans dire qu’un examen rhinoscopique minutieux sera alors
d’une grande utilité Le but auquel je tends, toutefois, est
d’indiquer une méthode plus simple, qui mette le médecin en

• ) Sur l’influence du mode d’aspiration, voir Ned. Tijdschrift voor Ge -
neeskunde , 1888, T. II, p.133.

ANOSMIES D’ORIGINE NERVEUSE.

153

état de se former, aussi au lit du malade ou dans la poli-
clinique, une opinion au moins provisoire.

Encore que l’air inspiré ne passe pas directement sur la
surface sensitive, il est clair qu’un large courant respiratoire
est une condition sine qua non de la fonction olfactive. Or, la
largeur du courant respiratoire peut être estimée d’après la
masse d’air qui, lors de l’expiration, sort des fosses nasales.
Cet air a été saturé de vapeur d’eau dans les poumons et
laisse donc, sur un miroir métallique qu’il rencontre, un dépôt
de vapeur condensée. Dans les conditions normales, les deux
taches ainsi produites sur un miroir (par exemple, un réflecteur
laryngoscopique ordinaire ou quelque autre surface métallique
polie) qu’on tient, parallèlement aux narines, à la hauteur de
la lèvre supérieure, doivent être symétriques. Chacune de ces
taches respiratoires, à mesure qu’elle se dissipe, se partage
d’elle-même en deux parties, une partie supérieure latérale et
une partie inférieure médiane, dues probablement à la division
en deux courants, que le cornet nasal inférieur fait nécessaire-
ment subir à l’air expiré.

Trouve-t-on des taches respiratoires symétriques, de forme
normale, et qui, sous le rapport de leur étendue et de la
rapidité avec laquelle elles se dissipent, ne diffèrent pas trop
des taches de contrôle produites par l’observateur, alors on
peut admettre que, à part des circonstances particulières, il
n’existe pas pour l’odorat des obstacles respiratoires. Si la
symétrie n’est pas parfaite, mais que l’écart soit faible, on
peut, jusqu'à nouvel ordre, hasarder la même conjecture.

Les anosmies respiratoires sont donc assez faciles à recon-
naître. La difficulté est plus grande pour les anosmies essen-
tielles. Toutefois, elles se rencontrent le plus souvent à la
suite de rhinite chronique, de pharyngite chronique, etc. En
général, on ne sera autorisé à les admettre que s’il existe de
pareilles conditions étiologiques. De plus, ces anosmies essen-
tielles sont ordinairement bilatérales et à peu près au même
degré des deux côtés dans les cas non compliqués, en op-

154

H. ZWAARDEMAKER CZ.

position avec les anosmies respiratoires, qui presque toujours
présentent de grandes différences à droite et à gauche. Enfin,
on doit considérer que les processus anatomo-pathologiques
qui produisent les anosmies essentielles pourraient difficile-
ment rester limités à la muqueuse olfactive, si bien cachée
par sa situation. Lors donc qu’on ne trouve aucune altération
dans les parties plus accessibles de la muqueuse nasale ou
pharyngienne, cela seul est un motif de juger improbable l’exis-
tence d’une anosmie essentielle, au moins de nature un peu
grave 1 ).

Ces recherches préliminaires concernant l’organe olfactif
périphérique ne devront jamais être omises dans l’examen des
troubles de l’odorat chez les névropathes. Néglige-t-on, lors
de l’étude des troubles visuels nerveux, de s’assurer de l’état
normal de la rétine ou de celui des milieux réfringents? Eh
bien ! ce que la détermination de la réfraction et l’examen
opthalmoscopique sont pour l’œil, l’examen de la partie in-
férieure des cavités nasales l’est pour l’organe de l’odorat.
Surtout les crêtes qui partent de la cloison, le cornet inférieur,
le bord du cornet moyen, ont de l’importance sous ce rapport.
La certitude, en ce qui concerne leur forme et leur dévelop-
pement, s’obtient par la rliinoscopie antérieure et postérieure ;
la probabilité et une opinion provisoire, par les moyens simples
que je viens de décrire.

Tout en étant moins fréquente que les anosmies respiratoires
et essentielles, la perte d’odorat d’origine nerveuse n’est pour-
tant pas rare. Dans ce que je vais dire à ce sujet, je m’appuierai
principalement sur les résultats de mon expérience personnelle
et ne citerai les travaux antérieurs, d’ailleurs peu nombreux,
qu’en tant que cela sera nécessaire pour la juste appréciation
des choses.

Parmi les anosmies congénitales, la plupart ont certainement

i) Pour plus de détails à ce sujet, voir mon article Anosmie , dans Ned.
Tijdschr. v. Gen., 1889, n° 1.

ANOSMIES D’ORIGINE NERVEUSE.

155

un caractère nerveux. Selon Kundrat, qui a écrit une excellente
monographie sur les monstres privés d’appareil olfactif central,
les arhinencéphales, des degrés plus légers de cette anomalie
se rencontrent de temps en temps chez des individus par-
faitement conformés quant au reste. L’éminent Claude Bernard
lui-même, lorsqu’il était encore assistant de Magendie, a dissé-
qué le cadavre d’une jeune femme, chez qui manquaient
complètement les nerfs olfactifs. Le cerveau affecté de cette
anomalie se trouve représenté dans les „ Leçons sur le système
nerveux ”. Claude Bernard a pris la peine de rechercher les
parents de la défunte et de les questionner sur ce qu’elle
avait pu présenter de particulier dans le cours de sa vie. Leurs
récits n’apprirent rien, il est vrai, touchant le manque d’odorat,
mais on peut en tout cas en conclure qu’il n’existait absolument
rien qui dénonçât une monstruosité. Quelques autres cas
analogues se rencontrent encore, sporadiquement, dans la
littérature spéciale.

De l’écrit de Kundrat j’ai déduit qu’on aura le plus de chance
de trouver des anosmies congénitales chez les individus à
front étroit, vu que cette conformation peut tenir à un déve-
loppement imparfait de la lame criblée de l’ethmoïde. D’autre
part, il est probable que chez ces individus, au moins quand
ils offrent des signes de parenté avec les arhinencéphales, le
nez témoignera d’un dérangement dans sa croissance, de telle
sorte que la cloison médiane sera courte et que le palais sera
plus voûté que d’ordinaire. Bien que, chez toutes les personnes
présentant ces caractères, j’aie cherché l’anosmie congénitale,
je n’ai pu jusqu’ici en découvrir qu’un seul exemple. Il s’agit
d’un homme intelligent, d’âge moyen, qui n’a jamais eu
d’odorat. Ni dans sa jeunesse, ni plus tard, il n’a été capable
de sentir une odeur. Les fleurs, le goudron, le gaz d’éclairage,
rien de ce qui dans la vie journalière affecte le nez, ne lui
a procuré une impression olfactive. Il va sans dire que -cet
homme a un goût tout à fait à part. Les mets délicats d’un
arôme agréable, exquis pour les gens civilisés ordinaires, lui

156

H. ZWA ARDEMAKER CZ.

sont indifférents. Par contre, il est très sensible aux impressions
que sa muqueuse buccale éprouve pendant la mastication.

Plus fréquemment que les anosmies congénitales, on rencontre
toutefois la perte totale de l’odorat survenue après que la
première enfance était déjà passée. Il arrive souvent qu’on
croie pouvoir écarter l’idée de processus pathologiques dans les
cavités nasales, et que néanmoins il existe une anosmie ab-
solue, qui s’est développée insensiblement au cours de l’ado-
lescence. La possibilité doit être admise qu’elle dépende d’un
développement imparfait de l’organe central de l’odorat, qu’elle
représente par conséquent le degré le plus léger de l’arhinen-
cépbalie. C’est au moins un fait digne d’attention que sur la
table de dissection on trouve si souvent, sans l’avoir cherchée,
la sclérose de la corne d’Ammon, organe cortical faisant in-
dubitablement partie, comme on sait, du centre olfactif. Tou-
tefois, dans le jugement clinique de ces cas d’anosmie, il faut
être prudent. Jusqu’ici, l’occasion m’a été offerte d’en observer
trois avec soin. J’ai perdu de vue l’un de ces sujets, mais les
deux autres cas ont pu être soumis à un examen répété.

L’un d’eux concernait une jeune personne de 17 ans, qui à l’âge de 4
ans aurait eu une diphtérite. Ni dans le pharynx, toutefois, ni dans la
cavité nasale, on ne découvrait quoi que ce soit qui pût être considéré
comme un reste de cette maladie. Au contraire, ces organes périphériques
se montrèrent, par rhinoscopie antérieure, parfaitement normaux. Pour-
tant, l’anosmie était complète. Je pratiquai pendant quelque temps des
insufflations de strychnine, et le 17 avril 1889 les premières sensations
olfactives purent être constatées. La distinction des odeurs laissait encore
beaucoup à désirer; finalement, l’acuité de l’odorat, mesurée à rolfactomètre,
s’éleva à 4 cm de racine de sumbul.

Ce qui semblait d’abord une anosmie absolue n’était donc,
vu de plus près, qu’une anosmie relative, non pas une perte
d’odorat, mais une simple faiblesse d’odorat, dépendant sans
doute d’une cause autre qu’un défaut de développement. Peut-
être était-ce réellement une anosmie essentielle post-diphtéri-
tique, peut-être aussi une des anosmies hystériques qui, d’après

ANOSMIES D’ORIGINE NERVEUSE.

157

la pratique de M. Strümpell (non d’après la mienne), se pré-
sentent si fréquemment

Dans l’autre cas, il s’agissait d’un jeune homme de 24 ans, industriel,
qui de sa 17e à sa 20e année avait peu à peu perdu l’odorat, sans que
quelque autre phénomène pathologique se fût manifesté chez lui. Il ne
percevait aucune odeur, même des plus fortes, parmi lesquelles je compte
celles du sulfure d’allyle, de la benzaldéhyde, etc. L’examen rhinoscopique
mit toutefois au jour, dans la cavité nasale du reste parfaitement saine,
une notable accumulation de mucus à l’entrée de la fente olfactive. De
la partie supérieure, ce mucus s’était évidemment porté plus bas, car
dans l’image rétro-nasale on le voyait jusque tout près de la voûte.

Nous aurions donc affaire ici au cas très rare d’une in-
flammation circonscrite et catarrhale de la muqueuse olfactive.
En général, les catarrhes de la cavité nasale se localisent dans
la partie inférieure, là où le courant respiratoire apporte in-
cessamment des causes d’irritation mécanique ou thermique,
là aussi où les chances d’infection renouvelée sont le plus
grandes ,). Il paraît, toutefois, que par exception la partie
supérieure peut aussi avoir son tour, et cela, chose assez sin-
gulière, bilatéralement.

Des deux exemples qui viennent d’être cités, il ressort qu’une
anosmie, en apparence absolue et simple, peut provenir de
processus anatomo-pathologiques dans la fente olfactive, en
d’autres termes, être une anosmie essentielle. En maints cas,
où les circonstances et la durée de l’observation seront moins
favorables, on devra donc rester dans l’incertitude quant à la
vraie nature de l’affection.

La contre-partie des anosmies congénitales se trouve dans
les anosmies séniles Ma pratique consultative m’en a fourni
quelques exemples très caractéristiques. Des hommes ou des
femmes d’âge avancé, mais bien portants et encore relative-
ment vigoureux, perdent peu à peu l’odorat, après avoir
éprouvé des paresthésies très prononcées. Celles-ci sont trop

• ) Voir Anosmies , dans Ned. Tijdschr. v. Gen ., 1889, n° 1.

158

H. ZWAARDEMAKER CZ.

peu définies pour pouvoir être appelées des hallucinations.
Elles sont intermittentes, surgissent brusquement, et dispa-
raissent de même. Parfois aussi, elles sont continues, mais,
alors même, sujettes à des aggravations et à des améliorations.
Ordinairement la sensation est très forte et d’un effet assez
fâcheux sur l’état normal. Tantôt le malade se plaint d’une
odeur empyreumatique, tantôt d’une odeur désagréable mal
déterminée, rappelant celle des matières fécales. Je n’ai jamais
appris qu’elle empêchât le sommeil. Très gênante, dans ces
cas, est la longue durée des perceptions consécutives, le malade
restant plusieurs heures sans pouvoir se débarrasser d’une
odeur qui du reste n’a rien d’extraordinaire, par exemple, celle
des aliments ou des boissons. Au sujet de quatre de cés cas
je possède des observations olfactométriques un peu complètes :

I. Cas d’anosmie respiratoire gauche, compliquée d’anosmie sénile, de
sorte que l’acuité olfactive est abaissée à droite jusqu’à à gauche
jusqu’à x^ô* Comme minimum perceptible on trouve, en effet, à droite
2cm de caoutchouc, et gauche lcm, 5 du mélange de gomme ammoniaque
et de guttapercha (l’odeur de ce mélange est environ 100 fois plus
forte que celle du caoutchouc). Paresthésies de caractère mal déterminé,
empyreumatique.

II. Cas d’anosmie sénile chez un homme de 44 ans, qui présente aussi
un raccourcissement précoce de l’échelle des tons • ). L’acuité olfactive
est tombée à droite jusqu’à 1 / 5, à gauche jusqu’à 1/20. Paresthésies surtout
pendant la nuit, lorsque celle-ci se passe sans sommeil.

III. Cas d’anosmie sénile avec perceptions consécutives très prononcées.
Bien que la cavité nasale soit parfaitement normale, l’acuité olfactive est
descendue à droite jusquà 1/10, à gauche jusqu’à 1/50. Les paresthésies
ont un caractère empyreumatique mal déterminé.

1Y. Cas d’anosmie absolue. Les paresthésies avaient d’abord le caractère
d’une odeur vague de matières fécales: plus tard, après usage du
bromure de potassium, elles ressemblèrent à l’odeur de drogues qui règne
dans une pharmacie. Dans la première période, le malade ne percevait rien
de l’odeur la plus pénétrante, alors même que celle-ci concordait avec sa
paresthésie.

Peut-être faut-il regarder comme proches voisins de ces

1) Comp. Ned. Tijdschr. v. Gen ., 1890, T. II, p. 737. •

ANOSMIES D’ORIGINE NERVEUSE.

159

anosmies séniles les troubles passagers, mais très remarquables,
de l’odorat, que j’ai rencontrés une couple de fois l’an dernier,
en connexion avec l’influenza. Dans les deux cas, c’est à
l’obligeance des médecins traitants que j’ai dû de pouvoir
prendre connaissance de l’anosmie.

La première malade était une femme de 30 ans, mère de quatre
enfants. En janvier 1890 elle prit l’influenza, avec fièvre intense, qui dura
8 jours; douleur dans le ventre, ni odorat ni goût, au dire de la malade.
Elle percevait l’amer, le salé, l’acide, le doux, mais rien de plus. La ma-
lade assure n’avoir été nullement enrhumée à ce moment. Bien certaine-
ment, elle ne l’était pas non plus au moment où elle fut soumise à
mon examen. Aussi ne découvrait-on, rhinoscopiquement, aucune espèce
d’anomalie. Néanmoins, l’acuité olfactive était au-dessous de Viooo de sa
valeur normale. Huit jours plus tard, l’acuité de l’odorat était remontée
à gauche jusqu’à 1/l00 ; au bout d’une nouvelle semaine, à gauche jusqu’à
V10 et à droite jusqu’à 1/30o* Ie 19 mai elle était redevenue normale
des deux côtés.

Le second malade était un homme de 51 ans, père d’une nombreuse
famille. Au moment de l’examen il présentait, avec un méat olfactif faci-
lement accessible, à droite une acuité olfactive de J/150, ^ Sauche une
acuité positivement inférieure à V5Ô0. Le soir, à ce qu’il me raconta,
l’anosmie était complète, de sorte qu’il ne pouvait rien goûter convena-
blement. Le champ visuel et le champ auditif de ce malade étaient
parfaitement normaux.

Quant à la signification de ces anosmies survenant à la
suite de l’influenza, rien de certain ne saurait être dit. Invo-
lontairement, on est tenté de leur chercher des analogies avec
l’anesthésie de la rétine qui s’observerait après le typhus, etc.

Les anosmies congénitales, séniles et d’épuisement-, dont il
a été question jusqu’ici, ont, en certain sens, un caractère
général. Sans doute, nous avons des raisons de supposer que
les recherches ultérieures feront connaître pour chacun de ces
troubles une localisation plus spéciale, mais, quant à présent,
on ne peut proposer que des hypothèses.

Pour l’anosmie congénitale, par exemple, un état rudimen-
taire de la corne d’Ammon, entraînant un développement im-

160

H. ZWAARDEMAKER CZ.

parfait du tractus olfactif, n’est pas improbable; pour l’anosmie
sénile, il est possible que la cause prochaine en doive être
cherchée dans une dégénération du bulbe olfactif, avec formation
de corpuscules amylacés; pour l’anosmie d’épuisement, je
voudrais admettre, précisément à cause de la prompte fatigue,
que le siège proprement dit de l’affection se trouve dans l’épi-
thélium sensitif. Mais ce ne sont là que des conjectures, et
au point de vue simple, dégagé de toute idée préconçue, où
doit se placer le clinicien, ces anosmies restent des troubles
de l’odorat non localisables et dont il sait seulement qu’ils
ne sont dus ni à des obstacles respiratoires, ni à des altéra-
tions pathologiques de la muqueuse olfactive. Tout au plus,
nos hypothèses peuvent-elles indiquer provisoirement, jusqu’à
ce que l’expérience ait prononcé, une voie à l’action théra-
peutique.

Les anosmies nerveuses auxquelles j’arrive maintenant nous
offrent, contrairement aux précédentes, une localisation anato-
mique nettement circonscrite. Elles se présentent, comme symp-
tômes cérébraux, à côté d’autres phénomènes, et rendent en
beaucoup de cas possible la détermination du siège des lé-
sions encéphaliques.

Elles trouvent leur substratum anatomo-pathalogique :

a. dans le bulbe et le tractus olfactifs;

b. dans le tiers postérieur de la capsule interne;

c. corticalement, dans la circonvolution frontale à laquelle se
rattache la racine dite médiane du nerf olfactif (Zuckerkandl)
et dans le gyrus hippocampi avec la corne d’Ammon.

A. Des processus locaux, qui peuvent affecter le bulbe et
le tractus olfactifs, se rencontrent assez fréquemment. En pre-
mier lieu, ce sont les traumatismes, par exemple une chute
sur la tête, qui peuvent rendre anosmique. Il se produit même
de cette manière, comme l’a montré M. Ogle, une forme
pathologique très caractérisée : une chute de cheval ou de
voiture, par exemple, laisse pour seule trace persistante la
perte de l’odorat. Cette anosmie atteint naturellement aussi

ANOSMIES D’ORIGINE NERVEUSE.

161

la fonction gustative de l’odorat, ce qui, dès qu’elle devient
absolue, la rend très gênante pour les malades. Jusqu’à pré-
sent, on n’a remarqué que ces anosmies absolues. Mais il
ne souffre aucun doute que des degrés moindres, le simple
affaiblissement de l’odorat, ne se présentent également. On
a parfois hasardé la supposition que ce sont les fibres
minces et délicates du nerf olfactif qui, au point où elles tra-
versent la lame criblée, seraient déchirées lors de la chute.
Mais c’est là une pure hypothèse. Dans les rares autopsies qui
ont été faites, on a toujours trouvé une fracture de la base
du crâne, qui d’ailleurs dans les fosses crâniennes antérieures
ne donne pas nécessairement lieu à des phénomènes nette-
ment définis. Il serait donc très intéressant, et non sans im-
portance pour le diagnostic, de faire, après un traumatisme
un peu grave de la tête, un examen olfactom étriqué appro-
fondi.

A côté de ces lésions traumatiques, ce sont surtout les
tumeurs qui menacent de danger le bulbe et le tractus ol-
factifs. En raison des troubles de la vue, hémiopie (Leber) ou
exophtalmie, qui les accompagnent, il ne sera pas rare que
ces tumeurs viennent à être soumises à l’inspection de l’oph-
talmologiste. Plus tôt que dans les hôpitaux, on les rencontrera
donc dans les policliniques des oculistes, et c’est ainsi que,
grâce à l’obligeance de M. Snellen j’ai eu l’occasion d’observer
quelques cas d’anosmie par pression de tumeur.

B. Des processus qui se passent dans le tiers postérieur de
la capsule interne, ou qui y ont rapport, peuvent indubita-
blement, en théorie, donner lieu à l’anosmie et alors, natu-
rellement, à une anosmie unilatérale. Je ne sache pas que
des cas avec autopsie aient été consignés dans la littérature mé-
dicale; mais une forme pathologique très caractéristique, qui
d’après la célèbre hypothèse de Charcot a très probablement
la même localisation, c’est l’hémianesthésie hystérique. Comme
élément de cette l’hémianesthésie, apparaît l’hémianosmie.
Elle est dans ce cas entrecroisée, comme tous les autres

162

H. ZWAARTVEMAKER C!Z.

troubles sensoriels. Parfois, néanmoins, j’ai observé aussi de
l’autre côté, du côté non hémianesthésique, un affaiblis-
sement relatif de l’odorat, phénomène qui d’ailleurs trouve
ses analogues dans les autres sens. Je dois à l’amitié du pro-
fesseur Talma et du Dr Winkler d’avoir pu faire ces obser-
vations.

C. Dans le domaine encore presque inexploré des anosmies
corticales, on rencontre une forme pathologique parfaitement
définie; qui se présente fréquemment. C’est l’anosmie accom-
pagnant l’aphasie et l’hémiplégie du côté droit. Or, il est très
remarquable que dans ces cas l’anosmie ne se trouve pas du
même côté que la paralysie. Toujours, au contraire, on l’ob-
serve du côté opposé. Tandis que l’hémiplégie est à droite,
l’anosmie siège à gauche; la première est donc entrecroisée
par rapport au foyer, la seconde ne l’est pas.

Le centre cortical, qui dans ces cas est frappé en même
temps que le centre du langage parlé et les centres moteurs,
ne peut guère être autre chose que la circonvolution frontale
avec laquelle se continue, d’après l’anatomie comparée, la ra-
cine médiane du nerf olfactif (Zuckerkandl). Et alors on conçoit
aisément que l’entrecroisement fasse défaut. Ce qui surprend
davantage, c’est qu’il paraît exister une autre anosmie corticale,
qui, elle, est entrecroisée relativement au foyer. Une partie
des fibres du centre nerveux se rend donc à la périphérie sans
entrecroisement, une autre partie avec entrecroisement. Il y
a tout lieu de chercher cet entrecroisement dans la commissure
antérieure, qui chez les mammifères osmatiques possède un
développement énorme, et qui relie indubitablement les deux
bulbes et tractus olfactifs, ou, comme on les appelle chez ces
animaux, les lobes olfactifs. Cette commissure offre quelque
analogie avec le chiasma. Dans le cas où cette comparaison
n’exprimerait pas une simple ressemblance superficielle, mais
aurait réellement pour base une analogie plus intime entre les
deux nerfs cérébraux qui naissent d’expansions cérébrales,
ces formes d’aphasie avec anosmie pourraient nous révéler un

ANOSMIES D’ORIGINE NERVEUSE.

163

trésor de faits, aussi importants pour la théorie de l’odorat
que pour la localisation cérébrale. A mon grand regret, je n’ai
jamais eu l’occasion d’étudier un seul cas de ce genre. Les
hommes jeunes et robustes qui entrent à ma section d’hôpital
ne souffrent pas de ces maux de la vieillesse, et dans ma
pratique consultative les apoplexies ne se présentent pas.
Néanmoins, je me suis armé pour les éventualités possibles,
et c’est par l’énumération des moyens d’étude matériels
que je terminerai cet article. Dans les cas en question,
et aussi dans les cas d’anosmies corticales d’origine dif-
férente (gyrus de l’hippocampe), il sera nécessaire de limiter
le champ olfactif, et c’est ce que permettent les olfactomètres
destinés aux recherches physiologiques. Il y a une couple
d’années, M. Haycraft a fait voir comment l’odeur se modifie
progressivement dans les séries chimiques. Les molécules les
plus complexes forment les termes inférieurs, les molécules les
plus simples les termes les plus élevés. C’est ainsi du moins
que je conçois ces relations incontestables, en les rattachant
à mes hypothèses sur le classement des éléments sensitifs.1)
S’il en est ainsi, et provisoirement ces hypothèses paraissent
être les plus probables qu’on puisse se former à ce sujet, il
faudra se servir pour les olfactomètres de matières chimiques
pures, prises à un état de concentration connu. Ces matières
devront être choisies dans les séries de Haycraft, de telle
sorte que l’examen porte successivement sur un terme élevé
de la série et sur l’un des termes inférieurs. Les résultats,
comparés chaque fois avec les minima perceptibles normaux,
fourniront infailliblement des matériaux dont la physiologie
et la pathologie auront à tenir compte.

L’outillage nécessaire pour l’étude de l’amblyosmie corticale
se compose de:

i) Bijdrage tôt de physiologie van den reuk, dans: Donders Feestbundel,
1888, p. 378.

164 H. ZWAARDEMAKER CZ. ANOSMIES D’ORIGINE NERVEUSE.

a. un petit écran dans lequel se fixent, à vis ou à joint de
baïonnette, les tubes olfactifs;

b. une couple de tubes olfactifs en verre, qui, retirés de
l’écran, peuvent être rincés sous un filet d’eau;

c une couple de cylindres olfactométriques, de porcelaine
dégourdie, glacés seulement aux deux bouts coupés, mais
uniformément poreux aux faces intérieure et extérieure. Ces
cylindres ont un diamètre intérieur de 8 millimètres. Ils sont
livrés par la faïencerie de Delft, maison ’t Hooft Labouchère,
au prix de 50 centimes la pièce;

d. un fil de cuivre, servant de porte-ouate, pour sécher l’in-
térieur des tubes olfactifs.

Le tout se serre dans une trousse de toile cirée, qui peut
être facilement nettoyée et n'a presque plus d’odeur propre.

Le cylindre olfactométrique poreux est imbibé d’une solution
aqueuse ou glycérique contenant un poids déterminé de l’une
ou l’autre matière odorante, chimiquement définie. L’imbibition
se fait le mieux en plaçant le cylindre dans une éprouvette
remplie de la solution, puis fermant cette éprouvette par un
bouchon de liège et l’abandonnant quelque temps à elle-même,
par exemple durant la nuit. Avant de se servir du cylindre,
on l’essuie extérieurement, pour « îe pas être gêné par le li-
quide qui en dégoutterait. Tout est alors prêt pour la déter-
mination olfactométrique. Quand il s’agit de mesures exactes,
le cylindre doit être fréquemment replongé dans le liquide,
et la détermination finale, en tout cas, doit avoir lieu avec
le cylindre venant d’être retiré de la solution.

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES
DU MÈTRE DES ARCHIVES.

PAR

J. B O S S C H A.

1. Dans la Conférence générale de septembre 1889 le Comité
international des poids et mesures qui, en 1875, avait pris la
place de la Commission internationale du mètre et de son
Comité permanent, a rendu compte du travail auquel le
Gouvernement français avait, en 1869, convoqué les délégués
scientifiques de tous les pays civilisés.

Le but primitif de la Commission internationale fut la con-
struction d’une copie identique du Mètre des Archives, des-
tinée à remplacer cet ancien prototype du système métrique
dans la construction ultérieure de nouveaux étalons de longueur.
Cette copie constituerait un nouveau mètre international servant
de prototype aux étalons nationaux qu’on se proposait d’en
déduire, en nombre suffisant pour satisfaire aux demandes de
tous les Gouvernements intéressés. Le Comité, dans la séance
du 28 septembre 1882, a présenté aux Membres de la Con-
férence 34 règles en platine iridié, soigneusement comparées
entre elles et dont l’équation par rapport au Mètre des Ar-
chives avait été obtenue au moyen d’une règle transitoire
comparée directement avec le Prototype. Cette règle, — dé-
signée par le signe I2 — en tous points conforme aux 34
nouveaux étalons, paraît avoir été destinée d’abord à servir
comme nouveau mètre international. Toutefois, on a, plus tard,

Archives Néerlandaises, T. XXV. 12

166

J. BOSSCHA.

adopté comme tel la règle n° 6, dont la longueur parut se
rapprocher le plus de celle du Mètre des Archives. Il en est
résulté que ni le mètre international, ni aucun des nouveaux
étalons nationaux n’a été comparé directement avec l’ancien
Prototype. Des deux conditions, demandées par la Conférence
géodésique internationale de 1867 en ces termes:

„la longueur du mètre international devra différer aussi
„peu que possible du Mètre des Archives de Paris et doit
„en tous cas lui être comparée avec la plus grande exactitude”,
on a, pour satisfaire à la première, qui est certainement la
moins importante *), renoncé à la seconde.

2. Les opérations fondamentales qui devaient rattacher les
nouveaux étalons de longueur à l’unité du système métrique
avaient été confiées à une Commission mixte, composée de
trois Membres du Comité international, MM. Broch, Fôrster
et Stas et de trois Membres de la Section française, MM. Dumas,
H. Tresca et Cornu. Sous la direction de cette Commission les
comparaisons du mètre I2 avec le Mètre, des Archives ont été
effectuées par MM. Benoit et G. Tresca, au moyen du compara-
teur à mouvement transversal de la Section- française, installé
dans un cabinet attenant à la salle des Poids et Mesures du
Conservatoire national des Arts et Métiers. Un rapport, con-
cernant ces opérations, a été rédigé par M. Fôrster et lu
dans la séance du Comité international, le 4 octobre 1882.

i) On avait évalué a 6 microns la différence de longueur du mètre J2
avec le Mètre des Archives, à 0“ celle du Mètre n° 6. Répartie sur les
deux bouts des règles et mesurée avec les comparateurs du Bureau inter-
national, cette différence équivaut à trois divisions (centièmes de révolution)
du tambour des microscopes. Si l’on voulait, pour cette raison attribuer au
mètre n° 6 une supériorité quelconque, il faudrait, pour en profiter, s’as-
treindre à la condition de ne jamais employer, ni le mètre international,
ni les étalons qui en dérivent qu’à des températures ne s’écartant de zéro
centigrade que de % de degré, température à laquelle la dilatation a déjà
produit un écart de 6 microns. La différence entre les deux règles revient,
en définitive, à ceci, que l’unité du système métrique serait représentée
par le n° 6 à 0°, par I2 à. — 0°,75.

LES EQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 167

11 a été adopté par le Comité dans cette même séance. On en
a conclu que la distance entre les traits dêlimitatifs de V étalon

12 à 0° est de 6,« plus grande que la longueur du Mètre des
Archives à 0°. Sur la proposition de M. Forster, le Comité a
ensuite adopté comme unité de longueur la distance comprise
à 0° entre les traits délimitatifs de l’étalon I2, diminuée de
6«, et décidé que le Comité considérerait comme définitive-
ment tracés tous les étalons du mètre, qui ne différeraient de
la longueur définie ci-dessus au delà de 3U en plus ou en moins.

Après que les dilatations absolues des mètres I2 et n° 6,
ainsi que les dilatations relatives des 34 règles eurent été
mesurées avec le plus grand soin par MM. Benoit et Guillaume,
les équations des étalons nationaux par rapport aux deux
premiers furent déterminées au Bureau international par MM.
Boinot et Isaacbsen sous la direction de M. Broch.

Les résultats numériques de toutes ces observations ont été
réunis dans un exposé sommaire, rédigé par M. Benoit et
présenté à la Conférence générale1). Quoique les détails, à publier
ultérieurement, la description complète des méthodes mises en
usage et des instruments employés, ainsi que les journaux d’ob-
servations, doivent constituer la matière de plusieurs Volumes
des Travaux et Mémoires du Bureau international, le Rapport
de M. Benoit est assez complet pour permettre de vérifier les
conclusions soumises à la sanction de la Conférence et de juger
de la précision acquise dans ces travaux. Il est, en effet, peu
probable que les résultats directs de l’observation, obtenus dans
les mêmes conditions que ceux d’autres travaux déjà publiés dans
les moindres détails, doivent subir quelque correction qui modi-
fierait sensiblement les conclusions relatives soit aux équations
définitives des divers étalons, soit aux valeurs des dilatations.

i) Rapport sur la construction, les comparaisons et les autres opérations
ayant servi à déterminer les équations des nouveaux prototypes métriques ;
présenté par le Comité international des poids et mesures, rédigé par le
Dr. J. René Benoit, Directeur du Bureau international des poids et mesures.
Paris, Gauthiers-Villars et fils, Imprimeurs-Libraires, 1889.

12*

168

J. BOSSCH A..

3. D’autre part, le Gouvernement néerlandais, n’ayant pu
adhérer à la Convention du Mètre de 1875, avait confié à une
Commission de trois Membres : MM. Stamkart, Bosscha et
Oudemans, le soin de procurer deux étalons en platine iridié,
satisfaisant à toutes les conditions prescrites par la Commis-
sion internationale de 1872 et directement comparés avec le
Mètre des Archives. Cette commission a terminé ses travaux
en 1879. Dans son Rapport ')on trouve réunis et discutés tous
les détails de ces mesures, ainsi que de celles que MM. Oude-
mans et Bosscha avaient effectuées en 1880 pour vérifier les
résultats précédemment obtenus.

4. L’appel, adressé par le Gouvernement français aux délé-
gués de tous les pays afin d’établir, en collaboration avec les
savants français, un nouveau mètre international, copie authen-
tique et reconnue exacte du Mètre des Archives, a donc, en
définitive, conduit à la création de deux espèces d’étalons,
semblables de forme et de composition, presque identiques dans
leurs propriétés physiques et mécaniques -), mais d’origine
diverse en ce qui regarde les opérations fondamentales qui ont
servi à déterminer leur longueur, et pouvant, par conséquent,
différer en ce qu’ils ont de plus essentiel, savoir, l’exactitude
avec laquelle ils reproduisent l’unité de longueur du système
métrique.

Cette conséquence des différends qui se sont produits au

1) Relation des expériences qui ont servi à la construction de deux mètres
étalons en platine iridié, comparés directement avec le Mètre des Archives,
par J. Bosscha. Rapport présenté au Ministre des travaux publics, du
commerce et de l’industrie par la Commission néerlandaise. Annales de
l’Ecole Polytechnique de Delft, Tome I, p.65- 144 et Tome II p.l — 122.
Leide, E. J. Brill, 1885 et 1886.

2) Nous verrons dans la suite que les dilatations thermiques des deux-
espèces d’étalons ne diffèrent que de 0U,02 par degré, celle des étalons
néerlandais étant la plus faible. Le coefficient d’élasticité des règles du
Comité international a été évalué au Bureau de Breteuil à 19500, celui
des règles du Conservatoire à 21500. Pour la règle n° 19 j’avais obtenu
la valeur 22800. Les étalons néerlandais sont donc un peu moins dilatables
et plus résistants aux actions mécaniques que les étalons du Comité.

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 169

sujet de l'organisation du travail international, bien loin d’être
fâcheuse, ne peut que profiter au but commun. En effet, les
deux espèces d’étalons peuvent se contrôler mutuellement. En
cas de différence, un examen critique des deux systèmes de
mesures peut conduire à la découverte de quelque erreur. S’il
y a concordance, ou bien, si l’introduction d’une correction,
due à l’erreur trouvée, rétablit l’unité, les résultats de deux
déterminations entièrement indépendantes trouveront dans leur
identité la sanction la plus décisive.

C’est dans le but de tirer quelque avantage de la coexis-
tence de ces deux systèmes que nous faisons connaître, dans
les pages suivantes, les conclusions auxquelles nous a conduit
l’étude des chiffres publiés dans les deux Rapports cités
ci-dessus, ainsi que des détails des mesures que l’on a bien
voulu nous communiquer.

5. Les observations de la Commission mixte se composent
de 59 comparaisons, divisées en cinq séries effectuées à des
températures différentes, ainsi que le montre le tableau suivant.

TABLEAU I.

Comparaisons de la Commission mixte.

No. de la
Série.

Date.

Nombre de
comparaisons.

Température.

Valeur moyenne
de I2—A.

1

1—16 sept. 1881.

24

18°, 45

-f- 0. ' ,240

2

24 sept. — 4 oct. 1 881 .

12

17°, 82

— 0 ,423

3

7 oct. — 19 oct. 1881 .

12

15°, 06

+ 0 ,085

4

6 — 10 février 1882.

5

4°, 66

+ 4 ,430

5

16-22 février 1882. 1

6

10°, 03

+ 2 ,284

Après la première série on a retourné le Mètre des Ar-
chives sens dessus- dessous ; après la deuxième on a encore
retourné le mètre I2 bout par bout; dans cette dernière po-
sition les deux mètres sont restés jusqu’à la fin des opérations.
Toutes les mesures ont été faites à température ambiante : on
n’a pas jugé nécessaire de faire marcher la machine frigorifique
installée dans le laboratoire à côté du cabinet, et la circu-

170

J. BOSSCHA.

lation de liquide refroidi, établies par la Section française pour
servir dans les comparaisons à basse température. La tempé-
rature de 4°, 66 de la quatrième série a été obtenue en faisant
arriver, dans la loge en bois du comparateur, l’air froid du
dehors; pour accélérer l’abaissement de température on a
provoqué un courant d’air au moyen d’une cheminée d’appel.

L’ajustement des microscopes à la distance requise pour
obtenir la plus grande netteté de l’image a été opéré dans
la première série de la manière ordinaire, c’est-à-dire en sui-
vant de l’œil les modifications de l’image, tandis qu’on tournait
les boutons des vis de mise au point, et en arrêtant, après
quelques essais, le mouvement au moment de la vision la
plus distincte. Dans les séries suivantes on a ajusté les organes
de réglage à une mise au point chiffrée, obtenue par con-
struction graphique d’après une méthode imaginée par M. Cornu.

Il paraît que le perfectionnement qu’on espérait avoir
réalisé par l’application de cette méthode a été le motif pour
lequel on n’a pas fait entrer, dans le calcul final, les données
fournies par les 24 comparaisons de la première série. On
s’est servi exclusivement des quatre dernières, au résultat des-
quelles, malgré le nombre très inégal de comparaisons qu’elles
contiennent, on a attribué le même poids. C’est ainsi qu’on
est arrivé à déduire de ces observations les équations suivantes :

(J, — A)0 = + 6", 134 ; d{L‘^A)- = ~ 0,382.

Si l’on s’abstient d’accorder a priori une préférence à cer-
tains groupes d’observations, et si l’on attribue, en conséquence,
à chaque comparaison le même poids, le résultat final s’expri-
merait par les équations:

(h -A)0 = + 5.“, 346 ; = ~ 0,302 ;

qui diffèrent sensiblement des précédentes.

6. La Commission néerlandaise a comparé avec le Mètre
des Archives les règles n° 19, n° 23 et n° 27, chacune en 8
expériences à la température moyenne de 17°, 61. En même

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 171

temps elle a mesuré à la température moyenne de 15°, 95, par
24 comparaisons, les différences de longueur que les trois
règles présentaient entre elles. Comme les comparaisons des
mètres à traits entre eux se font avec une précision beaucoup
plus grande que celles d’un mètre à traits avec un mètre à
bouts et que, de plus, les règles n° 19, n° 23 et n° 27 ne
montraient aucune différence de dilatation appréciable, l’en-
semble de ces mesures peut être considéré comme équivalant à
24 comparaisons faites entre l’une quelconque de ces règles avec
le Mètre des Archives, à la température moyenne de 17°, 61.

Après ces opérations, on mit en marche l’appareil frigori-
fique et la circulation d’une solution refroidie de chlorure de
calcium dans les conduits et les réservoirs, placés aux quatre
coins de la loge en bois qui renfermait le comparateur avec
son enveloppe de cuivre. La capacité totale de ces réservoirs
était d’environ deux mètres cubes. En trois périodes de marche,
chacune de 8 heures, la température se trouvait abaissée à
zéro. On effectua alors 5 comparaisons du mètre n° 19 avec
le Mètre des Archives. Dans le cours de ces mesures la tem-
pérature avait régulièrement monté de 2 degrés en 171 heures.
La machine frigorifique fut alors de nouveau mise en marche,
jusqu’à ce que l’on atteignit en deux périodes, la première de 6,
la seconde de 7 heures, la température de — 2°. Une nouvelle
série de 5 comparaisons fut ensuite exécutée entre la règle n° 23
et le Mètre des Archives; pendant cette série la température
montait de 1°,27 en 13f heures. Ces comparaisons, combinées
avec celles des mètres à traits entre eux, équivalent encore à
10 comparaisons de l’une quelconque des trois règles avec le
Mètre des Archives, effectuées à la température moyenne de
-h 0°,09. En attribuant à chaque comparaison, faite avec le
Mètre des Archives, le même poids on en déduit:

(n° 19 — A)0 = -+- 5M,81 ; (n° 23 - A)0 = + 5", 19 ;

(n° 27 — A)0 = + 6",ll

d{ n° 19 — A) ___ d(n° 23 — A) d{ n° 27 — A)

dt dt dt

0,2386.

172

J. BOSSCHA.

De ces trois mètres les n° 19 et n° 27 avaient été désignés
comme étalons néerlandais. Le n° 23 est resté la propriété
de la Section française : il avait été tracé directement d’après
le Mètre des Archives à une température peu différente de zéro.

7. Les résultats obtenus, d’un côté par la Commission mixte,
de l’autre par la Commission néerlandaise, peuvent être ramenés
à une même équation au moyen de comparaisons, faites par
M. G. Tresca au Conservatoire des Arts et Métiers en juin 1881.

Après que l’équation fondamentale du n° 23 avait été éta-
blie par les mesures de la Commission néerlandaise, ce mètre
a servi au tracé de plusieurs autres étalons, et en premier lieu,
du mètre transitoire I2. Comme le n° 23 s’était trouvé, à
zéro, de 5 microns en excès sur le Mètre des Archives, on
s’est efforcé, dans le tracé de 12, de rendre celui-ci plus court
que le n° 23. Après le tracé on a procédé aux comparaisons
entre les deux règles.

Le tableau suivant contient les résultats, tels qu’ils m’ont
été communiqués en 1883 par M. H. Tresca. Les données
pour la correction due à la différence de température m’ont
été récemment fournies par l’obligeance de M. G. Tresca.

TABLEAU IL

Comparaisons de I2 et n°. 23.

Date.

no 23 — J*.

Température.

Correction pour
différence de
température.

ne 23— 12
corrigé.

7

Juin

1881

-f- lu, 41 8

16°, 91

— 0,086

+ 1",332

8

?i

55

+ 1 ,652

84

0,194

1 ,458

9

n

•5

1 ,680

71

0,172

1 ,508

10

15

•5

1 ,694

55

0,172

1 ,522

11

11

55

1 ,279

38

0,129

1 ,150

13

15

55

1 ,007

18

0,086

0 ,921

14

Ȕ

55

1 ,127

15

0,172

0 ,955

15

55

>■)

1 ,033

15

0,172

0 ,861

16

55

55

1 ,595

19

0,108

1 ,487

18

15

55

+

co

O

O

16°, 39

— 0,129

+ 1 ,171

Moyenne 16°, 44

Moyenne l,i<2365

LES EQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC.

173

Pour obtenir une première vérification nous mettrons à profit
la circonstance favorable, — uniquement due au hasard, — que
la température moyenne des comparaisons n° 23— 12, 16°, 44,
est exactement la même que la moyenne des températures
17°, 82 et 15°, 06 des séries 2 et 3 de la Commission mixte.
Celles-ci ont donné :

Série 2. (J2 — .4)17g2 — — 0ri,423, 12 comparaisons.

Série 3. (I2 — X)1506 “ -f- 0.u,085, 12 comparaisons.

On aurait donc, comme moyenne de 24 comparaisons:
J(2- ^16,44 = -°“.169'

Cependant, nous verrons plus loin qu’un calcul, qui nous
paraît plus exact, conduit aux équations:

(J2 — A)11SZ=~ 0^,42

(L-A6,06 = -°'tt>04-

de sorte que nous admettons le chiffre, d’ailleurs peu différent,

(^2 ^)i6,44 == 0U,23.

Combinée avec le résultat du Tableau II

(n° 23 — ^2)16,44 = + l‘w>24,
cette équation donne

(n° 23 — 16,44 “ + (^)

D’autre part, les 24 comparaisons de la Commission néer-
landaise, faites à température ambiante, donnent, d’après le
Tableau XXV de la „Relation”,

(n° 19 — -4)17j61 = -b 1^,60,

et comme on a (Relation § 86)

(n° 23 — n° 19) = — 0M,62,

11 suit (n°. 23 — X)1761 = + 0.“,98.

]ja réduction, de 17°, 61 à 16°, 44, de cette dernière différence
s’obtient, avec une approximation certainement suffisante, au
moyen du coefficient — 0,2386 de la Commission néerlandaise.

174

J. BOSSCHA.

Une erreur, très peu probable, de 5 unités de la deuxième
décimale ne donnerait dans la correction qu’une erreur, tout
à fait insignifiante, de 0",06. L’addition de 1,17 x 0,2386
— + 0',28 conduit à

(n° 23 - A)l(KU = + 1,2<; (B)

Les deux équations (. A ) et (B) sont d’accord à un quart de
micron près.

8. On peut encore faire servir à la même vérification le
résultat fourni par la première série de la Commission mixte.
Les lectures originales, calculées d’après une méthode qui me
paraît plus rationnelle que celle employée par la Commission
mixte, conduisent à l’équation :

{L2 ^)lg 45 = H- 0M0.

Nous montrerons plus loin J) que la différence des dilatations
des mètres I2 et n° 23 doit être évaluée à 0.",02 par degré,
la dilatation de 12 étant la plus forte. La valeur

(n° 23 -I,)1M4= + 1^.24
serait donc à 18°, 45

(n°23-I2)18j45= + l;',20.

La première série de la Commission mixte donnerait ainsi:
(n° 23-^)18j45= + l" ,30,

d’où il suit :

(n°23-ü)1M4= + F,ï8 (C)

L’écart avec la valeur (B) de la Commission néerlandaise n’est

i) Voir l’Annexe. On y démontre que les nombreuses mesures, exécutées
avec le plus grand soin par MM. Benoit et Guillaume, pour déterminer les
coefficients de dilatation des règles, conduisent aux conclusions suivantes:
Les règles construites en platine iridié de MM. Johnson, Matthey et Cie
n’accusent entre elles aucune différence de dilatation appréciable dans les
limites de température 0° à 20°.

Il en est de même des règles construites en platine iridié du Conserva-
toire. Lès règles de la première catégorie se dilatent de 0° à 20° un peu
plus que celles de la seconde, la différence est de 0U,02 par degré.

LES ÉQÜATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 175

encore que de 0.(',52. La moyenne des deux valeurs (A) et (C),
savoir l.(,,40, présente avec ( B ) la différence de 0',14.

Cette concordance est remarquable sous plus d’un rapport.
Elle confirme les prévisions, basées sur la nature accidentelle
des erreurs de mise au point propres à la méthode Fizeau, et
montre que leur effet se trouve éliminé en grande partie dans
la moyenne d’un grand nombre d’observations. 1 ) Mais, de
plus, elle témoigne du degré de précision avec lequel on peut
déduire du Mètre des Archives l’unité de longueur du système
métrique. Quoique cette unité se trouve théoriquement définie
sans aucune ambiguïté, comme étant la distance, à zéro, des
extrémités de l’axe géométrique de la règle, il restait à prouver
qu’elle peut être retrouvée matériellement avec une précision
suffisante pour les besoins de la science. La planimétrie des
bouts dans les parties centrales est-elle assez parfaite pour que
l’incertitude possible dans l’orientation de l’axe ne puisse pas
conduire à des erreurs, dépassant le demi-micron ou même
le micron? L’effet moyen des réflexions qui, dans le procédé
Eizeau, produisent l’image de la pointe, correspond-il à celui
d’un plan moyen invariable, soit que l’on retourne le Mètre,
soit que l’on procède à un autre ajustement des pointes limi-
tatives, soit enfin que l’on change de microscope? Ce n’est,
évidemment, que l’expérience qui puisse résoudre ces questions.

Or, les trois chiffres, que nous venons de communiquer,
paraissent concluants dans le sens affirmatif. Le troisième
(C) a été obtenu à deux années de distance du deuxième (B),
après qu’on eut modifié les microscopes en élevant de 15mm
à 18mm la distance focale. De plus, dans cet intervalle de
temps le réglage des pointes a, sans doute, subi quelque mo-
dification. Le premier chiffre (A), obtenu après le troisième,

i) „Le caractère essentiel des erreurs, résultant de l’incertitude de la
mise au point, consiste en ce qu’elles sont des erreurs accidentelles; il y
a autant de chance qu’elles tombent dans un sens que dans le sens con-
traire. On peut donc atténuer leur effet en répétant les mesures après un
nouvel ajustement des microscopes.” (Relation § 60.).

176

J. BOSSCHA.

résulte d’observations faites après qu’on eut retourné sens
dessus- dessous le Mètre des Archives, ce qui a rendu né-
cessaire un réglage tout nouveau des pointes.

9. Il m’a semblé curieux d’examiner, jusqu’à quel point
ces preuves favorables à l’égard de la parfaite définition du
Mètre des Archives aussi bien qu’à l’égard du procédé Fizeau
appliqué à un mombre suffisant d’observations, se trouvent
confirmées par d’autres données qui peuvent apporter un
témoignage particulièrement probant, à cause des circonstances
dans lesquelles elles ont été obtenues. Elles résultent des
premières comparaisons qui ont été faites d’un nouvel étalon
avec le Mètre des Archives, avant que l’on eut connaissance
de l’influence considérable qu’un défaut d’exactitude dans la
mise au point exerce sur la précision des mesures. Ces me-
sures ont été faites dans les conditions suivantes.

Dans la nuit du 1er Janvier 1879 on avait tracé la régie no. 23
d’après le Mètre des Archives. On avait pris toutes les pré-
cautions possibles pour bien faire réussir cette opération. Le
comparateur longitudinal avait été bien réglé, la température
avait été abaissée à zéro. Immédiatement après le tracé, on
en a vérifié l’exactitude. La comparaison accusait une égalité
parfaite des deux mètres. Mais, déjà le jour suivant, lorsque
la température était montée à 3°, 5, on trouvait une différence
de 2«,8. On continua ces expériences plusieurs jours de suite,
— en laissant la température s’élever jusqu’à près de 10°,
en l’abaissant de nouveau à — 0°,8 au moyen de la ma-
chine frigorifique et en la faisant remonter encore, — avec
ce résultat inattendu que les chiffres recueillis variaient
d’une manière tout à fait irrégulière entre — 0“,2 et H- 5«,1.
Les difficultés, rencontrées dans ces mesures, ont eu pour
effet qu’on a examiné avec la plus scrupuleuse attention tous
les détails de l’installation et tâché de les perfectionner encore.
Il s’est trouvé que le Mètre des Archives se déplaçait par rapport
aux pointes, de manière à les toucher et les déformer. On y
a remédié et, pour pouvoir réduire la distance des pointes

LES EQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 177

aux bouts du Mètre à un minimum constant malgré la dila-
tation, on les a rendues solidaires du Mètre en les fixant sur
des couvercles à fenêtre posés sur les bouts du Prototype.
Les premiers abouts furent en laiton ; après leur application
on a de nouveau abaissé la température jusqu'à — 1° et
recommencé les comparaisons, qu’on a continuées encore jusqu’
au 15 mars. Les nouveaux chiffres variaient encore de -h 5«,80
jusqu’à H- lu ,69.

Lorsque la Commission néerlandaise vint en avril 1879 à
Paris, pour étudier avec la Commission française les causes
de ces écarts, M. H. Tresca nous communiqua les résultats
numériques, obtenus jusqu’alors.

Après qu’on eut reconnu qu’un faible défaut dans la mise
au point des microscopes devait causer une variation très
sensible dans la longueur apparente du Mètre des Archives,
la Commission néerlandaise procéda, en octobre 1879, aux
comparaisons définitives des règles n° 19, n° 23 et n° 27. On
avait cru jusque-là que le Mètre des Archives et la règle
n° 23 ne devaient présenter aucune différence dans leurs di-
latabilités. Les mesures d’octobre 1879 mirent, au contraire, en
évidence que les nouvelles règles, pour un intervalle de 18°, se
dilataient sensiblement moins que le Prototype, la différence
atteignant 5 microns. J’examinai alors de nouveau les chiffres
que M. H. Tresca nous avait communiqués et je reconnus
bientôt que la plus grande partie des écarts, observés en mars,
après qiCon eut amélioré l'installation des pointes, s’expliquait par
cette différence de dilatation. En effet, si l’on en tenait compte,
les erreurs résiduelles n’étaient guère supérieures à celles qui
résultent inévitablement des incertitudes dans les mises au
point, même les plus soigneusement ajustées.

10. Voici le tableau de ces mesures que l’on avait rejetées
comme tout à fait provisoires.

178

J. BOSSCHA.

TABLEAU III.

Premières comparaisons provisoires du mètre
n°. 23 avec le Mètre des Archives.

Date.

Température.

n° 23
Observé

— A
Calculé

Ecart.

7 mars 1879

— 0°,92

4- 5a ,80

4- 5,67

4- 0.13

' M 5,

+ 1 ,14

4- 5 ,49

-b 5,18

+ 0,31

8 „ „

+ 4 ,37

+ 5 ,08

4- 4,41

+ 0,67

10 „

8 ,08

4- 5 ,44

4- 3,53

4- 1,91

11 „ „

+ 9 ,50

4- 2 ,15

4- 3,19

— 1,04

12 „ „

-h 10 ,75

4-1 ,87

4- 2,89

— 1,02

1^ » „

4-11 ,80

4- 1 ,69

4- 2,64

— 0,95

14 „ „

4- 12 ,51

4- 2 ,97

4- 2,47

-h 0,50

15 „ „

4-13 ,18

4- 1 ,80

-t- 2,31

— 0,51

Moyennes 7°, 823

3« ,588

On a. en moyenne

(n° 23 — A)782 — 4- 3^,59.

Si, avec le coefficient, déterminé par la Commission néer-
landaise,

d (n° 23 — A)
d t

= — 0,2386,

on calcule les différences de longueur aux températures ob-
servées, on obtient les chiffres inscrits dans la quatrième
colonne; la cinquième contient les écarts entre l’observation
et le calcul. L’erreur moyenne d’une comparaison est de
rk 0«q.98, celle du résultat moyen de 0^,33.

La réduction à 16°, 44 donne:

(n°. 23 _^)16>44=+ 1^,53 (D). ')

i) On pourrait calculer la valeur de (n° 23 — A)i6,44 en n’employant que
les données memes des observations de mars 1879. On trouverait ainsi
-f-0.u,93, au lieu de 4-l.u,53. Ce calcul cependant est moins sûr, parce que
la valeur cherchée devrait être obtenue par extrapolation. L’erreur moyenne
du chiffre +0W,93 serait en conséquence de + 0!t,50. Comme la valeur du
coefficient — 0,2386 comporte une erreur moyenne de + 0.',,022, celle de

LES EQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC.

179

Les quatre valeurs que nous venons de calculer se trouvent
récapitulées dans le Tableau IV, qui indique en même temps
les conditions essentielles dans lesquelles les expériences
ont varié. Nous désignons par / la distance focale, par n le
nombre de comparaisons, par æ16>44 la différence n° 23 — A
à 16°, 44.

TABLEAU IV.

Récapitulation de quatre valeurs de
(n° 23 — A) à 16°, 44.

Date.

Compara-

teur.

f

Abouts.

Position
de A.

Observateurs.

n

*16, 44

Mars 1879.

long.

laiton

normale >)

G. Tresca

9

+ lu, 53

Oct. 1879.

transv.

15 „

platine

normale

Comm. néerl.

24

+ 1 ,26

Sept. 1881.

transv .

18 „

platine

normale

Comm. mixte

24

+ 1 ,78

Sept. 1881.

transv.

18 „

platine

renversée

Comm. mixte

24

4-1 ,01

.Si l’on attribue à chaque comparaison le même poids, le
résultat moyen serait

(n°. 23 — A)16>44 = H- 1^,37
avec les écarts 4- du,16, — 0U,11, 4- O.*1 ,41, — 0<q36.

L’erreur moyenne d’une comparaison isolée serait ± U,60 et
celle du résultat moyen ± 0<ql8.

Or, les 24 comparaisons à température ambiante que la
Commission néerlandaise a effectuées toutes dans des condi-
tions identiques, donnent par elles mêmes une erreur moyenne

l’équation du texte n’est que de 1^(0, 33) 2 + (8,62) 4 (Ô7Ô22p“ = ± 0",38.

Remarquons d’ailleurs, que les chiffres de la troisième colonne du Ta-
bleau III doivent probablement subir une légère correction à cause d’une
différence de température entre les deux règles. Peu importante pour le
résultat moyen, elle peut faire varier plus sensiblement la valeur du
coefficient de température.

!) Nous désignons comme „normale” la position dans laquelle la sur-
face la mieux polie se trouve tournée en haut, celle plus rayée en bas.
C’est dans la première que le Mètre des Archives a été employé dans les
comparaisons antérieures auxquelles il a servi.

180

J. BOSSCHA.

de ± 1^,13 pour la comparaison isolée. La première série de
24 comparaisons de la Commission mixte accuse une erreur
moyenne de ± L',71 pour chaque mesure. Ces valeurs devraient
être notablement plus faibles que l’erreur ± l-u,60 déduite
du Tableau IV, si le renouvellement des abouts, un autre
réglage des pointes, le retournement du Mètre des Archives
ou quelque autre variation dans les conditions de l’expérience
eussent donné lieu à quelque incertitude, à quelque cause
d’erreur. On voit que tel n’a pas été le cas. L’erreur moyenne
± 1*M,60 tombe dans les limites qui se présentent lorsque rien
n’est changé. On peut donc conclure que la précision avec
laquelle on peut, au moyen du procédé Fizeau, déduire du
Mètre des Archives l’unité de longueur n’est pas, à un degré
appréciable, amoindrie par quelque défaut des faces terminales
de la règle: le Prototype se trouve matériellement assez bien
défini pour admettre dans cette opération une exactitude d’au
moins un demi-micron.

11. Cette conclusion est importante; elle démontre que le
Mètre des Archives, dans son état actuel, remplit les conditions
nécessaires pour pouvoir servir de Prototype. A ce titre il
mérite d’être conservé, non seulement comme monument
historique, mais aussi comme instrument scientifique de premier
ordre. Même après la création d’un mètre international et la
distribution de nombreux étalons nationaux, il n’est nullement
improbable que l’ancien Prototype ne soit appelé quelque
jour à rendre de nouveau les services auxquels il a été destiné
il y a près d’un siècle. En effet, s’il arrivait que les règles
récemment construites vinssent à présenter des écarts de leurs
équations relatives et qu’on ne put désigner avec parfaite cer-
titude celles d’entre elles qui auraient varié de longueur, ou
même, si l’on voulait s’assurer que ces règles, qui, dans leur
fabrication, ont subi des actions mécaniques très énergiques,
n’ont pas modifié leurs dimensions par l’effet d’un résidu
d’élasticité, le Mètre des Archives, dont la longue existence
offre plus de garanties à l’égard de la stabilité de son équi-

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 181

libre moléculaire, serait certainement un témoin de haute
autorité.

12. Ce qui importe avant tout, c’est de connaître l’équation
des nouveaux étalons par rapport au Mètre des Archives à la
température de zéro centigrade. C’est cette équation qui doit rat-
tacher les nouvelles unités au système métrique, elle doit
assurer la continuité des mesures anciennes, actuelles et fu-
tures. Etablir cette équation, avec toute la précision dont elle
est susceptible, c’est non seulement remplir un devoir de justice
envers les fondateurs du système métrique qui nous ont légué
dans le Prototype l’unité de leurs célèbres opérations géodé-
siques, non seulement satisfaire aux intentions des corporations
scientifiques qui ont provoqué l’institution de la Commission
internationale, c’est en premier lieu pourvoir à une nécessité
scientifique irrécusable.

Dans les paragraphes suivants nous allons examiner en quelle
mesure cette donnée importante peut être considérée comme
définitivement acquise.

13. Depuis que l’on peut connaître avec une approximation
suffisante la différence de dilatation des deux espèces de règles
en platine iridié, savoir les règles Xm en métal de Matthey
et les règles Xc en métal du Conservatoire, la vérification de
l’équation fondamentale des nouveaux étalons s’obtient sans
difficulté. A cet effet, en désignant par M la longueur du
nouveau mètre international, nous allons chercher la valeur
de M — A à zéro d’après les mesures de la Commission néer-
landaise, pour la comparer à la valeur établie par le Comité
international '). Au moyen du coefficient

d [Xm — Xç) _ + 0«;02

CLZ

i ) Nous préférons ici cette manière de rapprocher les deux résultats à celle
que nous avons suivie pour les mesures à température ambiante, parce que,
en établissant les équations des nouveaux étalons, le Comité a adopté
(I2 — A)0 — 6" au lieu de l’équation ( I2 — .4)0 = 6U,134, fournie par les me-
sures et le calcul de la Commission mixte.

Archives Néerlandaises, T. XXV.

13

182

J. BOSSCHA.

l’équation

(n° 23 — I2)i6,44 = + 1^,236

devient

(n° 23 — 12)0= H- 1m, 56.

Dans le Rapport de M. Benoit on a déduit de l’ensemble des
comparaisons des nouveaux étalons l’équation

(I2 - M)0 = 6m, 03.

Un autre calcul, qui nous paraît plus rationnel (voir l’annexe),
nous a donné

(I2--M)0 = 5m, 94.

On a donc

(n° 23 - A)0 = + 5m, 19
(I2-n°23)0 =i-l ,56
(M — J2)0 = — 5 ,94

d’où (M — 4)0 = — 2 m, 31 (E)

D'après le Comité , 4/ devrait être égal à A.

Les premières mesures exécutées avec le mètre n° 23 en
mars 1879 ont donné (voir le Tableau III ci-dessus)

(n° 23 - -4)7,82 = H- 3m, 59.

En réduisant avec le coefficient ^ (n 23 A) __ — o,2386 on

dt

obtient

(n° 23 - A)0 = 5m, 45,
ce qui donne encore

(M — A)0 — — 2m, 05 (F)

D’après ces deux systèmes de mesures, le nouveau mètre
international serait trop court de plus de deux microns.

14. En avril 1890 j’ai pu profiter d’un séjour à Paris pour
comparer avec M. G, Tresca le mètre n° 23 avec un des
nouveaux étalons sanctionnés en septembre 1889. C’était le

LES EQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC.

183

n° 20, échu au Conservatoire des Arts et métiers. Son équation
officielle serait ]) :

no 20 — M = + 0tu,80.

Le calcul de la note annexée à ce mémoire m’a donné
n°20 — M= 4- 0^ ,96.

La première des deux comparaisons que j’ai pu effectuer
a été faite dans des conditions insuffisantes. La température
de la salle des poids et mesures ayant été portée à 20°, on
a dû entrer dans la cloche de cuivre du comparateur pour
déplacer les deux thermomètres, dont les ménisques étaient
sortis du champ des microscopes. De plus, la continuité des
sept mesures dont se compose la comparaison a été interrompue
par un mouvement brusque du microscope. La comparaison a
fourni l’équation

(n° 23 — n° 20)20,10 = 4- 6", 124.

La seconde comparaison, tout à fait régulière, faite le jour sui-
vant, 2 avril, a donné

(n° 23 — n° 20)2o,40 = H- 6.«,901.

M. G. Tresca a bien voulu répéter ces mesures en mai 1890.
Il a obtenu les équations

(n° 23 — n° 20)i6,54 = 4- 6^,727
(n° 23 — n° 20)i6,60 = 4- 6, 861.

En réduisant à zéro ces trois dernières valeurs, on trouve
(n° 23 - n° 20)o = 7^,31
= 7, 06
= 7, 19
Moyenne 7, 19.

On a donc

(n° 23 - A)0 =4- 5,a,19

(n° 20 — n° 23)0 = — 7, 19
(M - n° 20)o = — 0, 96

d’où ( M — A)0 = - 2." ,96 (G)

i) Rapport Benoit, page 83.

13*

184

J. BOSSCHA.

La moyenne de (E) et de (G) donne

(M — A) 0 = — 2U,63.

Les observations de la Commission néerlandaise et celles de
la Commission mixte, concordantes pour la température 16°,
montrent donc pour la température zéro un écart de 2 ^,63,
c’est-à-dire plus du vô^oo o de longueur du Prototype.

15. Dans la recherche des causes qui ont pu produire une
divergence aussi considérable entre les mesures n° 23 — A et
I2 — A, la première question qui se présente concerne le degré
de précision qu’on peut attribuer à chacun des résultats.

Dans les comparaisons de la Commission mixte, — de deux
années postérieures à celles de la Commission néerlandaise, —
on a introduit la méthode, imaginée par M. Cornu pour rendre
plus sûre la mise au point exacte. Plus loin nous examine-
rons ce procédé et les conditions dans lesquelles on l’a ap-
pliqué. Ce qui, pour le -moment, offre le plus d’intérêt, c’est
de connaître approximativement l’amélioration des mesures
que la méthode Cornu a effectivement produite. Dans ce but,
nous allons mettre en regard les erreurs moyennes d’une ob-
servation dans les mesures de la Commission néerlandaise d’un
côté et celles de la Commission mixte de l’autre. Le plus sûr
moyen de déterminer ces valeurs consiste à chercher la moyenne
d’une série assez nombreuse de comparaisons faites à des
températures très voisines et à calculer les écarts du résultat
moyen avec celui de chaque comparaison individuelle, réduite
à la température moyenne.

16. Nous extrayons du Tableau XXV de la „ Relation” les
données des deux premières colonnes du Tableau suivant.

LES EQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC.

185

TABLEAU Y.

Erreurs d’une comparaison. Commission néerlandaise.
Température ambiante.

(n° 19 — A)t

t.

(n° 19 — A)t

s

! 4- 0. ' ,95

17°, 58

H- 0^,94

— 0,66

0,4356

î 1 ,29

17 ,64

1 ,30

— 0,30

0,0900

1 1 ,06

17 ,42

1 ,01

— 0,59

0,3481

v i 1 ,61

17 ,77

1 ,65

4-0,05

0,0025

f 1 ,15

17 ,47

1 ,12

— 0,48

0,2304

\ 1 ,40

17 ,80

1 ,45

— 0,15

0,0225

3 ,40

17 .42

3 ,35

-h 1,75

3,0625

\ 2 ,66

17 ,70

2 ,68

4~ 1,08

1,1664

1 0 ,87

17 ,40

0 ,82

— 0,78

0,6084

0 j 2 ,95

17 ,88

3 ,01

4-1,41

1,9881

f 1 ,72

17 ,45

1 ,68

4-0,08

0,0064

\ 0 ,46

17 ,94

0 ,54

— 1,06

1,1236

/ 1 ,00

17 ,70

1 ,02

-0,58

0,3364

1 - 0 M

17 ,64

— 0 ,10

— 1,70

2,8900

\ 2 ,63

17 ,51

2 ,61

4-1,01

1,0201

6 , 4 ,73

17 ,71

4 ,75

+ 3,15

9,9225

! 2 ,01

» 17 ,57

2 ,00

4-0,40

0,1600

\ 2 ,40

17 ,70

2 ,42

4-0,82

0,6724

/ 2 ,08

17 ,29

2 ,00

4-0,40

0,1600

( 1 ,78

17 ,29

1 ,70

4-0,10

0,0100

T\

17 ,72

0 ,86

— 0,74

0,5476

0 ,28

17 ,80

0 ,33

— 1,27

1,6129

f — 0 ,01

17 ,63

— 0 ,01

— 1,61

2,5921

1 1 ,19

17 ,69

1 ,21

-0,39

0,1521

M = 1,m,60

r = 17°,61

V,60

0*1 = 29,1606

La première colonne contient les valeurs de n°. 19 — A
obtenues à la température t de la deuxième. Dans les suivantes
on a inscrit les valeurs de n°. 19 — A réduites à la tem-
pérature moyenne T, les écarts e de la moyenne M , ainsi que
les carrés des écarts. Les quatre observateurs se trouvent in-
diqués par leurs initiales.

L’erreur moyenne m que l’on déduit de ces chiffres est

m

^ 29^06 _ ± l u 13

186

J. BOSSCHA.

Cette valeur est beaucoup plus forte que celle qui devait
se présenter, selon un calcul basé sur la détermination ex-
périmentale de la précision moyenne d’une mise au point,
savoir m = ± 0/q78 (Relation § 60).

Pour expliquer cet excès, il faut remarquer qu’il existe
une inégalité très prononcée dans les erreurs moyennes des
quatre observateurs. Nous reviendrons dans la suite sur la
cause qui, selon toute probabilité, a considérablement dimi-
nué la précision des mesures du deuxième groupe, celui de
l’observateur O. Quant au troisième, S, il paraît que l’obser-
vateur ne s’est pas suffisamment rendu compte, dans le ré-
glage du comparateur, que la plus scrupuleuse mise au foyer
des fils du micromètre est une condition aussi importante
que la mise au point de l’image des bouts du Mètre. Or, on
est très facilement porté à négliger la première, parce que,
en soi-même, un certain degré de diffusion de l’image du fil
ne gêne aucunement les pointés micrométriques. En élargis-
sant et en estompant cette image, un défaut de réglage la fait
même ressembler aux traits du mètre en X vus à un gros-
sissement d’environ 180 fois. Il a été constaté que, dans la
quatrième comparaison S, qui, à elle seule, contribue pour
plus du tiers à la somme [é2] des 24 valeurs, la mise au
foyer des fils a été défectueuse à tel point, que l’observateur,
qui avait à faire la comparaison suivante, put annoncer d’a-
vance, d’après la simple inspection de l’image telle qu’elle
avait été réglée par son prédécesseur, que celui-ci devait avoir
obtenu une valeur exagérée de la différence X — A !).

L’expérience acquise dans ces premières comparaisons a eu
une influence favorable évidente sur les mesures postérieures
faites à basse température. Les résultats de ces dernières se
trouvent inscrits dans le Tableau suivant.

i) Voir le récit de cet incident //Relation'’ § 68.

187

v

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC.

TABLEAU VI.

Erreurs d’une comparaison. Commission néerlandaise.
Température basse.

(n°19-

A)t

t.

(n° 19 — A)t

s.

£2.

(

5 fi ,54

+ 1°,42

5 «,86

4- 0,08

0,0064

B\ ■

5 ,82

-1 ,45

5 ,45

- 0,33

0,1089

6 ,57

— 1 ,69

6 ,15

4* 0,37

0,1369

oi

/

5 ,92

+ 0 ,26

5 ,96

4- 0,18

0,0324

5 ,57

+ 1 ,io

5 ,81 !

4- 0,03

0,0009

4 ,85

— 1 ,51

4 ,47

— 1,31

1,7161

S J

4 ,52

+ 1 ,84

4 ,94

- 0,84

0,7056

t

6 ,90

— 0 ,51

6 ,76

4- 0,98

0,9604

T j

6 ,36

+ 2 ,23

6 ,87

4- 1,09

1,1881

l

5 ,79

- 0 ,78

5 ,59

— 0,20

0,0400

M =

5 ,78

-f-0 ,09

5 ,78

0*] = 4,8957

L’erreur moyenne se calcule à

m — \X

4,8957

9

± 0,74.

17. D’autre part, le Rapport de M. Benoit nous fournit
les données suivantes.

TABLEAU VII.

Erreurs d’une comparaison. Commission mixte. Série 2.

(h~A)t

t.

(L -A)t

£.

£2.

4- 0.w,903

18°, 21 7

4-1^,053

4- 1,476

2,1786

— 1 ,021

18 ,139

— 0 ,901

- 0,478

0,2285

4- 0,299

18 ,019

4-0 ,385

+ 0,808

0,6529

— 0,545

18 ,094

- 0 ,442

— 0,019

0,0004

- 1,893

18 ,089

— 1 ,792

- 1,369

1,8742

-1,216

18 ,096

— 1 ,112

— 0,689

0,4747

— 0,032

18 ,072

4- 0 ,063

4- 0,486

0,2362

4- 0,144

17 ,927

4- 0 ,183

4- 0.606

0,3672

- 0,467

17 ,802

- 0 ,475

— 0,052

0,0027

— 1,048

17 ,624

— 1 ,124

— 0,701

0,4914

— 0,454

16 ,982

— 0 ,776

— 0,353

0,1246

4- 0,259

16 ,795

— 0 ,134

4- 0,289

0,0835

M = — 0,425

T= 17°, 824

— 0,423

[V] = 6,7149

_ ^<^9 _ ± 0„7g

m

11

188

J. BOSSCHA.

TABLEAU VIII.

Erreurs d’une comparaison. Commission mixte. Série 3.

(J, — A)t

t.

CL — A)T

6.

— 0,103

15°, 897

+ 0^,217

+ 0,132

0,0174

- 0,030

15 ,465

+ 0 ,125

+ 0,040

0,0016

-1,193

15 ,336

— 1 ,088

— 1,173

1,3759

— 0,443

15 ,216

- 0 ,383

— 0,468

0,2190

4- 0,351

15 ,105

+ 0 ,368

+ 0,283

0,0801

+ 1,027

15 ,104

+ 1 ,044

+ 0,959

0,9197

+ 1,091

14 ,967

+ 1 ,055

+ 0.970

0,9409

- 1,382

14 ,900

- 1 ,443

— 1,528

2,3348

- 0,606

14 ,784

- 0 ,711

— 0,736

0,6336

+ 0,653

14 ,767

+ 0 ,541

+ 0,456

0,2079

+ 0,720

14 ,712

— 0 ,853

- 0,938

0,8798

+ 2,374*)

14 ,471

+ 2 ,149

+ 2,064

4,2601

M- +0,086

7=15 ,06

+ 0 ,085

[e*]= 11,8708

m = \y

11,8708

11

= ± 1^,04.

Pour la réduction à la température moyenne T j’ai employé
le coefficient

d ( I . -A) _

dt

— 0,382

adopté par le Comité, mais probablement beaucoup trop fort.
Je me suis assuré que l’on pourrait le réduire à la valeur qui
me paraît la plus probable sans changer dans la deuxième dé-
cimale les erreurs moyennes,

18. Les erreurs moyennes ± 1^,13 et ± 0^,74, dont la
première est certainement exagérée, obtenues par la Commis-
sion néerlandaise, sont à très peu près égales à + 0.^ ,78 et
± liu ,04, valeurs qui résultent d’observations faites en appliquant
le procédé Cornu. Il paraît donc que cette méthode, appliquée
avec les appareils dont disposait la Commission mixte , n’a produit
aucune amélioration sensible dans l’exactitude des mesures.

i ) Par une erreur typographique, qui ne change rien au résultat moyen,
le Rapport Benoit a : — 2,374.

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC.

189

19. Au point de vue de la question qui nous occupe, il
importe de remarquer que l’équation :

(n° 23 — A) o = + 5^,19,

qui nous a servi à rapprocher les équations fondamentales de
la Commission néerlandaise et de la Commission mixte, est
basée presque exclusivement sur les mesures effectuées à tem-
pérature basse par la première Commission, c’est-à-dire sur
celles dont l’erreur moyenne n’est que de 0.w,74. Il semblera
donc permis d’attribuer, à chacune des dix comparaisons dont
dérive l’équation, un poids au moins égal au poids moyen
d’une des comparaisons qui ont fourni la valeur de (12 — ,4)0>
Ceci étant admis, il est facile de calculer le rapport que les
-résultats divergents des deux commissions présentent à l’égard
de leur probabilité.

En effet, chaque comparaison, faite à la température t entre
un mètre à traits X et le Mètre des Archives A, fournit une
relation :

✓ ix d (X — A) ,

P = (X— A)0 H —f. t = x„ +yt (a)

Soient données quelques séries, composées respectivement de
n,, n2 n 3 etc. comparaisons aux températures moyennes t{1
t2, 1 3 .. . etc., et ayant fourni les résultats moyens p,, p2,
p3 . . . etc. Si l’on pose

T=M’ r. =‘. — Ti r,=t,-T etc.

la résolution des équations (a) d’après la méthode des moin-
dres carrés donnera

_ M . _ l>Pr]

XT — [n] ’ y ~ [»r!] '

' Le poids Pt de la valeur xT sera

Pt — M,

celui du résultat d’une comparaison simple étant = 1. Le
poids d’une valeur xt, calculée avec Xt et y, sera exprimé par
l’équation :

[n][wr2]

]W2] + (T— ty [n]

Pt =

190

J. BOSSCHA.

Pour les observations de la Commission mixte, qui ont servi
à calculer ( I2 — A)0, on a :

[?i] = 35, [n r2] = 714,35, T= 13°, 66,
ce qui donne pour le poids de l’équation fondamentale :

P 0 = 3,5.

Au point de vue de la certitude du résultat final, les 35
observations de la Commission mixte équivalent donc à trois
ou quatre observations faites à zéro.

Nous avons déjà remarqué que la température moyenne des
dix comparaisons faites à basse température par la Commission
néerlandaise, est de 0°,09. A cette température la valeur
n° 23 — A ne peut différer de celle à zéro que de 0",02 à 0U,03,
quantité négligeable. Le poids du résultat des comparaisons
ne peut donc différer que d’une quantité négligeable de

P o = 10*

On voit par ces chiffres combien la circonstance fâcheuse, que
la Commission mixte s’est bornée aux comparaisons à tempé-
rature ambiante, a abaissé le degré de certitude qu’on peut
attribuer à l’équation fondamentale qui en dérive. Celle-ci ne
peut être déduite des observations que par une extrapolation,
qui est d’autant moins sûre que le nombre des comparaisons
faites aux températures extrêmes est plus restreint. L’adjonc-
tion de la série de 24 observations à 18°, 45, indûment excluse
du calcul de la Commission mixte, élèverait encore le poids
P0 à 3,9. Il faut remarquer cependant qu’à l’égard des erreurs
de mise au point, qui sont les plus considérables, les chiffres
3,5 et 3,9 sont encore trop élevés. On ne peut pas, à la rigueur,
considérer la série 4, faite à 4°, 66, comme composée de 5 ob-
servations indépendantes, parce que la seconde comparaison
du 9 février n’a pas été précédée d’un nouveau réglage: on
a simplement adopté la mise au point de la comparaison pré-
cédente faite 5 heures auparavant. En comptant pour une ces
deux déterminations, le poids 3,9 se trouverait encore réduit
à 3,4.

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC.

191

20. La considération des poids relatifs ne suffit pas cependant
pour rendre compte de la différence de 2W,63 entre les résul-
tats des deux commissions. Cette quantité est plus du double
de la plus forte erreur moyenne qu’on puisse attribuer à une
comparaison simple. De plus, la divergence signalée offre un
contraste inexpliqué avec l’accord très satisfaisant que nous
avons remarqué dans les comparaisons faites aux températures
voisines de 16°, 44.

21. Après avoir épuisé toutes les conjectures qui pouvaient
se présenter à l’égard de quelque cause d’erreur ou d’incerti-
tude dans les mesures de la Commission néerlandaise, j’ai
été conduit à soupçonner dans les mesures de la Commission
mixte, spécialement dans la série faite à 4°, 66, quelque incor-
rection, soit de calcul, soit d’observation. Ce soupçon se trouve
justifié par ce fait, qu’il suffit de supprimer les 5 comparaisons
de cette série pour obtenir, avec les 54 comparaisons restantes,
les équations:

x0 = (I2—A)0 = + 4^,23 y = _ o,239.

Le poids de cette valeur de x0 est encore 2,1 ; cependant
l’écart avec le chiffre calculé d’après les mesures néerlandaises
se trouve réduit de 2*M,63 à 0M,73 et la valeur de y coïncide
à très peu près avec celle qui résulte des équations précé-
demment obtenues, savoir:

d(n° 23 — A) _ _ 0 2386
dt ’

qui conduisent à

d (I2 — n° 23) _

dt

= + 0,02,

d (I2 — A)

dt

— 0,219.

Pour décider la question, j’ai consulté les chiffres originaux
des observations et des calculs qui ont servi à établir le
résultat (I2 — A)4,66 = 4^,430 de la 4me série. On a bien
voulu me confier, à cet effet, les 5 feuillets qui contiennent
ces données, telles qu’elles ont été revues, corrigées et défini-
tivement établies par M. Broch. J’ai bientôt reconnu que la

192

J. BOSSCHA.

manière de calculer le résultat moyen d’une comparaison,
différait de celle de la Commission néerlandaise. En appliquant
cette dernière et en introduisant quelques corrections qui me
parurent indispensables, j’obtins

(Jj — A) 4,66 = + 3^,58.

Ce chiffre s’écarte sensiblement de 4‘w,43 admis jusqu’ici, il
se rapproche, au contraire, de 3U,11 que l’on calculerait d’après
les 54 comparaisons des autres séries.

Pour reconnaître si ces dernières, calculées d’après la même
méthode que j’avais suivie pour la série 4, modifieraient les
résultats, j’eus encore l’occasion de consulter les chiffres origi-
naux. Il en est résulté que j’ai, en définitive, compris toutes
les déterminations dans un calcul d’ensemble, différant de
celui de la Commission mixte en trois points principaux, savoir:

1. la manière de calculer le résultat brut de chaque compa-
raison :

2. la correction pour différence de température ;

3. la correction de la mise au point d’après la méthode
Cornu.

22. Nous allons premièrement indiquer les motifs pour les-
quels j’ai suivi sous ces trois rapports d’autres règles de calcul.

I. Calcul du résultat brut d’une comparaison. Dans chaque
comparaison de deux mètres X et A, la différence X — A
s’obtient par un nombre impair de mesures alternatives de
X — D et A — Z), D étant la distance des axes des micros-
copes. Ce nombre était de 7 dans les mesures néerlandaises,
de 5 dans celles de la Commission mixte. Dans le cours d’une
comparaison la position des microscopes est sujette à varier.
Lorsque cette variation est proportionnelle^ au temps et qu’elle
a sur la valeur observée de X — D et de A — D le même
effet, celui-ci se trouve éliminé par suite de l’ordonnance
symétrique des mesures, si l’on retranche de la moyenne des
valeurs X — D la ^moyenne des valeurs A — D. Ce cas se pré-
sente dans la comparaison de deux mètres à traits entre eux.
Ce n’est, en effet, que la composante parallèle à l’axe des mètres

LES EQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 193

qui, dans le mouvement des microcopes, en faisant varier
D, affecte les valeurs X — D et A — D de quantités égales,
sensiblement proportionnelles au temps, lorsque le maniement
des microscope se fait avec quelque précaution et qu’il ne
survient aucun trouble dans la marche régulière de l’expé-
rience. C’est ce qui ressort pleinement de la série de 30 com-
paraisons, exécutées en 1880 par deux Membres de la Commis-
sion néerlandaise et M. G. Tresca. En introduisant dans le calcul
de chacune de ces comparaisons une variation proportionnelle
au temps et égale pour les deux différences X — D et A — D, on
trouve pour leur erreur moyenne d’après les trois observateurs,
0“,152, 0U,134, 0U,176, alors que les erreurs moyennes d’un
simple pointé sont déjà 0lt,123, 0a,112 et 0lt,120. Si l’on peut
conclure de ces chiffres que la loi de variation adoptée exprime
avec une approximation suffisante la marche de l’expérience,
les détails des écarts montrent encore qu’il n’y a pas lieu
d’admettre une formule plus compliquée et que, plus parti-
culièrement, une variation proportionnelle au carré du temps
n’est nullement indiquée par ces mesures. En effet, s’il en fût
autrement, il faudrait que, dans les écarts des 7 mesures de
chaque comparaison, il y eût une prépondérance de signe
prononcée dans les trois premiers d’un côté et les quatre
derniers de l’autre. Or, rien de tel ne se présente, puisque
la somme des 30 x 3 premiers écarts n’est que de — 0",49,
ce qui n’indique qu’un écart moyen de — 0W,005, valeur qui
échappe à toute mesure.

La régularité de la variation proportionnelle au temps est
encore apparente dans les chiffres qui expriment la valeur de
la variation de D , survenue dans l’intervalle de deux mesures
consécutives. Les trois observateurs ont obtenu individuelle-
ment: O'1, 066, 0,064 et 0,066.

23. Le cas est différent lorsqu’il s’agit de comparer un
mètre à traits avec un mètre à bouts. La composante verticale
du mouvement des microscopes fausse la mise au point et fait
varier la longueur apparente A du mètre à bouts d’environ

194

J. BOSSCHA.

un micron par centième de millimètre de déplacement du
microscope. Cet effet ne se produit pas sur le mètre à traits.
Il faut donc distinguer deux variations proportionnelles au
temps : celle, a, de X — D et celle, p, de A — D, dont la
dernière représente l’effet combiné des variations de D et de
A. Les sept mesures consécutives d’une comparaison fournis-
sent ainsi les équations

X — D = /*,

A — D + P “ /* 2
X — D + 2 « = u3
A — D -f- 3 p nz u4
X — D - 1- 4 a ==: /* g
A — D 5 p — /* g
X — D 6 a “ /*7.

Dans ces équations A représente la longueur apparente du
Mètre des Archives répondant à la mise au point du com-
mencement des mesures, c’est-à-dire celle qui se rapproche
le plus de la mise au point que l’on a jugée être la plus exacte.

On en tire:

X — A — } ([il + ^3+^5 -h/*7) — i + + 3 (P — «)

«=Yü[3 0*7 — ^l) + <“5 — ^3 i
P — T 1^6 ^2 I >

de sorte que le calcul de Z — A revient, en définitive, à poser:
X — A — - -g’jj 1 42/* j — 35/* ^ H- 24/* 3 — 20/* ^ -t- 6/* 5 q- 25/* g — 8/* 7 1 .

Le mouvement en hauteur des microscopes provient de deux
causes, savoir, 1°. d’un résidu d’élasticité qui fait continuer le
mouvement des derniers réglages ; 2°. de la dilatation du corps
des microscopes. La première peut agir tantôt dans un sens,
tantôt dans l’autre ; la seconde est plus constante, parce que
la présence de l’observateur produit toujours une élévation
de température, appréciable même dans l’intérieur de la cloche
de cuivre qui enveloppe le comparateur. Comme le mouvement
descendant de l’objectif diminue la longueur apparente du
mètre à bouts, il est probable que, dans la moyenne d’un

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 195

nombre suffisant de mesures, les valeurs négatives de fi — «
prédominent. Les 25 comparaisons de la Commission néerlan-
daise, qui ont permis de calculer cette valeur, ont, en effet,
donné en moyenne : (9 — a — — 0U,09.

Pour les cinq mesures qui constituent une comparaison de
la Commission mixte, on a

X — A = ^ (fil A- p 3 + (W5) — y 0*2 + 2 ((? — «)

l*= T 0*4 — M 2)

« = T (#*5 — /*l)>

ce qui revient à

X — A ” -g- (5(u j — 9/4 2 -b 2/4 3 — r— 3^e4 — /4 5 ).

Le nombre plus restreint des mesures rend moins sûre la
détermination de /9 — «. Cependant, on trouve encore, en
moyenne, (ï — a = — ffw,024.

Dans le calcul de la Commission mixte, on a procédé d’une
manière différente. On a supposé que la variation due au
déplacement des microscopes était la même pour X — D et
pour A — D , et on a, de plus, admis qu’elle s’exprime par
une formule à deux termes at-\-cctt2, ce qui conduit à
l’équation

X — A = i (,<*! — 4^2 + 6 — 4 + fi5).

La première de ces suppositions me paraît incompatible avec
les causes qui produisent la variation, la seconde ne se trouve
pas suffisamment confirmée par l’expérience.

24 II. Correction pour différence de température. Lorsque le
comparateur a été laissé en repos pendant quelque temps, les
thermomètres des deux règles accusent des températures à
très peu près identiques. Dans les expériences de la Commis-
sion néerlandaise, les différences moyennes, — sans égard aux
signes, — ont été de 0°,001 à la température ordinaire, de 0°,021
aux basses températures. Dans le cours d’une comparaison, la
marche ascendante de la température de l’enceinte peut causer
des différences dans les deux thermomètres. Ces écarts s’ac-
cusent encore au commencement d’une comparaison, lorsque
celle-ci a été immédiatement précédée d’une autre. Il faut,

196

J. BOSSCHA.

dans ces cas, nécessairement en tenir compte, en appliquant
une correction au résultat d’une comparaison ; dans les calculs
de la Commission néerlandaise on l’a évaluée à 0U,085 par
centième de degré de différence. Pour la valeur de (n° 19 — ^4)i7,6i
la correction moyenne a été de 0U, 045, pour (n° 19 — ^4)0elle

a atteint — 0a,20.

La correction pour différence de température a été entière-
ment négligée par la Commission mixte. Presque insignifiante
pour les séries 1, 2, 3, faites à la température ordinaire
(18° à 15°), elle est assez considérable pour les séries à basse
température, ainsi qu’il résulte des valeurs suivantes:

Série 1, correction — 0,047

2 „ - 0,014

3 „ - 0,114

4 „ — 0,383

5 „ — 0,188

On a admis le coefficient 0,087 comme exprimant en microns et
pour un centième de degré centigrade la dilatation moyenne
des deux règles comparées.

25. Notons ici que la série 4, faite à 4°, 66, se signale par
les conditions très défavorables à l’égard de l’équilibre ther-
mique. L’élévation moyenne en dix minutes a été de 0°,093
pour le thermomètre de la règle i2, de 0°081 pour celui du
Prototype. 1 ) Pendant les deux comparaisons du 9 février, les
thermomètres se sont même élevés de 0°,27, ce qui correspond à un
allongement des règles de 2W,30. Il est peu probable que, dans
ces conditions, les deux mètres suivent avec la même promp-
titude le mouvement ascendant de la température. La règle
I2, ayant par unité de masse une superficie plus grande que
le Prototype, doit se mettre plus facilement en équilibre de
température avec l’air ambiant que ce dernier. Celui-ci, de
plus, posé à plat sur une bande de velours, se trouve, pour

1 ) Dans les comparaisons faites à la température moyenne 0° par la
Commission néerlandaise, ces variations ont été: 0°,025 pour le mètre à
traits, 0°024 pour le Mètre des Archives.

