å
ar

IG EE NER NG

OF THE

MUSEUM OF aan VE ZOOLOGY.
o
TUG

ARCHIV

FOR

MATHEMATIC. OG NATURVIDENSKAR

UDGIVET
AF

AMUND HELLAND, SOPHUS LIE, G. 0. SARS oc $. TORUP

KRISTIANIA
ALB. CAMMERMEYERS FORLAG
LARS SWANSTRØM

1897

På Nr.

OY»

Bay»

10.

hil.

Indhold.

On some West-Australian Entomostraca raised from
dried sand, by G. 0. Sars 5 Ad

Om aceton som stofvexelprodukt. E Ape Ute -tysio-
logiske studier, af H. Chr. Geelmuyden

Sur lapplication de la théorie des nombres entiers
complexes à la solution en nombres rationnels
DE D Cor Ci de Kequation:

Chane ta, CLATC SL ee CN aretg xr, SK

ela

par Carl Stermer ‘

Mindre meddelelser II, af Axel Thue RER
Sur quelques formes de l’equation de laquelle dépend
la division des périodes des fonctions elliptiques par 7,
par Å. Palmstrøm . :
Synotus barbastellus, (Schreb, - Phoca a Müll.,
nye for Norges Fauna, af R. Collett. SA
Om en Samling Fiske fra Azorerne, tilhørende Museet
i Ponta Delgada, af R. Collett.

Om en Del for Norges Fauna nye Fiske fundne i
1880—1896, af R. Collett . |

Om sandsynlighed og dens betydning logisk betragtet,
af Anathon Aall. EE SL LEE
Nogle magnetiske observationer i Nordmarken og i
Christiania, af H. Geelmuyden.

Bidrag til kundskaben om Norges hydrachnider, af

GX

SE) LAU anes a Sn En

Side
1—35
1—68
1—96
1—27
NG
1— 7
' 1—17
1—25
1— 24
1=i9)
1—74

ei

ON SOME

WEST-AUSTRALIAN

ENTOMOSTRACA

RAISED FROM DRIED SAND

BY

G. 0. SARS

WITH 4 AUTOGRAPHIC PLATES

ARCHIV F. MATHEM. OG NATURVIDENSKAB

,,

M KRISTIANIA

ALB. CAMMERMEYERS FORLAG
LARS SWANSTRØM

DE Å sr ENE LE je

JAN 26 1897
ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB. B. XIX Nr. 1.

Introduction.

Mr. Knut Dahl, who has been travelling for 2 years in
the northern and western parts of Australia, and who also
made some excursions into the interior of the continent,
brought with him, on returning home this year, a sample
of dried material taken by him from shallow depressions in
the sandy desert, at a distance of about 40 miles east of
Roebuck Bay. When he first visited these inner tracts,
immediately after the rainy season, all the greater depres-
sions were filled with rain-water, and swarmed with Ento-
mostraca, among which an Apus was observed in great
numbers. Unfortunately he did not preserve any of the spe-
cimens, apparently owing to the want of a suitable preserving
fluid. Later in the season he again visited the interior
of the country, but now nearly all the depressions were
completely dried up, and the whole country had the character
of a barren desert. Having, however, learned that at
times some parts of this desert were peopled by multitudes
of small crustaceans, and knowing of the good results of
my earlier hatching experiments, he kindly collected for
my use some dried material from places where it was
supposed that, at an earlier time of the season, rain-water
accumulated. The material, when received (on the 4th May
of the present year), had the character of a very fine, reddish

1 — Archiy for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 1.
Trykt den 2ide Oktober 1896.

4 G. ©. Sars.

brown sand, without any mud intermingled, and at first I
therefore had some doubts as to the suitableness of such a
material for hatching operations. On a preliminary micro-
scopical examination of the sand, however, some scattered
pieces of the carapace of an Apus, and of the shell of a
bivalve Phyllopod were easily detected, as also a few
detached valves of 2 different Cypridids, and this induced
me immediately to start upon my hatching experiments.
For this purpose I prepared a series of aquaria, to receive
each a small portion of the sample, the date of preparation
being in each case noted. The aquaria were placed in my
laboratory in such a manner, that they were exposed to the
direct rays of the sun during the first part of the forenoon,
and in clear weather the temperature of the water was
often found during this time to rise to a very considerable
height. After the lapse of some days a few small Ento-
mostraca made their appearance in a number of my aquaria,
whereas in others no trace of life could be detected, either
at that time or subsequently. The latter were of course
discarded, while the former were kept for further observation
during the whole summer. Of the results of my experi-
ments, which I believe may be of some interest, I propose
to treat in the present paper. The number of species
hatched and examined in detail, is rather limited, amounting
to only 5 in all, viz, 2 Phyllopoda, 1 Cladoceran, and 2
Ostracoda; but of these only one of the Phyllopoda seems
to have been noticed at an earlier date, whereas I regard
the 4 other species as new to science.

On some West-Australian Entomostraca. 5

Phyllopoda.

Trib. Notostraca. Fam. Apodidæ.

Gen. Apus, Schæffer.

1. Apus australiensis, Spencer & Hall.
(Pl. 1).

Apus australiensis, Spencer & Hall, Report on the
Horn Expedition to Central Australia. Part II. Zoology.
Crustacea, p. 235, Pl. 20, figs. 1—3.

Å single specimen of an Apus, which in all probability
is referable to the above-named species described by Messrs.
Spencer & Hall, developed in one of my aquaria, and was
watched for nearly a month. On Plate 1 is given a figure
(dorsal aspect) of the specimen in its most advanced state,
drawn from life, and accompanied by some detail drawings.
On comparing this figure, which has been carefully verified
by a renewed examination of the preserved specimen, with
that given by Messrs. Spencer & Hall, several rather striking
differences may be found to exist, both as regards the form
of the carapace, and the several proportions given by the above-
named authors; and, indeed, these differences might lead one
to suppose, that in reality it belonged to a different species.
Considering, however, the great variations in these respects
found in different specimens of the same species, especially
when examined in a preserved state, I am unwilling to lay
any stress on such characters as specific marks. The spe-

cimen was of rather small size, as compared with those

6 G. O. Sars.

examined by the above-named gentlemen, and had probably
not nearly reached to its full size; yet is was so far developed
as to admit of the assumption that it exhibited all the
essential characteristics of the species.

The dimensions of the specimen are as follows:

Total length, measured from the frontal margin to the
end of the terminal caudal segment: 13 mm.

Length of carapace: 8.5 mm.

Median length of same (to tbe bottom of the posterior
sinus): 6.8 mm.

Greatest width of same: 5.5 mm.

Median length of cephalic part of carapace (to the
posterior edge of the mandibular segment): 25 mm.

Width of posterior sinus: 2.9 mm.

Depth of same: 1.6 mm.

Length of exposed part of body: 64 mm.

Length of terminal caudal segment: 0.7 mm.

Width of same: 1.2 mm.

Length of caudal filaments: 7.4 mm.

From the above-given dimensions, it will appear, that
in the specimen examined by me, the carapace is compara-
tively larger in proportion to the exposed part of the body,
the proportion in length between the two being as 4 to 3,
whereas, according to Messrs, Spencer & Hall, these parts are
of about equal length. Moreover, the width of the carapace
in the specimen examined by me, is far from attaining the
median length, whereas, according to Messrs. Spencer & Hall,
it exceeds it considerably. On the whole, the form of the
carapace, when seen from above (fig. 1), looks rather different.
Messrs. Spencer & Hall describe it as a short oval, and in
the figure its greatest width occurs considerably behind the

middle. In the specimen examined by me, it has an oblong

On some West-Australian Fntomostraca. 7

oval form, being broadest somewhat in front of the middle,
and slightly narrowed posteriorly, with the edges quite
evenly arched in front and laterally. The posterior sinus
is broadly rounded at the bottom, and is edged with from
24 to 30 small denticles. On the lower edge of the cara-
pace there are only 3 or 4 very small serrations close to
the posterior corners, whereas, according to Messrs. Spencer &
Hall, they extend to about half the length of the carapace.
The dorsal carina is quite smooth in the specimen examined
by me, and gradually vanishes anteriorly, for which reason
its exact length cannot be stated; it terminates at the bot-
tom of the posterior sinus in a slightly projecting pro-
minence. The cephalic part of the carapace, defined by the
strongly-marked cervical furrow containing the transversely
convex mandibular segment, but little exceeds half the
median length of the remaining part of the carapace, whereas
in the figure given by Messrs. Spencer & Hall, it almost
equals this part in length The exposed part of the body
is subeylindrie in form, though gradually tapering somewhat
distally, and exhibits about 28 segments, of which the 12
posterior are without legs. They are, as usual, provided
dorsally with a transversal row of short stout spines, which,
on the non-limb-bearing (caudal) segments, extend also
around the ventral side. The terminal caudal segment, to
which the name of telson can scarcely be applied here, is
about twice as broad as it is long, and somewhat flattened,
expanding a little distally, with the hind edge slightly
emarginated (see fig. 5). It carries dorsally a single, stout
median spine near the hind edge, and has moreover on each
side, in its anterior part, a small circular area carrying a deli-
cate sensory bristle, and flanked in front by 3 denticles
(see fig. 6). Outside the bases of the caudal filaments, a

8 G. O. Sars.

few strong spines are seen to project, and the hind con-
cave edge of the segment is armed dorsally with about 6
small denticles, beyond which the soft skin, flanking the
anal orifice, projects in the form of 2 short rounded lobes.
In the specimen described by Messrs. Spencer & Hall, the
terminal caudal segment is much more spinous, but it is
most probable, that the number of spines increases with age.

The eyes (see fig. 1) are rather large and of the usual
reniform shape, slightly converging anteriorly, and having
here between them the ocellus, which shines distinctly
through the integuments as a small dark spot. Immediately
behind the eyes, the post-ocular tubercle is seen in the form
of a nearly semicircular prominence.

The shell-glands are easily observable as 2 narrow,
sabre-like areas extending obliquely along the sides of the
carapace from the cervical furrow to some distance from
the posterior corners.

The 1st pair of legs (fig. 2) exhibit the structure cha-
racteristic of the genus, the endites (excepting the rudi-
mentary, scale-like 5th one) being much elongated and thread-
like, and projecting laterally far beyond the edges of the
carapace. The 4th endite, as usual, is much the longest,
being fully twice as long as the stem, and, like the other
3, has the edges divided into small, spinulose ledges, exhi-
biting also in certain places a distinct segmentation. The
outer appendages (exopodite and epipodite) are very small.

The 2nd pair of legs (fig. 3) are much more strongly
built than the Ist, and are, as usual, more or less incurved,
and prehensile in character, exhibiting a rather distinct seg-
mentation. Of the endites, the 5th is well developed,
though not quite attaining the length of the 4th, and has
the form of a lanceolate claw, finely denticulated inside, and

On some West-Australian Entomostraca. | 9

fringed outside with a row of delicate bristles. The 4th
endite is scarcely more than half as long as the stem, the
others still shorter and not exhibiting any trace of segmentation,
though provided on the inner edge with minutely spinulose
ledges. Of the outer appendages, the exopodite in particular
is considerably larger than in the 1st pair, and is of a triangular
form, the upper corner being exserted to an acute lappet.

In the next succeeding pairs of legs, the stem becomes
gradually shorter, and its segmentation is at last wholly lost.
Of the endites, the 5th somewhat increases in size, and
assumes a lamellar character, whereas the other endites are
much shortened and densely crowded together. Both the
outer appendages, on the other hand, are rather fully
developed.

The 11th pair of legs (fig. 4) do not exhibit, in the specimen
examined, the slightest trace of the ovisac characteristic of
the female, both the outer appendages being quite normally
developed, and although the specimen had not, in all pro-
bability attained its full size, I am much inclined to believe
that it was in reality of the male sex.

The total number of legs I have not been able to make
out exactly, because the posterior pairs are so extremely
small, and lie so close together as scarcely to admit of being
counted without dissection.

The caudal filaments somewhat exceed half the length
of the body, and exhibit the usual structure. In the living
animal they were kept more or less strongly divergent,
though they may also admit of being extended straight
posteriorly, as indicated in the figure given by Messrs.
Spencer & Hall.

The colour, in the living state of the animal, was light

yellowish, semipellucid, with a very slight greenish tinge on

10 G. O. Sars.

the exposed part of the body. The edges of the carapace,
and the several spines occurring on the body were of a fine
chestnut colour. The eyes were dark brown. Within the
exposed part of the body, the capacious intestinal tube was
plainly seen, owing to its dark contents.

Remarks—From the European species, A. cancri-
formis, Schiffer, of which I have had specimens for exa-
mination, the Australian form is chiefly distinguished by
the greater number of caudal (non-limb-bearing) segments.
In A. cancriformis I have never found more than 6 such
segments, whereas their number in the Australian species is
twice as large. It is also for this reason that the exposed
part of the body in the latter species appears longer in
proportion to the carapace. Otherwise the 2 species seem
to be very closely allied.

Biological Observations.

I first observed the above-mentioned specimens on the
27th May in one of the smaller of my aquaria, prepared on
the 17th of the same month. It was at that time still in the
larval condition, though rather advanced, and of a reddish
brown colour. It moved about along the bottom of the
aquarium chiefly by the aid of the 2nd pair of antenne,
which, as in the larve of other Apodide, at this period con-
stitute powerful biramose oars. In the course of the suc-
ceeding days it grew very rapidly, and before the close of
the month it had attained almost double the size, the larval
stages having been long before passed through. During the
next month it was watched every day, and 1 had great
pleasure in witnessing the rapid growth and the peculiar
habits of the animal. It seemed to thrive exceedingly well

and was very voracious, feeding eagerly upon the small

On some West-Australian Entomostraca. ial

algæ contained in the aquarium. More frequently it was
seen to move about along the bottom, with the back always
upwards, and burrowing the frontal part more or less deeply
into the mud. During its passage, the loose muddy particles
were whirled up by the violent swinging movements of the
legs, and thereby, apparently, feeding matter brought within
reach of the mouth. At times it was seen to ascend
the walls of the aquarium or the stems of plants growing
in it, clinging with great dexterity to the outmost ramifica-
tions in search of food. It also not infrequently swam
with great rapidity through the water, twisting about in all
directions. The movements, which were extremely graceful,
were chiefly effected by the rhythmical swinging of the legs, and
generally constituted a rather even dart through the water;
but this dart might be suddenly altered in any direction by
the bending of the extremely flexible posterior part of the
body. The epipodites and exopodites of the exposed legs
were seen to be in uninterrupted rapid vibratory motion,
apparently not coincident with the movements of the legs
themselves; and by this means a constant renewal of the
water beneath the carapace might be effected, to assist the
respiratory process. The capacious intestinal tube was always
filled with dark contents, and at times long coherent portions
of the latter were seen to be expelled from the anal orifice.
The animal casts its skin several times, and with each exu-
viation it increased considerably in size. No less than 6
more or less complete exuviæ were taken up from the aqua-
rium, and preserved for subsequent examination. On the
29th June the individual showed trace of disease, and I
therefore hastened to take it up for examination while
still living. It was found that a sharp splinter of some

weedy matter had penetrated the mouth, and probably

12 G. O. Sars.

injured the intestine, without the animal having been able
to rid itself of it. The accompanying drawing was immedi-
ately executed, and subsequently the individual was care-
fully preserved, so as to retain its form, and partly also its

colour, quite unaltered.

Trib. Concostraca. Fam. Limnadiidæ.

Gen. Estheria, Rippel.

2. Estheria elliptica, G. O. Sars, n. sp.
(Pl. 2).

Specific Characters.— Y Shell, seen laterally, of a
rather regularly elliptical form, anything but equilateral, the
umbones being placed far in front, dorsal margin behind
the umbones nearly straight, and not angular behind, free
edges of valves evenly curved throughout, both extremities
being rounded and nearly equal, though the anterior one
appears a little more obtuse than the posterior:—seen from
above, rather tumid, greatest width in front of the middle,
posterior extremity more pointed than the anterior. Valves
of rather firm consistency, with 14 very strongly marked
and elevated, ridge-like concentric lines of growth, each
provided in their posterior part with short and stout bristles,
surface between the lines finely and irregularly reticulate,
marginal area rather broad, and furnishea with numerous
densely crowded concentric striæ, which are not at all raised.
Upper surface of head bent at nearly a right angle close to
the cervical impression, rostrum somewhat blunted at the tip.

Number of legs 22—23 pairs. Tail of usual shape, with a

On some West-Australian Entomostraca. 13

single pair of dentiform projections at the base dorsally,
caudal plates produced beneath into strong unguiform pro-
cesses, and each having along the dorsal edge numerous
(from 20 to 30) denticles of unequal size, caudal claws
slender, without any setæ at the base, but having their outer
part distinctly denticulated along the concave edge. Colour
dark reddish brown. Length of adult female scarcely
exceeding 5 mm.

Remarks.—At first I believed this form to be the
Estheria lutraria of Brady, described by that author from
a badly-preserved empty shell. Having however sub-
sequently consulted Messrs. Spencer & Halls paper, I have
been induced to abandon this opinion. Brady’s species
is much larger, and, according to the statement of Messrs.
Spencer & Hall, the armature of the tail is very
different, each of the caudal plates having dorsally only 3
or 4 short denticles, whereas in the present species there
is a very great number of such denticles. From Estheria
dictyon of the above-named authors, it would also seem to
differ both in the shape and sculpture of the shell, as also
in the armature of the tail. From both these species it is,
moreover, distinguished by the smaller number of legs. It is
also very distinct from Estheria Packardi Brady, described
in detail by the present author in another paper». |

Description of the female.
The length of the shell of a fully adult specimen
measures only 4.9 mm., the greatest height 3.2 mm., and the
greatest width 2.2. This form is accordingly far inferior in

size to the previously described Australian species.

1) G. O. Sars, Description of some Australian Phyllopoda.

14 Ga On Sars:

Seen laterally (fig. 1), the shell exhibits a rather regular,
oblong elliptic form, the height scarcely exceeding 1/3 of the
length. It is anything but equilateral, the umbones occurring
far in front, at about the end of the first 5th part of the
length of the shell. As usual, the umbones are somewhat
prominent, and the edges of the valves in front of them
appear suddenly deflexed. The dorsal margin behind the
umbones is nearly straight and slightly declining, and joins
the hind edge without any intervening angle. The ventral
margin is gently curved, and quite continuous with the
anterior and posterior edges, which both appear evenly
rounded.

Seen from above (fig. 2) the shell is found to be rather
tumid, the greatest width almost attaining half the length, and
occurring rather in front of the middle. Both extremities
appear pointed, but the posterior one is much narrower
than the anterior.

The valves are of rather firm consistency, with the
outer layer strongly chitinous, and are each provided with
14 very conspicuous concentric lines, which form distinctly
elevated ridges placed at rather regular distances from
one another, the uppermost encircling the umbo. ‘These
ridges represent the primary lines of growth, and are in all
probability present in the same number in all fully adult
specimens. On a closer inspection, they each exhibit in
their posterior part a row of short and stout bristles (see
fig. 3). The interspaces between the lines are closely and
irregularly reticulated. On the other hand, the rather
broad marginal area is quite devoid of such reticulation, but
is marked by a great number of closely-set concentric striæ,
which are not at all raised (see fig. 3) These striæ repre-

sent the secondary lines of growth, and their number is

OP iat

On some West-Australian Entomostraca. 15

probably very variable in different specimens, increasing
with the age of the individual.

The enclosed animal (see fig. 4) appears on the whole
of quite normal structure. In the shape of the head it
agrees more closely with E. dictyon, the upper part of its
dorsal face forming an almost rectangular bend at the
cervical impression, whereas in Æ. Packardi this part is
produced to a narrowly rounded lobe. The eyes are con-
fluent, and placed within a well-marked bulging of the
dorsal surface of the head about in the middle between the
cervical suleus and the tip of the rostrum. The latter
appears somewhat blunted at the end, and from it ascends
on each side the strongly marked fornix, which, at some
distance beneath the ocular bulging, forms an almost angular
bend. The ocellus can be only faintly traced at the base of the
rostrum. The antennulæ are of moderate length and exhibit
about 10 papilligerous lobes. The antennæ, or oars, are of
the usual structure, both rami being composed of about 12
lamellar articulations carrying anteriorly short spines,
posteriorly slender natatory sete. The legs do not seem
to exhibit any peculiarity in their structure; their number
is only 22 or 23 pairs, the last 2 being extremely small.
The tail (see fig. 5) resembles in shape that of EF. Packardi,
as described by the present author in the above-quoted
paper. It has at the base dorsally 2 juxtaposed dentiform
projections, from which extends on each side a row of 4 or
5 small denticles, the last occurring somewhat below the
insertion of the caudal sete. The caudal lamellæ are, as
usual, produced into strong unguiform projections, which
are not perfectly juxtaposed, and each of them has the
slightly concaved dorsal edge armed with numerous (from
20 to 30) denticles of somewhat unequal size, small den-

16 G. O. Sars.

ticles being interposed between somewhat larger ones. The
caudal claws are rather slender, and without any setæ at the
base, whereas their outer part is distinctly denticulated
along the concave edge.

The colour, in the living state of the animal, was a dark
reddish brown, the concentrie ridges of the shell being
considerably lighter. From the umbones, moreover, an
| opaque whitish stripe was seen extending obliquely in front,
and just behind it, between the 8th and 10th ridge an oval
area was faintly traced, indicating the insertion of the

adductor muscle of the shell.

Biological Observations.

Of this beautiful species some few specimens developed
in my aquaria; but of these only a solitary individual
attained full maturity. When first observed (on the 31st
May), this individual had long since passed through the larval -
period, the shell showing already 2 or 3 lines of growth.
It rapidly increased in size during the next month, the shell
gradually acquiring at the same time a greater number of
lines of growth, until 14 such lines, all very strongly marked,
were counted. After that time apparently no more such
Jines were formed; but the marginal area was seen slowly
to increase in size, so as at last considerably to exceed in
width the interspaces between the lines of growth. On the
30th June the individual was taken up and subjected to a
closer examination under the microscope. It showed itself
at once to be a fully grown female carrying a very dense
cluster of eggs inside the shell. After a coloured drawing
had been made from the specimen, while still alive, it was
carefully preserved for subsequent examination.

On some West-Australian Entomostraca. 117

In habits it exactly agreed with E. Packardi, likewise
observed by the present author in the living state. More
frequently it was found lying quietly on the bottom of the
aquarium, where it had burrowed more or less deeply into
the loose mud; but at times it was seen to make some
rapid excursions through the water, moving about rather
violently in different directions, the back generally upwards.
It casts its skin several times, and a rather large number of
exuviæ were found in the aquarium, consisting of the skin
of the whole body with its several appendages, as also the
inner coating of the shell.

2 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. No. 1.
Trykt den 12te December 1896.

18 G. O. Sars.

Cladoeera.
Trib. Anomopoda. Fam. Daphnidæ.

Gen. Moina, Baird.
3. Moina flexuosa, G. O. Sars, n. sp.
(PL 3.)

Specific Characters.—Carapace with the dorsal
part, in gravid female specimens, often very much, almost
globularly expanded, ventral edges of valves highly flexuous,
bulging in the middle to an obtuse prominence, behind
which is a distinct, though rather shallow sinus. Head in
female not very large, but remarkably erect, seen laterally
triangular in form, with the ventral margin nearly straight and
continuous with the labrum, frontal part narrowly rounded
and somewhat prominent, supra-ocular sinus very slight,
cervical impression strongly marked. Eye of moderate size.
Antennulæ of female about half the length of the head,
subfusiform, sensory bristle of the anterior edge situated
nearly in the middle. Caudal claws perfectly smooth, ante-
anal denticles about 8 on each side, the outmost placed at
some distance from the others, and, as usual, bidentate.
Ephippium with only a single egg-ampulla placed longitudi-
nally. Male resembling that of the other species, but having
the ventral edges of the valves flexuous in a similar manner
to that in female. Body in both sexes highly pellucid,
having sometimes, in larger female specimens, a slight rosy

tinge. Maximum length of female 0.9 mm, of male 0.5 mm,

On some West-Australian Entomostraca. 19

Remarks.—This new species may be easily distin-
guished from any of the other known Moinæ by the peculiar,
flexuous bend of the ventral edges of the valves, as also
by the form of the head in the female.

Description of the female.

The average length of fully adult, ovigerous specimens
is from 0.7 mm. to 0.8 mm. The largest specimen found in
my aquaria measured 0.9 mm., and it is therefore most
probable, that this form never exceeds a length of 1 mm.
It is accordingly by far the smallest of the 4 as yet known
Australian species.

The general form of the body (see figs. 1 & 2) agrees
on the whole with that of the other species of the genus,
being rather short and stout, with the head and carapace
very sharply marked off from each other.

The shell or carapace, which is defined dorsally from
the head by a deep depression, has the dorsal part often
enormously expanded, in order to make room for the numerous
developing young ones. When these are ready to escape
from the matrix, that part is sometimes found to project as
a large, almost globular pouch sharply defined from the true
valvular part, which in all specimens preserves its form quite
unaltered. At the junction between the two, the carapace pro-
jects posteriorly to a short obtuse prominence, immediately
below which there is a slight notch in the hind edges. The
ventral edges of the valves, which in all other known spe-
cies appear almost straight and horizontal, are in the present
form rather irregularly flexuous, projecting in the middle to
an obtuse prominence, behind which the edges appear

slightly concave, before joining the posterior margin. In

20 G. O. Sars.

front of the median prominence the edges are clothed with
delicate bristles, and just within the margin a cellular stra-
tum occurs similar to that found in other species. I have,
however, failed to detect on the valves any trace of the
usual irregular siriation.

The head is comparatively small and, seen laterally
(fig. 1), of a somewhat triangular outline. It is remarkably
erect, not, as in the other known species, procumbent, and
has the frontal part rather prominent and narrowly rounded
at the tip, with only a very slight indication of a sinus
above. The ventral margin of the head is nearly straight
and horizontal, being continuous with the labrum; the dorsal
margin. appears slightly vaulted. Seen from above (fig. 2),
the head appears rather broad, subpentagonal in form, with
the greatest width about equalling the height, and the front
obtusely rounded, The fornix is well defined, though not
very prominent, and occurs just above the base of the oars.

The eye, occurring just within the frontal part, is not
particularly large, exhibiting, however, the usual structure.
As in the other species, no trace of an ocellus is to be
detected.

The antennulæ (fig. 3) equal about half the length of
the head. They are, as in the other species, freely mobile
and of a subfusiform shape, with the posterior edge finely
ciliated. The sensory bristle of the anterior edge occurs
about in the middle. The apical olfactory papille are very
small.

The antenne or oars (see figs. 1 & 2) are powerfully
developed, and agree in their structure exactly with those
in the other species of the genus. At their base exteriorly
2 remarkably large, juxtaposed setæ occur pointing straight

outwards.

On some West-Australian Entomostraca. 2

The tail, which, as usual, does not admit of being wholly
withdrawn between the valves, but is constantly seen pro-
jecting behind them, exhibits the structure characteristic of
the genus. At about the middle, the posterior, or dorsal
edge forms a conspicuous bulging, and at this place the
anal orifice occurs. The outer part of the tail, beyond the
anal orifice (see fig 4), is conically tapered, and carries on
each side a series of about 8 denticles, the outermost of
which is placed at some distance from the others and
terminates in 2 unequal points. The remaining 7 denticles
are very delicate, somewhat flattened, and finely ciliated on
both edges. The caudal claws are of moderate length and
perfectly smooth, without a trace of secondary denticles.
The caudal setæ somewhat exceed the tail in length, and
are distinctly biarticulate and densely ciliated.

The ephippium, seen laterally (fig. 5), is of an oval
triangular form, being broadly rounded in front, and coni-
eally produced behind, It is very coarsely sculptured in
the centre with raised knob-like prominences, and always
contains but a single egg-ampulla placed longitudinally.

The adult male (fig. 6) is scarcely more than half
as large as the female, and on the whole resembles the
males of the 3 other Australian species, though it may be at
once distinguished from them by the peculiar bend of the
ventral edges of the valves, which exactly agrees with that
found in the female. The head is comparatively much
larger than in the female, and appears obtusely truncated
in front, forming between the bases of the antennule a well-
marked obtuse prominence.

The antennulæ, as in the males of the other species,
are very powerfully developed, fully equalling half the length
of the body. Their basal part is somewhat thickened, and

22 G. O. Sars.

contains a strong muscular band passing through it diagon-
ally. From the place where this muscle terminates, springs
the sensory bristle of the anterior edge, and immediately
inside it, a small hook-shaped denticle is seen projecting
inwards. The outer part of the antennula is rather narrow
and more or less curved, so as to meet, with its tip, the
corresponding antennula on the other side, when bent in.
Each antennula is armed on the obtuseiy rounded end with
4 strongly curved hooks, between which the usual fascicle
of olfactory papille may be discerned (see fig. 7).

The structure of the Ist pair of legs and that of the
testes seems to agree with that found in M. australiensis
and tenutcornis.

In both sexes the body is highly pellucid and almost
colourless. Only in large female specimens, a more or less
distinctly rosy tinge may sometimes be observed. The egg
contained in the ephippium is of a brick-red colour.

Biological Observations.

Of this form at first only a comparatively small number
of female specimens were hatched in some of my aquaria.
In the course of a few days they reached maturity, and
began to propagate in the usual parthenogenetical manner,
several successive generations of this kind being observed,
whereby the number of specimens increased considerably.
But at the same time the fertility of the individuals dimi-
nished conspicuously, and after the lapse of some time, the
bisexual or gamogenetic period was seen to have set
in, the greater number of the females now having the
ovaries filled with a brick-red contents and showing traces of
the ephippial formation. At this time, male specimens were

observed in great numbers, eagerly pursuing the females, and

On some West-Australian Entomostraca, 23

at times getting hold of them for copulation. The ephippia
were soon formed, and successively dropped to the bottom,
where they were subsequently easily detected, on account
of the brick-red egg contained in each of them. The indi-
viduals now gradually diminished in number, and at last
wholly disappeared, no specimens reappearing later in the
season. It would therefore seem, that this form, unlike
what is the case with the 2 Sydney species previously
described by the present author, is «monocyclar» in character.

In habits, this form agrees with the other species, and
moves in a similar jerky manner, though it is on the whole
less active, especially in the later generations.

24 G. 0. Sars.

Ostracoda.
Trib. Podocopa. Fam. Cyprididæ.

Gen. Cyprinotus, Brady.

4. Cyprinotus Dahli, G. O. Sars, n. sp.
(PL 4, figs. 1—5).

Specific Characters.—Shell, seen laterally, ovoid in
form, greatest height occurring behind the middle, dorsal
margin boldly arched, and declining gradually in front, more
steeply behind, ventral margin without any sinus, being on
the contrary slightly convex in the middle; anterior extremity
somewhat produced and obliquely truncated at the end from
the front backwards, posterior extremity obtusely rounded :—
seen from above, moderately tumid, greatest width behind
the middle and almost attaining half the length, anterior
extremity considerably narrower than the posterior. Valves
rather unequal, the left one being more convex than the
right, and overlapping it at each extremity by a nar-
row pellucid rim, whereas dorsally it is itself over-
lapped to some extent by the right one. Anterior and
posterior edges of right valve distinctly tuberculated inside.
Surface of shell very smooth and shining, clothed with hair
only at each extremity. Caudal rami perfectly straight,
slightly tapering distally, outer claw exceeding half the
length of the ramus. Colour of female light yellowish

clouded dorsally with dark sepia, that of male generally

On some West-Australian Entomostraca, 25

| more uniformly light brown. Length of female 1.40 mm,
of male 1.20 mm.

Remark.—There cannot be any doubt that this form
ought to be referred to the genus Cyprinotus of Brady, as
defined by the present author in another paper!), agreeing
as it does, in all essential anatomical details, as also in the
structure of the shell, with the other species belonging to
this genus. Yet it exhibits well-marked specific differences
from any of them. For instance, the form of the shell is more
regularly ovoid than in the other known species, and its
anterior extremity appears truncated in a most peculiar
manner. Moreover, the right valve in adult specimens of
both sexes is raised considerably above the level of the
left, a circumstance only found in C. cingalensis, but here
in a still more marked manner. Finally, the colour is diffe-
rent from that in the other species. I am now of opinion,
that the Cypris aurea, described by the present author
from South Africa, should also more properly be referred
to the same genus, because the structure of the valves is
essentially the same, and because also this species is pro-

nouncedly gamogenetic in character.

Description of the female.

The shell in fully grown specimens attains a length of
1.40 mm., a height of 0.90 mm., and a width of 0.70 mm.
Accordingly, this form grows to a somewhat larger size
than the 2 other Australian species, C. dentato-marginatus
and C. cingalensis.

1) G. O. Sars, On some Australian Fresh-water Ostracoda and

Copepoda raised from: dried mud.

26 G. O. Sars.

Seen from the side (fig. 1), the shell exhibits a rather
regular ovoid form, with the greatest height about equalling
3/5 of the length, and occurring behind the middle. The
anterior extremity is somewhat produced and truncated at
the end from the front backwards, a circumstance very seldom
found in the Cyprididæ. The posterior extremity is much
shorter, and obtusely rounded at the tip. The dorsal mar-
gin forms a bold and rather regular curve, having its highest
point considerably behind the middle. Thence it slopes
quite gently towards the front edge, whereas behind it
curves more steeply to the posterior extremity. The ventral
margin does not exhibit any median sinus, but is, on the
contrary slightly convex, in the middle. It joins the anterior
and posterior edges without any intervening angle.

Seen from above (fig. 2), the shell appears rather more
tumid than in the other 2 Australian species, the greatest
width, which occurs considerably behind the middle, almost
attaining half the length. Both extremities appear obtusely
pointed, but the anterior one is much narrower than the
posterior and slightly twisted at the tip.

The valves, as in the other species of the genus, are
rather unequal, the right one being conspicuously more con-
vex than the left, and overlapping it at both extremities
by a thin hyaline border, which, especially on the anterior
extremity, is rather broad. Ventrally also, the left valve is
found to overlap the right considerably, and this is the reason
why the usual ventral sinus does not appear in the lateral
aspect of the shell. On the other hand, the right valve
projects dorsally to some extent beyond the left one in a
manner similar to that found in C. cingalensis. On view-
ing the shell from the left side (fig. 1), therefore, a part of
this valve is seen raised above the hinge, though not form-

On some West-Australian Entomostraca. DT

ing such a pronounced gibbous prominence as in the last-
named species. Whereas the left valve has the edge quite
smooth throughout, the right one, as in all other species
belonging to this genus, has, inside the anterior and posterior
extremities, a series of small tubercles, giving this part of
the edge a minutely crenulated appearance.

The surface of the shell is perfectly smooth and
polished, with only the usual small scattered pits, and is
hairy only at each extremity. In the centre of each valve
the impressions of the adductor muscle of the shell are easily
observable, exhibiting the usual number and arrangement.

The colour of the shell is light yellowish, sometimes
with a slight olivaceous tinge, and clouded dorsally, behind
the eye, with dark sepia. The cecal appendages of the
intestine shine through the shell with a dark green colour,
and just above them the shell generally exhibits a reddish
orange tinge caused by the ripe ova accumulated within
the body.

The eye is seen fairly well through the shell; it is of
moderate size and normal structure.

The several appendages of the body almost exactly
agree in their structure with those in C. dentato-marginatus,
as described in detail by the present author in his above-
quoted paper.

The caudal rami (fig. 4) are of moderate length and
quite straight, tapering slightly distally. They are armed
in the usual manner, each having at the tip 2 unequal,
slender claws, the outer of which is the longer, and some-
what exceeds half the length of the ramus. Just in front
of it, there is a rather small bristle, and at a short distance
from the proximal claw, the somewhat longer dorsal bristle

is seen to originate,

28 G. O. Sars.

The adult male (fig. 3) is of somewhat smaller size
than the female, scarcely exceeding a length of 1.20 mm.
and has the shell comparatively shorter, with the dorsal
margin still more boldly curved. It may, moreover, at once
be recognized by the darker brownish colour, and by the
spermatic vessels shining more or less distinctly through
the shell. These vessels are arranged in exactly the same
manner as in the male of C. dentato-marginatus, forming
in the posterior part of each valve 4 densely crowded coils,
whereas a single vessel is sent off in front, and runs along
the anterior extremity.

The palps of the posterior maxille are, as is usual in
male specimens, transformed into strong grasping organs, and
resemble in shape those in the above-numed species, being
rather dissimilar on the two sides. The outer sexual append-
ages (fig. 5) have also much the same appearance as in that

species,

Biological Observations.

This beautiful species, which I have much pleasure in
dedicating to Mr. Knut Dahl, to whom I am indebted for its
examination, developed in great abundance in some of my
aquaria, and has been watched in several successive gener-
ations, At first, however, only some few specimens, males
and females, appeared in each of the aquaria; but these
rapidly multiplied, and at last gave rise to a vast progeny.
At the time when this is written (in the beginning of Octo-
ber), the aquaria still swarm with this Ostracod, and it is
my intention to keep them for subsequent observation.

As to habits, it is a very active animal, swimming
about with great speed by the aid of the long natatory sete

issuing from both pairs of antenne. Especially during the

SO N

On some West-Australian Entomostraca. 29

warmest part of the summer, when the aquaria were exposed
to the direct rays of the sun, did the specimens move with
extraordinary rapidity, now and then stopping in order to
feed on some nourishing matter. In proportion as the
weather became colder, the animals assumed a somewhat
more sluggish habit, and were more frequently seen keeping
at the bottom, more or less deeply buried in the loose
mud, and only at times moving freely through the water.
Male and female specimens occurred during the whole
season in about equal numbers, and both were very often
seen in copulation. This form, indeed, is pronouncedly
gamogenetic in character, like the other known species of

the genus.

Gen. Cypris, Müller.
5. Cypris oblongata, G. O. Sars, n. sp.
(PL 4, figs. 6—9).

Specific Characters.—Shell, seen laterally, oblong
subreniform, greatest height not attaining half the length,
and occurring in front of the middle, anterior extremity
broadly rounded, posterior considerably narrower, and ob-
tusely produced, dorsal margin in female rather evenly
arched, in male nearly straight in the middle, with an indi-
cation of angle in front and behind, ventral margin distinctly
sinuated:—seen from above, moderately tumid, oblong fusi-
form in outline, greatest width not attaining the height, and
occurring in front of the middle, posterior extremity con-
siderably narrower than the anterior. Valves nearly equal,
the left one having a very narrow hyaline border at each
extremity, right valve without any marginal tubercles,

30 G. O. Sars.

Surface of shell perfectly smooth, and but slightly hairy at
each extremity; inner duplicatures narrow. Caudal rami of
moderate size and somewhat curved, outer claw about half
the length of the ramus. Posterior coil of spermatic vessels
in male forming in the ventral part of each valve a remark-
able bend in front. Colour of female light yellowish, with
a dark brown patch above the insertion of the adductor
muscle of the shell, generally drawn out behind into 2
narrow bands, the lower one occurring just above the ceca
of the intestine, the upper one near the dorsal face; ocular
region more or less tinged with light chestnut. Colour
of male darker brown. Length of female 1.9 mm., of male
1.6 mm.

Remarks.—I have only provisionally referred this
form to the genus Cypris (sens. strict.); for in one character,
at least, it seems to differ very markedly from the other
species. Whereas all these, as far as I know, are partheno-
genetic in character, the present species has turned out to
be as pronouncedly gamogenetic as the species of the genus
Cyprinotus. It cannot, however, by any means be referred
to the latter genus, because the shell does not exhibit any
of the characteristic features peculiar to that genus. In the
narrow oblong shape of the shell it somewhat recalls the
species of the genus Stenocypris; but the caudal rami do
not agree in structure with those in the latter genus, the
species of which, moreover, are pronouncedly parthenogenetic

in character.

Description of the female.

The shell of the largest female specimen examined

measures in length 1.9 mm, in height 0.8 mm., and in width

On some West-Australian Entomostraca. 31

0.74 mm. This form accordingly grows to a rather larger
size than the species of Cypr'inotus described above.

Seen from the side (Pl. 4, fig. 6), the shell exhibits a
somewhat irregular oblong reniform or slightly clavate shape,
with the greatest height not nearly attaining half the length,
and occurring considerably in front of the middle. The
anterior extremity appears broadly and regularly rounded,
whereas the posterior one is considerably narrower and
terminates in a slightly deflexed, obtuse prominence. The
dorsal margin is gently arched, with its greatest curvature
somewhat behind the ocular region, from whence it declines
with a nearly straight course to the front edges. In its
most posterior part it exhibits an indication of a sinus just
above the obtusely produced hind extremity, The ventral
margin is evenly concaved a little in front of the middle,
and joins the anterior and posterior edges without any
intervening angle. |

Seen from above (fig. 7), the shell appears moderately
tumid and oblong fusiform in outline, with the greatest
width about equalling 2/5 of the length, and occurring some-
what in front of the middle. The lateral contours are quite
evenly curved, and both extremities pointed, though the
posterior one is considerably narrower than the anterior.

The valves are nearly equal, though, on a closer exa-
mination, the left one is found to overlap the right at both
extremities by a very narrow, hyaline border. The edges
of both valves are perfectly smooth, and the inner duplica-
tures rather narrow.

The surface of the shell is smooth and polished, with-
out any obvious sculpturing, and it is clothed at each extremity

with seattered short hairs.

39 G. O. Sars.

The natatory setæ on the antenne are very long and
finely plumose, those of the inferior antenne reaching con-
siderably beyond the terminal claws. The oral parts and
the legs are of normal structure, nearly agreeing with those
parts in the other species of the genus Cypris (sens. strict.).

The caudal rami (fig. 9) are not particularly large, and
exhibit at the base a very pronounced curve. ‘They have
the dorsal edge quite smooth, and carry at the end the 2
usual claws and 2 small bristles, the one apical, the other
dorsal. The claws are perfectly smooth, the outer one
being, as usual, the larger, though scarcely exceeding half
the length of the ramus.

In the living state of the animal, the shell exhibits a
light yellowish colour, with a very conspicuous dark brown
patch in the dorsal part of each valve, above the insertion
for the adductor muscle. This patch is generally drawn out
behind into 2 narrow diagonal bands, the lower of which
has a somewhat lighter reddish brown colour, and occurs
just above the cecal appendage of the intestine, whereas
the upper one lies near the dorsal face. Between the two, a
pale orange tinge may be observed, caused by the ripe ova
accumulated within the body. In the region of the eye the
shell is generally tinged with light chestnut. The cecal
appendages of the intestine shine through the shell with a
bluish green colour.

The adult male (fig. 8) is somewhat smaller than the
female, scarcely exceeding a length of 1.6 mm, and it slightly
differs in the shape of the shell. In a lateral view, the
latter appears comparatively shorter in proportion to its
height, and less narrowed behind. The dorsal margin is
less regularly curved, being almost straight in the middle,

and exhibiting a slight indication to an angle in front and

On some West-Australian Entomostraca. 33

behind. Male specimens may, moreover, be at once recog-
nized by the somewhat darker brown colour of the shell,
and by the spermatic vessels shining more or less distinctly
through the valves. As usual, the greater number of these
vessels is accumulated in the posterior part of each valve,
there forming a close, winding coil, which however in the
present form exhibits this peculiarity, that its end is bent
forward for some distance along the ventral part of the
shell (see fig. 8).

Biological Observations.

Of this pretty species some few specimens, males and
females, developed in 2 of my aquaria, and were watched
for some time. They did not, however, multiply to any
great extent, and before the end of the summer they had
wholly disappeared. A limited number of specimens, how-
ever, were previously secured and preserved for closer
examination. In habits it agrees with the other species of
the genus Cypris, being rather agile and admirably well
adapted for swimming, though more generally it kept
near the bottom of the aquarium. Males and females
occurred in about equal numbers, and copulation was very
often seen to take place, showing the species to be pro-

nouncedly gamogenetic in character.

3 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. No. 1.
Trykt den 19de November 1896.

34 G. O. Sars.
Explanation of the Plates.
ET:
Apus australiensis, Spencer & Hall.
Fig. 1. Young (male?) specimen, drawn from life, and
viewed from above; magnified about 9 diameters.

» la. Same, natural size.

» 2. Leg of Ist pair; magnified 19 diameters.

» 8. Leg of 2nd pair.

» 4. Leg of 11th pair.

» 5. Extremity of tail with bases of the caudal fila-
ments; dorsal view.

» 6. Left dorsal sensory knob of the terminal segment;
highly magnified.

Pl
| Estheria elliptica, G. O. Sars.
Fig. 1. Shell of adult female, viewed from left side:
magnified about 16 diameters.

» 2. Same, dorsal view.

» 8. Part of left valve, more highly magnified, to show
the peculiar sculpturing of the shell.

» 4. Right valve with enclosed animal (the left valve
being removed), lateral aspect; magnified 22 dia-
meters.

» 5. Tail with adjoining part of trunk, seen from left

side; magnified 52 diameters. "

On some West-Australian Entomostraca. 35

SPEARS CO NS)

Su MSA

SE JO FFS

ie),

Moina flexuosa, G. O. Sars.
Adult, gravid female, viewed from left side; magni-
fied 80 diameters.
Same, dorsal view.
Antennula, more highly magnified.
Outer part of tail, lateral view.
Ephippium from left side.
Adult male, lateral view; magnified 140 diameters.
Extremity of an antennula of same, more highly
magnified.

Bee»
Cyprinotus Dahli, G. ©. Sars.
Adult female, from left side; magnified 52 diameters.
Same, dorsal view.
Adult male, from left side.
Caudal ramus.

Left half of outer sexual apparatus, lateral view.

Cypris oblongata, G. O. Sars.
Adult female, from left side; magnified 44 diameters.
Same, dorsal view.
Adult male, from left side.

Caudal ramus.

RE
i! anata

eae ” ay
SELLER HN

| Pe =
RTE LE AU

w-

He

G.O.Sars BEATE

Thoin Å

G-0.Sars adlgr

44
1

Een

“sae

He
is

©

8

7

S

Re

> ACETON SOM STOFVENELPRODUNT

EXPERIMENTEL - FYSIOLOGISKE

STUDIER
AF

H. CHR. GEELMUYDEN

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB

MKRISTIANIA

ALB. CAMMERMEYERS FORLAG
LARS SWANSTRØM

erie

a — Centraltryk

jani

==
18
il
i

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB. B. XIX. Nr. 2.

(Fra universitetets fysiologiske Institut.)

Om aceton som stofvexelprodukt.

Experimentel-fysiologiske studier
af

H. Chr. Geelmuyden.

Acetonet eller dimetylketonet, CH; - CO -CHs, har alle-
rede længe været kjendt som et hyppigt optrædende spalt-
ningsprodukt af en række organiske substanser. Det dan-
nes i mængde ved tør destillation af saagodtsom alle kul-
hydrater, af flere stoffe af de fede legemers gruppe, navnlig
edikkesur kalk og citronsyre, fremdeles ved oxydation af
æggehvidestoffe.

Af acetonets egenskaber vil jeg blot minde om, at det
er en vandklar væske, der koger ved 56,5” C. og ved 0°
har en specifik vægt af 0,81. Det er opløseligt i vand,
- alkohol og ether og har en eiendommelig, om pebermynte-
olje mindende lugt.

Som produkt af organisk liv er acetonet hidtil kun
paavist som bestanddel af blodet og excreterne hos menne-
sker og dyr, første gang i aaret 1857, da Petters'), assistent
paa den ældre v. Jaksch’s klinik i Prag, fandt det i urinen
og exspirationsluften hos diabetikere. Hans iagttagelser

1 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 2.
Trykt den 19de November 1896.

4 H. Chr. Geelmuyden.

bekræftedes og udvidedes af hans efterfølger i samme stil-
ling, Kaulich?), der paaviste aceton i urinen ikke alene hos
diabetikere, men ogsaa i andre sygdomstilfælde.

Ledede af den iagttagelse, at acetonurinen sædvanligvis
optraadte samtidig med sygdomme i tarmkanalen, antog de,
at det dannedes sammesteds ved gjæring af kulhydraterne
i næringen. Denne antagelse har imidlertid senere iagt-
tagelser gjort usandsynlig. Efterat nemlig Gerhardt?) i
1865 havde opdaget, at urinen hos diabetikere hyppig |
farvedes rod ved tilsætning af jernchlorid, paaviste
Deichmiiller*), Tollens3) og v. Jaksch®) (den yngre), at
denne reaktion skyldes acetedikkesyren eller diacetsyren
(CH; - CO - CH, - COOH), et stof, som i chemisk henseende
staar acetonet nær, som blandt andet meget let spaltes i
kulsyre og aceton. Efterhaanden fandtes disse stoffe i en
hel række af de mest forskjelligartede sygdomstilstande,
ogsaa i saadanne, i hvilken ingen affektion af tarmkanalen
kunde paavises — og det blev mere og mere sandsynligt,
at man her stod overfor to i genetisk henseende beslægtede
produkter af et pathologisk forandret stofskifte.

I størst mængde optræder disse stoffe i sukkersyge
(KussmaulT), Rupstein®), Quincke®), v. Buhl!9), Ebstein !!),
Jaenicke**) o. fl). De øvrige sygdomme, i hvilke de er
paavist, er alle febrile sygdomme (v. Jaksch$), Litten ),
v. Engel!4), Lorenz®)), kræftsygdomme, forstyrrelser 1 dige-
stionstraktus (Lorenz15)), Forgiftninger (G. Hoppe-Seyler!$),
Tucseck 7), Senator 18) ), forskjellige tilstande forbundne med
nervøse paroxysmer tydede som symptomer paa autointoxi-
kation (epilepsia acetonica: v. Jaksch$), asthma acetont-
cum: Pawinski19), puerperal aclampsi: Stumpf?°)), for-
skjellige sygdomme hos børn, blandt andre eclamptiske
anfald (Baginski?1)), i hungertilstand, baade frivillig (Fr.

Om aceton som stofvexelprodukt. 5

Miiller??)) og som følge af strikturer i tarmtraktus og
næringsvægring hos sindssyge (Fr. Miiller), v. Jaksch®),
Tuczeck?*) o. fl). I ringe mængde findes aceton ogsaa i
blodet og urinen hos sunde mennesker (0. Jaksch®)).

Ebstein") og Jaenicke!?) paaviste, at absolut kjød-
diæt hos diabetikere frembragte acetonuri og diaceturi, en
iagttagelse, som senere stadig har bekræftet sig og givet
stødet til en række undersøgelser over de forskjellige nærings-
stoffes evne til at fremkalde acetonuri (Ephraim), Honig-
mann?6), Friedlinder™), Hirschfeld*), Rosenfeld?*39)).
Af disse er fremgaaet som resultat, at ren æggehvidekost,
særlig en mindre rigelig (Hirschfeld*), Rosenfeld®°)) saa-
vel hos sunde mennesker som hos diabetikere fremkalder
acetonuri. Ligeledes fremkaldes acetonuri ved blandet ægge-
hvide- og fedtkost (Hirschfeld), derimod ikke, naar nærin-
gen indebolder kulhydrater. Isærdeleshed fremhever Hirsch-
feld og Rosenfeld, at en acetonuri aldrig opstaar, naar der om-
sættes en vis mængde kulhydrater i legemet. Begge antager, at
aarsagen til acetonurien hos diabetikere er at søge deri, at
evnen til at omsætte kulhydrater hos dem er nedsat. Den
sidste anbefaler endog at give diabetikere kulhydrater for
at bringe en bestaaende acetonuri til at svinde.

Hos dyr er aeetonuri og diaceturi iagttagne efter pan-
creasexstirpation (Minkovski®!)) og ved forgiftning med
phloridzin (v. Mering3*)) samt ved læsioner af nervøse
organer, saaledes ved exstirpation af plexus coeliacus hos
kaniner, sukkerstik hos hunde o. s. v. (Lustig), Oddi),
Peiper #)), derimod ikke hos hungrende dyr (Kiilz39)).

I de forsøg, som er gjort paa at klargjøre acetonets og
diacetsyrens betydning som stofvexelprodukter, fæstede man

6 H. Chr. Geelmuyden.

sig tidligere væsentlig ved den omstændighed, at acetonuri
og diaceturi hos mennesker fremkaldes ved hunger og
absolut kjøddiæt. Deraf troede man at kunne slutte, at de
opstaar i organismen ved spaltning af æggehvidelegemer, en
antagelse, som Honigmann*6) og v. Noorden37) nærmere
har villet præcisere derhen, at de kun opstaar ved spaltning
af <organæggehvide», ikke af æggehviden i næringen. De
hævder, at acetonuri og diaceturi kun optræder ved saa-
danne tilstande, i hvilke organismen udskiller mere kvælstof,
end den optager i næringen, saaledes ved absolut og relativ
hunger, ved feber o. s. v. At acetonuri og diaceturi kan
fremkaldes ved ren kjødkost, forklares paa den maade, at
en saadan kost i virkeligheden for mennesker altid betinger
en relativ inanition, da mennesker ikke paa langt nær kan
fordøie og resorbere saa meget æggehvide, som skal til, for
at dække deres kaloriske behov.

Denne hypothese hyldes, som det synes, af de fleste
klinikere og refereres i alle nyere lærebøger. I de seneste
arbeider over acetonuri, i hvilke manglende omsætning af
kulhydrater stilles i forgrunden som et af dens væsentligste
aarsagsmomenter, er den imidlertid forladt. Weintraud*)
konstaterer kvælstofligevægt hos en diabetiker med acetonuri.
Rosenfeld) anser vistnok endnu acetonet og diacetsyren
som derivater af en æggehvidespaltning, men gjør i saa
henseende ingen forskjel paa næringens og legemets egne
æggehvidestoffe.

De forskjellige hypotheser om aeetonets og diacetsyrens
oprindelse udstrækkes i almindelighed ogsaa til at gjælde
B-oxysmørsyren. Denne paavistes i 1884 omtrent sam-
tidig af Kiilz3) og Minkowski“) i urinen hos diabe-
tikere. Senere er den hyppig funden saavel hos diabetikere
(Kiilz*), Wolpe*?)) som i andre sygdomme, der er for-

Om aceton som stofvexelprodukt. 7

bundne med acetonuri og diaceturi, saaledes ved acute
exanthemer og hos sindssyge med næringsvægring (Kiilz49)).
Hos hunde optræder den ved phloridzindiabetes (v. Mering32))
og ved pankreasexstirpation (Minkowski3t)).

B-oxysmorsyrens kemiske formel er CHs-CH(OH)-
CH, - COOH. Den af urinen hos diabetikere fremstillede
B-oxysmorsyre dreier polarisationsplanet tilvenstre ([a|p = —
23,4° Külz“)). En optisk inaktiv syre kan fremstilles ved
reduktion af diacetsyrens æthylesther med natriumamalgam
(Wislicenus®)). Begge syrer spaltes ved destillation i
a-crotonsyre og vand.

At acetonet, diacetsyren og B-oxysmørsyren er pro-
dukter af stofskiftet, og at ialfald de to første med hensyn
til sin oprindelse staar hinanden nær, tør ansees utvivlsomt,
efter hvad man ved om deres optræden i excreterne.
Spørgsmaalet om deres dannelse og forhold under stof-
omsætningen i organismen faar da stor fysiologisk interesse.
For en fysiologisk betragtning er det imidlertid ikke til-
strækkeligt at henvise til, at de nævnte stoffe kan være
«spaltningsprodukter» af næringsstoffe eller organbestanddele.
Det maa erindres, at skjønt stofskiftet i det store og hele
taget er en række analytiske og oxydative processer, saa
taler dog mange erfaringer for, at der sideordnet med disse
foregaar synthetiske processer, ved hvilke stoffe af mere
eller mindre forskjellig oprindelse indgaar forbindelser. De
slutprodukter af stofskiftet, som udskilles gjennem excre-
terne, kan derfor ligesaa vel være direkte resultater af syn-
theser som af spaltninger eller oxydationer.

I betragtning af, hvor fragmentarisk vort kjendskab til
acetonets og diacetsyrens forhold i organismen i virkelig-
heden er, synes det mig idetheletaget endnu ikke muligt at

8 H. Chr. Geelmuyden.

opstille nogen i enkeltheder gaaende theori om disse stoffes
fysiologi Dertil kræves et langt fyldigere materiale af
kjendsgjerninger end det, som i dette oieblik foreligger.
Maalet for det arbeide, hvis resultater her skal refe-
feres, blev derfor at tilveiebringe nye experimentelle data
vedrørende acetonets og diacetsyrens forhold i organismen
og betingelserne for deres optræden i excreterne, Af hen-
syn til tid og omstændigheder indskrænkede jeg foreløbig
mine undersøgelser til kun at gjælde acetonet, dog saaledes,
at jeg saavidt muligt havde opmærksomheden henvendt ogsaa

paa diacetsyren og B-oxysmørsyren.

I. Kan aceton omsættes i organismen?

Et af de spørgsmaal vedrørende acetonets forhold i
organismen, der nødvendigvis kræver en besvarelse, er dette:
Er organismen under normale forhold istand til at
sønderdele eller paa anden maade omsætte aceton, som
ad en eller anden vei bringes ind i kredsløbet, eller som er
opstaaet under stofskiftet? Skulde det vise sig, at saa var
tilfældet, ligger jo den slutning nær, at en acetonuri opstaar,
naar denne evne svigter. Det blir imidlertid isaafald nød-
vendigt at antage ogsaa en anden funktion, der bevirker
dannelse af aceton, og at en acetonuri nærmere betragtet
skyldes en forrykkelse af det gjensidige forhold mellem
disse to funktioner.

Jeg har forsøgt at besvare dette spørsmaal ved forsøg
paa dyr af to forskjellige arter, nemlig kaniner og hunde, i
den tanke, at hvis forsøgsresultaterne for begge arters ved-

kommende stemte overens, saa vilde der være stor sand-

Om aceton som stofvexelprodukt. 9

synlighed for, at de gjaldt alle høiere pattedyr, og at man
ogsaa turde tillægge dem en vis gyldighed overfor mennesker.

Fremgangsmaaden ved mine forsøg var følgende:

Jeg fremstillede mig et rent aceton*), som jeg ved
hjælp af en morfinsproite bragte ind under dyrenes hud.
Var det mig om at gjøre at bestemme den indsprøitede
mængde saa nølagtig som muligt, saa indesluttede jeg den
fyldte sprøite i et reagensrør, lukkede med en korkprop og
veiede det hele for og efter indsprøitningen. Derved beskyt-
tede jeg mig saavidt muligt mod fordampning.

I den første forsøgsrække (4 kaniner) bestemte jeg
acetonet kun i urinen ved hjælp af den Messinger-Hup-
pert'ske methode“). Dyrene sattes i et almindeligt kanin-
bur, under hvilket der til opsamling af urinen var anbragt
en tragt med et filter af fin traaddug. Tragtens rør for-
længedes ved slange og glasrør gjennem en dobbelt gjennem-
boret kautsehukprop ned paa bunden af en kolbe. I prop-
pens andet hul var anbragt en liden kviksølvventil, der kun
tillod luften at strømme ud af kolben, naar urinen strøm-
mede ind og fortrængte den. Ved denne indretning**)
kunde jeg i kolben opsamle urinen i løbet af et døgn uden
at behøve at frygte nævneværdig fordampning af aceton.

Dyrene fodredes med kaalblade. Urinen udskiltes da
rigelig (400—500 cem. i døgnet). Den indeholdt som nor-
mal bestanddel spor af flygtige substanser, der bandt jod i
alkalisk opløsning og derfor ved den Messinger-Huppert’ske

*) Det aceton, som jeg benyttede, var fra Merck i Darmstadt. Det var fremstillet
af bisulfitforbindelsen og blev, før jeg benyttede det, rectificeret ved destillation
over chloralcium og glødet kulsurt kali. Det samme aceton benyttede jeg ved
en række prøver paa noiagtigheden af den Messinger-Huppert’ske methode til
bestemmelse af aceton i urinen. Se herom i ,,Zeitschr. für analyt. Chemie“ Bd.
35 S. 503, hvor ogsaa kriterierne paa renheden af det i anvendelse bragte aceton
findes angivne.

**) Den sees afbildet paa planchen (U og v); dog er her ledningsroret for urinen
lufttæt forbindelse med burets tragtformige bund.

10 H. Chr. Geelmuyden.

methode bestemtes som aceton. Da nu v. Jaksch®) har
vist, at urinen hos kaniner ligesom hos mennesker inde-
holder spor af præformeret aceton, saa maa disse flygtige
substanser idetmindste tildels bestaa af aceton, skjønt urin-
destillatet, naar det behandles efter den Messinger’ske
methode med kalilud og jodjodkaliumopløsning, ikke giver
bundfald af jodoform, saaledes som en acetonopløsning
Disse flygtige substansers mængde beregnet som aceton
beløb sig ved fodring med kaalblade til 2 å 3 mer. pr. døgn.
I hungertilstand fandt jeg mindre, gjennemsnitlig 0,8 å 1
mer. pr. døgn. Der indtræder idetheletaget ingen diaceturi
eller acetonuri hos kaniner, der hungrer. De forholder sig
i saa henseende forskjellig fra mennesker.

En voxen kanin taaler indtil et par gram aceton ind-
sprøitet under huden uden at afficeres synderligt deraf. Ved
større doser indtræder narkose. Ca. 6 gr. dræber dyrene.
Efter en indsprøitning kan aceton altid paavises i urinen.
Selv saa smaa doser som 10—20 mer. (indsprøitet i vandig
opløsning) frembringer svag acetonuri. Ved større doser
stiger mængden af den aceton, der udskilles gjennem urinen;
dog udgjor den altid kun en brøkdel (indtil 16 pCt.) af den
indsprøitede mængde. Udskillelsen varer 1—2 døgn, alt
efter mængden af den indsprøitede aceton. Der synes efter
en indsprøitning at optræde ringe grad af albuminuri; der-
imod iagttoges ingen indflydelse paa kvælstofudskillelsen i
urinen. Den Gerhard’ske jernchloridreaktion indtraadte
ikke, urinen indeholdt ikke sukker og dreiede ikke polarisa-
tionsplanet.

Jeg anfører ingen detaljer vedrørende disse forsøg. De
var kun foreløbige og af mindre betydning for løsningen af
det stillede spørgsmaal. Det viste sig nemlig ved indsprøit-
ning af større doser, at aandedrætsluften strax efter lugtede

Om aceton som stofvexelprodukt. AL

stærkt af aceton. Skulde jeg altsaa kvantitativt bestemme
den udskilte aceton, saa maatte dette ske saavel i aande-
drætsluften som i urinen, d. v. s. Jeg maatte bygge et respi-
rationsapparat.

For mit øiemed syntes mig den Pettenkofer’ske model
den mest hensigtssvarende. Mit apparat havde følgende
konstruktion:

Dyret indesluttedes i et bur (B), hvis vægge bestod af grovere,
bunden af finere traadnet. Dette bur indesluttedes under forsøgene
i en kasse (0) af jernblik, der bestod af et firkantet, nedad aabent
laag og en tragtformig bund, omkring hvilken der løb en rende,
som indeholdt kviksølv, I denne rende kunde laagets frie rand
sænkes ned. I laagets opadvendende flade var indkittet et glas-
vindu. I hver af bundens ender var der indloddet et metalrør for

til- og bortledning af luft. Tilløbsrøret mundede lige over bunden,
_aflobsroret lige under glasvinduet i laagets tag. Begge endte i
T-rør med lange arme, hvori fine huller.

Luften lededes til apparatet gjennem en ledning, der mundede
i fri luft udenfor det rum, hvori apparatet var anbragt. I lednid-
gens forløb var anbragt en kviksølvventil (4), som kun tillod luften
at passere i retning mod buret. Afløbsrøret fra buret førte til en
liden dobbelt tubuleret flaske (D), bestemt til at optage fortættet
vanddamp. Paa den anden side af denne deltes ledningen i to, en
hovedledning, hvorigjennem den største mængde luft passerede, og
en biledning, hvori apparaterne for luftanalyse var indskudte.
Gjennem begge ledninger sugedes luften ved hjælp af vandluftpum-
per og maaltes ved gasmaalere. Den i hovedstrømmen anbragte
maaler (F) angav engelske kubikfod, den i bistrømmen (L) liter.
Strømmenes hastighed reguleredes ved hjælp af kviksølvventiler
(V og w), anbragte mellem vandluftpumperne og maalerne. For-
skjellen mellem lufttrykket og trykket i gasmaalerne (sugningen
maalt i mm. kviksolvheide) maaltes ved kviksølvmanometere (M og
m) anbragte paa de rør, hvorigjennem luften strømmede fra maa-
lerne. T og t er thermometere, der angav temperaturen af luften i

maalerne.

12 H. Chr. Geelmuyden.

Bistremmen!) lededes først gjennem et modificeret Pettenkofersk
absorptionsrør?) (k), hvori 40 pct. kalilud, derfra gjennem et for-
brændingsrør (c) med glødende kobberoxyd, og endelig gjennem et
andet absorptionsrør (0), hvori titreret barytvand. Derfra forte
ledningen til gasmaalerne.

I kalirøret absorberedes al kulsyre og en del af den i luften
indeholdte acetondamp. Resten forbrændte i kobberoxydrøret til
kulsyre, som absorberedes 1 barytrøret, paa sædvanlig maade be-
stemtes titrimetrisk og omregnedes i aceton. Den i kalirøret til-
bageholdte aceton bestemtes titrimetrisk efter Messingers methode).
Absorptionsrgrene indeholdt 150 ccm. væske. Volumet kunde nei-
agtig aflæses ved skalaer, anbragte paa rørene. Da barytrøret inde-
holdt titreret barytvand, hvis volum under forsøgsperioden kunde
forandre sig ved fordampning eller fortætning af vanddamp, saa
aflæstes volumet før og efter forsøgsperioden, og de til analyse
udtagne mængder reduceredes ved en korrektionsregning til sit
oprindelige volum. Der gjordes altid dobbeltanalyser. Til hver
analyse udtoges 50 ccm. af kaliluden, undertiden 25 ccm., naar den
var meget acetonrig.

Absorptionsrer og pipetter var omhyggelig kalibrerede ved
udveining med vand, og for barytrørenes Vedkommende var der
anstillet sammenligning mellem skalaen paa røret og skalaen paa
den burette, der benyttedes ved titreringen.

Da maalingen af bistrømmen skede, efterat luften var befriet
for kulsyre, maatte jeg forat undgaa feil i beregningen af acetonet
i hovedstrømmen enten bestemme kulsyren i bistrømmen og beregne
den for hovedstrømmen eller ogsaa før maalingen befri luften i
hovedstrømmen for kulsyre. Jeg valgte den sidste fremgangsmaade
og indskjød i hovedstrømmen et absorptionsapparat for kulsyre,
bestaaende af en stor dobbelt tubuleret flaske (A), indeholdende 2
liter 40 pet. kalilud, en cylinder med natronkalk (N) og en (paa

1) Paa planchen er for tydeligheds skyld apparaterne i bistrømmen anbragte under
bordet istedetfor paa bordet ved siden af apparaterne i hovedstrømmen.

?) Beskrevet i „Zeitschr. für analyt. Chemie“ Bd, 35 S. 516.

3) Berichte d. d. chem. Gesellsch. 21. 2. S. 3366. I „Zeitschr. für analyt. Chemie“
Bd. 35 S. 503 har jeg offentliggjort en række prøver paa methodens paalidelighed.
Af disse vil det sees, at den har fuldt krav paa paalidelighed.

Om aceton som stofvexelprodukt. il

CO

planchen ikke angivet) liden vaskeflaske med barytvand, den sidste
til kontrol paa luftens frihed for kulsyre.

Forat luftens maaling skulde ske ved saavidt muligt samme
temperatur, var begge maalere anbragte i et lukket skab, og forat
heden fra gasovnen ikke skulde virke forstyrrende, var denne an-
bragt i et aftræk i et hjørne af rummet.

Kaldes nu det paa maaleren F under en forsøgsperiode aflæste
volum for f, det paa maaleren L aflæste for I, den i biledningen
bestemte acetonmengde for a, saa skulde den i forsøgsperioden

udskilte, samlede acetonmængde (Å) være:
A — Je yr (G+)

i hvilken ligning # er forholdstallet mellem engelske kubikfod og
liter (28,314). Jeg kunde imidlertid ikke under de forhaandenværende
omstændigheder stole paa rigtigheden af maalernes angivelser. De
arbeidede nemlig ikke under forhold, for hvilke de var kalibrerede.
Absorptionsapparaterne bevirkede i begge ledninger en temmelig
stor modstand mod luftstrømmen, og forat overvinde denne maatte
der udøves en betydelig sugning, i hovedstrømmen 18—20 mm., i
bistrømmen ca. 15 mm. kviksølvhøide.

Forat kunne reducere begge maaleres angivelser til en given
enhed — liter — maatte jeg ved empirisk kalibrering bestemme to
konstanter, & og f. |

0. 0.
A=«@ +a=a i - a)
Det viste sig, at især Å varierede ikke saa lidet ved de for-

skjellige kalibreringsforsøg. Det saaledes empirisk bestemte for-

hold a varierede mellem 29,042 og 32,093.

Fremgangsmaaden ved konstantbestemmelsen var følgende:

a bestemtes ved

Forsogsanordning I: Maaleren L appliceredes i ledningen iste-
detfor buret C. Tregangshanen H stilledes saaledes, at luften kun
kunde passere gjennem hovedledningen. Luftstrømmens hastighed
varierede i de forskjellige forsøg mellem 19 og 62 liter i timen.

Kaldes de paa maaleren F' aflæste volumina for f, de paa maaleren

2 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX No. 2.
Trykt den 19de November 1896.

14 H. Chr. Geelmuyden.

L aflæste for I, saa er fa = I, hvor « er en konstant, hvormed
maaleren F"s angivelser kan reduceres til samme enhed som maa-
leren L’s (Liter). Denne enhed benyttede jeg som standardenhed.
I 7 forsøg varierede « mellem 27,3 og 27,6. Luftstrømmens hastighed
syntes ikke at være bestemmende for dens variationer.

3 bestemtes ved

Forsøgsanordning II: Maaleren L paa sin sædvanlige plads,
F paa buret C’s plads. Luftstrømmens hastighed varierede i 13
forsøg mellem 1,9 og 11,8 liter i timen. Kaldes de paa maalerne L
og F ved denne forsøgsanordning aflæste volumina for J, resp. f,
saa er 1,8 = f, y, i hvilken ligning 9 og y er konstanter, ved hvilke
maalerne L's og F's angivelser kan reduceres til standardenheden.

7 bestemtes ved

Forsogsanordning III (2 forseg): Et luftvolum af en given
sterrelse sugedes forst med en hastighed af ca. 0,9 resp. 1,6 liter i
timen gjennem maaleren F alene, derpaa med en hastighed af ca.
34 resp. 61 liter i timen gjennem maaleren L. Sugningen foretoges
ved hjælp af en aspirator, og Volumet bestemtes ved et paa aspi-

ratorens vandstandsrør anbragt mærke. Kaldes de paa maalerne #

og L aflæste volumina for 9 resp. Å, saa er y = © ; y fandtes =
28,312 og 28,269, i gjennemsnit 28,306.

Konstanten ß varierede ved de 13 efter forsøgsanordning II
udførte forsøg mellem 0.86 og 0,91. Den syntes at tiltage, dog uregel-
mæssigt, med luftstrømmens hastighed.

Sættes «a — 27,3 og B = 0,94, saa blir 5 = 29,042. Sættes à —
27,6 og Å = 0,86, saa blir 3 = 32,093.

Ved beregningen af konstanterne toges intet hensyn til diffe-
rencer i temperatur og tryk af luften i de to maalere. Det viste
sig, at disse faktorer, naar de holdtes nogenlunde konstante, ikke
udøvede paa langt nær saadan indflydelse paa variationerne af @
og Å som modstanden, især i biledningen og den deraf afhængige
hastighed af luftstrømmen. For nu ved alle forsøg at holde ogsaa
modstanden nogenlunde konstant, indskjød jeg 1 biledningen mellem
gasmaaleren og barytrøret en hane, med hvilken jeg regulerede
hastigheden. Denne forholdsregel ansaa jeg overflødig i hovedlednin-

gen, da variationerne af « viste sig at være temmelig ubetydelige.

Om aceton som stofvexelprodukt. 15

For altid at være orienteret over de ydergrændser, indenfor

hvilke det rigtige resultat af hvert forsøg maatte falde, beregnede

jeg ved hjælp af begge de anførte værdier af 5 en maximal og
en minimal værdi for resultatet. Som led i beregningen af den
maximale resp. den minimale værdi benyttedes endvidere de største
resp. de mindste af de ved de titrimetriske dobbeltanalyser fundne
værdier.

I tabellerne over mine forsøg har jeg ved alle detaljangivelser
anført maximalværdierne, minimalværdierne blot for hovedresul-
tatets vedkommende.

Af ovenstaaende ligning for Å fremgaar, at differensen mellem den

maximale og minimale værdi af resultafet voxer med forholdet =
Forat gjøre dette saa lidet som muligt regulerede jeg luftstrømmen
i hovedledningen saa langsom og i biledningen saa hurtig som det
under de forhaandenverende omstendigheder gik an. I almindelig-
hed lod jeg gjennem hovedledningen passere 50, gjennem biledningen
3—5 liter i timen. Talverdien af faktoren = : = + 1) varie-
rede da i de forskjellige forsøg mellem ca. 6 og 12.

For sikkerheds skyld kontrollerede jeg mit apparat ved at
bestemme afveiede mængder aceton, som jeg sprøitede ind gjennem
en kautschukforbindelse i den til buret førende luftledning. To af
disse kontrolforsøg er udførte ved begyndelsen, to ved slutningen

af den række experimenter, jeg anstillede med mit apparat.

Ind- Gjen- Gjenfunden
sproitet| funden aceton i pet.
Forsøg. Varighed. aceton. | aceton. at dem fick
Mgr. Mor. sprøitede.
pce ae Ory 0 103,3 Høieste beregn.
E 10 t. 36 min. | 917,1 1035. 1129 merete —
| 3 | | 5
: 1760339 102,2 | Høieste —
JE 9 t. 45 min. | 590,6 660% | 1120 Laveste —

| Creol Ea Eee
I | 7+. O min. | 9565) "9979 OR ere |

; = 918,9 96,7 | Høieste —
IV vi am | 090 1002,1 | 105,5 | Laveste —

1) Det lave resultat sandsynligvis følge af en analysefeil.

