age Pur hs © [4 à é Tasse (2 MECTIE à + 4 6 k ts DCS A ah, … r «+ ë : 3, : : € 4 4 nv tt “ 6. : s-. À 4 EL. +. OL Pa CRE C1 D À .. . *. É L v ” EA ù © ; où . on ” de | > «4 i LR? :, CEE ‘€ - à QI Hl n : 4. L 41 . 1 a LE ” C4 5 à 4 ut à LL CEA œ.r 3 “à - » +4 Li Le : + ï 1 1 = D'ILC L * - L Yi ” L L2 4 4 «dt … Qi y. À ce) LE Li + 1 on D CO L . a «te n CE LE] q 1] LL M. Mr roc ONCE A6 à: : ù 1 ms : “ ; CLR CRAN A a A \ A Li À, 8 44. À fa Ke 4. & L ets ind fifa an) LA AA NA 4 à JURA À ORACLE ER A Meta à AN 44e 4 don KR is dr LA 2 RULES gra) Rd y ed ‘ | « \« \« ‘4 CELTTENT: 4 UN W E à he 1% A 1 }. : \ MA Ua «: CPC 9 w ÿ 4 À LALX, CICR CE Ps LAC HARAS" FE je : , | 4 L 1 PL 1e dé UMà'le Most Æ à]: CERL EME RILTE RE ea PE à , 6 à 6-0. 0 1,4 4 À RE KT" en $ ee PE PA “LAS: HECRRE 2 W ete 4 ME 4 AA AN GA à 4 DRTER RE ; oi" Pie ae Ta Rs SAUAX MRAALEKN CERETER REARE £2 LM 14 Et * hu 1 SIN Ge Fæ «id wi 4 dati LU Ne 9244 G L AUD 44 MANIA MANL TN SES 7e r 1auus dune £e » Let LR # LA CR ! A B l { ; LORIE Ja ta à La 2 Dir di . ARR REA HE A1 4 À ARR : RAR AA d À “ CR RE x dau M4 he te Ce ca sun DR AROCION à “ CE Ÿ 4,0 4 ’ Den di EE L * 4 "y d D LA APE ln ! ART FFEREE a 7" L Le e L. CSL PE RD à ELA R te We 44 : OUR DU e EAUX re & à 3 . ‘ DES ATM F 4 USE YHLR ! i » Y 4 LM : AÇAT: Fat ONE) d 4 LU a UPS 54 Was 4, À. 4 > 43 Ÿ Cale 4 L À L x, ra Là. VER. FA ALETE 7 este #12 Et 4% re SA RE ar À LE LATE HER à NU # Rue 4! 1 N,7.5 CARE à Var SRE CSA | £ a COHEN NE | # ; CH RE: À : 134 an RE (re > (sad LA L , LÉ CRC à he 8e É 2 : 4 dx SAN SEX + RAR CRE Le OC ECA ADN A LÆr " ; 44, 144 ARE LUS RTC RATE : } ar | 1 ( LES CAR Ne : dr Le Wu + 4% ;s : RM MERE LA sn À À ACL S 4 Mirti È fr: D aps De. : RAR EARANALLARES 6,# 1 K Ce +" Pi J , DORE RARE DER # EX 4 RU Un « PAPA PAP LPE 7 4 ' Sa 4 8 dun à à 5 HAE CRC ACR GRR APE IC Pr fre 1] 14 CHOC EP or Ki x LA RAS " HUE don SAT UT ‘ à à sr & 4 ‘ 4 Ts AC RAC LC NE SEE PSC CE PCT NE 4 + “4 % 1e Y RAS CESR ARR Ur À à LA : AA (PIE Au 4,5 FER pi : ea; ù PA S à ACC NOCES LCU A LCR . ë NN PL + L | “ . 1 ee LH ACEI 4 Ca LUC La « . L'EAU LAREUR ‘ “ [] hi UX De CODE ‘ " ÉLENANL RARE ; A 4 dé LUNA ET LS à ‘4 ASUS SUN HUE À ” « 4 A 4 CALE ON A « à 524 4 À. 4-6 458 D 9-4 USA 28 Gt LCA # DRE OO MAC CNE RE PhD 5 is A 4 D 4 08 Ci 44 4 9 d'HodÇel à Rue LAACIAE . 4h DOORCAROR RUE DEL : ACT CE LLAR À À 4 PRO À 4 0e LATE # Shell. à 4 (1 CR n + AA Ah is + Gove LR À $ ñ " 4 *: Ê & dis 4 CR # A # vs L 4 A ' C ci LAN AURA CEGYR Ur À d'a y 44 CE AUCRAREr À) RCE , . A ., . ONERAARELZ 14 À ' ÿ * sud 4 np \ Ü \u« . " . LAC . 6 4 ñ À n \ CLR: ' A AU vw À an «4 QUEUE) 14m meet à i Pl LAURE] 4 4 À où À UM À 4 + 4 x C'ACAEC ERP RUN dira LA "A444% . ame à 0 À A 4 à Gr dj 5 Au 208 don M AU 4 GE it DU NW eo ee be à DU %, “4 4 CC RAC ON Atvot4 18 US 4 de « en ds . ‘à à , dun 4 6 à 4 A4 .# 4 . N LE RC OR CRC NECR ER APE SCC VEN 1 A SAUNA UE 4 À A à NÉ à OR AN M NN NN RS 4 0 + ' à ù 4 CRE! 1 4 shimoisanmns ah C4 08 dl Bd mt à ue 4 4 4 0 ie 1 Ce EN ee * ' ‘ , Mundi 4 don mA A D EN NE A Mr à 6 Non D a À HR à 4 FR + ts ù \ , t L'ORTUR RUE EC OL R'ACRTRLSCE CUS CE US Para us | * URL, A A MALLLE CARCLREREEE { 4 " 544% . t Int NU 5 uù à f RAA, i« + ‘ #“ à à das dan NU h , À Wu, À “ ‘u 4 RARE NTM UN ART UNS L RALRARRE, ” “" i Add4s dus “" su ist nre LE tu st4u HNMENE RARLTLRLERILLT) CRC often à à 41 44 ns Et m7 : 1 dx CEUNET. COR LON TN" “ . dy RD 1.) M4 4 à iTéné . d'a À wa 4 140% CR D “td «4 ua u ji 4" s.4 vol 4. w + ‘ RRETENELINTEOLTEIT du “ts. da CRE tu ‘ ‘ Un 64 do dm à 5 à 4 ll A \4 tte 4ANAS GA CARO AN AN À 664 % at à «ù ‘ .« ' à AUS 4 At nat de dr 14 Ÿ 4 4 J'ÉAUANER LE RAS Kobe Li ' \ ua 4 44 MO 4 EAN rt ON CURE où MS 9 DL he GO A ASE Ne NE 4 + 06 4 PANNES à OUR E ARABIE CRC RCE OUR CES 0 1 CILRRCR AIO + ; ve * - n use u 4 04 6 à à M4 nn dont à 1 6 0 4 4 41% \Tuarinc l «44 te LP] en CE! 0 “ (4 4 Vo 0 À 400 À € À 06 à 8 0 À dr CRE LT Abd u ut où 1,4 CR OO CCE dE) a MA don 4860 CAN ARR RRREAUICAE RCE: # . 14m4is ‘ (RECRUE M AM 4e € M 8 M F6 A M À 6 6 Ce À 4 GA 4 GE de QAR MR NUE AU NS RAS 4 EC: OL CU “éd ME 4.6 à ox UN ST OON A Mtet À € Geste Cooe de M0 mA 416 War { ‘ . 10,14 À did en dudle Ju 106 GA du EU A4 ERA 400 à 0 RU re 4 4 AU es 4 "+ E (ut 4e told andd os Add DANCE RER ALIEN EN DUR CU ROUE QUEUE ET | L " ‘4 ” 4 404 4% CRE RE RAR RU RATR ES NRA NT) sta . ‘a titan stunt È + tds sn tm todun Na à 1 ' : td. : 144 QE RL E no RERARELLERRALLE » FU Qx EURO NAN ACEC 6. AY] 0 da tps 4 CALE + EURE LALEE PRO NEP | AMI M A Li i V4 NS [x 1e 7 * AE sv “4 + EL re n QUE AU RUE LOROC exe LS « Ne LE? 4 4. dr À Lans due 454 4 RERETAENTERCRETETICUE A 4 & « Ait stiu te LU AURA NU AN DA 0 NM Re md 6e U HU Wan du BAM A LUS ATX 06 à ‘ ù v MAUtS 4 L 440 dope 4 44 “ Cu MARCEL ENA) CAP LTAL PRTAURT ' 144 rit FD +017 RRARRERESLE RER ENURUTE LU de mé à L'an 1 « \ton 14% NVLLTN) A DR MNT CEUTRNENTEUNAE ‘« ‘4. tan ‘4 40 qu Ligne s Dot . ‘a ‘ie 15044110 144644440604 Ana 4 448 à . " \ « : “ 1. 1154 da À + PAT Ne Le Li Dé O2 ë ARCHIVES NÉERLANDAISES SCIENCES EXACTES ET NATURELLES PUBLIÉES PAR LA SOCIÉTÉ HOLLANDAISE DES SCIENCES à HARLEM, ET RÉDIGÉES PAR PS OISS CA, Secrétaire de la Société, AVEC LA COLLABORATION DE MM. D. Bierens de Haan, C. A. J. A. Oudemans, W. Koster, C. K. Hoffmann et J. M. van Bemmelen. HARLEM. ERS HÉRITIERS' LOOSJES. 1891. LAN BRENT À 1! ve 4 L TABLE DES MATIÈRES. Programme de la Société Hollandaise des Sciences pour l’année 1890. M. J. D. van DER WaAaLs, Théorie moléculaire d’une substance composée derdeux Matières diférEnteSs 4... eee cc D. J. KoRTEWEG, Sur les points de plissement . ................ F. J. vAN DEN BERG, Quelques formules pour le calcul des nombres de Bernoulli et des coefficients des tangentes. ............... ECACoSrERUS, -Pélories du/viola ricolor "4.0.0... 0 J.-C. CosTERUS, Staminodie de la corolle dans l’Erica tetralix.... N. W. P. RAUWENHOFrF, La génération sexuée des gleichéniacées . H. W. BakHuIs ROOZEB0O0M, Sur les relations entre le sulfate thorique anhydre et ses hydrates, et sur les phénomènes de ralentissement dans l’hydratation et la déshydratation de ce sel HuGo DE VRIES, Sur un spadice tubuleux du peperomia maculosa. HuGo DE VRIES, Sur la durée de la vie de quelques graines .... M. W. BEvERINCK, Cultures sur gélatine d'algues vertes uni- ME TES RE DECO ET ES / [4 II TABLE DES MATIÈRES. D. J. KoRTEWEG, La théorie générale des plis et la surface y de van der Waals/dans le castde symétrie." "CREEPETPREREE Page 295. M. W. BEYERINOK, Sur l’aliment photogène et l'aliment plastique des ‘bactéries lumineuses 70e es OO RENE r 309. Et ÉTÉ dd Sd SD Se tm PROGRAMME DE LA Société hollandaise des sciences, à Harlem. ANNÉE 1890. La Société hollandaise a tenu, le 17 mai 1890, sa cent- trente-huitième assemblée générale. Le Directeur-Président, Jhr. J. W. M. Schorer, dans son discours d’ouverture, rend hommage à la mémoire des mem- bres que la Société a perdus depuis sa dernière réurion gé- nérale: MM. J. H. Fijnje van Salverda, C. H. D. Buys Ballot, G. C. Cobet, M. F. A. G. Campbell et G. F. Westerman, puis il souhaite la bienvenue à MM. H. Kamerling Onnes et H. W. Bakhuis Roozeboom, qui assistent pour la première fois à une séance de la Société. Dans l’année écoulée, la Société a publié: Archives néerlan- daises des sciences exactes el naturelles, Tome XXIII, livraisons 3, 4 et 5, et Tome XXIV, livraison 1ère. Les livraisons 2 et 3 de ce dernier tome sont sous presse et paraîtront con-. jointement. Le troisième Tome des Oeuvres complètes de CHRISTIAAN HuyGEns est imprimé en majeure partie. L’achèvement en à été retardé par le désir de comprendre dans le Supplément une correspondance, jusqu'ici inconnue, de Léopold de Médicis II PROGRAMME 1890. et de Boulliau, correspondance découverte l’an dernier dans la Bibliothèque nationale de Paris et relative à l'invention des horloges à pendule. Au printemps de 1890, le Secrétaire de la Société s’est rendu à Paris pour continuer les recherches et collationner les copies déjà obtenues. Le retard qui en est résulté sera, on l'espère, amplement compensé par l’intérêt des nouveaux documents. Entretemps, a été continuée la préparation du Tome qua- trième, dont quelques feuilles sont déjà tirées. Après avoir rappelé que, conformément à la décision prise par l'assemblée générale précédente, une Commission avait été chargée d'émettre un avis sur l'emploi à faire, dans Pin- térêt des progrès de la Physique, d’une subvention accordée par les Directeurs, le Président donne la parole à M. Kamer- lingh Onnes, pour la lecture du Rapport de la Commission. Le Rapport conclut à composer et à publier, en prenant pour base la théorie de M. van der Waals, un recueil systématique de données expérimentales pouvant servir au DS contrôle et à l’extension de cette théorie, et indiquées par DS une Commission qui sera nommée à cet effet. Cette proposition est adoptée à l’unanimité des voix. MM. C. H. C. Grinwis, H. A. Lorenz et EH. Kamerlingh Onnes font successivement leur rapport sur un Mémoire envoyé en réponse à la question de concours inscrite sous le n°. VI au Programme de 1890, et dont voici l’énoncé: ,On demande une étude, expérimentale ou théorique, éten- dant sous quelque rapport notre connaissance des phénomènes _de l’électrodynamique et de l'induction.” Conformément à l’avis unanime des juges, il est décidé de ne pas couronner ce Mémoire. L'assemblée arrête finalement quelques nouveaux sujets C1 PROGRAMME 1890. III de prix et nomme membres nationaux de la Société: MM. K. Marin, à Leiden. | J. H. vax ’T Horr, à Amsterdam. M. J. De Gone, à Leiden, et M. W. BEvyeriINCK, à Delft. QUESTIONS MISES AU CONCOURS, Jusqu’au ler janvier 1891, I. La Société demande des recherches sur la part prise par les bactéries à la décomposition et à la formation de combi- naisons azotées dans différentes espèces de terre. II. Etudier au microscope la manière dont différentes parties végétales peuvent s'unir l’une à l’autre, et en particulier les phénomènes qui accompagnent la guérison après les opérations de la greffe par scions, par œil et par approche. III. Ecrire, pour une période dont la durée ne soit pas trop courte, une histoire des sciences mathématiques et phy- siques aux Pays-Bas septentrionaux, dans le genre de l’ouvrage de Quetelet: Histoire des sciences mathématiques et physiques chez les Belges. IV. Donner un aperçu critique des opinions régnant au sujet de l’isomorphisme, et chercher à dissiper, par quelques recherches propres, l’incertitude qui résulte de la divergence des vues actuelles. ; V. Le sable des dunes et celui des bouches fluviales de la côte ouest de la Néerlande contiennent probablement, outre les grains de quartz, des détritus d’autres minéraux peu altérables. Rechercher la nature de ces minéraux, et faire connaître, autant que possible, la différence entre le sable de rivière et le sable des dunes, à la fois sous les rapports mi- néralogique et physique. VI. Faire une étude anatomique comparative des glandes sexuelles accessoires chez les mammifères. | IV PROGRAMME 1890. VII. Déterminer pour un ou plusieurs sels, hydratés et anhydres, la chaleur dégagée lors de leur dissolution dans l’eau, en étendant ces déterminations jusqu’à la plus forte concentration possible et à différentes températures. VIII. On demande des recherches quantitatives sur la décomposition de l’eau ou d’autres liquides par des décharges électriques disruptives, opérées à l’intérieur ou à la surface du liquide. Jusqu'au 1er janvier 1892. I. Déterminer expérimentalement, pour une ou plusieurs matières, l'influence que la compression, dans la direction de la force électromotrice et perpendiculairement à cette direc- tion, excerce sur le pouvoir inducteur spécifique. IT. Pour une nouvelle réduction des observations stellaires faites par La Caille au Cap de Bonne-Espérance et consi- gnées dans son Coelum stelliferum australe, il est nécessaire de connaître avec précision la forme des micromètre réticulaires dont il s’est servi. Pour l’un d’eux, la forme a été déterminée par Fabritius, dans sa dissertation: Untersuchungen uber La Caille’s reticulus medius, Helsingfôrs, 1878. La Société demande: 1° la détermination, aussi exacte que possible, de la forme des autres micromètres réticulaires em- ployés par La Caille; 2° la détermination, aussi exacte que possible, des positions que ceux-ci et le reticulus medius avaient pendant les soirées d'observation, en sorte qu'il soit facile de dresser des tables permettant de calculer d’une manière simple, au moyen des observations, les valeurs apparentes de l’ascension droite et de la déclinaison des corps célestes. À titre d'exemple, une pareille table devra être donnée pour chacun des micromètres en question. On signale à l’attention des concurrents le travail publié par M. Powalski dans le Report of the United States Coast Survey, 1882, et celui de M. Gould, Astronomical Journal, Vol. IX. ITT. Pour le calcul de l'influence que le volume des molé- PROGRAMME 1890, 4 cules exerce sur la pression produite par un gaz, M. van der Waals a donné une formule dont l'exactitude est suffisante tant que la densité reste assez petite. Il importe de posséder aussi une semblable formule pour des états de densité plus srande. La Société voudrait donc voir calculer, dans une forme rigoureuse et pratiquement utilisable, la pression d’un système de molécules sphériques égales, parfaitement élastiques, incom- pressibles et lisses, ayant comparativement à leurs distances mutuelles une grandeur quelconque, n’agissant les unes sur les autres que lors du choc, et douées d’une force vive déterminée. IV. Réunir et discuter, d’une manière aussi complète que possible, les résultats que l’expérience a fournis au sujet du rapport existant, chez les corps transparents, entre la densité et la composition chimique, d’une part, et l'indice de réfraction, d'autre part. V. Etudier par la voie expérimentale, pour un métal autre que le fer, la modification que la magnétisation produit dans l’état de la lumière réfléchie. VI. Décrire les méthodes employées pour obtenir et fixer de nouvelles variétés chez les plantes cultivées dans les champs et dans les jardins VII. Faire des recherches exactes sur le rôle que les bactéries remplissent dans la filtration des eaux potables à travers une couche de sable. La Société recommande aux concurrents d’abréger autant que possible leurs mémoires, en omettant tout ce qui n’a pas un rapport direct avec la question proposée. Elle désire que la clarté soit unie à la concision, et que les propositions bien établies soient nettement distinguées de celles qui reposent sur des fondements moins solides. Elle rappelle, en outre, qu'aucun mémoire écrit de la main de l’auteur ne sera admis au concours, et que même, une médaille eût-elle été adjugée, la remise n’en pourrait avoir VI PROGRAMME 1890, lieu, si la main de l’auteur venait à être reconnue, entre- temps, dans le travail couronné. Les plis cachetés des mémoires non couronnés seront détruits sans avoir été ouverts, à moins que le travail présenté ne soit qu’une copie d’ouvrages imprimés, auquel cas le nom de l’auteur sera divulgué. Tout Membre de la Société a le droit de prendre part au concours, à condition que son mémoire, ainsi que le pli, soient marquées de la lettre L. Le prix offert pour une réponse satisfaisante à chacune des questions proposées, consiste, au choix de l’auteur, en une médaille d'or frappée au coin ordinaire de la Société et portant le nom de l’auteur et le millésime, ou en une somme de cent-cinquante florins; une prime supplémentaire de cent-cin- quante florins pourra être accordée si le mémoire en est jugé digne. = Le concurrent qui remportera le prix ne pourra faire im- primer le mémoire couronné, soit séparément, soit dans quelque autre ouvrage, sans en avoir obtenu l’autorisation expresse de la Société. Les mémoires, écrits lisiblement, en hollandais, français, latin, anglais, italien ou allemand (mais non en caractères allemands), doivent être accompagnés d’un pli cacheté ren- fermant le nom de l’auteur, et envoyés franco au Secrétaire de la Société, le professeur J. Bosscxa, à Harlem. ARCHIVES NÉERLANDAISES Sciences exactes et naturelles, THÉORIE MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE COMPOSÉE DE DEUX MATIÈRES DIFFÉRENTES, PAR M. J. D. VAN DER WAALS. Dans la séance du 28 février 1889 j'ai communiqué, à l'Académie des Sciences d'Amsterdam, une théorie moléculaire d’un mélange de deux corps et fait connaître quelques ré- sultats auxquels elle m'avait conduit. Comme elle em- brasse un champ très étendu et que mes recherches sur plusieurs points spéciaux ne sont pas encore terminées, il pourra s’écouler quelque temps avant que je sois en mesure de traiter ce sujet d’une manière complète. C’est pour sa- tisfaire à la demande de la Rédaction des , Archives néerlan- daises” que je vais tracer ici les principes de la théorie et en développer quelques conséquences. Pour déterminer complètement l’état d’une substance unique la théorie moléculaire exige que l’on connaisse : 1°. la pression qu’une quantité donnée de la substance, à volume et température donnés, exerce contre les parois du vase qui la renferme, lorsque la substance se trouve en phase homogène ; 2°. les phases qui peuvent coexister, ainsi que les condi- tions qui déterminent l’état stabile ou labile des phases ho- ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 1 2 M. J. D. VAN DER WAAIS. THÉORIE mogènes, conditions qui se rattachent à celles de la coexis- tence des phases différentes. La première de ces données s’obtient au moyen de consi- dérations basées sur les propriétés des molécules, savoir leur mouvement, leurs dimensions et leur attraction. Les données nommées en second lieu se déduisent au contraire de considé- rations appartenant à la théorie mécanique de la chaleur. Il est vrai qu'on à réussi à déduire de la théorie kinétique la condition qui doit être remplie dans la coexistence des états liquides et gazeux d’un même corps, mais cette déduction ne présente pas le même caractère d’évidence et de généralité qui est propre à la démonstration thermodynamique. La théorie moléculaire d’un mélange de deux substances exigera également la connaissance de la pression dans chaque phase homogène, à une température quelconque et pour toute proportion donnée des deux substances. Maïs ici, plus encore que pour un corps simple, il sera nécessaire de pouvoir dis- tinguer entre les phases stabiles et labiles et de déterminer quelles sont celles qui peuvent exister en même temps dans un même espace. La première de ces relations se déduira de nouveau des propriétés moléculaires de mouvement, de dimensions et d'attraction. Dans cette dernière cependant, on aura cette fois à considérer non seulement l'attraction réciproque des molé- cules de la même substance, maïs aussi celle de molécules de substances différentes. La seconde relation devra être em- pruntée de nouveau aux lois de la théorie mécanique de la chaleur. $ 1. Relations entre p, V, T' et zx. En admettant pour une substance unique la formule CE EE ee iQ 1 EE ns pa 0 SIEMENS 1) Dans une thèse défendue, en 1873, devant la faculté des Sciences de l'Université de Leide, M. van der Waals a montré que l'expression analy- MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 3 SJ on peut conclure à une loi pareïlle pour un mélange binaire de composition invariable. Seulement, les constantes a et b, dont la première dépend de l'attraction, la seconde des di- mensions des molécules, devront être remplacées par d’autres, ax et b;, variables selon les propriétés des substances eb se- lon la proportion dans laquelle ces substances se trouvent mélangées. tique de la courbe isotherme d’un gaz, OU del doit être remplacée par la suivante: (r+%)e6—0 =R7, lorsque l’on veut tenir compte de l’attraction réciproque des molécules ainsi que des dimensions des molécules. Il a fait voir d’abord, que les considérations, par lesquelles Laplace a réduit l'effet de l'attraction moléculaire à une pression normale exercée sur la surface d’un liquide, s’appliquent également aux corps gazeux et que, par conséquent, à la pression extérieure il faut ajouter celle due aux attractions réciproques des molécules. Cette dernière, étant proportionnelle au LA = L4 s œ carré de la densité, peut s'exprimer par —. v Quant à la dimension des molécules, elle a pour effet de diminuer le chemin moyen parcouru par les molécules dans l'intervalle de deux chocs consécutifs et d'accroître par conséquent le nombre des chocs survenant dans un temps donné. Cet effet équivaut à une diminution de volume, dont M. van der Waals tient compte en ajoutant à v le terme — b. La valeur de b est évaluée par l’auteur au quadruple du volume propre des molécules, tant que l’espace occupé par le gaz n’approche pas de la somme des vo- lumes des molécules. À partir de certaine limite, b doit diminuer avec l’espace intermoléculaire. M. van der Waals considère la quantité b comme invariable avec la température. L'auteur à montré que la formule, qu’il propose, rend compte des lois de dilatation et de compressibilité des gaz, observées par Regnault, et qu’elle est encore vérifiée par les expériences plus récentes d’Andrews et de MM. Cailletet et Amagat. Mais c'est surtout dans l'explication qu’elle fournit des propriétés que présentent les gaz dans leur passage à l’état liquide et de la continuité des deux états, que la loi de M. van der Waals a ouvert des vues nouvelles, tout en permettant de nouvelles vérifications concluantes. C’est ainsi que, après avoir remarqué que la température critique d'un gaz est celle à laquelle viennent coincider les trois valeurs 1* 4 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE Soient M, et M, deux nombres proportionnels aux poids des molécules des deux substances, et désignons par M, (1—x) et M,x les quantités, en kilogrammes, de ces deux substances qui composent le mélange, ce qui revient à supposer que pour toute valeur de x le nombre de molécules qui constituent le mélange reste le même. On trouve de = a, (1— x) +2a,.,% (1 —x) + a,x?. Dans cette formule, a, est; la constante de l’attraction mo- léculaire de la première substance, a, celle de la seconde, a... celle de l’attraction réciproque des deux substances. Les con- stantes a, et a, ont, chacune pour la substance à laquelle elle se rapporte, la même signification que la constante a de la for- mule (1) que j'ai proposée dans la théorie d’une matière simple. Pour D; on pourrait poser simplement: be = 0 (1— x) + b,x, où b, et b, seraient les valeurs respectives de la constante b (form. 1) des deux substances. Cependant, la théorie con- duit à une valeur plus compliquée de 0; et oblige à intro- duire, ici également, une nouvelle constante b,., !). Si l’on accepte la valeur donnée par M. Lorentz, qui est plus simple que celle que j'avais trouvée moi même, savoir: br =b (1—a)} +20b,., x (1 — x) + b,7?, la formule (1) devient pour un mélange de deux corps: que la formule fournit pour la variable v, M. van der Waals a calculé cette température pour l'acide carbonique, dont il avait pu évaluer les constantes « et b en se servant des données de Regnault. Il trouve 329,5, chiffre peu différent de celui déterminé expérimentalement par Andrews, savoir 309,9. La thèse hollandaise de M. van der Waals a fait le sujet d’un article de Maxwell dans le journal Nature Tome X, p. 477. Une traduction alle- mande, revue et augmentée par l’auteur, a été procurée par les soins de M. le docteur Fr. Roth sous le titre »Die Continuität des gasfürmigen und flüssigen Zustandes”, Leipzig 1881. Une traduction anglaise est actuelle- ment en voie de publication. JB: 1) Voir: H. A. Lorentz, Wiedemann’s Annalen 1881, Bd. XII, p. 134. MOLÉCULAIRE D’UNE SUBSTANCE ETC. 5 DEC DS n° . [a (x)? + 2 a,.,x (1—x%) + aa | Vu, let (e (1—2x)? == 20,.,x(1—x) + px )| = AIR, (=) <> M,R,x](1 + «œt). Dans cette formule on a désigné par V,., le volume d’un kilogramme de la première substance sous la pression p, et à la température de zéro centigrade. Si l’on pose p, = 1 et qu'on prenne pour l'unité de pression celle de l’atmosphère, si de plus on suppose le produit M, V,., égal à l’unité de volume, et qu’on remplace les deux produits égaux M,R, et M,R, par «MR, on pourra écrire: 61 IP TE De NET EI a, (1—x)? + 2a,., x (1—x) + a,x? ne $ 2. Règles pour la coexistence de phases différentes. Pour une substance unique la fonction p = f (V, T) permet de recon- naître immédiatement si une phase déterminée est stabile ou labile et si deux phases peuvent coexister. En effet, tant que (5) est négatif, la phase est stabile, et réciproque- me ment; d’autre part, la condition de la coexistence de deux phases est donnée par la règle connue qui fait connaître la manière dont la droite parallèle à l’axe des volumes doit couper l’isotherme, pour désigner la pression et les volumes sous lesquels les états liquide et gazeux peuvent se pré- senter simultanément. Mais ces règles ne peuvent pas être appliquées au cas d’un mélange. On pourrait ici résoudre la question d’une autre manière, en se servant du potentiel thermodynamique. En le désignant par u, on a du = V dp — nd, où ” est l’entropie. Lorsque la température est supposée constante, la relation entre u et p se laisse représenter faci- 6 M. J. D. VAN DER WAAIS. THÉORIE lement au moyen d’une construction graphique. La marche générale de la courbe, au moins pour des températures in- férieures à la température critique, est indiquée dans la figure 1. PA a La branche ab représente les phases gazeuses. Elle se termine en un point de rebroussement bd correspondant au point où l’isotherme montre un maximum de pression. A partir de ce point, la pression, sur l’isotherme, diminue jus- qu'à une valeur minimum, et la phase correspondant à cette dernière, est indiquée sur la courbe u = f (p) par le deuxième point de rebroussement c. Les points intermédiaires de b à 2 ? . È . n) = u _ h) 14 c représentent les états labiles ; pour ces points, ( De) ï () ; doit être positif, c’est-à-dire entre à et c la courbe est située au-dessus de la tangente. La partie cd représente les états liquides. Au point double e, deux valeurs égales de w cor- respondent à une même valeur de p, ce point indique ainsi les phases coexistantes. A mesure que la température s'élève, les points de re- broussement se rapprochent; à la température critique ils coincident. pire 4h à MOLÉCULAIRE D’UNE SUBSTANCE ETC. T4 A cette température et aux températures supérieures, la courbe a une courbure continue. Cette construction pourrait être étendue au cas de deux substances mélangées. Cependant, on peut encore traiter la question d’une manière différente, que je crois devoir préférer. La fonction: —=Ei—Ty c’est-à-dire l'énergie libre, jouit de la propriété que, pour une même température, et considérée comme variant avec fl, elle indique par les deux points de contact d’une droite bitangente deux phases qui peuvent exister ensemble. Comme on a dy =—pdV, elle donnera pour V— œ une asymptote parallèle à l’axe des volumes. Tant que la courbe tourne son côté convexe vers l’axe, elle donne les phases stabiles. La figure 2 repré- sente approximativement le tracé de la courbe, au moins pour des températures inférieures à la température critique. Entre les points qui ont une tangente commune, sont situés deux points d’inflexion; la partie de la courbe comprise entre ces deux points, représente les phases labiles. La partie de l’axe des y comprise entre intersection de celui-ci avec une tan- 8 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE sente et l’origine à pour valeur w — (+), et est donc égale au potentiel thermodynamique. A la température eri- tique, les deux points d’inflexion coïncident, et par conséquent la courbe tourne partout sa convexité en bas. $ 3. Donc, puisque à température donnée on a d w = —pdV, on n’a qu'à connaître p comme fonction de V pour déter- miner la courbe w. Maintenant, concevons trois axes: l’axe des V, l’axe des x et celui des w. Si l’on construit pour toutes les valeurs de W et pour celles de x comprises entre O et 1 les valeurs de y on obtiendra une surface qui, pour un mélange de deux substances, pourra remplir le même rôle que la courbe y, pour une substance isolée. Au lieu d’une droite tangente en deux points de la courbe, on se servira ici, pour trouver les phases coexistantes, d’un plan tangent ayant deux points de contact avec la surface. C’est ce qui se démontre au moyen d’une règle générale qui fait connaître les conditions de la coexistence et que j'ai com- muniquée à l’Académie d'Amsterdam dans sa séance de juin 1888, savoir: dans un espace donné la matière se dispose de teile manière que l’énergie libre totale est minimum. Lors- que dk est un élément de volume, o la densité et w’ l’énergie libre, par unité de poids, pour la phase qui existe dans un élément de volume, l'intégrale Je w' dk doit être minimum. On peut aussi se servir de l'intégrale F dk, où y repré- sente l’énergie libre d’une certaine quantité se trouvant dans cette phase et W le volume de cette quantité. Dans le cas qui nous occupe, cette quantité sera M,(1 — x) + M,x. Pour trouver les conditions qui rendent minimum l'intégrale, et considérant 1°. que l’espace occupé par le mélange a une M,(1— x) MS grandeur donnée et 2°. que [Et dk et T dk sont également invariables, il faudra poser MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 9 PT rit ee et) u, et u, étant deux ne Il en résulte res M, (x) — vu M, x V do VF z Ste ne er Je et F = 0 V | © DE ou | v—uw, M,(1—zx) —u, M,7z AE ST A VO Le constante a) ( NS Ter GE nr to ME 7 5e RNA T cerqur eu id à l'équation précédente, conduit à CAES (> NA constante. Cette dernière constante doit être égale à — p. Donc: ,les différentes phases qui peuvent se présenter dans l'espace donné doivent être telles, qu’elles rendent égales lies valeurs Mo) CG) En d’autres termes, les différentes cu qui peuvent se présenter simultanément, et pour lesquelles les valeurs de w sont données par la surface y, correspondent à des points qui ont le même plan tangent. La direction du plan tangent est 0 donnée par GE = et (), AM, =u, M, la distance de son point d’intersection avec l’axe des y jusqu’à l’origine à pour valeur u, M,. Les quantités u, et u, sont les mêmes que M. Gibbs a appelées les potentiels des sub- 10 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE stances composantes. Nous pourrions nommer uw, M, etu, M, les potentiels moléculaires. De ce que u, M, est la partie de l’axe des y coupée par le plan tangent, on reconnaît facile- ment que u, M, est la partie coupée de la droite parallèle à l’axe des y et pour laquelle r= 1 et W= 0; Pour que l’intégrale soit minimum, il faut de plus que d? Î soit constamment no Cette condition conduit à l'équation 2 ni T +2 À nr qui montre qu’une ne peut exister que lorsqu'on aura en ne. Re OR de CUT = (). dy d°w (= ee 0. 0 V? Fa dV29 — NO ro Il en résulte que pour, les points correspondant sur la sur- face y à des phases possibles, la surface, vue de dessous, sera convexe dans toutes les directions. Il dépendra des quantités des substances qui se trouvent mélangées dans un espace = Hoz>0 donné si la phase sera nécessairement homogène ou bien pourra être multiple. Le nombre des phases coexistantes dé- pendra de celui des points pour lesquels les plans tangents coïncident. $ 4 Comme, pour une valeur constante de #), on a due — p d V, l'équation de la surface w sera U—= — pa v+v() OÙ w=—MR T log (V — be) —T + p(x). La fonction y (x), qui est liée à l'accroissement de l’entropie causé par la mixtion des deux substances, peut être trouvée en comparant la dernière valeur de y avec celle que prend e— Ty lorsque le mélange des deux substances occupe un volume très étendu. En effet, à densité très faible, on a «— C et MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 11 y MP en négligeant une erreur Æ qui s’évanouit lorsque la densité est infiniment petite. En égalant les deux valeurs de y on obtient V—bs üx — MRT log = — 5 + pr) = I W, (1—x) À, TE y —+- M, EUR Tlog 1 C+ MRT | x log x + (1—x) log (1—x)) + MRT(1--x) log M, + MRTrlog M, + E. Pour, on aura #— 0) où p(x) = MRT |x log x + (1—x) log (1—x)| + C, + C;x. Les conséquences que nous allons tirer de cette équation resteront les mêmes si nous ajoutons à (x), et par suite aussi à w, une fonction linéaire de x. Comme wy représente une énergie, la constante C, pourra rester indéterminée; on peut la poser égale à zéro, de même que C,, ce qui ne changera ni 9°Y Le d?wy Ce n’est que la valeur de Or dx DV” (5: ur 2 M, —u, M, qui pourrait en être diminuée ou augmentée d’une valeur constante. La valeur absolue de ce dernier coefticient différentiel ne pourra donc pas nous servir pour en tirer des conclusions. D'autre part, l'égalité de la valeur que peut obtenir ce coefficient dans deux phases dif- férentes, et les considérations qui s’en déduisent, ne seront pas affectées par l'addition à (x) d’une fonction linéaire de la même variable. Nous pouvons donc poser dx _ $ 5. La forme de la surface, très différente selon les va- leurs de a, b y—— MRTlog(V—b;)— + + MRT\xlogx+(1—x) log (1—x) | 10) OU 0, 1,1ethT lorsqueles substances mélangées sont très denses, sera à peu près indépendante de ces constantes pour les volumes très étendus. Comme on a 12 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE JA TV eEs Er) les valeurs élévées de V pour lesquelles on peut négliger b; et ar, donneront, pour tous les points d’une même section perpendiculaire à laxe des VF, des pressions égales. Dans ces sections la direction de la tangente est donnée par (5%) z)v Comme on a dy MRT EE = æ ee OA UE on pourra poser simplement (5: = MRT log ÉOur 7 — 10} onu (sf) = — æ,poure = 1, (5# = + 52. EYE 0x }V La courbe descend donc verticalement et se termine en mon- tant verticalement, ce qui du reste arrive dans toutes les sections perpendiculaires à l’axe des V. Comme pour les volumes très grands on a | d?4wy MRT dx? — x(l—*) la courbe se trouve située, dans tous ses points, au-dessus de la tangente. La plus petite valeur de l’ordonnée corres- pond à æ—1} et l’ordonnée finale à la même valeur que l’ordonnée initiale. La valeur de eu = — ap est positive, Ô V2 Ô V FA 2 A 2 de même que celle de _ et, comme on a ne 0, la surface dans toute la région des volumes élevés se trouve située au dessus du plan tangent et représente par conséquent des phases stabiles. Lorsque la température est inférieure aux températures critiques de chacune des deux substances à l’état isolé, la courbe, dans le plan æ —0 et dans le plan MOLÉCULAIRE D’UNE SUBSTANCE ETC. 13 x —=1l, présentera la figure décrite ci-dessus, fig. 2, et on pourra y mener une droite bitangente. F x : ELA TRE Même dans le cas où _ aurait une valeur inférieure à L (4) Œ: 7 À à celle de et de 7 en d’autres termes, même dans le cas où 2 1 ce que je nommerai la température critique du mélange invari- able serait plus basse que celle des deux substances isolées, on pourra toujours construire la surface relativement à une tem- pérature assez basse pour que dans toutes les sections perpendi- culaires à l’axe des x se trouveront les deux points d’inflexion. La surface présentera alors un enfoncement de bas en haut, un pli, dont la direction générale sera parallèle à l’axe des x. Je désignerai cette configuration par le nom de le premier pli. Les points terminaux de ce pli (points tacnodaux de Cayley) !) se trouvent en dehors du champ de notre construction. Cepen- dant, il pourra arriver que l’un de ces points, ou peut-être tous les deux, soient compris dans le champ dela figure. Le premier de ces cas, par exemple, se présentera certainement lorsque la température pour laquelle la surface a été construite est intermédiaire entre les températures critiques des sub- stances composantes. L'existence d’un enfoncement dans la surface permet évi- demment de mener à la surface des plans tangents qui la touchent en deux points. L’un de ces points est situé dans la région des petits volumes (états liquides) l’autre dans celle des grands volumes (états gazeux). Si nous laissons rouler sur la surface, depuis æ — 0 jusqu'à x — 1, un plan bitangent, chaque position accusera une paire de phases que nous pou- vons considérer comme corrélatives. Dans le cas où la surface ne présente pas d’autres plis que celui que nous venons de 1) Ces points, où dans le mouvement roulant du plan tangent les deux points de contact viennent à coïncider, ont été désignés par M. Korteweg, dans une étude récente que nous publions à la suite des travaux de M. van der Waals, comme points de plissement (plooipunten). 14 M. J: D. VAN DER WAAIS. THÉORIE désigner, chaque paire indiquera deux phases qui peuvent coexister en réalité. Désignons par x, et VW, des valeurs appartenant à l’état liquide, par æ, et V, celles relatives à l’état gazeux, on aura, Ô a) en faisant (55): = UT), Ci = P(V,2),t ee 0 x Éé a uen (=, ), 57), =9(V,x) entre les quatre valeur trois relations suivantes: JP 5 SASJPEETD)- RCee (1) BV) EC) CCE: (2) PU œ,)=p(V;,t;) ste ete (3) L’élimination de V, et V, fournira une relation Ë (x, x,) = 0 qui permettra de calculer, pour une composition quelconque de l’état liquide, celle de l’état gazeux. Si l’on élimine V, et z,, On obtiendra V, en fonction de x, et, par conséquent aussi, p en fonction de x,. On pourra de même déterminer p en fonction de x,. Cependant, même sans résoudre ces équations, on peut en déduire quelques conséquences remarquables. Le mouvement roulant d’un plan tangent fera varier les valeurs de y, de u,M, —u, M, et de u,M,, mais il existera entre ces varia- tions la relation suivante: Vdp=du, M +xd(u, M, —u, M,). Lorsque le plan tangent continue à rouler sur la ligne bino- dale du premier pli, on aura en même temps: 1 V; dp=du, M, +zx, d(u, M, —u,M,) e V, dp=du, M, +x, d(u, M, —u,M,), et par suite (Vs -— Vi)dp—{(x, — 2) du, M, —u,M,). Or, on peut considérer uw, M, —u, M, comme dépendant aussi bien de x, et V,, que de x, et V,, selon qu'on voudra connaître p en fonction de x, ou de æ,. En général, on a MOLÉCULAIRE D’UNE SUBSTANCE ETC. : 15 M M, —u, M, — CE et par suite M Pr RE, ULeE, = ridt+;s È Mais si l’on substitue V oV gl) 1 a LD, “ G :), Fe (5). . on peut obtenir l'équation loir d?wy d Gi) | da, — pi) 2 — VE rt +), + D _ On aura, par conséquent, 2 — V—(x,—x, Es ).(æ JARDIN ERHANZ un # AT os Gr (x, T;) dy dæ, et de même QE 7 MAR ps rene (2) læ= ie ol m2 D) 52,)» \ É 2? y D?y — ( 0? y \? HA ONE Os VI = qe) ET de, | | SV} | Considérons d’abord cette dernière équation. V,, le volume à l’état gazeux, est considérablement plus grand que V;, CG vées de V la surface est convexe dans tous les sens, le facteur ci est à peu près nul, et comme pour ces valeurs éle- De dp de (x, —zx,)dx, du second membre sera positif. Donc . GE 2 k dp et æ, — x seront de même signe et D ne peut devenir nul dx 2 16 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE que lorsque x, et æ, sont égaux. La pression est alors soit maximum, soit minimum. La première des équations À, tant que pour les faibles volumes la surface reste convexe dans tous les sens, conduit à une même propriété de __ Il est vrai que G) n’est 11 0%, Jp pas nul, mais sa valeur est du même ordre que V, et peut donc être négligée par rapport à V,. Cependant on ne pourra pas supposer que pour les points situés de ce côté du pre- mier pli la surface sera partout convexe tout autour de ces points. Deux cas peuvent se présenter, selon les valeurs des d?@z 0x? 2(a, +a, —24a,,) Ou bien, la surface n’offre plus d’autre complication, ou bien il existe un second pli dont la direc- tion générale est parallèle à l’axe des V, de sorte qu’une sec- tion perpendiculaire à l’axe descend verticalement à son origine, mais se courbe bientôt vers le haut, pour descendre de nouveau, et, après une nouvelle courbure dont la convexité est tournée en bas, remonte vers le point x = 1, qu’elle at- teint dans la direction verticale. Dans le premier de ces cas on peut réaliser les phases li- quides pour toutes les valeurs de x, comprises entre 0 et1. Les substances liquides se mélangent alors en toutes pro- portions. La valeur de ee ne peut être nulle que pour æ, — 1 æ,. Mais dans le second cas, la ligne binodale du premier pli, qui doit faire connaître les phases liquides coexistant avec les phases gazeuses, passe par les deux branches de la ligne spinodale !) du second pli. Aux points d’intersection on a d?y — ( d2y per 0x ,? 0V,? 0x ,0V, différentes constantes, spécialement de 7 et de 1) La ligne spinodale forme sur la surface la limite qui sépare les par- ties concaves-convexes des parties quisont convexes ou concaves dans toutes les directions. MOLÉCULAIRE D’'UNE SUBSTANCE ETC. 17 et p obtient de nouveau des valeurs maximum et minimum. Dans l'intervalle entre ces deux points, le facteur de (x, —x,)dx, étant négatif, _ sera népatil Si ZT, > x), positif Si, <%,. 1 Cependant, les phases sont labiles, les mélanges correspondant à ces valeurs de x, ne peuvent donc être réalisés : les deux substances ne se mélangeront point ou se mélangeront imparfaitement. Même dans le cas où une section perpendiculaire à l’axe des V ne présenterait pas de points d’inflexion, le second y 0x ,? doit pas seulement être positive, mais aussi plus grande que pli peut cependant exister. En effet, la valeur de ne (er. SF. )':5 re - , pour rendre stabiles les états liquides. La présence du second pli !) est la cause que le plan bi-: tangent roulant sur la surface, avant d'atteindre les points des états labiles, rencontre la surface encore dans un troisième point de contact et par conséquent se trouverait empêché de continuer son mouvement roulant si l’on considère les surfaces comme matérielles. C’est alors que se présente comme troisième phase une nouvelle phase liquide et que coexistent trois phases, savoir: deux états liquides et un état gazeux. Toutes les phases liquides comprises entre les deux premières ne sont point réalisables ou ne le sont que difficilement. Celles qui ne sont pas labiles ne sont stabiles que pour des dérangements très faibles et ne pourront donc pas, en général, se montrer. $ 7. Lorsque le second pli n’existe pas, la marche de la courbe p —/f, (x,) et celle de la courbe. p —/, (x,) sont très simples. Dans les deux courbes p sera égal à la pression de la vapeur saturée de la première substance pour 4, —=x, —0; à celle de la seconde substance pour zx, = x, —=1. Quoique sd 10 ; HS CON CAS ON Alt To, ll PO ni Æ ne sera égal dx dx 1 2 1) Voir la figure, page 28. ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 9 18 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE à zéro. En effet, os 2" 0" EtpeustE)— Ron D NNROe on de — ie — (5) = — > parce que + renferme le terme MRT | MRT MRT Les produits(t, —x,) OU (T, —%,) CE , (—&) FU) ont donc une valeur indéterminée. Or, les courbes p=#f,(x.,) etp—f, (x;) peuvent monter ou descendre continuellement ou bien présenter des valeurs maximum ou minimum. Jamais, cependant, la pression ne peut dépasser la somme des tensions de la vapeur saturée des deux substances. Pour le montrer, con- cevons un plan tangent à un point situé sur la ligne binodale du premier pli, dans la branche qui se rapporte aux états gazeux, et calculons la longueur des segments que ce plan coupe de l’axe des y et d'une droite qui lui serait parallèle au point æ = 1 de l’axe des x; en d’autres termes: les valeurs de u,M, et de u,M,. On trouve: D He a, = MRTiog + MAT. + MRT, Soit p la pression. Les droites de Là direction donnée par p et tangentes à la courbe des y pour les deux substances, c'est-à-dire situées dans les plans æ = 0 et x — 1, devront se trouver entièrement au-dessus du plan tangent choisi et devront par conséquent couper des deux axes des segments plus grands que u, M, et u,M,. Si nous désignons par p, et p, les tensions des vapeurs saturées, le segment de l’axe des w M par la droite bitangente de direction p, sera MRT log Lee + MRT, le segment coupé de l’axe parallèle dE OR | P: (en x = 1) par la tangente à direction p, sera MRT log ET + MRT. Les segments coupés de ces axes par des droites de di- rection p s’obtiendront en considérant que pour une substance isolée on a A u, M, = V, Ap, équation dans laquelle V, pourrait représenter aussi bien le volume liquide que le volume gazeux. MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 19 Pour notre but V, désignera le volume liquide du poids moléculaire de la première substance. On aura donc P(1—x) P; ER ET < MRT log pp + V,(p—p,).. (D et de même, en désignant par V, le volume liquide du poids moléculaire de la seconde substance : MET log MRT log Sr < MRT Log Ep + VS C0 20. )re 2 (AD) ou 1— x V (p — æ _ _V,(p—p, D # _ 4 A + HET : comme on a MRT —=pV, lorsque V représente le volume ga- zeux, les premiers membres de ces équations seront des quan- tités très petites et nous aurons: p(l — x) < p, et px p, + p,, mais la différence entre les valeurs de p et de p, + p, serait une quantité fort petite. Toutefois, comme dans chaque section perpendiculaire à l’axe des V la courbe commence par des- cendre, l’impossibilité absolue de mélanger les deux substan- ces ne peut se présenter en réaiité. $ 8. Lorsque le second pli existe, la marche des courbes p = f(x) et p—f,(x,) est plus compliquée. Considérons d’abord la courbe p =f,(x). Elle présente au moins un maximum et un minimum et, lorsque x, peut devenir égal à æ,, deux maxima et un minimum. Mais aucun des états cor- respondant à ces points ne pourra être réalisé. Dans un mé- lange d’eau et d’acide sulfureux, par exemple, en partant de l’eau non mélangée, la pression augmente par l'addition de l'acide sulfureux, mais, avant que le maximum ait été atteint, 2% 20 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE on est parvenu à la pression des trois phases coexistantes. Au contraire, en partant de l’acide sulfureux, l'augmentation de la proportion d’eau fait descendre la pression, mais ici encore la pression des trois phases coexistantes sera atteinte avant qu’on soit arrivé à la pression minimum. Dans les cas où la pression augmente, soit qu'on parte de x, = 0, soit qu'on parte de x, = 1, on aura deux maxima. Cependant la pression maximum ne se trouvera pas liée à la condition p -L et > -2?; sera: —, D. Tops b, ane a a +, +; pour F HE pet < Lai +, +, —, Lorsque, au con- 1°2 1 D CPE a a traire, la valeur 1 est comprise entre celles de -1 et = ds b, b, la suite des signes sera soit +, +, +, soit —, -—, —. Dans ces deux derniers cas il n’y a que des valeurs négatives de RE —% qui satisferaient à l'équation, laquelle, par conséquent, ne donnerait aucune solution possible. Dans les deux premiers cas il n’y à qu’une seule valeur positive de ee rende —2 DE de $ 10. Les considérations suivantes peuvent contribuer à faire connaître si le second pli pourra se présenter et si, dans le cas affirmatif, il contient les volumes liquides qui se trouvent sur la courbe binodale du premier pli. La condition peut, pour des phases stabiles, être ramenée à la suivante: | MBT Na Le CR TO RS UE TRUE lx(l—x) 02 V V—boz? li (V7 —b)? ë | DRE IN Joe on) î C5) ne RS PR rate RER NE dE DÉRUES OU) AN ECC VENT Considérons le cas où la pression augmente, soit qu’on parte de æ—0, soit qu'onparte, de x — l'defsortetqualtaes y avoir une valeur de x pour laquelle . — 0 à causede x x; — Lo. MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 5) sHTO Pour cette valeur de x, celle de ie et l'équation simplifiée peut s’écrire ( MRT | MRT 9°0 | | MRT . IVOPRE"MET | Er) | V5 0x? (V= 6): dx? V(V—b)? as 9°a CG M (COR Or, on à, premièrement : MRT _2a ee (V—d)? V3 pour tous les points de la courbe binodale du premier pli. 9 De plus, on a = : = 0, au moins lorsque la distance moyenne à laquelle s’entrechoquent les molécules hétérogènes, peut être égalée à la demi-somme des diamètres de ces molécules. Soit maintenant d?4 dx? Comme on a — —( =) —=4(a,a, — a?,), le premier abipes de l’équation, pour a?, = a, a,, se com- =2(a, +a, —2a,:)< 0. posera uniquement de termes positifs et la De sera néces- , MOT CAOPASEE sairement stabile. Lorsque, au contraire, —— est positif, l’in- OL) 02 stabilité pourra se présenter, parce que le facteur de = est beaucoup plus grand que celui de — = —(). Dans tous les cas, pour de très faibles valeurs “ æ où de 1 — x, le premier membre sera positif et les deux substances pour- ront se mélanger en faible proportion. Lorsque la surface présente le second pli, la courbe binodale de ce pli fournira deux phases liquides coexistantes. Pour ces 26 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE cas également une discussion devra faire connaître la relation de la pression avec la valeur de x qui détermine la composition. La règle, que pour des phases stabiles on a _ > 0 lorsque À; Ty > %,. ne peut pas être appliquée ici, parce que le facteur : = =) , peut être p 0x, dx de cu , Savoir (V,—V,)— (x, —x,) ( 1 négatif. $ 11. Pour construire une surface qui ne contienne que des phases restant stabiles pour des dérangements considé- rables de l’équilibre, on ajoutera à la surface y la surface développable, formée par l’intersection des plans tangents lors- qu'ils roulent sur les deux courbes binodales, ainsi que le triangle formé par les trois phases coexistantes, et l’on prendra de toutes ces surfaces la nappe inférieure. Au moyen de la partie restée libre de la surface, et des surfaces réglées qui enveloppent le reste, on peut se représenter les. diverses circonstances qui naîtront lorsque, à température con- stante, on diminue le volume d’un mélange dont la com- position à l'état gazeux est donnée arbitrairement. Soit x la valeur qui détermine la proportion des deux substances. Menons un plan sécant à la distance x. Les points de la section appartenant à la partie non couverte de la surface y représentent les volumes pour lesquels l’espace est rempli d’un mélange homogène. Diminuons le volume jusqu’à ce que nous rencontrons la surface réglée. La droite qui se trouve sur cette surface au point où l’on y entre fait con- naître par son autre extrémité, qui se trouve du côté des petits volumes, la phase liquide qui se présentera aussitôt qu'on continue à diminuer le volume. Pour des valeurs décroissantes de V on rencontrera d’autres géneratrices de la surface réglée. Les phases déterminées par les deux extrémités de ces droites seront chaque fois celles qui se présenteront en effet, tandis que le rapport des deux parties de ces droites sera en même temps celui des deux MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. ZA phases coexistantes. Lorsque, à l’état liquide, les deux sub- stances peuvent se mélanger complètement, la diminution du volume conduira à un point où l’on peut quitter la surface réglée, et à ce point correspondra une phase liquide homogène, qui aura évidemment la même composition que la phase ga- zeuse qu’on à prise comme point de départ. La composition de la dernière phase gazeuse est donnée par l’autre extrémité de la droite sur laquelle on est arrivé lorsqu'on quitte la sur- face réglée. Cependant, dans le cas où le second pli existe, la section prise à la distance + pourra couper le triangle déter- miné par les trois phases coexistantes. Aussitôt qu'on est ar- rivé dans l’intérieur de ce triangle, les trois phases se réali- seront. Di, dans ce triangle, on mène la droite qui joint le sommet (phase gazeuse) au point où l’on se trouve et qu’on prolonge cette droite jusqu’à la base, le quotient du prolon- gement divisé par la longueur de cette droite fera connaître la fraction du mélange qui se trouve à l’état gazeux, tandis que les segments de la base donneront la proportion des deux quäntités qui se trouvent dans les deux phases liquides Si l’on atteint la base même, la phase gazeuse a disparu, et lorsqu'on continue à avancer sur la surface réglée, qui repose sur la courbe binodale du second pli, il peut arriver qu’on atteigne la partie libre de la surface y et que par consé- quent l’état du mélange soit redevenu homogène. Lorsque le second pli se termine sur la surface, le mélange devra pré- senter cette propriété, quelle que soit la proportion des sub- stances mélangées. Cependant, la pression devra croître consi- dérablement aussitôt qu’on se trouve sur la surface réglée du second pli. La question de savoir si des substances, qui ne se mélangent pas sous pression ordinaire, peuvent former un mélange homogène sous des pressions élevées, ne peut donc être résolue que par l’examen de la forme du second pli. Pour décider si les substances sont susceptibles de se mélan- ger dans toute proportion, il faudra rechercher si la surface contient un point de plissement du second pli ou si, au con- THEORIE VAN DER WAAIÏIS. J. D, M. 28 gie libre d’un mélange de deux substances ’éner tant | représen température invariable Surface, . Les fils tendus points qui indiquent des phases coexis- tantes. Le point d’où partent deux droites différentes représente la phase Dans la figure la surface est vue de dessous. La gazeuze qui est en équilibre avec deux phases liquides. à région des petits volumes se trouve en bas de la figure ognant les sentent les droites joi 4 repré MOLÉCULAIRE D’UNE SUBSTANCE ETC. 29 traire, le second pli se continue indéfiniment en haut. Il est 2h x probable qu’une valeur positive de ee décidera en faveur de l’existence du point de plissement, même à des tempéra- tures très basses. $ 12. Pour démontrer cette dernière proposition, remarquons que les points de la courbe binodale du second pli, lorsqu'on désigne par x, et x, la composition des deux phases coexis- tantes et par V, et V, leurs volumes, devront satisfaire aux conditions suivantes : | V,— V,—{(x,—%,) (=) | = 0x, p' dx, = (æ, — x;) - ? — 2, d1V,? CRE et | Va LS %) :)} 7e = dop dw 0%, ? dV,? 2 = (ts — 2) °° —— RTE OV, ? Les seconds membres de ces équations, dès que la pression dépasse celle des trois phases coexistantes, sont nécessaire- ment positifs, si nous posons æ, > æ,. Lorsque ae est positif 2 et _ négatif, les deux phases se rapprocheront en compo- 2 sition par l'effet d’un accroissement de pression. C’est ce qui arrivera quand on à dV V, LE l'% — (œ, =2)(5) > 0 1 V, — VV, — (x, — x) (5), 0 et 30 M. J. D. VAN DER WAAIS. THÉORIE Considérons la surface OEM) x NOEL Tree et menons un plan sécant parallèle au plan X V'; nous ob- tiendrons les points pour lesquels p est constant, Or, V, et V, représentent des petits volumes (volumes liquides) situés sur une même branche, pour laquelle la pression est constante, et on pourra donc écrire: 2, (x, — x,)? (= Ve etc. 0x, de Eure 2 CHE + ce qui rend probable que, pour tous les points de cette Der d Ho = SE Gt) ( on obtiendra une valeur DOBITINE de V,—V —(x, —x, ( dV, Le lorsque ( SA je est positif. De née » GARE, 7 il suit Lau 2(o+ MAT) vs Pour des valeurs très élevées de p la valeur de V approche , 0b = 04 00 e RS ne De he ue 0x pôx ; SN ON 00 indéfiniment de à et par conséquent aussi (ss) de (> "| CX 7 pT x 0? En calculant ( = 2 V DS ? on trouvera pour les valeurs très éle- p vées de p que le signe de cette valeur est déterminé par celui ; de _ Dans le cas où la branche, sur laquelle sont situés 7 | 0? : “e V, et V,, a une courbure telle, que 7 est toujours positif, ONVaUrA, POUr TT, ; dV le > V; LUS (ts —x,) ( 0x; MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 31 et ; do? P = ME: 2) () : CL Jp Pour ; be =b, (1—x) +20,, &(1— x) + 0, x? on obtient Dre RE UE. ch d x Or, d’après le résultat trouvé par M. Lorentz !), pour Po et D, — a, tonobtient 0, — 26 où 6 désione la 3 distance à laquelle s’entrechoquent les molécules hétérogènes, c’est-à-dire d,., = ? nie) . La substitution de ces valeurs 22 Ê QE, dans l’équation de — donne d°0z Ie 470) pese = 3 (D 5 — 8) (05 +80), valeur toujours positive. [l en résulte que, même dans le cas où un commencement de compression éloignerait les deux phases l’une de l’autre, elles devront néanmoins se rapprocher pour des pressions très élevées et selon toute probabilité coïncider fina- lement. Cependant, comme le coefficient de _ est très faible, l'accroissement de pression devra être très considérable pour opérer une variation sensible dans la composition des phases. $ 13. La surface w que nous avons considérée jusqu'ici se rapporte à une composition à nombre constant de molécules. On aurait pu construire également une surface w en suppo- sant que le poids du mélange reste le même. Construisons les ordonnées y pour les phases homogènes de mélanges se composant de 1 — x kilogrammes de la première substance et x kilogrammes de la seconde. La surface w ainsi 1) Je me sers de la valeur de b; trouvée par M. Lorentz parce qu'elle est plus simple que celle que j'avais obtenue précédemment moi-même, et parce que j'estime possible qu'un calcul plus rigoureux, établi d’après les principes que j'avais admis, m'eût conduit à la même expression, (Voie Û 82 7 \ M.J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE obtenue conduit aux mêmes règles pour déterminer les phases labiles et stabiles et celles qui peuvent coexister. Les segments que le plan tangent coupe des axes représentent, pour cette surface, les quantités u, etu, mêmes. Il est certainement digne de remarque que deux surfaces différentes, — et on pourrait en construire encore d’autres, — peuvent servir pour les mêmes recherches. Il y a des cas où la surface y construite pour poids constant doit être préférée à celle que nous avons employée ci-dessus. \ Dans notre nouvelle supposition, p obtient la forme: A—zx)8R T+zxR,T 2 Lo, (1—x)? +96, Ti x (1—x)+ en b,«, | M M. L4 V À 9) 7) DETE où m, et m, représentent les poids moléculaires des deux substances. $ 14. Les considérations qui précèdent peuvent s'appliquer également à l’équilibre d’une substance unique dont les molé- cules sont susceptibles de se combiner, de manière à former des molécules doubles. On aura alors m, : m,= !. Si nous cherchons les conditions pour lesquelles l’énergie libre totale devient mi- nimum, nous trouverons les mêmes règles, à l'exception d’une seule. Comme conditions supplémentaires nous avons trouvé,pour le mélange de deux substances, aussi bien | ec dt = UE ( o(1—x)dk= C,. Maintenant que les deux substances doi- vent être considérées comme pouvant se transformer l’une dans l’autre, l’une des conditions s’évanouit et il ne reste que ( odk= C. Tandis que précédemment ( a) 7. — Ha Enie MOLÉCULAIRE D’UNE SUBSTANCE ETC. 33 devait avoir une valeur constante pour les phases coexistantes, : dY ) s nous trouvons maintenant . —INout Et PME x V dire que le potentiel thermodynamique conserve la même valeur pour la substance considérée, soit qu’elle se présente en molécules simples, soit qu’elle consiste en molécules doubles. Cependant, si nous voulons tirer des conséquences de la valeur absolue de (+) , la fonction linéaire de x, à laquelle conduit z}r l'analyse exacte de y, ne pourra plus être négligée. Pour déterminer y (x), si nous posons nous avons à considérer que, pour un mélange, composé de (1 — x) kilogrammes de molécules simples et x kilogrammes de molécules doubles et occupant un espace très-étendu, on peut écrire, — à une erreur près qui devient nulle pour un volume infiniment grand, — ÊE=E, (1—z2)+E,x et Fr Ty = de, ol me noie log = +H, (x) + H,x| d’où LS fav +otr) RG —a)+ Rio | T log(V—b)— TE + px) OS) Er | R; (1—5x) log is +R, x log = + + H (—-2)+H, x | + Erreur. ou p(tæ) = E, (—x) + E, x + TIR, (1—x) log (1—x) + + R, x logx — H, (1—x) — H,x| !) 1) Æ, —E, est la perte d'énergie qui résulte de la transformation d’un kilogramme de molécules simples en molécules doubles, 11, — IH, est, de mème, la perte d’entropie qui accompagne cette réaction. ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 3 34 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE La valeur de p contient x sous une forme qui peut sembler très compliquée. Cependant, si nous considérons 1°. que = fs 2°, que 71 y et 3°, que probablement a, ,— 2 2 9 M. 2 que p io TE a, —=4#a, et b, — 20, et enfin si nous posons, par approxi- mation, db, +b, —20b,,—0, ce qui, tant que la matière se trouve à l’état gazeux, ne peut causer qu’une er:cur négligea- ble, on aura Se 2 a, Po 1°0 V2 En prenant p; pour unité de pression et V,.,, le volume d’un kilogramme de molécules simples, pour unité de volume, on obtient : x 0e ni UR CE er V, La valeur | y (5 nm. donne he HT 0) nu — E, HE ne =. dep) me opter) Comme (+) doit être nul, le contour apparent de la 22 02 surface w sur le plan w V donnera les valeurs de w. On pour- rait les trouver encore sur la surface y même, en cherchant dans chaque section perpendiculaire à l’axe des V le point le plus bas. Lorsque la température est au-dessous de la tem- pérature critique des molécules simples (celle des molécules 1) Cette équation, si l’on a égard à celle de p, est entièrement conforme aux résultats des expériences, même pour des densités qui diffèrent très-peu des densités théoriques des molécules simples et doubles. Je me propose de le démontrer dans une autre occasion. MOLÉCULAÏIRE D'UNE SUPSTANCE ETC. 35 doubles devra être deux fois plus élevée, au moins quand les suppositions que nous avons faites à l’égard des constantes se vérifient) le premier pli devra exister sur la surface w. Le plan tangent aux points de la courbe binodale qui est en même temps perpendiculaire au plan w V fera connaître les phases liquides et gazeuses coexistantes et les quantités des molécules simples et doubles. La droite qui réunit les deux, points de contact, étant une bitangente de la surface, indique la coexistence des deux phases en proportion variable et montre que la pression reste invariable lorsque la phase ga- zeuse change en phase liquide, ainsi que cela arrive lorsqu'il n'y a pas de dissociation. Contrairement à ce que j'avais pré- sumé antérieurement, l’invariabilité de la pression ne peut donc pas servir pour reconnaître si les molécules simples se sont combinées. $ 15. L'intervention de forces extérieures, telles que la pesanteur, devra modifier les règles qui servent à faire con- naître les phases qui peuvent coexister. Dans la condition fondamentale, que Î o wok soit minimum, il faudra prendre en considération que w représente maintenant la somme de l'énergie libre thermodynamique du mélange et du potentiel des forces extérieures et pourra donc dépendre de la hauteur h du vase. Le raisonnement du paragraphe 8 conduit alors aux relations à (ae (1 — 7x) T d V on TL et éme V OREDENT EN RRNEE Hp 0 L'intégrale pourra donc être une fonction de À et on pourra écrire Yu, x) — ue. EE À) 3* 36 M. J. D. VAN DER WAAÏIS. THÉORIE Si nous désignons par y’ l’énergie thermodynamique libre, on posera, lorsque l’on considère la surface w' pour poids constant du mélange, w=wY +gh, et les deux coefficients différentiels qui doivent être nuls donnent 7 CG = (% as W +gh—n —x(u, =) PEN VONOME y? DU ROUE Gr), GE), = eu ou | dy" dy" ] 4 2 — ——= ni Cl CT y —V e Pet ( Dr — qh. Le nombre des phases qui peuvent coexister est donc aussi erand que celui des hauteurs différentes qui existent dans l’espace qu’occupe le mélange, c’est-à-dire, infini. Elles sont indiquées par les plans tangents, dont l'intersection avec le plan y'x forme des droites parallèles à la direction invariable u, —u,. Les distances, auxquelles ces plans coupent l’axe des w, diminuent de gh lorsque la hauteur du point de l’espace à laquelle la phase se rapporte augmente de À. Pour toutes les phases, u, et uw, sont égaux, maïs ces quantités ne désignent plus les segments de l’axe des y’ coupés par les plans tangents. En différentiant W+HpV=u, +a(u —u,)—gh on obtient dy + Vdp=—-pdV +(u, —u,)dæ—qgdh c’est-à-dire Vdp——gdh ou dp = — p gdh,équation con- | nue de l’hydrostatique. Non seulement la pression mais aussi la composition du mélange sera différente pour les phases coexistantes. La relation entre les variations de x et de se trouve comme il suit. MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 27 De u, —u, = C on déduit PAPD EN ps AURES NN) UE + À Æp 9 Pz ou Ba Bd Gr + DD fes Xp dPx Mais, comme dy’ M2 nn LA LR le on à ( d y’ d(u, —w) _02w Koxd7 0 Xp 0 x° ELU d V De plus duo M) É ) d Pr 0 D Donc A EM ni ox )p 9 V? Comme V est égal à +. on aura (a ÿ e RO 5) 4 a ee Lz/r par conséquent : RE d? y’ dx 0 1 d 0 au a ES Ce: De ie Le (9) a à V? Pour les phases stabiles le premier membre est positif. Il À ) en résulte 2h > 0 lorsque ( ©) <0, et réciproquement. Oui dx p Les propriétés indiquées par ces équations sont connues pour des mélanges tant gazeux que liquides. Mais au moyen de la surface w on pourrait encore déterminer numériquement 38 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE la composition d’un mélange, tel que l’eau et l’alcool, dans les couches de différentes hauteurs, lorsque le mélange est arrivé à l’état d'équilibre. Pour des gaz peu denses, on obtient Ja valeur que l’on calcule d’après la règle connue, qui consiste à considérer le mélange comme résultant de la superposition de deux gaz isolés et à égaler la pression du mélange à la somme des pressions des gaz composants. Si, pour la solution de ce problème, on eût voulu se servir de la surface w' à nombre constant de molécules, en aurait dû poser w= Y'+ [M (x) + M,x]9h. On trouve alors que le plan tangent, au point qui représente la phase existant à la hauteur h — 0, coupe les deux axes y" à des distances uw, M, et u, M, de leur origine. Pour les phases qui se présentent à la hauteur , ces distances sont uw M, —M,gh et u, M, — M, gh. De plus, dans ce cas ona dY’ | CE), = 0 1 — (M, — M) gn d’où il résulte que G*) “ir (M, — M,)gh a une valeur constante. Dans l’état gazeux du mélange la surface y! satisfait à la relation Owy' d TT | — Poil : (S ) 4 HAE 1x Donc, lorsque la pesanteur agit sur un mélange de deux gaz, la valeur MRT log __ +(M,— M )gh devra être constante. Désignons par +, la composition du mélange pour À — 0. On aura 2, IEEE PET MRT log = (M, — M )gh MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 39 D is à Luge (le L ; fe 1—x x, 114 eat R° ) 7 équation valable aussi bien lorsque ms. exprime la compo- —% sition en poids que lorsqu'il représente le rapport du nombre de molécules. Même en considérant que g, à la surface du soleil, à une valeur environ 28 plus forte qu’à la surface de la terre, il paraît peu probable que la dernière équation puisse se concilier avec l’hypothèse que les couches de l’atmosphère du soleil soient séparées aussi nettement que l’admet M. Brester dans sa récente étude sur les phénomènes que présente la surface de cet astre. On peut remarquer de plus, que la valeur élevée de la température devra compenser l'effet d’un accroissement d'attraction. SO MÉOURMexamimer dans leNcas leMblus rénéral îles conditions auxquelles doivent satisfaire les phases coexistantes d’un mélange de deux substances soumises à l’action de forces extérieures, nous désignerons, comme précédemment, par w' l'énergie thermodynamique libre d’une quantité M, (1 — x) + M,zx. L'énergie provenant des forces extérieures sera re- présentée par M, (1—x)P, + M,zxP,, où P, et P, expri- - ment les potentiels de ces forces par unité de poids pour chacune des substances. Dans beaucoup de cas ces quantités seront égales, comme dans celui examiné au paragraphe pré- cédent. Dans d’autres, comme lorsque les substances éprou- vent des actions magnétiques, ou l'attraction des parois du vase, elles seront inégales. Toujours, cependant, elles pourront être regardées comme étant des fonctions des coordonnées æ, 5, 7 des points où les actions extérieures agissent, de sorte qu'on peut poser P, =, (x, B, 7) P; = p, (a, B, y). La quan- tité y ne dépend que de x et de V. En désignant de nouveau par y l'énergie libre totale du système, on aura w—=Yw +M (A—-x)P, + M,zxP, et il devra être satisfait à la condition que 40 M. J. D. VAN DER WAAIS. THÉORIE f$ Ar Le est minimum, tandis que | TE ee 0 Selon les règles du calcul des variations on pourra tenir —C,. compte de ces conditions accessoires en déterminant les con- ditions qui rendent minimum la valeur DRE W, Ce ra apus: y où u, et «, représentent deux nouvelles constantes. Le fac- teur de d«dfd; est une fonction de x, V, «,Bet 7. Mais ce ne sont que les coefficients différentiels par rapport à x et à V («, B et y étant supposés constants) qu'il faudra égaler à zéro. On aura donc LE (d—a){m—P,) — Me (Pa) V y E DD æ & ) CR OP RUE He) : 0. (IT) Or Vauby 2 Il en résulte que la quantité ÿ More os Mere V ne devra dépendre ni de x ni de V, c’est-à-dire qu’on aura w — M, (—zx)(u, —P,)—M,x(u —P,)= — V f(a,f,7) tandis que d’après (I) OU | (Y) = (68,9 et par suite P=J(«, 6,7) et d’après (Il) h) / GE), = GP) GP) 0 & MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. A Le calcul des segments qu’un plan tangent à la surface w’ coupe respectivement de l’axe des (2 et d’un axe parallèle dy’ au point æ = 1 et V—0, savoir des valeurs w— x de dy Li ŒUR\ UE OY ue CE). et w'+ (1 1), V Ê 2) » ne le premier: de ces segments M, (u, — P,), pour le second M, (u, —P,). Si donc, pour un certain point de l’espace occupé par le mélange, on connaît la phase qui sy présente, et que pour cette phase on construise le plan tangent à la surface w', on trouvera la phase qui existe dans un point quelconque de cet espace en diminuant de M, P,: et de M, P, les segments que ce plan tangent coupe des deux axes et en menant par les Poe ainsi déterminés un nouveau plan tangent à la surface w. Le point de contact de ce dernier plan fera connaître la phase cherchée. Cette construction suppose qu’au premier point les potentiels P, et P, sont zéro. On trouve de cette manière aussi bien la quantité x qui exprime la composition du mélange, que la pression qu’il exerce. Analytiquement, cette propriété est exprimée par les équations du w 2 (5) +PV+MP,=G .... (I) t | Jui $ ÿ +2 (SE PV +P,= GC, .... (IV) En différentiant l’équation (III) on obtient A CU ss Si y se d y (#), dx + pd V + V dp cafe), +aar, 0. Comme la somme des trois premiers termes est zéro et que d (5) TT UE M, dP, + M,d?P,, l'équation devient simplement DDRM) d'PCOHE #d'2 he 1: 1(N) d’où l’on peut déduire ( “JA (5). ; LCR - g° c'est-à- } HP dire les équations connues de mon 49 M. J. D. VAN DER WAAIS. THÉORIE De même on peut exprimer les variations de la compo- sition, c’est-à dire les valeurs de dx en fonction des variations ne: des coordonnées de l’espace, en developpant d (5) je On trouve (IV) [ d?ÿ 21) (RETES (& Ke | A) V D”. [° x? NELTE pri) SN Ce ; dp=—M,dP,+M;,dP,.(VI) \ à PV? Comme cas particulier, nous posons P, — 0. Les forces exté- rieures n’agissent donc que sur la seconde des deux sub- stances. On à alors V dp= — M, xd P, et ou. Gr) 22w. \oaoV/ 1,1 | 4 ME NBEN ÉRIC | d V? } » . « M ] Lorsque x est très petit, le facteur de dr se réduit à 20 _ et l’on peut poser MRTdzx PATRON ie CL ou | MRT log — KEMEPE En éliminant d P, et en introduisant dp, on obtient la même valeur que celle de la pression osmotique, savoir MORE 201: Vi RER M nf) x (1 — à). x “P ou M RTAzx A Pp— 74 ; Cette équation peut se formuler ainsi: ,Lorsque, par l’action de forces extérieures sur une des matières qui composent un mélange, le degré de concentration MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 43 diffère en deux points contigus d’une quantité A x, il en résultera une différence de pression, qui, — pour de faibles degrés de concentration, — sera égale à la pression qu'un nombre Azx de molécules exerceraient à l’état gazeux contre les parois d’un vase qui aurait le a ( $ 17. Si l’on compare la valeur de 7 qui résulte de l'équa- tion (VII), savoir d?wy 2 : CRUE. = Lx dp \ (Se ) 2x? d?w a æ (T ) d 4 , PS À et la valeur de _ trouvée antérieurement pour le cas où de Æ deux phases coexistantes (état liquide et état gazeux) on passe à deux autres peu différentes des deux premières, valeur donnée par l'équation oe_ Ger) |, v AE 4 Horde dure À Ti per UN À d RT)) on FN Por —=T, DV, —— — ITT) JE Ee _e- ), 1= = je. = er e D \ Ai En Dont dx, Eu on peut déduire de cette équation le rapport des pressions qui, dans chacun de ces cas, doivent être appliquées pour passer de l’un des degrés de concen- tration à l’autre. L’équation se simplifie particulièrement lorsqu'on suppose x lui-même très petit. On obtient alors dip = Ve dD TT) Si la seconde substance est de telle nature qu’elle ne se pré- sente pas dans la vapeur, x, sera zéro et l'équation devient mA ITS Pa V; dpi 1) Voir les équations À, pag. 15. 