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L'EAU LAREUR ‘ “ [] hi UX De CODE ‘ " ÉLENANL RARE ; A 4 dé LUNA ET LS à ‘4 ASUS SUN HUE À ” « 4 A 4 CALE ON A « à 524 4 À. 4-6 458 D 9-4 USA 28 Gt LCA # DRE OO MAC CNE RE PhD 5 is A 4 D 4 08 Ci 44 4 9 d'HodÇel à Rue LAACIAE . 4h DOORCAROR RUE DEL : ACT CE LLAR À À 4 PRO À 4 0e LATE # Shell. à 4 (1 CR n + AA Ah is + Gove LR À $ ñ " 4 *: Ê & dis 4 CR # A # vs L 4 A ' C ci LAN AURA CEGYR Ur À d'a y 44 CE AUCRAREr À) RCE , . A ., . ONERAARELZ 14 À ' ÿ * sud 4 np \ Ü \u« . " . LAC . 6 4 ñ À n \ CLR: ' A AU vw À an «4 QUEUE) 14m meet à i Pl LAURE] 4 4 À où À UM À 4 + 4 x C'ACAEC ERP RUN dira LA "A444% . ame à 0 À A 4 à Gr dj 5 Au 208 don M AU 4 GE it DU NW eo ee be à DU %, “4 4 CC RAC ON Atvot4 18 US 4 de « en ds . ‘à à , dun 4 6 à 4 A4 .# 4 . N LE RC OR CRC NECR ER APE SCC VEN 1 A SAUNA UE 4 À A à NÉ à OR AN M NN NN RS 4 0 + ' à ù 4 CRE! 1 4 shimoisanmns ah C4 08 dl Bd mt à ue 4 4 4 0 ie 1 Ce EN ee * ' ‘ , Mundi 4 don mA A D EN NE A Mr à 6 Non D a À HR à 4 FR + ts ù \ , t L'ORTUR RUE EC OL R'ACRTRLSCE CUS CE US Para us | * URL, A A MALLLE CARCLREREEE { 4 " 544% . t Int NU 5 uù à f RAA, i« + ‘ #“ à à das dan NU h , À Wu, À “ ‘u 4 RARE NTM UN ART UNS L RALRARRE, ” “" i Add4s dus “" su ist nre LE tu st4u HNMENE RARLTLRLERILLT) CRC often à à 41 44 ns Et m7 : 1 dx CEUNET. COR LON TN" “ . dy RD 1.) 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AY] 0 da tps 4 CALE + EURE LALEE PRO NEP | AMI M A Li i V4 NS [x 1e 7 * AE sv “4 + EL re n QUE AU RUE LOROC exe LS « Ne LE? 4 4. dr À Lans due 454 4 RERETAENTERCRETETICUE A 4 & « Ait stiu te LU AURA NU AN DA 0 NM Re md 6e U HU Wan du BAM A LUS ATX 06 à ‘ ù v MAUtS 4 L 440 dope 4 44 “ Cu MARCEL ENA) CAP LTAL PRTAURT ' 144 rit FD +017 RRARRERESLE RER ENURUTE LU de mé à L'an 1 « \ton 14% NVLLTN) A DR MNT CEUTRNENTEUNAE ‘« ‘4. tan ‘4 40 qu Ligne s Dot . ‘a ‘ie 15044110 144644440604 Ana 4 448 à . " \ « : “ 1. 1154 da À + PAT Ne Le Li Dé O2 ë ARCHIVES NÉERLANDAISES SCIENCES EXACTES ET NATURELLES PUBLIÉES PAR LA SOCIÉTÉ HOLLANDAISE DES SCIENCES à HARLEM, ET RÉDIGÉES PAR PS OISS CA, Secrétaire de la Société, AVEC LA COLLABORATION DE MM. D. Bierens de Haan, C. A. J. A. Oudemans, W. Koster, C. K. Hoffmann et J. M. van Bemmelen. HARLEM. ERS HÉRITIERS' LOOSJES. 1891. LAN BRENT À 1! ve 4 L TABLE DES MATIÈRES. Programme de la Société Hollandaise des Sciences pour l’année 1890. M. J. D. van DER WaAaLs, Théorie moléculaire d’une substance composée derdeux Matières diférEnteSs 4... eee cc D. J. KoRTEWEG, Sur les points de plissement . ................ F. J. vAN DEN BERG, Quelques formules pour le calcul des nombres de Bernoulli et des coefficients des tangentes. ............... ECACoSrERUS, -Pélories du/viola ricolor "4.0.0... 0 J.-C. CosTERUS, Staminodie de la corolle dans l’Erica tetralix.... N. W. P. RAUWENHOFrF, La génération sexuée des gleichéniacées . H. W. BakHuIs ROOZEB0O0M, Sur les relations entre le sulfate thorique anhydre et ses hydrates, et sur les phénomènes de ralentissement dans l’hydratation et la déshydratation de ce sel HuGo DE VRIES, Sur un spadice tubuleux du peperomia maculosa. HuGo DE VRIES, Sur la durée de la vie de quelques graines .... M. W. BEvERINCK, Cultures sur gélatine d'algues vertes uni- ME TES RE DECO ET ES / [4 II TABLE DES MATIÈRES. D. J. KoRTEWEG, La théorie générale des plis et la surface y de van der Waals/dans le castde symétrie." "CREEPETPREREE Page 295. M. W. BEYERINOK, Sur l’aliment photogène et l'aliment plastique des ‘bactéries lumineuses 70e es OO RENE r 309. Et ÉTÉ dd Sd SD Se tm PROGRAMME DE LA Société hollandaise des sciences, à Harlem. ANNÉE 1890. La Société hollandaise a tenu, le 17 mai 1890, sa cent- trente-huitième assemblée générale. Le Directeur-Président, Jhr. J. W. M. Schorer, dans son discours d’ouverture, rend hommage à la mémoire des mem- bres que la Société a perdus depuis sa dernière réurion gé- nérale: MM. J. H. Fijnje van Salverda, C. H. D. Buys Ballot, G. C. Cobet, M. F. A. G. Campbell et G. F. Westerman, puis il souhaite la bienvenue à MM. H. Kamerling Onnes et H. W. Bakhuis Roozeboom, qui assistent pour la première fois à une séance de la Société. Dans l’année écoulée, la Société a publié: Archives néerlan- daises des sciences exactes el naturelles, Tome XXIII, livraisons 3, 4 et 5, et Tome XXIV, livraison 1ère. Les livraisons 2 et 3 de ce dernier tome sont sous presse et paraîtront con-. jointement. Le troisième Tome des Oeuvres complètes de CHRISTIAAN HuyGEns est imprimé en majeure partie. L’achèvement en à été retardé par le désir de comprendre dans le Supplément une correspondance, jusqu'ici inconnue, de Léopold de Médicis II PROGRAMME 1890. et de Boulliau, correspondance découverte l’an dernier dans la Bibliothèque nationale de Paris et relative à l'invention des horloges à pendule. Au printemps de 1890, le Secrétaire de la Société s’est rendu à Paris pour continuer les recherches et collationner les copies déjà obtenues. Le retard qui en est résulté sera, on l'espère, amplement compensé par l’intérêt des nouveaux documents. Entretemps, a été continuée la préparation du Tome qua- trième, dont quelques feuilles sont déjà tirées. Après avoir rappelé que, conformément à la décision prise par l'assemblée générale précédente, une Commission avait été chargée d'émettre un avis sur l'emploi à faire, dans Pin- térêt des progrès de la Physique, d’une subvention accordée par les Directeurs, le Président donne la parole à M. Kamer- lingh Onnes, pour la lecture du Rapport de la Commission. Le Rapport conclut à composer et à publier, en prenant pour base la théorie de M. van der Waals, un recueil systématique de données expérimentales pouvant servir au DS contrôle et à l’extension de cette théorie, et indiquées par DS une Commission qui sera nommée à cet effet. Cette proposition est adoptée à l’unanimité des voix. MM. C. H. C. Grinwis, H. A. Lorenz et EH. Kamerlingh Onnes font successivement leur rapport sur un Mémoire envoyé en réponse à la question de concours inscrite sous le n°. VI au Programme de 1890, et dont voici l’énoncé: ,On demande une étude, expérimentale ou théorique, éten- dant sous quelque rapport notre connaissance des phénomènes _de l’électrodynamique et de l'induction.” Conformément à l’avis unanime des juges, il est décidé de ne pas couronner ce Mémoire. L'assemblée arrête finalement quelques nouveaux sujets C1 PROGRAMME 1890. III de prix et nomme membres nationaux de la Société: MM. K. Marin, à Leiden. | J. H. vax ’T Horr, à Amsterdam. M. J. De Gone, à Leiden, et M. W. BEvyeriINCK, à Delft. QUESTIONS MISES AU CONCOURS, Jusqu’au ler janvier 1891, I. La Société demande des recherches sur la part prise par les bactéries à la décomposition et à la formation de combi- naisons azotées dans différentes espèces de terre. II. Etudier au microscope la manière dont différentes parties végétales peuvent s'unir l’une à l’autre, et en particulier les phénomènes qui accompagnent la guérison après les opérations de la greffe par scions, par œil et par approche. III. Ecrire, pour une période dont la durée ne soit pas trop courte, une histoire des sciences mathématiques et phy- siques aux Pays-Bas septentrionaux, dans le genre de l’ouvrage de Quetelet: Histoire des sciences mathématiques et physiques chez les Belges. IV. Donner un aperçu critique des opinions régnant au sujet de l’isomorphisme, et chercher à dissiper, par quelques recherches propres, l’incertitude qui résulte de la divergence des vues actuelles. ; V. Le sable des dunes et celui des bouches fluviales de la côte ouest de la Néerlande contiennent probablement, outre les grains de quartz, des détritus d’autres minéraux peu altérables. Rechercher la nature de ces minéraux, et faire connaître, autant que possible, la différence entre le sable de rivière et le sable des dunes, à la fois sous les rapports mi- néralogique et physique. VI. Faire une étude anatomique comparative des glandes sexuelles accessoires chez les mammifères. | IV PROGRAMME 1890. VII. Déterminer pour un ou plusieurs sels, hydratés et anhydres, la chaleur dégagée lors de leur dissolution dans l’eau, en étendant ces déterminations jusqu’à la plus forte concentration possible et à différentes températures. VIII. On demande des recherches quantitatives sur la décomposition de l’eau ou d’autres liquides par des décharges électriques disruptives, opérées à l’intérieur ou à la surface du liquide. Jusqu'au 1er janvier 1892. I. Déterminer expérimentalement, pour une ou plusieurs matières, l'influence que la compression, dans la direction de la force électromotrice et perpendiculairement à cette direc- tion, excerce sur le pouvoir inducteur spécifique. IT. Pour une nouvelle réduction des observations stellaires faites par La Caille au Cap de Bonne-Espérance et consi- gnées dans son Coelum stelliferum australe, il est nécessaire de connaître avec précision la forme des micromètre réticulaires dont il s’est servi. Pour l’un d’eux, la forme a été déterminée par Fabritius, dans sa dissertation: Untersuchungen uber La Caille’s reticulus medius, Helsingfôrs, 1878. La Société demande: 1° la détermination, aussi exacte que possible, de la forme des autres micromètres réticulaires em- ployés par La Caille; 2° la détermination, aussi exacte que possible, des positions que ceux-ci et le reticulus medius avaient pendant les soirées d'observation, en sorte qu'il soit facile de dresser des tables permettant de calculer d’une manière simple, au moyen des observations, les valeurs apparentes de l’ascension droite et de la déclinaison des corps célestes. À titre d'exemple, une pareille table devra être donnée pour chacun des micromètres en question. On signale à l’attention des concurrents le travail publié par M. Powalski dans le Report of the United States Coast Survey, 1882, et celui de M. Gould, Astronomical Journal, Vol. IX. ITT. Pour le calcul de l'influence que le volume des molé- PROGRAMME 1890, 4 cules exerce sur la pression produite par un gaz, M. van der Waals a donné une formule dont l'exactitude est suffisante tant que la densité reste assez petite. Il importe de posséder aussi une semblable formule pour des états de densité plus srande. La Société voudrait donc voir calculer, dans une forme rigoureuse et pratiquement utilisable, la pression d’un système de molécules sphériques égales, parfaitement élastiques, incom- pressibles et lisses, ayant comparativement à leurs distances mutuelles une grandeur quelconque, n’agissant les unes sur les autres que lors du choc, et douées d’une force vive déterminée. IV. Réunir et discuter, d’une manière aussi complète que possible, les résultats que l’expérience a fournis au sujet du rapport existant, chez les corps transparents, entre la densité et la composition chimique, d’une part, et l'indice de réfraction, d'autre part. V. Etudier par la voie expérimentale, pour un métal autre que le fer, la modification que la magnétisation produit dans l’état de la lumière réfléchie. VI. Décrire les méthodes employées pour obtenir et fixer de nouvelles variétés chez les plantes cultivées dans les champs et dans les jardins VII. Faire des recherches exactes sur le rôle que les bactéries remplissent dans la filtration des eaux potables à travers une couche de sable. La Société recommande aux concurrents d’abréger autant que possible leurs mémoires, en omettant tout ce qui n’a pas un rapport direct avec la question proposée. Elle désire que la clarté soit unie à la concision, et que les propositions bien établies soient nettement distinguées de celles qui reposent sur des fondements moins solides. Elle rappelle, en outre, qu'aucun mémoire écrit de la main de l’auteur ne sera admis au concours, et que même, une médaille eût-elle été adjugée, la remise n’en pourrait avoir VI PROGRAMME 1890, lieu, si la main de l’auteur venait à être reconnue, entre- temps, dans le travail couronné. Les plis cachetés des mémoires non couronnés seront détruits sans avoir été ouverts, à moins que le travail présenté ne soit qu’une copie d’ouvrages imprimés, auquel cas le nom de l’auteur sera divulgué. Tout Membre de la Société a le droit de prendre part au concours, à condition que son mémoire, ainsi que le pli, soient marquées de la lettre L. Le prix offert pour une réponse satisfaisante à chacune des questions proposées, consiste, au choix de l’auteur, en une médaille d'or frappée au coin ordinaire de la Société et portant le nom de l’auteur et le millésime, ou en une somme de cent-cinquante florins; une prime supplémentaire de cent-cin- quante florins pourra être accordée si le mémoire en est jugé digne. = Le concurrent qui remportera le prix ne pourra faire im- primer le mémoire couronné, soit séparément, soit dans quelque autre ouvrage, sans en avoir obtenu l’autorisation expresse de la Société. Les mémoires, écrits lisiblement, en hollandais, français, latin, anglais, italien ou allemand (mais non en caractères allemands), doivent être accompagnés d’un pli cacheté ren- fermant le nom de l’auteur, et envoyés franco au Secrétaire de la Société, le professeur J. Bosscxa, à Harlem. ARCHIVES NÉERLANDAISES Sciences exactes et naturelles, THÉORIE MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE COMPOSÉE DE DEUX MATIÈRES DIFFÉRENTES, PAR M. J. D. VAN DER WAALS. Dans la séance du 28 février 1889 j'ai communiqué, à l'Académie des Sciences d'Amsterdam, une théorie moléculaire d’un mélange de deux corps et fait connaître quelques ré- sultats auxquels elle m'avait conduit. Comme elle em- brasse un champ très étendu et que mes recherches sur plusieurs points spéciaux ne sont pas encore terminées, il pourra s’écouler quelque temps avant que je sois en mesure de traiter ce sujet d’une manière complète. C’est pour sa- tisfaire à la demande de la Rédaction des , Archives néerlan- daises” que je vais tracer ici les principes de la théorie et en développer quelques conséquences. Pour déterminer complètement l’état d’une substance unique la théorie moléculaire exige que l’on connaisse : 1°. la pression qu’une quantité donnée de la substance, à volume et température donnés, exerce contre les parois du vase qui la renferme, lorsque la substance se trouve en phase homogène ; 2°. les phases qui peuvent coexister, ainsi que les condi- tions qui déterminent l’état stabile ou labile des phases ho- ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 1 2 M. J. D. VAN DER WAAIS. THÉORIE mogènes, conditions qui se rattachent à celles de la coexis- tence des phases différentes. La première de ces données s’obtient au moyen de consi- dérations basées sur les propriétés des molécules, savoir leur mouvement, leurs dimensions et leur attraction. Les données nommées en second lieu se déduisent au contraire de considé- rations appartenant à la théorie mécanique de la chaleur. Il est vrai qu'on à réussi à déduire de la théorie kinétique la condition qui doit être remplie dans la coexistence des états liquides et gazeux d’un même corps, mais cette déduction ne présente pas le même caractère d’évidence et de généralité qui est propre à la démonstration thermodynamique. La théorie moléculaire d’un mélange de deux substances exigera également la connaissance de la pression dans chaque phase homogène, à une température quelconque et pour toute proportion donnée des deux substances. Maïs ici, plus encore que pour un corps simple, il sera nécessaire de pouvoir dis- tinguer entre les phases stabiles et labiles et de déterminer quelles sont celles qui peuvent exister en même temps dans un même espace. La première de ces relations se déduira de nouveau des propriétés moléculaires de mouvement, de dimensions et d'attraction. Dans cette dernière cependant, on aura cette fois à considérer non seulement l'attraction réciproque des molé- cules de la même substance, maïs aussi celle de molécules de substances différentes. La seconde relation devra être em- pruntée de nouveau aux lois de la théorie mécanique de la chaleur. $ 1. Relations entre p, V, T' et zx. En admettant pour une substance unique la formule CE EE ee iQ 1 EE ns pa 0 SIEMENS 1) Dans une thèse défendue, en 1873, devant la faculté des Sciences de l'Université de Leide, M. van der Waals a montré que l'expression analy- MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 3 SJ on peut conclure à une loi pareïlle pour un mélange binaire de composition invariable. Seulement, les constantes a et b, dont la première dépend de l'attraction, la seconde des di- mensions des molécules, devront être remplacées par d’autres, ax et b;, variables selon les propriétés des substances eb se- lon la proportion dans laquelle ces substances se trouvent mélangées. tique de la courbe isotherme d’un gaz, OU del doit être remplacée par la suivante: (r+%)e6—0 =R7, lorsque l’on veut tenir compte de l’attraction réciproque des molécules ainsi que des dimensions des molécules. Il a fait voir d’abord, que les considérations, par lesquelles Laplace a réduit l'effet de l'attraction moléculaire à une pression normale exercée sur la surface d’un liquide, s’appliquent également aux corps gazeux et que, par conséquent, à la pression extérieure il faut ajouter celle due aux attractions réciproques des molécules. Cette dernière, étant proportionnelle au LA = L4 s œ carré de la densité, peut s'exprimer par —. v Quant à la dimension des molécules, elle a pour effet de diminuer le chemin moyen parcouru par les molécules dans l'intervalle de deux chocs consécutifs et d'accroître par conséquent le nombre des chocs survenant dans un temps donné. Cet effet équivaut à une diminution de volume, dont M. van der Waals tient compte en ajoutant à v le terme — b. La valeur de b est évaluée par l’auteur au quadruple du volume propre des molécules, tant que l’espace occupé par le gaz n’approche pas de la somme des vo- lumes des molécules. À partir de certaine limite, b doit diminuer avec l’espace intermoléculaire. M. van der Waals considère la quantité b comme invariable avec la température. L'auteur à montré que la formule, qu’il propose, rend compte des lois de dilatation et de compressibilité des gaz, observées par Regnault, et qu’elle est encore vérifiée par les expériences plus récentes d’Andrews et de MM. Cailletet et Amagat. Mais c'est surtout dans l'explication qu’elle fournit des propriétés que présentent les gaz dans leur passage à l’état liquide et de la continuité des deux états, que la loi de M. van der Waals a ouvert des vues nouvelles, tout en permettant de nouvelles vérifications concluantes. C’est ainsi que, après avoir remarqué que la température critique d'un gaz est celle à laquelle viennent coincider les trois valeurs 1* 4 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE Soient M, et M, deux nombres proportionnels aux poids des molécules des deux substances, et désignons par M, (1—x) et M,x les quantités, en kilogrammes, de ces deux substances qui composent le mélange, ce qui revient à supposer que pour toute valeur de x le nombre de molécules qui constituent le mélange reste le même. On trouve de = a, (1— x) +2a,.,% (1 —x) + a,x?. Dans cette formule, a, est; la constante de l’attraction mo- léculaire de la première substance, a, celle de la seconde, a... celle de l’attraction réciproque des deux substances. Les con- stantes a, et a, ont, chacune pour la substance à laquelle elle se rapporte, la même signification que la constante a de la for- mule (1) que j'ai proposée dans la théorie d’une matière simple. Pour D; on pourrait poser simplement: be = 0 (1— x) + b,x, où b, et b, seraient les valeurs respectives de la constante b (form. 1) des deux substances. Cependant, la théorie con- duit à une valeur plus compliquée de 0; et oblige à intro- duire, ici également, une nouvelle constante b,., !). Si l’on accepte la valeur donnée par M. Lorentz, qui est plus simple que celle que j'avais trouvée moi même, savoir: br =b (1—a)} +20b,., x (1 — x) + b,7?, la formule (1) devient pour un mélange de deux corps: que la formule fournit pour la variable v, M. van der Waals a calculé cette température pour l'acide carbonique, dont il avait pu évaluer les constantes « et b en se servant des données de Regnault. Il trouve 329,5, chiffre peu différent de celui déterminé expérimentalement par Andrews, savoir 309,9. La thèse hollandaise de M. van der Waals a fait le sujet d’un article de Maxwell dans le journal Nature Tome X, p. 477. Une traduction alle- mande, revue et augmentée par l’auteur, a été procurée par les soins de M. le docteur Fr. Roth sous le titre »Die Continuität des gasfürmigen und flüssigen Zustandes”, Leipzig 1881. Une traduction anglaise est actuelle- ment en voie de publication. JB: 1) Voir: H. A. Lorentz, Wiedemann’s Annalen 1881, Bd. XII, p. 134. MOLÉCULAIRE D’UNE SUBSTANCE ETC. 5 DEC DS n° . [a (x)? + 2 a,.,x (1—x%) + aa | Vu, let (e (1—2x)? == 20,.,x(1—x) + px )| = AIR, (=) <> M,R,x](1 + «œt). Dans cette formule on a désigné par V,., le volume d’un kilogramme de la première substance sous la pression p, et à la température de zéro centigrade. Si l’on pose p, = 1 et qu'on prenne pour l'unité de pression celle de l’atmosphère, si de plus on suppose le produit M, V,., égal à l’unité de volume, et qu’on remplace les deux produits égaux M,R, et M,R, par «MR, on pourra écrire: 61 IP TE De NET EI a, (1—x)? + 2a,., x (1—x) + a,x? ne $ 2. Règles pour la coexistence de phases différentes. Pour une substance unique la fonction p = f (V, T) permet de recon- naître immédiatement si une phase déterminée est stabile ou labile et si deux phases peuvent coexister. En effet, tant que (5) est négatif, la phase est stabile, et réciproque- me ment; d’autre part, la condition de la coexistence de deux phases est donnée par la règle connue qui fait connaître la manière dont la droite parallèle à l’axe des volumes doit couper l’isotherme, pour désigner la pression et les volumes sous lesquels les états liquide et gazeux peuvent se pré- senter simultanément. Mais ces règles ne peuvent pas être appliquées au cas d’un mélange. On pourrait ici résoudre la question d’une autre manière, en se servant du potentiel thermodynamique. En le désignant par u, on a du = V dp — nd, où ” est l’entropie. Lorsque la température est supposée constante, la relation entre u et p se laisse représenter faci- 6 M. J. D. VAN DER WAAIS. THÉORIE lement au moyen d’une construction graphique. La marche générale de la courbe, au moins pour des températures in- férieures à la température critique, est indiquée dans la figure 1. PA a La branche ab représente les phases gazeuses. Elle se termine en un point de rebroussement bd correspondant au point où l’isotherme montre un maximum de pression. A partir de ce point, la pression, sur l’isotherme, diminue jus- qu'à une valeur minimum, et la phase correspondant à cette dernière, est indiquée sur la courbe u = f (p) par le deuxième point de rebroussement c. Les points intermédiaires de b à 2 ? . È . n) = u _ h) 14 c représentent les états labiles ; pour ces points, ( De) ï () ; doit être positif, c’est-à-dire entre à et c la courbe est située au-dessus de la tangente. La partie cd représente les états liquides. Au point double e, deux valeurs égales de w cor- respondent à une même valeur de p, ce point indique ainsi les phases coexistantes. A mesure que la température s'élève, les points de re- broussement se rapprochent; à la température critique ils coincident. pire 4h à MOLÉCULAIRE D’UNE SUBSTANCE ETC. T4 A cette température et aux températures supérieures, la courbe a une courbure continue. Cette construction pourrait être étendue au cas de deux substances mélangées. Cependant, on peut encore traiter la question d’une manière différente, que je crois devoir préférer. La fonction: —=Ei—Ty c’est-à-dire l'énergie libre, jouit de la propriété que, pour une même température, et considérée comme variant avec fl, elle indique par les deux points de contact d’une droite bitangente deux phases qui peuvent exister ensemble. Comme on a dy =—pdV, elle donnera pour V— œ une asymptote parallèle à l’axe des volumes. Tant que la courbe tourne son côté convexe vers l’axe, elle donne les phases stabiles. La figure 2 repré- sente approximativement le tracé de la courbe, au moins pour des températures inférieures à la température critique. Entre les points qui ont une tangente commune, sont situés deux points d’inflexion; la partie de la courbe comprise entre ces deux points, représente les phases labiles. La partie de l’axe des y comprise entre intersection de celui-ci avec une tan- 8 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE sente et l’origine à pour valeur w — (+), et est donc égale au potentiel thermodynamique. A la température eri- tique, les deux points d’inflexion coïncident, et par conséquent la courbe tourne partout sa convexité en bas. $ 3. Donc, puisque à température donnée on a d w = —pdV, on n’a qu'à connaître p comme fonction de V pour déter- miner la courbe w. Maintenant, concevons trois axes: l’axe des V, l’axe des x et celui des w. Si l’on construit pour toutes les valeurs de W et pour celles de x comprises entre O et 1 les valeurs de y on obtiendra une surface qui, pour un mélange de deux substances, pourra remplir le même rôle que la courbe y, pour une substance isolée. Au lieu d’une droite tangente en deux points de la courbe, on se servira ici, pour trouver les phases coexistantes, d’un plan tangent ayant deux points de contact avec la surface. C’est ce qui se démontre au moyen d’une règle générale qui fait connaître les conditions de la coexistence et que j'ai com- muniquée à l’Académie d'Amsterdam dans sa séance de juin 1888, savoir: dans un espace donné la matière se dispose de teile manière que l’énergie libre totale est minimum. Lors- que dk est un élément de volume, o la densité et w’ l’énergie libre, par unité de poids, pour la phase qui existe dans un élément de volume, l'intégrale Je w' dk doit être minimum. On peut aussi se servir de l'intégrale F dk, où y repré- sente l’énergie libre d’une certaine quantité se trouvant dans cette phase et W le volume de cette quantité. Dans le cas qui nous occupe, cette quantité sera M,(1 — x) + M,x. Pour trouver les conditions qui rendent minimum l'intégrale, et considérant 1°. que l’espace occupé par le mélange a une M,(1— x) MS grandeur donnée et 2°. que [Et dk et T dk sont également invariables, il faudra poser MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 9 PT rit ee et) u, et u, étant deux ne Il en résulte res M, (x) — vu M, x V do VF z Ste ne er Je et F = 0 V | © DE ou | v—uw, M,(1—zx) —u, M,7z AE ST A VO Le constante a) ( NS Ter GE nr to ME 7 5e RNA T cerqur eu id à l'équation précédente, conduit à CAES (> NA constante. Cette dernière constante doit être égale à — p. Donc: ,les différentes phases qui peuvent se présenter dans l'espace donné doivent être telles, qu’elles rendent égales lies valeurs Mo) CG) En d’autres termes, les différentes cu qui peuvent se présenter simultanément, et pour lesquelles les valeurs de w sont données par la surface y, correspondent à des points qui ont le même plan tangent. La direction du plan tangent est 0 donnée par GE = et (), AM, =u, M, la distance de son point d’intersection avec l’axe des y jusqu’à l’origine à pour valeur u, M,. Les quantités u, et u, sont les mêmes que M. Gibbs a appelées les potentiels des sub- 10 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE stances composantes. Nous pourrions nommer uw, M, etu, M, les potentiels moléculaires. De ce que u, M, est la partie de l’axe des y coupée par le plan tangent, on reconnaît facile- ment que u, M, est la partie coupée de la droite parallèle à l’axe des y et pour laquelle r= 1 et W= 0; Pour que l’intégrale soit minimum, il faut de plus que d? Î soit constamment no Cette condition conduit à l'équation 2 ni T +2 À nr qui montre qu’une ne peut exister que lorsqu'on aura en ne. Re OR de CUT = (). dy d°w (= ee 0. 0 V? Fa dV29 — NO ro Il en résulte que pour, les points correspondant sur la sur- face y à des phases possibles, la surface, vue de dessous, sera convexe dans toutes les directions. Il dépendra des quantités des substances qui se trouvent mélangées dans un espace = Hoz>0 donné si la phase sera nécessairement homogène ou bien pourra être multiple. Le nombre des phases coexistantes dé- pendra de celui des points pour lesquels les plans tangents coïncident. $ 4 Comme, pour une valeur constante de #), on a due — p d V, l'équation de la surface w sera U—= — pa v+v() OÙ w=—MR T log (V — be) —T + p(x). La fonction y (x), qui est liée à l'accroissement de l’entropie causé par la mixtion des deux substances, peut être trouvée en comparant la dernière valeur de y avec celle que prend e— Ty lorsque le mélange des deux substances occupe un volume très étendu. En effet, à densité très faible, on a «— C et MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 11 y MP en négligeant une erreur Æ qui s’évanouit lorsque la densité est infiniment petite. En égalant les deux valeurs de y on obtient V—bs üx — MRT log = — 5 + pr) = I W, (1—x) À, TE y —+- M, EUR Tlog 1 C+ MRT | x log x + (1—x) log (1—x)) + MRT(1--x) log M, + MRTrlog M, + E. Pour, on aura #— 0) où p(x) = MRT |x log x + (1—x) log (1—x)| + C, + C;x. Les conséquences que nous allons tirer de cette équation resteront les mêmes si nous ajoutons à (x), et par suite aussi à w, une fonction linéaire de x. Comme wy représente une énergie, la constante C, pourra rester indéterminée; on peut la poser égale à zéro, de même que C,, ce qui ne changera ni 9°Y Le d?wy Ce n’est que la valeur de Or dx DV” (5: ur 2 M, —u, M, qui pourrait en être diminuée ou augmentée d’une valeur constante. La valeur absolue de ce dernier coefticient différentiel ne pourra donc pas nous servir pour en tirer des conclusions. D'autre part, l'égalité de la valeur que peut obtenir ce coefficient dans deux phases dif- férentes, et les considérations qui s’en déduisent, ne seront pas affectées par l'addition à (x) d’une fonction linéaire de la même variable. Nous pouvons donc poser dx _ $ 5. La forme de la surface, très différente selon les va- leurs de a, b y—— MRTlog(V—b;)— + + MRT\xlogx+(1—x) log (1—x) | 10) OU 0, 1,1ethT lorsqueles substances mélangées sont très denses, sera à peu près indépendante de ces constantes pour les volumes très étendus. Comme on a 12 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE JA TV eEs Er) les valeurs élévées de V pour lesquelles on peut négliger b; et ar, donneront, pour tous les points d’une même section perpendiculaire à laxe des VF, des pressions égales. Dans ces sections la direction de la tangente est donnée par (5%) z)v Comme on a dy MRT EE = æ ee OA UE on pourra poser simplement (5: = MRT log ÉOur 7 — 10} onu (sf) = — æ,poure = 1, (5# = + 52. EYE 0x }V La courbe descend donc verticalement et se termine en mon- tant verticalement, ce qui du reste arrive dans toutes les sections perpendiculaires à l’axe des V. Comme pour les volumes très grands on a | d?4wy MRT dx? — x(l—*) la courbe se trouve située, dans tous ses points, au-dessus de la tangente. La plus petite valeur de l’ordonnée corres- pond à æ—1} et l’ordonnée finale à la même valeur que l’ordonnée initiale. La valeur de eu = — ap est positive, Ô V2 Ô V FA 2 A 2 de même que celle de _ et, comme on a ne 0, la surface dans toute la région des volumes élevés se trouve située au dessus du plan tangent et représente par conséquent des phases stabiles. Lorsque la température est inférieure aux températures critiques de chacune des deux substances à l’état isolé, la courbe, dans le plan æ —0 et dans le plan MOLÉCULAIRE D’UNE SUBSTANCE ETC. 13 x —=1l, présentera la figure décrite ci-dessus, fig. 2, et on pourra y mener une droite bitangente. F x : ELA TRE Même dans le cas où _ aurait une valeur inférieure à L (4) Œ: 7 À à celle de et de 7 en d’autres termes, même dans le cas où 2 1 ce que je nommerai la température critique du mélange invari- able serait plus basse que celle des deux substances isolées, on pourra toujours construire la surface relativement à une tem- pérature assez basse pour que dans toutes les sections perpendi- culaires à l’axe des x se trouveront les deux points d’inflexion. La surface présentera alors un enfoncement de bas en haut, un pli, dont la direction générale sera parallèle à l’axe des x. Je désignerai cette configuration par le nom de le premier pli. Les points terminaux de ce pli (points tacnodaux de Cayley) !) se trouvent en dehors du champ de notre construction. Cepen- dant, il pourra arriver que l’un de ces points, ou peut-être tous les deux, soient compris dans le champ dela figure. Le premier de ces cas, par exemple, se présentera certainement lorsque la température pour laquelle la surface a été construite est intermédiaire entre les températures critiques des sub- stances composantes. L'existence d’un enfoncement dans la surface permet évi- demment de mener à la surface des plans tangents qui la touchent en deux points. L’un de ces points est situé dans la région des petits volumes (états liquides) l’autre dans celle des grands volumes (états gazeux). Si nous laissons rouler sur la surface, depuis æ — 0 jusqu'à x — 1, un plan bitangent, chaque position accusera une paire de phases que nous pou- vons considérer comme corrélatives. Dans le cas où la surface ne présente pas d’autres plis que celui que nous venons de 1) Ces points, où dans le mouvement roulant du plan tangent les deux points de contact viennent à coïncider, ont été désignés par M. Korteweg, dans une étude récente que nous publions à la suite des travaux de M. van der Waals, comme points de plissement (plooipunten). 14 M. J: D. VAN DER WAAIS. THÉORIE désigner, chaque paire indiquera deux phases qui peuvent coexister en réalité. Désignons par x, et VW, des valeurs appartenant à l’état liquide, par æ, et V, celles relatives à l’état gazeux, on aura, Ô a) en faisant (55): = UT), Ci = P(V,2),t ee 0 x Éé a uen (=, ), 57), =9(V,x) entre les quatre valeur trois relations suivantes: JP 5 SASJPEETD)- RCee (1) BV) EC) CCE: (2) PU œ,)=p(V;,t;) ste ete (3) L’élimination de V, et V, fournira une relation Ë (x, x,) = 0 qui permettra de calculer, pour une composition quelconque de l’état liquide, celle de l’état gazeux. Si l’on élimine V, et z,, On obtiendra V, en fonction de x, et, par conséquent aussi, p en fonction de x,. On pourra de même déterminer p en fonction de x,. Cependant, même sans résoudre ces équations, on peut en déduire quelques conséquences remarquables. Le mouvement roulant d’un plan tangent fera varier les valeurs de y, de u,M, —u, M, et de u,M,, mais il existera entre ces varia- tions la relation suivante: Vdp=du, M +xd(u, M, —u, M,). Lorsque le plan tangent continue à rouler sur la ligne bino- dale du premier pli, on aura en même temps: 1 V; dp=du, M, +zx, d(u, M, —u,M,) e V, dp=du, M, +x, d(u, M, —u,M,), et par suite (Vs -— Vi)dp—{(x, — 2) du, M, —u,M,). Or, on peut considérer uw, M, —u, M, comme dépendant aussi bien de x, et V,, que de x, et V,, selon qu'on voudra connaître p en fonction de x, ou de æ,. En général, on a MOLÉCULAIRE D’UNE SUBSTANCE ETC. : 15 M M, —u, M, — CE et par suite M Pr RE, ULeE, = ridt+;s È Mais si l’on substitue V oV gl) 1 a LD, “ G :), Fe (5). . on peut obtenir l'équation loir d?wy d Gi) | da, — pi) 2 — VE rt +), + D _ On aura, par conséquent, 2 — V—(x,—x, Es ).(æ JARDIN ERHANZ un # AT os Gr (x, T;) dy dæ, et de même QE 7 MAR ps rene (2) læ= ie ol m2 D) 52,)» \ É 2? y D?y — ( 0? y \? HA ONE Os VI = qe) ET de, | | SV} | Considérons d’abord cette dernière équation. V,, le volume à l’état gazeux, est considérablement plus grand que V;, CG vées de V la surface est convexe dans tous les sens, le facteur ci est à peu près nul, et comme pour ces valeurs éle- De dp de (x, —zx,)dx, du second membre sera positif. Donc . GE 2 k dp et æ, — x seront de même signe et D ne peut devenir nul dx 2 16 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE que lorsque x, et æ, sont égaux. La pression est alors soit maximum, soit minimum. La première des équations À, tant que pour les faibles volumes la surface reste convexe dans tous les sens, conduit à une même propriété de __ Il est vrai que G) n’est 11 0%, Jp pas nul, mais sa valeur est du même ordre que V, et peut donc être négligée par rapport à V,. Cependant on ne pourra pas supposer que pour les points situés de ce côté du pre- mier pli la surface sera partout convexe tout autour de ces points. Deux cas peuvent se présenter, selon les valeurs des d?@z 0x? 2(a, +a, —24a,,) Ou bien, la surface n’offre plus d’autre complication, ou bien il existe un second pli dont la direc- tion générale est parallèle à l’axe des V, de sorte qu’une sec- tion perpendiculaire à l’axe descend verticalement à son origine, mais se courbe bientôt vers le haut, pour descendre de nouveau, et, après une nouvelle courbure dont la convexité est tournée en bas, remonte vers le point x = 1, qu’elle at- teint dans la direction verticale. Dans le premier de ces cas on peut réaliser les phases li- quides pour toutes les valeurs de x, comprises entre 0 et1. Les substances liquides se mélangent alors en toutes pro- portions. La valeur de ee ne peut être nulle que pour æ, — 1 æ,. Mais dans le second cas, la ligne binodale du premier pli, qui doit faire connaître les phases liquides coexistant avec les phases gazeuses, passe par les deux branches de la ligne spinodale !) du second pli. Aux points d’intersection on a d?y — ( d2y per 0x ,? 0V,? 0x ,0V, différentes constantes, spécialement de 7 et de 1) La ligne spinodale forme sur la surface la limite qui sépare les par- ties concaves-convexes des parties quisont convexes ou concaves dans toutes les directions. MOLÉCULAIRE D’'UNE SUBSTANCE ETC. 17 et p obtient de nouveau des valeurs maximum et minimum. Dans l'intervalle entre ces deux points, le facteur de (x, —x,)dx, étant négatif, _ sera népatil Si ZT, > x), positif Si, <%,. 1 Cependant, les phases sont labiles, les mélanges correspondant à ces valeurs de x, ne peuvent donc être réalisés : les deux substances ne se mélangeront point ou se mélangeront imparfaitement. Même dans le cas où une section perpendiculaire à l’axe des V ne présenterait pas de points d’inflexion, le second y 0x ,? doit pas seulement être positive, mais aussi plus grande que pli peut cependant exister. En effet, la valeur de ne (er. SF. )':5 re - , pour rendre stabiles les états liquides. La présence du second pli !) est la cause que le plan bi-: tangent roulant sur la surface, avant d'atteindre les points des états labiles, rencontre la surface encore dans un troisième point de contact et par conséquent se trouverait empêché de continuer son mouvement roulant si l’on considère les surfaces comme matérielles. C’est alors que se présente comme troisième phase une nouvelle phase liquide et que coexistent trois phases, savoir: deux états liquides et un état gazeux. Toutes les phases liquides comprises entre les deux premières ne sont point réalisables ou ne le sont que difficilement. Celles qui ne sont pas labiles ne sont stabiles que pour des dérangements très faibles et ne pourront donc pas, en général, se montrer. $ 7. Lorsque le second pli n’existe pas, la marche de la courbe p —/f, (x,) et celle de la courbe. p —/, (x,) sont très simples. Dans les deux courbes p sera égal à la pression de la vapeur saturée de la première substance pour 4, —=x, —0; à celle de la seconde substance pour zx, = x, —=1. Quoique sd 10 ; HS CON CAS ON Alt To, ll PO ni Æ ne sera égal dx dx 1 2 1) Voir la figure, page 28. ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 9 18 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE à zéro. En effet, os 2" 0" EtpeustE)— Ron D NNROe on de — ie — (5) = — > parce que + renferme le terme MRT | MRT MRT Les produits(t, —x,) OU (T, —%,) CE , (—&) FU) ont donc une valeur indéterminée. Or, les courbes p=#f,(x.,) etp—f, (x;) peuvent monter ou descendre continuellement ou bien présenter des valeurs maximum ou minimum. Jamais, cependant, la pression ne peut dépasser la somme des tensions de la vapeur saturée des deux substances. Pour le montrer, con- cevons un plan tangent à un point situé sur la ligne binodale du premier pli, dans la branche qui se rapporte aux états gazeux, et calculons la longueur des segments que ce plan coupe de l’axe des y et d'une droite qui lui serait parallèle au point æ = 1 de l’axe des x; en d’autres termes: les valeurs de u,M, et de u,M,. On trouve: D He a, = MRTiog + MAT. + MRT, Soit p la pression. Les droites de Là direction donnée par p et tangentes à la courbe des y pour les deux substances, c'est-à-dire situées dans les plans æ = 0 et x — 1, devront se trouver entièrement au-dessus du plan tangent choisi et devront par conséquent couper des deux axes des segments plus grands que u, M, et u,M,. Si nous désignons par p, et p, les tensions des vapeurs saturées, le segment de l’axe des w M par la droite bitangente de direction p, sera MRT log Lee + MRT, le segment coupé de l’axe parallèle dE OR | P: (en x = 1) par la tangente à direction p, sera MRT log ET + MRT. Les segments coupés de ces axes par des droites de di- rection p s’obtiendront en considérant que pour une substance isolée on a A u, M, = V, Ap, équation dans laquelle V, pourrait représenter aussi bien le volume liquide que le volume gazeux. MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 19 Pour notre but V, désignera le volume liquide du poids moléculaire de la première substance. On aura donc P(1—x) P; ER ET < MRT log pp + V,(p—p,).. (D et de même, en désignant par V, le volume liquide du poids moléculaire de la seconde substance : MET log MRT log Sr < MRT Log Ep + VS C0 20. )re 2 (AD) ou 1— x V (p — æ _ _V,(p—p, D # _ 4 A + HET : comme on a MRT —=pV, lorsque V représente le volume ga- zeux, les premiers membres de ces équations seront des quan- tités très petites et nous aurons: p(l — x) < p, et px
p, + p,, mais la différence entre les valeurs de p et de p, + p, serait une quantité fort petite. Toutefois, comme dans chaque section perpendiculaire à l’axe des V la courbe commence par des- cendre, l’impossibilité absolue de mélanger les deux substan- ces ne peut se présenter en réaiité. $ 8. Lorsque le second pli existe, la marche des courbes p = f(x) et p—f,(x,) est plus compliquée. Considérons d’abord la courbe p =f,(x). Elle présente au moins un maximum et un minimum et, lorsque x, peut devenir égal à æ,, deux maxima et un minimum. Mais aucun des états cor- respondant à ces points ne pourra être réalisé. Dans un mé- lange d’eau et d’acide sulfureux, par exemple, en partant de l’eau non mélangée, la pression augmente par l'addition de l'acide sulfureux, mais, avant que le maximum ait été atteint, 2% 20 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE on est parvenu à la pression des trois phases coexistantes. Au contraire, en partant de l’acide sulfureux, l'augmentation de la proportion d’eau fait descendre la pression, mais ici encore la pression des trois phases coexistantes sera atteinte avant qu’on soit arrivé à la pression minimum. Dans les cas où la pression augmente, soit qu'on parte de x, = 0, soit qu'on parte de x, = 1, on aura deux maxima. Cependant la pression maximum ne se trouvera pas liée à la condition p
-L et > -2?; sera: —,
D. Tops b,
ane a a
+, +; pour F HE pet < Lai +, +, —, Lorsque, au con-
1°2 1 D
CPE a a
traire, la valeur 1 est comprise entre celles de -1 et =
ds b, b,
la suite des signes sera soit +, +, +, soit —, -—, —. Dans ces
deux derniers cas il n’y a que des valeurs négatives de RE
—%
qui satisferaient à l'équation, laquelle, par conséquent, ne
donnerait aucune solution possible. Dans les deux premiers
cas il n’y à qu’une seule valeur positive de ee rende
—2
DE de
$ 10. Les considérations suivantes peuvent contribuer à
faire connaître si le second pli pourra se présenter et si,
dans le cas affirmatif, il contient les volumes liquides qui se
trouvent sur la courbe binodale du premier pli.
La condition
peut, pour des phases stabiles, être ramenée à la suivante:
| MBT Na Le CR TO RS UE TRUE
lx(l—x) 02 V V—boz? li (V7 —b)? ë |
DRE IN Joe on) î C5)
ne RS PR rate RER NE dE
DÉRUES OU) AN ECC VENT
Considérons le cas où la pression augmente, soit qu’on parte
de æ—0, soit qu'onparte, de x — l'defsortetqualtaes
y avoir une valeur de x pour laquelle . — 0 à causede
x
x; — Lo.
MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 5)
sHTO
Pour cette valeur de x, celle de ie
et l'équation simplifiée peut s’écrire
( MRT | MRT 9°0 | | MRT . IVOPRE"MET
| Er) | V5 0x? (V= 6): dx? V(V—b)?
as 9°a CG M (COR
Or, on à, premièrement :
MRT _2a ee
(V—d)? V3
pour tous les points de la courbe binodale du premier pli.