Urinen opsamledes under forsøgene i en kolbe (u), som var
anbragt under burets tragtformige bund, med hvilken den stod i
lufttæt forbindelse med slange og glasrør. Kolben var forsynet
med en kviksølvventil (v), der hindrede luften fra at suges gjennem
kolben op i buret.

16 H. Chr. Geelmuyden.

Bestemmelsen af acetonet i urinen udførtes efter den
Messinger-Huppertske methode. Denne giver gjennem-
snitlig ca. 8 pet. for lave resultater!). Da imidlertid den
mængde aceton, som udskilles i urinen, er ringe i forhold
til den, som udskilles i aandedrætsluften, og da den sidste
ved beregning af dens maximale værdi bestemmes for høit,
saa har jeg ladet denne feil ud af betragtning ved bereg-
ningen af totalmængden af den udskilte aceton. Et blik
paa nedenstaaende tabeller viser, at den i hovedsagen ikke
forandrer resultaterne af mine forsøg.

Excrementerne undersøgtes paa aceton i et forsøg, der
forøvrigt mislykkedes paa grund af analysefeil. Der var
indsprøitet under huden paa en kanin 925 mør. aceton. I
excrementerne, der destilledes efter tilsætning af vand og
syre paa samme maade som urinen, fandtes 1,65 mgr. aceton.
I et andet forsog med en hundehvalp, paa hvilken der var
indsprøitet 964,9 mgr. aceton, fandtes i det første døgn 1,23
mer. aceton 1 exerementerne. Da disse smaa mængder ikke
har nogensomhelst indflydelse paa forsøgsresultatet, og da
det tilmed ved et par forsøg viste sig, at aceton, der ind-
sproites i ventrikelen, resorberedes meget godt og udskiltes
paa sædvanlig maade gjenrem nyrer og lunger, saa ansaa
jeg det ved de øvrige forsøg for overflødigt at gjøre aceton-
bestemmelser i excrementerne.

Forsøgene varede i 2 til 4 døgn og den enkelte for-
søgsperiode i 12 til 15 timer, d. v. s. kali- og barytrøret
samt kolben for urinen skiftedes hver morgen og aften. De
nye rør anbragtes paa den for den bestemte plads, og ved
omdreining af to tregangshaner, som var anbragte i et i
biledningen indskudt system af glasrør, kunde jeg i løbet af

1) Se min afhandling: Ueber die Messinger'ske Methode zur Bestimmung des Ace-
tons. Zeitschr. für analyt. Chemie Bd. 35 S. 503.

Om aceton som stofvexelprodukt. 1%

et par sekunder lede luftstrømmen fra de brugte til de nye
rør samt aflæse gasmaalernes stand.

Naar forsøgene udførtes paa hungrende dyr, forblev
buret den hele tid lukket. Skulde dyrene fodres, maatte
det aabnes. Herunder standsedes sugningen med vand-
luftpumperne, og hanen MH dreiedes til. Den hele ope-
ration skede hurtigst muligt og kan ikke have medført
nævneværdigt tab af aceton.

Forat bestemme en normalværdi for aandedrætsluftens
gehalt paa stoffe, der ved analyserne virkede som aceton,
udførtes følgende forsøg paa en hungrende kanin.

Forsøg I.
Dyrets vægt var før forsøget 1910, efter 1730 er.
Forsogsperiodens Funden aceton
Dato. varighed. i kalirøret.
5/9 95 10 t. 36 min.1) 3,1 mgr.
13 t. 40 min. PA ee
6/9 95 9 t. 56 min. SA LE
14 t. 28 min. SJ
7/9 95 8 t.. 27 min. Do TE
Funden aceton i barytrøret?) . 734 ,
I den tubulerede flaske D . .' 04 „
Sum 88:87, = 17,8 mgr. pr. for-
søgsperiode.
Efter laveste beregning . . .| 580 , emner joie, aire
søgsperiode.

1) Den første af de for hver dato anførte: forsogsperioder strækker sig ved dette som
ved de følgende forsøg fra om morgenen til om aftenen, den anden fra om afte-
nen til næste dags morgen.

?) I barytrøret afsattes saa lidet kulsur baryt, at jeg lod det fra forst af indsatte
rør forblive paa sin plads under hele forsøget.

Ogsaa følgende to forsog anfører jeg her. De blev
udførte forat undersoge, hvorvidt sukkerstik frembringer

acetonudskillelse hos kaniner, hvilket viste sig ikke at være

tilfælde.

18 H. Chr. Geelmuyden.

Ved det første af disse kom der ikke sukker i urinen. Dyrets
vægt var 1950 gr. Det fodredes under forsøget med kaal og gule-
rødder. Sukkerstikket udførtes 4/12 95 kl. 101/2 fm.

Forsøg II.

Aceton udskilt | Aceton udskilt
Forsøgsperiodens aandedrætsluften. | i urinen. Urne
Dato. 1. ——————
gel! Høieste | Laveste Høieste | Laveste mengde
beregning. | beregning. | fund!), fund }.
4/12 95| 8+ 16 min. | 33,5 mer. 23,6 mer.
15.6. 5 min liga Gb men mes Le ce.
5/12195 | 9 t. A min. |190 , DSP AN
Ü © 0 >
EA Bil rm JØSS Sig cans 8,0) m | Bo LE

Middeltal pr. forsøgs-
periode wen. .| 23,4 mgr. 12,6 mer.
1) ved de to lactée

Ved følgende forsøg kom der glykosuri. Dyret fik efter suk-
kerstikket stærke og vedholdende rullebevægelser, hvad der for-
aarsagede endel ulemper ved forsøget. Det vilde ikke tage næring
til sig og døde kort efter forsøgets ophør. Vægt før forsøget 2100
gr., efter 1620 gr. Sukkerstikket udførtes 10/12 kl. 10,20 min. fm.

Forsøg ILI.

EST
| Aceton udskilt :
: d _ | Aceton udskilt
Pmsyrsposollena : cee: i urinen. Sukker | Urin-
sogs S (se
Dato. varighed. Hoieste| Laveste 2 |, Ungen: mængde
bereg- | bereg- | Høieste Laveste Gr. Gr.
ne lp | ik Arme
Mer. | Mer. | Mer. | Mer.
10/12 95 94%. 59 min. | 294| 269 | 2
134.57 min 288] 16: D@) Le POE
11/12 95 8 t. 44 min. ee ID EN |
15 t. 19 min. 176 | 12e | #37) 98 | 05 | 81
12/12 95 8 t. 58 min (123) (9,3) 1) N
À ; No Ve ee
14 t. 41 min. | (69 | GJ P 058 Sp
Middeltal pr. ren 24,6 | 17,0 | |

1) De indklamrede tal er ikke medtagne i beregningen af middeltallet, dels fordi
dyret ved forsøgets slutning var stærkt medtaget, dels fordi tallene paa grund
af feil ved forsøget, foraarsagede ved dyrets rullebevægelser, ikke er ganske
paalidelige.

Om aceton som stofvexelprodukt. 19

Ved disse tre forsøg udskiltes der altsaa gjennem
aandedrætsluften smaa mænger af flygtige stoffe, der i mit
respirationsapparat bestemtes som aceton. Deres mængde
udgjorde gjennemsnitlig efter høieste beregning 21,9, efter
laveste 14,1 mer. pr. forsøgsperiode. Det viste sig imid-
lertid ved flere af mine forsog med indsproitning af aceton,
at den i aandedrætsluften bestemte aceton ved forsøgenes
slutning sank langt under de ved ovenanførte experimenter
fundne mængder, hvad der sandsynligvis beror paa indi-
viduelle forskjelligheder hos dyrene. Derfor har jeg ikke
fundet mig foranlediget til ved beregningen af mine øvrige
forsøg at indføre nogen correktion for disse flygtige bestand-
dele af aandedrættet.

Følgende 4 forsøg er udførte med hungrende kaniner,
paa hvilke der indsprøitedes afveiede mængder aceton.

Forsøg IV.

Hankanin. Vægt ved begyndelsen af forsøget 2220 er.
Indsprøitet 490,1 mør. aceton.

d

Forsøgsperiodens Aceton funden i
Dato. varighed. aandedretslutten.
24/10 95 9 t. 11 min. 66,5 mer.
14 t. 24 min. OOH
25/10 95 9 t. 28 min. GE
I den tubulerede flaske D Ve
Gjenfunden i aandedræts-
tene ad eee 129,8 mer. == 26,5 pet. af den ind-
sprøitede mængde.
Gjenfunden i urinen!) . . PAG cs = 0,6 pet af denind-
sprøitede mængde.
Idethele gjenfunden . . . 132,6 mer. = 27,1 pet. af den ind-
sprøitede mængde.
Dyret har omsat . . . . DORE = 72,9 pet. af den ind-

sprøitede mængde.
I urinen udskiltes 2,2 pet. af den hele udskilte mængde.
(Efter laveste beregning gjenfandtes 107,9 mgr. = 22,0 pet. af
den indsprøitede mængde).

1) Under forsøget lod dyret ingen urin. Det fik 26/,, kaal og lod strax derpaa urin,
som undersøgtes.

20 H. Chr. Geelmuyden.

Forsøg V.
Hankanin, der hungrede siden 17/9 om eftermiddagen. Dyret veiede
19/9 om aftenen 1790 gr. Indsprøitet 922,6 mgr. aceton.

D Forsøgsperiodens Gjenfunden aceton Gjenfunden aceton
ato. varighed. i kalirøret. i urinen.
20/9 95 8 t. 9 min. 99,3 mgr. ||
14 & 4 min. 99,3 å S 14,7 mer.
21,9 95 10 t. 8 min. 346 „ \ 132
14 t. 6 min. 1:80, jf De
22/9 95 9 t. O min. 19 DØ
I den tubulerede flaske D om
I barytrøretl) . . . 3664 „
Gjenfunden i aandedræts-
lukten mc, 2a ARE 608,9 mer. = 66,0 pet. af denind-
sprøltede mængde.
Gjenfunden i urinen . . Ash oy = 3,1 pet. af den ind-
sprøitede mængde.
Idethele gjenfunden. . . 637,4 mgr. = 69,1-pct. af den ind-
sprøitede mængde.
Dyret har omsat . . . DD 5 = 30,9 pet af denind-

sprøitede mængde.
I urinen udskiltes 4,5 pet af den hele udskilte mængde.
(Efter laveste beregning gjenfunden 577,1 mgr. = 62,6 pct. af

den indsprøitede mængde).
1) Barytrøret skiftedes ikke under forsøget.

Forsøg VI.
Hankanin, der hungrede siden 3/11 om formiddagen. Vægt ved for-
søgets begyndelse 2180 gr. Indsprøitet 980,5 mgr. aceton.

7 -
a neglen | Olesen aa ern
5/11 95 an, 2 ame), 2541 mer. |
10 t. 50 min 1453 „
6/11 95 9 & 4 min. 248 ,
14 t. 42 min. 44 9» 0,5 mer. 5501)
I den tubulerede flaske D Os
Gjenfunden i aandedræts-
akten CNET KN 428,9 mer. = 43,7 pct. af den ind-
sprøitede mængde.
Gjenfunden i urinen . . Os = 0,1 pet. af den ind-
sprøitede mængde.
Idethele udskilt . . . . 4294 mgr. = 43,8 pet. af den ind-
sprøitede mængde.
Dyret har omsat > . . . SØLA = 56,2 pet. af den ind.
sprøitede mængde.

I urinen udskiltes 0,23 pet. af den hele udskilte mængde.
(Efter laveste beregning udskilt 385,9 mgr. — 39,4 pet. af den

indsprøitede mængde).
1) Urinen lodes S/,, om morgenen efterat dyret aftenen iforveien havde faaet kaal.

Om aceton som stofvexelprodukt. Pall

Forsøg VII.
Hankanin, der hungrede siden 7/10 om morgenen. Vægt ved for-
søgets begyndelse 2587 gr., efter forsøget 2290 gr. Der
indsprøitedes 2061,1 mgr. aceton.

Forsøgsperiodens Gjenfunden aceton | Gjenfunden aceton Urin-
Dato. varighed. i aandedrætsluften. i urinen, mængde
9/10 95 8 t. 29 min 330,6 mer. Die

ee Co aa 5178 + Mamgr. |206gr.
10/19 95 9 t. 18 min. Er

14 6. 35 min. 128 ° Ae LES
11/10 95| 9+ 2 min. Se )
I den tubulerede flaske D DER
Gjenfunden i aandedræts-

RADEON ee 1036,4 mgr. = 50,3 pet. af den ind-
sprøitede mængde.

Gjenfunden i urinen. . . 1148 9» = 5,6 pet. af den ind-
: sprøitede mængde.

Idethele gjenfunden . . . 1151,2 mør. = 55,9 pet. af den ind-
sprøitede mængde.

Dyxet har omsat : ++ je" 9090725 = 441 pet. af den ind-

spreitede mængde.

I urinen udskiltes 10 pct. af den hele udskilte mængde.
(Efter laveste beregning udskiltes 10388 mgr. = 50.4 pet. af
den indsprøitede mængde).

Ved følgende forsøg, der ligesom de ovenanførte var et
hungerforsøg, bragtes acetonet ind i ventrikelen, idet sprøite-
spidsen førtes ind tværs gjennem bugvæggen. Dyret døde
2 dage efter forsøgets ophør, og jeg overbeviste mig om, at
sproitespidsen havde naaet sit bestemmelsessted, idet jeg

paa ventrikelens serosa fandt mærke efter indstikaabningen.

DD
DD

H. Chr. Geelmuyden.

Forsog VIII.
Hankanin, der hungrede siden “4/11 om formiddagen. Vægt ved
begyndelsen af forsøget 1750 gr. Der indsprøitedes
2152,8 mgr. aceton.

Forsøgsperiodens Gjenfunden aceton | Gjenfunden aceton | Urin-
Dato, varighed. i aandedrætsluften i urinen. mængde
21/11 95 8 t. 38 min. 404,0 mer. |
15) eo I moin, 611,1 ” 5.0 mer. 1% gr.
28/11 95 8 6. 56 min. 280 > |
14 6. 24 min. 2348 „
29/11 95 8 +. 43 min. TG GE 95
15 t. 36 min. A à f " å
30/11 95 8 t. 55 min. 243 9 De 42 ,
I den tubulerede flaske D Oa.
Gjenfunden i aandedræts-
Iukten eee bs. ey eee 1613,2 mer. = 74,9 pet. af den ind-
sprøitede mængde.
Gjenfunden i urinen . . LS = 0,9 pet. af den ind-

sprøitede mængde.
75.8 pct. af den ind-
sprøitede mængde.
Diyretsharsomsats tl SEE — 24,1 pct. af den ind-
sprøitede mængde.

Urinen indeholdt 1,2 pct. af den hele udskilte mængde. (Efter
laveste beregning udskiltes 14484 mgr. = 67,3 pet. af den indsprøi-
tede. mængde).

|

Idethele gjenfunden . . . 1631,6 mgr.

Dette forsog adskiller sig med hensyn paa dets resultat
i intet væsentligt fra de foregaaende. Det har særlig inter-
esse derved, at det viser, at acetonets passage gjennem
tarmvæggen ikke øver nogen indflydelse paa dets omsætning.

Ved følgende to forsøg fodredes dyrene daglig med
500 gr. kaalblade. Acetonet appliceredes subeutant. Fodrin-
gen medførte den ulempe, at der gjennem lungerne udskiltes
en stor mængde vanddamp, der for en stor del fortættede
sig i buret. I det først refererede forsøg opsamledes det i
buret fortættede vand, og dets gehalt paa aceton bestemtes.
Der fandtes 4,02 mer., et resultat, som ganske vist er for
høit, da det ved titreringen med jod viste sig, at destillatet
af væsken ogsaa indeholdt ammoniak, der binder jod i alka-
lisk opløsning og altsaa ved titreringen bestemtes som ace-
ton. Den fundne mængde er under alle omstændigheder saa
liden, at jeg uden nævneværdig feil i forsøgsresultatet kunde
lade den ud af betragtning.

Om aceton som stofvexelprodukt. 23

Forsøg IX.
Hankanin. Vægt ved begyndelsen af forsøget 2100 gr., ved slut-
ningen 2110 gr. Der indsprøitedes 981 mgr. aceton.

D Forsøgsperiodens Gjenfunden aceton | Gjenfunden aceton Urin-
ato. varighed. i aandedrætsluften. i urinen, mængde
14/11 95 8 t. 40 min. 1916 mgr. N SE:
(5G BD eat ay à |) Nés 606
15/,, 95 8 t. 20 min. 31,2 À
11
15 t. 45 min. 34,6 3 J Og à 20
I den tubulerede flaske D OS
Gjenfunden i aandedræts-
matens STE Kar 511,4 mer. = 52,1 pet. af den ind-
sprøitede mængde.
Gjenfunden i urinen . . BSE = 11,8 pet. af den ind-
sprøitede mængde
Idethele gjenfunden . . . 627.2 mer. = 63,9 pet. af den ind-
spreitede mengde.
Dyret har omsat . . . . 909,800, — 36,1 pct. af den ind-

sprøitede mængde.
Urinen indeholdt 20,1 pet. af den hele udskilte mængde.
(Efter laveste beregning udskiltes 575,7 mgr. = 58,7 pct. af
den indsprøitede mængde).

Forsøg X. |
Hankanin. Vægt ved forsøgets begyndelse 2400 gr. Der indsprøi-
tedes 2316,1 mgr. aceton.

Forsøgsperiodens Gjenfunden aceton | Gjenfunden aceton Urin-
Dato. varighed. i aandedrætsluften. i urinen. mængde
30/10 95 Qt. 28 min. 319,7 mgr. Å
it, 0) en. 7384 |) 2215 mgr. | 430gr.
31/10 95 86533, min. DIG ‘
15 4 119 meter mg à We PAB SJ
1/,, 95 ty Ofmın! Sion DANS 2251),
I den tubulerede flaske D De
Gjenfunden i aandedræts-
etan See 1255,7 mgr. = 54,2 pet. af den ind-
; sprøitede mængde.
Gjenfunden i urinen . . ZOE = 10,9 pet. af den ind-
sprøitede mængde.
Idethele gjenfunden . . . 1507,1 mgr. = 65,1 pet. af den ind-
sprøitede mængde.
Dyret har omsat . . . . 809,0 , = 34,9 pet. af den ind-
: sprøitede mængde.

Urinen indeholdt 16,7 pet. af den hele udskilte mængde.
(Efter laveste beregning gjenfunden 1357,7 mgr. = 58,6 pct.
af den indsprøitede mængde).
1) Urinen opsamlet indtil ?/;, om morgenen.

24 H Chr. Geelmuyden.

Mine to sidste forsøg udførtes med hundehvalpe, der
under forsøgene fodredes med melk. Et foreløbigt forsøg
med den ene af dem, ved hvilket der indsprøitedes ca. 1 gr.

aceton, viste, at den paafølgende acetonuri ophørte i løbet

af et døgn.
Dato. Aceton i urinen. Urinmængde.
16/12 95 35,9 mer. 200 gr.
17/12 95 JEAN TE IDG à
18/12 95 2.0005 2120

Forsøg XI.
Hundehvalp. Vægt efter et rigeligt maaltid 1420 gr. Der indsprei-

tedes 976,2 mgr. aceton.

Forsogsperiodens Gjenfunden aceton | Gjenfunden aceton | Urin-
Dato. varighed, i aandedrætsluften. i urinen. mængde
19/19 95! 6 t. 25 min. 293,6 mer. || 1 es
| då 05 min Beis ENE
20/13 95 9 t. 19 min. 43,740, 2
14 t. 31 min. 15,1 £ | Er
Udskilt gjennem aande-
GERS AO aio) We, un 665,7 mgr. = 68,8 pct. af den ind-
sprøitede mængde.
Udskilt gjennem urinen . LS TRES = 12,0 pet. af denind-
een ut sprøitede mængde.
Idethele gjenfundet . . . MLA = 80,8 pet. af den ind-
sprøitede mængde.
Dyret har omsat . . . . 1948707, = 19.2 pct. af den ind-

sprøitede mængde.
I urinen udskiltes 14,9 pct. af den hele udskilte mængde.
(Efter laveste beregning udskiltes 689,1 mgr. — 71,2 pet. af
den indsprøitede mængde).

1) Fodredes blot om morgenen,
2) Fodredes morgen og aften.

in ut, de rs

Om aceton som stofvexelprodukt 25

Forsøg XII.
Hundehvalp. Vægt ved begyndelsen af forsøget 1750 gr, efter for-
søget 1700 gr. Der indsprøitedes 964,9 mgr. aceton.

Forsøgsperiodens Gjenfunden aceton | Gjenfunden aceton | Urin-
Dato. varighed, i aandedretslutten. i urinen. mængde
2h 96 6 t. 58 min. PAS ae OA ate Pre
16 & Ven, PR Dr RU EE
3/, 96 8 t. 38 min. 22,3 r \ 22) 9
14 t. 41 min. NO) he s
4/, 96 G 18, mon OB as \ å 2
15 t. 21 min. CARE f i, ME LOTR
I den tubulerede flaske D Os
I vand, fortetiet i buret . SØT
Udskilt Se aande-
drættet . . . 547,2 mer. = 56,7 pet. af den ind-
Udskilt gjennem urin og sprøitede mængde
excrementer . . A Do = 7,8 pct. af den ind-
sprøitede mængde.
Idethele gjenfunden . . . 6226 „ == 645 pet. af den ind-
spreitede mængde.
Dyreisharl omsat.. .ı :+. 3423 „ = 35,5 pet. af den ind-
sprøitede mængde.

I urinen fandtes 12,1 pct. af den hele gjenfundne mængde.
(Efter laveste beregning gjenfandtes 545,1 mgr. — 56,5 pet. af
den indsprøitede mængde).
1) Exerementerne indeholdt 1,,, mør. aceton.

?) Urinen gik tabt. Regner man, ‘at den som i forrige forsøg i 2det døgn indeholdt
ca. 10 mgr. aceton, saa udgjor dette lidt over 1 pet. af den indsprøitede mængde.

Sluttelig hidsættes en oversigtstabel over de hoved-
sagelige resultater af samtlige forsøg.

Omsat aceton LEGE af

Bar Daglig i i pet. af den |den ud-| Urin-

Sn Dyreart. føde, Indsprøitet aceton. indsprøitede Skilte |mængde
Sr nme) mængde
= i urinen.

Mer. | Mgr. Pet. Pet. Gr.
IV | Kanin | Hunger | Subcut. 490,1 | 3575 72,9 2,2 ?

V — — — 922,6 | 2852 30.9 4,5 ?
VI a — — 980,5 | 551,1 56,2 0,2 | 550 1)
VIT — — — 2061,1| 9099 441] 10,0 369
VIII — — I ventri-
kelen 2152,8| 5212 24, 12218107
1X — 500 gr
kaal Subcut. 981,0| 3538 361 | 20,1 | 895
X — — —23516,11| 8090 3491 16,7 | 780
XI | Hunde-
hvalp Melk — 976,2 | 1948 19,2 | 14,9 | 481
Den! — — — 964,9| 3423 35a] 12,1 ?

1) Efter forsoget.

26 H. Chr. Geelmuyden.

De resultater, som kan uddrages af disse forsøg, er i
korthed følgende:

Naar der hos en kanin eller hund gjennem fordøielses-
kanalen eller ved subeutan indsprøitning indbringes aceton
i organismen, saa udskilles i løbet af de følgende par dage
aceton i urinen og exspirationsluften. I disse excreter gjen-
findes imidlertid blot en del af den indbragte aceton. Resten
maa paa en eller anden maade være omsat i legemet.

Den mængde aceton, som omsættes, stiger i det store
og hele taget med den i legemet indbragte mængde,

Dyrenes evne til at omsætte aceton paavirkes ikke
mærkeligt af, om de faar føde eller hungrer. Der omsættes
i begge tilfælde lige meget aceton *).

Af den aceton, som udskilles, gaar størstedelen ud
gjennem lungerne. Den del, som udskilles i urinen, voxer
med urinmængden. Derfor udskilles relativt mere aceton i
urinen hos dyr, der faar føde, end hos dyr, der hungrer.

Selv meget smaa doser (10—12 mer.) af aceton bevir-
ker acetonuri.

Det vigtigste af disse resultater er det, at kaniner og
hunde — til en vis grad 1 ethvert fald — virkelig besidder
evnen til at omsætte aceton. Hvorvidt det er denne evne, som
betinger, at der under normale livsforhold ikke optræder
større mængder aceton i excreterne hos disse dyr, lader sig
ikke direkte udlede af de foreliggende forsog. Hvis det
virkelig forholder sig saa, saa maa der antages en med
denne funktion parallelt løbende og paa en vis maade anta-
gonistisk funktion, der bevirker dannelse af aceton.

*) En af Rosenfelds®) forsøgsindivider udskilte efter en dose paa 5 gr. aceton ved
kulhydratfri kost 59,9 mgr., ved kulhydratholdig kost 30 mgr. aceton. Rosenfeld
mener deraf at kunne slutte, at kulhydraterne ogsaa bevirker destruktion af
aceton, som gjennem tarmkanalen optages i legemet. Af nærliggende grunde
synes mig hans forsøg ikke at tillade denne slutning.

Sak bua VTT

Om aceton som stofvexelprodukt. 27

Et saadant forhold finder sted under omsætningen af
et andet stof i organismen, nemlig sukkeret. Vi ved, at
der stadig dannes og atter destrueres sukker, og at blodet
indeholder en vis mængde (1 til 1,5 pm.), som af nyrerne
tilbageholdes og ikke gaar over i urinen. Det ligger da
nær at spørge om, hvorvidt acetonet forholder sig paa lig-
nende maade, om det repræsenterer et stofvexelprodukt af
samme rang og betydning for organismen som sukkeret

Til besvarelse af dette spørgsmaal kræves, ligesom for
sukkerets vedkommende, kjendskab til en række omstændig-
heder vedrørende acetonets forhold i organismen, først og
fremst til blodets gehalt paa aceton i forskjellige kargebeter,
ved forskjellig ernæring, i pathologiske tilstande, der med-
fører acetonuri o. s. v. Herom foreligger der hidindtil kun
yderst sparsomme oplysninger. v. Jaksch®) har destilleret
blod og forskjellige menneskelige organer med vand og i
destillatet paavist spor af aceton. Devoto*) har undersøgt
blodets gehalt paa aceton ved acetonuri og fundet den meget
liden (0,02—0,09 pm.), selv naar urinen indeholdt rigelig ace-
ton. Stilles disse angivelser ved siden af den omstændighed,
at selv smaa mængder aceton (10—20 mer.) fremkalder
acetonuri, naar de bringes ind i de cirkulerende vædsker
hos dyr, og Rosenfelds3%) erfaring, at mennesker ikke
engang formaar at omsætte fuldstændig 5 gr. aceton, naar
de bringes ind i tarmkanalen, saa synes deraf at fremgaa, at
acetonets forhold i organismen er et ganske andet end suk-
kerets. Sukkermængden i blodet er langt større end aceton-
mængden og kan til en vis grad forøges (indtil ca. 3 pm.),
uden at der kommer glycosuri. Claude Bernard*) angiver,
at han paa kaniner har indsprøitet subcutant 2 gr. drue-

sukker uden at faa glycosuri.

28 H. Chr. Geelmuyden.

Nyrerne synes altsaa ikke at besidde nogen evne til at
tilbageholde aceton i blodet. Allerede denne omstændighed
tyder paa, at acetonet som stofvexelprodukt ikke har den
betydning for organismen som sukkeret, og at den evne til
at omsætte aceton, som organismen utvivlsomt besidder, ikke
under nogen omstændigheder formaar at hindre en acetonuri,
naar betingelserne for dens optræden forøvrigt er tilstede,
med andre ord, at en acetonuri ikke skyldes en mangel-
fuld destruktion af aceton, som dannes i organismen,
men en stofvexelforandring af anden art, der medfører
rigeligere dannelse af aceton end under normale forhold.

Denne slutning bestyrkes ogsaa af et andet af de oven-
for anførte forsøgsresultater, det nemlig, at den mængde,
der omsættes, er uafhængig af, hvorvidt dyrene hungrer
eller ikke. Som vi har seet, fremgaar det af flere nyere
undersøgelser, at en omsætuing af kulhydrater i organismen
virker til at hindre eller undertrykke en acetonuri. Aceton,
der i fri tilstand cirkulerer i organismen, synes imidlertid
efter mine forsøg ikke at paavirkes af en kulhydratomsetning.

Den stofvexelforandring, der sluttelig forer til acetonuri,
maa derfor foregaa paa et tidligere stadium i stofskiftet,
førend det endnu er kommet til nogen dannelse af aceton.

Forholder nu sagen sig saaledes, kunde det synes at
være en interessant opgave at undersøge ogsaa diacetsyrens
og B-oxysmersyrens forhold i organismen paa samme maade,
paa hvilken jeg har undersøgt acetonets.

Disse stoffe ansees nemlig, og som det synes mig ikke
uden grund, som forstadier i acetondannelsen.

Forsog af denne art er anstillede af Albertoni*') over
diacetsyren. Han applicerede den i tarmkanalen hos kaniner
og hunde. Hos de første fandt han den constant igjen i

urinen og ligeledes hos de sidste, naar de samtidig med

Om aceton som stofvexelprodukt. 29

diacetsyren fik kulsurt natron, saaledes at deres urin blev
alkalisk. Fik de diacetsyre alene, fandt han blot aceton i
urinen. Respirationsluften undersøgtes ikke.

En gjentagelse af disse forsog med bestemmelse baade
af aceton og diacetsyre i excreterne vilde støde paa mange
vanskeligheder. Diacetsyren spaltes saa let i kulsyre og
aceton, at en nøiagtig dosering af den sandsynligvis vilde
vise sig umulig. Og selv om det lykkedes at bringe nøi-
agtig bestemte kvanta diacetsyre ind i legemet, saa vilde
sandsynligvis ogsaa der foregaa en afspaltning af aceton,
saaledes at forsøgene i de fleste henseender kun vilde blive
en gjentagelse af de ovenanførte.

For B-oxysmorsyrens vedkommende stiller sagen sig
maaske gunstigere, forsaavidt som den er en langt mere
holdbar substans. Ogsaa med denne har Albertoni**) an-
stillet nogle forsøg. Dens application per os førte ikke til
acetonuri eller diaceturi. Om den gjenfandtes uforandret i
urinen, berettes ikke.

Ogsaa Arai) har anstillet saadanne forsøg med
B-oxysmorsyren. Han gjenfandt den delvis i urinen og paa-
viste ved siden deraf aceton, særlig naar organismens oxy-
dationsevne var nedsat ved forgiftning med kuloxyd.

Baade Albertoni og Araki har imidlertid benyttet den
kunstig fremstillede, optisk inaktive syre, hvilket forringer
værdien af deres forsøg.

En gjentagelse af disse forsøg med anvendelse af den
optisk aktive B-oxysmorsyre, hvorved baade den i excreterne
udskilte uforandrede syre og dens mulige spaltningsproduk-
ter nolagtig bestemtes, synes mig at love værdifulde resul-
tater.

3 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 2,
Trykt den 23de November 1896.

30 H. Chr. Geelmuyden.

II, Den alimentære acetonuri.

Vi har seet, at i nyere arbeider*) over acetonuriens
afhængighed af ernæringen tillægges alle de tre vigtigste
næringsstoffe, baade kulhydrater, fedt og æggehvide, en vis
indflydelse enten i retning af at hindre eller at fremkalde
en acetonuri. Man er enig om, at der ikke optræder aceton-
uri, naar der omsættes en vis mængde kulhydrater i legemet.
Om aarsagen til acetondannelsen og om den maade, hvor-
paa den foregaar, hersker der dog fremdeles delte meninger.
Almindeligvis ansees acetonet som et derivat af æggehvide-
spaltning, om end den Honigmann-v. Noorden’ske theori
har vist sig uholdbar ( Weintraud®®), Hirschfeld*), Rosen-
feld®)). Idetheletaget synes mig det foreliggende forsøgs-
materiale fremdeles utilstrækkeligt til derpaa at bygge en
fast begrundet lære om den alimentære acetonurt.

Som bidrag til denne opgaves løsning meddeler jeg
nedenstaaende forsøg. Jeg har i disse efter evne søgt at
efterkomme fordringen til alsidighed. Paa den ene side har
jeg i størst mulig udstrækning varieret forsøgsindividernes
kost med hensyn paa mængde og sammensætning. Paa den
anden side har jeg saa noïagtig, som de forhaandenværende
omstændigheder tillod det, søgt at bestemme omsætningen

af de forskjellige stoffe i organismen.

*) Jeg sigter her nærmest til Hirschfeld's og Rosenfeld’s arbeider. Disse var
offentliggjorte kort tid, før jeg begyndte mine undersøgelser over den alimentære
acetonuri, Jeg gjorde imidlertid først bekjendtskab med dem, da mine egne
arbeider var afsluttede og skulde offentliggjøres.

Planen for mine undersøgelser var væsentlig at underkaste de ældre theorier,
Honigmann’s og v. Noorden’s, en experimentel prove og at undersøge, hvorvidt
kulhydraterne besad en specifik evne til at hindre acetonuri. Herom indeholder
nemlig den ældre literatur hyppig antydninger. Uafhængig af Hirschfeld og
Rosenfeld kom jeg, som det vil sees, i mangt og meget til at gjøre de samme
erfaringer som dem, om end mine forsøg pan flere punkter har ført til andre
resultater.

Om aceton som stofvexelprodukt. 31

Den største vanskelighed, der stiller sig iveien for
udførelsen af saadanne forsøg, ligger deri, at der til dem
kun kan benyttes mennesker. Hos de sædvanlige forsøgs-
dyr, kaniner og hunde, forholder nemlig acetonudskillelsen
i hunger og ved forskjellig ernæring sig anderledes end hos
mennesker. Der indtræder naar disse dyr hungrer ingen
stigning, men tvertimod en synkning af acetonmængden 1
urinen. Ved ernæring af hunde med kjod og fedt har jeg
(ligesom Baginski?')) vistnok kunnet paavise en rigeligere
udskillelse end i hunger, men om en acetonuri i den maale-
stok, hvori den kan forekomme hos mennesker, var der ikke
tale. Den høieste dagsmængde, jeg iagttog, var 13 mer.
Disse dyr egner sig derfor ikke til saadanne forsøg.

For de fleste mennesker blir imidlertid en ensidig kost
efter faa dages forløb modbydelig og fortæres kun med
overvindelse. Sædvanlig har den til følge et stærkt vægttab
og en slaphedsfornemmelse, der ved enkelte af mine forsøg
steg til en saadan grad, at jeg saa mig nødsaget til at
afbryde dem, før jeg ellers vilde have gjort det.

Mine forsøgsindivider var paa en undtagelse nær medi-
cinske studenter, alle sunde og friske. Forsogsanordningen
var i regelen følgende:

Individerne tog bopæl paa det fysiologiske institut.
Forsøgsperioden regnedes fra morgen til morgen før frokost.
De veiedes hver morgen paa fastende hjerte, efterat have
ladt sin urin. Alt, hvad de i løbet af døgnet fortærede, blev
af dem selv veiet og bogført.

I urinen gjordes kvælstof- og acetonbestemmelser, i
excrementerne kvælstof- og fedtbestemmelser.

Analyserne udførtes paa følgende maade:
Excrementerne tørredes og veiedes. Af tørsubstansen afveie-

des aliquote dele til kvælstof- og fedtbestemmelser. De første

32 H. Chr. Geelmuyden.

foretoges efter Kjeldahls methode, de sidste ved extraktion og
veining.

Af urinen afmaaltes 3 ccm. til kvelstofbestemmelse (Kjeldahl)
og 100 cem. til acetonbestemmelse (Messinger-Hupperts methode, se
ovenfor s.90g 16). Ved paavisningen af en svag acetonuri har jeg i
regelen ladet det være afgjørende, hvorvidt urindestillatet ved til-
sætning af kalilud og jodopløsning blakkedes af udskilt jodoform.
Jeg anser dette for et sikrere kreterium end den kvantitative
bestemmelse, da urindestillatet ganske sikkert ogsaa indeholder
andre substanser, der binder jod og derfor forhøier udfaldet af
acetonbestemmelsen uden at give jodoformbundfald. Blakning ind-
træder i almindelighed, naar den kvantitative bestemmelse viser
over 13—1,4 mgr. paa 100 ccm. urin. Kun i det tilfælde, at urin-
mængden pr. døgn har været liden (under 500 ccm.), har jeg seet
blakning af destillatet, uden at der fornuftigvis kunde tales om en
acetonuri. Jeg har f. ex. iagttaget jodoformreaktion, hvor den i
døgnet udskilte acetonmængde bestemtes til blot 52 mgr. I en
normal urin udgjer den sædvanlig 10—15 mgr. pr. døgn.

I mine første forsøg gjorde jeg i regelen jernchloridreaktion
og til prøve paa ß-oxysmersyre, sukkerreaktion og polarimetrisk
undersøgelse af urinen. Da imidlertid disse prøver stadig selv ved
meget høi acetongehalt faldt negativt ud, undlod jeg at gjøre dem

ved mine senere forsøg.

Ønskeligt havde det været, blandt andet til vurdering
af de forskjellige hypotheser, om jeg for hvert forsøg havde
kunnet opgjøre en noiagtig stofvexelballance for kulstof og
kvælstof. For kulstof lod dette sig af let forstaaelige
grunde ikke gjennemføre og selv for kvælstof kun tilnær-
melsesvis. Til beregning af den daglige kvælstofballance
var det nemlig nødvendigt at kjende kostens kvælstofgehalt
saa nøiagtig som muligt. Da en kvantitativ analyse af
samme forekom mig ugjørlig ved siden af de talrige øvrige
kvantitative bestemmelser, maatte jeg erstatte den med en
beregning, skjønt en saadan selvfølgelig lader meget tilbage

at ønske i noiagtighed.

Om aceton som stofvexelprodukt. 33

Med sikkerhed at paavise en kvælstofligevægt blev paa
denne maade umuligt. Derimod kunde jeg ved beregning
af en minimal og en maximal grænse, indenfor hvilke
kostens kvælstofgehalt nødvendigvis maatte ligge, i visse
tilfælde paavise et tab resp. en retention af kvælstof i
organismen. Subtraheres nemlig urinens og excrementernes
kvælstof fra kostens, saa repræsenterer differensen /N-afsæt-
ning i tabellerne) i tilfælde af, at den ved beregning af
kostens mindste kvælstofgehalt blev positiv, en notorisk
kvælstofafsætning, i tilfælde den ved beregning af kostens
største kvælstofgehalt faldt negativ ud, et ligesaa notorisk
kvælstoftab for organismen.

Beregningen af kostens mindst mulige gehalt paa æggehvide
og kvælstof er foretagen efter følgende tabel, hvis værdier er hen-
tede fra Konig: Chemie der menschlichen Nahrungs- und Genuss-
mittell. Kun ved beregningen af brødet benyttedes Schmelck's49)
analyser af husholdningsbrødet i Christiania. I denne tabel er for
oxe- og kalvekjød anført deres gehalt paa eggehvide i raa tilstand.
Nu udgjorde oxekjød og tildels kalvekjød i alle forsøg med ensidig
æggehvidekost hovedmassen af kostens kjødgehalt. De serveredes
og veiedes tilberedt som beaf eller steg og har derfor indeholdt

meget mere æggehvide end ved denne beregning forudsat.

pet. pet. pet.
æggehvide. fedt. Besen |

Magert oxekjed . . 20,7 13 König s. 190

— kalvekjod. . 19,9 0,8 — - 192

— skinke. . . 25,0 8,0
Sale om FN PO 50 229
Efønseæs =) 12,6 12,1 — - 249
Fløde. + 3,8 22,7 4,2 — - 359
SEE 2 50 SSE 85,0 — - 369
Ered Aa OE 6,42) 0,25 | 52,4 Schmelck 7

Liebigs kjødextrakt er regnet at indeholde 10,6 pCt. kvælstof:
König s. 235.

1) Dritte Auflage Bd. 1.
2) Varierende mellem 6,, og 6,5, pct.

34 H. Chr. Geelmuyden.

Ved beregningen af kjødets største kvælstofgehalt er alt kjød
regnet at indeholde 25 pet. æggehvide og 5 pet. fedt5l).

For de øvrige fødemidlers vedkommende er de samme værdier
bibeholdt som ved beregningen af deres mindste æggehvidegehalt.
Denne er nemlig saa liden og varierer saa lidet, at dens indflydelse
paa den beregnede kvælstofballance blir af mindre betydning.

Jeg antager, at den største værdi fjerner sig mindre fra
kostens virkelige kvælstofgehalt end den mindste, hvorfor jeg har
henholdt mig til den, naar jeg har villet bedømme sandsynligheden
af en kvælstofligevægt.

Æggehviden er forudsat at indeholde 16 pct. kvælstof. Ved
beregningen af kostens kaloriske værdi sattes et gr. fedt = 9,3, et
gr. æggehvide og kulhydrater — 4, kalorier. Rubner®), der har
opstillet disse værdier, har ved deres beregning kun for æggehvide-
stoffenes vedkommende taget hensyn til den spændkraft, som gaar
tabt i exereterne. For fedt og kulhydrater har han forudsat fuld-
stændig resorption og forbrænding. Denne forudsætning har jeg
ved beregningen af kostens kaloriske værdi i mine forsøg bibeholdt
for kulhydraternes vedkommende, hvilke gaves i forholdsvis smaa
mængder og vel derfor er resorberede næsten fuldstændigt, derimod
ikke for fedtet, hvoraf der i excrementerne udskiltes ikke ubetyde-
lige mængder. Jeg har derfor, naar jeg har bestemt fedtmængden
i excrementerne, beregnet dens varmeværdi og trukket denne fra
kostens samlede varmeværdi.

Det kaloriske behov for voxne mennesker, der ligesom mine
forsøgsindivider kun udfører ringe legemligt arbeide, sættes af
Rubner) til 2445 kalorier pr. døgn.

A. I de følgende tabeller (I--V) findes en række for-
søg over acetonuriens forhold ved kulhydratfri kost, med
høi æggehvidegehalt og vexlende mængder af fedt.

dA 1 uegeyyn a9p49g (IL

88 si ae wege | 09 | OFT 7
LT Dar “eue | Gr S6TT | -yoqsoy pe SuruSoaaq ogsorou 10 &
= OG — | 8%'0— ke PN
BS grat | 281 os'ye | 93 | ShTE I
Core
‘qeqpely * LGG —
"Is )CC— :umg ‘de33S&A ‘IS (COL : Ung
| #99 | G
“ SIT ° OD . . Å ST
ep JA ES =
3 LLOT | vez | 99 | TEGE |961— | 9P— DE | OG Ch PLN | are: une (1006 | 299 | 7
a Is []Q 909s0x0 So JuoT
E Fed NT : TO ee es Sm
Å T3561) er Webi ales
o OSGT | PFT | 6 | 9058 sie No | 90 | ur | Ue | LG | 62 | 862 69 * * °° exur4S | 006 | 799 | €
© Vel “ OGT : * Sogsoapey
& "19 PRP Soysoxo So jvog
= IS OF “ ee soe IUT
g “wy “ LL . . . . E Sm
8/ 4 ° ++ pely Jr ;
2) gout 20e) 12 | «67 lore— |98—| we | OOF Junto] nee | 695 | ecor u... oa | 008 | 299 | 2
8 “uf “9g * * * Fogseapey
2 e/xTT "18 Q[¢ Sogsoxo So peog :
3 (14 LEZ . . a ° * JØUIG
> [13 Ou Fe a 5
å EG 2 ge © pels må
Le6r |2'GIT | 109 | 1823 ge + Je | WE |22 wo | 908 | 643 | 2006 | « ger - - - - oyunys | oz | 429 | T
F/e9 “ 608° * * Foyseapey
Id per doysexo So jeog
opsuam|ePouem "00 007 | Kr : | å
un | 4 | 8 am | PE ON NS EN pay | "sen “qe | qBea | =>
“1100 U0z028 "a8 11) JE) ID Ip) ap “OHV An) | ay) HUB ST pee es ee 3
"uourın) '4emeFor I JESJV *19JUIWDIDXH iSO

(‘WE 7/8, ‘PI USop 045] Suroye oysprs)

"IVE 7/08 “S 'H 7 POSJOY

H. Chr. Geelmuyden.

36

OZAP me | | 1977

"urneyen (x
"uouagpe WO [Hpur un (;

€cl | Sect €
tee — Een Shs | | 07 | GC’ | 6PGE | 'uoYsoy pe Sumdouoq 995910 AO | &
TET — erg + 8005 | OSE | 9383 I
de
‘qeypoly * ep
‘19 cp) — :umg "qe140RA “Is QOOg ; ung
| ket a |
„ GOT * ‘ ‘ Jous
Baraat ENGE pe c 88 een ;
SGOT| 696 | 58°G 966 | 997 ST ALE OE AG TT RC C9 pelt reg (OO |) hh te
15 007 + + Sosoxo
(0 98% . ° . JTØUWQ
“ . . . oS
8107 etg [ung 18814 ve me
På € { Lie tn — 6 ¢ 2 (3 D} 91 > ‘ m
(2019 Reel ne 996 | 881 wg—| F6 VST u) 2906 | 66G | 6685 | « 18 * poly veg | 00% 7€L | G
(18091 209 66€ cz * SogsoArexr
- 18 09€ “2 SoJsoxQ
PENG “ SE . Be
mad ei ee Em © ©? es
CSI] THEE | BT 1506 168 — | WE | BF &9T a 88 [6 | SET | OGGT | « Gel + poly geg OOGT | GZ I
We “ 161 * * Segsoapey
15 60F "= JegsexQ
epsuem apJuawl|wo9 (OT
-uran | 71805 I ‚N JE N LN et „ei N PO ENE: qe} Jdæa | 4
"Won ogaou am D 19) 19 2 19) rd) JOY V ard) 10 -0[84 | gees si å
*UuDuLIN ‘Jouo of I JLSJV *19FUOWLOLOXTT ‘JS0Y

‘186 08 “HW 17 PØSIOAJ

Om aceton som stofvexelprodukt.

en = || 07

2977

Te = iG? Bars f
eb DITES weg ae ee "UoJSOY Je Gurusoraq o94s0IØY JOY INT :
898 | 698 906 | 008 | 2248 I
“Is £10— :wng "089493 “Id 00€ :ung
ET ME er [eee m ES 802 =
se å een) CSI pete fe cc,
GSCI | CE | TSE | 33 | T6s—| 886— | TET | SIZ | ° GI | 26 | 8PG | Fr 0 CS ND | BO | a7
; 13 OFF * D 3 2 jeog
KN aaa 5 Sy
PG " poly gr
0907 |aæ'gge | 9855 | 63 | ere—|zetg—| rer | c'e re few | no emo lum le
er * SojsoaTey
BY dg re de
ODE 99 mu
| | 19 op å se å 4 Sm
‘ øl Ya G ; 0 = 2 OLY e
SOIT | eos | 9°22 | 2887 lorı— |we— | 280 | 6% tS | 1S | KIB sc SEE ene | €
= de S0S0ATE
ge NN ET
alle: ‘ zoug
lon Fe
CSOT |Tigyz | ericz | Ze | IL + | eet ar‘ oF * poly yes (
På | 882 | 9068 | « GT - = oxutyg |008+ 402 | T
9G) * SoqzsoAale yy
19 Ion tr Feed
opdugu oe [11001001 å me | |
-Unn b ‘PO 'N "N “ZP9F 'N “FP 2, "Jor : Û
"won 109% a 19) 79) "IX 1) IX) ‘107 279) Is es -4 hath ee S
*UDULI ie ve 5
un) ‘JULIO DOT I JESFV "IOJUOTLALOXTT

‘(uouosrou uro FupsHøsro 948107 107 uoSep Sunuoye Sur 94 SPIS

)

ee 8/518 “HN III 60S107

H. Chr. Geelmuyden.

38

| | QL1— |86'G — | | seg | 6F | LOTT €
981— [189 — WTG | TLL | PEIZ | 'uegsoy Je Sulusoïoq ogserey 109 |
| | OI [org +) | | age | 09 | G6FT I
GOFI
qeypofy * o69 —
‘IS C69 : UNG 13 QOIg :ung
en 1 1119 3418 k
| 4 Er: en ale i
IG à Å Sm
SPST [9703 | WT | 2216 |863— er ee re Cho (PI |e
"IS [EE Sogsoxo 80 189
2 Aeg © * + JØUG =
„gel EEE.
GZET TLL | F6'@r | SLT | TOE— |&'OT— & 11 | 091 | TE6L FOT * poly ves | 008 |%12 |G
SEO 2 * G99S0AJEY
"IS Eg 999850x0 50 Jvog
| ‘19 69 er
sp UO Ge = = = pelt ores
page | soz, | oe | zo'ze | 96 — (sg —| 207 | eh | 29 | 1867 | 68 | 6601 | “ 84 * * AUS | 0067 | VEL | I
80 ‘UD CGC OISOATE TT
2/ıl "AIS ORG ° * goqysoxO
opZuau|pdu@u woooof| le ;
uran | 19900 ENN poly N N oJ PT N par | "or qe | fea | D
"uio u09998 ‘13 “> ‘19 “9 ‘9 9 eV 09 DMT -19æ4 |-swo3o]| 2
N 275) 19Y =
uourın) Yowegor I JUS *19}U9 WO LOX 9504

"188 8/11 “WV P- AT besiog

39

Om aceton som stofvexelprodukt.

& 7 900 a | | | TE | 9F | GOST | -uogsoy pe SuruSeaoq oysoroy «to G
Re er Peek Ge Pepe 0, DE
GO
qeypely * 698 >
“Le 6CQ [UNG qu199A “Es NOSJ : UNG
“ut ‘15 A CNE TOUT
ST | | vor = SoHo PGA
7 ; ; ; "18 OIL’ * 10110174 : Ex
296 |896G6 | 08/6 | TEOG | 169 | 03— 76 | 868 -rod 7 1 aomg | 006 | #09 | 7
(0 8 . . . . ° Say
, *TpUun Å | LR re ET OUTS
op | or | | me | es 88 — HW | ES OG fo he OE
"IS 886 Soysoxo SO Jeog
oe GE Tue Sar
-Jpunq Vel, © DT © 9 ? © US
FIT | TE |998A8 | weg | Te — 907 —| ee | 69 | go | 408 | ce | ors | SE 1 pol WS | OOGT | 9 | Z
PET à ITR REDET
ll "Id GFG JEOY 30 59150x0
FEST | SAGT | SIT | s6'G] wo G | "os ‘ + 9soxsny "UTV I
oa Er je 'N ‘pol 'N 'N 10e TI T "N abou oe a 43
Le SSeS 4 Baie . o £ 9 . & ; qe? ENN || Is)
"Wo | 103008 aS | JL) | IX) dx) IL) IX) IOV IX) | Jr) -0[0Y ce Kg 3
|)
‘Hu ‘Jeuo 401 I JESJV "19JUDWDADX ‘SONT |

we 3/16 "H OA Vw Å POSIOY

40 H. Chr. Geelmuyden.

(Til Forsøg I).

I de to første forsøgsdage blandet kjød- og fedtkost til en
kalorisk værdi langt større end behovet, senere ren kjødkost med
utilstrækkelig kalorisk værdi. Første dag paaviselig kvælstofafsæt-
ning, de tre følgende dage sandsynligvis kvelstofligevegt. Første
dag stærkt vægttab, senere mindre, sidste dag endog forøgelse af
legemsvægten.

Ved beregning af kostens mindste kvelstofgehalt faaes det
størst mulige kvelstoftab. Omregnes dette i kjød med 3,4 pet. kvæl-
stof52), saa viser det samlede kjødtab sig at være mindre end vægt-
tabet.

Ligefra første forsøgsdag stærk acetonuri, der til- og aftager
med kostens fedtgehalt.

(Til Forsøg IT).

Dette forsøg blev afbrudt, fordi forsøgsindividet tilslut ikke
uden stor overvindelse kunde fortære den foreskrevne kost. Den
fremkaldte kvalme og i de to første forsegsdage kolik og diarrhoe.
Den bestod alle forsøgsdage af kjød og fedt. Den første dag er
der sandsynligvis tilbagehuldt noget kvælstof, anden dag sandsyn-
ligvis kvælstofligevægt, tredie dag paaviselig et betydeligt kvælstof-
tab. Under hele forsøget jævnt vægttab, idethele 3000 gr., der kun
for en ringe del dækkes af det maximalt beregnede kjødtab.

Under hele forsøget betydelig acetonuri, til- og aftagende med
kostens fedtgehalt.

(Til Forsøg III).

Første og anden dag kjød- og fedtkost af kalorisk værdi større
end bebovet, 3die og 4de dag ren kjødkost af kalorisk værdi min-
dre end halvdelen af behovet. Fedtet synes at være resorberet
langsomt, ialfald stiger fedtmengden i excrementerne under hele
forsøget.

Vægttabet ringe, indskrænket til 2den forsøgsdag, 3die og 4de
dag uforandret legemsvægt trods paaviseligt kjødtab. Første dag
paaviselig afsætning af æggehvide.

Meget stærk acetonuri under hele forsøget.

Om aceton som stofvexelprodukt. 41

(Til Forsøg IV).

Dette forsøg blev afbrudt, fordi forsøgsindividet følte sig mat
og svimmel og ønskede at ophøre.

Første dag ren kjødkost, anden dag kjød- og fedtkost, tredie
dag ren kjødkost. Det kaloriske behov dækkedes ikke. Fedtet
synes at være langsomt resorberet. En liden afføring fjerde for-
søgsdag indeholdt nemlig 11 pct. fedt.

Vægttabet størst første forsøgsdag. Tredie dag intet vægttab.
Første dag sandsynligvis kvælstof tilbageholdt, anden og tredie
dag paaviselig et betydeligt tab. Det samlede kjødtab dækker
omtrent kun en trediedel af vægttabet. Acetonurien betydelig,

stigende under hele forsøget.

(Til Forsøg V).

Forsøgsindividet følte sig mat, sov meget. Første og anden
dag ren kjødkost. Tredie dag ren fedtkost. Det kaloriske behov
ikke dækket. Første dag sandsynligvis kvælstof afsat i legemet.
Tredie dag paaviselig et betydeligt kvælstoftab. Vægttabet betyde-
ligt, stærkest første dag, mindre anden dag, ubetydeligt tredie dag.
Det samlede kjødtab dækker ikke en trediedel af vægttabet.

De to første forsøgsdage svag, sidste dag meget stærk acetonuri.

Hvad der ved disse forsøg er mest joinespringende, er
den paatagelige parallelisme mellem kostens fedtgehalt
og acetonuriens styrke. For de to første og for sidste
forsøgs vedkommende kan denne parallelisme bedst forføl-
ges, idet acetonurien til- og aftager fra dag til anden med
kostens fedtgehalt. I 3die og 4de forsøg er den mindre
fremtrædende, forsaavidt som acetonurien ikke aftager, efterat
fedtet er fjernet af kosten. Imidlertid synes afføringens
fedtgehalt i disse forsøg at vise, at resorptionen af fedt har
været langsom og strakt sig ud ogsaa over de dage, i hvilke
der ikke tilførtes fedt med kosten.

Ved sammenligning af de forskjellige forsøg viser paral-
lelismen mellem kostens fedtgehalt og acetonuriens styrke

42 H. Chr. Geelmuyden.

sig deri, at der i de to forsøg (I og III), i hvilke der alle-
rede første dag gaves blandet kjød- og fedtkost, strax ind-
træder en betydelig acetonuri, medens den ved ren kjødkost
holder sig lav (forsog IV, V og de senere anførte VI
og VIL).

I de fleste af forsøgene har der efter al sandsynlighed
fundet sted en omsætning af rigelige mængder af legemets
eget fedt. Dette er selvsagt i de forsøg, der begynder med
ublandet kjødkost, da en saadan hos mennesker aldrig kan
dække det kaloriske behov. Det fremgaar ogsaa af for-
søgene, forsaavidt som tabet af «kjød» ikke er tilstrække-
ligt til at dække vægttabet*). Det samme forhold finder
sted ogsaa i to af forsøgene med blandet kjød- og fedtkost
(I og II). Særlig er i forsøg II differensen mellem vægttab
og kjødtab for stor til at forklares paa anden maade end
ved tab af legemsfedt. Nogen parallelisme mellem det saa-
ledes beregnede fedttab og acetonuriens styrke fremgaar
ikke af forsøgene.

Den omstændighed, at fedtomsætning synes at være det.
vigtigste aarsagsmoment til fremkaldelse af acetonuri, er
hidindtil saagodtsom fuldstændig undgaaet opmærksomheden.
Af nyere arbeider over acetonuri er Fosenfeld’s®°) det.
eneste, 1 hvilket fedtets indflydelse paa en acetonuri dis-
kuteres. Han tillægger det kun en modererende indflydelse,
forsaavidt det paavirker æggehvideomsætningen. Rosen-
feld's forsøg tillader imidlertie ikke de af ham dragne slut-
ninger. De fleste af dem strækker sig kun over en dag, i
hvilken tid acetonurien oftest endnu kun er lidet udviklet.
Meget mere værdifulde er Hirschfeld's*) forsog. Hans
forsøgsobjekter levede paa kulhydratfri kost lige indtil 10 ()

*) Cfr. Voit) S. 74 og 350.

Om aceton som stofvexelprodukt. 43

dage. De viser da ogsaa en for hver dag tiltagende aceton-
udskillelse i urinen, indtil 0,7 gr. pr. døgn, ved større mæng-
der aceton tillige udskillelse af diacetsyre. Hirschfeld
tillægger ikke fedtomsætningen nogen betydning for aceton-
udskillelsen. Jeg har sammenstillet hans forsøgsresultater
med hensyn paa dette punkt, men i disse kun antydningsvis
kunnet paavise nogen parallelisme mellem fedtmængden i
næringen og acetonuriens grad. De synes altsaa direkte at
stride mod resultaterne af mine forsøg. Forklaringen paa
denne uoverensstemmelse turde være at søge i to omstæn-
digheder, for det første deri, at Hirschfeld's forsøgsindi-
vider fik forholdsvis smaa mengder fedt, fra 46 til 197 gr.,
medens hos mine næringens fedtgehalt varierede mellem 25
og 469 gr. pr. dag, for det andet i den baade af Rosenfeld
og Hirschfeld gjorte erfaring, at acetonurien ved tilførsel
af store mængder æggehvide er svagere end ved tilførsel
af smaa. I Hirschfeld’s forsøg har aabenbart kostens
fedtgehalt været saa liden, at æggehvidegehaltens variation
har virket bestemmende paa acetonuriens grad, i mine for-
søg er denne faktor traadt i baggrunden for virkningen af
de store mængder fedt i næringen.

Baade Rosenfeld og Hirschfeld er med Weintraud?®)
enige i, at en acetonuri ikke er afhængig af, hvorvidt der
destrueres legemsæggehvide. Hellerikke af mine forsog
fremgaar nogen saadan afhængighed. Vi ser tvertimod stærk
acetonuri ved paaviselig retention af kvælstof i organismen
(forsøg I og II) og paa den anden side en aftagen af ace-
tonurien, samtidig med, at kvælstoftabet stiger meget stærkt
(forsøg II. Rosenfeld holder acetonurien — selvfølgelig
under forudsætning af, at en kulhydratomsætning er ude-
lukket — for «eine Function eines mässigen Eiweisszer-
falles» og anser »ggehvjdestoffene i næringen som den

44 H. Chr. Geelmuyden.

væsentligste modersubstans til acetonet. Mine forsøg støtter
ligesaalidt denne som Honigmann's og v. Noorden’s hypo-
these. I de fleste af dem er der omsat saadanne mængder
æggehvide som de, Rosenfeld betegner som store, og som
kun skulde betinge en svag acetonuri. Ikkedestomindre er
acetonurien meget betydelig i mine forsøg, saasnart der til-
føres store mængder fedt, medens den ved Rosenfeld's
forsøg med rigelig æggehvidenæring uden fedt kun gaar op

til 42 mer. pr. døgn.

B. I de følgende tabeller (VI XIII) findes en række
forsøg over acetonuriens forhold ved blandet kulhydrat-
holdig føde.

Om aceton som stofvexelprodukt.

‘Yeıpkyjny quor wos jousoiog (;

ra ei || ct OIG] &
ae an | 93008 “ir #911 "UEJS0OY JU SUIUSOIOQ 0S010U 109 z
JET-E 188 +| oe | 986 L801 T
"ue[q UOSUT GL9
SOGT 266 80 ox0ues esp oxoy urn qeypely * eg, —
"18 97, :ung qe199&4 ‘IS OOFI Le
066 | F
ak 1 . ®
used nede u pe : é (193 4 x os RANG
69% 620 “ 9°ccT . ee RC reyxyug
SEN ; ee | :uogge So Sepprm
cés UGLE Sen LS Gent SET ET EET EE NOGET | « pg : + + + + + poly reg OST+ | gg | €
SIT &0 we: rg GOL ae ee
Uoworfn wo fe a u eg Sun
19PUu U14/) [48 O01
VEGG. * * “OMULYS dose
'Prerpunq ; Dir oe 5 | “ 18 5 TS Mirae ee east Soy oat =
OLFT Fog ss 8006 | 908— 180 2 068 | 1 Se POL | « LE © 0 + + + Soysoaçey OLG | OGG | 6
nes} OO © * : + Gajsoxo So peog
MGE * 9JUDJS JUIN
= "Surusefg 2 > Ra |e ur ne ee ve Say ;
9291 | og, cot | $98 F6 ee — | OES | FIT 869 | « oz - + + + + + Sogsoapey | 086 | SPS) T
Is pop * * * :So/soxo so peog
epduæu apsuæ ud 007 “104
-urn | 18900 a ‚N “poly, "N "N TUE sengen | EO ‘qu | qd@a | D
"wog uojooe "aa | 19 19 419 | 19 15 \-my ag "A ee peel å
x =
‘UQUII() "Jouose I esıy| "150

"Ive 22 CAIN 'v ZA bøsuog

2.

No.

B. XIX.

Trykt den 25de November 1896.

4 — Archiv for Math. og Naturv.

0,8 I — | 3 | or'gg | 67 | | TZET | -yoqsoy ge SuruSoxoq eysarøy soy | Ÿ

GLE + BST 0806 | TF 1911 €
6591
qeapely * gig +
‘IS Qpg :ung qe145æA ‘IS (0CZ : une
EOI | “ul | | ay DU lp | «0 | ope | SE ent of
; | LET 2 8/1GT | :980401J 69 9
x THe J [7 se + 103
146 | zer || oe art | ag | et Ge oa |S 16
ne “nz yoevryxe S,SIQOIT
: “ Re ERE te å Say
5 cry (FPUNQ| gg ee ale moe | Gé °° * pelt yes
El SEIG | FL ge‘ J6'GP | C8G—|8 GT LG Pee 4886 | PE OL | 4 SIT: : + : oxutyg 0097 | 579, | 7
5 DNS fy
i: ‘IS 067 999s0x0 30 Feog
9 : “9 90019x0 ser
© Sag © 9 8 9 EUR
. . ; Fi : 13 . . . f
A sear | mes og || son | eerie +) er | meg) meg | zz Sh er g
gel : * * Feysearey | 009
Hm "18 [Gh 509s0x0 30 peog
usted ete
1981 | €8GT | eT. | ec -LOUL ‘qsoysny "UTV oGg |Z
wo
TITI | wer | NT | el | | ‘qsoysny "UTV I
opSuœu opauæu|"w99 (OT “104
-uian | 18400 I iN poly "N "N MA "N De | -vap£y “AOL "gu RA | 4
UND) 109998 ‘ASIN 19 79 9 GI MP SEEN 19 70 |-nq cag} OEM ey |-swoñor| 20
aa ee NR NE = 45) ıay A
= ‘uaur 4ouledo] I yesyy| 'ToJUEUWDLDXK '950Y
= Se

‘d H TIA Pøssoy

47

Om aceton som stofvexelprodukt.

SLET
qerpølg * 209 —
669 „Wis qe998æa '18 NQOOZ ‚ung
. ‘13 . . . . . . porg
OLT "Bo å SLT fe. 99 | +
. [13 . ° . . Ion :
684 LIST me 60, | 9G — 26T —| atc ET 6TE TOFT 1.18 ae ts + + + Daag 0 999 &
13 OPS . 0 0 å 5 Û . porg |
å $ :uog9Je So SeppIN 6 5
919 [etes der | al |L9G - eS — Oe | 96 | BLT | SIT bag zur PS ne
:950H014
6801 | 8°28 le, | SET | 208 ter — Che 1928 "23 987 eee | Go | so I
psuem|-m99 NOT 0
ee "eg H "N “poly, ‚N N pe} “aap tt Se a er 5
"won | uoj908 "Sy 1) 10 1) dx) 19 |-ny ag) | CIM os pase 1 3
*uoulIn ‘JouoSe I JESJV “48041

488 iTS ML TA 908407

"IS COL — = qvypoly — quyssæ À
‘poly 18 pg = “ad ug Qu N "as OFT gender

19901 = 8208 82°98 | 68:86 : ung
OPO | 904 | 881 | ee | eG | SIT | 0802 gg
HGS 268 MOI Oy | PTT | TELE | 0804 FG
989 | 79 140 | 87 | 298 | WIT | 902 87
909 | Br MG | we | 206 | TI | OL dd
696 | 298 | 060 SIT | HOT | OZ 1Z
GEL | WAT | GET | Oly | HOT | 001g |(g202 OG
CCPL | 90°TT | 920 | erg | gr | TS | (50802 61
d
(ap)
>
E
2 "18 665 = qepoly — qey8æ À
. . Û ‘ . Co 7
d poly as [ye = ‘rs sg] GeI-N ‘IS 018 Geyser
S 9628 = GL'LT+ 2969 | Rp, i ung
SI 9 | we | st | og | ose | e'or-| oft, | gr
H 182 | 222 1860 | Gr | erfor | 201 | STL IT
162 | 88 | 60T | TOT | ott | €60T | 2812 OT
ana JED NØT JG NC OS SOIN Ge 6
2 RON EN ea MOTS PASSE) 8
SS8GT | GGT | 260 | 687 | orgr | Te | (eseeL L
opFuæm apsaceur eee Fee *UDuran | ‘Uo7S0% "Fara =
-uran | 1?4%L I I i i N Ë
ila) *15X B
104008 ‘IDI, *N ‘19 å
4

"49 $46 = depot — quyse,
‘poly ‘1d 06 — "19 9807 UN "19 OPCI 89992

0698 = 8891 264 | F0‘9, : ung
606 | 286 | 207 | 268 | OT | OFTE | 0x7, 81
ges | 986 | OT | are | TOL | SIT | en) AI
968 | 806 80° SIT | 80°TT 09 12 OT
DIEBE SOG EO BTE ON 08 12 GT
QEIT @c | 880 | wc | OF pT | SOT | CL FI
9091 | SL | 970 LT | OTS |G WEL EI
"Id 116 = qe1pølq — 89982,
Poly 18 83, = erg QIN 19 OOIT 9238A
ugs = 86 FI 849 | Sy : ung
016 8 G 850) 697 OGG & OT 99°C) 9
SIG | all || EU rg EN | 002 G
log | ae 260 | 084 | £66 cg" IT | wg 7
WO, | 882 0 Aa en | | WED &
GO VED VED (g8rT | 6961 | TIT | SPL G
OTST | wog | ŒT (FCT) (1962 I
| hen ‘Ulan |" oquow | beg
opsuæeu PUS oo got) exoxe | Tauzan | uegs04 OA fo)
-urn | "19405 I I 5 H seule] 2
ya) | “103 5
103008 "IFPI 'N 19

ot

'XI ÖØssog

49

‘Surg ‘7 ‘pour ‘puso ‘A JB GJPLJIEAO Fu do q[eyos-"NV SAUNDJUQWEIDXO TOF OUICIPABA lg
odepısıywoloN (s
*99n]epn FepsHøsaor ESipuæsppnn euuep 19 “Aso qeysæa je FumuFedeq pon (ı

‘Id LOPT = qeypoly + erde

"19 g10g = aeypely + des A
‘poly ad yey = 13 Loy yespe "N ‘IS OZET AIS A

‘poly 18 gg = 19 1801 pesJe 'N “aS QOLT 18388 A

Om aceton som stofvexelprodukt.

6116 = 1791 872 | 0701 : ung , 0198 = 6261 2899 | 286 : UNG

; | FL LO 68 959 | wc | 88 916 | wor | 69 as
192 | 196 | WT | 21% | SIT | 901 | 7289 sg 869 | er | 00 | oc | 668 | FOT | 99°69 IE
197 | wc | 8°] 689 | 2801 | 7989 LE 619 | my | ort | ate | 268 | oT | WO 08
sch | 86 | 107 | 089 | 2101 | 8807 | 1004 98 919 | wg | IT | fo'g | og | 2801 | 9002 67
1002 | ter | 920 | sep | sect | «gg |(g18'02 OG GTOT | 192 | 20 | ete | eg | WIT | Ted) 87
OSSI | KT | 260 9F21 | G'OT er FE AL | BR 1 oz | 691 | (g9rT2 1%
TZOT | 972 wo | ne | er; | MLG | (87769 gg GPOT | 998 | €80 | 09'G | 2er | 001g | (202 98

50 H. Chr. Geelmuyden.

(Til Forsøg VI).

Dette og det følgende forsøg er parallelforsøg til no. V, hvis
fedtkost paa tredie forsøgsdag her er erstattet af en kulhydratkost.

Hele første og anden dag til frokost ren kjødkost. Tredie
dag til middag og aften samt fjerde dag til frokost ren kulhydrat-
kost, en suppe lavet af stivelsejævning, sukker og bringebærsaft.
Alle tre dage kaloriunderskud. Første og anden dag vægttab, tre-
die dag tiltagen i vægt.

Der er ikke gjort kvælstofbestemmelser i excrementerne. Der-
ved er kvælstoftabet blevet noget for lavt beregnet. Da imidlertid
feilen er liden i forhold til kvælstoftabets absolute størrelse, kan
den sættes ud af betragtning. Det er sandsynligt, at der første
dag har fundet kvælstofafsætning, anden dag kvælstofligevægt sted.
Under alle omstændigheder har der tredie dag samtidig med, at
legemsvægten tiltager, fundet et anseligt kvælstoftab sted. Det
beregnede kjødtab er ikke tilstrækkeligt til at dække vægttabet.

Kjødkosten har fremkaldt svag acetonuri, der svinder i løbet

af nogle timer ved indferelsen af ren kulhydratkost. .

(Til Forsøg VII).

Første og anden dag ren kjødkost, tredie dag og til frokost
fjerde dag kulhydratkost. Alle 3 dage kaloriunderskud. Første dag
paaviselig kvælstofafsætning i legemet, anden og tredie dag stort
kvælstoftab. Af vægttabet, der væsentlig falder paa de to første
dage, dækkes kun henimod en trediedel af kjødtabet.

Kjødkosten fremkaldte maadelig acetonuri, der svandt ved
indførelse af kulhydratkost.

(Til Forsøg VIII).

Første dag ren fedtkost, anden dag fedt- og kulbydratkost,
tredie dag og til frokost fjerde dag kulhydratkost. Det kaloriske
behov kun første dag tilnærmelsesvis dækket. De to første dage
stærkt vægttab, som kun delvis dækkes af kjødtabet. (Det sidste
noget lavt beregnet, da kvælstoffet i excrementerne ei er taget i
betragtning). Ved indførelsen af kulhydratkosten ophører vægttabet

og kvælstoftabet blir lidet. Samtidig synker urinmængden stærkt.

Om aceton som stofvexelprodukt. 51

Fedtkosten fremkaldte maadelig acetonuri, der svandt efter
indførelse af kulhydratkost.

(Til Forsøg IX).

Dette forsøg er anstillet med en straffange, der var idømt 40
dages fængsel paa vand og brød*). Den daglige straffekost bestod
foruden af vand og kogsalt af 750 gr. grovt rugbrød. Dettes kvæl-
stofgehalt bestemtes af daværende assistent ved det fysiologiske
institut, hr. cand. med. I. Bang, der velvillig har overladt mig de
fundne værdier til afbenyttelse. Fremgangsmaaden var følgende:
Den fangen tildelte ration veiedes, og af samme brød toges ca. 10
gr. til tørsubstansbestemmelse. Kvælstofgehalten i tørsubstansen
bestemtes ved Kjeldahl’s methode i gjennemsnitsprever for 6 for-
søgsdage. Der fandtes 20,6 — 21,26 — 22,33 — 2345 — 28,5 — i
gjennemsnit 21,96 mgr. kvælstof pr. gr. tersubstans. Brødets efter
disse bestemmelser beregnede æggehvidegehalt udgjorde i gjennem-
snit 9,13 pet. Efter Schmelck49) indeholder saadant brød gjennem-
snitlig 0,5 pet. fedt og 51,46 pbt. kulhydrater. Den kaloriske værdi
af 750 gr. blir da 1902 kalorier. Fangens kaloriske behov kan ved
det rolige fængselsliv sættes til 2445 kalorier (Rubner50)), Kosten
maa altsaa have medført en betydelig undernæring.

Jeg har inddelt forsøget i perioder paa 6 eller 7 dage, der
alle begynder med en emellemfristdag», paa hvilken fangen fik
almindelig fangekost, og beregnet kvælstoftab, vægttab osv. for hver
saadan periode. 2den og 3die periode begynder med en, 4de og 5te
med to og 6te periode med tre mellemfristdage, hvorefter følger
fem dage med straffekost. «Mellemfristkosten» bestod under hele

straffen til frokost og aften af tilsammen

Pet. Gr. =
ere gade Kilde.
500 gr. fint rugbrød. . . . 6,4 32,0 Schmelck.
Heluten urelic’ 0. 7 NUE 3,26 32,6 König S. 387.
I) aR, SOE Ge GREER: 0,8 0,1 — - 369.

64,7 = 10,3 gr. kvælstof.

*) Forsoget tilhører en række undersøgelser, der blev udført paa det fysiologiske
institut over vand- og brødstraffens virkning paa fangernes ernæringstilstand.