44 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE où V, représente un volume liquide, V, un volume gazeux, —L étant l’abaissement de pression pour une quantité mo- "4 léculaire, et L la quantité expliquée plus haut. / dp Lorsque æ est petit, la quantité E obtient une forme très simple. En effet, on peut alors poser dy \? d2y (+ NOMRT d x? Or er) à V? ou DRE OO PNR ee Re De He Or) RU Mais, comme V, représente un volume gazeux et que MRT= p'V,, on peut encore écrire: Si la seconde substance ne passe pas dans la vapeur et que par conséquent +, —= 0, on aura pan tr Te we _ Cette équation exprime la règle connue pour l’abaissement de pression produit par des corps qui n’entrent pas dans la phase gazeuse : ,L’abaissement de pression pour un nombre A x de molé- cules est p À x.” | Mais on voit que, tant que x, n’est pas zéro, ou insensible par rapport à æ,, la règle fait défaut; — 1l peut même y avoir augmentation de pression au lieu d’abaissement. Les considérations présentées plus haut permettent d’indi- quer les circonstances qui détermineront si +, pourra être égal à zéro. MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 45 L'égalité de ei pour les deux phases donne O TX V db da da 1 MRT log —": UP te pete 1—x, pd DEN Er NP, — Host Fe. RES AE ee CET Een er V. où | db QE or Le 1 ep pe qe EE ne 1—x, dan V7, ê V,—0b" ï DE date à Pour que —1 soit très grand, il faut que d ait une va- ï ë 2 leur positive très élevée ou que a,., soit beaucoup plus grand que a,. Une valeur de x, rigoureusement égale à zéro est aussi peu compatible avec cette théorie, que le fait d’une substance qui ne se volatiliserait nullement serait incompa- tible avec les théories moléculaires proposées jusqu'ici. $ 18. Les cas dans lesquels l’une des deux substances est sujette à la condition d’occuper, soit intégralement, soit en partie, une région déterminée de l’espace, tandis que l’autre substance peut se distribuer librement, selon les conditions de l'équilibre, dans l’espace entier, peuvent être traités dans cette théorie en laissant indéterminée l’une des deux conditions auxquelles doivent satisfaire les points où le plan tangent ren- contre les deux axes des w. Soit la substance qui peut se déplacer librement par tout l’espace celle que nous désignons comme la première. Le segment que le plan tangent coupe du premier des axes de w, savoir u, M,, devra alors être le même pour les deux parties de l’espace, tandis que u, M, peut avoir une valeur différente pour ces deux parties. Soient données la première phase et la composition de la se- conde. On n’aura alors qu'à mener à la surface y un plan tangent tel, qu’il coupe du premier des axes de y un segment AG M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE égal à celui du plan tangent de la première phase, et dont, en outre, le point de contact avec la surface ait pour ordonnée la valeur æ qui exprime la composition donnée. La position de ce plan indiquera alors combien la valeur de p devra différer de celle de la phase donnée. Soit, pour la première phase, x = 0, et p, — Ap, la pres- sion, cette dernière étant plus faible que la pression p, de la vapeur saturée de ce liquide. Désignons par À le segment coupé de l’axe y pour æ = 0 et Ap, = 0. On aura alors pour la première phase, M, u, — A — 7, AP;: Soit la seconde phase une phase liquide, pour laquelle x —x,, et posons que la pression soit de Ap, supérieure à celle de la vapeur saturée du premier liquide, et que le vo- lume soit V.. De VevApe NU, M, == tv A(u, M, — ui M) il résulte D = AE pE EC AN EE EUR ou V,Ap, + V, Ap,—x, A(uM, —p;M)) ©: 00) La valeur de x, A(u,M, — u, M,) peut s’obtenir au moyen des deux équations qui se rapportent à la coexistence des états liquide et gazeux savoir, lorsque À p est l’abaissement de pression, VS AD = u, M, +x, A(u, M, — ue 4H) et — V, Ap=A u, M, +zx, Au, M, —u,M)) ou (V, — V,)Ap=(x, —x,)A(u M, —u,M,), et lorsque la deuxième substance ne se trouve pas mélangée à la vapeur: (V, — V)Ap=x, Au, M, —u,M,). L’équation (A) devient ainsi MOLÉCULAIRE D’UNE SUBSTANCE ETC. 47 V, Ap, + V,Ap,=(V, — V;)Ap ou MD END) =; (ND —XD;).:... (B) Soit Ap, —=A9p, on aura Ap, =—Ap; il n’y aura donc pas de différence de pression entre les deux parties de l’espace. Soil A —0; dans ce cas | Nr Cr HP) Sp C’est ce qui arrive lorsque, à côté de la solution, il se trouve dans le reste de l’espace la substance dissolvante à l’état pur sous la pression de la vapeur saturée, soit comme liquide, soit comme vapeur. Cette quantité est ,la pression osmotique”? découverte par M. van ’t Hoï, Pour Ap, plus petit que — A p, mais cependant po- Î sitif, 1l y aurait équilibre lorsque la première phase est une phase gazeuse dont la pression serait plus faible que celle de la vapeur saturée, mais plus grande que celle de la vapeur en présence de la solution libre. L’équation (B) peut se mettre sous la forme RE CRDI Ve 7) ap AD) Comme Ap, + Ap, exprime la différence de pression dans les deux parties de l’espace et Ap — Ap, l'excès de la pres- sion dans la partie libre de l’espace sur la tension maximum de la solution, il en résulte que ces deux différences doivent varier dans la même proportion. Cependant on ne pourra conclure à cette dernière relation que tant que les diffé- rences restent faibles, car ce n’est que dans ces conditions que l’on pourra regarder V, comme invariable. AS M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE Appendice contenant quelques remarques sur la marche de la courbe spinodale. $ 19. L’équation de la projection de la courbe spinodale de la surface (y, æ, V) est donnée par la condition: 2 A) UE sr OrO NT RE qui, dans nos suppositions, conduit à la relation suivante: | MRT MRTO9?b is 1 9?a + _ | a(1—x) fu de Er) “rie VA . MRT Mer : 1, 42 0 CP) | qe 1 nes | MRT MRTO'b 10?a, r RT Le nt | à | (Lx) VE 7 V 5æ2 | ((V—b TV: MR TA ODA 00 1 OA (V0). V2 0% 17,0% 107 VEN Pour æ = 0 et x —=1, l’équation est satisfaite par les points pour lesquels on à en même temps: MRT 2 a CRU L c’est-à-dire par les points d’inflexion des courbes y des sub- stances isolées. On a déterminé ainsi quatre points situés sur l’axe des V et sur la droite parallèle à cet axe et située à la distance +=. Pour examiner si la courbe V=—b; contiendra des points de la courbe spinodale, nous remarquons d’abord que cela A 0?b . ? ne pourra pas être le cas lorsque =—— diffère de zéro. Car, la seconde des équations A, multipliée par (V—b)*, se ré- duirait pour V = à MeRa Te TE 0 Door? Si réellement, comme ïl est probable, dans le cas limite le MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 49 volume du mélange approche de celui des molécules, c’est-à- dire de | b, (1— x) + b,x, |, _. s’évanouira. Quant à l’ex- pression de 8; à laquelle conduit la théorie pour des role étendus, savoir : 0x =D, (1— x) + 2b,., x (1 — x) + 0, x?, elle peut s’écrire: =D, (Îl—x) +b,z+(20,, -b, —b,)x(1l — 5), et l’on voit que . sera zéro, si l’on peut poser 2 b,.,—0, + b,. Dans ce cas la question de savoir, si la courbe V = b; con- tient des points appartenant à la courbe spinodale, exige un examen spécial. Multiplions par (VW — b)? la seconde équation A et posons ensuite V — db; nous aurons: | MET 1026 2 0b da _ 2a (1 —x) pes 07 UE n ( .) =0 ou a Dur BTE) de Les valeurs de x qui satisfont à cette équation indiquent les points où la courbe spinodale rencontre la droite W — b. La condition que deux points d’intersection coïncident conduit à l’équation br A —2x)=32x(1—%x) ou x : D Dr be ) +2 b, RTE ee équation qui a une racine positive, savoir lorsque 0, > b,, DR pe 1 Je ARE LEE ON be 12 0 ou D ee 21 ESS EE bp, +. Her pr 1 TR D, —b, ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 4 50 M. J. D. VAN DER WAAIS. THÉORIE L’équation a MR «140 m(1—x). dx? se laisse encore ramener à la suivante MRT=26; D} | . se = E 2p Es (a) Si l’on substitue dans le second membre la valeur de x qui correspond à la coïncidence des points d’intersection, l’équa- tion donnera la valeur de T pour laquelle la courbe spinodale est tangente à la courbe V — 6. Pour les valeurs plus faibles de T, il y aura intersection; pour les valeurs plus élevées le point de plissement et, par suite, le second pli ne se trou- e ® « 02b = veront plus sur la surface w. Aïnsi, dans le cas où ——s Serait HA nul, il existe une température au-dessus de laquelle les deux substances se mélangeront complètement. Cette température, qu’on peut appeler ,la température critique de mélange com- plet”, est le zéro absolu lorsque Qi , An __ 2. < p, b? b b,b;, A Si nous supposons PL LD = EUDÉE + k=0 DONNE AUD, où kÆ est positif et peut descendre jusqu’à zéro, nous trouvons D, — Giro Æ TG. — @1 (da + À) b, &, É La plus faible valeur de a,., qui permette un mélange complet à toute température est donc LT On voit que, pour 24,., 1, les deux branches de la courbe binodale se sont rapprochées ; en d’autres termes, elles s’éloignent moins des deux branches formées par les projections des points d'inflexion des sections de la surface perpendiculaires à l’axe des x. Donc, dans ce cas, les deux branches de la courbe binodale forment deux courbes qui traversent le champ sans présenter des inflexions très pro- noncées vers le côté des faibles volumes, Il en résulte que la surface ne présentera qu’un seul pli. Lorsque, au contraire, a a, > a?.,, et que par conséquent le second terme du dénominateur reste négatif en vertu de son signe, le second membre de l’équation (1) peut obtenir une valeur élevée et les deux branches pourront s’écarter considérablement. L'écart se prononcera surtout du côté des faibles volumes, la courbe spinodale pourra couper la droite V = b, et alors le second pli se présente nécessairement, Quoique, ainsi, le signe qu’'obtient la valeur a,a, — a?,, paraisse être d’une influence prépondérante sur la configura- 1) La température critique d’une substance unique est, d’après nos nota- : ’ Ge AE Lui x tions, déterminée par la condition: MRT = 8,57 — w 54 M. J. D. VAN DER WAALS. THÉORIE tion de la surface et que, par exemple, le nombre des racines V > 0 de l’équation du quatrième degré en V varie selon la valeur de ce binôme, un examen plus approfondi fait voir que, pour les branches de la courbe binodale projetée sur le plan + V, qui peuvent nous intéresser au point de vue pratique parce qu’elles sont Les projections de points réels de la surface w, re le signe de _ offre un indice encore plus important. Pour les températures très basses et lorsqu'onaa,a, > a?., il peut exister entre les deux branches nommées une courbe fermée, qui indique les points au-dessus desquels la surface est concave dans tous les sens. Dès ‘que la température dépasse la température critique de l’une des deux substances, la courbe spinodale n’embrasse plus toute la largeur du champ ; on peut trouver ses limites ex- trêmes en cherchant les points pour lesquels l’équation (1) donne do a. EU Les observations consignées à la page 143 de mon écrit ,Continuität des gasfürmigen und flüssigen Zustandes !) peuvent s'expliquer par l’examen de la marche que la courbe bino- dale présente dans ce cas. Il apparaît alors que les deux plis que nous avons distingués dans la surface doivent, par rapport à leur mode de formation, être considérés d’une autre manière. Lorsque la température critique du mélange 1) Ces observations se rapportent à un mélange de 9 volumes d'acide carbonique et un volume d’air atmosphérique. La température critique de ce mélange était 25° C, la pression critique de 77,5 atmosphères. En con- tinuant de diminuer le volume, la pression augmenta et à 95 atmosphères le mélange était redevenu homogène. On trouva les valeurs correspondantes 209,4, 72 atmosphères, 103 atmosphères. Le mélange était encore homogène à 19°,2 et 106 atmosphères et à 29 et 145 atmosphères. Un mélange de 7 volumes d'acide carbonique et 3 volumes d'acide chlor- hydrique donna les résultats suivants; MOLÉCULAIRE D'UNE SUBSTANCE ETC. 55 (déterminée par la valeur de 7) diminue régulièrement de- puis celle de l’une des substances jusqu’à celle de l’autre, ils se forment comme il suit. Soit 7%, > Tx. Pour une valeur de T peu inférieure à T%,, il s’est formé pour V — 36, un pli dont le point de plissement, lorsque la température continue à baisser, non seulement se déplace dans la direction du pli, mais de plus, dans le cas par exemple d’un mélange de CO, et CTI, dévie vers le côté des petits volumes. Dans la figure 5 la courbe tirée en plein est la courbe binodale, la courbe ponctuée la courbe spinodale pour une température qui commence à approcher de la valeur 7x. Dans ce cas également, on peut trouver les phases coexistantes en menant chaque fois un plan bitangent. Les points À et B Température critique — 319,7. Pression critique = 90 atm. condensation. homogénéité. 1225 D — 09 415 M Hi =6er 150. Dans l'écrit cité (voir la note, page 4) M. van der Waals remarque qu’en faisant ces expériences il n'avait pas connaissance de celles de M. Cailletet (Comptes Rendus XC, p. 210—211). M. Cailletet, opérant sur un mélange de 5 volumes d’acide carbonique et un volume d’air atmosphérique, a trouvé: M =001005 10° 139 189 199 HE N52 124 120 113 110. 56 M. J. D. VAN DER WAAIS. THÉORIE forment la première paire de points conjugués. Mais, tandis que du côté de À ïies points qui se succèdent restent rap- prochés, ceux du côté de B s’écartent bientôt sensiblement. Des deux côtés les points se rencontrent en C. Au point P, où la tangente de la courbe binodale est parallèle à l'axe des volumes, est située la limite pour les mélanges qui, à la température adoptée, peuvent présenter deux phases différentes. Le point P représente la phase que l’on considère comme l’état critique du mélange. Mais cette température ne satisfait N (02 .« aucunement à la valeur / 27e Pour cette dernière valeur le point P pourrait même tomber dans la région des états labiles. Le point P se détermine en introduisant dans l’équation : es & (5 ), (> 0 dx | æ, . “ 2 hù a — la condition que de a ) CHU R — c. Gp D ? Mais, soit à cette température, soit à une température plus basse, dans le voisimage de P, ils s’est déjà produit une déviation latérale, et, déjà avant que la température aït baissé jusqu’à 77,, le point de plissement s’est montré sur la première courbe binodale. La configuration qui, pour des températures très-basses, présente la forme d’un seul pli est en réalité un pli double, tandis que le second pli ne constitue qu’une partie du premier. a QE Lorsque FF offre une valeur maximum ou minimum, le cas devient encore plus compliqué. Il peut arriver alors que la courbe binodale soit séparée en deux parties distinctes. MCORERICGER. page 15 ère For Ne CU EPS page 15, première formule A ; 7, isez : TA » 29 Lorsque “2 est positif, lisez : Lorsque ane est positif. dx, de, SUR LES POINTS DE PLISSEMENT, PAR D. J. KORTEWEG. :) (Avec une planche). Dans le présent travail j'ai essayé de faire la monographie de certains points singuliers des surfaces, comparables, sous maïints rapports, aux points d’inflexion des courbes. De même que ceux-ci chez les courbes d’ordre donné, les points dont il va être parlé se rencontrent, chez les surfaces d’ordre donné, d’une manière générale et en nombre déter- miné; et de même que les points d’inflexion sont situés sur la courbe de Fesse, les points en question appartiennent à la surface de Hesse. Ils possèdent en outre une propriété qui est analogue à la propriété principale des points d’inflexion, à savoir, qu'on peut faire passer par eux une tangente ayant avec la surface un contact d’un ordre supérieur à l’ordre le plus élevé du contact des tangentes menées par un point arbitraire. Ces points singuliers, pour lesquels je propose le nom de points de plissement ?), ont encore gagné en intérêt dans les 1) Traduit des Wiener Sitzungsber. Bd. 98, Juillet 1889. 2) Dans les ouvrages sur la Géométrie de l’espace, ces points n’ont gé- néralement pas reçu jusqu'ici de dénomination spéciale : tel est le cas, par exemple, pour le traité de Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie des Raumes, 3 Aufiage, 9 Capitel, et pour les Mémoires de Cayley qui y sont cités. Postérieurement, Maxwell (voir J. Clerk Maxwell, Theory of Heat, 9e édition, 1888, Chapter XII, p. 205) a employé pour ces points le nom de tacnodalpoint, rappelant, sans contredit, l’une de leurs propriétés caracté- ristiques. Néanmoins, le nom de »point de plissement” (en angl. plaitpoint 58 D. J. KORTEWEG. SUR LES derniers temps, parce que leur apparition sur les surfaces thermodynamiques à une importante signification physique !). On les définit ordinairement comme points communs à la courbe spinodale (courbe des points auxquels la courbure de la surface est nulle) et à la courbe flecnodale (courbe des points de contact des tangentes ayant avec la surface un contact du troisième ordre), on sait qu’en eux se touchent ces deux cour- bes et la courbe connodale (courbe des points de contact des plans bitangents) ?) on connaît aussi leur nombre sur une sur- face d’ordre donné *); maïs, à ma connaissance, ils n’ont encore été étudiés sous aucun autre rapport. Combler cette lacume, tel est le but de mon travail, qui sera divisé en deux parties. La première Section commence par l’examen de la confi- guration d’une surface au voisinage d’un point de plissement, en allem. Faltenpunkt, en holl. plooipunt) me paraït indiquer encore mieux la nature des points dont il s’agit. Dans un mémoire que je publierai plus tard, je me propose (comparez $ 27 de ce mémoire-çi) de montrer, en effet, à quel point la production, l’effacement et la confluence des plis d’une surface en voie de déformation continue est régie par l'apparition, la dis- parition et la coïncidence de ses points de plissement, et comment la confi- œuration tout entière des plis dépend du nombre et de la nature des points de plissement qui doivent apparaître lors de la formation de ces plis sur une surface primitivement uniconvexe. Au reste, la circonstance qu'a l’origine de chaque pli (qu’on songe, par exemple, au jet d’une draperie) se trouve un point de plissement, suffit déjà, à mon avis pour. jusüfier la dénomination choisie. Le nom de »points asymptotiques”, donné, dans les publications relatives aux surfaces du troisième degré, aux points de plisse- ment quise produisent sur ces surfaces, ne me semble pas à recommander. 1) Sur la signification des points de plissement des surfaces thermo- dynamiques, voyez Maxwell, Theory of Heat, loc. cit., ainsi que le Mé- moire de M. van der Waals, Théorie moléculaire d’une substance composée de deux matières différentes, dans le présent volume des Archives néer- landaises. Chez les surfaces thermodynamiques considérées dans ce dernier travail, la température joue le rôle de paramètre variable, et il se peut donc que les points exceptionnels du premier ordre, dout il sera question ici au $ 13, se réalisent sur de pareilles surfaces 2) La courbe binodale du mémoire précédent. 3) Salmon-Fiedler, Analytische Geometrie des Raumes, 3. Aufl., IX. Capitel, $ 476. POINTS DE PLISSEMENT,. 59 point que je définis d’une manière un peu différente de celle mentionnée ci-dessus. L'étude de cette configuration conduit alors d’elle-même à une division des points de plissement en deux espèces principales, auxquelles se rattachent encore deux cas particuliers, où les considérations générales perdent en partie leur validité et qui, comme on le reconnaît plus loin, ont rapport à des points de plissement doubles. Dans la seconde Section est exposée une méthode générale pour explorer la manière dont les points singuliers se com- portent sur une surface qui se transforme peu à peu. Au moyen de cette méthode, — susceptible, je crois, de s’appli- quer aussi avec fruit à l’étude d’autres points singuliers, — est alors développée la théorie de l’apparition et de la dis- paration des points de plissement d’une surface en voie de déformation continue. | PREMIÈRE SECTION. Définition. 1. Lorsqu'un plan bitangent se meut sur la surface qu'il touche doublement, il peut arriver que les deux points de contact viennent à coïncider. J’appelle point de plisse- ment le point de la surface où cette coïncidence se produit. Il est facile de démontrer qu'un pareil point de etes doit se trouver tant sur la courbe spinodale que sur la courbe flecnodale. A cet effet, représentons-nous le plan bitangent un instant avant qu'il atteigne la position où les deux points de contact coïncident, et admettons provisoirement que ces deux points soient situés sur une partie de la surface on la courbure est positive; sur l'intersection de la surface et du plan tangent, les deux points de contact À et B se pré- sentent alors comme des points isolés, voisins l’un de l’autre. Si maintenant le plan tangent, tout en restant parallèle 60 D. J. KORTEWEG. SUR LES à lui-même, est légèrement déplacé, de manière à ce qu’il coupe la surface, la courbe d’intersection montrera deux branches fermées isolées, qui toutefois conflueront en un point double C si le déplacement continue. En ce point double, le plan mobile est redevenu plan tangent (simple), et le point C se trouve donc nécessairement sur la partie de la surface qui est à courbure négative, de sorte que la courbe spinodale doit passer entre les points C et À, ainsi qu'entre C et B; maintenant au point de plissement tous les trois points se con- fondent, et il est par conséquent situé sur la courbe spinodale. D'un autre côté, la droite AB, qui a quatre points com- muns avec la surface, devenant au point de plissement tangente à cette surface y aura un contact de troisième ordre. On voit donc que le point de plissement appartient aussi à la courbe flecnodale. Dans le cas où la surface est de courbure négative en À et en B, ou bien (ce qui ne peut arriver que très-excep- tionnellement) courbée de manière différente en ces deux points, la démonstration, pour rester valable, n’a à subir qu'un changement tout indiqué. Equation de la surface au voisinage d’un point de plissement. 2. Pour étudier la conformation d’une surface au voisinage d’un point quelconque, on peut écrire son équation sous la forme générale suivante !): 2=a +b,xz+b,y+c x? +c,ry+c,;y?+d,x +d,x?y FM Si le point en question est un point de plissement, qu’on le choisisse pour origine des coordonnées, et qu’on prenne en outre pour axe des y la tangente ayant avec la surface un contact du troisième ordre, et pour plan xy le plan tangent, on aura l’équation plus simple 2=0,2 +d,x+d,x y+d,xy?+e,Ti+…, jt. 1) Sur les avantages de la notation adoptée ici pour les coefficients, voyez $ 8, note 2, POINTS DE PLISSEMENT. 61 car, outre @,, b,, b,, c,, d,, il faut aussi que €, soit nul, vu que le point de plissement se trouve sur la spinodale et qu’on a par conséquent 4 c,c, = c}. Dans cette équation nous changeons maintenant l’ordre des termes, et mettons en tête ceux par rapport auxquels, au voisinage de l’origine, tous les autres peuvent être négligés dans une première approximation. Ce sont les trois termes C,x?, d,æy, e:y', qui peuvent être éventuellement du même ordre de grandeur, à savoir lorsque x est de l’ordre y?. Cette dernière supposition admise, nous obtenons la série suivante : 2 [ca +diay +esy ]+ [dia y+esay" +fey°]+ +[d,a+e,ty?+fsay+g y ]+..., ...38) où les termes compris entre crochets sont du même ordre de grandeur. En tout cas du reste, même quand l'hypothèse en question n’est pas réalisée, la forme d’une surface au voisinage d’un point de plissement peut être étudiée au moyen de l’équation D—= CL RA,Ty EC U", 4. 4) car tous les autres termes peuvent toujours être négligés par rapport à l’un ou l’autre des trois termes en question. La seule considération de l’intersection de la surface avec son plan tangent amène alors à diviser les points de plisse- ment en deux espèces principales, suivant qu’on a 4c,e. —- de s 0, c’est-à-dire, suivant que la section tangentielle possède des branches réelles ou imaginaires, Les points dé plissement de première CDI ce EC cd 0 vetile ur indieatrice d'u quatrième ordre. 3. Aux points de plissement de cette espèce, la section tan- gentielle consiste en un point isolé à tangente réelle. Les intersections avec des plans 2= 2, ont la forme représentée dans 62 D. J. KORTEWEG. SUR LES la fig. 1 (PI. I), ‘), comme on le reconnaît le mieux en ré- solvant l’équation : par rapport à æ. On trouve ainsi: 2 — UN ro RS Ds Il est à remarquer que le von de coëtite de la courbe aux points C et D est égal, en grandeur et en direction, à celui du diamètre parabolique C = — se-y+) en OT É 1 a toujours deux points d’inflexion réels ?) À, et À,, ainsi qu’une tangente double K, K,; pour d, —0, les points K,, K,, À, et À, viennent se confondre avec le point C, puis, quand d, change de signe, ils disparaissent à ce côté de la courbe, tandis qu’à l’autre côté apparaissent, en D, des points analogues. 1) Pour le dessin de la courbe, on a pris des coordonnées orthogonales et supposé que c, et d;, par conséquent aussi e, (à cause de 4c,e,—d? > 0), sont positifs. Cela est permis parce que l’on peut encore choisir librement l’axe des æ dans le plan des æy, comme aussi l’axe des z dans l’espace. 2) La discussion des points d’inflexion, qui d’ailleurs ne présente pas d'autre intérêt que celui du tracé exact de l’indicatrice, se fait de la ma- nière la plus simple en élevant au carré, puis différentiant par rapport d?æ dy? à y“, le second terme de l'expression de 37 4c,e,—-d2 d'x d, GBA EN E es y*) dy: = — Ci + (e Ac, e,;—d2 )* C, fn Ac: y On obtient ainsi: (Ace. d')27 (7z Acie,— di , See ACC Le NS EE Ba Ac! gé 4c,e,—d: —À . = ——— + Je C; Ac? © Ce terme dans le cas en question, croit donc d’une manière continue avec y“, depuis la valeur zéro (pour y“ = 0) jusqu’à la valeur œ (pour 4C,2zo y*= ————— ; il ne devient donc qu’une seule fois égal au premier 6 4c, e, — di d, terme —. 1 POINTS DE PLISSEMENT. 63 Pour notre étude les deux points À, et K, ont de l’im- portance, car il est facile de voir que, comme points de la surface représentée par l'équation 4), ils possèdent un plan tangent commun. Pous ces points, qui appartiennent ainsi à la connodale, on 2: dx GE (4c,e; —d5)y* ne — ee — =, 0 dy Ê; 2 ç° }/ = ie 4c,e,—d2 Fe C Æc? ! 1 par conséquent: 4 Ye = | d3z9 k PRE Me) DES LL. —=%X 2 seal Feb ; Je K, 4c,e.— d} ) _ 9 EpournIMédquatron dela connodale on trouve, en éliminant 2, : 2e. UN AND 2 Li — FE nee +10) Pour l'équation de la spinodale: 02z d?2 D 22 Ne pes gs (Go) =0 at on obtient _…. OGEe 9 10 4 Me papas . © 0) Comme on à 4c,e.—d2> 0, la concavité de cette courbe est toujours tournée du même côté que celle de la connodale. De ce côté, la surface est donc de courbure négative 2 2 2 2 De ce es nr ) —4c dx. la connodale possède d’ailleurs le rayon de courbure le plus grand; on a, en effet : d 210903 (4c,e:—d2)d;, es (Gcies —di) car sur l’axe des x on a STE 2 es Gc,e;—d2? 2 64 D. J. KORTEWEG. SUR LES quantité qui est positive, lorsque = est positif. Les points 5 de contact conjugués, À, et K,, se trouvent donc toujours sur la partie à courbure positive. Si l’on considère, enfin, que lors du décroissement de la valeur de z, l’indicatrice, pendant qu’elle se contracte en un point isolé à tangente réelle, devient relativement de plus en plus mince dans la direction de l’axe des x, la fig. 1, où, comme dans toutes les autres figures, le côté de la spinodale qui est tourné vers la partie à courbure négative de la surface est indiqué par des hachures, donnera une idée de la forme d’une surface au voisinage d’un de ses points de plis- sement de la première espèce. (Comp. aussi la fig. perspective 4). Cette représentation cesse toutefois d’être satisfaisante dans le cas de d, — 0. L’intersection z —z, devient alors symétrique des deux côtés, les points d’inflexion et les points de la connodale se sont réunis au point C, et ce que sont devenues les courbes connodale et spinodale, il est difficile de le dé- couvrir sans examen particulier. Nous serons donc obligés de revenir sur ce cas. (Voir $ 10). Les points de plissement de seconde espèce, 4c,e,—d; <0. 4. Aux points de plissement de seconde espèce la section tangentielle, est composée de deux courbes qui se touchent et dont les courbures sont tournées dans ie même sens ou en és — =. 0. Les intersections 2 = 2, : DCE sens opposé, suivant que possèdent des branches infinies, qui se rapprochent asymp- totiquement de ces courbes. La fig. 2 représente une pareille . . A : intersection pour le cas — 0; c,, d, sont de nouveau : supposés positifs, et par conséquent e. négatif; 2,, en outre, est pris positif. La section tangentielle asymptotique a été pointillée. POINTS DE PLISSEMENT. 65 L’équation 5) s'écrit maintenant: d; 2 ONG; (2 = — + y? + +1 yt, ...11 % D ARC > Aa ) Lorsque 2, est positif, la courbe se compose donc de deux branches, l’une à droite et l’autre à gauche de la ligne mé- diane Fa= — - ne). Dans notre figure, la branche de droite présente deux points d’inflexion À, et À, !) et une bitangente À, K,. La spinodale (équation 10) et la connodale (équation 8) tournent toutes deux leur concavité à droite, tandis que la connodale possède le rayon de courbure le plus grand. La partie de la surface dont la courbure est positive se trouve à droite. Les points de contact conjugués sont tou- jours situés sur la partie à courbure négative (Comp. aussi la fig. perspective 5). Les intersections avec des plans pour lesquels z, est négatif offrent peu d'intérêt. Elles se composent d’une branche su- périeure et d’une branche inférieure, l’une et l’autre pourvues de deux points d’inflexion réels ?), et sans tangente double. 1) Pour se convaincre qu’il ne se produit que deux points d’inflexion réels, on n’a qu'à considérer de nouveau le second terme dé l’expression de 2, * . . À o NO 4 . ICE terme, abstraction faite du signe, croit ici d’une manière continue dy? : an . 4C,2o : as ! avec y", jusqu'à ce que, pour y‘ = -—}— , il atteigne la valeur maxi- di—Ac,e; { Te e PE r Ê mum PACE SE" qui surpasse ici, vu que e, est négatif, la valeur Ci du premier terme — . Lors d’un accroissement ultérieur de y*, le second C; | LL RANE 0, die, 1 d. terme décroît régulièrement jusqu’à la valeur limite Vas — > a Il 1 1 ne redevient donc plus égal au premier terme. 2) Cela résulte de ce que le second terme de d’abord (pour ACER AS dues se = moe ga) infiniment grand, décroit continüment, jusqu à ce que C1; — Q3 POUF y — LES il atteigne la valeur minimum zéro, après quoi il C1ls — Us ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 5) 66 D. J. KORTEWEG. SUR LES 5. Lorsque = est positif, les deux branches de la section ; | | tangentielle, ainsi que la ligne médiane, se trouvent du même côté, du côté gauche dans notre figure 3, où c, et d, sont pris positifs. Les sections 2—2, peuvent pour 2, positif, cas où elles ont encore une branche gauche et une branche droite, ou bien présenter sur la branche droite quatre points d’inflexion, ou bien n’en présenter aucun !), mais constamment elles sont dépourvues de tangente double. Pour 2, négatif, au contraire, ces sections, qui alors sont composées d’une branche supé- rieure et d’une branche inférieure, possèdent toujours une bitangente K, K,, raison pour laquelle, dans notre figure, nous avons représenté une section de ce genre ?). La courbe spinodale tourne son côté concave, suivant les 2 > 4 LN . ° circonstances (d2 6ce;), à gauche ou à droite, mais elle reste toujours à droite de la courbe connodale courbée à gauche, qui par conséquent se trouve toujours sur la partie à courbure négative de la surface *). (Comp. la fig. perspective 6.) Lo Vd Ace croît de nouveau jusqu'à la valeur limite mie > er Il devient Ga ch donc deux fois égal au premier terme, et comme le signe change au pas- sage par la valeur zéro, le premier point d’inflexion est situé à gauche de la ligne médiane, le second à droite, dE Tente 1) Suivant que la valeur maximum Vds — cie) =. 6: < ds —< , c'est-à-dire Ci d2 a OCrER: 2) Chacune des deux branches possède à son côté gauche un point d'in- à ; : : de flexion, car, lorsque y“ croit, le second terme de l'expression de y décroît continüment, depuis æ jusqu’à une valeur limite < = j 1 3) On pourrait croire que e, = 0 constitue, tout comme d, = 0, un cas exceptionnel, vu que les points K, et K, s'éloignent alors à l'infini. Mais, en tenant compte des termes d'ordre supérieur, on reconnaît que la seule singularité. est celle-ci: que la connodale possède un point d'inflexion à l'origine (voir $ 8). POINTS DE PLISSEMENT. 67 6. Une représentation perspective de la forme d’une surface au voisinage d’un point de plissement est donnée dans les figures 4, 5 et 6. La première représente une surface à point de plissement de première espèce, les deux autres montrent des surfaces à points de plissement de la seconde espèce ; dans ces deux dernières, nous avons donc pu donner aussi l’intersection de la surface avec le plan tangent du point de plissement. Dans toutes, la courbe connodale à été tracée et la courbe spinodale a reçu des hachures. Les différences es- sentielles de ces deux espèces de surfaces, savoir la nature différente de la section tangentielle et la situation différente de la courbe connodale (sur la partie à courbure positive pour les points de plissement de la première espèce, sur la partie à courbure négative pour ceux de la seconde), sont rendues sensibles aux yeux par ces figures. La courbe flecnodale en première approximation. 7. Si l’on place au point x, y, z de la surface l’origine d’un nouveau système de coordonnées parallèles, la nouvelle équation de la surface devient: PUS d?2 y de 2) ee on +5 mr De 0 Y + js D ES 12) En supposant ensuite que le point x, y, z appartienne à la courbe Fa il doit y avoir sur son plan tangent = dE a+ ne une droite x —=my ayant avec'la surface | dx dy un contact du troisième ordre: Cela exige: GE 022 De Su = (RE er URSS CE 18) UE 02 02 02 ANS DE; Rs lt PL M 5e AE dx?0y on dvd y ? ‘à ON Rs 68 D. J. KORTEWEG. SUR LES par conséquent, pour la surface de l’équation 4): 2c,m°?+4d;ym+2d,x+12 e.y? = 0 RAR 6 dym+24 e.y = 0. 1110) En éliminant m de ces dernières équations, on obtient pour l'équation !) de la flecnodale : x —= 2 es(d;—8 Cie) a y? 151008 Les courbes Spinodale fl'ecnodade etc ome nodale ten seconde pprox1metRHon: DS 8. Comme ïl était à désirer que les courbes connodale, spinodale et flecnodale, représentées en première approxima- tion par les équations 8), 10) et 17), fussent aussi connues en seconde approximation, j'ai effectué les calculs nécessaires, dont voici les résultats ?). Spinodale: 00, Tati Leg mise mnt 2 42 c?di 1) De cette équation se déduit immédiatement ce theorème bien connu, qu’en un point de plissement la flecnodale et la spinodale (ainsi que la connodale) se touchent. Il est facile, d’ailleurs, de donner une raison simple pour laquelle la flecnodale et la spinodale, lorsqu'elles se rencontrent, doivent toujours avoir en commun un nombre pair de points consécutifs. Jamais, en effet, la flecnodale ne peut quitter la partie à courbure néga- tive de la surface, ni par conséquent couper la spinodale, parce que dans la partie à courbure positive les racines de l'équation 13) devien- nent imaginaires conjuguées et doivent par conséquent, toutes les deux à la fois, être ou n'être pas des racines de l’équatiou cubique 14). Le premier cas se réalise, il est vrai, en certains points isolés (les points fleflecnodaux de Cayley), mais ceux-ci ne forment pas de courbe. 2) Dans la notation adoptée au $ 2 pour les coefficients de l’équation de la surface, les termes appartenant au même coefficient, tels que 18cie,e,, 12c,d,d,e,, etc., possèdent les trois propriétés suivantes: 1°. Le nombre des lettres c,c,e,e, est égal pour tous ces termes; 29, il en est de même de la somme des indices : 1414445, et 3°. de même encore de la somme des numéros d'ordre des lettres: 34+3+545. POINTS DE PLISSEMENT. 69 Flecnodale — 26: ne. Ci APE 3 2 (d2—4c,e,) (10 di f,+16d,d,c2—10 diese; —16c,e,e?) + d3 + 48 c die,e2— 128 c,d,d,e?+6 die,e.—10 dif; : 19) a 1] FUÉPRRINE Connodale | ins D ni) 0 à tr 20) d; d3 L’équation 18) s'obtient en substituant l’expression AOC CES . D Ba + Ay dans l’équation 9), après que dans celle-ci on a pris pour 2 la pts 3); l'équation 19) résulte de la substitution de DA = AN es) ps 3 et dans les équations 18) et 14). 9. Quant à l’équation 20), la déduction en est un peu plus compliquée. Pour l'équation de la connodale nous écrivons d’abord : 1) 2e. d, puis, dans cette équation, ainsi que dans les équations e), Qi G)5G 1: aa), _,) =:,— (RE) — MER 129) 70 D. J. KORTEWEG. SUR LES qui expriment les conditions de l'identité des plans tangents des points K, (x,, y,) et K, (x,, y,), nous substituons les expressions | Yi = Yo + ÉY5 Ya —=—VYo + EyS -..28) Nous obtenons ainsi, par 21): 2 es 4e; E Da MR LL + (D-< = ): 0 D = Ty +(—D+ ee ve, 3 3 et par 22) di —4 c,e. 5 — : Cies (E+E)+ d,e, —4 d,e; ds a; HE *- 120) (20e )D+ AUS (8 + E)+ =— 2 Er A UN 7 2 CRE à | par conséquent : D— ar) e 28) 3 Le point de plissement double homogène d,—=0. 10. Dans le cas où d, —0 les équations 18) à 20) cessent d’être applicables. Pour la courbe spinodale on trouve alors, en première approximation, au moyen des équations 9) et 3): (c,e,-—-di)2?+8ce,xzy+6c e;y? = 0. + .* 29) Cette courbe présente done à l’origine un point double, avec branches réelles ou imaginaires. En ce qui concerne la courbe flecnodale, les équations 13) et 14) deviennent : (2c,-+...)m? +(4d,x+...)m + + (De,t?+6Ge,xy + 12e;y? +...) = 0, .. SÛ) POINTS DE PLISSEMENT. 71 (6d,+...)m°+(6d,+...)m?+(l2e,r+18e,y+...)m+ + Ge,x+24e;y+ ...—0. ... 31) A raison de l’équation 30), m doit être du même ordre de grandeur que x et y; il suit alors de l’équation 81), qu'on a, en première approximation : 4 es Cx . 32) ÎF== 4 Nous posons donc æ = — Sy + Ay?, m— By, et ob- 4 tenons alors de 30) une équation du second degré pour le calcul de B, tandis que par 31) peut être calculée, pour cha- cune des deux racines, la valeur correspondante de 4. La courbe flecnodale se compose donc de deux branches, réelles ou imaginaires, qui se touchent; à l’origine elle a par con- séquent quatre points communs avec la spinodale, de sorte que cette origine constitue un point de plissement double. Nous ne déduirons pas ici l’équation de la courbe conno- dale, mais ferons seulement connaître le résultat auquel cette recherche conduit. Cette courbe, elle aussi, possède deux branches réelles ou imaginaires et a, à l’origine, quatre points communs tant avec la spinodale comme avec la flecnodale. MépDobnaede DIS e mi'entidio ble hétérogène 4c,e;—d?—0. 11. Le fait que, dans ce cas 4c.e,—d? — 0, nous avons encore affaire à un point de plissement double, ressort im- médiatement de la considération des équations 18) et 19). di—6c,e; 2e:(d—8c;e;) HER N UP Er . La spinodale et la flecnodale ont donc, au moins, Pnetliet, pour di —#c,e., on à AA 3 trois points communs; mais alors, vu que ces deux courbes ne peuvent pas se couper (comp. $ 7, note), il doivent avoir encore un quatrième point de commun. La preuve qu'il en est réellement ainsi est fournie par les équations 18) et 19), 72 D. J. KORTEWEG. SUR LES car les coefficients de y*, dans ces deux équations, devien- nent, pour di = 4c,e;, égaux l’un à l’autre. DS Il semblerait par contre, à considérer les équations 18), 19) et 20), que la connodale et la spinodale, ainsi que la conno- dale et la flecnodale, n’eussent que deux points consécutifs communs, ce qui toutefois est impossible si l’origine est réel- lement un point de plissement double. La solution de cette contradiction se trouve dans la circonstance que l’équation 20) a perdu sa validité. C’est ce que montrent déjà les équations 25) et 2) qu, pour d? —=4c,e., s’excluent. Sans entrer dans plus de détails à ce sujet, je dirai briè- vement comment les choses se passent. La connodale se compose de deux branches qui se touchent à l’origine, et les rayons de courbure de ces branches sont égaux entre eux ainsi qu'à ceux de la spinodale et de la flecnodale. Chacune de ces branches, qui d’ailleurs sont constamment imaginaires, a donc trois points communs avec ces courbes !{). SECONDE SECTION. Introduction. 12. Dans cette partie de notre travail, nous nous occupe- rons de l’apparition et de la disparition de points de plisse- ment sur une surface qui subit une déformation continue. 1) En tout, il y a donc, non pas quatre deces points, mais six. Cela tient à ce que, comme on sait, la spinodale et la connodale, de même que la flecnodale et la connodale, ont, outre les points de plissement, encore d’autres points communs, dont, dans le cas que nous considérons ici, deux se sont ajoutés aux quatres points qui accompagnent les points de plis- . sements coincidents. Dans un travail ultérieur (comp. ici le K 27), j'espère démontrer que l'apparition de ces deux points a une importante signifi- cation géométrique, consistant en ce que deux points de rebroussement se présentent chez la connodale qui, lors de la transformation de la surface, naît du point isolé, Le travail en question expliquera complètement la manière dont la connodale se comporte au cas d’un point de plissement double, ce qui exigerait ici des développements trop étendus. reg POINTS DE PLISSEMENT. 73 Quand il s’agit de points singuliers qui, comme les points de plissement, se présentent en général isolés (c’est-à-dire sans former des courbes) sur une surface déterminée par son équation en coordonnées polaires, leur apparition et disparition peut toujours être interprétée comme un passage de l'imaginaire conjugué au réel, ou réciproquement. Un pareil passage ne peut toutefois avoir lieu que lorsque deux ou un plus grand nombre des points singuliers en question viennent à coïncider. Pour étudier donc, sur une surface qui change continûment suivant une loi déterminée, l'apparition et la disparation de ces points, on n’a qu'à considérer les points d’une singularité plus élevée, où plusieurs de ces points viennent se confondre. Parmi les points de singularité plus élevée qui possèdent cette propriété, 11 y a à tenir compte, en première ligne, de ceux dont la production n’exige qu’une seule relation entre les coefficients de la surface variable. Nous désignerons ces points sous le nom de points exceptionnels !‘)du pre- mier ordre. Toute surface d'ordre donné peut être trans- formée continôment en toute autre du même ordre, sans qu’il se produise d’autres points exceptionnels que ceux du premier ordre. S'agit-il, toutefois, d’une déformation qui, au lieu d’être entièrement libre, est déterminée par un certain nombre de paramètres, alors, dans le passage d’une surface Ca) D’après ces conventions, les points d’inflexion d’une courbe algébrique d'ordre donné sont donc des points singuliers, mais non des points ex- ceptionnels ; les points doubles, au contraire, sont des points exceptionnels du premier ordre, les points de rebroussement des points exceptionnels du second ordre. S'agit-il de courbes de classe donnée, alors les points de rebroussement et les points doubles ne sont pas des points exceptionnels, les points de contact d’une bitangente et les points d’inflexion sont, respec- tivement, des points exceptionnels du premier et du second ordre. D'une manière tout à fait générale, étant donné un système de surfaces qui doivent satisfaire à certaines conditions, on peut, sur ces surfaces, dis- tinguer des points exceptionnels du premier, du second, du troisième ordre suivant le nombre des conditions supplémentaires que leur appa- rition exige. 74 D. J. KORTEWEG. SUR LES à une autre, tous les points exceptionnels d’ordre supérieur peuvent encore être évités généralement, mais il peut aussi se présenter des cas où cela est impossible. Dans ces cas, néanmoins, nous pouvons encore, par l'introduction d’un nouveau paramètre convenablement choisi, échapper aux points exceptionnels d’ordre supérieur, et nous trouvons alors, en même temps, que ceux-ci sont composés de certains points exceptionnels du premier ordre. En ce qui concerne nos points de plissement, nous ferons voir qu'il ne se rencontre que quatre espèces différentes de ces points exceptionnels du pre- mier ordre, à savoir, les deux points de plissement doubles dont il a déjà été parlé, puis les points d’osculation et les points coniques; ce sont donc ces points là que nous avons à étudier dans la présente Section, quant au nombre, à la manière de se comporter et à Ia nature des points de plissement venus en coïncidence. | 13. Lorsque la transformation homographique détruit (com- me p. e. dans le cas des ombilics) le caractère propre des points singuliers en question il devient nécessaire d'examiner aussi, attentivement, le passage par l'infini. Il serait alors possible, en effet, que lors du passage d’un point par le plan infini il se produisit régulièrement une réunion de plusieurs points et un passage du réel à l’imaginaire ou réciproque- ment, ou bien que l’espèce des points changeât. Pour les points de plissement, toutefois, un pareil examen est superflu, parce que l'apparition de points exceptionnels dans le plan infini peut toujours être évitée ou esquivée, tandis qu'un point de plissement isolé reste réel et de même espèce quand la défor- mation continue de la surface le fait passer par le plan infini. Nous considérons comme continue toute déformation à l'infini qui se montre telle dans les figures homographiques. POINTS DE PLISSEMENT. 4) Détermination des points exceptionnels de nice rio rod requis 0 nt en méme ten ps des points de plissement multiples. 14. Il s’agit donc, en premier lieu, de trouver les points exceptionnels du premier ordre qui constituent des points de plissement multiples. L’équation d’une surface, au voisinage d’un de ses points, peut toujours, à condition que ce point ne soit pas un point conique, être mise sous la forme DC TE CU UT ER 1109) en prenant le plan tangent pour plan YO), et en choisissant d’ailleurs convenablement les axes OX et OY. Pour que l’origine soit un point de plissement multiple, 1l faut néces- sairement qu'elle se trouve sur la courbe spinodale, et par conséquent que c,, ou €,, ou tous les deux à la fois, soient nuls. Dans le dernier de ces cas, on a affaire à un point d’osculation, où la section tangentielle présente un point: HApletSMau contraire c seul ourc. seul st nul, faut nécessairement, puisqu'un point de plissement multiple ap- partient aussi à la flecnodale, que l'équation 33) puisse être ramenée à la forme 38). La spinodale et la connodale sont alors connues (comp. $ 8 et, si d, — 0, $ 10), et la moitié du nombre de leurs points communs donne le nombre des points de plissement venus en coïncidence (parce qu’en un point de plissement unique sont contenus deux des points d’intersec- tion de ces courbes). Des points de plissement multiples ne peuvent donc exister que si c’est-à-dire (d? — 4c,e.)? = 0, ou encore si d, = 0; mais alors l’on à affaire à l’un ou l’autre des points de plissement doubles déjà mentionnés. Parmi les points exceptionnels du premier 76 | D. J. KORTEWEG. SUR LES ordre il ne peut doncse trouver d’autres points de plissement multiples !') que les deux espèces de points de plis- sement doubles et, en ‘outre, les points coniïiques et les points d’osculation. Tels sont donc les points sin- guliers que nous avons à examiner sous le rapport du nombre, de l'espèce et de l’allure des points de plissement qui y sont confondus. Auparavant, toutefois, nous établirons les équations qui sont nécessaires pour calculer les points de plissement d’une surface et pour en déterminer l'espèce, Calcul des points de plissement d’une S'HLTACeN— 0) 15. Au $ 7 nous avons vu qu’en un point de plissement, comme point de la flecnodale, l'équation quadratique 13) et l'équation cubique 14) doivent avoir une racine commune. Mais, puisque le point de plissement appartient aussi à la spinodale, l’équation 13) doit posséder deux racines égales. Ces deux conditions sont remplies, quand il est possible de déterminer une valeur m satisfaisant à la fois aux trois équations: 0 ?z 022 D alé ... 34) 022 0 ?2 no TN ee) 02 0°2 per 02 3 DR OL er Cl. FOIS — SG É 0x AU dx? 0y PT Gene eo ; no Ce système d’équations sera généralement utilisé, dans ce qui va suivre, pour la détermination des points de plissement. Lorsque x, y, m en est une solution, on a encore à décider si le point de plissement correspondant est de la première ou de la seconde espèce. 1) Une démonstration plus systématique, mais moins concise, de cette proposition pourrait être donnée au moyen de la séparation, par la mé- thode esquissée dans les paragraphes suivants, des divers points de plissement. F7 POINTS DE PLISSEMENT. 77 Diétetr mimiat romede és pr'é cie: 16. Pour arriver à cette détermination, nous prenons le point de plissement pour l’origine d’un nouveau système de coordon- nées, parallèle à l’ancien; l'équation de la surface devient alors : eee nv EE) or _ Si l’on pose ici: in et d2 4 Ô dy WU 1790) = NU doneNr = TEE MU, cette transformation homographique ne change rien à l’espèce du point de plissement; mais la nouvelle équation prend la forme … 6 02 ON HEIN 9: no HG ICE a me D) 02 012 AN ET = Grise A = (me D en loue 0e DS et, d’après le $ 2, on a donc affaire à un point de plisse- ment de première ou de seconde espèce, suivant que de 5 0e SOS 0 eZ Ô #2 LÉ ET 0x? [m ER su dx? dy ne . FPS | » JS “2 - ... 40) R ne 0. 3] me Ru cu = dx? 0y nn sn] = Transformation du point de plissement Pd'oamblethomoréène di—=0; 17. Nous commençons maintenant par l’examen du point de plissement double dont il a été question au $ 10. Supposons qu'une surface variable F(x, y, 2, p) = 0 possède pour une certaine valeur du paramètre p, que nous appellerons la valeur critique, un point de plissement de cette espèce. 78 D J. KORTEWEG. SUR LES L’équation de la surface pourra alors, d’après le $ 2, pour cette valeur du paramètre et en choisissant convenablement le système de coordonnées, être amenée à la forme 2 —[cx?+e;y]+[dry+e,xy, +f,y]+ ... ...41) Pour un autre paramètre, plus grand de Ap, on aura done l'équation Cl +6, 2+b2yE7aRY +7 a UT +3 TU HU + +[e,æ?+esy]+[dox?y+exy +fsy ]+... ... 242) dans laquelle, comme dans tout ce qui suit, les lettres grecques désignent des coefficients du même ordre de grandeur que Ap. A la détermination des points de plissement, situés sur cette surface transformée, nous appliquons maintenant les équations 34), 35) et 36). Si nous supposons provisoirement que æ, y, M soient entre eux du même ordre de grandeur, nous obtenons, en négligeant tous les termes d’un ordre in- férieur à l’ordre le plus élevé 2c.m+2d,x+y, =0 ... 43) 2 d,\mr+2 ;,+12e.y? +6e,;xy+2e,x? —=0 ...44) 24 e.y+6e,;x+6GÙ, — TA) Comme, de l'équation 44), il Se que æ, y et m dose être de l’ordre de grandeur LA p, nous pouvons encore, dans 43) et 45), négliger les derniers termes. On obtient alors, sans difficulté, la solution : are. en UE Dont mel MR Se VE Ci ex : —— .. 46) +10 (2 18173 6c,e2e, +16 die —16c,e,e2 Le point de plissement double d, — 0 se scinde donc, lors de la transformation, en deux points de plissement simples. 1) Lorsqu'une pareille supposition n’est pas de mise, on le reconnait à ce que les équations se contredisent l’une l’autre ou donnent, pour quelques- unes des quantités, des solutions zéro. Après coup, on peut démontrer l'exactitude de la supposition, en vérifiant que, pour la solution trouvée, les termes omis étaient réellement d’un ordre de grandeur plus bas que les termes conservés. POINTS DE PLISSEMENT. 79 Attendu que 7, change de signe en même temps que Ap, il s'opère généralement !), au moment où p traverse la valeur critique, un passage du réel à l'imaginaire. Enfin, le terme principal de l'équation 40) acquérant la valeur 2 c, (24 e.), les deux points de plissement réels sont de même espèce, raison pour laquelle nous avons donné au point de plissement double, qui résulte de leur réunion, le nom de point de plis- sement double homogène. Transformation du point de plissement double hétérogène 4c,e,— di = 0. 18. Pour une valeur du paramètre voisine de la valeur critique, l’équation de la surface peut être écrite sous la forme: DT MN AU ae CU em UE OU +[cx?+d,xy+esy ]+[d,ry+ent+fy]+... ...47) La supposition que x,7, m sont du même ordre de grandeur conduirait maintenant aux équations 2c,m+2 d,;y+2d,x+7: = 0 .. 48) 2 d;r+273 = 0 ... 49) 6d;m+24e.y+6c,x+6 0, —=0. :. ...50) Mais, en substituant dans 48) et 50) la valeur de x donnée par 49), on obtient deux équations en m et y, qui, attendu que dans le cas en question 4c,e.—d? est nul pour la valeur critique et de l’ordre de grandeur Ap pour la valeur p+Ap, 1) Il est possible, assurément, qu'après la production d’un point de plis- sement double d, —0, la surface continuant de se déformer, les points de plissement jusque-là réels ne deviennent pas imaginaires, mais se sé- parent de nouveau sous forme réelle. Une pareille production d’un point exceptionnel du premier ordre, dans laquelle ne se produisent pas les phénomènes qui l’accompagnent en général, peut être ditenon effec- tive. Lors de la transformation libre d’une surface d’ordre donné en une autre, la production non effective de points exceptionnels peut toujours ètre évitée. 80 D. J. KORTEWEG. SUR LES donnent lieu à des valeurs finies. La supposition de l’égalité de l’ordre de grandeur se montre donc fausse. En admettant, au contraire, que æ soit du même ordre de grandeur que y* et m°, à savoir, de l’ordre A p, les équations 34), 35) et 36) nous donnent: 2c,m+2d;y+[2d,ym+;,+2d,1+38e,y ]=0 ...51) 2 d,ym+2 ;,+2d,2+12 e.y? = 0 FASO 6 d,ym +24e;y + [6 d,m?+18e,ym + Ge,x + + 60 f,y?+ 60,]—=0. ...53) Multipliant maintenant l'équation 51) par 3 d,, l’équation 53) par c,, et soustrayant, on obtient, en négligeant le terme 6 (d?—4c,e.)y, parce qu'il est de l’ordre de grandeur (Ap} : —6c,d,m?+(6d,d,—18c.e,)ym+(9d,e, —60c f,)y? + +(6d,d,—6ce,)r+38d,;,—6c,d, —=0 ...54) Mais, en vertu de 51) et de 53), on a en première ap- proximation d, 4e. | = Sy=-Ee} Aer © m c, y d, y; ) en vertu de 52) ARRET NME d;y° 5 D d. De, + 6) et en vertu de 54) S'SUELEE C,d37—205d;03 +20c,(c,c, —d;d:)7: 1 5d,dà—10c, de, +2 c°fid, Aïnsi y? change de signe en même temps que A p, et par conséquent, lorsqu'un point double de cette espèce se montre sur la surface variable, il s'opère en général un passage du réel à l'imaginaire. Dans l’équation 40), le terme constant devient maintenant . 57) égal à 2c,.24e.—3(2 d,)? —12(4c,e;:—di) et est donc de l’ordre Ap. Par suite, après que la valeur de m donnée par 55) a été substituée dans 40), on voit apparaître POINTS DE PLISSEMENT. 81 ici, comme terme principal, le terme contenant la première puissance de y (ordre /Ap); mais puisque, d’après 57), les deux points de plissement ont des y de signe contraire, ils sont d’espèce différente. Dans un point de plissement double hétérogène 4c,e;—di—0 seréunissent donc dEvsponnt des plissement déespèce différente, qui deviennent alors imaginaires. Transformation des points d’osculation. 19. Lors de l’apparition d’un point d’osculation, l’équation de la surface, pour une valeur du paramètre voisine de la valeur critique, est: a, +É6,2+boy+y 2 +7 a2y +73" +dia* +do2°y+ REY Re UE E) La supposition correcte est dans ce cas: m fini, x ety du. même ordre de grandeur. Des équations 34), 35), et 36) résultent alors, respectivement, les suivantes : 2m; ,+6d,æm+2d,ym+;,+2d,2+2d,y =0 ...59) my, +2d,2m+2d;ym+ 27; +2d,%+6d,y =0 ...60) 6d,m°+6d,m°?+6d;m+6d, = 0. 101) À chaque solution réelle de l’équation 61) correspond un point de plissement réel. Il ne s'opère pas de passage du réel à l’imaginaire. L’équation 61) est identique avec l'équation servant à calculer la tangente au point triple de la section qui touche la surface au point d’osculation. Comme en outre, dans l'équation 40), le terme quadratique de signe négatif surpasse l’autre, nous pouvons énoncer cette proposition: Dans tout point d’osculation sont réunis trois points de plissement. Le nombre (un ou trois) des points de plissement réels est égal au nombre des bran- ARCHIVES NÉERLANDAISES, TT, XXIV. G 82 D. J. KORTEWEG. SUR LES ches réelles de la section tangente. Les points de plissement réels sont toujours de la seconde espèce. Il ne se produit pas de passage du réel à l’imaginaire. Détermination des points de plissement d'unesuriace o(r, ge) 20. Au voisinage immédiat d’un point conique, le développe- ment en série 1) n’est plus admissible, et la voie suivie au $ 15 cesse donc d’être praticable quand il s’agit de déterminer les points de plissement qui se séparent lors de la transfor- mation d’un point conique. Nous devons donc commencer par établir des formules propres !) au calcul des points de plissement d’une surface représentée par une équation y (x, y, 2) = 0, où 2 n’est pas ex- primé explicitement en x et y. Soit le point P, à coordonnées x, y 2, un point de plisse- ment de la surface et en même temps l’origine d’un nouveau système de coordonnées x’, y z': la nouvelle équation de la surface œ (x, y, 2) = 0 peut alors s’écrire: HER NE NUE .. 62) 1 Ô Ô oh Fa RE vel Tee Me, or ... 09 H, = —(e mn +Vi tea) ) L'équation du plan tangent en P est alors 1) La considération des points de plissement comme points d'intersec- tion de trois surfaces connues (Salmon-Fiedler, Allgemeine Geometrie des Raumes, 3. Auf. $477, S. 623), considération qui conduit, par exemple, à la détermination du nombre des points de plissement d’une surface de l’ordre #, fournit un système d’équations peu convenables pour notre dessein. DR BTE RO PRO POINTS DE PLISSEMENT. 83 PR MERS FH, =0, .. 64) et ce plan doit, attendu que le point P appartient à la spi- nodale et que par conséquent les deux tangentes de la section tangentielle coïncident, être tangent au cône 15) 00) À un point Q de la droite de contact sont donc applicables les équations 64) et 65). Mais pour un pareil point on a aussi OL NEO A NO OT OLA ve sa de DR ROE RPOE va I 02 .… 66) puisque le plan tangent au cône doit être identique avec le plan H, — 0. Enfin, comme la droite de contact, c’est-à-dire la tangente de la section tangentielle au point de plissement, doit couper quadruplement la surface en P, on à encore His = 0: OT) Les équations 64), 66) et 67), avec l’équation + (x, y, 2) = 0 de la surface, suffisent pour calculer les inconnues #, y, z et les rapports æ : y : 2. Détérmination de l'espèce. 21. Soit x',y', z un point Q de la droite de contact PQ, dont il a été question ci-dessus, et 2’+Æ1, y'+m, 2 +. un point À situé, en dehors de cette droite, dans le plan tangent : on a alors nécessairement: Ûp , , dp ie 0} RE E— DU en du nn CS, 68) Si l’on considère maintenant &, 7 et € comme des coefficients constants et finis, qui déterminent la direction de la droite QR, et À comme une petite quantité variable, le point À G* 84 D. J. KORTEWEG. SUR LES décrit une droite menée par Q dans le plan tangent du point de plissement P, droite dont les points d’intersection avec la surface peuvent être obtenus par la substitution des coordonnées + &, y + mà, 2 + 1 dans l'équation 62). En ayant égard aux équations 64), 65), 66), 67) et 68), cette substitution donne, en première approximation !): jl Ô Ô 0 \ 2? Se ne) En en » É x’ 7 dy ) À 6 +( tn + JE A+ = 0 Cette équation du second degré en À devra donc, si l’on a affaire à un point de plissement de la seconde espèce, posséder des racines réelles, et dans le cas contraire, des racines imaginaires. Le point de plissement est donc de la première ou de la seconde espèce, suivant que S'—2H,.S— A4 T0, :2 AT0) où ù ù \? = To NE RE HA: «2er s Can en ) 2 ù) ù — —— = ES Fe Te 1e on eo LT T2) Bien entendu, la condition 70), si l’équation 68) subsiste, c’est-à-dire si le point À reste dans le plan tangent du point de plissement, doit être indépendante du choix de la direction désignée par £, y, €. La preuve qu'il en est réellement ainsi, ressort des considérations suivantes. Soient £, 7, 6 les coordonnées cartésiennes d’un point; 1) Le terme (2 = dE 0 +) H', s’'évanouit en vertu de 66) et D de 68), parce qu'on a E = etc. La quantité 2 est du mème ordre ( a de grandeur que æ°?, y'?, 7! POINTS DE PLISSEMENT. ets) l'équation S == 0 représente alors un cône, qui, si £, 7, £ sont rapportées aux mêmes plans de coordonnées que x, y, ?, est identique avec le cône 65) et par conséquent touché par le plan “LRO : le E ee ne — EL M EL 2 identique avec 64). Mais la droite de contact, identique avec PQ, se trouve en outre dans le plan A —=0 (si x, y, 2 sont regardées en À comme les coordonnées du point Q), car par la substitution PRET = — = (x',y,2 coordonnées du point Q) ...74) NE on satisfait, comme il suit de 67), à l'équation de ce plan A0: Le cône S— 0 est donc touché par le plan B = 0 suivant la droite B—0, A—0, et l’on sait qu’en pareil cas son équation se laisse mettre sous la forme S—= KA? +(kE + k,n + 4,6) B—t. 1: 75) Mais alors l'équation | S'—2H,.S— A? —(2kH, —1) 4 +2(k,E + + kn+k:0H,B—=0 ...76) représente, elle aussi, un cône touché par le plan B—0. L'espace décrit par les plans tangents réels d’un cône du second ordre étant appelé l’espace extérieur de ce cône, il ne s’agit plus, d’après 70), que de déterminer le signe de S’ au point &, y, &, c’est-à-dire, puisque ce point se trouve toujours sur le plan tangent 73) du cône S —0, dans l’espace extérieur de ce cône. Or, ce signe ést contraire CCleduN discmiminant desla fonction S$" Pour le cas particulier ax? + by? + cz? — 0, ce théorème est très facile à démontrer. Mais alors il doit être vrai généralement, car le signe du discriminant n’est pas changé par les sub- stitutions linéaires correspondant à une transformation des coordonnées. Ne MOUSE PA 4 "HQ ° HQ "HR 20. ECS SEE RQ PQ 2Qhe 202 CH: ‘He ‘Ace He ‘Hxe H:0 “Hi 4h | 2efhie she lex) ss (64° °° ; f 7. f — IV Le e aier DE OI fie zrefe "Ne exe H:e ‘Hz ; fHIe ‘He Hee “Hi REG MOT ue ï HQE NEC, Rem ere CH:e “Hi He ce DICO TI T0 ‘H:e Hi 2 to . GC ù ÿ ° | . = (82 = 0 == Av l HU IN G È onb queains o9odso opuoses ej op no oetwuoid ej op se quuop quotresstd op quiod = un nb ‘jeux Jeynsoz anod quorqo u0 ‘x °H Jed SIOJU JUESIAIP UM ‘JU9INUURS O19Z 91d0p np “ ordop dorueid np sotuioy So] ‘’H 9P en So] JUEAINS SUOISsoIÜxE $09 oddofoA9p uo,I IS = RQ ,TQ ÉCART (2) (ES) 20,0 Ê Re) A 7e A (C£)— GTET "Ht: eue) pre “He HE : € re) \ pre CH HG | hi ie le. fe\_xe\ here, ne fe #)_Æ y ( SN (c (: )— Visite UT 0> (5 no pao Gao) re #6 (one) Care) ue | lex 2 0 > SQ FA FRA, ( ee) QC me | rit nelle) * CH A RS CSS neue ‘ed o90eçduror 0139 ouop qnod (97, uOIIPUOS UT ‘TG 86 87 DE PLISSEMENT,. POINTS (LES Qc in on th ne cie :OUHIOF UT SNOS ‘oxpuarduwuoo & ojloey uoryejou oun quelorduo uo ‘oimo9 ossre] es ‘onbruoo quiod un,p uoronpord ej serde no queue sduey op nod ‘ojqeritA ooexins €] op uorenba/T ‘£z eMeb Emo euro dun p_UuorTeuTorue TT, | ‘o0gdse 9puoses 7 9p juotossrd op squiod sop onb oquosgrd os ou Ir ‘Q = *,}j uo ‘oxpio etwerstor np sooujIns se] suep onb ‘nuuoo Jrej 90 0048 pioooe,p 350 mb oo ‘oArrsod osmuenb oun sinofnoy ouop Jso ©,y ÀQ 1XQ hi ; 0 0 He ! E Ho 2 ÀQ 1Q 0 0 he hi yXQ L : ra ï te / re 5 HQ tHQ ea 1H 4H Q rer la de DORE ON ET ne iQ fi «he £ 1e, xe . TI / | He HR Ee ‘ BHO CH 0 HO Le 20 Ua + de, AO ED © CNE ET ‘1019 U9 JUOUIQSIE 9ANOIJ UO SO[UOIHIOA SOUUOT09 SP 39 SOJUJUOZHOU SOUSI] SOP SO[QUUSAUOI UOTIPPU J9 uoromdipnu Ie ‘erreurs ej 9p suodop xne steur ‘dnoontoq rogrqduuts o1ooue ossre] os © y uorssordxo ] ‘(29 jo (co op uofow nv 88 D. J. KORTEWEG. SUR LES ou, en faisant subir à l’origine des coordonnées un déplacement convenable : g=a+H,+H,+H,+...=0. no) Les équations 64), 66) et 67), dont la solution, combinée avec l’équation 82), nous fournit les coordonnées x, y, z des points de plissement et les directions (x : y’: 2’) des tangentes des sections tangentielles correspondantes, s’écrivent alors : De + y + GE z = 0 Mc) RE De nl 8162) RE + GR po qu Ô . 3 85) ma. a TE: eau = 0 "ES Gr+iv+se) o=0 ee où w représente la valeur commune des quotients 66). Remarquons d’abord qu’on satisfait aux équations 84), 85) et 86), en première approximation, par la supposition ! / do DA AU NE car alors s’évanouissent les termes qui dépendent de H,. En accord avec ce fait, nous substituons dans notre système d'équations : | z'=u(c+E): y —=u(y+r); 2 =u(z+t). 88) Nous obtenons alors, en posant pour abréêger ÔH ÔH, ÔH RAP) er) 2 — . 489 Ôx Le 0 7 02 C : ) 0H, 0H, DATE ; Fr — 2 OO dx S + dy hot 2 S é ) et en restreignant chaque équation aux termes dont 1l sera fait usage ultérieurement : POINTS DE PLISSEMENT. 89 2 H,+3H,+4H,+U,+U, =0 “RAO) 0 H ; DD VOUS PAOUR Les 4 DR a — (|) OR dx de 0x + Ôæ 1 OPA ) ee Qi PAR REERRNE RES" 98) 07 Ôy 07 dy OH, 0H, OUSNOSOU, | es Le — 14,94 02 in 02 d2 02 ù 6H,+24H,+6U, — 0. 1.100) En n'ayant maintenant égard en premier lieu, dans chaque équation, qu'aux termes de l’ordre de grandeur le plus élevé, on peut conclure des équations 92) à 94) que &, 7, € appartien- nent à l’ordre x?, puis des équations 91) et 95) que les rapports des coordonnées xz:y:2 doivent satisfaire aux équations H, =0 et H,—0. Pour la détermination des coordonnées elles-mêmes, toutefois, il faut tenir compte aussi des termes dont l’ordre de grandeur est moindre. En multipliant les équations 92 à 94) respectivement par x, y, 2, on obtient après sommation: 3H,+8H,+U,+2U, = 0. 1100) Cette équation, jointe à 91) et à95), nous permet d'exprimer H,, H, et U, en termes de l’ordre x‘. On trouve FR EN 97) DSP ee) H, 2H, + Us. 99) La substitution de ces valeurs dans l’équation 82) de la surface donne alors 1 FL SRE TE VAIO) et il ne reste plus qu’à calculer [/,, c’est-à-dire à tirer &, », Ë des équations 92) à 94) et à substituer ces solutions dans U,. Mais, en première approximation, les équations 92) à 94) peuvent être écrites : 90 D. J. KORTEWEG. SÛR LES O2, |. MGR) WE CR EE Sx°? Di Poe de ei se LD) OH, V0 DPHN 02H: 0 OR A, ON © OUT, . 0e ie Une Re EU et en introduisant de nouveau, conformément à 79), la notation SH, SH, d°H, 0H, 02H, 0H, 0°H, 0x? Oxdy Ôdxdz Ôx | 0x? Oxdy ÔrÔy DH; 02H) DER A, Oxdy dy? Ùdydr Ù Ai d°H, d°H, en AC — ne 7 ...104) dxdy Ôy? dx dr 02H, 02 H1600 HP 0ER d'H, d'H, 0H, Oydx dydz d2? D | 0TÔz O0V0z 02? Pa DOME € CORRE) £ > ae Le 93e on trouve sans peine, comme résultat de la substitution: A eZ. ER: | A 105) Pour le calcul des points de plissement d’un point conique transformé, nous obtenons donc finalement les équations H, =0 =: F40h) H, =0 .: 0 Hi EE, .… 108) 1 où, au moyen de 106) et 107), l'expression A, se laisse en- core simplifier, comme A’, l’a été au $22. On a en effet: lÉROn, | A— 1 dr 109) AU PAR: dE a dy Ùy Posons y — mx, z = nx; les équations 106) et 107) suffisent alors au calcul de m et de n, après quoi, au moyen de 108), où POINTS DE PLISSHMENT. 91 A, désigne un nombre et A, une expression du quatrième ordre en x, y, z, on trouve, pour chacune des six solutions m, n, une valeur de x*. Enmtout, ilyaldonc 24 points de plissement, dontitouterots Slatmoitié au moins doit être imaginaire. 24, Pour la discussion ultérieure nous avons à distinguer deux cas, suivant que le cône tangentiel À, — 0 est réel ou imaginaire. Dans le second de ces cas, le point conique est un point isolé, auquel s’est réduite une nappe de la surface. Comme il ne peut alors exister de valeurs réelles pour m et n, les 24 points de plissement sont tous imaginaires. Une nouvelle nappe, naissant d’un point isolé d’une surface, ne présente, au début, aucun point de plissement réel. : Lorsque, au contraire, le point conique possède un cône tangentiel réel, ce point se trouve à la rencontre de deux portions de surface qui, en faisant varier le paramètre, ou bien se séparent, ou bien se réunissent. !) Or, ainsi que nous l'avons démontré au $ 22, le signe de l’expression ,, dans l’espace intérieur du cône, concorde avec le signe du diseri- minant AÀ,; la surface 82) présentera donc l’état de la réu- nion ou de la séparation, suivant qu'on aura «A, 0, car, au signe de «, on reconnaît immédiatement si, après la transformation, l’origine a été englobée dans l’espace intérieur du cône des tangentes, où y s’accorde en signe avec AÀ,,ou dans l’espace extérieur. Lors donc que « et A, possèdent le même signe, l’espace intérieur s’est étendu et il y à eu réu- nion,; dans le cas contraire, il y a eu séparation. Comme, en première approximation, «& est proportionnel à Ap et change donc aussi de signe avec Ap, il s’opérera en général, chaque fois que le paramètre p passera par une valeur critique im- 1) Comp. Klein. Mathem. Ann., Bd. VI, 1873: Ueber Flächen dritter Ordnung, S. 592, 92 D. J. KORTEWEG. SUR LES pliquant l’apparition d’un point conique, une séparation de parties de surface précédemment unies, ou une union de par- ties antérieurement séparées. Après ces remarques, 1l est facile de poser la règle suivante: À chaque solution m, n réelle, ou — ce qui re- vient au même — à chaque droite réelle passant par le point conique de la surface A,+H,=0,corres- pondent quatre points de plissement. De ces qua- tre points, deux sont constamment imaginaires, les deux autres sont réels ou imaginaires suivant le signe de «; ils se présentent donc comme points de plissement réels soit sur les parties unies, soit sur les parties séparées de la surface,pourdevenir imaginaires au moment de la séparation ou de la réunion. 25. Pour ce qui concerne, finalement, l’espèce des points de plissement produits lors de la transformation d’un point conique, voici la règle simple qui la fait connaître: Les points de plissement qui deviennent réels lors de la séparation sont de la première espèce, ceux qui deviennent réels lors de [a réunion sont de la seconde espèce. En effet, pour déterminer l'espèce, on à à substituer dans l’inégalité 78), en vertu des équations 88) (dans lesquelles, en première approximation, on peut négliger &, y. Ë) les va- leurs z' = ur, y = uy, z = vw. Cette condition 78). devient alors, en n’ayant égard qu'aux termes de l’ordre de gran- deur le plus élevé, 2A,.H, +4,20 42 ELU expression qui, à l’aide de l’équation 108), se laisse trans- former en cette autre: DO. 10.480 Or, d’après le $ 24, il y a séparation ou réunion, suivant ) s =S qu'on a «A, 0. POINTS DE PLISSEMENT. 93 Récapitulation des résultats obtenus. 26. Résumons brièvement les résultats auxquels nous sommes arrivés dans cette Section. | Lorsqu'une surface est soumise à une transformation con- tinue, dans laquelle l'apparition de points exceptionnels d’ordre supérieur, ainsi que l'apparition non effective de points ex- ceptionnels du premier ordre (comp. $ 17, note de la page 79), est évitée, des points de plissement ne peuvent devenir réels ou imaginaires qu’au moment où se montre sur la surface lun de ces quatre points exceptionnels du premier ordre: points de plissement doubles homogènes (d, — 0), points de plissement doubles hétérogènes (di—4c,e. — (), points d’osculation, points coniques. Dans les points de plissement doubles homogènes se réunissent deux points de plissement de la même espèce. Il s’y opère un passage du réel à l'imaginaire. Dans les points de plissement doubles hétérogènes se réunissent deux points de plissement d'espèce différente. Il s’y opère un passage du réel à l'imaginaire. Dans les points d’osculation se réunissent autant de points de plissement réels (un ou trois) que la section tan- gentielle montre de branches réelles. Ces points de plissement sont toujours de la seconde espèce. Il ne se produit pas de passage du réel à l’imaginaire. Le nombre total des points de plissement réunis (réels et imaginaires) est de trois. Dans un point conique se réunissent, en tout, 24 points de plissement, Lorsque le point conique est un point isolé, ces 24 points de plissement sont tous imaginaires. Si, au con- traire, au point conique se rencontrent deux nappes de la sur- face, le nombre des points de plissement réels, que la transfor- mation fait apparaître, est égal au double du nombre des droites réelles qui, sur une certaine surface dérivée, du troi- sième ordre, passent par le point conique. Cette surface du troisième ordre s'obtient en supprimant dans l’équation de la 94 D. J. KORTEWEG. SUR LES surface donnée, le point conique étant pris pour origine des coordonnées, tous les termes du quatrième ordre et des ordres plus élevés. Les points de plissement deviennent, par couples : ou bien, réels lors de la séparation, imaginaires lors de la réunion, et dans ce cas ils sont de la première espèce ; ou bien, réels lors de la réunion, imaginaires lors de la sépa- ration, et dans ce cas ils sont de la seconde espèce. Il est à remarquer, en outre, que l’espèce du point de plissement ne peut jamais changer. Pour que cela fût possible, il faudrait que l’expression d?—4c,e; changeât de signe et, par conséquent, devint nulle. Or, cela n’a lieu qu’en des points de plissement doubles de la seconde espèce, en des points d’osculation et en des points coniques; mais alors il ne se produit pas de changement d’espèce, maïs, dans le premier et dans le dernier cas, un passage à l’imaginaire. 27. Si nous pouvons regarder comme complètement résolue, par ce qui précède, la question posée au début de cette Section, il resterait à accomplir encore une seconde recherche, non moins importante que la première. Il est facile de voir, en effet, que la production et la disparition des points de plissement sont accompagnées de remarquables changements dans le cours de la courbe connodale (ainsi que dans celui de la flecnodale et de la spinodale), changements qui, pour chacun des quatre points exceptionnels du premier ordre, possèdent un caractère différent. L'étude de ces changements forme une sorte d'analyse des plis d’une surface. Le nombre de ceux-ci peut-être compté au moyen de leurs courbes connodales. Il y a ensuite à distinguer des plis fermés et des plis non fermés. Les premiers sont limités par deux points de plissement; chez les seconds, les deux branches de la connodale rentrent chacune en elles-mêmes, sans que les points de contact conjugués viennent Jamais à coïncider. D’autres cas ne peuvent pas se présenter au moins chez les surfaces algébriques et lorsqu'on n’attribue pas de signification spéciale au plan infini. La notion ordinaire de pli doit, bien POINTS DE PLISSEMENT. 95 _ entendu, être un peu généralisée. C’est ainsi, par exemple, que la surface du sixième ordre composée de trois surfaces sphéri- ques isolées possède trois plis non fermés. En se représentant les trois sphères comme primitivement unies par des portions de surface qui disparaissent peu à peu, on sera amené à reconnaître la légitimité de cette généralisation. | Bien qui j'aie achevé en partie l’étude qui vient d’être esquissée, je crois devoir remettre à plus tard l’exposé des résultats obtenus. bibi con HU SUP TA Ce ST ETOTSsTeme ordre: 28. Ce n’est qu'à partir des surfaces du troisième ordre que les points de plissement peuvent se présenter. Dans ce qui va suivre, J'indiquerai brièvement comment la théorie générale se simplifie pour ces surfaces. La courbe flecnodale d’une surface de cet ordre étant formée par l’ensemble des droites situées sur la surface, des points de plissement ne peuvent se trouver que sur ces droites. Si l’on même un plan par une pareille droite, ce plan coupe en outre la surface suivant une conique, dont les points d’intersection avec la droite doivent être considérés comme des points de contact conjugués de la connodale (laquelle, par conséquent, est aussi identique avec la droite). Or, là où la conique touche la droite, où, par conséquent, les deux points conjugués de la connodale coïncident, là se trouve un point de plissement. Les points de plissement des surfaces du troisième ordre ne sont donc pas autre chose que les points asymptotiques bien connus dans la théorie de ces surfaces, points dont deux, réels ou imaginaires, se trouvent sur chacune des droites de la surface. On voit aussi, immédiatement, qu'il ne peut se rencontrer que des points de plissement de la seconde espèce. 29. Si l’on prend un point de plissement d’une surface du troisième ordre pour origine des coordonnées, la droite 96 D. J. KORTEWEG. SUR LES correspondante pour axe des x, et le plan tangent pour plan X 0 Z, il est facile de voir (comp. $ 2) que l’équation de la surface se laisse mettre sous la formule: | 2.(F,(x,y,2))=c;x?+d;xy?