LES EQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 197

près de la moitié de sa surface, à l’état d’isolement thermique.

Le thermomètre de la règle I2, couché dans la rainure
supérieure et se trouvant ainsi presque entièrement enveloppé
par la matière de la règle, ne peut pas s’écarter sensiblement
de la température de cet étalon. Au contraire, celui du Mètre
des Archives, appliqué contre la surface plane de la règle,
prendra une température intermédiaire entre celles de l’air
ambiant et du Prototype et pourra même, lorsque réchauffe-
ment de l’enceinte est rapide, se rapprocher beaucoup plus
de la première. ’) Il est clair que, dans ces circonstances, on
attribuera au Prototype une température plus élevée qu’il ne
possède réellement, ce qui doit conduire, en définitive, aune
évaluation trop forte de la différence I2 — A.

26. III. Application de la méthode Cornu. L’influence d’un
réglage défectueux des microscopes par rapport à la parfaite
netteté des images, tant de l’objet visé que des fils du micro-
mètre, a été étudiée dans l’Annexe I de la ^Relation” de la
Commission néerlandaise. Le résultat de cette analyse peut
être représenté par la construction géométrique suivante.

Soient 00 \ la première
surface réfringente du
système optique, formé
par le microscope et les
milieux réfringents de
l’œil, et PP, le plan de
vision distincte, c’est-à-
dire : le plan conjugué
de la rétine par rapport au système optique. C’est dans le
plan PP, que l’observateur estime apercevoir les objets dont
les images sont formées sur la rétine. Lorsque le point visé se
trouve en g, en dehors du plan PP „ la figure de diffusion

i) Dans les opérations de la Commission mixte on n’a pas fait marcher
le thermométrographe de Redier. qui permet de suivre assez exactement
les variations de la température de l’air ambiant.

Archives Néerlandaises, T. XXV. 14

198

.T. BOSSCHA.

que les rayons, émanés de q, forment sur la rétine, apparaîtra à
l’observateur comme une aire lumineuse placée en PP, ; cette
aire est la section, par ce plan, du cône des rayons lumineux
qui, partis de g, atteignent l’objectif. Dans l’application du
procédé Fizeau la moitié CO, de l’objectif se trouve soustraite
aux rayons incidents, la figure lumineuse sera donc un demi-
cercle. Lorsque l’observateur, en réglant la distance Cq , laisse
subsister l’erreur de mise au point q, il ne distingue pas les
dimensions de l’aire de diffusion et estime apercevoir en PP,
un seul point lumineux e. Le lieu de ce point dépendra de
la manière dont la lumière incidente, venant de q, est distri-
buée sur l’objectif. Je désigne par le terme : centre d'éclairement
par rapport au point visé le point P, où la droite, menée par
e et g, rencontre l’objectif. Il est très probable que ce point
coïncide avec le centre de gravité de la surface éclairée, si l’on
attribue à chaque élément de cette surface une densité propor-
tionnelle au degré d’éclairement, dû aux rayons venant de q.

Dans le cas où l’observateur a bien ajusté l’oculaire par
rapport aux fils micrométriques, il est clair que le plan de ces
fils sera le plan conjugué de PP, par rapport au système
optique formé par la partie du microscope, qui est comprise
entre la face extérieure de l’objectif et le réticule micrométrique.
Si, au contraire, il a laissé subsister quelque erreur de mise au
point de l’oculaire, le plan conjugué des fils tombera en dehors
de PP,, par exemple en PP. De même que pour le point q) il
se produira alors une erreur de vision et de jugement par rapport
à la position du centre du réticule ; l’observateur estimera que
ce centre coïncide, dans le plan de vision distincte, avec e,, point
d’intersection de la droite qui joint l’image f avec le centre
d’éclairement par rapport aux rayons qui semblent partir de.
cette image. En raison de la distance toujours très petite de
/ et q, le dernier centre d’éclairement ne différera pas sensi-
blement de P. Il en résulte que les deux points q et /, qui
se trouvent en réalité sur l’axe optique et dont les images
devraient, par conséquent, se couvrir au milieu du champ, se

LES EQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC.

199

montreront en e et et, distants entre eux de e et qui sera l’er-
reur Z due à la mise au point. En négligeant, par rapport à
la distance focale p C du microscope, les petites distances
p q et pf , on a

EC.

pC

Lorsque, dans l’application du procédé Fizeau, la moitié libre
de l’objectif est uniformément éclairée par les rayons passant

4 OC

par q, E C sera égal à -x — ou 0,42 OC !).

Pour les objectifs employés dans les comparaisons de la
Commission mixte on a O C=z:3mm,5, p C = 18mm 2), d’où

Z=0, 082 fq.

27. Pour obtenir une mise au point aussi exacte que pos-
sible, M. Cornu déplace devant le microscope un écran à fente,
parallèle à la direction des fils du micromètre, de manière que
le centre de la bande lumineuse admise sur l’objectif occupe
alternativement deux points G et Gr Nous désignerons par h
la course constante de la fente. Il est clair que, lorsque l’on
passe de l’une des deux positions G à l’autre Gtf la distance
apparente du fil / au point visé q variera de

y = l!lk.

pC

On mesure y dans cinq positions, à intervalles égaux, du mi-
croscope; les valeurs observées y,, y 2/3? 20 2/ 5 sont por-

tées comme ordonnées sur un diagramme, dont l’axe des
abscisses représente les lectures régulièrement croissantes m,,
m2, m3, m4 et m5 des tambours de réglage. On détermine

1) La vérification expérimentale a donné 0,47. Voir ,, Relation” §§ 58 et 59.

2) La distance focale des objectifs, employés en 1879 par la Commis-
sion néerlandaise, a été calculée à lSm™ d’après les mesures faites par M.
Oudemans. On a, en 1880, remplacé ces objectifs par d’autres qui ont
élevé à 0.u,367 et 0.u,3851es valeurs, précédemment obtenues, 0W, 308 et 0.u, 316
d’une division du tambour des micromètres. Les nouveaux objectifs avaient

donc une distance focale moyenne de 15mm = 18mm,

14*

200

J. BOSSCHA,

ensuite le point où la courbe passant par les points (yt, mt)
(y2, TOj), etc. coupe Taxe des abscisses. La lecture mc du tam-
bour. représentée par ce point, indiquera la position du mi-
croscope pour laquelle y , et par conséquent aussi fq , est zéro.
On obtient ainsi un réglage, qui ne sera pas nécessairement
celui de la vision la plus distincte, mais pour lequel il y a
compensation des erreurs des mises au point de l’objet visé
et des fils micrométriques, par suite de la coïncidence des points
f et q. Avant de commencer les comparaisons on ajuste le
microscope à la lecture mQ du tambour de réglage.

H faut faire ces opérations consécutivement sur les deux
bouts du mètre, d’un côté au moyen du microscope, de l’autre
en abaissant on relevant la table qui porte le Mètre des
Archives. Le procédé rend ainsi nécessaire la présence assez
prolongée de l’observateur près de rinstrument, ce qui accé-
lère toujours l’élévation de la température de l’enceinte.

28. A part cet inconvénient, la méthode de M. Cornu doit
certainement améliorer considérablement les mises au point,
lorsqu’elle est appliquée avec des moyens instrumentaux appro-
priés. Sous ce rapport, malheureusement, les organes de ré-
glage employés paraissent avoir laissé beaucoup *à désirer.
Les vis des microscopes et celles de la table n’avaient pas
été construites dan3 la prévision d’un emploi pareil. Destinées
à servir simplement comme moyens de réglage, on les a, sans
autre modification que l’application d’un cercle gradué sur
la tête de vis, employées comme vis micrométriques. Comme
telles elles ont dû fonctionner dans des conditions les plus
défavorables: le microscope, fortement serré dans sa douille,
se meut difficilement à frottement dur, et, pour la table, la
tête divisée de la vis se trouve à l’extrémité d’une tige qui
doit transmettre le mouvement à environ 80 centimètres de
distance. Si l’on considère qu’une erreur d’un centième de
millimètre dans l’évaluation de la position du microscope ou
de la table produit une erreur de 0",82 dans la longueur
apparente du Mètre des Archives, on ne s’étonnera pas que

LES EQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 201

l'application de la méthode Cornu, dans ces circonstances, ait
pu introduire, ainsi que le montrent les Tableaux VII et
VIII, au lieu des erreurs accidentelles de la mise du point,
d’autres tout aussi considérables. *)

29. Dans ses mesures d’octobre 1879 un des Membres de
la Commission néerlandaise a éprouvé toutes les difficultés
résultant de l’insuffisance des moyens improvisés pour obtenir
une mise au point calculée. M. Oudemans, espérant améliorer
la mise au point, en prenant la moyenne de plusieurs déter-
minations, a cherché deux ajustements d’égale netteté en deçà
et en delà de la vision distincte Cette opération fut faite cinq
ou trois fois de suite pour chaque comparaison. La moyenne
des dix ou six lectures des têtes de vis fut adoptée comme
réglage définitif. L’effet de cette méthode est rapporté dans
les termes suivants i) 2).

„Les divergences assez fortes que présentent les résultats
„ numériques de M. Oudemans sont plus difficiles à expliquer.
„Les valeurs relativement faibles des erreurs moyennes des
„pointés ainsi que des erreurs moyennes des mesures de M.
„ Oudemans, que nous avons déduites des expériences du com-
parateur longitudinal, montrent bien la précision habituelle
„de ses observations. Il faut donc admettre que la méthode

i) Il n’est que juste de remarquer qu’on a dû terminer en peu de jours
l’installation complète de l’appareil qui devait servir à appliquer la nouvelle
méthode. Pour le montrer, il suffira de rapprocher quelques dates. Les
observations de la première série, faites d’après la méthode ordinaire ont
été terminées le 16 septembre 1881 . La Commission mixte s’est réunie le
15 septembre (Procès-Verbaux du Comité international, 1881, p. 15) . D’après
le rapport de M.Fôrster, ce fut à la suite de l’examen des observations de
la première série que la Commission résolut d’appliquer la méthode Cornu.
Les mesures de la seconde série ont été faites d’après cette méthode pen-
dant la réunion du Comité international, 24 sept. — 4 oct. 1881, elles ont
commencé 8 jours après la fin de la première série. Il est clair que, dans
ces conditions, on a dû improviser un appareil avec les moyens qu’on avait
sous la main.

2 „Relation” § 94.

202

J. BOSSCHA.

compliquée, employée par cet observateur pour obtenir un
„ ajustement exact, a exposé à des erreurs, soit parce qu’il
„est difficile de juger si deux ajustements du microscope sont
„ également défectueux mais de sens contraire, soit parce que
„les parties du comparateur qui servent à régler la mise au
„ point ne permettent pas d’obtenir avec une exactitude suf-
„fisante une mise au point chiffrée. Nous avons remarqué, en
„ effet, que le temps perdu des vis qui servent à ce réglage est
„ considérable. Cela est surtout le cas pour celles qui servent à
„ abaisser ou à relever les tables qui portent les mètres. Les
„longues tiges qui transmettent le mouvement se tordent sen-
siblement avant que la table suive le mouvement du bouton
„ divisé. Le défaut d’une relation suffisamment constante entre
w les lectures des cadrans divisés dans les différentes séries et
„la véritable position des tables apparaît d’ailleurs avec évi-
dence si l’on consulte les chiffres des mises au point dans
„ celles des séries qui se rapportent à une même combinaison
„de deux mètres. On reconnaît qu’il n’existe aucun rapport
„fixe entre ces chiffres et les résultats numériques des séries,
„ce qui cependant eût dû arriver si, aux mêmes lectures des
„ cadrans de réglage, eût répondu un même ajustement de la
„mise au point. Il est hien probable que, par les causes que
„nous venons d’indiquer, on a perdu tout l’avantage qu’au
„ point de vue théorique on était en droit d’attendre de la
„ méthode qui consistait à chercher la moyenne de plusieurs
ajustements consécutifs et de diminuer ainsi l’erreur probable
„de la mise au point adoptée pour la comparaison.”

30. Dans l’emploi de la méthode de M. Cornu on a, pour
éviter une trop longue durée des opérations préparatoires,
chaque fois déduit la mise au point exacte d’une construction
graphique sommaire qui ne pouvait fournir qu’un chiffre
approximatif. On a ensuite corrigé le résultat brut de la com-
paraison, pour tenir compte de la différence entre le réglage
adopté m et celui, m0, calculé plus rigoureusement. La cor-
rection de I2 — A est (m — m0) cp , où cp désigne la variation

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 203

de longueur apparente que montre le Mètre des Archives
lorsque, — la moitié de l’objectif étant découverte, — la lec-
ture du cadran de réglage monte d’une unité. Aux deux bouts
du Mètre ces coefficients sont différents; on avait trouvé par
une série d’expériences préliminaires :

au côté gauche (table du Mètre A) , = — 0^,8794
au côté droit (microscope) qp 2 — — 17^,2.

31. Dans le calcul de la lecture exacte m0, on a admis que
la courbe qui représente y en fonction de m pouvait, dans
sa partie moyenne, être considérée comme coïncidant avec
une droite passant par les trois points (y2, m2) (y3, m3) et
(y 4mJ- Les écarts que la détermination expérimentale de ces
points présentait furent attribués à des erreurs accidentelles,
de sorte que, d’après le calcul des moindres carrés, la droite
représentative la plus probable dut passer par le centre de
gravité des trois points, dans une direction parallèle à la
droite menée par (y2, m2) et (y m4 ). Des deux intervalles
entre les trois points nommés, l’un est censé être l’intervalle
moyen, c’est-à-dire celui dans lequel la valeur y change de
signe. Le point d’intersection de la droite calculée avec l’axe
des abscisses fait connaître la lecture m0.

32. Ce mode de déterminer la lecture de mise au point
exacte n’est pas sans offrir matière à objection. D’abord, il
est peu probable, à priori, que la proportionnalité entre y et
l’écart de la position de vision distincte se maintienne en
dehors de l’intervalle moyen, et l’expérience montre, en effet,
le contraire. Quoique les irrégularités dans le fonctionnement
des organes de réglage s’accusent très fortement dans les
chiffres qui ont servi à calculer la lecture m0, les moyennes
d’un certain nombre d’observations donnent encore des résultats
passablement constants. Pour le microscope (côté droit), dont les
déplacements en hauteur, de lecture en lecture, ont atteint

55u, les valeurs ont été pour les trois intervalles successifs
A h

a , b, c, dont b représente l’intervalle moyen:

204

J. BOSSCHA.

a. b . c.

2e Série (12 observations) 0,245 0,481 0,334
3e Série (12 observations) 0,350 0,422 0,376.

On voit que pour l’intervalle moyen l’élément de la courbe
est beaucoup moins incliné vers l’axe des abscisses que pour
les intervalles extrêmes. L’écart que trois points consécutifs
présentent par rapport à une droite unique peut bien, à cer-
tain degré, être accidentel par suite d’erreurs de lecture, il est
certain que, pour une autre partie, il est systématique par suite
de la nature de la courbe: le calcul de m0 doit donc néces-
sairement introduire une erreur systématique.

33. Une objection non moins grave concerne le degré d’ar-
bitraire que présente la détermination de la correction qu’on
applique au résultat brut de chaque comparaison. En effet,
pour le second intervalle qui, combiné avec l’intervalle moyen
6, doit fournir les trois lectures servant au calcul, on peut
choisir indifféremment soit a, soit c. Il est vrai que l’on pour-
rait s’astreindre à la règle de choisir l’intervalle qui est le plus
rapproché de la mise au point exacte, ou encore celui des deux

A y

qui donne la plus forte valeur de mais, en réalité, on n’a

suivi aucune règle fixe. L’influence que ce choix peut avoir
sur la correction et le degré de liberté qu’on s’est permis dans
ce calcul apparaîtront clairement dans l’exemple suivant.

Dans la première des comparaisons à 4°, 66 (Série 4) on a
obtenu, pour la détermination de la mise au point exacte,
les chiffres suivants :

Côté gauche.

Table du Mètre des Archives.

Coté droit.
Microscope.

Lecture p de la tête

Déplacement de

Lecture m de la

Déplacement de

de vis.

l’image.

tête de vis.

l’image.

40

+ 18,0

1,00

+ 8,0

35

H- 7,0

0,75

- i,o

30

-h 2,0

0,50

- 4,0

25

- 7,0

0,25

- 11,0

20

— 13,0

0,00

- 16,0

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC.

205

Les déplacements y de l’image sont exprimés en divisions
du tambour du micromètre.

En partant des lectures 35, 30 et 25, on trouve pour la
lecture p0 de mise au point exacte, au côté gauche,

p0 = 29,524.

Les lectures 30, 25 et 20 donnent, au contraire,
p0' = 29,000.

Comme la lecture adoptée dans la comparaison a été

p — 28,80,

la correction serait

d’après le premier calcul: (p0 — p) 0,8794= H- 0M,637
d’après le second calcul: (p0r — p) 0,8794= + 0^,176.
Au côté droit, les lectures 1,00, 0,75 et 0,50 conduisent à

m0 = 0,709.

On voit que cette lecture tombe en dehors de l’intervalle
moyen. Les trois lectures 0,75, 0,50 et 0,25, qui ne compren-
nent pas l’intervalle moyen et qui, cependant, en ce cas
ont été employées dans le calcul de la Commission mixte,
donnent :

mQ = 0,767.

Le tirage adopté ayant été

m = 0,75,

la correction serait

d’après le premier calcul (m0 — m) 17^,2 = — ~ 0/^,705
d’après le second calcul ( m0 — m) 17,a,2 = + 0^,292.
Le résultat brut de la comparaison a été 12 — A = 3^,171.

Pour la correction on a employé : au côté gauche, le chiffre
du premier calcul, au côté droit, celui du second. Il en est
résulté :

I2 — A ~ -h 4^,100.

Si l’on avait employé les deux autres chiffres, on aurait trouvé:
12 — A = + 2-M,642.

La différence entre ces deux résultats, également admissibles,
dépasse la plus grande valeur que l’on puisse attribuer à l’erreur

206

J. BOSSCHA.

moyenne (Tune comparaison, exécutée en ajustant la mise
au point de la manière ordinaire.

34. Que la correction apportée au résultat direct d’une com-
paraison a été non seulement à un certain degré arbitraire,
mais parfois décidément fausse, c’est ce qui ressort pleinement
dans les cas où l’observateur, pour une des 5 lectures p ou m,
est tombé, par hasard, sur un réglage qui ne donnait aucun dé-
placement de l’image et qui, par conséquent, doit être considéré
comme exact. Il est clair, qu’on n’avait alors qu’à conserver cette
lecture pour la comparaison, et c’est aussi ce que les obser-
vateurs, MM. Tresca et Benoit, n’ont pas manqué de faire.
Cependant, on a encore appliqué le calcul de la droite passant
aussi approximativement que possible par trois points consé-
cutifs de la courbe y = / (m), et modifié le résultat de la
comparaison par une correction qui, par exemple, pour la
première des six comparaisons de la série 5 s’est élevée à -h l u 12.

35. Il me paraît que le calcul des lectures p0 et m0 est à
la fois plus simple et plus sûr, si i’on procède par interpolation
directe entre les deux lectures qui comprennent l’intervalle
moyen, ce qui offre encore l’avantage d’exclure tout choix
arbitraire de la part du calculateur,

36. C’est en partant de ces règles, 1°. par rapport au calcul
du résultat brut d’une comparaison, 2°. pour la correction
relative à l’inégalité de température des deux mètres, 3°. pour
la correction des mises au point adoptées, que j’ai obtenu,
comme résultats corrigés des cinq séries, ceux inscrits dans
la quatrième colonne du Tableau suivant, qui contient de plus

le calcul des valeurs de x0 = (I2 — A)Q et i/ =

d(I2 — A)
dt

que

l’on en déduit.

d’après les observations corrigées de la Commission mixte.

LES EQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC.

207

208

J. BOSSCHA.

37. Avec ces valeurs de x0 et y la somme des carrés des écarts
que présentent les comparaisons isolées est

[**] = 94,04,

d’où l’on déduit:

l’erreur moyenne d’une comparaison m = ± 1^,28
„ » de æi5,6 =(I2 — -4)15,6 rrir = + 0 ,17

„ „ „ æ0 =I2—A)0 ml)=±0 ,65

L’erreur probable de l’équation métrique de I2 serait donc
de ± 0,w,44.

Ce chiffre élevé ne peut pas surprendre si l’on considère les
causes d’erreur auxquelles ces mesures ont été exposées et
surtout le degré exagéré dans lequel, par suite de la distri-
bution peu appropriée des séries à l’égard des températures,
les écarts se font sentir dans la valeur de x 0. En effet, si nous
conservons les notations du n° 19, les équations

_ [wp r] _ [np] ■

V ~ [n r2] ’ ° ~ [îi] V

donnent
Ay

Ax

= [nVJ (jl<r<AP> +n2T,APl+e te.)

I=K (”'A^'+”2AP2+etC')— [«^]("‘ l,AP'

etc.

)•

c’est-à-dire :

A y — -h 0,06560 ApI H- 0,02554 A p2 — 0,00646 A p3
— 0,05281 Ap4 — 0,03188 A p5

A x0 — — 0,61756 Ap y — 0,19561 A p2 + 0,30420 A pz
-h 0,90954 Ap4 + 0,59949 A p5.

Dans cette dernière formule, le coefficient le plus élevé ap-
partient à la 4me série qui, en même temps, a été la moins
nombreuse. Une erreur e d’une seule comparaison de cette
série fait varier de 0,1 8* le résultat final des 59 comparai-
sons. Or, cette série est caractérisée, non seulement par les
conditions exceptionnellement défavorables à l’égard de la
stabilité de la température, mais aussi par cette circonstance

LES EQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 209

fâcheuse que les corrections de mise au point, source d’erreurs
très importante, y ont été particulièrement élevées. C’est ce
que montre le Tableau suivant où nous avons inscrit séparé-
ment pour chaque comparaison les corrections relatives aux
deux bouts du Prototype.

TABLEAU X.

Corrections de mise au point.

Gauche.

Droite.

Gauche.

Droite.

Gauche.

Droite.

Série 2.

Série 3.

Série 4.

+ 0,065

4-0,264

4- 0,040

— 0,131

4- 0,078

4- 0,478

— 0,158

4-0,189

4-0;879

— 0,197

— 0,066

- 0,086

+ 0,046

— 0,062

- 0,050

4- 0,025

— 1,637

4- 0,075

— 0,147

— 0,047

4-0,132

0,000

-1,637

4- 0,075

— 0,974

0,000

4- 0,484

4-0,139

4- 0,010

4-0,107

— 0,037

4-0,149 j

4- 0,055

- 0,032

Série

5.

0,000

— 0,029

- 0,059

4-0,043

- 0,055

0,000

0,000

— 0,140 !

4- 0,086

- 0,209

- 0,022

4- 0,108

-{- 0,098

4-0,172 i

— 0,233

- 0,074

- 0,172

0,000

— 1,353

0,000

4-0,377

— 0,143

- 0,070

- 0,134

4-0,147

— 0,266

4- 0,168

-0,074

4-0,550

— 0,221

4- 0,066

— 0,068

+ 0,503

4-0,169

- 0,220

- 0,134

La plus forte correction atteint la valeur de 1 f/,637. Elle

appartient à la série 4, la moins nombreuse, et, par un ha-
sard regrettable, c’est justement celle qu’on a dû appliquer
deux fois de suite, parce que les 3me et 4me comparaisons de
cette série ont été exécutées avec le même réglage. Il en est
résulté que la correction due à la mise au point du 9 février

2

fait, à elle seule, varier la valeur (J2 — A)0 de l/',637 x0,90954x^
soit de près de 0,«,60.

Or, si ces corrections sont déjà très peu sûres, à cause des
erreurs accidentelles dues aux organes de réglage, nous allons
voir que les coefficients et cp2, auxquels elles sont pro-
portionnelles, peuvent comporter une erreur constante qui,

210

J. BOSSCHA.

pour le coefficient de gauche <p, atteint très probablement
près de 55 pour cent de sa valeur.

38. Remarquons d’abord qu’on peut contrôler la régularité du
fonctionnement de l’appareil qui a servi à déplacer les écrans
à fente. Les mouvements, donnés à l’appareil, ont été égaux
aux deux côtés et constants dans toutes les expériences. Il
faut donc qu’on trouve dans toutes les séries des valeurs iden-
tiques du quotient de l’intervalle moyen. Voici les va-
leurs moyennes:

Série.

Coté gauche.

Coté droit.

2

0,0138

0,0421

3

0,0148

0,0370

4

0,0396

0,0423

5

0,0417

0,0363

Les divergences que présentent entre eux les quatre chif-
fres du côté droit et les deux derniers du côté gauche peuvent
être considérées comme des erreurs accidentelles résultant
de l’imperfection des moyens de réglage. Il n’en est plus de
même pour les deux premiers chiffres du côté gauche. Leur
moyenne 0,0143 est près de 2,78 fois plus faible que la moyenne
des six autres valeurs. Il faut donc admettre que dans ces
séries le déplacement du centre d’éclairement au côté gauche
n’a pas attient la moitié de celui de toutes les autres expé-
riences. Toutefois, ce défaut n’a pas pu modifier la valeur de
la correction, lorsque celle-ci a été calculée, comme nous
l’avons fait, par simple interpolation dans les limites de l’in-
tervalle moyen.

Les deux constantes et cp2 doivent être proportionnelles
aux variations en hauteur, 19w,45 et 245w, correspondant à
l’unité de lecture des vis de réglage. En désignant par ipl et
ip2 les valeurs de qp( et cp2 réduites à un micron de variation
en hauteur, on obtient :

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 21]

0,8792 AA,co 17,2 AA„AA

* - = 19^5 = °’0452’ = 245 = °’0702-

Les nombres xp] et \p2 représentent la tangente de l’angle EqC
de notre figure de la page 197. Il montrent que, dans les
mesures du Mètre des Archives, la distance du centre d’éclai-
rement à l’axe du microscope a été beaucoup plus grand au
côté droit qu’au côté gauche. Comme le foyer des microscopes
est à 18mm de l’objectif, ces distances ont été

d1 = 0mm,814, d2 = lmm,264.

Pour expliquer cette anomalie, il faut entrer dans quelques
détails au sujet de l’appareil qu’on a dû improviser ') pour
produire le mouvement des fentes.

Les écrans à fente consistaient en des lames minces de laiton
fixées par l’un de leurs bouts à des supports en bois; ces
derniers étaient collés à la cire molle aux deux extrémités de
la rainure supérieure d’une règle en X, placée parallèlement
au Mètre des Archives. La règle en X pouvait être déplacée
dans le sens longitudinal au moyen d’une tige à vis, dont la
tête se trouvait au dessus de la paroi supérieure de la cloche
en cuivre. Il n’y avait pas moyen d’enlever les écrans pour
découvrir entièrement les objectifs pendant les mesures du
Mètre des Archives. On observait donc toujours avec des ob-
jectifs diaphragmés; mais comme les fentes, larges de 0mm,96
au côté gauche, de lmm,04 au côté droit, se trouvaient environ
à mi-hauteur entre l’objectif et les pointes du Mètre des Ar-
chives, les rayons lumineux qui, partis de l’extrémité des pointes,
traversaient les fentes pouvaient éclairer sur les objectifs des
bandes d’une largeur d’environ 2 millimètres, la demi-ouver-
ture des objectifs étant 3mm,5.

Dans ces conditions, les valeurs dx et d2 et par suite les
coefficients <p, et cp 2 dépendent entièrement de la position
qu’occupent les fentes pendant les mesures. Pour pouvoir ap-
pliquer, à toutes les séries de mesures, les valeurs cpt et cp2

1 ) Voir la note 1, page. 201.

212

J. BOSSCHA.

déterminées dans des expériences spéciales, il faut être sûr que
la position des fentes a été toujours la même. Or, nous venons

de voir, par les valeurs de , que, au moins au côté gauche

dans les séries 2 et 3, le mouvement et par suite aussi la position
des fentes ont été très différentes de ce qu’elles devaient être.

On expliquerait la plus grande partie du défaut, observé
dans le déplacement du centre d’éclairement, en admettant
que l’ombre de l’un des bords de la fente, qui devait se former
sur l’objectif, a été couverte par celle du bout du Mètre des
Archives, ce qui a dû avoir pour effet de réduire à la moitié
du mouvement de la fente celui du centre d’éclairement, puisque
alors le mouvement de l’écran n’a fait que rétrécir la bande
éclairée de l’objectif en laissant fixe le bord formé par l’ombre
du Prototype.

La valeur trop faible de d] indique que très probablement,
dans les mesures de cp , , la fente de gauche s’est trouvée, en
effet, dans cette même position et a été en partie cachée par
l’ombre du bout du Prototype. Dans ce cas, le coefficient qp ,
ne peut être appliqué sans erreur aux mesures dans lesquelles
l’image de la fente sur l’objectif a été entièrement dégagée.

Or, les valeurs normales de ^ , obtenues dans les séries 4 et

’ A *

5, font supposer que c’est cette dernière position de la fente
de gauche qui s’est présentée dans ces deux séries. S’il en
est ainsi, le coefficient cp , avec lequel les corrections de
mise au point ont été calculées dans ces deux séries a été trop
faible. Si, pour obtenir la vraie valeur, on considère comme
exact le coefficient <p2 de droite et que, au moyen du rapport
19 45

connu ’ — , on détermine pour les séries 4 et 5 la valeur
245 r

de qp,, on obtient 1,365, valeur de 55 pour cent plus élevée
que le coefficient employé ‘).

i ) Remarquons que l’appareil employé eût pu servir pour appliquer la
méthode décrite dans la „Relation” de la Commission néerlandaise à la

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC.

213

39. L’application de la valeur plus probable 1,365 ne change
rien au résultat de la série 5. Les corrections de mise au point
au côté gauche s’y sont presque exactement compensées : la
moyenne n’est que -b 0",002. Pour la série 4, au contraire, la
moyenne — 0W,65 devrait être portée à — Lw,01, de sorte que
les valeurs xQ et y deviendraient:

z0 = + 3^,75
y = — 0,2174,

ce qui les ferait coïncider presque exactement avec celles que
l’on déduit des mesures de la Commission néerlandaise, savoir,

= + 3^,63
y = — 0,2186.

Toutefois, il faut se garder d’attribuer une trop grande im-
portance à la concordance presque parfaite de ces deux ré-
sultats. La dernière correction que nous venons d’appliquer
n’est pas sûre et l’erreur probable du premier des résultats
reste encore assez élevée. De plus, les considérations présen-
tées au n° 25 au sujet de l’effet d’une différence possible,
restée cachée, dans les températures du mètre I2 et du Mètre
des Archives rendent probable que la première valeur xn
devrait baisser encore.

fin du § 60. Il eût suffi d’élargir les fentes ou d’abaisser les écrans, afin
de pouvoir dégager complètement les moitiés extérieures des objectifs,
pour obtenir la plus grande précision possible dans la mise au point ordi-
naire. Le mouvement des fentes eût pu servir à rétrécir la bande éclai-
rée pendant les mesures, afin de diminuer l’influence de l’erreur com-
mise dans le réglage. La valeur de rf,, de la page 211, montre déjà
qu’on a pu observer avec un rétrécissement qui aurait abaissé à
0 814

-farf 0‘W,78 = 0.u,43 l’erreur moyenne due à la mise au point. Un artifice

pareil à celui employé dans la méthode Cornu, et qui consisterait à remar-
quer si le rétrécissement de la bande éclairée fait varier la position
de l’image et à modifier le réglage jusqu’à ce que l’image reste fixe, aug-
menterait certainement encore la précision. C’est cette combinaison des
deux méthodes que me paraîtrait constituer le meilleur moyen de s’affran-
chir presque complètement de cette source d’erreurs.

Archives Néerlandaises, T. XXV.

15

214

J. BOSSCHA.

40. Les conclusions suivantes nous paraissent découler de
cette discussion.

1. Les expériences faites par la Commission néerlandaise et
par la Commission mixte, pour obtenir des copies du Mètre
des Archives, conduisent à des résultats, dont la concordance
est bien établie et très satisfaisante pour celles des compa-
raisons qui ont été exécutées aux températures 18°, 45 à 15°, 06.
Les deux résultats peuvent être considérés comme identiques
dans les limites de précision que comportent les comparaisons
d’un mètre à traits avec un mètre à bouts, et qui, pour le
nombre de comparaisons soumises au calcul, diffère à peine
de celle que l’on peut obtenir dans les mesures de mètres à
traits entre eux. La coïncidence obtenue démontre que le
Mètre des Archives se trouve matériellement assez exactement
défini dans sa longueur, pour servir comme unité de longueur
dans les mesures de haute précision.

2. Les mesures de la Commission néerlandaise faites à zéro,
moins nombreuses mais plus exactes que celles faites par la même
Commission à la température ordinaire, peuvent encore être con-
sidérées comme offrant à peu près les mêmes garanties par rap-
port à la précision de l’équation fondamentale qui s’en déduit.

3. Les observations de la Commission mixte, faites à basse
température dans des conditions défavorables à l’égard de la
stabilité de la température, avec des appareils insuffisants pour
tirer parti du perfectionnement que comporte la méthode de
M. Cornu, étant trop peu nombreuses et ne permettant d’en
déduire l’équation fondamentale que par extrapolation, ne
peuvent pas fournir une copie aussi sûre du Mètre des Archives.
Cependant, leur résultat le plus probable ne s’écarte de celui
de la Commission néerlandaise que d’une quantité équivalente
au degré d’incertitude qu’il laisse subsister. L’écart s’accorde,
en grandeur et en signe, avec la correction que le résultat de
la Commission mixte doit vraisemblablement encore subir.

4. Les comparaisons faites entre les mètres I2, le n°. 20
et le nô. 23 permettent d’établir avec pleine certitude que

LES EQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 215

les équations, sanctionnées par la Conférence générale de 1889,
comme exprimant la longueur du mètre international et des
autres étalons nationaux sont en erreur d’environ 2^,63, de
sorte que ces mètres représentent une unité de longueur, qui

est plus du plus courte que celle du système métrique.

41. Dans l’Annexe, nous donnons le résultat d’un calcul
des 210 comparaisons faites au Bureau international pour éta-
blir les équations relatives des nouveaux étalons. Conformé-
ment aux conclusions auxquelles nous a conduit la discussion
des mesures de dilatation, on a admis dans ce calcul que les
règles en métal de même provenance ont les mêmes coeffi-
cients de dilatation et que pour les règles en métal de Matthey
la dilatation est de 0>w,02 par degré supérieure à celle des règles
en métal du Conservatoire. Nous avons ajouté, dans le Tableau qui
comprend les nouvelles équations relatives, les équations fonda-
mentales de toutes ces règles, y compris le mètre international,
en diminuant, d’après le résultat de cette étude, de 2^,63
l’équation du mètre n° 6.

Il résulte de ce tableau que parmi les 35 nouveaux étalons
nationaux il y en a 17 dont l’équation s’exprime par un chiffre
dépassant 3 microns. Le mètre qui se rapproche le plus du
Mètre des Archives est le n° 30, échu à la Serbie ; la dif-
férence ne serait que de — 0<w,04.

La plus forte différence positive est celle du mètre no 1 en
métal du Conservatoire savoir -b 5^,71. Remarquons que ce
résultat, obtenu en diminuant de 2^,63 les équations de I2
et de M, adoptées par le Comité, confirme de nouveau l’exac
titude de cette correction. En effet, le mètre n° 1 appartient
au petit groupe de règles, qui ont été tracées d’après le n° 23
avant les comparaisons de la Commission néerlandaise, lorsque,
par conséquent, le n° 23 étant jugé exact, on s’est efforcé de
se rapprocher, dans le tracé, autant que possible de ce mètre.
A ce groupe de règles appartenaient, avec le n° 1, les mètres
no 19 (+ 5ta,81), n° 27 (+ 6^,11) et le n° 26. M. H. Tresca,

15*

216

J. BOSSCHA.

en me communiquant dans sa lettre du 26 septembre 1879
que Tétalon néerlandais n° 27 avait été tracé la nuit précé-
dente d’après le n° 23, ajouta: „Au point de vue des traits
je considère ce tracé comme supérieur à celui du n° 1 et
comme l’équivalent du no 26. Au point de vue de l’exactitude
ils sont tous trois de même valeur;” ce qui prouve que le
n°. 1 doit, à très peu près, avoir la même équation que les
mètres mesurés par la Commission néerlandaise.

ANNEXE.

LA DILATATION DES NOUVEAUX ÉTALONS.

La Commission internationale du Mètre, en arrêtant, dans
sa réunion de 1872, les principes qu’on suivrait dans la création
de nouveaux étalons de longueur, a voué une attention par-
ticulière aux mesures des températures et aux déterminations
des coefficients de dilatation. Elle a imposé, à cet égard, aux
commissions d’exécution des conditions très précises, formulées
ainsi qu’il suit ').

I. Les mètres internationaux devront être accompagnés
de deux thermomètres à mercure détachés, soigneuse-
ment comparés au thermomètre à air et qui, de temps
à autre, doivent être soumis à une nouvelle vérification.

II. La méthode Fizeau sera employée pour déterminer la
dilatation du platine iridié qui servira à la construction
du mètre.

III. Les prototypes seront soumis aux meilleurs procédés
à l’aide desquels on pourra déterminer le coefficient
de dilatation absolue du mètre entier. Ces mesures
seront faites, pour chaque règle séparément, au moins
à cinq températures différentes, comprises entre 0 et
40 degrés.

IV. La comparaison relative des prototypes devra être exé-
cutée au moins à trois températures comprises entre
ces mêmes limites.

Les circonstances n’ont pas permis de satisfaire à la rigueur,
peut-être excessive, de ces prescriptions. Le long retard causé
par la confection de nouvelles règles en alliage jugé chimique-

i) Rapport de la Commission IV de la Commission internationale du
mètre. Voir: Réunions Générales de 1872, Procès-verbaux, p. 81.

218

J. BOSSCHA.

ment plus parfait a forcé d’abréger un travail, qui aurait
demandé plusieurs années, pour pouvoir le terminer dans
l’espace d’un an. Mais ce que les mesures métrologiques ont
dû garder d’incomplet a été largement compensé par les
remarquables études et recherches faites sur les mesures de
température et de dilatation, travaux dont la portée dépasse
considérablement le cercle naturellement restreint de la mé-
trologie proprement dite. Certes, aucun des Membres de la
Commission internationale qui, en 1872, ont coopéré à établir
les conditions des nouveaux étalons, n’eût préféré leur exécu-
tion stricte et complète à l’importante moisson de données ex-
périmentales, dont MM. Benoit, Chappuis et Guillaume ont
enrichi la science.

D’après le programme, arrêté par la Commission interna-
tionale de 1872, les coefficients de dilatation ont été déterminés
de deux manières. Un échantillon d’un centimètre de longueur,
coupé à l’une des extrémités de la règle, a été examiné au
moyen de la méthode de M. Fizeau, — et la dilatation du mètre
entier a été déterminée sur le comparateur en mesurant les
différences de longueur entre le mètre, porté à des températures
diverses, et un autre étalon maintenu à température fixe.
Ces deux modes de procéder ont, pour les mesures métrolo-
giques, une valeur très différente, lors même que la précision
avec laquelle elles font connaître la dilatation entre les mêmes
limites de température serait égale. A ce sujet la Commission IV,
dans son rapport sur les questions de thermométrie et de
dilatation, s’est exprimée dans les termes suivants:

„ Quant à la méthode à employer dans ces déterminations,
„la Commission a considéré que celle de M. Fizeau qui, entre
„les mains de ce physicien, a donné des résultats d’une con-
cordance si remarquable, pourrait certainement fournir une
„ donnée précieuse sur l’un des principaux caractères de la
„matière du mètre. Mais, tout en recommandant ce procédé,
„la Commission a jugé indispensable que, dans les mesures
„de la dilatation qui doivent servir à faire les réductions de

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 219

„la longueur des mètres à une température donnée, on se
„ rapprochât autant que possible des conditions qui seront
„réalisées dans les comparaisons subséquentes, et que, par
„ conséquent, il faudra faire des mesures exactes et multipliées
„de l'accroissement de la distance des traits du mètre, produit
„par une élévation de température donnée."

La Commission, par ces mots, n'a indiqué qu’en termes
généraux la raison pour laquelle, au point de vue métrolo-
gique, elle n’a pu accorder qu'une importance secondaire à
l’application de la méthode Fizeau. On peut remarquer plus
spécialement que cette méthode, pour fournir des résultats
équivalents à ceux de la méthode du comparateur, exige que
la température supérieure soit portée à un degré assez élevé,
bien loin en dehors des limites qui se présentent dans la
pratique métrologique, que la détermination très exacte des
hautes températures expose à des erreurs systématiques diffé-
rentes de celles des comparaisons à température ordinaire,
et que, de même, les conditions différentes d’un échantillon d’un
centimètre reposant sur une de ses faces terminales et d’un
mètre entier couché sur deux rouleaux peuvent causer, sinon
des différences de dilatation réelles, au moins des inégalités
dans les erreurs constantes inévitables des éléments du calcul.
Ces considérations rendent peu douteux, que la méthode de
M. Fizeau, malgré sa haute valeur scientifique, ne peut, en
principe, offrir pour la pratique métrologique les mêmes avan-
tages que la méthode du comparateur, qui reproduit toutes les
conditions de la pratique usuelle.

Ajoutons que si, contrairement aux intentions de la Com-
mission de 1872, la méthode de M. Fizeau doit servir à faire
connaître les différences accidentelles de dilatation que présen-
tent des règles, identiques dans leur composition et leur fabrica-
tion, toute conclusion qui établirait une différence réelle, chiffrée
impliquerait nécessairement un paralogisme. En effet, le résultat
indiquant que, sous le rapport de la dilatation, un de ces
mètres diffère de l’un quelconque des trente autres ne peut

220

J. BOSSCHA.

reposer sur l’hypothèse admise à priori que la dilatation d’un
centimètre est nécessairement égale à celle de l’un quelconque
de cent autres centimètres. Dans ce qui suit nous n’aurons
égard qu’aux résultats de la méthode du comparateur.

La dilatation absolue du mètre 12 a été mesurée par M. Benoit
en trente comparaisons, faites à des températures de 0° à 38°
avec la règle Type II, maintenue à température constante.
Ces observations ont conduit à la formule

Dt = 8^,609 t + 0^,00112 t1. ’)

On en déduit pour les réductions entre 0° et 20°:

/dJA _a„631
\ dt J io

La règle n° 6 a été soumise à deux séries d’observations
pareilles, chacune de 30 comparaisons, exécutées l’une par
M. Benoit, l’autre par M. Guillaume. Les deux résultats, très
concordants, ont été :

Dt “ 8^,595 t -h 0,00127 t 2 (Benoit).

Dt = 8 ,591 1 h- 0,00116 P (Guillaume).

On en tire en moyenne:

(- = 8i“,617.

V dt J io

A 10°, la dilatation par degré centigrade de I2 serait donc
de + 0^,014 plus forte que celle du n° 6.

D’autre part, une série de 40 comparaisons relatives de ces

») Rapport de M. Benoit p. 14 et 17. Dans son mémoire (Travaux et
Mémoires du Bureau international, Tome II p. C. 43). M. Benoit adonné
la formule

Dt = 8^,594 1 + 0,00126 1 2 .

La différence de ces deux formules est -j- 0,015 t — 0,00014 £2. Elle pro-
vient probablement de quelque correction introduite, après la publication
du Mémoire, dans l’échelle thermométrique. On remarque, en effet, cette
même différence dans les formules de dilatation des règles Type I et II et
n° 13, reproduites dans le Rapport p. 47.

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC.

221

deux étalons a accusé une différence en sens contraire, savoir
— 0/^,0073 ')•

Ces deux résultats contradictoires nous semblent ne pouvoir
admettre d’autre conclusion que la suivante: Les mesures les
plus précises , faites par les observateurs les plus expérimentés ,
n’assignent à la différence de dilatation des mètres I2 et n° 6
entre 0° et 38° aucune valeur appréciable avec quelque certitude .
Cette différence rentre dans les limites des erreurs inévitables des
observations les plus soigneusement exécutées.

Les 30 règles n° 1 à n° 5, n° 7 à n° 31 en platine iridié
de M. Matthey ont été comparées avec la règle n° 6 à 8
températures, d’abord ascendantes 0°, 11°, 22°, et 33°, puis
décroissantes 38°, 27°, 16° et 5°. Ces comparaisons ont fourni

pour les différences de dilatation ^ T — — — — les valeurs

dt

suivantes, auxquelles on a ajouté les erreurs probables de chaque
détermination.

N°. 1

+

CO

CO

10 3

± 3f*,8.

10 3

N°.17

4- 2^,2.

10“

3 ±

6,9

10"

2

4-

13

,8

//

// 2

,o

//

18

- 9

,3

»

//

3,3

»

3

—

9

,2

f/

// 2

,6

//

19

+ 3

,6

»

))

3,9

»

4

—

19

,2

//

n 3

,4

//

20

+21

,7

//

//

6,0

5

—

3

,7

//

// 8

,4

//

21

4-13

,6

//

,/

4,5

//

7

—

1

,7

//

// 8

,2

//

22

4-16

,0

U

0

3,7

//

8

—

2

,4

0

// 4

,2

0

23

4- 9

,6

n

//

4,9

//

9

—

7

,8

//

// 5

,3

//

24

4-18

//

//

5,5

//

10

+

8

,o

//

// 6

>3

M

25

— 3

n

V

6,4

//

11

—

0

,8

//

v 6

,0

//

26

— 4

,o

„

//

3,0

//

12

—

13

,4

,/

« 4

d

//

27

4- 5

,8

H

//

4,5

ff

13

—

4

,o

//

// 4

4

//

28

- 1

,2

//

//

4,2

//

14

—

4

,6

//

// 5

,5

//

29

4-23

,o

//

//

6,1

//

15

+

4

,3

//

// 6

,3

//

30

—13

,4

n

//

4,9

//

16

+

1

,6.

10-3

±3

,0

10-3

31

-h 7

,0.

10-

3 ±

4,2

-

Au sujet de ce tableau, M. Benoit remarque ce qui suit:
„Le premier coup d’œil jeté sur les résultats de ces obser-

i) Rapport de M. Benoit p. 48.

222

J. BOSSCHA.

„vations montre que les dilations de toutes ces règles sont
„ extrêmement voisines les Unes des autres, tellement voisines
„que, dans bien des cas, les différences restent au dessous de
„ leurs erreurs probables et que la réalité de ces différences
„n’est, par conséquent, rien moins que démontrée.”

Il nous semble qu’il faut faire un pas de plus vers la con-
clusion que cette remarque laisse entrevoir. Ici encore, les
différences de dilatation sont trop faibles pour pouvoir être
constatées. L’ensemble des résultats obtenus n’aurait pas pu
être autrement dans le cas où les 31 règles eussent eu des
dilatations réellement identiques. En effet, dans le cas supposé,
les erreurs inévitables de l’observation produiront des différences
apparentes. Celles-ci peuvent servira calculer l’erreur probable
de chaque détermination. L’erreur ainsi trouvée sera néces-
sairement plus forte que celle qui se calcule par les écarts
que présentent les 8 mesures de chaque détermination isolée,
parce que le renouvellement de l’expérience, l’installation
d’une nouvelle règle, un nouvel ajustement de l’appareil, le
changement d’observateur peuvent introduire des différences
d’une détermination à l’autre.

De plus, les écarts que les 30 déterminations présentent
par rapport à une dilatation moyenne, qui s’appliquerait à toutes
les règles doivent suivre la loi des erreurs accidentelles savoir,
1°. le nombre des écarts positifs doit être égal à peu près à celui
des écarts négatifs; 2°. la somme des écarts doit être sensi-
blement nulle, c’est-à-dire, la dilatation apparente moyenne
des 30 règles ne doit pas différer beaucoup de celle de la règle
n°. 6 ; 3°. le nombre des écarts compris entre certaines limites
x et x 4- Ax doit décroître à mesure que x est plus élevé.

Or toutes ces propriétés se retrouvent dans les chiffres qui,
d’après le Tableau, exprimeraient des différences de dilatation.

En effet:

1°. Parmi les 30 différences il y en a 15 positives, 15 négatives.
2°. La dilatation moyenne des trente règles ne diffère de celle
du mètre n°. 6 que de 2.10-3, c’est-à-dire 0*u,002 par de-

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC.

223

gré, quantité trop faible pour pouvoir être déterminée avec
quelque certitude.

3°. Parmi les différences il y en a:

13 comprises entre 0 et 5 X 10~3
8 „ » 5 et 10 „ „

4 „ „ 10 et 15 „ „

3 „ , 15 et 20 „ ,;

2 au dessus de 20 „ „

Enfin, la somme des carrés des différences, considérée comme
erreurs accidentelles, fournit l’erreur probable d’une détermi-
nation T^.IO-3, tandis que l’erreur probable d’une détermina-
tion, déduite des 8 mesures qui composent cette dernière,
varie entre 8^,10— 3 et 2^,1 0~3 et est en moyenne 5^,10“ 3.

Dans ces circonstances, la seule conclusion qu’on puisse
légitimément tirer de ces expériences peut se formuler en ces
termes :

Dans les limites de température 0° à 38°, les 30 métrés en métal
de Matthey n’accusent soit entre eux , soit avec les métrés I2 et n°. 6,
aucune différence de dilatation appréciable .

A plus forte raison en est-il ainsi entre 0° et 20°.

On a comparé de la même manière avec la dilatation du
n°. 6 celle de 4 étalons en métal du Conservatoire. Les dif-
férences obtenues ont été:

d ( Xc — n°. 6)
dt

Écarts de la moyenne.

Erreur probable de
la détermination.

no. 1

- (F, 0137

5^,4.10_3

8,4.1 0-3

3

— 0 ,0273

8 ,2 ,

5,8 »

12

— 0 ,0174

1 ,7 //

7,8 //

13

- 0 ,0179

1 ,2 //

5,7 ,

moyenne

: — 0 ,0191

Les écarts que ces chiffres présentent entre eux sont encore
plus faibles que ceux du Tableau précédent. Par contre, la
différence de dilatation avec le mètre n°. 6 ressort avec une
certitude suffisante.

224

J. BOSSCHA.

Il est donc très probable qu’on a, comme équation valable
pour tous les mètres Xm en métal Matthey et tous les mètres Xc
en métal du Conservatoire :

d(Xu-Xc) _ + 0,«)02_
at

On peut vérifier les conclusions, auxquelles nous sommes
arrivé relativement à l’égalité des coefficients de dilatation
dans les mètres de même métal, au moyen des 196 compa-
raisons qui ont été faites pour établir les 31 équations des
mètres nos. 1 à 31 avec I2.

Toutes ces comparaisons ont été faites à des températures
différentes, variant de 4°, 152 à 18°, 544. S’il y a lieu d’admettre
que les dilatations des règles diffèrent entre elles, leurs équa-
tions relatives varieront avec la température et il faudra né-
cessairement, pour obtenir des résultats exacts, ramener les
données fournies par les comparaisons à une température uni-
forme. C’est, en effet, ce qui a été fait dans le calcul commu-
niqué par M. Benoit. Toutes les différences de longueur ob-
servées ont été réduites à 0° au moyen des coefficients delà
page 221, et c’est avec ces chiffres corrigés qu’on a procédé
au calcul d’ensemble des J 96 comparaisons. Or, il est évident
que, si réellement les comparaisons permettent de distinguer
des dilatations différentes, la réduction doit avoir amélioré le
résultat et abaissé l’erreur probable. Un calcul exécuté en
négligeant la correction, ou, ce qui revient au même, en attri-
buant à toutes les règles des dilatations égales, peut donc
servir à constater jusqu’à quel point des comparaisons faites
avec les nouveaux étalons dans les mêmes conditions de
précision que celles du Comité auront besoin qu’on tienne
compte des différences dans les formules de dilatation. Il suffira,
à cet effet, de comparer l’erreur probable déduite du calcul
avec les éléments corrigés à celle que l’on obtient par le calcul
avec les chiffres bruts. J’ai entrepris cette vérification donc
voici les résultats.

LES ÉQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC. 225

La somme des carrés des 196 écarts est de

5,0248 d’après le calcul (Benoit) avec les chiffres corrigés,

4,8174 „ „ nouveau calcul avec les chiffres bruts.

Les erreurs probables d’une comparaison diffèrent à peine;
elles sont

0*w,1177 d’après le calcul de M. Benoit
0^,H48 „ nouveau calcul.

Il en résulte que les 196 comparaisons, faites entre les nou-
veaux étalons à des températures variant de 4°,1 à 18°, 5, dans
les limites de précision qu’elles comportent, satisfont un peu
mieux à l’identité de dilatation de tous les mètres qu’aux
formules de dilatation du Tableau A.

Les comparaisons des mètres en métal du Conservatoire ne
peuvent pas fournir la même preuve, parce que les tempé-
ratures ont été trop peu différentes. Elles ont toutes été faites
aux températures de 4°, 4 à 4°,0, à l’exception des 4 compa-
raisons avec le mètre n°. 6 ou M qui ont été faites de 8°, 2
à 8°, 4.

Nous faisons suivre ici les équations des nouveaux étalons
par rapport au mètre international M , telles quelles résultent
du nouveau calcul; elles sont au moins aussi probables que celles
sanctionnées par la Conférence et doivent être préférées lorsque
l’on admet, conformément aux conclusions précédentes, que les
différences de dilatation des étalons de même métal sont trop
faibles pour permettre de les évaluer. Nous ajoutons les équa-
tions des nouveaux étalons relatives au Mètre des Archives
en posant, d’après le résultat de notre discussion, M = n°. 6
= Archives — 2^,63. La dernière colonne renferme les équa-
tions métriques admises par la Conférence générale.

226 J. BOSSCHA. LES EQUATIONS DES NOUVELLES COPIES, ETC.

Equations des nouveax étalons.

N° 6 = mètre international. lm = mètre des Archives à 0°.

Mètres en métal de Matthey.

Equations relatives. Equations métriques. Valeurs admises.

Nc

' 1

=

N° 6

—

l/'.OO

— 1 m

—

3^,63

—

i-“,i

»

2

»

»

—

1

,27

jj jj

—

3

,90

—

1 ,5

JJ

3

jj

n

4-

0

,38

jj jj

—

2

,25

4

0 ,5

n

4

jj

y

—

1

,08

jj jj

—

3

,71

—

0 ,8

jj

5

jj

»

+

2

,27

jj jj

—

0

,36

4

2 ,3

JJ

7

jj

+

0

,24

jj jj

—

2

,39

4

0 ,3

jj

8

»

»

—

0

,42

jj jj

—

3

,05

—

0 ,4

n

9

JJ

»

—

1

,24

jj jj

—

3

,87

—

1 ,2

JJ

10

»

»

—

0

,69

jj u

—

3

,32

—

0 ,8

jj

11

»

»

—

0

,55

jj jj

—

3

,18

—

0 ,5

JJ

12

JJ

—

0

,40

jj jj

—

3

,03

—

0 ,3

jj

13

jj

»

-f-

0

,19

_jj »

—

2

,44

4

0 ,3

jj

14

JJ

»

—

1

,36

jj jj

—

3

,99

—

1 ,3

jj

15

jj

>?

+

0

,95

jj jj

—

1

,68

4

0 ,9

jj

16

jj

jj

—

0

,59

jj jj

—

3

,22

—

0 ,6

jj

17

jj

jj

0

,95

jj jj

—

1

,68

4

0 ,9

JJ

18

jj

u

—

1

,17

jj jj

—

3

,80

—

1 ,o

r>

19

JJ

jj

+

1

,12

jj jj

—

1

,51

4

1 ,1

jj

20

jj

jj

+

0

,96

jj jj

—

1

,67

4

0 ,8

jj

21

jj

jj

+

2

,54

jj jj

—

0

,09

4

2 ,5

JJ

22

jj

jj

—

1

,16

jj jj

—

3

,79

—

1 ,3

n

23

jj

jj

—

0

,96

jj jj

—

3

,59

—

1 ,o

jj

24

jj

jj

+

1

,91

jj jj

—

0

,72

4

1 ,8

jj

25

»

jj

+

0

,63

jj jj

—

2

,00

4

0 ,7

jj

26

V

jj

+

0

,77

jj jj

—

1

,86

4

0 ,9

jj

27

n

jj

—

1

,50

jj jj

—

4

,13

—

1 ,6

JJ

28

n

jj

+

0

,47

jj jj

—

2

,16

4

0 ,5

jj

29

n

jj

—

2

,52

jj jj

—

5

,15

—

2 ,8

n

30

V

jj

-h

2

,59

jj jj

—

0

,04

4

2 ,8

jj

31

n

jj

+

0

,62

jj jj

—

2

,01

4

0 ,6

h

V

jj

+

5

,94

jj jj

H-

3

,31

4

6 ,0

M

n

jj

-h

0

,00

jj jj

—

2

,63

4

0 ,0

Mètres en

métal

du Conservatoire.

Ne

> 1

—

N° 6

+

8/*, 34

— 1?»

-h

5.w,71

4

81*, 3

»

3

»

jj

+

2

,68

jj jj

4

0

,05

4

2 ,7

jj

12

»

jj

+

3

,34

jj jj

4

0

,71

4

3 ,3

jj

13

»

jj

H-

3

,31

jj jj

4

0

,68

4

3 ,3

Arch Neerl TomeXXV PI- 1-

Cattie del.

LitT\ ftririK &P injg'er.

■

'

*

♦

KWWb

DEUXIÈME LIVRAISON.

Dr. J. Th. Cattie, Sur un cas de cohésion et de dialyse dans le cypripedium barbatum

Lindjey, var. superbum Page 101.

. A. Lorentz, Sur la théorie moléculaire des dissolutions diluées » 107.

. Zwaardemaker Cz., Sur la norme de l’acuité olfactive (olfactie) * 131.

. Zwaardemaker Cz., Anosmies d’origine nerveuse » 149.

Bosscha, Les équations des nouvelles copies du Mètre des Archives * 165.

CONDITIONS DE L’ABONNEMENT.

Les Archives Néerlandaises des sciences exactes
et naturelles paraissent à des époques indéterminées, en livraisons
de 6 à 12 feuilles d’impression, avec un nombre illimité de plan-
ches coloriées et noires.

Trente feuilles forment un volume.

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hollandaise des Sciences à Harlem.

.

: -

HARLEM. — IMPRIMERIE DES HÉRITIERS LOOSJES.

TOME XXV

3me et 4me Livraisons.

ARCHIVES NÉERLANDAISES

DES

SCIENCES

EXACTES ET NATURELLES

PUBLIÉES PAR

LA SOCIÉTÉ HOLLANDAISE DES SCIENCES À HARLEM,

ET RÉDIGÉES PAR

B O S S C H A,

Secrétaire de la Société ,

AVEC LA COLLABORATION DE

MM. D. Bierens de Haan, C. A. J. A. Oudemans, W. Koster,

C. K. Hoffmann et J. M. van Bemmelen.

HARLEM

LES HÉRITIERS LOOSJES.

1891.

PARIS LEIPSIG

GA OTHIERS-VILLARS. G. E. SCHULZE.

ARCHIVES NÉERLANDAISES

D£S

Sciences exactes et naturelles.

LA BIOLOGIE D’UNE BACTÉRIE
PIGMENTAIRE;

PAR

M. W. B E Y E R I N C K.

§ i.

Habitat et isolement dn Bacillus cyaneo-fuscus.

„Colle forte noire.” „Fromage bien/’

En février 1888 je reçus de M. van Lookeren Campagne l),
à cette époque chimiste de la fabrique de gélatine de Delft,
un échantillon de colle forte colorée en noir et qui, d’après
les essais auxquels il l’avait soumise, transmettait facilement
par contagion cette couleur à une colle saine, qu’elle rendait
ainsi impropre aux usages ordinaires. Je pus m’assurer de
l’exactitude de cette observation, et remarquai en outre que,
pour reproduire le phénomène avec la même intensité dans
des expériences successives, il fallait augmenter progressive-
ment la dose de matière servant à l’inoculation ; autrement,
les bactéries étrangères faisaient obstacle par leur pullulation
excessive. La colle noire exhalait une odeur particulière, rap-
pelant celle du sulfure d’ammonium, et elle formait beaucoup
plus difficilement gelée que la colle saine.

Dans la fabrique, il fut bientôt reconnu que la cause delà
calamité résidait dans un tuyau malpropre, à travers lequel

1 ) Actuellement directeur de la station agronomique à Hoorn.

Arhives Néerlandaises, T. XXV. 16

228

M. W. BEYERINCK.

avait passé de l’eau venant d’un des canaux de la ville, et
qui ensuite avait été employé à conduire dans les bassins en
tôle, pour s’y prendre en gelée, la dissolution de colle. Aussitôt
que ce tuyau eut été nettoyé à fond, l’accident malencontreux
cessa de se produire.

Mes premières tentatives pour isoler la bactérie que je
supposais être la cause déterminante du phénomène n’eurent
aucun succès.

Comme j’avais dès l’abord observé que l’accès de l’air
favorisait la coloration en noir, de sorte qu’il ne pouvait guère
être question d’anaérobiose, j’étais curieux de savoir pourquoi
un organisme, si manifestement apte à vivre dans la gélatine,
ne pouvait être isolé par la méthode de la gélatine. Mais
l’explication de ce fait ne se présenta que beaucoup plus tard,
après que d’autres sources m’eurent fourni une bactérie pigmen-
taire au moyen de laquelle je pus provoquer artificiellement,
avec des phénomènes identiques, la coloration en noir de la
colle. Je reconnus alors que la contradiction apparente tenait
à la facilité avec laquelle cette bactérie éprouve un affaiblis-
sement de sa force végétative, à la suite duquel elle n’est plus
capable de vivre sur une masse nourricière solide, tout en pouvant
encore se développer très bien dans un milieu liquide. Je trouvai
en outre que cet affaiblissement était dû à ce que les essais
d’inoculation avaient eu lieu à environ 20° C, température qui
pour peu de temps est à la vérité très favorable à l’accroissement,
mais dont l’action prolongée détermine une dégénérescence.

Telle a été ma première rencontre avec la bactérie pigmen-
taire dont la description fera l’objet des pages suivantes et que
je propose d’introduire dans la science sous le nom de Bacillus
cyaneo-fuscus.

Ce microbe est aussi la cause, ou du moins l’une des causes,
d’une altération assez fréquente dans les fromages de Hollande,
surtout dans ceux dits „d’Edam”, altération qui, sous le nom
de „bleu”, est très redoutée des fabricants de ces produits et
sur laquelle je reviendrai au § 8 du présent Mémoire.

LA BIOLOGIE üWe BACTERIE PIGMENTAIRE. 229

Le fromage toutefois, pas plus que la colle forte, n’est le
séjour naturel du Bacillus cyaneo-fuscus, car dans la masse
caséeuse cette bactérie ne subit pas seulement un affaiblisse-
ment, comme dans la colle, mais elle y meurt bientôt, par
suite de la formation d’acide sous l’influence de ferments
lactiques. L’habitat proprement dit doit donc se trouver ail-
leurs, et mes recherches ont appris qu’à cet égard le premier
rang, tout au moins, revient au sol et à l’eau.

Abstraction faite des expériences exécutées avec du fromage,
et dont il sera parlé plus loin, j’ai trouvé et isolé le Bacillus
cyaneo-fuscus à six reprises différentes. Il ne me semble pas
superflu de mentionner ces cas séparément, vu que j’ai à y
rattacher quelques remarques assez intéressantes.

La première fois, je rencontrai notre bactérie, en colonie
unique, parmi une cinquantaine de colonies de quelques autres
espèces, à l’occasion de l’examen d’une infusion colorée, obtenue
en laissant séjourner dans de l’eau de conduite quelques racines
de Vicia Faba !). La colonie s’était formée sur une gélatine
nourricière qui ne contenait qu’une décoction assez concentrée
de tiges de Fève et du sucre de raisin. Elle liquéfiait très
fortement, et produisait une matière bleue diffusive, tandis
que, dans la colonie elle-même, les bacilles morts étaient
colorés en brun assez foncé.

Dans deux autres cas, l’ensemencement eut lieu sur une
gélatine contenant de l’extrait de malt. L’une fois, on avait
opéré avec une eau ayant servi à nettoyer des cuves à
fermentation; l’autre fois, avec une eau analogue, qui avait
traversé un tuyau ordinairement employé à conduire de la
drèche fermentée. L’eau provenait d’un des canaux de la ville.

• ) La coloration bleue ou violette, qu’on observe si fréquemment lorsque
des plantules vivantes de Vicia Faba ont été abandonnées à elles-mêmes
dans une eau de conduite très légèrement alcaline, est due à une réaction
tannique, exercée par un produit de décomposition des poils et des cellules
épidermiques de la radicule sur les combinaisons ferrugineuses de l’eau,
réduites par des bactéries.

16*

230

M. W. BEYERINCK.

Les colonies présentaient les mêmes propriétés que dans le
cas précédent et étaient caractérisées surtout par la teinte
bleue de la matière colorante diffusive, qui doit peut-être les
faire distinguer, comme variétés, de la forme suivante ').

Des expériences directes, avec l’eau de canal, ont fourni
dans un cas le Bacillus cyaneo-fuscus. La semence, c’est-à-dire
l’eau, avait été versée à la surface d’une gélatine dissoute
dans l’eau pure, sans la moindre addition de matière nutritive.
La gélatine elle-même avait donc fonctionné comme aliment,
et la matière colorante diffusée, au lieu d’être bleue comme
dans les cas précédents, avait une couleur brun foncé.

Sur un terrain de culture entièrement semblable à celui
dont il vient d’être question, des colonies de Bacillus cyaneo-
fuscus furent ensuite obtenues dans un seul cas en l’arrosant
d’eau de conduite pure, dans d’autres cas par l’ensemencement
d’une portion du contenu d’un vase de verre, consistant en eau
de conduite additionnée d’un peu de carbonate de magnésie, de
Vio% de sulfate d’ammoniaque, de traces de phosphate de
potasse, et, comme matière infectante, d’une trace de terre
humeuse. Dans ce vase, où les matières organiques provenant
de la terre servaient d’aliment aux bactéries et où il se formait
beaucoup de nitrite aux dépens du sel ammoniacal, notre
bacille s’était manifestement multiplié, car on en obtint, par
un seul ensemencement, une demi-douzaine de colonies.

Cette observation conduisit à essayer de cultiver le B. cyaneo-
fuscus directement au moyen de la terre, et par cette méthode
aussi on obtint, dans un cas, un résultat positif.

En considérant l’ensemble de ces différentes sources natu-
relles, nous voyons que notre bacille pigmentaire, à l’état de
liberté, se rencontre toujours dans des solutions nourricières
très diluées. Comme les premiers des ensemencements ci-dessus
mentionnés avaient toutefois eu lieu sur une gélatine assez
concentrée, contenant de l’extrait et du sucre, il était d’emblée

i ) Des expériences postérieures ont mis hors de doute que les bactéries
pigmentaires de ces trois provenances sont différentes du B. cyaneo-fuscus.

LA BIOLOGIE d’üNE BACTERIE PIGMENTAIRE

231

évident que ces terrains plus riches devaient également con-
venir, au moins conditionnellement, à la végétation du bacille.
Mais quand, sans connaissance spéciale de la biologie de
celui-ci, j’essayai de faire, avec les colonies développées sur
ces masses concentrées, de nouvelles inoculations, en laissant
parfaitement identiques les conditions nutritives et thermiques,
il se trouva que dès la seconde ou la troisième réinoculation
la croissance avait entièrement cessé. Lorsqu’on réinoculait
la matière première qui s’était développée sur le terrain
nutritif peu concentré, les végétations pouvaient encore sup-
porter plusieurs fois la rénovation; toutefois, dans ce cas
aussi, elles finissaient par s’éteindre complètement, de sorte
qu’après environ six semaines toute expérimentation ultérieure
était devenue impossible, et que, pour obtenir de nouveaux
matériaux d’étude, je devais en revenir au contenu du vase
de verre et procéder à un nouvel isolement. Ce singulier
résultat m’est resté assez longtemps énigmatique, jusqu’à ce
que finalement une très remarquable influence thermique,
donnant lieu à des changements héréditaires, fut reconnue,
sinon comme la condition unique, — car la concentration de
l’aliment exerce déjà par elle-même une certaine action, — au
moins comme la condition essentielle de la perte de la faculté
végétative. Nous verrons plus tard en quoi cette influence
consiste ; ici, je me borne à noter que mes expériences d’alors
étaient exécutées à la température ordinaire d’appartement
en été, de sorte que les cultures eurent à subir parfois une
chaleur de 25° C, et pendant un temps plus long des tempé-
ratures voisines de 20° C, bien que le plus souvent je pus les
maintenir au-dessous de 20° C, à savoir, aux environs de 17° C.

§ 2.

Description de la forme active du Bacillus
cy aneo-fuscus.

Les bactéries directement provenues de leurs stations natu-
relles, aussi bien que celles qui en ont été obtenues, dans

232

M. W. BEYERINCK.

des conditions de température appropriées, par la culture
sur diverses masses nutritives solides ou liquides, possèdent
les propriétés suivantes.

Les colonies (PI II, fig. 1), en s’accroissant, liquéfient la
gélatine nourricière, avec une intensité variable, suivant que
cette gélatine contient plus ou moins de peptone et suivant
le degré d’activité végétative des bactéries elles-mêmes. Faisons,
pour le moment, abstraction de cette dernière circonstance,
et occupons-nous de l’influence exercée sur les phénomènes
du développement par les matières nutritives. Avant tout, il
faut dire que les expériences dont il va être question ont eu
lieu à des températures qui ne dépassaient que de peu 6° C,
le plus souvent même restaient un peu au-dessous de ce
degré, et se rapprochaient rarement, et seulement pour peu
de temps, de 10° C, limite qui ne fut jamais franchie. Pendant
les mois d’été, ces basses températures, à variations très lentes,
furent trouvées dans une cave, soit sur le sol pavé en briques,
soit sur des tables de bois; en hiver, au contraire, on les
trouvait dans le laboratoire, sur une table de pierre placée
devant une fenêtre.

Dans ces conditions, un accroissement très énergique et
une très forte liquéfaction s’observent lorsque, pour toute
nourriture, il n’est offert aux bactéries que de la gélatine,
sans addition d’aucune sorte. Les colonies qui se forment
ainsi sur des couches épaisses de gélatine, contenues dans
des boîtes de verre, sont passablement fluides et consistent
en gélatine liquéfiée dans laquelle est suspendue une masse
bactérienne brun noirâtre ( b s, fig. 1) ; de cette masse fluide
il se diffuse dans la gélatine une matière colorante brun pur
(dz, fig. 1), qui toutefois n’est jamais vue jusqu’à de grandes
distances, probablement parce qu’elle subit de la part de l’air
une lente oxydation, dont le produit ne serait pas susceptible
de diffusion. La colonie fluidifiée a manifestement un grand
pouvoir d’attraction sur l’eau, grâce auquel elle arrive bientôt
à faire saillie, sous forme de goutte convexe, au-dessus de

LA BIOLOGIE d’üNE BACTERIE PIGMENTAIRE 233

la gélatine. Si toutefois cette dernière renferme un peu de
peptone (a % est déjà suffisant), toute l’eau de la colonie est
attirée dans la couche de gélatine, d’où il résulte, comme on
le voit représenté dans la fig. 1, une cavité tapissée intérieure-
ment d’une couche de bactéries.

L’examen microscopique des colonies y fait distinguer trois
ou quatre éléments figurés différents, à savoir: des bactéries
en bâtonnet, vivantes, incolores, ordinairement mobiles; des
corps bactériens morts, colorés en brun intense, des sphérites
ou cristaux de carbonate de chaux, qui peuvent cependant
manquer, et des grains de pigment. De ces derniers, il sera,
plus loin, traité à part. Ici, je dirai quelques mots des bactéries
elles-mêmes.

Celles-ci sont des bâtonnets de longueur variable (a, fig. 5).
Si, comme on l’a supposé, la gélatine a été leur unique
aliment, elles sont passablement longues et d’une épaisseur
(Ou,2 à 0',3) environ égale à la moitié de celle des bacilles
du foin, de sorte qu’elles doivent être rangées parmi les espèces
très déliées. Ce dernier caractère ressort encore plus quand
on examine des cultures liquides, par exemple, des cultures
peptonées («, fig 4 a) ; les bâtonnets, alors aussi très raccourcis
et longs seulement de 0(,,3 à 0",6, n’y ont souvent plus que
0 ,15 d’épaisseur. Les mouvements et la forme n’ont d’ailleurs
rien de caractéristique et rappellent, dans les cultures peptonées,
le schème primitif donné par M. Cohn pour le Baderium termo.
Le B. cyaneo-fuscus est une bactérie rigoureusement aérobie;
les bâtonnets mobiles cherchent avec ardeur l’oxygène, ce qui
occasionne souvent des rassemblements autour de bulles d’air
accidentellement incluses dans les préparations microscopiques.
Dans la profondeur des masses de gélatine ou de colle, ils ne
croissent que si l’air peut y pénétrer librement. Vis-à-vis du bleu
d’indigo soluble, ils montrent un pouvoir réducteur bien pro-
noncé, mais pour le démontrer il faut recourir à des cultures qui
sont déjà très riches en bactéries, et dans lesquelles, après l’addi-
tion de la préparation d’indigo, — c’est-à-dire d’une dissolution

234

M. W. BEYERINCK.

bien stérilisée d’indigosulfate de sonde dans l’eau, — l’air ne
peut pénétrer que très lentement. Le bleu d’indigo ordinaire,
insoluble, n’est pas attaqué.

En ce qui concerne les bâtonnets morts, qui absorbent la
matière colorante sécrétée ((?, fig. 4a, /S, fig. 5), je remarquerai
seulement qu’ils se présentent dans toutes les nuances depuis
le brun verdâtre ou jaunâtre jusqu’au brun noirâtre foncé.

Comme masse nourricière nous avons employé, pour les
expériences dont il s’agit ici, une dissolution de 10 % de gé-
latine dans de l’eau de canal. Des dissolutions plus étendues,
par exemple de 4 ou 5 % de gélatine, — dissolutions qui, on
le sait, se prennent encore bien en masse lorsque la gélatine
est de bonne qualité 1 ), — se laissent également employer avec
succès pour les modifications plus actives du B. çyaneo-fuscus,
et donnent des phénomènes tout semblables à ceux décrits
plus haut. C’est là une circonstance très remarquable, car
beaucoup d’autres bactéries, qui ne demandent également que
de la peptone pour leur entretien complet, — et qui par con-
séquent peuvent aussi vivre de gélatine seule, celle-ci étant
peptonisée par un enzyme sécrété, — ne se développent que
très peu dans les conditions indiquées, et exigent pour cela,
en premier lieu, une addition de phosphate. Pour le B. cyaneo-
fuscus, toutefois, une pareille alimentation phosphatée est non
seulement inutile, mais plutôt, quand la dose ajoutée dépasse
J/10 ou Vs °/o (suivant le plus ou moins d’activité des bac-
téries), préjudiciable au développement de l’organisme aussi
bien qu’à la sécrétion du pigment. On peut juger par là com-
bien l’aliment doit être dilué pour que ce bacille pigmentaire
s’en trouve le mieux.

i) La gélatine dont on a extrait les dernières traces des sels au moyen
de l’eau distillée, se prend encore tout juste en gelée quand elle est dis-
soute, dans l’eau distillée, à raison de 2 à 3 °/0. Encore plus étendues, les
solutions ne se solidifient plus et la gélatine se montre, après refroidisse-
ment, en masses gélatineuses incohérentes. Dans l’eau froide la gélatine
est parfaitement insoluble.

LA BIOLOGIE d’üNE BACTÉRIE PIGMENTAIRE

235

Une propriété très remarquable des cultures sur plaques de
gélatine pure, c’est de donner lieu à des accumulations de
carbonate de chaux (*, Fig. 5), tant à l’intérieur de la masse fluide
des colonies que dans l’étendue des zones de diffusion br unes
(dz fig. 1), mais non en dehors de ces dernières. Lorsqu’on
trace une simple ligne d’inoculation à la surface d’une large
et épaisse plaque de gélatine, en sorte que sur une très grande
masse de cette matière il ne se développe qu’un petit nombre
de bactéries, on obtient au bout de quelques mois un si
abondant dépôt de carbonate de chaux, que la gélatine, arrosée
d’acide chlorhydrique, se couvre d’écume et se remplit de bulles
de gaz. Ce carbonate de chaux provient du gypse de l’eau
employée. Quant au composé sulfuré qui doit se former en
même temps, je ne puis rien en dire.

Ce serait ici le lieu de préciser les relations d’affinité de
notre bacille. Mais, étant encore dans une profonde ignorance
au sujet du système naturel des Bactéries, nous ne pouvons
procéder que d’une manière empirique xet devrons, dans le
cas actuel, nous appuyer principalement sur la production du
pigment. Pour cette raison, il sera traité de ce point au
§ suivant.

§ 3.

Le pigment du Bacillus cy aneo -fuscus.
Division des bactéries chromogènes en espèces
chromophores, chromopares et
parachromophores.

Un mot sur la relation des pigments des bactéries chromo-
gènes avec leurs générateurs, et vice versa, ne me semble pas
superflu, vu surtout que, à ma connaissance, personne n’a
encore insisté compréhensiblement sur les cas très différents que
l’on rencontre ici.

On peut distinguer parmi ces bactéries trois groupes prin-
cipaux, qui se laissent peut-être assez convenablement désigner

236

M. W. BEYERINCK.

sous les noms de bactéries chromophores, b. chromopares et b.
paraçhromophores .

Chez les bactéries chromophores , la matière colorante fait
partie intégrante du corps, auquel elle est unie de la même
façon que la matière colorante chlorophyllienne l’est aux
chromatophores des plantes supérieures, ou l’hémoglobine
aux corpuscules du sang. Comme exemple de bactéries chro-
mophores, je citerai les bactéries sulfurées pourpres, décrites
par Ray Lankester, Warming, Cohn, Engelmann et Wino-
gradsky. A ce même groupe appartiennent, en tant qu’elles
me sont connues, les bactéries vertes, rouges, jaunes et brunes
qui ne liquéfient pas la gélatine. Il ne peut y avoir aucun
doute que, chez toutes ces formes chromophores, une signi-
fication biologique déterminée, quoique le plus souvent encore
inconnue, ne doive être attribuée à la matière colorante.

Comme second groupe des bactéries chromogènes j’ai nommé
les b. chromopares, qui pourraient aussi être appelées bactéries
pigmentaires proprement dites. Celles-ci sont caractérisées par
le fait que, initialement, le corps bactérien vivant est toujours
incolore; la matière colorante est séparée comme telle ou
comme matière chromogène incolore, et on ne doit y voir
qu’un produit d’excrétion, sans utilité pour l’organisme. En
accord avec ce fait, les bactéries chromopares se laissent amener
tout aussi bien, ou même plus facilement, à l’état de cultures
incolores qu’à celui de cultures colorées. L’exemple le plus
connu de vraie bactérie pigmentaire est le Bacillus prodigiosus,
dont la matière colorante ne se diffuse pas en dehors des
colonies, mais s’unit à des particules albuminoïdes, formées
peut-être par les bactéries. Il est à remarquer que les B. prodi-
giosus morts ne fixent pas le pigment rouge, tandis que des
cellules mortes de levure de bière diffusée dans les colonies,
ou même dans les cultures liquides du: B. prodigiosus , le font
avec beaucoup d’énergie, en devenant rouge carmin. Notre
Bacillus cyaneo-fuscus appartient également à ce groupe, de
même que les bacilles, plus ou moins alliés au B. cyaneo-fuscus,

LA BIOLOGIE d’üNE BACTÉRIE PIGMENTAIRE

237

du lait bleu ( Bacillus cyanogenus ), du pus bleu (B. pyo-cyaneus)
et des crachats verts (B. virescens). Chez ces quatre dernières
espèces, le pigment est susceptible de diffusion, mais, à cause
d’une transformation chimique (probablement une oxydation
faisant naître un corps difficilement soluble) qu’il éprouve,
cette diffusion ne s’étend pas à grande distance. Ce même
pigment a beaucoup d’affinité pour certaines matières albumi-
noïdes et se fixe avidement sur les bactéries mortes, qui par
là sont colorées en brun foncé ou en noir.

Le troisième groupe des bactéries chromogènes a été appelé
celui des parachromophores. Elles se distinguent en ce que la
matière colorante est, à la vérité, manifestement un produit
d’excrétion, mais qui adhère au corps bactérien, comme chez
les vraies bactéries chromophores, ne diffusant pas au dehors.
A ce groupe se rapportent les Bacillus janthinus et violaceus ,
si abondamment répandus dans le sol et dans l’eau.

La question de savoir si une espèce de bactérie est chromo-
phore ou parachromophore se laisse ordinairement décider déjà
par la circonstance que les vraies chromophores, cultivées dans
les conditions les plus variées, se développent — à moins
qu’il ne naisse des variétés incolores — en colonies colorées,
tandis que chez les fausses chromophores cela n’arrive, pour
ainsi dire, qu’à titre d’exception.

Pour obtenir, par exemple, le Bacillus violaceus en cultures
violettes, on doit le traiter dans des conditions exactement
déterminées, notamment à basse température, et ne lui offrir
pour tout aliment que des matières protéiques, avec très peu
de phosphates; autrement, cette forme se développe comme une
bactérie saprophyte incolore très commune. Les bactéries chromo-
phores aquatiques non liquéfiantes, rouges ou jaunes, restent au
contraire, lorsqu’elles arrivent à se développer, rouges ou jaunes.

Je n’affirmerai certes pas que la division qui vient d’être
établie soit une distribution naturelle, car pour cela je connais
trop peu d’espèces chromogènes; bien plutôt, je suis porté à
croire que dans l’avenir on reconnaîtra chez ces organismes

238

M. W. BEYERINCK.

encore maintes autres différences, plus profondes, qui condui-
ront peut-être à un groupement tout nouveau. Il est certain,
en tout cas, que nos chromophores embrassent beaucoup de
choses hétérogènes, tandis que, d’autre part, les vraies bacté-
ries pigmentaires (à l’exception du Bacillus cyanogenus) ont, non
seulement entre elles, mais aussi avec les parachromophores,
une affinité si grande, que ces deux groupes peuvent sans in-
convénient être réunis en une même famille naturelle.

Ainsi qu’il a été dit précédemment, le Bacillus cyaneo-fuscus
appartient aux chromopares, c’est-à-dire, aux vraies bactéries
pigmentaires. Nous avons déjà vu que cette espèce excrète une
matière colorante brune, diffusible. Si, toutefois, on étudie plus
attentivement cette excrétion, par exemple, en cultivant la
bactérie dans de l’eau de conduite additionnée de | à 2 pour
cent de peptone sèche, on acquiert la conviction que le brun
n’est qu’un stade avancé de la série des changements éprou-
vés par un produit de sécrétion qui, à l’origine, était coloré
tout différemment, ou peut-être incolore. En tout cas, la pre-
mière coloration visible est un beau vert soluble dans l’eau
(fig. 3 a), qui bientôt se présente accompagné d’un bleu d’ou-
tremer (fig. 3 b). Au microscope (fig. 4 a), ce bleu se montre
composé de sphérites solides, microscopiques (/, fig. 4 a), sur
lesquelles nous reviendrons tout à l’heure. Plus tard seulement,
le vert disparaît, pour faire place d’abord au brun (fig. 3 b), puis
au gris (fig. 3 c), et enfin au noir brunâtre foncé (fig. 3 d). Les
sphérites bleues sont beaucoup plus résistantes, mais peuvent
pourtant se changer finalement en corpuscules brun foncé ou
même noirs ( d , fig. 5). Je crois que tous ces changements de
couleur doivent être ramenés à des degrés successifs d’oxyda-
tion d’un seul et même chromogène, bien que, lors de la
réduction de ces produits oxydés, on ne voie apparaître qu’un
corps très légèrement coloré en jaune, sans que les divers
stades de coloration, ci-dessus indiqués, soient parcourus en
ordre rétrogade.

Sous l’influence d’oxydants énergiques, tels que l’acide ni-

LA BIOLOGIE d’üNE BACTERIE PIGMENTAIRE.

239

trique, l’acide chromique et le peroxyde d’hydrogène, la ma-
tière colorante, qu’elle soit diffusible ou bien retenue par les
sphérites, est rapidement et assez complètement décomposée
et décolorée (fig. 3 é). Les corps à action plus faible, l’air entre
autres, déterminent également la décomposition, mais exigent
pour cela un temps beaucoup plus long. Veut-on, par exemple,
décolorer une solution de peptone devenue noire par le déve-
loppement du Bacillus cyaneo-fuscus , on y parvient aisément en
quelques heures au moyen de l’acide nitrique dilué, tandis que
le même effet n’est produit par l’air, et encore moins com-
plètement, qu’au bout de plusieurs semaines

Les belles sphérites bleues possèdent des propriétés très in-
téressantes. On les obtient le mieux de la manière suivante.
Une solution de 1 à 3 % de peptone dans de l’eau de conduite,
après avoir été bien stérilisée par une ébullition trois fois
répétée, est ensemencée de B. cyaneo-fuscus , puis abandonnée
à elle-même, à une température plus basse que 10° C. Au bout
de quatre ou cinq jours, la couleur jaune pâle de la solution
de peptone se change en une couleur verte, qui est surtout
intense à la surface, où l’air a librement accès. Très peu de
temps après, commence la formation des sphérites, dont la
matière colorante est évidemment un produit d’oxydation, car
elle ne se montre que dans la pellicule bactérienne qui surnage le
liquide, ainsi que dans un anneau touchant, à un niveau un peu
inférieur, la paroi du vase de verre, là où se trouve le ménisque
du liquide. Ce dernier phénomène est très caractéristique, vu que
la couleur de l’anneau est d’un beau bleu, à reflet d’or comme chez
l’indigo sec, et peut naturellement, quand on secoue le vase, être
observée directement. L’anneau persiste d’ailleurs longtemps et
se laisse encore reconnaître dans des cultures déjà assez âgées.
Finalement, le changement général de la couleur du liquide,
qui conduit d’abord au noir, puis au brun clair, atteint aussi
l’anneau. Les sphérites sont plus ou moins solubles dans les
acides forts, d’autant plus facilement que leur bleu est plus
pur, d’autant plus incomplètement qu’elles sont de couleur

240

M. W. BEYERINCK.

pins noirâtre. L’acide sulfurique surtout est un bon dissolvant ;
il donne avec les sphérites une dissolution bleue, qui bientôt
devient violette et finalement se décolore. Souvent on voit,
pendant l’acte de la dissolution, se former d’abord des aiguilles
de gypse et ensuite, à ce qu’il semble, des prismes de tyrosine.
Le gypse provient du carbonate de chaux qui se trouve dans
le liquide de culture et qui paraît s’accumuler dans les sphérites.
Quant à l’origine des cristaux que je viens de désigner comme
prismes de tyrosine, elle reste douteuse. En tout cas, cette
substance ne forme pas la base proprement dite des sphérites,
car alors celles-ci ne seraient pas solubles dans l’acide sul-
furique.

Comment faut il donc se représenter la nature des sphérites ?

Je crois avoir trouvé la réponse à cette question dans
l’expérience suivante.

Les agents réducteurs énergiques, en particulier l’hydrosulfite
de soude, Na HSO2 , découvert par M. Schützenberger et
recommandé par lui pour le titrage de l’oxygène 1 ), décolorent
complètement les sphérites. Si l’action se passe sous le couvre-
objet, il est facile d’obtenir des corpuscules entièrement déco-
lorés, qui correspondent aux sphérites. Donne-t-on alors accès
à l’air, le liquide devient d’un beau bleu d’outremer, tandis
que les sphérites peuvent rester incolores. Pour cette expé-
rience, l’hydrosulfite doit être presque neutre, n’avoir qu’une
réaction acide très faible; autrement, les squelettes incolores
des sphérites se dissolvent complètement. On constate d’ailleurs
aussi une différence de solubilité suivant que les sphérites ont
pris naissance dans des solutions de peptone ou dans des
liquides contenant d’autres corps protéiques. Notre expérience
conduit à conclure que la question ci-dessus posée doit recevoir

i) Schützenberger, Les fermentations , 4e éd. p. 92, Paris, 1884. Ce corps
s’obtient en dissolvant du zinc dans le bisulfite de soude et ajoutant à

la dissolution étendue du lait de chaux, jusqu’à sursaturation. La soustrac-
tion d’oxygène a lieu par suite de la transformation de l’hydrosulfite en

bisulfite, suivant l’équation Na HSO 2 + O = Na HSO 3.

LA BIOLOGIE ü’uNE BACTERIE PIGMENTAIRE.

241

la réponse suivante: Les sphérites sont des sphérocristaux
d’une matière colorante bleue; les aiguilles cristallines du
sphérocristal ont pour support un squelette constitué par un
corps protéique.

En étudiant la formation des sphérites au microscope, on
trouve qu’elle est analogue mais pas identique à celle des corpus-
cules chromatiques irréguliers dans les colonies du Bacillus
prodigiosus (voyez plus haut), c’est-à-dire, qu’elle a lieu dans
notre cas par l’accumulation de la matière colorante dans
les corps de bactéries en voie de dépérissement, corps qui
gonflent alors fortement et peuvent prendre les formes les plus
bizarres. Le corps protéique qui sert de base à ces sphérites,
qui en constitue pour ainsi dire la charpente primitive, est
donc le protoplasma bactérien lui-même. Cela étant, il n’y a
pas lieu de s’étonner que d’autres corpuscules protéiques, pré-
sents dans les cultures, puissent également, s’ils possèdent de
l’affinité pour la matière colorante, se changer en sphérites.
Il est à remarquer que les sphérites de l’hémialbumine, qui se
déposent de solutions peptoniques étendues, ne se colorent pas.