52 H. Chr. Geelmuyden.

Middagen bestod til og med 26de forsøgsdag af

Pet. Pet. Gr.
N ægge- | ægge- | Gr. N. Kilde.
; hvide. | hvide

250 gr. renskaaret oxe- |
kjed afveieti frisk til-
stand og tilberedt som

beat hau 20,7! 51,8) 83 | König S. 190.
100 er poteterd . . 0,4 0,4 — - 665.
1/2 liter bouillon . . . 0,4 2,0 -

10,7

Fra den 27de forsegsdag blev mellemfristkostens middagsmad
leveret fra Christiania dampkjøkken. Jeg har efter opgaver fra
dampkjøkkenet beregnet dens kvælstofgehalt. De fundne værdier
tør imidlertid være behæftede med store feil.

Forsøget viser et betydeligt vægttab. Regnes begyndelses-
vægten til 75,5 kgr., saa udgjer vegttabet 7,76 kgr. (over 10 pet. af
legemsvægten). Det er uregelmæssig fordelt paa de forskjellige
forsøgsperioder, stærkest i første og sidste.

I de tre første forsøgsperioder har der fundet et betydeligt
kjødtab sted, tilsammen 1690 gr. Det dækker næsten halvdelen af
vægttabet, 3450 gr.

I de følgende perioder er resultaterne paa grund af den usikre
beregning af kosten paa de talrige mellemfristdage mindre paalide-
lige. Forholdet mellem vægttab og kjødtab blir uregelmæssigere.
I 4de periode er kjødtabet 102 gr. større end vægttabet, hvilket
skulde tyde paa, at fangen har lagt paa sig vand eller fedt, men
tabt endnu mere kjød. I 5te og 6te periode har han lagt paa sig
kjød. Ikkedestomindre er vægttabet stort i disse perioder, hvilket
vel væsentlig har havt sin grund i, at mellemfristkosten fremkaldte
fordøielsesforstyrrelser. Han maa i disse perioder have tabt fedt,
ikke alene svarende til vægttabet, men ogsaa til det afsatte kjød.

Acetonuri indtraadte ikke under hele forsøget.

Vi ser i de tre første af disse forsøg en acetonuri
fremkaldt ved kjødkost, fedtkost eller blandet kjød- og fedt-
kost. Kosten har bevirket et vægttab, der delvis skyldes
et æggehvidetab, men sandsynligvis for den væsentligste del

Om aceton som stofvexelprodukt. 53

et tab af fedt. Ved indførelsen af kulhydratkosten stanser
vægttabet trods vedholdende tab af æggehvide. Samtidig
svinder acetonurien.

I forsøg IX ser vi et betydeligt, gjennem længere tid
fortsat vægttab, der udentvil skyldes et tab saavel af fedt
som af æggehvide, uden at der indtræder spor af acetonuri.

Af en sammenligning mellem disse forsøg og de tid-
ligere meddelte fremgaar, at en kulhydratholdig kost, selv
om den er utilstrækkelig til at dække legemets kaloriske
behov, ikke fremkalder nogen acetonuri, at den tvert-
imod i løbet af nogle faa timer bringer en bestaaende
acetonuri til at svinde, medens en kulhydratfri kost,
selv om den har en overflødig kalorisk veerdi, og ellers
indeholder alle til livets ophold nødvendige bestanddele,
fremkalder acetonuri.

Forsøgene bekræfter altsaa paa ethvert punkt de af
Hirschfeld?$) og Rosenfeld®) gjorte erfaringer over kul-
hydraternes evne til at hindre en acetonuri fra at opstaa
eller bringe en bestaaende acetonuri til at svinde.

Under disse omstændigheder reiser sig spørgsmaalet
om, hvorvidt denne evnes effektivitet er proportional
med mængden af dei legemet omsatte kulhydrater, eller
om de lig et ferment formaar fuldstændig at hindre en
acetonuri, selv om de kun omsættes i smaa mængder.

Til belysning af dette spørgsmaal har jeg udført en
række af 5 forsøg, 3 i hvilke der til en ren kjødkost eller
blandet kjød- og fedtkost lagdes kulhydrater i daglig sti-
gende mængder, indtil acetonnrien svandt, og 2 forsøg med
udelukkende brødkost af meget liden kalorisk værdi.

H. Chr. Geelmuyden.

54

FO9G

9L8T

gen i

6187

e

ee ET
» JoYXNS
* * Ieug
. . ST
© eur
S309S0ATEST

pafsoxO

poly aes
wes
g09s0A1T8N
* 89959XQ

79

poly 1188
= Sx Urs
Bo4SoATeyT
= 100g

79

OOTT 08,61 Og FT SSI 06
2651 BEES 62°) 7 GPI 0g
CLF 08'C1Z 9941 10% OT
TAN gp‘CO 68*g STI CI
“opauæu ‘W109 QOT
epSuæwuurim -[8}0,], I 4pey ‘19 “107eapAqmx
DD 109008 ‘IS 79

*UourIn

PYGT

“ 007 “2
> QE ©
HW ©

°

Spør

poly es
* oyumg
* + 180

*10110[8 1

S’O X bosuoy

‘507

3æA8wW030]
"ID

"UuSØg

55

Om aceton som Stofvexelprodukt.

GIL

er'9g

SN ep
‘pre3pung
TLC SEI

06

OST

688

report
‘+ aoyyng
. . . ony
° : ‘Joue

"+ : egumg

* Go)S0ATEN
5480017

69

667%

: Spøly
ls
* * ‘ OS
DS TT
CAS
* 009S0AT8N
* * 80950X0Q

£9

H. Chr. Geelmuyden.

56

199 9J0ues OSBp ) UNN

'Suruyepq uosur |

‘ ‘ Jeu
DU;
CAMES)
509S0ATUY
CO CT

79

79

ler
, US ©
Sn ats 70S *
ao ee | i Vegen | ee ©
(14 OL .
[74 ZG .
g ‘IS 997
PACE
OM |
RE Dee ©
ss | tes | aye | or 08 pole | * Hr
6 Sag.
(14 FL, °
18 966°
08 *
| : a ©
Prerpunq GLT
6691 T6GE d L61 LY 6997 200
nie Gap «
ile €
se IS 62G
‘opouœu ‘99 007
opFuæmunn -[840 I, I 4poy “an “ıoyeapÄyny “IO1I0]@ J
1070) 049) £
u07998 "AST
"uouLıN) 850X

Ie GI “d Md JX losvoy

°

CPE
PPT
* + goug
° . ony
TE
809s0A18y
I 0 THOT
Spang
* + 19U9

pelt yes
* oyurg

So4SoATe yy

++ jeog

079

3 G9

'dæssuodap
"19

57

Om aceton som stofvexelprodukt.

©: pørg
> NGL)
Fe Pa
. . Say
S0S0ATEST
eo

"> porg
* Jon
PE
a D ST
9 © Ta

29

‘ aoyng

SOYSOATRIT

++ yeog

* aoyyng
nn GSE
° . ST
poly ares
S9JS0ATEST
Boch

'Suruye[q UETUr 980 OIOU9S Sep F UlIN
"lege
“SOLU Tq, u = en
OFIT al Seas OF FOL F891 Ger
ve] ue 19 or 9 ö
‘IS 6£F . ° °
(13 OST . . . .
"SUTUYeTY “ 08 . ° . .
ec6 68'0G Seas St raat 16721 le eae
WG er
13 LOF . . .
Or å
“Suruerq De Fete
OGIT 8807 Seas FE GIT GT os no
| 917 re . .
18 Zee . . . .
| Sn
ee
a | a Ju ge 196 NE
6 LY 69'G LE 3 “ CI . ° .
(14 CG . D Û
på 19 ggg °° :
' CI . n .
Suruyepq s à ere.
008T 169g SBAS 6g LT 888 “ +] die ad
| 207 ag 200
"138 op | +
‘opsuæur ‘99 00T
opSuæuun| -[9j0[ i "pep uy | t07eIPA YMA! -sorıopey
"wog 19)
109998 “IS
‘Hour () 4804
mee eg Gap TR OS UD

> Leyyug
PE
. . SW
JE
SOJSOATR IT
eee ce

45æssuasa]
"19

Sød

58 H. Chr. Geelmuyden.

(Til Forsøg X).
Kjød- og fedtkost med tillæg af stigende mængder kulbydrater.
Det kaloriske behov gjennemsnitlig dækket, ikkedestomindre vægt-
tab. Acetonurien, som i de første dage er stærk, begynder først
at aftage, idet kostens kulbydratgehalt er naaet 90 gr. og svinder
næsten ganske ved 150 gr.

(Til Forsøg XI).

Kjød- og fedtkost med stor fedtgehalt. Dertil kulhydrater i
stigende mængder fra 50 til 160 gr. Det kaloriske behov mere end
dækket. Ikkedestomindre vægttab første dag. Acetonurien svag,
svandt ikke selv ved 160 gr. kulhydrater i kosten.

(Til Forsøg XII).
Kjødkost med tillæg af stigende mængder kulhydrater. Under-
ernæring, vægttab. Acetonurien svag, synes først at svinde idet

kostens kulhydratgehalt er naaet op imod 150 gr.

Vi ser af disse forsøg, at der som bestanddel af
kosten kræves en ganske betydelig mængde kulhydrater
for at undertrykke en af kjød- eller fedtkost fremkaldt
acetonuri. Ved en kost, der ikke indeholder overvættes
meget fedt (forsøg X og XII), synes acetonurien hos en sund
voxen mand at svinde, naar kulhydraternes mængde nærmer
sig 150 gr. Ved en meget fedtholdig kost synes der at
skulle endnu mere til.

Hirschfeld?$) setter den mengde kulhydrater, som
skal til for at fjerne en acetouuri, blot til 50—100 gr. Det
maa imidlertid bemærkes, at denne mængde i hans forsøg
vistnok har bragt acetonurien til at synke meget stærkt
(indtil ca. 40 mgr. pr. døgn), men ikke til fuldstændig at

svinde.

59

Om aceton som stofvexelprodukt.

‘poly “ad 187 = 96

€9¢

Bee 193 qupoly —
end este] : Ung "IS 008 929998 A
| os'F9 7
'Suruye[q Seas
SGP zug alt &6°7 or, 19 = = “ nor ë = coco e
'Suruye]q Svas oy oe
us 98'8 ae 29°] 09°8 197 Ex = | “ OGF = 0969 z
‘SULUYRIG SEA
068 are I a ge} 19 98% C60F | Id OCF pørg | oco I
'opsuıu "u99 00T
Res -1890,J i *N ‘1 *N 9) on *IOIIO[V ee =
U01928 "ad uaa å
‘UOUTI() 'Y50%
uer gg “9 MU VI ATX bosuoT
DAR eS fag i © 98
re “ gg qurpøly —
Le TE 887 I : uns "IS 026 129908 A
| | wo | +
'SUuTUYe e rod
098 ee ey 90°T "| wor vg FIS O9FI “ 009 wen 0860 e
“3S :
u ty, ir wol 20 = “ 008 oo 06 3
826 02°), 720 8'OT zig LET 082 ‘29 008 + + pørg | arog I
| ‘opsuœur ‘99 00L | |
os -180T I *N an *N ‘an ge a "191 0| Å | Te
10908 ‘ISIN à ea E
*UaULIN ‘7507 ;

GOL TWX 60S107

60 H. Chr. Geelmuyden.

(Til Forsøg XIII og XIV).

I forsøg XIII indtræder der acetonuri ved brødkost med en
gehalt af kulhydrater paa ca. 150 gr. Ved fordobling af denne
mængde svinder acetonurien.

I forsøg XIV, hvor kulhydraternes mængde udgjorde omtrent
240 gr., indtræder ingen acetonuri. I begge forsøg fandt en betyde-
lig underernæring sted med paafølgende utvilsomt tab af æggehvide
og fedt.

Disse forsøg viser, at der ogsaa, naar kosten indeholder
lidet æggehvide og fedt, skal en betydelig mængde kul-
hydrater (mellem 150 og 200 gr.) til for at der ikke skal

opstaa acetonuri.

Foruden en bekræftelse af den erfaring, at der aldrig
hos sunde mennesker opstaar acetonuri, naar næringen inde-
holder en vis mængde kulhydrater, har mine forsøg som
væsentlig nyt bidrag til læren om den alimentære acetonuri
bragt det resultat, at denne antager større eller mindre
dimensioner, alt efter næringens gehalt paa fedt.

Det synes altsaa, som om der er flere faktorer, der er
bestemmende for den alimentære acetonuris optræden og
grad, ialfald to, nemlig omsætningen af fedt og af kul-
hydrater i organismen. Ud fra denne antagelse lader i
virkeligheden alle foreliggende data vedrørende den alimen-
tære acetonuri sig ogsaa forklare.

Det synes mig overveiende sandsynligt, at acetonurien
ved absolut hunger skyldes de samme aarsager som den
alimentære acetonuri, manglende omsætning af kulhydrater
og en betydelig omsætning af fedt, i dette tilfælde legems-
fedt. Isaafald er det let at forstaa, at hungeracetonurien

Om aceton som stofvexelprodukt. 61

naar en saa hoi grad — efter Fr. Müller ??) indtil 0,5 gr.
pr. døgn —, medens acetonurien ved en ren æggehvide-
næring er svag og yderligere aftager med mængden af den
omsatte æggehvide. Paa den ene side forbruges nemlig ved
ren æggehvidenæring mindre legemsfedt end i absolut hun-
ger, og paa den anden side gir en æggehvideholdig næring
anledning til dannelse af betydelige mængder kulhydrater i
organismen. Æggehviden i næringen virker derfor paa
samme maade som kulhydraterne, kun i svagere grad (cfr.
Ilirschjeld”2).

Mindre let forstaaeligt er det, at der ved blandet ægge-
hvide- og fedtkost udskilles mere aceton end ved ren ægge-
hvidekost. Er den omsatte mængde æggehvide i begge tilfælde
den samme, saa synes det givet, at fedtomsætningen ogsaa
i begge tilfælde antager samme omfang, kun at der i det
ene tilfælde omsættes legemsfedt, i det andet næringsfedt.
Imidlertid synes et saadant vikarierende forhold mellem
legemets og næringens fedt i mine forsøg ikke at have fun-
det sted. De store mængder fedt i næringen har, ialfald
ikke i de første forsøgsdage, formaaet at hindre et betyde-
ligt vægttab, hvilket for en stor del har været betinget i et
tab af legemsfedt. Den samlede fedtomsætning synes i
virkeligheden at have været betydelig større selv ved over-
ernæring med blandet kjød- og fedtkost end ved ren kjødkost.

Vi ser altsaa, at de foreliggende erfaringer om den
alimentære acetonuri lader sig forklare ud fra forudsætningen
om to antagonistisk virkende aarsagsmomenter, fedt- og kul-
hydratomsætning. |

Et andet spørgsmaal er, hvorvidt enhver acetonuri kan
forklares paa samme maade, f. ex. acetonurien ved forskjel-
lige former af diabetes, ved læsioner af nervesystemet osv.

5 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. No. 2.
Trykt den 26de November 1896.

62 H. Chr. Geelmuyden.

Med andre ord: er ogsaa de forskjellige pathologiske former
af acetonuri alimentære acetonurier. En indgaaende diskus-
sion af dette spørgsmaal synes mig paa basis af det spar-
somme i litteraturen foreliggende materiale ikke mulig. Det
tør iovrigt neppe være tvilsomt, at aarsagen til en stor del
pathologiske acetonurier er at søge i den ved sygdommene
foraarsagede mangelfulde ernæring.

Med hensyn til arten og forløbet af de stofomsætninger,
som sluttelig fører eller ikke fører til en acetonudskillelse,
lader der sig ligessalidt af mine som af tidligere forsøg
drage nogensomhelst slutninger. Af den omstændighed, at
det aabenbart er flere faktorer, som bestemmer acetonuriens
optræden og grad, synes at fremgaa, at disse stofomsæt-
ninger bestaar i komplicerede vexelvirkninger mellem for-
skjellige intermediære stofvexelprodukter. At acetonurien i
visse tilfælde af- og tiltager med fedtomsætningen, kunde
tyde paa, at acetonet er et spaltningsprodukt af fedt. Isaa-
fald maatte kulhydraternes eiendommelig virkning nærmest
tænkes at bestaa i en modificerende indflydelse paa fedt-
omsætniugen, f. ex. deri, at der foregaar syntheser mellem
omsætningsprodukter af fedt og kulhydrater, hvilke ved mangel
paa kulhydrater i næringen helt eller delvis falder bort. Med
en saadan antagelse stemmer det godt overens, at der skal en
betydelig mængde kulhydrater til for at hindre en acetonuri.

Ligesaa sandsynligt er det imidlertid, at acetonet er et
produkt af cellevirksomhed, til hvilket der — i lighed med
giykogenet — ikke lader sig paavise nogen bestemt «moder-
substans». Det er ikke vanskeligt at forstaa, at sammen-
sætningen af de i legemct cirkulerende væsker ved ensidig
kost undergaar foraudringer, som igjen modificerer cellernes
assimilations- og secretionsvirksomhed enten direkte eller
indirekte gjennem paavirkning af nervesystemet.

Om aceton som stofvexelprodukt. 63

Som afslutning paa dette arbeide finder jeg det natur-
ligt i nogle korte sætninger at samle de resultater, som
fremgaar af alle hidtil udførte forsøg over den alimentære
acetonuri hos mennesker:

1. Acetonuri opstaar, naar der i næringen ikke tilføres
tilstrækkelig kulhydrater. Naar saadanne omsættes i
organismen, har de en eiendommelig evne til at hindre,
at der opstaar acetonuri, eller at undertrykke en alle-
rede bestaaende acetonuri.

Næringen maa indeholde betydelige mængder kul-
hydrater (100—200 gr.) for at der ikke skal opstaa
acetonuri.

2. Ved ren æggehvidenæring opstaar der svag acetonuri,
som yderligere aftager med stigende mængde af ægge-
hvide i næringen. Ved absolut hunger, ren fedtnæring
eller blandet æggehvide- og fedtnæring med stor fedt-
gehalt opstaar en betydelig acetonuri. Omsætning af fedt i
legemet synes at være den væsentligste aarsag til en
acetonuri, og i betragtning af, at der ved absolut hun-
ger opstaar høigradig acetonuri, synes omsætningen af
legemsfedt og fedt i næringen i denne henseende at
forholde sig ens.

Hvis de ved mine dyreforsøg vundne resultater tør
overføres paa mennesker, saa kan dertil endnu føies:

3. Organismen har til en vis grad evnen til at omsætte
aceton. Dog er denne evne ikke tilstrækkelig effektiv
til at hindre acetonuri, naar der i de cirkulerende
væsker findes mere end de normale spor af aceton —

antagelig et par milligram i 100 ccm. — En acetonuri
synes derfor ikke at skyldes en svigten af denne evne,

men en forøget dannelse af aceton.

64 H. Chr. Geelmuyden.

Det arbeide, hvis resultater her er meddelte, er udført
efter opfordring af hr. professor dr. med. S. Torup. For
den interesse og understøttelse, som han i alle maader har
ladet det blive til del, beder jeg ham modtage min erkjendt-
ligste tak. Ligeledes udtaler jeg min tak til hr. cand. med.
I. Bang, hvis arbeide som assistent ved det fysiologiske
institut i stor udstrækning er kommen mine undersøgelser
tilgode, og til de herrer medicinske studerende, der har
stillet sig til disposition som forsøgsindivider. Deres navne
er: J. Aas, I. Chr. Bisgaard, L. E. Green, M. Haa-
land, N. Heitmann, A. D. Horn, J. Kahrs, R. Lunde-
vall, A. Magne-Rønnevik, H. Pedersen, P. K. Pedersen,
H. Sandberg, O. Scheel.

Om aceton som stofvexelprodukt. 65

Literatur”).

Petters: Untersuchungen über die Honigharnruhr. Prager
Vierteljahrssrhrift. 1857. XIV. 3. Bd. S. 81.

Kaulich: Ueber Acetonbildung im thierischen Organismus
Prager Vierteljahrsschrift, 1860. XVII. 3. Bd. S. 58.
Gerhardt: Diabetes mellitus und Aceton. Wiener med. Presse.
1868 Bd. VI. No. 28.

Deichmiiller: Ueber diabetische Acetonurie. Liebigs Annalen
der Chemie. Bd. 209. S. 22.

Tollens: Ueber Eisenchlorid roth färbende Harne. Liebig's
Annaleu. Bd. 209. S. 30.

6. v. Jaksch: Ueber Acetonurie und Diaceturie. Berlin. 1885.

13.

Kussmaul: Zur Lehre vom Diabetes mellitus. Deutsches Archiv
f. klin. Medicin. XIV. I. 1874.

Rupstein: Ueber das Auftreten des Acetons bei Diabetes mel-
litus. Centralbl. für die medic. Wissenschaften. 1874. No. 55.
Quincke: Ueber Coma diabeticum. Berliner klin. Wochenschrift.
1880. No. 1.

. v. Buhl: Ueber diabetisches Coma. Zeitschrift für Biologie.

XVI. S. 413. 1880.

. Ebstein: Weiteres über Diabetes mellitus. Deutsches Arch. f.

klin. Med. XXX. S. 1. 1881.

. Jaenicke: Beitråge zur sogenannten Acetonurie bei Diabetes

mellitus. Deutsches Arch. f. klin. Med. XXX. S. 108. 1881.
Litten: Ueber einen eigenartigen Symptomencomplex in Folge
von Selbstinfection bei dyspeptischen Zuständen (Coma dyspep-
ticum). Zeitschr. f. klin. Med. VII. Supplem.-Heft. S. 82. 1884.

*) De løbende nummere i denne fortegnelse refererer sig til de i texten ved ved-

kommende forfatternavne anførte tal.

66

H. Chr. Geelmuyden.

14.

15.

16.

ive

23.

24,

v. Engel: Ueber die Mengenverhåltnisse des Acetons unter
physiologischen und pathologischen Verhåltnissen. Zeitschr. f.
klin. Med. XX. S. 514. 1892.

Lorentz: Untersuchungen über Acetonurie mit besonderer Be-
rücksichtigung ihres Auftretens des Digestionsstöruugen. Zeit-
schrift f. klin. Med. XIX. S. 19. 1891.

G. Hoppe-Seyler: Ueber das Auftreten acetonbildender Substanz
im Urin nach Schwefelsäurevergiftung. Zeitschr. f. klin. Med.
VI. 8.478. 1883.

Tuczeck: Schwere Antipyrinvergiftung bei einem Kinde. Ber-
liner klin. Wochenschr. 1883. No. 17.

. Senator: Ueber Selbstinfection etc. Zeitschr. f. klin. Med. VII.

S. 258. 1884.
Pawinski: Ueber acetonasthma. Berliner klin. Wochenschr.
1888. No. 50.

. Stumpf: Ueber puerperale Eclampsie. Verhandl. d. d. Gesell-

schaft f. Gynäcologie. I. Congr. 1886. S. 169.

. Baginski: Ueber Acetonurie bei Kindern. Arch. f. Kinderheil-

kunde. IX. S. 1. 1888.

. Fr. Müller: Senator's Bericht über die Ergebnisse des an Cetti

ausgeführten Hungerversuches. Berliner klin. Wochenschr.
1887. S. 428.

Fr. Müller: Stoffwechseluntersuchungen bei Krebskranken.
Zeitshr. f. klin. Med. XVI. S. 503. 1889.

Tuczeck: Stoffwechsel bei abstinirenden Geisteskranken. Arch.
f. Psychiatrie. XV. S. 784. 1884.

. Ephraim: Zur physiologischen Acetonurie. Dissertation. Bres-

lau 1885.

. Honigmann: Zur Entstehung des Acetons. Diss. Breslau 1886.
. Friedländer: Beitråge zur Acetonurie. Diss. Breslau 1886.

. Hirschfeld: Beobachtungen über die Acetonurie und ihre Be-

handlung. Zeitschr. f. klin. Med. XXVIII. S. 176. 1895.

. Rosenfeld: Ueber die Entstehung des Acetons. Deutsche med.

Wochenschr. 1885. No. 40.
Rosenfeld: Beitråge zur Pathologie und Therapie des Diabetes
mellitus. Diss. Breslau 1885.

Om aceton som stofvexelprodukt. 67

30.

31.

32.

33.

34.

30.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.
45.

Rosenfeld: Grundgesetze der Acetonurie und ihre Behandlung.
Centralbl. f. innere Medicin. 1895. No. 51.
Minkowski: Untersuchungen über den Diabetes mellitus nach
Exstirpation des Pancreas. Arch. f. experim. Pathologie und
Pharmacologie. XXXI. S. 181.
v. Mering: Ueber Diabetes mellitus. Zeitschr. f. klin. Med.
XVI. S. 442. 1889.
Lustig: Sugli effeti del estirpatione del plesso celiaco. Arch.
per le scienze mediche. XIII. No. 6.
Lustig: Ulteriori recerche sperimentale sulle funzioni del plesso
celiaco. Arch. per le scienze med. XIV. No. I.
Oddi: Sull acetonuria et glicosuria sperimentale. Lo sperimen-
tale. XLV. S. 485.

De italienske arbeider citerede efter Virchow-Hirsch: Jahres-
berichte der gesammten Medicin 1889 til 1892.
Peiper: Experimentelle Studien über die Folgen der Ausrottung
des Plexus coeliacus. Zeitschr. f. klin. Med. XVII. S. 498. 1890.
Kiilz: Beiträge zur Kentniss der f-Oxybuttersäure. Zeitschr.
f. Biologie. XXIII. S. 329.
v. Noorden: Lehrbuch der Pathologie des Stoffwechels. Berlin
1893.
Weintraud: Ueber die Ausscheidung von Aceton, Diacetsäure
und ß-Oxybuttersäure beim Diabetes mellitus. Arch. f. experim.
Path. und Pharm, XXXIV. S. 169.
Kiilz: Ueber eine neue linksdrehende Säure. Zeitschr. f. Bio-
logie. XX. S. 165.
Se 36.
Minkowski: Ueber das Vorkommen von Oxybuttersåure in
Harn bei Diabetes mellitus. Arch. f. experim. Path. und Pharm.
XVIII. S. 35 og 147.
Wolpe: Untersuchungen über die Oxybuttersäure des diabe-
tischen Harns. Arch. f. experim. Path. und Pharm. XXI. S. 138.
Liebig’s Annalen. 149, 205.
Zeitschr. f. analyt. Chemie. XXIX. S. 362.
Devoto: Note di chimia clinica. Rivista med. 1891. Citeret
efter Virchow-Hirsch: Jahresberichte der gesammten Medicin.
MSR, Aso 6 Bk,

68

H. Chr. Geelmuyden: Om aceton som stofvexelprodukt.

46.

47.

48.

49.

50.

51.
52:

Claude Bernard's Vorlesungen über Diabetes. Deutsch heraus-
gegeben von dr. Carl Posner. Berlin 1878. S. 150.

Albertoni: Die Wirkung und Verwandlung einiger Stoffe im
Organismus. Arch. f. experim. Path. und Pharm. XVIII. S. 236.
Araki: Beiträge zur Kentniss der B-Oxybuttersåure und ihres
Verhaltens im Organismus. Zeitschrift fiir physiol. Chemie.
VS

Schmelck: Beretning om chemiske analyser udførte for sund-
hedskommissionen i 1892. V. S. 7.

Rubner: Calorimetrische Untersuchungen. Zeitschr. f. Biologie.
REX SS! 370202382.

Woltering: Diätetisches Handbuch. Bd. I. S. 174.

Voit: Handbuch der Physiologie des Gesammtstoffwechsels.
1881. 8. 63.

ee
or
at

al SS ev:

i x =

om

D

cs

LT LIT LETT LOT à
0
= a

v. B. XIX. No, 2.

Archiv for Math. og Natur

SUR L’APPLICATION DE LA THÉORIE
DES NOMBRES ENTIERS COMPLEXES A LA SOLUTION
EN NOMBRES RATIONNELS EL... mt... Cn, k
DE L'EQUATION:

GC, arc tg x, + c,arctg Xe + .... + c, are tg x, = À,
PAR

CARL STØRMER

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB

"KRISTIANIA

ALB. CAMMERMEYERS FORLAG
LARS SWANSTRØM

JAN 26 1897
ARGHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB. 8. XIX. Nr. 3.

Sur l'application de la theorie des nombres
entiers complexes à la solution en nombres
rationnels X:X2...Xn CC»... Cn,k de l’équation:

Calcio 7, | 0, arcie 7, +. Fen are tg tg ho

Si.

Notions préliminaires. Théorie des nombres entiers
complexes. |
Le présent mémoire contient un résumé de quelques
recherches auxquelles j'ai été conduit en essayant de résoudre
un problème posé par M. Grave å St. Petersbourg dans le
recueil français L’Intermédiaire des Mathématiciens. (Voir
AD 228).

Le problème, déjà posé par EULER, est le suivant:

Peut-on trouver d'autres solutions en nombres entiers
x, ym, n, k de l'équation:

I I
m arc tg - naretg - —=
EG B

ASST}

4 Carl Størmer.

que celles déjà connues:

I ite
te — te-—=- (EULER
arc gt are 8. ( )
I ib 5 OE
2 are te - — arc te - =-
2 da
2 arc te” + arctg ur (EULER, VEGA)
3 me
I I T
A are tg - — are tv —-=- (MACHIN
"5 Fe Å

Dans mes recherches, je me suis servi de la théorie
des nombres entiers complexes de la forme a-Hib, a et b
étant des entiers. Cette théorie jouant ainsi un rôle fonda-
mental dans ce mémoire, il faut d’abord en rappeler les
‘traits fondamentaux. *)

On appelle nombre entier complexe un nombre w de
la forme a+ib, a et b étant des nombres entiers (ou—0)
et à Punité imaginaire (\/— 1).

Le nombre w=a—- est dit nombre conjugué å
© — 4 + 10.

On appelle norme d'un nombre complexe w — 4 ib
l'expression

N(v)=0.0"= (a + ib) (a — id) = 0 + BP.

La norme est toujours un nombre entier positif.
La somme, la différence et le produit de deux nombres

entiers complexes est aussi un nombre entier complexe.

*) Voir: Gauss Werke II: Theoria residuorum biquadraticorum.
Les présentes propositions sont tirées de Lejeune-Dirichlet:
Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgegeben von Dedekind,

Braunschweig 1894, $ 150.

Sur l'application des nombres entiers complexes etc. 5

Si a et ß sont des nombres entiers complexes, on a

(at By’ =o! +8!
(u.a . 8!
N(a.8) = N(). N (8)

On dit que « est divisible par B, si Von a

an

y étant aussi un nombre entier complexe; a est alors
appelé multiple de B et B dwiseur de a.

On a les théorèmes suivants:

Si a et B sont divisibles par Y, a +R, a —8 et a.ß le
seront aussi.

Si a est divisible par B et B divisible par y, à sera
divisible par y, d’où:

Si a est divisible par $, N (a) sera divisible par N (8).

D’un autre coté, a n’est pas toujours divisible par B,
alors que N (a) est divisible par N(B). *)

On appelle wnité complexe un nombre entier complexe
qui est diviseur de 1. On a les quatre unités

I, —I, I, —i

Si o=«a-+ib est un nombre entier complexe, les quatre

nombres

wo =a+ ib
— 0 = — å — 1b
io ia — b
— io — — ia + b
sont appellés des nombres associés. |
Ces nombres se présentent de la même manière dans

toutes les questions de divisibilité En effet, si a est

divisible par w, il sera aussi divisible par — w, iw, — iv.

oi å

6 Carl Størmer.

Par un procédé tout-à-fait analogue à celui des nombres
naturels on peut trouver les diviseurs communs à deux
nombres entiers complexes « et B, et la théorie de divisibilité
des nombres entiers complexes est donc parfaitement analogue
à celle des nombres naturels.

a et ß sont dits premiers entre eux, s’ils n’ont que des
unités pour diviseurs communs.

On a les théorèmes:

chacun des nombres 41,4» ...4, étant premiers à chacun
des nombres B1,Ba- - - Bm, les produits a1.45...0, ebB,-By.-- By
sont premiers entre eux. |

Si a et B sont premiers entre eux et Bw divisible par
a, a divisera w.

Si w est un multiple commun aux deux nombres a et B,
premiers entre eux, w sera divisible par leur produit a. PB.

Un nombre entier complexe p qui n'est pas une unité
est appelé um nombre premier complexe, sil n’a pour
diviseurs que des unités ou ses propres associés.

Tous les nombres premiers complexes appartiennent

aux catégories suivantes:

1) t+ et ses associés — I — 4 I — 1, — I +4.
I y a lieu de remarquer que
(I + 4) = 24, (1 += — 4,

2) Les mombres premiers réels p de la forme 4h +3
et leurs associés, — p, ip et — tp.

3) Les nombres premiers complexes des formes u + w et
u — iv et leurs associés, u2 + v2 étant un nombre premier réel
de la forme Ah Er Tout nombre premier réel de cette
forme étant décomposable d’une seule manière en une somme

x

u? + v2,*) il donne lieu à deux nombres complexes conjugués

*) Voir p. ex. Legendre: Theorie des nombres I, 2, § 3.

Sur l’application des nombres entiers complexes ete. 7

et non associés des formes ci-dessus et å leurs associés
respectifs.
Par exemple, les nombres premiers réels

5 27,1 13-327 2%, 17=24+1, 20=52+ 22...

donnent les deux séries de nombres premiers complexes

244 34 2i Ati 5 + 21

2 —2 32 À =? 5 — 2i

et leurs associés.

On a maintenant les théorèmes fondamentaux:

Si le produit de plusieurs nombres entiers complexes
a, B,...est divisible par un nombre premier complexe p, l’un
des nombres 92, B,... sera divisible par p.

Tout nombre entier complexe peut étre décomposé en
un produit d'un nombre fini des nombres premiers complexes
et, aux diviseurs += 1, +7 près, cette décomposition ne peut

se faire que d'une seule manière.

Tels sont les principes fondamentaux de cette belle
théorie créée par Gauss. Avec les notions nouvelles on
manie ces nombres avec la méme facilité que les nombres
entiers naturels.

Dans ce qui suit je considérerai exclusivement des
nombres complexes de la forme a+ ib, où a et b sont
premiers entre eux.

Ces nombres ne contiennent pas de diviseurs réels; en
effet, un diviseur réel p serait commun å a + ib et a — ib et

8 Carl Størmer.

par conséquent commun å 2a et 2b; et a et b étant premiers
entre eux, il faudrait que le diviseur réel p fût —2; mais
alors, (a + ib) (a — ıb)—=a? -+0" serait divisible par p?== 4
et a et b seraient tous les deux impairs, d’où

a2 + = (2a, + 1? + (2b, + 12 = 4A + 2.

Mais cette expression n’est jamais divisible par 4 et
par conséquent a,b ne contient pas de diviseurs réels,
B Ga is Oe

Tous les diviseurs de a+ib sont done de la forme
u+ iv, u et v étant premiers entre eux.

Quant à la décomposition d’un tel nombre a+ 7b en
ses diviseurs premiers, on peut assigner le procédé suivant:

Décomposons la norme a?+0? en ses diviseurs

premiers réels; on aura donc

a? + pe Pope

iB n
où 6==O OU— 1, 9,P5-::Pn des nombres premiers réels de
la forme 4h-+1 et v,v....v„ des exposants positifs.

On décompose chaque nombre premier p en une somme
de deux carrés, p=u?-+ v2. Alors, a + 2b est divisible par
(w+ iv)» ou par (w—- iv), si a? HD? est divisible par py.
Pour décider quel cas se présente, on a les congruences:

a+ib=o (mod. u+w)
u-iv=o. (mod. y + 5)
d’où

va —ub=0 (mod. w+ iv)

Sur l’application des nombres entiers complexes ete. 9

et va—ub étant réel, il sera divisible par N(u + )=p
et l’on a la règle:

a+1b sera divisible par u + iv ou par u— iv, suivant
que va —ub ou va ub sera divisible par p.*)

Considérons comme exemple la décomposition du nombre

wo = 16947 + 11771 å

Nous avons

N (w) = 169472 + 117712 = 138556441 + 287200809 =
= 425757250 = 2. 53.972. 181

et 2 étant =r +1, 5p=22+1, 97 =92 + 42 et 181 — 1024 92,

sera divisible par 1 +%, 2 +14, 9 + 47 et 1o-+- 9%. Pour déterminer
les signes, on remarque que 1 +71=—1(1 —7) et que

1.16947 — 2.11771, 4.16947+9.11771 et 9.16947 + 10. 11771
sont divisibles respectivement par 5, 97 et 181.

Par conséquent
16947 + 117714 = & (1 — 9) (2 +7)3. (9 — 44)?. (10 — 96)

4 * Lå
ou € est une unite.

*) Dans cet énoncé, va —ub et va+ ub peuvent être remplacés
par ua + vb et ua -- vb.

2 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr, 3.
Trykt den 3die November 1896,

— €c.hR.e

10 Carl Størmer.

S 2.

Liaison étroite entre la théorie des nombres entiers com-
plexes et les solutions entières a,...an, b,...b,,c,...c,,k
de l’équation:

Bla

mein Le, 7 +... + arc te aan
a: a An

2

Il y a une liaison intime entre la théorie des nombres
entiers complexes et les solutions entières a,...dn, b,...b,,
C1. --Cn, k de l'équation

T

b b b
re tg Rane ite ee , are to hr
care Br + ¢,are ea + cn are 87, Er (1)

Cette liaison se déduit de la formule bien connue:

NNN ==

i b, Oe bn T T\ *
i a I Ca ONC UE) er a ee Te å

R étant le module du premier mémbre, «=== 1,47 et k,
étant un nombre entier ou — 0.

En effet, on voit par cette formule, que la condition
nécessaire et suffisante pour que l'équation (1) soit satisfaite

aux multiples de” près, est que le produit
at ha sn
soit réel ou purement imaginaire.
*) On la déduit en multipliant plusieurs équations de la forme

5 : b
: Ip == 1 are tg —
atib=re* = Va--b2.e Pa

Sur l’application des nombres entiers complexes etc. LI

La recherche des solutions entières de l’&quation (1)
dépend alors exclusivement de l’étude de ce produit, et ce
produit étant un nombre entier complexe, cette étude peut
se faire tout naturellement à l’aide de la théorie de ces
nombres.

Je me suis servi de cette méthode dans un travail:

Solution complète en nombres entiers m, n, x, y, k de
l'équation m are tg + narc CODE Christiania Viden-

skabsselskabs Skrifter 1895. Après avoir fini ce travail, j'ai
remarqué que GAuss a déjà observé cette liaison entre les
nombres entiers complexes et les arcs-tangentes.

En effet, dans une petite note (Gauss Werke II p. 523)
à la fin des œuvres complètes de GAuss, M. SCHERING
donne un court résumé de quelques calculs entrepris par
ce grand géomètre et trouvés dans, ses manuscrits. Ces
calculs, sans développements ou démonstrations ultérieurs,
montrent que Gauss s’est servi des décompositions des
nombres entiers complexes pour évaluer des arcs-tangentes
simples par des séries rapidement convergentes. Dans ce
but il a calculé ses tables des diviseurs (Voir L e. p. 477)
des nombres 1 + x?, 4 + x?....81 + 2%, où se trouvent une
foule des décompositions en diviseurs premiers de pareils
nombres.

D'ailleurs, il n’a pas étudié les équations de la forme (1)
dans les cas généraux.

Nous reviendrons plus tard à la note de Gauss.

12 Carl Størmer.

3
Theoremes généraux sur les solutions rationnelles c,c>...cn
%ı-..%n, k de l’équation
T
c, aretg x, + 6,9 arctg x, + ...—+ Ca Are tg Xn = og

Nous allons appliquer les considérations précédentes aux

solutions rationnelles c,...¢n, %1..-an, & de Péquation

T

carctgæ.+csarctg x, +... + c,arctg =k

JES

T’étude de cette équation se réduit évidemment au cas où

C1---Cn et k sont des nombres entiers positifs ou=0 et

%1%9-..%n Aes fractions irréductibles ou des nombres entiers.
Nous allons démontrer le théorème général:

Théorème 1.

Pour que les nombres entiers a;...an, bj..-bn satis-
fassent à l'équation

cg aretg © 4 egaretg te +... + on aretg Pl (1)
1 2 n

Bla

å

près, a, et bj, a, et b, etc. étant respec-

via

aux multiples de

tivement premiers entre eux,*) c,...cn des nombres entiers
positifs et k=00u k = 1, il faut et il suffit que

*) c’est-à-dire: n'ayant pas de diviseurs communs > 1.

YS VE cm : die

te ins ie, Dé

Sur l'application des nombres entiers complexes etc. 13

RE el pl
Gi RE FN 2°: Pin

‘ 6: , [del val pa) å | Ve |
DD med DE =2".[[fpl

ö a. y 2 Å 6 v |
dot PE? 8 pl Be Be ler — 2 =». E

où 5,05...9n sont=O ou=1 de telle manière que
C101 +656, +... + Cndn +

soit pair. Pı --- Pm... Ps sont des nombres premiers
différents entre eux et tous de la forme 4h+1. Enfin
V1Yo...Vn sont des nombres entiers positifs, négatifs ou —0,
assujettis à la relation

6191 CoVo --- + Gn Vn =0),
|v| désigne comme d'ordinaire la valeur absolue de v
— et que ab, — a, by n'étant divisible par le nombre premier
v

D, que si le produit correspondant v) .v,, est positif, l'un des

exposants |v,| et [Va étant >O.

Pour démontrer ce théorème, rappelons nous que la
condition nécessaire et suffisante pour que léquation (1)

soit satisfaite, aux multiples de - pres, est que le produit

P=(1— à) (a, + 60) * (a, + iby)... (an + ibn)”

soit réel ou purement imaginaire.

14 Carl Størmer.

Posons d’abord
å + ib, =(1 —9" (a,+28,)
ag + ib, = (1 iR (m +iB)

An + ibn = (I — i C7 =F iBa)

à) étant — 0 si a? + bj? est impair et=1, si a? + 02 est
pair. a) et bj étant premiers entre eux, a? +b}? n’est
jamais divisible par 4 et par conséquent a,-+ 78, n’est
jamais divisible par 1 — 4, et a)? + 8)? sera impair.

Le diviseur commun avec norme maximum des nombres
a, + 78) et a) — 78, étant aussi diviseur commun à a)? + (2,
2a, et 28), il faut que ce diviseur soit une unité, c’est-à-dire
que les nombres a, + iß} et a) — Bj soient premiers entre eux.

Aucune puissancé (a + 78,)° ne contient de diviseurs

premiers réels, parcequ’ un tel diviseur serait commun å

a, + 78, et a — if), qui sont premiers entre eux.

En substituant ces valeurs, on aura:

P—(r— à Hag 448)" (at 48) (an + dre

6==¢,0,-+ Code + OO + Ca Dn

et, P étant réel ou purement imaginaire et o,--78,...
An ir n'étant pas divisibles pas 1 —1, a faut d'abord
que à + k soit pair.

ee Da

a Hd (

Sur l’application des nombres entiers complexes ete. 15

De plus, il faut que tous les diviseurs premiers com-
plexes contenus dans P soient conjugués deux å deux,
Soient

fom De anal Da u De

tous les nombres premiers réels qui divisent

CE En Bor ar a) nn Cue alr

Comme on le sait,*) chacun de ces nombres premiers
pm est un produit de deux nombres premiers complexes
Um + im et Un— iVm et a la forme 4h + 1. Par conséquent,
les seuls nombres premiers autres que I —1; qui divisent
P sont

io un | Do 0, lm wa, .., Us + 105
U) — 1401, By Ugo ony Um — Wm , 609 Us — Ws

abstraction faite des nombres associés 4 ceux ci.

Mettons en évidence les diviseurs wu, + tum et Um — ivn
et posons

a, +48, = (am ive)! "ht

ag + iy = (Wa ion) M.

Q ° °

On aL iBn ae (Um —- iv.) Val is

où vi est un nombre entier positif, si a, +18) est divisible
par Un + Wm un entier négatif, si % +18), est divisible par

Um — Wm ei=0, si % +1 west divisible ni par um + im

S eVioinl pe 6:

16 Carl Størmer.

ni PAT Um —iWm, ou, en d'autres termes si l'exposant |vj| de
Pm dans l'expression de 4? + Bj? est=0.

a) +728, ne contenant pas un diviseur réel (um? + vn?) =
(Um + tm) (Um —ivm), cette détermination est toujours admis-
sible. ¢,¢,...tn sont des nombres entiers complexes qui
ne sont divisibles ni par um + itvm Di par Un — ivm, et |v|
désigne la valeur absolue de v.

Pour que P soit réel ou purement imaginaire, il faut
évidemment que la somme des exposants c; |v,| des diviseurs
Um + ivm qui le divisent soit égale å la somme des exposants
des diviseurs um — im. En se rappelant que les v dans la
première somme sont tous positifs et ceux de la seconde

tous négatifs, cette condition peut s’écrire

San =O

x

la somme étant étendue å tous les y qui sont 2 0. En

ajoutant ici les termes cy restants, qui sont tous —0, et en

disposant convenablement les termes, on aura
Cy Vi +65 Vo F... + Ca n=O
On obtient de cette maniére:
ay +i, = (1 — i). (+ iB) =
=. (I — gå u Ep JE oe (um iv) la, jp) Pl

où sj est une unité et a...) sont des nombres entiers ou =

O analogues aux y,. En prenant les normes, on en tire

6 N y 0 6 y
m2 +b2=2" p,| I sn fied xl Ds N » [22 x

ce qui est l’expression cherchée.

Sur l’application des nombres entiers complexes etc. 17

D’un autre côté, l’un des exposants |v, | et |v,| étant >o,
an by — dy, bj = (ay, +10) by, — (a, +14) by ne sera divisible
par Un wm que si ag + ib, et a, +1, sont tous les deux
divisibles par ce nombre, c’est à dire que, si le produit v, v, est
positif, et a,b, — a,b, étant réel il ne sera divisible par pn,

qu’ à la même condition, c. q. f. d.

Les conditions indiquées sont donc nécessaires.

Nous allons démontrer qu’elles sont aussi suffisantes.

Soit en effet

a2 +d 2—= 2p ll. pala! på)

avec les mêmes significations que dans l’énoncé du théorème.
D’après ce qui précède, cette équation peut s’écrire:

(ag + ib) — 0) =

== (ii N Qu, + do ) Lee (Oh td (GE ++ ip) Pa
ya

(1 AE . (u; — 2%; en jvm)! so slig — ip) PA

a) +1b) ne contenant pas de diviseurs réels, il ne peut
pas être divisible à la fois par um ium et Um—ivm Si

|v | est 0, la plus grande puissance de un = ivm qui divise

ax + LON sera (Wig er ivy)! . Soit en effet

ar + ib), = (Um == im) at

3 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 3.
Trykt den 11te November 1896,

18 Carl Størmer.

t n'étant pas divisible par um im. En prenant les normes
on aura

m2+b2=p.t.t

x

ce qui est impossible à moins que v= ||, ¢.¢/ n’étant pas
divisible par pm. On aura ainsi, 1 +7 étant =7(1 —2)
a) + ib =

8 2 shen! PR len)
==; (1 —4)". Cu, iv)? 302 (Um == Cm). NR (us Hin)?

où les signes ne sont pas connus, et de même
Ay, + D, =

==, (1 9 (ud JA. EE vp)! A Be

Un des nombres v,v,...v, est différent de o. Soit v,
ce nombre. a) + 2b, est alors divisible par um + iv» ou par
Um— iVm. Le produit v. Un étant positif seulement, si
oh by — by dy, = (ag, + ib) by, — (a, + ib) b est divisible par
Pin = Un + Wm) (Um — vm), Il faut que a) + ib, et a, + iby,
soient tous les deux divisibles par um + 10m OU par Um — Wm)
si vj et v, ont le même signe, et l’un divisible par um + Wm,
Pautre par Un — Wn, Si vi et v, ont des signes opposés.

Nous avons maintenant

649, + CoVo 1 --- + Cn Yn —©O.

En chassant ceux des v qui sont =0 et en désignant
par cv les termes correspondants aux nombres @- ib
divisibles par le même diviseur um Hwm que a) 4 ib, et par
Mi

cy ceux correspondants aux nombres a + ib divisibles par

le diviseur conjugué w,4=ivm cette relation peut s’écrire

Sur l’application des nombres entiers complexes etc. 19

Dev ev —o

d’où, en se rappelant que v et v” sont de signes opposés

yMi= Ver

c’est-à-dire que:

La somme des exposants de tous les diviseurs Um + mn
qui divisent le produit (a, + ib,)%. (a, 1b,)°2... (an + tbn)™
est égale à la somme des exposants de tous les diviseurs

Um — Wm.

Mais alors, le produit peut s’écrire s(1 —i) R, & étant
une unité, R un nombre réel et

6=¢,6,+c¢,6,+...+¢n6,
Or à +% étant pair, le produit
Bhp

=e(I (a + ab (a+ D) (an + Dn)

e (I —14)

sera réel ou purement imaginaire, d’où

T

ey aretg it såret le 4... 4 aretg =k"
1 2 4 n

aux multiples de = DRS, & 0% 7% 0%

20 Carl Størmer.

Le cas le plus intéressant est celui où tous les numéra-
teurs b sont-=1. Dans ce cas, le théorème prend la forme
suivante, que M. PoINCARÉ m’a fait l'honneur de présenter

å l’Académie *) savoir:

Théorème 2.

Pour que les nombres entiers x,%, ...%n satisfassent à
l'équation

(3)

I ST I T
are tø — + ¢, arc te — ER AGUS = = i=
Cy = i Co are ST +¢ DA ka

Tu : :
aux multiples de > Près, C1C +++ Cn étant des nombres entiers

et positifs et k étant =0 ou =1, Å faut et il suffit que:
I AL 2 pl epee pre TT i

ù 0. Ÿ ö |v
tølter 2 »,! al pe ee |], 2 |

a, | + pg 2 5 [il
Où 5,0, ... On sont =O ou =1 de telle sorte que

ed er

soit pair. p,..-Pm---ps sont des nombres premiers réels

*) Voir Comptes Rendus 1896, ce. 4 et 5.

Sur application des nombres entiers complexes ete. DÅ!
PP p

de la forme 4h-+1, v,¥....¥n des nombres entiers ou O
assujettis å la relation

Cie 62 17 Cn Va — ©
et |v| désigne comme d'ordinaire la valeur absolue de v

— et que % — 2%, ne soit dwisible par Pm, que si Va eV

est positif, l'un des exposants |v,| et |v,| étant = 0.)

En remarquant que
T I
arc tg x —=- — arc tg -
2 x

on voit que le théorème 2 subsiste encore si l’on y remplace
y

des arctg - par des arctg x.

Il y a lieu de remarquer Vintime liaison qui existe
entre la théorie des solutions entières de l'équation (3) et la
theorie des diviseurs des nombres de la forme 1 + x?.

*) La derniére partie de la condition différe un peu de celle
énoncée dans ma note insérée aux Comptes Rendus, a
savoir que æ) + %y, doit être divisible par p,, dans le cas seule-
ment où vi .vy, est négatif (l’un des || et [vu] étant >o).
Mais elles sont équivalentes; en effet si VL Yu est = 0,
Zr — Du? = (2) + wy) (xx — x) sera divisible par pm, et ©) et 2,
n’étant pas divisibles par pm, soit 2), + Ay, soit x, — X, sera
divisible par ce nombre.

La condition posée ici me semble plus naturelle.

22 Carl Størmer.

Les diviseurs premiers p se distribuent en différentes
espèces, selon que les nombres a, ... v, ...p sont positifs,
négatifs ou =0. On voit aisément, que le nombre de ces
espèces est

EE ee se en
+1

ou eye

N ep
2

On trouve par ex. pour

n —= 1, 2, 3, 4 5 6, fl 8, 9; 10,
No 6, 25 CO, HOU, 066, 30257 0590, 20501,

Nous allons plus tard mettre en évidence ces espéces

dans les cas les plus simples, ot n= 2 et n=3.

Je vais encore mentionner quelques autres théorèmes

à

que jai communiqués dans une lettre à M. GRAVÉ à
St. Pétersbourg savoir:

Théorème 3.

Pour que l'équation

Wa

I
arc tg + are tg +... Fare tg — = À
1 2 n

soit satisfaite en nombres entiers %,%,...Xn, k étant entier
ou =0, a faut que le produit

(1tx2) GA +22) ... (U 4022)

soit un carré parfait.

Sur l’application des nombres entiers complexes etc. Des

En effet, la condition nécessaire pour que l’équation
indiquée soit satisfaite est que

(c, +i) (ar) ... (tn ti=e.P

où & est une unité et P un nombre entier réel, d’où, en

prenant les normes

(1 +22) (14+ %”) ... (I+ 28) = P?

B Oe jo Ok
Théorème 4.
Pour que l’équation
I I I 7
are Se are ... tare ee

soit satisfaite en nombres entiers 2%1%3+...-Xn, k étant entier
ou =0, il faut que

)&s+%1)...(& 4%). (Ln+H,)=—= A, (1-2)
I, =(%1+%N(%> + To) --- (&+%3) -+-(n+%_)=A,(I+2,7)

We (2, +25) (%_+2p) BE (x,+2,) SE etape = x G 2
Tl, =(#,+42)(%,+4n)..- (%p+2n) -- ee = reg ta)

A, A, ... Ap ... An étant des nombres entiers.

On a en effet
1, =@ tite, Varta... Tite, —ù). (an titx, —i)
d’où
Il at)... +2).. (an +1) + (x, —UR

R étant l’ensemble des termes qui multiplient Bg — à

24 Carl Størmer.

Mais, le produit (x, +) (2. +Ü)...(&n +) étant réel

ou purement imaginaire (Voir $ 2) on a

dt. (an 4) =E (#1 — 1) (å — 1)... (da — à)
ce qui donne

I], == (83 — å) (9 — 9) - ++ (09 — 7)... (nr — 9) + (9 — DR

Il, est done divisible par x,—7 et, quand il est réel,

p p
il est aussi divisible par 2, + à c’est-à-dire, par 1 + x

& Op fe Gh

Ce théorème peut aussi être déduit du théorème géné-
ral 2. En posant plusieurs des x égaux entre eux, on
obtient des théorèmes analogues sur lPéquation (3) et ces

théorèmes peuvent aussi être étendus à l’équation (1).

Nous allons vérifier ces théorèmes sur un exemple numérique,

savoir:
12 aretg * —7aretg !_ + sarcte * +3aretg = —T
17 307 99 SET
On a ici
I 172== 2.5.29
I + 3072 = 2.53.13. 29
I + 99? = 2.132. 29
I+ 572—= 2.58.13
Par conséquent
Ly — 17; Lo SONA) L3= 99, a 7
Ci 12, Ch Gin CT 39 k=1
59 Pa= 13, Ps= 29
et ,=8,=ö3=8,=1, d'où Cd, +05, 4 0353 4 C,0, + k= 28,

nombre pair, comme il le fallait.

Sur l'application des nombres entiers complexes ete. 25

On à encore

la, | = 1 |8,| =o yıl=ı
le.|=3 [Bo] = 7 en
|ag|=0 IBsl =2 lvs|=1
[al =3 |[Bi|=1 Kalb ®

Posons alors
Ai = Ba = & Yn == Eg

où €, €, et e, sont — +1, mais de signes inconnus.

Or,
L, — Ly = 324 non divisible par 5 donne 4, = — 3¢,
Li — Lx = — 40 div. MEME GR — Jen
Ty — X, =— 406 non div. go NB SE ES
Ly — L, = — 364 div. 2 Kl V=,
£, — 2, — 324 non div. 5 Bo ee:
17, = = Le D OU MES AE Ne ES

et l’on aura

Cy Oy + Co Lo 4 Cy Ag À Ca Ua =, (12 —3.7+ 3.3) =0
Ci By Co Bo +03 8s + Cy Be = 22 (7 —2.5+3) =0
Cri Ca fa os fa + Cada — &s (12 —7 — 5)i—o

|

Les conditions du théorème 2 se trouvent ainsi remplies.

De plus, en écrivant l'équation

I I I I I
12 arc tg — — 7 aretg — + 5 arctg — + 3 aretg — — are tg - =
17 307 99 57 FE

on verra que

(1 + ve) (1 1.22) (1 1.22) (1 tae) (r+ 252) = Da 5 i ig 420

e. a. d. un carré parfait, conformément au théorème 3.

4 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 3.
Trykt den 12te November 1896.

26 Carl Størmer.

Enfin
12 7 5 3 2
NESET NE) MO 74" 16 — AT (2252.29), ARE En)

Il, =(= 290)" (— 614) (— 208) (— 250) (— 308) =
—A,(2.5 .13.29) = A, (1 +307”)

N, = mod (ee 208) ; 198 . 156 EN, GE 13 20) AI + 90°)

12 ii 5 3 3 5:
74 .(—250) .156 .114 .56=A,(2.5 .13)= A, (1+ 57 )

I

II,
aye lll, GA (nere)

et l'on voit ainsi que le théorème 4 est aussi satisfait.

§ 4.
Premier et deuxième cas spéciaux. Solution complète
de l’equation:

I I c
mare tg +n aretg = he

Considérons le cas le plus simple de Véquation (1):

(4)

c are tg? =k

| ES)

On peut supposer que c et k sont des nombres entiers
positifs premiers entre eux. D’après le théorème général 1,

il faut donc que

€ 6 li Ivf
a? + b? = 2 . Min

Sur l’application des nombres entiers complexes etc. DU

x

ou

c’est-à-dire, c étant >o
v=0
et Pexpression de a? + b? se réduit å
a2 + 2 = 2°
6 étant =o ou —1. Mais alors les nombres a et b n’ont
b
que les valeurs 41 et o, et- les valeurs = 1, 0, ov; par
a
conséquent :
qe

are et |

qui, substitué dans (4), donne

ck, —=k-
a A

Gry =
et, c et étant premiers entre eux, il faut que:
c=1I br;

L/équation (4) devient alors impossible si c>1 et en

passant aux tangentes on aura

Théorème 5.

TO SE : m
— étant une fraction irréductible (n>1), tg

toujours irrationnel.

28 Carl Størmer.

Considérons le deuxième cas spécial, pour n=2.

On aura une équation de la forme

maretg I + naretgd=k (5)

SE)

On peut évidemment supposer que m et n sont des
entiers positifs et % un entier positif ou=0. De plus,
si k>0, on peut supposer que m, n et k ne sont pas tous

divisibles par le même diviseur.

Quant aux nombres m et n on peut les supposer

premiers entre eux. Soient en effet
m=pm, n=pn,

m, et n, étant premiers entre eux. On aura done
b d T
m, arctg- 4 n, aret JE
el a rd Og >

Mais, d’après le théorème d’addition des arcs-tangentes,
la somme entre les crochets peut s’écrire arc tg, A et B
étant premiers entre eux, d’où
B Te
OE Såå
paretgg By
Mais cette équation étant de la forme (4) il faut que
B
arc tg Ne Jo 7
c’est-à-dire

m ole de n ep an
1 a 1 OMG 1

Ala

et Von retombe ainsi sur une équation de la même forme
que (5), mais où m et n sont premiers entre eux.

Sur l'application des nombres entiers complexes ete. 29

Mettons en évidence les conditions spéciales pour le
cas simple (5). On aura, d’après le théorème 2:
a? +- p22"! pl! vos el

pre gl kr val pal?!

ou
my, + nV, =

v, et v, sont ainsi de signes opposés, v, .v, sera négatif
et il vient
m|vi | =n|v;|

et, m et n étant premiers entre eux, il faut que

vi |=m

lv, |= mt

où t est un nombre entier positif quelconque.

Cela donne
ù Nt NT, Nt ö n
PSR TN NS
6 MT MT MT. ) Tem
CREER "go sro EC EN
en posant

Br
Pi Po... Ps = A.

De plus ad— cb ne sera pas divisible par les nombres
premiers p, Po ...ps et par conséquent premier à A.
On a donc le théorème suivant:

Théorème 6.

Pour que l'équation
b d T
te” I narete —k-
HAE RACE de

30 Carl Størmer.

deal : bird
sort satisfaite en nombres entiers a, b, c et d, „er, Ctant

des fractions irréductibles différentes de & 1 et m, n et k
étant des nombres entiers positifs qui ne sont pas tous
divisibles par le même diviseur >ı (ou k=0), al faut que
m et n soient premiers entre eux.

Alors il faut et il suffit que:

n

5
Se EN
2+d=2".A"

et que ad — be soit premier à k,

6, et 6, étant=0 ou=1 de telle manière, que md, + nds +k
sott pair et À étant un nombre impair, dont tous les diviseurs
premiers ont la forme Ah + 1.

Par exemple, VEGA a trouvé la formule

I 7
are tg - + 2 arc te © —
5 8, 8-9

SE)

Tei on a
I 72=2.35?

+ 79*=2.5"
et

19 3.758, premier NE
comme il le fallait,

Le cas le plus intéressant est celui où les numérateurs
b et d sont —1; on aura donc l’équation déjà mentionnée
dans le paragraphe 1

å

4

I I T

arctg -+mnarctg-=k-
mare tg = —- 5,

En effet, on est naturellement conduit å cette équation,

si l’on veut calculer le nombre x par des développements

d’ ares-tangentes.

Sur application des nombres entiers complexes etc. 31

Elle a donc contracté un certain intérêt historique.
Déjà EULER a posé le problème de la résoudre complètement
en nombres entiers, mais sans y réussir; il a trouvé deux
des solutions indiquées ($ 1). MAcHIN a trouvé la solution
la plus commode pour le calcul de x, savoir celle qui porte
son nom ($ 1) et qui est bien connue.

En 1895, M. GRAVÉ å St. Pétersbourg posa ce problème
comme question dans Z’Intermediaire des Mathématiciens
(T. II, p 228); mais jusqu'ici il me semble qu'on n’y avait
pas répondu complétement.

Dans mon travail: Solution complète ete. déjà cité Pai
réussi à résoudre complètement ce problème. En effet j'ai
trouvé le théorème suivant:

Théorème 7.

Les seules solutions en nombres entiers x, y, m, n de
l'équation
I =

maretg ; +-naretg =k

om |æ.y|>1 et où
1) k est un nombre entier et m, n et k non tous divisibles
par. un même diviseur, ou

2) k=0 et m et n premiers entre eux,
sont celles déjà trouvées:

I I 7
arctg— + arctg - =- (EULER
a er ( )
>aretg I — aret EE
ARE en:
2 arc te — arc tg 2 =" (EULER, VEGA)
7
4 are te — are tg = =" (MACHIN)

(WE)
bo

Carl Stermer.

Pour toutes ces solutions les conditions du théorème 6
sont remplies; en effet, on a

1+2?=5 1--22=5 T2 05 RSR? 13
Dt a2 2.527017. +72 PN 290,
2—3=—1 247= 3—7=—4 5+230=4.01

Du théorème 7, on tire comme corollaire :
L'équation
I I
marc tg - —narctg —
ab y

m et n étant premiers entre eux, |m.n|>1 et [x.y] => 1,
est impossible en nombres entiers m, ny x et y.

Dans le même travail: Solution complète ete. j'ai aussi
démontré le théorème suivant:

Théorème 8.

Pour que Véquation
T 4? = 22" (n> 1)
soit satisfaite en nombres entiers x et 2 autres que Æ 1»
il faut que n soit une puissance de 2.

Ce théorème et un autre qui est du à M. LEBESGUE*):

Théorème 9.

L'équation 1 + 4? =z" est impossible en nombres entiers
autres que “=O, 2=1, sin est un nombre enter > 1,

nous seront très utiles dans ce qui va suivre.

*) Voir: Nouvelles Annales de Mathématiques t. IX, 1ère série, p. 172.

Sur application des nombres entiers complexes ete. 33

S 5:

Quelques théorèmes sur les tangentes.

Posons dans le théorème 6, b—1 et k—2}, h étant
entier ou =o.

On aura done une équation de la forme:

I T
maretg- Fn aretg =" (6)

La condition que doit remplir le nombre «a sera

DS

ne N

Or, si n est pair, m sera impair et pour que mö, + nd,

soit pair, il faudra que 6, =o, d’où
I + a? — A?
et si m et n sont tous les deux impairs on aura

1+a—A? |
ou 1La2—2Ar |

(n étant impair).

Mais, d’après les théorèmes 8 et 9, ces équations sont
toutes impossibles en nombres entiers > 1, sin > I. Dans ce

cas notre équation (6) devient ainsi impossible, c’est-à-dire, que
d Å 3

-ne peut pas être rationnel. En passant aux tangentes on
c

déduit le théorème suivant:

5 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 3.
Trykt den 19de November 1896,

34 Carl Størmer.

Théorème 10.

o étant un are qui west pas un multiple de et dont

la tangente est un nombre entier ow l'inverse dun nombre

/ T
mo + h -

tg Å >)
He Ae,

est toujours irrationnel, si h est un nombre entier ou =O et

entier,

m Bee EN å å
„ une fraction irréductible dont le dénominateur n est >1.

Ce théorème est une extension du théorème 5.

On peut aussi donner au théorème 10 la forme suivante:

© étant un arc non multiple de , et dont la tangente
no + h =

m

est rationnelle, tg nest jamais un nombre entier

ou l'inverse dun nombre entier, si h est un nombre entier
n . . 2 . rå

ou =0 et— une fraction irréductible, dont le numérateur
m

n est > 1.

Il me semble avoir lu quelque part,*) que, si l'équation
- : ; OM EN
algébrique qui détermine x=tg = à l’aide de A—tgo na
n
pas de racines rationnelles (A étant rationnel et » un nombre

premier), elle sera 2rréductible. Je me ne rappelle pas où j'ai

*) Peut-être dans les Nouvelles Annales.

Sur l’application des nombres entiers complexes etc. 35

rencontré cette proposition et je ne suis pas sur qu'elle soit
vrai. Dans le cas affirmatif, les théorèmes 5 et 10 donnent
lieu à une classe d'équations irréductibles. (Voir p. 73).

Il y a lieu ici de mentionner un autre théorème très
intéressant sur les tangentes que M. GRAVE å St. Pétersbourg

m’a communiqué dans une lettre, savoir *)
b :

Si leg , a et b étant premiers entre eux, tg no = ——

sera irreductible, A et B étant donnés par

ag fa + id)" = (a —- ib)" 5 pany = (a= iby

2%

où n est un nombre entier positif >ı et où v=0, si
a?+0* est impair et égal au plus grand nombre entier

Mh: Å
contenu dans = ‚si a? + b? est pair.

Ce théorème peut aisément être démontré par la théorie
des nombres entiers complexes.

Soit d'abord l’un des nombres a, b pair, l'autre impair.
B =)

Alors a? +1? est impair et nous avons tg NE

*) L’énoncé du théorème diffère un peu de celui de M. GRAVÉ.

**) On le déduit, comme on le sait, en identifiant les arguments

n arc yo et arc tg 7 dans l’equation:
a

(a + ib)” == À +4B
qui peut s'écrire
å b å B
1narc tg - i are to —
e a EA,

= 186

36 Carl Størmer.

Nous allons démontrer que Å et B sont premiers entre
eux. Soit en effet p un diviseur premier complexe commun å
A et B. p divisera alors A +1B et A—ıB, c’est-à-dire
(a + ib)" et (a— ib)”; mais alors il divisera a + ib et a — ib,
par conséquent aussi 24, 2b et a*+ 0”. Mais a? + b? étant
impair et å et b premiers entre eux, il faut que p soit une

unité, c’est-à-dire que Å et B sont premiers entre eux.
Soient maintenant a et b impairs.

On voit, comme dans le cas précédent, qu’un diviseur
premier complexe p commun à Å et B divisera 2a, 2b et
a + ib = 2, 1 +i(2b, +1) = 2 (a, Fi,) -ı 7 et,
2 etant—=—i(I +5)? et a et b premiers entre eux, il
fane que på Sov associé å EL PEER Ent
une unité.

Or nous avons

(a + ib)” = [2 (a, +ib,) +1 +1P=(1 +97) .P
br =i". Pe +ir.P—a49r.Q

P et Q n'étant pas divisibles par 1 4-4.

see på x M, D n .
Le plus grand diviseur réel » commun å (a+ib) =A-iB
et (a — ib)” —A—iB sera alors

DSC EEE, Si Ess joes Gi
gl ji

p=, (1 DE 2929, sim est ımpanz

e, ete, étant des unités, c’est-à-dire, p=2", v étant le

plus grand entier contenu dans On aura done

ANE Sp EE dH ou, =; et B, =" seront pre-
p

2

TES CUHK CUS en Gb ih OF

Sur l'application des nombres entiers complexes etc. DU

Ce théorème peut être considérablement étendu aux

expressions de la forme

tg (mıPı + Mao + --- + Man);

où tey,, tgo,,... tgo, sont rationnelles; mais cela nous

entrainerait trop loin.

86.
Troisième cas spécial:

hare tg = paretg +varctg = he

L/équation å deux termes au premier membre

—

L

Z

I I
m are tg - + narctg—- =k
x y

n’admettant que les 4 solutions indiquées, on est naturellement

conduit à traiter le cas suivant, où l’on a 3 termes:

ST
===

w Im

I I
Aarctg- + uaretg- + varctg
22 g)

Nous allons mettre en évidence les diverses espéces de
diviseurs premiers p dans ce cas (Voir p. 22) et développer
la forme modifiée du théorème 2.

On peut évidemment supposer que Å, » et v sont tous
positifs et % positif ou =o et, comme on Pa fait dans le
S 4 on peut supposer que Å, p et v ne sont pas tous

divisibles par un méme diviseur.

38 Carl Størmer.

Posons maintenant
À pin: À = pos Pan
V= Pi V— Poly V= p3llg

où p, est le plus grand diviseur commun å À et p, på celui

a het vetp, celui å v et v. n,n, ...n, sont les quotients

entiers correspondants.

pp et på sont premiers entre eux, parcequ’un diviseur
commun å deux de ces nombres serait commun å A, u et v,

ce qui serait contraire à l’hypothèse.

Cela donne

et pj på et på étant premiers entre eux, il faut que
No =P3b WU ONO
N; =P 1b

a, b et c étant des nombres entiers positifs. Cela donne

A= Py Pod
= P1P3b
V= PoP36

a, b et c seront premiers entre eux, parceque p, p, et på
sont les plus grands diviseurs communs respectivement 4
À et u, A et v et uw et v. Enfin, À, p et v n’etant pas tous
les trois divisibles par un même diviseur, a et på, b et p,

et c et p, sont respectivement premiers entre eux.

Sur l’application des nombres entiers complexes etc. 39

Considérons maintenant les expressions générales de
I +22, 1 +79 et 1 +22, d’après le théorème 2:

Du Ifi
6, Vo
- +y—2 fyl")

eye [fol 3|

Av, ev, - Ww, =0

Cette dernière équation peut être simplifiée en y sub-
stituant les valeurs de i, » et y On aura donc

Py Po 4 V1 À Pa På D Vo + Po På CV, =O
pp, a étant premier å p, etc. il faut, que
VAE 01 Vo Va Pa Ss

et il vient

as; bo, ++ 65: =0

5,1, 5, et 6, étant des nombres entiers avec les mêmes

signes que v,, v, et vz. On aura ainsi:

I + a? = 2° pe EG ne
ya > | POP mel:
ae > PA = 28 [IL]

où, nous le répétons

as, 4 bo, + c53=0 (8)

40 Carl Størmer.

Avant de faire des simplifications ultérieures de ces
expressions, nous allons mettre en évidence les différentes
espèces de diviseurs p.

Selon que les nombres 5, 5, et 5, sont positifs, néga-

tifs ou =o, on aura les 6 espèces suivantes:

1) Diviseurs p, pour lesquels 5; —O. -
On aura donc
US, + bs,— O
d’où
als, | = bla, |
et 5,.5, sera négatif.
Mais, a et b étant premiers entre eux, il faut que

Balz brezr (CARE

t étant un nombre entier positif quelconque.
L’ensemble de ces diviseurs p donne alors un facteur

bz bt DES bt b
[Wei =p1 ‘Po cp SpA

dans l’expression de 1 +2? et un facteur

los 1] ar at, AT, As a
IR DSD ae, —

dans Pexpression de 1 + y?, en posant

N
A est done un nombre impair, dont tous les diviseurs
premiers sont de la forme 4h +1.

5,.5, étant négatif, x —y ne sera pas divisible par les
nombres 9, ... ps et sera donc premier å A. Mais
2 — y2?=(r—y) («+ y) étant divisible par A, il faut donc
que x-+y le soit.

Sur l'application des nombres entiers complexes ete. 41

2) Diviseurs premiers p, pour lesquels s,—0

ce qui donne de la même manière

C .
un facteur B dans Pexpression de 1 + 2?

et
a .
un facteur B dans l’expression de 1 + 2?

où B est un nombre entier analogue å Å, mais premier å

ce nombre, et x +72 sera divisible par B.

3) Diviseurs premiers, pour lesquels s,—0,
AR C .
ce qui donne un facteur C dans Vexpression de ı + y?
b : ;
et un facteur C dans expression de 1 +22, C étant entier,

analogue å A et B, mais premier å ces nombres, et y -+ z
sera divisible par C.

4) Diviseurs premiers, pour lesquels 5, 5, et 53 sont
tous différents de O et où 5, et 5, ont le même signe.

En posant |o,|=a, |c,|—a’, |[s3|=0" on aura les
facteurs [lpa, IIp*, Ip*" dans les expressions respectives
de 1+a?, 1+ 7? et 1 +22, où a, a’ et a” sont des nom-

bres entiers positifs liés par la relation:
aa + ba! = ca”

et 6, .o, eto,.o, étant négatifs et s,.0, positif, x — 2 et y —2
seront premiers å Ip, x —y divisible par Ilp, ou, ce qui
revient au même, x-+z et y+ seront divisibles par Il,
x+y premier à Ip.

6 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 5.
Trykt den 25de November 1896.

42 Carl Størmer.

5) Diviseurs premiers p, pour lesquels 51,9, et 5, sont
tous différents de O et 5, et 5, de même signe.

En appelant ces diviseurs g, on aura les facteurs
28, Må", 199" dans les expressions de 1 +22, 1 L y? et
1 + 22, où B, B’ et B” sont des nombres entiers positifs lies

par la relation:

af + cf” = 06
et a+y et yt seront divisibles par Il, x + 2 premier
å Ig.