+d,xy+d,x? ...119) En cas d’un point deplissement double, il faut qu’on ait d, —=0 ou 4c,e,; — d? — 0, ce qui toutefois revienticiau même, à cause de €; —0. Mais lorsque dans l’équation 1192) on a d, —0, et qu’on déplace l’origine des coordonnées le long de la droite rx =0, z2— 0, en remplaçant y par y F6, l'équation conserve la même forme, et chaque point de la droite doit par conséquent être regardé comme point de plis- sement double. En deux des points de la droite, toutefois, savoir aux points où elle coupe la surface F, (x, y, z) = 0, l’unique terme du premier ordre, z F, (0, b, o), s’évanouit dans l'équation 112). Ces deux points sont donc des points coniques de la surface, et la droite qui les joint est, comme on le sait, une droite quadruple de la surface du troisième ordre. Des points de plissement doubles ne se rencontrent donc, chez les surfaces du troisième ordre, que sur des droites quadruples. Tous Îles points de ces droi- tes doivent être regardés comme des points de plissement doubles. L'apparition des points d’osculation n'offre rien de particulier. La section tangentielle consiste, bien entendu, en trois droites, dont deux peuvent être imaginaires. Les points coniques de la surface du troisième ordre présentent une propriété qui n'existe pas dans le cas général, à savoir, que des points de plissement réels ne peuvent s’y former que lors du processus de la réunion. Cela résulte déjà de la circonstance que chez ces surfaces il ne se ren- contre que des points de plissement de la seconde espèce (comp. $$ 22 et 25). Mais on peut aussi le déduire directe- ment de l’équation 108), car, d’après 109), la quantité A, est un carré, par conséquent positive, tandis que H, s’évanouit pour les surfaces du troisième ordre. Des solutions réelles des POINTS DE PLISSEMENT. 97 « équations 106) à 108) ne peuvent donc se présenter que si œ À, est positif, c’est-à-dire, en cas de réunion. 30. Finalement, nous montrerons encore comment la théorie générale, appliquée aux surfaces du troisième ordre, conduit à un théorème concernant le nombre des points de plisse- ment réels. | Une surface du troisième ordre se laisse transformer, d’une manière continue, en toute autre, sans que jamais il apparaisse à la fois plus d’un seul point conique. On peut donc dans la transformation des surfaces du troisième ordre éviter les points de plissement doubles, et puisque le nombre des points de plissement réels ne change pas lors de la production de points d’osculation, ce n’est que dans les points coniques qui peut avoir lieu un passage du réel à l'imaginaire, ou réciproquement. Or, comme le nombre des points de plissement qui déviennent réels lors de la réunion est égal au double du nombre des droites réelles du point conique; comme, de plus, ces droites sont des droites doubles, qui, de même que les points de plissement, deviennent ima- vinaires lors de la séparation, réelles lors de la réunion; et comme, enfin, des droites doubles n'apparaissent sur les sur- faces du troisième ordre que dans le cas où celles-ci présen- tent des points coniques, — la différence entre le nombre des points de plissement réels et celui des droites réelles doit être la même pour toutes les surfaces du troisième ordre. Pour déterminer cette différence, il suffit donc de considérer une seule surface du troisième ordre, par exemple, la surface diagonale de Clebsch. Celle-ci possède 27 droites réelles et 10 points d’osculation, dans lesquels coïncident 30 points de plissement réels. Nous arrivons donc à ce théorème: Dans toute surface du troisième ordre la diffé- rencérentre le nombre des points de plissement réels et celui des droites réelles est égale à trois. Bien que nulle part je n’aie trouvé l’énoncé explicite de ce théorème il ne peut pourtant pas être dit nouveau quant 98 D. J. KORTEWEG. SUR LES POINTS DE PLISSEMENT. au fond. C’est ainsi que M. Zeuthen (Math. Ann., Bd. VIIT, S. 5), pour chacune des cinq espèces principales, à 27, 15, 7, 3 et 8 droites réelles, donne le nombre des droites réelles avec points de plissement imaginaires, à savoir, respective- ment, 12, 6, 2, O0 et 0. Mais le nombre des droites réelles avec points de plissement réels devient alors 15, 9, 5, 3 et 3, et pour les points de plissement réeis on a donc les nom- bres 30, 18, 10, 6 et 6. ARCHIVES NÉERLANDAISES Sciences exactes et naturelles. QUELQUES FORMULES POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI ET DES COEFFICIENTS DES TANGENTES, PAR F.J. VAN DEN BERG. + Il y a quelques années, j'ai publié dans les Verslagen en Mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Afdeeling Natuurkunde, 2e Reeks, Deel 16, 1881, p. 74—176, un Mémoire, dont les Archives néerlandaises (T. XVI, 1881, p. 387—443) ont donné une traduction abrégée, sous le titre: ,Sur les relations récurrentes périodiques entre les coefficients du développement des fonctions, etc.” En suite à ce Mémoire, deux autres communications, re- latives aux nombres de Bernoulli etc., ont récemment paru dans les mêmes Verslagen en Mededeelingen, 3° Reeks, Deel 5, 1889, p. 398—397, et Deel 6, 1889, p. 265—276. Ce sont ces nouvelles études dont je me propose de faire connaître ici toutes les parties essentielles, en renvoyant comme précédem- ment, pour des détails plus circonstanciés, aux deux publi- cations originales hollandaises. Pour déterminer les nombres de Bernoulli 2 et les coef- ficients des tangentes 7, nous partirons, de même que nous ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 7 Lac 100 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES l'avons fait dans notre premier travail (Arch. néerl., X VI, p. 439), des deux développements RE a y Boo 2g—1 ÉTENE ho Lai et D tie : où l’on a en général (p. 395)pl—1.2.3...p, et par consé- pt l quent (p.396) 0! — =- = 1, ainsi que (p. 433) B_, — —1 et. PE —= 0;1De la yaleurt . = ç0t ; — 2 cotx résulte alors immédiatement, par substitution, la relation (p. 433) To,_1 — — 2 (22% — 1) B2,-1, en vertu de laquelle toute formule pour les nombres de Bernoulli est reconnue être en même temps une formule pour les coefficients des tangentes, et réciproque- ment. Aussi, dans la première partie de ce qui va suivre, où les formules en T' ont ordinairement une forme plus concise, nous nous bornerons en général à ces formules, sans les écrire encore une fois sous la forme modifiée qu’elles acquièrent lorsqu'on substitue pour chaque T sa valeur exprimée dans le B correspondant. Passant des fonctions goniométriques aux fonctions expo- nentielles, et désignant comme d'ordinaire par e la base des : logarithmes népériens et par à l’unité imaginaire, on a d’abord 2 sin 1 GS — — RIT 2 PÈ — & 2 D Far à A Li (URSS cos — oi le et par conséquent, en remplaçant x par — èx et en appl- quant à la tangente le développement ci-dessus rappelé, AMV T'o9— Foyer — y = —i 2 Bu Hix)2—1 — 21 —)1—1 me a — POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC., 101 Si dans cette expression le dernier membre est supposé développé suivant la série de Maclaurin, on obtient immédi- atement, en égalant le coefficient de +?7-1 au Fist ho- mologue de l’avant-dernier membre, ne (2 q—1)! ; d aèq—1 (G=0) ce qui, sous la forme De = ( ETS TO (—ys 2 q GE 1 2 (222 — 1) 229 —1° d x? —1 (x —0) Baja donne pour le gième nombre de Bernoulli la même expres- sion différentielle qu’on trouve, déduite par une méthode différente due à Laplace, entre autres dans les traités de R. Lobatto, Lessen over de differentiaal- en integraal-rekening, 2e Deel, 1° Afdeeling, 1852, p. 374—376, et de $. F. Lacroix, Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, 2e éd., T. 8, 1819, p. 107—114. Ces auteurs montrent ensuite comment Laplace, -— en établissant le (2 g—1)ième coefficient différentiel de la fonction _ d’une part sous la forme d’une frac- HE 2 tion finie me (er + 1)27 pour dénominateur et des coefficients indéterminés pour les 2q—1 premières puissances de er au numérateur, d'autre part sous la forme d’une série infinie résultant du développement de cette fonction elle- et même suivant les puissances négatives de er, — est arrivé à sa formule pour le calcul direct et indépendant d’un nombre Bernoullien quelconque. Cette formule, qui, si l’on prend de nouveau la forme en T au lieu de la forme en B et qu’on fasse usage de doubles signes © et de la notation ordinaire TK { 102 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES pour les coefficients binomiaux, peut initialement être écrite 2q9—1 ñn—| 2q —2 ÿ> (—) — 1 2 a RE D ee 2 (—-) ye— 1 12) (n — r)24—1, offre le grand avantage de se laisser nn. dans le second membre, à la moitié seulement du nombre des termes placés sous le premier signe Z: en effet, puisque les (2 g — 1)ièmes puissances des nombres naturels forment une série arithmé- tique de l’ordre (2q—1) et que par conséquent leurs diffé- rences (2 gjièmés sont toutes égales à zéro, on a ) Lo Dr 0) (n — r}—-1 = 0 : (Ù ou, vu que le terme pour r =n est ici nul de lui-même, —] 2q RS Ce? 2q —7r)29—1 a SE . — y29—1 — ( (1 @ r)?4 = 2 ) 7) 241 = 0, n +1 d’où il suit, si dans le second terme Z on remplace l'indice variable quelconque # par 2q—7 et qu'on ait égard à Ra 2q—r7. \r }’ S: ne (Ai 2q—n—1 = D CT) Gonna; 0 on voit par là que, dans la formule en question, les termes également éloignés du milieu, c’est-à-dire les termes en net en 2 q—n, sont toujours égaux deux à deux ; que le terme du milieu, correspondant à n = gq, reste donc isolé, et que par conséquent Laplace a pu légitimement réduire sa formule à une expression qui, mise de nouveau sous la forme en T'et en Z, s'écrit: POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 103 :. 22q 2 (—)2—1 DEN NT ne e—1 r)?9—1+ q g—1 + (= Ÿ 57 Eye CARTE LU @) 0 Au reste, même sans faire appel à la série de Maclaurin, l'égalité ci-dessus posée entre les deux valeurs obtenues pour . à X ° ? 2 e mi laisse développer ultérieurement sous une autre forme, par exemple de la manière suivante. On a Tog—1 2 1 CEE pui = | = = he - = 2 (2 q er + 1 ue 2 =— Du(—ir(er — 1)e UMR che (œ) Or, on peut substituer 1ci (e—1)— > (me Ce }een— ÿ Es (; Ju Ce Cette substitution, à cause de l’absence de toute puissance paire de x dans le premier membre de l’équation précédente, donne d’abord lieu à remarquer que, dans le résultat, le coefficient de chaque terme x doit être égal à zéro pour S—2q, c’est-à-dire qu’on doit avoir À « Te —} (à en — 1 = 0, (où pour » la limite supérieure n à pu être remplacée par n — 1, parce que pour r=n le terme (n — r})?7 s’évanouit ; tandis que pour n la limite supérieure à pu être abaissée de æ à 2q, parce que, comme il à été rappelé plus haut, les 104 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES différences (2 q + 1)ièmes de la série des puissances (2 qhièmes, et aussi toutes les différences supérieures, s’annulent d’elles- mêmes). Mais d’autre part cette même substitution, si pour s—2q—1 on égale entre eux les coefficients de x?1-—-1, qu’on tienne compte d’un abaissement des limites analogue à celui dont il vient d’être parlé, et qu’on multiplie par 229—1.(29—1)1!, donne la formule (—)2—!1 Paré Toy 2q—1 nl — du} 1929-21 >» (—}r (e (acer) Di var | — = je 1 22g—n—1, 2 (— (7 Jones, où, comme forme simplifiée, le dernier membre a pu être ajouté à in de (= en Pan n — 1 TE = T nr ee T \ Dans le second ou le troisième membre de l’équation (2), pour chacune des 2 49 —1 valeurs de n le coefficient du terme xè1—1, dans le développement de (e:—1})r, a été exprimé sépa- à rément sous la forme Ù r. Mais ces coefficients pour les va- leurs successives de n se laissent aussi très bien déduire l’un de l’autre, par une formule récurrente. Prenant, à cet effet, la forme de développement suivante: er A NZ DE TX Cor = SUP y. Slrels Mo où, à cause de eæ —1—=7x le on n’a réellement à faire partir la variable s que de la valeur n comme limite infé- rieure; et remarquant qu'on à d (et—1 )7 n | on Corne) x — 1)2—1 (e7 dE 12 (er — 1} —-1 EL — SN CLR dx Dr UN n | (n—1)! ‘. POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 105 on obtient, par substitution: ee] 2 xs —1 » è xs LS Ë P,s — —N : Pre An AUS ÿ Prev. AT: ; = (s —1)! z s| - s! _ et après que dans le second membre la variable arbitraire s _ a été remplacée par s— 1, afin de pouvoir égaler entre eux les coefficients de x5—1 dans les deux membres, l’expression de cette égalité donne pour les coefficients P la formule gé- nérale de réduction: | Ps Pres 21 Pr t.521: En considérant que pour n = 1 tous les P1:=— 1 sont con- nus, et de même pour s—n tous les Px.2 — 1, on parvient facilement, à l’aide de cette formule, à remplir comme il suit le Tableau des coefficients Pr. de — dans — NDS DEN AT ET EN ES PP 2 D q| 3 Dane = 9 CR TONEMENPAPETS n = 4 NN ENT 1 10 =, CO INRE NER EE ue LR ES eat € + © M7 AA TT MENT etc. DORE ne La signification de ce tableau est donc celle-ci: pour ob- à L ee == | \r 4 tenir le développement de Cie correspondant à une va- leur quelconque de n, on multiplie chacun des coefficients 106 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES inscrits dans la ligne horizontale de cet n par le terme placé au-dessus en tête du tableau, et on prend la somme de ces produits. (Rappelons, en passant, que les coefficients du ta- bleau sont les mêmes qui entrent dans les formules pour les différences finies, d’ordre successif, d’une fonction quelconque, exprimées au moyen des dérivées de cette fonction: en effet, pour y—f(x), en combinaison avec y + Ay—=f(x + h), le théorème de Taylor donne, HT on y applique une notation symbolique, LE ESS ds s hs dy _ A. ssie+n re Der (Ed, et en général, par la répétition de la même opération, 32 ñn AN — C &—1) TA de sorte qu’en cette question aussi on arrive, au moins sym- boliquement, à une expression de la forme (e7 — 1): considérée plus haut. De fait, on retrouve le tableau ci-dessus lorsque, prenani le tableau des coefficients p des susdites différences, tel que l’établit entre autres Lobatto (p. 335) au moyen de sa formule de réduction (2) (z—1) (2) PRINT ( 2 mo } r r—1 r—1 on le simplifie en divisant les lignes horizontales successives par leurs prémiers termes = 4,21 =2 16 2h27 51 — 120, 6! — 720, 71 = 5040, etc. ; cette simplification re- vient, en effet, au passage des coefficients de Lobatto aux nôtres suivant la relation y” —n! Ps, et au passage, dé- Tr coulant immédiatement du premier, de sa formule de réduc- tion en p à la nôtre en P. Au sujet du tableau ci-dessus donné, j'ai d’ailleurs encore trouvé cités: Lacroix, p. 124 et 300, et L. Euler, Diferentialrechnung, 2x Theil, 1790, p. 59—63). POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 107 En substituant maintenant à (er — 1}, dans la formule («&), son expression en coefficients P, on obtient (o ©] D Æ 78 EN, Cie] pe ) @ )! D) : n.sS s! 0 q ® il n : Dans celle-ci, nous n’insistons pas de nouveau sur la dis- parition nécessaire du coefficient complet de toute puissance paire de x dans le second membre; par contre, en y égalant l’un à l’autre les coefficients de la puissance impaire géné- P 8 rale x21—1 dans les deux membres, après le même abaissement de limite pour n et la même multiplication par 227-1(29—1)! | q qui ont été effectués en (2), nous arrivons à conclure: 2q—1 D29—2 a IS | R (—}r1 Dg—n—l nl Pr2g-1 .. (2) y 1 Cette formule, qui en réalité n’est qu’une autre forme, une forme récurrente, de la forme indépendante (2), n’a donc besoin d'emprunter chaque fois au tableau ci-dessus que l’ensemble des coefficients P d’une même colonne d’ordre impair 2 g — 1: pour l'application dont il s’agit ici, toutes les colonnes paires sont superflues, et cela nous conduit à construire directement un tableau plus condensé, en conservant toutes les lignes horizon- tales, mais seulement les colonnes impaires. A cet effet, notre formule de réduction pour P, qui ramène de s à s— 1, doit être remplacée par une autre, sautant chaque fois de s à s—2; or, une pareille formule s'obtient en différentiant de nouveau | , nn (er — 1): ; e premier coefficient différentiel de Ve CT trouvé plus haut, et en substituant dans le résultat ce coefficient différen- tiel lui-même, tant pour n que pour n — 1; il en résulte D De er U pen Al) n! A eg ou à LON = d v? de d 1 aa d JE y , (er — lye (er _ 1}#—1 (er—T }r =0) = 7 7) ue. FAT ARE NS Mn EE ln 5) 108 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES c’est-à-dire co oo xs —à ë JB \ ÿ Res —— =h? 2: 5 Pas D + (2n—1) > à P,ne (s—2) | s| 7 n—1 [ee] LS Sr ) > 7 DS sl n—2 d’où dérive, après remplacement au second membre des par S—2, la formule voulue Prs = 0? Pas-2 + (2 n—-1) Pr-1s5-2 + Pn-2s 2. Cette formule, qui au besoin pourrait conduire tout aussi bien à la composition des colonnes exclusivement paires qu’à celle des colonnes impaires, sert donc de fondement au tableau suivant, qui dans notre cas suffit. | À er Tableau des coefficients P,, des termes impairs : dans @—1y n| . 2° 27 CE œ” etc ii 9 | 5! il 9! = dl 1 il ? 1 il 1 NN? 2 15 63 255 n—=S 1 25 301 3025 n = 4 10 300 7770 NS il 140 6951 ni 0 21 2646 D | AORNNES ni : 5 36 NES) Fi RARE L | etc. Ti POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 109 Après avoir tiré du développement de («) ce qui convenait à l’objet que nous avons en vue, passons à l'établissement d’autres formules, plus simples, pour le calcul indépendant des coefficients des tangentes et par conséquent aussi des nombres de Bernoulli. Nous commencerons par chercher, — parce que nous aurons plus tard à faire un usage répété des résultats de cette recherche, — le développement, tant sous forme indépendante que sous forme récurrente, d’une puissance quelconque du sinus, en fonction des puissances de l'arc. À cet effet, la formule ) SÀ 2 —17 \n — FI EE)\7 n an —r 3 7 DES (2 à sin x}? — (er — e—ix }r — 2 (=) Ce Ver (ei — 2r)i < T Ke à = D = 0 e(n—2r)ir — D (— pe ) pute Ar 0 0 ; sin x peut servir de point de départ. Mais, comme = etparcon- % s . {sin x\? : k séquent aussi | — ne contiennent que les puissances x paires positives de x, il ne peut entrer dans le dernier membre de la formule que des puissances de la forme 2+2s, En y remplaçant donc s par # + 25, renversant l’ordre des deux sommations, et divisant par %#*, on obtient d’abord (2 sin x} — ue VS y Ç ) (n—2 r}°+25, Dans cette formule, toutefois, le nombre des termes placés sous le second signe © peut être réduit de moitié, parce qu’on a toujours | Et Ga) (n—2 r}2+25 = (— Jr (e à (n —9 (n—r)yre+2s c’est-à-dire, que deux termes en r et n—r, également éloignés du milieu, sont toujours égaux l’un à l’autre; en divisant donc 110 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES par 2, et remarquant qu’en cas de n pair le terme du milieu, n FLE pour r=5, s’annule de lui-même, et qu’alors il est en outre permis d'écrire partout n — 2r = 2 (5 — 7 ) , On trouve (pour n impair) 4 = = a+ 2s 0) s { À (— (n—2r) n+2ès Do GE 2s} je ) 0 2n—1lsin? x —= .. (6) (pour n pair) Soempe()(t JE | Cherchons maintenant, pour la même fonction sin’ x, le dé- veloppement avec coefficients récurrents. Posons, à cet effet, OÙ sin! x gartes À = > D D, À à n | ï (Y Quut2s (n + 25)!” (#) puis faisons usage de d? sx sin lx cos % D NT __—sûtx+(n—1l)sinr—x(1 sin) Tnt dx ge Loi 14 Fe SHC SUV mt in n | (n— 2)!" nous aurons, par substitution, (o »] > Es 0 ! an + ès —2 eo Te ) Q a+ 2s 5 ) dns DORE) ee n. PH n + Ds)! 0 co an+ès—2 SUR ÿ — )S Qu—2.n+25—2 Se 5 mn (n + 25—2)! POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 111 Si dans le premier terme du second membre de cette équa- tion on remplace l'indice variable s par s—1, afin de pouvoir égaler entre eux les coefficients de 22+%s—2 dans les deux membres, l’expression de cette égalité donne la formule de réduction OL or —Ue On.n RO PRE O9» APE? pour les coefficients Q. Bien que cette formule, combinée avec (B'}, convienne tout aussi bien pour les valeurs paires de # que pour les valeurs impaires, il faut reconnaître que pour n pair l'introduction de coefficients numériques plus petits, Q, est possible et, dans l’application, préférable. Supposons, en effet, qu’en ce cas chacun des nouveaux coefficients Q soit lié au coefficient primitif homologue Q par la relation Qv.r+2: = = 25 Q'un +25 (où l’exposant de 2 est donc toujours égal à la différence des deux indices de Q ou de 0’); on peut alors, en premier lieu, écrire la formule (5’), en la multipliant par 2», sous la forme (2 sin 3 4e - le (2 x} +?s Fe de me ( Ÿ Q'a.n +25 (n +25)! bi ce Lo (5 ) et, en second lieu, calculer les coefficients Q”, qu’elle renferme maintenant, par la formule de réduction / ñn 2 ! / Or — Ca Q'n.n+2s—2 == Dr, +2 s—2, qui résulte de la formule en Q ci-dessus trouvée, moyennant la division successive de ses trois termes par les trois valeurs 2e+85)—n, D Qr+25—2)-2 et 2(0+25—2)—-%—2), dont chacune est égale à 2?:. En remarquant maintenant, d’une part, que dans (”) pour n = 1, à cause de LE Re tre = (L. 4597 112 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES on connaît tous les O1.1+95 = 1, et pour s —0 tous les x = 1, et, d'autre part, que dans (5) pour n = 2, à cause de (2 sin a 1 à (2 æ)2+2s M 22= 2 CEE TE on connaît également tous les Q'2.2+25 = 1, et pour s — 0 tous les Q'rn — 1, on obtient sans peine les deux tableaux sui- vants, applicables respectivement aux deux systèmes, impair et pair, ci-dessus considérés. an +2s Tableau des coefficients Q:.:+2, de (pour n impair). 22 LENNRELE DIE Gao 1 Talon NAN Riot nan nl Il il, 1 Lu l == RER 91 820 7381 D— 0 il 39 966 | 24970 DEN ser 1 da 5082 NS) 1 165 nl 1 etc. POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 113 | ue Ces Tableau des coefficients Q's.:+2 de eo) dans ss sn (pour n pair). Ge» | Gal Go) CoCot) Ga). Dans chacun de ces tableaux, de même que dans le tableau donné tout d’abord, le développement de la fonction inscrite en tête, pour une valeur désignée de n, est formé de la somme algébrique des produits obtenus en multipliant les coefficients de la ligne horizontale de cet n par les termes en x placés au-dessus d’eux. En ce qui concerne maintenant l’usage que nous voulons faire des formules (5), (5) et (6”) trouvées pour sin’ x, nous remarquons d’abord qu’au lieu du développement de ÿ+ on a immédiatement devant soi — ce qui est préférable dans le cas actuel — le développement, suivant les puissances im- paires ascendantes de sin x, de tg x elle-même, savoir TU sin x du Sin) na le: 0 cos æ — Sinx(1—sin*x) * 24.6....(2n) 114 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES on y voit que, pour le terme indiqué par n = 0, il faut at- tribuer la valeur 1 non seulement, en vertu de ce qui a été dit à l’origine, au dénominateur 2.4.6... (2n) = 2.n! de la fraction ci-dessus, mais aussi au numérateur, à considérer FEU) MB EEE 7e) eme ne quent à la fraction elle-même. En substituant maintenant dans le premier membre sa valeur exprimée en coefficients des tangentes, et dans le dernier, pour la puissance impaire générale de sin x, la valeur qui, à la suite du remplacement de n par 2n + 1, résulte soit de la première formule (B) soit de la formule (5”), on dispose de la double égalité sous la forme , €t par consé- es Déni Ne SONO 2 cu | 4 he De ON NON Ç 2n+2s+1 oran ( errant 0 b S Er RRRIEES 41) —_ 7 il su D A ER ON DE) Era = x? n +2s+1 > (es) Q2n+1.2r+95+1 @n +2s+1)! | 1 Après avoir pris dans le second et dans le troisième membre S—gqg—#n—l, afin de pouvoir y mettre en évidence la même puissance 2*%%—1l que dans le premier membre, il ne reste plus qu’à égaler entre eux les coefficients de cette puissance dans les trois membres, pour pouvoir conclure, après mul- tiplication par (—)7—1 (2 4; — 1) !, aux deux formules suivantes pour le coefficient général des tangentes, la première sous forme indépendante, la seconde exprimée en coefficients récurrents 0: POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 115 g—1 —#) È Es 2 enr er BA D Al 0 q 2 0 ACT) 227 AT T A TE) @n—2r+1% | Ne birle) g—1 OC 2 Ca D'Crb DO 1.6) 0 la limite supérieure de n a de nouveau pu être abaïssée ici de à q—1, parce que dans (3) la (2n + L)ième différence de la série des (2 g — 1)ièmes puissances des nombres impairs successifs s’évanouit d'elle-même pour chaque 2n+1 = 2q—1, ou, ce qui est équivalent, parce que dans (3’) les coefficients Q2r+1.249—1, à prendre dans une même colonne de l’avant- dernier tableau, viendraient évidemment à manquer dès qu’on aurait, ici également, 2n + 1>2q—1. Le développement 1—cos2x __1—(1—sin? 2x): LS EI) es en MR nue n+1 u=|/ cos sm2x . 4.6...(2n +2) ue 2 qui ne procède plus suivant les puissances impaires ascen- dantes de sin x, mais suivant celles de sin 2 x, peut, lui aussi, fournir un couple de formules, à peu près de même forme que les précédentes, pour le coefficient général des tangentes, En effectuant exactement les mêmes opérations que ci-dessus, et en outre une division par 227—2, on trouve: qg—1 ON MINE PE HP SM OMInEe T) il Gr q Te 2.4.6...(2n + 2): 22»—1 der (Jen —2r + 1 ; CA) 0 qg—1 1.8.5...(2n—1)} (2n+l == 3»: y! En Ge Es ut) 0 ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 8 116 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES Au lieu de la tangente elle-même, on peut, avec un succès au moins égal quant à la simplicité du résultat, prendre pour point de départ du calcul son coefficient différentiel: on ob- tient ainsi des développements appropriés, non seulement, comme plus haut, en sinx et en sin 2x, mais, de plus, en sin On peut en effet écrire — pour ce qui concerne la seconde ligne en substituant à {gx le développement trouvé en dernier lieu — LS; sin?*x 1—sin?x dog al A test 7 Se el de, ose eme 0 2100 Ce) 00 T) = (1 D Sin 5) = V (n+1)2sin2r _ \ 0 où l’on à affaire, comme on voit, aux puissances paires suc- cessives du sinus de +, ou de 2x, ou de = . Prenons par exemple la première ligne et appliquons, après remplacement de n par 2n, soit la seconde formule (5), soit la formule (B”); en remarquant toutefois que l’applicabilité de ces deux formules elles-mêmes ne commence qu’à n = 2, donc, après le susdit remplacement, qu'à n — 1, d’où résulte l’obli- gation de mettre séparément en évidence, dans chacun des trois développements obtenus pour a. Ÿ., le terme corres- pondant à # = 0, c’est-à-dire l’unité; la première ligne donne alors POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 117 Ne CU, à 1. q D x\29—2 — 22 239)! e n—1l 1e be. (2x)?2+2s RE (2 FIG EC ES nt x na D Mme (2 n 2x ?n+2s =1+ À oi Ye Ÿ C'an.2n+s ee Si ensuite, pour pouvoir égaler entre eux les coefficients de (2 x)*1—?, on pose de nouveau s = q — n — 1 dans le second et le troisième membre, on obtient, après multiplication par (—)2—1(2 q — 2) !, le système: BE] n—1 : T2 — LE 2 = g—1 . —— 7 (—)? Pr 2 Er ( ,)e —7)29— =" (5) 1 GER 9 1 20 } . | Q'?n .24—2 Re Ja) AURAS (5°) où, pour la même raison que plus haut, la limite supérieure de # a pu être abaissée de « à qg—1. - De la même manière, la seconde ligne donne lieu à la double formule : T'2g—1 CRE El n—1 Sr _ Ds 22 - ie ie Jen). (6) Pa Dr (4.3: a 22q—2n 1 Q'an.2p 2, « . « « (6) 8* 118 F, J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES et la troisième ligne à la double formule: n—1 g—1 ae Fr D (PJ -n.(7) | =Y.- pme EME Q'2n. 2q—28. « (7°) n On obtient des formules un peu plus compliquées en partant du second coefficient différentiel de tgx, ce qui peut conve- nablement se faire ici sous la double forme [ | | IN | e e TES n1.8.5...(2n+1) | xl —sinè 2— 2 ARR SM RE ne (6 Pigæ 2sinx _ (—cos2x)} _ 99 D— sin22x—9(1—sin22x)" — da? COS3X sin2x — TU Ein 00 D: 1.8.5...(2n+1) . 92 ñ 2n+1 — . 2.4.6... (2n +4) sin 2%, sin?22 +1 > de sorte que dans ces deux cas la première formule (8) et la formule (5) pour les puissances impaires du sinus sont de nouveau à employer. On a alors, en procédant comme précé- demment, à pratiquer les opérations suivantes: substituer les deux susdites formules, après y avoir remplacé n par 2n+1 et en outre, dans le second cas, x par 2x; remarquer que dans le premier membre, qui se transforme en 2 (2 g — 1) (2q — 2) Toy q 2 x)°9— 8 > CIE F9 et où l’application ne commence en fait, de même que dans les résultats à trouver, qu’à q = 2, il n’est même pas nécessaire d'écrire 2 au lieu de 0 pour la limite inférieure, puisque pour q = 0 le facteur T_, et pour g = 1 le facteur 2 g — 2 s'éva- nouissent d'eux-mêmes; prendre maintenant s = g— n — 2en vue de l'égalité à établir entre les coefficients de 4?7—3 ou de POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 119 (2 x)2—3; enfin, multiplier par (—)7-1(2 q— 3)! et appliquer à la limite supérieure de n l’abaissement maintenant permis de æ à q—2. Les résultats sont: dans le premier cas, le système qg—2 227—2 RE à RCE 1 ZE) pue Han nr les = DR Re Dre dy ee "Jen —2r FPE PEU (8) 0 g—2 +, 2e PORN Or El) 02e 1L2 8 (8!) et dans le second cas, le système g—2 Teg1 ne Mono (am D) 1 Tr sil nr Co a 2 = PE > Den ( 2 ) @n—2: + 1)27 À Lt) qg—2 MoN OL CN 345 2 0e.£ 1} =» 27 ) re ne OO EE) One eee (ON) Si l’on voulait opérer d’une manière analogue sur les coefii- -cients différentiels plus élevés de igx, on pourrait, pour en obtenir le développement suivant les puissances de sin x, faire de nouveau usage, comme il va être dit, de formules de ré- duction,; ces formules pourraient d’ailleurs servir aussi, presque sans changement, au développement suivant sin 2 x, et de plus, pour les coefficients différentiels impairs, au développement suivant sin 3 Supposons qu’en général pour une certaine valeur de p on ait déjà trouvé dp ; » (12 PE === Ny. ñ Se Re x, 120 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES KYORMULES où le coefficient N,., est donc une fonction connue de l’indi- cateur de rang n, tandis que, comme on va le voir, pour p impair on a toujours & — 0 et pour p pair toujours &« = 1; on dP +24. À obtient alors, en différentiant deux fois: D , à SAVOIT : & dO = d | n (2n+ a) Ny.n Sinr+%—lLy cos x ù $ Np+2.n SNL NL — S rie 0 d x Lo 0) = 2 2(2n+a)Np.n|(Qn+a—1)sin?r+4—2x(1sin?x)—sin?r+"x\— 0 CO — > 2 (2n+a—1)(2n+ a) Ninsinr+-2x — = : QO — Duf2n + a)? Nynsintr+"x, 0 et par conséquent, en remplaçant n par n + 1 dans le pre- mier terme du dernier membre, puis égalant entre eux les coefficients de sin?*+"%x dans les deux membres extrêmes: Nprao.n = (@n+a+l) (2n+a+2) Nin+1-— (2 n+ ax) Ny.n Ou séparément: pour p impair, remplacé par 2p +1, Nopr3.n = (2n +1) (2n + 2) Np+i.n+1 — (20) Nop+1r; et pour p pair, remplacé par 2p, Nepr2.n=(2n +2)(2n +3) Noy.nr1— (n +1} No, tandis que dans ce dernier cas on peut encore introduire utilement, suivant SYHOTR (Da) ni te? des fonctions plus simples N', pour lesquelles il vient alors N'oprèn—=(2n +1) {(2n +3) N'apnti —(2n + 1) Neil. POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 121 On a donc en général les deux types (oo) dp+ ig x d ù , Re = Z Ne p+1.n sin? A 0 daxèr+1 et | dep igz _NS1.3.5...(2n—1) RÉ NE I RE Vs © No, 2 TL. dur m9 4.6... CLÉS de Partant maintenant, pour p = 0, des développements suivant sinx assignés plus haut à gx et à # , C'est-à-dire de N'o.n = 1 pour le second type et de M.» —=1 pour le pre- mier; puis appliquant alternativement les formules de réduc- tion qui viennent d’être trouvées pour les fonctions N'2,+2.% et N2py+3.n, on obtient pour les deux types en question: N'a. =2(2n + 1) (en accord avec la valeur déjà calculée d? tg x dx? L Nr =2(38n +1), N'an—=16(2n+l1l)(n + 1), Ns.n = 4 (15 n2+15 n+4), N'6.—16(2 n+1)(12 n2+28 n+17), Ni.n = 8 (105 n3 + 210 n? + 147 n + 34), etc. On voit que ces fonctions se compliquent assez rapidement et ne suivent, n1 l’une ni l’autre, quelque loi bien apparente; or, par là se trouverait annihilé, et au-delà, l’avantage qu’of- frirait l'emploi des coefficients différentiels ascendants de tg x, à savoir de donner, pour le coefficient général des tangentes, des formules qui seraient composées d’un nombre de plus en plus petit de termes en nr et qui contiendraient en outre, dans chacun de ces termes, des puissances de moins en moins élevées. directement pour Aussi, renonçant à poursuivre cette voie, nous nous bornerons à mentionner que du troisième coefficient différentiel, relati- vement encore simple, 3 . 8 F LEE, N3.n sin?r x = 2 (30 + 1) sin?2 æ, 0 0 d «3 129 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES résulte, par la méthode indiquée, le système de formules suivant (qui, cependant, ne peuts’appliquer qu’à partir de g=3): n—1 qg—? To, an +1 : ee ANG AE = 20 PRE > pee | 7 (——\r __y\2g—4 Ce ones 250 0e ES g—2 =D: ER ERR, RES \ Ainsi qu’on peut le prévoir d’après ce qui précède, les formules à déduire par intégration, au lieu de par différen- tiation, sont composées d’un plus grand nombre de termes en n. Nous serons donc bref à leur égard et transcrirons seulement la double formule initiale : / / ral IN; sin? x 5 Nep.log.(1—sin?x)= 1 [ tgxdx= — Nep.log.cos x = | RS Sr 0, T — Nep.log. (sin? :) ee a 5 et le double système qui en dérive: q n—] T2 1 2n y le le 7) n —1 _| PA n—7)29.. Pa en ne D (Jen. = ñn à — (2 n) ! / =ÿe L se LS Q 27. 2q ets ele) ta (11 ) et ; n—l DU Frs | 2( yr- 2 ; . (2n di Fi RUES F2 a — Dn—1 (y ( T ) (n—r)?2 ..(12) ni | n (—\n —1 DC Che, Pons ME SE (12') Afin de mettre clairement en évidence, par un exemple déterminé, le plus ou moins de simplicité de toutes les for- POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC, 123 mules obtenues pour les coefficients des tangentes, Jusques et y compris (12)(12’), on a réuni à la fin de cette Section, dans le Mémoire original, les formes complètement développées qu’elles fournissent pour g = 4, c’est-à-dire pour le quatrième coefficient 1,. De cet ensemble nous ne reproduisons b pour abréger, que la formule de Laplace: ONU NO ECC) (0) Rnb (1) et la double formule : fe 1e 1 DRM RREE (10) NPA LA on Dee moe CR Lt. bien. (10) laquelle, tout en conduisant comme toutes les autres au ré- sultat final T, = 17, l'emporte sur toutes, et par le nombre moindre des termes ou des coefficients Q’, et par le degré moins élevé des puissances qui entrent dans ces termes. Cela n'empêche pas, toutefois, que lorsqu'il s’agit de calculer réel- lement quelques coefficients des tangentes successifs, à partir du premier, on pourra en général y parvenir plus simplement que par les formules indépendantes dont il est question ici, notamment, au moyen des formules récurrentes périodiques développées dans mon Mémoire antérieur. En m’appuyant sur la page 415 de ce Mémoire (Arch. néerl., T. XVI), je rapporte- rai, Comme exemples concis pour la période 3, les formules (sous forme bernoullienne) le UE (DC ne (me 17 17 OT 19 19 19 Te Ca)e — (Go) m+ (Ge) => 124 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES qui peuvent donc successivement servir, après qu'ont été calculés par la même voie d’abord B_, ou B, ou B,, puis B, ou B; ou B,, à déterminer aussi B;,, ou B,, ou B,, À la page 412 de mon Mémoire antérieur j'ai aussi fait mention des deux relations récurrentes interrompues trouvées entre les nombres de Bernoulli par M. A. Stern, Beiträge zur Theorie der Bernoulli schen und Euler’schen Zahlen, dans A4b- hand. der Kün. Gesellschaft der Wissenschaften zu Güttingen, T. 28, 1878, p. 7—8 (voir aussi id., 2 Beitrag, dans id. T. 26, 1880, p.3—45). Dans le premier de mes deux nouveaux articles hollandais j'ai également développé, quoique sous une forme un peu différente, de semblables relations interrom- pues — c'est-à-dire ne revenant pas sur tous les nombres antérieurs, mais seulement sur quelques-uns d’entre eux qui précèdent immédiatement — ; ces relations s’exprimaient de nouveau plus simplement en coefficients des tangentes qu’en nombres de Bernoulli, et elles s’exprimaient mieux encore en d’autres coefficients, intimement liés aux premiers. Ici, sans entrer dans le détail des opérations elles-mêmes, je commu- = niquerai seulement les résultats obtenus à ce sujet. Posant té — 19 =. j'ai d’abord établi les deux formes ne p impair) \ | | OP EeT 1 | F perse sent —j\tfp — St (p—1)! & — Eu (pour pipain ) (7) dp—?r-—1# ? | fée à d xp—?r-1 —)3 App | POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 125 auxquelles s'applique en général la formule de réduction Ap+1 2 = 2 Ap.9r + (p —1)p Ap-12r-2, avec les formules particulières 4p+1.0 = 2 47.0 et (pour p impair) Ap+1.p+1 = — (p—1)p Ay-1.7—1, mais avec la formule d'exception (pour p pair) Ap+1.p = (p — 1)p Ap—1.7-2. Il en résulta ce dp—?r— } d xp—?r 1 Tableau des coefficients 4,.27 de (— - dan s(p—1)!#, Diet (12) {1} 0 25). |i2 (I D—=.,8 (2; 3.4) 12002, 1) p=4a | (2:45) |12(4, 8, G) AD (25516) [8 (2, 10, 3)} == 6 (NO) (er #0 26 (65); Dit (25776) 116 (4, 70, 196, 45), Dre (2; 8.9) |116 (8, 224, 1232, 1056, (315))| Dr = 9 (2: 9:10). | 128 (2, 84 798, 1636, 319) etc. | | donnant, par exemple, a d x SNroe 8 (4 . et LE SR ER IS SX L 2 614 =16 (47 mes Te — 454) En introduisant ensuite, au lieu des coefficients des tangentes T eux-mêmes, d’autres coefficients 7” liés aux premiers par la relation simple T'2,-1 — Bo l , de sorte qu’il venait 2q IP =) Ne AT ere 2 É (2 gi) | À 126 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES j'ai obtenu les susdites relations récurrentes interrompues entre les coefficients 7”, savoir, en premier lieu: p—1l 2 our p impair NS A0 ee 0 |) 246 (P P P ) Û ) hi sns ous ja?) USE 2 1 4 21 Pi (pour p pair) D %(—} 42 Ty or + (—)5 4» = 0 0 Ê—1 2 et > — )'Ap.9r l'y = 0 - ( ) p.êr 1 p—2r+2ès—1 pour s=1 jusqu'à À —1 , et ensuite : (pour p impair et pour p pair) p—1 On = 2 2 as Î I DL =} Ap.2r T'ap—9r—1 = Con ron 5 2? - ou 1 . | L(p +92)! Dre marne Ha, = À etc. Pour p—6, par exemple on a le systèmes 4 T', — 40 T', + 46 T°, —15 = 0 ATEN 40 pu AU — 0 LD RARE ACTE = 0 516! 8(4T',,—40T', HAT) = 618! 8 AU NE A0 MAG) etc. et pour p = 7 le système: POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 127 AT", —70 T'; + 196 T', — 45 T', =0 AT ATOTIAEE 1961) —45 Ti —\0 DA SORA EMOG EI 4 Ti IQ / / / 6171! 16 (4 T'ia— 70 7”,,+196 T's — 45 = 4 RON 16 (4 T',5— 70 T',,4196 T's, —45 Te etc. Revenant aux deux relations de Stern mentionnées ci-dessus, je les considérait plus particulièrement dans le cas où elles contenaient le moins de termes, et, après une légère réduction, je reconnus qu'elles se confondaient alors sous la forme commune 4 You Z x ; 2q—2r+1 f q | (pour g = 1) L | ee Go 2r+1 (a) PS in AN 2 À (pour g >1)0 ) donnant, si l’on prend successivement q —=1, 2, 3, etc., le système : | br = 5 B, —B, =0, 7B, —5B,—=0, 9B, —14B; + B, —=0, 11B, —30 B, + 7 B, = 0, 13B,, —55B, +27B,— B, —=0, Be OR tb 9B,;—O0, 17 B,;,—140B,, +182B,, —448B, + B,—=0, etc. (Je dois noter ici qu’un article de M. Ed. Lucas: Sur Les nouvelles formules de MM. Seidel et Stern, concernant les nombres de Bernoulli, dans le Bulletin de la Société mathématique de France, TT. 8, 1879—1880, p. 169—172, m a rappelé que cette relation 1928 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES particulière de Stern — mais non ses deux relations géné- rales — avait déjà été signalée avant lui par M. L. Seidel, Ueber eine einfache Enistehungsweise der Bernoulli’ schen Zahlen und einiger verwanditen Reihen, dans Sitzungsberichte der mathem.- physik. Classe der k. db. Akademie der Wissenschaften zu München, .7,1877,p.157-—187.) (voir Arch. néerl., T. XVI, p.440; id., p.489). On peut d’abord remarquer, à propos de ce dernier système, que les coefficients numériques d’un même nombre de Ber- noulli, dans les lignes horizontales successives, se laissent déduire l’un de l’autre d’une manière simple, de sorte que, pour l’ensemble du système, il serait facile d’inscrire ces coefficients suivant leur ordre successif, en lignes obliques parallèles. En effet, on a vu tout à l’heure que le coefficient du (r + 1)ère terme de la qième ligne horizontale, c’est-à-dire (abstraction faite du signe) précisément le coefficient du terme QU (2r+1)l(q—2r)! or, si dans cette valeur q et r sont simultanément augmen- tés de l’unité, on reconnaît que le coefficient du même terme B2—2r-1 placé obliquement au-dessous dans la ligne suivante Qg+1)! est égal à (2q—2r+1) Dre ei et par conséquent QE D(Q27) PreN)P res (q9 +2, r—=0), etc, Cal r—=09— D, 29 r—=0)tpisen guise de coordonnées rectangulaires, indiquent les coefficients numériques du même nombre bernoullien B2,-1 dans les q + 1 lignes successives dont ce nombre fait partie, chacun de ces coefficients numériques doit donc, pour fournir le général B2y—2r-1,avait pour valeur (29—2r+1) ) fois aussi grand. Si (q,r = 0), (q+1,r=1), suivant, être multiplié par (a+1)9 (@+2)9—1) (g+3)g=2) .. Co ep DD 4,5 ; 6.7 ; (29)29+1) 2q+1° C’est ainsi, par exemple, que pour q = 4, c’est-à-dire pour les cinq coefficients 9, 80, 27, 9, 1, dont est successivement affecté B,, on a: # POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 129 5.4 6.3 7.2 8.1 9.0 D = D AE "9 s ÉAQAE donna D 67 “89 10.11 Mais, en second lieu, de la relation particulière ci-dessus —1) X —= 10! mentionnée j'ai déduit un couple de nouvelles relations, qui me paraissent se prêter mieux que beaucoup d’autres au calcul numérique effectif. | À la relation en question, correspondant à une valeur quel- conque de g = 1, réunissons par addition le double de la relation immédiatement précédente, en laquelle elle-même se trans- forme donc par substitution de g — 1 à q, et pour cela com- binons chaque fois deux termes homologues B2,-_2; 1, ce qui nécessite donc aussi, dans cette relation précédente, le rem- placement de chaque r par r — 1. La somme se présente alors initialement sous la forme : QU ro | En nn =) Lo 0 OÙ — or g=2)l} (bour g= 2)0 où pour g impair la limite supérieure primitive . de r 2 el a été remplacée par se parce que dans ce cas — mais D 2 non pour q pair — la relation précédente contient, outre les nombres B qui entrent dans la relation primitive, encore un B inférieur; de plus, comme l'indique le second membre, l’applicabilité commence seulement à g—2, parce que la susdite relation précédente n’est valable que pour 4 — 1 = 1. Par la réduction Une UD Di ET A De DEN re 27/00 1 — 1 = TR (UE . see en ne A) Sr) far) go 200) 0 drul nn Cr—D2r(2r+1) KLar—2 4 130 F. J. VAN DEN BERG. QUERLQUES FORMULES la relation que nous venons de trouver se transforme ensuite en celle-ci Elu g 2 2 N> Unes ro ne - @r—1)2r(2r + 1) dr222) Vire rot (pour =?) RO PE MR | (O) l(pour g> 2)0 qui forme le fondement du calcul ultérieur. Ou plutôt, dans le cas de qg pair, cette dernière relation est déjà elle-même, sans aucune nouvelle opération, le résultat final cherché. Pour le reconnaître, il suffit de remarquer que les coefficients de deux termes du premier membre placés symétriquement de part et d’autre du milieu (c’est-à-dire de chaque couple de termes en 7 et en + — 7») sont alors ou bien égaux ou bien opposés: en effet, l'échange réciproque de 27 et deg—2r, par lequel le facteur RS ee @r— 1)2r(2r +1) \2r—2 écrit sous la forme @g—1)! Dante re n’est évidemment pas altéré, donne pour le coefficient du terme en By+2r—1 la valeur ES 7 (I OUEN QT de Cr Den r Et) 2r—9 c'est-à-dire, précisément YS — L fois le coefficient de B29—2r—1 lui-même, Si done, à raison de ce fait, on réunit les termes deux, il vient la formule plus concise: DS deux à POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULII, ETC. 131 ee = ou (GANG EN CCE) qi . (house 0 por) È= (@r—1)2r(2r+ 1) y —92 ms . = —2)}l où pour we 2 pair on a pu attribuer à r la limite supérieure Le au lieu de L., parce que le terme médian isolé, que (à) contiendrait alors pour r= 21, sévanouit de lui-même, 2 à cause de son facteur q — 4r = 0. Pour le cas de q impair, au contraire, la relation générale (0) elle-même n’est plus susceptible de la simplification précé- dente, parce que tous ses coefficients sont alors inégaux entre eux. Même dans ce cas, toutefois, on peut encore déduire de (9) une autre relation, de forme presque aussi concise que (13). En effet, si de la relation (0) on retranche en général la relation immédiatement précédente du même type, pour laquelle il faut donc de nouveau, dans (d), remplacer q par q — 1 et en outre, afin de laisser inaltéré l’indice 29—2r—1 du terme général en BP, remplacer r par r — 1, on obtient GEL Le dre 2 2 CT is ne don) q—1 2“ D eo a 1) Lu) (4 Ne dde Ru (2r—3)(2r—2)(2r—1) \2r—4)/ | Fee RS ) 0 de où pour g pair la limite supérieure _. de 7, indiquée dans 2 2 À Q . (à), a été remplacée par 2e , pour la même raison qui, lors 2 de l'établissement de la relation (d) elle-même, a fait substituer _. à = limite supérieure primitive dans le cas de g ARCHIVES NÉERLANDAISES, LT. XXIV. 9 13% F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES impair. Or, cette nouvelle relation, écrite de préférence, à la suite d’une réduction dont on trouvera le détail dans le Mémoire original, sous la forme loue ou fer = 2 2 s. 1 2. NE UGS ANT je il g 2 Due DD 0) Are ) ne de ne (0°) (pour q > 3) 0 présente justement l'inverse de ce que nous avons vu, ci- dessus, par rapport à la relation (d). Tandis que pour q pair elle conserve, à cause de l’inégalité des coefficients de tous ses termes, la forme passablement compliquée que nous venons d’obtenir, elle se laisse de nouveau, pour gq impair, condenser en quelque sorte en un nombre de termes moitié moindre. On reconnaît en effet que le coefficient de B,},2,;- 2, qui dans ce cas se déduit du coefficient de B2,_2; 1 moyennant l’échange réciproque de 2 et de q—27r+1, ne se distingue de ce g—1 coefficient primitif que par lesigne(—) ? dont il est précédé; par suite, en rapprochant de nouveau deux à deux les termes du premier membre placés symétriquement de part et d'autre du milieu (c’est-à-dire, dans le cas actuel de q impair, chaque +1 couple de termes en » et en no r), on peut écrire: ut 4 4 ; 1 qg—1 T(— \r(9—4y+- _ 1l 5 (pourgimpair) 2 X )'(g—4r+1)(9+2r)(2q—2r+ = Tr Cr IC >)+ 1 Te. B A LT 1 ei) { Noel g—1 4 — _— » IN EMPOUT 4 St Ha er :) | (pour 43 > 3) 0 es POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 133 dans cette expression, pour _- pair, il a été attribué à r he: D —3 la limite supérieure Ÿ , parce que le terme immédiate- ul 4 ment suivant, indiqué par 7 = , et qui dans ce cas est en même temps le terme du milieu de (0), s’annule de lui-même, à cause de son facteur g — 4r + 1 —=0. Lors de l’application numérique des formules (13) et (13°) il peut être commode de se rappeler, entre autres, les par- ticularités suivantes: 1° que pour le premier terme, indiqué par r —= 0, savoir Bay_1 + (—}s —1 B;_1 dans (13) et ee B23-1+(—) 2 B,-2 dans (13), le coefficient est simplement 2 4 + 1, puisqu'on à alors: | bite (g— 1)! Hi (2r7—1)2r(2r +1) \2r—2 @r+1)l(g—2r+1)t 1 GR NT Hat et) - (24) =0 2° que pour un terme quelconque, indiqué par r, le facteur 2 q —27r + 1 est toujours la somme des deux facteurs qui le précèdent, que ceux-ci soient 9 — #r et g + 27 + 1 ou bien g—4r+1et qg+2r; 3° que, les formules (13) et (13”) ayant été obtenues exclusivement par addition ou soustraction de relations à coefficients entiers, tous les coefficients numériques des nombres de Bernoulli y doivent également être des entiers. Au reste, l’application alternative des deux formules (13) et (137), précédée, pour’ le ‘cas g — 1 non compris dans ces formules, de l'application de la formule primitive dont elles sont dérivées, donne le tableau suivant, où, pour chaque valeur de q, les résultats du calcul des coefficients numériques sont placés à la fin, entre crochets [ |. 8* 134 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES JL qg= 1, 3 PB, FAUN [3] g=2, 5(B, +B,)=1,[f5] q9—=3, 1(B;, —B,)=—1,[7] JON BE be) =D 2.7.9 wi 4=5, 11(B, + B.)— LT () ;+ B,) =0, [li, 21] 2.9.1 40 2=6, 13(B,,+B5)— Los (5) & )—=0, [13, 33] 4.913 q= 7, 16(B,; Bi) ) (B,,UBS = 0 18, ves 411.15 q =, LAB E 3) AE nn Sa LH) QUES : 5) = 0,[17,110] | 6.11.17 2=9, 19(8,,+B)— 0e ) (B,: + B,) + 21815 | | 34 me | (Bis + B,,)— 0, [19, 187, 208] 61549 = 10 AB, +8) er (6) Bis+B)+ 215.17 [9 Re Ur + B..)—0, [21, 247, 306 8.15.21 / 10 g=11, . Ge B)— Se (9) Bis ,) + 41519) sie e +585 (0 OS Er [23, 364, 931] 16 2807 212,2 (5 — 8) (0 Er —Bis)+ 1.2.3 417.21 /11 LE d (B,, — B,;) = 0, [25, 460, 1309] 10.15.25 /12 DEN AAC |) = 12e é ) &, s + B;3 +617 | Le Le WA UE 12 EL) ME 21921) (a) + 553 lu, +8) = 127, 625, 2737, 2299] etc. POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 135 L'avantage que présentent nos nouvelles relations, pour déduire successivement les uns des autres les nombres PNB DES br Consiste d'abord en, ce que.le, calcul de B2y-1 n’exige approximativement que la connaissance de " coefficients numériques, dont chacun dépend seulement, d’une manière assez simple, des coefficients binomiaux de la puissance (g—1)ième ou des puissances (4 — 1)ième et (g—2)ième; tandis que, par exemple, l’application de la relation récurrente le plus fréquemment mentionnée pour les nombres de Bernoulli, savoir la relation 2q +1 2q —1 Te él line T5 (voir, entre autres, mon Mémoire antérieur, Arch. néerl., T. XVI, p. 410, formule (4*)), qui contient par conséquent tous les nombres B précédents, nécessite le calcul de 4 coefficients binomiaux, et ceux-ci de la puissance beaucoup plus élevée . 2q+1. Mais une simplification non moins importante me paraît résulter de la circonstance particulière que, dans les relations trouvées, les nombres de Bernoulli n’entrent pas autrement que combinés deux à deux en une somme ou en une différence. En effet, d’après un théorème qu'ont fait con- naître presque simultanément von Staudt (A. L. Crelle, Journal für die Mathematik, 21e Band, 1840, p. 372—374) et Th. Clausen (EH. C. Schumacher, Astronomische Nachrichten, 172 Band, 1840, p. 351—352) — cités tous les deux dans mon Mémoire antérieur, p. 437 —438, — le nombre bernoullien général B2,—1 consiste, suivant que q est impair ou pair, en un nombre . entier augmenté ou diminué de la fraction 5 et diminué ou augmenté de la somme de toutes les fractions qui ont l’unité pour numérateur et pour dénominateurs les résultats de l’ad- dition de l’unité aux diviseurs pairs de 2 q, en tant que ces résultats constituent des nombres premiers. (C’est uniquement 136 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES pour éviter l'introduction de l’unité négative, qui sans cela se présenterait dans quelquesuns des premiers nombres de Bernoulli, que la fraction 5 de von Staudt-Clausen a été mise ici sous la forme 1 — +) À titre d'exemple nous citerons _— en choisissant des nombres B qui serviront tout à l’heure à compléter l'explication — les valeurs suivantes: FE el An D SRE Bi = 530 — 02 En nu ne | = no — 86580 — ë += += += + Or, pour q pair, se trouvent chaque fois combinés entre eux, dans la formule (13), le (q — rJième et le (+ r) "nombre de Bernoulli, cette combinaison ayant la forme d’une somme ou d’une différence, suivant que la différence 1—27r des rangs d'ordre de ces nombres est impaire ou paire et que par suite l’exposant à — 1, dans (13), est pair ou impair; de même, pour qg impair, on trouve continuellement combinés entre eux, dans la formule (13”), le (g9—r)ième et le ee r) “08 nombre de Bernoulli, cette combinaison étant également une : pe eee oi somme ou une différence, suivant que la différence _. —2r POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 137 des rangs est impaire ou paire et que par suite l’exposant Pool , dans (13), est pair ou impair. Si donc ces sommes et ces différences sont chaque fois déduites des valeurs B scin- dées, comme dans les exemples rapportés ci-dessus, en entiers et en fractions, il arrivera, à raison de ce qui a été dit à Lac ce propos, que non seulement les termes (—)7—1 (5-<) toujours présents dans chaque B, mais aussi, selon l’occurrence, quelques-unes, beaucoup ou même la totalité des autres frac- tions partielles se compenseront mutuellement: or, cette com- pensation pourra souvent — en rendant superflus différents multiplicateurs dont l’introduction serait devenue nécessaire si chaque nombre B avait continué à se présenter isolément — conduire à une abréviation assez notable du calcul. L'exemple suivant suffira, je l'espère, pour faire ressortir cet avantage. En supposant que toutes les valeurs ci-dessus écrites soient déjà connues, à l’exception de la dernière, B,,,on peut pour vu que parmi les diviseurs pairs de 24 augmentés celle-ci de l'unité, savoir parmi les nombres 3, 5, 7, 9, 13, 25, les deux nombres non premiers 9 et 25 doivent être rejetés — prendre | 1 1 1 fa dE D A ERER TEE Je Ni A TU 7 à 15 et alors, par application de la relation pour g = 12, qu'on trouve entièrement développée dans le tableau de la page 134, le calcul du nombre entier inconnu x revient à ce qui suit: 1° à PARBLRE DURE 0 EE 25 (x—0) — 460 (6192 —1—;) SF 1309 529— Poe a —Ù ou 25 x—460 . 6191 + 1309. 522 — — 20 — 119 + 77 = — 62, d’où l’on tire sans beaucoup de peine x = 86580 et par suite B,, lui-même. 138 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES En considérant, non plus la série complète des nombres de Bernoulli, maïs chacune pour soi les séries B,, B,, B,, etc. et B;, B;, B;;; riodes de deux termes, ou les séries partielles B,, B,, B,;, eétc.ret P,,%B,, bc. etc mel PEUPLE, etctquedonneret la distribution en périodes de trois termes, — de la manière etc. qu’on obtiendrait par répartition en pé- exposée dans mon Mémoire antérieur, — j'ai cherché à dé- velopper, pour ces séries partielles, des relations récurrentes périodiques interrompues, qui auraient donc joué pour elles un rôle semblable à celui que les deux relations de Stern, ou les deux relations (18) et (13°) que nous en avons déduites, remplissent par rapport à la série unique ou ininterrompue B,, B,, B., B,, etc. Cette recherche, malheureusement, n’a pas abouti. Avant de finir, je communiquerai encore, pour les premiers nombres de Bernoulli, quelques expressions par lesquelles ils dépendent, d’une manière relativement simple, de sommes algébriques plus ou moins régulières de certains coefficients binomiaux. Sauf en ce qui concerne quelques-uns des plus simples, je n’ai pas réussi, toutefois, à découvrir le vrai fon- dement sur lequel reposeraient ces analogies; aussi je ne.les donne que comme trouvées par hasard ou par tâtonnement. En disposant les premiers membres dans un ordre régulier, que l’œil saisira sans beaucoup de peine, les expressions en question prennent la forme suivante: 2138, = 0 6 6 6 3 — _ = | 9 TNT î B—=DIRE 2789 B,=2 | (23206) POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULII, ETC. 139 12 12 12 7,9.10.11.12 B, = 2 \— — 27.9.101112 B, =2° | 6) “n DD 4) 212) CIN de /12 TER (Xe eh) JE 15 e 15 HS) ù — 2 — Le 25.11.12.13.1415 B, — 2°.3) fe )+ : ) . ( ce | | 18 18 18 1 HS be =09)"32 de ( M à 21118.141516.17.188,, —914.8° | id +) É) 21:15.16.17.18.19.20.21 B,, = 210,33.5217 | — fe 2 21 21 21 2He\ DANS) Al ) G:) ee fe Pour B,- je n’ai pu obtenir quelque chose de semblable qu'en ajoutant encore le facteur 2 à plusieurs des termes, ou bien SaVOIr : 8 3 / 215,17.18.19.20.21.22.28.24 B,. = ie (2) 2) (3) +208) Ga) À ( Quant aux nombres bernoulliens d’ordre supérieur, quelques tentatives, faites dans le même sens, ont complètement échoué. Sans entrer dans aucun détail, je noterai ici que des dé- veloppements suivant les puissances ascendantes du sinus, semblables à ceux qui dans la première partie de ce travail ont fourni la base de formules indépendantes pour les coeffi- cients des tangentes, pourraient aussi servir au même usage pour les coefficients des sécantes. C’est ainsi qu’on pourrait partir de: CD sin: 2) Mode me) 2 sin?* x: etc. 140 F. J. VAN DEN BERG. QUELQUES FORMULES Les coefficients des cosécantes, C, sont directement liés aux nombres de Bernoulli par la relation (voir Mémoire an- térieur, p. 433): Cog-1 = 2 (2241 — 1) By ne Au sujet de la matière traitée dans ces pages, j'ai en- core reçu, d’une main amie, les indications bibliographiques suivantes, qui se rattachent en quelque sorte à la liste donnée dans mon Mémoire antérieur, p. 487—440. À. L. Crelle — C. W. Borchardt, Journal für die Mathematik: Stern, Bd. 92, 1882: Worpitzky, Studien über die Bern. und Eul. Zahlen, et Kronecker, Ueber die Bern. Zahlen, Bd. 94, 1883: Lipschitz, Beiträge zu der Kenntniss der Bern. Zahlen, Bd. 96, 1884. J. A. Grunert, Archiv der Matheinatik und Physik : Sachse, Ueber die Dar- stellung der Bern. und Eul. Zahlen durch Determinanten, Th. 68, 1882. Comptes rendus de l’Académie des sciences, Paris: C. le Paige, T. 88, p. 1075. | B. Tortolini — F. Brioschi, Annali di Matematica: E. Catalan 1859. J. J. Sylvester, London etc. philosophical magazine, 4th Ser., Vol. 21, 1861, p.127 —136. E. Catalan, Mémoires de l’Académie royale des sciences etc. de Belgique, T.43, 1880, Mémoire sur une suite de polynômes entiers, etc. Chapitre VI, p.26—31. Schlômilch’s Zeitschrift für Mathematik etc.: Worpitzky, Ueber die Par- tialbruchzerlegqung der Functionen etc. Nouvelles Annales de mathématiques: Cesaro, Sur les nombres de Ber- noulli et d'Euler, 3e Série, T. 5, 1886. American Journal of Mathematics: G. S. Ely, Bibliography of Ber- noullùs numbers, Some Notes, Vol. 5: T. Gomes Teixeira, Notes sur les nombres de Bernoulli, Vol. 7; Vol. 9, p. 380. Bulletin de la Société mathématique de France: Williot T. 16, 1888, p. 144: de Presle, id., p. 157; Maurice d'Ocagne, T. 17, 1889, p. 107. Mémoires couronnés etc. publiés par l’Académie royale des sciences etc. de Belgique, T. 52, 1889: G. de Longchamps, Les fonctions pseudo- et hyper-Bernoulliennes et leurs premières applications. POUR LE CALCUL DES NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. 141 Plus spécialement je dois faire mention ici de l’obligeance avec laquelle M. J. C. Adams à Cambridge m’offrit un exem- plaire de son Mémoire ,On the Calculation of the Bernoullian Numbers from B,, to B,,”, (Appendix I, p. IX XXII, to Cambridge Astronomical Observations, Vol. XXII, 1890). Se rattachant à ses articles antérieurs sur les 62 premiers nombres de Bernoulli dans Crelle, Journal, Bd. 85, 1878, et dans Report 47tk mecting British Association in 1877 (voir Arch. néerl., T. XVI, p. 438 et 439), il y expose les détails de la méthode de calcul dont il a fait usage. Cette méthode, qui, d’après le théorème de von Staudt-Clausen, à pour but principal de déterminer les entiers compris dans les nombres de Bernoulli, pourrait peut-être s’appliquer aussi aux relations périodiques, que je communiquai précédemment, et aux relations inter- rompues (13) et (13’), que je viens de développer. Novembre 1889. PÉLORIES DU VIOLA TRICOLOR, PAR J.-C. COSTERUS. Dans son Organographie végétale '), A.-P. De Candolle dit quelques mots de formes régulières du Viola hirta, en ren- voyant à une planche du même ouvrage, sur laquelle sont représentés tous les différents états de passage, depuis la fleur à un seul éperon jusqu'à une fleur pourvue de cinq de ces organes. En corrélation avec cet accroissement du nombre des éperons, on voit aenens aussi le nombre des appen- dices staminaux, qui, à l’état normal, ne sont propres qu'aux deux étamines inférieures. Outre ces modifications, on re- marque encore, dans quelques-unes des fleurs, une diminution du nombre fondamental de leurs parties; les figures montrent non seulement deux fleurs pentamères, mais aussi une couple de fleurs à nombre quaternaire, une fleur à nombre ternaire, et même, si nous ne nous abusons sur l'intention du dessi- nateur, une fleur dimère. Il est à regretter, que toutes ces figures n'aient pas été n DPaenses d’une explication plus ou moins détaillée. L’anomalie dont il s’agit est de celles qu’on appelle, à l'exemple de M. Masters, pélories irrégulières, c’est-à-dire de celles où l’organe irrégulier apparaît en nombre plus grand, à tei point que la fleur devient régulière. Comme espèces de 1) Tr, p.:519. J.-C, COSTERUS. PÉLORIES DU VIOLA TRICOLOR. 148 Violettes pouvant se péloriser de cette manière, M. Masters, dans sa Vegetable Teratology, cite seulement le W. odorata et le V. harta. J’ignore si l’anomalie en question a aussi été rencontrée chez le V. tricolor, mais, en fût-il ainsi, les phénomènes que j'ai récemment observés sur un spécimen de cette espèce ne laisseraient pas de légitimer suffisamment une description nouvelle. C’est de M. J.-J. Smith jr., temporairement attaché au jardin universitaire de Bruxelles, que j'ai reçu les petites fleurs qui ont donné lieu à la présente communication. Un peu plus tard, M. Smith a eu la bonté de m'envoyer les fi- cures jointes à cette Note, ainsi que le détail de ses propres observations. Il convient de mentionner que toutes ces fleurs, tant celles de l’envoi qui m'avait été fait que celles décrites par M. Smith, provenaient d’un seul exemplaire, tiré de graines du jardin botanique. Après que les graines eurent levé à l’inté- rieur de l’habitation, les jeunes plantes furent transplantées, au printemps, dans un jardin, où, par les progrès de la crois- sance, elles ne tardèrent pas à s’entremêler complètement. La grande majorité des fleurs de cet exemplaire étaient anor- males. De celles-ci, M. Smith récolta quelques graines, avec lesquelles M. le professeur Hugo de Vries se propose d’entre- prendre au printemps prochain des expériences, en vu de la transmission éventuelle, par voie d’hérédité, des anomalies qui vont être décrites. 1° Calice. Dans les fleurs pentamères le calice est composé de cinq sépales, dont les deux inférieurs présentent divers degrés de cohérence. La fig. Iz (PL II) représente le calice de I, avec la soudure partielle de ses deux sépales inférieurs. Cette soudure fait des progrès dans les fleurs tétramères et peut conduire à une foliole calicinale unique, laquelle, ou bien offre encore un faible indice de sa composition, par exemple dans la présence d’une dent à côté du sommet (fig. Il«), ou bien a complètement l’aspect d’un sépale simple. Cette partie 144 J.-C. COSTERUS. PÉLORIES de la fleur est celle qui subit un arrêt dans son développe- ment; elle peut finalement être réduite à la moitié de sa grandeur ordinaire. 2° Corolle. La corolle étant vue de face, c’est le pétale in- férieur (celui qui normalement porte l’éperon) qui dans les fleurs pentamères attire le plus l'attention, par ses dimen- sions moindres (fig. 1). Ce pétale peut devenir encore plus petit, jusqu’à disparaître complètement dans les cas où il ne reste pas de place pour lui; la fleur est alors tétramère (fig. Il). La réduction successive et la disparition finale de ce pétale inférieur exercent une influence remarquable sur les autres seoments de la corolle et principalement sur ses voisins immédiats. Notons d’abord que l’éperon (long de 5 millimètres dans les fleurs normales) participe à cette déchéance, surtout lorsque les deux sépales inférieurs viennent à se souder. Dans ce cas, en effet, l’espace manque pour livrer passage à ce prolongement tubuleux ou pour lui permettre de se déve- lopper convenablement. Dès que le développement est ainsi entravé, les quatre autres pétales commencent à se déformer et à montrer un appendice calcariforme. Mais, ainsi qu'il a été dit plus haut, les pétales le plus fortement affectés sont ceux qui comprennent entre eux le pétale inférieur. Cela ressort du tableau suivant, dans lequel est donnée, en mil- limètres, la longueur de l’éperon. Pour les fleurs tétramères, c’est-à-dire pour celles où manque le pétale inférieur, on a marqué 0. 1e fleur (5 pétales) 0 0 + Le . DE" Us AT UDr EEE LEP CT CERN Otis 1 0 ME 1 3 très petit 3 si Le CR à ed: 1 + 0 6 2 DER APM TER 2 al 0 6 3 Dans toutes les séries horizontales de ce tableau le chiffre 1) Ce premier cas est le seul où l’on voie un éperon éloigné dépasser en longueur un éperon plus rapproché. DU VIOLA TRICOLOR. 145 du milieu se rapporte à l’éperon du pétale inférieur, tandis que les autres chiffres occupent les mêmes places relatives que les autres pétales par rapport à ce pétale inférieur. Les deux chiffres extrêmes correspondent donc aux deux segments supérieurs de la corolle. La formation d’un éperon, à des pétales qui d’ordinaire en sont privés, s’accompagne de la production de poils à l’entrée de cet organe. Partout où se montre un éperon, on voit apparaître aussi, à un degré plus ou moins marqué, une petite touffe de poils. La coloration Jaune peut également se communiquer à d’autres pétales que le pétale inférieur, comme l'indique la fig. IT? qui représente le pétale 2 de la figure principale; à la place laissée en blane, il existait une tache jaune. 3° Etamines. Le nombre des étamines est de 5 ou de 4, suivant le nombre des pétales. De même que les deux sépales inférieurs, les deux étamines de situation correspondante montrent une tendance à se souder entre elles ; cette tendance est pleinement satisfaite dans les fleurs tétramères, où, au lieu de deux étamines inférieures, on n’en voit plus qu’une seule. En ce qui concerne les appendices connus, au bas de leur partie dorsale, il est de règle que, aussitôt que l’éperon ac- quiert une certaine longueur, 1l existe aussi un appendice, qui se cache dans le plus long des deux éperons voisins. Par exemple, dans la fleur 5 du tableau ci-dessus, il y a un appendice entre le pétale supérieur de gauche et celui qui est placé au-dessous; l’appendice à choisi, pour s’y cacher, l’éperon le plus long, savoir, celui de 5 mm. Cependant, il arrive aussi que l’appendice n’atteigne pas la cavité de l’épe- ron, mais s’arrête en face d'elle; dans quelques rares cas, je l’ai même vu s’incurver, pour faire finalement saillie en de- hors de la corolle. Pistil. Chez une couple d’exemplaires examinés de plus près, le pistil n’offrait rien d’anormal, et chez d’autres, à raison de son aspect ordinaire, il n’invitait pas à une étude spéciale. A part les anomalies dont il vient d’être question, la fleur 146 J.-C. COSTERUS. PÉLORIES DU VIOLA TRICOLOR. se composait des verticilles ordinaires; on n’y découvrait rien de la remarquable pétalodie des étamines et des pistils, for- mant deux verticilles, qui à été observée chez le Viola odorata par A.-P. et À. De Candolle !). La seule particularité qui puisse encore être comptée parmi les anomalies, est une légère torsion de la fleur autour de son axe, parallèlement au pédoncule. Si l’on regarde comme cause déterminante de toutes les autres anomalies la soudure des deux sépales rapetissés, il est facile de concevoir que l’un de ces sépales soit atteint par la réduction à un degré plus fort que l’autre. Il en résultera que la fleur se tournera un peu du côté resté le plus petit, par la simple raison qu’elle pré- & sente une tendance à placer verticalement le sépale anormal. EXPLICATION DES IC UREEs: PLANCHE Ière. Fig. I. Viola tricolor, une fleur pentamère, vue de face. Aa. calice vu du côté postérieur ; les éperons des pétales 35 et 4 font saillie ; les deux sépales inférieurs sont soudés. 16, et Ac. pétale 3 de la fig. Ta, vu de face et par derrière. Ad. pétale 5 de la fig. I, vu de côté, le. pétale À de la fig. [, vu par derrière. N.B. Cette fleur figure sous le n° 2 dans le petit tableau de la longueur des éperons (p.144). Fig. Il. Viola tricolor, une fleur tétramère, vue de face. 2a. sépale occupant la place des deux sépales inférieurs de la fleur normale. 9b. pétale 2 de la fig. IT; à la base se montre une tache jaune. 9c id. id., vu du côté postérieur. 94. pétale 3 de la fig. Il, vu de face. 1) Monstruosités Végétales, I, par MM. Aug. Pyr. et Alphonse De Candolle, p. 2. STAMINODIE DE LA COROLLE DANS L’ERICA TETRALIX, PAR J.-C. COSTERUS. La staminodie de la corolle ne se rencontre pas fréquem- ment. M. Masters en cite comme exemples: un Faba vulgaris, dont les aïles et la carène étaient staminodiques; une forme cultivée de Saxifraga granulata, de Capsella bursa pastoris, de Solanum tuberosum et de Kalmaia latifolia; puis, un Daucus Carota, où la place d’un des pétales était occupée par une étamine, le Digitalis purpurea et l’Asphodelus ramosus. Un fait analogue, observé par Turpin chez le Monarda fistulosa, tenait peut-être, selon M. Masters, à l’adhérence d’un pétale et d’une étamine, comme on le voit souvent chez les Fuchsia. L’appa- rition d’étamines supplémentaires chez les Orchidées demande également à être étudiée avec soin avant d’être admise comme staminodie des enveloppes florales, vu que dans cette famille cinq étamines sont ordinairement rudimentaires et qu’acci- dentellement un ou plusieurs de ces organes peuvent se dé- velopper, soit à l’état libre, soit en connexion avec des parties du périgone. [l y à donc toujours à tenir compte, chez ces plantes, d’adhérences possibles. A Grâce à l’obligeance de M. le professeur Hugo de Vries, j'ai pu étudier le cas remarquable et, à ce qu’il paraît, non observé jusqu'ici, de corolles staminodiques chez l’Erica tetralix. M. de Vries les avait trouvées dans la bruyère de Loosdrecht, en grandes quantités pendant l’été de 1887 et en quantités ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 10 148 J.-C. COSTERUS. STAMINODIE DE LA moindres l’année suivante. Muni de ses indications, je me rendis, le 4 juillet 1889, à l’une des localités où la découverte avait eu lieu, entre Bussum et Hilversum; mais, bien qu’il y eût surabondance de Bruyères en fleur, la recherche d’exem- plaires monstrueux resta infructueuse. Le résultat d’excursions postérieures, surtout -aux environs de Baarn et aussi près de Hilversum, ne fut pas plus favorable. Heureusement, M. de Vries mit à ma disposition une si riche collection d’échantillons, tant secs que conservés dans l’esprit-de-vin, que, pour cet objet-là, de nouvelles trouvailles n’étaient plus nécessaires !). Rappelons que la corolle de l’Ærica tetralix normal est monopétale et 4-dentée. Dans chacune des dents pénètre un faisceau vasculaire; de plus, entre deux faisceaux con- sécutifs il s’en élève un autre, bifurqué un peu au-dessus de l’angle rentrant qui sépare les deux dents. Ce dernier faisceau vasculaire est marqué dans la fig. 1 (PI IIT), ainsi que dans plusieurs autres, du chiffre 2, tandis que près des faisceaux principaux se voit le chiffre 1. Le premier degré d’anomalie, visible à l’extérieur, consiste en un agrandissement de l’incision entre deux dents de la corolle (fig. 2). On voit en outre, dans le cas représenté, un petit renflement /, que son contenu, composé de pollen, fait reconnaître comme loge d’anthère. Dans la fig. 8 se retrouve, au fond, le même état, mais plus développé; en outre, du bas de la loge naît un de ces appendices qui sont caractéristiques pour les anthères des Erica et qui ont donné lieu au nom de l’ordre des Bicornes. La loge d’anthère prend dans la fig. 4, en /, une forme plus pointue; au côté droit de la même figure, une dent de la corolle s’est transformée en une anthère complète bien 1) Des préparations de l’Erica en question, collées sur verre au moyen de la gélatine, furent présentées par M. de Vries au deuxième Congrès des sciences médicales et naturelles, tenu à Leyde. Il fut insisté aussi sur la facilité avec laquelle de pareilles préparations se laissent photographier. Voir p.118 et suiv. des Handelingen du Congrès. COROLLE DANS L'ERICA TETRALIX. 149 A qu'un peu anomale à certains égards; à l’une des loges on voit le pore par lequel se fait, aussi dans les étamines or- dinaires, la sortie du pollen. Ces diverses particularités sont rendues encore un peu plus distinctes dans la fig. 5 ; celle-ci: montre les parties de l’anthère déjà arrivée à un état assez parfait, et elle fait connaître, en outre, de quelle manière est préparé l'isolement de l’étamine. Le lobe figuré de la corolle staminodique n’est plus uni à ses voisins que par un parenchyme incolore et à paroïs minces, compris entre deux très faibles faisceaux 2 et 2’. Ceux-ci sont les produits de dédoublement du faisceau intermédiaire marqué 2 dans la fig. 1 et déjà ainsi en 2 et 2’ dans la fig. 2. Comme on le : voit par ces figures, dès qu'une dent de la corolle subit une anomalie appréciable, le faisceau vasculaire intermédiaire se scinde en deux faisceaux distincts !). À mesure que l’étamine se perfectionne, les petits faisceaux partiels s’affaiblissent de plus en plus, pour finir par disparaître complètement (fig. 4 et 6). Dans la fig. 6, la séparation a fait de nouveaux progrès: la partie supérieure du filet de l’étamine y est développée en ‘ organe distinct. | Il serait sans utilité de s’étendre longuement sur tous les cas qui peuvent se produire. Je me bornerai à mentionner que la corolle, avec les différents degrés de staminodie, pré- sente aussi différents degrés d’incision. Elle peut, par exemple, n'être fendue que d’un seul côté, les dents qui bordent cette fente étant seules devenues anthéroïdes. D’autres fois, la co- rolle est partagée en deux segments, chacun à deux dents modifiées; ou bien, il s’est formé deux étamines déliées et 1) Il serait plus exact de dire que l’union des deux moitiés du faisceau vasculaire ne se produit pas. En réalité, de chaque faisceau principal (1) se détachent, à la base de la corolle, deux branches, qui, l’une à droite, l’autre à gauche, montent parallèlement jusqu’à l’incision entre deux dents de la corolle, pour diverger ensuite un peu en cet endroit. Dans les fleurs normales, les deux branches se confondent dès la base et ne se séparent que tout en haut. 10% 150 J.-C. COSTERUS. STAMINODIE DE LA une étamine plus longue et plus forte, cette dernière étant équiva- lente aux deux autres; ou bien encore, une seule étamine s’est détachée du reste de la corolle, qui elle-même porte trois anthères. Il est digne de remarque, assurément, que les parties modifiées de la corolle, qu’elles soient devenues libres ou qu’elles demeurent unies aux parties non modifiées, sont moins longues que ces dernières. Il en est de même de la corolle prise dans son ensemble: à l’état modifié, elle est plus courte qu’à l’état normal. Tandis que, normalement développée, elle a 7 mm de longueur (parfois même 8 mm), la longueur des corolles monstrueuses varie de 31 à 5 mm. Or, le style de la plupart de celles-ce1 n’étant guère plus court que d’ordinaire, il en résulte que, dans les fleurs anormales, le style est longuement, parfois très longuement exsert; c’est ce qui avait lieu, par exemple, dans le cas où la corolle ne mesurait que 31 mm de longueur, tandis que le pistil en comptait 74. À la question de savoir s’il se forme jamais une étamine surnuméraire concordant sous tous les rapports avec les éta- mines normales, je dois répondre par la négative, tout en ajoutant que la différence peut être très petite. Pour permettre la comparaison, j'ai représenté, fig. 7, une étamine ordinaire. Relativement à l'axe de la fleur, les deux appendices de l’anthère de cette étamine sont dirigés vers le bas et vers l'extérieur, tandis que les lobes de l’anthère sont dressés, mais en divergeant un peu. Chez les étamines provenant de la corolle, les lobes de l’anthère ont une position tout autre. Le fig. 6 les montre tournés vers le bas, la fig. 5 placés ho- rizontalement. Dans cette dernière figure, le connectif est encore large et les loges se trouvent encore assez loin du sommet. Dans les fig. 6 et 8, au contraire, le connectif com- mence déjà à se rétrécir et la ressemblance avec les étamines ordinaires devient par conséquent plus sensible. La différence entre les vraies étamines et les parties stami- nodiques de la corolle est toutefois amoindrie par le fait que dans quelques fleurs on trouve des étamines qui portent leur COROLLE DANS L'ERICA TETRALIX. 