L’affinité des sphérites pour le carbonate de chaux remet
en mémoire les remarquables calcosphérites découvertes par
Harting !), qui consistent en un squelette d’un corps protéique,
— appelé par lui, suivant les cas, calcoglobuline ou calcofi-
brine, — dans lequel les aiguilles calcaires microscopiques,
réunies en globules, sont disposées radialement. Pour accroître
encore l’analogie, je rappellerai que Harting a pu imbiber ses
calcosphérites de matières colorantes de la bile et leur com-
muniquer ainsi une coloration intense * 2). Ces matières colo-
rantes n’étaient toutefois pas accumulées dans les sphérites,
comme c’est le cas ici, à l’état cristallisé, mais à l’état amorphe.

Nous avons vu plus haut que les sphérites du B. cyaneo-fuscus

1) Recherches de morphologie synthétique sur la production artificielle
de quelques formations calcaires organiques , Amsterdam, 1872.

2) l.c., p. 33.

242

M. W. BEYERINCK.

se dissolvent complètement dans les acides et les alcalis ; leur
base bactérienne, à laquelle on aurait supposé une plus grande
faculté de résistance, analogue à celle du protoplasma bactérien
en général, a donc subi une modification chimique.

La matière colorante bleue rappelle à plusieurs égards le bleu
d’indigo. D’abord, à l’égard de l’oxydation par l’acide nitrique,
pendant laquelle se produisent les mêmes nuances de couleur,
aboutissant finalement au brun jaunâtre. Ensuite, quant à
l’action, ci-dessus décrite, de l’acide sulfurique concentré et des
alcalis forts. Dans l’éther, l’alcool, la benzine, l’essence de
pétrole, l’alcool amylique, le sulfure de carbone, le chloroforme
froid ou bouillant, notre matière colorante se laisse tout aussi
peu dissoudre que le bleu d’indigo. Mais l’analogie principale
réside certainement dans la manière de se comporter vis-à-vis
des agents réducteurs, et sous ce rapport je citerai encore une
expérience très simple, qui se rattache étroitement à l’obser-
vation microscopique dont il a été question plus haut.

Lorsque le B . cyaneo-fuscus est cultivé dans de l’eau de conduite
additionnée de 2 ou 3 % de peptone, il se forme à la surface du
liquide une pellicule bactérienne très mince, mais pourtant assez
consistante, d’une belle couleur bleue. Au microscope on y trouve,
comme il est dit, disséminées entre les bâtonnets étroitement
rapprochés, des sphérites bleues de toutes les grosseurs.

Si une pareille pellicule bleue (fig. 4 b) est enlevée du
liquide à l’aide d’un fil de platine, puis introduite dans une
éprouvette remplie de dissolution d’hydrosulfite de soude,
la couleur du petit flocon ne tarde pas à se changer, par
suite de la réduction, en brun sale, et la cohérence des bac-
téries est diminuée par l’alcalinité du liquide. Ce flocon relâché
est-il alors retiré avec précaution de l’éprouvette, — et cela
dès que la décoloration paraît accomplie, — puis transporté
dans une goutte d’eau sur une assiette de faïence blanche,
on voit la matière colorante, réduite et dissoute dans le flocon,
redevenir d’un bleu intense sous l’action de l’oxygène contenu
dans la goutte d’eau, exactement comme le ferait le blanc

LA BIOLOGIE D’UNE BACTERIE PIGMENTAIRE.

243

d’indigo. En regardant ce liquide bleu au microscope, on
reconnaît que le corps colorant ne s’y trouve pas dissous,
mais suspendu en particules très ténues (peut-être globuleuses).

Bien entendu, je sais parfaitement que ces données ne
suffisent pas pour l’identification positive de notre matière
colorante avec le bleu d’indigo; de nouvelles recherches, qui
maintenant ne présenteront plus de difficultés particulières,
devront trancher la question.

Avant d’abandonner ce sujet, je dois encore faire remarquer
que, dans celui des stades initiaux d’une culture (fig. 3a) qui
est caractérisé par la couleur vert de vessie, on ne peut observer
nettement aucun phénomène de réduction au sein du liquide,
bien que près de la surface la couleur soit un peu plus foncée
que ]à où l’air ne trouve pas un libre accès. En tout cas, les
bacilles ne possèdent donc pas un pouvoir réducteur appré-
ciable à l’égard de leur propre matière colorante. On peut
se demander comment ils se comportent sous ce rapport vis-
à-vis du bleu d’indigo soluble, et aussi, inversement, si d’autres
bactéries, qui réduisent énergiquement le bleu d’indigo, sont
capables de décolorer les cultures de B. cyaneo-fuscus.

La première de ces questions doit être résolue en ce sens que
des cultures vigoureuses de notre bactérie réduisent le bleu d’in-
digo ' ) ; cela, toutefois, demande beaucoup de temps, et exige
donc l’usage de vases où l’air ne puisse pénétrer que très lente-
ment, par exemple, de ballons à col étroit.

Le. B. cyaneo-fuscus ne réduit pas, au contraire, son propre
pigment bleu-noirâtre, car on voit celui-ci, dans l’expérience
avec le bleu d’indigo soluble, communiquer peu à peu, à partir
de la surface, la coloration foncée originale à la dissolution qui
contient du blanc d’indigo. Il serait inconsidéré, toutefois, d’en
conclure que notre bactérie est absolument incapable de réduire

i) Je ne connais encore aucune bactérie, liquéfiant la gélatine, qui ne
réduise pas le bleu d’indigo soluble. Par contre, je puis citer plusieurs
formes non liquéfiantes auxquelles ce pouvoir fait défaut, par exemple, le
B. radicicola.

Archives Néerlandaises, T. XXV.

17

244

M. W. BEYERTNCtf.

son propre pigment. En effet, les sphérites bleues fussent-elles
réellement composées principalement de bleu d’indigo *), il n’}r
aurait pas encore lieu de s’étonner qu’un pareil corps coloré
solide, précisément à cause de sa solidité ne pouvant pas se
diffuser dans 1a. bactérie, ce qui semble pourtant nécessaire
pour la réduction, reste inaltéré.

• La seconde question, à savoir, si d’autres bactéries que
j’ai soumises à cette expérience sont en état de réduire les
pigments du B. cyaneo-fuscus, doit être résolue par la négative.
Cela s’applique, notamment, aux ferments lactiques du fromage
d’Edam, lesquels exercent une forte action réductrice sur le
bleu d’indigo. On comprend ainsi pourquoi les taches foncées
du fromage, qui sont dues à une infection par le B. cyaneo-
fuscus , conservent invariablement leur couleur, bien qu’elles
regorgent ordinairement de bâtonnets du ferment lactique.
Au § 9 nous reviendrons d’ailleurs sur la matière colorante
des taches bleues du fromage, quoique je n’aie pas grand’
chose à ajouter en fait de détails vraiment nouveaux.

§ 4.

Nutrition du Bacillus cy aneo-fuscus.

Notre bacille pigmentaire se range, sous le rapport des
matières nutritives reconnues nécessaires, parmi les organismes
à peptone, c’est-à-dire que, pour aliment plastique complet,
suffisant au développement de tous les phénomènes biologiques,
il ne demande, en dehors des sels, qu’un corps albuminoïde.
Comme tel, on peut prendre la peptone sèche, la gélatine, le
blanc d’œuf, la fibrine, le gluten, la caséine, et probablement
toute une série d’autres corps protéiques.

Dès que ce point eut été fixé, j’exécutai les expériences
suivantes.

i) Actuellement, je suis convaincu que le corps pigmentaire des sphé-
rites de couleur bleu pur est bien réellement du bleu d’indigo, ou une
matière très voisine; dans les sphérites colorées en d’autres nuances je
soupçonne, comme dans les cultures liquides de couleur analogue, des
produits de l’oxydation de l’indigotine.

LA. BIOLOGIE d’uNE BACTERIE PIGMENTAIRE. 245

Un œuf cuit dur fut soigneusement dépouillé de sa coque,
flambé à un bec de Bunsen, puis placé dans une boîte de
verre bien propre. Il fut alors inoculé en différents points de
la surface avec une culture de B. cyaneo-fuscus et abandonné
à lui-même, à une température de 6 à 10° C. Au bout de trois
jours, un développement se laissait déjà constater, et après
trois semaines il s’était formé des taches noires larges d’un
centimètre, qui continuèrent à s’étendre pendant plusieurs mois,
jusqu’à ce qu’enfin la la surface entière de l’œuf fut couverte
d’une couche noire de bactéries. Une semblable préparation,
parvenue au stade moyen, se voit représentée dans la fig. 2.
Les bactéries ne donnent lieu, évidemment par suite de la
richesse en peptone du blanc d’œuf peptonisé, qu’à une liqué-
faction insignifiante ; néanmoins, le centre de chaque tache est
excavé et rempli de matière demi-liquide. Au microscope (fig. 6),
on reconnaît que les bactéries des taches sont assemblées en
pellicules, d’où il résulte que des masses grises cohérentes de-
viennent visibles dans les préparations. La figure est très in-
téressante encore sous d’autres rapports. On y distingue des
bactéries vivantes, incolores, en forme de bâtonnets ou de
fuseaux; des corps bactériens morts, bruns, qui ont accumulé
la matière colorante brune; des corpuscules noirs, souvent à
faces planes, provenus soit de bactéries mortes, soit d’autres
particules dans lesquelles s’est déposée la matière colorante;
enfin, quelques sphérocristaux de pigment, colorés eu bleu
d’outremer. Le blanc d’œuf, à l’état cuit, constitue une ex-
cellente masse nourricière.

Cette dernière remarque s’applique aussi à la caséine. Celle que
j’employai était d’un blanc de neige et avait été purifiée au moyen
de dissolutions répétées dans le carbonate de soude, suivies de
précipitations par l’acide acétique, et au moyen de l’éther. De cette
préparation, je fis simplement bouillir 1 à 2 % dans de l’eau de
conduite, jusqu’à stérilisation assurée. J’infectai alors avec le
B. cyaneo-fuscus et abandonnai le liquide trouble à une tempéra-
ture de 6 à 10° C. Au bout de quelques jours déjà, la dissolution

17*

246

M. W. BEYERINCK.

de la caséine commença à devenir manifeste, et en même temps
commencèrent les changements de couleur. Le vert et le bleu
purent à peine être observés, si rapide fut la prééminence
acquise par le brun et le noir. Les spbérites étaient identiques
a celles qu’on trouve dans les taches du fromage, c’est-à-dire
qu’elles n’étaient pas de couleur indigo, mais noirâtres.

Avec la caséine j’ai encore exécuté une autre expérience.
Du lait frais ayant été coagulé par la présure, la masse casé-
euse obtenue, soit préalablement salée, soit non salée, fut
infectée, tant à la surface qu’à l’intérieur, avec le B. cyaneo •
fuscus.

Le développement ne fut pas aussi vigoureux qu’il l’avait
été dans l’expérience précédente; au bout d’une couple de
semaines seulement, on put voir de petites taches bleu-noirâtre,
remplies de corpuscules pigmentaires foncés, comme le montre
la fig. 7. A l’intérieur aussi, le processus était reconnaissable ;
mais dès que les bactéries étrangères, que je n’avais pas élimi-
nées, eurent déterminé la putréfaction de la masse caséeuse,
le développement du B. cyaneo-fuscus et la formation du
pigment cessèrent entièrement.

Des expériences analogues à celles qui viennent d’être dé-
crites ont été faites avec du gluten de froment et ont donné
les mêmes résultats. Il va sans dire que la vessie des animaux,
leur chair et autres matières de ce genre se prêtent également,
après lavage et purification, aux expériences sur le B. cyaneo-
fuscus. Quant au tissu corné et aux fibres élastiques, la question
de savoir s’ils peuvent être décomposés par notre bactérie et
servir à sa nutrition, n’est pas encore résolue.

Avec l’asparagine seule, je n’ai pu observer aucun développe-
ment. Celui-ci est au contraire possible quand, outre l’aspara-
gine, on donne de la glucose; on obtient alors une culture
dont la couleur est d’abord le vert de vessie, puis le brun
jaunâtre, mais cette culture renferme très peu de spbérites,
et celles-ci sont colorées en vert, non en bleu. Dans ces con-
ditions, le développement est lent et difficile; évidemment,

LA BIOLOGIE I)’UNE BACTERIE PIGMENTAIRE.

247

les peptones, ou les corps protéiques liquéfiés par le bacille,
surpassent de beaucoup en pouvoir nutritif ') l’asparagine
mêlée de sucre.

Le sucre, additionné de sels ammoniacaux ou de nitrates,
a été trouvé impropre à la nutrition.

Il en est de même du tartrate et du malate d’ammoniaque.
Ces deux substances furent essayées parce qu’elles constituent
un excellent aliment pour le Bacillus cyanogenus du lait bleu * 2).

De tous ces résultats, le plus important est sans contredit
celui d’après lequel les peptones, ou les corps protéiques liqué-
fiés par l’enzyme protéolytique de la bactérie, suffisent à sa
nutrition complète.

Au reste, le B. cyaneo-fuscus n’est pas seul sous ce rapport ;
je connais toute une série de bactéries douées de la même
aptitude. Citons, par exemple, le Bacillus prodigiosus, les ba-
cilles lumineux à peptone (Photobaderium, indicum et Ph. lumi-
nosum), les bacilles du choléra et différentes bactéries saprophy-
tes, parmi lesquelles les espèces de Proteus.

Le fait est surtout remarquable en ce qu’il nous indique,
pour l’acide carbonique de la respiration, une origine toute
différente de l’origine ordinaire. Si l’on se reporte, en effet,
au schème universellement admis du chimisme de la respiration,
— d’après lequel l’acide carbonique dissocié de la matière
vivante est incessamment remplacé par la fixation d’un hydrate
de carbone, avec le concours de l’oxygène libre en cas d’aéro-
biose, sans cette intervention en cas d’anaérobiose, — il est
évident que, chez les organismes à peptone, nous nous trou-
vons à cet égard en présence d’une source d’énergie non
reconnue comme telle jusqu’ici. Cette conclusion, facile à

1) Par pouvoir nutritif j’entends le rapport entre le poids de l’aliment
plastique offert et le poids de la substance vivante formée, les conditions
étant d’ailleurs égales et l’activité végétative identique.

2) Je ne saurais ranger le Bacillus cyanogenus parmi les microbes à
peptone, vu que cette espèce, bien que pouvant se développer aux dépens
de la peptone seule, est alors incapable, sans accompagnement d’autres
corps, d’engendrer de la matière colorante.

248

M. W. BEYERINCK.

contrôler, vu que les matériaux nécessaires abondent clans tous
les laboratoires, ne sera pas contestée, je pense, et il me
semble que nous devons y reconnaître un élargissement très
notable de nos idées sur les phénomènes biologiques en général.

La première question qui s’impose, à ce nouveau point de
vue, est celle du produit secondaire auquel doit donner nais-
sance la nutrition purement peptonique. Cette question est
double, la peptone fonctionnant à la fois comme aliment plas-
tique et comme aliment respiratoire. En ce qui concerne la
nutrition plastique, une simple addition de la peptone au
protoplasme, au besoin avec polymérisation ou déplacement
d’atomes, pourrait probablement être admise lors de la for-
mation de la substance vivante nouvelle.

Les produits secondaires mis en liberté avec la génération
de la force nécessaire à cet effet, donc avec la respiration,
- laquelle force doit être fournie par la décomposition d’une
autre portion de la peptone, — c’est-à-dire, les substances excré-
toires qui naissent à côté de l’acide carbonique par l’absorption de
l’oxygène respiratoire, pourraient différer suivant les conditions
expérimentales. A des températures plus ou moins élevées, et
aussi dans d’autres circonstances défavorables, il se forme
toujours, comme produit final, de l’ammoniaque, qui dans les
cultures se présente très souvent à l’état de phosphate am-
moniaco-magnésien. '). En cas de conditions nutritives plus
favorables, par exemple si les sels, les acides, les alcalis et
autres corps non assimilables se trouvent dans les proportions
les plus avantageuses et surtout si les conditions thermiques
sont le mieux appropriées à la vie, il pourrait au contraire

>) Cette substance n’est nullement propre aux microbes à peptone; elle
se trouve aussi comme produit d’excrétion chez des organismes dont le
schème de nutrition est tout différent, par exemple, chez les bactéries à
peptone et carbone, qui, outre la peptone, exigent encore quelque matière
carbonée particulière, telle que le sucre, la glycérine, etc. A ce groupe
appartiennent, entre autres, la bactérie lumineuse ordinaire (Photobcicterium
phosphorescens).

LA BIOLOGIE D’UNE BACTERIE PIGMENTAIRE.

249

se former, aux dépens de la peptone, des produits de dédou-
blement moins avancés. Tout au moins, l’obtention de pro-
duits de décomposition cristallins est alors beaucoup moins
facile que dans le cas précédent. Peut-être cela tient-il en
partie à l’enzyme albuminique sécrété par les bactéries à
peptone, enzyme qui, surtout à des températures un peu
élevées, agit très énergiquement et décompose même la pep-
tone en leucine et en tyrosine.

Une autre question qui, au point de vue de la nutrition
exclusivement peptonique, paraît avoir de l’importance, est
celle de la possibilité ou de l’impossibilité de l’anaérobiose
dans cette forme d’échanges nutritifs. A cet égard, malheu-
reusement, il n’y a pas grand ’chose à dire jusqu’ici. Je ne
saurais encore décider si, dans le règne des microbes, un
développement anaérobie peut à un degré quelconque avoir lieu,
lorsqu’on leur offre seulement de la peptone ou des corps
albumineux susceptibles de protéolyse 1 ) ; certains processus
de putréfaction semblent, il est vrai, l’indiquer, mais ces pro-
cessus n’ont pas encore été suffisamment étudiés 2). Chez le
Bacillus cyaneo-fuscus , qui est strictement aérobie, il ne saurait
naturellement être question d’un pareil phénomène. Mais le
développement n’est qu’une des nombreuses fonctions vitales
d’un organisme, et lors même que ce développement exige la
présence d’oxygène libre, il ne s’ensuit nullement qu’il doive
en être de même pour d’autres fonctions3); c’est ce que nous
apprend d’ailleurs le fait de la réduction, par beaucoup de

1) Les anaérobies qui me sont connus d’un peu près demandent, comme
sources de carbone et d’azote, deux corps différents.

2) Note postérieure. Le Bacillus putrefaciens coli peut se multiplier,
fonctionner et produire des spores à l’abri des derniers traces d’oxygène
libre, dans une solution qui ne contient que de la peptone.

3) Une réserve d’oxygène, c’est-à-dire une provision d’oxygène fixé, préci-
pité en quelque sorte sur le protoplasme, est indispensable à tous lesaérobies,
pour toutes les fonctions vitales; mais l’existence ne s’en laisse démontrer
que par des expériences sur le développement. A l’observation directe,
cet oxygène fixé sur la matière vivante reste jusqu’à présent inaccessible.

250

M. W BEYEKINCK.

schizomycètes aérobies, du bleu d’indigo en blanc d’indigo, —
réduction que nous avons trouvée aussi, à un faible degré,
chez le B. cyaneo-fuscus, — ou du salpêtre en nitrite, réduction qui
naturellement doit avoir lieu sans l’intervention de l’oxygène.
D’autres bactéries à peptone peuvent également fonctionner,
sans développement il est vrai, en l’absence d’oxygène libre,
comme je pourrais le prouver par plusieurs exemples.

§ 5.

Sur l’affaiblissement de la force végétative
chez le Bacillus cy aneo-f uscus.

Mon intérêt particulier pour la biologie du B. cyaneo-fuscus
a été éveillé par la circonstance que cette bactérie pigmentaire
m’a appris à connaître, avec une netteté extrême, certains
phénomènes provoqués par des influences de température, fort
analogues à ceux que plusieurs observateurs ont décrits en
détail pour les microbes pathogènes et que moi-même j’avais
retrouvés, plus ou moins distinctement, chez maints autres
saprophytes. Ces phénomènes ont rapport à la perte de ca-
ractères, surtout à l’affaiblissement de la force végétative et
aussi, dans une moindre mesure, à la disparition de la faculté
de produire du pigment et même de former de l’enzyme.

Ces trois phénomènes sont, chez notre bactérie, dans une
certaine corrélation, qui toutefois ne peut pas être regardée
comme fondamentale, par la simple raison déjà qu’on n’en
trouve pas trace chez des formes voisines, qui dans des con-
ditions déterminées montrent également des pertes de caractères.

Le point essentiel, dans ces phénomènes, a déjà été maintes
fois mis en lumière; pourtant, on verra dans les lignes
suivantes que les changements observés par moi renferment
assez de neuf pour que l’exposition n’en paraisse pas superflue ;
je crois même, en traitant de l’action prolongée des températures
optima sur la végétation, toucher à un sujet d’intérêt général.

Après ces préliminaires, considérons de plus près le phé-
nomène lui-même.

LA BIOLOGIE d’üNE BACTERIE PIGMENTAIRE.

251

Lorsque, en juin 1890, la température de mon laboratoire
oscillant autour de 15° C., j’entrepris l’étude d’une culture de
B. cyaneo-fuscus qui venait d’être isolée de l’eau de conduite,
les ensemencements sur de l’eau de canal solidifiée par 10 %
de gélatine se montrèrent très actifs. Pour obtenir des colo-
nies de germes isolés, je procédai comme d’habitude : une
trace de la matière d’ensemencement fut agitée dans un petit
matras avec de l’eau stérilisée, puis cette eau fut versée sur
une épaisse couche de gélatine figée dans une boîte de verre,
après quoi on la laissa rapidement s’écouler, de sorte que çà
et là seulement des germes isolés restaient adhérents à la surface
de la gélatine. Les colonies de notre bactérie commencèrent
à se développer au bout de trois ou quatre jours et continu-
èrent ensuite à s’étendre lentement, en liquéfiant le terrain de
culture. Dans la cage vitrée où se trouvaient les cultures, on
eut soin de ne jamais laisser s’élever la température au-dessus
de 22° C; le plus souvent elle restait au-dessous de 17° C. 1 ).

Après avoir pratiqué avec ces colonies, dans les condi-
tions indiquées, plusieurs réinoculations régulières, donnant
lieu à un développement vigoureux, je remarquai, au com-
mencement de septembre, en faisant la huitième culture,
qu’il n’était plus possible d’obtenir la croissance sur gélatine.
A la vérité, les cinquième, sixième et septième ensemencements
avaient aussi déjà présenté, dans le retard et l’irrégularité de
la croissance, des phénomènes d’affaiblissement, mais je n’en
compris clairement le sens que lorsque, à la huitième répéti-
tion, rien ne se développa plus.

La première question qui se posait, était de savoir si la
culture servant à l’ensemencement avait dépéri par l’une ou
l’autre cause Pour résoudre cette question, de larges lignes
d’inoculation furent tracées sur des plaques de gélatine, puis,
au bout de plusieurs jours, examinées attentivement à la
loupe. Cet examen y révéla non seulement une légère liqué-

1 ) Cette cage se trouve dans une partie de mon laboratoire où il arrive
seulement de la lumière diffuse très faible.

252

M. W. BEYEKINCK.

faction du terrain de culture, mais aussi l'existence de très
petites colonies incolores, dont bientôt, toutefois, la croissance
s’arrêta complètement, et pour toujours.

D’une manière différente, et plus définitive, je réussis pourtant
à mettre en évidence que la mort n’était pour rien dans le
phénomène. En effet, lorsque les bactéries qui avaient cessé
de pouvoir se développer sur la masse formée de 10% de
gélatine et d’eau de canal furent portées dans des solutions
de % de peptone sèche dans de l’eau de conduite, les
phénomènes ordinaires se reproduisirent, de telle sorte que
c’est à peine si quelque indice d’affaiblissement se laissait
remarquer. Le liquide devint d’abord d’un beau vert, ensuite
il se forma contre le verre un anneau méniscoïde bleu, et
finalement le tout se colora en brun assez foncé; seulement,
cette couleur finale n’atteignit pas la profondeur d’intensité
qu’elle avait dans les cultures primitives, non affaiblies.

Avec cette culture peptonique furent maintenant pratiqués
de nouveaux ensemencements sur gélatine, mais ceux-ci ne
donnèrent aucune trace de développement, preuve que l’affai-
blissement était héréditaire.

Lorsque, au contraire, une gouttelette de cette même culture
peptonique fut introduite, à l’aide d’un fil de platine, dans
une nouvelle solution de \°/Q de peptone dans de l’eau de
conduite, tout redevint, en apparence, normal; la croissance
et la formation du pigment semblaient aussi intenses que
dans la culture précédente. Les autres conditions culturales
avaient été maintenues, autant que possible, identiques; la
température, en particulier, n’avait jamais dépassé 22° C.

De nouveaux ensemencements eurent ensuite lieu à de
courts intervalles, chaque fois avec la culture faite en dernier
lieu. En quatre semaines de temps furent ainsi obtenues six
cultures peptoniques, qui devaient évidemment embrasser une
longue série de générations. Quand, au commencement d’oc-
tobre, je pratiquai le septième ensemencement, je soupçonnai
qu’il en résulterait quelque chose de nouveau, tellement le

LA BIOLOGIE D’UNE BACTERIE PIGMENTAIRE 253

sixième ensemencement avait tardé à se développer normale-
ment. Cette présomption était fondée: il se produisit, à la
vérité, une végétation bactérienne très caractéristique, jaune
orangé, grossièrement granuleuse, mais celle-ci était extrême-
ment pauvre en substance, et, ensemencée à son tour, se montra
incapable de développement ultérieur. La série de ces essais
se trouva ainsi close.

Comme mes expériences sur plusieurs autres bactéries
m’avaient préparé à ce résultat, et que je savais qu’en certains
cas une basse température prévient les difficultés culturales,
j’avais, dès le mois de juin, établi quelques cultures dans la
cave du laboratoire, à une température presque constante de
10° C, qui ne descendit au-dessous de ce point qu’au mois
d’octobre. C’étaient aussi des cultures de B. cyaneo-f uscus dans
des solutions à \ % de peptone sèche.

Aussitôt qu’eut été obtenu le résultat d’affaiblissement
ci-dessus mentionné, j’opérai, au commencement d’octobre,
un ensemencement sur gélatine avec une des cultures établies
dans la cave, culture qui datait du 10 juin. Au bout de
trois ou quatre jours on put observer les premières traces de
développement, et après dix autres jours j’étais de nouveau
en possession d’une belle et très vigoureuse culture en colonies,
sur eau de canal avec 10% de gélatine. Il ressortait en tout
cas de là, sans la moindre ambiguïté, qu’un processus de
dépérissement spontané ne pouvait être la cause de l’affaiblis-
sement dont il s’agit. Mais dans la cave, à la basse température
qui y régnait, et en l’absence de réinoculations, la division
cellulaire avait été extraordinairement retardée. Comment se
comporterait, à cette température, une lignée continuellement
inoculée à nouveau et embrassant par conséquent aussi une
longue suite de générations?

Pour résoudre cette question, des cultures pures avaient été
commencées dans la cave tout au début du mois d’octobre et
furent continuées dans le laboratoire aussitôt que les froids de
l’hiver se firent sentir; les boîtes de verre y étaient placées

254

M. W. BEYERINCK.

sur une table de pierre, dont la température resta, en décembre,
à environ 5° C. Dans ces conditions, la végétation était ralentie,
mais pourtant très florissante. Pour donner la première im-
pulsion au développement, les plaques de gélatine étaient, à
chaque nouvelle inoculation, tenues pendant deux ou trois
jours à une température de 12 à 15° C, puis portées sur la
table de pierre dès que les colonies devenaient visibles. Après
une douzaine d’inoculations successives, ainsi conduites, la
croissance n’avait subi aucune atteinte, et des ensemencements
de ces différentes générations, dans des solutions de peptone,
s’y développaient normalement et leur communiquaient d’abord
la couleur verte, puis la couleur noire. Par inoculation en
retour, de ces solutions sur la gélatine, on obtint aussi, jusqu’à
la fin, des colonies ordinaires.

Dans le cas décrit plus haut, une influence thermique pou-
vait donc seule être la cause de l’affaiblissement.

Bien que ce résultat s’accorde en général avec ce que l'ex-
périence a appris des bactéries pathogènes, dont les formes
mitigées naissent de la matière virulente par l’influence d’une
élévation de température, on ne saurait méconnaître que, sous
un rapport important, les phénomènes décrits pour le Bacillus
cyaneo-fuscus étendent la notion déjà acquise. Tandis que jus-
qu’ici la chaleur n’avait été appliquée, pour ainsi dire, que
comme agent de laboratoire, on reste, avec mes expériences,
dans les limites climatologiques d’un été ordinaire. Ainsi M.
Pasteur *), en 1880, et M. Chauveau * 2), en 1883, ont obtenu
le bacille du charbon à l’état atténué en le cultivant à des tempé-
ratures artificiellement élevées. M. Chauveau, ayant ensemencé
du bouillon avec du sang de rate, laissa le développement s’opérer
d’abord tout un jour à 42° C, puis chaulfa la culture pendant
une heure à 47° C, ce qui donna un premier degré d’atténu-
ation. En continuant à appliquer cette même chaleur de 47° C,

») Comptes rendus , T. 91, p. 673.

2) Ibid ., T. 96, p. 615.

LA BIOLOGIE d’üNE BACTERIE PIGMENTAIRE.

' 255

il obtint au bout de deux heures un second degré d’atténuation,
et au bout de trois heures une forme complètement privée de
virulence D’après M. Chauveau, cette propriété était héréditaire.

M. Pasteur 1 ) a également employé cette méthode pour
obtenir le vaccin du charbon, et MM. Koch, GafFky et Loffler 2 )
ont constaté, de leur côté, les faits en question.

Chez moi, au contraire la température active de l’affai-
blissement n’avait pas, nous l’avons vu, dépassé 22° C.

Il existe, toutefois, encore une autre série de recherches,
qui se rapproche plus de la mienne et que je rapporterai
succinctement. Ce sont les observations de M. Schottelius sur
la perte de l’aptitude à former du pigment chez le Bacillus
prodigiosus, la bactérie universellement connue du „pain
saignant”. De cette bactérie, qui suivant M. Schottelius végète
le mieux aux températures comprises entre 15 et 25° C, il
obtint, simplement par la culture sur des tranches de pomme
de terre, à 41° C, des modifications blanches, héréditaires.
Quant à la température exigée, il remarque ce qui suit 3):
„Au sujet de tous ces changements produits par la chaleur,
il faut retenir que la durée de l’action et le degré de la tem-
pérature sont dans une corrélation telle, que l’effet déterminé
par une exposition plus courte à une température supérieure
est également obtenu par un séjour plus long à une tempé-
rature inférieure.”

Moi-même j’ai décrit des changements analogues, observés
chez les bactéries lumineuses à peptone 4).

Je ne puis quitter ce sujet, sans dire encore un mot delà
manière dont on doit se représenter l’action de la chaleur
dans les cas en question. '

1) Ibid., T. 92, p. 430; 1881.

2) Mitth. Gesundheitsamt, T. 2, p. 150, 1884.

3) Biologische Untersuchungen über den Micrococcus prodigiosus,
Festschrift fur Kôlliker , 1887, p. 12.

4) Sur V aliment photogène et V aliment plastique des bactéries lumi-
neuses, dans Arch. néerl., T. 24, p 369.

256

M. W. BEYERINCK.

Rappelons d’abord qu'il existe plusieurs méthodes d’après
lesquelles peuvent être produites des cultures atténuées ,).
La première et, à ce que je crois, la plus importante décou-
verte dans cette direction est due à M. Pasteur i 2 ), qui trouva
que des cultures du bacille du choléra des poules avaient, an
bout de 9 à 10 mois, perdu leur virulence et ne pouvaient
plus donner lieu, chez les animaux inoculés, qu’à des symp-
tômes locaux. Plus tard on a reconnu, pour toute une série de
bactéries, que les vieilles cultures sont en partie dépouillées
de leurs propriétés, pathogènes ou autres, c’est-à-dire que, si
l’on en forme par ensemencement des colonies séparées, on
obtient des formes différentes, se distinguant entre elles par
la circonstance que les caractères spécifiques ne sont plus com-
plets chez toutes. C’est ainsi que quelques-unes ou la totalité
des colonies des bacilles du choléra, de l’érvsipèle, du typhus,
de la morve perdent peu à peu leur virulence; celles du
Photobacterium phosphorescens perdent leur pouvoir lumineux ;
celles des bactéries butyriques du lactate de chaux, leur pou-
voir de ferment. Ce qui donne à ces faits un intérêt spécial,
c’est qu’on ne saurait douter que le changement ne soit dû
à l’action exercée sur ces organismes par leurs propres pro-
duits d’excrétion. Quant à vouloir expliquer cette action sur
la matière vivante des bactéries, nous devons provisoirement
y renoncer. Il convient seulement de remarquer que les faits
cités conduisent à la conclusion, sinon nécessaire au moins
très probable, que les influences thermiques ne sont pas nui-
sibles directement, mais le deviennent en exaltant l’action
nocive des „ produits d’excrétion”. Si j’emploie ce terme, ^pro-
duits d’excrétion”, ce n’est nullement que je me figure les
matières actives comme se trouvant nécessairement en dehors
du corps des bacilles ; je crois, au contraire, qu’en cas de crois-

i ) Un bon et court aperçu de ces méthodes a été donné par M. Elfving,
Studien über die Einwirkung des Lichtes auf die Pilze , p. 135, Hel-
singfors, 1890.

2) Comptes rendus . T. 91. p. 670; 1880.

LA BIOLOGIE ü’üNE BACTERIE PIGMENTAIRE. 257

sance très vigoureuse, — cas si fréquent à une température
un peu élevée, — les matières en question (sans doute des
corps protéiques, ne diffusant que très lentement) ne s’élimi-
nent pas avec une rapidité suffisante et deviennent alors tout
particulièrement nuisibles, précisément parce qu’elles se trou-
vent encore à l’intérieur des cellules bactériennes, où, à cause
de la température, elles peuvent agir très énergiquement.

D’après tout ce qui précède, je regarde l’action débilitante
de la température, malgré sa haute importance, comme ne
constituant que le facteur secondaire dans la production de
cette forme la plus simple de la variabilité.

§ 6.

Est- il possible de rendre leur activité aux
cultures affaiblies
du Bacillus cy aneo -fuscus?

J’ai fait plusieurs expériences pour trouver la réponse à 1a,
question posée en tête de ce paragraphe. Un résultat positif
était évidemment à espérer de la culture longtemps prolongée,
à basses températures, des bacilles affaiblis. Antérieurement
déjà, j’avais recueilli quelques résultats d’expériences dans cette
direction, au sujet de la bactérie lumineuse de la mer du Nord
( Photobacterium luminosum), qui perd très facilement sa faculté
photogénique, — pour cela il suffit par exemple de la cultiver
à la température ordinaire des appartements, — mais la ré-
cupère par une longue croissance à des températures au-dessous
de 9° C. Ces expériences avaient fait voir qu’il est particu-
lièrement favorable d’établir des cultures dans lesquelles une
grande masse nourricière ne reçoit qu’un petit nombre de
germes, de façon que des divisions très nombreuses puissent
avoir lieu avant que le terrain nourricier ne soit épuisé et
avant que les produits propres des échanges nutritifs ne de-
viennent nuisibles.

Le Bacillus cyanogenus, la bactérie du lait bleu, m’avait
donné des résultats analogues. A une forme qui, par suite

258

M. W. BEYERTNCK.

de culture prolongée à une température dépassant 20° C, était
privée de la faculté de produire du pigment dans le lait
bouilli, j’avais pu restituer ce caractère en la cultivant long-
temps à des températures inférieures à 15° C.

Chez ces deux bactéries, j’avais déjà remarqué que, outre
la température, il y a encore une autre circonstance dont il
faut soigneusement tenir compte, à savoir, la concentration
de la masse nourricière. Je trouvai avantageux, en effet, —
et cela pourrait bien être d’une application générale aux mi-
crobes plus ou moins difficiles à cultiver, — de ne donner
l’aliment qu’à l’état dilué: l’affaiblissement est alors plus facile
à prévenir que chez les cultures en terrain trop riche. Pour les
expériences de stimulation du B. cyaneo-fuscus , je n’ai, en
conséquence, employé que des dissolution de { % de peptone
sèche dans de l’eau de conduite, et pour les cultures subsé-
quentes sur substratum solide, j’ai fait usage d’une masse ne
contenant que 10 % de gélatine, également dissoute dans de
l’eau de conduite. L’effet de la condition dont il s’agit pourrait
s’expliquer de la même façon que celui de la première; il
tient peut-être à ce que, dans les solutions nutritives étendues,
les produits d’excrétion, qui déterminent l’affaiblissement,
interviennent eux aussi à l’état dilué, et agissent alors avec
moins d’énergie 1 ).

Pour le Bacillus cyaneo-fuscus , partant de celle de ses formes
qui continuait encore à croître avec sécrétion de pigment dans

J ) Pour plusieurs de mes bactéries, reconnues très faibles et difficiles à
cultiver, j'ai cherché à les maintenir constantes en mettant une trace de
la culture en suspension dans de l’eau de conduite, ou de l’eau de mer.
Mais ces essais n’ont donné aucun résultat positif. Peut-être atteindrait-on
le but en conservant à l’état sec les formes qui ont prouvé pouvoir sup-
porter la dessiccation. J’ai entrepris des expériences dans cette direction.
En ce qui concerne le Bacillus cyaneo-fuscus , je n’ai pas encore réussi à
le dessécher de telle sorte qu’il reste en vie. Sous ce rapport, toutefois,
il y a à tenir compte de beaucoup de circonstances, qui influent sur le ré-
sultat de la dessiccation: la plus importante de celles-ci est la proportion
des matières dissoutes dans la masse servant à l’expérience.

LA BIOLOGIE D’UNE BACTERIE PIGMENTAIRE.

259

les solutions de peptone, mais qui ne pouvait plus être cultivée
sur gélatine, je me proposai de lui rendre cette dernière
propriété. Comme je ne suis pas encore parvenu à restaurer
complètement l’activité amoindrie, et que la solution précise
de la question, si simple que celle-ci paraisse au premier
abord, laisse subsister maints doutes quand on y regarde de
plus près, je ne veux pas me prononcer déjà définitivement.
Pourtant, je suis, dans ce cas aussi, sur la voie qui conduit à
des résultats positifs, et dès à présent je puis affirmer que les
Bacillus cyaneo-fuscus affaiblis recouvrent leur activité, au moins
partiellement, lorsqu’ils sont cultivés pendant longtemps à de
basses températures, — assez élevées toutefois pour permettre
encore une croissance sensible, — et lorsqu’en outre on fait
usage de solutions nourricières étendues, renouvelées assez
fréquemment. Il m’a été possible, en effet, après six semaines
d’inoculations répétées dans des solutions à j % de peptone,
à une température au dessous de 6° C.. de ramener une cul-
ture, devenue incapable de vivre sur une gélatine à 10 %,
à un état où elle se développait, sur ce terrain solide, en un
mélange de petites colonies faiblement liquéfiantes, avec ou
sans zone pigmentaire.

Lorsque, en opérant ainsi sur d’autres espèces adaptées à des
degrés de chaleur élevés, on les maintient pendant plusieurs
semaines à une température très basse (voisine de 0° C., où
la croissance est complètement arrêtée), on observe, après
l’ensemencement sous des circonstances favorables au dévelop-
pement pour les formes normales, une diminution qui ne
disparaît qu’après une ou deux inoculations nouvelles sous
ces circonstances favorables. J’appuie donc sur la remarque,
déjà faite plus haut, que, là où il s’agit de réveiller par un
abaissement de température l’activité des formes affaiblies, je
regarde comme efficace unë température un peu supérieure
au minimum encore tout juste suffisant pour la croissance,
mais pourtant beaucoup plus basse que la température opti-
mum de végétation des cultures fraîches. Sans croissance aucune’,

Archives Néerlandaises, T. XXV. 18

260

M. W. BEYERINCK.

le rétablissement de l’activité des bactéries individuelles affai-
blies me paraît impossible.

La conclusion pratique à tirer de ce qui précède, pour la
culture des bactéries dans le laboratoire, est, essentiellement,
qu’il faut veiller avec soin à ce que les préparations conser-
vées pour des expériences ultérieures ne soient pas exposées
à des températures trop voisines de l’optimum de croissance.
Ces préparations doivent donc toujours être maintenues à de
basses températures, qui peuvent toutefois être différentes,
selon les espèces. L’action longtemps prolongée de tempéra-
tures très basses doit également être évitée, vu qu’il peut en
résulter une dépression — passagère, il est vrai, mais pourtant
bien sensible et temporairement héréditaire — des fonctions
les plus importantes. L’emploi d’aliment dilué est aussi à
recommander. En suivant ces préceptes, il sera probablement
tout aussi facile de cultiver, sans la moindre perte de viru-
lence, les bactéries du choléra, de l’érysipèle, de la morve, du
typhus, etc., qu’il l’a été, dans mes expériences sur le Bacil-
lus cyaneo-fuscus , organisme si extraordinairement sensible, de
maintenir intactes la production pigmentaire et la force vé-
gétative.

§ 7.

Déperdition de la force végétative chez les
plantes supérieures et chez les animaux.

Dans les lignes suivantes, je désire appeler l’attention sur
une analogie qui me semblerait mériter un examen plus ap-
profondi. Je n’apporte à son appui aucun résultat d’expé-
riences personnelles; néanmoins, l’importance du sujet me
fait croire que cette première tentative de généralisation, si
imparfaite qu’elle soit, ne paraîtra pas inopportune.

L’histoire des sciences biologiques citera indubitablement,
comme la seconde œuvre capitale de Darwin, la longue série
de ses recherches sur la nature de la sexualité. Le résultat
général auquel il a été conduit, condensé en une proposition

LA BIOLOGIE T)’üNE BACTERIE PIGMENTAIRE.

261

unique, se laisse énoncer en ces termes : La matière repro-
ductrice des plantes et animaux supérieurs est susceptible
d’éprouver une déperdition de sa force végétative; le rôle de
la sexualité est de prévenir cette déperdition ou, si elle a
déjà eu lieu, de la réparer ').

Darwin fait voir que cette perte de force végétative, qui
s’accompagne souvent de la régression d’autres caractères
chez les descendants, peut être la conséquence d’autofécon-
dation ou de reproduction végétative prolongée.

Les recherches et les méditations de Darwin 1 2) l’amènent
ensuite à conclure que l’essence de la sexualité est le fusion-
nement de deux protoplastes de la même espèce végétale ou
animale, lesquels protoplastes (gamètes, oosphère et sperma-
tozoïde ou contenu du pollen) ne diffèrent l’un de l’autre
qu’en ce qu’ils proviennent de deux plantes ou de deux
animaux qui ont été engendrés et se sont développés dans
des conditions vitales différentes.

Ces découvertes, qui, combinées avec la théorie de la
descendance, ont jeté une vive lumière sur des milliers de
phénomènes naturels obscurs et de constructions organiques
compliquées, constituent l’un des plus grands progrès que
les connaissances humaines aient jamais faits, et rivalisent
avec cet autre triomphe de la biologie expérimentale contem-
poraine, la réfutation, par Pasteur, du dogme de l’abiogenèse

Quand on se demande jusqu’à quel point les phénomènes
d’affaiblissement végétatif, observés par Darwin à la suite
de l’autofécondation, concordent avec les phénomènes analogues
ci-dessus décrits pour les bactéries, il semble que le rapport

1) Ch. Darwin, The effects of Cross and Selffertilisation in the Vegetable
Kingdom , London, 1876. — The Variation of Animais and Plants under
Domestication , Vol. II, p. 92 seq , London, 1875.

2) The Origin of Species by means of Natural Sélection , or the
Préservation of Favoured Races in the Struggle for Life, 6th ed., p. 76, 234,
London, 1878. La vue en question se trouve aussi déjà dans la première
édition, de 1859.

18*

262

M. W. BEYEETNCK.

soit assez intime pour qu’on puisse les considérer à un même
point de vue ; dans les uns et les autres, en effet, il ne s’agit
que de deux catégories de faits, — abaissement de l’énergie
de croissance et perte de caractères, — faits qui n’admettent
qu’une interprétation unique, quelles que soient d’ailleurs les
différences qui peuvent exister quant à leurs causes plus
lointaines. Que chez les organismes supérieurs il n’ait pu se
manifester, sous ce rapport, que des modifications relativement
légères, cela est tout naturel, puisque chez eux, où les actes
physiologiques sont si étroitement enchaînés et si complexes,,
une régression un peu profonde serait incompatible avec la
vie elle-même. Pour cette raison seule, déjà, il était à présumer
que les microbes inférieurs, avec leurs conditions vitales
simples, présenteraient les phénomènes d’affaiblissement sous
une forme plus aisément accessible à l’observation et dans
une extension plus grande.

La facilité relative de l’institution des expériences et la
rapidité du développement des bactéries contribuent également
à faire de celles-ci des sujets d’étude extrêmement favorables
pour ces recherches comparatives.

En admettant maintenant que la déperdition dont il s’agit soit
réellement une propriété générale des organismes, tant des plus
élevés que des plus rudimentaires, la question se présente de
savoir dans quelle mesure des conditions extérieures semblables
peuvent déterminer aussi des effets semblables dans les sections
les plus éloignées entre elles du système des êtres vivants.
Pour obtenir une réponse non ambiguë, il faudra abandonner
la voie de l’investigation biologique, suivie par Darwin, et
revenir à l’enquête physiologique.

Le premier point à décider sera évidemment celui-ci: Les
influences de température ont-elles chez les plantes et les
animaux supérieurs, en ce qui concerne les altérations hérédi-
taires de leur énergie de croissance, la même importance que
chez les bactéries? En d’autres termes, ces organismes supérieurs
éprouvent-ils aussi un affaiblissement végétatif à la suite du

LA BIOLOGIE d’üNE BACTÉRIE PIGMENTAIRE

263

développement et de l’accroissement, longtemps continués, aux
températures qui doivent être considérées comme les plus
favorables à cette fonction ?

Chez les animaux à sang chaud, ce devrait être précisément
la température du sang qui, par elle-même, causerait le pré-
judice à la vitalité des cellules reproductrices/ préjudice
pouvant être réparé par la fusion sexuelle avec un protoplaste
d’origine différente ,).

Chez les animaux à sang froid et chez les plantes, ce seraient
les surélévations de la température du milieu extérieur qui
devraient entraîner les effets nuisibles.

Pour les bactéries, comme nous l’avons vu, s’imposait l’hypo-
thèse que la température n’exerce qu’une action indirecte dans
la production de l’affaiblissement ; ce seraient certains produits
d’excrétion de la matière vivante qui détermineraient primai-
rement l’altération proprement dite, héréditaire, du protoplasme,
mais l’action de ces produits serait considérablement exaltée
par l’élévation de la température. En supposant que cette
hypothèse se laisse appliquer aussi aux plantes et animaux
supérieurs, il est incontestable qu’une foule de relations et
de caractères se trouveraient éclairés d’un jour tout nouveau.

Si dans le dernier énoncé il ne s’agit que d’hypothèses,
souffrant à peine un contrôle direct, le précédent se prête
tout ou moins à l’institution d’expériences, qui, de haute
importance si elles conduisaient à un résultat positif, ne pour-

«) Un argument capital à l’appui de cette manière de voir est fourni,
me semble-t-il, par le fait que. même chez les animaux à sang chaud (et
plus encore chez les animaux à sang froid), toutes les fonctions n’ont pas
le même optimum de température. C’est ainsi, par exemple, que dans le
processus respiratoire la quantité d’acide carbonique s’élève certainement
encore quand la température dépasse l’optimum pour la croissance, et des
différences analogues se rencontrent probablement dans une foule d’autres
actes physiologiques II ne paraît donc pas impossible que, dans le corps
d’un animal à sang chaud, certains processus doivent s’accomplir, néces-
sairement et continûment, à une température un peu supérieure à celle
qui leur conviendrait le mieux dans la durée des temps.

264

M. W. BEYEK1NCK.

raient être regardées comme inutiles dans le cas contraire.
Sous ce rapport, le plus simple serait d’expérimenter sur des
plantes, et cela de la manière suivante.

Des individus d’origine identique seront cultivés, les uns
au-dessus, les autres au-dessous de la température reconnue
pour correspondre à l’optimum de végétation, mais dans des
conditions d’ailleurs identiques, et telles, que ces individus soient
réduits à l’autofécondation. Les descendants provenus des
graines de ces deux séries de plantes seront placés dans des
conditions égales sous tous les rapports, — égales aussi en
ce qui concerne la température, — et abandonnés à eux-mêmes
jusqu’à maturité. Finalement, le produit de la récolte sera
apprécié suivant la méthode de mensuration de Darwin, c’est-
à-dire que la hauteur et le poids des plantes entières, ainsi
que le nombre des fruits et des graines, seront déterminés pour
chacun des deux groupes et comparés de l’un à l’autre.

Si l’hypothèse se confirme, les descendants par autofécon-
dation des plantes soumises à la chaleur donneront, à la
récolte, des nombres inférieurs à ceux que fournira la progé-
niture, également obtenue par autofécondation, des parents
cultivés à une température plus basse que celle de leur opti-
mum de végétation.

(Jn point essentiel, dans l’exécution de l’expérience, serait
que cette température plus basse, à laquelle on cultiverait l’un
des groupes de plantes, ne fût pas trop éloignée de celle de
l’optimum. Il est probable, en effet, que l’action longtemps
continuée de températures très basses déterminerait, tout comme
chez certaines bactéries, un abaissement de l’énergie végétative,
abaissement héréditaire, au moins pour quelque temps, même
à la température optima réelle.

Il est à présumer aussi, en ce qui concerne les plantes sou-
mises à la chaleur, que des températures de beaucoup supé-
rieures à celle de l’optimum donneraient lieu à un affaiblissement
végétatif plus énergique que les températures voisines de ce
point. On peut croire, enfin, que l’influence de la température

LA BIOLOGIE D’UNE BACTERIE PIGMENTAIRE.

265

pourrait devenir sensible, probablement suivant la nature des
espèces, ou bien dès la première nouvelle génération, ou bien
seulement après un certain nombre de générations, dérivées
les unes des autres par propagation asexuehe ou par autofécon-
dation. Pour cette dernière raison, les recherches comparatives
sur des plantes vivaces, cultivées à température supérieure et à
température inférieure, offriraient peut être des chances particu-
lières de succès.

§ 8.

Sur la présence du Bacillus cy aneo-fuscus
dans le fromage.

Ce sujet demande, vu son importance pratique, à être traité
à part; au point de vue de la science pure, il présente un
certain intérêt, d’abord à Cause des phénomènes de coloration
qu’on observe dans le fromage attaqué, puis à raison de l’état
d’affaiblissement et de dépérissement où tombent les bactéries,
par suite des transformations chimiques qui s’opèrent dans la
masse caséeuse dès le début de la maturation, et peut-être
aussi par suite des changements de température dont ces
tranformations sont accompagnées.

Quelques mots sur la structure microscopique du fromage
ne seront probablement pas déplacés ici, car dans les ouvrages
traitant de l’industrie laitière je n’ai trouvé, relativement à
cette structure, que des données insuffisantes, de sorte qu’on
doit la supposer peu connue. Ce que j’en dirai a principale-
ment rapport au fromage „d’Edam”, très réputé aux Pays-Bas.

La caséine du fromage mûr se présente au microscope sous
l’aspect d’une masse compacte, amorphe, dans laquelle on ne
découvre que par places des globules de graisse (/ fig. 7), et qui
doit, en tout cas, être imprégnée par imbibition de cette dernière
matière. Une coupe mince de fromage laisse encore reconnaître,
outre ces gouttelettes de graisse, des bulles de gaz ( ^ fig. 7),
disséminées dans la masse caséeuse. Par suite de l’inégalité

266

M. W. BEYERINCK.

de pression, les gouttelettes de graisse et les bulles de gaz
s’éloignent souvent beaucoup de la forme sphérique.

Si l’observation de ces détails assez grossiers est facile, celle
des autres éléments structuraux du fromage l’est un peu moins.
Comme tels, un examen attentif m’a fait distinguer: 1° Des
sphérocristaux (t fig. 7) d’une substance analogue à la tyrosine
(peut-être, de la tyrosine elle-même), 2° Des cellules de levure
(h) du Saccharomyces tyrocola. 3° Des bactéries en bâtonnets
(m) du bacille de l’acide lactique. Parmi ces éléments, les
plus importants, de beaucoup, sont les bactéries. Considérons
chacun d’eux un peu plus en particulier.

En ce qui concerne les sphérocristaux ( t fig. 7), je dois faire
remarquer qu’on ne peut pas les rencontrer dans toute par-
ticule de fromage, quelle qu’elle soit. Dans les fromages fa-
briqués avec ce qu’on appelle du „petit-lait filant”, fromages qui
mûrissent rapidement, les sphérocristaux sont extrêmement
communs. La formation en dépend évidemment de causes lo-
calisées, et je ne doute pas que l’accumulation, en certains
points, des bâtonnets et microcoques lactiques ne joue sous
ce rapport le rôle principal. Ces sphérocristaux possèdent,
tout comme les grains d’amidon, une petite tache nucléaire,
d’où rayonnent les petites aiguilles cristallines à peine visibles.
Ce qui nous intéresse ici plus spécialement, c’est l’aptitude
de ces corps à emmagasiner la matière colorante brune pro-
duite par le Bacillus cyaneo-fuscus et à prendre ainsi une
couleur presque noire; surtout le corpuscule nucléaire, ci-
dessus mentionné, a une grande affinité pour la matière co-
lorante, et il consiste peut-être en une substance protéique
particulière, qui se trouverait par rapport à la caséine dans la
même relation où la calcoglobuline de Harting 1 ) se trouve par
rapport à l’albumine, dans les sphérites calcaires que ce savant
avait obtenues par la précipitation de solutions albumineuses.

Le Saccharomyces tyrocola (h fig. 7), qui a la propriété d’agir

*) l. c ., p. 59.

LA BIOLOGIE D’UNE BACTERIE PIGMENTAIRE.

267

comme ferment sur le sucre de lait et de le transformer en
alcool et acide carbonique, se trouve disséminé, quoique assez
irrégulièrement, dans toute la masse caséeuse, et n’est mani-
festement actif que dans les premiers stades de la maturation.

Les bacilles lactiques (m fig. 7) — dans les fromages pré-
parés avec du „pertit-lait filant” je n’ai trouvé que des micro-
coques, dont je n’ai toutefois pas essayé la culture *) — sont
répandus en nombre immense dans la masse du fromage et
se trouvent, pour ainsi dire, partout. Lorsqu’on prépare une
gélatine au sérum de lait faiblement acide, et qu’on y trace,
avec une aiguille de platine préalablement enfoncée dans le
fromage, une ligne d’inoculation, on obtient souvent une file
continue de colonies uniquement composées de ferments lac-
tiques, mais seulement des colonies isolées, disséminées entre
les premières, de la levure du fromage. En étudiant séparé-
ment les colonies développées par le fromage d’Edam, j’y ai
trouvé environ cinq variétés constantes, qui se laissent distin-
guer au moyen de la forme des bâtonnets et se différencient
encore par beaucoup d’autres particularités accessoires, mais
qui toutes se ressemblent en ce qui concerne l’aptitude à
transformer en acide lactique le sucre de lait, le sucre de canne,
la maltose, la lévulose, la glucose et la galactose. L’acide lac-
tique produit est l’acide de fermentation ordinaire, dont le
sel calcique renferme cinq molécules d’eau de cristallisation.

D’accord avec l’extrême abondance des bacilles lactiques
dans le fromage, celui-ci renferme une très forte proportion
d’acide lactique. Dans divers titrages directs, j’ai eu besoin
de 15 à 20cc de potasse normale pour neutraliser 100 gram-
mes de fromage, d’où résulte une teneur en acide lactique
de 1,35 à 1,8 % * 2). Au premier abord, il paraît singulier que

• ) Par contre, j’ai cultivé les bactéries du *petit-lait filant” lui-même,
de sorte qu’elles me sont bien connues

2) Si, comme expression probable de la fermentation lactique du sucre
de lait, on admet l’équation

C**H%iOil + H1 0 = 4 C3H*03,

268

M. W. BEYERINCK.

d’aussi fortes quantités d’acide se fassent si peu remarquer
dans le fromage; cela tient évidemment à sa teneur en sel,
substance dont le goût masque celui de l’acide. Qu’une pa-
reille proportion d’acide détermine la mort complète d’un
organisme aussi sensible que le Bacillus cyaneo-fuscus, il n’y a
certes pas lieu de s’en étonner.

Passons maintenant à ce qui concerne la présence de cette
bactérie pigmentaire dans la niasse caséeuse, et commençons
par examiner la structure microscopique des taches foncées
qu’elle y produit '). Ces taches se distinguent, de la substance
non altérée, en premier lieu par leur couleur. Celle-ci est due
à la présence de grains noir bleuâtre ou bruns et d’une ma-
tière colorante foncée diffusée dans le fromage lui-même,
matière qui se trouve accumulée surtout dans les sphérites de
tyrosine. En second lieu, les taches se distinguent de la masse
normale par l’entassement, à leur centre, de bâtonnets du
ferment lactique; il peut arriver, toutefois, que cet entasse-
ment fasse défaut. Les bâtonnets du Bacillus cyaneo-fuscus
lui-même ne sont, d’ordinaire, pas distinctement reconnais-
sables dans les taches.

Les grains de matière colorante noire sont identiques avec
les sphérites de B. cyaneo-fuscus , telles que nous avons appris à
les connaître plus haut. La réduction par l’hydrosulfite de
sodium et l’oxydation par l’acide nitrique, le peroxyde d’hy-
drogène ou d’autres agents d’oxydation, produisent sur eux la
même décoloration que sur les susdites sphérites. La couleur
disparaît aussi presque entièrement, surtout quand la tempé-
rature est un peu haute, sous l’influence de l’air. M. Hugo de

les nombres ci-dessus correspondent exactement aussi à une proportion de
1,35 à 1,8 °/0 de sucre de lait dans la masse caséeuse originelle; c’est à
peu près la moitié ou le tiers de la proportion de lactose dans le
lait, proportion qui ne s’éloigne pas beaucoup de 3 à 5°/0.

i ) Des taches foncées peuvent naturellement se former dans le fromage
par toutes sortes de causes. Quant à l’opinion que le rôle principal dans
ce phénomène revient aux bactéries du lait bleu ( Bacillus cyanogenus),
mes recherches ne l’ont pas confirmée.

LA BIOLOGIE d’üNE BACTÉRIE PIGMENTAIRE.

269

Vries 1 ) a appelé sur ce point l’attention particulière des pro-
ducteurs de fromage, auxquels il conseille, pour se débarrasser de
l’altération tant redoutée, des essais avec l’oxygène sous pression,
à une température modérément élevée, non nuisible au produit.
Peut-être vaudrait-il encore mieux introduire les fromages
attaqués, qui, — les taches bleues le démontrent elles-mêmes, —
ne contiennent pas d’oxygène à leur intérieur, dans une en-
ceinte où l’on ferait le vide ; les cavités du fromage laisseraient
alors échapper peu à peu les gaz qu’elles enferment et, après
la suppression du vide, elles se rempliraient d’air atmosphé-
rique, lequel, se diffusant dans la substance, atteindrait les
taches et les décolorerait. Ce serait aux praticiens de fixer la
température à laquelle la masse pourrait être portée sans
dommage pour le goût et la facilité de conservation. Des
températures comprises entre 20 et 30° C donnant déjà lieu
à une décoloration très parfaite, il n’y aurait pas à craindre,
sous ce rapport, des difficultés insurmontables. Au reste, il
serait naturellement bien préférable de prévenir entièrement
la formation des taches, ce à quoi l’on parviendrait sans aucun
doute au moyen d’une extrême propreté, et surtout par l’emploi
exclusif de lait stérilisé, autant que possible, au sortir même
du pis de la vache.

Revenons, toutefois, aux changements de couleur qui peu-
vent être observés dans les taches de fromage. Lorsqu’un fromage
tacheté de bleu est coupé en morceaux et que ceux-ci demeurent
exposés à l’action de l’air, on voit, en même temps que les
anciennes taches se décolorent, s’en former de nouvelles, souvent
en grand nombre. Toutes ces taches récentes restent petites.
Je crois devoir expliquer ce phénomène de la manière sui-
vante. Dans une masse caséeuse infectée de Bacillus cyaneo-fuscus ,
toutes les bactéries ne se développeront pas en colonies simul-
tanément. Les colonies qui se forment les premières produiront
les taches les plus grandes, et ces taches auront déjà pris leur

J ) Over blaauwe kaas , dans Maandblad der Hollandsche Maatschappij
van Landbouw , mai 1887, n° 5.

270

M. W. BEYERINCK.

couleur définitive avant que l’oxygène inclus ne soit entière-
ment consommé par les ferments donnant naissance à l’acide
lactique '). D’autres colonies, d’origine postérieure, auront pu,
avant la disparition de l’oxygène à l’intérieur du fromage,
arriver au stade de la formation du pigment vert, mais non
à celui de l’oxydation complète du pigment, à sa transforma-
tion en pigment noir. Dans cet état, le manque d’oxygène et
l’action de l’acide lactique, successivement produit pendant la
maturation du fromage, feront mourir les bactéries ; par suite,
les taches vertes resteront à peine visibles dans la masse, ou
se déroberont complètement à la vue. Mais si un fromage
pourvu de ces taches vient à être coupé en morceaux et
exposé à l’influence de l’oxygène atmosphérique, la zone de
diffusion, jusqu’alors inaperçue, prendra une couleur foncée,
phénomène analogue à celui qu’on peut observer dans les so-
lutions peptoniques infectées de B. cyaneo-fuscus, même quand
elles ont été bouillies dans le stade vert et que les bactéries sont
par conséquent tuées. Ces solutions peptoniques, tout comme
les taches invisibles, demandent, pour prendre la coloration
finale, l’action de l’air pendant un à trois jours.

Je terminerai ces remarques par la description de l’expérience
suivante, dont je dois la connaissance à M. van Lookeren
Campagne.

Un fromage sain et un fromage fortement marqué de taches
bleues furent coupés par le milieu, puis les deux moitiés de
l’un furent respectivement appliquées sur les deux moitiés
de l’autre, dans le dessein d’apprendre jusqu’à quel point les
morceaux sains, en contact avec les morceaux malades, se
coloreraient. Après avoir été soigneusement enfermé dans une
vessie de porc, chaque fromage composite fut laissé pendant
environ six semaines à la température ordinaire d’appartement.
Aux bords des surfaces de section, la masse s’était un peu
contractée, de sorte que de l’air y avait pénétré et qu’une

1 ) Les ferments lactiques réduisent très facilement le bleu d’indigo soluble,
mais n’ont aucun effet sur le stade noir du pigment du B. cyaneo-fuscus.

LA BIOLOGIE d’üNE BACTÉRIE PIGMENTAIRE.

271

abondante végétation mucédinéenne s’y était établie ; au mi-
lieu, le contact avait été bon, et manifestement il y était
arrivé si peu d’oxygène, que la circonférence des surfaces
limites seule avait pu en être saturée.

Lorsque les deux moitiés eurent été séparées, on reconnut im-
médiatement, à l’augmentation du nombre des taches, que l’oxy-
dation des cbromogènes, précédemment invisible, avait eu lieu
par la petite quantité d’air absorbé au moment de la coupûre;
mais la couleur était restée exclusivement bornée à la moitié
malade. Il ressort de là que ni le pigment vert, nile pigment
oxydé et de couleur foncée, ne peuvent se diffuser; l’un et
l’autre sont donc, pour ainsi dire, fixés chimiquement, ou
du moins inclus à l’état solide dans la masse caséeuse. Indi-
rectement, cette même expérience permet aussi de conclure
que les B. cyaneo-fuscus sont morts dans toutes les taches;
c’est d’ailleurs ce qui sera démontré, dans la section suivante,
par des expériences directes.

§ 9.

Comment on isole le B a ci II us cyaneo-fuscus
des taches du fromage. Origine de l’in-
fection du fromage. Le traitement
par le „petit-lait filant”.

Ce n’est qu’après avoir acquis la connaissance complète de
l’histoire biologique du B . cyaneo-fuscus et avoir appris à régler
convenablement l’influence de la température et les conditions
nutritives, que j’ai réussi à isoler ces bactéries du fromage
malade. Qu’on ne s’imagine pas, toutefois, que cet isolement
puisse se faire au moyen de toute tache quelconque ; loin de
là, car la très grande majorité des taches ne renferment que
des bactéries mortes, ou des bactéries dans un état d’affaiblis-
sement tel que la culture en est impossible.. Il faut remonter
à des fromages très jeunes et pratiquer, de la manière qui va
être décrite, de nombreux ensemencements, pour obtenir
par-ci par-là un résultat positif. La pleine conviction que le

272

M. W. BEYERINCK.

B. cyaneo-fuscus est la cause principale de la maladie des taches
n’a été acquise, —je ne veux pas négliger de le dire, — que
lorsque, dans une masse de caséine préparée en faisant cailler
du lait frais au moyen de la présure, j’eus réussi à provoquer
expérimentalement, par l’inoculation du B. cyaneo-fuscus , l’ap-
parition des taches, avec toutes leurs propriétés.

De quelle manière le B . cyaneo-fuscus se laisse-t-il isoler des
taches? Pour répondre à cette question, je commencerai par
décrire les résultats de l’application aux taches du procédé
ordinaire à la gélatine.

Cent centimètres cubes de lait de vache, à 35° C, furent
additionnés d’un peu de présure en poudre 1 ) et, après coagu-
lation, filtrés. Le liquide filtré était parfaitement clair, semblable
à du petit-lait à fluorescence verdâtre. On y mêla 1 % de
peptone sèche, 1 % de glucose et 7 % de gélatine, puis le
tout fut bouilli, filtré et stérilisé. La réaction était amphotère,
par suite de la présence de phosphates. Cette gélatine fut
coulée en plaques épaisses dans des boîtes de verre, puis
utilisée de la façon suivante.

D’abord, à l’aide d’une aiguille, on enleva une parcelle de
la masse interne d’un fromage d’Edam, vieux et sain 2).
Cette parcelle fut écrasée à la surface de la plaque de gélatine
et étendue en lignes d’inoculation ; d’autres fois, elle était
délayée dans l’eau, puis cette eau servait à arroser la surface
de la gélatine, qu’on laissait ensuite égoutter parfaitement.
Les germes susceptibles de se développer sur un terrain
contenant du sérum de lait apparaissaient au bout de quelques
jours, soit dans les lignes d’inoculation, soit en colonies isolées.

i; Voyez la Note 1 pag. 276.

2) Pour extraire d’une substance un peu de la matière intérieure, sans
emporter en même temps quelque chose de la surface, il faut en rompre
rapidement un gros morceau, afin d’obtenir des surfaces de cassure fraîches,
sans glissements internes. Cela est à recommander surtout lorsqu’il s’agit
de l’examen d’échantillons de terre, de parties de plantes et, en général,
de substances cassantes.

LA BIOLOGIE d’üNE BACTÉRIE PIGMENTAIRE.

273

Dans un assez grand nombre d’expériences, le fromage sain
ne m’a donné de cette manière, — ce qui est d’accord avec
les résultats d’observation microscopique rapportés plus haut, —
que deux espèces bien caractérisées, à savoir: une levure du
sucre de lait, que j’ai nommée Saccharomyces tyrocola, et cinq
variétés, appartenant à une seule et même espèce, de bactéries
lactiques baculiformes ; ces dernières sont identiques aux
ferments lactiques qui sont les agents essentiels dans la
fabrication de l’acide lactique industriel au moyen des céréales,
aussi bien que dans la préparation de l’acide du commerce
au moyen du lait mélangé de sucre de canne et de fromage
putréfié. Les variétés se distinguent l’une de l’autre par la
différence de longueur des bâtonnets, assez constante à la
reproduction, par la couleur plus ou moins jaunâtre des
colonies et par une aptitude différente à produire de l’acide
avec le sucre de canne, le sucre de lait et la glucose; mais
toutes ces différences sont si peu importantes que je n’ai pas
à m’en occuper davantage en cet endroit, d’autant plus qu’il
a déjà été question ailleurs de la formation d’acide dans le
fromage.

Quand, au lieu de la masse saine du fromage, on choisit
pour ces recherches bactériologiques les taches bleues, on
obtient les mêmes résultats; seulement, dans ces taches bleues,
les bactéries de l’acidè lactique sont souvent très fortement
accumulées. Cette accumulation doit être expliquée de la
manière suivante. Les bactéries en question appartiennent au
groupe des organismes à peptone-carbone, c’est-à-dire que pour
leur nutrition elles exigent, outre la peptone, l’un ou l’autre
composé carboné, par exemple, le sucre de lait Comme elles
ne sécrètent pas d’enzyme tryptique, la caséine ne peut satis-
faire à leur besoin d’azote. Elles en sont donc réduites, pour
cela, aux peptones de la masse caséeuse. Or, le Bacillus cyaneo-
fuscus exerçant une très forte action protéolytique et transfor-
ment alors la caséine en peptone, les taches bleues sont,
précisément à cause de la peptone qui s’y forme en abondance,

274

M. W. BEYERINCK.

des lieux de reproduction très favorables pour les bactéries
de l’acide lactique. — De bactéries d’autre espèce que les
ferments lactiques, je n’en ai pas trouvées dans les taches.

Par ce qui précède, il avait donc été bientôt établi qu’au
moyen de la gélatine nourricière indiquée il n’était pas
possible d’isoler le Bacillus cyaneo-fuscus. J’ai alors étudié
les taches de deux autres manières : premièrement , en

opérant sur la masse provenant d’une dissolution de 10%
de gélatine pure dans de l’eau de canal, sans addition d’au-
cune autre matière : en second lieu, par l’ensemencement direct
des taches dans des solutions de peptone diluées. Ces nou-
veaux essais laissaient espérer un résultat plus favorable, surtout
par la raison que, comme nous l’avons vu, ces milieux de
culture sont excellents pour le Bacillus cyaneo-fuscus , tandis
qu’ils excluent complètement les ferments lactiques, dont la
croissance exige, en outre des corps azotés susdits, la présence
d’une espèce saccharine. Les cellules de levure sont, elles
aussi, tout à fait incapables de se développer sur la gélatine
pure ou dans une solution de peptone pure.

Pourtant, même ainsi instituées, les expériences de culture
du B. cyaneo-fuscus ne réussirent pas à l’origine, et cela, aussi
longtemps que j’y employai du fromage vieux. Mais quand
je m’avisai de mettre à l’œuvre du fromage tout à fait
frais, qu’un marchand m’avait spécialement fourni à cet
effet, le résultat de trois ensemencements différents révéla
que le B. cyaneo-fuscus peut parfois se trouver encore à l’état
viable, et sans affaiblissement trop prononcé, dans les taches
du fromage. Je dois insister, toutefois, sur la circonstance
que la teneur en acide de ce fromage jeune était petite,
car elle correspondait tout au plus à 5CC de solution potassi-
que normale, pour 100 grammes de fromage. La condition
d’une aussi faible proportion d’acide me paraît essentielle
pour la réussite des expériences. Il n’y a point de doute, en
effet, que l’abondance croissante de l’acide libre, due à la
transformation du sucre de lait par les bâtonnets de l’acide

LA BIOLOGIE ü’üNE BACTERIE PIGMENTAIRE. 275

lactique, ne cause la mort du B. cyaneo-fuscus, ce qui explique
pourquoi les taches du fromage vieux donnent toujours un
résultat négatif dans les essais de culture.

Ainsi qu’il a été dit, ce sont surtout les solutions pepto-
niques diluées qui conviennent au développement de notre
bactérie pigmentaire; aussi, est-ce avec elles que j’ai obtenu
les résultats positifs sus dits. La culture directe sur gélatine, en
partant du fromage, ne m’a jamais réussi. Mais lorsque, ayant
obtenu au moyen du fromage des cultures de B. cyaneo-fuscus
dans la solution de peptone, je les laissai, en décembre 1890
et janvier 1891, croître pendant des semaines à des tempéra-
tures variant de 1 à 5° C, en répétant, dès que les liquides
verdissaient distinctement, l’ensemencement dans une nouvelle
solution nourricière, je parvins finalement à activer une culture
au point que la croissance put ensuite s’opérer sur une gélatine
à 10 °/0 dans de l’eau de conduite, avec ou sans addition de
peptone. Les cultures ainsi réalisées étaient, sauf un certain
degré d’affaiblissement, parfaitement identiques aux formes
spontanément isolées de l’eau.

Il m’intéressait tout particulièrement de savoir si le B. cyaneo-
fuscus ainsi obtenu peut se développer dans le lait; que la
croissance est possible dans la caséine séparée du lait par la
présure, c’est ce que m’avaient déjà appris des expériences
antérieures. J’ai trouvé que le lait, bouilli ou non, peut effec-
tivement, à basse température, fournir un bon aliment au
B. cyaneo-fuscus. Les phénomènes de coloration qui se pro-
duisent dans ce liquide sont comparables à ceux qui ont lieu
dans les solutions de peptone: d’abord le vert, puis le bleu,
ensuite le brun et finalement le noir brunâtre. Ce n’est qu’au
bout d’un temps assez long que le corps foncé s’oxyde aux
dépens de l’oxygène atmosphérique ; il laisse alors au lait une
teinte brun sale, perceptible pendant des mois, mais qui, com-
parée à celle des solutions de peptone, pâlit très fortement.

De ce qui vient d’être dit, il ressort la possibilité que quelques
rares bactéries de notre espèce, entrées dans le lait, s’y

Archives Néerlandaises, T. XXY. 19

276

M. W. BEYERINCK.

multiplient avant la coagulation par la présure. La lenteur de
leur croissance explique pourquoi, dans le fromage mûr, le
nombre des taches est, d’ordinaire, relativement petit.

Mais d’où viennent les germes isolés de B . cyaneo-fuscus qui
causent l’infection première du lait?

D’après ce qu’on a vu au § 1, la réponse à cette question
ne saurait être douteuse. Les germes arriveront dans le lait
par l’eau dyant servi à nettoyer les seaux et autres ustensiles
de la laiterie, ainsi que par toutes les causes de souillure
amenant dans le lait des matières humides, exposées à l’in-
fection spontanée par le B. cyaneo-fuscus.

J’appuie sur la remarque que le contact du lait avec des
matières humides est particulièrement à craindre. Plusieurs
expériences, en effet, ont eu pour but de décider jusqu’à
quel point le B. cyaneo-fuscus peut être desséché sans que la
mort s’ensuive. Des bandelettes de papier à filtre et des fils de
platine furent chargés de culture de ce bacille, séchés, puis
introduits dans des solutions de peptone. Comme je n’ai pas
réussi, de cette manière, à revivifier l’organisme, je dois ad-
mettre que le B. cyaneo-fuscus ne se trouve pas non plus à
l’état vivant dans les poussières de l’air, et que par conséquent
l’infection du lait doit toujours avoir pour point de départ
des objets humides *). Les solutions très étendues de corps
albuminoïdes, — par exemple le lait mêlé d’eau, — qui ont
été longtemps abandonnées à elles-mêmes à basse température,
seraient tout spécialement à suspecter comme foyers d’infec-

i ) Les bactéries de la présure, au moyen de laquelle s’opère la coagu-
lation du lait, ne me sont qu’imparfaitement connues. J’ignore si le B.
cyaneo-fuscus peut vivre dans la présure; la forte proportion de sel ainsi
que la présence de l’acide borique dans cette substance rendent la
chose improbable. En tout cas, il est à recommander de se servir, pour
la fabrication du fromage, de présure en poudre sèche, qu’on fait dissou-
dre, à la température convenable, dans du lait ou dans de l’eau pure,
préalablement bouillie; dans cette poudre, le B. cyaneo-fuscus est certaine-
ment mort. On peut se procurer une préparation excellente dans la fabrique
de produits de lait du docteur H. Graefe, à Alkmaar.

LA BIOLOGIE d’üNE BACTÉRIE PIGMENTAIRE.

277

tion. Comme sources originelles, toutefois, le rôle principal
paraît devoir être attribué, de même que dans mes essais
d’isolement, à l’eau de conduite ou de canal, ainsi qu’aux
particules de terre. La pratique a donc à tenir compte de pa-
reils habitats, et le seul moyen absolument sûr de rester à
l’abri des atteintes de cette bactérie et de toutes les autres
espèces nuisibles serait l’emploi général et exclusif de lait
retiré à l’état stérile du pis des vaches. Dès l’année 1878,
M. Lister a fait voir 1 ) que le lait des vaches saines est
stérile, et que l’opération de le recueillir en cet état exige à
la vérité des soins, mais est à la portée de tout le monde.
Une prescription légale à cet égard, d’ailleurs parfaitement
justifiée par l’importance hygiénique de l’opération, aurait
promptement raison du préjugé de l’impossibilité de celle-ci.

Pour certains buts déterminés il faudrait alors, naturelle-
ment, ajouter quelque culture de bactéries. C’est ce qui se fait
déjà actuellement en Nord-Hollande, où l’on emploie, dans la
fabrication du fromage, le petit-lait dit „ filant” (culture, dans
le petit-lait, d’un microcoque mucipare de l’acide lactique) 2);
un grand progrès est ainsi réalisé, en tant que l’industrie
fromagère, encore très primitive au sens bactériologique, peut
maintenant combattre avec succès différentes maladies dange-
reuses, qui attaquent ses produits. De ce nombre est aussi la
maladie des taches; dans les fromageries où elle apparaît,

1) Transactiotis Pathological Soc. of London, T. XXIX, 1878.

2) En Hollandais vlange wei ”. J’ai examiné cette matière remarquable
par les méthodes bactériologiques, et j’ai trouvé que l’organisme muci-
pare est un ferment lactique qui produit aussi un arôme agréable, et dont la
propriété la plus intéressante est de perdre bientôt, dans les cultures pures,
la faculté de rendre le petit-lait filant; elle se change alors en un ferment
lactique ordinaire Je n’ai pas encore eu l’occasion de rechercher la
cause de ce phénomène. Voyez aussi : H. Weigmann, Der Organismus der
sogenannten „lange Wei ”, dans: Milchzeitung , Jahrg. 8, p. 982, 1889.

C’est un simple paysan d’Assendelft qui a découvert, il y a un quarantaine
d’années, l’utilité et l’usage de cette substance, devenue populaire seule-
ment dans les derniers temps par les efforts de Mr. Roekel.

19*

278

M. W. BEYERINCK.

le petit-lait filant apporte une amélioration considérable. L’ac-
tion exercée dans le fromage par ces bactéries mucipares n’est
pas encore complètement expliquée, pas plus que n’est élucidé,
d’ailleurs, le processus de la maturation en général. Pour ce
qui concerne, toutefois, leur antagonisme par rapport au
B. cyaneo-fuscus , on s’en rend aisément compte. Il dépend de
deux facteurs, à savoir, de la production d’acide lactique
et de l’absorption complète d’oxygène par l’immense quantité
de bactéries mucipares qu’on mêle avec la masse caséeuse.
Que les acides empêchent la croissance du B. cyaneo-fuscus ,
nous l’avons déjà vu précédemment. Quant au nombre des bac-
téries, pour s’en faire une idée, il suffit de savoir qu’aux 25
litres de lait, employés à la fabrication d’un fromage d’Edam,
on ajoute, en même temps que la présure, V2 litre de „petit-
lait filant” ; or, cette substance ne consiste pour ainsi dire qu’en
une agglomération de bactéries excessivement petites, lesquelles,
lorsqu’on fait écouler le petit-lait, restent presque toutes, à
cause de leur nature mucilagineuse et gluante, enfermées dans
le fromage, dont le volume n’atteint pas trois décimètres cubes.
Qu’une pareille masse de bactéries, accumulée dans un si
petit espace, puisse, tant par la formation d’acide lactique que
par l’absorption d’oxygène, entraver ou prévenir le développe-
ment de bactéries aussi sensibles que le B. cyaneo-fuscus , il
n’y a certes pas lieu de s’en étonner.

Laboratoire Bactériologique de la Fabrique Néerlandaise
de Levure et d’Alcool à Delft.

Explication des figures.

(Planche II).

Fig. 1. Couche de gélatine (10°/o de gélatine et XA °/0 de peptone dans
de l’eau de conduite), avec colonies de Bacillus cyaneo-fuscus,
dans une boîte de verre, gw Paroi de la boîte, dg couvercle tourné
vers le bas. Les colonies, fortement liquéfiantes, consistent en

LA BIOLOGIE D’UNE BACTÉRIE PIGMENTAIRE.

279

une couche de bactéries bs , appliquée sur la gélatine ge ; tout
autour, se trouve la zone brune dz de la matière colorante diffusée
dans la gélatine, avec cristaux disséminés de carbonate de chaux.

Fig. 2. Œuf cuit dur et dépouillé de sa coque, avec plages d’inoculation
du B. cyaneo-fuscus , liquéfiées au centre. (Comp. fig. 6)

Fig. 3. Cultures de B. cyaneo-fuscus dans de l’eau de conduite contenant
% °/Q de peptone, à la température de 6° C.

a. Premier stade, ou stade vert, au cinquième jour après l’ino-
culation.

b. Stade bleu, au septième jour; la teinte brune est produite
par oxydation à partir de la surface et se change bientôt
en gris.

c. Stade brun, du neuvième jour.

d. Stade noir, au treizième jour.

e. Culture décolorée par l’oxydation lente sous l’influence de
l’oxygène de l’air; dérivée du stade noir, au bout de deux
mois, à la température de 6° C.

Fig. 4. Aspects des bactéries des cultures peptoniques.

a. Le liquide bleu du petit matras b fig. 3.

a, Bactéries incolores, vivantes, souvent mobiles.
g. Bactéries brunes, mortes.
y. Corpuscules de matière colorante bleue.
ô. Corpuscules de couleur foncée, à facettes cristallines.

b. Pellicule bactérienne, provenant d’une culture d fig. 3. Toutes
les bactéries sont vivantes et très uniformément unies en
une pellicule continue, dans laquelle on voit disséminées les
sphérites de matière colorante bleue.

Fig. 5. Cultures de B. cyaneo-fuscus sur gélatine (10°/o) dissoute dans
de l’eau de conduite.

«. Bactéries vivantes

3. Bactéries mortes, brunes.

y. Sphérites bleues.

J. Corpuscules de matière colorante bleue, à facettes planes.

s. Aiguilles cristallines de tyrosine (?) et druses cristallines de
carbonate de chaux.

Fig. 6. Culture sur l’œuf cuit de la fig. 2. Les bactéries sont fréquemment
agglomérées en masses membraneuses ou zoogléiques; on voit
figurées deux lamelles ainsi produites, colorées en gris uniforme.

Du reste, la masse est composée de bactéries vivantes, fusiformes
ou baculiformes, de corps bactériens morts, bruns, de corpuscules
de matière colorante noire, à facettes planes, et de sphérocristaux
du pigment bleu d’outremer.

280

LA BIOLOGIE D’UNE BACTÉRIE PIGMENTAIRE.

Fig. 7. Représentation demi-schématique de la structure du fromage et
d’une partie d’une „tache bleue” formée par le Bacillus cycmeo-
fuscus.

l. Cavités remplies d’air.

m. Ferment lactique.

y. Corpuscules de matière colorante noire et sphérites.
f. Gouttelettes de graisse.

h. Cellules de la levure Saccharomyces tyrocola.
t. Sphérites de tyrosine, elles-mêmes de couleur intense, en
tant que situées dans la tache.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES
TUYAUX À BOUCHE,

PAR

W. C. L. VAN S C H A I K.

(Mémoire couronné par la Société batave de philosophie expérimentale).

Le Mémoire suivant contient le résumé d’une étude expé-
rimentale qui a paru dans les actes de la Société Batave ,).
Les expériences qui y sont décrites se rapportent principale-
ment à la production du son dans les tuyaux sonores à
bouche.

Je me suis occupé surtout du courant injecté par la lumière
du tuyau. On peut observer les différentes phases de ce courant
comme il a été indiqué dans le Chapitre VII. Ces phases
montrent distinctement une asymétrie par rapport à la bissec-
trice de la figure entière décrite par le courant en vibration,
asymétrie qui est en relation avec la production du son.
L’étude vibroscopique du courant injecté permet de donner
une description exacte des courants observés par MM. Lootens
et Van Triclit.

Un autre phénomène, cité par M. van Tricht, s’explique
par l’expérience avec le „tuyau sensitif” parlant par réson-
nance (Chap. VI). Cette expérience peut montrer le rôle que
joue la résonnance dans la production du son.

Dans le Chapitre VIII on trouve la description des vibra-
tions composantes du courant aérien. Certaines particularités

1) Uber die Tonerregung in den Labialpfeifen (Janvier 1890). Rotterdam,
Van Hengel, 1891.

282

W. C. L. VAN SCHAIK.

concernant ces mouvements indiquent la cause d’un phéno-
mène remarquable et bien connu, que montrent les tuyaux
à bouche quand on renforce graduellement le courant aérien.

CHAPITRE I.

Introduction.

Le son des tuyaux sonores à bouche offre, au point de vue
physique, un double intérêt. En premier lieu, c’est l’onde
stationnaire, due à l’interférence de deux systèmes d’ondes
courantes, qui a été l’objet des recherches des physiciens
depuis D. Bernouilli et Lagrange. La description mécanique
de ces ondes forme un problème particulier, qu’on peut dis-
tinguer d’une autre question, relative à la manière dont le
courant injecté produit et entretient les vibrations de l’air.
C’est ce dernier problème que M. Gripon a en vue lorsqu’il
dit: „I1 n’est pas facile, dans l’état de la science, d’expliquer
clairement comment la veine d’air qui s’échappe d’une fente
et qui rencontre à une distance convenable un biseau, peut
mettre en vibration la colonne d’air qui remplit en tuyau
sonore”. ( Journ . de Phys . 1876, p. 321).

En réalité, les deux questions se combinent, dans le phé-
nomène du tuyau sonore, en un seul problème, qui, du point
de vue mathématique, est assez compliqué. En effet, il s’agit
de vibrations entretenues par le courant d’air injecté, tandis que
ces vibrations elles-mêmes règlent les forces qui sont exigées
pour l’entretien du mouvement. C’est une question analogue
à celle d’une horloge, où le pendule règle le mouvement de
de l’échappement, qui de son côté permet à l’énergie du
poids remonté d’actionner le pendule. Suivant cette analogie,
la colonne d’air en vibration dans le tuyau sonore forme le
pendule régulateur, tandis que le courant injecté joue le rôle
de l’échappement. Etudier les mouvements de ce courant
aérien, c’est étudier l’échappement du mécanisme en question.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 283

Les équations différentielles pour l’accélération de cette
classe de mouvements contiennent, outre les résistances et
la force réglant la vibration du système supposé libre, la force
qui restitue l’énergie perdue. Les particularités du cas dans
lequel cette dernière force est de la forme E cos pt , ont été
étudiées amplement. Les observations indiquent cependant
que le courant aérien exerce sur les vibrations dans les tuyaux
à bouche une force dépendant du temps d’une manière plus
compliquée.

J’ai préféré la voie expérimentale, et dans ce qui suit je
me suis borné essentiellement à l’étude des mouvements de
la lame d’air qui forme la partie active du courant injecté.

On sait que les théories de la production du son dans les
tuyaux à bouche se divisent en deux groupes. Suivant l’une
de ces théories le mouvement vibratoire de la lame d’air ré-
sulte directement de la rencontre du courant aérien, avec la
lèvre supérieure, de sorte que cette vibration peut exister in-
dépendamment de celle de la colonne -d’air du tuyau. Dans
ce cas on s’occupe des sons de ^frottement” ( vReibungstône ”)
étudiés par Masson, Sondhauss, Kohlrausch, Strouhal et autres.
Le tuyau joue alors le rôle de résonnateur; il renforce par
résonnance les sons de frottement qui correspondent à ses pro-
pres .sons. Cette opinion est soutenue aussi par M. Melde.

Sans vouloir introduire ici un „frottement” proprement dit,
on peut conserver ce nom, jusqu’à ce qu’on ait acquis une notion
plus précise du mouvement de l’air dans lequel consistent
ces vibrations.

Suivant les autres théories, le courant, sortant de la fente
entre le biseau et la lèvre inférieure, communique à la co-
lonne d’air une certaine impulsion, d’où naît une onde
stationnaire, qui ensuite règle le mouvement périodique de
la lame d’air elle-même. De cette classe sont la plupart des
théories exposées dans les cours. Je m’occuperai, en premier
lieu de la production des sons par le frottement.

284

W. C. L. VAN SCHAIK.

CHAPITRE IL

Production du son par le frottement.

Résonnance périodique d’un tuyau.

Pour démontrer le renforcement par résonnance des sons
dus au „ frottement”, on se sert par exemple d’une règle taillée
en biseau, L (voir la fig. 1. PL III), qu’on peut placer à une
distance convenable d’une fente K, d’où s’échappe un cou-
rant d’air étalé en plan. L représente ici la lèvre supérieure
du tuyau, K la ^lumière”. On règle la distance de ces deux
parties, ainsi que l’intensité du courant, de telle manière qu’on
entende un son distinct, dont la hauteur corresponde à celui
d’un résonnateur, qu’on approche ensuite peu à peu de l’ap-
pareil. On observe qu’à une distance de quelques cm. le ré-
sonnateur parle très-bien, tandis que l’intensité du son a crû
continuellement avec la diminution de la distance. Si le ré-
sonnateur a un son fondamental d’une hauteur très différente,
il ne parle qu’au voisinage de l’apparail décrit, de sorte que
le son fondamental est alors changé en même temps.