6) Enfin, diviseurs premiers pour lesquels 5,9, et o,
sont tous différents de 0, et 5, et 5, de même signe,

ce qui donne les facteurs Ir", IV, Il" dans les expres-
sions de 1+ 3? 1 +y et 1 +22, 1,7 et 7” étant des
nombres entiers positifs liés par la relation

br Fey = ar

et æ+y et x +z seront divisibles par Ilr, y+z premier
å Ir.

On aura ainsi les expressions suivantes

Å 2 Å
I + 2? = | 2.8. Ihr. Il . IL] |

Sur l'application des nombres entiers complexes etc. 43

Ces expressions prennent une forme plus simple, si

Yon y applique les théorèmes 8 et 9.

On peut distinguer 2 classes de solutions suivant que i
sera pair ou impair.

Soit d’abord k pair.

P; Po et på étant premiers entre eux, l’un d’eux, p, p. ex.
sera pair et les autres impairs, ou tous les trois impairs.
Dans le premier cas Å et u seront pairs, v impair et pour
que Ad, + på, vö,+ Å soit pair, il faut que ö3=0.

Mais alors, l’expression correspondante de 1 + 22 devient
impossible si |z|>>0, p, étant pair (Théorème 9). Ce cas

BN

est donc a rejeter.

Il faut done que p,,p, et på soient tous les trois im-
pairs et si |x|,|y| et |z| sont > ı les expressions correspon-
dantes de 1 +12, 1+ y? et 1 +72 deviennent impossibles
(Théoreme 8 et 9), å moins que

NTE IG

Soit maintenant k impair.

Comme dans le cas précedent, l’un des nombres p, p,
. ex, peut être pair et les deux autres impairs, ou tous
2 > 2

les trois impairs. Dans le premier cas, 6, sera =1 et

ah EE ze)
Pi 25 op
et dans le second cas

Oi Ss = eur

44 Carl Størmer.

Tous les cas possibles de Véquation å 3 termes peuvent
alors être résumés dans le théorème suivant

Théorème 11.
Etant donnée l'équation indéterminée

haretg = + paretg + arctg =k"

où A,p,v et k sont des nombres entiers positifs (ou k=0)
non tous divisibles par un même diviseur >1 et où aucun

des arctg = , arctg 5 et arctg = nest multiple de 7 , toutes les

solutions entiéres x, y et 2 de cette équation sont comprises
dans les cas suivants:

ae 10:

Alors Xu et v seront premiers entre eux et il faut et
il suffit, k étant indéterminé, que

its. a8 B IP NT
1 +y?= SN Ll" IT" IL
T= BC. I. ME

où 8,5, et 5, sont =O ou —=I et tels que AM, Wo våg
soit pair; les p, q et r sous les signes du produit sont des
nombres premiers différents entre eux et tous de la forme
4h +1 et A, Bet C sont des nombres entiers, premiers
entre eux et dont tous les diviseurs premiers sont différents
des p, q et r, mais de même forme 4h +1.

Sur l'application des nombres entiers complexes ete. 45

Enfin les au',a”, B,P,8" Y,7,1" sont des nombres
entiers positifs hés par les relations

ha + ua’ — va
MB + vi” = pb
ty! vy’ = Ay
et

xæ+y est divisible par a. 117. TT - et premier all»
Pee RENNEN Le Bells Tl gt Il
DR 0. c. 11». 12 ARE MO IE

2) k et deux des nombres Lu et v impairs.

Alors hp et v seront aussi premiers entre eux et les
conditions nécessaires et suffisantes deviennent les mêmes
que celles du cas précédent, sauf qu'il faut À, + wis vo,
impair.

3) k et l’un des coefficients A,u et v impairs, les deux
autres pairs.

Avec nouvelles significations des i,» et v, on aura donc
une équation de la forme

E I : I T T
2%} arcte - + 2*uaretø- + vare tg - = k-
BEE ENG es Sera
et Xp et v seront premiers entre eux et x sera un nombre

entier positif. Alors il faut et il suffit (k restant d'ailleurs
indéterminé), que

46 Carl Størmer.

I EE Se) rl
I + y? == 3°? > INO IL. IL À IL"

ue
It2=2 E JO EG å IL IL" |

où les A,B,C,p,q et r ont le même sens queauparavant, et
la reste de la condition prend la même forme que dans les
cas précédents, en y substituant les nouveaux coefficients
À, pe et v, sauf que les 6, et 6, sont —O om =1 mais

i

arbitraires.

Ilya lieu de remarquer que & est alors une solution
de Véquation de Pell:

2 — Df == I

et que ses premières valeurs positives sont

ly 7 Ally 280 1202, GUO, AWGN, 2758075 :

Comme on le voit, les expressions de 1 + 2%, 1 +7*
et 1+ 2% sont encore d’une forme très-générale et il est

difficile d’en tirer des conséquences ultérieures sous cette
forme.

Nous allons mentionner une autre forme très simple
mais pas si commode pour les applications pratiques.

En effet, considérons les expressions générales sous

la forme

Sur l’application des nombres entiers complexes etc. 47

N fe) Pa
I 4 g? —= >[IT) :

N G Pa
tye [Tol]

R ei Pa
I+ 24 = > IT | 1

as, + bs, C53—= 0.

Or, dans son livre, Exercices d'Analyse numérique,
Paris 1859, M. LEBESGUE donne la solution complète en
nombres entiers ou =o de cette équation lineaire, solution

qui peut s’écrire *)

= i IE GF
a CU
93= av + bo’

AU % et v’ étant des nombres entiers convenablement
choisis ou —0.
En substituant ces valeurs, on a

|9, | bé, + ct |
Mr el: =P," P,"

où P, et P, sont des fractions, ce que l’on voit aisément en
examinant les cas différents pour des valeurs positives, néga-
tives ou=0 des nombres fm et fm.

De la même manière on aura
et

où Q,,Q,, R, et R, sont d’autres fractions, d’où
1? DL, 1 2 2

*) 11 faut appliquer son théorème LXI (p. 59), en y posant
Z=063 et Z—6, et en remarquant que a, b et € sont premiers

entre eux.

48 Carl Størmer.

Ps

il 4p a 2° (p,! : pP‘)

ö a
it oop = 2 E (a, ae

å P,
03 b
it 2 (rer,

et en se rappelant les valeurs de p,,p, et p,, on aura

Theoreme 12.

La solution complète en nombres entiers \,1,v,2,9 ak
de Véquation

hare tg— + u aretg + varctg =k

Ria

dépend exclusivement de la solution complète en nombres
rationnels a et b des équations des formes

DC — a? br |
Te == 209202 | (9)
T+ @—=2.(am. ba)?” |

c étant l'un des nombres x, y etz, metn des nombres entiers
positifs premiers entre eux, et x entier positif.

Sur application des nombres entiers complexes etc.

49

5

Cas particuliers de l’équation à trois termes.

Nous allons considérer quelques cas particuliers, où

les formules du théorème 11 prennent des formes très

simples.
a) Considérons d'abord le cas le plus simple:

I I I
arc tg - + are tg - = arc tg —
8, Zn 2. 8,
On a ici
À == u ===] ; k —= O
et les équations en a, a‘, a’ etc. deviennent

gta =0"

pp

Ti =4
et en posant:

Il» TL 1 g? =Q,, at =,
Her. [ee frr

on aura

Wer 0 AB D RER,
ENE Ge
A ate BOPP. (QR

7 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 3.
Trykt den 2den December 1896,

I7

(11)

50 Carl Størmer.

Nous ne voulons pas poursuivre plus loin cette analyse.
En effet notre équation (11) peut être résolue d’une autre
manière directe, que j’ai indiquée dans une réponse dans
L’Intermediaire des Mathématiciens T. II, p. 246.

En effet, on a, d’après la formule d'addition des arcs-

tangentes

I I
aly

équation qui peut s’écrire
@—z)y—2)=1 72

En donnant ici à & une valeur entière tout-å-fait
arbitraire et en décomposant 1 + 2? de toutes les manières
possibles en deux facteurs p; et p, on aura ainsi le système
complet des solutions x et y pour cette valeur particulière
de z donnée par

v=2Z=Ep;
Va
Si
Den, soe pia
Pis Po -.. p, étant des nombres premiers différents, on voit

aisément que l’on aura en tout
NE=0 GENE JG)

solution différentes. N est toujours > 2.

Il y a done une infinité des solutions différentes de notre
équation å 3 termes dans ce cas simple (11) et à toute valeur
entière 2 correspondent au moins 2 solutions entières x et y.

Sur Vapplication des nombres entiers complexes etc. an

Prenons pour exemple z=

On a alors

1+ 2? =so=—2.5"

et les (1 +1) (2 + 1) —6 solutions différentes

p= i= l= 6 jæ=7— =="
v= jap l= 5 == 5
L—=7—2—= 5 Y= 7 — 25 = — 18
HE SA = © ==" 32
Beh 2 Y— 7] — TO —— 3
B= 7 ae 8 = 12h N=7p10=. %

On peut même trouver une infinité de cas différents où
l'équation (11) sera satisfaite identiquement.
Considérons en effet l’équation

arc t > are te — I — AAO ty Ke
Sr Sta Saa La ti

En donnant ici «a une valeur entière déterminée de

la forme

Où 6=O ou=I et p,, p, ... p, des nombres entiers de
la forme 4% +4 ı, on peut toujours trouver un nombre entier
æ, tel que 1 + 7,2 soit divisible par a.*) Alors (az+a,)?+1
le sera aussi et a divise alors a(az + x,) + (ax + x? +1
et l’on aura une solution de l’équation pour += ae +29,
et cette expression contenant un entier arbitraire z on aura

une équation identique en 2.

*) Voir: Serret! Cours d’Algebre supérieure 332—340.

52 Carl Stermer.

Par exemple, si a=1,.2, 5, 101 ete, om aura les
identités suivantes

I

I
are tg = ALGEN mn are Eee. -

z+1

are tg REN are poe = MO UIB —
DZ — I BE ae Il

I I I
are te — — — are te — — = arc tg — ————
Heer an Satz
arct : are t : — == arc tg — ROSE
8 107 — 3 8107247 — © 102 | 424

b) Nous avons déjà remarqué une liaison entre Péqua-
tion å 3 termes et l’équation de Pell a? — 2y2—=—+1 (Voir
théorème 11).

Cette équation peut même donner une infinité de
solutions différentes. En effet, j'ai trouvé le théorème
suivant :

Théorème 13.

Godin Wom an eon an Co ajay U SONG las Fans
séries infimies de toutes les solutions entières positives et
successives de l'équation de Pell x? -- 2y*==1, on aura

I
are ber — arc fm — >aretg

on Yon 41 Ton

arc tg — — are ig = >aretg *
Ton —1 Yon +1 Yan

Sur l’application des nombres entiers complexes ete. 53

Pour démontrer ce théorème, il faut se rappeler les
valeurs bien connues*) de x, et y, que Von tire de
Péquation

(1 > Way" ==, pm VG

en identifiant les quantités rationnelles et irrationnelles aux
deux membres.**) On vérifie alors sans difficulté que

—— = = 42 —
Von +1 Kon = 2X5, Hon +1° Ton —1 SF I Van I

te 20 ey
Lon +1 1 Ton — 1 — Ayn AN)

ce qui démontre le théorème.

Les premières solutions étant

= 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, -

|
Y | — I, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, ...

on trouve par exemple:

— are tg | = 2 aretg |
7 3

fia

*4 arctg += 2 arc tg Å
4 7 z
are tg + — arctg | —2arcte Å
7 Ann 17

are tg + aretg | =2aretg I
7 41 12

*) Voir p. ex.: Wertheim, Zahlentheorie $ 125.
**) Il y a lieu de remarquer Lak Don, Ts t di
arq que sont! aussi les
Yi Yeo Ys
réduites successives de \/2 développé en fraction continue:

Wo se as
au ot.

54 Carl Størmer.

Il y a un théorème analogue sur l’équation 7?—Dy?=+1,
où D= 1 >, p étant entier. En effet, on a:

Théorème 14.

(ie ioe RC OO de ad en les deni
séries infinies de toutes les solutions entières positives et
successives de l'équation de Pell 2° — (TA) y7==1,
p étant entier, on aura

I
are tg — + arc tg as = 2 are tg

2n—1 Pin JE il Yon

On le démontre de la méme maniére, en remarquant
que les plus petites solutions entières positives de
x — (1 + på) y?=—= + 1 sont x—p, y=1 et que toutes les
autres se déduisent de Péquation

PN LE 2
(m VI IP ) =%, Un VI TP
en identifiant les quantités rationnelles et irrationnelles aux
deux membres. On déduit alors aisément
Bene ar
Va +1 IF Von Te 2Yon \ I Fn p

EE er ES
X net (OB. DV me

2n+1°
d’où l’on tire le théorème ci-dessus

De l'équation qui définit x, et y,, on tire

m

TX _—

In

ER das Me and Add

NEDE VEE

( ===
Ym BV, i +. på

Sur Vapplication des nombres entiers complexes ete. 55

et si Von définit x, et y, par ces dernières équations pour
toutes les valeurs de p, l'équation

I I I
aretg == Harets — 2 are ig -
Ton — 1 Von +1 Yon

subsiste encore. x, et y, sont alors des fonctions entières å

coefficients entiers de la variable indépendante p, et l’équa-

tion aux arcs-tangentes est une identité entre ces fonctions. *)
Le cas le plus simple, n—1 donne p. ex.

I I
— —— = 2 are tg —
4p? + 3p 8 2p

are tg, + are tg

J’ai étendu ces théorèmes à l’équation de Pell générale

x? —Dy?=-E1, mais ce west pas ici l’endroit d’insister
å ce sujet. **)

c) Considérons le cas spécial où 1 + x? est un nombre
premier ou le double dun nombre premier.
Soit donc

1 -Ha2=2".p

*) On est conduit, par cette circonstance, à étudier des équations
fonctionnelles de la forme:

c, arctgu, +c, arctgu + ... +c,aretgu, =k"
4
où U, ,Uzy ++. u, sont des fonctions d'une variable indépen-
dante x.

##) Voir une note qui va paraître dans le recueil danois «Nyt
Tidsskrift for Mathematik».

56 Carl Størmer.

p étant un nombre premier de la forme 4h+1 et 6=0

Ou — R

En choisissant l’un ou l’autre des nombres A, B, p, q

ou r égal å p, on aura 5 cas différents:

1) Prenons d'abord A —p.
On aura donc

D=p=si=t Et p= "1

et les conditions du théorème 11 prennent la forme:

Ds À wy ù x V
1 = 2° 9 .C ou EEE 0
; 5 9%
ib =2" 0 22 D(C
et
x+y sera divisible par p
UAE. var
2) En posant B=p, on aura:
A= V=G=T=1, v= I
et
6 ö
Be NG ou pe ay? — ae 0
dy Å Ae Ne
1 +2=2".p .C 1+22—a2|[p 04
et

x + z divisible par p
EE ARRET OU SC

Sur l'application des nombres entiers complexes etc. 57

3) Posons p=p, d'où

A ee, U= I

et

1+Hy2=2".0".0 ou 1+yP=2".p".C"

a Ce ee oth %
NEDE KO np OM
où
À ua = va”
et x + z sera divisible par p
Tee NE AD
et x+y non divisible par p
4) Posons q=p, d’où
ABl D, V=
et

Og pe Aw à, Å Aw
i PEPE ou EEG

Å + VO uf"

et æ + y sera divisible par p
ol CN OP OC
et æ—+ 2 non divisible par p

8 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr, 3.
Trykt den 10de December 1896,

58 Carl Størmer.

5) Posons enfin r —p, d’où

= =) == 10; = i

et
iy 2°, pl. © ou I+ yy? 2e. pl. €
> 00 n “ 94
1 + 22 2°, pl C! 1 + x? = 2[p" or
où
Sr
et x+y sera divisible par p
GORE Na ED
DE MR PS TO

mais non divisible par p

Ces conditions remplies, on aura, nous le répétons, une

équation de l’une des deux formes

=k

la

I I
À aretg -|- parie + vare ie

% I % I I
2 haretg +2 ware te oI, varetg =k

ds re)

où 1 +22 est un nombre premier ou le double d'un nombre
premier.

Dans ce cas, on voit aussi que tout se ramène à la
solution complète en nombres entiers £ et n des équations
indéterminées :

Sur l'application des nombres entiers complexes etc. 59

I se Fl 0” . 7
1+8"=2.p".7"

où m et n sont entiers et positifs ou —0, et p est un nombre
premier. En appliquant les théorèmes 8 et 9 ow voit aussi
que le plus grand diviseur commun des exposants m et n
est =1 ou égal à une puissance de 2.

Pareil cas se présente, si p. ex. x a les valeurs

70,9, 102. 121,14,,15, 16) 19,20, 24, 25, 20) 20,4.

Considérons comme exemple le cas où «= 6.
On a
= jg) P= 37.

Dans les tables des diviseurs des nombres 1 + x? de GAUSS*)
on trouve
ı+ 682= 59.37
I 4 1172=2.5.37?

D'un autre côté, on a

6+ 68 — U=" DG By
6 — 117 =— 111 = — 3.37
et GS sony = = 7

Par la dernière équation on voit que y et z ont le même
signe et que l’on aura le cas 3 ou 4. En posant y= 68, 2=117,

Qu

on aura le cas 4, mais la condition A+ vi'=v8" ne sera pas

satisfaite.

Sjevonip ur.

60 Carl Størmer

Il faut donc choisir
y = — 68, 2=— 117

et on aura le cas 3.

En identifiant les expressions de 1 + y? et 1 +22 on obtient

ce qui donne

ou

et l'équation des arcs-tangentes prend la forme

I I I
are tg — — to —_ — etg — k
5 8e are Be 3 ar ee i

et l’on vérifie aisément que k=—1, d’où

I I TE
arc tg = — arc tg — — 3arc be — = —
5 Be C 8 63 3 Bi 7

Des cas simples s’obtiennent aussi, quand

I += x == på. gq’
ou

i+ a” =2.p% å

p et q étant des nombres premiers, ou quand 1 + 2? est
égal au double du carré ou du bicarré d'un nombre premier.

Sur l’application des nombres entiers complexes etc. 61

Pareil cas se présente p. ex. pour

BE ENO
DOW OO 100% 2.0500, 11
et pour
Pe=% lig B20) bor

Il y a encore un cas très simple, savoir celui-ci:

In n

rao =2".p .q

n

i ss y= pe. q

In

2 ö n
Nr HESA GE

où p, q et r sont des nombres premiers. Si les exposants
sont tels que lélimination de p et q puisse être effectuée,
on aura toujours une équation aux arcs-tangentes à 3 termes,
comme nous allons le faire voir avec plus de détail

dans le $ o.

62 Carl Størmer.

SØR)
Classification des solutions de l’équation å 3 termes.

Solutions propres et impropres. Tableau
des solutions.

x

Comme nous l’avons vu, les solutions de l’équation à
3 termes se distribuent en deux classes, selon que % est
pair (0ou=0) ou impair.

Si k=:0, on aurait en certains cas une infinité de
solutions différentes comme nous l’avons vu dans le para-
graphe précédent.

Considérons le cas le plus intéressant, celui où k 20.
Toutes les solutions de ce genre donnent des développements
de x en 3 séries et il serait très-curieux de trouver pour
x, y et z les valeurs les plus grandes possibles donnant les
séries les plus rapidement convergentes et les plus commodes
pour l’évaluation numérique de ce nombre.

Mais, on n’a certainement pas besoin d’nne exactitude
du nombre 7 plus grande que celle déja trouvée; en effet,
comme on le sait, M. ScHANKS a calculé ce nombre avec
l’approximation énorme de 707 décimales.*) L/interet des
nouvelles formules consisterait alors à vérifier ces calculs

et faire voir la supériorité de la nouvelle formule de calcul.

*) Voir: Proceedings of the Royal Society of London, XXII; Zeit-
schrift d’ Hoffmann, 1895, t. XXVI, p. 263, ou L’Intermediaire des
Mathématiciens, t. II, p. 398. M. ScHANKS a employé la formule
de MACHIN,

Sur l'application des nombres entiers complexes etc. 63

Cependant des solutions si grandes auraient un certain
intérêt théorique au point de vue de la théorie des nombres.

Introduisons ici la notion d’une solution propre et
impropre :

Une solution de l’équation

A
haretg + paretg + varetg, — kz k Zo
22

sera appelée solution impropre ou propre, selon que lun
des nombres x, y et z aura les valeurs

ale ee og ean 230

ou non.
En effet, nous avons vu que ces valeurs sont les seules
que satisfassent å l’&quation å deux termes

T

m arc tg tarte he

et l’un des nombres x, y et z satisfera alors simultanément
à ces deux équations, si l’on a une solution impropre, mais

ne le fera jamais pour une solution propre.

Considérons d'abord les solutions impropres.
En remarquant que les solutions de l’équation à deux

termes sont

I I T
are to — Ol = ==
RS en

I I T

2 are te - — arcte - —-
re = / 4

2 aretg * + aretg ee
a3 Mer

I I T

A are te — — are th ——-— =
= 239 4

64 Carl Størmer.

on voit que l’on peut toujours éliminer les are tg ; are tg >

I Å
et arctg å l'aide de ces équations, de sorte que toutes

les solutions impropres peuvent être trouvées en résolvant

complètement les deux équations

haretg | + paretg ++ varetg =k
y

Bla Kia

1 I I
je + male sf preg ae

où % est entier ou —0.

En remarquant que

PL GN NE ir

on voit que les conditions nécessaires et suffisantes pour
que ces équations soient remplies se déduisent des condi-
tions spéciales dans le $ 7, en 4 substituant pour le nombre
premier p les valeurs 5 et 13.

Le recherche de toutes les solutions impropres dépend
alors exclusivement de l'étude des équations indéterminées

des formes:

In n m n
1+2= s.n et 1+2= 13.1
2 m n a 2 m n
LD 2 Bg EN à
où m et n sont des nombres entiers positifs ou nuls, dont

le plus grand diviseur commun est =1 ou égal à une puis-

sance de 2.

Sur application des nombres entiers complexes etc. 65

En voici quelques exemples numériques:

1) Dans les tables de GAUSS on trouve
A 2
1 + 10687 = Ea
et 106827 étant divisible par 5.73, 1068 + 2 par 5, on aura le
cas 3 et par conséquent

ven Sits der, CC VS Bat Ch Natt iar
et lon vérifie aisément que k = 3, d’où

I T
1068 4

5 arc tg ' + are tg DE + arc tg
2 27

2) Nous avons
2
I 11 — 2 OI

ae
et 682 — 2 étant divisible par 5, mais non par 61 et 682 — I 1

divisible par 61, on se trouve dans le cas 2 et

gæ=11, == CE Ve per V="

on aura donc

3aretg !L2arcte * — are tg Å =
682

2 II 2
3) On a
nah sy og (216)
1 + 1393" —2.(5.107)
et 577 + 1393 étant divisible par 5.197 et 577—5 par 13 on aura
le cas 2 et par suite

de
== GS OE LS NS
d’où
1393 4
Cet exemple est remarquable, parcequ’ il est presque le seul

— arc t

4 are tg — 2 arc tg
5
qui ne rentre pas dans les cas traités au paragraphe 9.

9 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 3.
Trykt den 19de December 1896,

66 Carl Størmer.

Je donnerai une table de toutes les solutions impropres
que j'ai trouvées pour l’équation å 3 termes:

x y 2 Å Di y k
2 4 12; I I I I
2 5 8 I I I I
2 6 —= 187] I 2 I I
2 = © 43 2 I I I
2 = à — 67 2 I I I
2 — 5 18 2 I I I
2 — 6) — 32 2 I I I
2 — 12 == 7 2 I I I
2 — 14 1393 2 2 I I
2 — 17 = AN 2 2 I I
2 — 12 41 2 2 I I
2 13 38 à 2 I 2
z 5 | 3 : u 2
2 8 18 3 I I 2
2 6 68 3 I I 2
2 I I — 682 3 | 2 I 2
2 8 239 4 4 I 3
2 43 = AG 5 2 I 3
2 18 — 57 5 I I 3
2 23 — 1832 5 I I 3
2 26 — 2057 5 I I 3
2 27 1068 5 I I 3
2 28 443 5 I I 3
2 43 68 5 I I 3

Sur l'application des nombres entiers complexes ete. 67

a y 2 À u y k
2 68 117 5 2 I 3
| 2 18 — 239 8 4 I 5

2 SM 250 12 4 I | 2

3 4 — 38 I 2 I I

3 6 = 48 2 I I I

3 8 57 2 I I I

3 5) —— 18 2 I I I

3 9 32 2 I I I

3 12 17 2 I I I

3 un HBOS 2 2 I :

3 17 41 2 2 I I

3 12 — 41 2 2 I I

3 13 — 38 3 2 : Å

3 == 57 3 1 > ;

3 — 8 == 118 3 I I I

3 — 6 — 68 2 1 I I

3 —& — 239 4 4 I a

3 = 43 117 5 2 I 2

3 = 57 5 I I 2

3 — 28 182 5 I I 2

3 — 26 2057 5 I I: 2

3 = 7 — 1068 5 I I 2

3 — 28 — 443 5 I I 2

3 = 43 — 68 5 I I 2

3 — 68 — 117 5 2 I 2

68

Carl Størmer.

æ y 2 À
3 — II 682 3
3 — 18 239 8
3 57 = 239 12
5 8 57 2
5 8 — 18 3
5 — 240 | — 57361 4
5 — 238 56883 4
5 — 241 |— 28800 4
5 — 237 28322 4
5 en, | 10 4
5 — 226 4155 4
5 — 20 02436 4
5 — 213 1958 4
5 — 408 Sr Sø 4
5 MO 99 4
5 a 10 Ax 4
5 mc 99 4
5 — 408 1393 4
5 TS 55 1393 4
5 — 478 54608393 4
5 i FG 5
Sra 4 — 2 I
7 4 13 I
7 5 8 I

Sur l’application des nombres entiers. complexes ete.

69

6 7 2 À D. v k

7 6 — 117 i 4 2

7 8 239 2 4 I

7 13 38 3 4 2

ui 5 = 57 3 2 2

7 8 18 3 2 2

a 6 68 à 2 2

7 II — 682 3 4 2

7 18 — 239 4 4 I

å 43 mL 5 4 2

7 18 5 5 2 2

7 23 — 182 5 2 2

a 26 — 2057 5 2 2

7 27 1068 5 2 2

7 28 443 5 2 2

7 43 68 5 2 2

7 68 117 5 4 2

7 SOG 239 | 6 4 I
— 239 4 — 21 I 4 4 I
— 239 6 | 31 I 4 4 I
== 239 IO — 515 I 8 4 I

239 8 57 I 6 2 I

239 8 — 18 3 8 4 I
— 239 18 57 5 12 8 1 (Gauss)

70 | Carl Størmer.

En tout 96 solutions impropres, mais certainement en
existe il d’autres où les nombres sont plus grands. Si l’on
avait p. ex. des tables de diviseurs des nombres 1 + 22 plus
complètes que celles de Gauss, qui ne donnent que les
diviseurs premiers jusqu’à 197, je suis sur que l’on trouve-
rait des solutions nouvelles.

Comme solutions propres je wai trouvé que les 6
suivantes :

3 arc te, + arctg = — arctg = ="
I I = VE T
ers a arc tg 57 + aretg oe
5 are tg — aretg |. —2aretg Ga
5 are tg > — 3 aretg m + 2arctg 25 =
3
I I I 5
SE ea are tg 68 =i
5 are tg, + 2arctg 3 + 3 arc tg =,

Mais il est très probable qu’il en existe d’autres plus
grandes.

En résumé, jai trouvé ainsi 102 solutions différentes
de léquation à 3 termes, quand % est different de o.

Il se présente ici un problème très intéressant, mais
fort difficile, ce me semble:

Cette équation à 3 termes a-t-elle ou non une infinité

des solutions différentes, quand k n'est pas nul?*)

*) Pour ma part, je crois qu’elle en a un nombre fini.

Sur l'application des nombres entiers complexes etc. 71

Dans le premier cas, on aurait des développements de 7
en 3 series aussi convergentes que l’on voudrait, ce qui
serait très remarquable.

Dans l’autre cas, on aurait, comme à l’équation à deux
termes, un nombre fini de solutions différentes et il serait
donc très intéressant de les trouver toutes.

Pour obtenir des formules élégantes et extrémement
commodes pour l’évaluation numérique de 7, il serait très
curieux de trouver des solutions, où l’un des nombres

x, y et z serait p. ex. égal å
HO, 160230 OG)
et les deux autres plus grands.

En remarquant, que:

SD BE JON

I + 1002 = 73.137

|= 2007 —— ar TES Lor
I + 500" = 53". 89

on trouve aisément les formes simplifiées prises dans ces
cas par les conditions générales du théoréme 11.

Il y a lieu de remarquer une condition qui doit être
satisfaite, quand +, y et 2 deviennent grands. Si k =1

on aura

i == 9
haretg , Hparetg + rene = à

72 Carl Størmer.

p I :
et arctg |- | étant < |- |etc., x] désignant la valeur absolue
x |
I
de —, on aura
GP
À | | ue | v| 7
- H+ |-|>- 12
©) a) A Cr oe

Quand x, y et & croissent, il faut done que les coeffi-
cients Å, u et v fassent de même et les exposants correspon-
dants dans les expressions de 1 + x°, 1 + y? et 1+ 2
croîtront généralement aussi.

Si le plus grand des coefficients A, u, v est =n et le

plus petit des nombres |x|,|y| et |a| est =a, l’équation (12)

donne :
ae a T
a 4
d’où
n > O,41.4

tl en

Si, p. ex., les nombres |x|, |y| et |z| sont tous > 10,
20, 50, 100, le plus grand des coefficients A, u et v sera
dans ces cas respectifs plus grand que 4, 8, 20, 41, et vice versa,
si p. ex. tous les coefficients À, w. v sont < 10, 20, 50, 100,
il faut que lun des nombres x, y et z ait une valeur
absolue < 24, 48, 120, 240 etc.

Sur l’application des nombres entiers complexes etc. 73

Remarque.*)

Après l’impression du paragraphe 5 il m’est arrivé **) une
réponse à la question que j'avais posée dans l’Intermédiaire
des Mathématiciens (T. III, p. 101) au sujet de I irréductibilité

de l’équation mentionnée p. 34.

En effet, M. PALMSTRÖM å Bergen (Norvège) a démontré
très élégamment que la proposition mentionnée en cet endroit
est exacte,

Les théorèmes 5 et 10 donnent alors immédiatement:

Théorème 15.

a 7 x T x
© étant égal OF ou å un are dont la tangente ou la
cotangente est un nombre entier, Véquation algébrique qui
; : ©, N
determine tg nå l’aide de tg », sera irréductible, si n est

un nombre premier.

*) Cette remarque eût dû être jointe au $ 5; mais l'impression de
cette partie de mon travail étant achevée, je suis forcé de la
placer ici.

25) Voir 2, TT, p. 263.

10 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 3.
Trykt den 19de December 1896.

74 Carl Stermer.

3.9.

Sur la note de Gauss. Des arcs primitifs. Theoremes
generaux. Methode d'élimination. Exemples
numériques.

Comme nous lavons dit, la petite note de 3 pages
contenue dans les œuvres complètes de GAUSS contient un
abrégé de quelques développements trouvés dans ses manu-
serits posthumes.

Ces développements prennent leur point de départ dans
la décomposition d’un nombre entier complexe en ses divi-
seurs premiers. Par cette décomposition il a trouvé les
équations aux arcs-tangentes correspondantes et d’un système
de pareilles équations il en déduit d’autres par élimina-
tion. Le but principal de ses calculs est d’exprimer des
ares dont les tangentes sont rationnelles, par un nombre
très limité d’ares fondamentaux et calculer ensuite ces ares
fondamentaux à l’aide de nouvelles équations très-commodes.
Pour trouver autant de décompositions que possible, GAUSS
a dans ce but calculé ses tables de diviseurs de nombres
tta?, 4+22,... 81 +22. (Voir Gauss, Werke II, p. 478.)

La note ne contient que les résultats de ces développe-
ments; nous allons en donner le précis, en les démontrant
et en les complétant.

Comme nous l’avons dit dans le § 1, chaque nombre
entier complexe peut être décomposé en un produit dun
nombre fini de nombres premiers complexes et cette décom-

position est unique aux diviseurs = I, +7 près.

Sur Vapplication des nombres entiers complexes ete. 75

De plus, si le nombre complexe avait la forme A + 7B,
A et B étant premiers entre eux, tous ses diviseurs premiers
auraient la forme uw iv, uw? +? étant =2 ou égal à un
nombre premier réel de la forme 4h + 1.

Posons alors

A+ iB—e(t +) Qui) (gåva)? ... (u, Hd)

Hime est une unite, 8 — © OU — 1, CC: 6 des nombres
entiers positifs et les nombres wu et v tous positifs, u>v
et u?+7 un nombre premier de la forme 4h + 1.

Alors, (A + iB)(A —1B) étant réel, on aura ($ 2):

B na TT ® Un
arc te — =k Beer moto La. avis
En Tg ROO US

où le nombre Æ est indéterminé.
2 B RER:
Comme on le sait, aretg 7 a une infinité de valeurs
différant les unes des autres de multiples de 7. En don-
B : å i
nant alors å are tea une valeur déterminée, on fixe aussi

k et la décomposition du nombre A+B étant unique aux

diviseurs = 1, =; près, on arrive à l'unique décomposition :

B T Vv Un
pi ==), = 2 Ro JE, eee soo HE Yip DIRS tke =
FLO ETN. vet 1 ST 2 Boe FF =

Vo
we
où les coefficients v,,v, ... v, sont des nombres entiers

positifs ou négatifs ou =o, parfaitement déterminés pour

chaque arc tg :

76 Carl Størmer.

: . 2: v :
Nous introduisons ici pour arctg- une notation analogue
U

å celle appliquée aux nombres premiers:

4

vi dont la
tangente est = n , u et v étant des nombres entiers positifs,

Nous appelons arc primitif*) un are =

u => vet wtv=2 ou égal à un nombre premier de la
forme 4h + 1.

L’are primitif le plus simple est alors arc tg = © à:

4
tous les autres se déduisent des décompositions connues en

deux carrés des nombres premiers de la forme Ah+1. Ces
décompositions étant uniques comme on le sait, il n’y a qu'un
are premier pour chaque nombre premier.

Par exemple, les décompositions |

522 +1, 13=3"+ 22, 17 = 4? + 17, 29-5? +2, ...

donnent les arcs primitifs correspondants:

2 2
are te, arc t 25 arc t ey arete=y leter
De 53 8 JE

Par cette nouvelle notation, la décomposition indiquée

plus haut donne lieu au théorème fondamental :

*) Cette notation n’est pas employée par GAUSS.

Sur l’application des nombres entiers complexes etc. a0

Théoréme 16.*)

Tout arc dont la tangente est rationnelle peut s'exprimer
linéairement å coefficients entiers par un nombre fini dares
primitifs, et cette décomposition ne peut se faire que d’une
seule manière.

A l’aide de ce théorème on peut donner au théorème 1
une forme très simple, où les décompositions des nombres

a? +- b? en diviseurs premiers sont remplacées par celles des

b Dale
arc tg = en arcs primitifs. Nous avons en effet:

Théorème 17.**)

Pour que les nombres entiers a; ... Gn, b, ... bn satis-
fassent à l’équation

b De N
OG aretg "0 Meg 1 ie cp aretg ” = O
1 2 n

61509 ++» Cn étant des nombres entiers, il faut et il suffit que

p
Og I. a) N 1)
A Piste ah Bate PU =>" Pr

pp ER
be e ch au"
TA Oar NA Sr bes 1, P å vo,
E En

Deal tn) (n) P
are tg =% ty, Osi ae + vie =,

a k=0

*) et **) Ces théorèmes ne se trouvent pas dans GAUSS.

78 Carl Størmer.

Où 9,9, --- 9, sont des arcs primitifs différents entre eux
1 2 c e EN
ek JE des nombres entiers ou nuls assujettis å la

relation”)
(69) (2) I Ca) —
Cy) +6, k > Cr ==

Il y a un cas intéressant de ce théorème, savoir celui,

où le nombre des arcs primitifs est égal au nombre des

b
are tz- ou moindre que ce nombre. Alors on peut en
a

général exprimer ces premiers comme fonctions linéaires à
coefficients rationnels des derniers et ce sont lå les cas que
Gauss a traités dans sa note. En effet, il a considéré des

équations de la forme

a (1) (D) LE -
Yo Oar Å Ar pe Zr LOC.
(2) @, @ , a: I
Yo Go in Y Den Ka en es

(n) (n) 1 G2) nn i
CSP Vy Ch 900 pri OR

n

Si le déterminant des coefficients y au premier mémbre

> . me oe.
est = O, on en tire pour les arcs primitifs 9,9, --- 9, ı
des expressions en fonctions linéaires å coefficients rationnels
I I I
des arctg—, are tg —, ... aretg — et si l’on peut trouver
ch a

2 “n

des nombres x, 7, ... x, très grands, l’évaluation numérique

des arcs primitifs & sera très facile.

*) Il faut remarquer que les (1), (2), ... (n) sont ici des indices,

et non des exposants,

Sur application des nombres entiers complexes etc. 79

Comme exemple, Gauss déduit les expressions des arcs
primitifs correspondants aux nombres premiers 2, 5, 13, 17,
2

29, 37, 41, 53, 61 et dont les tangentes sont 1, > 5 NE

p

|

I 2 TN
Je -, et 5 par des aretg-, où x a les valeurs
38

6’ 5% 7 6

5257, 9466, 12943, 34208, 44179, 85353, 114669,
330182 et 485298.

En suivant cette methode, on obtient les valeurs
numériques des arcs primitifs les plus simples et alors, le
caleul des arcs qui peuvent s’exprimer par ces arcs primitifs

devient tres simple.

| Voilà le but principal des caleuls de Gauss. C’est
pourquoi il a calculé ses tables de diviseurs. Ces tables
contenant les diviseurs premiers jusqu’à 197, elles suffisent
pour calculer tous les arcs primitifs corréspondant aux

nombres premiers < 197.

La méthode de Gauss suppose que l’on a déterminé
complètement les décompositions en nombres premiers com-
plexes des nombres x +14 correspondants. Ces calculs sont
assez pénibles si x est grand, parceque il faut examiner une

foule de divisibilités des expressions vx Eu (§ 1).
Sil s'agit seulement de trouver des équations de la forme
T

I I I
e; ue arc tg u... TG, ate tg = ae

n

la méthode se peut simplifier considérablement de la maniere
suivante :

80 Carl Størmer.

Supposons qu’on a trouvé:

ale of ah "| Iv (1)

Tae — dp. ©. oD ae
RN. pp Ke Ko se

vg SØ 2 ey > PG
à 3 yo I (a) I | va

D == 9 À. 1 Å p 26 n—1

1-2, =2".p, Be Die

Åp +... PD sont des nombres premiers différents

entre eux et les |v| des exposants entiers ou =o de telle
manière, que deux au moins des exposants dun même

nombre premier P, soient => O.

Prenons dans la série

ORT a ee
p pP p pP

un nombre quelconque qui soit different de O et choisissons le
positif. On peut p. ex. prendre le premier qui nest pas =O;

0),

supposons que ce soit Då

Appelons x, + iv, le diviseur premier complexe du nombre
correspondant 2,4% % Étant positif. u, et vp sont done

6 oe 6 2 2
des nombres entiers positifs ou négatifs et u, +v, est—p,.

AE U. 522
Cela posé, nous choisissons un autre vå ) différent de o,
positif, Si æ,+1 est divisible par up +, et négatif si
x)—i est divisible par ce nombre, ou, ce qui revient au
p- p 2 2 q
méme:

(p)

prenons », positif ou négatif, selon que x) — ou

xy + Yu sera par Dh po I étant >O.

Sur l'application des nombres entiers complexes etc. Si

I est bon de remarquer que si x) — z, n'est pas

divisible par Pop ive ) et I] étant >0, æ + xy, le sera, ce
qui est une conséquence immédiate de ce que za est
divisible par Do.

Comme on le voit aisément, on aura alors:

nn th, == vOaretg it. are tg Pt. ty are tela
4 U4 P Un Uy 4
wei, |e faretg 7 ye arctg ey) | aretg >
2 Vi = n—1
"4 un Un Ed
ee — vlanetg1 IL, +yiarete” dh. A arc wes
4 Ww Un a
où k,, k, ... k sont des nombres entiers ou —oO et
1 2 n
Zu Un p

xl .
... —— des fractions analogues aux
u] U Un

å Fare A v
Mais ceci donne par élimination des arctg-:
u

I 3 Ome) (1)
robe an 1 2 n—1
: Å Gå EG ,®
are ner "7 VI Gav, Pr
= O
à : ® (A) (A) (A)
ee Vi à NEN
I TE ) © (a)
are tg = = I 7 RR re a
n

11 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 3.
Trykt den 2ide December 1896,

82: Carl Størmer.

et l’on aura une éqnation de la forme:

I I I T
8, ou ane ee ee FE, el el

n

%k étant entier ou = © et

(1) (1) (1)
Vi Vo en
(V=) (A—1) (A—1)
( nets ar V5 Ve
ee! ER
E Å \ À
f+) ‚042 +1)
2 n —1
(2) 2) (2)
y Vo LAR ae

Pour le calcul pratique, il est bon de former le tableau

des nombres v comme il suit

| Peers?
RTE) (1) (D

PEN Vi Vo Va
(2) (2) (2)

Lo | Vy Va Vs
(3) (5) (3)

Ze i V2 Va
(4) (4) (4)

LEM a Vo v3

Ici, nous le répétons, v est = 0, si l’exposant |v| est =0,
et, dans une colonne verticale, le premier OG des v, qui n'est
pas — 0 est positif et un autre ne dans la même colonne
positif ou négatif selon que ©, —2, où & + x, sera divisible
par Pr-

Sur l’application des nombres entiers complexes etc. 83

Nous allons appliquer cette méthode à quelques exemples

numériques *):

1) Nous avons
pot te pg
ES
1230 — 2. 13°

et comme 1857 est divisible par 5, 57 —18, 239 — 18 divisibles

par 13, on aura le tableau:

5 13
18 2 I
57 |= 3 I
239 O 4
d’où :
—3 I Be OG Å D à
C= =—12, &=— =—5, = —
Oo 4 | Oo 4 es
et l'on voit aisément que le coefficient k de Pie 1, d’où
- 2
12 are tg +Sarctg | — 5 aretg ="
8 239 4

formule qui a aussi été trouvée par GAUSS.

2) Dans les tables de diviseurs de GAUSS on trouve:

1+ 22° = Ho 97
PTE 202

2
175 = 2 29.97

1+ 41937 = 2.5°.29.97

*) Pai aussi vérifié tous ces exemples par un caleul direct.

84

Carl Størmer.

et comme 4193 ++ 22 est divisible par 5,75 + 41 et 4193 — 75 divisibles
par 29, 75+ 22 et 4193 + 75 par 97, on aura le tableau suivant:

5 29 97
22 I fo) I
|

41 fo) 2 [6)

FE o |—1 — I

AGS == IFE I

et l’on trouve

| fo) 2 (6) | I fo)
— o —I —I =1"0 == oO —I
—5 —1: I — — Ti
I © å I o
03 = fo) 2 © = 12 = = 2
—5 —I I oe —ı

On voit aisément que le coefficient de— est — 1 et l’on aura:

10 arc tg * + 7 are tg +12 are tg I + 2 are tg
22 41 275

3) On a

I
4193

JE!

Sur l’application des nombres entiers complexes ete. 85

et comme 682 — 57 et 12943 + 57 sont divisibles par 5, 239 — 57 et
12943 + 57 par 13 et 12943 — 682 par 61, on aura le tableau suivant:

5 1) 61

57 3 I o
239 o 4 o
682 3 fr o 2
1204 ES I

et l’on trouve la formule:

I I | I I T.
44 are tg — + 7 arc tg — — 12 arc tg — +24 arc tg — = —
En 239 682 12943 4
4) Le systéme
De
røe Fe 61 .97
1 + 2397 — 2. 134
1 + 6827 = a. 61°
14-50 2265 MG Co
1 + 12943" — 2.57. 13°. 61-
donne de la même manière:
88 aretg * + srarcte I + 32arcte I +
172 * DRO) 682
+ 44 are tg —— + 68 arc tg I =?
5357 on

86 Carl Størmer.

Dans le cas très-simple

bø =2m 4
Ir
IA 2 50 "å"

où p et g sont des nombres premiers, cette méthode donne,
comme on le voit, presque immédiatement l’équation corre-

spondante à 3 termes:

I 7
hare te— pate å ay vare tg 4.

k sera impair, et par conséquent, towjours = O,
si 0, AÅ+0,p0 +03 v est impair (voir le théorème 10), ou,

ce qui revient au même, si

ms Mo Ms Ns Im, nı

+, +8,

est impair.

J’ai appliqué cette méthode a toutes les équations de
ce genre que l’on trouve dans les tables des 1 + x? de Gauss,
mais ces tables ne contiennent que les diviseurs premiers
jusqu’à 197, et on trouverait certainement des solutions nou-

velles. si l’on avait des tables plus complötes..

On est conduit par cette méthode à trouver toutes les

solutions æ, v,,v, ... Va de Péquation:

ov

Sur l’application des nombres entiers complexes ete. 87

6 étant —O ou —1 et p,,p. ... pn Étant des nombres
premiers donnés.

Il me semble que cette équation wa qu'un nombre fini
de solutions x pour chaque système des nombres premiers
P1»Pa --- Pn. Mais la démonstration de ce théorème me
semble être bien difficile.

D’après ce qui précède on peut conclure que, s’il existe
n +p solutions différentes

DD) ce. D

il y a en général une équation à coefficients entiers entre

7
4
en général s’exprimer linéairement 4 coefficients rationnels

I
n + 1 quelconques des arctg - et -, et p des arcs peuvent
x

å T
en fonction des n arcs restants et de ie

88 Carl Størmer.

AN

IO.

Liaison analogue entre la théorie des nombres complexes
de la forme a+b \/ — 3, a et b étant entiers, et les
solutions rationnelles x, x, ... x, de l'équation:

c,are tg (2; V3) +c,arctg (2. v3) CAT te (a Va) = ke

Extension aux nombres complexes supérieurs.

De méme que nous avons fait intervenir la théorie des
nombres entiers complexes de la forme a@-+ib dans la
theorie des solutions entières @, ... dn, 6, .-- bn de
Péquation

(1)

b b. b
cjare tg + +c, aretg * +...+cgaretg <—k%
ay do An

Bla

on pourra aussi appliquer la théorie des nombres entiers

complexes p. ex. de la forme a—-b\/— 3 aux solutions

entières de l’équation

T

Dee OG. ae br
cjaretg | 5) +c,arctg (va) +... te,arctg | va) —ke
1 2 / n

A
SS
us |

T od ES à
En effet, — étant — arctg >, on voit d’après le § 2,

3

que la condition nécessaire et suffisante pour que cette

Sur application des nombres entiers complexes etc. 89

équation soit satisfaite, aux multiples de : près, est que le

produit

: wh Pe) AU
(3 — VÆRE (a, Et: V— EE (Go +09 V= a)? (Gb 3)”

soit réel ou purement imaginaire.

Ce produit étant lui-même un nombre de la forme
A+B\/—3, A et B étant entiers, la théorie de ces nombres
s'appliguera ici avec autant de succès que la théorie des
nombres a + ib à l'équation plus simple (1).

La théorie des nombres a+ b \/—3 étant très analogue
à celle des nombres a+b, on retrouve des théorèmes
analogues à presque tous les théorèmes énumérés précédem-
ment dans ce mémoire; mais ce n’est pas ici l'endroit de
les développer.

Par exemple, on trouve

2 arc tg v3 — are tg =
2 are te 5 arctg Vå="

La même méthode peut s’appliquer si l’on veut trouver
les solutions entières a, ... dn, b, ... bn d’une équation

å

C1 aretg (jy) SF ooo EG, aretg (yD) — };
1 n

wla

où D est positif et non égal å un carré.

12 — Archiv for Math. og Natutv. B. XIX. Nr. 3.
Trykt den 2ide December 1896,

90 Carl Størmer.

Il faut done faire application de la théorie des nom-
bres a+bY—D. Cette théorie ayant une liaison intime
avec les formes quadratiques a? + Db?, on aura ainsi une
liaison étroite entre cette dernière théorie et les solutions de

l'équation ci-dessus.

Ces considérations peuvent être considérablement géné-
ralisées et extendues aux nombres complexes supérieurs.
En effet, prenons un autre point de départ et faisons

d’abord Vapplication å un cas simple.

Nous avons

log nat (x+yV/—D) = log nat (z?-+Dy?) +: [are tg A VD-+akr |

Introduisons ici les racines a, et a, de léquation

quadratique

+ P=0.

On aura done

log nat (x +04) = Fo (x,y) + a, F, (2,9)
log nat (x + a,y) = RK, (y) å (x, y)

en posant:

F, (4,4) = log nat (x? + Dy?)

F Mr ern Labs
=: [are tel VD + 2k

Soit maintenant donnée une décomposition:

A+By—p=(a,+b, VID) (a; +b. \/ =D)? (ar Hoa VID)

Sur l'application des nombres entiers complexes ete. 91

d’où
A + oB=(a, +ab,)" (a; +02)” --- (dn + ab,)#

ce qui est vrai pour toutes les deux racines 4, = \/—D et
gg, =— VAD de l'équation 2 +D—o. En prenant les

logarithmes, on aura avec les notations nouvelles

F, (A, B) + oF, (A, B) = Y%, Fy (a,,0,) + ad F (as; bp)
pP=1 PSI

et, cette équation ayant lieu pour toutes les deux racines a,

il faut que
Fy (A, B)= Ye, Fy (a, , bp)
p=1

HM (De ene å)

p=1
ou
log nat (A? + DB°)—
= ¢, log nat (a; + Dd?) +... +c,lognat(a + Db >
Ev
ret B D) =
a 8AVD ==

== 0, AKG UG (avr) qe cos SC BRO tie (| + 2km

1

et l’on déduit ainsi d’une décomposition du nombre complexe
A+ By—D une équation aux arcstangentes en prenant

les logarithmes.

92 Carl Størmer.

Généralisons cette méthode.
Soient dy a, ... An 1 les racines d’une équation algé-

brique irréductible à coefficients entiers:

gap Qu 21 CR SEG

Soient F, F, ... F,_:1 des fonctions des quantités

59 Gey ooo Gn 1 CEroaimIMNees DANS

Fj Ha Fj +o, F, + et Je ==

— log nat (z9 + 49%, + AX, +... + a a)

= 2 N n—1
DN EEE

Top mer aha 1 0, | oo or

2 | n—1
fy Pay Lo Moss PT =
å 2 n—1
= oR many 42 @ tr ae Oa Wn ae eco a
Or, si Pon a
M,+oM,+o2M,+...4a" !M, , = NotoN,+o2N,+ .. +079 N, ı

pour toutes les racines a, MM, ...N , étant des quantités

quelconques, il faut que

Mn mo NE

Sur l'application des nombres entiers complexes etc. 93

En effet, les équations peuvent s’écrire

(M, DE N,) ale T9 (N, = N,) al ie a QUES, NES) ug

(lg, = Ng) Se ety (Ml N) +a UM, — Nee

1 1 n—1

(My, — Ny) +04, (M —N,)+..+a M

BA — 0

es a)

Mais, le déterminant

I a od TG

ER a Ben, ae
= = (4)—4,)(@,—45)(4.—a@,)...(4, — Zn)
E (@,—@5)(@,—a5)...(4, — 9, ;)

Fe
| (ao —a5)...(4. — a, 1)

étant différent de Oo, parceque l'équation qui détermine les «
n’a pas de racines égales, le système des n équations
linéaires homogènes en M— N ne peut pas être satisfait,

ae

å moins que

me ME N

1

6 Ub fe Uh

n—1

Cela posé, supposons que lon ait trouvé pour le

nombre complexe

A=A, + aA, -|- GEN, + cat Re

94 Carl Størmer.

A,A, ... Å, , étant des nombres entiers, une décomposi-

tion de la forme

Nee OF 20" €

ou
A = Ao —- aa: +04, -- ... + gg
Do ben EL Len
C=C AC Lac, 2... ae

ay å --. €, , étant aussi des nombres entiers et a étant la

même racine que dans l’expression de A.
Supposons que cette décomposition a lieu pour toutes
les racines a. En prenant les logarithmes on aura

log nat A = plog nata + glognatb + ... —+rlog nat c

et en introduisant les fonctions FF, ... F,_, il vient:

Fo(Ag Ay. A, 1) HF (AGA Ag gr, (A A Ag) =

= pr (056 an OO conan) ae RE Open CARRE

FF % [pF, (aa, Ce. a,-+4F,(0,0, un OAR piss nk (Coe; sh Ci] au

IL (peace, a) 0 (DO DE ON EG DRAC ao)

Cette équation aura lieu pour toutes les racines a, et
par conséquent les coefficients des mêmes puissances de a

aux deux membres seront égaux.

Sur l'application des nombres entiers complexes etc. 95

La décomposition du nombre complexe Å entraine ainsi
les n équations fonctionnelles suivantes, où les quantités
Ay A, ... Ant Go @ ... Cn=1 sont des nombres entiers:

if, Uke Beene A.)
PE (49410, 1)+9Fo(bob-a, )+-..+rFolcocı.--c,_,)
2, Gp By ane AL) —
PR (ao .--0, +9 (6904---b,_,)-+... Fr (oe,.-¢,_,)

HR CAS AS EI AS) == å
PATE iy) =a EO DEG)

Telle est la liaison étroite qui existe entre la théorie
des nombres complexes supérieurs et la théorie des fonctions
F,F, ... F,_,, déduites de la fonction logarithmique.

On peut ainsi transporter å ces fonctions FF, ... F_,
les propositions fondamentales relatives aux nombres com-
plexes supérieurs comme nous l’avons fait dans ce mémoire
a propos des arcs-tangentes. ;

Réciproquement, si l’on pouvait retrouver ces proposi-
tions sur les fonctions F,F, ... F , indépendamment de
la théorie des nombres complexes supérieurs, on aurait une
source nouvelle et importante pour l’étude de cette théorie

si ardue.

Christiania, Mars 1896.

ERRATA:

nvier

248
on, 58,

n 7

MINDRE MEDDELELSER II.

AF

AXEL THUE

I. ET BEVIS FOR AT PRIMTALLENES ANTAL ER UENDE-
LIGT

II. LØSNING AF EN KLASSE UBESTEMTE LIGNINGER
Ill. EN LØSNING AF DEN UBESTEMTE LIGNING x?—Dy?=m

IV. ET PAR BEMÆRKNINGER VEDRØRENDE DET FERMAT-
SKE PROBLEM |

VY. NOGLE MEKANISKE SÆTNINGER
VI. ET PAR GEOMETRISKE SATSER

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB

KRISTIANIA
ALB. CAMMERMEYERS FORLAG

LARS SWANSTRØM

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB. B. XIX. Nr. 4.

Mindre meddelelser,
II.

I.

Et bevis for at primtallenes antal er uendeligt.

SATS.

Er (1 En): < 2", da findes der mindst k+1 primtal,
som ikke er større end 2".

Fandtes der nemlig ikke saa mange primtal, der ikke

var større end 2”, da vilde hvert af de 2" tal:

| JE Oe erre
have formen:
MS VAN p2
hvor
VER am
VE GE

Vern

4 Axel Thue.

idet 2, 3, ..., p er samtlige de a primtal, der ikke er større

end 2.
Dette er imidlertid umuligt, saalænge

a << k+1,

da antallet af samtlige forskjellige tal med ovennævnte
produktform bliver lig eller mindre end

din atta =e

Tilbage staar nu blot at paavise, at der til ethvert

opgivet k altid lader sig bestemme saadanne tal n, at

k n
(tomy ae
Seettes t. ex. |

m Ak,

da bliver, som man strax ser,

ao on
eller:

Der findes mindst k +1 primtal, der ikke er større end

2
4k

Ved at anvende ovenstaaende raisonnement paa tal-
rekken, naar alle med 2 delelige tal er fjernet, faar man:

SATS.
Er (n + 1) < 3, da findes der mindst k+1 ulige

Ü a n
primtal mindre end 2.3.

Mindre meddelelser. II. 5

Fortsættes paa denne vis, kan man finde mængden af
primtal under en given grænse med større og større til-
nzermelse.

Vi bemerker, at man efter den angivne fremgangs-
maade naar hurtigere maalet, om primtal af formen a--ib

ogsaa medtages.

II

Løsning af en klasse ubestemte ligninger.
SATS.
PAG a alet helt tal, naar a, a, 4.42, er hele
tal, da vil, om en ubestemt ligning kan bringes paa formen

IMG 006 Xp) = LG eae Sn)

denne altid vere løsbar à hele tal x, y, saafremt der findes
flere end k forskjellige systemer a, ... ap, for hvilke
F(a, ... ap) ligger mellem grenser, hvis differents ikke
overstiger k.

Paa anvendelsen af denne sats, hvis rigtighed er

umiddelbart indlysende, skal vi anføre et par exempler.

1. Ligningen:

Me eX ae Xa op Xa = a Ye AE

6 Axel Thue.

er altid løsbar i hele tal xy over enhver opgiven grænse k,

selv om systemet x, ... x, skal være forskjelligt fra
systemet y, ... Y4-

Der findes nemlig flere end

n(n — 1) (n — 2) (n — 8)
9252

forskjellige systemer a, ... a,, der tilfredsstiller betingel-
serne:

ka kn

ka == kn

k <a, <k-+n

k <a, <k-+n

Wie ee ne An
Heraf satsen, da n jo kan vælges saa stor, at

n(n — 1) (1 — 2) (0 — 3)
PIRES

=> 4[(n + k) —k ]

2. Er u antallet af alle udtryk ae b, hvor
0< alen ee
lp > In

da vil, naar h er en vilkaarlig opgiven størrelse, k kunne
gjøres saa stor, at

(=

rm
bo

Mindre meddelelser. II. 7

voxer over alle grænser. Dette folger blandt andet deraf,
at arealet mellem en hyperbel og dens assymptoter er

uendeligt.

Vælges k saa stor, at u > ke. faar man altsaa flere

end k° positive udtryk ae N der er mindre end k.
Vi faar med andre ord mindst en løsning i hele tal

eller
2 2 2 2
a, =) 5, = a,, + b,

hvor alle tal er storre end det vilkaarlig opgivne tal h.

III.

En løsning af den ubestemte ligning
x? — Dy? = m.

Dette problem reduceres paa losningen af den Pell’ske
ligning ved følgende theorem gjældende for positivt m.

SATS.
Den mindste positive verdi af y à ligningen:

x? — Dy? = m

er lig eller mindre end v.Vm, naar v er et positivt tal
tilfredsstillende ligningen:

8 Axel Thue.

u =D = I
hvor D ikke er noget kvadrattal og u > 1.
Var nemlig y > v. Vm, saa blev

y = vm
(a —- Dy )y > vm
wy >v Dy +m)
uy — v. VDym > 0

Paa den anden side er

ny” > y
Quy” + vm> ay
Quy” + vm> (u —- Dy )y -|- y
y (u —2u +1) < vm + Dy y”

y(u—1) < vVDy* +m
eller
0 < uy —vVDy?+m <y

Men dette er umuligt, da man i modsat fald paa grund
af identiteten

| Dvy —uV Dy? + m| m [ny — v V Dy? + n | =m

fik en endnu mindre positiv verdi af y > 0, der tilfreds-
stillede ligningen

2 2
x —Dy =m

Mindre meddelelser. II. 9

Blev ligningen ikke tilfredsstillet af noget y > 0 og

< y, Vm, hvor
2 2
u == Dr = ||,

da var den umulig.
Der existerer saaledes t. ex. ingen hele tal x og y

for hvilke
x = By — 2

I modsat fald fandtes der jo en losning xy, hvor

VD, da

2a el
IV.
Et par bemerkninger vedrørende det Fermat’ske
problem.

I dette sporgsmaal gjælder det, som bekjendt, at afgjore,
hvorvidt ligningen a —b —e er løsbar i hele tal able.
naar n er et helt tal > 2.

Vi skal i denne forbindelse opstille nogle sætninger.

SATS.

Er n et helt tal > 2, da existerer der ingen ligning

n n n
Lis) — Ms = Ne

10 Axel Thue.

i hele funktioner L,M,N af x gjeldende for alle værdier af
argumentet med mindre

aL = bM = cN

hvor a,b,e er konstanter.

I enhver ligning
LM =N"

hvor funktionerne L,M,N ikke har konstante forhold, kan
man forudsætte, at hvilkesomhelst to af disse er uden nogen
fælles rod p.

Var nemlig saa tilfælde, blev p ogsaa rod i den tredie

funktion og ligningen altsaa divisibel med (x — p) .

Paa denne maade kunde man saa fortsætte et begrænset
antal gange uden at samtlige de tre funktioner derved blev
reduceret til konstanter.

Dette vilde jo stride mod vore forudsætninger.

Af alle de af vore ligninger, hvori de tre funktioner er
uden nogen fælles rod eller funktionsdivisor, kan man nu
udtage en, hvis tilhørende udtryk L.M.N har den mindst
mulige grad > 0.

I denne ligning

n I == n
SNE" Sam

kau t. ex. graden af 9,, forudsættes ikke at være mindre

end graden af 9, og 9,,.

Mindre meddelelser. II. il

Man faar:

(9, a a?9,,) (¢, TE ale,,) (9, TE a°®,,) Ta (9, in; 2) — A
hvor a er en vilkaarlig primitiv rod i
== Ile

I produktet kan ingen faktor 9, —a"9,, have nogen rod

fælles med en anden faktor 9, — ako, da dette vilde med-

rer)

føre, at

(9, — 079,,) — (9,—02"9,) = (at —ah)o,
og
ae (9, — at.) + at (9, — ap) = (ak — a),
fik en fælles rod.
Vi har altsaa:

Så: —= |
Pr, en

er ETNE
¢,— fe, = 4,
D,— 70, —
T/ Wn EE Vy

-hvor 4,4, 08 %,,, er hele funktioner uden nogen fælles rod
og a, B, y tre vilkaarlige n'te rodder af enheden.

Ved at eleminere 9, og 9, mellem de tre ligninger,

faar vi
il a v,
RE Un EE 0
1 1 Le

eller

(Vy EN B ° b,) ra (Vx == Rp OL = (Va ver ß © Og JÅ

112 Axel Thue.

Men dette er umuligt, da de tre ligninger maa kunne
udvælges saaledes, at graden af %,.,.",, bliver > 0 og
samtidig mindre end graden af 9,.9,.9,,, eftersom jo

graden af ©, og 9,, ikke begge kan være lig 0.
Hermed er satsen bevist.

Paa samme maade faar man, at ligningen:
A* — B® = C"

er umulig i hele funktioner A,B,C

1. Saafremt n og m har en fælles faktor d>2. Lig-
ningen antog jo da formen

d d d
D =|) == Or,

2. Saafremt n og m er > 2 og A og B ikke har
nogen feellés rod.

Kan bevises paa samme maade som da m = n.

3. Saafremt n og m er > 2 og n > m.

I dette tilfælde kunde man paa grund af 2. gaa ud fra,
at Å og B havde en største fælles faktor z, saaledes altsaa,
at ©” blev delelig med 7" eller n delelig med m, hvorved
man fik igjen første tilfælde.

Vi skal saa give et par exempler paa ovenstaaende
betragtninger anvendt paa hele Tal istedetfor paa hele
funktioner:

Mindre meddelelser. II. 13

Være
a—b = P"
a— ab = Q"
a — fb = R"

hvor a og ß er primitive redder i x — 1.

Vi faar da:

Re eRe Gam A= 0

og
% A
Er 1 —=
- Q—FP
De l—a

der indsat i

nh? = LG IRE

giver

ee) can

Sættes heri

QE = AE

BQ” == pe

R* EE Cr
faar man følgende
SATS.

Fr
A"—B" = C (1)

saa bliver

Aal ba EP SLN ABOP (m)

14 Axel Thue.

Ombytter man nu i disse to ligninger A”,B",C" hen-
holdsvis med D°,E°,n°F", da faar man af ligningen:

D’—-E’ = uw? (IIT)

den nye
[DS + aF?]’ —[aD? +E?]” = [(e—1)DEu]’F° (mw)

Indsætter vi endelig for D, E, u og Fi mr og Iv

D = pr 4-29"
BE = ap"+q"
n=a—1
D = po

saa falder, mærkværdig nok, « ganske bort af ligning IV,
medens III gaar over i IT.

Vi faar med andre ord følgende

SATS.
Er

Ps (v)
da bliver

[på +3p2"q" —6p»q?" +93" SE [på"—6p*"q2+3p"q% 1997]? a
= [3(p*"—p"q"+42")]* par)” (v1)
Er den Fermat’ske ligning

på — gr = rm
mulig i hele tal, da er det samme ogsaa tilfælde med
ligningen
pes Er (va)
hvor
R—S= 9U"
og

9(A* +RS + S°) — T°.

Mindre meddelelser. II, 15

Ved i v og vi at ombytte p®, q" og r" henholdsvis med
a be, v3 få

kommer vi til formler, der leder til uendelig mange løs-
ninger af ligning VII, saa snart en er bekjendt.
Man mærke sig følgende løsning af den Fermat’ske

ligning
18 + ar + p" == 0
VEN Se
hvor a og ß er de primitive redder i x? — 1.

Existerer der en ligning af formen
F [U, (a,b, ce), U,, (a,b, c), U,,, (a,b, c)] = (a? + b™ + c*) Q(a,b,c)

mvor U,U,,U,,, er hele funktioner med hele koefficienter i
storrelserne a, b,c og F(U,U,,U
med hele koeffficienter i størrelserne U, da følger heraf

») er en hel funktion

umuligheden af den Fermat’ske ligning
a tb te —0
i hele tal abc, saafremt ligningen
116% na) =0

ikke er mulig i hele tal xyz.
Exempel:

F (x, y, 2) =>" ae ye ==

16 Axel Thue.

VE

Nogle mekaniske sætninger.

SATs.

Udgaar n pillimer fra samme punkt, da gaar deres
resultant gjennem pilespidsernes tyngdepunkt, saaledes at dens
lengde bliver det n dobbelte af afstanden mellem det neunte
tyngdepunkt T og pilliniernes angrebspunkt P.

Sidste og første del af satsen erholdes ved henholdsvis
at projecere samtlige pillinier paa PT og paa en paa samme
lodret linie.

Som bekjendt er jo resultantens projektion lig den
algebraiske sum af komponenternes projektioner.

Gaar man ud fra, at kræfter kan sammensættes efter
parallelogramloven, og at en lukket flade kun udsat for et
over hele fladen konstant (gas) tryk altid er i ligevægt, da
giver ovenstaaende sats øieblikkelig en bestemmelse af
afstanden x fra en cirkelbues eller kuglekalots tyngdepunkt
til dens centrum.

Oise, Ie

Mindre meddelelser. II. #7

Er R radien, og k henholdsvis korden eller grundfladen
samt b henholdsvis buen eller kalotten, da faar man for

begge tilfælde:
Ie Ls == ox

Er altsaa a cirkelbuens halve centralvinkel og h kalot-

tens høide, faaes henholdsvis

x= R
a
og
s=RB—

Beliggenheden af en cirkelbues eller cylinderspirals
tyngdepunkt kan ogsaa bestemmes ad dynamisk vei ved
d’Alemberts princip eller bedre ved tyngdepunktsloven.

Denne udtaler, at et legemes tyngdepunkt bevæger sig
som om al masse her var koncentreret og alle paa legemet
virkende ydre kræfter parallelforflyttet did.

. Roterer nu en cirkelring uden ydre paavirkning om sin
axe med den konstante rotationshastighed w, da bliver paa
grund af symetrien spændingen S i hvert punkt af samme
en konstant.

Udskjærer man altsaa af cirkelen en vilkaarlig bue med
centralvinkel — 2%, da faar vi efter tyngdepunktsloven, idet
6 er massen af kubikenheden

2
> Xo 0
ö2oR. wu 28sinp
å
X
2 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 4.
Trykt den 8de Marts 1897,

18 Axel Thue.

sno Ru?
Fs. x
Sættes t. ex.
gp=0
faaes
6 Rw2
PES ERR
S
eller
x= Beg:
?
SATS.

Er paa hosstaaende bevægelige stangsystem med led i
B, C, D og E punkterne A og C samt A og D dragne mod
hinanden ved kræfter, der henholdsvis er afbildet ved og
proportionale med længderne AC og AD, da vil de to kræfter
kiA og E, der holder stangsystemet i ligevægt, for enhver
form af det foranderlige stangsystem være konstante og
afbildet ved det uforanderlige stykke AB.

Fig. II.

Dette under forudsætning af, at BCDE er en rombe,
og at À, B og E er tvungne til at ligge paa samme rette

linie.

Mindre meddelelser. II. 19

Er nemlig AF 4 CE og CF+4CB, saa repræsenterer i
krafttrianglet ACF CF trykspændingen i CB og AF stræk-
spændingen i CE. Da endvidere FB ED, saa repræsen-
teres i krafttrianglet AFB den ubekjendte kraft k ved den
konstante længde AB.

Er P og Q tvungne til at ligge henholdsvis paa linierne
AD og AC, saaledes at PA= AQ = konst, da vil man ved
at forbinde P og D samt Q og C ved elastiske snore, der
i slap tilstand har længderne PA, erholde kraftvirkninger
mellem Å og C samt Å og D af den ovenfor nævnte art.

Falder C i D bliver k ubestemt. Falder derimod E i B,
vil stængerne BC og BD knuses.

SATS.

Er i romben abed, med bevægelige led i de fire hjørner,
a og c samt b og d dragne sammen af kræfter, hvis stør-
relse er proportionale med og afbildet ved diagonalerne

ac og bd, da vil dette stangsystem være i ligevægt.

Lader man nemlig spændingerne i de fire stænger være
lige store og efter den valgte maalestok afbildet ved deres
længder, da bliver hvert led i ligevægt, eftersom de hertil
svarende kraftpolygoner er lukkede triangler.

SATs.

Er i hosstaaende figur 111 leddene B og C samt E og H
forbundne ved elastiske strik, der i slap tilstand er kon-
gruente, da har de to krefter k, der holder stangsystemet

i ligevægt en konstant værdi.

20 Axel Thue.

Figuren forudsættes her at bestaa af to kongruente
leddede romber med BD og ED fast forbundne til eu ret
vinkel.

k bliver at afbilde ved længden x af strikkene i slap
tilstand, naar spændingen i strikkene afbildes ved deres
længder formindsket med x.

Fig. II.

Tilføies nemlig i D to mod hinanden rettede og med
AF parallele kræfter k=x, saa vil man med samme virk-
ning kunne anbringe de fire kræfter k parvis mod hinanden
efter BC og EH.

Vi faar med andre ord B og C samt E og H dragne
sammen ved kræfter, der afbildes ved længderne BC og EH.
Men saadanne kræfter holder, som man strax ser, stang-
systemet i ligevægt.

Gaar romberne over til kvadrater, bliver k ubestemt.

SATS.

I fig. ıv er E og F fast forbundne med stangen DN,
saaledes at EH=FI, medens D er midtpunktet mellem
EogF. Endvidere er ABCD en rombe, hvor AB=BH= (CI.

Mindre meddelelser. II. 21

Er nu À og N, E og H samt I og F henholdsvis for-
bundne med to med et og med et strik, der 1 slap tilstand
alle er lige og i lævgde lig ED—= DF, da vil de to kræfter
k, der holder stangsystemet i ligevægt, faa konstant værdi,
om Å tvinges til at ligge paa den rette linie DN.

Anbringes et legeme, hvis vægt er k i N, da vil dette
forblive i ro, om ophængningspunktet Å bevæges opad
eller nedad.

Fig. IV.

Maaske vil denne egenskab ved de her nævnte stang-
systemer blandt andet kunne anvendes til konstruktion af
hængekøier til brug ombord.

22 Axel Thue.

VL

Et par geometriske sætninger.

Har man tre punkter A, B og C i planet, og man fra
disse nedfælder perpendikulærer paa en vilkaarlig ret linie
L i planet, saa vil der paa denne findes et punkt D’, der
sammen med det ene af de tre perpendikulærers fodpunkter
C' ligger harmonisk mod de to andre A’ og B‘.

Vælges L til abscisseaxe og betegner man med
X, X, X, X, abscisserne for punkterne A’ B' C’ D’, da er

ee Gi + Xp) X3 — 2X, 89
2 2X3 —(X + Xo)

hvor x, og x, optræder. symetrisk, og ligesaa x, og X,.
Indsætter man nu i denne formel for x, x, x, hen-

holdsvis

CE, To HiB», as + 1B,

da gaar x, over i a, +if,.

Til tre punkter A, B, © med koordinaterne a,ß,,
a8, AP; Svarer paa denne maade et nyt punkt D med
koordinaterne a,ß,.

Dette punkt D faar, som man ser, en bestemt beliggen-
hed i forhold til de givne punkter uafhængig af det valgte
koordinatsystem.

Mindre meddelelser. II. 23

Parallel forflyttes nemlig dette, faar a, a, a, a, den

samme tilvæxt, ligesaa med storrelserne P.

Dreies endelig koordinatsystemet en vinkel © om origo,
saa multipliceres herved alle storrelserne 4 +18 med det
samme komplexe tal cos ¢ + isin 9.

Vi siger, at D og C ligger harmonisk mod A og B.

SATS.

Er À, B, C tre givne punkter i planet og de mye punkter
a, b, © er saaledes bestemte, at a og A ligger harmonisk
mod B og © etc., da vil de tre rette Unter Aa, Bb, Ce skjære
hverandre à samme punkt, der desuden er identisk med
skjæringspunktet mellem de tre vette limer, der à trianglet
ABC eller abe forbinder høidernes midtpunkter med de
tilsvarende siders midtpunkter.

Fig. V.

Vi vælger den rette linie gjennem B og C til Xaxe og
midtpunktet mellem B og O til origo.

24 Axel Thue.

Sætter man den halve afstand mellem B og C lig k,
faar vi kun at gjøre med punkterne

— ko, ko, P,d

Er koordinaterne for a, b, € u,v, u,v, u,v, da bliver:

‘ p —iq
We a Ty = RIE
AR p? + q@
eller
2 Spk? de
uppe np
Heraf
i Vu?+v?-Vp?+q? = k
à, Nene A
U, p

Af 2. faar man, at de rette limer, der forbinder midt-
punktet af BC med À og a danner ligestore vinkler med
BC etc.