151 anthère sens dessus dessous; celles-ci se distingueraient à peine des étamines supplémentaires, si le filet de ces der- nières, toujours un peu plus large, ne nous mettait sur la voie. Quant à l’action que peut exercer le pollen des nouvelles étamines, je n’ai rien à en dire, n’ayant pas eu d'exemplaires vivants à ma disposition. | Un mot maintenant sur les étamines proprement dites. Quelques-unes d’entre elles étaient parfois imparfaitement développées, ne possédant, par exemple, qu’une anthère ru- dimentaire, à laquelle il manquait l’un des appendices, ou même tous les deux. D’autres fois, le nombre des étamines était plus ou moins réduit, et dans un cas il s’abaissait même jusqu’à trois. : L'une des fleurs m'offrit une particularité imprévue, à sa- voir, la cohérence d’anthères voisines. Comme les anthères, par suite de la présence des appendices, s’accrochent facile- ment l’une à l’autre, et qu’alors, pour aller plus vite, on les sépare souvent sans précaution, il est possible que, dans d’autres fleurs, la susdite particularité m'’ait échappé. La fig. 9 donnera une idée de la soudure en question: deux loges, appartenant à deux étamines contiguës, sont unies en un lobe unique, d’aspect cordiforme. Dans la fleur à laquelle cette figure a été empruntée, 1l y avait deux faisceaux de deux étamines chacun, un faisceau de trois étamines et une étamine en- tièrement libre. Il ne serait pas impossible qu'entre les fais- ceaux eux-mêmes 1l eût aussi existé une certaine cohérence, qui aurait été involontairement détruite lors de la préparation. Comme dernière observation, je mentionnerai une irrégu- larité du style. Outre qu’accidentellement sa longueur était très réduite, il présentait dans les fleurs fortement anomales une courbure, qui allait parfois jusqu’à lui donner la forme d’un demi-cercle (fig. 10 a et b). Ni dans le calice, ni dans les bractées, je n’ai remarqué aucune déviation du type ordinaire. 152 J.-C. COSTERUS. STAMINODIE DE LA En voyant les anomalies de la corolle, ci-dessus décrites, exister chez un si grand nombre d’exemplaires, que M. de Vries a eu la bonne fortune de rencontrer, on ne saurait se défendre de chercher quelque explication théorique du phénomène. Il y a d’ailleurs encore d’autres faits qui s'imposent à notre attention. Le premier de ces faits, c’est que la corolle de l’Erica letralix et d’autres membres de la même famille (Rhododen- dron, Rhodora, Azalea, Kalmia, autres espèces d’EÆrica) se trouve parfois, à titre d’anomalie, divisée en pétales libres. Tout récemment encore, M. Fr. Buchenau en à communiqué un exemple, dans lequel la corolle ordinaire de l’Erica tetralix était remplacée par quatre pétales spatulés !). Il faut considérer aussi, comme se rattachant à ce fait, la circonstance que certaines Ericacées, telles que Clethra, sont dialypétales. End- licher, dans la caractéristique de cette famille, dit: corolla gamopetala ........ interdum fere ad basin partita, elementis seorsim deciduis quasi dialypetala. La tendance à la dialyse de la corolle se retrouve, très prononcée, dans les familles qu’on compte parmi les plus proches alliées des Ericacées. Telles sont les Pyrolacées, les Monotropées avec leur corolle le plus souvent dialypétale, et, d’après Le Maoût et Decaisne, les Camelliacées , par l'intermédiaire des genres Sauraya et Clethra; dans ce dernier genre, en effet, comme dans plusieurs Rho- doracées, la corolle est polypétale, hypogyne, imbriquée, etc. En second lieu doit être signalée la tendance à la soudure des étamines. Nous en avons mentionné et représenté un cas (fig. 9) pour notre Erica, et nous rappelons que chez une variété de Rhodendron ponticum les étamines sont unies par une mem- brane en une espèce de seconde corolle. Dans la description de Le Maoût et Decaisne, on lit que les étamines (normales) sont parfois plus ou moins monadelphes, tandisque Endlicher en dit: filamenta libera v. basi, rarius juxta totam longitudinem, inter se coalita. 1) Abh. Naturw. Verein., Bremen, Bd. X. COROLLE DANS L'ERICA TETRALIX. 153 L’affinité nettement prononcée avec des familles choripétales fait naître la présomption que la corolle des Ærica était ori- ginairement à pétales libres, et que, sous l'influence de l’une ou l’autre propriété appartenant à la famille — tendance à la soudure des parties d’un même verticille — elle s’est changée en corolle gamopétale. Il ne s’agit ici, bien entendu, que d’une présomption, d’une hypothèse, d’après laquelle, si elle était exacte, les anomalies ci-dessus décrites devraient être conçues comme le retour d’une corolle gamopétale à l’état de corolle dialypétale, avec staminodie concomitante. On est tenté de faire encore d’autres hypothèses, en son- geant à l’obdiplostémonie des Ericacées. Comme on le sait, les étamines extérieures sont placées vis-à-vis des dents de la corolle et les intérieures vis-à-vis des parties du calice. Ces étamines extérieures, ou opposées aux pétales, sont en un certain sens des organes superflus ; elles troublent ie diagramme, qui, sans elles serait en accord avec la loi d’alternation. De là vient que ce verticille d’étamines, qui au reste, selon Eichler, manque parfois, est considéré comine non essentiel et pris soit pour un verticille intercalé, soit pour un produit de la corolle !). Chez les Fuchsia et genres voisins, on peut regarder comme suffisamment établi que l’obdiplostémonie est la conséquence de la formation d’une étamine à la base de chacun des pé- tales 2); mais pour les Erica la chose est plus difficile à expliquer. Comme, chez les Onagrariacées, un même faisceau vascu- laire pourvoit un pétale et l’étamine qui lui est opposée, il fallait tâcher de reconnaître le cours des faisceaux vasculaires chez les Erica. Peut-être que, là aussi, se montrerait un seul verticille de faisceaux pour la corolle et pour les étamines 1) Eichler, Blüthendiagramme, 1, p. 336. 2) Eichler. loc. cit., p. 337; voir aussi Ned. Kruidk. Archief, V, 1889, p. 445 et Malformations in Fuchsia globosa, dans Linnean Society’s Journal, Botany. Vol. XXV. 154 J.-C. COSTERUS. STAMINODIE DE LA épipétales ; s’il en était ainsi, l'hypothèse de A. de Saint-Hilaire !), trouvée bonne pour les Fuchsia mériterait d’être prise en sérieuse considération aussi dans le cas actuel. Pour me former une première idée de la marche des fais- ceaux des Ericacées, j'étudiai l’Erica Vilmoriana et une espèce de ÆAhododendron. Tout ce que cette étude m’apprit, c'est que chaque verticille recevait du torus ses 4 ou 5 fais- ceaux vasculaires propres; ainsi, Azalea en recevait 5 pour le calice, 5 pour la corolle, 10 pour les étamines, ete. Mais il me fut impossible de décider si les faisceaux des étamines épipétales étaient indépendantes, ou seulement des ramif- cations de ceux de la corolle. Pour éclaircir ce point, je m’adressai à l’Ærica tetraliæ et au Calluna vulgaris. Il est vrai que les fleurs de ces plantes sont petites, mais elles offrent l’avantage que, pour en faire des coupes, on peut se servir du microtome. Il s'agissait donc simplement d'obtenir des coupes longitudinales et transver- sales telles qu’il en ressortit s1 les faisceaux vasculaires des étamines surnuméraires (épipétales) provenaient du torus ou des faisceaux de la corolle ?). Or, ces recherches m’ont appris: 1°. Que, tant chez Erica que chez Calluna, il existe une connexion organique entre la corolle et les étamines. 2°. Que le faisceau vasculaire qui pénètre dans le segment de la corolle et celui qui pourvoit l’étamine épipétale naissent si près l’un de l’autre, qu'ils peuvent être considérés comme des branches d’un faisceau unique. 1) Eichler, L.c., p. 336. 2) Pour l'emploi du microtome à bascule, j'ai suivi les indications données par M. Moll dans son article: De toepassing der paraffine-in- smelting op botanisch gebied (Maandblad voor Natuurwetenschappen, 14e jaarg., p. 61). Jai également fait mon profit des conseils pratiques de M. J. van Rees: voir son Beitr. z. Kenntniss der inneren Metamorphose von Musca vomitoria (Zool. Jahrb., IT Bd., p. 10). — Il convient de remarquer que l'inclusion de fleurs dans la paraffine fondue présente des difficultés spéciales. COROLLE DANS L’'ERICA TETRALIX. 155 Cette dernière circonstance tendrait à faire croire qu’un seoment de la corolle et une étamine épipétale dérivent du même rudiment organique, appartiennent donc à un même verticille. Il resterait indécis, toutefois, si une division de la corolle produit une étamine, ou si inversement une étamine produit une division de la corolle, ou si, enfin, l’un et l’autre organe sont des produits de scission équivalents d’une ex- croissance primordiale. Si l’on consulte ce que Payer et Baïillon (d’après Eichler, l.c., p. 342) ont trouvé concernant le développement des Ericacées, on est amené à conclure qu’il y aurait encore un autre mode d’explication, rendant inutile la considération ultérieure de celui qui vient d’être proposé. Ces auteurs pré- tendent, en effet, qu’à l’état jeune les étamines épipétales ne sont pas en connexion avec les segments de la corolle qui y correspondent. Si leurs observations sont exactes, on doit ad- mettre que c’est seulement au cours du développement posté- rieur que se produit la fusion de la corolle avec les étamines et que viennent aussi à se réunir par leur base, bien qu'ini- tialement séparés, les faisceaux vasculaires des organes en question. Ou bien, la séparation initiale des faisceaux (ob- servée extérieurement) serait-elle compatible avec leur con- nexion interne originaire? Il est à regretter que cette question doive provisoirement rester sans réponse, l'étude du déve- loppement et celle de la marche des faisceaux vasculaires ayant donné des résultats qui, sans nouvelles recherches, ne sauraient être conciliés entre eux, et sont donc impropres aussi à Jeter du jour sur l’obdiplostémonie et la corolle sta- minodique de l’Ærica tetralix. 156 J.-C. COSTERUS. STAMINODIE DE LA COROLLE, ETC. EXPLICATION DES FIGURES. PLANCHE IIT. Fig. 1. Corolle normale fendue et étendue, pour montrer la disposition des faisceaux vasculaires. »” 2, Corolle normale, l’une des dentsé tant pourvue, du côté gauche, d’un petit sac pollinique. »” 3. id., avec un appendice au sac pollinique. » 4. Corolle anormale fendue et étendue, avec une dent entierement staminodique et une autre à demi staminodique. | » _». Segment staminodique de la corolle, en relation avec les segments _ voisins, auxquels il n’est plus uni que par une bende de paren- chyme incolore et à parois minces. . Trois segments staminodiques de la corolle. . Une étamine normale. . Un segment staminodique de la corolle. . Deux étamines normales à anthères soudées. CO 00! =I, © »” 10. Inflorescence de fleurs normales: 104. Une fleur séparée; 106. Un pistil à style courbé en demi-cercle. LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. PAR N. W. P. RAUWENHOFF. Introduction. À notre époque, où les résultats de toute recherche scien- tifique sont rendus publics aussi promptement que possible, l'application de l'antique règle: ,nonum prematur in annum” peut certes être dite une rareté. Pour le travail qui va suivre, le terme en question a toute- fois été dépassé. Commencé en novembre 1876 (comme il sera exposé ci-dessous), ce travail à été repris plus d’une fois et n'a été clos que cette année. Les premiers résultats obtenus ont fait l’objet de communications préliminaires à l’Académie royale des sciences d'Amsterdam, dans les séances publiques du 27 janvier et du 30 juin 1877, et au Congrès botanique inter- national tenu à Amsterdam en avril 1877 (voir les Procès- verbaux de ces séances). Les deux années suivantes, Îles expériences ont été continuées, et, à l’occasion des phéno- mènes que j'avais observés lors de la germination des spores, j'ai donné une description de celle-ci dans la Botan. Zeitung de 1879, N°. 28, p. 441 et suiv.; cette description, accom- pagnée de figures, a trouvé place aussi dans les Verslagen en Mededeelingen de l’Académie des sciences (2° série, T. XIV, p. 320) et dans les Arch: néerl. (T. XIV, p. 347). Mes autres résultats, toutefois, sont restés en portefeuille jusqu’en 1887, moment 158 N. W. P. RAUWENHOFF. où, reprenant les recherches sur des matériaux nouveaux, j'ai répété, contrôlé et étendu les expériences antérieures, en uti- lisant les grands perfectionnements qu’avaient reçus, dans les derniers temps, les procédés d’exécution et d’étude des pré- parations microscopiques. Ainsi est né le présent Memoire, qui, déjà rédigé en partie il y a quelques années, a maintenant été totalement refondu et mis en harmonie avec les vues et les résultats actuels. Néanmoins, aujourd’hui encore, l’étude est loin d’être com- plète et il reste des points obscurs. Nul ne le sait mieux que l’auteur lui-même. Mais je crois, pourtant, que ce mémoire pourra donner une idée du développement de la génération sexuée chez les Gleichéniacées, et des points en lesquels cette génération s’écarte de celle d’autres fanulles de Fougères. En outre, mes recherches ont mis en lumière de remarquables différences quant au mode de croissance des prothalles. Or, aucun travail de ce genre n’ayant encore été publié, que je sache, au sujet de ce groupe peu nombreux mais intéressant de Fougères. j'espère que les pages suivantes seront accueil- lies non sans intérêt comme contribution à la connaissance des Cryptogames en question. UTREcHT, Oct. 1889. Aperçu historique. Parmi les Fougères, les Gleichéniacées sont encore comptées comme une famille propre, de même rang que les Polypo- diacées, Cyathéacées, Schizéacées, Osmondacées et Hyméno- phyllacées. Les caractères qui distinguent les Gleichéniacées sont, d’aprés les systématistes, les suivants: fronde fine, par- fois décomposée-pennée, dichotomiquement ramifiée, qui per- siste et s’agrandit par le développement de bourgeons formés à l’aisselle des ramifications ; sores composés de 2—4 sporanges, LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 159 insérés à la face inférieure des frondes, nus et sans indusium ; sporanges sessiles et pourvus d’un anneau élastique complet, horizontal ou obliquement horizontal, qui s’ouvre par une fente verticale. À cet égard, il y a accord entre Pres], T'entamen Pteridographiae p. 47, Mettenius, Filices horti bot. Lipsiensis p. 112, J. Smith, Historia Filicum p. 337, Id.. Ferns, british and foreign p. 247, et autres auteurs. Soit qu'avec Mettenius on regarde comme caractère principal la structure et le mode de déhiscence du sporange, soit qu'avec Hooker et Baker on cherche plutôt ce caractère dans le mode de développe- ment de la fronde fertile, dans l’un et l’autre cas les Glei- chéniacées paraissent devoir conserver leur rang comme famille particulière. De plus en plus toutefois, surtout dans les der- niers temps, on a voulu déduire la place, à assigner aux groupes de Cryptogames, non seulement de quelques caractères extérieurs, mais aussi, et en première ligne, de l’histoire de leur développement. Essaie-t-on d'appliquer ce critérium aux Gleichéniacées, on reconnaît bientôt que toutes les données nécessaires nous manquent jusqu'ici, notamment en ce qui concerne les premiers développements, la germination des spores et la formation des prothalles et des organes sexuels. La description systématique, qui pour cette famille a même été faite en majeure partie d’après des échantillons d’herbier (voir Smith, Historia Filicum, 1875, p. 72), ne va pas au-delà de la considération des sporanges. De la structure des spores (comme ne pouvant plus être observée à la loupe) il n’est tenu aucun compte. Mettenius seul les mentionne, dans sa caractéristique des Gleichéniacées (Filices horti bot. Lips, 1856, p.112), en ces termes: ,Sporae oblongae, stria singula notatae. Die Sporen sind länglich und mit einer Lüngsleiste versehen, z. B. Gleichenia glauca, ferruginea, pubescens, u. s. w.’ Les écrits ana- tomiques et physiologiques sont, eux aussi, très pauvres en renseignements sur les Gleichéniacées. Il n’y à guère d’excep- tion à faire que pour le beau mémoire de Hugo von Mohl sur la structure des spores, mémoire publié dès 1838 et réim- 160 N. W. P. RAUWENHOFF. primé sans changement en 1845 (dans les Vermischte Schriften botan. Inhalts, p. 70). L'auteur y note que Mertensia gigantea et Gleichenia microphylla (qui étaient alors censées appartenir aux Osmondacées) ont des spores pyramidales, de la forme d’une pyramide triangulaire à base arrondie, tandis que Mer- tensia pubescens ovale possède des spores à côte longitudinale. Cette différence de forme des spores , que von Mobl attribuait déjà très-rationnellement à leur différence de situation dans les cellules mères, à ensuite été étudiée plus spécialement, chez les différentes familles des Fougères, par Russow (Ver- gleich. Untersuchungen 1. s. w., 1871, p. 89). Les spores sphéro- tétraédriques, que cet auteur à nommées radiaires, se ren- contrent dans tous les groupes de Fougères ; dans les divisions des Polypodiacées, Schizéacées, Gleichéniacées et Marattiacées, où l’on trouve simultanément des spores bilatérales (les spores ovales de von Mohl), ces dernières sont, d’après lui, beaucoup plus abondantes. A ces courtes indications concernant les spores, ajoutez la mention faite par Alex. Braun (Verjungung der Natur, pag. 123) du remarquable mode d’accroissement des feuilles chez les espèces de Gleichenia et de Mertensia, — le développement de ces feuilles est temporairement arrêté, de sorte que le sommet, formant en apparence un bourgeon dans l'angle de la bifurcation, ou bien reste toujours dans cet état, ou bien, à la saison suivante, se développe de nouveau de la même manière, c’est-à-dire incomplètement, — et l’on aura à peu près tout ce qui est connu, en dehors de la partie purement systématique, de la famille des Gleichéniacées. Il y a certes lieu d’être surpris que cette famille n'ait pas été étudiée plus à fond, lorsqu'on voit avec quelle prédilection l'attention se fixe aujourd’hui sur l’histoire du développement des Cryptogames supérieures, de sorte que presque chaque famille a attiré plus d’un travailleur; et lorsqu'on considère que les Gleichéniacées étendent leur domaine du Japon à la Nouvelle-Zélande (J. Smith, Historia Filicum, p. 338) et que, sans être précisément du nombre des Fougères à bon marché LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 161 et généralement répandues, elles se rencontrent pourtant en différentes espèces, portant des spores, dans les jardins botani- ques et chez les amateurs de plantes. Je ne puis m'expliquer ce phénomène que par les difficultés attachées à la culture de ces plantes, surtout à la propagation au moyen des spores, difficultés qu'on ne parvient à surmonter qu'en observant toutes sortes de précautions et en s’armant d’une forte dose de persévérance. L'étude de ces plantes prend par suite beaucoup de temps, ce qui, après quelques tentatives infruc- tueuses, aura peut-être découragé maint observateur. Mon expérience personnelle, en effet, a pleinement confirmé ce que dit M. E. Mayer dans son excellent article sur la culture des Fougères, à savoir, que la plus grande attention doit être apportée 1° au choix des spores, 2° au moment du semis et du repiquage des prothalles, et 3° à la préservation des jeunes plantes contre l'atteinte des insectes, des mucédinées, des algues, des mousses, etc. (Regel, Gartenflora, 1875, T. XXIV, p. 45.) Ordinairement, ces divers points sont plus ou moins négligés, surtout le 1er et le 8°, et alors rien ne lève, ou bien on voit lever d’autres plantes que celles qu’on attendait, ou bien les jeunes plantes déjà obtenues ne tardent pas à périr. M. Mayer paraît avoir réussi à élever de spores la plupart des Fougères, sauf les Hyménophyllacées, et si les matériaux provenant de ses cultures avaient fait l’objet d’un travail scien- tifique, la lacune existant dans nos connaissances au sujet du développement des Fougères aurait probablement déjà été comblée avant la date de mes premières recherches. En ce qui concerne les Gleichéniacées, il est parvenu à tirer de semis une espèce, le Gleichenia dicarpa R. Br. D’autres espèces il ne put obtenir de bonnes spores. Mais, à en juger par cette espèce unique, il tend à croire que la reproduction des Gleichenia n’offrira pas plus de difficultés que celle de beau- coup d’autres Fougères. kRelativement aux Gleichéniacées, voici ce qu'il dit: ,Les spores de cette famille de Fougères approchent de la couleur jaune soufre, ce qui les rend faciles 162 N. W. P. RAUWENHOFF, à reconnaître, même sans loupe. La difficulté d’obtenir de bonne semence s'explique aisément quand on a l’occasion de rechercher des spores sur des exemplaires de Gleichenia beaux et vigoureux. La plupart des feuilles ne portent que des spo- ranges vides ou sont encore trop jeunes.” Ses prothalles de Gleichenia mettaient, de leur première apparition jusqu’à la formation de la première feuille, cinq mois, de sorte qu’un repiquage répété était nécessaire. ,Les prothalles de Gleichenia dicarpa sont presque orbiculaires, avec un diamètre de près de 3 mm. et une échancrure cordiforme, qui atteint presque le quart du diamètre. Les bords sont entiers et un peu relevés. La couleur est vert foncé. Le prothalle se reconnaît à ses poils radiculaires, qui deviennent visibles par suite du redresse- ment des bords. Ces poils occupent sur la face inférieure, au centre du prothalle, le tiers de la surface; ils sont courts, de même longueur, et ont une couleur brune, à éclat mé- tallique.” Voilà ce que nous apprend M. Mayer. Quant à moi, j'ai réussi à faire germer les spores de différentes espèces du genre Gleichenia, et à amener quelques-unes d’entre elles à l’état de jeunes plantes, non sans avoir éprouvé, il est vrai, nombre d’échecs préalables. Finalement, toutefois, j'ai obtenu des matériaux en quantité suffisante pour pouvoir suivre et dé- crire tout le développement de la génération sexuée ches ces plantes. Avant de faire connaître les résultats auxquels je suis parvenu, il ne sera pas déplacé, me semble-t-il, de donner quelques détails sur l’historique de mes cultures: d’une part, ils mettront en lumière le mode de vie de ces végétaux in- téressants, mais délicats: d'autre part, mon expérience per- sonnelle aura peut-être quelque utilité pour d’autres, qui voudraient s'occuper, en vue de recherches scientifiques, de la culture des Gleichenia. LA GÉNÉRATION SEXUËRE DES GLEICHÉNIACÉES Histoire de mes cultures. Stimulé par les résultats favorables obtenus au jardin bo- tanique d’Utrecht dans la culture des Marattiacées, culture entreprise sur mes conseils par M. le Dr. H. F. Jonkman, à cette époque assistant pour la botanique à notre université '), j'essayai de faire germer aussi les spores de différentes espèces de Gleichenia. Dans ces essais, M. Jonkman me seconda avec zèle de son aide très-appréciée. Grâce à la bonté de feu M. J. A. Willink Wz., de Driebergen, j'avais recu des frondes vivantes et fructifères de Gleichenia flabellata, G1. hecistophylla et Gl. Mendelli. Après avoir été examinées au microscope, les spores de ces frondes furent semées, le 18 novembre 1876, sur de la tourbe qui avait été bouillie dans l’eau et qui était con- tenue dans de petits pots neufs, auxquels la même opération avait été appliquée. Recouverts de cloches et placés dans du sable humide et de l’eau, ces pots furent maintenus à une lumière tempérée, dans une atmosphère saturée de vapeur d’eau et à une température de 60° à 70° F. Dans ces con- ditions, les spores des deux espèces nommées en dernier lieu germèrent déjà au bout de 15 jours à 3 semaines; celles du Gleichenia flabellata, manifestement plus faibles, levèrent plus tard, quelques-unes au bout de 5 à 6 semaines seulement, et restèrent aussi en arrière des deux autres dans la suite de leur développement. Des GT. hecistophylla et Mendelli, au contraire, les prothalles eurent une croissance régulière, et en mars 1877 il s’y montra des anthéridies, en mai des arché- 1) Des résultats de M. Jonkman j'ai donné un aperçu préliminaire à l’Académie des sciences d'Amsterdam, dans les séances du 25 Sept. 1875 et du 27 mai 1876 (voir les Procès-Verbaux de ces séances). Plus tard. M. Jonkman lui-même a exposé, dans la Botan. Zeitung, 1878, p. 129, une partie de ses recherches, puis il a fait de celles-ci le sujet de sa thèse universitaire, publiée sous le titre: De geslachtsgeneratie der Marattiaceen, Utrecht, 1879. ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 11 164 N. W. P. RAUWENHOFF. gones. Au sujet de ces cultures j’ai donné quelques détails dans mes communications préliminaires à l’Académie des sciences d'Amsterdam, séances du 27 janvier et du 30 juin 1877 (Voir les Procès-Verbaux de ces séances). Des archégones apparus, quelques-uns furent fécondés, et. au mois de septembre 1877 je trouvai quelques exemplaires de Gleichenia hecistophylla montrant la première petite feuille de la génération suivante, sous la forme d’un élargissement en massue, à l'extrémité d’un pédicelle de 4 à 5 mm. de longueur. Outre ces plantes, il y avait encore quelques pro- thalles sains pourvus d’anthéridies et d’archégones ; maïs la plupart étaient morts dans le courant de l'été. Les prothalles vivants furent dépotés en octobre, puis une seconde fois un peu pius tard, de sorte qu'au mois de janvier 1878 il restait encore en vie quelques individus, qui toutefois finirent égale- ment par mourir. Les prothalles de Gleichenia flabellata et de Gl. Mendelli avaient déjà péri avant la fin de 1877. Peu de temps après ce premier semis, j'eus l’occasion de constater combien est grande l'influence de l’état des spores sur le résultat de l’expérience. Par l’obligeante entre- mise de M. W. F. Thiselton Dyer, j'avais recu du Jardin de Kew des folioles sporifères de Gl. flabellata et de Gl. dicarpa, qui, bien que saines d’aspect, avaient été un peu desséchées durant le transport. De ces spores, semées le 10 décembre 1876 avec les mêmes soins que les précédentes, celles de G1. flabellata ne germèrent pas du tout, et celles de G7. dicarpa formèrent très-lentement quelques prothalles, qui, après quel- ques mois d’une vie souffreteuse, succombèrent tous. Ainsi donc, bien que d’au moins une espèce de Gleichenia quelques individus eussent parcouru la première génération tout entière, le nombre en était petit. La grande majorité des prothalles s'étaient mis tôt ou tard à languir et n'avaient pu résister à leurs ennemis, moisissures, filaments d'algues et protonémas de mousses, dont, malgré le nettoyage répété des Gleichenia, on ne parvenait presque pas à les débarrasser. LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 165 Il semblait donc expédient, pour obtenir à différentes phases de développement les matériaux d’étude nécessaires, de réitérer fréquemment les semis, avec des spores aussi saines que possible. Heureusement, je fus largement mis en état de le faire par la libéralité de M. J. A. Willink, qui me permit de récolter les spores de ses plantes vivantes, chaque fois que celles-ci en fournissaient l’occasion. En conséquence, le 20 octobre 1877, un nouveau semis eut lieu avec les spo- ranges des Gl. flabellata, Mendelli et hecistophylla. De la pre- mière de ces espèces je trouvai, après un intervalle de dix jours seulement, nombre de spores germées dans le sporange encore clos; le 7 novembre suivant, plusieurs spores devenues libres avaient déjà formé des prothalles de quatre cellules ou plus. Mais le développement ultérieur de ces prothalles, ainsi que de ceux des deux autres espèces, marcha mal. Il ne tar- dèrent pas à languir, et au commencement de l'été de 1878 il ne restait presque plus rien de ce semis. Avec le Gleichenia rupestris, semé le 20 novembre 1877, les résultats furent plus favorables. Les spores de cette espèce, que j'avais reçues alors pour la première fois, paraissent être plus vigoureuses que celles des autres espèces. A l’origine, toutefois, la germination marcha encore lentement et un grand nombre de spores moururent dans les sporanges non ouverts. Un examen attentif me fit voir que cela tenait principalement à la solidité des parois des sporanges. Ceux-ci s’ouvraient difficilement et les jeunes prothalles, à peine formés, étouf- faient pour ainsi dire dans l’étroit espace où ils étaient en- fermés. En conséquence, le 14 décembre, les sporanges encore sains furent rempotés après avoir été ouverts: il s’ensuivit bientôt une germination copieuse, de sorte que, en mars 1878, les jeunes prothalles surabondants durent être transplantés dans d’autres pots. Ils continuèrent à croître avec vigueur, furent encore rempotés une couple de fois pendant l'été, et fournirent, en août 1878, des prothalles complètement déve- loppés avec anthéridies, archégones et jeunes embryons, puis, LES 166 N. W. P. RAUWENHOFF. en novembre 1878, quelques jeunes plantes, qui furent con- servées dans l'alcool, pour l’étude ultérieure. Le 12 décembre 1877, je semai de nouveau des spores fraîchement récoltées de Gleichenia hecistophylla et de GI. ru- pestris. Cette fois, les sporanges furent ouverts avant d’être confiés à la terre, et les spores trouvèrent donc immédiate- ment abondance d’espace et de lumière. Au début, ces spores germèrent rapidement et vigoureusement. Le 2 janvier 1878, il y en avait déjà un assez grand nombre en plein dévelop- pement. Un peu plus tard, celles de GT. hecistophylla, forte- ment attaquées par des algues et des mousses, commencèrent, malgré des nettoyages répétés, à languir, de sorte qu’on n’en retira pas grand’chose. Les spores de G1. rupestris, saines et robustes d’aspect, continuèrent à croître convenablement et formèrent quantité de prothalles, qui, plus d’une fois rempotés au cours de l’été suivant, fournirent en partie des jeunes plantes, lesquelles toutefois moururent plus tard, après avoir poussé quelques petites feuilles. Des essais de germination ont aussi été faits au printemps. Le 15 avril et Le 1er mai 1878, je semai, avec tous les soins indiqués et, comme toujours, après examen microscopique, des spores: la première fois, celles de Gl. rupestris et de Gl. hecisiophylla, la seconde fois, celles de (1. flabellata et de Gl. rupestris. Mais, quoique les spores parussent très saines, le développement s’opéra moins bien que précédemment. L'été, comme le remarque M. Mayer dans l’article cité plus haut, ne semble pas y convenir spé- cialement. De ces cultures je n’obtins que quelques faibles prothalles de GT. hecistophylla et de Gl. rupestris, prothalles qui moururent au bout de peu de temps. Dans l’automne de cette même année, deux autres semis eurent encore lieu. Le 8 octobre 1878, les spores d’un pied de Gleichenia circinata, cultivé au jardin botanique d’Utrecht, furent portées directement de la plante sur la terre: le 6 no- vembre, ces spores étaient en parfaite germination. Le 16 no- vembre 1878, je reçus de M. le professeur Reichenbach, de LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLÉICHÉNIACÉES. 167 Hambourg, des feuilles bien vivantes et sporangifères des GI. hecistophylla, flabellata, semivestita, Spelunca, rupestris et micro- phylla. Les spores de ces feuilles étaient, la plupart, en bon état; le semis, effectué aussitôt que possible, promettait d’abord un résultat favorable, mais finalement il n’aboutit, lui aussi, qu’à la production de petites plantes portant une couple de folioles. Enfin, dans l’été de 1887, la reproduction de Gleichénia- cées au moyen de spores a été essayée encore une fois. Par l’amicale intervention de M Treub, qui voulut bien se charger lui-même du transport, j'avais obtenu du jardin de Kew des sporanges frais de Gleichenia flabellata, de Gl. cireinata var. microphylla et de Gl. dicarpa. Après examen microscopique de l’état des spores, celles-ci furent semées, avec les précau- tions observées lors des essais précédents, dans de la tourbe récemment bouillie, placée dans de petits pots qui avaient également subi l’action préalable de l’eau bouillante. Les pre- miers résultats furent, en majeure partie, semblables à ceux des expériences antérieures. Au bout de six semaines, rien n'avait levé du Gleichenia flabellata. Les spores étaient déco- lorées et mortes. La reproduction de semis est très difficile pour cette espèce, surtout parce qu'on a tant de peine à en obtenir les spores (les seules spores bilatérales que j'aie ren- contrées chez les Gleichéniacées, voir plus loin p.170) dans l’état de plus grande aptitude à la germination. Dans les sporanges, elles ne sont ordinairement pas encore arrivées à maturité parfaite, et attend-on plus longtemps, les sporanges sont en général déjà vides. Pour les autres espèces, le résultat fut beaucoup meilleur. Après six à sept semaines, j'avais de chacune d'elles quantité de jeunes prothalles, les uns clavi- formes, les autres cordiformes, mais encore dépourvus d’an- théridies. Celles-ci, toutefois, se montrèrent peu à peu, et le 14 octobre 1887, donc deux mois plus tard, il y avait déjà, chez les deux variétés de Gleichenia circinata, quelques pro- thalles à archégones, qui à la fin de l’année fournirent de Jeunes plantes avec racine primaire, pétiole et bourgeon. Des 168 N. W. P. RAUWENHOPFF. trois espèces en question, les cultures restèrent, après plu- sieurs rempotages et de fréquents nettoyages, aussi en vie pendant l’année 1888, de sorte que maintenant encore j'ai de chacune d’elles des représentants, aussi bien des prothalles que des jeunes plantes. La croissance de ces dernières, toute- fois, est extrêmement lente. Les individus les plus développés, âgés aujourd’hui de plus de 18 mois, ne mesurent que 3 à 4 centimètres de hauteur et consistent en trois ou quatre pe- tites feuilles, dont la plus grande compte 15 à 18 folioles (ou plutôt pinnules), tandis que les racines ne dépassent guère les feuilles en longueur, et parfois même sont encore plus petites que celles-ci. Il est évident, même en tenant convenablement compte des conditions peu favorables dans lesquelles vivent ces plantes cultivées, que leur croissance a lieu avec une remarquable lenteur. On voit, par ce court aperçu, qu’il n’y a pas eu ME de tentatives répétées et que beaucoup de persévérance et de patience est nécessaire pour la culture des Gleichéniacées. Cette besogne prend en outre un temps considérable, car les cultures doivent être constamment surveillées, itérativement nettoyées avec soin et plusieurs fois rempotées, si l’on veut pouvoir espérer quelque succès. Une première condition est toujours que les spores soient bien saines, d’un Jaune vif, gonflées, à grand noyau distinct et à contenu dense. Les spores incolores ou mal développées doivent être invariablement rejetées. Dans les cas exception- nels où le semis de pareilles spores à été essayé, notre pré- somption d’insuccès s’est vue pleinement confirmée. D'autre part, il ne faut pas oublier que, même des meilleures spores, quelques-unes germent beaucoup plus tardivement que les autres. Si réussies que fussent les cultures, j’y trouvais, à côté de prothalles passablement développés, des spores ve- nant à pleine de germer, et même des spores encore closes, bien que restées saines. LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 169 Structure des spores. Les spores des espèces de Gleichenia que j'ai examinées présentent deux formes différentes. Elles sont ou bien radi- aires ou bien bilatérales, pour user de la terminologie de M. Russow (voir plus haut, p.160). Les spores radiaires, aux- quelles appartiennent celles de Gleichenia hecistophylla, Gl. rupestris, Gl microphylla, Gl. semi-vestila, Gl. circinata, Gl. Spelunca, Gl. dicarpa, sont arrondies en bouie d’un côté et limitées de l’autre par trois faces sensiblement planes, de sorte qu’elles ont à peu près la figure d’une pyramide trian- gulaire superposée à un segment sphérique. Pour cette raison, on les appelle aussi parfois spores sphéro-tetraédriques, et leur forme s'explique, comme l’ont déjà indiqué M. Kny (Die Entwickelung der Parkeriaceen, p. 7) et d’autres, par la manière dont elles naissent dans le sporange, à savoir, par quadripartition des cellules mères. Chacune des trois faces accolées à une face semblable de la spore sœur est peu voûtée, la face extérieure, au contraire, est fortement bombée (Voir PI. IV, fig. 1, et aussi les fig. 1 et 2 de la Note insérée, comme il a été dit p. 157, dans les Arch. néerl., T. XIV, p.347) Lorsque la spore repose sur le côté sphérique, les trois faces en question ressortent nette- ment, grâce à trois côtes assez épaisses, qui se réunissent au sommet de la pyramide et qui marquent les places où la spore s'ouvrira lors de la germination (fig. 1 et 2). Ces côtes s'étendent du sommet jusqu’à l’équateur de la spore. La paroi des spores est incolore et transparente, et elle ne présente à l’extérieur ni verrucosités ni épaississements ré- ticulés, comme on en rencontre si fréquemmentsur beaucoup d’autres spores de Fougères. Par contre, les spores sont pour- vues extérieurement de trois bandes ou poutres assez larges et assez épaisses, qui se trouvent à peu près au niveau de l'équateur de la spore, entre les bases des côtes, sans toucher celles-ci. Elles forment ainsi autour de ces côtes un triangle non fermé aux angles. A l’origine, il ne fut pas facile de 170 N. W. P. RAUWENHOPFF. tirer les choses au clair quant à ces poutres, parce que les spores non germées se placent généralement, ou bien de façon que les trois côtes soient dirigées en haut (un peu oblique- ment, la spore reposant sur la face bombée et sur l’une des poutres), ou bien (lorsque la spore est appliquée par l’une des faces planes) de façon que la face bombée soit tournée vers l’observateur. Dans le premier cas, les poutres ne se voient qu'indistinctement; dans le second, elles sont cou- vertes par le contenu opaque de la spore. C’est seulement chez des spores qui avaient germé et développé des prothalles de deux ou trois cellules que les poutres ressortirent nette- ment dans différentes situations, parce que la position de la spore était déterminée par la forme du prothalle, et qu’en outre, dans beaucoup de cas, la paroi de la spore pouvait être observée débarrassée de son contenu {Voir les fig. 4, 6,8, 9, 10, 18, 19, 27, 28, 35). Vues d’en haut, les poutres se montraient alors très-réfringentes, plus épaisses au milieu qu'aux bords, parfois faiblement striées en travers, et amin- cies aux deux extrémités, où elles se confondent avec la paroi externe de la spore. En ce qui concerne les spores bilatérales, que je n’ai ren- contrées jusqu'ici que chez le Gleichenia flabellata (dans ma communication préliminaire, Procès-verbal de la séance du 27 janvier 1877 de l’Acad. d. se. d'Amsterdam, il est dit par erreur que le G1. dicarpa présente également des spores bila- térales; un examen plus attentif des spores de cette plante, recueillies en divers lieux, m'a montré qu’elles sont toutes radiaires), ces spores bilatérales ont ordinairement la forme de petits haricots et ne possèdent qu’une seule côte, toujours située au côté long, concave. Chez ces spores aussi, la paroi est incolore, transparente et dépourvue de petites verrues ou d’éminences réticulées: mais, de part et d'autre de la côte parallèlement à celle-ci et très rapprochée d'elle, se trouve une poutre unique; ces poutres n’ont pas toute la longueur de la côte, et sont ordinairement moins épaisses et moins larges LA GÉNÉRATION SEXUÉE DÉS GLEICHÉNiACÉES. LTÉ que les poutres des spores radiaires, ce qui les rend encore moins faciles à observer que celles-ci, sur les spores non germées, remplies d’un contenu jaune et opaque (Voir Arch. néerl., T. XIV, PL VII, fig. 14 et 15). Ici encore, toutefois, les deux poutres deviennent très distinctes sur les valves ouvertes, dès que la germination a donné naissance à un prothalle d’une couple de cellules et que, par suite, la paroi de la spore a pris une autre position (Jbid., fig. 16 et 17). De même, les poutres sont bien visibles sur les spores inco- lores, non mûres ou mortes, sans contenu opaque. Quand on examine des coupes de spores (qu’il est facile d'obtenir en immergeant les sporanges encore fermés ou les spores elles-mêmes dans une couche de gomme additionnée d’un peu de sucre et. étendue à la surface d’un liège, et en laissant sécher le tout pendant quelques jours, après quoi la masse est tout juste assez durcie pour qu’on puisse en faire des coupes minces), on distingue dans la paroi différentes couches, tant chez les spores bilatérales que chez les radiaires, bien que chez les premières l’épaisseur de la paroi soit en général plus faible. La couche externe, que M. Tschistiakoff (Ann. d. sc. nat., 1874, 5° Sér. T. XIX, p. 227) appellerait perisporium est relativement mince. On n’y distingue pas de structure stratoïde. Sous cette couche est situé l’exo- sporium, ordinairement plus épais, là surtout où se trouvent les poutres, et presque toujours composé de deux, parfois de trois couches différentes. La partie la plus interne de la paroi, l’endosporium, est généralement assez mince (PI. IV, fig. 11 et 12). Ces différentes couches pariétales, que d’autres auteurs dis- tinguent seulement en exine et intine (tels, par exemple: M. Kny chez Osmunda, dans Pringsheim, Jahrb. f. w. B., VII, p. 2, et chez Ceratopteris, dans son Entw. d. Parkeriaceen, p. 8; M. Fischer v. Waldheim, dans Pringsheim, Jahrb. IV, p.372), présentent toutes un haut degré de résistance. La réaction de la cellulose n’a pu y être provoquée par aucun moyen. Avec une forte solution de potasse, l’exospore et l’endospore 179 N. W. P. RAUWENHOPFF. sont colorées en jaune, la couleur de l’épispore change peu : aucun gonflement ne se produit. L’iode colore seulement, en brun jaunâtre, les deux premières de ces couches; les poutres restent à peu près incolores. Le réactif de Schultze, avec ou sans traitement préalable par la potasse ou par l’acide nitrique, ne donne qu’une coloration jaune brunâtre et un très léger gonflement. Même alors, les limites des couches restent parfaitement tranchées. Il en est de même avec l’acide chromique, qui ne détermine qu'une coloration jaune foncé, sans gonflement. L’acide sulfurique concentré fait d’abord pâlir la paroi, qui, sous une action plus prolongée, devient brun violet, mais en conservant parfaitement nets les con- tours de ses couches et en n’éprouvant qu'un faible gonfle- ment; par contre, des parois fortement épaissies de cellules annulaires du sporange, qui se trouvaient accidentellement mêlées à la préparation, furent assez promptement détruites, de sorte que finalement, dans la masse noir brunâtre restante, leurs formes n'étaient plus à reconnaître. Le traitement des spores par la teinture d’iode et, après évaporation de l'alcool, par l'acide sulfurique concentré, ne fait pas apparaître la réaction de la cellulose. Les couches de la paroi se colorent en jaune brunâtre, surtout l’exospore; l’epispore, même alors, ne subit qu’un faible changement de couleur. L'iode est absorbé le plus par le contenu de la spore, surtout par le noyau, qui, sous ces influences, devient jaune brunâtre. Le contenu de la spore, dans l’état de maturité, mais avant la germination, est jaune d’or foncé, opaque, fortement ré- fringent, d'aspect homogène et solide dans la majeure partie de sa masse, avec çà et là quelques globules, qui ont toute l'apparence de globules de graisse ou de gouttelettes d'huile, et ne sont que peu ou point colorés. Immédiatement au-des- sous du point de jonction des trois côtes chez les spores radiaires (Arch. néerl., T. XIV, PI. VIII fig. 1 et 2), et au- dessous du milieu de la côte unique chez les spores bilaté- rales (Ibid., fig. 14 et 15), on voit un grand noyau nucléolé, LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 173 rond, peu coloré, qui au début de la germination change souvent de forme, devient polyédrique et émet des fils plas- matiques ou pseudopodies. Lorsque la spore immergée dans l’eau est rompue par pres- sion, le contenu en sort sous la forme de grumeaux irréguliers, jaunes, très réfringents (non biréfringents, suivant la juste remarque de M. Kny, Parkeriaceen, p. 8), mêlés de petits glo- bules incolores, et parfois on réussit alors à observer le noyau à l’état de liberté dans l’eau. Les globules en question se voient fré- quemment aussi comme de petits corps — assez gênants pour l’observation — adhérents à la surface externe de spores intactes ; c'est ce qui a lieu lorsque, dans l’opération de l’ouverture d’un sporange, quelques spores ont été meurtries, chose difficile à éviter. Optiquement, ces globules sont tout à fait semblables à des globules de graisse, et c’est sous ce nom qu’on les désigne habituellement. Pourtant, leurs réactions chimiques ne sont pas complètement d'accord avec cette assimilation. Dans la potasse 1ls jaunissent, sans se dissoudre: ils ne se dissolvent pas non plus dans l’alcool; dans l’acide sulfurique ils con- fluent en boules plus grosses, sans perdre leurs contours nets. Les grumeaux à éclat vif sont également insolubles dans la potasse, raison pour laquelle M. Kny, chez Ceratopteris (Par- keriaceen, p. 8), ne les regarde ni comme des corps protéini- ques, n1 comme de l’amidon: d’autres auteurs d’écrits sur les spores des Fougères (à l’exception de Fischer von Waldheiïm, dans Pringsheim, Jahrb. f. wiss. Bot., IV, p. 373) glissent sur ce sujet et ne disent presque rien du contenu chimique de la spore. Pourtant, c’est là un point des plus importants, et qui mériterait bien une étude approfondie, eu égard surtout aux changements considérables que ce contenu subit lors de la germination. S'il était possible de faire s’opérer cette ger- mination sur le porte-objet du microscope ou dans la chambre humide, sans prolifération de filaments mucédinéens, on aurait peut-être 1c1, vu la lenteur du processus, l’occasion favorable de suivre pas à pas la transmutation du contenu et la for- 174 N. W. P. RAUWENHOFF. mation de la chlorophylle, de la cellulose et de l’amidon, au moins chez les spores telles que celles des Gleichenia, où le contenu n’est pas rendu opaque par des verrues, des aiguil- lons ou des côtes de l’exine ou de l’exospore. Pour en revenir à la masse brillante et fortement réfringente qui rem- plit les spores de Gleichenia, celle-ci est bien dûment composée en grande partie de matières protéiniques, comme on le re- connaît en traitant par le réactif de Millon les spores préala- blement meurtries: non seulement le grand noyau cellulaire, mais aussi quantité de grumeaux prennent alors une couleur rouge brique (voir Arch néerl., T. XIV, PI. VIIL, fig. 8) "A côté de ces grumeaux, toutefois, il y en a d’autres, également très réfringents, que le réactif de Miïillon ne colore pas, et dont je n’ai pu découvrir la nature chimique. Quant à l’amidon, qui, on le verra tout à l'heure, apparaît très peu de temps après la germination, je ne l’ai jamais trouvé dans la spore non germée. La grandeur des spores radiaires diffère peu chez les dif- férentes espèces de Gleichenia que j'ai examinées. Celles de GI. rupestris sont les plus grosses et possèdent aussi les parois les plus épaisses, mais chez les autres la différence de dimen- sion est minime; au reste, même par l’ensemble de leurs caractères, elles ne se laissent presque pas distinguer les unes des autres. Si l’on voulait attribuer à l’aspect extérieur des spores de la valeur au point de vue de la distinction systématique, la plupart des soi-disant espèces de Gleichenia devraient être ramenées à une espèce unique, ou tout au plus à des variétés de celle-ci. Des nombreuses mesures que j'ai prises, il résulte en effet que, les spores étant placées le côté sphérique tourné vers le haut, leur grandeur, suivant les deux directions perpendiculaires a et à (fig. 3), est ex- primée par les chiffres suivants: Gleichenia rupestris. . . a = 0,053 mm. b —= 0,042 mm. hecistophylla - a: = 0,042 1 5: db —= 0,031m; microphyllasua =u0 047 11, Ab = N0;040 04 ” » LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 175 Gleichenia semivestita.- . a — 0,042 mm. b —= 0,035 mm. ÿ ccinaian mi 10,049; :bt=,,0,040,. : ; . carpe coin, 027, ;:,.04=:0,085.., L’épaisseur de la paroi varie, en des points différents et chez les différentes spores, de 0,0011 à 0,0020 mm., tandis que les poutres elles-mêmes ont une épaisseur de 0,0035 à 0,0044 mm. Les spores bilatérales du Gleichenia flabellata, au contraire, sont notablement plus petites. Lorsqu’elles sont couchées sur le côté, nous trouvons ici a = 0,035 et b — 0,020 mm. L’épaisseur de la paroi est également moindre, et les poutres ne mesurent, en moyenne, pas plus de 0,0022 mm. en section. Si l’on compare ces dimensions avec celles que M. Kny (Parkeriaceen, p. 7) a trouvées pour différentes spores de Fou- sères, on peut dire que les spores radiaires des (leichenia ont une grandeur moyenne. Elles sont à peu près de même dimension que celles de Gymnogramme sulphurea, de Asplenium Nidus et de Phegopteris subincisa, et plus grandes que celles de Asplenium caudatum; mais elles sont dépassées en gran- deur par celles de Ceratopteris thalictroides, de Aneimia hirta, de Ceterach officinarum et de Polypodium leiorhizon. Les spores bilatérales de Gleichenia flabellata, au contraire, sont petites, plus petites que toutes celles qui viennent d’être nommées. Germination de la spore et développement du prothalle, Lorsque la spore saine et mûre des (rleichenia est semée, à une température convenable, sur la terre humide, puis main- tenue à une humidité suffisante, de la manière qui a été décrite plus haut, p. 168, elle présente au bout de peu de jours, comme premiers phénomènes germinatifs, de remar- quables changements intérieurs, longtemps avant que la paroi 176 N. W. P. RAUWENHOFF. ne s'ouvre. Ces phénomènes s’observent mieux dans le genre Gleichenia que chez d’autres Fougères, parce que la paroi de la spore y est parfaitement transparente. Extérieurement, les spores ne paraissent pas changer de forme; aussi bien, leur paroi solide ne semble guère susceptible de se gonfler dans l’eau, comme le prouvent déjà les réactions indiquées plus haut, p.171. D'autant plus grands, en revanche, sont les chan- sements du contenu. Celui-ci, de couleur jaune foncé avant la germination, prend peu à peu une teinte légèrement dif- férente; le jaune devient un peu plus pâle et il s’y mêle une teinte verdâtre. Je puis renvoyer ici, comme je l’ai déjà fait p. 171 et 172, aux figures 2, 8, 14 et 15 de ma Note anté- rieure, Arch. néerl., T. XIV, PI. VIII. Les grosses boules de graisse, dont la spore est remplie avant la germination, pa- raissent se diviser en une multitude de globules plus petits, de sorte que l’aspect du contenu devient moins homogène, plus finement grenu. Si dans ce stade on fait éclater la spore par une douce pression, on voit se répandre dans le liquide ambiant une foule de petits globules incolores, entre lesquels se trouvent, en nombre plus ou moins considérable, des cor- puscules verts, extrêmement menus, le plus souvent sphéri- ques. Il s’est donc déjà formé de la chlorophylle, substance dont aucune trace ne s’apercevait avant la germination. Re- marquons, de plus, que cette chlorophylle peut naître en présence d’une très faible quantité de lumière, car les chan- gements en question s’opèrent, comme on le verra tout à l’heure, même quand les spores mûres se trouvent encore, sous les conditions indiquées, dans le‘sporange non ouvert. Cette formation précoce de chlorophylle à été observée également, par M. Kny (Pringsheim, Jahrb. f. w. Bot, VIII, p. 8 et Parkeriaceen, p. 9), lors de la germination des spores de Osmunda regalis et de Ceratopteris thalictroides. Pendant que se modifie ainsi la couleur du contenu de la spore, par suite de transformations chimiques dans le contenu protoplasmatique, on voit se produire aussi un important LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 1/47 changement dans le noyau cellulaire. Ce corps ovoïde perd ses contours nets, et souvent il semble peu à peu disparaître complètement, peut-être à cause de l’opacité croissante du contenu de la cellule. Lorsque les changements du noyau se laissaient suivre quelque temps, ce noyau devenait polyédrique, avec prolongements filiformes ou pseudopodies, et avec plu- sieurs petits grains au centre (voir ma Note ci-dessus citée, fig. 7). Parfois, quoique rarement, j’ai observé dans le noyau changé deux nucléoles, et plus tard, dans ces spores, après contraction du contenu, deux noyaux, dont chacun était plus petit que le noyau primitif. Souvent aussi, comme nous le verrons plus loin, il s’opère déjà une segmentation dans la spore, avant que celle-ci ne s'ouvre. Le contenu des spores devient maintenant de plus en plus verdâtre et finement grenu : les globules de graisse diminuent en quantité. Si, dans ce stade, les spores sont traitées par le chlorure de zinc iodé, on y découvre une multitude de gra- nules d’amidon extrêmement petits, en forme de points noir bleuâtre, qui se trouvent surtout près du contour de la spore (voir ma Note précitée, fig. 6). Il est à présumer que cet amidon provient de la transformation des globules de graisse, à moins qu'on ne veuille admettre qu’une assimilation au moyen de chlorophylle ait déjà eu lieu dans la spore en- core fermée. Vers ce temps, c’est-à-dire environ 2 à 3 semaines après le semis des spores, commence aussi la modification dans la paroi, qui rend possible le développement ultérieur. Gradu- ellement, au point de réunion des trois côtes des spores radiaires, les sommets des trois valves s’écartent un peu l’un de l’autre (ma Note fig. 8, 4, 5), et la même chose se pro- duit au milieu de la côte unique chez les spores bilatérales du Gleichenia flabellata (ibid., fig. 15); dans les deux cas, l’écartement est dû à ce que la paroi rigide, incapable de s'étendre, ne peut embrasser plus longtemps le volume croïis- sant du contenu et s’ouvre donc aux points les plus faibles, 178 N. W. P. RAUWENHOFF. ES dès l’origine prédestinés à ce rôle. Ainsi se forment deux ou trois valves, qui restent unies à la face sphérique de la spore et par suite entre elles, et qui ne s’étalent davantage qu'au fur et à mesure des besoins du prothalle en croissance. Rarement, comme cas anormal, on voit chez les spores ra- diaires deux côtes rester unies entre elles et une seule des valves devenir libre (ma Note, fig. 3). La paroi sporique ouverte demeure encore longtemps ad- hérente au prothalle, même quand celui-ci a déjà formé des organes sexuels. Cette circonstance est souvent de grande utilité dans les recherches, en ce qu’elle permet de recon- naître sûrement, par la présence des poutres décrites ci-dessus (p. 169), la provenance des prothalles. Dans cet état, la paroi ne subit d’ailleurs aucun changement: elle ne participe pas plus à laccroissement de la jeune plante, que ne le fait le tégument de la graine des Phanérogames, dont celle-ci se dépouille peu à peu lors de l’épanouissement des cotylédons. Nous n'avons donc pas à nous occuper davantage de cette vieille paroi, mais seulement du contenu de la spore en sermination. Ce contenu se présente, à l’endroit où les valves divergent, comme une papille à contours nets, qui fait saillie en dehors de l’ouverture, et qui souvent est abondamment pourvue de grains de chlorophylle bien conformés. En faisant agir le chlorure de zinc iodé, on trouve que le contenu s’est entouré d’une paroi cellulosique très distincte. Cette nouvelle paroi, extrêmement mince, est directement appliquée contre la paroi primitive de la spore, sauf au point où les valves s’écar- tent: aussi, chez la spore vivante, qui vient de s’entr’ouvrir, on ne peut la reconnaître que sur la papille. Mais, lors du traitement par le susdit réactif de Schultze, outre que le con- tenu se contracte, cette nouvelle paroi est aussi détachée de la face interne de la paroi sporique, et devient visible comme un petit sac membraneux excessivement mince, coloré en bleu clair et enveloppant le contenu coloré en brun (voir ma Note, fig. 10, 11, 12). On voit que cette interprétation diffère 3 À j ; à (À GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 179 complètement de celle qui est ordinairement admise par rap- port à la germination des spores de Fougères et dans laquelle la paroi de la première cellule du prothalle est supposée formée par l’endospore de la spore. J’ai toutefois observé les divers détails des premiers phénomènes germinatifs, tels qu'ils sont décrits dans ce qui précède et représentés dans les fig. 10, 11 et 12 citées, chez les différentes spores des Gleichenia, à parois entièrement transparentes, et ensuite j'ai retrouvé la même chose chez d’autres spores de Fougères, dont la paroi permettait de distinguer les changements survenus dans le contenu, entre autres chez les grosses spores du Ceratopteris thalictroides. Aussi, la manière dont je me représente la mar- che générale du développement, dans le premier stade du processus germinatif des Fougères, est-elle la suivante: ,Ce n’est pas la couche interne de la paroi sporique primitive, couche ha- bituellement nommée intine ou endospore, qui devient la paroi de la première cellule du prothalle ou du premier rhizoïde ; mais, du contenu protoplasmatique il se sépare, avant la déhiscence de la spore, une nouvelle paroi cellulosique, qui par suite de la turgescence de la cellule s’applique étroitement à la paroi interne de la spore. La formation de cette membrane cellulosique, aux dépens du protoplasma, a lieu de la manière habituelle, telle que l’ont décrite, en détail, Hofmeister, Strasburger et d’autres. La nouvelle paroi de cellulose grandit, comme d’or- dinaire, par intussusception, et apparaît au dehors, après la déhiscence de la spore, comme paroi de la papille. Ses dimensions peuvent ensuite, dans certains cas, encore aug- menter considérablement, ainsi qu'on le voit chez Angiopteris et Marattia (Luerssen, Mitth. a. d. ges. Bot., I. 530. Jonkman, Dot. Zeit, 1878, p. 136), où la première cellule du prothalle surpasse 5 à 10 fois, en grosseur, le contenu de la spore. La description du processus germinatif des spores de Fou- gères, telle que la résument les lignes précédentes, a déjà été donnée par moi en 1879, dans la Bot. Zeitung, T. XX X VII, 1879, p. 441 et suiv.) ainsi que, un peu plus détaillée et accom- ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 12 180 N. W. P. RAUWENHOF#. pagnée de figures. dans les Verslagen en meded. d. Kon. Akad. van Wet., 24e Reeks (T. XIV, p. 320) et dans les Arch. néerl. (T. XIV, p. 347). Dans ces communications, j'ai amplement exposé les raisons sur lesquelles se fondait ma manière de voir, et J'ai aussi admis la même marche de développement pour la germination d’autres spores de Fougères, en mon- trant que les descriptions faites de celle-ci, par divers obser- vateurs, s’accordaient parfaitement avec mes vues. Pour la justification de ces vues, accueillies avec empresse- ment deux années plus tard par M. Sadebeck, dans son grand mémoire sur les Cryptogames vasculaires (Schenk, Handbuch der Botanik 1881, T. I, p. 235 et suiv.), je pourrais done renvoyer aux articles qui viennent d’être cités, si ce n’était que des objections postérieures m'imposent l’obligation d’ap- porter ici de nouveaux arguments à l’appui de mon opinion. En 1884, en effet, M. Leitsgeb, récemment enlevé à la science, à publié un petit ouvrage (Ueber Bau und Entwick- lung der Sporenhäute und deren Verhalten bei der Keimung, Gräz, 1884) où il décrivait d’une manière très détaillée la structure, la formation et les changements des parois de la spore chez les Hépatiques et les Mousses; il y faisait con- naïitre en outre, au sujet des phénomènes analogues chez les Cryptogames vasculaires, différentes particularités inconcilia- bles avec mes idées, déduites de l’étude des Gleicheniacées, sur l’origine de la paroi de la première cellule du prothalle ou du rhizoïde des Cryptogames. Aussi l’auteur concluait-il (4. c., p. 102) que la paroi du tube germinatif est la conti- nuation directe de l’intine existant déjà dans la spore mûre: en d’autres termes, qu’il ne se forme pas de paroi germina- tive propre. M. Leitgeb part du fait, reconnu aussi par moi antérieure- ment, que dans les spores mûres de différentes Cryptogames la structure et la composition chimique de la paroi ne sont pas les mêmes. Chez quelques-unes (telles que Osmunda, Ce- ratopteris, Gleichenia), on ne rencontre qu’une exine différenciée Jia) / j > LA GENERATION SEXUEE DES GLEICHENIACEES. 181 en plusieurs couches et cuticularisée, mais pas d’intine à réaction cellulosique ; chez d’autres (par exemple, chez beau- coup de Polypodiacées), après l’exine il se forme une intine, composée de cellulose; enfin, dans un troisième groupe (Equi- sétacées, Marsilia, Marrattia), autour des deux parois qui viennent d’être nommées, ou trouve encore une troisième membrane, la périspore ou épispore, appelée périnium par M. Strasburger. Que dans le premier cas aucun doute ne peut subsister quant à la formation d’une nouvelle paroi de cellulose, lors de la germination, M. Leitgeb ({. c., p. 86) l'accorde pleinement. Son objection ne concerne donc que les deux autres cas, où la spore possède déjà, avant lapparition des phénomènes germinatifs extérieurs, une intine bleuissant au contact du chlorure de zinc iodé. Il pense que, vu l’extrême ténuité de l’intine, des couches éventuelles ne pourraient que très rare- ment y être aperçues, tandis qu'il serait tout aussi malaisé, dans le cas peu probable où l’ancienne paroi cellulosique se déchirerait nettement pour livrer passage à la membrane nouvelle, d'observer l'endroit de cette déchirure sur des coupes faites à travers les spores germées. Enfin, la preuve du fait serait encore beaucoup plus difficile à fournir, si (comme il est infiniment plus probable d’après toutes les analogies) le déchirement final de lintine primaire était précédé d’une distension plus ou moins forte. Par contre, la membrane nou- velle se laisserait découvrir beaucoup plus facilement dans les cas où, après la formation du tube germinatif, la paroi externe de la spore se détache sans peine et peut même être enlevée en roulant la spore sous le couvre-objet. Or, aucune recherche n’ayant eu lieu dans cette direction, M. Leitgeb tient mon hypothèse pour non démontrée. Ce qu’on m’oppose, ce ne sont pas, on le voit, des faits contraires à mon opinion, mais des difficultés, ou plutôt des présomptions que la chose serait difficile à constater. Je re- connais volontiers que, là où deux minces parois de cellulose 12* 182 N. W. P. RAUWENHOFF. sont étroitement accolées, il est souvent malaisé de les dis- tinguer l’une de l’autre: cette circonstance, toutefois, ainsi qu'il a déjà été dit dans ma première Note, ne saurait in- firmer mes observations faites sur des préparations favorables. Leitgeb essaie bien de montrer, par la description détaillée de la germination de certaines Hépatiques, que lors de cette germination il ne se forme pas de nouvelle paroi; mais il est pourtant arrêté, chez Corsinia (1. c., p.100), par un phéno- mène s’adaptant si parfaitement à mes vues que, — lui-même ne peut s'empêcher de le dire, — si l’on veut concevoir cette lamelle interne de l’intine comme une membrane propre, for- mée au moment de la germination, on a ici un cas réellement d'accord avec mon opinion. Il préfère néanmoins, — peut- être parce qu'il est difficile, même avec la plus parfaite bonne foi, de renoncer à une idée préconçue, — donner de ce cas une interprétation différente; ce qui l’y porte, c’est que par- fois, mais non toujours, il à rencontré cette membrane cel- julosique interne chez des spores n'ayant pas encore germé. Or, en cela précisément, je me crois autorisé à voir une confirmation de mes idées. Outre les preuves tirées de mon étude des sporès de Glei- chenia, et l'interprétation des observations faites par différents botanistes sur d’autres spores de Cryptogames, preuves et interprétation déjà mentionnées dans ma Note antérieure et qu'il est donc inutile de reproduire, je présenterai encore, à ce sujet, les remarques suivantes. Par la formation des spores une petite partie de la plante est individualisée et destinée, sous des conditions favorables et dans un délai plus ou moins long, à reproduire cette plante. À cet effet, le protoplasma vivant (ou, si l’on veut, la jeune cellule) s’enveloppe d’une membrane protectrice, d’abord constituée par de la cellulose, mais bientôt cuticularisée en totalité ou en partie, membrane appelée exine et qui, en beaucoup de cas, s’entoure encore d’un périnium, souvent de couleur foncée. À l’intérieur de ce tégument, abri contre les LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES, 183 influences nuisibles, se concentre alors la vie de la spore. Pendant quelque temps, de durée variable chez des espèces différentes, cette vie reste latente, c’est-à-dire que pendant quelque temps nous ne voyons aucun changement exté- rieur survenir à la spore mûre. Néanmoins, les fonctions vitales ne sont pas entièrement arrêtées. C’est un fait aujourd’- hui bien connu que, chez les plantes en général, tant supé- rieures qu'inférieures, il n’existe pas, même en hiver, de repos absolu. Encore que le changement éprouvé soit faible en comparaison du développement énergique déterminé par la chaleur croissante du printemps, si faible que parfois 1l échappe à l'observation, on ne peut plus nier que les graines, les bourgeons et les bulbes ne soient le siège, même pendant la période dite de repos, de processus vitaux chimiques, à la suite desquels ils sont devenus autres au printemps qu'ils n'étaient à l’automne. Il en est de même pour les spores des CUryptogames ; mais en général leurs changements, fussent-ils d’ailleurs visibles, ne se laissent pas observer, à cause de l'épaisseur et de l’opacité de la paroi. Dans quelques cas seulement, où cette paroi est transparente, comme chez Glei- chenia et Osmunda, on peut constater des modifications dans le contenu et reconnaître qu’elles ne sont pas médiocres, Un des premiers changements est la formation d’une paroi de cellulose à l’intérieur de la paroi existante, formation qui en certains cas est accompagnée ou bientôt suivie de division cellulaire dans la spore, tandis que dans d’autres cas elle en est indépendante, Il n’y à aucun doute que l’intine, ou paroi cellulosique interne, là où elle se rencontre, ne soit formée beaucoup plus tard que l’exine et le périnium. Tous les auteurs récents s'accordent à ce sujet, et M. Leïitgeb, dans son opuscule, mentionne à cet égard des particularités inté- ressantes. C’est ainsi que, chez Sphaerocarpus terrestris, il vit (p. 21), après développement complet de l’exine et du péri- nium, apparaître l’intine comme une membrane appliquée aux inégalités de l’exine, mais lisse en dedans, et qui jusqu’à 184 N. W. P. RAUWENHOFF. la germination n'éprouva pas de changement ultérieur. En même temps que l’intine devenait visible, les noyaux avaient changé de place et s'étaient portés de la périphérie aux an- gles internes des spores. La formation de cette membrane doit donc indubitablement être considérée comme une des premières mamifestations vitales de la spore. Elle cadre par- faitement avec ma manière de voir, à condition de ne pas oublier que la germination commence déjà avant qu’on voie apparaître au dehors la cellule du prothalle et celle du rhi- zoïde. Rappelons aussi le cas cité plus haut (décrit par Leïitgeb, I. c., p. 100) du Corsinia marchantioides. Après tout ce qui précède, je ne puis donc concéder à M. Leitgeb que lors de la germination il ne se formerait pas de paroi germinative propre; les divers exemples qu’il rapporte et les divers degrés de développement qu'il décrit me sem- blent se concilier parfaitement avec mon opinion, si l’on a égard aux grandes différences qui, chez des spores différentes, peuvent exister quant au moment de cuticularisation de l’exine et de naissance de l’intine, ou quant à l'épaisseur de celle-ci, et si l’on tient compte de l’activité plus ou moins grande, de la marche plus ou moins rapide du processus germinatif, dont le début se dérobe souvent à l’observa- tion. Voici donc comment je me figure le cours du phé- nomène: Lors du développement de la spore 1l se forme une exine, d’abord composée de cellulose, plus tard divisée en plusieurs couches par différenciation ou par apposition, euti- cularisée en tout ou en partie, et entourée ou non d’un périnium. Lorsque l'extérieur seul de l’exine est modifié ch1- miquement, la couche interne, qui se colore en bleu sous l’action du chlorure de zinc iodé, est appelée intine. À un moment variable, parfois longtemps avant l'apparition des phénomènes germinatifs extérieurs, le protoplasma de la spore donne naissance, comme première manifestation vitale, à une nouvelle membrane cellulosique extrêmement mince, qui peut s’accroître par intussusception et qui, lorsque la cellule rh1- LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 185 zoïdienne se montre au dehors, continue à envelopper celle-ci, sous forme de tube germinatif. Tant que la spore n’est pas encore ouverte, cette nouvelle membrane s'applique intime- ment, de tous les côtés, à la face interne de l’exine ou, respectivement, de l’intine. De cette dernière ïl est alors souvent impossible de la distinguer comme couche particulière. Après la rupture de la spore, cette distinction n’est possible que si la nouvelle membrane, aussi bien que l’intine, a une certaine épaisseur, comme chez Corsinia, par exemple. N’est-il donc pas probable qu'en beaucoup de cas, où un examen superficiel ferait croire que la partie interne non cuticularisée de la paroi sporique primitive entoure la première cellule du prothalle et du rhizoïde, cette enveloppe représente en réalité une paroi propre, née du plasma de la spore en germination ? Sans doute, ce n’est là qu’une présomption; mais, d’après toutes les considérations ci-dessus exposées, je la juge plus acceptable que l'hypothèse suivant laquelle la paroi sporique primitive se rajeunirait, en quelque sorte, pour se transformer en la membrane délicate de la cellule germinative. Revenons aux spores de Gleichenia, arrivées au stade ger- minatif, décrit plus haut, où la jeune plante apparaît comme une papille perçant la paroi sporique. À ce moment, une division cellulaire a généralement déjà eu lieu dans le con- tenu de la spore. En traitant celle-ci par le réactif de Schultze, on voit que le contenu protoplasmique contracté est partagé en deux; les deux parties, parfois pourvues chacune d’un noyau, sont séparées par une paroi de cellulose, perpendicu- laire à l’axe d’accroissement ultérieur. (Voir ma note déjà citée, fig. 10 et 13). Dans quelques cas favorables, cette paroi de segmentation est même visible sans intervention du chlorure de zinc iodé; après l’emploi de ce réactif, toutefois, elle se montre distinctement comme une mince raie bleue, qui aux deux extrémités se rattache à la paroi cellulosique nouvel- lement formée, l’endospore des auteurs antérieurs. Une 186 N. W. P. RAUWENHOFF. pareille division cellulaire, opérée à l’intérieur de la spore, n’a d’ailleurs rien d’inattendu. M. Kny l’a déjà décrite pour Ceratopteris (Die Parkeriaceen, p. 9, PL I, fig. 3), M. Prantl pour Trichomanes et Hymenophyllum (Die Hymenophyllaceen, p. 41), et chez Ceratopteris j'ai vérifié les assertions de M. Kny. Des deux cellules ainsi formées, l’une devient la cellule initiale du prothalle, l’autre le premier rhizoïde; chacune d’elles a son mode de développement propres comme on va le voir au Chapitre suivant. Développement du prothalle. DS Lorsque la première cellule à chlorophylle et le premier poil radiculaire sont apparus au dehors de la spore, le prothalle se développe d’abord avec une rapidité assez grande, quoique sensiblement inégale dans des circonstances différentes. En général, la cellule à chlorophylle croît plus rapidement que le poil radiculaire et forme, par quelques divisions successives, perpendiculaires à l’axe de l’accroissement, un filament de: 4 ou 5, parfois de 10 à 12 cellules; dans la dernière de celles-ci il se produit alors des divisions dans des directions diverses, qui peu à peu donnent naissance soit à un prothalle plat ou en massue, soit à des ramifications. En même temps, on voit que le premier poil radiculaire n’a ordinairement qu'un accroissement médiocre et est bientôt dépassé en longueur par un second poil radiculaire et par les suivants, qui naissent de protubérances se formant sur la seconde ou la troisième cellule du prothalle et sur des cellules situées plus haut. Chacune de ces protubérances se développe bientôt, après avoir été séparée par une cloison de la cellule correspondante du prothalle, en un tube de couleur brunâtre, qui est 10 à 20 fois plus long que large. De pareils prothalles, jeunes et normaux, se trouvent représentés, par exemple, LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 187 pour Gleichenia flabellata dans les fig. 15 et 16, rupestris OISE ON ; à hecistophylla , les , 26—30. Toutefois, même chez ces prothalles en grande partie nor- maux, les petites déviations ne manquent pas. Des deux exemplaires cités de G. flabellata, l’un (fig. 15), quoique ayant déjà un filament de cinq cellules et une extrémité claviforme de quatre cellules, ne montre encore qu’un seul poil radiculaire, relativement court; l’autre (fig. 16), au contraire, est encore entièrement filamenteux, mais possède, en outre du rhizoïde primaire, un poil radiculaire déjà développé, issu de la troisième cellule du prothalle, et un poil radiculaire jeune, issu de la quatrième cellule. De même, on trouve chez Gleichenia rupestris, dans