9
De plus, on a = : = 0, au moins lorsque la distance moyenne
à laquelle s’entrechoquent les molécules hétérogènes, peut être
égalée à la demi-somme des diamètres de ces molécules. Soit
maintenant
d?4
dx?
Comme on a
— —( =) —=4(a,a, — a?,),
le premier abipes de l’équation, pour a?, = a, a,, se com-
=2(a, +a, —2a,:)< 0.
posera uniquement de termes positifs et la De sera néces-
, MOT CAOPASEE
sairement stabile. Lorsque, au contraire, —— est positif, l’in-
OL)
02
stabilité pourra se présenter, parce que le facteur de = est
beaucoup plus grand que celui de — = —(). Dans
tous les cas, pour de très faibles valeurs “ æ où de 1 — x,
le premier membre sera positif et les deux substances pour-
ront se mélanger en faible proportion.
Lorsque la surface présente le second pli, la courbe binodale de
ce pli fournira deux phases liquides coexistantes. Pour ces
26 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE
cas également une discussion devra faire connaître la relation
de la pression avec la valeur de x qui détermine la composition.
La règle, que pour des phases stabiles on a _ > 0 lorsque
À;
Ty > %,. ne peut pas être appliquée ici, parce que le facteur
:
= =) , peut être
p
0x,
dx
de cu , Savoir (V,—V,)— (x, —x,) (
1
négatif.
$ 11. Pour construire une surface qui ne contienne que des
phases restant stabiles pour des dérangements considé-
rables de l’équilibre, on ajoutera à la surface y la surface
développable, formée par l’intersection des plans tangents lors-
qu'ils roulent sur les deux courbes binodales, ainsi que le
triangle formé par les trois phases coexistantes, et l’on prendra
de toutes ces surfaces la nappe inférieure. Au moyen de la
partie restée libre de la surface, et des surfaces réglées qui
enveloppent le reste, on peut se représenter les. diverses
circonstances qui naîtront lorsque, à température con-
stante, on diminue le volume d’un mélange dont la com-
position à l'état gazeux est donnée arbitrairement. Soit x
la valeur qui détermine la proportion des deux substances.
Menons un plan sécant à la distance x. Les points de la
section appartenant à la partie non couverte de la surface y
représentent les volumes pour lesquels l’espace est rempli
d’un mélange homogène. Diminuons le volume jusqu’à ce
que nous rencontrons la surface réglée. La droite qui se
trouve sur cette surface au point où l’on y entre fait con-
naître par son autre extrémité, qui se trouve du côté des
petits volumes, la phase liquide qui se présentera aussitôt
qu'on continue à diminuer le volume.
Pour des valeurs décroissantes de V on rencontrera d’autres
géneratrices de la surface réglée. Les phases déterminées par
les deux extrémités de ces droites seront chaque fois celles qui
se présenteront en effet, tandis que le rapport des deux
parties de ces droites sera en même temps celui des deux
MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. ZA
phases coexistantes. Lorsque, à l’état liquide, les deux sub-
stances peuvent se mélanger complètement, la diminution du
volume conduira à un point où l’on peut quitter la surface
réglée, et à ce point correspondra une phase liquide homogène,
qui aura évidemment la même composition que la phase ga-
zeuse qu’on à prise comme point de départ. La composition
de la dernière phase gazeuse est donnée par l’autre extrémité
de la droite sur laquelle on est arrivé lorsqu'on quitte la sur-
face réglée. Cependant, dans le cas où le second pli existe, la
section prise à la distance + pourra couper le triangle déter-
miné par les trois phases coexistantes. Aussitôt qu'on est ar-
rivé dans l’intérieur de ce triangle, les trois phases se réali-
seront. Di, dans ce triangle, on mène la droite qui joint le
sommet (phase gazeuse) au point où l’on se trouve et qu’on
prolonge cette droite jusqu’à la base, le quotient du prolon-
gement divisé par la longueur de cette droite fera connaître
la fraction du mélange qui se trouve à l’état gazeux, tandis
que les segments de la base donneront la proportion des deux
quäntités qui se trouvent dans les deux phases liquides Si
l’on atteint la base même, la phase gazeuse a disparu, et
lorsqu'on continue à avancer sur la surface réglée, qui repose
sur la courbe binodale du second pli, il peut arriver qu’on
atteigne la partie libre de la surface y et que par consé-
quent l’état du mélange soit redevenu homogène. Lorsque
le second pli se termine sur la surface, le mélange devra pré-
senter cette propriété, quelle que soit la proportion des sub-
stances mélangées. Cependant, la pression devra croître consi-
dérablement aussitôt qu’on se trouve sur la surface réglée du
second pli. La question de savoir si des substances, qui ne
se mélangent pas sous pression ordinaire, peuvent former un
mélange homogène sous des pressions élevées, ne peut donc
être résolue que par l’examen de la forme du second pli.
Pour décider si les substances sont susceptibles de se mélan-
ger dans toute proportion, il faudra rechercher si la surface
contient un point de plissement du second pli ou si, au con-
THEORIE
VAN DER WAAIÏIS.
J. D,
M.
28
gie libre d’un mélange de deux substances
’éner
tant |
représen
température invariable
Surface,
. Les fils tendus
points qui indiquent des phases coexis-
tantes. Le point d’où partent deux droites différentes représente la phase
Dans la figure la surface est vue de dessous. La
gazeuze qui est en équilibre avec deux phases liquides.
à
région des petits volumes se trouve en bas de la figure
ognant les
sentent les droites joi
4
repré
MOLÉCULAIRE D’UNE SUBSTANCE ETC. 29
traire, le second pli se continue indéfiniment en haut. Il est
2h x
probable qu’une valeur positive de ee décidera en faveur
de l’existence du point de plissement, même à des tempéra-
tures très basses.
$ 12. Pour démontrer cette dernière proposition, remarquons
que les points de la courbe binodale du second pli, lorsqu'on
désigne par x, et x, la composition des deux phases coexis-
tantes et par V, et V, leurs volumes, devront satisfaire aux
conditions suivantes :
| V,— V,—{(x,—%,) (=) | =
0x, p' dx,
= (æ, — x;) - ? —
2,
d1V,?
CRE
et | Va LS %) :)} 7e =
dop dw
0%, ? dV,? 2
= (ts — 2) °° ——
RTE
OV, ?
Les seconds membres de ces équations, dès que la pression
dépasse celle des trois phases coexistantes, sont nécessaire-
ment positifs, si nous posons æ, > æ,. Lorsque ae est positif
2
et _ négatif, les deux phases se rapprocheront en compo-
2
sition par l'effet d’un accroissement de pression. C’est ce qui
arrivera quand on à
dV
V, LE l'% — (œ, =2)(5) > 0
1
V, — VV, — (x, — x) (5), 0
et
30 M. J. D. VAN DER WAAIS. THÉORIE
Considérons la surface
OEM) x
NOEL Tree
et menons un plan sécant parallèle au plan X V'; nous ob-
tiendrons les points pour lesquels p est constant, Or, V, et
V, représentent des petits volumes (volumes liquides) situés
sur une même branche, pour laquelle la pression est constante,
et on pourra donc écrire:
2, (x, — x,)? (=
Ve etc.
0x, de Eure 2 CHE +
ce qui rend probable que, pour tous les points de cette Der
d
Ho = SE Gt) (
on obtiendra une valeur DOBITINE de V,—V —(x, —x, (
dV, Le
lorsque ( SA je est positif.
De
née » GARE,
7
il suit
Lau 2(o+ MAT) vs
Pour des valeurs très élevées de p la valeur de V approche
, 0b = 04 00
e RS ne
De he ue 0x pôx
; SN ON 00
indéfiniment de à et par conséquent aussi (ss) de (> "|
CX 7 pT x
0?
En calculant ( =
2
V DS ?
on trouvera pour les valeurs très éle-
p
vées de p que le signe de cette valeur est déterminé par celui
;
de _ Dans le cas où la branche, sur laquelle sont situés
7
| 0? : “e
V, et V,, a une courbure telle, que 7 est toujours positif,
ONVaUrA, POUr TT, ;
dV
le > V; LUS (ts —x,) (
0x;
MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 31
et ; do?
P = ME: 2) () :
CL Jp
Pour ;
be =b, (1—x) +20,, &(1— x) + 0, x?
on obtient
Dre
RE UE. ch
d x
Or, d’après le résultat trouvé par M. Lorentz !), pour
Po et D, — a, tonobtient 0, — 26 où 6 désione la
3
distance à laquelle s’entrechoquent les molécules hétérogènes,
c’est-à-dire d,., = ? nie) . La substitution de ces valeurs
22 Ê QE,
dans l’équation de — donne
d°0z Ie 470)
pese
= 3 (D 5 — 8) (05 +80),
valeur toujours positive. [l en résulte que, même dans le cas où un
commencement de compression éloignerait les deux phases l’une
de l’autre, elles devront néanmoins se rapprocher pour des
pressions très élevées et selon toute probabilité coïncider fina-
lement. Cependant, comme le coefficient de _ est très faible,
l'accroissement de pression devra être très considérable pour
opérer une variation sensible dans la composition des phases.
$ 13. La surface w que nous avons considérée jusqu'ici se
rapporte à une composition à nombre constant de molécules.
On aurait pu construire également une surface w en suppo-
sant que le poids du mélange reste le même.
Construisons les ordonnées y pour les phases homogènes de
mélanges se composant de 1 — x kilogrammes de la première
substance et x kilogrammes de la seconde. La surface w ainsi
1) Je me sers de la valeur de b; trouvée par M. Lorentz parce qu'elle
est plus simple que celle que j'avais obtenue précédemment moi-même, et
parce que j'estime possible qu'un calcul plus rigoureux, établi d’après les
principes que j'avais admis, m'eût conduit à la même expression,
(Voie
Û
82 7 \ M.J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE
obtenue conduit aux mêmes règles pour déterminer les phases
labiles et stabiles et celles qui peuvent coexister. Les segments
que le plan tangent coupe des axes représentent, pour cette
surface, les quantités u, etu, mêmes. Il est certainement digne
de remarque que deux surfaces différentes, — et on pourrait
en construire encore d’autres, — peuvent servir pour les mêmes
recherches. Il y a des cas où la surface y construite pour poids
constant doit être préférée à celle que nous avons employée
ci-dessus. \
Dans notre nouvelle supposition, p obtient la forme:
A—zx)8R T+zxR,T
2
Lo, (1—x)? +96, Ti x (1—x)+ en b,«, |
M M.
L4 V À 9) 7)
DETE
où m, et m, représentent les poids moléculaires des deux
substances.
$ 14. Les considérations qui précèdent peuvent s'appliquer
également à l’équilibre d’une substance unique dont les molé-
cules sont susceptibles de se combiner, de manière à former des
molécules doubles. On aura alors m, : m,= !. Si nous cherchons
les conditions pour lesquelles l’énergie libre totale devient mi-
nimum, nous trouverons les mêmes règles, à l'exception d’une
seule. Comme conditions supplémentaires nous avons trouvé,pour
le mélange de deux substances, aussi bien | ec dt = UE
( o(1—x)dk= C,. Maintenant que les deux substances doi-
vent être considérées comme pouvant se transformer l’une
dans l’autre, l’une des conditions s’évanouit et il ne reste que
( odk= C. Tandis que précédemment ( a) 7. — Ha Enie
MOLÉCULAIRE D’UNE SUBSTANCE ETC. 33
devait avoir une valeur constante pour les phases coexistantes,
: dY ) s
nous trouvons maintenant . —INout Et PME
x V
dire que le potentiel thermodynamique conserve la même
valeur pour la substance considérée, soit qu’elle se présente en
molécules simples, soit qu’elle consiste en molécules doubles.
Cependant, si nous voulons tirer des conséquences de la valeur
absolue de (+) , la fonction linéaire de x, à laquelle conduit
z}r
l'analyse exacte de y, ne pourra plus être négligée. Pour
déterminer y (x), si nous posons
nous avons à considérer que, pour un mélange, composé de
(1 — x) kilogrammes de molécules simples et x kilogrammes
de molécules doubles et occupant un espace très-étendu, on
peut écrire, — à une erreur près qui devient nulle pour un
volume infiniment grand, —
ÊE=E, (1—z2)+E,x
et
Fr
Ty = de, ol me noie log = +H, (x) + H,x|
d’où
LS fav +otr)
RG —a)+ Rio | T log(V—b)— TE + px)
OS) Er | R; (1—5x) log is +R, x log = +
+ H (—-2)+H, x | + Erreur.
ou
p(tæ) = E, (—x) + E, x + TIR, (1—x) log (1—x) +
+ R, x logx — H, (1—x) — H,x| !)
1) Æ, —E, est la perte d'énergie qui résulte de la transformation d’un
kilogramme de molécules simples en molécules doubles, 11, — IH, est, de
mème, la perte d’entropie qui accompagne cette réaction.
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 3
34 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE
La valeur de p contient x sous une forme qui peut sembler
très compliquée. Cependant, si nous considérons 1°. que
= fs 2°, que 71 y et 3°, que probablement a, ,— 2
2 9 M. 2 que p io TE
a, —=4#a, et b, — 20, et enfin si nous posons, par approxi-
mation, db, +b, —20b,,—0, ce qui, tant que la matière se
trouve à l’état gazeux, ne peut causer qu’une er:cur négligea-
ble, on aura
Se 2 a,
Po 1°0 V2
En prenant p; pour unité de pression et V,.,, le volume
d’un kilogramme de molécules simples, pour unité de volume,
on obtient :
x
0e ni UR
CE er V,
La valeur |
y
(5 nm.
donne
he HT 0) nu — E, HE ne
=. dep) me opter)
Comme (+) doit être nul, le contour apparent de la
22 02
surface w sur le plan w V donnera les valeurs de w. On pour-
rait les trouver encore sur la surface y même, en cherchant
dans chaque section perpendiculaire à l’axe des V le point le
plus bas. Lorsque la température est au-dessous de la tem-
pérature critique des molécules simples (celle des molécules
1) Cette équation, si l’on a égard à celle de p, est entièrement conforme
aux résultats des expériences, même pour des densités qui diffèrent très-peu
des densités théoriques des molécules simples et doubles. Je me propose
de le démontrer dans une autre occasion.
MOLÉCULAÏIRE D'UNE SUPSTANCE ETC. 35
doubles devra être deux fois plus élevée, au moins quand les
suppositions que nous avons faites à l’égard des constantes
se vérifient) le premier pli devra exister sur la surface w. Le
plan tangent aux points de la courbe binodale qui est en
même temps perpendiculaire au plan w V fera connaître les
phases liquides et gazeuses coexistantes et les quantités des
molécules simples et doubles. La droite qui réunit les deux,
points de contact, étant une bitangente de la surface, indique
la coexistence des deux phases en proportion variable et
montre que la pression reste invariable lorsque la phase ga-
zeuse change en phase liquide, ainsi que cela arrive lorsqu'il
n'y a pas de dissociation. Contrairement à ce que j'avais pré-
sumé antérieurement, l’invariabilité de la pression ne peut
donc pas servir pour reconnaître si les molécules simples se
sont combinées.
$ 15. L'intervention de forces extérieures, telles que la
pesanteur, devra modifier les règles qui servent à faire con-
naître les phases qui peuvent coexister. Dans la condition
fondamentale, que Î o wok soit minimum, il faudra prendre
en considération que w représente maintenant la somme de
l'énergie libre thermodynamique du mélange et du potentiel
des forces extérieures et pourra donc dépendre de la hauteur
h du vase. Le raisonnement du paragraphe 8 conduit alors
aux relations
à (ae (1 — 7x)
T
d V on TL
et
éme
V
OREDENT EN RRNEE Hp 0
L'intégrale pourra donc être une fonction de À et on pourra
écrire
Yu, x) — ue.
EE À)
3*
36 M. J. D. VAN DER WAAÏIS. THÉORIE
Si nous désignons par y’ l’énergie thermodynamique libre,
on posera, lorsque l’on considère la surface w' pour poids
constant du mélange,
w=wY +gh,
et les deux coefficients différentiels qui doivent être nuls
donnent
7 CG = (% as W +gh—n —x(u, =)
PEN VONOME y?
DU ROUE
Gr), GE), = eu
ou |
dy" dy"
] 4 2 — ——=
ni Cl CT
y —V e Pet ( Dr — qh.
Le nombre des phases qui peuvent coexister est donc aussi
erand que celui des hauteurs différentes qui existent dans
l’espace qu’occupe le mélange, c’est-à-dire, infini. Elles sont
indiquées par les plans tangents, dont l'intersection avec le
plan y'x forme des droites parallèles à la direction invariable
u, —u,. Les distances, auxquelles ces plans coupent l’axe des
w, diminuent de gh lorsque la hauteur du point de l’espace
à laquelle la phase se rapporte augmente de À. Pour toutes les
phases, u, et uw, sont égaux, maïs ces quantités ne désignent
plus les segments de l’axe des y’ coupés par les plans tangents.
En différentiant
W+HpV=u, +a(u —u,)—gh
on obtient
dy + Vdp=—-pdV +(u, —u,)dæ—qgdh
c’est-à-dire Vdp——gdh ou dp = — p gdh,équation con- |
nue de l’hydrostatique. Non seulement la pression mais aussi
la composition du mélange sera différente pour les phases
coexistantes. La relation entre les variations de x et de se
trouve comme il suit.
MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 27
De u, —u, = C on déduit
PAPD EN ps AURES NN) UE +
À Æp 9 Pz
ou
Ba Bd Gr + DD fes
Xp dPx
Mais, comme
dy’
M2 nn LA LR le
on à ( d y’
d(u, —w) _02w Koxd7
0 Xp 0 x° ELU
d V
De plus
duo M) É )
d Pr 0 D
Donc
A EM ni ox )p
9 V?
Comme V est égal à +. on aura
(a
ÿ e RO 5)
4 a ee Lz/r
par conséquent :
RE
d? y’ dx 0 1 d 0
au a ES Ce:
De ie Le (9) a
à V?
Pour les phases stabiles le premier membre est positif. Il
À )
en résulte 2h > 0 lorsque ( ©) <0, et réciproquement.
Oui dx p
Les propriétés indiquées par ces équations sont connues
pour des mélanges tant gazeux que liquides. Mais au moyen
de la surface w on pourrait encore déterminer numériquement
38 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE
la composition d’un mélange, tel que l’eau et l’alcool, dans
les couches de différentes hauteurs, lorsque le mélange est
arrivé à l’état d'équilibre. Pour des gaz peu denses, on obtient
Ja valeur que l’on calcule d’après la règle connue, qui consiste
à considérer le mélange comme résultant de la superposition
de deux gaz isolés et à égaler la pression du mélange à la
somme des pressions des gaz composants.
Si, pour la solution de ce problème, on eût voulu se servir
de la surface w' à nombre constant de molécules, en aurait
dû poser
w= Y'+ [M (x) + M,x]9h.
On trouve alors que le plan tangent, au point qui représente
la phase existant à la hauteur h — 0, coupe les deux axes
y" à des distances uw, M, et u, M, de leur origine. Pour les
phases qui se présentent à la hauteur , ces distances sont
uw M, —M,gh et u, M, — M, gh. De plus, dans ce cas ona
dY’ |
CE), = 0 1 — (M, — M) gn
d’où il résulte que G*) “ir (M, — M,)gh a une valeur
constante.
Dans l’état gazeux du mélange la surface y! satisfait à la
relation
Owy' d
TT | — Poil :
(S ) 4 HAE 1x
Donc, lorsque la pesanteur agit sur un mélange de deux gaz,
la valeur MRT log __ +(M,— M )gh devra être constante.
Désignons par +, la composition du mélange pour À — 0.
On aura
2, IEEE
PET
MRT log
= (M, — M )gh
MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 39
D is à Luge (le L
; fe 1—x x, 114 eat R° )
7
équation valable aussi bien lorsque ms. exprime la compo-
—%
sition en poids que lorsqu'il représente le rapport du nombre
de molécules. Même en considérant que g, à la surface du
soleil, à une valeur environ 28 plus forte qu’à la surface de
la terre, il paraît peu probable que la dernière équation puisse
se concilier avec l’hypothèse que les couches de l’atmosphère
du soleil soient séparées aussi nettement que l’admet M. Brester
dans sa récente étude sur les phénomènes que présente la
surface de cet astre. On peut remarquer de plus, que la
valeur élevée de la température devra compenser l'effet d’un
accroissement d'attraction.
SO MÉOURMexamimer dans leNcas leMblus rénéral îles
conditions auxquelles doivent satisfaire les phases coexistantes
d’un mélange de deux substances soumises à l’action de forces
extérieures, nous désignerons, comme précédemment, par w'
l'énergie thermodynamique libre d’une quantité M, (1 — x)
+ M,zx. L'énergie provenant des forces extérieures sera re-
présentée par M, (1—x)P, + M,zxP,, où P, et P, expri-
- ment les potentiels de ces forces par unité de poids pour
chacune des substances. Dans beaucoup de cas ces quantités
seront égales, comme dans celui examiné au paragraphe pré-
cédent. Dans d’autres, comme lorsque les substances éprou-
vent des actions magnétiques, ou l'attraction des parois du
vase, elles seront inégales. Toujours, cependant, elles pourront
être regardées comme étant des fonctions des coordonnées
æ, 5, 7 des points où les actions extérieures agissent, de sorte
qu'on peut poser P, =, (x, B, 7) P; = p, (a, B, y). La quan-
tité y ne dépend que de x et de V. En désignant de nouveau
par y l'énergie libre totale du système, on aura
w—=Yw +M (A—-x)P, + M,zxP,
et il devra être satisfait à la condition que
40 M. J. D. VAN DER WAAIS. THÉORIE
f$ Ar Le
est minimum, tandis que |
TE ee 0
Selon les règles du calcul des variations on pourra tenir
—C,.
compte de ces conditions accessoires en déterminant les con-
ditions qui rendent minimum la valeur
DRE W, Ce ra apus:
y
où u, et «, représentent deux nouvelles constantes. Le fac-
teur de d«dfd; est une fonction de x, V, «,Bet 7. Mais ce
ne sont que les coefficients différentiels par rapport à x et
à V («, B et y étant supposés constants) qu'il faudra égaler
à zéro. On aura donc
LE (d—a){m—P,) — Me (Pa)
V
y E DD
æ & )
CR OP RUE He)
: 0. (IT)
Or Vauby 2
Il en résulte que la quantité
ÿ More os Mere
V
ne devra dépendre ni de x ni de V, c’est-à-dire qu’on aura
w — M, (—zx)(u, —P,)—M,x(u —P,)= — V f(a,f,7)
tandis que d’après (I)
OU |
(Y) = (68,9
et par suite
P=J(«, 6,7)
et d’après (Il)
h) /
GE), = GP) GP)
0 &
MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. A
Le calcul des segments qu’un plan tangent à la surface w’
coupe respectivement de l’axe des (2 et d’un axe parallèle
dy’
au point æ = 1 et V—0, savoir des valeurs w— x de
dy Li ŒUR\ UE OY
ue CE). et w'+ (1 1), V Ê 2) » ne
le premier: de ces segments M, (u, — P,), pour le second
M, (u, —P,). Si donc, pour un certain point de l’espace
occupé par le mélange, on connaît la phase qui sy présente,
et que pour cette phase on construise le plan tangent à la
surface w', on trouvera la phase qui existe dans un point
quelconque de cet espace en diminuant de M, P,: et de
M, P, les segments que ce plan tangent coupe des deux axes
et en menant par les Poe ainsi déterminés un nouveau
plan tangent à la surface w. Le point de contact de ce dernier
plan fera connaître la phase cherchée. Cette construction
suppose qu’au premier point les potentiels P, et P, sont
zéro. On trouve de cette manière aussi bien la quantité x qui
exprime la composition du mélange, que la pression qu’il
exerce. Analytiquement, cette propriété est exprimée par
les équations
du
w 2 (5) +PV+MP,=G .... (I)
t | Jui
$ ÿ +2 (SE PV +P,= GC, .... (IV)
En différentiant l’équation (III) on obtient
A CU ss Si y se
d y (#), dx + pd V + V dp cafe), +aar, 0.
Comme la somme des trois premiers termes est zéro et
que d (5) TT UE M, dP, + M,d?P,, l'équation devient
simplement
DDRM) d'PCOHE #d'2 he 1: 1(N)
d’où l’on peut déduire ( “JA (5). ; LCR - g° c'est-à-
} HP
dire les équations connues de mon
49 M. J. D. VAN DER WAAIS. THÉORIE
De même on peut exprimer les variations de la compo-
sition, c’est-à dire les valeurs de dx en fonction des variations
ne:
des coordonnées de l’espace, en developpant d (5) je On
trouve (IV)
[ d?ÿ 21)
(RETES (& Ke |
A) V D”.
[° x? NELTE pri) SN Ce ; dp=—M,dP,+M;,dP,.(VI)
\ à PV?
Comme cas particulier, nous posons P, — 0. Les forces exté-
rieures n’agissent donc que sur la seconde des deux sub-
stances. On à alors
V dp= — M, xd P,
et
ou. Gr)
22w. \oaoV/ 1,1 | 4 ME NBEN
ÉRIC
| d V? }
» . « M ]
Lorsque x est très petit, le facteur de dr se réduit à 20 _
et l’on peut poser
MRTdzx
PATRON ie CL
ou |
MRT log — KEMEPE
En éliminant d P, et en introduisant dp, on obtient la même
valeur que celle de la pression osmotique, savoir
MORE 201: Vi
RER M nf)
x (1 — à). x “P
ou
M RTAzx
A Pp— 74 ;
Cette équation peut se formuler ainsi:
,Lorsque, par l’action de forces extérieures sur une des
matières qui composent un mélange, le degré de concentration
MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 43
diffère en deux points contigus d’une quantité A x, il en
résultera une différence de pression, qui, — pour de faibles
degrés de concentration, — sera égale à la pression qu'un
nombre Azx de molécules exerceraient à l’état gazeux contre
les parois d’un vase qui aurait le a (
$ 17. Si l’on compare la valeur de 7 qui résulte de l'équa-
tion (VII), savoir
d?wy 2 :
CRUE. = Lx dp \ (Se )
2x? d?w a æ (T )
d 4 , PS À
et la valeur de _ trouvée antérieurement pour le cas où de
Æ
deux phases coexistantes (état liquide et état gazeux) on passe
à deux autres peu différentes des deux premières, valeur
donnée par l'équation
oe_ Ger) |, v AE 4
Horde dure À Ti per UN À
d RT))
on FN Por —=T,
DV,
—— — ITT)
JE Ee _e- ), 1= = je. = er e D \ Ai
En Dont dx, Eu on peut déduire de cette équation le
rapport des pressions qui, dans chacun de ces cas, doivent
être appliquées pour passer de l’un des degrés de concen-
tration à l’autre.
L’équation se simplifie particulièrement lorsqu'on suppose
x lui-même très petit. On obtient alors
dip = Ve dD
TT)
Si la seconde substance est de telle nature qu’elle ne se pré-
sente pas dans la vapeur, x, sera zéro et l'équation devient
mA ITS Pa V; dpi
1) Voir les équations À, pag. 15.
44 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE
où V, représente un volume liquide, V, un volume gazeux,
—L étant l’abaissement de pression pour une quantité mo-
"4
léculaire, et L la quantité expliquée plus haut.
/
dp
Lorsque æ est petit, la quantité E obtient une forme très
simple. En effet, on peut alors poser
dy \?
d2y (+ NOMRT
d x? Or er)
à V?
ou
DRE OO
PNR ee Re
De He Or) RU
Mais, comme V, représente un volume gazeux et que
MRT= p'V,, on peut encore écrire:
Si la seconde substance ne passe pas dans la vapeur et que
par conséquent +, —= 0, on aura
pan tr
Te we
_ Cette équation exprime la règle connue pour l’abaissement
de pression produit par des corps qui n’entrent pas dans la
phase gazeuse :
,L’abaissement de pression pour un nombre A x de molé-
cules est p À x.” |
Mais on voit que, tant que x, n’est pas zéro, ou insensible
par rapport à æ,, la règle fait défaut; — 1l peut même y avoir
augmentation de pression au lieu d’abaissement.
Les considérations présentées plus haut permettent d’indi-
quer les circonstances qui détermineront si +, pourra être
égal à zéro.
MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 45
L'égalité de ei pour les deux phases donne
O TX V
db
da da 1
MRT log —": UP te
pete 1—x, pd DEN Er NP,
— Host Fe. RES AE
ee CET Een er V.
où | db
QE or Le 1 ep pe qe EE
ne 1—x, dan V7, ê V,—0b"
ï DE date à
Pour que —1 soit très grand, il faut que d ait une va-
ï ë
2
leur positive très élevée ou que a,., soit beaucoup plus grand
que a,. Une valeur de x, rigoureusement égale à zéro est
aussi peu compatible avec cette théorie, que le fait d’une
substance qui ne se volatiliserait nullement serait incompa-
tible avec les théories moléculaires proposées jusqu'ici.
$ 18. Les cas dans lesquels l’une des deux substances est
sujette à la condition d’occuper, soit intégralement, soit en
partie, une région déterminée de l’espace, tandis que l’autre
substance peut se distribuer librement, selon les conditions de
l'équilibre, dans l’espace entier, peuvent être traités dans cette
théorie en laissant indéterminée l’une des deux conditions
auxquelles doivent satisfaire les points où le plan tangent ren-
contre les deux axes des w. Soit la substance qui peut se
déplacer librement par tout l’espace celle que nous désignons
comme la première. Le segment que le plan tangent coupe
du premier des axes de w, savoir u, M,, devra alors être
le même pour les deux parties de l’espace, tandis que
u, M, peut avoir une valeur différente pour ces deux parties.
Soient données la première phase et la composition de la se-
conde. On n’aura alors qu'à mener à la surface y un plan
tangent tel, qu’il coupe du premier des axes de y un segment
AG M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE
égal à celui du plan tangent de la première phase, et dont,
en outre, le point de contact avec la surface ait pour ordonnée la
valeur æ qui exprime la composition donnée. La position de
ce plan indiquera alors combien la valeur de p devra différer
de celle de la phase donnée.
Soit, pour la première phase, x = 0, et p, — Ap, la pres-
sion, cette dernière étant plus faible que la pression p, de
la vapeur saturée de ce liquide. Désignons par À le segment
coupé de l’axe y pour æ = 0 et Ap, = 0. On aura alors pour
la première phase,
M, u, — A — 7, AP;:
Soit la seconde phase une phase liquide, pour laquelle
x —x,, et posons que la pression soit de Ap, supérieure à
celle de la vapeur saturée du premier liquide, et que le vo-
lume soit V..
De
VevApe NU, M, == tv A(u, M, — ui M)
il résulte
D = AE pE EC AN EE EUR
ou
V,Ap, + V, Ap,—x, A(uM, —p;M)) ©: 00)
La valeur de x, A(u,M, — u, M,) peut s’obtenir au moyen
des deux équations qui se rapportent à la coexistence des
états liquide et gazeux savoir, lorsque À p est l’abaissement
de pression,
VS AD = u, M, +x, A(u, M, — ue 4H)
et
— V, Ap=A u, M, +zx, Au, M, —u,M))
ou
(V, — V,)Ap=(x, —x,)A(u M, —u,M,),
et lorsque la deuxième substance ne se trouve pas mélangée
à la vapeur:
(V, — V)Ap=x, Au, M, —u,M,).
L’équation (A) devient ainsi
MOLÉCULAIRE D’UNE SUBSTANCE ETC. 47
V, Ap, + V,Ap,=(V, — V;)Ap
ou
MD END) =; (ND —XD;).:... (B)
Soit Ap, —=A9p, on aura Ap, =—Ap; il n’y aura donc
pas de différence de pression entre les deux parties de l’espace.
Soil A —0; dans ce cas |
Nr Cr HP) Sp
C’est ce qui arrive lorsque, à côté de la solution, il se trouve
dans le reste de l’espace la substance dissolvante à l’état pur
sous la pression de la vapeur saturée, soit comme liquide,
soit comme vapeur. Cette quantité est ,la pression osmotique”?
découverte par M. van ’t Hoï,
Pour Ap, plus petit que — A p, mais cependant po-
Î
sitif, 1l y aurait équilibre lorsque la première phase est une
phase gazeuse dont la pression serait plus faible que celle de
la vapeur saturée, mais plus grande que celle de la vapeur
en présence de la solution libre.
L’équation (B) peut se mettre sous la forme
RE CRDI Ve 7) ap AD)
Comme Ap, + Ap, exprime la différence de pression dans
les deux parties de l’espace et Ap — Ap, l'excès de la pres-
sion dans la partie libre de l’espace sur la tension maximum
de la solution, il en résulte que ces deux différences doivent
varier dans la même proportion. Cependant on ne pourra
conclure à cette dernière relation que tant que les diffé-
rences restent faibles, car ce n’est que dans ces conditions
que l’on pourra regarder V, comme invariable.
AS M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE
Appendice contenant quelques remarques
sur la marche de la courbe spinodale.
$ 19. L’équation de la projection de la courbe spinodale de la
surface (y, æ, V) est donnée par la condition:
2 A) UE
sr OrO NT RE
qui, dans nos suppositions, conduit à la relation suivante:
| MRT MRTO9?b is 1 9?a
+ _
| a(1—x) fu de Er) “rie VA .
MRT Mer : 1, 42 0
CP) | qe 1 nes
| MRT MRTO'b 10?a, r RT Le nt
| à |
(Lx) VE 7 V 5æ2 | ((V—b TV:
MR TA ODA 00 1 OA
(V0). V2 0% 17,0% 107 VEN
Pour æ = 0 et x —=1, l’équation est satisfaite par les points
pour lesquels on à en même temps:
MRT 2 a
CRU L
c’est-à-dire par les points d’inflexion des courbes y des sub-
stances isolées. On a déterminé ainsi quatre points situés sur
l’axe des V et sur la droite parallèle à cet axe et située à la
distance +=.
Pour examiner si la courbe V=—b; contiendra des points
de la courbe spinodale, nous remarquons d’abord que cela
A 0?b . ?
ne pourra pas être le cas lorsque =—— diffère de zéro. Car,
la seconde des équations A, multipliée par (V—b)*, se ré-
duirait pour V = à
MeRa Te TE 0
Door?
Si réellement, comme ïl est probable, dans le cas limite le
MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 49
volume du mélange approche de celui des molécules, c’est-à-
dire de | b, (1— x) + b,x, |, _. s’évanouira. Quant à l’ex-
pression de 8; à laquelle conduit la théorie pour des role
étendus, savoir :
0x =D, (1— x) + 2b,., x (1 — x) + 0, x?,
elle peut s’écrire:
=D, (Îl—x) +b,z+(20,, -b, —b,)x(1l — 5),
et l’on voit que . sera zéro, si l’on peut poser 2 b,.,—0, + b,.
Dans ce cas la question de savoir, si la courbe V = b; con-
tient des points appartenant à la courbe spinodale, exige un
examen spécial.
Multiplions par (VW — b)? la seconde équation A et posons
ensuite V — db; nous aurons: |
MET 1026 2 0b da _ 2a
(1 —x) pes 07 UE n ( .) =0
ou
a
Dur
BTE) de
Les valeurs de x qui satisfont à cette équation indiquent
les points où la courbe spinodale rencontre la droite W — b.
La condition que deux points d’intersection coïncident
conduit à l’équation
br A —2x)=32x(1—%x)
ou
x : D Dr be
) +2 b, RTE ee
équation qui a une racine positive, savoir lorsque 0, > b,,
DR pe 1 Je ARE LEE ON be
12 0
ou
D ee 21 ESS EE bp, +. Her pr 1
TR D, —b,
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 4
50 M. J. D. VAN DER WAAIS. THÉORIE
L’équation
a
MR «140
m(1—x). dx?
se laisse encore ramener à la suivante
MRT=26; D} | . se = E 2p Es (a)
Si l’on substitue dans le second membre la valeur de x qui
correspond à la coïncidence des points d’intersection, l’équa-
tion donnera la valeur de T pour laquelle la courbe spinodale
est tangente à la courbe V — 6. Pour les valeurs plus faibles
de T, il y aura intersection; pour les valeurs plus élevées le
point de plissement et, par suite, le second pli ne se trou-
e ® « 02b =
veront plus sur la surface w. Aïnsi, dans le cas où ——s Serait
HA
nul, il existe une température au-dessus de laquelle les deux
substances se mélangeront complètement. Cette température,
qu’on peut appeler ,la température critique de mélange com-
plet”, est le zéro absolu lorsque
Qi , An __ 2. < p,
b? b b,b;, A
Si nous supposons
PL LD = EUDÉE + k=0
DONNE AUD,
où kÆ est positif et peut descendre jusqu’à zéro, nous trouvons
D, — Giro Æ TG. — @1 (da + À)
b, &, É
La plus faible valeur de a,., qui permette un mélange
complet à toute température est donc
LT
On voit que, pour 24,., 1, les deux branches
de la courbe binodale se sont rapprochées ; en d’autres termes,
elles s’éloignent moins des deux branches formées par les
projections des points d'inflexion des sections de la surface
perpendiculaires à l’axe des x. Donc, dans ce cas, les deux
branches de la courbe binodale forment deux courbes qui
traversent le champ sans présenter des inflexions très pro-
noncées vers le côté des faibles volumes, Il en résulte que la
surface ne présentera qu’un seul pli.
Lorsque, au contraire, a a, > a?.,, et que par conséquent
le second terme du dénominateur reste négatif en vertu de
son signe, le second membre de l’équation (1) peut obtenir
une valeur élevée et les deux branches pourront s’écarter
considérablement. L'écart se prononcera surtout du côté des
faibles volumes, la courbe spinodale pourra couper la droite
V = b, et alors le second pli se présente nécessairement,
Quoique, ainsi, le signe qu’'obtient la valeur a,a, — a?,,
paraisse être d’une influence prépondérante sur la configura-
1) La température critique d’une substance unique est, d’après nos nota-
: ’ Ge AE Lui x
tions, déterminée par la condition: MRT = 8,57 —
w
54 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE
tion de la surface et que, par exemple, le nombre des racines
V > 0 de l’équation du quatrième degré en V varie selon la
valeur de ce binôme, un examen plus approfondi fait voir
que, pour les branches de la courbe binodale projetée sur le
plan + V, qui peuvent nous intéresser au point de vue pratique
parce qu’elles sont Les projections de points réels de la surface w,
re
le signe de _ offre un indice encore plus important.
Pour les températures très basses et lorsqu'onaa,a, > a?.,
il peut exister entre les deux branches nommées une courbe
fermée, qui indique les points au-dessus desquels la surface
est concave dans tous les sens.
Dès ‘que la température dépasse la température critique de
l’une des deux substances, la courbe spinodale n’embrasse
plus toute la largeur du champ ; on peut trouver ses limites ex-
trêmes en cherchant les points pour lesquels l’équation (1) donne
do
a. EU
Les observations consignées à la page 143 de mon écrit
,Continuität des gasfürmigen und flüssigen Zustandes !) peuvent
s'expliquer par l’examen de la marche que la courbe bino-
dale présente dans ce cas. Il apparaît alors que les deux
plis que nous avons distingués dans la surface doivent, par
rapport à leur mode de formation, être considérés d’une
autre manière. Lorsque la température critique du mélange
1) Ces observations se rapportent à un mélange de 9 volumes d'acide
carbonique et un volume d’air atmosphérique. La température critique de
ce mélange était 25° C, la pression critique de 77,5 atmosphères. En con-
tinuant de diminuer le volume, la pression augmenta et à 95 atmosphères
le mélange était redevenu homogène. On trouva les valeurs correspondantes
209,4, 72 atmosphères, 103 atmosphères. Le mélange était encore homogène
à 19°,2 et 106 atmosphères et à 29 et 145 atmosphères.
Un mélange de 7 volumes d'acide carbonique et 3 volumes d'acide chlor-
hydrique donna les résultats suivants;
MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 55
(déterminée par la valeur de 7) diminue régulièrement de-
puis celle de l’une des substances jusqu’à celle de l’autre, ils se
forment comme il suit. Soit 7%, > Tx. Pour une valeur de
T peu inférieure à T%,, il s’est formé pour V — 36, un pli
dont le point de plissement, lorsque la température continue
à baisser, non seulement se déplace dans la direction du pli,
mais de plus, dans le cas par exemple d’un mélange de
CO, et CTI, dévie vers le côté des petits volumes.
Dans la figure 5 la courbe tirée en plein est la courbe
binodale, la courbe ponctuée la courbe spinodale pour une
température qui commence à approcher de la valeur 7x. Dans
ce cas également, on peut trouver les phases coexistantes en
menant chaque fois un plan bitangent. Les points À et B
Température critique — 319,7. Pression critique = 90 atm.
condensation. homogénéité.
1225 D — 09 415
M Hi =6er 150.
Dans l'écrit cité (voir la note, page 4) M. van der Waals remarque
qu’en faisant ces expériences il n'avait pas connaissance de celles de M.
Cailletet (Comptes Rendus XC, p. 210—211). M. Cailletet, opérant
sur un mélange de 5 volumes d’acide carbonique et un volume d’air
atmosphérique, a trouvé:
M =001005 10° 139 189 199
HE N52 124 120 113 110.
56 M. J. D. VAN DER WAAIS. THÉORIE
forment la première paire de points conjugués. Mais, tandis
que du côté de À ïies points qui se succèdent restent rap-
prochés, ceux du côté de B s’écartent bientôt sensiblement.
Des deux côtés les points se rencontrent en C. Au point P,
où la tangente de la courbe binodale est parallèle à l'axe
des volumes, est située la limite pour les mélanges qui, à la
température adoptée, peuvent présenter deux phases différentes.
Le point P représente la phase que l’on considère comme
l’état critique du mélange. Mais cette température ne satisfait
N (02 .«
aucunement à la valeur / 27e Pour cette dernière valeur
le point P pourrait même tomber dans la région des états labiles.
Le point P se détermine en introduisant dans l’équation
: es & (5 ), (> 0
dx | æ, . “
2 hù a —
la condition que de a ) CHU R — c.
Gp D
?
Mais, soit à cette température, soit à une température plus
basse, dans le voisimage de P, ils s’est déjà produit une déviation
latérale, et, déjà avant que la température aït baissé jusqu’à 77,, le
point de plissement s’est montré sur la première courbe binodale.
La configuration qui, pour des températures très-basses, présente
la forme d’un seul pli est en réalité un pli double, tandis que
le second pli ne constitue qu’une partie du premier.
a QE
Lorsque FF offre une valeur maximum ou minimum, le cas
devient encore plus compliqué. Il peut arriver alors que la
courbe binodale soit séparée en deux parties distinctes.
MCORERICGER.
page 15 ère For Ne CU EPS
page 15, première formule A ; 7, isez : TA
» 29 Lorsque “2 est positif, lisez : Lorsque ane est positif.
dx, de,
SUR LES POINTS DE PLISSEMENT,
PAR
D. J. KORTEWEG. :)
(Avec une planche).
Dans le présent travail j'ai essayé de faire la monographie
de certains points singuliers des surfaces, comparables, sous
maïints rapports, aux points d’inflexion des courbes. De même
que ceux-ci chez les courbes d’ordre donné, les points dont
il va être parlé se rencontrent, chez les surfaces d’ordre
donné, d’une manière générale et en nombre déter-
miné; et de même que les points d’inflexion sont situés sur
la courbe de Fesse, les points en question appartiennent à
la surface de Hesse. Ils possèdent en outre une propriété qui
est analogue à la propriété principale des points d’inflexion,
à savoir, qu'on peut faire passer par eux une tangente ayant
avec la surface un contact d’un ordre supérieur à l’ordre le
plus élevé du contact des tangentes menées par un point
arbitraire.
Ces points singuliers, pour lesquels je propose le nom de
points de plissement ?), ont encore gagné en intérêt dans les
1) Traduit des Wiener Sitzungsber. Bd. 98, Juillet 1889.
2) Dans les ouvrages sur la Géométrie de l’espace, ces points n’ont gé-
néralement pas reçu jusqu'ici de dénomination spéciale : tel est le cas, par
exemple, pour le traité de Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie des
Raumes, 3 Aufiage, 9 Capitel, et pour les Mémoires de Cayley qui y sont
cités. Postérieurement, Maxwell (voir J. Clerk Maxwell, Theory of Heat,
9e édition, 1888, Chapter XII, p. 205) a employé pour ces points le nom de
tacnodalpoint, rappelant, sans contredit, l’une de leurs propriétés caracté-
ristiques. Néanmoins, le nom de »point de plissement” (en angl. plaitpoint
58 D. J. KORTEWEG. SUR LES
derniers temps, parce que leur apparition sur les surfaces
thermodynamiques à une importante signification physique !).
On les définit ordinairement comme points communs à la
courbe spinodale (courbe des points auxquels la courbure de la
surface est nulle) et à la courbe flecnodale (courbe des points
de contact des tangentes ayant avec la surface un contact du
troisième ordre), on sait qu’en eux se touchent ces deux cour-
bes et la courbe connodale (courbe des points de contact des
plans bitangents) ?) on connaît aussi leur nombre sur une sur-
face d’ordre donné *); maïs, à ma connaissance, ils n’ont encore
été étudiés sous aucun autre rapport. Combler cette lacume,
tel est le but de mon travail, qui sera divisé en deux parties.
La première Section commence par l’examen de la confi-
guration d’une surface au voisinage d’un point de plissement,
en allem. Faltenpunkt, en holl. plooipunt) me paraït indiquer encore mieux
la nature des points dont il s’agit. Dans un mémoire que je publierai
plus tard, je me propose (comparez $ 27 de ce mémoire-çi) de montrer, en
effet, à quel point la production, l’effacement et la confluence des plis d’une
surface en voie de déformation continue est régie par l'apparition, la dis-
parition et la coïncidence de ses points de plissement, et comment la confi-
œuration tout entière des plis dépend du nombre et de la nature des points
de plissement qui doivent apparaître lors de la formation de ces plis sur
une surface primitivement uniconvexe. Au reste, la circonstance qu'a
l’origine de chaque pli (qu’on songe, par exemple, au jet d’une draperie)
se trouve un point de plissement, suffit déjà, à mon avis pour. jusüfier la
dénomination choisie. Le nom de »points asymptotiques”, donné, dans les
publications relatives aux surfaces du troisième degré, aux points de plisse-
ment quise produisent sur ces surfaces, ne me semble pas à recommander.