Af 1. og 2. flyder den vistnok bekjendte sats, at punk-

terne a, b, c ligger paa samme cirkel som punkterne ABC.

Videre bliver:

— 3p? — 392 + 10kp — 3k2
(= pep

ne Spå 30% + 10pk Så |
; (p— qd} + q?

u, ==

GIR

Mindre meddelelser. IT 25

I 8qk? ih
TE pF GP
A Sqk? Ly
eee

Vo

For vore tre ligninger faar vi altsaa folgende

2qk? ae
1 mme pe pe dr
2qk
BY) a JE
7 ruge ger D
M ES GT
2" og 3° giver
ARE
Fo de
us 4pk? Le 2qk?
Per YS pet q+ 32

Ved indsætning i 1’ ser man, at skjæringspunktet mel-
lem 2° og 3' ligger paa 1‘
Rigtigheden af satsens sidste del indsees umiddelbart
gi

af ligningen y = an: x
Det bemærkes, at punkterne a, b; c er i besiddelse af
de samme egenskaber som punkterne A BC.

SATS.

Har hver af de to cirkler sit centrum paa hvert sit af
en vinkels ben, og hver tangerer vinkelbenet gjennem den

26 Axel Thue.

anden cirkels centrum, da skjærer cirklerne hinanden 7
punkter, hvis forbindelseslimer med vinkelens toppunkt A.

danner ligestore vinkler med den givne vinkels ben.

ee
>

Fig. VI,

Det falder her bekvemt først at bevise, at satsen ogsaa
har gyldighed paa kuglen. Vinkelens ben gaar i dette
tilfælde over i to storcirkler U og V.

Gaar man ud fra, at det geometriske sted for det ene
af de to cirklers skjæringspunkter er en storcirkel gjennem
skjæringspunkterne mellem U og V, naar saa er tilfælde
med det andet skjæringspunkt, da følder deraf umiddelbart
satsens rigtighed for kuglefladens vedkommende.

De to vinkler maa jo i hvert fald blive lige store,
naar de to cirklers centre antager en saadan stilling paa
U og V, at cirklerne bliver kongruente.

Rigtigheden af vor hjælpesats og hermed ogsaa rigtig-
heden af vort plane theorem kunde saa indsees ved stereo-
graftsk projektion, idet vinkelens toppunkt A valgtes til
kuglens berøringspunkt med planet.

At den stereografiske projektion af en cirkel selv er
en cirkel, forudsætter parallelaxiomet.

Ikke desto mindre gjælder vort theorem og hjælpesæt-
ningen uden hensyn til dette axiom.

Mindre meddelelser. II. ar

Ovenstaaende sats om den stereografiske projektion
gjælder nemlig for en uendelig liden kugle og hjælpesætnin-
gen altsaa ogsaa, da den gjælder i planet uendelig nær

toppunktet A.

Men er vor theorem rigtig paa den uendelig lille kugle,
saa finder samme sted for enhver dermed koncentrisk o: for
enhver kugle.

Da theoremet saaledes er bevist absolut for kuglens
vedkommende, maa det følgelig uafhængig af parallelaxiomet
ogsaa have gyldighed i planet.

Et interessant sporgsmaal er det, om satsen alligevel
kan bevises ved udelukkende kongruentsbetragtninger i
figurens plan.

Man mærke sig det specielle tilfælde, da de to cirklers
skjæringspunkter falder sammen til et.

Paa samme maade som ovenfor indser man strax, at
satsen kan generaliseres derhen, at de to cirkler ei bebøver
at tangere vinkelbenene gjennem deres centre.

Der forlanges kun, at de skal tangere to gjennem A
gaaende linier, der med den nævnte vinkels ben danner
lige store vinkler.

Throndhjem, 23de marts 1896.

SUR QUELQUES FORMES DE
L'ÉQUATION DE LAQUELLE DEPEND
LA DIVISION DES PÉRIODES DES
FONCTIONS ELLIPTIQUES PAR 7:

PAR

A. PALMSTROM

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB

"KRISTIANIA

ALB. CAMMERMEYERS FORLAG
LARS SWANSTRØM

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB. B. XIX Nr. 5.

Sur quelques formes de l'équation de laquelle
dépend la division des périodes des fonctions
elliptiques par 7.

I.

Posons avec les notations de M. WEIERSTRASS.

A joe 4w itr 60
ODE D Gin Pins
et
2æ = a kb +6,

2w étant une période de la fonction pu. On trouve alors

pour x l’équation suivante

Sor ode MN 93,5 å 999 2 Jor gel
x 252756 30242? Tar 5443 3215 8 2% m

17 93 SUE Ix Us, 9 Jia
— (178887, + 84672 Br Ja 10497622, 94592772, — 0

À A. Palmstrøm.

Si l’on pose x = 3z, cette équation prend la forme

å UE ( I29:
28 28152 6 ee — Då på — 22455 3 jo — (2)

64493 | 31369,” G2: Hl
27 pat 27 a Te 8% os =

En écrivant symboliquement

r= [Fl +1
JS (A) 2 (r—1)
P r) (9 g
OT onal) ae
p= il

quand
p= 24
et
ae eS = =]
6
q—3(r—1) 2(r— 1)
Dis „® CE) 2
mr 2 © 1) ( 8

quand p = 2q+1, les a étant soumis à l’équation de
condition

Da =1,
P

on peut écrire l'équation (2) sous la forme symbolique

suivante:

(2 + A)' (2 — 74) = 0.*)

*) HALPHEN: Traité des fonctions elliptiques, t. 3, pag. 51—52.

. Sur quelques formes de l'équation etc. 5

Tous les coefficients sont ici déterminés par la forme
symbolique à l’exception de A® et A8. On a, dans le cas
actuel

Hod 9° 4 093 ER SIS Eg

6 123 Ce ie Es 13582
OG OW mes
Ae = as for I 4 7 82 124

En désignant toujours par ¢,(z) un polynôme dont la
forme symbolique est (2 +A)"[2—(n — 1) A] nous pou-
vons écrire.

Pa (2) = 41 29, (2) + Oy Po (2) D (2) + Cı Ps (2) Ps (2)

Pr (2) = a, 206 (2) + Og På (2) Ps (2) + co pa (2) Pa (2)

Gg (2) = 4 295 (2) + 53 95 (2) pa (2) + Ce På (2)? (3)
(

En substituant dans ces équations les expressions sym-
boliques on trouve

5b, +8c, = —7

Ds SO Cl

Fa ar Og 42 On == I 2b, + 36, = — 3.

De a= On CN 3b, + 403 = —5
a, =3 b, = —2
a, == bb—= 3

On obtient deux nouvelles équations pour a,,b,,¢, ete.

en excigeant que le polynôme &,, calculé par les équations (3)
ö 3

a les coefficients mentionnés ci-dessus, c’est-à-dire que

2 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX Nr. 5.
Trykt den 9de Marts 1897.

6 A. Palmstrøm.

å ES Gy ET a 1,a”=0. En Galant

un 135’ a, = Te le
dans les deux membres de la première des équations (3)

Ge PR

82 19 82: 08 trouve par un caleul

les coefficjents de

facile

444,63 4 160,6, Abc, 7 40e, = —
— 40163 + Se, = |).

Entre les 9 imeonnusja, 05, C), A, On, Coy DDE

on a done, 8 équations. On tire de celles-ci:

ye es
TE
7
NE en
lien
a +0
, 40760, + 5120 "
? 81Gc, +8)les +8)
„. — 81002 + 36800, -+ 5248
1 2760 +3)(0 +8)
, — 202508 + 112480, + 15680
Te
DEE
as. == m
Du u

Sur quelques formes de l’équation ete. 7

Des équations (3) on tire

a,2 bipo(e) 6193 (2)
—1 az bips) csv, (2)
—1 432 bo.) c3P3(2)
— 1 3z — 29, (2)

Pa (2) =

Marit) ici attcibuer aa) 04 019 Go, Da, Co, as, 0, les
valeurs indiquées ci-dessus. La valeur de c, est indifférente.

Si Pon pose c, = 0, on a pour 93 (4) expression suivante:
127 — Teale)

1 — 3 8 — Be
HOTTE å Pale)
1 32 — 29,(2)

Les polynömes w,(2) et 9,(2) jouent un rôle important
dans la théorie des fonctions elliptiques. Posons en effet

2 — pu ona
D
po(z) = pu 5 = al u

0,(2) = påu — 372 pu — 2% = pe

8 A. Palmstrøm.

II.
Posons
e=t+e.
On a alors
oa(z) = v4le) + 8¢,(e§ + 280 ,(0):? + 562 ,(e)E? + 709, (JE
+ 569,(e)5° + 289 ,(e)5° + Bet" ES (5)

o,(e) et @,(e) sont ici déterminés par les équations suivantes

do.(e
8¢,(e) = fal )
do_(e
Tpg(e) = feu )

On a done dans 9,(e) et 9,(e):

å

a __ 28 a? — 42
6 135 Ÿ 1835)

Désignons ces deux fonctions par oe) et 2 (e) pour
les distinguer des polynômes 9, et 9, qui se déduisent des
équations (3), quand on y pose les valeurs de a,, b, ete.
tirées des équations (4) pour e, — 0. Nous trouvons

facilement:
188 28 Dan
PE) = 37 evsle) — gg Paldeale) — 57930)
(6)
86 24 63
Me) = ares (0) +77 valet) — 77 Paldeule)

Sur quelques formes de l'équation ete. 9

D’après les équations (3) et (4) on a

ad = Perse) — I polohest

eo = Sierre) est) — sale Gale) (9)

ed = See) — à Pale) gale

95(e) = 3e¢,(e) — 29,(e) Pale)

pale) = egge) — 39,7(e)

Si l’on prend pour e une racine de l’&quation w,(x) = 0

on trouve en posant 9,(e) = e:
pale) = — 38?
Pyle == be
Pole) = — 24e? &° + 5e8
2 2 1814 63
PT 37 Se
512 44 ,
Bel SD 2 — —— €7 £3 — Te:
@) 188 9.» 123 3
6 ( )= 9 e T 576
(1) 344 82

10 A. Palmstrøm.

L’equation w,(z) = 0 est alors transformée en celle-ci:

SPES onen HA E
= 8
> (= D 22 644 SE EG 3 22 656 ): (8)

Sos 3 2 JER
GRR 27 gree ce OT ae
512 544
Per VAN et) Seg oe A EEE
g € az * 7s4 = 0

Cette équation est analogue å une équation trouvée par
M. Brroscar pour la division des périodes par 5. L’equation
même de M. BrroscHI peut être trouvée très facilement
par la méthode indiquée plus haut pour léquation du
huitième degré.

Si dans l’équation (5) on prend pour e une racine de
l'équation

et si l’on pose 9, (e) = &,, on trouve à l’aide des équations
(6) et (7)

o,(e) = tes,

ps(e) = 120",

Pa () = LE

25600 Me CM
Di) en. ET

Es ud EN 0)
Pa (€) Ova) 37 €* Er

752 28

(1) 3 END
US en a.
(1) 1576, 196 |»
ME on on

Sur quelques formes de l’equation etc. 11

L’equation w,(z) — 0 peut donc être remplacée par la

suivante :
E® 1 Bet" + 56e, E° + 280ec, E 672e2e, &°
38528 =e sae 1568 k
mas Sl EEE
7AM Å
2048 _ LEA 9
Flø AE 97 rel) (9)

On peut écrire l’équation (2) sous une forme analogue
å celle des équations (8) et (9). Si en effet e est racine de

Péquation 9,(x) = 0, c’est-à-dire si e = 0, on a

B= 9200)
et

g 1

= er Pa(e)

On peut donc écrire l’équation (2) sous la forme
2.4289, (o)et 4569 (oje3 2109, (0)24— 114, (0) (c)2°

(ra (272200 > (e) este (9) +249, (e)o,(e)—Te4(e) = 0

L’équation (9) se peut écrire

E 1891 (0)JE +569,(0)E’ +2809, (e) 95 (e)6* +672 ? *(e)93(e Ie
38528 784 9
ee)

BIT Que es) 5793 ;

Ser Pre) Ps) pie)?

12 A. Palmstrøm.

e étant une racine de l’équation

Pole) = 0,
et l’équation (8)

e étant une racine de l’équation

o,(e) = 0:

JOE

BRIOSCHI a pour l’équation du sixième degré de laquelle
dépend la division des périodes par 5, indiqué la forme
suivante

Pa PB Pr = As
Å 1
Ga = (7 — 20)? — 4 (Ben — 19)

Dans 94 et ©, il faut substituer eg et e, à la place de e,.
Ca» € et e, sont les racines de Péquation ¢,(7) — 0. A est

le discriminant 9,3 — 2793.

Sur quelques formes de l’équation ete. 13

Remarquons que l’on peut écrire:
Lu = (2— 20) — 1249).

On peut pour l’équation (1) trouver une forme analogue
à l’équation de M. Briosonr. Soit e,, eg, e,,e; les

racines de l’équation p,(x) = 0 et posons
Pa = (2 — 369)" — 1842(60) ;
on peut alors écrire l’équation (1) sous la forme suivante:
Pa Pa Py Pa = JE) A

En effet, si /N — 0, la forme symbolique de 9, (x) devient

effective, et l’équation w,(xr) = 0 a trois racines — A et
une racine 34. On peut donc poser eg = — À, eg — À,
Cy = — À, og = 3A. Les équations 9, —0, 93 = 0,

9, = 0, ont alors toutes la racine double — 34, tandis que

9, = 0 a les racines —3A et 214. Le produit de ces
quatre fonctions a donc les mêmes racines que l’équation (1)
POUR AN — 0.

Si Von effectue la multiplication des quatre fonctions e,
on trouve que

PEUR 2 | 4er 92
f(x) = — 222? +186 19

14 A. Palmstrom.

VE

On peut écrire:

Yn (0) Va (u) *)
vu)

p(nu) — pu =

Wu) est, quand » est impair, un polynôme entier en

pu, les coefficients étant des fonctions entières en i et =

Quand m est pair, ¥,(u) est égale å un tel polynôme multi-
plié par p'u. Ona

3
opt = Vppalp — Yp-ı p41 (10)
Ne JA Ne he 11
Ve te (Vg pa bp—1 — Ya Vp) (11)

U;
Posons pu =z. On peut démontrer que zz est
2

toujours divisible par ¢,(z). Cela est évident pour p = 0
et p = 1, car

= 1
Vg = 30" — 182524 — 24 Lpy — 9 x
3 12 8 12°
= 39,(2)

*) HALPHEN: Fonctions elliptiques, t. 1. pag. 95—102.

Sur quelques formes de l'équation etc. 15

Pour démontrer l’exactitude du théorème pour d’autres
valeurs de p nous partirons de la formule (10). Supposons
en premier lieu que p est pair. Alors v, 1 et %,},, sont

des polynômes entiers en z, tandis qu’on peut écrire:
Yp+2 = P'UPp+s) Yr = pub»
P,+2 et P, étant des polynômes entiers en z. On a alors
3 3
Vapt1 = Pu Pr 12 Pp — Ppa PH

= 1693"(2) Pots Po — Vp1 Up

di dP
“de = 9212) Pale) Pre Py + 169.%(2) 5 Po”
Me GB db
+ 489$(2) Pp+2 Pr Ke === pa — Spa pH = -

8 Br
Si, au contraire, p est un nombre impair, V, et Vy.
sont des polynômes entiers en z, tandis qu’on peut écrire:

Up = puPr 1, ou = pu Pos
On a donc
Vap41 = Yp+2 Up — 1696 2(2) Pp Ren

200

ies) = +e, p + 8bp42 D
a de

de de *

- dP,-
— 969, (2) pa(2) Pp-1 Pp+1 — 1693 (2)- FF Pr

& dP
— 489 (2) Ppa Pris =

16 A. Palmstrøm.

Si done le théorème est vrai pour les indices impairs
moindre que 2p + 1 il est aussi vrai pour cet indice même,
Or, nous avons démontré qu’il est vrai pour 29p+1= 1
et p+1=3; il est done vrai pour tous les indices
impairs.

Considérons en particulier le cas 2p + 1 = 5.
Nous avons

Vs = 3820,°(2) 6(2) — 279 Me) (12)
Dans ¢,(z) il faut ici poser

27

(0D) a
Ag RARE

De l'équation (12) on tire:

dv, Å
5 = 1926.(0) Palo) als) + 1920.20) pule) — 8249912) 22)
dbs
== 19204(2) pole) + 192¢5(e) 2,(2) — 3249212)
9 3(2)

Si dans le second membre de cette équation on sub-
stitue les expressions symboliques des fonctions ¢,(z) ete.
on trouve

dys
dz

Sur quelques formes de l’équatlon etc. 17

Nous avons trouvé ici l'expression symbolique du
premier membre de l’équation (2). Un calcul facil donne

dy
de Bung Ue pe cou 92 4 0049293
ag) = (2 280220 112935 21004 22492 a)

Ix Is? 93
+ (18075, 320%, ze? As 22
gs 9293
1357554128722.

L’équation (2) peut done s’écrire

dy,
de 1720 , 409,
ea) Où = (253 239 a N

DÅ | en PE ra
å de no er me Le

SYNOTUS BARBASTELLUS,

(SCHREB.)

PHOCA FORTIDA, uti.

NYE FOR NORGES FAUNA
AF

R. COLLETT

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB

"KRISTIANIA
ALB. CAMMERMEYERS FORLAG

LARS SWANSTROM

‘
4
å å
, vi 140
æ
br
å
1 x
“x
y Y
; C
> É

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB. B. XIX. Nr. 6.

Synotus barbastellus, (Schreb.), og
Phoca foetida, Müll., nye for
Norges Fauna.

Af R. Collett.

Synotus barbastellus, (Schreb.) 1774.

Vespertilio barbastellus, Schreb,, Die Såugth. ler Th., p.168, P1.55. (1774).

Christiania Omegn. Et Exemplar af denne for
Norges Fauna nye Art blev skudt*) ved Hvalstad i Asker
den 2den April 1896, og afgivet til Universitets-Museet.
Den blev her truffet i stærkt couperet Terrain, flyvende
omkring en blomstrende Salix capraea, ved Foden af den
steile og skovklædte Skougum-Aas. Skoven var blandet, og
bestod hovedsagelig af Naaleskov, men med enkelte store
Løvtræer (Lind og Ask) iblandt. Der saaes mindst 1 Exem-
plar foruden det skudte.

Allerede i flere Aar har den samme lagttager omtrent
paa samme Sted truffet en Art, der flyver usædvanlig tidligt,

*) Af H. Torgersen, Redactør af “Jæger- og Fisker-Forenings
Tidsskrift*.

1 — Archiy for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 6.
Trykt den 3ite Marts 1897.

4 R Collett.

tildels endnu, medens Sneen ligger dyb overalt, og det er
tænkeligt, at de alle have tilhørt denne Art.
Saadanne Exemplarer er trufne:

30te Marts 1882 (ligesom det første) under en Rugdejagt.

6te Marts 1889.

13de April 1891; Sneen laa da overalt, og der var
fuldt Slædeføre.

21de Marts 1896; meget Sne endnu i Skoven.

Det erholdte Exemplar havde en Totallængde af 104 mm ;
(heraf havde Halen en Længde af 48 mm.). Cubitus 40 mm..
Vingebredden 275 mm.

Farven var brunsort med lysere Haarspidser; Under-
siden var noget lysere, Femur hvidagtig.

Udbredelse. S. barbastellus er udbredt over Syd-
og Mellem-Europa samt England, og var ikke kjendt norden-
for Syd-Sverige, hvor den forekommer i Skaane og Blekinge,
men hører her til de sjeldnere Arter. I Danmark er den
ligeledes sjelden, og er hidtil blot fundet paa Sjælland.

I Syd-Europa forekommer den i Schweiz, Spanien,
Italien og Syd-Rusland, samt i Nord-Africa og Arabien;
i Syd-Asien erstattes den af en nærstaaende Art, S. darjelin-
gensis, Hodgs., (den eneste foruden 8. barbastellus, der hid-
til er kjendt af denne Slægt).

Overalt angives den at høre til de tidligst flyvende
Arter, og den gaar i Schweizer-Alperne op langs Fjeld-
siderne i en Høide af 1500 Meter o. H.

Synotus barbastellus og Phoca foetida. 5

Phoca foetida, Müll. 1776.

Phoca foetida, Müll., Zool. Dan. Prodr. p. VIII, (1776).

Varangerfjorden. Denne Art var ikke med Sikker-
hed paavist som funden indenfor Norges Grænser førend i
1882, da Universitetets Museum modtog*) fra Varanger-
fjorden 3 unge Exemplarer af denne Art. Disse var skudte
paa forskjellige Puncter i Fjorden (Meskefjord, Skalelv,
Andersby) mellem 10de Februar og 12te Marts, og ansaaes
for at forekomme talrigt her denne Vaar.

Det er sandsynligt, at Ph. foetida aarlig indfinder sig
i Varangerfjorden i Vinter- og Vaarmaanederne under de
større Torskefiskerier, der ere betingede af Loddens (Mal-
lotus villosus) Indsig for at gyde. Enkelte Aar kan den
herunder vise sig talrigt, skjønt neppe nogensinde i den
Mengde, som Ph. groenlandica**). Dog blive forholdsvis
faa Individer af begge Arter dræbte, og endnu sjeldnere
blive disse videnskabeligt undersøgte. I 1895 bley dog et
Par Stykker af Ph. foetida dræbte lige paa Vardø Havn
den 25de Januar, hvoriblandt et gammelt Individ og en
Unge; den sidste indsendtes til Universitetets Museum,
hvor den nu er opstillet. Ogsaa de 3 tidligere modtagne
Exemplarer vare omtrent halvt udvoxede.

*) Gjennem Consul Brodtkorb i Vadsø.

**) Denne Art har i de senere Aar i Tusindvis indfundet sig i
Varangerfjorden under „Loddefisket“, og er af Beboerne anseet
for at være i høi Grad ødelæggende for dette Fiske.

R. Collett.

DB

Hvorvidt Ph. foetida forekommer i Varangerfjorden til
andre Aarstider, kan ikke oplyses, men det er sandsynligt,
at den ialfald delvis er stationær.

Trondhjemsfjorden. I Museet i Trondhjem op-
bevares en udstoppet Unge af denne Art, som angives at
være skudt i Trondhjemsfjorden i 1884. Nøiere Angivelse
kan ikke længere erhverves.

Sandsynligvis har dette Individ tilhørt den samme
arctiske Stamme, hvoraf muligens sporadiske Individer ville
vise .sig at forekomme hist eg her nedover til Landets
Sydvestkyst. (Saadanne er dog endnu ikke paaviste paa den
mellemliggende Strækning).

Udbredelse. Ph. foetida hører til Arter af Sæl-
dyrene, der har den videste geographiske Udbredelse.

Skjønt idethele en litoral Form, er den næsten circum-
polær. I det europæiske Ishav forekommer den ved Novaja
Zemlja, Spitsbergen, Island og Grønland, og gaar paa Atlanter-
havets americanske Side mod Syd til Labrador. Den er
angivet (af Middendorff, Danilewski, 0. a.) som forekommende
ved Hvidehavet, men Iagttagelserne herfra ansees af Pleske*)
for at være usikre. Ved Nord-Spitsbergen er den tiuffet
op til 82° 40".

Sandsynligvis er den udbredt langs hele Amerikas
arctiske Kyst, da den atter forekommer i Beringshavet og
ved Alaska. Ved Asiens Nordkyst blev den under Vega-
Expeditionen truffen langs hele Sibiriens Nordkyst, fra
Karahavet til Tschuktscher-Halvoen (Vega’s Vinterkvarter),

*) Såugethiere u. Vögel der Kola-Halbinsel, p. 164. (1884).

Synotus barbastellus og Phoca foetida. i

og den opgives her af Nordquist*) at vere den talrigste af
alle Sæler.

Som bekjendt forekommer Ph. foetida ogsaa i hele den
Bottniske Bugt, samt i enkelte af de store russiske Indsger
(Ladoga, Onega, Saimen), som en Overlever fra Glacialtiden,
sammen med enkelte Crustaceer (hvoriblandt Zdothea en-
tomon, der delvis udgjør dens Hovednæring). I den Bottniske
Bugt er den især talrig i de øvre Dele, men bliver noget
sparsommere ned mod Syd-Sverige; ved de nordtyske Kyster
viser den sig blot tilfældigt. Derimod er den endnu temme-
lig talrig mellem de danske Øer, i Øresund (ved Salt-
holm), og i Storebelt op til Samsø, men synes ikke at gaa
op i Kattegat, og er aldrig truffet ved Sveriges Vestkyst
eller i det sydlige Norge.

Fra Vest-Europa foreligger neppe nogen sikker Iagt-
tagelse om denne Art, skjønt den er angivet at være funden
helt ned i Canalen.**)

*) Vega-Expeditionens Vetenskapl. Resultater, B. IT, p. 104, (Stock-
holm 1883)).

**) Den Sæl-Art, som bebor Baikal-Søen, staar Ph. foetida nær,
men ansees som en distinct Art (Ph. sibirica, Gmel.); det
samme gjælder om den Form, der forekommer i Aral-Søen og
det Caspiske Hav (Ph. caspica, Gmel.).

OM

EN SAMLING FISKE FRA AZORERNE

TILHØRENDE

MUSEET I PONTA DELGADA

AF

R. COLLETT

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB

"KRISTIANIA

ALB. CAMMERMEYERS FORLAG
LARS SWANSTRØM

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB. B. XIX. Nr. 7.

Om en Samling Fiske fra Azorerne, tilhørende
Museet i Ponta Delgada.
Af R. Collett.

Gjennem Dr. Chaves, Bestyrer af Museet i Ponta Del-
gada (San Miguel, Azorerne) har jeg nylig modtaget til Be-
stemmelse en liden Samling Fiske, alle erholdte ved Azorerne.
Medens enkelte af disse tilhøre Arter med en vid Udbredelse
over Middelhavet og Mellem-Atlanterhavets Øgrupper, frem-
byde et Par af dem en mere speciel Interesse. 2 af disse
vare hidtil kjendte kun i et ringe Antal af sporadisk erholdte
Individer (Tripterygium melanurum og Echeneis albescens); en
er en oprindelig arctisk Art, som tidligere var næsten ukjendt
sondenfor Ishavets Omraade (Eumicrotremus spinosus).
Endelig er en en pelagisk, vestatlantisk Form, som med Golf-
strømmen undertiden føres op under de norske Kyster
(Argyropelecus olfersii).

4 R. Collett.

Sebastes maderensis, (Cuv. Val.) 1835.

Scorpaena madurensis, 1) Cuv. Val. Hist. Nat. Poiss. Tome 9, p. 463 (1833).
Sebastes maderensis, Lowe, Trans. Zool. Soc. Lond, Vol. II, p.
175 (1841).

2 Individer, begge smaa Unger, med en. Totallængde af
36 mm. Artens Characterer ere derfor endnu ikke fuldt
udprægede; Pectoralstraalerne synes saaledes alle endnu at
være udelte, og Farvetegningen er skarpere markeret, end
hos de ældre.

Nedad Legemet strakte sig hos disse Unger 4 bredere
(og 1 smalere) Tverbaand, hvoraf det bagerste bedækker
Haleroden; det næste løber over den bagre Del af 2den
Dorsal og ned udover Analen. Det 3die og 4de Tver-
baand lobe tvers over 1ste Dorsal og ned til noget nedenfor
Sidelinien, hvor de flyde sammen; det forreste af disse be-
dækker Finnens forreste Straaler, det andet de mellemste.

Endelig findes ogsaa et kort og smalt Tverbaand over
Iste Dorsals bagre Del, der dog taber sig før det naar
Sidelinien, men danner en sort Plet i Dorsalens Rand.

Sebastes maderensis er oprindelig beskrevet af Cuvier
og Valenciennes i 1833 efter et Exemplar fra Madeira. Det
nærmere Kjendskab til denne Art skyldes væsentlig Lowe i
hans «History of the Fishes of Madeira?)», samt Steindachner
i hans Beretning om hans ichthyologiske Reise til Spanien
og Portugal.)

1) Vistnok en Trykfeil for maderensis.
2) P. 177 (London 1843—60).
3) Sitz. Ber. Kais. Akad. Wiss. Wien 1867, B. LVI, p. 673 (1867).

~

Om en Samling Fiske fra Azorerne. 5

Udbredelse. Denne Art forekommer særdeles talrigt
ved Madeira og Canarerne, samt ved den mellemliggende
Øgruppe Salvages.!) Ved de europæiske Kyster er den
sjeldnere, men forekommer dog ved Spanien og Portugal;
i Middelhavet synes den at vere idethele sparsom, skjont
den utvivlsomt her har en vid Udbredelse, idet den af
Steindachner er erholdt saavel ved Malaga, som ved Kysterne
af Palestina (Beirut).

I 1888 fandtes den af L’Hirondelle-Expeditionen forste
Gang ved Azorerne (ved Graciosa).?)

Echeneis albescens, Temm. Schleg. 1842.

Echeneis albescens, Temm. Schleg. Fauna Jap. Poiss., p.272, Pl. 120,
Fig. 3 (1842). (Japan).

Et Exemplar.

Totale "Dane ee 48 mm.
Suseskavens Længde. fa. At, famili 15 —
Mentralernes Lænpde 0. ic... Sk GL 4 —

Exemplaret, som er ganske ungt, svarer i alle Hen-
seender til det af Günther beskrevne Individ fra China i
British Museum.?) Sugeskivens Længdeindeholdes i Total-
lengden 3,2 Gange; dens Pladepar er 13. Halen er svagt
afrundet, Snudespidsen ligeledes afrundet. Ventralerne ere
relativt korte, og udgjøre lidt over 1/4 af Sugeskivens Længde,

Underkjæven er, ligesom Vomer, forsynet med en Del
spredte og temmelig lange Tænder. Mundvinkelen ligger
under det 3die Pladepar.

1) Vinciguerra, Atti Mus. Civ. Gen., Vol. XVIII, p. 611 (Genova 1883).

2) Collett, Rés. Camp. Sci. Albert I, Fasc. X, Poiss. p. 127 (1896).
3) Cat. Fish. Brit. Mus. Vol. II, p. 377 (1860).

6 R. Collett.

Farven er hvidagtig langs Ryglinien, forresten graabrun.

Udbredelse. Denne Art staar E. clypeata, Günth.
1860 (fra Havet omkring Cap) nær, men adskiller sig, ifølge
denne Forf., fra denne ved sin noget længere Mundaabning,
samt noget længere Ventraler og Pectoraler.

Typ-Exemplarerne af E. albescens ere fra Japan; desuden
eier British Museum Jixemplarer fra Havet udenfor China,
samt fra Havet søndenfor New Guinea; ligeledes er et
Exemplar taget ved La Paz i den Californiske Golf.

Fra Atlanterhavet foreligger den fra Madeira, hvorfra
British Museum, (ifølge en skriftlig Meddelelse af Dr. Bou-
lenger), har modtaget Exemplarer gjennem Dr. Johnson.

Echeneis remora, Lin. 1766.

Echeneis remora, Lin. Syst. Nat., Ed. XII, p. 446 (1766).

Et Exemplar med en Totallængde af 104 mm.; Suge-
skivens Pladepar er 19.

Udbredelse. Synes at være den hyppigst forekom-
mende Echeneis-Art, og findes i Regelen i talrige Exemplarer
i de fleste Museer. Saavidt der herom haves nogen Oplys-
ning, ere disse næsten altid tagne fra pelagiske Hai-Arter
(især Carcharias-Arter), og E.remora har derfor en vid Ud-
bredelse i næsten alle varmere og tempererede Verdenshave.

I de europæiske Farvande forekommer den i Middel-
havet lige ind til Grækenland, dog idethele her ganske
sparsomt; ved Vest-Europa ere enkelte Exemplarer tagne i
Golfe de Gascogne, samt mod Nord saa langt som ved de
britiske Kyster. Ved de nordeuropæiske Kyster vides den

Om en Samling Fiske fra Azorerne. T4

ikke iagttagen; derimod haves et Par Meddelelser om, at
den er fundet paa Island, forste Gang (1570) fastsuget til
en Lamna, dernæst (1720) fæstet til en Baad. Ogsaa senere
(ifølge Stenstrup 1840) ere Exemplarer bragte til Island med
Skibe.1)

Ved de amerikanske Kyster gaar den mod Nord til
New-York, og i Pacific op til San Francisco.

Eumicrotremus spinosus, (Mill.) 1776.

Cyclopterus spinosus, Mull. Prodr. Zool. Dan., p. IX (1776).
Humicrotremus spinosus, Gill, Proc. Acad. Nat. Sci. Philad., Sept.
1864, p. 190 (1864).

1 Exemplar.
Totalesnciles ER ee 60 mm.
Homederskænsde at in ren: 22 —
Ike semerseklølder Nb AD —
SugeskayensøDrameter SJØNN MN ao LE —

Exemplaret var slet conserveret, og tillader ikke sikker
Telling af Finnestraaler. Det er iøvrigt i alle Henseender
overensstemmende med arctiske Individer; Bentornene paa
Legemet og Basis af Finnerne vel udviklede.

Udbredelse. E. spinosus er, i Modsætning til Cyclo-
pterus lumpus, en Dybvands-Art, der hidtil har været kjendt
alene fra de arctiske Farvande.

Oprindelig blev E. spinosus beskreven fra Grønland,
hvor den har været kjendt allerede siden forrige Aarhun-
drede gjennem Müller (Prodromus Zool. Dan., p. IX, 1776),

1) Lütken, Vidensk. Medd. Naturh. Foren. Kbhvn. 1875, p. 38 (Noten).

8 R. Collett.

og Fabricius (Fauna Groenland. p. 134, 1780), og hvor den
synes at vere talrig; af den engelske Nordpols-Expedition
(under Capt. Nares) erholdtes den ved Vest-Grønland paa
flere Steder (Cape Napoleon og Franklin Pierce Bay), mellem
79 og 80° N. B. (Proc. Zool. Soc. Lond. 1877, p. 293).

Søndenfor Grønland er den paa Atlanterhavets ameri-
canske Side fundet paa Dybderne udenfor de forenede Stater
omtrent til 42* N. B., hvor enkelte Exemplarer ere tagne
udenfor Eastport (Maine), og i Massaschusetts Bay.

Fra det vestlige arctiske America er den kjendt fra
Alaska og Beringshavet, hvor den synes at forekomme talrig,
da et Individ af Alepidosaurus aesculapius, Bean, taget ved
Unalashka i October 1880, havde i Ventrikelen 21 Indi-
vider af Æ. spinosus, alle fuldvoxne paa 1 nær (Bean, Proc.
U. S. Nat. Mus, Vol. V, p. 661, 1882).

Fra Beringshavet er imidlertid en Art i 1861 beskrevet
af Dr. Günther under Navn af Cyclopterus orbis (Cat. Fishes
Brit. Mus., Vol. III, p. 158, 1861), som ifølge Diagnosen
væsentlig skiller sig fra E. spinosus ved et ubetydeligt
ringere Antal Straaler i 2 D. og A. Men da det har vist sig,
at et Exemplar fra Kamtschatka, som opbevares i Univ.
Mus., i Antallet af Straaler i disse Finner danner en
tydelig Overgang fra den typiske Æ. spinosus til den af
Ginther beskrevne Art, har jeg antaget,!) at begge Arter
vare identiske.

Nyere americanske Ichthyologer have imidlertid troet
at finde Forskjel mellem begge de nævnte Arter ogsaa i
enkelte andre Henseender, og opføre indtil videre E. orbis
(Günth.) som en fra E. spinosus skilt Art, skjønt de er-

1) Den Norske Nordhavs-Expedition 1876—78. Zoologi, Fiske,
p. 48 (1880).

Om en Samling Fiske fra Azorerne. 9

kjende, at Spørgsmaalet først kan løses med et rigeligere
Materiale af den sidstnævnte Form.

I det arctiske Europa er endelig E. spinosus af Faber
fundet ved Island,') ved Jan Mayen,?) samt ved Spitsbergen,
medens den endnu ikke er truffet længere mod Øst (i Kara-
havet), eller ved det europæiske Continent.

Ved Spitsbergen er den allerede paavist af Kröyer3) i
1838, og senere er gjenfundne af de fleste Expeditioner, som
her have gjort Dybvandsskrabninger, sidste Gang af den
norske Nordhavs-Expedition, som den 19de August 1878
optog et udmærket vel conserveret Exemplar fra en Dybde
af 236 Meter (129 Favne) i Isfjorden; Temperaturen paa
Bunden var — 1,2° ©. Bunden Stenbund og Mudder.

Paavisningen af denne Art fra Havet omkring Azorerne,
altsaa under en Breddegrad (38° N. B.), som den sydlige
Del af Portugal, er af Interesse, da den viser Ensartetheden
af Havets physiske Forholde i de større Dybder under saa
ulige Breddegrader. Som ovenfor nævnt, forekommer E.
spinosus i de arctiske Dele i det iskolde Vand, der endog
gaar under 0° C.

1) Naturgesch. Fische Islands, p. 54 (1829).

2) Steindachner, Oesterr. Polarstation Jan Mayen, Beob. Ergebn.
Fische, III, p. 106 (1886).

3) Gaimard, Voy. Scand. Lap. Spitzb. etc. Zoologie, Poissons,
P1 IV (1845).

10 R. Collett.

Blennins galerita, Lin, 1766.

Blennius galerita, Lin. Syst. Nat. Ed., XII, p. 441 (1766).

Salarias symplocos, Hilgend. Sitz. Ber. Ges. Naturf. Freunde Berl.
1888, p. 79; Arch. f. Naturg. 1888, p. 209, Taf. XIV, Fig. A.
(1888). (Azorerne).

Et Exemplar. Totallængde 71 mm., Hovedets Længde
14 mm.

Exemplaret tilhører den Farvevarietet, hvor Legemet
er ensartet mørk sepiafarvet uden Tverbaand, men overalt
bestrøet med smaa sorte Pletter, der staa tættest paa Hove-
det, og mangle paa Finnerne.

Udbredelse. Denne Art tilhører væsentlig Middel-
havet, og det mellemste Atlanterhavs Øgrupper.

I Middelhavet er den udbredt, om end ikke i særdeles
stort Antal, langs Italiens Kyster op mod Bunden af Adri-
aterhavet (Lesina, ifølge Giglioli); den er dog, ifølge Guiche-
not!) hyppig ved Kysterne af Algier, og gaar mod Øst lige
op til det Sorte Hav (Kessler); ligeledes er den fundet ved
Grækenland.

Den er talrig ved Kysterne af den Spanske Halvø, og
gaar mod Nord op til de britiske Kyster ved Canalen,
hvor den paa enkelte Puncter ikke er sjelden.

Fremdeles forekommer den ved Madeira, og er særdeles
hyppig ved Canarerne.

1) Explor. Scient. de Algérie 1840 —42. Zoologie, Livr. 32, p.72
(Paris 1850).

Om en Samling Fiske fra Azorerne. Til

Ved Azorerne er den allerede i 1888 omtalt af Sim-
roth og Hilgendorf; samme Aar optoges et Exemplar ved
Fayal of I/Hirondelle-Expeditionen.

Tripterygium melanurum, Guich. 1850.

Tripterygium melanurus, Guich. Explor. Scient. de l'Algérie 1840—42.
Zoologie, Livr. 32, p. 75, Poiss. Pl. 4, Fig. 4 (1850).

2 Exemplarer, det ene en halvoxen Unge. Det større
Individ havde følgende Maal:

Tulle a way PV ee 52 mm.
tome me nsw Bensde nn... Se 13 —
Jes løses fr ran es 3,5 —

Sidelinien indeholdt 42 Skjæl; M. B. 6.

I Farvetegningen stemmede de 2 Exemplarer, uagtet
deres store Forskjel i Størrelsen, i alle Hovedtræk overens

Denne Art staar den middelhavske Tr. trépteronotus!)
nær, og stemmer overens med denne i Legemsbygning,
Skjælbeklædning, Tentakler og Finnestraalernes Antal.

Derimod er Farvetegningen forskjellig; mest ionefaldende
er en dybsort, af hvidgult omfattet Plet paa Haleroden;
iste Dorsal er sortfarvet, Hovedet lyst, og de øvrige Finner
næsten ensfarvet hvidlige.

Fremdeles synes Pectoral og Ventraler at være relativt
kortere hos Tr. melanurum; saaledes naa Ventralerne med

sine Spidser knapt til Anus, og Pectoralspidsen rager neppe

1) Tripterygium tripteronotus, (Risso) 1810; Tr. nasus, Risso 1826.

1 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 7.
Trykt den 8de April 1897,

12 R. Collett.

ud over Grunden af den 6te Analstraale (hos Tr. triptero-

notus naar den omtrent den 12te).

Farvetegning. Hovedet er lyst rødliggult, med mor-
kere Marmoreringer paa Kinderne; foran Øiet er et mørkere
Baand.

Nedad Ryggen løbe mørkere Skygninger, begrændsede
af lysere Tverbaand, der ere mest markerede langs Ryglinien
og paa Halen.

De mørkere Skygninger blive ligeledes dybere paa
Halepartiet, og danne nederst paa Haleroden en stor dyb-
sort Plet, omgivet af gulhvidt; denne sorte Plet fortsætter
sig i en kort sort Stribe langs henad Roden af de mellemste
Caudalstraaler, hvorved fremkommer en næsten korsformig
Figur.

Af de lyse Tverbaand findes det nederste paa Hale-
roden, hvor det optager Rummet mellem den ovennævnte
sorte Plet og Slutningen af 3die Dorsal. Det næst bagerste
Baand ligger under 3die til 6te Straale af 3die Dorsal; det
3die Baand (bagfra) ligger bag Slutningen af 2den Dorsal.
Endelig findes omtrent 3 svagere Baand under 2den Dorsal.

Alle Baand ophøre allerede omtrent ved Sidelinien
(eller blive uregelmæssige nedenfor denne), og de mørkere
Skygninger ere ligeledes uregelmæssige eller ligesom for-
skudte nedenfor Sidelinien.

Finnerne. 1ste Dorsal er sortagtig; 2den og 3die Dorsal
have Tverbaand, som hos de forhaandenværende Exemplarer
ere utydelige. Paa Pectoralens Feste er en morkere Plet;
Pectoralerne selv ere, ligesom Analen, Ventralerne og Cau-

dalen, hvidagtige (eller blot svagt pigmenterede).

Udbredelse. Denne Art blev opstillet i 1850 af
Guichenot efter Exemplarer fra Kysterne af Algier, hvor

Om en Samling Fiske fra Azorerne. 13

den angaves at forekomme sparsomt (medens den anden Art,
Tr. tripteronotus, her var talrig).

Hvorvidt deni Virkeligheden udgjør andet end en Farve-
varietet af den sidstnævnte Art, kan ikke fyldestgjørende
besvares med det forhaandenværende ringe Materiale.

Lepadogaster bimaculatus, (Penn.) 1776.

Cyclopterus bimaculatus, Penn. Brit. Zool. Ed. IV, Vol. III, p. 397 (1776).

Et Exemplar. Totallengde 44 mm. Exemplaret er i
slet Forfatning.

Udbredelse. Ligesom de øvrige Arter af Slægten
Lepadogaster er denne en Kystform, som tilhører Middel-
havet og Vest-Europa; men den har en større Udbredelse,
end nogen af dem, idet den forekommer fra Grækenland i
Øst, Canarerne i Syd og op til henimod Polarcirkelen i Nord.

I Middelhavet er L. bimaculatus udbredt lige til dets
østligste Delel), og Univ. Mus. eier Exemplarer fra Sicilien
(Syracus og Catania), tilhørende Formen L. desfontaimi,
Risso 1836. I Adria gaar den, ifølge Gräffe, lige op til
Triest.

Tøvrigt forekommer den, skjønt intetsteds talrigt, langs
Italiens og Spaniens Kyster, ligesom den (i forskjellige
Farvevarieteter) optræder langs Kysten af Algier (Guichenot).

I Atlanterhavet er den truffet langs den spanske Halvøs
Kyster, i Golfe de Gascogne, og ved Kysterne af England
og Scotland, intetsteds egentlig talrigt.

1) Grækenland, ifølge Apostolidés, La pèche en Grèce, p.30 (Athe-
nes 1883).

14 R. Collett.

Endelig er den langs Norges Kyster ikke sjelden fra
Stavanger af og op til Trondhjemsfjorden (64° N. B.); under-
tiden ere her (i Omegnen af Bergen) indtil 5 Individer
fundne fastsugede til et enkelt Skal af Cyprina cslandica.

I Skagerak og Kattegat er den sjelden, og blot et enkelt
Individ er her fundet i 1881 (Lilljeborgs Fauna, Fiskarne 1 D.,
p. 747) ved Våderöerna; i Østersøen forekommer den ikke.

Ved Atlanterhavets Øgrupper er den truffet af Stein-
dachner ved Canarerne, og af Simrothl) ved Azorerne.

Argyropelecus olfersii, (Cuv.) 1829.

Sternoptyx olfersii, Cuv. Regne Anim, Ed. II, Tome 2, p. 316 (1829).
Argyropelecus olfersti, Cuv. Val. Hist. Nat. Poiss., Tome XXII. p.
408 (1849).

3 Exemplarer, alle halvvoxne; deres Dimensioner vare:

a. b. ©
diotallensden. nee 49 mm. 52 mm, No
Legemets Hoide ......... 31 — > — 33 —
Hovedets Længde........ 14 — 15 — 16 —

Til de allerede foreliggende Beskrivelser af denne Art
skal blot føies en Bemærkning om Analens Bygning.

Allerede Prof. Smitt?) har gjort opmærksom paa Straa-
lernes eiendommelige Anordning i denne Finne, idet den
Sde Straale er ved et Mellemrum skilt fra den 7de og 9de,
Det sees hos de forhaandenværende yngre Individer, at Mel-
lemrummet mellem den 7de og 8de er optaget af en 3-klovet

1) Hilgendorf, Arch. f. Naturg., 1888, p. 210.
2) Skand. Fiskar, II. Del, p. 928 (1895).

Om en Samling Fiske fra Azorerie. 15

Torn, der rager et kort Stykke frem over Finnernes Grund;
mellem 8de og 9de er der en lignende, mere knudeformig
Torn, der er lavere.

U dbredelse. Artens egentlige Hjemstavn er sand-
synligvis Atlanterhavets mellemste Dele, omtrent mellem
Azorerne og Vest-Indien; mer forholdsvis faa Exemplarer
ere hidtil kjendte herfra.

I 1849 omtaler Cuvier og Valenciennesl) et i Berliner-
Museet opbevaret Exemplar, (Typ-Exemplaret), der stammede
fra Havet mellem Canarerne og Brasilien, samt et andet
Exemplar, taget i Nærheden af Cap. Ligeledes nævner
Nilsson (1855) i sin Skand. Fauna et Exemplar paa Museet
i Lund fra Vest-Indien.

Fremdeles har Museet i Kjøbenhavn enkelte yngre
Exemplarer fra Azorerne, hvor ligeledes et Exemplar optoges
under L’Hirondelle’s Expedition (ved Fyrsten af Monaco) i
1888. Endelig er den, ifølge Lowe, fundet ved Madeira. I
det egentlige »Sargasso-Hav», er den, mærkeligt nok, ikke
med Sikkerhed fundet. |

Flere Individer ere optagne i de seneste Aar under de
nordamericanske Expeditioner med »Albatross» til Grand
Banks mellem 38 og 42° N. B. (Havet nordenfor Bermudas-
Øerne,?) eller i det egentlige Golfstrøms-Belte; og med Golf-
strømmen ere i Aarenes Løb et ikke ringe Antal Individer
førte ind mod de europæiske Kyster. Under Travailleur-
Talisman-Expeditionen optoges saaledes 2 Exemplarer uden-
for Portugal3), ligesom Challenger-Expeditionen erholdt 1
Exemplar udenfor Cap Finisterre.

1) Hist. Nat. Poiss., Tome 22, p. 410 (1849).
2) Goode and Bean, Oceanic Ichthyology, p. 127 (Wash. 1895).
3) Vaillant, Exped. Scient. Trav. Talism. Poiss., p. 107 (1888).

16 R. Collett.

Hyppigere end paa nogen anden Del af Vest-Europa
har denne sub-tropiske Art vist sig ved Norges Kyster,
sammen med andre Prøver af Golfstrømmens Dyre- og
Planteliv. Omkring 16—20 Individer ere her i Aarenes
Løb fundne, alle paa Strækningen mellem Bergen og Fin-
marken, og af disse opbevares noget over det halve Antal
i Landets Museer.') De fleste af disse Exemplarer ere hav-
nede paa Kysterne af Bergen Stift, i Regelen drevne døde
op i Stranden, eller udtagne af Ventriklerne af de større
Fadus-Arter. Det nordligste af alle drev iland ved Rolfsø-
havn nær Nordeap (71° N. B.) i Januar 1882, efter en vold-
som Orkan.

Det første som nordisk bekjendte Individ blev fundet
ved Ranenfjord i Nordland i 1835, og er udførligt beskreven
og afbildet af v. Düben og Koren i 18442); det sidste
Exemplar blev fundet i 1890 udenfor Bergen.

De fleste af de norske Individer have været fuldt ud-
voxede, eller nær derved; et enkelt var mindre, end de
øvrige, og håvde en Totallængde af 61 mm.

Endelig er et Exemplar strandet i 1855 ved Vestmanna-
Øerne ved Island, og nedsendt til Museet i Kjøbenhavn.

Levemaade. Det er sandsynligt, at Argyropelecus
olfersti er en Dybvands-Art, der i Almindelighed kun
kommer til Overfladen om Natten, og den er derfor muligens
i Virkeligheden stationær over større Dele af Atlanterhavet.
I Lighed med flere andre pelagiske Fiskearter, (saasom de
fleste af Familien Ceratiidae), kunne de saaledes leve baade
i de øvre Vandlag, og trænge ned til betydelige Dybder.
Saaledes angives Travailleur-Talisman-Exemplarerne at være

) Zool. Museum i Christiania har for Tiden 5 norske Individer.
2) Kel. Vetensk. Akad. Handl. 1844, p. 80, Tab. III (1846).

Om en Samling Fiske fra Azorerne. 117

optagne fra en Dybde af 950 —1616 Meter, og Challenger-
Individet endog fra 1125 Favnes Dyb (2120 Meter).

Dr. Günther betvivler imidlertid med Rette, at Indi-
viderne i Virkeligheden ere hentede op fra denne betydelige
Dybde, men antager, at de ere snarere medfulgte Trawlen
paa dens Vei gjennem de høiere Vandlag.

Da de 3 foreliggende Individer fra Azorerne alle vare
af samme Størrelse, ere de sandsynligvis alle optagne ved
samme Leilighed; muligens holde de sig i Flokke eller Stim,

Indre Dele. Hos et af de ved Tromsø strandede
Individer fandt jeg Ovarierne udspændte af moden Rogn;
Æggenes samlede Antal kunde anslaaes til omtrent 1000
Stykker.

Hos et Individ, ligeledes fra Norge, fandt jeg Ventri-
kelen indeholdende et halvt fordoiet Exemplar af Mauro-
licus pennant: (Walb.), med en Totallængde af 50 mm.;
Længden af dens Bytte var saaledes over Halvdelen af

Individets egen Længde.

” OM EN DEL

FOR NORGES FAUNA NYE FISKE

FUNDNE I 1880—1896
AF

R. COLLETT

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB

d

"RRISTIANIA
ALB. CAMMERMEYERS FORLAG

LARS SWANSTROM

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB. B. XIX. Nr. 8.

Om en Del for Norges Fauna nye Fiske,
fundne i 1880—1896.

Af R. Collett.

Siden 1883, da det 2det Hoved-Supplement til Norges
Fiske udkom («Meddelelser om Norges Fiske i Aarene
1879—83», i Nyt Mag. f. Naturv., 29 B., p. 47), er Landets
Fauna forøget med 8 nye Arter, hvoraf et Par have særlig
Interesse som tidligere ikke paaviste indenfor Europas
Omraade (Chlamydoselachus anguineus, Garm. og Suds
kröyeri, (Ltk.)).

Hertil komme enkelte Arter, der allerede tidligere (for
1883) ere erholdte ved de norske Kyster, men af forskjellige
Grunde hidtil ikke optagne i de af Forfatteren indtil dette
Aar meddelte Oversigter over Landets Fiskefauna. Disse
sidste ere folgende:

1. Ammodytes cicerellus, Raf. 1810. Et yngre Individ er
af Prof. Lilljeborg optaget i Bundskrabe fra en Dybde
af 30 Favne ved Grip udenfor Aalesund 9de August
1858 sammen med À. lancea, og er nøiere omhandlet
og beskrevet i hans «Sveriges och Norriges Fauna,
Fiskarne», B. 2, p. 228, 1886 (Upsala 1891).

R. Collett.

Exemplaret havde en Totallængde af 126 mm;
Legemets største Høide er 7 mm., Hovedets Længde
24 mm. Afstand fra Snudespids (Underkjævens) til
Anus 71 mm., til Dorsalen 34 mm.

Legemets Hoide indeholdes saaledes hos dette
Exemplar 18 Gange i Totallængden.

Dette er det eneste Exemplar, som hidtil vides
erholdt i Scandinavien. Af Lilljeborg ansaaes den som
normal og stationær paa den angivne Localitet; paa
samme Sted erholdtes en Del sjeldnere Conchiferer,
saasom Pectunculus glycimeris, Venus casina, og Tel-
lina crassa. |
. Syngnathus rostellatus, Nilss. 1855. Som allerede i 1879
(1ste Hoved-Supplement til Norges Fiske, Forh. Vid.
Selsk. Chr.a 1879, Nr. 1, p. 101) berørt, er denne Form
hyppig i Christianiafjorden, men jeg troede dengang
ikke at burde adskille den som en distinct Art fra
S. acus, Lin.

De største Exemplarer, som jeg har erholdt fra vore
Kyster, have havt en Totallængde af 160 mm.

Foruden fra Christianiafjorden har jeg undersøgt
Exemplarer fra Fjordene ved Arendal, samt fra Bergens
Omegn, fra hvilken sidste Localitet der opbevares
Exemplarer saavel i Bergens Museum, som i Universi-
tets-Museet i Christiania.

Fra andre end de nævnte Localiteter ved de norske
Kyster foreligger endnu ikke denne Art.

. Lycodes muraena, Coll. 1878. Ligesom L. frigedus, er
denne en af Nordhavs-Expeditionens nye Former, men er
ikke tidligere medregnet blandt Landets Fiskefauna, fordi
denne har hidtil omfattet blot saadanne Arter, der vare

erholdte umiddelbart under Landets Kyster. Sandsyn-

-

Om en Del for Norges Fauna nye Fiske. 5

ligvis bor dog Faunaens Omraade udvides derhen, at
det Dyreliv medregnes, som befolker Kystbankerne
(«Storeggen», etc.) indtil disses Afhældning mod det
dybere Atlanterhav.

Et Exemplar af L. muraena erholdtes (Stat. 124)
omtrent 230 Kilom. vestenfor Trænen (Helgeland) under
Expeditionens 2det Togt den 19de Juni 1877, fra en
Dybde af 350 Favne, og hvor Bundtemperaturen var
= 0,9° C.

Exemplaret, hvis Totallængde var 141 mm., udgjør

denne characteristiske Arts Type, og er beskrevet i
Forh. Vid. Selsk., Chr.a 1878, Nr. 4, p. 15. Nyere
americanske Forskere have anseet den som udgjørende
en egen Slægt (Lycenchelys, Gill 1884), men dennes
Characterer ere idethele blot relative, og Slægten er
ved tydelige Overgange forbunden med den typiske
Slægt Lycodes.

Senere erholdtes et Par Individer af samme Art
under Expeditionens sidste Togt, i 1878, i Havet vesten-
for Beeren Eiland og Spitsbergen.

Fremdeles bleve et større Antal Individer optagne
i Færø-Renden under «Knight-Errant» Expeditionen i
1880 og 1882, og omtalte af Günther (1 1887) i hans
Beretning om Challenger-Expeditionens Materiale (p. 79).
Ved de amerikanske Kyster er Arten endnu ikke
paavist.

4, Mugil auratus, Risso 1810. Denne Art erholdtes første

Gang i 1880, senere i 1896, i Christianiafjorden, og er
omtalt af Smitt i 1892 1 hans nye Udgave af «Scandi-
naviens Fiskar» (I, p. 139). Den er nærmere omhandlet
nedenfor (p. 18).

6 R. Collett.

Fam. Lamnidae.

Isurus oxyrhynchus, Raf. 1810.

Isurus oxyrinchus,Raf. Caratt. Ale. Nuovi Gen. e Nuovi Specie Anim.
Sicil. p. 12, PL XII, Fig. 1 (1810).

Oxyrrhina spallanzanii, Bonap. Icon. Fauna Ital. Tomo III. Pesci (1834).

Oxyrhina gomphodon, Müll Henle, Syst. Beschr Plagiost., p. 68,
Pl. 28 (1841).

Lamna spallanzamii, Günth. Cat. Fishes Brit. Mus. Vol. VIII,
p- 390 (1870).

Localitet: Bergensfjord 1896.

Den l4de Juli 1896 fangedes i Kilenot ved Tellevaag
(Sotra) udenfor Bergen et Exemplar af en Hai, hvoraf blot
nogle faa Rester ere blevne opbevarede, og gjennem Con-
servator Grieg bragte til Bergens Museum, og som viste
sig at tilhøre denne Art.

Det fangede Exemplar havde en Længde af 2895 mm,
men blev strax sonderhugget. Blot nogle faa Levninger,
væsentlig Craniet med de 2 Underkjæver, det meste af
venstre Ventral, lidt af Gjællebuerne, samt 60—70 af
Tænderne bleve reddede. Af disse sidste har jeg erholdt
en Del til nærmere Undersøgelse; de største havde en
- Længde af 35 mm.!)

Sandsynligvis har der været flere Exemplarer af samme
Art i Folge. En Del store Haier saaes samtidigt i samme
Fjord, ofte visende sig i Vandskorpen; et Individ, som

1) Enkelte Dele af disse Levninger opbevares paa Universitetets
Museum i Christiania.

Om en Del for Norges Fauna nye Fiske 7

muligens har tilhørt denne Art, iagttoges ogsaa af Conser-
vator Grieg et Par Dage senere lige i Nærheden (Goltesund
17de Juli).

Udbredelse. Isurus oxyrhynchus har sin fornemste
Udbredelse i Middelhavet og de tilstødende Dele af At-
lanterhavet, men forekommer ogsaa i det indiske Ocean.

I Middelhavet er den paa flere Steder temmelig talrig,
og gaar mod Øst lige hen til Grekenland.')

Ligeledes gaar den i Adriaterhavet op til Triest, og
viser sig ogsaa langs den africanske Kyst (Tunis, ifølge
Vinciguerra)

I Atlanterhavet er den udbredt mod Vest idetmindste
til Azorerne, ?) ligesom den ogsaa forekommer ved Madeira
og Canarerne. Den er hyppig udenfor Kysterne af Portugal,
og gaar mod Nord op til Golfe de Gascogne, medens den
endnu ikke synes at være funden i Canalen eller ved de
Britiske Øer.

I de americanske Farvande er den endnu ikke med
fuld Sikkerhed truffet. a

Derimod omtales den som funden i det Rode Hav, ved
Muscat i Arabien,3) samt i det Indiske Ocean.)

1) Apostolidès, La pêche en Grèce, p. 6, (Athènes 1883).

2) Hilgendorff, Archiv f. Naturgesch. 1888, p. 213.

3) Boulenger, Proc. Zool. Soc., Lond. 1889, p. 243.

4) Day, Fishes of India, p. 722 (1878); Fauna of British India,
Fishes, Vol. I, p. 26 (1888),

R. Collett.

| On

Fam. Galeidae.

Mustelus canis, (Mitch.) 1815.

Squalus canis, Mitch. Trans. Lit. Phil. Soc. New-York, I, p. 486
(1815).

Squalus (Galeorhinus) hinnulus, Blainv. Faune Franc., p. 83 (1828).

Mustelus plebejus, Bonap. Icon. Fauna Ital., Tomo III, Pesci (1834).

Mustelus vulgaris, Mill. Henle, Plagiost, p. 190, Pl. 27 (1841), et

auctorum.
Localitet: Christianiafjorden 1887.

Et Exemplar blev fanget i Garn ved Nakholmen lige
udenfor Christiania 17de November 1887, og afgivet til
Universitetets Museum i Christiania. Det var en ung Hun,
med uudviklede Generationsorganer.

Udmaalinger.
Dotallenode ee 25.2.2. 00 SEE 773 mm.
Elovedetsylænsder. SE ee ee 157 —
SnudespidskalFAnus JJ eee sl ==
HragAnuspiilktalespidsen’ wen 384 —
Snudesprds stil ret: ENT 2... 2. ENE
Olesen Mee hl ac... so: «ciate Ee ee ae Ul —
Rectoralensybænsde | eee 111 —
Caudalens Eensde oyentil SN Il.) —

— mj nedentil (as SEG EE Loy —=

Om en Del for Norges Fauna nye Fiske. -9

Farve. Hvidplettet. Ovenfor Sidelinien ere de hvide
Pletter talrige, omtrent 2 mm. i Diameter; ingen Pletter
nedenfor Sidelinien.

I selve Sidelinien ere Pletterne tættest, og danne en
sammenhængende Række; ovenfor denne Række ere Plet-
terne uregelmæssigere stillede, noget større, og danne 1—2
Rækker. Hen mod Halespidsen ere de atter færre.

Paa Hovedet gaar en kort bueformig Række af hvide
Pietter fra Spiracula nedover mod Undersiden.

Ventrikelen indeholdt Crustaceer, nemlig talrige Unger
af Carcinus maenas, med en Diameter af omtrent 25 mm.;
desuden en noget større Unge af Lithodes arcticus.

Tarmen indeholdt talrige Entozoer.

Udbredelse. Denne Art er hyppig i Middelhavet og
ved Sydvest-Europas Kyster, og har været kjendt af de
ældste Forfattere, men har senere jevnlig været sammen-
blandet med en anden nærstaaende Art G., (Mustelus) laevis,
(Risso) 1826, der er synonym med G. (Mustelus) equestris,
Bonap. 1838.

Især er den talrig i Middelhavet og Adria, er truffet
ved Tunis (Vinciguerra), og gaar her mod Vest idetmindste
til Sicilien.

I Atlanterhavet er den ligeledes hyppig op til Canalen,
og er erholdt paa de fleste Steder ved de britiske Kyster,
medens den normalt ikke synes at forekomme ovenfor
Nordsøen. Den er ikke anmærket ved Danmarks eller
Sveriges Kyster.

Derimod er en Art talrig ved Nord-Americas Øststater,
som allerede i 1815 blev beskrevet af Mitchell under Navn
af Squalus camis, og som af de americanske Forskere ansees

2 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 8.
Trykt den 9de April 1897,

10 R. Collett.

som identisk med den europæiske. Under den Forudsæt-
ning, at dette er Tilfældet, opføres her Arten under Navnet
M. camis, idet Mitchells Navn har Prioritet fremfor dem,
under hvilket den hidtil har været kjendt fra de europæiske
Have. 1)

Fam. Chlamydoselachidae.

Chlamydoselachus anguineus, Garm. 1884.

Chlamydoselachus anguineus, Garm. Bull. Essex Instit. Vol. XVI,
Jan. 17, p. 3 (Salem 1884); Bull. Mus. Comp. Zool. Harw. Coll.
Vol. XII, p. 1 (Cambr, Mass. 1885). Japan.

Clamydosache anguinea, Günth. Rep. Scient. Res. Voy. Challenger,
1873—76, Zoology, Vol. XXII, p. 2, Pl. LXIV, LXV (Edinb.
1887). Japan:

Chlamydoselachus anguineus, Coll. Bull. Soc. Zool. France 1890,
Tome XV, p. 219 (Paris 1890). Madeira.

Localitet: Varangerfjorden 1896.

Et stort Individ blev fanget 4de August 1896 i et
Bundgarn ved Bugønæs i Varangerfjorden, og af Commandør
Salvesen indkjøbt og nedsendt som Gave til Universitets-
Museet i Christiania, hvor det nu opbevares.

Det viste sig at være en udvoxet Hun, og har en
Totallængde af 1910 mm.; Hovedets Længde var 195 mm.
Legemets Høide 165 mm.

1) En nærstaaende Form, Galeorhinus galeus, (Lin.), som tilhører
Syd- og Vest-Europa, og flere Gange er truffen i Norge, er
tidligere ofte opført under Navnet Galeus canis, Bonap. 1838.

Om en Del for Norges Fauna nye Fiske. je

Exemplaret, som nu er udstoppet, vil paa et andet
Sted blive udførligere beskrevet.

Udbredelse. Arten er tidligere blot fundet i nogle
faa Individer ved Japan; et yngre Individ erholdtes i Marts
1889 ved Madeira.

Fam. Trichiuridae.

Trichiurus lepturus. Lin. 1766.

Trichiurus lepturus, Lin. Syst. Nat., Ed. XII. p. 429 (1766).
Localitet: Christianiafjorden 1896.

Et enkelt Exemplar er fanget i Christianiafjorden mel-
lem Holmestrand og Horten 7de October 1896, og ind-
sendtes til Universitets-Museet. Det var taget i et Bund-
garn, udsat for Torsk.

Dette Exemplar, der befandt sig i fortrinlig Stand,
havde følgende Maal:

Talen JE TE 803 mm.
klevedetskbænede. ee nn ea de 103 —
keromersHøide, Jani Seeger ØL —

Hovedet indeholdes saaledes omtrent 8 Gange i Total-
længden.

Tænderne: I Overkjæven findes forrest 1 lang Tand;
derpaa følge i Kjævens horizontale Halvdel 6 smaa Tænder

(og 1 noget længere indenfor den 4de af de smaa); dernæst

12 - R. Collett.

i Kjævens indre, skraat nedadløbende Del 10 kortere Tænder,
der aftage i Størrelse indad.

I Underkjæven er den forreste lange Tand noget kor-
tere, end i Overkjæven; forresten ere Tænderne omtrent,

som i denne.

Dorsalen indeholdt omtrent 150 Straaler.

Udbredelse. Tr. lepturus har en vid Uddredelse i
næsten alle Verdenshave, men gaar ikke længere mod Nord,
end til omtrent 50° N. B. Den synes at være en pelagisk
Form, men som til visse Aarstider antagelig er mere
litoral.1)

I Atlanterhavet forekommer den især i de varmere
Dele, fra Sydvest-Europa ned til Syd-Africa; paa den
americanske Side er den truffen fra Nord-Americas Øst-
stater saa langt mod Nord, som ved Virginia, er talrig
langs Vest-Indien, og forekommer endnu ved Brasilien.
Endelig forekommer den i det Stille Ocean op til Nedre
Californien. Hvis et Par nærstaaende Former skulde vise
sig at være identiske med Tr. lepturus, vil dens Udbredelse
blive betydeligt udvidet.

Ved de europæiske Kyster er den idethele sjelden eller
sporadisk. I Middelhavet synes den saaledes næsten helt
at mangle, men angives dog fra Grækenland af Aposto-
lides*)

Ved Portugals Kyster er den sjelden, ligesaa i Golfe
de Gascogne, hvor blot enkelte Individer ere kjendte. Der-

1) Lütken, Spolia Atlantica, (Kgl. D. Vidensk. Selsk, Skr. 5 Række,
Naturv. Math. Afd., 12 B.. p. 451. Kbhvn. 1880.)
2) Pèches en Grèce, p. 22. (Athènes 1883).

Om en Del for Norges Fauna nye Fiske. 13

imod er den flere Gange erholdt i Canalen, og den angives
endog som temmelig talrig her i enkelte Aar i Vinter-

maanederne.1)

Fam. Centrolophidae.

Centrolophus pompilus, (Risso) 1810.

Coryphaena pompilus, Risso, Ichthyol. de Nice, p. 180 (1810).2)

Centrolophus pompilius, (et ©. liparis), Risso, Hist. Nat. Eur. Mer.
Tome III, p. 336—337 (1826).

Centrolophus pompilus, Cuv. Val. Hist. Nat. Poiss. Tome IX. p.334
(1833).

Localitet: Trondhjemsfjorden 1886.

2 Exemplarer af denne Art, der hidtil ikke var truffet
nordenfor de Britiske Øer, fangedes 8de September 1886 i
Sildegarn ved Bynæsset i Trondhjemsfjorden, omtr. 11 Kilom.
vestenfor Trondhjem. Begge afgaves til Museet i Trond-
hjem; gjennem Conservator Storms Velvilje blev det ene (a)
‚overladt til Universitets-Museet.

1) Day, Fishes of Great Brit. and Ireland, Vol. I, p. 155 (1880—84).
2) Det er ikke usandsynligt, at ogsaa Linné og andre af de ældre
Forfattere have kjendt denne Art; men af de korte Beskrivelser
af deres Coryphaena pompilus, Linné og Gmel., Coryphaena
pompilus og Centrolophus niger, etc., Lacep., fremgaar det, at
de i alle Tilfælde ikke alene har havt nærværende Art for Øie-
Derimod er det mindre tvivlsomt, at Risso i 1810 i sin
“Ichthyologie de Nice“ som Coryphaena pompilus beskriver en
Farve-Varietet af denne Art, og fra ham bør derfor Artens

Benævnelse derfor dateres.

14 R. Collett.

Exemplarerne vare udvoxede, med en Totallængde af
425 mm. og 449 mm.; de vare delvis exviscererede, da de
bleve afgivne til Museerne, hvorfor deres Kjon ikke har

kunnet constateres,

Udmaalinger.

a b.
Totalænede pas 425 mm. 449 mm.
Længde til midt mellem Caudalfligene 393 — 412 —
Snuden til Dorsalens Bagrand....... 289 — 298 —
Snudenshil@orsalene ne ar. 96 — 108 —
Snudenstl@Anuse. Le dents 182 — 198 —
Længde fra Anus til Halespidsen .... 240 — 260 —
HioyedeisgBensders oe 80 — a
Saudensskzeneder en... RE se 20 — 22 —
Øretspkænode a. cc el its 19 — 19 —
Hovedets postorbitale Del .......... 40 — 43 —
IBesemeis@klaiden 444... EE 94 — D —
Falerodensykede "te" cee 30 — - 31 —
Worsalenss Grundiimie JA EE 202 — 203 —
AnalenskG&rundimesenene nn 112 — 12 —
GaudalenpBeneder ...... ..... 87 — Gy =
Længste Dorsalstraale .............. AQ)
Bectoralens@ensder 0 0 AMS) — 48 —
Vientralensølkensde a ne ee: 30 — 31 —

Finnestraalernes Antal:

å IDEER PLEN Na Oy
DD. Pane: Silo) 6

Dorsalen har fortil 4 smaa, tynde Pigstraaler, hvorefter
følge 2 grenede; alle disse staa med længere Mellemrum

indbyrdes, end de ovrige; de bagerste Dorsal- og Anal-

nn in

Om en Del for Norges Fauna nye Fiske. 115)

straaler ere omtrent halvt saa lange, som de længste i hver
Finne.
Analen har 2 enkelte Straaler fortil.

Farven er mørkt graabrun.

Udbredelse. C. pompilus er en pelagisk Form, og
har sin fornemste Udbredelse i Atlanterhavets vestlige Dele
og i Middelhavet. Den synes næsten overalt at optræde
temmelig sparsomt; alene fra Nizza angives den at være
temmelig almindelig. Den forekommer iøvrigt langs de
italienske Kyster ned til Sicilien, og i Adria op til Triest,
hvor Dr. Gråffe ofte har truffet de ganske unge Individer
(med en Totallængde af 30—40 mm.) under Rhizostoma,
sjeldnere de udvoxede.!) Omkring Spanien og Portugal er
den sjelden, ligesaa i den Biscayiske Bugt og ved Frankrigs
Kyster. Adskillige Individer ere imidlertid i Aarenes Lob
erholdte ved de britiske Kyster, især i Canalens sydlige
Dele. Det nordligste Sted, hvor den vides at være trængt
frem, er til Trondhjemsfjorden 1 Norge (63° 20‘), hvor de
ovennævnte 2 Individer i September 1886 bleve fangede.

Endelig er denne Art erholdt ved Madeira og Azorerne.
I de vestlige Dele af Atlanterhavet vides den ikke hidtil
bemærket.

1) Arb. Zool. Inst, Wien, Tom. VII, p. 465 (1886).

16 R. Collett.

Fam. Scombridae.

Auxis thazardus, (Lacep.) 1802.

Scomber thazard, Lacepéde, Hist. Nat. Poiss. Tome III, p. 9 (L'an
X de la République, 1802).

Scomber rochei, Risso, Ichthyol. de Nice, p. 165 (1810).

Auxis vulgaris, Cuv. Val, Hist. Nat. Poiss., Tome VIII, p. 139 (1831).

Localitet: Christianiafjorden 1887 og 1890.

2 Exemplarer af denne Art ere i de sidste Aar om
Høsten fangede i Bunden af Christianiafjorden, begge ud-
voxede eller nær derved.

Det første af disse erholdtes 17de September 1887
udenfor Rokenlandet, det andet i Bundefjorden 17de Sep-
tember 1890. Begge Exemplarer opbevares paa Universitets-
Museet.

Udmaalinger:

a. b.
Motallensdem es 386 mm. 433 mm.
Éoyedetsthænpde 1... 93 — 101 —
Begemets Heide bag 1 D........... COMITE —
Legemets Heide midt over 1 D ..... 80 — 89 —
Saudespids HIDE NE oo ee 109 — 120 —
Gronelinvenwat Me ss re 0. 50 — 40 —
Føden ar Deren an er 38 — 35 —
Gmundlinien an 2, Di ut 20 — 22 —

NE 4

EN TE S (pui “nie

Om en Del for Norges Fauna nye Fiske. jur

Grnndlimien at Au... 22. san. 20 mm, 22 mm.
den ae... rd: 14 — al
Eric Go oe OT aan NG — 99 —
Lencde am ee UN VEE DM — 13 —
Snudens Længde td tint 22 — 22 —
Øiets horizontale Diameter.......... 18 — 19, —

Straaleantallet var:

a, 1 D. 10; 2 D. 1—11; A. 2—11; Smaafinner | Se

VIII
VII

opp 111: A. 211; Smaafinner {

Begge de erholdte Exemplarer, der saaledes vare fan-
gede paa samme Dag med 3 Aars Mellemrum, vare Hanner;

Testes vare hvilende, og ikke særligt udviklede.