M. Melde a fait connaître un phénomène intéressant, qu’on
peut appeler la résonnance périodique d’un tuyau à bouche,
et qui est bien propre à appuyer sa théorie sur la manière
dont le tuyau commence à parler. Avec un tuyau ouvert
d’une longueur de quatre pieds, et à base carrée, il trou-
vait, qu’en augmentant peu à peu l’intensité du courant
aérien, les sons suivants se faisaient entendre dans l’ordre
indiqué :

1. ) Après un murmure profond et doux, dont la hauteur
augmente lentement, on entend le son fondamental, Ut2.

2. ) Celui-ci diminue en intensité, faisant des battements
avec l’octave.

3. ) Le son fondamental seul pour la deuxième fois, un
peu plus fort que d’abord.

4. ) Duodécime avec le son fondamental.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 285

5. ) Son fondamental pour la troisième fois,

6. ) faisant des battements avec l’octave.

7. ) l’Octave.

8. ) Son fondamental pour la quatrième fois, en pleine
force.

Le tuyau sonna donc quatre fois au ton fondamental. Le
phénomène, que ce son ainsi que les aliquotes se font entendre
et disparaissent plusieurs fois, a été formulé par M. Melde
de la manière suivante : „ Jeder Oberton einer Orgelpfeife kann
„erklingen, so oft er Oberton zu dem Reibungston des Anbla-
„sestromes wird; die Tonstârke eines Pfeifentons aber steigt
„um so mehr, je mehr dieser Ton ein Ton stàrkster Reso-
„nanz, d.h. unisono mit dem Reibungston ist. Das gleichzeitige
„Erklingen zweier oder mehrerer Obertône einer Pfeife ent-
„spricht aufs genaueste dem Gesetz der Resouanz.” ( AJcustik ,
page 252.)

J’ai répété l’expérience de M. Melde plusieurs fois, avec des
tuyaux de différente taille. En premier lieu, je prendrai un
tuyau ouvert d’une longueur de 4 pieds, à base rectangulaire
(8,5 x 7 cm.), et du son fondamental Ut2. En augmentant
peu à peu et soigneusement l’intensité du courant aérien, je
trouve les sons suivants:

1. ) Le son fondamental (Ut2), d’abord un peu plus
bas, mais s’élevant peu à peu.

2. ) Le son fondamental a disparu; des sons très-bas
(La,) se font entendre doucement, et s’élèvent jusqu’à la
hauteur du son fondamental.

3. ) Celui-ci pour la deuxième fois, plus fort qu’à l’ori-
gine, s’élevant toujours, et

4. ) faisant des battements avec l’octave (Ut 3 ou presque
Ut%) Tous les deux disparaissent. On entend un son très-
bas (à peu près Ut,.), s’élevant.

286

W. C. L. VAN SCHAIK.

5. ) Son fondamental pour la troisième fois, avec la
duodécime (Sol3). Celle-ci seule

6. ) Tous les deux ont disparu.

Le son fondamental apparaît de nouveau avec l’oc-
tave. Quelquefois on entend la deuxième octave (Ut , J.

7. ) Silence; on perçoit des sons très-bas (La, ) s’élevant
jusqu’au

8. ) son fondamental, qui se produit ainsi pour la cin-
quième fois.

9. ) Son normal, timbre plein, avec les aliquotes Ut3
et Sol3. Vient ensuite le phénomène compliqué de l’oc-
taviation, que, pour le moment, je passe sous silence.

Pour comparer les diverses phases du son par rapport à la
pression, je note ici les indications du manomètre ouvert à
eau, communiquant avec le pied du tuyau :

1.) lj mm., 3) 2^ mm., 4) d’abord 3f plus tard 4 mm.,
5.) 4.J mm., 6.) 52L à 6 mm., 8.) 9 à 16 mm., 9.) 40 mm.

Quand le tuyau parlait normalement, le pression dans le
sommier était de 86 mm.

Série des sons observés de la même manière avec un tuyau
ouvert en étain, l’Ut3 du Diapason:

1. ) Ut3 très-doux. Disparaît.

2. ) Un son un peu plus bas que le son fondamental,
s’élève jusqu’à Ut3 et plus haut encore.

3. ) Il s’y joint l’octave. Tous les deux disparaissent.

4. ) Ut5 et de nouveau Ut3.

5. ) Ut3 et Sol4, puis ce deuxième son seul.

6) Ut4, s’élevant peu à peu.

7. ) Silence. O11 perçoit le son fondamental, qui fait des
battements avec les aliquotes.

8. ) Son normal.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 287

Dans cette série j’observai donc quatre fois le son fonda-
mental Toutes ces expériences ont été répétées plusieurs fois.

Série des sons observés avec un tuyau ouvert en étoffe,
l’Ut2 du Violon:

1. ) Ut2, s’élevant un peu.

2. ) Silence. On perçoit distinctement un son très-bas,
à peu près Ut,, qui disparaît.

3. ) La duodécime Sol3.

4. ) Celle-ci disparait; on entend Ut3, et très-doucement
le son fondamental, ainsi que la deuxième octave.

5. ) Ces sons ont disparu. On entend des sons plus bas,
à peu près La,, qui s’élèvent jusqu’à

6. ) Ut2, son normal. Le son fondamental a été observé
trois fois.

Série des sons successifs observés avec l’Ut2 du Bourdon,
en étoffe.

1. ) Ut2, un peu plus haut.

2. ) Disparu. Un murmure doux, avec le ton Sol , s’élevant à

3. ) Ut2, plus fort que d’abord, s’élève et disparaît.

4. ) Des sons plus bas. commençant à peu près avec

5. ) Re,, et s’élevant à

6. ) Ut2, son normal.

Plus tard je reviendrai sur les sons qui se produisent lorsque le
courant d’air croît au-dessus de l’intensité normale. (Chap. VIII.)

Les expériences mentionnées montrent qu’en renforçant gra-
duellement le courant d’air, on peut produire trois, quatre et
même cinq fois le son fondamental, qui, de même que ses
aliquotes, est devenu plus fort après chaque pause. En même
temps, on observe que les sons en question sont d’une hauteur
très- variable, ce qui est bien connu pour le son normal. Tou-
iours il se produit aussi des sons très bas; après que le son

288

W. C. L. VAN SCHAIK.

fondamental a disparu, on entend souvent un son qui est
l’octave basse du fondamental, et qui s’élève toujours jusqu’à
ce qu’il acquière la hauteur de celui-ci. Le phénomène s’ac-
corde bien avec les vues de M. Melde.

La théorie complète de ces sons dus au frottement s’occupe
essentiellement de deux questions : la production du son et
le renforcement de celui-ci par la résonnance du tuyau. Ce
renforcement consiste dans l’action et la réaction de la colonne
d’air et du courant aérien. Pour le moment je laisserai de côté
cette action réciproque, parce qu’il en faut tenir compte aussi
dans les autres théories, dont je parlerai plus loin.

En quoi consiste cependant la vibration de l’air due au
„ frottement” ? Une expérience bien simple, avec l’appareil
fig. 1. (employé sans résonnateur) montre que le „frot-
tement” de l’air contre le prisme est accompagné de vibrations
qui sont rectangulaires par rapport à la lame d’air. En fixant
un fil (barbe) de duvet à la fente, ou en soufflant de la poudre
de magnésie par celle ci, on reconnaît que l’air dans le voi-
sinage du prisme entre en vibration „ transversale”. Cette vi-
bration croît continuellement si l’on répète l’expérience avec
le résonnateur décrit ci-dessus. Lorsqu’on souffle un tuyau très-
faiblement, de sorte qu’il ne parle pas, on peut observer des
vibrations très lentes, par. ex. 3 ou 4 par sec.; l’observation
est facile si l’on emploie un tuyau dont la bouche a une
hauteur convenable, p. ex. 3 cm. Ces vibrations transversales
existent du reste, comme on sait, quand le tuyau parle nor-
malement.

Ces expériences indiquent la route qu’on peut suivre pour
rechercher la cause des sons produits par le frottement de
l’air contre la lèvre supérieure. Je décrirai maintenent quel-
ques expériences qui sont bien propres à élaircir ce phénomène.
En même temps, elles montreront l’importance spéciale de
certains principes hydrodynamiques pour l’étude de l’acous-
tique.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 289

CHAPITRE III.

Sur quelques mouvements provenant de
changements périodiques de la pression aéro-
dynamique. Le frottement de l’air contre la
lèvre supérieure du tuyau.

Deux prismes mobiles P et Q sont disposés l’un près de
l’autre, au dessus d’un tube, comme l’indique la figure 2. En
soufflant de l’air par le tube, on observera que les prismes
sont poussés l’un vers l’autre. On trouvera aussi, en répétant
l’expérience avec un prisme unique, que ce corps, placé d’abord
un peu à côté de l’ouverture du tube, vient se mettre directement
en face de celle-ci. Les conditions correspondent essentiellement
à celles de l’expérience connue de Venturi, et le résultat se
conçoit aussi d’après un principe aérodynamique analogue à
celui de D. Bernouilli. Ces principes indiquent une diminution
de la pression hydrodynamique ou aérodynamique, diminution
par laquelle les expériences de Venturi et de Clément-Desor-
mes ont été expliquées depuis longtemps *).

Les expériences suivantes se rapportent pour la plupart à des
cas où la pression mentionnée subit des changements périodiques.
Nous verrons aussi que les phénomènes de cette classe doivent
être attribués en grande partie à l’entraînement de l’air ou du
liquide, qui se produit toujours dans le voisinage de la veine
liquide ou gazeuse.

Nous fixons un prisme rectangulaire à un ressort plat F
(figure 8), et nous le tenons devant l’ouverture d’un tube d’où
s’écoule une veine d’air, de sorte que le prisme peut osciller
dans un plan faisant un angle droit avec la direction du cou-
rant. Si le prisme se trouve d’abord un peu à côté du courant,
il sera poussé vers le milieu, et l’on observera bientôt qu’il
acquiert, dans cette direction, une vibration intense. L’expé-
rience se fait aussi très-bien avec des corps d’une autre forme,
par ex. avec des demi-cylindres dont le plan passant par l’axe

*) Ann. de Ghim. et de Phys. T. 36 [1872] p. 69.

290

W. C. L. VAN SCHAIK.

est parallèle à l’ouverture du canal, ou avec des cylindres
dont la base y est parallèle.

Cette expérience indique que la force motrice dépend du
sens du mouvement, et non pas seulement de la position du
corps. Pareille remarque s’applique, comme on sait, à tous les
cas où il y a des résistances à vaincre. Dans le cas actuel,
la force motrice est la résultante des pressions atmosphérique
et aérodynamique et de l’élasticité du ressort. Or, si le prisme
occupait successivement les positions A, B, C, de la fig. 4
avec une vitesse zéro, ces forces ne dépendraient que de la
position du corps. La résultante d’un tel système de forces
augmenterait l’énergie sur une partie AC du chemin et la
diminuerait de la même quantité pendant le mouvement op-
posé CA, de sorte que l’énergie perdue par les résistances ne
pourrait être restituée. Le corps serait donc, comme on sait,
dans le cas du pendule sans échappement dans un milieu
résistant.

Pour démontrer d’ailleurs que la force motrice dépend ici
du sens du mouvement, on peut construire le moulinet que
la fig. 5 représente au tiers de la grandeur naturelle Quatre
tiges montées sur un axe portent chacune un prisme. Ces
prismes peuvent se mouvoir à travers le courant aérien, comme
celui qui a été décrit ci-dessus, et comme l’indique la figure.
En communiquant au système une faible rotation positive ou
négative, on le voit prendre un mouvement rotatoire accéléré
dans l’un ou l’autre sens, de sorte que l’expérience prouve
que le signe de la force motrice dépend de celui de la vitesse
initiale.

Si le prisme (fig. 6) traverse le courant d’air en se mouvant
dans le sens de la flèche F, la pression aérodynamique sur
la face ^antérieure” x est moindre que pendant le mouvement
opposé. On le démontre au moyen d’un prisme percé d’un
canal xy, qui communique par z avec un manomètre et est
fermé en y. En faisant passer- ce prisme très-lentement à tra-
vers le courant, on peut constater pour chaque position une

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 291

pression déterminée ; si an contraire on le fait osciller avec une
vitesse notable et constante, on observe une forte évacuation
pendant le mouvement dans le sens de la flèche, et une di-
minution insignifiante pendant le mouvement opposé.

Pour égaliser les deux vitesses contraires, on fixe le prisme
à un pendule, que la figure 7 montre au 5ième de la gran-
deur naturelle. Le mouvement de ce pendule, qui peut tra-
verser la veine d’air verticale L, est ainsi entretenu par un
échappement pneumatique. Je trouve par ex. : diamètre in-
térieur du tube L 12 mm., distance minima du prisme et de
l’ouverture du tube 3 mm., diamètre du canal xy 2 mm., in-
dication du manomètre à eau communiquant avec la soufflerie
80 mm., durée d’une oscillation simple 1 sec., pression né-
gative” en x pendant le mouvement F 3 mm. (eau), pendant
le mouvement opposé 0,5 mm. De telles expériences, répétées
pour différentes positions de l’ouverture x , mettent en évidence
la force qui entretient le mouvement.

Quelle est maintenant la cause de cette différence de pres-
sion, dépendante du sens du mouvement?

On comprend qu’il faut un certain temps pour que le
courant d’air, après avoir été traversé par le prisme, regagne
son intensité primitive, de sorte qu’il est plus intense près
de la face „ antérieure” c.- à- d. en x (voir la figure 8), que
près de la face „ postérieure” (en y). L’évacuation produite en
x sera donc plus forte que celle en y. Dans le cas d’une veine
d’air limitée tout autour, cette différence est très-grande; au
voisinage du courant, des masses d’air sont continuellement
entrâinées, et l’évacuation produite en xy au moment où le
prisme rencontre brusquement le courant aérien, sera très
énergique.

Ce cas a d’ailleurs une certaine complication, qu’on évite
en plaçant le moulinet de la fig. 5 dans un courant d’air
cylindrique, comme l’indique la figure 9. Les prismes ne peu-
vent pas sortir de ce courant, qui par suite est indéfini dans
le sens du mouvement. Cet appareil montre une rotation ac-

Archives Néerlandaises, T. XXV. 20

292

W- C. L. VAN SCHAIK.

célérée positive ou négative, ayant le signe de la vitesse an-
gulaire qu’on lui à communiquée par la main.

En fixant des fils de duvet aux arêtes du prisme, ou en
expérimentant avec de la poudre de magnésie, on constate
que la surface limite du courant aérien a près de la face
„ antérieure” du prisme (en x) une autre forme qu’en y , comme
on le voit dans la figure 10. En x le courant s’incline plus
vers le prisme que près de la face „postérieure” (en y), ce qui
s’explique aisément. Cette différence dans la direction du cou-
rant aura pour effet que la pression aérodynamique en x sera
plus petite que celle en y: Un prisme P est placé dans le
courant L (figure 11.), qui rencontre la face AC et dont la
surface bordante se prolonge vers D. Le manomètre commu-
niquant avec le canal xz indique une certaine pression, qu’on
peut diminuer en soufflant dans la direction Lx , c.-à-d. en pres-
sant un peu le courant AD contre la face AB au moyen du
courant Lx, comme l’indique l’expérience. On le montre aussi
avec le prisme rectangulaire de la figure 12.

La diminution de la pression sur la face postérieure AB d’un
prisme (fig. 10), placé dans un courant L, est un fait bien
connu. Les expériences décrites ci-dessus montrent comment
cette pression peut dépendre du mouvement du corps au tra-
vers du courant, et qu’elle est plus petite lorsque la face AB
précède dans le mouvement que lorsqu’elle est tournée vers
le côté opposé; du moins, si la vitesse ne surpasse pas une
certaine limite. La pression sur la face AB en repos est in-
termédiaire entre les deux valeurs mentionnées. La différence
en question dépend du changement de l’intensité et de la
direction du courant rasant les faces du corps.

Ces phénomènes indiquent la cause de beaucoup de mou-
vements périodiques entretenus par des courants, et forment
ainsi une contribution à la doctrine des vibrations hydrody-
namiques, inaugurée par Bjerknes et d’autres.

Le courant d’air, rendu visible par la poudre de magnésie,

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 293

se courbe, vers la face d’un prisme qu’on en approche, comme
l’indique la figure 16. La cause en est évidente: des masses
d’air sont continuellement entraînées le long de la surface du
courant ascendant ; tant que le corps solide n’est pas dans le
voisinage, ces masses sont fournies par l’air ambiant, qu’on
empêche d’affluer du côté où l’on place le prisme, de sorte
qu’il se développe une évacuation latérale, dont on prévoit le
résultat. Le courant étant dévié vers le prisme, l’évacuation
peut augmenter considérablement, comme il suit de l’expérience
avec le prisme de la figure 11.

En approchant par ex. un cylindre d’une veine d’air ver-
ticale, on voit le courant se courber suivant la surface du corps,
et l’évacuation susdite peut être mise en évidence au moyen
d’un canal latéral xz communiquant avec le manomètre (fig. 14).
Le cylindre suspendu légèrement a côté du courant est poussé
vers celui-ci par la différence des pressions, et se trouve en
équilibre stable au milieu du courant, ce qui démontre la cause
du phénomène de la sphère flottant dans un courant ascen-
dant. 1 ) Avec des tiges minces cylindriques, on peut de nouveau
constater les vibrations transversales, comme cela a été dé-
montré par lord Rayleigh pour les cordes de la harpe éolienne. 2)

La forme des corps exécutant les vibrations mentionnées
n’est pas une chose indifférente. Par ex. le prisme de la figure 8
présente, dans une position retournée, des vibrations d’une
intensité moindre et qui souvent ne se produisent que sur le
côté du tube. Placé alors au milieu du courant, le prisme se
trouve en équilibre instable, ce qui se comprend aisément.
Cependant, des prismes en forme de biseau aigu, placés dans
des lames d’air, peuvent de nouveau exécuter les vibrations trans-
versales ; on les introduit, à cet effet, dans un courant sortant
d’un tube aplati, comme l’indique la figure 15.

Toutes ces vibrations sont souvent d’une fréquence extrême,

*) Comparer, sur ce phénomène, Reuleaux, Annales de Poç/gendorff\l,9,,\81G.

2) Phil. Mag. 1879.

20*

294

W. C. L. VAN SOHAIK.

ce qui prouve que les évacuations peuvent se faire en un
temps très-court.

Les surfaces courbes des courants se prolongent souvent en
tourbillons, qui peuvent renforcer les mouvements décrits. En
fixant par ex. au moulinet de la figure 9 des prismes de la
forme indiquée dans la figure 13, où le mouvement a le sens
de la flèche F, on peut constater que le courant ascendant en
A peut descendre en partie sur la face postérieure CB. Les
prismes montrent une rotation très-rapide. Toutes ces rotations
se distinguent de celles décrites par MM. Neesen 1 ) et Dvorak, 2)
qui se rapportent à des mouvements produits dans la direc-
tion des courants.

L’approche des corps solides, observée dans l’expérience
de Clément-Desormes, a été appliquée par Decharme dans
son hydrodiapason 3) ; d’autres phénomènes, comme celui de
l’expérience de Marx4), ainsi que les sons fréquemment pro-
duits par les robinets des conduites d’eau, se déduisent du
même principe.

On peut maintenant se former l’idée suivante de la ma-
nière dont se produit le son dû au „frottement” de l’air contre
la lèvre supérieure d’un tuyau. Soit C, fig. 17, un prisme placé
dans le courant d’air. A la rencontre, le courant se divisera
et il se formera des évacuations aux côtés du prisme, comme
il a été dit ci-dessus. Ces évacuations auront en général quelque
différence ; or, si la pression en x est plus petite que celle en
2/, le courant partiel en x sera un peu plus poussé vers le
prisme, de sorte que la partie supérieure du courant se déviera
un peu vers le côté B. Par suite, l’intensité du courant sur
ce côté ainsi que l’évacuation en y augmenteront un peu, et
prépareront de nouveau un mouvement opposé au premier.

*) Ann. de Wiedemann 1886.

a) Ann. de Wiedemann 1878.

3) Ann. de Ghim. et de Phys . V. T. 25.

4) Melde: Akustik , p. 115.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUY, ETC. 295

Puisque l'évacuation exige un certain temps, les forces qui
agissent sur la lame d’air dépendront du sens du mouvement
et cela de telle façon que les vibrations en seront entretenues.
De très-petites différences de pression suffiront pour produire
des vibrations dans la veine d’air; ces vibrations peuvent
aussi se former d’un côté du prisme. Le son dû à ces variations
de pression (ou, comme on dit, dû au frottement) sera d’au-
tant plus pur qu’il y aura sur la largeur de la lame d’air
plus de courants partiels ayant la même période. Suivant cette
théorie, le „frottement” du courant contre la lèvre supérieure
serait un phénomème réciproque de celui du prisme vibrant
de la figure 15. Si l’intensité du courant est augmentée, les
variations de pression se produiront dans des temps plus courts,
de sorte que les sons monteront, ce qui est conforme à l’ex-
périence.

CHAPITRE IV.

Sirène à vibration et Vibroscope pneumatique.

Sirène vibrante. Les phénomènes décrits dans le chapitre précé-
dent conduisent à la construction d’une sirène ou d’une anche de
forme particulière. A une petite distance de l’ouverture d’un
tube aplati se trouve un prisme métallique porté par un ressort,
de sorte que l’ouverture est à demi couverte par le prisme.
La disposition est représentée dans la figure 18. Si l’on souffle
de l’air par le tube, le prisme entre en vibration. De même
que dans la sirène, le courant d’air est périodiquement inter-
rompu par un corps se mouvant transversalement à travers
ce courant. L’anche, figurée en grandeur naturelle, donne
Ut Le tube est ouvert et fermé une fois pendant une
vibration double. En prenant un prisme d’une largeur
moindre, on fait ouvrir le tube deux fois par vibration double ;
dans ce cas, l’octave acquiert une plus grande intensité.

Je me suis servi de cette disposition pour mes recherches

296

W. C. L. VAN SCHAIK.

sur le mouvement de Pair dans les tuyaux sonores, ainsi que
je l’expliquerai bientôt.

Quant à la production du son, on démontre facilement que
celui-ci résulte non pas directement de la vibration du prisme,
mais de la périodicité du courant d’air, comme cela est aussi
le cas pour les autres anches et pour la sirène. Les forces
qui entretiennent le mouvement du ressort se déduisent des
phénomènes étudiés dans le chapitre précédent, comme nous
l’apprend le pendule aérodynamique. Cependant, on pourrait
penser que ces vibrations résulteraient directement des con-
densations et des dilatations qui se succèdent dans le système
d’ondes sonores partant de l’anche et traversant l’air ambiant,
de même que cela a été supposé dans le cas des anches bat-
tantes et libres. Mais, en éloignant lentement du tube le ressort
avec le prisme vibrant, et le promenant dans la direction même
du courant, on peut constater que l’amplitude des vibrations
ne change pas beaucoup et qu’elle atteint souvent un maxi-
mum à une distance de quelques millimètres du tube. On
l’intensité du son ainsi que les condensations et les dilatations
sonores ont été diminuées considérablement pendant cette ex-
périence, de sorte que le son a presque disparu.

Cette sirène à vibration peut être aussi mise en mouvement
par un courant d’eau, sortant au-dessous delà surface du liquide,
comme dans la sirène ordinaire. Souvent je l’ai fait parler
au moyen d’un jet de vapeur à haute tension. Dans les deux
cas je me suis servi de ressorts en acier d’une épaisseur de
1 à 3 mm.

La pression de l’air peut subir une variation beaucoup plus
grande que dans le cas des anches ordinaires, battantes ou
libres, qui se ferment bientôt si la pression de l’air augmente.
L’amplitude d’oscillation de la disposition décrite peut donc
surpasser de beaucoup celle des autres anches

Vibroscope pneumatique. La méthode vibroscopique indiquée
par Plateau a été perfectionnée par M. Mach, qui remplaça
le disque tournant par le diapason électro-magnétique. Par

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 297

cette modification la période de la lumière intermittente a été
rendue constante sans l’intervention d’un mécanisme trop
compliqué. Cette constance de la période est, comme on sait,
nécessaire. Car les phases de l’objet étudié peuvent être
observées aussi bien dans un sens direct que dans un sens
rétrograde. Le premier cas se présente par ex. lorsque la pé-
riode de la lumière intermittente est un peu plus grande que
celle de l’objet, le second cas se trouve dans les conditions
opposées. D’ailleurs, on veut souvent contrôler ces conditions
et régler la période des oscillations apparentes rendues lentes
par le procédé optique.

Le vibroscope à diapason électro-magnétique a été employé
par Tôpler et Boltzmann dans leurs recherches sur les tuyaux
sonores. L’amplitude du diapason étant médiocre, on fait les
fentes lumineuses très-étroites, ce qui n’est pas un obstacle
si les mouvements sont projectés au moyen d’une lumière
très-intense. Lorsque cette intensité est moindre, et aussi dans
le cas de l’observation subjective, la petite largeur des fentes
n’est pas désirable. Je me suis construit la disposition indiquée
dans la figure 19 en grandeur naturelle. Un ressortvA B porte
à son extrémité A un petit prisme ou une lame mince re-
courbée à angle droit. De plus, une autre lame très-légère P,
où est pratiquée la fente O, est fixée sur le ressort. Dans une
plaque Q, se trouve la fente immobile, d’une largeur un peu
plus petite. Le bord de la lame P est en partie recourbé, pour
la rendre plus solide.

L’air est amené par le tube R au moyen d’un tube en
caoutchouc. La touche correspondante à la soupape de la
soufflerie est pressée par un coin à angle aigu, de sorte qu’on
peut régler l’intensité du courant et l’amplitude du ressort
A B. L’extrémité du ressort est encastrée dans une pièce de
métal C, et le ressort lui-même peut être serré entre deux
pièces mobiles D, qui servent à l’accorder. Dans la position
figurée, l’instrument donne l’Ut— 1, et l’amplitude de l’ou-
verture O s’élève à 20 mm. avec un courant d’air très-faible.

298

W. C. L. VAN SCHAIK.

L’appareil est vissé devant l’objet à étudier ou bien tenu à
la main.

La période peut rester constante pendant longtemps, de
sorte qu’une anche d’un ton déterminé, soit Ut , , est observée
en repos à travers la fente O. L’amplitude du ressort étant
assez grande, la constance de la période doit tenir à ce que
la courte impulsion qui entretient le mouvement est donnée
au moment où la vitesse est maximum ; comme c’est le cas
pour l’échappement des chronomètres.

Dans l’emploi de l’appareil il faut avoir égard à l’erreur
parallactique du vibroscope, étudiée par Tôpler. Or, cette er-
reur dépendant de l'angle entre la direction de la vibration
de l’objet et celle de la vibration du vibroscope, on peut,
en tournant celui-ci, se convaincre si on l’a éliminée suffisam-
ment par les moyens connus.

J’ai trouvé le vibroscope pneumatique propre à l’observation
de mouvements d’environ 30 à 300 vibrations doubles par
seconde; on conçoit que, l’amplitude n’étant pas trop petite,
le vibroscope peut être accordé à un ton de une de deux ou
de trois octaves plus bas que celui du corps étudié.

Il est facile d’adapter un tel vibroscope à la projection par
une lumière de médiocre intensité. Je me sers à cet effet
d’un appareil à projection de Duboscq, avec lequel les rayons
lumineux, avant de former l’image, se concentrent en un
faisceau de trois mm. de diamètre. La direction du courant
d’air fait un angle droit avec la longueur du ressort, comme
dans la figure 3. La largeur de la fente lumineuse est de trois
mm. Un tuyau sonore est placé entre la lentille de la lanterne
et le système optique de projection ; on a enlevé une petite
partie des parois près de la bouche du tuyau, pour faire
passer la lumière, émanant d’une lampe de Drummond. On
fixe des fils de duvet dans le courant d’air; comme on le
verra plus tard (Chap. VII), ces fils peuvent montrer les mouve-
ments du courant. Le vibroscope est ensuite placé entre le sy-
stème optique et l’écran. Le tuyau donne par exemple Ut1} et le

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 299

vibroscope un ton un peu plus bas que Ut_i. Au moyen de cette
disposition, les mouvements de la lame d’air sont rendus visibles
à grande distance. *)

CHAPITRE V.

Production du son par une impulsion dont la
fréquence est due directement à l’onde
sonore.

Les théories, qui attribuent la vibration du courant aérien
au „frottement” de l’air sont opposées à celles suivant les-
quelles cette vibration est occasionnée dès le commencement
par l’onde sonore. L’explication du phénomène, telle qu’on
la donne dans la plupart des cours * 2), appartient à cette der-
nière classe de théories. De ce type est aussi l’explication qu’on
trouve dans le célèbre traité de M. Helmholtz 3); on peut y
ranger ensuite les théories de M. Sonreck, de M. H. Smith,
au moins en ce qui regarde le partie essentielle, et peut-être
l’explication de M. van Tricht.

Expériences de M. Sonreck. Suivant M. Sonreck 4 ), le courant
aérien sortant de la lumière du tuyau, et se dirigeant un peu
en dehors, entraîne une partie de l’air intérieur, et évacue
donc la partie inférieure du corps du tuyau, jusqu’à ce que
la différence entre les pressions atmosphérique et intérieure
soit devenue assez grande pour refouler la lame d’air en
dedans ; ainsi, l’évacuation est en partie compensée. Ces
impulsions font naître une onde qui parcourt la colonne d’air,
est réfléchie au bout, et, revenant à la bouche, exerce une
influence sur le courant, de sorte que l’évacuation susdite se

1) Des vibroscopes à projection sont construits, suivant les principes
exposés ci-dessus, par M. van der Zwalm, mécanicien de la Société Batave
à Rotterdam.

2) Par ex Biot: Traité de Physique , p. 114.

3) Lehre von den Tonempfindungen , 4e édition (1877).

4) Pogg . Ann., T. 158, p. 129.

300

W. C. L. VAN SCHAIK.

répétera suivant la période même de Fonde stationnaire ré-
sultant de l’interférence des deux systèmes qui traversent
le tuyau.

Lorsque le courant est dirigé d’abord plus en dedans, le
premier effet est un entraînement de l’air vers l’intérieur du
tuyau. Dans ce dernier cas, M. Sonreck constate une petite
élévation permanente de pression à l’intérieur du tuyau, dans
le premier cas, une petite évacuation permanente. L’expérience
indique en effet que, dans ce premier cas, le courant entraîne
de l’air du tuyau. Cela se comprend immédiatement pour les
tuyaux fermés; les expériences de M. Sonreck l’amènent à
conclure qu’aussi dans le cas des tuyaux ouverts une masse
d’air, à peu près égale à celle du courant injecté, s’échappe
de la bouche du tuyau.

Suivant M. van Tricht, la pression permanente à l’intérieur
d’un tuyau parlant est toujours ou plus grande ou plus petite
que la pression atmosphérique, selon que le tuyau est fermé
ou ouvert. Ceci se trouve donc partiellement en opposition
avec les résultats de M. Sonreck.

Expériences de M. H. Smith. On sait que la théorie conduit
à admettre que la masse du courant injecté est périodique-
ment déchargée en dehors et en dedans, et que le courant
même fait ainsi des vibrations analogues à celles de la lan-
guette d’un tuyau à anche; car les vibrations ,, longitudinales”
de la colonne d’air s’opèrent près de la bouche dans une di-
rection qui fait à peu près un angle droit avec la direction
initiale du courant: „ainsi, dans tous les modes d’oscillations
„que pourra prendre la colonne d’air vibrante, la lame mince
„ d’air qui affleure son orifice, et que l’on peut considérer
„ comme sa première couche, ne fera qu’entrer un peu dans
„le tuyau, et en sortir tour à tour.” (Biot, Physique , p. 114.)

M. H. Smith a démontré l’existence de ces vibrations, en
tenant des feuilles minces de papier ou de bois dans le courant.
Il dit: „It has been customary with me for several years,
„wlien occasion invited it, to demonstrate to my musical friends

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 301

„the pliysical action existing in the sounding organ-pipe, to
,,show them, taking up a chance woodshaving lying on the
„floor of the workshop or a strip of tissuepaper, that, hete-
,.rodox thongh the teaching be, the stream of air at the m outil
„of the organ-pipe constitutes a free reed ; visible before them
„the filmlike woodshaving is drawn into the motion of the

„air, then to show them that the air-moulded tongue obeys

„every law of the free reed, has its own definite rate of vi-
bration, that the cnrrent is so directed, that it shall pass
„not strike the lip, that it is an air-moulded or aeroplastic
„reed as definitely fashioned in substance, strength, proportion
„and form as métal reeds are to produce a required deter-
„mined rate of vibration” 1 ). — La direction de ces vibrations
se trouve, comme on sait, en pleine harmonie avec les thé-
ories connues. Nous verrons cependant que la lame d’air doit
se mouvoir d’une manière beaucoup plus compliquée que la
languette d’un tuyau ou d’un harmonium.

D’ailleurs M. Smith, comme M. Sonreck, attribue une grande
importance à l’évacuation. Il dit: „The reed must be bent
„ before it will vibrate. To cause this flexure the only alter-
native is raréfaction. The act of rarefying occupies time,

„it takes place within the pipe ” 2). La notion de cette

évacuation, introduite séparément par chacun des deux expé-
rimentateurs, est, sans contredit, ce qu’il y a de plus marquant
dans leur théorie.

Expériences de MM. Lootens, van Tricht , Schneebeli et Kiessling.

Les recherches de MM. Lootens et van Tricht 3 ) ont montré
que la partie du courant, qui est dirigée à l’intérieur du tuyau,
se meut d’une manière particulière. Le courant, après avoir
rencontré la lèvre supérieure, se divise ordinairement en deux
parties; l’une, le „courant principal”, se dirige à l’extérieur,
l’autre, le courant dérivé, se meut vers la paroi postérieure,

D Nature , 1873.

2) Nature , 1874, p. 162.

3) Journal de Physique , 1877, p. 53.

302

W. C. L. VAN SCHAIK.

et en descendant retourne vers la bouche du tuyau, de sorte
qu’elle décrit une ligne courbe en forme de boucle. La figure
20 représente la marche des courants.

Si le tuyau ne parle pas, le courant dérivé sortant par la
bouche ne jaillit pas au dehors, mais se mêle insensiblement
et se fond avec le courant principal; c’est le cas auquel se
rapporte la figure 20. Si au contraire le tuyau parle norma-
lement, le courant dérivé ne se mêle pas avec le courant
principal; il prend une position distincte et plus inclinée, de
sorte qu’on voit les deux courants se traverser l’un l’autre,
comme l’indique la figure 21. La saillie du courant dérivé
est ainsi liée au phénomène sonore.

A cette direction particulière du courant se rapporte une
expérience de M. Smith: „Place within the pipe at the back
„of the mouth some fine filament of cotton, or fluff, or down ;
„advance them from the interior to the inner edge of the
„windway, and you will see them shot with energy not up-
„ward into the pipe, but outward full in your face with an
„unmistakable trajectory”. *)

Pour ces expériences on insuffle de la fumée ou une poudre
dans le tuyau ; ou bien on se sert de corps légers suspendus
à l’intérieur.

En décrivant la direction particulière du courant dérivé,
M. van Tricht observe avec raison que la saillie de ce cou-
rant est un phénomène périodique. Puis il continue : „Mais
„si la saillie du courant dérivé est régulièrement intermittente,
„il se trouve qu’en fait le courant injecté est interrompu, à
„des intervalles de temps égaux entre eux, par le passage du
„ courant dérivé; en d’autres termes, que le courant dérivé
„ sortant fait sur le courant injecté l’office du plateau inter-
rupteur d’une sirène.”

Cette représentation du phénomène me paraît cependant
peu probable. En effet, les masses d’air qui se suivent dans

1) Nature , 1874.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 303

le courant dérivé n’auront certainement pas une résistance
suffisante pour arrêter périodiquement le courant injecté,
dont l’intensité est relativement grande. D’ailleurs les variations
de la pression près de la bouche du tuyau sont presque in-
signifiantes, ce qui ne serait pas le cas si le courant injecté
était périodiquement interrompu. Nous verrons plus loin que
l’aspect des deux courants qui se traversent mutuellement
résulte de la vibration de la lame aérienne et de l’entraînement
de l’air le long de ce courant.

Je rappellerai encore une belle expérience de M. Schneebeli 1 ),
confirmée par M. Kiessling 2). Si l’on dirige le courant injecté
un peu en dehors, en forçant la lèvre supérieure un peu en
dedans, on arrive à un certain point où le tuyau ne parle
plus quand on le souffle de nouveau. En excerçant alors une
pression extérieure sur la lame d’air, on produit subitement
le son, et le tuyau continue ensuite à parler, même lorsque
la pression cesse. Cette expérience est certainement très propre
à éclaircir le phénomène de la production du son.

Un pareil tuyau à lèvre recourbée offre encore un phéno-
mène fort intéressant, qui a été communiqué par M. Kiessling 3).
Si, après avoir conduit l’air au tuyau, on frappe celui-ci énergi-
quement, le son se produit tout d’un coup. Un tel fait était
déjà connu de MM. Lootens et van Triclit4): „On observe
„ce fait sur des tuyaux singuliers, qui, revêches aux courants
„ aériens les plus intenses, exigent pour parler qu’on mette
„ violemment leurs parois en vibration par un choc vif, un
„coup de marteau par exemple, appliqué en plein milieu d’un
„ventre.”

U Ann.de Pogg., T. 163, page 301.

2) Beiblàtter z.à. Ann. der Phys.u. Chem., T. 9, page 713.

3) l.c.

4) l.c .

304

W. C. L. VAN SCHAIK.

CHAPITRE VI.

Expériences sur la pression et les courants
intérieurs. Tuyau sensitif, dont le son
se produit à distance.

Les courants. En premier lieu, je m’occuperai des courants
décrits par MM. Lootens et van Tricht.

La figure 22, au quart de la grandeur naturelle, représente
ces courants dans un tuyau ouvert, dont la paroi postérieure
est en verre; longueur du tuyau = 65 cm., côté de la base
carrée = 6,1 cm. Le courant dérivé s’élève à 7 cm. au-dessus
du biseau, puis, descendant le long de la paroi postérieure
et glissant sur le biseau, il traverse le courant principal,
comme il a été dit. Une partie du courant dérivé suit un
cours à part, en formant à une hauteur de 18 cm. une
seconde cyclone.

La figure 23 montre en grandeur naturelle une partie des
courants dans un tuyau ouvert de seize pieds, l’Ut grave
(Ut— i) d’une contre-basse. On peut les suivre facilement à
l’aide de fils de duvet attachés à des tiges minces métalliques.

Dans la figure 24 sont représentés en grandeur naturelle
les courants existant près de la bouche d’un petit tuyau fermé,
PUt8 d’un bourdon. Us ont été rendus visibles en déposant
de la poudre de magnésie dans le pied du tuyau.

On peut constater qu’une partie du courant dérivé, après
avoir „ traversé” le courant principal, descend et retourne à
la bouche, où elle s’ajoute à l’air injecté. Le courant dérivé,
en sortant de la bouche, entraîne le long de sa surface des
masses d’air, de sorte qu’il se fait une évacuation partielle,
d’où s’explique la forme curviligne du courant de retour S.

L’expérience suivante est bien propre à faire voir que les
courants en question sont liés à la production du son; en
même temps, elle peut indiquer la différence entre le son pro-
duit par le frottement de l’air et le renforcement de ce son
par le résonnateur.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 305

Une petite plaque, sur laquelle se trouve un peu de poudre
de magnésie, P (figure 25), est portée près de l'appareil re-
présenté dans la figure 1. La poudre n’est pas encore entraînée
par l’air passant par le tube de l’appareil. De l’autre côté de
celui-ci approchons maintenant un résonnateur R. Dès que le
résonnateur parle, la poudre s’envole, une partie se mêle avec
le courant injecté par le tube, une autre partie est jetée dans
le résonnateur. Le courant qui pénètre dans l’intérieur est ici
bien distinct.

En posant de petits corps légers devant la bouche de tuyaux
parlants, on constate fréquemment qu’ils sont jetés dans les
tuyaux, où ils décrivent des courbes analogues à la cj^clone
inférieure de la figure 22. Naturellement, on préfère pour cet
effet des tuyaux de grandes dimensions.

Nous tenons encore une tige métallique, garnie de fils de
duvet, près des endroits marqués par M (dans les figures 23
et 24) ; les fils s’y enroulent rapidement autour de la tige, dans
le sens des flèches. Avec les grands tuyaux ouverts, de 32
pieds, ces courants sont très-intenses, la tige métallique tenue
légèrement à la main est entraînée dans le tourbillon, de
façon à décrire une surface conique.

Dans la figure 26, on trouve une représentation plus com-
plète des courbes et des „ cyclones”. L’observation strobosco-
pique, ou la photographie instantanée, nous apprendra de
quelle manière doit être considéré l’entre-croisement des
courants.

La pression intérieure. Quant à la mesure des pressions de
l’air intérieur, desquelles se sont occupés MM. Sonreck, Lootens
et Van Tricht, elle est rendue un peu difficile à cause des cou-
rants. Je me suis borné à mesurer la pression au-dessus du
biseau et, dans les tuyaux bouchés, aussi près du bout
supérieur.

Je donnerai ici quelques-uns des résultats obtenus. Les
chiffres (p) indiquent la différence entre la pression intérieure

306

W. C. L. VAN SCHAIK.

et la pression atmosphérique, en millimètres du manomètre
ouvert à eau. Souvent je me suis servi d’un manomètre à
capsule.

Tuyaux ouverts.

4 pieds, Ut2 p — — i mm*

2 pieds, Ut3 p = — { „

1 pied, Ut, ....... p = — | „

l pied, Ut3 P = — H »

Tuyaux bouchés.

2 pieds, Ut2, au dessus du biseau p = + mm., au bout sup. p — + £ mm .

1 pied, Ut3, // h n p — — f- 1- " * » u p — - f-1 //

£ pied, Ut4, // // // p = - \-\{u u n n p — - f-2 //

petit tuyau, Sol 4, // n n p = + 1| // n /> n p = + 2 »

pression dans le sommier = + 85 mm.

Dans ces exemples se trouve donc confirmée la règle don-
née par M. van Tricht, à savoir que, dans les tuyaux ouverts,
la pression de l’air près de la bouche est plus petite que la
pression atmosphérique, tandis que dans les tuyaux bouchés
la première de ces pressions surpasse la seconde. D’ailleurs,
la différence est d’autant plus grande que le tuyau est plus
court. J’ai aussi trouvé le même résultat avec d’autres tuyaux.

Pourtant, cette règle n’est pas générale, comme il ressort
de l’expérience suivante. Je prends un petit tuyau bouché
donnant le Sol4, et je mesure la pression au moyen d’un tube
encastré dans le couvercle ; la différence de la pression est à
peu près = -h 2 mm. Je recourbe la lèvre supérieure un peu
en dedans, la différence de pression se réduit successivement
à -h 1mm., à imm., et à zéro; à ce dernier point, la pres-
sion est donc — 1 atm. ; le tuyau parle maintenant très-mal ;
je continue à forçer la lèvre, le tuyau parle de nouveau, et
la diff. de pression devient égale à — |, — 1, — l}mm.; ainsi,
la pression intérieure est alors plus petite que celle de l’at-
mosphère. Cela concorde avec les résultats de M. Sonreck.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 307

Nous envisageons toutefois la pression mesurée comme la som-
me algébrique de grandeurs positives et négatives se succédant à
chaque vibration de la colonne aérienne ; et de ce point de vue
l’expérience indique que la valeur absolue de la somme des gran-
deurs de même signe change avec la position de la lèvre supérieure.
Les recherches du chapitre suivant confirmeront cette manière de
voir.

Au reste, la grandeur de la pression mesurée ne me semble
pas de beaucoup d’importance. La même remarque s’applique
à la direction d’un faible courant qui peut traverser un tuyau
ouvert suivant sa longueur. On sait aussi qu’une membrane
tendue au milieu d’un tel tuyau ne l’empêche pas de parler.

Influence des parois. — Selon M. van Tricht, les parois du
tuyau ont une importance spéciale pour la production du son.
Il fait des expériences très-intéressantes pour prouver que ces
parois sont en vibration tant que le tuyau parle. On sait
d’ailleurs que les tuyaux de grandes dimensions ne laissent
aucun doute sur ce point.

C’est ce qu’on pouvait prévoir. En effet, l’existence des ondes
dans la colonne aérienne est intimement liée à la résistance
que les parois offrent aux vibrations de l’air. Or les changements
périodiques des pressions dans les nœuds sont assez grands, *) de
sorte que le résultat se comprend. Pour que le tuyau parle bien,
il faut aussi que les parois soient d’une solidité suffisante.

A proprement parler, la théorie ne saurait être complète
si l’on n’a égard à tous les milieux ambiants. On devrait
donc étudier non seulement les vibrations de l’air intérieur
et extérieur, mais aussi celles de la substance des parois ; il s’agit
cependant de décrire les causes dont l’importance pour la
production du son est dominante. Or la vibration des parois
est un phénomène appartenant au mécanisme de l’onde so-
nore qui résulte de l’interférence de deux ondes se mouvant
en sens opposés ; et il serait quelque peu partial de dire que
les vibrations de l’air sont produites par celles des parois.

0 Kundt, Ann. de Pogg. T. 134.
Archives Néerlandaises, T. XXV.

21

308

W. C. L. VAN SCHAIK.

En premier lieu, M. van Tricht remarque que la saillie du
courant dérivé est liée au son normal du tuyau: tant que le
tuyau ne parle pas, ce courant se mêle avec le courant prin-
cipal. Ensuite, il démontre qu’un coup, appliqué à la paroi
mince d’un tuyau parlant mal, pousse en dehors le courant
dérivé. Il rappelle encore qu’il y a des tuyaux qu’on peut
forcer à parler en les frappant, et que les parois des tuyaux
rendant un son normal sont en vibration, puis il demande:
„ Serait-il téméraire, en présence de ces faits, de considérer
„le jailissement du courant dérivé sortant comme une suite
^nécessaire et immédiate de la vibration des parois du tuyau
„sonore?” Cette manière de considérer le phénomène conduit
ensuite à la théorie mentionnée dans le chapitre précédent.

Tuyau sensitif, parlant à distance. — Qu’ est- ce que produit
le coup appliqué à la paroi du tuyau?

Ce sera un mouvement ondulatoire de l’air, traversant la
colonne, et se réfléchissant aux bouts de celle-ci. On sait, en
effet, qu’un pareil coup fait entendre pendant un temps court
le son fondamental d’un résonnateur quelconque, c’est-à-dire
qu’il s’y forme une onde stationnaire. Or ce son fondamental
se forme aussi dans le résonnateur lorsqu’on fait entendre à
distance un son d’égale hauteur.

Si maintenant l’action particulière du coup faisant sonner
le tuyau consiste en la production d’une telle onde, il sera
possible aussi de faire parler ce tuyau en émettant à quelque
distance le son fondamental. C’est ce que nous allons faire.

Prenons un tuyau ouvert en étoffe, de quatre pieds de lon-
gueur et de faible section, l’Ut2 d’un violon, et recourbons
la lèvre supérieure un peu en dedans, de sorte qu’en souf-
flant le tuyau nous trouvions qu’il ne parle plus.

Amenons l’air au tuyau et soufflons légèrement sur la bouche,
de façon que la lame d’air soit pressée dans l’intérieur ; aussitôt
le tuyau parle. Le son disparaît si l’on souffle dans le bout
ouvert. C’est l’expérience de M. Schneebeli.

Nous faisons aussi parler ce tuyau en le frappant. La lame

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 309

d’air étant dirigée trop en dehors, l’expérience de MM. Lootens
et Van Tricht semble indiquer déjà que la production du
son doit être attribuée dans ce cas à une onde sonore sta-
tionnaire. Car si l’action du coup consistait à expulser un
peu d’air, ou s’il n’occasionnait qu’un mouvement dirigé en
dehors, la direction de la lame d’air deviendrait encore plus dé-
favorable. Après un temps très court l’impulsion initiale cau-
sera toutefois, comme on sait, un mouvement vibratoire, qui
forcera la lame de rentrer dans le tuyau. . *

Nous conduisons de nouveau l’air au tuyau muet. A une
distance de trois ou quatre mètres nous soufflons un tuyau
du même son (Ut2), soit un bourdon, un principal ou un tuyau
à anche. Aussitôt, le tuyau modifié parle, et il continue à
parler après que le son extérieur a cessé entièrement. Nous
trouvons même que, pour faire parler le premier tuyau, il suffit
de produire l’octave (Ut3) à quelque distance.

Au-dessus de la lumière du tuyau modifié nous fixons un
fil de duvet bien flexible, qui rendra visibles les mouvements
de la lame aérienne. Tant que le tuyau ne parle pas, on en-
tend un doux murmure, et le fil effectue des oscillations très-
petites, qui ne s’étendent pas jusqu’à la lèvre supérieure. Main-
tenant, on produit à plusieurs reprises le son fondamental à
distance, en augmentant très graduellement la force; les os-
cillations du fil devrennent plus grandes, et aussitôt que le
son extérieur a une hauteur et une intensité suffisantes, on
les voit atteindre et dépasser la lèvre, et le tuyau parle.

Il faut que le son extérieur soit d’une hauteur bien déter-
minée. Souvent on peut produire un son de grande intensité,
mais dont la hauteur diffère un peu de celle du son du tuyau?
sans que celui-ci parle.

Ces expériences sont bien propres à éclaircir le principe
de la théorie. Car c’est ici l’onde stationnaire, développée
dans la colonne d’air, qui force la lame aérienne de faire
des vibrations de la même période ; lorsque celles-ci sont
devenues assez grandes pour dépasser le bord de la lèvre su-

21*

310

W. C. L. VAN SCHAIK.

périeure, le courant injecté devient la source de l’énergie qui
renforce et entretient les vibrations de la colonne d’air. Sou-
vent on peut déjà entendre très-distinctement le son fonda-
mental dans le murmure qui se produit avant que le tuyau
ne parle. Ainsi la source sonore extérieure est capable d’évo-
quer le son normal du tuyau, alors que le frottement de l’air
à la lèvre supérieure ne sera pas en état de le faire parler.

Il est en général très-facile de construire un „tuyau sensitif”,
mais il arrive souvent qu’on n’atteigne pas le plus haut degré
de sensibilité en se bornant à recourber la lèvre supérieure.
Je décrirai ici, comme exemple, la construction d’un tuyau
très- sensitif.

On prend un tuyau ouvert en étoffe, de deux pieds (Ut3)
et de menue section (diamètre intérieure 3 2 mm.) On le met sur le
sommier, en ayant soin qu’après l’opération il reste l’occasion
de régler la pression de l’air. La lèvre supérieure est alors
recourbée uniformément en dedans, jusqu’à ce que le tuyau
soit devenu un peu sensitif; puis on règle la largeur de la
lumière et en même temps de nouveau la position de la lèvre
supérieure, de telle sorte qu’on perçoive légèrement la duodé-
cime (Sol4) dans le murmure qui se fait entendre, et que le
tuyau soit près de parler. Ensuite, on portera la sensibilité
au degré convenable, en réglant la pression de l’air.

On peut facilement faire parler un tel tuyau à une distance
de vingt ou trente mètres, en produisant le son fondamental
au moyen d’un tuyau à bouche ou à anche.

Cette expérience, dans laquelle l’onde excitée dans la colonne
d’air fait vibrer transversalement la lame aérienne, forme un
pendant aux expériences connues de M. Tyndall, où une onde
traversant l’espace ambiant fait vibrer longitudinalement des
flammes ou des jets de fumée.

Pour la construction du tuyau sensitif il est préférable de
prendre un tuyau dont le biseau ne soit pas muni de ces
petites entailles qu’on y trouve souvent sur le bord antérieur.

Il est également possible de construire le tuyau sensitif en

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUXAUX, ETC. 311

forçant la lèvre supérieure un peu en dehors ; mais, dans ce
cas, je n’ai pas trouvé la sensibilité aussi grande.

Je donnerai ici un aperçu de quelques expériences, nouvelles
ou connues, qui se rapportent à ce sujet. Le tuyau sensitif
à lèvre recourbée en dedans est amené à parler:

1°. au moyen d’un son extérieur de hauteur convenable, et
produit soit en chantant, soit au moyen d’un tuyau, d’un
diapason avec résonnateur, etc.;

2°. en soufflant légèrement sur la bouche (expérience de MM.
Schneebeli et Kiessling),

3°. en frappant le tuyau (exp. de MM. Lootens en Van Tricht,)
4°. en aspirant l’air au bout supérieur,

5°. en mettant une lame métallique sur la lèvre supérieure,
6°. en tenant une flamme près de la lèvre inférieure.

On comprend aisément les deux derniers effets.

On fera taire le tuyau parlant:
en soufflant légèrement dans le bout supérieur, — en aspirant
l’air à la bouche; — en tenant une lame ou la main près
de la bouche, ce qui cause aussi une évacuation (voir la fig. 16),
— en dirigeant une lame d’air de haut en bas sur le bord
de la lèvre supérieure; etc.

Le tuyau à lèvre recourbée en dehors montre des relations
inverses.

Une expérience intéressante consiste à faire taire le tuyau
sensitif à l’aide d’une source sonore extérieure. A cet effet,
prenons encore le tuyau Ut3, rétrécissons un peu la lumière
et mettons à quelque distance un tuyau bouché Ut3. Nous
condui ons l’air aux tuyaux après avoir désaccordé un peu le
bourdon. Le tuyau sensitif ne parle pas : nous altérons le ton
du tuyau bouché, en changeant la hauteur du couvercle. On
entend de très faibles battements, qui se ralentissent gradu-
ellement. Tout à coup, le tuyau sensitif parle, mais seulement
pendant les maxima d’intensité sonore. Lâchons la touche

312

W. C. L, VAN SCHAIK.

correspondante au bourdon pendant que l’intensité est mini-
mum: le tuyau a cessé de parler. Un fil de duvet, fixé au-
dessus de la lumière, montre pendant les maxima d’intensité
une oscillation maximum. C’est un phénomène d’interférence.

Il existe encore, entre deux tuyaux, une influence mutuelle
d’une tout autre nature, et que je veux rappeler ici pour la
distinguer de celle dont il vient d’être question. — On con-
naît l’expérience de M. Kônig, avec les deux tuyaux ouverts
du même ton, placés l’un à côté de l’autre sur le même som-
mier. Au reste, tous les facteurs d’orgue savent que deux
tuyaux placés l’un auprès de l’autre peuvent altérer nota-
blement la hauteur ainsi que l’intensité de leur son, ce qui
se présente surtout lorsque le son fondamental et la taille des
tuyaux ne diffèrent pas beaucoup. C’est un vaste champ de
phénomènes très-intéressants.

Par exemple, en prenant deux de mes tuyaux bouchés,
dont l’un rend le Ré, et l’autre le Ré, dièse, je trouve que
le second, dont le son n’est qu’un peu plus fort, influence
d’une manière remarquable le son du premier. Si je fais parler
d’abord le Ré-dièse et ensuite le Ré, le son de celui-ci monte
d’un demi-ton, de sorte qu’on entend Ré-dièse sans aucun
battement. Si au contraire je fais parler le tuyau Ré et en-
suite l’autre tuyau, on entend des battements, qui bientôt
cessent, les deux tuyaux sonnant alors le Ré-dièse, comme
dans le premier cas. Ces tuyaux sont placés l’un à côté de
l’autre sur le même sommier : mais on peut aussi constater une
semblable influence lorsque les tuyaux reçoivent l’air de souf-
flets différents.

On pourrait expliquer cette influence en remarquant que
l’air sortant de la bouche d’un des tuyau pénètre dans l’autre :
en effet, on peut faire monter le son notablement en soufflant
dans la bouche. (Si, au contraire, on dirige un courant plan
sur le bord de la lèvre supérieure,- on fait descendre le son).
Mais en accordant le son le plus fort de telle manière qu’il
soit un peu plus haut ou bien un peu plus bas (à peu près

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 313

d’un quart de ton entier) que l’autre tuyau, ce dernier
adoptera le son du premier. On comprend que, dans tous ces
cas, le son résultant ne sera pas rigoureusement égal à l’un
des sons donnés. Lorsque, par ex., de deux tuyaux de son
différent, le son le plus bas était le plus fort, je trouvais que
le son résultant était encore un peu plus bas que celui-ci.

Dans ces dernières expériences c’est la vibration de l’air
existant près de la bouche d’un des tuyaux, qui domine le
courant sortant de la lumière de l’autre, surtout si l’intensité
du premier mouvement est relativement grande. Nous allons
maintenant étudier cette vibration de la lame d’air dans un
tuyau parlant.

CHAPITRE VII.

Vibration et phases du courant aérien

injecté.

La vibration transversale. Le mouvement vibratoire de la co-
lonne aérienne conduit nécessairement à admettre que le courant
plan injecté fait des vibrations transversales, de sorte qu’il se
dirige périodiquement en dedans ou en dehors du tuyau. Par
ce changement de direction le courant d’air va périodiquement
renforcer les vibrations dirigées en dedans aussi bien que celles
de sens opposé, comme il a été remarqué depuis longtemps.

Cependant, l’explication du phénomène ne saurait être suffi-
sante si l’on ne fait voir comment les forces dépendent du
sens du mouvement qu’elles doivent entretenir; ainsi qu’il
suit d’un principe de mécanique bien connu 1 ). Or, cette
dépendance résulte des particularités concernant la constitution
et la courbure du courant.

Supposons, par ex., que la lame aérienne OA (figure 27)

*) Comparez la théorie du diapason électromagnétique dans le célèbre
traité de lord Rayleigh ( Theory of Sound , § 64).

314

W. C. L. VAN SCHAIK.

suive les vibrations sonores tout comme une languette très-
légère et parfaitement flexible; les forces, dans ce cas, ne
dépendraient pas du sens du mouvement. En effet, soit AB
l’amplitude des vibrations de la colonne près de la bouche :
le mouvement CB, étant dirigé en dedans, serait renforcé par
l’air qui est maintenant soufflé dans le fc^au; mais pendant
le mouvement opposé BC , l’air injecté offrirait une résistance
à la vibration, qui est dirigée en dehors. En supposant que
la languette d’air se meuve un peu après les vibrations so-
nores, l’action serait encore plus défavorable.

Quelques particularités de la courbure de la lame d’air se
laissent prévoir au moyen de la composition des mouvements.
Soit AB (figure 28) une partie du courant à une époque où l’os-
cillation est encore dirigée en dehors. Pendant que l’air de la
colonne parcourt un petit chemin B B 2 en sens opposé, une
molécule d’air sortant de la lumière, sans être sous l’influence
de cette vibration, suivrait le chemin AB, de sorte qu’elle arrive
réellement en B2. Une autre molécule, étant en P, irait à P,
par sa vitesse initiale ; en réalité elle arrive à C2 ; etc. Le cou-
rant prendra donc une forme AB2C2; et une forme suivante
sera AC3D3.

Ces lignes courbes sont asymétriques par rapport à la bis-
sectrice de la figure totale décrite par la lame vibrante. Si la
période d’une vibration simple est très-grande par rapport au
temps dans lequel l’air passe la hauteur de la bouche, la po-
sition la plus latérale de la lame se présentera à peu près au
moment où la vitesse de la colonne vibrante est maximum.
Peu après, avant que la vibration de la colonne change de
signe, la partie inférieure du courant prendrait une forme plus
rectiligne.

L’inflexion du courant monte, comme on le voit, de la
lumière vers la lèvre supérieure. Si ce mouvement demande
un temps à peu près égal à la période d’une vibration simple,
on peut prévoir des formes comme celles représentées dans
la figure 32. Si, au contraire, le temps que l’inflexion de la

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 315

lame exige pour passer la hauteur de la bouche. est égal à
deux ou trois fois la période d’une vibration simple, on doit
s’attendre à plusieurs inflexions, comme le montrent les
figures 40 et 41.

La méthode vibroscopique et la photographie instantanée
peuvent nous instruire sur ce point. L’observation vibrosco-
pique directe nous montrera les phases de la lame d’air et
nous apprendra des particularités qui peuvent éclaircir le
phénomène en question.

Observation des phases de la lame aerienne. En premier lieu,
prenons un tuyau qui donne le son fondamental sans les
harmoniques, ainsi un tuyau bouché de grosse taille, par ex.
l’Ut2 du bourdon. Sur les côtés on place des écrans noirs
/S et S, percés d’ouvertures O et O, ; voir la figure 29. La
lumière d’une lampe L passe par l’ouverture O dans la bouche
M sous un angle très-aigu, comme on le voit dans la pro-
jection horizontale, figure 30. En V on fixe un vibroscope
pneumatique (décrit dans le Chap. IV), et en A se trouve
l’œil de l’observateur, qui reçoit la lumière suivant la direc-
tion OxA. S’il est nécessaire, on peut enlever une partie de
la paroi du tuyau près de la bouche. L’appareil P sert à in-
troduire une poudre légère et blanche dans le pied du tuyau.

Conduisons l’air au vibroscope, qui donne l’Ut — , ou l’Ut,,
ainsi qu’au tuyau, que nous accordons à Ut2 ; puis abaissons
le couvercle du tuyau, de sorte que le ton monte un peu et
que l’on entende des battements lents. Mettons ensuite l’œil
devant le vibroscope, et faisons passer un peu de poudre dans
le pied du tuyau. Aussitôt, les phases du courant injecté
deviennent visibles.

Il est avantageux de prendre l’angle entre les directions
LO et O XA aussi grand que possible, et l’on place les écrans
de telle manière que l’œil ne reçoive presque pas d’autre lu-
mière que celle qui est diffusée par la poudre. On voit alors
le courant projeté en blanc sur un fond noir. La matière qui

316

W. C. L. VAN SCHAIK.

m’a paru la plus propre à rendre visibles les courants aériens,
c’est la poudre de talc.

Les figures 31 et 32 montrent en grandeur naturelle les
résultats de l’observation vibroscopique. Les lèvres supérieure
et inférieure du tuyau sont indiquées respectivement par LS
et LI. Entre ces deux parties on voit les différentes phases
de la lame d’air. Les flèches p marquent le sens des vibrations,
ralenties par le procédé optique; la succession directe des
phases est d’ailleurs indiquée par des chiffres.

Comme on le voit, la partie inférieure du courant est essen-
tiellement conforme à ce qu’on pouvait attendre (figure 28);
l’inflexion s’avance de la lumière vers la lèvre supérieure,
de sorte que d’abord la partie inférieure de la lame passe par
la bouche. Quand la partie supérieure a pris sa position la plus
latérale (5, figure 31), la partie la plus inférieure se meut
déjà un peu dans un sens opposé.

Quoique ces phases soient bien visibles, il est souvent avan-
tageux d’employer un moyen pour éviter l’addition répétée
de poudre. A cet effet, je prends un fil de duvet très-flexible,
d’une longueur à peu près égale à la hauteur de la bouche,
et je le fixe au-dessus de la lumière. Un pareil fil acquiert
toujours une certaine tension, qu’on ne trouve pas dans la
lame aérienne, de sorte que ces deux systèmes ne peuvent
théoriquement pas offrir des formes identiques. Par l’expérience
nous pouvons toutefois comparer les formes du fil de duvet
avec celles des phases du courant; cette comparaison sera
d’ailleurs nécessaire si l’on veut pouvoir compter sur les in-
dications du fil.

La figure 34 représente le fil de duvet oscillant, observé
à l’œil nu. Les figures 35 en 36 montrent l’analyse vibrosco-
pigue de la figure totale ; les flèches p indiquent la succession
des phases. On retrouve ici essentiellemeut les mêmes formes
que dans les figures 32 et 31. Seulement, les phases de ces
figures-ci sont un peu plus arrondies que celles des figures 35
en 36 ; en outre, elles précèdent les formes du fil d’une très-

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 31 7

petite quantité, comme on peut le voir en employant à la fois
le fil et la poudre de talc. Le fil de la longueur indiquée
offre donc un moyen suffisant pour étudier les oscillations du
courant injecté. Ces mouvements peuvent facilement être pro-
jetés pour un auditoire, ainsi qu’il a été dit dans le chap. IV.

L 'entre-croisement des courants. Nous voulons encore examiner,
au moyen du vibroscope et de la poudre de talc, l’espace
devant la bouche du tuyau. Après que l’extrémité supérieure
de la lame aérienne s’est recourbée relativement vite, en allant de
la position 3 à la position 5 de la figure 31, il se forme devant
la bouche un petit courant tourbillonnant dans le sens de la
flèche /, (voir la figure 33) et qui s’élargit dans la direction f.
En jt la masse de la poudre se concentre, et maintenant la
lame d’air va osciller à l’intérieur du tuyau, en montrant les
phases de la figure 32.

C’est une chose très intéressante que de voir ces courants
se former et osciller dans le temps d’une à deux secondes.

Plaçons maintenant dans la bouche du tuyau, et contre la
paroi, une mince plaque de bois noircie, sur laquelle sont
fixées des pointes métalliques portant de petits fils de duvet
(voir la figure 37). Nous observons l’appareil au vibroscope, pen-
dant que le tuyau parle. Lorsque le courant est dirigé en dehors,
les petites girouettes du champ PQ ont la direction des flèches
P et Q. Pendant la position opposée de la lame aérienne, les
fils de duvet du champ RS suivent la direction des flèches
indiquées par ces lettres. Le duvet a possède un mouvement
de rotation de la période des vibrations sonores.

On peut varier cette expérience en remplaçant la plaque
de bois par une mince lame de plomb revêtue, sur toute sa
surface, de duvet fixé au moyen d’un vernis. Cette lame flexible
s’applique aisément à telle partie qu’on voudra de la paroi
voisine de la bouche. L’aspect de cet appareil, regardé au
vibroscope, rappelle un champ de blé où le vent fait tourbil-
lonner et onduler les tiges d’une manière régulière.

318

W. C. L. VAN SOHAIK.

Ces expériences font voir clairement qu’une partie de l’éner-
gie du courant injecté est transportée sur l’air ambiant, qui
est entraîné dans le mouvement; ainsi, le tuyau est périodi-
quement en partie évacué ou rempli par le courant, ce qui est
conforme aux vues de MM. Sonreck et Smith. D’ailleurs on
peut le démontrer aussi en déposant un peu de poudre de talc
sur le biseau et en analysant l’ensemble au vibroscope.

Les mouvements que nous venons de décrire se trouvent
en concordance avec les résultats de MM. Lootens et Van
Tricht; nous croyons cependant devoir interpréter ces résul-
tats d’une manière différente.

Comparons à cet effet la figure 24 avec son analyse vibros-
copique (la figure 33). Le courant „ dérivé” sortant, de la figure
24, est constitué essentiellement par les masses d’air s (figure 33)
qui se suivent dans la direction de la flèche /, et par l’air
entraîné. De même, la partie entrante du courant dérivé est
formée par les masses d’air qui sont poussées et entraînées vers
l’intérieur du tuyau aux moments où la lame aérienne est
recourbée en dedans autant que possible. Le courant dérivé,
se dirigeant dans l’intérieur du tuyau évacuera plus ou moins
l’espace au dessus du biseau. Au reste l’air de cet espace sera
en partie entraîné en dehors, dans la direction P Q de la figure
37, aux moments où la lame a acquis sa position la plus
extérieure. A cause de cette évacuation latérale, le courant
dérivé sera recourbé vers le biseau et la paroi postérieure. ‘ )
Le courant prendra ensuite part au mouvement de l’air entraîné
dans la direction PQ; il glissera sur le biseau et sortira par
la bouche, suivant la direction qui vient d’être indiquée. Cette
saillie du courant, observée à l’œil nu, fait alors l’i]lusion d’un
entre-croisement des deux courants (figure 26). Les courants
d’un tuyau à timbre composé offrent encore des particularités
qui se rapportent aux vibrations spéciales de l’air et sur les-
quelles nous reviendrons.

q Comparez aussi l’expérience à laquelle se rapporte la figure 16.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC 319

Tant que le tuyau parle mal, la lame d’air, en passant de-
vant la lèvre supérieure, ne montre que des vibrations trans-
versales insignifiantes; les masses d’air du tuyau ne sont pas
entraînées et jetées à travers la bouche. La forme de la boucle
inférieure du courant dérivé (figure 20), moins prononcée dans
ce cas, s’explique encore par une évacuation latérale d’une
intensité moindre.

En frappant un tel tuyau, on le fait résonner à chaque fois,
c.-à.-d. on y développe une onde sonore qui agrandira l’am-
plitude de la lame aérienne, de sorte que le „ courant dérivé”
saillira à chaque coup, comme on peut le prévoir d’après la
description ci-dessus.

Le passage périodique des deux courants à la bouche d’un
tuyau n’est pas de la même nature que l’interruption du
courant d’une sirène. Il consiste essentiellement dans la vi-
bration transversale de la lame aérienne et dans l’entraînement
de l’air ambiant.

L’expérience avec le tuyau sensitif parlant à distance, ainsi
que l’entraînement de la poudre (figure 25), s’expliquent aisé-
ment. Quant aux tourbillons M (figures 23 et 24), ils se déduisent
des changements de direction que présentent le courant aérien
et les vibrations sonores.

Si l’on place l’un près de l’autre deux tuyaux parlants, d’un
son un peu différent, de sorte qu’on entende des battements,
les fils de duvet fixés dans la bouche montrent des vibrations
dont l’amplitude varie d’une manière qui se laisse prévoir d’après
le principe des interférences ; la description de ce phénomène,
du point de vue que nous avons pris, donne l’explication du
fait qu’à chaque battement le courant dérivé sortant forme
un angle plus grand avec la lèvre supérieure.

Tous ces phénomènes se trouvent en parfaite harmonie avec
le principe connu d’une théorie étudiée expérimentalement
dans ce mémoire.

320

W. C. L. VAN SCHAIK.

Vibration de la lame aérienne 'pendant la résonnance périodique.

La résonnance périodique a été considérée dans le Chap. II.
Nous allons étudier le mouvement du courant pendant ce
phénomène.

Si la force du vent augmente graduellement, le tuyau Ut2
du bourdon employé dans les recherches précédentes fait en-
tendre trois fois le son fondamental, comme il a été mentionné
au Chap. II.

Tant que l’intensité du courant n’est que très-faible, la lame
aérienne fait de très-lentes vibrations, comme l’indique le fil
de duvet fixé à la lumière du tuyau; la forme de ce fil res-
semble encore à celle d’une languette métallique. Le courant
d’air augmentant, la période des vibrations devient de plus
en plus petite (voir la fin du Chap. II.), jusqu’à ce qu’on entende
pour la première fois le son fondamental. Alors la figure totale
décrite par la lame prend la forme indiquée dans la figure 38.

En renforçant toujours le vent, nous faisons disparaître cette
forme ainsi que le son fondamental ; et lorsqu’on entend celui-ci
pour la deuxième fois, la forme totale du courant vibrant est
celle de la figure 39. Le son peut disparaître encore une
fois, et s’il se reproduit dans le son normal, le courant montre
la forme indiquée par la figure 34. L’analyse vibroscopique
donne les phases, dont nous n’avons reproduit que deux dans
les figures 40 et 41. La première se rapporte à la figure totale
38, la seconde à la figure 39. Ce sont des lignes sinueuses,
où l’on remarque en général plusieurs inflexions, qui sont
plus courtes dans la première figure que dans la seconde.
J’ai constaté aussi l’existence de telles formes au moyen de
la poudre de talc.

Ces formes s’expliquent par la vitesse relativement petite
de l’air dans le courant injecté. Dans ces cas, en effet, la même
masse d’air, en passant la hauteur de la bouche, peut osciller
plus d’une fois, comme il a été indiqué dans la première partie
de ce chapitre. Les vibrations du courant s’opèrent alors sou-
vent d’un côté de la lèvre supérieure.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 321

Il est encore intéressant de démontrer que les sons très-bas,
dus au soi-disant frottement de l’air (Chap. II), se rapportent
réellement à des vibrations déterminées de la lame aérienne.
A cet effet, j’accorde le vibroscope à Ut,, et je prends encore
le tuyau bouché Ut2. Après que le son fondamental a disparu
pour la seconde fois, on entend des sons très bas. En aug-
mentant le courant d’air, je fais monter les sons à idi,, c.-à-d.
à la quarte supérieure du vibroscope, ou la quinte inférieure
du tuyau. Alors se voit le fil de duvet en général triple, ce
qu’on s’explique aisément par le rapport des vibrations.

En partant d’une des figures totales (38 ou 39), on com-
prend, et l’observation le confirme, qu’elle se rétrécira de plus
en plus si l’intensité du courant augmente. Il s’ensuit que la
direction des positions extrêmes de la lame aérienne fera un
angle plus grand avec celle des vibrations sonores de la colonne
d’air auprès de la bouche ; le courant exercera donc sur cette
colonne une influence moins favorable, et par là s’explique
l’affaiblissement du son fondamental.

Production du son en gênerai. Résumé. Les expériences in-
diquent suffisamment l’idée qu’on peut se former du phénomène.
Si le courant n’est encore que très-faible, il fait naître dans
la lame aérienne de lentes vibrations transversales (fin du
Chap. II), qui deviennent de plus en plus vites lorsque l’in-
tensité du courant augmente (fin du Chap. III), c.à.d. le son
dû au „frottement” monte. Si celui-ci devient presque égal
à l’un des sons propres du résonnateur, le courant peut dé-
velopper et renforcer dans le tuyau une onde stationnaire,
qui réagit de nouveau sur la lame aérienne, comme il a été
montré ci-dessus : le tuyau parle. Les vibrations transversales
de la lame sont maintenant causées essentiellement par la
réaction de l’onde sonore, et non par le „frottement”, car
l’observation fait voir clairement que l’inflexion de la lame
ne commence pas à la lèvre supérieure, mais au contraire à
la fente par laquelle on insuffle l’air. J’ai remarqué de même,

322

W. C. L. VAN SCHAIK.

que, la partie supérieure de la lame aérienne ayant pris sa
position extrême, la partie inférieure se meut déjà un peu dans
un sens opposé (page 316) ; c’est sans doute la suite d’une
évacuation qui se produit surtout du côté où l’air est entraîné
en plus grande quantité.

Renforce-t-on le courant, son action sur la colonne d’air
devient plus défavorable (d’après ce qui a été remarqué dans
la partie précédente de ce chapitre) ; en même temps, le frotte-
ment acquiert de nouveau une certaine prépondérance.

Si enfin le tuyau donne le son normal, l’observation indique
que le cause des vibrations transversales de la lame n’est pas
située au bord de la lèvre supérieure (comparer la progression
de l’inflexion, par ex. dans la figure 31) ; ce n’est pas le frot-
tement de l’air, c’est l’onde sonore qui recourbe périodique-
ment la lame aérienne, de sorte que celle-ci peut entretenir
de son côté les vibrations de la colonne d’air.

La production du son avait cependant commencé par le
frottement. Sera-ce la règle générale? Nous avons pressé gra-
duellement la touche du clavier; mais on sait que pour faire
parler un tuyau sonore, on ouvre ordinairement la soupape
très- vite. On peut toutefois remarquer que le temps très-
court exigé par ce mouvement, peut amplement suffire pour
la production des phénomènes de la résonnance périodique. Le
soi-disant frottement de l’air, expliqué dans le Chap. III, con-
servera son importance pour le commencement de la vibration.

Il est encore un autre fait qui causera la production du
son. Aussitôt que le courant s’échappe de la lumière, il en-
traîne l’air ambiant, qui remplit ou évacue plus ou moins la
partie inférieure du tuyau; comme il a été remarqué par
M. Sonreck. Une telle impulsion agira sur la colonne aérienne
et la mettra en vibration. On sait, en effet, qu’il suffit de
souffler pendant un temps très-court dans l’ouverture d’un
résonnateur (d’une bouteille par ex.), ou d’en aspirer l’air,
pour y produire pour un moment le son fondamental. C’est
comme si l’on tirait ou pressait d’un seul coup un ressort à

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 323

spirale suspendu. L’impulsion, mettant bientôt en jeu une
action qui la détruit partiellement, sera assez courte, de sorte
que la production de l’onde stationnaire peut se comprendre.

Or, l’expérience avec le tuyau sensitif, parlant à distance,
nous apprend qu’une onde extrêmement faible et de courte
durée, excitée dans le tuyau, suffit pour recourber la lame
aérienne (dont la position était rendue défavorable) vers l’autre
côté de la lèvre supérieure. Dans le cas qui nous occupe,
l’onde faible existant dans le tuyau suffira certainement pour
recourber la lame aérienne (dont la position est normale) et
pour la faire osciller d’un côté à l’autre de la lèvre supéri-
eure, de sorte que le mécanisme sera mis en train.

En réalité, deux choses peuvent produire la vibration ini-
tiale de la lame d’air: le frottement à la lèvre snpérieure, et
l’onde permanente causée par la première impulsion; celle-ci
sera d’ailleurs bien suffisante. Dès que le tuyau parle norma-
lement, le frottement à la lèvre n’est d’aucune importance.

Les phases du courant aérien montrent alors une asymétrie
distincte par rapport à la bissectrice de la figure totale. Pour
expliquer le fait que le courant renforce et entretient les vi-
brations de la colonne d’air, il faut indiquer la raison pour
laquelle les forces agissant sur l’air du tuyau dépendent du
sens de la vibration, comme il a été remarqué au commen-
cement de ce chapitre.

L’expérience avec l’appareil de la figure 37 nous fait voir
qu’aux positions extrêmes le courant injecté entraîne avec lui
des masses d’air considérables. Ceci a été confirmé en ré-
pandant de la poudre de talc sur le biseau et en observant
au vibroscope. Cet entraînement me semble d’une importance
particulière ; en effet, les vibrations sonores de la colonne d’air
ne pourraient être bien entre tenues par l’impulsion directe
d’un courant plan. L’énergie se distribuant sur l’air entraîné,
la section du courant s’élargit pour ainsi dire, de sorte que
ce courant agira sur une plus grande surface des tranches d’air
près de la bouche du tuyau.

Archives Néerlandaises, T. XXV. 22

324

W. C. L. VAN SCHAIK.

Considérons maintenant les phases pendant une vibration
simple, par ex. pendant que le mouvement est dirigé en de-
* dans (voir la figure 32). D’abord la vibration de la colonne
est contrariée par la lame aérienne, qui entraîne encore des
masses d’air hors du tuyau, c.à.d. dans une direction opposée
à celle de la vibration même. L’espace entre la lèvre supé-
rieure et la lame d’air se rétrécissant ensuite dans la première
partie de la vibration, celle-ci n’est plus contrariée autant qu’au
début. Ce n’est toutefois que lorsque la lame aérienne est
suffisamment recourbée (dans la position 5 de la fig. 32), que
le courant renforcera la vibration supposée, dont il a pris alors
la direction. Le passage entre la lèvre et le courant étant
maintenant ouvert, l’énergie de celui-ci sera distribuée sur les
masses de l’air ambiant, qui est entraîné facilement par cette
ouverture, et la force vive, communiquée durant cette phase
à la colonne d’air vibrante, sera plus grande que la perte de
force vive dans la première partie de la vibration. Les mêmes
observations s’appliquent au mouvement opposé. De cette
manière la colonne d’air reçoit son énergie du courant injecté.
Quant au mouvement de celui-ci, il est réglé par l’onde sonore
et en partie par l’évacuation latérale susdite (page 322). Cette
dernière cause explique le fait que la hauteur du son monte
si l’on renforce le courant.

Il est à remarquer que l’action accélératrice du courant sur
la colonne d’air se présente dans la dernière partie de la
vibration. C’est à cette circonstance que j’attribue une pro-
priété bien connue de ces vibrations, savoir la tendance à
s’écarter de la vibration simple harmonique. Il a été supposé
que la cause de cette propriété serait le passage brusque de la
lame mince d’air d’un côté à l’autre de la lèvre supérieure ; mais
cette hypothèse est rendue invraisemblable par l’observation
de la forme prise par le courant pendant sa vibration. On sait
d’ailleurs que les oscillations d’un pendule jouissent de la
même propriété lorsque les impulsions de l’échappement s’opè-
rent aux moments de la plus grande élongation.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 325

La position dans laquelle la lame aérienne entretient le
mieux une vibration de la colonne d’air, fait un angle assez
grand avec la direction initiale du courant injecté. Si l’on ren-
force celui-ci, l’intensité du son croîtra jusqu’à une certaine
limite, dépendant de la fraction de l’énergie sonore dispersée
dans le système entier. Ainsi il peut se comprendre que les
vibrations sonores deviendront moins capables de recourber
le courant, que l’on continue à renforcer, de sorte que l’in-
tensité du son diminuera. Le courant étant plus intense, sera
droit sur une partie plus grande de sa longueur, et par suite
empêchera, de plus en plus, les vibrations sonores qui lui
sont perpendiculaires. Une diminution graduelle du son est
donc à prévoir.

Ceci est conforme à l’expérience. Mais, en renforçant toujours
le courant d’air, on arrive à un certain point où le son dis-
paraît pour ainsi dire subitement. Alors des sons d’ordre
supérieur se sont déjà produits, et, suivant l’opinion répandue,
le tuyau soufflé avec tant de force ne rendra plus le son fon-
damental. En étudiant ces phénomènes de plus près, nous
verrons, au contraire, que ce son peut se produire encore plus
d’une fois. Passons pour cela aux tuyaux d’un timbre plus
composé.

CHAPITRE VIII.

Vibrations composantes du courant aérien.
Disparition successive du son fondamental et
des aliquotes.

Sons harmoniques. La théorie des résonnateurs cylindriques,
donnée par Helmholtz, exige que dans les cylindres larges les
sons propres d’ordre supérieur soient plus hauts que les har-
moniques du son fondamental; tandis que dans les tuyaux
étroits les sons propres sont à peu près égaux à ces harmo-
niques. Il s’ensuit que dans les tuyaux de grosse taille les sons

22*

326

W. C. L. VAN SCHAIK.

harmoniques ne sont guère renforcés par la résonnance du
tuyau, et qu’au contraire la colonne aérienne d’un tuyau de
menue taille se subdivise, par la résonnance, plus facilement
en parties aliquotes. ')

Or nous avons vu, dans le Chap. précédent, que l’impul-
sion donnée à la colonne d’air vibrante se produit aux der-
niers moments de la vibration même, d’où résulte la tendance
de ces mouvements à prendre un caractère plus compliqué.
On comprend donc ce fait connu, que, surtout dans les tuyaux
étroits, les vibrations sonores entretenues par les impulsions
du courant se composent bientôt de plusieurs vibrations simples,
correspondant aux harmoniques du son fondamental.

Il est à prévoir que ces diverses vibrations simultanées agi-
ront chacune sur la lame aérienne qui fournit l’énergie du
système. Peut-être même les mouvements composants du cou-
rant auront-ils de nouveau une influence assignable sur les
vibrations sonores. Voyons ce que nous apprendra l’expérience.

Vibrations composantes du courant aérien. Prenons quelques
tuyaux de timbre différent, et examinons les formes vibratoires
de la lame aérienne. Dans les figures 34, 42 à 46 (PI. VII)
et 60 on trouve ces formes telles qu elles se dessinent au
moyen de fils de duvet attachés au-dessus de la lumière du
tuyau.

La figure 34 se rapporte, comme nous avons vu, au bourdon.
Cette espèce de tuyaux, rendant le son fondamental, est l’exem-
ple d’un timbre à peu près simple.

Les figures 42 et 43 se rapportent au jeu principal ; la fig.
42 a été observée à l’Ut, , d’une octave-basse, la fig. 43 à d’autres
tuyaux du jeu en question. Toutes ces figui es sont en grandeur
naturelle. La lame d’air vibrante du jeu principal , comme
celle des bourdons , montre des positions A et B, bien marquées,
où la vitesse de la lame est miniina. Mais, en outre, on ob-

1) Lehre von den Tonempfindungen , 4e Edit, page 156.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 32 7

serve dans la figure vibratoire du principal une position in-
termédiaire C , où la vitesse aura encore une valeur minima.
Si l’on souffle un tel tuyau doucement, de sorte qu’il rende le
son fondamental presque seul, on ne voit pas la position C ;
celle-ci existe quand le tuyau parle normalement, et elle se
produit à peu près au moment où l’octave devient très-pro-
noncée. On sait d’ailleurs que ce son harmonique est un
composant essentiel du timbre de ce jeu.

Dans les figures 44 et 45 sont représentées les formes vi-
bratoires du courant chez le quintaton. Les tuyaux bouchés
de ce jeu de menue taille rendent, comme on sait, le son
fondamental distinctement accompagné de la duodécime. On
trouve dans ces figures quatre positions A B D E, où la vitesse
de la vibration est minima. Dans ce cas aussi, on démontre
que la duodécime se fait entendre distinctement à peu près
au moment où l’on voit se produire les positions intermédiaires
D et E.

Les figures 46 et 60 se rapportent à des tuyaux ouverts,
la première à un violon de menue taille, la seconde à un tuyau
du jeu salicional , de taille moyenne. La lettre P indique une
lame métallique dont on munit souvent ces tuyaux, pour
obtenir l’intonation convenable.

En analysant ces figures au vibroscope, nous trouvons que
la vibration du courant aérien, chez les tuyaux du principal,
s’opère de la manière suivante : le mouvement AB s’effectue
d’un seul coup, la vibration BA au contraire se divise dans
les deux mouvements BC et CA, de sorte que ces vibrations
se suivent dans l’ordre AB, BC, CA, AB, etc. En évaluant
la durée des mouvements et représentant le résultat graphi-
quement, on obtient la figure 47, qui en donne l’image distincte.
Les particularités du phénomène dépendent aussi de l’intensité
du courant injecté.

Je me suis convaincu encore que la lame d’air oscille vrai-
ment de cette manière, en opérant avec de la poudre de talc.
Quant aux figures 42, 43, 46, je remarquerai que la partie

328

W. C. L. VAN SCHAIK.

inférieure de la position C , indiquée par le fil comme entière-
ment isolée des positions extrêmes, est souvent un peu plus
large et se mêle plus à la position B, comme dans la figure 60.

Un mouvement analogue, mais un peu plus compliqué, se
présente dans les tuyaux plus étroits, comme ceux du sali-
cional, auquel se rapporte la figure 49.

Ces expériences ont été faites avec des tuyaux en étoffe.
Dans les flûtes ouvertes en bois, de grosse taille, la position
intermédiaire C est souvent évanouissante.

L’analyse vibroscopique appliquée au courant aérien des
tuyaux du quintaton révèle une vibration plus compliquée.
Les diflérents mouvements se suivent ici dans l’ordre AE , EB,
BD, DA, AE, etc., ce qui est représenté dans la figure 48.

Pendant chacun des mouvements partiels, la partie supé-
rieure de la lame d’air montre des courbures, qui ressemblent
aux phases du courant dans les tuyaux à timbre simple.

Dans la figure 48, l’analyse de la figure 44, on reconnaît
la composition du son fondamental avec la duodécime, suivant
le principe connu représenté dans la figure 51 . On y remarque
en même temps une certaine différence de phase entre les
deux vibrations composantes, différence qui dépend d’ailleurs
de l’intensité du vent et de l’intonation.

La vibration de la lame d’air dans un tuyau du principal
rappelle la composition du son fondamental avec l’octave,
comme on peut le voir en comparant les figures 47 et 50;
la différence subsistant encore entre ces figures se déduit en
partie de ce que la lèvre supérieure ne peut être une
position d’équilibre. J)

Ces expériences suffisent pour démontrer l’existence des
vibrations composantes dans le mouvement de la lame aérienne.

Phénomènes résultant des vibrations démontrées. Octaviation.
Timbres différents. Les mouvements dont il vient d’être parlé

D Les vibrations composantes montrent ici une certaine différence de
phase, qu’on na pas indiquée dans la figure 50.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 329

me semblent avoir une importance spéciale pour la production
du son. En soufflant un tuyau peu à peu plus fortement, on
fait accroître le premier son aliquote, de sorte que la figure
vibratoire éprouve la division ci-dessus décrite ; à partir de là
on observe que l’intensité du son aliquote augmente beaucoup
plus vite. Cela semble donc indiquer que les vibrations com-
posantes contribuent à la production des aliquotes mêmes. La
vibration totale consiste encore dans les deux périodes où
l’air est entraîné hors du tuyau ou soufflé en dedans; mais
puisque l’intensité de l’entraînement de l’air, notamment dans
les positions extrêmes, dépend de la direction de la lame d’air *),
l’évacuation, aiijsi que le remplissage du tuyau, acquerra une
périodicité qui favorisera la production des sons harmoniques.

De ce point de vue essayons de prévoir et de décrire quelques
phénomènes. Pour cela, nous nous occuperons de la disparition
successive du son fondamental et des aliquotes, qu’on obtient
en soufflant le tuyau de plus en plus fort. Ce phénomène
me semble parfaitement répondre au but proposé. En effet,
on l’explique souvent d’après la théorie du frottement ; mais
le fait que le son fondamental, après avoir diminué lentement,
disparaît très vite et presque subitement, est resté inexpliqué.

Considérons, par exemple, la superposition du son fonda-
mental et de l’octave, représentée daus la figure 50, où les
deux amplitudes sont dans la proportion de 2 à 1, et supposons
que l’octave soit graduellement renforcée ; nous obtiendrons
alors la figure 52, où la ligne courbe coupe quatre fois par
vibration double l’axe du temps. Il pourrait arriver alors que
la position C de la figure 47 ou 49, en s’élargissant comme
dans le cas de la figure 52, se rapprochât de la lèvre supé-
rieure, et dépassât cette limite, de sorte que pendant la période
totale du son fondamental l’air serait amené deux fois dans
le tuyau, et deux fois en dehors. Or, l’onde sonore de l’octave
ayant déjà acquis une intensité notable, elle peut avoir une

1) Voir la dernière partie du Chapitre précédent.