1) Sur la signification des points de plissement des surfaces thermo-
dynamiques, voyez Maxwell, Theory of Heat, loc. cit., ainsi que le Mé-
moire de M. van der Waals, Théorie moléculaire d’une substance composée
de deux matières différentes, dans le présent volume des Archives néer-
landaises. Chez les surfaces thermodynamiques considérées dans ce dernier
travail, la température joue le rôle de paramètre variable, et il se peut
donc que les points exceptionnels du premier ordre, dout il sera question
ici au $ 13, se réalisent sur de pareilles surfaces
2) La courbe binodale du mémoire précédent.
3) Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie des Raumes, 3. Aufl., IX.
Capitel, $ 476.
POINTS DE PLISSEMENT,. 59
point que je définis d’une manière un peu différente de celle
mentionnée ci-dessus. L'étude de cette configuration conduit
alors d’elle-même à une division des points de plissement en
deux espèces principales, auxquelles se rattachent encore deux
cas particuliers, où les considérations générales perdent en
partie leur validité et qui, comme on le reconnaît plus loin,
ont rapport à des points de plissement doubles.
Dans la seconde Section est exposée une méthode générale
pour explorer la manière dont les points singuliers se com-
portent sur une surface qui se transforme peu à peu. Au
moyen de cette méthode, — susceptible, je crois, de s’appli-
quer aussi avec fruit à l’étude d’autres points singuliers, —
est alors développée la théorie de l’apparition et de la dis-
paration des points de plissement d’une surface en voie de
déformation continue. |
PREMIÈRE SECTION.
Définition.
1. Lorsqu'un plan bitangent se meut sur la surface qu'il
touche doublement, il peut arriver que les deux points de
contact viennent à coïncider. J’appelle point de plisse-
ment le point de la surface où cette coïncidence
se produit.
Il est facile de démontrer qu'un pareil point de etes
doit se trouver tant sur la courbe spinodale que sur la courbe
flecnodale. A cet effet, représentons-nous le plan bitangent
un instant avant qu'il atteigne la position où les deux points
de contact coïncident, et admettons provisoirement que ces
deux points soient situés sur une partie de la surface on la
courbure est positive; sur l'intersection de la surface et
du plan tangent, les deux points de contact À et B se pré-
sentent alors comme des points isolés, voisins l’un de l’autre.
Si maintenant le plan tangent, tout en restant parallèle
60 D. J. KORTEWEG. SUR LES
à lui-même, est légèrement déplacé, de manière à ce qu’il
coupe la surface, la courbe d’intersection montrera deux
branches fermées isolées, qui toutefois conflueront en un point
double C si le déplacement continue. En ce point double, le
plan mobile est redevenu plan tangent (simple), et le point C
se trouve donc nécessairement sur la partie de la surface qui
est à courbure négative, de sorte que la courbe spinodale
doit passer entre les points C et À, ainsi qu'entre C et B;
maintenant au point de plissement tous les trois points se con-
fondent, et il est par conséquent situé sur la courbe spinodale.
D'un autre côté, la droite AB, qui a quatre points com-
muns avec la surface, devenant au point de plissement tangente
à cette surface y aura un contact de troisième ordre. On voit donc
que le point de plissement appartient aussi à la courbe flecnodale.
Dans le cas où la surface est de courbure négative en
À et en B, ou bien (ce qui ne peut arriver que très-excep-
tionnellement) courbée de manière différente en ces deux
points, la démonstration, pour rester valable, n’a à subir
qu'un changement tout indiqué.
Equation de la surface au voisinage d’un
point de plissement.
2. Pour étudier la conformation d’une surface au voisinage
d’un point quelconque, on peut écrire son équation sous la
forme générale suivante !):
2=a +b,xz+b,y+c x? +c,ry+c,;y?+d,x +d,x?y FM
Si le point en question est un point de plissement, qu’on
le choisisse pour origine des coordonnées, et qu’on prenne en
outre pour axe des y la tangente ayant avec la surface un
contact du troisième ordre, et pour plan xy le plan tangent,
on aura l’équation plus simple
2=0,2 +d,x+d,x y+d,xy?+e,Ti+…, jt.
1) Sur les avantages de la notation adoptée ici pour les coefficients,
voyez $ 8, note 2,
POINTS DE PLISSEMENT. 61
car, outre @,, b,, b,, c,, d,, il faut aussi que €, soit nul, vu
que le point de plissement se trouve sur la spinodale et qu’on
a par conséquent 4 c,c, = c}.
Dans cette équation nous changeons maintenant l’ordre des
termes, et mettons en tête ceux par rapport auxquels, au
voisinage de l’origine, tous les autres peuvent être négligés
dans une première approximation. Ce sont les trois termes
C,x?, d,æy, e:y', qui peuvent être éventuellement du même
ordre de grandeur, à savoir lorsque x est de l’ordre y?. Cette
dernière supposition admise, nous obtenons la série suivante :
2 [ca +diay +esy ]+ [dia y+esay" +fey°]+
+[d,a+e,ty?+fsay+g y ]+..., ...38)
où les termes compris entre crochets sont du même ordre
de grandeur. En tout cas du reste, même quand l'hypothèse
en question n’est pas réalisée, la forme d’une surface au
voisinage d’un point de plissement peut être étudiée au moyen
de l’équation
D—= CL RA,Ty EC U", 4. 4)
car tous les autres termes peuvent toujours être négligés
par rapport à l’un ou l’autre des trois termes en question.
La seule considération de l’intersection de la surface avec
son plan tangent amène alors à diviser les points de plisse-
ment en deux espèces principales, suivant qu’on a 4c,e. —-
de s 0, c’est-à-dire, suivant que la section tangentielle possède
des branches réelles ou imaginaires,
Les points dé plissement de première
CDI ce EC cd 0 vetile ur indieatrice d'u
quatrième ordre.
3. Aux points de plissement de cette espèce, la section tan-
gentielle consiste en un point isolé à tangente réelle. Les
intersections avec des plans 2= 2, ont la forme représentée dans
62 D. J. KORTEWEG. SUR LES
la fig. 1 (PI. I), ‘), comme on le reconnaît le mieux en ré-
solvant l’équation : par rapport à æ. On trouve ainsi:
2
— UN ro RS Ds
Il est à remarquer que le von de coëtite de la courbe
aux points C et D est égal, en grandeur et en direction, à
celui du diamètre parabolique C = — se-y+) en OT
É 1
a toujours deux points d’inflexion réels ?) À, et À,, ainsi
qu’une tangente double K, K,; pour d, —0, les points
K,, K,, À, et À, viennent se confondre avec le point C,
puis, quand d, change de signe, ils disparaissent à ce côté
de la courbe, tandis qu’à l’autre côté apparaissent, en D, des
points analogues.
1) Pour le dessin de la courbe, on a pris des coordonnées orthogonales
et supposé que c, et d;, par conséquent aussi e, (à cause de 4c,e,—d? > 0),
sont positifs. Cela est permis parce que l’on peut encore choisir librement
l’axe des æ dans le plan des æy, comme aussi l’axe des z dans l’espace.
2) La discussion des points d’inflexion, qui d’ailleurs ne présente pas
d'autre intérêt que celui du tracé exact de l’indicatrice, se fait de la ma-
nière la plus simple en élevant au carré, puis différentiant par rapport
d?æ
dy?
à y“, le second terme de l'expression de
37 4c,e,—-d2
d'x d, GBA EN E es y*)
dy: = — Ci + (e Ac, e,;—d2 )*
C, fn Ac: y
On obtient ainsi:
(Ace. d')27 (7z Acie,— di , See ACC Le NS
EE
Ba Ac!
gé 4c,e,—d: —À
. = ——— + Je
C; Ac? ©
Ce terme dans le cas en question, croit donc d’une manière continue
avec y“, depuis la valeur zéro (pour y“ = 0) jusqu’à la valeur œ (pour
4C,2zo
y*= ————— ; il ne devient donc qu’une seule fois égal au premier
6 4c, e, — di
d,
terme —.
1
POINTS DE PLISSEMENT. 63
Pour notre étude les deux points À, et K, ont de l’im-
portance, car il est facile de voir que, comme points de la
surface représentée par l'équation 4), ils possèdent un plan
tangent commun. Pous ces points, qui appartiennent ainsi à
la connodale, on 2:
dx GE (4c,e; —d5)y*
ne — ee — =, 0
dy Ê; 2 ç° }/ = ie 4c,e,—d2 Fe
C Æc? !
1
par conséquent:
4
Ye = | d3z9 k
PRE Me)
DES
LL. —=%X 2 seal Feb
; Je K, 4c,e.— d} )
_
9
EpournIMédquatron dela connodale on trouve, en
éliminant 2, :
2e.
UN AND 2
Li — FE nee +10)
Pour l'équation de la spinodale:
02z d?2 D 22 Ne
pes gs (Go) =0 at
on obtient
_…. OGEe 9 10
4 Me papas . © 0)
Comme on à 4c,e.—d2> 0, la concavité de cette courbe
est toujours tournée du même côté que celle de la connodale.
De ce côté, la surface est donc de courbure négative
2 2 2 2
De ce es nr ) —4c dx. la
connodale possède d’ailleurs le rayon de courbure le plus
grand; on a, en effet :
d 210903 (4c,e:—d2)d;,
es (Gcies —di)
car sur l’axe des x on a
STE 2
es Gc,e;—d2?
2
64 D. J. KORTEWEG. SUR LES
quantité qui est positive, lorsque = est positif. Les points
5
de contact conjugués, À, et K,, se trouvent donc toujours
sur la partie à courbure positive.
Si l’on considère, enfin, que lors du décroissement de la
valeur de z, l’indicatrice, pendant qu’elle se contracte en un
point isolé à tangente réelle, devient relativement de plus en
plus mince dans la direction de l’axe des x, la fig. 1, où,
comme dans toutes les autres figures, le côté de la spinodale
qui est tourné vers la partie à courbure négative de la
surface est indiqué par des hachures, donnera une idée de la
forme d’une surface au voisinage d’un de ses points de plis-
sement de la première espèce. (Comp. aussi la fig. perspective 4).
Cette représentation cesse toutefois d’être satisfaisante dans
le cas de d, — 0. L’intersection z —z, devient alors symétrique
des deux côtés, les points d’inflexion et les points de la
connodale se sont réunis au point C, et ce que sont devenues
les courbes connodale et spinodale, il est difficile de le dé-
couvrir sans examen particulier. Nous serons donc obligés de
revenir sur ce cas. (Voir $ 10).
Les points de plissement de seconde
espèce, 4c,e,—d; <0.
4. Aux points de plissement de seconde espèce la section
tangentielle, est composée de deux courbes qui se touchent et
dont les courbures sont tournées dans ie même sens ou en
és
— =. 0. Les intersections 2 = 2, :
DCE
sens opposé, suivant que
possèdent des branches infinies, qui se rapprochent asymp-
totiquement de ces courbes. La fig. 2 représente une pareille
. . A :
intersection pour le cas — 0; c,, d, sont de nouveau
:
supposés positifs, et par conséquent e. négatif; 2,, en outre, est
pris positif. La section tangentielle asymptotique a été pointillée.
POINTS DE PLISSEMENT. 65
L’équation 5) s'écrit maintenant:
d; 2 ONG; (2
= — + y? + +1 yt, ...11
% D ARC > Aa )
Lorsque 2, est positif, la courbe se compose donc de deux
branches, l’une à droite et l’autre à gauche de la ligne mé-
diane Fa= — - ne). Dans notre figure, la branche de
droite présente deux points d’inflexion À, et À, !) et une
bitangente À, K,. La spinodale (équation 10) et la connodale
(équation 8) tournent toutes deux leur concavité à droite,
tandis que la connodale possède le rayon de courbure le plus
grand. La partie de la surface dont la courbure est positive
se trouve à droite. Les points de contact conjugués sont tou-
jours situés sur la partie à courbure négative (Comp. aussi
la fig. perspective 5).
Les intersections avec des plans pour lesquels z, est négatif
offrent peu d'intérêt. Elles se composent d’une branche su-
périeure et d’une branche inférieure, l’une et l’autre pourvues
de deux points d’inflexion réels ?), et sans tangente double.
1) Pour se convaincre qu’il ne se produit que deux points d’inflexion
réels, on n’a qu'à considérer de nouveau le second terme dé l’expression de
2, * . . À o NO 4 .
ICE terme, abstraction faite du signe, croit ici d’une manière continue
dy?
: an . 4C,2o : as !
avec y", jusqu'à ce que, pour y‘ = -—}— , il atteigne la valeur maxi-
di—Ac,e;
{ Te e PE r Ê
mum PACE SE" qui surpasse ici, vu que e, est négatif, la valeur
Ci
du premier terme — . Lors d’un accroissement ultérieur de y*, le second
C;
| LL RANE 0, die, 1 d.
terme décroît régulièrement jusqu’à la valeur limite Vas — > a Il
1 1
ne redevient donc plus égal au premier terme.
2) Cela résulte de ce que le second terme de d’abord (pour
ACER AS dues se
= moe ga) infiniment grand, décroit continüment, jusqu à ce que
C1; — Q3
POUF y — LES il atteigne la valeur minimum zéro, après quoi il
C1ls — Us
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 5)
66 D. J. KORTEWEG. SUR LES
5. Lorsque = est positif, les deux branches de la section
; | |
tangentielle, ainsi que la ligne médiane, se trouvent du même
côté, du côté gauche dans notre figure 3, où c, et d, sont
pris positifs.
Les sections 2—2, peuvent pour 2, positif, cas où elles
ont encore une branche gauche et une branche droite, ou
bien présenter sur la branche droite quatre points d’inflexion,
ou bien n’en présenter aucun !), mais constamment elles sont
dépourvues de tangente double. Pour 2, négatif, au contraire,
ces sections, qui alors sont composées d’une branche supé-
rieure et d’une branche inférieure, possèdent toujours une
bitangente K, K,, raison pour laquelle, dans notre figure,
nous avons représenté une section de ce genre ?).
La courbe spinodale tourne son côté concave, suivant les
2 > 4 LN . °
circonstances (d2 6ce;), à gauche ou à droite, mais elle
reste toujours à droite de la courbe connodale courbée à
gauche, qui par conséquent se trouve toujours sur la partie à
courbure négative de la surface *). (Comp. la fig. perspective 6.)
Lo Vd Ace
croît de nouveau jusqu'à la valeur limite mie > er Il devient
Ga ch
donc deux fois égal au premier terme, et comme le signe change au pas-
sage par la valeur zéro, le premier point d’inflexion est situé à gauche de
la ligne médiane, le second à droite,
dE Tente
1) Suivant que la valeur maximum Vds — cie) =.
6: <
ds
—< , c'est-à-dire
Ci
d2 a OCrER:
2) Chacune des deux branches possède à son côté gauche un point d'in-
à ; : : de
flexion, car, lorsque y“ croit, le second terme de l'expression de
y
décroît continüment, depuis æ jusqu’à une valeur limite < = j
1
3) On pourrait croire que e, = 0 constitue, tout comme d, = 0, un cas
exceptionnel, vu que les points K, et K, s'éloignent alors à l'infini. Mais,
en tenant compte des termes d'ordre supérieur, on reconnaît que la seule
singularité. est celle-ci: que la connodale possède un point d'inflexion à
l'origine (voir $ 8).
POINTS DE PLISSEMENT. 67
6. Une représentation perspective de la forme d’une surface
au voisinage d’un point de plissement est donnée dans les
figures 4, 5 et 6. La première représente une surface à point
de plissement de première espèce, les deux autres montrent
des surfaces à points de plissement de la seconde espèce ;
dans ces deux dernières, nous avons donc pu donner aussi
l’intersection de la surface avec le plan tangent du point de
plissement. Dans toutes, la courbe connodale à été tracée et
la courbe spinodale a reçu des hachures. Les différences es-
sentielles de ces deux espèces de surfaces, savoir la nature
différente de la section tangentielle et la situation différente
de la courbe connodale (sur la partie à courbure positive
pour les points de plissement de la première espèce, sur la
partie à courbure négative pour ceux de la seconde), sont
rendues sensibles aux yeux par ces figures.
La courbe flecnodale en première
approximation.
7. Si l’on place au point x, y, z de la surface l’origine d’un
nouveau système de coordonnées parallèles, la nouvelle équation
de la surface devient:
PUS d?2 y de 2)
ee on +5 mr De 0 Y + js D ES 12)
En supposant ensuite que le point x, y, z appartienne à
la courbe Fa il doit y avoir sur son plan tangent
= dE a+ ne une droite x —=my ayant avec'la surface
| dx dy
un contact du troisième ordre: Cela exige:
GE 022 De
Su = (RE er
URSS CE 18)
UE 02 02 02
ANS DE; Rs lt PL
M 5e AE dx?0y on dvd y ? ‘à ON Rs
68 D. J. KORTEWEG. SUR LES
par conséquent, pour la surface de l’équation 4):
2c,m°?+4d;ym+2d,x+12 e.y? = 0 RAR
6 dym+24 e.y = 0. 1110)
En éliminant m de ces dernières équations, on obtient pour
l'équation !) de la flecnodale :
x —= 2 es(d;—8 Cie)
a y? 151008
Les courbes Spinodale fl'ecnodade etc ome
nodale ten seconde pprox1metRHon:
DS
8. Comme ïl était à désirer que les courbes connodale,
spinodale et flecnodale, représentées en première approxima-
tion par les équations 8), 10) et 17), fussent aussi connues
en seconde approximation, j'ai effectué les calculs nécessaires,
dont voici les résultats ?).
Spinodale:
00,
Tati
Leg mise mnt
2 42
c?di
1) De cette équation se déduit immédiatement ce theorème bien connu,
qu’en un point de plissement la flecnodale et la spinodale (ainsi que la
connodale) se touchent. Il est facile, d’ailleurs, de donner une raison simple
pour laquelle la flecnodale et la spinodale, lorsqu'elles se rencontrent,
doivent toujours avoir en commun un nombre pair de points consécutifs.
Jamais, en effet, la flecnodale ne peut quitter la partie à courbure néga-
tive de la surface, ni par conséquent couper la spinodale, parce que
dans la partie à courbure positive les racines de l'équation 13) devien-
nent imaginaires conjuguées et doivent par conséquent, toutes les deux
à la fois, être ou n'être pas des racines de l’équatiou cubique 14). Le
premier cas se réalise, il est vrai, en certains points isolés (les points
fleflecnodaux de Cayley), mais ceux-ci ne forment pas de courbe.
2) Dans la notation adoptée au $ 2 pour les coefficients de l’équation de
la surface, les termes appartenant au même coefficient, tels que 18cie,e,,
12c,d,d,e,, etc., possèdent les trois propriétés suivantes: 1°. Le nombre
des lettres c,c,e,e, est égal pour tous ces termes; 29, il en est de même
de la somme des indices : 1414445, et 3°. de même encore de la somme
des numéros d'ordre des lettres: 34+3+545.
POINTS DE PLISSEMENT. 69
Flecnodale
— 26: ne. Ci APE
3
2 (d2—4c,e,) (10 di f,+16d,d,c2—10 diese; —16c,e,e?) +
d3
+ 48 c die,e2— 128 c,d,d,e?+6 die,e.—10 dif; : 19)
a 1] FUÉPRRINE
Connodale |
ins D ni) 0 à tr 20)
d; d3
L’équation 18) s'obtient en substituant l’expression
AOC CES .
D Ba + Ay
dans l’équation 9), après que dans celle-ci on a pris pour 2
la pts 3); l'équation 19) résulte de la substitution de
DA
= AN es) ps
3
et
dans les équations 18) et 14).
9. Quant à l’équation 20), la déduction en est un peu plus
compliquée. Pour l'équation de la connodale nous écrivons
d’abord :
1)
2e.
d,
puis, dans cette équation, ainsi que dans les équations
e), Qi G)5G 1:
aa), _,) =:,— (RE) — MER 129)
70 D. J. KORTEWEG. SUR LES
qui expriment les conditions de l'identité des plans tangents
des points K, (x,, y,) et K, (x,, y,), nous substituons les
expressions |
Yi = Yo + ÉY5 Ya —=—VYo + EyS -..28)
Nous obtenons ainsi, par 21):
2 es 4e; E
Da MR LL + (D-< = ): 0 D
= Ty +(—D+ ee ve,
3 3
et par 22)
di —4 c,e. 5 — :
Cies (E+E)+ d,e, —4 d,e;
ds a;
HE *- 120)
(20e )D+ AUS (8 + E)+
=— 2
Er A UN 7 2
CRE à |
par conséquent :
D— ar) e 28)
3
Le point de plissement double
homogène d,—=0.
10. Dans le cas où d, —0 les équations 18) à 20) cessent
d’être applicables.
Pour la courbe spinodale on trouve alors, en première
approximation, au moyen des équations 9) et 3):
(c,e,-—-di)2?+8ce,xzy+6c e;y? = 0. + .* 29)
Cette courbe présente done à l’origine un point double,
avec branches réelles ou imaginaires.
En ce qui concerne la courbe flecnodale, les équations
13) et 14) deviennent :
(2c,-+...)m? +(4d,x+...)m +
+ (De,t?+6Ge,xy + 12e;y? +...) = 0, .. SÛ)
POINTS DE PLISSEMENT. 71
(6d,+...)m°+(6d,+...)m?+(l2e,r+18e,y+...)m+
+ Ge,x+24e;y+ ...—0. ... 31)
A raison de l’équation 30), m doit être du même ordre de
grandeur que x et y; il suit alors de l’équation 81), qu'on
a, en première approximation :
4 es
Cx
. 32)
ÎF==
4
Nous posons donc æ = — Sy + Ay?, m— By, et ob-
4
tenons alors de 30) une équation du second degré pour le
calcul de B, tandis que par 31) peut être calculée, pour cha-
cune des deux racines, la valeur correspondante de 4. La
courbe flecnodale se compose donc de deux branches, réelles
ou imaginaires, qui se touchent; à l’origine elle a par con-
séquent quatre points communs avec la spinodale, de sorte
que cette origine constitue un point de plissement double.
Nous ne déduirons pas ici l’équation de la courbe conno-
dale, mais ferons seulement connaître le résultat auquel cette
recherche conduit. Cette courbe, elle aussi, possède deux
branches réelles ou imaginaires et a, à l’origine, quatre points
communs tant avec la spinodale comme avec la flecnodale.
MépDobnaede DIS e mi'entidio ble
hétérogène 4c,e;—d?—0.
11. Le fait que, dans ce cas 4c.e,—d? — 0, nous avons
encore affaire à un point de plissement double, ressort im-
médiatement de la considération des équations 18) et 19).
di—6c,e; 2e:(d—8c;e;)
HER N UP Er
. La spinodale et la flecnodale ont donc, au moins,
Pnetliet, pour di —#c,e., on à
AA
3
trois points communs; mais alors, vu que ces deux courbes
ne peuvent pas se couper (comp. $ 7, note), il doivent avoir
encore un quatrième point de commun. La preuve qu'il
en est réellement ainsi est fournie par les équations 18) et 19),
72 D. J. KORTEWEG. SUR LES
car les coefficients de y*, dans ces deux équations, devien-
nent, pour di = 4c,e;, égaux l’un à l’autre.
DS
Il semblerait par contre, à considérer les équations 18), 19)
et 20), que la connodale et la spinodale, ainsi que la conno-
dale et la flecnodale, n’eussent que deux points consécutifs
communs, ce qui toutefois est impossible si l’origine est réel-
lement un point de plissement double. La solution de cette
contradiction se trouve dans la circonstance que l’équation 20)
a perdu sa validité. C’est ce que montrent déjà les équations
25) et 2) qu, pour d? —=4c,e., s’excluent.
Sans entrer dans plus de détails à ce sujet, je dirai briè-
vement comment les choses se passent. La connodale se
compose de deux branches qui se touchent à l’origine, et les
rayons de courbure de ces branches sont égaux entre eux
ainsi qu'à ceux de la spinodale et de la flecnodale. Chacune
de ces branches, qui d’ailleurs sont constamment imaginaires,
a donc trois points communs avec ces courbes !{).
SECONDE SECTION.
Introduction.
12. Dans cette partie de notre travail, nous nous occupe-
rons de l’apparition et de la disparition de points de plisse-
ment sur une surface qui subit une déformation continue.
1) En tout, il y a donc, non pas quatre deces points, mais six. Cela
tient à ce que, comme on sait, la spinodale et la connodale, de même que
la flecnodale et la connodale, ont, outre les points de plissement, encore
d’autres points communs, dont, dans le cas que nous considérons ici, deux
se sont ajoutés aux quatres points qui accompagnent les points de plis- .
sements coincidents. Dans un travail ultérieur (comp. ici le K 27), j'espère
démontrer que l'apparition de ces deux points a une importante signifi-
cation géométrique, consistant en ce que deux points de rebroussement se
présentent chez la connodale qui, lors de la transformation de la surface,
naît du point isolé, Le travail en question expliquera complètement la
manière dont la connodale se comporte au cas d’un point de plissement
double, ce qui exigerait ici des développements trop étendus.
reg
POINTS DE PLISSEMENT. 73
Quand il s’agit de points singuliers qui, comme les points de
plissement, se présentent en général isolés (c’est-à-dire sans
former des courbes) sur une surface déterminée par son équation
en coordonnées polaires, leur apparition et disparition peut
toujours être interprétée comme un passage de l'imaginaire
conjugué au réel, ou réciproquement. Un pareil passage ne
peut toutefois avoir lieu que lorsque deux ou un plus grand
nombre des points singuliers en question viennent à coïncider.
Pour étudier donc, sur une surface qui change continûment
suivant une loi déterminée, l'apparition et la disparation de ces
points, on n’a qu'à considérer les points d’une singularité
plus élevée, où plusieurs de ces points viennent se confondre.
Parmi les points de singularité plus élevée qui possèdent
cette propriété, 11 y a à tenir compte, en première ligne, de
ceux dont la production n’exige qu’une seule relation entre
les coefficients de la surface variable. Nous désignerons ces
points sous le nom de points exceptionnels !‘)du pre-
mier ordre. Toute surface d'ordre donné peut être trans-
formée continôment en toute autre du même ordre, sans
qu’il se produise d’autres points exceptionnels que ceux du
premier ordre. S'agit-il, toutefois, d’une déformation qui, au
lieu d’être entièrement libre, est déterminée par un certain
nombre de paramètres, alors, dans le passage d’une surface
Ca) D’après ces conventions, les points d’inflexion d’une courbe algébrique
d'ordre donné sont donc des points singuliers, mais non des points ex-
ceptionnels ; les points doubles, au contraire, sont des points exceptionnels
du premier ordre, les points de rebroussement des points exceptionnels du
second ordre. S'agit-il de courbes de classe donnée, alors les points de
rebroussement et les points doubles ne sont pas des points exceptionnels,
les points de contact d’une bitangente et les points d’inflexion sont, respec-
tivement, des points exceptionnels du premier et du second ordre. D'une
manière tout à fait générale, étant donné un système de surfaces qui
doivent satisfaire à certaines conditions, on peut, sur ces surfaces, dis-
tinguer des points exceptionnels du premier, du second, du troisième
ordre suivant le nombre des conditions supplémentaires que leur appa-
rition exige.
74 D. J. KORTEWEG. SUR LES
à une autre, tous les points exceptionnels d’ordre supérieur
peuvent encore être évités généralement, mais il peut
aussi se présenter des cas où cela est impossible. Dans ces
cas, néanmoins, nous pouvons encore, par l'introduction d’un
nouveau paramètre convenablement choisi, échapper aux points
exceptionnels d’ordre supérieur, et nous trouvons alors, en
même temps, que ceux-ci sont composés de certains points
exceptionnels du premier ordre. En ce qui concerne nos points
de plissement, nous ferons voir qu'il ne se rencontre que
quatre espèces différentes de ces points exceptionnels du pre-
mier ordre, à savoir, les deux points de plissement doubles
dont il a déjà été parlé, puis les points d’osculation et les
points coniques; ce sont donc ces points là que nous avons à
étudier dans la présente Section, quant au nombre, à la manière
de se comporter et à Ia nature des points de plissement
venus en coïncidence. |
13. Lorsque la transformation homographique détruit (com-
me p. e. dans le cas des ombilics) le caractère propre des
points singuliers en question il devient nécessaire d'examiner
aussi, attentivement, le passage par l'infini. Il serait alors
possible, en effet, que lors du passage d’un point par le plan
infini il se produisit régulièrement une réunion de plusieurs
points et un passage du réel à l’imaginaire ou réciproque-
ment, ou bien que l’espèce des points changeât. Pour les points
de plissement, toutefois, un pareil examen est superflu, parce
que l'apparition de points exceptionnels dans le plan infini
peut toujours être évitée ou esquivée, tandis qu'un point de
plissement isolé reste réel et de même espèce quand la défor-
mation continue de la surface le fait passer par le plan infini.
Nous considérons comme continue toute déformation à
l'infini qui se montre telle dans les figures homographiques.
POINTS DE PLISSEMENT. 4)
Détermination des points exceptionnels de
nice rio rod requis 0 nt en méme ten ps
des points de plissement multiples.
14. Il s’agit donc, en premier lieu, de trouver les points
exceptionnels du premier ordre qui constituent des points
de plissement multiples.
L’équation d’une surface, au voisinage d’un de ses points,
peut toujours, à condition que ce point ne soit pas
un point conique, être mise sous la forme
DC TE CU UT ER 1109)
en prenant le plan tangent pour plan YO), et en choisissant
d’ailleurs convenablement les axes OX et OY. Pour que
l’origine soit un point de plissement multiple, 1l faut néces-
sairement qu'elle se trouve sur la courbe spinodale, et par
conséquent que c,, ou €,, ou tous les deux à la fois, soient
nuls. Dans le dernier de ces cas, on a affaire à un point
d’osculation, où la section tangentielle présente un point:
HApletSMau contraire c seul ourc. seul st nul, faut
nécessairement, puisqu'un point de plissement multiple ap-
partient aussi à la flecnodale, que l'équation 33) puisse être
ramenée à la forme 38). La spinodale et la connodale sont
alors connues (comp. $ 8 et, si d, — 0, $ 10), et la moitié du
nombre de leurs points communs donne le nombre des points
de plissement venus en coïncidence (parce qu’en un point de
plissement unique sont contenus deux des points d’intersec-
tion de ces courbes). Des points de plissement multiples ne
peuvent donc exister que si
c’est-à-dire (d? — 4c,e.)? = 0, ou encore si d, = 0; mais alors
l’on à affaire à l’un ou l’autre des points de plissement doubles
déjà mentionnés. Parmi les points exceptionnels du premier
76 | D. J. KORTEWEG. SUR LES
ordre il ne peut doncse trouver d’autres points de plissement
multiples !') que les deux espèces de points de plis-
sement doubles et, en ‘outre, les points coniïiques
et les points d’osculation. Tels sont donc les points sin-
guliers que nous avons à examiner sous le rapport du nombre,
de l'espèce et de l’allure des points de plissement qui y sont
confondus. Auparavant, toutefois, nous établirons les équations
qui sont nécessaires pour calculer les points de plissement
d’une surface et pour en déterminer l'espèce,
Calcul des points de plissement d’une
S'HLTACeN— 0)
15. Au $ 7 nous avons vu qu’en un point de plissement,
comme point de la flecnodale, l'équation quadratique 13) et
l'équation cubique 14) doivent avoir une racine commune.
Mais, puisque le point de plissement appartient aussi à la
spinodale, l’équation 13) doit posséder deux racines égales.
Ces deux conditions sont remplies, quand il est possible de
déterminer une valeur m satisfaisant à la fois aux trois équations:
0 ?z 022
D alé ... 34)
022 0 ?2
no TN ee)
02 0°2 per 02
3 DR OL er Cl. FOIS — SG
É 0x AU dx? 0y PT Gene eo ; no
Ce système d’équations sera généralement utilisé, dans ce
qui va suivre, pour la détermination des points de plissement.
Lorsque x, y, m en est une solution, on a encore à décider
si le point de plissement correspondant est de la première
ou de la seconde espèce.
1) Une démonstration plus systématique, mais moins concise, de cette
proposition pourrait être donnée au moyen de la séparation, par la mé-
thode esquissée dans les paragraphes suivants, des divers points de
plissement.
F7
POINTS DE PLISSEMENT. 77
Diétetr mimiat romede és pr'é cie:
16. Pour arriver à cette détermination, nous prenons le point
de plissement pour l’origine d’un nouveau système de coordon-
nées, parallèle à l’ancien; l'équation de la surface devient alors :
eee nv EE) or
_ Si l’on pose ici:
in et d2 4
Ô dy
WU 1790)
= NU doneNr = TEE MU,
cette transformation homographique ne change rien à l’espèce
du point de plissement; mais la nouvelle équation prend la
forme …
6 02 ON HEIN
9: no HG ICE a me
D)
02 012 AN ET
= Grise A
= (me D en loue 0e
DS
et, d’après le $ 2, on a donc affaire à un point de plisse-
ment de première ou de seconde espèce, suivant que
de 5 0e SOS 0 eZ Ô #2 LÉ ET
0x? [m ER su dx? dy ne . FPS |
» JS “2 - ... 40)
R ne 0.
3] me Ru cu = dx? 0y nn sn] =
Transformation du point de plissement
Pd'oamblethomoréène di—=0;
17. Nous commençons maintenant par l’examen du point
de plissement double dont il a été question au $ 10.
Supposons qu'une surface variable F(x, y, 2, p) = 0 possède
pour une certaine valeur du paramètre p, que nous appellerons
la valeur critique, un point de plissement de cette espèce.
78 D J. KORTEWEG. SUR LES
L’équation de la surface pourra alors, d’après le $ 2, pour
cette valeur du paramètre et en choisissant convenablement
le système de coordonnées, être amenée à la forme
2 —[cx?+e;y]+[dry+e,xy, +f,y]+ ... ...41)
Pour un autre paramètre, plus grand de Ap, on aura done
l'équation
Cl +6, 2+b2yE7aRY +7 a UT +3 TU HU +
+[e,æ?+esy]+[dox?y+exy +fsy ]+... ... 242)
dans laquelle, comme dans tout ce qui suit, les lettres grecques
désignent des coefficients du même ordre de grandeur que Ap.
A la détermination des points de plissement, situés sur
cette surface transformée, nous appliquons maintenant les
équations 34), 35) et 36). Si nous supposons provisoirement
que æ, y, M soient entre eux du même ordre de grandeur,
nous obtenons, en négligeant tous les termes d’un ordre in-
férieur à l’ordre le plus élevé
2c.m+2d,x+y, =0 ... 43)
2 d,\mr+2 ;,+12e.y? +6e,;xy+2e,x? —=0 ...44)
24 e.y+6e,;x+6GÙ, — TA)
Comme, de l'équation 44), il Se que æ, y et m dose
être de l’ordre de grandeur LA p, nous pouvons encore, dans
43) et 45), négliger les derniers termes. On obtient alors, sans
difficulté, la solution :
are. en UE
Dont mel MR Se VE
Ci ex
: —— .. 46)
+10 (2 18173
6c,e2e, +16 die —16c,e,e2
Le point de plissement double d, — 0 se scinde donc, lors
de la transformation, en deux points de plissement simples.
1) Lorsqu'une pareille supposition n’est pas de mise, on le reconnait à
ce que les équations se contredisent l’une l’autre ou donnent, pour quelques-
unes des quantités, des solutions zéro. Après coup, on peut démontrer
l'exactitude de la supposition, en vérifiant que, pour la solution trouvée,
les termes omis étaient réellement d’un ordre de grandeur plus bas que les
termes conservés.
POINTS DE PLISSEMENT. 79
Attendu que 7, change de signe en même temps que Ap, il
s'opère généralement !), au moment où p traverse la valeur
critique, un passage du réel à l'imaginaire. Enfin, le
terme principal de l'équation 40) acquérant la valeur 2 c, (24 e.),
les deux points de plissement réels sont de même espèce,
raison pour laquelle nous avons donné au point de plissement
double, qui résulte de leur réunion, le nom de point de plis-
sement double homogène.
Transformation du point de plissement
double hétérogène 4c,e,— di = 0.
18. Pour une valeur du paramètre voisine de la valeur
critique, l’équation de la surface peut être écrite sous la forme:
DT MN AU ae CU em UE OU
+[cx?+d,xy+esy ]+[d,ry+ent+fy]+... ...47)
La supposition que x,7, m sont du même ordre de grandeur
conduirait maintenant aux équations
2c,m+2 d,;y+2d,x+7: = 0 .. 48)
2 d;r+273 = 0 ... 49)
6d;m+24e.y+6c,x+6 0, —=0. :. ...50)
Mais, en substituant dans 48) et 50) la valeur de x donnée
par 49), on obtient deux équations en m et y, qui, attendu
que dans le cas en question 4c,e.—d? est nul pour la valeur
critique et de l’ordre de grandeur Ap pour la valeur p+Ap,
1) Il est possible, assurément, qu'après la production d’un point de plis-
sement double d, —0, la surface continuant de se déformer, les points
de plissement jusque-là réels ne deviennent pas imaginaires, mais se sé-
parent de nouveau sous forme réelle. Une pareille production d’un point
exceptionnel du premier ordre, dans laquelle ne se produisent pas les
phénomènes qui l’accompagnent en général, peut être ditenon effec-
tive. Lors de la transformation libre d’une surface d’ordre donné en une
autre, la production non effective de points exceptionnels peut toujours
ètre évitée.
80 D. J. KORTEWEG. SUR LES
donnent lieu à des valeurs finies. La supposition de l’égalité
de l’ordre de grandeur se montre donc fausse. En admettant,
au contraire, que æ soit du même ordre de grandeur que
y* et m°, à savoir, de l’ordre A p, les équations 34), 35) et
36) nous donnent:
2c,m+2d;y+[2d,ym+;,+2d,1+38e,y ]=0 ...51)
2 d,ym+2 ;,+2d,2+12 e.y? = 0 FASO
6 d,ym +24e;y + [6 d,m?+18e,ym + Ge,x +
+ 60 f,y?+ 60,]—=0. ...53)
Multipliant maintenant l'équation 51) par 3 d,, l’équation
53) par c,, et soustrayant, on obtient, en négligeant le terme
6 (d?—4c,e.)y, parce qu'il est de l’ordre de grandeur (Ap} :
—6c,d,m?+(6d,d,—18c.e,)ym+(9d,e, —60c f,)y? +
+(6d,d,—6ce,)r+38d,;,—6c,d, —=0 ...54)
Mais, en vertu de 51) et de 53), on a en première ap-
proximation
d, 4e. |
= Sy=-Ee} Aer ©
m c, y d, y; )
en vertu de 52)
ARRET NME d;y° 5
D d. De, + 6)
et en vertu de 54)
S'SUELEE C,d37—205d;03 +20c,(c,c, —d;d:)7:
1 5d,dà—10c, de, +2 c°fid,
Aïnsi y? change de signe en même temps que A p, et par
conséquent, lorsqu'un point double de cette espèce se montre
sur la surface variable, il s'opère en général un passage
du réel à l'imaginaire.
Dans l’équation 40), le terme constant devient maintenant
. 57)
égal à
2c,.24e.—3(2 d,)? —12(4c,e;:—di)
et est donc de l’ordre Ap. Par suite, après que la valeur de
m donnée par 55) a été substituée dans 40), on voit apparaître
POINTS DE PLISSEMENT. 81
ici, comme terme principal, le terme contenant la première
puissance de y (ordre /Ap); mais puisque, d’après 57), les
deux points de plissement ont des y de signe contraire, ils
sont d’espèce différente. Dans un point de plissement
double hétérogène 4c,e;—di—0 seréunissent donc
dEvsponnt des plissement déespèce différente,
qui deviennent alors imaginaires.
Transformation des points d’osculation.
19. Lors de l’apparition d’un point d’osculation, l’équation
de la surface, pour une valeur du paramètre voisine de la
valeur critique, est:
a, +É6,2+boy+y 2 +7 a2y +73" +dia* +do2°y+
REY Re UE E)
La supposition correcte est dans ce cas: m fini, x ety du.
même ordre de grandeur. Des équations 34), 35), et 36)
résultent alors, respectivement, les suivantes :
2m; ,+6d,æm+2d,ym+;,+2d,2+2d,y =0 ...59)
my, +2d,2m+2d;ym+ 27; +2d,%+6d,y =0 ...60)
6d,m°+6d,m°?+6d;m+6d, = 0. 101)
À chaque solution réelle de l’équation 61) correspond un
point de plissement réel. Il ne s'opère pas de passage
du réel à l’imaginaire. L’équation 61) est identique avec
l'équation servant à calculer la tangente au point triple de la
section qui touche la surface au point d’osculation. Comme en
outre, dans l'équation 40), le terme quadratique de signe négatif
surpasse l’autre, nous pouvons énoncer cette proposition: Dans
tout point d’osculation sont réunis trois points
de plissement. Le nombre (un ou trois) des points
de plissement réels est égal au nombre des bran-
ARCHIVES NÉERLANDAISES, TT, XXIV. G
82 D. J. KORTEWEG. SUR LES
ches réelles de la section tangente. Les points
de plissement réels sont toujours de la seconde
espèce. Il ne se produit pas de passage du réel à
l’imaginaire.
Détermination des points de plissement
d'unesuriace o(r, ge)
20. Au voisinage immédiat d’un point conique, le développe-
ment en série 1) n’est plus admissible, et la voie suivie au
$ 15 cesse donc d’être praticable quand il s’agit de déterminer
les points de plissement qui se séparent lors de la transfor-
mation d’un point conique.
Nous devons donc commencer par établir des formules
propres !) au calcul des points de plissement d’une surface
représentée par une équation y (x, y, 2) = 0, où 2 n’est pas ex-
primé explicitement en x et y.
Soit le point P, à coordonnées x, y 2, un point de plisse-
ment de la surface et en même temps l’origine d’un nouveau
système de coordonnées x’, y z': la nouvelle équation de la
surface œ (x, y, 2) = 0 peut alors s’écrire:
HER NE NUE .. 62)
1 Ô Ô oh Fa
RE vel Tee Me, or ... 09
H, = —(e mn +Vi tea) )
L'équation du plan tangent en P est alors
1) La considération des points de plissement comme points d'intersec-
tion de trois surfaces connues (Salmon-Fiedler, Allgemeine Geometrie des
Raumes, 3. Auf. $477, S. 623), considération qui conduit, par exemple, à
la détermination du nombre des points de plissement d’une surface de
l’ordre #, fournit un système d’équations peu convenables pour notre dessein.
DR BTE RO PRO
POINTS DE PLISSEMENT. 83
PR MERS
FH, =0, .. 64)
et ce plan doit, attendu que le point P appartient à la spi-
nodale et que par conséquent les deux tangentes de la section
tangentielle coïncident, être tangent au cône
15) 00)
À un point Q de la droite de contact sont donc applicables
les équations 64) et 65). Mais pour un pareil point on a aussi
OL NEO A NO OT
OLA ve sa de
DR ROE RPOE
va I 02
.… 66)
puisque le plan tangent au cône doit être identique avec le
plan H, — 0. Enfin, comme la droite de contact, c’est-à-dire
la tangente de la section tangentielle au point de plissement,
doit couper quadruplement la surface en P, on à encore
His = 0: OT)
Les équations 64), 66) et 67), avec l’équation + (x, y, 2) = 0
de la surface, suffisent pour calculer les inconnues #, y, z et
les rapports æ : y : 2.
Détérmination de l'espèce.
21. Soit x',y', z un point Q de la droite de contact PQ,
dont il a été question ci-dessus, et 2’+Æ1, y'+m, 2 +. un
point À situé, en dehors de cette droite, dans le plan tangent :
on a alors nécessairement:
Ûp , , dp ie
0} RE
E— DU en du nn CS, 68)
Si l’on considère maintenant &, 7 et € comme des coefficients
constants et finis, qui déterminent la direction de la droite
QR, et À comme une petite quantité variable, le point À
G*
84 D. J. KORTEWEG. SUR LES
décrit une droite menée par Q dans le plan tangent du
point de plissement P, droite dont les points d’intersection
avec la surface peuvent être obtenus par la substitution des
coordonnées + &, y + mà, 2 + 1 dans l'équation 62).
En ayant égard aux équations 64), 65), 66), 67) et 68), cette
substitution donne, en première approximation !):
jl Ô Ô 0 \ 2?
Se ne) En en
» É x’ 7 dy ) À
6
+( tn + JE A+ = 0
Cette équation du second degré en À devra donc, si l’on
a affaire à un point de plissement de la seconde espèce,
posséder des racines réelles, et dans le cas contraire, des
racines imaginaires.
Le point de plissement est donc de la première ou de la
seconde espèce, suivant que
S'—2H,.S— A4 T0, :2 AT0)
où
ù ù \?
= To NE RE HA: «2er
s Can en )
2 ù) ù
— —— = ES Fe Te
1e on eo LT T2)
Bien entendu, la condition 70), si l’équation 68) subsiste,
c’est-à-dire si le point À reste dans le plan tangent du point
de plissement, doit être indépendante du choix de la direction
désignée par £, y, €. La preuve qu'il en est réellement ainsi,
ressort des considérations suivantes.
Soient £, 7, 6 les coordonnées cartésiennes d’un point;
1) Le terme (2 = dE 0 +) H', s’'évanouit en vertu de 66) et
D
de 68), parce qu'on a E = etc. La quantité 2 est du mème ordre
( a
de grandeur que æ°?, y'?, 7!