la fig. 10, un prothalle de quatre cellules, avec le poil radiculaire implanté sur la seconde de ces cellules: tandis qu'il y aurait aussi beaucoup d'exemples à donner d’un prothalle filamenteux de cinq cellules, avec un poil radiculaire unique formé dès la première division. Les figures 18, 19 et 20 nous montrent quelques proembryons un peu plus âgés, chez lesquels, après la formation d’un tilament de 4 ou 5 cellules, les divisions ont déjà eu lieu dans d’autres directions, et qui fournissent ” » des exemples de rhizoïdes issus plus haut et néanmoins plus longs que le premier poil radiculaire. Dans la fig. 19, deux poils radiculaires, de longueur à peu près égale, naïssent directement du contenu de la spore. Quelque chose d’analogue se voit aussi dans la fig. 30. Des divisions cellulaires du con- tenu de la spore sont provenus deux rhizoïdes équivalents, dont il est difficile de décider lequel est le primaire; mais tous les deux restent courts, et de la seconde cellule du prothalle (la première qui, dans la figure, apparaît au dehors de la spore) est déjà né un troisième rhizoïde, que la figure représente seulement en partie. Viennent ensuite deux cellules un peu allongées, qui forment le filament, après quoi com- mence, dans la quatrième cellule du prothalle, la première 188 N. W. P. RAUWENHOFF. division dans une direction différente. De ce dernier phé- nomèêne (sur lequel nous reviendrons tout à l'heure) les prothalles de @. hecistophylla (fig. 26, 27 et 29), du reste normaux, nous donnent des exemples dès la troisième cellule. Toutes ‘ces différences, cependant, sont insignifiantes en regard des modifications considérables présentées par d’autres prothalles. Compare-t-on en effet, avec les formes qui vien- nent d’être décrites, les jeunes plantes fig. 31 et 32 de G. hecistophylla, fig. 37 et 38 de G. rupestris et fig. 36 de G. dicarpa, toutes dessinées sur le vivant, on aurait de la peine à croire qu’elles proviennent de la même espèce, si les valves de la spore, attachées aux prothalles et pourvues des poutres carac- téristiques, ne levaient tous les doutes. Toutes ces formes aberrantes me semblent pouvoir être ramenées à deux types, celui du prothalle épaissi en corps et celui d’une série de filaments d’égale valeur; l’un et l’autre types seraient dus au défaut, dès le début de la germination, de parallélisme dans les divisions cellulaires, ou, si l’on pré- fère, à une modification, se produisant aussitôt la germination commencée, dans la direction des nouvelles parois de seg- mentation: modification qui dans l’un des deux cas se répè- terait indéfiniment, tandis que dans l’autre elle serait de courte durée. Ainsi, par exemple, le prothalle représenté dans la fig. 36 à probablement été formé de la manière suivante. D'abord, le contenu de la spore s’est divisé de la façon ordi- naire par une cloison transversale aa, ce qui a donné naissance à la première cellule du prothalle et au rudiment du premier rhizoïde. Mais, au lieu de croître en longueur et de former un tube en se segmentant par un certain nombre de cloisons parallèles à aa, le rhizoïde s’allongeant simplement comme à l'ordinaire, ces deux cellules du prothalle se déve- loppèrent plus uniformément dans toutes les directions et se divisèrent d’abord chacune en deux cellules par des cloisons bb et b'b', perpendiculaires à la cloison de segmentation précé- dente. Des cellules-quadrants ainsi obtenues, l’une devint le LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 189 premier rhizoïde ; des autres, les deux supérieures se divisèrent par des cloisons ce et c'e, dont la première, dirigée confor- mément au principe dit de la section rectangulaire (Sachs), forma la cellule ecb, qui peut être considérée comme la cellule apicale du prothalle. La seconde cloison c'e’, parallèle à bb, mais perpendiculaire à aa, forme deux autres cellules du prothalle, dont l’une, enfin, par expansion et par produc- tion de la nouvelle cloison d, donna naissance à un second rhizoïde. Quant au second type, celui des filaments juxtaposés, tel que le représentent les fig. 31 et 32, 37 et 38, je m’en rends compte en admettant que, tout comme dans le cas précédent, la première division du contenu de la spore est suivie d’une seconde division dirigée perpendiculairement ou obliquement, mais se faisant un peu plus tard, après que les deux pre- mières cellules (peut-être par défaut de lumière) se sont plus ou moins développées en forme de papilles, de sorte que les cellules--filles provenues de la seconde division ne se touchent plus. Chacune de ces deux parties distinctes du prothalle peut ensuite, par des divisions successives, parallèles entre elles, s’allonger en filament et former ses rhizoïdes propres. Il en résulte des configurations telles que celles des fig. 31 et 37. Ordinairement, toutefois, l’un des deux filaments est beaucoup plus vigoureux et plus long que l’autre, asymétrie que nous retrouverons fréquemment aussi dans des stades postérieurs des prothalles de Gleichenia. Si maintenant, chez le filament le plus fort, le processus ci-dessus décrit se répète dans la seconde cellule, ou dans des cellules postérieures, nous ob- tenons trois filaments placés l’un à côté de l’autre, comme le montrent les fig. 32 et 38. Les filaments peuvent être étroitement rapprochés et suivre une même direction, comme dans les fig. 31 et 32, ou bien diverger assez vite, comme dans les fig. 37 et 38. Constam- ment, toutefois, l’un des filaments prend le dessus sur les autres en vigueur de développement, de sorte qu’il n’est pas 190 N. W. P. RAUWENHOFF, rare que celui-ci finisse par rester seul en vie, et que, par « suite, l’anomalie initiale du prothalle disparaisse à un âge plus avancé. Un passage à cet état de choses se voit déjà dans les fig. 37 et 88. Aïnsi encore, j'ai trouvé des prothalles dont l’un des filaments avait déjà formé un sommet de quatre cellules, tandis que l’autre ne comptait que trois cellules, dont deux, probablement par défaut de lumière, étaient for- tement allongées. Le cas est le même pour le prothalle épaissi en corps: chez lui aussi, la forme typique peut reparaître plus tard, si finalement il se forme un filament, qui continue à s’accroître normalement. Au reste, la production de branches latérales, composées de une ou plusieurs cellules qui d’abord se développent en papilles, n’est pas rare, même là où il se forme un filament normal sous tout autre rapport; des exemples en sont fournis par les fig. 26, 27 et 28, où la troisième cellule du filament montre, en a, le commencement d’une pareille branche latérale. Revenons à la forme typique du prothalle. Après un nom- bre plus ou moins grand de divisions cellulaires parallèles entre elles, il se fait, dans la cellule terminale ou apicale du filament ainsi formé, une division suivant une direction perpendiculaire à la précédente, par conséquent suivant l’axe du filament ou parallèlement à cet axe. Il résulte de là que le filament s’élargit en massue au sommet, où 1l est composé de deux cellules (voir fig. 30). Parfois, ces deux cellules filles sont de grandeur égale (ig. 15 et fig. 5) ou à peu près égale, et il peut alors, comme dans les exemples cités, se former un quadrant de cellules, lorsque chaque cellule fille s’est de nouveau divisée de la manière ordinaire, par section rectangulaire des parois suc- cessives. Mais ce sont là des exceptions. Ordinairement, les deux cellules filles en question sont de grandeur inégale et ont aussi un pouvoir reproducteur différent, de sorte que, dès l’abord, lune d’elles se fait connaître comme cellule LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 191 apicale. Lorsque la paroi de segmentation qui les a formées se trouve dans l’axe du filament (fig. 22, 23, 29, 30), le sommet d’une des deux cellules s'étale davantage et occasionne l’asy- métrie. Souvent, toutefois, l'inégalité résulte déjà de la situation de la paroi de segmentation, cette paroi étant parallèle à l’axe du filament ou faisant avec lui un angle aigu. On en voit des exemples dans les fig. 28, 37 et 39. Après cette division, la cellule fille la plus grande ou à saillie la plus forte est bientôt divisée à son tour, par une cloison perpendiculaire à la précédente, et il se forme en conséquence une cellule apicale proprement dite. Ce stade est représenté dans les flg. 22, 23, 31 et 37. Parfois, il s’opère alors en outre, dans la cellule située immédiatement au-dessous de celle dont il vient d’être parlé, une bipartition par une cloison passant par l’axe du filament. C’est ce que montrent la fig. 24, où le phénomène a eu lieu de bonne heure, et la fig. 5. Lors du développement ultérieur du prothalle on voit se former, alternativement à droite et à gauche de la cellule du sommet, des paroïs anticlinales, qui font avec l’axe du prothalle des angles plus ou moins voisins de 45°, et sont donc successivement dirigées, en général, à angle droit l’une par rapport à l’autre. L’ensemble prend ainsi une forme en massue ou, si l’on veut, en spatule. Les cellules sont ordi- nairement situées dans un seul plan, c’est-à-dire que le pro- thalle, là où 1l s'étale à plat, n’est épais que d’une seule couche de cellules; il n’y a d'exception que pour les filaments qui commencent sous forme de papilles et se développent peu à peu en branches latérales, en tant que celles-ci ne sont pas libres, mais plus ou moins intimement unies avec la branche principale, comme dans les fig. 19, 25,33 et 35 en «. On peut se faire une idée nette de la formation successive des parois anticlinales, en comparant le réseau de ces parois chez des prothalles sains de la même espèce, mais d’âges différents. Il y a grand avantage, pour cette comparaison, à 192 ; N. W. P. RAUWENHOFF. soumettre les prothalles frais à un traitement préalable, de courte durée, par une forte lessive de potasse. Le contenu des cellules est alors en partie dessous, et leur ensemble de- vient par suite très transparent; les parois, au contraire, restent intactes et tranchent si nettement sur le contenu, qu’en général les parois plus anciennes se laissent immédiatement distinguer, par leur épaisseur un peu plus grande, des parois formées postérieurement. Comme exemples, je citerai pour Gleichenia rupestris, les fig. 18, 19, 20 et 21, qui représentent quatre stades consécutifs, et où les divisions successives sont indiquées par les chiffres 1, 2, 3, 4 etc., tandis que, en outre, les parois plus anciennes sont dessinées d’un trait un peu plus épais. Dans la fig. 18 on voit le passage à la forme plane, s’effectuant par les parois de segmentation obliques 1, 2 et 3, comme le montre aussi, avec de legères modifica- tions, la fig. 28; mais il n’y a pas encore de division dans les segments séparés de la cellule apicale. Cette division n’a lieu que dans la fig. 19, dans la cellule formée par les parois 1, 2 et 5 (elle y est indiquée par la petite cloison w), et en- tretemps la cellule apicale s’est rajeunie par la paroi 4 Un stade un peu plus ancien est représenté dans la fig. 20, dans laquelle, à la vérité, la cellule apicale est encore limitée par les parois 3 et 4, mais où quelques divisions anticlinales et périclinales ont déjà eu lieu dans les cellules formées anté- rieurement. Cela est le cas à un degré encore plus avancé dans la fig. 21, où les divisions primaires sont, elles aussi, déjà plus nombreuses et où la cellule apicale est circonserite par les parois 5 et 6. Très régulière aussi est la division des cellules chez Gleichenia circinata dans les fig. 6, 7 et 8. Dans la fig. 6 on trouve cinq divisions perpendiculaires l’une à l’autre et quelques divisions secondaires, anticlinales et périclinales. La cellule apicale est formée par les parois 4 et 5. Le prothalle représenté fig. 7 montre exactement le même processus, dans un stade un peu plus avancé. La cellule apicale y est limitée par les parois LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 198 .5 et 6, et le nombre des divisions secondaires s’est accru. Ces progrès sont encore plus accusés dans la fig. 8, où sept divisions successives ont déjà eu lieu. Une fois, savoir de 3 à 4, il s’est formé ici une paroi parallèle à la précédente. Dans ce segment on rencontre la première formation de cel- lules marginales, due à l’apparition de la paroï périclinale r. Un autre exemple, relatif à Gleichenia rupestris, est donné par les fig. 39, 40, 41 et 42. Dans la fig. 39 on voit la partie supérieure d’un prothalle arrivé à peu près au même degré de développement que celui de la fig. 18, mais présentant déjà une couple de parois de segmentation secondaires. La fig. 40 montre la partie supérieure d’un prothalle un peu plus âgé et de forme plus spatulée, qui s’est développé assez symétriquement et dont la cellule apicale se trouve juste au milieu. Dans la fig. 41, au contraire, on a un prothalle d’apparence plus irrégulière, à cause des branches latérales appliquées à droite et à gauche contre la branche principale, maïs dans lequel se laissent pourtant encore dis- cerner, comme l’indiquent les chiffres inscrits sur la figure, les divisions primaires. La paroi de segmentation 5 de la cellule apicale n’est pas, comme d’ordinaire, perpendiculaire à la paroi précédente 4, mais parallèle à celle-c1. Le prothalle représenté dans la fig. 42 est déjà plus âgé, et il est plus difficile d’y suivre l’ordre des divisions successives. La cellule apicale { est encore reconnaissable, mais, par suite de la pro- duction de parois périclinales, il s’est déjà formé beaucoup de cellules marginales et le prothalle montre la transition à la forme en cœur. Ce prothalle a encore ceci de particulier, que la forme filamenteuse initiale fait défaut, parce que dès la seconde cellule il y a eu division dans une direction perpen- diculaire à la division de la première cellule. Citons enfin les fig. 33, 34 et 35, qui représentent trois prothalles de Gleichenia hecisiophylla, mais seulement, en ce qui concerne les fig. 33 et 34, la partie située au-dessus du filament. De ces prothalles, celui de la fig. 33 est Le plus jeune. 194 N. W. P. RAUWENHORFF De l'extrémité du filament naît, outre la partie principale, une branche latérale composée de trois cellules, qui dans la figure se trouve en dessous et transparaît vaguement, Dans l'extrémité claviforme de la branche primaire les divisions successives ont eu lieu dans l’ordre des chiffres inscrits, et il est à remarquer que, par suite du développement plus éner- gique d’une des moitiés (le côté gauche dans le dessin) la cellule apicale est placée latéralement; ce phénomène, qui d’après M. Bauke est général chez les Cyathéacées, se pré- sente donc aussi parfois chez les Gleichéniacées. Le prothalle de la fig. 34 offre quelque chose d’analogue, mais à un degré moindre. Ce prothalle, un peu plus âgé que le précé- dent, a sa cellule apicale limitée par les parois de segmen- tation 6 et 7, et située (ainsi que celle du prothalle de la fig. 85, lequel est à peu près du même âge) dans l’inflexion par laquelle débute le passage à la forme en cœur. Dans l’un et l’autre prothalle sont aussi déjà formées plusieurs cellules marginales. Lorsque les prothalles avancent en âge, ils acquièrent de plus en plus configuration en cœur, parce qu’au sommet le contour s’aplatit, puis s’infléchit graduellement, à mesure que les cellules placées latéralement s’accroissent plus rapidement que celles du sommet et forment ainsi, peu à peu, deux lobes saillants: I] devient alors de plus en plus difficile, et finalement im- possible, de déterminer exactement l’ordre de succession des divisions cellulaires; néanmoins, dans les prothalles normaux, formés symétriquement, on trouve une alternative régulière de parois anticlinales et périclinales, suivant le principe connu de la section rectangulaire, de sorte que le réseau cellulaire présente des séries d’ellipses et de paraboles confocales, con- formément à la description donnée, pour d’autres prothalles de Fougères, par M. Sachs (Arbeiten d. bot. Instituts in Würe- burg, II, Heft 1 et 2). Il est inutile d’insister sur ce point, qui a été traité ailleurs itérativement et d’une manière dé- taillée, et au sujet duquel les prothalles de Gleichenia ne me paraissent pas s’écarter de ceux d’autres Fougères plus connues. LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 195 D'’ordinaire on admet que, lorsque le prothalle prend la forme en massue ou du moins la forme en cœur, la cellule apicale disparaît comme telle et est remplacée dans ses fonc- tions par des cellules marginales. Cette manière de voir n’est toutefois pas entièrement exacte, ainsi que M. Prantl (Flora, 1878, p. 531) l’a déjà remarqué à juste titre. Il est vrai que dans ce stade on ne trouve plus la cellule atténuée en pointe vers le milieu de l’expansion, et qui, située au sommet de l'organe, peut être considérée, à raison de la formation répétée de segments et d’une nouvelle cellule apicale, comme la cel- lule mère du tissu entier. [ei et au pourtour du sommet, aussi bien qu’au bord du prothalle, les cellules continuent à se diviser par la formation successive de parois anticlinales et périclinales; mais la cellule apicale ne se distingne plus par sa forme des autres cellules, qui constituent avec elle le méristème du prothalle, comme l'appelle M. Prantl. Elle se fait seulement remarquer plus ou moins nettement par ses dimensions moindres, vu que l’accroissement, comme l’a montré M. Sachs (1. c., p. 92), est relativement le plus faible au point de végétation. Aussi voit-on d’une manière très frappante, chez les prothalles cordiformes de Gleichenia, les cellules du bord et celles qui les avoisinent immédiatement devenir peu à peu plus grandes, à partir du sommet (l’échan- crure), des deux côtés de celui-ci; il en est de même lorsque, partant du sommet, on examine quant à leurs dimensions quel- ques séries de cellules dans la direction de l’axe (voir fig. 44). On trouve en outre, sur cet axe et des deux côtés, un grand nombre de divisions parallèles au plan du prothalle, Il en résulte une espèce de coussinet (pulvinule) épais de plusieurs couches de cellules, qui à droite et à gauche s’atténue et passe insensiblement aux deux ailes ou lobes membraneux, formés d’une couche cellulaire unique (fig. 44). Chez les pro- thalles âgés, ce coussinet, qui à sa limite n’est épais que de deux cellules, peut acquérir au milieu une épaisseur de 8 cou- ches de cellules, laquelle s’étend en travers sur une surface ARCHIVES NÉERLANDAISES, T, XXIV. 118: 196 N. W. P. RAUWENHOFF. de 20 cellules, ou même davantage (voir la coupe fig. 84). Sur ce coussinet se forment, outre les organes sexuels (dont il sera parlé plus loin), un grand nombre de longs poils radi- culaires ou rhizoïdes, le plus souvent unicellulaires, colorés en brun, raides, obliquement dressés et faisant avec la surface un angle de 45° en moyenne. Ces rhizoïdes, qui naissent, sous forme de papilles, des cellules superficielles, dont plus tard ils sont souvent séparés par une cloison transversale, sont plus nombreux chez Gleichenia que chez la plupart des autres Fougères, et ils s’y trouvent jusque tout près des ar- chégones. Ils se voient surtout distinctement lorsque, sous un éclairage oblique des cultures, les prothalles se placent perpendiculairement aux rayons lumineux incidents: les rhi- zoïdes, dont l’héliotropisme est négatif, apparaissent alors comme autant de colonnes obliques, portant les prothalles. Quand les prothalles se trouvent dans ce stade, on observe ordinairement, lors de l’accroissement ultérieur, des étrangle- ments répétés: ceux-ci sont dus à ce que sur chacun des deux lobes ou ailes il se forme, une ou plusieurs fois, un nouveau point de végétation, où la croissance est plus lente qu'aux deux côtés, tandis qu’en même temps la surface se plisse ou s’ondule plus ou moins. Si les prothalles peuvent se développer librement, on constate en outre, surtout chez de erands individus, une hyponastie très distincte, par suite de laquelle les bords se redressent et le coussinet proémine de plus en plus à la face inférieure convexe. Par suite aussi, les rhizoides sont ordinairement d'autant plus longs qu'ils naissent plus haut. La fig. 43 éclaircira ce qui vient d’être dit. Dans ce qui précède, j’ai esquissé la marche ordinaire du développement des prothalles des Gleichéniacées. En la com- parant avec celle d’autres familles de Fougères, on trouvera de la similitude sous beaucoup de rapports, mais aussi, à d’autres égards, des différences plus ou moins notables. C’est ainsi que chez les Gleichéniacées, de même que chez la plu- part des Polypodiacées et chez les Cyathéacées soumises à LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 197 l'examen, il est de règle qu'il se forme d’abord une rangée de cellules, qui plus tard s’élargit en massue au sommet; de cette partie élargie se forme ensuite le prothalle cordiforme, avec son coussinet ou pulvinule situé dans l’axe, le point de végétation étant placé, non pas obliquement, comme chez Aneimia, mais symétriquement, comme chez la plupart des Fougères. Quelques prothalles de Gleichéniacées présentent toutefois, dès le début, une forme épaissie en corps, analogue à celle qu’on rencontre chez les Osmondacées; sous ce rap- port, les Gleichéniacées semblent done montrer un passage des Polypodiacées aux Osmondacées. Par contre, les Geichenia n’ont pas au bord du prothalle les poils unicellulaires, nés d’excroissances en pupilles de quelques cellules marginales, tels qu’en présentent les pro- thalles étudiés de différentes familles, par exemple ceux de Aneimia, Platycerium, Hemitelia, Aspidium, etc. Mais je juge inutile de m'éterdre ici davantage sur ces différences plus ou moins grandes. Celui qui veut les con- naître, pourra les trouver en comparant ma description dé- taillée de la génération sexuée des Gleichéniacées avec l’his- toire du développement d’autres Fougères, tracée par différents auteurs. Il ne faudra toutefois pas perdre de vue que, comme l’a montré M. Prantl (Bot. Zeit., 1879) et comme l’ont confirmé mes observations, la forme des prothalles ne dépend pas seu- lement de l’espèce de la plante, mais aussi des influences extérieures, de la lumière, de l’humidité, etc. M. Prantl va même jusqu à prétendre qu'aucun organe végétal n’est, quant à sa forme extérieure, aussi dépendant des facteurs extérieurs, que le prothalle des Fougères. Pour avoir des données de comparaison suffisantes, on ne doit donc pas se borner à l'examen d’un petit nombre d'objets; il est nésessaire de démêler d’abord, par l’étude de spécimens ayant crû dans des conditions variées, la forme typique d’une espèce ou d’un groupe déterminés. Lorsque les prothalles des Gileichéniacées sont parvenus au 13* 198 N. W. P. RAUWENHOFF. degré de développement ci-dessus décrit, les organes sexuels s’y forment, ou s’y sont déjà formés: tous les deux, anthé- ridies et archégones, sur le même prothalle, de sorte que celui-ci est généralement monoïque. Les anthéridies apparais- sent les premières, et même assez tôt, — d'ordinaire avant que le prothalle n'ait pris la forme en cœur, — quoique moins tôt que cela n’a lieu, suivant M. Kny, chez Les Os- mondacées. Elles naissent en général à la face inférieure du prothalle, parfois aussi à la face supérieure, mais non pas au bord, comme chez Osmunda. La formation de nouvelles anthéridies entre les anciennes, déjà adultes, se continue pendant longtemps, de même que sur les feuilles on voit apparaître de jeunes stomates dans l'intervalle des vieux. Il arrive ainsi, en maints cas, qu’une partie du coussinet, de même qu’une partie des deux lobes ou ailes du prothalle cordiforme, soit couverte d’anthéridies à divers états de développement On les trouve aussi bien entre les nombreux rhizoïdes qu’au voisinage immédiat des arché- gones et plus haut que ceux-ci. Ces archégones, qui eux aussi sont formés successivement, mais plus tard et en nombre beaucoup moindre que les an- théridies, se trouvent toujours à la face inférieure, et unique- ment sur le coussinet, assez près de l’échancrure produite par les deux ailes du prothalle. De la forme et du développement des anthéridies et des archégones il sera traité dans les deux chapitres suivants. Forme et développement des anthéridies. Ainsi qu'il a été dit plus haut, les anthéridies, sur les prothalles filamenteux et claviformes, naissent ordinairement au bord; sur les prothalles cordiformes, près de la base, entre les rhizoïdes et en partie aussi sur les ailes ou lobes latéraux: la plupart à la face inférieure, mais quelques-unes aussi à la LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 199 face supérieure. Elles ont toujours pour origine une cellule unique, située à l'extérieur. Cette cellule, richement pourvue de protoplasme à grains fins et de chlorophylle, se voûte sphériquement vers le dehors, et il sy produit différentes divisions, dont la marche r’est pas facile à suivre, à cause de la forme courbe des parois filles. Par des recherches répétées, faites aussi bien en comparant des anthéridies à divers états de développement (rendus plus transparents par l’action préalable de la potasse caustique) qu’en étudiant au microscope les changements successifs d’anthéridies vivantes et en voie de développement, placées dans la chambre humide, je suis arrivé à me représenter de la manière suivante leur mode de formation. La cellule mère de l’anthéridie, dont il a été question plus haut, se divise d’abord, par une cloison ordinairement un peu inclinée sur la paroi qui la rattache aux autres cellules du prothalle, et que j’appellerai paroi de base, en deux cel- lules filles; de celles-ci, l’une, qui est limitée en partie par cette paroi de base, deviendra la cellule pédicellaire, l’autre sera la cellule mère du reste de l’anthéridie. Ce stade est représenté, pour Gleichenia flabellata, dans les fig. 50 et 51 et dans les fig. 69* et 69**, dont les deux dernières ont rapport à la même cellule a, observée, dans la première de ces deux figures, à l’état non divisé, dans la seconde, après la première division, c’est-à-dire, après la formation de la cellule pédicel- laire s. Le même prothalle montrait en outre dans la cellule b, au voisinage immédiat de a, le même processus vu d’en haut. En comparant cette cellule à dans les deux figures, on aper- çoit le changement qui à donné naissance à la cellule pédi- cellaire (dont les parois p et qg sont visibles), tandis que la cellule bd à pris plus d’ampleur et s’est rapprochée de la forme sphérique. Ce mode de formation recoit un nouvel éclaircissement de ce que J'ai observé et figuré, à cet égard, sur des prothalles de Gleichenia rupestris. C’est ainsi que la fig. 59a représente une 200 N. W. P. RAUWENHOFF. cellule vivante d’un tel prothalle, avec une accumulation de grains chlorophylliens et de protoplasme autour du grand noyau anguleux *, mais encore sans la moindre trace de nouvelle paroi; la fig. 59b montre la même cellule quelques heures plus tard, après que la cellule mère de l’anthéridie s’est séparée, par une paroi périclinale, de la cellule du pro- thalle. Elle se trouve maintenant, en apparence, tout au milieu de cette dernière, qu’elle semble ne toucher qu’en un seul point ». Cet aspect doit toutefois être interprété de la même manière qu’on le fait pour les cellules stomatiques bien con- nues de l’Aneimia, et, de même que chez celles-ci, la coupe ou la vue en profil peut nous fournir l’explication. Compare-t-on, en effet, ces figures 59a et 59b avec l’image donnée par les fig. 51 et 57, on trouve que, lorsque la saillie en mamelon de la cellule du prothalle est séparée par une paroi parallèle à la. surface, cette saillie, vue d’en haut, doit se présenter sous l’aspect ci-dessus décrit, et que, lorsque cette paroi de base se trouve dans le même plan que la paroi externe des cellules prothalliques environnantes, il doit sembler qu'un segment ait été coupé de la cellule en voie de division. C’est ce qu'on voit, entre autres, dans les fig. 60a et 60b, 62a, 63a et 63b. Le stade suivant est celui de la formation de la cellule pédicellaire, qui, vue d’en haut, se présente, dans la fig. 59, comme une paroi circonscrivant en partie la cellule anthéri- dienne proprement dite. Les fig. 6la et 61b montrent la même chose. Cette cellule pédicellaire, ainsi qu'il ressort surtout de la coupe, est tantôt plus grande, tantôt plus petite que le diamètre de l’anthéridie proprement dite, et de forme ici plus tabulaire, là plus cunéiforme, parfois même triangu- laire sur la coupe (voir les fig. 48, 49, 51—56). De là vient l'aspect si divers de cette cellule, et même son invisibilité éventuelle quand l’anthéridie est vue par dessus, comme ce serait le Cas, par exemple, si dans la fig. 68a l'œil était supposé placé dans le plan du papier. LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 201 La cellule pédiculaire formée, différentes divisions s’opèrent bientôt dans la cellule fille située plus extérieurement et qui entretemps est devenue plus sphéroïde. D'abord il y naît une paroi qui s'implante presque circulairement tant sur la paroi supérieure voûtée que sur la paroi inférieure plane, et qui partage la cellule dont il s’agit en une cellule intérieure plus ou moins infundibuliforme et en une cellule extérieure, à peu près annulaire; celle-ci est très souvent, mais non toujours, coupée transversalement par une membrane à direction plus ou moins radiaire. Au bout de très peu de temps, la cellule infundibuliforme se divise, par une paroi rattachée à la paroi annulaire et parallèle à la base, en deux parties, dont l'ex- térieure a la forme d’un dôme, l’intérieure celle d’un en- tonnoir. La jeune anthéridie consiste donc alors en une cellule annulaire r, une cellule en dôme # et une cellule centrale c, unie au prothalle par une cellule pédicellaire. Ce stade est représenté dans la fig. 58, dessinée sur le vivant, et où l’on voit qu'à ce degré de développement il existe encore dans toutes les cellules, aussi dans la cellule centrale, des grains de chlorophylle; ceux-ci, cependant, ont déjà subi quelques changements: ils sont devenus plus petits et ne sont plus distinctement amylifères, comme les cellules avoisinantes du prothalle. La fig. 68b, qui ne demande aucune nouvelle ex- plication, vu que les lettres inscrites sur les figures indiquent les parois des diftérentes cellules, est également relative à ce stade. Il faut y rapporter encore les fig. 61b, 62c (et peut-être aussi 60 c), qui montrent l’anthéridie vue d’en haut, et les fig. 47, 48 et 49, représentant l’anthéridie de Gleichenia flabel- lata vue de côté; à l’égard de ces dernières, toutefois, on ne doit pas oublier que la forme courbe des parois peut donner à l’image de l’un et de l’autre côté un aspect différent. Aussi est-il nécessaire, pour se faire une bonne idée de la structure de l’anthéridie, de comparer les images qu’on obtient d’un même objet — rendu suffisamment transparent par l’action préalable d’une dissolution concentrée de potasse —en mettant l'objectif au 202 N. W. P. RAUWENHOFF. point pour des profondeurs plus ou moins grandes. La dis- similitude de ces images ressort clairement, par exemple, des fig. 56 a, 56b et 566, qui représentent une anthéridie un peu plus âgée, vue en haut, au milieu et en bas. Après que, par la formation de la cellule annulaire et de la cellule en dôme, la cellule centrale s’est trouvée entourée de tous les côtés, ces différentes cellules continuent à croître, tandis que la matière colorante verte disparaît peu à peu; lorsque la turgescence augmente, comme c’est le cas ordinaire, l'allure des parois peut aussi être plus ou moins modifiée, bien que dans son ensemble l’anthéridie conserve à peu près la forme d’une sphère. Ensuite, des divisions ont encore lieu dans la cellule en dôme et dans la cellule centrale. La première se partage, par une cloison placée à peu près circulairement sur sa paroi extérieure voûtée, en une cellule pariétale supé- rieure et une cellule operculaire; la fig. 52, en a et b, et la fig. 53 donnent des exemples de cette segmentation. La cel- lule centrale, cellule mère de tous les spermatozoïdes que l’anthéridie produit, se remplit d’une grande quantité de pro- toplasma dense et opaque, qui fait fortement bomber ses parois; après cela, elle éprouve des divisions répétées. Comme résultat, on trouve d’abord 2 cellules filles, puis 4, 8, 16 et davantage. C’est ainsi que les fig. 61 d et 62 c nous montrent la cellule centrale commençant, avant la formation de la cellule operculaire, à se diviser en deux cellules filles; dans la fig. 60 c, il y a même déjà, à ce moment, commencement de division en quatre cellules Dans la fig. 56 b on voit la cellule centrale divisée en quatre sur la coupe, et dans les fig. 62 d, 65, 66 et 67 des exemples de divisions postérieures, dont l’ordre de succession est indiqué par l'épaisseur des paroïs. L’aspect des anthéridies presque adultes, mais encore fermées, est alors tel que le montrent les fig. 34 et 54: toutes les cellules sont fortement turgescentes et l’anthéridie devient de plus en plus globuleuse. Finalement, la cellule operculaire cède, ce qui fournit aux spermatozoïdes, formés entretemps LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 203 dans la cellule centrale, une issue au dehors, si en outre, comme il arrive habituellement, la rupture de la cellule oper- culaire occasionne la résorption ou le détachement d’une partie de la paroi de la cellule centrale. Cette déhiscence des an- théridies et cette sortie des spermatozoïdes, je les ai fréquem- ment vues se produire chez les Gleichéniacées, de même que chez d’autres Fougères, lorsque l’anthéridie mûre venait en contact avec une goutte d’eau. En quelques minutes, l’ab- sorption osmotique d’une notable quantité d’eau déterminait alors dans les cellules pariétales une forte turgescence, par suite de laquelle ces cellules changeaient de forme et deve- naient, surtout au côté interne touchant à la cellule centrale, très convexes. L’anthéridie prenait la forme représentée dans la fig. 55, et bientôt, après l’ouverture de la cellule opercu- laire, le contenu de la cellule centrale, c’est-à-dire les spermato- zoïdes, était expulsé. L’anthéridie ouverte et vidée présentait alors une forme semblable à celle de la fig. 47 b. La sortie des spermatozoïdes a ordinairement lieu de la manière sui- vante: ils passent un à un par l’ouverture et, arrivés au dehors, se déposent au voisinage immédiat de l’anthéridie ; entre les passages successifs il s'écoule d’abord des fractions de seconde, plus tard une ou plusieurs secondes entières. Alors, seulement, que l’absorption osmotique d’eau se faisait avec une rapidité exceptionnelle, il s’établissait comme un courant continu de spermatozoïdes, qui toutefois, même dans ce cas, restaient parfaitement séparées les uns des autres. Les spermatozoïdes devenus libres se présentaient comme de petites cellules, dans lesquelles on remarquait quantité de points obscurs; d’abord légèrement polyédriques (à cause du peu d’espace qu'ils avaient eu dans l’anthéridie), 1ls deve- naient bientôt sphériques par l'absorption d’eau (voir fig. 70 a et b). Au bout de quelques minutes, un changement manifeste s’opérait dans le contenu; le spermatozoïde se montrait alors enroulé en spirale dans une vésicule mince et transparente (fig. 70c, d), tandis que de temps en temps on 204 N. W. P. RAUWENHOFF. observait un mouvement rotatoire à l’intérieur du petit organe encore immobile. Enfin, ; d’heure à ! heure après qu’il avait quitté l’anthéridie, on voyait le spermatozoïde, d’abord len- temert, puis avec une rapidité croissante, tourner sur lui- même et simultanément changer de place dans le liquide ambiant. À ce mouvement participait aussi la vésicule, qui se distendait de plus en plus (fig. 70e), jusqu’à ce que fira- lement le spermatozoïde, délivré de cette enveloppe, appa- raissait comme un petit organe conique pourvu d’un grand nombre de cils relativement longs (fig. 70 f—i), qui impri- maient à l’ensemble un mouvement, très rapide, de rotation et de translation. Quelques spermatozoïdes, non entièrement adultes probablement, n’atteignaient pas ce dernier stade, maïs restaient immobiles sous la forme représentée dans la 704, et ne tardaient pas à mourir. Forme et développement des archégones. Lorsque les prothalles des Gleichéniacées ont acquis, de la manière décrite plus haut, la forme en cœur, lorsque le coussinet possède dans l’axe du prothalle une épaisseur de 3 ou 4 couches de cellules et que des deux côtés de ce cous- sinet, de même qu'à sa surface, il s’est formé une quantité d’anthéridies, on trouve ordinairement aussi, au sommet, les premières indications d’archégones; ceux-ci se développent successivement l’un à côté de l’autre, surtout dans la direction du méristème qui s'étend au sommet, très près du bord de l’échancrure du prothalle, à la face inférieure de celui-ci. Chez les prothalles plus âgés, le coussinet a une largeur considérable et se compose d’un grand nombre de couches cellulaires, nombre qui diminue peu à peu vers la périphérie, sauf dans l’inflexion cordiforme, où le coussinet conserve jusque près de sa limite toute son épaisseur. À cet endroit, on voit une dense accumulation d’archégones, séparés par des LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 205 rangées peu nombreuses de cellules végétatives, parfois par une rangée unique, et d’âges différents. En effet, de même que cela est le cas pour les stomates des feuilles et pour les anthéridies des Fougères, de nouveaux archégones naissent continuellement entre les anciens, tant que le prothalle continue à croître. Cette structure du prothalle se reconnaît le mieux sur des coupes faites au microtome, après inclusion dans la paraffine, selon le précepte de M. Mall. La coloration par la safranine ou par le violet de gentiane augmente beau- coup la netteté des images et fait immédiatement distinguer les cellules encore jeunes et leurs noyaux. La première indication de larchégone consiste dans le changement d’une cellule de la face inférieure du prothalle, à l’endroit ci-dessus désigné. Dans cette cellule on voit une orande quantité de protoplasme très réfringent et un gros noyau, et la paroi aussi devient relativement épaisse (voir fig. 71). Par là, cette cellule se laisse déjà distinguer de ses voisines sur le prothalle vivant, mais mieux encore après un traitement par l'alcool, la potasse et l’acide acétique. La cel- lule en question se divise par une paroi parallèle à la surface du prothalle, et des deux cellules filles ainsi formées l’exté- rieure & (voir fig. 74) devient la cellule mère du col de l’ar- chégone, l’intérieure b celle de la cellule centrale. La première devance l’autre en développement, et on la voit assez vite partagée par une paroi perpendiculaire à la surface du prothalle. La fig. 72 représente deux stades de ce processus chez Glei- chenia rupestris, dans deux archégones se formant sur le même prothalle, très près l’un de l’autre. En «a on voit le noyau de la cellule divisé, sans qu’il y ait encore la moindre apparence de la paroi; en D cette paroi est en partie formée par ce qu'on appelle la plaque cellulaire, qui en € se rattache à la paroi de la cellule mère, mais qui du côté opposé ne se laisse observer que jusqu’à la limite des noyaux. La division cellulaire paraît donc avoir lieu ici d’une manière analogue à celle que M. Treub a trouvée chez Æpipactis, Chrysanthemum, 206 N. W. P. RAUWENHOFF. etc. (Quelques recherches sur le rôle du noyau, etc. Amsterdam, 1878), abstraction faite de la question, soulevée dans les der- niers temps et résolue diversement, si cette ,plaque” cellulaire est bien une plaque, et ne serait par plutôt un anneau. Quand la division est achevée, les deux cellules filles pré- sentent le même contenu que la première cellule mère du coi, c’est-à-dire, un ‘protoplasme brillant, très réfringent, à gros noyau et à paroi cellulaire assez épaisse. C’est ce qu’on voit par la fig. 73, qui représente ce stade dans l’état de vie, et par la fig. 75, qui le montre en coupe, après traitement par l’alcool, la potasse et l’acide acétique. Dans chacune des deux cellules dont nous venons de parler, il s’opère bientôt une nouvelle division perpendiculaire à la surface du prothalle, de sorte que le jeune archégone, vu d’en haut, apparaît alors composé de quatre cellules formant un quadrant (voir fig. 76 et 78); les parties de celui-ci, devenues aussi grandes et parfois plus grandes que les cellules mères, sont, tout comme elles, pourvues de protoplasma opaque et forte- ment réfringent, ce qui donne même aux contours des parois une forme légèrement ondulée, déjà visible dans le stade de la fig. 73, mais encore plus distincte ici. Peu à peu l’ensemble de ces quatre cellules fait une plus forte saillie au-dessus de la surface du prothalle, croît en grandeur et s’arrondit aux côtés libres, par suite de la forte turgescence. En même temps, le contenu devient plus transparent et on reconnaït mieux les noyaux, situés très près du point de réunion des quatre cellules (fig. 78). On voit maintenant se dessiner aussi, distinctement (fig. 77), la cellule centrale sous-jacente, remplie de beaucoup de protoplasma grenu et d’un gros noyau, cellule qui primitivement était rendue à peu près in- visible par le contenu opaque des cellules du col, situées au-dessus Dans la fig. 76, par exemple, on n’aperçoit qu'avec peine une trace de la cellule centrale, aux angles de laquelle se rencontrent les limites des cellules qui entourent l’archégone. Les quatre cellules en question forment les initiales des LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 207 quatre séries de cellules dont sera composé le col de l’arché-. gone adulte. À cet effet, ces cellules se divisent presque simultanément, chacune à plusieurs reprises, dans une direc- tion parallèle à la surface du prothalle, après quoi les cellules filles s’accroissent principalement dans le sens de la normale à cette surface. Cela ne se voit bien que sur des coupes faites à travers le prothalle, telles qu'en représentent les fig. 79, 80 et 81, ou lorsque les jeunes archégones situés sur la courbure de l’éminence en forme de coussinet viennent, dans des circonstances favorables, s'offrir précisément par leur côté à l’œil de l’observateur. La gradation du développement ressort des figures citées. C’est ainsi que la fig. 79 montre le stade où les quatre cellules du col se sont divisées une fois et où les cellules filles se sont déjà allongées dans la direction de l’axe de l’archégone, bien que la rangée inférieure soit encore partiellement recouverte par les cellules environnantes du prothalle 0. Entre les cellules du col on voit transparaître vaguement la cellule centrale, prolongée en cône vers le haut, avec son contenu trouble. Un état un peu plus ancien est représenté dans la fig. 80. Ici les rangées du col consistent en trois cellules, à parois transversales dirigées un peu obli- quement par rapport à celles des cellules environnantes du prothalle, lesquelles ont aussi subi des divisions répétées et for- ment maintenant le ventre de l’archégone, qui reste caché dans le tissu du prothalle. Très distincte aussi, dans cette coupe, est la cellule centrale terminée en pointe conique, cellule dont le contenu, après le traitement par l'alcool et la potasse, s’est contracté en forme de boudin. Un troisième stade se trouve dans la fig. 81, représentation d’un arché- gone plus âgé, mais pas encore adulte. Le col y est com- posé de rangées de quatre ou cinq cellules, et toutes ces cellules s'élèvent au-dessus de la surface du prothalle, par suite de l'accroissement des cellules ventrales. Les cellules inférieures des deux seules rangées que montre la coupe viennent de se diviser, l’une dans la même direction où ont 208 N. W. P. RAUWENHOFF. - eu lieu les divisions antérieures, l’autre dans une direction perpendiculaire; je regarde cette dernière comme une petite anomalie, vu que les archégones adultes, dont j'ai examiné des centaines, ne contiennent ordinairement qu’un col d’une seule couche de cellules. On voit distinctement aussi le canal du col, déjà existant mais encore fermé, lequel canal résulte de l’écartement des séries de cellules dans l’axe du col, là où elles se touchent. Dans le canal on trouve de petites masses mucilagineuses ayant l’aspect de grumeaux de plasma, et en nombre ordinairement égal à celui des cellules composant la série qui limite le canal. Ces grumeaux se déplacent et parfois confluent entre eux. Dans la cellule centrale, le con- tenu dense et trouble est plus on moins contracté. Lorsque l’archégone est adulte, les quatre rangées de cel- lules du col s’éloignent progressivement l’une de l’autre au milieu, et une petite portion du mucilage qui se trouvait dans le canal en sort au moment où celui-ci s’ouvre. Ainsi est frayé aux spermatozoïdes un chemin convenable, humide, pour arriver à l’oosphère. Lors de la fécondation ou un peu après ce processus (au sujet duquel je n’entre dans aucun détail, ne l'ayant pas observé moi-même chez les Gleichenia), et pareïlle- ment lorsque la fécondation ne s’opère pas, les deux rangées supérieures des cellules du col se recourbent en dehors, en même temps qu’elles se séparent partiellement l’une de l’autre ; il en résulte que dans ce stade le col se présente vu de côté, comme une ancre à quatre bras, vu d’en haut, comme une croix à bras égaux. Bientôt ces cellules meurent, elles se dessèchent, brunissent et finalement se détachent. Lorsque la fécondation n’a pas eu lieu, comme c’est le cas pour la grande majorité des archégones, le dépérissement et la colo- ration en brun ne restent pas bornés au col, mais l’oosphère avec son contenu et fréqnemment aussi le ventre de l’arché- gone deviennent bruns, ce qui les fait immédiatement recon- naître à la loupe. En cas de fécondation, le col se dessèche et brunit au bout LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES. 209 d’un temps plus ou moins long. Parfois il paraît se détacher, comme dans les fig. 85, 86 et 87; mais, par contre, en trouve aussi des états beaucoup plus anciens, tels par exemple que celui représenté fig. 91, où le col brun tient encore, bien qu'il se soit déjà formé une jeune plante avec racine et petite feuille. Constamment, toutefois, la cavité ventrale est fermée, après la fécondation, par l’affaissement des cellules inférieures du col, et alors commence, tant dans le ventre de l’archégone que dans l’oosphère elle-même, une phase de nouvelle croïis- sance. Les cellules qui limitent l’oosphère se divisent itéra- tivement, et ce n’est que maintenant qu'elles se différencient comme ventre de l’archégone, qui reste toujours caché dans le corps du prothalle et dont le développement marche d’abord du même pas que celui de l’oosphère. Ce phénomène se laisse bien voir surtout lorsque les coupes au microtome du pro- thalle préalablement durei sont examinées, après coloration par la safranine ou par le violet de gentiane, à un grossisse- ment suffisant. J’ai en outre reconnu ainsi chez Gleichenia la particularité remarquable, déjà décrite pour Vattaria par M. Goebel (Annales du jardin bot. de Buitenzorg, vol. VIT, p. 87), que sur un même prothalle deux archégones peuvent être fécondés et par suite deux embryons se développer. La fig. 87, qui représente une partie de la coupe de Gleichenia dicarpa, obtenue au microtome après durcissement, en donne un exem- ple ; la coloration par la safranine y fait remarquer au premier coup d’œil les deux embryons placés l’un à côté de l’autre. Les coupes faites de la manière indiquée montrent qu’a- près la fécondation l’oosphère, de même que chez d’autres Fougères, se divise d’abord en deux cellules filles, dont la paroi de séparation n’est pas située dans l’axe de l’archégone, mais un peu obliquement. Ces deux cellules filles se biseg- mentent ensuite à leur tour, par de nouvelles cloisons perpen- diculaires à la première. Aïnsi se forme un quadrant, plus tard un octant, etc, et peu à peu l’embryon devient un corps globuleux, à petites cellules, dans lequel, comme le fait 210 N. W. P. RAUWENHOFF. voir la fig. 86, la cellule triangulaire du sommet de la racine est la première à se différencier nettement. Pendant que tout cela se passe, le ventre de l’archégone, où l'embryon se trouve encore enfermé, à lui-même grandi considérablement. Les cellules dont il est composé possé- dent de gros noyaux, une large quantité de protoplasma et des parois relativement minces. Elles se divisent plusieurs fois dans une direction normale à la surface du ventre, et une fois, en outre, parallèlement à cette surface; il en résulte, ce qui à ma connaissance n’a pas encore été observé chez d’autres archégones de Fougères, que la paroi du ventre con- siste en deux couches de cellules (voir fig. 85, 86 et 87), phénomène en rapport peut-être avec la longueur du temps pendant lequel l’embryon et le ventre de l’archégone restent dans le prothalle et sont nourris par lui. Au cours de son . développement ultérieur, toutefois, l'embryon finit par per- forer la paroi du ventre et le tissu du prothalle ; les cellules desséchées de l’archégone et de son voisinage immédiat con- tinuent pendant quelque temps à entourer la base de la racine et de la feuille, tandis que les sommets de ces organes, ap- parus à l'air libre, s’accroissent en directions opposées. À l’origine, l’un et l’autre sont encore nourris par la partie vivante du prothalle, avec lequel une partie de l'embryon conserve longtemps une union intime. Ce stade est représenté dans la fig. 91. Finalement, la prothalle dépérit peu à peu et la jeune plante pourvoit alors elle-même à ses besoins. Sur la racine primaire naissent des racines latérales, et à côté de la feuille primaire, dont la durée de vie est limitée, il se forme suc- cessivement, quoique lentement, de petites feuilles un peu plus composées, ainsi que cela est le cas aussi chez d’autres Fougères. Je n'entre toutefois dans aucun détail à ce sujet, n'ayant pas l'intention, dans le présent travail, de décrire aussi la génération asexuée des Gleichéniacées. J'ajouterai seulement une couple de remarques, faites à LA GÉNÉRATION SEXUÉE DES GLEICHÉNIACÉES, 211 l’occasion de l’examen des susdites coupes de la jeune plante, remarques relatives à la division des cellules aux points de végétation. En premier lieu, on trouve que le sommet croît par une cellule apicale triangulaire (voir fig. 88), dont se séparent des segments réguliers, qui ensuite se divisent, par des cloisons de segmentation perpendiculaires entre elles, en un nombre de cellules. Les segments successifs (indiqués par des chiffres dans la figure) sont ici faciles à reconnaître. En second lieu, la coupe longitudinale menée par le sommet de la racine (fig. 89) nous apprend qu'ici, de même que chez d’autres Fougères, les parties nouvelles sont formées par une cellule apicale tétraédrique, continuellement rajeunie, qui sé- pare des segments latéraux et un segment apical, donnant naissance aux différentes parties de la racine et à sa coiffe. Ces segmentations cellulaires, d’ailleurs connues depuis long- temps et fréquemment décrites, ont de nouveau attiré l’at- tention dans les derniers temps, à la suite des observations de MM. van Tieghem et Douliot, publiées dans les Ann, d. sc. nat. 7e Série, T. VIII, p. 382, observations qui ont con- duit à un résultat différent de celui, généralement admis jus- qu'ici, auquel étaient arrivés MM. Nägeli et Leitgeb. Ceux-ci avaient trouvé, en 1868, par une série de recherches, que les segments latéraux de la cellule apicale de la racine for- ment l’écorce, le cylindre central et l’épiderme, tandis que le seoment apical de cette cellule n’engendrerait que la coiffe de la racine. MM. van Tieghem et Douliot, au contraire, après une étude non moins détaillée, affirment que, confor- mément à ce qui à lieu chez les Phanérogames, les trois segments latéraux de la cellule apicale ne fournissent que le cylindre central et l’écorce de la racine, de sorte que le seg- ment externe produirait l’épiderme et la coiffe, laquelle serait donc à considérer comme une portion de l’épiderme. Mon étude de la jeune racine de Gleichenia me porte à conclure que, pour cette famille de Fougères, l'opinion de MM. Nägeli et Leitgeb doit être maintenue; c’est ce qui ressort, entre ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 14 219 N. W. P. RAUWENHOFF. autres, de la fig. 89, fidèlement dessinée d’après nature en ce qui concerne les dimensions et l’arrangement des cellules, et dans laquelle on peut suivre complètement, sans autre ex- plication, la formation des do Points de plissement). Tandis que les accidents décrits aux $ 7, 8 et 11 ne sont pas signalés par quelque caractère particulier de la courbe spincdale, il en est autrement de la production d’un point de plissement double homogène, $ 9 et $ 10. Cette production implique toujours la présence d’un point isolé ou d’un point double de la courbe spinodale, et il y a quelque intérêt à savoir si, réciproquement, l'apparition d’un point isolé ou d’un point double de la spinodale prouve qu’à cet endroit s’opère respectivement la transformation indiquée au $ 9 ou au $ 10. La réponse à cette question doit être négative, en tant qu’un point isolé ou un point double de la spinodale se rencontre aussi aux points d’osculation. Un point isolé ou un 1) En outre, il y a encore les changements, d’ailleurs très remarquables, dans les plis non fermés qui font suite à l’accident décrit au $ 8. Nous es négligeons parce qu'on peut les deviner facilement et qu’ils n’ont pas d'importance pour l'étude de la surface w. 310 D. J. KORTEWEG. point double de la spinodale peut donc être ou bien un point d’osculation ou bien un point de plissement double homogène. Analytiquement, le point d’osculation est facile à reconnaître Ÿ2 par la condition: = = Ne — . — 0; mais la nature du cas auquel on à affaire se laisse déduire aussi de la manière dont la spinodale se comporte lorsque la paramètre varie. Si la spinodale présente une branche fermée, qui pour la valeur critique se contracte en un point isolé puis disparaît lors de la variation ultérieure du paramètre, il s’agit d’un point de plissement double homogène, de l’espèce décrite au $ 9; la branche fermée reparaît-elle, au contraire, après le passage par la valeur critique, on a affaire à un point d’osculation, comme il a été exposé au $ 12. Si la spinodale présente un point double proprement dit, qui lors de la variation d’un para- mètre en sens opposé conduit à une liaison différente entre les branches de la spinodale, il existe un point de plissement double homogène (voir $ 10); dans le cas contraire, il y a un point d’osculation de l’espèce indiquée au $ 13. Les trois modes de production d’un plan tritangent. 15. Dans la théorie de la surface w de van der Waals la présence de plans tritan- Fig. 20. gents à une grande impor- 22 tance. Nous allons donc expeser ce que la théorie cénérale des plis nous apprend au sujet de l’ap- parition de pareils plans. Dé Cette théorie générale nous fait connaître trois a modes très différents, mais du même degré de géné- ralité, pour la production LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, EfC. 811 d’un plan tritangent sur une surface en voie de déformation continue. Nous parviendrons le plus facilement à découvrir ces trois modes en cherchant, inversement, comment un plan tri- tangent existant peut arriver à disparaître. Soient, fig. 20, a, , a, a; les trois points de contact d’un plan tritangent. Les points a, et a, peuvent alors être conçus comme connodes d’un même pli, et pareïllement les points a, et a,, a, eta.,. Nous obtenons ainsi trois plis, et chacun des points de contact devient un point double de la courbe connodale. Si les points «,, a, et a, forment un triangle et qu'aucun d’eux ne soit situé sur la courbe spinodale, les deux branches de la connodale, en chacun de ces points doubles, doivent faire entre elles un angle fini. Leurs tangentes, en effet, sont, dans l’indicatrice, des diamètres conjugués aux droites qui joignent le point considéré aux deux autres points de contact. 16. La première ') manière dont le plan tritangent dispa- raît, ou du moins cesse d’être un plan tritangent à points de contact réels, consiste Mie. 91. CD ACC QUERdeUx QUES points de contact, par exemple 4. eb.4de, viennent à coïncider, pour devenir ensuite imaginaires. Si l’on considère que le point de coïncidence de «&, et a, est alors un point de plissement du pli MAN NE d. pOUr connodes (suivant la définition du point de plissement), on recon- naîtra que les figures21, 1) C’est là, probablement, la seule manière dont les plans tritangents se produisent sur la surface w. 312 . J. KORTEWEG. 22 et 23 donnent une idée de la façon dont les choses se passent. En examinant les figures dans l’ordre inverse, on voit Fig. 22. / que le plan tritangent doit ici son origine à ce qu'un pli se rappro- che, par son point de plissement, d’un autre pli. La fig. 22, indique l’instant où le plan tri- tangent fait son appa- rition !). À proprement parler, dans la fig. 23 aussi il existait déjà un plan tritangent réel ?), dont l’un des 1) Lorsque par un point de plissement 1il passe une seconde branche de la cour- be connodale, cette branche devra, sauf dans des cas exceptionnels d’un ordre supérieur au premier, tou- cher la connodale du pli auquel appartient le point de plissement. En effet, dans un point de plissement l’in- dicatrice est parabolique, et par conséquent les diamè- tres conjugués aux cordes de diftérentes directions sont tous parallèles à la tangente dans la section tangentielle, laquelle tan- gente touche aussi les cour- bes connodale et spinodale du point de plissement. 2) De là vient que, dans le cas traité au présent paragraphe, il n'ya pas comme dans les cas suivants, apparition simultanée de deux plans, LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 313 connodes, a, point isolé de la courbe b,c,, était réel, mais dont les deux autres étaient imaginaires. Dans la fig. 22, ces deux connodes imaginaires deviennent réels au point &;, qui est en outre point à A de plissement du second Vo pli. Dans la fig. 21, ils s'é- a loignent l’un de l’autre. En 7 \ même temps, il se forme à \ l’autre côté du pli une in- curvation, qui présente un point double et deux points de rebroussement !). 17. Le second mode de 2 disparition d’un plan tri- mer tangent se présente lors- qu'un des trois connodes (par exemple a,) atteint la courbe spinodale. L'état existant à ce moment même est représenté dans la fig. 25. Les deux branches de la con- Fig. 25. nodale en a, doivent | être tangentes l’une à l’autre, puisqu’en Fig, 24, \ ? tritangents, cequidevrait Ü sd 1 N 4 avoir lieu ici également, é \ si dans la fig. 23 le plan ? tritangentétaitlui-même ; imaginaire. 1) Il est facile de re- connaître que le cas dont il vient d’être parlé appartient aux cas excep- tionnels du premier or- w e: 7 / e. | di dre; on n’a qu’à tenir compte de la circonstance que ce cas doit se présenter chaque fois que le plan tangent du point de plissement acquiert encore un contact avec une autre partie de la surface. ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 21 314 D. J. KORTEWEG. AN, a, l’indicatrice est parabo- lique, et que par conséquent tous ses diamètres sont parallèles entre eux (Comp. $ 5). Dans la fig. 26, DS correspondant à une mo- dification du paramètre dans l’un des deux sens, le plan tritangent à disparu; dans la fig. 24, correspondant à une modification en sens opposé, il y a production de deux plans tritangents a',, af, ds tet Diese que sinous revenons à la valeur primitive du paramètre, co- incident dans la fig. 25, pour disparaître dans la fig. 26. 18. Un troisième mode de disparition consiste en ce que les trois connodes @,, Go, 4; Viennent se placer en ligne droite. En vertu du $5, les deux branches de la courbe connodale doi- vent alors se toucher. La fig. 28 représente cet état, tandis que les fig. 27 et 29 montrent entre quels états celui de la fig. 28 forme le passage. Dans ce cas en- core, on voit apparaître simultanément deux plans tritangents, a’,, a',,a'; et [44 44 [44 Œ 12 (27 29 œ 92e LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 8315 Pproncupenpen plipaccessoire. 18. Pour la théorie de la surface w symétrique, et proba- blement aussi pour celle de la surface w générale, les accidents ci-dessus décrits n’ont pas une importance égale. Ta formation d’un pli annulaire, de la manière indiquée au $ 7, ne paraît Fig. 28. | | Fig. 99. pas se présenter, du moins sur la partie physiquement réali- sable de la surface. De même, pour expliquer l’apparition des plans tritangents physiquement réalisables, nous n’aurons affaire qu’au premier mode de production, décrit au $ 16. Les points d’osculation et les points de plissement doubles hétero- gènes ne se montrent, de leur nature même, que sur la partie 21% 316 D. J. KORTEWEG. non réalisable physiquement, maïs lorsque la température contenue à baisser ils trahissent pourtant aussi leur apparition, surtout les seconds, par certaines particularités qui se pro- duisent sur la partie physiquement réalisable. Parmi les différents modes de succession des accidents, il y en a un que nous pourrions qualifier de production et développement d’un pli accessoire à côté d’un pli principal, et qui joue un très grand rôle dans les transformations que la surface w subit lors des changements de température. Pour cette raison, nous lui consacrerons ici un paragraphe par- ticulier. Fig. 30 Fig. 31. 20. Soit fig. 30 la représentation des courbes spinodale !) et connodale d’un pli, à point de plissement as, de la sur- face y; il arrive alors fréquement qu’un abaissement de la température fait apparaître, en quelque point de la spinodale 1) On ne peut pas attribuer à chaque pli, c’est-à-dire à chaque branche de la courbe connodale, une branche particulière de la courbe spinodale. En général il n’est donc pas permis de parler de la courbe spinodale d’un pli. Pourtant’ cette locution inexacte ne donnera pas lieu à confusion dans le cas que nous traitons ici. LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 9117 un point de plissement double hétérogène b. Continue-t-on à abaisser la température, on voit se développer le pli esquissé dans la fig. 12, mais qui, à l’origine, se trouve sur la partie non réalisable de la surface. Lors de l’abaissemont ultérieur, toutefois, il se rapproche de plus en plus de la partie réalisable, comme l'indique la fig. 31, pour atteindre enfin par son point de plissement b, la connodale du pli principal, aussi que le montre la fig. 32. À ce moment, apparaît un plan tritangent, dont deux points de contact coïncident au point b, =e, tandis que le troisième se trouve en e,, le connode dee, dans le pli principal. Fig. 32. Fig. 33. ef î Ru LA €, PR _ CT rm eue Parecr FN, TNT TN Dre L PACE) ve è 0 Ensuite, lors d’un nouvel abaissement de température, le plan tritangent €’, €”, e, se développe, comme l'indique la fig. 33, pendant qu’en e, se forme une incurvation. Nous fixerons aussi l'attention sur les couples de points n”, n’ et Mi, M), Qui sont respectivement des connodes du pli ac- cessoire et du pli principal. Au cours de l’abaissement de température, les points m, etn’ se rapprochent de plus en plus 318 D. J. KORTEWEG. l’un de l’autre, et il en est de même des points m, etn'”. À une certaine température, ils se rencontrent deux à deux sur la spinodale, aux points u’ et u”, et on a alors l’état représenté dans la fig. 34, où se réalise la particularité décrite au $ 8, à savoir, que les deux connodes atteignent simultanément la spinodale, aux points uw’ et u’. Au paragraphe cité, la si- gnification de cette particularité a été exposée en détail. Con- formément à ce qui y a été dit, un nouvel abaissement de température amènera l’état de la figure 35, où ce n’est Fie. 34. Fig. 35. CA 7 LUC fr a A plus le point «a,, mais le point b,, qui forme le point de plissement du pli principal, en d’autres termes, un état où le plan bitangent d, d.,, en continuant à rouler, atteindra le point de plissement 0. Bien que, pour la surface y, la coïncidence des points m,, [44 noreten,, n A s'opère toujours sur une partie irréalisable de cette surface, il n’en est pas moins intéressant de savoir qu'entre les deux points de plissement, auxquels donne nais- LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC 319 sance le dédoublement d’un pli en pli principal et pli acces- soire, il n'existe pas une différence assez essentielle pour que l’un reste constamment le point de plissement du pli prinei- pal, l’autre celui du pli accessoire; au contraire, ces deux points peuvent échanger leurs rôles, sans qu’il en résulte de changements très apparents sur la partie réalisable de la surface. Plan quadritangent. 21. Si l’on se représente un plan tritangent sur une surface progressivement déformée, on conçoit aisément qu’il doit par- Fig. 36. == : Re … — — — De Le # LT V2 7 PS fois se produire un contact en un quatrième point de la sur- face. À ce moment, chacun des quatre points de contact est un point triple de la ligne connodale. Le paramètre subit- il toutefois un léger changement, alors les branches qui passaient par ces points s’écartent l’une de l’autre, et de chaque point triple il naît trois points doubles, dont l’en- semble appartient à quatre plans tritangents. Les fig. 36 et 320 D. J. KORTEWEG. 37 aideront à faire comprendre comment, lors du passage du paramètre par la valeur critique, les choses se passent. Pour rendre ces figures plus claires, les plans tritangents y ont été supposés opaques. On voit que le plan tritangent qui dans la fig. 86 se trouvait au-dessous des trois autres recouvre ceux-ci dans la fig. 37. ITe SECTION. — PARTIE DESCRIPTIVE. Les cas QE de 22. Tandis que le cas ,a, b, — b,, alors il existe, et cela à toute température ?), un pli longitudinal, qui toutefois n’acquiert qu'une faible extension si ,b, diffère peu de 0, et de b,. Nous montrerons en effet (voir $ 44), que pour les points de sa courbe connodale on a toujours v < b:+(,b,—0.), et comme la partie réalisable de la surface ne commence qu'à 1) Le cas que nous venons de décrire se réalise pour les mélanges d’oxyde de carbone et d’acétylène. Tandis que la température critique des substances pures est respectivement 31° et 37°, le mélange à poids égaux possède une temperature critique de 41° (Comp. J. Dewar, On the critical point of mixcd vapours, Proc. Roy. Soc., T. 30, p 538—546, 1880). Il est donc clair que sur la surface y correspondante le pli transversal prendra naissance à peu près à mi-largeur de la surface à une tempera- ture un peu au dessus de 41° et atteindra les bords à 31° et 37°. 2) Il est clair que, pour ,b, > b, = b,, il doit se faire à toute tempé- rature, si la pression est suffisamment élevée, un dédoublement en deux mélanges, et qu'il doit donc toujours exister un pli longitudinal. En efñet, 10, > bd, = b, signifie que le plus petit volume du mélange est plus grand que la somme des volumes occupés après dédoublement en deux substances. 322 D. J. KORTEWEG, des valeurs de v > 0, la connodale ne s’étend donc jamais plus loin que jusqu’à la distance ,b, — b, de la limite de la surface du côté des petits volumes. Néanmoins, à une température très basse, un plan tritangent finira par se pro- duire, de la manière décrite au $ 38. Le cas ,a, 4 a,. Dans le pli longitudinal s’opère constamment, à une certaine température, la production, décrite au $ 20, d'un pli accessoire; mais, à cause de la parfaite symétrie de la surface, cette production a lieu d’une manière spéciale, de façon que l’état de la fig. 84 est toujours maintenu (voir les fig. À, et À, Planche XIII). Quand ,a, <+£a,, Les deux points de plissement de la première espèce (æ,) et (æœ) atteignent chacun, lors d’un abaissement ultérieur de la tem- pérature, l’un des deux bords latéraux (voir fig. A4,), savoir, à la température critique des substances non mêlées, ÀA-t-on, au contraire, ,a, > 4 a, alors le pli transversal ap- paraît à son tour. Il est composé de deux moitiés (voir fig. B,), qui se développent chacune à partir d’un des bords laté- raux. Aussi longtemps que ,a, <-5, a,, les deux moïitiés ne s’unissent pas, maïs se fondent chacune avec l’un des plis du système longitudinal (voir fig. B, Planche XIV); pour do > +3 4,, au contraire, elles se réunissent, à la température critique du mélange à proportions inoléculaires égales, en un pli transversal unique (voir fig. D," Planche XV), avec ou sans 1) Voir plus loin, $ 27. À proprement parler, il se forme toujours un pli transversal, mais pour ,a, <%a, ce pli naît à mi-largeur de la sur- face et n’atteint jamais la partie réalisable. LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 323 dédoublement préalable de chacune d’elles, comme dans la fig. D, Planche XIV. Dans tous les cas, tôt ou tard, avant ou après la réunion des deux moitiés en un pli transversal unique, 1l apparaît de ces plis accessoires, dont les points de plissement (&.,) et(x,) finissent par coïncider avec (&,) et (œ,); cette coïncidence peut toutefois se faire sur la partie irréalisable de la surface. Quand ,a, ne diffère que peu de &,, le pli longitudinal ne se développe qu’à de basses températures, où le pli trans- versal à déjà atteint tout son développement. A la rencontre de ces deux systèmes de plis, il se forme alors un plan tri- tangent (voir fig. Æ Planche XV), qui, si ,a, > 0,67...a,, recouvre pour ainsi dire les accidents plus complexes dont il vient d’être question, de sorte que ceux-ci se produisent sur la partie non réalisable de la surface. En ce qui concerne ce plan tritangent, il se forme aussi pour d’autres rapports entre a, et a,, et, à des températures suffisamment basses, il existe toujours. La manière dont il prend naissance peut toutefois varier. Pour de petites valeurs de ,@,, il se forme (voir fig. AÀ,) lors du dédoublement du pli longitudinal; pour des valeurs un peu plus grandes, le plan tritangent qui existe aux basses températures est le pro- duit de la fusion de plusieurs plans tritangents (voir les fi. D,, D;, D,), fusion qui peut même faire apparaître momen- tanément un plan quadritangent, à savoir, chaque fois qu’on 5 QÉTARER RE OSS 0e 24. De cet aperçu général ressort la nécessité d'étudier plus en détail, chacun séparément, les divers cas qui peuvent se présenter. Par la série de figures, 4,—Æ, nous tâcherons d’élucider ce qui se passe dans chacun de ces cas. Ces figures ne sont pas construites à une échelle déterminée. Le calcul numérique de l’allure des courbes connodales et spinodales aurait demandé un long travail, d'utilité douteuse. En outre, les figures auraient pris des proportions embarrassantes. Ainsi, par exemple, sur la partie de la surface à laquelle se rap- 324 D. J. KORTEWESG. portent les grands volumes, on doit, aux basses températures, se représenter les courbes connodales reportées beaucoup plus loin à gauche. On ne peut donc tirer de nos figures que des conclusions qualitatives. 25. Au plan v — à, duquel la surface w se rapproche asymp- totiquement, nous donnerons le nom de paroi postérieure, aux plans x —=0 et x — 1 celui de parois latérales. La projection sur le plan vx sera appelée le plan. Les courbes connodales sont tracées en lignes pleines, les courbes spinodales en lignes ponctuées. Les parties de la surface qui sont à courbure po- sitive et dont le côté convexe est tourné vers le bas, c’est- à-dire, vers le plan vx, ont été laissées en blanc dans nos figures; les parties à courbure négative et celles dont la cour- bure est positive mais tournée vers le haut, ont été distin- œuées les unes des autres par des hachures différentes. Les points de plissement sont marqués par de petits cercles, pour- vus de un ou de deux petits traits, suivant que ces points appartiennent à la première espèce ou à la seconde. Les lignes rouges représentent des droites joignant deux connodes. Outre le plan, nous avons aussi représenté quelquefois le contour apparent de la projection de la surface sur le plan vw. Ce contour recevra le nom de profil. Éo Le rapport 7 sera désigné par «. Nous commençons par GAP) le sous-cas # < +. À. Le sous-cas x < 1. 26. Lorsque l'échelle des températures est parcourue de haut en bas, le pli longitudinal fait sa première apparition à la température T,°(!) = (1 — ») tout en haut de la @; MbR ? 1) Au sujet de cette témpérature, ainsi que d’autres températures re- marquables, voir & 39. Nous marquons d’un seul accent les températures qui ont rapport en général au système des plis longitudinaux; celles qui concernent le pli transversal ne reçoivent pas d’accent; celles qui sont relatives à la fusion des deux espèces de plis portent deux accents. LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 325 surface, sur la partie qui s'approche asymptotiquement de la paroi postérieure !). Initialement, il possède la forme indiquée par les figures À, (plan) et 4”, (profil). En avant se trouve le point de plissement (x), qui d’abord est de la première espèce. Le profil montre deux contours apparents, qui en (&'} (correspondant à («)) se rattachent tangentiellement l’un à l’autre. L’un de ces contours (p «’ q) correspond à la section moyenne x == !, l’autre (p &’ r) donne la projection de la courbe connodale sur le profil. La troisième ligne représente la ligne marginale de la'surface, c’est-à-dire, l’isotherme pour x = 0 OUT 27. La température s’abaissant ensuite, le point de plissement (œ) se déplace de plus en plus vers la gauche, jusqu’à la tempé- PAT ns) a, | : rature 7, —= (1 — :) (1 — L Ji 0 (0 Come ce un changement important. Ce changement se trahit par la circonstance que le point de plissement (x) change d’espèce ?). En y regardant de plus près, toutefois, on reconnaît qu’à cette température il y a coïncidence de trois points de plis- sement (œ), (œ,) et («,) (voir fig. À,), qui s’écartent l’un de 1) À bien considérer les choses, le pli longitudinal naît, à la tempéra- ture T,', d’un point de plissement double homogène pour lequel on a v = b, w =. L’un des deux points de plissement reste invariablement à cette place, tandis que l’autre avance sur la surface lorsque la température s’abaisse, 2) Suivantlathéoriegénérale (voir Wien. Ber. ou Arch. Néerl.. l.c., $ 26), un pareil changement d’espèce est impossible. Cetteapparente contradiction m'a conduit à examiner la question de plus près et, par suite, à découvrir la possibilité d’un plan tritangent dans le cas où le système longitudinal existe seul. Effectivement, on n’a affaire ici qu'à la production d’un pli accessoire, naissant d’un point de plissement double hétérogène; mais ce point de plissement double apparaît précisément à la place où se trouvait déja un point de plissement. Une légère altération de la symétrie suffit, toutefois, pour que le pli accessoire se forme à droite ou à gauche du point de plissement du pli principal. Cela est donc toujours le cas lorsque a, n’est pas exactement égal à &,. 