Udbredelse. Auxis thazardus, den eneste sikkert
bekjendte Art af sin Slægt, har en vidtstrakt geographisk
Udbredelse, idet den forekommer ogsaa 1 det Stille Hav ved
Ny-Guinea (hvor Arten oprindelig var fundet af Commerson
i 1768), og op til Japan.

I Atlanterhavet er den truffen sparsomt ved Madeira
(Lowe), samt langs Nord-Americas Kyststater, hvor den i
de senere Aar har vist sig 1 stort Antal lige ned til
Vest-Indien.

I Middelhavet er den tildels talrig (saasom omkring
Sicilien), men i Regelen sparsom; den synes at mangle i
dette Havs østlige Delet),

1) Den er ikke optagen i Hoffmann & Jordan’s “Catalogue of the
Fishes of Greece“ (Proc. Acad. Nat. Soc., Philad. 1892, p. 230);
dog nævne Cuvier og Valenciennes i 1831 (Hist. Nat. Poiss.
Tome VIII, p.144), at de gjennem Bory de Saint Vincent have

modtaget Expl. “de Morée“.

18 R. Collett.

Fra Vest-Europa er den hidtil blot kjendt som en til-
fældig Omstreifer. Steindachner erholdt enkelte Exemplarer
ved Spaniens Syd-Spids (Ichthyol. Ber. Span. Port. Reise
1868), ligesom den i Aarenes Løb flere Gange har vist sig
ved de britiske Kyster (Day).

Fra Scandinavien var hidtil blot et enkelt Exemplar
kjendt, fanget ved Kysten af Skaane (i Femti-Aarene), og
omtalt og afbildet af Nilsson (Öfv. Kgl. Vet. Akad. Förh.
1864, p. 500, Pl. VI.

Fam. Mugilidae.

Mugil auratus, Risso 1810.

Mugil auratus, Risso, Ichthylogie de Nice, p. 344 (1810).
Localitet: Christianiafjord 1880, 1896, Hvaler 1896.

Den 15de Juni 1880 erholdtes ved Holmestrand (i
Christianiafjorden) et stort Exemplar af denne Art, der af-
gaves til Universitets-Museet.!)

Dette Exemplar er fuldt udvoxet, og har en Total-
længde af 515 mm.; Længden til Spidsen af de mellemste

Caudalstraaler er 455 mm.

1) I det 2det Hoved-Supplement til Norges Fiske “Meddelelser om
Norges Fiske i Aarene 1879 —83,“ (Nyt Mag. f. Naturv., 29 B.,
p- 72, 1885) er dette Individ omtalt som tilhørende M. capito.
I 1892 blev det under sit rette Navn omhandlet af Prof. Smitt
i hans “Skandinaviens Fiskar* etc. (2 Uppl. 1 Del, p. 339,

Stockh. 1892).

Om en Del for Norges Fauna nye Fiske. 19

Hovedets Længde er 110 mm. og indeholdes saaledes
4,68 Gange i Totallengden. Legemets Hoide er 90 mm.
og indeholdes i Totallængden 5,6 Gange.

Pectoralens Længde er 78 mm.; den længste (2den)
Straale i Iste Dorsal har en Længde af 41 mm., og inde-
holdes saaledes 2,6 Gange i Hovedets Længde.

- M. auratus har ogsaa senere vist sig ved Landets
Kyster. Den 19de October 1896 toges i Garn ved Hvaler-
holmene udenfor Fredriksstad 3 Individer, hvoraf det ene
blev bortkastet, de 2 andre indsendtes til Universitets-
Museet. Begge disse vare unge, omtrent halvvoxne. Den
17de November samme Aar toges atter et Individ i Silde-
garn udenfor Engelsvigen i Onsø (Smaalenene), altsaa i
Nærheden af det Sted, hvor de førstnævnte erholdtes.

Ogsaa det sidste Exemplar er ungt, ubetydeligt mindre,
end de foregaaende, og har muligens oprindelig tilhørt
samme indvandrede Stime.

Alle 3 Exemplarer opbevares paa Universitets-Museet i

Christiania.

Udmaalinger af disse yngre Individer.

a. b. c.
Motallænsdev: 100000 253 mm. 263 mm. 272 mm.
Hovedets Længde ........ 49 — 49 — 53 —
Legemets Høide.......... 45 — 49 — 50 —
Pectoralens Længde ...... 36 — 40 — 40 —
Ventralens Længde....... 26 — 28 — 28 —

Saaledes indeholdes hos disse unge Individer Hovedets
Længde 5,1 til 5,3 Gange i Totallængden, Legemets Høide
5,3 til 5,6 Gange i denne.

Sammenlignet med de 2 øvrige indenlandske Arter
(M. chelo, Cuv. og M. capito, Cuv.) er M. auratus kjende-

20 R. Collett.

lig ved sin relativt lange Pectoral, der her har mindst
samme Længde, som Legemets Høide over Pectoralens Rod,
(oftest er den betydeligt længere) medens den hos de 2
øvrige Arter er betydeligt kortere, end denne Høide. I
Totallængden indeholdes Pectoralen 6,5 til 7,0 Gange.

Det store Individ (fra 1880) var fuldt udvoxet, og Arten
opnaar sandsynligvis sjelden en betydeligere Størrelse. Det
var en Han, med store og svulmende Testes; Ventrikelen
var tom.

Den guldgule Plet paa Operculum har hos det store
Individ neppe været særligt fremtrædende, og er nu aldeles
forsvundet. Hos de yngre Individer var den særdeles
ioinefaldende, intens farvet, og skarpt begrænset.

Udbredelse. Mugil auratus er fornemmelig udbredt
i Middelhavet, hvor den paa de fleste Steder er talrig,
idetmindste mod Øst til Sicilien.

I Atlanterhavet er den funden mod Vest ved Madeira
og Canarerne, og forresten langs Portugals og Frankrigs
Kyster op til Canalen, hvor den viser sig sjeldnere. Ved
Englands Kyster forekommer den sparsomt,!) og den synes
ikke regulært at overskride Nordsøen; et Exemplar er fan-
get i Kattegat i October 1852, og opbevares paa Museet i
Kjøbenhavn; et andet er fanget udenfor Strömstad i August
1877, og indsendtes til Riks-Museum i Stockholm.

Endelig foreligge de ovennævnte Exemplarer fra Chri-
stianiafjorden 1880 og 1896; ved den sidste Leilighed synes
en hel Stime at have berørt Landets Sydkyst.

1) Den er helt forbigaaet i Days store Værk: “Fishes of Great
Britain and Ireland.“ (London 1880 — 84).

Om en Del for Norges Fauna nye Fiske. Ail

Fam. Sudidae.

Sudis kréyeri, (Liitken) 1891.

Paralepis kröyeri, Ltk. Vid. Medd. Naturh. Foren, Kbhvn. 1891,
p. 222 (1891). Island, Grønland.

Localitet: Sørøen, Vestfinmarken (omtr. 1885).

Under et Ophold paa Hasvig paa Sørøen (nær Hammer-
fest) i Juli 1894 havde jeg Leilighed til at undersøge et
stort Glas, indeholdende en Del Fiske og Invertebrater,
som Stedets Eier, Kjøbmand Bull, efterhaanden havde ind-
samlet her. Blandt disse fandtes et Par for vor Fauna
sjeldne Fiskearter (Scopelus elongatus, og Scopelus mviillert),
foruden et Exemplar af en Sudis, som viste sig at til-
høre S. kröyeri. Exemplaret, som var slet vedligeholdt, var
udtaget af Ventrikelen af en større Fisk omkring 1885,
og opbevares nu i Universitets-Museet i Christiania.

Exemplarets Undersøgelse har været noget vanskelig, og
dets nøiere Beskrivelse i flere Henseender usikker, da Cau-
dalen var afbrudt, Finnestraalerne utællelige, og Huden for-
detmeste afrevet eller opløst, men den svarer i alle sine tilgjæn-
gelige Detailler til Litkens Beskrivelse (1891) af Arten i
»Korte Bidrag til Nordisk Ichthyographi VIII» p. 20.1) Noget
nyt Bidrag til denne iovrigt lidet kjendte Arts Diagnose kan
derfor neppe uddrages af det forhaandenværende Exemplar.

1) Vidensk. Medd. Naturh. Foren., Kbhvn. 1891, p. 222.

IND
bo

R. Collett.

2

Beskrivelse.

otalleneden eg ce ARE MNT see omtrent 242 mm.

Længde til Enden af Hvirvelsoilen (Litkens
TPotallensde FØR LM RER 234 —

Hovedels ME Rnpde NS PEN MERS ES 49 —

(Snuden 23 mm. Øiet 10 mm, Hovedets
postorbitale Del 16 mm.).

SnudespidsenfilDorsalen 20. seas 0 148 —
Snudespidsen talt Veentralen 0 IE —
ILesennets. Ne AN 0... 19 —
Afstand fra Fedtfinnen til Caudalen............ 4 —

Hovedet indeholdes saaledes næsten 5 Gange i Total-
længden (4,93), eller 43/4 Gange (4,77) i Legemets Længde til
sidste Halehvirvel (Lütkens Totallængde).

Øiet indeholdes i Hovedlængden ikke fuldt 5 Gange
(4,90), i Snudelængden lidt under 21/3 Gange (2,30), i Hove-
dets postorbitale Del lidt over 11}; Gang (1,60).

Legemets Høide indeholdes i Totallængden 12?/s Gange
(12,77), i Længden til Enden af Hvirvelsøilen 121/3 Gange
(12,31).

Ventralerne sidde tydeligt bag sidste Dorsalstraale;
Fedtfinnen er ganske nær Caudalen.

Sidelinien kan forfølges indtil i omtrent en Hovedlængdes
Afstand fra Caudalen, og tæller til dette Punct 62 Porer;
paa det manglende Stykke (Huden er her afrevet) har an-
tagelig været omtrent 14 Porer, tilsammen 76 Porer.

Ganens lange Tænder ere 6, Underkjævens 10. løvrigt
er Tandvæbningen som af Litken beskrevet.

Udbredelse. I 1891 har Prof. Litken kritisk gjen-
nemgaaet det Materiale af høinordiske Former af denne

Slægt, som opbevaredes i Museet i Kjøbenhavn. Dette

Om en Del for Norges Fauna nye Fiske. 23

Materiale, som tæller kun faa nogenlunde vel vedligeholdte
Exemplarer, men flere Brudstykker, er væsentlig tilveie-
bragt gjennem de æidre Forskere Reinhardt og Kröyer,
som sammenfatte dem under den fælles Benævnelse Paralepis
borealis. Lütken har vist, at disse udgjøre 2 adskilte Arter,
hvoraf den ene, som er kjendelig afbildet i de store
Gaimard’ske Reiseværk i 1851,1) og hvoraf Exemplarer
foreligge saavel fra Island, som fra Grønland, er givet
Navnet Paralepis kröyeri, medens den anden, oprindelige
Reinhardt’ske Form, bør beholde Navnet P. borealis.*)

Som ovenfor nævnt, eier Museet i Kjøbenhavn af
Sudis kröyeri nogle faa mere eller mindre slet vedligeholdte
Exemplarer eller Brudstykker, alle fra de ældre Indsam-
linger paa Grønland og Island.

Ved de europæiske Kyster vides S. kröyert ikke tid-
ligere med Sikkerhed iagttagen.

Fam. Cyprinidae.

Abramis blicca, (Bloch) 1782.

Cyprinus blicca, Bloch, Naturg. Fische Deutschl. B. I, p.65 (1782).
Localitet: Ødemark (Smaalenene) 1891, og senere.
Universitets-Museet har et Par Gange i de senere Aar

modtaget Exemplarer af denne Art fra Ødemark-Sø, en af

Grændse-Søerne mod Sverige.

1) Voyage Isl. Groenl. 1835—36, La Recherche, Paris 1851.

2) Hertil kommer den af Kröyer som særskilt beskrevne Paralepis
atlanticus, opstillet efter et Exemplar, der i Mai 1865 strandede
ved Skagen, og hvis rette Forhold til de 2 øvrige nordatlantiske
Arter endnu neppe kan fastsættes med Sikkerhed.

24 R. Collett.

De første Exemplarer vare fangede den 22de Juni 1891
i Nærheden af Ørje Brug ved den nævnte Sø af Brugseier
Nordbye. .

Det største af disse Exemplarer havde en Totallængde
af 275 mm.; Hovedets Længde 46 mm.; Legemets Høide
98 mm.

Hos de 3 indsendte Individer havde Sidelinien 46, 46
og 47 Skjæl.

- Senere er (i August 1893) atter indsendt Exemplarer af
lignende Størrelse fra den samme Sø.

Ifølge Hr. Nordbye forekommer denne Art sandsynligvis
paa flere Steder i det Fredrikshaldske Vasdrag.

I Ødemarksø er den kjendt under Navnet «Sørv». Den
er her temmelig talrig, og vel kjendt af Befolkningen. I
stort Antal forekommer den ligeledes i Jøl-Sø, en omtrent
5 Kilometer lang, smal Indsø kort østenfor Ødemark-Sø.
Fra andre Localiteter er den endnu ikke med Vished paavist.

Den gaar ikke under Land, undtagen i Legetiden
(sammen med A. brama), lidt før Midten af Juni. Den
bider aldrig paa Krog, og fanges ikke, ligesom det leiligheds-
vis kan være Tilfældet med A. brama, til andre Aarstider.
Den ansees for en næsten værdiløs Fisk, og er ikke Gjen-
stand for Fangst.

Udbredelse. I en stor Del af Europa er denne en
paa mange Steder talrigt optrædende Art. I Sverige er
den funden ialfald op til den nordlige Del af Helsingeland
(omkring: 62° N. B., ifølge Lilljeborg). Günther anforer,*)
at British Museum eier Exemplarer af denne Art fra
Muonio-Elv (Grændse-Elv mellem Svensk og Russisk Lap-
marken), eller under 68° N. B., indsamlede af Mr. Wheel-

1) Cat. Fish. Brit. Mus., Vol. VII, p. 307 (1868).

Om en Del for Norges Fauna nye Fiske. 25

wright. lovrigt forekommer den paa talrige Localiteter i
Mellem- og Syd-Sverige, samt i den nordlige Del af Øster-
søen og den Bottniske Bugt. I Finland gaar den op til 63° 40°
N. B. (ifølge Mela). I Rusland har den en vid Udbredelse,
ligesom i Danmark, England, Holland, og i de fleste Egne af
Mellem-Europa med Schweiz, ned til Alperne.

OM SANDSYNLIGHED

OG DENS BETYDNING LOGISK BETRAGTET
AF

DR. ANATHON AALL

” KRISTIANIA
ALB. CAMMERMEYERS FORLAG

LARS SWANSTRØM

AUG 3 1897
ARGHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB. B. XIX. Nr. 9.

Om sandsynlighed og dens betydning
logisk betragtet.*)

Livets mangfoldighed afspeiler sig i den rigdom af
forestillingsnormer, de kategorier, hvormed der logisk ope-
reres i det menneskelige sjæleliv: I tankelivet iagttages der
tendens til at indskyde mellemformer mellem extremerne.
Paa ethikens gebet har dette indført mellem ret og uret
kategorien billighed, som ikke betyder streng ret, endnu
mindre uret, men et mellembegreb. Samme logiske tilbøie-
lighed forraader sig i opstillingen af kategorien sandsynlig-
hed, som ikke betegner vished, endnu mindre vilkaarlig
vankundighed, men et mellembegreb.

Til forstaaelsen af vor kategori er det oplysende at
undersøge, hvilke betegnelser der her fremtræder inden for-
skjellige folk, hvis filosofi ligger indenfor omraadet af vor
opmerksomhed. Til betegnelse af det sandsynlige møder os
paa græsk ordet süloyoy — det der har Aöyos, god grund
for sig, det der er vel begrundet og fornuftmæssig. Inden

*) Nærværende kritiske undersøgelse, der har været foredraget
som prøveforelæsning for doktorgraden i filosofi, vil ikke være
noget bidrag til løsningen af det mathematiske sandsynligheds-
problem, men turde være logisk orienterende for læsere, der
fra mathematiken har hentet interesse for den videnskabelige

sandsynlighedsidé.

4 Anathon Aall.

det nyere akademi og navnlig hos Arcesilaos er det kunst-
ordet for vort begreb, hvilket denne skole just har for-
tjenesten af at have indført i filosofien. Med <0 e5hoyov
alternerer to midavov af roden metdw, overtaler. Udtrykket
betegner altsaa det, der anbefaler sig til at antages. Hertil
svarer det latinske probabile, hvilket ord ogsaa er gaaet
over i fransk, og som i engelsk er den typiske betegnelse.
Roden: probare, at give noget sin tilslutning, antage det
for trolig. Ved siden heraf lober en anden række udtryk,
som kan siges at slutte sig nærmere til begrebets logiske
eiendommelighed, saaledes som det genetisk er begrundet.
Foruden de ovennævute ord har grækerne ogsaa 75 etuos
samt endelig éuvasw; sidste ord (dannet af éugatvouar) bety-
der afspeiling, speilbillede; udtrykket danner en direkte
forestillingsanalogi med =o eixös, som betegner det, der har
billedlighed. Paa latin har vi verisimile: det, der har lighed
med verum, det sande; ordet er kurant 1 fransk, hvor det
lyder vraisemblable, medens det engelske versimilar, som vi
finder hos ældre klassikere, formodentlig er forekommet for
reflekteret til at finde indgang i sproget. Det fuldstændigste
sproglige sidestykke hertil danner det tyske wahrschemlich,
vort sandsynlig, svensk sannolik, (hvormed kan sammen-
lignes det engelske adverbium likely). Her foreligger sprog-
psychologisk samme fænomen, og det synes rimeligt at an-
tage, at de forskjellige ord har sproghistorisk forbindelse.
Forudsætningen for vocabulets dannelse er en logisk abstrak-
tion, efter hvilken væsen og udseende er holdt ud fra hin-
anden. Skepsis med hensyn til det adækvate i sansefore-
stillinger maa — efter en nærliggende slutning — være
mindst lige gammel som vort begreb. Forøvrig er ved
sidste række af betegnelser den etymologiske analogi til
begrebet efter dets logiske betydning meget karakteristisk,

Om sandsynlighed og dens betydning logisk betragtet. 5

Wahr, som første led i det tyske ord wahrscheinlich lyder,
er rodbeslægtet med det latinske verus; tilligemed analogier
i gothisk og angelsaksisk synes det at gaa tilbage paa sein,
indogermanisk rod es. Wahr blev da altsaa etymologisk,
«seiend». Ogsaa det latinske verus synes kongruent hermed,
idet som rod for ordet kan betragtes det indogermaniske
wes = være, sammenlign vesen. Som wahrscheinlich eller
sandsynlig blev altsaa efter denne forestillingsbevægelse det
betegnet, som stod i positivt om end ikke decideret forhold
til veren, det som man kan antage er saa eller saa.

En definition af begrebet selv kan tage sit udgangspunkt
i denne kjendsgjerning fra sprogpsychologien. Soger vi at
beskrive den forestilling, vi knytter til dette begreb, saa
kan følgende almindelige forklaring gives:

Om sandsynlighed kan der tales, hvor i et forhold, hvis
sande sammenhæng ikke kan apodiktisk fastsættes, plausible
grunde kan anføres for, at sagen er saa eller saa.

En nærmere undersøgelse af forestillingen vil imidlertid
snart overtyde en om, at gjenstanden er tvefoldig, og at en
inddeling vil maatte foretages, alt eftersom det tilfælde, det
dreier sig om, forholder sig til spørgsmaalet om en vis
grænse med hensyn paa disse ovenberørte grundes antal,
eller til et vist maal med hensyn paa deres vægt.

I daglig tale betegnes som oftest alene de tilfælde som
sandsynlig, «fuldt sandsynlig», ved hvilke summen af de
gunstige betingelser antages at overskyde summen af de
ugunstige betingelser i forhold til et tænkt resultat. (Det
er dette, englænderen nærmest udtrykker ved sit «it is
likely to»). Dette bør fastholdes, og hvad der ikke gaar
ind under denne definition, bør stilles i en gruppe for sig.
Til en ganske anden forestillingskreds bør nemlig henvises

ytringer som; Sandsynligheden derfor er meget liden. Der

6 Anathon Aall.

er nogen sandsynlighed for, at osv. Fastholdes første op-
fatning af begrebets logiske mening, saa skulde sidste
ytring være redigeret rent negativt, og udtrykket: Der er
ikke megen sandsynlighed for etc. være lig: Det er usand-
synligt. Under denne bestemmelse, under kategorien usand-
synlig, maatte alle tilfælde indgaa, hvor de positive betin-
gelser ikke overveiede de negative faktorer, eller tilfælde,
der ikke ligger, som mathematiken udtrykker det, mellem
1 og 1. Dette for at sikre sig et kritisk standpunkt med
hensyn til den populære sandsynlighedsdom. Indenfor mathe-
matiken derimod gjælder lige det omvendte. Sandsynligheden
er her et rent kvantitativt begreb, repræsenteret af en
uendelig brøkrække mellem 0 og 1. Et ypperligt medium
for den mathematiske forestilling besidder det franske (ogsaa
det engelske) sprog i ordet chance, et begreb, hvorfor det
tyske Fall (med sammensætninger) byder en kun hoist
utilfredsstillende erstatning. Den ovenantydede afvigelse
fra den betydning, som vi fixerede, ledet af livets praktiske
logik, betegner en tilnærmelse til den mathematiske fore-
stilling, hvilken er af et ganske andet indhold. Sandsynlig-
heden har i sidste fald intet reflexbegreb i usandsynligheden.
Mathematisk udmaales der kun numerisk visse fiktive eller
faste muligheder (pro & contra).

I overensstemmelse hermed faar vor gjenstand et dob-
belt udseende, og der maa skjelnes mellem:

1. Den mathematiske sandsynlighed. En sandsynlighed, der
kun bestaar i et vist talforhold uden hensyn til, hvor-
vidt momenter af en gruppe overveier momenter inden
en anden, og

2. hvad man kunde kalde den problematiske sandsynlighed,
ved hvilken der spørges efter, om visse momenter af

en given karakter kan give udslag ligeoverfor eventuelle

Om sandsynlighed og dens betydning logisk betragtet. U

andre, som kunde drage i anden retning. Sidste form

er bygget efter schemaet af disjunktiv dom, hvor 2 led

i forhold til 1: er det rent negative eller en contrær

mulighed eller et komplex af saadanne.*)

Den mathematiske sandsynlighed er, som det let
sees, en renere begrebsgjenstand og ligger den filosofiske
drøftelse nærmere. Men den anden form har ogsaa megen
interesse og naar hoi betydning indenfor psychologien. Jeg
vil i det følgende angive, hvor udviklingen kun vil have
gyldighed ligeoverfor den ene af disse former, og navnlig
hvor noget kun gjælder den problematiske sandsynlighed.

En inddeling er opstillet. Det næste er en undersøgelse
af sandsynlighedsbegrebets indre mekanisne:

Ved ethvert tilfælde, hvor spørgsmaalet om det sand-
synlige, Verisimile (betegnet med V), kan reises, er folgende
elementer tilstede: For det første tingen Res (R), der
foranlediger problemet, dernæst det hypothetiske udfald eller
slutningsforhold Casus (betegnet med K), endelig den faktor
eller de faktorer, hvorpaa et vist i forhold til K positivt
resultat beror, Constituenserne (C), og deres modsætning den
negative, respektive de negative faktorer, Incidenserne (I).
De to sidste figurer i schemaet kan komme i fællesskab i
betragtning, og da de ved den logiske operation maa fore-
stilles, før resultatet kan opstilles, saa synes det ikke
upassende, naar vi betegner dem tilsammen som Anteceden-
serne (A). De forskjellige momenter i den ene saavelsom i
den anden række, den positive som den negative, optræder
saaatsige som vidner for og imod K. Vi siger selv: Der
er meget, som taler for det eller det. (Smlgn. paa engelsk

*) Ikke ganske parallel med denne inddeling er den almindelig i
mathematisk og ,filosofisk* sandsynlighed, en inddeling, jeg —
som det sees — ikke har fundet fuldt tilfredsstillende,

8 Anathon Aall.

it tells to). Forholdet mellem den dobbelte række af ante-
cedenser C og I er, som det siger sig selv, det afgjorende
for K. Gaar vi ud fra den kategoriske dom som den
nærmestliggende, saa er sandsynlighedens formel, formelen
ER
Cap if
sandsynlighed vil da her gjælde, at [—C er en negativ

for V følgende: K — Ved den problematiske

størrelse, medens det om den mathematiske sandsynlighed
gjælder, at denne begrebsstørrelse reduceres, alt eftersom
differensen CO — I nærmer sig 0 eller bliver et negativt tal.
Det ovenfor paaviste forhold kan man udtrykke saa-
ledes
Welk == Als il,

hvorved erindres, at K i sig skal omslutte de ved J beteg-
nede betingelser.
Eller vi har folgende lov:

1STE FORMEL.

Sandsynligheden er omvendt proportional med inciden-
serne (de hindrende momenter).

Paa at vurdere disse negative faktorer, de størrelser
der gaar imod det imaginerede resultat, maa derfor fremfor
alt undersøgelsen gaa ud. Og det vil da navnlig erindres,
at disse størrelser (J) ikke kan sammenlignes med de posi-
tive faktorer (C), de der taler for hypothesen, efter en rent
numerisk maalestok. Antecedenserne er — jeg tænker her
selvfølgelig paa den problematiske sandsynlighed — hyppig
ikke ensartet, men af forskjellig intensitet. De forskjellige
faktorer kan være potenser med hver sin exponent, hvilket
naturligvis gjør løsningen endnu mere kompliceret. Meget
ofte vil fremdeles en enkelt faktor eller et komplex af saa-
danne virke solidarisk ind paa et eller flere andre momenter.

Om sandsynlighed og dens betydning logisk betragtet. 9

Dette er ikke uden lovmæssig betydning for sandsynligheds-
beregningen. Et exempel: Der er et skib paa reise direkte
fra en fjern havn til en af Stillehavsøerne. Der indtræder
en storm, man frygter forlis og finder ogsaa nogen tid efter
ganske rigtig skroget drivende om. Spor af mandskabet
findes ikke. Spørgsmaalet er, om det er skyllet bort, er
gaaet tilgrunde med det kun halvt flydende vrag, eller om
nogen endnu har kunnet være reddet. Af oplysninger om,
hvor skibet sidst har været praiet, har man relativ sikkerhed
for det havstrøg, indenfor hvilket katastrofen maa være
indtraadt, og hvor den eventuelle redning altsaa maa have
fundet sted. Nu kan følgende betragtninger anstilles:

Der er en mulighed for, at stormen ikke har været saa
sterk, at jo baad har kunnet sættes ud fra fartøiet og holde
sig oven vande. Redning paa denne maade er ikke umulig,
thi absolut ubefaret er det søomraade, det her gjælder, ikke;
man regner f. ex. omtrent 4 fartoier som passerer 1 løbet
af den tid, da mandskabet skulde kunne friste livet i en
redningsbaad. Af disse 4 er det imidlertid kun, et rent
tilfælde, om noget skib just stryger indom synskredsen af
det sted, hvor baaden har maattet være i drift. Endelig er
der mørkt 8 å 10 timer i døgnet og observering under
forbifarten fra skibets side egentlig kun paaregnelig 1 ca. 16
af døgnets 24 timer.

For her at udfinde redningens sandsynlighed vil man
maatte gaa frem paa følgende maade:

Baade kan under stillehavsstorme gjøres klar, siger

vi: hver 3die gang. At her har været mandskab i

baad, derfor er der en rund sandsynlighed af Å

Men da intet land er i nærheden, saa vil redning

kun kunne ske ved, at de forulykkede optages af forbi-

10 Anathon Aall.

—

passerende skibe. Der, hvor katastrofen maa henlægges,
er der en abstrakt mulighed for, at 4 skibe passerer
endnu itide. Men at de alle just kommer inden den
kritiske rækkevidde, er ikke sandsynlig. Kalder vi den

sidst omspurgte sandsynlighed for a, saa er q en brøk

mindre end : nemlig + hvor altsaa y < 4.

Endelig kan den eventuelle redning kun foregaa
ved lys, men skibet kan passere ogsaa ved nat; hjælpen
af flag eller muligheden af at hore gjennem nodraab
fra baaden i mørket og natten antager vi for forsvin-
dende; sandsynligheden af, at en baad skulde observeres,

sætter vi derfor til idet vi anslaar den mørke tid

16
24
til 8 af dognets timer.
Ser vi tilbage paa de fremkomne storrelser, saa
har vi

1 y 2
3 A

Disse led staar nu i multiplicativt forhold; første led
er = Denne sandsynlighed maa imidlertid indskrænkes, og

vi gaar over til anden sandsynlighedsstørrelse, som ikke er

y lm 9 | ia
4 MED 3 - 4 = 49) hvor y— 4 = — x en negativ størrelse.
ONE 4 al
jo € altsaa mindre end 3"
Det 3die led er endelig ? 2 Ene
212) 05 CUS OMS)
CE 1 1 y ‘
Vi har altsaa rekken aoe = +. 9 hvor sidste

il
størrelse er < -.

4

Om sandsynlighed og dens betydning logisk betragtet. 11

Her foreligger en konvergerende række, hvor sandsyn-
ligheden ikke er betegnet ved summen, men ved sidste led.
Den sandsynlighed for, at mandskabet er undsluppet

katastrofen, som begyndelsesvis syntes = ;, er bleven

AE il
reduceret til mindre end 7

Vi har følgende lov:

2DEN FORMEL.

Hvor en sandsynlighed ikke er støttet af kjendsgjer-
ninger, men betinget af visse sandsynlighedsdata, bliver
graden af den omspurgte sandsynlighed med hvert nyt
sandsynlighedsdatum, der træder til, aftagende proportio-
nalt med dettes sandsynlighedsgrad.

Omvendt vil man uden vanskelighed positivt kunne
eftervise, hvorledes paa samme maade en sandsynlighed
støttet ved kjendsgjerninger, stiger med enhver saadan.

Den dobbelte her opstillede regel kan tjene som en
explikation af den mathematiske lov:

En sammensat sandsynlighed er produktet af enkelt-
sandsynlighederne.

Nogle modale eiendommeligheder fortjener ved siden af
disse mere kvantitative bestemmelser vor opmerksomhed.
De har navnlig anvendelse paa det problematiske sandsyn-
lighedsbegreb. Sandsynlighedens korrelat er mulighederne.
I en sandsynlighedssætning er sandsynlighed og mulighed
reflexbegreber, men reflexforholdet er ensidigt. Muligheder
kan der være uden sandsynlighed; men ingen sandsynlighed
uden muligheder for noget andet, disse muligheder være nu
klart opfattede eller ikke. Der kan kun være tale om noget

sandsynligt da, naar noget andet ikke er umuligt, Man kan

12 Anathon Aall.

formulere et sandsynlighedsproblem efter schemaet af en

dobbelt, disjunktiv dom.

Exempel. Det er sandsynligt, at N. er druknet.

Der er tvende muligheder for, at N. ikke er
druknet.

Kan nu her de opstillede muligheder ophæves ved
negativ dom, saa har vi en analogi til en disjunktiv slut-
ning. Kalder vi den ene negative mulighed for C, og den
anden for C;, saa synes den logiske bygning at maatte være
følgende: Hvis ikke C, og C5, saa er V. Nu er hverken
C, eller 0, altsaa er V. Dette sidste er imidlertid ikke
nøiagtigt: Med ophævelsen af undersætningen i ovenstillede
dobbeltfigur bliver heller ikke sandsynlighedsdommen længer
gyldig. Den bliver omskrevet i en ny domsart. Vi har
ikke længer sandsynlighed, men vished. I det mathematiske
udtrykkes dette ved, at pm

samme formuleret med hensyn paa den problematiske sand-

—\1, idet 4, —— 0) Eiyalket

synlighed lyder:

3DIE FORMEL.

Negation af incidenserne forandrer en sandsynligheds-
dom til en assertorisk.

Naturligvis vil det kræve en indtrængende undersogelse,
før man kan substituere denne kategoriske dom. Med noi-
agtighed har man først gaaet frem, naar man har udtømt
alle muligheder. Dette finder imidlertid ikke sted, udenfor
mathematiken; hvor det gjælder den problematiske sandsyn-
lighed, viser erfaringen os, at man antager denne overgang
fra sandsynlighed til vished der, hvor chancerne for det
negative nærmer sig uendelig 0. Forholdet erindrer os om
sandsynlighedsforestillingens psychologiske karakter. En

Om sandsynlighed og dens betydning logisk betragtet. 13

saadan forestilling fremtræder nemlig der, hvor man er klar
over, at intet bevis for omvendt forhold er givet vor be-
vidsthed, men paa den anden side ved, at man endnu ikke
fuldt har overskuet den hele række af antecedenser. Er
imidlertid skalaen bleven saa hoi, at den har naaet et vist
maal, saa er bevidstheden beroliget, og kriteriet «relativt»
ombyttes med «absolut» — det sandsynlige bliver det visse.

Sandsynligheden bliver saaledes ligesaalidt som mulig-
heden udtryk for et existensialforhold. Den udtrykker en
logisk relation. Saavel mulighed som sandsynlighed er
subjektiv. En indre forskjel gjør de 2 begreber imidlertid
i vor undersøgelse til adskilte gjenstande, noget der ogsaa
berettiger til særbestemmelser. Medens muligheden logisk
kan betinge en modsætning, fremtræder sandsynligheden altid
som et resultat af en saadan, som en kvotient. Det oven
paaviste har nu lært os i denne kvotient ikke at vente et

positivt tal, men en irrational størrelse,

eller formuleret som lov:

ADE FORMEL.

Den problematiske sandsynlighed udtrykker ikke et
forhold til det absolute, men et forhold til et vist antal
forestillede betingelser.

I livet maa derfor konsekvent den ene komme til at
regne det for en sandsynlighed, som efter den andens ud-
regning er en usandsynlighed.

Noget anderledes stiller sagen sig for den mathematiske
sandsynligheds vedkommende. Giver sandsynlighedsbereg-
ningen end tidt et temmelig svingende kvotum, saa beror
dette paa experimentets egen natur, men skulde hverken
hidrøre fra usikkerhed i methode eller uvished med hensyn

til de størrelser, den opererer med. Den disponerer over

14 Anathon Aall.

visse fakta og forhold, som den maa gaa ud fra er rigtig.
Den større eller mindre objektivitet i resultatet skulde her
graduere sig efter den udstrækning, i hvilken Res (R), de
analoge tilfælde, er undersøgt. Og følgende regel lader sig -
derfor opstille med hensyn til den mathematiske sandsynlig-
hed, naar denne gaar ud paa en ensartet flerhed af gjen-

stande.

STE FORMEL.

Nødvendigheden tiltager med antallet af led, der er
draget ind i beregningen, eller: med antallet af undersøgte
størrelser og tilfælde.*)

Den mathematiske sandsynlighedsberegning har allerede
bearbeidet et betydeligt materiale. Siden Pascals, Bernoullis
og Laplaces dage er for det første formler bleven stillet op
for hazard og flere arter af «tilfældets» spil. Saadant har
krav paa interesse for tænkningen, da det berører spørgs-
maalet om aarsagernes solidaritet, respektive uafhængighed.
De indvundne resultater er fremdeles bleven nyttig for
statistiken og for flere grene af den videnskabelige forskning.
De har fundet anvendelse inden astronomi og fysik, navnlig
inden sociologien og overhovedet inden den mere paa det
praktiske liv gaaende methodiske forskning: spørgsmaal som
antal dødsfald og fødsler, mandlige og kvindelige, livsfor-
sikringer, assuranceforhold i det hele osv.

Disse antydninger med hensyn til den anvendelse, den
mathematiske sandsynlighed finder. Vender vi os herfra
med spørgsmaal om anvendelse til det omraade, hvor den

problematiske sandsynlighed eller begge arter af sand-

*) Exempel fra livsstatistiken: Hvor megen udsigt har en mand
paa 20 til at opnaa det 30te aar? Sandsynlighedstallet stiger

i sikkerhed med det antal liv, der undersøges.

Om sandsynlighed og dens betydning logisk betragtet. 15

synlighed har anvendelse, da viser det sig overordentlig
vanskelig at bearbeide de forskjellige tilfælde gruppevis.
Individet er i livet stillet overfor en række tilfælde hver
med sin karakter. Ikke uden en vis berettigelse har de
exakte videnskaber vist sig skeptisk ligeoverfor saadan
forskning, hvor sandsynligheden indtager en vigtig plads.
Den exakte videnskab selv mødes imidlertid inden eget
omraade igjen med «denne reminiscens fra en uvidenskabe-
lig tidsalder», nemlig i hypothesen, om hvis anvendbarhed
vi senere vil maatte udtale os. Vi vender os her først til
de forskningsgrene, inden hvilke sandsynligheden spiller en
saa væsentlig rolle, og nævner som saadanne historien,
psychiatrien og jurisprudensen. I historieforskningen er
sandsynligheden det vigtigste vehikel. Beviserne er her ved
tid og ændring i forholdene unddraget en absolut afgjørende
og fuldstændig kontrol, dokumentationen bliver en mere
eller mindre fyldestgjørende plæderen ved hjælp af visse
mere eller mindre indlysende sandsynlighedsdata. Paa evnen
til kritisk at udfinde sandsynligheder, smidig at kombinere
disse, og paa grundlag af dem med levende indbildnings-
kraft at udkaste billeder, beror det historiske geni. Den
historiske dom er væsentlig bygget paa analogier. Naar en
kilde, hvis ægthed staar den historiske prøve, indeholder
meddelelse ‘af en uinteresseret mand, saa er der altefter
denne mands kritiske sans og emnets vanskelighed mere
eller mindre afgjort sandsynlighed for, at vi har en rigtig
fremstilling, hvilken sandsynlighed historikeren faststiller
eller forkaster efter analogier, der ligger ham nærmere eller
paa en eller anden maade er ham garanteret.

Samme analogimethode giver sandsynligheder indenfor
psychiatrien og psychologien. Ikke blot de i positiv eller

negativ retning virkende faktorer, men ogsaa hvad jeg tid-

16 Anathon Aall.

ligere har betegnet som disses exponent gjør sig, hvor det
gjælder psychologiske spørgsmaal, gjældende i en skala, som
er uendelig nuanceret. Der kan derfor heller ikke noksom
advares mod forhastede slutninger paa det omraade. Altfor
raske domme med hensyn til hinandens sindsforfatning og
motiver bærer en stor del af skylden for unødig bitterhed
og uret i socialt og familiært samliv. Den vise vil nok
gjøre sine iagttagelser, men dommen vil han holde mest
mulig tilbage, og det vilde ikke være uden grund, om man
i de forskjellige menneskers og kredses forhold hertil fandt
en maalestok for vedkommendes ethiske kultur. Ikkedesto-
mindre kan livet gjøre det særlig ønskelig, ogsaa ved hjælp
af de mindre sikre midler, som vi har i sandsynlighederne,
at udvinde en dom. Dette viser sig navnlig indenfor
jurisprudensen, som drager sig den historiske sandsynlighed
til nytte, men navnlig maa have opmerksomheden henvendt
paa den psychologiske sandsynlighed og procederer efter
analogier. Man tænke paa den civile rettergang og den
retslige forfølgning. I hvilken udstrækning er ikke retten
og politimyndigheden her henvist til sandsynlighedsdata!
Statistiken leverer nogle saadanne. Andre vindes ved en
mere eller mindre determineret erfaring om korrelativitet
mellem visse ydre fakta og visse psychiske tilstande og
psychiatriske forhold. I at udfinde muligheder ligger for
en stor del det juridiske skarpsind, og i at udmaale det
sandsynlige forhold mellem den dobbelte række af, hvad vi
har givet betegnelsen antecedenser, ligger væsentlig, hvad
man kalder et godt judiciwm. Det bemerkes her, at historien
og psychiatrien har navnlig og jurisprudensen alene interesse
for, hvad der i nærværende fremstilling er betegnet som

den problematiske sandsynlighed.

Om sandsynlighed og dens betydning logisk betragtet. 17

En bekræftelse fra en egen kant for sandsynlighedens
betydning inden jurisprudensen foreligger i retshistorien,
der viser, at sandsynligheden er et af de grundbegreber,
der har været medvirkende til dannelsen af en af de vig-
tigste retsdiscipliner. Det er nemlig blandt andet paa
grundlag af sandsynlighedsprincipet, at de romerske prætorer
og iurisconsulti har udviklet jus gentium eller som den
almindelig kaldes ius naturale, oprindelig nærmest til brug
for de fremmede, som havde krav paa at behandles efter
andre hensyn, end hvad der gjaldt for den romerske borger.
Et væsentligt begreb, pligtsbegrebet, hentede de fra den
saa megtige stoiske skole, men ius naturale fordrer praktisk
ogsaa et andet princip anerkjendt. Dette andet princip
overgives retsvidenskaben ligeledes gjennem stoikerne, men
paa anden haand. Der bliver inden ius naturale sporgs-
maal om, hvad der er billigt, æquum. Men hvad der er
billigt, afgjøres efter sandsynlighedsprincipet, og dette prin-
eip har de romerske juristers lærere, de senere stoikere,
igjen tilegnet sig fra nyakademikerne, den nyere skeptiske
form for Platos gamle filosofskole.

Fra disse undersøgelser vender vi os til den opgave
at søge bestemmelser vedrørende den betydning for det
logiske liv, som der maa tilkjendes vor forestilling. Allerede
inden den nysberørte skole, som i sandsynligheden fandt
saavel praktisk høieste norm som theoretisk høieste erkjen-
delsesresultat givet, finder vi flere ikke uefne bestemmelser.
Karneades fra 2det aarhundrede f. Kr. lærte allerede, at
sandsynlighederne havde forskjellig logisk stringens. En
maalestok fandt han i tilknytning til tidligere sandsynlig-
heder, i antal og intensitet af faste indtryk, endelig i fre-
kvensen af beslægtede tilstande eller forhold. Betragter vi

disse og de følgende bestemmelser som saadanne, der ved-

2 — Archiv for Math, og Naturv. B. XIX Nr. 9,
Trykt den 30te April 1897.

18 Anathon Aall.

rører sandsynlighedens logiske karakter og betydning, saa
sker det i kraft af en videre betydning, ordet logik har,
nemlig som et begreb der i sig indbefatter, foruden bestemte
love for tænkningen — dette er den specielle og egentlige
logik —, ogsaa andre fænomener, der staar i forhold til
vort forestillingsliv og dets funktionsmaade. Vi betragter
vort problem først under synspunkt af det almindeligere
begreb; til denne undersøgelse vil saa slutte sig en analyse
af dets forhold til den specielle logik, de formale tankelove.

Det vil da strax konstateres, at vort normale fore-
stillingsliv opererer med en rigdom af sandsynligheder
Begrebet sandsynlighed har som forestilling det psychologiske
balancebegreb i overraskelsen. Noget har erfaringsmæssig
gjentaget sig ofte, er autoritativt paatrykket inderlig,*) eller
staar endelig i vor forestilling i nødvendig forbindelse med
kjendte fakta. Overrasket føler vi os da, dersom det for-
hold det gjælder, og som er saaledes bestemt, ikke viser
sig i overensstemmelse hermed, og — interessant nok —
denne overraskelse er det ofte, som først gjør os bevidst
hvad vi holder for sandsynligt. Navnlig bliver kollisionen
mellem det faktisk indtrædende og sandsynlighedsforestil-
lingen følbar, naar sidste grunder sig paa iagttagelse, paa
erfaring. Autoritet betegner i forhold til erfaring gjennem-
gaaende et andenrangskriterium. Man fortælle et barn, at
Ludvig XIV endnu lever i Frankrige, og selv om dets
lærer har med autoritetens afgjørende bevismidler gjort den
forestilling i barnet levende, at det menneskelige livsmaal
ikke gjør en saadan antagelse trolig, vil det dog maaske
give paastanden tiltro. Men man fortælle et (voxent)

*) Herunder rangerer den gamle kvasifilosofiske forestilling, ved
hvilken massens dom (consensus gentium) nærmede sig rangen

af et sandhedskriterium.

Om sandsynlighed og dens betydning logisk betragtet. 19

erfarent menneske om en person fra denne konges tid, og
man lade saa f. ex. følgende ytring falde med hensyn til
denne person: Kjende ham selv gjør jeg ikke, og har jeg
ikke megen sandsynlighed for at gjøre; thi han er da vist
nu baade død og begraven, saa vil udsagnet virke komisk.
At en mand, som levede aar 1715, nu er død og begraven,
betragter vi ikke som sandsynlig, men som vist, og dog
kjender vi ingen nødvendig lov, som siger, at et menneske
nok kan blive 100 eller vel endog halvandet hundrede, men
derimod ikke 200 aar. Naar vi alligevel gaar simpelthen
ud fra, at saa forholder det sig, da beror dette paa, at vort
logiske liv ikke er uden surrogat for det manglende lov-
mæssige bevis. Et saadant surrogat har det nemlig i ana-
logien. I tidens løb aflagrer der sig en række saadanne
analoginormer i vort bevidsthedsliv, og gjentagende bekræf-
telser giver den ide, de repræsenterer, karakteren af en
sikker lov. Analogislutningen om hvis udstrakte anvendelse
paa flere for livet betydningsfulde omraader der ovenfor er
talt, faar i sin logiske anvendelse navn af induktion, og
betegner en af de hovedformer, i hvilke vort psychiske liv
realiserer sig.

Vender vi os nu til en kritisk prøve af den logiske
gehalt i en analogidom, saa maa det erkjendes, at denne
ikke alene er variabel alt efter de enkelte tilfælde, men
ogsaa efter sit væsen af problematisk natur. Der er for
det første de enkelte led, der skal subsumeres under et
mere generelt begreb. Om disse maa det erkjendes, at de
sjelden eller aldrig er identisk, ikke uvæsentlige differenser
kan have undgaaet iagttagelsen. Der er for det andet et
princip at finde, der i de enkelte tilfælde skal formaa at
give partikulære erfaringer rang af universel dom, fra de
os bekjendte lade slutte til et almengyldigt forhold. For

20 Anathon Aall.

det naive menneske er kritiken her ofte slumrende. Han
har — for at vælge et exempel — indtryk af en fælles-
eiendommelighed hos flyvende dyr, og hans indtryk omformer
sig i en dobbelt sandsynlighedsdom, efter hvilken alt, hvad
der ikke er insekt og flyver, er fugl, og kun flyvende
væsener er fugle (det er: har kro osv.). Dermed har han
paa den ene side gjort flagermusen til en fugl, paa den
anden side udelukket f. ex. strudsen.

Den sandsynlighed, hvormed induktionen finder sted,
trues af en dobbelt mulighed for illusion. De analoge
kjendemerker kan være sikre, men retten til at opstille
overbegrebet alligevel bestridelig (idet væsentlige differenser
hos enkeltfænomenerne kan være undervurderet). Eller man
kan have opstillet tilnærmelsesvis udtømmende antal kjende-
merker for genus, for overbegrebet, men alligevel udføre en
urigtig subsumtion, idet man kan have overseet, at enkelt-
tilfældet savner en af de konstitutive kjendemerker.

Denne kritik med hensyn til den methodiske inddeling
med paafølgende analogidomme*) fører os over til anden
undersøgelse, til at bestemme nærmere vort begrebs forhold
til den formale logik.

Indirekte betydning i forhold til denne har vi allerede
tilkjendt sandsynligheden, idet vi har erkjendt, at den har
en vis rolle indenfor de exakte videnskaber, der ved siden
af de rent logiske almengrundsætninger, den gaar frem efter,
opstiller og gjør brug af hypothesen. Som videnskabelig
methodisk middel er hypothesen ikke meget gammel; men

*) Den, der først kritisk indgaaende har undersøgt principerne
for induktionen, er Stuart Mill (System of logic, 3 udg. I.
297 ff.), som ogsaa har givet sin kritik anvendelse paa causa-
tionsloven, i hvilken den engelske tænker som bekjendt kun
ser en succession af fænomener,

Om sandsynlighed og dens betydning logisk betragtet. 2 Å

som forestilling antræffes den allerede hos Aristoteles. Han
kjender intet uden den sandsynlige iagttagelse, naar han
skal gjøre rede for, hvad der binder de ubevislige første
principer til os. Hypothesens anvendbarhed inden forsk-
ningen er imidlertid meget begrænset. Dens opgave er at
udvikle eller sammenligne imaginerede muligheder. Den
kan tjene til at anskueliggjøre visse kjendsgjerninger, ved
hjælp af hvilke sandheden maa søges, men at finde sand-
heden selv paatager den sig ikke, og den stiller ikke vor
logiske natur tilfreds. Sin egen ufuldstændige beskaffenhed
maa den aldrig gaa af glemme, og den kan siges væsentlig
at gaa ud paa at ophæve sig selv.

Hypothesen er logisk beslægtet med det begreb, der
ovenfor gjentagende sysselsatte os, nemlig analogien. Om
begge begreber gjælder, at de er af foreløbig karakter. Og
navnlig maa analogien, der ikke som hypothesen er væsentlig
konstruktiv, men selv antyder et vist forestillingsindhold,
betragtet i forhold til den rene logik stilles i underordnet
gruppe inden erkjendelsesnormerne. Allerede hos logikens
fader finder vi dette anerkjendt. Aristoteles har vel lige-
overfor den apodiktiske bevismethode opstillet den saakaldte
dialektiske objektsundersøgelse, der med anvendelse af sand-
synlighedsgrunde er virksom ved den induktive operation.
Men han har anerkjendt denne fremgangsmaades rent pro-
pædeutiske betydning, dens logiske svaghed.

Idethele maa erkjendes, at nogen integrerende bestand-
del af vort sjælelivs logiske apparat kan sandsynligheds-
opfatningen ikke siges at repræsentere. Sandsynligheden
har fundet anvendelse i induktionen; den magter ikke at
legitimere en deduktion. Logikens gjenstand er fremdeles
efter gammel aristotelisk definition beviset; men ligesom en

inddeling efter sandsynlighed bliver en uvis og tilfældig, en

6

N

LE

9 Anathon Aall.

definition efter sandsynlighed bliver en upaalidelig, saaledes
er vort begreb heller ikke brugbart inden den vigtigste af
alle methodiske former, beviset. Sandsynligheden selv er
jo fremgaaet ved en forestillingsproces, hvor det, der
bestemmer udslaget, ikke er en lovmæssig størrelse, men
et rent kvantitativt forhold. Den betyder derfor ikke selv
sandhed, men en gradualbestemmelse mellem en forestilling
og sandheden. Vor viden bliver ved sandsynligheden intet
nyt indhold tilført. Den kan være et psychologisk væsent-
ligt, stundom eneste præmis for en overbevisning, men er
altid hos det kritiske menneske ledsaget af en lidende
bevidsthed om, at denne overbevisning da ikke er logisk
afsluttet og absolut. Den logiske virksomhed ved dannelsen
af en sandsynlighedsdom bestaar i en udmaaling. Og samme
kritiske omhu, som i almindelighed har anvendelse under
domsdannelsen paa begrebet, maa anvendes ligeoverfor den
slutning, man drager paa sandsynlighedspræmisser. Og dog:
nødvendig bliver en sandsynlighedsslutning trods al anvendt
kritik ikke. Man kan akkumulere de grunde, hvorpaa man
bygger en sandsynlighedsdom, til det uendelige, nogen
mathematisk vished kommer der dog ikke ud deraf, saalidt
som en mands forestilling omsætter sig i kjendsgjerning, 1
og med den omstændighed at denne forestilling bliver til
et folkeonske.

Det oven udviklede kan formuleres i folgende logiske lov:

6TE FORMEL.

Sandsynligheden kan finde anvendelse induktivt til
domsdannelse, men den er ikke brugbar (argumentativt) i
en syllogisme til bevis.

Sandsynligheden som logisk forholdsbegreb modsvares

erkjendelsestheoretisk af. meningen, hvis væsentlige kilder

Öm sandsynlighed og dens betydning logisk betragtet. 23

er umiddelbare sanseindtryk, autoritetstro og fantasi. Men
meningen er et logisk svagt resultat og sandsynligheden
dens lidet tilfredsstillende forudsetning. Den logiske be-
strebelse maa gaa ud paa at heve det problematiske for-
hold til et kategorisk. Ogsaa ethiken kan have interesse
af, at saa sker. Arcesilaus mente, at for at handle fornuftig
er sandsynlighed tilstrækkelig, at besidde viden ikke nød-
vendig. Men mindes vi hvad vi oven erkjendte, at sand-
synligheden ikke udtrykker vor erkjendelses forhold til de
absolute, men alene til de overskuede, de i vor bevidsthed
forhaandenværende betingelser, saa forstaar vi, hvor uheld-
svangert denne theori kan komme til at legitimere illusio-
nerne. Den kan derfor kun passere der, hvor de falske
forestillinger staar i fjernere forhold til handlingen. Mis-
kjendelse af begrebets natur kan saaledes vise sig i sine
konsekvenser ethisk fatal. Men navnlig har vi at konsta-
tere, at vor intellekt peger ud over begrebet. Sandheden
kjender ingen sandsynlighed, ligesaalidt som virkeligheden
kjender nogen mulighed. Hvad der existerer, er kun kjends-
gjerninger samt nødvendighed. For det intuitive blik, der
ikke var henvist til diskursivt at erobre sig sine begreber,
men anskuede alt uhemmet (sub specie æterni), vilde der
ikke findes nogen sandsynlighed, men alene vished. Denne
intuition har mennesket ikke naaet. At vi logisk eier
begrebet sandsynlighed, er et af de mest authentiske vidnes-
byrd om begrænsningen af vor erkjendelsesevne.

Som vi er beskaffen, kan vi ikke godt undvære begre-
bet. Det hænder stundom, at vi ikke kan dispensere os
fra at sætte et resultat, selv om betingelserne ikke lader
sig gjennemskue. Livet frembyder et ikke ringe antal af
tilfælde, hvor mennesket ikke kan erholde indsigt, uden dog

at kunne resignere derpaa. Han maa handle, og skal ikke

24 Anathon Aall. Om sandsynlighed og dens betydning etc.

handle i blinde; han maa komme til en opfatning, og kan
ikke vælge sig den paa maafaa. I saadanne tilfælde bliver
sandsynligheden en ganske væsentlig logisk faktor, idet den
alene erfaringsmæssig formaar at udløse en handling eller
foranledige en dom. Idealet er da, at handlingen bliver
minimal og dommen provisorisk. Flere saadanne omraader,
hvor vi har behov af at forme anskuelse, har vi allerede
betragtet. Vort erkjendelsesliv producerer og projicerer sig
blandt andet i historieforskning, i psychologi og jurisprudens.
Fremforalt: Livet kræver initiativer.

Sandsynligheden har da fortjeneste af at bringe os i
approximativt forhold til en handlings ideale, en tilstands

normale og en sandheds reale væsen.

NOGLE
MAGNETISKE OBSERVATIONER

AF

H. GEELMUYDEN -

MED EN GRAFISK FREMSTILLING

"KRISTIANIA

ALB. CAMMERMEYERS FORLAG
LARS SWANSTRØM

eu om | Lu ur
ag = j p 1 NX
Å ? \ ir |

u
'
Ko
8 se
a å ;

VA
å

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB. B. XIX. Nr. 10.

Nogle magnetiske Observationer i Nord-
marken og i Christiania.

Af
H. Geelmuyden.

I de udstrakte og høitliggende Skovtrakter nordenfor
Christianiadalen blev jeg under en Vandring Sommeren 1895
opmærksom paa, at den magnetiske Misvisning paa en Høide
i Nærheden af Fjeldet Kikud syntes at afvige temmelig
meget fra den paa disse Kanter sædvanlige. Saavidt jeg
kunde bedømme ved Hjelp af Kartet og et ganske lidet
Lommekompas, saa den ud til at være en Smule østlig,
medens den i Christiania er ca. 12° vestlig. Jeg har derfor
i Sommeren 1896 anvendt nogle Dage til at undersøge dette
Forhold nøiere saavel der, som paa nogle andre Punkter i
Nordmarken.

Som et for Øiemedet hensigtsmæssigt Apparat benyttede
jeg et gammelt Diopterkompas (af Ertel) som Hansteen 1
sin Tid har brugt i Sibirien og paa mange andre Steder.
Den henved 10 cm. lange Naal, hvis Vertikalsnit efter Axen
er omtrent rektangulært, har paa Midten en Udvidelse med
cylindrisk Hul til Indsætning af en Hylse med Agathat,
som under Brugen anbringes over en Staalspids i Centrum
af Cirkelen. Hylsen kan indskydes saavel fra den ene som
fra den anden Side af Naalen; til en fuldstændig Sats hører

4 H. Geelmuyden.

derfor Observationer i begge de Stillmger af Naalen, som
faaes ved at skifte Hylsen. En mulig Excentricitet elimi-
neres ved Aflæsning af Naalens begge Ender, der er skarp-
slebne og vandrer tæt indenfor den i enkelte Grader ind-
delte Limbus, som er hævet nogle Millimeter over Cirkelens
Bundflade. Da Aflæsningen imidlertid ikke kan udføres
nøiere end paa 0.1, kan heller ikke Misvisningen bestemmes
nøiere ved en enkelt Observation.

Diopterets to Opstandere, som ved Foden har horizon-
tale Axer til Nedlægning naar Instrumentet ikke bruges,
har en Afstand af vel 20 cm. Den korte Opstander har
en 3.5 em, lang vertikal Spalte, hvis nedre Del er dækket
af et Solglas; man kan saaledes efter Behag stille ind paa
Solen, eller paa et terrestrisk Objekt eller en lav Stjerne.
Traaden, som udspændes i Aabningen af den høie Opstander,
er vel 12 cm. lang. Den største Høide, hvori Solen kan
indstilles direkte med Diopteret, er altsaa den Vinkel, hvis
Tangens er 12/0 — 0,6 eller ca. 30°.

Cirkelen og Naalen er indesluttet i en 14 mm. høi
eirkelrund Daase, oventil dækket af et Glaslaag, som er
fæstet ved en tynd Messingring. Denne kan med Lethed
udtages og Laaget hæves, naar Naalen skal udtages til Skift-
ning af Agathylsen. Hele Apparatet hviler paa sin Bund-
flade, som er meget nær plan.

Under Observationer af Solen er det naturligvis af
Vigtighed at Diopterplanet er vertikalt. Jeg spændte derfor
Traaden ind saaledes, at den befinder sig i Spaltens Verti-
kalplan, naar en tvers over Daasens øvre Rand anbragt
Libelle spiller ind. Dette gjordes ved at ophænge en Lod-
traad paa den hoie Opstander, mellem Dioptertraaden og
Cirkelens Centrum, og derved sørge for, at Dioptertraaden

blev parallel med Lodtraaden. Jeg overbeviste mig ved

Nogle magnetiske Observationer. 5

samme Leilighed om, at den Heldning, som Dioptertraaden
paa denne Maade kunde faa, ikke kan overstige 3’; naar
nemlig Dioptertraaden coinciderer med Lodtraaden i den
øvre Ende, saa vilde en Heldning af 3', eller 1 paa 1140,
frembringe en Afvigelse af 0.1 mm. i den nedre Ende, og
en saadan Afvigelse vilde Øiet kunne mærke. Naar Solen
pointeres med et skjevt Diopter, saa vil, som man let kan
overbevise sig om, Feilen i det beregnede Azimut være
lig Heldningen multipliceret med Tangens af Solens Høide;
da nu denne, som før bemærket, ikke kan overstige 0.6 ved
direkte Sigtning, saa kan Feilen i Azimut ikke overstige
1/8, en Størrelse som ikke kommer i Betragtning ved dette
Apparat.

En Feilkilde af større Betydning er Naalens Træghed.
Skjønt Friktionen mellem en Staalspids og en Agathat er
høist ubetydelig, er dog ogsaa, naar Naalen nærmer sig til
Meridianen, den magnetiske Direktionskraft saa liden, at
Modstanden bliver mærkbar. Erfaring viser ogsaa, at naar
Naalen gjentagne Gange bringes i Svingninger, saa stanser
den ikke altid paa samme Punkt. Afvigelsen kan i enkelte
Tilfælde gaa op til en hel Grad, hvad der muligens vil
kunne forminskes noget ved omhyggelig Slibning af Staal-
spidsen. Da disse Afvigelser imidlertid har Karakteren af
tilfældige Feil, idet de tydeligvis beror paa, om Naalens
sidste Bevægelse gaar til den ene eller anden Kant, saa
maa deres Virkning saavidt mulig elimineres ved Gjentagelse
af Observationerne. Efter hver Indstilling af Diopteret paa
Solen aflæstes derfor Naalens begge Ender flere Gange (i
Regelen tre) saaledes at Naalen bragtes i Svingninger mellem
hver Gang. Dette gjordes ved at bringe en anden Magnet-
naal i Nærheden, hvorved sørgedes for, at den første Sving-
ning begge Gange gik til modsat Kant, hvad der i nogen

6 H. Geelmuyden.

Grad ogsaa forøger Chancen for, at det samme kan blive
Tilfældet med den sidste Svingning. I hver Halvsats toges
gjerne 3 eller 4 Indstillinger af Solen, hvorved en fuld-
stændig Bestemmelse af Misvisningen kommer til at bero paa
18 eller 24 Aflæsninger af Cirkelen ved Naalens begge Ender.

Da det ved Vertikaltraadens Indsætning i Diopteret
ikke godt lod sig gjøre at bringe Diopterplanet til at falde
nøiagtig sammen med den Diameter, der gaar gjennem Cir-
kelens Nulpunkt, opstaar derved hvad man kan kalde en
Indexfeil, som bestemtes særskilt i hver Halvsats ved at stille
Diopteret ind paa Naalen og derefter aflæse Cirkelen som
ved Observationerne af Solen. Dette kunde ske ved at
sigte den omvendte Vei, d. e. anbringe Øiet i passende
Afstand bag Traaden istedetfor bag Spalten.

Hver enkelt Observation udføres da paa den Maade,
at Dioptertraaden bringes til at halvere Solskiven — hvad
der med blotte Øine antagelig kan ske uden større Feil
end ea. 1' — idet Øiet holdes saaledes, at Solen viser sig
midt i Spalten, hvorefter Uhrtiden noteres og Cirkelen
aflæses som ovenfor nævnt. At foretage Tidsbestemmelser
paa Stedet havde jeg ikke Midler til; men da Uhret, et
Lommekronometer af Kessels, blev sammenlignet paa Obser-
vatoriet umiddelbart før og efter Reisen, som kun varede i
5 Dage, og derved viste sig at have havt en gjennemsnitlig
daglig Acceleration af 55,94, kan den derefter beregnede Stand
ved hver Observation antages sikker, ialfald paa et Par
Sekunder nær, hvad der ikke spiller nogen Rolle ved Obser-
vationer med blotte Øine.

Instrumentet bør naturligvis helst opstilles paa et pas-
sende jernfrit Stativ; jeg kunde imidlertid ved denne Lei-
lighed ikke føre mere med mig, end hvad jeg kunde bære
i Randselen i det ofte ulændte Terræn, nemlig Apparatet

Nogle magnetiske Observationer. 7

selv, en Libelle og nogle Kiler til Nivellering. Jeg bestemte
mig derfor til at anbringe Apparatet paa en Træstub eller
en passende stor og flad Sten; der findes nok af begge Dele
i Nordmarken. Nivellering ved Hjelp af tre passende Kiler,
anbragt under en Træplade, hvorpaa igjen Apparatets Bund-
plade hviler, foregaar næsten lige saa let og sikkert som
ved Fodskruer; den eneste Forskjel er, at da Dreiningen
om en vertikal Axe bestaar i en Glidning paa Træpladen
(i dette Tilfælde Laaget af den til Apparatet hørende /Eske),
som naturligvis ikke er fuldkommen plan, saa maa Stillingen
af og til kontrolleres ved Paasætning af Libellen.

Efter at have udført nogle Observationsrækker i Obser-
vatoriets Have, til Sammenligning med Unifilaret i det mag-
netiske Observatorium, der aflæstes enten midt i Rækken
eller umiddelbart før og efter, gik jeg en Dag i Juli Maaned
op i Nordmarken, tog samme Eftermiddag en Observation
paa Bjørnholt ved den sydlige Ende af Bjørnsøen, roede
derpaa over Vandet og gik op paa Kikud, som ligger lige
nordenfor. Da Solen var begyndt at gaa lidt lavt, gik jeg
over paa den vestlige Side af Fjeldets øvre Flade, hvor jeg
satte Kompasset op paa en Træstub. Efterat den første
Halvsats var færdig, holdt Solen sig saa længe skjult bag en
Sky, at den efter Fremkomsten begyndte at gaa bag nogle
Trætoppe; jeg flyttede derfor bort til en anden Træstub,
omtrent 10 Skridt derfra, men noget længere nede i Bakken,
og fuldførte Observationen der. |

Efter at have taget en Observation paa Bonna næste
Morgen beregnede jeg et Par Observationer fra hver Station,
hvorved det viste sig, at Bjørnholt og Bonna havde omtrent
samme Misvisning som Christiania, nemlig resp. 13° og 11°;
derimod var der en betydelig Afvigelse for Kikud, og
navnlig var det paafaldende, at de to Træstubber, hvorpaa

8 H. Geelmuyden.

de to Halvsatser var fordelt, gav Værdier med en Differens
af 6°. Da disse Observationer maatte udfores under van-
skelige Omstændigheder, vakte dette Mistanke om Feil i
Aflæsningen af Cirkelen, som isaafald maatte have gjentaget
sig flere Gange; jeg bestemte mig derfor til at blive over
paa Bonna og gaa op igjen om Eftermiddagen. I Mellem-
tiden gik jeg bort til Fyllingen og tog en Observation der
ved Middagstid; Solen stod da for høit til at kunne poin-
teres med Diopteret, men et fuldkommen brugbart Resultat
kunde opnaaes ved at benytte den Skygge, som Diopter-
traaden kaster paa Cirkelen; hertil kræves kun, at man en
Gang for alle undersøger, hvorledes Skyggen falder i Forhold
til Cirkelens Nul-Diameter, naar Diopteret er indstillet til
Bissektion af Solen. Om Bundpladen, hvorpaa Skyggen fal-
der, er nøiagtig horizontal eller ikke, kommer herved ikke
i Betragtning, saalænge kun Dioptertraaden staar i Solens
Vertikalplan. Ogsaa senere benyttedes den samme Frem-
gangsmaade paa enkelte Punkter, som passeredes underveis
paa en Tid, da Solen stod for høit til Indstilling gjennem
Diopterspalten. At dømme efter den indbyrdes Overens-
stemmelse af de enkelte Observationer kan ogsaa for disses
Vedkommende Resultatet i Almindelighed ansees rigtigt paa
nærmeste Tiendedel Grad; den noget forøgede Virkning af
en mulig Heldning af Traaden har ikke stort at sige med
de Høider, som Solen kan opnaa paa vore Bredder.

Da jeg om Eftermiddagen atter gik op paa Kikud, tog
jeg fuldstændige Satser paa fire forskjellige Punkter, nemlig
No. 1 ved den østlige Rand af Fjeldets øvre Flade, 2 om-
trent midt paa Ryggen (nær Varden), 3 og 4 de to Træ-
stubber fra den foregaaende Dag. Den efter Hjemkomsten
udførte Beregning gav derved fuld Bekræftelse paa det be-
synderlige Forhold ved disse.

Nogle magnetiske Observationer. 9

At den magnetiske Deklination paa mange Steder er
underkastet stærke lokale Anomalier, er en gammel Erfaring,
og det er ikke altid, man kan paavise nogen Aarsag dertil;
saaledes har man i Slettelande som Rusland fundet betyde-
lige Differenser paa et forholdsvis indskrænket Terræn. En
Forandring af 6° paa ti Skridt synes dog at antyde Til-
stedeværelsen af en magnetisk Erts i ringe Dybde, hvorfor
jeg har henledet Grundeierens Opmerksomhed paa Forholdet.
Fjeldet, som for Størstedelen er bevoxet med tæt Granskov
(kun den øvre, mod Syd heldende Flade er mere sparsomt
bevoxet) viser paa flere Steder blottede Styrtninger; ogsaa
mellem de to Træstubber var der en lav vertikal Bergvæg
eller Bænk. Bergarten er næsten overalt i denne Del af
Nordmarken Syenit; længere Vest kommer Porfyrfeltet, som
strækker sig henimod Ringerike.

Efter at have tilbragt endnu en Nat paa Bonna gik
jeg den følgende Dag opover til Haklovandet, hvor jeg tog
en Observation paa Stranden i Nærheden af den saakaldte
Skydsskafferodde, fortsatte derefter nordover og vestover
til Sumdungen, hvor en Observation toges over Middag, og
gik saa op paa Kirkeberget nordenfor Sandungen. Ogsaa
dette er næsten helt skovbevoxet; paa den høieste Top
stikker der op to smaa Syenitknauser, en paa den østlige
og en paa den vestlige Side, adskilt ved en liden Sænkning
med Myr af ca. 50 Skridts Bredde. Paa Østsiden styrter
den bevoxede Fjeldside meget brat ned til en betydelig
Dybde, paa Vestsiden er den noget mindre brat; mod Nord
og Syd skraaner Fjeldet langsommere. Efter Erfaringerne
fra Kikud tog jeg ogsaa her en Observation paa hver Top.
Fra Kirkeberget gik jeg ned til Katnosa, hvor Natten til-
bragtes,

10 H. Geelmuyden.

Næste Morgen tog jeg først en Observation ved Katnosa,
satte derefter over Vandet, gik over til det vestlige Vas-
drag med Søerne Hauken og Svarten og fortsatte derfra
op paa Opkuven, Nordmarkens høiste Punkt. Her fik jeg
ingen Sol, men benyttede istedet Taarnet paa Tryvands-
høiden som Objekt. Da Opkuven er et trigonometrisk
Punkt af første Orden og Tryvandshoidens Taarn uden
Tvil er nøiagtig aflagt paa Rektangelkartet, faaes Retningen
fuldkommen nøie bestemt.

Efter at have overnattet paa Langlia tog jeg den føl-
gende Morgen en Observation der og gik saa hjem, idet
jeg underveis observerede ved Slagteren og Frønsvolden.

Senere har jeg anvendt en Dag til at bestemme Mis-
visningen paa Holmenkollen, Voxenkollen, Tryvandshøiden
og Frognerseteren. Paa disse lettere tilgjængelige Punkter
kunde et Stativ medføres.

Det hele er kun at betragte som en foreløbig Rekogno-
scering, dels fordi der til en fuldstændig Undersøgelse natur-
ligvis ogsaa vilde kræves Bestemmelse af de to andre jord-
magnetiske Elementer, Inklination og Horrizontal-Intensitet,
dels ogsaa af følgende Grund.

Ifølge velvillig Meddelelse fra fhv. Statsminister Løven-
skiold har Nordmarkens Bestyrer, Forstkandidat Stalsberg,
allerede for flere Aar siden bemærket, at Kompasset er
ganske uefterretteligt i Trakten om Fyllingen. Han har
engang forsøgt at opgaa en Delelinie mellem hans eget og
det vestlige Skovdistrikt ved Hjelp af en stor Boussole
med Kikkert, men fandt den ganske ubrugelig. Et Sted i
Sydvest for Fyllingen saa han, ved at sætte et Lomme-
kompas ned paa Fjeldet, Naalen at vende helt om. Dette
tilskriver han magnetiske Egenskaber ved selve Bergarten.

Han har ogsaa, efter et Par Besøg paa den af mig anviste

Nogle magnetiske Observationer. fill

Del af Kikud, paavist at Bergarten der (en Augitsyenit) paa
flere Punkter er stærkt magnetisk. Hvorvidt dette inde-
holder den hele Forklaring er imidlertid et andet Spørgs-
maal. Han har velvillig overladt mig et Stykke, som var
afhugget af den ovenfor nævnte Bænk mellem de to Stubber;
ved at bringe et bestemt Punkt af denne Sten i 5 mm. Af-
stand fra Naalen (den mindst mulige Afstand, naar Glaslaaget
staar paa) kunde jeg holde Naalen 17° ude af sin Stilling,
men allerede paa 6—7 em. Afstand var Virkningen umærke-
lig. Ca. 30 Meter længer i Nord er en anden lignende
Bergvæg, af hvilken han har hugget et Par Stykker; ved
det ene af disse kunde Virkningen paa den af mig benyttede
Naal spores allerede i 20 cm, Afstand. Rimeligvis er de
indsprængte Korn af Magnetjern hist og her ordnede i en
Række, som tilsammen virker som en forholdsvis lang
Magnet, thi saalænge der kun forekommer isolerede Korn,
taber Virkningen sig meget hurtig. Det er jo ogsaa tænke-
ligt, at saadanne Rækker kan være fortsat saa langt ind
gjennem Bergmassen, at Virkningen kan strække sig paa
endnu længere Afstande, men i ethvert Fald synes Forholdene
her at fortjene en nærmere Undersøgelse.

Imidlertid er det saa — hvad jeg maa bekjende, at jeg
ikke vidste, da jeg udførte Observationerne — at saagodtsom
al den Syenit, hvoraf Nordmarkens Fjeldgrund bestaar, inde-
holder indsprængte Korn af Magnetjern. Som Følge deraf
er der en Mulighed for, at de Observationer, hvor Apparatet
var anbragt med et ringe Mellemlag (2—4 cm.) paa selve
Stenen, kan have været paavirket af denne. Ved Imøde-
kommenhed af Professor Brøgger har jeg paa Mineralkabi-
nettet faaet Adgang til at prøve en Række Haandstykker,
dels fra Omegnen af Grorud, Grefsen, Sognsvandet og Mari-
dalsvandet, dels fra forskjellige Kanter i det egentlige

110 H. Geelmuyden.

Nordmarken. De allerfleste Stykker var forskjellige Syeniter,
nogle faa Porfyr. Af 42 Stykker var der 20, som i 5 Milli-
meters Afstand fra Naalen var uden Virkning paa denne
(deriblandt et fra selve Toppen af Kikud); af de øvrige var
der 8, som paa et bestemt Punkt kunde holde Naalen 2°—3°
ude af sin Stilling, for Resten af Stykkerne var Virkningen
1° eller mindre.