POINTS DE PLISSEMENT. ets)
l'équation S == 0 représente alors un cône, qui, si £, 7, £ sont
rapportées aux mêmes plans de coordonnées que x, y, ?,
est identique avec le cône 65) et par conséquent touché par
le plan
“LRO :
le E ee ne — EL
M EL 2
identique avec 64). Mais la droite de contact, identique avec
PQ, se trouve en outre dans le plan A —=0 (si x, y, 2 sont
regardées en À comme les coordonnées du point Q), car
par la substitution
PRET
= — = (x',y,2 coordonnées du point Q) ...74)
NE
on satisfait, comme il suit de 67), à l'équation de ce plan
A0:
Le cône S— 0 est donc touché par le plan B = 0 suivant
la droite B—0, A—0, et l’on sait qu’en pareil cas son
équation se laisse mettre sous la forme
S—= KA? +(kE + k,n + 4,6) B—t. 1: 75)
Mais alors l'équation |
S'—2H,.S— A? —(2kH, —1) 4 +2(k,E +
+ kn+k:0H,B—=0 ...76)
représente, elle aussi, un cône touché par le plan B—0.
L'espace décrit par les plans tangents réels d’un cône
du second ordre étant appelé l’espace extérieur de ce cône,
il ne s’agit plus, d’après 70), que de déterminer le signe de
S’ au point &, y, &, c’est-à-dire, puisque ce point se trouve
toujours sur le plan tangent 73) du cône S —0, dans
l’espace extérieur de ce cône. Or, ce signe ést contraire
CCleduN discmiminant desla fonction S$" Pour
le cas particulier ax? + by? + cz? — 0, ce théorème est très
facile à démontrer. Mais alors il doit être vrai généralement,
car le signe du discriminant n’est pas changé par les sub-
stitutions linéaires correspondant à une transformation des
coordonnées.
Ne MOUSE PA
4 "HQ ° HQ "HR 20. ECS SEE
RQ PQ 2Qhe 202 CH: ‘He ‘Ace
He ‘Hxe H:0 “Hi 4h | 2efhie she lex) ss
(64° °° ; f 7. f — IV Le e aier DE OI
fie zrefe "Ne exe H:e ‘Hz ;
fHIe ‘He Hee “Hi REG MOT ue
ï HQE NEC, Rem ere CH:e “Hi He
ce DICO TI T0 ‘H:e Hi
2 to
. GC ù ÿ ° | .
= (82 = 0 == Av l HU IN G
È onb queains o9odso opuoses ej op no oetwuoid ej op se quuop quotresstd op quiod
= un nb ‘jeux Jeynsoz anod quorqo u0 ‘x °H Jed SIOJU JUESIAIP UM ‘JU9INUURS O19Z 91d0p np
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86
87
DE PLISSEMENT,.
POINTS
(LES Qc in on th ne cie
:OUHIOF UT SNOS ‘oxpuarduwuoo & ojloey uoryejou oun quelorduo uo ‘oimo9 ossre] es ‘onbruoo
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Le 20 Ua + de,
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‘1019 U9 JUOUIQSIE 9ANOIJ UO SO[UOIHIOA
SOUUOT09 SP 39 SOJUJUOZHOU SOUSI] SOP SO[QUUSAUOI UOTIPPU J9 uoromdipnu Ie ‘erreurs ej 9p
suodop xne steur ‘dnoontoq rogrqduuts o1ooue ossre] os © y uorssordxo ] ‘(29 jo (co op uofow nv
88 D. J. KORTEWEG. SUR LES
ou, en faisant subir à l’origine des coordonnées un déplacement
convenable :
g=a+H,+H,+H,+...=0. no)
Les équations 64), 66) et 67), dont la solution, combinée
avec l’équation 82), nous fournit les coordonnées x, y, z des
points de plissement et les directions (x : y’: 2’) des tangentes
des sections tangentielles correspondantes, s’écrivent alors :
De + y + GE z = 0 Mc)
RE De nl 8162)
RE + GR po qu Ô . 3 85)
ma. a TE: eau = 0 "ES
Gr+iv+se) o=0 ee
où w représente la valeur commune des quotients 66).
Remarquons d’abord qu’on satisfait aux équations 84), 85)
et 86), en première approximation, par la supposition
! /
do
DA AU NE
car alors s’évanouissent les termes qui dépendent de H,.
En accord avec ce fait, nous substituons dans notre système
d'équations : |
z'=u(c+E): y —=u(y+r); 2 =u(z+t). 88)
Nous obtenons alors, en posant pour abréêger
ÔH ÔH, ÔH
RAP) er) 2 — . 489
Ôx Le 0 7 02 C : )
0H, 0H, DATE ;
Fr — 2 OO
dx S + dy hot 2 S é )
et en restreignant chaque équation aux termes dont 1l sera
fait usage ultérieurement :
POINTS DE PLISSEMENT. 89
2 H,+3H,+4H,+U,+U, =0 “RAO)
0 H ; DD VOUS PAOUR
Les 4 DR a — (|) OR
dx de 0x + Ôæ 1 OPA )
ee Qi PAR REERRNE RES" 98)
07 Ôy 07 dy
OH, 0H, OUSNOSOU, |
es Le — 14,94
02 in 02 d2 02 ù
6H,+24H,+6U, — 0. 1.100)
En n'ayant maintenant égard en premier lieu, dans chaque
équation, qu'aux termes de l’ordre de grandeur le plus élevé,
on peut conclure des équations 92) à 94) que &, 7, € appartien-
nent à l’ordre x?, puis des équations 91) et 95) que les rapports
des coordonnées xz:y:2 doivent satisfaire aux équations
H, =0 et H,—0. Pour la détermination des coordonnées
elles-mêmes, toutefois, il faut tenir compte aussi des termes
dont l’ordre de grandeur est moindre.
En multipliant les équations 92 à 94) respectivement par
x, y, 2, on obtient après sommation:
3H,+8H,+U,+2U, = 0. 1100)
Cette équation, jointe à 91) et à95), nous permet d'exprimer
H,, H, et U, en termes de l’ordre x‘. On trouve
FR EN 97)
DSP ee)
H, 2H, + Us. 99)
La substitution de ces valeurs dans l’équation 82) de la
surface donne alors
1
FL SRE TE VAIO)
et il ne reste plus qu’à calculer [/,, c’est-à-dire à tirer &, », Ë
des équations 92) à 94) et à substituer ces solutions dans
U,. Mais, en première approximation, les équations 92) à 94)
peuvent être écrites :
90 D. J. KORTEWEG. SÛR LES
O2, |. MGR) WE CR EE
Sx°? Di Poe de ei se LD)
OH, V0 DPHN 02H: 0 OR
A, ON © OUT, . 0e
ie Une Re EU
et en introduisant de nouveau, conformément à 79), la notation
SH, SH, d°H, 0H,
02H, 0H, 0°H, 0x? Oxdy Ôdxdz Ôx |
0x? Oxdy ÔrÔy DH; 02H) DER A,
Oxdy dy? Ùdydr Ù
Ai d°H, d°H, en AC — ne 7 ...104)
dxdy Ôy? dx dr 02H, 02 H1600 HP 0ER
d'H, d'H, 0H, Oydx dydz d2? D |
0TÔz O0V0z 02? Pa DOME € CORRE) £ >
ae Le 93e
on trouve sans peine, comme résultat de la substitution:
A
eZ. ER: |
A 105)
Pour le calcul des points de plissement d’un point conique
transformé, nous obtenons donc finalement les équations
H, =0 =: F40h)
H, =0 .: 0
Hi EE, .… 108)
1
où, au moyen de 106) et 107), l'expression A, se laisse en-
core simplifier, comme A’, l’a été au $22. On a en effet:
lÉROn, |
A— 1 dr 109)
AU PAR: dE a
dy Ùy
Posons y — mx, z = nx; les équations 106) et 107) suffisent
alors au calcul de m et de n, après quoi, au moyen de 108), où
POINTS DE PLISSHMENT. 91
A, désigne un nombre et A, une expression du quatrième
ordre en x, y, z, on trouve, pour chacune des six solutions
m, n, une valeur de x*.
Enmtout, ilyaldonc 24 points de plissement,
dontitouterots Slatmoitié au moins doit être
imaginaire.
24, Pour la discussion ultérieure nous avons à distinguer
deux cas, suivant que le cône tangentiel À, — 0 est réel ou
imaginaire. Dans le second de ces cas, le point conique est un
point isolé, auquel s’est réduite une nappe de la surface. Comme
il ne peut alors exister de valeurs réelles pour m et n, les
24 points de plissement sont tous imaginaires.
Une nouvelle nappe, naissant d’un point isolé
d’une surface, ne présente, au début, aucun point
de plissement réel. :
Lorsque, au contraire, le point conique possède un cône
tangentiel réel, ce point se trouve à la rencontre de deux
portions de surface qui, en faisant varier le paramètre, ou bien
se séparent, ou bien se réunissent. !) Or, ainsi que nous
l'avons démontré au $ 22, le signe de l’expression ,, dans
l’espace intérieur du cône, concorde avec le signe du diseri-
minant AÀ,; la surface 82) présentera donc l’état de la réu-
nion ou de la séparation, suivant qu'on aura «A, 0,
car, au signe de «, on reconnaît immédiatement si, après la
transformation, l’origine a été englobée dans l’espace intérieur
du cône des tangentes, où y s’accorde en signe avec AÀ,,ou
dans l’espace extérieur. Lors donc que « et A, possèdent le
même signe, l’espace intérieur s’est étendu et il y à eu réu-
nion,; dans le cas contraire, il y a eu séparation. Comme,
en première approximation, «& est proportionnel à Ap et change
donc aussi de signe avec Ap, il s’opérera en général, chaque
fois que le paramètre p passera par une valeur critique im-
1) Comp. Klein. Mathem. Ann., Bd. VI, 1873: Ueber Flächen dritter
Ordnung, S. 592,
92 D. J. KORTEWEG. SUR LES
pliquant l’apparition d’un point conique, une séparation de
parties de surface précédemment unies, ou une union de par-
ties antérieurement séparées.
Après ces remarques, 1l est facile de poser la règle suivante:
À chaque solution m, n réelle, ou — ce qui re-
vient au même — à chaque droite réelle passant
par le point conique de la surface A,+H,=0,corres-
pondent quatre points de plissement. De ces qua-
tre points, deux sont constamment imaginaires,
les deux autres sont réels ou imaginaires suivant
le signe de «; ils se présentent donc comme points
de plissement réels soit sur les parties unies, soit
sur les parties séparées de la surface,pourdevenir
imaginaires au moment de la séparation ou de la
réunion.
25. Pour ce qui concerne, finalement, l’espèce des points de
plissement produits lors de la transformation d’un point conique,
voici la règle simple qui la fait connaître:
Les points de plissement qui deviennent réels
lors de la séparation sont de la première espèce,
ceux qui deviennent réels lors de [a réunion sont
de la seconde espèce.
En effet, pour déterminer l'espèce, on à à substituer dans
l’inégalité 78), en vertu des équations 88) (dans lesquelles,
en première approximation, on peut négliger &, y. Ë) les va-
leurs z' = ur, y = uy, z = vw. Cette condition 78). devient
alors, en n’ayant égard qu'aux termes de l’ordre de gran-
deur le plus élevé,
2A,.H, +4,20 42 ELU
expression qui, à l’aide de l’équation 108), se laisse trans-
former en cette autre:
DO. 10.480
Or, d’après le $ 24, il y a séparation ou réunion, suivant
) s =S
qu'on a «A, 0.
POINTS DE PLISSEMENT. 93
Récapitulation des résultats obtenus.
26. Résumons brièvement les résultats auxquels nous sommes
arrivés dans cette Section. |
Lorsqu'une surface est soumise à une transformation con-
tinue, dans laquelle l'apparition de points exceptionnels d’ordre
supérieur, ainsi que l'apparition non effective de points ex-
ceptionnels du premier ordre (comp. $ 17, note de la page 79),
est évitée, des points de plissement ne peuvent devenir réels
ou imaginaires qu’au moment où se montre sur la surface
lun de ces quatre points exceptionnels du premier ordre:
points de plissement doubles homogènes (d, — 0),
points de plissement doubles hétérogènes (di—4c,e.
— (), points d’osculation, points coniques.
Dans les points de plissement doubles homogènes
se réunissent deux points de plissement de la même espèce.
Il s’y opère un passage du réel à l'imaginaire.
Dans les points de plissement doubles hétérogènes
se réunissent deux points de plissement d'espèce différente.
Il s’y opère un passage du réel à l'imaginaire.
Dans les points d’osculation se réunissent autant de
points de plissement réels (un ou trois) que la section tan-
gentielle montre de branches réelles. Ces points de plissement
sont toujours de la seconde espèce. Il ne se produit pas de
passage du réel à l’imaginaire. Le nombre total des points de
plissement réunis (réels et imaginaires) est de trois.
Dans un point conique se réunissent, en tout, 24 points de
plissement, Lorsque le point conique est un point isolé, ces
24 points de plissement sont tous imaginaires. Si, au con-
traire, au point conique se rencontrent deux nappes de la sur-
face, le nombre des points de plissement réels, que la transfor-
mation fait apparaître, est égal au double du nombre des
droites réelles qui, sur une certaine surface dérivée, du troi-
sième ordre, passent par le point conique. Cette surface du
troisième ordre s'obtient en supprimant dans l’équation de la
94 D. J. KORTEWEG. SUR LES
surface donnée, le point conique étant pris pour origine des
coordonnées, tous les termes du quatrième ordre et des ordres
plus élevés. Les points de plissement deviennent, par couples :
ou bien, réels lors de la séparation, imaginaires lors de la
réunion, et dans ce cas ils sont de la première espèce ; ou
bien, réels lors de la réunion, imaginaires lors de la sépa-
ration, et dans ce cas ils sont de la seconde espèce.
Il est à remarquer, en outre, que l’espèce du point de
plissement ne peut jamais changer. Pour que cela fût
possible, il faudrait que l’expression d?—4c,e; changeât de
signe et, par conséquent, devint nulle. Or, cela n’a lieu qu’en
des points de plissement doubles de la seconde espèce, en
des points d’osculation et en des points coniques; mais alors
il ne se produit pas de changement d’espèce, maïs, dans le
premier et dans le dernier cas, un passage à l’imaginaire.
27. Si nous pouvons regarder comme complètement résolue,
par ce qui précède, la question posée au début de cette
Section, il resterait à accomplir encore une seconde recherche,
non moins importante que la première. Il est facile de voir,
en effet, que la production et la disparition des points de
plissement sont accompagnées de remarquables changements
dans le cours de la courbe connodale (ainsi que dans celui
de la flecnodale et de la spinodale), changements qui, pour
chacun des quatre points exceptionnels du premier ordre,
possèdent un caractère différent. L'étude de ces changements
forme une sorte d'analyse des plis d’une surface. Le nombre
de ceux-ci peut-être compté au moyen de leurs courbes
connodales. Il y a ensuite à distinguer des plis fermés et
des plis non fermés. Les premiers sont limités par deux
points de plissement; chez les seconds, les deux branches
de la connodale rentrent chacune en elles-mêmes, sans que
les points de contact conjugués viennent Jamais à coïncider.
D’autres cas ne peuvent pas se présenter au moins chez les
surfaces algébriques et lorsqu'on n’attribue pas de signification
spéciale au plan infini. La notion ordinaire de pli doit, bien
POINTS DE PLISSEMENT. 95
_ entendu, être un peu généralisée. C’est ainsi, par exemple, que
la surface du sixième ordre composée de trois surfaces sphéri-
ques isolées possède trois plis non fermés. En se représentant
les trois sphères comme primitivement unies par des portions
de surface qui disparaissent peu à peu, on sera amené
à reconnaître la légitimité de cette généralisation. |
Bien qui j'aie achevé en partie l’étude qui vient d’être
esquissée, je crois devoir remettre à plus tard l’exposé des
résultats obtenus.
bibi con
HU SUP TA Ce ST ETOTSsTeme ordre:
28. Ce n’est qu'à partir des surfaces du troisième ordre
que les points de plissement peuvent se présenter. Dans ce
qui va suivre, J'indiquerai brièvement comment la théorie
générale se simplifie pour ces surfaces. La courbe flecnodale
d’une surface de cet ordre étant formée par l’ensemble des
droites situées sur la surface, des points de plissement ne
peuvent se trouver que sur ces droites.
Si l’on même un plan par une pareille droite, ce plan
coupe en outre la surface suivant une conique, dont les
points d’intersection avec la droite doivent être considérés
comme des points de contact conjugués de la connodale
(laquelle, par conséquent, est aussi identique avec la droite).
Or, là où la conique touche la droite, où, par conséquent,
les deux points conjugués de la connodale coïncident, là se
trouve un point de plissement. Les points de plissement
des surfaces du troisième ordre ne sont donc pas autre chose
que les points asymptotiques bien connus dans la théorie de
ces surfaces, points dont deux, réels ou imaginaires, se
trouvent sur chacune des droites de la surface. On voit
aussi, immédiatement, qu'il ne peut se rencontrer que des
points de plissement de la seconde espèce.
29. Si l’on prend un point de plissement d’une surface
du troisième ordre pour origine des coordonnées, la droite
96 D. J. KORTEWEG. SUR LES
correspondante pour axe des x, et le plan tangent pour plan
X 0 Z, il est facile de voir (comp. $ 2) que l’équation de la
surface se laisse mettre sous la formule: |
2.(F,(x,y,2))=c;x?+d;xy?+d,xy+d,x? ...119)
En cas d’un point deplissement double, il faut qu’on
ait d, —=0 ou 4c,e,; — d? — 0, ce qui toutefois revienticiau
même, à cause de €; —0. Mais lorsque dans l’équation 1192)
on a d, —0, et qu’on déplace l’origine des coordonnées le
long de la droite rx =0, z2— 0, en remplaçant y par y F6,
l'équation conserve la même forme, et chaque point de la
droite doit par conséquent être regardé comme point de plis-
sement double. En deux des points de la droite, toutefois,
savoir aux points où elle coupe la surface F, (x, y, z) = 0,
l’unique terme du premier ordre, z F, (0, b, o), s’évanouit dans
l'équation 112). Ces deux points sont donc des points coniques
de la surface, et la droite qui les joint est, comme on le
sait, une droite quadruple de la surface du troisième ordre.
Des points de plissement doubles ne se rencontrent
donc, chez les surfaces du troisième ordre, que sur
des droites quadruples. Tous Îles points de ces droi-
tes doivent être regardés comme des points de
plissement doubles.
L'apparition des points d’osculation n'offre rien de
particulier. La section tangentielle consiste, bien entendu, en
trois droites, dont deux peuvent être imaginaires.
Les points coniques de la surface du troisième ordre
présentent une propriété qui n'existe pas dans le cas général,
à savoir, que des points de plissement réels ne peuvent s’y
former que lors du processus de la réunion. Cela résulte
déjà de la circonstance que chez ces surfaces il ne se ren-
contre que des points de plissement de la seconde espèce
(comp. $$ 22 et 25). Mais on peut aussi le déduire directe-
ment de l’équation 108), car, d’après 109), la quantité A, est
un carré, par conséquent positive, tandis que H, s’évanouit
pour les surfaces du troisième ordre. Des solutions réelles des
POINTS DE PLISSEMENT. 97
«
équations 106) à 108) ne peuvent donc se présenter que si
œ À, est positif, c’est-à-dire, en cas de réunion.
30. Finalement, nous montrerons encore comment la théorie
générale, appliquée aux surfaces du troisième ordre, conduit
à un théorème concernant le nombre des points de plisse-
ment réels. |
Une surface du troisième ordre se laisse transformer, d’une
manière continue, en toute autre, sans que jamais il apparaisse
à la fois plus d’un seul point conique. On peut donc dans la
transformation des surfaces du troisième ordre éviter les
points de plissement doubles, et puisque le nombre
des points de plissement réels ne change pas lors de la
production de points d’osculation, ce n’est que dans
les points coniques qui peut avoir lieu un passage du réel à
l'imaginaire, ou réciproquement. Or, comme le nombre des
points de plissement qui déviennent réels lors de la réunion
est égal au double du nombre des droites réelles du point
conique; comme, de plus, ces droites sont des droites doubles,
qui, de même que les points de plissement, deviennent ima-
vinaires lors de la séparation, réelles lors de la réunion; et
comme, enfin, des droites doubles n'apparaissent sur les sur-
faces du troisième ordre que dans le cas où celles-ci présen-
tent des points coniques, — la différence entre le nombre
des points de plissement réels et celui des droites réelles
doit être la même pour toutes les surfaces du troisième ordre.
Pour déterminer cette différence, il suffit donc de considérer
une seule surface du troisième ordre, par exemple, la surface
diagonale de Clebsch. Celle-ci possède 27 droites réelles et
10 points d’osculation, dans lesquels coïncident 30 points
de plissement réels. Nous arrivons donc à ce théorème:
Dans toute surface du troisième ordre la diffé-
rencérentre le nombre des points de plissement
réels et celui des droites réelles est égale à trois.
Bien que nulle part je n’aie trouvé l’énoncé explicite de
ce théorème il ne peut pourtant pas être dit nouveau quant
98 D. J. KORTEWEG. SUR LES POINTS DE PLISSEMENT.
au fond. C’est ainsi que M. Zeuthen (Math. Ann., Bd. VIIT,
S. 5), pour chacune des cinq espèces principales, à 27, 15,
7, 3 et 8 droites réelles, donne le nombre des droites réelles
avec points de plissement imaginaires, à savoir, respective-
ment, 12, 6, 2, O0 et 0. Mais le nombre des droites réelles
avec points de plissement réels devient alors 15, 9, 5, 3 et
3, et pour les points de plissement réeis on a donc les nom-
bres 30, 18, 10, 6 et 6.
ARCHIVES NÉERLANDAISES
Sciences exactes et naturelles.
QUELQUES FORMULES
POUR LE
CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI ET
DES COEFFICIENTS DES TANGENTES,
PAR
F.J. VAN DEN BERG.
+
Il y a quelques années, j'ai publié dans les Verslagen en
Mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te
Amsterdam, Afdeeling Natuurkunde, 2e Reeks, Deel 16, 1881,
p. 74—176, un Mémoire, dont les Archives néerlandaises (T. XVI,
1881, p. 387—443) ont donné une traduction abrégée, sous
le titre: ,Sur les relations récurrentes périodiques entre les
coefficients du développement des fonctions, etc.”
En suite à ce Mémoire, deux autres communications, re-
latives aux nombres de Bernoulli etc., ont récemment paru
dans les mêmes Verslagen en Mededeelingen, 3° Reeks, Deel 5,
1889, p. 398—397, et Deel 6, 1889, p. 265—276. Ce sont ces
nouvelles études dont je me propose de faire connaître ici
toutes les parties essentielles, en renvoyant comme précédem-
ment, pour des détails plus circonstanciés, aux deux publi-
cations originales hollandaises.
Pour déterminer les nombres de Bernoulli 2 et les coef-
ficients des tangentes 7, nous partirons, de même que nous
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 7
Lac
100 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
l'avons fait dans notre premier travail (Arch. néerl., X VI, p. 439),
des deux développements
RE a y Boo 2g—1 ÉTENE
ho Lai et D tie :
où l’on a en général (p. 395)pl—1.2.3...p, et par consé-
pt
l
quent (p.396) 0! — =- = 1, ainsi que (p. 433) B_, — —1 et.
PE —= 0;1De la yaleurt . = ç0t ; — 2 cotx résulte alors
immédiatement, par substitution, la relation (p. 433) To,_1 —
— 2 (22% — 1) B2,-1, en vertu de laquelle toute formule pour
les nombres de Bernoulli est reconnue être en même temps
une formule pour les coefficients des tangentes, et réciproque-
ment. Aussi, dans la première partie de ce qui va suivre, où
les formules en T' ont ordinairement une forme plus concise,
nous nous bornerons en général à ces formules, sans les écrire
encore une fois sous la forme modifiée qu’elles acquièrent
lorsqu'on substitue pour chaque T sa valeur exprimée dans
le B correspondant.
Passant des fonctions goniométriques aux fonctions expo-
nentielles, et désignant comme d'ordinaire par e la base des :
logarithmes népériens et par à l’unité imaginaire, on a d’abord
2 sin 1 GS — —
RIT 2 PÈ — & 2 D
Far à A Li (URSS
cos — oi le
et par conséquent, en remplaçant x par — èx et en appl-
quant à la tangente le développement ci-dessus rappelé,
AMV T'o9— Foyer
— y = —i 2 Bu Hix)2—1 — 21 —)1—1 me a —
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC., 101
Si dans cette expression le dernier membre est supposé
développé suivant la série de Maclaurin, on obtient immédi-
atement, en égalant le coefficient de +?7-1 au Fist ho-
mologue de l’avant-dernier membre,
ne (2 q—1)! ; d aèq—1 (G=0)
ce qui, sous la forme
De = (
ETS TO (—ys 2 q GE 1
2 (222 — 1) 229 —1° d x? —1 (x —0)
Baja
donne pour le gième nombre de Bernoulli la même expres-
sion différentielle qu’on trouve, déduite par une méthode
différente due à Laplace, entre autres dans les traités de
R. Lobatto, Lessen over de differentiaal- en integraal-rekening,
2e Deel, 1° Afdeeling, 1852, p. 374—376, et de $. F. Lacroix,
Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, 2e éd., T. 8,
1819, p. 107—114. Ces auteurs montrent ensuite comment
Laplace, -— en établissant le (2 g—1)ième coefficient différentiel
de la fonction _ d’une part sous la forme d’une frac-
HE 2
tion finie me (er + 1)27 pour dénominateur et des coefficients
indéterminés pour les 2q—1 premières puissances de er au
numérateur, d'autre part sous la forme d’une série infinie
résultant du développement de cette fonction elle-
et
même suivant les puissances négatives de er, — est arrivé à
sa formule pour le calcul direct et indépendant d’un nombre
Bernoullien quelconque. Cette formule, qui, si l’on prend de
nouveau la forme en T au lieu de la forme en B et qu’on
fasse usage de doubles signes © et de la notation ordinaire
TK
{
102 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
pour les coefficients binomiaux, peut initialement être écrite
2q9—1 ñn—|
2q —2 ÿ>
(—) — 1 2 a RE D ee 2 (—-) ye— 1 12) (n — r)24—1,
offre le grand avantage de se laisser nn. dans le second
membre, à la moitié seulement du nombre des termes placés
sous le premier signe Z: en effet, puisque les (2 g — 1)ièmes
puissances des nombres naturels forment une série arithmé-
tique de l’ordre (2q—1) et que par conséquent leurs diffé-
rences (2 gjièmés sont toutes égales à zéro, on a
)
Lo
Dr 0) (n — r}—-1 = 0
:
(Ù
ou, vu que le terme pour r =n est ici nul de lui-même,
—] 2q
RS Ce? 2q —7r)29—1 a SE . — y29—1 —
( (1 @ r)?4 = 2 ) 7) 241 = 0,
n +1
d’où il suit, si dans le second terme Z on remplace l'indice
variable quelconque # par 2q—7 et qu'on ait égard à
Ra
2q—r7. \r }’
S:
ne (Ai
2q—n—1
= D CT) Gonna;
0
on voit par là que, dans la formule en question, les termes
également éloignés du milieu, c’est-à-dire les termes en net
en 2 q—n, sont toujours égaux deux à deux ; que le terme du
milieu, correspondant à n = gq, reste donc isolé, et que par
conséquent Laplace a pu légitimement réduire sa formule à
une expression qui, mise de nouveau sous la forme en T'et
en Z, s'écrit:
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 103
:.
22q 2
(—)2—1 DEN NT ne e—1 r)?9—1+
q
g—1
+ (= Ÿ 57 Eye CARTE LU @)
0
Au reste, même sans faire appel à la série de Maclaurin,
l'égalité ci-dessus posée entre les deux valeurs obtenues pour
. à X ° ? 2 e
mi laisse développer ultérieurement sous une autre
forme, par exemple de la manière suivante.
On a
Tog—1 2 1
CEE pui = | = = he - =
2 (2 q er + 1 ue
2
=— Du(—ir(er — 1)e UMR che (œ)
Or, on peut substituer 1ci
(e—1)— > (me Ce }een— ÿ Es (; Ju Ce
Cette substitution, à cause de l’absence de toute puissance
paire de x dans le premier membre de l’équation précédente,
donne d’abord lieu à remarquer que, dans le résultat, le
coefficient de chaque terme x doit être égal à zéro pour
S—2q, c’est-à-dire qu’on doit avoir
À « Te —} (à en — 1 = 0,
(où pour » la limite supérieure n à pu être remplacée par
n — 1, parce que pour r=n le terme (n — r})?7 s’évanouit ;
tandis que pour n la limite supérieure à pu être abaissée de
æ à 2q, parce que, comme il à été rappelé plus haut, les
104 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
différences (2 q + 1)ièmes de la série des puissances (2 qhièmes,
et aussi toutes les différences supérieures, s’annulent d’elles-
mêmes). Mais d’autre part cette même substitution, si pour
s—2q—1 on égale entre eux les coefficients de x?1-—-1, qu’on
tienne compte d’un abaissement des limites analogue à celui
dont il vient d’être parlé, et qu’on multiplie par 229—1.(29—1)1!,
donne la formule
(—)2—!1 Paré Toy
2q—1 nl
— du} 1929-21 >» (—}r (e (acer)
Di var |
— = je 1 22g—n—1, 2 (— (7 Jones,
où, comme forme simplifiée, le dernier membre a pu être
ajouté à in de
(= en Pan n — 1
TE = T nr ee T \
Dans le second ou le troisième membre de l’équation (2),
pour chacune des 2 49 —1 valeurs de n le coefficient du terme
xè1—1, dans le développement de (e:—1})r, a été exprimé sépa-
à
rément sous la forme Ù r. Mais ces coefficients pour les va-
leurs successives de n se laissent aussi très bien déduire l’un
de l’autre, par une formule récurrente. Prenant, à cet effet,
la forme de développement suivante:
er A NZ DE TX
Cor = SUP y. Slrels
Mo
où, à cause de eæ —1—=7x le on n’a réellement à faire
partir la variable s que de la valeur n comme limite infé-
rieure; et remarquant qu'on à
d (et—1 )7
n | on Corne) x — 1)2—1 (e7 dE 12 (er — 1} —-1
EL — SN CLR
dx Dr UN n | (n—1)! ‘.
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 105
on obtient, par substitution:
ee]
2 xs —1 » è xs LS
Ë P,s — —N : Pre An AUS ÿ Prev. AT: ;
= (s —1)! z s| - s!
_ et après que dans le second membre la variable arbitraire s
_ a été remplacée par s— 1, afin de pouvoir égaler entre eux
les coefficients de x5—1 dans les deux membres, l’expression
de cette égalité donne pour les coefficients P la formule gé-
nérale de réduction: |
Ps Pres 21 Pr t.521:
En considérant que pour n = 1 tous les P1:=— 1 sont con-
nus, et de même pour s—n tous les Px.2 — 1, on parvient
facilement, à l’aide de cette formule, à remplir comme il suit le
Tableau des coefficients Pr. de — dans —
NDS DEN AT
ET EN ES PP
2 D q| 3 Dane
= 9 CR TONEMENPAPETS
n = 4 NN ENT 1 10
=, CO INRE NER EE
ue LR ES eat € + ©
M7 AA TT MENT
etc. DORE ne
La signification de ce tableau est donc celle-ci: pour ob-
à L ee == | \r 4
tenir le développement de Cie correspondant à une va-
leur quelconque de n, on multiplie chacun des coefficients
106 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
inscrits dans la ligne horizontale de cet n par le terme placé
au-dessus en tête du tableau, et on prend la somme de ces
produits. (Rappelons, en passant, que les coefficients du ta-
bleau sont les mêmes qui entrent dans les formules pour les
différences finies, d’ordre successif, d’une fonction quelconque,
exprimées au moyen des dérivées de cette fonction: en effet,
pour y—f(x), en combinaison avec y + Ay—=f(x + h), le
théorème de Taylor donne, HT on y applique une notation
symbolique,
LE ESS ds s hs dy _ A.
ssie+n re Der (Ed,
et en général, par la répétition de la même opération,
32 ñn
AN — C &—1) TA
de sorte qu’en cette question aussi on arrive, au moins sym-
boliquement, à une expression de la forme (e7 — 1): considérée
plus haut. De fait, on retrouve le tableau ci-dessus lorsque,
prenani le tableau des coefficients p des susdites différences,
tel que l’établit entre autres Lobatto (p. 335) au moyen de
sa formule de réduction
(2) (z—1) (2)
PRINT ( 2 mo }
r r—1 r—1
on le simplifie en divisant les lignes horizontales successives
par leurs prémiers termes = 4,21 =2 16 2h27
51 — 120, 6! — 720, 71 = 5040, etc. ; cette simplification re-
vient, en effet, au passage des coefficients de Lobatto aux
nôtres suivant la relation y” —n! Ps, et au passage, dé-
Tr
coulant immédiatement du premier, de sa formule de réduc-
tion en p à la nôtre en P. Au sujet du tableau ci-dessus
donné, j'ai d’ailleurs encore trouvé cités: Lacroix, p. 124 et
300, et L. Euler, Diferentialrechnung, 2x Theil, 1790, p. 59—63).
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 107
En substituant maintenant à (er — 1}, dans la formule («&),
son expression en coefficients P, on obtient
(o ©] D Æ
78
EN, Cie] pe
) @ )! D) : n.sS s!
0 q ® il n :
Dans celle-ci, nous n’insistons pas de nouveau sur la dis-
parition nécessaire du coefficient complet de toute puissance
paire de x dans le second membre; par contre, en y égalant
l’un à l’autre les coefficients de la puissance impaire géné-
P 8
rale x21—1 dans les deux membres, après le même abaissement
de limite pour n et la même multiplication par 227-1(29—1)!
| q
qui ont été effectués en (2), nous arrivons à conclure:
2q—1
D29—2
a IS | R (—}r1 Dg—n—l nl Pr2g-1 .. (2)
y
1
Cette formule, qui en réalité n’est qu’une autre forme, une
forme récurrente, de la forme indépendante (2), n’a donc besoin
d'emprunter chaque fois au tableau ci-dessus que l’ensemble des
coefficients P d’une même colonne d’ordre impair 2 g — 1: pour
l'application dont il s’agit ici, toutes les colonnes paires sont
superflues, et cela nous conduit à construire directement un
tableau plus condensé, en conservant toutes les lignes horizon-
tales, mais seulement les colonnes impaires. A cet effet, notre
formule de réduction pour P, qui ramène de s à s— 1, doit
être remplacée par une autre, sautant chaque fois de s à s—2;
or, une pareille formule s'obtient en différentiant de nouveau
| , nn (er — 1): ;
e premier coefficient différentiel de Ve CT trouvé plus
haut, et en substituant dans le résultat ce coefficient différen-
tiel lui-même, tant pour n que pour n — 1; il en résulte
D De er
U pen Al) n! A eg ou à LON =
d v? de d 1 aa d JE y
, (er — lye (er _ 1}#—1 (er—T }r =0)
= 7 7) ue. FAT ARE NS
Mn EE ln 5)
108 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
c’est-à-dire
co oo
xs —à ë JB
\ ÿ Res —— =h? 2: 5 Pas D + (2n—1) > à P,ne
(s—2) | s|
7 n—1
[ee]
LS
Sr ) > 7 DS
sl
n—2
d’où dérive, après remplacement au second membre des par
S—2, la formule voulue
Prs = 0? Pas-2 + (2 n—-1) Pr-1s5-2 + Pn-2s 2.
Cette formule, qui au besoin pourrait conduire tout aussi
bien à la composition des colonnes exclusivement paires qu’à
celle des colonnes impaires, sert donc de fondement au tableau
suivant, qui dans notre cas suffit. |
À er
Tableau des coefficients P,, des termes impairs : dans
@—1y
n|
. 2° 27 CE œ” etc
ii 9 | 5! il 9!
= dl 1 il ? 1 il 1
NN? 2 15 63 255
n—=S 1 25 301 3025
n = 4 10 300 7770
NS il 140 6951
ni 0 21 2646
D | AORNNES
ni : 5 36
NES) Fi RARE L
| etc. Ti
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 109
Après avoir tiré du développement de («) ce qui convenait
à l’objet que nous avons en vue, passons à l'établissement
d’autres formules, plus simples, pour le calcul indépendant
des coefficients des tangentes et par conséquent aussi des
nombres de Bernoulli. Nous commencerons par chercher,
— parce que nous aurons plus tard à faire un usage répété
des résultats de cette recherche, — le développement, tant
sous forme indépendante que sous forme récurrente, d’une
puissance quelconque du sinus, en fonction des puissances de
l'arc. À cet effet, la formule
) SÀ 2 —17 \n — FI EE)\7 n an —r 3 7 DES
(2 à sin x}? — (er — e—ix }r — 2 (=) Ce Ver (ei —
2r)i < T Ke à
= D = 0 e(n—2r)ir — D (— pe ) pute Ar
0 0
; sin x
peut servir de point de départ. Mais, comme = etparcon-
%
s . {sin x\? : k
séquent aussi | — ne contiennent que les puissances
x
paires positives de x, il ne peut entrer dans le dernier membre
de la formule que des puissances de la forme 2+2s, En y
remplaçant donc s par # + 25, renversant l’ordre des deux
sommations, et divisant par %#*, on obtient d’abord
(2 sin x} — ue VS y Ç ) (n—2 r}°+25,
Dans cette formule, toutefois, le nombre des termes placés
sous le second signe © peut être réduit de moitié, parce qu’on
a toujours |
Et Ga) (n—2 r}2+25 = (— Jr (e à (n —9 (n—r)yre+2s
c’est-à-dire, que deux termes en r et n—r, également éloignés
du milieu, sont toujours égaux l’un à l’autre; en divisant donc
110 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
par 2, et remarquant qu’en cas de n pair le terme du milieu,
n FLE
pour r=5, s’annule de lui-même, et qu’alors il est en outre
permis d'écrire partout n — 2r = 2 (5 — 7 ) , On trouve
(pour n impair) 4
=
= a+ 2s 0)
s { À (— (n—2r) n+2ès
Do GE 2s} je )
0
2n—1lsin? x —= .. (6)
(pour n pair)
Soempe()(t JE
|
Cherchons maintenant, pour la même fonction sin’ x, le dé-
veloppement avec coefficients récurrents. Posons, à cet effet,
OÙ
sin! x gartes À
= > D D, À à
n | ï (Y Quut2s (n + 25)!” (#)
puis faisons usage de
d? sx sin lx cos %
D NT __—sûtx+(n—1l)sinr—x(1 sin)
Tnt dx ge Loi 14
Fe SHC SUV mt
in n | (n— 2)!"
nous aurons, par substitution,
(o »]
> Es 0 ! an + ès —2 eo Te ) Q a+ 2s 5
) dns DORE) ee n. PH n + Ds)!
0
co
an+ès—2
SUR ÿ — )S Qu—2.n+25—2 Se
5 mn (n + 25—2)!
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 111
Si dans le premier terme du second membre de cette équa-
tion on remplace l'indice variable s par s—1, afin de pouvoir
égaler entre eux les coefficients de 22+%s—2 dans les deux
membres, l’expression de cette égalité donne la formule de
réduction
OL or —Ue On.n RO PRE O9» APE?
pour les coefficients Q. Bien que cette formule, combinée avec
(B'}, convienne tout aussi bien pour les valeurs paires de #
que pour les valeurs impaires, il faut reconnaître que pour
n pair l'introduction de coefficients numériques plus petits, Q,
est possible et, dans l’application, préférable. Supposons, en
effet, qu’en ce cas chacun des nouveaux coefficients Q soit lié
au coefficient primitif homologue Q par la relation Qv.r+2: =
= 25 Q'un +25 (où l’exposant de 2 est donc toujours égal à
la différence des deux indices de Q ou de 0’); on peut alors,
en premier lieu, écrire la formule (5’), en la multipliant par
2», sous la forme
(2 sin 3 4e - le (2 x} +?s Fe
de me ( Ÿ Q'a.n +25 (n +25)! bi ce Lo (5 )
et, en second lieu, calculer les coefficients Q”, qu’elle renferme
maintenant, par la formule de réduction
/ ñn 2 ! /
Or — Ca Q'n.n+2s—2 == Dr, +2 s—2,
qui résulte de la formule en Q ci-dessus trouvée, moyennant
la division successive de ses trois termes par les trois valeurs
2e+85)—n, D Qr+25—2)-2 et 2(0+25—2)—-%—2), dont chacune est
égale à 2?:. En remarquant maintenant, d’une part, que dans
(”) pour n = 1, à cause de
LE Re
tre = (L. 4597
112 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
on connaît tous les O1.1+95 = 1, et pour s —0 tous les x = 1,
et, d'autre part, que dans (5) pour n = 2, à cause de
(2 sin a 1 à (2 æ)2+2s
M 22= 2 CEE TE
on connaît également tous les Q'2.2+25 = 1, et pour s — 0 tous
les Q'rn — 1, on obtient sans peine les deux tableaux sui-
vants, applicables respectivement aux deux systèmes, impair
et pair, ci-dessus considérés.
an +2s
Tableau des coefficients Q:.:+2, de
(pour n impair).
22 LENNRELE DIE Gao
1 Talon NAN Riot nan
nl Il il, 1 Lu l
== RER 91 820 7381
D— 0 il 39 966 | 24970
DEN ser 1 da 5082
NS) 1 165
nl 1
etc.
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 113
| ue Ces
Tableau des coefficients Q's.:+2 de eo) dans
ss sn (pour n pair).
Ge» | Gal Go) CoCot) Ga).
Dans chacun de ces tableaux, de même que dans le tableau
donné tout d’abord, le développement de la fonction inscrite
en tête, pour une valeur désignée de n, est formé de la somme
algébrique des produits obtenus en multipliant les coefficients
de la ligne horizontale de cet n par les termes en x placés
au-dessus d’eux.
En ce qui concerne maintenant l’usage que nous voulons
faire des formules (5), (5) et (6”) trouvées pour sin’ x, nous
remarquons d’abord qu’au lieu du développement de ÿ+
on a immédiatement devant soi — ce qui est préférable dans
le cas actuel — le développement, suivant les puissances im-
paires ascendantes de sin x, de tg x elle-même, savoir
TU sin x du Sin) na le:
0
cos æ — Sinx(1—sin*x) * 24.6....(2n)
114 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
on y voit que, pour le terme indiqué par n = 0, il faut at-
tribuer la valeur 1 non seulement, en vertu de ce qui a été
dit à l’origine, au dénominateur 2.4.6... (2n) = 2.n! de la
fraction ci-dessus, mais aussi au numérateur, à considérer
FEU) MB EEE 7e)
eme ne
quent à la fraction elle-même. En substituant maintenant
dans le premier membre sa valeur exprimée en coefficients
des tangentes, et dans le dernier, pour la puissance impaire
générale de sin x, la valeur qui, à la suite du remplacement
de n par 2n + 1, résulte soit de la première formule (B) soit
de la formule (5”), on dispose de la double égalité
sous la forme , €t par consé-
es Déni Ne SONO
2 cu | 4 he De ON NON
Ç 2n+2s+1
oran ( errant
0 b S
Er RRRIEES 41)
—_ 7 il
su D A ER ON DE) Era
= x? n +2s+1
> (es) Q2n+1.2r+95+1 @n +2s+1)! | 1
Après avoir pris dans le second et dans le troisième membre
S—gqg—#n—l, afin de pouvoir y mettre en évidence la même
puissance 2*%%—1l que dans le premier membre, il ne reste
plus qu’à égaler entre eux les coefficients de cette puissance
dans les trois membres, pour pouvoir conclure, après mul-
tiplication par (—)7—1 (2 4; — 1) !, aux deux formules suivantes
pour le coefficient général des tangentes, la première sous
forme indépendante, la seconde exprimée en coefficients
récurrents 0:
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 115
g—1
—#) È Es
2 enr er BA D Al
0
q 2 0 ACT) 227
AT T A TE) @n—2r+1% | Ne birle)
g—1
OC 2 Ca D'Crb DO 1.6)
0
la limite supérieure de n a de nouveau pu être abaïssée ici
de à q—1, parce que dans (3) la (2n + L)ième différence
de la série des (2 g — 1)ièmes puissances des nombres impairs
successifs s’évanouit d'elle-même pour chaque 2n+1 = 2q—1,
ou, ce qui est équivalent, parce que dans (3’) les coefficients
Q2r+1.249—1, à prendre dans une même colonne de l’avant-
dernier tableau, viendraient évidemment à manquer dès qu’on
aurait, ici également, 2n + 1>2q—1.
Le développement
1—cos2x __1—(1—sin? 2x): LS EI) es
en MR nue n+1
u=|/ cos sm2x . 4.6...(2n +2) ue 2
qui ne procède plus suivant les puissances impaires ascen-
dantes de sin x, mais suivant celles de sin 2 x, peut, lui aussi,
fournir un couple de formules, à peu près de même forme
que les précédentes, pour le coefficient général des tangentes,
En effectuant exactement les mêmes opérations que ci-dessus,
et en outre une division par 227—2, on trouve:
qg—1
ON MINE PE HP SM OMInEe T) il
Gr q Te 2.4.6...(2n + 2): 22»—1
der (Jen —2r + 1 ; CA)
0
qg—1
1.8.5...(2n—1)} (2n+l
== 3»: y! En Ge Es ut)
0
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 8
116 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
Au lieu de la tangente elle-même, on peut, avec un succès
au moins égal quant à la simplicité du résultat, prendre pour
point de départ du calcul son coefficient différentiel: on ob-
tient ainsi des développements appropriés, non seulement,
comme plus haut, en sinx et en sin 2x, mais, de plus, en
sin On peut en effet écrire — pour ce qui concerne la
seconde ligne en substituant à {gx le développement trouvé
en dernier lieu —
LS; sin?*x
1—sin?x
dog al A test 7 Se el
de, ose eme 0 2100 Ce) 00
T) =
(1 D Sin 5) = V (n+1)2sin2r _
\ 0
où l’on à affaire, comme on voit, aux puissances paires suc-
cessives du sinus de +, ou de 2x, ou de = . Prenons par
exemple la première ligne et appliquons, après remplacement
de n par 2n, soit la seconde formule (5), soit la formule
(B”); en remarquant toutefois que l’applicabilité de ces
deux formules elles-mêmes ne commence qu’à n = 2, donc,
après le susdit remplacement, qu'à n — 1, d’où résulte l’obli-
gation de mettre séparément en évidence, dans chacun des
trois développements obtenus pour a. Ÿ., le terme corres-
pondant à # = 0, c’est-à-dire l’unité; la première ligne donne
alors
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 117
Ne CU, à 1.
q D x\29—2 —
22 239)! e
n—1l
1e be. (2x)?2+2s RE (2 FIG EC ES
nt x na D Mme
(2 n 2x ?n+2s
=1+ À oi Ye Ÿ C'an.2n+s ee
Si ensuite, pour pouvoir égaler entre eux les coefficients de
(2 x)*1—?, on pose de nouveau s = q — n — 1 dans le second et
le troisième membre, on obtient, après multiplication par
(—)2—1(2 q — 2) !, le système:
BE] n—1
: T2 — LE 2
= g—1 . —— 7 (—)? Pr 2 Er ( ,)e —7)29— =" (5)
1
GER 9 1
20 } . | Q'?n .24—2 Re Ja) AURAS (5°)
où, pour la même raison que plus haut, la limite supérieure
de # a pu être abaissée de « à qg—1.