326 D. J. KORTEWEG. l’autre quand la température continue à baïsser: en même temps, les courbes connodales, pour autant qu’elles sont situées sur la partie réalisable de la surface, prennent l’allure représentée par la fig. À,. Quant à la manière dont les con- nodales devraient être prolongées sur la partie non réalisable, la fig. 34 en donne une idée, si l’on suppose cette figure symétrique. Par suite de la parfaite symétrie, la connexion entre le pli principal et le pli accessoire, telle qu’elle existe aux points web u” de la fig. 34, persiste toujours. Mais le moindre dérangement de la symétrie fait apparaître les états des fig. 33 ou 35, où alors soit (æ) et (æœ,), soit («) et (œ,), doivent être considérés comme les points de plissement du pli accessoire. | En bornant notre attention à ce qui est physiquement réalisable, nous avons affaire à un plan tritangent (a, ) (&,) (a2), dont la fig. 4’, fait mieux comprendre la présence. Des deux côtés de ce plan tritangent on trouve des branches de 1a connodale, le long desquelles les connodes (a,) et (a;), ou (a,) et (a), peuvent être amenés à coïncider aux points Fig. 38. de plissement («,) ou (x,). Au début de sa formation, le triangle (a,) (a,) (a) est très obtusangle. En cas de symétrie parfaite il est naturellement toujours isocèle. Aussitôt, toutefois, qu’il manque quelque chose à la symétrie, la première apparition se fait de la manière indi- quée dans la fig. 38, c’est-à-dire, qu'il y a dès l’origine une différence finie entre l’état (a.) et les deux états (a) AG). | 28. À la suite d’un nouvel abaisse- ment de température, la courbe spino- dale prend la forme indiquée dans la fig. A,. tandis que les points de plis- sement (œ,) et («,) se rapprochent des parois latérales, qu'ils LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 327 10 Do. MR pour lesquels v — 3 6. Cette température n’est pas autre chose atteignent à la température T, en des points que la température critique des deux substances non mélangées. Au-dessous de cette température, les points de plissement (œ,) et («.,) disparaissent de la partie réalisable de la surface. La fig. A, représente l’état qui existe au moment où la température a tout juste atteint la valeur T7, = (1 — +) (1 — IPAENTES Dr Trip Le spinodale (ordinairement du quatrième degré) dégénère alors en une ligne droite (5) (x) et en une courbe du troisième degré. 29. Dans l’allure des courbes connodales sur la partie réalisable de la surface il ne survient plus, si la température continue à s’abaisser, de notables changements de nature qualitative; mais le cours de la spinodale subit encore des modifications très ue A la température T, — en + 4) T 5 pan effet, il se produit un point de ue double homogène, à l’endroit OÙ z—1, v—3b, et de ce point de plissement double se développe, de la manière décrite au $ 9, un nouveau pli, à points de plissement de la seconde espèce, («;) et («,). La partie à courbure positive de la surface, en dedans de la nouvelle branche de la spinodale, tourne sa concavité vers le bas. Dans la fig À; cette nouvelle branche est représentée. À la température plus basse 7°”, —(1—:) AE 1 la spinodale possède un point double (voir fig. À;), résultant de ce que le point (d) de la fig. À, rejoint le point (&). Ce point double (“) constitue sur la surface un point d’osculation de l'espèce décrite au $ 13. Le point de plissement (x) y est venu en coïncidence avec deux points de plissement qui sont DS imaginaires à une température plus haute ou plus basse. Aussi la suite des modifications, indiquée par la fig. À,, 328 D. J. KORTEWEG. est-elle en parfait accord avec ce qui a été dit au $ 18. Dans cette figure A, on trouve représenté l’état qu'atteint la surface y à basse température. Lors d’un abaissement ulté- rieur, la partie («), (œ;), (&), (x,) de la surface qui tourne sa concavité vers le bas, s’étend de plus en plus, sans toutefois atteindre jamais les parois latérales. Cet état final est le même que celui de tous les sous-cas suivants. Dans la fig. 4’, est es- quissé le profil correspondant. La section moyenne présente deux points d’inflexion (9”) et (+), qui correspondent à (0) et (e). Ces points d’inflexion ont fait leur apparition à la température 7... Letas detre ns tome 30. Dans le cas de itransition + = 4, les deux températures P;,.et T,\sont égales. Les fvures, 44 4°bet A; "peuvent encore s'appliquer à ce cas. Dans la fig. À,, où l’on a alors T=T, = T;", on doit se représenter les deux points (7) et (f) confondus en un point unique, correspondant, pour Ce qui concerne le cours des courbes spinodale et conodale, au point (u,) de la fig. B,. Ensuite viennent encore avec des modifica- tions purement quantitatives, les figures 4,, À, et Az. B. Le sous-cas L << £. 31. Pour le cas x > À, les figures À, et 4, peuvent être reprises sans modifications qualitatives. Il faut seulement’dans la figure À, reculer le système des plis longitudinaux plus à droite. À la température T', ils’introduit toutefois une importante différence. Tandis que pour x < },à cettetempérature, le système des plis longitudinaux atteint les}bords latéraux, il y a mainte- nant, à cette température, apparition des deux moitiés d'un pli transversal. Laisse-t-on alors s’abaisser encore un peu la température, on arrive à l’état indiqué dans la fig. B,. Il existe alors cinq points de plissement (x) (æœ;) (œ2) (æœ3) (œ3). À la température 7", (x«;) et (æ«,) se confondent en un LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 329 point de plissement double homogène (u,), («;) et («,) en un autre point double {u.,) (voir fig. B,). L’abaissement ultérieur donne naissance à l’état esquissé dans la fig. B; (comparez $ 10). En cas d’un abaissement encore plus considé- rable, un point de plissement double se forme au point æ—= 1, v = 38 b, et l’on obtient des figures comme 4., 4, et À,. Le cas de transition x —=;;. 32. Une modification essentielle dans le mode de transfor- mation de la spinodale se produit au moment où + devient plus grand que ,. En effet, pour x précisément = -%, il y a coïncidence des deux températures 7, et T,”, celles, respec- tivement, où se forme la partie à courbure positive (à) («;) (e) («,) (voir fig. 4.) et où se confondent les deux points (d) et («). Cela veut dire que le point de plissement double, dont provient la partie à courbure positive, se forme, au point æ—!}, v—3b, à la température précise pour laquelle la courbe spinodale (5) (x) passe par ce point. On trouve que cette courbe présente alors, en ce point, un point de rebrous- sement, de la manière indiquée dans la fig. 0’. À cet état succède celui qui est représenté dans la fig. À,. Ce sous-cas 0884 0e z 0,53: 33. Lorsqu'on a > -;, il se produit encore d’autres points de plissement, et la partie concave-concave se forme d’une autre manière que pour #—<;;,. Pour nous faire une idée nette de ce qui arrive, nous partons de la fig. B., dans laquelle, toutefois, on doit se figurer la ligne de démarcation (f) («) de la partie concave-convexe assez notablement déplacée vers la droite. Sur cette ligne de démarcation apparaissent main- tenant des points de plissement doubles hétérogènes, d’où se développent, comme dans la fig. ©C,, les points de plisse- ment (œ-), (xs), («;), («,). En même temps, cela va sans dire, il y a formation de plis accessoires sur la partie non réalisable ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 22 330 D. j. KORTEWEG. de la surface. Tant que + ne surpasse , que de peu, il est sûr que la production de ces points de plissement doubles hétérogèiues a lieu après la fusion des plis transversaux avec les plis du système longitudinal, pourtant pour + plus grand qu'une certaine valeur, dont nous n’avons pas fait la détermi- nation exacte, l’apparition de ces points de plissement doubles aura lieu peut-être avant la susdite fusion, esquissée dans la fig. B,. En tout cas une formation de plans tritangents (tels qu’en indique la fig. D,) ne s’opère pas, tant que x < 0,53... Jusqu'à cette valeur de x, la fig. C,; est donc l’expression exacte de l’état des choses. Continue-t-on à faire baisser la température, jusqu'à la valeur 7, et au-dessous, les deux points de plissement («.) et («;} viennent en coïncidence, après quoi s'établit l’état représenté par la fig. C,. La partie à courbure positive isolée contient trois points de plissement de la seconde espèce et se contracte, lors d’un abaissement ultérieur de la tempéra- ture, en un point d’osculation, d’où se développe ensuite, conformément à la théorie générale $ 12, une partie à courbure positive tournant sa concavité vers le bas; l’état est alors tel que le montre la fig. À. Lertcas détranmsitionm 100% 34. La transition au sous-cas suivant, dans lequel il se forme un plan quadritangent, a lieu lorsque la coïncidence des points de plissement («.)et («,) s'opère juste au moment où le som- met (a,) du plan tritangent (a,)(a,)(a,;) atteint le point x = },v— 3b, où la susdite coïncidence se produit. Qu'on se représente donc d’abord dans la fig. C;, le plan tritangent déplacé vers la droite, assez loin pour que le sommet (a,;) tombe à droite de la ligne v — 30. Alors en cas de la valeur de transition > = 0,53..., on arrivera en abaïssant la tempé- rature, pour 1— 7}, à l'état de Jatie ON Dans cotselatea passe par le point («,), outre les branches de la connodale tracées dans la figure, deux autres branches, qui toutefois LA THÉORIE GÉNÉRALE DÉS PLIS, ETC. 331 restent sur la partie non réalisable de la surface; mais ces deux branches doivent se montrer sur la partie réalisable lorsque, comme dans le sous-cas suivant, + est pris encore un peu plus grand et que, par suite, le point (a,) tombe à droite du point v —3b, où la réunion de («,;)etde(x,;) a toujours lieu. Dans le cas de transition l’état de la fig. 0" est suivi par celui de la fig. C,, puis par celui de la fig. À,. Dr Lelsous:cast0,53.. .:< 0,671: 35. Entre les valeurs limites 0,53 ... et 0,67..., il existe plusieurs modes de passage, qui, dissemblables à certains égards, ont ceci de commun qu'ils conduisent tous à la for- mation d’un plan quadritangent. Dans ces modes de passage, autant que x ne s’approche pas trop de la limite supérieure, l’état des choses représenté par la figure B, est suivi par celui de la figure D,. Toutefois 1l faut faire cette reserve que peut-être, pour des valeurs de x peu différentes de 0,53.., les plans tritangents (b,)(b,) (b.,) et (b,) (b,) (d, ne se forment qu'après la fusion des points de plissement (æ,) et (œ,). Si nous partons maintenant de l’état de la fig. D,, un nouvel abaissement de température conduira nécessairement à l’état de la fig. D,;, Î) soit que, comme il arrive lorsque # <0,565..., la coïncidence des points de plissement (x,) et (œ,) s'opère avant celle de («.) et (x), soit que ces deux fusi- onnements aient lieu, comme pour 4 > 0,565 ..., dans l’ordre inverse, ou, comme pour x —0,565..., simultanément. Il est clair aussi que, la température continuant à s’abaiïsser, le point (a,) doit atteindre la courbe connodale (b,)(b,). Les trois points (a,) (b,) (b,) viennent alors coïncider au point (e) de la fig. D;, de même (b,)et(b,)en (c),(b;)et(a.,) en (d.), ‘) Auquel, d’ailleurs, on arriverait également si le plan tritangent (b,)(b,)(b,) s'était formé après la coïncidence de (#,) et «,). 22* 339 D. J. KORTEWEG. (,) et (a,) en (d,). À ce moment, il existe un plan quadritangent. Dans la fig. D’, on trouve représenté le profil correspondant. Si la température descend encore plus bas, la partie isolée, à courbure positive de la surface, s'élève au-dessus du plan tangent (c) (d,)(d,), qui par suite redevient plan tritangent. Ensuite, cette partie se contracte en un point d’osculation et l’état de la fig. À, surgit. 36. Lorsque x approche de la valeur limite 0,67 ..., les états parcourus lors de l’abaissement de la température ne sont plus fout à fait les mêmes. La valeur précise de x, où la transition s'opère, ne m'est pas connue; sa détermination aurait exigé un calcul pénible, que la légère différence dans la marche des choses ne m'a pas paru légitimer suffisamment. Cette différence consiste en ce que le fusionnement des deux moitiés des plis transversaux a lieu avant l'apparition du plan tritangent (b,)(b,)(b;) de la figure D,, et que (voir la fig. D”,), le point de plissement (&,) atteint la courbe conno- dale du pli transversal avant d’arriver en coïncidence avec («,). Dès que dans ce cas, lors de l’abaissement ultérieur de la tem- pérature, («,) atteindra la connodale du pli transversal, on aura évidemment l’état esquissé dans la fig. D, avec cette seule différence que le cours de la spinodale sera d’abord un peu différent, parce que la coïncidence de («,) et («,;) ne s’est pas encore produite. De l’état de la fig. D. se développe de nouveau nécessairement l’état de la fig. D,, c’est-à-dire, le plan quadritangent. 1). 1) Peut-être en comparant les divers cas traités jusqu'ici sera-t-on frappé par la circonstance que c’est tantôt le point de plissement primitif du pli transversal (comme dans la figure B;,) tantôt le point de plissement du pli accessoire (comme dans la figure D,), qui arrive en coïncidence avec le point de plissement (x,). En effet il m'en a couté beaucoup de réflexions pour démêler comment une transition graduelle était possible entre ces cas. Pour le lecteur que la question pourrait intéresser, je donnerai les indications suivantes: lorsque z est plus petit ou un peu plus grand que 0,53.., le point de plissement double hétérogène se développe à gauche du LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 333 Le plan quadritangent. 37. Nous ferons remarquer ici, en premier lieu, que la for- mation du plan quadritangent n’est en rien liée à la symétrie parfaite de la surface. Même si cette symétrie est altérée, le plan continuera à se produire. En second lieu, bien qu'il n'existe un plan quadritangent qu'à une température unique, l’état qu'il caractérise possède pourtant une certaine stabilité et ne pourra nullement se sous- traire à l’observation. Supposons, en effet, que par abaissement de température on ait atteint l’état indiqué par la fig. D, ; il n'y aura alors en présence, initialement, que trois des quatre mélanges possibles. Quant à savoir quels seront ces mélanges, cela dépendra du volume total et de la valeur de x, c’est à dire de la proportion du mélange. Si, par exemple, le point æ, v tombe à l’intérieur du triangle (c) (e) (d,), il y aura les trois mélanges indiqués par les points (c), (e) et(d,). Le mélange (e) se presentera donc toujours avec deux des trois mélanges (d,), (d,), (c). Continue-t-on maintenant à soustraire de la chaleur, il n’en résultera pas d’abaissement de température, mais le quatrième mélange prendra naissance, principale- ment, à ce qu'il me semble, aux dépens du mélange (e). Ce n’est qu'après la disparition totale de ce dernier qu'une nou- velle soustraction de chaleur pourra déterminer un abaissement point de plissement primitif; pour une certaine valeur de x, il se forme swr ce point; pour des valeurs plus grandes, à droite de ce point. Pendant le cours de l’abaissement de température c’est toujours le point de plissement situé le plus à droite qui se fusionne avec (%,) (voir fig. D,), le plus à gauche, avec(x,). Pour les valeurs de x voisines de l’une des valeurs limites 0,38... ou 0,67.,, cest le point de plissement primitif, celui qui existe avant la production du point de plissement double hétérogène et qui est en même temps le point de plissement du pli principal, qui arrive le premier en coïncidence, Pour les valeurs moyennes toutefois, le point de plissement formé plus tard peut (voir K 20) être devenu, avant son fusionnement point de plissement du pli principal. 334 D. J. KORTEWEKEG. de température. De même, une augmentation ou une diminu- tion de volume ne pourra occasionner aucun changement de température avant qu'un des quatre mélanges ait disparu. E. Le sous-cas 0,67... < x 1. 38. Lorsque x surpasse 0,67... le point de plissement («) du pli longitudinal rencontre la courbe connodale du pli transversal avant de s’être séparé en trois points de plisse- ment (æœ), («,) et («.,), donc, avant que la température soit descendue jusqu’à 7,'. L'état qui en résulte est représenté dans la fig. E. Il existe un plan tritangent (a,)(a.)(a;), qui lors de l’abaissement de la température s'étend continuelle- ment; la courbe spinodale se comporte exactement comme dans le sous-cas D. Les plans tritangents de la fig. D, ne se montrent pas, vu que, recouverts par le plan tritangent de la fig. E, ils restent irréalisables. Les températures remarquables. 39. Nous donnerons ici un résumé de la signification des tEMpÉTALURES 0, JE TP SEE ET STE La température T', est la température critique des substances non mélangées. Pour > 4, elle représente le moment où les deux moitiés du pli transversal apparaissent sur la sur- face, aux bords latéraux (voir fig. B.,). Pour x < 4, au con- traire, cette température représente le moment où les points de plissement («,) et («,) du système des plis longitudinaux atteignent les bords latéraux, pour quitter en quelque sorte — Sa , ON NOR La température 7, est la température critique du mélange symétrique (à proportions moléculaires égales des deux substan- ces). Pour x > ,, elle représente le moment du fusionnement la surface (voir fig. A,). On a T LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC 339 des deux moitiés du pli transversal (voir fig. D,); pour 4< 3, la formation de la partie de la surface qui tourne sa concavité en bas, à laquelle correspond un pli transversal 4(l+x)a PO, M6 RU Pour 4 <1 on a donc constamment 7, > 7. A0. La température T° est celle où le pli longitudinal apparaît sur la surface, à la paroi postérieure. Elle possède cette signification pour toutes les valeurs de +. Son expression (1l— x) à, MBR : la température 7,, à laquelle se forme le pli transversal, et toujours irréalisable (voir fig. A.). On a T est : Elle peut (pour x> 1%) être plus basse que même (pour x > ?>) plus basse que eelle où s’opère la jonction des plis transversaux. Pour «x < !3, c’est-à-dire dans les cas A, B, C et D, le pli longitudinal se produit avant le pli transversal. La température 7’, est celle où, outre le point de plissement («) du pli longitudinal, il apparaît deux autres points de plissement («,) et («,) du système des plis longitudinaux. ' dE 77 rt 2(1= % Elle est égale à: es (: ] ra ee) On a constam- ment 7, < Ÿ,'; le pli longitudinal commence donc toujours comme ph unique. A1. La température T°” indique pour «> } le moment où confluent les courbes spinodales du système des plis transver- saux et du système des plis longitudinaux. Les points de plissement (œ,) et («;), (æœ,) et («,) (voir les fig. B,, B,, D, et D,") viennent alors en coïncidence, et la courbe spinodale présente deux points doubles; d’une courbe du quatrième degré, sa projection dégénère en une droite et en une courbe du troisième desré. (Voir la figure B,.) Pour 4 <{, cette température perd beaucoup de sa signification, car alors le système des plis transversaux ne se forme pas, on plutôt il se forme d’une manière entièrement différente. La dégéné- ration continue toutefois à se produire (voir fig. À,). 330 D. J. KORTEWESG, À mr Q— Cette température 7,” a pour valeur: ni —\/1 Tr). Elle est toujours inférieure à la température 7',’, c’est-à-dire, la confluence des courbes spinodales des deux systèmes de plis n’a jamais lieu avant que le pli longitudinal n’ait déve- loppê son pli accessoire. En la comparant avec la température T,, à laquelle le pli transversal se montre sur la surface, on reconnaît que pour x —= ÿ ces deux températures deviennent égales l’une à l’autre. Le pli transversal se confond alors avec le pli longitudinal au moment même où il apparaît sur la surface. Mais, pour des valeurs plus grandes ou plus petites que x = Lronta, 1 = Entetfet pour x = one nos ONE CE LT nd his SD 0D e be 1 | ee 1 seulement 7 —1"," mais encore 5: — j, > tandis que PE D) 1, et FI diffèrent l’un de l’autre. La température T,"”, enfin, est celle où la surface présente un point d’osculation. Pour x > -,, elle marque le moment où une partie isolée à courbure positive se contracte en un seul point pour page ensuite avec la concavité tournée de l’autre côté, c’est à dire vers le bas. À eette tem- perature les trois points de plissement (&), (œ,) et («,) (voir fig. C,) coïncident. Pour x <,, au contraire, on a, à cette température, l’état de la fig. À,, où le point de plissement (œ), qui à une température plus élevée (voir la fig. À.) est uni à la branche de la spinodale placée le plus à gauche, passe sur l’autre branche (voir la figure À,). Pour 4 = >, on obtient, à cette température, l’état de la fig. O!', où cinq points de plissement, comeident Men (CG) MONA 0 haie te re » et par conséquent pour x < toujours 7,” < T7. Au reste, la température en question offre moins d'intérêt que les autres, en tant qu'elle se rap- porte à un phénomène qui s’accomplit tout entier sur la partie non réalisable de la surface, LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 337 Moser D, 0 PE N, 42. Toutes les figures ÀA— Æ sont relatives au cas de DV, = M (Comparemmiens 2) mais 111est facile d'in- diquer quelles modifications elles devront subir dans les cas DD, = bd, etb —0,=\0b,, autant, du moins, que la diffé- rence entre b, et ,b, n’atteint qu'une faible valeur. Alors, en effet, les figures n’éprouveront de changements appréciables qu'au voisinage de la paroi postérieure où les volumes ne sur- passent db, que de peu. Là, toutefois, le changement sera érès important. Pour ,b, < b,, en effet, la courbe spinodale n’attein- dra jamais la ligne v— b, qui maintenant est légèrement courbée. Fig. 39. Fig. 40. TES Le pli longitudinal trouvera alors son origine en un point de plissement double, pour lequel on a x—=! etv un peu plus grand que b, et qui se scinde en deux points de plissement, dont l’un correspond à (x) des figures À — Æ, tandis que l’autre se rapproche de plus en plus de la ligne v = b, sans toutefois l’atteindre, sauf au zéro absolu. Dans toutes nos figures nous devons donc, lorsque ,0, b,, il existe toujours, même à la température la plus élevée, un pli longitudinal. La courbe spinodale passe par les points v — b, à — 0 et v—06, x —=4 mais ne s'éloigne, aux températures élevées, qu’extrêmement peu de la ligne v — b; il en est de même de la courbe con- nodale à connodes symétriques. Aïnsi donc, pour ,6, > b,, la connodale et la spinodale doivent être terminées, du côté des petits volumes, comme l'indique la fig. 40. Apppendice. La surface w pourle mélange éther-eau. 43. Parmi les liquides non miscibles en toutes proportions, il n’y en a que très peu pour lequels on possède des données concernant la manière dont ils se comportent quand on les mêle à différentes témpératures et sous différentes pressions. Le mélange éther-eau est le seul pour lequel il m’ait paru possible, en m'appuyant sur quelques communications ver- bales de M. van der Waals et en tenant compte des résultats de la théorie générale des plis, d'établir la marche probable des choses, c’est-à-dire, d’indiquer les transformations que la surface y éprouve successivement lorsque la température varie. Partons d’une température élevée et marchons vers des tem- pératures plus basses. La fig. F; représente alors la première formation d’un pli. Ce pli apparaît à ‘la température critique de la vapeur d’eau. La température continuant à baisser, le point de plissement (œ«) s’avance vers le côté des petits volumes, tout en s’éloignant du bord. En même temps il se forme, quelque part sur la courbe spinodale, un point de plissement double hétérogène, dont le dédoublement donne lieu à la production d’un nou- veau pli (voir la fig. F, ('), à comparer avec la fig.5 du LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 339 Mémoire de M. van der Waals), qui initialement reste borné à la partie non réalisable de la surface, mais dont le point de plissement (5) se rapproche de plus en plus de la courbe connodale du pli primitif. Dès que cette courbe est franchie, on passe à l’état de la fig. F,. Dans cet état, il y à un plan tritangent (a,), (a,), (a;), ce qui signifie que, pour des pro- portions convenablement choisies des deux substances, il existe un mélange gazeux à côté de deux mélanges liquides. Une légère augmentation de température ramène toutefois l’état de la fig. F,, c’est-à-dire que le liquide riche en éther se fusionne avec le mélange gazeux. L’abaissement de température est-il poussé plus loin, le point de plissement (5) se déplace toujours davantage vers le côté de l’éther, jusqu’à ce que, à la température critique de l’éther, il atteigne le bord, comme dans la fig. F,, pour disparaître ensuite de la surface, comme dans la figure F.. Probablement, la surface présente alors aussi une partie à courbure positive tournant sa concavité vers le bas, née d’un point de plissement double homogène. Il faut remarquer encore que, dans les figures F.—F.,on a supposé bd, +b,>2,b,, supposition qui, interprétée phy- siquement, signifie (voir $ 22, note (1)) qu'à chaque tempé- rature une pression suffisamment forte détermine le mélange en toutes proportions. Si cette hypothèse n’était pas justifiée, et qu'on eût au contraire b, + b, <2 ,b,, il faudrait encore tracer partout une courbe connodale partant des deux som- nets danvles 0 tu biet v— 1, v— 0, (voir fig.,40)let possédant un point de plissement (;). À une certaine tempé- rature, ce point de plissement (;) se confondrait avec («) en un point de plissement double, de l’espèce décrite au $ 10. L'influence que cela exercerait sur la marche des courbes connodales est évidente, 1) [ci et dans les figures suivantes, les parties non réalisables des courbes connodales sont distinguées par de petits traits transversaux. 340 D. J. KORTEWEG. 43. Des recherches de M. Alexejew !) il ressort que d’autres mélanges s’écartent, dans leur manière de se comporter, du type éther-eau. Pour plusieurs mélanges, en effet, le plan tritangent disparaît par le fusionnement des deux systèmes liquides. Il est probable que dans les mélanges étudiés par M. Alexejew on a encore affaire à deux types différents; mais, en l’absence de toute indication concernant l’influence de la pression, il est impossible de définir ces types avec quelque certitude. Nos recherches ont établi que mathémati- quement (c’est-à-dire, en admettant toutes les valeurs de a,, Gas 12, Vie 0:, 0,) un très grand nombre de types sont possibles. Si l’expérience vient démontrer que quelques-uns de ces types sont physiquement irréalisables, cela devra tenir à l’existence d'importantes relations physiques entre les gran- ) b,, 102 durs ia ia. NO. DE à 1) Ueber Lüsungen. Wied. Ann. Bd. 28 (1886), S 305: comp. aussi: Bakhuis Roozeboom, Receuil des travaux chimiques des Pays-Bas. T. 8. (1889), p.257. Voir pour d'autres substances encore Dewar. Proc. Roy. Soc. T.30, p.538—546. On the critical point of mired vapeurs. 2) Voici quelques formules simples, qui pourraient servir peut-être à la détermination expérimentale de ,4a; et de ,b,. La première de ces formules: ER He 17e Lair=9%0; AP DRE p | v pv? | se rapporte à la méthode expérimentale pratiquée par M. Braun (Wied. Ann. (1888) T. 34, p.943), qui mesure la diminution ou l’augmentation P—p de la pression quand deux gaz, occupant, sous la pression p, avant leur mélange les volumes æv et (1—x)v, se mélangent sans changement du volume total v. La valeur de P—p étant connue pour deux températures différentes on peut calculer à l’aide de cette formule a, + a, —2,a, et b,+b, —92,b,. Des expériences de M. Braun il résulte que pour les gaz CO, et SO,, comme pour H, et SO., N, et SO, il y a augmentation de pression après le mélange. Pour ces gaz on aura donc probablement Gi FA 1200:; Dans les formules ee ou ae 2) dx Jzx=0 i di b, LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 341 IIIe SECTION — PARTIE DÉMONSTRATIVE. L’équation. A4. L’équation de la surface w s'écrit, suivant le $ 4 du Mémoire, déjà itérativement cité, de M. van der Waals, de la manière suivante : | a. (D) y=—MBT log. (ob) — — + MRT log. (12, où (2) do (rer 2 a v(lex) (3) bb (be, 2 0, ml): Dans la cas de symétrie, le seul que nous soumettions en ce moment à une étude expresse (comp. $ 2), on aa, = a;, b, —b,. Cette dernière condition implique que ,0, est, au moins approximativement, égal à b, et à b,. Provisoirement, Ho Nposerons D 0 pour prendre, plus tard == 1 Soit en outre : (4) = x U, et à la coordonnée x substituons, par un déplacement d’origine, dp 14, 40 (#2) =2p, ( ni +) EE) PnVa, b; qui se déduisent rigoureusement de l’équation de la surface y de van der Waals, T, et p, désignent la température et la pression critique d’un mélange. Elles sont donc applicables au cas ou l’on connaît expérimentalement l’influ- ence qu’exerce l'addition d’une petite quantité x de quelque substance sur la pression et la température critique d’une autre substance à laquelle appar- tiennent «, et b,. Quoiqu'’on ait fait des expériences dans cette direction (nous citons Beibl. Wied. Ann. T.6, p. 282, T. 7, p.676 et surtout Ansdell, on the critical point of mixed qases, Proc. Roy. Soc. (1882) T. 34, p.113—119) nous ne croyons pas qu'ils permettent la détermination suffisamment exacte de 14 et LES a b, Rappelons que dans ces formules x :1 —# se rapporte à la proportion moléculaire. La proportion des poids des substances mélangées est: M, x: M, (1—x) où M, et M, representent les poids moléculaires des substances. 349 D. J. KORTEWEG. la coordonnée, plus appropriée au cas symétrique, LL] (5) LR — +. L’équation (1) devient alors: Œ : 1 ‘13 NT (6) w——MRT log (v—b,,) — © +MR Tlog(i+x'}T* G—x) ) (7) ay, — 0, JTE %X) + 2(1=x)2°} (8) bb, 1(1+ 7 +2(1—7)r 1. La courbe connodale à connodes symétriques. Sa terminaison du côté des petits volumes. 45. Lorsque la surface w présente un pli longitudinal, il y a des plans bitangents perpendiculaires au plan de symétrie. Leurs points de contact, pour lesquels su — 0, forment une L courbe connodale à connodes symétriques courbe, dont l'équation sera par conséquent: 4b, MRT(1—;) gr Aa (1x) r,:, 14927 OUR vds or 0 (Er At-on ,a;>a,, done x >1, et en outre ,b6, b, (r 1, mais que > soit un peu plus grand que l’unité, il y aura, à la vérité, pour chaque température une courbe connodale à connodes symétriques, mais celle-ci, quand > diffère peu de l’unité, n’acquerra, même aux basses températures, qu’un faible développement. En effet, de l’équation (9) on peut alors déduire: 4b, (7 —1 9) ne +a Ge D dde MRT0 ‘x 12% LA THÉORIE GÉNÉRALE DHS PLIS, ETC. 343 où le numérateur de la fraction est petit, tandis que le dé- nominateur ne peut jamais prendre de petites valeurs. La 1 valeur minima de A l not s'obtient, en effet, pour x = 0 et est égale à 4; on a done toujours v <0,, + b, (7 —1) = b, + (10: — 0,), de sorte que la courbe connodale ne s’étend que sur une très minime partie de la surface réalisable. La manière dont elle s’y comporte est facile à déduire de l’équa- bon (L0) Pour IE Non 4 == 0%; pour « —0, vb, est maximum. Quand on à x <1 et y un peu plus petit que l’unité, il n'existe pas de pli longitudinal aux hautes température, parce que dans l’éq. (9) le troisième terme surpasse alors le second pour toutes les valeurs v> b,, tandis que le premier terme s’accorde en signe avec le troisième. Aux basses températures, par contre, 1l y a un pareïl pli, qui toutefois, comme dans la fig. 39, s'arrête toujours à quelque distance de la paroi pos- térieure v — b,,; en effet, pour v presque égal à b,, le premier terme surpasse le second. A-t-on 4 <1, mais y un peu plus grand que l'unité, alors il existe constamment un pli longitudinal, qui toutefois ne peut acquérir aux hautes températures qu’une faible exten- sion, comme on le déduit encore facilement de l’équation (10). Aux basses températures, le dénominateur de la fraction de l’éqg. (10) devient petit, lors qu’une certaine relation est réalisée entre x et v. Le pli longitudinal peut alors prendre un grand developpement. Il doit toutefois, du côté des petits volumes, se terminer de la manière indiquée dans la fig. 40, car pour æ = + } il suit de l’éq. (10), à toute tempé- rature, v —Ÿ,. Que la courbe spinodale passe, elle aussi, par lEMROIME TEL QUE + c'est ce qui ressort facilement du $ 10 du Mémoire de M. van der Waals. Pour x = 1 et v un peu plus grand que b,, l’expression donnée dans le 344 D. J. KORTEWEG. paragraphe cité, devient +, pour v—=b,, au contraire, à de PP—_45 — w, à cause de = —4b, (1—;). L'hypothèse ; —=1 introduite pour les recherches ultérieures. 46. De l'équation (8) il résulte immédiatement que, lorsque / est égal à l’u né b, devient une constante. Si y n’est pas tout juste mais à peu près égal à l’unité, l'hypothèse de b,, égal à une constante rendra encore avec une exactitude suffisante la forme de la surface w, sauf dans la partie où v est à peu près égal à D, et où, par conséquent, le terme — MRT log (v—b,.) de l’équation (6) est très sensible à de petits chan- gements dans la valeur de & ,. Dans la suite de notre étude, nous traiterons donc à, comme une constante. Au paragraphe précédent on a déjà vu quelle modification les courbes con- nodale et spinodale doivent subir au voisinage de v = b,, quand l’hypothèse en question n’est pas entièrement exacte. Les equations (6), (7), (8) prennent, pour D, = bd = cons- tante, la forme suivante: (11) y —=—MRT log(r EE # EL MRTiog(i PP TUE) 2) MR ARR ARE LE Se (3) = Etude ultérieure de la courbeconnodale à connodes symétriques. 47. Pour ; —=1, l’équation (9) de la connodale à connodes symétriques devient : (14) a 4a, (1—x)x MRT log —— LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 345 En considérant qu’on a: (5) bg = 9 De + Ba) + Ga) + série convergente pour toutes les valeurs +’ comprises entre + £ et — 1, il est facile de voir que, lorsqu x’ croît de 0 à 1, v décroît régulièrement de a, (Enr) age jusqu’à v—0. La projection de la courbe connodale à con- Bio nodes symétriques prend donc la forme indiqué dans la fig. 41. Lors de l’abais- sement de la température, le sommet (æ«) se déplace vers le haut de la figure,l ors de l'élévation, vers le bas. Comme à v c’est-à-dire : (1—x)a, pit LS) MR VE =T 48. Le point (x) est, bien entendu, un point de plis- sement. Pour déterminer à laquelle des deux espèces il appartient, on peut appliquer le critérium déduit au $ 2 de mon Mémoire ,Sur les points de ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 23 346 D. J. KORTEWEG. plissement”. On trouve ainsi !) que le point (x) est un point de plissement de la première espèce pour 2(1 — x) —— ! (19) restes Ce # (1 =] "20e — mais que, pour des températures inférieures, il passe au con- traire à la seconde espèce. Or, T°” étant toujours plus grand que 7°,', le point («) sera, lors de sa première apparition sur la surface, un point de plissement de la première espèce, pour devenir plus tard, c’est-à-dire quand la température baissera, un point de plissement de la seconde espèce. Comment les choses se passent alors au juste, c’est ce qui a été décrit au $ 27 et représenté dans la fig. À,. Pour démontrer qu’à des températures inférieures à T°,’ il existe effectivement un plan tritangent (a,) (a,) (a;), nous allons déterminer les équations des deux courbes (p) (æ’) (g) et (&')(r), qui sur le profil fig. A’, et fig. 4’,, indiquent le contour apparent de la surface. La première de ces courbes n’est autre chose que la pro- jection de la section médiane. Son équation s'obtient done en ÿ?y MRT a 1(1+ #). dy a) 0 Ba = à +) = RE 5 => Ê- = 1) na Z Ce dv, — D): Dr Ÿ Ne o dv0x'? œ { ns 4 nan. nn — => Ge), ne MRT. La condition pour que le point de plissement soit de la première espèce devient donc: 4 ©, e; — di = de SMART ENS a, (1+2)MRT Cr 3 (Cam b)E 3 che D) a, (1—%) MRT > 0. Mais on a aussi a 1—x : (voir (16)) v,= ou: MRT = Lie Si l’on fait usage de cette (2 relation pour éliminer MRT, la condition se transforme en: 2(1—z)0,° > (5—:) (o —b)* ou > 1— LEZ %) d'où résulte fina- D—%# lement: T > BCE (4 JE ee) à rt TbR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 347 substituant x — 0 dans celle de la surface w. Cette équation devient alors: (20) w = — MRT log 2 (v — b) — ne La seconde courbe est la projection de la courbe connodale à connodes symétriques; on la trouve donc en éliminant x’ de l’équation (11) de la surface et de l’équation (14) obtenue JY\ < PÈ 2) Ru Or, il est facile de reconnaître d’abord, et aussi de vérifier analytiquement, que les deux courbes se rejoignent au point (œ'), projection du point de plissement («). Que, de plus, elles y sont tangentes l’une à l’autre, c’est ce dont on s’assure de de la maniere suivante: Pour la seconde courbe, on a: d ) 6) dx d = S- on : — mails, puisque tout le long de la courbe on à . — 0, cette équation peut être écrite : d 6) (21) = Le point (&«') est le point de la courbe que l’on trouve en posant æ — 0 dans (11) et dans (14). Pour ce point on a donc: d 6) HP TNT , Ce qui s'accorde manifestement dv) w’ ùv gd =0; v=v, pie ?» dy 3 PL ? 22 avec la dérivée Ti dans l’autre courbe, représentée par l’é- () quation (20); les deux courbes se touchent donc au point (« ). 49. Nous rechercherons, ensuite, de quel côté la courbe (&') (r) tourne sa concavité au point (æ'). Cela dépendra du signe de 2 ee : mais, l'équation (21) s'appliquant au cours entier de la courbe, on à pour tous les points de celle-ci: 23” 348 D. J. KORTEWEG. d'y __d?wy 0?y dx dv? dv? dv.0x dv ? où _ doit être calculé au moyen de (14). Pour le point (&) On à: (23) ( — (+) te 00? / « 0v? 20; v=v, (u'—6)? ve Le second terme du second membre de l’équation (22) prend pour æ —=0,v—v, la forme 0 x ©. Mais on a tout le long de la courbe: (22) dy dr __4a, (1 = x) , de ES jôr Ge De RS Il ne s’agit donc que de connaître la valeur limite de 7 & Or, à l’aide de (15), l’équation (14) peut être écrite: dv: 3: 1e) (25) MRTo (1 + 3 © +....)= 4, (1—4); d’où l’on déduit en différentiant : tue rSVANEE) as (26) 1+ 2% Lie FE CURE d’où il suit: AG Ua 8 (2 Substituant cette valeur dans (24), puis dans (22), on obtient (28) (+ Le Ts __ (æ+zx)a, 3(1—x)a, D 0) ue D Ua œ œ ou, en faisant usage de l’équation (16) pour éliminer MAT: d?y op PU EE na 2 1 1) mm) 7 v,(v,—06)? 2H ON La courbe (x) (r) tournera donc sa concavité en dessus tant qu'on aura: LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 349 (30) c’est-à-dire, tant que: (31) v, —b< péètes Va et par conséquent: b fe mi. Apres ou enfin, conformément à (19): DER N Ter (33) T _—_ # (1 se Ne Puisqu’en outre, dans l’équation (22), le second terme du second membre est négatif pour le point (&«) en vertu des équations (24) et (27), et que la concavité de la courbe (p) (&') (g) | 2? dépend du signe de mm) épend du sig ( Ge)? courbe (r)(«) tourne sa concavité en dessus, 1l doit en être de même pour la courbe (p)(æ)(q). Il suit de là que pour les températures au-dessus de T, le profil est convenablement il est clair que tant que Ia représenté par la fig. À, , tandis que pour des températures au-dessous de T, la courbe (œ«)(r) est, au voisinage du point (œ'}, comme le montre la figure 4’,, convexe en dessus, pour reprendre toutefois la convexité en dessous pour des volumes plus petits, où elle doit se rapprocher asymptotiquement de la ligne v — b. Il devient manifeste maintenant que dans la fig. 4’, on peut tracer une bitangente (& }, (a ,) = (a’,), qui correspond à un plan tritangent, dont la projection est indiquée dans la fig. À, par le triangle (a, ),a,),(a,;). Ce plan tritangent est né- cessairement accompagné de deux nouveaux points de plisse- ment de la première espèce («,) et (&.) dont l’existence sera d’ailleurs établie analytiquement au $ 59. Si l’on regarde, en effet, (a,) et (a,) comme les connodes d’un plan bitangent, et qu'on continue de faire rouler ce plan, les connodes en 350 D. J. KORTEWEG. question se réuniront en un point de plissement (&,), au moins tant que la température diffère encore peu de T,. Par ce qui précède, se trouve justifié le tracé du système des plis longitudinaux dans nos figures 4,, 4,, B, D,,D, . Pour la légitimation ultérieure des PT représentés dans les figures, nous allons maintenant passensA à la considération de la courbe spinodale. L’équation de la courbe spinodale. 50. Le critérium analytique de la courbure positive ou né- gative s'exprime, comme on le ue par : no d d?wy = S de dv? dx? ë | dx Fe) 0: L’équation de la courbe spinodale est par conséquent : vais dy dy jo ba NP) re 0 Au moyen de l’équation (11) on trouve: (86) Lov“(v—6)?(1—4 x?) H — | MRTv—(1—+)a, p (v) + nn a, (x) 2° 1 (v), où (37) p(v) = MRT nv? — (1 +x)a, (v—b}), (38) 40) = MRTbo(20— 6) — (1 + x)a, (v—b)’. Parfois, il est plus avantageux de mettre Hégnation (36) sous la forme: (39) +v*(0—d)?(1—4x?)H—=MERT LE (0) +4a, (1—4%)y(0)(x ? —+) où (40) € (v) = MAT vo — 2 a, (v—b)*. Entre les fonctions introduites dans ces équations il existe les relations suivantes, dont l'utilité ressortira par la suite: (41) x (v) = (0) — MAT v (v—b)? (42) (uv) =p(v) (1 — +) a, (@—0)" (43) C(v) = y (») +) MRTv&— a, (L—x) | (0—b)?. LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 391 L’équation de la courbe spinodale s’obtient en posant H =0 dans (36) ou dans (39). On voit immédiatement que toute droite v— constante ne peut couper la projection de la spi- nodale qu’en deux points, situés symétriquement par rapport à la médiane. Si donc on connaît, pour une valeur donnée de v, les signes de H sur la médiane et sur les marginales x = + À}, ces signes permettent de décider immédiatement si à cette valeur de » correspondent, ou non, des points de la courbe spinodale de la surface. 51. Commençons par les marginales. Pour celles-ci, en vertu de (39), le signe de H est le même que celui de Ë(v). Or, en vertu de (40), E(b) est positif et {() est également positif. Entre v = b et » = il existe donc deux racines de E(v) = 0, ou bien il n’en existe aucune. Pour les températures élevées, il est évident que E(v) est toujours positif; pour les températures très basses, au contraire, 6(v) deviendra négatif, par exemple pour w—2b. Aux hautes températures il n’y a donc pas de racines comprises entre b et «; aux basses températures il y en à. Le passage s'effectue par l’apparition de deux racines égales. Pour celles-ci, on a simultanément E(v) = 0 et [(v)—=0, c'est-à-dire : (44) MRTv$ =2a, (v—b)? (45) 3 MRT v? —=4a, (v—b). De ces deux équations il résulte : — . — 8 @; (46) Bob D = ER : Pour les températures au-dessus de T,, H est donc positif tout le long des marginales, depuis v = b jusqu’à © = w; pour les températures au-dessous de T,, H dévient négatif sur les marginales entre deux valeurs de wv, D— D. et v — vp, racines de l'équation E(v) — 0. De plus, v = 3 b est toujours une valeur qui sépare l’une de l’autre ces deux racines v, et vg. On a, en effet: E(b) posihif; (8 b) = 27 MRT b' — 8 a,b° et par conséquent 322 D. J. KORTEWEG. négatif lorsque T < T,; É(æ), positif. Il est facile de montrer, en outre, que lors de l’abaissement de la température v, etug s’écartent de plus en plus l’une de l’autre; toutes les deux, en effet, satisfont à l’équation (44), de laquelle on déduit, en différentiant par rapport à T, puis éliminant T: dv. MR v° dve MR vg Age ONU APS DEMO ET ÉUQR ADIOUE RÉREES D IT bee bo )@, — 0) dT 20, B5—rp)0 — d) On voit que, pour JE 30>0., Vg devient, à mesure que Î la température s’abaisse, de plus en plus grande (parce que “ est négatif), D, de plus en petite. En résumant, nous arrivons donc à la conclusion suivante: Pour T > T, (température critique des substances isolées), F est positif iout le long des marginales. Pour T ), qui, à partir du point v = 38 b, s’écartent de plus en plus l’un de l’autre quand la température s'abaisse, v. restant néanmoins toujours plus grand que b. Sur les figures A,—A,, B,, etc. on voit indiqués les point ÿ et 7. 52. En ce qui concerne le signe de Æ sur la médiane, il est, en vertu de (36), le même que celui de (48) (MRT v— (1 — x) a). (v). Pour de grandès valeurs de T, les facteurs de ce produit sont indubitablement tous les deux positif pour toutes les valeurs de v comprises entre b et o. Chacun de ces facteurs étant ensuite considéré séparément, nous voyons que le pre- mier reste positif sur toute la médiane (c’est-à-dire, depuis v = b jusqu’à v — w) tant qu'on a: (—x) a, — [LE Mais lorsque T descend au-dessous de cette température, il D] LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 353 se fait un changement de signe en un point («) pour lequel cs (l— ») a, À gauche de ce point («) (voir les figures À, —4,, B,, etc.) le facteur est positif, à droite négatif. Il en est autrement du facteur q (») (comp. l’équation (37). Celui-ci se comporte à peu près de la même manière que la fonction Ë(z) de $ 51. Pour de hautes valeurs de 7 il est positif tout le long de la médiane; pour des valeurs plus basses, il est negatif entre deux points (0) et (e), positif en dehors de ces points. Ces points (à) et (e) correspondent chacun à l’une des racines de l’équation w (v) = 0. Ils apparaissent pour la première fois à la température (51) 1 et coïncident alors au point v = 3 b, pour s’écarter de plus en plus à mesure que la température baisse. On les trouve in- diqués dans les figures 4.—4,, C,, etc. Il est à remarquer que, à raison de T, < T,, ils ne commencent à se montrer qu'à une température inférieure à celle où se produisent les points (7) et (5); en outre on a constamment 8 AVS et v, v,; mais cela ne peut 356 D. J. KORTEWEG. persister lors d’un abaissement ultérieur de la température. On a en effet (voir les équations (37) et (50)): (200) = MR ne Leo re (1+x)a, Ci b}>, de sorte que cette fonction devient négative pour de basses températures et, c'est à dire, pour de grandes valeurs de v. Or, à toute température, g(æ) est positif, d’où il suit qu'à de basses températures la quantité v,, c’est-à-dire la plus grande racine de g (v) —0, doit tomber entre », et Le passage v,—v, a lieu quand on à g{v,) —=0, c’est à dire quand » — PAP : ar conséquent à la température LUTTE ——— rcon ‘ » . NE Vie L : cs . 1—% 9 di SE #(1- en DS Ce qui arrive alors à la courbe spinodale on s’en rend aisément compte par l'inspection des fig. 4., 4, et 4,. À la température T,", les deux facteurs de (48) deviennent, au point (u), simultanément nuls, de sorte que A possède des deux côtés le même signe positif. Il y a là un point d’oscu- lation, de l'espèce décrite au $ 13. Une fois établi, l’état représenté par la fig. À,, persiste jusqu'aux températures les plus basses sans changements importants dans l’allure de la courbe spinodale. 56. En second lieu, nous examinerons le cas de x > } mais 3b et les points 328 D. J. KORTEWEG. l'équation de la courbe spinodale en posant H —0 dans l'équation (36), on voit immédiatement que, pour cette tempé- rature 7,,le terme | MRT v—(1—:)u, | g(v) contient trois fois le facteur v — 3 b (puisque maintenant v = v,=v, = 8 b). Par contre, y(v) ne renferme pas ce facteur, mais devient, en vertu de (41), négaitif pour v = 3 b. De là, on déduit aisément que la courbe spinodale présente un point de rebroussement et possède la forme de la fig. 0’. Un nouvel abaissement de température détermine alors l’état de la fig. A,, parce que dès le commencement («) reste en arrière de (). 58. Lorsque, enfin, x > ,, on a, au moment où apparaïs- sent les points (0) et (+), v, << 3 0. Tandis que, entre les points (e) et (à), le second facteur de (48) devient négatif, le premier y est positif. Il s'ensuit que, au-dessous de la température 7, la courbe spinodale doit commencer par présenter la forme de la fig. C,, qu'ont POUR au-dessus de 7, et à T,, les états C,; et 0”. A mesure pourtant que la température s’abaisse au-dessous de T,, les points () et («) se rapprochent de plus en plus lun de l’autre. Lorsqu'ils coïncident, la branche (e) (&,) (x) («,;) de la courbe spinodale se contracte en un point isolé, pour se re- former, toutefois, aussitôt après 1); cela indique, d’après le: $ 14 de la théorie générale, qu'à la température de coïnci- dence T,” (voir 55)) il existe un point d’osculation, de l’espèce décrite au $ 12. Au-dessous de cette température, la nouvelle branche fermée de la spinodale circonscrit donc une partie de 1) Il est facile de s’assurer que la branche fermée ne disparaît pas, mais qu’elle se montre de nouveau dès que les points (s) et (œ) se séparent. Pour cela, il n’y a qu'à considérer le signe des deux facteurs de (48): le premier de ces facteurs est positif à gauche de (x), négatif à droite; le second est positif à droite de («), négatif à gauche (entre (9) et (e)). Il suit de là que Æ est toujours positif entre les points (#) et (£), aussi bien avant que après le passage de l’un devant l’autre, tandis qu'aux mar- ginales H est toujours négatif pour les volumes correspondants. LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC 359 SS surface à courbure positive et dont le côté convexe est tourné vers le haut; il est clair qu’on a alors l’état esquissé dans la fig. À,, état qui se maintient aux températures inférieures. Les points de plissement. 59. D’après ce qui a été dit au $15 de mon Mémoire ,Sur les points de plissement” (Arch. néerl., T. XXIV, p. 57) les points de plissement de la surface w (6q. 11)) s’obtiennent en éliminant m des équations AU. OU Eu 0) M ET 00 — 1 ER Es ni 0x do dv? 1) Ë , J°Y OU dv DURE (95) DRE nt dæ ?0v “io dx’ dv? F dv* re puis résolvant par rapport à æ et à v. Avant d'exécuter ces opérations, nous ferons toutefois remarquer que les points de plissement sont nécessairement tous situés sur la courbe spi- nodale (dont, au reste, l'équation résulte immédiatement de (56) et (57), par élimination de m), et que par conséquent on peut leur appliquer les relations qui s’obtiennent en pre- nant À égal à zéro dans l’équation (36) ou (39). De ces re- lations on tire: MED IE (7x) 0, | o () 09 TU — FA Ta U = #10) ainsi que: (60) js nee RC a (1x) y (0) En faisant usage de ces expressions, et tenant compte en outre des relations (37), (38), (40)—(43), on trouve aisément: DUR RE) de MT DEL mn LA __4a; (1 — x) | MRTv—a, (1—x) | (v—b)? v E (v) (61) 3060 D. J. KORTEWEG. RE Va 2 EATTE v? ça y MRT _a;l(+n)+4(—)e?} gfo) Eco) Ov? (v—b}? DE — véy(v)(v—b)? (64) dy __ 32 MRTx __ 32 a? (1—x)?y (v)? x’ dx (1—A4x?}? MRT uv? E(v)? | Dh PREt a, (lex) (65) 0x? 00 v? dy _ 8a,(1—x)x (06) OO? ÿ° (67) dy 2MPTO So (ER) RARES OU op E ue 0 NS — MRT v5(0—8 b)y(v)—8 (0—b) g(v) &(v) Lit LONG DES NS Des équations (61) et (62), combinées avec (56), on déduit: x Ü(v) (68) PE PRES demon de (62) et (63), combinées ayec (57): (69) OUT a Ex) x v y(v) (u—b)? FT p(v) E(v) En substituant ces expressions dans l’équation (58), préa- lablement divisée par m, on trouve après application de (59): 4 a _—— -[- 2 y (u) p (v) MBT\MRT v—a (1—x) | v(v —b)* 3 € (v) NP Tv — a, (1— x)| (v—0d)? MRT v°(v—3 bjyto)—3( (v— b)(v) Et (u—b)p(u)i(v La solution x — 0 fournit le re de plissement (x) de la courbe connodale à connodes symétriques (comp. les $$ 47 et 48). Les autres points de plissement sont donné par l’équation : (70) en — 6 — LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 861 2 y (v) o(v) (D MERT | MRTv—a, (1—x) | v(v—b)* ‘3 " 8 6 (v) D CON [MBTv —a,(1—x)}(v—6}) CEDTOLOBS En réunissant ici les deux termes du milieu, on peut, eu égard à (43), diviser par (v) !), ce qui, après qu’on a chassé les fractions, conduit à l’équation : (72) —2q(v)? E(v)+ 8 MRT o(o—b) p(v)t(v)— M°?R? T°? [MRT o—a,(1—%)}0*(0—0)*(v—3b) — 0, pour laquelle nous écrivons: (73) F—=g(o)(v)y(v)—M?R?T?'|MRT o—a,(1—4)| v*(u—b)$(0—3 b) = 0 où est introduite la nouvelle fonction: (74) y(o)}=—29(v)+3MR To(o—b}? = —-2y(0) + MR To(o—b) = — _IMRTo + |3MRTo+{1+z)a, |(o—b)?= —URT v(02— 6 0b + 302)+2(1+#)a,(0— 0). En apparence, l’équation (73) est du neuvième degré; mais on reconnaît que le coefficient de »° s’annule, de sorte que l'équation devient du huitième degré, ce qui indique la pos- sibilité de l’apparition, en dehors du point de plissement (x) de la fig. 41, de seize points de plissement, dont la plupart, toutefois, restent imaginaires. 70. Si peu maniable que paraisse l'équation (73), elle nous permet de démontrer sans beaucoup de peine l’existence des points de plissement marqués dans les figures 4A—E, Ne perdons pas de vue que E(v) et y(v) sont positifs pour toutes les valeurs de v > b, sauf, en ce qui concerne E(v), pour les valeurs comprises entre vg et v,, et, en ce qui touche he g(v), pour les valeurs entre v, et v, (comp. $$ 50 et 51). 1) Il n’y à pas à tenir compte de la solution 7 (v) = 0; cela ressort immédiatement, par exemple, de l'équation (60), ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 24 362 D. J. KORTEWEG. Remarquons, en outre, que y(3b) est positif ou négatif suivant A(1+r)a, (1) qu'on a T . OUR , et que w(r,) (?) est positif ou négatif suivant qu'on à T e qe Tout cela pris en considération, on reconnaît que dans la fig. 4,, où T > T,', Fv,) *) et F(b) deviennent tous les deux négatifs, tandis que dans la fig. À,, où la température s’est abaissée au-dessous de T,”, F(v,) et F(b) diffèrent de signe, de sorte que les deux points de plissement (&,) et (x,) doivent y exister. Dans la fig. À,, où la température est très rapprochée de T,, w(36) est positif, et par conséquent F(3b) l’est également; les points de plissement (&,) et («.,) se trouvent donc à droite de la ligne vo — 3b. Pour la fig. 4;, on a F{v,) *) négatif, F{v,) négatif, F{v,) *) positif, F(3b) positif, F(e) négatif, F(b) négatif, ce qui s'accorde avec l'existence des points de plissement indiqués dans cette Heure): 1) Cette température limite est plus haute que la température critique des substances isolées; par conséquent, dès que les points (8) et (;) existent * dans les figures, y(3 b) est certainement positif. (1—x) Ci 2\ Pour = RE PS en + (5 — x)a,(v —b)?, et cette expression est positive ou négative suivant b Je) QUE s 1 AE par conséquent suivant que Test ne 72 œ : yo ) se transforme en: —(1—>:)a, nr température où apparaissent les points de plissement (x,) et (æ,). 3) BON Dee (08 œ MRT nule; dans le premier terme, (v,,) ét £(v,,) sont positifs, y(v,,) est négatif. , le second terme de F{(v) dans l’éq. (73) s’an- 4) Ici, {(v), et par conséquent le premier terme de F(v), ont pour valeur zéro. 5) Ici, on a (vs) = 0. 6) Il pourrait sembler qu’un point de plissement dût se trouver entre v, et V5; mais ce point ne saurait être réel, puisque, dans l'intervalle en question, la spinodale devient imaginaire. LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 363 Dans la fig. 44, où v, =v; =, on à Fv,) = 0 et de plus, en vertu de (59), 4" = 0. Outre le point de plissement (œ), il y a donc en (u) encore deux autres points de plissement, arrivés à coïncidence. Ce sont les points de plissement dont le v, dans la fig. À (voir la note (5) de la page précédente) est imaginaire. Au point (u) (point d’osculation) sont donc confondus trois points de plis- sement. Que les deux points de plissement imaginaires restent aussi imaginaires dans la suite, c’est ce qui ressort de la fig. A. Dans cette figure; en) effet, on à: Ur) négatif, F{v,) négatif, F(v,) positif, Æ(86) positif, F{v.) négatif, F(b) négatif, est situé entre v, et v,, mais dont le x 5) d’où il ressort qu'ici également il existe entre v, et v, deux points de plissement à v réel et à +’ imaginaire. Dans la fig. .B,, on 2: 07) nég., F(3b) nég., EF.) pos., F(v,) pos., Æ(b) nég., ce qui s'accorde avec les points de plissement indiqués. Dans lation pb, = = Ù, est une racine double de F(v), comme on s’en assure aisément par le calcul de F(v,) !); il en résulte que de chaque côté se trouve un point de plis- sement double, (u,) et (uw). Dans la fig. B,, on 2: F(vg) née., l(v F(v,) nég., F(b) nég. / ) nég., F(3b) nég., œ PRE ; À 144 a mn à (1—x)a 1 1) Il est évident d’abord, à cause de E(o,) = Oet Vu Vo = NRT ? dans la dérivée F’(v,,) de F0.) n’entreront queles termes: po) (vu), = — M3R3T3 au — b)3(0, — 3b). En considérant ensuite que MR To, — que = (1 — +)a, et que de plus. en vertu de (52), (1 — x) ŒE 24 — b)2, on trouve sans peine: p(vu) = (1 — x)a: Cu — b)2 = MRTv, (a — b)2: 24 10, —b) AUS) 0; Para AG ; @, — bd) = ———— @, — 3b); 10e) = É u I 2 = (1 — x) dy v4, d'où il suit: F(0,) = 0. 24* 364 D. J. KORTEWEG. Dans la fig. C;, on a: F(v,) nég., F(36) nég., F{v,) nés, F(b) nég. De ces valeurs on ne peut pas conclure qu'il existe des points de plissement entre v = 3b et o — v,. Néanmoins, tel doit être le cas près de la température T,, comme onle reconnaît en procédant à un examen spécial pour cette tem- pérature elle-même, ou pour une température un peu plus basse. À la température T, elle-même, la courbe spinodale possède un point double (voir fig. 0”), correspondant, comme il résulte de la manière dont la spinodale se comporte quand la température s’abaisse ou s'élève, avec un point de plissement double, né de la coïncidence de deux points de plissement (œ.) et (&,). À une température un peu plus basse que 7T,, on obtient la fig. C,, et dans cette figure on a: Eve) nég.., F(v,) nég., F{v,) pos. F(v,) nés, ce qui prouve l'existence des points de plissement (x,;) et («,;). De ces quatre points de plissement («;), («s), (&;), («;), aucun ne peut être identifié avec («,;) et («,) de la fig. B,, car ceux-ci ont déjà disparu à la température T,”. Ce sont de nouveaux points de plissement, provenant de deux points de plissement doubles hétérogènes. Des considérations analogues établissent l’existence des points de plissement marqués dans la fig. D, (1). Ici, on a: F(3b) nésg., Fo.) pos., et entre les deux valeurs de » il se trouve donc, de chaque côté de la ligne médiane, un nombre impair de points de plissement. A la température T,"”, les points (æœ;) et (x,;) coïncident avec («,) et («,); à la tem- pérature T,, les points («;) et (x;) se réunissent à leur tour. Qu'il en reste encore deux, (&;) et («,), cela se démontre aisé- ment par l’inspection de la figure D., car, dans cette figure, on a: F(v.,) pos., F(v,) nés. 1) Dans le dessein de cette figure une faute s’est introduite. Il faut transporter les points (“,) et (x,) à droite de la ligne v = 3 b. LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 365 La courbe connodale. 61. Tandis que, comme on vient de le voir, la configuration de la courbe spinodale et la manière dont se comportent les points de plissement peuvent être déduites directement, par voie analytique, de l’équation de la surface, il n’en est pas de même pour la courbe connodale (sauf en ce qui concerne la branche à connodes symétriques). Ici, une application large et pourtant prudente de la théorie développée dans la Section Ière du présent Mémoire est nécessaire. A l’aide de cette théorie, toutefois, on réussit à suivre pas à pas le développement de la connodale et la production des plans tritangents. D'autre part, des modèles schématiques de la surface, construits par moi, ont également démontré la réalité des principaux acci- dents indiqués dans les figures. À mon avis, la description des transformations de la connodale, donnée dans la Section Il, se justifie d'elle-même, pourvu qu’on l’envisage à la lumière de la théorie générale des plis. Bes Primates tdemMEsitemcedunplan quadritangent. ; 62. La production du plan quadritangent est assujettie à des limites, entre lesquelles doit se trouver «4 = 142 Il m'a 0) paru intéressant de connaître ces limites. Plus elles sont rap- prochées, plus il sera difficile de trouver des substances pour lesquelles le plan quadritangent puisse être décelé expérimen- talement par l’existence de quatre mélanges dans une même enceinte. Il est possible, sans doute, que, pour des mélanges de substances, dont les températures et pressions critiques sont très dissemblables, les conditions limitatives laissent plus de jeu que dans le cas analysé par nous; toutefois, cela ne me paraît guère probable. En ce qui concerne la limite inférieure, celle-ci est liée à la production de la fig. 0”. Si dans cette figure on suppose le point (&,) reporté un peu à gauche du point de plissement 366 D. J. KORTEWEG. double » = 3b, le plan quadritangent n'apparaîtra ni quand la températnre s'élève, ni quand elle s’abaisse. Si, au contraire, (a,) est situé à droite de & — 3 b, et qu’on trace les courbes connodales, qui ici partent nécessairement du point v = 3 0, on verra naître une figure de laquelle, en cas d’abaissement de température, dérivera la fig. D, et ensuite un plan quadritangent. À la valeur limite cherchée de x, le plan tangent en » — 3 b, x 0, à la température T,, devra donc toucher la surface encore en deux autres points (a,) et (a). Ce plan tangent a pour équation, si z représente la coor- donnée correspondant à l’axe des w de la surface: (75) 2 — Y = sr). + (2 (o—3 b) V—5 0 00 =D, TUNIS ED ou bien, en ayant égard à (11) et à (51): ce, 22 Oo cn C8 y a6) Lorsque ce plan tangent touche la surface encore en d’autres points, il doit être possible de satisfaire simultanément aux trois conditions (77) w —2—=0; 0). men dx 00 à l’aide des coordonnées x’ et » de ces points. De là résultent, en posant _ = 6, les relations: 27 _27(1—x)#° At ut PE SE 2 EE | Es E a à + log 4 + 2% TE (= DT 0, (79) 4 ne : Ch Sp Tes } 1 — 2x (80) 7 = Ce A) 7 108(1—%x) (8—1) ? qui permettent de calculer x’, f et x. On trouve: LA THÉORIE GÉNÉRALE DES PLIS, ETC. 367 (81) x'—0,366. a — 0.534. B=— — 1,611..; où x et v font connaître la situation des points (a,) et (a;), tandis que x indique la valeur limite cherchée. À l’aide de ces données, le triangle (a,) {a,) (a,;) a été tracé dans la figure 0" avec ses vraies dimensions. 62. Quant à la limite supérieure de «, elle est atteinte lors- que à la température T,', où apparaissent les points de plis- sement (æœ,) est («.,), le plan tangent au point de plissement (œ) est en même temps tangent en un autre point de la médiane à gauche de v = 3b; dans ce cas, en effet, la branche connodale à connodes symétriques atteint la connodale du pli transversal précisément au point où le pli longitudinal se divise en deux plis. En suite d’un changement de x dans l’un des deux sens, la rencontre aura alors lieu de la manière in- diquée dans la fig. D”,, où il existe encore un plan quadri- tangent; tandis que, en cas de changement dans l’autre sens, le pli longitudinal atteindra le pli transversal sans s’être bi- furqué, et il y aura apparition immédiate du plan tritangent de la fig. Æ. Pour en arriver au calcul, nous écrirons d’abord l’équation du plan tangent au point de plissement (x) sous la forme: (82) ARR Pie ,æ'=0 v=v,, x'=0 En ayant égard à a (16) et (19), on trouve pour cette équation : NCA) ACTOR D COMENT 1B IE D ne HAUT) \ | Pa a Ju —2(1—«) (= | où DU) ei) ta bn Pour l'équation de l'intersection de la surface (11) par le 868 D. J. KORTEWEG. LA THÉORIE ETC. plan médian z'—0, on trouve au contraire (pour T= T,): a (1—x) 7 TOUR) A la limite cherchée de x, il faut que, pour une valeur v > 3b, on puisse satisfaire simultanément aux équations: (85) D __— log 2(v—b)— (86) y—2=0 A ce qui conduit, en posant de nouveau T- = $, aux conditions: 1 (1=n)p 70e) 4 24) 27 1 }\ RL fes murs ae et nr 7 CN ER CR (88) pra 21—;)(1—u)8? | 2(1—x) uw \ ( u) Une première approximation s’obtient en supposant que f soit très grand; l’équation (87) exige alors: EST 2(1—:) u d’où il résulte une équation du second degré en x, de la- quelle on tire x — 0,676... Cette valeur de +, combinée avec (89) — 0; une grande vaieur de $, donne pour w--2 une valeur négative. La surface s’abaisse donc encore au-dessous du plan tangent, et la rencontre des deux courbes connodales est déjà un fait accompli quand se produisent les points de plissement («.,) et («,;). Cette valeur de x est par conséquent trop grande. Pour x — 0,670, toutefois, on trouve, par l'équation (88), en- viron $ — 49, valeur qui rend w—z2 positif. Il suit donc de là que la limite supérieure de x sera comprise entre 0,670 et 0,676. On peut donc conclure que le plan quadritangent fera son apparition tant que 12 —, se trouve entre les limites 0,53 a; et 0,67. SUR L'ALIMENT PHOTOGÈNE ET ALIMENT PLASTIQUE DES BACTÉRIES LUMINEUSES. !) PAR M. W. BEYERINCK. 1. Aperçu des espèces de Bactéries lumineuses COMMAeSNUSQU, ICI. Le nombre des bactéries lumineuses venues à ma connais- sance jusqu'à ce jour, s'élève, en tout, à cinq. De la troisième de ces espèces, j'ai appris à distinguer deux variétés très remarqua- bles. Avant d'aborder l’objet du présent Mémoire, je crois devoir donner un court aperçu des espèces primaires, attendu que DS de nouvelles études ont apporté quelques modifications à ce que J'ai publié à ce sujet dans une occasion antérieure ?). Tout d’abord j'ai reconnu que les bactéries lumineuses ordinaires du poisson phosphorescent, bactéries qui ne liqué- fient pas la gélatine, appartiennent à deux espèces nettement caractérisées *). À la plus lumineuse des deux, qui par suite est aussi le plus lumineux de tous les microbes lumineux connus jusqu ici, j appliquerai le nom dePhotobacterium Pflügeri 1) Recherches faites au laboratoire bactériologique de la Fabrique Néer- Jandaise de Levüre et d’Alcool, à Delft. 2) Arch. néerl., T. XXIII, p. 401, 1889. 3) M. C. B. Tilanus m'a communiqué que, depuis assez longtemps déjà, il était arrivé à un résultat analogue, lors d’une étude des bactéries lu- mineuses qu'il avait faite au laboratoire de M. le professeur Forster, à Amsterdam. 370 M. W. BEYERINCK. Ludwig 1). La seconde forme, à lumière un peu plus faible, conservera le nom de Ph. phosphorescens. Le poisson de mer *) ne m'a encore fourni que deux fois le Ph. Pflügeri, tandis que j’en ai isolé maintes fois le PH. phosphorescens; la première espèce est donc beaucoup plus rare que la seconde. Je dois encore faire remarquer ici que, dans les premiers temps de la mise en culture, ces bactéries lumineuses possè- dent des propriétés un peu autres que celles dont elles seront douées plus tard ; le Ph. phosphorescens, surtout, présente ini- tialement des différences en intensité lumineuse et en stabilité ou vitalité plus grande ou plus petite des colonies et des lignes d’inoculation, différences qui s’effacent à mesure que la culture se prolonge. Cultivé sur une gélatine nutritive ordinaire, contenant de la peptone, le Ph.phosphorescens à, dans les cultures jeunes, la forme d'articles courts ou microcoques plus ou moins sphéroïdaux ou oblongs, qui fréquemment sont accolés en tétrades ou groupes sarcinoïdes, mais qui se séparent facilement et montrent alors dans l’eau de mer des mouvements propres. D’ordinaire on voit dans chaque bactérie une ou deux petites taches plus foncées, qui représentent peut-être des noyaux cellulaires. Dans les mêmes conditions, le Ph. Pflügeri est plus allongé et présente moins de tendance au groupement sarcinoïde. Chez cette espèce aussi, on observe dans les bâtonnets les pe- tites taches nucléaires caractéristiques, et on voit, à l'examen microscopique dans l’eau de mer, de très nombreux individus animés de mouvements modérément rapides. 1) F. Ludwig, Micrococcus Pflügeri, dans Hedwigia, n°. 3, 1884, et Ueber die spectroscopische Untersuchung photogener Pilze, dans Zeitschr. f. Mikroskopie, Bd. I, p. 190, 1884. 2) Les carrelets et les filets, achetés au marché de Delft, deviennent presque sans exception plus ou moins lumineux, après avoir été conservés pendant 2 ou 3 jours dans la cave du laboratoire bactériologique de la Fabrique de Levüre. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. Sd Les espèces en question font toutes les deux fermenter la lévulose et la glucose, avec dégagement de quantités égales d’acide carbonique et d’hydrogène. Mais à l'égard de la maltose, elles offrent une grande différence. Tandis que le Ph. phosphorescens peut faire fermenter la maltose et l’assimiler comme aliment photogénique, de la même manière qu'il le fait avec la glucose et la lévulose, le Ph. Pflügeri, au contraire, ne produit aucune lumière avec la maltose et n’y détermine pas de fermentation. La maltose est donc bien assimilée par le Ph. phosphorescens, maïs non par le Ph. Pflügeri. Un second couple de formes consiste sous les bactéries lumi- neuses de la Baltique. Toutes les deux m'ont été commu- niquées, conjointement avec une variété intermédiaire, que je n’ai pas étudiée de plus près, par M. le Professeur Fischer, de Kiel. Une de ces formes a été décrite par M. Fischer !) et à reçu de moi, plus tard, le nom de Ph. Fischeri. Pendant les 9 premiers mois de culture continue, elle à eu chez moi, de même que chez M. Fischer, la propriété de liquéfier for- tement la gélatine; chez moi, cette aptitude à progressivement diminué, et en janvier 1890 elle était complètement perdue. La seconde forme, que je désignerai sous le nom de Ph. Fischeri f..baltica (M. Fischer m'avait envoyé la préparation comme: ,Æinheimischer Leuchtbacillus, dünne Auflagerung, sehr langsam verflüssigend”), n’a exercé, dans l’espace de temps ci-dessus indiqué, absolument aucune action liquéfiante sur la gélatine de culture. Comme, sous la plupart des autres rapports, la ressemblance avec Ph. Fischeri est grande, j'ai pris ces deux organismes, dès le commencement de mes cul- tures, pour des modifications d’une seule et même espèce, opinion qui s’est élevée à la certitude par le fait qu’en janvier 1890, lorsque mes cultures originales du Ph. Fischeri avaient 1) Centralblatt f. Bacteriologie, Bd. 3, p. 105, 1888. SU M. W. BEYERINCK. presque entièrement perdu le pouvoir de liquéfier la gélatine, le Ph. Fischeri f. baltica commença à présenter les premières traces de liquéfaction. En examinant toutefois ce phénomène de plus près, et par la méthode des semences en gélatine d’une seule colo- nie pure, je reconnus quil tenait à la séparation de la forme non liquéfiante en deux variétés, dont l’une est restée la forme ordi- naire, tandis que l’autre liquéfie fortement et s’est démontré être parfaitement identique avec le Ph. Fischeri ‘). Ce qui est remar- quable, c’est que le pouvoir liquéfiant de cette variété augmente de jour en jour, de sorte que maintenant (4 mars 1890), d’une bactérie à faible force végétative, telle que l'avait été jusqu'alors chez moi le Ph. Fischeri f. baltica, il est issu une forme nouvelle douée de propriétés très actives et d’une grande force de végé- tation. Tandis que je n’ai jamais pu réussir à faire avec le Ph. Fischeri f. baltica des liquides lumineux, la chose est maintenant facile avec la modification liquéfiante, et, ce qui me paraît extré- mement intéressant, dans ces liquides la luminosité dépend de la peptone seule, la glycérine au contraire demeurant inactive, tandis que c’est la glycérine, combinée à la peptone, qui donne la luminosité aux cultures sur gélatine à la forme non liquéfiante. Combien doit être grand le changement survenu aux molé- cules vivantes de notre espèce, pour produire une pareïlle modification dans les phénomènes chimiques de la nutrition: Ou, plus exactement peut-être, combien l’équilibre labile dans les relations moléculaires de la matière vivante d’un orga- nisme variable confine-t-il de près à un état stable, qui, at- teint subitement ou graduellement sous des influences Jjus- 1) Je dois noter ici qu'une forte proportion de peptone dans Ja gélatine de culture entrave la liquéfaction de celle-ci par les bactéries lumineuses, en sorte que, par exemple, le Ph. Fischeri liquéfie encore quand il croît sur une gélatine de poisson contenant ? pour cent de peptone, tandis que cela n'est plus le cas avec une teneur de 1 pour cent. Il en est de même pour le Ph. luminosum et le Ph. indicum, bien que ces deux derniers parviennent bientot à vaincre la résistance offerte par les peptones. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 873 qu'ici inconnues, peut apporter un changement total dans les rapports de cet organisme avec le milieu ambiant! Il est à peine besoin de dire que, pour le but du présent travail, l’étude spéciale de ces phénomènes de mutabilité était superflue. Je sens même qu’ils nuisent quelque peu à la net- teté de chacun des résultats déjà obtenus. Néanmoins, si, comme je le ferai dans la suite, nous fixons plus particulièrement notre attention sur les formes qui se sont montrées jusqu'ici suffisamment constantes, à savoir sur le Ph. phosphorescens et le Ph. indicum, et que nous laissions provisoirement les deux autres espèces, Ph. Fischeri et Ph. luminosum, en dehors du cercle de nos recherches, celles-ci conserveront indubita- blement leur valeur. Mais je dois encore me retarder un instant sur la compa- raison entre le Ph. Fischeri original et la modification liqué- fiante du Ph. Fischeri f. baltica obtenue dans mes cultures. Ces deux formes sont-elles bien réellement identiques? Déjà à l’origine, l’aspect extérieur des colonies et l’image micro- scopique semblaient venir à l’appui de cette supposition, mais plus tard, lorsque l’action protéolytique de la nouvelle variété surpassait celle du Ph. Fischeri vieux et même celle que cette dernière forme présentait dans les premiers temps après que je l’eus reçue, tout doute était exclu. Il s’était ainsi produit, chose assez remarquable, un rapprochement entre la nouvelle forme et le Ph. luminosum, rapprochement beaucoup plus grand que celui qui paraissait exister d’abord entre le Ph. luminosum et le Ph. Fischeri. Mais enfin la différence entre les Ph. Fischeri nouvel et vieux s’est effacée parfaitement. J'ai d’ailleurs encore découvert, entre ces deux formes, un autre rapprochement très caractéristique, qui ne doit pas être passé sous silence. Elle consiste en ce que le Ph. Fischeri original, aussi bien que la nouvelle forme liquéfiante du Ph. Fischeri f. baltica, sont tous les deux très sensibles à l’action du sucre de canne: une quantité extrêmement petite de ce sucre augmente fortement l'intensité lumineuse de cette espèce, tandis que ! pour cent 874 M. W. BEYERINCK. suffit déjà à éteindre la lumière et à entraver le développe- ment. Dans cette action est impliquée l’assimilation directe du sucre de canne, car ces bactéries ne sécrètent pas d’enzyme inversif. La forme non liquéfiante, Ph. Fischeri f. baltica au contraire, éprouve très peu d'effet de la part du sucre de canne : il croît et brille encore parfaitement sur une gélatine nour- ricière contenant 3 à 5 pour cent de cette substance. D’après cette description la bactérie de M. Fischer nous place devant le fait incontestable, qu'une espèce peut se transformer après un certain temps de culture dans deux autres formes par- faitement distinctes, qui, trouvées dans l’état sauvage par un ob- servateur habile, peuvent être prises pour deux espèces distinctes. Les bactéries lumineuses de la Baltique sont proches alliées des deux espèces indigènes trouvées sur le poisson de mer, bien que, de l’un à l’autre groupe, la forme des bâtonnets diffère fortement. Ceux-là, en effet, sont très déliés et ressem- blent beaucoup plus aux vibrions ordinaires que ceux du poisson; ils sont aussi beaucoup plus mobiles, et, malgré leur extrême petitesse, ils se prêtent mieux à l’observation du fila- ment locomoteur. Je terminerai ce qui concerne nos deux espè- ces par la remarque que ni avec le Ph. Fischeri f. baltica, ni avec le Ph. Fischeri lui même, je n’ai pu constater des phéno- mènes de fermentation. Les trois espèces dont il a été question jusqu'ici se laissent le mieux cultiver sur une décoction de poisson dans l’eau de mer, additionnée de 1 pour cent de glycérine et de } pour cent d’asparagine, et coagulée par 10 pour cent de gélatine. Le troisième couple des formes, qui me sont connues, est composé, comme le premier, de deux espèces voisines, le Ph. indicum de la mer des Indes occidentales, dont je suis aussi redevable, comme je l'ai mentionné dans mon mémoire précedent, à M. le Professeur Fischer, qui l’a décrit, si amplement, sous le nom de Bacillus phosphorescens, et le PA. luminosum de la mer du Nord, lesquelles toutefois, comme je ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 875 m'en convaincs de plus en plus, diffèrent beaucoup des trois espèce nommées en premier lieu. Elles liquéfient la gélatine rapidement et complètement, et ressemblent sous maints rap- ports aux spirilles ordinaires de la putréfaction et à des formes de Proteus. Nous verrons ci-dessous que cette analogie se fait remarquer non seulement dans les caractères extérieurs, mais aussi dans les propriétés intimes. Le pouvoir lumineux du Ph. indicum est très grand et vient immédiatement après celui du Ph. phosphorescens. Pour rendre la lumière aussi forte que possible, on doit porter les cultures à la température de 80 à 35° !). Il convient toutefois de laisser s’opérer l’accroissement et le développement à une tempéra- ture beaucoup plus basse, par exemple à celle de 15 à 20°. Autrement, un très grand nombre d’individus perdent tout ou partie de leur pouvoir lumineux, de sorte qu’on obtient des cul- tures en colonies présentant un mélange hétérogène des inten- sités lumineuses les plus diverses. La force végétative des colo- nies faiblement lumineuses est ordinairement plus grande que celle des colonies à lumière vive. A la suite d’une sélection répétée et prolongée, que la circonstance dont il vient d’être question m'a conduit à entreprendre, le pouvoir lumineux du Ph. indicum est devenu, me semble-t:l, un peu plus élevé qu'il ne l'était en juin 1888, lorsque je reçus cette espèce de de M. Fischer; celui-ci avait réussi à l’isoler de l’eau de mer phosphorescente, au cours d’un voyage aux Indes occiden- tales, en janvier 1886 ?). Le Ph. luminosum, que dans l’été de 1888 j'ai extrait du sable de la mer du Nord *), est composé, dans les cultures ordi- naïres, de vibrions très déliés, nageant rapidement, ou de 1) L’optimum de température pour le pouvoir lumineux paraît s’abaisser à mesure que s'élève la tension osmotique de l'aliment. 2) À un faible différence de luminosité près, cette espèce est donc restée constante pendant quatre années. 3) Le Photobacterium luminosum, bactérie lumineuse de la mer du Nord, dans Arch. néerl., T. XXIII, p. 401, 1889, 316 M. W. BEYERINCK. spirilles plus ou moins allongés, qui se courbent et se replient pendant la natation: tandis que le Ph. indicum consiste prin- cipalement en bâtonnets droits, beaucoup moins flexibles. Le pouvoir lumineux du Ph. luminosum est ordinairement beau- coup plus faible que celui du Ph. indicum; dans certaines circonstances, toutefois, il peut temporairement égaler celui de cette dernière espèce, mais pour retomber bientôt à sa valeur antérieure. L'exposition très prolongée (pendant un mois ou plus) de jeunes cultures à une basse température (celle, par exemple, d’une chambre froide, variant entre 3° et 12° C) amène notre bactérie à un état tel que, si on en trace des lignes sur un bon terrain nourricier, elles acquièrent vers 15° C leur plus haut degré de luminosité. Ce phénomène, toutefois, est alors de courte durée, tandis qu'à des tempé- ratures inférieures, par exemple au-dessous de 10° C., la forte émission de lumière persiste plus longtemps. A des températures voisines de 20°, le Ph. luminosum, cultivé dans la gélatine, perd presque tout à fait son pouvoir lumi- neux; mais les colonies s’accroissent alors très vigoureusement, se comportent comme de vraies formes de Proteus et dégagent de leur terrain nourricier des produits de putréfaction, à odeur fétide. Comme toutes les bactéries lumineuses, le Ph. luminosum et le Ph. indicum sont extrêmement sensibles à la présence de petites quantités de sucre dans leur aliment. Il suffit de 1 pour cent de glucose, ou moins encore, pour éteindre complète- ment le pouvoir lumineux du PA. luminosum; avec une dose de 3 à 5 pour cent, la bactérie ne fait plus fondre la gélatine et son accroissement subit même un arrêt total ; des doses plus éle- vées peuvent devenir mortelles. Le Ph. indicum est, à la vérité, un peu moins sensible et peut, surtout en présence de l’aspa- ragine, qui compense plus ou moins l’action nuisible de la glucose, donner encore de la lumière, malgré l’addition de 4 pour cent de ce sucre, mais si les colonies, qui dans ce cas ne liquéfient nullement la gélatine, sont examinées au mi- ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 311 croscope, on trouve que les organismes n’ont plus l’aspect de bactéries, maïs ressemblent à de petits protozoaires irréguliers. Dans de pareilles conditions, la lumière s’éteint très promptement. Ces faits tiennent à la formation d’un acide dans la sub- stance corporelle des bactéries, lesquelles ne peuvent arriver à leur développement complet et au plein épanouissement de leurs facultés que sur un terrain neutre ou faiblement alcalin. Une très faible proportion de glucose ou de lévulose dans l’ali- ment, par exemple 1/,, ou ‘/,, pour cent, paraît toutefois susceptible, dans certaines circonstances, d’activer à un léger degré le développement et l'intensité lumineuse; mais, pour nous, le point essentiel est que, chez le Ph. luminosum et le Ph. indicum, les peptones seules suffisent à l’accomplissement de ces deux fonctions. 9. Méthodes de recherche. Le principe sur lequel est fondée la méthode de recherche que j'ai suivie pour l’étude du Ph. phosphorescens, consiste à mêler un très grand nombre de ces bactéries avec une masse nutritive insuffisante, ne contenant que quelques éléments connus de l’aliment nécessaire, puis à déterminer par l’addi- tion de quelles substances cet aliment peut être rendu complet, c’est à dire capable d’exciter l’accroissement et la fonction lumi- neuse. Ces essais peuvent se faire soit dans desliquides de culture, soit dans une gélatine de culture, Dans des liquides nourriciers, on peut très bien juger de l’action lumineuse, mais l’estima- tion exacte de la multiplication des bactéries y est difficile. Dans la gélatine de culture, au contraire, le développement de lumière et l’accroissement des colonies se laissent déter- miner tous les deux avec beaucoup de netteté, par contraste, de la manière suivante !). 1) On trouve la description de cette méthode, appliquée aux bactéries lumineuses, dans la dissertation de M. le Dr. H. P. Wijsman: De diastase beschouwd als menÿysel var mal'ase en dextrinase, Amsterdam, 1889 : appli- quée aussi à d’autres microbes, dans mon Mémoire: L’Auæanographie, ou ARCHIVES NÉERLANDAISES, ©. XXIV. 29 378 M. W. BEYERINCK. Dans une gélatine de culture appropriée à l’action photo- génique, et où l’un des éléments nutritifs se trouve en excès, on incorpore un très grand nombre de bactéries de l’espèce à étudier. Etendue en couche mince, cette masse forme une plaque fortement lumineuse. Au bout de quelque temps, l’émission de lumière cesse, et avec elle l’accroissement: à partir de ce moment, il n’y a plus de disponible que l’élé- ment nutritif ajouté en excès. Porte-t-on alors sur la couche de gélatine les substances à étudier, celles-ci se dissolvent localement dans la gélatine et, à partir du centre de disso- lution, se diffusent dans toutes les directions, en un champ circulaire. Si la substance est un aliment photogénique, on voit apparaître bientôt, parfois au bout de quelques secondes, un champ lumineux, qui s'étend avec la vitesse de diffusion de la matière en question; l'extension cesse quand la totalité de cette matière a été fixée par les bactéries, qui dès lors continuent à produire de la lumière au moyen de la réserve accumulée dans leur corps. On reconnaît ainsi, à première vue, que les sucres assimilables sont plus fortement absorbés que l'aliment photogénique par excellence: la gly- cérine. L’étendue des champs de diffusion ne dépend toutefois pas uniquement de l’absorption plus ou moins facile par les bactéries, et de l’activité et du nombre des bactéries suspen- dus dans la gélatine, mais aussi, comme il a été dit, de la vitesse de diffusion de la substances. Lorsque l’aliment est propre à entretenir la croissance et la division cellulaire, son action ne se borne pas à produire un phénomène lumineux, temporaire de sa nature: il donne lieu, en outre, à un ,champ d’accroissement” durable, à un ,auxa- nogramme’” Î), caractérisé par les innombrables colonies bac- 2 la méthode de l’hydrodiffusion dans la gélatine, appliquée aux recherches microbiologiques, (Arch. néerl., T. XXIII, p. 367, 1889, et Verst. en Me- dedeel. d. Kon. Akad. v. Wet., Afd. Natuurk. Deel VI, p. 123, 1889). 1) Voir le Mémoire ci-dessus cité: L’Auxanographie, etc. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 379 tériennes qui, dans le champ de diffusion de la substance nutritive, se sont développées beaucoup plus fortement qu’en dehors, d’où résulte un contraste frappant. Quand l'aliment agit de cette facon, il peut être appelé plastique”. Je ferai remarquer, dès à présent, que si un aliment photogénique doit toujours être plastique, la réciproque n’est pas vraie: un ali- ment plastique n’est pas toujours photogénique, d’où 1l suit que, chez les bactéries lumineuses, la production de lumière n’est en connexion nécessaire ni avec l’acte respiratoire, ni avec l’accroissement. Cela conduit déjà à présumer, — ce que d’autres faits rendent à peu près certain, — que, même dans des cultures fortement lumineuses, c’est seulement une partie de l’énergie dégagée, qui est nécessairement et généralement émise sous forme de lumière. Néanmoins, d’après l'observation de cas où l'accroissement des bactéries lumineuses est presque entièrement exclu, tandis que la production de lumière per- siste, il me paraît probable que le rapport entre la respiration et la luminosité est assez intime pour que, dans des circonstances determinées, la totalité de l'énergie contenue dans l'aliment photogénique puisse s'échapper à l’état de lumière. La méthode de la gélatine, appliquée comme il a été dit, présente toutes sortes d'avantages, qu’il est inutile d’'énumérer ici de nouveau. Je noterai seulement que par elle l'étude des sucres, qui dans les cultures liquides offre de grandes diffi- cultés à raison des acides auxquels ils donnent naissance, est rendue facile, vu que l’acide peut se diffuser dans la gélatine. Dans les expériences avec la gélatine, il ne faut jamais perdre de vue que la gélatine du commerce contient tou- jours un peu de ,peptones”. À l’origine, j'ignorais cette cir- constance, ce qui m'a conduit plus tard à répéter toutes mes expériences décisives dans des liquides nourriciers de com- position déterminée. De cette manière, je suis arrivé à la conclusion que, sauf les peptones, il ne se trouve dans la gélatine du commerce aucune autre matière étrangére, azotée ou non, assimilable par les bactéries lumineuses. 20* 380 M. W. BEYERINCK. Les bactéries qui liquéfient la gélatine, la convertissent par- tiellement, par leurs enzymes, en peptones !), de sorte que notre méthode de la gélatine ne peut alors plus être employée de la même façon et il faut avoir recours à l’agar-agar et aux liquides. Cette remarque s'applique tout spécialement aux Ph. indicum et Ph. luminosum. Pourtant, si à une dissolution de gélatine pure dans l’eau de mer, le Ph. indicum est ajouté en quantité suffi- sante pour que, après coagulation, on obtient une plaque de gélatine fortement lumineuse, il se forme pendant les pre- mières heures si peu de trypsine qu'on n’observe pas trace de liquéfaction. Mais place-t-on à la surface de cette couche les matières qu'on veut étudier, celles-ci, au cas où il en résulte un accroissement un peu notable, donnent en même temps lieu à une forte liquéfaction, ce qui doit évidemment, à cause de la peptonisation, apporter aussi un changement aux conditions nutritives. Il est vrai que la gélatine est alors transformée en un aliment photogène n'ayant à basse température qu’une action faible, beaucoup plus faible par exemple que celle des matières photogènes des extraits de poisson; mais cette action n’en obscurcit pas moins les conclusions à tirer des expé- riences. Aussi, le Ph. indicum et le Ph. luminosum donnent-ils des résultats moins douteux quand ils sont cultivés dans des liquides, cas où l’on est un peu plus maître‘de la composition de l’aliment et où l’on peut aussi opérer plus facilement à des températures élevées. Naturellement on perd, en se servant de liquides, le grand avantage résultant des différences de concen- tration qui se produisent d’elles-mêmes, dans les champs de diffusion, sur les plaques de gélatine. Quant à l’inclusion dans l’agar, pour une raison dont je ne me rends pas bien compte, elle entrave fortement la croissance, de sorte qu'il n’y a pas srand’chose à tirer des expériences faites par ce procédé. 1) Dans ces expériences, comme dans toutes les suivantes, on suppose que laliment contienne les phosphates nécessaires, ainsi que les autres éléments des cendres. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE 381 Quoi qu’il en soit, des différents résultats obtenus par ces trois voies on peut conclure que les conditions nutritives des deux bactéries en question sont tout autres que celles du Ph. phosphorescens et du Ph. Pflügeri, espèces dont se rappro- chent le plus, comme nous l’avons vu, les deux formes bien ou point liquéfiantes, Ph. Fischeri et Ph. Fischeri f. baltica. Les susdites conditions nutritives générales seront considé- rées de plus près au $ 4. Le Photobacterium phosphorescens et le Ph. Pflügeri possèdent, comme 1l a déjà été dit plus haut (pag. 371), la propriété de faire fermenter la glucose et la lévulose avec dégagement de quantités à peu près égales d'acide carbonique et d’hy- drogène. Il est facile de constater cette propriété sur des cultures par inoculation dans une gélatine nourricière, contenant lesdits sucres en proportion modérée, par exemple + pour cent de glucose ou 1! pour cent de lévulose, ou moins encore. Ces expériences de fermentation devien- nent plus élégantes, toutefois, quand on mélange la gélatine saccharifère avec une grande quantité de bactéries lumi- neuses, et qu’ensuite on la verse et la laisse coaguler dans un large tube. Bientôt, au bout de 24 heures par exemple, les gaz commencent à se produire, sous forme de grosses bulles, qui sont retenues par la gélatine. La fermentation du sucre ne s'opère qu'en présence de peptone et d'oxygène, ce dernier fixé, à l’état de réserve, au corps des bactéries !). Dès que cet oxygène de réserve est consommé, la fermen- tation cesse complètement. Elle ne donne jamais lieu au dégagement de lumière, mais bien à un certain degré d’accrois- sement. Un grand excès d'oxygène libre arrête la fermentation. On peut s’en assurer en mêlant à la gélatine nourricière un peu de peroxyde d'hydrogène; les bactéries lumineuses en 1) Comp. mon Mémoire: Les bactéries lumineuses dans leurs rapports avec l'oxygène (Archiv. néerl., T. XXXIII, p. 416, 1889). 382 M. W. BEYERINCK. dégagent l’oxygène, et c’est seulement après la disparition de celui-ci que commence la formation des bulles d'acide car- bonique et d'hydrogène. J’ignore quels sont, en dehors de l’acide carbonique et de l'hydrogène, les produits de la fer- mentation, et ce que devient le groupe C,H,, qui reste après que ces deux gaz ont été soustraits à la glucose. Je noterai encore ici que les bactéries lumineuses sont douées d’un grand pouvoir réducteur, qu’on peut mettre en évidence de la manière habituelle, en ajoutant aux cultures liquides ou sur gélatine du bleu d’indigo ou du nitre. Mais, en suspendant les bactéries en très grand nombre dans la gélatine ou l’agar qui contient les matières reductibles, l’ob- servation se facilite beaucoup. Cette fonction est influencée à un haut degré par des circonstances accessoires, dont l’étude reste à faire. 3. Précautions particulières. L’exécution des expériences auxanographiques exige une quantité abondante des microbes spécifiques. C’est pourquoi il est important de connaître des bonnes conditions de cul- ture qui donnent une riche moisson d'individus actifs. Ainsi, pour obtenir le Photobacterium phosphorescens en quan- tité suffisante et dans un état approprié aux expériences d'émission lumineuse et d’accroissement dans les plaques solides, je fais usage d’une décoction de poisson dans de l’eau de mer !), à laquelle j’ajoute 1 pour cent de peptone et 2 pour cent de glycérine. Les lignes tracées sur une pareille gélatine brillent déjà d’une vive lumière au bout de 24 heures; après 2 ou 3 jours, il s’est formé à 15° C une masse bactérienne jaune 1) L'emploi d'infusions de poisson, additionnées de 3 pour cent de sel marin, pour les cultures de bactéries lumineuses, a été recommandé par M. C. B. Tilanus, dans: Tjdschrift voor Geneeskunde DI. 2, pag. 169, 1887. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 308 crisâtre, de consistance très molle, facile à diviser dans la gélatine ou l’eau de mer, et tellement abondante qu'on peut directement l’appliquer aux expériences, sans avoir à attendre la multiplication préalable des bactéries dans la gélatine qui reçoit la semence en suspension. Quand on n’a pas ajouté de glycérine à la gélatine de culture dont il vient d’être question et qui doit procurer la semence, l’accroissement y est très restreint; le nombre des bactéries formées est alors si faible, qu'elles ne sont pas suffisantes pour l'exécution des expériences projetées, mais le deviennent seulement après avoir été mélangées avec une gélatine nourricière dans laquelle elles puissent se multiplier et former des colonies. De là, sinon une source d’erreurs, au moins une cause de retard dans la marche de l’expérience, retard qu'on peut éviter en opérant de la manière indiquée en premier lieu. L’addition d’asparagine à la gélatine peptonisée du poisson bouilli dans l’eau de mer, peut, tout comme celle de la gly- cérine, favoriser l’accroissement des bactéries; par elle aussi, on obtient des matériaux d’expérience abondants et éminem- ment lumineux. Lorsque, au contraire, à la susdite gélatine on ajoute à la fois de la glycérine et de l’asparagine, il en résulte une masse bactérienne d’abord très compacte, qui ne se laisse que difficilement diviser dans la gélatine ou dans l’eau de mer, et que même avec un fil de platine on a de la peine à désagréger entièrement. Ce n’est qu’au bout de plusieurs jours que ces cultures deviennent molles et utilisa- bles. Plus tard, beaucoup d'individus meurent dans les lignes d’inoculation, ce qui, lors de la division dans la gélatine, y occasionne inutilement un trouble: des bactéries vivantes et fortement lumineuses peuvent, au contraire, même introduites en grande quantité, fournir une plaque de gélatine parfaite- ment transparente et d’un grand pouvoir lumineux. Il est aussi très important de conserver les cultures mères des semences, à une température basse qui ne s'élève pas au 384 M. W. BEYERINCK. dessus de 10° C; c’est la chaleur qui est la principale cause de la dessiccation ,héréditaire” des cultures, si défavorable pour les expériences. Des terrains bien préparés avec beaucoup de bactéries actives possèdent un si haut degré de sensibilité chimique qu’au bout de quelques secondes ils réagissent déjà à l’action de beau- coup de substances, particulièrement à celle de la lévulose et de la glucose. Les réactions de Bunsen, par coloration de la flamme, trouvent ici leur anologue physiologique ; elles peuvent même, au point de vue de la longue durée des phénomènes, être surpassées de beaucoup par la lumière des bactéries (voir, par exemple, p 394). Dans certains cas, par exemple lorsqu'on veut mettre tous les individus dans des conditions à peu près égales par rapport à l'oxygène, il convient d’ensemencer les bactéries lumineuses sur la gélatine, comme pour une culture ordinaire en colonies. À cet effet, on verse la gélatine nourricière dans une boîte de verre et on la recouvre, après coagulation, d’eau de mer stérilisée, dans laquelle on a délayé les bactéries. Aussitôt après l’eau de mer est éloigné. Grâce à l’humectation de la gélatine, il s’y attache çà et là des bactéries, qui bientôt se développent en colonies. On obtient ainsi des plaques sur lesquelles les colonies de bactéries, même celles de bactéries liquéfiantes, comme le Ph. indicum et le Ph. luminosum, peuvent être soumises à l’action de substances susceptibles de diffusion. Mais, ainsi que nous l’avons déjà fait remarquer, il vaut mieux, quand rien ne s’y oppose d’ailleurs, mélanger avec la gélatine un très grand nombre de bactéries. En effet, outre l'élément nutritif expressément ajouté en excès, le terrain de culture renferme toujours, à l’origine, de petites quantités d’aliment photogène, lesquelles proviennent, comme impuretés inévitables, de l’eau de mer, de la gélatine, de l’aliment mélangé avec celle-ci, ou enfin du mucilage bactérien lui- même. Or, si à une pareille gélatine impure on incorpore une surabondance de bactéries lumineuses, tout ce qui peut ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 380 y servir comme aliment plastique et. photogène complet, c’est-à-dire, tout ce qui s'y trouve dans le rapport des ,équi- valents plastiques” (voir $ 5), est bientôt consommé, absorbé par les bactéries, pour être converti en substance bactérienne vivante ou pour être éliminé sous la forme d’acide carbonique et d'hydrogène, avec dégagement de lumière; seul, l'élément nutritif ajouté en excès, reste alors, à l’état de pureté, dans la gélatine. Les bactéries débarrassent manifestement le milieu ambiant de tout ce qui pourrait exercer une influence per- turbatrice sur le cours des expériences, ou rendre incertaine l'interprétation des résultats. Les expériences sur le Ph. phosphorescens et le Ph. Pflügerr doivent être faites à des températures comprises entre 10° et 15° C. Pour l'établissement de terrains lumineux avec le Ph. indicum, dans le mélange eau de mer-gélatine ou eau de mer-agar, Je fais usage de cultures de ces bactéries sur la gélatine de poisson-eau de mer, additionnée de ! pour cent de peptone et de ! pour cent d’asparagine. J’ai reconnu, en effet, que par la présence de l’asparagine la liquéfaction est retardée, ce qu1 n’est pas le cas de l’accroissement, de sorte que dans une goutte de semblables cultures on trouve beau- coup de bactéries et relativement peu de matière inopportune. Comme l’optimum de température pour les fonctions vitales de cette espèce est situé bien au-dessus de celui du PA. phosphorescens, savoir, au-dessus de 24° C, que le maximum de pouvoir lumineux ne s’observe que vers 30° C, et qu’en outre l’agar-agar, ainsi qu'il a déjà été dit, entrave un peu l’accroissement, l’expérimentation dans des liquides de culture est, au cas actuel, indispensable pour l'étude complète de la fonction lumineuse. 4. Les conditions générales de la nutrition. Ce n’est qu'avec le Ph. phosphorescens et le Ph. indicum que J'ai exécuté des expériences en nombre suffisant pour pouvoir 386 M. W. BEYERINCK. me faire une idée assez complète de la relation entre l’accrois- sement et la luminosité de ces espèces avec leur nutrition, au point de vue des substances étudiées et dans toutes les circon- stances, — une seule exceptée, — déterminées par le medium ambiant; j’ai trouvé cette nutrition relativement simple. Les Ph. Pflügeri et Ph. Fischeri s'accordent d’une manière générale avec le Ph. phosphorescens, maïs dans les détails ils présentent des différences, en partie intéressantes, d’autre part pas encore approfondies. Le Ph. indicum, et avec luile PA. luminosum, se trouve dans un cas tout à fait à part. De ces deux espèces, j'ai examiné, comme je l’ai dit, avec soin la première, dont j'ai trouvé la nutrition encore plus simple que celle du Ph. phos- phorescens. Quant au Ph. luminosum, la grande variabilité de sa fonction lumineuse en rend l'étude très difficile, mais sa nutrition ne diffère guère de celle du Ph. indicum. Commençons cet aperçu sommaire par le Ph. phosphorescens, dont le Ph. Pflügeri se rapproche en tout cas suffisamment pour pouvoir être compris sous la même règle générale. Le problème tout entier de la nutrition de ces bactéries est renfermé dans le court énoncé suivant: L’accroissement et l'émission de lumière exigent, l’un aussi bien que l’autre, la présence simultanée d'un corps peptonique, auquel puisse être em- emprunté l'azote nécessaire, et d'une seconde matière, azotée ou non, comme source de carbone. La peptone seule ne détermine ni accroissement ni production de lumière; les amides et les sels ammoniacaux des acides organiques sont dans le même cas que la peptone, attendu que n1 l’azote du groupe amide, ni celui de l’ammoniaque, n’est assimiiable Réunis à la peptone, toutefois, ces amides, aussi bien que ces sels ammoniacaux, peuvent devenir aliment photogène et aliment plastique, l'azote étant éliminé à l'état de sel ammoniacal, par exemple à l’état de phosphate ammoniaco- magnésien. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 387 Le tableau suivant rendra encore plus clair ce qui vient d’être dit: Peptone seule. . . . . . . . . .obscurité et pas d’accroissement Asparagine seule . ...... 3 AAUUE » Élicérine seule re eee , PU : Malate d’ammoniaque seul ï re ; Asparagine avec glycérine . . ; Hs » Peptone avec asparagine . . . . . . . lumière et accroissement Peptone avec glycérine . . LL = » » Peptone avec malate d’ammoniaque . OT Ven » Peptone avec asparagine et glycérine . PA ES $ Très remarquable me paraît le fait que les combinaisons carbonées, telles que la glycérine, qui réunies à la peptone constituent un aliment photogène et plastique, sont. sans peptone, absolument incapables de donner lieu à la produc- tion de lumière. De pareiïlles matières restent très longtemps inaltérées dans les cultures obscures, comme le prouve la lumière que celles-ci dégagent quand on y ajoute de la peptone. Néanmoins, je regarde comme probable que dans un laps de temps très grand, sous l’action de la respiration sans déve- loppement de lumière, elles finissent par disparaître totalement. En effet, que la respiration continue en l’absence de peptones libres, c’est là une conséquence nécessaire de tout ce que nous savons au sujet de ce processus en général, et la thèse, que dans cet acte, des combinaisons carbonées sont consom- mées et empruntées au dehors, paraît également être d’une application universelle. Il n’est pas encore possible de juger avec une sûreté suffisante si les peptones aussi peuvent agir en ce sens; je crois, toutefois, que tel est le cas !). Au sujet des conditions nutritives générales du Ph. Fischeri et de sa variété non liquéfiante, il y a à faire les mêmes remarques que pour le Ph. phosphorescens. Cependant, le PA. 1) Nous verrons tout à l'heure qu'il doit en être ainsi chez le Ph. luminosum et le Ph. indicum. 388 M. W. BEYERINCK. Fischeri, possédant le pouvoir de liquéfier la gélatine, donne ainsi naissance à des peptones. Cette action est lente, mais elle peut pourtant, en présence d’une combinaison carbonée, telle que la glycérine, devenir la source d’une émisson de lumière très prolongée. En ce qui concerne, au contraire, le Ph. luminosum et le Ph. indicum, ceux-ci se comportent, par rapport à l’aliment, d’une manière toute différente du cas précédent: Pour leur nutrition complète ils exigent seulement de la peptone, ou des matières albuminoïdes qu’ils peptonisent par leurs énergiques enzymes protéoly- tiques; ils peuvent donc de plein droit étre appelés des , Bactéries à Peptone”, par opposition au groupe précédent, auquel est applicable le nom de , Bactéries à Peptone-Carbone” !). La différence exprimée par ces dénominations me paraît avoir une importance fonda- mentale. Si arx deux groupes susdits on en ajoute deux autres, ceux des Bactéries à Amide et des Bactéries à Ammoniaque et à Nitrate, on obtient une distribution physiologique, fondée sur le besoin d’azote, qui n’embrasse pas seulement toutes les bactéries, mais aussi beaucoup d’autres formes vivantes. Je noterai ici que les nitrates sont fortement réduits par les bactéries lumineuses, ramenés à l’état de nitrites, et peut- être même, par les Ph. luminosum et indicum, à l’état de combinaisons ammoniacales ; mais les nitrates et les nitrites, pas plus que les combinaisons ammoniacales, ne peuvent servir de source d'azote à aucune de nos bactéries phosphorescentes. Jusqu'ici je n’ai même appris à connaître qu’un très petit nombre de microbes qui puissent tirer leur azote de l’acide n1- trique; je ne doute pas, néanmoins, que des observations ulté- 1) Ce nom n'est pas tout à fait logique, mais je ne sais pas en imaginer de meilleur pour indiquer que le groupe azoté de la peptone a besoin, dans ce cas, d’être complété par une autre matière, non peptonique, pour devenir substance organisée du corps de la bactérie. Je ne voudrais pas affirmer, toutefois, que le carbone des peptones est entièrement exclu de ce rôle, car jusqu'ici bien peu de chose m'est connu quant aux produits de sécrétion des bactéries lumineuses. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 389 rieures feront trouver plusieurs de pareilles formes, et Je m’occeupe de la recherche de réactions propres à déceler leur présence dans des milieux subissant des transformations qui invitent à une étude de ce genre. Il va sans dire que, dans cet ordre d'idées, les formes hypothétiques qui fixeraient l’azote atmosphérique libre, ne sont pas perdues de vue. Revenant aux Ph. luminosum et indicum, j'ai seulement à mentionner encore que différents corps organiques, tels que sucre de canne, sucre de lait, lévulose, maltose et glucose, ajoutés à la peptone, ne sont pas à la vérité complètement inactifs, mais nuisent, ici également, par la production d’un acide (en quantité notable surtout avec la glucose et la lévu- lose), à la croissance et au pouvoir lumineux. La glycérine paraît agir de manière analogue. L’asparagine, au contraire, ajoutée en petite quantité, donne lieu à un accroissement de lumière, peut-être par sa conversion en combinaisons ammo- niacales, qui pourraient neutraliser des acides formés à l’inté- rieur. Dans mes communications antérieures sur les bactéries lumineuses, j'ai dit que la glycérine peut agir, chez les Ph, luminosum et indicum aussi, comme aliment photogène; je ne m'explique pas bien comment cette erreur a pu être commise, et j'en suis réduit à supposer la présence d’impuretés dans les matières alors employées. Admettre que mes bactéries elles- mêmes auraient, dans le cours d’une année, subi une modifi- cation physiologique assez profonde pour que leur réaction aux susdites matières soit changée, cela paraît impossible, car, par une sélection régulière, mes cultures sont restées, au moins sous tous les autres rapports !), identiques à ce qu’elles étaient originairement. Comme je ne suis arrivé qu'après une longue suite d'observations à l'intelligence précise de la signification des peptones pour nos bactéries, il n’est pas surprenant qu’au début j'aie été exposé à des méprises. Il y a une chose, toutefois, au sujet de laquelle mon expérience 1) Seul, le pouvoir lumineux a peut-être éprouvé une légère augmentation. 390 M. W. BEYERINCK. est encore, même aujourd’hui, trop imparfaite, et qui pourtant peut jouer un rôle très important dans les recherches micro- biennes. Je veux parler de l'état particulier où se trouvent les bactéries qui sortent à peine de l’état sauvage et sont soumises pour la première fois aux conditions culturales d’un laboratoire bactériologique. On observe alors toutes sortes de changement plus ou moins notables, qui s’opèrent assez rapidement et conduisent bientôt à un état de stabilité, lequel persiste. La même variabilité se remarque chez quelques espèces qui passent simplement d’un laboratoire bactériologique à un autre. J’en citerai un exemple. Lorsque je reçus pour la pre- mière fois le PA. indicum et le Ph. Fischeri, de M. Fischer, de Kiel, le Ph. Fischeri, ainsi qu'il a déjà été dit, liquéfiait fortement la gélatine. Or, après que j’eus tracé, sur de la gélatine de poisson, les premières lignes de culture, il se forma au voisinage de ces lignes un grand nombre de petites colo- nies entièrement isolées, évidemment provenues de bactéries qui s'étaient déplacées à la surface de la gélatine, en s’éloignant des lignes. Je songeai d’abord à un dépôt de vapeur d’eau condensée, lequel aurait pu servir de véhicule aux bactéries ; mais cette explication fut reconnue fausse. La suite de l’ex- périence montra bientôt que la particularité en question avait été de nature simplement temporaire et devait avoir dépendu d’un état spécifique des bactéries elles-mêmes; celles-ci avaient peut-être pris à la gélatine de hareng, sur laquelle elles avaient été cultivées antérieurement, certains éléments, dont elles s'étaient débarrassées peu à peu dans mes cultures sur gélatine de poisson-eau de mer. Au reste, je ne crois pas qu’un changement de cette espèce, unique- ment relatif à l’état de motilité, ait été accompagné d’une différence dans l'aptitude à réagir par le dégagement de lu- mière ou l’accroissement à l’action de matières déterminées; pour une pareille hypothèse, la preuve fait défaut Nous sa- vons en outre, par les belles expériences de M. Engelmann et de M. Pfeffer, quelles influences extraordinairement faibles ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 891 régissent les mouvements des bactéries. Il ne m’a pas semblé superflu, toutefois, de faire remarquer que nous n'avons pas encore la certitude absolue de l’inactivité, en toutes circon- stances, de la glycérine sur les Ph. indicum et luminosum, bien que pour le moment, d’après toutes mes expériences posté- rieures, je doive admettre cette inactivité. Je ne puis terminer ce $ sans noter le fait que de la Histese (amylase) est sécrétée!) par les Photobacterium luminosum et indi- cum, en grande quantité par la première espèce, en petite quan- tité par la seconde. Ainsi se trouve rectifiée une erreur de mon Mémoire précédent, dans lequel je disais qu'aucune des bac- téries lumineuses ne sécrète de la diastase. Cette erreur pro- venait du fait que la production de diastase par les bactéries est quelquefois nulle dans les cultures liquides; or, ce sont de pareilles cultures qui m'avaient fait porter un jugement précipité. Si l’on trace des lignes de Ph. luminosum ou de Ph. indicum sur de la gélatine-eau de mer-poisson contenant de l’amidon, la diastase sécrétée par ces lignes très fondantes se diffuse dans la gélatine encore solide qui les entoure, de sorte que, en versant sur la masse une solution d’iode, on voit apparaître sur un fond bleu, de larges bandes incolores, composées d’une partie liquéfiée, limitée de chaque côté par un bord solide incolore. Quelle signification faut-il attacher au sucre qui se forme en pareil cas? On ne saurait guère ad- mettre qu’il soit sans fonction, et pourtant, comme la re- marque en à déjà été faite, Je n'ai pu trouver au sucre qu'une action nuisible. Il se peut, toutefois, que des actions à peine perceptibles, exercées sur la croissance ou la respiration des 1) J’ignore encore quelles sont les conditions qni régissent ce phéno- mène. La présence de sucres empêche chez les bactéries lumineuses (de mème que chez quelques autres espèces) la sécrétion d'un enzyme tryp- tique, mais non celle de la diastase. Pourtant, chez une bactérie que j'ai nouvellement trouvée, et qui sécrète une très grande quantité de diastase, la formation de cette matière est temporairement arrêtée par la présence de beaucoup de maltose dans l’aliment. 392 M. W. BEYERINCK. microbes par de faibles quantités de différentes matières, aient plus d’importance que nous ne leur en connaissons. En ce sens, les produits de l’action diastasique pourraient done jouer un rôle pour nos bactéries ‘). Le dégât causé par le sucre à la croissance de différentes espèces de bactéries est peut-être aussi de quelque poids dans la lutte pour l’existence que les bactéries lumineuses, relativement rares, ont à soutenir contre leurs innombrables concurrents; dans ce cas, toutefois, la formation de sucre devrait à coup sûr être regardée comme une arme des plus singulières, si l’on réfléchit qu’une quantité un peu notable de sucre devient très nuisible aux PA. lumi- nosum et indicum eux-mêmes. 5. Equivalents plastiques chez les Microbes à Peptone-Carbone. L'exemple suivant fera compendre ce que j'entends sous la dénomination de ,équivalents plastiques”. Précédemment, j'ai dit que la gélatine du commerce con- tient toujours un peu de peptones, assimilables par les bac- téries lumineuses et par d’autres microbes. Dans une solution à 8%, de gélatine de la marque 329 de la fabrique de gélatine de Winterthur, cette quantité de peptone est équivalente à 11 pour cent de sucre de canne, lorsqu'il s’agit de la fer- mentation et de la production de levûre déterminées par le Saccharomyces ellipsoideus dans une mince couche de gélatine de 1 mm d’épaisseur, où l’air peut facilement pénétrer et at- teindre toutes les cellules, même les plus profondes. Cela signifie que la susdite solution de gélatine à 8°/, mélangée avec des cellules de levûre, de la cendre de levûre et 1; pour 1) Des expériences de diffusion, faites avec le sucre de canne sur pla- ques de gélatine rendues lumineuses par le Ph. indicum, semblent indi- quer qu'à l’état d'extrême dilution ce sucre peut déterminer un faible accroissement de lumière, Mais dans les cas où, comme ici, il ne se forme que d’étroits anneaux lumineux autour de champs obscurs, il n’est jamais certain que la matière diffusée soit la cause primaire du phénomène observé. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 395 cent de sucre de canne, est au bout de quelque temps en- tièrement débarrassée de peptone et de sucre de canne, parce que les peptones de la gélatine et le sucre de canne ajouté se trouvent entre eux dans des proportions précisement telles qu'ils font naître des ceilules de levûre, sans qu'il reste un excédent de l’une ou de l’autre de ces deux matières. Un semblable rapport d'équivalence doit exister, pour les bactéries lumineuses, entre les peptones de la gélatine et toute substance qui peut, en réunion avec elles, déterminer l’ac- croissement et la luminosité de ces bactéries. Quel est ce rapport pour la peptone et l'aliment photogène par excellence: la glycérine? Quelle valeur a-t-1l pour d’autres matières pho- togènes, telles que les sucres, les sels d’acides organiques, les amides? Comment se comportent à cet égard d’autres espèces de bactéries, soumises à des conditions nutritives analogues ? Quelle est, dans ce cas, l’influence de l’accès plus ou moins libre de l'oxygène ? Toutes ces questions, si importantes qu’elles soient en elles-mêmes, doivent être écartées ici, et pour le but que nous avons présentement en vue nous pouvons nous rendre indépen- dant de leur solution, en ajoutant la substance, employée con- jointement avec la gélatine, en proportion supérieure à son équivalent plastique”. C’est ainsi, par exemple, qu’une géla- tine-eau de mer à 8%, mélangée avec des bactéries lumineuses et additionnée de 2° de glycérine, sera bientôt changée en un ,terrain glycérinique” pur, parce que 2 % de glycérine est, par rapport à la quantité de peptone contenue dans la gélatine, beaucoup plus que léquivalent plastique de la glycérine. Ré- ciproquement, en ajoutant de la peptone en excès, on peut facilement acquérir la certitude que les matières portées sur la gélatine lumineuse ne trouvent dans leur substratum rien d'autre que de la peptone, pour donner avec elles de la lumière ou provoquer de l’accroissement. L'insuffisance actuelle de mes observations m’empêche seule de m’étendre ici davantage sur les équivalents plastiques”, de l’importanee desquels je suis d’ailleurs pleinement convaincu. ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 26 394 M. W. BEYERINCK. Dans ce qui précède, il a toujours été supposé que sans consommation de peptone il ne s'opère pas de dégagement de lumière, et c’est là certainement, en général, l’expression de la vérité. Il y a, toutefois, deux séries de phénomènes, dont la première ne s'accorde que difficilement, et la seconde peut-être pas du tout, avec la règle suivant laquelle la lumi- nosité serait toujours liée à la disparition de peptones et à la formation de protoplasma. Je veux parler, en premier lieu, de l’influence que la présence de petites quantités de sucres assimilables, dans la gélatine nourricière, exerce sur la marche des actions lumineuses et sur le développement des champs de croissance. Voici l’observation. Les champs lumineux formés par les sucres sur des terrains ensemencés de Ph. phosphorescens et contenant beaucoup de peptone mais pas de matières photogènes, sont ordinairement très brillants, mais de courte durée et remplacés par des champs d’accroissement vigoureux. Au bout de un ou deux jours, le champ perd de son intensité lumineuse ou devient complètement obscur. Tout autres sont les phénomènes lorsque le terrain, outre ia peptone, contient aussi un peu de sucre, par exemple -l pour cent de glucose ou de maltose. Placés sur de pareils terrains, les sucres forment également des champs lumineux, qui toutefois sont plus étendus que dans le cas précédent, d’où 1il ressort que ie sucre déposé à la surface est absorbé moins rapidement. Mais, ce qu'il y a de remarquable, c’est la longue durée du dégagement de lumière, qui, pour un milligramme de sucre, diffusé par un décimètre carré et à environ la moitié de l'intensité lumineuse maxi- mum, peut continuer pendant 15 jours ou plus et est accom- pagné, dans ces champs, d’une croissance très faible. Avec l’asparagine, qui sur les terrains peptonisés ordinaires déter- mine, tout comme les sucres quoique plus tardivement, un fort dégagement de lumière et une croissance vigoureuse, l’accroissement sur de pareils terrains saccharifères peut même, paraît-il, faire presque tout à fait défaut, tandis que la lumi- ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 395 nosité demeure intense et persiste longtemps. Bien certaine- ment, la quantité de lumière produite dans ces dernières circonstances est beaucoup plus grande que celle émise dans le premier cas, et, réciproquement, la quantité de matière vivante formée est beaucoup moindre. Il n’y a donc pas de doute que, par la présence de la faible quantité de sucre, la valeur de l’équivalent plastique n'ait été changée, en rapport évident avec la diminution d’activité dans la croissance des bactéries. Le sucre diffusé à donc été lentement brûlé en proportion plus forte que lorsqu'il y avait absence de sucre dans le terrain. J’avais d’abord pensé qu'il fallait conclure de là à l’existence de matières photogéniques, ou de condi- tions photogéniques, pouvant donner lieu au dégagement de lumière sans formation simultanée de nouveau protoplasma. Plus tard, je suis de plus en plus revenu de cette idée, parce que, dans presque tous les cas nets, j’ai pu me convaincre que la production de lumière est accompagnée de croissance, si faible que soit celle-ci. Lorsque cela m'a été impossible, il y avait le plus souvent à assigner des causes qui rendaient incertain le jugement à porter sur expériences. Telle est, par exemple. l'accroissement général dans les couches de gélatine, d’où résulte pour celles-ci un aspect trouble, qui peut gêner beaucoup l'observation des champs de croissance, fondée sur l'estimation de contrastes. Ces phénomènes ne donnent donc pas de motifs suffisants pour renoncer à l’opinion que le dégagement de lumière va toujours de concert avec le passage de peptones à l’état organisé; ils tendent seulement à établir que la grandeur des équivalents plastiques est modifiée à un haut degré par toutes sortes d’influences, par exemple, dans le cas particulier dont ïl vient d’être question, par la présence de 0,1 pour cent de glucose dans la gélatine nourricière. Pourtant, 1l y a des circonstances particulière où le rapport des sucres aux autres éléments du terrain est tel que, malgré une forte augmentation de lumière, aucun phénomènne de 26* 396 M. W. BEYERINCK. croissance n’est perceptible et ne saurait être admise par aucune raison fondée sur l’observation directe. C’est ce qu’on voit, par exemple, lorsque, sur un terrain ARE a b CHE Représentation graphique de la croissance (4 et B) et de l'intensité lumi- neuse (C) des champs de diftusion de glucose (gu), d’asparagine (as) et de glycérinie (gl) sur gélatine-peptone avec Ph. phosphorescens. En À, les champs de croissance, vus d’en haut, sont indiqués par des cercles. Le pointillé représente les colonies au sein de la gélatine, ou sur sa surface, disséminées dans ces champs. En B, les ordonnées des courbes représentent la quantité dont la crois- sance dans les champs surpasse la croissance dans le terrain lui-même. Pareillement, en C, les ordonnées des courbes sont la représentation des excès de l'intensité lumineuse des champs sur celle du terrain. On voit que l'intersection du champ d’asparagine (as) avec la limite extrême du champ de glucose (gu), entre les lettres a et b, est caractérisée par l’arrêt de croissance et l’augmentation de lumière (ab en C); en Le, il y a une action lumineuse du mélange peptone-glucose, non accompagnée de croissance. A l'intersection des champs de glycérine et d’asparagine, on ne remarque pas d'augmentation de croissance, mais bien une augmen- tation de lumière (cd en C). ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 397 de gélatine-peptone ensemencé par Ph. phosphorescens (voir la figure ci-dessus), un champ de diffusion de glucose (qu, À) est amené à rencontrer un champ de diffusion d’asparagine (as). Là où les deux champs de croissance et de luminosité se coupent, 1l existe alors une bande fortement lumineuse (ab, C), sans croissance appréciable (ab, B). Cette bande correspond, comme le montre la figure, à une très faible proportion de glucose, qui, avec la peptone seule, n’a pas non plus donné d'effet de croissance net et n’a donné qu'une très faible aug- mentation de lumière, indiquée en le dans la figure. La nature chimique de la glucose est la raison principale du phénomène en question, car dans notre figure on remarque en outre l'intersection du même champ d’asparagine (as) avec un champ de diffusion de glycérine (gl), et sur cette partie commune, sans le moindre ralentissement de croissance, est seulement devenu visible un segment semi-lunaire à émis- sion lumineuse renforcée (cd en C). C’est un fait très remarquable que, même dans ces cas sans croissance distincte, la présence de peptones soit une condition nécessaire de la luminosité, de sorte que cette fonction ne dépend pas seulement de la glucose ou de la glycérine, mais exige, outre ces matières et l’oxygène, l’intervention simul- tanée de la peptone. On ne saurait donc douter, me semble-t-il, que lors du dégagement de lumière il ne doive exister, dans intimité du protoplasma, une cause de consommation, d’usure de la matière vivante, pouvant faire équilibre à un processus de rénovation avec absorption de peptone-sucre ou de peptone- glycérine. Si cette hypothèse est fondée, 1l devient clair qu’un accroissement, ou une multiplication visible des bactéries n’a pas nécessavrement besoin d'accompagner le dégagement de lumière. Celui-ci ne pourrait s’accomplir, par contre, sans que les éléments azotés du terrain ambiant subissent d'importantes transformations chimiques. Le second cas où l’aliment photogène n’excerce pas d’action plastique manifeste, est relatif à certaines matières peu con- 398 M. W. BEYERINCK. nues, qui existent en petite quantité dans beaucoup de liquides animaux, par exemple dans le bouillon de poisson, ainsi que dans des sucs végétaux, et qui peuvent en être précipitées, en même temps que des peptones et des sels inactifs, par l’alcool; ces matières paraissent se trouver aussi à la surface d’une foule de filaments mucédinéens et de colonies de bac- téries, tant chez les espèces qui liquéfient la gélatine que chez celles qui sont dépourvues de cette propriété. Les substances en question peuvent être retirées de l'extrait de pancréas, mais elles se forment aussi, bien qu’en faible quantité seule- ment, par l’action de l’enzyime tryptique des mucédinées et de beaucoup de bactéries, parmi lesquelles les bactéries lumi- neuses à peptone elles-mêmes, sur la viande, l’albumine, la caséine, la gélatine, etc. Elles paraissent résister à une ébullition prolongée et se diffuser avec des vitesses très différentes, ce qui impliquerait aussi l'inégalité de leurs volumes moléculaires. Leur propriété la plus remarquable est de pouvoir entretenir pendant longtemps, sans le concours d’autres corps, la lumi- nosité des Ph. phosphorescens, Ph. Pflügeri, et Ph. Fischeri, de même que celle des Ph indicum et Ph. luminosum ; et, bien que la lumière ainsi dégagée puisse être très intense, c'est à peine si au bout de 15 jours ou d’un mois on dé- couvre une trace d’accroissement. Peut-être avons nous ici affaire à un groupe de corps pouvant être considérés comme des combinaisons de peptones avec certaines autres substances carbonées; ces corps, après avoir pénétré dans les cellules lumineuses, y donneraient lieu, comme dans le cas précédent, à une rénovation moléculaire, qui ne serait pas nécessairement accompagnée de croissance, sans toutefois, pour cela, faire exception à la règle que la fonction lumineuse est liée au passage de peptones à l’état organisé. Provisoirement, je dois m'abstenir de plus longs détails sur ces faits, et me borner à en signaler l'importance. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 399 6. Phénomènes d'extinction causés par l'aliment photogène. La justesse des considérations exposées au $ précédent se déduit du développement des champs de diffusion produits par les matières qu’on place sur les terrains ensemencés de Ph. phosphorescens, et des changements qui s’y observent dans des circonstances déterminées. Nous apprenons à connaître ainsi, avant tout, deux phénomènes frappants, à savoir, l’ex- tinction parfois occasionnée par les matières photogènes, et l'étendue constante ainsi que l'intensité uniforme que les champs de diffusion possèdent au moment de leur action lumineuse maxima. Suivons de plus près ces deux phéno- mènes sur un exemple déterminé. La glycérine est l’aliment photogène par excellence. Elle ne donne lieu à aucune fermentation, et son oxydation exige beaucoup d'oxygène libre, comme le prouve la faible épais- seur de la couche lumineuse des terrains à peptone-glvcérine- Ph. phosphorescens. Dépose-t-on une goutte de glycérine sur un terrain à peptone-Ph. phosphorescens qui contienne très peu de peptone, par exemple ! pour cent, et dont le dégagement de lumière s’entretienne encore aux dépend des matériaux de réserve des bactéries disséminées dans la gélatine, voici dans quel ordre les phénomènes se succèdent. D'abord, un champ diffusif obscur sur le terrain lumineux; ensuite, dans ce champ obscur, retour de lumière atteignant une intensité très supérieure à celle du terrain. Le champ obscur et le champ lumineux ayant précisément les mêmes dimensions, 1l est certain que l’obscurcissement coïncide avec l'absorption de la glycérine, dont la diffusion s'arrête lorsque l’émission de lumière commence. Cette émission procède du dehors en dedans, d’où il résulte évidemment que la con- centration plus forte exerce une action de retardement; mais, ensuite, l'intensité lumineuse devient la même sur toute 400 M. W. BEYERINCK. l’étendue du champ, pour diminuer, plus tard encore, d’une manière également uniforme. L’explication de ces phénomènes est, sans nul doute, la suivante. Au moment de l’obscurcissement, la quantité de peptone contenue dans les bactéries est moindre que l’équivalent plas- tique de ce corps par rapport à la quantité de glycérine que les bactéries absorbent, et l'accumulation exagérée de la olycérine suspend l’exercice de la fonction lumineuse. Quand on opère sur une culture en colonies, à l’état de croissance à la surface d’une couche de gélatine-peptone, on voit que l’obscurcissement s'accompagne de l’arrêt ou d’une forte di- minution de la croissance, de sorte que la formation de pro- toplasma, c’est-à-dire la fixation de peptone, a manifestement cessé. Lorsque les bactéries ont heureusement traversé cette période d’obscurcissement, — il est possible qu’elles y meu- rent, — toute la glycérine, comme nous l’avons vu, a été absorbée par les bactéries, car la diffusion de ce corps ne fait plus de nouveaux progrès; à partir de cet instant, la peptone du terrain, si petite qu'en soit la quantité, peut affluer de tous côtés, pénétrer dans les bactéries et donner lieu, avec la gly- cérine, à la formation de protoplasma, à l’accroissement des co- lonies et au dégagement de lumière. Si ce raisonnement est juste, il faut que, pour une certaine proportion de peptone dans le terrain, il n’y ait plus d’obscurcissement. À ce que je crois, toute teneur en peptone, qui est suffisante pour que cette matière pénètre dans les bactéries en quantité supérieure à celle exigée par l’équivalent plastique de la glycérine, est suffisante aussi pour prévenir l'extinction. Aussi est-il possible de préparer des terrains qui, en raison de leur forte propor- tion de peptone, donnent immédiatement de la lumière avec la glycérine. On ne doit pas perdre de vue, toutefois, que l’état d’activité des bactéries a sur l’imbibition de la peptone et de la glycérine une puissante influence, et que justement les causes dont cette activité dépend se laissent difficilement ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. AI apprécier. C’est là le point faible du raisonnement; mais, comme l'intensité lumineuse des bactéries offre une mesure pour juger du degré de leur activité, il y a des chances pour que, de celle-ci même, on arrive à tenir compte. Les phénomènes dont il vient d’être parlé ont certainement une signification générale. Chez les bactéries lumineuses, toutes les matières photogènes, — sauf la peptone, — peuvent oc- casionner l’obscurcissement du champ et le ralentissement de la croissance. Les matières non assimilables ne possèdent pas cette propriété. C’est ainsi que la glycérine et l’asparagine, qui sont au nombre des meilleures substances photogènes, donnent très facilement lieu à ‘’obscurcissement; le sucre de lait et le sucre de canne, qui ne sont pas assimilés, restent sans effet. Même le peroxyde d’hydrogène, c’est-à-dire, — puisque ce peroxyde est rapidement décomposé par les bac- téries lumineuses, — même l’oxygène libre peut agir comme extincteur ou comme excitateur. D’autres organismes présen- tent, dans leurs champs d’accroissement, les mêmes phéno- mènes. C’est ainsi que la levûre ordinaire éprouve souvent un ralentissement de croissance quand on fait agir sur elle des solutions d’asparagine dépassant un certain degré de concen- tration. Peut-être que, dans ce cas, l’activité se laisserait apprécier par le ,pouvoir fermentatif”, et le ,pouvoir fermen- tatif”” par la proportion de protoplasma contenu dans les cellules. L'action des sucres assimilables par le Ph. phosphorescens. tels que la glucose, la lévulose, la maltose et la galactose, mérite encore une mention particulière. Ces matières photogènes émi- nemment actives donnent aussi très facilement lieu à l’extinc- tion. L’explication de ce phénomène ne s’accorde qu’en partie avec celle donnée plus haut; ici, en effet, outre l’extinction dépendant des équivalents plastiques des sucres par rapport à la peptone, 1l entre encore en jeu un autre facteur, à savoir, la formation d’un acide. Cette formation d’un acide, dans les cultures, est toujours accompagnée du dégagement d’un corps à odeur désagréable, 402 M. W. BEYERINCK. qui lui-même a une réaction faiblement acide, et qui est peut-être un acide gras volatil. Cependant, les bactéries sont capables d’oxyder très lentement l’acide qu’elles ont formé elles-mêmes, tandis que je n’ai pu observer qu’elles possé- dassent cette faculté par rapport aux acides formique, acéti- que, propionique et butyrique. Je ne doute pas, toutefois, que l'extinction des cultures sous l’influence des sucres soit réellement due à la production d’un acide, car le carbonate de soude, qui pénètre facilement dans les bactéries !}, exerce une action favorable sur l'émission lumineuse, manifestement par la neutralisation de l'acide contenu dans les bactéries. La possibilité existe donc, à mon avis, que l’acide volatil ne soit pas identique avec celui auquel est dû l’extinction et qui peut-être ne peut nullement quitter les bactéries. Si cette explication est juste, l’acide pourrait être de l’acide lactique, de l'acide aspartique ou de l'acide succinique, car ceux-ci également peuvent être oxydés, avec dégagement de lumière, par les bactéries lumineuses de poisson. Il faut encore noter le fait que, dans certaines circonstances, la glucose peut favoriser l’accroissement, pendant que la lumière est complètement éteinte. C’est ce qu’on remarque surtout dans les lignes tracées sur des plaques de gélatine nourricière contenant de la glucose. Au microscope, on reconnait que les bactéries de ces lignes sont transformées en gros corps sphériques à structure interne particulière, de sorte qu’il reste encore à savoir si cet accroissement apparent n'est pas sim- plement dû au gonflement des bactéries par absorption d’eau, sans qu'il y ait eu division. Lorsque la matière de pareilles lignes est portée sur une gélatine nourricière ordinaire, exempte de sucre, le dégagement de lumière ne tarde pas à se pro- 1) Des lignes de Ph. phosphorescens deviennent tout à fait transparentes sous l'influence de la glucose; en déposant une goutte de carbonate de soude sur une pareille ligne, on voit les bactéries elles-mêmes devenir sris de cendre, évidemment parce que le carbonate de soude y pénètre. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 403 duire, et bientôt l’état normal est rétabli aussi en ce qui concerne la forme et la division cellulaire. 7. Aliments photogènes et aliments plastiques du Photobacterium phosphorescens. Matières inactives et matières antiseptiques !). Tandis qu’il est très facile de déterminer quelles sont les matières qui peuvent servir de sources de carbone pour le Ph. phosphorescens, c’est-à-dire suppléer ce qui manque à la pep- tone pour former un aliment plastique complet, il est beaucoup plus difficile d'apprendre à connaître les corps qui contiennent l'azote sous une forme assimilable par notre bactérie. Pour atteindre le premier de ces deux buts, le mieux est de faire usage de ce que j’appellerai le ferrain à peptone du Ph. phos- phorescens. Quant aux sources d’azote assimilable, j'ai cherché à les déter- miner au moyen du terrain à glycérine du Ph. phosphorescens. Le résultat principal auquel ces recherches ont conduit a déjà été communiqué au $ 4; ïl revient à ce fait, que les peptones seules sont aptes à fournir l’azote, tandis que le carbone peut être emprunté aux matières les plus diverses. Je ne veux pas affirmer, bien entendu, que parmi les innom- brables corps non essayés par moi, il n’y aït par des ma- tières, autres que les peptones, pouvant servir d’aliment azoté ; seulement, ces matières, si elles existent, je ne les ai pas rencontrées. Le terrain à peptone peut être préparé de deux manières différentes. D'abord, on peut prendre pour tel une décoction de poisson dans l’eau de mer, à laquelle on ajoute encore 1 pour cent de peptone. Lorsque la quantité de peptone supplémentaire est moindre, elle donne aisément lieu, ainsi qu'on peut l’inférer de ce que nous avons vu plus haut, à 1) Sous le nom de matières ,antiseptiques” je désignerai les corps qui entravent l'émission de lumière et l'accroissement, 404 M. W. BEYERINCK. un obscurcissement prolongé, qui occasionne du retard dans la détermination de l'aliment photogénique. Une pareille gélatine de poisson contient, outre les substances particulières dont il a été question pag. 398, une certaine quantité de matières pouvant fonctionner comme source de carbone et fournir, conjointement avec la peptone, un aliment plastique. Ces matières doivent être consommées, absorbées par les bactéries, avant que les expériences puissent commencer. Il faut donc laisser reposer pendant quelque temp ces terrains à peptone, et n’en faire usage que lorsque le pouvoir lumineux baisse. Ils montrent une grande tendance, après l’action prolongée du Ph. phosphorescens, à déposer des cristaux de phosphate ammoniaco-magnésien, surtout quand, outre la peptone, on a ajouté un peu d’asparagine. Pour cette raison, et pour d’autres encore, je présume que les éléments supplétifs de la peptone, qui se trouvent dans une pareille gélatine de poisson, consistent, en dehors d’une trace de glycérine, prin- cipalement en corps amidés. Au surplus, je suis convaincu que toutes les matières qui existent dans les décoctions de poisson, en tant qu’elles ne constituent par des peptones, sont impropres à satisfaire au besoin d’azote de nos bactéries. En lui-même, à la vérité, ce point est d'importance secondaire, mais il ne l’est pas pour mon but; des expériences faites antérieurement avec la gélatine de poisson peptonisée, et qui plus tard n’ont plus été répétées avec la peptone seule, for- ment en effet la base du jugement à porter sur l’action de quelques-unes des substances qui seront nommées plus loin, et empruntent leur valeur à la certitude que le terrain ne contenait, comme source d’azote, que des peptones. La seconde forme du terrain à peptone est celle-ci. De l’eau du mer, ou de l’eau des dunes additionnée de 3 pour cent de sel marin, est mélangée avec 8 pour cent de gélatine, 2 pour cent de peptone et 0,2 pour cent d’une dissolution de cendres de levûre dans l’acide chlorhydrique, neutralisée par le phosphate ou le carbonate de soude. En délayant dans ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 405 ce mélange une grande quantité de Ph. phosphorescens, on ob- tient, après la coagulation, une plaque lumineuse si pauvre en matières carbonées qu'on peut immédiatement s’en servir pour les expériences, tandis que dans le terrain à gélatine de poisson les bactéries devaient préalablement subir quelques divisions. Il ya encore un autre avantage attaché à ce terrain à peptone simplifié: on peut à son aide agir directement sur l'état auquel les bactéries ont été amenées par des conditions nu- tritives antérieures, et celles-ci on les règle à volonté, en choisissant, pour l’ensemencement, des bactéries provenues de masses nourricières déterminées, Pour la gélatine à glycérine, on peut prendre la même com- position que pour la gélatine à peptone, à cela près, que les 2 pour cent de peptone sont remplacés par 1 pour cent de glycérine. La teneur en peptone de la gélatine du commerce, teneur mentionnée plus haut et nullement négligeable, exige que ces terrains à glycérine soient, eux aussi, soumis d’abord pendant quelque temps à l’action épuisante du Ph. phospho- rescens; c’est la seule manière d'acquérir la certitude qu'il ne reste plus, comme matière photogénique disponible, que la glycérine. Au bout d'environ 24 heures, à la température ordinaire de chambre, la gélatine de culture est privée d’azote assimilable, après quoi l'intensité lumineuse commence bientôt à diminuer !). Le terrain poisson-peptone et, à un moindre degré, le terrain 1) Au bout d’un temps très long, de deux ou trois mois par exemple, toute culture de Ph. phosphorescens arrive, par suite de la mort de ,,vieilles”? bactéries, à contenir, à l’état de liberté, une substanze azotée et pouvant servir d’aliment photogène., Il en résulte que les cultures de Ph. phospho- rescens, bien établies, sont en quelque sorte immortelles, C’est ainsi que, dans mon laboratoire, un tube de Gayon rempli d’une pareille culture a continué à briller vivement depuis le jour de la préparation, 11 octobre 1888, jusqu’au moment actuel, 2 mai 1890, c’est-à-dire depuis plus de 18 mois. Cette circonstance, toutefois, ne dérange pas nos expériences, vu qu'elles sont terminées en trois ou quatre semaines. 406 M. W. BEYERINCK. à peptone ordinaire surpassent le terrain à glycérine sous le rapport de l’intensité lumineuse manifestée dans les expérien- ces; mais tous ils restent au-dessous du pouvoir lumineux maximum que nos bactéries peuvent développer sous les conditions les plus favorables, par exemple, dans les cultures en lignes sur le terrain gélatine de poisson-eau de mer-peptone- asparagine-glycérine. Pendant longtemps je me suis demandé quelle pouvait bien être la raison principale de ce fait. Aujourd’hui, je crois en avoir trouvé l'explication partielle dans la circonstance que le mélange de différentes matières favorise l’action de chacune d'elles, c’est-à-dire, que la peptone, en réunion avec la glycérine et la glucose, peut déterminer plus de luminosité et plus de croissance qu'avec chacune de ces matières sépa- rément !}. J’ai observé le même fait chez d’autres microbes, et j'en citerai quelques exemples, parce qu'il me paraît important. À de l’eau de mer, dans laquelle à été dissous 0,5 pour cent de peptone, on ajoute 0,1 pour cent d’asparagine, 0,2 pour cent de glycérine et une trace de bactéries lumineuses. Bientôt le liquide commence à donner une lumière très vive, et cette émission continue sans affaiblissement jusqu’à ce que l’asparagine soit totalement consommée; alors il se produit assez subitement une diminution de lumière, après quoi la luminosité ne varie plus aussi longtemps qu’il reste de la glycérine disponible. Même dans un terrain lumineux mr préparé avec du bouillon de poisson, : pour cent de peptone et des bac- téries de Ph. phosphorescens, on peut reconnaître assez nettement, au subit affaiblissement de lumière, le moment où l’une des matières photogènes du poisson disparaît, tandis qu'il reste encore un ou plusieurs des autres éléments. De différentes 1) Tel n’est pourtant pas toujours le cas, ainsi que nous l’avons vu plus haut (voir p. 394 et ab en B de la fig. p. 396). ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 407 observations il semble résulter que les amides de ces décoctions de poisson disparaissent les premières, la glycérine la dernière. Autre exemple, Le mycoderme ordinaire de la bière, Myco- derma cerevisiae, peut, en présence d’un sel ammoniacal, croître modérément aux dépens de l’alcool, et érès lentement aux dépens de la glycérine. Sur une couche de gélatine contenant, outre cet organisme, du sulfate d’ammoniaque et de la cendre de levûre, plaçons, à quelque distance l’une de l’autre, une goutte d'alcool et une goutte de glycérine: au bout de 2 ou 3 Jours on verra les champs de diffusion de ces matières devenir un peu troubles par suite du développement en colonies des cel- lules du Mycoderma; le champ de diffusion de l’alcool perd sa transparence plus tôt et plus complètement que celui de la glycérine, moins facilement assimilable. Lorsque, toutefois, les gouttes de ces matières ont été placées sur la gélatine de telle sorte que leurs champs de diffusion se coupent avant que les cellules aient eu le temps de tout absorber, 1l se forme un champ d’intersection lenticulaire, dans lequel l’accroisse- ment paraît être encore plus énergique qu’on ne pourrait l’attendre même du concours de ce que chacune des deux matières produit séparément. Par rapport aux bactéries lumi- neuses, tout ceci s'applique évidemment aussi bien au déga- gement de lumière et au processus respiratoire qu’au résultat de ces actes, en tant qu'il peut être rendu visible par l’accroissement. Comment ces phénomènes doivent-ils être interprétés ? Avons-nous à nous figurer, dans le protoplasma des microbes, l’existence de groupes agissant séparément et qui seraient, pour ainsi dire, autant d’adaptations spécifiques à des matières déterminées? Ou bien, faut-il songer à des états de mouve- ment intermittents des groupes actifs, à un état de , fatigue”, qui laisserait place à d’autres formes de mouvement et se dissiperait sous leur influence? Un argument, me semble-t-il, en faveur de la seconde hypothèse, c’est que les matières chimiques, susceptibles de donner lieu aux actions dont il 408 W. M. BEYERINOK, s’agit, peuvent souvent être choisies tout à fait arbitrairement dans de longues séries de corps. D’un autre côté, toutefois, la constitution de la matière vivante des organismes supéri- eurs paraît être telle qu'on doive conclure à l’existence de différences de substance entre les unités matérielles du pro- toplasma, — unités qui servent à la fois de fondement aux fonctions spécifiques et aux formes spécifiques des organes, et qui, lorsque leur rôle devient prépondérant, font apparaître ces actions ou ces configurations !). Mais, revenons aux terrains photogéniques. Ainsi qu'on l’a déjà vu, l’activité des bactéries, et par suite leur vitesse de réaction, est beaucoup plus grande durant l’état lumineux qu'après l’extinction complète, et dès que l’aliment contenu dans le milieu ambiant a été absorbé par les bacté- ries, on n'a plus à craindre que cet aliment devienne une source d'erreurs. C’est donc avec des plaques fortement lumi- neuses qu’il convient d’opérer. Cette condition sera évidemment le mieux réalisée en répartissant une très grande quantité de bactéries lumineuses dans une gélatine nourricière préparée sans faire usage de poisson. Aussi longtemps, toutefois, qu’une matière quelconque, pouvant servir d’aliment photogène, existe encore à l’état de dissolution dans la gélatine, done en dehors du corps des bactéries, toute augmentation de sa quantité est indifférente, de sorte que, placée sur le terrain lumineux, cette matière se montre complètement inactive. Si, par exemple, une plaque est lumineuse aux dépens de glycérine libre, dissoute dans la gélatine, une goutte de glycérine, déposée sur cette plaque, 1) Je pense ici à la stabilité des conidies de beaucoup d'Ustilaginées et d'Ascomycètes, à celle de certains organes à accroissement continu des plantes supérieures, tels que les racines et les rhizomes, aux sexes des plantes dioïques et des animaux, à la permanence des axes latéraux des Conifères lors de la multiplication par boutures, aux formes dites de jeunesse” ou de transition” dans cette même classe de plantes, et à plu- sieurs autres phénomènes analogues. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 409 est tout à fait inactive: ou bien elle donne lieu à extinction lorsque la limite de concentration déterminée par les peptones est franchie, c’est-à-dire, dès que la glycérine pénètre plus rapidement du milieu ambiant dans les bactéries que ne le fort les peptones équivalentes !). Au reste, il est évident que le fait en question n’induira pas facilement en erreur, quand la composition de la gélatine employée sera connue d’avance. Pour le point suivant, au contraire, la certitude est beau- coup plus difficile à obtenir. L’asparagine ne peut pas servir de source d’azote pour la glycérine, les sucres, les acides organiques et leurs sels, n1 pour les autres matières examinées par moi. En conséquence, je regarde l’asparagine comme n'étant jamais propre à céder de l’azote assimilable, tandis que, en présence de peptones, ce corps se montre un excellent aliment photogène et plastique. Peut-être, cette conclusion n'est-elle pas juste et sera-t-il prouvé par des recherches ultérieures qu'il existe des combinaisons déterminées, azotées ou non, ou des mélanges de pareilles combinaisons, qui, ajoutés à la glycérine, amè- nent l’azote de ce corps sous une forme assimilable pour les bactéries lumineuses. De pareilles matières me sont toutefois inconnues, et toute conclusion ne peut naturellement reposer que sur les connaissances du moment. Pourtant, je ne crois pas que, parmi les matières dont la liste sera donnée ci-dessous, on en trouvera qui aient été mal jugées ; pour cela, la marche de lexpérience est trop simple, et, une fois comprises les conditions fondamentales du dégagement de lumière et de l'accroissement, il reste à peine place au doute. 