For disse Observationers Vedkommende skal jeg derfor
kun ganske i Forbigaaende nævne, at Misvisningen paa de
fleste Stationer fandtes omtrent som i Christiania, nemlig mel-
lem 11°.0 (Opkuven) og 13°.3 (Bjørnholt), deriblandt Kikud
No. 1 og 2, samt Bonna og Fyllingen, som ligger ved Foden af
Fjeldet; paa Katnosa og Langlia omtrent 8°, og endelig paa
Kirkeberget 6°.s paa den vestlige Top, 4°.8 paa den østlige.
Men at der for alle disse Pnnkter maa gjøres en stærkere
Reservation, end de ovennævnte Prøver paa Mineralkabinettet
kunde synes at nødvendiggjøre, fremgaar deraf, at jeg ved
en senere udført Observation paa Frønsvolden, hvorved
Apparatet var opstillet paa et Stativ, fandt en 5°.5 mindre
Værdi end da det var anbragt paa en Sten lige i Nærheden.

Resultaterne af de øvrige Observationer er anført i
nedenstaaende Tabel, med Tilføielse af Stedernes geografiske
Beliggenhed og Høide over Havet, samt det gjennemsnitlige
Klokkeslet i mellemeuropæisk Tid, regnet fra Middag til
Middag; det kan omgjøres til hvert Steds Middeltid ved at
formindskes med 17m 65 + Stedets vestlige Længde fra
Christiania. Observationerne blev altid beregnet særskilt
for hvert noteret Klokkeslet, og Middeltallet taget for
hver Stilling af Naalen, hvorefter disse to Værdier atter
forenedes til et Middeltal, uanseet om der var lige mange
Observationer (d. e. Indstillinger af Solen) i hver Halvsats,

eller 1 mere i den ene end i den anden; det sidste var

Nogle magnetiske Observationer. 13

Tilfældet der, hvor Antallet af Observationer er anført som
et ulige Tal.

Blandt disse Stationer er ogsaa medtaget Punkterne 3
og 4 paa Kikud, uagtet Apparatets Afstand fra Fjeldgrunden
under Træstubberne ikke var saa stor, som naar det er op-
stillet paa et Stativ; om det er selve Fjeldgrunden, som
har bevirket de stærke Anomalier, maa foreløbig staa derhen.

Naar Misvisningen for det meste er anført med 2 Deci-
maler, saa er det hovedsagelig, fordi Differenserne mellem
de i Christiania udførte Observationer og de nogenlunde
samtidige Aflæsninger af Unifilaret i det magnetiske Observa-
torium kun har varieret mellem 0°.43 og 0.48, hvad der tyder
paa, at Usikkerheden, ialfald ved disse Bestemmelser, har
været mindre end 0°.1. At der overhovedet viser sig en
Differens mellem disse to Punkter, hvis indbyrdes Afstand
er 150 Meter, kan ikke lægges Instrumentet til Last, da
Erfaring ogsaa tidligere har vist, at man faar lidt forskjellige
Værdier paa forskjellige Punkter inden Observatoriets Ene-
mærker. Naar Forskjellen i dette Tilfælde gaar op til næsten
en halv Grad, saa maa det dog bemærkes, at der foreligger en
særlig Grund til en Lokalafvigelse paa det Punkt, hvor
Observationerne udførtes; dette befinder sig nemlig i Nær-
heden af det meteorologiske Instituts Station, et Sprinkelhus
paa Stolper, som er fæstet ved 5 Jernbarduner, der som sæd-
vanlig for Jernstænger i denne Stilling er magnetiske med
en Nordpol i den nedre og en Sydpol i den øvre Ende, af
hvilke den nærmeste Nordpol var 5.5 Meter østenfor Kom-
passet under Observationerne.

Observationerne er anført i kronologisk Orden. Nogen
Reduktion for den daglige Periode er ikke anbragt. Mærket
* betegner, at Observationerne kun blev udfort i den ene
Stilling af Naalen.

H. Geelmuyden.

14

oo

Station.

Christiania ........

99 hs...

” eee ee eee

RGR WUT ern
Re Me dates sheers
om DE re
re

Sandungen ........

Christiania ........
Holmenkollen......
Voxenkollen.......
Tryvandshgiden ...
Frognersæteren....

Frensvolden.......

Bredde.

59° 54.7

60 7.2
59 54.7
59 57.8
59 58.3
59 59.2
59 58.6
59 59.3

Længde. Heide Norm. | Ant. | Vestl.
Vest. Chr. | Havet. 18800; mid. | Obs. | Dekl. Zub
0° O10 25 |Julill |6h4im 13 |12°.35 Unif. 11°.91, Diff. 0°.44.
— — 13 545 | 12 12.34 — 1186, — 0.48.
— — 14 119 44 8 12.13 — 1170, — 043.
0 45 690 16 8 8 2 22.25
0 45 600 — 8 46 2 16.30 | *
— = 1 7 @ 6 22 33
— — — 7 47 4 16.44
0 6.1 400 18 1 35 7 10.97
0 0.0 25 25 6 14 8 12.32 | Unif. 11°.88, Diff. 07.44.
0 3.4 320 |Aug.26 | 028 | 4 | 11.2
0 83.8 450 oa 2 17 8 10.33
0 3.0 520 = 4 1 9 11.86
0 24 420 == 6 0 4 10.63
0 16 440 Sept.19 3 22 6 10.57

Nogle magnetiske Observationer. 15

Til nærmere Betegnelse af Stationernes Beliggenhed
anføres følgende:

Christiama. En i Observatoriets Have staaende Mar-
morstøtte, som betegner det trigonometriske Punkt Chri-
stiania. Apparatet blev her nivelleret paa samme Maade
som ved Observationerne i Marken.

Kikud 3 og 4. De to før omtalte Træstubber paa den
vestlige Skraaning af Fjeldets øvre Flade, nær høieste Punkt,
ved Begyndelsen af Sænkningen mod den strax vestenfor
liggende skovbevoxede Fjeldtop Porthøiden, der har omtrent
samme Høide som Kikud.

Sandungen. En Stabel af tilhugget Tømmer i Nær-
heden af Husene.

Holmenkollen. Omtrent 30 Meter vestenfor Udsigts-
taarnet

Voxenkollen. Den efter Veianlægget endnu gjenstaaende
Del af den bare Kolle paa Fjeldets vestre Side.

Tryvandshøiden. Omtrent 47 Meter søndenfor Taarnet.

Frognersæteren. Terrassen udenfor det øverste af de
vestlige Huse (Restaurationshus). Nogle Bænke med Jern-
fødder stod nogle Skridt fra, men ingen anden Plads kunde
benyttes, da Solen nærmede sig Trætoppene.

Frønsvolden. I Bakken lidt nedenfor Skistuen.

Naar jeg offentliggjør disse for en Del ufuldkomne
Observationer, saa er det hovedsagelig for at henlede
Opmærsomheden paa de stærke Anomalier paa Vestsiden
af Kikud. Om det nemlig skulde vise sig, at det er
selve Fjeldgrunden som, uden at indeslutte egentlige Erts-
leier, er den direkte Aarsag til disse stærke Afvigelser, saa
vilde heraf følge, at man ved en magnetisk Undersøgelse

kan være udsat for pludselig at befinde sig i et Terræn,

16 H. Geelmuyden.

hvor Bergarten ved sin ydre Habitus ikke giver Anledning
til nogen Mistanke, men ikke destomindre øver magnetisk
Virkning paa Afstande, hvor man efter forudgaaende Prøver
med Haandstykker, taget lige i Nærheden, maatte føle sig
fuldt betrygget — hvad der tydeligvis vilde berede Van-
skeligheder for en detaljeret Undersøgelse af de jordmagne-
tiske Forhold i et Bjergland som vort.

I Forbindelse hermed meddeles en grafisk Fremstilling
af Resultaterne af en Række magnetiske Observationer,
som blev udført paa Christiania Observatorium i Anled-
ning af Solformørkelsen 9 August 1896. Foruden paa
selve Formørkelsesdagen blev der paa de fire nærmest fore-
gaaende og den ene nærmest følgende Dag hvert 5te Minut
fra Kl. 31/2 til Kl. 6 om Morgenen taget Observationer af
Deklinationen og Horizontal-Intensiteten. Til den første
benyttedes et transportabelt Unifilar af Elliott, som op-
stilledes i Observatoriets vestre Fløi i Nærheden af Aflæs-
ningskikkerten for Bifilaret, hvorved den samme Iagttager
kunde besørge begge Dele; Unifilaret blev aflæst paa Mi-
nutterne 0, 5, 10 o. s. v., Bifilaret paa Minutterne 2, 7, 12
o.s. v. Til Bestemmelse af et Udgangspunkt paa Unifilarets
Skala blev der den første Dag taget samtidige Aflæsninger
af det store Unifilar i det magnetiske Observatorium; da
man imidlertid ikke kan stole paa Torsionens Uforander-
lighed gjennem flere Dage for det lille Instrument, blev
denne Sammenligning med det store ogsaa gjentaget den
sidste Dag. Heraf fremgik en Forandring af 0.56 Skaladele
eller 103 i Udgangspunktet paa Elliotts Skala, relativt til

den første Dag; ved Fordeling af dette Beløb paa de mellem-

Nogle magnetiske Observationer. 17

liggende Dage proportionalt med Tiden kan der naturligvis
opstaa en Usikkerhed af en Brøkdel af et Minut i den
absolute Værdi af Deklinationen, men Variationen inden
de forskjellige Tidsrum af 21/2 Time kan ansees som fuldt
sikker. At Forandringen skyldtes Torsionen viste sig ved
umiddelbart efter sidste Observationsrække at huge den
magnetiske Collimator ud og henge et Lod af samme Vegt
ind istedet; dette dreiede sig og kom til Ro ca. 30° fra den
magnetiske Meridian i den Retning, som svarer til oven-
nævnte Forandring; et derefter udført Forsøg gav med den
dobbelte Cocontraad 6.0 Skaladeles Dreining af Magneten
for 360° Torsion, hvoraf følger, at det nævnte Belob af 0 56
Dele svarer til henved 34” Torsion, overensstemmende med
hvad Loddet viste.

Til Bestemmelse af Horizontal-Intensiteten udførtes med
Elliotts Instrument, anbragt paa en Marmorstøtte i Observa-
toriets Park (ikke det ovennævnte trigonometriske Punkt)
to absolute Bestemmelser, 13de og 18de August, hvilke
med god Overensstemmelse gav et Udgangspunkt for det
store Bifilar; efter Anbringelse af den af Hansteen bestemte
Reduktion for Temperaturens Virkning paa det magnetiske
Moment fandtes Intensitetens Variation ved Anvendelse af
den af Fearnley beregnede Skalaværdi, hvorefter en Del
_ svarer meget nær til en Enhed i 5te Decimal af Horizon-

talintensiteten, udtrykt i Enhederne C. G. S.

Den hosføiede Planche viser Resultaterne for de sex Dage,
nemlig Deklinationen oventil fra 15" 30" til 18? Om, Inten-
siteten nedentil fra 15" 32m til 18" 2m, idet Klokkeslettet
er regnet fra Middag; overensstemmende hermed er For-
mørkelsesdagen betegnet som August 8 Skalaen for de
forskjellige Dage er anført afvexlende paa høire og venstre
Side; kun for de to sidste Dage kunde den samme Skala

2 — Archiy for Math. og Natury. B. XIX. Nr. 10.
Trykt den 29de April 1897,

18 H. Geelmuyden.

anvendes for Horizontal-Intensiteten. Tiden for Solens Op-
gang er betegnet ved en paa hver Curve anbragt Tverstreg
med Mærket ©; de to tykkere Tverstreger August 8,
mærket B og E, betegner Formørkelsens Begyndelse og
Ende i Christiania.

Hvis man vilde indskrænke sig til at sammenligne For-
holdene under Formørkelsen med de tilsvarende Curver for
de to nærmest foregaaende og den ene efterfølgende Dag,
saa udmærker August 8 sig paa en iøinefaldende Maade
ved større Ro, idet Deklinationen med ringe Fluktuationer
har holdt sig om 11° 44‘, medens den de andre Dage varie-
rede meget stærkere, og navnlig den sidste Dag i mindre
end en Time aftog fra 11° 57’ til 11° 41% det samme var
Tilfældet med Intensiteten, hvor Curven Aug. 8 er næsten
retliniet.

At dette imidlertid ikke kan tilskrives Solformørkelsen,
men maa have sin Grund i tilfældige Perturbationer de andre
Dage, viser sig, naar man udstrækker Sammenligningen til
de to første Dage, hvis Curver for begge Elementer viser
den samme Ro. Derimod fremgaar her en anden Forskjel:
Medens Deklinationen August 8 har holdt sig nogenlunde
konstant, har den August 4 og 5 været langsomt aftagende,
og medens Intensiteten under Formørkelsen har været
næsten konstant, med en ganske svar Aftagelse, har den
de to første Dage været langsomt tiltagende.

Hvorvidt man heri kan spore en Virkning af Formør-
kelsen, som i dette Tilfælde vel nærmest maatte betragtes
som en Forlængelse af Natten, kan nok være tvivlsomt, men
har dog nogen Sandsynlighed for sig. Ifølge tidligere konti-
nuerlige Observationsrækker i Christiania er det gjennem-
snitlige Forhold det, at Deklinationen i de tidlige Morgen-

timer holder sig under smaa Fluktuationer nær sit Minimum

Nogle magnetiske Observationer. 19

(som i den kolde Aarstid dog kun er sekundært, da Hoved -
minimum indtræffer før Midnat) indtil den omtrent KI. 8
Formiddag paabegynder en raskere Stigning henimod Dagens
Maximum, som naaes Kl. 2 Eftermiddag eller lidt før; i
August Maaned er der dog gjennemsnitlig en svag Aftagelse
i de her omhandlede Timer, saaledes at de to næsten ret-
liniede men noget heldende Curver August 4 og 5 for-
saavidt kan betragtes som fremstillende de normale Forhold.
Ogsaa Intensiteten pleier at variere ubetydeligt i denne Del
af Døgnet, men opnaar gjerne et sekundært Maximum om-
trent ved Solopgang, aftager saa til et Minimum en Times
Tid eller to før Middag, hvorefter den stiger til Dagens
Hovedmaximum ud paa Eftermiddagen eller Begyndelsen af
Aftenen. Den svage, men jevne Tilvæxt i Intensitetet endnu
et Par Timer efter Solopgang August 4 og 5 kan derfor
ikke betragtes som ganske normal, men Curvens næsten
horizontale Forløb paa Formørkelsesdagen giver dog Ind-
trykket som af et Slags forlænget Solopgang.

Overhovedet er Forbindelsen mellem Aarsag og Virk-
ning her saa kompliceret, at man ikke ved Observationer
paa et enkelt Sted kan vente at finde Svar paa Spørgs-
maalene. Hensigten med denne Meddelelse er ogsaa kun
at levere et Bidrag til Sammenknytning med Resultater fra
andre Steder, hvor lignende Observationer maatte være
gjort, eller hvor registrerende Apparater benyttes.

Vestlig Declination

h L
16:26 1880" 207 50” 1607 307 20% 307 20% 507 Oe vo” 207 307 so gr A
148 Asia ba ee ee Te ped
i | | EI
Te re
t HH Har
Ht H+
HE | peg cage nen i
11°43 nn I TE —
4 eee Sv on mu mu JE
41 FE a
22 ISIE Gem | SCE See
Aug.6. % JE E_ DER el
7 37 | [ | 4 ME GREN
6 Lee | IL ja LEE NaS
5 ES
33 | = I 1 | = 29 | ei —
| HH ] ae fad)
| en = EEE,
| | |
= | "| <=; sas F [I 14 ot
=== el
= 1 | Ir 4 ESE 4443
| EOS OLE Gee eae dåd aoe HS
11% von en | eie
ago 72 | > = eteren fele
: 42 === === | IL 157’
1] ie im (SB | Br
LC oae CO aoe å Dann See
Ge | + Jill =) + 53
[ | 7 Im ri + 52
CEE EE | jai IE
I | IF ] HHH | mall T Bar
IL +t + mcr ESF PEN
DAGE [I En sai en 7
4 im EIER. Se CL cH con
= 2 =: I
rider Nu:
: [ 4
1628
Aug.4 27 [1
29
Hå 128

Horizontal - Intensitet.

Kart & Litograferingskontoret, Kr.anıa.

Aug. å

AugS.

BIDRAG TIL KUNDSKABEN

OM

NORGES HYDRACHNIDER

AF

SIG. THOR

KONSERVATOR V. UNIV. ZOOL. MUSEUM

MED 2 PLANCHER

KRISTIANIA
ALB. CAMMERMEYERS FORLAG

LARS SWANSTRØM

Kristiania — Centraltrykkeriet 1897

%

fr

ARCHIV FOR MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAB. B. XIX Nr. 11.

“Norske hydrachnider.”

IE

Første samling.

Sommeren 1896 havde jeg for længere tid siden bestemt
at anvende til studiet af norske "Hydrachnider”. Det
akademiske kollegium tildelte mig et reisestipendium for i
sommerferien at undersøge disse og beslegtede dyrs fore-
komst i det centrale Norge og egnene om Trondbjemsfjorden.
Jeg havde først tænkt at tage nogle faa mindre vandsam-
linger til grundig undersøgelse, men bestemte mig for en
anden plan: at undersøge større strækninger mere overfladisk.
Derved haabede jeg at faa en første oversigt over vore
almindeligste og mest udbredte former.

Hydrachniderne er hidtil ikke undersøgt i Norge, skjønt
man i udlandet har beskjæftiget sig meget med dem (ogsaa
i Danmark og Sverige), og skjønt de frembyder meget af
interesse. De viser en stor rigdom paa farver og former,
især sterk variation i mundens, benenes og kjønsorganernes
dannelse og en eiendommelig udvikling gjennem et 6-benet
larve-, et 8-benet nymfestadium og hvilestadier efter hvert

af dem, for de fremtræder som voksne dyr. Hos den med

4. Sig. Thor.

hydrachniderne beslegtede Trombidium (fuliginosum) be-
nevner dr. H. Henking i Zeitschr. f. wiss. Zool. 1882 ud-
viklingsstadierne paa følgende maade:

1 a) eg, 1 b) schadonophanstadium, 1 ce) larve,
2 a) nymphochrysallis, 2 b) nymphophan, 2 c) nymphe,
3 a) teleiochrysallis, 3 b) teleiophan og 3 c) prosopon =
udviklet dyr.

Den faunistiske bearbeidelse frembyder adskillige van-
skeligheder, da nymfeformer og unge af teleiophan-hylstret
nylig udsmuttede individer i enkelte henseender er ulig de
fuldvoksne, saa man kan tage dem for egne arter. Enkelte
kræver længere tids dyrkning i akvarier for at kunne be-
stemmes sikkert; derfor kan denne min korte, foreløbige
bearbeidelse af materialet allerede af den grund endnu ikke
vere afsluttet. Ved nogle arter har jeg derfor maattet
sætte spørgsmaalstegn og kun opstillet arten efter en
foreløbig bestemmelse, som jeg forbeholder mig senere at
præcisere eller korrigere. Hvortil en sammenblanding af
voksne og nymfestadier, af han- og hunformer kan føre,
har man nok af talende eksempler paa selv fra de dygtigste
hydrachnologer (som ©. L. Koch, Kramer, Neuman). Saa-
ledes har prof. dr. P. Kramer (i Magdeburg) i 1875 og 1877
opstillet flere arter, der kun er 7 og © eller nymfer af
ganske almindelige arter (især indenfor Curvipes, Piona,
Hydrochoreutes og Hygrobates). Rektor dr. C.J. Neuman, Sve-
riges berømte hydrachnolog, har endog opstillet en egen genus
Anurania, som kun er nymfestadiet af en almindelig genus
Arrenurus. Jeg har seet færdige Arrenuri krybe ud af Anu-
rania-hylstret (en opdagelse, der forlængst er gjort af Kren-
dowskij, Kramer, Koenike, Piersig, Barrois & Moniez?). Mær-
keligt er det da, at dr. Neuman efter ca. 12—16 aars studium
af disse dyr fremdeles i 1880, ja endog i 1883 holder dem for

Norske hydrachnider. 5

en egen genus og ikke siden har rettet derpaa. Fn anden van-
skelighed skriver sig fra de nyere hydrachnologers uenighed
ved tydningen af de ældres navne (især indenfor Curvipes
(= Nesea) og Arrenurus). De 2 gamle for sin tid fortrinlige
verker af O. F. Müller (1781) og C. L. Koch (1835—42)
indeholder tildels forvekslinger og mindre korrekte tegninger.
Tegningerne og beskrivelserne mangler en del for bestem-
melsen vigtige dele, især kjønsfeltets og epimerernes form.
Flere af Miillers og Kochs arter er da forskjellig tydet af
senere forskere. Mest bekjendt er eksemplet: Arrenurus
tricuspidator. Arr. tricuspidator, Miller, er en anden end
Arr. tricuspidator, Koch & Bruzelius, denne igjen en anden
end Arr. tricuspidator, Kramer, denne igjen en anden end
Arr. tricuspidator, Neuman, denne igjen en anden end Arr.
tricuspidator, Berlese. Det er vistnok 4 forskjellige arter.
Enkelte former selv af dr. Neumans er hidtil ikke gjen-
kjendte. Det er vanskeligst at gjenkjende arterne, naar
tegningerne mangler. For med sikkerhed at henføre norske
former til den ene eller den anden af de tvilsomme eller
omstridte arter (især indenfor Curvipes) kræves større sam-
menligningsmateriale, end Norge alene kan byde paa, og
fremforalt direkte iagttagelse af typiske eksemplarer i nævnte
hydrachnologers samlinger.

De fleste arter er imidlertid saa kjendelige, at et éneste
blik blot med lupe er tilstrækkeligt. Andre kan let be-
stemmes ved hjælp af mikroskop — helst i levende tilstand,
da farverne gjerne forandrer sig, efterat dyret er dødt. Den
ældre opbevaringsmaade — i spiritus — er mindre god, da
dyret skrumper sammen, benene trækkes ind, og de fleste
farver forandres. Dr. F. Koenike anbefaler blandinger af
alkohol og glycerin eller: 1 vol. thymol + 1 vol. 20/0
iseddike + 2 vol. abs. alkohol + 4 vol. destil. vand.

Sig. Thor.

Den af mig benyttede literatur er følgende:
Carl v. Linné: «Fauna svecica» (1746) og «Systema Naturæ»
Fr. v. Paula Schrank: *1) «Beitråge zur Naturgeschichte»,

#2) «Enumeratio Insectorum Austriæ». Augsb. 1781.
Carl de Geer: *Memoires pour servir å l'Histoire des Insectes

Otho Friederich Müller: 1) Zoologiæ danicæ prodromus etc.

2) Hydrachnæ, qvas in aqvis Daniæ palustribus detexit,
descripsit, pingi et tabulis XI æneis incidi curavit O. F:

'C. Gottl. Bonz: *Observatio X i: «Nova Acta Akad. ces. Leop.

Joh. Christoffer Fabricius: Entomologia systematica, Il.

. Pierre André Latreille: - Précis des Caractères génériques des

Joh. Friedr. Hermann: “Mémoire aptérologique. Strassburg
Th. Say: *A description of the Insects of North America.
Carl Vilh. Hahn: Arachniden treu nach der Natur. abgebildet

Antoine Duges: 1) Mémoire I sur l’ordre des Acariens,
2) Mémoire II i «Annales sciences nat. zool.», 2° ser. 1834.

6
lo
(1758).
2.
Lpz. 1776.1)
3
Tom. VII. Stockholm 1778.
4,
Hafniæ 1776.
Miller. Lipziæ 1781.
5.
Caroline». Norimberg 1783.
6.
Hafniæ 1793.
U
Insectes. Paris 1796.
8.
1804.
GE
Amer. Entomology, Vol. II. 1821.
10.
und beschrieben. I-II. 1831—34.
JUL
112%

Carl Ludwig Koch: 1) Deutschlands Crustaceen, Myriapoden
und Arachniden (Heft 1—40). Regensburg 1835—41.
2) Uebersicht des Arachnidensystems. Nürnberg 1837—50.

1) De med * betegnede verker kjender jeg kun gjennem referater.

13.

14.
15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

Norske hydrachnider. 7

J. Victor Audouin: *1) Note sur une n. esp. d’Achlysie. «Ann.
des Sci. nat.» 1824.
#2) Sur un n. g. d’Arachn. trach.: Achlysia Dytisci, «Bull.
Sci. Soc.» Philom. 1827.
Hermann Burmeister: *Ueber die Achlysia i «Isis» 1834.
Dana & Whelpley: *On 2 Amer. species of Hydrachna, i
«Sillim. Am. Journal of sci.» ete. XXX. 1836.
S. S. Haldeman: *1) «Zoolog. Contributions» (Hydrachnidæ).
Philadelphia 1842.
#2) Description of 2 (spec.) Hydrachnæ. Phil. 1843.
#3) Description of 2 new species of Hydr. etc. Phil. 1843.
Philippi: Pontarachna punctulum i «Archiv f. Naturgeschichte»
I Bd. 1840.
Felix Dujardin: Mémoire I sur Acariens i «Ann. des Sciences
Naturelles». Tom. III. Paris 1845.
Ragnar Magnus Bruzelius: Beskrifning öfver Hydrachnider,
som förekomma inom Skåne. Lund 1854.
Edouard Claparéde: Studien an Acariden in «Zeitschr. für
wiss. Zoologie» (Siebold u. Kölliker). XVIII Bd. Leipzig 1868.
C. J. Neuman: 1) Vestergötlands Hydrachnider 1870.
2) Gotlands och Ölands spindlar och vattenqvalster i «Ofver-
sigt af Kgl. Sv. Vet. Akad. Förh.» 1875.
3) Om Sveriges Hydrachnider, Akad. afhandling 1880, i
«Kgl. Sv. Vet.-Akademiens Handlingar». Bd. 17 for 1879.
4) Om Hydrachnider antråffade vid Fredriksdal på Seland
1883 i «Kgl. Vetsk. och Vitt. Samhållet». Göteborg 1885.
5) Et kort referat af et foredrag om Limnesia-Eylais-nymfer
i svensk «Entomol. Tidsskrift». Stockholm 1880.
P. Kramer: 1) Beitråge zur Naturgeschichte der Hydrachniden
in «Archiv f. Naturgeschichte», 41 Jahrg. 1875.
2) Beitråge z. Natg. der Milben.
3) Familie der Gamasiden.
4) Familie der Bdelliden etc.i «Archiv f. N.», 42 Bd. 1876.
5) Grundzüge zur Systematik der Milben, i «Archiv f. N.»,
43 Jabrgang. 1877.
6) Beitråge z. N. der Milben i «Zeitschr. f. die ges. Natur-
wissensch.» (von Giebel). 3 Folge, III Bd. 1878.

8 Sig. Thor.

7) Neue Acariden etc. i «Archiv f. N.», 45 Jahrgang. 1879.

8) Ueber Milben,

9) Gamasiden i »Zeitschr. f. die gesammten N.», 47 Jahrg.

1881,

10) Ueber Gamasiden,

11) Segmentirung der Milben i «Archiv f. N.», 48 Jahrg. 1882.

12) Halarachne Halichoeri, Alm. i «Archiv f. N.», 51 Jahrg.

1885.

13) Ueber Milben i «Archiv f. N.», 52 Jahrg. 1886.

14) Ueber das Hydrachnidengenus Anurania i «Zoologischer
Anzeiger», 12 Jahrg. 1889.

15) Zur Entwickelungsgesch. etc. der Süsswassermilben
«Zool. Anz.». 15 Jahrg. 1892.

16) Ueber die verschied. Typen der 6-füssigen Larven bei

den Stisswassermilben, i «Archiv für Natgesch.», 59
Jahrg. 1893.
17) Ueber die Benennung einiger Arrenurus-Arten in «Zool.
Anz.», 18 Jahrg. 1895.
18) Die Hydrachniden in Dr. O. Zacharias: «Die Tier- u.
Pflanzenwelt des Siisswassers». II Bd. Leipzig 1891.
23. Ge Haller; 1) Die Hydrachniden der Schweitz in «Mittheil-
ungen der naturf. Gesellschaft in Bern». 1881.
2) Acarinologisches in «Archiv f. Nat.geschichte», 46 Jahrg.
1880.
3) Mundtheile u. systemat. Stellung der Milben in «Archiv
f. N.», 48 Jahrg. 1882.
4) Zur Kenntniss der Sinnesborsten der Hydrachniden, in
«Archiv f. N.» 48 Jahrg. 1882.
24. H. Lebert: 1) Uber den Werth u. die Bereitung der Chitin-
skelette. 1868.
*2) Matériaux etc. Hydr. du Lac Leman i «Bull. de la
soc. vaud. des sci. nat.» A. XIII, Lausanne 1874 og 1878.
25. A. Pagenstecher: Beiträge zur Anatomie der Milben I og I.
Leipzig 1860—61.
26. A. Croneberg: Ueber den Bau der Hydrachniden, kort gjengivet
i «Zool. Anzeiger» for 1878,

den

27.

28.

30.

31.
32.

33.

34.

36.

37.

Norske hydrachnider.

9

H. Henking:

Beiträge zur Anatomie, Entwickelungsgesch. u.

Biologie von Trombidium fuliginosum in «Zeitschrift für
wiss. Zoologie (Siebold u. Kölliker)», 37 Bd. 1882.

Willib.

Winkler: Anatomie der Gamasiden in «Arbeiten aus

dem Zool. Institute der Univ. Wien u. Zool. Station Triest».
Wien 1888.

. Robert v. Schaub:

1) Ueber die Anatomie von Hydrodroma

in «Sitzungsber. der kais. Akad. der Wissenschaften», math.
Abtheil. I. Wien 1888.

2) Über marine Hydr. nebst. Bemerkungen über Midea
Bruz. in «Sitzungsber. k. Ak. Wiss.» ete. XCVIII, I

naturwiss. Classe XCVI Bd.

A. S. Packard:

Abtheil. Wien 1889.

Journal», vol. I. 1871.

Riley:

=] Reg. U. S. Entom. Com. 312.

*Marine Insects from deep Water i «Sill. Americ.

1878.

Harrington, Fletcher and Tyrrel: *Report of the entom. branch
for 1883 i «Ottawa Fjeldnaturalists Club» 1884. Vol. II.

J. Leidy:
in «Proceeding etc. nat. sc.»
L. Koch:
Vet. Akad. Handl.»
. Th. Barrois:

*On the reproduct. and parasites of Anodonta fluv.

Philadelphia 1883.

Nord de la France». I. Lille 1889.
2) «Matériaux pour servir etc. la Faune des Eaux douces

des Acores» I. Lille 1887.

3) Notes hydrachnologiques IV. Sur

Th. Barrois & R. Moniez:
eillies dans le Nord de Ja France».
1) Le Lac de Gérardmer.

Jeunes Naturalistes». 17 année.

R. Moniez:

des
2)

3)

Arachniden aus Sibirien u. Nov. Semlja i «Kgl. Sv.
Stockholm 1880.
1) Notes hydrachnologiques I i «Revue biol. du

l'identité de VArr.

Chavesi Barr. et de l’Arr. emarginator, Miill., «Rev. biol.
du N. France». Lille 1893.

«Catalogue des Hydrachnides, receu-
Lille 1887.

Ent.
Paris 1895.

et Hydr. i «Feuille

Acariens observés en France (1 liste). «Rev. biol. du
Nord de la France». Lille 1890.
Note sur des Ostracodes, Cladocères et Hydrachnides,

observés en Normandie.

Lille 1889.

10

Sig. Thor.

38.

39.
40.

41.

42

43.

4) Faune des eaux souterrains du departement du Nord et
en particulier de la ville de Lille. 1889.

5) Note sur une Hydrachnide marine, Nautarachna asper-
rimum. Lille 1888.

6) Note sur une Pontarachna (Lacazei, Mon.) de Banyuls-
surmer. Lille 1890.

7) Note sur l’Arrenurus decurtator, nov. sp. Lille 1892.

8) Péches de M. Adrien Dollfus en France et La Hollande.
Extrait du «Bulletin de la Soc. d'études sci. de Paris»
XIT. 1889.

0. Zacharias (F. Koenike): 1) Ergebnisse e. zool. Excursion in

das Glatzer-, Iser- und Riesengebirge i «Zeitschrift für wiss.

Zool.» 43 Bd. 1886.

2) Zur Kenntniss der Fauna des süssen u. salzigen Sees
bei Halle in «Zeitschrift f. wiss. Zool.» 46 Bd. 1889.

0. Stoll: Hydrachnidæ i «Biologia Centrali-Americana, Zool.»

125 BØ, USE,

Krendowskij: Sydruslands ferskvandsmidder (russisk) i «Travaux

de la Soc. des naturalistes å l’uniy. Charkow» 1878 & 1884.

A. Berlese: Acari, Myriopoda et Scorpiones, hucusque in Italia

reperta. Fasc. 1—73. Padova 1882—94.

H. Lohmann: *Die Halacarinen der Planchton-Expedition, refe-

reret i «Archiv f. Nat.geschichte». 59 Bd. 1893.

F. Koenike: 1) Revision von H. Leberts Hydrachniden des

Genfer-Sees in «Zeitschrift für wiss. Zool.» 35 Bd. 1881.

2) Über das Hydrachniden-Genus Atax, Fabr.in «Abhand-
lungen nat.wiss. Vereins Bremen». VII Bd. 1882.

3) 2 neue Hydr. aus dem Isergebirge in «Zeitschr. f. wiss.
Zool.» 43 Bd. 1885. .

4) Eine neue Hydr. aus dem Karrasch-See bei Deutsch-
Eylau in «Schriften naturf. Ges. Danzig». VII Bd. 1887.
Verzeichniss, von im Harz ges. Hydr. i «Abh. natw.
Ver. Bremen». VIII Bd. 1883.

6) Einige neubenannte Hydr. i «Abh. natw. Ver. Bremen».
IX Bd. 1887.

7) Eine Hydrachnide aus schwach salzhaltigem Wasser i

Or

«Abhandl. nat. wiss. Vereins Bremen». X Bd. 1889.

Norske hydrachnider. 11

8) Verzeichnis finnländischer Hydrachniden in «Abh. natw.

9)
10
11

12
13

23)

25)

26)
27)

28)

29)

Ver.» Bremen. X Bd. 1889.

Ein neues Hydr.-genus (Teutonia) i «Archiv f. Nat.gesch.»
59 Bd. 1890.

Zur Entwicklung der Hydr. i «Zool. Anzeiger». 12
Jahre. 1889.

Ein neuer Bivalven Parasit.

Eine Wassermilbe als Schneckenschmarotzer.
Stidamerikan. auf Muschelthieren schmarotzende Atax-
species i «Zoolog. Anzeiger.» 13 Jahrgang. 1890.
Noch ein südamerikanischer Muschel-Atax.
Nomenclatorische Correctur innerhalb der Hydr.-Familie.
Seltsame Begattung unter den Hydrachniden.

Kurzer Bericht über Nordam. Hydr. in «Zool. Anzeigert.
14 Jahre. 1891.

Anmerkungen zu Piersig's Beitrag zur Hydrachniden-
kunde.

Zwei neue Hydrachiden-Gattungen aus dem Rhätikon, i
«Zoolog. Anzeiger». 15 Jahrg. 1892.
Hydrachnologische Berichtigungen.

Noch eine neue Hydrachnide aus dem Rhätikon.
Weitere Anmerkungen zu Piersig's Beitrågen zur
Hydrachnidenkunde i «Zool. Anz.» 16 Jahrg. 1893.
Mitteldeutsche Hydrachniden gesammelt durch Herrn
Dr. Made.

Zur Hydrachniden-Synonymie i «Zool. Anzeiger», 17
Jahre. 1894.

Über bekannte u. neue Wassermilben i »Zool. Anz.»
18 Jahre. 1895.

Nordamerikan. Hydrachniden.

Die Hydrachniden-Fauna von Juist in «Abhdlen. d.
natwiss. Ver.» Bremen. XII Bd. 189.

Die von Herrn Dr. Stuhlmann in Ostafrika gesammelten
Hydrachn. Aus dem «Jahrbuche der Hamb. Wiss. An-
stalten» X. Hamburg 1893.

Die Hydrachniden Ost-Afrikas i «Thierwelt Ost-Afrikas».
IV. Berlin 1895.

12

Sig. Thor.

30)

31)

2 neue Hydr.-Gattungen nebst 6 unbekannten-Arten, i
«Zool. Anz.» 19 Jahrg. 1896.

Neue Sperchon-Arten aus der Schweitz i «Revue Suisse
de Zool. et Annal. du Musée d’hist. nat. de Genève.»
T. II. Geneve 1895.

*Liste des Hydrachnides, receuillies par le Dr. Th.
Barrois en Palestine, Syrie, Egypte. i «Revue biol. du
Nord de la France». T. VII. 1896.

*Holsteinische Hydrachniden i «Forschungsberichte d.
Biol. Station Plön». Theil IV. 1896.

44, R. Piersig: 1) Beitrag zur Hydrachnidenkunde.

2)

3)

4)

15)

Beitriige zur Kenntnis der im Siisswasser lebenden Milben.
Eine neue Hydrachniden-Gattung aus dem såchs. Erz-
gebirge in «Zool. Anzeiger», 15 Jahrg. 1892.

Neues tiber Wassermilben.

Beiträge zur Hydrachnidenkunde i «Zool. Anzeiger»,
16 Jahre. 1893.

Über Hydrachniden.

Notiz (Hydrachnide).

Sachsen’s Wassermilben.

Hydrachnologische Berichtigungen i «Zool. Anzeiger»
17 Jahrg. 1894.

Beiträge zur Systematik u. Entwicklungsgesch. der
Süsswassermilben.

Einiges über die Hydrachniden-Gattungen Arrenurus u.
Thyas,

Eine neue Hydrachna-species i «Zool. Anz.» 18 Je. 1895.
Einige neue Hydrachniden-Formen i «Zool. Anzeiger»,
19 Jahrg. 1896, No. 515 og 516.

*Beitråge zur Kenntniss der in Sachsen einheimischen
Hydrachniden-Formen, i «Berichte der Nat.forscher Gesell-
schaft». Leipz. 1896.

Et nyt arbeide: «Deutschlands Hydrachniden» begynder

nu at udkomme i Chun & Leuckart: «Zoologica».

45. Å. Protz: 1) Beitråge zur Hydrachnidenkunde i «Zool. Anz.»

No.

493, 19 Jahre. 1896.

Norske hydrachnider. 13

2) Beitråge zur Kenntniss der Wassermilben i «Zool. Anz.»
19 Jahrg. No. 513 og 515. 1896.
3) *Arrenurus rugosus, n. sp. i «Schriften Natf. Ges.» Danzig
1896.
46. A. D. Michael: *Study of the internal Anatomy of the Thyas
petrophilus, an unrec. Hydr. in Cornwall i «Lond. Proc
Zool. Soc.» P. IT. 1895. |
47. K. Pizarrovic: *Zur Kenntniss der Hydrachniden Böhmens i
«Sitzber. k. böhm. Ges. Wiss.» Math. Nat.w. Classe XVII.
1896.

De indsjøer, tjern, damme, evjer, elve og bække, som
jeg dels ivaar og ihøst dels paa min stipendiereise isommer
har undersogt (mest ved bredderne og overfladisk), er
følgende:

Omkring Kristiania, i Østre Aker: Østensjø, Ulsrud-
vand og Nøklevand (Sarabraaten), damme ved Kastellet og
Nordsæter (Nordstrand); nær Ljan: Gjersrudtjern, Stensrud-
tjern, Kullebundvand, Tussetjern, Gjersjø (Oppegaard),
Aarungen og Østensjø (i Aas); i Vestre Aker: Sognsvand
og damme paa Bygdø; i Bærum og Asker: Dæhlivand, Enger-
vand, Staavivand, Semsvand, Padderudvand, Bondivand,
Gjellumvand og et mindre vand ved Leangen (Opsal).

Ved Horten: Borrevand.

Ved Larvik: Farrisvand og Kleivertjern.

Ved Arendal: Langsævvand, Longomvand, Savenæs-
pollen, Savevand, Solbergvand, Sørsvand, Høgedalstjern og
en del andre smaa myrtjern.

Ved Grimstad: Rorevand og Landvikvand.

I Smaalenene: Mosseelv og. Vansjø (Raade), elven

ved Onsø (tildels brakvand), Ise-sjø og Glengshølen ved
2 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 11.
Trykt den 17de Mai 1897,

14 Sig. Thor.

Sarpsborg, damme i Askim, Øieren (ved Aarnes, Øiene og
Fetsund); Glommen (enkelte steder).

Mjøsen (Akersviken og Furnesfjord).

I Gudbrandsdalen: nogle evjer af Gudbrandslaagen
(Losna) ved Tretten, Kirkestuen og Tronsnes; ved Lille-
hammer: Mesnavand, Afskaaken, Skjulsjo, Tyrelielv og
bække dér.

I Østerdalen: Sagtjern (Saukjen) og myrtjern ved
Elverum, Terninga, bække ved Øxna og Aasta, Glommen
og damme ved Nabset; Himesjø og Østersjø (ovenfor Nabset) ;
Præstesjø ved Rena; ved Koppang: Storsjø, Kjemsjø og en
mosbevokset bæk mellem dem; ved Tønset: damme og bugter
af Glommen; ved Røros: Stikkelsjø og Hittersjø; ved Sings-
aas: en elv og en bæk; ved Støren: 2 bække paa Øiene,
Gulluvand, øvre og nedre Svarttjern.

Omkring Throndhjem: Skjegstadvand, Toskbæk, Brokja;
Langvand (ved Bollan) og myrtjern deromkring; Selbusjø;
paa Stadsbygden: torvmyr og bække ved Vatngaardsvatn,
Hermstadlaugen og en elv ved Hammeren, Aamundvatn,
Storvatn og bække dér; i Stjørdalen: bække og evjer af
Stjørdalselv; i Skogn og Frosten: Byvatn, Kløfttjern, Søn-
ningen, Hammervatn og en bæk ved Ekne.

Det nordligste af disse steder (Ekne) ligger under 63°
30—40' n. br. Saalangt mod nord har jeg konstateret
hydrachnider.

Noget almindelig anerkjendt inddelingsprincip for hydrach-
niderne er endnu ikke leveret; Kochs er for svagt begrundet;
Kramers bærer endnu for meget af hypothesen ved sig og
synes upraktisk, da størstedelen af slegter (tildels meget
forskjellige) henføres til én gruppe. Fordelen ved den mest
anvendte inddeling af Haller er ikke stor, da han kun ud-

skiller de 2 laveste slegter med nærstaaende øine: Medio-

Norske hydrachnider. 15

culatæ, men henfører alle de andre til én gruppe: Latero-
culatæ.

Piersigs nylig (1896) opstillede system kjender jeg kun
af referat, men har ikke faaet fat paa selve verket. P. støtter
sig delvis til Kramers udviklingshistoriske principer og deler
hydrachniderne i 5 underfamilier:

1. Limnoeharinæ (1 slegt. 2. Hydrach-
ninæ (1 slegt). 3. Eylainæ (1 slegt. 4. Hydry=
phantinæ (3 slegter. 5. Hygrobatinæ (21
slegter). |

Dette system betegner et fremskridt fra Hallers og
Kramers; men selv dette er kun en indledning til hydrach-
nidernes systematik. Der vil vistnok kræves mange ind-
gaaende studier, især udviklingshistoriske, for dette vanskelige

sporgsmaals detaljer kan loses.

16 Sig. Thor.

Genus I: Limnochares, Latr. (1796).

1. Lim. holosericeus, Latr. (1796). Almindelig i mudder-
bund. |

Findesteder: Ved Kristiania: Sognsvand, Osten-
sjø (ved Bryn), Kullebundvand, Stensrudtjern, Gjers-
rudtjern (nær Ljan), Dæhlivand (Bærum), Borrevand
(Horten), Mosseelv og Vansjø (ved Moss), Høgedals-
tjern (ved Arendal); Sagtjern (ved Elverum); Præste-
sjø (ved Rena); Svarttjern (ved Støren, Thjem.)

Da Limnochares mest kryber om paa bunden
saa mudderet maa rodes op for at faa den i haaven,
har den vistnok ofte undgaaet mig og findes rime-
Jigvis paa langt flere af de undersøgte steder.

Genus II: Eylais, Latr. (1796).

1. Eyl. extendens, Miller (1796). (Sandsynligvis mindst 2
forskjellige arter, hvad jeg senere vil undersøge).

Denne kosmopolit, der ikke alene er funden i
alle de undersøgte lande i Europa, men ifølge Koenike
ogsaa paavist for Afrika og Amerika, er ligeledes

meget almindelig og talrig i det sydlige Norge.

Norske hydrachnider. 17

Nordenfor Dovre lykkedes det mig ikke at finde
den; men det tør være tilfældigt eller skrive sig fra
beskaffenheden af de undersøgte vand. Saameget
tør jeg dog sige, at den der nord ikke var saa
almindelig som søndenfjelds.

F.: Østensjø (ved Bryn), Ulsrudvand, Gjersrud-
tjern, Stensrudtjern, Kullebundvand, Tussetjern
(Oppegaard), Østensjø i Aas; Langsævvand, Save-
vand, Savenæspollen, Høgedalstjern og flere myrtjern
omkring Arendal; Farrisvand (Larvik); Borrevand
(Horten); Vansjø og Mosseelv; elve ved Ise og
Onsø; damme ved Mørkved (Askim); evjer af Øieren
og Glommen (ved Fetsund, Øiene, Aarnes); en dam
ved Akersviken (Mjøsen). I Østerdalen: Himesjø
og en dam paa gaarden Nabset (Aasta) og Præstesjø
ved Rena.

Genus III: Hydryphantes, Koch (1837), Koen.
(1892) = Synonym: Hydrodroma, Neum. (1880), v. Schaub
(1889), Barr. & Mon. (1887), Berlese o. fl.

1. H. ruber, De Geer (1778) = Synonym H. puniceus, Koch
(1837).

F.: Tidlig paa vaaren (april) talrig i Gjersjø nær
Oppegaard paa oversvømmede bredder af elven;
ellers kun enkelte eksemplarer: Kullebundvand,
Mjøsen og myrtjern ved Elverum.

Sig. Thor.

Genus IV: Diplodontus, Dugés (1834).

1. D. despiciens, Müller (1776) = Synonym: D. filipes,

Dugès, Bruz. Neum. etc. -
Meget almindelig, iseer 1 det sydlige Norge.

F.: Dam ved Kastellet (Nordstrand); Kullebund-
vand, Stensrudtjern, Gjersrudtjern (Ljan); Sognsvand;
dam paa Bygdø; vand ved Leangen (Opsal), Staavi-
vand; Kleivertjern (Larvik); Langsævvand, Save-
vand, Savenæspollen, Høgedalstjern og flere myrtjern
ved Arendal; Mosseelv, Vansjø; dam ved Terninga
og Sagtjern ved Elverum; dam nær Aasta station;
Kjemsjø (ved Koppang) og et myrtjern nær Aamund-
vand paa Stadsbygden ved Throndhjem.

Genus V: Hydraehna, Müller (1776).

. geographica, Müll. (1776). Sjelden.
F.: Kleivertjern og Farrisvand ved Larvik.
Hovind (Helgeøen) 1 ekspl, opbevaret i universi-

tetsmuseets samlinger; det er fundet i aug. 1878
af B. Esmark.

2. Hydr. Schmeideri, Koen. (1895). Iflg. Piersig Synonym

= ? H. cruenta, Mill., Krendowskij, tab. VIII,
fig. 22 (1884).

Pandeskjoldets (= rygskjoldets) form er ander-
ledes hos A. cruenta paa Krendowskij’s tegning end

Norske hydrachnider. 19

KE.

SET.

hos H. Schmeideri paa Koenike’s tegning. Hvis
Krendowskij’s tegning er rigtig, er det vistnok 2
forskjellige arter, ikke samme art, som Piersig mener.

F.: Jeg fandt 1 eksemplar blandt spirituspræpa-
rater fra Præstesjø (Rena).

globosa, De Geer (1778), Dugès (1834), Bruz. (1854),
Neum. (1880), Krendowskij (1884) = globulus, Herm.
(1804). Synonym? = H. cruenta, Müller (1776).

F.: Blandt spirituspræparater fra Arendal fandt
jeg 2 eksemplarer, som imidlertid ikke stemmer
rigtig med beskrivelser af H. globosa (f. eks. hos
Neuman). Især er størrelsen forskjellig. Ifølge
Neuman er længden 4--5 mm. Mine eksemplarer
er kun 1,9 mm. lange og 18 mm. brede. Epimererne
kan ikke kaldes smaa. Kroppen er ikke meget høi.
Jeg har den formodning, at mine eksemplarer tilhører
en anden art. Beskrivelsen hos Neuman er imidlertid
ikke saa indgaaende, at jeg finder sikre merker til
sammenligning. Navnlig savner jeg beskrivelse og
tegning af rygskjoldene, af epimererne og kjønsfeltet.
Jeg forbeholder mig nøiere undersøgelse, naar jeg
finder flere eksemplarer. Forelobig foreslaar jeg
navnet H. hiscutata, nov. sp. (Se fig. 1 og 2). Ryg-
skjoldene — (pandeskjoldene) ligner meget skjoldene
hos eksemplarer af H. globosa, som Hr. F. Koenike
velvillig har vist mig, og tegninger hos Dugès og
Krendowskij.

uniscutata, nov. sp. (se pl. JG fig. 3).

I Mosseelven (fra Vansjø) fandt jeg flere eksem-
plarer af en større art, som tydelig skiller sig fra

20

Sig. Thor.

globosa og fra biscutata, tildels ved epimerernes og
kjønsfeltets form, ved størrelsen (3 mm. 1. og 2,6 mm.
br.) men især ved pandeskjoldenes (rygskj.) bygning.
De 2 skjolde er nemlig forenede til 1 ved et bredt
tverbaand fortil. I dette tverbaands bagre kant
ligger det 5te oie. De andre 2 øiepar ligger udenfor
skjoldet, har saaledes en anden stilling end hos
biscutata, hvor det ene oie ligger indunder skjoldet
(sml. fig. 2 med 3). Skjoldenes form, tror jeg, er
et af de letteste merker, hvorefter man hurtig og
klart kan skille de fleste arter af Hydrachna-slegten.
Ogsaa af denne art haaber jeg senere at kunne give,
en udførligere beskrivelse.

Genus VI: Sperchon, Kramer (1877, 79).

Ikke tidligere paavist for Skandinavien.

1. Sp. sqvamosus, Kramer (1877). Ny for Skandinavien.

F.: 3 eksemplarer i en liden bæk paa Øiene

nær Støren jernbanestation.

2. Sp. glandulosus, Koenike (1886). Ny for Skandinavien.

F.: I en mosbevokset skovbæk mellem Storsjø
og Kjemsjø (Koppang) ca. 400 meter over havet
sammen med Teutomia subalpina nov. sp. og Hygro-
bates spp.

2.

Norske hydrachnider. Di

Genus VII: Teutonia, Koen. (1889).

Ikke tidligere paavist for Skandinavien.

. primaria, Koen. (1889). Ny for Skandinavien,

19155 0 0.8:

F.: Himesjø 344 m. o. h. (ovenfor Nabset) ved
Aasta; Byvatn (Skogn) og Hammervatn (Frosten)
ved Throndhjem.

T. (= Pseudolimnesia) subalpina, nov. sp. (Fig. 4 og 5).

Sml. fig. 6, 7, 8 (T. primaria).

Ved første øiekast tog jeg den for en T. primaria,
da ligheden er stor; men ved nærmere eksamination
fandt jeg forskjelligheder, som gjør den til egen art.
Den har (ligesom 7. primaria) Limnesia-palper, -ben,
-form, tildels -farve og -manerer, men skiller sig ud
som en egte Teutonia ved mangelen af ydre kjøns-
kopper og ved, at den har 1 vorte med lang bust
paa Iste led af de 3 første benpar, tildels for-
skjellig farve.

Den er 1,3—1,5 mm. lang, 1—1,2 mm. bred.
Palper 0,5 1. Benenes længde: 1; 1,05; 1,15; 1,5.
Farve paa oversiden mørk rødbrun. Den smale gule
ryglinjes 2 grene støder fortil sammen med grene
fra den røde pandeflek, som indtager kroppens for-
ende (lidt bag øinene). Kroppens sider og underside
blegrøde, smal gul anusflek omgiven af mørke flekker.
Epimerer blege. Ben blaagrønne,

Sig. Thor.

Det hovedmerke, hvorved denne art let skilles
fra T. primaria er kjønsfeltet. Dets beliggenhed
er omtrent som hos prémaria; det begynder mellem
4de epimerpar. Men kjønssprekken begrænses
fortil af en meget stor og skarpt fremtrædende
tverbue, som smalner sterkt mod enderne; i midten
er den tyk.

De paa siderne af kjønssprekken indleddede be-
vægelige kjønsklapper smalner sterkt forover,
har bagtil en sterk chitinkant; de naar ikke længer
frem end 2/3 af kjønssprekken. Dennes forreste
trediedel mangler kjønsklapper. Som følge heraf
bliver ogsaa de 3 par kjønskoppers plads rykket
bagover. Det forreste par staar omtrent ved sprek-
kens midte. - Kjønskopperne sidder (som hos prim.)
indenfor klapperne, det bagerste par er kortere og
rundere end de 2 andre.

4de epimerpar har fra den store pore i den indre
kant en bred aabning (hos alle mine eksemplarer),
ikke som hos Koenike’s primaria en smal kanal hos
2 alene. Det indre hjørne af 3die epimerpar har
en liden bagudrettet proces. Palperne er som hos
primaria; dog har palpetanden paa 2det led lidt
anden form, gaar bagtil mere jevnt over i fladen
uden skarp vinkel (se fig. 5). 4de fodpar's sidste
led har kortere bust end primaria, men mangler
klør som denne. En stor vorte (pukkel) med 1
lang bust og 1 kortere ved siden findes paa de 3
første bens 1ste led.

For at undersøge, om T. subalpina, mihi skulde
kunne være en ung (men voksen) T. primarta, holdt

jeg den flere uger levende, men saa ikke mindste

Norske hydrachnider. 2

forandring. Jeg antager derfor sikkert, at det var
fuldvoksne eksemplarer, saa meget mere som de
lagde eg paa glassets vægge. Eggene fik jeg ikke
se udklækkede. Jeg fandt aldrig T. subalpina i de
samme vand som 7. primaria.

F.: I mosbevokset fjeldbæk mellem Storsjø og
Kjemsjø ved Koppang (sammen med Sperchom og
Hygrobates); ved Throndhjem: Kløfttjern og Son-
ningen i Skogn —- Frosten; ved Lillehammer i
Afskaaken (nær Mesna). Samtlige steder tog jeg
den kun i faa eksemplarer.

Genus VII: Limnesia, Koch (1835).

1. L. hıstrionica, Herm. (1805).

2.

F.: Langsævvand ved Arendal; et lidet vand
ved Leangen i Asker og fl. st.

Da denne art tildels findes sammen med flg. og
ligner den meget, har jeg ikke endnu faaet udskilt
alle eksemplarer. Arbeidet hermed kræver længere
tid, da det sikreste skjelnemerke er den fremad-
rettede palpetag (modsat L. maculatas bagud-
bøiede); dette kan kun sees sikkert i mikroskop.

L. maculata, Müller (1776). En af de almindeligste

hydrachnider i Norge.

F.: Kullebundvand, Gjersrudtjern, Stensrudtjern
(ved Ljan); Østensjø i Aas; Østensjø, Ulsrudvand

24

Sig. Thor.

og Nøklevand i Østre Aker; i Vestre Aker: Sogus-
vand; i Asker og Bærum: Padderudvand, vand ved
Leangen, Gjellumvand, Dæhlivand, Staavivand; Mosse-
elv, Vansjø, elv ved Onsø; Afskaaken ved Lilleham-
mer; Losna i en evje nedenfor Tronsnes (Gudbrands-
dal); Sagtjern ved Elverum; Himesjø (nær Nabset)
ved Aasta; Præstesjø ved Rena; ved Throndhjem:
Skjegstadvand og Langvand (nær Ler), Hammervand,
Kløfttjern og Sønningen i Skogn — Frosten.

Af denne art har jeg fundet en mængde nymfer
og klækket ud endel larver (1ste stadium). Desuden
fandt jeg et par steder (især i Præstesjø) en tilsyne-
ladende varietet, hvor næsten hele rygsiden var
gulrød ? var. flava. Denne gule farve skriver sig
rimeligvis kun fra en eiendommelig udvikling af
ekskretionsorganet. Forresten har jeg hyppig fundet
misvekst i kjonsfeltet, især 2, 4 eller 5 kjønskopper
paa én side, paa den anden de normale 3. Se min
bemerkning under Hygrobates longipalpis.

3. Z. venustula, Koch (1835) hefte 6,10 — ? Synonym: L.

Koenikei, Piers. (1894).

Ny for Skandinavien (? Finland).

Mine eksemplarer nærmer sig i form, farvetegning,
størrelse, opholdssted etc. saameget til Kochs Z.
venustula, at jeg er tilbøielig til at henfore dem did;
i palper og kjønsfeltets form stemmer de fuldstændig
med L. Koenikei paa Koenikes tegning (Hydrachniden
Ost-Afrikas i «IV Band, Die Thierwelt Ost-Afrikas»,
1895). Jeg antager derfor, at disse 2 arter er identiske.

F.: Kuni en dam og evjer af Stjørdalselven nær

Øren i Stjørdalen ved Throndhjem; her i mængde,

Norske hydrachnider. 25

4. L. marmorata,. Neum. (1870 og 1880).

F.: I Glengsholen (arm af Glommen) ved Sarps-
borg og Øieren (ved Aarnes). Af prof. G. O. Sars
har jeg faaet 1 eksemplar fra Fet (Øieren).

5. L. undulata, Müll. (1781), Koch (1835).

F.: I en dam ved Aas landbrugsskole; i en dam
paa Bygdø og ? ved Nordstrand og i Askim.

6 (?5). L pardina, Neum. (1870 og 1880). Muligens en
varietet af foreg. Iflg. Koenike = L. undulata, Koch.

F.: Staavivand i Bærum; Bondivand og Padde-
rudvand i Asker; dam paa Bygdo og ved Nordstrand.
Af prof. G. O. Sars fundet i Øieren (Fet). Enkelte
eksemplarer afviger meget fra Neumans (1880) teg-
ninger og opgivne maal, saa jeg har været tilbøielig
til at opstille en ny art. Jeg fandt saaledes en
overgangsform til marmorata med hvide grenede
streger, men med pardina-palpe, som jeg har tænkt
mig passende kunde kaldes Z. marmoroides, nov. sp.
Imidlertid har jeg ikke levende eksemplarer, som
jeg nu kan dyrke. Den tør være en ungdomsform,
maa derfor dyrkes i nogen tid, før jeg kan have
nogen begrundet mening om, hvorvidt den er varietet,

ungdomsform eller egen art.

Sig. Thor.

ie

9

a.

3.

Genus IX: Arrenurus, Duges (1834).

Arr. & + 9 globator, Müll. (1776). Almindelig om-

kring Kristiania.

F.: Vestre Aker: dam paa Borgens løkke og
paa Bygdø; Asker: et lidet vand ved Leangen;
Østre Aker: Ulsrudvand, en dam ved Lensmands-
sæter; Kullebundvand og Gjersrudtjern (ved Ljan).
Rimeligvis ofte overseet, fordi den er liden og
svagt farvet.

Arr. Å + Q caudatus, De Geer (1778) — Synonym:

buccinator, Müller (1781).

F.: I et lidet vand ved Leangen (Opsal) i
Asker 3 2; dam (evje) ved Stjørdalselven (faa So
og mest © 2); ? Sognsvand 2 © og Stadsbygden
? 2. Farven paa eksemplarerne fra Stjørdalen er
mørk, ganske anderledes end paa Neumans tegninger
(«Om Sveriges Hydrachnider», 1880) og ryglinjen
hos ? har en anden form, fortil paa siderne noget
bugtet, bagtil lidt udvidet.

Arr. 7+23 pustulator, Müller (1776), Neum. (1880).

F.: Sagtjern ved Elverum; Præstesjø ved Rena;
Kjemsjø ved Koppang; Afskaaken ved Lillehammer.

4. a. Arr. 3 forpicatus, Neum. (1880). Ikke sjelden.

F.: I et lidet vand ved Leangen (Opsal) i Asker
dg; 1 en dam ved Aas landbrugsskole 7 + 9 ;

ee EEE

4.

Norske hydrachnider. PAT

b.

Kullebundvand 3 + 9; Afskaaken ved Lillehammer
d'; i dammen ved Stjordalselven mange 7 og 1 Q.

Arr. 2 forpicatus, (Neum. 5 1880). Neuman fandt
ike 9%

Hverken Haller (1882) eller nogen af de senere,
som har fundet Arr. forpicatus 3, omtaler 9,
saavidt jeg har kunnet se, hvorfor jeg maa tro,
at de ikke har fundet eller kjendt den. Jeg har
fundet enkelte 29, hvad jeg tydelig har kunnet
konstatere; jeg saa dem nemlig indgaa kopulation
med 7.

De vigtigste merker er: farve omtrent som 7,
temmelig lys (gulgrøn); i et vand, hvor 3 var mor-
kere, var 2 det ligeledes. Rygliujen elliptisk, hel,
smalest bagtil. Palpernes 2det led har den
tykke knol (gevækst) med haarkrans paa ligesom Å.

5. Årr.g + 2 Neumani, Piers. (1895) = Synonym: Arr.

emarginator, (Koch) Neum., dog er det muligt, at 2
arter skjuler sig under dette navn. Den alminde-
ligste Arrenurus i det sydlige Norge.

F.: Ulsrudtjern (Østre Aker); Kullebundvand,
Stensrudtjern, Gjersrudtjern (ved Ljan); Sognsvand
i Vestre Aker; lidet vand ved Leangen (Asker);
Solbergvand og Høgedalstjern ved Arendal; Sagtjern
ved Elverum; Præstesjø ved Rena.

6. Arr. å Kjermanni, Neum. (1880).

F.: Afskaaken ved Lillehammer. Stensrudtjern
ved Ljan.

28

Sig. Thor.

ü

Us

8.

a, Arr. 7 dubius, Koen, (1885) = Synonym: Arr.

b.

tricuspidator, Neuman (1880) tab. VIIL2.
F.: Kullebundvand (2 9°); Staavivand 1 œ og
Padderudvand (77 + 89).

Arr. 2 dubius. Sammen med 7 fandt jeg i
Padderudvand (1/9) flere 9 9. Jeg fandt den dag
ingen anden Arr. &, hvorfor jeg anser det sand-
synligt, at de fundne 2 2 hører til dubews 3", men
forbeholder mig nærmere undersøgelse.

Arr. d' gilvator, nov. species (Figg. 9 og 21). En Å fundet

i Østensjø ved Aas — tilhører nærmest emarginator-
gruppen, men tilhænget kortere end hos Arr. Neu-
mani, Piers.

0,73 lang, 0,62 bred; ben: 0,57; 0,6; 0,72; 0,89.
Farve lysgul med brune flekker; gulhvid ryglinje;
røde øine med mørk flek; lysgrønne ben; grøn
petiolus. Kroppen middels høi, ryggen temmelig
fladtrykt uden pukler eller torne. Ryglinjen fortil
smalere, udvider sig sterkt bagover ved midten, er
bagtil aaben. Udenfor bugten staar paa hver side
et stort stigme. Kort bredt anhang (næsten at
kroppens bredde) med afrundede stumpe, opadbøiede
hjørner. Anhangets bagre rand (mellem hjørnerne) 2
gange bugtet, i midten lidt forlænget (0,25 1.; hjør-
nerne 0,1 1.); fra denne forlængelse udgaar petiolus,
der først er jevnbred og mod enden sterkt tilspidset
(0,11 1. med basalstykket; den smale del 0,055 1.).
Det hyaline anhang bredt, kort, afrundet, i midten
udrandet, utydeligt at se.

Genitalaabning aflang, midt mellem 4de epimerpar

og bagranden; nær bagenfor genitalaabningen anus

Norske hydrachnider. 29

Koppepladerne er inderst meget smale, men synlige
ovenfra (paa kroppens sider). 4de fodpars 4de led
mangler tilhæng.

Petiolus's form minder mest om Arr. lautus, Koen.
(Nordamer. Hydr. 1895), men andre forhold er fuld-
stændig forskjellige; cfr. ogsaa Arr. abbreviator,
Berlese (1888) tab. LL.

9. Arr. I errator, (? nov. nomen) = Synonym: Arr. albator,
Bruzelius (1854).

Jeg tror her temmelig sikkert at have gjenfundet
den af prof. Bruzelius tab. IIL2 tegnede og side
29—30 beskrevne art. Derimod er dette en anden
end den af Miller (pag. X XXIII beskrevne) og tab.
IL1 afbildede Arr. albator, Müll, paa grund af
halens forskjellige form; den er ogsaa forskjellig fra
Arr. albator, Koch (h. 12,15) = ? Arr. malleator,
Berlese (LLa) eller = Arr. Bruzelü, Koenike
(Abhandl. natwiss. Vereine zu Bremen, IX bd 1885
side 221). Den af Bruzelius beskrevne kan derfor
ikke beholde navnet albator (Miller eller Koch),
som før er optaget. Jeg foreslaar navnet Arr.
errator. Skulde det ved nærmere eksamination vise
sig, at den af mig fundne ikke helt stemmer med
Bruzelius’s albator, foreligger her en ny art. Jeg
har ikke kunnet undersøge den nøie nok, da jeg
kun fandt 1 eksemplar den 19% 1896 og 1 den
27/6 1896.

F.: Et lidet vand ved Leangen (Opsal) i Asker.

Desuden har jeg i forskjellige vand og damme fundet

Ayrenurus 2%, som jeg ikke med sikkerhed har
3 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 11.
Trykt den 18de Mai 1897.

30 Sig. Thor.

—=======

kunnet bestemme, da jeg ikke sammesteds fandt
do. Nogle af dem ligner:

10. ? Arr. 9 angulator, Koch (h. 13,6) og Neum. tab. VLı
(1880) og ? Arr. 2 maculator (Müll.) Koch h. 12,18.

F.: Ved Arendal (Longomvand og Solbergvand);
ved Ljan; Nøklevand i Østre Aker; i Askim og
paa Stadsbygden (ved Trondhjem).

Der findes ganske sikkert mange flere Arrenurus-
arter her i landet; men jeg har manglet tid til at
foretage de nødvendige ekskursioner forat søge dem.

Genus X: Brachypoda, Lebert (1879), Koen. (1891)
— Synonym: Axona, Kram. (1875), Neum. (1880), Krendowskij
(1884) = Synonym: Arrenurus, Koch (1836), Bruz. (1854).

1. Br. versicolor, Mill, (1776) = Synonym Az. viridis,
Kram. (1875) = Br. paradoxa, Lebert (1879).

F.: I Asker: Bondivand, Gjellumvand, Padde-
rudvand; ved Ljan: Kullebundvand, Gjersrudtjern;
i Østerdalen: Himesjø ved Nabset; ved Sarpsborg:
Glengshølen (Glommen); af Prof. G. O. Sars har jeg
faaet eksemplarer fra Øieren (Fet). Denne hydrach-
nide er let at overse, da den holder sig paa bunden
og er liden.

Norske hydrachnider. au

Genus XI: Frontipoda, Koen. (1891) =
Synonym Marica, Koch (1835).

ke ky musculus, Miill. (1776), Neum. (1880) tab. pe

F.: Hogedalstjern ved Arendal; Sagtjern ved
Elverum; Afskaaken ved Lillehammer.

Ogsaa denne hydrachnide holder sig nær bunden,
er derfor let at overse.

Genus XII: Oxus, Kramer (1875) = Synonym: Marica,
Koch. (1837) = Pseudomarica, Neum. (1880) tab. V 2.
| == Frontipoda Koen. (1891).

1. Ox. strigatus,.Müll. (1776) = Synonym: M. oblonga, Koch
(1837) Kramer (1875) = Ps. formosa, Neum. (1880)
= Ox. ovalis (Müll.), Krendowskij (1884).

F.: Kullebundvand (nær Ljan) 1 ekspl. og 1 nymfe.

Genus XIII: Lebertia, Neum. (1880) = Synonym:
Pachygaster, Lebert (1879).

1. Leb. tau-insignita, Lebert (1879) = Synonym: L. insignis,
Neum. (1880), ikke = Berleses tegn. X XIX,10.

Da rektor Neuman efter 10 4 15 aars undersogelse

kun har fundet 5 eksemplarer i Sverige, maa den vere

meget sjelden dér. I Norge er den derimod en af

de mest udbredte og især gjennem Østerdalen og

omkring Throndhjem den almindeligste hydrachnide.

Sig. Thor.

Jeg fandt den i mange farvevarieter, muligens flere
arter. Iflg. en meddelelse af dr. Koenike skal den

være funden ved Hammerfest.

F.: Gjersjø (april i mængde), Østensjø i Aas,
Sandvikselven (Bærum); Nitelv (Lillestrøm); Mesna-
vand, Afskaaken, Tyreli-elv og bække dér, Skjulsjø
(ved Lillehammer); dam ved Nabset, Himesjø, Østersjø
og Aasta-elv; bæk ved Øxna; Storsjø (Koppang);
øvre og nedre Svarttjern og bæk mellem dem; bække
paa Singsaas og Støren; Toskbæk ved Skjegstadvand
(Ler); Hermstadlaugen, Aamundvatn, Storvatn, Vatn-
gaardsvatn og mange bække, som løber ud i disse
vand, elv ved Ramsjø og Botten (Stadsbygden); elv
til Byvatn (Skogn); bæk ved Hegre” (Stjørdalen);
i Gudbrandsdalen ved Tronsnes i en evje af Losna.
Af hr. prof. G. ©. Sars har jeg faaet den fra Øieren
(Fet). Af hr. ferskvandsbiolog Huitfelt-Kaas har
jeg faaet 3 eksemplarer, 2 eksemplarer fra 2
sik-maver (1 sik fanget den 76/3 1896 i Rena-
elv, den anden 9/7 1896 i Reinsjøen) og 1 fra en
ørret-mave (ørret fanget °/s 96 1 Sjodalsvand).
Dette har stor interesse, da det saavidt mig bekjendt
er de første eksemplarer, som er fundne i fiskemaver!).
Prof. G. Haller siger («Die Hydr.der Schweitz»,
1882, side 24): «Nach Beobachtungen Dugès verab-
scheuen die Wasserskorpione die Larven dieser Milben,
nach eigenen Bevbachtungen und mündlichen Mitthei-

lungen von F. Forel fressen auch die Fische keine

1) Nordamerikaneren Forbes skal have paavist, at fiske spiser

hydrachnider.

Norske hydrachnider. 33

Hydrachniden.» Hr, Huitfelt-Kaas tror bestemt at
have fundet flere hydrachnider end disse 3 i fiske-
maver; men jeg har ikke seet flere.

Hallers paastand er herved gjendrevet.

Genus XIV: Mideopsis, Neum. (1880).

1. M. orbicularis, Müll. (1776) = Synonym: M. depressa,
Neum. (1880).

F.: Ulsrudvand i Østre Aker; et lidet vand ved
Leangen i Asker; ? Mjøsen (Akersviken).
Sandsynligvis ofte overseet, fordi den er liden og

lever nær bunden.

Genus XV: Midea, Bruzelius (1854).

1. M. elliptica, Müll. (1776) = Synonym: M. orbiculata,
Müll, Bruz, Neum. — Synonym: © Asperia
Lemani, Haller + 3 Nesea Koenikei, Haller (1885).

F.: I en liden dam ved Slængbraaten i Askim;

Gjersrudtjern ved Ljan; evje af Losna ved Trons-
nes (Gudbrandsdal).

34 Sig. Thor.

Genus XVI: Hygrobates, Koch (1837) = Synonym:
? Campognatha, Lebert (1879).

1. H. longipalpis, Herm. (1805) = Synonym: H. rotun-
datus, Koch (1837) h. 10, 15 & 16, Bruz., Neum.
= Synonym: Nesea dentata, Krendowskij (1884).

+ ? impressus, Neum. (1880) co”.

+ = Nesæa dentata, Kramer (1875).

Meget udbredt gjennem nesten alle de af mig
undersøgte egne. Jeg fandt den sjeldnere i stille-
staaende vand (især nordenfor Dovre), oftest i bekke
og elve sammen med Lebertia, Curvipes-spp. 08 a.
især hvor planteveksten var tæt. Hygrobates-arternes
eiendommelige mangel paa egentlige svømmehaar,
selv paa 4de benpar kan, synes det mig, forklares
af deres opholdssted. De lever ofte i elve, hvor
strømmen gaar strid; svømning vilde da ikke kunne
hjælpe dem stort. Derimod holder de sig godt fast
til blade og andre gjenstande nede i vandet; de
findes 1 størst mængde, hvor der vokser tæt af
planter med haarfine blade som Ranunculus aqvatilis,
Myriophyllum og mose, ogsaa bl. Potamogeton-,
Sparganium spp. og a. Mellem den tætte skov af
de haarfine blade og grene har de let for at holde
sig fast; glipper taget en gang imellem, finder de
snart et nyt. Jeg har ogsaa fundet dem mellem
grønalger og under stene paa bunden.

Paa H. longipalpis har jeg gjort iagttagelser, der
ikke stemmer med en af den skarpsindige prof.

Norske hydrachnider. 35

E. Claparède gjort anvendelse af en bekjendt natur-
lov. Han siger (i «Studien an Acariden», Zeitschr.
f. wiss. Zool. 18 Bd. 1868, pag. 447): «so lange
die Anzahl der Saugnäpfe (kjonskopper) nur
eine geringe ist, d. h. z. B. nur 4—6 Paar betrigt,
dann bleibt dieselbe ganz unveränderlich» ete.
H. longipalpis har regelmæssig 3 par kjønskopper
(0: 3 paa hver kjonsplade). Men jeg har fundet flere
eksemplarer, hvor den ene side var normal, den
anden havde 2 store kj.kopper og 2 å 3 haarpapiller
eller smaa kj.kopper; i Kullebundvand fandt jeg endog
et eksemplar med kun 1 stor kjønskop paa
den ene side (og 1 par bitte smaa). Lignende vari-
ationer har jeg seet endnu hyppigere hos Limnesia-
arter (hvad især dr. Koenike har omtalt); men hos
L. er det lettere forklarlig, da der regelmæssig findes
flere smaa kj.kopper eller haarpapiller mellem de
å store.
I farve varierer denne art undertiden meget.