- De la même manière, la seconde ligne donne lieu à la
double formule :
T'2g—1
CRE
El n—1
Sr _ Ds 22 - ie ie Jen). (6)
Pa
Dr (4.3: a 22q—2n 1 Q'an.2p 2, « . « « (6)
8*
118 F, J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
et la troisième ligne à la double formule:
n—1
g—1
ae Fr D (PJ -n.(7) |
=Y.- pme EME Q'2n. 2q—28. « (7°)
n
On obtient des formules un peu plus compliquées en partant
du second coefficient différentiel de tgx, ce qui peut conve-
nablement se faire ici sous la double forme
[
|
| IN
| e e TES n1.8.5...(2n+1)
| xl —sinè 2— 2
ARR SM RE ne
(6 Pigæ 2sinx _ (—cos2x)} _ 99 D— sin22x—9(1—sin22x)" —
da? COS3X sin2x — TU Ein 00
D: 1.8.5...(2n+1) .
92 ñ 2n+1
— . 2.4.6... (2n +4) sin 2%,
sin?22 +1 >
de sorte que dans ces deux cas la première formule (8) et la
formule (5) pour les puissances impaires du sinus sont de
nouveau à employer. On a alors, en procédant comme précé-
demment, à pratiquer les opérations suivantes: substituer les
deux susdites formules, après y avoir remplacé n par 2n+1
et en outre, dans le second cas, x par 2x; remarquer que
dans le premier membre, qui se transforme en
2 (2 g — 1) (2q — 2) Toy
q 2 x)°9— 8
> CIE F9
et où l’application ne commence en fait, de même que dans
les résultats à trouver, qu’à q = 2, il n’est même pas nécessaire
d'écrire 2 au lieu de 0 pour la limite inférieure, puisque pour
q = 0 le facteur T_, et pour g = 1 le facteur 2 g — 2 s'éva-
nouissent d'eux-mêmes; prendre maintenant s = g— n — 2en
vue de l'égalité à établir entre les coefficients de 4?7—3 ou de
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 119
(2 x)2—3; enfin, multiplier par (—)7-1(2 q— 3)! et appliquer
à la limite supérieure de n l’abaissement maintenant permis
de æ à q—2. Les résultats sont: dans le premier cas, le
système
qg—2
227—2 RE à RCE 1
ZE) pue Han
nr les = DR Re Dre
dy ee "Jen —2r FPE PEU (8)
0
g—2
+, 2e PORN Or El) 02e 1L2 8 (8!)
et dans le second cas, le système
g—2
Teg1 ne Mono (am D) 1
Tr sil nr Co a 2
= PE >
Den ( 2 ) @n—2: + 1)27 À Lt)
qg—2
MoN OL CN 345 2 0e.£ 1}
=» 27 ) re ne OO EE) One eee (ON)
Si l’on voulait opérer d’une manière analogue sur les coefii-
-cients différentiels plus élevés de igx, on pourrait, pour en
obtenir le développement suivant les puissances de sin x, faire
de nouveau usage, comme il va être dit, de formules de ré-
duction,; ces formules pourraient d’ailleurs servir aussi, presque
sans changement, au développement suivant sin 2 x, et de plus,
pour les coefficients différentiels impairs, au développement
suivant sin 3 Supposons qu’en général pour une certaine
valeur de p on ait déjà trouvé
dp ; » (12
PE === Ny. ñ Se Re x,
120 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES KYORMULES
où le coefficient N,., est donc une fonction connue de l’indi-
cateur de rang n, tandis que, comme on va le voir, pour p
impair on a toujours & — 0 et pour p pair toujours &« = 1; on
dP +24. À
obtient alors, en différentiant deux fois: D , à SAVOIT :
&
dO
= d | n (2n+ a) Ny.n Sinr+%—lLy cos x
ù $ Np+2.n SNL NL — S rie
0
d x
Lo 0)
= 2 2(2n+a)Np.n|(Qn+a—1)sin?r+4—2x(1sin?x)—sin?r+"x\—
0
CO
— > 2 (2n+a—1)(2n+ a) Ninsinr+-2x —
= :
QO
— Duf2n + a)? Nynsintr+"x,
0
et par conséquent, en remplaçant n par n + 1 dans le pre-
mier terme du dernier membre, puis égalant entre eux les
coefficients de sin?*+"%x dans les deux membres extrêmes:
Nprao.n = (@n+a+l) (2n+a+2) Nin+1-— (2 n+ ax) Ny.n
Ou séparément: pour p impair, remplacé par 2p +1,
Nopr3.n = (2n +1) (2n + 2) Np+i.n+1 — (20) Nop+1r;
et pour p pair, remplacé par 2p,
Nepr2.n=(2n +2)(2n +3) Noy.nr1— (n +1} No,
tandis que dans ce dernier cas on peut encore introduire
utilement, suivant
SYHOTR (Da) ni te?
des fonctions plus simples N', pour lesquelles il vient alors
N'oprèn—=(2n +1) {(2n +3) N'apnti —(2n + 1) Neil.
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 121
On a donc en général les deux types
(oo)
dp+ ig x d ù ,
Re = Z Ne p+1.n sin? A
0
daxèr+1
et |
dep igz _NS1.3.5...(2n—1)
RÉ NE I RE Vs © No, 2 TL.
dur m9 4.6... CLÉS de
Partant maintenant, pour p = 0, des développements suivant
sinx assignés plus haut à gx et à # , C'est-à-dire de
N'o.n = 1 pour le second type et de M.» —=1 pour le pre-
mier; puis appliquant alternativement les formules de réduc-
tion qui viennent d’être trouvées pour les fonctions N'2,+2.%
et N2py+3.n, on obtient pour les deux types en question:
N'a. =2(2n + 1) (en accord avec la valeur déjà calculée
d? tg x
dx? L
Nr =2(38n +1), N'an—=16(2n+l1l)(n + 1),
Ns.n = 4 (15 n2+15 n+4), N'6.—16(2 n+1)(12 n2+28 n+17),
Ni.n = 8 (105 n3 + 210 n? + 147 n + 34), etc.
On voit que ces fonctions se compliquent assez rapidement
et ne suivent, n1 l’une ni l’autre, quelque loi bien apparente;
or, par là se trouverait annihilé, et au-delà, l’avantage qu’of-
frirait l'emploi des coefficients différentiels ascendants de tg x,
à savoir de donner, pour le coefficient général des tangentes,
des formules qui seraient composées d’un nombre de plus en plus
petit de termes en nr et qui contiendraient en outre, dans chacun
de ces termes, des puissances de moins en moins élevées.
directement pour
Aussi, renonçant à poursuivre cette voie, nous nous bornerons
à mentionner que du troisième coefficient différentiel, relati-
vement encore simple,
3 . 8
F LEE, N3.n sin?r x = 2 (30 + 1) sin?2 æ,
0 0
d «3
129 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
résulte, par la méthode indiquée, le système de formules
suivant (qui, cependant, ne peuts’appliquer qu’à partir de g=3):
n—1
qg—?
To, an +1 : ee
ANG AE = 20 PRE > pee | 7 (——\r __y\2g—4
Ce ones 250 0e ES
g—2
=D: ER ERR, RES
\
Ainsi qu’on peut le prévoir d’après ce qui précède, les
formules à déduire par intégration, au lieu de par différen-
tiation, sont composées d’un plus grand nombre de termes en n.
Nous serons donc bref à leur égard et transcrirons seulement
la double formule initiale :
/
/
ral IN; sin? x
5 Nep.log.(1—sin?x)= 1
[ tgxdx= — Nep.log.cos x =
| RS Sr 0, T
— Nep.log. (sin? :) ee a 5
et le double système qui en dérive:
q n—]
T2 1 2n
y le le 7) n —1 _| PA n—7)29..
Pa en ne D (Jen.
= ñn à — (2 n) ! /
=ÿe L se LS Q 27. 2q ets ele) ta (11 )
et
; n—l
DU Frs | 2( yr- 2 ; . (2n di
Fi RUES F2 a — Dn—1 (y ( T ) (n—r)?2 ..(12)
ni |
n (—\n —1 DC
Che, Pons ME SE (12')
Afin de mettre clairement en évidence, par un exemple
déterminé, le plus ou moins de simplicité de toutes les for-
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC, 123
mules obtenues pour les coefficients des tangentes, Jusques et
y compris (12)(12’), on a réuni à la fin de cette Section, dans
le Mémoire original, les formes complètement développées
qu’elles fournissent pour g = 4, c’est-à-dire pour le quatrième
coefficient 1,. De cet ensemble nous ne reproduisons b pour
abréger, que la formule de Laplace:
ONU NO
ECC) (0) Rnb (1)
et la double formule :
fe
1e 1
DRM RREE (10)
NPA LA
on Dee moe CR Lt. bien. (10)
laquelle, tout en conduisant comme toutes les autres au ré-
sultat final T, = 17, l'emporte sur toutes, et par le nombre
moindre des termes ou des coefficients Q’, et par le degré
moins élevé des puissances qui entrent dans ces termes. Cela
n'empêche pas, toutefois, que lorsqu'il s’agit de calculer réel-
lement quelques coefficients des tangentes successifs, à partir
du premier, on pourra en général y parvenir plus simplement
que par les formules indépendantes dont il est question
ici, notamment, au moyen des formules récurrentes périodiques
développées dans mon Mémoire antérieur. En m’appuyant sur la
page 415 de ce Mémoire (Arch. néerl., T. XVI), je rapporte-
rai, Comme exemples concis pour la période 3, les formules
(sous forme bernoullienne)
le UE
(DC ne (me
17 17 OT
19 19 19 Te
Ca)e — (Go) m+ (Ge) =>
124 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
qui peuvent donc successivement servir, après qu'ont été
calculés par la même voie d’abord B_, ou B, ou B,, puis
B, ou B; ou B,, à déterminer aussi B;,, ou B,, ou B,,
À la page 412 de mon Mémoire antérieur j'ai aussi fait
mention des deux relations récurrentes interrompues trouvées
entre les nombres de Bernoulli par M. A. Stern, Beiträge zur
Theorie der Bernoulli schen und Euler’schen Zahlen, dans A4b-
hand. der Kün. Gesellschaft der Wissenschaften zu Güttingen,
T. 28, 1878, p. 7—8 (voir aussi id., 2 Beitrag, dans id.
T. 26, 1880, p.3—45). Dans le premier de mes deux nouveaux
articles hollandais j'ai également développé, quoique sous une
forme un peu différente, de semblables relations interrom-
pues — c'est-à-dire ne revenant pas sur tous les nombres
antérieurs, mais seulement sur quelques-uns d’entre eux qui
précèdent immédiatement — ; ces relations s’exprimaient de
nouveau plus simplement en coefficients des tangentes qu’en
nombres de Bernoulli, et elles s’exprimaient mieux encore en
d’autres coefficients, intimement liés aux premiers. Ici, sans
entrer dans le détail des opérations elles-mêmes, je commu-
=
niquerai seulement les résultats obtenus à ce sujet.
Posant té — 19 =. j'ai d’abord établi les deux formes
ne p impair)
\
| |
OP EeT 1 |
F perse sent
—j\tfp — St
(p—1)! & — Eu (pour pipain ) (7)
dp—?r-—1#
? |
fée à d xp—?r-1 —)3 App |
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 125
auxquelles s'applique en général la formule de réduction
Ap+1 2 = 2 Ap.9r + (p —1)p Ap-12r-2, avec les formules
particulières 4p+1.0 = 2 47.0 et (pour p impair) Ap+1.p+1 =
— (p—1)p Ay-1.7—1, mais avec la formule d'exception (pour
p pair) Ap+1.p = (p — 1)p Ap—1.7-2. Il en résulta ce
dp—?r—
} d xp—?r 1
Tableau des coefficients 4,.27 de (— - dan s(p—1)!#,
Diet (12) {1}
0 25). |i2 (I
D—=.,8 (2; 3.4) 12002, 1)
p=4a | (2:45) |12(4, 8, G)
AD (25516) [8 (2, 10, 3)}
== 6 (NO) (er #0 26 (65);
Dit (25776) 116 (4, 70, 196, 45),
Dre (2; 8.9) |116 (8, 224, 1232, 1056, (315))|
Dr = 9 (2: 9:10). | 128 (2, 84 798, 1636, 319)
etc. | |
donnant, par exemple,
a
d x
SNroe 8 (4 .
et
LE SR ER IS SX L 2
614 =16 (47 mes Te — 454)
En introduisant ensuite, au lieu des coefficients des tangentes
T eux-mêmes, d’autres coefficients 7” liés aux premiers par
la relation simple T'2,-1 — Bo l , de sorte qu’il venait
2q
IP
=) Ne AT ere
2 É (2 gi) | À
126 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
j'ai obtenu les susdites relations récurrentes interrompues
entre les coefficients 7”, savoir, en premier lieu:
p—1l
2
our p impair NS A0 ee 0 |) 246
(P P P ) Û ) hi sns ous ja?)
USE
2
1 4 21 Pi
(pour p pair) D %(—} 42 Ty or + (—)5 4» = 0
0
Ê—1
2
et > — )'Ap.9r l'y = 0
- ( ) p.êr 1 p—2r+2ès—1 pour s=1 jusqu'à À —1 ,
et ensuite :
(pour p impair et pour p pair)
p—1 On =
2 2
as Î I
DL =} Ap.2r T'ap—9r—1 = Con ron
5 2?
- ou 1
. | L(p +92)!
Dre marne Ha,
= À
etc.
Pour p—6, par exemple on a le systèmes
4 T', — 40 T', + 46 T°, —15 = 0
ATEN 40 pu AU — 0
LD RARE ACTE = 0
516!
8(4T',,—40T', HAT) =
618!
8 AU NE A0 MAG)
etc.
et pour p = 7 le système:
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 127
AT", —70 T'; + 196 T', — 45 T', =0
AT ATOTIAEE 1961) —45 Ti —\0
DA SORA EMOG EI 4 Ti IQ
/ / / 6171!
16 (4 T'ia— 70 7”,,+196 T's — 45 =
4 RON
16 (4 T',5— 70 T',,4196 T's, —45 Te
etc.
Revenant aux deux relations de Stern mentionnées ci-dessus,
je les considérait plus particulièrement dans le cas où elles
contenaient le moins de termes, et, après une légère réduction,
je reconnus qu'elles se confondaient alors sous la forme
commune
4 You Z
x ; 2q—2r+1 f q | (pour g = 1) L |
ee Go 2r+1 (a) PS in AN 2 À
(pour g >1)0 )
donnant, si l’on prend successivement q —=1, 2, 3, etc., le
système : |
br =
5 B, —B, =0,
7B, —5B,—=0,
9B, —14B; + B, —=0,
11B, —30 B, + 7 B, = 0,
13B,, —55B, +27B,— B, —=0,
Be OR tb 9B,;—O0,
17 B,;,—140B,, +182B,, —448B, + B,—=0,
etc.
(Je dois noter ici qu’un article de M. Ed. Lucas: Sur Les
nouvelles formules de MM. Seidel et Stern, concernant les nombres
de Bernoulli, dans le Bulletin de la Société mathématique de France,
TT. 8, 1879—1880, p. 169—172, m a rappelé que cette relation
1928 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
particulière de Stern — mais non ses deux relations géné-
rales — avait déjà été signalée avant lui par M. L. Seidel,
Ueber eine einfache Enistehungsweise der Bernoulli’ schen Zahlen
und einiger verwanditen Reihen, dans Sitzungsberichte der mathem.-
physik. Classe der k. db. Akademie der Wissenschaften zu München,
.7,1877,p.157-—187.) (voir Arch. néerl., T. XVI, p.440; id., p.489).
On peut d’abord remarquer, à propos de ce dernier système,
que les coefficients numériques d’un même nombre de Ber-
noulli, dans les lignes horizontales successives, se laissent
déduire l’un de l’autre d’une manière simple, de sorte que,
pour l’ensemble du système, il serait facile d’inscrire ces
coefficients suivant leur ordre successif, en lignes obliques
parallèles. En effet, on a vu tout à l’heure que le coefficient
du (r + 1)ère terme de la qième ligne horizontale, c’est-à-dire
(abstraction faite du signe) précisément le coefficient du terme
QU
(2r+1)l(q—2r)!
or, si dans cette valeur q et r sont simultanément augmen-
tés de l’unité, on reconnaît que le coefficient du même terme
B2—2r-1 placé obliquement au-dessous dans la ligne suivante
Qg+1)!
est égal à (2q—2r+1) Dre ei et par conséquent
QE D(Q27)
PreN)P res
(q9 +2, r—=0), etc, Cal r—=09— D, 29 r—=0)tpisen
guise de coordonnées rectangulaires, indiquent les coefficients
numériques du même nombre bernoullien B2,-1 dans les
q + 1 lignes successives dont ce nombre fait partie, chacun
de ces coefficients numériques doit donc, pour fournir le
général B2y—2r-1,avait pour valeur (29—2r+1)
) fois aussi grand. Si (q,r = 0), (q+1,r=1),
suivant, être multiplié par
(a+1)9 (@+2)9—1) (g+3)g=2) .. Co ep
DD 4,5 ; 6.7 ; (29)29+1) 2q+1°
C’est ainsi, par exemple, que pour q = 4, c’est-à-dire pour les
cinq coefficients 9, 80, 27, 9, 1, dont est successivement
affecté B,, on a:
#
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 129
5.4 6.3 7.2 8.1 9.0
D = D AE "9 s ÉAQAE
donna D 67 “89 10.11
Mais, en second lieu, de la relation particulière ci-dessus
—1) X —= 10!
mentionnée j'ai déduit un couple de nouvelles relations, qui
me paraissent se prêter mieux que beaucoup d’autres au
calcul numérique effectif. |
À la relation en question, correspondant à une valeur quel-
conque de g = 1, réunissons par addition le double de la relation
immédiatement précédente, en laquelle elle-même se trans-
forme donc par substitution de g — 1 à q, et pour cela com-
binons chaque fois deux termes homologues B2,-_2; 1, ce qui
nécessite donc aussi, dans cette relation précédente, le rem-
placement de chaque r par r — 1. La somme se présente
alors initialement sous la forme :
QU
ro
| En nn =) Lo
0
OÙ —
or g=2)l}
(bour g= 2)0
où pour g impair la limite supérieure primitive . de r
2 el
a été remplacée par se parce que dans ce cas — mais
D 2
non pour q pair — la relation précédente contient, outre les
nombres B qui entrent dans la relation primitive, encore un
B inférieur; de plus, comme l'indique le second membre,
l’applicabilité commence seulement à g—2, parce que la
susdite relation précédente n’est valable que pour 4 — 1 = 1.
Par la réduction
Une UD
Di ET A De DEN re 27/00
1 — 1
= TR (UE .
see en ne A) Sr) far)
go 200) 0 drul
nn Cr—D2r(2r+1) KLar—2
4
130 F. J. VAN DEN BERG. QUERLQUES FORMULES
la relation que nous venons de trouver se transforme ensuite
en celle-ci
Elu g
2 2
N> Unes ro ne
- @r—1)2r(2r + 1) dr222) Vire rot
(pour =?)
RO PE MR | (O)
l(pour g> 2)0
qui forme le fondement du calcul ultérieur. Ou plutôt, dans
le cas de qg pair, cette dernière relation est déjà elle-même,
sans aucune nouvelle opération, le résultat final cherché. Pour
le reconnaître, il suffit de remarquer que les coefficients de
deux termes du premier membre placés symétriquement de
part et d’autre du milieu (c’est-à-dire de chaque couple de
termes en 7 et en + — 7») sont alors ou bien égaux ou bien
opposés: en effet, l'échange réciproque de 27 et deg—2r,
par lequel le facteur
RS ee
@r— 1)2r(2r +1) \2r—2
écrit sous la forme
@g—1)!
Dante re
n’est évidemment pas altéré, donne pour le coefficient du terme
en By+2r—1 la valeur
ES 7 (I OUEN QT
de Cr Den r Et) 2r—9
c'est-à-dire, précisément YS — L fois le coefficient de B29—2r—1
lui-même, Si done, à raison de ce fait, on réunit les termes
deux, il vient la formule plus concise:
DS
deux à
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULII, ETC. 131
ee =
ou
(GANG EN CCE) qi .
(house 0 por) È= (@r—1)2r(2r+ 1) y —92
ms . = —2)}l
où pour we 2 pair on a pu attribuer à r la limite supérieure
Le au lieu de L., parce que le terme médian isolé, que
(à) contiendrait alors pour r= 21, sévanouit de lui-même,
2
à cause de son facteur q — 4r = 0.
Pour le cas de q impair, au contraire, la relation générale
(0) elle-même n’est plus susceptible de la simplification précé-
dente, parce que tous ses coefficients sont alors inégaux entre
eux. Même dans ce cas, toutefois, on peut encore déduire
de (9) une autre relation, de forme presque aussi concise
que (13). En effet, si de la relation (0) on retranche en général
la relation immédiatement précédente du même type, pour
laquelle il faut donc de nouveau, dans (d), remplacer q par
q — 1 et en outre, afin de laisser inaltéré l’indice 29—2r—1
du terme général en BP, remplacer r par r — 1, on obtient
GEL Le dre
2 2
CT is ne don) q—1
2“ D eo a 1) Lu)
(4 Ne dde Ru
(2r—3)(2r—2)(2r—1) \2r—4)/ | Fee RS ) 0 de
où pour g pair la limite supérieure _. de 7, indiquée dans
2 2 À Q .
(à), a été remplacée par 2e , pour la même raison qui, lors
2
de l'établissement de la relation (d) elle-même, a fait substituer
_. à = limite supérieure primitive dans le cas de g
ARCHIVES NÉERLANDAISES, LT. XXIV. 9
13% F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
impair. Or, cette nouvelle relation, écrite de préférence, à la
suite d’une réduction dont on trouvera le détail dans le
Mémoire original, sous la forme
loue ou fer =
2 2
s. 1
2. NE UGS ANT je
il g 2 Due
DD 0) Are ) ne
de ne (0°)
(pour q > 3) 0
présente justement l'inverse de ce que nous avons vu, ci-
dessus, par rapport à la relation (d). Tandis que pour q pair
elle conserve, à cause de l’inégalité des coefficients de tous
ses termes, la forme passablement compliquée que nous venons
d’obtenir, elle se laisse de nouveau, pour gq impair, condenser
en quelque sorte en un nombre de termes moitié moindre.
On reconnaît en effet que le coefficient de B,},2,;- 2, qui dans
ce cas se déduit du coefficient de B2,_2; 1 moyennant l’échange
réciproque de 2 et de q—27r+1, ne se distingue de ce
g—1
coefficient primitif que par lesigne(—) ? dont il est précédé;
par suite, en rapprochant de nouveau deux à deux les termes
du premier membre placés symétriquement de part et d'autre
du milieu (c’est-à-dire, dans le cas actuel de q impair, chaque
+1
couple de termes en » et en no r), on peut écrire:
ut
4 4
; 1 qg—1
T(— \r(9—4y+- _ 1l 5
(pourgimpair) 2 X )'(g—4r+1)(9+2r)(2q—2r+ = Tr Cr IC >)+
1 Te. B
A LT 1 ei) { Noel
g—1 4 —
_— » IN EMPOUT 4 St
Ha er :) | (pour 43 > 3) 0 es
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 133
dans cette expression, pour _- pair, il a été attribué à r
he: D —3
la limite supérieure Ÿ , parce que le terme immédiate-
ul
4
ment suivant, indiqué par 7 = , et qui dans ce cas
est en même temps le terme du milieu de (0), s’annule de
lui-même, à cause de son facteur g — 4r + 1 —=0.
Lors de l’application numérique des formules (13) et (13°)
il peut être commode de se rappeler, entre autres, les par-
ticularités suivantes: 1° que pour le premier terme, indiqué
par r —= 0, savoir Bay_1 + (—}s —1 B;_1 dans (13) et
ee
B23-1+(—) 2 B,-2 dans (13), le coefficient est simplement
2 4 + 1, puisqu'on à alors:
| bite (g— 1)! Hi
(2r7—1)2r(2r +1) \2r—2 @r+1)l(g—2r+1)t
1 GR NT
Hat et) - (24) =0
2° que pour un terme quelconque, indiqué par r, le facteur
2 q —27r + 1 est toujours la somme des deux facteurs qui le
précèdent, que ceux-ci soient 9 — #r et g + 27 + 1 ou bien
g—4r+1et qg+2r; 3° que, les formules (13) et (13”) ayant
été obtenues exclusivement par addition ou soustraction de
relations à coefficients entiers, tous les coefficients numériques
des nombres de Bernoulli y doivent également être des entiers.
Au reste, l’application alternative des deux formules (13)
et (137), précédée, pour’ le ‘cas g — 1 non compris dans
ces formules, de l'application de la formule primitive dont
elles sont dérivées, donne le tableau suivant, où, pour chaque
valeur de q, les résultats du calcul des coefficients numériques
sont placés à la fin, entre crochets [ |.
8*
134 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
JL
qg= 1, 3 PB, FAUN [3]
g=2, 5(B, +B,)=1,[f5]
q9—=3, 1(B;, —B,)=—1,[7]
JON BE be) =D
2.7.9 wi
4=5, 11(B, + B.)— LT () ;+ B,) =0, [li, 21]
2.9.1 40
2=6, 13(B,,+B5)— Los (5) & )—=0, [13, 33]
4.913
q= 7, 16(B,; Bi) ) (B,,UBS = 0 18, ves
411.15
q =, LAB E 3) AE nn Sa LH) QUES : 5) = 0,[17,110]
| 6.11.17
2=9, 19(8,,+B)— 0e ) (B,: + B,) + 21815 |
| 34 me | (Bis + B,,)— 0, [19, 187, 208]
61549
= 10 AB, +8) er (6) Bis+B)+
215.17 [9
Re Ur + B..)—0, [21, 247, 306
8.15.21 / 10
g=11, . Ge B)— Se (9) Bis ,) + 41519)
sie e +585 (0 OS Er [23, 364, 931]
16 2807
212,2 (5 — 8) (0 Er —Bis)+
1.2.3
417.21 /11
LE d (B,, — B,;) = 0, [25, 460, 1309]
10.15.25 /12
DEN AAC |) = 12e é ) &, s + B;3
+617 | Le Le WA UE
12 EL) ME
21921) (a) + 553 lu, +8) =
127, 625, 2737, 2299]
etc.
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 135
L'avantage que présentent nos nouvelles relations, pour
déduire successivement les uns des autres les nombres
PNB DES br Consiste d'abord en, ce que.le, calcul
de B2y-1 n’exige approximativement que la connaissance de
" coefficients numériques, dont chacun dépend seulement,
d’une manière assez simple, des coefficients binomiaux de la
puissance (g—1)ième ou des puissances (4 — 1)ième et (g—2)ième;
tandis que, par exemple, l’application de la relation récurrente
le plus fréquemment mentionnée pour les nombres de Bernoulli,
savoir la relation
2q +1 2q —1
Te él line T5
(voir, entre autres, mon Mémoire antérieur, Arch. néerl., T. XVI,
p. 410, formule (4*)), qui contient par conséquent tous les
nombres B précédents, nécessite le calcul de 4 coefficients
binomiaux, et ceux-ci de la puissance beaucoup plus élevée .
2q+1. Mais une simplification non moins importante me
paraît résulter de la circonstance particulière que, dans les
relations trouvées, les nombres de Bernoulli n’entrent pas
autrement que combinés deux à deux en une somme ou en
une différence. En effet, d’après un théorème qu'ont fait con-
naître presque simultanément von Staudt (A. L. Crelle, Journal
für die Mathematik, 21e Band, 1840, p. 372—374) et Th.
Clausen (EH. C. Schumacher, Astronomische Nachrichten, 172 Band,
1840, p. 351—352) — cités tous les deux dans mon Mémoire
antérieur, p. 437 —438, — le nombre bernoullien général B2,—1
consiste, suivant que q est impair ou pair, en un nombre .
entier augmenté ou diminué de la fraction 5 et diminué ou
augmenté de la somme de toutes les fractions qui ont l’unité
pour numérateur et pour dénominateurs les résultats de l’ad-
dition de l’unité aux diviseurs pairs de 2 q, en tant que ces
résultats constituent des nombres premiers. (C’est uniquement
136 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
pour éviter l'introduction de l’unité négative, qui sans cela
se présenterait dans quelquesuns des premiers nombres de
Bernoulli, que la fraction 5 de von Staudt-Clausen a été mise
ici sous la forme 1 — +) À titre d'exemple nous citerons
_— en choisissant des nombres B qui serviront tout à l’heure
à compléter l'explication — les valeurs suivantes:
FE el An
D
SRE
Bi = 530 — 02 En
nu ne |
= no — 86580 — ë += += += +
Or, pour q pair, se trouvent chaque fois combinés entre eux,
dans la formule (13), le (q — rJième et le (+ r) "nombre
de Bernoulli, cette combinaison ayant la forme d’une somme
ou d’une différence, suivant que la différence 1—27r des
rangs d'ordre de ces nombres est impaire ou paire et que par
suite l’exposant à — 1, dans (13), est pair ou impair; de
même, pour qg impair, on trouve continuellement combinés
entre eux, dans la formule (13”), le (g9—r)ième et le ee r) “08
nombre de Bernoulli, cette combinaison étant également une
: pe eee oi
somme ou une différence, suivant que la différence _. —2r
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 137
des rangs est impaire ou paire et que par suite l’exposant
Pool , dans (13), est pair ou impair. Si donc ces sommes et
ces différences sont chaque fois déduites des valeurs B scin-
dées, comme dans les exemples rapportés ci-dessus, en entiers
et en fractions, il arrivera, à raison de ce qui a été dit à
Lac
ce propos, que non seulement les termes (—)7—1 (5-<)
toujours présents dans chaque B, mais aussi, selon l’occurrence,
quelques-unes, beaucoup ou même la totalité des autres frac-
tions partielles se compenseront mutuellement: or, cette com-
pensation pourra souvent — en rendant superflus différents
multiplicateurs dont l’introduction serait devenue nécessaire
si chaque nombre B avait continué à se présenter isolément —
conduire à une abréviation assez notable du calcul. L'exemple
suivant suffira, je l'espère, pour faire ressortir cet avantage.
En supposant que toutes les valeurs ci-dessus écrites soient
déjà connues, à l’exception de la dernière, B,,,on peut pour
vu que parmi les diviseurs pairs de 24 augmentés
celle-ci
de l'unité, savoir parmi les nombres 3, 5, 7, 9, 13, 25, les
deux nombres non premiers 9 et 25 doivent être rejetés —
prendre |
1 1 1 fa dE
D A ERER TEE Je Ni
A TU 7 à 15
et alors, par application de la relation pour g = 12, qu'on
trouve entièrement développée dans le tableau de la page 134,
le calcul du nombre entier inconnu x revient à ce qui suit:
1° à PARBLRE DURE 0 EE
25 (x—0) — 460 (6192 —1—;) SF 1309 529— Poe a —Ù
ou
25 x—460 . 6191 + 1309. 522 — — 20 — 119 + 77 = — 62,
d’où l’on tire sans beaucoup de peine x = 86580 et par suite
B,, lui-même.
138 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
En considérant, non plus la série complète des nombres
de Bernoulli, maïs chacune pour soi les séries B,, B,, B,, etc.
et B;, B;, B;;;
riodes de deux termes, ou les séries partielles B,, B,, B,;,
eétc.ret P,,%B,, bc. etc mel PEUPLE, etctquedonneret
la distribution en périodes de trois termes, — de la manière
etc. qu’on obtiendrait par répartition en pé-
exposée dans mon Mémoire antérieur, — j'ai cherché à dé-
velopper, pour ces séries partielles, des relations récurrentes
périodiques interrompues, qui auraient donc joué pour elles
un rôle semblable à celui que les deux relations de Stern,
ou les deux relations (18) et (13°) que nous en avons déduites,
remplissent par rapport à la série unique ou ininterrompue
B,, B,, B., B,, etc. Cette recherche, malheureusement, n’a
pas abouti.
Avant de finir, je communiquerai encore, pour les premiers
nombres de Bernoulli, quelques expressions par lesquelles ils
dépendent, d’une manière relativement simple, de sommes
algébriques plus ou moins régulières de certains coefficients
binomiaux. Sauf en ce qui concerne quelques-uns des plus
simples, je n’ai pas réussi, toutefois, à découvrir le vrai fon-
dement sur lequel reposeraient ces analogies; aussi je ne.les
donne que comme trouvées par hasard ou par tâtonnement.
En disposant les premiers membres dans un ordre régulier,
que l’œil saisira sans beaucoup de peine, les expressions en
question prennent la forme suivante:
2138, = 0
6 6 6
3 — _ =
| 9 TNT
î B—=DIRE
2789 B,=2 | (23206)
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULII, ETC. 139
12 12 12
7,9.10.11.12 B, = 2 \— —
27.9.101112 B, =2° | 6) “n
DD 4) 212) CIN de /12
TER (Xe eh) JE
15 e 15 HS)
ù — 2 — Le
25.11.12.13.1415 B, — 2°.3) fe )+ : ) . ( ce |
| 18 18 18
1 HS be =09)"32 de ( M à
21118.141516.17.188,, —914.8° | id +) É)
21:15.16.17.18.19.20.21 B,, = 210,33.5217 | — fe 2
21 21 21 2He\ DANS)
Al ) G:) ee fe
Pour B,- je n’ai pu obtenir quelque chose de semblable
qu'en ajoutant encore le facteur 2 à plusieurs des termes,
ou bien
SaVOIr :
8 3 /
215,17.18.19.20.21.22.28.24 B,. = ie
(2) 2) (3) +208) Ga) À
(
Quant aux nombres bernoulliens d’ordre supérieur, quelques
tentatives, faites dans le même sens, ont complètement
échoué.
Sans entrer dans aucun détail, je noterai ici que des dé-
veloppements suivant les puissances ascendantes du sinus,
semblables à ceux qui dans la première partie de ce travail
ont fourni la base de formules indépendantes pour les coeffi-
cients des tangentes, pourraient aussi servir au même usage
pour les coefficients des sécantes. C’est ainsi qu’on pourrait
partir de:
CD sin: 2)
Mode me)
2 sin?* x: etc.
140 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES
Les coefficients des cosécantes, C, sont directement liés
aux nombres de Bernoulli par la relation (voir Mémoire an-
térieur, p. 433):
Cog-1 = 2 (2241 — 1) By ne
Au sujet de la matière traitée dans ces pages, j'ai en-
core reçu, d’une main amie, les indications bibliographiques
suivantes, qui se rattachent en quelque sorte à la liste donnée
dans mon Mémoire antérieur, p. 487—440.
À. L. Crelle — C. W. Borchardt, Journal für die Mathematik: Stern,
Bd. 92, 1882: Worpitzky, Studien über die Bern. und Eul. Zahlen,
et Kronecker, Ueber die Bern. Zahlen, Bd. 94, 1883: Lipschitz, Beiträge
zu der Kenntniss der Bern. Zahlen, Bd. 96, 1884.
J. A. Grunert, Archiv der Matheinatik und Physik : Sachse, Ueber die Dar-
stellung der Bern. und Eul. Zahlen durch Determinanten, Th. 68, 1882.
Comptes rendus de l’Académie des sciences, Paris: C. le Paige, T. 88,
p. 1075. |
B. Tortolini — F. Brioschi, Annali di Matematica: E. Catalan 1859.
J. J. Sylvester, London etc. philosophical magazine, 4th Ser., Vol. 21,
1861, p.127 —136.
E. Catalan, Mémoires de l’Académie royale des sciences etc. de Belgique,
T.43, 1880, Mémoire sur une suite de polynômes entiers, etc. Chapitre VI,
p.26—31.
Schlômilch’s Zeitschrift für Mathematik etc.: Worpitzky, Ueber die Par-
tialbruchzerlegqung der Functionen etc.
Nouvelles Annales de mathématiques: Cesaro, Sur les nombres de Ber-
noulli et d'Euler, 3e Série, T. 5, 1886.
American Journal of Mathematics: G. S. Ely, Bibliography of Ber-
noullùs numbers, Some Notes, Vol. 5: T. Gomes Teixeira, Notes sur
les nombres de Bernoulli, Vol. 7; Vol. 9, p. 380.
Bulletin de la Société mathématique de France: Williot T. 16, 1888,
p. 144: de Presle, id., p. 157; Maurice d'Ocagne, T. 17, 1889, p. 107.
Mémoires couronnés etc. publiés par l’Académie royale des sciences etc.
de Belgique, T. 52, 1889: G. de Longchamps, Les fonctions pseudo- et
hyper-Bernoulliennes et leurs premières applications.
POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 141
Plus spécialement je dois faire mention ici de l’obligeance
avec laquelle M. J. C. Adams à Cambridge m’offrit un exem-
plaire de son Mémoire ,On the Calculation of the Bernoullian
Numbers from B,, to B,,”, (Appendix I, p. IX XXII, to
Cambridge Astronomical Observations, Vol. XXII, 1890). Se
rattachant à ses articles antérieurs sur les 62 premiers nombres
de Bernoulli dans Crelle, Journal, Bd. 85, 1878, et dans
Report 47tk mecting British Association in 1877 (voir Arch. néerl.,
T. XVI, p. 438 et 439), il y expose les détails de la méthode
de calcul dont il a fait usage. Cette méthode, qui, d’après le
théorème de von Staudt-Clausen, à pour but principal de
déterminer les entiers compris dans les nombres de Bernoulli,
pourrait peut-être s’appliquer aussi aux relations périodiques,
que je communiquai précédemment, et aux relations inter-
rompues (13) et (13’), que je viens de développer.
Novembre 1889.
PÉLORIES DU VIOLA TRICOLOR,
PAR
J.-C. COSTERUS.
Dans son Organographie végétale '), A.-P. De Candolle dit
quelques mots de formes régulières du Viola hirta, en ren-
voyant à une planche du même ouvrage, sur laquelle sont
représentés tous les différents états de passage, depuis la fleur
à un seul éperon jusqu'à une fleur pourvue de cinq de ces
organes. En corrélation avec cet accroissement du nombre
des éperons, on voit aenens aussi le nombre des appen-
dices staminaux, qui, à l’état normal, ne sont propres qu'aux
deux étamines inférieures. Outre ces modifications, on re-
marque encore, dans quelques-unes des fleurs, une diminution
du nombre fondamental de leurs parties; les figures montrent
non seulement deux fleurs pentamères, mais aussi une couple
de fleurs à nombre quaternaire, une fleur à nombre ternaire,
et même, si nous ne nous abusons sur l'intention du dessi-
nateur, une fleur dimère. Il est à regretter, que toutes ces
figures n'aient pas été n DPaenses d’une explication plus
ou moins détaillée.
L’anomalie dont il s’agit est de celles qu’on appelle, à
l'exemple de M. Masters, pélories irrégulières, c’est-à-dire de
celles où l’organe irrégulier apparaît en nombre plus grand,
à tei point que la fleur devient régulière. Comme espèces de
1) Tr, p.:519.
J.-C, COSTERUS. PÉLORIES DU VIOLA TRICOLOR. 148
Violettes pouvant se péloriser de cette manière, M. Masters,
dans sa Vegetable Teratology, cite seulement le W. odorata et
le V. harta.
J’ignore si l’anomalie en question a aussi été rencontrée
chez le V. tricolor, mais, en fût-il ainsi, les phénomènes que
j'ai récemment observés sur un spécimen de cette espèce ne
laisseraient pas de légitimer suffisamment une description
nouvelle.
C’est de M. J.-J. Smith jr., temporairement attaché au
jardin universitaire de Bruxelles, que j'ai reçu les petites
fleurs qui ont donné lieu à la présente communication. Un
peu plus tard, M. Smith a eu la bonté de m'envoyer les fi-
cures jointes à cette Note, ainsi que le détail de ses propres
observations. Il convient de mentionner que toutes ces fleurs,
tant celles de l’envoi qui m'avait été fait que celles décrites
par M. Smith, provenaient d’un seul exemplaire, tiré de graines
du jardin botanique. Après que les graines eurent levé à l’inté-
rieur de l’habitation, les jeunes plantes furent transplantées,
au printemps, dans un jardin, où, par les progrès de la crois-
sance, elles ne tardèrent pas à s’entremêler complètement.
La grande majorité des fleurs de cet exemplaire étaient anor-
males. De celles-ci, M. Smith récolta quelques graines, avec
lesquelles M. le professeur Hugo de Vries se propose d’entre-
prendre au printemps prochain des expériences, en vu de la
transmission éventuelle, par voie d’hérédité, des anomalies qui
vont être décrites.
1° Calice. Dans les fleurs pentamères le calice est composé
de cinq sépales, dont les deux inférieurs présentent divers
degrés de cohérence. La fig. Iz (PL II) représente le calice
de I, avec la soudure partielle de ses deux sépales inférieurs.
Cette soudure fait des progrès dans les fleurs tétramères et
peut conduire à une foliole calicinale unique, laquelle, ou bien
offre encore un faible indice de sa composition, par exemple
dans la présence d’une dent à côté du sommet (fig. Il«), ou
bien a complètement l’aspect d’un sépale simple. Cette partie
144 J.-C. COSTERUS. PÉLORIES
de la fleur est celle qui subit un arrêt dans son développe-
ment; elle peut finalement être réduite à la moitié de sa
grandeur ordinaire.
2° Corolle. La corolle étant vue de face, c’est le pétale in-
férieur (celui qui normalement porte l’éperon) qui dans les
fleurs pentamères attire le plus l'attention, par ses dimen-
sions moindres (fig. 1). Ce pétale peut devenir encore plus petit,
jusqu’à disparaître complètement dans les cas où il ne reste
pas de place pour lui; la fleur est alors tétramère (fig. Il).
La réduction successive et la disparition finale de ce pétale
inférieur exercent une influence remarquable sur les autres
seoments de la corolle et principalement sur ses voisins
immédiats. Notons d’abord que l’éperon (long de 5 millimètres
dans les fleurs normales) participe à cette déchéance, surtout
lorsque les deux sépales inférieurs viennent à se souder. Dans
ce cas, en effet, l’espace manque pour livrer passage à ce
prolongement tubuleux ou pour lui permettre de se déve-
lopper convenablement. Dès que le développement est ainsi
entravé, les quatre autres pétales commencent à se déformer
et à montrer un appendice calcariforme. Mais, ainsi qu'il a
été dit plus haut, les pétales le plus fortement affectés sont
ceux qui comprennent entre eux le pétale inférieur. Cela
ressort du tableau suivant, dans lequel est donnée, en mil-
limètres, la longueur de l’éperon. Pour les fleurs tétramères,
c’est-à-dire pour celles où manque le pétale inférieur, on a
marqué 0.
1e fleur (5 pétales) 0 0 + Le .
DE" Us AT UDr EEE LEP CT CERN
Otis 1 0 ME 1 3 très petit 3 si
Le CR à ed: 1 + 0 6 2
DER APM TER 2 al 0 6 3
Dans toutes les séries horizontales de ce tableau le chiffre
1) Ce premier cas est le seul où l’on voie un éperon éloigné dépasser
en longueur un éperon plus rapproché.
DU VIOLA TRICOLOR. 145
du milieu se rapporte à l’éperon du pétale inférieur, tandis
que les autres chiffres occupent les mêmes places relatives
que les autres pétales par rapport à ce pétale inférieur. Les
deux chiffres extrêmes correspondent donc aux deux segments
supérieurs de la corolle. La formation d’un éperon, à des
pétales qui d’ordinaire en sont privés, s’accompagne de la
production de poils à l’entrée de cet organe. Partout où se
montre un éperon, on voit apparaître aussi, à un degré plus
ou moins marqué, une petite touffe de poils. La coloration
Jaune peut également se communiquer à d’autres pétales que
le pétale inférieur, comme l'indique la fig. IT? qui représente
le pétale 2 de la figure principale; à la place laissée en blane,
il existait une tache jaune.
3° Etamines. Le nombre des étamines est de 5 ou de 4,
suivant le nombre des pétales. De même que les deux sépales
inférieurs, les deux étamines de situation correspondante
montrent une tendance à se souder entre elles ; cette tendance
est pleinement satisfaite dans les fleurs tétramères, où, au lieu
de deux étamines inférieures, on n’en voit plus qu’une seule.
En ce qui concerne les appendices connus, au bas de leur
partie dorsale, il est de règle que, aussitôt que l’éperon ac-
quiert une certaine longueur, 1l existe aussi un appendice,
qui se cache dans le plus long des deux éperons voisins.
Par exemple, dans la fleur 5 du tableau ci-dessus, il y a un
appendice entre le pétale supérieur de gauche et celui qui
est placé au-dessous; l’appendice à choisi, pour s’y cacher,
l’éperon le plus long, savoir, celui de 5 mm. Cependant, il
arrive aussi que l’appendice n’atteigne pas la cavité de l’épe-
ron, mais s’arrête en face d'elle; dans quelques rares cas, je
l’ai même vu s’incurver, pour faire finalement saillie en de-
hors de la corolle.
Pistil. Chez une couple d’exemplaires examinés de plus
près, le pistil n’offrait rien d’anormal, et chez d’autres, à raison
de son aspect ordinaire, il n’invitait pas à une étude spéciale.