1) Il ne faut pas perdre de vue, pour le jugement à porter sur ces ex- périences ou sur d’autres du même genre, que des colonies disséminées dans la gélatine se comportent, sous le rapport en question, un peu autre- ment que des bactéries isolées. Il est toujours bon de répéter une même expérience dans des conditions différentes, afin de se rendre plus indépen- dant de causes perturbatrices peut-être inconnues. ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. DT 410 M. W. BEYERINCK. Les matières qui auraient pu occasionner le plus d’erreurs, parce que je n'avais aucun moyen d’en apprécier la pureté, telles que la kréatine, la sarcine, l’allantoïne, la neurine, sont toutes non photogéniques, de sorte qu’à leur sujet on peut seulement demander si elles ont été examinées aussi bien par rapport à la peptone, c’est-à-dire comme sources de carbone, que relativement à la glycérine, c’est-à-dire comme sources d'azote. Or, ce double examen a eu lieu, et dans aucune des deux directions les matières en question n’ont apporté le moindre changement à la lumière. Quant à savoir s’il existe d’autres corps, avec lesquels ces matières puissent constituer un aliment plastique, c’est là une question que je ne saurais naturellement trancher d’une manière générale ; mais je serais surpris qu'il en fût ainsi, et les sucres, qui sous ce rapport méritent en premier lieu l'attention, ne sont pas du nombre de pareils corps. Après ce qui précède, il est suffisamment clair que la pep- tone ne produit pas de champ lumineux sur un terrain à peptone, mais bien sur un terrain à glycérine et sur un terrain à asparagine. De même, on comprend que l’asparagine doit être complètement inactive sur un terrain à glycérine, et qu’elle peut au contraire donner un champ lumineux brillant sur un terrain à peptone. Nous avions déjà appris à connaître quelques-uns de ces faits au $4, en parlant des conditions générales de la nutri- tion; mais il ne m’a pas semblé inutile d’entrer dans quelques répétitions, à propos d'observations sur lesquelles sont fondées des vues d’une certaine généralité. Dans le tableau suivant, les matières qui ont fait l’objet d’une étude spéciale se trouvent réparties en trois groupes. Au premier groupe appartiennent tous les corps qui forment avec la peptone un aliment plastique complet, et les peptones elles-mêmes, qui jouent ce rôle par rapport aux corps en question. Sous le nom de peptone sera entendu le produit essentiel de la transformation de la gélatine, de l’albumine ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. AT 1 et de la caséine par la pepsine et par la trypsine, abstraction faite des différences que ce produit présente certainement dans les divers cas. À l’exécution des expériences qui servent de base au tableau, M. ie Dr. Wijsman à pris une part active; sans sa collabo- ration, plusieurs des substances qui y figurent auraient dû être omises. C’est à l’obligeance de M. le Professeur Van ’t Hoff que je dois les sels actifs des acides malique et tartrique, comme aussi les différents aldehydes aromatiques mentionnés. Action de différentes matières sur la luminosité et l’accroissement du Photobacterium phosphorescens. , Matières Extinctives ou Antiseptiques: Champs de diffusion Matières Photogènes:| Matières Inactives: Champs de diffusion | de men ee aue an fran Loue 1e temoin lumineux. terrain. PSC aCCTOS-| Pas de champs d’ac- SONG | eroissement. 1. HYDRATES | Glucose Amidon Sorbine DE CARBONE, | Galactose Inuline GLUCOSIDES | Lévulose Glycogène ET ALCOOIS. | Maltose Erythrogranulose Glycérine Maltodextrine Leucodextrine Amylodextrine Arabinose Raffinose Sucre de canne Sucre de lait Dulcite Mannite Quercite Erythrite Alcool amylique Alcool éthylique Glycol Amygdaline Arbutine 412 M. W. BEYERINCK. Matières Photogènes:| Matières Inactives: Champs de diffusion égaux au terrain. Pas de champs d’accrois- sement. Champs de diffusion plus lumineux que le terrain. Matières Extinctives ou Antiseptiques: Champs de diffusion plus obscurs que le terrain lumineux. Pas de champs d’ac- croissement. 2. ACIDES OR- GANIQUES ET LEUR SELS (NON AROMA- TIQUES). 3. AMIDES ET ANALOGUES. Acide lactique Acide citrique (très faible)| Acide mucique Lactate de chaux (|Acide oxalique (très faible) Oxalate d’ammoni- Lactate de soude um (très faible) Bioxalate d’ammo- Lactate de potasse nium (très faible)|Acide glycolique Succinate de chaux|Glycolate de chaux Acide malique Formiates Malate de soude Acétates Bimalate d’ammoni- Butyrates um droit Acide tartrique Bimalate d’'ammoni-|Tartrate de chaux um gauche Acide racémique Bimalate d'ammoni-|Se] de Seionette um inactif droit si Bimalate de mag-|Se] de Seignette nésie gauche Acide glycérique Glycérate de chaux Acide aspartique |Glycocolle Asparagine Kréatine Alanine Sarcine Glucosamine Allantoïne Guanine Neurine Leucine Acide urique Urée Alloxane Taurine | Tartrate d'ammoni- um Acide formique Acide acétique Acide propionique Acide butyrique ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 413 EP I Matières Photogènes: Champs de diffusion plus lumineux que le |D,, terrain. Matières Inactives: Champs de diffusion égaux au terrain. s de champs d’accrois- Matières Extinctives ou Antiseptiques: Champs de diffusion plus obscurs que le terrain lumineux. Pas de champs d’ac- SERGE croissement. 4.CORPS A RO- Lophine Vanilline MATIQUES. Hydrobenzamide Acide hydrocinna- Amarine mique Benzaldéhyde Résorcine | Saligénine Pyrogallol Acide tannique Acide salicylhique Tyrosine Phloroglucine Saccharine Quinate de chaux Acide benzoïque 9. ,ALBUMI- Caséine NOÏDES. Globuline Fibrine Albumine 6, MATIÈRES | DIVERSES. 7. ENZYMES. Cholestérine Graisse Aldéhyde Acétate d’éthyle Maltase Dextrinase Ptyaline Diastase de sarrasin Diastase de pancréas In vertine Lactase Pepsine Trypsine Oxyde de triméthy- lène Cyanure de potas- sium Ferrocyanure de potassium Ferricyanure de po- tassium Ether Chloroforme Sulfure de carbone Acide sulfhydrique Sulfure d’ammoni- um. 414 M. W. BEYERINCK. Le pouvoir photogénique des acides organiques, l’acide aspartique excepté, étant faible, ou même, comme pour l’acide lactique, très faible, à cause de l’influence nuisible exercée sur la fonction lumineuse par la réaction acide, le placement de ces corps dans le tableau ci-dessus comporte quelque doute. Cela est le cas, par exemple; pour l’acide citrique et l’oxalate acide d’ammonium, que j'ai parfois tenus pour des matières photogènes. En raison d’un pareil doute, l’acide malonique a été omis dans le tableau, bien que quelques expériences tendissent à le faire considérer comme dégageant de la lumière. La place de ia sorbine, parmi les matières extinctives, ne laisse pas de surprendre ; mais elle résulte d'expériences répétées avec le produit dont je dispose. Au sujet de quelques tartrates, il y eut d’abord incertitude s’il fallait les rapporter aux matières extinctives ou bien aux matières inactives. Qu'ils ne fonctionnent jamais comme ma- tériaux photogènes, cela ne souffre aucun doute. Ce fait est remarquable, eu égard à l’action lumineuse énergique des malates, et surtout quand on considère que pour quelques autres bactéries les combinaisons de l’acide tartrique sont un aliment des plus favorables. Si dans notre tableau on trouve citées des matières telles que la lopkine, l’hydrobenzamide, l’amarine, l’oxyde de tri- méthylène, la cholestérine et autres corps analogues, c’est parce que M. Radziszewsky a découvert que, sous l’influence de l'oxygène et d’un alcali caustique, elles peuvent devenir phos- phorescentes à là température ordinaire. On voit, toutefois, que dans le tableau elles sont classées parmi les matières inactives. Les graisses donnent lieu à une remarque du même genre. Elles ont été citées parce que dans les écrits sur la phospho- rescence il est si souvent dit que les organismes lumineux doivent leur propriété spécifique à la décomposition ou à l’oxydation de matières grasses. Or, c’est là une erreur. Si ces organismes étaient capables de dédoubler les graisses en glycérine et en acide gras, la glycérine pourrait servir de ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 415 matière photogénique; mais un pareil dédoublement n’a pas lieu non plus. 8. Nutrition du Photobacterium indicum et du Ph. luminosum. Bien que les conditions nutritives des bactéries lumineuses de la mer des Indes occidentales et de la mer du Nord ne soient pas complètement identiques, il y a entre elles tant d’analogie qu'on peut en traiter simultanément. En parlant des conditions générales de la nutrition des bactéries lumineuses, j’ai indiqué que ces bactéries lumineuses, en opposition avec les bactéries à pepione-carbone, peuvent être appelées bactéries à peptone. Comme elles possèdent la propriété de sécréter un enzyme tryptique très actif, qui liquéfie et peptonise la gélatine et les matières albuminoïdes, ces bactéries sont capables, en présence des sels nécessaires, de vivre et de produire de la lumière aux dépens de pareils corps. IL faut toutefois remarquer qu'avec des conditions nutritives aussi simples le pouvoir lumineux est faible, et peut même entière- ment disparaître au bout de quelque temps, sans que la multiplication perde de son énergie. On obtient des cultures bien lumineuses, — quoique ne possèdant pas encore, elles non plus, le maximum possible de pouvoir lumineux, — en ensemençant, avec le Ph. indicum, de l’eau de mer dans laquelle a été dissous Î ou 2 pour cent de peptone du commerce. À 30° C. la multiplication y est très rapide, et au bout de 24 heures, ou plus, le pouvoir lumineux égale celui du Ph. phosphorescens. Pour atteindre toutefois, avec le Ph. indicum, le plus haut effet lumineux, il convient d’employer un aliment mélangé Comme tel, j'ai appris à connaître un bouillon de poisson modérément concentré, auquel a été ajouté un peu de peptone, par exemple £ pour cent. Quand les cultures ont bien réussi, on obtient de cette manière des liquides très brillants et dont l’intensité lumineuse surpasse même assez 416 M. W. BEYERINCK. notablement celles des cultures de Ph. phosphorescens ; vus surtout à une faible lumière de gaz ou de lampe, ces liquides présentent la belle teinte vert de mer ou bleu d’azur, qui est propre au Ph. phosphorescens, se rencontre aussi chez des espèces fortement lumineuses du groupe des Cœlentérés et a été décrite avec admiration par différents auteurs. L'idée que sous les tropiques l'Océan peut être temporairement transformé en une pareille culture lumineuse, fait apparaître devant notre imagination un spectacle, touchant presque au surnaturel A ce que je crois, le phénomène est bien connu des marins néerlandais, par exemple dans la mer de Banda, et désigné par eux sous le nom de ,melkzee” (mer de lait) !). Suivant M. Fischer, l’intensité lumineuse de la ,mer de lait” est plus faible que celle de l’eau de mer rendue phosphorescente par ses cultures de Ph. indicum ?). Mais revenons à la nutrition de nos bactéries lumineuses à peptone. Par l’addition de matières très variées à des cultures fai- blement lumineuses de Ph. luminosum et de Ph. indicum j'ai cherché à augmenter le pouvoir lumineux. Cela m'a effecti- vement réussi dans quelques cas, par exemple, avec l’aspa- ragine chez les Ph. indicum et luminosum, avec la lévulose, la glucose et le sucre de canne chez le Ph. indicum seulement. Les trois substances nommées en dernier lieu ne peuvent être supportées qu'en quantité extrêmement petite, -; pour cent, par exemple; une proportion plus forte produit l’ex- 1) ,,Milky sea” des navigateurs anglais. Au sujet de ce phénomene, qui dépasse de beaucoup en magnificence la lueur produite par le Noctiluca mi- liaris, on peut consulter Fischer, Zeitschr. f. Hygiene, Bd. 2, p. 88, 1887, qui, au cours de 11 années passées sur mer dans des climats tropicaux et subtropicaux, l’a vu une seule fois, savoir en février 1881, à l’est de Socotra. La veille, la mer avait été couverte de méduses. Il n’est pas encore décidé si la bactérie active de ce phénomène est identique au PA. indicum découvert, comme nous avons vu, par M. Fischer dans la mer des Indes occidentales. 2) Dans la mer du Nord, la lueur produite par le Photobacterium lumi- nosum est plus faible que celle due au Noctiluca miliaris. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 417 tinction. Sur l’accroissement elles n’ont pas d’action favorable, et même elles le ralentissent. En général, le maximum de pouvoir lumineux paraît bien être lié à la division et à l’accroissement, mais non à la division la plus rapide, ni à l’accroissement le plus énergique. Pour les phénomènes de fermentation, qu’ils soient dus à des bactéries ou à des levûres ordinaires, j'ai observé quelque chose d’analogue. Dans les matras où ces organismes produisent des fermentations extrêmement fortes, la vitesse de multiplication est relative- ment petite; et, si une culture très lumineuse de Ph. indicum dure beaucoup plus longtemps qu’une culture peu lumineuse, dans laquelle or voit se former bientôt d’épaisses pellicules bactériennes, il en est de même pour certaines fermentations bactériennes de matières albuminoïdes, par exemple, pour la fermentation scatolique, due à un organisme qui se trouve dans la terre et détermine la putréfaction. Pour les expériences sur les PA. indicum et luminosum cultivés en terrain solide, je n'ai, à l’origine, employé que l’agar-agar. Dans une pareille masse, toutefois, la division et la formation de colonies paraissent rencontrer des difficultés, et jusqu'ici je n'y ai pas obtenu, avec ces espèces, des résul- tats aussi nets qu'avec les autres. Pourtant, je puis citer une couple d'expériences assez instructives. Elles avaient rapport à l’action de l’albumine d'œuf, de la caséine, de la fibrine et du gluten de froment De petites quantités de ces matières furent portées sur des’ terrains d’agar ensemencés de Ph. indicum, qui avaient d’abord donné de la lumière avec la peptone, mais commençaient à s’obscurcir. Elles y produisirent des champs diffusifs de petite dimension, qui, en intensité lumineuse aussi bien qu’en accroissement, sur- passaient un peu le terrain, mais nullement dans la mesure où cela est le cas dans les expériences analogues avec le Ph. phosphorescens et le Ph. Pflügeri, lorsqu'on ajoute un aliment plastique à des terrains de gélatine faiblement lumineux. Quoi qu'il en soit, il est certain que les corps albuminoïdes 418 M. W. BEYERINCK. insolubles, ci-dessus nommés, peuvent servir d’aliment pho- togène et plastique à nos bactéries à peptone. Pour cela, la trypsine sécrétée par ces bactéries lumineuses doit évidem- ment rendre solubles les corps en question et les transformer en matières diffusibles. Les dimensions des champs de diffu- sion, en tant qu’elles devenaient visibles par l'accroissement d'activité des bactéries, étaient d’ailleurs beaucoup moindres qu'on n'eût dû le présumer d’après la vitesse diffusive de la peptone du commerce, telle que l’avaient établie les expé- riences faites avec le Ph. phosphorescens. Une sembable pré- paration de peptone ayant toutefois été placée, comme terme de comparaison, sur une plaque d’agar-Ph. indicum, cette pré- paration donna, elle aussi, un champ beaucoup plus petit qu'il n’était à prévoir. J’en reçus l’impression que la peptone du commerce est un mélange d’au moins deux matières, de vitesse diffusive inégale: la moins diffusible serait la cause principale, sinon la cause unique, de la luminosité des bactéries à peptone, tandis que, chez le Ph. phosphorescens et les autres bactéries lumineuses à peptone-carbone, cette fonction serait ren- due possible aussi par la matière plus rapidement diffusible, jointe à la glycérine ou à d’autres corps carbonés. Nous avons vu, plus haut, que le Ph. phosphorescens peut dégager de la lumière et croître faiblement sous l'influence de certaines matières sécré- tées par des microbes vivants, matières qui se trouvent aussi dans les précipités alcooliques des décoctions de tissus animaux et végétaux, par exemple, de poudre de pancréas. Ici, je ferai remarquer quil paraît y avoir une certaine analogie entre ces matières et l’aliment photogène et plastique lentement diffusible des bactéries à peptone, tel que nous l’avons vu se former par l’action de l’enzyme tryptique sur la gélatine, l’albumine, la caséine et le gluten. Dans les derniers temps, j’ai essayé de faire coaguler des cultures de Ph. indicum au moyen de la gélatine, et d'exécuter, avec les plaques lumineuses ainsi préparées, des expériences de nutrition. J’ai reconnu que cela réussit parfaitement et ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 419 que des résultats peuvent être obtenus avant que ne commence la liquéfaction par l’enzyme sécrété. Ce fait un peu inattendu est la conséquence de ce qu’on doit opérer à basse tempé- rature, et qu’alors la sécrétion de trypsine et la croissance sont extrêmement lentes. La décoction de poisson, concentrée par évaporation, donne sur un pareil terrain un large champ très lumineux, qui toutefois se liquéfie bientôt. La peptone et l’asparagine donnent, chacune à part, de faibles phéno- mènes de lumière et d’accroissement. Le sucre de canne, la olucose et la lévulose déterminent une forte extinction, en même temps que la sécrétion d’un acide. Ces diverses réac- tions sont complexes, et l’on sait peu de chose relativement à l'influence que les matières en question y exercent sur la sécrétion de la trypsine, et à la transformation, si faible soit- elle, que la gélatine doit simultanément subir. Les bactéries lumineuses à peptone ne forment nullement, en ce qui concerne le chimisme de leur nutrition, un cas isolé. Il me semble que tous les Spirilles et les Vibrions, un peu connus jusqu'ici, vivent d’une manière entièrement sem- blable, c’est-à-dire, empruntent leur aliment plastique exclu- sivement à des peptones, qu'ils peuvent, tout comme le Ph. indicum, à l’aide de leur enzyme tryptique, préparer aux dépens des matières albuminoïdes. Aïnsi, M. Hueppe a montré que les spirilles du choléra, découverts par M. Koch, se laissent cultiver dans le contenu des œufs, par exemple, en pratiquant à la coquilie une petite ouverture, à travers laquelle on intro- duit une trace de bactéries dans le blanc. Moi-même j'ai cultivé quelques spirilles marins sur gélatine-eau de mer, sans aucun autre aliment, et j'ai obtenu de cette façon un accrois- sement vigoureux; toutes sortes de matières, ajoutées à la gélatine, restèrent inactives. Un bacille pigmentaire extrême- ment intéressant, qui est généralement répandu dans la terre, croît, en sécrétant une matière colorante violette et en pro- duisant un enzyme doué d’un grand pouvoir de liquéfaction, sur la gélatine pure, ainsi que dans le lait aux dépens de 4920 M. W. BEYERINCK. la caséine. Je suis même porté à croire que ce qu’on entend par putréfaction est toujours une transformation de corps albuminoïdes sous l’influence de bactéries à peptone. Cela est indubitablement vrai pour ce qui concerne la plus commune de toutes les bactéries de la putréfaction, le Bacillus fluorescens liquefaciens, qui peut aussi vivre parfaitement de gélatine seule, et qui est la cause ordinaire de l’altération des décoctions de pois et de haricots. Un des bacilles de la putréfaction dite pancréatique vit et agit d'une manière analogue. Quant à la formation ou non-formation de produits accessoires fétides, elle paraît dépendre aussi bien de la nature chimique du corps attaqué, notamment de la présence ou de l’abserce du soufre ou du phosphore dans sa formule chimique, que de l’état physiologique des bactéries elles-mêmes. Que ce dernier fac- teur, à savoir l’état des bactéries, doit avoir de l’influence dans le phénomène, c'est ce qui ressort, par exemple, du fait suivant: le Photobacterium luminosum, qui à basse température ne forme aux dépens de la gélatine que des produits inodores, détermine, après y avoir été cultivé quelques jours à une température élevée, une transformation toute différente, recon- naïssable à l'odeur; et même il continue encore à le faire pendant quelque temps lorsque les cultures sont portées à une température plus basse. Chez cette espèce, toutefois, la fonction lumineuse est, elle aussi, très variable et, comme nous l’avons vu, extrêmement sensible au degré de chaleur. 9. Théorie de la fonction lumineuse: La fonction photogénique, chez les bactéries lumineuses de même que chez d’autres espèces lumineuses dans le monde organique tout entier, est liée à la matière vivante. Jamais on n’a réussi à isoler quelque élément lumineux ou quelque matière photogène pouvant devenir lumineuse en dehors des cellules ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 491 vivantes !). Même l’existence de quelque corps particulier, qui peut-être ne pourrait être enlevé aux cellules vivantes, mais auquel devrait pourtant être rapportés les phénomènes de la luminosité, n’est rendue probable par aucune expérience. À mon avis, la fonction lumineuse est inhérente aux molé- cules vivantes, de même que l’est la fonction fermentative. Pour la fermentation alcoolique aussi on a souvent admis, à l’exemple de Liebig, et après que la signification des en- zymes eut été plus généralement reconnue, que ce phénomène devait être déterminé par quelque matière spécifique, qui à la vérité ne pouvait être séparée de la cellule de levûre, mais qui pourtant dédoublerait le sucre en alcool et en acide carbonique, tout comme la diastase transforme l’amidon en maltose et en dextrine. Si je ne me trompe, M. Hoppe-Seyler est encore aujourd’hui le partisan de cette hypothèse. Mais de plus en plus on en reconnaît la stérilité, et depuis les recherches de Pasteur elle commence à être entièrement abandonnée. Pour en revenir à la fonction lumineuse, à différentes reprises on a essayé de prouver l'existence d’une matière photogène spécifique; ordinairement, il à été supposé que l’oxydation de cette matière devait être la cause prochaine du dégagement de lumière. On croyait être fondé à émettre cette supposition d’après les expériences de Macaire ?) et de Matteucci *) sur les organes lumineux des vers luisants. M. Phipson ‘) donna à l’idée une forme plus concrète, en ima- ginant, pour la matière photogène hypothétique du Raja, 1) Le mucus lumineux découvert par Spallanzani, et au moyen duquel certaines méduses de la Méditerranée peuvent rendre phosphorescente l'eau qui les entoure, est du protoplasma vivant, expulsé de cellules des organes lumineux, ouvertes par rupture. 2) Gilbert, Ann. d. Physik, Bd. 70, p. 265, 1882. 3) Leçons sur les phénomènes des corps vivants. Ed. franç., p. 145, 1847. 4) Sur la matière phosphorescente de la raie, dans Compt. rend, T. 51, p. 541, 1860, Sur la noctilucine, Ibid., T. 75, p. 547, 1872. 499 M. W. BEYERINCK. le nom de ,noctilucine”:; mais ses considérations et obser- vations ne prouvent pas que la matière vivante doive être exclue comme support de la fonction lumineuse. L'existence d’un principe phosphorescent particulier acquit plus de probabilité par les observations de M. Radziszewsky !). Celui-ci découvrit le pouvoir lumineux intense développé par la lophine, lorsque ce corps, dissous dans l’alcool amylique, est versé sur l’hydrate de potasse solide. Il se forme alors un liquide qui, en s’oxydant lentement à la température ordinaire, dégage autant de lumière que des cultures modé- rément brillantes de Photobacterium indicum (donc, un peu moins que le Ph. phosphorescens), et qui donne un spectre continu de lumière jaune et verte, analogue, quoique non identique, au spectre de Ph. indicum ?). Mais le rapport à la 1) Ueber das Leuchten des Lophins. dans Berichte der deutsch. Chem. Gesellsch., Bd. 10, p. 70, 1877. 2) M. le professeur F. Ludwig. de Greiz., a eu la bonté de me commu- niquer ce qui suit sur la lumière de trois espèces de bactéries lumineuses, que je lui avais envoyées: .Das Spectrum des Photobacteriumlichtes schwankt übrigens nicht unwesentlich nach dem Substrate. So ist das Licht auf Schweinefleisch im Vergleich zu dem blaugrünen Gelatinelicht weiss bei Ph. phosphorescens. Der Anfang des Spectrums liegt denn auch bei dem Gelatinelicht nicht bei D sondern etwas bei Æb, wie mir auch jetzt ein directer Vergleich bestätigt. Ph. Fischeri und Ph. Pflügeri eimerseits, Ph. phosphorescens anderseits konnte ich leicht durch ein hell orange gefärbtes und ein blaues Glas unterscheiden, indem dort das Licht besser durch das orangegefärbte, hier vesser durch das blaue Glas ging.” Le fait, que la couleur de la lumière dépend de la nature de l'aliment, est évidemment en contradiction avec la théorie d’une matière phospho- rescente spécifique. Au reste, le résultat le plus remarquable des nombreuses recherches, disséminées dans quantité de publications, est que le maximum de lumière du spectre lumineux organique se trouve près de la raie b du vert (4 = 528,26), avec laquelle, pour le Pyrophorus noctilucus, selon M. Dubois, il coïncide exactement. Or, en ce point se trouve précisément aussi la plus grande intensité du spectre solaire (Charpentier, Compt. rend. 1885, p. 182), et c’est pour cette lumière que notre organe visuel a le plus de sensibilité, ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 493 température est ici tout autre. Le Photobacterium indicum, cultivé dans la gélatine de poisson peptonisée, cesse subite- ment de dégager de la lumière quand la température monte à 40°C, pour recommencer dès qu'elle s’abaisse au-dessous de ce point; en d’autres termes, sa luminosité est une action physiologique par excellence. Le pouvoir lumineux de la dissolution de lophine, au contraire, croît d’une manière continue avec la température, certainement jusqu’à 60° d’après mes propres expériences, et à cette température il ne pré- sente aucun indice d’affaiblissement subit, mais produit na- turellement l'impression d’un processus chimique ordinaire. M. Radziszewsky à cherché, par beaucoup d’autres exemples, a prouver qu'entre la lumière de la phosphorescence organique et celle de la phosphorescence chimique il y aurait réellement une très grande analogie; il remarque !), entre autres, que le protagon dissous dans le toluol donne à 45°, en présence de l’oxygène libre, une forte lumière verte avec la choline, et en citant ce fait il pense évidemment à la lécithine, uni- versellement répandue comme élément du protoplasma vivant. En répétant une grande partie des expériences de M. Rad- ziszewsky, je n’ai pas toujours trouvé les résultats qu’il indique ; c’est ainsi, par exemple, que je n’ai pu observer le moindre phénomène lumineux en versant de l’huile d’amandes amères sur de l’hydrate de baryte. M. Dubois, dans ses études sur la.lumière des Pholades ?}, est arrivé à une conclusion semblable à celle de M. Radziszewsky. Il parle d’un élément cristallisable des cellules lumineuses, auquel il donne le nom de luciférine, et d’un enzyme, la luciférase, qui, en contact avec cet élément, déterminerait la production de lumière. Mais, lors de ses belles et nombreuses 1) Ueber die Phosphorescenz der organischen und organisirten Kürper. dans: Liebig' s Annalen, Bd. 203, p. 305, 1880, 2) Comptes rendus, T. 105, p. 690, 1887. 494 M. W. BEYERINCK. recherches sur le Pyrophorus noctilucus '), l’auteur n’a pas été conduit à admettre une hypothèse de ce genre. Dans ce Mémoire, il arrive toutefois à la conclusion que le dégagement de lumière, dans les organes lumineux du Pyrophorus, peut avoir lieu sans le contact de l’oxygène libre. Si tel était réel- lement le cas, je me croirais obligé de renoncer à l’idée que la lumière est liée à l’état vivant du protoplasma. Mais je n’ai pu me convaincre que les expériences décrites par M. Dubois prouvent l’exactitude de son hypothèse peu vraisembla- ble. Il tire sa conclusion du fait que des organes lumineux dessé- chés, qui avaient été placés dans un tube de verre où le vide avait été pratiqué, recommencèrent subitement à dégager de la lumière au moment où l’on introduisit dans le tube de l’eau contenant de l'air, et continuèrent cette émission pendant 40 minutes. À mon avis, il était resté ici, dans les organes mêmes, une quantité suffisante d'oxygène. Les bactéries lumineuses pré- senteraient très certainement le même phénomène ?), bien qu'il soit facile de démontrer, par d’autres expériences, que l’oxygène libre est une condition nécessaire de la phosphorescence de ces organismes. Mais cet oxygène libre peut se trouver ac- cumulé en certaine quantité dans la substance des bactéries, retenu par un lien lâche, quoique pourtant assez ferme pour ne pas lui permettre de s'échapper dans le vide, et je ne doute pas qu'il ne doive en être de même pour les cellules Iumi- neuses du Pyrophorus. Il est assez remarquable que M. de Qua- trefages aussi, dans son Mémoire sur le Noctiluca miharis *), était arrivé à la conclusion que la fonction lumineuse, due à 1) Les Elatérides lumineux, dans: Bull. d. la Soc. Zool. de France, TA p A 4880: 2) Le Photobacterium phosphorescens peut être conservé à l’état sec pendant environ % d’heure, mais alors il meurt. Les Ph. indicum et luminosuin meurent aussitôt qu'ils se dessèchent. 3) Mémoire sur la phosphorescence de quelques invertébrés marins, dans Ann. d. sc. nat., Zool. 3e Sér. T. 14, p. 326, $ 10, 1850. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 495 une combustion lente chez les animaux terrestres, ne l’est pas chez le Noctiluca, parce que ses expériences lui avaient appris que le dégagement de lumière se continue longtemps dans l’acide carbonique pur. Mais cela est également le cas pour les bactéries lumineuses et prouve seulement combien est minime la dépense d'oxygène impliquée dans la phospho- rescence. M. de Quatrefages paraît d’ailleurs, lui aussi, admettre chez le Noctiluca l’existence d’une matière photogénique par- ticulière. En parcourant les nombreux écrits relatifs à ce sujet, et sur lesquels je ne m'étendrai pas davantage, je n'ai trouvé qu’une seule observation paraissant, au premier abord, en contradiction avec la théorie qui regarde la fonction lumi- neuse comme liée à l’état vivant du protoplasma. Cette observation est due à M. Owsjannikow !). Il dit que les organes photogènes du Lampyris noctiluca peuvent, dans l'acide chromique, l'acide osmique et l'alcool étendus, continuer pendant plus de 70 heures à émettre de la lumière. Mais il ne mentionne pas le degré de dilution de ces liquides, de sorte que, à mon avis, ce fait lui-même ne prouve nul- lement que les organes en question fussent morts, mais autorise seulement à croire que les forces vitales peuvent être attachées avec une extrême ténacité à la matière vivante des cellules lumineuses. De tout ce qui précède, on doit finalement conclure, sem- blet-il, que pas une seule preuve décisive n’a été donnée à l'appui de l’opinion qui fait dépendre la fonction lumineuse d’un produit de sécrétion particulier ou de quelque composé chimi- que ordinaire. Il ne reste donc pas d’autre alternative que d'y voir une fonction physiologique spécifique, analogue à la fonction fermentative, au pouvoir réducteur, à la contractilité, 1) Zur Kenntniss der Leuchtorgane von Lampyris noctiluca, dans Mém. de St Pétersbourg, 7e sér., T. II, p. 1, 1868. ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXI V. 28 496 M. W. BEYERINCK. à l’irritabilité, et ne pouvant être étudiée avec fruit que si on l’envisage de la sorte. C’est à la même conclusion qu'était déjà arrivé M. Pflüger, il y a une quinzaine d’années !). Ce savant fut le premier qui soumit les bactéries lumineuses à une étude physiologique scientifique, et ce qu’il dit, relativement au point en question, mérite d’être répété; voici ses paroles: ,Da somit die Reïz- barkeit bewiesen ist, so ist gezeigt, dass die leuchtende Sub- stanz lebende Materie ist. Denn die Reizbarkeiït ist die erste und wichtigste Function der lebendigen Materie” (p. 285). Tes expériences de M. Pflüger mettent aussi hors de doute, en ce qui concerne les bactéries lumineuses du poisson phos- phorescent, la nécessité de l’oxygène libre pour la fonction photogénique, et 1: est ainsi conduit à cette vue générale: ,Der Lebensprocess ist die intramoleculare Wärme hôchst zersetzbarer, wesentlich unter Bildung von Kohlensäure und Wasser und amidartigen Kôrpern sich spaltender im Zellsub- stanz gebildeter Eiweissmolecüle, welche sich fortwährend regeneriren und auch durch Polymerisirung wachsen”. Sans vouloir souscrire complètement au second de ces deux passages, il me semble pourtant que M. Pflüger, dans les lignes citées, à indiqué avec justesse le rapport entre la respiration, la fonction lumineuse et la vie. | D’après mes observations sur les bactéries lumineuses, je crois, ainsi qu'il a déjà été dit à plusieurs reprises, pouvoir faire un pas de plus en ce qui concerne la définition exacte de la fonction photogénique. Tout ce que nous savons jusqu'ici, à ce sujet, est conforme ou conduit nécessairement à la conclusion que le dégagement de lumière accompagne la transformation des peptones de l’aliment en matière orga- nisée, vivante. Cela a toujours lieu sous l’influence de l’oxygène 1) Die Phosphorescenz der lebenden Organismen und ihre Bedeutung für die Principien der Respiration, dans Pflüger's Archiv, Bd.10, p.275, 1875. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 497 libre, avec le concours d’une source particulière de carbone pour les bactéries à peptone-carbone, sans un pareil concours pour les bactéries à peptone. A la question, pourquoi les organismes dont la nutrition est à base de peptone ne sont pas fous lumineux, on doit répondre, je crois, que la matière vivante des différentes espèces doit présenter des différences chimiques, parce que de celles-ci précisément dépend la différence des espèces, et qu’il n’est pas à présumer que les états de mouvement des molécules, lors de la transformation des mêmes matières initiales en corps spécifiquement différents, soient identiques. Dans le cas seulement où ces matières prennent part à la consti- tution d’un organisme photogène, leurs états de mouvement devraient être tels qu’il en résulte un dégagement de lumière. Cette interprétation donne lieu à deux difficultés. D'abord, celle-ci: Dans les organes photogènes des Vers luisants et des Pyrophores l'émission de lumière est accompagnée de la mort de cellules ou de protoplasma, avec formation d’une grande quantité de sphéro-cristaux d’urate d’ammoniaque (suivant Kôlliker) ou de guanine (suivant R. Dubois). A cela, J'oppose le fait que dans ces organes il s’opère simultanément, dans les cellules lumineuses elles-mêmes ou dans une couche plus extérieure, une régénération de cellules, soit par division, comme chez Pyrophorus, où la ,couche photogène” et la »Couche excrétoire” comptent toutes les deux plusieurs cel- lules dans leur épaisseur, soit par rénovation du protoplasma actif, comme chez Lampyris, où la ,couche photogène” et la couche excrétoire” n’ont chacune que l’épaisseur d’une seule cellule; or, il est très probable qu'ici, tout comme chez les bactéries lumineuses, le dégagement de lumière est lié à l'accroissement, plutôt qu’à la mort. L’excrétion extrêmement forte, qui accompagne la phosphorescence, prouverait seule- ment que la constitution chimique des organes photogènes, aux dépens de l'aliment, n’est pas atteinte par la même voie que la constitution analogue (mais naturellement non iden- 28* 498 M. W. BEYERINCK. tique) des autres cellules du corps, dont la formation paraît entraîner des excrétions moins intenses !). Maïs précisément cette différence de voie serait aussi la cause pour laquelle un dégagement de lumière se produit dans l’un des cas, tandis qu’on n’en observe pas dans l’autre. Une seconde difficulté paraît résider dans la ,lumière ful- gurale” que certains animaux, surtout des animaux marins, peuvent émettre comme moyen de défense, propre à effrayer leurs ennemis. Cette lumière se trouve sous l'influence de sti- mulants nerveux, et elle dépend assez vraisemblablement de la mise en liberté subite d’une réserve d'oxygène, maintenue par la force nerveuse dans des liens qui peuvent être rompus brusquement. Notre théorie exige la présence de peptones, prêtes à passer tout à coup, conjointement avec l’oxygène, à l’état organisé de protoplasma vivant. Peut-être sera-t-on tenté d’attribuer un semblable phénomène plutôt à la décomposition qu'à la formation de matière vivante. Pourtant, il y a des faits qui, même en ce cas, semblent plaider en faveur de l’opinion ici défendue, par exemple les périodes de repos nécessaires pour rendre possible la répétition de l’acte dont il s’agit. On peut admettre, il est vrai, que ces périodes sont destinées à donner aux produits de sécrétion, engendrés lors de l'émission de la lumière fulgurale, le temps d’être évacués, d’où résulterait la suppression de la cause de fatigue; moi- même, je crois que telle est en partie la signification de cette périodicité, mais seulement en partie, car je regard les temps de repos comme tout aussi indispensables pour rendre possible l'apport des peptones réagissantes. Quoi qu'il en soit, c’est maintenant un fait bien établi que, chez les bactéries lumi- neuses, le dégagement de lumière est lié à la consommation 1) Que la différence entre les divers organes d’un seul et même orga- nisme, aussi bien que la différence entre les différentes espèces d’organis- mes, doive dépendre d’une différence dans la composition du protoplasma constituant, c’est ce dont on ne saurait raisonnablement douter. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 499 de peptones, et chez ces organismes toutes les expériences sont beaucoup plus claires et laissent beaucoup moins de place au doute que chez les êtres supérieurs. Je ne puis toutefois abandonner la question de la fatigue sans avoir rappelé l’intéressante découverte de M. de Quatrefages (1. c., voir p. 424), relative à la lumière du Noctiluca milhiaris. Cet infusoire peut émettre deux sortes de lumière, à savoir, de la ,lumière physiologique” et de la , lumière pathologique”. La première s’observe en cas de vie normale énergique, la seconde sous l’action d’influences nuisibles qui amèneront bientôt la mort, par exemple dans des petits fragments de la couche tégumentaire avant le dépérissement complet. M. de Quatrefages a trouvé que des animaux en bon état et émet- tant une forte lumière, examinés à un grossissement de 100 à 120 diamètres, ne sont pas uniformément lumineux sur toute leur surface, mais en quelque sorte parsemés de petits champs lumineux, qui peuvent être comparés chacun à un amas d'étoiles, vu qu’ils sont composés d’un très grand nombre de points excessivement fins. Lorsque, au contraire, ces ani- maux étaient à l’état pathologique, leur couche cutanée tout entière brillait d’un éclat uniforme. M. de Quatrefages ne men-' tionne pas si les taches lumineuses de l’état normal occupent des places fixes; je présume que tel ne sera pas le cas. Il nous apprend bien que chaque tache correspond à une tra- bécule protoplasmatique, qui, venant de l’intérieur, s’applique contre la couche cutanée; mais il laisse intacte la question de savoir si la situation de ces trabécules est constante, et je doute qu'elle le soit. En tout cas, la poutrelle protoplasmatique a une influence déterminée et est évidemment le moyen d’em- pêcher la production de lumière pathologique. Cette influence se laisse tout aussi bien expliquer en admettant que les tra- bécules évacuent les produits de sécrétion formés lors de l'exercice de la fonction photogénique, que par l’hypothèse qu’elles amènent la matière nécessaire au dégagement lumi- neux. En cas de lumière pathologique, le lien qui retenait 430 M. W. BEYERINCK. localement fixé l'oxygène libre doit avoir été rompu, et les peptones disponibles, avec ou sans le concours d’amides ou d’autres combinaisons du carbone, peuvent se transformer en matière vivante, aussi longtemps que la réserve n’en est pas épuisée, c’est-à-dire, jusqu’au moment de la mort. Chez les bactéries lumineuses indiennes j’ai observé, dans les dernièrs temps, des phénomènes qui indiquent, tout comme chez le Noctiluca, l'existence de lumiere ,physiologique” et de lumière ,pathologique”; entrer dans le détail de ces observations. mais je ne veux pas, en ce moment, 10. La lumière des bactéries possède-t-elle quelque signification biologique? La question, si dans la lutte pour l’existence les bactéries lumineuses tirent profit de leur faculté photogénique, doit, à ce que je crois, recevoir une réponse négative. S'il se trouvait que des animaux marins supérieurs fussent phosphorescents par symbiose avec des bactéries lumineuses, le jugement devrait être autre; mais cela n’a encore été démontré dans aucun cas. M. le professeur Dubois à bien communiqué avoir isolé de Pholades lumineuses des bactéries lumineuses, le Bacillus Pholas ‘), mais plus tard il a déclaré être néan- moins convaincu de l'existence, chez ces animaux, d’un organe photogène spécial. En outre, d’après les microphoto- graphies du Bacillus Pholas qu’il a eu la bonté de m'envoyer, je tiens cet organisme pour identique avec mon Photobacterium luminosum. M. le professeur Hoffmann, de Leiden, a également eu l’obligeance de me céder une grande quantité d’Actinies et de Pholades vivantes, qui, toutefois, me parvinrent à l’état non lumineux. L’examen microscopique et bactériologique des tissus m’apprit que ceux-ci ne contenaient pas de bactéries. À la vérité, le mucus du siphon de Pholas dactylus et de 1) Comptes rendus, T. 107, p. 502, 1888. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 431 Ph. carinatus était riche en bactéries 1), semblables ou identi- ques à l’état non lumineux du Photobacterium luminosum ; mais, des cellules de ce que je crus devoir considérer comme l’organe photogène, il ne sortit pas de bactéries. M. le Dr. Wijsman, ayant très adroitement retiré, de l’eau de mer phosphorescente de la plage de Scheveningen, un Dinoflagellé fortement lumineux, qui fut déterminé comme Ptychodiscus Noctiluca Stein, l’a broyé dans de la gélatine de poisson peptonisée. Aucune bactérie lumineuse n’en est pro- venue. Moi-même, j'ai recueilli à Scheveningen deux espèces lumineuses de Sertularia et une d’Obelaria, et, après les avoir bien lavées dans l’eau de mer, puis divisées dans de l’eau de mer stérilisée, j'ai versé celle-ci sur de la gélatine de poisson: cette opération aussi n'a donné que quelques colo- nies de bactéries non lumineuses. En examinant au micro- scope le cordon médullaire central de ces animaux, je trouvai des cellules allongées spéciales, qu’à l’origine je pris pour des bactéries; mais maintenant je ne crois plus que telle soit leur nature. Au reste, je sens parfaitement que tous ces résultats négatifs prouvent peu de chose pour l’opinion que des microbes ne peuvent pas être la cause du phénomène de la phosphorescence des animaux ; peut-être, en effet, — ainsi pourrait-on raisonner, — les microbes perdent-ils dans le corps des animaux leur faculté de se multiplier franchement en dehors de ce milieu ?). Maïs, quand même cela serait vrai, il n’en 1) Et en spermatozoïdes. 2) Ce raisonnement est fondé sur l'observation suivante. Les Zoochlo- relles (Zoochlorella conductrix Brandt) de l’Hydra viridis sont sans nul doute des algues ayant pénétré du dehors dans le corps de ces animaux, et appartenant au genre nouveau Chlorella, dont je possède, de puis envi- ron un an, une espèce en cultures sur gélatine, qui croît assez prompte- ment. Les Zoochlorelles elles-mêmes, ne peuvent être cultivées sur gélatine et dans des liquides qu'avec la plus grande diffuculté, parce qu'elles ces- sent temporairement de se diviser quand elles re sont plus en contact avec le protoplasma vivant des cellules animales. J’ai trouvé la même chose 432 M. W. BEYERINCK. résulterait pas la réfutation de l’opinion que je cherche à faire prévaloir. En effet, si les bactéries, une fois intruses, sont déchues du pouvoir de vivre en dehors de l’animal, la possibilité cesse que les microbes de la mer et du rivage proviennent de ces animaux phosphorescents. Songer à une action sélective, exercée par les animaux lumineux sur les bactéries lumineuses, me paraîtrait donc absurde. Le mucus lumineux dont il a été question plus haut (p. 421), et que beaucoup d'animaux marins, notamment quelques Annélides et Méduses phophorescentes, répandent dans l’eau à l'approche d’un danger, consiste en cellules urticantes et en protoplasma vivant expulsé des cellules lumineuses. Spallanzani !) en dit déjà qu’il irrite comme l'ortie, et si fortement que la sensation de brûlure sur la langue persiste tout un jour; il a vu aussi que ce mucus peut rester lumineux quelque temps dans l’eau de mer, l’urine ou le lait, mais qu'ensuite il s'éteint, — évidemment parce que la vie s’en retire. Dans ce cas non plus, on ne peut donc penser à des bactéries lumineuses. Je ne doïs pas omettre, toutefois, de citer encore une obser- vation qui m'est propre, et qui s’accorde avec celle faite par M. Dubois sur le Pholas. Lorsque, au mois d'août 1888, j’eus isolé du sable marin le Photobacterium luminosum, je remarquai que certaines méduses phosphorescentes, rejetées en abondance sur la plage pendant les chaudes soirées d'été, et que je rapporte au Phaalidium variabile, laissaient, après avoir été broyées sur le sable, un mucus brillant d’une vive lumière, dont l'intensité répondait pour les Zoochlorelles du Paramaecium Bursaria et du Stentor polymor- phus. Le Zoochlorella parasitica Brandt. du Spongia fluviatihs, ne se laissait même jusqu'ici point du tout élever en culture libre. 1) Viaggi alle due Sicilie e in alcune parte dell” Apennino, Chap. 27. Je cite d’après Ehrenberg, Das Leuchten des Meeres, dans Abh. Berl. Akad., 17 avril 1834, p. 44. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 433 entièrement à celle de mes cultures de Ph. luminosum. J’em- portai alors, après les avoir soigneusement lavés dans l’eau de mer, quelques-uns de ces animaux, pour les examiner de la manière ci-dessus décrite. De l’un d’eux est provenue une abondante culture pure de Ph. luminosum. On ne saurait nier que l’animal a été en contact avec l’eau de mer et avec le sable de mer, qui tous les deux contiennent le PA. luminosum ; mais il en est de même des autres animaux lumineux, ci-dessus nommés. Provisoirement, je me borne à conclure de cette observation que la substance du corps de la méduse doit être un excellent aliment pour cette bactérie lumineuse, fait qui certes n’est pas dépourvu d'intérêt; toute- fois, l’extrait ordinaire de poisson, convenablement prép ré, possède cette même qualité, de sorte qu’il ne semble pas qu’on doive y attacher quelque signification biologique par- ticulière. | Reste encore une autre question. Les animaux marins morts, qui deviennent phosphorescents sur le bord de la mer, seraient-ils peut-être un moyen de dissémination pour les bactéries lumineuses ? Sans hésiter, on peut répondre négativement. Les courants de la mer seront certes bien suffisants pour assurer là disper- sion: le long de la mer du Nord, la vague et le sable de l’estran sont, — tel était du moins le cas en 1888, — chargés d’une véritable culture de ces bactéries lumineuses. Il ne sauiait être question, non plus, de dissémination par les oiseaux : les bactéries lumineuses ne résistent pas à la dessic- cation, ce aui exclut la dispersion par transport d'objets lumineux; et encore beaucoup moins supportent-elles l’action de sucs digestifs acides, d’où résulte aussi l’impossibilité de la dispersion par les excréments des oiseaux. Personne ne peut dire quelles découvertes l’avenir nous ré- serve en Ce qui concerne la vie dans les abîmes de l’océan ; c'est seulement dans les derniers temps que l’on a commencé à faire quelques recherches à ce sujet, et il en ressort que la 434 M. W. BEYERINCK. profonde obscurité qui règne dans ces régions est éclaircie par les rayons émanant d’inombrables animaux lumineux, dont la biologie est inconnue. Mais, provisoirement, nous n'avons aucune indication permettant de faire intervenir ici les mi- crobes photogènes, de sorte que tout le monde conviendra, je pense, qu’il n'existe pas de motif pour voir dans la lu- mière des bactéries un phénomène utile à ces organismes. Cette lumière est évidemment la conséquence accidentelle de transformations chimiques, et tout aussi étrangère à la possibilité biologique de la perpétuation des bactéries, que la lumière de la lophine est étrangère à la possibilité chi- mique de l'existence de cette matière. Cette conclusion est encore corroborée par le fait que le Photobacterium luminosum est beaucoup plus facile à obtenir et à conserver à l’état non lumineux que comme bactérie photogène, et que c’est aussi à cet état qu’il existe le plus souvent dans les conditions na- turelles. Un développement très actif à basse température (15° C) est seul accompagné de phénomènes lumineux in- tenses; la vie ralentie par insuffisance de nourriture, et l’accroissement très actif à des températures plus élevées, vont au contraire de concert avec une obscurité complète, et c’est sans doute à ce dernier état que nos bactéries lumineuses se trouveront ordinairement sur les bords de la mer. Par exception, seulement, l’eau de mer offrira les conditions nutritives né- cessaires pour la multiplication rapide avec dégagement lu- mineux énergique, Ce raisonnement ne s’applique pas aussi bien, il est vrai, aux Photobacterium Pflügeri et phosphorescens, dont le pouvoir lumineux persiste, même quand la vie y est beaucoup moins active; pourtant, lorsque l’aliment carboné est tout à fait insuffisant, sans que pour cela la mort doive s’ensuivre, ce pouvoir disparaît complètement, de sorte que Je me figure ces bactéries, elles aussi, passant la plus grande partie de l’année, dans la mer et sur la plage, à l’état obscur. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 435 11. Applications à l’étude des enzymes. a. Etude des enzymes diastasiques. Au commencement de ce Mémoire, j'ai noté que le Ph. phosphorescens réagit sur la maltose, tandis que le Ph. Pflügera ne le fait pas. Cette propriété peut être utilisée, d’une ma- nière simple, pour la solution de certaines questions physio- logiques difficiles à résoudre par la voie chimique ordinaire, à savoir, pour décider si, dans des actions diastasiques, c’est la glucose ou la maltose qui prend naissance comme produit de la transformation. Le mode d’exécution et la valeur d’une semblable expérience ressortiront de ce qui suit !). On prend de l’eau de mer mélangée avec 8 pour cent de gélatine, 1 pour cent de peptone et 1 pour cent d’empois, bien bouillie, de fécule de pomme de terre ; à une première portion de ce mélange on ajoute un excès de Ph. phosphorescens, à une seconde, un excès de Ph. Pflügeri. Après la coagulation, on obtient des plaques de gélatine uniformément lumineuses, dans lesquelles la fécule reste intacte, le Ph. phosphorescens et le Ph. Pflügeri ne pouvant utiliser cette matière comme aliment, ni y déterminer quelque transformation, vu qu'ils ne sécrètent pas d’enzymes exerçant des actions diastasiques. Place-t-on toutefois, à la surface des deux plaques de gélatine, différentes préparations contenant de la diastase, celle-ci se diffuse de tout côté dans la gélatine et convertit la fécule en sucre et dextrine. Voici ce qu’on observe alors. Quand on emploie, comme préparation diastasique, la mal- tase et la dextrinase de malt, la diastase de pancréas ?), la 1) Comp. Wijsman /. c. (voir p.377). 2) Obtenue en mettant dans l'alcool concentré du tissu pancréatique vi- vant. Il se forme alors une masse blanche, facile à réduire en poudre, et qui est exempte de trypsine, de sorte que sous son influence la gélatine ne fond pas. 436 M. W. BEYERINCK. ptyaline !), la néphrozymase ?), la diastase d’amylobacter 5), la diastase du péricarpe de Cytisus Laburnum, du sarrasin germé, des graines germées du Mirabilis Jalapa, ou enfin la diastase de maïs, on voit bientôt apparaître, sur le terrain à Ph. vhosphorescens, des taches fortement lumineuses, auxquelles succèdent des champs d’accroissement. Sur le terrain à Ph. Pflügeri les matières diffusées ne donnent pas lieu à de vrais champs de lumière et d’accroissement, mais on observe seu- lement, aux endroïts où les préparations diastasiques touchent directement la gélatine, un faible phénomène d’accroissement et un fort effet lumineux local, dont l’explication a été don- née antérieurement (p. 398). De ces expériences il résulte que les diastases ci-dessus nom- mées ne forment pas de glucose par leur action sur la fécule. Il me paraît douteux, toutefois, que dans tous ces cas la maltose soit la seule matière photogène produite; je crois plutôt que dans des cas déterminés il se forme encore un autre sucre, qui est photogène avec le Ph. phosphorescens sans l’être avec le Ph. Pflügeri, et qui occupe peut-être une place intermé- diaire entre la maltose et la maltodextrine, dépourvue du pouvoir photogénique. b. Etude des enzymes inversifs. Une seconde série d’applications, auxquelles les bactéries lumineuses peuvent se prêter, est relative à l'examen des produits d’inversion que le sucre fournit sous l’influence des enzymes inversifs, sécrétés par des levûres ou par d’autres microbes. Un exemple éclaircira ma pensée. 1) Obtenue en agitant de la salive avec du chloroforme. Les cellules et le mucus se déposent avec une partie du chloroforme. Le liquide surna- seant est une dissolution de ptyaline dans l’eau chloroformée, et peut être conservé indéfiniment dans un flacon bouché. 2) Obtenue en précipitant l’urine par l'alcool. 3) Obtenue en précipitant par l'alcool le produit d’une fermentation nor- male d’alcool butylique, déterminée par le Bacillus Amylobacter. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 437 Au mélange eau de mer-gélatine-peptone on ajoute un excès de Ph. phosphorescens. Peu de temps après la coagula- tion, la couche de gélatine cesse d'émettre de la lumière, par suite du défaut de combinaisons carbonées assimilables. On y laisse alors se former des champs de diffusion de sucre de canne, de raffinose et de sucre de lait, corps dont aucun n’est décomposé par les bactéries lumineuses et ne donne par conséquent lieu à des phénomènes lumineux locaux. Trace-t-on toutefois dans ces champs de diffusion des lignes de microbes inversifs, ou dépose-t-on à leur surface de petites quantités de l’invertine sécrétée par ces microbes, les sucres susdits sont transformés en ces endroits en sucre inverli, qui, comme l'expérience l’apprend, est un excellent aliment photogène pour les bactéries lumineuses ordinaires. Dans le cas en question, où l’on dispose de champs de diffusion formés par la raffinose, le. sucre de lait et le sucre de canne, on peut faire l’expérience suivante, qui n’est pas dépourvue d'intérêt. Le Saccharomyces Kefyr, la levûre contenue dans les grains de kéfir, est en état de faire fermenter le sucre de lait, ce que ne font ni la levûre de bière, Sacch. cerevisiae, n1 la levûre de vin, Sacch. ellipsoideus Le sucre de canne et la raffinose, toutefois, sont invertis par chacune de ces trois levûres, et par conséquent rendus propres à la fermentation alcoolique. Or, en traçant des lignes de Saccharomyces cerevisiae, de Sacch. Kefyr et de Sacch. ellipsoideus à travers les champs de diffusion des trois sucres sur le terrain à Ph. phosphorescens, on peut au bout de quelques jours faire les observations suivantes, qui donnent l'explication des différences, ci-dessus mentionnées, en aptitude à déterminer l’inversion des sucres. Le Saccharomyces Kefyr se trouve sécréter un enzyme, la lactase, par lequel, comme ïl a été dit, les trois sucres en question sont invertis, c’est à dire il se forme.donc des sucres pouvant servir à l’accroissement du Ph. phosphorescens. T1 en résulte qu’autour des lignes de cette levûre, dans les champs 438 M. W. BEYERINCK. de diffusion de chacun des trois sucres, on voit apparaître des champs de lumière et d’accroissement de Ph. phosphorescens. Je dois toutefois faire remarquer que ces expériences avec le sucre de lait sont très subtiles et que leurs résultats peuvent dépendre de circonstances accessoires, dont jusqu'ici je ne me suis pas encore bien rendu compte !). Quant au Sacch. cerevisiae. et au Sacch. ellipsoideus, ils pro- duisent un enzyme moins actif, l’invertine ?), qui est bien capable d’invertir le sucre de canne et la raffinose, mais non d’invertir le sucre de lait *). Cela à pour conséquence qu’au- tour des lignes de ces deux levûres, dans le champ du sucre de lait, le Ph. phosphorescens n’éprouve rien de particulier. Il en est autrement dans les champs de diffusion du sucre de canne et de la raffinose; ces sucres sont transformés par l’invertine, et fournissent du sucre inverti pouvant donner lieu tant à l’accroissement qu’à la luminosité du PA. phos- phorescens. Ces dernières observations à l’égard du sucre de canne et du raffinose sont parfaitement simples et décisives. L'invertine, la lactase et en général tous les enzymes sont précipités de leurs dissolutions par l'alcool ou par d’autres agents, qui ne nous donnent nullement la certitude d’obtenir 1) Dans quelques expériences, en effet, j’ai obtenu des effets de lumière et d’accroissement avec le sucre de lait, sous l'influence du Saccharomyces ellipsoideus. Je me suis donc demandé s’il serait possible que parmi Îles sucres de lait du commerce il se trouve des isomères, qui réagiraient différemment à l’action de l’invertine. Mais, jusqu'ici, cette question est restée sans solution. La possibilité se laisse concevoir aussi que, dans ce que je détermine comme S. ellipsoideus, il se rencontre différentes races de levüres. 2) L’invertine de la levûüre de bière et celle de la levüre de vin parais- sent être identiques. 3) Aussi le lait peut-il facilement être mis en fermentation par la levûre de kéfir, mais non par la levüre de bière, ni par la levüre de la grande industrie, qui est composée de la même espèce que la levüre de vin, à savoir, du Sacch. ellipsoideus. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. 439 des corps purs, ou, à mieux dire, qui donnent la certitude que toutes sortes d’autres matières, notamment des dextrines, des gommes et des peptones, sont précipitées en même temps que l’enzyme. Pour cette raison, dans les expériences où des enzymes doivent être décelés par des effets d’accroissement ou de lumière, il convient de faire agir les matières renfer- mant les enzymes non seulement sur une couche de gélatine qui, outre les microbes servant de réactif, contienne la sub- stance destinée à subir la transformation enzymatique, maïs aussi sur un terrain semblable dépourvu de la substance à transformer. Par la comparaison des résultats obtenus dans les deux cas, on peut alors ordinairement estimer la part qui revient aux produits de l’action enzymatique. Là encore, toutefois, il y a une chance d’erreur, car il est possible, — et lors de l’examen des préparations diastasiques le cas se présente réellement, — que dans l’enzyme brut il se trouve un élément qui ne devienne actif qu’en présence d’une petite quan- tité du produit de conversion formé par l’enzyme, et qui échappe donc à l’observation lorsque ce produit de conversion fait défaut. Ainsi, dans la diastase précipitée, qu’elle provienne du malt, de la salive, de l’urine ou du pancréas, il y a une matière, probablement une peptone, qui non seulement peut déterminer avec la maltose un phénomène d’accroissement et de lumière chez le Ph. phosphorescens, comme le font, réunies, la peptone du commerce et la maltose, mais qui peut même être assi- milée par le Ph. phosphorescens conjointement avec la malto- dextrine, laquelle devient alors substance photogène. Au reste, les champs de diffusion du corps en question, dans les terrains de gélatine, sont si petits que, en y mettant l'attention nécessaire, on peut facilement se préserver de toute confusion avec d’autres matières. Son influence et sa signification deviennent naturellement beaucoup plus grandes dans les cultures liquides. 440 M. W. BEYERINCK. d. Étude des enzymes trypliques. La trypsine est l’enzyme albuminique du pancréas. Beaucoup d'espèces de bactéries sécrètent un enzyme identique ou très analogue à cette trypsine pancréatique. De ce nombre sont, comme on l’a vu, nos bactéries lumineuses à peptone. A côté de la question de l’identité ou de la diversité de ces enzymes, laquelle doit être résolue par l’examen des produits qui peuvent naître de leur action sur la même matière protéini- que, il s’en présente une autre, non moins importante, relative à la nature des produits formés par le même enzyme agissant sur des corps albuminoïdes différents. Les bactéries à peptone en général, et les bactéries lumineuses à peptone en particu- lier, deviendront peut-être un moyen de résoudre ces questions. Pour cela. toutefois, 1l faudra des connaissances plus exactes que celles acquises jusqu'ici par rapport aux produits de dédoublement des matières albuminoïdes sous l’influence des enzymes, et à l’action de chacun de ces produits sur les fonctions physiologiques des bactéries à peptone. Selon toute probabilité, la trypsine sécrétée par les bactéries lumineuses est identique à celle du pancréas. Du moins, cela paraît résulter de l’analogie des transformations que l’une et l’autre font subir à l’albumine, à la gélatine et à la caséine, en tant que, de la parité du pouvoir d’accroissement et de phos- phorescence chez les bactéries lumineuses indiennes, on peut conclure à l’égalité de nature des matières actives dans ces pro- cessus. En ce qui concerne toutefois les enzymes albuminiques sécrétés par le groupe des bacilles du foin ‘), leur identité avec la trypsine du pancréas ne me paraît pas démontrée. Les expériences peuvent être faites de la manière suivante. Dans un petit matras se trouve de l’eau de mer contenant 1) Sous le nom de ,,bacilles du foin” j'entends ici tous les bacilles qui liquéfient la gélatine et dont les spores peuvent temporairement supporter la température de l’ébullition. Ils appartiennent à différentes espèces. ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE AAT du phosphate et 3 pour cent de gélatine, le tout stérilisé par ébullition, puis infecté de Photobacterium indicum. Après 24 heures de séjour dans un thermostat, à la température de 30° de lumière; mais l’un et l’autre restent faibles, de sorte que , on observe un peu d’accroissement et de dégagement la trypsine sécrétée par le Ph. indicum ne forme, aux dépens de la gélatine, que très peu de matières pouvant donner leu au dégagement de lumière. La perte du pouvoir de coagulation de la gélatine prouve cependant que la sécrétion de trypsine à commencé chez les bactéries. Au bout d’un nouvel intervalle d’une trentaine d’heures, l'intensité lumi- neuse peut être devenue très grande, parfois aussi grande que possible. Mais alors encore, et même après un temps plus long, l’accroissement reste faible. L'augmentation d’in- tensité lumineuse démontre toutefois qu'un aliment photogène doit s'être formé aux dépens de la gélatine. Si maintenant on ajoute dans de semblables matras de culture, avant que les bactéries n’aient complètement pepto- nisé la gélatine, une très petite quantité de trypsine !), et qu'on abandonne le tout pendant 24 heures à une température de 30°C, l'intensité lumineuse se trouve, dans la plupart des matras, élevée au maximum, tandis que, ici encore, l’accrois- sement demeure très faible. La marche des phénomènes con- duit seulement à conclure qu'ils ont été accélérés, de sorte qu’on ne peut songer qu'à une différence de concentration entre la trypsine du pancréas et celle des bactéries, mais non à quelque différence qualitative. J’ai obtenu le même résultat en employant comme aliment de nos bactéries lumineuses, au lieu de gélatine, du blanc d’œuf coagulé par la cuisson dans l’eau de mer. Dans un pareil liquide aussi, le dégagement de 1) On peut se procurer des préparations très actives en précipitant par l'alcool des extraits faits avec la poudre de pancréas du commerce. Moyennant quelques soins, ces précipités sont faciles à obtenir à l’état stérile. ARCHIVES NÉERLANDAISES, T. XXIV. 29 449 ALIMENT PHOTOGÈNE ET PLASTIQUE. lumière est d’abord faible, ensuite plus fort, et peut être no- tablement accru par l’addition de pancréas, c’est-à-dire, par l'augmentation de la proportion de trypsine. Soit avec la trypsine du pancréas, soit avec celle des bactéries, l’optimum de température pour la transformation, ainsi que le degré d’alcalinité le plus favorable, paraît être le même. Que dans notre expérience la trypsine pancréatique pro- duit l’aliment photogène et plastique aux dépens de la gélatine, et ne contient pas elle-même certains éléments pouvant rem- plir ces fonctions, c’est ce qui résulte du fait qu’en dissolvant dans l’eau de mer une quantité de trypsine égale à celle employée dans les expériences ci-dessus décrites, et en infectant cette dissolution, préalablement stérilisée, avec le Ph. indicum, on n’a pas obtenu trace de lumière ou d’accroissement. Fee Fig.6. “ Lith. Enuuk & Brmser. PET AN AIT È Fe D * AE UE = 1 , Binge: En rink à} ! ni. Lit Arch Néerl Tome XXIV Fe PL II f. « Y \ Vie 2884 bn re 1... , fs ES r \', Ro rt PO pe D jé À \ ele annee cri dencre Éenlnetener dater dr fee N r 7 pe , TÉL TEE Lou) nn —— ar ones mn et ra a d«( pre HN 3 tre true cr Serres à ke sa £ 2 ES ee , RU RE LU S >>—— < TN ED y raie rom et ET a ee NI ce Pme on À 4 = ; 5 RS er TT RER TAG 2 g25 LUN] ù Neerl Tome XX[V. Arch AE PRIT x Se ET RLe Lith Emrik & Pinser. > 0 Arch. Neerl. Tome NWP Rauwenhoff ad nat.del. MR : | [Ie 1h Arch. Neerl. Tome N.WEP Rauwenhoff ad nat.del. # F Arch. Neerl. Tome XXIV. ASE PARU FRA. en AP Arch. Neerl. Tome NWEP Rauwenhoff ad nat. del, : Î 1 ML Arch. Neerl. Tome XXIV WE Ra $ s MP Rauwrennoffad/nat de) PATMTrapampr es Arch. Neerl. Tome a N.WP.Rauwenhoff äd nat. del. Arch. Neerl. Tome XXIV. e RVUNITrap impr Arch. Neerl. Tom RE 1) y (@)} # [EF 77) \ (Er, Ci s () Ï Sa . SH — (OI oi dE \ 2: —À 3 ae NWP Rauwenhoff ad nat. Ci co en AWPRaiwenhoff ad nat del PM Trap impr AJWendtelien Lu im tee Arch. Neerl. Tome XX NWEP Rauwenhoff ad nat. del. Arch. Neerl. Tome XXIV. NNPRauwenhoff 34 pat del FEW Trap impr AWendel lith l ile - CE ÉRATSER dore AT A #t NWPRauwenhoff âd nat.del. rer ru DETOT . 72 | ) 4 ï “4 | Fe l É Fe. en RIÈLe 'ASND.7S reaors A 7 e> QU 1 PUS. 7e EM MTrap impr AT oh Necrlilonte ANC NWPRauwenheft ad nat el : PL XI Arch. Neerl.T XXIV 190° 90° o o Arch.Neerl. Tome XXIV. % 8 UTPALEUR + Nef. as PU NT < LELIPATE] 7 V » PQ à 0 = CSS æ o Die. FR Es esta RE Pl ee À AR me [2e] © G 53,02, 199 Lith.Emrik&Binger. HET LR: ie # ) l L. ox T4: de. A Cr N ANS Er Fig. A, DUT, _ FgA, RUE | j —_—— Ven à [l DNS à tte. — ti ne STE ue || | : ans jsecrre | TT n—., Température critique des substances tsolces. es NU 7 # 1%) 2 mi D , AE De Guns iéralure critique du mélange symétrique. —— Te a Température d'origine du pli longitudinal. Il h } ” 0 PE . 0 | Eur (y GE ) Température d'origune des points depulissement 4e me EE NEA 2 (°4)) Témpérature de dépeneration dela courbe sninodale. TE AE À (12 Le ) Température du point d'osculation. DT ï Tete NT Er L À y | Ad 7 Le y 5 % - NE f” = ve LLe » rire h : a AL'SDAR (NE \1é E a De 2 «el, ninger Amats È È SLT TES ÈË È y E F 5 à 10 CEE 1 à ëS S à É En SL 51100 : à 5 RS NES TESTS à LORS MST - FR PUS S QUrS SNS D UNS TE + RS IN SIENNE * SNS MES SERRES à SOUS SSSR . = S S S S a RL ES USERS NS S US SN 1 INT OS à L SR SUR ÈS STE 2 ns Se S SE ÉSÉÈRS NA SN LUN EST El È : SOS NS ESS RE DSUrS LD ES ASE USSR IN TRÈErE = = nl ÉLUS S SUSUSA RÉ CS AS TC SURÈS Se SL SERIE SE NREE RSS DS SIN En SE SRÉLSMSn- L S S SA Set à SSSR TATÈEES Si RCE È S SC lS her Fo à SEC EE SMS ou È Ce œplen NS © R Eu [2 | = 2 SÈE RE Be Re Du ASE SE LE 25 2 ER 4e 2 S-ÈcE aie GT cl al 37 Li ENT ® U (| PPS Et (ml n HN me (LE 1 EAN D A cn LS ml 8 EL fl 1. RL I — a — oO e——— | + PI LUS MT D (il A 1solces. de degeneration de La courbe sninodale. du point d'osculation. e d'origine des points de plissement Let À, DAT BE D OU x)) Temperatur ) du pli longitudinal. Température ) Températn ) 2 (1-X o-'X (1- 1 2 Température critique dun mélange symétrique. Températare critique des substances Temperature d'origin (1 ) "_A1(1-X /1-X 2 1+X _ (+) Eu te ) SE PO 27 MbR ZMR 1(1-X) a,( -% T, si je UX il on) Qi UN nat M —\ | VW | y Li À Te pr Températare critique des substances 1solees 1= date) Température critique du mélange symétrique. Le HO Température d'origine du pli longitudinat. GE) 2 242) Témpératnre d'origine des noints de plissement Let À, = MOD (1]/2 (1-2) Température de dégénération dela cmrbe sninodale. e En (4 mt ) Temnératare du point d'osculation. D TEE AS » Le 7 32 | (TOME XXI. “1 An-1°1 690 A Liebe fi | à Tisoman o€ > | ARCHIVES NÉERLANDAISES DES SCIENCES EXACTES ET NATURELLES PUBLIÉES PAR LA SOCIÉTÉ HOLLANDAISE DES SCIENCES A HARLEM, ET RÉDIGÉES PAR PRBOSSCHA SECRÉTAIRE DE LA SOCIÉTÉ, SE en Sn ee RP RET 2 1 AVEC LA COLLABORATION DE MM. D. Bierens de Haan, C. A. J. A. Oudemans, W. Koster, ._ C. H. D. Buijs Ballot, C. K. Hoffmann et J. M. van Bemmelen. : _HARLEM LES HÉRITIERS LOOSJES. 1890. PARIS LEIPSIG GAUTHIER-VILLARS,. G. E, SCHULZE. | ME XXIY. Le 2me et 3me Livraisons. ÎL ARCHIVES NÉERLANDAISES DES SCIENCES XACTES ET NATURELLES PUBLIÉES PAR “_ LA SOCIÉTÉ HOLLANDAISE DES SCIENCES A HARLEM, ET RÉDIGÉES PAR WEB O SS:C HA; SECRÉTAIRE DE LA SOCIÉTÉ, AVEC LA COLLABORATION DE MM. D. Bierens de Haan, C. A. J. A. Oudemans, W. Koster, C. K. Hoffmann et J. M. van Bemmelen. : van = , y se A é! y, 1 U2» 8. TE) #S 7° (É IITSYD. A JUL 148 1090 / :! HARTEM LES HÉRITIERS LOOSJES. 1890. PARIS LEIPSIG k GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHUIZE. , % EN {à à v. À GA 4me et 5me Livraisons. Y 7 + 2 » ARCHIVES NÉERLANDAISES DES SCIENCES XACTES ET NATURELLES F- : | PUBLIÉES PAR { À ULA SOCIÉTÉ HOLLANDAISE DES SCIENCES À HARLEM, | ET RÉDIGÉES PAR JO SSCHA SECRÉTAIRE DE LA SOCIÉTÉ, AVEC LA COLLABORATION DE R | À MM. D. Bierens de Haan, C. A. J. A. Oudemans, W. Koster, | C. K. Hoffmann et J. M. van Bemmelen. fo. | Lg # \ Mip° +7 \ re! ant 5) 6 +? HARLEM LES HÉRITIERS LOOSJES. | | 1891. PPÉPARIS > NES LEIPSIG 'GAUTHIER-VILLARS. G. E. SCHULZË. QUATRIÈME ET CINQUIÈME LIVRA SONS. H. W. Bakhuis Roozeboom, Sur les relations entre le sulfate thorique nhydre et ses hydrates, et sur les phénomènes de ralentissement dans l’hydratation et la désiydratation és dé ace ySel RER PR RE CNE Ce OR NUE eus MEL RTS SR ES 2 PIS dons. Hugo de Vries, Sur la durée de la vie de quelques graines....:........... :\. 150 S M. W. Beyerinck, Cultures sur gélatine d’algues vertes unicellulaires. . ..... L, 500 3 | \ : D. J. Korteweg, La théorie générale des plis et la surface y de van der Waals dns le Cas le symétrie... 70. AR COR ET M PR MR ENT COX ET en 12 LL. : 5 M. W. Beyerinck, Sur l’aliment photogène et l’aliment plastique des bactéries min 4 . p. RU Le CONDITIONS DE L’'ABONNEMENT. Les Archives Néerlandaises des sciences excel et naturelles paraissent à des époques indéterminées, en livra de 6-à 12 feuilles d'impression, avec un nombre illimité dep ches coloriées et noires. | | Trente: feuilles forment un volume, Avec la dernière livraison de chaque volume les souscripte reçoivent gratis une table des matières, un titre général et couverture. Les abonnements engagent à un volume seulement. Les livraf sons ne se vendent pas séparément. Le prix du volume, avec les planches, est fixé à fl. 6.—. à On souscrit chez l'éditeur et chez tous les libraires « Pays-Bas et de l'étranger. Un certain nombre de collections des tomes I à XX (al ni 1866—1886) sont mises à la disposition des Savants, Bibliothèd ou Etablissements publics au prix de 80 florins (168 francs, ] ; Don. S'adresser directement au Secrétaire de la Soe hollandaise des Sciences à Harlem. : ECC EEREN EEE E LE N EEE EEE RL É EEE EE, RC Ne HARLEM. — IMPRIMERIE DES HÉRITIERS LOOSJES. ANNE TATA ET" Lune Lot ! NV Q à ve n Vds Ad ‘à VE 8 hp + 8 AURAS Lits d'u ve CT ha Mis bé 0.6 CENT E a Wu! a ve 8 Lui 6 en al 2 elite $ ps djebomiéh mb met + CPAM ENTRE jersey D 47 Lee RATER) . PEN" COLE TES sus , . ei "de nt dar Cr % 4 "1 n RCE" * LEX date mes ie 4 PE 1 à ACTES DTAUE TT Lan Ya" : à An NA AU tra ‘ DTath A'aRS UNE 0 4 4 Ale À Hat x 4 « this 2 di > Low , PTE ni … * Mo \ > . PRE 4 { Ç Lo LU RDA EN « 7 r LIRE 4 be PMPA RE ONE À st ” L'irA AOCRLETE ALU Dan - CARE AMAIAN IQ PE) we ARE RATER ETES LULU à ue D A AtA . ve nr: site did yle d'u ze « “ CET : He vhs 44 CR LEO Er EE TOME TIITRE POP NE VAT PT TR wa: t “4 * Lére d'e dut POPRLETU" PE PA est sb ‘ met AG à rare ré éeu VITE DUT ue UAH AUX RAD EN EAN DURE { MU dr de ‘ Lt CRONTEU RE PALIOE E ENTT dau deu à 2h à . e \ % ñn* A CRC de’ ut CORAN + + CANCER D'ART AN EU À Qc 8 6 «4 COCE NC TTET . LU TU 4 ' TEE vs ‘ Meme ele g-y À où « d'huadt own à ” CAL IEEE Er der we rt . nie ob ut vent à y n« 29 An ve CE 4 eu un à ere uma à ne ee CU à ARUAUER LEE" . het en vi be nu Tuteé ns Crnd . ne ru tn ue 4 à une te us VV 0 4 ” rate ah a 0 à L'ERLALZUES . qe et 4e 6 8 à à vin LICACANE AUX APPEL LA 4% DÉRCLE TT 0 “À ma nleme ty nbr « à * PAT MARNATITET Le Cotes ns PE OT à n° ps TN De Weber Ne bonne à ."” v… .n! L CRETE CEE AN } ' Prbernin : VLY he hu É : ni: h» LE, V'usi à LA LS vs « LORIE Lo 44 4% CAPREREENR LS vAE LEE! vA . uv e hs du: CFP nas CO E d'ions VATA LO 4 PRET É À CRUE LA LE, t 44 + + et 4 264 PYALT À Wu gr 4 CHPATUURE PACE F 41 4 PTT “© rat CET DA UAUR CCE AT LUNA" eh, 4 RAD na 4 SA trs t i tr di 4 vs ua ‘ avt ‘ IR ON ETET Lu 48% PAPA E" ve bre à CAPE ATAT D" " ue … « Ca" Nr ant ” mb (RE vue ve cuve EMEA nv vert at è [RC . ' ù w r4 : wi Sd'vn ou y tn Nivet ï A uv …… 1 à 1 \ LAN Ur Le ARTE CE AAC 2 Ü . 247€ LL Eje GW AN PUUE HO | d.« « l'AC EE vi U+ CR: : “un 3 bu sa , 4 COIALTROUE 7 Lg 4 Lu ae Hi 1 vaut NAN AeTnA hu » uw Lrcurri CM C 4 vont vuurws .. «i : PALAU D: " rx ., : CE” dorrout bu 1 y ‘ i va ù ti CRE 0 Û CRE Û 4 dur rx CAR ' ve ivt i “4i b lu rt? ut i 1 v'r i + ll di CN 1 PACE CARTE < Le hva t'rns mutant 4 W.4 € ut Les i ‘ CARO CRC “ wi vuntrbtà vurbki + RAA: Le us : ; CORRE ER RUE at Û 1,4, À Û | (Pre: CAL Ê LAC ‘ PASS CAT ARR ds ge Fret Us hi: i vi w) VE ARR 1,4 vi \t 1% ï he, NU t LV yr db trust EU 4 rt CORPORATE » Ut u-4 04 à ASS .* 1 te î u t vrai “t ve À ut ' vus 11 eu, MS vi : : |A ti ' vi Lhi ; 1 A Va truth nf : [l n} ‘ vi ' \ î 1% \ L SMITHSONIAN INSTITUTION LIB QU ‘ ‘ de ‘ Who h à i AU Lt un « i ‘ ' \ ' ke L LS Y ‘ RTE ‘ ‘ Lu i ‘ \ L l LL