330

W. C. L. VAN SCHAIK.

force suffisante pour faire osciller le courant. Le son fonda-
mental disparaîtra alors, et le tuyau octa viera (L’expérience
avec le tuyau sensitif nous a déjà montré que le passage de
la limite de la figure vibratoire au-delà de la lèvre supérieure
a une importance spéciale).

A cet effet, nous prendrons un tuyau étroit assez grand,
le Ré , dièse d’un salicional ; longueur du corps 2,1 mètres. Nous
éloignons la lame métallique qui se trouve devant la bouche,
et observons les particularités des figures vibratoires qui se pro-
duisent lorsque le tuyau est soufflé de plus en plus fort.

En premier lieu se présentent les formes indiquées dans la
série I à V de la figure 53. Au numéro I la pression dans
le sommier est de 1 cm. du manomètre à eau; le son fon-
damental, d’abord doux, est renforcé graduellement, et si la
figure prend la forme II, on entend très-légèrement la duodé-
cime et l’octave. En augmentant la pression dans le sommier
jusqu’à 4 cm., nous entendons l’octave très-distinctement, et
alors se présente la forme III, où l’on observe la position C.
La pression devenant de 6 cm., la position C s’élargit, comme
le montre la figure IV, et l’octave est très-prononcée; si la
pression s’élève à 6,2 cm. nous voyons la limite C, de la
figure intermédiaire dépasser le bord de la lèvre supérieure;
le son fondamental, étant déjà diminué, disparaît tout à coup,
et la figure prend la forme V. Le tuyau est octaviant.

Analysant la figure IV au vibroscope, nous trouvons que
les divers mouvements s’opèrent suivant la série AB , RC,,
C,C2, C2A, AB, etc.; cette vibration composée est représentée
dans la figure 54.

Les expériences ont confirmé nos prévisions. C’est donc
bien la vibration RC,, qui, atteignant la lèvre supérieure,
a causé l’octaviation.

Ainsi, dans la figure IV, relative au son fondamental et
à l’octave renforcée, nous voyons en quelque sorte deux sec-
teurs RC, et C2A , qui se couvrent en partie dans l’aspect de

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 331

la figure vibratoire. C’est comme l’aspect d’une surface conique
transparente ayant une partie C2C^B repliée en dedans, telle
que la représente la figure 55. Suivant cette analogie, la figure
deviendrait le schéma de l’octaviation si la partie C2CXB, s’a-
grandissait, de façon à remplir le pli C2AB.

Partons maintenant de la forme V (fig. 53 et 56), qui s’était
présentée à la pression de 6,2 cm. Si l’on fait croître la pression
jusqu’à 8 ou 9 cm., la figure devient un peu plus large et
prend la forme VI; augmente-t-on la pression jusqu’à 12 cm.,
la duodécime se fait entendre très-distinctement, et peu après
on entend le son fondamental. En même temps, des sec-
teurs se sont formés aux bords de la figure, de sorte que la
forme VII ressemble un peu à la figure 44. La pression s’élève-
t-elle encore, un de ces secteurs latéraux atteint la lèvre su-
périeure, le son fondamental et l’octave ont disparu, et le
tuyau rend la duodécime (figure VIII).

J’ai encore étudié l’octaviation avec d’autres tuyaux ; le
phénomène se produisait toujours quand la limite Ct de la
figure se trouvait près de la lèvre supérieure. Puis le son du
tuyau obtient une certaine stabilité, c.-à-d. qu’il reste à peu
près constant pendant que la pression augmente. Si les ampli-
tudes étaient égales, la vibration de l’octave présenterait aux
points homologues des vitesses deux fois aussi grandes que
celles de la vibration fondamentale; par conséquent, lorsque
l’amplitude de l’octave n’est qu’un peu plus grande que la
moitié de celle du son fondamental, les vibrations de l’octave
peuvent régler le mouvement du courant, si la vibration du
son fondamental ne suffit plus à cet effet.

J’ai constaté la disparition du son fondamental dans les
tuyaux du quintaton au moment où la position E (figure 44)
se trouve près de la lèvre supérieure. Ces tuyaux rendent
alors, comme on sait, la duodécime.

Je décrirai ici encore quelques expériences qui peuvent
confirmer les vues ci-dessus développées.

Prenons un petit tuyau ouvert de menue taille (longueur

332

W. C. L. VAN SCHAIK,

presque deux pieds), rendant le son fondamental Ré3, et ren-
forçons le courant d’air de telle sorte que le tuyau soit sur
le point d’octavier. Si maintenant l’octaviation dépend d’une
position particulière de la lame aérienne, et si le phénomène
se produit au moment où la position C , dépasse la lèvre, on
pourra le provoquer en soufflant légèrement dans la bouche du
tuyau. Nous faisons cette insufflation, et soudainement le son
fondamental disparaît. En aspirant légèrement à la bouche du
tuyau, on en soufflant au bout supérieur, on rétablit le son
fondamental.

Nous avons rapporté plus haut une observation intéressante,
à savoir, que le grand tuyau, après avoir octavié et avant de
passer à la duodécime, fît entendre un moment le son fonda-
mental. Or, on peut remarquer que ce son est le son diffé-
rentiel de l’octave et de la duodécime, ainsi que de la troisième
et de la quatrième harmonique, etc , et que le son fondamental
résultant des deux sons donnés pourrait faire résonner le tuyau
et vibrer la lame aérienne. D’autre part, on comprendra que
dans le mouvement composé correspondant à la superposition
de l’octave et de la duodécime, la lame d’air peut acquérir
une inflexion maxima intérieure et une inflexion maxima ex-
térieure pendant la période totale du son fondamental, ce
qui favorisera ce son.

Ainsi, nous devons nous attendre à ce qu’un tuyau ouvert,
passant de l’octave à la duodécime, fera entendre un moment
le son fondamental, et à ce que ce son se produira aussi
quand le tuyau passe de la duodécime à la seconde octave,
et peut-être encore lors de passages ultérieurs. Cette présomption
se vérifie aisément avec des tuyaux étroits.

Il y a de l’intérêt, toutefois, à démontrer que le son fon-
damental produit de cette manière n’existe pas seulement
comme son différentiel, mais est vraiment rendu par le tuyau
lui-même.

A cet effet, je prends un tuyau de menue taille (diamètre
intérieur 20 mm.), qui donne le son fondamental Sol3 quand on

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 333

le souffle doucement. .Je le fais octavier, et en renforçant encore
très-lentement le courant d’air, j’entends d’abord quelquefois
la duodécime, puis le tuyau rend un son à timbre de quin-
taton, où dominent le son fondamental Sol3 et la duodécime
Ré5. Ce timbre est très-instable, et le tuyau ressemble main-
tenant sous quelques rapports au tuyau sensitif. En soufflant
légèrement dans le bout supérieur, ou en approchant la main
de la bouche du tuyau, je fais disparaître le son fondamental,
de sorte que la duodécime reste seule. Alors, je souffle à
quelque distance un tuyau rendant l’octave Sol.* ; immédia-
tement notre tuyau Sol3 émet de nouveau le son fondamental,
et le timbre particulier Sol3 R,és s’est rétabli. Ici la duodécime
du tuyau et l’octave rendue par une source extérieure don-
nent naissance au son fondamental persistant.

Il est également possible de reconstruire le timbre susdit
en employant un second tuyau donnant la duodécime, si le
premier tuyau octaviant est sur le point de passer à la duodécime.

Ces phénomènes, ainsi que les propriétés du tuyau sensitif,
font voir que le même tuyau, sans être modifié, et avec la
même pression du vent, peut rendre différents timbres. C’est
un exemple du fait que le même système est capable de se
prêter à différents types de vibration, quoique la position des
parties extérieures, dont dépend l’énergie du système, soit
restée invariable.

Toutes ces expériences indiquent que la description la plus
simple de ces phénomènes partira de ce point de vue, que
les positions particulières ainsi que les vibrations composantes
de la lame d’air sont d’une importance spéciale pour la for-
mation du timbre des tuyaux.

Moyens pour prévenir V octaviation. Frein harmonique. Il est à
remarquer que les facteurs d’orgues ont depuis longtemps tiré
parti de l’octaviation pour obtenir encore d’autres timbres.
Mais c’est à M. Cavaillé-Coll qu’on doit l’introduction de toute
une. classe de jeux nouveaux, connus sous le nom de jeux

334

W. C. L. VAN SCHAIK.

harmoniques. A leur aide, il sait en outre donner aux dessus
des claviers une vigueur comparable à celle des basses. Ces
tuyaux sont construits et soufflés de différentes manières, de
sorte qu’ils sonnent à l’octave ou à une autre harmonique.

On possède aussi des moyens pour prévenir l’octaviation
des tuyaux de menue taille soufflés avec assez de force. Ce
sont des lames en métal ou en bois, de forme différente, et
qui, sous divers noms, ont été en usage pour ce but depuis
longtemps. Une des formes les plus fréquentes est une lame
fixée dans une position oblique devant la bouche du tuyau,
comme on le voit dans la figure 57. Aujourd’hui on rencontre
souvent une lame de ce genre fixée à un ressort et s’ajustant
à l’aide d’une vis. Cette disposition porte alors le nom de
„frein harmonique” ou „frein Gavioli.”

Le son fondamental est rétabli par ce moyen, de sorte que
le courant aérien d’un tuyau octaviant changera ses vibrations
dès qu’on tient une pareille lame devant la bouche. C’est ce
que M. H. Smith démontre en fixant une mince feuille de
papier à la lumière du tuyau. Il remarque avec raison que le
courant aérien se dirige alors plus en dehors, par suite de
l’évacuation latérale.

Comment faut-il expliquer le rétablissement, par le frein
harmonique, du son fondamental ? On en a cherché la cause
dans l’agrandissement de l’amplitude de la lame aérienne et
dans l’abaissement du son qui en résulterait directement. Cette
explication n’est pas admissible, car l’observation montre que
l’amplitude du courant vibrant peut s’agrandir en même temps
que le son du tuyau monte. (Voir l’expérience à laquelle se
rapportent les formes I et II de la figure 53). D’autre part,
le frein harmonique appliqué à un tuyau octaviant détermine
un abaissement du son, d’une octave à peu près. En rap-
prochant du tuyau la lame métallique P (fig. 58, 59, 60), on
observe souvent que l’amplitude diminue d’abord, tandis
que la figure vibratoire prend une direction plus inclinée en
dehors. Finalement, la partie A de cette figure montre une

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 335

certaine instabilité (fig. 59), de nouvelles positions de vitesse
minima se présentent devant la lèvre supérieure, et le son
fondamental se rétablit (fig. 60). Le phénomène est donc assez
compliqué. L’asymétrie de la figure vibratoire par rapport à
la lèvre supérieure me semble avoir quelque importance ; en
dirigeant d’en haut un courant plan sur le bord de la lèvre
supérieure, on fait aussi, ordinairement, cesser l’octaviation.

Les expériences décrites dans la partie précédente de ce
chapitre indiquent l’explication de l’action particulière exercée
par la lame métallique fixée au tuyau. En effet, nous avons
vu que l’octaviation apparaît lors du passage de la position
C (de la fig. 53) au-delà de la lèvre supérieure, de sorte qu’on
doit s’attendre à ce que, cette position étant rendue stable,
le tuyau n’octa viera plus. Nous avons vu aussi que le petit
tuyau Ré 3, sonnant au Ré7l, regagnait le son fondamental
par une légère aspiration à la bouche du tuyau. Or, en souf-
flant un tuyau octaviant, il faut toujours un certain temps,
si petit soit-il, pour que le courant d’air acquière sa force
normale ; il se produira donc d’abord pendant un temps très-
court un état vibratoire où le son fondamental, quoique très-
faible, sera représenté Si maintenant ce tuyau est muni d’un
frein harmonique, le courant d’air, notamment dans une
position telle que C, où la vitesse de la vibration est minima,
causera l’évacuation latérale connue 1 ) ; — cette position sera
donc retenue vers le frein et empêchée de dépasser la lèvre
supérieure, de sorte que l’existence de la vibration initiale
sera assurée.

Le courant d’air s’inclinant, dans son inflexion extérieure,
vers la lame métallique, se rapprochera plus de la direction
de la vibration du même sens, de sorte que cette vibration
sera renforcée davantage, et préparera une vibration plus forte
dans le sens opposé. La partie inférieure du courant aérien sera
donc recourbée plus énergiquement que sans le secours du frein.

1) Comparez l’expérience se rapportant à la figure 16, Chap. HT.

336

W. C. L. VAN SCHAIK.

Prenons un tuyau de taille assez menue, l’Ut2 d’un violon-
prestant, et faisons-le octavier. Dans l’intérieur, un peu au-
dessus du biseau, plaçons une lame de plomb convenablement
inclinée ; le son fondamental se rétablit, et — la position C
se présente maintenant au côté intérieur de la lèvre supérieure.
Notre point de vue est ainsi confirmé par l’expérience.

On peut encore remarquer que les impulsions du courant
d’air d’un tuyau octaviant causeront toujours une résonnance
correspondant au son fondamental, quoique celle-ci soit peut-
être trop faible pour être entendue ; c’est là, en effet, l’action
de tout souffle qui se produit près de la bouche. Cependant,
les conditions sont telles que l’onde sonore correspondant à
ce ton ne règle plus les vibrations du courant, qui est main-
tenant recourbé par les vibrations de l’octave. Mais la résonnance
en question, bien que très-faible, tendra toujours à mettre en
train le mécanisme aérien, comme nous l’avons vu avec le
tuyau sensitif ; et si les conditions sont telles qu’elles permettent
le développement de ce mode d’oscillation, le son fondamen-
tal sera restauré. Ceci peut indiquer en gros l’explication
du phénomène qu’on observe en approchant une lame, ou
simplement le doigt, de la bouche d’un tuyau octaviant.

L’octaviation d’un tuyau consiste dans la succession de divers
états de vibration du système, et les expériences décrites dans
ce chapitre ont montré de quelle manière s’opère cette suc-
cession. Or, pendant le développement de cette série, un de ces
états peut être rendu stable par quelque moyen mécanique,
tel que le frein fixé au tuyau. L’existence d’un type particulier
de vibration est ainsi assurée. C’est un cas analogue à celui
que nous rencontrons dans plusieurs phénomènes physiques.

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 337

APPENDICE AUX CHAP. III et IV.

Sur la vibration des anches.

En observant le mouvement des appareils décrits dans ces
chapitres, on est conduit à supposer que ce sont les mêmes forces
qui entretiennent la vibration de la sirène vibrante et celles des
anches battantes et libres dépourvues de résonnateur. Il a été
supposé déjà que le mouvement de ces anches se déduit es-
sentiellement d’un principe analogue à celui de Bernouilli.
En effet, M. H. Smith dit: „The action of this instrument
(le hautbois) is best explained under the law of least pressure,...
„we hâve an air current passing between two sensitive reeds
„down a narrow strawlike tube into the main body of the pipe.
„The velocity in the little tube im médiate ly causes least pres-
sure in the interior, efïecting approach and closure of the
„pair of liplike reeds and so on.” ( Nature 1873.)

Les vibrations des anches ordinaires sont expliquées de deux
manières différentes. D’abord, on rencontre des théories suivant
lesquelles la force motrice (les résistances exceptées), résultant
de la pression de l’air et de l’élasticité du ressort, dépendrait
essentiellement de la position du système vibrant et non du
sens du mouvement ; une telle hypothèse n’est pas admissible.
Les autres théories, qui regardent les ondes sonores traver-
sant l’air, ne présentent pas ce défaut ; c’est aussi le cas pour
l’explication proposée dans ce mémoire, en faveur de laquelle
parlent les expériences suivantes.

En premier lieu, nous dirigeons un courant plan d’air sur
une anche libre ou battante, de façon qu’il passe entre la
languette et la gouttière; nous trouvons que l’anche est très
bien mise en vibration. L’expérience réussit aussi avec une
anche d’harmonium (voir la fig. 61), et le courant d’air plan
L peut avoir une direction parallèle à celle de la monture ;
les vibrations se produisent également si la languette porte
sur sa face supérieure un prisme en métal. Chaque fois que

338

W. C. L. VAN SCHAIK.

nous donnons le vent, la fente entre la monture et la languette
se rétrécit.

En second lieu, nous fixons une anche d’harmoninm sur un
petit sommier, de manière que la face „intérieure” de la lan-
guette (c.-à-d. celle qui est dirigée vers la monture) se pré-
sente à l’extérieur et que nous puissions la voir. La direction
des courants d’air sera rendue visible au moyen de poudre
de magnésie ou au moyen de duvet fixé aux bords de la monture
et sur la languette.

Nous conduisons l’air à l’appareil, qui sonne à l’Ut,, et ob-
servons au vibroscope accordé à un ton un peu plus bas que
Ut_i, de sorte que la succession des phases observées sera directe.
Chaque fois que la languette se meut hors de la monture,
c.-à-d. dans la direction BCA de la figure 61, nous voyons
que le courant passant par l’ouverture suit la direction p, qui
fait un atigle d’environ 60° avec la languette; dès que celle-ci
va retourner (en A), le courant d’air passant prend une di-
rection g, de sorte qu’il s’incline plus vers la languette et fait
avec elle un angle d’à peu près 20°; c’est ce qu’on pouvait
prévoir. Or, on comprend que dans ce dernier cas l’éva-
cuation produite par le courant sera un peu plus grande,
c.-à.-d. que la pression aérodynamique sur la face intérieure
de l’anche sera plus petite que dans le premier cas; pour
cela, on n’a qu’à se rappeler les expériences du Chap. III
et spécialement l’expérience avec le prisme de la figure 11. C’est
le changement de l’intensité et de la direction du courant
d’air passant qui fait que, pour le mouvement A C, la pression
résultante dans le sens du mouvement sera plus grande que
la pression résultante qui s’oppose au mouvement CA.

Dans un tuyau à anche, les ondes sonores peuvent influencer
le courant injecté, comme il suit de l’expérience suivante. Je
prends une sirène vibrante à ressort en acier d’une épaisseur
de 3 mm., et j’ajuste l’appareil de manière qu’il ne parle
que très difficilement par la vapeur d’eau à la pression de 5 at-
mosphères. Au-dessus de cet appareil je dispose un tuyau

SUR LA PRODUCTION DES SONS DANS LES TUYAUX, ETC. 339

conique en zinc, d’une hauteur de 108 cm., de sorte que le
son fondamental de ce résonnateur soit à peu près égal à
celui de la sirène, c. à. d. Ut2. Aussitôt qu’on ouvre le robinet,
le jet de vapeur fait résonner un peu le tuyau conique, et
en même temps la sirène parle et on entend le son intense
de ce tuyau à anche. Cela s’explique de la manière suivante.
Le jet de vapeur produit d’abord dans le résonnateur une
onde de faible intensité; les condensations et dilatations qui
se rapportent à cette onde communiquent au courant une
certaine périodicité, de sorte que les faibles impulsions, que
le ressort reçoit déjà du courant, acquerront la période indi-
quée par le résonnateur. L’expérience a ainsi une certaine
analogie avec celle du tuyau sensitif.

Je rappellerai encore l’intéressante sirène construite par lord
Rayleigh '). Elle consiste essentiellement en un rectangle de
laiton, qui peut tourner autour d’un axe passant par les milieux
de deux côtés parallèles, et fermer ainsi une ouverture de la
même forme. La section se voit dans la figure 62. Amène-t-on
l’air d’un côté de l’appareil, le rectangle prend une position
telle qu’il ferme l’ouverture autant que possible. Ordinairement
on observe déjà des vibrations, et si l’on imprime à la plaque
un mouvement rotatoire, elle continuera à tourner.

En donnant au rectangle la position arbitraire montrée dans
la figure, une partie du courant, dirigé par exemple de haut
en bas, passera sur la surface inférieure de la plaque et en-
traînera en partie l’air qui se trouve au-dessous de celle-ci.
L’entraînement sera le plus grand en a;, c’est-à-dire près du
bord le plus élevé du rectangle; car en x la surface du
courant vient raser la face inférieure (postérieure), de sorte
qu’il se produit en ce point l’évacuation la plus forte, comme
il suit de l’expérience avec le prisme de la figure 11. Par là
se comprend non seulement un certain mouvement rotatoire
de l’air, mais aussi le signe du moment des forces qui déter-

23

') Phil Mag. 1880, page 281.

Archives Néerlandaises, T. XXV.

340 W. C. L. VAN. SCHAIK. SUR LA PRODUCTION, ETC.

minent la position de l’équilibre. Cette position ressemble
essentiellement à celle d’une plaque ou d’un disque soutenu
en son centre et placé dans un courant indéfini '). Un tel
disque, placé dans un résonnateur, se dirige normalement aux
vibrations de l’air, ainsi qu’il a été découvert par lord Rayleigh.
Les vibrations de l’air se comportent comme un courant de
sens alternatif ; le résultat peut se comprendre par l’évacuation
latérale qui se produit toujours sur la face postérieure et tout
près du bord que le courant rencontre le premier; d’ailleurs,
le signe du moment statique sera indépendant du sens du
courant aérien, comme il suit de l’explication ci-dessus.

Quant à la rotation de la sirène en question, elle me semble
pouvoir être expliquée par le principe des anches libres, spé-
cialement des anches dont le bout passe entièrement par la
monture, comme c’est souvent le cas pour les anches des
harmoniums américains. En effet, il se présente ici une ana-
logie suivant laquelle le rapport existant entre la sirène de
Rayleigh (fig. 62) et l’anche de l’harmonium (fig. 61) est le
même que celui entre le moulinet aérodynamique (fig. 5) et
la sirène vibrante (fig. 18).

1) Comparez sur ce sujet l’intéressante étude de M. Hagen : Uebcr die
Stellung welche drehbare Plansclieiben in strômendem Wasser annehmen.
Berlin 1878.

RECHERCHES

SUR UN

MODE DE DÉNITRIFICATION ET SUR LE
SCHIZOMYCÈTE QUI LA PRODUIT,

PAR

E. GILTAY et J. H. ABERSON.

A l’occasion d’une étude sur l’action que les bactéries exer-
cent dans le sol, nous nous sommes occupés assez longuement
de la réduction des nitrates par les schizomycètes.

Il n’y a pas encore longtemps que cette action bactérienne
est connue tant soit peu exactement.

En 1868, M. Reiset 1) attira l’attention sur le fâcheux dé-
veloppement de vapeurs nitreuses dans la fermentation alcoo-
lique du suc de betterave. Selon l’auteur, ce phénomène avait
déjà souvent été regardé comme dû à la réductien de nitrates;
mais lui-même ne pouvait partager cette manière de voir,
parce qu’alors, à son avis, il serait incompréhensible que l’ad-
dition de 2 gr. d’acide sulfurique par litre de jus empêchât
infailliblement l’apparition des susdites vapeurs. M. Reiset
pensait que le dioxyde d’azote provenait d’ammoniaque, et
que l’acide sulfurique ajouté fixait cette ammoniaque, de telle
sorte qu’elle ne se laissait plus décomposer.

M. Schloesing, toutefois, s’éleva contre cette explication 2).
L’un de ses prédécesseurs à l’Ecole des Tabacs, M. Ch. Rey,
avait observé que lorsque du jus de tabac fermente en vase
clos, il se dégage de l’oxyde d’azote. M. Schloesing, en colla-

J) Comptes rendus , T, LXI, p. 227.
// u n II h 237 .

20*

342

E. GILTAY ET J. H. ABERSON.

boration avec M. Rey, détermina donc la proportion des
nitrates dans le jus avant et pendant la fermentation; de
ces dosages il conclut que le dégagement d’oxyde d’azote
s’accompagne toujours de la disparition de nitrate, et réci-
proquement. Quand le jus ne contient pas de nitrate, aucune
production d’oxyde d’azote n’a lieu.

De l’urine, à laquelle on avait ajouté du nitrate, donna
en se putréfiant de l’oxyde d’azote et du dioxyde d’azote.

De l’eau sucrée, amenée à fermenter par l’addition d’un
peu de fromage, donnait C02, iV, NO et N02 lorsqu’à la
solution il avait aussi été ajouté du nitrate, mais seulement
CO 2 et H quand le nitrate manquait.

Dans des solutions de nitrate où l’on avait mis des débris
de plantes, il y eut également décomposition de nitrate aussitôt
que la fermentation se fut établie.

L’obstacle que la présence d’un acide apporte à la produc-
tion de N ou de gaz contenant N, fut reconnu aussi par M.
Schloesing. Il n’obtint même jamais la décomposition des
nitrates avant que les liquides ne fussent devenus neutres
ou alcalins. Son explication, toutefois, est autre que celle de
M. Reiset. Il cherche la cause du phénomène dans ce fait
que la fermentation s’opère ordinairement dans des milieux neu-
tres ou alcalins, et qu’en général les matières organiques fer-
mentantes exercent une forte action réductrice.

La réduction des nitrates, aux yeux de M. Schloesing, n’était
donc pas elle-même un processus de fermentation, mais sim-
plement une conséquence d’un pareil processus.

En 1873, M. Schloesing J) trouve, dans la terre, une dé-
composition de nitrates s’opérant de façon que de l’azote seul
est mis en liberté; mais l’action qui avait lieu en ce cas ne
consistait pas uniquement en réduction des nitrates, car il se
dégageait plus d’azote que le nitrate n’en contenait.

En 1875, M. Meusel 2) observa, dans des eaux naturelles,

1) Comptes rendus , T. LXXVII, p. 353.

2) Journal de Pharmacie et de Chimie , 4eSér.,T. XXII, p. 430.

SUR UN MODE DE DENITRIFICATION ETC.

343

la formation de nitrites aux dépens de nitrates; il attribue
cette transformation à des organismes inférieurs, vu qu’elle
est empêchée par l’action de substances antiseptiques.

L’apparition du monoxyde d’azote par réduction de nitrates
sous l’influence d’un peu de terre, fut constatée aussi, en 1882,
par MM. Dehérain et Maquenne. 1 ).

En 1879, M. Warington 2) avait publié une étude sur la
nitrification. Il en résultait qu’aux dépens du chlorure d’am-
monium il peut se former aussi bien du nitrite que du nitrate,
en proportions variables. La raison de ces différences lui était
restée inconnue: Il présume seulement que „la condition

du ferment” y jouait un rôle. M. Duclaux 3) pense à cet égard,
en 1883, que là où des nitrites prennent naissance à côté de
nitrates, il a dû intervenir aussi bien un ferment nitrifiant
qu’un fermant dénitrifiant.

Les recherches les plus importantes dont nous ayons à parler
sont celles de MM. Gayon et Dupetit 4).

Selon ces auteurs, la plupart des microbes possèdent plus
ou moins le pouvoir de former des nitrites aux dépens des
nitrates. Ils ont même trouvé une bactérie qui, dans un
bouillon contenant 1 % de nitrate, réduit tout ce sel à
l’état de nitrite.

Plus particulièrement, toutefois, ils se sont occupés de la
dénitrification dans laquelle il se dégage des produits gazeux.
Les décompositions étudiées étaient dues à deux organismes,
qu’ils distinguent comme Baderium denitrificans a et

Ces organismes furent cultivés surtout dans du bouillon
nitraté et dans un liquide nutritif artificiel contenant outre
10 % de nitrate, principalement de l’acide citrique, de l’as-
paragine, du phosphate de potasse et du sulfate de magnésie,

1) Comptes rendus , T. XCV, p. 691.

2) Journal of the Chemical Society , Juill 1879.

3) Chimie biologique , p. 714.

*) Recherches sur la réduction des nitrates par les infiniment petits.
Nancy, Berger-Levrault & Cie, 1886,

344

E. GILTAY ET J. H. ABERSON.

puis de petites quantités de chlorure de calcium, de sulfate
de fer, de sulfate d’alumine et de silicate de soude, et autant
d’ammoniaque qu’il en fallait pour neutraliser le liquide.

Le Bacterium denitrificans a, avec le liquide nourricier arti-
ficiel, donne toujours, comme produits de décomposition gazeux,
de l’azote et du monoxyde d’azote; lorsqu’il n’y a pas d’as-
paragine, il se dégage seulement de l’azote; dans le bouillon
nitraté il se forme des nitrites, lesquels manquent dans le
liquide nourricier artificiel ; cette bactérie agit avec plus de
force que la seconde, tout le nitrate du liquide nutritif, dans
lequel elle vit, pouvant être décomposé.

Le Bacterium denitrificans p ne donne toujours que de l’azote
et laisse intact beaucoup de nitrate ; aussi bien dans le bouillon
nitraté que dans le liquide nutritif actificiel, il forme des nitrites.

Les auteurs expérimentèrent surtout avec la forme a, à cause
de son activité plus grande. Une température d’environ 35° C.
est très favorable à la dénitrification. L’intervention de l’air
diminue la quantité de nitrate qui est décomposée Dans une
fermentation épuisée, l’énergie vitale des bactéries décroît
très rapidement. En ce qui concerne l’influence de la propor-
tion de nitrate, la fermentation dans le bouillon se montrait
la plus active lorsque celui-ci contenait environ l°/o de nitrate.
L’opération se faisait dans une espèce de petits matras où il
ne restait, au-dessus du liquide, qu’une très petite quantité
d’air „une quantité absolument négligeable”, selon les auteurs.

Sur le rapport dans lequel se forment l’azote et le monoxyde
d’azote, différentes circonstances ont de l’influence. La propor-
tion de N O était plus forte à 35° qu’à 15°, plus forte en cas
d’ensemencement léger qu’en cas de semis abondant, plus forte
aussi quand le liquide nutritif était plus concentré.

La signification du processus est aussi devenue mieux connue
à la suite des recherches de MM. Gayon et Dupetit. Us ont
fait voir que leurs bactéries réductrices, en cas de manque
d’oxygène, ne se développaient bien que si, outre les autres
matières nutritives, il y avait des nitrates dans le liquide.

SUR UN MODE DE DENITRIFICATION ETC.

345

La décomposition du nitrate ne pouvait donc être quelque
chose de secondaire, un effet accessoire de la fermentation ;
elle devait avoir de l’importance pour la vie des bactéries.

M. Heraeus ') a étudié l’action de différentes bactéries sur
des matières contenant de l’azote. Il en a trouvé deux qui
ramenaient l’acide nitrique à l’état d’acide nitreux et d’am-
moniaque, l’urée à l’état de carbonate d’ammoniaque ; une
troisième consommait les nitrates sans réduction et transformait
l’urée en sels ammoniacaux; une autre consommait également
du nitrate sans le réduire à l’état de nitrite, mais ne formait pas
de sels ammoniacaux aux dépens de l’urée; il y en avait une
qui n’exerçait aucune action sur les matières azotées, tandis
qu’une autre laissait inaltéré l’acide nitrique, mais transformait
l’urée en sels d’ammoniaque. Avec d’autres formes encore,
il observa une faible oxydation du carbonate d’ammoniaque.
Le fait de la réduction ou de l’oxydation fut trouvé indépen-
dant de l’accès de l’air; les bactéries réductrices, dans de
minces couches de liquide, ne produisaient toujours que la
réduction, jamais d’oxydation.

L’action réductrice d’un très grand nombre (32) de mi-
croganismes, pTovenant de l’air et de l’eau, fut examinée, en
1888, par M. Frankland 2) Avec aucun d’eux, l’auteur n’ob-
tint la réduction complète de l’acide nitrique, et jamais même
la réduction n’alla plus loin que la formation d’acide nitreux.
L’ammoniaque qui apparaissait était toujours, d’après l’auteur,
dérivée de la peptone du liquide nourricier. La réduction fut
reconnue indépendante de l’accès ou de l’exclusion de l’air.

Nos propres recherches ont porté sur l’action dénitrifiante
d’une espèce de bactérie qui dans nos alentours est souvent
très généralement répandue, tant dans le sol que dans l’air.

Nous avons isolé ce schizomycète de la terre, par la mé-

1) Zeitschrift fur Hygiene, herausgegeben von Dr. R. Koch und, Dr. C.
Flügge, T. I, 1886, p. 193—231.

2) Journal of the Chemical Society , p. 373 — 391,

346

E. GILTAY ET J. H. ABERSON.

thode habituelle, au moyen de cultures gélatineuses. La masse
nourricière consistait le plus ordinairement en une infusion
à 0,2 pour cent de terre dans l’eau, mêlée avec 10 % de gélatine.
On peut toutefois employer également bien du bouillon
gélatine ordinaire; dans l’une et l’autre masse nourricière
le champignon se développe en colonies de même aspect.
Pour le recueillir de l’air, nous abandonnions librement
à lui-même, dans un laboratoire de l’Ecole d’agriculture de
Wageningen, du liquide nourricier contenant des nitrates.
La fermentation dénitrifiante s’établissait-elle dans ces con-
ditions, la bactérie active était obtenue à l’état de pureté de
la même manière que lorsqu’elle avait été extraite du sol.

Nous parlerons d’abord de la forme extérieure de ce cham-
pignon, auquel, pour abréger, nous donnerons un nom, celui
de Bacillus denitrificans.

Partons d’une culture en gélatine et infusion de terre.
Au moyen d’un fil de platine, préalablement rougi à la flamme,
une gouttelette d’une colonie est déposée sur un porte-objet.
Comme la bactérie rend la gélatine fluide, le transport se fait
très facilement si l’extrémité du fil de platine a été conve-
nablement recourbée en anneau

Beaucoup des bactéries s’agitent vivement. Même chez celles qui
sont immobiles, la forme n’est pas facile à étudier, parce qu’elles
tranchent très peu sur le reste du champ. Aussi avons nous, pour
notre examen, fait usage surtout de préparations colorées par la
fuchsine. La fuchsine s’emploie en solution aqueuse étendue ; nous
laissons agir celle-ci sur les bactéries pendant 1 3 jours. L’étude

des préparations se faisait toujours avec un objectif apochro-
matique de Zeiss à immersion dans l’huile, de 2mm de distance
focale et de 1.30 d’ouverture numérique, et avec les oculaires
à compensation qui se rapportent aux lentilles apochromatiques.

La forme qu’on rencontre le plus communément est celle
de bâtonnets doubles, tels que les fig. 1, 2 et 3 (PI. IX) les
représentent en contour. La longueur totale du bâtonnet double
est d’environ L<,5 à 3.". Les deux articles ne se trouvent or-

SUR UN MODE DE DENITRIFICATION ETC. 347

dinairement pas dans le prolongement l’un de l’autre, de sorte
que l’ensemble paraît plus ou moins courbé.

L’épaisseur de bâtonnets est d’environ (V,5.

Outre ces bâtonnets doubles, on rencontre aussi des bacilles
simples. Les plus petits de ceux-ci sont longs d’environ 1^
(fig. 4), les plus grands atteignent une longueur de près de
1^,5 (fig. 5 et 6). Parmi ces derniers, toutefois, il y en a
beaucoup qui montrent déjà des indices de division.

Dans quelques cas, on trouve des filaments composés de
plus de deux articles (fig- 7, 8). Lorsque les bâtonnets doubles
unis bout à bout présentaient tous les deux une courbure mani-
feste, nous avons toujours vu celle-ci dirigée en sens différent.

Dans les liquides que nous avons employés, et dont il sera
parlé plus loin, la bactérie acquiert une forme ressemblant
sous beaucoup de rapports à celle qui vient d’être décrite.
Ici également, on trouve des bâtonnets simples (fig. 9, 10, J 1),
qui parfois sont notablement plus épais à une extrémité qu’à
l’autre; les formes les plus fréquentes sont de nouveau des
bâtonnets doubles (fig. 12, 13, 14) et l’on rencontre aussi des
doubles bâtonnets doubles (fig. 15, 16), où toutefois les sépa-
rations des cellules ne sont souvent qu’indistinctement visibles.
Mais les dimensions ne sont pas les mêmes que chez les*bac-
téries développées dans l’infusion de terre gélatinée. En pre-
mier lieu, ces bactéries sont ordinairement plus longues : les
bâtonnets simples atteignent, par exemple, plus de 2«, les
bâtonnets doubles de 3(< à 4^,5 ; ensuite, l’épaisseur est moins
uniforme chez les différents individus, comme on peut s’en
assurer en comparant les fig. 14 et 15 aux fig. 9, 10, 1 2 et 13.

Une première question qui se présente, à l’occasion de cette
description, est celle de savoir si notre bactérie est morpho-
logiquement identique avec celle de MM. Gayon et Dupetit,
la seule bactérie dénitrifiante qui, à notre connaissance, ait
été décrite avec soin.

En ce qui concerne l’épaisseur, il y a accord; celle-ci, en
effet, est de O7, 4 — 0W,6 pour le Bacterium denitrijîcans «, de

348

E. GILTAY ET J. H. ABERSON.

0,5 — 0M,7 pour le B. denitrificans p de Gayon et Dupetit, et
de 0W,4 — 0-a,7 pour notre bacille. Il y a similitude aussi sous
le rapport de la difficile visibilité des bactéries non colorées.
Mais l’accord n’existe plus quant à la longueur. MM. Gayon
et Dupetit ont donné pour celle-ci 2 à 4a. Nous aussi, à la vérité,
nous trouvons des filaments de cette longueur; mais, pour beau-
coup de ceux-ci, il est douteux s’ils ne sont pas composés
de 2 cellules, et la longueur la plus ordinaire des filaments
qui sont indubitablement des bâtonnets doubles s’élève pré-
cisément à 2 — 4.w. Il est certain, en outre, que quantité de nos
bâtonnets ont une longueur notablement moindre que 2^. La fi-
gure qui accompagne le Mémoire de MM. Gayon et Dupetit, figure
faite d’après une photographie, est trop peu nette et à grossisse-
ment trop faible pour donner des éclaircissements suffisants.

Nos figures ont été exécutées avec soin, à l’aide de la chambre
claire, d’après des préparations colorées par la fuchsine.
L’emploi de la chambre claire, pour le dessin des bactéries,
paraît être peu usité ; pourtant, avec les moyons appropriés, il
est très possible et très recommandable.

En premier lieu, il faut naturellement un système fortement
grossissant. Nous nous sommes servis, comme il a déjà été
dit, de l’objectif aprochromatique de Zeiss à immersion homo-
gène, de 2mm de distance focale et de 1,30 d’ouverture.
Quand cet objectif était employé avec l’oculaire à compensa-
tion 18, l’image projetée sur la table au moyen de la chambre
claire était grossie 2500 fois. Une amplification aussi consi-
dérable ne fait pas, il est vrai, voir plus que ce qu’on peut
déjà observer à un grossissement beaucoup moindre *);mais,
lorsqu’il s’agit de dessiner de très petits objets, un pareil
surgrossissement offre une grande commodité. Pour les objets

i) Voir les importants résultats, encore trop peu connus, des recherches
de M. Abbe : Beitràge zur Théorie des Mikroskopes und der mikrosko-
pischen Wahrnehmung , dans Max Schultze, Archiv. für mikroskopische
Anatomie , T. IX, 1873. Pour un exposé succinct, on peut consulter: E. Giltay,
Sept objets regardés au microscope , Leide, E. J. Brill, 1890, septième objet.

SUR UN MODE DE DÉNITRIFICATION ETC.

349

tels que des préparations fortement colorées de bactéries, son
usage est d’ailleurs sans inconvénient, vu que ces préparations
permettent un éclairage très intense.

Cherche-t-on maintenant, sur du papier éclairé de la ma-
nière ordinaire, à suivre avec un crayon les contours des bac-
téries, on y éprouve une grande difficulté, parce que la pointe
du crayon tranche trop peu sur le reste du champ. Il est
très facile, toutefois, de parer à cet inconvénient, en plaçant
tout près du papier une lampe vivement éclairante On a
soin d’intercepter, à l’aide d’un écran, la chaleur rayonnante,
qui pourrait gêner pendant l’exécution du dessin. Le contraste
entre le papier et la pointe du crayon devient alors très marqué.
A la vérité, l’image du papier fortement éclairé rend moins
distincte l’image des bactéries, mais un léger défaut de netteté
se supporte beaucoup mieux chez l’objet à calquer que chez
la pointe du crayon. En tout cas, il est maintenant facile
de trouver, par le réglage de l’intensité lumineuse du papier,
le point optimum, où le crayon se détache d’une manière suf-
fisante, tant par rapport aux bactéries que par rapport au reste
du champ 1 ).

Après que le contour a été tracé, il est bon de déplacer
légèrement le papier, de façon qu’en se servant de la chambre
claire on voie l’un à côté de l’autre l’objet et le dessin, puis
de les comparer entre eux. Cette comparaison gagne consi-
dérablement en sûreté lorsque la figure a été dessinée tout
près du bord du papier. Le petit glissement à imprimer à
celui-ci peut alors se faire de telle sorte que la rétine, à l’en-
droit où tombe l’image de la bactérie, ne reçoive pas d’image
du papier. En ce cas, la grande clarté de l’image du papier
ne vient pas nuire à l’observation de l’objet lui-même. L’objet

i) "Voir, pour des détails plus précis concernant le réglage de l’intensité
lumineuse dans l’emploi de la chambre claire: E Giltay, Inleiding tôt hel
gebruik van den microscoop , Leiden, E. J. Brill, 1885, p. 187 et suiv., ou
bien: Théorie der Wirkung und des Gebrauches der Caméra lucida, von
Dr. E. Giltay, Zeitschrift fur wissenschaftliche Mikroskopie; Bd. I, p.ll etsuiv.

350

E GILTAY ET J. H. ABERSON.

et le dessin se voient donc tous les deux très nettement et
se prêtent à une comparaison minutieuse ; le dessin peut être
corrigé jusqu’à ce qu’il présente avec l’objet le degré d’accord
nécessaire.

En ce qui concerne le mode de culture, nous avons déjà
dit comment nos cultures pures ont été obtenues. Comme
milieu liquide, nous avons employé surtout le bouillon et un
liquide nourricier artificiel, préparé d’abord suivant le précepte
de MM. Gayon et Dupetit, ensuite sous deux formes modifiées.

La première de celles-ci, qui sera aussi la première dont
nous dirons comment les bactéries s’y comportent, contenait,
par litre d’eau, 2 grammes de nitrate de potasse, 1 gr. d’as-
paragine, 2 gr. de sulfate de magnésie, 5 gr. d’acide citrique,
2 gr. de monophosphate de potasse, 0,2 de chlorure de cal-
cium et une couple de gouttes de perchlorure de fer. L’acide
était neutralisé par l’addition de potasse.

La, modification apportée au liquide nourricier consistait
donc essentiellement dans l’emploi de moins de nitrate et
dans la neutralisation par la potasse au lieu de l’ammo-
niaque. Les motifs de ces modifications étaient, en premier
lieu, que 10 % de nitrate dégageaient trop de gaz, ce qui
présentait des inconvénients eu égard à la capacité de no-
tre étuve pour cultures ; en second lieu, que, pour mieux
pouvoir étudier le changement subi par le N du nitrate lors
de la fermentation, nous ne voulions pas introduire dans
le processus, par l’addition d’ammoniaque, des complications
éventuelles. Pour cette même raison, l’asparagine aussi fut
plus tard remplacée par la glycose, comme nous le verrons.

Le mode de préparation du liquide nourricier, mode qui
n’est pas indifférent au point de vue de l’obtention d’une
dissolution limpide et incolore, était le suivant. Dans un pre-
mier vase à précipité le nitrate de potasse et l’asparagine
étaient dissous dans environ 250cm,c d’eau; dans un second
vase, les autres matières, dans environ 500cmc d’eau. Dans

SUR UN MODE DE DÉNITRIFICATION ETC.

851

ce dernier vase on neutralisait d’abord l’acide citrique par
la lessive de potasse, puis les deux liquides étaient mélangés
dans un matras de jauge, refroidis jusqu’à 15° C. et portés,
par l’addition d’eau, au volume de 1 litre.

Lorsque la dissolution du nitrate de potasse et de l’aspara-
gine est opérée simultanément avec celle des autres sels, une
décomposition se produit entre l’acide citrique et le nitrate
de potasse, et l’acide nitrique mis en liberté exerce une action
oxydante sur les matières organiques du mélange. Le liquide
se colore en brun et contient de l’acide nitreux.

Le second liquide nutritif artificiel renfermait, au lieu d’as-
paragine, de la glycose, à savoir, 2 grammes par litre. Dans
ce liquide surtout, il faut neutraliser très exactement par la
potasse, vu que le moindre excès de celle-ci détermine de
l’humification quand on stérilise le liquide.

A ces matières nutritives liquides nous avons ordinaire-
ment, surtout la seconde année de nos cultures du Ba-
cillus denilrificans, ajouté un peu de carbonate de chaux pul-
vérisé. La première année, une action réductrice suffisante
avait à la vérité été obtenue même sans cette addition; plus
tard, néanmoins, nous en avons presque toujours fait usage,
parce que la réduction en était manifestement favorisée.

Que le carbonate de chaux ne joue pas un rôle indifférent
dans la vie des schizomycètes, c’est ce qui ressort encore du
fait que, dans le dépôt, la bactérie se développe en application
directe sur les petits cristaux de ce carbonate 1 ), comme le
représente la fig. 17. Dans cette figure, plusieurs bacté-
ries sont placées plus ou moins obliquement par rapport

i) La fig. 17 est dessinée à trop petite échelle pour que nous puissions
répondre, au même degré que dans les fig. 1 — 16, de la parfaite exacti-
tude des formes et des dimensions des bâtonnets. Aussi est-elle destinée
seulement à montrer la situation relative des bactéries et des cristaux. —
Un recouvrement du même genre a été observé par M. Winogradsky, dans
ses cultures pures de bactéries nitrifiantes, par rapport à de petits cristaux
de carbonate basique de magnésie (Annales de V Institut Pasteur, 1890, p. 226)

352

E. GILTAY ET J. H. ABERSON.

aux arêtes des cristaux; mais cela paraît tenir à ce que,
pendant la préparation, il y en a toujours quelques-unes
qui sont dérangées de leur position primitive.

Nos premières cultures datent de l’hiver de 1889 — 1890.
Elles n’eurent que peu de succès. A l’origine, il était facile
d’obtenir la réduction. Nous n’avions qu’à abandonner un
peu de liquide nutritif au contact de l’air, pour voir la fer-
mentation apparaître au bout de quelques jours. Elle s’établissait
encore plus rapidement quand le liquide nutritif recevait une
addition de terre, et les cultures pures dans la gélatine se
faisaient aussi sans aucune peine. Mais, avant que toutes les
difficultés qui se présentaient dans l’étude quantitative du pro-
cessus de réduction eussent été surmontées, nos cultures se
mirent à fermenter de moins en moins, et finalement elles ne
fermentèrent plus du tout. Ni par l’ensemencement avec la
terre, ni par l’exposition à l’air, une réduction tant soit peu
notable ne put plus être provoquée. D’un grand nombre de
manières, entre autres en apportant à nos liquides des modi-
fications très variées, nous cherchâmes à obtenir de nouveau
des cultures douées de l’activité primitive. Toutes ces ten-
tatives échouèrent. Aussi, des résultats trouvés à cette époque,
nous ne mentionnerons qu’un seul. Quand par une culture
on fait passer sans interruption un fort courant d’air stéri-
lisé, nulle décomposition de nitrate ne s’opère. MM. Gayon
et Dupetit avaient d’ailleurs déjà reconnu que lorsque la
culture a lieu dans une mince couche de liquide nutritif, la
dénitrification diminue dans une très forte mesure, bien que,
de cette manière, une partie du nitrate soit encore toujours
décomposée.

Dans l’hiver de 1890 — 1891, nous fûmes plus heureux.

Au commencement du mois de novembre dernier, nous
pûmes de nouveau obtenir facilement en culture pure, tant
aux dépens de l’air que de l’eau, une bactérie fortement dé-
nitrifiante, dont l’aspect extérieur concordait avec celui du
microbe que nous avions cultivé l’année précédente.

SUR UN MODE DE DÉNITRIFICATION ETC.

353

Nos expériences portèrent principalement sur la descendance
d’une culture pure qui avait été obtenue d’un tube à liquide
nutritif dans lequel la dénitrification était apparue à la suite
de l'exposition à l’air. Outre cette série, il y en avait toutefois
encore d’autres en culture. Chaque jour, le plus souvent, une
nouvelle culture était faite dans chacune des séries ; la semence
était presque toujours fournie par la culture du jour précédent.
Une culture en liquide nourricier contenant du nitrate était
ordinairement trouble en moins de 24 heures et avait alors
déjà commencé à dégager du gaz; au bout de deux fois 24
heures, la fermentation avait atteint son maximum.

Pour plus de sûreté, on intercalait de temps en temps entre les
cultures en milieux nutritifs liquides, une culture sur gélatine.
Probablement, toutefois, cette mesure de précaution a été
superflue. Jamais, en effet, nous n’avons pu découvir de cette
manière des impuretés dans nos cultures.

Les fermentations avaient lieu dans une étuve d’élevage,
où la température, de 30 u C. pendant le jour, s’abaissait or-
dinairement la nuit jusqu’à 10° — 20° C.

Bien que, dans ce second hiver, nous ayons pu accomplir
au moins une partie nettement circonscrite de la tâche que
nous nous étions imposée, le cours des recherches fut pourtant
interrompu une couple de fois par un affaiblissement con-
sidérable de l’énergie des fermentations. Mais, contrairement
à ce que nous avions éprouvé l’hiver précédent, ces pertur-
bations furent simplement passagères. La cause nous en est
d’ailleurs restée inconnue, tout comme celle des premières.

Pour l’étude quantitative des fermentations nous avons fait
usage, après divers essais, de petits matras d’une forme par-
ticulière (voir PL IX, fig. 18) que M. Geisler, de Bonn, construisit
pour nous avec son habileté bien connue.

La partie A a une capacité d’environ 100 cmc. Elle porte
latéralement une tubulure b, munie d’un petit robinet k. En
haut, elle présente un col, sur lequel s’adapte exactement,
usé à l’émeri, un petit tube à ampoule F. Ce tube est à

354

E. GILTAY ET J. H. ABERSON.

son tour recouvert d’un bouchon rodé, qui se termine en un
tube plus étroit b'. Sur ce dernier s’adapte un tube abducteur
en caoutchouc à parois épaisses, à l’autre extrémité duquel
se trouve encore un petit tube recourbé b".

Le matras A est rempli du liquide nitritif, ordinaire-
ment jusqu’à la ligne pointillée 1. A l’aide du pycnomètre,
on détermine exactement le poids spécifique du liquide nu-
tritif, de sorte que le volume de celui-ci, introduit dans le
matras, se trouve par la pesée. L’appareil entier est stérilisé
dans un courant de vapeur d’eau, après qu’un tampon de
ouate a été lié sur le petit tube b".

Lorsque le matras a été ensemencé, on ajoute au liquide
nutritif un peu de carbonate de chaux stérilisé. Comme nous
nous proposions d’étudier la fermentation surtout en cas d’ab-
sence ou du moins d’accès très faible de l’oxygène, on ache-
vait de remplir le matras, jusqu’à la ligne pointillée 2, avec
de l’huile stérilisée. Le reste de l’appareil était laissé rempli
d’air; nous verrons tout à l’heure comment on déterminait
le volume de celui-ci. Le gaz emmené par le tube abducteur
est recueilli dans un eudiomètre, sur le mercure. Lorsque la
fermentation est terminée, tout le gaz encore contenu dans
l’appareil en est chassé par l’ébullition dans un bain de chlo-
rure de calcium, et également recueilli sur le mercure. Pour
empêcher que dans cette opération du gaz ne s’échappe, les
différentes parties de l’appareil sont maintenues serrées les
unes sur les autres par des ressorts à boudin en cuivre, atta-
chés en dessous et en b'. L’ampoule V servait à prévenir
que durant l’ébullition le liquide nutritif dilaté ne rencontrât
subitement le tube abducteur très étroit, à obtenir par con-
séquent une ébullition paisible, et, en outre, à empêcher qu’une
trop grande quantité du liquide ne passât dans l’eudiomètre.
Finalement, on analyse aussi le gaz chassé par l’ébullition et,
au besoin, on soumet encore le liquide à un examen ultérieur.

Pour savoir en quelle proportion les gaz recueillis ont été
développés par la fermentation, et en quelle proportion ils

SUR UN MOUE DE DÉNITRIFICATION ETC.

355

existaient déjà dans l’appareil avant ce processus, il faut na-
turellement déterminer d’abord la capacité de l’espace conte-
nant de l’air, puis la quantité de gaz qui se trouve en dis-
solution dans le liquide nutritif. La capacité de la partie de
l’appareil non remplie dë liquide se trouvait en introduisant
d’abord de l’eau dans le matras jusqu’à la seconde ligne
pointillée, et en y faisant ensuite arriver de l’eau, à l’aide
d’une burette reliée au tube b , jusqu’à ce que l’appareil en
fût entièrement rempli, l’eau affleurant à l’embouchure du
tube b". Quand l’opération est exécutée avec soin, les résultats
des déterminations répétées concordent toujours jusqu’aux
dixièmes de centimètre cube.

La quantité de gaz que le liquide nutritif tient en dissolution
dépend du temps écoulé entre la stérilisation et le début de
la culture. A raison de cette circonstance, on détermina pour
quelques matras, qui avaient été remplis et stérilisés de la
manière ordinaire, mais qui ensuite étaient restés non ense-
céens pendant des temps inégaux, la quantité de gaz dissous ;
des résultats ainsi obtenus on déduisit, par le calcul, les don-
nées nécessaires.

Le gaz recueilli pendant la fermentation consistait toujours
en un mélange d’azote, d’acide carbonique et d’oxygène.

De l’absence d’hydrogène nous nous sommes assurés en
faisant jaillir dans le gaz, préalablement mêlé d’oxygène, des
étincelles électriques. L’absence d’hémioxyde d’azote fut con-
statée, dans quelques analyses, en abandonnant, le gaz dégagé
après absorption de l’acide carbonique par la potasse solide,
au-dessus de l’alcool, dans lequel le gaz hilarant se dissout
facilement. La preuve que le gaz ne contenait pas de dioxyde
d’azote résultait d’abord de ce qu’il était incolore et ensuite
de ce qu’un peu d’eau, qui avait été quelque temps en contact
avec lui, ne donnait pas de réaction avec la diphénylamine ; le
monoxyde d’azote aurait été converti par l’oxygène en dioxyde,
de sorte que ce gaz non plus n’existait pas dans le mélange.

L’oxygène qui au début d’une culture se trouve dans l’ap-

Archives Néerlandaises, T. XXV. 24

356

E. GILTAY ET J. H. ABERSON.

pareil, au-dessus du liquide , ne se retrouve par tout entier
à la fin de l’expérience.

Nous avons reconnu que cette absorption d’oxygène doit
avoir été produite, au moins en très grande partie, par l’huile,
et non par le liquide que celle-ci recouvrait. En effet,
lorsque dans notre étuve nous placions des eudiomètres qui
contenaient, au-dessus du mercure, ou bien une petite couche
d’huile, ou bien une couche semblable recouvrant un peu de
lessive de potasse et d’acide pyrogallique, la différence en
absorption d’oxygène était une quantité qui tombait entre
les limites des erreurs d’observation.

Pour déterminer la quantité d’azote, l’acide carbonique et
l’oxygène étaient absorbés par la lessive de potasse et par
l’acide pyrogallique.

Après l’ébullition, le liquide nutritif était filtré, puis la
dissolution limpide était essayée quant à la présence de l’am-
moniaque par le réactif de Nessler, quant à celle de l’acide
nitreux par le sulfate de naphtylamine et l’acide sulfanilique,
et quant à celle de l’acide nitrique par la diphénylamine.
Dans cette dernière réaction, le mélange avec une quantité
quadruple d’acide sulfurique doit être opéré dans un vase for-
tement refroidi, parce que, sans cette précaution, le liquide
se colorerait en noir.

Pour les fermentations qui furent étudiées quantitativement,
nous avons d’abord fait usage du liquide nourricier contenant
de l’asparagine et 2 grammes de nitrate (voir p. 350). Avec
ce liquide furent obtenus les résultats suivants :

Liquide nourricier contenu dans les matras, en cmc.

Analyse 1. Analyse 2. Analyse 3. Analyse 4.
97 94,1 92,4 101,5

De ce contenu on obtint successivement en azote, réduit à
0° et à 760mm de pression barométrique:

SUR UN MODE DE DENITRIFICATION ETC.

357

a. dans le gaz échappé
du matras durant la fermentation:

17,75

18,99

19,02

19,36 ,

b . par

l’ébullition du contenu

du matras:

15,98

18,29

15,46

15,62 ,

soit, ensemble:

33,73

37,28

34,48

34,98 .

Azote des gaz contenus dans les appareils, réduit
à 0° et 760mm de pression barométrique:
a. dans l’air au-dessus du liquide:

11,85

12,98

11,85

11,94 ,

dissous

dans le liquide :

0,48

0,35

- 0,25

0,41 ,

soit,

ensemble :

12,33

13,33

12,10

12,35 ,

de sorte que, pour la quantité d’azote dégagée
par la fermentation, on trouve :

21,40 23,95 22,38 22,63

L’azote du nitrate contenu dans le liquide nourricier s’éle-
vait, sous forme de gaz à 0° et 760mm, à:

21,44 20,97 20,42 22,43 .

La fermentation achevée, le liquide nourricier ne contenait
dans aucun des appareils de l’acide nitrique ou de l’acide ni-
treux, mais dans tous de l’ammoniaque.

Le nitrate ayant donc été partout décomposé complètement,
et la quantité de l’azote dégagé par la fermentation étant
dans trois des quatre cas notablement supérieure à celle que
pouvait fournir le nitrate, il faut qu’une partie de cet azote
provienne de l’asparagine,

Mais, comme il s’est aussi formé de l’ammoniaque, il reste
de l’incertitude quant à la manière dont l’azote du nitrate
s’est comporté dans la fermentation. Pour savoir si le nitrate
peut se dédoubler de telle sorte que tout son N apparaisse

24*

358

E. GILTAY ET J H ABERSON.

à l’état de gaz, nous avons expérimenté aussi avec un liquide
nourricier dans lequel le nitrate était la seule combinaison
azotée, et où, comme matière organique, se trouvait, outre
l’acide citrique, de la glycose.

Les résultats ainsi obtenus sont les suivants:

Liquide nourricier contenu dans les
matras, en cmc. :

Analyse 5. Analyse 6. Analyse 7. Analyse 8.

97,4 93,04 93,1 101,6.

De ce contenu on obtient successivement en azote, réduit
à 0° et à 760mm de pression barométrique:

a. dans le gaz échappé du
matras durant la fermentation;

18,50

18,22

16,34

19,53 ,

b. par ]

L’ébullition du contenu

du

matras :

16,26

14,45

16,02

16,33 ,

soit,

ensemble :

34,76

32,67

32,36

35,86 .

Azote des gaz contenus dans les appareils, réduit
à 0° et à 760mm de pression barométrique:

a. dans l’air au-dessus du liquide :

13,40

11,99

11,59

13,42 ,

/3. dissous

dans le liquide:

0,19

0,19

0,21

0,21 ,

soit,

ensemble :

13,59

12,18

11,80

13,63 ,

de sorte que, pour la quantité d’azote dégagée parla fermen-
tation, on trouve:

21,17 20,49 20,56 22,25 .

L’azote du nitrate contenu dans le liquide nourricier s’éle-
vait, sous forme de gaz à 0° et 760mm, à:

21,52 20,57 20,77

22,45 .

SUR UN MODE DE DENITRIFICATION ETC. 359

La fermentation achevée, on ne trouve, dans le liquide
nourricier soumis à l'ébullition, ni acide nitrique, ni acide
nitreux, ni ammoniaque.

A très peu de chose près, la quantité d’azote dégagée par
la fermentation concorde maintenant avec la quantité de cet
élément contenue dans le liquide nourricier; la différence,
en effet, n’est que de 0,4 à 1,1 %. Dans les quatre cas, la
première de ces deux quantités est un peu moindre que la
seconde.

Cela conduirait peut-être à croire qu’il s’était pourtant formé
un peu d’ammoniaque, et que celle-ci ne s’était pas retrouvée
dans le liquide bouilli parce qu’elle avait passé à la distillation.

Mais cette idée ne saurait être admise, vu que, même après
des fermentations non étudiées quantitativement et où le li-
quide n’avait pas subi l’ébullition finale, la présence de l’am-
moniaque ne put jamais être constatée dans ce liquide.

Le léger déficit en azote doit être attribué en partie à l’as-
similation de cet élément pour la constitution du plasma de
la bactérie, et une faible quantité peut aussi s’être échappée
par le tube de caoutchouc.

De tout ce qui précède, résultent les conclusions suivantes:

1. A Wageningen, dans l’automne de 1889 et de 1890, il se
trouvait, très répandue dans la terre, dans l’eau et dans
l’air, une bactérie capable de réduire complètement les nitrates.

Ce fait nous paraît mériter une mention spéciale, surtout
si l’on considère que M. Frankland 1 ), qui pourtant étudia
32 bactéries, recueillies dans l’air et dans l’eau, au point de
vue de la décomposition des nitrates, n’en trouva pas une
seule qui exerçât une action aussi énergique. Lors même que
la décomposition avait lieu, celle-ci, dans les cas où ce point
fut examiné, n’alla pas plus loin que la réduction à l’état de
nitrite.

i) Voir ci-dessus, p. 345.

360

E. GILTAY ET J. H. ABERSON.

2. La bactérie en question, que nous nommerons Bacillus
denitrificans tant qu’elle n’aura pu être identifiée positivement
avec quelque espèce déjà connue, présente, sous le rapport
de la forme, plusieurs analogies avec le Bacterinm denitrificans
a et (3 de Gayon et Dupetit ; les données ne permettent pas,
toutefois, de se prononcer définitivement au sujet de l’identité
morphologique.

3. La présence du carbonate de chaux favorise l’action dé-
nitrifiante. Le schizomycète, en se développant, recouvre les
petits cristaux du carbonate.

4. La fermentation occasionnée par notre bactérie n’est pas
la même que l’une des autres fermentations déjà décrites. Elle
se rapproche le plus des décompositions qu’ont étudiées M.M.
Gayon et Dupetit.

Dans un liquide nourricier contenant du nitrate et de l’as-
paragine, le Bacterium denitrificans « de Gayon et Dupetit
donnait toujours la décomposition totale du nitrate, sans for-
mation d’acide nitreux, et comme produits gazeux l’azote et
le monoxyde d’azote: le Bacterium denitrificans (t des mêmes
auteurs laissait, dans le susdit liquide nutritif, beaucoup de
nitrate inattaqué, donnait toujours du nitrite et, comme pro-
duit gazeux, rien que de l’azote. Notre Bacillus denitrificans ,
au contraire, décompose tout le nitrate, ne forme pas de nitrite
et, comme produit gazeux, ne fournit que de l’azote. La question
de savoir si tout l’azote du nitrate apparaît sous forme gazeuse,
n’est pas facile à trancher quand le liquide nourricier contient
de l’asparagine, parce que celle-ci renferme également de
l’azote, et parce que. avec elle, la fermentation forme aussi
de l’ammoniaque. Mais lorsque l’asparagine est remplacée dans
le liquide nourricier par la glycose, on ne trouve pas d’am-
moniaque après la fermentation, et la quantité de l’azote
dégagé correspond à celle de l’azote du nitrate.

En ce qui concerne la signification physiologique du phé-
nomène, on est conduit, eu égard à des données thermochi-
miques connues, à admettre que la décomposition du nitrate

SUR UN MODE DE DENITRIFICATION ETC.

361

est une manifestation dn processus par lequel le Bacillus déni -
trificans sait se procurer de T énergie en cas d’accès insuffisant
de l’oxygène. Le processus tout entier consisterait alors en
ceci, que le schizomycète peut brûler de la matière organique
au moyen du salpêtre, en émettant, comme produit accessoire,
de l’azote. Cette décomposition fait songer, dans une certaine
mesure, à l’explosion de la poudre à canon. Une petite partie du
nitrate du liquide nourricier peut, naturellement, fournir aussi
l’azote nécessaire à la substance corporelle du champignon.

L’explication du recouvrement des particules calcaires par le
bacillus reste provisoirement obscure; à moins de supposer
notre bacille tellement sensible à toute réaction acide, que le
contact direct avec une matière neutralisante lui facilite la vie.

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ARCHIVES NÉERLANDAISES

DES

Sciences exactes et naturelles.

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL
ET SON APPLICATION AUX CORPS MOUVANTS.

PAR

H. A. LORENTZ.

Introduction.

Hypothèses fondamentales .

§ 1. Dans un des plus beaux chapitres de son Traité de
l’électricité et du magnétisme, Maxwell fait voir comment
les principes de la mécanique peuvent servir à élucider tes
questions d’électrodynamique et la théorie des courants induits,
sans qu’il soit nécessaire de pénétrer le secret du mécanisme
qui produit les phénomènes. L’illustre savant se borne à un
petit nombre d’hypothèses, que tous les physiciens connaissent
et dont on me permettra de rappeler ici les principales.

Les anciennes théories opéraient avec un ou deux fluides
électriques, qui seraient en repos dans les phénomènes élec-
trostatiques et dont le déplacement constituerait un courant.
Maxwell admet également que les systèmes dont on s’occupe
en électrostatique se trouvent en repos et que ceux où il y
a des courants sont le siège d’un véritable mouvement ; mais,
selon lui, ce dernier n’est pas simplement le déplacement
d’une matière électrique et ce qui se passe dans les fils con-
ducteurs ne constitue pas le mouvement entier.

C’est là un point d’une importance fondamentale. On sait
I que Maxwell , en suivant la voie tracée par Faraday , cherche
à expliquer par l’intervention du milieu toutes les actions qui
Archives Néerlandaises, T. XXV. 25

364

H. A. LÔRENTZ.

semblent s’exercer à distance, le milieu étant tantôt l’éther
qui transmet les vibrations de la lumière, tantôt un corps,
pondérable. Si des fils de métal sont parcourus par des cou-
rants électriques, les particules du milieu, ambiant sont ani-
mées d’un certain mouvement, que j’appellerai le mouvement
électromagnétique et qui consiste probablement en une rotation
autour des lignes de force magnétique. Selon Maxwell, la force
vive de ce mouvement est précisément l’énergie électromagné-
tique dont, indépendamment de toute théorie, les expériences
ont révélé l’existence et fixé la valeur et que la théorie répartit
d’une manière déterminée sur les différentes parties de l’espace.

Remarquons, dès à présent, que dans un même élément de
volume un courant électrique et un mouvement électroma-
gnétique peuvent exister simultanément.

§ 2. Dans une autre hypothèse de Maxwell il est question
des liaisons entre les différentes parties du système mobile.
Figurons-nous un certain nombre de circuits linéaires qui se
déplacent d’une manière quelconque et supposons pour un
moment qu’il n’v ait aucun courant électrique. Si les fils
conducteurs sont entourés d’un milieu pour lequel ils ne sont
pas parfaitement perméables, leur mouvement donnera lieu à
un déplacement de ce milieu; en outre, dans une théorie
générale, il faudrait admettre que des corps quelconques, placés
dans le voisinage des conducteurs, peuvent se mouvoir indé-
pendamment de ces derniers. Toutefois, pour simplifier, je me
bornerai au cas où, tant qu’il n’v a pas de courants, le mou-
vement du système entier est connu, lorsque celui des circuits
est donné.

Si maintenant, sans rien changer au mouvement des con-
ducteurs, on y établit des courants électriques, les choses se
compliqueront davantage : outre les mouvements qui existaient
déjà, ceux que nous avons appelés „ électromagnétiques”
prendront naissance. Je désignerai par P les points matériels qui
prennent part à ce nouveau phénomène et je supposerai que,
pour un certain moment t0, on connaisse la position de chaque

la théorie Electromagnétique de Maxwell. 365

circuit et celle de tous les points P. Cela posé, l’hypothèse
de Maxwell peut être exprimée en ces termes :

En vertu des liaisons qui existent dans le système, les posi-
tions des points P à un instant ultérieur t sont entièrement
déterminées dès qu’on connaît les nouvelles positions des cir-
cuits et, pour chacun d’eux, la quantité d’électricité qui, entre
les moments t0 et t, a traversé une section.

Cette quantité d’électricité est ici regardée comme une somme
algébrique, les signes + et — étant employés pour indiquer
si l’électricité se déplace dans un sens ou dans l’autre. Lorsque
i est l’intensité d’un courant prise avec un signe qui en déter-
mine la direction, la quantité dont je viens de parler peut

être représentée par l’intégrale f idt et l’hypothèse elle-

J t,0

même revient à ce qui suit:

(A). Si deux mouvements différents du système s’accordent
en ce qui concerne la position primitive du système tout en-
tier, la position finale des circuits conducteurs et les valeurs

des intégrales

ces deux mouvements conduiront aux

mêmes positions finales des points P.

Un état de repos peut être envisagé comme un cas parti-
culier de mouvement. Or, un tel état, sans aucun courant
électrique, peut être substitué à l’un des deux mouvements
dont il vient d’être question; pour que cela soit permis, il

suffit que dans l’autre mouvement toutes les intégrales J i

dt

^s’annulent et que ce mouvement reconduise les circuits à leurs
positions initiales. On arrive ainsi à cette conséquence :

(B). Si, à la suite de déplacements quelconques, tous les
circuits se retrouvent dans leurs positions primitives et que,
dans le cours de ces déplacements, chaque section ait été
traversée dans les deux directions opposées par des quantités

égales d’électricité — c’est-à-dire si pour chaque circuit jidt— :0

25*

366

H. A. LORENTZ.

— toutes les particules qui prennent part aux mouvements élec-
tromagnétiques se retrouveront clans leurs positions primitives.

Du reste, cet énoncé n’est pas seulement une conséquence
de l’hypothèse (A); l’inverse a également lieu. Un raisonne-
ment bien simple conduit à la proposition (A) si on prend
pour point de départ l’assertion (B). Pour abréger ce raison-
nement, je désignerai par la lettre U les positions des circuits
et par W celles des points P.

Remarquons d’abord que la proposition (B) conduit immé-
diatement au corollaire suivant: Si, dans un certain mouve-
ment, les circuits et les points P ont les positions initiales
U et W et les positions finales U' et IF', tandis que les in-
tégrales j i.dt ont les valeurs c, le renversement du mouvement
des circuits, c’est-à-dire le déplacement U' — ► U , lorsqu’il est
accompagné de courants tels que j idt — — e, impliquera

nécessairement le déplacement TF' — ► IF.

Cela posé, on peut considérer deux mouvements I et II
qui commencent avec les mêmes positions U0 et W0 et qui
aboutissent, le premier aux positions 17, et B7,, le second

aux positions 17, et JF,, l’intégrale jidt ayant, pour chaque

circuit, la même valeur t dans les deux cas. Or, en com-
mençant par les positions 17, et IF, , on peut d’abord renverser
le mouvement I, ce qui rétablit les positions U0 et JF0 , et
on peut faire suivre le mouvement II, ce qui conduit aux
positions 17, et TF,'. Les circuits se retrouvent alors dans
leurs positions primitives 17, et une section d’un d’entre eux
a été traversée d’abord par 1a, quantité d’électricité — t et
ensuite par la quantité -h t. La proposition (B) exige donc
que les positions TF, et TF,' coïncident et voilà précisément
ce que Maxwell suppose dans la proposition (^4).

Cette hypothèse, qu’on peut à volonté présenter sous l’une
ou l’autre des formes (A) et ( B ), a un défaut. C’est qu’il est

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 367

difficile d’imaginer un système matériel dans lequel les choses
se passent de la manière supposée. Cependant, elle ne semble
contenir rien d’impossible. C’est du reste un point sur lequel
je reviendrai.

Après avoir posé les principes que je viens de résumer,
Maxwell applique les équations de Lagrange ; il arrive ainsi
à des formules bien connues pour les forces électrodynami-
ques et pour l’induction des courants. Les forces extérieures
qui entrent en jeu sont d’abord des forces ordinaires qu’on
fait agir sur la matière pondérable des conducteurs, en second
lieu les forces électromotrices telles qu’elles existent dans les
éléments voltaïques et les couples thermoélectriques, enfin la
résistance qui s’oppose au mouvement de l’électricité et qui
peut être comparée à un frottement.

§ 3. Les équations qui déterminent les mouvements de l’é-
lectricité dans des corps à trois dimensions ne résultent pas,
dans le livre de Maxwell , d’une application directe des lois
de la mécanique ; elles reposent sur les résultats qui ont été
obtenus pour les conducteurs linéaires.

De plus, elles n’ont pas la forme la plus simple que l’on
puisse leur donner; il est même difficile d’y voir clair, à
cause d’un certain nombre de quantités auxiliaires qu’on en
peut éliminer. C’est ce qu’a remarqué, il y a déjà quelques
années, M. Heaviside ')• Récemment, M. Hertz 2) a repris le
problème; il a établi, d’abord pour des systèmes en repos,
et ensuite pour des corps mobiles, un système d’équations,
de forme très-simple, qui peuvent rendre compte des phéno-
mènes observés.

Il y a une différence essentielle entre la méthode de M.

*) Heaviside, On the self-induction of wires , dans Phil. Mag ., 5 th ser.,
vol. 22, p. 118 (1886).

2) Hertz, Ueber die Grundgleichungen der Electrodynamik fur ruhende
Kôrper , dans Wied.Ann ., Bd. 40, p. 577 (1890); Ueber die Grundgleichungen
der Electrodynamik fur bewegte Kôrper , Wied. Ann., Bd. 41, p. 369 (1890).

368

H. A. LORENTZ.

Hertz et celle de Maxwell. M. Hertz ne s’occupe guère d’un
rapprochement entre les actions électromagnétiques et les
lois de la mécanique ordinaire. Il se contente d’une de-
scription succincte et claire, indépendante de toute idée pré-
conçue sur ce qui se passe dans le champ électromagnétique.
Inutile de dire que cette méthode a ses avantages.

Cependant, on est toujours tenté de revenir aux explica-
tions mécaniques. C’est pourquoi il m’a semblé utile d’appliquer
directement au cas le plus général la méthode dont Maxwell
a donné l’exemple dans son étude des circuits linéaires. J’avais
encore un autre motif pour entreprendre ces recherches.
Dans le mémoire où M. Hertz traite des corps en mouvement,
il admet que l’éther qu’ils contiennent se déplace avec eux.
Or, des phénomènes optiques ont depuis longtemps démontré
qu’il n’en est pas toujours ainsi. Je désirais donc connaître
les lois qui régissent les mouvements électriques dans des
corps qui traversent l’éther sans l’entraîner, et il me semblait
difficile d’atteindre ce but sans avoir pour guide une idée
théorique. Les vues de Maxwell peuvent servir de fondement
à la théorie cherchée. Toutefois, avant d’aborder les questions
qui m’intéressaient plus spécialement, j’ai cru devoir consi-
dérer les cas que M. Hertz a aussi étudiés 1 ).

1 ) Après avoir achevé ce Mémoire, j’ai lu une publication récente de
M. Boltzmann , intitulée: "Yorlesungen über Maxwell' s Théorie der Elec-
tricitâl und des Lichtes ” ( Ier Theil , Ableitung der Grundgleichungen fur
ruhende, homogène, isotrope Kôrper ) dont l’objet principal est l’explication
mécanique inaugurée par Maxwell. Bien que nous ayons été guidés, M.
Boltzmann et moi, par la même idée fondamentale et que plusieurs de
nos résultats soient équivalents, nous avons souvent employé des méthodes
différentes et les questions que nous avions en vue n’étaient pas en géné-
ral les mêmes.

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 369
Le principe de d’Alembert.

§ 4. Comme je me servirai à plusieurs reprises du prin-
cipe de d’Alembert , je commencerai par lui donner une forme
propre aux applications spéciales que je me propose.

Considérons un système matériel dont les points sont as-
sujettis à certaines liaisons, En vertu de ces dernières le
système ne peut pas prendre toutes les positions ou configu-
rations imaginables, et, une position déterminée étant donnée,
les points matériels ne peuvent pas recevoir des déplacements
arbitrairement choisis. Je nommerai m, , m,, ... les masses de
ces points, xly yly z,, x2, y2, z2, . . . leurs coordonnées, Xti
F,, Zlf X2, F2, Z2 . . . les composantes des forces auxquelles
ils se trouvent soumis, et je supposerai que toutes les variations
infiniment petites ôx , , dytt Szn ôx2y . . . qui peuvent avoir
lieu à partir d’une position ^déterminée par xx ,y , , z, , x21y2, z2,...
satisfont à un système d’équations homogènes et linéaires:
a , d x , H- b , Ô y , 4- c , ô z , 4- a 2 ô x2 + . . . . = 0 \
a ! , ' è x , -h b , ' ô y x H- c , ' ô z , 4- a2 ' ô x2 -h . . . . = 0 . . . . . (1)

Les coefficients a, b, c dépendront de la position, c’est-à-dire
des coordonnées x , y, z , mais je supposerai que le temps t n’y
entre pas explicitement.

J’indiquerai par aq, yly zn z2, .... les vitesses et par

•xi> zn les accélérations des points matériels dans

le mouvement qu’on étudie. Alors le principe de d’Alembert exige
que l’on ait:

2 (X d x 4- F ô y 4- Z ô z) = X m ( x ô x 4- y à y 4- z ô z)

pour toutes les valeurs des variations qui sont compatibles
avec les conditions (1).

La dernière formule peut être mise sous la forme:

è' A z=z £ m ( x ô x 4- y ô y 4- z ô z), (2)

Ô A étant le travail des forces qui correspond aux déplacements
virtuels è x, d y, ô z.

370

H. A. LORENTZ.

§ 5. L’équation renferme seulement les valeurs de ees dé-
placements relatives au temps t. On peut cependant attribuer
une variation infiniment petite non seulement à la position
qu’occupe le système à cet instant, mais aussi aux autres
positions qui se succèdent dans le cours du mouvement réel.
Les variations des coordonnées doivent dans ce cas être con-
sidérées comme des fonctions de t , fonctions que je supposerai
continues, et on peut imaginer un mouvement dans lequel le
système prend à chaque instant la position variée dont il
vient d’être question. Ce nouveau mouvement sera nommé le
mouvement varié. La variation que subit une fonction quelconque
des coordonnées et des vitesses, si, en laissant le temps con-
stant, on passe du mouvement réel au mouvement varié,
sera désignée par le signe ô.

Mettons l’équation (2) sous la forme:

( . d /*«. *v *v\ . * d Ô x

dA=z^2m(xdx -h yoy +zoz) — 2

ÿdjy

V dt

• ddz ,
z-di]

et représentons par T l’énergie cinétique du système

. 2

2’ ^ m (x -+-i/ -f- z ).

Comme on a

d S x _ • d è' y • d ü z

~Jt=àx>TT = dy’ -Jt=dz’

on trouve

„ / • d d x • d Ô y *d ô z\ v „

Vm{xsr+y-w + i-dT )=ST-

D’autre part, l’expression

2 m (x Ô x -h y 6 y 4- z Ô z)

est évidemment la variation qu’on donnerait à T si on imposait
aux vitesses x, y , 2 les variations d x, ô y, d z que subissent
en réalité les coordonnées. En indiquant par ô' T cette vari-
ation de T, on trouve

ÔA =

d d’ T
d t

— â T.

(3)

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 371

Dénominations et signes mathématiques employés
dans ce mémoire.

§ 6. a. La direction d’une rotation dans un plan et la direc-
tion d’une normale à ce même plan seront dites correspondre
l’une à l’autre si le premier mouvement est opposé à celui des
aiguilles d’une montre posée sur le plan et ayant le cadran
tourné vers le même côté que la normale.

b. Les axes des coordonnées, OXi OY , OZ, seront choisis
de manière que la direction de OZ corresponde à celle d’une
rotation de 90° de OX vers OY.

c. Un espace, une surface et une ligne seront désignés res-
pectivement par r, (i, et s, les parties infiniment petites dans
lesquelles ils peuvent être divisés par dv , da, ds.

d. La normale à une surface quelconque a sera toujours
dirigée vers un côté déterminé qu’on nommera le côté positif.
Dans le cas d’une surface limitée, la direction de la normale
et la direction positive le long du contour s seront liées l’une
à l’autre par la règle suivante:

Dans un point P de la surface, tout près du bord, la direc-
tion de la normale doit correspondre à celle de la rotation que
subit la ligne PQ si le point Q parcourt dans le sens positif
la partie du contour qui se trouve dans le voisinage de P.

e. La normale à une surface sera toujours désignée par la
lettre n, et une direction quelconque dans le plan tangent
par la lettre h.

f. Nous aurons à considérer un grand nombre de fonctions
qui dépendent des coordonnées x , y , z et peuvent dépendre
en outre du temps t. La distribution d’une telle fonction, c’est-
à-dire la manière dont elle varie d’un point à l’autre, sera
déterminée par des équations de deux sortes, les unes rela-
tives aux points de l’espace, c’est-à-dire à tous les points où
il n’y a aucune discontinuité, et les autres relatives aux points
des surfaces qui séparent deux corps ou milieux différents
et où des discontinuités peuvent se présenter.

372

H. A LORENTZ.

Pour distinguer dans ces dernières équations les quantités
qui se rapportent au premier ou au second corps, on fera
usage des indices 1 et 2. Ainsi la continuité d’une fonction
(fj sera exprimée par l’équation :

9, = qp2.

La normale sera toujours dirigée vers le côté qui est indiqué
par l’indice 2.

g. Un vecteur sera représenté en général par une lettre
grasse et la composante . d’un vecteur A suivant la direction
l par le signe A/.

Pour connaître la distribution d’un vecteur A il faut que
l’on connaisse la distribution des trois composantes A ,, A,,, A*.

Un vecteur aux composantes X, Y, Z sera aussi représenté
par le signe (A, Y, Z).

h. La distribution d’un vecteur A sera dite solénoïdale lorsque
dans tous les points de l’espace les composantes sont égales
à celles de la vitesse dans un mouvement possible d’un fluide
incompressible. Pour qu’il en soit ainsi, il faut que

à A a- d A y 0 As

“TF- + T7 + ~sT = 0
et (*„). = (AJ,.

i. L’intégrale

I A ( d, r

sera nommée l’intégrale du vecteur A étendue à la surface <r,
et par l’intégrale du vecteur prise le long d’une ligne s on
entendra l’expression

/*.<*>■

j. Le signe A aura la signification suivante:

v _ D2 O2 O2

A ~ âF*- + + TF"'

Je. L’expression

M (=) N

signifiera que les quantités M et N sont du même ordre de
grandeur.

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 373

CHAPITRE I.

Mouvements électriques dans des corps qui
se trouvent en repos.

Valeur de l’énergie cinétique.

§ 7. Considérons un système quelconque de corps, conduc-
teurs ou diélectriques, homogènes et isotropes ou non et
remplissant l’espace infini, l’un d’entre eux pouvant être l’éther
de l’optique. Dans tous ces corps, même, suivant les idées de
Maxwell , dans l’éther, le phénomène qu’on appelle un courant
électrique peut avoir lieu. Le courant mesuré en unités élec-,
tromagnétiques sera représenté par C, et pour abréger j’écrirai
u , v , w, au lieu de C*, Cy, C*. Avec Maxwell je supposerai
que la distribution du courant est toujours solénoïdale. Il faut
donc que l’on ait:

= 0

(4)

du d V d W
d X d y d Z

(C^)j — (Crc)2 (5)

§ 8. L’explication des phénomènes d’induction au moyen
de la masse des particules qui prennent part aux mouvements
électromagnétiques constitue un des traits caractéristiques de
la théorie de Maxwell. Or, dans l’équation (3) qui exprime le
principe de d’Alembert, la masse des points matériels est im-
plicitement renfermée dans le second membre; on est donc
amené à considérer en premier lieu la valeur de l’énergie
cinétique T dans un système où il y a des courants électriques.
Suivant Maxwell , cette énergie n’est autre chose que celle
désignée par le nom d’énergie électromagnétique. La valeur
en peut être calculée au moyen de deux vecteurs qu’on appelle
la force magnétique et l’induction magnétique.

La force magnétique et ses composantes seront représen-
tées par H, a, (j, /, l’induction magnétique et ses composantes
par B, a, 6, c.

374

H. A. LORENTZ.

§ 9. Voici les propriétés de ces deux vecteurs qui servent
à les déterminer dès qu’on connaît la distribution du courant
électrique :

1. La distribution de l’induction magnétique est solénoïdale.

2. L’intégrale de la force magnétique, prise le long du con-
tour d’une surface limitée quelconque, est égale au produit par
4 TT de l’intégrale du courant électrique étendue à cette surface.

3. A chaque point de l’espace les deux vecteurs sont liés
l’un à l’autre par des équations linéaires :

a — a

' I

b a
G

dans lesquelles on a toujours:

u a

‘ x,x

U

* x,y

O

+ px,,r>

a u

1 y, *

-h

u

r y, y

p

-P y y.

1 y,*'’

y a

* Z, X

y

1 z, y

p

H- il y,

* z, z / ’

, - u , u ...

x>y y»x y tz z,y’ z> x x> z

Les coefficients y sont des constantes dépendant des pro-
priétés magnétiques du corps dont il s’agit; ils peuvent varier
d’un point à l’autre. Dans un corps isotrope, yx x, yy y et
u „ ont une valeur commune a et les autres coefficients sont
nuis. Dans l’éther on a y = 1 ; les deux vecteurs H et B se
confondent par suite en un seul.

En adoptant les équations (6) nous avons exclu les cas où
l’aimantation n’est pas proportionnelle à la force magnétique’
et ceux où il y a du magnétisme permanent.

Quant aux propriétés de l’induction et de la force magné-
tiques que je viens de rappeler, elles se traduisent par les
formules suivantes:

■ (6)

(?)

v a

d X

0 b

d C

d y d Z

= o,

(B*), =(Bn)„

dy

di3 . D a

zn 4 n U, — - — —

0 z

3| ?

02

0 y . \

-r = 4 71 V, J

CX I

(S)

(9)

(10)

V = 4 TT W,

d x o y

(Ha), = (H*)a ..

(11)

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 375

Par un artifice mathématique que je passerai sous silence
on démontre que les vecteurs B et H sont complètement
déterminés par les conditions 1, 2 et 3.

§ 10. Une fois la force et l’induction magnétiques connues,
l'énergie cinétique est donnée par la formule:

T = J (a a -+■ b (3 -j- c y) d t (12)

L’expression — (a« + 6(5+c/)rfr représente l’énergie

O TC

cinétique qui se trouve dans l’élément d r.

Cette manière de voir implique deux conditions. Il faut
d’abord que la force et l’induction magnétiques aient une
telle signification physique qu’elles puissent déterminer le
mouvement électromagnétique dans chaque élément de volume.
En second lieu, les coefficients (w dans les équations (6) doivent
être tels que l’expression a« + ^ + c/ soit toujours positive.
Dans tous les cas connus cette condition est satisfaite.

L’intégrale (12) doit être étendue à l’espace infini, et il en
sera de même de plusieurs autres intégrales que nous ren-
contrerons. Je supposerai que toutes les fonctions qui servent
à déterminer un dérangement de l’état naturel du système,
telles que u, v, w, a, [3, y , a, b, c, sont nulles à l’infini, et qu’à
une grande distance elles diminuent même si rapidement que
des intégrales telles que celle de l’expression (12) restent finies.

J’aurai plusieurs fois à appliquer l’intégration par parties
à des intégrales relatives à un espace. Si cet espace est contenu
dans une surface fermée S, cette opération conduit, comme
on sait, à une intégrale étendue à cette surface. Or, je sup-
poserai, une fois pour toutes* que dans les cas que nous aurons
à étudier cette intégrale tend vers la limite 0 si les points de
la surface S s’éloignent vers l’infini.

Enfin, dans l’énumération des propriétés qui servent à
déterminer telle ou telle fonction, la condition qu’elle s’évanouit
à distance infinie sera souvent tacitement admise.

376

H. A. LORENTZ.

Variation de V énergie cinétique.

\

§ 11. Supposons que les composantes u, v, w du courant
électrique subissent des variations infiniment petites du, d v,
â iv qui sont elles-mêmes les composantes d’un vecteur à
distribution solénoïdale. Indiquons par le signe â les variations
correspondantes des quantités qui dépendent de u% v , w et
calculons la valeur de ô T.

L’équation (12) donne:

ê' Tz=z i f (aôa-hbdfi-j-cdy-i-c<da-h(îdb-t-ydc)dT,

07 T J

mais en vertu des relations (6) et (7) cette formule peut être
remplacée par la suivante:

S T = (a8« + bd(! +cSy)d,T . . . . (13)

§ 12 Introduisons un vecteur auxiliaire dont les compo-
santes F , G, H sont déterminées par les équations :

dH

dy '

dG

dz

dF

dz

dF

dx

dH

dx

dG dH
dy dz

dG
’ dx

dF
dy ■

= 0,

Ft=Fi9 Gt

= o2, h, = h2.

• (14)

Grâce à la propriété fondamentale de l’induction magné-
tique (§ 9, 1), on peut toujours satisfaire à ces conditions ; de
plus, on ne peut le faire que d’une seule manière. Le vecteur
(F, G , H) se trouve donc entièrement déterminé.

L’équation (13) devient

ou, si on applique l’intégration par parties :

LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 377

ô

Dans la dernière opération on a eu égard aux trois der-
nières des formules (14) et à la condition de continuité:

qui découle de l’équation (11).

Des formules (10) on déduit

dày ddp . v dôu ddy . v
0 y d z d z dx

d ÔB dÔa . *

d X d y

on trouve donc finalement :

d T=zj(Fdu+ G9v + H8w)dr

(15)

Quantités qui servent à définir un déplacement virtuel
du système.