F.: Østensjø i Østre Aker og Østensjø i Aas;
Gjersjo, Kullebundvand; Glommen og Øieren ved
Øiene og Fet (prof. G. O. Sars); et lidet vand ved
Leangen i Asker; Dæhlivand og Staavivand i Bærum;
Afskaaken og elv ved Mesna (Lillehammer); Terninga
ved Elverum; Aasta-elv; mosbevokset skovbæk
mellem Storsjø og Kjemsjø ved Koppang; bæk ved
Singsaas; bæk mellem øvre og nedre Svarttjern ved
Vold (Støren); Langvand, Skjegstadvand (ved Thrond-
hjem); elv til Hermstadlaugen, elv ved Ramsø (Stads-
bygden; elve ved Byvatn (Skogn); bæk nær Hegre
i Stjørdalen.

36 Sig. Thor.

En af de varieteter, der nærmer sig til egen
art, er
(?)2. H. borealis, nov. sp.? (? varietet eller ? ungdomsform)
?= H. gracilis, Haller (1882).

Den skiller sig sterkest fra H. longipalpis ved
palpetanden (paa 2det led), Hos A. borealis er
denne tand lang, smalere mod spidsen og der ikke
besat med fine tagger. Paa hele undersiden af 3die
palpeled og paa ydre del af 2det led er besætningen
af fine tagger meget tæt. Farven er mere vandklar og
gjennemskinnelig end hos A. longipalpis. Forresten
ligner den meget denne, saa jeg kun under tvivl
og med forbehold udskiller den som særskilt art.

F.: Jeg blev forsent opmerksom paa dens af-
vigelse fra H. longipalpis, saa jeg ikke kan angive
sikre lokaliteter undtagen for: Stjørsdalselv. Ellers
fandtes den i et par vand omkring Throndhjem.

3. H. albinus, nov. sp. (pl. I, fig. 11, pl. IL fig. 12, a,
log 24 & løk
Denne hydrachnide antog jeg fra første stund
for en ny art; men for at være sikker paa, at den
ikke kunde være en ungdommelig (skjøndt voksen)
form af de kjendte arter, holdt jeg den i flere uger
og maaneder under opsigt uden at se væsentlig for-
andring. Allerede farve og størrelse umuliggjør en
identificering med H.migromaculatus, Lebert—Haller,
Navnet har jeg valgt med hensyn til dens lyse farve
og sterke gjennemskinnelighed.
Form: aflang. Farve: gulhvid, halvt gjennem-
skinnende med de sedvanlige 5 (smaa) lysebrune
rygflekker og hvid rygstreg; Q’s rygstreg bredere,

Norske hydrachnider. | a

især de forreste tvergrene. Under lysebrune side-
flekker med hvid grenet flek omkring kjønsfeltet.

Størrelse: 7 0,85—0,9 mm. 1.; 0,75 br.; palper
0,45 mm.; ben: 0,78, 0,82; 1,1; 1,3.

Q 0,83 mm. L; 07 mm. br.; palp: 0,43; ben
0,7—1,6.

Palperne lange smale; 2det led mangler egent-
lig tand; men dets forrand (paa undersiden) er
udvidet til en fremstaaende kant, besat med smaa
tagger, der godt kan sees ved 60 ganges forstørrelse;
3die palpeled er ikke stort tyndere end 2det; mere
end sidste halvdel er forsynet med lignende vorte-
tagger; herved skiller den sig fra H. exilis, Koen.
(1895), hos hvem de faa tagger ikke kan sees uden sterk
forstørrelse (? 200—300 gange); 4de led meget sma-
lere, med faa haar mod spidsen; 5te led med almin-
delig kløvet spids. Mandibler tynde, ikke afvigende.

Epimererne har den sedvanlige form, indtager
omtrent forreste halvdel af undersiden. 4de epimer
viser (foruden den sedvanlige pore fortil ved 3die
ep.) ved sterkere forstørrelse 6—10 (alm. 8) ophøi-
ninger uden tydelig pore, paa 3die ep. antydninger :
til lignende. Benene med parvise lange torne (bust)
mod enden af hvert led, ellers besat med spredte
torne. Klorne er tynde, kløvede, den indre gren
kortest.

Kjønsfeltet ligger langt bag, især hos ?, der
har anus og de 2 stigmer næsten ved kroppens
bagkant.

Q’s kjønssprek er fortil begrænset af en kort
mørk tverbue, delt ved en tag i midten, bagtil af
en tykkere, mere ret tverbue; paa siderne omgives

38

Var.

Sig. Thor.

den af de vanlige klapper (== labia externa), der er
fladere og mere langstrakte, ellers som hos lomgi-
palpis. Sprekkens længde 0,15—0,16, pladernes
bredde tilsammen 0,11. Kjønsfeltets længde 0,17,
bredde 0,3. Paa kjønspladerne staar de sedvanlige
3 par kjønskopper, som er store, støder tæt til hin-
anden og har stor pore (ligesom hos Å).

os elliptiske, korte gabende kjonssprek er om-
givet af 2 buer med parallel kant. Herved kommer

- koppepladerne lenger fra hinanden end hos 2.

ds bagre ben er forholdsvis ikke saa lange som 2.

F.: Ved Koppang i skovbækken mellem Kjemsjø
og Storsjø; bækken mellem øvre og nedre Svarttjern
(Vold) ved Støren; bæk ved Singsaas; Toskbæk ved
Skjegstadvand og Langvand (nær Throndhjem); i
Skogn: Byvatn; i Stjørdalen: bæk, dam og evjer
af Stjørdalselven; ved Elverum i Glommen.

. albo-fasciatus.

Ryglinjens (ekskretionsorganets) sidegrene har
undertiden en saadan størrelse, at de danner et hvidt
tverbaand; enkelte gange er hele ryggen hvid lige
frem til øinene.

Jeg har i løbet af faa uger seet forandringer fra
den normale tegning og desuden fundet flere over-
gangsformer, hvorfor jeg kun betragter den som en
tilfældig varietet, uagtet enkelte eksemplarer viser
forskjel i palpernes taggebesætning, kjønsfeltets be-
liggenhed etc.

F.: I skovbækken ved Kjemsjo (Koppang); Tosk-
bæk, Skjegstadvand ved Thr.hjem; bæk ved Singsaas.

NJ in

Norske hydrachnider. 39

Var. b. epimerosus (? nov. sp.).

Epimererne indtager størstedelen af bugsiden,
saa kjønsfeltet ligger nær kroppens bagrand. Imid-
lertid anser jeg disse for unge ikke udvoksede eksem-
plarer af H. albinus, mihi. Det lykkedes mig (paa
grund af reise) ikke at holde dem i live længe nok
til at se dem forandre sig. Jeg maa derfor lade det
spørgsmaal staa til senere besvarelse, om de danner
en egen art, varietet eller kun er ganske unge
individer.

F.: Nogle faa eksemplarer i Stjørdalselv og

dammen der.

Genus XVII: Rivobates, nov. genus.
(pl. I, fig. 10; pl. II, fig. 20).

I den oftere nævnte mosbevoksede skovbæk mellem
Storsjø og Kjemsjø ved Koppang (Østerdalen) fandt jeg den
21/7 1896 sammen med Sperchon gland., Hygrobates albinus
og Teutonia subalpina en ny art, som ligner Teutoma lidt
i form og farve, men iøvrigt har meget tilfælles med Hygro-
bates-spp. Jeg bestemte den først som en Hygrobates, men
finder ved nøiere overveielse, at den bør stilles i en egen
genus.

Den ligner Hygrobates i palper, epimerer og ben (uden
egentlige svommehaar), Palpernes 2det led mangler egentlig
tag, har kun opsvulmet fintandet forrand. Epimererne er
smaa, 4de er afrundet 4-kantet med ret bagrand. Maxillar-
organet, lste og 2det epimerpar er sammenvoksede.

40 Sig. Thor.

Det, som skiller Rivobates fra Hygrobates, er kjøns-
feltet med kjønspladerne og deres kjønskopper. 1 disse
dele nærmer À. sig lidt til Acercus latipes.

Ikke alene er kjønskoppernes tal større end hos nogen
hidtil kjendt Hygrob.-art. De europæiske arter har sed-
vanlig kun 3 paa hver side (denne 19—25), en amerikansk
9—12 (multiporus). Men kjønskoppernes form og størrelse
er forskjellig fra alle (ogsaa fra de amerikanske efter dr.
Koenikes tegning). Hygrobates har normalt store aflangt-
ringformige (pæreformige) kjønskopper med en stor pore i
midten; — hos Rivobates er kjønskopperne smaa kantede,
støder nær til hinanden som celler og mangler den store
pore, men har en mindre.

Koppepladerne ligger hos Rivobates (især hos 9) langt
bagover, gaar bagenfor kjønsklapperne og kjønssprekken og
omslutter hos © ikke den forreste del af klapperne (som
hos Hygrobates).

Kjønssprekken og klapperne har forøvrigt lignende form
som hos Hygrobates. Mellem 2’s sprikende kjonsklapper

kan sees en indre sprek.

1. R. norvegicus, nov. sp. (pl. I, fig. 10; pl. II, fig. 20)

Længde 1,1—1,3 mm., bredde 0,9—1 mm., tykkelse
0,7—0,9 mm. Øinenes afstand 0,4 mm. Farven
brungul (rygflekkerne udbredt over næsten hele ryg-
siden), fortil ved øinene lysere gul; derfra gaar 2
smale gule streger bagover. Ryglinjen smal, hvid,
sterkt grenet. Under er farven lysere, især fortil
graagul, bagtil brun, kjønsfeltet med en hvid flek, der
straaler ud til siderne med flere grene. Epimererne

sidder langt fortil og er smaa, især synes 4de par

Norske hydrachnider. 41

Genus

C.

(og de dermed sammenvoksede die) at være rykket
langt til siderne.
Kjønskoppernes tal er 19—25 paa hver side.
Kjonsfeltets længde 0,26, bredde 0.34; hver koppe-
plades længde 0,17, bredde 0,12. Kjønssprekkens
længde 0,24; den begrændses fortil og bagtil af korte,
men skarpe tverbuer. Anus findes omtrent midt

imellem kjønsfeltet og den bagre kropsrand.

F.: 1908222 i skovbækken mellem Kjem-

sjø og Storsjø.

XVIII: Hydrochoreutes, Koch (1837).

H. ungulatus, Koch (1835), Neum. (1880).

F.: Kun i Mjøsen, men der i mængde i juni
maaned paa de oversvømmede bredder af Akers-
viken (Hamar).

. H. filipes, Koch (1837), Neum. (1880).

F.: Kleivertjern og Farrisvand ved Larvik;
Akersviken (Mjøsen).

H. cruciger, Koch (1837), Neum. (1880).
F.: Mjøsen (Akersviken); Nitelv ved Lille-

. strøm; Himesjø og Østersjø nær Nabset (Aasta);

Kjemsjø ved Koppang; Glenshølen ved Sarpsborg;
Gjersjø nær Ljan og Ulsrudvand i Østre Aker (ved
Kristiania). Nymfer sammen med de voksne, især

i Nitelv. Sammesteds fandt jeg I overmaade stort

42 Sig. Thor.

eksemplar: 2,4 mm. 1. og 2,1 mm. br, medens den
alm. størrelse er 1,4 mm. 1. og 1,2 mm. br.

Rektor Neuman i Sverige, prof. Barrois og Moniez
i Frankrig har ligesom Koch sat disse Hydr. som 3
arter. Ifølge dr. Piersigs undersøgelser [«Zool. Anzei-
ger» no. 405 (1892) og no. 466 (1895) | er H. ungulatus,
Koch = hannen, og H. cruciger, Koch + H. filipes,
Koch samme hun paa 2 forskjellige alderstrin; alle
3 udgjør saaledes kun 1 art. Ffter deres udseende
synes dette mig ogsaa meget rimeligt; dog er det
merkeligt, at jeg kun paa ét sted har fundet 7 =
H. ungulatus, men dér i mængde. Rektor Neuman
har ogsaa kun fundet den (3) paa 1 sted i Sverige
(meget sjelden). Rektor Neuman meddeler desuden,
at han har fundet 3 baade til H. cruciger og til
H. filipes, men beskriver den ikke nøiere, saa det
tør være en feiltagelse.

Genus XIX: Atractides, Koch (1837) = Synonym:
Megapus, Neum. (1880).

m

1. Atr. spimtpes, Koch (1837

Koenike).

) (? Synonym: Atr. ovalis,

F.: Kun 4 eksemplarer i elven ved Aasta station

(Østerdalen).

Norske hydrachnider. 43

Genus XX: Piona, Koch (1842) [oprindelig
kaldt: Nes@a, Koch (1835)].

1. P. lutescens, Herm. (1805) = Synonym: P. flavesens,
Neum. (1880) tab. II, fig. 4.

F.: Østensjø i Østre Aker; Gjersjø ved Ljan;
Himesjø nær Nabset ved Aasta (Østerdalen); Akers-
viken i Mjøsen.

Genus XXI: Curvipes, Koenike (1891) = Synonym:
Nesæa, Koch (1835), Bruz. (1854), Kramer (1875),
Neuman (1880), Haller (1882), Berlese (1885),

Barr. & Mon. (1887) o. fl.

1. C. coccineus, Koch (1836), Berlese, h. I, fig. 8 (1882),
Synonym: Nesæa rosea, Koch (1837) Neum. (1880)

? Synonym iflg. Koen. = C. nodatus, Müll, tab.
VIII, 6.

F.: Ved Heggedalselv nær Gjellumvand; Dæhli-
vand (Bærum); Mosseelv ved Vansjø (Moss); Akers-
viken (Mjøsen).

Jeg anser Berleses tydning (Acarz, Myriop. ete.,
Italiani 1,8) af Kochs coccineus (i «Crust., Myriop.
Arachn.» etc., h. 8, fig. 11-12) for den rigtige, medens
dr. Koenike holder 0. coccineus, Koch for en varietet

af C. nodatus, Müller, (? Koch) og Piersig anser den

44

Sig. Thor.

for = OC. roseus, Koch (og = modatus, Müll.).
Bruzelius og i tilslutning til ham Neuman har taget
rent feil og forvekslet den med en anden art. Om
denne Bruzelius’s og Neumans art har senere
Koenike og flere brugt navnet: C. coccineus, Bruz.
Dette er neppe korrekt, naar man har en anden art,
som svarer til Kochs tegning og beskrivelse. Denne
er gjengivet i Berleses værk (Ls) og med den stem-
mer mine eksemplarer. Jeg synes ikke, at den ligner
C. nodatus, som paa Müllers tegning (tab. VIII,
fig. 6) har en ganske anden farve, kropsform og
smaa palper, hos Koch en anden farve og størrelse.
Beskrivelsen af C. nodatus hos Müller (pag. LX XII,
no. 39) er holdt i saa almindelige udtryk, at de
lige godt kan passe paa andre arter. Enkelte
udtryk passer ikke rigtig paa denne f. eks. den
fremhævede gjennemsigtighed, og at kroppen er
smalere bagtil end fortil. Begge arter (C. coccineus,
Koch, og C. Bruzelii, mihi) findes almindelig i Dan-
mark (Sjælland); dette har hr. dr. Ad. Jensen i
Kjøbenhavn velvillig givet mig anledning til at over-
bevise mig om. Det forekommer mig, at Hydrachna
clavicormis, Miller, tab. VI) ligner C. coccineus,
K. ligesaameget som H. nodatus, Müller (tab. VITL6),

Det er ikke usandsynligt, at Bruzelius har sam-
menblandet 2 arter, der ligner hinanden; jeg tror
neppe at Koch har gjort det samme. Ved sin teg-
ning har Koch ialfald havt den mindre art for gie;
det viser størrelsen (2,5 —2 mm. 1.) og farvetegningen,
som stemmer udmerket. Den af Koch tegnede art
bærer efter min mening navnet coccineus med rette.

Den anden art, som Koch ikke har tegnet, er af

Norske hydrachnider. 45

Bruzelius gjengivet noksaa korrekt; enkelte mangler
har tegningen, saaledes er 4de epimers bagudrettede
proces for liden og vel langt ud til siden.
Russeren Krendowskij har i sit værk over Rus-
lands hydrachnider leveret en bedre tegning (i
«Travaux de la soc. nat. Charkow. 1884) tab. VIII
fig. 2. Han kalder den: Nesæa longipalp:s.
Neuman (1880) har beskrevet den meget godt
(under navn af coccineus, Koch). Den er ikke iden-
tisk med Kochs art og kan dertor ikke kaldes
coccineus, Koch, som Bruz. og Neum. har gjort;
heller ikke kan den kaldes coceineus, Bruz., hvilket
Koenike har indført. Dette navn kan ikke bestaa
ved siden af C. coccneus, Koch, der har prioriteten
og gjælder den mindre art med de ca. 27 (25—30)
kjønskopper. Den store art, tegnet hos Bruz., be-
skrevet af Neumann, har derimod ca.90—100 kjøns-
kopper (centiporus); for den foreslaar jeg navnet:

2. UC. Bruzelii, Sig. Thor = Synonym: C. coccineus, Bruz.
(1854), Neum. (1880), Koen. (1881) etc. = Synonym:
C. longipalpis, Krendowskij (1884) tab. VIL, fig 2.

Krendowskij’s navn Nesea longipalpis er neppe
tilladeligt, da han har en anden art Nesæa dentata,
Kramer, som er identisk med Hygrobates longipalpis,
Herman, og denne kommer efter Krendowskij's
slegtsinddeling hos ham til at maatte hede Nesæa
(= Curvipes) longipalpis, Herm. Derved vilde
Krendowskij indenfor sin Nesea faa 2 arter med
samme navn (longepalpıs). Selv om hans slegts-
inddeling er gal, vil kun forvirring opstaa af dette
dobbeltnavn. Denne forvirring undgaaes bedst ved

det af mig foreslaacde navn Bruzeli.
4 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 11.
Trykt den 28de Mai 1897,

46

Sig. Thor.

En af de almindeligste hydrachnider i det sydlige
Norge; den findes ogsaa nordover til Thr.hjem. Den
er efter min erfaring den rovgjerrigste af alle.

F.: Bondivand, Gjellumvand, Padderudvand,
(Asker); Staavivand og Dæhlivand (Bærum); Nøkle-
vand, Ulsrudvand, Østensjø ved Bryn og Østensjø
i Aas; Tussetjern, Kullebundvand, Stensrudtjern,
Gjersrudtjern (ved Ljan); Langsævvand, Savevand,
Savenæspollen ved Arendal; Kleivertjern ved Larvik;
Borrevand ved Horten; Mosseelv og Vansjø ved
Moss; elven ved Onso; Nitelv ved Lillestrøm;
Afskaaken ved Lillehammer; Sagtjern ved Elverum;
Præstesjø ved Rena; Kjemsjø ved Koppang; nær
Throndhjem: Skjegstadvand. ~

3. C. conglobatus, Koch (1836) h. 9, f. 7 = Syn.: C. pulcher,

Neumann (1880) tab. VI, f. 4.

? Syn.: = variabilis, Koch (1836) iflg. Barr. & Mon.
?Syn.:= pulcher, Koch (1836) h. 8, f.9 & 10 iflg. Neum.

Da dennes navn hos Koch er omstridt, vil jeg
fremhæve, at jeg mener den, som Neuman har
beskrevet og afbildet; ellers forstaar man vanskelig,
hvilken der menes; men navnet pulcher, Neum., kan
ikke benyttes, fordi Koch har dette navn anvendt
paa en (?) anden Curvipes.

Det er sandsynligt, at Koenikes forklaring af
synonymien her som saa ofte ellers er den rigtige;
dog har jeg endnu ikke kunnet overbevise mig om,
at ©. luteolus, Koch, Neum. ogsaa er identisk med
C. conglobatus, Koch, = C. pulcher, Neum. Jeg

opforer dem efter Neuman som 2 særskilte arter,

Norske hydrachnider. 47

indtil jeg ved nærmere undersøgelse faar en sikrere
begrundet mening.

F.: Nymfer i en dam paa Bygdø; Tussetjern
ved Oppegaard; Langsævvand ved Arendal; Afskaa-
ken ved Lillehammer; Sagtjern ved Elverum; Præ-
stesjø ved Rena; Østersjø og Himesjø ved Nabset.

4. OC. luteolus, Koch (1836) h. 9, f. 18 & 19, Neum. (1880).
f & stellaris, Kramer (1875).

| © mollis, Kramer (1875),

iflg. Koen. = C. conglobatus, Koch.

— Synonym:

F.: Mjøsen ved Hamar; en evje af Losna neden-
for Tronsnes i Gudbrandsdal; ? Kleivertjern ved
Larvik.

C. Å variabilis, Koch (1836) h. 8, f.7 =? Synonym:
dubius, Koch (1844) h. 37, f. 12.
5. 4 0.9 decoratus, Neum. (1880) tab. VIII, f. 1 = Syno-
nym: rufus Koch (1835) h. 5, f. 22 =? Synonym:
variabilis, Koch (1836) h. 8, £. 8

Kochs navne er temmelig usikre og dobbelte, saa
jeg tror Neumans navn: decoratus var at foretrække,
da hans tegning er udmerket og ikke til at tage
feil af; det gjelder kun 9. Dog anser jeg det rime-
ligt, at Koenikes tydning her som saa ofte ellers er
den rigtige. Ifølge denne er ogsaa U. dubius, Koch
Neuman identisk med U. decoratus, Neum. og varta-
bilis, Koch og rufus, Koch. Jeg haaber senere, at faa
undersøgt dette noiere. Indtil videre opfører jeg dem
efter Neuman som 2 arter (variabilis og dubius).

F.: Longomvand ved Arendal; Kleivertjern ved
Larvik; Mjøsen (ved Hamar); Østersjø ved Aasta;
Ulsrudtjern, Kullebundvand ved Ljan.

48

Sig. Thor.

== —

6. C. dubius, Neum. (1880), Koch (1844) h. 37, f. 12;

iflg. Koenike (1894) = Syn.: variabilis, Koch, ? Syn.:
rufus, Koch (1835).

F.: Langsævvand ved Arendal; Sognsvand ved
Kristiania; Østensjø i Aas; Svarttjern ved Støren.

7. C. rotundus, Kramer (1879). Ny for Skandinavien,

Den minder i enkelte henseender om N. punctata,
Neum. tab. V,4 og N. longicornis, Neum tab. Ile.

F.; I Øieren paa oversvømmede græsbevoksede
bredder: Øiene, Aarnes, Fetsund; i Glengshølen ved

Sarpsborg; Præstesjø ved Rena.

Mine eksemplarer afviger fra Kramers beskrivelse
og tegning ved størrelsen (Kramers 0,9 1; mine
1,1—1,31. og 0,8 br.), ved formen (langstrakte) og ved
kjønskoppernes tal (flere end hos Kramers); de nær-
mer sig noget til clathratus, Koenike, 1893 (Stuhl-
mann tab. III), men afviger ogsaa fra den; muligens

maa jeg senere skille den ud som egen art.

8. C. fuscatus, Herm. (1805), Koch (1836), Neum. (1880),

Haller (1881), Koen., Berlese (1888), tab. LL.
Jeg har mine tvivl om, hvorvidt Bruzelius’s Nesea

fuscata, er den samme, som vi nu kalder C. fuseatus,

Herm. Størstedelen af beskrivelsen er saa alminde-
lig, at den kan passe paa flere Curvipes-arter. Det
éneste merke af mere speciel karakter er kjønsfeltet.
Her siger Bruzelius: «på sidorna om bakre åndan
af dessa skivor (0: kjønsklapperne hos 2) ligger
en mängd upphöjda punkter eller knölar (0: kjons-
kopperne) liknande dem hos N. coccinea (Brueelti)».
Men ©. fuscatus har paa hver side kun ca. 10 kjøns-

Då

Norske hydrachnider. 49

kopper, altsaa ikke «en mångd lig © Bruzeliic,
der har henved 100; heller ikke ligger de fleste af
dem hos & ved bagre ende af spalten, men strækker
sig fremover forbi spaltens midte. Det forekommer
mig rimeligt, at Bruzelius har haft en anden art for
oie ved denne beskrivelse.

Almindelig (mest 2 7) i flere vand.

F.: Ved Kristiania: dam paa Bygdø; Gjersjo,
Kullebundvand ved Ljan; Farrisvand og Kleiver-
tjern ved Larvik; Himesjø ved Nabset (Østerdalen);
Præstesjø (Rena); Svarttjern ved Støren (nær Thrond-
hjem); Afskaaken ved Lillehammer; Golaa-vand i
Fron (Huitfelt-Kaas),

C. niger 3' 2, nov. sp. Se pl. II, fig. 13—15, muligens

synonym: ? ©. brevipalpis, 2, Neum., muligens sy-
nonym (?) C. alpinus, 3", Neum.

Denne art nærmer sig noget ©. fuscatus, i farve
udseende, epimerers form og de første larvers ud-
seende, men afviger især i størrelse, palper og kjøns-
feltet. Den nærmer sig i flere henseender til C.
brevipalpis, Neuman (1880) «Om Sveriges Hydr.» pag.
38—39, saa jeg har været i tvivl, om den ikke
kunde henføres til den. Desværre mangler fuld-
stændig tegninger (hos Neuman). Ü. niger skiller sig
fra Neum.’s brevipalpis i flere henseender; saaledes er
(modsat U.niger)kroppen hos brevipalpis fortil nedtrykt,
benene meget kortere end kroppen, generationsfeltet
med meget utydelige kjønsklapper; koppepladerne (=
stigmefelterne) utydelige, og kjonskopperne = (stig-
merne) faa og smaa. Paa grund af disse forskjellig-
heder har jeg ikke vovet at identificere dem. Det

50

Sig. Thor.

samme gjælder en anden af Neumans arter: C. alpi-
nus, Neum. (1880) pag. 44—45. «Kroppen indtrykt i
forranden, af ringe høide; 4de benpar kortere end
lste og andet; kjønsaabningens bredde langt større
end dens længde. Farven hvidgul; øinene røde
og usedvanlig store; lidet livlig i bevægelser.» Jeg
har hos dr. Koenike seet præparater af C. alpinus,
der stemmer bedre med C. niger; imidlertid vover

jeg endnu ikke at identificere 7 med Neumans

alpinus. £ nærmer sig mere U. brevipalpis. En grund
til at øge min betænkelighed ved at identificere C.
niger med C. brevipalpis, Neum. eller C. alpinus, Neum.
er, at hr. rektor Neuman ikke fandt nogen af disse
arter 1 Danmark, da han i 1883 undersøgte O. F.
Millers gamle samlegebet Fredriksdal (Sjælland),
hvor C. miger findes flere steder. Denne kundskab
skylder jeg ligeledes hr. dr. Ad. Jensens velvillige
udlaan af arter. Da jeg saa hr. rektor Neumans
beskrivelse af en ny art C. pellucidus derfra, faldt
det mig ind som en mulighed, at denne kunde være
identisk med min ©. miger. Imidlertid er der flere
merker, som ikke stemmer. Desværre har ikke hr.
Neuman leveret tegning — hverken af kjønsfelt eller
palper hos sin C. pellucidus —, saa det er vanskeligt
at have nogen sikker forestilling derom. Dersom 2’s
generationsfelt (hvad Neuman antyder) er ganske
ligt gen. feltet hos C. punctata 2, Neum. (tab. VA),
er identificering umulig. Men da blir det mig i
høi grad gaadefuldt, at hr. rektor Neuman ikke i
Danmark har fundet nogen art svarende til min
C. niger, da denne ikke er sjelden dér.

Jeg har fundet en del individer af meget mørk

Norske hydrachnider. 51

farve, mørkebrune uden lysere rygstreg, kun med
rødt foran øinene. Den sedvanlige farve er rødbrun
eller graabrun; & har større rød flek ved øinene
og paa siderne, undertiden sterkt rødgul ryglinje.
Form: aflang, bredest bagover.

2 (fig. 13) Størrelse: 2—2,4 mm. l; 1,4 br.:
Kashorspalper2 Op le) bens (Los 1.9; 23 271.

Palperne (fig. 15) er korte og tynde især 4de
led langt og smalt med en svag konveks hvælving
paa midten af bøiesiden, her med 2—3 haar, ellers
uden tydelige tænder (kun svage rudimenter).
5te led ender med en 3-kløvet stump spids. Alle
ben har svømmehaar. 3dje og 4de epimerer paa
hver side er sammenvoksede; venstre og høire sides
epimerer (9) skilte ved et middelsbredt mellemrum.
4de epimer har lang, smal tilspidset processus.

Kjønsfeltet begynder lige bag 4de epimerers indre
hjørner, har fortil en stor tverbue og bag sprekken
en mindre. |

Paa sprekkens sider er de sedvanlige halvmaane-
formige kjønsklapper. Ved kjønsklappernes bagre
ende ud til siden ligger (hos ©) de afrundet-rombe-
formige kjønsplader; de indre og ydre hjørner
er længst fra hinanden, diagoualen mellem forreste
og bagerste hjørne kortest. Paa hver plade er
16—21 kjønskopper, de fleste nær randen, nogle
i midten; 1 à 2 er gjerne lidt større. Omtrent i
sprekkens længde bag dens bagre chitinbue ligger
anus med 2 par stigmer paa siderne. Ret ud for
kjønspladerne (udenfor 4de epimers processus) findes
et par stigmer og 1 par i epimerernes bugt. 1 stort
stigme findes mellem 2det og 3dje par epimerer, —

Sig. Thor.

oi (fig. 14) 1,4 mm. lang; 1 mm. bred. Farve: noget
sterkere rødgul pandeflek og sideflek og tydeligere
ryglinje. Under lidt mere graaagtig; ellers omtrent
som 2. De 2 forreste benpar har meget store klør,
hvis skede er dyb og lang, over 4 af sidste inter-
nodie. Den vigtigste forskjel fra 2 bestaar som
vanlig i 3dje benpars forkortning og endeled, 4de
benpars udskjæring (paa 4de internodie), epimerernes
og kjønsfeltets form.

3die og 4de epimerer paa 1 side er meget sammen-
voksede; delingen mellem dem gaar kun halvt ind.
Høire og venstre sides epimerer (3 og 4) naar ikke
helt sammen, men skilles ved et smalt mellemrum.
Ved 4de epimer hænger kjønsfeltet sammen, idet
der fra 4de ep.’s indre hjørne udgaar bagud og til
siden en smal forlængelse, der omslutter kjønsaab-
ningen og hænger sammen med den næsten cirkelrunde
kjønsplade; denne er kun ved en smal aabning
skilt fra den smale spids af 4de epimers proces.
Paa hver kjønsplade er 12 —18 kjonskopper grup-
perede i ring om 1 lidt større. Kjønsaabningen (med
genitaltasken) er middels stor, hesteskoformig,
fortil halveirkelformig, bagtil næstenretafskaaret
(uden de udbugtninger, som findes hos flere arter f.
eks. den beslegtede C. fuscatus, Herm., UC. uncatus,
Koen., C. roseus, Neum. (Koch) o. fl.

Foruden oo og de langt talrigere 2 Q tog jeg
i Svarttjern (ved Støren) en del nymfer, som sand-
synligvis tilhører denne art; men da ©. fuscatus, Herm.
forekom sammesteds, tør det ogsaa være muligt, at

Norske hydrachnider. 53

nymferne tilhører denne; de ligner nymfer, jeg tid-
ligere har fundet af denne art.

Derimod var jeg saa heldig at faa larver (i 1ste
stadium), som jeg med sikkerhed kan henføre til
C. niger. Jeg tog nemlig en 10—12 store egsvangre
22 af C. mger og isolerede dem i 2 mindre glas;
dagen efter (den 28/7 1896) havde de lagt en del eg,
og i de følgende 2—3 dage fortsatte de dermed.
Imidlertid blev ikke eghobene saa store, som jeg
har seet opgivet for nærbeslegtede arter. Der var
hobe med 3, 4, 5, 6, 7 eller 8 eg i hver, hyppigst 5
eller 7. Jeg fulgte deres udvikling, saavidt som
mine reiser tillod. Udviklingen stemte i hoved-
trækkene merkverdig godt med den af prof. FE.
Claparède i «Studien an Acariden» 1868 paa en
Atax-sp. studerede. 7 dage gamle var de langt
udviklede, med stor brun mave indbugtet
foran og bagtil, 2 par oine, anlæg til ben etc. Den
10de august, altsaa efter 14 dages forløb, var 1
udsmuttet, andre holdt paa at krybe ud; andre blev
ikke færdige før 8—14 dage senere (formodentlig
senere lagte eg). De udklækkede larver levede
8—14 dage, nogle indtil 3—4 uger, men døde da
formodentlig af mangel paa passende næring eller
insekter at hefte sig til. Jeg kunde nemlig ikke
føre med mig store akvarier.

Merkeligt var det, at jeg paa det næste sted
fandt Å langt talrigere end 9 og disse mindre
(1,25 mm. 1,, 0,93 mm. br.), formodentlig ganske unge.
d'a med 14—15 kjønskopper, 11 i ringens periferi.
Det var i et ubetydeligt tjern i en sphagnum-
myr ved Sønningen i Skogn. Her fandtes denne

54

Sig. Thor.

10.

art alene, men i stor mængde. — Nogle eksemplarer
fra en dam paa Bygdø, samlede af prof. G. O. Sars,
og eksemplarer fra vand omkring Arendal synes at
høre til samme art; men da disse er opbevarede
paa spiritus, er farven ganske tabt. Arten synes
at være meget udbredt i Norge, især talrig i enkelte
vand med mængder af smaakrebs, hvoraf de tildels
lever. Selv angribes de og fortæres bl. a. af større
eller ligestore hydrachnider, f. eks. Curvipes Bruzelit

og Limnesia maculata.

F.: I mængde i enkelte grunde vand, tjern og
sagteflydende elve. Øvre og nedre Svarttjern (Vold)
ved Støren; sphagnumtjern ved Sønningen i Skogn;
myrtjern og vand ved Arendal; bæk ved Kleiver-
tjern (Larvik); en dam paa Bygdø ved Kristiania
(prof. G. O. Sars); et lidet vand ved Leangen i
Asker (39), 0. fl. st.

C. alpinus, Neum (1880).

F.: I en evje af Losna (Gudbrandslaagen) ved

Stav nær Tretten.

11. C. Stjørdalensis, nov. sp. 7 + Q (pl. I, fig. 16—17).

Ligner tildels C. alpinus, Neum. og C. spectabilis,
Neum. (1880), men skiller sig fra dem dels ved
størrelse, dels ved palper ete.

Q (fig. 16) 1—1,4 mm. 1, 1 mm. br. Palper
071. Ben 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; øinenes afstand 0,44 mm.
Kropsform: elliptisk, bredest bagover og bagtil med
svage hjørner.

Farve: Eg-gul med lysegul rygstreg og sed-
vanlige brune flekker; under samme farve med

Norske hydrachnider. 55

mørke flekker især bagtil; anusflek lysgul; ben gul-
grønne. Labium 0,26 lang, 0,23 br. Epimerfeltets
længde til processens spids 0,7 mm.; 4de epimerpars
bredde 0,9. Mellemrummet mellem 4de epimerpar
0,16 mm.; mellem Iste par 0,12 mm. Kjønsfeltets
længde (fra forreste tverbue til koppepladernes bagre
rand) 0,37; bredde (koppepladernes ydre kanter) 0,44.
Kjønssprekkens længde 0,25; kjønsklappernes bredde
(tilsammen) 0,17. Anus ligger 0,15 mm. bag kjøns-
sprekkens bagre tverbue.

Ved kjønsklappernes bagre ende ligger de næsten
runde (lidt i firkant uddragne) koppeplader, som
støder til kjønsklapperne lidt bagenfor midten.
Hver af dem bærer ca. 20 (18—24) kjønskopper,
1 lidt større i midten, de fleste andre samlede i
ring nær pladernes rand. Fortil begrænses Kjons-
sprekken af 2 forenede kraftige tverbuer, bagtil af
en kort streg. Paa siderne af koppepladerne staar
2 par stigmer, bagenfor anus 1 par.

4de-epimererne er middels store, sammenvoksede
med 3die og bagtil forsynede med en bred, men
kort og stump processus. Benene har de sedvan-
lige svømmehaar, ikke talrige.

Palperne er kraftige, meget tykkere end Iste
benpar. 4de palpeled har 3 middelsstore tender, 1
i spidsen og 2 bagenfor, ikke ved siden af hinanden
(hos & mindre tænder).

(tig. 17) ligner meget $ i farve, størrelse
(1,2 L, 0,9—1 bred, palp. 0,6 mm. 1.), benenes længde
undtagen 3die par, som har vanlig sterk forkortning.
De to bagerste epimerpar fra høire og venstre side

støder næsten helt sammen i midtlinien, især bagerst

56

Sig Thor.

12

ved kjønsaabningen, der begynder lige i epime-
rernes bagrand, er omtrent lige bred som lang med
en udbugtning bagtil og til siderne, saa den blir
næsten korsformig. Den omgives for størstedelen
af de runde store kjønsplader, som hver bærer ca.
22 kjønskopper. Kjønspladerne berører næsten 4de
epimers brede retvinklede processus. Da epimererne
er større end hos ©, rykker kjønsfelt og anus
længer tilbage.

F.: I en evje af Stjørdalselven (mellem Hell og
Hegre) i Stjørdalen nær Throndhjem.

©. alatus, nov. sp. å +? 9. (Pl. IL fig. 18—19).

Denne art nærmer sig UC. Neumani, Koen., men
skiller sig tydelig i flere henseender.

o” (fig. 18) har 4de epimerer fra høire og venstre
side tydelig adskilte. Kjonsaabning med kjøns-
taske liden, smal, elliptisk, tilspidset, paa begge
sider omgivet af lidt bagudrettede vingeformige
felter (koppeplader), som synes adskilte fra 4de
epimer.

Vingefelterne er besatte med (hver) 30—40 kjøns-
kopper, tættest langs kanterne, aabnere i midten,
hvor 2 meget større end de andre ogsaa findes.

Palpernes 2det og 3die led er lidt tykkere end
Iste benpar; 4de led har 3 tender, 1 mindre i
spidsen og 2 større ved siden af hinanden.

Udskjæringen i 4de led paa 4de benpar er liden.

Farven meget lys gul med mørkbrune rygflekker
og gul rygstreg.

7 0,9 mm. 1. og 0,8 mm. br. (et andet ekspl.
La 609 J52)j8 ben 11855 11955 1655 120

Norske Hydrachnider. 57

En 2, som jeg fandt paa et ganske andet sted,

ligner saa meget denne, at jeg føler mig sterkt

fristet til at regne den til samme art, uden at jeg
dog har fuldgyldigt bevis herfor.

2 (fig. 19) 0,75 mm. ]., 0,6 br.; ben 0,56—0,8.
Farve: lidt mere gjennemskinnelig end 3 og vand-
klare ben.

Korte tykke palper, med 2 smaa tænder og en
chitintag ved spidsen af 4de led.

Kjønssprekken er omgivet af de vanlige halv-
maaneformige klapper, fra hvis sider udgaar smale
vingeformige koppeplader med 21-28 kjonskopper
paa hver.

F.: go "/1 Himesjø nær Aasta (Østerdalen) og
1 ckspl. fundet i Sognsvand af prof. G. O. Sars.

1 2 ‘1/7 i Langvand (ovenfor Bollan) nær Ler
ved Throudhjem.

13. C.? Newmani, Koen. (1881) (?) var. Bygdøensis. ? nov.
sp. Denne 3 har kun 14 kjønskopper paa hver
side, medens Koenikes har ca. 30. Det er derfor
sandsynligt, at her er en ny art. Men da jeg kun
har faaet I eksemplar udklækket af nymfe, har jeg
villet skaane eksemplaret og derfor ikke kunnet
undersøge det nøie nok. dJeg opsætter derfor be-
skrivelsen til senere, idet jeg har det haab til næste

aar sammesteds at kunne fange flere.

F.: Eu nymfe i en dam paa Bygdø ved
Kristiania.

58 Sig. Thor.

Genus XXII: Neumania, Lebert (1879) = Synonym:
Atax, Fabr. = Synonym: Cochleophorus, Piersig (1894).

Iflg. dr. Koenikes mening er ikke Piersigs slegtsnavn
Cochleophorus holdbart, da ialfald Leberts ældre slegtsnavn
har prioritet.

1. Neum. spimpes, Müller (1776) Synonym: Atax coeruleus,
Kram., Krendowskij + Atax loricatus, Kram. +
N. nigra, Lebert + N. alba, Lebert.

F.: (?) Præstesjø ved Rena; et vand ved Leangen
(Opsal) i Asker.

Neum. vernalis, Miller (1776), Neum. (1880). (Iflg.
Piersig 9 = Synonym: N. despiciens Neum.). +
? Neum. mirabilis Neum. (1880), regnes af Neum.
til Nesea (= Curvipes).

Disse 2 hører rimeligvis sammen som g og 2
eller som varieteter eller forskjellige alderstrin af
samme art.

Jeg har kun leilighedsvis fundet enkelte eksem-
plarer, som jeg ikke har havt leilighed til at dyrke
og studere længe nok, hvorfor jeg foreløbig hen-
fører dem hid.

F.: Bondivand i Asker; Østensjø ved Bryn;
Stensrudtjern og Gjersrudtjern ved Ljan; Sagtjern
ved Elverum; (?) Afskaaken ved Mesna nær Lille-

hammer; (?) hul i en Tervmyr ved Vatngaardsvatn

Norske hydrachnider. 59

paa Stadsbygden og (?) dam ved Stjørdalselv nær
Throndhjem.

I den oftere nævnte merkelige evje ved elven i
Stjørdalen (nær Throndhjem) og Afskaaken (Lille-
hammer) fandt jeg i stort antal en form, som skiller
sig saameget fra Kochs og Neumans tegninger af
At. vernalis, især i farven, at jeg ikke tør regne den
hid. Enten maa Neumans tegning af At. vernalis,
være daarlig, eller udgjør mine eksemplarer en ny art.
Den opstilles foreløbig som ny art; jeg foreslaar navnet:

3. ? Neum. ciliata? nov. sp. 14—1,5 mm. 1.; 1,1—1,3 mm. br.

Farve: grongul med sorte flekker; den sorte
midtflek fortil ikke rund som hos vernalis (iflg. Koch,
Neuman) men firkantet, 1 bagkanten udrandet.
Rygstreg sterkt rødgul, tyk. Fpimererne graa;
grønne eller brune ben og palper; under med sorte
flekker især bagtil. I kanterne gjennemskinnende.
Palperne er meget smaa, omtrent som paa Neum.’s
tegning af mirabilis. 4de epimerpar har bagtil
den samme tag (korte processus), som findes hos
At. crassipes og fl, men som mangler hos At. vernalis
og Neum. mirabilis efter Neum.’s tegning.

Kjønsfeltets form omtr. som hos N. mirabilis men
ligger lidt længere frem. Dog har kjønspladerne
kun 16—18 smaa kjønskopper. Benene er mere
forsynede med torne (bust) end paa Neum.’s tegning,
og bustene er længere og mere sagtakkede. Men
især udmerker benene sig ved, at næstsidste led
ogsaa paa de 2 første par har 1—2 lange tynde
haar, der er nasten saa lange som sidste fodled og
ligger tæt ind til dette. Der findes ikke antydning

hertil paa Neumans tegning. Dog føler jeg mig

60 Sig. Thor.

ikke sikker paa, at det er en egen art. Det tør
være, at den kun er varietet af Neum. vernalis, Mill.

F.: Evje af Stjørdalselven (nær Throndhjem),
Afskaaken (Lillehammer) o. fl. st.

Genus XXIII: Atax, (Fabr. 1805), Bruz. (1854).
1. At. erassipes, Müller (1776). Almindelig.

F.: Ulsrudvand i Østre Aker; Østensjø i Aas;
Kullebundvand, Gjersjø (Oppegaard), Sognsvand i
Vestre Aker; Farrisvand og Kleivertjern ved Larvik;
Savenæspollen og Langsævvand ved Arendal; Van-
sjø ved Moss; Sagtjern ved Elverum; Præstesjø ved
Rena (Østerdalen).

Sammen med de voksne fandtes af og til nymfer,
især talrige paa høstkanten f. eks. i Østensjø (Aas).

Antallet af de iaar fundne og undersegte norske
hydrachnider beløber sig til 58 arter, fordelte paa 23 slegter;
af disse er ca. 16 nye for Skandinavien og 9 nye for viden-
skaben; en ny slegt er opstillet. Rigtignok er enkelte be-
stemmelser kun foreløbige og tvivlsomme, ligesom det tør
være muligt at et par arter (af Curvipes og Limmesia) bør
slaaes sammen til én; men til gjengjæld tør det hænde. at
enkelte varieteter maa udskilles som egne arter. Selv efter
en reduktion vil derfor antallet af de i sommer fundne
norske arter neppe gaa under 50. Ved sammenligning med
andre landes (særlig Sveriges) fauna ser det herefter ud,
som om Norge skulde være et hydrachniderigt land, hvad

man paa forhaand ikke skulde vente. Saaledes indeholder:

Norske hydrachnider. 61

dr. Hallers Schweitzerfauna 1882: 32 arter hydrachnider.
dr. Koenikes Hydrachniden im Harz 1883: 28 arter.
dr. Mades Middeldeutsche Hydracbniden 1894: 38 arter.
Prof. Berleses Italienske hydrachnider 1882—92: 24 arter.
Prof. Barr & Moniez Nordfrankrigs hydrachnider 1887: 72
arter.
Dr. Krendowskij Sydruslands hydrachnider 1884: 35 arter.
Dr. Piersig Sachsens hydrachnider 1894: 77 arter.
Prof. R. M. Bruzelius Skaanes hydrachnider 1854: 19 arter.
Rektor C. J. Neumann Sveriges hydrachnider 1880: ca.
66 arter, (fraregnet 3 Limnesia -nymfer, 2 uholdbare
Anurama-arter og 2 uholdbare Hydrochoreutes-arter).
Sammenligner jeg særlig med de svenske hydrachnide-
faunaer, viser sig følgende overraskende forhold: Prof. dr.
Bruzelius fandt (til 1854) i Skaane (Sydsverige) kun (18 å)
19 arter. Rektor dr. Neuman leverede efter flere aars un-
dersøgelser i Upsala og Vestergøtland (1870) et (efter
hans eget udsagn) «nogenlunde fuldstændigt billede af
Vestergøtlands hydrachnidefauna» (16 nye) med Bruzelius’s
tils. 35 arter. Efter endnu 5 aar til leverer han: «Gotlands
og Ølands Hydrachnoidæ», 28 arter (ca. 10 nye), hvorved
tallet vokser for Sverige til ca. 45 arter. Endelig leverer
han 4—5 aar efter i sin akademiske afhandling: «Om Sve-
riges Hydrachnider» flere nye arter og en fuldstændig over-
sigt. Medregnes 1 i 1883 ny, udgjør antallet nu i det hele
for Sverige: 73 7= 66 arter. (Iflg. dr. Piersigs udsagn
bør antallet af Neumans sikre arter reduceres langt mere).
Efter 1 sommers (ca. 4--5 maaneders) flygtige undersøgelse
i Norge har jeg allerede paavist over 50 arter (deraf ca. 40
i Kristianias nærmeste omegn). I 3 af disse 5 maaneder

har jeg været saa optaget med andet arbeide, at jeg

i I maaned kun fik gjort 5 smaa ekskursioner, i en anden
5 — Archiv for Math. og Naturv. B. XIX. Nr. 11.
Trykt den 2den Juni 1897,

62 Sig. Thor.

kun 3. Hele arbeidet indskrænker sig derfor hovedsagelig
til de 2 sommermaaneder (juli — august) og lidt i mai.
Naar jeg i denne korte tid har kunnet paavise flere arter i
nogle egne af Norge, end prof. Bruzelius og rektor Neuman
i flere aar (til 1875) i Sverige, og rektor Neuman med bistand
af flere efter endnu flere aars arbeide (til 1883) altsaa i det
hele ca. 15 aars undersøgelse kun har fundet henved 70,
saa tror jeg med vished at kunne antage, at Norge er for-
holdsvis rigere paa hydrachnider end Sverige. Thi jeg
nærer ikke Tvil om, at rektor Neumans undersøgelse er
overmaade grundig, ligesom hans verk er udarbeidet med
stor nøiagtighed og omhu og hans billeder er fortrinlige.
Og jeg er ligesaa overbevist om, at der ved fortsatte under-
søgelser 1 Norge, kan findes mange flere, saa antallet vil
gaa langt over 70 arter. Især venter jeg, at der vil findes
adskillige af slegterne Curvipes og Arrenurus. Den sidst-
nævnte har jeg næsten ikke faaet tid til at efterforske; men
fundet af nogle (for mig ukjendte) 9 Q har tydet paa, at
her maa være flere nye arter. |

Jeg har i Norge fundet alle de af rektor Neuman for
Sverige paaviste slegter — undtagen Bradybates, Neuman
(? = Thyas,*) Koch), som nok med tiden vil findes. Jeg har
fundet 3 slegter og ca. 16 arter, som ikke er kjendte i Sverige.

Af slegter, fundne i udlandet, har jeg endnu ikke kunnet
paavise: Acercus, Koch; Pronacereus, Piersig; Wettina, Piers.;
Aturus, Kramer; Pontarachna, Philippi; Nautarachna, R.
Moniez; Feltria, Koenike; Zschokkea, Koen.; Eupatra, Koen.
(1896); Pamisus, Koenike (1896); Thyas, Koch*) og nogle

sjeldnere (amerikanske og afrikanske) slegter.

*) Under trykningen opdagede jeg, at der blandt mine spiritus-
præparater fandtes exemplarer af en ny Thyas, Koch, som

jeg havde overseet.

Norske hydrachnider. 63

Jeg har hidtil ikke havt mindste tid til at undersøge
salt- eller brakvand, heller ikke heitliggende fjeldvand,
heller ikke Vestlandet, Nordland eller Finmarken. De
høiestliggende vand, som jeg flygtig besøgte, laa ca. 700 m.
0. havet (omkring Røros og Tonset); men her fandt jeg ikke
hydrachnider.

De høiestliggende vand og elve, hvor jeg isommer fandt
hydrachnider (i stor mængde) laa ca. 300—400 m. o. havet
(i Østerdalen). De sydligste vand, jeg undersøgte, laa ca.
58° 20’ n. br. (ved Arendal), de nordligste ca. 630 30'—40'
n. br. (Skogn ved Throndhjem). Jeg syntes at merke en
betydelig forskjel i faunaen for de sydligste og nordligste af
disse egne. Imidlertid behøves større materiale for at kunne
eftervise dette med sikkerhed og se, hvad der skyldes til-
fældige omstændigheder, jordbundens beskaffenhed, plante-
vekst, aarstid etc. Jeg vil kun nævne, at Lebertiaog Hygrobates-
arter findes i stor mængde nordover (gjennem Østerdalen
og omkring Throndhjem). Dette synes at stemme med et
af dr. G. Haller («Hydr. Schweitz», 1882) meddelt faktum
at Hygrobates (longipalpıs) en af de arter, der gaar høiest til-
fjelds i Schweitz (ca. 2000- 2300 m. o. h.); Lebertia (=
Pachygaster) er talrig paavist for Schweitz, ligesom den først
er fundet der. Sporgsmaalet: hvor høit tilfjelds gaar hydrach-
_ niderne i Norge, og hvilke arter gaar høiest, staar endnu
ubesvaret. Ligesaa ubesvaret er spørgsmaalet: hvorlangt mod
nord i Norge (? i verden) findes hydrachnider?

Som bidrag til besvarelsen heraf kan jeg meddele
følgende. Prof. R. Collett forsøgte i sommer (1896) at finde
hydrachnider i Finmarken; men det var ikke muligt at op-
dage en eneste. Professor G. O. Sars og konservator Sparre-
Schneider har meddelt, at de paa sine talrige undersøgelser

i Finmarkens ferskvand ikke mindes at have truffet en

64 Sig. Thor.

eneste hydrachnide. Ligesaa har jeg hørt, at den svenske
hydrachnolog, rektor Neuman, har søgt disse dyr forgjæves
i Finmarken. Nordgrænsen for hydrachniderne skulde der-
efter ligge sydligere. Paa de nordligste steder, hvortil jeg
paa min reise i sommer naaede, fandtes de i rigeligt antal;
det er da rimeligt, at de findes langt nordenfor Throndhjem.
Jeg haaber senere at faa anledning til at undersøge dette
forhold nærmere. |

Et andet problem af biologisk art har vakt min op-
merksomhed, Jeg har gjort den iagttagelse, at hydrachnide-
bestanden i samme vand kan veksle sterkt. Arter, der
en tid af sommeren var at finde i mængde, var til en anden
tid sammesteds ikke at finde elleruhyre sjeldne. Paa grund af
knaptid har jeg kun konstateret dette for ganske faa steder.
I Sagtjern (Saukjen) ved Elverum fandt jeg den 15de juli
foruden andre i stor mængde 2 Arrenurus-arter (Arr. +29
Neumani, Piers. og Arr. g'+Q pustulator, Müll.), især var
Arr. pustulator hyppig. Paa tilbagereisen, en maaned senere,
fandt jeg d. 12te august Arr. Neumani talrig som før, men ikke
en eneste Arr. pustulator trods ihærdig efterforskning. Tjernet
var noget mindre end før og sterkt opvarmet i den hede
sommer (1896), men frisk nok til opholdssted for andre
hydrachnider. At ikke aarstiden alene var grund nok til
det forandrede forhold, fik jeg beviser for 3 dage efter, idet
jeg den 15/8 i et vand Afskaaken (nær Mesna) ovenfor Lille-
hammer fandt Arr. Å + 2 pustulator talrig repræsenteret
samtidig med Arr. Neumani og fl.

En anden iagttagelse gjordes i Mjøsen. Den 22de juni
vrimlede der i græsset paa de oversvømmede bredder rundt
Akersviken (ved Hamar) af Hydrochoreutes (alle 3 saakaldte
arter), foruden 3 Curvipes-arter, Piona lutescens og et par

sjeldnere. Den °!/s var det næsten umuligt at finde en

Norske hydrachnider, 65

eneste. De tidligere oversvømmede bredder laa nu aldeles
torre. Vandet var sunket langt nedenfor den græsbevoksede
bred. Her fremstiller det spørgsmaal sig: hvor er de
tidligere hydrachnider, og hvorledes holder arterne sig til
næste aar? De fandtes ikke svømmende i vandet, hverken
tæt ved bredderne eller paa dybet. Jeg roede frem og til-
bage med planchton-haav, og fik fuldt af crustaceer, men
ingen hydrachnider. Jeg kan nærmest tænke mig 3 mulig-
heder: 1) Enten graver hydrachniderne sig ned i jorden og
ligger der, til vandet stiger, 2) eller trækker de sig tilbage med
det synkende vand og opholder sig nede i bundmudderet,
naar ingen planter er at finde, 3) eller dør de paa land under
tørken og forplantes videre gjennem eg, larver eller nymfer.
Larver kan jo overføres ved insekter. Det kunde ogsaa
tænkes, at den varme sommer 1896 bevirkede et exceptionelt
forhold, en større massedød; det er neppe rimeligt, kan ial-
fald ikke paavises før næste sommer. Jeg fik ihøst ikke tid
til at undersøge jorden paa bredderne. Jeg fandt i nogle
prøver fra mudderet i vandets bund en Hydrochoreutes (og
en Midea eller Mideopsis); de tabtes under transporten. Dette
viser, at ialfald enkelte trækker sig tilbage eller opholder
sig i eller ved bunden.

I prægtige evjer af Losna (Gudbrandslaagen) ved Trons-
nes og Kirkestuen fandtes den d. *°/s meget faa hydrachnider
i vandet og paa planterne, men inde i plantestilke (især af Pota-
mogeton) og i mudderet fandtes en hel del (mest nymfer)
af Lamnesia maculata, Curvipes luteolus, Hydrochoreutes sam t
Lebertia tau—insignita og Midea elliptica. Stedet maa under -
søges paa forsommeren i flomtiden; da tror jeg, der vil
findes et stort antal hydrachnider.

Ved Gjersjø fandt jeg d. °%/a paa de oversvommede
bredder af elven nær Sætre (Oppegaard) i mængde: Lebertia

66 Sig. Thor.

Hydryphantes ruber, Thyas og Curvipes-nymfer. Hele somme-
ren laa disse bredder ganske tørre, over 20 meter fra
elven. Ude i elven fandtes ganske andre arter i mængde
(Hydrochoreutes, Hygrobates longip., Atax crassipes, Piona,
Eylais og fl), men kun ganske enkeltvis Hydryphantes ruber.
I Sognsvand (Vestre Aker) har prof. G. O. Sars bemerket
talrige hydrachnider. Ved min undersøgelse ihøst (*4/s) var
vandstanden meget lav, bredderne torre. Ude i vandet stod
kun enkelte planter (Nymphea, Sparganium-, Eqvisetum-,
Potamogeton-arter), mellem hvilke kun faa hydrachnider
(Limnesiamaculata Diplodontus despictens, Arr. emarginator og
Arr. pustulator) fandtes. Ude paa dybet fiskedes med
planchton-haav rigelig af Curvipes-nymfer og enkelte voksne
C. dubius i forskjellige dybder fra bund til overflade
men ingen af de ved bredden fundne.

I enkelte hydrachnologers afhandlinger cfr. Neuman:
«Om Sveriges Hydr.» meddeles, at hydrachniderne om vin-
teren ligger i dvale i bundmudder, mose, vandplanter og
lignende. Derimod har jeg ingen nøiere meddelelser kunnet
finde om deres liv eller forhold i tørkeperioder om sommeren.
Det ser ikke ud, som om de lægger særlige vintereg; de
fleste synes heller ikke at være seiglivede, saa de kan ud-
holde tørke. Mest udholdende synes enkelte ungdomsformer
og de pantserklædte arter Arrenurus at være. Meget seiglivet
viser ogsaa den bløde Limmochares sig. Den kan leve og
trives udmerket i flere maaneder i et lidet vandglas uden
anden føde end de infusionsdyr, sop, alger og lignende som van-
det tilfældig indeholder. Den synes ikke at behøve større dyr
til næring, jeg har aldrig seet den angribe end ikke en Cru-
stacé. (Dens modstand mod tørke kjender jeg dog ikke).
Af andre mindre rovgjerrige vil jeg nævne Hydryphantes ruber,
Diplodontus despiciens, Eylais extendens, Lebertia og enkelte
Hygrobates-spp. Derimod viser Curvipes- (især Bruzehi) og

-

Norske hydrachnider. 67

Limmesia-arter sig som de rovgjerrigste. Enkelte af dem fore-
trekker andre hydrachnider for crustaceer. Flere (især Lim-
nesia) ynder Eylaës; andre f. eks. Curvipes Bruzelii foretrækker
Curvipes fuscatus og niger fremfor anden føde. Jeg finder det
ikke rigtigt i denne henseende at udtale noget almindeligt
om alle hydrachnider, hvad der af og til sees gjort. Der
er stor forskjel indenfor de forskjellige slegter og arter.
Trods sin bygning er de neppe alle rovdyr; ialfaid er deres
føde meget forskjellig. Mine undersøgelser har imidlertid
været altfor kortvarige til herom at kunne give detaljerede
oplysninger.

Register over de i Norge sommeren 1896
fundne hydrachnider.

1. Limmochares holocericeus, Latreille............. Side 16.
2. Hylais extendens, Müller. :.............2..... — 16.
a. Hydryphantes ruber, De Geer ............:... — 17.
we Diplodonius despiciens, Müller................ — 18.
da cine geognaphica, Müller AA. = ls
6. Hydr.— Schneideri, Koenike................. — 18.
7. Hydr.— globosa, De Geer (2 biscutata, nov. sp) — 19.
Send USA A NOU SM. 0)... ne ck en sss tes — 19.
Ue SPCNGhOMeSGUaMOSUS, IKTAMICT 2.5. 6. De ce leo — 20.
10. Sp.— glandulosus, Koenike .................. — 20. .
i Newtonian primarias Koenike » 1.11... c ..... — 21.
OT subalpına, nou MSP kasus Greve selen — 21.
13. Limnesia Mstrionica, Hermann ..,...:......., — 23.

68 Sig. Thor.
AT nn — maculata, Muller: QEP Side 23.
ar aU nov var 2 oe ee SENER — 24.
15. Limn.— Koenikei, Piersig = ? L. venustula, Koch. — 24.
16. Limn= marmorata, Neuman ........ 00 — 25.
mn undulata Nulle «NE — 25.
18. 2 Limn.— pardina, Neuman........-........ — 25.
-| 2 var. marmoroides, nov. var. . . . . .. — 25.
19. Arrenurus o + © globator, Müll............. — 2
20. Arr.— oi + 2 caudatus, De Geer........... 20:
2 oo 2 pustulator, Müll. 222022 — 26.
Dr Gr rormicatus, Neum AA EE — 26.
23. Arr.— g + 9 Neumani, Piers.
— Arr. emarginator, Neum. ............ Joson
24. Arr— Kjermanni, Neum AE SEERE — 2.
25. Arr. d + augustipetiolatus nov. sp. *)= ?Arr.
bicuspidator, Berlese = ? Arr. dubius, Koen — 28.
AG, AP ed GOTO), OW, SDs Soosecdodovcsunss — 28.
27. Arr. Å errator, Sig. Thor. = albator, Bruz. — 29.
28 Ann IG angulator AR OCR ES =.) he eee — 30.
2 SE rackypodavensicolorn Muller gr en — 30.
a0 eHinontipoda musculus. Nill ee ee = ee — 31.
DIRE cOxcusstrigatuss MU. SEE eee — 31.
32. Lebertia tau — insignita, Lebert............ . — 3l.
Sos Mideopsisåorbieularts Mull AE — 833.
SP TE CU ao re — 393.
sos eeLiggnobvates longipalpis, Herm MN — 34.
*) Forst under korrekturen af registret er jeg bleven vis paa, at

den under navnet Arr. dubius (= bicuspidator) opførte art ikke
kan identificeres med Arr. tricuspidator, Neum. (= dubius,, Koen.),
da petiolus er langt smalere mod spidsen. Jeg tænkte, at for-
skjellen kunde skrive sig fra mindre nøiagtig tegning hos Neuman,
men finder nu dette usandsynligt Jeg opfører derfor her arten
under navnet Arr. augustipetiolatus nov. sp. Og skal senere
beskrive den,

Norske hydrachnider. 69

peer. — bovealis, nov. Spas ns. sue seu eo Side 36.
EM ygr.— albinus, nov. SP..5........ MR Le — 36.
+ var. albo-fasciatus, nov. var. .............. — 38.
LE Var. epimerosus, NOV. Var. ... eee — 39.
SOM Piuobatnse NOT VEQIGUSS NOU. SP. Les - ne de eee ce — 40.
Hydrochoreutes 3 ungulatus, Koch.
= + © filipes, Koch, + © cruciger, Koch. | ule
Ge linncndesı spinipes: Roch:........2.2...2...... — 42,
ep onmluiescensy Herm.. 1.112.225 Sis — 43.
OR ORNE COCCInEUS, ROC. 2e cre eg — 4B.
43. C.— Bruzelü, Sig. Thor. = OC. coccineus, Bruz. — 45.
44. C.— conglobatus, Koch, = C. pulcher, Neum. — 46.
5. == fs — 47.
C.— © decoratus, Neum. | |
46. TE GJ
+ C— Å variabilis, Koch f
AS OR OCR nee Li ae ae — 48.
SON ROLUNOUS, Kramer 111101001112: — 48.
OR ascaius, Hermed hh we — 48.
50. C.— niger, nov. sp. (= ? C. brevipalpis, Neum.) — 49.
Ds alminus, Neum. pirke RE — 54.
bee OE Shordalensis, Nov: Spr GN — 54.
OS NOU SD. M SA cis Do AM Tales a —= Bo,
54. 2 C.— Neumani, Koen, var. Bygdøensis, ? nov. sp. — 57.
N ERA spinipesy Mull ek — 58.
| Newm.— vernalis, Müll. |
>>. | I N— mirabilis, Neum.f TT ata
STØEN CURED) NOUL SPR NNN. — 59
De Sø las enassines, MU ech ake ose ce ee 04 — 60

Kristiania, den 30te november 1896.

Sig. Thor.

HE RET 27 5 Ae eae

Se PE N
DE + å Di =
À dj ) 7 ye X on

a 3
à j ee LG |
Å Bel se : i FR
å À EN 4 køer er £
6 = $ ET WTA aa KN
å +00 8 Bi > LATE
à E å a N a," CL - : å
ce a vev
2 H å 3
. 7 P I å Fe 3
ge I UT LE
Mer . ‘ a? P a pa TN a te
n N 5 > 3 a8 x 0 å =
\ 7 wi
+ 1 , <a a 1 . ÿ ,
Qu } ak are : |
we ‘ N
. hl ‘ ER à

\ ; et
Å ¥ . à
VESTRE 5
a
fe
LA
* Y EG
US
x
‘ i : ati Fed

Forklaring over figurerne.

Planche I.

Fig. 1. Hydrachna globosa, De Geer
(? biscutata, nov. sp.):
Kjønsfelt og epimerer (ca. 50 gange forstørret).

1 epim. = lste epimerpar.
2 epim. — 2det epimerpar.
3 epim. — 3die epimerpar.
4 epim. = 4de epimerpar.

p. 3 = 3die fods første 2 led.
p. 4 = 4de fods første led.
kpl. = kjonspladerne med tætstaaende smaa kjonskopper.

Fig, 2. H. globosa, De Geer
(? biscutata, nov. sp.):

Rygskjoldene og de 5 øine (ca. 50 gange forstørret).

OC. == ole.

5 — det 5te uparrede oie mellem skjoldene.

Fig. 3. H. uniscutata nov. sp.
Skjold og øine (ca 25 gange forstørret).
oc. — Øie.
doc. = det 5te uparrede oie indvokset i skjoldet.

72 Sig. Thor.

Fig. 4, Teutonia subalpina, nov. sp.
kjonsfelt og 2 epimerpar (3 epim. og 4 epim.)
(ca. 50 gange forstorret).

kb. — den store kitinbue ved sprekkens forende.
kk. = kjonsklapperne; under dem findes de 3 par
kjønskopper.

Fig, 6 og 7. Til sammenligning de samme dele hos
Teutonia primaria, Koenike (fig. 6 07, fig. 7 9)
(ca. 30 gange forstørret).

Fig. 5. Teut. subalpina, palpe.
pt. = palpetanden paa 2det palpeled.

Fig. 8. Til sammenligning samme palpe hos.
Teut. primaria, Koenike.

Fig. 9. Arrenurus gilvator, 3 nov. sp.
seet fra oversiden (ca. 45).

OG. = Øie.

rl. = ryglinien,
anh. — hale-anhang.
pet. = petiolus.

Fig. 10. Rivobates norvegicus, 2 nov. sp.
seet fra undersiden: labium, epimerer og kjønsfelt (ca. 47).

ll. = labium.

1 ep., 2 ep., 3 ep., 4 ep. = Iste—4de epimerer.
kb. = forreste kitinbue.

kk, = kjonsklapper.

kpl. = kjønsplader med kjonskopper.

an. == anus med 2 stigner paa siderne,

Norske hydrachnider. 73

(Fig. 20 paa pl. II, kjønsfeltet hos 2).

Fig. 11. Hygrobates albinus, nov. sp.
palperne (ca. 3).

Fig. 16. Curvipes Stjørdalensis, 2 nov. sp.
seet fra undersiden (ca. 45).
plp. == palper; pt = palpetænder.
PN labium. ~
1 ep.—4 ep. = Iste—4de epimerpar,
pr. = 4de epimers processus.
1 p.—4 p. = Iste—4de fod.
kk. — kjonsklapper.
kpl. = kjonsplader med kjonskopper.

Fig. 17. C. Stjørdalensis, o%. Undersiden (ca. 4?)
lab. = labium
t. = kjønstasken. | |
sk. = skaar eller udsnit i 4de fods 4de led.

De øvrige bogstaver har samme betydning som i fig. 16.

Planche II.

Fig 12. Hygrobates albinus. nov. sp.
Samme palper som paa fig. 11, men langt sterkere for-
størrede (ca. 149).

Fig. 13. Curvipes niger 2, nov. sp.
seet fra undersiden (ca. 40).
Bogstavernes betydning som paa fig. 16 & 17.

Paa grund af tegnefeil er kroppen bleven for smal bagtil.

74 Sig. Thor.

Fig. 14. C. niger o (ca. 40).
Fig. 15. C. niger co’, palperne, (ca. 49).
Fig. 16 & 17 paa pl. I.

Fig. 18. Curvipes alatus S, nov. sp.
seet fra undersiden (ca. 65).

Bogstavernes antydning som paa fig. 16 —17.
Fig. 19. C. alatus ?, kjonsfelt og 2 epimerpar, (ca. %).
Fig. 20. Rivobates norvegicus J',nov. sp. kjonsfelt (ca. 47).
Fig. 21. Arrenucus gilvator 5", nov. sp. seet fra undersiden

(ca. 6,9).

Ved feiltegning er bredden for stor i forhold til længden.

Fig. 22. Hygrobates albinus, nov. sp. (ca. 4°).

a. 2 kjønsfelt med kjønsklapper og med 3 kjønskopper paa
hver af de 2 koppeplader.
b. & kjønsfelt med gabende sprek omgivet af ring og 2

koppeplader hver med 3 kjønskopper.

A Mo NX 6.

pe
Dr
DA ,

2

—
oO

Af MoN xx.

NON
ON
AN

——

{

DF

Le

N Hå
Sy.

VON

eg Re på =
EE ai La u >
%
ibe

i

fo uy ARCHIV

— a

MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAR

UDGIVET
AF

AMUND HELLAND, SOPHUS LIE, G. 0. SARS oc 5. TORUP

NITTENDE BIND. FORSTE HEFTE

| KRISTIANIA
ALB. CAMMERMEYERS FORLAG
| LARS SWANSTRØM

1896

Bind XIX. Hefte 1.

Indhold.

Nr. 1. On some West-Australian Entomostraca.

Raised from dried sand.

Af G. O. Sars. . . . . . . Side 1—35
Nr. 2. Om aceton som

Experimentel-fysiologiske studier

af H. Chr. Geelmuyden . . . : » 1—68

Archiv for Mathematik og Non den udkommer med

1 bind (4 hefter) aarlig. Subskribtionsprisen er kr. 8 pr. bind.

Alb. Cammermeyers Forlag

(Lars Swanstrom).

EE EN \ ar
eee aes i
RES, * N

Pili JAN 26 1897 |

| 7026

ARCHIV |

FOR

MATHEMATIK OG NATURVIDENSKAR

UDGIVET
AF
AMUND HELLAND, SOPHUS LIE, G. 0. SARS oc $. TORUP

LA

NITTENDE BIND. ANDET HEFTE

KRISTIANIA
ALB. CAMMERMEYERS FORLAG
LARS SWANSTRØM

1896

Bind XIX. Hefte 2.

Indhold.

Nr. 3. Sur Papplication de la théorie des nombres entiers

x

complexes å la solution en nombres rationnels
I D 3
Hj Hy ...%, 61 69 ... €,, k de Péquation:

c, arctgx%, +e, arctgx, + ... +e, are tgx,—= ke
par Carl Størmer.
Archiv for Mathematik og Naturvidenskab udkommer

med 1 bind (4 hefter) aarlig. Subskriptionsprisen er
kr. 8 pr. bind.

Alb. Cammermeyers Forlag

(Lars Swanstrøm).

ARCHIV

MAY 14 1897

FOR

| | 7026
MATHEMATIK 06 NATURVIDENSKAR

UDGIVET
AF

— AMUND HELLAND, SOPHUS LIE, 6. 0. SARS oc $. TORUP

XIX 5

NITTENDE BIND. TREDIE HEFTE

KRISTIANIA
ALB. CAMMERMEYERS FORLAG
LARS SWANSTROM

1897

—
nn nn RETTEN
ann
le P

RE MADE

Bind XIX. Hefte 3.

Indhold.

Nr. 4. Mindre meddelelser II, af Axel Thue........
» 5. Sur quelques formes de l’équation de laquelle
dépend la division des périodes des fonctions
elliptiques par 7, par Å. Palmstrøm.........

>26: Synotus barbastellus, (Schreb.), Phoca foetida,
Müll., nye for Norges Fauna, af R. Collett ...

>» 7. Om en Samling Fiske fra Azorerne, tilhørende
Museet i Ponta Delgada, af R. Collett ......

» 8. Om en Del for Norges Fauna nye Fiske fundne

Fen 1896, ER Collett 0 0

Side 1—27
rt
» ET
D Ji
» 27

Archiv for Mathematik og Naturvidenskab udkommer med 1

bind (4 hefter) aarlig. Subskriptionsprisen er kr. 8 pr. bind.

Alb. Cammermeyers Forlag

(Lars Swanstrom).

SUG. 3 1097

ON
Gå
ARCHIV Eh

.-_

Sak aOR

mn U DT

UDGIVET >
AF

- AMUND HELLAND, SOPHUS LIE, G. 0. SARS oc $. TORUP

1 -
LL
5
NITTENDE BIND. FJERDE HEFTE

KRISTIANIA
ALB. CAMMERMEYERS FORLAG

LARS SWANSTRØM

Bind XIX. Hefte 4.

Indhold.

Nr. 9. Om sandsynlighed og dens betydning logisk

betragtet, af Anathon Aall ................. Side
» 10. Nogle magnetiske observationer i Nordmarken

og i Christiania, af H. Geelmuyden.......... »
» 11. Bidrag til kundskaben om Norges hydrachnider,

AS IT a nenn. »

Archiv for Mathematik og Naturvidenskab udkommer

==
1—19
{= 74
med 1

bind (4 hefter) aarlig. Subskriptionsprisen er kr. 8. pr. bind.

Alb. Cammermeyers Forlag

(Lars Swanstrøm).