A part les anomalies dont il vient d’être question, la fleur
146 J.-C. COSTERUS. PÉLORIES DU VIOLA TRICOLOR.
se composait des verticilles ordinaires; on n’y découvrait rien
de la remarquable pétalodie des étamines et des pistils, for-
mant deux verticilles, qui à été observée chez le Viola odorata
par A.-P. et À. De Candolle !).
La seule particularité qui puisse encore être comptée parmi
les anomalies, est une légère torsion de la fleur autour de son
axe, parallèlement au pédoncule. Si l’on regarde comme cause
déterminante de toutes les autres anomalies la soudure des
deux sépales rapetissés, il est facile de concevoir que l’un de
ces sépales soit atteint par la réduction à un degré plus fort
que l’autre. Il en résultera que la fleur se tournera un peu
du côté resté le plus petit, par la simple raison qu’elle pré-
&
sente une tendance à placer verticalement le sépale anormal.
EXPLICATION DES IC UREEs:
PLANCHE Ière.
Fig. I. Viola tricolor, une fleur pentamère, vue de face.
Aa. calice vu du côté postérieur ; les éperons des pétales 35 et 4 font
saillie ; les deux sépales inférieurs sont soudés.
16, et Ac. pétale 3 de la fig. Ta, vu de face et par derrière.
Ad. pétale 5 de la fig. I, vu de côté,
le. pétale À de la fig. [, vu par derrière.
N.B. Cette fleur figure sous le n° 2 dans le petit tableau de la
longueur des éperons (p.144).
Fig. Il. Viola tricolor, une fleur tétramère, vue de face.
2a. sépale occupant la place des deux sépales inférieurs de la fleur
normale.
9b. pétale 2 de la fig. IT; à la base se montre une tache jaune.
9c id. id., vu du côté postérieur.
94. pétale 3 de la fig. Il, vu de face.
1) Monstruosités Végétales, I, par MM. Aug. Pyr. et Alphonse De
Candolle, p. 2.
STAMINODIE DE LA COROLLE DANS L’ERICA
TETRALIX,
PAR
J.-C. COSTERUS.
La staminodie de la corolle ne se rencontre pas fréquem-
ment. M. Masters en cite comme exemples: un Faba vulgaris,
dont les aïles et la carène étaient staminodiques; une forme
cultivée de Saxifraga granulata, de Capsella bursa pastoris, de
Solanum tuberosum et de Kalmaia latifolia; puis, un Daucus
Carota, où la place d’un des pétales était occupée par une
étamine, le Digitalis purpurea et l’Asphodelus ramosus. Un fait
analogue, observé par Turpin chez le Monarda fistulosa, tenait
peut-être, selon M. Masters, à l’adhérence d’un pétale et d’une
étamine, comme on le voit souvent chez les Fuchsia. L’appa-
rition d’étamines supplémentaires chez les Orchidées demande
également à être étudiée avec soin avant d’être admise comme
staminodie des enveloppes florales, vu que dans cette famille
cinq étamines sont ordinairement rudimentaires et qu’acci-
dentellement un ou plusieurs de ces organes peuvent se dé-
velopper, soit à l’état libre, soit en connexion avec des parties
du périgone. [l y à donc toujours à tenir compte, chez ces
plantes, d’adhérences possibles.
A
Grâce à l’obligeance de M. le professeur Hugo de Vries,
j'ai pu étudier le cas remarquable et, à ce qu’il paraît, non
observé jusqu'ici, de corolles staminodiques chez l’Erica tetralix.
M. de Vries les avait trouvées dans la bruyère de Loosdrecht,
en grandes quantités pendant l’été de 1887 et en quantités
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 10
148 J.-C. COSTERUS. STAMINODIE DE LA
moindres l’année suivante. Muni de ses indications, je me
rendis, le 4 juillet 1889, à l’une des localités où la découverte
avait eu lieu, entre Bussum et Hilversum; mais, bien qu’il
y eût surabondance de Bruyères en fleur, la recherche d’exem-
plaires monstrueux resta infructueuse. Le résultat d’excursions
postérieures, surtout -aux environs de Baarn et aussi près de
Hilversum, ne fut pas plus favorable. Heureusement, M. de Vries
mit à ma disposition une si riche collection d’échantillons,
tant secs que conservés dans l’esprit-de-vin, que, pour cet
objet-là, de nouvelles trouvailles n’étaient plus nécessaires !).
Rappelons que la corolle de l’Ærica tetralix normal est
monopétale et 4-dentée. Dans chacune des dents pénètre
un faisceau vasculaire; de plus, entre deux faisceaux con-
sécutifs il s’en élève un autre, bifurqué un peu au-dessus
de l’angle rentrant qui sépare les deux dents. Ce dernier
faisceau vasculaire est marqué dans la fig. 1 (PI IIT), ainsi
que dans plusieurs autres, du chiffre 2, tandis que près des
faisceaux principaux se voit le chiffre 1.
Le premier degré d’anomalie, visible à l’extérieur, consiste
en un agrandissement de l’incision entre deux dents de la
corolle (fig. 2). On voit en outre, dans le cas représenté, un
petit renflement /, que son contenu, composé de pollen, fait
reconnaître comme loge d’anthère.
Dans la fig. 8 se retrouve, au fond, le même état, mais
plus développé; en outre, du bas de la loge naît un de ces
appendices qui sont caractéristiques pour les anthères des
Erica et qui ont donné lieu au nom de l’ordre des Bicornes.
La loge d’anthère prend dans la fig. 4, en /, une forme
plus pointue; au côté droit de la même figure, une dent de
la corolle s’est transformée en une anthère complète bien
1) Des préparations de l’Erica en question, collées sur verre au moyen
de la gélatine, furent présentées par M. de Vries au deuxième Congrès
des sciences médicales et naturelles, tenu à Leyde. Il fut insisté aussi sur
la facilité avec laquelle de pareilles préparations se laissent photographier.
Voir p.118 et suiv. des Handelingen du Congrès.
COROLLE DANS L'ERICA TETRALIX. 149
A
qu'un peu anomale à certains égards; à l’une des loges on
voit le pore par lequel se fait, aussi dans les étamines or-
dinaires, la sortie du pollen.
Ces diverses particularités sont rendues encore un peu plus
distinctes dans la fig. 5 ; celle-ci: montre les parties de l’anthère
déjà arrivée à un état assez parfait, et elle fait connaître, en
outre, de quelle manière est préparé l'isolement de l’étamine.
Le lobe figuré de la corolle staminodique n’est plus uni à ses
voisins que par un parenchyme incolore et à paroïs minces,
compris entre deux très faibles faisceaux 2 et 2’. Ceux-ci sont les
produits de dédoublement du faisceau intermédiaire marqué 2
dans la fig. 1 et déjà ainsi en 2 et 2’ dans la fig. 2. Comme on le :
voit par ces figures, dès qu'une dent de la corolle subit une
anomalie appréciable, le faisceau vasculaire intermédiaire se
scinde en deux faisceaux distincts !). À mesure que l’étamine
se perfectionne, les petits faisceaux partiels s’affaiblissent de
plus en plus, pour finir par disparaître complètement (fig. 4
et 6). Dans la fig. 6, la séparation a fait de nouveaux progrès:
la partie supérieure du filet de l’étamine y est développée en ‘
organe distinct. |
Il serait sans utilité de s’étendre longuement sur tous les
cas qui peuvent se produire. Je me bornerai à mentionner
que la corolle, avec les différents degrés de staminodie, pré-
sente aussi différents degrés d’incision. Elle peut, par exemple,
n'être fendue que d’un seul côté, les dents qui bordent cette
fente étant seules devenues anthéroïdes. D’autres fois, la co-
rolle est partagée en deux segments, chacun à deux dents
modifiées; ou bien, il s’est formé deux étamines déliées et
1) Il serait plus exact de dire que l’union des deux moitiés du faisceau
vasculaire ne se produit pas. En réalité, de chaque faisceau principal (1)
se détachent, à la base de la corolle, deux branches, qui, l’une à droite,
l’autre à gauche, montent parallèlement jusqu’à l’incision entre deux
dents de la corolle, pour diverger ensuite un peu en cet endroit. Dans les
fleurs normales, les deux branches se confondent dès la base et ne se
séparent que tout en haut.
10%
150 J.-C. COSTERUS. STAMINODIE DE LA
une étamine plus longue et plus forte, cette dernière étant équiva-
lente aux deux autres; ou bien encore, une seule étamine s’est
détachée du reste de la corolle, qui elle-même porte trois
anthères. Il est digne de remarque, assurément, que les parties
modifiées de la corolle, qu’elles soient devenues libres ou
qu’elles demeurent unies aux parties non modifiées, sont moins
longues que ces dernières. Il en est de même de la corolle
prise dans son ensemble: à l’état modifié, elle est plus courte
qu’à l’état normal. Tandis que, normalement développée, elle
a 7 mm de longueur (parfois même 8 mm), la longueur des
corolles monstrueuses varie de 31 à 5 mm. Or, le style de la
plupart de celles-ce1 n’étant guère plus court que d’ordinaire,
il en résulte que, dans les fleurs anormales, le style est
longuement, parfois très longuement exsert; c’est ce qui avait
lieu, par exemple, dans le cas où la corolle ne mesurait que
31 mm de longueur, tandis que le pistil en comptait 74.
À la question de savoir s’il se forme jamais une étamine
surnuméraire concordant sous tous les rapports avec les éta-
mines normales, je dois répondre par la négative, tout en
ajoutant que la différence peut être très petite. Pour permettre
la comparaison, j'ai représenté, fig. 7, une étamine ordinaire.
Relativement à l'axe de la fleur, les deux appendices de
l’anthère de cette étamine sont dirigés vers le bas et vers
l'extérieur, tandis que les lobes de l’anthère sont dressés, mais
en divergeant un peu. Chez les étamines provenant de la
corolle, les lobes de l’anthère ont une position tout autre.
Le fig. 6 les montre tournés vers le bas, la fig. 5 placés ho-
rizontalement. Dans cette dernière figure, le connectif est
encore large et les loges se trouvent encore assez loin du
sommet. Dans les fig. 6 et 8, au contraire, le connectif com-
mence déjà à se rétrécir et la ressemblance avec les étamines
ordinaires devient par conséquent plus sensible.
La différence entre les vraies étamines et les parties stami-
nodiques de la corolle est toutefois amoindrie par le fait que
dans quelques fleurs on trouve des étamines qui portent leur
COROLLE DANS L'ERICA TETRALIX. 151
anthère sens dessus dessous; celles-ci se distingueraient à
peine des étamines supplémentaires, si le filet de ces der-
nières, toujours un peu plus large, ne nous mettait sur la voie.
Quant à l’action que peut exercer le pollen des nouvelles
étamines, je n’ai rien à en dire, n’ayant pas eu d'exemplaires
vivants à ma disposition. |
Un mot maintenant sur les étamines proprement dites.
Quelques-unes d’entre elles étaient parfois imparfaitement
développées, ne possédant, par exemple, qu’une anthère ru-
dimentaire, à laquelle il manquait l’un des appendices, ou
même tous les deux. D’autres fois, le nombre des étamines
était plus ou moins réduit, et dans un cas il s’abaissait même
jusqu’à trois. :
L'une des fleurs m'offrit une particularité imprévue, à sa-
voir, la cohérence d’anthères voisines. Comme les anthères,
par suite de la présence des appendices, s’accrochent facile-
ment l’une à l’autre, et qu’alors, pour aller plus vite, on les
sépare souvent sans précaution, il est possible que, dans d’autres
fleurs, la susdite particularité m'’ait échappé. La fig. 9 donnera
une idée de la soudure en question: deux loges, appartenant
à deux étamines contiguës, sont unies en un lobe unique,
d’aspect cordiforme. Dans la fleur à laquelle cette figure a
été empruntée, 1l y avait deux faisceaux de deux étamines
chacun, un faisceau de trois étamines et une étamine en-
tièrement libre. Il ne serait pas impossible qu'entre les fais-
ceaux eux-mêmes 1l eût aussi existé une certaine cohérence,
qui aurait été involontairement détruite lors de la préparation.
Comme dernière observation, je mentionnerai une irrégu-
larité du style. Outre qu’accidentellement sa longueur était
très réduite, il présentait dans les fleurs fortement anomales
une courbure, qui allait parfois jusqu’à lui donner la forme
d’un demi-cercle (fig. 10 a et b).
Ni dans le calice, ni dans les bractées, je n’ai remarqué
aucune déviation du type ordinaire.
152 J.-C. COSTERUS. STAMINODIE DE LA
En voyant les anomalies de la corolle, ci-dessus décrites,
exister chez un si grand nombre d’exemplaires, que M. de
Vries a eu la bonne fortune de rencontrer, on ne saurait
se défendre de chercher quelque explication théorique du
phénomène. Il y a d’ailleurs encore d’autres faits qui
s'imposent à notre attention.
Le premier de ces faits, c’est que la corolle de l’Erica
letralix et d’autres membres de la même famille (Rhododen-
dron, Rhodora, Azalea, Kalmia, autres espèces d’EÆrica) se trouve
parfois, à titre d’anomalie, divisée en pétales libres. Tout
récemment encore, M. Fr. Buchenau en à communiqué un
exemple, dans lequel la corolle ordinaire de l’Erica tetralix
était remplacée par quatre pétales spatulés !). Il faut considérer
aussi, comme se rattachant à ce fait, la circonstance que
certaines Ericacées, telles que Clethra, sont dialypétales. End-
licher, dans la caractéristique de cette famille, dit: corolla
gamopetala ........ interdum fere ad basin partita, elementis
seorsim deciduis quasi dialypetala. La tendance à la dialyse de
la corolle se retrouve, très prononcée, dans les familles qu’on
compte parmi les plus proches alliées des Ericacées. Telles
sont les Pyrolacées, les Monotropées avec leur corolle le plus
souvent dialypétale, et, d’après Le Maoût et Decaisne, les
Camelliacées , par l'intermédiaire des genres Sauraya et Clethra;
dans ce dernier genre, en effet, comme dans plusieurs Rho-
doracées, la corolle est polypétale, hypogyne, imbriquée, etc.
En second lieu doit être signalée la tendance à la soudure
des étamines. Nous en avons mentionné et représenté un cas
(fig. 9) pour notre Erica, et nous rappelons que chez une variété
de Rhodendron ponticum les étamines sont unies par une mem-
brane en une espèce de seconde corolle. Dans la description
de Le Maoût et Decaisne, on lit que les étamines (normales)
sont parfois plus ou moins monadelphes, tandisque Endlicher
en dit: filamenta libera v. basi, rarius juxta totam longitudinem,
inter se coalita.
1) Abh. Naturw. Verein., Bremen, Bd. X.
COROLLE DANS L'ERICA TETRALIX. 153
L’affinité nettement prononcée avec des familles choripétales
fait naître la présomption que la corolle des Ærica était ori-
ginairement à pétales libres, et que, sous l'influence de l’une
ou l’autre propriété appartenant à la famille — tendance à
la soudure des parties d’un même verticille — elle s’est changée
en corolle gamopétale.
Il ne s’agit ici, bien entendu, que d’une présomption, d’une
hypothèse, d’après laquelle, si elle était exacte, les anomalies
ci-dessus décrites devraient être conçues comme le retour
d’une corolle gamopétale à l’état de corolle dialypétale, avec
staminodie concomitante.
On est tenté de faire encore d’autres hypothèses, en son-
geant à l’obdiplostémonie des Ericacées. Comme on le sait, les
étamines extérieures sont placées vis-à-vis des dents de la
corolle et les intérieures vis-à-vis des parties du calice. Ces
étamines extérieures, ou opposées aux pétales, sont en un
certain sens des organes superflus ; elles troublent ie diagramme,
qui, sans elles serait en accord avec la loi d’alternation. De
là vient que ce verticille d’étamines, qui au reste, selon Eichler,
manque parfois, est considéré comine non essentiel et pris soit
pour un verticille intercalé, soit pour un produit de la corolle !).
Chez les Fuchsia et genres voisins, on peut regarder comme
suffisamment établi que l’obdiplostémonie est la conséquence
de la formation d’une étamine à la base de chacun des pé-
tales 2); mais pour les Erica la chose est plus difficile à
expliquer.
Comme, chez les Onagrariacées, un même faisceau vascu-
laire pourvoit un pétale et l’étamine qui lui est opposée, il
fallait tâcher de reconnaître le cours des faisceaux vasculaires
chez les Erica. Peut-être que, là aussi, se montrerait un seul
verticille de faisceaux pour la corolle et pour les étamines
1) Eichler, Blüthendiagramme, 1, p. 336.
2) Eichler. loc. cit., p. 337; voir aussi Ned. Kruidk. Archief, V, 1889,
p. 445 et Malformations in Fuchsia globosa, dans Linnean Society’s Journal,
Botany. Vol. XXV.
154 J.-C. COSTERUS. STAMINODIE DE LA
épipétales ; s’il en était ainsi, l'hypothèse de A. de Saint-Hilaire !),
trouvée bonne pour les Fuchsia mériterait d’être prise en
sérieuse considération aussi dans le cas actuel.
Pour me former une première idée de la marche des fais-
ceaux des Ericacées, j'étudiai l’Erica Vilmoriana et une
espèce de ÆAhododendron. Tout ce que cette étude m’apprit,
c'est que chaque verticille recevait du torus ses 4 ou 5 fais-
ceaux vasculaires propres; ainsi, Azalea en recevait 5 pour
le calice, 5 pour la corolle, 10 pour les étamines, ete. Mais
il me fut impossible de décider si les faisceaux des étamines
épipétales étaient indépendantes, ou seulement des ramif-
cations de ceux de la corolle.
Pour éclaircir ce point, je m’adressai à l’Ærica tetraliæ et
au Calluna vulgaris. Il est vrai que les fleurs de ces plantes
sont petites, mais elles offrent l’avantage que, pour en faire
des coupes, on peut se servir du microtome. Il s'agissait donc
simplement d'obtenir des coupes longitudinales et transver-
sales telles qu’il en ressortit s1 les faisceaux vasculaires des
étamines surnuméraires (épipétales) provenaient du torus ou
des faisceaux de la corolle ?).
Or, ces recherches m’ont appris:
1°. Que, tant chez Erica que chez Calluna, il existe une
connexion organique entre la corolle et les étamines.
2°. Que le faisceau vasculaire qui pénètre dans le segment
de la corolle et celui qui pourvoit l’étamine épipétale naissent
si près l’un de l’autre, qu'ils peuvent être considérés comme
des branches d’un faisceau unique.
1) Eichler, L.c., p. 336.
2) Pour l'emploi du microtome à bascule, j'ai suivi les indications
données par M. Moll dans son article: De toepassing der paraffine-in-
smelting op botanisch gebied (Maandblad voor Natuurwetenschappen,
14e jaarg., p. 61). Jai également fait mon profit des conseils pratiques
de M. J. van Rees: voir son Beitr. z. Kenntniss der inneren Metamorphose
von Musca vomitoria (Zool. Jahrb., IT Bd., p. 10). — Il convient de
remarquer que l'inclusion de fleurs dans la paraffine fondue présente des
difficultés spéciales.
COROLLE DANS L’'ERICA TETRALIX. 155
Cette dernière circonstance tendrait à faire croire qu’un
seoment de la corolle et une étamine épipétale dérivent du
même rudiment organique, appartiennent donc à un même
verticille. Il resterait indécis, toutefois, si une division de la
corolle produit une étamine, ou si inversement une étamine
produit une division de la corolle, ou si, enfin, l’un et l’autre
organe sont des produits de scission équivalents d’une ex-
croissance primordiale.
Si l’on consulte ce que Payer et Baïillon (d’après Eichler,
l.c., p. 342) ont trouvé concernant le développement des
Ericacées, on est amené à conclure qu’il y aurait encore un
autre mode d’explication, rendant inutile la considération
ultérieure de celui qui vient d’être proposé. Ces auteurs pré-
tendent, en effet, qu’à l’état jeune les étamines épipétales ne
sont pas en connexion avec les segments de la corolle qui y
correspondent. Si leurs observations sont exactes, on doit ad-
mettre que c’est seulement au cours du développement posté-
rieur que se produit la fusion de la corolle avec les étamines
et que viennent aussi à se réunir par leur base, bien qu'ini-
tialement séparés, les faisceaux vasculaires des organes en
question. Ou bien, la séparation initiale des faisceaux (ob-
servée extérieurement) serait-elle compatible avec leur con-
nexion interne originaire? Il est à regretter que cette question
doive provisoirement rester sans réponse, l'étude du déve-
loppement et celle de la marche des faisceaux vasculaires
ayant donné des résultats qui, sans nouvelles recherches, ne
sauraient être conciliés entre eux, et sont donc impropres
aussi à Jeter du jour sur l’obdiplostémonie et la corolle sta-
minodique de l’Ærica tetralix.
156 J.-C. COSTERUS. STAMINODIE DE LA COROLLE, ETC.
EXPLICATION DES FIGURES.
PLANCHE IIT.
Fig. 1. Corolle normale fendue et étendue, pour montrer la disposition
des faisceaux vasculaires.
»” 2, Corolle normale, l’une des dentsé tant pourvue, du côté gauche,
d’un petit sac pollinique.
»” 3. id., avec un appendice au sac pollinique.
» 4. Corolle anormale fendue et étendue, avec une dent entierement
staminodique et une autre à demi staminodique. |
» _». Segment staminodique de la corolle, en relation avec les segments
_ voisins, auxquels il n’est plus uni que par une bende de paren-
chyme incolore et à parois minces.
. Trois segments staminodiques de la corolle.
. Une étamine normale.
. Un segment staminodique de la corolle.
. Deux étamines normales à anthères soudées.
CO 00! =I, ©
»” 10. Inflorescence de fleurs normales:
104. Une fleur séparée;
106. Un pistil à style courbé en demi-cercle.
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES
GLEICHÉNIACÉES.
PAR
N. W. P. RAUWENHOFF.
Introduction.
À notre époque, où les résultats de toute recherche scien-
tifique sont rendus publics aussi promptement que possible,
l'application de l'antique règle: ,nonum prematur in annum”
peut certes être dite une rareté.
Pour le travail qui va suivre, le terme en question a toute-
fois été dépassé. Commencé en novembre 1876 (comme il
sera exposé ci-dessous), ce travail à été repris plus d’une fois
et n'a été clos que cette année. Les premiers résultats obtenus
ont fait l’objet de communications préliminaires à l’Académie
royale des sciences d'Amsterdam, dans les séances publiques du
27 janvier et du 30 juin 1877, et au Congrès botanique inter-
national tenu à Amsterdam en avril 1877 (voir les Procès-
verbaux de ces séances). Les deux années suivantes, Îles
expériences ont été continuées, et, à l’occasion des phéno-
mènes que j'avais observés lors de la germination des spores,
j'ai donné une description de celle-ci dans la Botan. Zeitung
de 1879, N°. 28, p. 441 et suiv.; cette description, accom-
pagnée de figures, a trouvé place aussi dans les Verslagen en
Mededeelingen de l’Académie des sciences (2° série, T. XIV, p. 320)
et dans les Arch: néerl. (T. XIV, p. 347). Mes autres résultats,
toutefois, sont restés en portefeuille jusqu’en 1887, moment
158 N. W. P. RAUWENHOFF.
où, reprenant les recherches sur des matériaux nouveaux, j'ai
répété, contrôlé et étendu les expériences antérieures, en uti-
lisant les grands perfectionnements qu’avaient reçus, dans les
derniers temps, les procédés d’exécution et d’étude des pré-
parations microscopiques. Ainsi est né le présent Memoire, qui,
déjà rédigé en partie il y a quelques années, a maintenant été
totalement refondu et mis en harmonie avec les vues et les
résultats actuels.
Néanmoins, aujourd’hui encore, l’étude est loin d’être com-
plète et il reste des points obscurs. Nul ne le sait mieux que
l’auteur lui-même. Mais je crois, pourtant, que ce mémoire
pourra donner une idée du développement de la génération
sexuée chez les Gleichéniacées, et des points en lesquels cette
génération s’écarte de celle d’autres fanulles de Fougères. En
outre, mes recherches ont mis en lumière de remarquables
différences quant au mode de croissance des prothalles. Or,
aucun travail de ce genre n’ayant encore été publié, que je
sache, au sujet de ce groupe peu nombreux mais intéressant
de Fougères. j'espère que les pages suivantes seront accueil-
lies non sans intérêt comme contribution à la connaissance
des Cryptogames en question.
UTREcHT, Oct. 1889.
Aperçu historique.
Parmi les Fougères, les Gleichéniacées sont encore comptées
comme une famille propre, de même rang que les Polypo-
diacées, Cyathéacées, Schizéacées, Osmondacées et Hyméno-
phyllacées. Les caractères qui distinguent les Gleichéniacées
sont, d’aprés les systématistes, les suivants: fronde fine, par-
fois décomposée-pennée, dichotomiquement ramifiée, qui per-
siste et s’agrandit par le développement de bourgeons formés
à l’aisselle des ramifications ; sores composés de 2—4 sporanges,
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 159
insérés à la face inférieure des frondes, nus et sans indusium ;
sporanges sessiles et pourvus d’un anneau élastique complet,
horizontal ou obliquement horizontal, qui s’ouvre par une
fente verticale. À cet égard, il y a accord entre Pres], T'entamen
Pteridographiae p. 47, Mettenius, Filices horti bot. Lipsiensis
p. 112, J. Smith, Historia Filicum p. 337, Id.. Ferns, british
and foreign p. 247, et autres auteurs. Soit qu'avec Mettenius
on regarde comme caractère principal la structure et le mode
de déhiscence du sporange, soit qu'avec Hooker et Baker
on cherche plutôt ce caractère dans le mode de développe-
ment de la fronde fertile, dans l’un et l’autre cas les Glei-
chéniacées paraissent devoir conserver leur rang comme famille
particulière. De plus en plus toutefois, surtout dans les der-
niers temps, on a voulu déduire la place, à assigner aux
groupes de Cryptogames, non seulement de quelques caractères
extérieurs, mais aussi, et en première ligne, de l’histoire de
leur développement. Essaie-t-on d'appliquer ce critérium aux
Gleichéniacées, on reconnaît bientôt que toutes les données
nécessaires nous manquent jusqu'ici, notamment en ce qui
concerne les premiers développements, la germination des
spores et la formation des prothalles et des organes sexuels.
La description systématique, qui pour cette famille a même
été faite en majeure partie d’après des échantillons d’herbier
(voir Smith, Historia Filicum, 1875, p. 72), ne va pas au-delà
de la considération des sporanges. De la structure des spores
(comme ne pouvant plus être observée à la loupe) il n’est
tenu aucun compte. Mettenius seul les mentionne, dans sa
caractéristique des Gleichéniacées (Filices horti bot. Lips, 1856,
p.112), en ces termes: ,Sporae oblongae, stria singula notatae.
Die Sporen sind länglich und mit einer Lüngsleiste versehen, z. B.
Gleichenia glauca, ferruginea, pubescens, u. s. w.’ Les écrits ana-
tomiques et physiologiques sont, eux aussi, très pauvres en
renseignements sur les Gleichéniacées. Il n’y à guère d’excep-
tion à faire que pour le beau mémoire de Hugo von Mohl
sur la structure des spores, mémoire publié dès 1838 et réim-
160 N. W. P. RAUWENHOFF.
primé sans changement en 1845 (dans les Vermischte Schriften
botan. Inhalts, p. 70). L'auteur y note que Mertensia gigantea
et Gleichenia microphylla (qui étaient alors censées appartenir
aux Osmondacées) ont des spores pyramidales, de la forme
d’une pyramide triangulaire à base arrondie, tandis que Mer-
tensia pubescens ovale possède des spores à côte longitudinale.
Cette différence de forme des spores , que von Mobl attribuait
déjà très-rationnellement à leur différence de situation dans
les cellules mères, à ensuite été étudiée plus spécialement,
chez les différentes familles des Fougères, par Russow (Ver-
gleich. Untersuchungen 1. s. w., 1871, p. 89). Les spores sphéro-
tétraédriques, que cet auteur à nommées radiaires, se ren-
contrent dans tous les groupes de Fougères ; dans les divisions
des Polypodiacées, Schizéacées, Gleichéniacées et Marattiacées,
où l’on trouve simultanément des spores bilatérales (les spores
ovales de von Mohl), ces dernières sont, d’après lui, beaucoup
plus abondantes. A ces courtes indications concernant les
spores, ajoutez la mention faite par Alex. Braun (Verjungung
der Natur, pag. 123) du remarquable mode d’accroissement
des feuilles chez les espèces de Gleichenia et de Mertensia, —
le développement de ces feuilles est temporairement arrêté,
de sorte que le sommet, formant en apparence un bourgeon dans
l'angle de la bifurcation, ou bien reste toujours dans cet état,
ou bien, à la saison suivante, se développe de nouveau de
la même manière, c’est-à-dire incomplètement, — et l’on aura
à peu près tout ce qui est connu, en dehors de la partie
purement systématique, de la famille des Gleichéniacées.
Il y a certes lieu d’être surpris que cette famille n'ait pas
été étudiée plus à fond, lorsqu'on voit avec quelle prédilection
l'attention se fixe aujourd’hui sur l’histoire du développement
des Cryptogames supérieures, de sorte que presque chaque
famille a attiré plus d’un travailleur; et lorsqu'on considère
que les Gleichéniacées étendent leur domaine du Japon à la
Nouvelle-Zélande (J. Smith, Historia Filicum, p. 338) et que,
sans être précisément du nombre des Fougères à bon marché
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 161
et généralement répandues, elles se rencontrent pourtant en
différentes espèces, portant des spores, dans les jardins botani-
ques et chez les amateurs de plantes. Je ne puis m'expliquer
ce phénomène que par les difficultés attachées à la culture
de ces plantes, surtout à la propagation au moyen des spores,
difficultés qu'on ne parvient à surmonter qu'en observant
toutes sortes de précautions et en s’armant d’une forte dose
de persévérance. L'étude de ces plantes prend par suite
beaucoup de temps, ce qui, après quelques tentatives infruc-
tueuses, aura peut-être découragé maint observateur. Mon
expérience personnelle, en effet, a pleinement confirmé ce que
dit M. E. Mayer dans son excellent article sur la culture des
Fougères, à savoir, que la plus grande attention doit être
apportée 1° au choix des spores, 2° au moment du semis et
du repiquage des prothalles, et 3° à la préservation des jeunes
plantes contre l'atteinte des insectes, des mucédinées, des
algues, des mousses, etc. (Regel, Gartenflora, 1875, T. XXIV,
p. 45.) Ordinairement, ces divers points sont plus ou moins
négligés, surtout le 1er et le 8°, et alors rien ne lève, ou bien
on voit lever d’autres plantes que celles qu’on attendait, ou
bien les jeunes plantes déjà obtenues ne tardent pas à périr.
M. Mayer paraît avoir réussi à élever de spores la plupart
des Fougères, sauf les Hyménophyllacées, et si les matériaux
provenant de ses cultures avaient fait l’objet d’un travail scien-
tifique, la lacune existant dans nos connaissances au sujet du
développement des Fougères aurait probablement déjà été
comblée avant la date de mes premières recherches. En ce
qui concerne les Gleichéniacées, il est parvenu à tirer de
semis une espèce, le Gleichenia dicarpa R. Br. D’autres espèces
il ne put obtenir de bonnes spores. Mais, à en juger par
cette espèce unique, il tend à croire que la reproduction des
Gleichenia n’offrira pas plus de difficultés que celle de beau-
coup d’autres Fougères. kRelativement aux Gleichéniacées,
voici ce qu'il dit: ,Les spores de cette famille de Fougères
approchent de la couleur jaune soufre, ce qui les rend faciles
162 N. W. P. RAUWENHOFF,
à reconnaître, même sans loupe. La difficulté d’obtenir de
bonne semence s'explique aisément quand on a l’occasion de
rechercher des spores sur des exemplaires de Gleichenia beaux
et vigoureux. La plupart des feuilles ne portent que des spo-
ranges vides ou sont encore trop jeunes.” Ses prothalles de
Gleichenia mettaient, de leur première apparition jusqu’à la
formation de la première feuille, cinq mois, de sorte qu’un
repiquage répété était nécessaire. ,Les prothalles de Gleichenia
dicarpa sont presque orbiculaires, avec un diamètre de près
de 3 mm. et une échancrure cordiforme, qui atteint presque le
quart du diamètre. Les bords sont entiers et un peu relevés.
La couleur est vert foncé. Le prothalle se reconnaît à ses
poils radiculaires, qui deviennent visibles par suite du redresse-
ment des bords. Ces poils occupent sur la face inférieure, au
centre du prothalle, le tiers de la surface; ils sont courts,
de même longueur, et ont une couleur brune, à éclat mé-
tallique.”
Voilà ce que nous apprend M. Mayer. Quant à moi, j'ai
réussi à faire germer les spores de différentes espèces du genre
Gleichenia, et à amener quelques-unes d’entre elles à l’état
de jeunes plantes, non sans avoir éprouvé, il est vrai, nombre
d’échecs préalables. Finalement, toutefois, j'ai obtenu des
matériaux en quantité suffisante pour pouvoir suivre et dé-
crire tout le développement de la génération sexuée ches ces
plantes. Avant de faire connaître les résultats auxquels je
suis parvenu, il ne sera pas déplacé, me semble-t-il, de donner
quelques détails sur l’historique de mes cultures: d’une part,
ils mettront en lumière le mode de vie de ces végétaux in-
téressants, mais délicats: d'autre part, mon expérience per-
sonnelle aura peut-être quelque utilité pour d’autres, qui
voudraient s'occuper, en vue de recherches scientifiques, de
la culture des Gleichenia.
LA GÉNÉRATION SEXUËRE DES GLEICHÉNIACÉES
Histoire de mes cultures.
Stimulé par les résultats favorables obtenus au jardin bo-
tanique d’Utrecht dans la culture des Marattiacées, culture
entreprise sur mes conseils par M. le Dr. H. F. Jonkman, à
cette époque assistant pour la botanique à notre université '),
j'essayai de faire germer aussi les spores de différentes espèces
de Gleichenia. Dans ces essais, M. Jonkman me seconda avec
zèle de son aide très-appréciée. Grâce à la bonté de feu
M. J. A. Willink Wz., de Driebergen, j'avais recu des frondes
vivantes et fructifères de Gleichenia flabellata, G1. hecistophylla
et Gl. Mendelli. Après avoir été examinées au microscope,
les spores de ces frondes furent semées, le 18 novembre 1876,
sur de la tourbe qui avait été bouillie dans l’eau et qui était con-
tenue dans de petits pots neufs, auxquels la même opération
avait été appliquée. Recouverts de cloches et placés dans du
sable humide et de l’eau, ces pots furent maintenus à une
lumière tempérée, dans une atmosphère saturée de vapeur
d’eau et à une température de 60° à 70° F. Dans ces con-
ditions, les spores des deux espèces nommées en dernier
lieu germèrent déjà au bout de 15 jours à 3 semaines; celles
du Gleichenia flabellata, manifestement plus faibles, levèrent
plus tard, quelques-unes au bout de 5 à 6 semaines seulement,
et restèrent aussi en arrière des deux autres dans la suite de
leur développement. Des GT. hecistophylla et Mendelli, au
contraire, les prothalles eurent une croissance régulière, et en
mars 1877 il s’y montra des anthéridies, en mai des arché-
1) Des résultats de M. Jonkman j'ai donné un aperçu préliminaire à
l’Académie des sciences d'Amsterdam, dans les séances du 25 Sept. 1875
et du 27 mai 1876 (voir les Procès-Verbaux de ces séances). Plus tard.
M. Jonkman lui-même a exposé, dans la Botan. Zeitung, 1878, p. 129,
une partie de ses recherches, puis il a fait de celles-ci le sujet de sa thèse
universitaire, publiée sous le titre: De geslachtsgeneratie der Marattiaceen,
Utrecht, 1879.
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 11
164 N. W. P. RAUWENHOFF.
gones. Au sujet de ces cultures j’ai donné quelques détails
dans mes communications préliminaires à l’Académie des
sciences d'Amsterdam, séances du 27 janvier et du 30 juin 1877
(Voir les Procès-Verbaux de ces séances).
Des archégones apparus, quelques-uns furent fécondés, et.
au mois de septembre 1877 je trouvai quelques exemplaires
de Gleichenia hecistophylla montrant la première petite feuille
de la génération suivante, sous la forme d’un élargissement
en massue, à l'extrémité d’un pédicelle de 4 à 5 mm. de
longueur. Outre ces plantes, il y avait encore quelques pro-
thalles sains pourvus d’anthéridies et d’archégones ; maïs la
plupart étaient morts dans le courant de l'été. Les prothalles
vivants furent dépotés en octobre, puis une seconde fois un
peu pius tard, de sorte qu'au mois de janvier 1878 il restait
encore en vie quelques individus, qui toutefois finirent égale-
ment par mourir. Les prothalles de Gleichenia flabellata et de
Gl. Mendelli avaient déjà péri avant la fin de 1877.
Peu de temps après ce premier semis, j'eus l’occasion de
constater combien est grande l'influence de l’état des
spores sur le résultat de l’expérience. Par l’obligeante entre-
mise de M. W. F. Thiselton Dyer, j'avais recu du Jardin de
Kew des folioles sporifères de Gl. flabellata et de Gl. dicarpa,
qui, bien que saines d’aspect, avaient été un peu desséchées
durant le transport. De ces spores, semées le 10 décembre
1876 avec les mêmes soins que les précédentes, celles de G1.
flabellata ne germèrent pas du tout, et celles de G7. dicarpa
formèrent très-lentement quelques prothalles, qui, après quel-
ques mois d’une vie souffreteuse, succombèrent tous.
Ainsi donc, bien que d’au moins une espèce de Gleichenia
quelques individus eussent parcouru la première génération
tout entière, le nombre en était petit. La grande majorité
des prothalles s'étaient mis tôt ou tard à languir et n'avaient
pu résister à leurs ennemis, moisissures, filaments d'algues
et protonémas de mousses, dont, malgré le nettoyage répété
des Gleichenia, on ne parvenait presque pas à les débarrasser.
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 165
Il semblait donc expédient, pour obtenir à différentes
phases de développement les matériaux d’étude nécessaires,
de réitérer fréquemment les semis, avec des spores aussi
saines que possible. Heureusement, je fus largement mis en
état de le faire par la libéralité de M. J. A. Willink, qui me
permit de récolter les spores de ses plantes vivantes, chaque
fois que celles-ci en fournissaient l’occasion. En conséquence,
le 20 octobre 1877, un nouveau semis eut lieu avec les spo-
ranges des Gl. flabellata, Mendelli et hecistophylla. De la pre-
mière de ces espèces je trouvai, après un intervalle de dix
jours seulement, nombre de spores germées dans le sporange
encore clos; le 7 novembre suivant, plusieurs spores devenues
libres avaient déjà formé des prothalles de quatre cellules ou
plus. Mais le développement ultérieur de ces prothalles, ainsi
que de ceux des deux autres espèces, marcha mal. Il ne tar-
dèrent pas à languir, et au commencement de l'été de 1878
il ne restait presque plus rien de ce semis.
Avec le Gleichenia rupestris, semé le 20 novembre 1877, les
résultats furent plus favorables. Les spores de cette espèce,
que j'avais reçues alors pour la première fois, paraissent être
plus vigoureuses que celles des autres espèces. A l’origine,
toutefois, la germination marcha encore lentement et un grand
nombre de spores moururent dans les sporanges non ouverts.
Un examen attentif me fit voir que cela tenait principalement
à la solidité des parois des sporanges. Ceux-ci s’ouvraient
difficilement et les jeunes prothalles, à peine formés, étouf-
faient pour ainsi dire dans l’étroit espace où ils étaient en-
fermés. En conséquence, le 14 décembre, les sporanges encore
sains furent rempotés après avoir été ouverts: il s’ensuivit
bientôt une germination copieuse, de sorte que, en mars 1878,
les jeunes prothalles surabondants durent être transplantés
dans d’autres pots. Ils continuèrent à croître avec vigueur,
furent encore rempotés une couple de fois pendant l'été, et
fournirent, en août 1878, des prothalles complètement déve-
loppés avec anthéridies, archégones et jeunes embryons, puis,
LES
166 N. W. P. RAUWENHOFF.
en novembre 1878, quelques jeunes plantes, qui furent con-
servées dans l'alcool, pour l’étude ultérieure.
Le 12 décembre 1877, je semai de nouveau des spores
fraîchement récoltées de Gleichenia hecistophylla et de GI. ru-
pestris. Cette fois, les sporanges furent ouverts avant d’être
confiés à la terre, et les spores trouvèrent donc immédiate-
ment abondance d’espace et de lumière. Au début, ces spores
germèrent rapidement et vigoureusement. Le 2 janvier 1878,
il y en avait déjà un assez grand nombre en plein dévelop-
pement. Un peu plus tard, celles de GT. hecistophylla, forte-
ment attaquées par des algues et des mousses, commencèrent,
malgré des nettoyages répétés, à languir, de sorte qu’on n’en
retira pas grand’chose. Les spores de G1. rupestris, saines et
robustes d’aspect, continuèrent à croître convenablement et
formèrent quantité de prothalles, qui, plus d’une fois rempotés
au cours de l’été suivant, fournirent en partie des jeunes
plantes, lesquelles toutefois moururent plus tard, après avoir
poussé quelques petites feuilles. Des essais de germination
ont aussi été faits au printemps. Le 15 avril et Le 1er mai 1878,
je semai, avec tous les soins indiqués et, comme toujours,
après examen microscopique, des spores: la première fois,
celles de Gl. rupestris et de Gl. hecisiophylla, la seconde fois,
celles de (1. flabellata et de Gl. rupestris. Mais, quoique les
spores parussent très saines, le développement s’opéra moins
bien que précédemment. L'été, comme le remarque M. Mayer
dans l’article cité plus haut, ne semble pas y convenir spé-
cialement. De ces cultures je n’obtins que quelques faibles
prothalles de GT. hecistophylla et de Gl. rupestris, prothalles
qui moururent au bout de peu de temps.
Dans l’automne de cette même année, deux autres semis
eurent encore lieu. Le 8 octobre 1878, les spores d’un pied
de Gleichenia circinata, cultivé au jardin botanique d’Utrecht,
furent portées directement de la plante sur la terre: le 6 no-
vembre, ces spores étaient en parfaite germination. Le 16 no-
vembre 1878, je reçus de M. le professeur Reichenbach, de
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLÉICHÉNIACÉES. 167
Hambourg, des feuilles bien vivantes et sporangifères des GI.
hecistophylla, flabellata, semivestita, Spelunca, rupestris et micro-
phylla. Les spores de ces feuilles étaient, la plupart, en bon
état; le semis, effectué aussitôt que possible, promettait d’abord
un résultat favorable, mais finalement il n’aboutit, lui aussi, qu’à
la production de petites plantes portant une couple de folioles.
Enfin, dans l’été de 1887, la reproduction de Gleichénia-
cées au moyen de spores a été essayée encore une fois. Par
l’amicale intervention de M Treub, qui voulut bien se charger
lui-même du transport, j'avais obtenu du jardin de Kew des
sporanges frais de Gleichenia flabellata, de Gl. cireinata var.
microphylla et de Gl. dicarpa. Après examen microscopique
de l’état des spores, celles-ci furent semées, avec les précau-
tions observées lors des essais précédents, dans de la tourbe
récemment bouillie, placée dans de petits pots qui avaient
également subi l’action préalable de l’eau bouillante. Les pre-
miers résultats furent, en majeure partie, semblables à ceux
des expériences antérieures. Au bout de six semaines, rien
n'avait levé du Gleichenia flabellata. Les spores étaient déco-
lorées et mortes. La reproduction de semis est très difficile
pour cette espèce, surtout parce qu'on a tant de peine à en
obtenir les spores (les seules spores bilatérales que j'aie ren-
contrées chez les Gleichéniacées, voir plus loin p.170) dans
l’état de plus grande aptitude à la germination. Dans les
sporanges, elles ne sont ordinairement pas encore arrivées
à maturité parfaite, et attend-on plus longtemps, les sporanges
sont en général déjà vides. Pour les autres espèces, le résultat
fut beaucoup meilleur. Après six à sept semaines, j'avais de
chacune d'elles quantité de jeunes prothalles, les uns clavi-
formes, les autres cordiformes, mais encore dépourvus d’an-
théridies. Celles-ci, toutefois, se montrèrent peu à peu, et le
14 octobre 1887, donc deux mois plus tard, il y avait déjà,
chez les deux variétés de Gleichenia circinata, quelques pro-
thalles à archégones, qui à la fin de l’année fournirent de
Jeunes plantes avec racine primaire, pétiole et bourgeon. Des
168 N. W. P. RAUWENHOPFF.
trois espèces en question, les cultures restèrent, après plu-
sieurs rempotages et de fréquents nettoyages, aussi en vie
pendant l’année 1888, de sorte que maintenant encore j'ai
de chacune d’elles des représentants, aussi bien des prothalles
que des jeunes plantes. La croissance de ces dernières, toute-
fois, est extrêmement lente. Les individus les plus développés,
âgés aujourd’hui de plus de 18 mois, ne mesurent que 3 à 4
centimètres de hauteur et consistent en trois ou quatre pe-
tites feuilles, dont la plus grande compte 15 à 18 folioles
(ou plutôt pinnules), tandis que les racines ne dépassent
guère les feuilles en longueur, et parfois même sont encore
plus petites que celles-ci. Il est évident, même en tenant
convenablement compte des conditions peu favorables dans
lesquelles vivent ces plantes cultivées, que leur croissance
a lieu avec une remarquable lenteur.
On voit, par ce court aperçu, qu’il n’y a pas eu ME de
tentatives répétées et que beaucoup de persévérance et de
patience est nécessaire pour la culture des Gleichéniacées.
Cette besogne prend en outre un temps considérable, car les
cultures doivent être constamment surveillées, itérativement
nettoyées avec soin et plusieurs fois rempotées, si l’on veut
pouvoir espérer quelque succès.