§ 13. Faisons abstraction pour un moment du mouvement
réel que nous voulons étudier et portons notre attention sur
le fait que le système, à un moment où il occupe une position
déterminée W, peut être le siège de mouvements électriques
très différents. Soient u, v, w' les composantes du courant
dans un de ces mouvements imaginables, les signes u, v, iv
étant réservés au mouvement réel.

Soit P un quelconque des points matériels qui prennent
part au mouvement.

Je suppose qu’en vertu des liaisons entre les parties du
système les composantes £, £ de la vitesse de ce point sont

des fonctions linéaires des valeurs de u\ v\ w' dans tous les
points de l’espace, les coefficients dans ces fonctions dépen-

378

H. A. LORKNTZ.

dant de la position W, c’est-à-dire des coordonnées. Il va
sans dire que les fonctions dont il est question pourraient
être mises sous forme d’intégrales; cependant, je les présen-
terai comme des sommes. Si on divise l’espace entier en
éléments de volume et qu’on désigne par u ', v\ w ' les va-
leurs de ces composantes dans le centre ou quelque autre
point fixe de chaque élément, on aura

Ç=z2(Au' 4- Bv -h Cw'),)

y — 2 ( A ' u' + B' v’ 4- C' w '), (16)

C 2' (A"u' + B"v' 4- C"w'), )

chacune de ces sommes contenant autant de termes qu’il y a
d’éléments de volume.

Si l’on prend pour A, B , C , A\ . . . les valeurs qui corres-
pondent à la position que le système occupe au temps t dans
le mouvement réel et qu’on remplace u\ v', w ' par u , v, w , les
formules (16) font connaître la vitesse réelle du point P.

§ 14. Revenons au mouvement imaginaire déterminé par
il, v\ w'. Supposons que ce mouvement ait lieu pendant
un temps r infiniment petit, les composantes u, v, w '
restant constantes.

Comme les coefficients A, B , C, A \ ... . peuvent être re-
gardés comme invariables pendant l’intervalle r, on trouve
pour les déplacements du point P dans les directions des axes :

ô x =r 2 ( A u' v 4- B v' t 4- C iv r), )

Ü y 2 ( A' u r 4- B’ v' r 4- C' iv' r), | (17)

d z ” 2 (A" u t 4- B"v' v 4- C"wr t) ;

expressions dont les valeurs sont complètement déterminées
par les produits u' t. v ' r, w' r.

§ 15. Ces produits ont une signification bien simple.

Si C' est le courant électrique en un point de l’élément
de surface d (>, élément fixé dans l’espace, la quantité

Cn t d a

représente ce qu’on appelle la quantité d’électricité qui, pen-
dant le temps r, a traversé cet élément dans la direction po-

LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 379

sitive. Pour l’unité de surface la quantité analogue devient
C n r. On voit donc que les produits u' x, vf x, w' x ne sont
autre chose que les quantités d’électricité, rapportées à l’unité
de surface, qui ont traversé des éléments perpendiculaires aux
axes des coordonnées. En désignant ces quantités infiniment
petites par

©a-, ©y, 6 z

on trouve:

Ô X — £ (A 6a- + B 6y -J- C 62), \

dy = £(A'e* -f B' ey + 0' e*), ( (18)

ô z = ^ (A"e* -h B"zy 4- C"ez). )

Remarquons que le temps plus ou moins long que les
quantités ©#, ©y, ez mettent à traverser les éléments de surface
dont il vient d’être question, n’entre plus dans ces formules.

§ 16. Ce sont les quantités ex, ey, ©2 qui nous serviront à
définir un déplacement virtuel du système. Elles doivent être
regardées comme des fonctions de x, y et z. La nature du
système leur impose la condition que la distribution du vec-
teur ©, dont elles sont les composantes, doit être solénoïdale.

Du reste, e#, ©y, Cz peuvent varier avec le temps. Dès que ces
quantités ont été choisies comme des fonctions de x, y , z et t,
on peut se former une idée du mouvement varié dans lequel
se change le mouvement réel qu’on désire étudier. En effet,
on peut en pensée arrêter tous les points mobiles dans les
positions qu’ils occupent au temps t dans le mouvement
réel. A partir de cette configuration on peut déplacer les points
de la manière déterminée par ex, ©y, ez ; on obtient alors la
position variée pour le temps t. La position variée pour tout
autre moment s’obtient de la même manière, et le mouvement
varié n’est autre chose que la succession de toutes les positions
variées.

J’ai déjà remarqué que l’équation fondamentale (2) renferme
seulement les valeurs de Sx , dy , ôz relatives au temps t. Il en
est de même de la formule (3), qui n’est qu’une transformée
de l’équation (2). En effet, les dérivées de ôx , dy, ôz parrap-

Arhives Néerlandaises, T. XXV. 26

380

H. A. LORENTZ.

port au temps, qu’on trouve dans les deux termes du second
membre, disparaissent si on développe ces termes.

Il en résulte que les conséquences qui découlent du prin-
cipe de d’Alembert sont indépendantes de la manière dont
ôx, ôy, ôz, ou, dans le cas qui nous occupe, e*, ey, e* varient
avec le temps.

Dans l’application qui va suivre, ces dernières quantités sont
supposées indépendantes de t.

Voici encore une remarque importante. Si l’on admet que
le seul moyen par lequel on puisse déplacer les points du
système consiste à y établir des courants électriques, on ob-
tiendra tous les déplacements virtuels possibles en donnant
aux quantités e ey et ez toutes les valeurs dont elles sont
susceptibles.

Application du principe de d’Alembert .

§ 17. Pour appliquer la formule (3) je considérerai successi-
vement les variations ô'T, ôT et le travail M.

Par ô'T nous avons représenté la variation que subit l’é-
nergie cinétique si les vitesses des points matériels éprouvent
des variations égales à celles qui sont apportées en réalité
aux coordonnées. Or, dans le problème actuel, cette con-
dition se trouve réalisée si, tout en maintenant constante la
configuration qui se présente dans le mouvement réel, on
augmente de e*, ey, e* les composantes du courant. En effet,
si dans les formules (16) les coefficients A, B , C, A', ... .
demeurent invariables et que les composantes du courant
électrique reçoivent les accroissements e*, ey, e*, les variations
de £, y et £ seront:

2 ( A ex + B ey -b C ez),

2 (A' ex -b B' ey -h C'ez ),

2 {A"ex -h B"ey -b C"ez ) ;

elles deviennent égales aux valeurs que les équations (18)
donnent pour ôx, ôy, ôz.

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 381

On voit donc que la variation d' T peut être calculée au
moyen de la formule (15) ; il faut pour cela remplacer du,
dv, ôw par e*-, ©y. ©*. Comme ces quantités sont supposées in-
dépendantes du temps, on trouve:

dd'T CfdF d G dH
dt — j e'r+ e,!, + ~dte*

d F d G d H

les valeurs de — — — — — se rapportant au mouvement

dt ’ dt ’ dt

réel.

§ 18. La variation d T devient 0, si l’on introduit l’hypothèse
suivante, analogue à celle dont Maxwell s’est servi dans sa
théorie des circuits linéaires. (§ 2).

La position de chaque point matériel se trouve déterminée
par les quantités d’électricité qui, à partir d’un moment fixe
arbitrairement choisi, ont traversé les éléments de surface
qu’on peut faire passer par les différents points de l’espace;
ou, ce qui revient au même:

Si, après une série de mouvements, chaque élément de sur-
face a été traversé dans les deux directions opposées par des
quantités égales d’électricité, tous les points matériels se trou-
vent ramenés à leurs positions primitives.

Il est presque superflu de dire que la quantité d’électricité
qui traverse un élément d a pendant un certain temps dans
la direction positive est représentée par l’intégrale

J Cndt . da

et qu’on parle d’une quantité d’électricité e qui est passée vers
le côté négatif, si cette intégrale a la valeur : — e.

L’hypothèse mentionnée donne lieu à ce théorème:

Si les quantités e*, ey, sont indépendantes du temps, le
mouvement varié, bien qu’il diffère du mouvement réel par
les configurations qui se succèdent, consiste en un système de
courants dans lequel u, v, w ont les mêmes valeurs que dans
le mouvement réel.

26*

382

H. A. LORENTZ.

Or, l’énergie cinétique dépend uniquement des valeurs de
u, v et w; on trouve donc

Ô T= 0.

§ 19. Voici comment on démontre le théorème du paragraphe
précédent.

Soient TF, et W2 les configurations qu’occupe le système
dans le mouvement réel aux moments t et t-\-dt, TF,' et
W2' les configurations variées correspondantes. Le mouvement
varié est celui qui fait passer le système de la position TF, ' à la
position W2 ', ce passage s’accomplissant dans le temps d t et
tous les points décrivant des lignes droites, infiniment petites.

Si donc on commence par la position W2 ‘, et qu’on donne
successivement au système les déplacements:

TF2'— TF2, TF2 — TF,, TF, — TF,',
le mouvement varié est celui par lequel la position primitive
W2 se rétablit après un temps d t.

Pendant les trois déplacements, des éléments de surface
perpendiculaires aux axes ont été traversés successivement
par les quantités d’électricité:

©*, 6y, e*,

— udt, — v dt, — w dtj

+ + ©*,

toutes ces quantités ayant été rapportées à l’unité de surface.

Si donc, à partir de la position W , ', on fait exister pendant
un temps d t des courants u , v, w, la somme algébrique des
quantités d’électricité qui ont traversé un élément devient 0
et d’après notre hypothèse le système est ramené à la position
W2. Le système des courants u, v, w constitue donc bien le
mouvement varié TF,' — W2.

§ 20. Reste à considérer le travail b A. Lorsqu’on en veut
calculer la valeur, on peut passer sous silence toutes les forces
qui servent à maintenir les liaisons du système, c’est-à-dire
les forces qui sont mises en jeu, parce que la distribution du
courant électrique doit être solénoïdale et parce que l’indue-

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL.

383

tion et la force magnétiques qui déterminent les mouvements
électromagnétiques sont liées aux courants de la manière qui
a été considérée au paragraphe 9. Les forces dont il faut bien
tenir compte ne sont pas les mêmes dans des corps de nature
différente. Cependant, comme on le verra plus loin, on peut
dans tous les cas indiquer pour chaque point de l’espace trois
quantités X, Y, Z, telles que

— J (X e* + Fey + Z e,) d x (19)

représente le travail des forces pour le déplacement virtuel
défini par e.r, ey, e*.

La formule (3) devient donc:

J (X ex h- Y ey -h Zez) d r =

dG

dt

dH

dt Bz

)

(20)

relation qui renferme à elle seule toutes les équations du
mouvement. Pour en tirer toutes les conséquences, il suffit
d’exprimer que la formule doit être vraie pour toutes les va-
leurs admissibles de e*, ey, e*. Cependant, avant de procéder
plus loin, il sera utile d’étudier les valeurs de X, F, Z dans
des cas particuliers.

Valeurs de X, Y et Z pour les diélectriques .

§ 21. Lorsque quelques-unes des forces qui agissent dans le
système dérivent d’une énergie potentielle, le travail de ces
forces est égal à la diminution de cette énergie. Or, suivant
les idées de Maxwell , les forces qui agissent dans les corps
non conducteurs ou diélectriques possèdent cette propriété.

Dans les diélectriques il existe un état d’équilibre naturel
qui est dérangé par tout mouvement de l’électricité, et un tel
dérangement donne lieu à une certaine énergie potentielle.

384

H. A. LORENTZ.

Appelons /, g et h les quantités d’électricité qui, à partir de
l’état naturel, ont traversé des éléments de surface perpendi-
culaires à O X, O Y et O Z, ces quantités étant ramenées à
l’unité de surface ; alors on peut écrire pour l’énergie poten-
tielle par unité de volume

5- [vx, x j 2 + vy,y g2 ■+• v z, z h2 -+- 2 vx, y f g 2 vy} z g h

4- 2 vz,x hf), (21)

où les coefficients v dépendent des propriétés physiques du
corps. Dans le cas des diélectriques anisotropes il est en général
nécessaire de connaître les valeurs des six coefficients. Pour
les corps isotropes la chose est plus simple : les coefficients
vx,y, vy>z vz,x s’évanouissent eL, les trois autres ont une valeur
commune v.

Pour augmenter la symétrie des formules, j’écrirai quelque-
fois Vyt X) Vz, tji Vx,z 3>U. lieu de Vx}y) Vy,Z) Vz, x>

§ 22. Les quantités f, g et h peuvent être regardées comme
les composantes d’un vecteur que je représenterai par D et que
Maxwell nomme le déplacement diélectrique. En se rappelant la
définition de /, g et h on s’assure facilement que la distri-
bution de ce vecteur doit être solénoïdale, ce qui s’exprime
par les formules: 1 * *)

3_/ 3, DJ =

dx^ dy^ dz

(D»), — (Dw)-2

(22)

(23)

S’il y a mouvement de l’électricité, les valeurs de /, g et h
changent avec le temps et les composantes du courant sont
évidemment données par les formules:

0/ dg
U ~~ d t' V 0 1 9

dh

w= il

(24)

D’une manière analogue, les quantités e.r, ey, e2 qui déter-
minent un déplacement virtuel doivent être considérées comme
des variations de /, g et h.

1) Ces formules cessent d’être vraies s’il y a une ^charge électrique”

à l’intérieur d’un isolateur ou à la surface qui sépare deux de ces corps.

Je reviendrai sur ce cas au paragraphe 43.

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 385

§ 23. Cette dernière remarque conduit à la valeur suivante
de ô A, en tant que ce travail dépend des forces qui agissent
à l’intérieur d’un diélectrique :

f I ^Vx* xf~V Vx* y 9 Vx> z Qx H-

■+■ ( Vy , xf Vy, y Ç H“ Vy, z h) ©y + [vZ, X f + Vz,y Ç 4~ VZ, ^ 7i) ©~ | d T.

En identifiant ceci avec l’expression (19), on trouve

X ” Vx, xj 4” Vx, y Ç Vx, z h, j

Y = vy> xf + vy, y g H- vy} z h, ; (25)

Z Z=Z Vz, xf H~ Vz, y g “h Vz, z h. '•

Valeurs de X, Y et Z pour les conducteurs .

§ 24. Le développement de chaleur qui accompagne les
courants électriques dans les conducteurs prouve que dans ces
corps il y a des causes qui tendent à diminuer l’énergie
électromagnétique. Il faut donc admettre qu’il existe des forces,
comparables au frottement de la mécanique ordinaire, dont
le travail est négatif dans tous les mouvements réels.

La quantité de chaleur qui est dégagée dans un fil conduc-
teur étant proportionnelle au carré de l’intensité du courant,
il est naturel de supposer que dans un conducteur quelconque
le développement de chaleur est une fonction homogène du
second degré de u, v et w. J’écrirai donc pour le travail de
la résistance par unité de volume, pendant le temps d t,

— (üx,x U2 -\-Xy,yV2 4- XZ,ZW2 -f- 2 Xx,y U V 2 Ky, z V W + 2 Hz, x W u)dt

OU

— [.{xx, x U + Xx,y V-\-Xx, z w) U d t-\-(x,ytx u~\~*y,y V-px^, z w') V d t -+-

+ {*z, x U + Kg, y V + Xz, z w)w d $],

les constantes x dépendant de la nature du conducteur et
*y,x, üz, y , Xx, z désignant la même chose que xx,y, *y, z, xz, x.

Si le conducteur est isotrope, on a xx,y = xy, z — *z, x = 0,
et les coefficients *x,x, *y,y et xZ)Z ont une valeur commune x.

386

H. A. LORENTZ.

Les produits udt, v dt, w dt représentent pour le mouve •
ment réel ce que nous avons indiqué dans le cas général par
fcr, er. On voit donc que, tant qu’il s’agit d’un mouvement
réel, le travail des forces peut être calculé au moyen de la
formule (19) si l’on pose:

X — X,x} x U — p 'Ax, y V “t~ Xx, z VJ ,

ï — Xy, x U -b Xy, y V -+* Xy} z W,

Z XZi x U X.z, y V ~\~ Xz, z VJ.

Or, je supposerai que, si on emploie ces valeurs, le travail

des forces dans un déplacement virtuel peut également être
mis sous la forme (19); hypothèse, du reste, qui est confirmée
par le fait que les conséquences qui en découlent s’accordent
avec l’expérience.

Il n’y a qu’un seul cas où l’on a eu recours à des valeurs
de X, Y et Z différentes de celles que je viens d’indiquer.

Pour expliquer le phénomène de Hall, qui se produit dans
des feuilles métalliques placées dans un champ magnétique,
on a ajouté aux derniers membres des équations (26) des
termes de la forme:

l 3î) — l2 w, l , iu — l3 u, u — l , v.

Mais le phénomène de Hall ne sera pas considéré dans ce
mémoire.

Équations du mouvement.

§ 25. Revenons maintenant à l’équation (20), qui peut être
remplacée par

edz — 0,

si on désigne par p, q et r les cosinus directeurs du vecteur
e dont e.r, ey, e2 sont les composantes.

Il faut appliquer cette condition à tous les déplacements

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 387

virtuels qui sont compatibles avec la condition que la distri-
bution du vecteur e doit être solénoïdale.

Concevons un tube annulaire d’une section infiniment petite ;
l’axe de ce tube, c’est-à-dire la ligne fermée s qui passe par
les centres de gravité de toutes les sections droites, peut être
de forme quelconque. Désignons par w la surface d’une de ces
sections, et prenons e = 0 dans tous les points à l’extérieur du
tube. Supposons aussi qu’à l’intérieur le vecteur e ait partout
la direction d’une circulation le long de la ligne s, que e ait
une même valeur dans tous les points d’une même section
droite et que le produit e œ ne change pas d’une section à
l’autre. On reconnaîtra immédiatement que la distribution de e
est alors solénoïdale. En substituant dans la formule précédente :

d t — 10 d s

et en divisant par e œ, on trouve

ds= 0, (27)

équation qui doit être vraie pour une ligne fermée quelcon-
que, et dans laquelle p , q, r sont maintenant les cosinus di-
recteurs d’un élément de cette ligne.

§ 26. Si l’on prend pour la ligne fermée le contour d’un
rectangle infiniment petit dont les côtés sont parallèles à deux
des axes des coordonnées et qui n’est pas coupé par une surface
de discontinuité, on trouve:

dz dy d t\d y d Z )’

dZ SdF dH\

dx dz dt dx)’

d_X *J\.

dy dx d t \d X dy)

On peut considérer en second lieu une ligne fermée qui se
trouve moitié d’une part et moitié d’autre part d’une surface
de discontinuité. Soit s une ligne quelconque non fermée située
dans cette surface; le contour auquel j’appliquerai la formule

388

H. A. LORENTZ.

(27) sera composé de deux lignes s, et s2, situées des deux
côtés de la surface à une distance infiniment petite de la ligne
s, et de deux lignes infiniment petites qui joignent les extrémités
de s, et s2. Comme les fonctions F, G et H sont continues (§ 12),
la formule (27) revient à la condition que les intégrales du
vecteur ( X , Y, Z ), prises le long des lignes s, et s2, doivent
être égales entre elles. Or, ceci exige que, si R représente ce
vecteur, on ait pour toute direction h située dans le plan
tangent :

(Ra), =(Ra)2 (29)

Il est facile de s’assurer que la condition (20) sera remplie
pour tous les déplacements admissibles, dès que les compo-
santes X , Y, Z satisfont aux équations (28) et (29). Nous avons
donc trouvé le système complet des équations de mouvement.

§ 27. En ayant égard aux formules (14) on peut donner aux
équations (28) la forme:

0 F Z Z Z a

Z z Z y Z t ’

Z Z Z X Z b

Zx Z z Z t ’

oz_o_y__ a_c

Z y Z x Z t’

ce qui présente l’avantage que les fonctions F, G et H ont
disparu. Tous les problèmes spéciaux peuvent être traités au
moyen de formules qui ne contiennent que le courant élec-
trique, le déplacement diélectrique, les fonctions X, Y et Z et
enfin la force et l’induction magnétiques. Les équations (4),
(5), (6), (8), (9), (10), (11), (22) et (23) expriment les liaisons
entre les parties du système ; les équations (24) résultent de la
définition même de /, g et h) dans les formules (25) et (26)
on a résumé ce que l’expérience nous apprend sur les forces
agissant dans le système ; enfin les relations (30) et (29) sont
les équations du mouvement proprement dites. Tout comme
dans la mécanique ordinaire, elles nous font connaître la dé-
pendance mutuelle des forces et des accélérations. En effet,

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 389

les valeurs de la force et de l’induction magnétiques déter-

minent les vitesses des mouvements électromagnétiques; les
accélérations se trouvent par conséquent renfermées dans les

§ 28. S’il y a équilibre électrique, on a u — vz=w = 0, et
par conséquent la force magnétique, l’induction magnétique et
le vecteur (F, G, H) disparaissent. La formule (27) exige alors
que pour toute ligne fermée on ait

condition qui se laisse encore énoncer comme il suit:

Pour toutes les lignes qu’on peut mener entre deux points
A et F l’intégrale

doit avoir la même valeur.

Prenons pour A un point situé à l’infini ; la valeur de
l’intégrale prise avec le signe — est alors appelée le potentiel
au point P. Cette fonction sera représentée par cp.

De cette définition et de la circonstance qu’à l’intérieur d’un
conducteur X, Y, Z ont, dans le cas de l’équilibre, la valeur
0, on déduit les propositions suivantes :

a. Le potentiel est 0 à distance infinie.

b. Dans tous les points d’un même conducteur il a la
même valeur.

c. Il est continu à chaque surface de discontinuité

d. Les fonctions X, Y et Z sont données par les formules :

dérivées

d a d b de

07’ 07’ 07 *

Formules de V électrostatique.

J (X p -h Y q -h Zr) d s = j FL d s — 0, . . . . (31)

X —

y _

dx ’

390

H. A. LORENTZ.

§ 29. Les équations (25) peuvent être mises sous la forme :

f = V x, t X V x,y 1 -H V u, z Z,
g — v'y.jc X -I- V y,y Y -h Vy, z Z ,
h V z, x X v z, y Y V z,z Zt

les coefficients / étant déterminés par les valeurs des coeffi-
cients r, et /y,*, /z,y,v'x,z étant respectivement égaux à /*, y,

v y, z , v'z, X.

En substituant dans ces formules les valeurs de X, Y et Z
données dans le paragraphe précédent et en portant les valeurs
de /, g et h dans les équations (22) et (23), on trouve des
équations différentielles qui, jointes aux conditions déjà trou-
vées, suffisent à la détermination du potentiel qp dès que la
valeur en est connue pour chaque conducteur du système.

Dans le cas d’un diélectrique homogène et isotrope, la for-
mule (22) conduit à l’équation connue de Laplace.

§ 30. Supposons qu’au moyen des valeurs de qp dans les
différents conducteurs du système on ait calculé pour tous les
points de l’espace les valeurs de qp, /, g et h. Quelle est alors
la grandeur de la charge de chaque conducteur? Ce qu’on
appelle ainsi, c’est la quantité d’électricité E qu’il faut enlever
au conducteur, au moyen d’un fil métallique par exemple, si
l’on veut ramener le système à l’état naturel.

Soit (7 une surface fermée, enveloppant le conducteur et
traversant le fil conducteur qui sert à opérer la décharge.
Distinguons par les indices d et f les intégrales qui se rap-
portent aux parties de la surface situées dans le diélectrique
et dans le fil. En vertu de la propriété fondamentale des
courants électriques, il faut qu’à chaque instant pendant la
décharge :

J C n d( (S - h J’ On d (7 0 ,

ou bien, comme dans le diélectrique

n d D»

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 391

Je suppose la normale n dirigée vers l’extérieur de la
surface.

Multiplions par d t l’équation précédente et intégrons sur
toute la durée de la décharge. Le premier membre devient
alors égal à la charge que possédait le conducteur, et, en
entendant par D le déplacement diélectrique qui existait avant
la décharge, on trouve

E — J' d (T.

Par des raisonnements qu’il est superflu de reproduire ici, on
s’assure que la formule est encore vraie si le conducteur est
maintenu isolé et que l’intégration soit étendue à toutes les
parties d’une surface fermée enveloppant le conducteur.

Dans ce qui a été dit dans les trois derniers paragraphes
ou reconnaîtra immédiatement des propositions bien connues
de l’électrostatique.

Hypothèse du fluide électrique.

§ 31. Plusieurs des raisonnements qu’on trouve dans ce
mémoire peuvent être rendus plus clairs au moyen d’une hypo-
thèse qui est une de celles dont M. Poincaré s’est servi dans
son exposition *) de la doctrine nouvelle et que je vais présenter
sous une forme un peu différente. On peut supposer que tous
les corps, y compris l’éther, sont imprégnés d’un fluide incom-
pressible, dont le déplacement constitue les phénomènes élec-
triques. Dans les corps diélectriques, les particules de ce fluide
doivent être regardées comme liées à des positions d’équilibre,
vers lesquelles elles sont ramenées dès que la force qui causait
un déplacement cesse d’agir; dans les conducteurs, au contraire,
il ne peut être question d’une position d’équilibre et ces corps

1 ) Poincaré, Électricité et Optique (1890), T. I. Chapitre II.

392

H. A. LORENTZ.

peuvent se retrouver dans leur état naturel après des dépla-
cements du fluide. très considérables.

Selon cette manière de voir, les composantes u, v et w du
courant électrique ne sont autre chose que les quantités du
fluide incompressible qui traversent des éléments de surface
perpendiculaires aux axes des coordonnées, ces quantités étant
toujours rapportées à l’unité de temps et à l’unité de surface.
Ce que nous avons appelé la quantité d’électricité qui a franchi
une surface quelconque pendant un certain temps est précisé-
ment la quantité du fluide incompressible qui a passé d’un
côté de la surface à l’autre.

Pour cette dernière raison, il convient de donner le nom
même d 'électricité au fluide hypothétique, bien que la pré-
sence à elle seule de cette substance ne donne lieu à aucun
phénomène particulier 1 ).

Du reste, il ne faut pas attacher à l’hypothèse trop d’im-
portance Elle est utile en tant qu’elle nous permet de nous
former une image de ce qui était d’abord caché sous les
symboles mathémathiques, mais le langage de ces derniers
sera toujours préféré par ceux qui désirent se borner à ce qui a
été démontré par les observations et à ce qu’il y a de nécessaire
dans les hypothèses.

C’est ainsi que les équations (4) et (5) ont pour la théorie
de Maxwell une importance fondamentale. En élevant l’électricité
au rang d’un fluide incompressible, on leur donne une inter-
prétation qui ne laisse rien à désirer sous le rapport de la
clarté, mais on dépasse le domaine des suppositions nécessaires.

§ 32. Voyons maintenant ce que c’est dans l’hypothèse du
fluide, qu’une charge électrique. Un conducteur étant relié à
un autre corps, à la terre par exemple, par un fil métallique,
on peut faire agir des forces „ électromotrices” sur le fluide
électrique contenu dans ce fil. Si ces forces sont dirigées vers

x) M. Poincaré donne le nom de fluide inducteur au fluide incompres-
sible qu’on suppose dans les diélectriques, et celui à' électricité au fluide
contenu dans les conducteurs.

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 393

le conducteur, il en résultera une charge que je nommerai
positive. Une nouvelle quantité d’électricité entrera dans le
conducteur, mais, en vertu de l’incompressibilité, une quantité
égale en dépassera la surface et chassera devant elle le fluide
contenu dans le diélectrique ambiant. La charge sera mesurée
soit par la quantité d’électricité qui a traversé une section
du fil, soit par celle qui s’est déplacée dans le diélectrique
vers l’extérieur d’une surface fermée quelconque enveloppant
le conducteur.

En renversant la direction des forces électromotrices on
obtient une charge négative. Le déplacement de l’électricité
prendra alors dans tous les points du système une direction
opposée à celle qu’il avait dans le cas précédent.

Le déplacement du fluide dans le diélectrique donne lieu à
des forces qui cherchent à le ramener vers la position primitive
et qu’on peut réunir sous le nom d’ élasticité diélectrique. Si la
charge est positive, ces forces tendront à repousser l’électricité
vers le conducteur ; il en résultera dans le fluide de ce dernier
un surcroît de pression et un état permanent aura été atteint
dès que la pression augmentée fait équilibre aux forces élec-
tromotrices dans le fil.

De la même manière, il y aura diminution de pression dans
le conducteur, si la charge est négative. La pression peut
cependant rester positive si dans l’état naturel du système
elle avait une valeur suffisamment grande.

§ 33. Bien que nous ayons regardé le fluide électrique comme
remplissant tout l’espace, il faut admettre que d’autres matières
y peuvent également trouver place, soit que ces substances
différentes soient des manifestations diverses d’une matière
unique, soit qu’une constitution atomique leur permette de se
pénétrer mutuellement. U y a d’abord la matière pondérable ;
en second lieu, il faut que l’éther contienne une matière
capable de retenir l’électricité et de la ramener vers la posi-
tion d’équilibre; enfin les points matériels qui sont chargés
des mouvements électromagnétiques doivent être regardés

394

H. A. LORENTZ.

comme n’appartenant pas au fluide électrique lui-même. On
risquerait d’être entraîné en de vaines spéculations si on
voulait se former une idée précise de ce mécanisme compli-
qué; aussi me bornerai-je aux distinctions que je viens d’in-
diquer. Inutile de dire que cette analyse des phénomènes n’est
que provisoire et pourra être modifiée profondément dans une
théorie plus avancée.

J’indiquerai par M à la fois la matière pondérable et la
substance qui retient l’électricité contenue dans l’éther, par N la
matière qui est le siège des mouvements électromagnétiques.

§ 34. Pour fixer les idées je supposerai que la matière M
est immobile et qu’elle ne fait point partie du système auquel
nous avons appliqué le principe de d’Alembert. Ce système
est donc composé du fluide électrique et de la matière N. Les
conditions qui en limitent la mobilité reviennent à l’incom-
pressibilité du fluide, d’une part, et à ce que, d’autre part, tout
mouvement de ce fluide donne lieu à un mouvement électro-
magnétique parfaitement déterminé.

Tout comme dans la mécanique ordinaire, certaines forces
sont mises en jeu en vertu de ces liaisons et servent à les
maintenir. Il existe une pression dans le fluide et entre celui-ci
et la matière N un système de forces sur lequel je reviendrai
bientôt.

Je supposerai que ces forces, qui sont provoquées par les
liaisons et qui n’accomplissent aucun travail, sont les seules
qui s’exercent entre les différentes parties du système : fluide
électrique -h matière N. Si, de plus, on admet que la matière
M n’agit pas directement sur la matière N, il faudra dans la
formule fondamentale (3) entendre par d A le travail des forces
que le fluide électrique éprouve de la part de la matière M.

§ 35. Au paragraphe 20 nous avons admis l’existence de
trois fonctions X, Y et Z , telles que le travail ô A peut être
calculé au moyen de la formule (19). Au point de vue où
nous nous sommes placés maintenant, on peut voir dans ces
fonctions, prises avec le signe négatif, les composantes de la

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 395

force avec laquelle la matière M agit sur l’unité d’électricité. En
effet, lorsqu’on écrit — X, — Y, — Z pour ces composantes, un
raisonnement très-simple conduit à l’expression (19) pour le
travail. Soit k la quantité invariable d’électricité, exprimée en
unités électromagnétiques, qui se trouve dans l’unité de
volume. Alors la force qui agit sur l’électricité contenue dans
l’élément d r a les composantes :

— X Je d t, — Ykd r, — Z Je d t, (34)

et, si x, y et z sont les projections du déplacement infiniment
petit d’une particule du fluide, le travail de cette force devient :
— (X x + Y y + Z z) H t.

Mais évidemment

k x = g*, k y = ©y, k z = g*.

La dernière expression devient par conséquent

(X G# + Y Qy + Z 0>z) d T,

ce qui donne pour le système entier

à A — — J (X G^ •+• Y G?/ -f- Z G2) d t,

§ 36. Il est clair quel sens il faut attacher maintenant aux
équations (25) et (26). En changeant le signe des seconds
membres, on trouve les composantes de l’élasticité diélectrique
et de la résistance, c’est-à-dire de la force qui, dans les di-
électriques, cherche à ramener vers sa position d’équilibre le
fluide électrique, et du frottement qui s’oppose au mouvement
de l’électricité dans les conducteurs. Pour les corps isotropes
ces composantes deviennent.

— f f, — v g, — V h,

X U, XV, X w.

Ce sont les valeurs auxquelles on est conduit par les hypo-
thèses les plus simples qu’on puisse imaginer.

§ 37. S’il y a équilibre électrique on peut faire abstraction
de la matière N. De plus, le principe de d’Alembert se réduit
alors à celui des vitesses virtuelles; on arrive à la formule

Archives Néerlandaises, T. XXV. 27

390

H. A. LORENTZ.

fondamentale de l’électrostatique, l’équation (31), en exprimant
que le travail des forces — X , — Y, — Z est nul pour tous
les déplacements imaginables du fluide électrique, par exemple
pour une circulation dans un tube annulaire (§ 25). La valeur
du travail è A peut être déduite des équations (19) et (25) ; il
peut également être considéré comme la diminution de l’énergie
potentielle (21). Cette dernière est comparable à l’énergie poten-
tielle qui est développée dans les corps élastiques ordinaires
par un dérangement de leur équilibre.

Du reste, les problèmes d’électrostatique admettent un
autre traitement, qui consiste à exprimer directement l’équilibre
des forces qui agissent sur le fluide électrique contenu dans
un élément de volume d r. On a d’abord les forces (34); il
y faut ajouter celles qui résultent de ce que la pression p du
fluide n’a pas la même valeur tout autour de dr. Ces forces
sont évidemment

— 'J d T, —^dr. —

0 X

dp
d y

à P J

C Z

et la condition cherchée s’exprime par les formules

- Xk — ^ =0, — Y h — =0, — Z le — ^=0.

d X d y d Z

Soit p0 la pression qui existe à l’état naturel du système,
et définissons le potentiel par la formule

les dernières équations se réduisent alors aux formules (33)
que nous avons trouvées précédemment.

On voit ainsi que, dans l’hypothèse du fluide électrique, le
potentiel est intimement lié à la pression. Cela est du reste
fort naturel, car on comprend immédiatement que la pression
peut jouer le rôle qu’on attribue au potentiel. Si deux con-
ducteurs sont reliés l’un à l’autre par l’intermédiaire d’un fil
métallique, il y aura équilibre lorsque la pression a la même

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 397

valeur dans les deux corps; s’il n’en est pas ainsi, le fluide
électrique tendra à se mouvoir vers le côté où la pression a
la valeur la plus basse.

Courants invariables.

§ 38. Lorsque deux points d’un corps métallique C sont
reliés aux pôles d’un élément voltaïque, il s’établit un régime
permanent, dans lequel u, v, w et par conséquent la force
et l’induction magnétiques sont indépendants du temps. En
toute rigueur, la théorie que nous avons développée jusqu’ici
ne suffit pas à l’étude complète d’un tel cas, parce qu’elle ne
tient aucun compte des forces électromotrices qui sont enjeu
dans les combinaisons voltaïques. Cependant les équations (30)
n’en sont pas moins applicables, pourvu seulement qu’on se
borne aux parties de l’espace où il n’existe pas de forces élec-
tromotrices, par exemple au corps C et au diélectrique en-
vironnant. Mais, si a, b et c ne varient pas avec le temps,
ces équations se réduisent à:

d_Y dz__d_z ai_3i

d Z dy 0 X d Z d y d X

On en déduit de nouveau le théorème que l’intégrale (32)
a la même valeur pour toutes les lignes qu’on peut mener du
point A au point P. Seulement, il faut ajouter la condition
que les lignes dont il s’agit doivent être situées entièrement
dans une région exempte de forces électromotrices.

Cela posé, on définira le potentiel cp de la même manière
qu’au paragraphe 28, et on aura encore les formules (33), dans
lesquelles on substituera les valeurs (26) si l’on veut étudier
la distribution du courant électrique dans le corps C.

§ 39. Je n’insisterai pas sur les questions que présentent les
courants permanents. Cependant, il importe de remarquer que
la théorie du fluide électrique arrive d’une manière fort simple

27*

398

H. A. LORENTZ.

aux équations fondamentales si on introduit deux hypothèses,
à savoir, que la matière N n’a aucune influence sur un mou-
vement stationnaire de l’électricité et que le fluide électrique
lui-même n’a qu’une masse insensible. .Cette dernière hypothèse
nous permet d’égaler à 0 la force résultante qui agit sur
l’électricité contenue dans un élément de volume, sans nous
préoccuper des changements en grandeur et en direction que
la vitesse d’une particule déterminée du fluide électrique subit
en général, même dans les courants constants. En vertu de
la première hypothèse, les forces en question consistent dans
celle qui dérive de la pression et qui a pour composantes :

-Itd

__2p ,

D x w d y r’
et dans la force aux composantes:

d p

d Z

d t

— X h d r, — Y lcd

Z k dr,

X , Y et Z ayant les valeurs (26). On revient donc aux for-
mules (33).

Quant aux hypothèses précitées, la première est vérifiée par
la théorie générale, vu que les seconds membres des équations
(30) s’annulent, et la seconde est à la base de toute la théorie.
En effet, si le fluide électrique lui-même avait une masse ap-
préciable, il aurait aussi une énergie cinétique, dont la valeur
— par unité de volume — serait proportionnelle à (u2 -hv2 -hw2).
L’expression (12), qui se trouve en accord avec les expériences,
serait donc inexacte ou du moins incomplète.

Le phénomène de la dispersion de la lumière semble indiquer
l’existence de petites masses qui se déplacent en même temps
que l’électricité, et introduisent dans l’expression de l’énergie
cinétique un terme proportionnel à ( u 2 -t- v2 -h w2), mais il
faut admettre que ces masses ne sont pas assez grandes pour
se faire sentir dans les expériences sur les courants qu’on peut
observer comme tels.

LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 399

Courants variables.

§ 40. Dans l'explication des phénomènes électrostatiques et
de la distribution des courants permanents il n’y a pas lieu
de faire intervenir les mouvements électromagnétiques. Dans
le premier cas ces mouvements font défaut, dans le second cas
ils ont une intensité invariable et sont par cela même incapables
de réagir sur l’électricité. C’est dans les courants variables que
se manifeste l’influence des mouvements électromagnétiques.

Ce n’est pas ici le lieu de nous étendre sur les phénomènes
qui peuvent être expliqués au moyen des formules générales,
d’autres physiciens en ayant amplement démontré l’applicabi-
lité. On me permettra cependant de citer un seul exemple.

Figurons-nous qu’un condensateur aux armatures A et B ait été
chargé; la première armature ayant reçu une charge positive. Il y
a alors déplacement diélectrique suivant toutes les lignes de force
électriques, mais principalement dans T isolateur qui sépare les
deux armatures. Ce déplacement est dirigé de A vers B; il
donne lieu à une élasticité diélectrique dirigée en sens inverse,
et l’équilibre exige que la pression à l’intérieur de A surpasse
celle qui existe à l’armature B. C’est là la différence de poten-
tiel. Que se passera-t-il maintenant si on relie par un fil con-
ducteur les deux armatures? La différence de pression fait
naître dans ce fil un courant qui décharge le condensateur,
l’électricité qui se trouve dans la couche non-conductrice re-
venant vers sa position d’équilibre à mesure que la pression
diminue dans l’armature A. Cependant, le courant engendré
dans le fil métallique donne lieu à un mouvement électro-
magnétique dans le milieu ambiant et dans le fil lui-même.
Si ce dernier n’avait aucune résistance, le mouvement serait
accéléré tant qu’il y a une différence de pression qui pousse
de A vers B le fluide contenu dans le fil, et au moment où
cette différence se trouve épuisée, c’est-à-dire où le conden-
sateur est sans charge, le mouvement électromagnétique aurait
pris sa plus grande intensité. Cela étant, on comprend faci-

400

H. A. LORENTZ.

lement qu’en vertu des liaisons entre la matière N et l’élec-
tricité du fil cette dernière doit continuer de se mouvoir. Le
condensateur reçoit ainsi une charge opposée à celle qu’il
avait au commencement et en définitive on aura le phénomène
bien connu de la décharge oscillatoire. Il est clair que la force
qui ralentit le mouvement — le courant électrique et les
mouvements électromagnétiques qui en dépendent — et finit
par le renverser n’est autre chose que l’élasticité diélectrique
excitée dans la couche isolante, et que le mouvement peut
continuer d’autant plus longtemps dans une même direction
qu’une plus grande masse est en jeu. La masse dont il s’agit
doit être cherchée dans la matière N et non pas dans le fluide
électrique.

§ 41. On pourrait comparer ce dernier à une tige dentée
qui se déplace en sens longitudinal, et la matière N à
une roue dentée s’engrenant avec cette tige; en effet, une
résistance quelconque, qui s’oppose à un mouvement donné
de ces organes, ne les amènera pas instantanément au repos ;
il faudra pour cela un temps d’autant plus long que la masse
de la roue est plus considérable.

Lorsque, dans la mécanique ordinaire, on applique le prin-
cipe de d’Alembert à un tel système — supposé libre de tout
frottement — on emploie des formules dans lesquelles ne figure
pas la pression existant entre les dents qui se trouvent en
contact. D’une manière analogue, nous avons développé la
théorie générale des mouvements électriques et nous pourrions
établir la théorie spéciale de la décharge oscillante sans nous
préoccuper de la réaction que l’électricité éprouve de la part
de la matière N.

On ne saurait nier, toutefois, que cette méthode a quelque
chose d’artificiel. Si l’on veut comprendre complètement le
mouvement de la tige et de la roue dentées, on désirera se
rendre compte non seulement du mouvement du système
entier, mais aussi de celui de chaque organe considéré sépa-
rément. On ne sera satisfait qu’après avoir saisi la relation

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 401

entre la rotation de la roue et la force avec laquelle elle agit
sur la tige. Relation bien simple, du reste, si la roue n’est
soumise à aucune force extérieure et n’est liée à aucun autre
organe ; elle tendra alors à faire avancer la tige si son propre
mouvement est ralenti, et elle s’opposera au déplacement de
la tige dans le cas contraire.

Ces considérations nous conduisent à étudier séparément
le mouvement du fluide électrique et à introduire les forces
qui servent à maintenir les liaisons. On arrive ainsi à une
méthode dans laquelle les forces qui seules accomplissaient
un travail ôA sont reléguées au second plan.

Force électrique.

§ 42. Considérons une quantité infiniment petite e du fluide
électrique, située à l’intérieur d’u.i corps pondérable ou de
l’éther. La force qu’elle éprouve de la part de la matière M
a pour composantes:

— Xe, — Ye, ~Ze,

et j’écrirai :

X' e, Y ' e, Z' e

pour les composantes de la force qui est due au fluide am-
biant et

X" e. , Y" e , Z" e

pour celles de la force qui est exercée par la matière N.

Comme nous négligeons la masse du fluide, toutes ces forces
doivent se tenir en équilibre, c’est-à-dire qu’on aura:

X' -h X" — X, F + Y" = Y, Z' + Z' — Z.

On voit donc que le vecteur (X, Y, Z) représente la force
qui agit sur l’unité d’électricité en vertu des liaisons du système.
Cette force fait équilibre avec celle qui est due à la matière
M, c’est-à-dire avec l’élasticité diélectrique ou le frottement,
et on dit souvent qu’elle sert à vaincre ces dernières forces et

402

H. A. LORENTZ.

qu’elle produit ainsi un déplacement diélectrique ou un courant.
Suivant cet ordre d’idées, on regarde dans les équations (25),
(26) et (30) comme la cause ce qui auparavant était considéré
comme l’effet, et inversement. Jusqu’ici — X, — Y , — Z
étaient les forces avec lesquelles la matière M agit sur l’élec-
tricité dès qu’il y a un déplacement diélectrique ou un courant ;
ces forces déterminaient les accélérations que contiennent les
seconds membres des formules (30). On peut dire tout aussi
bien que ces dernières formules déterminent la force {X. Y} Z)
qui est exercée sur l’unité du fluide par le fluide ambiant et
par la matière N, et que cette force fait naître un déplacement
diélectrique ou un courant suivant les lois qui sont exprimées
par les équations (25) et (26).

Cette force (X, Y, Z) ou R (§ 26) est appelée la force élec-
trique. Elle se compose de deux parties, dont la première, aux
composantes :

X' =

d Cf)

Ô~x’

Y'— —

D cf)
d y’

D cf)
d Z

(35)

peut être appelée force électrostatique et la seconde (X", Y", Z")
force inductrice . Ces deux forces, que les anciennes théories
attribuaient à des actions à distance, sont causées, l’une par
la pression du fluide, l’autre par la réaction de la matière N.

Des formules (35) on tire :

d Z' D Y' _dX' d Z' d Y' DX'__0>

d y d Z d Z d X d X d y

on voit donc que, dans les formules (30), on pourrait enten-
dre par X, Y et Z les composantes de la force inductrice
seule. Je continuerai cependant à désigner par ces lettres la
force électrique totale.

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL.

403

Charge électrique au sein d’un isolateur.

§ 43. Je vais terminer par quelques additions cette étude
des mouvements électriques dans les corps immobiles.

Et d’abord quelques mots sur les charges qu’on peut se
figurer dans les diélectriques. Je dis „se figurer”, parce qu’il
nous est impossible de produire une telle charge dans un
milieu entièrement dépourvu de conductibilité.

Dans un diélectrique qui se trouve à l’état naturel, chaque
particule du fluide électrique occupe sa position d’équilibre.
Or, on peut imaginer que, en dehors de ce fluide que le corps
renferme dans son état naturel, il en contienne une certaine
autre quantité, qui y trouve place en refoulant devant elle le
fluide qui sans cela se trouverait dans sa position d’équilibre.
Ce dernier déplacement est le déplacement diélectrique, et
l’excès lui-même, que j’ai supposé, constitue une charge posi-
tive. Il est clair que, pour toute surface fermée, on aura :

j On d a — E , (36)

la normale étant dirigée vers l’extérieur et la charge qui
se trouve à l’intérieur de la surface étant représentée par E.

Une charge négative se conçoit d’une manière analogue;
et la même équation peut être employée dans ce cas. Au
lieu d’un excès, c’est maintenant un certain déficit en fluide
électrique qu’il faut se figurer : si l’on admet qu’une partie
quelconque de l’espace doit toujours rester remplie du fluide
incompressible, il faut alors qu’à la surface a il y ait un dé-
placement diélectrique tel que l’intégrale J 0n d o soit négative.

En appliquant l’équation (36) à un élément de volume et
en indiquant par q dr la charge contenue dans cet élément,
on trouve:

d f d g d h

-Z — d zr — 4“ zz — Q •

ox d y D z

La quantité q est appelée la densité de la charge électrique.

404

H. A. LORENTZ.

On voit donc que la distribution du déplacement diélec-
trique n’est plus solénoïdale. Tout de même, le courant élec-
trique n’a pas perdu cette propriété. En effet, la charge élec-
trique d’un élément de volume doit être regardée comme
restant constante pendant toutes les variations possibles de
/, g et h. On aura donc:

IfifV JLY ^JL\ ■ JL n

3 x \ dt J 2y\ d t dz \ Zt J~ ’

ou bien:

d u
d x

+

d v

dy

d W

HT

= 0 .

§ 44. Ce qui précède peut être mis sous une forme
indépendante de l'hypothèse d’un fluide électrique. On se
servira à cet effet des propositions ou hypothèses suivantes:

a. Dans chaque corps diélectrique il peut exister un dé-
rangement de l’état naturel qui est de la nature d’un vecteur
et qu’on nomme le déplacement diélectrique ; à ce dérange-
ment correspond une énergie potentielle qui est donnée par
l’expression (21).

b. Les variations de ce déplacement diélectrique constituent
le phénomène qu’on appelle un courant, les composantes du
courant étant données par les formules (24).

c. La distribution du courant électrique est toujours solé-
noïdale. Par conséquent, l’expression

df dg dh

— - -4- — -- -j

0 X dy d Z

doit avoir en chaque point une valeur constante o. Si cette
valeur n’est pas 0, on dit qu’il y a une charge électrique et
on nomme q la densité de la charge.

Corps qui possèdent en même temps les propriétés d’un
conducteur et celles d’un diélectrique.

§ 45. Maxwell a supposé qu’une force électrique peut pro-
voquer dans le même corps un déplacement diélectrique et

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 405

un courant comparable à ceux qu’on considère dans la théorie
ordinaire des conducteurs. Ces deux phénomènes seraient
donnés en fonction de X, Y et Z par les formules (25) et
(26), et les composantes du courant total, dont dépendent la
force et l’induction magnétiques et par conséquent l’énergie
cinétique du système seraient

M. Potier 1 ) a remplacé cette hypothèse par une autre, qui
revient également à une combinaison des propriétés que pos-
sèdent les corps conducteurs et les isolateurs. Je ne m’étendrai
pas ici sur cette question, qu’on ne saurait traiter' à fond qu’en
étudiant assez minutieusement les propriétés optiques des
métaux.

§ 46. Plusieurs causes, parmi lesquelles on peut citer des
différences de température, des défauts d’homogénéité, et des
actions chimiques, donnent lieu à des forces qui agissent sur
l’électricité et dont on n’a pas tenu compte dans les équa-
tions des paragraphes précédents. Je réserverai à ces forces
le nom de forces électromotrices et je représenterai leurs com-
posantes par 3£, 3), 3- Dans l’hypothèse du fluide électrique,
ces lettres indiqueront les forces auxquelles se trouve soumise
l’unité du fluide ; ou plutôt, % Je dr, 3) Je dr, $ Je d t seront les
forces qui agissent sur le fluide contenu dans un élément de
volume. Le vecteur (3£, 3), 3) sera regardé comme distribué
sur un certain espace, dans lequel il a partout une valeur finie.
Il est vrai que dans un grand nombre de cas cet espace se
réduit à une couche très mince, telle que celle dans laquelle
ont lieu les actions entre le zinc et l’acide sulfurique de nos
éléments, et qu’on peut simplifier le problème en négligeant
l’épaisseur de la couche et en supposant la force infiniment

*) Poincaré, Electricité et Optique, T. I, p. 190.

a t>

Forces électromotrices.

406

H. A. LORENTZ.

grande ; mais c’est là un artifice mathématique auquel je
ne m’arrêterai pas.

§ 47. Indépendamment de l’hypothèse du fluide électrique,
on peut dire que le travail des forces électromotrices, qui
correspond à un déplacement virtuel du système tel qu’il a
été considéré aux paragraphes 15 et 16 est donné par l’intégrale :

J (X VT + 3) e„ + ,3e.-) d r.

Si l’on entend maintenant par X' , Y', Zf les fonctions de
/', g et h ou de u, v et w qui sont définies par les formules
(25) et (26), c’est-à-dire si l’on pose:

X — ~ Vx,x f H- Vx,y g 4~ Vx,z h, j

Y' — l’y,xf 4- vy,y g 4- Py,z 11,

Z — Vz,x f 4~ p z, y g 4“ V z, z à.

ou, dans le cas d’un conducteur,

X ITT y.x,x U 4“ %x,y V 4~ %x,z )

1 == *y,x U 4“ *y,y V 4~ *y,z W,

Z = ytz,x u 4- %z,y V 4“ Kz,z w,

on devra substituer dans la formule fondamentale (3) :

(37)

(38)

3 A = - f j (X — X > e* + ( r — 3)) ey + {Z — £) e* | d r

et dans les équations de mouvement (29) et (30) :
Xz^X'-X, Y-Y' — 3), Z=Z- 3.

§ 48. Les mêmes choses peuvent être exprimées de la façon
suivante.

Les formules (29) et (30) déterminent toujours les compo-
santes X, Y et Z de la force électrique qui provient de l’in-
compressibilité du fluide électrique et des liaisons entre ce
fluide d’un côté et les particules qui prennent part aux
mouvements électromagnétiques de l’autre. Tant que des forces
électromotrices n’existent pas, les forces X, Y, Z seules pro-
duiront des déplacements diélectriques ou des courants de
conduction qui obéissent aux formules (25) ou (26). Dans le
cas contraire, c’est une force (X 4- 36, Y -h 9), Z 4- 3)
sera la cause de ces phénomènes; en posant alors

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL.

407

x + x = x\ r + n = r', z + ^ — z\

on retombe sur les équations (37) et (38).

Vitesse de la lumière dans V éther.

§ 49. On reconnaîtra facilement que nos formules sont au
fond identiques à celles qu’on trouve chez Maxwell et chez
MM. Heaviside et Hertz 1 ). Elles doivent donc conduire aux
résultats bien connus sur lesquels Maxwell a établi sa théorie
électromagnétique de la lumière. Je ne m’étendrai pas ici sur
les fondements de cette conception importante et je me bor-
nerai à déduire de mes formules la vitesse de propagation de
la lumière dans l’éther.

Pour ce milieu, les équations (25) prennent la forme:

X = »of, Y="o9, Z=v0 h,

vQ étant la valeur commune des coefficients Vx, X, Vy} y, Vz, Z J
comme, de plus, la force et l’induction magnétiques se con-
fondent en un seul vecteur, les formules (30) deviennent:

*9

dh\

i —da

dz

h)

^ —ït’

’3 h

2A

3 X

dzj

1 “ o t ’

3/

3 g\

_0/

.2 y

dxj

5 tm

Des deux dernières on tire :

rA , o /o/ *g o/A i o/o/ os\

"0LA^ O* \3* + 3y + 3 z) J~~;HV2y 3z)’

ou bien, en ayant égard aux formules (22), (10) et (24),

t — 4 „ 3 */.

"o N

J) Il faut citer encore un mémoire de M. Gohn , Zur Systematik der
Electricitâtslehre ( Wied . Ann. Bd. 40, p. 625, 1890), dans lequel des
équations semblables sont prises pour point de départ.

408

H. A. LORENTZ.

Cette équation et celles qui lui sont analogues donnent pour
la vitesse de propagation des vibrations électriques transver-
sales, c’est-à-dire pour la vitesse de la lumière,

On a donc

y0 = 4tt Va\

et l’énergie potentielle de l’éther par unité de volume peut
être représentée par

2 tt Vol (f 2 + g2 H- h 2).

\

LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL.

409

CHAPITRE IL

Phénomènes électromagnétiques dans des
corps qui se trouvent en mouvement
et qui entraînent l'éther contenu
dans leur intérieur.

Valeur de V énergie cinétique.

§ 50. Dans ce chapitre ') je nommerai matière tout ce qui
peut être le siège des courants ou déplacements de l’électricité
et des mouvements électromagnétiques. Ce nom sera donc
appliqué à l’éther tout aussi bien qu’à la matière pondérable.

Dans les cas que nous allons étudier, il y aura deux classes
de phénomènes, bien distinctes. D’une part, nous aurons affaire
aux phénomènes électriques, tels qu’ils peuvent se présenter
aussi dans des corps immobiles; d’autre part, il y aura un
mouvement indépendant de toute action électrique et qui sera
appelé le mouvement de la matière.

En suivant l’exemple donné par M. Hertz dans son second
mémoire, je supposerai que l’éther contenu dans les espaces
intermoléculaires d’un corps pondérable participe au mouve-
ment de ce dernier. En d’autres termes, si à un moment
quelconque on fait cesser subitement tous les mouvements
qui constituent les phénomènes électriques, il restera un mou-
vement dans lequel tout ce qui est contenu dans un élément
de volume est animé d’une vitesse commune.

Les composantes de cette vitesse seront représentées par
£, y, Ç. Elles seront regardées comme des quantités données,
le mouvement de la matière étant supposé connu. Du reste,
je me bornerai aux cas où £, 7;, f sont des fonctions continues
des coordonnées. Cela implique que deux corps qui se trouvent

1) Je me permets d’avertir le lecteur que les trois derniers chapitres
de ce mémoire sont entièrement indépendants de celui-ci et du troisième.

410

H. A. LORENTZ.

en contact ne doivent pas glisser l’un sur l’autre et que, par
exemple, un corps pondérable sphérique, placé dans un espace
d’ou l’air a été éloigné, communique un certain mouvement
à l’éther environnant, non seulement lorsque le centre se dé-
place, mais aussi lorsque le corps tourne autour de ce point.

§ 51. La position de la matière pourra être déterminée par
un certain nombre de coordonnées générales, que jè nommerai
p , , p2 . . .p/c, et il est clair que, s’il n’y avait aucun phénomène
électrique, les composantes de la vitesse d’un point matériel
quelconque P seraient données par des expressions de la forme

Q, Pi d- Q2P2 d- . . . . d - Qk pk,

Q' \P\ + Q' 2 P 2 d- • • • • d- Q'kpjc ,

Q" 1 P 1 d- Q"oP2d- .... d- QTkpk,

les coefficients Q changeant avec la configuration du système.

Si, en revanche, la matière se trouvait en repos, mais qu’elle
fût le siège de courants électriques, aux composantes u, v et w,
on aurait pour les vitesses de ce même point P, comme au
paragraphe 13,

2 (A u -f- P v •*{“ O
2 (A' u B' v H- C' w),

2(A"u + B"v + C" w).

Or, je supposerai que, dans le cas où les courants électriques
u, v, w existent dans la matière qui est en mouvement, les
composantes de la vitesse d’un point matériel ont les valeurs :

Q, pt + . . . +-:Qt p*-t- 2(A u + B v d- C w ),

Q' 1 P 1 d- . . . d- Q'k p/c d- 2 ( A ' u + B' V -h C' w),

Q'r , p , d" • • • d - Q ' 7c pic 2 ( A u B v -b C w).

§ 52. En partant de ces expressions, on trouve pour l’énergie
cinétique une valeur de la forme :

T= T T, + T2 + T,.

Le terme T, est ici indépendant des courants électriques,

tandis que T3 ne contient aucune des vitesses p , . . .pic de
la matière. Dans le second terme se trouvent les premières

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 411

puissances de ces vitesses multipliées par les mêmes puissances
de u, v et w.

Dans les questions dont je m’occuperai, le terme Tx ne joue
aucun rôle et j’admettrai, comme le fit Maxwell dans sa thé-
orie des circuits linéaires, que le terme T2 s’annule. Je n’aurai
donc à parler que de l’énergie T%, que je représenterai doré-
navant par T et qui est évidemment l’énergie que posséderait
le système si la matière était mise en repos sans que les cou-
rants en fussent changés.

Cette énergie peut donc être calculée de la manière que
j’ai exposée aux paragraphes 7 — 10. Il importe toutefois de
remarquer que, si on effectuait ce calcul pour des époques
successives, on obtiendrait pour T des valeurs différentes, non
seulement parce que la distribution des courants ne restera
pas la même, mais encore parce que, en vertu du mouvement
de la matière, les coefficients p changent d’un instant à l’autre
dans un même point de l’espace.

Quantité d'électricité qui traverse une surface.

§ 53. Dans les considérations du chapitre précédent, les
composantes du courant déterminaient les quantités d’électri-
cité qui se déplacent à travers des surfaces ayant une position
fixe dans l’espace. Dans le cas qui nous occupe actuellement,
elles nous donnent d’une manière analogue la quantité d’é-
lectricité qui traverse une surface qui est liée fixement à la
matière et se déplace avec elle , et dont, par conséquent, la forme
et les dimensions changent continuellement 1).

*) Je crois pouvoir présumer que tous les physiciens sont d’accord sur
ce point. Si deux conducteurs sont reliés l’un à l’autre par un fil métal-
lique dans lequel il y a un courant de l’intensité i, la charge de l’un
subira par unité de temps une augmentation i, et celle de l’autre une
diminution égale; il en sera ainsi quelle que soit la vitesse d’un mouve-
ment qu’on imprime au système tout entier. On dira donc qu’une surface
séparant les deux conducteurs est traversée dans l’unité de temps par une

Archives Néerlandaises, T. XXV. 28

412

H. A. LORENTZ.

Si un élément d’une telle surface coïncide à l’instant t avec
un élément d a dont la normale a pour cosinus directeurs p,
q , r, cet élément mobile sera traversé entre les moments t et
t + dt par la quantité d’électricité

(p u -b q v + r w) d a d t.

Selon la théorie de Maxwell , la distribution du courant élec-
trique doit toujours être solénoïdale, ce qui s’exprime par les
équations (4) et (5). Dans le chapitre précédent, cette condi-
tion impliquait l’égalité des quantités d’électricité qui entrent
et qui sortent par une surface fermée, immobile dans l’espace ;
maintenant, la condition exige la même chose pour une surface
fermée qui se déplace avec la matière.

§ 54. Comment concilier les idées que je viens d’exposer
avec l’hypothèse d’un seul fluide électrique imprégnant toute
la matière? Il faudra, en premier lieu, admettre qu’un courant
électrique consiste, non pas dans le mouvement absolu d’un
tel fluide, mais dans son mouvement relatif par rapport à la
matière. En second lieu, il faudra renoncer à l’hypothèse de
l’incompressibilité et lui substituer une autre plus géné-
rale. En effet, la matière peut se mouvoir sans qu’il y ait
des courants électriques, et elle peut subir pendant ce mou-
vement un changement de densité. Dans ce dernier cas, le
volume limité par une surface fermée qui passe toujours par
les mêmes particules de la matière n’est pas invariable, et
cependant aucune quantité d’électricité ne franchit cette surface.
Au lieu de dire que le fluide électrique est incompressible, il
faudra donc admettre qu’une partie déterminée de la matière
en contient toujours la même quantité.

quantité d’électricité i ; pour cette surface on peut prendre une section
du. fil qui passe continuellement par les mêmes particules métalliques.
Mais, évidemment, la même chose ne sera pas, en général, vraie pour une
surface immobile.

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 413

Application du principe de d’ Alembert.

§ 55. C’est de nouveau l’équation générale (3) qui va nous
fournir les équations du mouvement.

Comme il ne s’agit pas de trouver les lois qui régissent
le mouvement de la matière, je me bornerai à des déplacements
virtuels auxquels elle ne prend point part. Ce n’est que
l’électricité et les particules animées des mouvements électro-
magnétiques qui en seront affectées, et les changements de
position seront déterminés au moyen des quantités e*, ey, e2,
absolument de la même manière que dans le chapitre précé-
dent. Il est facile de s’assurer que la variation ô' T est toujours
donnée par la formule

8’ T = J (Fe* + Gey + Hez)dr, (39)

les fonctions F, G et H étant déterminées, comme auparavant,
par les formules (14).

§ 56. Cependant, dans le calcul de la dérivée

dô' T
dt 7

je ne supposerai plus qu’à l’instant t -+- dt les quantités ,
ey, ez aient les mêmes valeurs qu’à l’instant t. Il est vrai
que, tant que la distribution du vecteur e demeure solénoïdale,
on est entièrement libre dans le choix des composantes et
qu’elles pourraient par conséquent être prises indépendantes
du temps, mais le calcul du terme d T dans la formule (3)
en deviendrait assez difficile.

Il est plus commode de donner aux composantes relatives au
temps t q- dt de telles valeurs e'*, e'y, e'*, qu’un élément de
surface quelconque, qui se déplace avec la matière, soit tra-
versé par la même quantité d’électricité en vertu du dépla-
cement (e*, ey, e*) à l’instant t et en vertu du déplacement
(e'*, e'y, F z) à l’instant t H- dt.

On reconnaîtra immédiatement, d’abord, que le vecteur
(eV, ey. e'z) se trouve ainsi complètement déterminé dès que
le vecteur (e.r, fy, e*) a été choisi, le mouvement de la matière

28*

414

H. A. LORENTZ.

pendant le temps d t étant connu, et, en second lieu, que la
distribution de l’un des deux vecteurs est solénoïdale si
l’autre jouit de cette propriété.

§ 57. Grâce au choix que je viens de faire, le terme 8 T
dans l’équation fondamentale s’annule, si du moins on adopte
l’hypothèse suivante, qui n’est autre chose qu’une généralisa-
tion de celle de Maxwell (§ 2):

Si, après des mouvements quelconques, la matière est ra-
menée à sa configuration primitive, et si, dans le cours de ces
mouvements, chaque élément de surface qui est fixement lié à
la matière a été traversé par des quantités égales d’électricité
en directions opposées, tous les points du système se retrou-
veront dans leurs positions primitives.

§ 58. Pour démontrer que cette hypothèse donne effectivement

8 T = 0,

je donne aux signes Wxt IP2, W\, W 2 les mêmes significations
qu’au paragraphe 19 et je me représente de nouveau la suc-
cession des déplacements

W\ -*W2, W2 TF,, WX->W\; (40)

le mouvement varié sera alors celui qui ramène le système
à la configuration W2 dans un temps d t.

Or, on voit immédiatement que le mouvement varié de la
matière ne diffère pas du mouvement réel.

D’un autre côté, un élément de surface quelconque, qui se
déplace avec la matière, est traversé par des quantités égales
d’électricité pendant les déplacements TP, — ► H7', et W2 — ► W' 2.
Si donc, après avoir donné au système les déplacements (40),
on fait en sorte qu’un tel élément soit traversé par la même
quantité d’électricité que dans le déplacement Wx — > W2, la
somme algébrique des quantitées d’électricité qui ont succes-
sivement traversé l’élément sera 0 et, en vertu de notre hy-
pothèse, la position W'2 se sera rétablie. Il en résulte que les
composantes du courant ont dans le mouvement varié les
mêmes valeurs que dans le mouvement réel et que, par conséquent,

8 T=0.

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 4 1 5

§ 59. Soit de nouveau

J (X ex -f- d h- Z e2) d t

xle travail des forces pendant le déplacement virtuel (e.r, ey, eM
alors l’équation (3) devient :

— f (Xe* + Y + Zez d r = (■F’e->- + ®«V + Se*) d r (41 ).

Supposons que le vecteur e soit distribué de la façon par-
ticulière indiquée au paragraphe 25. Si l’on fait se mouvoir
avec la matière le tube annulaire dont il fut question dans
ce paragraphe, l’axe coïncidera après le temps dt avec une
nouvelle ligne fermée et, au lieu de œ, le tube aura une
section droite œ . D’après ce qui a été dit sur e'*, e y, e'*, il
faudra que le vecteur e', dont ces quantités sont les compo-
santes, soit borné au nouveau tube, qu'il ait la direction du
nouvel axe s ' et que le produit e' œ soit partout égal au
produit e co dans le tube non déplacé.

Or l’intégrale

j (F e* + (x 6y - H 62) d t
prend (§ 25) à l’instant t la valeur:

e co J (F p -h G q -t- H r) d s,

et à l’instant t -h d t elle devient

e' co' J (F p h- G q -h Hr)ds\

l’intégrale étant étendue à la ligne primitive dans la première
expression et à la ligne déplacée dans la seconde, et les
valeurs de F, G et H se rapportant respectivement aux mo-
ments t et t -t- dt.

Il s’ensuit qu’au lieu de

d

dt

©# d~ G Cy -f- H e z) d

T

il est permis d’écrire

416

H. A. L0KENTZ.

e œ iït / ^ P + O q Hr) d s,

où le signe d indique l'accroissement total de l’intégrale causé
par la variation de F, G et H et par le déplacement de la ligne s.

Le premier membre de l’équation (41) se transforme en

— e œj* (Xp Y q 4- Zr) d s,
et la formule devient:

— j(Xp+ Yq + Zr)ds=§ij(Fp+ Gq + Br)dë.

Elle se simplifie encore si l’on conçoit une surface a limitée
par la ligne s et se déplaçant également avec la matière.
En vertu des relations (14), on a

f (F p + Gq + Hr)ds=f B* d a,

ce qui donne:

-f (Xp + Yq + Zr)ds— ~j B ud« ...... (42)

Ici encore, le signe d indique le changement total de l’in-
tégrale. Pour le calculer, il faudra tenir compte, d’une part,
du changement de l’induction magnétique, et, d’autre part, du
déplacement de la surface <i.

§ 60. De la formule (42) aux équations définitives du
mouvement il n’y a qu’un pas. On peut d’abord admettre qu’à
l’instant t la surface a coïncide avec un rectangle infiniment
petit dont les côtés sont parallèles à deux axes des coordon-
nées et qui n’est pas coupé par une surface de discontinuité. En
regardant toutes les quantités variables comme des fonctions
de t et des coordonnées xy y, z d’un point immobile, on trouve
ainsi (voir § 61)

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL 417

.(43)

dX

dy

/ da db 0c\

\d# dy dz) *

En second lieu, on peut donner à la surface <r la forme
d’une bande étroite comprise entre deux lignes qui se trouvent
de part et d’autre d’une surface de discontinuité. Si ces lignes
s’approchent de plus en plus d’une même ligne située dans la
surface, l’intégrale

tend vers la limité 0 et on est conduit à la condition

direction quelconque dans la surface de discontinuité.

Les équations (43) expriment la même chose que les formules
(la) du second mémoire de M. Hertz. Elles n’en diffèrent que
par la notation, le choix des unités et la position relative
des axes des coordonnées..

Du reste, comme nous n’avons nulle part supposé l’exis-
tence de „ magnétisme libre”, nous pourrions encore simplifier
les formules en y substituant.

§ 61. Il suffira d’indiquer rapidement comment on arrive à
la première des équations (43).

Figurons-nous qu’à l’instant t la surface <y se confond avec

J ' B n d (T

(Ra), =(R*)a,

R étant la „force électrique” (X, Y) Z) et h indiquant une

418

H. A. LORENTZ.

un élément rectangulaire dydz , perpendiculaire à l’axe des a?
et situé au point (x, y , z) ; alors, à l’instant t d t, la surface
passera par le point (x H- £ d t, y + y dt, z + Ç d t), la normale
fera avec l’axe des x un angle infiniment petit et avec les
axes des y et des 2 des angles

0 t ^ t

1 7T -p - — d t et 1 Ti -4- - — d t}
dy 1 d z

et l’aire de la surface sera devenue

d a

fOj dj\

\?y **)

dtldy dz.

1 +

' V3 y

Désignons par a la valeur de la première composante de
l’induction magnétique au point (x, y, z ) et à l’instant t, et par

0 a d a „ d a\

d X d y 3 z /

la valeur de cette même composante au point (; x H- ? d t,
y H- y d i, z -h ’Çdt) et au moment t H- dt.

, /O a

a=a + (jt

+ 1

d t

Alors la valeur de 1

’intégrale J Bnd< t, qui est d’abord

a dy dz,

devient au bout de l’intervalle d t :

[j/Oa .da da

a+lfe + 5âi + ^ + {:

Dÿ

£)-(•£+

Valeur de la force électrique.

§ 62. Tant qu’il s’agit de corps conducteurs, dans lesquels
la „résistance” seule s’oppose au mouvement de l’électricité,
on n’a rien à changer à ce qui a été dit dans le chapitre
précédent. Les diélectriques, au contraire, demandent de nou-
velles considérations.

Conformément à l’idée énoncée au paragraphe 53, il est
naturel d’admettre que le dérangement électrique de l’état
naturel d’un isolateur est déterminé dès qu’on connaît, pour
chaque élément de surface fixement lié à la matière, la quan-

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 419

tité totale d’électricité par laquelle il a été traversé à partir
d’un moment où le corps se trouva encore à l’état naturel.

Je désignerai par

fdydz

la valeur de cette quantité pour un élément de surface qui
coïncide à l’instant t avec un rectangle dont les côtés d y et
d z sont respectivement parallèles aux axes O Y et O Z. En
définissant les quantités g et h d’une manière analogue, on
peut dire que le diélectrique aurait été amené à l’état où il
se trouve actuellement si, après avoir donné à la matière la
position qu’elle occupe à l’instant t, on eût fait naître un dé-
placement diélectrique D, aux composantes f, g, h. L’énergie
potentielle par unité de volume sera donc toujours donnée
par l’expression (21) et le travail des forces pourra être re-
présenté comme il a été fait au paragraphe 59, si on prend
pour X, Y et Z les valeurs (25). En effet, la matière elle-même
ne prend point part au déplacement virtuel que nous avons
imposé au système; les quantités/, g et h , telles que je viens
de les définir, recevront par conséquent dans ce déplacement
les accroissements e.r, fy, e*.

Relations entre les composantes du courant et celles
du déplacement diélectrique.

§ 63. Les formules (24) ne sont plus applicables aux dié-
lectriques en mouvement. Il leur faut substituer des équations
moins simples auxquelles on arrive par le raisonnement sui-
vant. La définition que j’ai donnée dans le dernier paragraphe
conduit à représenter par

j On d <!

la quantité d’électricité qui, à partir de l’état naturel, a tra-
versé une surface limitée quelconque, liée à la matière.

420

H. A. LOKENTZ.

La dérivée

prise dans le meme sens que la dérivée

à/6--'"

qu’on trouve dans la formule (42), sera donc la quantité
d’électricité qui traverse la surface par unité de temps, cette
surface se déplaçant toujours avec la matière.

Pour calculer les valeurs de udy dz, v dzdx, w dx dy, il
suffira donc de rechercher ce que devient cette dérivée, si à
l’instant t la surface d g coïncide avec un rectangle infiniment
petit dont les côtés sont parallèles à deux axes des coordon-
nées. En suivant la marche qui a été indiquée au paragraphe
61, on trouvera:

.=ï+4W-«->-«)+. Qi^ïï)

(vf— + ï(

vh)

dt

= 21

dt

dh

w =:

(&■

(!*

Tjh) —

dx

w-*»

■df

dx

f

dx

dy

dh\

+ r.)

£(y+»j+»).

\dx dy d Z J

d

d Z

d_

dt ' dx

Si l’on introduit ces valeurs dans les équations (10) celles-ci
deviennent identiques aux formules (L) établies par M. Hertz
dans son second mémoire.

Après avoir ainsi reproduit les formules fondamentales de
M. Hertz , il est juste de mentionner que ce n’est qu’après
avoir lu son mémoire que j’ai entrepris cette étude des corps en
mouvement. J’avais ainsi l’avantage de connaître d’avance
les résultats qu’il faudrait chercher à obtenir.

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 421

CHAPITRE III.

Examen d’une hypothèse qui a été faite
aux chapitres précédents.

§ 64. Il n’est pas inutile de considérer de plus près la sup-
position dont Maxwell s’est servi dans sa théorie des circuits
linéaires et que j’ai reproduite, sous des formes plus générales,
aux paragraphes 18 et 57.

Même dans le cas que j’ai traité au premier chapitre, cette
hypothèse n’est pas aussi plausible qu’on pourrait le croire
au premier abord. En effet, il y a dans la mécanique ordi-
naire des cas bien simples où une supposition analogue con-
duirait à des résultats erronés.

Considérons, par exemple, le mouvement d’un fluide incom-
pressible dont la densité est o. Désignons par u d a dt, v d a dt,
w da dt les quantités du fluide, exprimées par le volume qu’elles
occupent, qui, pendant le temps d t, traversent des éléments de
surface, respectivement perpendiculaires à O X, O Y et O Z
et eux-mêmes immobiles; u, v et w seront alors les composantes
du courant. Représentons par Xdt, Y d t, Z d t les compo-
santes de la force extérieure qui agit sur un élément de
volume, et cherchons à établir les équations du mouvement
en partant de la formule générale (3). Les variables u , v , w,
X, Y et Z seront regardées comme des fonctions de t et des
coordonnées x, y , z d’un point immobile.

Un déplacement virtuel peut être défini au moyen des
quantités infiniment petites du fluide qui traversent des élé-
ments de surface perpendiculaires aux axes des coordonnées ;
rapportées à l’unité de surface et exprimées par le volume
du liquide, elles seront indiquées par e*, ey, e*. Elles doivent
satisfaire à la même condition que les quantités analogues du
premier chapitre et il est évidemment permis de les regarder
comme indépendantes du temps. On aura alors:

422

H. A. LORENTZ.

dd' T r/d U d V

d W \ 7

e,J + Yt^)dT-

§ 65. Si, après des mouvements quelconques pendant lesquels
chaque élément de surface immobile a été en somme traversé
dans des directions opposées par des quantités égales du fluide,
chaque particule se retrouvait dans sa position primitive, on
pourrait démontrer que ôT z= 0, comme dans le premier cha-
pitre. Cependant cette hypothèse ne se vérifie pas et ô T prend
une valeur que nous allons calculer.

Donnons à Wlt W2, W W2 la signification que nous
connaissons déjà et nommons x, y et z les coordonnées d’une
particule du fluide dans la position \Vr Alors les coordonnées
de ce point seront :
dans la position W2 :

x -f- udt, y + v dt, z q- w dt,

dans la position W/:

x -i- e*, y + fy, z -h ez,

et dans la position W2:

j , {à Qu- d 6x d Sx \ -, ,

X U d t Sx ( -r — U H V r — W ) d t ,

V dy d z J

7 j C» d Gy 3 Gy \ 7 «

y+vdt + s# + [ i~u - h ^ v -h w )d t,
a J \dx dy o z J

i j /d Sz 0 Gr d 02 \ 7 .

z -h tv d t + ez H- ( -z— u -h -r— v -h — w ) d t.

v y dz J

Il a fallu ajouter les termes:

/ d 3 Sx d Sx >\ 7 j ,

( r— U H- -r— V H- "r w ) d t, etc.

\dx dy d z J

parce qu’il s’agissait des valeurs de e*, Gy, sz au point où la
particule considérée se trouve dans la position W2.

Les expressions précédentes donnent pour les vitesses de la
particule dans le mouvement varié:

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 423

W

0 02-
d X

l ey

0 x

0 02
dx

0 0.r

dy

D e*
Tzw’

0 ©?/ 0 ©?/
w -h v -b w,
01/ 02

0 ©2 0 02

02/ 0 2:

(44)

Or, si en un même point de l’espace les vitesses étaient
les mêmes dans le mouvement varié et dans le mouvement
réel, on aurait dû trouver au lieu de ces expressions:

d U du du

u H- - — 0# -J- x — 0?/ H- x — 02, etc.
d x 0 y J d z

§ 66. Après avoir obtenu les valeurs (44) on peut procéder
comme il suit. On a d’abord

8 T

f \ ( 2 0 0# 0 0# 0 ©.r\

= o I ’ [U2 -X h uv — f -UW xr— }"b

J I \ dx dy d Z J

f 0 Cy « 0 ©y 0 ©y\

H- ( WU — ^ +VW xr^ ) -b

\ dx dy d Z J

f 0 02 0 02 2 0 ^ J

\ 0 x d y dz J )

T.

Ici, on peut intégrer par parties. En supposant qu’aux limites
du fluide e.r = ey ■= e~ = 0 et se rappelant que :

du d V d W _

x b x h xr— = 0,

0 X dy dz

fi

J

/ du

d U 0 U\

Q /

0./' (

u —

+ V b W x J

i -b

' J f

^ d X

dy dz J

f dv

d V 0 '

+

0y (

u —

-b v x b W x—

) +

^ dx

0^/ 02! ^

J

( d W

0 w 0

k 1 3

-b

e.. |

U —

^ d X

fl-'T y +W —
dy 0 z )

\ \d

T.

on trouve :

424

H. A. LORENTZ.

En fin de compte, l’équation (3) devient:

J ( X Qj- -h T Gy Zj d t —

d u\
Jz)

d V \

dJj

)

fi

/d

U

d u

?j/

G

1

-h

u

d X

i

n

V

d V

•+ (

J

+

u

d X

w

d W

-1- i

G

J

H-

u

d X

V

V

d u
0 y
d V

dy
d w
dy

e,

ey +

d w'
d~z

&z i d r.

du du

v- H u) t y etc.

dy dz

Il est facile d’en déduire les équations du mouvement sous
leur forme ordinaire. On s’apercevra que l’hypothèse en ques-
tion, loin d’être vraie, conduirait à l’omission des termes

d U

U —

d X

§ 67. Si cette hypothèse ne peut pas être admise dans le
cas d’un fluide ordinaire, elle ne pourra non plus être appliquée
au fluide électrique. Cependant, cela n’empêche pas que nos
équations du mouvement ne puissent être exactes. En effet,
la masse de ce dernier fluide a été supposée négligeable, et dans
le calcul de la variation è T il ne s’agissait que de l’énergie
cinétique qui est propre aux mouvements électromagnétiques ;
il suffira donc que les points matériels qui sont chargés de
ces mouvements, et qu’il ne faut pas confondre avec l’élec-
tricité elle-même, jouissent de la propriété de revenir aux
mêmes positions si pour chaque élément de surface la somme
algébrique des quantités d’électricité par lesquelles il a été
traversé, est 0.

Or, on est entièrement libre d’essayer sur le mécanisme qui
produit les phénomènes électromagnétiques telle supposition
qu’on voudra, et tout en reconnaissant la difficulté d’imaginer
un mécanisme qui possède la propriété désirée, il me semble
qu’on n’a pas le droit d’en nier la possibilité.

§ 68. Cependant, cette hypothèse que nous discutons, est-
elle vraiment inévitable si l’on veut voir s’annuler le terme
è T, ce qui semble nécessaire pour obtenir des équations

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 425

qui s’accordent avec les expériences? Je vais démontrer, en
me bornant pour le moment aux corps immobiles, qu’on peut
au besoin recourir à une autre suppositon.

Revenons pour cela aux formules (16). ^ Les coefficients
A j B, C, A', . . . . qu’elles contiennent changeront avec la con-
figuration du système et on peut indiquer par ô A, d B, ô C ,
ô A\ . . . . les changements qui surviennent pendant le dépla-
cement Wt — ► W et par d A, d B, d C, d A' . . . . ceux qui
ont lieu pendant le mouvement réel Wt — » W2.

Cela établi, on peut écrire pour la première coordonnée d’une
particule déterminée :
dans la position Wt : x ;

dans la position W2: x-\- 2 (A u-\-Bv-\-Cw)dt;
dans la position Wt ': x -p Z (A e* -p R©y -p Ce*), et enfin
dans la position W2 :

x -p Z (A u H- B v -h Cw) dt -p

~h (A e.r -f- B ©y C ©2) {d A. ©.^ -j- d B. ©y -f d C. ©2).

Il en résulte que le déplacement de la particule dans la
direction des x est, pendant le mouvement varié:
à ( A u B v O w ) d t -|- £ [d A. ©^- -P d B. ©y -p d G. ©2) . (45)

D’un autre côté, on peut indiquer facilement quel serait ce
déplacement si, à partir de la position W x\ il existait dans le
système, pendant l’intervalle d t , un système de courants
(u, v, w ) identique à celui qu’on trouve dans le mouvement
réel. A la position W x correspondent les valeurs:

A + ÔA, B + d B,

et le déplacement qu’il s’agit d’indiquer serait donc:

A (A u -p Bv -p C w ) d t -p £ (è A. u -p ô B. v -P d C. vi) d t (46).

§ 69. Si les expressions (45) et (46) sont identiques, et s’il
en est de même des expressions analogues par lesquelles on
peut représenter des déplacements parallèles à O Y et OZ, le
mouvement varié sera celui auquel se rapporte l’expression
(46) et on aura d T = 0, parce que l’énergie cinétique est dé-
terminée par les composantes du courant. L’hypothèse du

426

H. A. LORENTZ.

paragraphe 18 conduit à cette simplification parce qu’elle
donne lieu à l’égalité :

Z (d A. e? q- d B. çy + d C. e~) — z (8 A, u -h 8 B. v 8 C.w)dt.

Pourtant, il n’est pas nécessaire que cette égalité existe.
Les vitesses de la particule considérée, dans le mouvement
réel, sont

x = Z(Au -h Bv -h Cw),
y — Z (A' u +■ B’ v -h C w),
z = ^ (A" u + B" v h- C" w),

et si les vitesses dans le mouvement varié sont x + îîV,

• • • •

y + 8 y, z -h S z, l’expression (45) donne

d B d C \
dt e-y dt y

. • T(àA

Sx=*{tï

G.r

(47).

Les variations 8 y et 8 z peuvent être mises sous une forme
analogue, et on peut calculer la valeur de

8 T — Zm(x8x + ydy + z8z) (48).

Voici maintenant un système d’hypothèses qui donnent pour
cette variation la valeur 0:

a. Il y a deux systèmes de particules qui prennent part
aux mouvements électromagnétiques* systèmes qui seront in-
diqués par les lettres N et N'.

b. A chaque moment, une particule quelconque appartenant
à l’un de ces systèmes se trouve dans le voisinage immédiat
d’une particule de masse égale qui fait partie de l’autre.

c. Les deux systèmes ont toujours des mouvements égaux
en sens inverse, ou, pour nous exprimer plus exactement:

Si deux mouvements de même durée commencent avec les
mêmes positions initiales et ne se distinguent que par le
signe des composantes du courant électrique, et si P et P'
sont des points appartenant aux systèmes N et N' et coïncidant
dans la configuration initiale, le point P' atteindra, dans le
second mouvement, la même position finale que le point P
dans le premier mouvement.

v la THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 427

Cela implique évidemment qu’au moment de la coïncidence
les points P et P' ont des vitesses égales et opposées. En
effet, en changeant les signes de u , v, w, on renverse la vitesse
du point P (§13); mais, selon la dernière hypothèse, cette
. vitesse doit alors devenir égale à celle qu’avait d’abord le
point P'.

Remarquons encore que, dans le cours d’un certain mou-
vement, ce sera chaque fois une nouvelle particule P' qui
coïncide avec une particule déterminée P. Deux roues juxta-
posées, qui ont des rotations égales et opposées autour du
même axe, peuvent servir d’exemple.

§ 70. Pour démontrer que [ces hypothèses conduisent à

Ô T — 0,

nous allons comparer deux mouvements différents du système.
Les lettres TF,, TF2, TF/, TF/ seront appliquées au premier
cas et les signes (TF,), (TF2), (TF/) et (TF/) indiqueront les
mêmes choses pour le second cas.

Supposons que les positions TF, et (TF,) soient identiques
et que, dans les deux mouvements, chacune des quantités
u, v , wf e*, ©y, e? ait les mêmes valeurs, mais des signes
opposés.

Alors les mouvements TF, — ► TF/ et (TF,) — > (TF/) se dis-
tingueront l’un de l’autre de la manière qui a été indiquée
dans la troisième hypothèse du paragraphe précédent; il en
sera de même des mouvements qui consistent, l’un dans la
succession des déplacements TF, — * W2 et TF2 — > TF/, l’autre
dans la succession de (F7,)— ►(TF2) et ( TF2 ) — ► ( TF2 '). Il en
résulte que, si deux particules P et P' coïncident dans la po-
sition TF, ou (TF,), l’une de ces particules se déplacera dans
le mouvement varié TF/—* TF/ de la même manière que
l’autre dans le mouvement varié ( TF/) — ► ( TF/) ; comme, de
plus, les masses de P et de P' sont égales, le mouvement
varié aura, dans les deux cas, la même énergie cinétique.

On trouve donc:

ar=(ir), (49)

Archives Néerlandaises, T. XXV.

29

428

H. A. LORENTZ.

où les deux membres se rapportent aux deux cas que nous
voulions comparer l’un à l’autre.

D’un autre côté, on peut appliquer les formules (47) et (48).
On se rappellera que, pour une particule déterminée qui prend
part aux mouvements électromagnétiques, les coefficients A,
B, (7, etc. sont des fonctions des coordonnées.

Les dérivées ^=4, etc. qu’on trouve dans les

dt dt dt

• •

équations (47) et dans les expressions analogues pour d y, ô z
seront, par conséquent, des fonctions homogènes et linéaire'
de u, v , w , et comme il en est de même de x, y , z, la formule
(48) conduit à

ô T= — (ô T),

ce qui, avec l’équation (49), donne

Ô T= 0.

§ 71. Les hypothèses dont je viens de me servir introduisent
dans la théorie un certain dualisme, auquel on est amené si
souvent par l’étude des phénomènes électriques. En effet,
elles ressemblent un peu à l’ancienne idée de deux fluides
électriques qui se déplacent avec des vitesses égales et oppo-
sées. Seulement, il ne s’agit pas maintenant de fluides élec-
triques, mais des mouvements électromagnétiques. Si, comme
il est fort probable, ces mouvements sont des rotations autour
des lignes de force magnétiques, les hypothèses reviennent à
ce que, dans un espace quelconque, il y a toujours des rota-
tions de directions opposées et qu’il ne peut exister aucun
effet qui serait causé par des rotations dans une seule direction.

§ 72. Dans les cas où la „matière” elle-même (Chap. II) se
déplace, l’hypothèse du paragraphe 57 donne lieu à quelques
remarques nouvelles.

Soit s un circuit linéaire et fermé, dont le mouvement est
tellement restreint que la position peut être déterminée à
l’aide d’un seul paramètre p ; soient, de plus, e la quantité d’é-
lectricité qui, à partir d’un certain moment fixe, a traversé

LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 429

une section passant toujours par le même point du conduc-
teur, et x la première coordonnée d’un des points matériels P
du milieu. L’hypothèse exige que l’on ait :

*=/(?» *)•

Cela posé, je donne au système, l’un après l’autre, les dé-
placements suivants :

a. Tandis que le conducteur se trouve dans le voisinage du
point P (position I), une quantité d’électricité a est amenée à

. travers chaque section.

b. Le conducteur est éloigné à une très grande distance du
; oint P.

c. Pendant que le conducteur est retenu dans la nouvelle
position (position II), on fait passer à travers chaque section
une quantité d’électricité — a.

d. Le circuit est ramené dans la position I.

Si les déplacements b et d n’ont été accompagnés d’aucun
courant électrique, la coordonnée x aura repris la valeur ini-
tiale. Donc, si A a x, Ai x, etc. sont les variations successives
de cette coordonnée:

Aa x -h Ai x + Ac x + Ad x = 0.

Or, comme la distance du circuit au conducteur est beaucoup
plus grande dans la position II que dans la position I, la
variation Ac x sera beaucoup plus petite en valeur absolue que
la variation Aax ; les déplacements Abx et Aax ne sauraient
donc être 0.