Une première condition est toujours que les spores soient
bien saines, d’un Jaune vif, gonflées, à grand noyau distinct
et à contenu dense. Les spores incolores ou mal développées
doivent être invariablement rejetées. Dans les cas exception-
nels où le semis de pareilles spores à été essayé, notre pré-
somption d’insuccès s’est vue pleinement confirmée. D'autre
part, il ne faut pas oublier que, même des meilleures spores,
quelques-unes germent beaucoup plus tardivement que les
autres. Si réussies que fussent les cultures, j’y trouvais, à
côté de prothalles passablement développés, des spores ve-
nant à pleine de germer, et même des spores encore closes,
bien que restées saines.
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 169
Structure des spores.
Les spores des espèces de Gleichenia que j'ai examinées
présentent deux formes différentes. Elles sont ou bien radi-
aires ou bien bilatérales, pour user de la terminologie de
M. Russow (voir plus haut, p.160). Les spores radiaires, aux-
quelles appartiennent celles de Gleichenia hecistophylla, Gl.
rupestris, Gl microphylla, Gl. semi-vestila, Gl. circinata, Gl.
Spelunca, Gl. dicarpa, sont arrondies en bouie d’un côté
et limitées de l’autre par trois faces sensiblement planes, de
sorte qu’elles ont à peu près la figure d’une pyramide trian-
gulaire superposée à un segment sphérique. Pour cette raison,
on les appelle aussi parfois spores sphéro-tetraédriques, et
leur forme s'explique, comme l’ont déjà indiqué M. Kny (Die
Entwickelung der Parkeriaceen, p. 7) et d’autres, par la manière
dont elles naissent dans le sporange, à savoir, par quadripartition
des cellules mères. Chacune des trois faces accolées à une face
semblable de la spore sœur est peu voûtée, la face extérieure,
au contraire, est fortement bombée (Voir PI. IV, fig. 1, et aussi
les fig. 1 et 2 de la Note insérée, comme il a été dit p. 157,
dans les Arch. néerl., T. XIV, p.347) Lorsque la spore repose sur
le côté sphérique, les trois faces en question ressortent nette-
ment, grâce à trois côtes assez épaisses, qui se réunissent au
sommet de la pyramide et qui marquent les places où la
spore s'ouvrira lors de la germination (fig. 1 et 2). Ces côtes
s'étendent du sommet jusqu’à l’équateur de la spore.
La paroi des spores est incolore et transparente, et elle ne
présente à l’extérieur ni verrucosités ni épaississements ré-
ticulés, comme on en rencontre si fréquemmentsur beaucoup
d’autres spores de Fougères. Par contre, les spores sont pour-
vues extérieurement de trois bandes ou poutres assez larges
et assez épaisses, qui se trouvent à peu près au niveau de
l'équateur de la spore, entre les bases des côtes, sans toucher
celles-ci. Elles forment ainsi autour de ces côtes un triangle
non fermé aux angles. A l’origine, il ne fut pas facile de
170 N. W. P. RAUWENHOPFF.
tirer les choses au clair quant à ces poutres, parce que les
spores non germées se placent généralement, ou bien de façon
que les trois côtes soient dirigées en haut (un peu oblique-
ment, la spore reposant sur la face bombée et sur l’une des
poutres), ou bien (lorsque la spore est appliquée par l’une
des faces planes) de façon que la face bombée soit tournée
vers l’observateur. Dans le premier cas, les poutres ne se
voient qu'indistinctement; dans le second, elles sont cou-
vertes par le contenu opaque de la spore. C’est seulement
chez des spores qui avaient germé et développé des prothalles
de deux ou trois cellules que les poutres ressortirent nette-
ment dans différentes situations, parce que la position de la
spore était déterminée par la forme du prothalle, et qu’en
outre, dans beaucoup de cas, la paroi de la spore pouvait
être observée débarrassée de son contenu {Voir les fig. 4, 6,8,
9, 10, 18, 19, 27, 28, 35). Vues d’en haut, les poutres se
montraient alors très-réfringentes, plus épaisses au milieu
qu'aux bords, parfois faiblement striées en travers, et amin-
cies aux deux extrémités, où elles se confondent avec la
paroi externe de la spore.
En ce qui concerne les spores bilatérales, que je n’ai ren-
contrées jusqu'ici que chez le Gleichenia flabellata (dans ma
communication préliminaire, Procès-verbal de la séance du 27
janvier 1877 de l’Acad. d. se. d'Amsterdam, il est dit par
erreur que le G1. dicarpa présente également des spores bila-
térales; un examen plus attentif des spores de cette plante,
recueillies en divers lieux, m'a montré qu’elles sont toutes
radiaires), ces spores bilatérales ont ordinairement la forme
de petits haricots et ne possèdent qu’une seule côte, toujours
située au côté long, concave. Chez ces spores aussi, la paroi
est incolore, transparente et dépourvue de petites verrues ou
d’éminences réticulées: mais, de part et d'autre de la côte
parallèlement à celle-ci et très rapprochée d'elle, se trouve
une poutre unique; ces poutres n’ont pas toute la longueur
de la côte, et sont ordinairement moins épaisses et moins larges
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DÉS GLEICHÉNiACÉES. LTÉ
que les poutres des spores radiaires, ce qui les rend encore
moins faciles à observer que celles-ci, sur les spores non
germées, remplies d’un contenu jaune et opaque (Voir Arch.
néerl., T. XIV, PL VII, fig. 14 et 15). Ici encore, toutefois,
les deux poutres deviennent très distinctes sur les valves
ouvertes, dès que la germination a donné naissance à un
prothalle d’une couple de cellules et que, par suite, la paroi
de la spore a pris une autre position (Jbid., fig. 16 et 17).
De même, les poutres sont bien visibles sur les spores inco-
lores, non mûres ou mortes, sans contenu opaque.
Quand on examine des coupes de spores (qu’il est facile
d'obtenir en immergeant les sporanges encore fermés ou les
spores elles-mêmes dans une couche de gomme additionnée
d’un peu de sucre et. étendue à la surface d’un liège, et
en laissant sécher le tout pendant quelques jours, après
quoi la masse est tout juste assez durcie pour qu’on puisse
en faire des coupes minces), on distingue dans la paroi
différentes couches, tant chez les spores bilatérales que chez
les radiaires, bien que chez les premières l’épaisseur de la
paroi soit en général plus faible. La couche externe, que M.
Tschistiakoff (Ann. d. sc. nat., 1874, 5° Sér. T. XIX, p. 227)
appellerait perisporium est relativement mince. On n’y distingue
pas de structure stratoïde. Sous cette couche est situé l’exo-
sporium, ordinairement plus épais, là surtout où se trouvent
les poutres, et presque toujours composé de deux, parfois de
trois couches différentes. La partie la plus interne de la paroi,
l’endosporium, est généralement assez mince (PI. IV, fig. 11 et 12).
Ces différentes couches pariétales, que d’autres auteurs dis-
tinguent seulement en exine et intine (tels, par exemple:
M. Kny chez Osmunda, dans Pringsheim, Jahrb. f. w. B., VII,
p. 2, et chez Ceratopteris, dans son Entw. d. Parkeriaceen, p. 8;
M. Fischer v. Waldheim, dans Pringsheim, Jahrb. IV, p.372),
présentent toutes un haut degré de résistance. La réaction
de la cellulose n’a pu y être provoquée par aucun moyen.
Avec une forte solution de potasse, l’exospore et l’endospore
179 N. W. P. RAUWENHOPFF.
sont colorées en jaune, la couleur de l’épispore change peu :
aucun gonflement ne se produit. L’iode colore seulement, en
brun jaunâtre, les deux premières de ces couches; les
poutres restent à peu près incolores. Le réactif de Schultze,
avec ou sans traitement préalable par la potasse ou par l’acide
nitrique, ne donne qu’une coloration jaune brunâtre et un
très léger gonflement. Même alors, les limites des couches
restent parfaitement tranchées. Il en est de même avec l’acide
chromique, qui ne détermine qu'une coloration jaune foncé,
sans gonflement. L’acide sulfurique concentré fait d’abord
pâlir la paroi, qui, sous une action plus prolongée, devient
brun violet, mais en conservant parfaitement nets les con-
tours de ses couches et en n’éprouvant qu'un faible gonfle-
ment; par contre, des parois fortement épaissies de cellules
annulaires du sporange, qui se trouvaient accidentellement
mêlées à la préparation, furent assez promptement détruites,
de sorte que finalement, dans la masse noir brunâtre restante,
leurs formes n'étaient plus à reconnaître. Le traitement des
spores par la teinture d’iode et, après évaporation de l'alcool,
par l'acide sulfurique concentré, ne fait pas apparaître la
réaction de la cellulose. Les couches de la paroi se colorent
en jaune brunâtre, surtout l’exospore; l’epispore, même
alors, ne subit qu’un faible changement de couleur. L'iode
est absorbé le plus par le contenu de la spore, surtout par
le noyau, qui, sous ces influences, devient jaune brunâtre.
Le contenu de la spore, dans l’état de maturité, mais avant
la germination, est jaune d’or foncé, opaque, fortement ré-
fringent, d'aspect homogène et solide dans la majeure partie
de sa masse, avec çà et là quelques globules, qui ont toute
l'apparence de globules de graisse ou de gouttelettes d'huile,
et ne sont que peu ou point colorés. Immédiatement au-des-
sous du point de jonction des trois côtes chez les spores
radiaires (Arch. néerl., T. XIV, PI. VIII fig. 1 et 2), et au-
dessous du milieu de la côte unique chez les spores bilaté-
rales (Ibid., fig. 14 et 15), on voit un grand noyau nucléolé,
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 173
rond, peu coloré, qui au début de la germination change
souvent de forme, devient polyédrique et émet des fils plas-
matiques ou pseudopodies.
Lorsque la spore immergée dans l’eau est rompue par pres-
sion, le contenu en sort sous la forme de grumeaux irréguliers,
jaunes, très réfringents (non biréfringents, suivant la juste
remarque de M. Kny, Parkeriaceen, p. 8), mêlés de petits glo-
bules incolores, et parfois on réussit alors à observer le noyau à
l’état de liberté dans l’eau. Les globules en question se voient fré-
quemment aussi comme de petits corps — assez gênants pour
l’observation — adhérents à la surface externe de spores intactes ;
c'est ce qui a lieu lorsque, dans l’opération de l’ouverture d’un
sporange, quelques spores ont été meurtries, chose difficile à
éviter. Optiquement, ces globules sont tout à fait semblables à
des globules de graisse, et c’est sous ce nom qu’on les désigne
habituellement. Pourtant, leurs réactions chimiques ne sont
pas complètement d'accord avec cette assimilation. Dans la
potasse 1ls jaunissent, sans se dissoudre: ils ne se dissolvent
pas non plus dans l’alcool; dans l’acide sulfurique ils con-
fluent en boules plus grosses, sans perdre leurs contours nets.
Les grumeaux à éclat vif sont également insolubles dans la
potasse, raison pour laquelle M. Kny, chez Ceratopteris (Par-
keriaceen, p. 8), ne les regarde ni comme des corps protéini-
ques, n1 comme de l’amidon: d’autres auteurs d’écrits sur les
spores des Fougères (à l’exception de Fischer von Waldheiïm,
dans Pringsheim, Jahrb. f. wiss. Bot., IV, p. 373) glissent sur
ce sujet et ne disent presque rien du contenu chimique de
la spore. Pourtant, c’est là un point des plus importants, et
qui mériterait bien une étude approfondie, eu égard surtout
aux changements considérables que ce contenu subit lors de
la germination. S'il était possible de faire s’opérer cette ger-
mination sur le porte-objet du microscope ou dans la chambre
humide, sans prolifération de filaments mucédinéens, on aurait
peut-être 1c1, vu la lenteur du processus, l’occasion favorable
de suivre pas à pas la transmutation du contenu et la for-
174 N. W. P. RAUWENHOFF.
mation de la chlorophylle, de la cellulose et de l’amidon, au
moins chez les spores telles que celles des Gleichenia, où le
contenu n’est pas rendu opaque par des verrues, des aiguil-
lons ou des côtes de l’exine ou de l’exospore. Pour en
revenir à la masse brillante et fortement réfringente qui rem-
plit les spores de Gleichenia, celle-ci est bien dûment composée
en grande partie de matières protéiniques, comme on le re-
connaît en traitant par le réactif de Millon les spores préala-
blement meurtries: non seulement le grand noyau cellulaire,
mais aussi quantité de grumeaux prennent alors une couleur
rouge brique (voir Arch néerl., T. XIV, PI. VIIL, fig. 8) "A
côté de ces grumeaux, toutefois, il y en a d’autres, également
très réfringents, que le réactif de Miïillon ne colore pas, et
dont je n’ai pu découvrir la nature chimique. Quant à l’amidon,
qui, on le verra tout à l'heure, apparaît très peu de temps
après la germination, je ne l’ai jamais trouvé dans la spore
non germée.
La grandeur des spores radiaires diffère peu chez les dif-
férentes espèces de Gleichenia que j'ai examinées. Celles de
GI. rupestris sont les plus grosses et possèdent aussi les parois
les plus épaisses, mais chez les autres la différence de dimen-
sion est minime; au reste, même par l’ensemble de leurs
caractères, elles ne se laissent presque pas distinguer les
unes des autres. Si l’on voulait attribuer à l’aspect extérieur
des spores de la valeur au point de vue de la distinction
systématique, la plupart des soi-disant espèces de Gleichenia
devraient être ramenées à une espèce unique, ou tout au
plus à des variétés de celle-ci. Des nombreuses mesures que
j'ai prises, il résulte en effet que, les spores étant placées
le côté sphérique tourné vers le haut, leur grandeur, suivant
les deux directions perpendiculaires a et à (fig. 3), est ex-
primée par les chiffres suivants:
Gleichenia rupestris. . . a = 0,053 mm. b —= 0,042 mm.
hecistophylla - a: = 0,042 1 5: db —= 0,031m;
microphyllasua =u0 047 11, Ab = N0;040 04
”
»
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 175
Gleichenia semivestita.- . a — 0,042 mm. b —= 0,035 mm.
ÿ ccinaian mi 10,049; :bt=,,0,040,. : ;
. carpe coin, 027, ;:,.04=:0,085..,
L’épaisseur de la paroi varie, en des points différents et chez
les différentes spores, de 0,0011 à 0,0020 mm., tandis que les
poutres elles-mêmes ont une épaisseur de 0,0035 à 0,0044 mm.
Les spores bilatérales du Gleichenia flabellata, au contraire,
sont notablement plus petites. Lorsqu’elles sont couchées sur
le côté, nous trouvons ici a = 0,035 et b — 0,020 mm.
L’épaisseur de la paroi est également moindre, et les poutres
ne mesurent, en moyenne, pas plus de 0,0022 mm. en section.
Si l’on compare ces dimensions avec celles que M. Kny
(Parkeriaceen, p. 7) a trouvées pour différentes spores de Fou-
sères, on peut dire que les spores radiaires des (leichenia
ont une grandeur moyenne. Elles sont à peu près de même
dimension que celles de Gymnogramme sulphurea, de Asplenium
Nidus et de Phegopteris subincisa, et plus grandes que celles
de Asplenium caudatum; mais elles sont dépassées en gran-
deur par celles de Ceratopteris thalictroides, de Aneimia hirta,
de Ceterach officinarum et de Polypodium leiorhizon. Les spores
bilatérales de Gleichenia flabellata, au contraire, sont petites,
plus petites que toutes celles qui viennent d’être nommées.
Germination de la spore et développement
du prothalle,
Lorsque la spore saine et mûre des (rleichenia est semée,
à une température convenable, sur la terre humide, puis main-
tenue à une humidité suffisante, de la manière qui a été
décrite plus haut, p. 168, elle présente au bout de peu de
jours, comme premiers phénomènes germinatifs, de remar-
quables changements intérieurs, longtemps avant que la paroi
176 N. W. P. RAUWENHOFF.
ne s'ouvre. Ces phénomènes s’observent mieux dans le genre
Gleichenia que chez d’autres Fougères, parce que la paroi de
la spore y est parfaitement transparente. Extérieurement, les
spores ne paraissent pas changer de forme; aussi bien, leur
paroi solide ne semble guère susceptible de se gonfler dans
l’eau, comme le prouvent déjà les réactions indiquées plus
haut, p.171. D'autant plus grands, en revanche, sont les chan-
sements du contenu. Celui-ci, de couleur jaune foncé avant
la germination, prend peu à peu une teinte légèrement dif-
férente; le jaune devient un peu plus pâle et il s’y mêle une
teinte verdâtre. Je puis renvoyer ici, comme je l’ai déjà fait
p. 171 et 172, aux figures 2, 8, 14 et 15 de ma Note anté-
rieure, Arch. néerl., T. XIV, PI. VIII. Les grosses boules de
graisse, dont la spore est remplie avant la germination, pa-
raissent se diviser en une multitude de globules plus petits, de
sorte que l’aspect du contenu devient moins homogène, plus
finement grenu. Si dans ce stade on fait éclater la spore par
une douce pression, on voit se répandre dans le liquide
ambiant une foule de petits globules incolores, entre lesquels
se trouvent, en nombre plus ou moins considérable, des cor-
puscules verts, extrêmement menus, le plus souvent sphéri-
ques. Il s’est donc déjà formé de la chlorophylle, substance
dont aucune trace ne s’apercevait avant la germination. Re-
marquons, de plus, que cette chlorophylle peut naître en
présence d’une très faible quantité de lumière, car les chan-
gements en question s’opèrent, comme on le verra tout à
l’heure, même quand les spores mûres se trouvent encore, sous
les conditions indiquées, dans le‘sporange non ouvert. Cette
formation précoce de chlorophylle à été observée également,
par M. Kny (Pringsheim, Jahrb. f. w. Bot, VIII, p. 8 et
Parkeriaceen, p. 9), lors de la germination des spores de Osmunda
regalis et de Ceratopteris thalictroides.
Pendant que se modifie ainsi la couleur du contenu de la
spore, par suite de transformations chimiques dans le contenu
protoplasmatique, on voit se produire aussi un important
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 1/47
changement dans le noyau cellulaire. Ce corps ovoïde perd
ses contours nets, et souvent il semble peu à peu disparaître
complètement, peut-être à cause de l’opacité croissante du
contenu de la cellule. Lorsque les changements du noyau se
laissaient suivre quelque temps, ce noyau devenait polyédrique,
avec prolongements filiformes ou pseudopodies, et avec plu-
sieurs petits grains au centre (voir ma Note ci-dessus citée,
fig. 7). Parfois, quoique rarement, j’ai observé dans le noyau
changé deux nucléoles, et plus tard, dans ces spores, après
contraction du contenu, deux noyaux, dont chacun était plus
petit que le noyau primitif. Souvent aussi, comme nous le
verrons plus loin, il s’opère déjà une segmentation dans la
spore, avant que celle-ci ne s'ouvre.
Le contenu des spores devient maintenant de plus en plus
verdâtre et finement grenu : les globules de graisse diminuent
en quantité. Si, dans ce stade, les spores sont traitées par le
chlorure de zinc iodé, on y découvre une multitude de gra-
nules d’amidon extrêmement petits, en forme de points noir
bleuâtre, qui se trouvent surtout près du contour de la spore
(voir ma Note précitée, fig. 6). Il est à présumer que cet
amidon provient de la transformation des globules de graisse,
à moins qu'on ne veuille admettre qu’une assimilation au
moyen de chlorophylle ait déjà eu lieu dans la spore en-
core fermée.
Vers ce temps, c’est-à-dire environ 2 à 3 semaines après
le semis des spores, commence aussi la modification dans la
paroi, qui rend possible le développement ultérieur. Gradu-
ellement, au point de réunion des trois côtes des spores
radiaires, les sommets des trois valves s’écartent un peu l’un
de l’autre (ma Note fig. 8, 4, 5), et la même chose se pro-
duit au milieu de la côte unique chez les spores bilatérales
du Gleichenia flabellata (ibid., fig. 15); dans les deux cas,
l’écartement est dû à ce que la paroi rigide, incapable de
s'étendre, ne peut embrasser plus longtemps le volume croïis-
sant du contenu et s’ouvre donc aux points les plus faibles,
178 N. W. P. RAUWENHOFF.
ES
dès l’origine prédestinés à ce rôle. Ainsi se forment deux
ou trois valves, qui restent unies à la face sphérique de la
spore et par suite entre elles, et qui ne s’étalent davantage
qu'au fur et à mesure des besoins du prothalle en croissance.
Rarement, comme cas anormal, on voit chez les spores ra-
diaires deux côtes rester unies entre elles et une seule des
valves devenir libre (ma Note, fig. 3).
La paroi sporique ouverte demeure encore longtemps ad-
hérente au prothalle, même quand celui-ci a déjà formé des
organes sexuels. Cette circonstance est souvent de grande
utilité dans les recherches, en ce qu’elle permet de recon-
naître sûrement, par la présence des poutres décrites ci-dessus
(p. 169), la provenance des prothalles. Dans cet état, la paroi
ne subit d’ailleurs aucun changement: elle ne participe pas
plus à laccroissement de la jeune plante, que ne le fait le
tégument de la graine des Phanérogames, dont celle-ci se
dépouille peu à peu lors de l’épanouissement des cotylédons.
Nous n'avons donc pas à nous occuper davantage de cette
vieille paroi, mais seulement du contenu de la spore en
sermination. Ce contenu se présente, à l’endroit où les valves
divergent, comme une papille à contours nets, qui fait saillie
en dehors de l’ouverture, et qui souvent est abondamment
pourvue de grains de chlorophylle bien conformés. En faisant
agir le chlorure de zinc iodé, on trouve que le contenu s’est
entouré d’une paroi cellulosique très distincte. Cette nouvelle
paroi, extrêmement mince, est directement appliquée contre
la paroi primitive de la spore, sauf au point où les valves s’écar-
tent: aussi, chez la spore vivante, qui vient de s’entr’ouvrir,
on ne peut la reconnaître que sur la papille. Mais, lors du
traitement par le susdit réactif de Schultze, outre que le con-
tenu se contracte, cette nouvelle paroi est aussi détachée de
la face interne de la paroi sporique, et devient visible comme
un petit sac membraneux excessivement mince, coloré en
bleu clair et enveloppant le contenu coloré en brun (voir ma
Note, fig. 10, 11, 12). On voit que cette interprétation diffère
3 À j ; à
(À GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 179
complètement de celle qui est ordinairement admise par rap-
port à la germination des spores de Fougères et dans laquelle
la paroi de la première cellule du prothalle est supposée formée
par l’endospore de la spore. J’ai toutefois observé les divers
détails des premiers phénomènes germinatifs, tels qu'ils sont
décrits dans ce qui précède et représentés dans les fig. 10,
11 et 12 citées, chez les différentes spores des Gleichenia, à
parois entièrement transparentes, et ensuite j'ai retrouvé la
même chose chez d’autres spores de Fougères, dont la paroi
permettait de distinguer les changements survenus dans le
contenu, entre autres chez les grosses spores du Ceratopteris
thalictroides. Aussi, la manière dont je me représente la mar-
che générale du développement, dans le premier stade du
processus germinatif des Fougères, est-elle la suivante: ,Ce n’est
pas la couche interne de la paroi sporique primitive, couche ha-
bituellement nommée intine ou endospore, qui devient la paroi
de la première cellule du prothalle ou du premier rhizoïde ; mais,
du contenu protoplasmatique il se sépare, avant la déhiscence de
la spore, une nouvelle paroi cellulosique, qui par suite de la
turgescence de la cellule s’applique étroitement à la paroi interne
de la spore. La formation de cette membrane cellulosique,
aux dépens du protoplasma, a lieu de la manière habituelle,
telle que l’ont décrite, en détail, Hofmeister, Strasburger et
d’autres. La nouvelle paroi de cellulose grandit, comme d’or-
dinaire, par intussusception, et apparaît au dehors, après
la déhiscence de la spore, comme paroi de la papille. Ses
dimensions peuvent ensuite, dans certains cas, encore aug-
menter considérablement, ainsi qu'on le voit chez Angiopteris
et Marattia (Luerssen, Mitth. a. d. ges. Bot., I. 530. Jonkman,
Dot. Zeit, 1878, p. 136), où la première cellule du prothalle
surpasse 5 à 10 fois, en grosseur, le contenu de la spore.
La description du processus germinatif des spores de Fou-
gères, telle que la résument les lignes précédentes, a déjà été
donnée par moi en 1879, dans la Bot. Zeitung, T. XX X VII, 1879,
p. 441 et suiv.) ainsi que, un peu plus détaillée et accom-
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 12
180 N. W. P. RAUWENHOF#.
pagnée de figures. dans les Verslagen en meded. d. Kon. Akad.
van Wet., 24e Reeks (T. XIV, p. 320) et dans les Arch. néerl.
(T. XIV, p. 347). Dans ces communications, j'ai amplement
exposé les raisons sur lesquelles se fondait ma manière de
voir, et J'ai aussi admis la même marche de développement
pour la germination d’autres spores de Fougères, en mon-
trant que les descriptions faites de celle-ci, par divers obser-
vateurs, s’accordaient parfaitement avec mes vues.
Pour la justification de ces vues, accueillies avec empresse-
ment deux années plus tard par M. Sadebeck, dans son grand
mémoire sur les Cryptogames vasculaires (Schenk, Handbuch
der Botanik 1881, T. I, p. 235 et suiv.), je pourrais done
renvoyer aux articles qui viennent d’être cités, si ce n’était
que des objections postérieures m'imposent l’obligation d’ap-
porter ici de nouveaux arguments à l’appui de mon opinion.
En 1884, en effet, M. Leitsgeb, récemment enlevé à la
science, à publié un petit ouvrage (Ueber Bau und Entwick-
lung der Sporenhäute und deren Verhalten bei der Keimung,
Gräz, 1884) où il décrivait d’une manière très détaillée la
structure, la formation et les changements des parois de la
spore chez les Hépatiques et les Mousses; il y faisait con-
naïitre en outre, au sujet des phénomènes analogues chez les
Cryptogames vasculaires, différentes particularités inconcilia-
bles avec mes idées, déduites de l’étude des Gleicheniacées,
sur l’origine de la paroi de la première cellule du prothalle
ou du rhizoïde des Cryptogames. Aussi l’auteur concluait-il
(4. c., p. 102) que la paroi du tube germinatif est la conti-
nuation directe de l’intine existant déjà dans la spore mûre:
en d’autres termes, qu’il ne se forme pas de paroi germina-
tive propre.
M. Leitgeb part du fait, reconnu aussi par moi antérieure-
ment, que dans les spores mûres de différentes Cryptogames
la structure et la composition chimique de la paroi ne sont
pas les mêmes. Chez quelques-unes (telles que Osmunda, Ce-
ratopteris, Gleichenia), on ne rencontre qu’une exine différenciée
Jia) / j >
LA GENERATION SEXUEE DES GLEICHENIACEES. 181
en plusieurs couches et cuticularisée, mais pas d’intine à
réaction cellulosique ; chez d’autres (par exemple, chez beau-
coup de Polypodiacées), après l’exine il se forme une intine,
composée de cellulose; enfin, dans un troisième groupe (Equi-
sétacées, Marsilia, Marrattia), autour des deux parois qui
viennent d’être nommées, ou trouve encore une troisième
membrane, la périspore ou épispore, appelée périnium par
M. Strasburger.
Que dans le premier cas aucun doute ne peut subsister
quant à la formation d’une nouvelle paroi de cellulose, lors
de la germination, M. Leitgeb ({. c., p. 86) l'accorde pleinement.
Son objection ne concerne donc que les deux autres cas, où
la spore possède déjà, avant lapparition des phénomènes
germinatifs extérieurs, une intine bleuissant au contact du
chlorure de zinc iodé. Il pense que, vu l’extrême ténuité de
l’intine, des couches éventuelles ne pourraient que très rare-
ment y être aperçues, tandis qu'il serait tout aussi malaisé,
dans le cas peu probable où l’ancienne paroi cellulosique se
déchirerait nettement pour livrer passage à la membrane
nouvelle, d'observer l'endroit de cette déchirure sur des coupes
faites à travers les spores germées. Enfin, la preuve du fait
serait encore beaucoup plus difficile à fournir, si (comme il
est infiniment plus probable d’après toutes les analogies) le
déchirement final de lintine primaire était précédé d’une
distension plus ou moins forte. Par contre, la membrane nou-
velle se laisserait découvrir beaucoup plus facilement dans
les cas où, après la formation du tube germinatif, la paroi
externe de la spore se détache sans peine et peut même être
enlevée en roulant la spore sous le couvre-objet. Or, aucune
recherche n’ayant eu lieu dans cette direction, M. Leitgeb
tient mon hypothèse pour non démontrée.
Ce qu’on m’oppose, ce ne sont pas, on le voit, des faits
contraires à mon opinion, mais des difficultés, ou plutôt des
présomptions que la chose serait difficile à constater. Je re-
connais volontiers que, là où deux minces parois de cellulose
12*
182 N. W. P. RAUWENHOFF.
sont étroitement accolées, il est souvent malaisé de les dis-
tinguer l’une de l’autre: cette circonstance, toutefois, ainsi
qu'il a déjà été dit dans ma première Note, ne saurait in-
firmer mes observations faites sur des préparations favorables.
Leitgeb essaie bien de montrer, par la description détaillée
de la germination de certaines Hépatiques, que lors de cette
germination il ne se forme pas de nouvelle paroi; mais il
est pourtant arrêté, chez Corsinia (1. c., p.100), par un phéno-
mène s’adaptant si parfaitement à mes vues que, — lui-même
ne peut s'empêcher de le dire, — si l’on veut concevoir cette
lamelle interne de l’intine comme une membrane propre, for-
mée au moment de la germination, on a ici un cas réellement
d'accord avec mon opinion. Il préfère néanmoins, — peut-
être parce qu'il est difficile, même avec la plus parfaite bonne
foi, de renoncer à une idée préconçue, — donner de ce cas
une interprétation différente; ce qui l’y porte, c’est que par-
fois, mais non toujours, il à rencontré cette membrane cel-
julosique interne chez des spores n'ayant pas encore germé.
Or, en cela précisément, je me crois autorisé à voir une
confirmation de mes idées.
Outre les preuves tirées de mon étude des sporès de Glei-
chenia, et l'interprétation des observations faites par différents
botanistes sur d’autres spores de Cryptogames, preuves et
interprétation déjà mentionnées dans ma Note antérieure et
qu'il est donc inutile de reproduire, je présenterai encore, à
ce sujet, les remarques suivantes.
Par la formation des spores une petite partie de la plante
est individualisée et destinée, sous des conditions favorables
et dans un délai plus ou moins long, à reproduire cette
plante. À cet effet, le protoplasma vivant (ou, si l’on veut, la
jeune cellule) s’enveloppe d’une membrane protectrice, d’abord
constituée par de la cellulose, mais bientôt cuticularisée en
totalité ou en partie, membrane appelée exine et qui, en
beaucoup de cas, s’entoure encore d’un périnium, souvent de
couleur foncée. À l’intérieur de ce tégument, abri contre les
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES, 183
influences nuisibles, se concentre alors la vie de la spore.
Pendant quelque temps, de durée variable chez des espèces
différentes, cette vie reste latente, c’est-à-dire que pendant
quelque temps nous ne voyons aucun changement exté-
rieur survenir à la spore mûre. Néanmoins, les fonctions
vitales ne sont pas entièrement arrêtées. C’est un fait aujourd’-
hui bien connu que, chez les plantes en général, tant supé-
rieures qu'inférieures, il n’existe pas, même en hiver, de repos
absolu. Encore que le changement éprouvé soit faible en
comparaison du développement énergique déterminé par la
chaleur croissante du printemps, si faible que parfois 1l
échappe à l'observation, on ne peut plus nier que les graines,
les bourgeons et les bulbes ne soient le siège, même pendant
la période dite de repos, de processus vitaux chimiques, à la
suite desquels ils sont devenus autres au printemps qu'ils
n'étaient à l’automne. Il en est de même pour les spores des
CUryptogames ; mais en général leurs changements, fussent-ils
d’ailleurs visibles, ne se laissent pas observer, à cause de
l'épaisseur et de l’opacité de la paroi. Dans quelques cas
seulement, où cette paroi est transparente, comme chez Glei-
chenia et Osmunda, on peut constater des modifications dans
le contenu et reconnaître qu’elles ne sont pas médiocres,
Un des premiers changements est la formation d’une paroi
de cellulose à l’intérieur de la paroi existante, formation qui
en certains cas est accompagnée ou bientôt suivie de division
cellulaire dans la spore, tandis que dans d’autres cas elle en
est indépendante, Il n’y à aucun doute que l’intine, ou paroi
cellulosique interne, là où elle se rencontre, ne soit formée
beaucoup plus tard que l’exine et le périnium. Tous les
auteurs récents s'accordent à ce sujet, et M. Leïitgeb, dans
son opuscule, mentionne à cet égard des particularités inté-
ressantes. C’est ainsi que, chez Sphaerocarpus terrestris, il vit
(p. 21), après développement complet de l’exine et du péri-
nium, apparaître l’intine comme une membrane appliquée
aux inégalités de l’exine, mais lisse en dedans, et qui jusqu’à
184 N. W. P. RAUWENHOFF.
la germination n'éprouva pas de changement ultérieur. En
même temps que l’intine devenait visible, les noyaux avaient
changé de place et s'étaient portés de la périphérie aux an-
gles internes des spores. La formation de cette membrane
doit donc indubitablement être considérée comme une des
premières mamifestations vitales de la spore. Elle cadre par-
faitement avec ma manière de voir, à condition de ne pas
oublier que la germination commence déjà avant qu’on voie
apparaître au dehors la cellule du prothalle et celle du rhi-
zoïde. Rappelons aussi le cas cité plus haut (décrit par Leïitgeb,
I. c., p. 100) du Corsinia marchantioides.
Après tout ce qui précède, je ne puis donc concéder à M.
Leitgeb que lors de la germination il ne se formerait pas de
paroi germinative propre; les divers exemples qu’il rapporte
et les divers degrés de développement qu'il décrit me sem-
blent se concilier parfaitement avec mon opinion, si l’on a
égard aux grandes différences qui, chez des spores différentes,
peuvent exister quant au moment de cuticularisation de
l’exine et de naissance de l’intine, ou quant à l'épaisseur de
celle-ci, et si l’on tient compte de l’activité plus ou moins
grande, de la marche plus ou moins rapide du processus
germinatif, dont le début se dérobe souvent à l’observa-
tion. Voici donc comment je me figure le cours du phé-
nomène: Lors du développement de la spore 1l se forme une
exine, d’abord composée de cellulose, plus tard divisée en
plusieurs couches par différenciation ou par apposition, euti-
cularisée en tout ou en partie, et entourée ou non d’un
périnium. Lorsque l'extérieur seul de l’exine est modifié ch1-
miquement, la couche interne, qui se colore en bleu sous
l’action du chlorure de zinc iodé, est appelée intine. À un
moment variable, parfois longtemps avant l'apparition des
phénomènes germinatifs extérieurs, le protoplasma de la spore
donne naissance, comme première manifestation vitale, à une
nouvelle membrane cellulosique extrêmement mince, qui peut
s’accroître par intussusception et qui, lorsque la cellule rh1-
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 185
zoïdienne se montre au dehors, continue à envelopper celle-ci,
sous forme de tube germinatif. Tant que la spore n’est pas
encore ouverte, cette nouvelle membrane s'applique intime-
ment, de tous les côtés, à la face interne de l’exine ou,
respectivement, de l’intine. De cette dernière ïl est alors
souvent impossible de la distinguer comme couche particulière.
Après la rupture de la spore, cette distinction n’est possible
que si la nouvelle membrane, aussi bien que l’intine, a une
certaine épaisseur, comme chez Corsinia, par exemple. N’est-il
donc pas probable qu'en beaucoup de cas, où un examen
superficiel ferait croire que la partie interne non cuticularisée
de la paroi sporique primitive entoure la première cellule du
prothalle et du rhizoïde, cette enveloppe représente en réalité
une paroi propre, née du plasma de la spore en germination ?
Sans doute, ce n’est là qu’une présomption; mais, d’après
toutes les considérations ci-dessus exposées, je la juge plus
acceptable que l'hypothèse suivant laquelle la paroi sporique
primitive se rajeunirait, en quelque sorte, pour se transformer
en la membrane délicate de la cellule germinative.
Revenons aux spores de Gleichenia, arrivées au stade ger-
minatif, décrit plus haut, où la jeune plante apparaît comme
une papille perçant la paroi sporique. À ce moment, une
division cellulaire a généralement déjà eu lieu dans le con-
tenu de la spore. En traitant celle-ci par le réactif de Schultze,
on voit que le contenu protoplasmique contracté est partagé
en deux; les deux parties, parfois pourvues chacune d’un
noyau, sont séparées par une paroi de cellulose, perpendicu-
laire à l’axe d’accroissement ultérieur. (Voir ma note déjà citée,
fig. 10 et 13). Dans quelques cas favorables, cette paroi de
segmentation est même visible sans intervention du chlorure
de zinc iodé; après l’emploi de ce réactif, toutefois, elle se
montre distinctement comme une mince raie bleue, qui aux
deux extrémités se rattache à la paroi cellulosique nouvel-
lement formée, l’endospore des auteurs antérieurs. Une
186 N. W. P. RAUWENHOFF.
pareille division cellulaire, opérée à l’intérieur de la spore,
n’a d’ailleurs rien d’inattendu. M. Kny l’a déjà décrite pour
Ceratopteris (Die Parkeriaceen, p. 9, PL I, fig. 3), M. Prantl
pour Trichomanes et Hymenophyllum (Die Hymenophyllaceen,
p. 41), et chez Ceratopteris j'ai vérifié les assertions de M. Kny.
Des deux cellules ainsi formées, l’une devient la cellule initiale
du prothalle, l’autre le premier rhizoïde; chacune d’elles a
son mode de développement propres comme on va le voir au
Chapitre suivant.
Développement du prothalle.
DS
Lorsque la première cellule à chlorophylle et le premier
poil radiculaire sont apparus au dehors de la spore, le prothalle
se développe d’abord avec une rapidité assez grande, quoique
sensiblement inégale dans des circonstances différentes. En
général, la cellule à chlorophylle croît plus rapidement que
le poil radiculaire et forme, par quelques divisions successives,
perpendiculaires à l’axe de l’accroissement, un filament de:
4 ou 5, parfois de 10 à 12 cellules; dans la dernière de
celles-ci il se produit alors des divisions dans des directions
diverses, qui peu à peu donnent naissance soit à un prothalle
plat ou en massue, soit à des ramifications. En même temps,
on voit que le premier poil radiculaire n’a ordinairement
qu'un accroissement médiocre et est bientôt dépassé en longueur
par un second poil radiculaire et par les suivants, qui naissent
de protubérances se formant sur la seconde ou la troisième
cellule du prothalle et sur des cellules situées plus haut.
Chacune de ces protubérances se développe bientôt, après
avoir été séparée par une cloison de la cellule correspondante
du prothalle, en un tube de couleur brunâtre, qui est 10
à 20 fois plus long que large. De pareils prothalles, jeunes et
normaux, se trouvent représentés, par exemple,
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 187
pour Gleichenia flabellata dans les fig. 15 et 16,
rupestris OISE ON
; à hecistophylla , les , 26—30.
Toutefois, même chez ces prothalles en grande partie nor-
maux, les petites déviations ne manquent pas. Des deux
exemplaires cités de G. flabellata, l’un (fig. 15), quoique ayant
déjà un filament de cinq cellules et une extrémité claviforme
de quatre cellules, ne montre encore qu’un seul poil radiculaire,
relativement court; l’autre (fig. 16), au contraire, est encore
entièrement filamenteux, mais possède, en outre du rhizoïde
primaire, un poil radiculaire déjà développé, issu de la troisième
cellule du prothalle, et un poil radiculaire jeune, issu de la
quatrième cellule.
De même, on trouve chez Gleichenia rupestris, dans la fig.
10, un prothalle de quatre cellules, avec le poil radiculaire
implanté sur la seconde de ces cellules: tandis qu'il y aurait
aussi beaucoup d'exemples à donner d’un prothalle filamenteux
de cinq cellules, avec un poil radiculaire unique formé dès
la première division. Les figures 18, 19 et 20 nous montrent
quelques proembryons un peu plus âgés, chez lesquels, après
la formation d’un tilament de 4 ou 5 cellules, les divisions
ont déjà eu lieu dans d’autres directions, et qui fournissent
” »
des exemples de rhizoïdes issus plus haut et néanmoins plus
longs que le premier poil radiculaire. Dans la fig. 19, deux
poils radiculaires, de longueur à peu près égale, naïssent
directement du contenu de la spore. Quelque chose d’analogue
se voit aussi dans la fig. 30. Des divisions cellulaires du con-
tenu de la spore sont provenus deux rhizoïdes équivalents,
dont il est difficile de décider lequel est le primaire; mais
tous les deux restent courts, et de la seconde cellule du
prothalle (la première qui, dans la figure, apparaît au dehors
de la spore) est déjà né un troisième rhizoïde, que la figure
représente seulement en partie. Viennent ensuite deux cellules
un peu allongées, qui forment le filament, après quoi com-
mence, dans la quatrième cellule du prothalle, la première
188 N. W. P. RAUWENHOFF.
division dans une direction différente. De ce dernier phé-
nomèêne (sur lequel nous reviendrons tout à l'heure) les
prothalles de @. hecistophylla (fig. 26, 27 et 29), du reste
normaux, nous donnent des exemples dès la troisième cellule.
Toutes ‘ces différences, cependant, sont insignifiantes en
regard des modifications considérables présentées par d’autres
prothalles. Compare-t-on en effet, avec les formes qui vien-
nent d’être décrites, les jeunes plantes fig. 31 et 32 de G.
hecistophylla, fig. 37 et 38 de G. rupestris et fig. 36 de G. dicarpa,
toutes dessinées sur le vivant, on aurait de la peine à croire
qu’elles proviennent de la même espèce, si les valves de la
spore, attachées aux prothalles et pourvues des poutres carac-
téristiques, ne levaient tous les doutes.
Toutes ces formes aberrantes me semblent pouvoir être
ramenées à deux types, celui du prothalle épaissi en corps
et celui d’une série de filaments d’égale valeur; l’un et l’autre
types seraient dus au défaut, dès le début de la germination,
de parallélisme dans les divisions cellulaires, ou, si l’on pré-
fère, à une modification, se produisant aussitôt la germination
commencée, dans la direction des nouvelles parois de seg-
mentation: modification qui dans l’un des deux cas se répè-
terait indéfiniment, tandis que dans l’autre elle serait de
courte durée. Ainsi, par exemple, le prothalle représenté dans
la fig. 36 à probablement été formé de la manière suivante.
D'abord, le contenu de la spore s’est divisé de la façon ordi-
naire par une cloison transversale aa, ce qui a donné
naissance à la première cellule du prothalle et au rudiment
du premier rhizoïde. Mais, au lieu de croître en longueur et
de former un tube en se segmentant par un certain nombre
de cloisons parallèles à aa, le rhizoïde s’allongeant simplement
comme à l'ordinaire, ces deux cellules du prothalle se déve-
loppèrent plus uniformément dans toutes les directions et se
divisèrent d’abord chacune en deux cellules par des cloisons
bb et b'b', perpendiculaires à la cloison de segmentation précé-
dente. Des cellules-quadrants ainsi obtenues, l’une devint le
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 189
premier rhizoïde ; des autres, les deux supérieures se divisèrent
par des cloisons ce et c'e, dont la première, dirigée confor-
mément au principe dit de la section rectangulaire (Sachs),
forma la cellule ecb, qui peut être considérée comme la
cellule apicale du prothalle. La seconde cloison c'e’, parallèle
à bb, mais perpendiculaire à aa, forme deux autres cellules
du prothalle, dont l’une, enfin, par expansion et par produc-
tion de la nouvelle cloison d, donna naissance à un second
rhizoïde.
Quant au second type, celui des filaments juxtaposés, tel
que le représentent les fig. 31 et 32, 37 et 38, je m’en rends
compte en admettant que, tout comme dans le cas précédent,
la première division du contenu de la spore est suivie d’une
seconde division dirigée perpendiculairement ou obliquement,
mais se faisant un peu plus tard, après que les deux pre-
mières cellules (peut-être par défaut de lumière) se sont plus
ou moins développées en forme de papilles, de sorte que les
cellules--filles provenues de la seconde division ne se touchent
plus. Chacune de ces deux parties distinctes du prothalle peut
ensuite, par des divisions successives, parallèles entre elles,
s’allonger en filament et former ses rhizoïdes propres. Il en
résulte des configurations telles que celles des fig. 31 et 37.
Ordinairement, toutefois, l’un des deux filaments est beaucoup
plus vigoureux et plus long que l’autre, asymétrie que nous
retrouverons fréquemment aussi dans des stades postérieurs
des prothalles de Gleichenia. Si maintenant, chez le filament
le plus fort, le processus ci-dessus décrit se répète dans la
seconde cellule, ou dans des cellules postérieures, nous ob-
tenons trois filaments placés l’un à côté de l’autre, comme
le montrent les fig. 32 et 38.
Les filaments peuvent être étroitement rapprochés et suivre
une même direction, comme dans les fig. 31 et 32, ou bien
diverger assez vite, comme dans les fig. 37 et 38. Constam-
ment, toutefois, l’un des filaments prend le dessus sur les
autres en vigueur de développement, de sorte qu’il n’est pas
190 N. W. P. RAUWENHOFF,
rare que celui-ci finisse par rester seul en vie, et que, par
«
suite, l’anomalie initiale du prothalle disparaisse à un âge
plus avancé. Un passage à cet état de choses se voit déjà
dans les fig. 37 et 88. Aïnsi encore, j'ai trouvé des prothalles
dont l’un des filaments avait déjà formé un sommet de quatre
cellules, tandis que l’autre ne comptait que trois cellules,
dont deux, probablement par défaut de lumière, étaient for-
tement allongées. Le cas est le même pour le prothalle épaissi
en corps: chez lui aussi, la forme typique peut reparaître
plus tard, si finalement il se forme un filament, qui continue
à s’accroître normalement.
Au reste, la production de branches latérales, composées
de une ou plusieurs cellules qui d’abord se développent en
papilles, n’est pas rare, même là où il se forme un filament
normal sous tout autre rapport; des exemples en sont fournis
par les fig. 26, 27 et 28, où la troisième cellule du filament
montre, en a, le commencement d’une pareille branche
latérale.