C’est là, du reste, une chose très naturelle dans une théorie
qui suppose que le conducteur ne peut se mouvoir sans pousser
devant lui l’éther ambiant. Ce qu’il y a de remarquable dans
le résultat obtenu, c’est que le déplacement du milieu qui est
causé par un mouvement du conducteur doit être tel qu’il
peut compenser le déplacement dû à un courant électrique.

§ 73. Si toutes les coordonnées des points mobiles du milieu
sont des fonctions de p et de a, on trouve pour les trois par-
ties dans lesquelles l’énergie cinétique peut être décomposée:

29*

430

H. A. LORENTZ.

Tt
T \
T3

= p2 X m

— p i X m

— l i2 X m

m^c4)

[

d x d x d y d y

dp de d p d 6 V p

[G-O’-Gî)

+ (H)]-

d Z d Z~l

*dp êTfJ ’

00’] ■

où on a mis i au lieu de è.

De ces trois expressions, la deuxième doit être 0. Voici deux
hypothèses par chacune desquelles on peut satisfaire à cette
condition.

a . Chaque point mobile du milieu se trouve toujours jux-
taposé à un autre d’une masse égale. Les liaisons dans le
système sont telles que ces deux points sont déplacés égale-
ment et en directions opposées par un mouvement électrique,
mais qu’ils se meuvent de la même manière si ce n’est que
le circuit qui se déplace.

En distinguant par les indices 1 et 2 ce qui se rapporte à
l’un ou à l’autre de deux points coïncidents, on a :

d Xx

d X2

? y,

_ d_Jh

DS,

d Z-2

dp

Jp’

dp

S p ’

dp

dp

d Xj

d X2

ty,

_ dVî

dzx

d Z2

JT ““

JT’

St

~~ St’

d *

~~ ~~ JT'

ce qui fait : T 2 = 0.

b. Dans les cas qu’on peut réaliser, les produits p p

• d Z . .

p - — sont si petits par rapport aux quantités :

. d Z

. d X

lJ7

A

d ê

de

qu’ils peuvent être négligés.

Alors, bien que T2 ne s’annule pas rigoureusement, il sera
permis de négliger cette partie de l’énergie cinétique vis-à-
vis de la dernière partie Ts.

A plus forte raison, on pourra négliger T, . C’est un avantage
de cette seconde hypothèse, que la première ne présente pas.

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 431

• 0 x

Il est facile de s’assurer que p — peut être beaucoup moin-
dre que i — . Prenons par exemple

X — y y,

où 9 est une fonction de p et ip une fonction de t. Alors on aura :

d (fi

• d X dp

dp p <j p

.d X i d lp

ldl dl

xfj

Or, la fonction d ip

Ô7

xp

peut être rendue aussi considérable qu’on le désire ; on n’a
qu’à admettre que la fonction xp change très rapidement par
un accroissement de *.

Du reste, on pourrait essayer de remplacer l’hypothèse du
paragraphe 57, par des suppositions analogues à celles que j’ai
indiquées au paragraphe 69.

432

H. A. LORENTZ.

CHAPITRE IV.

Théorie d’un système de particules chargées
qui se déplacent à travers l’éther sans
entraîner ce milieu.

Considérations préliminaires.

§ 74. Il m’a semblé utile de développer une théorie des
phénomènes électromagnétiques basée sur l’idée d’une matière
pondérable parfaitement perméable à l’éther et pouvant se dé-
placer sans communiquer à ce dernier le moindre mouvement.
Certains faits de l’optique peuvent être invoqués à l’appui de
cette hypothèse et, bien que le doute soit encore permis, il im-
porte certainement d’examiner toutes les conséquences de cette
manière de voir. Malheureusement une difficulté bien sérieuse
se présente dès le début. Comment, en effet, se faire une idée
précise d’un corps qui, se déplaçant au sein de l’éther et
traversé par conséquent par ce milieu, est en même temps
le siège d’un courant électrique ou d’un phénomène diélec-
trique? Pour surmonter la difficulté, autant qu’il m’était pos-
sible, j’ai cherché à ramener tous les phénomènes à un seul,
le plus simple de tous, et qui n’est autre chose que le
mouvement d’un corps électrisé. On verra que, sans appro-
fondir la relation entre la matière pondérable et l’éther, on
peut établir un système d’équations propres à décrire ce qui
se passe dans un système de tels corps. Ces équations se
prêtent à des applications très variées qui feront l’objet des
chapitres suivants ; elles nous fourniront une déduction théorique
du „ coefficient d’entraînement” que Fresnel introduisit dans
la théorie de l’aberration. Il suffira, dans ces applications,
d’admettre que tous les corps pondérables contiennent une
multitude de petites particules à charges positives ou négatives
et que les phénomènes électriques sont produits par le dépla-
cement de ces particules. Selon cette manière de voir, une

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 433

charge électrique est constituée par un excès de particules
dont les charges ont un signe déterminé, un courant électrique
est un véritable courant de ces corpuscules et dans les isola-
teurs pondérables il y aura „ déplacement diélectrique” dès
que les particules électrisées qu’il contient sont éloignées de
leurs positions d’équilibre.

Ces . hypothèses n’ont rien de nouveau en ce qui concerne
les électrolytes et elles offrent même une certaine analogie
avec les idées sur les conducteurs métalliques qui avaient
cours dans l’ancienne théorie de l’électricité. Des atomes des
fluides électriques aux corpuscules chargés la distance n’est
pas grande.

On voit donc que, dans la nouvelle forme que je vais lui
donner, la théorie de Maxwell se rapproche des anciennes idées.
On peut même, après avoir établi les formules assez simples
qui régissent les mouvements des particules chargées, faire
abstraction du raisonnement qui y a conduit et regarder ces
formules comme exprimant une loi fondamentale comparable
à celles de Weber et de Clausius. Cependant, ces équations
conservent toujours l’empreinte des principes de Maxwell.
Weber et Clausius regardaient les forces qui s’exercent entre
deux atomes d’électricité comme déterminées par la position
relative, les vitesses et les accélérations que présentent ces
atomes au moment pour lequel on veut considérer leur action.
Les formules, au contraire, auxquelles nous parviendrons ex-
priment d’une part quels changements d’état sont provoqués
dans l’éther par la présence et le mouvement de corpuscules
électrisés ; d’autre part, elles font connaître la force avec la-
quelle l’éther agit sur l’une quelconque de ces particules. Si
cette force dépend du mouvement des autres particules, c’est
que ce mouvement a modifié l’état de l’éther ; aussi la valeur
de la force, à un certain moment, n’est-elle pas déterminée par
les vitesses et les accélérations que les petits corps possèdent
à ce même instant; elle dérive plutôt des mouvements qui
ont déjà eu lieu. En termes généraux, on peut dire que les

434

H. A. LORENTZ.

phénomènes excités dans l’éther par le mouvement d’une
particule électrisée se propagent avec une vitesse égale à celle
de la lumière. On revient donc à une idée que Gauss énonça
déjà en 1845 et suivant laquelle les actions électrodynamiques
demanderaient un certain temps pour se propager de la particule
agissante à la particule qui en subit les effets.

Hypothèses fondamentales.

§ 75. a. Les particules chargées seront regardées comme
étant de la ^matière pondérable” à laquelle des forces peuvent
être appliquées ; cependant, je supposerai que dans tout l’espace
occupé par une particule se trouve aussi l’éther, et même qu’un
déplacement diélectrique et une force magnétique, produits par
une cause ' extérieure, peuvent exister dans cet espace comme
si la ^matière pondérable” n’y existait pas. Cette dernière est
donc considérée comme parfaitement perméable à ces actions.

b. Je désignerai par /, g et h les composantes du déplace-
ment diélectrique dans l’éther, et je prendrai (§ 49) pour l’é-
nergie potentielle du système la valeur

2nV>f(P +g> +h*)dr,

V étant la vitesse de la lumière dans l’éther. Dans tous les
points extérieurs aux particules on aura

df dg dh A
d X d y d Z

(50)

mais je suppose (§ 43) qu’à l’intérieur d’une particule cette
équation doit être remplacée par

0/ ZJi__

d d y d Z '’

(51)

où q désigne quelque quantité propre au point considéré de
la particule et à laquelle il nous est impossible de rien changer.
Cette quantité q sera appelée la densité de la charge électrique.

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 435

Pour simplifier les calculs, cette densité sera regardée comme
une fonction continue des coordonnées ; on supposera donc
que la valeur de o, 0 à l’extérieur d’une particule et positive
ou négative à l’intérieur, ne présente pas une transition brusque
à la surface. Cette dernière hypothèse nous donne le droit de
regarder comme continues toutes les variables qui dépendent
des coordonnées.

Du reste, x, y et z désigneront les coordonnées d’un point
immobile dans l’espace. En général, toutes les quantités vari-
ables seront des fonctions de x , y, 2 et du temps t.

c. Les particules se comporteront comme des corps rigides ;
elles ne pourront donc avoir d’autre mouvement qu’une
translation et une rotation. Dans ce mouvement, chaque point
d’une particule conservera la même valeur de q. Les valeurs
de /, g et h dans l’éther, lui-même immobile, doivent changer
de telle façon que ce soit chaque fois dans un nouveau point
de l’espace qu’il est satisfait à l’équation (51).

d. Je désignerai par J, y et £ les composantes de la vitesse
d’un point d’une particule chargée, et je supposerai que le
„courant électrique” — c’est-à-dire le vecteur qui donne lieu
à une énergie cinétique de la grandeur à indiquer tantôt —
a pour composantes:

. df d g d h /c?ox

u — v — Q v ■*” ' w — £ £

A l’appui de cette hypothèse, que j’ai empruntée à M Hertz,
on peut rappeler l’expérience bien connue de M. Rowland, dans
laquelle la rotation rapide d’un disque chargé a produit les
mêmes effets électromagnétiques qu’un système de courants
circulaires. Elle a démontré que le déplacement d’un corps
chargé constitue un vrai courant électrique, ce qui d’ailleurs
est conforme à la théorie généralement acceptée de l’élec-
trolyse.

Or, on mesure toujours les composantes d’un courant par
les quantités d’électricité, rapportées à l’unité de surface et
à l’unité de temps, qui traversent des éléments de surface per-

436

H. A. LORKNTZ.

pendiculaires aux axes des coordonnées. Si donc l’unité de
volume d’un corps chargé, animé de la vitesse (£, y, f), con-
tient la quantité d’électricité q. les composantes du courant
seront q |, q y, q Ç.

D’un autre côté, on admet dans la théorie de Maxwell que
les variations du déplacement diélectrique constituent un cou-
rant aux composantes ^ . Les équations (52) expri-

o t d t ut

ment donc que le vecteur dont dépend l’énergie cinétique
est composé des deux courants dont nous venons de parler.

Ce „ courant total” a la propriété importante que la distri-
bution en est solénoïdale.

En effet, dans le mouvement d’un corps rigide on a:

dj
d x

et par conséquent:

!-’-4£=o,

u y dz

(53)

du d V d W . do
d X d y d Z d X

do dp

VTy+lrz

ou bien, en vertu de la formule (51),

du d v
d X d y

■*" dt u

\dx^dy^dzj’

dw_dQ dQ do dç

~z — — T-r -b Ç r b rj z b Ç z — .

dz dt d X d y dz

Ici le second membre représente la variation par unité de
temps de la densité électrique dans un point qui se déplace
avec la particule; l’expression s’annule donc en vertu de
1 hypothèse c.

e. Grâce à la propriété que je viens de démontrer, on peut
admettre que la relation entre le courant électrique (u, v, w)
et l’énergie cinétique est toujours celle que nous avons appris
à connaître dans le premier chapitre. Comme il s’agit des
phénomènes dans l’éther il n’y a pas lieu de distinguer la force
et l’induction magnétiques; je déterminerai donc la force
magnétique (a, /5, y) par les équations:

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 437

et j’attribuerai à l’énergie cinétique la valeur:

+P +-/2)dr.

On obtient ces formules en posant a “ b z= (3, c = y
dans celles des paragraphes 9 et 10 ; on fera les mêmes substi-
tutions dans les équations (14) qui servent à définir les fonctions
auxiliaires F, G et H .

/. Enfin, je supposerai que la position de chaque point qui
prend part aux mouvements électromagnétiques est déterminée
dès qu’on connaît la position de toutes les particules chargées
du système et les valeurs de /, g et h dans tous les points
de l’espace. C’est une hypothèse analogue à celle que j’ai
discutée au chapitre précédent et présentant les mêmes dif-
ficultés.

Valeur de la variation 8' T.

§ 76. Cette fois encore, j’aurai recours à la formule générale
(3) pour trouver les équations du mouvement. Je commence
par la variation 8' T.

Désignons par x', y', z' les coordonnées d’un point quelconque
qui prend part aux mouvements électromagnétiques, et par
x, y, z celles d’un point quelconque d’une particule chargée.

Un déplacement virtuel du système peut évidemment être
défini au moyen des variations 8 x, 8 y, 8 z d’une part et des
variations 8f, 8 g, 8 h de l’autre, et les quantités 8x,8y',8z
seront des fonctions linéaires et homogènes de toutes les va-

438

H. A. LORENTZ.

riations ô x, ô y, fi z, cl y, è' /i. Les coefficients de ces der-
nières quantités seront des constantes tant qu’il s’agit d’une
position initiale déterminée.

En remplaçant, dans les fonctions dont il vient d’être
question, Sx, d y, ô z, d /, ô g, dh par x, y, z (ou J, y, £),
/, y, on aura les valeurs de x', y', z' et, en y remplaçant
de nouveau J, 77, Ç, / y, h par ô S, d y, d Ç, 5/, d y, d X, on
trouvera les variations correspondantes des vitesses x', y', z',
la configuration étant toujours regardée comme constante. Il
en résulte que si, sans rien changer à la configuration, on
donne à y, Ç, /, g . ^ les accroissements d x, à' y, à' z, à'/,
d y, 5 h. les vitesses de tous les points du système subiront
précisément les variations dont il était question dans la dé-
finition de T.

Or, ces variations de ?, y, J, /, y, h donnent lieu aux va-
riations suivantes des composantes (52) :

q d x H- dff q d y + 8 g, q d z -f- d h,
et on aura par conséquent (§ 12):

fl' T=j j F (q Sx. + $f) + G (<? Sy + ôg) + H (9 Sz + dh) J dr.(56)

Equations qui déterminent Vétat de Vêther.

§ 77. Considérons d’abord un déplacement virtuel auquel
les particules chargées ne participent pas; l’équation (51) im-
pose alors aux variations d f, ô g, d h la condition

d d f dÔg d d h
d x

= 0.

d y d z

En les supposant indépendantes du temps, ce qui est évi-
demment permis, on aura:

dô'T d G ^ 0 E

d t

=/G

F 0G.

st9f + Tt9g

d t

)

Sh)d

T.

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 439

Par un raisonnement tel qu’il a été employé aux paragra-
phes 19 et 58, on démontre

d T= 0.

Enfin, le travail 8 A, ou la diminution de l’énergie poten-
tielle, est donné par la formule

8A =

V2 j(fdf + gSg + hSh) d r.

Il faut donc que, pour toutes les valeurs admissibles de 5 /,
8 g , 8 h , on ait :

4 TT V'

,J(f8f + g 8 g + h 8 li)dr z=z

=/(

. d G

JTSf + JT^

0 H
0 *

Il en résulte (§ 25) que, pour toute ligne fermée immobile
dans d’espace, dont un élément d s a les cosinus directeurs p , q , r,

— 4 7T V2 j (pf +qg-hrh)ds = ^ j (p F + q G r H) ds,

et cette formule, appliquée à des cas particuliers, donne les
équations suivantes:

(*9

dh\

/3 H

3 (?\

\ 3z

ly)

' 3 <

V 3 y “

“ 3z /

ou bien, en vertu des formules (14) :

AnV2(^— ~) = dA~,

\d z 0 y J 0 t

(57)

\d X d Z / d t i

\o y o x J o t

Si le mouvement des particules chargées est donné et si
l’on connaît en outre les valeurs de /, g , h , a, |3, / pour le
temps t = 0, ces formules, jointes aux équations (50), (51),
(54) et (55), déterminent complètement l’état de l’éther.

440

H. A. LORENTZ.

Action de Vêther sur une particule chargée .

§ 78. Le système des forces avec lesquelles l’éther agit sur
une particule chargée M se réduit à une force résultante et
à un couple. Pour déterminer les composantes X, T et Z de
la force, je ferai d’abord remarquer que, dans un état de
mouvement donné, ces composantes ne sauraient dépendre
de la masse de la matière pondérable qui constitue les par-
ticules chargées. Si cette masse était tout à fait insensible,
( — X, — Y. — Z) représenterait la force extérieure qu’il faut
appliquer à la particule pour produire le mouvement actuel.
On déterminera donc — X, — Y, — Z au moyen de la for-
mule (3) en supposant que la valeur de T , donnée au para-
graphe 75, représente l’énergie cinétique totale.

Pour trouver — X, il faut considérer un déplacement virtuel
dans lequel la particule M seule éprouve une translation ô x
dans la direction de O X, les autres particules chargées ne
changeant pas de place.

Pour que cette translation soit compatible avec la condition
(51), il faut qu’elle soit accompagnée d’une variation de /, g
et h. Cette variation peut être choisie d’une infinité de ma-
nières différentes, mais il est clair qu’après avoir obtenu les
équations (57) on peut se borner à une seule entre toutes
les suppositions admissibles. Je m’arrêterai à celle qui me
semble la plus simple.

Dans tout l’espace extérieur à la particule M je poserai:
df— ôg = dh — 0, mais à l’intérieur je prendrai :

Ô f — — o ô x, d g — 0, § h — 0.

Si on admet ces valeurs, les deux membres de l’équation
(51) subiront dans un point fixe de l’espace les mêmes vari-
ations et la condition sera encore remplie après le déplacement.

En effet, comme ô' x a pour tous les points de la particule la
même valeur, on trouve pour l’accroissement du premier membre

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 441

ce qui est précisément la variation de la densité q dans un
point ( x, y , z) de l’espace, si elle y prend la valeur qui existait
d’abord au point (x — 8 x, y, z).

§ 79. Le premier membre de l’équation (3) prend mainte-
nant la valeur

5^4 = — X $ x — f- 4 7 t V2 8 x.J q f dr,

l’intégrale étant étendue à l’espace occupé par la particule M.
La formule (56) donne:

8' T= 0,

et on n’a donc plus qu’à calculer la variation 8 T.

Dans ce calcul, je supposerai que 8x est indépendant du
temps.

§ 80. Pour que le système exécute le mouvement varié, il
suffit, d’après l’hypothèse / du paragraphe 75, qu’à partir de
la configuration W/ (§ 19), on donne aux particules chargées
les positions et aux composantes f, g , et h les valeurs qu’elles
ont dans la configuration W2\ tout ceci ayant lieu pendant
un intervalle d t.

Voici, en quoi ce mouvement varié se distingue du mou-
vement réel:

a. Le mouvement des particules, à l’exception de la seule
M, n’a subi aucun changement.

b. La vitesse d’un point quelconque de la particule M n’a
changé ni en grandeur ni en direction, mais la ligne décrite
par ce point dans le mouvement varié n’est pas la même que
celle qu’il suivait dans le mouvement réel. On obtient la pre-
mière ligne en donnant à la seconde une translation 8 x.

Les premiers termes q £, q y et q J dans les expressions (52)
n’ont donc plus pour un même point de l’espace les mêmes
valeurs dans les deux mouvements. Leurs variations sont :

3(gl)

0 x

3 (g v)

d X

? (g 0
0 x

(58).

c. Comme les variations W { — > W / et W2 — > W2' n’affec-

442

H. A. LORENTZ.

tent pas les valeurs de g et de h, les dérivées g et h seront
dans le mouvement varié ce qu’elles étaient dans le mouve-
ment réel.

d. Le cas est différent pour f. Si, en un point déterminé
de l’espace, la première composante du déplacement diélectrique
a la valeur / dans la position Wn la valeur sera f-hf dt
dans la position W2if se rapportant au mouvement réel.

La valeur dans la configuration W x' sera (§ 78)

f-Qàx (59)

et on obtiendra la valeur variée, pour le moment t -h d t, en
ajoutant à / fdt ce que devient — q 8 x à ce moment dans
le point de l’espace considéré. Il est clair que q y est devenu :

et la variation 8 x ne change pas avec le temps. On peut
donc écrire pour la valeur de / dans la configuration W2':

/ + + • (60).

En divisant par d t la différence des expressions (59) et (60)
on trouve la valeur de / dans le mouvement varié. La vari-
ation de / devient

o

i?

dx ’ 7 d y

ce qui, joint aux expressions (58), donne:

u = \-

g(gl)

d X

0

lQ_

d X

V

ap.

dy

8 v —

^ 5 x,
d X

_ 3 (g 0

W —

8 x,

8 T

d X

Jr ' T + dx + v dy+l dz)

— G

dy

0 (g y)

à g

0 z

d X

H

a (g 0~

0 a; .

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 443

Il est clair que c’est seulement dans l’espace occupé par
la particule M qu’il y aura des variations de u, v et w ; l’in-
tégrale doit donc être étendue à cet espace.

L’équation peut être transformée au moyen d’une intégration
partielle. En ayant égard aux formules (14) et (53) et à la
circonstance que

Q = 0

à la surface de la particule, on arrive à la formule assez
simple :

ÔT=ôxj’()(v/ — /3) d t.

On n’a plus qu’à substituer cette valeur et celles de 8 A
et ô' T (§79) dans l’équation (3). Voici les valeurs définitives
des composantes de la force cherchée :

X = 4 TT F2
T = 4tt F5
Z = 4 n F2

fçfdr H- [(ffoy — çp) dr, )

I

f Q9 dr + f q (Ça — Ç y) d t, ^ - • •
fçhdr 4- J Q (£ fi — va) d T-

(61).

Moment du couple qui agit sur une particule chargée . 1 )

§ 81. Je considérerai les particules comme de petites sphères
dans lesquelles la densité électrique q est une fonction de la
distance r au centre et je choisirai ce dernier pour le point
d’application de la force (X, Y, Z)- Quelles sont alors les com-
posantes L, M, N du couple qui provient des actions exercées
par l’éther? Pour les calculer, j’aurai recours à un artifice,
analogue à celui qui nous a servi au paragraphe 78. Dans le
cas où la masse de la particule M peut être négligée, — L,
— M, — N doivent être les composantes du couple qui dérive
des forces extérieures, et si on prend pour le déplacement

A) On peut comprendre toutes les applications de la théorie sans avoir
lu les paragraphes 81—89.

Archives Néerlandaises, T. XXV.

30

444

H. A. LORENTZ.

virtuel une rotation infiniment petite co autour d’un axe pas-
sant par le centre et parallèle à O X, le travail de ces forces
sera

— L CO.

Comme la densité q dans un point déterminé de l’espace
n’est pas changée par la rotation, on peut supposer que le
déplacement virtuel n’atteint pas les valeurs de /, g et h. On
aura donc

ô A — L œ,

et en considérant co comme indépendant du temps on s’assure
facilement que

Ô T = 0.

Reste à calculer <5' T. Si x, y et z sont les coordonnées
d’un point de la particule M , prises par rapport au centre, on
aura

8 X = 0, d y =: — co z, ô z nr -f- co y,

et, par la formule (56),

d'T = œjQ (Hy — G z) d t.

On finira par trouver pour les composantes du couple :

M= Jjf q(Hx — F7.) dr, (62)

N=^jjg(F y-Gx)dr,

où les intégrales doivent de nouveau être étendues à l’espace
occupé par la particule considérée.

Vitesse de rotation d’une particule.

§ 82. Soient: m la masse d’une particule, l son rayon
d’inertie par rapport à un axe passant par le centre, #.r, fy, d’-
lès vitesses de rotation autour de trois axes qui sont parallèles

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL

44 5

à 0 X, 0 Y et O Z. Supposons que les forces extérieures ne
donnent pas lieu à un couple. Alors on aura

d &.r
d t

m V

A

d t

J (j (Qz — Hy) d r, etc.

d’où l’on tire:

d r, etc.

(63).

Il n’est pas nécessaire d’ajouter des constantes, si on admet,
comme cela est bien naturel, qu’antérieurement aux mouve-
ments que nous étudions, le système a été à l’état de repos
sans qu’il y eût des courants électriques. Alors, dans cet état
initial, les quantités F, G , H , 0>, 0>, O* ont toutes été ,0.

§ 83. Pour transformer les intégrales, je désigne par r la
distance du centre au point (x, y, /), par R le rayon de la parti-
cule, et je définis une fonction auxiliaire i au moyen de la
formule :

rR

X=J q r dr.

En introduisant cette fonction, qui dépend de r seulement,
on trouve:

ou bien, en intégrant par parties et en se rappelant que, pour
r — R, y — 0:

Si, dans toute l’étendue de la particule, la densité q a le
même signe, il en sera de même de la fonction y et on peut
écrire, en représentant par ü une certaine valeur moyenne,

ou, après quelques transformations,

30*

446

H. A. LORENTZ.

4 « f*

3 71 ml*] J

d r.

Si q était la densité de la matière pondérable, la dernière
intégrale aurait la valeur

3

8

-ml'1.

Maintenant que q représente la densité de la charge élec-
trique, on aura d’une manière analogue
rR 3

i

si e est la charge totale et V une longueur qui est déterminée
par la distribution de la charge, tout comme l est déterminé
par celle de la matière pondérable. On arrive ainsi aux for-
mules

xbi

« e V 2

_ Pel'2

Xty

6 r-

2 ml11 2 ml* ’ 2 ml'1

Si la particule ne possédait aucune masse, ces équations
exigeraient

« = ? = ï = 0,

c’est-à-dire que la particule tournerait alors si vite et dans
une telle direction que la force magnétique moyenne à l’in-
térieur en deviendrait 0.

Cependant, je ne négligerai pas la masse; je lui attribuerai
même une telle valeur que les rotations n’aient pas d’influence
sensible.

Influence des rotations sur les valeurs des
forces X, Y et Z-

§ 84. La vitesse (|, ?/, Ç), dont les composantes entrent dans
les derniers termes des formules (61) peut être décomposée
en deux parties, la première étant la vitesse (?0, ?/0, Ç0) du
centre, c’est-à-dire la vitesse de translation, et la seconde, que

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 447

je représenterai par (?,, £,) étant due à la rotation. Pa-

reillement, on peut distinguer dans la force magnétique totale
H ou (a, p, /): 1°. la force magnétique H0 qui existerait si
la particule considérée était en repos, 2°. celle (H,) qui est
due à la translation dont elle est animée, et 3°. celle (H2)
qui est causée par la rotation.

Ces divisions conduisent à regarder X, T et Z comme com-
posés de plusieurs parties, que nous allons considérer succes-
sivement.

§ 85. Si, d’abord, on se borne à la force magnétique H 0 , et
si l’on suppose qu’elle a la même valeur et la même direc-
tion dans tous les points de la particule, ce qui est évidem-
ment permis quand cette dernière est suffisamment petite, on
est amené à des intégrales telles que

les intégrales j q rj , d r, etc. s’évanouissant, parce que la dis-
tribution de la densité q est symétrique autour du centre.

Tant qu’il s’agit de H0 seulement, on peut donc faire ab-
straction de la rotation ; et si est la partie de la force
(X, T, Z) qui correspond à H0, on aura évidemment (§ 6, k) :

v étant la vitesse de translation.

§ 86. A cette force $ il faut ajouter:

1° une force qu’on obtient en combinant, de la manière
qui est indiquée dans les formules (61), la force magnétique
H, et la vitesse v ou (|0, £0);

2° une force g*11 qui résulte de la combinaison de H , avec

(£i. v,, Si);

j Qt]y0dT = -/0 j e()70 + ti,)dr, etc.
Elles peuvent être remplacées par

£(=)H0ev,

(65)

448 H. A. LORENTZ.

3° la force qui dépend en même temps de H2 et de
(£o> Vo> £o)>

4° la force ^IV qui est déterminée par H 2 et (g , , rj , , £ , ).

Cependant, nous n’aurons pas à nous occuper de g*1, parce
que c’est l’effet d’une rotation que nous désirons connaître.

Pour simplifier encore davantage, je n’essayerai pas de
déterminer rigoureusement g*111, ^IV; cela exigerait des
calculs bien laborieux, parce que H, et H2 dépendent, non
seulement du mouvement actuel de la particule, mais aussi
de sa translation et de sa rotation antérieures. Je prendrai
pour H, et H 2 les valeurs que ces forces magnétiques au-
raient si la particule était animée d’une translation ou d’une
rotation constante; il semble qu’on peut ainsi obtenir une
idée suffisante de l’ordre de grandeur des quantités cherchées.

Or, après avoir introduit cette simplification, on peut dé-
montrer que, pour des raisons de symétrie qu’il semble super-
flu de spécifier, ^IV — 0. Il nous reste donc à évaluer g111 et
§ 87. Considérons une particule qui est animée d’une
vitesse de translation v, le centre décrivant une ligne droite,
et construisons, à l’intérieur, un cercle de rayon r, dont l’axe
coïncide avec cette ligne. Ce cercle indiquera la direction de
H, et sera, en même temps, le lieu géométrique des points où ce
vecteur a une valeur déterminée. Or, en se rappelant la pro-
priété fondamentale de la force magnétique (§ 9, 2) et en
ayant égard à ce que le courant qui détermine H , est du même

ordre de grandeur que q v, ou que — ~} R étant le rayon

de la particule, on trouve

2., H, 1^,

OU

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 449

Lorsque, en second lieu, la particule tourne autour d’un dia-
mètre avec une vitesse angulaire d-, elle peut être divisée en
un système d’anneaux à sections infiniment petites, qui ont
tous pour axe ce diamètre. Si l’un quelconque de ces anneaux
a le rayon r et la section d a, il y existera un courant dont
l’intensité i, prise dans le sens ordinaire du mot, est du même
ordre de grandeur que le produit q & rdo. Un tel courant
annulaire produit, comme on sait, à son centre une force

magnétique ^ - (=) 2 n q d- d <r. La force magnétique qu’il fait

naître au centre de la sphère est du même ordre ; on trouve
donc, en intégrant sur la demi-surface d’un grand cercle,

équation qu’on peut aussi appliquer aux autres points de la
particule, précisément parce qu’il ne s’agit que de l’ordre de
grandeur de H2.

§ 88. Si on porte dans les formules (61) les valeurs de
H 1 et H2, en ayant égard à ce que la vitesse (£ , , ^ , , Ç , )
est de l’ordre & R, on trouve :

où l’on peut substituer la valeur de 0- qui est donnée par les
équations (64). Or, dans ces dernières, V et l sont des lon-
gueurs du même ordre, et la force magnétique («, 7, y) sera
plus petite que la force magnétique H 0 , parce que la rotation
de la particule tend à diminuer la force magnétique à l’inté-
rieur (§ 83). On exagérera donc les forces ffi1 et 3*111 si on
écrit

ou bien

et

450

H. A. LORENTZ.

La comparaison de ce résultat avec la valeur (65) donne:
% [~} $ 1 ' mit *

Il en résulte qu’on pourra négliger et g*™, en d’autres
termes, qu’on pourra faire abstraction de la rotation, si

e 1

m R

est une fraction très petite.

§ 89. Soit a la densité de la matière pondérable qui con-
stitue une particule; alors on aura:

e2

m R

eL m

m» R

m-

Si la particule chargée était un atome d’une des parties compo-

Tïb

santés d’un électrolyte, — ne serait autre chose que l’équiva-
lent électrochimique de cette composante, exprimé en unités
électromagnétiques. En choisissant comme unités fondamen-
tales le centimètre, le gramme et la seconde, on a pour
l’hydrogène :

- = 10-4

e

et pour tous les autres corps une valeur plus grande.

Supposons que a ne surpasse pas le nombre 100;
e2 e 2

pour que ou a R2 soit une petite fraction, il suffira

TTL

alors que R soit beaucoup plus petit que ^ = 0,00001

centimètre. C’est ce que tout le monde admettra.

Quant aux particules chargées qui se trouvent dans les
métaux et dans les corps non-conducteurs, je me bornerai à

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 451

g

remarquer que, pour des valeurs déterminées de — et de a,
on pourra rendre l’expression

aussi petite que l’on voudra, par une supposition convenable
sur la longueur de R.

Récapitulation des formules les plus importantes.

§ 90. Je suis bien éloigné de vouloir attacher trop d’im-
portance aux considérations précédentes. Elles n’avaient
d’autre but que de rendre plus acceptable l’hypothèse que
voici, dont je me servirai dans tout ce qui suit :

Les particules chargées dont le déplacement donne lieu aux
phénomènes électriques ne peuvent pas tourner autour de
leur centre et, pour en déterminer le mouvement de trans-
lation, il suffit d’employer les équations (61), qui peuvent être
mises sous la forme suivante:

X = 4tt F2 J

fÿ/dr + t/J

f q yd t —

ÇJ

f Q (i d T ,

Y = 4 TT F2

j Q 9 dr +

q adr —

?j

j Q y d T,

Z = 4 7r F2 I

f q h d t -+- £ 1

|* Q d T —

V I

| q ad t.

• a)

A ces formules il faut joindre les équations qui déterminent
l’état de l’éther et qu’il sera utile de récapituler ici:

D f d g d h

J _| £ n /TT'.

452

H. A. LORENTZ.

§ 91. Dans le chemin qui nous a conduit à ces équations
nous avons rencontré plus d’une difficulté sérieuse, et on sera
probablement peu satisfait d’une théorie qui, loin de dévoiler
le mécanisme des phénomènes, nous laisse tout au plus
l’espoir de le découvrir un jour. Les physiciens qui éprou-
vent ce sentiment peuvent toutefois admettre l’idée fonda-
mentale qui a été la base des recherches de Faraday
et de Maxwell , et ils peuvent considérer les formules
(I) — (V) comme des équations hypothétiques assez simples
qui pourraient servir à la description des phénomènes. J’ose
même dire que si l’on n’avait en vue autre chose que
cette description, sans vouloir tenter une explication mécanique,
il se pourrait que le choix tombât précisément sur ces équa-
tions que nous avons appris à connaître. Dès qu’on a renoncé
à l’idée d’une action des corps où le milieu interposé n’inter-
vient pas, il faudra décrire ce qui se passe dans un système
de particules chargées à l’aide de deux systèmes d’équations,
relatives, les unes à l’état de l’éther et les autres à la réaction
de ce milieu sur les particules.

Tant que, dans le champ que l’on considère, il ne se trouve
aucun corps chargé, les formules données par M. Hertz dans
son premier mémoire sont bien les plus simples qu’on puisse

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 453

admettre pour exprimer l’état de l’éther, et si l’on veut éta-
blir un système d’équations pouvant servir à l’étude d’un
système de particules chargées, il est naturel de se borner à
des modifications dont on reconnaît immédiatement la néces-
sité. Or, on obtient les formules (II) — (V) en remplaçant
dans celles de M. Hertz l’équation

d f d g d h A

Ÿ b ~ b ^ — — 0

d X dy O Z

par

d f d g d h

d X d y d Z "

et en substituant (§ 75, d) dans les équations:

~~ — — An u, etc.

d y o z

„ df dg y dh

U = QS- hf, V = O y -b «' = ?ï+rr-

cl cl cl

Dans le chapitre suivant on verra que les équations (I) s’ob-
tiennent également par des considérations bien simples.

Si, du reste, ces équations sont établies à titre d’hypothèses,
on y peut ajouter la supposition que les particules chargées
ne sont jamais sujettes à un mouvement rotatoire.

§ 92. Le physicien qui voudrait admettre les équations
(I) — (V) sans les déduire des principes de la mécanique,
serait obligé de justifier son choix en démontrant que ces
équations sont compatibles avec la loi de la conservation de
l’énergie. Voici comment on le vérifie.

Soient : m la masse d’une particule chargée, X', T', Z' les
composantes de la force extérieure à laquelle elle est soumise.

Alors

X -b X' = m î, T -b Y' = m 7/, Z ~î“ Z' — Ttt, ^ .. (66).

Il faut que le travail des forces extérieures par unité de
temps, c’est à dire l’expression

A = 2- (X' | + T n + Z' Ï),

454

H. A. LORENTZ,

soit égal à

Ci Z

U étant une fonction qui est déterminée par

l’état du système. Or, en employant les formules (I) et (66),
on trouve d’abord
d_
d t

A S [ m (|2 + y2 + £2) — 4 tt F

^ ^ J O f d T •+-

rj jo g d t H- jJç/fcdTjzzz

= jj Z \ m (S2 4- y'1 4- V) — 4 n V2 J ç (?/ -h y g -h ’Çh) dz.

Dans la dernière intégrale, qui doit être étendue à l’espace
infini, on peut substituer les valeurs de q J, q y, q £ qu’on tire
des équations (IV); ensuite, on peut intégrer par parties et
employer les équations (V). En fin de compte :

si on pose:

V=£ \ m (|2 + + £*) + 2 TT F» J(/2 + g* + h*) d r +

+ 8^/(“î+‘î2+/î)tir-

C’est la valeur de l’énergie du système. Le premier terme
n’est autre chose que l’énergie cinétique que les particules
possèdent en vertu de leurs masses. Les deux autres termes
ont la forme que nous connaissons déjà. Seulement, du point
de vue où nous nous sommes placés maintenant, il n’est pas
nécessaire de regarder comme potentielle l’énergie

2 n F2 j(p + g* + W)dx

et comme cinétique l’énergie
1

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 455

CHAPITKE V.

Applications de la théorie précédente.
Electrostatique.

§ 93. Supposons que toutes les particules chargées se trou-
vent en repos et que dans l’éther il n’y ait aucun courant
de déplacement. Alors les formules (III) et (IV) donnent

a = fi = y = 0

et les formules (V) deviennent:

dz d y d X d Z dy d X

Il faut donc que f, g et h soient les dérivées partielles d’une
même fonction. En désignant celle-ci par

£2

4 TT V ’

on aura en vertu de la relation (II)

A X2 = 4 7T V O.

Après avoir déterminé £2 à l’aide de cette formule, on trouve

Ce sont les équations dont se servirait l’ancienne électro-
statique pour calculer la force qui agit sur une particule
chargée; seulement, dans cette théorie, les formules reposeraient
sur l’hypothèse que deux quantités dq et dq ' d’électricité,
situées à une distance r l’une de l’autre, se repoussent avec
une force :

dq d£
r 2

Evidemment, le facteur V doit être le rapport entre les
unités électromagnétique et électrostatique de l’électricité. On
sait, en effet, que ce rapport est exprimé par le même nombre
que la vitesse de la lumière dans l’éther.

456

H. A. LORENTZ.

§ 94. D’après ce qui précède, notre théorie exige que deux par-
ticules immobiles aux chargeseete', dont les dimensions sont beau-
coup plus petites que la distance r, se repoussent avec une force

y 2 m

r 2 ’

un signe négatif de cette expression indiquant une attraction.

Si donc on admet que les corps pondérables contiennent
une multitude de petites particules chargées, que dans les
conducteurs ces particules peuvent se mouvoir librement et
qu’une charge électrique est constituée par un excès de par-
ticules positives ou négatives, on peut donner à la théorie
de l’équilibre électrique une telle forme qu’elle ne se dis-
tingue guère de la théorie ancienne. Seulement, on ne par-
lera pas de particules d’électricité, mais de particules chargées,
et on se souviendra toujours que les forces mutuelles sont
causées par une modification dans l’état de l’éther.

Dans cette électrostatique ramenée à la forme ancienne, on
définira le potentiel par la formule :

<f= VX-- ,
r

et on aura pour les composantes de la force qui agit sur une
des particules:

— Ve

d Cp
X j
V X

Ve

0 cp

dÿ’

Ve

0 cp
3 z

Remarquons que ce potentiel est intimement lié à la fonction £2
que j’ai introduite dans le paragraphe précédent. Cette fonction
peut évidemment être décomposée en un grand nombre de
parties dont chacune est due à une seule des particules char-
gées. Si, dans le calcul de 12, on exclut la partie qui dépend
de la particule pour laquelle on veut calculer la force, la
fonction devient identique à q>.

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 457

Force électrodynamique agissant sur un élément
d’un circuit linéaire.

§ 95. Dans l’étude des courants électriques qu’on peut ob-
server par les moyens ordinaires, il ne faut pas perdre de
vue que la plus petite partie d’un conducteur sur laquelle on
puisse opérer contient toujours une multitude énorme de
particules chargées ; on peut même concevoir une partie de
l’espace qui satisfait à cette dernière condition et qui peut
néanmoins être regardée comme infiniment petite dans une
théorie ayant pour objet, non pas le mouvement des parti-
cules individuelles, mais les effets d’ensemble qui sont acces-
sibles à nos sens. Un tel élément de volume sera représenté
par Dr, pour le distinguer d’un élément d r qui est infini-
ment petit dans le sens mathématique et peut par conséquent
trouver place même à l’intérieur d’une seule particule.

Or, il est clair qu’en suivant une ligne droite de petite
longueur, tirée dans un conducteur, on rencontrera en succes-
sion rapide des valeurs très différentes des fonctions j, g , h ,
u, v, w, a, /, la droite se trouvant tantôt dans le voisinage
immédiat ou même à l’intérieur d’une particule chargée et
tantôt à une distance plus grande. Cependant, ces variations ra-
pides n’ont aucune influence sur les phénomènes considérés;
ce qu’on peut observer dépend uniquement des valeurs moy-
ennes, qu’on peut définir de la manière suivante :

Si l’on conçoit un élément sphérique B r ayant pour centre
un point quelconque P, et qu’on prenne la valeur moyenne
ip qu’une fonction xp présente à l’intérieur de D r, cette valeur
xp sera nommée la valeur moyenne au point P.

Evidemment, on aura

l’intégration s’étendant à la sphère D r. Le résultat sera une

458

H. A. LORENTZ.

fonction de t et des coordonnées x% y, z du point P, et on
démontre facilement les relations suivantes :

d xp d Xp d xp D Xp d Xp t) i p d x p d X{i

dt dt ' d X dx ’ d y d y 1 d Z D z *

Il en résulte que les équations

h

dy

d X D y d Z

U

0 Z

=. 4 TT Uj

D «

0 Z

D/ A

~ = 4 7i v,
0 x

DJ
D x

D a
dy

=r 4 tc w

I

i

• • • (67)

auront toujours lieu, si l’on entend par a, (3, /, u, v et wles
valeurs moyennes.

Il est clair du reste que

xp = xp

si la fonction xp ne présente pas de variations rapides à l’in-
térieur de l’élément D r.

§ 96. La valeur moyenne de u (§ 75, d) est:

M==Fï/e?<ir + iTrTtffdT'

Si le mouvement des particules chargées est stationnaire,
h r ne change pas avec le temps et le dernier terme s’an-
nule. D’un autre côté, l’intégrale

fçgdr

peut être remplacée par

2eS,

e étant la charge d’une particule, et la somme étant étendue
à toutes les particules de l’élément D r.

On trouve donc:

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 459

Ces expressions peuvent être interprétées de différentes ma-
nières. D’abord, on peut écrire: X e £ =: X, -f- E2 |2, etc.,
en représentant par E{ la somme de toutes les charges posi-
tives, par E2 celle des charges négatives et par et £2 les
vitesses moyennes des particules positives et négatives. En
second lieu, on peut considérer un élément de surface per-
pendiculaire à O X, et comparable quant aux dimensions à
D r. La composante u sera égale à la somme des charges
que possèdent les particules qui traversent cet élément, cette
somme étant rapportée à l’unité de surface et à l’unité de temps.

En prenant pour u , v , w les valeurs (68) on déterminera
par les formules (67) la force magnétique produite par un
courant stationnaire.

§ 97. Concevons un champ magnétique quelconque et dans
ce champ un circuit linéaire fermé s. Tant que les particules
chargées contenues dans ce conducteur se trouvent en repos,
les composantes «, /?, y auront partout les valeurs qui corres-
pondent au champ magnétique donné ; d’ailleurs, si ces valeurs
sont constantes, on peut supposer f — g = h = 0.

Si maintenant on établit dans le circuit un courant élec-
trique l’état de l’éther et les valeurs de a, /?, / en seront
changés, mais on peut faire abstraction de ce changement
dans le calcul suivant, qui doit faire connaître la force agis-
sant sur un élément de la longueur D s 1 ), en tant qu’elle dépend
de l'état de l’éther qui existait déjà

Remarquons que la force électrodynamique cherchée E est la
résultante des forces que toutes les particules chargées de
l’élément éprouvent de la part de l’éther. Le champ magné-
tique pouvant être considéré comme homogène dans l’étendue
de D s, les équations (I) (§ 90) donnent:

E* = / X ;; e — (3 2 Ç e,

= 6,

E* = p X | e — <x 2: 7] e.

1) La lettre D indique ici la même chose que lorsqu’il s’agissait d’un
élément de volume Dr.

Archives Néerlandaises, T. XXV.

31

460

H. A. LORENTZ.

Les sommes doivent être étendues à toutes les particules
qui se trouvent à l’intérieur de l’élément. Je représente par

œ la section du conducteur, par C =r — le courant, par l, m

et n les cosinus directeurs de D s.

Alors, des équations (68) on déduit:

2* e | u œ D s ~ l C co D s ■= l i D s,

2 e i] — mi D s, Ze'Q — niDs)

donc :

E.r = i(m y — n (3) D s, \

E yz=i(ncc — l y)Ds,( (69)

E s =i(l p — ma) D s. \

Ce sont des formules bien connues, qui s’accordent avec
les expériences.

Remarques sur les formules (I).

§ 98. Si, au point de vue où nous nous sommes placés au
paragraphe 91, on veut faire une hypothèse convenable sur la
force qu’une particule chargée e éprouve de la part de l’éther,
il est tout d’abord probable que cette force se composera de
deux parties, dont l’une sera en jeu dans les cas de l’élec-
trostatique, tandis que l’autre provient du mouvement de la
particule. Les deux parties doivent dépendre de l’état de l’éther
au point où se trouve la particule ; la première partie sera
donc déterminée par le déplacement diélectrique. Or, lors-
que toutes les particules chargées se trouvent en repos, les
composantes de ce déplacement, en tant qu’il est produit
par toutes les particules, à l’exception de e, sont (§ § 93 et 94)

. 1 dqp 1 d q) , 1 Oqp

■ ~~"4^TvVx 9 — ~ HTF dy’ h — ~ 4^To7’

et l’expérience démontre que la force a pour composantes:

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 461

Ve

d Cp

— V

D cp

— Ve

d cp

"57

d X ’ d y

cc qu’on peut mettre sous la forme

4 7T V2 ef, 4 n V2 e g, 4 n V1 eh.

Il est donc naturel d’admettre que dans tous les cas la
première partie de la force peut être représentée par

4nV*fofdr, 4nV2fÿgdr, 4 tt V1 j q h d t.

Quant aux composantes de la seconde partie, elles doivent
donner lieu à 1a. force déterminée par les formules (69); la
plus simple supposition qu’on puisse faire à leur égard est
exprimée dans les derniers termes des équations (I).

Les deux parties de la force pourraient être distinguées par
les noms de force électrostatique et de force électrodynamique.
Il importe cependant de faire ressortir que la première partie
dépend, elle aussi, du mouvement des particules dont on
considère l’action.

Induction dans un circuit fermé.

§ 99. Nous allons appliquer les formules fondamentales à
l’induction qui est produite dans un circuit, soit par un mou-
vement dont il est animé lui-même, soit par un changement
du champ magnétique où il se trouve. L’état de l’éther,
variable dans ce dernier cas, sera regardé comme donné,
et nous ne nous occuperons pas de la modification qu’y ap-
porte le courant induit.

Calculons la force p e qui agit, dans la direction du circuit
s, sur une particule e. En nommant J, les composantes
de la vitesse du point du circuit où se trouve la particule,
v la vitesse relative de cette dernière par rapport au conduc-
teur, l , m, n les cosinus directeurs de d s, on aura :

£ = !, -h v J, y — +vm, Ç = C, -h v n

31*

462

ÎI. A. LORENTZ.

et, d’après les formules (I) :

p e X l -\- T m -f- Z n “ 4 n V- e (f l -h g m -f- h n) -b

m, n

+ ^ i V i f C i •

«, P, r

En divisant par e, on obtient la force p rapportée à l’unité
de charge ; ce qu’on appelle la force électromotrice induite
dans le circuit est ensuite donné par

§ 100. Soit (r une surface fixe sur laquelle le circuit est
situé dans les positions qu’il occupe aux moments tett-bdt,
et considérons l’intégrale

étendue à la partie de cette surface qu’il embrasse. Pendant
le temps dt , cette intégrale subit un accroissement dj Hnd<î,
qui peut être décomposé en deux parties. La première par-
tie, dj j\\nd(5, n’est autre chose que J d H nda; c’est l’accrois-
sement que l’intégrale éprouverait si le circuit ne se déplaçait
pas. La seconde partie, d.2 jH,,d(j, provient du changement de

l’étendue de la surface. En désignant par d rr' les éléments
nouveaux qui sont admis à l’intérieur du circuit et par da"
les éléments qui en sont exclus, on aura:

d.,J H„d« = 2 H„dlj' — 3:H„d <s".

Ceci posé, on peut déduire des équations (V):

d{ I H* de)

D’un autre côté, la valeur absolue du produit

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELT

463

l, m, n

dsdt

«. & /

représente le volume du parallélépipède ayant pour base l’é-
lément d </ ou d <t" qui est décrit par d s et pour arête le
vecteur H; elle sera donc égale à la valeur absolue de H» d <r'
ou H ,id <i". En ayant égard aux signes algébriques, on trouvera :

§ 101. L’influence des diélectriques pondérables dans les
phénomènes de l’électrostatique s’explique par la supposition
que les molécules de ces corps contiennent des particules
chargées qui peuvent être déplacées par des forces extérieures.
Pour simplifier, j’admettrai les hypothèses suivantes, qu’on
pourrait cependant remplacer par d’autres plus générales :
a Si toutes les particules chargées d’une molécule se trouvent
dans leurs positions naturelles, elle n’exerce aucune influence sur
d’autres molécules, même sur celles qui sont les plus voisines.

b. Il n’y a dans chaque molécule qu’une seule particule
chargée qui puisse être déplacée de sa position d’équilibre P.
Si cette particule a la charge e, il faut, d’après l’hypothèse a,
que l’ensemble des autres particules exerce la même action
électrostatique qu’une charge — e au point P. Si donc la parti-
cule mobile a pris la position P', la molécule entière équivaut
à un système formé de deux particules aux charges -h e et
— e, l’une se trouvant au point P’ et l’autre au point P. Un
tel système sera nommé un couple électrique ; le produit

équation bien connue de la théorie de l’induction.

Pouvoir inducteur spécifique.

m = e x P P'

464

H. A. LORENTZ.

est ce qu’on nomme le moment de ce couple. Cette quantité
est regardée comme un vecteur dont la direction est celle de
la ligne PP'.

Les composantes du moment sont

ïTir “ e x, m y ~ e y, nu — e z,
x, y, z étant les projections du déplacement P P\

c. Ces dernières lignes seront considérées comme très petites,
même par rapport à la distance des molécules les plus voisines.

d. Dès que le corpuscule mobile a été déplacé, les autres
parties de la molécule exercent une force qui tend à le ra-
mener vers la position d’équilibre. Je prendrai pour les com-
posantes de cette force:

— f x> — f y, — î z>

f étant une constante qui dépend de la structure de la mo-
lécule. Du reste, ce coefficient et la charge e seront regardés
comme ayant les mêmes valeurs dans toutes les molécules
d’un même isolateur homogène.

Si (3£, 2), 3) esf la force que toutes les particules chargées
qui se trouvent au dehors de la molécule considérée exercent
sur une particule à unité de charge placée au point P, la
particule mobile sera en équilibre si

x=eX v==«8 /==e_3

et on aura

m* = -y$, ra, = -|-D, m, = -j3 (70)

§ 102. Voici le problème qu’il faut résoudre pour se rendre
compte de l’influence d’un diélectrique homogène et isotrope
dans les phénomènes électrostatiques.

Un système de conducteurs est placé dans un diélectrique
qui s’étend à l’infini, et chaque conducteur est maintenu à
un potentiel donné. Déterminer les charges.

Remarquons d’abord que le potentiel cp en un point quel-
conque d’un conducteur, c’est-à-dire la somme

LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 465

peut être décomposé en deux parties cp{ et <j>2, l’une étant
produite par les particules chargées qui se trouvent sur les
conducteurs eux-mêmes, et l’autre par la „ polarisation” des
molécules du diélectrique. Je commencerai par calculer la
valeur de qp2 dans un point Q extérieur au diélectrique, et,
pour m’exprimer avec plus de clarté, je désignerai par D s,
D <7, D v des éléments dont les dimensions sont très grandes
par rapport aux distances moléculaires

Soient x , yi z les coordonnées d’un point dans le diélec-
trique, x, y\ z' les coordonnées du point Q , r la distance de
ces deux points, N le nombre des molécules par unité
de volume, nu, Nty, nu les valeurs moyennes (§ 95) de nu,
l%, nu au point (x, y , z), N nu = M*, N 1% = M/7) N nu = IVb-
Le vecteur M est alors ce qu’on peut appeler le moment
électrique rapporté à l’unité de volume.

Un calcul très simple donne pour la partie de qp2 qui est
due à une seule molécule

et pour celle qui provient d’un élément D v

La valeur cherchée sera donc

et, en intégrant par parties, on arrive à l’expression suivante :

— _ F ( M- U ci — V (-1 ( y*f + + ~ ) D T.

J r J r\d x d y o z J

Dans ce calcul, on s’est borné au cas où la plus petite
valeur de r est encore très grande par rapport aux distances

466

H. A. LORENTZ.

moléculaires. Cela n’empêche pas que cette valeur ne puisse
être tiès petite par rapport aux dimensions des conducteurs;
la formule peut donc être appliquée à des points Q qui se
trouvent dans le voisinage immédiat de la surface.

La première intégrale doit être étendue aux surfaces qui
limitent le diélectrique, la normale n étant dirigée vers l’inté-
rieur de ce corps.

Du reste, la formule peut être interprétée ainsi:

En ce qui regarde les actions exercées sur des points exté-
rieurs, le diélectrique peut être remplacé par un système or-
dinaire de particules chargées, distribuées d’une part sur
l’espace r occupé par l’isolateur, d’autre part sur les surfaces <?
qui le limitent, les densités de ces distributions étant:

/O M ,
\dx

d My
ty

et

—

• (71)

§ 103. Soit qp le potentiel total qui serait produit en un
point quelconque par la distribution dont il vient d’être
question et par les particules chargées qui se trouvent sur les
conducteurs. Cette fonction coïncidera avec le potentiel réel
des conducteurs, et on verra bientôt qu’elle peut être em-
ployée dans la discussion de ce qui se passe à l’intérieur
du diélectrique.

Si les distributions de particules chargées déterminées par
les expressions (71) existaient réellement, une particule à
l’unité de charge éprouverait une force aux composantes:

_ y _y^_î

dx dy d z

Pour qu’il y ait équilibre, il faut qu’à l’intérieur d’un con-
ducteur

qp — const.,

d’où on déduit que les particules électrisées qui constituent
la charge d’un conducteur formeront une couche très mince
à la surface. Je désignerai par

S D o

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 467

la charge totale de la partie de cette couche qui correspond
à l’élément D a. Comme, dans le calcul du potentiel <p, il y a
à considérer deux couches très-minces juxtaposées, qui par
unité de surface présentent les charges S et — NI??, il résulte
d’un théorème bien connu que, en un point qui est séparé
du conducteur par la seconde couche mais en est néanmoins
très voisin,

— — 4 7t r (*S — Mï/) (72)

d n v

A cette condition on peut ajouter l’équation:

A (jp “ 4 7T V

(2 M r

\dx

ONIy ^ DMA
Oy + ïz) ’

(73)

qui doit avoir heu dans tout l’espace occupé par le diélec-
trique. Enfin, la fonction cp ne présentera aucune discontinuité.
On arrivera (§§ 107 et 108) à la solution du problème pro-
posé (§ 102) si on combine ces formules avec celles qui ex-

d (fi d cp d cp

priment M.,, My, I Vb en fonction de

d X d y d Z

et que nous

allons déduire (§§ 104 — 106) des équations (70).

§ 104. Pour calculer les forces 36, sl), 3 entrent dans

ces dernières formules, je décris dans le diélectrique une sphère

B qui a son centre dans la molécule considérée et dont le

rayon est très grand par rapport aux distances moléculaires,

tout en étant si petit que les fonctions Mr, Nly, NI-,

D Nl.p 0 NI?/ 0 Nh , A, ‘j' ' +

-r h - H — - — peuvent etre considérées comme constan-

o x o y D z r

tes à l’intérieur de la surface. En appliquant à la partie du
diélectrique qui est extérieure à la sphère le théorème du pa-
ragraphe 102, on voit que la force (36, î), 3) se comP°se de
plusieurs parties, qui sont produites respectivement par :

a. les charges des conducteurs;

b. les charges superficielles aux densités — NE dans le voi-
sinage immédiat des conducteurs;

c. la distribution à densité

468

H. A. LORENTZ.

-(

0 M,

0 x

3J»

0 y

3JVI;

D 2

)•••

• ■ ■ (74)

supposée exister dans le diélectrique extérieur à B;

d. une charge superficielle sur la sphère elle-même, possé-
dant la densité

— M» ;

e. les molécules qui se trouvent à l’intérieur de la sphère.
Si la troisième distribution existait aussi à l’intérieur de B ,

cela ne changerait rien à la force cherchée, car l’expression
(74) est regardée comme constante dans l’étendue de la sphère.
11 s’ensuit que les trois premières parties de la force, prises
ensemble, ont les composantes:

-

0 X d y d Z

Un calcul bien simple donne pour les composantes de la
quatrième partie :

V'1 M.~;

on aura donc, en désignant par (36', 3)', 3 ) dernière par-
tie de la force, et en substituant dans les formules (70):

(- + }”'"'«» +9') ( (75)

“•=T(-V5f+5’'""-+3')-

§ 105. Reste à considérer la force (36/ 2)/ 3 )* représenterai
par x, y et z les coordonnées du centre de la sphère, où se
trouve la molécule considérée M; par x', y', z! les coordonnées
du point qui, dans une autre molécule M située à l’intérieur
de la sphère, est analogue au point P (§ 101, 6); par r la
distance des deux points, par m et m' les moments électriques
des deux molécules. Alors:

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 469

36' = V2 2 r\- | [3 (x' - x)2 - r2] rn.' + 3 (*' - x) (y’— y) m,/ +

+ 3 (xf — x ) (z — z) m/ J , . . (76),

la somme étant étendue à toutes les molécules M' que con-
tient la sphère.

Il y a un cas où cette somme s’annule. C’est celui d’un
système de molécules à arrangement cubique, comme le pré-
sentent les cristaux du système régulier. En effet, les moments
m./, r%', m/ peuvent alors être considérés comme égaux aux
moments m.r, r%, m2 de la molécule M elle-même ; de plus, on
aura, en supposant les axes des coordonnées parallèles aux
axes cristallographiques :

2- <>' — x) (?/' — y) _ — *) te' — g) _ 0 (77)

r5 r ~ ■ ■ \ )

2' 3 te' — æ)2 — r2 _ ^ 3 ( V ' ~ ÿ)2 — rj

fy* D

— ~r" . . (78)

Les trois dernières expressions seront par conséquent égales
à la troisième partie de leur somme qui est 0.

Dans les diélectriques amorphes, les molécules sont dissémi-
nées d’une manière moins régulière. Cependant, en se bornant
aux corps isotropes, on arriverait encore à la conclusion:

3E' = y = 3' = 0 (79)

s’il était permis de remplacer dans la somme (76) toutes les
valeurs de m*/, m/, m* par de certaines valeurs moyennes et
d’admettre encore les égalités (77) et (78), qui expriment que
la distribution des molécules est symétrique par rapport aux
trois axes.

Même si on voulait mettre en doute la conclusion (79) on
pourrait remarquer que l’influence exercée par le diélectrique
dépend, non pas de l’état des molécules individuelles, mais
des valeurs moyennes m#, my, m*. Or, après avoir calculé

470

H. A. LORENTZ.

36', 5)', 3 P0U1‘ une molécule il 1, on peut faire la même chose
pour une autre molécule, en décrivant, bien entendu, autour de
cette dernière une sphère B égale à celle au centre de laquelle se
trouve M. A chaque molécule appartiendront donc des valeurs
spéciales de 36', 3)', 3 ’ et» on peut considérer les valeurs moy-
ennes 36', 3)', 3' de ces fonctions dans un élément de volume
D v. Il est clair qu’on obtiendra m*, m y et m* si, dans les
formules (75), on remplace 36', 3)', 3" Par 36', 3)', 3>etPour
arriver aux simplifications qui découlent des équations (79)
il suffit que

S' = f = 3' = o.

Ceci pourrait être vrai même dans le cas où la position
accidentelle des molécules M' les plus voisines du centre de
la sphère donne lieu à des valeurs positives ou négatives de
36', 3)', 3'. En effet, la ligne qui joint une molécule à celle
qui en est le plus rapprochée aura toutes les directions pos-
sibles ; il se pourrait donc que la distribution irrégulière et le
défaut d’isotropie qui existent dans une seule des sphères B
ne se fissent plus sentir dans les valeurs moyennes 36', 3)', 3 •

§ 106. On connaît les erreurs auxquelles on s’expose dans
les théories moléculaires en se servant des „ valeurs moyennes”
et de raisonnements aussi superficiels que les précédents. Aussi
me semble-t-il préférable de ne pas supposer nulles les valeurs
de 36', 3)', 3 • Les considérations suivantes peuvent cependant
nous fournir quelques renseignements sur ces valeurs.

a. Chaque molécule M se trouve en général soumise à deux
forces électriques, l’une (36, 3), 3) étant due à tout ce qui
se trouve au dehors de la sphère B, l’autre (36', 3)', 3 ) aux
molécules situées à l’intérieur de cette surface. Supposons que
3) = 3 — 0 et que la force 36 ait la même valeur quelle
que soit la molécule M pour laquelle elle est calculée. Alors le
moment électrique prendra dans chaque molécule une grandeur
et une direction déterminées, qu’on pourrait trouver si on con-

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 471

naissait parfaitement la distribution des molécules. Comme,
dans les corps amorphes, cette distribution est fort irrégulière,
les moments électriques présenteront des changements brus-
ques si on passe d’une molécule à une autre, et ils n’auront
pas en général la direction de la force 36-

Cependant, tout s’arrangera d’une telle façon que

m.r = y (X + X'), 1% = -y 2)', ni: = y 3' • • • (80)

b. Les forces 36', 3)', 3 sont des fonctions linéaires des
moments m/, m/, m/ excités dans les molécules voisines de
M. Il en résulte que, si on change la grandeur de la force 36,
tous les moments changeront dans la même proportion, en
conservant les directions qu’ils avaient.

c. Il existe entre les valeurs moyennes la relation suivante :

m* = y (X + X'), 1% = y 2)', m* = e-

Mais il est clair que dans un corps isotrope
r% = me = 0

et par conséquent:

f = 3' = o.

Quant à m,, ce moment moyen doit être proportionnel à
la force 36, parce que cette proportionnalité existe pour les
moments de toutes les molécules individuelles. Il y a donc
également proportionnalité entre 36' et m,r ou M*, ce que j’ex-
primerai par

36' = s F2 M,,

le coefficient s étant constant pour un diélectrique donné,
mais variable avec la densité.

d. Si 3) et 3 ne sont Pas 0, mais que la force (36, 3), 3),
constante dans toute l’étendue du diélectrique, ait une direction
quelconque, on aura de la même manière

32' = «PM,, 3)'=sy2My, 3 = 8 V‘ IVb; , . . (81)

472

H. A. L0RENT2.

on s’en assure en introduisant pour un moment des axes des
coordonnées dont l’un ait la direction de la force (36, 3), 3).

e. Les relations (81) subsisteront encore si la force (36, 3), 3)
varie d’une molécule à l’autre, pourvu que cette variation soit
si lente qu’il faille passer sur un grand nombre de molécules
avant qu’elle devienne sensible-

f. Voici encore une remarque qui nous sera utile dans la
suite, et qui est vraie dans tous les cas où 36', 3)', 3' ne
s’annulent pas.

Supposons que, sans modifier la distribution des molécules,
on en puisse changer la nature et donner ainsi à la constante
f une valeur nouvelle. Alors, même si on augmente ou diminue
convenablement la force 36 qu’on trouve dans les formules (80),
il est impossible que les moments électriques des molécules
conservent tous les mêmes valeurs. Il est également impossible
qu’après le changement de f les composantes de tous les
moments soient proportionnelles à leurs valeurs primitives. Il
en résulte que le coefficient s ne reste pas le même si f vient
à changer.

§ 107. En vertu des formules (75) et (81) on trouve:

M, - N-f(— + y *■ v ‘ M,r + s F2 M,), etc ,

ou bien, si on pose :

A' Ve 2

f — iVe2(|7r + s)F2 ~~q’

m ^ M dqp M

M „ = — g— M,/ = — q —, M~ =

1 d x J d y

D cp

qVz

Ensuite, les équations (72) et (73) deviennent

(1 +AuqV)^ = — i7tVS (82)

et a cf) “ 0 (83)

§ 108. Cette dernière formule, jointe aux valeurs de cp pour
les différents conducteurs que je regarderai comme données
et à la continuité de <f, suffit, comme on sait, à la détermi-

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 473

nation du potentiel dans tous les points de l’espace. Ensuite,
l’équation (82) fait connaître la densité, et la charge de chaque
conducteur est donnée par l’intégrale

f S Da.

Si l’espace extérieur aux conducteurs était occupé non pas
par le diélectrique considéré, mais par l’étlier, le facteur
1 + 47 t qV dans l’équation (82) devrait être remplacé par
l’unité, la formule (83) restant encore applicable. On voit
donc que, dans un système de conducteurs maintenus à des
potentiels donnés, la substitution du diélectrique pondérable
à l’éther augmentera les charges dans le rapport de 1 à
1 -h 4 7r q T7, et que ce qu’on appelle le pouvoir inducteur
spécifique K d’un isolateur n’est autre chose que cette ex-
pression 1 + 4 n q V.

Il s’ensuit que

f + Ne'- (*«-.) F»

f — N e '1 (| n + s) V2

(84)

En supposant

s = 0

et en admettant que, dans un changement de densité du dié-
lectrique ou du nombre N, les propriétés de chaque molécule
et le coefficient f qui en dépend ne sont pas modifiés, on
trouve que l’expression

K— 1

K + 2

doit être proportionnelle à Nt c’est-à-dire à la densité.

474

H. A. ÎjORENTZ.

CHAPITRE VI.

Propagation de la lumière dans un diélectrique
pondérable qui se trouve en repos.

Nature du problème.

§ 109. Il s’agira dans ce chapitre des mouvements oscilla-
toires que les particules chargées peuvent exécuter dans les
molécules d’un diélectrique. Accompagnées de changements
périodiques dans l’état de l’éther, ces vibrations constitueront
un faisceau lumineux, dont je me propose d’étudier la pro-
pagation.

Pour simplifier, je supposerai de nouveau (§ 101, b) que
chaque molécule ne contienne qû’une seule particule chargée
mobile. Pour en étudier le mouvement, il faudra tenir compte
des forces exercées par l’éther et données par les formules (I)
(§ 90); d’autre part, les équations (II) — (V) serviront à déterminer
l'état de l’éther qui est compatible avec le mouvement des
particules. Dans tous les points qui sont extérieurs aux par-
ticules ces équations se réduisent à la forme plus simple:

§ 110. Supposons, pour un moment, qu’il n’y ait qu’une seule
particule chargée, qu’elle soit animée d’un mouvement donné

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 475

et qu’on soit parvenu à un système de valeurs/,, gx, hX)
Pu Y i' 9ui satisfait, à l’intérieur, aux équations (II) — (V)
et, à l’extérieur, aux équations (85).

Supposons, de plus, qu’on ait trouvé un système analogue
/o> 9 21 f*2> Y 2 pour le cas où une autre particule se

déplace à travers l’éther, cette autre particule étant à son tour
regardée comme la seule qui existe.

Alors, il est clair que les valeurs :

f— /, + fit 9 — 9\ + 9-n h=h, 4-
cc z= a , + a2, (i — p , + pit y = / , + /2
satisferont à toutes les conditions du problème, si les deux
particules existent simultanément.

Ce théorème peut être étendu à un nombre quelconque de
particules chargées. On cherchera, pour chaque particule, un
système de valeurs de /, g , h, a, (?, /, qui soit compatible avec
son mouvement — en raisonnant comme si les autres par-
ticules n’existaient pas — et on combinera toutes ces solu-
tions par simple addition.

Du reste, il ne faut pas croire qu’on trouverait ainsi l’état
réel de l’éther. En effet, aux valeurs de /, g , h, a, y , on
peut toujours ajouter des valeurs quelconques qui satisfont
aux équations (85).

§ 111. On peut trouver deux étatg différents de l’éther qui
sont compatibles avec les vibrations d’une particule chargée.
Dans le premier, la particule est le centre d’un ébranlement
qui se propage en dehors; dans le second, des vibrations
de l’éther se dirigeront de tous côtés vers la particule dont
elles chercheront à maintenir les oscillations. Nous nous occu-
perons seulement des solutions de la première espèce, qui se
présentent immédiatement à l’esprit. En effet, supposons qu’une
source lumineuse commence à un certain moment à émettre
des vibrations. Ce mouvement se propagera dans l’éther et at-
teindra à un instant déterminé la première particule chargée du
diélectrique. Aussitôt, les forces déterminées par les formules (I)
(§ 90) entreront enjeu ; elles déplaceront la particule et, conjoin-

Archives Néerlandaises, T. XXV. 32

476

H. A. LORENTZ.

tement avec les autres forces auxquelles elle est soumise, en dé-
termineront le mouvement. Mais, en vertu de son agitation, la
particule devient elle-même le centre d’un ébranlement qui
se propage dans toutes les directions et se superpose à l’état
de l’éther déjà existant.. Au moment où elle est atteinte par
les vibrations électriques de l’éther, chaque molécule suivra
l’exemple de la première, et en définitive des vibrations éma-
neront de toutes les particules chargées.

Il importe cependant de remarquer qu’on peut opérer avec
une solution particulière quelconque qui s’accorde avec le
mouvement des particules, pourvu seulement qu’on rétablisse
la généralité nécessaire en ajoutant à cette solution une autre,
qui satisfait partout aux équations (85).

Si, dans les pages suivantes, il est question du mouvement
que „produit” une particule vibrante, cela servira simplement
à indiquer une solution particulière qui est compatible avec
les oscillations.

Vibrations dans Vétlier produites par une seule molécule.

§ 112. Des équations (II) — (V) (§ 90) on peut éliminer cinq
quelconques des variables

/, g, h , «, (5, /.

On trouve ainsi:

F2 A /

11 1 _ J72

3 <2 3 x

Hs 5)

3 t

etc.

F* A « - = 4 n V*

d £

D Q

Yz

~dy

).

etc.

• (86)

• (87)

En appliquant ces formules à une molécule qui contient
une particule mobile P, je me bornerai à un cas bien simple ;
c’est celui où les écarts de la position naturelle sont infini-
ment petits par rapport aux dimensions de la particule elle-
même. Hâtons-nous d’ajouter que les résultats resteront vrais

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 477

si Y amplitude des vibrations est beaucoup plus grande, pourvu
seulement qu’elle soit très petite en comparaison des dis-
tances moléculaires. Cette extension de la théorie ne se
trouvera pas dans le chapitre présent ; elle sera reléguée à la
„Note additionnelle” qui terminera ce mémoire 1 ). J’ai pris
ce parti dans l’espoir de faciliter ainsi la lecture et de faire
mieux ressortir les traits essentiels de la théorie que je désire
proposer.

§ 113. Soient: x, y, z les projections du déplacement de la
particule mobile et o() la densité électrique au point {œ, ?/, z),
dans le cas où elle a sa position naturelle. Alors, on aura
dans les formules (80) et (87)

1_15?
d X

— y

Vo

dy

I -

— dt’v —

d t

^ dt

• . . (88)

. . . (89)

et, comme ces dernières quantités sont, par supposition, infini-
ment petites, ainsi que x, y, z,

F2

A/ — ‘-J — V 2

O.

0'
d2 x

0 d<2

0

x ? y

dxdzj

etc.

(90)

V2 A a

0 t‘

= 4 7 T V2

fdy d Qo _

\d t d z

<U d go \
d t d y J ’

etc. (91)

Lorsqu’on a en vue les valeurs de /, g, h, a, p, y qui
dépendent de la particule mobile seule, il faut admettre qu’en
dehors de l’espace qu’elle occupe,

. V'1 A/ — = 0, etc., F2 A « — = 0, etc.,

ou bien, si on veut appliquer les formules (90) et (91) à
l’espace tout entier, il faut poser q0 =0 dans tous les points
extérieurs.

1) Dans cette Note il sera toujours question d’un diélectrique qui se
déplace, mais on peut, dans toutes les formules, supposer nulle la vitesse

de ce déplacement.

32*

478

H. A. LOEENTZ.

§ 114. Les équations (90) et (91) peuvent être mises sous
la forme '):

et

+

0^ u

F2 A u — — f = 4 7, F2

t 32 (?o *)

, ^ (g, y)

» D .r2

0 x d y

32 (e0*)>

. 32 (<?o*)

3 X 3 z '

+ 3<2

( 32 (?o y)

_ v(>o z)/

f OzD t

3ÿ 3 C

, etc. . (92)

On y satisfera en introduisant quatre fonctions auxiliaires
co, %2> 1 3> au nioyen des conditions:

02co

F2 A

co

D t2

fo >

(94)

F’ A

31ll_

3«2 ~

F’ 4 *.-%’ = »•>•

= ■ 0»)

et en posant

f = V2 — ^ 2 Z i |

OiC ( d X2 d X d y d X d Z )~r d t2

a = 4n F2 !

3*

) a:

32 X*

Xî + 32 y.3 |

32 -,

32 Xs j

etc.

fi > etc (96)
• (97)

1 d Z d t d y d t 1

La densité oQ est indépendante du temps; il en sera donc
de même de la fonction co, et elle sera déterminée par la
relation :

A co — y2 q0.

(98)

On s’assure facilement que les valeurs (96) et (97) satisfont
aux équations primitives (II) — (V). On trouve, par exemple,

^ + ^ + ^ = F2a»-tM V2 ax,-^4M

d X d y d Z d X ' A 1 d t2 \

D . 02 y

Al ‘
t 2 >

os ' or2 v“

0 a;

3 Q0 à Q0
y^— — z = 0.
0 y d z

0 En effet. oc est indépendant du temps, et x, y et z sont indépendants
de æ, y , z.

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 479

§ 115. D’après les formules (96), les fonctions/, g et h con-
tiennent les termes

y 2 3» y2 y2 3®

d x’ d y’ d Z 9

(99)

qui sont indépendants du mouvement de la particule. Or,
tant que cette dernière est maintenue dans sa position d’équi-
libre, la molécule entière dont elle fait partie n’exerce aucune
action sensible en des points qui sont situés à quelque dis-
tance, par exemple, dans une molécule voisine. Il s’ensuit
qu’en de tels points les parties immobiles de la molécule
produisent un déplacement diélectrique égal et opposé à celui
qui a pour composantes les expressions (99). Si donc on con-
vient d’entendre par f, g , h, «, (1, / les valeurs qui sont dues
à la molécule entière , on aura à quelque distance,

f — y'2 \ c Xi

v \ dx>

h

d X d y

X 3 I
d X d Z l

d t2 ’

etc. (100)

= 4 7 T V2

U X 3 (

d z dt

d y d t \

etc. . . . (101)

Quant aux fonctions elles peuvent être déterminées à
l’aide des théorèmes qu’on trouvera dans les deux paragraphes
suivants.

Théorèmes mathématiques .

§ 116. Soient: x un espace limité par une surface quelconque
(t; dx un élément de volume situé au point variable (x, y', z);
(x, y , z) un point qui est situé dans l’espace x' et qui est
regardé comme fixe si on veut effectuer les intégrations dont
il s’agira tout à l’heure ; U (x\ y', z\ x , y , z) une fonction qui
est finie et continue pour toutes les valeurs des coordonnées,
excepté pour

x = x, y' z= y, z! = 2.

Considérons l’intégrale :

480

H. A. LORENTZ.

1 = jr U {x', y', z', x, y, z) d x',

où l’indice r indique qu’il faut exclure du champ de l’intégra-
tion une sphère b, à rayon r, ayant pour centre le point (a?, y , z ),
le rayon étant toujours le même quelle que soit la position
de ce dernier point.

L’intégrale sera une fonction de x, y et z, et on a le théorème
que voici:

r, = -\l«-*'>üdb+lrïjd'’ <102>

où la première intégrale est étendue à la surface de la sphère.
Démonstration . Soient :

A le point ( x,y,z ),

B le point (x -h ô , y , z), ô étant une longueur infiniment petite,
Ia et 1b les valeurs de l’intégrale relatives à ces deux points.
Il s’agit de calculer:

D I _ 1B- 1a

d X ô

Supposons qu’en déplaçant le point (x, yf z) de A vers B
on donne, en même temps, une translation égale à tous les
éléments d x . L’ensemble des éléments déplacés, que je nom-
merai ( d r'), constitue un espace qui est limité à l’intérieur
par la sphère b décrite autour du point B , c’est-à-dire par la
sphère jusqu’à laquelle il faut étendre l’intégrale Ib , et à l’ex-
térieur par une surface ■ (a) qui n’est autre chose que la sur-
face a déplacée sur une distance ô.

Il en résulte que, pour changer lj en Ib, il faut d’abord
remplacer, dans la fonction U, x et x par x + d et x + ô ;
de la valeur ainsi obtenue il faut retrancher l’intégrale

( U (x, y’, z', x, y, z)dr

étendue à la zone qui se trouve à l’intérieur de (cr) et à l’ex-
térieur de a, et il y faut ajouter une intégrale analogue relative

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL.

481

à la zone qui est à la fois extérieure à (<y) et intérieure à <r.
Tout ceci se traduit par la formule

01 0 t7 ,

0 x J r 0

/r ï~x ^ r — J £7 cos 0b x) d g, . . (103)

dans laquelle n désigne la normale à la surface, menée vers
l’extérieur.

La première intégration peut être effectuée. On trouve :

f ~ d r1 = fü cos (n, x') d g -
j r v x j

d’où il suit:

dl_
0 a?

■/.

0 L

Z7 cZ 6 H-i r^dr'

r o x

C. Q. F . V.

Remarquons que cette relation doit avoir lieu quelque petite
que soit la valeur de r. En désignant par J la limite vers

laquelle tend quand on diminue de plus en plus le rayon,
on aura:

~f Ud r=— Lim p-jV — x) Udb^ +|~dr ...(104)

Du reste, cette formule est encore applicable si l’espace r'
s’étend à l’infini, ou si, cet espace étant limité, le point (x, yy z)
se trouve à l’extérieur. Le dernier de ces deux cas rentre
dans le premier lorsqu’on suppose que l’espace r' est infini
mais que la fonction U s’annule dans une certaine région.
Si le point (a, y, z) appartient à cette région, on aura:

_0_
d X

§ 117. Théorème. Employons de nouveau les notations du
paragraphe précédent, et représentons par r la distance des
points (a, y t z) et (x\ y, z), par F une fonction finie et con-
tinue. Je dis que la fonction

f 1 F(t
» K2 J r

» y\ z') d

482

H. A. LORENTZ.

satisfait à F équation :

d2

v2 Ax~ Tt* =F{t’x’y>z)-

Démonstration. Le théorème précédent donne :

si = Î^TFï Um [7/ X~T^~ F«~V’ *’ y'’ z'] d b] -

- HTT2 / ÔT I ï F(‘~? yl’ z'} i d T'-

Pour déterminer la limite, on peut, dans le premier terme,
remplacer

F (t — ÿ, x', y', z' ) par F (t, x, y, z).

On voit alors que ce terme s’évanouit et que

K1 = — 2~ T/7 f V" i — F (( — V > x'> V> z') !<*
d’où il suit, par une nouvelle application de la formule (104),

^ = 47TïLim [t/(* “ T’*’y'’*)\dh]

1 f D2 (1 r , ,

n F2 J 2 x* i r V’X,y’

z1) dv' .

• (105)

Soit F' (t} x} y } z ) la dérivée de F(t, x, y , z) par rapport à
t. Alors:

j)_

d x \ r

\ F {t — ~ , x, y’, z) j =

X — X

(. r , , , . x —x / r , , \

(t — -y, *> y, 2 )— jry F y— y> x>y,z b

ce que, dans le premier terme du second membre de (105),
on peut remplacer par:

— ~Ï~ F (<• x> y> z) — ~ry F' (<) x> y> «)•

En définitive:

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 483

Il y a des formules analogues pour

V * ï-f et V1 . 2 ,
dy2 d z1

et comme :

32X.
d i2 '

on trouve :

1 f 0 2 i 1 r / . r , , , J , ,

^l^\rF{t-V’X’y’2)\dl’

V‘ ax— = F (<> y . *) —

vt à - £> ) >'• » i ;

Or, un calcul direct nous apprend que

i ^ î''- »')! =0;-C'06>

donc :

F’ A i-Ç^ = F(t,x,y,z). C.Q.F.D.

§ 118. La proposition que je viens de démontrer peut être
regardée comme une extension du théorème de Poisson , qui joue
un rôle si important dans la théorie du potentiel et auquel on
revient en supposant que la fonction F ne renferme pas le
temps t. De même, la formule (106), que, sans en diminuer la
généralité, on peut remplacer par

(P4-&)lry(,-T)l = 0---<107>

est analogue à l’équation de Laplace pour la fonction-.

Cette formule (107) est connue depuis longtemps; après l’avoir
trouvée, il est tout naturel de rechercher ce que devient

A j±F(x’,y’,3')dT'

1

r

F(*'> y z>)

si on y remplace

484

H. A. LORENTZ.

par

Détermination de % , , /2> Z 3 de /, g , 7&, «, /5, /.

§ 119. Le théorème du paragraphe 117 conduit immédia-
tement à une solution des équations (95). Soient: A le point
(x, y, z) situé à l’extérieur de la molécule et pour lequel on veut
calculer les valeurs des fonctions relatives au temps t, B un
point de l’espace occupé par la particule mobile, d r un élément
de volume au point B, q0 la densité électrique en B lorsque la
particule a sa position naturelle, r la distance A B , (x, y, z)

r

le déplacement à l’instant t — ■== • On aura :

vibrante.

A la rigueur, ni r, ni, par conséquent, x, y. z n’auront les
mêmes valeurs pour les différents éléments d r . Vu, cependant,
l’extrême petitesse, par rapport à la distance A B , que nous
attribuons à la particule, on pourra remplacer tous les r par la
distance de 4 au point où se trouve le centre de la particule
dans sa position naturelle. C’est cette distance qui sera dé-
signée par r dans les formules qui vont suivre.

En représentant par (m m'y. m'*) le moment électrique
r

.(§ 101) à l’instant t — -y , on trouve:

où les intégrales doivent être étendues à toute la particule

et finalement, au lieu des expressions (100) et (101),

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 485

Ces expressions peuvent encore être appliquées lorsque,
contrairement à la supposition du paragraphe 112, l'ampli-
tude des vibrations est plus grande que le diamètre de la
particule, tout en restant beaucoup plus petite que la distance
r. C'est ce qu’on verra démontré dans la Note additionnelle.

Intensité de la force qu'une particule vibrante éprouve en
vertu de l'état de la molécule dont elle fait partie.

§ 120. Les valeurs (109) et (110), portées dans les formules
(I) (§ 90), peuvent servir à déterminer la force que l’une des
molécules exerce sur la particule mobile qui appartient à une
autre; nous en déduirons bientôt (§ 125) l’action qu’une par-
ticule déterminée P subit de la part de toutes les molécules
environnantes. Cependant, avant d’aborder ce calcul, nous
allons considérer la force à laquelle elle est soumise en vertu
de l’état de l’éther qu’elle excite elle-même.

A cet effet, il est nécessaire d’étudier les valeurs que les
fonctions /, g , h, «, /, déterminées par les équations (92)

et (93), présentent à l’intérieur de la particule.

On peut toujours employer les formules (96), (97) et (108);
seulement, ces dernières se simplifient, parce que, dans le pro-
blème actuel, r est tout au plus égal au diamètre de la par-
ticule, et, par conséquent, extrêmement petit par rapport à la

r

longueur d’onde. La quantité y n’est donc qu’une fraction in-
signifiante du temps d’oscillation et il est permis, dans les
formules (108), de remplacer x, y, z par :

«

486

H. A. LORENTZ.

x

r

V

v —

r .

yy

Z

r

V

Z

)

si l’on convient d’entendre par x, y, z, x, y, z les valeurs rela-
tives au temps t.

Comme, d’après la formule (98),

CO

— 1 f Q » j_.

— 4 n V2J r ’

on trouve
l

<■=-4 VF)'/?''' -I/'

^ I p0 d T ^ = X (O

xe

■> etc.

4 TT F3

Substituons dans les formules (I), en ayant égard à la rela-
tion (88) et à ce que x, y, z sont regardés comme infiniment
petits. Il vient pour la première composante de la force
cherchée, si on remplace x par J,

Ici, la première intégrale est 0, parce que la distribution
des fonctions qq et œ est symétrique autour du centre ; il en
est de même des trois intégrales suivantes, puisque oQ s’annule
à la surface de la particule. On trouve, par conséquent, pour
les composantes de la force cherchée :

4 7T V2 % j oQ to d t -] — , etc. . . . . . (111)

Si le mouvement de la particule est une vibration simple,
les signes des dérivées y, Ç sont opposés à ceux des vitesses
5, rj, Ç. La force aux composantes

\ e2 7] e2 £ e2

T"’ HP 'Y

s’oppose donc au mouvement. Il est naturel qu’il y ait une

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 487

telle „résistance” ; sans cela, en effet, la particule ne pourrait
céder de Fénergie à l’éther.

Aussi bien que les formules (109) et (110), les expressions
(111) restent applicables lorsque les excursions de la particule
sont plus grandes que le diamètre. (Voir la Note).

§ 121. Quant à la force avec laquelle les parties immobiles
de la molécule agissent sur la particule qui est déplacée de sa
position d’équilibre, je m’en tiendrai à l’hypothèse du para-
graphe 101. Les composantes en seront représentées de
nouveau par

— f*, — fy, — fz (H2)

Détermination de la force totale qui agit sur une
particule vibrante.

§ 122. Le calcul de la force que la particule mobile contenue
dans une des molécules éprouve de la part de toutes les autres
molécules ressemble beaucoup à celui qui nous a servi à
l’évaluation du pouvoir inducteur spécifique.

Je désignerai de nouveau par

miæ*, niy, ÏTl^r

les valeurs moyennes de m*, l%, m- (§ 102) et par
IVL = N mx, = N my, IVL = N mz
les composantes du moment électrique rapporté à l’unité de
volume. Ces composantes seront des fonctions du temps et
des coordonnées; elles ne présenteront plus les changements
brusques et irréguliers (§ 106, a) qu’on trouve dans les mo-

ments m*, i%, m*.

Il importe de remarquer que, lorsqu’il s’agit de fonctions

0 0 0

telles que IVL, M;/, IVL, on peut attacher aux signes — , — , ---

une signification un peu différente de celle qu’ils avaient

on peut considérer
0 x

jusqu’ici. Pour obtenir, par exemple,

488

H. A. LORENTZ.

une ligne P D x, parallèle à Taxe des x, et qui, loin d’être
infiniment petite dans le sens rigoureux du mot, est beaucoup
plus grande que les distances moléculaires. Il suffira que, dans
l’étendue de cette ligne, le changement de W.r soit très petit
par rapport à ce moment lui-même; alors, on pourra prendre

pour - -'r le quotient qu’on obtient en divisant par Dx la

différence des valeurs de M.? aux points P et Q. Evidemment,
dans les problèmes qui nous occupent, la condition à remplir
revient à ce que Dx doit être une très petite fraction de la
longueur d’onde.

Un signe spécial pour indiquer les différentiations prises
dans ce sens nouveau me semble superflu ; dans chaque cas
particulier on comprendra facilement ce qu’il faut entendre

0 0 0

par — , —, — .

1 d x d y d z

§ 123. Je considère un diélectrique pondérable, homogène
et isotrope, qui est limité par une surface <r, et je me propose
d’établir les équations différentielles auxquelles doivent satis-
faire M.r, My, M- à l’intérieur de ce corps. Des mouvements
électriques peuvent également avoir lieu à l’extérieur de la
surlace, mais il n’est pas nécessaire de supposer quelque chose
à leur égard.

Soit M une molécule située au point ( x , y , z). La particule
mobile qu’elle contient est d’abord soumise aux forces (111)
et (112) et, en second lieu, à une force qu’on calcule en
prenant, dans les formules (I) (§ 90), pour /, g, h , «, /?, / les
valeurs qui existent indépendamment de la molécule M elle-
même. Toutes ces valeurs peuvent être regardées comme
constantes dans l’étendue de la particule et les formules (I)
prennent, par conséquent, la forme

X = 4 TT V2 ef + e {y y — £ /3), etc (113)

Je construis de nouveau la sphère B dont il a été question
dans la théorie du pouvoir inducteur spécifique (§ 104), et je

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 489

décompose les valeurs de f, g, h, «, (3, y , X, T, Z dans les
parties suivantes:

a. celles qui sont produites par les molécules du diélectrique,
extérieures à la sphère B ;

b. celles qui sont dues aux molécules à l’intérieur de la
sphère — la molécule M elle-même étant toutefois exceptée;

c. celles qui sont indépendantes de toutes les molécules
nommées.

Je supposerai que dans l’étendue entière de la sphère les
moments M?/, M; ont sensiblement des valeurs constantes.
Cela exige que le rayon B soit très petit par rapport à la
longueur d’onde.