Revenons à la forme typique du prothalle. Après un nom-
bre plus ou moins grand de divisions cellulaires parallèles
entre elles, il se fait, dans la cellule terminale ou apicale
du filament ainsi formé, une division suivant une direction
perpendiculaire à la précédente, par conséquent suivant l’axe
du filament ou parallèlement à cet axe. Il résulte de là que le
filament s’élargit en massue au sommet, où 1l est composé de
deux cellules (voir fig. 30).
Parfois, ces deux cellules filles sont de grandeur égale
(ig. 15 et fig. 5) ou à peu près égale, et il peut alors, comme
dans les exemples cités, se former un quadrant de cellules,
lorsque chaque cellule fille s’est de nouveau divisée de la
manière ordinaire, par section rectangulaire des parois suc-
cessives. Mais ce sont là des exceptions. Ordinairement, les
deux cellules filles en question sont de grandeur inégale et
ont aussi un pouvoir reproducteur différent, de sorte que,
dès l’abord, lune d’elles se fait connaître comme cellule
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 191
apicale. Lorsque la paroi de segmentation qui les a formées
se trouve dans l’axe du filament (fig. 22, 23, 29, 30), le sommet
d’une des deux cellules s'étale davantage et occasionne l’asy-
métrie. Souvent, toutefois, l'inégalité résulte déjà de la situation
de la paroi de segmentation, cette paroi étant parallèle à
l’axe du filament ou faisant avec lui un angle aigu. On en
voit des exemples dans les fig. 28, 37 et 39.
Après cette division, la cellule fille la plus grande ou à
saillie la plus forte est bientôt divisée à son tour, par une
cloison perpendiculaire à la précédente, et il se forme en
conséquence une cellule apicale proprement dite. Ce stade est
représenté dans les flg. 22, 23, 31 et 37.
Parfois, il s’opère alors en outre, dans la cellule située
immédiatement au-dessous de celle dont il vient d’être parlé,
une bipartition par une cloison passant par l’axe du filament.
C’est ce que montrent la fig. 24, où le phénomène a eu lieu
de bonne heure, et la fig. 5.
Lors du développement ultérieur du prothalle on voit se
former, alternativement à droite et à gauche de la cellule
du sommet, des paroïs anticlinales, qui font avec l’axe du
prothalle des angles plus ou moins voisins de 45°, et sont
donc successivement dirigées, en général, à angle droit l’une
par rapport à l’autre. L’ensemble prend ainsi une forme en
massue ou, si l’on veut, en spatule. Les cellules sont ordi-
nairement situées dans un seul plan, c’est-à-dire que le pro-
thalle, là où 1l s'étale à plat, n’est épais que d’une seule
couche de cellules; il n’y a d'exception que pour les filaments
qui commencent sous forme de papilles et se développent
peu à peu en branches latérales, en tant que celles-ci ne sont
pas libres, mais plus ou moins intimement unies avec la
branche principale, comme dans les fig. 19, 25,33 et 35 en «.
On peut se faire une idée nette de la formation successive
des parois anticlinales, en comparant le réseau de ces parois
chez des prothalles sains de la même espèce, mais d’âges
différents. Il y a grand avantage, pour cette comparaison, à
192 ; N. W. P. RAUWENHOFF.
soumettre les prothalles frais à un traitement préalable, de
courte durée, par une forte lessive de potasse. Le contenu
des cellules est alors en partie dessous, et leur ensemble de-
vient par suite très transparent; les parois, au contraire,
restent intactes et tranchent si nettement sur le contenu, qu’en
général les parois plus anciennes se laissent immédiatement
distinguer, par leur épaisseur un peu plus grande, des parois
formées postérieurement. Comme exemples, je citerai pour
Gleichenia rupestris, les fig. 18, 19, 20 et 21, qui représentent
quatre stades consécutifs, et où les divisions successives sont
indiquées par les chiffres 1, 2, 3, 4 etc., tandis que, en outre,
les parois plus anciennes sont dessinées d’un trait un peu
plus épais. Dans la fig. 18 on voit le passage à la forme
plane, s’effectuant par les parois de segmentation obliques
1, 2 et 3, comme le montre aussi, avec de legères modifica-
tions, la fig. 28; mais il n’y a pas encore de division dans
les segments séparés de la cellule apicale. Cette division n’a
lieu que dans la fig. 19, dans la cellule formée par les parois
1, 2 et 5 (elle y est indiquée par la petite cloison w), et en-
tretemps la cellule apicale s’est rajeunie par la paroi 4 Un
stade un peu plus ancien est représenté dans la fig. 20, dans
laquelle, à la vérité, la cellule apicale est encore limitée par
les parois 3 et 4, mais où quelques divisions anticlinales et
périclinales ont déjà eu lieu dans les cellules formées anté-
rieurement. Cela est le cas à un degré encore plus avancé
dans la fig. 21, où les divisions primaires sont, elles aussi,
déjà plus nombreuses et où la cellule apicale est circonserite
par les parois 5 et 6.
Très régulière aussi est la division des cellules chez Gleichenia
circinata dans les fig. 6, 7 et 8. Dans la fig. 6 on trouve cinq
divisions perpendiculaires l’une à l’autre et quelques divisions
secondaires, anticlinales et périclinales. La cellule apicale est
formée par les parois 4 et 5. Le prothalle représenté fig. 7
montre exactement le même processus, dans un stade un peu
plus avancé. La cellule apicale y est limitée par les parois
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 198
.5 et 6, et le nombre des divisions secondaires s’est accru.
Ces progrès sont encore plus accusés dans la fig. 8, où sept
divisions successives ont déjà eu lieu. Une fois, savoir de 3
à 4, il s’est formé ici une paroi parallèle à la précédente.
Dans ce segment on rencontre la première formation de cel-
lules marginales, due à l’apparition de la paroï périclinale r.
Un autre exemple, relatif à Gleichenia rupestris, est donné
par les fig. 39, 40, 41 et 42. Dans la fig. 39 on voit la partie
supérieure d’un prothalle arrivé à peu près au même degré
de développement que celui de la fig. 18, mais présentant
déjà une couple de parois de segmentation secondaires. La
fig. 40 montre la partie supérieure d’un prothalle un peu
plus âgé et de forme plus spatulée, qui s’est développé
assez symétriquement et dont la cellule apicale se trouve
juste au milieu. Dans la fig. 41, au contraire, on a un
prothalle d’apparence plus irrégulière, à cause des branches
latérales appliquées à droite et à gauche contre la branche
principale, maïs dans lequel se laissent pourtant encore dis-
cerner, comme l’indiquent les chiffres inscrits sur la figure,
les divisions primaires. La paroi de segmentation 5 de la
cellule apicale n’est pas, comme d’ordinaire, perpendiculaire
à la paroi précédente 4, mais parallèle à celle-c1. Le prothalle
représenté dans la fig. 42 est déjà plus âgé, et il est plus
difficile d’y suivre l’ordre des divisions successives. La cellule
apicale { est encore reconnaissable, mais, par suite de la pro-
duction de parois périclinales, il s’est déjà formé beaucoup de
cellules marginales et le prothalle montre la transition à la
forme en cœur. Ce prothalle a encore ceci de particulier, que
la forme filamenteuse initiale fait défaut, parce que dès la
seconde cellule il y a eu division dans une direction perpen-
diculaire à la division de la première cellule.
Citons enfin les fig. 33, 34 et 35, qui représentent trois
prothalles de Gleichenia hecisiophylla, mais seulement, en ce
qui concerne les fig. 33 et 34, la partie située au-dessus du
filament. De ces prothalles, celui de la fig. 33 est Le plus jeune.
194 N. W. P. RAUWENHORFF
De l'extrémité du filament naît, outre la partie principale,
une branche latérale composée de trois cellules, qui dans la
figure se trouve en dessous et transparaît vaguement, Dans
l'extrémité claviforme de la branche primaire les divisions
successives ont eu lieu dans l’ordre des chiffres inscrits, et il
est à remarquer que, par suite du développement plus éner-
gique d’une des moitiés (le côté gauche dans le dessin) la
cellule apicale est placée latéralement; ce phénomène, qui
d’après M. Bauke est général chez les Cyathéacées, se pré-
sente donc aussi parfois chez les Gleichéniacées. Le prothalle
de la fig. 34 offre quelque chose d’analogue, mais à un
degré moindre. Ce prothalle, un peu plus âgé que le précé-
dent, a sa cellule apicale limitée par les parois de segmen-
tation 6 et 7, et située (ainsi que celle du prothalle de la fig. 85,
lequel est à peu près du même âge) dans l’inflexion par laquelle
débute le passage à la forme en cœur. Dans l’un et l’autre
prothalle sont aussi déjà formées plusieurs cellules marginales.
Lorsque les prothalles avancent en âge, ils acquièrent de plus
en plus configuration en cœur, parce qu’au sommet le contour
s’aplatit, puis s’infléchit graduellement, à mesure que les cellules
placées latéralement s’accroissent plus rapidement que celles
du sommet et forment ainsi, peu à peu, deux lobes saillants:
I] devient alors de plus en plus difficile, et finalement im-
possible, de déterminer exactement l’ordre de succession des
divisions cellulaires; néanmoins, dans les prothalles normaux,
formés symétriquement, on trouve une alternative régulière
de parois anticlinales et périclinales, suivant le principe connu
de la section rectangulaire, de sorte que le réseau cellulaire
présente des séries d’ellipses et de paraboles confocales, con-
formément à la description donnée, pour d’autres prothalles
de Fougères, par M. Sachs (Arbeiten d. bot. Instituts in Würe-
burg, II, Heft 1 et 2). Il est inutile d’insister sur ce point,
qui a été traité ailleurs itérativement et d’une manière dé-
taillée, et au sujet duquel les prothalles de Gleichenia ne me
paraissent pas s’écarter de ceux d’autres Fougères plus connues.
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 195
D'’ordinaire on admet que, lorsque le prothalle prend la
forme en massue ou du moins la forme en cœur, la cellule
apicale disparaît comme telle et est remplacée dans ses fonc-
tions par des cellules marginales. Cette manière de voir n’est
toutefois pas entièrement exacte, ainsi que M. Prantl (Flora,
1878, p. 531) l’a déjà remarqué à juste titre. Il est vrai que
dans ce stade on ne trouve plus la cellule atténuée en pointe
vers le milieu de l’expansion, et qui, située au sommet de
l'organe, peut être considérée, à raison de la formation répétée
de segments et d’une nouvelle cellule apicale, comme la cel-
lule mère du tissu entier. [ei et au pourtour du sommet,
aussi bien qu’au bord du prothalle, les cellules continuent à
se diviser par la formation successive de parois anticlinales
et périclinales; mais la cellule apicale ne se distingne plus
par sa forme des autres cellules, qui constituent avec elle le
méristème du prothalle, comme l'appelle M. Prantl. Elle se
fait seulement remarquer plus ou moins nettement par ses
dimensions moindres, vu que l’accroissement, comme l’a
montré M. Sachs (1. c., p. 92), est relativement le plus faible
au point de végétation. Aussi voit-on d’une manière très
frappante, chez les prothalles cordiformes de Gleichenia, les
cellules du bord et celles qui les avoisinent immédiatement
devenir peu à peu plus grandes, à partir du sommet (l’échan-
crure), des deux côtés de celui-ci; il en est de même lorsque,
partant du sommet, on examine quant à leurs dimensions quel-
ques séries de cellules dans la direction de l’axe (voir fig. 44).
On trouve en outre, sur cet axe et des deux côtés, un grand
nombre de divisions parallèles au plan du prothalle, Il en
résulte une espèce de coussinet (pulvinule) épais de plusieurs
couches de cellules, qui à droite et à gauche s’atténue et
passe insensiblement aux deux ailes ou lobes membraneux,
formés d’une couche cellulaire unique (fig. 44). Chez les pro-
thalles âgés, ce coussinet, qui à sa limite n’est épais que de
deux cellules, peut acquérir au milieu une épaisseur de 8 cou-
ches de cellules, laquelle s’étend en travers sur une surface
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T, XXIV. 118:
196 N. W. P. RAUWENHOFF.
de 20 cellules, ou même davantage (voir la coupe fig. 84).
Sur ce coussinet se forment, outre les organes sexuels (dont il
sera parlé plus loin), un grand nombre de longs poils radi-
culaires ou rhizoïdes, le plus souvent unicellulaires, colorés
en brun, raides, obliquement dressés et faisant avec la surface
un angle de 45° en moyenne. Ces rhizoïdes, qui naissent,
sous forme de papilles, des cellules superficielles, dont plus
tard ils sont souvent séparés par une cloison transversale,
sont plus nombreux chez Gleichenia que chez la plupart des
autres Fougères, et ils s’y trouvent jusque tout près des ar-
chégones. Ils se voient surtout distinctement lorsque, sous
un éclairage oblique des cultures, les prothalles se placent
perpendiculairement aux rayons lumineux incidents: les rhi-
zoïdes, dont l’héliotropisme est négatif, apparaissent alors
comme autant de colonnes obliques, portant les prothalles.
Quand les prothalles se trouvent dans ce stade, on observe
ordinairement, lors de l’accroissement ultérieur, des étrangle-
ments répétés: ceux-ci sont dus à ce que sur chacun des
deux lobes ou ailes il se forme, une ou plusieurs fois, un
nouveau point de végétation, où la croissance est plus lente
qu'aux deux côtés, tandis qu’en même temps la surface se
plisse ou s’ondule plus ou moins. Si les prothalles peuvent
se développer librement, on constate en outre, surtout chez de
erands individus, une hyponastie très distincte, par suite de
laquelle les bords se redressent et le coussinet proémine de
plus en plus à la face inférieure convexe. Par suite aussi, les
rhizoides sont ordinairement d'autant plus longs qu'ils naissent
plus haut. La fig. 43 éclaircira ce qui vient d’être dit.
Dans ce qui précède, j’ai esquissé la marche ordinaire du
développement des prothalles des Gleichéniacées. En la com-
parant avec celle d’autres familles de Fougères, on trouvera
de la similitude sous beaucoup de rapports, mais aussi, à
d’autres égards, des différences plus ou moins notables. C’est
ainsi que chez les Gleichéniacées, de même que chez la plu-
part des Polypodiacées et chez les Cyathéacées soumises à
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 197
l'examen, il est de règle qu'il se forme d’abord une rangée
de cellules, qui plus tard s’élargit en massue au sommet; de
cette partie élargie se forme ensuite le prothalle cordiforme,
avec son coussinet ou pulvinule situé dans l’axe, le point de
végétation étant placé, non pas obliquement, comme chez
Aneimia, mais symétriquement, comme chez la plupart des
Fougères. Quelques prothalles de Gleichéniacées présentent
toutefois, dès le début, une forme épaissie en corps, analogue
à celle qu’on rencontre chez les Osmondacées; sous ce rap-
port, les Gleichéniacées semblent done montrer un passage
des Polypodiacées aux Osmondacées.
Par contre, les Geichenia n’ont pas au bord du prothalle
les poils unicellulaires, nés d’excroissances en pupilles de
quelques cellules marginales, tels qu’en présentent les pro-
thalles étudiés de différentes familles, par exemple ceux de
Aneimia, Platycerium, Hemitelia, Aspidium, etc.
Mais je juge inutile de m'éterdre ici davantage sur ces
différences plus ou moins grandes. Celui qui veut les con-
naître, pourra les trouver en comparant ma description dé-
taillée de la génération sexuée des Gleichéniacées avec l’his-
toire du développement d’autres Fougères, tracée par différents
auteurs. Il ne faudra toutefois pas perdre de vue que, comme
l’a montré M. Prantl (Bot. Zeit., 1879) et comme l’ont confirmé
mes observations, la forme des prothalles ne dépend pas seu-
lement de l’espèce de la plante, mais aussi des influences
extérieures, de la lumière, de l’humidité, etc. M. Prantl va
même jusqu à prétendre qu'aucun organe végétal n’est, quant
à sa forme extérieure, aussi dépendant des facteurs extérieurs,
que le prothalle des Fougères. Pour avoir des données de
comparaison suffisantes, on ne doit donc pas se borner à
l'examen d’un petit nombre d'objets; il est nésessaire de
démêler d’abord, par l’étude de spécimens ayant crû dans des
conditions variées, la forme typique d’une espèce ou d’un
groupe déterminés.
Lorsque les prothalles des Gileichéniacées sont parvenus au
13*
198 N. W. P. RAUWENHOFF.
degré de développement ci-dessus décrit, les organes sexuels
s’y forment, ou s’y sont déjà formés: tous les deux, anthé-
ridies et archégones, sur le même prothalle, de sorte que
celui-ci est généralement monoïque. Les anthéridies apparais-
sent les premières, et même assez tôt, — d'ordinaire avant
que le prothalle n'ait pris la forme en cœur, — quoique
moins tôt que cela n’a lieu, suivant M. Kny, chez Les Os-
mondacées. Elles naissent en général à la face inférieure du
prothalle, parfois aussi à la face supérieure, mais non pas au
bord, comme chez Osmunda.
La formation de nouvelles anthéridies entre les anciennes,
déjà adultes, se continue pendant longtemps, de même que
sur les feuilles on voit apparaître de jeunes stomates dans
l'intervalle des vieux. Il arrive ainsi, en maints cas, qu’une
partie du coussinet, de même qu’une partie des deux lobes ou
ailes du prothalle cordiforme, soit couverte d’anthéridies à
divers états de développement On les trouve aussi bien entre
les nombreux rhizoïdes qu’au voisinage immédiat des arché-
gones et plus haut que ceux-ci.
Ces archégones, qui eux aussi sont formés successivement,
mais plus tard et en nombre beaucoup moindre que les an-
théridies, se trouvent toujours à la face inférieure, et unique-
ment sur le coussinet, assez près de l’échancrure produite par
les deux ailes du prothalle.
De la forme et du développement des anthéridies et des
archégones il sera traité dans les deux chapitres suivants.
Forme et développement des anthéridies.
Ainsi qu'il a été dit plus haut, les anthéridies, sur les
prothalles filamenteux et claviformes, naissent ordinairement
au bord; sur les prothalles cordiformes, près de la base, entre
les rhizoïdes et en partie aussi sur les ailes ou lobes latéraux:
la plupart à la face inférieure, mais quelques-unes aussi à la
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 199
face supérieure. Elles ont toujours pour origine une cellule
unique, située à l'extérieur. Cette cellule, richement pourvue
de protoplasme à grains fins et de chlorophylle, se voûte
sphériquement vers le dehors, et il sy produit différentes
divisions, dont la marche r’est pas facile à suivre, à cause
de la forme courbe des parois filles.
Par des recherches répétées, faites aussi bien en comparant
des anthéridies à divers états de développement (rendus plus
transparents par l’action préalable de la potasse caustique)
qu’en étudiant au microscope les changements successifs
d’anthéridies vivantes et en voie de développement, placées
dans la chambre humide, je suis arrivé à me représenter de
la manière suivante leur mode de formation.
La cellule mère de l’anthéridie, dont il a été question plus
haut, se divise d’abord, par une cloison ordinairement un
peu inclinée sur la paroi qui la rattache aux autres cellules
du prothalle, et que j’appellerai paroi de base, en deux cel-
lules filles; de celles-ci, l’une, qui est limitée en partie par
cette paroi de base, deviendra la cellule pédicellaire, l’autre
sera la cellule mère du reste de l’anthéridie. Ce stade est
représenté, pour Gleichenia flabellata, dans les fig. 50 et 51 et
dans les fig. 69* et 69**, dont les deux dernières ont rapport
à la même cellule a, observée, dans la première de ces deux
figures, à l’état non divisé, dans la seconde, après la première
division, c’est-à-dire, après la formation de la cellule pédicel-
laire s. Le même prothalle montrait en outre dans la cellule b,
au voisinage immédiat de a, le même processus vu d’en haut.
En comparant cette cellule à dans les deux figures, on aper-
çoit le changement qui à donné naissance à la cellule pédi-
cellaire (dont les parois p et qg sont visibles), tandis que la
cellule bd à pris plus d’ampleur et s’est rapprochée de la forme
sphérique.
Ce mode de formation recoit un nouvel éclaircissement de
ce que J'ai observé et figuré, à cet égard, sur des prothalles de
Gleichenia rupestris. C’est ainsi que la fig. 59a représente une
200 N. W. P. RAUWENHOFF.
cellule vivante d’un tel prothalle, avec une accumulation de
grains chlorophylliens et de protoplasme autour du grand
noyau anguleux *, mais encore sans la moindre trace de
nouvelle paroi; la fig. 59b montre la même cellule quelques
heures plus tard, après que la cellule mère de l’anthéridie
s’est séparée, par une paroi périclinale, de la cellule du pro-
thalle. Elle se trouve maintenant, en apparence, tout au milieu
de cette dernière, qu’elle semble ne toucher qu’en un seul
point ». Cet aspect doit toutefois être interprété de la même
manière qu’on le fait pour les cellules stomatiques bien con-
nues de l’Aneimia, et, de même que chez celles-ci, la coupe ou
la vue en profil peut nous fournir l’explication. Compare-t-on,
en effet, ces figures 59a et 59b avec l’image donnée par les
fig. 51 et 57, on trouve que, lorsque la saillie en mamelon
de la cellule du prothalle est séparée par une paroi parallèle
à la. surface, cette saillie, vue d’en haut, doit se présenter
sous l’aspect ci-dessus décrit, et que, lorsque cette paroi de
base se trouve dans le même plan que la paroi externe des
cellules prothalliques environnantes, il doit sembler qu'un
segment ait été coupé de la cellule en voie de division. C’est
ce qu'on voit, entre autres, dans les fig. 60a et 60b, 62a,
63a et 63b.
Le stade suivant est celui de la formation de la cellule
pédicellaire, qui, vue d’en haut, se présente, dans la fig. 59,
comme une paroi circonscrivant en partie la cellule anthéri-
dienne proprement dite. Les fig. 6la et 61b montrent la
même chose. Cette cellule pédicellaire, ainsi qu'il ressort
surtout de la coupe, est tantôt plus grande, tantôt plus petite
que le diamètre de l’anthéridie proprement dite, et de forme
ici plus tabulaire, là plus cunéiforme, parfois même triangu-
laire sur la coupe (voir les fig. 48, 49, 51—56). De là vient
l'aspect si divers de cette cellule, et même son invisibilité
éventuelle quand l’anthéridie est vue par dessus, comme ce
serait le Cas, par exemple, si dans la fig. 68a l'œil était
supposé placé dans le plan du papier.
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 201
La cellule pédiculaire formée, différentes divisions s’opèrent
bientôt dans la cellule fille située plus extérieurement et qui
entretemps est devenue plus sphéroïde. D'abord il y naît une
paroi qui s'implante presque circulairement tant sur la paroi
supérieure voûtée que sur la paroi inférieure plane, et qui
partage la cellule dont il s’agit en une cellule intérieure plus
ou moins infundibuliforme et en une cellule extérieure, à peu
près annulaire; celle-ci est très souvent, mais non toujours,
coupée transversalement par une membrane à direction plus
ou moins radiaire. Au bout de très peu de temps, la cellule
infundibuliforme se divise, par une paroi rattachée à la paroi
annulaire et parallèle à la base, en deux parties, dont l'ex-
térieure a la forme d’un dôme, l’intérieure celle d’un en-
tonnoir. La jeune anthéridie consiste donc alors en une cellule
annulaire r, une cellule en dôme # et une cellule centrale c,
unie au prothalle par une cellule pédicellaire. Ce stade est
représenté dans la fig. 58, dessinée sur le vivant, et où l’on
voit qu'à ce degré de développement il existe encore dans
toutes les cellules, aussi dans la cellule centrale, des grains
de chlorophylle; ceux-ci, cependant, ont déjà subi quelques
changements: ils sont devenus plus petits et ne sont plus
distinctement amylifères, comme les cellules avoisinantes du
prothalle. La fig. 68b, qui ne demande aucune nouvelle ex-
plication, vu que les lettres inscrites sur les figures indiquent
les parois des diftérentes cellules, est également relative à ce
stade. Il faut y rapporter encore les fig. 61b, 62c (et peut-être
aussi 60 c), qui montrent l’anthéridie vue d’en haut, et les
fig. 47, 48 et 49, représentant l’anthéridie de Gleichenia flabel-
lata vue de côté; à l’égard de ces dernières, toutefois, on ne
doit pas oublier que la forme courbe des parois peut donner à
l’image de l’un et de l’autre côté un aspect différent. Aussi
est-il nécessaire, pour se faire une bonne idée de la structure de
l’anthéridie, de comparer les images qu’on obtient d’un même
objet — rendu suffisamment transparent par l’action préalable
d’une dissolution concentrée de potasse —en mettant l'objectif au
202 N. W. P. RAUWENHOFF.
point pour des profondeurs plus ou moins grandes. La dis-
similitude de ces images ressort clairement, par exemple, des
fig. 56 a, 56b et 566, qui représentent une anthéridie un peu
plus âgée, vue en haut, au milieu et en bas.
Après que, par la formation de la cellule annulaire et de la
cellule en dôme, la cellule centrale s’est trouvée entourée de
tous les côtés, ces différentes cellules continuent à croître,
tandis que la matière colorante verte disparaît peu à peu;
lorsque la turgescence augmente, comme c’est le cas ordinaire,
l'allure des parois peut aussi être plus ou moins modifiée, bien
que dans son ensemble l’anthéridie conserve à peu près la
forme d’une sphère. Ensuite, des divisions ont encore lieu dans
la cellule en dôme et dans la cellule centrale. La première
se partage, par une cloison placée à peu près circulairement
sur sa paroi extérieure voûtée, en une cellule pariétale supé-
rieure et une cellule operculaire; la fig. 52, en a et b, et la
fig. 53 donnent des exemples de cette segmentation. La cel-
lule centrale, cellule mère de tous les spermatozoïdes que
l’anthéridie produit, se remplit d’une grande quantité de pro-
toplasma dense et opaque, qui fait fortement bomber ses
parois; après cela, elle éprouve des divisions répétées. Comme
résultat, on trouve d’abord 2 cellules filles, puis 4, 8, 16 et
davantage. C’est ainsi que les fig. 61 d et 62 c nous montrent
la cellule centrale commençant, avant la formation de la
cellule operculaire, à se diviser en deux cellules filles; dans
la fig. 60 c, il y a même déjà, à ce moment, commencement
de division en quatre cellules Dans la fig. 56 b on voit la
cellule centrale divisée en quatre sur la coupe, et dans les
fig. 62 d, 65, 66 et 67 des exemples de divisions postérieures,
dont l’ordre de succession est indiqué par l'épaisseur des paroïs.
L’aspect des anthéridies presque adultes, mais encore fermées,
est alors tel que le montrent les fig. 34 et 54: toutes les
cellules sont fortement turgescentes et l’anthéridie devient de
plus en plus globuleuse. Finalement, la cellule operculaire
cède, ce qui fournit aux spermatozoïdes, formés entretemps
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 203
dans la cellule centrale, une issue au dehors, si en outre,
comme il arrive habituellement, la rupture de la cellule oper-
culaire occasionne la résorption ou le détachement d’une partie
de la paroi de la cellule centrale. Cette déhiscence des an-
théridies et cette sortie des spermatozoïdes, je les ai fréquem-
ment vues se produire chez les Gleichéniacées, de même que
chez d’autres Fougères, lorsque l’anthéridie mûre venait en
contact avec une goutte d’eau. En quelques minutes, l’ab-
sorption osmotique d’une notable quantité d’eau déterminait
alors dans les cellules pariétales une forte turgescence, par
suite de laquelle ces cellules changeaient de forme et deve-
naient, surtout au côté interne touchant à la cellule centrale,
très convexes. L’anthéridie prenait la forme représentée dans
la fig. 55, et bientôt, après l’ouverture de la cellule opercu-
laire, le contenu de la cellule centrale, c’est-à-dire les spermato-
zoïdes, était expulsé. L’anthéridie ouverte et vidée présentait
alors une forme semblable à celle de la fig. 47 b. La sortie
des spermatozoïdes a ordinairement lieu de la manière sui-
vante: ils passent un à un par l’ouverture et, arrivés au
dehors, se déposent au voisinage immédiat de l’anthéridie ;
entre les passages successifs il s'écoule d’abord des fractions
de seconde, plus tard une ou plusieurs secondes entières.
Alors, seulement, que l’absorption osmotique d’eau se faisait
avec une rapidité exceptionnelle, il s’établissait comme un
courant continu de spermatozoïdes, qui toutefois, même dans
ce cas, restaient parfaitement séparées les uns des autres.
Les spermatozoïdes devenus libres se présentaient comme
de petites cellules, dans lesquelles on remarquait quantité de
points obscurs; d’abord légèrement polyédriques (à cause du
peu d’espace qu'ils avaient eu dans l’anthéridie), 1ls deve-
naient bientôt sphériques par l'absorption d’eau (voir fig.
70 a et b). Au bout de quelques minutes, un changement
manifeste s’opérait dans le contenu; le spermatozoïde se
montrait alors enroulé en spirale dans une vésicule mince et
transparente (fig. 70c, d), tandis que de temps en temps on
204 N. W. P. RAUWENHOFF.
observait un mouvement rotatoire à l’intérieur du petit organe
encore immobile. Enfin, ; d’heure à ! heure après qu’il avait
quitté l’anthéridie, on voyait le spermatozoïde, d’abord len-
temert, puis avec une rapidité croissante, tourner sur lui-
même et simultanément changer de place dans le liquide
ambiant. À ce mouvement participait aussi la vésicule, qui
se distendait de plus en plus (fig. 70e), jusqu’à ce que fira-
lement le spermatozoïde, délivré de cette enveloppe, appa-
raissait comme un petit organe conique pourvu d’un grand
nombre de cils relativement longs (fig. 70 f—i), qui impri-
maient à l’ensemble un mouvement, très rapide, de rotation
et de translation. Quelques spermatozoïdes, non entièrement
adultes probablement, n’atteignaient pas ce dernier stade, maïs
restaient immobiles sous la forme représentée dans la 704,
et ne tardaient pas à mourir.
Forme et développement des archégones.
Lorsque les prothalles des Gleichéniacées ont acquis, de la
manière décrite plus haut, la forme en cœur, lorsque le
coussinet possède dans l’axe du prothalle une épaisseur de 3
ou 4 couches de cellules et que des deux côtés de ce cous-
sinet, de même qu'à sa surface, il s’est formé une quantité
d’anthéridies, on trouve ordinairement aussi, au sommet, les
premières indications d’archégones; ceux-ci se développent
successivement l’un à côté de l’autre, surtout dans la direction
du méristème qui s'étend au sommet, très près du bord de
l’échancrure du prothalle, à la face inférieure de celui-ci.
Chez les prothalles plus âgés, le coussinet a une largeur
considérable et se compose d’un grand nombre de couches
cellulaires, nombre qui diminue peu à peu vers la périphérie,
sauf dans l’inflexion cordiforme, où le coussinet conserve
jusque près de sa limite toute son épaisseur. À cet endroit,
on voit une dense accumulation d’archégones, séparés par des
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 205
rangées peu nombreuses de cellules végétatives, parfois par
une rangée unique, et d’âges différents. En effet, de même
que cela est le cas pour les stomates des feuilles et pour les
anthéridies des Fougères, de nouveaux archégones naissent
continuellement entre les anciens, tant que le prothalle
continue à croître. Cette structure du prothalle se reconnaît
le mieux sur des coupes faites au microtome, après inclusion
dans la paraffine, selon le précepte de M. Mall. La coloration
par la safranine ou par le violet de gentiane augmente beau-
coup la netteté des images et fait immédiatement distinguer
les cellules encore jeunes et leurs noyaux.
La première indication de larchégone consiste dans le
changement d’une cellule de la face inférieure du prothalle,
à l’endroit ci-dessus désigné. Dans cette cellule on voit une
orande quantité de protoplasme très réfringent et un gros
noyau, et la paroi aussi devient relativement épaisse (voir
fig. 71). Par là, cette cellule se laisse déjà distinguer de ses
voisines sur le prothalle vivant, mais mieux encore après un
traitement par l'alcool, la potasse et l’acide acétique. La cel-
lule en question se divise par une paroi parallèle à la surface
du prothalle, et des deux cellules filles ainsi formées l’exté-
rieure & (voir fig. 74) devient la cellule mère du col de l’ar-
chégone, l’intérieure b celle de la cellule centrale. La première
devance l’autre en développement, et on la voit assez vite
partagée par une paroi perpendiculaire à la surface du prothalle.
La fig. 72 représente deux stades de ce processus chez Glei-
chenia rupestris, dans deux archégones se formant sur le même
prothalle, très près l’un de l’autre. En «a on voit le noyau de
la cellule divisé, sans qu’il y ait encore la moindre apparence
de la paroi; en D cette paroi est en partie formée par ce
qu'on appelle la plaque cellulaire, qui en € se rattache à
la paroi de la cellule mère, mais qui du côté opposé ne se
laisse observer que jusqu’à la limite des noyaux. La division
cellulaire paraît donc avoir lieu ici d’une manière analogue
à celle que M. Treub a trouvée chez Æpipactis, Chrysanthemum,
206 N. W. P. RAUWENHOFF.
etc. (Quelques recherches sur le rôle du noyau, etc. Amsterdam,
1878), abstraction faite de la question, soulevée dans les der-
niers temps et résolue diversement, si cette ,plaque” cellulaire
est bien une plaque, et ne serait par plutôt un anneau.
Quand la division est achevée, les deux cellules filles pré-
sentent le même contenu que la première cellule mère du
coi, c’est-à-dire, un ‘protoplasme brillant, très réfringent, à
gros noyau et à paroi cellulaire assez épaisse. C’est ce qu’on
voit par la fig. 73, qui représente ce stade dans l’état de vie,
et par la fig. 75, qui le montre en coupe, après traitement
par l’alcool, la potasse et l’acide acétique.
Dans chacune des deux cellules dont nous venons de parler, il
s’opère bientôt une nouvelle division perpendiculaire à la surface
du prothalle, de sorte que le jeune archégone, vu d’en haut,
apparaît alors composé de quatre cellules formant un quadrant
(voir fig. 76 et 78); les parties de celui-ci, devenues aussi
grandes et parfois plus grandes que les cellules mères, sont,
tout comme elles, pourvues de protoplasma opaque et forte-
ment réfringent, ce qui donne même aux contours des parois
une forme légèrement ondulée, déjà visible dans le stade de
la fig. 73, mais encore plus distincte ici. Peu à peu l’ensemble
de ces quatre cellules fait une plus forte saillie au-dessus de
la surface du prothalle, croît en grandeur et s’arrondit aux
côtés libres, par suite de la forte turgescence. En même
temps, le contenu devient plus transparent et on reconnaït
mieux les noyaux, situés très près du point de réunion
des quatre cellules (fig. 78). On voit maintenant se dessiner
aussi, distinctement (fig. 77), la cellule centrale sous-jacente,
remplie de beaucoup de protoplasma grenu et d’un gros
noyau, cellule qui primitivement était rendue à peu près in-
visible par le contenu opaque des cellules du col, situées
au-dessus Dans la fig. 76, par exemple, on n’aperçoit qu'avec
peine une trace de la cellule centrale, aux angles de laquelle
se rencontrent les limites des cellules qui entourent l’archégone.
Les quatre cellules en question forment les initiales des
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 207
quatre séries de cellules dont sera composé le col de l’arché-.
gone adulte. À cet effet, ces cellules se divisent presque
simultanément, chacune à plusieurs reprises, dans une direc-
tion parallèle à la surface du prothalle, après quoi les cellules
filles s’accroissent principalement dans le sens de la normale
à cette surface. Cela ne se voit bien que sur des coupes faites
à travers le prothalle, telles qu'en représentent les fig. 79,
80 et 81, ou lorsque les jeunes archégones situés sur la
courbure de l’éminence en forme de coussinet viennent, dans
des circonstances favorables, s'offrir précisément par leur
côté à l’œil de l’observateur. La gradation du développement
ressort des figures citées. C’est ainsi que la fig. 79 montre le
stade où les quatre cellules du col se sont divisées une fois
et où les cellules filles se sont déjà allongées dans la direction
de l’axe de l’archégone, bien que la rangée inférieure soit
encore partiellement recouverte par les cellules environnantes
du prothalle 0. Entre les cellules du col on voit transparaître
vaguement la cellule centrale, prolongée en cône vers le haut,
avec son contenu trouble. Un état un peu plus ancien est
représenté dans la fig. 80. Ici les rangées du col consistent
en trois cellules, à parois transversales dirigées un peu obli-
quement par rapport à celles des cellules environnantes du
prothalle, lesquelles ont aussi subi des divisions répétées et for-
ment maintenant le ventre de l’archégone, qui reste caché
dans le tissu du prothalle. Très distincte aussi, dans cette
coupe, est la cellule centrale terminée en pointe conique,
cellule dont le contenu, après le traitement par l'alcool et
la potasse, s’est contracté en forme de boudin. Un troisième
stade se trouve dans la fig. 81, représentation d’un arché-
gone plus âgé, mais pas encore adulte. Le col y est com-
posé de rangées de quatre ou cinq cellules, et toutes ces
cellules s'élèvent au-dessus de la surface du prothalle, par
suite de l'accroissement des cellules ventrales. Les cellules
inférieures des deux seules rangées que montre la coupe
viennent de se diviser, l’une dans la même direction où ont
208 N. W. P. RAUWENHOFF.
- eu lieu les divisions antérieures, l’autre dans une direction
perpendiculaire; je regarde cette dernière comme une petite
anomalie, vu que les archégones adultes, dont j'ai examiné
des centaines, ne contiennent ordinairement qu’un col d’une
seule couche de cellules. On voit distinctement aussi le canal
du col, déjà existant mais encore fermé, lequel canal résulte
de l’écartement des séries de cellules dans l’axe du col, là
où elles se touchent. Dans le canal on trouve de petites
masses mucilagineuses ayant l’aspect de grumeaux de plasma,
et en nombre ordinairement égal à celui des cellules composant
la série qui limite le canal. Ces grumeaux se déplacent et
parfois confluent entre eux. Dans la cellule centrale, le con-
tenu dense et trouble est plus on moins contracté.
Lorsque l’archégone est adulte, les quatre rangées de cel-
lules du col s’éloignent progressivement l’une de l’autre au
milieu, et une petite portion du mucilage qui se trouvait dans
le canal en sort au moment où celui-ci s’ouvre. Ainsi est
frayé aux spermatozoïdes un chemin convenable, humide, pour
arriver à l’oosphère. Lors de la fécondation ou un peu après
ce processus (au sujet duquel je n’entre dans aucun détail, ne
l'ayant pas observé moi-même chez les Gleichenia), et pareïlle-
ment lorsque la fécondation ne s’opère pas, les deux rangées
supérieures des cellules du col se recourbent en dehors, en
même temps qu’elles se séparent partiellement l’une de l’autre ;
il en résulte que dans ce stade le col se présente vu de
côté, comme une ancre à quatre bras, vu d’en haut, comme
une croix à bras égaux. Bientôt ces cellules meurent, elles
se dessèchent, brunissent et finalement se détachent. Lorsque
la fécondation n’a pas eu lieu, comme c’est le cas pour la
grande majorité des archégones, le dépérissement et la colo-
ration en brun ne restent pas bornés au col, mais l’oosphère
avec son contenu et fréqnemment aussi le ventre de l’arché-
gone deviennent bruns, ce qui les fait immédiatement recon-
naître à la loupe.
En cas de fécondation, le col se dessèche et brunit au bout
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 209
d’un temps plus ou moins long. Parfois il paraît se détacher,
comme dans les fig. 85, 86 et 87; mais, par contre, en trouve
aussi des états beaucoup plus anciens, tels par exemple que
celui représenté fig. 91, où le col brun tient encore, bien
qu'il se soit déjà formé une jeune plante avec racine et petite
feuille. Constamment, toutefois, la cavité ventrale est fermée,
après la fécondation, par l’affaissement des cellules inférieures
du col, et alors commence, tant dans le ventre de l’archégone
que dans l’oosphère elle-même, une phase de nouvelle croïis-
sance. Les cellules qui limitent l’oosphère se divisent itéra-
tivement, et ce n’est que maintenant qu'elles se différencient
comme ventre de l’archégone, qui reste toujours caché dans
le corps du prothalle et dont le développement marche d’abord
du même pas que celui de l’oosphère. Ce phénomène se laisse
bien voir surtout lorsque les coupes au microtome du pro-
thalle préalablement durei sont examinées, après coloration
par la safranine ou par le violet de gentiane, à un grossisse-
ment suffisant. J’ai en outre reconnu ainsi chez Gleichenia
la particularité remarquable, déjà décrite pour Vattaria par
M. Goebel (Annales du jardin bot. de Buitenzorg, vol. VIT, p. 87),
que sur un même prothalle deux archégones peuvent être
fécondés et par suite deux embryons se développer. La fig. 87,
qui représente une partie de la coupe de Gleichenia dicarpa,
obtenue au microtome après durcissement, en donne un exem-
ple ; la coloration par la safranine y fait remarquer au premier
coup d’œil les deux embryons placés l’un à côté de l’autre.
Les coupes faites de la manière indiquée montrent qu’a-
près la fécondation l’oosphère, de même que chez d’autres
Fougères, se divise d’abord en deux cellules filles, dont la
paroi de séparation n’est pas située dans l’axe de l’archégone,
mais un peu obliquement. Ces deux cellules filles se biseg-
mentent ensuite à leur tour, par de nouvelles cloisons perpen-
diculaires à la première. Aïnsi se forme un quadrant, plus
tard un octant, etc, et peu à peu l’embryon devient un
corps globuleux, à petites cellules, dans lequel, comme le fait
210 N. W. P. RAUWENHOFF.
voir la fig. 86, la cellule triangulaire du sommet de la racine
est la première à se différencier nettement.
Pendant que tout cela se passe, le ventre de l’archégone,
où l'embryon se trouve encore enfermé, à lui-même grandi
considérablement. Les cellules dont il est composé possé-
dent de gros noyaux, une large quantité de protoplasma et
des parois relativement minces. Elles se divisent plusieurs
fois dans une direction normale à la surface du ventre, et
une fois, en outre, parallèlement à cette surface; il en résulte,
ce qui à ma connaissance n’a pas encore été observé chez
d’autres archégones de Fougères, que la paroi du ventre con-
siste en deux couches de cellules (voir fig. 85, 86 et 87),
phénomène en rapport peut-être avec la longueur du temps
pendant lequel l’embryon et le ventre de l’archégone restent
dans le prothalle et sont nourris par lui. Au cours de son
. développement ultérieur, toutefois, l'embryon finit par per-
forer la paroi du ventre et le tissu du prothalle ; les cellules
desséchées de l’archégone et de son voisinage immédiat con-
tinuent pendant quelque temps à entourer la base de la racine
et de la feuille, tandis que les sommets de ces organes, ap-
parus à l'air libre, s’accroissent en directions opposées. À
l’origine, l’un et l’autre sont encore nourris par la partie
vivante du prothalle, avec lequel une partie de l'embryon
conserve longtemps une union intime. Ce stade est représenté
dans la fig. 91.
Finalement, la prothalle dépérit peu à peu et la jeune
plante pourvoit alors elle-même à ses besoins. Sur la racine
primaire naissent des racines latérales, et à côté de la feuille
primaire, dont la durée de vie est limitée, il se forme suc-
cessivement, quoique lentement, de petites feuilles un peu
plus composées, ainsi que cela est le cas aussi chez d’autres
Fougères. Je n'entre toutefois dans aucun détail à ce sujet,
n'ayant pas l'intention, dans le présent travail, de décrire
aussi la génération asexuée des Gleichéniacées.
J'ajouterai seulement une couple de remarques, faites à
LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES, 211
l’occasion de l’examen des susdites coupes de la jeune plante,
remarques relatives à la division des cellules aux points de
végétation. En premier lieu, on trouve que le sommet croît
par une cellule apicale triangulaire (voir fig. 88), dont se
séparent des segments réguliers, qui ensuite se divisent, par
des cloisons de segmentation perpendiculaires entre elles,
en un nombre de cellules. Les segments successifs (indiqués
par des chiffres dans la figure) sont ici faciles à reconnaître.
En second lieu, la coupe longitudinale menée par le sommet
de la racine (fig. 89) nous apprend qu'ici, de même que chez
d’autres Fougères, les parties nouvelles sont formées par une
cellule apicale tétraédrique, continuellement rajeunie, qui sé-
pare des segments latéraux et un segment apical, donnant
naissance aux différentes parties de la racine et à sa coiffe.
Ces segmentations cellulaires, d’ailleurs connues depuis long-
temps et fréquemment décrites, ont de nouveau attiré l’at-
tention dans les derniers temps, à la suite des observations
de MM. van Tieghem et Douliot, publiées dans les Ann, d.
sc. nat. 7e Série, T. VIII, p. 382, observations qui ont con-
duit à un résultat différent de celui, généralement admis jus-
qu'ici, auquel étaient arrivés MM. Nägeli et Leitgeb. Ceux-ci
avaient trouvé, en 1868, par une série de recherches, que
les segments latéraux de la cellule apicale de la racine for-
ment l’écorce, le cylindre central et l’épiderme, tandis que le
seoment apical de cette cellule n’engendrerait que la coiffe
de la racine. MM. van Tieghem et Douliot, au contraire,
après une étude non moins détaillée, affirment que, confor-
mément à ce qui à lieu chez les Phanérogames, les trois
segments latéraux de la cellule apicale ne fournissent que le
cylindre central et l’écorce de la racine, de sorte que le seg-
ment externe produirait l’épiderme et la coiffe, laquelle serait
donc à considérer comme une portion de l’épiderme. Mon
étude de la jeune racine de Gleichenia me porte à conclure
que, pour cette famille de Fougères, l'opinion de MM. Nägeli
et Leitgeb doit être maintenue; c’est ce qui ressort, entre
ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 14
219 N. W. P. RAUWENHOFF.
autres, de la fig. 89, fidèlement dessinée d’après nature en ce
qui concerne les dimensions et l’arrangement des cellules, et
dans laquelle on peut suivre complètement, sans autre ex-
plication, la formation des