Si, après avoir calculé les valeurs de /, g, h , a, (3, /, etc.
pour une molécule M, on veut passer à une autre molécule,
on construira autour de celle-ci comme centre une nouvelle
sphère B, égale à la première.

§ 124. Soient : D r' un élément de l’espace r' compris entre
les deux surfaces B et a ,

x', y, z les coordonnées du centre de cet élément,

M'*, My, M', les valeurs des moments électriques dans ce point,

r la distance du point (x, y, z) au point {xy y , z).

En vertu de l’équation (109), la première composante du
déplacement diélectrique produit par toutes les molécules de
l’espace r' a, dans la molécule M , la valeur:

, = , a* ( m v\ / m; a _

47rJL3a;2\r/ 0 x d y\ r J 0 x 0 z\ r J

1 /M AI n

“ 3 i!Vr )\Dr'’

où il faut entendre par M ^, M'y, M'* les valeurs qui corres-

T

pondent au temps t — ^ *

Mais, en appliquant le théorème du paragraphe 116, on trouve:

_0_

d X

490

H. A. LORENTZ.

ou bien

. (114)

parce que, en intégrant sur la surface sphérique, on peut rem-
placer M r par la valeur Mr qui existe au centre au moment t.
Une nouvelle application du même théorème donne :

0 /M

On a, au contraire,

Dr . (115)

d2

f

d x d y J

i r

O2

f ML

d X d Z J

I r

D2 j

f ML

D t2 J

1 v

Posons :

D t = a» ,, D T = 2Rÿ, = SR,

alors :

, 1 „ 1 p2 SR, D2 SR, O2

J ~ 3 + 4 n L 0 x2 +3ï?ï+3ï3

0 Z

1 32 3Jï.r 1
— • (116)

On trouve de la même manière :

O’Sfe D*9R¥

(117)

0 y 0 t dz dt
§ 125. Lorsqu’on veut calculer les forces (113), il faut mul-
tiplier par 4 ? t V2 e l’expression (116) et par ey ou e Ç la va-
leur de a. Or, les fonctions 501*, 50ly, seront en général
du même ordre de grandeur. En outre, lorsqu’il s’agit d’un
faisceau lumineux, elles seront périodiques par rapport au

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 491

temps, la période étant égale à la durée # d’une vibration, et
elles présenteront une variation considérable et même un
changement de signe si on passe d’un point à un autre qui
en est éloigné de la demi-longueur d’onde. Si la longueur
d’onde est représentée par X, l’amplitude par d et une quel-
conque des fonctions 3JL, 9JI* par 9)î, on aura

£!«• M m

dP ' ‘ o-2 ’

a (=)

l(=K(=) J •

Il en résulte que les derniers termes des expressions (113)
divisés par les premiers termes, sont de l’ordre:

d_

X *

Comme d est beaucoup plus petit que la longueur d’onde
on peut se borner aux termes 4 n F2 e /, etc. et écrire
pour les composantes de la force que la particule mobile
subit de la part de toutes les molécules qui se trouvent dans
l’espace r :

F2eM

[

0 x

H-

, a2 -HRy

d X d y
etc.

a «a»,

d X d Z

i

V2 dt2

§ 126. Soient

9 o> K, (x q, Pq} Yo

les composantes du déplacement diélectrique et de la force
magnétique qui existent indépendamment des molécules in-
cluses dans la surface a. Les équations (85) démontrent que
les rapports

ao Po etc

J 0 JO

sont de l’ordre V, ce qui donne lieu à la même simplification
que j’ai fait connaître au paragraphe précédent. Je prendrai
donc pour les composantes de la force qui est due à cet état
de l’éther:

4 TT F2 ef0 , 4 n V2 e g0 , 4 n V2 e h0 (119)

Archives Néerlandaises, T. XXV. 33

492

H. A. LORENTZ.

§ 127. Je représente par mV, m'y, m'z les valeurs, au mo-
ment t, des moments électriques d’une des molécules M' qui
se trouvent à l’intérieur de la sphère B , et par (m7*), (m'y), (m'«)

T

ces mêmes moments, à l’instant t y ’ r étant distance

au centre (x, y, z) de la sphère.

Si, dans la formule (109), on remplace m'*, m'y, m'* par
(m'*), (m'y), (mV), on obtiendra la première composante du dépla-
cement diélectrique que cette molécule M produit à l’intérieur
de M.

Mais :

, v r dm x

(m'*) — m'x — y- "h • • • » etc.,

d’ où l’on tire :

en omettant des termes de l’ordre

1 d 2 m x

V2r d t 2

On s’assure facilement que ces derniers termes donnent lieu
à une partie de la force

4 n V2 e f

qui peut être négligée par rapport au premier terme de l’expres-
sion (118) et qu’on peut également laisser de côté les forces
eivr—ZP), etc.
produites par les molécules M\

Ces molécules intérieures à la sphère B exercent donc une
force dont la première composante a la valeur:

ji

L r0 x- \ r J y D xd y

Cette somme a la même forme que l’expression

eX

que nous avons rencontrée dans le calcul du pouvoir induc-

teur spécifique. Elle sera même égale à e si, dans les deux
cas, M», M,, M, ont les mêmes valeurs. En effet, l’expression

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 493

(120) nous fait voir que des molécules très rapprochées les
unes des autres agissent mutuellement, comme elles le feraient
s’il y avait équilibre électrique. Les variations irrégulières de
rrn, my, nu sont donc les mêmes dans les deux problèmes.

Équations du mouvement d’une particule .

§ 128. La force totale qui agit sur une particule mobile se
trouve entièrement déterminée parles expressions (111), (112),
(118), (119) et (120). Elle doit être égale au produit de l’accé-
lération de la particule par sa masse m.

La première équation du mouvement est donc:

m f = — fx — j— 4 tt

/

V2 £ | Q0(odr y - ï g-7 r V- e Mr

V2e

B

1

V* T W J

d Xd y d xd Z

4- 4 n V2 e fQ H- e 36' (121)

Pour la simplifier, je fais remarquer d’abord que les termes
e1 •• 4

yr-l et -g- tt V2 e M.?

sont du même ordre de grandeur que les expressions

et V'eNm.

Le rapport de ces dernières est

Nd- 3 V\

ce qui représente le nombre des molécules qui se trouvent dans
un cube ayant pour côté la longueur d’onde. Le terme

peut donc être négligé.
Je poserai encore :

m — 4 n V2 J qq ü) d

33*

494

H. A. LORENTZ.

je prendrai les valeurs moyennes (§ 95) de tous les termes,
je diviserai par e V et j’introduirai la valeur de 3£' (§106) et la
constante q (§ 107). Tout ceci nous fournit l’équation

— M, +

g

» îml _ y o2 ait.

Ne*1 V dt2 L O*2 dxdy~^~dxdz

— ~ÿï -^] + 4 nVfQ ... (122)

Propagation de la lumière.

§ 129. Voici, comment on peut déduire de cette formule
une équation différentielle contenant seulement M.r, My, M*.
Appliquons à tous les termes l’opération indiquée par le signe

1 32

F2 d t2 '

Alors, le dernier terme disparaît parce que fQ satisfait à
l’équation

1 02\

A_ T2 âî2) fo=0-

Pour les autres termes du second membre.

/ 1 a2\a»3K, / 1 3*\c- -Wy *

(A F>3(V îï1 ’ (A POlVîxDÿ’ e c'’

on peut écrire:

a2 / 1 a2 \ ™ a2 / 1 a2 x

a®2 \A F2 a i2/^* ’ a xZy \A F2 a <2J ^ ’ etc-

Mais, d’après la formule (115) et les deux autres qui lui sont
analogues ,

(

1

A 3Jtr = — 4 7T D Vi

)», = -!. H. + J(a-p£,) (*)*■

F2 0 t 2

Grâce à la signification de Mr (§ 124) et en vertu de
formule (107), la fonction

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 495

M*

r

jouit de la propriété exprimée par

Donc

(A - h = “ 4

et finalement :

(123)

Ne1 X D f2) (A

1 32 \
P 3<V

IVL— — 4tt

V

[

O2 M,
0*2

+

S2 0 2 M, __ 1_ 02 Mil

dxdy dxdz V 2 0 ^ 2 J

Il va sans dire qu’il y a deux équations de même forme
pour My et IVb.

Une quatrième relation peut être ajoutée à ces formules.
En effet, si on prend la somme de l’équation (122) et de
celles qui lui sont analogues, après les avoir différences
respectivement par rapport à x, y et z, on trouve, en ayant
égard à la relation

d/o , d 9 o , d h0 a

0 a? d y d z
et aux formules (123):

H~ 4 TT

x a2 \ (d Mr

IVe2 F a £2 / V 0 a?

-h

0 My
dy

0.

Si l’on veut que IVF, My, IVb soient des fonctions périodiques
ayant une période quelconque cette formule donne

0 M* 0 IVL 0 M, A

~ h ~ -h -x— = 0.

ex 0 y 0 z

Cela veut dire que les vibrations doivent être transversales.
§ 130. Supposons que les vibrations électriques dans les

496

H. A. LORENTZ.

molécules aient lieu dans la direction de 0 X et que les
moments électriques soient indépendants de x et de z. Alors,
l’équation (124) devient

/ 1 , x 3 2 \ / d 2 1 O2 \ __ 4 TT 0 2 IVL- ,

\q + "/Ve2 V 0 t1) \d y1 V1 3 t1) M' V d V* ' ' 1 ^

Si on pose :

2tt

WL = c cos

d-

(<-i)

W sera la vitesse de propagation des vibrations transversales.
En substituant dans la relation (125), on trouve

4 Tl2 X

in*vwq

~~ )

1

W2 — V2

et si on désigne par

l’indice de réfraction,
1

•1 4 7T2 X a IT

1~NlWWq + 4nVq

J

W

4 n2 x

ir^rw q

4 n

1

4 n'1 x

Ne2V &

r €L

§ 131. Ce résultat donne lieu aux conclusions suivantes:
a. Si la masse m des particules vibrantes, ou la quantité

— 4 n V2 J q0 ut d t 1 ), est si grande, que le terme

TC * X

N e2 V &2 q’

*) Il résulte de la valeur de w (§ 120) que — 4 n V2 J y0 w d r est

g 2 î

positif et du même ordre de grandeur que , où R est le rayon d’une

h

particule. Ce terme —4 7? I72 J oa w d i peut donc être négligé vis-

à-vis de m, lorsque la condition qui a été énoncée au paragraphe 88 se
trouve remplie.

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 497

tout en restant inférieur à l’unité, ait une valeur sensible, l’in-
dice de réfraction sera d’autant plus élevé que la durée des
vibrations est plus petite. On sait que, dans la théorie moderne
de la dispersion de la lumière, la masse des particules pondéra-
bles qui sont supposées prendre part aux vibrations lumineu-
ses joue un rôle important. J’ai fait remarquer '), il y a déjà
bien des années, que la théorie électromagnétique permet
une semblable explication.

b. Si la durée d’une oscillation est suffisamment longue,
on aura à peu près :

v* 2 = 1 + 4 n V q.

Or, le second membre n’est autre chose que le pouvoir
inducteur spécifique K (§ 108) et on revient à la relation, établie
par Maxwell ,

— K.

c. En supposant que le facteur s qui entre dans q (§ 107)
peut être négligé, on trouve que, quelles que soient les valeurs
de # et de x, l’expression

v2 — l
v2 + 2

doit être proportionnelle à la densité du diélectrique. C’est la
loi que j’ai fait connaître dans le mémoire cité et qui a été
établie aussi par M. Lorenz 2) de Copenhague. Elle ne s’ac-
corde pas parfaitement avec les expériences, mais il n’y a en
cela rien qui doive nous étonner. Non seulement la quantité
s peut être différente de 0, mais il est très probable que les
propriétés des molécules elles-mêmes sont modifiées par une
dilatation ou une compression. Ce sont précisément ces chan-
gements sur lesquels on pourra apprendre quelque chose en
étudiant les variations de l’expression

v 2 — 1
rT+~2 ‘

1) H. A. Lorentz, Verhandelingen der Akad.v. Wei. Amst., T. 18, 1878,
et Wied. Ann.. T. 9, p. 641, 1880.

2) L. Lorenz, Wied. Ann. T. 11, p. 70, 1880. Le mémoire original de
M. Lorenz parut en danois en 1869.

498

H. A. LORENTZ.

CHAPITRE VIL

Propagation de la lumière dans un diélectrique
pondérable qui se trouve en mouvement.

Equations fondamentales.

§ 182. Je supposerai dans ce chapitre que toutes les mo-
lécules du diélectrique sont animées d’une même vitesse de
translation parallèle à l’axe des x et indépendante du temps.
Je désignerai par p cette vitesse et tout en conservant pour
le moment les axes immobiles O X, O Y et O Z, j’introduirai
des axes nouveaux qui sont fixement liés à la matière pon-
dérable.

Le premier de ces axes coïncidera avec O X ; les deux
autres seront parallèles à O Y et à, O Z et coïncideront avec ces
axes au moment ^ = 0. Par conséquent, les nouvelles coordon-
nées seront

(x) = x—pt, (y) = y, (z) = z.

Toute fonction cp qui dépend de x, y, z et t peut également
être exprimée en (x), (y), (z) et t. J’employerai les signes :

(126)

0 0 _0_ _0_

Jx ’ Oy ’ Tz’ dt

si je veux me placer au premier point de vue et les signes:

0 0 0 0
0 (x) ’ 0(y)’ 0(Z)’ d(t) •
dans le second cas.

On voit facilement que

(127)

3 _ 3 3 _ 3 3 _ 3

3 x ~ 3 (*) ’ 3 y ~~ 3 (y) ' dz~d(z)’

mais

_0^ __ J) _0_

3 t ~~ 3 (t) P d(x) '

§ 133. Dans les équations (II) — (V) on peut introduire les
dérivées (127) au lieu des dérivées (126). Après avoir effectué
cette transformation je supprimerai les axes -fixes, je désignerai

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 499

par x , y , z les coordonnées prises par rapport aux axes mobiles

. . . o 3 o o .

et 1 écrirai — — , , -r— , — — pour ce qui a ete repre-

J dx d y ’ dz ’ 0 t F 1 F

senté provisoirement par les signes (127). Enfin, j’entendrai

par (|, y, Ç) non pas la vitesse absolue d’une particule chargée,

mais sa vitesse relative par rapport à la matière pondérable,

de sorte que les composantes de la vitesse absolue deviennent

£ -h p, y et £.

Cela posé, les équations fondamentales prennent la forme
suivante :

X = 4 7T V2 J Q f d T ~h 7] J O y d T £ J Q P d T,

T = 47i V2 J q g d t - h £ j (j c< d r — (£ -h p) J q y d ^ . (T

Z = 4 n V2 J q hdr (J -bp) J q p d t — y J y a

’* -

0 a?

0 Zi

d y ' d Z ^

0 a
0 X

3J

3 y

^ = 0
0 Z

(IT)

(III)

lr_

dy

-*!
0 Z

=

4 7T |

:<>(? + .

P) + (:

D 3 ’

) < P 3æ

Ki

0 a

_0_/

(

( °

3 \

i f

. 0 Z

0 #

4 7T j

| 5Ï +

\1>7 “

"P 3V)

4(

dJ_

0 a

? ? +

/ ^

3 \

h J , !

0 X

0 y

—

4"|

\07 "

'P ôï)

4 7T

F2

= (’

3 \

— v ^ — )

«, \

\0 2

3 y/

\3 t

^ 0#/

J

4 7T

V2 |

-3-T)

= (' *

3 \

— V t* 1

P, 1

\0 Æ

dz)

F dx )

i

4 7T

F2

(1/

V>y

*9)

dx>

= (-

V 3.<

-»*■)

\

y- i

(V')

§ 1 34. Tant que les particules chargées n’ont d’autre mou-
vement que la vitesse commune de la matière pondérable on

500

H. A. LORUNTZ.

aura ^ = 17 =: Ç = 0 et la densité dans un point (x, y , z) sera
indépendante de t. Il n’en sera plus ainsi lorsque les molé-
cules sont le siège des vibrations électriques dont je me pro-
pose d’examiner la propagation.

Dans cet examen je suivrai pas à pas la voie qui a été tra-
cée dans le chapitre précédent. Seulement, comme la méthode
et les hypothèses resteront les mêmes, je pourrai m’exprimer
plus concisément.

Remarquons encore que si, dans cette étude, il est question
d’un point ou d’une surface immobile, cela signifiera: «im-
mobile par rapport aux axes”, ou, ce qui revient au même,
„par rapport à la matière pondérable”. Pareillement, on en-
tendra par le déplacement (x, y, z) d’une particule le déplacement
qu’elle a subi relativement à cette matière.

Vibrations produites par une seule molécule.

§ 135. On trouvera d’abord, au lieu des équations (86) et (87) :

D9=viïj+(h-pL) 1 •• (128)

Q-t-p&) lpt1,

□ « = 4* .

□<»-4Wpjc^-(s+p)|îj

( / \ 0 Q 0 y) 1

Dy = An V> J (l+p) j *

Dans ces formules, ainsi que dans plusieurs autres qu’on
rencontrera plus loin, le signe □ est employé pour indiquer
l’opération

LA THÉO Kl K É L KCTROM AGN ÉTJ QU K DK MAXWELL.

501

F2a

(1,-4)’

§ 136. Portons dans les équations (128) et (129) les valeurs
(88) et (89), et supposons que x, y, z, g, ?/, g soient infiniment
petits. Comme x, y, z sont indépendants de x , ?/, z tandis que
qq est indépendant de t , on trouvera, après quelques transfor-
mations,

3 ((J , —

■S) . 3*(«oO

i04 (çox)

0 a?

+ 3 F

1 l dxdt

3 (e0 —

■S) Ï3*(fc>y)

0 °2 (<?o y)

dy

3F

Z dxdt 1

3 (go—

S) .3* («o»)

pg,(go»)

0 2

+ “3F "

p dx dt ’

□ / = (F2— p2)

□ <7 = F*

□ A = F2

□ « = 4 tt P I | ,

j d Z d t d y d t \

□ (3 Z= 4 TT V2

i °2 (goZ) _ °2 feoX) _ „ d (go ~~ |

^ d xd t d Z d t

d Z j ’

□ „_4„ p(°*(eo») (go y) + „ 3 (g°.- j){
D/_1* K ( dyZt dx2t +p Zy )'

où l’on a posé, pour abréger,

5 teox) . 0 (Q0y) , d teoz)__ o

r H r H r — o.

o x d y c z

Introduisons maintenant quatre fonctions auxiliaires qui
satisfont aux conditions:

□ <» = eQ> G30)

□ l\ = Qo x> □Z2=:?o y> □ Xs = Qo z- • • • G31)

et soit

3 Xi + + ^JCi _ g,

0 i» 0 ^ 0 2

(132)

On aura alors:

502

H. A. LORENTZ.

f=(V2-p2)

*(<

h—V2

($ =■ 4 7T V2

— 4nV

’-S') A'x> A

) X

2t 2 r

d (co —

«') . 3’x»

2y

3 t2

d .(co —

S') , ^ X*

d Z

dt2

A* u

1

1 d Zdt

dydt) ’

P’Xs

12x2 t

— — v

d Zd t ^

\*'X,

12 y 2 t

O2 1 ,

2x2t + P

*2X, .3&I

d xd t d t

d xd t

U — rxlll 3

P

0(c

d Xd t’

-s')i \

2z )
2 (co — S')j

(133)

(134)

ty t '

Comme la densité qq est indépendante du temps, l’équation
(130) peut être remplacée par

/

( V 2 -

p2)

d X‘

V2

(

d2

dj2

œ = Qo ... (135)

Du reste, les valeurs (133) et (134) satisfont à toutes les
équations (II') — (V').

§ 137. Je supposerai que, tant que la particule mobile P se
trouve dans sa position d’équilibre, la molécule entière dont
elle fait partie, ne fait naître, en des points éloignés, ni un
déplacement diélectrique, ni une force magnétique, et cela
même dans le cas, où cette molécule est animée de la vitesse p.
Alors, pour obtenir les valeurs de /, g , h, a, p, y dues à la
molécule entière et relatives à des points qui se trouvent à
quelque distance, il suffit de supprimer, dans les équations
(133) et (134), les termes qui dépendent de co. C’est ce qu’on
reconnaîtra par un raisonnement semblable à celui qu’on
trouve au paragraphe 115.

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 503

Théorèmes mathématiques qui serviront à déterminer
Xi> U et Xs-

§ 138. Je commencerai par chercher une solution de
l’équation

□ V» = 0, (136)

ou

V +V*diy-+V^-^+2 ^ — 0

3 y2 3 z2 4>*3 t 3 <2

(F2 — p2)

0 x-

0 s‘

A cet effet, j’introduirai d’abord au lieu de x une nouvelle
variable

V

X =

et je poserai

yi.

P

P

V^V'-p2

L’équation devient alors

F2 f3^ -Æ + p?~\ + 2 f V
Le) £2 0 y2 0 z- J

0 2 ip

diedt

^ =0.

0 *2

La fonction xp qui est regardée ici comme une fonction de
y, z et t peut aussi être considérée comme dépendant de

E, 2/, 2, et t' = t — yl.

Si on se place à ce nouveau point de vue, il faut remplacer
0 0 6 0
3£par 3Ë~ Vdt”

et enfin

3? Par ~2

_32

3J:

2 4 3

7/ +

F 3 j 3 t’ F2 3 <'2 ’

3 , 32 3 x 32

- et FF Par ü 6t s7ï>

dt dt
O2

dt'

O2

OçO*

par

0£0«' F0f!

504

H. A. LORENTZ.

On obtient ainsi

O2 ip D2 xp d2

V2

V 2 y , à2 xp d2 y-]

LTF a*»"] ~ 1 (1 + ° 57^ = °-

ou bien

(V2 — p2

d2 XfJ d2 \p 02î/;l O2

' L d r2

0 y2

diri d V — Q

0z2J d tf 2

Cette équation a la même forme que la formule (107); elle
admet donc la solution

*/'

= - F ( V - — \

X \ \/ y ‘2 — p2 J

dans laquelle F est une fonction quelconque et

r = i - v

Il en résulte que

y2 H- z2

= 1A7

V2—p‘

x2+y2+z2..{ 137)

F

f (t —

r V V^F2 — p2 J

est une solution de l’équation (136).

On obtient une solution plus générale si on remplace x, y,
z par x — x\ y — y\ z — z', x, y ', z' étant les coordonnées
d’un point fixe. Cette nouvelle solution peut être mise sous
la forme :

t + * (x — x ')'

X V l^F2 — p2 )

\^V2 —p

si l’on attribue à r la signification suivante :

(138)

r

V 2

— x')

-b (y — y'Y 4- (z — z)2 ..(139)

§ 139. La fonction (138), analogue à la fonction

du chapitre précédent, jouera un rôle important dans la thé-
orie que nous allons développer. En effet, elle est propre à
représenter la propagation dans l’éther d’un ébranlement qui

LA THEO RI B ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 505

part d’un centre unique (x, y, z). Les particularités de ce
mouvement se réfléchiront dans la forme de la fonction F et
le lieu géométrique des points (x, y, z) où cette dernière a une
valeur déterminée peut recevoir le nom de ^surface d’onde”.
Or, l’équation

X H- * ( x — x') = const.

représente une sphère dont, si R est le rayon, le centre est

situé au point (x' — ^ R, y, z ^ . Un ébranlement émis au

moment tQ par un point P de la matière pondérable et se
propageant dans l’éther, aura atteint, à un moment postérieur
quelconque £, la surface d’une sphère, ayant pour rayon V (t — tQ)
et pour centre le point de l’éther qui coïncida avec le point
P à l’instant tQ. C’est un résultat auquel on aurait pu s’attendre.

Dans les paragraphes suivants on trouvera des formules
plus compliquées et applicables aux cas où la source des vi-
brations a une certaine étendue.

§ 140. Soient:

t un certain espace qui se déplace avec la matière pondé-
rable et dont par conséquent chaque point a des coordonnées
x\ y\ z' constantes,

d t un élément de volume situé au point (x\ y\ z'),

F (t, x', y\ z ') une fonction finie et continue.

D’après ce qui précède, la fonction

satisfera à l’équation (136) et, si le point (x,y,z) est situé à

Mais, lorsque (x, y} z) est un point intérieur, on n’aura plus

C’est ce que nous allons démontrer, en entendant toujours

l’extérieur de l’espace r', il en sera de même de l’intégrale

par J la limite de l’intégrale J (voir le paragraphe 116).

506

H. A. LORENTZ.

§ 141. En appliquant la formule générale (104) on trouve
d’abord :

H-= - [t fr'O « ')«] +

Pour calculer la limite on peut, dans le premier terme, rem-
placer F par F [t, x , y , z). Ce terme devient par conséquent :

F(t, x, y, *)[i f*-=£db],

ce qui s’annule à la limite. Donc

lJ — ( ) — F (t — r + f ~ , x', y', z'V dr' . (140)

dx JZxlx \ xy'Yi — pi )\

Appliquons de nouveau la formule (104) en y substituant
cette fois* ci

U

= ~ ' - F (t — l+ii? Û, x', y', A

2xt x \ l/Vt-p* J

Si, pour abréger, la fonction qu’on trouve dans les deux
dernières formules est indiquée par F, il vient:

D=- Lim [jjV-*) D-r(^)d6] +

+/&(J)dr =

— — Fil, *,y, s) Lim [y/f1' — +

+I&G)" <“»

On a pareillement

l~f> = - F ft ». ». !> Li“> [7/ V — ») 4(t) d6] +

. O2 y

et une équation de la même forme pour - — J . En outre :

d Z 2

LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL 507

H=tè(4)"

et, en vertu de la formule (140),

= (TW

d xd t J D X d t \X J

Substituons toutes ces valeurs dans l’expression

□ X=(F2 P1) ^

Z _i_ 17^2 _ X

Oæ2 ^ O^/2

O2

â~a?D < dt2

32 V 3^J

bz2

0 ~ y 02y

2P^h~*i I-

Comme on a

□

(0 =»•

et, à la surface sphérique,

— z, -A (I) + F. (»'-!/> A (A)
+ F'</-!>â(7) = r’F>-

on obtient

□ x = — F2 *. y, z). Lim J\- f ~J =

— — 4n Fl^F2 - pxF(t,x,y,z).

11 en résulte que la fonction

l —

1 fl ri(j t -h £ [x — a; ) , , A , ,

- - - -Fp , x .y ,z\dr

'V* — p2JV ' l^V2 — p2 /

4tt y v^y* _ F

a la propriété exprimée par

□ X = F (<, *, y, 2).

Archives Néerlandaises, T. XXV.

34

508

H. A. LORENTZ.

Détermination de %lf /2, et de f, g, h , «, /5, /.

§ 142. Employons les mêmes notations qu’au commencement
du paragraphe 119, avec cette différence, cependant, que nous
entendons maintenant par (x, y, z) le déplacement de 1a, par-
ticule à l’instant

f t e (x — x')

l /'F2 — p2~ ’

x\ y\ z' étant les coordonnées du point B et x étant défini
par la formule (139).

Alors, si on pose

L = 4 TT Fl/'F* — p2 , (142)

on aura, au lieu des formules (108),

1 1

J_ f _£o*

LJ r

dr’.x-. =

J f QoJ

LJ x

X 3

_L

7Ji r

d r

(143)

Lorsqu’il s’agit de l’effet qu’une molécule produit à quelque
distance, il est de nouveau permis de regarder t, x, y et z
comme ayant les mêmes valeurs dans tous les éléments. Les
intégrales peuvent par conséquent être calculées de la même
manière qu’au paragraphe 119. En substituant dans les équa-
tions (133) et (134), après y avoir omis les termes dépendant
de o>, et en posant

3 /mV\ d /mV\
d x \ x / dy \ x J

on trouve, au lieu des équations (109) et (110),

V*—p*dS" 1 D* /m'A D2 /m'A
L dx Ldt2 V X ) ^Lfdxdt V X )

— Y1 dJ?l _ _L il f . £_

9 L dy Ldt2\x)+L dxdt \X )’

, F2 d_S" _ _1_ d^ /mA p d^_ / mA

L dz Ldt* \x J+L dxdt V r )’

d_S"(
3 t \

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 509

__ 4 7T V2 \ D2 d2 /mV\ )

U L }dydt\X ) DzO^Y^/-’

_ 4 TT F2 ^ O2 / m V\ D2 / m A 0 S" j

? ~ L I 2z0t \X J 0 xZt \x ) P dz \ ’

_ 4 jt F2 ^ O2 /m'A S2 /m'A d S" )

7 ~~ L \dxdt\x) dySt\x)+Pdy\'

Ici, m Y, m y et mY désignent les moments électriques de la
molécule agissante, à l’instant

V -h * (# — x')

a', y, z étant les coordonnées du point où elle se trouve et
t étant toujours défini par la formule (139).

Du reste, les équations obtenues ont encore lieu lorsque l’am-
plitude des vibrations surpasse le diamètre de la particule
mobile (voir la Note additionnelle).

.(146)

Valeur de la force qui est produite par la moléculq
elle-même dont la particule considérée
fait partie.

§ 143. Pour trouver, comme au paragraphe 120, la réaction
de l’éther sur la particule vibrante, il faut, au moyen des
équations (133), (134) et (143), calculer les valeurs de /, g, h,
«, p, y à l’intérieur de la particule elle-même, pour les porter
ensuite dans les équations (P) (§133). Dans les formules (143),
x, y et z représentent les déplacements au moment

/ _ * + * (a — aQ _ / t p (x — x') _

V2 — p- ' l^V2 — p* T2— P2 ’
ces lettres x, y, z doivent donc être remplacées par

x

X • p(x — x') •

— x — ir x , etc.,

V^J72__p2 F2— p2 ’ ’

si l’on veut entendre par x, y, z, x, y, z les valeurs relatives
au temps t.

34*

510

H. A. LORENTZ.

On trouve ainsi:

.=-1/

Q-° d t' H x

r L\y 72 _ v-

P

L (F2

/

go (*~ *')

d

etc.

Quant à la fonction a>, qui est déterminée parla condition
(135), elle peut être représentée par

=-1/

^dr'.

ï

§ 144. C’est ici le lieu d’introduire une simplification qui
nous sera très utile dans tout ce qui suit. Elle consiste à
regarder la vitesse p de la matière pondérable comme si petite,
en comparaison de la vitesse de la lumière, que le carré de

0T)

peut être négligé. Cela nous permet d’écrire V 2 au lieu de

V 2 — p2, r ou ^ (x — x'Y -h (y — y')2-4-(z — z')2 au lieu det,
et 4 n V2 au lieu de L , ce qui nous donne

Xi =

X

4 ttV2

f^dr'-h

J r

x e

4lTFT

px f

4 TT F4 J

£0 ^n^ldr’,

r

etc.

CO “

1

4VW

Après avoir effectué les substitutions nécessaires, entre les-
quelles je citerai encore la substitution (88), et après avoir
supprimé tous les termes en p2, on remarquera dans les ex-
pressions pour les composantes de la force dont il s’agit
maintenant deux groupes de termes, les uns indépendants de
p, et les autres en contenant la première puissance. Je vais
démontrer que ces derniers termes s’annulent et que, par
conséquent, les composantes cherchées ont les mêmes valeurs
que dans le cas où le diélectrique ne se déplace pas, c’est-à-
dire les valeurs (111).

Cette démonstration repose sur un théorème général, qui fera
l’objet des paragraphes suivants. Préalablement, je fais encore

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 511

observer que tous les termes qui contiennent la première
puissance de p renferment également un des facteurs x, y,
z, x, etc. En effet, dans les formules (133) et (134), il n’y a
que la fonction œ qui soit indépendante du mouvement vi-
bratoire ; mais dans les fonctions /, g, h les dérivées de cette
fonction ne sont pas multipliées par p , et bien qu’elles le
soient dans les expressions pour fi et /, ces dernières se trouvent
multipliées, dans les formules (!') (§133), soit par une des vu
tesses x, ÿ, z, soit par la vitesse p elle-même.

Du reste, nous ne ferons aucune attention aux termes dans
lesquels p est multiplié par un carré comme x2, ou par un
produit comme x y, parce que x, y, z, x, etc. sont toujours
regardés comme infiniment petits.

§ 145. Concevons un système de particules chargées qui se
déplacent au sein de l’éther en excitant dans ce milieu des
mouvements électriques, conformément aux équations (II) —
(V) (§ 90). Soit E un plan fixe et imaginons un second
système, composé de particules chargées et d’éther, et dont l’état
est relié à celui du premier système de la manière suivante :

Si P et P' sont deux points, l’un dans le premier système
et l’autre dans le second, et qui sont symétriquement situés
de part et d’autre du plan E, on trouvera dans ces points,
à tout moment,

a. la même valeur de q;

b. des vitesses (5, rj, £) et (£', rj\ £') qui sont l’image l’une de
l’autre ;

c. des déplacements diélectriques D et D entre lesquels il
y a la même relation;

d. de telles forces magnétiques H et H' que la seconde est
égale et opposée à l’image de la première.

Le nouveau système qui se trouve ainsi défini, satisfera,
aussi bien que le premier système, aux équations (II) — (V).

Pour s’en assurer, on peut rapporter les deux systèmes à
des axes des coordonnées de la même direction et supposer
que le plan E soit perpendiculaire à l’axe O X.

512

H. A. LOKENTZ.

Alors, les variables f, g , h , «, |î, /,

0 #

etc , qui ont toutes

la propriété de présenter les mêmes valeurs absolues en P et
P peuvent être rangées en deux groupes, le premier contenant
les quantités qui, en P et en P', ont le même signe, et le
second étant composé de celles qui y ont des signes contraires.

Au premier groupe appartiennent, par exemple, g,h,^ , f ,

u OC 0 X

et au second groupe/, \ et 3. On verra facilement, et

c’est là le point essentiel, que tous les termes qui sont réunis
dans une même équation font partie d’un même groupe.
Voilà pourquoi les équations ne cessent pas d’être satisfaites
si on passe du point P au point P'.

§ 146. Si, comme il a été dit plus haut, on trouve toujours,
en des points correspondants, des valeurs égales de £, cela
implique évidemment que les systèmes de particules dont il
s’agit dans les deux cas présentent entre eux la relation qui
existe entre un objet et son image. Cependant, nous avons
seulement démontré que, lorsque le mouvement supposé pour
le premier système peut réellement exister, il en sera de même
du second mouvement, en tant que ce dernier satisfait aux
équations du mouvement de l’éther. Il y faut ajouter la con-
dition que des forces convenablement choisies doivent être
appliquées aux particules chargées elles-mêmes.

Or, il résulte des équations (I) (§ 90) que le vecteur qui re-
présente la force exercée par l’éther sur une particule du second
système est, à tout moment, l’image de la force qui agit sur la
particule correspondante du premier système. En eâet, si l’on s’en
tient à la direction choisie pour le plan P, on verra facilement
que tous les termes dont se compose X changent de signe
quand on passe du premier au second mouvement, mais que les
signes dans les expressions pour T et Z ne changent pas.

§ 147. L’application de ces considérations au problème qui
nous occupe est bien simple. Si, dans le premier système, une

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 513

particule est animée à la fois d’une vitesse de translation p
et d’une vibration dans laquelle le déplacement est (*, y, z)j
la particule correspondante du second système aura une vitesse
qui est l’image de p et un écartement qui est celle de (x, y, z).
En vertu de notre théorème, on peut affirmer que les forces
que les deux particules éprouvent de la part de l’éther sont
également symétriques par rapport au plan E.

Dans le cas où ce plan est perpendiculaire à 0 X, chacune
des quantités y, z, y, z, etc. sera, dans les deux systèmes,
affectée du même signe, mais le contraire aura lieu pour p , x, x,
etc. Il faut que la composante X se trouve dans le dernier
cas , l’expression par laquelle elle est représentée ne peut donc
contenir aucun des produits px, px, etc.

En appliquant un raisonnement de la même nature aux
composantes T et Z, et en supposant que le plan E soit per-
pendiculaire à O F ou 0^, on achèvera de démontrer ce qui
a été avancé au paragraphe 144.

Du reste, dans la Note additionnelle, je donnerai un examen
plus général de la réaction de l’éther sur une particule vibrante.

§ 148. J’admettrai encore que la force aux composantes

-K — f y, -f«,

qui est exercée (§ 121) sur la particule vibrante par les autres
particules de la même molécule, est également indépendante
de la translation de la matière pondérable. C’est une hypothèse
que nous ne saurions justifier, puisque nous regardons comme
entièrement inconnu le mécanisme qui produit ces forces in-
térieures. Tout au plus, on pourrait faire voir que le chan-

gement apporté par la translation est de l’ordre si les for-

ces peuvent être représentées, en deux systèmes correspondants
(§ 145), par des vecteurs qui sont l’image l’un de l’autre.

514

H. A. LORENTZ.

Détermination de la force totale qui agit sur une
particule vibrante.

§ 149. En reprenant les questions dont nous nous sommes
occupés à partir du paragraphe 122, je commencerai par la
force qui est due aux molécules extérieures à la sphère B.
Soient, de nouveau, x , y , z les coordonnées du centre, où se
trouve la molécule M contenant la particule P et ayant le
moment électrique (mr, l%, m*), D r' un élément de volume
situé au point (x\ y\ z) extérieur à la sphère, X la fonction
(139), M'.r, MV, M* les composantes du moment électrique
rapportées à l’unité de volume et relatives au point (#', y', z)
et à Finstant

t X t (x — x')

y^v1 — pn-

Cela posé, on aura les valeurs de /, g, hi «, et y que
Félément D r seul produit au centre de la sphère, si on
remplace, dans les formules (144), (145) et (146), m'*, m y, m*
par M'r-Df, M'y D r, M z D r et une intégration sur l’espace
extérieur à la sphère nous fera connaître les valeurs de /, g, h ,
«, p, y qui sont produites par toutes les molécules de cet
espace. Si, dans les coefficients, on écrit V2 au lieu de F2 — p2
et 4 n V2 au lieu de L, et si on pose

_D_ /IVFA
dx V t J

dy\ X J dz\X )

— S"

)

on trouve :

f — 1 [ 1 2 ( !ÜL?\

J ~~ 4 J L dx F2 dt2 \ r J

_ 1 f p)Sw JL Jf/M A
9 ~4j [ ?;/ “ V2 3 t2\ v )

/,—A.îPJl JL

4t t) L 3 z V2 3<2 v r )

JM 3*
V2ldxd't
p d2
V 2 dxdt
p d2
+ Fî3"æ3 1

D,

i

\

(147)

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 515

0

D2

dzdt

p J t0z2( V r J dx2t

— /T 02 f“V\

7 —J i0x2(\ t )

0 y d t

D

Dr'.

..(148)

§ 150. Soit, pour simplifier,

3K* = f-D r', m,=f^ Dr, 9JÏ* = f~D r;

ces intégrales, qui se rapportent à l’espace extérieur à la
sphère B et dans lesquelles M'*, M'y, M'* sont toujours les
valeurs des moments électriques au moment

t -H c (x — x')

t "

V^F2 — p2
seront des fonctions de x, y, z et t.
Ecrivons, pour un moment,

M i = F (t, x, y, «)>

et, par conséquent,

M

’*= F (

X + * (x — x')
t ■ ■ — , y

I ^v2 — p‘

L’intégrale 3JL devient par cela analogue à l’intégrale / du
paragraphe 140 et on trouve

3 = ( — ( — \ D r

d x J 2x \ r /

et

a5 3R,

d X2

jff(x' - x)y-x (I)W^(tK • • ■ (149)

Il est vrai que le rayon R de la sphère B n’est pas infini-
ment petit, comme l’était celui de la sphère b du paragraphe
116, mais il a été supposé si petit qu’on peut, à la surface
B , remplacer M ^ par M*.

En négligeant des termes de l’ordre p2, on peut, dans la
première intégrale, remplacer V par la distance r, ce qui nous
donne :

516

H. A. LORENTZ.

a»,

d X2

Pareillement :

etc.

Enfin

22m,___[ o2 /ivpa

d Xd y J d Xd y \ X ) T

32 % f 32 /M'A n ,

T^ = Jop{tJ Dt’

32 3R, r j>»_ /M' A „ ,
a^a* ~) dxdt \ x ) Vt'

etc.

§ 151. Ces relations conduisent à écrire, au lieu des expres-
sions (147) et (148),

f=-*r +

A = g «IL- +

rai

1 p 1

[ a2

3R, 3 2-

11

LTâT

y> 3(» + F2 |

f 3 35 0 i 0 i

. J 1

r 3 2' 1 3 2 3Ry

+-

P 32S«A

|

4 7T |

La y F2 0 t2

P 3 x 3 i J

1 ’

_L i

r 3 2 1 32$l*

_4_

P 322K,]

|

4 7T |

La» F* a t2

P 3 x 3 t J

1 ’

a

_ 32 3JL o23Ry

d y d t d zd t

a _322)î.

32 % 3 2

-r -

* 2 z2 t

2 x2 t 2 3 *

_ 323«y

3 2 art . 3 2

r 2x2 1

dydt~^^dy ’

ou

„ agit o art

2= -r h J-

a x a y

a 2

§ 152. Il nous reste à porter ces valeurs dans les équations
(P) (§ 133), qu’on peut préalablement simplifier en regardant
/ , g , h , a, /5, / comme constants à l’intérieur de la particule

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 517

P. Les composantes de la force exercée par la partie du diélec-
trique qui se trouve au dehors de la sphère B deviennent
ainsi

d nu

ï,= 4.1 '' >1 > -TÎ !■

d nu

dt

Y , — 4 n V2 eg H- « ~jt 7 — VeYt

Z , = 4 n V 2 eh +

d m

d nu
dt
d my

. . . (150)

pep.

(=) jî ’ etc-

d t dt

Avant d’effectuer les substitutions (§ 153), j’appellerai l’at-
tention sur l’ordre de grandeur des différents termes. Confor-
mément à ce qui a été dit au paragraphe 125, on a

m

X2 ’

De plus:

/L(=) V&.

Donc, si on désigne par les parties des six fonc-

tions qui ne contiennent pas le facteur p et par /2 ...... y2

celles où il se trouve,

fi i—^di (=)^2 (=) 4 ~~ÿî ’

m

“.(=)!». (=)M=)

Pi (=)/i (=)PÿT5ï-

Passons rapidement en revue les termes qui paraissent dans
les expressions pour X , » Y , , Z , .

a. Les produits 4 n V2 e 4 n V2 egx et 4 tt V2 eh1 con-
tiennent des parties qui sont du même ordre de grandeur que
e_m
&2

à l lîiy . . e ô

~dT "fl7 9

b. Comme

518

H. A. LORENTZ.

les termes de la forme

d

~dt y

sont comparables à

V tf3

ils peuvent donc être négligés en présence des produits pré-
cités, et cela parce que l’amplitude <5 est beaucoup plus petite
que la longueur d’onde & V.

c Les expressions 4 n V 2 ef.î} etc. sont de l’ordre:

p e 3)î

(151)

Ces termes devront être conservés, parce que ce sont eux
qui détermineront l’influence de la translation du diélectrique.

d. Au contraire, on peut omettre toutes les quantités de la
forme

en effet, on obtient une idée de leur grandeur au moyen de
l’expression

p e Ô 3Ji

qui est très petite en comparaison de la fraction (151).

e. Les termes peyx et peftx doivent être retenus, parce
qu’ils sont de l’ordre

pe 3JÎ
V&2

et, par suite, comparables aux termes que nous avons nom-
més en troisième lieu.

/. Enfin, on peut naturellement négliger

pey2 et pe/S2,
ces produits étant proportionnels à p2.

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 519

§ 153. Voici maintenant le résultat final des substitutions:

V2

t n F2 M

O

V2 M

+ F

F2

d 2

0 .r

0 2

Zy

3 2'
0 z

02Wr

ot2

om,

3 t2~

329ftz

s»*aw,

p(dxdt

i

TT \

]

•+• P

P~*

d2<m*

dy dt

a»SR,

X, = e [|tt F2 M.,

Y [

Z, = e . .... .. dz 3<2 .^3z3i

Il importe de signaler l’origine différente des deux termes
4 n V 2 eg 2 et — pey, qui, par leur combinaison, ont produit

le terme p e ^ . Le premier provient de ce que le dépla-

cement diélectrique qui est excité par les particules vibrantes
est modifié par la translation p. Le second est simplement la
force que la particule e subit en vertu de son mouvement,
avec la vitesse p , à travers le champ magnétique que les
vibrations ont fait naître. Des remarques analogues s’appli-
quent au terme p e dans l’expression pour Z , .

§ 154. Représentons, comme au paragraphe 126, par
/o» 9oi K Po’ y o

les composantes du déplacement diélectrique et de la force
magnétique qui sont produits par des causes extérieures au
corps considéré. A ces composantes correspondra une force,
agissant sur la particule P et ayant, d’après les formules (F),
les composantes

4 7r V2 e fQ, 4 n V2 e gQ — p e yD, 4 n V1 e hQ -h p e pQ. . . (152)
Pour la raison qui a été alléguée au paragraphe 126, nous
avons omis ici les termes de la forme

dl(\y
dt /o'

§ 155. Pour compléter cet examen de la force qui agit sur
une particule vibrante, nous avons encore à étudier l’action
des molécules qui sont incluses dans la sphère B. Les com-
posantes de cette force seront de nouveau indiquées pare 36',

520

H. A. LORENTZ,

e 2)y> e â'î leurs valeurs moyennes, les seules dont nous aurons
besoin, seront déterminées — du moins dans un diélectrique
donné — dès que l’on connaît pour chaque instant les valeurs
de Mc, M y, M* au point considéré (x, y, z). En effet, la sphère
B est très petite par rapport à la longueur d’onde ; on peut
donc faire abstraction du changement que subissent M^, My, M~~
quand on passe d’un point à l’autre

C’est ainsi que, pour un milieu immobile, on pourrait écrire
(§§ 127 et 106):

e 3E' = iM/, e = 4 Mi/, e 3 ' = A M* (153)

A étant une constante, dont la valeur n’aura du reste aucune
importance pour ce qui suivra.

Quelle est maintenant l’influence de la translation imprimée
au diélectrique? Elle pourra donner lieu à des termes qu’il
faut ajouter aux composantes (153), et qui forment des séries
ordonnées suivant les puissances ascendantes de la vitesse p.
Nous nous bornerons aux termes du premier degré.

Un coup d’œil sur les formules (I'), (145) et (146) suffit
pour comprendre que tous les termes dont il s’agit doivent

être des fonctions linéaires de M*, M?/,

etc. Si donc

d M

nous désignons par (M./) une fonction linéaire de M^, ,

etc., en attachant un sens analogue aux signes (My) et (MU, on
aura, au lieu des composantes (153):

« X' = AHL+p j (M,), +(My), +(M*), | , j

e 2) = A My -h p | (M,)2 h- (M,)t 4- (M*)2 j , | . (154)

e 3' = A M* 4- p | (M^) 3 4- (My)3 4- (Ms)3 [ .

Or, dans le cas d’un diélectrique homogène et isotrope, tous
les termes en p doivent s’annuler. C’est ce que nous démon-
trerons dans les deux paragraphes suivants; après cela, nous
reviendrons à l’étude du piouvement des particules (§ 158).

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 521

§ 156. Pour arriver à la simplification que je viens d’indi-
quer, on peut se servir d’un raisonnement analogue à
celui qu’on trouve dans les paragraphes 145 et 146. Après avoir
choisi un plan fixe E , on peut concevoir un système N' qui soit
à tout moment l’image exacte du diélectrique considéré N, et cela,
non seulement en ce qui concerne l’état de l’éther et la dis-
tribution des particules chargées, mais aussi en ce qui regarde
les autres parties constituantes de la matière pondérable; en
effet, nous nous figurerons qu’à chaque point matériel du
premier système corresponde, dans le second, un point qui
est doué des mêmes propriétés. Nous avons déjà vu que le
nouveau mouvement est compatible avec les équations (II) — -
(V). Ajoutons maintenant que, si le premier système satisfait
aux équations qui déterminent le déplacement des particules
chargées, il en sera de même du second corps. La raison en
est que non seulement les vecteurs qui, dans les deux corps,
représentent les accélérations des particules, mais aussi ceux
qui indiquent les forces, s’accordent entre eux comme des
objets et des images correspondantes. C’est ce qui a été dé-
montré au paragraphe 146 pour les forces qui sont exercées
par l’éther; et il est naturel d’admettre la même chose pour
celles qui sont en jeu à l’intérieur de molécules correspon-
dantes.

§ 157. Un corps amorphe et parfaitement isotrope est
tellement constitué qu’il possède les mêmes propriétés qu’un
corps qui en serait l’image; du moins, il en sera ainsi tant
qu’on se borne aux phénomènes dépendant d’un grand nombre
de molécules. On pourra donc prendre pour N' un corps qui
est absolument identique à N et qui est orienté de la même
manière, et non pas en sens inverse ; dans ces deux corps, il
pourra toujours exister des mouvements qui sont l’image
l’un de l’autre en ce qui regarde Mr, IVb et les forces
moyennes agissant sur les particules.

Je rapporterai les corps N et N' à un même système de
coordonnées, et je supposerai, en premier lieu, que le plan E

522

H. A. LORENTZ.

soit perpendiculaire à l’axe des x. Alors, les quantités M/y et
IVb auront, en deux points correspondants, les mêmes valeurs
et les mêmes signes, mais IVL et p (la translation étant tou-
jours dirigée suivant 0 X dans le premier corps) auront, à
valeurs égales, des signes contraires. D’un autre côté, les forces

e e 2)', e auront, dans les deux corps, les mêmes valeurs
absolues, mais ce ne sont que les deux dernières qui auront
également, en N et N', les mêmes signes.

Comme, du reste, les coefficients dans les fonctions linéaires
(Mr),, etc. seront les mêmes dans les deux cas, il faut que le
terme p (IVL) , s’annule ; en effet, ce terme aurait, dans les deux
corps, le même signe. Les termes p (My)2, p (M*)„ P( My)3,
P (M Z) 3 doivent s’annuler pour une raison semblable, et, en
considérant l’image du mouvement par rapport à des plans
perpendiculaires à 0 Y et 0 Z, on démontre la même chose
pour les termes p (My), , p( IVL),, p (M.r)2, p(IVL)3. On peut donc
toujours se servir des équations (153).

Équations du mouvement d’une particule .

§ 158. En rassemblant les données dispersées dans les pa-
ragraphes 144, 148, 153, 154 et 155, on voit que la formule
(121) et les deux autres que nous aurions pu lui ajouter doi-
vent être remplacées par

. . r e2 •• r4

m I = — fx-p 4 n V2 ? I Q0œdT-\- y Ç + e n V2 tA? -+-

a

. / e2 •• r4

mrj — — f y -f- 4 tt F2 ?j I Q0(odr y V~h C I g n V2 M?/-b

^ ^+p^+4„V>e9o-peya+eV,

(155)

+ 1/2

3 y 3 V

ml — f Z -t- 4 7T V2l j Qq

codr -|- y £+ 6

0

V‘2 M

DI d2m, • . 023JÎ*

V2 — —

D z D t2

p

L^j+47r V*eh0 + pe(lc+e3‘.

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 523

Je ferai subir à ces formules les changements qui ont été
indiqués au paragraphe 128 — en divisant cependant par e
et non pas par e V — et, pour abréger, je réunirai en un
seul terme tout ce qui résulte de chacun des trois groupes

— m \ \ x + 4: n V' % j q0 m d t e | n F2 e M.<-, etc.

En ayant égard aux formules (153), on trouve pour ces trois
groupes

4 t/2 ■ A Ne — f\M * 32 M

TwF + Ne*

, etc.

Je me bornerai à des vibrations simples de la période &.
Dans ce cas:

4 7 T2

O2 M*
dt 2

&

IVD, etc.

Donc, si 011 pose

4 yi Nei + A tfe—f +1^1?
o O1 2

= 4 7T Q,

Ne 2

les trois groupes deviennent

4 7r Q IVDj 4 7 r Q My, 4 n Q IVI z.

11 n’est pas nécessaire de nous occuper de la valeur de Q;
il nous suffit que pour un corps et une durée de vibration
donnés, cette quantité est une constante, indépendante de la
vitesse p.

En somme, les équations (155) prennent la forme

4?r QM,. H- V

4 TT Q IVL + V%

3 2 , (029Jl.r <>£

3 x dï

+ P

( dxdt d t

+Vx +4®r*/.=o,

3 2 329)L , „ S2^*

3 y 3 i2

4:nQM

F2

3y3<

3 2 323K, . _ 32 a».

0 z

d t‘

-HP

dzdt

-\-4ltt V‘lgQ pyo—0, (156)
=0. I

+ 4 nV2h0+ppc

Archives Néerlandaises, T. XXV.

35

524

H. A. LORENTZ.

Équations différentielles qui déterminent IVL, My, Mz.

§ 159. Dans le chapitre précédent, nous sommes parvenus
à ces équations en soumettant la formule (122) à l’opération

1 D2

A —

V1 d t1

Maintenant que les équations (156) se rapportent aux axes
mobiles O X, 0 Y , 0 Z , c’est l’opération

d = f*a-(tï—

qu’il leur faut appliquer.

On fait disparaître ainsi fof gQ , hQ> aQ , po, yof parce que
Ofo = 0, □ a0 = 0, etc.

Comme, de plus (§ 150),

□ ^ = — 4 7T M,, □ = — 4 TT My, □ = — 4 TT Mz,

il vient

nrnU t/2 dr , 32 M, D /■ ’ i n

Q □ — Y2 x— -h — — p i - — -h ~^~7 ( — o,

d X d P 1 d Xdt d t \

T/20 r, 32 A

Q D y 5^ + TT ~ p djdt = °*

^ u y/2 ^ É ^ ^ Mz O2 M, n

^âï+âir -PâiT, = ^

où nous avons posé

d M, 0 M,

D x

dij

3 M..
D 0

Entraînement des ondes lumineuses par la matière
pondérable .

§ 160. Concevons d’abord des ondes planes qui se propagent
dans la direction de O X. Les moments électriques sont alors
indépendants de y et de z et on peut satisfaire aux équations

LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL.

525

en supposant qu’ils ont partout la direction de 0 Y. En
effet, en posant M.r = IVL — 0 et en supposant My indépendant
de y et de z, on satisfait à la première et à la troisième des
équations; la deuxième se réduit à

Q □ M,

P2 My _

0 t 2

- = 0,

ou bien, si on néglige toujours les termes en p2, à

vi d2
3 x*

2 p

P2 M
P x P t

!> - q =o.

3 t'

OÙ

La fonction

M;/= C cos

<2=1-
2

Q *

?o-»)

satisfait à cette équation, si

TF’ TF V

d’où l’on déduit pour la vitesse de propagation, en négligeant
de nouveau les termes en p2,

V p

Q

W ■=. -h

(157)

i/g

Pour p =r 0, cette valeur devient

± -JL.

V'Q"

la vitesse TFoî dans le cas où le diélectrique se trouve en
repos, est par conséquent donnée par

w = —

° Q

et n’est autre chose que l’indice de réfraction v. La

formule (157) devient par cela:

W == ± WQ- JL .

35*

526

H. A. LORENTZ.

C’est la vitesse de propagation par rapport à la matière
pondérable. Pour obtenir celle du mouvement relatif des ondes
lumineuses par rapport à l’éther, il y faut ajouter la vitesse
p. On obtient ainsi :

Quel que soit le sens dans lequel les ondes se propagent
— c’est-à-dire quel que soit le signe qui précède WQ — on
voit que le mouvement de la matière pondérable avec la
vitesse p imprime toujours aux ondes une vitesse qui est
une fraction déterminée de p. Le facteur

est précisément le coefficient d’entraînement que Fresnel a
introduit dans la théorie de l’aberration et qui peut servir à
rendre compte des expériences de M. Fizeau 1 ), répétées dans
ces dernières années par M M. Michelson et Morley **), sur la
propagation de la lumière dans une colonne liquide qui se
déplace.

Remarquons encore que, d’après notre théorie, la valeur
(158) est applicable à chaque espèce de lumière homogène, si
seulement on entend par v l’indice de réfraction qui lui est
propre 3).

§ 161. Lorsque la direction de propagation des ondes est per-
pendiculaire à celle dans laquelle se déplace le milieu, il faut
distinguer deux cas principaux. Dans le premier, les vibrations
électriques sont normales au plan qui contient les deux directions
indiquées ; dans le second cas, elles sont parallèles à ce plan.

Q Comptes rendus. T. 83, p. 349; Pogg. Ann., Erg. 3, p. 457.

2) American Journal of Science , 3d Ser., Vol. 31, p. 377.

3) Dans un Mémoire qui parut en 1880 ( Phil . Mag. 5th Ser., Vol. 9,
p. 284). M. J. J. Thomson s’est occupé de la propagation de la lumière
dans un diélectrique qui se déplace. Cependant, dans cette étude, il n’est
aucunement question de la perméabilité pour l’étlier et, suivant l’auteur,
le coefficient d’entraînement aurait toujours la valeur

(158)

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL.

527

a. Le premier cas se présente si IVL = = 0 et

M z=Ccos~

Les trois équations se réduisent à:

$ D = 0 ’

mais l’opération □ équivaut maintenant à

Jl.

3 y'1 3 t1 '

L’équation ne contient donc plus jp et la vitesse W devient
indépendante du mouvement du milieu.

b. Dans le second cas, les vibrations ne peuvent plus être
rigoureusement transversales ; elles feront avec la direction de

propagation un angle dont le complément est de l’ordre y. .

Cependant, la vitesse de propagation reste

wo = -Z= .

° l 'Q

En effet, on peut satisfaire aux équations du mouvement
par les valeurs:

2 n

M r = C COS

&

V2

My = — CCOS

('-*)•

2 71

(F

M, = 0.

Il est facile d’étendre ces résultats à une direction de pro-
pagation quelconque.

528

H. A. LORENTZ.

NOTE ADDITIONNELLE.

Pour simplifier autant que possible les considérations qu’on
vient de lire, je me suis borné au cas où l’amplitude des par-
ticules vibrantes est plus petite que leur diamètre. Je vais
démontrer maintenant que les résultats obtenus subsistent
encore lorsque les excursions sont beaucoup plus considérables.
C’est le théorème du paragraphe 141 qui nous permettra
d’arriver à cette théorie plus générale.

Valeurs générales de /, g, h, a, (I, y.

1. Reprenons d’abord le problème d’une seule particule
mobile (§ 135). Les composantes du déplacement diélectrique
et de la force magnétique qu’elle produit dans l’éther satis-
feront partout aux conditions (128) et (129), les derniers mem-
bres étant des fonctions connues de x , y, z et t} si on regarde
comme donné le mouvement de la particule.

Représentons par

% (<, », y, z). © (t, ». y, z), § (t, », y, z),

(t, x, y, z), S (t, x, y, z), Ê (t, x, y, z)

ces fonctions, qui, du reste, sont 0 dans tous les points que
le corpuscule n’atteint pas.

Alors, on satisfait aux équations (128) et (129) par les valeurs :

/= ^fj®(t-x,x',y',s)dr',

h = — — *> *’ y'> z) d T ’ ' * ' '

« = — x/j31 (<— x, »'. y, z) d r', ? =— \ /y® (<— : *, » y’> z) d T'y

y = -^jjQ(t-x,x,y,z')dT', (160)

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 529

OÙ

r = ]/^ ÿi K_ pt (x — x'y +(y — y'Y + (z-z'y,

— r + * (x — x’) — r p {x — x')

* ~~ l>y2"Z rpr ” 1/ v2 v2 — p2

et

L — in Vl^V2 — ~ p 2.

Rappelons encore que, dans les formules (159) et (160), et
dans celles qui vont suivre, le signe J a toujours la signifi-
cation de Lim f (I H6).

Avant d’employer les valeurs trouvées, il est nécessaire
d’examiner si elles satisfont aux équations primitives (II') —
(V') (§ 133). Je n’écrirai pas au long toutes ces vérifications ;
je me contenterai de faire voir que

dj d_g d_h_
dx d y d Z

Vérification de la formule (II').

2. Si la fonction U dont il fut question au paragraphe 116
devient 0 à la surface <y, la formule (103) se réduit à

f ~dr’ + f

O X J V d X J r d X

ce qui restera vrai à la limite, pour r = 0. D’autre part, il
est clair que

(Â + -À)! 7 £(*-*, *',/,*')}= [À]} -J s (<-*,*', y', *’))>

si par le signe ÏM on indique une différentiation dans

laquelle r et x sont regardés comme constants.

De ces formules on déduit

l~ L /r [o æ'] *>x'>y'>z')dr'>

3/

3

530

H. A. LORENTZ.

avec des expressions analogues pour ^ et ^
Posons :

3 3f (<> g» y > g)

0 #

3 ©(«,», y. «) ^ 3 $(<,*, y, 2)

3y

0 2

= //ft a?, y, 2).

Alors,

0 / d g d h

dx~^~ d y d Z

X, ®', y', z) d r'

. (161)

En se rappelant que, dans les formules (128), x,y,z sont
les coordonnées d’un point immobile par rapport aux axes
et que, par conséquent,

3? _
0 «

on trouvera

n(1,w)=(F.-r.)g + r.(p + |l|)

O2? 02?

+ 2p

Soit
alors :

D xd t d t2 *

? = #(<> », y, 2);

+ F2 [ + 2 p ["à] r< ~ \ 9 (t~ *’ *• y’’ z) ’

où les crochets signifient la même chose que ci-dessus.
Mais, en écrivant & au lieu de & (t — x, x, y, z), on a

d & d & d* r d a-i

JtM+ Lo^J’

32 » _ _ 39-3^* 32» /3x\ 2 3 H»-! 3»

3a;'2 37 3a;'2 + 312" V^ï7/ ~J0( \,2 x' \ dx +

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 531

Au moyen de ces relations on peut éliminer les dérivées:

[HJ ■ [Hî] •

ce qui nous donne

\n(t- *,x,y,z)= | [( K + V'1 4

+ r

+

-h

- & ]

i [(P-P-)

dx2
d

d^x

dy'2

} d2 &

dj-

Yt

Pi*

\dxdt dy'dy'dt dzdz

:3<J

En ayant égard aux valeurs de x et de t, on démontre que
d2 &

le terme en s’évanouit et que les termes qui suivent peu-

(J t

vent être mis sous la forme :

(V2

rA

La sd

p )â? + *> d»)

y*

d \ dy' d & )

Y) + Yÿ' \ r Ô7 j 4‘

+

\2 ^

0 ) d Z d &

dz' t

d t

j

Dans la formule (161), cette expression donne lieu à des
termes dans lesquels l’intégration par rapport à l’une des
variables x , y', 2 ' peut être effectuée. Le résultat est la limite,
pour Lim r = 0(§116), de l’intégrale suivante, étendue à la
surface sphérique b :

s

d X

v1 (y —y)

d X

4- V 2 (z — z) —, 4 - p (x — x) J d b.

532

H. A. LORENTZ.

On voit facilement que cette limite est 0 et que, par con-
séquent, l’équation (161) devient

3. La dernière formule devient, par une intégration partielle
réitérée,

3_A = _1 r r ^ fiV

dx ' î) y dz L] [} P d x'2 \X J

H- V2

-h

d-L(l\

à y 1 \ t /

i Lim l3/i(p-pî)

+ V2-

d2

d Z

X' — X d &

X dx7

(*)]" +

y' — y d»

P

3 y'

p - — - y^[db

X dz S

]

-iLil” [lli’7'-”’ ><*-*>« (t)+ >"<» -»>5? ({) +

+ v. («'-.) ,4 (|)!«].

Le deuxième terme est 0 et dans le troisième on peut
remplacer

&(t — x, x' , y' , z')

par la valeur de cette fonction pour x' = x} y' =z y, z == z,
c’est-à-dire, par

»(t, x, y, z) ou Q.

Ce terme devient ains’ :

y2 o

Lim

Po , P"P-
~L~ V

P2 _

— Q.

D’un autre côté:

donc

dy2

dx^ày^dz

+ ^ + ^ = q,C.Q.F.D.

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 533

Déplacement diélectrique et force magnétique quune particule
vibrante produit à quelque distance.

4. Prenons pour origine le point où se trouve le centre de
la particule lorsqu’elle occupe sa position naturelle. Alors, les
valeurs de x , ij , z pour lesquelles les fonctions :

^ — z ), etc (162)

diffèrent de 0, seront très petites par rapport à la longueur
d’onde. Elles le seront également par rapport à x, y, z et t,
si le point (x} y , z) pour lequel on veut calculer /, g , /i, a , (3, y
est situé dans une autre molécule, même lorsque celle-ci est
une des plus voisines.

Cela posé, on peut développer les fonctions (159) et (1 60) en
séries rapidement convergentes. Soient tQ et xQ les valeurs qui

correspondent à x = y = z =r 0, et désignons par J J , etc.

des différentiations dans lesquelles on regarde comme constants
les x , y , z' qui entrent explicitement dans ces fonctions et
comme variables seulement 1* et x. Alors:

Y , y', z')= % (■< — *0> * . v i *' ) +

+ x' jÿY j [ F ^ ~ *> x' . y' . z' )] +

+ y ! ïÿ | •z> *'» />*' ) J + etc-

En effectuant les différentiations indiquées dans le second
membre, on est conduit à des expressions contenant des dé-
rivées de — $ (f — x, x , y' , z ) par rapport à t et à x, mul-
tipliées par des dérivées de t et de x par rapport à x , y' , z\
Dans les dérivées de la première espèce, on remplacera X et
x par XQ et x0; dans celles de la seconde espèce, on substi-
tuera en outre x — y' z — 0.

534

H. A. LORENTZ.

Or, tout cela peut être exprimé bien plus simplement. En
effet, pour les fonctions dont il s’agit ici,

d | 0 j 0 / 0

dx * I D y' ) dy * ( D z'

0

dx'

_D_

Tz ’

et, lorsqu’il est question des dérivées par rapport à x, y, z ,
la substitution de tQ et pour X et x peut avoir lieu avant
la différentiation.

Donc :

(i — ■*'> y'.2') = -4 3W — *« y', 2') —

i

~k [è s +

+ § ^ [% — *<»*'> ÿ’’ *' ') ] + etc (163)

et, d’après les formules (159) et (160),

f=~z(hfSdT’ -Si W1' z d "] - f, K/»' -'] -

- F, &' * " '] + F ST- [£/*" S '*'] + ■•■•). el° <‘«>

' = - ï (i/* “< '■ -S [^/' 51 J ] + ' ' •te' (ie5)

où, pour abréger, on a écrit f$f, 21, S3, S au lieu de

%(t~ *o> V , *)> @ (< “ *o> V, *')> etc (166)

5. Si on entend par q la densité de la charge qui existe, au
moment dans le point ( x , y’ , z), et par (£, y, Ç) la vitesse
dont la particule est animée à ce même instant, on aura :

LA THÉORIE ELÉCTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 535

— (? + p)2] (i +v)r>^ -

, Je dg
(I + ^)ÇÔ5' + ? j-t

(167)

La même expression peut être prise pour la première des
fonctions (166), pourvu seulement qu’on prenne pour q, £, 17, £,

^ les valeurs relatives au temps t — x0. Recherchons ce qui

en résulte pour les intégrales de la formule (164).

a. Valeur de ! %dr'.

On a évidemment:

et cela parce que la densité q est une fonction continue des
coordonnées qui s’évanouit aux confins du champ d’intégra-
tion *). D’un autre côté:

I q d t — e.

Si donc on entend par (m.r, my, m*) le moment électrique,
à l’instant t — xQ, de la molécule dont la particule vibrante
fait partie, on aura

b.

Valeurs de

f y' $ d T, fz'ffd T.

En intégrant par parties, on trouve

D Ce champ sera limité par une surface fixe quelconque enveloppant
la particule oscillante.

536

H. A. LORENTZ.

fx ^dr'= —

fod T =

] dx

J s

aura

f x ^ dx' = 1

f , Zq
1 x — d r

J Zy J

I Zz

De plus, on aura

et, x étant la première coordonnée du centre,

J X Q d T = x J gd T —ex .

Vu, cependant, que nous avons pris pour origine des coor-
données la position naturelle du centre, on peut écrire

donc

J X Q d T = m.r :

l*%d r' =-e [f*— +

Pareillement

f y' % d — e (I + v) v + % ||

jz'ftd T=e « + p)f + m* .
c. Valeurs de

etc.

Dans le calcul de ces intégrales nous nous servirons des
formules

ÏTIt,

Jx'^dx =—2jx'ÿdx' = — 2

f x ^ d 1 /= — f y q d r = — i%> e^c*

Le terme principal ( F2 — p2) de l’expression (167) ne con-
tribue en rien aux intégrales:

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL.

537

jy'^dr', jz'%dT',f9'ï%dT,

mais, dans les intégrales

f x 2 ^ dx\ J x y' 3 dx\ J x z ^dr,
il introduit les termes

— 2 (V2 — p2) m.r, — (F2 — p2) r%, — (F2 — p2) nu. . (168)

Ce sont ces expressions qui joueront un rôle dans le résultat
final. Tout ce que les autres termes de l’expression (167)
fournissent aux intégrales dont il s’agit maintenant peut être
négligé. En effet, nous admettrons que l’amplitude des vibra-
tions n’est qu’une fraction insignifiante de la longueur d’onde
et que, par conséquent, les fractions

_£ jl

v ’ v* v

ont une valeur insensible.

En vertu de cette supposition, nous n’aurons pas à nous oc-
cuper des termes

-(V +

dQ

dx'

(S + P)y

3?

3 y'

t1 Z

les parties correspondantes des intégrales cherchées étant extrê-
mement petites par rapport aux produits (168).

Quant au dernier terme de la formule (167), il introduit
dans

fx'2$dr', j y2 3 dr' , J z'2 $dr'

les termes suivants:

di
d t

f Q x' 2 d t', etc.

Désignons de nouveau, par d l’amplitude et par & la durée
d’une vibration. Alors, les derniers termes sont du même
ordre de grandeur que

538

H. A. X.ORENTZ.

d*_

tTlr

et peuvent, par conséquent, être négligés par rapport aux
expressions (168).

Le terme principal de l’expression (167) est donc bien le
seul dont il faille tenir compte dans le calcul des intégrales

d t', etc.

et, dans le développement (164), il n’est pas nécessaire de
nous occuper des dérivées d’un ordre supérieur au deuxième.

6. En résumant ce que nous venons de trouver, et en écrivant
t au lieu de ro, on obtient :

e(V2 — p2) 0 / ! \
L dx \ V )

m+km

+

+

Par un raisonnement que nous avons employé plusieurs
fois (§ § 115 et 137), on démontre qu’il faut omettre le terme

e (F2 — p2) D /1\

L dx \r J

si l’on veut obtenir la valeur de / qui est due à la molécule
entière dont la particule vibrante fait partie. Cette valeur de-
vient donc:

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL.

539

où la fonction S" est celle qui a été définie par la formule (144).

7. Pour que ce résultat s’accorde avec la première des
équations (145), il faut qu’on néglige les termes

0

0 y

m 4(¥)j

+

+ l\yco (

y)

3

+ 3y

(¥;

)+£(¥)]

l 3 r d

(

3 /rriîlN "J

L 0 t LO x

vu )

i+32/(

v r J

+ dz\ V )\

. (170)

Or, ces termes sont les seuls dans lesquels les moments
rth, lîL/, nb se trouvent multipliés par une des composantes de
la vitesse vibratoire ; on en diminuera les valeurs autant qu’on
voudra en supposant suffisamment petites l’amplitude et la
vitesse des vibrations.

Ce degré de petitesse nécessaire est-il atteint dans les cas
qui se présentent en réalité? Pour répondre à cette question,
nous considérerons de plus près l’ordre de grandeur des termes.
Remarquons d’abord qu’une différentiation par rapport à

t introduit le facteur — . Au contraire, une différentiation

par rapport à x dorme lieu à deux termes différents. D’un
côté, dans les fractions dont il s’agit, le dénominateur X est
une fonction de x, et, en ce qui regarde l’ordre de grandeur,

les dérivées V (~ ^peuvent être rem -

dx \ x /’ 0 y\ x /’ dz V x )v

!) Dans cette équation, les signes nu, i%, nu représentent ce qui a été
indiqué, au paragraphe 14 par m'a?, m y, mV.

Archives Néerlandaises, T. XXV.

36

540

H. A. LORENTZ.

placées par

1

Mais, d’un autre côté, les numérateurs, tels

que m./- ou nu I, dont les valeurs doivent être prises pour
l’instant t — x, sont par cela même fonctions de x , y , z. Si
on désigne par A un quelconque de ces numérateurs, on aura

d_A

d X

0 A
Tt

d X
d x

;=)4r

k ' & Li

o r

F2 p2 y1 — p-

Cette dérivée se compose donc de deux parties, l’une de
l’ordre

P

]

et l’autre de l’ordre

A
& V

A p
&V2'

Si, dans l’expression (170), on omet pour un moment les
termes de cette dernière catégorie, il ne reste que des quantités
comparables à

d m 8

1

L &

m

m 8

et

1 & V * &

m 8

(171)

r2 L &2 X2 L & X ~ L&*Vv
D’autre part, dans la première des formules (145), le premier
terme donne lieu à des expressions qui sont du même ordre
de grandeur que

T/2 m P m m

(172)

V2 m
L V3 ’

L & v2 ’ L &2 x

et le terme _1_ / m,A

“ T dl2 V X J

est du même ordre que la troisième de ces expressions.

En divisant la première des fractions (171) par chacune des
fractions (172), on obtient

8x 8_

JT9 l ’ r ’

l étant la longueur d’onde & F, et la seconde des fractions
(171) conduit de la même manière à

dX2 8 X 8

LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE UE MAXWELL. 541

Il n’y a aucune difficulté à admettre que r et - sont des

k r

fractions négligeables et que, par conséquent, les quantités (171)
peuvent être négligées par rapport à celle des expressions
(172) qui est la plus importante. Si, pour se mettre à l’abri
de toute objection, on désire que les termes (171) soient très
petits par rapport à chacun des termes (172), il faut que r ou,
ce qui revient presque à la même chose, la distance pour
laquelle on veut calculer l’action d’une molécule, soit petit par
rapport à

l/?=*l Lj (173)

Vu l’extrême petitesse de d par rapport à X, cette limite
peut être un multiple très élevé de la longueur d’onde et dans
la déduction des équations du mouvement on peut se borner
à une partie du diélectrique, dont les dimensions soient beaucoup
plus petites que la longueur (173). En effet, on se rappellera
que nous n’avons rien supposé sur ce qui se trouve à l’ex-
térieur de la surface <r (§ 123).

Quant aux termes dans l’expression (170) qui contiennent
le facteur p, l’ordre de grandeur qu’ils présentent est dé-
terminé par

mp ô

L &3 V2 r’

on démontre facilement qu’ils peuvent être négligés par rap-
port au terme:

zi JL + dJL

L j dx dt \ X ) d t \

qui figure dans la première des formules (145).

8. Je n’insisterai pas sur la démonstration des deux autres
formules (145), qui n’offrent rien de nouveau. Il suffira d’exa-
miner encore la valeur d’une des composantes de la force
magnétique. C’est la valeur de (5 que je choisirai, parce qu’elle
est moins simple que l’expression pour a.

36*

542

H. A. LORENTZ.

Il faut se servir maintenant de la deuxième des formules (165),

P--

-T(i/»"-s|

[ii

'x $5 di

0

à/'

i '33 d t

■]+

■ )

Or, en partant de la valeur

SS = 4 TT F2 ! t ~r-
\ dx

- (1 H

’rtlî:

on trouvera:

il

%

0,

jx 33 d T

= — 4 tt V2 Ç e — 4

TT V 2

d m?
~dt ’

J ÿ 33 d t

= 0,

1 1

= 4 tt F2 (| + p) e — 4 :

TT V 2 (

^ d m.r

J x'2 35 d t

— — 4n V2.2 m.r Ç,

f y'^dr'

= 0,

J z'^dv'

— 4n F5. 2m i*(f+p),

j x' y' 35 d t

' = — 4 7t F2 my Ç,

[y'z'ïïd r

' = 4 w F2 my (? + p),

(174)

p«),

j x' z 33 d t — 4 7i V 2 £ — ni; X> + m.r(? + ^)~| .

En portant ces valeurs dans l’équation (174), on obtient:
1°. les termes qu’on voit dans la deuxième des formules (146) ;
2°. le terme

4 7 T V2 0 / 1 \

LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL.

543

qui est indépendant du mouvement vibratoire et qui dispa-
raîtra, par conséquent, dans la valeur de (t produite par la
molécule entière;

3°. le terme

4 n V2 1

ri. i

i 3 1

1

H

El

1 , i./'M

:\ + ±(

L \

La^ i

1 dx '

^ r J

1 + dy V r

) + dz V

a ( 0 /m,g\ , 0 /|%?\ , 3 il

“ail âïVT; + âÿV“r~/ t J U’

qu’on peut négliger pour les mêmes raisons qui ont conduit
à l’omission des termes (170).

Détermination de la force qu’une particule vibrante éprouve
en vertu de l’état de l’éther qu’elle excite elle-même.

9. Pour calculer cette action, il faut recourir de nouveau
aux formules (159) et (160); cependant, on les simplifiera
cette fois-ci en ayant égard à ce que x est un intervalle de
temps très court.

Commençons par rappeler les valeurs des fonctions
etc. En désignant maintenant par q la densité électrique et

par , —7 , ^ les valeurs des dérivées pour l’instant
r d x d y d z r

t — n et le point ( x , y' , z' ), on peut écrire :

3 (t — sc, x' , y' , z' ) = £ V1— (| + p)1 J _

— y jj, — (I + v) sf-y + I ?' >

® (* - ». y’> z') = - (f + j») v II +(V2-y'iiy' -

-vZ^j + ve ,

§(*—*, y\ O = - (S + P) 1 - v t +

d X a y

+{V2-y)dïÇ + U’-

544

H. A. LORENTZ.

%{t — x,x ,y , z' ) =4 n V1 Q, — Ç |^r ) , j

33 V) = 4* F2 [î -(5 + P)-!], -.(176)

©(<- *, *',y',«') = 4w F2 jjl+p) — î — ïfp]-

Dans ces expressions, il faut entendre par 77, £ les com-
posantes de la vitesse vibratoire à l’instant t — x. Mais, dans
le cas qui nous occupe actuellement, les valeurs de x — x ,
ij — ÿ, 2' — 0 sont très petites par rapport à la longueur
d’onde et le temps x le sera par rapport à la durée d’une
vibration.

Il est donc permis d’écrire

£ = St — * lt ,

y = W—*yt,

s — st- Ait,

où l’indice t indique les valeurs relatives au temps t. De plus,
les termes x St , * yt , peuvent être traités comme des infini-
ments petits, ce qui nous donne:

(S + py — (I t + pY — 2 X {St 4- p) St, etc.

^ r

C’est ainsi que tous les coefficients de —7 , etc. peuvent

être exprimés en St, yt, St, St, yt, St- Pareillement, nous rem-
placerons | q' , 7] q' , £ ç' par [St — x îù) ç>' , etc. Ensuite, les
valeurs qu’on trouve pour $ (t — x, x' , y ,z ), etc. doivent
être portées dans les formules (159) et (160), et ce qu’on
obtient pour f, g , h, a, |5, y sera substitué à son tour dans les
équations (P) (§ 133). Il importe de remarquer que, dans ces
dernières, les lettres |, y, S indiquent précisément ce que nous
venons de représenter par St, yt, Su II est donc permis de sup-
primer l’indice t; de plus, nous simplifierons en réunissant les
différents termes.

LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL- 545

On a, par exemple,

X=jQ[in V>f+vy-tp]

et

4W r*/+ï/-t/J= — [4 tt + dr,

où 3*. ©, 35 sont les fonctions $ (t — x, x' , y' , zr ), etc. qui se
trouvent déterminées par les formules (175) et (176).

Posons, pour abréger,

Uid')d’’ J‘=hU¥éd’)d’’
j‘=hŒ3A“’)i’

et indiquons par J\ , J\ , /3, J\ ce que deviennent ces in-
tégrales si on y remplace par Alors

x = -

4 TT F2

|j, + [p-(ê4-i>)W-£2] -/•
— ÏJ\ + [2 (I + p) I + nv + E t] J", +
+ ($ +P)ÿj'z + {ï + p)kJ\ j,

V _ 4 TT T 2 ( •

I — ? — ! v J 1 +■

L

- 7]

,2-ï2— ï2

] h~

Z =

[172— (l+ÿ)

J| + £ (I + p) t + 2 ^ 7/ -1- £ £ J J'3 +

+ Tj'ç, J'h + 7j \ J\ J ,

iüZ!j ç/t + jV’-d+ÿ)2-,2-?;2] J4-

-ï/, + [(? + P)l + W + 2çç] j; +

+ Ç ê ^2 + Z y J' 3 | •

(177)

546

H. A. LORENTZ.

10. Quelles sont maintenant les valeurs de </,,</2, etc.?

Dans le calcul des intégrales J~-dr' et il y a

une difficulté: c’est que la lettre çr indique la densité élec-
trique qui existe dans le point (x , ij , z ) à l’instant t — x.
Nous allons cependant transformer les expressions de façon
qu’elles contiennent seulement la densité relative au temps t.

Remarquons d’abord que, sans changer la valeur des inté-
grales, on peut prendre pour origine des coordonnées le point
[x, y , z) pour lequel elles doivent être calculées ; de plus, pour
une raison qu’on comprendra bientôt, j’écrirai a?", y", z" au lieu
de x , ij , z et d t" au lieu de d x . Alors :

=1

V2

V2

p

x

"2

y

P X

y" 2

V2 p2 V2 — p2

et il s’agira des intégrales

fQ-dr" et . .

(178)

(179)

(180)

Supposons que le point qui, à l’instant t ~ x, a les coor-
données x", y", t!' prenne part au mouvement vibratoire de la
particule, et nommons x, y\ z ce que sont devenues les coor-
données à l’instant t . Le mouvement pouvant être regardé
comme uniforme pendant le temps x, on a:

x' — x" + x |, y' — y" + x y, 2' = / + x î . . . . (181)
Ici, les rapports

x | x y x Ç

sont du même ordre de grandeur que

£ ± I

F ’ V ’ V’ '

(182)

on en pourra donc négliger les puissances supérieures à la
première. Mais, alors, on peut, dans les relations (181), entendre

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 547

par x ce que la fonction (179) devient si on y remplace x" ,
y\ z" par x, y, z'.

Les points qui, à l’instant t — x, se trouvèrent dans un élément
d r ", situé au point (x", y ", z"), se trouveront, à l’instant t ,
dans un élément de volume d t, situé au point (a/, y' , z).

Or, d’après un théorème bien connu,

d x" d y" d z"

oF ’ oF- ’ ÔF

d t" _ d x" d y" dj![
d t' d y' ’ d y ’ d u' 1

équation qu’on peut mettre sous la forme

d x d y" d z"

dx' ’

dx' ’

dx'

d x"

dy"

dz"

W'

d y ’

*y'

dx"

dy"

dz"

yy ’

d z !

parce que

d x" . d x d x" d x

ÎF ~~ — ^5~F’ dY ~~~~

et que

| —, , etc.
dy

etc.

sont du même ordre que les expressions (182).

11. Ceci établi, les intégrales (180) peuvent être transfor-
mées en d’autres auxquelles chaque élément dr contribue
pour un terme. Seulement, dans les premières intégrales, il

fallait entendre par — et les fonctions de x", y ", z" qu’on

déduit des équations (178) et (179). Si on veut indiquer par
ces signes les fonctions analogues de x' , y', z, il faut remplacer

y et — par

et

548

H. A. LORENTZ.

Quant à q', cette densité est évidemment égale à celle qui
existe dans le point (x, y\ z') à l’instant t.

On finira par trouver, pour les intégrales (180), qui ont été
primitivement représentées par

I jrdT'etf^-dr', (183)

les formes suivantes:

et

et cela restera encore vrai si, en revenant à une origine des
coordonnées quelconque, on entend par x , y , z les coordonnées

du point pour lequel on veut calculer J^dr', etc. et para?',

y', z celles du point où se trouve l’élément d t .

Je simplifierai encore en négligeant des termes de l’ordre

. Alors, X se confond avec la distance r des points (x, yy z)

et (x, y\ z’).

p [x — x' )
ÿi

et les expressions (184) et (185) deviennent

f , r1 P 3 (x — x’\ , 0 fx — x\

J^|_r V- f dx \ r ) ^ ày\ t )

+

et

V+ V

p X X

£ Æ

F2

r v* r

j z — s! , 2
F2 r

JL L

V2

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 549

-, i . • • , 0 Q' 0 Q

Ji/ii remplaçant ici q par —^7 ,

0 0

on trouvera ce

Z y' ’ D z' ’

qui, dans les formules pour /,, J2, etc. est désigné par

f 1 d q' , C x d q
I — , d t , I — — — ~7 d i' etc.

J V d x ’ J X 0 X

En effet, ces dernières expressions peuvent être transfor-
mées de la même manière que les intégrales (183), et cela,
parce que les dérivées de la densité par rapport aux coordon-
nées ont, dans le point (x, y\ z) et à l’instant t , les mêmes
valeurs qu’elles avaient au moment t — x, dans le point ( x'\ y", z ").

12. Le calcul de J,, J2, etc. est ainsi ramené à celui des
intégrales

J j q q' d t d r', JJ dr d t\ J J q q' ^ ^ d t d t etc.

Ici, les signes q et q' indiquent les densités électriques,
relatives toutes les deux au même instant t et existant dans
les points (; x , y, z) et (x\ y\ z ) de la particule. Tout ce qui dépend
du mouvement de cette dernière a disparu et les valeurs des
intégrales sont entièrement déterminées par la manière dont
la charge est distribuée. De plus, plusieurs des intégrales
s’annulent, puisque cette distribution est symétrique tout autour
du centre. En effet, si ce dernier point est pris pour
origine des coordonnées, q et q' seront des fonctions paires de
x, y , z et de x, y' , z' et une intégrale dans laquelle y q' se
trouve multiplié par une fonction impaire de x — x\ y — y\

z — z' s’évanouira. Au contraire, vu que est une fonc-

x ex

0 '

tion impaire de x' , une intégrale qui contient q ne diffé-

0 x

rera de 0 que lorsqu’elle contient encore un facteur qui est
une fonction impaire de a? — x.

Voici maintenant les valeurs des intégrales, en tant qu’elles
11e s’annulent pas. O11 a posé

_ 1 /V

4 n V2 J r

dx

=

/e

o) dx —

*

550

H. A. LORENTZ.

et il faut se rappeler que chaque combinaison de deux éléments
dr et dr doit être prise deux fois.

if"'

lf¥

d T d T ~ G2 ,

d t d t' — — 4 n V2 y,

Il "'A (V1)*"

d t d

, ( X — x)2

f f QQ rj~ dxdx’ = g 71 P2 /X,

)

dTdT' = ~ll**' ÔZ (^-^)drdr' =

= — § 22 r2

//• U

Dç'y —ÿ

- dx dx'

= 11* ïï*—r—dTdT' =

~ - 7T F2 IA.

De ces formules on déduit

J, = - 4 - ( V* + f p ?) , /, = (^ + -fs1) «2.

J2 — 0, J3 =0, J4 =0,

r/ 8 7, 8 7, 8 7.

J2 = -- 3 ^ (s -h P) P, J 3 =— d ~ ~ 3 71 ^ ,W*

13. Reste à substituer ces valeurs dans les formules (177). Je
remplacerai L par 4 F2 et je considérerai en premier lieu

r ç (x—x')2

q L’intégrale I I VQ - — ^3— drdr’ est évidemment égale aux inté-
grales analogues qui contiennent (y— y')2 et (z — z')2 et, par conséquent, à
la troisième partie de J J — d t d 1'.

LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 551

la partie de X qui ne contient pas p. Les termes — £ J, et
-h f J\ deviennent

4 n V2 î p -f- y~ , (186)

ce qui est précisément l'expression (111). Les termes, au
contraire, qui dépendent de J'2y J 3 et J\ sont insensibles. Le

1 6

premier, par exemple, est — ^^1^, ce qu’on peut négliger

O

en présence de 4 n F2 £ p.

Quant aux termes en p , il faudrait conserver sans doute

p

ceux qui sont comparables au produit par ^ de l’expression
(186), c’est-à-dire des quantités du même ordre que

pVh et

Mais, dans la formule pour X, la vitesse p ne se trouve
multipliée que par des facteurs comme

5 ? M •

On peut donc se borner à la valeur (186), et on trouvera
des expressions analogues pour T et Z-

Leide, Juin 1892.

552 H. A. LORENTZ. LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE, ETC.

Table des matières.

Introduction p . 363 .

Chap. I. Mouvements électriques dans des corps qui se trouvent

en repos •' 373.

// II. Phénomènes électromagnétiques dans des corps qui se
trouvent en mouvement et qui entraînent l’étlier contenu

dans leur intérieur // 409.

h III. Examen d’une hypothèse qui a été faite aux chapitres

précédents » 421 .

// IV. Théorie d’un système de particules chargées qui se dé-
placent à travers l’éther sans entraîner ce milieu // 432.

// V. Applications de la théorie précédente » 455.

u VI. Propagation de la lumière dans un diélectrique pondé-
rable qui se trouve en repos n 474.

// VII. Propagation de la lumière dans un diélectrique pondé-
rable qui se trouve en mouvement •> 498.

Note additionnelle « 528.

CORRECTION.

Dans la note rlu paragraphe 50:

Au lieu de trois derniers lisez quatre derniers.

CINQUIÈME LIVRAISON

H. A. Lorentz, La théorie électromagnétique de Maxwell et son application aux corps
mouvants .

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